Separable ball around any full-rank multipartite product state

Abstract We show that around any m -partite product state <?CDATA $\rho_{\mathrm{prod}} = \rho_1\otimes\ldots\otimes\rho_m$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of full rank (that is <?CDATA ${\mathrm{det}}(\rho_{\mathrm{prod}})\neq 0)$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , there exists a finite-sized closed ball of separable states centered around <?CDATA $\rho_{\mathrm{prod}}$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> whose radius is <?CDATA $\beta: = 2^{1-m/2}\lambda_{\mathrm{min}}(\rho_{\mathrm{prod}})$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . Here, <?CDATA $\lambda_{\mathrm{min}}(\rho_{\mathrm{prod}})$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> is the smallest eigenvalue of <?CDATA $\rho_{\mathrm{prod}}$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> . We are assuming that the total Hilbert space is finite dimensional and we use the notion of distance induced by the Frobenius norm. Applying a scaling relation, we also give a new and simple sufficient criterion for multipartite separability based on trace: <?CDATA $\mathrm{Tr}[\rho\rho_{\mathrm{prod}}]^2/\,\mathrm{Tr}[\rho^2]\geqslant \mathrm{Tr}\small[\rho_{\mathrm{prod}}^2\small]-\beta^2$?> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mstyle mathsize="0.85em"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mstyle> </mml:mstyle> </mml:math> . Using the separable balls around the full-rank product states, we discuss the existence and possible sizes of separable balls around any multipartite separable states, which are important features for the set of all separable states. We discuss the implication of these separable balls on entanglement dynamics.