# نظرية بيثاجوراس

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  | نظرية بيثاجوراس |  |

 |
|  |
|   |
|

---

 |
| اتسمى باسم | بيثاجوراس   |
|  |
| تعديل
 |

|  |
| --- |
|  لنك عشوائى |
| تصانيف | شوف كمان |
| مصطلحات | مهن جهاز| جوايز كل الليستات | نظرية بيثاجوراس |

فى الرياضيات ، تعتبر **نظريةبيثاجوراس** علاقة أساسية فى الهندسة الإقليدية بين أضلاع المثلث القائم الزاوية . وتنص على أن مساحة المربع اللى يُمثّل ضلعه الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة ) تساوى مجموع مساحتى المربعين على الضلعين التانيين. ممكن كتابة النظرية كمعادلة تربط أطوال الأضلاع a و b والوتر c ، وتسمى ساعات **معادلة بيثاجوراس** : WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 النظرية اتسمت نسبةً للفيلسوف اليونانى بيثاجوراس ، اللى اتولد حوالى سنة 570. قبل الميلاد. تم إثبات دى النظرية مرات كتيرة وبطرق مختلفة - ممكن اكتر من أى نظرية رياضية تانيه. وتتنوع البراهين، وتشمل البراهين الهندسية والجبرية ، ويرجع تاريخ بعضها لآلاف السنين.

لما يتم تمثيل الفضاء الإقليدى بنظام إحداثيات ديكارتية فى الهندسة التحليلية ، المسافة الإقليدية تحقق علاقة بيثاجوراس: المسافة المربعة بين نقطتين تساوى مجموع مربعات الفرق فى كل إحداثية بين النقطتين.

يمكن تعميم النظرية بطرق مختلفة: للفضاءات ذات الأبعاد الأعلى ، للفضاات اللى مش إقليدية ، للأجسام اللى مش مثلثات قائمة الزاوية، و للأجسام اللى مش مثلثات لكن أجسام صلبة ذات أبعاد n .

## تاريخ

يسجل لوح بليمبتون 322 ثلاثيات بيثاجوراس من العصر البابلى .
صيغ نظرية بيثاجوراس ظهرت فى كتير من الحضارات القديمة، و لسه تاريخ اكتشافها الاولانى غير مؤكد، كمان تاريخ أول برهان لها. يشمل تاريخ تطور النظرية جوانب متعددة، منها حسابات تتعلق بمثلثات قائمة الزاوية محددة، ومعرفة ثلاثيات بيثاجوراس، وفهم العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية، وبراهين النظرية ضمن نظام استنتاجى .

تتضمن *بردية برلين 6619* ، اللى تعود لعصر الدولة الوسطى المصرية اتكتب حوالى 1800 ، مسألةً تتعلق بمربعين مجموع مساحتهم يساوى مربع تالت، وحل المسألة دى هو الثلاثية الفيثاغورية 6:8:10، لكن المسألة لا تذكر مثلثًا. و حسب لبلوتارخ ، اللى كتب بعد كده بقرون كتيرة، كان المصريين القدام على دراية بالمثلث القائم الزاوية 3:4:5، وربطوا أضلاعه بأوزيريس و إيزيس وحورس على التوالى.

مؤرخين الرياضيات فى بلاد ما بين النهرين خلصو إن قاعدة بيثاجوراس كانت منتشرة الاستخدام خلال العصر البابلى القديم (من القرن العشرين للقرن الستاشر قبل الميلاد)، أى قبل ولادة بيثاجوراس باكتر من ألف عام. كما ورد فى لوح *بليمبتون 322* ، و هو لوح من بلاد ما بين النهرين اتكتب قرب لارسا حوالى تحتوى لوحة من العصر الميلادى (قبل الميلاد) على مدخلات ممكن تفسيرها على أنها أضلاع و أقطار 15 ثلاثية بيثاجوراسية مختلفة. وتحسب لوحة تانيه من نفس الفترة، YBC 7289 ، قطر مربع أو، بشكل مكافئ، قطر مثلث قائم الزاوية متساوى الساقين.

فى الهند ، كتاب *Baudhayana Shulba Sutra* ، اللى تُذكر تواريخه بشكل مختلف بين القرنين الثامن والخامس قبل الميلاد، فيه قائمة بالأثلاث الفيثاغورية وبيان لنظرية بيثاجوراس، سواء فى الحالة الخاصة للمثلث القائم الزاوية متساوى الساقين أو فى الحالة العامة، زى ما هو الحال فى كتاب *Apastamba Shulba Sutra* ( حوالى 600 BC ).

