On the linearity and classification of $${\mathbb {Z}}_{p^s}$$-linear generalized hadamard codes

Abstract $${\mathbb {Z}}_{p^s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -additive codes of length n are subgroups of $${\mathbb {Z}}_{p^s}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> , and can be seen as a generalization of linear codes over $${\mathbb {Z}}_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> , $${\mathbb {Z}}_4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> , or $${\mathbb {Z}}_{2^s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> in general. A $${\mathbb {Z}}_{p^s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -linear generalized Hadamard (GH) code is a GH code over $${\mathbb {Z}}_p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> which is the image of a $${\mathbb {Z}}_{p^s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -additive code by a generalized Gray map. In this paper, we generalize some known results for $${\mathbb {Z}}_{p^s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -linear GH codes with $$p=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> to any odd prime p . First, we show some results related to the generalized Carlet’s Gray map. Then, by using an iterative construction of $${\mathbb {Z}}_{p^s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -additive GH codes of type $$(n;t_1,\ldots , t_s)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , we show for which types the corresponding $${\mathbb {Z}}_{p^s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -linear GH codes of length $$p^t$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> are nonlinear over $${\mathbb {Z}}_p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . For these codes, we compute the kernel and its dimension, which allow us to give a partial classification. The obtained results for $$p\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> are different from the case with $$p=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Finally, the exact number of non-equivalent such codes is given for an infinite number of values of s , t , and any $$p\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ; by using also the rank as an invariant in some specific cases.