Raphaël Beuzart Plessis - Comparaisons de caractères relatifs locaux...
Channel: Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS)
Date: 2018-05-21

Comparaisons de caractères relatifs locaux et la conjecture d' Ichino - Ikeda pour les groupes unitaires

Les conjectures globales de Gan, Gross et Prasad relient la non
-annulation de certaines fonctions L de Rankin-Selberg en leur centre de symétrie à celle de périodes automorphes (intégrales
de formes automorphes le long d'un sous-groupe). Ces conjectures ont été raffinées par Ichino-Ikeda et N.Harris en des formules exactes reliant ces deux invariants.
En se basant sur une comparaison de formules des traces simples relatives proposée par Jacquet  et Rallis, Wei  Zhang
a  démontré  la  conjecture  d'Ichino-Ikeda pour  les groupes  unitaires sous certaines conditions locales. 
Ces  conditions  locales  sont  en  fait  assez  restrictives  et  Zhang  a énoncé  une  conjecture  purement  locale,  portant sur la comparaison de caractères 'relatifs' locaux, permettant de lever la plupart de ces restrictions. 
Dans cet exposé, je présenterai une démonstration de cette conjecture de Zhang qui traite uniformément les places archimédiennes et non-archimédiennes. Un des ingrédients ess
entiel de la preuve est une certaine formule  de  Plancherel  'explicite'  pour  l'espace  symétrique $GL_n(F)\backslash  GL_n(E)$  ($E/F$  une extension quadratique de corps locaux) et un corollaire de celle-ci est une formule pour le degré formel des 
séries discrètes de  groupes  unitaires  en  termes  de  facteurs  gamma  adjoints, confirmant  dans  ce  cas une conjecture d'Hiraga-Ichino-Ikeda.