البرهان الهندسى لنظرية بيثاجوراس من كتاب *تشوبى سوانجينغ*
الفيلسوف والرياضى البيزنطى الأفلاطونى المحدث بروكلس ، اللى كتب فى القرن الخامس الميلادي، ذكر قاعدتين حسابيتين، "إحداهما تُنسب لأفلاطون ، والتانيه لبيثاجوراس"، لتوليد ثلاثيات بيثاجوراس الخاصة. القاعدة المنسوبة لبيثاجوراس ( حوالى 570 – ح. 495 BCيبدأ ) من عدد فردى وينتج عنه مثلث ثلاثى الأضلاع يختلف فيه طول الضلع والوتر بمقدار وحدة واحدة؛ القاعدة المنسوبة لأفلاطون (428/427 أو 424/423 – 348/347 تبدأ نظرية بيثاجوراس (قبل الميلاد) من عدد زوجي، وتنتج ثلاثيةً يكون فيها الفرق بين الضلع القائم والوتر وحدتين. و حسب لتوماس ل. هيث (1861-1940)، مافيش ذكرٌ صريحٌ لنسب دى النظرية لبيثاجوراس فى الأدب اليونانى الباقى من القرون الخمسة اللى تلت حياته. رغم ده ، لما نسب مؤلفين زى بلوتارخ وشيشرون النظرية لبيثاجوراس، فعلوا ذلك بطريقةٍ توحى بأن دى النسبة كانت معروفةً على نطاقٍ واسعى ولا شك فيها. كتب عالم الكلاسيكيات كورت فون فريتز : "سواءٌ اتنسبت دى الصيغة لبيثاجوراس شخصى أم لا، يبقى السؤال مطروح : ... ممكن للمرء أن يفترض بأمان أنها تنتمى لأقدم فترة فى الرياضيات الفيثاغورية . [ 18 ] حوالى سنة 300 فى كتاب *العناصر* لإقليدس ، تم تقديم أقدم برهان بديهى موجود للنظرية، مع صيغة إقليدس لتوليد كل الثلاثيات الفيثاغورية الأولية.

مع أن محتوياته معروفة من زمن أقدم بكثير، لكن النصوص الباقية اللى يرجع تاريخها بالتقريب للقرن الاولانى قبل الميلاد، بتتقدم النصوص الصينية *"تشوبى سوانجينغ"* (周髀算经)، ( *الكلاسيكية الحسابية للمِزْوَن والمسارات الدائرية للسماء* )، تفسير لنظرية بيثاجوراس للمثلث (3، 4، 5) - اللى بتتسمما فى الصين " **نظرية غوغو** " (勾股定理). خلال عهد عيله هان (202 من قبل الميلاد ل220 فى القرن الاولانى الميلادي، ظهرت ثلاثيات بيثاجوراس فى *كتاب "الفصول التسعة فى الفن الرياضي"* ، مع ذكر المثلثات القائمة الزاوية. يعتقد البعض أن النظرية ظهرت لأول مرة فى الصين فى القرن الحداشر قبل الميلاد، حيث معروفه كمان باسم " **نظرية شانغ غاو** " (商高定理)، نسبةً لعالم الفلك والرياضيات التبع دوق تشو ، اللى شكّلت استنتاجاته معظم ما ورد فى كتاب *"تشوبى سوانجينغ"* .

## البراهين باستخدام المربعات المُنشأة

برهان إعادة الترتيب لنظرية بيثاجوراس.

 (تبقى مساحة الفراغ الأبيض ثابتة طول عملية إعادة ترتيب المثلثات. فى كل اللحظات الزمنية، تكون المساحة دايما WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 وبالمثل، فى كل اللحظات الزمنية، تكون المساحة دايما WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 )
### إثباتات إعادة الترتيب

فى واحد من برهان إعادة الترتيب، يتم استخدام مربعين طول ضلعيهما يساوى WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 اللى فيها 4 مثلثات قائمة الزاوية أطوال أضلاعها a و b و c ، ووترها c . فى المربع على الجانب الأيمن، وُضعت المثلثات بحيث تتدور زوايا المربع مع زوايا المثلثات القائمة، مُشكّلةً مربع فى المركز طول ضلعه c . مساحة كل مربع خارجى هيا WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 ، حيث بييمثل WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 المساحة الكلية للمثلثات ال 4 . جوه المربع الكبير على الجانب الأيسر، اتنقلت المثلثات ال 4 لتشكيل مستطيلين متشابهين طول ضلعيهما a و b . دهن المستطيلان فى وضعهما الجديد بييحددان مربعين جديدين، واحد منهم طول ضلعه a فى الزاوية السفلية اليسرى، والتانى طول ضلعه b فى الزاوية العلوية اليمنى. فى الوضع ده الجديد، يحتوى ده الجانب الأيسر دلوقتى على مربع مساحته WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 . بما أن مساحة المربعين تساوى WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 مساحة المربع التانى تساوى مساحة المربع التانى كمان ، بحيث يكون WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 . وبحذف مساحة المثلثات ال 4 من طرفى المعادلة، يتبقى لدينا WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

فى برهان آخر، ممكن وضع المستطيلات فى المربع التانى بحيث تتدور واحده من زوايا كل منهم مع زوايا متجاورة للمربع. وبالطريقه دى، تُشكّل دى المستطيلات مربعين، المرة دى فى زوايا متجاورة، بمساحتين WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 و ده يؤدى بدوره لمربع ثانى مساحته WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 .

