On the distribution of the Rudin-Shapiro function for finite fields

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q equals p Superscript r"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q=p^r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the power of a prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis beta 1 comma ellipsis comma beta Subscript r Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\beta _1,\ldots ,\beta _r)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an ordered basis of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F Subscript q"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {F}_q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F Subscript p"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {F}_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. For <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi equals sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript r Endscripts x Subscript j Baseline beta Subscript j Baseline element-of double-struck upper F Subscript q Baseline with digits x Subscript j Baseline element-of double-struck upper F Subscript p Baseline comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace width="1em" /> <mml:mtext>with digits </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \xi =\sum _{j=1}^r x_j\beta _j\in \mathbb {F}_q \quad \text {with digits }x_j\in \mathbb {F}_p, \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> we define the Rudin-Shapiro function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F Subscript q"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {F}_q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R left-parenthesis xi right-parenthesis equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript r minus 1 Endscripts x Subscript i Baseline x Subscript i plus 1 Baseline comma xi element-of double-struck upper F Subscript q Baseline period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em" /> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} R(\xi )=\sum _{i=1}^{r-1} x_ix_{i+1}, \quad \xi \in \mathbb {F}_q. \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> For a non-constant polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis upper X right-parenthesis element-of double-struck upper F Subscript q Baseline left-bracket upper X right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(X)\in \mathbb {F}_q[X]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c element-of double-struck upper F Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c\in \mathbb {F}_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we study the number of solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi element-of double-struck upper F Subscript q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\xi \in \mathbb {F}_q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R left-parenthesis f left-parenthesis xi right-parenthesis right-parenthesis equals c"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R(f(\xi ))=c</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If the degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is fixed, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than-or-equal-to 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r\ge 6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\rightarrow \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the number of solutions is asymptotically <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript r minus 1"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^{r-1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c"> <mml:semantics> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The proof is based on the Hooley-Katz Theorem.