Closed sets of finitary functions between products of finite fields of coprime order

Abstract We investigate the finitary functions from a finite product of finite fields $$\prod _{j =1}^m\mathbb {F}_{q_j} = {\mathbb K}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> to a finite product of finite fields $$\prod _{i =1}^n\mathbb {F}_{p_i} = {\mathbb {F}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where $$|{\mathbb K}|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$|{\mathbb {F}}|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are coprime. An $$({\mathbb {F}},{\mathbb K})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -linearly closed clonoid is a subset of these functions which is closed under composition from the right and from the left with linear mappings. We give a characterization of these subsets of functions through the $${\mathbb {F}}_p[{\mathbb K}^{\times }]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> -submodules of $$\mathbb {F}_p^{{\mathbb K}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> , where $${\mathbb K}^{\times }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> is the multiplicative monoid of $${\mathbb K}= \prod _{i=1}^m {\mathbb {F}}_{q_i}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Furthermore we prove that each of these subsets of functions is generated by a set of unary functions and we provide an upper bound for the number of distinct $$({\mathbb {F}},{\mathbb K})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -linearly closed clonoids.