Question:
1. （5 分) 已知集合 $A=\{x|| x \mid \leqslant 2, x \in R\}, B=\{x \mid \sqrt{x} \leqslant 4, x \in Z\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $(0,2)$
B. $[0,2]$
C. $\{0,2\}$
D. $\{0,1,2\}$

Answer: D


Question:
2. （5 分) 平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$, 已知 $\vec{a}=(4,3), 2 \vec{a}+\vec{b}=， 3,18 ＼mathrm{~, ~ 则 ~} \vec{a}, \vec{b}$ 夹角 的余弦值等于 ( $)$
A. $\frac{8}{65}$
B. $-\frac{8}{65}$
C. $\frac{16}{65}$
D. $-\frac{16}{65}$

Answer: C


Question:
3. (5 分) 已知复数 $Z=\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}$, 则 $|z|=(\quad)$
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

Answer: B


Question:
4. (5 分) 曲线 $y=x^{3}-2 x+1$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程为（ $)$
A. $y=x-1$
B. $y=-x+1$
C. $y=2 x-2$
D. $y=-2 x+2$

Answer: A


Question:
5. (5 分) 中心在原点, 焦点在 $\mathrm{x}$ 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 $(4,2)$, 则它的离心率为 $(\quad)$
A. $\sqrt{6}$
B. $\sqrt{5}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer: D

解: $\because$ 渐近线的方程是 $y= \pm \frac{b}{a} x$,

$\therefore 2=\frac{b}{a} \bullet 4, \frac{b}{a}=\frac{1}{2}, \quad a=2 b$,

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2} a, \quad e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 即它的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

故选: D.


Question:
7. （5 分) 设长方体的长、宽、高分别为 $2 a 、 a 、 a$, 其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 $(\quad)$
A. $3 \pi a^{2}$
B. $6 \pi a^{2}$
C. $12 \pi a^{2}$
D. $24 \pi a^{2}$

Answer: B


Question:
9. （5 分）设偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2^{x}-4(x \geqslant 0)$, 则 $\{x \mid f(x-2)>0\}=($ )
A. $\{x \mid x<-2$ 或 $x>4\}$
B. $\{x \mid x<0$ 或 $x>4\}$
C. $\{x \mid x<0$ 或 $x>6\}$
D. $\{x \mid x<-2$ 或 $x>2\}$

Answer: B


Question:
10. (5 分) 若 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$ 是第三象限的角, 则 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=(\quad)$
A. $-\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
B. $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{10}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{10}$

Answer: A

解: $\because \alpha$ 是第三象限的角

$\therefore \sin \alpha=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$, 所 以 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi}{4}+\cos \alpha \sin \frac{\pi}{4}=-$ $\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

故选: A.


Question:
1. （5 分）已知集合 $M=\{0,1 ， 2 ， 3 ， 4\}, N=\{1,3 ， 5\}, P=M \cap N$, 则 $P$ 的子 集共有 $(\quad)$
A. 2 个
B. 4 个
C. 6 个
D. 8 个

Answer: B


Question:
2. (5 分) 复数 $\frac{5 i}{1-2 i}=(\quad)$
A. $2-\mathrm{i}$
B. $1-2 \mathrm{i}$
C. $-2+i$
D. $-1+2 i$

Answer: C


Question:
3. （5 分) 下列函数中, 既是偶函数又在 $(0,+\infty)$ 上单调递增的函数是 $(\quad)$
A. $y=2 x^{3}$
B. $y=|x|+1$
C. $y=-x^{2}+4$
D. $y=2^{-|x|}$

Answer: B


Question:
4. (5 分) 椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ 的离心率为（）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer: D


Question:
6. （5 分) 有 3 个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同 学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

Answer: A

解：由题意知本题是一个古典概型,

试验发生包含的事件数是 $3 \times 3=9$ 种结果,

满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,

由于共有三个小组, 则有 3 种结果,

根据古典概型概率公式得到 $P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,

故选: $A$.


Question:
7. (5 分) 已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合, 始边与 $\mathrm{x}$ 轴的正半轴重合, 终边在直 线 $y=2 x$ 上, 则 $\cos 2 \theta=(\quad)$
A. $-\frac{4}{5}$
B. $-\frac{3}{5}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

Answer: B


Question:
10. (5 分) 在下列区间中, 函数 $f(x)=e^{x}+4 x-3$ 的零点所在的区间为 $(\quad)$
A. $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$
B. $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$
C. $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
D. $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$

Answer: A


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2<0\right\}, B=\{x \mid-1<x<1\}$, 则（）
A. $A \subsetneq B$
B. $\mathrm{B} \subsetneq \mathrm{A}$
C. $A=B$
D. $A \cap B=\varnothing$

Answer: B

解：由题意可得, $A=\{x \mid-1<x<2\}$,

$\because B=\{x \mid-1<x<1\}$

在集合 $B$ 中的元素都属于集合 $A$, 但是在集合 $A$ 中的元素不一定在集合 $B$ 中, 例 如 $x=\frac{3}{2}$

$\therefore B \subsetneq A$.

故选: B.


Question:
2. (5 分) 复数 $z=\frac{-3+i}{2+i}$ 的共轭复数是（ ）
A. $2+i$
B. $2-\mathrm{i}$
C. $-1+i$
D. $-1-i$

Answer: D


Question:
8. (5 分) 平面 $\alpha$ 截球 $\mathrm{O}$ 的球面所得圆的半径为 1 , 球心 $\mathrm{O}$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\sqrt{2}$ , 则此球的体积为 ( )
A. $\sqrt{6} \pi$
B. $4 \sqrt{3} \pi$
C. $4 \sqrt{6} \pi$
D. $6 \sqrt{3} \pi$

Answer: B

解: 因为平面 $\alpha$ 截球 $O$ 的球面所得圆的半径为 1 , 球心 0 到平面 $\alpha$ 的 距离为 $\sqrt{2}$,

所以球的半径为: $\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1}=\sqrt{3}$.

所以球的体积为: $\frac{4 \pi}{3}(\sqrt{3})^{3}=4 \sqrt{3} \pi$.

故选: B.


Question:
10. (5 分) 等轴双曲线 $C$ 的中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上, $C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的 准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$, 则 $C$ 的实轴长为（）
A. $\sqrt{2}$
B. $2 \sqrt{2}$
C. 4
D. 8

Answer: C


Question:
12. (5 分) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为 ( )
A. 3690
B. 3660
C. 1845
D. 1830

Answer: D


Question:
1. (5 分) 已知集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\left\{x \mid x=n^{2}, n \in A\right\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\{1,4\}$
B. $\{2,3\}$
C. $\{9,16\}$
D. $\{1,2\}$

Answer: A


Question:
2. (5 分) $\frac{1+2 i}{(1-i)^{2}}=(\quad)$
A. $-1-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
B. $-1+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
C. $1+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
D. $1-\frac{1}{2} \mathrm{i}$

Answer: B


Question:
3. ( 5 分) 从 $1,2,3,4$ 中任取 2 个不同的数, 则取出的 2 个数之差的绝对值 为 2 的概率是 ( $)$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

Answer: B

解：由题意知本题是一个等可能事件的概率,

试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2 个, 共有 $\mathrm{C}_{4}{ }^{2}=6$ 种结果,

满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2 , 有 2 种结果, 分别是 $(1,3)$

$(2,4)$

$\therefore$ 要求的概率是 $\frac{2}{C_{4}^{2}}=\frac{1}{3}$.

故选: B.


