On the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-Error Linear Complexity of Binary Sequences Derived from the Discrete Logarithm in Finite Fields

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> be the finite field with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> elements, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is an odd prime. For the ordered elements <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, the binary sequence <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> with period <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is defined over the finite field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> as follows: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>χ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mrow><mml:mi>χ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is the quadratic character of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>. Obviously, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is the Legendre sequence if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>. In this paper, our first contribution is to prove a lower bound on the linear complexity of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math>, which improves some results of Meidl and Winterhof. Our second contribution is to study the distribution of the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-error linear complexity of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math>. Unfortunately, the method presented in this paper seems not suitable for the case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math> and we leave it open.