# Meetkunde

Die ingeskrewe-hoek stelling
**Meetkunde** is 'n onderafdeling van wiskunde wat betrekking het op die studie van grootte, vorm en die eienskappe van ruimte. Meetkunde is een van die oudste wetenskappe. Aanvanklik was dit slegs 'n stel praktiese reëls vir berekeninge aangaande lengtes, areas en volumes. In die 3de eeu voor Christus is die vakgebied egter op 'n aksiomatiese grondslag geplaas deur die antieke Griekse wiskundige Euklides, wie se werk, wat nou sy naam dra, die standaard gestel het vir wiskundige ontwikkeling in die komende eeue. Die wetenskap van sterrekunde, veral die kartering van sterre en planete se posisies op die hemelsfeer, het gedien as 'n belangrike bron van meetkundige probleme vir die volgende een en 'n half duisend jaar van ontwikkeling. 'n Wiskundige wat werk in die veld van meetkunde word 'n meetkundige genoem.

Die bekendstelling van koördinate deur René Descartes en die parallelle ontwikkelling van algebra het 'n nuwe weg geput vir die vak, deurdat meetkundige figure, soos krommes op 'n vlak, nou analities voorgestel kon word, m.a.w. met behulp van vergelykings en formules. Hierdie deurbraak het 'n direkte invloed gehad op die ontwikkelling van kalkulus in die 17de eeu. Meetkunde is verder verryk deur Leonhard Euler en Karl Friedrich Gauss se studie van die intrinsieke struktuur van meetkundige objekte en het gelei tot die ontwikkelling van topologie en differensiële meetkunde.

In die 19de eeu word nie-Euklidiese meetkunde ontdek. Die konsep van ruimte ondergaan vervolgens 'n reuse omwenteling in die oë van wiskundiges en fisici en verdere ontwikkelling op dié gebied lê later die wiskundige grondslag vir Einstein se algemene relatiwiteitsteorie. Kontemporêre meetkunde wentel meestal om die studie van variëteite (Engels: manifolds). Hierdie ruimtes mag soms ekstra struktuur aan hulle verbonde hê, wat wiskundiges in staat stel om konsepte soos lengte te veralgemeen. Moderne meetkunde het sterk bande met moderne fisika, wat blyk uit die verbintenis tussen algemene relatiwiteit en Riemann-meetkunde. Kontemporêre navorsing in fisika, soos snaarteorie, se grondslae lê ook in meetkunde.

Die visuele natuur van meetkunde maak dit aanvanklik meer toeganklik as ander afdelings van wiskunde, soos algebra en getal teorie. Altans, word meetkundige konsepte gebruik in kontekste wat ver verwyderd is van die oorspronklike Euklidiese bedoelings daarvoor, by voorbeeld fraktaalmeetkunde en algebraïese meetkunde.

## Oorsig

Die geskrewe ontwikkeling van meetkunde strek oor 'n tydperk van meer as twee duisend jaar. Daarom is dit nie verbasend dat persepsies oor meetkunde verander het oor die jare namate nuwe ontdekkings in die veld gemaak is nie.

### Praktiese meetkunde

'n Visuele bewys van Pythagoras se stelling
Daar is min twyfel dat meetkunde sy oorsprong het as praktiese wetenskap, gemoeid met opmeting, maat, areas en volumes. Onder die merkwaardige ontdekkings val formules vir lengtes, areas en volumes, soos die stelling van Pythagoras, omtrek en area van 'n sirkel, area van 'n driehoek, volume van 'n silinder, sfeer en piramide. Die ontwikkelling van sterrekunde het gelei tot die ontdekking van trigonometrie en sferiese trigonometrie saam met gepaardgaande rekenkundige tegnieke.

### Aksiomatiese meetkunde

Euklides se "Elemente" is een van die mees invloedryke boeke in die geskiedenis. Die boek begin deur aksiomas te stel, wat ooglopende eienskappe van punte, lyne en vlakke wiskundig uitdruk, en dan deur wiskundige redenering verdere afleidings te maak. Opmerklik van Euklides se benadering van meetkunde is hoe streng wiskundig dit is. Vroeg in die 20ste eeu het David Hilbert ook aksiomatiese redenering gebruik in sy probeerslag om Euklidiese meetkunde op meer moderne fondasies te lê.

### Meetkundige konstruksies

Die konstruksie van 'n vyfhoek
Antieke wetenskaplikes het spesiale aandag gewy aan die konstruksie van meetkundige objekte wat op 'n ander manier gedefinieer was. Toegelate klassieke instrumente in dié konstruksies was die passer en ongemerkte liniaal. Sekere figure se konstruksie is baie moeilik, of selfs wiskundig onmoontlik. Die gebruik van vernuftige konstruksies wat gebruik maak van parabole en/of meganiese toestelle het sekere konstruksies vergemaklik.

