Transformation of Superposed Quantum States Using Measurement Operators

Quantum computation based on a gate model is described. This model initially creates a superposition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> </math> consisting of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </math> states, and these states are labeled by an <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mi>n</mi> </math> qubit index value <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mi>j</mi> </math> . Two working qubits <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </math> and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </math> are added for a measurement. Moreover, one marking qubit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> is added to discriminate between states in a superposition. Thus, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> <mo>=</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msubsup> <mrow> <mo stretchy="false">∑</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>〉</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </math> . The Hadamard transformation is applied to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </math> and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </math> . <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> <mo>=</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <msup> <mrow> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msubsup> <mrow> <mo stretchy="false">∑</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>〉</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> . After a computation, a set of states is divided into two subsets; one is a subset bad (B) and the other is a subset good (G). <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> <mo>=</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <msup> <mrow> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mrow> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msub> <mrow> <mo stretchy="false">∑</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>〉</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msub> <mrow> <mo stretchy="false">∑</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>〉</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> . After a marking, a superposition is measured by POVM. The measurement is described by a collection of four measurement operators. The measurement transforms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> </math> into <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mi>|</mi> <msub> <mrow> <mi>ψ</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mi>〉</mi> <mo>=</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfenced> <mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mrow> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msub> <mrow> <mo stretchy="false">∑</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>〉</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">sin</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>θ</mi> </mrow> </mfenced> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msub> <mrow> <mo stretchy="false">∑</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>〉</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfenced> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>⊗</mo> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">cos</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>θ</mi> </mrow> </mfenced> <mrow> <mi>|</mi> <mrow> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>/</mo> <mi>D</mi> </math> ; here, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mtext>card</mtext> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mfenced> <msubsup> <mi>p</mi> <mn>0</mn> <mi>∗</mi> </msubsup> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mtext>sin</mtext> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mtext>card</mtext> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mi>G</mi> </mrow> </mfenced> <msubsup> <mi>p</mi> <mn>1</mn> <mi>∗</mi> </msubsup> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mtext>cos</mtext> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> </mrow> </msqrt> </math> , and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <msubsup> <mi>p</mi> <mn>0</mn> <mi>∗</mi> </msubsup> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mtext>sin</mtext> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mn>1</mn> <mi>∗</mi> </msubsup> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mtext>cos</mtext> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </math> which is derived from the completeness equation. The state <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> and the state <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mi>|</mi> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> before the measurement are transformed into <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mtext>sin</mtext> <mi>θ</mi> <mi>|</mi> <mn>0</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <msub> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext>cos</mtext> <mi>θ</mi> <mi>|</mi> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mi>〉</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> , respectively. This paper describes these measurement operators.