Question:
1. （5 分) 已知集合 $A=\{x \in R|| x \mid \leqslant 2\}\}, B=\{x \in Z \mid \sqrt{x} \leqslant 4\}$, 则 $A \cap B=(\quad$ ）
A. $(0,2)$
B. $[0,2]$
C. $\{0,2\}$
D. $\{0,1,2\}$

Answer: D

解: $A=\{x \in R|| x \mid \leqslant 2\}=,\{x \in R \mid-2 \leqslant x \leqslant 2\}$,

$B=\{x \in Z \mid \sqrt{x} \leqslant 4\}=\{x \in Z \mid 0 \leqslant x \leqslant 16\}$

故 $A \cap B=\{0,1,2\}$.

应选 D.


Question:
2. (5 分) 已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}, \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数, 则 $z\cdotar{z}=(\quad)$
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

Answer: A


Question:
3. (5 分) 曲线 $y=\frac{x}{x+2}$ 在点 $(-1,-1)$ 处的切线方程为（ $）$
A. $y=2 x+1$
B. $y=2 x-1$
C. $y=-2 x-3$
D. $y=-2 x-2$

Answer: A

解: $\because y=\frac{x}{x+2}$,

$\therefore y^{\prime}=\frac{2}{(x+2)^{2}}$

所以 $\mathrm{k}=\left.\mathrm{y}^{\prime}\right|_{\mathrm{x}=-1}=2$, 得切线的斜率为 2 , 所以 $\mathrm{k}=2$;

所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(-1,-1)$ 处的切线方程为:

$y+1=2 \times(x+1)$ ，即 $y=2 x+1$.

故选: A.


Question:
5. （5 分) 已知命题 $p_{1}$ : 函数 $y=2^{x}-2^{-x}$ 在 $R$ 为增函数, $p_{2}$ : 函数 $y=2^{x}+2^{-x}$ 在 $R$ 为减函数, 则在命题 $q_{1}: p_{1} \vee p_{2}, q_{2}: p_{1} \wedge p_{2}, q_{3}:\left(\neg p_{1}\right) \vee p_{2}$ 和 $q_{4}: p_{1} \wedge(\square$ $\left.p_{2}\right)$ 中，真命题是（ $)$
A. $q_{1}, q_{3}$
B. $q_{2}, q_{3}$
C. $q_{1}, q_{4}$
D. $q_{2}, q_{4}$

Answer: C


Question:
6. （5 分) 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9 , 现播种了 1000 粒, 对于没有发 芽的种子, 每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 $X$, 则 $X$ 的数学期望为 $(\quad)$
A. 100
B. 200
C. 300
D. 400

Answer: B

解：由题意可知播种了 1000 粒, 没有发芽的种子数 $\xi$ 服从二项分布, 即 $\xi \sim B(1000,0.1)$.

而每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 $X$

故 $X=2 \xi$, 则 $E X=2 E \xi=2 \times 1000 \times 0.1=200$. 故选: B.


Question:
8. （5 分）设偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2^{x}-4(x \geqslant 0)$ ，则 $\{x \mid f(x-2)>0\}=($ )
A. $\{x \mid x<-2$ 或 $x>4\}$
B. $\{x \mid x<0$ 或 $x>4\}$
C. $\{x \mid x<0$ 或 $x>6\}$
D. $\{x \mid x<-2$ 或 $x>2\}$

Answer: B


Question:
9. (5 分）若 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$ 是第三象限的角, 则 $\frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=(\quad)$
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. -2

Answer: A

解: 由 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$ 是第三象限的角,

$\therefore$ 可得 $\sin \alpha=-\frac{3}{5}$,

则 $\frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}-\sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{1}{2}$,

应选 $A$.


Question:
10. (5 分) 设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱长都为 $a$, 顶点都在一个球面 上, 则该球的表面积为（）
A. $\pi a^{2}$
B. $\frac{7}{3} \pi a^{2}$
C. $\frac{11}{3} \pi a^{2}$
D. $5 \pi a^{2}$

Answer: B

解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 $\mathrm{a}$ 的正三棱柱, 上下底面中心 连 线的中点就是球心, 则其外接球的半径为 $R=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2 \sin 60^{\circ}}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{12} a^{2}}$, 球的表面积为 $S=4 \pi \cdot \frac{7 a^{2}}{12}=\frac{7}{3} \pi a^{2}$,

故选: B.


Question:
12. (5 分) 已知双曲线 $E$ 的中心为原点, $P(3,0)$ 是 $E$ 的焦点, 过 $P$ 的直线 I 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点, 且 $A B$ 的中点为 $N(-12,-15)$, 则 $E$ 的方程式为（ )
A. $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1$
B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
C. $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$
D. $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$

Answer: B


Question:
1. (5 分) 复数 $\frac{2+i}{1-2 i}$ 的共轭复数是 $(\quad)$
A. $-\frac{3}{5} i$
B. $\frac{3}{5} i$
C. $-\mathrm{i}$
D. i

Answer: C


Question:
2. （5 分) 下列函数中, 既是偶函数又在 $(0,+\infty)$ 上单调递增的函数是 $(\quad)$
A. $y=2 x^{3}$
B. $y=|x|+1$
C. $y=-x^{2}+4$
D. $y=2^{-\mid x}$

Answer: B


Question:
4. （5 分) 有 3 个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同 学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

Answer: A

解：由题意知本题是一个古典概型,

试验发生包含的事件数是 $3 \times 3=9$ 种结果，

满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,

由于共有三个小组, 则有 3 种结果,

根据古典概型概率公式得到 $P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,

故选: A.


Question:
5. (5 分) 已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合, 始边与 $\mathrm{x}$ 轴的正半轴重合, 终边在直 线 $y=2 x$ 上, 则 $\cos 2 \theta=(\quad)$
A. $-\frac{4}{5}$
B. $-\frac{3}{5}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

Answer: B


Question:
7. （5 分) 设直线 $\mid$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点, 且与 $C$ 的一条对称轴垂直, $\mathrm{I}$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的 2 倍, 则 $C$ 的离心率为（）
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. 3

Answer: B


Question:
8. (5 分) $\left(x+\frac{a}{x}\right)\left(2 x-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的展开式中各项系数的和为 2 , 则该展开式中常数项 为 $(\quad)$
A. -40
B. -20
C. 20
D. 40

Answer: D


Question:
10. (5 分) 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量, 其夹角为 $\theta$, 有下列四个命题 $P_{1}: \mid \vec{a}+\vec{b}$ $>1 \Leftrightarrow \theta \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right) ; P_{2}:|\vec{a}+\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right] ; P_{3}:|\vec{a}-\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in[0$ ， $\left.\frac{\pi}{3}\right) ; P_{4}:|\vec{a}-\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ ；其中的真命题是（ $)$
A. $P_{1}, P_{4}$
B. $P_{1}, P_{3}$
C. $P_{2}, P_{3}$
D. $P_{2}, P_{4}$

Answer: A


Question:
11. (5 分) 设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)+\cos (\omega x+\phi)\left(\omega>0,|\phi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 的最 小正周期为 $\pi$, 且 $f(-x)=f(x)$ ，则（ $)$
A. $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减
B. $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递减
C. $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增
D. $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递增

Answer: A

解: 由于 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)+\cos (\omega x+\varphi)=\sqrt{2} \sin \left(\omega x+\phi+\frac{\pi}{4}\right)$, 由于该函数的最小正周期为 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega}$, 得出 $\omega=2$,

又根据 $f(-x)=f(x)$, 得 $\phi+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)$, 以及 $|\phi|<\frac{\pi}{2}$, 得出 $\phi=\frac{\pi}{4}$. 因此, $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \cos 2 x$, 若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $2 x \in(0, \pi)$, 从而 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减, 若 $x \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$, 则 $2 x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$,

该区间不为余弦函数的单调区间, 故 $B, C, D$ 都错, $A$ 正确.

故选: A.


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A, x-y \in A\}$, 则 $B$ 中所含元素的个数为（ $)$
A. 3
B. 6
C. 8
D. 10

Answer: D


Question:
2. (5 分) 将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成, 不同的安排方案共有（ )
A. 12 种
B. 10 种
C. 9 种
D. 8 种

Answer: A

解：第一步, 为甲地选一名老师, 有 $C_{2}^{1}=2$ 种选法;

第二步, 为甲地选两个学生, 有 $C_{4}^{2}=6$ 种选法;

第三步, 为乙地选 1 名教师和 2 名学生, 有 1 种选法

故不同的安排方案共有 $2 \times 6 \times 1=12$ 种

故选: A.


Question:
3. (5 分）下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题：其中的真命题为 $(\quad)$, $p_{1}:|z|=2$,

$\mathrm{p}_{2}: \mathrm{z}^{2}=2 \mathrm{i}$,

$p_{3}: z$ 的共轭复数为 $1+i$,

$p_{4}: z$ 的虚部为 -1 .
A. $\mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$
B. $p_{1}, p_{2}$
C. $\mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{4}$
D. $p_{3}, p_{4}$

Answer: C


Question:
5. (5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$, 则 $a_{1}+a_{10}=(\quad)$
A. 7
B. 5
C. -5
D. -7

Answer: D


Question:
8. （5 分) 等轴双曲线 $C$ 的中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上, $C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的 准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$, 则 $C$ 的实轴长为（ )
A. $\sqrt{2}$
B. $2 \sqrt{2}$
C. 4
D. 8

Answer: C


Question:
12. (5 分) 设点 $P$ 在曲线 $y=\frac{1}{2} e^{x}$ 上, 点 $Q$ 在曲线 $y=\ln (2 x)$ 上, 则 $|P Q|$ 最小 值为 $(\quad)$
A. $1-\ln 2$
B. $\sqrt{2}(1-\ln 2)$
C. $1+\ln 2$
D. $\sqrt{2}(1+\ln 2)$

Answer: B

解: $\because$ 函数 $y=\frac{1}{2} e^{x}$ 与函数 $y=\ln (2 x)$ 互为反函数, 图象关于 $y=x$ 对称, 函数 $y=\frac{1}{2} e^{x}$ 上的点 $P\left(x, \frac{1}{2} e^{x}\right)$ 到直线 $y=x$ 的距离为 $\mathrm{d}=\frac{\left|\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{x}\right|}{\sqrt{2}}$, 设 $g(x)=\frac{1}{2} e^{x}-x(x>0)$ ，则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} e^{x}-1$, 由 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} e^{x}-1 \geqslant 0$ 可得 $x \geqslant \ln 2$, 由 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} e^{x}-1<0$ 可得 $0<x<\ln 2$,

$\therefore$ 函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $(0, \ln 2)$ 单调递减, 在 $[\ln 2,+\infty)$ 单调递增,

$\therefore$ 当 $\mathrm{x}=\ln 2$ 时, 函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})_{\min }=1-\ln 2$,

$\mathrm{d}_{\min }=\frac{1-\ln 2}{\sqrt{2}}$,

由图象关于 $y=x$ 对称得: $|P Q|$ 最小值为 $2 d_{\min }=\sqrt{2}(1-\ln 2)$.

故选: B.


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x>0\right\}, B=\{x \mid-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}\}$, 则（）
A. $A \cap B=\emptyset$
B. $A \cup B=R$
C. $B \subseteq A$
D. $A \subseteq B$

Answer: B

解: $\because$ 集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x>0\right\}=\{x \mid x>2$ 或 $x<0\}$,

$\therefore A \cap B=\{x \mid 2<x<\sqrt{5}$ 或 $-\sqrt{5}<x<0\}, A \cup B=R$,

故选: B.


Question:
2. (5 分) 若复数 $z$ 满足 $(3-4 i) z=|4+3 i|$, 则 $z$ 的虚部为（ ）
A. -4
B. $-\frac{4}{5}$
C. 4
D. $\frac{4}{5}$

Answer: D


Question:
3. (5 分) 为了解某地区中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取 部分学生进行调查, 事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生 的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大. 在下面的抽样方法中, 最合理的抽样方法是（）
A. 简单的随机抽样
B. 按性别分层抽样
C. 按学段分层抽样
D. 系统抽样

Answer: C

解：我们常用的抽样方法有: 简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异 ，而男女生视力情况差异不大.