عالم الرياضيات الإنجليزى السير توماس هيث يقدم البرهان ده فى تعليقه على القضية 1.47 فى *كتاب الأصول* لإقليدس ، ويشير لمقترحات عالمى الرياضيات الألمانيين كارل أنطون بريتشنايدر وهيرمان هانكل بأن بيثاجوراس ممكن كان على دراية بده البرهان. ويؤيد هيث نفسه اقتراح مختلف لبرهان بيثاجوراس، لكنه يُقر من بداية مناقشته بأن "الأدب اليونانى اللى بين أيدينا، اللى يرجع لالقرون الخمسة الأولى بعد بيثاجوراس، مافيهوش أى بيان بيتنسب ليه ده الاكتشاف الهندسى العظيم أو أى اكتشاف آخر". و أثارت الدراسات الحديثة شكوك متزايدة حول أى دور لبيثاجوراس كمؤسس للرياضيات، رغم استمرار النقاش حول ده الموضوع.

رسم تخطيطى للبرهانين الجبريين
يمكن إثبات النظرية جبرى باستخدام 4 نسخ من المثلث نفسه مرتبة بشكل متناظر حول مربع طول ضلعه c ، زى ما هو موضح فى الجزء السفلى من الرسم التوضيحى. ينتج عن ده مربع اكبر، طول ضلعه WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ومساحته WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 . لازم تكون مساحة المثلثات ال 4 وضلع المربع c مساوية لمساحة المربع الاكبر. WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 أعطِ WIKINIUM\_MATH\_PH\_22

يستخدم برهان مماثل أربع نسخ من مثلث قائم الزاوية أضلاعه a ، b ، c ، مرتبة جوه مربع طول ضلعه c كما فى النصف العلوى من الرسم التوضيحى. المثلثات متشابهة فى المساحة

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24

لكن ده مربع طول ضلعه c ومساحته WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 علشان كده WIKINIUM\_MATH\_PH\_27

## براهين تانيه للنظرية

ممكن يكون للنظرية دى عدد من البراهين المعروفة اكتر من أى نظرية تانيه ( قانون التبادل التربيعى هو منافس آخر على التمييز ده)؛ كتاب *"نظرية بيثاجوراس"* فيه 370 برهان.

### البرهان باستخدام المثلثات المتشابهة

البرهان باستخدام المثلثات المتشابهة
البرهان ده يستندل تناسب أضلاع 3 مثلثات متشابهة ، أى على حقيقة أن نسبة أى ضلعين متناظرين فى مثلثات متشابهة هيا نفسها بغض النظر عن حجم المثلثات.

لنفترض أن المثلث ABC قائم الزاوية، وزاويته القائمة عند النقطة C ، زى ما هو موضح فى الشكل. ارسم الارتفاع من النقطة C ، ولنسمِّ تقاطعه مع الضلع AB بالنقطة H تقسم النقطة H طول الوتر c لجزأين d و e . المثلث الجديد ACH مشابه للمثلث ABC ، لأن الاتنين فيه زاوية قائمة (بحسب تعريف الارتفاع)، ويشتركان فى الزاوية A ، ده معناه أن الزاوية التالتة هاتكون متساوية فى المثلثين، والمشار ليها بالرمز θ فى الشكل. وبالمثل، المثلث CBH مشابه كمان للمثلث ABC . يتطلب إثبات تشابه المثلثات مسلمة المثلث : مجموع زوايا المثلث يساوى زاويتين قائمتين، هيا مكافئة لمسلمة التوازى . يؤدى تشابه المثلثات لتساوى نسب الأضلاع المتناظرة. WIKINIUM\_MATH\_PH\_29

النتيجة الأولى تساوى جيوب تمام الزوايا θ ، فى الوقت نفسه النتيجة التانيه تساوى جيوبها .

