Trims and extensions of quadratic APN functions

Abstract In this work, we study functions that can be obtained by restricting a vectorial Boolean function $$F :\mathbb {F}_{2}^n \rightarrow \mathbb {F}_{2}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math> to an affine hyperplane of dimension $$n-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and then projecting the output to an $$n-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> -dimensional space. We show that a multiset of $$2 \cdot (2^n-1)^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>·</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math> EA-equivalence classes of such restrictions defines an EA-invariant for vectorial Boolean functions on $$\mathbb {F}_{2}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:math> . Further, for all of the known quadratic APN functions in dimension $$n &lt; 10$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , we determine the restrictions that are also APN. Moreover, we construct 6368 new quadratic APN functions in dimension eight up to EA-equivalence by extending a quadratic APN function in dimension seven. A special focus of this work is on quadratic APN functions with maximum linearity. In particular, we characterize a quadratic APN function $$F :\mathbb {F}_{2}^n \rightarrow \mathbb {F}_{2}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math> with linearity of $$2^{n-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math> by a property of the ortho-derivative of its restriction to a linear hyperplane. Using the fact that all quadratic APN functions in dimension seven are classified, we are able to obtain a classification of all quadratic 8-bit APN functions with linearity $$2^7$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>7</mml:mn></mml:msup></mml:math> up to EA-equivalence.