Question:
4. (5 分) 已知双曲线 $c: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$, 则 $c$ 的渐 近线方程为 ( )
A. $y= \pm \frac{1}{4} x$
B. $y= \pm \frac{1}{3} x$
C. $y= \pm x$
D. $y= \pm \frac{1}{2} x$

Answer: D


Question:
5. (5 分) 已知命题 $p: \forall x \in R, 2^{x}<3^{x}$; 命题 $q: \exists x \in R, x^{3}=1-x^{2}$, 则下列命题 中为真命题的是 ( )
A. $p \wedge q$
B. $\neg p \wedge q$
C. $p \wedge \neg q$
D. $\neg p \wedge \neg q$

Answer: B


Question:
6. (5 分) 设首项为 1 , 公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 则 ( )
A. $S_{n}=2 a_{n}-1$
B. $S_{n}=3 a_{n}-2$
C. $S_{n}=4-3 a_{n}$
D. $S_{n}=3-2 a_{n}$

Answer: D


Question:
10. (5 分) 已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, 23 \cos ^{2} A+\cos 2 A=0$ , $a=7, c=6$, 则 $b=(\quad)$
A. 10
B. 9
C. 8
D. 5

Answer: D


Question:
1. (5 分) 已知集合 $M=\{x \mid-3<x<1, x \in R\}, N=\{-3,-2,-1,0,1\}$, 则 $M \cap N=(\quad)$
A. $\{-2,-1,0,1\}$
B. $\{-3,-2,-1,0\}$
C. $\{-2,-1,0\}$
D. $\{-3,-2,-1\}$

Answer: C


Question:
2. (5 分) $\left|\frac{2}{1+i}\right|=(\quad)$
A. $2 \sqrt{2}$
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. 1

Answer: C


Question:
4. (5 分) $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $b=2, B=\frac{\pi}{6}, C=$ $\frac{\pi}{4}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为 $(\quad)$
A. $2 \sqrt{3}+2$
B. $\sqrt{3}+1$
C. $2 \sqrt{3}-2$
D. $\sqrt{3}-1$

Answer: B

解： $\because b=2, B=\frac{\pi}{6}, C=\frac{\pi}{4}$,

$\therefore$ 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得: $c=\frac{b \sin C}{\sin B}=\frac{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=2 \sqrt{2}, A=\frac{7 \pi}{12}$,

$\therefore \sin A=\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,

则 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\sqrt{3}+1$.

故选: B.


Question:
5. (5 分) 设椭圆 C: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}, P$ 是 C 上的点 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}, \angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$, 则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{6}}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer: D

解: $\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=\mathrm{x}, \because \mathrm{PF}_{2} \perp \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}, \angle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}=30^{\circ}$,

$\therefore\left|P_{1}\right|=2 x,\left|F_{1} F_{2}\right|=\sqrt{3} x$,

又 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=2 \mathrm{a},\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|=2 \mathrm{c}$

$\therefore 2 a=3 x, 2 c=\sqrt{3} x$,

$\therefore \mathrm{C}$ 的离心率为: $\mathrm{e}=\frac{2 \mathrm{c}}{2 \mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

故选: D.


Question:
6. (5 分) 已知 $\sin 2 \alpha=\frac{2}{3}$, 则 $\cos ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=(\quad)$
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

Answer: A

解: $\because \sin 2 \alpha=\frac{2}{3}$,

$\therefore \cos ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\left[1+\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)\right]=\frac{1}{2}(1-\sin 2 \alpha)=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{6}$.

故选: A.


Question:
8. （5 分） 设 $a=\log _{3} 2, b=\log _{5} 2, c=\log _{2} 3$, 则（ $）$
A. $a>c>b$
B. $b>c>a$
C. $c>a>b$
D. $c>b>a$

Answer: C


Question:
12. （5 分）若存在正数 $x$ 使 $2^{x}(x-a)<1$ 成立, 则 $a$ 的取值范围是（ $)$
A. $(-\infty,+\infty)$
B. $(-2,+\infty)$
C. $(0,+\infty)$
D. $(-1,+\infty)$

Answer: D


Question:
1. （5 分）已知集合 $M=\{x \mid-1<x<3\}, N=\{x \mid-2<x<1\}$, 则 $M \cap N=(\quad)$
A. $(-2,1)$
B. $(-1,1)$
C. $(1,3)$
D. $(-2,3)$

Answer: B


Question:
2. (5 分) 若 $\tan \alpha>0$, 则 $(\quad)$
A. $\sin \alpha>0$
B. $\cos \alpha>0$
C. $\sin 2 \alpha>0$
D. $\cos 2 \alpha>0$

Answer: C

解: $\because \tan \alpha>0$,

$\therefore \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}>0$,

则 $\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha>0$.

故选: C.


Question:
3. （5 分) 设 $z=\frac{1}{1+i}+i, \quad$ 则 $|z|=(\quad)$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 2

Answer: B


Question:
4. (5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1(a>0)$ 的离心率为 2 , 则实数 $a=(\quad)$
A. 2
B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. 1

Answer: D

解: 由题意,

$\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+3}}{\mathrm{a}}=2$,

解得, $a=1$.

故选：D.


Question:
5. （5 分) 设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$, 且 $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数，则下列结论正确的是（）
A. $f(x) \bullet g(x)$ 是偶函数
B. $|f(x)| \bullet g(x)$ 是奇函数
C. $f(x) \bullet|g(x)|$ 是奇函数
D. $|f(x) \bullet g(x)|$ 是奇函数

Answer: C

解: $\because \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数, $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 是偶函数,

$\therefore f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x)$,

$f(-x) \cdot g(-x)=-f(x) \cdot g(x)$, 故函数是奇函数, 故 $A$ 错误,

$|f(-x)| \cdot g(-x)=|f(x)| \cdot g(x)$ 为偶函数, 故 $B$ 错误,

$f(-x) \cdot|g(-x)|=-f(x) \bullet|g(x)|$ 是奇函数, 故 C 正确.

$|f(-\mathrm{x}) \cdot g(-\mathrm{x})|=|\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{g}(\mathrm{x})|$ 为偶函数, 故 $\mathrm{D}$ 错误,

故选: C.


Question:
10. （5 分) 已知抛物线 $C: y^{2}=x$ 的焦点为 $F, A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $C$ 上一点, $A F=\left|\frac{5}{4} x_{0}\right|$ , 则 $x_{0}=(\quad)$
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

Answer: A


Question:
12. (5 分) 已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$, 若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$, 且 $x_{0}>$ 0, 则实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围是（ $)$
A. $(1,+\infty)$
B. $(2,+\infty)$
C. $(-\infty,-1)$
D. $(-\infty,-2)$

Answer: D


Question:
1. （5 分) 已知集合 $A=\{-2,0,2\}, B=\left\{x \mid x^{2}-x-2=0\right\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\varnothing$
B. $\{2\}$
C. $\{0\}$
D. $\{-2\}$

Answer: B


Question:
2. $(5$ 分 $) \frac{1+3 i}{1-i}=(\quad)$
A. $1+2 \mathrm{i}$
B. $-1+2 i$
C. $1-2 i$
D. $-1-2 i$

Answer: B


Question:
3. （5 分) 函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处导数存在, 若 $p: f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0: q: x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极值点, 则 ( )
A. $p$ 是 $q$ 的充分必要条件
B. $p$ 是 $q$ 的充分条件，但不是 $q$ 的必要条件
C. $p$ 是 $q$ 的必要条件, 但不是 $q$ 的充分条件
D. $p$ 既不是 $q$ 的充分条件, 也不是 $q$ 的必要条件

Answer: C

解: 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}$ 的导数为 $\mathrm{f}^{\prime}(x)=3 \mathrm{x}^{2}$, 由 $\mathrm{f}^{\prime}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=0$, 得 $\mathrm{x}_{0}=0$, 但此 时函数 $f(x)$ 单调递增, 无极值，充分性不成立.

根据极值的定义和性质, 若 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极值点, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ 成立, 即必要 性成立，

故 $p$ 是 $q$ 的必要条件, 但不是 $q$ 的充分条件,

故选: C.


Question:
4. （5 分）设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10},|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{6}$, 则 $\vec{a} \bullet \vec{b}=(\quad)$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

Answer: A


Question:
5. (5 分) 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 2 , 若 $a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=(\quad)$
A. $n(n+1)$
B. $n(n-1)$
C. $\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$
D. $\frac{n(n-1)}{2}$

Answer: A


Question:
7. (5 分) 正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 2 , 侧棱长为 $\sqrt{3}, D$ 为 $B C$ 中点, 则三棱雉 $A-B_{1} D C_{1}$ 的体积为 ( $)$
A. 3
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer: C

解: $\because$ 正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 2 , 侧棱长为 $\sqrt{3}, D$ 为 $B C$ 中点,

$\therefore$ 底面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{DC}_{1}$ 的面积: $\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3}=\sqrt{3}$,

A 到底面的距离就是底面正三角形的高: $\sqrt{3}$.