了解某地区中小学生的视力情况, 按学段分层抽样, 这种方式具有代表性, 比较 合理.

故选: C.


Question:
4. (5 分) 已知双曲线 $\left.C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 （ a>0, b>0\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$, 则 $C$ 的渐 近线方程为 $(\quad)$
A. $y= \pm \frac{1}{4} x$
B. $y= \pm \frac{1}{3} x$
C. $y= \pm x$
D. $y= \pm \frac{1}{2} x$

Answer: D


Question:
7. (5 分) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{m-1}=-2, S_{m}=0, S_{m+1}=3$, 则 $m=$
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Answer: C


Question:
9. （5 分) 设 $\mathrm{m}$ 为正整数, $(x+y)^{2 m}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $a,(x+y$ ) $2 m+1$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$, 若 $13 a=7 b$, 则 $m=(\quad)$
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Answer: B


Question:
10. (5 分) 已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$, 过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A 、 B$ 两点. 若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$, 则 $E$ 的方程 为 $(\quad)$
A. $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{36}=1$
B. $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$
C. $\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{18}=1$
D. $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Answer: D


Question:
12. (5 分) 设 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的三边长分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}, \triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $S_{n}, n=1$ , 2, 3... 若 $b_{1}>c_{1}, b_{1}+c_{1}=2 a_{1}, a_{n+1}=a_{n}, b_{n+1}=\frac{c_{n}+a_{n}}{2}, c_{n+1}=\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$, 则 ( )
A. $\left\{S_{n}\right\}$ 为递减数列
B. $\left\{S_{n}\right\}$ 为递增数列
C. $\left\{S_{2 n-1}\right\}$ 为递增数列, $\left\{S_{2 n}\right\}$ 为递减数列
D. $\left\{S_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列, $\left\{S_{2 n}\right\}$ 为递增数列

Answer: B


Question:
1. （5 分）已知集合 $M=\left\{x \mid(x-1)^{2}<4, x \in R\right\}, N=\{-1,0,1,2,3\}$, 则 $M$ $\cap N=(\quad)$
A. $\{0,1,2\}$
B. $\{-1,0,1,2\}$
C. $\{-1,0,2,3\}$
D. $\{0,1,2,3\}$

Answer: A


Question:
2. （5 分）设复数 $z$ 满足 $(1-i) z=2 i$, 则 $z=(\quad)$
A. $-1+i$
B. $-1-i$
C. $1+i$
D. 1- $\mathrm{i}$

Answer: A


Question:
3. (5 分) 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 已知 $S_{3}=a_{2}+10 a_{1}, a_{5}=9$, 则 $a_{1}=(\quad)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $-\frac{1}{9}$

Answer: C


Question:
4. (5 分) 已知 $m, n$ 为异面直线, $m \perp$ 平面 $\alpha, n \perp$ 平面 $\beta$. 直线 $\mid$ 满足 $\mid \perp m$, $\mathrm{I} \perp \mathrm{n},|\not \subset \alpha,| \not \subset \beta$, 则 $(\quad)$
A. $\alpha / / \beta$ 且 $\mid / / \alpha$
B. $\alpha \perp \beta$ 且 $l \perp \beta$
C. $\alpha$ 与 $\beta$ 相交, 且交线垂直于।
D. $\alpha$ 与 $\beta$ 相交, 且 交线平行于।

Answer: D

解: 由 $m \perp$ 平面 $\alpha$, 直线 $\mid$ 满足 $\mid \perp m$, 且 $\mid \subset \alpha$, 所以 $\mid / / \alpha$,

又 $n \perp$ 平面 $\beta, 1 \perp n, \mid \not \subset \beta$, 所以 $I / / \beta$.

由直线 $m, n$ 为异面直线, 且 $m \perp$ 平面 $\alpha, n \perp$ 平面 $\beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交, 否则,

若 $\alpha / / \beta$ 则推出 $m / / n$,

与 $m, n$ 异面矛盾.

故 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交, 且交线平行于 1 .

故选: D.


Question:
5. (5 分) 已知 $(1+\mathrm{ax})(1+\mathrm{x}){ }^{5}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{2}$ 的系数为 5 , 则 $a=(\quad)$
A. -4
B. -3
C. -2
D. -1

Answer: D


Question:
8. （5 分） 设 $a=\log _{3} 6, b=\log _{5} 10, c=\log _{7} 14$, 则（ ）
A. $c>b>a$
B. $b>c>a$
C. $a>c>b$
D. $a>b>c$

Answer: D


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3 \geqslant 0\right\}, B=\{x \mid-2 \leqslant x<2\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $[1,2)$
B. $[-1,1]$
C. $[-1,2)$
D. $[-2,-1]$

Answer: D

解: 由 $\mathrm{A}$ 中不等式变形得: $(x-3)(x+1) \geqslant 0$,

解得: $x \geqslant 3$ 或 $x \leqslant-1$, 即 $A=(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$,

$\because B=[-2,2)$,

$\therefore A \cap B=[-2,-1]$.

故选：D.


Question:
2. (5 分 $) \frac{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}=(\quad)$
A. $1+i$
B. $1-\mathrm{i}$
C. $-1+i$
D. $-1-i$

Answer: D


Question:
3. （5 分) 设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$, 且 $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(x) \bullet g(x)$ 是偶函数
B. $|f(x)| \bullet g(x)$ 是奇函数
C. $f(x) \bullet|g(x)|$ 是奇函数
D. $|f(x) \cdot g(x)|$ 是奇函数

Answer: C

解: $\because \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数, $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 是偶函数,

$\therefore f(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x}), g(-\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x})$,

$f(-x) \cdot g(-x)=-f(x) \cdot g(x)$, 故函数是奇函数, 故 $A$ 错误,

$|f(-x)| \cdot g(-x)=|f(x)| \cdot g(x)$ 为偶函数, 故 B 错误,

$f(-x) \cdot \lg (-x)|=-f(x) \cdot| g(x) \mid$ 是奇函数, 故 C 正确.

$|f(-x) \cdot g(-x)|=|f(x) \cdot g(x)|$ 为偶函数, 故 $D$ 错误,

故选：C.


Question:
4. (5 分) 已知 $F$ 为双曲线 $C: x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 的一个焦点, 则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为（）
A. $\sqrt{3}$
B. 3
C. $\sqrt{3} m$
D. $3 m$

Answer: A

解：双曲线 $c: x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 可化为 $\frac{x^{2}}{3 m}-\frac{y^{2}}{3}=1$,

$\therefore$ 一个焦点为 $(\sqrt{3 \pi+3}, 0)$, 一条渐近线方程为 $x+\sqrt{m} y=0$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{F}$ 到 $\mathrm{C}$ 的一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3 \pi+3}}{\sqrt{1+\mathrm{m}}}=\sqrt{3}$.

故选: $A$.


Question:
5. （5 分） 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为（）
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{7}{8}$

Answer: D

解：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 共有 $2^{4}=16$ 种情况,

周六、周日都有同学参加公益活动, 共有 $2^{4}-2=16-2=14$ 种情况,

$\therefore$ 所求概率为 $\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$.

故选: D.


Question:
8. （5 分) 设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 且 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$, 则（）
A. $3 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$
B. $3 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$
C. $2 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$
D. $2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$

Answer: C

解：由 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$, 得:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$

即 $\sin \alpha \cos \beta=\cos \alpha \sin \beta+\cos \alpha$ ，

$\sin (\alpha-\beta)=\cos \alpha=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$,

$\because \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,

$\therefore$ 当 $2 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$ 时, $\sin (\alpha-\beta)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha$ 成立.

故选: C.


Question:
10. (5 分) 已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$, 准线为 $I, P$ 是 $I$ 上一点, $Q$ 是直 线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点, 若 $\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$, 则 $|Q F|=(\quad)$
A. $\frac{7}{2}$
B. 3
C. $\frac{5}{2}$
D. 2

Answer: B

解：设 $Q$ 到 $I$ 的距离为 $d$, 则 $|Q F|=d$,

$\because \overrightarrow{\mathrm{FP}}=4 \overrightarrow{\mathrm{F} 0}$

$\therefore|P Q|=3 d$

$\therefore$ 不妨设直线 $P F$ 的斜率为 $-\frac{2 \sqrt{2} \mathrm{~d}}{\mathrm{~d}}=-2 \sqrt{2}$,

$\because F(2,0)$,

$\therefore$ 直线 $P F$ 的方程为 $y=-2 \sqrt{2}(x-2)$,

与 $y^{2}=8 x$ 联立可得 $x=1$,

$\therefore|Q F|=d=1+2=3$,

故选：B.


Question:
11. （5 分) 已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$, 若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$, 且 $x_{0}>$ 0 , 则实数 a 的取值范围是（ $)$
A. $(1,+\infty)$
B. $(2,+\infty)$
C. $(-\infty,-1)$
D. $(-\infty,-2)$

Answer: D


Question:
1. （5 分）设集合 $M=\{0,1,2\}, N=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2 \leqslant 0\right\}$, 则 $M \cap N=(\quad)$
A. $\{1\}$
B. $\{2\}$
C. $\{0,1\}$
D. $\{1,2\}$

Answer: D

解: $\left.\because N=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2 \leqslant 0\right\}=\{x \mid （ x-1) \quad(x-2) \leqslant 0\right\}=\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 2\}$,

$\therefore M \cap N=\{1,2\}$,

故选: D.


Question:
2. (5 分) 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称, $z_{1}=2+i$, 则 $z_{1} z_{2}=$
A. -5
B. 5
C. $-4+i$
D. $-4-i$

Answer: A


Question:
3. (5 分) 设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10},|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{6}$, 则 $\vec{a} \bullet \vec{b}=(\quad)$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

Answer: A


Question:
4. (5 分) 钝角三角形 $A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2}, A B=1, B C=\sqrt{2}$, 则 $A C=(\quad)$
A. 5
B. $\sqrt{5}$
C. 2
D. 1

Answer: B

解: $\because$ 针角三角形 $A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2}, A B=c=1, B C=a=\sqrt{2}$, $\therefore S=\frac{1}{2} \operatorname{acsin} B=\frac{1}{2}$, 即 $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

当 $B$ 为针角时, $\cos B=-\sqrt{1-\sin ^{2} B}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,

利用余弦定理得: $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \cdot B C \cdot \cos B=1+2+2=5$, 即 $A C=\sqrt{5}$,

当 $B$ 为锐角时, $\cos B=\sqrt{1-\sin ^{2} B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

利用余弦定理得: $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \cdot B C \cdot \cos B=1+2-2=1$, 即 $A C=1$,

此时 $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$, 即 $\triangle A B C$ 为直角三角形, 不合题意, 舍去,

则 $A C=\sqrt{5}$.

故选: B.


Question:
5.（5 分）某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75 , 连续两天为优良的概率是 0.6 , 已知某天的空气质量为优良, 则随后一天的 空气质量为优良的概率是（ $)$
A. 0.8
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.45

Answer: A

解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 $p$, 则由题意可得 $0.75 \times$ $p=0.6$,

解得 $p=0.8$,

故选: A.


Question:
8. (5 分) 设曲线 $y=a x-\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2 x$, 则 $a=($
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Answer: D

解: $y^{\prime}=a \frac{1}{x+1}$,

$\therefore y^{\prime}(0)=a-1=2$

$\therefore a=3$.

故选: D.


Question:
10. (5 分) 设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=3 x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点, 则 $\triangle O A B$ 的面积为（ )
A. $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
B. $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$
C. $\frac{63}{32}$
D. $\frac{9}{4}$

Answer: D


Question:
12. （5 分) 设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{3} \sin \frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{m}}$, 若存在 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极值点 $\mathrm{x}_{0}$ 满足 $\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right.\right.$ ]$^{2}<m^{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是 $(\quad)$
A. $(-\infty,-6) \cup(6,+\infty)$
B. $(-\infty,-4) \cup(4,+\infty)$
C. $(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$
D. $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$

Answer: C


Question:
1. （5 分）设复数 $z$ 满足 $\frac{1+z}{1-z}=i$, 则 $|z|=(\quad)$
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

Answer: A

解: $\because$ 复数 $z$ 满足 $\frac{1+z}{1-z}=i$,

$\therefore 1+z=i-z i$,

$\therefore z(1+i)=i-1$,

$\therefore z=\frac{i-1}{i+1}=i$

$\therefore|z|=1$

故选: A.


