# تسطار

ميّز على **تسطير (فن)**.
لمدراسة لبوعنانية ف فاس. الزليج ف حيوطها كيفورمي أشكال تسطارية ب پاطيرنات منتاضمة
**التسطار** ؤلا **التسطير** (ب النڭليزية **Geometry**، ب لعربية **الهندسة**) هوّ مجال فرعي ديال لماط لي كيهتم ب لمزايا د لمكان، بحال لبعودية، الشكل، لحجم، و التموضيع النسبي ديال الشكال التسطارية. التسطار و تاحسابت (ب النڭليزية **arithmetics**، ب **لعربية الحسابيات**) هوما أقدم جوج فروع د لماط عرفهوم بنادم. تال لقرن 19، كان التسطار كيخدم غير على التسطار د ؤقليدس، لي كانلقاو فيه مفاهيم بحال النقطة، لمستقيم، لمستوى، لبعودية ؤلا لمسافة، لقنيتة ؤلا الزاوية، التيساع ؤلا لمساحة، و لحنية (ب لعربية منحنى) كا مفاهيم أساسية.

التسطار ف لأصل تدار باش يمتّل لواقع لي كيعيش فيه بنادم، و عندو تطبيقات ف جميع لمجالات د الصيونص و الطيكنولوجيا و لفن و لمعمار و غيرهوم. و ف لماط نيت، يقدر التسطار يكونو عندو تطبيقات ف مجالات فرعية لي كاتبان مامتعلقاش بيه ڭاع، بحال ف لبرهان ديال الطيوريم اللخراني د فيرما، لي ستعمل فيه لماطيماتيسيان أندرو وايلز طرقان ديال التسطار الجبري، وخا لپروبليم براسو داخل ف إطار نضرية د لأعداد. هاد لپروبليم كان بقا قرون بدون حل تال اللخر د لقرن 20.

ف لقرن 19، مجموعة د لإكتشافات بدّلو لوضعية و لمدى ديال التسطار بشكل جدري. اللولاني منهوم كان طيوريما إڭريڭيوم *Theorema Egregium* (حرفياً "الطيوريم لواعر") ديال كارل فريديريش ڭاوس، لي دارو ف 1827، و كينص بلي التعويجة لڭاوسية ديال شي سطح ماكاتبدلش يلا تّطوا ب أي طريقة بلا مايتجبّد. وحدة من النتائج ديال هاد الطيوريم هيّ بلي مايمكنش نمتّلو لخريطة د لبلدان على جوج أبعاد بلا مايتبدّلو لمسافات و لأشكال ديالهوم (حيت لإسقاط على مستوى مسطح كيبدّل التعويجة لڭاوسية ديال لأرض). ماطيماتيسيانات خرين بحال بيرنهارد ريمان و نيكولاي لوباتشيڤسكي قدرو يطورو نضريات جديدة ديال التسطار لي تسمّاو تسطار لاؤقليدي، بعدما بدّلو لمسلّمة ديال التوازي بلا مايطيحو ف تناقض د اللوجيك. النضرية النسبية ديال ألبرت أينشطاين ف لفيزيك معتامدة بشكل أساسي على النضرية د التسطار ديال ريمان، شي لي كيبيّن بلي هاد لفرع الجديد ديال التسطار ماشي غير خيالي و نضري، مي عندو تطبيق ف لواقع.

معا اللخر د لقرن 19 و لبدية د لقرن 20، زاد توسع لمجال ديال التسطار، و تقسّم ل مجالات فرعية لبعض منها كان ديجا موجود بحال التسطار الجبري، و شي بعضين عاد بانو، بحال التسطار التفاضلي، التسطار لحواسبي، التسطار لمتقطع، و غيرهوم. هاد التطور خلا مفهوم لمكان تا هوّ يتبدل و يولي متجرد بزاف كا كينونة ماطيماتيكية لي تقدر تكون عندها مزايا مختالفين.

## السمية

كلمة تسطار ؤلا تسطير كيخدموها لحرايفيا لمغاربا على لفن ديال الزخرافة على لڭبص ؤلا ب الزليج، و لي كيدخلو فيه شكال تسطارية كيتصاوبو ب لمسطارة و الدابد (لبركار التقليدي).

