# Cartesiese koördinatestelsel

Fig. 1 - Cartesiese koördinatestelsel. Vierr punte word aangedui: (2,3) in groen, (-3,1) in rooi, (-1.5,-2.5) in blou en (0,0), die oorsprong, in pers.
In wiskunde word die **Cartesiese koördinatestelsel** gebruik om elke punt in 'n vlak uniek te bepaal deur twee getalle, gewoonlik die *x-koördinaat* en die *y-koördinaat* van die punt. Om die koördinate te definieer word twee gerigte lyne loodreg met mekaar (die *x-as* of *abscissa* en die *y-as* of *ordinaat*), sowel as die eenheid-lengte, wat op die twee asse gemerk word (sien Figuur 1), gespesifiseer. Cartesiese koördinatestelsels word ook in ruimte (waar drie koördinate gebruik word) en in hoër dimensies.

Deur die Cartesiese koördinatestelsel te gebruik kan meetkundige vroms (soos krommes) deur algebraïese vergelykings wat die koördinate van die punte op die vorm bevredig, beskryf word. Die sirkel met radius 2 kan beskryf word deur die vergelyking x² + y² = 4 (sien Figuur 2).

Cartesiese verwys na die Franse wiskundige en filosoof René Descartes (latyns: *Cartesius*), wat, onder andere, werk gedoen het om algebra en Euklidiese meetkunde saam te smelt. Die werk was belangrik in die ontwikkeling van analitiese meetkunde, analise, en kartografie.

Die idee vir die stelsel is in in 1637 in twee geskrifte deur Descartes ontwikkel. In deel twee van sy *Discours de la méthode* die nuwe idee ingevoer waarvolgens die posisie van 'n punt of voorwerp op 'n oppervlak gespesifiseer word deur twee asse wat mekaar sny as meetgidse te gebruik. In *La Géométrie* het hy die konsepte verder ontwikkel.

Fig. 2 - Cartesiese koördinatestelsel met die sirkel van radius 2 met die middelpunt by die oorsprong in rooi aangedui. Die vergelyking van die sirkel is x² + y² = 4.
## Twee-dimensionele koördinatestelsel

Die snydingspunt, waar die asse ontmoet, word die *oorsprong* gewoonlik aangedui as *O*, genoem.

Die **x-as** is die horisontale as wat gewoonlik na regs georiënteer is. In driedimensies word die x-, y-, en z-asse gewoonlik gerangskik om 'n regterhandse koördinaatslesel te vorm.

In Fisika en Sterrekunde word dié as soms die **abscissa** genoem. Die term word egter meer algemeen gebruik om na die koördinate langs die x-as te verwys.

Die *x*-en *y*-asse definieer 'n vlak wat die *xy* vlak genoem word. Gegee elke as, kies 'n eenheiids lengte en merk elke eenheid op die as om 'n rooster te vorm. Om 'n besondere punt te spesifiseer in 'n tweedimensionele koördinatestelsel, dui die *x* eenheid eerste aan (**abscissa**), gevolg deur die *y* eenheid (**ordinaat**) in die vorm (*x*,*y*), 'n geordende paar.

Fig. 3 - Die vier kwadrante van 'n Cartesiese koördinatestelsel. Die pyle op die asse dui aan dat dit vir ewig uitstrek in hulle onderskydelike rigtings (i.e. oneindiglik).
Die keuse van letters kom van 'n konvensie, om die einde van die alfabet te gebruik om onbekende waardes aan te dui. In teenstelling hiermee word die begin van die alfabet gebruik om bekende waardes aan te dui.

'n Voorbeeld van 'n punt *P* op die stelsel word in Figuur 3 aangedui deur die koördinate (3,5) te gebruik.

Die snyding van die twee asse skep vier gebeide wat **kwadrante** genoem word, aangedui deur die Romeinse syfers I, II, III, en IV. Volgens konfensie word die kwadrante anti-kloksgewys gemerk deur by die regter boonste ("noordoos") kwadrant te begin. In die eerste kwadrant, is beide koördinate positief, in die tweede kwadrant *x*-koördinate negatief en *y*-koördinate positief, in die derde kwadrant is beide koördinate negatief en ins die vierde kwadrant is *x*-koördinate positief en *y*-koördinate negatief (kyk onderstaande tabel.)

| Kwadrant | x-waardes | y-waardes
  |
| --- | --- | --- |
| I | > 0 | > 0
  |
| II | < 0 | > 0
  |
| III | < 0 | < 0
  |
| IV | > 0 | < 0
  |

## Driedimensionele koördinatestelsel

Die driedimensionele koördinatestelsel verskaf die drie fisiese dimensies van ruimte — hoogte, wydte, en lengte. Figure 4 en 5, onder, wys twee algemene maniere om die driedimensionele koördinatestelsel voor te stel.

Die koördinate in 'n driedimensionele stelsel het die vorm *(x,y,z)*. Byvoorbeeld, twee punte word in die stelsel gestip in Figure 4, punte *P*(3,0,5) en *Q*(−5,−5,7). Die asse word aangedui in 'n wêrel-koördinate orientasie met die *z*-as wat na bo wys.

Die *x*-, *y*-, en *z*-koördinate van 'n punt kan ook as die afstande van die *yz*-vlak, *xz*-vlak, en *xy*-vlak onderskeidelik geneem word. Figure 5 wys die afstande van punt P van die vlakke.

Fig. 4 - Driedimensionele Cartesiese koördinatestelsel met y-as wat *weg* van die waarnemer wys.
Fig. 5 - Driedimensionele Cartesiese koördinatestelsel met die x-as wat *na* die waarnemer wys.

## Verwysings