The complexity of simulating local measurements on quantum systems

An important task in quantum physics is the estimation of local quantities for ground states of local Hamiltonians. Recently, [Ambainis, CCC 2014] defined the complexity class<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>, and motivated its study by showing that the physical task of estimating the expectation value of a local observable against the ground state of a local Hamiltonian is<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>-complete. In this paper, we continue the study of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>, obtaining the following lower and upper bounds.Lower bounds (hardness results): - The<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>-completeness result of [Ambainis, CCC 2014] requires<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>log</mml:mi><mml:mo>⁡</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>-local observables and Hamiltonians. We show that simulating even a<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">single qubit</mml:mtext></mml:mrow></mml:math>measurement on ground states of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>5</mml:mn></mml:math>-local Hamiltonians is<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>-complete, resolving an open question of Ambainis.- We formalize the complexity theoretic study of estimating two-point correlation functions against ground states, and show that this task is similarly<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>-complete. - We identify a flaw in [Ambainis, CCC 2014] regarding a<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>U</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>-hardness proof for estimating spectral gaps of local Hamiltonians. By introducing a ``query validation'' technique, we build on [Ambainis, CCC 2014] to obtain<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>U</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>-hardness for estimating spectral gaps under polynomial-time Turing reductions. Upper bounds (containment in complexity classes): -<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math>is thought of as ``slightly harder'' than QMA. We justify this formally by exploiting the hierarchical voting technique of [Beigel, Hemachandra, Wechsung, SCT 1989] to show<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>⊆</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math>. This improves the containment<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>⊆</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math>[Kitaev, Watrous, STOC 2000]. This work contributes a rigorous treatment of the subtlety involved in studying oracle classes in which the oracle solves a<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>problem. This is particularly relevant for quantum complexity theory, where most natural classes such as BQP and QMA are defined as promise classes.