### Getalle in meetkunde

Die tydgenote van Pythagoras het die rol van getalle in meetkunde ondersoek. Die ontdekking van sekere lengtes waarvan hul kwosiënt nie rasionaal is nie (bv. die diagonaal van 'n vierkant en 'n sy van dieselfde vierkant) was strydig met hul filosofie. Dit het daartoe gelei dat hulle (abstrakte) getalle laat vaar het as studieveld, en eerder op konkrete meetkundige hoeveelhede soos lengtes en areas van figure gefokus het. Getalle is in die veld heringevoer met behulp van koördinate deur Descartes, wat agtergekom het dat meetkundige figure bestudeer kan word deur hul algebraïese voorstelling. Analitiese meetkunde pas metodes van algebra toe op meetkundige vrae, tipies deur meetkundige krommes in betrekking tot algebraïese vergelykings te bring. Hierdie idees het 'n sleutelrol gespeel in die ontwikkelling van kalkulus in die 17de eeu en het gelei tot die ontdekking van 'n menigte nuwe eienskappe van krommes in 'n vlak. Moderne algebraïese meetkunde is gemoeid daarmee om soortgelyke vrae te beantwoord, maar maak gebruik van meer abstrakte argumente en strukture.

### Meetkunde van posisie

Die maksimum hoeveelheid sfere in twee dimensies wat gelyktydig aan 'n gegewe sfeer raak, sonder om mekaar te sny, is ses.
Selfs in antieke tye het meetkundiges vrae bestudeer oor die relatiewe posisie en ruimtelike verhouding tussen meetkundige figure. Onder voorbeelde hiervan val: Ingeskrewe en omgeskrewe sirkels van veelhoeke en lyne wat keëlsnitte sny of raak. In die middeleeue word nuwe en meer gesofistikeerde vrae gevra: Wat is die maksimum hoeveelheid sfere wat gelyktydig raak aan 'n gegewe sfeer met dieselfde radius, sonder om mekaar te sny. Wat is die digste verpakking van identiese sfere in 'n sekere ruimte? Meeste van hierdie vrae het gehandel oor starre liggame, soos lyne en sfere. Projektiewe-, konveks- en diskrete meetkunde is sub-dissiplines van hedendaagse meetkunde wat hierdie en soortgelyke vrae ondersoek.

'n Koffiebeker kan kontinu vervorm word na 'n torus
Euler het 'n nuwe weg gebaan in die meetkunde van posisie, deur om die metriese eienskappe meetkundige figure te ignoreer, en slegs te fokus op die fundamentele meetkundige struktuur voortgebring deur vorm alleen. Topologie, wat eers ontwikkel het as 'n sub-dissipline van meetkunde, maar later gegroei het tot 'n veld op sy eie, bestudeer vorms deur met die veronderstelling dat twee vorms ekwivalent geag word wanneer die een kontinu vervorm kan word na die ander.

### Meetkunde na Euklides

Vir meer as twee duisend jaar na Euklides, terwyl die verskeidenheid van meetkundige vrae en oplossings verbreed het, het die basiese begrip van ruimte grootliks onveranderd gebly. Die dominansie van Euklidiese meetkunde is egter omvergewerp deur die rewolusionêre ontdekking van nie-Euklidiese meetkunde in die werk van Gauss (wat nooit gepubliseer het nie), Bolai en Lobachevsky wie gedemonstreer het dat Euklidiese meetkunde slegs één moontlikheid is vir die ontwikkeling van meetkunde. 'n Breë visie vir die vak van meetkunde is toe gestel deur Riemann in sy inhuldigingrede: 'Oor die hipoteses waarop meetkunde gebaseer is'. Riemann se nuwe idees was later noodsaaklik as die wiskundige grondslag van Einstein se algemene relatiwiteitsteorie en Riemannse meetkunde, wat gebruik word om baie algemene ruimtes waarbinne die konsep van lengte gedefinieer kan word te bestudeer, is die staatmaker van moderne meetkunde.