يمكن كتابة النسب دى على النحو التالي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 ينتج عن جمع المعادلتين : WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 والتي، بعد التبسيط، تثبت نظرية بيثاجوراس: WIKINIUM\_MATH\_PH\_35

دور البرهان ده فى التاريخ موضوع لكتير من التكهنات. والسؤال الأساسى هو: ليه لم يستخدم إقليدس ده البرهان، لكن ابتكر برهان آخر؟ واحد من التخمينات هو أن البرهان باستخدام المثلثات المتشابهة تضمن نظرية النسب، و هو موضوع ما اتناقش إلا بعدين فى *كتاب الأصول* ، و أن نظرية النسب كانت بحاجة لمزيد من التطوير ساعتها . [ 33 ]

### إثبات بالتشريح و القياس

المثلث القائم الزاوية على الوتر مقسم لمثلثين قائمى الزاوية متشابهين على الساقين.
فى واحد من البراهين القائمة على التشريح، اللى تُنسب ساعات لألبرت أينشتاين ، لا حاجة لتحريك القطع. بيتكون التشريح من إسقاط عمود من رأس الزاوية القائمة للمثلث على وتره،و ده يقسم المثلث كله لجزأين. دهن الجزآن لهما نفس شكل المثلث القائم الأصلي، وضلعا المثلث الأصلى هما وتريهما، ومجموع مساحتيهما يساوى مساحة المثلث الأصلى. ولأن نسبة مساحة المثلث القائم لمربع وتره ثابتة فى المثلثات المتشابهة، العلاقة بين مساحات المثلثات التلاته تنطبق كمان على مربعات أضلاع المثلث الكبير. بعبارة تانيه، ولأن مساحة المثلث الأصلى هيا مجموع مساحتى المثلثين الأصغر، ولأن تغيير حجم المثلث يغير مساحته بمربع عامل التكبير ، مربع الوتر الأصلى يساوى مجموع مربعى الوترين الأقصر.

### برهان إقليدس

البرهان فى *كتاب العناصر* لإقليدس
باختصار، كيفية سير البرهان فى *كتاب الأصول* لإقليدس (القضية 47 من الكتاب الأول). يُقسّم المربع الكبير لمستطيل أيمن وآخر أيسر. يُرسم مثلث مساحته نصف مساحة المستطيل الأيسر. بعدين يُرسم مثلث آخر مساحته نصف مساحة المربع على ضلعه الأيسر. يُثبت أن دول المثلثين متدوران ،و ده يُثبت أن مساحة ده المربع تساوى مساحة المستطيل الأيسر. يبعد كده برهان مماثل للمستطيل الأيمن والمربع المتبقى. بضم المستطيلين مع بعض لإعادة تشكيل المربع على الوتر، تكون مساحته مساوية لمجموع مساحتى المربعين التانيين. التفاصيل بعدين .

لنفترض أن A و B و C هيا رؤوس مثلث قائم الزاوية، وزاويته القائمة عند A نسقط عمود من A على الضلع المقابل للوتر فى المربع الواقع على الوتر. يقسم ده الخط المربع الواقع على الوتر لمستطيلين، لكل منهم نفس مساحة واحد من المربعين الواقعين على الضلعين القائمين.

للحصول على البرهان الرسمي، نحتاج 4 لماتات أولية:

1. إذا كان للمثلثين ضلعان فى واحد منهم يساويان ضلعين فى الآخر، كل منهم لكل منهما، والزوايا المحصورة بين دول الضلعين متساوية، المثلثين متدوران ( ضلع-زاوية-ضلع ).
2. مساحة المثلث تساوى نصف مساحة أى متوازى أضلاع له نفس القاعدة ونفس الارتفاع.
3. مساحة المستطيل تساوى حاصل ضرب ضلعين متجاورين.
4. مساحة المربع تساوى حاصل ضرب اثنين من أضلاعه (يتبع من 3).

بعد ذلك، يرتبط كل مربع علوى بمثلث مدور لمثلث آخر مرتبط بدوره ب واحد من المستطيلين اللى يشكلان المربع السفلى.

رسم توضيحى يتضمن الخطوط الجديدة
يوضح الشكل المثلثين المتدورين اللى مساحة كل منهم نصف مساحة المستطيل BDLK والمربع BAGF
البرهان :

