# Координаталар системаһы

Тура мөйөшлө координаталар системаһы
**Координаталар системаһы** — *координаталар ысулын* тормошҡа ашырыусы билдәләмәләр комплексы, йәғни нөктәнең йәки есемдең урынын һәм күсешен һандар йәки башҡа символдар ярҙамында асыҡлау ысулы. Бирелгән нөктәнең урынын билдәләүсе һандар йыйылмаһы, был нөктәнең **координаталары** тип атала.

Математикала координаталар — билдәле бер атластың ниндәйҙер картаһында төрлөлөк нәктәләренә ярашлы ҡуйылған һандар йыйылмаһы.

Элементар геометрияла координаталар — нөктәнең яҫылыҡта һәм арауыҡта урынын билдәләүсе дәүмәлдәр. Яҫылыҡта нөктәнең урыны йышыраҡ, бер нөктәлә (координаталар башында) тура мөйөш яһап киҫешкән ике тура һыҙыҡтан (координаталар күсәрҙәренән) алыҫлыҡтар менән билдәләнә; координаталарҙың береһе ордината тип, ә икенсеһе — абсцисса тип атала. Арауыҡта Декарт системаһында нөктәнең урыны, бер нөктәлә бер-береһе менән тура мөйөш яһап киҫешкән өс координаталар яҫылыҡтарынан алыҫлыҡтар, йәки координаталар башы сфераның үҙәгендә урынлашҡан сферик координаталар менән билдәләнә.

Географияла координаталар (яҡынса) сферик координаталар системаһындағы кеүек алыналар — киңлек, оҙонлоҡ һәм билдәле бер дөйөм кимәлдән (мәҫәлән, океан кимәленән) бейеклек. Ҡарағыҙ *Географик координаталар.*

Астрономияла күк йөҙө координаталары — улар ярҙамында күк йөҙө сфераһында яҡтыртҡыстарҙың һәм ярҙамсы нөктәләрҙең урынын билдәләй торған, тәртипкә килтерелгән мөйөшсә дәүмәлдәр пары (мәҫәлән, тура күтәрелеш һәм ауышлыҡ). Астрономияла күк йөҙө координаталарының төрлө системаларын ҡулланалар. Асылда уларҙың һәр береһе, ярашлы рәүештә һайлап алынған фундаменталь яҫылығы һәм иҫәпләү башы булған сферик координаталар системаһы (радиаль координатаһыҙ). Фундаменталь яҫылыҡты һайлауға бәйле, күк йөҙө координаталар системаһы горизонталь (горизонт яҫылығы), экваториаль (экватор яҫылығы), эклиптик (эклиптика яҫылығы) йәки галактик (галактика яҫылығы) тип атала.

Иң күп ҡулланылған координаталар системаһы — тура мөйөшлө координаталар системаһы (шулай уҡ Декарт координаталар системаһы булараҡ билдәле).

Яҫылыҡта һәм арауыҡта координаталарҙы сикһеҙ күп төрлө ысулдар менән индерергә мөмкин. Теге йәки был математик йәки физик мәсьәләне координаталар ысулы менән сығарғанда, бирелгән конкрет осраҡта мәсьәлә ҡайһыһында ябайыраҡ йәки уңайлыраҡ сығарыла, шуныһын һайлап, төрлө координаталар системаһын ҡулланырға мөмкин. Координаталар системаһының билдәле дөйөмләштерелеүе булып, иҫәп системаһы һәм референция системалары тора.

## Төп системалар

Был бүлектә элементар математикала киң ҡулланылыусы координаталар системаларына аңлатма бирелә

### Декарт координаталары

Яҫылыҡта *P* нөктәһенең урыны WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 һандар пары ярҙамында **декарт координаталары** менән бирелә:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 — тамғаһын иҫәпкә алып, *P* нөктәһенән *y* күсәренә тиклем алыҫлыҡ
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 — тамғаһын иҫәпкә алып, *P* нөктәһенән *x* күсәренә тиклем алыҫлыҡ

Арауыҡта инде 3 координата кәрәк WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 — *P* нөктәһенән *yz* яҫылығына тиклем алыҫлыҡ
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 — *P* нөктәһенән *xz* яҫылығына тиклем алыҫлыҡ
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 — *P* нөктәһенән *xy* яҫылығына тиклем алыҫлыҡ

### Поляр координаталар

Полярные координаты.
Яҫылыҡта ҡулланылған **поляр координаталар системаһында**, *P* нөктәһенең урыны уның координаталар башына тиклемге алыҫлығы *r* = |OP| һәм уның радиус-векторының *Ox* күсәре менән яһаған φ мөйөшө менән билдәләнә.

