# জ্যামিতি

**জ্যামিত** প্ৰাচীন গ্ৰীক: *γεωμετρία*; *geo-* "earth", *-metria* "measurement") গণিতশাস্ত্ৰৰ অন্তৰ্ভুক্ত এটা শাখা। এই বিষয়ত আকৃতিৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰা হয়। জ্যামিতিক স্থান বা জগতৰ (space) বিজ্ঞান হিচাপে গণ্য কৰা যায়। পাটীগণিতত যিদৰে গণনা সংক্ৰান্তিয় আমাৰ বিভিন্ন অভিজ্ঞতাৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা হয়, তেনেদৰে জ্যামিতিত স্থান বা জগতৰ বিষয়ে আমি অভিজ্ঞতাৰ বৰ্ণনা আৰু ব্যাখ্যা লাভ কৰোঁ। প্ৰাথমিক জ্যামিতিৰ দ্বাৰা আমি দ্বি-মাত্ৰিক বিভিন্ন আকাৰৰ ক্ষেত্ৰফল আৰু পৰিসীমা আৰু ত্ৰিমাত্ৰিক বস্তুসমূহৰ পৃষ্ঠতলৰ ক্ষেত্ৰফল আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰিব পাৰোঁ।

## জ্যামিতিশাস্ত্ৰৰ ইতিহাস

খৃষ্টপূৰ্ব ৩০০ মানতে জ্যামিতি বিষয়টো সুপ্ৰতিষ্ঠিত আছিল বুলি ধৰা হয়, কিয়নো সেই সময়তে গ্ৰীক গণিতজ্ঞ ইউক্লিডে তদানীন্তন উপলব্ধ এই বিষয়ৰ সকলো তথ্য একত্ৰিত কৰি আৰু তাত তেওঁৰ নিজা বৰঙনি যোগ দি ৪৬৫টা এই সংক্ৰান্তিয় প্ৰস্তাৱনা অথবা সূত্ৰ অন্তৰ্ভুক্ত কৰি ১৩খন কিতাপ লিখিছিল। এই কিতাপকেইখনৰ শীৰ্ষক আছিল "মৌল"। কিতাপকেইখনে কেৱল সৰল আৰু জটিল জ্যামিতিৰ উপৰিও বৰ্তমানে বীজগণিত, ত্ৰিকোণমিতি আৰু উচ্চ গণিত হিচাবে জনা গণিতৰ বিভিন্ন শাখাও সামৰি লৈছিল। যুগ যুগ ধৰি এই প্ৰস্তাৱনাসমূহ পুনৰালোচনা অথবা বিভিন্ন ধৰণে প্ৰমাণিত কৰাৰ প্ৰয়াস চলি আহিছে; কিন্তু "মৌল" নামৰ পুথিখনত উল্লিখিত মূল ধাৰণাসমূহ অপৰিবৰ্তিত হৈয়ে আছে।

খৃষ্টপুৰ্ব ৩০০ তো জ্যামিতিক কেৱল গণিতজ্ঞ সকলৰ কাৰণেহে বুলি ভবা হোৱা নাছিল। জ্যামিতিৰ প্ৰাথমিক জ্ঞানৰ জৰিয়তে যিকোনো মানুহেই লাভবান হ’ব পাৰে। যিকোনো বিষয় কিদৰে যুক্তি সহকাৰে বিচাৰ কৰিব লাগে, কোনো এটা বিষয় কিদৰে সংক্ষিপ্তকৈ প্ৰকাশ কৰিব পৰা যায় আৰু বিশেষকৈ যিকোনো তত্ত্ব কিদৰে যুক্তি-প্ৰমাণেৰে সাব্যস্ত কৰিব পাৰি, সেই কথা জ্যামিতিৰ জ্ঞানে ভালদৰে শিকায়।