Question:
2. （5 分 $) \sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ}-\cos 160^{\circ} \sin 10^{\circ}=(\quad ）$
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$

Answer: D


Question:
3. (5 分) 设命题 $p: \exists n \in N, n^{2}>2^{n}$, 则 $p$ 为 $(\quad)$
A. $\forall n \in N, n^{2}>2^{n}$
B. $\exists n \in N, n^{2} \leqslant 2^{n}$
C. $\forall n \in N, n^{2} \leqslant 2^{n}$
D. $\exists n \in N, n^{2}=2^{n}$

Answer: C

解: 命题的否定是: $\forall n \in N, n^{2} \leqslant 2^{n}$,

故选: C.


Question:
4. （5 分) 投篮测试中, 每人投 3 次, 至少投中 2 次才能通过测试. 已知某同 学每次投篮投中的概率为 0.6 , 且各次投篮是否投中相互独立, 则该同学通过 测试的概率为 $(\quad)$
A. 0.648
B. 0.432
C. 0.36
D. 0.312

Answer: A


Question:
5. (5 分) 已知 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 上的一点, $F_{1}, F_{2}$ 是 $C$ 的左 、右两个焦点, 若 $\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MF}_{2}}<0$, 则 $\mathrm{y}_{0}$ 的取值范围是（ )
A. $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
B. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$
C. $\left(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)$
D. $\left(-\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$

Answer: A


Question:
10. (5 分) $\left(x^{2}+x+y\right)^{5}$ 的展开式中, $x^{5} y^{2}$ 的系数为 $(\quad)$
A. 10
B. 20
C. 30
D. 60

Answer: C


Question:
1. （5 分）已知集合 $\mathrm{A}=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{x \mid(x-1)(x+2)<0\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\{-1,0\}$
B. $\{0,1\}$
C. $\{-1,0,1\}$
D. $\{0,1,2\}$

Answer: A


Question:
2. (5 分) 若 $a$ 为实数, 且 $(2+a i)(a-2 i)=-4 i$, 则 $a=(\quad)$
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

Answer: B


Question:
4. (5 分) 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{1}+a_{3}+a_{5}=21$, 则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=(\quad)$
A. 21
B. 42
C. 63
D. 84

Answer: B


Question:
5. (5 分) 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\log _{2}(2-x), & x<1 \\ 2^{x-1}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$, 则 $f(-2)+f\left(\log _{2} 12\right)=($ )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12

Answer: C


Question:
7. (5 分) 过三点 $A(1,3), B(4,2), C(1,-7)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点, 则 $|\mathrm{MN}|=(\quad)$
A. $2 \sqrt{6}$
B. 8
C. $4 \sqrt{6}$
D. 10

Answer: C


Question:
11. (5 分) 已知 $A, B$ 为双曲线 $E$ 的左, 右顶点, 点 $M$ 在 $E$ 上, $\triangle A B M$ 为等

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_03_10_1a03c2ddb3e246a8fd16g-03.jpg?height=60&width=914&top_left_y=1262&top_left_x=357)
A. $\sqrt{5}$
B. 2
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{2}$

Answer: D


Question:
1. （5 分）设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3<0\right\}, B=\{x \mid 2 x-3>0\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$
B. $\left(-3, \frac{3}{2}\right)$
C. $\left(1, \frac{3}{2}\right)$
D. $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$

Answer: D

解: $\because$ 集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3<0\right\}=(1,3)$,

$\mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid 2 \mathrm{x}-3>0\}=\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$,

$\therefore A \cap B=\left(\frac{3}{2}, 3\right)$,

故选：D.


Question:
2. （5 分) 设 $(1+i) x=1+y i$, 其中 $x, y$ 是实数, 则 $|x+y i|=(\quad)$
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

Answer: B

解: $\because(1+\mathrm{i}) \mathrm{x}=1+\mathrm{yi}$,

$\therefore x+x i=1+y i$,

即 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=x\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$, 即 $|x+y i|=|1+i|=\sqrt{2}$, 故选: B.


Question:
3. (5 分) 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 9 项的和为 $27, a_{10}=8$, 则 $a_{100}=(\quad)$
A. 100
B. 99
C. 98
D. 97

Answer: C


Question:
4. (5 分) 某公司的班车在 7: $00,8: 00,8: 30$ 发车, 小明在 7:50 至 8: 30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的, 则他等车时间不 超过 10 分钟的概率是（ $)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

Answer: B


Question:
5. （5 分）已知方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距 离为 4 , 则 $n$ 的取值范围是（ $)$
A. $(-1,3)$
B. $(-1, \sqrt{3})$
C. $(0,3)$
D. $(0, \sqrt{3})$

Answer: A


Question:
8. （5 分）若 $a>b>1,0<c<1$, 则（ $)$
A. $a^{c}<b^{c}$
B. $a b^{c}<b a^{c}$
C. $a \log _{b} c<b \log _{a} c$
D. $\log _{a} c<\log _{b} c$

Answer: C


Question:
1. (5 分) 已知 $z=(m+3)+(m-1) i$ 在复平面内对应的点在第四象限, 则实 数 $m$ 的取值范围是 $(\quad)$
A. $(-3,1)$
B. $(-1,3)$
C. $(1,+\infty)$
D. $(-\infty,-3)$

Answer: A

解: $z=(m+3)+(m-1) \mathrm{i}$ 在复平面内对应的点在第四象限,

可得: $\left\{\begin{array}{l}m+3>0 \\ m-1<0\end{array}\right.$, 解得 $-3<m<1$.

故选: A.


Question:
2. (5 分) 已知集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{x \mid （ x+1)(x-2)<0, x \in Z\}$, 则 $A \cup B$ 等于 $(\quad)$
A. $\{1\}$
B. $\{1,2\}$
C. $\{0,1,2,3\}$
D. $\{-1,0,1,2,3\}$

Answer: C


Question:
3. (5 分) 已知向量 $\vec{a}=(1, m), \vec{b}=(3,-2)$, 且 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$, 则 $m=(\quad)$
A. -8
B. -6
C. 6
D. 8

Answer: D


Question:
4. (5 分) 圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+13=0$ 的圆心到直线 $a x+y-1=0$ 的距离为 1 , 则 $a=($
A. $-\frac{4}{3}$
B. $-\frac{3}{4}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

Answer: A


Question:
9. (5 分) 若 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{3}{5}$, 则 $\sin 2 \alpha=(\quad)$
A. $\frac{7}{25}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $-\frac{1}{5}$
D. $-\frac{7}{25}$

Answer: D

解: 法 $1^{\circ}: \because \cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{3}{5}$,

$\therefore \sin 2 \alpha=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)=\cos 2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-1=2 \times \frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$

法 $2^{\circ}: \because \cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha+\cos \alpha)=\frac{3}{5}$,

$\therefore \frac{1}{2}(1+\sin 2 \alpha)=\frac{9}{25}$,

$\therefore \sin 2 \alpha=2 \times \frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$,

故选: D.


Question:
2. (5 分) 若 $z=1+2 i$, 则 $\frac{4 i}{z \cdot \bar{z}-1}=(\quad)$
A. 1
B. -1
C. i
D. $-\mathrm{i}$

Answer: C


Question:
3. (5 分) 已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 则 $\angle \mathrm{ABC}=(\quad)$
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

Answer: A

解: $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2},|\overrightarrow{B A}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=1$;

$\therefore \cos \angle A B C=\frac{\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B A}||\overrightarrow{B C}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

又 $0^{\circ} \leqslant \angle A B C \leqslant 180^{\circ}$;

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=30^{\circ}$.

故选: A.


Question:
5. (5 分) 若 $\tan a=\frac{3}{4}$, 则 $\cos ^{2} a+2 \sin 2 a=(\quad)$
A. $\frac{64}{25}$
B. $\frac{48}{25}$
C. 1
D. $\frac{16}{25}$

Answer: A

解: $\because \tan \mathrm{a}=\frac{3}{4}$,

$\therefore \cos ^{2} \alpha+2 \sin 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha+4 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{1+4 \tan \alpha}{\tan ^{2} \alpha+1}=\frac{1+4 \times \frac{3}{4}}{\frac{9}{16}+1}=\frac{64}{25}$.

故选: A.


Question:
6. (5 分) 已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=3^{\frac{2}{3}}, c=25^{\frac{1}{3}}$, 则 ( )
A. $b<a<c$
B. $a<b<c$
C. $\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{a}$
D. $c<a<b$

Answer: A


Question:
10. (5 分) 在封闭的直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球, 若 $A B \perp$ $B C, A B=6, B C=8, A A_{1}=3$, 则 $V$ 的最大值是 $(\quad)$
A. $4 \pi$
B. $\frac{9 \pi}{2}$
C. $6 \pi$
D. $\frac{32 \pi}{3}$

Answer: B

解: $\because \mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=8$,

$\therefore A C=10$ 故三角形 $A B C$ 的内切圆半径 $r=\frac{6+8-10}{2}=2$,

又由 $\mathrm{AA}_{1}=3$,

故直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的内切球半径为 $\frac{3}{2}$,

此时 $\vee$ 的最大值 $\frac{4}{3} \pi \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{9 \pi}{2}$,

故选: B.


Question:
11. (5 分) 已知 $O$ 为坐标原点, $F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点, $A, B$ 分别为 $C$ 的左, 右顶点. $P$ 为 $C$ 上一点, 且 $P F \perp x$ 轴, 过点 $A$ 的直线 I 与线段 $P F$ 交于点 $M$, 与 $y$ 轴交于点 $E$. 若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点, 则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

Answer: A

解：由题意可设 $F(-c, 0), A(-a, 0), B(a, 0)$,

设直线 $A E$ 的方程为 $y=k(x+a)$,

令 $x=-c$, 可得 $M(-c, k(a-c))$, 令 $x=0$, 可得 $E(0, k a)$,

设 $O E$ 的中点为 $H$, 可得 $H\left(0, \frac{k a}{2}\right)$, 由 $B, H, M$ 三点共线，可得 $k_{B H}=k_{B M}$,

即为 $\frac{\frac{k a}{2}}{-a}=\frac{k(a-c)}{-c-a}$

化简可得 $\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$, 即为 $a=3 c$,

可得 $\mathrm{e}=\frac{c}{\mathrm{a}}=\frac{1}{3}$.

另解: 由 $\triangle A M F \backsim \triangle A E O$,

可得 $\frac{a-c}{a}=\frac{M F}{O E}$,

由 $\triangle B O H \backsim \triangle B F M$,

可得 $\frac{a}{a+c}=\frac{O H}{F M}=\frac{O E}{2 F M M}$,

即有 $\frac{2(a-c)}{a}=\frac{a+c}{a}$ 即 $a=3 c$,

可得 $\mathrm{e}=\frac{c}{\mathrm{a}}=\frac{1}{3}$.

故选: A.


Question:
12. (5 分) 定义“规范 01 数列” $\left\{a_{n}\right\}$ 如下: $\left\{a_{n}\right\}$ 共有 $2 m$ 项, 其中 $m$ 项为 $0, m$ 项 为 1 , 且对任意 $k \leqslant 2 m, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ 中 0 的个数不少于 1 的个数, 若 $m=4$, 则不同的“规范 01 数列”共有（）
A. 18 个
B. 16 个
C. 14 个
D. 12 个

\section{

Answer: C


Question:
1.（5 分）已知集合 $A=\{x \mid x<1\}, B=\left\{x \mid 3^{x}<1\right\}$, 则（）
A. $A \cap B=\{x \mid x<0\}$ B. $A \cup B=R$
C. $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}>1\}$
D. $A \cap B=\varnothing$

Answer: A

解: $\because$ 集合 $A=\{x \mid x<1\}$,

$B=\left\{x \mid 3^{x}<1\right\}=\{x \mid x<0\}$

$\therefore A \cap B=\{x \mid x<0\}$, 故 $A$ 正确, $D$ 错误;

$A \cup B=\{x \mid x<1\}$, 故 $B$ 和 $C$ 都错误.

