# Пифагор теоремаһы

Пифагор теоремаһын тигеҙ тултырылғанлыҡ аша иҫбатлауҙы аңлатыусы схема[⇨].
Ҡалып:Тригонометрия
**Пифаго́р теоремаһы** — тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары араһында бәйләнеш уранлаштырыусы, Евклид геометрияһының төп теоремаларының береһе: катеттар оҙонлоҡтарының квадраттары суммаһы гипотенуза оҙонлоғоноң квадратына тигеҙ.

Был нисбәт теге йәки был күренештә боронғо мәҙәниәткә беҙҙең эраға тиклем күп йылдар элек билдәле булған тип фараз ителә; беренсе геометрик иҫбатлау Пифагорҙыҡы тип иҫәпләнә.
Раҫлау Евклидтың «Башланғыстарына» 47-се Һөйләм булып ингән[⇨].

Шулай уҡ, гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙаны катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандары суммаһына тигеҙ, тигән геометрик факт булараҡ күрһәтелергә мөмкин. Кире раҫлау ҙа дөрөҫ[⇨]: ике яғының оҙонлоҡтарының квадраттары суммаһы өсөнсө яғының оҙонлоғоноң квадратына тигеҙ булған өсмөйөш тура мөйөшлө була.

Был теореманың бер нисә дөйөмләштереүе бар[⇨] — ирекле өсмөйөштәр өсөн, юғары үлсәмле арауыҡтарҙағы фигуралар өсөн. Евклидтыҡы булмаған геометрияларҙа теорема үтәлмәй[⇨].

## Тарихы

Математика тарихсыһы Мориц Кантор фекеренсә, Боронғо Египетта батша Аменемхет I осоронда (б. э. тиклем XXIII быуат) яҡтары 3, 4, 5-кә тигеҙ булған тура мөйөшлө өсмөйөш тураһында билдәле булған — уны гарпедонаптар — «арҡан тартыусылар» ҡулланғандар. Хаммурапи осорона ҡараған (б. э. тиклем XX быуат) Боронғо Вавилон тексында гипотенузаны яҡынса иҫәпләү килтерелгән. Ван-дер-Варден фекеренсә, нисбәт дөйөм күренештә Вавилонда яҡынса б. э. тиклем XVIII быуатта уҡ билдәле булыуы ихтимал.

Чжоу би суань цзин (б. э. тиклем 500—200 йылдар) китабынан һүрәт
Б. э. тиклемге V—III быуаттар осорона ҡараған Боронғо Ҡытайҙың «Чжоу би суань цзин» китабында яҡтары 3, 4 һәм 5-кә тигеҙ булған өсмөйөш килтерелә, шуның менән бергә һүрәтте теорема нисбәтен график нигеҙләү итеп аңлатып була. «Математика в девяти книгах» Ҡытай мәсьәләләр йыйынтығында (б. э. тиклем X—II быуат) айырым китап теореманың ҡулланыуына бағышланған.

Нисбәтте иҫбатлау боронғо грек философы Пифагор (б. э. тиклем 570—490) тарафынан бирелгән тип дөйөм ҡабул ителгән. Проклдың (412—485 н. э.), Пифагор, өс һандан торған Пифагор төркөмөн табыу өсөн, алгебраик ысулдар ҡулланған тигән раҫлаусы дәлиле бар[⇨], ләкин шуның менән бергә, Пифагор үлгәндән һуң биш быуат дауамында, уның авторлығын иҫбатлау тураһында тура телгә алыу табылмай. Әммә Плутарх һәм Цицерон кеүек авторҙар Пифагор теоремаһы тураһында яҙалар, йөкмәткеһенән күренеүенсә, Пифагорҙың авторлығы дөйөм билдәле һәм һис шикһеҙ. Диоген Лаэртский еткергән риүәйәт бар, уның буйынса Пифагор йәнәһе үҙенең теореманы асыуын ҙур мәжлес яһап байрам иткән.

Яҡынса б. э. тиклем 400 йылда, Прокл фекеренсә, Платон алгебра һәм геометрияны берләштергән, өс һандан торған Пифагор төркөмөн табыу ысулын биргән. Яҡынса б. э. тиклем 300 йылда Евклидтың "Башланғыстар"ында Пифагор теоремаһының бик боронғо аксиоматик иҫбатлауы күренә.

