Non-binary quantum codes from constacyclic codes over 𝔽<sub> <i>q</i> </sub>[<i>u</i> <sub>1</sub>, <i>u</i> <sub>2</sub>,…,<i>u</i> <sub> <i>k</i> </sub>]/⟨<i>u</i> <sub> <i>i</i> </sub> <sup>3</sup> = <i>u</i> <sub> <i>i</i> </sub>, <i>u</i> <sub> <i>i</i> </sub> <i>u</i> <sub> <i>j</i> </sub> = <i>u</i> <sub> <i>j</i> </sub> <i>u</i> <sub> <i>i</i> </sub>⟩

Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:math> q={p}^{m} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>p</m:mi> </m:math> p be an odd prime, and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">F</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>[</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>…</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>]</m:mo> </m:mrow> <m:mspace width="-0.08em" /> <m:mtext>/</m:mtext> <m:mspace width="-0.08em" /> <m:mrow> <m:mo>⟨</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>⟩</m:mo> </m:mrow> </m:math> {R}_{k}={{\mathbb{F}}}_{q}\left[{u}_{1},{u}_{2},\ldots ,{u}_{k}]\hspace{-0.08em}\text{/}\hspace{-0.08em}\langle {u}_{i}^{3}={u}_{i},{u}_{i}{u}_{j}={u}_{j}{u}_{i}\rangle , where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:math> k\ge 1 and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:math> 1\le i,j\le k . In this article, we define a Gray map from <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:math> {R}_{k}^{n} to <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">F</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:math> {{\mathbb{F}}}_{q}^{{3}^{k}n} . We study constacyclic codes over <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {R}_{k} and construct non-binary quantum codes over <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">F</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {{\mathbb{F}}}_{q} .