Cyclic codes over rings of matrices

&lt;p style='text-indent:20px;'&gt;In this paper, we consider the ring of matrices &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M1"&gt;\begin{document}$ \mathcal{A} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; of order &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M2"&gt;\begin{document}$ 2 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over the ring &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M3"&gt;\begin{document}$ \mathbb{F}_2 [u] / \langle u^k \rangle $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;, where &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M4"&gt;\begin{document}$ u $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is an indeterminate with &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M5"&gt;\begin{document}$ u^k = 0 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;, i.e. &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M6"&gt;\begin{document}$ \mathcal{A} = M_2 ( \mathbb{F}_2 [u] / \langle u^k \rangle) $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. We derive the structure theorem for cyclic codes of odd length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M7"&gt;\begin{document}$ n $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over the ring &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M8"&gt;\begin{document}$ \mathcal{A} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; with the help of isometry map from &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M9"&gt;\begin{document}$ \mathcal{A} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; to &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M10"&gt;\begin{document}$ \mathbb{F}_4 [u, v] / \langle u^k, v^2, u v - v u \rangle $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;, where &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M11"&gt;\begin{document}$ v $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; is an indeterminate satisfying &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M12"&gt;\begin{document}$ v^2 = 0 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; and &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M13"&gt;\begin{document}$ u v = v u $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. We define a map &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M14"&gt;\begin{document}$ \theta $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; which takes the linear codes of odd length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M15"&gt;\begin{document}$ n $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M16"&gt;\begin{document}$ \mathcal{A} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; to linear codes of even length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M17"&gt;\begin{document}$ 2 k n $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M18"&gt;\begin{document}$ \mathbb{F}_4 $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. We also define a weight on the ring &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M19"&gt;\begin{document}$ \mathcal{A} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; which is an extension of the weight defined over the ring &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M20"&gt;\begin{document}$ M_2 ( \mathbb{F}_2) $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;. An example is also given as applications to construct the linear codes of odd length &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M21"&gt;\begin{document}$ n $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt; over &lt;inline-formula&gt;&lt;tex-math id="M22"&gt;\begin{document}$ \mathcal{A} $\end{document}&lt;/tex-math&gt;&lt;/inline-formula&gt;.&lt;/p&gt;