## تاريخ

قرعة د كلاين لي هيّ مانيفولض من جوج أبعاد لي محطوط ف 3 د لأبعاد
ؤروپي و مسلم كيترينيو على التسطار ف لقرن 15
أقدم لأتار ديال التسطار كيرجعو ل لحضارات ديال بلاد بين لويدان (لعراق دابا) و مصر لقديمة ف جوايه لألفية 2 قبل لميلاد. هاد التسطار لبدائي كان مجموعة د لمعارف لي تّكتاشفو ب لملاحضة و التجريبة، ماشي نضريات، على لأطوال، لقنوتا، لمساحات و لأحجام لي كاتخدم أهداف د لپراتيك ديال لحساب و التقسيم د لأراضي د لفلاحة، لفلك، لبني، و صنايع خرين. أقدم نصوص مكتوبين على التسطار هوما بردية ريند لمصرية لي تكتبات مابين 2000 و 1800 ق.م.، بردية موسكو (تسمات على لي كتاشفها) لي تا هيّ من مصر و كاترجع ل جوايه 1890 ق.م، و طابليطات د لغيس ديال لبابيليين، منهوم پليمپطون 322 لي كاترجع ل جوايه 1900 ق.م. بردية موسكو متلاً كاتعطي الصيغة د لحساب ديال لحجم د هارام مقطوع (كيتسمى جدع). كاينين تا طابليطات ديال لبابيليين كيرجعو ل جوايه لقرن 4 قبل لميلاد، كيوصفو طريقة د لحساب ديال لموضع و السرعة د كوكب جوپيتر. بزاف د الطرقان التسطارية لي توصفو ف هاد لمخطوطات ماعاودو تّكتاشفو تال لقرن 14.

ف لقرن 7 قبل لميلاد، لماطيماتيسيان ليوناني طاليس لميلي طوّر طرقان ديال لحساب د لعلو ديال هارام، ؤلا لبعد ديال باطو من الجنب د لبحر، و كيتّعتابر أول واحد خدّم لوجيك د لإستنتاج ف التسطار، و هوّ معروف ب طيوريم ديال طاليس. من جيهتو، پيطاڭوراس أسس لمدراسة لپيطاڭورية لي لأعضاء ديالها دارو أول برهان ديال طيوريم د پيطاڭوراس لي كان ديجا معروف قبل تا عند حضارات خرين. إيودوكسوس د كنيدوس ديڤلوپا طريقة د لحساب ديال التيساع و لحجم د أشكال ماشي منتاضمة و معوّجة، و شي 50 عام موراه (ف جوايه 300 ق.م.) بان ؤقليدس لي أسس التسطار كيما كانعرفوه، و كتابو لعناصر د ؤقليدس كيتّعتابر أنجح كتاب د لقراية و أكتر واحد أتّر ف مجرى التاريخ. وخا لمحتويات ديال كتاب لعناصر أغلبهوم كانو ديجا معروفين، ؤقليدس نضّم داكشي ف واحد لإطار متناسق و لوجيك. أرخميدس مبعد عطا تقريب مزيان ل لعاداد پي، درس لببوشية لي تسمات ب سميتو، و عطا طرقان ديال حساب التيساع و لحجم الضوراني.

لهنود تاهوما لعبو دور كبير، و كاينين مخطوطات هندية من لقرن 3 ق.م. فيها پروبليمات د التسطار معروفين بحال الطيوريم د پيطاڭوراس و دراسات على لمتلتات لكسرية.

ف لقرون لوسطانية، لعولاما د لحضارة لإسلامية ف لأندلس، شمال إفريقيا و الشرق لأوسط، طوّرو التسطار ل مستوايات جديدة. لعالم لفارسي لماهاني، لي تزاد ف عام 853م، كان أول من قتارح باش لپروبليمات د التسطار يتحلّو ب الجبر. لعالم السرياني تابت بن قرة تاهوّ عاون ب لأعمال ديالو ف تطوير التسطار التحليلي. عمر لخيام من جيهتو لقا حلول ل معادلات تكعيبية ب تخدام التسطار، و هوّ و بن لهيتم و نصير الدين الطوسي حطو الساس لي عليه طورو لؤروپيين التسطار اللاؤقليدي.