প্ৰাচীন কালত জ্যামিতিক শিক্ষাৰ এটা অবিচ্ছেদ্য অঙ্গ হিচাবে ধৰা হৈছিল। গ্ৰীক দাৰ্শনিক সকলে এই মত পোষণ কৰিছিল যে ইউক্লিডৰ "মৌল"ৰ বিষয়ে জ্ঞান নথকা কোনো ছাত্ৰ পঢ়াশালিলৈ অহাৰ যোগ্য নহয়। কিন্তু আন বহুতেই ইয়াৰ বিৰোধিতাও নকৰা নহয়।

বিজ্ঞানৰ আধুনিক বিকাশে প্ৰাচীন কালত প্ৰচলিত বহুতো ধ্যান-ধাৰণা অসত্য বুলি প্ৰমাণ কৰিছে। কিন্তু অতীতৰ সকলোবোৰ ধাৰণাকে আধুনিক বিজ্ঞানে দলিয়াই পেলোৱা নাই। প্ৰাণিধানযোগ্য যে ইউক্লিড বা প্লেটো আদিৰ দৰে লোকৰ অবিহনে বিজ্ঞানৰ বিকাশেই হয়তো সম্ভৱ নহ’লহেঁতেন। গণিত হ’ল ধাৰণাৰ এক ক্ৰমবিকাশ বা দুঃসাহসিক অভিযান। গণিতৰ বুৰঞ্জীত সেইবাবে পৃথিৱীত জন্ম গ্ৰহণ কৰা আটাইতকৈ বিচক্ষণ লোক সকলৰ অৱদান জড়িত হৈ আছে।

## খৃষ্টপূৰ্ব ২০০০-৫০০

প্ৰাচীন কালত ইজিপ্ত বা মিচৰৰ লোকসকলে বিভিন্ন জৰীপ আৰু নিৰ্মাণ আঁচনিৰ জৰিয়তে জ্যামিতিৰ ব্যৱহাৰিক জ্ঞানৰ পৰিচয় দিছিল। প্ৰতিবছৰে নীল নদীয়ে দুয়োপাৰ বুৰাই পেলাইছিল আৰু নদীৰ পাৰৰ নিয়মীয়াকৈ জৰীপ কৰিব লগীয়া হৈছিল। জনা যায় যে সেইকালতে তেওঁলোকে পাইৰ আনুমানিক মান নিৰ্ণয় কৰিছিল।

প্ৰাচীন কালৰ শিলালিপিৰ পৰা এই কথা প্ৰমাণ হৈছে যে প্ৰাচীন বেবিল’নিয়ান সকলে পাইথাগোৰীয় সম্পৰ্কৰ বিষয়ে জানিছিল। এনে এক শিলালিপিত উল্লেখ আছে - "৪ দৈৰ্ঘ্য আৰু ৫ কৰ্ণ; তেন্তে প্ৰস্থ কিমান? ইয়াৰ আকাৰ জনা নাযায়। ৪ ৰ ৪ গুণ হ’ল ১৬। ৫ ৰ ৫ গুণ হ’ল ২৫। ২৫ ৰ পৰা তুমি ১৬ লোৱাঁ আৰু বাকী থাকিল ৯। কিমানৰ কিমান গুণ ম‍ই ল’লে ৯ পাম? ৩ ৰ ৩ গুণ ৯। ৩ য়েই হ’ল প্ৰস্থ। "

## খৃষ্টপূৰ্ব ৭৫০-২৫০

ইজিপ্ত আৰু বেবিল’নিয়াৰ নিচিনাকৈ প্ৰাচীন গ্ৰীক সকলেও বহু শতিকা জুৰি পৰীক্ষামূলক জ্যামিতি ব্যৱহাৰ কৰিছিল আৰু তেওঁলোকে ইজিপ্ত আৰু বেবিল’নিয়াৰ পৰীক্ষামূলক জ্যামিতিও আয়ত্ত কৰিছিল। তেতিয়া তেওঁলোকে জ্যামিতিক যুক্তিৰে উপস্থাপন কৰি প্ৰথমবাৰৰ বাবে গাণিতৰ এক আনুষ্ঠানিক সূচনা কৰিছিল। তেতিয়াৰ পৰা ইউক্লিডৰ "মৌল" নামৰ কিতাপখন জ্যামিতিৰ স্কুলীয়া শিক্ষাৰ আধাৰ হিচাবে গণ্য কৰা হয়।