## Әйтелештәре

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 катеттарына таянған квадраттарҙың майҙандарының суммаһы, гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙанына тигеҙ WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Төп формулировкала алгебраик ғәмәлдәр бар — катеттарының оҙонлоғо WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , ә гипотенузаһының оҙонлоғо — WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 булған тура мөйөшлө өсмөйөштә, түбәндәге нисбәт үтәлә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

Фигураның майҙаны төшөнсәһенә таяныусы, тиң булған геометрик формулировкаһы булырға мөмкин: тура мөйөшлө өсмөйөштә гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙаны, катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарының суммаһына тигеҙ.
Евклидтың "Башланғыстар"ында теорема ошондай күренештә әйтеп бирелгән.

**Пифагорҙың кире теоремаһы** — яҡтарының оҙонлоғо ошо WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 нисбәте менән бәйләнгән өсмөйөштөң тура мөйөшлө булыуы тураһында раҫлау. Эҙемтә булараҡ, теләһә ниндәй ыңғай өс WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 шундай һандары өсөн, бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , катеттары WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 һәм гипотенузаһы WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 булған тура мөйөшлө өсмөйөш бар.

## Иҫбатлауҙар

Фәнни әҙәбиәттә Пифагор теоремаһының 400-ҙән кәм булмаған иҫбатланышы теркәлгән, был теореманың геометрия өсөн ҙур әһәмиәте, шулай уҡ һөҙөмтәнең ябайлығы менән аңлатыла. Иҫбатлауҙың төп йүнәлештәре: өсмөйөш элементтарының нисбәтен алгебраик ҡулланыу (шулай, мәҫәлән, популяр булған оҡшашлыҡ ысулы[⇨]), майҙандар ысулы[⇨], шулай уҡ төрлө экзотик иҫбатлауҙар осрай (мәҫәлән, дифференциаль тигеҙләмәләр ярҙамында).

### Оҡшаш өсмөйөштәр ярҙамында

Дәреслектәрҙә алгебраик формулировканы киң таралған иҫбатлауҙарҙың береһе булып өсмөйөштәр оҡшашлығы техникаһын ҡулланып иҫбатлау тора, был осраҡта ул туранан-тура тиерлек аксиомаларҙан килеп сыға һәм фигураның майҙаны төшөнсәһенә ҡағылмай. Унда WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 түбәһендәге мөйөшө тура мөйөш, яҡтары WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 , ҡаршы ятыусы түбәләре ярашлы рәүештә WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 булған WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 өсмөйөшө өсөн, WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 бейеклеге үткәрелә, был ваҡытта (ике тигеҙ мөйөшө буйынса оҡшашлыҡ билдәһенә ярашлы) оҡшашлыҡ нисбәте барлыҡҡа килә: WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , бынан түбәндәге нисбәттәр килеп сыға:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ; WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 .
Пропорцияларҙың ситке быуындарын ҡабатлағанда ошондай тигеҙлектәр килеп сыға:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ; WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ,
уларҙы быуын-быуынлап ҡушыу кәрәкле һөҙөмтәне бирә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .
### Майҙандар ысулы менән иҫбатлау

Иҫбатлауҙарҙың күбеһе майҙан төшөнсәһен ҡуллана.
Уларҙың күбеһе ҡарар күҙгә ябай булыуға ҡарамаҫтан, бындай иҫбатлауҙар, иҫбатланышы Пифагор теоремаһының үҙен иҫбатлауға ҡарағанда ҡатмарлыраҡ булған фигураларҙың майҙаны үҙсәнлеген ҡулланалар.

#### Тигеҙ тулыландырыу аша иҫбатлау

Тигеҙ тулыландырыу аша иҫбатлау схемаһы.
Тигеҙ тулыландырыу аша иҫбатлау катеттары WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 һәм гипотенузаһы WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 булған тура мөйөшлө өсмөйөштөң дүрт күсермәһен ҡуллана, улар яғы WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 булған квадрат һәм яғының оҙонлоғо WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 булған эске дүртмөйөш барлыҡҡа килерлек итеп урынлаштырыла. Был конфигурацияла эске дүртмөйөш квадрат була, сөнки тура мөйөшкә ҡаршы ятҡан ике ҡыҫынҡы мөйөштөң суммаһы — 90°, ә йәйелмә мөйөш — 180°. Тышҡы квадраттың майҙаны WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 -ға тигеҙ, ул майҙаны WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 булған эске квадраттан һәм һәр береһенең майҙаны WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 -гә тигеҙ булған дүрт тура мөйөшлө өсмөйөштән тора, һөҙөмтәлә WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 нисбәтенән алгебраик үҙгәртеүҙәр ярҙамында теореманың раҫлауы килеп сыға.

#### Евклид иҫбатлауы

Евклид иҫбатлауына һыҙма. Иҫбатлауҙың төп йүнәлеше — WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 конгруэнтлығын килтереп сығарыу, уларҙың майҙандары ярашлы рәүештә WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 тура дүртмөйөштәренең майҙандарының яртыһын тәшкил итә.
Евклидтың классик иҫбатлауы гипотенузала төҙөлгән квадратты тура мөйөш түбәһенән төшөрөлгән бейеклек менән киҫкәндә барлыҡҡа килгән тура дүртмөйөштәрҙең майҙандары катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарына тигеҙ булыуын килтереп сығарыуға йүнәлтелгән.

Иҫбатлау өсөн ҡулланылған конструкция шундай: тура мөйөшө WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 булған WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 тура мөйөшлө өсмөйөшө, катеттарында төҙөлгән WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 квадраттары һәм гипотенузала төҙөлгән WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 квадраты өсөн WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 бейеклеге һәм уны дауам итеүсе WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 нуры үткәрелә, ул гипотенузала төҙөлгән квадратты ике WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 тура дүртмөйөштәренә бүлә. Иҫбатлау WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 тура дүртмөйөшө майҙанының WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 катетында төҙөлгән квадрат майҙанына тигеҙ булыуын килтереп сығарыуға йүнәлтелгән; икенсе тура дүртмөйөштөң майҙаны икенсе катетта төҙөлгән квадраттың майҙанына тигеҙ булыуы оҡшаш рәүештә килтереп сығарыла.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 тура дүртмөйөштәренең майҙандарының тигеҙлеге WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 өсмөйөштәренең конгруэнтлығы аша килеп сыға, уларҙың һәр береһенең майҙаны ярашлы рәүештә WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 тура дүртмөйөштәренең майҙандарының яртыһына тигеҙ, сөнки: әгәр өсмөйөш менән тура дүртмөйөштөң бер яғы уртаҡ, ә өсмөйөштөң уртаҡ яҡҡа төшөрөлгән бейеклеге тура дүртмөйөштөң икенсе яғы булһа, өсмөйөштөң майҙаны тура дүртмөйөштөң майҙанының яртыһына тигеҙ була. Өсмөйөштәрҙең конгруэнтлығы ике яҡтарының (квадраттарҙың яҡтары) һәм улар араһындағы мөйөштәренең (тура мөйөштән һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 түбәһендәге мөйөштән торған) тигеҙлегенән килеп сыға.

Шулай итеп, WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 тура дүртмөйөштәренән торған гипотенузала төҙөлгән квадраттың майҙаны катеттарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарының суммаһына тигеҙ булыуы иҫбатлана.

#### Леонардо да Винчи иҫбатлауы

Леонардо да Винчи иҫбатлауына һыҙма
Леонардо да Винчи тарафынан табылған иҫбатлау майҙандар ысулына ҡарай. WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 мөйөшө тура мөйөш булған WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 тура мөйөшлө өсмөйөшө һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 квадраттары бирелһен ти (һүрәтте ҡарағыҙ). Был иҫбатлауҙа һуңғы квадраттың WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 яғында тышҡы яҡҡа WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 өсмөйөшөнә конгруэнт, шуның менән бергә гипотенузаға ҡарата, шулай уҡ уға төшөрөлгән бейеклеккә ҡарата сағылдырылған өсмөйөш төҙөлә (йәғни WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 ). WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 тура һыҙығы гипотенузала төҙөлгән квадратты ике тигеҙ өлөшкә бүлә, сөнки WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 өсмөйөштәре төҙөү буйынса тигеҙҙәр. Иҫбатлау WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 дүртмөйөштәренең конгруэнтлығын асыҡлай, дүртмөйөштәрҙең һәр береһе, бер яҡтан, катеттарҙа төҙөлгә квадраттарҙың яртышар майҙандарының һәм бирелгән өсмөйөш майҙанының суммаһына тигеҙ, икенсе яҡтан, гипотенузала төҙөлгән квадрат майҙанының яртыһы менән бирелгән өсмөйөш майҙанының суммаһына тигеҙ. Һөҙөмтәлә, катеттарҙа төҙөлгә квадраттарҙың яртышар майҙандарының суммаһы гипотенузала төҙөлгән квадрат майҙанының яртыһына тигеҙ, был Пифагор теоремаһының геометрик формулировкаһына тиң.

#### Оҡшаш өсмөйөштәрҙең майҙандары аша

Артабанғы иҫбатлау, оҡшаш өсмөйөштәрҙең майҙандары ярашлы яҡтарының квадраттары кеүек сағыштырылалар тигән раҫлауға нигеҙләнгән.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 тура мөйөшлө өсмөйөш булһын, ти, WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 — тура мөйөшө түбәһенән гипотенузаға төшөрөлгән перпендикуляр.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 өсмөйөштәре оҡшаш, сөнки тура мөйөштәре бар һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 мөйөшө уртаҡ.
Тимәк

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
Шул уҡ юл менән табабыҙ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 өсмөйөштәре икеһе бергә WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 өсмөйөшөн төҙөгәнлектән,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 майҙандарының суммаһы WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 майҙанына тигеҙ.
Ошонан сығып

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
йәки
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172

### Сикһеҙ бәләкәйҙәр ысулы менән иҫбатлау

Сикһеҙ бәләкәйҙәр ысулы менән иҫбатлау
Дифференциаль тигеҙләмәләр техникаһына таяныусы бер нисә иҫбатлауҙар бар. Атап әйткәндә, WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 катеттарының һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 гипотенузаһының сикһеҙ бәләкәй ҡушымтаһын ҡулланыусы иҫбатлау Хардиҙыҡы тип иҫәпләнә. Мәҫәлән, WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 катеты даими булғанда WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 катетының ҡушымтаһы WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 гипотенузаның ҡушымтаһына килтерә, шулай итеп

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188
Үҙгәреүсәндәрҙе айырып алыу ысулы менән уларҙан WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 дифференциаль тигеҙләмәһе килеп сыға,
уны интеграллау WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 нисбәтен бирә. WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 башланғыс шарттарҙы ҡулланып константа WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 булыуын асыҡлайбыҙ, һөҙөмтәлә теореманың раҫлауы килеп сыға.

Ахырғы формулала квадрат бәйләнеш өсмөйөштөң яҡтары һәм ҡушымталар араһында һыҙыҡлы пропорционаллек арҡаһында килеп сыға.

## Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

### Өс яғында оҡшаш геометрик фигуралар

Оҡшаш өсмөйөштәр өсөн дөйөмләштереү, йәшел фигураларҙың майҙаны күк фигураларҙың майҙанына тигеҙ.
Пифагор теоремаһы оҡшаш тура мөйөшлө өсмөйөштәрҙе ҡулланып.
Евклид үҙенең «Башланғыстарында», яҡтарҙа төҙөлгән квадраттарҙың майҙандарынан ирекле оҡшаш геометрик фигураларҙың майҙандарына күсеп, Пифагор теоремаһының мөһим геометрик дөйөмләштерелеүен биргән: катеттарҙа төҙөлгән бындай фигураларҙың майҙандарының суммаһы, гипотенузала төҙөлгән уларға оҡшаш фигураның майҙанына тигеҙ.

Был дөйөмләштереүҙең төп идеяһы шунда, оҡшаш геометрик фигураның майҙаны үҙенең теләһә ниндәй һыҙыҡлы үлсәменең квадратына пропорциональ, һәм, айырым осраҡта теләһә ниндәй яғының квадратына. Ошонан сығып, ярашлы рәүештә оҙонлоҡтары WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 булған катеттарҙа һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 гипотенузаһында төҙөлгән, майҙандары WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 булған оҡшаш фигуралар өсөн, ошо нисбәт дөрөҫ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 .
Пифагор теоремаһы буйынса WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 булғанлыҡтан, WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 тигеҙлеге дөрөҫ.

