Small prime 𝑘th power residues

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an integer. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be given. It is widely believed that the smallest prime that is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th power residue modulo a prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> should be <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis q Superscript epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O(q^{\epsilon })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Elliott has proved that for large primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q identical-to 1 mod k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\equiv 1\bmod k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such a prime is at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q Superscript StartFraction k minus 1 Over 4 EndFraction plus epsilon"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q^{\frac {k-1}{4}+\epsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We show that for large primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q identical-to 1 mod k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\equiv 1\bmod k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the number of primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p less-than-or-equal-to q Superscript StartFraction k minus 1 Over 4 EndFraction plus epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\leq q^{\frac {k-1}{4}+\epsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th power residue <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mod q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bmod \, q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is at least <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q Superscript StartFraction 9 epsilon Over 20 k EndFraction"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>20</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q^{\frac {9\epsilon }{20k}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.