# نظرية المجموعات

مخطط فن مبينا تقاطع مجموعتين.
**نظرية المجموعات** (بالإنجليزية: Set theory) هو فرع من علم المنطق الرياضي. تهتم تلك النظرية بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة.

كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية، اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق.

## تعاريف اساسية

### علاقة التابعية (الانتماء)

أحد أهم المصطلحات الاساسية في نظرية المجموعة هي التابعية، نقول أن الشيء WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 تابع (ينتمي) للمجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ونرمز لذلك بـ WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 إذا كان أحد أعضاء المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 . وهذا المصطلح هو علاقة ثنائية وقد تكون بين المجموعات كذلك.

### علاقة الجزئية

علاقة ثنائية أخرى بين المجموعات هي علاقة المجموعة الجزئية وهي مشتقة من علاقة التابعية: نقول أن WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 هي مجموعة جزئية للمجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 إذا كل عضو WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 تابع أيضا للمجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 أي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 . نرمز لهذه العلاقة بالشكل التالي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ونقول أيضا:A ضمن B. إذا تحقق أيضا أنَّ WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 حينها نقول ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية للمجموعة B. ونرمز لذلك بالشكل التالي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .و نقول أيضا:A ضمن B قطعا.

### علاقة الاتحاد

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى اتحاد المجموعتين WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .
عملية اتحاد مجموعتين A وB يرمز لها بـ WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B

بالرموز: WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

* مثال لاتحاد مجموعتين منتهيتين: WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
* مثال لاتحاد مجموعة منتهية ومجموعة غير منتهية: WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
* مثال لاتحاد مجموعتين غير منتهيتين: WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
* مثال مع المجموعة الخالية: WIKINIUM\_MATH\_PH\_38

### علاقة التقاطع

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى تقاطع المجموعتين WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .
عملية تقاطع مجموعتين A وB يرمز لها بـ WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A وB.
أي أن عنصر x ينتمي إلى WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B.

بالرموز: WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

* مثال لتقاطع مجموعتين منتهيتين: WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
* مثال لتقاطع مجموع منتهية ومجموعة غير منتهية: WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
* مثال لتقاطع مجموعتين غير منتهيتين: WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
* مثال مع المجموعة الخالية: WIKINIUM\_MATH\_PH\_54

مثال لمجموعة متممة: إذا كانت س

### علاقة الفرق

عملية الفرق بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B

بالرموز: WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

أمثلة:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
* الأعداد الفردية == WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 الأعداد الزوجية = B، الأعداد الطبيعية == A
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_70

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى الفرق المتماثل بين المجموعتين WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .
### علاقة الفرق المتماثل

عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط.
أي أن عنصر x ينتمي إلى WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 إذا وفقط إذا (x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A)

بالرموز: WIKINIUM\_MATH\_PH\_78

المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها.

### جداء ديكارتي

الجداء الديكارتي للمجموعتين A و- B , نرمز له كالتالي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 هي المجموعة كل الازواج المرتبة WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 بحيث أنَّ: WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 .

مثلا الجداء الديكارتي بين المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 و- WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 هو: WIKINIUM\_MATH\_PH\_92

### مجموعة القوة

مجموعة القوة لمجموعة ما- A عبارة عن مجموعة كل المجموعات الجزئية ل-A, وعادة ما يُرمز لها ب- WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 .

أي ان:- WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 .

على سبيل المثال: المجموعة الخالية تنتمي لمجموعة القوة الخاصة باي مجموعة كانت (لأن WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 لكل مجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ), كما ان كل مجموعة هي مجموعة جزئية لنفسها وعليه فهي تنتمي لمجموعة القوة الخاصة بها.

امثلة أخرى:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ؛
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 .

## قوانين اساسية من جبر المجموعات

تجتمع عمليتا الاتحاد والتقاطع على المجموعات مع بعض لتؤلف ما يعرف بجبر المجموعات.