三棱雉 $A-B_{1} D C_{1}$ 的体积为: $\frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}=1$.

故选: C.


Question:
10. (5 分) 设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=3 x$ 的焦点, 过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交于 $C$ 于 $A, B$ 两点, 则 $|A B|=$
A. $\frac{\sqrt{30}}{3}$
B. 6
C. 12
D. $7 \sqrt{3}$

Answer: C


Question:
11. （5 分) 若函数 $f(x)=k x-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 单调递增, 则 $k$ 的取值范 围是 $(\quad)$
A. $(-\infty,-2]$
B. $(-\infty,-1]$
C. $[2,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$

Answer: D

解: $f^{\prime}(x)=k-\frac{1}{x}$,

$\because$ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{kx}-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 单调递增,

$\therefore f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上恒成立.

$\therefore \mathrm{k} \geqslant \frac{1}{\mathrm{x}}$,

而 $y=\frac{1}{x}$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递减,

$\therefore k \geqslant 1$.

$\therefore \mathrm{k}$ 的取值范围是: $[1,+\infty)$.

故选: D.


Question:
1. （5 分) 已知集合 $A=\{x \mid x=3 n+2, n \in N\}, B=\{6,8,10,12,14\}$, 则集合 $A \cap$ $B$ 中元素的个数为 $(\quad)$
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

Answer: D


Question:
2. (5 分) 已知点 $A(0,1), B(3,2)$, 向量 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,-3)$, 则向量 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=$
A. $(-7,-4)$
B. $(7,4)$
C. $(-1,4)$
D. $(1,4)$

Answer: A

解：由已知点 $\mathrm{A}(0,1), \mathrm{B}(3,2)$, 得到 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,1)$, 向量 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=($ $-4,-3)$ 则向量 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-7,-4)$;

故选: A.


Question:
3. （5 分）已知复数 $z$ 满足 $(z-1) i=1+i$, 则 $z=(\quad)$
A. $-2-\mathrm{i}$
B. $-2+i$
C. 2- $i$
D. $2+i$

Answer: C


Question:
4. (5 分) 如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长, 则称这 3 个 数为一组勾股数. 从 $1,2,3,4,5$ 中任取 3 个不同的数, 则这 3 个数构成 一组勾股数的概率为 ( $)$
A. $\frac{3}{10}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{10}$
D. $\frac{1}{20}$

Answer: C


Question:
5. (5 分) 已知椭圆 $E$ 的中心在坐标原点, 离心率为 $\frac{1}{2}, E$ 的右焦点与抛物线 $C$ : $y^{2}=8 x$ 的焦点重合, $A, B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点, 则 $|A B|=(\quad)$
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12

Answer: B


Question:
7. (5 分) 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列, $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $S_{8}=4 S_{4}$, 则 $\mathrm{a}_{10}=(\quad)$
A. $\frac{17}{2}$
B. $\frac{19}{2}$
C. 10
D. 12

Answer: B


Question:
10. (5 分) 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x-1}-2, x \leqslant 1 \\ -\log _{2}(x+1), x>1\end{array}\right.$, 且 $f(a)=-3$, 则 $f(6-a$ )$=(\quad)$
A. $-\frac{7}{4}$
B. $-\frac{5}{4}$
C. $-\frac{3}{4}$
D. $-\frac{1}{4}$

Answer: A


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\{x \mid-1<x<2\}, B=\{x \mid 0<x<3\}$, 则 $A \cup B=(\quad)$
A. $(-1,3)$
B. $(-1,0)$
C. $(0,2)$
D. $(2,3)$

Answer: A

解: $\because A=\{x \mid-1<x<2\}, B=\{x \mid 0<x<3\}$,

$\therefore A \cup B=\{x \mid-1<x<3\}$

故选：A.


Question:
2. (5 分) 若为 $a$ 实数, 且 $\frac{2+a i}{1+i}=3+i$, 则 $a=(\quad)$
A. -4
B. -3
C. 3
D. 4

Answer: D


Question:
4. (5 分) $\vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(-1,2)$ 则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}=(\quad)$
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

Answer: C


Question:
5. (5 分) 已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_{1}+a_{3}+a_{5}=3$, 则 $S_{5}=(\quad)$
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11

Answer: A


Question:
7. (5 分) 已知三点 $A(1,0), B(0, \sqrt{3}), C(2, \sqrt{3})$ 则 $\triangle A B C$ 外接圆的 圆心到原点的距离为 ( )
A. $\frac{5}{3}$
B. $\frac{\sqrt{21}}{3}$
C. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$
D. $\frac{4}{3}$

Answer: B

解: 因为 $\triangle A B C$ 外接圆的圆心在直线 $B C$ 垂直平分线上, 即直线 $x=1$ 上, 可设圆心 $P(1, p)$, 由 $P A=P B$ 得

$|\mathrm{p}|=\sqrt{1+(\mathrm{p}-\sqrt{3})^{2}}$

得 $p=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

圆心坐标为 $P\left(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$,

所以圆心到原点的距离 $|O P|=\sqrt{1+\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{12}{9}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$,

故选: B.


Question:
9. (5 分) 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\left.a_{1}=\frac{1}{4}, a_{3} a_{5}=4 （ a_{4}-1\right)$, 则 $a_{2}=(\quad)$
A. 2
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{8}$

Answer: C


Question:
12. (5 分) 设函数 $f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^{2}}$, 则使得 $f(x)>f(2 x-1)$ 成 立的 $\mathrm{x}$ 的取值范围是 ( $)$
A. $\left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup(1,+\infty)$
B. $\left(\frac{1}{3}, 1\right)$
C. $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$
D. $\left(-\infty,-\frac{1}{3},\right) \cup\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$

Answer: B


Question:
1. （5 分）设集合 $A=\{1,3,5,7\}, B=\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 5\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\{1,3\}$
B. $\{3,5\}$
C. $\{5,7\}$
D. $\{1,7\}$

Answer: B

解：集合 $\mathrm{A}=\{1,3,5,7\}, B=\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 5\}$,

则 $A \cap B=\{3,5\}$.

故选：B.


Question:
2. （5 分）设 $(1+2 i)(a+i)$ 的实部与虚部相等, 其中 $a$ 为实数, 则 $a$ 等于 $(\quad)$
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3

Answer: A


Question:
3. (5 分) 为美化环境, 从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一 个花坛中, 余下的 2 种花种在另一个花坛中, 则红色和紫色的花不在同一花 坛的概率是 $(\quad)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{5}{6}$

Answer: C

解: 从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中, 余 下的 2 种花种在另一个花坛中, 有 $C_{4}^{2}=6$ 种方法, 红色和紫色的花在同一花坛 , 有 2 种方法, 红色和紫色的花不在同一花坛, 有 4 种方法, 所以所求的概 率为 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

另解: 由列举法可得, 红、黄、白、紫记为 $1,2,3,4$,

即有 $(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34$,

12)

则 $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

故选: C.


Question:
4. (5 分) $\triangle A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$. 已知 $a=\sqrt{5}, c=2, \cos A=$ $\frac{2}{3}$, 则 $b=(\quad)$
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. 3

Answer: D


Question:
5. (5 分) 直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到 I 的距离为其 短轴长的 $\frac{1}{4}$, 则该椭圆的离心率为（）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

Answer: B


Question:
8. （5 分） 若 $a>b>0,0<c<1$, 则（ $)$
A. $\log _{a} c<\log _{b} c$
B. $\log _{c} a<\log _{c} b$
C. $a^{c}<b^{c}$
D. $c^{a}>c^{b}$

Answer: B


Question:
12. (5 分) 若函数 $f(x)=x-\frac{1}{3} \sin 2 x+a \sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增, 则 $a$ 的 取值范围是 $(\quad)$
A. $[-1,1]$
B. $\left[-1, \frac{1}{3}\right]$
C. $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$
D. $\left[-1,-\frac{1}{3}\right]$

Answer: C

解: 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-\frac{1}{3} \sin 2 x+a \sin x$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{3} \cos 2 x+a \cos x$, 由题意可得 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 恒成立，

即为 $1-\frac{2}{3} \cos 2 x+a \cos x \geqslant 0$,

即有 $\frac{5}{3}-\frac{4}{3} \cos ^{2} x+\operatorname{acos} x \geqslant 0$ ，

设 $t=\cos x(-1 \leqslant t \leqslant 1)$ ， 即有 $5-4 t^{2}+3 a t \geqslant 0$,

当 $t=0$ 时，不等式显然成立;

当 $0<t \leqslant 1$ 时， $3 a \geqslant 4 t-\frac{5}{t}$,

由 $4 t-\frac{5}{t}$ 在 $(0,1]$ 递增, 可得 $t=1$ 时, 取得最大值 -1 , 可得 $3 a \geqslant-1$, 即 $a \geqslant-\frac{1}{3}$;

当 $-1 \leqslant t<0$ 时, $3 a \leqslant 4 t-\frac{5}{t}$,

由 $4 t-\frac{5}{t}$ 在 $[-1,0)$ 递增, 可得 $t=-1$ 时, 取得最小值 1 ,

可得 $3 a \leqslant 1$, 即 $a \leqslant \frac{1}{3}$.

