Structure of multicorrelation sequences with integer part polynomial iterates along primes

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a measure-preserving <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z Superscript script l"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>ℓ<!-- ℓ --></mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}^\ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-action on the probability space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X comma script upper B comma mu right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(X,{\mathcal B},\mu ),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q 1 comma ellipsis comma q Subscript m Baseline colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R Superscript script l"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:<!-- : --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>ℓ<!-- ℓ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q_1,\dots ,q_m\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}^\ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be vector polynomials, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f 0 comma ellipsis comma f Subscript m Baseline element-of upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f_0,\dots ,f_m \in L^\infty (X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. For any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and multicorrelation sequences of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha left-parenthesis n right-parenthesis equals integral Underscript upper X Endscripts f 0 dot upper T Superscript left floor q 1 left-parenthesis n right-parenthesis right floor Baseline f 1 midline-horizontal-ellipsis upper T Superscript left floor q Super Subscript m Superscript left-parenthesis n right-parenthesis right floor Baseline f Subscript m Baseline d mu"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⌊<!-- ⌊ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⌋<!-- ⌋ --></mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⌊<!-- ⌊ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⌋<!-- ⌋ --></mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha (n) =\int _Xf_0\cdot T^{ \lfloor q_1(n) \rfloor }f_1\cdots T^{ \lfloor q_m(n) \rfloor }f_m\;d\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show that there exists a nil- sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi"> <mml:semantics> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\psi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for which <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N minus upper M right-arrow normal infinity Endscripts StartFraction 1 Over upper N minus upper M EndFraction sigma-summation Underscript n equals upper M Overscript upper N minus 1 Endscripts StartAbsoluteValue alpha left-parenthesis n right-parenthesis minus psi left-parenthesis n right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim _{N - M \to \infty } \frac {1}{N-M} \sum _{n=M}^{N-1} |\alpha (n) - \psi (n)| \leq \epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N right-arrow normal infinity Endscripts StartFraction 1 Over pi left-parenthesis upper N right-parenthesis EndFraction sigma-summation Underscript p element-of double-struck upper P intersection left-bracket 1 comma upper N right-bracket Endscripts StartAbsoluteValue alpha left-parenthesis p right-parenthesis minus psi left-parenthesis p right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to epsilon period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∩<!-- ∩ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>ϵ<!-- ϵ --></mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim _{N \to \infty } \frac {1}{\pi (N)} \sum _{p \in \mathbb {P}\cap [1,N]} |\alpha (p) - \psi (p)| \leq \epsilon .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> This result simultaneously generalizes previous results of Frantzikinakis and the authors.