# Сыстэма каардынат

Дэкартава сыстэма каардынат на роўніцы
**Сыстэма каардынат** (слова *каардынат* паходзіць ад лац.: *co* + *ordinatus*, сумесна падпарадкаваны) — комплекс вызначэньняў, які ажыцьцяўляе мэтад каардынат, то бок спосаб вызначаць палажэньне пункту або цела з дапамогай лічбаў або іншых сымбаляў. Сукупнасьць лічбаў, якія вызначаюць палажэньне канкрэтнага пункту, называецца каардынатамі гэтага пункту.

* у матэматыцы каардынаты — сукупнасьць лічбаў, супастаўленых пунктам мнагастайнасьці ў мапе пэўнага атлясу.

* у элемэнтарнай геамэтрыі каардынаты — велічыні, якія вызначаюць палажэньне пункту на роўніцы і ў прасторы. На роўніцы палажэньне пункту часьцей за ўсё вызначаецца адлегласьцю ад дзьвюх прамых (каардынаты восяў), якія перасякаюцца ў адным пункце (пачатку каардынат) пад простым вуглом; адна з каардынат называецца ардынатай, іншая — абсцысай. У прасторы паводле сыстэмы Дэкарта палажэньне пункту вызначаецца адлегласьцямі ад трох роўніцаў каардынат, якія перасякаюцца ў адным пункце пад простымі вугламі адзін да аднаго, альбо сфэрычнымі каардынатамі, дзе пачатак каардынат знаходзіцца ў цэнтры сфэры.

Сфэрычныя каардынаты
* у геаграфіі каардынаты — шырата, даўгата і вышыня над вядомым агульным узроўнем (напрыклад, акіяну). Гл. геаграфічныя каардынаты.

* у астраноміі каардынаты — велічыні, з дапамогай якіх вызначаецца палажэньне зоркі, напрыклад, простае ўзьняцьцё і схіленьне.

* Нябесныя каардынаты — лічбы, з дапамогай якіх вызначаюць палажэньне сьвяцілаў і дапаможных пунктаў на нябеснай сфэры. У астраноміі выкарыстоўваюцца розныя сыстэмы нябесных каардынат. Кожная зь іх па сутнасьці ўяўляе сабой сыстэму палярных каардынат на сфэры з адпаведным чынам абраным полюсам. Сыстэму нябесных каардынат задаюць вялікім кругам нябеснае сфэры (альбо яго полюсам, які ляжыць за 90° ад любога пункту гэтага круга) з указаньнем на ім пачатковага пункту адліку адной з каардынат. У залежнасьці ад выбару гэтага круга сыстэмы нябесных каардынат называлася гарызантальнай, экватарыяльнай, экліптычнай і галяктычнай.

Найбольш выкарыстоўвальная сыстэма каардынат — простакутная сыстэма каардынат (таксама вядомая як дэкартава сыстэма каардынат).

Каардынаты на роўніцы і ў прасторы можна ўводзіць бясконцай колькасьцю розных спосабаў. Разьвязваючы тую ці іншую матэматычную альбо фізычную задачу мэтадам каардынат, можна выкарыстоўваць розныя каардынатныя сыстэмы, абіраючы тую зь іх, у якой задача разьвязваецца прасьцей альбо зручней у дадзеным канкрэтным выпадку. Вядомым абагульненьнем сыстэмы каарданыт зьяўляюцца сыстэмы адліку і сыстэмы рэфэрэнцыі.

## Асноўныя сыстэмы

### Дэкартавая сыстэма

Самай распаўсюджанай сыстэмай каардынатаў у матэматыцы ёсьць дэкартавая сыстэма каардынатаў, названая гэтак у гонар Рэнэ Дэкарта. Дэкартавая сыстэма каардынатаў задаецца пачаткам каардынатаў і трыма вэктарамі, якія вызначаюць кірунак каардынатных восяў. Кожны пункт прасторы задаецца лікамі, якія роўныя адлегласьці ад дадзенага пункту да каардынатных плоскасьцяў.