综上可得 $\mathrm{a}$ 的范围是 $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$.

另解: 设 $t=\cos x(-1 \leqslant t \leqslant 1)$, 即有 $5-4 t^{2}+3 a t \geqslant 0$,

由题意可得 $5-4+3 a \geqslant 0$, 且 $5-4-3 a \geqslant 0$,

解得 $\mathrm{a}$ 的范围是 $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$.

故选: C.


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\{1,2,3\}, B=\left\{x \mid x^{2}<9\right\}$, 则 $A \cap B=（ \quad ）$
A. $\{-2,-1,0,1,2,3\}$
B. $\{-2,-1,0,1,2\}$
C. $\{1,2,3\}$
D. $\{1,2\}$

Answer: D


Question:
2. （5 分）设复数 $z$ 满足 $z+i=3-i$, 则 $\bar{z}=(\quad)$
A. $-1+2 i$
B. $1-2 i$
C. $3+2 i$
D. $3-2 i$

Answer: C

解: $\because$ 复数 $z$ 满足 $z+i=3-\mathrm{i}$,

$\therefore z=3-2 i$, $\therefore \bar{z}=3+2 i$

故选: C.


Question:
4. （5 分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球面的表面积为（
A. $12 \pi$
B. $\frac{32}{3} \pi$
C. $8 \pi$
D. $4 \pi$

Answer: A

解: 正方体体积为 8 , 可知其边长为 2 ,

正方体的体对角线为 $\sqrt{4+4+4}=2 \sqrt{3}$,

即为球的直径, 所以半径为 $\sqrt{3}$,

所以球的表面积为 $4 \pi \cdot(\sqrt{3})^{2}=12 \pi$.

故选: A.


Question:
5. (5 分) 设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 与 $C$ 交于点 $P, P F$ $\perp x$ 轴, 则 $k=(\quad)$
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{3}{2}$
D. 2

Answer: D

解: 抛物线 C: $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ 为 $(1,0)$,

曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 与 $C$ 交于点 $P$ 在第一象限,

由 $P F \perp x$ 轴得: $P$ 点横坐标为 1 , 代入 $C$ 得: $P$ 点纵坐标为 2 ,

故 $k=2$,

故选：D.


Question:
6. (5 分) 圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+13=0$ 的圆心到直线 $a x+y-1=0$ 的距离为 1 , 则 $a=($
A. $-\frac{4}{3}$
B. $-\frac{3}{4}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

Answer: A


Question:
8. (5 分) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现, 红灯持续时间为 40 秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯, 则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概 率为 $(\quad)$
A. $\frac{7}{10}$
B. $\frac{5}{8}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{3}{10}$

Answer: B

解: $\because$ 红灯持续时间为 40 秒, 至少需要等待 15 秒才出现绿灯, $\therefore$ 一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯,

$\therefore$ 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 $\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$.

故选: B.


Question:
10. （5 分) 下列函数中, 其定义域和值域分别与函数 $y=10^{\lg x}$ 的定义域和值域相 同的是 ( )
A. $y=x$
B. $y=\lg x$
C. $y=2^{x}$
D. $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$

Answer: D

解：函数 $\mathrm{y}=10^{\operatorname{lgx}}$ 的定义域和值域均为 $(0,+\infty)$,

函数 $y=x$ 的定义域和值域均为 $R$, 不满足要求;

函数 $y=\lg x$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，值域为 $R$, 不满足要求;

函数 $y=2^{x}$ 的定义域为 $R$, 值域为 $(0,+\infty)$ ，不满足要求;

函数 $\mathrm{y}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}$ 的定义域和值域均为 $(0,+\infty)$ ，满足要求;

故选: D.


Question:
11. (5 分) 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 x+6 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)$ 的最大值为 ( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

Answer: B


Question:
1. (5 分) 设集合 $A=\{0,2,4,6,8,10\}, B=\{4,8\}$, 则 $C_{A} B=(）$
A. $\{4,8\}$
B. $\{0,2,6\}$
C. $\{0,2,6,10\}$ D. $\{0,2,4,6,8,10\}$

Answer: C


Question:
2. (5 分) 若 $z=4+3 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|}=(\quad)$
A. 1
B. -1
C. $\frac{4}{5}+\frac{3}{5} i$
D. $\frac{4}{5}-\frac{3}{5} i$

Answer: D


Question:
3. (5 分) 已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 则 $\angle \mathrm{ABC}=(\quad)$
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

Answer: A

解: $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2},|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=1$;

$\therefore \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

又 $0^{\circ} \leqslant \angle A B C \leqslant 180^{\circ}$;

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=30^{\circ}$.

故选: A.


Question:
5. (5 分) 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M, I, $\mathrm{N}$ 中的一个字母, 第二位是 $1,2,3,4,5$ 中的一个数字, 则小敏输人一 次密码能够成功开机的概率是（）
A. $\frac{8}{15}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{1}{15}$
D. $\frac{1}{30}$

Answer: C

解: 从 $\mathrm{M}, \mathrm{I}, \mathrm{N}$ 中任取一个字母, 再从 $1,2,3,4,5$ 中任取一个数 字, 取法总数为:

$(\mathrm{M}, 1),(\mathrm{M}, 2),(\mathrm{M}, 3),(\mathrm{M}, 4),(\mathrm{M}, 5),(\mathrm{I}, 1),(\mathrm{I}, 2),(\mathrm{I}, 3), \quad(\mathrm{I}$ 4), $(\mathrm{I}, 5),(\mathrm{N}, 1),(\mathrm{N}, 2),(\mathrm{N}, 3),(\mathrm{N}, 4),(\mathrm{N}, 5)$ 共 15 种.

其中只有一个是小敏的密码前两位.

由随机事件发生的概率可得, 小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 $\frac{1}{15}$.

故选: C.


Question:
6. (5 分) 若 $\tan \theta=\frac{1}{3}$, 则 $\cos 2 \theta=(\quad)$
A. $-\frac{4}{5}$
B. $-\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

Answer: D


Question:
7. (5 分) 已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=3^{\frac{2}{3}}, c=25^{\frac{1}{3}}$, 则 ( )
A. $b<a<c$
B. $a<b<c$
C. $b<c<a$
D. $c<a<b$

Answer: A


Question:
9. (5 分) 在 $\triangle A B C$ 中, $B=\frac{\pi}{4}, B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$, 则 $\sin A=(\quad)$
A. $\frac{3}{10}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Answer: D

解: $\because$ 在 $\triangle A B C$ 中, $B=\frac{\pi}{4}, B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$, $\therefore \mathrm{AB}=\frac{\sqrt{2}}{3} \mathrm{BC}$

由余弦定理得: $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}-2 \cdot A B \cdot B C \cdot \cos B}=\sqrt{\frac{2}{9} B C+B C^{2}-\frac{2}{3} B C^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3} B C$,

故 $\frac{1}{2} B C \cdot \frac{1}{3} B C=\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin A=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} B C \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} B C \cdot \sin A$,

$\therefore \sin A=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$,

故选: D.


