# Гама-функцыя

| Гама-функцыя |
| --- |
|  Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай |
|  |
| Першаадкрывальнік | Леанард Эйлер |
| Формула, якая апісвае закон або тэарэму |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| Пазначэнне ў формуле |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ,  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  і  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |
| Mathematical inverse | reciprocal gamma function[d] |
|  Медыяфайлы на Вікісховішчы |

Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці
**Гама-функцыя** (або **Эйлераў інтэграл другога роду**) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай **гама** Γ(*z*).

Для натуральных *n* справядліва роўнасць:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

## Азначэнні

Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай
### Інтэгральнае азначэнне

Калі рэчаісная частка камплекснага ліку WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
дзе контур WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

### Азначэнне па Гаусу

Яно вернае для ўсіх камплексных WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
### Азначэнне па Эйлеру

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
### Азначэнне па Веерштрасу

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
дзе WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  — пастаянная Эйлера — Маскероні.

### Заўвагі

* Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна, калі рэчаісная частка камплекснага ліку WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 дадатна.
* Прымяняючы інтэграванне па частках, можна паказаць, што тоеснасць
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36

справядліва для падынтэгральнага выразу.
* Паколькі WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , для ўсіх натуральных лікаў WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 з’яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

## Звязаныя азначэнні

* Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая *пі-функцыя*, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
* У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
## Уласцівасці

Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.

* Формула дапаўнення Эйлера:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
* З яе вынікае формула памнажэння Гауса:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
* якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
* Гама-функцыя мае полюс у WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 для любога натуральнага WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
* Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 , акрамя недадатных цэлых лікаў:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68

дзе WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  — пастаянная Эйлера — Маскероні.
* Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .
* Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74

дзе WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.
* Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78

### Асобныя значэнні

* Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
дзе *AGM*(*x*, *y*) — сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае лікаў *x* і *y*.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88

## Гл. таксама

* Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера
* K-функцыя
* G-функцыя Барнса
* Бэта-функцыя
* Гама-размеркаванне
* Няпоўная гама-функцыя
* Формула Стырлінга

## Зноскі

## Літаратура

* *Купцов Л. П.* Гамма-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

## Спасылкі

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_90