# Тригонометрик функциялар

|  |
| --- |
| Тригонометрик функциялар |
|  |
| Ҡайҙа өйрәнелә | тригонометрия |
| Аппроксимационный алгоритм | CORDIC[d] |
| Тасуирлау биттәре | math.libretexts.org/Book… ostts.org/Stitz\_Zeager\_P… monash.edu/student-acade… |
| Вики-проект | Проект:Математика[d] |
| Обратно к | кире тригонометрик функциялар |
|  Тригонометрик функциялар Викимилектә |

Рис. 1
Тригонометрик функциялар графигы:      синустың      косинустың      тангенстың      котангенстың     секанстың      косеканстың
**Тригонометри́к фу́нкциялар** — элементар функциялар, улар тарихи рәүештә тура мөйөшлө өсмөйөштәрҙе ҡарағанда барлыҡҡа килгәндәр һәм был өсмөйөштәрҙең яҡтары оҙонлоғоноң гипотенуза эргәһендәге ҡыҫынҡы мөйөштәренә бәйлелеген күрһәтәләр (йәки, шуға тиң мәғәнәлә, түңәрәктә хордаларҙың һәм бейеклектәрҙең дуғаның үҙәк мөйөшөнә бәйлелеге. Был функциялар фәндең төрлө өлкәләрендә бик киң ҡулланыу таптылар. Артабан тригонометрик функцяларҙың билдәләмәләре киңәйтелә, хәҙер уларҙың аргументы булып теләһә ниндәй ысын һан йәки хатта комплекслы һан торорға мөмкин. Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеүсе фән тригонометрия тип атала.

Тригонометрик функцияларға инәләр:

тура тригонометрик функциялар
* синус ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 )
* косинус ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 )

тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары
* тангенс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 )
* котангенс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 )

башҡа тригонометрик функциялар
* секанс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 )
* косеканс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 )

Инглиз һәм америка әҙәбиәтендә тангенс, котангенс һәм косеканс WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 тип тамғалана. Икенсе бөтә донъя .һуғышына тиклем Германияла һәм Францияла был функциялар беҙҙәге кеүек тамғаландылар, ләкин аҙаҡ был илдәр инглиз-америка стандартына күстеләр.

Был алты функциянан тыш һирәк ҡулланылған тригонометрик функциялар бар (версинус һ.б.), шулай уҡ кире тригонометрик функциялар (арксинус, арккосинус һ.б.), улар айырым мәҡәләләрҙә ҡарала.
Ысын аргументтың синусы һәм косинусы периодлы, өҙлөкһөҙ һәм сикһеҙ дифференциалланыусы, ҡиммәттәре ысын һандар булған функциялар. Ҡалған дүрт функция ысын һандар күмәклегендә шулай уҡ периодлы, билдәләнеү өлкәһендә сикһеҙ дифференциалланыусы,ҡиммәттәре ысын һандар булған функциялар, ләкин өҙлөкһөҙ түгелдәр. Тангенс һәм секанстың WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 нөктәләрендә, ә котангенс һәм косеканстың — WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 .
 нөктәләрендә икенсе төрҙәге өҙөктәре бар.
Тригонометрик функцияларҙың графиктары 1-се һүрәттә күрһәтелгән.

## Билдәләнеү ысулдары

### Геометрик билдәләмә

Рис. 2
Тригонометрик функцияларҙың билдәләмәһе
Рис. 3
 Радиусы бергә тигеҙ булған тригонометрик әйләнәлә WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 мөйөшөнөң тригонометрик функцияларының һан ҡиммәттәре
Ғәҙәттә тригонометрик функциялар геометрик билдәләнәләр. Яҫылыҡта декарт координаталар системаһы бирелһен, ти. Радиусы WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 һәм үҙәге WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 координаталар башында булған әйләнә төҙөлгән ти. Һәр мөйөштө абсциссалар күсәренең ыңғай йүнәлешенән ниндәйҙер WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 нурына тиклемге боролош итеп ҡарарға була, шуның менән бергә сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы йүнәлеш ыңғай тип һанала, ә сәғәт уғы ыңғайына — тиҫкәре. WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 нөктәһенең абсциссаһын WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 тип, ординатаһын WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 тип тамғалайҙар (см. рисунок 2).

