Binary Hamming codes and Boolean designs

Abstract In this paper we consider a finite-dimensional vector space $${\mathcal {P}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:math> over the Galois field $${\text {GF}}(2),$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>GF</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and the family $${\mathcal {B}}_k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> (respectively, $${\mathcal {B}}_k^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> ) of all the k -sets of elements of $$\mathcal {P}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:math> (respectively, of $${\mathcal {P}}^*= {\mathcal {P}} \setminus \{0\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> ) summing up to zero. We compute the parameters of the 3-design $$({\mathcal {P}},{\mathcal {B}}_k)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for any (necessarily even) k , and of the 2-design $$({\mathcal {P}}^{*},{\mathcal {B}}_k^{*})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for any k . Also, we find a new proof for the weight distribution of the binary Hamming code. Moreover, we find the automorphism groups of the above designs by characterizing the permutations of $${\mathcal {P}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:math> , respectively of $${\mathcal {P}}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> , that induce permutations of $${\mathcal {B}}_k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , respectively of $${\mathcal {B}}_k^*.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> In particular, this allows one to relax the definitions of the permutation automorphism groups of the binary Hamming code and of the extended binary Hamming code as the groups of permutations that preserve just the codewords of a given Hamming weight.