# Çoxluqlar nəzəriyyəsi

**Çoxluqlar nəzəriyyəsi** – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsi. Bir çox riyazi fənlər, o cümlədən cəbr, riyazi analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar. Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.

## Anlayışlar

Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.

Çoxluq nəzəriyyəsində WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 münasibəti o deməkdir ki, WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki, WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 çoxluğunun elementi deyil.

#### Alt Çoxluğu

*A* çoxluğu *B*-nin altçoxluğudur
Bir çoxluq WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 digər çoxluğun WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 o vaxt altçoxluğu adlanır ki, WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 çoxluğunun elementi olsun.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 o zaman WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 -nin üstçoxluğu adlanır. Formal olaraq:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .
#### Bərabərlik

İki çoxluq o zaman bərabərdirlər ki, onlar eyni elementlərə malik olsunlar.

Bu analyış çoxluq nəzəriyyəsinin əsası hesab olunur. Formal olaraq belə ifadə olunur:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
#### Boş çoxluq

Tərkibində heç bir element olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır. O WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 və ya WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ilə işarə olunur. Bərabərlik qanunundan alınır ki, yalnız bir nir boş çoxluq mövcuddur. Digər boş çoxluqlar elə həmin elementləri əhatə edirlər, yəni bərabərdirlər. Uyğun olaraq: WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 və WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 müxtəlif olurlar. Çünki sonuncu çoxluq birincidən fərqli olan elementə sahibdir. Boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. Boş çoxluğu həmçinin aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 — A çoxluğunun boş alt çoxluğudur. Aşkar
#### Çoxluqların kəsişməsi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 və WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 -nin kəsişmə çoxluğu
A və B çoxluqlarının hər ikisinə eyni zamanda daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların kəsişməsi deyilir:

Bir qeyri-xətti WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 çoxluğu verilir. Bu çoxluqdan yaranmış kəsişmə çoxluğu A və B çoxluqlarına aid olan elemntlərdən təşkil olunur. Daha dəqiq desək, A və B çoxluqlarının kəsişməsindən yaranan çoxluğun elementləri, bu hər iki çoxluğun altçoxluğudur. Formal olaraq:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
#### Çoxluqların birləşməsi

A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların birləşməsi deyilir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların birləşməsi deyilir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  və WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 çoxluqlarından yaranmış birləşim çoxluğu
## Ədəbiyyat

* *Николя Бурбаки.* Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики. Элементы математики. М: Издательство иностранной литературы. Башмакова, Изабелла Григорьевна (перевод с французского). 1963. 37–53.
* *Г. Кантор.* Труды по теории множеств. Классики науки (3450 nüs.). М.: Наука. 1985..
* *Коэн, Пол Джозеф.* Об основаниях теории множеств (PDF). XXIX (Успехи математических наук). М. Манин, Юрий Иванович (перевод). 1974 [P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. **13**:1 (1971), 9–15.] 169–176.
* *Куратовский, Казимир, Мостовский, Анджей.* Теория множеств. М.: Мир. Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. 1970.
* *Медведев, Фёдор Андреевич.* Развитие теории множеств в XIX веке (2500 nüs.). М.: Наука. 1965.
* *Френкель, Адольф, И. Бар-Хиллел.* Основания теории множеств. М.: Мир. Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией Есенин-Вольпин, Александр Сергеевич. 1966.