Бынан тыш, тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтарында төҙөлгән өс оҡшаш геометрик фигураларҙың майҙандары өсөн WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 нисбәте үтәлә икәнлеген Пифагор теоремаһына таянмай иҫбатлау мөмкин булһа, Евклид дөйөмләштереүен иҫбатлауҙы кире тәртиптә ҡулланып, Пифагор теоремаһын иҫбатлауҙы килтереп сығарып булыр ине. Мәҫәлән, әгәр гипотенузала, майҙаны WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 булған баштағы өсмөйөшкә конгруэнт тура мөйөшлө өсмөйөш, ә катеттарҙа — майҙандары WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 булған уға оҡшаш ике тура мөйөшлө өсмөйөш төҙөгәндә, катеттарҙағы өсмөйөштәр баштағы өсмөйөштө уның бейеклеге менән бүлеүҙән килеп сыға икән, йәғни өсмөйөштөрҙең ике бәләкәй майҙандарының суммаһы өсөнсөһөнөң майҙанына тигеҙ була, шулай итеп WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 һәм, оҡшаш фигуралар өсөн нисбәтте ҡулланып, Пифагор теоремаһы килтереп сығарыла.

### Косинустар теоремаһы

Пифагор теоремаһы — ирекле өсмөйөштә яҡтарының оҙонлоғон бәйләүсе, дөйөмөрәк булған косинустар теоремаһының айырым осрағы:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 ,
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 — WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 яҡтары араһындағы мөйөш. Әгәр был мөйөш 90° булһа, ул саҡта WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 , һәм формула ғәҙәти Пифагор теоремаһына тиклем ябайлаша.

### Ирекле өсмөйөш

Сабит ибн Курра асыҡлаған дөйөмләштереү. Аҫтағы һүрәт WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 өсмөйөшөнөң WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 өсмөйөшөнә оҡшашлығын күрһәтә.
Пифагор теоремаһының, тик яҡтарының оҙонлоғо нисбәтенә генә таянып эш итеүсе, ирекле өсмөйөшкә дөйөмләштерелеүе бар. Ул беренсе булып Сабии астрономы Сабит ибн Курра тарафынан асылған тип иҫәпләнә. Унда яҡтары WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 булған ирекле өсмөйөш өсөн, уға нигеҙе WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 яғында булған, түбәһе бирелгән өсмөйөштөң WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 яғына ҡаршы ятыусы түбәһе менән тап килгән, нигеҙе эргәһендәге мөйөшө WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 яғына ҡаршы ятыусы WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 мөйөшөнә тигеҙ булған, тигеҙ эргәле өсмөйөш ҡамала. Һөҙөмтәлә бирелгән өсмөйөшкә оҡшаш булған ике өсмөйөш барлыҡҡа килә: беренсеһе — яҡтары WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 , ҡамалған тигеҙ эргәле өсмөйөштөң унан алыҫтағы эргә яғы, һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 — WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 яғының өлөшө; икенсеһе — уға WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 яғынан симметрик һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 яғының өлөшөнә ярашлы яғы WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 . Һөҙөмтәлә WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 булғанда Пифагор теоремаһына әүерелеүсе:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 , нисбәте үтәлгән булыуы килеп сыға.
Нисбәт барлыҡҡа килгән өсмөйөштәрҙең оҡшашлығы эҙемтәһе булып тора:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 .
### Майҙандар тураһында Паппа теоремаһы

Майҙандар тураһында Паппа теоремаһы, ирекле өсмөйөш һәм уның ике яғында ирекле параллелограммдар өсөн өсөнсө яғында, майҙаны бирелгән ике параллелограмдың майҙандарының суммаһына тигеҙ булырлыҡ итеп параллелограмм төҙөргә мөмкинлек биреүсе теорема, шулай уҡ Пифагор теоремаһының дөйөмләштерелеүе итеп ҡарарға була: бирелгән өсмөйөш — тура мөйөшлө, ә катеттарҙа параллелограмдар сифатында квадраттар төҙөлгән осраҡта, гипотенузала төҙөлгән квадрат майҙандар тураһында Паппа теоремаһын ҡәнәғәтләндереүсе булып сыға.