* Синус тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 сағыштырмаһы атала
* Косинус тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 сағыштырмаһы атала
* Тангенс WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 тип билдәләнә
* Котангенс WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 тип билдәләнә
* Секанс WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 тип билдәләнә
* Косеканс WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 тип билдәләнә

Тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәре әйләнәнең WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 радиусына бәйле түгел икәне оҡшаш фигураларҙың үҙсәнлегенән асыҡ күренә. Йыш ҡына был радиусты берәмек киҫек оҙонлоғона тигеҙ итеп ҡабул итәләр, ул саҡта синус WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ординатаһына, ә косинус — WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 абсциссаһына тигеҙ була. 3-сө һүрәттә берәмек әйләнә өсөн тригонометрик функцияларҙың дәүмәлдәре күрһәтелгән.

Әгәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 — ысын һан булһа, ул саҡта математик анализда WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 -ның синусы тип радиан үлсәме WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 -ға тигеҙ булған мөйөштөң синусы атала, башҡа тригонометрик функциялар өсөн шулай уҡ.

### Ҡыҫынҡы мөйөштәр өсөн тригонометрик функцияларҙың билдәләмәһе

Рис. 4
Ҡыҫынҡы мөйөштөң тригонометрик функциялары
Геометрияның мәктәп курсында ҡыҫынҡы мөйөштөң тригонометрик функциялары тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтарының сағыштырмаһы булараҡ билдәләнә.
. Пусть *OAB* — прямоугольный треугольник с острым углом α. Шулай итеп:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 мөйөшөнөң синусы тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 сағыштырмаһы атала (ҡаршы ятыусы катеттың гипотенузаға сағыштырмаһы).
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 мөйөшөнөң косинусы тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 сағыштырмаһы атала (теркәлгән катеттың гипотенузаға сағыштырмаһы).
* ом угла WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 мөйөшөнөң тангенсы тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 сағыштырмаһы атала (ҡаршы ятыусы катеттың теркәлгән катетҡа сағыштырмаһы).
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 мөйөшөнөң котангенсы тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 сағыштырмаһы атала (теркәлгән катеттың ҡаршы ятыусы катетҡа сағыштырмаһы).
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 мөйөшөнөң секансы тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 сағыштырмаһы атала (гипотенузаның теркәлгән катетҡа сағыштырмаһы).
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 мөйөшөнөң косекансы тип WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 сағыштырмаһы атала (гипотенузаның ҡаршы ятыусы катетҡа сағыштырмаһы).

Башы WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 нөктәһендә булған, абсциссалар күсәре WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 буйлап йүнәлгән координаталар системаһы төҙөп һәм кәрәк булғанда, өсмөйөш координаталар системаһының беренсе сирегендә ятырлыҡ итеп, уның йүнәлешен үҙгәртеп (бороп), һәм аҙаҡ радиусы гипотенузаға тигеҙ булған әйләнә төҙөп, функцияларҙың был билдәләмәләре бынан алдағы кеүек үк һөҙөмтәгә килтереүен күрергә була.

Был билдәләмә бер ни тиклем методик өҫтөнлөккә эйә, сөнки координаталар системаһы индереүҙе талап итмәй, ләкин шулай уҡ ҙур етешһеҙлеге бар, сөнки йәйенке мөйөшлө өсмөйөштәр тураһында элементар мәсьәләләрҙе сисеү өсөн дә белергә кәрәк булған хатта йәйенке мөйөштәр өсөн дә тригонометрик функцияларға билдәләмә биреп булмай. (ҡара: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Тригонометрик функциялар синус, косинус, секанс һәм косеканс WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 , тангенс һәм котангенс WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 .
 периоды менән периодлы функциялар.
Теләһә ниндәй мөйөштөң тригонометрик функцияларын, уларҙың периодлы булыуын һәм килтереү формулаларын ҡулланып, ҡыҫынҡы мөйөштөң тригонометрик функцияларына ҡайтарып ҡалдырып була.

