پیش‌نویس:حدس جاکوبی

در ریاضیات، حدس ژاکوبی یک حدس ردشده دربارهٔ چندجمله‌ای‌ها در چندین متغیر است. این حدس بیان می‌کند که اگر یک تابع چندجمله‌ای از فضای -بعدی به خودش دارای دترمینان ژاکوبی غیرصفر و ثابت باشد، آنگاه این تابع دارای یک تابع معکوس چندجمله‌ای است.

این حدس نخستین‌بار در سال ۱۸۸۴ برای حالت دو متغیر توسط لودویگ کراوس مطرح شد و سپس در سال ۱۹۳۹ توسط Ott-Heinrich Keller برای چندجمله‌ای‌های دارای ضرایب صحیح در متغیر بازنویسی شد.

این مسئله بعدها توسط Shreeram Abhyankar به‌طور گسترده معرفی شد و به‌عنوان نمونه‌ای از یک پرسش دشوار در هندسه جبری شناخته شد که با دانش چندانی فراتر از حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز قابل درک است.

حدس ژاکوبی در فهرست سال ۱۹۹۸ Stephen Smale از «مسائل ریاضی برای قرن آینده» در جایگاه شمارهٔ ۱۶ قرار دارد. این حدس به‌دلیل تعداد بسیار زیاد اثبات‌های نادرست منتشرشده و منتشرنشده‌ای که بعدها مشخص شد دارای خطاهای ظریف بوده‌اند، شهرت زیادی پیدا کرد.) ([(https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-7/issue-2/The-Jacobian-conjecture--Reduction-of-degree-and-formal-expansion/bams/1183549636.pdf) pdf])

در ۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۶، Anthropic و ریاضی‌دان لِوِنت آلپوگه (Levent Alpöge) یک پادمثال صریح در فضای سه‌بعدی ارائه کردند که با استفاده از Claude Fable 5، مدل زبان بزرگ شرکت Anthropic، کشف شده بود. این پادمثال، حدس را برای رد می‌کند.

برای حالت خاص ، این حدس تا ژوئیهٔ ۲۰۲۶ همچنان یک مسئلهٔ حل‌نشده باقی مانده است، در حالی که برای اثبات آن به‌صورت بدیهی امکان‌پذیر است.

 دترمینان ژاکوبی 
فرض کنید یک عدد صحیح ثابت باشد و چندجمله‌ای‌های را در متغیرهای با ضرایبی از یک میدان در نظر بگیرید. سپس یک تابع برداری‌مقدار به صورت تعریف می‌کنیم که:

هر نگاشتی از نوع که به این شکل به‌دست آید، یک نگاشت چندجمله‌ای نامیده می‌شود.

دترمینان ژاکوبی تابع که با نماد نشان داده می‌شود، به‌عنوان دترمینان ماتریس ژاکوبی تعریف می‌شود. این ماتریس از مشتق‌های جزئی چندجمله‌ای‌های نسبت به متغیرهای تشکیل شده است:

در نتیجه، خود نیز یک تابع چندجمله‌ای از متغیر است.

 بیان حدس 
از قاعده زنجیره‌ای برای توابع چندمتغیره نتیجه می‌شود که اگر دارای یک تابع معکوس چندجمله‌ای

باشد، آنگاه دارای یک معکوس ضربی چندجمله‌ای است؛ بنابراین باید یک ثابت غیرصفر باشد. حدس ژاکوبی در واقع عکس جزئی این گزاره را بیان می‌کند:

حدس ژاکوبی: فرض کنید میدان دارای مشخصه صفر باشد. اگر یک ثابت غیرصفر باشد، آنگاه دارای تابع معکوس

است که منظم باشد؛ یعنی مؤلفه‌های آن چندجمله‌ای باشند.

به گفتهٔ ون دن اسن (van den Essen)، این مسئله نخستین‌بار در سال ۱۹۳۹ توسط کلر (Keller) برای حالت چندجمله‌ای‌های دارای ضرایب صحیح مطرح شد. این حالت، و همچنین حالت چندجمله‌ای‌ها روی میدانی با مشخصه صفر، با استفاده از اصل لوفش به حالت کاهش‌پذیر است.

با این حال، جست‌وجویی در سال ۲۰۲۵ در پایگاه دادهٔ zbMATH نشان داد که حالت دو متغیره روی پیش‌تر در سال ۱۸۸۴ توسط لودویگ کراوس مطرح شده بود؛ او در همان مقاله اثباتی ارائه کرد که بعدها مشخص شد دارای اشکال است.
اگر دارای مشخصهٔ باشد، نمونهٔ مشابه حدس ژاکوبی حتی در یک متغیر نیز درست نیست. مشخصهٔ یک میدان، اگر صفر نباشد، باید یک عدد اول باشد؛ بنابراین حداقل برابر با است.

