On relating one-way classical and quantum communication complexities

Communication complexity is the amount of communication needed to compute a function when the function inputs are distributed over multiple parties. In its simplest form, one-way communication complexity, Alice and Bob compute a function <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> is given to Alice and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> is given to Bob, and only one message from Alice to Bob is allowed. A fundamental question in quantum information is the relationship between one-way quantum and classical communication complexities, i.e., how much shorter the message can be if Alice is sending a quantum state instead of bit strings? We make some progress towards this question with the following results.Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>&amp;#x00D7;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">&amp;#x2192;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>&amp;#x222A;</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">&amp;#x22A5;</mml:mi><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> be a partial function and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:math> be a distribution with support contained in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>&amp;#x2212;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. Denote <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:math>. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> be the classical one-way communication complexity of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>; <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> be the quantum one-way communication complexity of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&amp;#x2217;</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> be the entanglement-assisted quantum one-way communication complexity of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, each with distributional error (average error over <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:math>) at most <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi></mml:math>. We show:1) If <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:math> is a product distribution, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi><mml:mo>&amp;#x003E;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&amp;#x2264;</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mo>&amp;#x2264;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&amp;#x2212;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, then,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mo>&amp;#x2212;</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>&amp;#x2212;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&amp;#x2264;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&amp;#x2217;</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>log</mml:mi><mml:mo>&amp;#x2061;</mml:mo><mml:mi>log</mml:mi><mml:mo>&amp;#x2061;</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".5em" /><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>2)If <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:math> is a non-product distribution and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Z</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>, then <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi mathvariant="normal">&amp;#x2200;</mml:mi><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi><mml:mo>&amp;#x003E;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi><mml:mo>&amp;#x003C;</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>&amp;#x03F5;</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&amp;#x03BC;</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&amp;#x22C5;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">C</mml:mi><mml:mi mathvariant="sans-serif">S</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>&amp;#x03B7;</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".5em" /><mml:mo>,</mml:mo></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="sans-serif">C</mml:mi><mml:mi mathvariant="sans-serif">S</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="true" form="prefix">max</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munder><mml:mo movablelimits="true" form="prefix">min</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>&amp;#x2208;</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:munder><mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mtext>&amp;#xA0;</mml:mtext><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>&amp;#xA0;</mml:mtext><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo><mml:mspace width=".5em" /><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>