Quantum Codes Obtained from Skew <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mi>ϱ</mi> </math>-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mi>λ</mi> </math>-Constacyclic Codes over <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <msub> <mrow> <mi mathvariant="fraktur">R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math>

Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <msub> <mrow> <mi mathvariant="fraktur">R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi mathvariant="double-struck">F</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mrow> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfenced> <mo>/</mo> <mo>&lt;</mo> <msubsup> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>&gt;</mo> </math> , where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </math> , <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mi>p</mi> </math> is an odd prime, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <msub> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </math> is a unit over <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <msub> <mrow> <mi mathvariant="double-struck">F</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </math> , and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1,2</mn> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mtext>.</mtext> </math> In this article, we define a Gray map from <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <msubsup> <mrow> <mi mathvariant="fraktur">R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </math> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <msubsup> <mrow> <mi mathvariant="double-struck">F</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfenced> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </math> , we study the structure of skew <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mi>ϱ</mi> </math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mi>λ</mi> </math> -constacyclic codes over <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <msub> <mrow> <mi mathvariant="fraktur">R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> , and then we give the necessary and sufficient conditions for skew <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mi>ϱ</mi> </math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mi>λ</mi> </math> -constacyclic codes over <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <msub> <mrow> <mi mathvariant="fraktur">R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> to satisfy dual containing. Further, we have obtained some new nonbinary quantum codes from skew <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mi>ϱ</mi> </math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mi>λ</mi> </math> -constacyclic over <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <msub> <mrow> <mi mathvariant="fraktur">R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </math> by using the CSS construction.