Superoscillating Sequences and Supershifts for Families of Generalized Functions

Abstract We construct a large class of superoscillating sequences, more generally of $${\mathscr {F}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> - supershifts , where $${\mathscr {F}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> is a family of smooth functions in ( t , x ) (resp. distributions in ( t , x ), or hyperfunctions in x depending on the parameter t ) indexed by $$\lambda \in {\mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . The frame in which we introduce such families is that of the evolution through Schrödinger equation $$(i\partial /\partial t - {\mathscr {H}}(x))(\psi )=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ( $${\mathscr {H}}(x) = -(\partial ^2/\partial x^2)/2 + V(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> ), V being a suitable potential). If $${\mathscr {F}}= \{(t,x) \mapsto \varphi _\lambda (t,x)\,;\, \lambda \in {\mathbb {R}}\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace /> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mspace /> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\varphi _\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is evolved from the initial datum $$x\mapsto e^{i\lambda x}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , $${\mathscr {F}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> - supershifts will be of the form $$\{\sum _{j=0}^N C_j(N,a) \varphi _{1-2j/N}\}_{N\ge 1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> for $$a\in {\mathbb {R}}{\setminus }[-1,1]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , taking $$C_j(N,a) =\left( {\begin{array}{c}N\\ j\end{array}}\right) (1+a)^{N-j}(1-a)^j/2^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . Our results rely on the fact that integral operators of the Fresnel type govern, as in optical diffraction, the evolution through the Schrödinger equation, such operators acting continuously on the weighted algebra of entire functions $$\mathrm{Exp}({\mathbb {C}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Exp</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Analyzing in particular the quantum harmonic oscillator case forces us, in order to take into account singularities of the evolved datum that occur when the stationary phasis in the Fresnel operator vanishes, to enlarge the notion of $${\mathscr {F}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> - supershift , $${\mathscr {F}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> being a family of $$C^\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> functions or distributions in ( t , x ), to that where $${\mathscr {F}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> is a family of hyperfunctions in x , depending on t as a parameter.