故选: A.


Question:
3. （5 分） 设有下面四个命题

$p_{1}$ : 若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$, 则 $z \in R$;

$p_{2}$ : 若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$, 则 $z \in R$;

$p_{3}$ ：若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} \in R$, 则 $z_{1}=\overline{z_{2}}$;

$p_{4}$ : 若复数 $z \in R$, 则 $z \in R$.

其中的真命题为（ $)$
A. $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{3}$
B. $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{4}$
C. $p_{2}, p_{3}$
D. $p_{2}, p_{4}$

Answer: B


Question:
4. (5 分) 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公 差为 $(\quad)$
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

Answer: C


Question:
5. (5 分) 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递减, 且为奇函数. 若 $f(1)=-1$ , 则满足 $-1 \leqslant f(x-2) \leqslant 1$ 的 $x$ 的取值范围是 $(\quad)$
A. $[-2,2]$
B. $[-1,1]$
C. $[0,4]$
D. $[1,3]$

Answer: D

解: $\because$ 函数 $f(x)$ 为奇函数.

若 $f(1)=-1$, 则 $f(-1)=1$,

又 $\because$ 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递减, $-1 \leqslant f(x-2) \leqslant 1$,

$\therefore f(1) \leqslant f(x-2) \leqslant f(-1)$

$\therefore-1 \leqslant x-2 \leqslant 1$

解得: $x \in[1,3]$,

故选: D.


Question:
6. (5 分) $\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)(1+x){ }^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为（ $)$
A. 15
B. 20
C. 30
D. 35

Answer: C


Question:
9. （5 分) 已知曲线 $C_{1}: y=\cos x, C_{2}: y=\sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$, 则下面结论正确的是（ )

A. 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 得到曲线 $\mathrm{c}_{2}$

B. 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度, 得到曲线 $\mathrm{C}_{2}$

C. 把 $\mathrm{C}_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向 右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$

D. 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向 左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$

Answer: D

解: 把 $\mathrm{C}_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 得到函数 $y=\cos 2 x$ 图象, 再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\cos 2\left(x^{+}\right.$ $\left.\frac{\pi}{12}\right)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的图象, 即曲线 $C_{2}$,

故选: D.


Question:
11. (5 分) 设 $x 、 y 、 z$ 为正数, 且 $2^{x}=3^{y}=5^{2}$, 则 ( )
A. $2 x<3 y<5 z$
B. $5 z<2 x<3 y$
C. $3 y<5 z<2 x$
D. $3 y<2 x<5 z$

Answer: D

解: $x 、 y 、 z$ 为正数,

令 $2^{x}=3^{y}=5^{z}=k>1 . \quad \lg k>0$.

则 $x=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 2}, y=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 3}, z=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 5}$.

$\therefore 3 y=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg \sqrt[3]{3}}, 2 x=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg \sqrt{2}}, 5 \mathrm{z}=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg \sqrt[5]{5}}$.

$\because \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}, \sqrt{2}=\sqrt[10]{32}>\sqrt[10]{25}=\sqrt[5]{5}$

$\therefore \lg \sqrt[3]{3}>\lg \sqrt{2}>\lg \sqrt[5]{5}>0$

$\therefore 3 y<2 x<5 z$.

另解： $x 、 y 、 z$ 为正数,

令 $2^{x}=3^{y}=5^{2}=k>1 . \quad \lg k>0$.

则 $x=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 2}, y=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 3}, z=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 5}$.

$\therefore \frac{2 x}{3 y}=\frac{2}{3} \times \frac{\lg 3}{\lg 2}=\frac{\lg 9}{\lg 8}>1$, 可得 $2 x>3 y$,

$\frac{5 z}{2 x}=\frac{5}{2} \times \frac{\lg 2}{\lg 5}=\frac{\lg 2^{5}}{\lg 5^{2}}>1$. 可得 $5 z>2 x$.

综上可得: $5 z>2 x>3 y$.

解法三: 对 $\mathrm{k}$ 取特殊值, 也可以比较出大小关系.

故选：D.


Question:
12. (5 分) 几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大 家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软 件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4$, $8,1,2,4,8,16, \ldots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下 来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $\mathrm{N}$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是（）
A. 440
B. 330
C. 220
D. 110

Answer: A


Question:
1. $(5$ 分 $) \frac{3+i}{1+i}=(\quad)$
A. $1+2 i$
B. $1-2 i$
C. $2+i$
D. $2-\mathrm{i}$

Answer: D


Question:
2. （5 分）设集合 $A=\{1,2,4\}, B=\left\{x \mid x^{2}-4 x+m=0\right\}$. 若 $A \cap B=\{1\}$, 则 $B=(\quad)$
A. $\{1,-3\}$
B. $\{1,0\}$
C. $\{1,3\}$
D. $\{1,5\}$

Answer: C


Question:
3. (5 分) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远看巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? "意思是: 一座 7 层塔 共挂了 381 或灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍, 则塔的 顶层共有灯（）
A. 1 盏
B. 3 盏
C. 5 或
D. 9 或

Answer: B

解：设塔顶的 $a_{1}$ 盏灯,

由题意 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 2 的等比数列,

$\therefore S_{7}=\frac{a_{1}\left(1-2^{7}\right)}{1-2}=381$,

解得 $\mathrm{a}_{1}=3$.

故选：B.


Question:
6. （5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作, 每人至少完成 1 项, 每项工作由 1 人完成, 则不同的安排方式共有（ $)$
A. 12 种
B. 18 种
C. 24 种
D. 36 种

Answer: D

解： 4 项工作分成 3 组, 可得: $C_{4}^{2}=6$, 安排 3 名志愿者完成 4 项工作, 每人至少完成 1 项, 每项工作由 1 人完成, 可得： $6 \times \mathrm{A}_{3}^{3}=36$ 种.

故选: D.


Question:
7. （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩. 老师 说: 你们四人中有 2 位优秀, 2 位良好, 我现在给甲看乙、丙的成绩, 给乙 看丙的成绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩. 根据以上信息，则（ $)$
A. 乙可以知道四人的成绩
B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩

Answer: D

解：四人所知只有自己看到, 老师所说及最后甲说话,

甲不知自己的成绩

$\rightarrow$ 乙丙必有一优一良, （若为两优, 甲会知道自己的成绩; 若是两良, 甲也会 知道自己的成绩)

$\rightarrow$ 乙看到了丙的成绩, 知自己的成绩

$\rightarrow$ 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩,

给甲看乙丙成绩, 甲不知道自已的成绩, 说明乙丙一优一良, 假定乙丙都是优, 则甲是良, 假定乙丙都是良, 则甲是优, 那么甲就知道自已的成绩了. 给乙 看丙成绩, 乙没有说不知道自己的成绩, 假定丙是优, 则乙是良, 乙就知道 自己成绩. 给丁看甲成绩, 因为甲不知道自己成绩, 乙丙是一优一良, 则甲 丁也是一优一良, 丁看到甲成绩, 假定甲是优, 则丁是良, 丁肯定知道自已 的成绩了 故选: D.


Question:
9. （5 分）若双曲线 $c: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2)$ ${ }^{2}+y^{2}=4$ 所截得的弦长为 2 , 则 $C$ 的离心率为 ( )
A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Answer: A


Question:
11. (5 分) 若 $x=-2$ 是函数 $f(x)=\left(x^{2}+a x-1\right) e^{x-1}$ 的极值点, 则 $f(x)$ 的极 小值为 $(\quad)$
A. -1
B. $-2 e^{-3}$
C. $5 \mathrm{e}^{-3}$
D. 1

Answer: A


Question:
1. (5 分) 已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}, B=\{(x, y) \mid y=x\}$, 则 $A \cap B$ 中元 素的个数为 $(\quad)$
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

Answer: B

解: 由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ y=x\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$,

$\therefore A \cap B$ 的元素的个数是 2 个,

故选: B.


Question:
2. (5 分) 设复数 $z$ 满足 $(1+i) \quad z=2 i$, 则 $|z|=(\quad)$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. 2

Answer: C

解: $\because(1+\mathrm{i}) \mathrm{z}=2 \mathrm{i}, \quad \therefore(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) \quad \mathrm{z}=2 \mathrm{i}(1-\mathrm{i}), \mathrm{z}=\mathrm{i}+1$.

则 $|z|=\sqrt{2}$.

故选: C.


Question:
4. (5 分) $(\mathrm{x}+\mathrm{y})(2 \mathrm{x}-\mathrm{y})^{5}$ 的展开式中的 $x^{3} \mathrm{y}^{3}$ 系数为 $(\quad)$
A. -80
B. -40
C. 40
D. 80

Answer: C


Question:
5. (5 分) 已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2} x$, 且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点, 则 $C$ 的方程为 $(\quad)$
A. $\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{10}=1$
B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
C. $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$
D. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$

Answer: B


Question:
6. (5 分) 设函数 $f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$, 则下列结论错误的是 $(\quad)$
A. $f(x)$ 的一个周期为 $-2 \pi$
B. $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{8 \pi}{3}$ 对称
C. $f(x+\pi)$ 的一个零点为 $x=\frac{\pi}{6}$
D. $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 单调递减

Answer: D

解: $A$. 函数的周期为 $2 k \pi$, 当 $k=-1$ 时, 周期 $T=-2 \pi$, 故 $A$ 正确,

B. 当 $x=\frac{8 \pi}{3}$ 时, $\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{8 \pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{9 \pi}{3}=\cos 3 \pi=-1$ 为最小 值, 此时 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{8 \pi}{3}$ 对称, 故 $B$ 正确,

C 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时, $f\left(\frac{\pi}{6}+\pi\right)=\cos \left(\frac{\pi}{6}+\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{3 \pi}{2}=0$, 则 $f(x+\pi)$ 的一个 零点为 $x=\frac{\pi}{6}$, 故 $C$ 正确,

D. 当 $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ 时, $\frac{5 \pi}{6}<x+\frac{\pi}{3}<\frac{4 \pi}{3}$, 此时函数 $f(x)$ 不是单调函数, 故 $D$ 错误,

故选: D.


Question:
9. (5 分) 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 1, 公差不为 0 . 若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 6 项的和为 $(\quad)$
A. -24
B. -3
C. 3
D. 8

Answer: A

解: $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 1, 公差不为 $0 . a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列, $\therefore \mathrm{a}_{3}^{2}=\mathrm{a}_{2} \cdot \mathrm{a}_{6}$

$\therefore\left(a_{1}+2 d\right)^{2}=\left(a_{1}+d\right) \quad\left(a_{1}+5 d\right)$, 且 $a_{1}=1, d \neq 0$,

解得 $d=-2$,

$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 前 6 项的和为 $S_{6}=6 a_{1}+\frac{6 \times 5}{2} d=6 \times 1+\frac{6 \times 5}{2} \times(-2)=-24$.

故选: A.


Question:
10. (5 分) 已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切, 则 $C$ 的离心率为
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\frac{1}{3}$

Answer: A

解: 以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切, $\therefore$ 原点到直线的距离 $\frac{2 a b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=a$, 化为: $a^{2}=3 b^{2}$.

$\therefore$ 椭圆 $\mathrm{C}$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\sqrt{1-\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

故选: A.


Question:
11. (5 分) 已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点, 则 $a=(\quad)$
A. $\quad-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

Answer: C


Question:
1. （5 分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$, 则 $|z|=(\quad)$
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\sqrt{2}$

Answer: C


Question:
2. （5 分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2>0\right\}$, 则 $\left.C_{R} A=（ \quad\right)$
A. $\{x \mid-1<x<2\}$
B. $\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 2\}$
C. $\{x \mid x<-1\} \cup\{x \mid x>2\}$
D. $\{x \mid x \leqslant-1\}$

$U\{x \mid x \geqslant 2\}$

Answer: B

解：集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2>0\right\}$,

可得 $A=\{x \mid x<-1$ 或 $x>2\}$, 则: $C_{R} A=\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 2\}$.