### Simmetrie

'n Eenvormige teëling van die hiperboliese vlak
Die tema van simmetrie is amper so oud soos die vak meetkunde self. Die sirkel, reëlmatige veelhoeke en platoniese soliedes het 'n diep betekenis ingehou vir antieke filosowe en was al in veel detail bestudeer teen die tyd van Euklides. Simmetriese patrone kom in die natuur voor en word artisties uitgebeeld in menigte vorme, inkluis die verwilderende beelde van M. C. Escher. Nie te min, was dit slegs in die tweede halfte van die 19de eeu dat die verenigende rol van simmetrie in die fondamente van meetkunde herken is nie. Felix Klein se 'Erlangen program' proklameer in 'n presiese sin dat simmetrie, uitgedruk deur die konsep van 'n transformasie groep, bepaal wat meetkunde waarlik ís. Simmetrie in klassieke meetkunde is voorgestel deur kongruensies, maar dit was in die nuwe meetkundes van Bolyai en Lobachevsky, Riemann, Clifford en Klein, en Sophus Lie waar Klein se idee om ' 'n meetkunde te definieer deur middel van sy simmetrie groep' sy ware invloed gewys het. Beide diskrete en kontinue simmetrië speel 'n prominente rol in meetkunde, respektiewelik die eerste in topologie en meetkundige groepsteorie en die tweede in Lieteorie en Riemaniese meetkunde.

### Dimensie

Voorstelling van 'n 4-dimensionele kubus
Waar tradisionele meetkunde dimensies van 1 ('n lyn), 2 ('n vlak) of 3 (ons alledaagse ruimte) toegelaat het, het wiskundiges ruimtes van meer dimensies al vir meer as twee honderd jaar bestudeer. Die konsep van dimensie het gedaante wisselinge ondergaan, van waar dit enige natuurlike getal kon aan neem, selfs oneindig met die bekendstelling van Hilbert-ruimtes, tot enige positiewe reële getal in fraktaalmeetkunde. Dimensieteorie is 'n tegniese sub-vak, aanvanklik vallende onder algemene topologie.

Die kwessie van dimensie maak steeds saak, in die afwesigheid van komplete antwoorde op klassieke vrae. Dimensies 3 van ruimte en 4 van ruimte-tyd is spesiale gevalle in meetkundige topologie. Ruimtes met dimensies van 10 en 11 speel 'n belangrike rol in snaarteorie.

## Geskiedenis van meetkunde

Die oorsprong van meetkunde kan gesien word in die antieke beskawings van Mesopotamië, Egipte end die Indus Valei rond 3000 v.C. Vroeë meetkunde was eers 'n empiries ontdekte stel beginsels, handelend oor lengte, area en volume, wat ontwikkel was as praktiese hulpmiddel vir opmeting, konstruksie en sterrekunde. Die vroegste meetkundige dokumente wat bekend is, is die Egiptiese Rhind papirus en Moskou papirus, Babiloniese kleitablette, die Indiese Shulba Sutras en Chinese werke deur Mozi, Zhang Zeng en Lui Hui.

Euklides se werk, Die Elemente (c. 300 v.C.), was een van die belangrikste vroeë tekste oor die onderwerp waarin meetkunde op 'n aksiomatiese grondslag geplaas was en later bekend sou staan as Euklidiese meetkunde.

In die middeleeue het islamitiese wiskundiges bydrae gemaak tot die velde van algebraïese meetkunde en meetkundige algebra.

In die vroeë 17de eeu word twee belangrike deurbrake in meetkunde gemaak. Die eerste en belangrikste was die ontwikkelling van analitiese meetkunde deur René Descartes (1596–1650) en Pierre de Fermat (1601–1665). Dit was 'n essensiële voorafgaande ontwikkelling vir die geboorte van calculus en presiese kwantitatiewe formulering van fisika. Die tweede deurbraak was die setematiese studie van projektiewe meetkunde deur Girard Desargues (1591–1661). Projektiewe meetkunde is die studie van meetkunde sonder om gebruik te maak van 'maat', maar om slegs hoe punte oplyn met mekaar te bestudeer.

Twee ontwikkelinge in die 19de eeu het die wyse waarop die vak bestudeer word daadwerklik verander. Dit was die ontdekking van nie-Euklidiese meetkunde deur Lobachesky, Bolay en Gauss, asook die formulering van simmetrie as die sentrale objek van studie in die Erlangen program van Felix Klein was Euklidiese en nie-Euklidiese meetkunde veralgemeen het. Twee van die meesters van meetkunde in dié tyd was Bernhard Riemann, wat die Riemann oppervlak eerste ontdek het, en Henri Poincaré wat algebraïese topologie en dinamiese stelsels bestudeer het.

As gevolg van hierdie groot omwentelings hoe meetkunde eintlik bestudeer word, word die konsep van "ruimte" verbreed en dien as die natuurlike agtergrond vir die ontwikkelling van vakgebiede so divers as komplekse analise en klassieke meganika. Tradisionele meetkunde was geherorganiseer in wat vandag onder wiskundiges bekend staan as homogene ruimtes -- ruimtes wat "genoeg simmetrie" het sodat dit nie saak maak waar jy staan in die ruimte en in watter rigting jy kyk nie, dat die ruimte altyd dieselfde sal voorkom.