1. ليكن ACB مثلث قائم الزاوية مع زاوية قائمة CAB .
2. على كل ضلع من الأضلاع BC و AB و WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 ، تُرسَم مربعات، هيا CBDE و BAGF و ACIH ، بده الترتيب. يتطلب إنشاء المربعات النظريات السابقة مباشرة فى كتاب إقليدس، ويعتمد على مسلمة التوازى.
3. انطلاق من A ، ارسم خط موازى للخطين BD و CE . سيتقاطع ده الخط عمودى مع الخطين BC و DE عند K و L على التوالى.
4. قم بتوصيل CF و AD لتشكيل المثلثين BCF و BDA .
5. الزاويتان CAB و BAG الاتنين زوايا قائمة؛ علشان كده C و A و G على خط مستقيم واحد .
6. الزاويتان CBD و FBA الاتنين زوايا قائمة؛ علشان كده الزاوية ABD تساوى الزاوية FBC ، علشان الاتنين مجموع زاوية قائمة والزاوية ABC .
7. بما أن AB يساوى FB ، BD يساوى BC ، والزاوية ABD تساوى الزاوية FBC ، المثلث ABD لازم يكون متدور مع المثلث FBC .
8. بما أن WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 خط مستقيم موازٍ لـ BD ، مساحة المستطيل BDLK تساوى ضعف مساحة المثلث ABD لأنهما يشتركان فى القاعدة BD ولهما نفس الارتفاع BK ، أى خط عمودى على قاعدتهما المشتركة، يوصل بين الخطين المتوازيين BD و AL . (الفرضية 2)
9. بما أن C على خط مستقيم واحد مع A و G ، وده الخط موازٍ لـ FB ، مساحة المربع BAGF لازم تكون ضعف مساحة المثلث FBC .
10. لذلك، لازم يكون للمستطيل BDLK نفس مساحة المربع WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 .
11. بتطبيق الخطوات من 3 ل10 على الجانب التانى من الشكل، ممكن إثبات بالمثل أن المستطيل WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 لازم يكون له نفس مساحة المربع WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 .
12. بجمع دول النتيجتين، نحصل على: WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43
13. بما أن WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47
14. لذلك، WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ، لأن WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 مربع WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 .

البرهان ده ، اللى بيظهر فى *كتاب أصول* إقليدس على أنه برهان القضية 47 فى الكتاب يوضح الشكل 1 أن مساحة المربع المرسوم على الوتر تساوى مجموع مساحتى المربعين التانيين. وده يختلف تمام عن برهان تشابه المثلثات، اللى يُعتقد أنه البرهان اللى استخدمه بيثاجوراس.

### البراهين عن طريق التشريح و إعادة الترتيب

الرسم المتحرك الوسطانى يُقدّم طريقة تانيه لإعادة الترتيب. يتم تكوين مربع كبير مساحته WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 4 مثلثات قائمة الزاوية متدورة أطوال أضلاعها a و b و c ، مُرتبة حول مربع مركزى صغير. بعدين يتم تكوين مستطيلين طول ضلعيهما a و b عن طريق تحريك المثلثات. بدمج المربع الأصغر مع دول المستطيلين، نحصل على مربعين مساحتهما WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 و لازم تكون لهما نفس مساحة المربع الكبير الأصلى.

الصورة التالتة، الموجودة فى أقصى اليمين، بتقدم دليل آخر. يُقسّم المربعان العلويان، زى ما هو موضح بالتظليل الأزرق و الأخضر، لأجزاء ممكن إعادة ترتيبها لتناسب المربع السفلى على الوتر - أو بالعكس، ممكن تقسيم المربع الكبير، زى ما هو موضح، لأجزاء تملأ المربعين التانيين. بتتسمما دى الطريقة لتقسيم شكل لأجزاء و إعادة ترتيبها للحصول على شكل آخر بالتشريح . يُبيّن ده أن مساحة المربع الكبير تُساوى مساحة المربعين الأصغر.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| رسم متحرك يوضح البرهان عن طريق إعادة ترتيب 4 مثلثات قائمة الزاوية متدورة | رسم متحرك يوضح برهان آخر عن طريق إعادة الترتيب | إثبات باستخدام إعادة ترتيب معقدة |

### إثبات ذلك عن طريق القص اللى يحافظ على المساحة

إثبات مرئى لنظرية بيثاجوراس عن طريق القص اللى يحافظ على المساحة
زى ما هو موضح فى الرسوم المتحركة المرفقة، ممكن لعمليات القص والتحويل اللى تحافظ على المساحة تحويل المربعات الموجودة على الجوانب المجاورة للزاوية القائمة لالمربع الموجود على الوتر، بحيث تغطيه بالكامل. لا بيغيير كل قص القاعدة والارتفاع، و علشان كده لا تُغير المساحة كمان . كما لا تُغير التحويلات المساحة، لأنها لا تُغير الأشكال . يُقص كل مربع أول لمتوازى أضلاع، بعدين لمستطيل ممكن تحويله لواحد من أقسام المربع الموجود على الوتر.

### براهين جبرية تانيه

برهانٌ مشابهٌ للرئيس الامريكانى جيمس أ. غارفيلد اتنشر قبل انتخابه رئيس ، لما كان ممثل للولايات المتحدة . [ 47 ] بدل المربع، يستخدم ده البرهان شبه منحرف ، اللى ممكن إنشاؤه من المربع فى البرهان التانى المذكور أعلاه بتقسيم المربع الداخلى على طول واحد من أقطاره، للحصول على شبه المنحرف زى ما هو موضح فى الرسم. ويمكن حساب مساحة شبه المنحرف علشان تكون نصف مساحة المربع. WIKINIUM\_MATH\_PH\_54

يُقسّم المربع الداخلى لنصفين بالمثل، ومافيش سوى مثلثين، علشان كده بيستمر البرهان كما سبق باستثناء عامل

⁠

1

2

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}

⁠

اللى يتم إزالتها عن طريق الضرب فى اثنين للحصول على النتيجة.

