Closed expressions for one-qubit states of convex roof coherence measures

Abstract We study the closed expressions of the convex roof coherence measures for one-qubit states in this paper. We present the analytical expressions for the convex roof coherence measures, <?CDATA $C_f(\rho)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , of one-qubit states with <?CDATA $C_f(\varphi): = f(\left|c_0\right|^2,\left|c_1\right|^2)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced close="|" open="|"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced close="|" open="|"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> (where <?CDATA $|\varphi\rangle = c_0|0\rangle+c_1|1\rangle$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> </mml:math> ) being convex with respect to the l 1 norm of coherence of ϕ (i.e. <?CDATA $C_{l_1}(\varphi)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> ), such coherence measures including the coherence of formation, the geometric measure of coherence, the coherence concurrence, and the coherence rank. We further present the operational interpretations of these measures. Finally, we present the usefulness of the convex roof coherence measures <?CDATA $C_f(\varphi)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> being non-convex with respect to <?CDATA $C_{l_1}(\varphi)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> by giving the necessary and sufficient conditions for the transformations <?CDATA $p\varphi_1\oplus(1-p)\varphi_2\to q\phi_1\oplus(1-q)\phi_2$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> via incoherent operations, where ϕ i , φ j <?CDATA $(i, j = 1, 2)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> are one-qubit pure states and <?CDATA $0\leqslant p, q\leqslant 1$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .