AG codes from $${{\mathbb{F}}_{q^7}}$$-rational points of the GK maximal curve

Abstract In Beelen and Montanucci (Finite Fields Appl 52:10–29, 2018) and Giulietti and Korchmáros (Math Ann 343:229–245, 2009), Weierstrass semigroups at points of the Giulietti–Korchmáros curve $${\mathcal {X}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> were investigated and the sets of minimal generators were determined for all points in $${\mathcal {X}}(\mathbb {F}_{q^2})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $${\mathcal {X}}(\mathbb {F}_{q^6})\setminus {\mathcal {X}}( \mathbb {F}_{q^2})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . This paper completes their work by settling the remaining cases, that is, for points in $${\mathcal {X}}(\overline{\mathbb {F}}_{q}){\setminus }{\mathcal {X}}( \mathbb {F}_{q^6})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . As an application to AG codes, we determine the dimensions and the lengths of duals of one-point codes from a point in $${\mathcal {X}}(\mathbb {F}_{q^7}){\setminus }{\mathcal {X}}( \mathbb {F}_{q})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and we give a bound on the Feng–Rao minimum distance $$d_{ORD}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ORD</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> . For $$q=3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> we provide a table that also reports the exact values of $$d_{ORD}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ORD</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> . As a further application we construct quantum codes from $$\mathbb {F}_{q^7}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -rational points of the GK-curve.