### البرهان باستخدام التفاضلات

ممكن التوصل لنظرية بيثاجوراس بدراسة كيفية تأثير التغيرات فى واحد من الأضلاع على التغير فى الوتر، و ده باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

المثلث ABC قائم الزاوية، زى ما هو موضح فى الجزء العلوى من الرسم، حيث BC هو الوتر. و فى الوقت نفسه، بتتقاس أطوال أضلاع المثلث زى ما هو موضح، حيث طول الوتر y ، وطول الضلع AC x ، وطول الضلع AB a ، زى ما هو موضح فى الجزء السفلى من الرسم.

مخطط لإثبات التفاضل
إذا زادت قيمة x بمقدار صغير dx عن طريق تمديد الضلع AC قليل لD ، y تزيد كمان بمقدار dy . يشكل دهن الضلعان ضلعين من مثلث CDE ، و هو مثلث قائم الزاوية (مع اختيار E بحيث يكون CE عمودى على الوتر) يشبه تقريب ABC . لذلك، لازم تكون نسب أضلاعهما متساوية، أي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ممكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ، هيا معادلة تفاضلية ممكن حلها بالتكامل المباشر: WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 أعطِ WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 ممكن استنتاج الثابت من WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 للحصول على المعادلة WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 ده برهان بديهى اكتر منه برهان رسمي: ممكن جعله اكتر دقة إذا تم استخدام حدود مناسبة بدل dx و dy .

## عكس

وعكس النظرية صحيح أيضاً:

> Given a triangle with sides of length WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , and WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 , if WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , then the angle between sides WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 is a right angle.
>
>

لأى 3ة أعداد حقيقية موجبة a و b و c بحيث يكون WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 ، فيه مثلث بأضلاع a و b و c كنتيجة لعكس متباينة المثلث .العكس ده بيظهر فى *كتاب أصول* إقليدس (الكتاب الأول، القضية 48): "إذا كان مربع واحد من أضلاع المثلث يساوى مجموع مربعين الضلعين المتبقيين من المثلث، الزاوية المحصورة بين الضلعين المتبقيين من المثلث تكون قائمة."

يمكن إثبات ذلك باستخدام قانون جيب التمام أو على النحو التالي:

ليكن WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 مثلث أطوال أضلاعه WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 ، حيث WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 أنشئ مثلث ثانى أطوال أضلاعه WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 وفيه زاوية قائمة. باستخدام نظرية بيثاجوراس، طول وتر ده المثلث هو

⁠

c

=

a

2

+

b

2

{\displaystyle \textstyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

⁠

نفس وتر المثلث الأول. وبما أن أضلاع المثلثين متساوية فى الطول WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 ، المثلثين متدوران ، و علشان كده زواياهما متساوية. لذلك، الزاوية المحصورة بين الضلعين WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 فى المثلث الأصلى هيا زاوية قائمة.

البرهان المذكور أعلاه يستند لعكس النظرية لنظرية بيثاجوراس نفسها. ويمكن إثبات العكس كمان دون افتراض نظرية بيثاجوراس. واحده من نتائج عكس نظرية بيثاجوراس هيا وسيلة بسيطة لتحديد اذا كان المثلث قائم الزاوية أو منفرج الزاوية أو حاد الزاوية، كما يلي: لنفترض أن c هو أطول الأضلاع الثلاثة، و أن WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 (و إلا فمافيش مثلث حسب لمتباينة المثلث ). تنطبق العبارات اللى بعد كده :

* إذا كان WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 المثلث قائم الزاوية .
* إذا كان WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 المثلث حاد الزوايا .
* إذا كان WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 المثلث منفرج الزاوية .

إدسكار دبليو ديكسترا ذكر الافتراض ده حول المثلثات الحادة والقائمة والمنفرجة بهذه اللغة: WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 هيا الزاوية المقابلة للضلع WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 هيا الزاوية المقابلة للضلع WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 هيا الزاوية المقابلة للضلع WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 ، وsgn هيا دالة الإشارة .

## نتائج و استخدامات النظرية

### ثلاثيات بيثاجوراس

الثلاثية الفيثاغورية هيا 3 أعداد صحيحة موجبة a و b و c ، بحيث WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 . بعبارة تانيه، تمثل الثلاثية الفيثاغورية أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، حيث تكون أطوال كل أضلاعه اعداد صحيحة. بييتكتتب النوع ده من الثلاثيات فى العاده WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 . ومن الأمثلة المعروفة WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 .