Каардынаты дэкартавай сыстэмы на графіку прынята пазначаць WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , у прасторы WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 .

Розныя дэкартавыя сыстэмы каардынатаў зьвязаныя адзін з адным афіннымі пераўтварэньнямі, то бо зрушэньнем і паваротамі.

### Палярная сыстэма

Палярныя каардынаты
Прыкладам крывалінейнай сыстэмы каардынатаў на плоскасьці зьяўляецца палярная сыстэма каардынатаў, у якой становішча пункту задаецца двума лікамі: адлегласьцю WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 паміж пунктам і пачаткам каардынатаў, і кутом WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 паміж промнем, які злучае пачатак каардынатаў з пунктам і абранай восьсю. Пункты дэкартавых і палярных каардынатаў зьвязаныя паміж сабой формуламі:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ,
Некаторыя раўнаньні ў палярнай сыстэме каардынатаў маюць просты выгляд, як то канічныя перасекі, сьпіралі, кардыёда і г. д. Палярную сыстэму каардынатаў можна абагульніць на выпадак n-мернай прасторы. Выпадак n = 2 (на плоскасьці) адпавядае звычайнай палярнай сыстэме каардынатаў, а n = 3 — сфэрычнай сыстэме каардынатаў.

У прасторы прымяняюцца абагульненьня палярных каардынатаў, то бок цыліндрычныя і сфэрычныя сыстэмы каардынатаў.

### Цыліндрычная сыстэма

Цыліндрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў, у якім пункт WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 уяўляецца ўпарадкаванай тройкай WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 . У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 (радыюс) — адлегласьць ад восі WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 да пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») часткай восі WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 і адрэзкам, праведзеным ад полюсу да пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 і спраектаваным на плоскасьць WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 (вышыня) роўная дэкартавай WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 -каардынаце пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

Палярныя каардынаты маюць адзіны недахоп, то бок значэньне WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 не вызначана пры WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 .

Цыліндрычныя каардынаты карысныя для вывучэньня сыстэмаў, які зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна некаторай восі. Напрыклад, падоўжаны цыліндар з радыюсам WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 у дэкартавых каардынатах (з восьсю WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , якая супадае з восьсю цыліндру) мае раўнаньне WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 тады як у цыліндрычных каардынатах яно выглядае значна прасьцей, як то WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 .

### Сфэрычная сыстэма

Сфэрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў. У сфэрычнай сыстэме каардынатаў разьмяшчэньне пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 вызначаецца трыма кампанэнтамі: WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 . У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 (радыюс) — адлегласьць ад пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 да полюсу,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 і праекцыяй адрэзка, праведзенага з полюсу да пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , на плоскасьць WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 (шырата або палярны кут) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 і адрэзкам, праведзенага з полюсу да пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 .

Сфэрычная сыстэма каардынатаў таксама мае недахоп: WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 і WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ня вызначаныя, калі WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ; кут WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 не вызначаны таксама і для межавых значэньняў WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 і WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 (або для WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 , у выпадку прыняцьця адпаведнага дыяпазону для гэтага кута).

Для пабудовы пункту WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 па ягоных сфэрычных каардынатах трэба ад полюса ўздоўж дадатнай паўвосі WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 адкласьці адрэзак, роўны WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , павярнуць яго на кут WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 вакол восі WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 у напрамку дадатнай паўвосі WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , і затым павярнуць на кут WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 вакол восі WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 у напрамку дадатнай паўвосі WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 .

Сфэрычныя каардынаты карысныя пры вывучэньні сыстэм, якія зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна пункту. Гэтак раўнаньне сфэры з радыюсам WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 у дэкартавых каардынатах з пачаткам адліку ў цэнтры сфэры выглядае як WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 тады як у сфэрычных каардынатах яно становіцца нашмат прасьцейным, як то WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 .

## Вонкавыя спасылкі

* Шасьцігранныя сыстэмы каардынатаў.