Laurent Lafforgue - 3/3 Catégories syntactiques pour les motifs de Nori
Channel: Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS)
Date: 16/10/2015

"J'ai décidé de ne pas diffuser la partie 1 de cet exposé III, sur les catégories triangulées de Voevodsky, car, après de simples rappels sur ces catégories, elle proposait une question très mal posée, comme Ofer Gabber et d'autres auditeurs du cours me l'ont immédiatement et heureusement fait observer. Une version corrigée de cette partie, c'est-à-dire de la question posée, se trouvera dans les notes écrites du cours, telles qu'elles seront prochainement disponibles sur mon site et comme prépublication de l'IHES.

La vidéo est donc limitée à la partie 2 de cet exposé, à la recherche de "topos motiviques", qui est cependant la partie plus importante.

Laurent Lafforgue "

Il s'agit d'exposer un travail (http://arxiv.org/abs/1506.06113) cosigné avec Luca Barbieri-Viale et Olivia Caramello et essentiellement réalisé par cette dernière à partir d'une question initiale posée par le premier.

Le cours aura pour but d'expliquer une nouvelle construction, basée sur la logique catégorique, de la catégorie abélienne Q-linéaire de motifs mixtes que Nori a associée à tout foncteur cohomologique ou homologique à valeurs dans les Q-espaces vectoriels de dimension finie.
 
Cette nouvelle construction garde un sens pour les espaces vectoriels de dimension infinie, si bien qu'elle permet d'associer une catégorie Q-linéaire de motifs mixtes à tout foncteur (co)homologue à coefficients de caractéristique 0, donc non seulement à l'homologie de Betti (comme Nori lui-même avait fait) mais aussi, par exemple, aux cohomologies l-adiques, p-adique ou motivique.
 
Le caractère très constructif de la définition permet de montrer que les catégories abéliennes de motifs mixtes associées à différents foncteurs (co)homologiques sont équivalentes si et seulement si une famille bien précise (de nature logique) de propriétés explicites est vérifiée identiquement par ces foncteurs. Le double problème de l'existence d'une théorie cohomologique universelle et de l'équivalence entre les informations renfermées dans les différents foncteurs cohomologiques classiques est donc réduit à la vérification que ces propriétés explicites sont communes à ces foncteurs.
 
Le cours s'attachera en particulier à rendre familiers un langage et quelques résultats de logique catégorique qui ne sont généralement pas connus des géomètres algébristes.