## খৃষ্টপূৰ্ব ৪০০-ৰ পৰা ১৮০০ খৃষ্টাব্দলৈ

জ্যামিতিকে ধৰি গণিতৰ দুটা প্ৰধান প্ৰকাৰ হ’ল- তত্ত্ব আৰু উপপাদ্য। তত্ত্ব বিলাক হ’ল মূল ধাৰণা - যিবিলাক নিয়ম ব বিধি অৱশ্যম্ভাৱী আৰু সেইবাবে প্ৰমাণ নকৰাকৈয়ে সকলোৱে মানি লয়। আনহাতে উপপাদ্য বিলাক প্ৰমাণ কৰা দৰকাৰ।

ইউক্লিডে পাঁচটা তত্ত্ব আগবঢ়াইছিল। পঞ্চম তত্ত্বটোৰ মতে - "এডাল ৰেখা আৰু সেই ৰেখাত নথকা এটা বিন্দু দিয়া থাকিলে সেই ৰেখাৰ সমান্তৰালকৈ উক্ত বিন্দুটোৰ মাজেদি আন এডাল মাত্ৰ ৰেখা আঁকিব পাৰি। " কিন্তু ইউক্লিডে প্ৰমাণ নকৰাকৈ এই তত্ত্বটো মানি লোৱাৰ বাবে অলপো সন্তুষ্ট হ’ব পৰা নাছিল। তাৰ বহু শতিকা পিচলৈকে বিভিন্ন বিজ্ঞানীয়ে এই তত্ত্ব প্ৰমাণ কৰিবলৈ বৃথা প্ৰচেষ্টা অব্যাহত ৰাখিছিল।

প্ৰাচীন কালৰ পৰাই বোধহয় এইটো জনা হৈছিল যে এটা বৃত্তৰ পৰিধি আৰু ব্যাসৰ অনুপাত হ’ল এটা ধ্ৰুৱক। কিন্তু ধ্ৰুৱক কি? এই প্ৰশ্নৰ এটা গ্ৰহণযোগ্য উত্তৰ বিচাৰি ইতিহাসৰ বহুতো গণিতজ্ঞকে আবৰি ৰাখিছিল।

## ১৬০০ খৃষ্টাব্দ

বীজগণিত আৰু জ্যামিতিৰ মিলন ঘটাই দেস্কাৰ্টেছে জ্যামিতিৰ এটা অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ উন্নয়ন সাধন কৰিলে। এই বিষয়ে এটা অতি আমোদজনক কাহিনী জনা যায়। তেওঁ এদিন ঘৰৰ চিলিঙত বহি থকা এটা মাখি লক্ষ্য কৰি থাকোঁতে দুটা সংখ্যাৰ সহায়ত এক সমতলত এটা বিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰাৰ বিষয়ে ধাৰণাটো ভাবি উলিয়ালে। প্ৰায় একে সময়তে ফাৰ্মেটেও স্থানাংক জ্যামিতি আৱিষ্কাৰ কৰিছিল, কিন্তু আধুনিক
স্থানাংক জ্যামিতি দেস্কাৰ্টেছে আৱিষ্কাৰ কৰাটোহে অনুসৰণ কৰে।