故选: B.


Question:
4. (5 分) 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$, 则 $a_{5}=(\quad)$
A. -12
B. -10
C. 10
D. 12

Answer: B


Question:
5. （5 分) 设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$. 若 $f(x)$ 为奇函数, 则曲线 $y=f($ $x$ ) 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 ( )
A. $y=-2 x$
B. $y=-x$
C. $y=2 x$
D. $y=x$

Answer: D


Question:
6. (5 分) 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 为 $B C$ 边上的中线, $E$ 为 $A D$ 的中点, 则 $\overrightarrow{E B}=(\quad)$
A. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
B. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
C. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
D. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Answer: A

解: 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 为 $B C$ 边上的中线, $E$ 为 $A D$ 的中点,

$\overrightarrow{\mathrm{EB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$

$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

$=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 故选: A.


Question:
8. (5 分) 设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$, 过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 则 $\overrightarrow{F M} \bullet \overrightarrow{F N}=(\quad)$
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Answer: D


Question:
11. (5 分) 已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点, $F$ 为 $C$ 的右焦点, 过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$. 若 $\triangle O M N$ 为直角三角形, 则 $|\mathrm{MN}|=(\quad)$
A. $\frac{3}{2}$
B. 3
C. $2 \sqrt{3}$
D. 4

Answer: B


Question:
1. (5 分 $) \frac{1+2 i}{1-2 i}=(\quad)$
A. $-\frac{4}{5}-\frac{3}{5} i$
B. $-\frac{4}{5}+\frac{3}{5} i$
C. $-\frac{3}{5}-\frac{4}{5} i$
D. $-\frac{3}{5}+\frac{4}{5} i$

Answer: D


Question:
2. (5 分) 已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 3, x \in Z, y \in Z\right\}$, 则 $A$ 中元素的个数为
A. 9
B. 8
C. 5
D. 4

Answer: A


Question:
4. (5 分) 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$, 则 $\vec{a} \bullet(2 \vec{a}-\vec{b})=(\quad ）$
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0

Answer: B


Question:
5. (5 分) 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$, 则其渐近线方程为 $(\quad)$
A. $y= \pm \sqrt{2} x$
B. $y= \pm \sqrt{3} x$
C. $y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$
D. $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{x}$

Answer: A

解: $\because$ 双曲线的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$,

则 $\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^{2}-1}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$,

即双曲线的渐近线方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x= \pm \sqrt{2} x$,

故选：A.


Question:
6. (5 分) 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, B C=1, A C=5$, 则 $A B=（ ）$
A. $4 \sqrt{2}$
B. $\sqrt{30}$
C. $\sqrt{29}$
D. $2 \sqrt{5}$

Answer: A

解：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos \mathrm{C}=2 \times\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}-1=-\frac{3}{5}$,

$B C=1, A C=5$, 则 $A B=\sqrt{B C^{2}+A C^{2}-2 B C \cdot A C \cos C}=\sqrt{1+25+2 \times 1 \times 5 \times \frac{3}{5}}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}$.

故选: A.


Question:
8. (5 分) 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”, 如 $30=7+23$. 在不超过 30 的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于 30 的概率是 $(\quad)$
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{14}$
C. $\frac{1}{15}$
D. $\frac{1}{18}$

Answer: C


Question:
10. （5 分) 若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a, a]$ 是减函数, 则 $a$ 的最大值是 $(\quad)$
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\frac{3 \pi}{4}$
D. $\pi$

Answer: A

解: $f(x)=\cos x-\sin x=-(\sin x-\cos x)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$,

由 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant x-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in Z$,

得 $-\frac{\pi}{4}+2 k \pi \leqslant x \leqslant \frac{3}{4} \pi+2 k \pi, k \in Z$,

取 $\mathrm{k}=0$, 得 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的一个减区间为 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4} \pi\right]$,

由 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是减函数, 得 $\left\{\begin{array}{l}-a \geqslant-\frac{\pi}{4} \\ a \leqslant \frac{3 \pi}{4}\end{array}, \quad \therefore a \leqslant \frac{\pi}{4}\right.$.

则 $a$ 的最大值是 $\frac{\pi}{4}$.

故选: A.


Question:
11. (5 分) 已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数, 满足 $f(1-x)=f$ $(1+x)$, 若 $f(1)=2$, 则 $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(50)=(\quad)$
A. -50
B. 0
C. 2
D. 50

Answer: C


Question:
1. (5 分) 已知集合 $A=\{x \mid x-1 \geqslant 0\}, B=\{0,1,2\}$, 则 $A \cap B=（ \quad)$
A. $\{0\}$
B. $\{1\}$
C. $\{1,2\}$
D. $\{0,1,2\}$

Answer: C

解: $\because A=\{x \mid x-1 \geqslant 0\}=\{x \mid x \geqslant 1\}, B=\{0,1,2\}$,

$\therefore A \cap B=\{x \mid x \geqslant 1\} \cap\{0,1,2\}=\{1,2\}$.

故选: C.


Question:
2. $(5$ 分 $)(1+i)(2-i)=(\quad)$
A. $-3-i$
B. $-3+i$
C. $3-i$
D. $3+i$

Answer: D


Question:
4. (5 分) 若 $\sin a=\frac{1}{3}$, 则 $\cos 2 a=(\quad)$
A. $\frac{8}{9}$
B. $\frac{7}{9}$
C. $-\frac{7}{9}$
D. $-\frac{8}{9}$

Answer: B


Question:
5. (5 分) $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right){ }^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $(\quad)$
A. 10
B. 20
C. 40
D. 80

Answer: C


Question:
6. (5 分) 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴, $y$ 轴交于 $A$, B 两点, 点 $P$ 在圆 $(x-2)$ ${ }^{2}+y^{2}=2$ 上，则 $\triangle A B P$ 面积的取值范围是 $(\quad)$
A. $[2,6]$
B. $[4,8]$
C. $[\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$
D. $[2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$

Answer: A

解: $\because$ 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴, $y$ 轴交于 $A, B$ 两点, $\therefore$ 令 $\mathrm{x}=0$, 得 $\mathrm{y}=-2$, 令 $\mathrm{y}=0$, 得 $\mathrm{x}=-2$,

$\therefore A(-2,0), B(0,-2),|A B|=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$,

$\because$ 点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$ 上, $\therefore$ 设 $P(2+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{P}$ 到直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+2=0$ 的距离: $\mathrm{d}=\frac{|2+\sqrt{2} \cos \theta+\sqrt{2} \sin \theta+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+4\right|}{\sqrt{2}}$,

$\because \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \in[-1,1], \quad \therefore d=\frac{\left|2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+4\right|}{\sqrt{2}} \in[\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABP}$ 面积的取值范围是:

$\left[\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}, \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}\right]=[2,6]$.

故选: $A$.


Question:
8. (5 分) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $\mathrm{p}$, 各成员的支付方式 相互独立. 设 $\mathrm{X}$ 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, $D X=2.4, P$ $(x=4)<P(X=6)$, 则 $p=(\quad)$
A. 0.7
B. 0.6
C. 0.4
D. 0.3

Answer: B


Question:
9. (5 分) $\triangle A B C$ 的内角 A, B, C 的对边分别为 $a, b, C$. 若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$, 则 $\mathrm{C}=(\quad)$
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{6}$

Answer: C

解: $\because \triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$.

$\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$ $\therefore \sin \mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{c}^{2}}{2 \mathrm{ab}}=\cos \mathrm{C}$,

$\because 0<\mathrm{C}<\pi, \quad \therefore \mathrm{C}=\frac{\pi}{4}$.

故选: C.


Question:
11. (5 分) 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左, 右焦点, $O$ 是坐标原点. 过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线, 垂足为 $P$, 若 $\left|P F_{1}\right|=\sqrt{6}|O P|$, 则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
A. $\sqrt{5}$
B. 2
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{2}$

Answer: C

解：双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0 . b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$, $\therefore$ 点 $\mathrm{F}_{2}$ 到渐近线的距离 $\mathrm{d}=\frac{\mathrm{bc}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}}=\mathrm{b}$, 即 $\left|P F_{2}\right|=b$,

$\therefore|\mathrm{OP}|=\sqrt{\left|O \mathrm{~F}_{2}\right|^{2}-\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}}=\sqrt{c^{2}-\mathrm{b}^{2}}=\mathrm{a}, \quad \cos \angle \mathrm{PF} \mathrm{F}_{2} \mathrm{O}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$,

$\because\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\sqrt{6}|\mathrm{OP}|$

$\therefore\left|P F_{1}\right|=\sqrt{6} a$ 在三角形 $F_{1} P F_{2}$ 中, 由余弦定理可得 $\left|P F_{1}\right|^{2}=\left|P F_{2}\right|^{2}+\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{2}\right| \cdot\left|F_{1} F_{2}\right| C O S \angle$ $\mathrm{PF}_{2} \mathrm{O}$

$\therefore 6 \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+4 c^{2}-2 \times b \times 2 c \times \frac{b}{c}=4 c^{2}-3 b^{2}=4 c^{2}-3 \quad\left(c^{2}-a^{2}\right)$,

即 $3 a^{2}=c^{2}$,

即 $\sqrt{3} a=c$,

$\therefore \mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\sqrt{3}$,

故选: C.


Question:
12. (5 分) 设 $a=\log _{0.2} 0.3, b=\log _{2} 0.3$, 则 $(\quad)$
A. $a+b<a b<0$
B. $a b<a+b<0$
C. $a+b<0<a b$
D. $a b<0<a+b$

Answer: B


Question:
1.已知集合 $M=\{x \mid-4<x<2\}, N=\left\{x \mid x^{2}-x-6<0\right\}$, 则 $M \cap N=$
A. $\{x \mid-4<x<3\}$
B. $\{x \mid-4<x<-2\}$
C. $\{x \mid-2<x<2\}$
D.
$\{x \mid 2<x<3\}$

Answer: C


Question:
2. 设复数 $z$ 满足 $|z-\mathrm{i}|=1, z$ 在复平面内对应的点为 $(x, y)$, 则
A. $(x+1)^{2}+y^{2}=1$
B. $(x-1)^{2}+y^{2}=1$
C. $x^{2}+(y-1)^{2}=1$
D.

$x^{2}+(y+1)^{2}=1$

Answer: C


Question:
3.已知 $a=\log _{2} 0.2, b=2^{0.2}, c=0.2^{0.3}$ ，则
A. $a<b<c$
B. $a<c<b$
C. $c<a<b$
D.

$b<c<a$

Answer: B


Question:
7.已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=2|b|$, 且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{2 \pi}{3}$
D. $\frac{5 \pi}{6}$

Answer: B

【详解】因为 $(a-b) \perp b$, 所以 $(a-b) \cdot b=a \cdot b-b^{2}=0$, 所以 $a \cdot b=b^{2}$, 所以 $\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a| \cdot|b|}=\frac{|b|^{2}}{2|b|^{2}}=\frac{1}{2}$, 所以 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 故选 B.


Question:
9. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $S_{4}=0, a_{5}=5$, 则
A. $a_{n}=2 n-5$
B. $a_{n}=3 n-10$
C. $S_{n}=2 n^{2}-8 n$
D. $S_{n}=\frac{1}{2} n^{2}-2 n$

Answer: A

【详解】由题知, $\left\{\begin{array}{l}S_{4}=4 a_{1}+\frac{d}{2} \times 4 \times 3=0 \\ a_{5}=a_{1}+4 d=5\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=-3 \\ d=2\end{array}, \therefore a_{n}=2 n-5\right.$, 故选 A.


