# Mängileer

D Mängi as gedankligi Zämmefassig vo Objekt
D **Mängileer** isch e Däilgebiet vo dr Mathematik, wo Mängene vo Objekt studiert. Jeedi Art vo Objekt cha zwar zun ere Mängi zämmegfasst wärde, aber d Mängileer wird am hüfigste aagwändet bi Objekt, wo für d Mathematik relewant si.

## D Bedütig vo dr Mängileer

D Mängileer isch hützudags *das* grundlegende Däilgebiet vo dr Mathematik, wil mä hüte die ganzi Mathematik üübligerwiis in dr Sprooch vo dr Mängileer formuliert und sä uf de Axiom vo dr Mängileer ufbaut. Die mäiste mathematische Objekt, wo in Däilberiich wie under anderem Algebra, Analysis, Geometrii, Stochastik oder Topologii behandlet wärde, löön sich as Mängene definiere. Für dass d Mängileer e son e wichdigi Wüsseschaft isch, isch si no rächt jung. Erst wo d Grundlaagekriise vo dr Mathematik am Aafang vom 20. Joorhundert überwunde worde isch, het d Mängileer dr zentral und grundlegendi Blatz in dr Mathematik afo iinee, wo si hüte het.

## Mächdikäit

Für ändligi Mängene isch d Mächdigkäit gliich wie d Zaal vo de Elimänt vo dr Mängi, das isch äntwääder e natürligi Zaal oder Null.

Bi unändlige Mängene definiert mä Ekwiwalänzklasse, wo die verschiidene Mängene drzueghööre und git dene Kardinalzaale  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_0** . Äi Klass isch d Klass vo de abzellbare (mä säit au abzellbar unändlige) Mängene, wo alli gliich mächdig si wie d Mängi vo de natürlige Zaale WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 . Doodrzue ghööre under anderem die ganze und die razionale Zaale.

## Sümbol, wo in dr Mängileer brucht wärde

Für Mängene brucht mä im Allgemäine Groossbuechstaabe ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ) und für Elimänt vo Mängene Chliibuechstaabe ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ).

### Definizionszäiche

| Sümbol | Verwändig | Interpretazion
 |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 wird dur WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 definiert
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 wird per Definizion gliich WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 gsetzt |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 wird per Definizion gliichwärtig zu WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 gsetzt |

### Mängikonstrukzion

| Sümbol | Verwändig | Interpretazion
 |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28  |  | leeri Mängi
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  | D Mängi, wo us de Elimänt WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 und so witer bestoot
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  | D Mängi vo de Elimänt WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , wo d Bedingig WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 erfülle
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 |

### Mängioperazione

| Sümbol | Verwändig | Interpretazion
 |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52  | Veräinigung vo de Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  | Durchschnitt vo de Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68  | Differänz vo de Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  | symmetrischi Differänz vo de Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  | kartesischs Brodukt vo de Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  | Veräinigung vo de disjunkte Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  | Disjunkti Veräinigung vo de Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  | Komplemänt vo dr Mängi WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  | Potänzmängi vo dr Mängi WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 |

### Mängerelazione

| Sümbol | Verwändig | Interprezation
 |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 isch en ächti Däilmängi vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_134  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_140  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 isch e Däilmängi vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 isch en ächti Obermängi vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 isch en Obermängi vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168  | s Elimänt WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 isch in dr Mängi WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 enthalte
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_178  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180  | s Elimänt WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 isch nit in dr Mängi WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 enthalte
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_186  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_188
 |

*Hinwiis*: d Sümbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 wärde nit äihäitlig verwändet und schliesse hüfig d Gliichhäit vo de bäide Mängene nit us.

### Zaalemängene

| Sümbol | Verwändig | Interpretazion
 |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  |  | natürligi Zaale
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196  |  | ganzi Zaale
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198  |  | razionali Zaale
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200  |  | algebraischi Zaale
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_202  |  | reelli Zaale
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204  |  | komplexi Zaale
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_206  |  | Quaternione
 |

### Mächtigkäite

| Sümbol | Verwändig | Interpretazion
 |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_210  | Mächtigkäit (Kardinalität) von ere Mängi WIKINIUM\_MATH\_PH\_212
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_214  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_218  |  | Mächtigkäit vom Kontinuum
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 , ... | Kardinalzaale
 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_226  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 , ... | Beth-Zaale
 |

## E baar Begriff aaschaulig gmacht

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 isch en (ächti) *Däiilmängi* vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
* In root: D *Schnittmängi* vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_238
* In root: D *Veräinigungsmängi* vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  und  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242
* In root: D *Differänzmängi* WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 ooni WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
* In root: Die *sümmetrischi Differänz* vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_250
* In blau: S *relative Komplemänt* vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 in WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
* In grau: s *absolute Komplemänt* vo WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 im Uniwersum WIKINIUM\_MATH\_PH\_258
* S *kartesische Brodukt* WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 vo de bäide Mänge WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_264

* Felix Hausdorff: *Grundzüge der Mengenlehre*. Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2.
* Adolf Fraenkel: *Einleitung in die Mengenlehre*. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1928. Neudruck: Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4.
* Paul R. Halmos: *Naive Mengenlehre*. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
* Erich Kamke: *Mengenlehre*. 6. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1969.
* Kenneth Kunen: *Set Theory: An Introduction to Independence Proofs.* North-Holland, 1980, ISBN 0-444-85401-0.
* Arnold Oberschelp: *Allgemeine Mengenlehre*. Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994.
* André Joyal, Ieke Moerdijk: *Algebraic Set Theory*. Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1.
* Heinz-Dieter Ebbinghaus: *Einführung in die Mengenlehre*. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.

## Weblingg

 **Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre** — Lern- und Lehrmaterialie

 **Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre** — Lern- und Lehrmaterialie