Normality of the Thue–Morse function for finite fields along polynomial values

Abstract Let $$\varvec{F}_q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be the finite field of q elements, where $$q=p^r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is a power of the prime p , and $$\left( \beta _1, \beta _2, \dots , \beta _r \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:math> be an ordered basis of $$\varvec{F}_q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> over $$\varvec{F}_p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . For $$\begin{aligned} \xi =\sum _{i=1}^rx_i\beta _i, \quad x_i\in \varvec{F}_p, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace /> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> we define the Thue–Morse or sum-of-digits function $$T(\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> on $$\varvec{F}_q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> by $$\begin{aligned} T(\xi )=\sum _{i=1}^{r}x_i. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> For a given pattern length s with $$1\le s\le q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , a vector $$\varvec{\alpha }=(\alpha _1,\ldots ,\alpha _s)\in \varvec{F}_q^s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> with different coordinates $$\alpha _{j_1}\not = \alpha _{j_2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , $$1\le j_1&lt;j_2\le s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , a polynomial $$f(X)\in \varvec{F}_q[X]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of degree d and a vector $$\mathbf{c} =(c_1,\ldots ,c_s)\in \varvec{F}_p^s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> we put $$\begin{aligned} \mathcal{T}(\mathbf{c} ,\varvec{\alpha },f)=\{\xi \in \varvec{F}_q : T(f(\xi +\alpha _i))=c_i,~i=1,\ldots ,s\}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace /> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> In this paper we will see that under some natural conditions, the size of $$\mathcal{T}(\mathbf{c} ,\varvec{\alpha },f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is asymptotically the same for all $$\mathbf{c} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:math> and $$\varvec{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> in both cases, $$p\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$r\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , respectively. More precisely, we have $$\begin{aligned} \left||\mathcal{T}(\mathbf{c} , \varvec{\alpha }, f) |- p^{r-s} \right|\le (d-1)q^{1/2} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> under certain conditions on d , q and s . For monomials of large degree we improve this bound as well as we find conditions on d , q and s for which this bound is not true. In particular, if $$1\le d&lt;p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> we have the dichotomy that the bound is valid if $$s\le d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and for $$s\ge d+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> there are vectors $$\mathbf{c} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:math> and $$\varvec{\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with $$\mathcal{T}(\mathbf{c} ,\varvec{\alpha },f)=\emptyset $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∅</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> so that the bound fails for sufficiently large r . The case $$s=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> was studied before by Dartyge and Sárközy.