The Role of Nonpolynomiality in Uniform Approximation by RBF Networks of Hankel Translates

Given<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo></mml:math>, let the space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>(respectively,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>) consist of all those continuous functions<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math>on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:math>(respectively,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:math>) such that the limit<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>⁡</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>exists and is finite;<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>is endowed with the uniform norm<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">sup</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>⁡</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>Assume<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>defines an absolutely regular Hankel-transformable distribution. Then, the linear span of dilates and Hankel translates of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is dense in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi></mml:math>if, and only if,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>∉</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>