### Күп үлсәмле дөйөмләштереүҙәр

Пифагор теоремаһының өс үлсәмле Евклид арауығы өсөн дөйөмләштерелеүе булып де Гуа теоремаһы тора: әгәр тетраэдрҙың тура мөйөшө булһа, ул саҡта тура мөйөшкә ҡаршы ятҡан ҡырының майҙанының квадраты, ҡалған өс ҡырының майҙандарының квадраттары суммаһына тигеҙ. Был һығымта юғары үлсәмле Евклид арауыҡтары өсөн « WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 -үлсәмле Пифагор теоремаһы» булараҡ дөйөмләштерелергә мөмкин — ортогональ WIKINIUM\_MATH\_PH\_269 -үлсәмле симплекс өсөн майҙандары WIKINIUM\_MATH\_PH\_271 булған ортогональ ҡырҙары һәм майҙаны WIKINIUM\_MATH\_PH\_273 булған уларға ҡаршы ятыусы ҡыры өсөн түбәндәге нисбәт үтәлә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_275 .
Тағы ла бер күп үлсәмле дөйөмләштереү тура мөйөшлө параллелепипедтың диагонале оҙонлоғоноң квадратын табыу мәсьәләһенән килеп сыға: уны иҫәпләү өсөн ике тапҡыр Пифагор теоремаһын ҡулланырға кәрәк, һөҙөмтәлә ул параллелепипедтың өс эргәләш яҡтарының квадраттарының суммаһын төҙөй. Дөйөм осраҡта, эргәләш яҡтарының оҙонлоҡтары WIKINIUM\_MATH\_PH\_277 булған WIKINIUM\_MATH\_PH\_279 -үлсәмле тура мөйөшлө параллелепипедтың диагоналенең оҙонлоғо түбәндәгесә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_281 ,
өс үлсәмле осраҡтағы кеүек, һөҙөмтә перпендикуляр яҫылыҡтарҙа тура мөйөшлө өсмөйөштәргә Пифагор теоремаһын эҙмә-эҙ ҡулланыу эҙемтәһе булып тора.

Парсеваль тигеҙлеге Пифагор теоремаһын сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарға дөйөмләштереү булып тора.

### Евклид булмаған геометрия

Пифагор теоремаһы Евклид геометрияһы аксиомаларынан килеп сыға һәм Евклид булмаған геометрия өсөн дөрөҫ түгел — Пифагор теоремаһының үтәлеше Евклидтың параллеллек тураһында постулатына тиң көслө.

Евклид булмаған геометрияла тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары араһындағы нисбәт, һис шикһеҙ, Пифагор теоремаһынан айырмалы формала була. Мәҫәлән, сферик геометрияла тура мөйөшлө өсмөйөштөң, берәмек сфераның октантын сикләп торған бөтә өс яғының оҙонлоғо WIKINIUM\_MATH\_PH\_283 , был Пифагор теоремаһына ҡаршы килә.

Шуның менән бергә, әгәр өсмөйөштөң тура мөйөшлө булыу шартын өсмөйөштөң ике мөйөшөнөң суммаһы өсөнсө мөйөшөнә тигеҙ булыу шарты менән алмаштырһаң, Пифагор теоремаһы гиперболалы һәм эллиптик геометрияла дөрөҫ.

#### Сферик геометрия

Сферик өсмөйөш
Радиусы WIKINIUM\_MATH\_PH\_285 булған сферала яҡтары WIKINIUM\_MATH\_PH\_287 булған теләһә ниндәй тура мөйөшлө өсмөйөш өсөн (мәҫәлән, әгәр өсмөйөштә WIKINIUM\_MATH\_PH\_289 мөйөшө тура мөйөш булһа) яҡтары араһындағы нисбәт түбәндәге күренештә була:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_291 .
Был тигеҙлек бөтә сферик өсмөйөштәр өсөн дөрөҫ булған сферик косинустар теоремаһының айырым осрағы булараҡ килеп сығырға мөмкин:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_293 .
Тейлор рәтен косинус функцияһына ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_295 ) ҡулланып, әгәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_297 радиусы сикһеҙлеккә ынтылһа, ә WIKINIUM\_MATH\_PH\_299 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_301 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_303 аргументтары нулгә ынтылһа, ул саҡта тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары араһындағы сферик нисбәт Пифагор теоремаһына яҡыная икәнен күрһәтеп була.

#### Лобачевский геометрияһы

Гиперболалы өсмөйөш
Лобачевский геометрияһында яҡтары WIKINIUM\_MATH\_PH\_305 , тура мөйөшөнә ҡаршы ятҡан яғы WIKINIUM\_MATH\_PH\_307 булған тура мөйөшлө өсмөйөш өсөн, яҡтары араһындағы нисбәт түбәндәгесә була:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_309 ,
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_311 — гиперболалы косинус. Был формула бөтә өсмөйөштәр өсөн дөрөҫ булған гиперболалы косинустар теоремаһының айырым осрағы булып тора:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_313 ,
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_315 — түбәһе WIKINIUM\_MATH\_PH\_317 яғына ҡаршы ятҡан мөйөш.

