On $ \sigma $-self-orthogonal constacyclic codes over $ \mathbb F_{p^m}+u\mathbb F_{p^m} $

&lt;p style='text-indent:20px;'&gt;In this paper, we generalize the notion of self-orthogonal codes to &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M1"&gt;\begin{document}$ \sigma $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-self-orthogonal codes over an arbitrary finite ring. Then, we study the &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M2"&gt;\begin{document}$ \sigma $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-self-orthogonality of constacyclic codes of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M3"&gt;\begin{document}$ p^s $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over the finite commutative chain ring &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M4"&gt;\begin{document}$ \mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;, where &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M5"&gt;\begin{document}$ p $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is a prime, &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M6"&gt;\begin{document}$ u^2 = 0 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; and &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M7"&gt;\begin{document}$ \sigma $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is an arbitrary ring automorphism of &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M8"&gt;\begin{document}$ \mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. We characterize the structure of &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M9"&gt;\begin{document}$ \sigma $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-dual code of a &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M10"&gt;\begin{document}$ \lambda $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-constacyclic code of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M11"&gt;\begin{document}$ p^s $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M12"&gt;\begin{document}$ \mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. Further, the necessary and sufficient conditions for a &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M13"&gt;\begin{document}$ \lambda $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-constacyclic code to be &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M14"&gt;\begin{document}$ \sigma $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-self-orthogonal are provided. In particular, we determine all &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M15"&gt;\begin{document}$ \sigma $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;-self-dual constacyclic codes of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M16"&gt;\begin{document}$ p^s $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M17"&gt;\begin{document}$ \mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. In the end of this paper, when &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M18"&gt;\begin{document}$ p $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is an odd prime, we extend the results to constacyclic codes of length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M19"&gt;\begin{document}$ 2 p^s $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;.&lt;/p&gt;