# Гамма-функция

|  |
| --- |
| Гамма-функция |
|  |
|  |
| Асыусы йәки уйлап табыусы | Леонард Эйлер |
| Закон йәки теорема формулаһы |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| Обозначение в формуле |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ,  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  һәм  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |
| Вики-проект | Проект:Математика[d] |
| Обратно к | reciprocal gamma function[d] |
|  Гамма-функция Викимилектә |

**Гамма-функция** — математик функция, ғәҙәттә WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 тип тамғалана. Леонард Эйлер тарафынан индерелгән, ә үҙенең тамғаланышы менән гамма-функция Адриен Мари Лежандрға бурыслы.

Гамма-функция фәндә бик киң ҡулланыла. Уның киң ҡулланылған өлкәләре — математик анализ, ихтималлыҡ теорияһы, комбинаторика, статистика, атом физикаһы, астрофизика, гидродинамика, сейсмология. Айырым осраҡта, гамма-функция факториал төшөнсәһен аргументтың ысын һәм комплекслы ҡиммәттәре күмәклегенә дөйөмләштереү өсөн ҡулланыла.

## Билдәләмәләр

Ысын үҙгәреүсәнле гамма-функция графигы
### Интеграль билдәләмә

Әгәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 комплекслы һанының ысын өлөшө ыңғай булһа, гамма-функция абсолют йыйылыусан интеграл аша билдәләнә: WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
Был билдәләмә Лежандр тарафынан Эйлерҙың үҙенсәлекле билдәләмәһенән, үҙгәреүсәнде WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 алмаштырып ҡуйыу юлы менән сығарылған (1730 й.)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Бөгөнгө көндә тап Лежандр билдәләмәһе гамма-функцияның классик билдәләмәһе булараҡ билдәле. Классик билдәләмәне өлөшләп интеграллап, WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 булыуын күрергә мөмкин.

Гамма-функцияның ҡиммәтен яҡынса иҫәпләү өсөн, шулай уҡ Эйлер билдәләмәһенән WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 тигеҙлеген ҡулланыу һәм үҙгәреүсәнде WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 алмаштырып ҡуйыу юлы менән табылған өсөнсө формула уңайлы:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .
Был формулала интеграл WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 булғанда йыйылыусан, әммә ул ғәҙәттә үҙгәреүсәндең ыңғай ысын ҡиммәттәрендә (башлыса — 1-гә яҡын) ҡулланыла. Ысын аргументтың WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 булған осрағында интеграл аҫты функцияһының берҙән-бер үҙенә бер төрлө нөктәһе бар — WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 булғанда өҙөклөк бөтөрөлә, һәм әгәр уға WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 нөктәһендә өҫтәп билдәләмә биргәндә, ул бөтә WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 киҫегендә өҙлөкһөҙ буласаҡ. Шулай итеп, интеграл үҙинтеграл була, был һанлы интеграллауҙы ябайлаштыра.

Баштағы формуланың, Риман-Ханкель интегралы тип аталған бөтә комплекслы яҫылыҡҡа туранан-тура дауамы бар

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 контуры — комплекслы яҫылыҡтағы, WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 нөктәһен сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы урап сығыусы, остары ыңғай ысын күсәр буйлап сикһеҙлеккә киткән теләһә ниндәй контур.

Артабанғы аңлатмалар гамма-функцияның альтернатив билдәләмәләре булып торалар.

### Гаусс билдәләмәһе

Ул 0 һәм тиҫкәре һандарҙан башҡа, бөтә комплекслы WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 һандары өсөн дөрөҫ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
### Эйлер билдәләмәһе

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
### Вейерштрасс билдәләмәһе

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  — Эйлер — Маскерони даимиһы.

**Иҫкәрмә:** ҡайһы берҙә альтернатив, *пи-функция* ҡулланла, ул факториалдың һөҙөмтәһе булып тора һәм гамма-функция менән WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 нисбәте менән бәйләнгән. Гаусс, Риман, һәм XIX быуаттың башҡа күп немец математиктары тап ошо функция (ә Г-функция түгел) менән ҡулланғандар.

