اولویید

اولوید () جسمی هندسی و محدب در فضای سه‌بعدی است که از پوش محدب دو دایرهٔ هم‌شعاع در دو صفحهٔ متعامد تشکیل می‌شود، به‌گونه‌ای که مرکز هر دایره بر محیط دایرهٔ دیگر قرار گیرد.

اولوید در سال ۱۹۲۹ توسط پاول شاتس، مهندس، ریاضی‌دان و مجسمه‌ساز آلمانی، کشف شد. این جسم به دلیل ترکیب ویژگی‌های هندسهٔ دیفرانسیل، هندسهٔ محاسباتی و نظریهٔ سطوح توسعه‌پذیر مورد توجه قرار گرفته است.

سطح اولوید یک سطح توسعه‌پذیر و در عین حال یک سطح خط‌خط است؛ بدین معنا که می‌توان آن را بدون کشش یا پارگی بر روی صفحه گسترد و هر نقطهٔ آن بر روی یک خط مولد قرار دارد.

یکی از شناخته‌شده‌ترین ویژگی‌های اولوید آن است که مساحت سطح آن با مساحت کره‌ای هم‌شعاع برابر است، در حالی که حجم آن از حجم کره کمتر است.

اولوید همچنین از معدود اجسام محدبی است که هنگام غلتیدن بر روی یک صفحه، در طول یک چرخهٔ کامل، تمامی نقاط سطح آن دست‌کم یک بار با سطح تماس پیدا می‌کنند. این ویژگی موجب شده است که از آن در طراحی سامانه‌های اختلاط سیالات، تجهیزات هوادهی و برخی سامانه‌های مکانیکی استفاده شود.

 تاریخچه 
پاول شاتس در سال ۱۹۲۹ و در جریان پژوهش‌های خود دربارهٔ «وارونگی مکعب» (Invertible Cube)، جسم هندسی اولوید را کشف کرد.

شاتس در بررسی حرکت هندسی اجزای یک مکعب متحرک دریافت که پوش محدب دو دایرهٔ هم‌شعاع، که در دو صفحهٔ متعامد قرار دارند و مرکز هر یک بر محیط دیگری واقع است، جسمی با ویژگی‌های هندسی و سینماتیکی ویژه تشکیل می‌دهد. این جسم بعدها «اولوید» نام گرفت.

شاتس در ادامهٔ پژوهش‌های خود نشان داد که حرکت حاصل از وارونگی مکعب را می‌توان به صورت یک حرکت فضایی پیوسته توصیف کرد. این حرکت که بعدها با نام «حرکت توربولا» (Turbula motion) شناخته شد، مبنای طراحی برخی سامانه‌های اختلاط صنعتی قرار گرفت.

تا دههٔ ۱۹۹۰ بیشتر پژوهش‌ها دربارهٔ اولوید بر ویژگی‌های مکانیکی و کاربردهای عملی آن متمرکز بود. نخستین مطالعهٔ جامع دربارهٔ خواص هندسی این جسم در سال ۱۹۹۷ توسط هانس دیرنبوک و هلموت اشتاخل منتشر شد. آنان در مقالهٔ «The Development of the Oloid» نشان دادند که سطح اولوید یک سطح توسعه‌پذیر است و روابط تحلیلی مربوط به پارامتری‌سازی، بسط صفحه‌ای و مساحت آن را استخراج کردند.

از نتایج این پژوهش، اثبات برابری مساحت سطح اولوید با مساحت کره‌ای هم‌شعاع بود؛ نتیجه‌ای که به یکی از شناخته‌شده‌ترین ویژگی‌های این جسم تبدیل شد.

در سال ۲۰۱۶، یورگن بار و هلموت اشتاخل با بهره‌گیری از روش‌های هندسه انتگرالی، عرض میانگین اولوید و چند ناوردای هندسی دیگر را محاسبه کردند و برخی از نتایج پیشین را بسط دادند.

امروزه اولوید در هندسهٔ دیفرانسیل، هندسهٔ محاسباتی، نظریهٔ سطوح توسعه‌پذیر و طراحی سامانه‌های اختلاط به عنوان یکی از نمونه‌های شناخته‌شدهٔ سطوح خط‌خط توسعه‌پذیر مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

 تعریف ریاضی 
فرض کنید دو دایرهٔ هم‌شعاع با شعاع داده شده باشند به‌گونه‌ای که:

 صفحات حامل آن‌ها بر یکدیگر عمود باشند؛
 فاصلهٔ مراکز دو دایره برابر باشد؛
 مرکز هر دایره روی محیط دایرهٔ دیگر قرار گیرد.

در این صورت اولوید به صورت پوش محدب اجتماع این دو دایره تعریف می‌شود:

این جسم را در ادبیات هندسی اولوید منظم (Regular Oloid) نیز می‌نامند.

منابع

- **Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth** (1997). "The development of the oloid". *Journal for Geometry and Graphics*, 1 (2): 105–118. MR 1622664. [PDF](https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0113.pdf)

- **Schatz, Paul** (1975). *Rhythmusforschung und Technik*. Freies Geistesleben, Stuttgart.

- **Bär, Jürgen; Stachel, Hellmuth** (2016). "The Mean Width of the Oloid and Integral Geometric Applications of It". *arXiv*.

- **Stewart, A. T.** (1966). "Two-Circle Roller". *American Journal of Physics*, 34 (2): 166–167.

- **Kuleshov, Alexander S.; Hubbard, Mont; Peterson, Dale L.; Gede, Gilbert** (2011). "Motion of the Oloid-toy". *Proc. 7th European Nonlinear Dynamics Conference*, Rome, Italy.

- **Pottmann, H.; Wallner, J.** (2001). *Computational Line Geometry*. Springer-Verlag.

- **Heidelberg Institute for Theoretical Studies (HITS)** (2019). [The Oloid](https://www.h-its.org/projects/oloid/).

- **Langscheid, Tobias; Richter, Tilo** (Ed.) (2023). *Oloid – Form of the Future*. niggli Verlag. ISBN 978-3-7212-1025-5.

- **Sloane, N. J. A.** (ed.). [Sequence A215447](https://oeis.org/A215447). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

- **en.wikipedia.org**: [Oloid](https://en.wikipedia.org/wiki/Oloid) (مقاله مرجع انگلیسی)

---

رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر