# Тура мөйөшлө координаталар системаһы

**Тура мөйөшлө координаталар системаһы** — яҫылыҡта йәки арауыҡта үҙ-ара перпендикуляр күсәрле тура һыҙыҡлы координаталар системаһы. Иң ябай һәм йыш ҡулланылыусы координаталар системаһы. Теләһә ниндәй үлсәмле арауыҡ өсөн бик еңел һәм тура дөйөмләштерелә, был да уның киң ҡулланылыуына булышлыҡ итә.

Бәйле терминдар: күсәрҙәрендә бер төрлө масштаблы тура мөйөшлө координаталар системаһын ғәҙәттә **декарт** системаһы тип атайҙар (Рене Декарт исеме менән аталған), ә **дөйөм декарт координаталар системаһы** тип аффиналар координаталар системаһын (тура мөйөшлө түгел) атайҙар.

## Яҫылыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы

Яҫылыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы ике үҙ-ара перпендикуляр координаталар күсәрҙәре WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 менән яһала. Координаталар күсәрҙәре WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 нөктәһендә киҫешә, был нөктә координаталар башы тип атала, һәр күсәрҙә ыңғай йүнәлеш һайлана .

Рис. 1
Яҫылыҡта WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 нөктәһенең урыны ике WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 координаталары менән билдәләнә. WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 координатаһы һайланған үлсәү берәмектәрендә WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 киҫегенең оҙонлоғона, WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 координатаһы — WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 киҫегенең оҙонлоғона тигеҙ. WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 киҫектәре WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 нөктәһенән ярашлы рәүештә WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 күсәрҙәренә параллель үткәрелгән һыҙыҡтар менән билдәләнә.

Шуның менән бергә, әгәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 нөктәһе WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 нурында ятһа (ә һүрәттәге кеүек WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 нурында түгел), WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 координатаһына минус тамғаһы ҡуйыла. Әгәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 нөктәһе WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 нурында ятһа, WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 координатаһына минус тамғаһы ҡуйыла. Шулай итеп, WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 нурҙары координаталар күсәрҙәренең тиҫкәре йүнәлештәре булып торалар (һәр координаталар күсәре һанлы күсәр итеп ҡарала).

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 күсәре абсциссалар күсәре, ә WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 - ординаталар күсәре тип атала. WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 координатаһы WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 нөктәһенең абсциссаһы, WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 координатаһы — WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 нөктәһенең ординатаһы тип атала.

Был символик рәүештә ошолай яҙыла:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
йәки координатаның конкрет нөктәгә ҡарауы индекс ярҙамында күрһәтелә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
һәм башҡалар.

* Уң яҡлы координаталар системаһында ыңғай йүнәлеште, WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 күсәре өҫкә йүнәлгәндә, WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 күсәре уң яҡҡа ҡарарлыҡ итеп һайлайҙар. Ғәҙәттә уң яҡлы координаталар системаһы менән ҡулланыу ҡабул ителгән (әгәр киреһе иҫкәртелмәһә йәки күренеп тормаһа — мәҫәлән, һыҙманан; ҡайһы берҙә ниндәйҙер сәбәптәр буйынса *һул яҡлы* координаталар системаһын ҡулланыу уңайлыраҡ була.
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 координаталар күсәрҙәре төҙөгән дүрт мөйөш (I, II, III, IV), *координаталар мөйөштәре*, сиректәр йәки **<яҫылыҡ> квадранттары** тип атала (1-се һүрәтте ҡарағыҙ).
	+ I координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары һәм ординаталары ыңғай.
	+ II координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары тиҫкәре һәм ординаталары ыңғай.
	+ III координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары һәм ординаталары тиҫкәре
	+ IV координаталар мөйөшө эсендәге нөктәләрҙең абсциссалары ыңғай һәм ординаталары тиҫкәре.

## Арауыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы

**Арауыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы** (был параграфта өс үлсәмле арауыҡ күҙ уңында тотола, күберәк үлсәмле арауыҡтар тураһында — түбәндәрәк ҡарағыҙ) өс үҙ-ара перпендикуляр WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 координаталар күсәрҙәре менән яһала. Координаталар күсәрҙәре WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 нөктәһендә киҫешә, был нөктә координаталар башы тип атала, һәр күсәрҙә уҡ менән күрһәтелгән ыңғай йүнәлеш һәм күсәрҙәрҙә киҫектәрҙе үлсәү берәмеге һайлана. Үлсәү берәмеге ғәҙәттә (не обязательно) бөтә күсәрҙәр өсөн бер үк. WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 — абсциссалар күсәре, WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 — ординаталар күсәре, WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 — аппликаталар күсәре.

Рис. 2
Арауыҡта WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 нөктәһенең урыны өс координата: WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 менән билдәләнә. Һайланған үлсәү берәмектәрендә WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 координатаһы WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 киҫегенең оҙонлоғона, WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 координатаһы — WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 киҫегенең оҙонлоғона, WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 координатаһы — WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 киҫегенең оҙонлоғона тигеҙ. Отрезки WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 киҫектәре WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 нөктәһенән ярашлы рәүештә WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 яҫылыҡтарына параллель үткәрелгән яҫылыҡтар менән билдәләнәләр.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 координатаһы WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 нөктәһенең абсциссаһы,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 координатаһы — WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 нөктәһенең ординатаһы,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 координатаһы — WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 нөктәһенең аппликатаһы тип атала.
Символик рәүештә был ошолай яҙыла:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
йәки координатаның конкрет нөктәгә ҡарауы индекс ярҙамында күрһәтелә:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
һәм башҡалар.

Һәр күсәр һанлы тура һыҙыҡ итеп ҡарала, йәғни ыңғай йүнәлеше бар, ә тиҫкәре нурҙа ятҡан нөктәләргә координаталарҙың тиҫкәре ҡиммәттәре бирелә (алыҫлыҡ минус тамғаһы менән алына). Йәғни, мәҫәлән, әгәр WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 нөктәһе һүрәттәге кеүек WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 нурында түгел, ә уның WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 нөктәһенән кире яҡҡа йүнәлгән дауамында ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 күсәренең тиҫкәре өлөшөндә) ятһа, ул саҡта WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 нөктәһенең WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 абсциссаһы тиҫкәре булыр ине (минус WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 алыҫлығына тигеҙ). Ҡалған ике күсәр өсөн ошоға оҡшаш рәүештә.

Өс үлсәмле арауыҡта бөтә тура мөйөшлө координаталар системаһы ике класҡа бүленә — *уң* (шулай уҡ *ыңғай*, *стандарт* терминдары ҡулланыла) һәм *һул*. Ғәҙәттә һүҙһеҙ генә уң координаталар системын ҡулланырға тырышалар, ә уларҙы график һүрәтләгәндә, күсәрҙәрҙе, әгәр мөмкин булһа, бер нисә ғәҙәттәге (традицион) тороштарҙың береһендәге кеүек урынлаштыралар. (2-се һүрәттә уң координаталар системы һүрәтләнгән). Уң һәм һул координаталар системын боролош ярҙамында, ярашлы күсәрҙәре (һәм уларҙың йүнәлештәре) тап килерлек итеп, тура килтереп һалып булмай. Ниндәйҙер конкрет алынған координаталар системаһы ниндәй класҡа ҡарай икәнен, уң ҡул ҡағиҙәһе, винт ҡағиҙәһе һәм башҡалар ярҙамында асыҡлап була (күсәрҙәрҙең ыңғай йүнәлештәрен, WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 күсәрен сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы 90°-ҡа борғанда, әгәр был боролошто WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 күсәренең ыңғай йүнәлеше яғынан күҙәткәндә, уның ыңғай йүнәлеше WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 күсәренең ыңғай йүнәлеше менән тап килерлек итеп һайлайҙар).