چندجمله‌ای

دارای مشتق

است که برابر با می‌شود (زیرا )، اما دارای تابع معکوس نیست.

با این حال، کوسیوی آدجاماگبو (Kossivi Adjamagbo) پیشنهاد کرد که می‌توان حدس ژاکوبی را به مشخصه‌های نیز گسترش داد، به شرط آنکه فرض شود درجهٔ گسترش میدان را تقسیم نمی‌کند.

وجود یک تابع معکوس چندجمله‌ای زمانی بدیهی است که صرفاً مجموعه‌ای از توابع خطی نسبت به متغیرها باشد، زیرا در این صورت تابع معکوس نیز مجموعه‌ای از توابع خطی خواهد بود.

یک نمونهٔ سادهٔ غیرخطی به صورت زیر است:

در این حالت دترمینان ژاکوبی برابر است با:

در این مثال، تابع معکوس به شکل چندجمله‌ای‌های زیر وجود دارد:

اما اگر کمی را تغییر دهیم:

آنگاه دترمینان ژاکوبی برابر خواهد بود با:

که ثابت نیست، بنابراین حدس ژاکوبی دربارهٔ این تابع کاربردی ندارد.

این تابع در صورت کار روی اعداد حقیقی و با فرض دارای تابع معکوس است:

اما عبارت مربوط به یک چندجمله‌ای نیست. اگر به جای آن روی اعداد مختلط کار کنیم، جذر دارای چند مقدار خواهد بود.

شرط با قضیه تابع معکوس در حساب دیفرانسیل چندمتغیره ارتباط دارد. در واقع برای توابع هموار (و در نتیجه برای چندجمله‌ای‌ها)، یک تابع معکوس هموارِ موضعی برای در هر نقطه‌ای که صفر نباشد، وجود دارد.

این بدان معناست که در همسایگی هر یک از این نقاط، تابع به‌صورت دوسویی روی تصویر خود نگاشت می‌شود. برای نمونه، تابع:

دارای یک تابع معکوس هموار سراسری است، اما این تابع معکوس چندجمله‌ای نیست.

 نتایج 
استوارت سوی-شنگ وانگ (Stuart Sui-Sheng Wang) حدس ژاکوبی را برای چندجمله‌ای‌های دارای درجه ۲ اثبات کرد.

Hyman Bass، ادوین کانل (Edwin Connell) و دیوید رایت (David Wright) نشان دادند که حالت کلی حدس از حالت خاصی پیروی می‌کند که در آن چندجمله‌ای‌ها دارای درجهٔ ۳ هستند؛ یا دقیق‌تر، از نوع همگن مکعبی هستند؛ یعنی به شکل:

که در آن هر یا صفر است یا یک چندجمله‌ای همگن مکعبی است.

لودویک دروزکوفسکی (Ludwik Drużkowski) نشان داد که می‌توان فرض را حتی محدودتر کرد و کافی است نگاشت از نوع خطی مکعبی باشد؛ یعنی چندجمله‌ای‌های غیرصفر توان سوم چندجمله‌ای‌های خطی همگن باشند.

این کاهش‌ها متغیرهای اضافی معرفی می‌کنند و بنابراین برای یک مقدار ثابت از قابل استفاده نیستند.

ادوین کانل و لو ون دن دریس (Lou van den Dries) ثابت کردند که اگر حدس ژاکوبی نادرست باشد، آنگاه یک پادمثال با ضرایب صحیح و دترمینان ژاکوبی برابر با ۱ وجود خواهد داشت.

در نتیجه، حدس ژاکوبی یا برای تمام میدان‌های با مشخصهٔ صفر درست است یا برای هیچ‌کدام درست نیست. همچنین برای یک بعد ثابت ، اگر در حداقل یک میدان بستهٔ جبری با مشخصهٔ صفر درست باشد، در همهٔ موارد درست خواهد بود.

فرض کنید:

نشان‌دهندهٔ حلقهٔ چندجمله‌ای

باشد و نشان‌دهندهٔ زیرجبرِ باشد که توسط چندجمله‌ای‌های

تولید شده است.

برای یک تابع مشخص ، حدس ژاکوبی برقرار است اگر و تنها اگر:

باشد.

کلر (Keller) در سال ۱۹۳۹ حالت دودویی (birational) را اثبات کرد؛ یعنی حالتی که دو میدان:

و

با یکدیگر برابر باشند.