Question:
11. 关于函数 $f(x)=\sin |x|+|\sin x|$ 有下述四个结论:

(1) $f(x)$ 是偶函数 $\quad$ (2) $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 单调递增

(3) $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 有 4 个零点 (4) $f(x)$ 的最大值为 2

其中所有正确结论的编号是
A. (1)(2)(4)
B. (2)(4)
C. (1)(4)
D. (1)(3)

Answer: C

【详解】 $\because f(-x)=\sin |-x|+|\sin (-x)|=\sin |x|+|\sin x|=f(x), \therefore f(x)$ 为偶函数, 故(1) 正确. 当 $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ 时, $f(x)=2 \sin x$, 它在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 单调递减, 故(2)错误. 当 $0 \leq x \leq \pi$ 时, $f(x)=2 \sin x$, 它有两个零点: $0 ， \pi$; 当 $-\pi \leq x<0$ 时,

$f(x)=\sin (-x)-\sin x=-2 \sin x$, 它有一个零点: $-\pi$, 故 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 有 3 个零点:

$-\pi, 0, \pi$, 故(3)错误. 当 $x \in[2 k \pi, 2 k \pi+\pi]\left(k \in \mathbf{N}^{\star}\right)$ 时, $f(x)=2 \sin x$; 当 $x \in[2 k \pi+\pi, 2 k \pi+2 \pi]\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时, $f(x)=\sin x-\sin x=0$, 又 $f(x)$ 为偶函数,

$\therefore f(x)$ 的最大值为 2 , 故(4)正确. 综上所述, (1)4) 正确, 故选 C.


Question:
1. 设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+6>0\right\}, B=\{x \mid x-1<0\}$, 则 $A \cap B=$
A. $(-\infty, 1)$
B. $(-2,1)$
C. $(-3,-1)$
D. $(3,+\infty)$

Answer: A


Question:
2. 设 $z=-3+2 \mathrm{i}$, 则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

Answer: C


Question:
3. 已知 $\overrightarrow{A B}=(2,3), \overrightarrow{A C}=(3, t), \overrightarrow{B C}=1$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=$
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3

Answer: C

【详解】由 $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=(1, t-3),|\overrightarrow{B C}|=\sqrt{1^{2}+(t-3)^{2}}=1$, 得 $t=3$, 则 $\overrightarrow{B C}=(1,0)$, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=(2,3) \cdot(1,0)=2 \times 1+3 \times 0=2$. 故选 C.


Question:
4.2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆, 我国航天 事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。 为解决这个问题, 发射了嫦娥四号中继星 “鹊桥”, 鹊桥沿着围绕地 月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行. $L_{2}$ 点是平衡点, 位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 $M_{1}$, 月球质量为 $M_{2}$, 地月距离为 $R, L_{2}$ 点到月球的距离为 $r$, 根据牛顿运动定律和万 有引力定律, $r$ 满足方程:

$$
\frac{M_{1}}{(R+r)^{2}}+\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R+r) \frac{M_{1}}{R^{3}}
$$

设 $a=\frac{r}{R}$, 由于 $a$ 的值很小, 因此在近似计算中 $\frac{3 a^{3}+3 a^{4}+a^{5}}{(1+a)^{2}} \approx 3 a^{3}$, 则 $r$ 的近似值 为
A. $\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} R$
B. $\sqrt{\frac{M_{2}}{2 M_{1}}} R$
C. $\sqrt[3]{\frac{3 M_{2}}{M_{1}}} R$
D. $\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$

Answer: D


Question:
5. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分, 评定该选手的成绩时, 从 9 个原 始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分, 得到 7 个有效评分. 7 个有效评分与 9 个原始评 分相比, 不变的数字特征是
A. 中位数
B. 平均数
C. 方差
D. 极差

Answer: A


Question:
6. 若 $a>b$, 则
A. $\ln (a-b)>0$
B. $3^{a}<3^{b}$
C. $a^{3}-b^{3}>0$
D. $|a|>|b|$

Answer: C


Question:
7. 设 $\alpha, \beta$ 为两个平面, 则 $\alpha / / \beta$ 的充要条件是
A. $\alpha$ 内有无数条直线与 $\beta$ 平行
B. $\alpha$ 内有两条相交直线与 $\beta$ 平行
C. $\alpha, \beta$ 平行于同一条直线
D. $\alpha, \beta$ 垂直于同一平面

Answer: B

【详解】由面面平行的判定定理知: $a$ 内两条相交直线都与 $\beta$ 平行是 $a / / \beta$ 的充分条件,

由面面平行性质定理知, 若 $a / / \beta$, 则 $a$ 内任意一条直线都与 $\beta$ 平行, 所以 $a$ 内两条相交 直线都与 $\beta$ 平行是 $a / / \beta$ 的必要条件, 故选 $\mathrm{B}$.


Question:
8. 若抛物线 $y^{2}=2 p x \quad(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点, 则 $p=$
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8

Answer: D


Question:
10.已知 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \sin 2 \alpha=\cos 2 \alpha+1$, 则 $\sin \alpha=$
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Answer: B

【详解】 $\because 2 \sin 2 a=\cos 2 a+1, \therefore 4 \sin a \cdot \cos a=2 \cos ^{2} a \because a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \cos a>0$. $\sin a>0, \therefore 2 \sin a=\cos a$, 又 $\sin ^{2} a+\cos ^{2} a=1, \therefore 5 \sin ^{2} a=1, \quad \sin ^{2} a=\frac{1}{5}$, 又 $\sin a>0, \therefore \sin a=\frac{\sqrt{5}}{5}$, 故选 B.


Question:
1.已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\left\{x \mid x^{2} \leq 1\right\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\{-1,0,1\}$
B. $\{0,1\}$
C. $\{-1,1\}$
D.

$\{0,1,2\}$

Answer: A


Question:
2. 若 $z(1+\mathrm{i})=2 \mathrm{i}$ ，则 $z=(\quad)$
A. $-1-\mathrm{i}$
B. $-1+\mathrm{i}$
C. $1-\mathrm{i}$
D. $1+i$

Answer: D

【详解】 $z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2 \mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=1+\mathrm{i}$. 故选 D.


Question:
3. 《西游记》《三国演义》《水淓传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝, 并称为中国古典小 说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况, 随机调查了 100 学生, 其中阅读 过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位, 阅读过 《红楼梦》的学生共有 80 位, 阅读过 《西游记》且阅读过 《红楼梦》的学生共有 60 位, 则该校阅读过 《西游记》的学生人数与 该校学生总数比值的估计值为 $(\quad)$
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8

Answer: C

【详解】由题意得, 阅读过 《西游记》的学生人数为 $90-80+60=70$, 则其与该校学生人数之 比为 $70 \div 100=0$. 7. 故选 C.


Question:
4. $\left(1+2 x^{2}\right)(1+x){ }^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24

Answer: A


Question:
5.已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 , 且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$, 则 $a_{3}=(\quad)$
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2

Answer: C


Question:
6. 已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$, 则 ( )
A. $a=e, b=-1$
B. $a=e, b=1$
C. $a=e^{-1}, b=1$
D.

$a=e^{-1}, b=-1$

Answer: D


Question:
10. 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点为 $F$, 点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上, $O$ 为坐标原点, 若 $|P O|=|P F|$, 则 $\triangle P F O$ 的面积为
A. $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{x}_{2}}$
D. $3 \sqrt{2}$

Answer: A

【详解】由 $a=2, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6}$ ．

$$
\because|P O|=|P F|, \therefore x_{P}=\frac{\sqrt{6}}{2}
$$

又 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上, 不妨设为在 $y=\frac{b}{a} x$ 上,

$\therefore S_{\triangle P F O}=\frac{1}{2}|O F| \cdot\left|y_{P}\right|=\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{4}$, 故选 A.


Question:
11. 设 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递减, 则 $(\quad)$
A. $f\left(\log _{5} \frac{1}{4}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)$
B. $f\left(\log _{8} \frac{1}{4}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)$
C. $f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(\log _{5} \frac{1}{4}\right)$
D. $f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(\log _{5} \frac{1}{4}\right)$

Answer: C

【详解】 $\because f(x)$ 是 $\mathrm{R}$ 的偶函数, $\therefore f\left(\log _{3} \frac{1}{4}\right)=f\left(\log _{3} 4\right)$.

$\therefore \log _{3} 4>1=2^{0}>2^{-\frac{3}{2}}$, 又 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减, $f\left(\log _{3} 4\right)<f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)<f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)$,

$\therefore f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(\log _{3} \frac{1}{4}\right)$, 故选 C.


Question:
12. 设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)(\omega>0)$, 已知 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个零点, 下 述四个结论:

(1) $f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 3 个极大值点

(2) $f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 2 个极小值点 (3) $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$ 单调递增

(4) 的取值范围是 $\left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right)$

其中所有正确结论的编号是
A. (1)(4)
B. (2)(3)
C. (1)(2)(3)
D. (1)(3)(4)

Answer: D


Question:
1.已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{N}^{*}, y \geq x\right\}, B=\{(x, y) \mid x+y=8\}$, 则 $A \cap B$ 中元素的个数为 $(\quad)$
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

Answer: C

【详解】由题意, $A \cap B$ 中的元素满足 $\left\{\begin{array}{c}y \geq x \\ x+y=8\end{array}\right.$, 且 $x, y \in N^{*}$,

由 $x+y=8 \geq 2 x$, 得 $x \leq 4$,

所以满足 $x+y=8$ 的有 $(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)$,

故 $A \cap B$ 中元素的个数为 4 .

故选: C.

【点晴】本题主要考查集合的交集运算, 考查学生对交集定义的理解, 是一道容易题.


Question:
2.复数 $\frac{1}{1-3 i}$ 的虚部是 $(\quad)$
A. $-\frac{3}{10}$
B. $-\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{10}$
D. $\frac{3}{10}$

Answer: D

【详解】 因为 $z=\frac{1}{1-3 i}=\frac{1+3 i}{(1-3 i)(1+3 i)}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10} i$,

所以复数 $z=\frac{1}{1-3 i}$ 的虚部为 $\frac{3}{10}$.

故选: D.

【点晴】本题主要考查复数的除法运算, 涉及到复数的虚部的定义, 是一道基础题.


Question:
3. 在一组样本数据中, $1,2,3,4$ 出现的频率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$, 且 $\sum_{i=1}^{4} p_{i}=1$, 则下面四种 情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A. $p_{1}=p_{4}=0.1, p_{2}=p_{3}=0.4$
B. $p_{1}=p_{4}=0.4, p_{2}=p_{3}=0.1$
C. $p_{1}=p_{4}=0.2, p_{2}=p_{3}=0.3$
D. $p_{1}=p_{4}=0.3, p_{2}=p_{3}=0.2$

Answer: B


Question:
4.Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领城. 有学者根据公布数据建立了某 地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)\left(t\right.$ 的单位: 天)的 Logistic 模型: $I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$, 其中 $K$ 为最大确诊病例数．当 $I\left(t^{*}\right)=0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情, 则 $t^{*}$ 约为 $(\quad) \quad(\ln 19 \approx 3)$
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69

Answer: C


Question:
5. 设 $O$ 为坐标原点, 直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点, 若 $O D \perp O E$, 则 $C$ 的焦点坐标为 $(\quad)$
A. $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$
B. $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$
C. $(1,0)$
D. $(2,0)$

Answer: B

【详解】因为直线 $x=2$ 与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $C, D$ 两点, 且 $O D \perp O E$, 根据抛物线的对称性可以确定 $\angle D O x=\angle C O x=\frac{\pi}{4}$, 所以 $C(2,2)$ ， 代人抛物线方程 $4=4 p$, 求得 $p=1$, 所以其焦点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, 故选: B.


Question:
6. 已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=5,|b|=6, a \cdot b=-6$, 则 $\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rangle=(\quad)$
A. $-\frac{31}{35}$
B. $-\frac{19}{35}$
C. $\frac{17}{35}$
D. $\frac{19}{35}$

Answer: D


Question:
7. 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos C=\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$, 则 $\cos B=(\quad)$
A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

Answer: A


Question:
9. 已知 $2 \tan \theta-\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=7$, 则 $\tan \theta=(\quad)$
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

Answer: D

【详解】 $\because 2 \tan \theta-\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=7, \therefore 2 \tan \theta-\frac{\tan \theta+1}{1-\tan \theta}=7$,

令 $t=\tan \theta, t \neq 1$, 则 $2 t-\frac{1+t}{1-t}=7$, 整理得 $t^{2}-4 t+4=0$, 解得 $t=2$, 即 $\tan \theta=2$.