## ১৯ শতিকাৰ প্ৰথম ভাগ

যিহেতু গণিতজ্ঞ সকলে ইউক্লিডৰ পঞ্চম তত্ত্বটো প্ৰমাণ কৰিব পৰা নাছিল, তেওঁলোকে সমান্তৰাল ৰেখাৰ প্ৰতি নেতিবাচক ধাৰণাৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি এক নতুন জ্যামিতিৰ জন্ম দিয়ে; ই আছিল এক জ্যামিতি য’ত কোনো সমান্তৰাল ৰেখা নাই! ব’লায়ি আৰু ল’বাচেভস্কিক এই প্ৰথম অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ জন্মদাতা বুলি ধৰা হয়।

## ১৯ শতিকাৰ শেষ চোৱা

দিফাৰেন্সীয়েল জ্যামিতিয়ে জ্যামিতি আৰু কলন গণিত লগ লগাই বক্ৰ পৃষ্ঠৰ জ্যামিতি অধ্যয়নৰ এটা নতুন প্ৰযুক্তিৰ জন্ম দিয়ে। গাউছ আৰু তেওঁৰ ছাত্ৰ ৰিমেনে এই শাখাটোৰ ভেঁটি প্ৰতিষ্ঠা কৰে। আইনষ্টাইনে তেওঁৰ আপেক্ষিকতাবাদৰ সূত্ৰৰ গাণিতিক ভেঁটি প্ৰতিষ্ঠাৰ বাবে গাউছক কৃতিত্ব প্ৰদান কৰিছিল।

## কুৰি শতিকা

ঢেকীয়া, ডাৱৰ আদিৰ গঠনৰ জ্যামিতিক আৰ্হি প্ৰস্তুত কৰাৰ বাবে ফেক্টেল ব্যৱ্হাৰ কৰা হয়। কম্পিউটাৰৰ আৱিষ্কাৰে ফেক্টেলৰ অধ্যয়নৰ বাবে অমূল্য সহায় আগবঢ়াইছে, যিহেতু এইধাৰণৰ ধাৰণাৰ সৈতে বহু জটিল গণনা জড়িত হৈ আছে। আধুনিক ফেক্টে'ল জ্যামিতিৰ এজন অগ্ৰণী গৱেষক হ’ল মেণ্ডেল্‌ব্ৰট।

মুঠৰ ওপৰত ক’বলৈ গ’লে প্ৰাচীন কালৰ মহান লোকসকলৰ অৱদান অবিহনে আধুনিক গণিত তথা জ্যামিতিৰ বিকাশ কেতিয়াও সম্ভৱ নহ’লহেঁতেন। সেয়েহে, বিজ্ঞানৰ ছাত্ৰৰ কাৰণে বিজ্ঞানৰ ইতিহাস অধ্যয়ন কৰাটো অতি আৱশ্যকীয় কথা।

## জ্যামিতিৰ বিশ্লেষণৰ পদ্ধতি

জ্যামিতিত কেতবোৰ সৰল ধাৰণা ব্যৱহাৰ কৰি যুক্তিভিত্তিক জটিলতৰ নক্সা গঠন কৰা হয়। এই সৰল ধাৰণাবোৰক মুঠ তিনিটা ডাঙৰ শ্ৰেণীত ভাগ কৰা সম্ভৱ - অসংজ্ঞায়িত পদসমূহ, সংজ্ঞায়িত পদসমূহ আৰু স্বতঃসিদ্ধসমূহ।

#### বৃত্ত

প্ৰধান প্ৰবন্ধ: বৃত্ত
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিত, এটি নিৰ্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্ৰ)ৰ পৰা এক নিৰ্দিষ্ট দূৰত্বৰ (ব্যাসাৰ্ধ) একেই সমতলত অৱস্থিত বিন্দুবোৰৰ সমষ্টিকেই বৃত্ত বোলা হয়।