Арауыҡта дөйөмләштерелгән поляр координаталар — **цилиндрик** һәм **сферик** координаталар системаһы ҡулланыла.

### Цилиндрик координаталар

Цилиндрик координаталар.
**Цилиндрик координаталар** — поляр координаталарҙың өс үлсәмле аналогы, унда *P* нөктәһе тәртипкә килтерелгән өслөк WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 менән бирелә. Декарт координаталар системаһы терминдарында,

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 (радиус) — *z* күсәренән *P* нөктәһенә тиклем алыҫлыҡ,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 (азимут йәки оҙонлоҡ) — *x* күсәренең ыңғай («плюслы») өлөшө һәм полюстан *P* нөктәһенә тиклем үткәрелгән һәм *xy* яҫылығына проекцияланған киҫек араһындағы мөйөш.
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 (бейеклек) *P* нөктәһенең декарт *z*-координатаһына тигеҙ.

Иҫкәрмә: әҙәбиәттә беренсе (радиаль) координата өсөн ҡайһы берҙә ρ тамғаланышы ҡулланыла, икенсе (мөйөшсә, йәки азимуталь) — θ тамғаланышы, өсөнсө координата өсөн — *h* тамғаланышы.
Поляр координаталарҙың бер етешһеҙлеге бар: *r* = 0 булғанда φ ҡиммәте билдәһеҙ.

Цилиндрик координаталар күсәргә ҡарата симметрик системаларҙы өйрәнеү өсөн файҙалы. Мәҫәлән, радиусы *R* булған оҙон цилиндрҙың (*z* күсәре цилиндрҙың күсәре менән тап килгәндә) Декарт координаталарында тигеҙләмәһе WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 күренешендә, ә цилиндрик координаталарҙа ул ябайыраҡ күренештә: *r* = *R*.

### Сферик координаталар

Сферик координаталар.
**Сферик координаталар** — поляр координаталарҙың өс үлсәмле аналогы.

Сферик координаталар системаһында *P* нөктәһенең урыны өс компонент менән билдәләнә: WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 Декарт координаталар системаһы терминдарында,

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 (радиус) — *P* нөктәһенән полюсҡа тиклемге алыҫлыҡ,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 (азимут йәки оҙонлоҡ) — ыңғай («плюслы») *x* ярымкүсәре һәм полюстан *P* нөктәһенә тиклем үткәрелгән киҫектең *xy* яҫылығына проекцияһы араһындағы мөйөш.
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 (киҫлек йәки поляр мөйөш) — ыңғай («плюслы») *z* ярымкүсәре һәм полюстан *P* нөктәһенә тиклем үткәрелгән киҫек араһындағы мөйөш.

Иҫкәрмә: әҙәбиәттә ҡайһы берҙә азимут θ тип, ә поляр мөйөш — φ тип тамғалана. Ҡайһы берҙә радиаль координата өсөн ρ урынына *r* ҡулланыла. Бынан тыш, азимут өсөн [0°, +360°) диапазоны урынына (−180°, +180°] мөйөштәр диапазоны һайланырға мөмкин. Ахырҙа, поляр мөйөш *z* күсәренең ыңғай йүнәлешенән алып түгел, ә *xy* яҫылығынан иҫәпләнергә мөмкин; был осраҡта ул [0°, 180°] диапазонында түгел, ә [−90°, +90°] диапазонында ята. Ҡайһы берҙә өслөктә координаталар тәртибе яҙылғандан айырмалы һайлана; мәҫәлән, поляр һәм азимуталь мөйөштәр алмаштырып ҡуйылырға мөмкин.
Сферик координаталар системаһының да етешһеҙлеге бар: әгәр ρ = 0 булһа, φ һәм θ билдәһеҙ; φ мөйөшө шулай уҡ сикләүсе ҡиммәттәр өсөн θ = 0 һәм θ = 180° (йәки θ = ±90° өсөн, был мөйөш өсөн ярашлы диапазон ҡабул ителгән осраҡта) билдәһеҙ.

*P* нөктәһен уның сферик координаталары буйынса төҙөү өсөн, полюстан *z* ыңғай ярымкүсәре буйлап ρ-ға тигеҙ булған киҫек һалырға, уны *y* күсәре тирәләй *x* ыңғай ярымкүсәре йүнәлешендә θ мөйөшөнә борорға, һәм артабан *z* күсәре тирәләй *y* ыңғай ярымкүсәре йүнәлешендә θ мөйөшөнә борорға кәрәк.

