Representation and matrix-product structure of Type-1 constacyclic codes over $ \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle $

&lt;p style='text-indent:20px;'&gt;Let &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M2"&gt;\begin{document}$ \mathbb{F}_{p^m} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; be a finite field of &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M3"&gt;\begin{document}$ p^m $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; elements, where &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M4"&gt;\begin{document}$ p $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is a prime number and &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M5"&gt;\begin{document}$ m $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is a positive integer. Let &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M6"&gt;\begin{document}$ e\geq 2 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; be an integer and set &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M7"&gt;\begin{document}$ R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; Then &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M8"&gt;\begin{document}$ R $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is a finite chain ring with unit group &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M9"&gt;\begin{document}$ R^\times $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; and any Type-&lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M10"&gt;\begin{document}$ 1 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; unit of &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M11"&gt;\begin{document}$ R $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; can be expressed as: &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M12"&gt;\begin{document}$ \lambda+\omega u $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;, where &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M13"&gt;\begin{document}$ \lambda\in \mathbb{F}_{p^m}^\times $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; and &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M14"&gt;\begin{document}$ \omega\in R^\times $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. Let &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M15"&gt;\begin{document}$ k, n $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; be positive integers satisfying &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M16"&gt;\begin{document}$ {\rm gcd}(p, n) = 1 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. First, we give an explicit representation for all distinct &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M17"&gt;\begin{document}$ (\lambda+\omega u) $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-constacyclic codes of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M18"&gt;\begin{document}$ p^kn $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M19"&gt;\begin{document}$ R $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. Then we prove that every &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M20"&gt;\begin{document}$ (\lambda+\omega u) $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-constacyclic code of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M21"&gt;\begin{document}$ p^kn $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M22"&gt;\begin{document}$ R $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is monomially equivalent to a matrix-product code of a nested sequence of &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M23"&gt;\begin{document}$ p^k $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M24"&gt;\begin{document}$ \lambda_0 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-constacyclic codes with length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M25"&gt;\begin{document}$ n $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M26"&gt;\begin{document}$ R $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; and a &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M27"&gt;\begin{document}$ p^k\times p^k $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; matrix over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M28"&gt;\begin{document}$ \mathbb{F}_p $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;, where &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M29"&gt;\begin{document}$ \lambda_0\in \mathbb{F}_{p^m}^\times $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; satisfying &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M30"&gt;\begin{document}$ \lambda_0^{p^k} = \lambda $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. Using the matrix-product structures, we give an iterative construction of every &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M31"&gt;\begin{document}$ (\lambda_0^{p^k}+\omega u) $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-constacyclic code of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M32"&gt;\begin{document}$ p^kn $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; by &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M33"&gt;\begin{document}$ p $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M34"&gt;\begin{document}$ (\lambda_0^{p^{k-1}}+\omega u) $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-constacyclic codes of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M35"&gt;\begin{document}$ p^{k-1}n $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M36"&gt;\begin{document}$ R $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. As an application, we provide several illustrative examples for Type-&lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M37"&gt;\begin{document}$ 1 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; repeated-root constacyclic codes over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M38"&gt;\begin{document}$ R $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;.&lt;/p&gt;