Ein Königsweg zur Berechnung von Pi mit pythagoreischen Dreiecken - Detlef Dümke
Channel: Detlef Dümke
Date: 11/12/2021

Ein Königsweg zur Berechnung von Pi mit pythagoreischen Dreiecken

Die Kreiszahl π ist das konstante aber irrationale Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser, das heißt, π ist kein Bruch. 
So ist auch der einst mühsam gefundene Bruch 355/113 nur eine Näherung, aber eine auf 6 Nachkommastellen erstaunlich genaue. 

Unser Weg zu π beginnt bei den nahezu ineinander geschachtelten pythagoreischen Dreiecken 112²+66²=130² und 112²+15²=113². 

Wir benutzen den Arkustangens, der zu einer Steigung den Winkel im Gradmaß oder Bogenmaß gibt. Aus der Zeichnung lesen wir sein Additionstheorem ab arctan x + arctan y = arctan (x+y)/(1-xy).
Über arctan 1 = 45° = π/4 ergibt sich der Bezug zur Kreiszahl π. 

Nachgerechnet 4 arctan 1/15 = 2 arctan 15/112 = arctan 3360/12319 geben bis auf den winzigen arctan 3/145589 einfacher arctan 3/11.

Zusammen mit 2 arctan 3/11 = arctan 33/56 erklärt es die Figur der nahezu ineinander geschachtelten pythagoreischen Dreiecke. 

3 arctan 3/11 = arctan 531/517 liegen nur arctan 7/524 über π/4.

Zur Näherung kleiner Bogenlängen setzen wir arctan x ≈ x + px^3 an. arctan x - arctan y führt für den Parameter auf p = -1/3.

arctan x ≈ x - 1/3 x^3 vereinfachen wir zu genähert 3x/(3+x²).

Damit gewinnen wir 4 arctan 1/15 ≈ 45/169 als Zwischenergebnis.

Die obige Gleichung für 3 arctan 3/11 ergibt nach π aufgelöst 
π = 12 (arctan 3/11 - 1/3 arctan 7/524). Nähern wir arctan 3/11 durch 45/169 - 3/145589, ziehen 7/1572 ab und nehmen es mal 12,  erhalten wir die Kreiszahl auf fast 5 Nachkommastellen genau zu 
π ≈ 355/113. Die Zahlen passen geradezu wie ein Uhrwerk zusammen.