Сферик координаталар нөктәгә ҡарата симметрик системаларҙы өйрәнеү өсөн файҙалы. Шулай, радиусы *R* булған сфераның иҫәпләү башы сфераның үҙәгендә булған Декарт координаталарында тигеҙләмәһе WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 күренешендә, ә сферик координаталарҙа ул күпкә ябайыраҡ: WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

## Башҡа киң таралған координаталар системалары

* **Аффинлы (ҡыйыш мөйөшлө) координаталар системаһы** — аффинлы арауыҡта тура һыҙыҡлы координаталар системаһы. Яҫылыҡта координаталар башы *О* нөктәһе һәм ике тәртипкә килтерелгән коллинеар булмаған векторҙар менән бирелә, улар аффинлы базис булып торалар. Координаталар күсәрҙәре тип был осраҡта координаталар башы аша базис векторҙарына параллель үткән тура һыҙыҡтар аталалар, улар, үҙ сиратында, күсәрҙәрҙең ыңғай йүнәлешен билдәләйҙәр. Өс үлсәмле арауыҡта, ярашлы рәүештә, аффинлы координаталар системаһы һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ векторҙар өслөгө һәм координаталар башы нөктәһе менән бирелә. Ниндәйҙер *М* нөктәһенең координаталарын иҫәпләү өсөн *ОМ* векторының базис векторҙары буйынса тарҡатмаһы коэффициенттары табыла.
* **Барицентрик координаталар** беренсе тапҡыр 1827 йылда, өсмөйөштөң түбәләрендә урынлашҡан массаларҙың ауырлыҡ үҙәге тураһында мәсьәләне хәл итеүсе А. Мебиус тарафынан индерелә. Улар аффинлы инвариантлы, дөйөм тиң координаталарҙың айырым осрағы булып торалар. Барицентрик координаталы нөктә *n*-үлсәмле *En* векторлы арауыҡта урынлашҡан, ә асылда координаталары (*n*−1)-үлсәмле аҫарауыҡта ятмаған билдәләнгән нөктәләр системаһына ҡарайҙар. Барицентрик координаталар шулай уҡ алгебраик топологияла симплекс нөктәләренә ҡарата ҡулланылалар.
* **Биангуляр координаталар**  — бицентрик координаталарҙың айырым осрағы, яҫылыҡта ике беркетелгән *С*1 һәм *С*2 нөктәләре менән бирелгән координаталар системаһы, улар аша абсциссалар күсәре сифатында сығыш яһаусы тура һыҙыҡ үткәрелә. Был тура һыҙыҡта ятмаған ниндәйҙер *P* нөктәһенең урыны, *PC*1*C*2 һәм *PC*2*C*1 мөйөштәре менән билдәләнә.
* **Биполяр координаталар** шуның менән характерлы, яҫылыҡта координаталар һыҙыҡтары сифатында был осраҡта, полюстары *A* һәм *B* булған ике әйләнәләр ғаиләһе, шулай уҡ уларға ортогональ әйләнәләр ғаиләһе сығыш яһай. Биполяр координаталарҙы Декарт тура мөйөшлө координаталарға үҙгәртеү махсус формулалар аша тормошҡа ашырыла. Биполяр координаталар арауыҡта бисферик тип аталалар; был осраҡта координаталар яҫылыҡтары булып сфералар, әйләнәләр дуғаларын өйрөлткәндә барлыҡҡа килгән йөҙҙәр, шулай уҡ *Oz* күсәре аша үткән ярымяҫылыҡтар торалар.
* **Бицентрик координаталар** — ике беркетелгән нөктәгә нигеҙләнгән теләһә ниндәй координаталар системаһы, уның сиктәрендә ниндәйҙер башҡа нөктәнең урыны, ҡағиҙә булараҡ, уның алыҫлашыу дәрәжәһе менән йәки был ике төп нөктәгә ҡарата торошо менән билдәләнә. Бындай төрҙәге системалар фәнни тикшеренеүҙәрҙең билдәле бер сфераларында файҙалы булырға мөмкин.
* **Бицилиндрик координаталар** — *Oxy* яҫылығында биполяр координаталар системаһы *Oz* күсәре буйлап параллель күсерелгәндә барлыҡҡа килгән координаталар системаһы. Координаталар йөҙө сифатында был осраҡта күсәрҙәре параллель түңәрәк цилиндрҙар ғаиләһе пары, уларға ортогональ түңәрәк цилиндрҙар ғаиләһе, шулай уҡ яҫылыҡ сығыш яһай. Бицилиндрик координаталарҙы өс үлсәмле арауыҡ өсөн Декарт тура мөйөшлө координаталарға үҙгәртеү махсус формулалар аша тормошҡа ашырыла.
