ペントミノ
Channel: 宇宙のすべての知識 プリンシピア
Date: 19/04/2019

ペントミノ, by Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki?curid=286351 / CC BY SA 3.0

#ポリフォーム
ペントミノ

ペントミノはポリオミノの一種である。5つの正方形を辺に沿ってつなげた形は回転・鏡像によって同じになるものを同一と考えると12種類ある。これらを総称してペントミノと呼ぶ。

鏡像を別物とすると、さらに6種増えて18種になる（F, L, N, P, Y, Z は鏡像が別物だが、I, T, U, V, W, X は線対称である）。これらを特に「片面型ペントミノ」とも呼ぶ。

90度回転まで考えると、対称性によって以下のようにグループ化できる。

ペントミノは、多くのメーカーからパズル・知育玩具として発売されている。プラスチック製や木製のものが多い。代表的な製品にテンヨーのプラパズルがある。

ピースの数が12であることから、各ピースを十二星座や十二支に見立てたデザインも発表されている。

最も一般的なペントミノの問題は、12片すべて使用して長方形を作ることである。

3x20, 4x15, 5x12, 6x10 の各長方形に対して、
の解がある。（回転・鏡像による解は同一のものとする）

6片ずつで 6x5 の長方形を2つ作る解もあり、その解から 6x10 と 5x12 のそれぞれ8種類の解が導かれる。

"UXPILNFTWYZV" と並べると、下のような 3x20 の1つの解が得られる。3×20は2つしか解を持たないが、この解の中央部分(LNFTWYZ)を反転させることで3×20のもう1つの解を得ることができる。

ペントミノ1セットで空所のある図形を作成する問題を総称して"ペントミノファーム"と呼ぶ。空所の形状に制限はないが、外部と点で接触していてはいけない。

外形・空所ともに何も制限がないときには、面積128の空所が最大であることが証明されている。

制限がある問題としては、外形は自由で空所は長方形(90)・外形は長方形で空所の形は自由(61)・全体が線対称(88)や点対称(59)などの問題がある（数字はその条件下で確認されている空所の面積の最大値）。

他の問題として、12片から1片を選び、残った11片のうちの9片で選んだ片の一辺を3倍に拡大した図形を作る問題がある。ペントミノ9セットで、3倍の大きさのペントミノ1セットを作ることもできる。

多くの問題において解の総数を手で求めることは難しく、コンピューターによって探索されることも珍しくない。いっぽうで前述のペントミノファームの証明は機械的なものではなく、証明を与えた島内は先入観にとらわれる危険について注意をうながしている。

6×10 の長方形に詰める方法の全解は、1960年にイギリスの と によって求められている。

8×8 の正方形の中央に 2×2 の穴がある形は1958年にデイナ・スコットにより解が65個であることが求められている。

ペントミノを利用して2人で遊ぶゲームがある。

8x8 のマスに交互にペントミノを置いていき、置けなくなったほうが負けになる。

両者が最善を尽くせば、先手が勝つ。

ペントミノの各ピースの厚さを1辺の長さと同じにすると、12片の立体が得られる。これらを立体ペントミノまたはプレイナーペンタキューブと呼ぶ。

何種類かの直方体に組むことができ
の解がある。

5x4x3の3940通りについては、テンヨーのプラパズルシリーズの5x4x3のものに「FACOM」という愛称が付けられていたことがあったが、それは当時その全数3940通りを計算した富士通のFACOM#FACOM 270 シリーズに由来する。

他に、1種のピースのみを複数使用して直方体を作る問題がある。この問題に関しては X以外のすべての片に対して解があることがわかっているが、いくつかは50片以上を必要とする。25片で立方体にできる物もある。

ジョン・ホートン・コンウェイが考案したライフゲームにおいてペントミノがどう変化するかは、初期の段階に考察された。

N,P,U,Y,Zはすべて3-4世代で消滅する。V,Wは2-3世代でパンになり、I,L,T,Xは、6-10世代後に信号灯 (ブリンカーの集合体)になる。

残ったFペントミノ (ライフゲームではrペントミノ・Rペントミノとも呼ばれる)は、複雑な変化をする。その変化を追いかける過程でグライダーが発見されている。これは、安定するまでに1103世代を要する。最終形は、8個のブロック、4個の蜂の巣、1個のボート、1個の船、1個のパン、4個のブリンカー、6個のグライダーからなる。

Fを含めたいくつかのピースは、通常と別の呼ばれ方をすることがある。...