Solutions to problems about potentially <i>K</i> <sub> <i>s</i>,<i>t</i> </sub>-bigraphic pair

Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>S</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>;</m:mo> <m:mspace width="0.33em" /> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> S=\left({a}_{1},\ldots ,{a}_{m};\hspace{0.33em}{b}_{1},\ldots ,{b}_{n}) , where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo form="prefix">,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {a}_{1},\ldots ,{a}_{m} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo form="prefix">,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {b}_{1},\ldots ,{b}_{n} are two nonincreasing sequences of nonnegative integers. The pair <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>S</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>;</m:mo> <m:mspace width="0.33em" /> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> S=\left({a}_{1},\ldots ,{a}_{m};\hspace{0.33em}{b}_{1},\ldots ,{b}_{n}) is said to be a bigraphic pair if there is a simple bipartite graph <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>G</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>X</m:mi> <m:mo>∪</m:mo> <m:mi>Y</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> G=\left(X\cup Y,E) such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo form="prefix">,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {a}_{1},\ldots ,{a}_{m} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo form="prefix">,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {b}_{1},\ldots ,{b}_{n} are the degrees of the vertices in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>X</m:mi> </m:math> X and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>Y</m:mi> </m:math> Y , respectively. In this case, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>G</m:mi> </m:math> G is referred to as a realization of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>S</m:mi> </m:math> S . Given a bigraphic pair <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>S</m:mi> </m:math> S , and a complete bipartite graph <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {K}_{s,t} , we say that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>S</m:mi> </m:math> S is a potentially <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {K}_{s,t} - bigraphic pair if some realization of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>S</m:mi> </m:math> S contains <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {K}_{s,t} as a subgraph (with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>s</m:mi> </m:math> s vertices in the part of size <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>m</m:mi> </m:math> m and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>t</m:mi> </m:math> t in the part of size <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>n</m:mi> </m:math> n ). Ferrara et al. ( Potentially H-bigraphic sequences , Discuss. Math. Graph Theory 29 (2009), 583–596) defined <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>σ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \sigma \left({K}_{s,t},m,n) to be the minimum integer <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>k</m:mi> </m:math> k such that every bigraphic pair <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>S</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>;</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> S=\left({a}_{1},\ldots ,{a}_{m};{b}_{1},\ldots ,{b}_{n}) with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>σ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mo>⋯</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>≥</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:math> \sigma \left(S)={a}_{1}+\cdots +{a}_{m}\ge k is a potentially <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {K}_{s,t} -bigraphic pair. This problem can be viewed as a “potential” degree sequence relaxation of the (forcible) Turán problem. Ferrara et al. determined <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>σ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \sigma \left({K}_{s,t},m,n) for <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>9</m:mn> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>4</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>4</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> n\ge m\ge 9{s}^{4}{t}^{4} . In this paper, we further determine <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>σ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \sigma \left({K}_{s,t},m,n) for <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:math> n\ge m\ge s and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:math> n+m\ge 2{t}^{2}+t+s . As two corollaries, if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:mfrac> </m:math> n\ge m\ge {t}^{2}+\frac{t+s}{2} or if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:math> n\ge m\ge s and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:math> n\ge 2{t}^{2}+t , the values <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>σ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>K</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \sigma \left({K}_{s,t},m,n) are determined completely. These results give a solution to a problem due to Ferrara et al. and a solution to a problem due to Yin and Wang.