من لبدية د لقرن 17، طراو جوج تطورات مهمين. واحد فيهوم على يد روني ديكارت و پيير دو فيرما فاش خدمو على التسطار التحليلي (تسطار ب لإحداتيات و لمعادلات). هادشي سمح من بعد ب تطوير لحساب التفاضلي و لحساب الدقيق ف لمجال د لفيزيك. التاني كان على يد جيرار ديزارڭ ب دراستو ل لإسقاط د لأشكال و لمقاطع ديالهوم، شّي لي كان عندو تأتير كبير على لفن د الرسيم.

ف لقرن 19 تاهوّ جوج كتيشافات بدّلو لوجه ديال التسطار. اللول هوّ تطوير التسطارات اللاؤقليدية من عند عولاما بحال نيكولاي إڤانوڤيتش لوباتشيڤسكي، يانوش بولياي و كارل فريديريش ڭاوس، و التاني كان لخدمة ديال فيليكس كلاين على التماتل (النتيجة ديال هاد لخدمة هوّ تعميم لمفاهيم ديال التسطار لؤقليدي و اللاؤقليدي). جوج من أعضم التسطاريين ديال هاد لفترة هوما إبيرهارد ريمان و هينري پوانكاري. هاد الجوج بدّلو لمفهوم ديال "فضاء" لي ولّا كينونة ماطيماتيكية غنية و معقدة لي كاتلعب دور ف شلا فروع د لماط و لفيزيك.

## مفاهيم أساسية

هادو مجموعة د أهم لمفاهيم ف التسطار:

### أكسيوم ؤلا مسلّمة

تمتيل ديال لأكسيوم لخامس ديال ؤقليدس
لأكسيوم ؤلا لمسلّمة واحد لعبارة منطقية لي كيقبلها لواحد كا ساس ديال شي نضرية ؤلا بنيان منطقي. لأكسيوم مايمكنش يتّتبت بلي غالط ؤلا صحيح ف إطار داك لبنيان، و كيتّعتابر عادةً بديهي و باين ماكيحتاجش ل إتبات.

ؤقليدس ف كتابو لعناصر خدّم مقاربة مضبوطة لي ستعمل فيها مجموعة د لأكسيومات، و على ساسها برهن على مجموعة د لعبارات لمنطقية و لخاصيات التسطارية ب تخدام اللوجيك. هاد الطريقة تسمّات التسطار التركيبي ؤلا لأكسيوماتي، كا موقابيل ل التسطار التحليلي لي كان جابو ديكارت.

بعدما بانو التسطارات اللاؤقليدية، رجع لإهتمام ب هاد لمجال، و ف لبدية د لقرن 20 داڤيد هيلبيرت خدّم التفكير لأكسيوماتي باش يحاول يعطي ساس متين ل التسطار لعصري.

### الستونات

#### النقطة

النقطة كاتّعتابر هيّ الستون د الساس ف لبنيان د التسطار. عند ؤقليدس، النقطة معرّفة بلي هيّ "ديك لحاجة لي مافيها تا شي ڭزو صغر منها". ف لماط لعصري، النقطة كاتّعتابر عنصر ف مجموعة لي كاتسمى "فضاء"، لي هوّ براسو كيكون معرف بشكل أكسيوماتي. كاينين نضريات عصريين ديال التسطار لي مافيهومش نقاطي ڭاع، بحال التسطار بلا نقاطي د وايتهاد.

#### لمستقيم ؤلا لخط

عند ؤقليدس، لمستقيم هوّ واحد "لإمتداد ماعندوش عرض لي كيتموضع بشكل متساوي بالنسبة النقاطي لي فيه". التعريف ديال لمستقيم بشكل عام كيتبدّل على حساب النضرية د التسطار. متلاً ف التسطار التحليلي، لمستقيم هوّ واحد لمجموعة د النقاطي لي كاملين كيحققو واحد لمعادلة خطية.

#### لمستوى

ف التسطار لؤقليدي، لمستوى هوّ سطح ب جوج أبعاد، لي كيمتد تال اللامسالية ف جميع الجوايه. ف نضريات خرين ديال التسطار، كانلقاو تعميمات ل هاد التعريف. لمستوى يقدر يتّدرس ف الطوپولوجيا كا كيان ب داتو، بلا مفاهيم خرين بحال لمستقيم ؤلا النقطة. ؤلا كا مستوى عوقادي ف إطار التحليل لعوقادي.

#### لقنيتة

لقنيتة هيّ واحد لكيان ماطيماتيكي محدد ب جوج شعوات (نص مستقيمات) خارجين من نفس النقطة لي كاتمتل الراس ديال لقنيتة، و الشعوات كيتسماو الجناب ديال لقنيتة. الدراسة ديال لقنيتات ديال المتلتات ؤلا ف دوارة وحداوية هيّ الساس ديال لحساب لمتلت.

#### لحنية

لحنية هيّ واحد لكيان ف بعد واحد لي تقدر تكون مستقيم ؤلا لا. ف بزاف د النضريات ديال التسطار، لحنية كاتكون كاتمتّل واحد الدالة لي لقيم ديالها أعداد حقيقية.

#### السطح

لكورة هيّ واحد السطح لي كيقدر يتعرّف ب پاراميطرات (ب *x* = *r* sin *θ* cos *φ*, *y* = *r* sin *θ* sin *φ*, *z* = *r* cos *θ*) ؤلا بشكل ضمني (ب *x*2 + *y*2 + *z*2 − *r*2 = 0.)
السطح هوّ واحد لكيان ف جوج أبعاد، لي يقدر يكون مسرّح و يقدر يكون عوج، بحال السطح ديال كورة. ف التسطار الجبري، السطح يقدر يتعرف ب معادلة پولينومية.

#### لمانيفولض

لمانيفولض هوّ تعميم ديال مفاهيم لحنية و السطح ف أي بعد (سيرتو من 3 ل لفوق). لمانيفولضات مخدمين بزاف د لفيزيك، سيرتو ف النضرية د النسبية و نضرية د لأوتار.

### الطول، التيساع، لقد

الطول، التيساع، و لقد كيوصفو لعبار ديال ستونات ماطيماتيكية ف بعد واحد، جوج، و تلاتة ب هاد الترتيب.

لأشكال التسطارية لمنتاضمة عندها صيغات د لحساب ديال التيساع ؤلا لقد لي معروفين. لأشكال لي مامنتاضمينش كيتحسبو هاد لعبارات ديالهوم، تا الأطوال، ب لحساب التفاضلي، بحال لانطيڭرال ديال ريمان *Riemann integral* و لانطيڭرال د لوبيڭ *Lebesgues integral*.

#### لميترية و لعبارات

لمفاهيم ديال الطول و لمسافة يقدرو يتعممو، شّي لي كيعطينا لمفهوم ديال فضاء ميتري. ف كلا نوع ديال التسطار تقدر تكون لميترية (الطريقة باش كاتّعبر لمسافة بين جوج نقاطي) مختالفة. بعض هاد التعاريف ديال لميترية كانلقاوهوم مطبقين ف لفيزيك، بحال لميترية د لورنز و لميترية د ريمان.

من جيهة خرة، النضرية د لعبار كاتعمم لمفاهيم ديال الطول، التيساع و لقد، حيت كاتدرس كيفاش كيتّعطى واحد لعبار ل شي مجموعة كيما كانت بحيت يتبعو نفس لخاصيات لكلاسيكيين لمعروفين.

### التطابق و التشابه

التطابق و التشابه مفاهيم لي كيعبّرو على حالة كيكونو فيها جوج شكال تسطارية متشابهين ف لخاصيات. ف التسطار لؤقليدي، التشابه كيوصف لأشكال لي عندها نفس الشكل *shape*، ف لوقت لي التطابق كيعني لحالة لي جوج أشكال كيكون عندهوم نفس الشكل و نفس لقد.

هاد الجوج مفاهيم كيتعممو ف نضرية التسطار التحويلي لي كاتدرس لمزايا ديال لأشكال التسطارية تحت نواع مختالفين ديال التحويلات.

