On the inverses of Kasami and Bracken–Leander exponents

Abstract We explicitly determine the binary representation of the inverse of all Kasami exponents $$K_r=2^{2r}-2^r+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> modulo $$2^n-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for all possible values of n and r . This includes as an important special case the APN Kasami exponents with $$\gcd (r,n)=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>gcd</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . As a corollary, we determine the algebraic degree of the inverses of the Kasami functions. In particular, we show that the inverse of an APN Kasami function on $${\mathbb {F}}_{2^n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> always has algebraic degree $$\frac{n+1}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:math> if $$n\equiv 0 \pmod 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace /> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . For $$n\not \equiv 0 \pmod 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≢</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace /> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> we prove that the algebraic degree is bounded from below by $$\frac{n}{3}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:math> . We consider Kasami exponents whose inverses are quadratic exponents or Kasami exponents. We also determine the binary representation of the inverse of the Bracken–Leander exponent $$BL_r=2^{2r}+2^r+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> modulo $$2^n-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> where $$n=4r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and r odd. We show that the algebraic degree of the inverse of the Bracken–Leander function is $$\frac{n+2}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:math> .