## Үҙсәнлектәре

Гамма-функция модуленең комплекслы яҫылыҡта графигы.
Әгәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  — бөтөн тиҫкәре булмаған һан булһа,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .
Гамма-функцияның төп үҙсәнлеге — уның рекуррент тигеҙләмәһе

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
ул билдәләнгән башланғыс шарттарҙа берҙән-бер логарифмик асыҡ сағылышлы сығарылышын, йәғни гамма-функцияның үҙен билдәләй (берҙән-берлеге тураһында теорема).
Г-функция өсөн Эйлер өҫтәмәһе формулаһы дөрөҫ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 .
Шулай уҡ Гаусстың ҡабатлау формулаһы ла дөрөҫ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
Был формуланың n=2 булғандағы Лежандр сығарған айырым осрағы:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
Гамма-функцияның бөтә комплекслы яҫылыҡта нулдәре юҡ. WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 комплекслы яҫылыҡта мероморфлы булып тора һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 нөктәләрендә ябай полюстары бар.

Гамма-функцияның теләһә ниндәй натураль WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 һәм нуль өсөн WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 нөктәһендә беренсе тәртиптәге полюсы бар; был нөктәлә ҡалдыҡ шулай билдәләнә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 .
Файҙалы үҙсәнлек, уны сикләмәле билдәләмәнән килтереп сығарырға мөмкин:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 .
Гамма-функция сикһеҙ күп тапҡыр дифференциалланыусы функция, һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 , йыш ҡына «пси-функция» тип йәки дигамма-функция тип атайҙар. Гамма-функция һәм бета-функция түбәндәге нисбәт менән бәйләнгәндәр:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 .
## Гамма-функция логарифмы

Бик күп сәбәптәр буйынса гамма-функция менән бер рәттән йыш ҡына гамма-функцияның логарифммын — дигамма-функцияның сығарылмаһын ҡарайҙар. Уның өсөн түбәндәге интеграль күренештәр хас:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
һәм

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
Был формулалар Жак Бине тарафынан 1839 йылда сығарылған (был формулаларҙы ярашлы рәүештә гамма-функцияның логарифмы өсөн Биненың беренсе һәм икенсе формулалары тип тә атайҙар). Гамма-функцияның логарифмы өсөн бер аҙ икенсерәк интеграль формулалар Карл Йохан Мальмстендың, Матиаш Лерхтың һәм бер нисә башҡа математиктарҙың хеҙмәттәрендә лә күренә. Шулай, Карл Йохан Мальмстен, Жак Филипп Мари Биненың беренсе формулаһына оҡшаш формула сығарған

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
ә Матиах Лерх ошондай күренештәге бөтә интегралдарҙың да

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
гамма-функцияның логарифмдарына ҡайтып ҡалыуын күрһәткән. Айырып әйткәндә, Биненың икенсе формулаһына оҡшаш формула түбәндәге күренештә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
(40-сы күнегеүҙе ҡара)
Бынан тыш, Карл Йохан Мальмстен шулай уҡ гамма-функцияның логарифмы өсөн бер нисә интеграль формула сығарған, унда интеграл аҫты аңлатмаһында логарифмлы гиперболик функциялар бар (йәки шул уҡ полиномамлы логарифм логарифмы). Айырып әйткәндә,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
(см. упр. 2, 29-h, 30 в)
Ярослав Благушин WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 рациональ аргументы өсөн, бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ыңғай бөтөн һандар, һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 -дан ҙур түгел, түбәндәге формулаларҙың дөрөҫ булыуын күрһәткән:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
(C ҡушымтаһын ҡара, шулай уҡ 60 һәм 58-се күнегеүҙәрҙе ҡара)
Улай ғына түгел, интеграл аҫты аңлатмаһында логарифмлы гиперболик функциялар (йәки арктангенс) ингән интегралдар дөйөм осраҡта, йыш ҡына гамма-функцияның логарифмына һәм уның сығарылмаһына (полигамма-функция) ҡайтып ҡалалар, шул иҫәптән комплекслы аргументлы, мәҫәлән 4-b, 7-а и 13-b күнегеүҙәрен ҡара.