Был, мәҫәлән, таблицалар буйынса тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәрен табыу өсөн кәрәк, сөнки таблицаларҙа ғәҙәттә тик ҡыҫынҡы мөйөштәр өсөн генә ҡиммәттәр бирелә.

## Математик анализда функцияларҙы тикшереү

### Тригонометрик функцияларҙың дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылышы булараҡ билдәләмәһе

**Косинус** һәм **синус** функцияларына, косинус өсөн WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 һәм синус өсөн WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 өҫтәмә шарттар менән,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
дифференциаль тигеҙләмәһенең йоп (косинус) һәм таҡ (синус) сығарылышы булараҡ, йәғни икенсе сығарылмалары минус тамғаһы менән алынған функцияның үҙенә тигеҙ булған, бер үҙгәреүсәнле функция булараҡ, билдәләмә бирергә була:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
### Тригонометрик функцияларға функциональ тигеҙләмәләрҙең сығарылышы булараҡ билдәләмә биреү

**Косинус** һәм **синус** функцияларына (ярашлы рәүештә WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 )

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 булғанда, WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 өҫтәлмә шарттары менән,

түбәндәге функциональ тигеҙләмәләр системаһының сығарылышы булараҡ билдәләмә бирергә була:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110

### Тригонометрик функцияларҙың рәттәр аша билдәләмәһе

Геометрияны һәм сикләмәләрҙең үҙсәнлектәрен файҙаланып, синустың сығарылмаһы косинусҡа тигеҙ һәм косинустың сығарылмаһы минус синусҡа тигеҙ булыуын иҫбат итергә мөмкин. Ул саҡта Тейлор рәте теорияһын ҡулланырға һәм синус менән косинусты дәрәжәле рәттәр рәүешендә күрһәтергә мөмкин:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
Ошо формулаларҙы, шулай уҡ WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 тигеҙлектәрен ҡулланып, башҡа тригонометрик функцияларҙың да рәттәргә тарҡалмаһын табырға мөмкин:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
бында

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 — Бернулли һандары,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 — Эйлер һандары.
### Сикһеҙ ҡабатландыҡтарға тарҡатыу

Тригонометрик функциялар күпбыуындарҙың сикһеҙ ҡабатландығы рәүешендә лә күрһәтелергә мөмкин.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
Был бәйләнештәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 -тың теләһә ниндәй ҡиммәттәрендә лә дөрөҫ.

### Сынйырлы кәсерҙәр

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
### Сығарылмалар һәм алынмалар

Бөтә тригонометрик функциялар ҙа бөтә билдәләнеү өлкәһендә өҙлөкһөҙ һәм сикһеҙ дифференциалланыусы:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154

Тригонометрик функцияларҙың интегралдары билдәләнеү өлкәһендә түбәндәгесә элементар функциялар аша күрһәтеләләр:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Тригонометрик функцияларҙың интегралдары исемлеге

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Интеграль тригонометрик функциялар

## Ҡайһы бер мөйөштәр өсөн тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәре

Ҡайһы бер мөйөштәр өсөн синустың, косинус, тангенс, котангенс, секанс һәм косеканстың ҡиммәттәре таблицала килтерелгән. («∞» тамғаһы, функцияның был нөктәлә билдәләнмәгәнлеген, ә уның эргә тирәһендә сикһеҙлеккә ынтылыуын аңлата).

Әйләнәлә косинус һәм синустың ҡиммәттәре.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_170  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_176  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_178  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_182  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_184  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_186  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_188  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_190  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_192  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_202  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_206  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_210  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_212  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_214  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_216  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_218  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_222  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_224  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_226  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_230  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_232  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_234  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_250  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_252  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_254  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_256  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_260  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_262  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_264  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_266  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_268  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_270  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_272  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_274  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_276  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_278  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_280  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_282  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_284  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_286  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_288  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_290  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_292  |