الثلاثية الفيثاغورية الأولية هيا اللى تكون فيها WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 اعداد أولية فيما بينها ( اكبر قاسم مشترك لـ WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 هو 1).

الأعداد الثلاثية الفيثاغورية الأولية ذات القيم الأقل من 100:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123

توجد كتير من الصيغ لتوليد ثلاثيات بيثاجوراس . ومن بينها، **صيغة إقليدس** الاكتر شهرة: إذا أُعطيت عددين صحيحين موجبين WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 ، الصيغة تنص على أن العددين الصحيحين WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 يشكل ثلاثية بيثاجوراس.

### نظرية بيثاجوراس العكسية

بفرض وجود مثلث قائم الزاوية له أضلاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 والارتفاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 (خط من الزاوية القائمة وعمودى على الوتر WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 ). تنص نظرية بيثاجوراس على ما يلي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 فى الوقت نفسه تربط نظرية بيثاجوراس العكسية الضلعين WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 بالارتفاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 ممكن تحويل المعادلة ل: WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 لأى أعداد حقيقية غير صفرية WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 . إذا كانت WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 اعداد صحيحة ، أصغر حل WIKINIUM\_MATH\_PH\_143 هو WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 باستخدام أصغر ثلاثية بيثاجوراس WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 تعتبر نظرية بيثاجوراس المقلوبة حالة خاصة من المعادلة البصرية. WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 حيث تكون المقامات مربعات كمان بالنسبة للمثلث السباعى اللى تكون أضلاعه WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 اعداد مربعة.

### أطوال مش ممكن قياسها

لولب ثيودوروس : إنشاء لقطع مستقيمة أطوالها نسبها هيا الجذر التربيعى لعدد صحيح موجب
من نتائج نظرية بيثاجوراس أنه ممكن رسم قطع مستقيمة بأطوال غير متناسبة (أى أن نسبتها مش عددًا نسبى ) باستخدام المسطرة والفرجار . بتمكن نظرية بيثاجوراس من رسم أطوال غير متناسبة لأن وتر المثلث يرتبط بأضلاعه بعملية الجذر التربيعى . الشكل على اليمين يوضح كيفية إنشاء قطع مستقيمة تكون أطوالها بنسبة الجذر التربيعى لأى عدد صحيح موجب. لكل مثلث ضلع (يُشار ليه بـ "1") و هو وحدة القياس المختارة. فى كل مثلث قائم الزاوية، بتتحدد نظرية بيثاجوراس طول الوتر بدلالة دى الوحدة. إذا كانت نسبة الوتر لالوحدة هيا الجذر التربيعى لعدد صحيح موجب مش مربع كامل، طوله يكون غير قابل للقياس مع الوحدة، زى

⁠

2

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

⁠

⁠

3

{\displaystyle {\sqrt {3}}}

⁠

⁠

5

{\displaystyle {\sqrt {5}}}

⁠

تعارضت الأطوال اللى مشمتناسبة مع مفهوم المدرسة الفيثاغورية للأعداد باعتبارها اعداد صحيحة بس. تعاملت المدرسة الفيثاغورية مع النسب بمقارنة مضاعفات صحيحة لوحدة فرعية مشتركة. حسب لواحده من الروايات، فإن هيباسوس الميتابونتى ( حوالى 470 BCأُغرق ) فى البحر لأنه كشف عن وجود ما هو غير منطقى أو غير قابل للقياس. كتب كورت فون فريتز مناقشة دقيقة لإسهامات هيباسوس. [ 61 ]

### الأعداد المركبة

القيمة المطلقة للعدد المركب WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 هيا المسافة WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 من WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 لنقطة الأصل.
لأى عدد مركب WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 القيمة المطلقة أو المعيار تُعطى ب WIKINIUM\_MATH\_PH\_155 إذن، ترتبط الكميات الثلاث، WIKINIUM\_MATH\_PH\_157 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 ، بمعادلة بيثاجوراس. WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 لاحظ أن WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 بييتعرف بأنه عدد موجب أو صفر، فى الوقت نفسه ممكن تكون قيم WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 سالبة أو موجبة. هندسى، WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 هو المسافة بين WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 والصفر أو نقطة الأصل WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 فى المستوى المركب .