بفرض ان WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 ثلاث مجموعات ما والمجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 هي المجموعة الشاملة نسبيا نجد ما يلي:

**قانونا اللانمو: WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_116

**القانونان التجميعيان: WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_120

**القانونان التبديليان: WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_124

**القانونان التوزيعيان: WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_128

**قوانين المحايد والماص: WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_136

**قوانين الإتمام: WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_144

**قانون الارتداد: WIKINIUM\_MATH\_PH\_146

**قانونا دومورغان: WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_150

## علاقات ودوالّ

### علاقات

العلاقات هي موضوع مهم ورائج في الرياضيات، وتشكل اداة مهمة في دراسة المجموعات وعناصرها.

وبشكل دقيق: علاقة- R من مجموعة- A إلى مجموعة- B هي مجموعة جزئية للجداء الديكارتي WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 , وإذا كان WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 فنرمز WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 . وفي حال ان WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 فنقول باختصار ان العلاقة هي على المجموعة A.

مثال: العلاقة > («اصغر» المعهودة من الاعداد الحقيقية - من اليسار إلى اليمين: مثلا WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ) على المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 هي WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 , كما ان العلاقة WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 على نفس المجموعة هي WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 , بينما العلاقة < على نفس المجموعة هي WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 .

هنالك أنواع مميزة من العلاقات، سنذكر بعضا منها ادناه:

لتكن- R علاقة على مجموعة معينة- A. إذاً فنقول ان R هي:

* علاقة انعكاسية: إذا تحقق ان WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 ؛
* علاقة تماثلية: إذا تحقق ان WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 ؛
* علاقة متعدّية: إذا تحقق ان WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 ؛
* علاقة تكافؤ: إذا تحقق ان R هي علاقة انعكاسية، تماثلية ومتعدية معاً.
* علاقة مضادة للانعكاس: إذا تحقق ان WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 ؛
* علاقةُ ترتيب جزئيّ: إذا تحقق ان R هي علاقة مضادة للانعكاس وانها متعدية معاً.
* علاقةُ ترتيب كامل: إذا تحقق ان R هي علاقة ترتيب جزئي وان كل عنصرين في A قابلان للمقارنة مع بعضهما البعض، أي WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 .

### دوالّ

دالة WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 من مجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 إلى مجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 هي امر افتراضي يناسب لكل عضو في WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 عضواً **واحداً ووحيدأ** من WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 .

ولكن علينا تعريف الدالة بشكل رياضي دقيق، وهذا يقتضي ان نعرّف كلمة «يناسب» اعلاه. سنفعل هذا بمساعدة مفهموم «العلاقة» بالشكل الاتي: دالة WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 من المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 إلى المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 هي **علاقة احاديةُ القيمة** من المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 إلى المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 , حيث ان المقصود باحادية القيمة هو ان لكل عضو في WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 **يوجد عضوواحد ووحيد** من WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 يحقق WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 , أي

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 وايضاً WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 .

إذا كانت WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 دالةً من المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 إلى المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 , فنكتب WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 , ويُصطلَح عادة تسمية المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 بمجال WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 وتسمية المجموعة WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 بمدى WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 , وعناصر WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 بالمصادر وعناصر WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 الذين لديهم مصادر بالصور.

إذا كان WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 صورةَ WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 تحت الدالة WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 , أي WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 , فغالبا ما يُشار إلى ذلك بالشكل التالي: WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 .

في حال كان مفهموما ضمنا من هي الدالة التي نتحدث عنها فقد نسقط اسمها، مثلا بدل القول "مجال الدالة WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 " نكتفي بالقول «المجال», وهكذا.

* دالة 1-1(واحد إلى واحد): نقول ان دالة WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 هي 1-1 إذا تحقق ان **لكل عنصر من WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 يوجدعلى الأكثر مصدر واحد**.
* دالة غمر (على): نقول ان دالة WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 هي غمر إذا تحقق ان **لكل عنصر من WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 يوجدعلى الأقل مصدر واحد**.

لدالة ال 1-1 والعلى اهمية كبيرة في علم المجموعات، وهي تُدعى احيانا تكافؤاً بين مجموعتي المجال والمدى.

## اقرأ أيضاً

* علم الأجزاء

## مراجع