* **Конуслы координаталар** — радиустары аша бирелгән концентрик сфераларҙан һәм *x* һәм *z* күсәрҙәре буйлап урынлашҡан ике перпендикуляр конустар ғаиләһенән торған өс үлсәмле ортогональ координаталар системаһы.
* **Риндлер координаталары** башлыса сағыштырмалыҡ теорияһы сиктәрендә ҡулланыла һәм яҫы арауыҡ-ваҡыттың ғәҙәттә Минковский арауығы тип аталған өлөшөн тасуирлай. Махсус сағыштырмалыҡ теорияһында тигеҙ тиҙләнешле өлөшсә гиперболик хәрәкәттә була, һәм һәр шундай өлөшсә өсөн Риндлер координаталарында, уға ҡарата өлөшсә тынлыҡ хәлендә булған, шундай иҫәпләү башы нөктәһе һайларға мөмкин.
* **Параболалы координаталар** — был ике үлсәмле ортогональ координаталар системаһы, унда конфокаль параболалар йыйылмаһы координаталар һыҙыҡтары булып торалар. Параболалы координаталарҙың өс үлсәмле модификацияһы ике үлсәмле системаны был параболаларҙың симметрия күсәре тирәләй бороу юлы менән төҙөлә. Параболалы координаталарҙың шулай уҡ билдәле потенциаль практик ҡулланылышы спектры бар: атап әйткәндә, улар Штарк эффектына ҡарата ҡулланылырға мөмкиндәр. Параболалы координаталар тура мөйөшлө Декарт координаталары менән аныҡ нисбәт менән бәйләнгән.
* **Проектив координаталар** исеменә ярашлы, проектлы арауыҡта П*n* (*К*) ҡулланылалар һәм уның элементтары һәм *К* есеме элементтарының сикле аҫкүмәклектәре кластары араһында, эквивалентлылыҡ һәм тәртипкә килтерелгәнлек үҙсәнлектәре менән характерланған, үҙ-ара бер ҡиммәтле ярашлылыҡ булып торалар. Проектив аҫарауыҡтарҙың проектив координаталарын табыу өсөн, проектив арауыҡ нөктәләренең ярашлы координаталарын табыу етә. Дөйөм осраҡта ниндәйҙер базисҡа ҡарата проектив координаталар тик проектив саралар менән индереләләр.
* **Тороидаль**  — ике үлсәмле биполяр координаталар системаһын уның ике фокусын бүлеүсе күсәр тирәләй өйрөлтөү һөҙөмтәһендә алынған өс үлсәмле ортогональ координаталар системаһы. Биполяр системаның фокустары, *z* күсәре системаның өйрөлөү күсәре булғанда, ярашлы рәүештә, тороидаль координаталар системаһының *xy* яҫылығында ятҡан *а* радиуслы ҡулсаға әйләнәләр. Фокаль ҡулсаны шулай уҡ ҡайһы берҙә база әйләнәһе тип атайҙар.
* **Өс һыҙыҡлы координаталар** тиң координаталар өлгөләренең береһе булып торалар һәм уларҙың нигеҙе булып бирелгән өсмөйөш тора, ниндәйҙер нөктәнең урыны был өсмөйөштөң яҡтарына ҡарата билдәләнә — башлыса уларҙан алыҫлашыу дәрәжәһе менән, башҡа варианттар ҙа булырға мөмкин. Өс һыҙыҡлы координаталар сағыштырмаса еңел генә барицентрик координаталарға үҙгәртелә алалар; бынан тыш, улар шулай уҡ ике үлсәмле тура мөйөшлө координаталарға күсерелергә мөмкиндәр, бының өсөн ярашлы формулалар ҡулланыла.
* **Цилиндрик параболалы координаталар** — ике үлсәмле параболалы координаталар системаһын арауыҡлы үҙгәртеү һөҙөмтәһендә алынған өс үлсәмле ортогональ координаталар системаһы. Координаталар йөҙҙәре булып, ярашлы рәүештә, конфокаль параболик цилиндрҙар хеҙмәт итә. Цилиндрик параболалы координаталар аныҡ нисбәттәр менән тура мөйөшлө координаталар менән бәйләнгәндәр, фәнни тикшеренеүҙәрҙең байтаҡ сфераларында ҡулланылалар.
* **Эллипсоидаль координаталар** — арауыҡтағы эллиптик координаталар. Координаталар йөҙҙәре булып был осраҡта эллипсоидтар, бер ҡыуышлы гиперболоидтар, шулай уҡ үҙәктәре координаталар башында урынлашҡан ике ҡыуышлы гиперболоидтар торалар. Система ортогональ. Эллипсоидаль координаталар булған һәр һандар өслөгөнә һигеҙ нөктә ярашлы, улар *Oxyz* системаһының яҫылыҡтарына ҡарата бер-береһенә симметрик.

