Joint Distribution in Residue Classes of the Base-<i>q</i> and Ostrowski Digital Sums

Abstract Let q be an integer greater than or equal to 2, and let S q ( n )denote the sum of digits of n in base q .For <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>[</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>;</m:mo> <m:mover> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mo>¯</m:mo> </m:mover> </m:mrow> <m:mo>]</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> \alpha = \left[ {0;\overline {1,m} } \right],\,\,\,m \ge 2, let S α ( n ) denote the sum of digits in the Ostrowski α -representation of n . Let m 1 , m 2 ≥ 2 be integers with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>gcd</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mo>gcd</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> \gcd \left( {q - 1,{m_1}} \right) = \gcd \left( {m,{m_2}} \right) = 1 We prove that there exists δ&gt; 0 such that for all integers r 1 , r 2 , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>&lt;</m:mo> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>:</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:msub> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>≡</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>mod</m:mo> <m:mi> </m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mi>α</m:mi> </m:msub> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>≡</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>mod</m:mo> <m:mi> </m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mfrac> <m:mi>N</m:mi> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>δ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>.</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:math> \matrix{ {\left| {\left\{ {0 \le n &lt; N:{S_q}(n) \equiv {r_1}\left( {\bmod \,{m_1}} \right),\,\,{S_\alpha }(n) \equiv {r_2}\left( {\bmod \,{m_2}} \right)} \right\}} \right|} \cr { = {N \over {{m_1}{m_2}}} + 0\left( {{N^{1 - \delta }}} \right).} \cr } The asymptotic relation implied by this equality was proved by Coquet, Rhin &amp; Toffin and the equality was proved for the case <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>[</m:mo> <m:mover> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>¯</m:mo> </m:mover> <m:mo>]</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> \alpha = \left[ {\bar 1} \right] by Spiegelhofer.