Permutations on finite fields with invariant cycle structure on lines

Abstract We study the cycle structure of permutations $$F(x)=x+\gamma f(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> on $$\mathbb {F}_{q^n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> , where $$f :\mathbb {F}_{q^n} \rightarrow \mathbb {F}_q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We show that for a 1-homogeneous function f the cycle structure of F can be determined by calculating the cycle structure of certain induced mappings on parallel lines of $$\gamma \mathbb {F}_q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Using this observation we describe explicitly the cycle structure of two families of permutations over $$\mathbb {F}_{q^2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> : $$x+\gamma {{\,\mathrm{Tr}\,}}(x^{2q-1})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mspace /> <mml:mi>Tr</mml:mi> <mml:mspace /> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where $$q\equiv -1 \pmod 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace /> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$\gamma \in \mathbb {F}_{q^2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , with $$\gamma ^3=-\frac{1}{27}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>27</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and $$x+\gamma {{\,\mathrm{Tr}\,}}\left( x^{\frac{2^{2s-1}+3\cdot 2^{s-1}+1}{3}}\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mspace /> <mml:mi>Tr</mml:mi> <mml:mspace /> </mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> , where $$q=2^s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , s odd and $$\gamma \in \mathbb {F}_{q^2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , with $$\gamma ^{(q+1)/3}=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .