# نظرية المجموعات

مخطط فين يوضح تقاطع مجموعتين
**نظرية المجموعات** هيا فرع من فروع المنطق الرياضى اللى يدرس المجموعات ، اللى ممكن وصفها بشكل مش رسمى بأنها تجمعات من الأشياء. رغم إمكانية تجميع أى نوع من الأشياء فى مجموعة، نظرية المجموعات - كفرع من فروع الرياضيات - تهتم فى الغالب بتلك الأشياء اللى ليها صله بالرياضيات ككل. العالمان الرياضيان الألمانيان ريتشارد ديديكيندو جورج كانتور ابتدو الدراسة الحديثة لنظرية المجموعات فى سبعينات القرن التسعتاشر. وبيعتبر جورج كانتور، على وجه الخصوص، مؤسس نظرية المجموعات. معروفه الأنظمة اللى مش رسمية اللى دُرست خلال المرحله دى المبكرة باسم *نظرية المجموعات الساذجة* . بعد اكتشاف المفارقات ضمن نظرية المجموعات الساذجة ( زى مفارقة راسل ، ومفارقة كانتور ، ومفارقة بورالي-فورتى ، و غيرها)، اقتُرحت أنظمة بديهية متنوعة فى أوائل القرن العشرين، ولسه نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (مع أو بدون بديهية الاختيار ) أشهرها و اكترها دراسة.

نظرية المجموعات بتستعمل بصوره كبيره كنظام أساسى لعلم الرياضيات برمته ، بالخصوص فى صورة نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار. و لجانب دورها التأسيسي، يتُوفر نظرية المجموعات كمان إطار لتطوير نظرية رياضية للانهائية ، ولها تطبيقات متنوعة فى علوم الكومبيوتر ( مثل نظرية الجبر العلائقى )، والفلسفة ، والدلالات الصورية ، وديناميكيات التطور . و جعلت جاذبيتها التأسيسية، مع مفارقاتها ، وآثارها على مفهوم اللانهاية وتطبيقاتها المتعددة، من نظرية المجموعات مجال مهم بالغة لعلما المنطق وفلاسفة الرياضيات . ويغطى البحث المعاصر فى نظرية المجموعات طيف واسع من المواضيع، بدايه من بنية خط الأعداد الحقيقية وصول لدراسة اتساق الأعداد الكاردينالىة الكبيرة .

## تاريخ

### التاريخ المبكر

شجرة بورفيريا من رسم بورخوتيوس (1730)، تعرض تصنيفات أرسطو
المفهوم الأساسى لتجميع الأشياء موجود من ظهور الأعداد على الأقل، ومفهوم التعامل مع المجموعات ككائنات مستقلة موجود من شجرة بورفيريوس فى القرن التالت الميلادى على الأقل. إن بساطة المجموعات وانتشارها الواسع يجعلان صعب تحديد أصلها كما بتستعمل اليوم فى الرياضيات؛ بس، بيعتبر كتاب برنارد بولزانو " *مفارقات اللانهاية"* ( *Paradoxien des Unendlichen* ، 1851) عموم أول تقديم دقيق للمجموعات فى الرياضيات. فى العمل ده ، قام (من أمور تانيه) بتوسيع مفارقة جاليليو ، وقدم مفهوم التناظر الأحادى بين المجموعات اللانهائية، زى بين الفترات. WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 عن طريق العلاقة WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 بس، فقد رفض القول بأن دى المجموعات متساوية العدد ، وبيعتبر عمله عموم غير مؤثر فى الرياضيات فى عصره.

## التعليم الرياضى

مع زيادة شعبية نظرية المجموعات كأساس للرياضيات الحديثة، كان فيه دعم لفكرة تقديم أساسيات نظرية المجموعات البسيطة فى وقت مبكر من تعليم الرياضيات .

فى امريكا خلال ستينات القرن العشرين، هدفت تجربة الرياضيات الجديدة لتعليم نظرية المجموعات الأساسية، مع مفاهيم مجردة تانيه، لطلاب المرحلة الابتدائية ، لكن اتقابلت بانتقادات واسعة. و حذا منهج الرياضيات فى المدارس الاوروبية حذو ده التوجه، و بيشمل الايام دى ده الموضوع بمستويات مختلفة فى كل المراحل الدراسية. وبتستعمل مخططات فين بصوره كبيره لشرح العلاقات الأساسية فى نظرية المجموعات لطلاب المرحلة الابتدائية (مع أن جون فين هو من ابتكرها فى الأصل كجزء من إجراء لتقييم صحة الاستدلالات فى منطق المصطلحات ).

نظرية المجموعات بتستعمل لتعريف الطلاب بالمعاملات المنطقية (ليس، و، أو)، والوصف الدلالى أو وصف القواعد ( التعريف القصدى تقنى) للمجموعات ( مثل "الأشهر اللى تبتدى بالحرف *أ* ")، و هو ممكن يكون مفيد عند تعلم برمجة الكومبيوتر ، نظر لاستخدام المنطق البوليانى فى لغات برمجة متنوعة. وبالمثل، المجموعات و غيرها من الكائنات الشبيهة بالمجموعات، زى المجموعات المتعددة والقوائم ، من أنواع البيانات الشائعة فى علوم الكومبيوتر والبرمجة.