故选: D.


Question:
10. 若直线 $l$ 与曲线 $y=\sqrt{x}$ 和 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}$ 都相切, 则 $l$ 的方程为 $(\quad)$
A. $y=2 x+1$
B. $y=2 x+\frac{1}{2}$
C. $y=\frac{1}{2} x+1$
D.

$y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$

Answer: D


Question:
11. 设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 离心率为 $\sqrt{5} . P$ 是 $C$ 上一点, 且 $F_{1} P \perp F_{2} P$. 若 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 4 , 则 $a=(\quad)$
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

Answer: A

【详解】 $\because \frac{c}{a}=\sqrt{5}, \therefore c=\sqrt{5} a$ ，根据双曲线的定义可得 ||$P F_{1}|-| P F_{2} \|=2 a$ ，

$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=4$, 即 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=8$ ，

$\because F_{1} P \perp F_{2} P, \quad \therefore\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=(2 c)^{2}$

$\therefore\left(\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right)^{2}+2\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=4 c^{2}$, 即 $a^{2}-5 a^{2}+4=0$, 解得 $a=1$, 故选: A.


Question:
12. 已知 $5^{5}<8^{4}, 13^{4}<8^{5}$. 设 $a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$, 则 $(\quad)$
A. $a<b<c$
B. $b<a<c$
C. $b<c<a$
D. $c<a<b$

Answer: A


Question:
1. 若 $\mathrm{z}=1+i$ ，则 $\left|\mathrm{z}^{2}-2 z\right|=(\quad)$
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

Answer: D


Question:
2. 设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 \leq 0\right\}, B=\{x \mid 2 x+a \leq 0\}$, 且 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 1\}$, 则 $a=(\quad)$
A. -4
B. -2
C. 2
D. 4

Answer: B

【详解】求解二次不等式 $x^{2}-4 \leq 0$ 可得: $A=\{x \mid-2 \leq x \leq 2\}$,

求解一次不等式 $2 x+a \leq 0$ 可得: $B=\left\{x \mid x \leq-\frac{a}{2}\right\}$.

由于 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 1\}$, 故: $-\frac{a}{2}=1$, 解得: $a=-2$.

故选: B.


Question:
4. 已知 $A$ 为抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 上一点, 点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 12 , 到 $y$ 轴的距离为 9 , 则 $p=()$
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9

Answer: C

【详解】设抛物线的焦点为 $F$, 由抛物线的定义知 $|A F|=x_{A}+\frac{p}{2}=12$, 即 $12=9+\frac{p}{2}$, 解得 $p=6$.

故选: C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径, 考查学生转化与化归思想, 是一道容易题.


Question:
6. 函数 $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 ()
A. $y=-2 x-1$
B. $y=-2 x+1$
C. $y=2 x-3$
D. $y=2 x+1$

Answer: B


Question:
8. $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $(\quad)$
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

Answer: C


Question:
9. 已知 $\alpha \in(0, \pi)$, 且 $3 \cos 2 \alpha-8 \cos \alpha=5$, 则 $\sin \alpha=($ ( )
A. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{9}$

Answer: A

【详解】 $3 \cos 2 \alpha-8 \cos \alpha=5$, 得 $6 \cos ^{2} \alpha-8 \cos \alpha-8=0$,

即 $3 \cos ^{2} \alpha-4 \cos \alpha-4=0$, 解得 $\cos \alpha=-\frac{2}{3}$ 或 $\cos \alpha=2$ （舍去）, 又 $\because \alpha \in(0, \pi), \therefore \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

故选: A.


Question:
11. 已知 $\odot M: x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-2=0$, 直线 $l: 2 x+y+2=0, P$ 为 $l$ 上的动点, 过点 $P$ 作 $\odot M$ 的切 线 $P A, P B$, 切点为 $A, B$, 当 $|P M| \cdot|A B|$ 最小时, 直线 $A B$ 的方程为（ ()
A. $2 x-y-1=0$
B. $2 x+y-1=0$
C. $2 x-y+1=0$
D. $2 x+y+1=0$

Answer: D

【详解】圆的方程可化为 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4$, 点 $M$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{|2 \times 1+1+2|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}>2$ , 所以直线 $l$ 与圆相离.

依圆的知识可知, 四点 $A, P, B, M$ 四点共圆, 且 $A B \perp M P$, 所以

$|P M| \cdot|A B|=2 S_{\triangle P A M}=2 \times \frac{1}{2} \times|P A| \times|A M|=2|P A|$, 而 $|P A|=\sqrt{|M P|^{2}-4}$ ，

当直线 $M P \perp l$ 时, $|M P|_{\min }=\sqrt{5},|P A|_{\min }=1$, 此时 $|P M| \cdot|A B|$ 最小.

$\therefore M P: y-1=\frac{1}{2}(x-1)$ 即 $y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$, 由 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \\ 2 x+y+2=0\end{array}\right.$ 解得, $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=0\end{array}\right.$.

所以以 $M P$ 为直径的圆的方程为 $(x-1)(x+1)+y(y-1)=0$, 即 $x^{2}+y^{2}-y-1=0$,

两圆的方程相减可得: $2 x+y+1=0$, 即为直线 $A B$ 的方程.

故选: D.


Question:
12.若 $2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b$ ，则（ $)$
A. $a>2 b$
B. $a<2 b$
C. $a>b^{2}$
D. $a<b^{2}$

Answer: B


Question:
1. 已知集合 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}, A=\{-1,0,1\}, B=\{1,2\}$, 则 $\oint_{U}(A \cup B)=()$
A. $\{-2,3\}$
B. $\{-2,2,3\}$
C. $\{-2,-1,0,3\}$
D. $\{-2,-1,0,2,3\}$

Answer: A


Question:
2. 若 $\alpha$ 为第四象限角, 则（）
A. $\cos 2 \alpha>0$
B. $\cos 2 \alpha<0$
C. $\sin 2 \alpha>0$
D. $\sin 2 \alpha<0$

Answer: D

【详解】当 $\alpha=-\frac{\pi}{6}$ 时, $\cos 2 \alpha=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)>0$, 选项B错误；

当 $\alpha=-\frac{\pi}{3}$ 时, $\cos 2 \alpha=\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)<0$, 选项A错误;

由 $\alpha$ 在第四象限可得： $\sin \alpha<0, \cos \alpha>0$, 则 $\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha<0$, 选项C错误，选项D正确;

故选: D.


Question:
3.在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成1200份订单的配货, 由于订单量大幅 增加, 导致订单积压. 为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500 份订单末配 货, 预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 , 志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货, 为使第二天 完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者（）
A. 10 名
B. 18 名
C. 24名
D. 32 名

Answer: B

【详解】由题意, 第二天新增订单数为 $500+1600-1200=900$,

故需要志愿者 $\frac{900}{50}=18$ 名.

故选: B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用, 属于基础题.


Question:
5. 若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为 $(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

Answer: B


Question:
6. 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$, 若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$, 则 $k=(\quad)$
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Answer: C


Question:
8. 设 $O$ 为坐标原点, 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点, 若 $\square O D E$ 的面积为 8 , 则 $C$ 的焦距的最小值为（）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32

Answer: B

【详解】 $\because C \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$

$\therefore$ 双曲线的渐近线方程是 $y= \pm \frac{b}{a} x$

$\because$ 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点

不妨设 $D$ 为在第一象限, $E$ 在第四象限

联立 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=\frac{b}{a} x\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=b\end{array}\right.$

故 $D(a, b)$

联立 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=-\frac{b}{a} x\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=-b\end{array}\right.$

故 $E(a,-b)$

$\therefore|E D|=2 b$

$\therefore \square O D E$ 面积为: $S_{\triangle O D E}=\frac{1}{2} a \times 2 b=a b=8$

$\because$ 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$

$\therefore$ 其焦距为 $2 c=2 \sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq 2 \sqrt{2 a b}=2 \sqrt{16}=8$

当且仅当 $a=b=2 \sqrt{2}$ 取等号

$\therefore C$ 的焦距的最小值： 8

故选: B.


Question:
9. 设函数 $f(x)=\ln |2 x+1-| \ln |2 x-1|$, 则 $f(x)(\quad)$
A. 是偶函数, 且在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增
B. 是奇函数, 且在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减
C. 是偶函数, 且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递增
D. 是奇函数, 且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减

Answer: D

【详解】由 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ 得 $f(x)$ 定义域为 $\left\{x \mid x \neq \pm \frac{1}{2}\right\}$, 关于坐标原点对称,

又 $f(-x)=\ln |1-2 x|-\ln |-2 x-1|=\ln |2 x-1|-\ln |2 x+1|=-f(x)$,

$\therefore f(x)$ 为定义域上的奇函数，可排除 $\mathrm{AC}$;

当 $x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 时, $f(x)=\ln (2 x+1)-\ln (1-2 x)$,

$\mathrm{Q} y=\ln (2 x+1)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递增, $y=\ln (1-2 x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递减,

$\therefore f(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递增，排除 $\mathrm{B}$;

当 $x \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 时, $f(x)=\ln (-2 x-1)-\ln (1-2 x)=\ln \frac{2 x+1}{2 x-1}=\ln \left(1+\frac{2}{2 x-1}\right)$,

$\because \mu=1+\frac{2}{2 x-1}$ 在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 上单调递减, $f(\mu)=\ln \mu$ 在定义域内单调递增,

根据复合函数单调性可知: $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 上单调递减, D正确. 故选: D.


Question:
10.已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形, 且其顶点都在球 $O$ 的球面上. 若球 $O$ 的表面积为 $16 \pi$, 则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer: C

【详解】设球 $O$ 的半径为 $R$, 则 $4 \pi R^{2}=16 \pi$, 解得: $R=2$.

设 $\square A B C$ 外接圆半径为 $r$, 边长为 $a$,

$\because \square A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形,

$\therefore \frac{1}{2} a^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9 \sqrt{3}}{4}$, 解得: $a=3, \therefore r=\frac{2}{3} \times \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{2}{3} \times \sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离 $d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{4-3}=1$.

故选: C.


Question:
11. 若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$, 则（）
A. $\ln (y-x+1)>0$
B. $\ln (y-x+1)<0$
C. $\ln |x-y|>0$
D. $\ln |x-y|<0$

Answer: A

【详解】由 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ 得: $2^{x}-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}$,

令 $f(t)=2^{t}-3^{-t}$,

$\because y=2^{x}$ 为 $R$ 上的增函数, $y=3^{-x}$ 为 $R$ 上的减函数, $\therefore f(t)$ 为 $R$ 上的增函数,

$\therefore x<y$,

$\mathrm{Q} y-x>0, \therefore y-x+1>1, \therefore \ln (y-x+1)>0$, 则A正确, B错误;

$\mathrm{Q}|x-y|$ 与 1 的大小不确定，故 $\mathrm{CD}$ 无法确定.

故选: A.


Question:
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots)$, 且存在正整数 $m$ , 使得 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 成立, 则称其为 $0-1$ 周期序列, 并称满足 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期.对于周期为 $m$ 的 $0-1$ 序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots, C(k)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k}(k=1,2, \cdots, m-1)$ 是描述其性质的重要指标, 下列周期为 5 的 $0-1$ 序列中， 满足 $C(k) \leq \frac{1}{5}(k=1,2,3,4)$ 的序列是 $(\quad)$
A. $11010 \cdots$
B. $11011 \cdots$
C. $10001 \cdots$
D. $11001 \cdots$

Answer: C


Question:
1. 设集合 $M=\{x \mid 0<x<4\}, N=\left\{x \mid \frac{1}{3} \leq x \leq 5\right\}$, 则 $M \cap N=($,
A. $\left\{x \mid 0<x \leq \frac{1}{3}\right\}$
B. $\left\{x \mid \frac{1}{3} \leq x<4\right\}$
C. $\{x \mid 4 \leq x<5\}$
D. $\{x \mid 0<x \leq 5\}$

Answer: B

【详解】因为 $M=\{x \mid 0<x<4\}, N=\left\{x \mid \frac{1}{3} \leq x \leq 5\right\}$, 所以 $M \cap N=\left\{x \mid \frac{1}{3} \leq x<4\right\}$,

故选: B.