Арауыҡ өс үҙ-ара перпендикуляр координаталар яҫылығы менә бүленгән һигеҙ өлкәнең һәр береһе октант тип атала.

## Күп үлсәмле арауыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы

Тура мөйөшлө координаталар системаһы теләһә ниндәй сикле үлсәмле арауыҡта ла, өс үлсәмле арауыҡтағыға оҡшаш рәүештә ҡулланылырға мөмкин. Координаталар күсәрҙәренең һаны арауыҡ үлсәменә тигеҙ була (был параграфта уны WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 тип тамғаларбыҙ).

Координаталарҙы тамғалау өсөн ғәҙәттә төрлә хәрефтәр ҡулланмайҙар, ә бер үк хәрефте һанлы индекс менән ҡулланалар. Йышыраҡ был:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
Был йыйылманан ирекле WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 -нсы координатаны тамғалау өсөн:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 индекслы хәреф ҡулланыла,
ә йыш ҡына WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 тамғалауын бөтә йыйылманы тамғалау өсөн ҡулланалар, подразумевая, бында индекс бөтә: WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 ҡиммәттәр йыйылмаһын урап сыға тип күҙаллана.

Арауыҡтың теләһә ниндәй үлсәмендә тура мөйөшлө координаталар системаһы ике класҡа бүленә, уң һәм һул (йәки ыңғай һәм тиҫкәре). Күп үлсәмле арауыҡтар өсөн ниндәй ҙә булһа бер координаталар системаһын ирекле рәүештә (шартлы рәүештә) уң тип атайҙар, ә ҡалғандарын, улар шул уҡ йүнәлешлеме йәки түгелме булыуына бәйле рәүештә, уң йәки һул тип атайҙар.

Ике үлсәмле квадрант һәм өс үлсәмле октант төшөнсәләренең WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 -үлсәмле Евклид арауығы өсөн дөйөмләштерелгән төшөнсәһе — ортант йәки гипероктант.

## Векторҙың тура мөйөшлө координаталары

*Векторҙың тура мөйөшлө координаталарын* билдәләү өсөн (теләһә ниндәй үлсәмле векторҙарҙы күрһәтеү өсөн ҡулланып була) шулай итәләр, башы координаталар башында булған векторҙың (йүнәлешле киҫектең) координаталары уның осоноң координаталары менән тап килә.

* Шулай итеп, мәҫәлән, 1-се һүрәттә WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 координаталары WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 *векторының координаталары* була.

Башы координаталар башы менән тап килмәгән векторҙар (йүнәлешле киҫектәр) өсөн тура мөйөшлө координаталарҙы ике ысулдың береһе менән билдәләргә мөмкин:

1. Векторҙы башы координаталар башы менән тап килерлек итеп күсерергә мөмкин. Ул саҡта векторҙың координаталары параграф башында һүрәтләнгән ысул менән билдәләнә: башы координаталар башы менән тап килерлек итеп күсерелгән векторҙың координаталары - уның осоноң координаталары.
2. Бының урынына векторҙың (йүнәлешле киҫектең) осоноң координаталарынан уның башының координаталарын алырға мөмкин.

* Тура мөйөшлө координаталар өсөн векторҙың координаталары төшөнсәһе векторҙың ярашлы координаталар күсәре йүнәлешенә ортогональ проекцияһы төшөнсәһе менән тап килә.

Тура мөйөшлө координаталарҙа векторҙар өҫтөндәге бөтә ғәмәлдәрҙе бик ябай яҙып була:

* Ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
һәм ошонан сығып алыу һәм бүлеү:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
(Был теләһә ниндәй *n* үлсәме өсөн дөрөҫ, тура мөйөшлө координаталар менән бер рәттән,ҡыя мөйөшлө координаталар өсөн дә).