Question:
11. (5 分) 在封闭的直三棱柱 $A B C-\mathrm{A}_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $\mathrm{V}$ 的球, 若 $A B \perp$ $\mathrm{BC}, \mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=8, A A_{1}=3$, 则 $V$ 的最大值是 $(\quad)$
A. $4 \pi$
B. $\frac{9 \pi}{2}$
C. $6 \pi$
D. $\frac{32 \pi}{3}$

Answer: B

解: $\because A B \perp B C, A B=6, B C=8$,

$\therefore \mathrm{AC}=10$.

故三角形 $A B C$ 的内切圆半径 $r=\frac{6+8-10}{2}=2$,

又由 $\mathrm{AA}_{1}=3$,

故直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的内切球半径为 $\frac{3}{2}$,

此时 $\vee$ 的最大值 $\frac{4}{3} \pi \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{9 \pi}{2}$,

故选: B.


Question:
12. (5 分) 已知 $O$ 为坐标原点, $F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的左焦点, $A, B$ 分别为 $C$ 的左, 右顶点. $P$ 为 $C$ 上一点, 且 $P F \perp x$ 轴, 过点 $A$ 的直线 $I$ 与线段 $P F$ 交于点 $M$, 与 $y$ 轴交于点 $E$. 若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点, 则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

Answer: A

解：由题意可设 $F(-c, 0), A(-a, 0), B(a, 0)$,

设直线 $A E$ 的方程为 $y=k(x+a)$,

令 $x=-c$, 可得 $M(-c, k(a-c))$, 令 $x=0$, 可得 $E(0, k a)$,

设 $O E$ 的中点为 $H$, 可得 $H\left(0, \frac{k a}{2}\right)$,

由 $B, H, M$ 三点共线, 可得 $k_{B H}=k_{B M}$,

即为 $\frac{\frac{k a}{2}}{-a}=\frac{k(a-c)}{-c-a}$

化简可得 $\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$, 即为 $a=3 c$,

可得 $\mathrm{e}=\frac{c}{\mathrm{a}}=\frac{1}{3}$.

另解: 由 $\triangle A M F \backsim \triangle A E O$,

可得 $\frac{a-c}{a}=\frac{M F F}{O E}$,

由 $\triangle B O H \backsim \triangle B F M$,

可得 $\frac{a}{a+c}=\frac{O H}{F M}=\frac{O E}{2 F \cdot M}$,

即有 $\frac{2(a-c)}{a}=\frac{a+c}{a}$ 即 $a=3 c$,

可得 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{1}{3}$.

故选: A.


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\{x \mid x<2\}, B=\{x \mid 3-2 x>0\}$, 则（）
A. $A \cap B=\left\{x \mid x<\frac{3}{2}\right\}$
B. $A \cap B=\varnothing$
C. $A \cup B=\left\{\mathbf{x} \mid \mathbf{x}<\frac{3}{2}\right\}$
D. $A \cup B=R$

Answer: A

解: $\because$ 集合 $A=\{x \mid x<2\}, B=\{x \mid 3-2 x>0\}=\left\{x \mid x<\frac{3}{2}\right\}$,

$\therefore A \cap B=\left\{x \mid x<\frac{3}{2}\right\}$, 故 A 正确, $B$ 错误;

$A \cup B=\{x|| x<2\}$, 故 C, D 错误;

故选: A.


Question:
2. (5 分) 为评估一种农作物的种植效果, 选了 $\mathrm{n}$ 块地作试验田. 这 $\mathrm{n}$ 块地的 亩产量 (单位: $\mathrm{kg}$ ) 分别是 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, 下面给出的指标中可以用来评估 这种农作物亩产量稳定程度的是（ $)$
A. $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的平均数
B. $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的标准差
C. $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的最大值
D. $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的中位数

Answer: B

解: 在 $A$ 中, 平均数是表示一组数据集中趋势的量数, 它是反映数据集 中趋势的一项指标,

故 A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度;

在 B 中, 标准差能反映一个数据集的离散程度, 故 B 可以用来评估这种农作物 亩产量稳定程度;

在 C 中, 最大值是一组数据最大的量, 故 C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳 定程度；

在 D 中, 中位数将数据分成前半部分和后半部分, 用来代表一组数据的“中等水 平",

故 D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度.

故选: B.


Question:
3. (5 分) 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A. $i(1+i)^{2}$
B. $i^{2}(1-i)$
C. $(1+\mathrm{i})^{2}$
D. $i(1+i)$

Answer: C


Question:
11. (5 分) $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\sin B+\sin A$ ( $\sin C-\cos C)=0, a=2, \quad c=\sqrt{2}$, 则 $C=(\quad)$
A. $\frac{\pi}{12}$
B. $\frac{\pi}{6}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{3}$

Answer: B

解: $\sin B=\sin (A+C)=\sin A \cos C+\cos A \sin C$,

$\because \sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=0$,

$\therefore \sin A \cos C+\cos A \sin C+\sin A \sin C-\sin A \cos C=0$,

$\therefore \cos A \sin C+\sin A \sin C=0$, $\because \sin C \neq 0$

$\therefore \cos A=-\sin A$,

$\therefore \tan A=-1$,

$\because \frac{\pi}{2}<A<\pi$

$\therefore A=\frac{3 \pi}{4}$

由正弦定理可得 $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin \mathrm{A}}$ ，

$\therefore \sin C=\frac{c \sin A}{a}$,

$\because a=2, c=\sqrt{2}$,

$\therefore \sin C=\frac{\operatorname{csin} A}{a}=\frac{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{1}{2}$,

$\because a>c$

$\therefore C=\frac{\pi}{6}$

故选：B.


Question:
1. （5 分） 设集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}$, 则 $A \cup B=（ ）$
A. $\{1,2,3,4\}$
B. $\{1,2,3\}$
C. $\{2,3,4\}$
D. $\{1,3,4\}$

Answer: A


Question:
2. $(5$ 分 $)(1+i)(2+i)=(\quad)$
A. $1-\mathrm{i}$
B. $1+3 i$
C. $3+i$
D. $3+3 i$

Answer: B


Question:
3. (5 分) 函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的最小正周期为（ $)$
A. $4 \pi$
B. $2 \pi$
C. $\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$

Answer: C

解：函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的最小正周期为: $\frac{2 \pi}{2}=\pi$.

故选: C.


Question:
4. (5 分) 设非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ 则（）
A. $\vec{a} \perp \vec{b}$
B. $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|$
C. $\vec{a} / / \vec{b}$
D. $|\vec{a}|>|\vec{b}|$

Answer: A

解: $\because$ 非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$,

$\therefore(\vec{a}+\vec{b})^{2}=(\vec{a}-\vec{b})^{2}$

$\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+2 \overrightarrow{a b}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}-2 \overrightarrow{a b}$

$4 \overrightarrow{\mathrm{a}} \vec{b}=0$

解得 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,

$\therefore \vec{a} \perp \vec{b}$

故选: A.


Question:
5.（5 分）若 $a>1$, 则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ 的离心率的取值范围是（ ）
A. $(\sqrt{2},+\infty)$
B. $(\sqrt{2}, 2)$
C. $(1, \sqrt{2})$
D. $(1,2)$

Answer: C


Question:
8. （5 分）函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x-8 ）\right.$ 的单调递增区间是（ $)$
A. $(-\infty,-2)$
B. $(-\infty,-1)$
C. $(1,+\infty)$
D. $(4,+\infty)$

Answer: D


Question:
9. （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩. 老师 说: 你们四人中有 2 位优秀, 2 位良好, 我现在给甲看乙、丙的成绩, 给乙看 丙的成绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩. 根 据以上信息，则（）
A. 乙可以知道四人的成绩
B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩

Answer: D

解：四人所知只有自己看到, 老师所说及最后甲说话,

甲不知自己的成绩

$\rightarrow$ 乙丙必有一优一良, （若为两优, 甲会知道自己的成绩; 若是两良, 甲也会知 道自己的成绩)

$\rightarrow$ 乙看到了丙的成绩, 知自己的成绩

$\rightarrow$ 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，

给甲看乙丙成绩, 甲不知道自已的成绩, 说明乙丙一优一良, 假定乙丙都是优, 则甲是良, 假定乙丙都是良, 则甲是优, 那么甲就知道自已的成绩了. 给乙 看丙成绩, 乙没有说不知道自已的成绩, 假定丙是优, 则乙是良, 乙就知道 自己成绩. 给丁看甲成绩, 因为甲不知道自己成绩, 乙丙是一优一良, 则甲 丁也是一优一良, 丁看到甲成绩, 假定甲是优, 则丁是良, 丁肯定知道自已 的成绩了

故选: D.