حالت دیگری که در آن

یک گسترش گالوا از

باشد، ابتدا توسط اندرو کمبل (Andrew Campbell) برای نگاشت‌های مختلط اثبات شد
و سپس به‌صورت کلی توسط مایکل رازِر (Michael Razar)
و به‌طور مستقل توسط دیوید رایت (David Wright) اثبات شد.

تسوونگ-تسینگ مو (Tzuong-Tsieng Moh) حدس را برای چندجمله‌ای‌های دو متغیره با درجهٔ حداکثر ۱۰۰ بررسی کرد.

میشیل دِ بوندت (Michiel de Bondt) و آرنو ون دن اسن (Arno van den Essen)
و لودویک دروزکوفسکی
به‌طور مستقل نشان دادند که برای اثبات حدس ژاکوبی کافی است حالت نگاشت‌های مختلط مکعبی همگن با ماتریس ژاکوبی متقارن بررسی شود.

همچنین نشان داده شد که حدس برای نگاشت‌های مکعبی خطی با ماتریس ژاکوبی متقارن، روی هر میدان با مشخصهٔ صفر برقرار است.

 حدس قوی ژاکوبی حقیقی 
«حدس قوی ژاکوبی حقیقی» بیان می‌کرد که یک نگاشت چندجمله‌ای حقیقی که دترمینان ژاکوبی آن در هیچ نقطه‌ای صفر نمی‌شود، دارای یک تابع معکوس هموار سراسری است.

این موضوع معادل آن است که بپرسیم آیا چنین نگاشتی از نظر توپولوژیکی یک نگاشت مناسب (proper map) است یا خیر؛ در این صورت، نگاشت یک پوشش روی یک منیفلد ساده‌همبند خواهد بود و در نتیجه وارون‌پذیر است.

سرگئی پینچوک (Sergey Pinchuk) پادمثال‌هایی دو متغیره با درجهٔ کلی ۳۵ و بالاتر برای این نسخه از حدس ساخت.

 ارتباط با حدس دیکسمیه 
شناخته شده است که حدس دیکسمیه، که بیان می‌کند هر یک از همریختی‌های جبر وِیل (Weyl algebra) یک خودریختی (automorphism) است، حدس ژاکوبی را نتیجه می‌دهد.

در جهت معکوس، یوشیفومی تسوچیموتو (Yoshifumi Tsuchimoto)
و به‌طور مستقل آلکسی بلوف-کانل (Alexei Belov-Kanel) و ماکسیم کونتسویچ (Maxim Kontsevich)
نشان دادند که حدس ژاکوبی در متغیر، حدس دیکسمیه را در بُعد نتیجه می‌دهد.

همچنین یک اثبات مستقل و کاملاً جبری از این ارتباط توسط کوسیوی آدجاماگبو و آرنو ون دن اسن ارائه شد.

آن‌ها همچنین در همان مقاله نشان دادند که این دو حدس با حدس پواسون نیز معادل هستند؛ حدسی که می‌گوید هر خودریختی از -اُمین جبر پواسون مختلط، یک خودریختی است.

 پادمثال 
در ۱۹ ژوئیهٔ ۲۰۲۶، لِوِنت آلپوگه (Levent Alpöge)، ریاضی‌دان و کارمند شرکت Anthropic، یک پادمثال صریح برای حدس ژاکوبی در فضای سه‌بعدی ارائه کرد. او اعلام کرد که این پادمثال با استفاده از مدل هوش مصنوعی Claude Fable 5 کشف شده است. به گفتهٔ آبیشک ساها (Abhishek Saha)، «یک خط ریاضی که آلپوگه منتشر کرده بود، به‌سادگی قابل بررسی بود و تا ۲۰ ژوئیه بسیاری از ریاضی‌دانان آن را بررسی کرده بودند».

این پادمثال، نگاشت چندجمله‌ای:

است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

دترمینان ژاکوبی این تابع، ثابت و برابر با:

است. با این حال، این نگاشت به‌صورت سراسری یک‌به‌یک نیست و در نتیجه وارون‌پذیر نیست؛ زیرا چندین نقطهٔ متمایز را به یک تصویر یکسان می‌فرستد.

برای نمونه، محاسبهٔ مقدار تابع در دو نقطه:

و

در هر دو حالت نتیجهٔ یکسان زیر را می‌دهد:

بنابراین تابع با وجود داشتن دترمینان ژاکوبی ثابت و غیرصفر، دارای تابع معکوس چندجمله‌ای نیست.

 منابع 

 پیوند به بیرون 
صفحهٔ وب تسوونگ-تسینگ مو دربارهٔ حدس

:رده:چندجمله‌ای‌ها
:رده:حدس‌ها
:رده:حدس‌های ردشده
:رده:هندسه جبری