ممكن تعميم ذلك لإيجاد المسافة بين نقطتين، WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 تُعطى المسافة المطلوبة ب WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 إذن، مرة تانيه، يرتبطان بصيغة من معادلة بيثاجوراس. WIKINIUM\_MATH\_PH\_172

### المسافة الإقليدية

تُشتق صيغة المسافة فى الإحداثيات الديكارتية من نظرية بيثاجوراس. إذا كانت WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 نقطتين فى المستوى، المسافة بينهم، اللى بتتسمما كمان المسافة الإقليدية ، تُعطى بالصيغة اللى بعد كده :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176

وبشكل أعم، فى الفضاء الإقليدى ليه البعد n ، المسافة الإقليدية بين نقطتين، WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 ، ويتم تعريفها، بتعميم نظرية بيثاجوراس، على النحو التالي:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182

إذا تم استخدام مربع القيمة دى ( المسافة الإقليدية المربعة ، أو SED) بدل المسافة الإقليدية، المعادلة الناتجة تتجنب الجذور التربيعية وتكون ببساطة مجموع المسافة الإقليدية المربعة للإحداثيات:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184

الشكل التربيعى هو دالة سلسة ومحدبة لكلا النقطتين، ويستخدم بصوره كبيره فى نظرية التحسين والإحصاء ، ويشكل أساس المربعات الصغرى .

### المسافة الإقليدية فى أنظمة الإحداثيات التانيه

إذا لم بتستعمل الإحداثيات الديكارتية، زى عند استخدام الإحداثيات القطبية فى بُعدين، أو بشكل أعم عند استخدام الإحداثيات المنحنية ، صيغ حساب المسافة الإقليدية تكون اكتر تعقيداً من نظرية بيثاجوراس، لكن ممكن اشتقاقها منها. ممكن إيجاد مثال نموذجى لتحويل المسافة المستقيمة بين نقطتين لإحداثيات منحنية فى تطبيقات كثيرات حدود ليجندر فى الفيزياء . ويمكن استنتاج دى الصيغ باستخدام نظرية بيثاجوراس مع المعادلات اللى تربط الإحداثيات المنحنية بالإحداثيات الديكارتية. زى ، ممكن تعريف الإحداثيات القطبية WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 كما يلي:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_187

يتم فصل نقطتين بعدين بموقعين WIKINIUM\_MATH\_PH\_189 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 بمسافة WIKINIUM\_MATH\_PH\_191  :

s² = (x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)² = (r₁ cos θ₁ − r₂ cos θ₂)² + (r₁ sin θ₁ − r₂ sin θ₂)²

لما بنفك الأقواس ونجمع الحدود، قانون بيثاجوراس للمسافة فى الإحداثيات الكارتيزية بيدّينا المسافة فى الإحداثيات القطبية بالشكل ده:

s^2 = r\_1^2 + r\_2^2 - 2 r\_1 r\_2 (\cos\theta\_1 \cos\theta\_2 + \sin\theta\_1 \sin\theta\_2)

وبتبسّط كمان لـ:

s^2 = r\_1^2 + r\_2^2 - 2 r\_1 r\_2 \cos(\theta\_1 - \theta\_2)

أو:

s^2 = r\_1^2 + r\_2^2 - 2 r\_1 r\_2 \cos(\Delta\theta)

وده باستخدام قوانين المثلثات. المعادلة دى هيا نفسها **قانون جيب التمام**، واللى ساعات بيتسمّى تعميم لنظرية بيثاجوراس.

ومن هنا، لو الزاوية بين الشعاعين قائمة (Δθ = π/2)، المعادلة بترجع لشكل بيثاجوراس:

s^2 = r\_1^2 + r\_2^2

يعنى نظرية بيثاجوراس (اللى شغالة على المثلثات القائمة) هيا فى الحقيقة حالة خاصة من قانون جيب التمام، اللى شغال على أى مثلث بشكل عام.

### متدورة بيثاجوراس المثلثية

مثلثات قائمة متشابهة توضح جيب وجيب تمام الزاوية θ
فى المثلث القائم الزاوية ليه الأضلاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_193 والوتر WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 ، يحدد علم المثلثات جيب وجيب تمام الزاوية WIKINIUM\_MATH\_PH\_195 بين الضلع WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 والوتر على النحو التالي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_197

ويترتب على ذلك : WIKINIUM\_MATH\_PH\_199 حيث بتتطبق نظرية بيثاجوراس فى الخطوة الأخيرة. بتتسمما دى العلاقة بين الجيب و جيب التمام ساعات بالمتدورة المثلثية الفيثاغورية الأساسية. فى المثلثات المتشابهة، تكون نسب أطوال الأضلاع متساوية بغض النظر عن حجم المثلث، و تعتمد على الزوايا. بالتالي، فى الشكل، المثلث اللى طول وتره وحدة واحدة، يكون طول الضلع المقابل له WIKINIUM\_MATH\_PH\_201 وطول الضلع المجاور له WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 بوحدات طول الوتر.

## ملاحظات و مراجع

### ملحوظات

### مراجع

### المراجع

 قالب:Ancient Greek mathematics