Question:
11. (5 分) 从分别写有 $1,2,3,4,5$ 的 5 张卡片中随机抽取 1 张, 放回后再 随机抽取 1 张, 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{3}{10}$
D. $\frac{2}{5}$

Answer: D


Question:
12. (5 分) 过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$, 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于点 $M(M$ 在 $x$ 轴上方), 1 为 $C$ 的准线, 点 $N$ 在 $I$ 上, 且 $M N \perp 1$, 则 $M$ 到直线 $N F$ 的距 离为 $(\quad)$
A. $\sqrt{5}$
B. $2 \sqrt{2}$
C. $2 \sqrt{3}$
D. $3 \sqrt{3}$

Answer: C


Question:
1. (5 分) 已知集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{2,4,6,8\}$, 则 $A \cap B$ 中元素的个 数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer: B


Question:
2. (5 分) 复平面内表示复数 $\mathrm{z}=\mathrm{i}(-2+\mathrm{i})$ 的点位于 $(\quad)$
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

Answer: C


Question:
4. (5 分) 已知 $\sin a-\cos a=\frac{4}{3}$, 则 $\sin 2 a=(\quad)$
A. $-\frac{7}{9}$
B. $-\frac{2}{9}$
C. $\frac{2}{9}$
D. $\frac{7}{9}$

Answer: A

解: $\because \sin a-\cos a=\frac{4}{3}$,

$\therefore \quad(\sin a-\cos a)^{2}=1-2 \sin a \cos a=1-\sin 2 a=\frac{16}{9}$,

$\therefore \sin 2 a=-\frac{7}{9}$

故选: A.


Question:
6. (5 分) 函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值为 $($ )
A. $\frac{6}{5}$
B. 1
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{1}{5}$

Answer: A

解：函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{5} \sin \left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos$ $\left(-x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ $=\frac{6}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \leqslant \frac{6}{5}$.

故选: A.


Question:
11. (5 分) 已知椭圆 C: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切, 则 $C$ 的离心率为
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\frac{1}{3}$

Answer: A


Question:
12. (5 分) 已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点, 则 $a=(\quad)$
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

\section{

Answer: C


Question:
1. （5 分）已知集合 $A=\{0,2\}, B=\{-2,-1,0,1,2\}$, 则 $A \cap B=(）$
A. $\{0,2\}$
B. $\{1,2\}$
C. $\{0\}$
D. $\{-2,-1,0,1,2\}$

Answer: A


Question:
2. （5 分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$, 则 $|z|=(\quad)$
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\sqrt{2}$

Answer: C


Question:
4. (5 分) 已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的一个焦点为 $(2,0)$, 则 $C$ 的离心率为 ( )
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Answer: C


Question:
5. (5 分) 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}_{2}$, 过直线 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 的平面截 该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（）
A. $12 \sqrt{2} \pi$
B. $12 \pi$
C. $8 \sqrt{2} \pi$
D. $10 \pi$

Answer: B

解：设圆柱的底面直径为 $2 R$, 则高为 $2 R$,

圆柱的上、下底面的中心分别为 $\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}_{2}$,

过直线 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,

可得: $4 R^{2}=8$, 解得 $R=\sqrt{2}$,

则该圆柱的表面积为: $\pi \cdot(\sqrt{2})^{2} \times 2+2 \sqrt{2} \pi \times 2 \sqrt{2}=12 \pi$.

故选: B.


Question:
6. （5 分) 设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$. 若 $f(x)$ 为奇函数, 则曲线 $y=f($ $x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $(\quad)$
A. $y=-2 x$
B. $y=-x$
C. $y=2 x$
D. $y=x$

Answer: D


Question:
7. (5 分) 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 为 $B C$ 边上的中线, $E$ 为 $A D$ 的中点, 则 $\overrightarrow{E B}=(\quad)$
A. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
B. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
C. $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
D. $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Answer: A

解: 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 为 $B C$ 边上的中线, $E$ 为 $A D$ 的中点,

$\overrightarrow{\mathrm{EB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$

$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

$=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

故选: A.


Question:
8. （5 分）已知函数 $f(x)=2 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x+2$, 则 $(\quad)$
A. $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 最大值为 3
B. $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 最大值为 4
C. $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$, 最大值为 3
D. $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$, 最大值为 4

Answer: B


Question:
11. (5 分) 已知角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点, 始边与 $\mathrm{x}$ 轴的非负半轴重合, 终边上 有两点 $A(1, a), B(2, b)$, 且 $\cos 2 \alpha=\frac{2}{3}$, 则 $|a-b|=(\quad)$
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
D. 1

Answer: B

解: $\because$ 角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点, 始边与 $\mathrm{x}$ 轴的非负半轴重合,

终边上有两点 $A(1, a), B(2, b)$, 且 $\cos 2 \alpha=\frac{2}{3}$,

$\therefore \cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=\frac{2}{3}$, 解得 $\cos ^{2} \alpha=\frac{5}{6}$,

$\therefore|\cos \alpha|=\frac{\sqrt{30}}{6}, \quad \therefore|\sin \alpha|=\sqrt{1-\frac{30}{36}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$,

$|\tan \alpha|=\left|\frac{b-a}{2-1}\right|=|a-b|=\frac{|\sin \alpha|}{|\cos \alpha|}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{30}}{6}}}{\frac{\sqrt{6}}{5}}$.

故选: B.


Question:
1. $(5$ 分 $) i(2+3 i)=(\quad)$
A. $3-2 i$
B. $3+2 i$
C. $-3-2 i$
D. $-3+2 i$

Answer: D


Question:
2. （5 分）已知集合 $A=\{1,3,5,7\}, B=\{2,3,4,5\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\{3\}$
B. $\{5\}$
C. $\{3,5\}$
D. $\{1,2,3,4,5,7\}$

Answer: C


Question:
4. (5 分) 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$, 则 $\vec{a} \cdot(2 \vec{a}-\vec{b})=(\quad)$
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0

Answer: B


Question:
5. (5 分) 从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务, 则选中的 2 人都是女同学的概率为 $(\quad)$
A. 0.6
B. 0.5
C. 0.4
D. 0.3

Answer: D

解:（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服 务, 共有 $\mathrm{C}_{5}{ }^{2}=10$ 种, 其中全是女生的有 $\mathrm{C}_{3}{ }^{2}=3$ 种, 中的 2 人都是女同学的概率 $P=\frac{3}{10}=0.3$,

（适合文科生）, 设 2 名男生为 $a, b, 3$ 名女生为 $A, B, C$,

则任选 2 人的种数为 $a b, a A, a B, a C, b A, b B, B c, A B, A C, B C$ 共 10 种, 其 中全是女生为 $A B, A C, B C$ 共 3 种,

中的 2 人都是女同学的概率 $P=\frac{3}{10}=0.3$, 故选：D.


Question:
6. (5 分) 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$, 则其渐近线方程为
A. $y= \pm \sqrt{2} x$
B. $y= \pm \sqrt{3} x$
C. $y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$
D. $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

Answer: A


Question:
7. (5 分) 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, B C=1, A C=5$, 则 $A B=（ ）$
A. $4 \sqrt{2}$
B. $\sqrt{30}$
C. $\sqrt{29}$
D. $2 \sqrt{5}$

Answer: A

解: 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos \mathrm{C}=2 \times\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}-1=-\frac{3}{5}$, $B C=1, A C=5$, 则 $A B=\sqrt{B C^{2}+A C^{2}-2 B C \cdot A C \cos C}=\sqrt{1+25+2 \times 1 \times 5 \times \frac{3}{5}}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}$.

故选: A.