Тейлор рәтен гиперболалы косинус өсөн ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_319 ) ҡулланып, әгәр гиперболалы өсмөйөш бәләкәсәйһә (йәғни, WIKINIUM\_MATH\_PH\_321 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_323 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_325 нулгә ынтылғанда), ул саҡта тура мөйөшлө өсмөйөштә гиперболалы нисбәт классик Пифагор теоремаһы нисбәтенә яҡыная икәнлеген күрһәтеп була.

## Ҡулланыу

### Ике үлсәмле тура мөйөшлө системаларҙа алыҫлыҡ

Пифагор теоремаһының мөһим ҡулланылышы — тура мөйөшлө координаталар системаһында ике нөктә араһындағы алыҫлыҡты табыу: координаталары WIKINIUM\_MATH\_PH\_327 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_329 булған нөктәләр араһындағы WIKINIUM\_MATH\_PH\_331 алыҫлығы тигеҙ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_333 .
Комплекслы һандар өсөн Пифагор теоремаһы комплекслы һандың модулен табыу өсөн тәбиғи формула бирә — WIKINIUM\_MATH\_PH\_335 өсөн ул комплекслы яҫылыҡта WIKINIUM\_MATH\_PH\_337 нөктәһенә радиус-векторҙың оҙонлоғона тигеҙ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_339 .
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_341 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_343 комплекслы һандары араһындағы алыҫлыҡ шулай уҡ Пифагор теоремаһы формаһында күрһәтелә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_345 .
### Евклид метрикаһы

Евклид метрикаһы — Евклид арауыҡтарында Пифагор теоремаһы буйынса иҫәпләнгән алыҫлыҡ функцияһы, ике үлсәмле осраҡта туранан-тура, һәм күп үлсәмле арауыҡта эҙмә-эҙ ҡулланылышы; WIKINIUM\_MATH\_PH\_347 -үлсәмле арауыҡтың WIKINIUM\_MATH\_PH\_349 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_351 нөктәләре өсөн улар араһындағы WIKINIUM\_MATH\_PH\_353 алыҫлығы түбәндәгесә иҫәпләнә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_355 .
### Һандар теорияһы

Пифагорҙың өс һаны — тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары була алған өс WIKINIUM\_MATH\_PH\_357 натураль һандары йыйылмаһы, йәғни WIKINIUM\_MATH\_PH\_359 Диофант тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндереүсе натураль һандар. Һандар теорияһында Пифагорҙың өс һаны мөһим роль уйнай, уларҙы эффектив табыу мәсьәләһе боронғо замандарҙан алып бөгөнгө көнгә тиклем киң эш ҡатламы тыуҙырҙы. Ферманың бөйөк теоремаһы формулировкаһы 2-нән ҙурыраҡ дәрәжә өсөн Пифагорҙың өс һанын табыу мәсьәләһенә оҡшаш.

## Иҫкәрмәләр

## Әҙәбиәт

* *Ван-дер-Варден Б. Л.* Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959
* *Глейзер Г. И.* История математики в школе. — М., 1982
* *Еленьский Щ.* По следам Пифагора. — М., 1961
* *Клауди Альсина.* Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
* *Литцман В.* Теорема Пифагора. — М., 1960.
	+ Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
* *Скопец З. А.* Геометрические миниатюры. — М., 1990
* *Euclid.* The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. — Reprint of 1908. — Dover, 1956. — Vol. 1 (Books I and II). — ISBN 0-486-60088-2.
* *Heath S.* A History of Greek Mathematics (2 Vols.). — Edition of Dover Publications, Inc. (1981). — Clarendon Press, Oxford, 1921. — ISBN 0-486-24073-8.

## Һылтанмалар

* История теоремы Пифагора
* *Г. Глейзер, академик РАО, Москва.* О теореме Пифагора и способах её доказательства  2007 йыл 17 декабрь архивланған.
* Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для компьютера, iPhone, iPad)
* Теорема Пифагора и пифагоровы тройки.  2016 йыл 3 март архивланған. Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
* Теорема Пифагора на WolframMathWorld (инг.)
* Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (инг.)