* Скаляр ҡабатландыҡ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
(Тик бөтә күсәрҙәрендә берәмек масштаблы тура мөйөшлө координаталарҙа).

* Скаляр ҡабатландыҡ аша векторҙың оҙонлоғон иҫәпләргә була

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
һәм векторҙар араһындағы мөйөштө
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
* Тышҡы ҡабатландыҡ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
арауыҡтың теләһә ниндәй үлсәме өсөн,

* Вектор ҡабатландыҡ (тик ул билдәләнгән өс үлсәмле арауыҡ өсөн генә):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208
Күренеүенсә, былар бөтәһе, кәрәк булһа, векторҙар өҫтөндәге бөтә ғәмәлдәрҙе һандар өҫтөндәге ябай ғәмәлдәргә ҡайтарып ҡалдырырға мөмкинлдек бирә.

## Орттар

Тура мөйөшлө координаталар системаһы (теләһә ниндәй үлсәмле) шулай уҡ координаталар күсәрҙәре менән бер йүнәлешле орттар (берәмек векторҙар) йыйылмаһы менән һүрәтләнә. Орттар һаны координаталар системаһының үлсәменә тигеҙ һәм улар бөтәһе лә бер береһенә перпендикуляр. Бындай орттар базис төҙөй, шуның менән бергә ортонормалаштырылған.

Өс үлсәмле арауыҡ осрағында бындай орттар ғәҙәттә

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 тип
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 тип тамғаланалар.
Шулай уҡ уҡ менән тамғалау ҡулланылырға мөмкин ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 йәки WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 һәм WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 ) йәки теге йәки был әҙәбиәттә ҡулланылған ғәҙәттәге вектор тамғалау ысулына ярашлы башҡа тамғалауҙар.

Шуның менән бергә, уң координаталар системаһы осрағында орттарҙы вектор ҡабатлау өсөн түбәндәге формулалар дөрөҫ:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_236
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_238

3-тән ҙурыраҡ үлсәмдәр өсөн (йәки үлсәм теләһә ниндәй булырға мөмкин булған дөйөм осраҡта) ғәҙәттә орттар өсөн һанлы индекслы был тамғалауҙар урынына йыш ҡына ҡулланалар

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240
бында *n* - арауыҡ үлсәме.

Теләһә ниндәй үлсәмле вектор базис буйынса тарҡала (координаталары тарҡалма коэффициенттары булып тора):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242
йәки

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244
ә ортонормалаштырылған базис өсөн координаталарҙы орттар менән скаляр ҡабатландыҡ аша бик еңел табырға мөмкин:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
## Тарихы

Беренсе булып тура мөйөшлө координаталар системаһын Рене Декарт 1637 йылда үҙенең «Геометрия» хеҙмәтендә индерә. Шуға күрә тура мөйөшлө координаталар системаһын шулай уҡ — **Декарт координаталар системаһы** тип атайҙар. Геометрик объекттарҙы һүрәтләүҙең координаталар ысулы аналитик геометрияға башланғыс булды. Координаталар ысулы үҫешенә шулай уҡ Пьер Ферма үҙ өлөшөн индерҙе, әммә уның хеҙмәттәре тәү башлап ул үҙе үлгәс баҫылып сыға. Декарт һәм Ферма координаталар ысулын тик яҫылыҡта ғына ҡулланалар.

Өс үлсәмле арауыҡ өсөн координаталар ысулын беренсе булып Леонард Эйлер XVIII быуатта ҡуллана. Орттарҙы ҡулланыу, күренеүенсә, Гамильтонға һәм Максвеллға ҡайтып ҡала.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ

* Аффиналар координаталары
* Проектив координаталар

## Иҫкәрмәләр

## Һылтанмалар

* *В. И. Гервидс.* Модель декартовой системы координат  (билдәһеҙ) (flash). НИЯУ МИФИ (10 март 2011). Дата обращения: 3 май 2011.

Ҡалып:Системы координат