Question:
10. （5 分）若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[0, a]$ 是减函数, 则 $a$ 的最大值是 $(\quad)$
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\frac{3 \pi}{4}$
D. $\pi$

Answer: C

解: $f(x)=\cos x-\sin x=-\quad(\sin x-\cos x)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$,

由 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant x-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in Z$,

得 $-\frac{\pi}{4}+2 k \pi \leqslant x \leqslant \frac{3}{4} \pi+2 k \pi, k \in Z$,

取 $k=0$, 得 $f(x)$ 的一个减区间为 $\left[-\frac{\pi}{4} ， \frac{3 \pi}{4}\right]$,

由 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 是减函数,

得 $a \leqslant \frac{3 \pi}{4}$.

则 $\mathrm{a}$ 的最大值是 $\frac{3 \pi}{4}$.

故选: C.


Question:
12. (5 分) 已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数, 满足 $f(1-x)=f($ $1+x)$, 若 $f(1)=2$, 则 $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(50)=(\quad)$
A. -50
B. 0
C. 2
D. 50

Answer: C


Question:
1. (5 分) 已知集合 $A=\{x \mid x-1 \geqslant 0\}, B=\{0,1,2\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\{0\}$
B. $\{1\}$
C. $\{1,2\}$
D. $\{0,1,2\}$

Answer: C

解: $\because A=\{x \mid x-1 \geqslant 0\}=\{x \mid x \geqslant 1\}, B=\{0,1,2\}$,

$\therefore A \cap B=\{x \mid x \geqslant 1\} \cap\{0,1,2\}=\{1,2\}$.

故选: C.


Question:
2. $(5$ 分 $)(1+i)(2-i)=(\quad)$
A. $-3-i$
B. $-3+i$
C. $3-i$
D. $3+i$

Answer: D


Question:
4. (5 分) 若 $\sin a=\frac{1}{3}$, 则 $\cos 2 a=(\quad)$
A. $\frac{8}{9}$
B. $\frac{7}{9}$
C. $-\frac{7}{9}$
D. $-\frac{8}{9}$

Answer: B


Question:
5. (5 分) 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45 , 既用现金支付也用非 现金支付的概率为 0.15 , 则不用现金支付的概率为 $($ )
A. 0.3
B. 0.4
C. 0.6
D. 0.7

Answer: B

解：某群体中的成员只用现金支付, 既用现金支付也用非现金支付, 不 用现金支付，是互斥事件，

所以不用现金支付的概率为: $1-0.45-0.15=0.4$.

故选: B.


Question:
6. (5 分) 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\tan x}{1+\tan ^{2} \mathrm{x}}$ 的最小正周期为 $(\quad)$
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $2 \pi$

Answer: C

解: 函数 $f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan ^{2} x}=\frac{\sin x \cos x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}=\frac{1}{2} \sin 2 x$ 的最小正周期为 $\frac{2 \pi}{2}=\pi$

故选: C.


Question:
7. (5 分) 下列函数中, 其图象与函数 $y=\ln x$ 的图象关于直线 $\mathrm{x}=1$ 对称的是 ( )
A. $y=\ln (1-x)$
B. $y=\ln (2-x)$
C. $y=\ln (1+x)$
D. $y=\ln (2+x)$

Answer: B

解: 首先根据函数 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}$ 的图象,

则: 函数 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}$ 的图象与 $\mathrm{y}=\ln (-\mathrm{x})$ 的图象关于 $\mathrm{y}$ 轴对称. 由于函数 $y=\ln x$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称.

则: 把函数 $y=\ln (-x)$ 的图象向右平移 2 个单位即可得到: $y=\ln (2-x)$.

即所求得解析式为: $y=\ln (2-x)$.

故选: B.


Question:
8. (5 分) 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴, $y$ 轴交于 $A, B$ 两点, 点 $P$ 在圆 $(x-2)$ ${ }^{2}+y^{2}=2$ 上，则 $\triangle A B P$ 面积的取值范围是（）
A. $[2,6]$
B. $[4,8]$
C. $[\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$
D. $[2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$

Answer: A

解: $\because$ 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴, $y$ 轴交于 $A, B$ 两点, $\therefore$ 令 $\mathrm{x}=0$, 得 $\mathrm{y}=-2$, 令 $\mathrm{y}=0$, 得 $\mathrm{x}=-2$,

$\therefore A(-2,0), B(0,-2),|A B|=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$,

$\because$ 点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$ 上, $\therefore$ 设 $P(2+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{P}$ 到直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+2=0$ 的距离: $\mathrm{d}=\frac{|2+\sqrt{2} \cos \theta+\sqrt{2} \sin \theta+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+4\right|}{\sqrt{2}}$,

$\because \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \in[-1,1], \quad \therefore d=\frac{\left|2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+4\right|}{\sqrt{2}} \in[\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABP}$ 面积的取值范围是:

$\left[\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}, \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}\right]=[2,6]$.

故选: $A$.


Question:
10. (5 分) 已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$, 则点 $(4$,

0) 到 C 的渐近线的距离为 $(\quad)$
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
D. $2 \sqrt{2}$

Answer: D


Question:
11. (5 分) $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, C$. 若 $\triangle A B C$ 的面积 为 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$, 则 $C=(\quad)$
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{6}$

Answer: C

解: $\because \triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$.

$\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$, $\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$

$\therefore \sin C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\cos C$

$\because 0<\mathrm{C}<\pi, \quad \therefore \mathrm{C}=\frac{\pi}{4}$

故选: C.


Question:
1. 设 $z=\frac{3-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}$, 则 $|z|=$
A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. 1

Answer: C


Question:
2. 已知集合 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}, A=\{2,3,4,5\}, B=\{2,3,6,7\}$, 则 $B \cap C_{U} A$
A. $\{1,6\}$
B. $\{1,7\}$
C. $\{6,7\}$
D. $\{1,6,7\}$

Answer: C


Question:
3.已知 $a=\log _{2} 0.2, b=2^{0.2}, c=0.2^{0.3}$ ，则
A. $a<b<c$
B. $a<c<b$
C. $c<a<b$
D.

$b<c<a$

Answer: B


Question:
6. 某学校为了解 1000 名新生的身体素质, 将这些学生编号为 $1,2, \cdots, 1000$, 从这些新 生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验, 若 46 号学生被抽到, 则下面 4 名 学生中被抽到的是
A. 8 号学生
B. 200 号学生
C. 616 号学生
D. 815 号

学生

Answer: C


Question:
7.tan $255^{\circ}=$
A. $-2-\sqrt{3}$
B. $-2+\sqrt{3}$
C. $2-\sqrt{3}$
D. $2+\sqrt{3}$

Answer: D


Question:
8.已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=2|b|$, 且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{2 \pi}{3}$
D. $\frac{5 \pi}{6}$

Answer: B

【详解】因为 $(a-b) \perp b$, 所以 $(a-b) \cdot b=a \cdot b-b^{2}=0$, 所以 $a \cdot b=b^{2}$, 所以 $\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a| \cdot|b|}=\frac{|b|^{2}}{2|b|^{2}}=\frac{1}{2}$, 所以 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 故选 B.


Question:
10. 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的 一条渐近线的倾斜角为 $130^{\circ}$, 则 $\mathrm{C}$ 的离心率为
A. $2 \sin 40^{\circ}$
B. $2 \cos 40^{\circ}$
C. $\frac{1}{\sin 50^{\circ}}$
D.

$\frac{1}{\cos 50^{\circ}}$

Answer: D


Question:
11. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $a \sin A-b \sin B=4 c \sin C, \cos A=-\frac{1}{4}$, 则 $\frac{b}{c}=$
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

Answer: A


Question:
1.已知集合 $A=\{x \mid x>-1\}, B=\{x \mid x<2\}$, 则 $A \cap B=$
A. $(-1,+\infty)$
B. $(-\infty, 2)$
C. $(-1,2)$
D. $\varnothing$

Answer: C


Question:
2. 设 $z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i})$ ，则 $\bar{z}=$
A. $1+2 \mathrm{i}$
B. $-1+2 \mathrm{i}$
C. $1-2 \mathrm{i}$
D. $-1-2 \mathrm{i}$

Answer: D

【详解】 $z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i})=2 \mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=-1+2 \mathrm{i}$,

所以 $\bar{z}=-1-2 i$, 选 D.