Question:
3. 已知 $(1-i)^{2} z=3+2 i$, 则 $z=(\quad)$
A. $-1-\frac{3}{2} i$
B. $-1+\frac{3}{2} i$
C. $-\frac{3}{2}+i$
D. $-\frac{3}{2}-i$

Answer: B


Question:
4. 青少年视力是社会普遍关注的问题, 视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据, 五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+\lg V$. 已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9 , 则其视力的小数记录法的数据为 $(\quad) \quad(\sqrt[10]{10} \approx 1.259)$
A. 1.5
B. 1.2
C. 0.8
D. 0.6

Answer: C


Question:
5. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点, $P$ 为 $C$ 上一点, 且 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ},\left|P F_{1}\right|=3\left|P F_{2}\right|$, 则 $C$ 的离心率为
A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{13}}{2}$
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{13}$

Answer: A


Question:
7. 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 设甲: $q>0$, 乙: $\left\{S_{n}\right\}$ 是递增数列, 则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

Answer: B

【详解】由题, 当数列为 $-2,-4,-8, \cdots$ 时, 满足 $q>0$,

但是 $\left\{S_{n}\right\}$ 不是递增数列, 所以甲不是乙的充分条件.

若 $\left\{S_{n}\right\}$ 是递增数列, 则必有 $a_{n}>0$ 成立, 若 $q>0$ 不成立, 则会出现一正一负的情况，是矛盾的, 则 $q>0$ 成立, 所以甲是乙的必要条件.

故选: B.


Question:
9. 若 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 a=\frac{\cos a}{2-\sin a}$, 则 $\tan a=(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer: A

【详解】 $\because \tan 2 a=\frac{\cos a}{2-\sin a}$

$\therefore \tan 2 a=\frac{\sin 2 a}{\cos 2 a}=\frac{2 \sin a \cos a}{1-2 \sin ^{2} a}=\frac{\cos a}{2-\sin a}$,

$\because a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \cos a \neq 0, \therefore \frac{2 \sin a}{1-2 \sin ^{2} a}=\frac{1}{2-\sin a}$, 解得 $\sin a=\frac{1}{4}$,

$\therefore \cos a=\sqrt{1-\sin ^{2} a}=\frac{\sqrt{15}}{4}, \quad \therefore \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\sqrt{15}}{15}$.

故选: A.


Question:
10. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为 $(\quad)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{4}{5}$

Answer: C


Question:
11. 已如 $A, B, C$ 是半径为 1 的球 $O$ 的球面上的三个点, 且 $A C \perp B C, A C=B C=1$, 则三棱雉 $O-A B C$ 的体积为 $(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{2}}{12}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer: A

【详解】 $\because A C \perp B C, A C=B C=1, \therefore \triangle A B C$ 为等腰直角三角形, $\therefore A B=\sqrt{2}$,

则 $\triangle A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 又球的半径为 1 ,

设 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $d$,

则 $d=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

所以 $V_{O-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot d=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{12}$.

故选: A.


Question:
12. 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x+1)$ 为奇函数, $f(x+2)$ 为偶函数, 当 $x \in[1,2]$ 时, $f(x)=a x^{2}+b$. 若 $f(0)+f(3)=6$, 则 $f\left(\frac{9}{2}\right)=(\quad)$
A. $-\frac{9}{4}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{5}{2}$

Answer: D


Question:
1.设 $2(z+\bar{z})+3(z-\bar{z})=4+6 i$ ，则 $z=(\quad)$

A. $1-2 i$

B. $1+2 i$

C. $1+i$

D. $1-i$

Answer: C


Question:
2.已知集合 $S=\{s \mid s=2 n+1, n \in Z\}, T=\{t \mid t=4 n+1, n \in Z\}$, 则 $S \cap T=(\quad)$
A. $\varnothing$
B. $S$
C. $T$
D. $Z$

Answer: C

解析:

$s=2 n+1, \quad n \in Z$

当 $n=2 k, k \in Z$ 时, $S=\{s \mid s=4 k+1, k \in Z\}$ ； 当 $n=2 k+1, k \in Z$ 时,

$S=\{s \mid s=4 k+3, k \in Z\}$.所以 $T \ddot{U} S, S \cap T=T$. 故选 C.


Question:
3. 已知命题 $p: \exists x \in R, \sin x<1$; 命题 $q: \forall x \in R, e^{|x|} \geq 1$, 则下列命题中为真命题的是
A. $p \wedge q$
B. $\neg p \wedge q$
C. $p \wedge \neg q$
D. $\neg(p \vee q)$

Answer: A

解析:

根据正弦函数的值域 $\sin x \in[-1,1]$, 故 $\exists x \in R, \sin x<1, p$ 为真命题, 而函数 $y=y=e^{|x|}$ 为偶函数, 且 $x \geq 0$ 时, $y=e^{|x|} \geq 1$, 故 $\forall x \in R, y=e^{|x|} \geq 1$ 恒成立., 则 $q$ 也为真命题, 所 以 $p \wedge q$ 为真, 选 $\mathrm{A}$.


Question:
4. 设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是 $(\quad)$
A. $f(x-1)-1$
B. $f(x-1)+1$
C. $f(x+1)-1$
D. $f(x+1)+1$

Answer: B

解析:

$f(x)=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}, f(x)$ 向右平移一个单位, 向上平移一个单位得到 $g(x)=\frac{2}{x}$ 为奇 函数.


Question:
6. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑、冰球和冰显 4 个项目进行培训, 每名 志愿者只分配到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者, 则不同的分配方案共有（）

A. 60 种

B. 120 种

C. 240 种

D. 480 种

Answer: C


Question:
7.把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像, 则 $f(x)=(\quad)$

A. $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{7 \pi}{12}\right)$

B. $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$

C. $\sin \left(2 x-\frac{7 \pi}{12}\right)$ D. $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{12}\right)$

Answer: B

解析:

逆向: $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \stackrel{\text { 左移 } \frac{\pi}{3}}{\longrightarrow} y=\sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right) \stackrel{\text { 横坐标变为原来的2倍 }}{\longrightarrow} y=\sin \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{12}\right)$.

故选 B.


Question:
11. 设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点, 若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足, $|P B| \leq 2 b ， \quad$ 则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(\quad)$

A. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$

B. $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$

C. $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

D. $\left(0, \frac{1}{2}\right]$

Answer: C


Question:
12. 设 $a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}-1$, 则 $($ )
A. $a<b<c$
B. $b<c<a$
C. $b<a<c$
D. $c<a<b$

Answer: B


Question:
1. 设全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$, 集合 $M$ 满足 $\partial_{j} M=\{1,3\}$, 则 ()
A. $2 \in M$
B. $3 \in M$
C. $4 \notin M$
D. $5 \notin M$

Answer: A

【详解】由题知 $M=\{2,4,5\}$, 对比选项知, A 正确, $\mathrm{BCD}$ 错误

故选: A


Question:
2. 已知 $z=1-2 i$ ，且 $z+a \bar{z}+b=0$ ，其中 $a, b$ 为实数，则（)
A. $a=1, b=-2$
B. $a=-1, b=2$
C. $a=1, b=2$
D.

$a=-1, b=-2$

Answer: A

【详解】 $\bar{z}=1+2 \mathrm{i}$

$z+a \bar{z}+b=1-2 \mathrm{i}+a(1+2 \mathrm{i})+b=(1+a+b)+(2 a-2) \mathrm{i}$

由 $z+a \bar{z}+b=0$, 得 $\left\{\begin{array}{l}1+a+b=0 \\ 2 a-2=0\end{array}\right.$,即 $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$

故选: A


Question:
3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}-2 \vec{b}|=3$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=()$
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

Answer: C

【详解】解: $\because|\vec{a}-2 \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b}+4|\vec{b}|^{2}$,

又 $\because|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}-2 \vec{b}|=3$,

$\therefore 9=1-4 \vec{a} \cdot \vec{b}+4 \times 3=13-4 \vec{a} \cdot \vec{b}$

$\therefore \vec{a} \cdot \vec{b}=1$

故选: C.


Question:
4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后, 继续进行深空探测, 成为我国第一颗环绕太阳飞行的 人造行星, 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列 $\left\{b_{n}\right\}: b_{1}=1+\frac{1}{a_{1}}$, $b_{2}=1+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}, \quad b_{3}=1+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}}, \cdots$, 依此类推, 其中 $a_{k} \in \mathbf{N}^{\star}(k=1,2, \cdots)$. 则 ()
A. $b_{1}<b_{5}$
B. $b_{3}<b_{8}$
C. $b_{6}<b_{2}$
D. $b_{4}<b_{7}$

Answer: D


Question:
5. 设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 点 $A$ 在 $C$ 上, 点 $B(3,0)$, 若 $|A F|=|B F|$, 则 $|A B|=$ ()
A. 2
B. $2 \sqrt{2}$
C. 3
D. $3 \sqrt{2}$

Answer: B


Question:
8. 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$, 则 $a_{6}=()$
A. 14
B. 12
C. 6
D. 3

Answer: D


Question:
9. 已知球 $O$ 的半径为 1 , 四棱雉的顶点为 $O$, 底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上, 则当该 四棱雉的体积最大时，其高为（）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer: C

【详解】设该四棱雉底面为四边形 $A B C D$, 四边形 $A B C D$ 所在小圆半径为 $r$,

设四边形 $A B C D$ 对角线夹角为 $a$,

则 $S_{A B C D}=\frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \cdot \sin a \leq \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \leq \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot 2 r=2 r^{2}$

(当且仅当四边形 $A B C D$ 为正方形时等号成立)

即当四棱雉的顶点 $O$ 到底面 $A B C D$ 所在小圆距离一定时, 底面 $A B C D$ 面积最大值为 $2 r^{2}$

又 $r^{2}+h^{2}=1$

则 $V_{O-A B C D}=\frac{1}{3} \cdot 2 r^{2} \cdot h=\frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{r^{2} \cdot r^{2} \cdot 2 h^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{\left(\frac{r^{2}+r^{2}+2 h^{2}}{3}\right)^{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{27}$

当且仅当 $r^{2}=2 h^{2}$ 即 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时等号成立,

故选: C


Question:
10. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, 且 $p_{3}>p_{2}>p_{1}>0$. 记该棋手连胜两盘的概率为 $p$, 则 ()
A. $p$ 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛， $p$ 最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛, $p$ 最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛, $p$ 最大

Answer: D


Question:
12. 已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 且 $f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7$. 若 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称, $g(2)=4$ ， 则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=()$
A. -21
B. -22
C. -23
D. -24

Answer: D


Question:
1. 若 $z=-1+\sqrt{3} \mathbf{i}$, 则 $\frac{z}{z \bar{z}-1}=()$
A. $-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$
B. $-1-\sqrt{3} i$
C. $-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}$
D. $-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3} i$

Answer: C


Question:
3. 设全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$, 集合 $A=\{-1,2\}, B=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3=0\right\}$, 则 $\partial(A \cup B)=()$
A. $\{1,3\}$
B. $\{0,3\}$
C. $\{-2,1\}$
D.

$\{-2,0\}$

Answer: D


Question:
6. 当 $x=1$ 时, 函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 , 则 $f^{\prime}(2)=()$
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

Answer: B


Question:
10. 椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$, 点 $P, Q$ 均在 $C$ 上, 且关于 $y$ 轴对称. 若 直线 $A P, A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$, 则 $C$ 的离心率为 ()
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

Answer: A


Question:
12. 已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=4 \sin \frac{1}{4}$, 则 ()
A. $c>b>a$
B. $b>a>c$
C. $a>b>c$
D.

$a>c>b$

Answer: A