#### বহুভুজ

প্ৰধান প্ৰবন্ধ: বহুভুজ
সৰলৰেখাৰ দ্বাৰা আৱদ্ধ সমতল যিকোনো চিত্ৰকে বহুভুজ বোলা হয়। যদি বহুভুজৰ সকলোবোৰ বাহু আৰু কোণ সমান হয়, তেন্তে তাক সুষম বহুভুজ বোলে। সুষম বহুভুজৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা যিকোনো বাহুৰ দূৰত্বকে "apothem" বোলা হয়। কোনো সুষম বহুভুজৰ ক্ষেত্ৰফল হ’ল ইয়াৰ apothem (a) আৰু পৰিসীমাৰ (p) গুণফলৰ অৰ্ধেক অৰ্থাৎ WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ।

#### ত্ৰিভুজ

প্ৰধান প্ৰবন্ধ: ত্ৰিভুজ
সমতলীয় জ্যামিতিৰ ভাষাত তিনিটা বাহুবিশিষ্ট সীমাবদ্ধ ক্ষেত্ৰকে ত্ৰিভুজ বোলা হয়। দ্বি-মাত্ৰিক অংকত ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ সমষ্টি ১৮০° বা দুই সমকোণ। এটা সময়ত কেৱল ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতেই ত্ৰিভুজৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা হৈছিল। কিন্তু নিকোলাই লোবাচেভ্‌স্কি সহ অন্যান্য জ্যামিতি বিশেষজ্ঞসকলৰ অৱদানৰ ফলস্বৰূপে অসমতলীয় জ্যামিতিটো বৰ্তমানে ত্ৰিভুজৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা হয়। এই ধৰণৰ অংকত ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ সমষ্টি দুই সমকোণ নহয়। অথচ ইউক্লিডীয় জ্যামিতিৰ মূল ভিত্তিতেই এই ধাৰণাটি গঢ় লৈছে।

#### চতুৰ্ভুজ

প্ৰধান প্ৰবন্ধ: চতুৰ্ভুজ
চতুৰ্ভুজ হৈছে চাৰিটা বাহু বিশিষ্ট সমতল ক্ষেত্ৰ।

### ত্ৰিমাত্ৰিক ইউক্লিডীয় আকৃতিসমূহ

1. গোলক
2. বহুতলক
3. প্ৰিজম
4. পিৰামিড
5. ছিলিণ্ডাৰ আৰু কোণক
6. কনিক ছেদ

### সম্পৰ্কীয় বিষয়

* গণিত
* ত্ৰিকোনমিতি
* পৰিমিতি

## তথ্য সংগ্ৰহ

### উৎস

* Boyer, C. B. *A History of Mathematics*, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
* Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.

### গ্ৰন্থপঞ্জী

* Mlodinow, M.; *Euclid's window (the story of geometry from parallel lines to hyperspace)*, UK edn. Allen Lane, 1992.

## বাহ্যিক সংযোগ

* A geometry course from Wikiversity
* *Unusual Geometry Problems*
* *The Math Forum* — Geometry Archived 2022-01-28 at the Wayback Machine
	+ *The Math Forum* — K–12 Geometry Archived 2008-04-15 at the Wayback Machine
	+ *The Math Forum* — College Geometry Archived 2008-04-15 at the Wayback Machine
	+ *The Math Forum* — Advanced Geometry Archived 2008-04-16 at the Wayback Machine
* Nature Precedings — *Pegs and Ropes Geometry at Stonehenge* Archived 2020-02-26 at the Wayback Machine
* *The Mathematical Atlas* — Geometric Areas of Mathematics Archived 2006-09-06 at the Wayback Machine
* "4000 Years of Geometry" Archived 2007-10-04 at the Wayback Machine, lecture by Robin Wilson given at Gresham College, 3 October 2007 (available for MP3 and MP4 download as well as a text file)
	+ Finitism in Geometry at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
* The Geometry Junkyard
* Interactive Geometry Applications (Java and Cabri 3D)
* Interactive geometry reference with hundreds of applets
* Dynamic Geometry Sketches (with some Student Explorations) Archived 2009-03-21 at the Wayback Machine
* Geometry classes at Khan Academy