### لمصاوبة ب لكومپا و لمسطارة

ف لماط لكلاسيكي، لأشكال التسطارية كانو ف لعادة كيتصاوبو غير ب جوج أدوات هوما لمسطارة و لكومپا. أي مصاوبة ديال شكل تسطاري كان خاصها تدار ف عدد مسالي ديال لخطوات. ولاكين معا لوقت بانو حالات ديال شكال لي مايمكنش يتصاوبو غير ب هاد الجوج أدوات. لمضلع لمصاوباوي هوّ مضلع لي يقدر يتصاوب غير ب لمسطارة و لكومپا.

### لأبعاد

ندفة د التلج د كوخ ب أبعاد مهرّسين =log4/log3 و بعد طوپولوجي =1
ف التسطار التقليدي، كيتدرسو فضاءَات ب بعد واحد (مستقيم)، ب جوج أبعاد (مستوى)، و ب 3 د لأبعاد (فضاء). لعولاما د لماط هادي جوج قرون و هوما كيتعاملو معا فضاءَات ب 4 د لأبعاد ؤلا كتر.

ف الطوپولوجيا لعامة، لمفهوم ديال لبعد تعمم من لأعداد الطبيعية ل اللامسالية (يعني يقدر يكون عندنا فضاء فيه أبعاد ماكيتسالاوش، بحال ف فضاء د هيلبرت) ؤلا أعداد حقيقية بحال التسطار لمهرس.

### السيميتري

السيميتري واحد لمفهوم لي كانلقاوه ف التسطار تقريباً من لبدية د التاريخ ديالو. السيميتري ديال دوارة، مضلع منتاضم ؤلا مجسم پلاطوني كانت عندها دلالة كبيرة عند لفلاسفة لقدام، و تدار ليها تحليل تا قبل من ؤقليدس.

لموتيفات السيميترية كاينين ف الطبيعة و متّلوهوم لفنانين ف لأعمال ديالهوم، بحال لحرايفيا لمغاربا ف لفن د الزليج، ؤلا ف الرسيم، النحت و غيرهوم. ف النص التاني د لقرن 19، لبقشاشا التسطاريين ركّزو بشكل كبير على لعلاقة مابين السيميتري و التسطار. متلاً لعالم د لماط فيليكس كلاين، ف إطار لپروڭرام د إرلانڭن، عتابر بلي السيميتري بواحد الشكل دقيق، و على طريق لمفهوم ديال ڭروپ د التحويلات، كاتعطينا لماهية ديال التسطار *براسها*. ف التسطار لؤقليدي، السيميتري كاتبان ف التطابق و لإزاحات و التدوير ديال لأشكال و الدمج مابين هاد التحويلات. ولاكين كلاين خدا لإلهام ديالو سيرتو من لخدمة ديال بولياي، لوباتشيڤسكي، ريمان و صوفوس لي. السيميتريات لمتقطعة و لمتواصلة بجوج كيلعبو دور ف التسطار، اللولة ف الطوپولوجيا و النضرية التسطارية د لڭروپات، و التانية ف نضرية لي و التسطار د ريمان.

كاين نوع أخور ديال السيميتري لي كيتجلّا ف مبدأ لمجواجية ف التسطار لإسقاطي، و هوّ *ميطافينومين* لي نقدرو نوصفوه ب هاد الشكل: يلا خدينا أي طيوريم لي كينطابق على نقطة ؤلا مستقيم، و بدّلنا واحد ب لاخور، كانطيحو ف طيوريم لي تاهوّا صحيح.

## نواع التسطار

### التسطار د ؤقليدس

التسطار د ؤقليدس هوّ النضرية لكلاسيكية ديال التسطار. حيت كيموديليزي الشكال ديال لعالم لواقعي، كانلقاوه مخدّم ف بزاف د لمجالات د الصيونص بحال لميكانيك، لفلك، لكريسطالوڭرافيا، و د التيكنيك و الطيكنولوجيا بحال لانجينيوري، لمعمار، الجيوديزيا، لأيروديناميك، و لملاحة. التعليم لإجباري ف أغلبية د لبلدان كيفرض التعلم ديال التسطار لؤقليدي، و لمفاهيم ديالو بحال النقطة، لمستقيم، لمستوى، لقنيتة، لمتلت، لكارو، الدوارة، التطابق، التشابه، و غيرهوم.

### التسطار التفاضلي

التسطار التفاضلي كيخدّم التفاضل باش يدرس پروبليمات د لماط لي كيدخلو فيها أشكال معوّجة
التسطار التفاضلي مجال ديال التسطار لي كيخدّم التفاضل و الجبر لخطي باش يدرس پروبليمات د لماط. عندو تطبيقات ف لفيزيك، ف لإكونوميترية، لبيوأنفورماتيك و مجالات خرين.

التسطار التفاضلي مهم بشكل خاص ف النضرية د النسبية لعامة ديال ألبيرط أينشطاين، لي كاتڭول بلي الزمكان واحد لكيان ب 4 د لأبعاد لي معوّج. التسطار التفاضلي يقدر يكون جوهري (من الجوهر ؤلا لماهية ؤلا لحقيقة د لحاجة)، يعني بلي كاتدرس مانيفولض مسرّح ولاكين خاضع ل قوانين د لميترية ف التسطار د ريمان، ولّا براني (ماشي جوهري) يعني الستون لمدروس خاضع ل لميترية ديال ؤقليدس ولاكين معوّج.

#### التسطار اللاؤقليدي

التسطار اللاؤقليدي هو أي نضرية ديال التسطار لي إما كاتبدّل وحدة من لأكسيومات ديال التسطار لؤقليدي (سيرتو ديال التوازي)، ؤلا كاتدير تبديل ؤلا تعميم ف لميترية (الطريقة باش كاتّعبر لمسافة بين جوج نقاطي).

### الطوپولوجيا

لعقدة ب تلاتة د لوريقات
الطوپولوجيا مجال لي كيدرس لفضاءَات لمستامرة، و نقدرو نڭولو بلي راه تعميم ديال التسطار لؤقليدي. عملياً، الطوپولوجيا كاتركز على لمزايا د لمستوى لعالي ديال لفضاء، بحال لموصولية *connectedness* و التزيارية *compactedness*. من بين لمجالات لفرعية ديال الطوپولوجيا كاين الطوپولوجيا التسطارية، الطوپولوجيا التفاضلية، الطوپولوجيا الجبرية، و الطوپولوجيا لعامة.

### التسطار الجبري

مانيفولض ديال كالابي ياو
التسطار الجبري تطور من التسطار التحليلي لي كيستعمل سيستيم د لإحداتيات. هاد لمجال تطور ب دورو كلما بانو نضريات و ستونات جديدة قابلين ل الدراسة ف لماط بحال التنوعات الجبرية، التسطار لإسقاطي، و الجبر التبادلي. أهم التطورات طراو مابين لخمسينات و السبعينات د لقرن 20، سيرتو ب لخدمة ديال جان پيير سير و أليكساندر ڭروتنديك. وحدة من لپروبليمات ديال جايزة لألفية هوّ لحدسية د هودج لي داخلة ف لكاضر ديال التسطار الجبري. و معروف بلي لماطيماتيسيان أندرو وايلز لقى لحل ديال الطيوريم اللخر د فيرما لي داخل ف نضرية لأعداد، ب تخدام طرقان قافزين ديال التسطار الجبري.

### التسطار لعوقادي

التسطار لعوقادي كيدرس لمزايا ديال كيانات تسطارية لي كيتموديليزاو ب أعداد عوقادية ؤلا لمستوى لعوقادي. التسطار لعوقادي جا ف التقاطع ديال التسطار التفاضلي، التسطار الجبري، و التحليل ديال الدوال ب متغيرات عوقادية و عندو تطبيقات ف نضرية د لأوتار.

التسطار لعوقادي بان معا بيرنهارد ريمان ف الدراسة ديالو على السطوح الريمانية. لخدمة على هاد لمجال كمّلوها لعولاما د لماط ف الطاليان، و منبعد ساهم فيها تا جان پيير سير لي بيّن لعلاقة مابين التسطار لعوقادي و الجبري. هاد لمجال كيركّز على دراسة مجموعة د لكيانات لماطيميتيكية، من بينها لمانيفولضات لعوقادية و التنوعات الجبرية. ف نضرية د لأوتار كيعتاقدو لعولاما بلي 6 من بين 10 د لأبعاد لي كاتقتارح النضرية بلي كيشكّلو الزمكان يقدرو يتموضيليزاو ب لمانيفولض د كالابي ياو.

### التسطار لمتقطع

التسطار لمتقطع كيشمل الدراسة ديال الرزمات د لكورات.
التسطار لمتقطع *discrete geometry* هوّ واحد لمجال فرعي ديال التسطار لي عندو علاقة قريبة معا التسطار لمحدب. هاد لمجال كيدرس پروبليمات لي كاتهتم ب لمواضع النسبية ديال ستونات ماطيماتيكية بحال النقاطي، لمستقيمات و الدواير، بحال لپروبليم ديال الرزمات د لكورات و لحدسية د كنيسير پولصن *Kneser Poulson conjecture*. بزاف د الطرقان لي مخدمين هنا كيتشاركو معا التركيبيات *combinatorics*.

### التسطار لحواسبي

التسطار لحواسبي كيهتم ب لألڭوريتمات و التطبيقات ديالهوم ف التسطار. من بين لپروبليمات لكلاسيكية هنا كاين لپروبليم د لبياع لمسافر *traveling salesman problem*، تحياد لخط لمخبي *hidden-line removal*، و لبرجامة لخطية *linear programming*. وخا هاد لمجال باقي جديد، عندو ديجا تطبيقات بحال ف الشوفان لكومپيوتري، لمعالجة الرقمية د التصاور، التصوير الطبي و غيرهوم.

### النضرية التسطارية د لڭروپات

ڭراف د كايلي ديال لڭروپ لحر لمولّد ب جوج عناصر a و b
النضرية التسطارية د لڭروپات كاتخدم تقنيات د النطاق لعالي باش تدرس لڭروپات لمسالية لمولدة. عندو علاقة قوية معا الطوپولوجيا ف أبعاد صغيرة، بحال ف لبرهان ديال ڭريڭوري پيريلمان د حدسية التسطير *geometrization conjecture* لي داخلة فيها حدسية پوانكاري، لي كانت من بين لپروبليمات د جايزة لألفية.

هاد النضرية كاتخدّم بزاف لڭراف د كايلي لي هوّ طريقة تسطارية ديال تمتيل ڭروپ.

### التسطار لمحدب

التسطار لمحدب كيدرس الشكال التسطارية لمحدبة ف التسطار لؤقليدي و النضريات لخرين د التسطار، ب ستيعمال تقنيات ديال التحليل لحقيقي، و لماط لمتقطع. عندو علاقة وطيدة معا التحليل لمحدب و تطبيقات ف نضرية لأعداد. هاد لمجال كيرجعو لأصول ديالو ل فترات قديمة، من نهار عطا أرخميديس تعريف مدقق ل التحداب *convexity*.

## تطبيقات

التسطار عندو تطبيقات ف شلا مجالات، لبعض منها مشروح هنا.

### ف لفن

ڭصعة من لمغريب ب النجمة لمورية ب تمنية د الريوس، ف متحف نيوارك ف ولاية نيوجيرسي، لميريكان
لماط و لفن مرتابطين ب شكال متنوعين. متلاً لفن د الرسيم عطا لفكرة بلي لمزايا ديال لحوايج مافيهومش غير لميترية (لعبار لحقيقي)، و هادشي عطا التسطار لإسقاطي باش يشمل كيفاش كيبانو لحوايج ف لواقع على حساب لموضع ديال لمراقب، ماشي غير كيفاش دايرين فعلياً.

النسبة الدهبية تاهيّ تخدمات بزاف د لفن، حيت كاين عتيقاد بلي كاتعطي أشكال متناسقة و مريحة ل لعين.

لفسيسفا ؤلا لموزاييك تاهوّ تستعمل بزاف سيرتو ف لمعمار لإسلامي بشكل عام، و لمعمار لمغريبي بشكل خاص.

### ف لمعمار

التسطار مخدم بزاف ف لمعمار، سوا ف لبني ؤلا الزواق ديال لمباني. كانلقاو الشكال التسطارية بحال نص كورة ف لقباب، لمخروط، لمستطيل و غيرهوم ف الشكل لعام د لمباني، زيادة على تخدام لفسيفسا و السيميتري. لمعماري يقدر يقاد الشكل د لبني باش يفورصي واحد لمنضور، شي لي يمكن نعتابروه تطبيق ل التسطار لإسقاطي.