## Бер координаталар системаһынан икенсеһенә күсеү

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Координаталарҙы үҙгәртеү

### Декарт һәм поляр координаталар системаһы

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
бында *u*0 — Хевисайд функцияһы, WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ә sgn — функция signum. Бында *u*0 һәм sgn функциялары, ҡиммәттәре буйынса, программалау телендә «әгәр .. ул саҡта» операторҙарына оҡшаш «логик» күсергестәр кеүек ҡулланылалар (if…else). Программалауҙың ҡайһы бер телдәрендә махсус функциялар atan2 (*y*, *x*) бар, улар *x* һәм *y* координаталары менән бирелгән кәрәкле квадрантта дөрөҫ φ-не яңынан барлыҡҡа килтерәләр.

### Декарт һәм цилиндрик

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
### Декарт һәм сферик

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
### Цилиндрик һәм сферик

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
## Географик координаталар системаһы

Географик координаталар системаһы Ер шары йөҙөнөң теләһә ниндәй нөктәһен, цифрлы-хәрефле тамғалауҙар йыйылмаһы ярҙамында, идентификациялау мөмкинлеген тәьмин итә. Ҡағиҙә булараҡ, координаталар шулай итеп билдәләнә, күрһәткестәрҙең береһе вертикаль буйынса торошто билдәләй, ә икенсеһе йәки башҡаларының йыйылмаһы — горизонталь буйынса торошто. Традицион географик координаталар йыйылмаһы — киңлек, оҙонлоҡ һәм бейеклек. Һынап кителгән өс күрһәткес ҡулланылған географик координаталар системаһы ортогональ булып тора.

Ер өҫтөндәге нөктәнең киңлеге, экватор яҫылығы менән был нөктә аша, формаһы буйынса яҡынса Ер менән тап килгән, база эллипсоиды йөҙөнә нормаль рәүешендә үткән тура һыҙыҡ араһындағы мөйөш булараҡ билдәләнә. Был тура һыҙыҡ ғәҙәттә Ер үҙәгенән бер нисә километрҙа үтә, полюстар һәм экватор осрағынан башҡа (был осраҡтарҙа ул туранан-тура үҙәк аша үтә). Бер үк киңлектең нөктәләрен тоташтырыусы һыҙыҡтар параллелдәр тип аталалар. Киңлектең 0°-ы экватор яҫылығына тап килә, Ерҙең Төньяҡ полюсы төньяҡ киңлектең 90°-на ярашлы, Көньяҡ — ярашлы рәүештә, көньяҡ киңлектең 90°-на ярашлы. Үҙ сиратында, Ер өҫтөндәге нөктәнең оҙонлоғо төп меридиандан был нөктә аша үтеүсе икенсе меридианға көнсығыш йәки көнбайыш йүнәлештәге мөйөш һымаҡ билдәләнә. Бер үк оҙонлоҡтоң нөктәләрен тоташтырыусы меридиандар, полюстарҙа ҡушылған ярымэллипстарҙан ғибәрәт. Гринвичтә (Лондонға яҡын) король обсерваторияһы аша үтеүсе меридиан нуленсе меридиан тип һанала. Бейеклек Ер шарының абстрактлы арауыҡ рәүеше булып торған геоидтың шартлы йөҙөнән иҫәпләнә.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ

* Галилей координат
* Гаусс координаталары
* Нормаль координаталар
* Риман координаталары
* Координаталар башы, координаталар күсәре, орт
* Тынлыҡтың локаль стандарты (астрономияла координаталар башы)
* Главноортодромическая система координат
* Арауыҡ үлсәнеше
* Афинлы үҙгәртеүҙәр

## Иҫкәрмәләр

## Әҙәбиәт

* *Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.* Метод координат.(недоступная ссылка) Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973.
* *Делоне Н. Б.* Координаты, в математике // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)

## Һылтанмалар

* Факультативное занятие по математике на тему: «Разные системы координат»