On three-variable expanders over finite valuation rings

Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi mathvariant="script">ℛ</m:mi> </m:math> {\mathcal{R}} be a finite valuation ring of order <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mi>q</m:mi> <m:mi>r</m:mi> </m:msup> </m:math> {q^{r}} . In this paper, we prove that for any quadratic polynomial <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>f</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="script">ℛ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {f(x,y,z)\in\mathcal{R}[x,y,z]} that is of the form <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {axy+R(x)+S(y)+T(z)} for some one-variable polynomials <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>S</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> </m:math> {R,S,T} , we have <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>f</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>B</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>C</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>≫</m:mo> <m:mrow> <m:mi>min</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo maxsize="210%" minsize="210%">{</m:mo> <m:msup> <m:mi>q</m:mi> <m:mi>r</m:mi> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>B</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>C</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:msup> <m:mi>q</m:mi> <m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mfrac> <m:mo maxsize="210%" minsize="210%">}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> |f(A,B,C)|\gg\min\biggl{\{}q^{r},\frac{|A||B||C|}{q^{2r-1}}\bigg{\}} for any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>B</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>C</m:mi> </m:mrow> <m:mo>⊂</m:mo> <m:mi mathvariant="script">ℛ</m:mi> </m:mrow> </m:math> {A,B,C\subset\mathcal{R}} . We also study the sum-product type problems over finite valuation ring <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi mathvariant="script">ℛ</m:mi> </m:math> {\mathcal{R}} . More precisely, we show that for any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>⊂</m:mo> <m:mi mathvariant="script">ℛ</m:mi> </m:mrow> </m:math> {A\subset\mathcal{R}} with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>≫</m:mo> <m:msup> <m:mi>q</m:mi> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mfrac> <m:mn>1</m:mn> <m:mn>3</m:mn> </m:mfrac> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:math> {|A|\gg q^{r-\frac{1}{3}}} then <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>max</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">{</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>d</m:mi> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>d</m:mi> </m:msup> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\max\{|AA|,|A^{d}+A^{d}|\}} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>max</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">{</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>A</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mi>A</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\max\{|A+A|,|A^{2}+A^{2}|\}} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>max</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">{</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>≫</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mfrac> <m:mn>2</m:mn> <m:mn>3</m:mn> </m:mfrac> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mi>q</m:mi> <m:mfrac> <m:mi>r</m:mi> <m:mn>3</m:mn> </m:mfrac> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\max\{|A-A|,|AA+AA|\}\gg|A|^{\frac{2}{3}}q^{\frac{r}{3}}} , and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>f</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>≫</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>A</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mfrac> <m:mn>2</m:mn> <m:mn>3</m:mn> </m:mfrac> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mi>q</m:mi> <m:mfrac> <m:mi>r</m:mi> <m:mn>3</m:mn> </m:mfrac> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {|f(A)+A|\gg|A|^{\frac{2}{3}}q^{\frac{r}{3}}} for any one variable quadratic polynomial f .