### Стандарт булмаған мөйөштәрҙең тригонометрик функциялары ҡиммәттәре

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_294  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_296  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_298  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_300  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_302  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_304  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_306  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_308  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_310  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_312  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_314  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_316  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_318  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_320  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_322  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_324  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_326  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_328  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_330  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_332  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_334  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_336  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_338  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_340  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_342  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_344  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_346  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_348  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_350  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_352  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_354  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_356  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_358  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_360  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_362  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_364  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_366  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_368  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_370  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_372  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_374  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_376  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_378  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_380  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_382  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_384  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_386  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_388  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_390  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_392  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_394  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_396  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_398  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_400  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_402  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_404  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_406  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_408  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_410  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_412  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_414  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_416  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_418  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_420  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_422  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_424  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_426  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_428  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_430  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_432  |

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_434  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_436  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_438  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_440  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_442  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_444  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_446  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_448  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_450  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_452  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_454  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_456  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_458  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_460  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_462  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_464  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_466  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_468  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_470  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_472  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_474  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_476  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_478  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_480  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_482  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_484  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_486  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_488  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_490  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_492  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_494  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_496  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_498  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_500  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_502  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_504  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_506  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_508  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_510  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_512  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_514  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_516  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_518  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_520  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_522  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_524  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_526  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_528  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_530  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_532  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_534  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_536  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_538  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_540  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_542  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_544  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_546  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_548  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_550  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_552  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_554  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_556  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_558  |

Ҡайһы бер башҡа мөйөштәр өсөн тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәре  [күрһәтергә]

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_560

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_562

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_564

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_566

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_568

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_570

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_572

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_574

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_576

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_578

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_580

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_582

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_584

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_586

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_588

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_590

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_592

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_594

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_596

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_598

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_600

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_602

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_604

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_606

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_608

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_610

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_612

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_614

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_616

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_618

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_620

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_622

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_624

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_626

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_628

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_630

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_632

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_634

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_636

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_638

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_640

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_642 WIKINIUM\_MATH\_PH\_644

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_646

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_648

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_650

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_652

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_654

## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре

### Иң ябай тождестволар

Синус һәм косинус ярашлы рәүештә берәмек әйләнәлә α мөйөшөнә ярашлы нөктәнең ординатаһы һәм абсциссаһы булғанлыҡтан, берәмек әйләнәнең тигеҙләмәһе йәки Пифагор теоремаһына ярашлы, табабыҙ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_656
Был бәйләнеш *төп тригонометрик тождество тип атала*.

Был тигеҙләмәне ярашлы рәүештә косинус һәм синусатың квадратына бүлеп артабан табабыҙ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_658
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_660
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_662
### Өҙлөкһөҙлөк

Синус һәм косинус — өҙлөкһөҙ функциялар. Тангенс һәм секанстың WIKINIUM\_MATH\_PH\_664 ; котангенс һәм косеканстың — WIKINIUM\_MATH\_PH\_666 өҙөлөү нөктәләре бар.

### Йоплоҡ

Косинус һәм секанс — йоп функциялар. Ҡалған дүрт функция — таҡ функциялар, йәғни:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_668
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_670
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_672
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_674
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_676
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_678
### Периодлылыҡ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_680 — функциялары WIKINIUM\_MATH\_PH\_682 периоды менән периодлы функциялар, WIKINIUM\_MATH\_PH\_684 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_686 функциялары — WIKINIUM\_MATH\_PH\_688 периоды менән.

### Килтереү формулалары

Килтереү формулалары тип түбәндәге күренештәге формулалар аталалар:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_690
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_692
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_694
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_696
Бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_698 —теләһә ниндәй тригонометрик функция, WIKINIUM\_MATH\_PH\_700 — уға ярашлы кофункция (йәғни косинус өсөн синус, синус өсөн косинус, тангенс өсөн котангенс, котангенс өсөн тангенс, секанс өсөн косеканс һәм косеканс өсөн секанс), *n* — бөтөн һан. Килеп сыҡҡан функция алдына, α ҡыҫынҡы мөйөш тип иҫәпләгәндә, бирелгән координаталар сирегендә тәүге функцияның тамғаһы ниндәй булһа, шул тамғаны ҡуябыҙ, мәҫәлән:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_702 йәки шул уҡ WIKINIUM\_MATH\_PH\_704
Ҡайһы бер килтереү формулалары:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_706  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_708  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_710  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_712  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_714  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_716  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_718  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_720  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_722  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_724  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_726  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_728  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_730  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_732  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_734  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_736  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_738  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_740  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_742  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_744  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_746  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_748  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_750  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_752  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_754  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_756  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_758  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_760  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_762  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_764  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_766  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_768  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_770  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_772  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_774  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_776  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_778  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_780  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_782  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_784  |

### Ҡушыу формулалары

Ике мөйөштөң суммаһы һәм айырмаһының тригонометрик функциялары ҡиммәттәре:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_786
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_788
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_790
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_792
Өс мөйөштөң суммаһы өсөн оҡшаш формулалар:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_794
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_796
### Тапҡыр мөйөштәр өсөн формулалар

Икеләтелгән мөйөш формулалары:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_798
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_800
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_802
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_804
Өсләтелгән мөйөш формулалары:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_806
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_808
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_810
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_812
Тапҡыр мөйөштәр өсөн башҡа формулалар:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_814
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_816
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_818
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_820
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_822
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_824
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_826
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_828
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_830 Гамма-функция өсөн Гаусс формулаһынан һәм тултырыу формулаһынан килеп сыға.
Муавр формулаһынан тапҡыр мөйөштәр өсөн түбәндәге дөйөм аңлатмаларҙы алырға мөмкин:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_832
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_834
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_836
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_838
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_840 — WIKINIUM\_MATH\_PH\_842 һанының бөтөн өлөшө, WIKINIUM\_MATH\_PH\_844 — биномиаль коэффициент.

Ярты мөйөш формулалары:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_846
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_848
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_850
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_852
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_854
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_856
### Ҡабатландыҡтар

Ике мөйөш функцияларының ҡабатландығы өсөн формулалар:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_858
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_860
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_862
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_864
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_866
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_868
Өс мөйөштөң синустары һәм косинустары ҡабатландыҡтары өсөн оҡшаш формулалар:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_870
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_872
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_874
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_876
Өс мөйөштөң тангенстары һәм котангенстары ҡабатландыҡтары өсөн формулаларҙы, юғарыла килтерелгән ярашлы тигеҙлектәрҙең уң һәм һул яҡтарын бүлеп табырға мөмкин.

### Дәрәжәләр

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_878  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_880  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_882  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_884  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_886  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_888  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_890  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_892  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_894  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_896  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_898  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_900  |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_902 тигеҙлегенең иллюстрацияһы
### Суммалар

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_904
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_906
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_908
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_910
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_912
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_914
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_916
Ошондай күренеш бар:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_918
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_920 мөйөшө түбәндәге бәйләнештән табыла:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_922
### Универсаль тригонометрик подстановка

Бөтә тригонометрик функцияларҙы мөйөш яртыһының тангенсы аша күрһәтеп була.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_924

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_926

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_928

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_930

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_932

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_934

## Комплекснлы аргументтың тригонометрик функциялары

### Билдәләмә

Эйлер формулаһы:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_936
комплекслы аргументтың тригонометрик функцияларына экспонента аша (йәки рәттәр ярҙамында) уларҙың ысын аналогтарының аналитик дауамы булараҡ билдәләмә бирергә мөмкинлек бирә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_938
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_940
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_942
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_944
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_946
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_948 где WIKINIUM\_MATH\_PH\_950
Ярашлы рәүештә, ысын *x* өсөн,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_952
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_954
Комплекслы синус һәм косинус гиперболик функциялар менән тығыҙ бәйләнгән:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_956
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_958
Юғарыла һынап кителгән тригонометрик функциялар үҙсәнлектәренең күпселеге комплекслы осраҡта ла һаҡланалар. Ҡайһы бер өҫтәлмә үҙсәнлектәр:

* комплекслы синус һәм косинус, ысын аргументлыларҙан айырмалы рәүештә, модуле буйынса теләһә ниндәй ҙур ҡиммәттәр ҡабул итә алалар;
* комплекслы синус һәм косинустың бөтә нулдәре ысын күсәрҙә яталар.

### Комплекслы графиктар

Түбәндәге графиктарҙа комплекслы яҫылыҡ һүрәтләнгән, ә функцияларҙың ҡиммәттәре төҫ менән айырып күрһәтелгән. Асыҡлыҡ абсолют ҡиммәтте сағылдыра (ҡара — ноль). Төҫ аргументтан һәм мөйөштән картаға ярашлы үҙгәрә.

**Комплекслы яҫылыҡта тригонометрик функциялар**|  |  |  |  |  |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_960  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_962  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_964  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_966  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_968  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_970  |

## Атамалар тарихы

*Синус һыҙығы* (2-се һүрәттә AB һыҙығы) һинд математиктарында башта «арха-джива» («ярым ян», йәғни бирелгән дуға хордаһының яртыһы, сөнки дуға менән хорда керешле янды хәтерләтә) тип аталған. Аҙаҡ «арха» һүҙе алып ташлана һәм синус һыҙығын «джива» тип кенә атай башлайҙар. Ғәрәп математиктары, һинд китаптарын санскриттан тәржемәләп, «джива» һүҙен ғәрәптәрҙең кереш һәм хорданы аңлатҡан «ватар» һүҙенә тәржемәләмәгәндәр, ә уны ғәрәп хәрефтәре менән транскрипциялайҙар һәм синус һыҙығын «джиба» (جيب‎) тип атайҙар. Ғәрәп телендә ҡыҫҡа һуҙынҡылар тамғаланмайҙар, ә «джиба» һүҙендә оҙон «и» ярымһуҙынҡы «й» кеүек тамғалана, ғәрәптәр синус һыҙығының атамаһын «джайб» тип әйтә башлайҙар, ул һүҙмә-һүҙ «соҡор», «ҡыуышлыҡ» тигәнде аңлата. Ғәрәп яҙмаларын Европа тәржемәселәре латин теленә тәржемәләгәндә, «джайб» һүҙен латин телендә шул уҡ мәғәнәне аңлатҡан sinus — **«синус»** һүҙенә әйләндерәләр. **«Косинус»** термины (лат. *cosinus*) — лат. *complementi sinus*-тан ҡыҫҡартыу — өҫтәлмә синус.

Хәҙерге WIKINIUM\_MATH\_PH\_972 ҡыҫҡаса тамғалауҙар Б. Кавальери һәм Уильям Отред тарафынан индерелгән һәм Леонард Эйлер хеҙмәттәрендә нығытылған.

**«Тангенс»** (лат. *tangens* — тейеүсе) һәм **«секанс»** (лат. *secans* — киҫеүсе) терминдары дат математигы Томас Финке тарафынан уның «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583) китабында индерелгән.

*Тригонометрик функциялар* тигән термин үҙе Клюгель тарафынан 1770 йылда индерелгән.

Һуңғараҡ инде кире тригонометрик функциялар өсөн дә терминдар индерелә — **арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс** — Жозеф Луи Лагранж һ.б. тарафынан (лат. *arcus* — дуға) һүҙенән алынған **«арк»** приставкаһын өҫтәп яһалғандар.

## Әҙәбиәт

* *Бермант А. Ф. Люстерник Л. А*. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
* *Тригонометрик функциялар* — Ҙур совет энциклопедияһында мәҡәлә — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204—206.
* *Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.* Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
* *Выгодский М. Я.* Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
	+ Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
* *Двайт Г. Б.* Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
* *Кожеуров П. А*. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
* *Маркушевич А. И*. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
* Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1984. — Т. 5. — с. 436.
* Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, *Гнеденко Б. В*. (гл. ред.), *Савин А. П*. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. ISBN 5-7155-0218-7 (стр. 342  2018 йыл 7 февраль архивланған., 343  2018 йыл 7 февраль архивланған. — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
* Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

## Һылтанмалар

* GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
* *Weisstein, Eric W.* Trigonometric Functions (инг.) на сайте Wolfram MathWorld.
* Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)
* Интерактивная карта значений тригонометрических функций  2019 йыл 7 август архивланған.
* Тригонометрические таблицы (0° — 360°)
* «Синус и косинус — это проценты»  2016 йыл 29 ғинуар архивланған. — перевод статьи How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained (инг.)

## Иҫкәрмәләр

{иҫкәрмәләр}}