لپيطاڭوريين هوما لي كانو كتاشفو بلي الطول ديال الجنب ديال متلت ماشي ضروري يكون عدد طبيعي ؤلا عدد كسري
### ف لفيزيك

ف لفلك كيتخدم التسطار بشكل كبير ف لمصاوبة ديال لخرايط النجمية و تحديد لمواقع ديال لكواكب. هاد لمجال كانو كيجيو منو بزاف د لپروبليمات ديال التسطار عبر التاريخ.

التسطار د ريمان مخدم ف نضرية د النسبية لعامة، و النضرية د لأوتار كاتستعمل عاداد ديال نضريات التسطار، و نفس الشي ب النسبة ل نضرية لمعلومات لكوانطية.

### ف فروع خرين د لماط

لحساب التفاضلي تأتر بزاف ب التسطار، من نهار دخّل روني ديكارت لإحداتيات، الشي لي خلا لأشكال التسطارية و لحنيات و التواسع لي كيفورميو قابلين ل الدراسة بشكل تحليلي.

الدراسة ديال لمتلتات خلات لپيطاڭوريين يكتاشفو بلي كاينين أعداد ماكيتكتبوش بشكل كسري (على شكل قسيم ديال جوج أعداد طبيعية)، و هادشي أتّر على لفلسفة ديالهوم. من لقرن 19 ولّا تخدام كبير ديال التسطار ف حل پروبليمات ديال نضرية لأعداد.

## مصادر

## مزاود

* Boyer, C.B. (1991) [1989]. *A History of Mathematics* (Second edition, revised by Uta C. Merzbach ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
* Cooke, Roger (2005). *The History of Mathematics*. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-44459-6.
* Hayashi, Takao (2003). "Indian Mathematics". In Grattan-Guinness, Ivor (ed.). *Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences*. Vol. 1. Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press. pp. 118–130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
* Hayashi, Takao (2005). "Indian Mathematics". In Flood, Gavin (ed.). *The Blackwell Companion to Hinduism*. Oxford: Basil Blackwell. pp. 360–375. ISBN 978-1-4051-3251-0.
* Nikolai I. Lobachevsky (2010). *Pangeometry*. Heritage of European Mathematics Series. Vol. 4. translator and editor: A. Papadopoulos. European Mathematical Society.
* Jay Kappraff (2014). *A Participatory Approach to Modern Geometry*. World Scientific Publishing. doi:10.1142/8952. ISBN 978-981-4556-70-5. Zbl 1364.00004.
* Leonard Mlodinow (2002). *Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace* (UK ed.). Allen Lane. ISBN 978-0-7139-9634-0.
* "Geometry" . *Encyclopædia Britannica* (ب الإنجليزية). Vol. 11 (11th ed.). 1911. pp. 675–736."Geometry" . *Encyclopædia Britannica*. Vol. 11 (11th ed.). 1911. pp. 675–736.
* A geometry course from Wikiversity
* *Unusual Geometry Problems*
* *The Math Forum* – Geometry مؤرشف 2022-01-28 فموقع وايباك ماشين
	+ *The Math Forum* – K–12 Geometry مؤرشف 2008-04-15 فموقع وايباك ماشين
	+ *The Math Forum* – College Geometry مؤرشف 2008-04-15 فموقع وايباك ماشين
	+ *The Math Forum* – Advanced Geometry مؤرشف 2008-04-16 فموقع وايباك ماشين
* Nature Precedings – *Pegs and Ropes Geometry at Stonehenge* مؤرشف 2020-02-26 فموقع وايباك ماشين
* *The Mathematical Atlas* – Geometric Areas of Mathematics
* "4000 Years of Geometry", lecture by Robin Wilson given at Gresham College, 3 October 2007 (available for MP3 and MP4 download as well as a text file)
	+ Finitism in Geometry at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
* The Geometry Junkyard
* Interactive geometry reference with hundreds of applets
* Dynamic Geometry Sketches (with some Student Explorations)
* Geometry classes at Khan Academy