بالإضافة لذلك، بتستعمل مجموعات معينة بشكل منتشر فى تدريس الرياضيات ( مثل المجموعات WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 من الأعداد الطبيعية ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 من الأعداد الصحيحة ، WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 (من الأعداد الحقيقية ، إلخ). بتستعمل دى المصطلحات فى العاده عند تعريف دالة رياضية كعلاقة من مجموعة ( المجال ) لمجموعة تانيه ( المدى ).

## فهرس

* بول هالموس ، *نظرية المجموعة الساذجة* ، 1960، دار سبرينجر.
* توماس جيتش ، *نظرية المجموعات، طبعة الألفية التالتة* ، منقحة وموسعة. سبرينجر ، 2006، 772 صفحة. . *نظرية المجموعات* at كتب جوجل
* ماثيو فورمان و أكيهيرو كانامورى (المحررين)، *دليل نظرية المجموعات* ، 2010، 2196 صفحة (للطباعة) (عبر الإنترنت)

## شوف كمان

* الفئة (نظرية المجموعات)
* النظرية الأولية لفئة المجموعات
* مسرد مصطلحات نظرية المجموعات
* قائمة بمواضيع نظرية المجموعات
* النموذج العلائقي – يستعير من نظرية المجموعات
* نظرية المجموعات الهيكلية
* مخطط فين

## ملحوظات

## الاقتباسات

## مراجع

* Devlin، Keith (1993)، *The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory*، Undergraduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، Springer Verlag، DOI:10.1007/978-1-4612-0903-4، ISBN:0-387-94094-4
* Ferreirós، Jose (2001)، *Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics*، Berlin: Springer، ISBN:978-3-7643-5749-8
* Monk، J. Donald (1969)، *Introduction to Set Theory*، McGraw-Hill Book Company، ISBN:978-0-898-74006-6
* Potter، Michael (2004)، *Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction*، Oxford University Press، ISBN:978-0-191-55643-2
* Smullyan، Raymond M.؛ Fitting، Melvin (2010)، *Set Theory and the Continuum Problem*، Dover Publications، ISBN:978-0-486-47484-7
* Tiles، Mary (2004)، *The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise*، Dover Publications، ISBN:978-0-486-43520-6
* Dauben، Joseph W. (1977). "Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite". *Journal of the History of Ideas*. ج. 38 ع. 1: 85–108. DOI:10.2307/2708842. JSTOR:2708842.`{{استشهاد بدورية محكمة}}`: صيانة الاستشهاد: ref duplicates default (link)
* Dauben، Joseph W. (1979). *[Unavailable on archive.org] Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite*. Boston: Harvard University Press. ISBN:978-0-691-02447-9.`{{استشهاد بكتاب}}`: صيانة الاستشهاد: ref duplicates default (link)
* Kanamori، Akihiro (2003). *The Higher Infinite* (ط. 2nd). Springer-Verlag. ISBN:978-3-540-88866-6.

## لينكات برانيه

Wikibooks has a book on the topic of: Discrete mathematics/Set theory نظرية المجموعات – صور وتسجيلات صوتيه و مرئيه على ويكيميديا كومونز
* نظرية المجموعات على موقع كيورا - Quora
* نظرية المجموعات معرف مخطط فريبيس للمعارف الحره
* نظرية المجموعات معرف المكتبه الوطنيه الفرنسيه (BnF)
* نظرية المجموعات معرف قاعده بيانات الضبط الوطنيه التشيكيه
* نظرية المجموعات معرف مايكروسوفت اكاديمك
* نظرية المجموعات معرف مكتبه الكونجرس (LCAuth)
* نظرية المجموعات معرف مكتبه لاتفيا الوطنيه
* نظرية المجموعات معرف ملف استنادى متكامل

* "Axiomatic set theory". *Encyclopedia of Mathematics*. EMS Press. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Bagaria، Joan. Zalta، Edward N. (المحرر). "Set Theory". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Bell، John L. Zalta، Edward N. (المحرر). "The Axiom of Choice". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Cunningham، Daniel. "Set Theory". *Internet Encyclopedia of Philosophy*. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Ferreirós، José (2007) [1999]. *Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics* (ط. 2nd). Basel: Birkhäuser. ISBN:978-3-7643-8349-7.
* Foreman، Matthew؛ Kanamori، Akihiro (المحررون). "Handbook of Set Theory". *handbook.assafrinot.com*. Unofficial index maintained by Assaf Rinot. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Kennedy، Juliette. Zalta، Edward N. (المحرر). "Kurt Gödel". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Koellner، Peter. Zalta، Edward N. (المحرر). "The Continuum Hypothesis". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Koellner، Peter. Zalta، Edward N. (المحرر). "Large Cardinals and Determinacy". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* "Set theory". *Encyclopedia of Mathematics*. EMS Press. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* "Set Theory". *nLab*. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* Weisstein، Eric W. "Set Theory". *MathWorld*. Wolfram Research. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.
* "Zermelo–Fraenkel set theory". *Encyclopedia of Mathematics*. EMS Press. اطلع عليه بتاريخ 2026-05-12.

قالب:Set theory

قالب:Logicقالب:Mathematical logic