Гамма-функция логарифмы шулай уҡ дөйөмләштерелгән дзета-функцияның аналитик дауамы менән тығыҙ бәйләнгән

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
Лерх Матиаш Лерх сығарған был мөһим бәйләнеш,дөйөмләштерелгән дзета функция өсөн билдәле формулалар аша гамма-функцияның логарифмы өсөн күп һанда интеграль күренештәр алырға мөмкинлек бирә.

Гамма-функция логарифмы өсөн Фурье рәте түбәндәге күренештә

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
Был формуланы ғәҙәттә, уны 1847 йылда сығарған Эрнст Куммерҙыҡы тип һанайҙар, (авторитетлы әҙәбиәттә был рәтте хатта гамма-функция логарифмы өсөн Куммер рәте тип атайҙар). Ләкин күптән түгел был формуланың Карл Мальмстен тарафынан 1842 йылда уҡ сығарылғанлығы асыҡлана (ҡара. Ярослав Благушин).

Фурье рәтенә тарҡалмаһынан тыш, башҡа рәттәргә лә тарҡалмаһы бар. Киң билдәлеләрҙән Джеймс Стирлинг рәте

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
Уның стандарт вариацияһында

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
бында WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 коэффициенттары Бернулли һандарын аңлата.

Вейерштрасс буйынса гамма-функция билдәләмәһенән рәт менән тағы бер мөһим формула килеп сыға

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 .
## Айырым ҡиммәттәре

Бөтөн һәм ярым бөтөн аргументтарҙың гамма-функциялары элементар функциялар аша күрһәтелә. Айырып әйткәндә

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
Гамма-функцияның 1/4 и 1/3 нөктәләрендә ҡиммәттәрен эҙләү Эйлер, Гаусс һәм Лежандрҙың ентекле эҙләнеү объекты булып тора, әммә уларға был ҡиммәттәрҙе йомоҡ күренештә иҫәпләү насип булмай.

Γ(1/4) өсөн йомоҡ күренештә түбәндәге күҙаллауҙар бар

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
бында AGM — арифметик-геометрик урта функция, G — Каталан даимиһы һәм A — Глейшер—Кинкелин даимиһы.

## Дөйөмләштреү

Гамма-функцияның классик интеграль билдәләмәһендә интеграллау сиктәре билдәләп ҡуйылған. Шулай уҡ тулы булмаған гамма-функцияны ҡарайҙар, ул өҫкө йәки аҫҡы интеграллау сиге үҙгәреүсәнле шундай уҡ интеграл менән билдәләнә. Өҫкө тулы булмаған гамма-функцияны айырып ҡарайҙар, йыш ҡына ике үҙгәреүсәнле гамма-функция итеп тамғалайҙар:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
һәм аҫҡы тулы булмаған гамма-функцияны айырып ҡарайҙар, оҡшаш рәүештә «гамма» бәләкәй хәреф менән тамғалана:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 .
Ҡайһы беерҙә тулы булмаған гамма функцияны ошолай билдәләйҙәр:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 .
## Иҫкәрмәләр

## Әҙәбиәт һәм һылтанмалар

* В. Я. Арсенин. *Математическая физика: основные уравнения и специальные функции*, глава X, сс. 225—233. Наука, Москва, 1966.
* М. А. Евграфов. *Аналитические функции*, глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
* М. А. Евграфов и др. *Сборник задач по теории аналитических функций*, сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
* Г. М. Фихтенгольц. *Курс дифференциального и интегрального исчисления* (7-е изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
* А. И. Маркушевич. *Теория аналитических функций* (2-е изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
* Н. Н. Лебедев. *Специальные функции и их приложения* (2-е изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
* А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. *Специальные функции математической физики*, сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
* R. Campbell. *Les intégrales eulériennes et leurs applications*, Dunod, Paris, 1966.
* M. Godefroy. *La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie*, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
* E. Artin. *Einführung in die Theorie der Gammafunktion*, Teubner, Leipzig, 1931.
* N. Nielson. *Handbuch der Theorie der Gammafunktion*, Teubner, Leipzig, 1906.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ

* Леонард Эйлер хөрмәтенә аталған объекттар исемлеге
* K-функция
* G-функция Барнса
* Бета-функция
* Гамма-распределение
* Неполная гамма-функция