Question:
3.已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,3), \boldsymbol{b}=(3,2)$, 则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. $5 \sqrt{2}$
D. 50

Answer: A

【详解】由已知, $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,3)-(3,2)=(-1,1)$,

所以 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ ，

故选 A


Question:
4. 生物实验室有 5 只兔子, 其中只有 3 只测量过某项指标, 若从这 5 只兔子中随机取出 3 只, 则恰有 2 只测量过该指标的概率为
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{5}$

Answer: B


Question:
5. 在 “一带一路” 知识测验后, 甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲: 我的成绩比乙高.

乙: 丙的成绩比我和甲的都高.

丙: 我的成绩比乙高.

成绩公布后, 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为
A. 甲、乙、丙
B. 乙、甲、丙
C. 丙、乙、甲
D. 甲、丙、乙

Answer: A

【详解】若甲预测正确, 则乙、丙预测错误, 则甲比乙成绩高, 丙比乙成绩低, 故 3 人成绩 由高到低依次为甲, 乙, 丙; 若乙预测正确, 则丙预测也正确, 不符合题意; 若丙预测正确, 则甲必预测错误, 丙比乙的成绩高, 乙比甲成绩高, 即丙比甲, 乙成绩都高, 即乙预测正确, 不符合题意, 故选 $\mathrm{A}$.


Question:
6. 设 $f(x)$ 为奇函数, 且当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=e^{x}-1$, 则当 $x<0$ 时, $f(x)=$
A. $e^{-x}-1$
B. $\mathrm{e}^{-x}+1$
C. $-\mathrm{e}^{-x}-1$
D. $-\mathrm{e}^{-x}+1$

Answer: D


Question:
7. 设 $\alpha, \beta$ 为两个平面, 则 $\alpha / / \beta$ 的充要条件是
A. $\alpha$ 内有无数条直线与 $\beta$ 平行
B. $\alpha$ 内有两条相交直线与 $\beta$ 平行
C. $\alpha, \beta$ 平行于同一条直线
D. $\alpha, \beta$ 垂直于同一平面

Answer: B

【详解】由面面平行的判定定理知: $a$ 内两条相交直线都与 $\beta$ 平行是 $a / / \beta$ 的充分条件, 由面面平行性质定理知, 若 $a / / \beta$, 则 $a$ 内任意一条直线都与 $\beta$ 平行, 所以 $a$ 内两条相交 直线都与 $\beta$ 平行是 $a / / \beta$ 的必要条件, 故选 B.


Question:
8. 若 $x_{1}=\frac{\pi}{4}, x_{2}=\frac{3 \pi}{4}$ 是函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$ 两个相邻的极值点, 则 $\omega=$
A. 2
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. $\frac{1}{2}$

Answer: A

【详解】由题意知, $f(x)=\sin \omega x$ 的周期 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=2\left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)=\pi$, 得 $\omega=2$. 故选 A.


Question:
9. 若抛物线 $y^{2}=2 p x \quad(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点, 则 $p=$
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8

Answer: D


Question:
10.曲线 $y=2 \sin x+\cos x$ 在点 $(\pi,-1)$ 处的切线方程为
A. $x-y-\pi-1=0$
B. $2 x-y-2 \pi-1=0$
C. $2 x+y-2 \pi+1=0$
D. $x+y-\pi+1=0$

Answer: C

【详解】当 $x=\pi$ 时, $y=2 \sin \pi+\cos \pi=-1$, 即点 $(\pi,-1)$ 在曲线 $y=2 \sin x+\cos x$ 上. $\because y^{\prime}=2 \cos x-\sin x,\left.\therefore y^{\prime}\right|_{x=\pi}=2 \cos \pi-\sin \pi=-2$, 则 $y=2 \sin x+\cos x$ 在点 $(\pi,-1)$ 处的切线方程为 $y-(-1)=-2(x-\pi)$, 即 $2 x+y-2 \pi+1=0$. 故选 C.


Question:
11.已知 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \sin 2 \alpha=\cos 2 \alpha+1$, 则 $\sin \alpha=$
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Answer: B

【详解】 $\because 2 \sin 2 a=\cos 2 a+1, \therefore 4 \sin a \cdot \cos a=2 \cos ^{2} a \because a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \cos a>0$. $\sin a>0, \quad \therefore \quad 2 \sin a=\cos a$, 又 $\sin ^{2} a+\cos ^{2} a=1, \quad \therefore 5 \sin ^{2} a=1, \quad \sin ^{2} a=\frac{1}{5}$, 又 $\sin a>0, \therefore \sin a=\frac{\sqrt{5}}{5}$, 故选 B.


Question:
1.已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\left\{x \mid x^{2} \leq 1\right\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\{-1,0,1\}$
B. $\{0,1\}$
C. $\{-1,1\}$
D.

$\{0,1,2\}$

Answer: A


Question:
2. 若 $z(1+\mathrm{i})=2 \mathrm{i}$ ，则 $z=(\quad)$
A. $-1-\mathrm{i}$
B. $-1+\mathrm{i}$
C. $1-\mathrm{i}$
D. $1+\mathrm{i}$

Answer: D

【详解】 $z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2 \mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=1+\mathrm{i}$. 故选 D.


Question:
3.两位男同学和两位女同学随机排成一列, 则两位女同学相邻的概率是（）
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

Answer: D

【详解】两位男同学和两位女同学排成一列, 因为男生和女生人数相等, 两位女生相邻与不 相邻的排法种数相同, 所以两位女生相邻与不相邻的概率均是 $\frac{1}{2}$. 故选 D.


Question:
4. 《西游记》《三国演义》《水淓传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝, 并称为中国古典小 说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况, 随机调查了 100 学生, 其中阅读 过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位, 阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位, 阅读过 《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位, 则该校阅读过《西游记》的学生人数与 该校学生总数比值的估计值为（）
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8

Answer: C

【详解】由题意得, 阅读过 《西游记》的学生人数为 $90-80+60=70$, 则其与该校学生人数之 比为 $70 \div 100=0$. 7 . 故选 C.


Question:
5. 函数 $f(x)=2 \sin x-\sin 2 x$ 在 $[0,2 \pi]$ 的零点个数为 $(\quad)$
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Answer: B

【详解】由 $f(x)=2 \sin x-\sin 2 x=2 \sin x-2 \sin x \cos x=2 \sin x(1-\cos x)=0$, 得 $\sin x=0$ 或 $\cos x=1, \because x \in[0,2 \pi], \therefore x=0 、 \pi$ 或 $2 \pi . \therefore f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 的零点个数是 3. . 故选 B.


Question:
6. 已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 , 且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$, 则 $a_{3}=(\quad)$
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2

Answer: C


Question:
7. 已知曲线 $y=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$, 则 ( )
A. $a=e, b=-1$
B. $a=e, b=1$
C. $a=e^{-1}, b=1$
D. $a=e^{-1}, b=-1$

Answer: D


Question:
10.已知 $F$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ 的一个焦点, 点 $P$ 在 $C$ 上, $O$ 为坐标原点, 若 $|O P|=|O F|$, 则 $\triangle O P F$ 的面积为 $($ ）
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. $\frac{7}{2}$
D. $\frac{9}{2}$

Answer: B


Question:
12. 设 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递减, 则 $(\quad)$
A. $f\left(\log _{5} \frac{1}{4}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)$
B. $f\left(\log _{8} \frac{1}{4}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)$
C. $f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(\log _{5} \frac{1}{4}\right)$
D. $f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(\log _{5} \frac{1}{4}\right)$

Answer: C

【详解】 $\because f(x)$ 是 $\mathrm{R}$ 的偶函数, $\therefore f\left(\log _{3} \frac{1}{4}\right)=f\left(\log _{3} 4\right)$.

$\therefore \log _{3} 4>1=2^{0}>2^{-\frac{3}{2}}$, 又 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减, $f\left(\log _{3} 4\right)<f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)<f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)$,

$\therefore f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(\log _{3} \frac{1}{4}\right)$, 故选 C.


Question:
1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}, B=\{x \mid 3<x<15\}$, 则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Answer: B

【详解】由题意, $A \cap B=\{5,7,11\}$, 故 $A \cap B$ 中元素的个数为 3 .

故选: B

【点晴】本题主要考查集合的交集运算, 考查学生对交集定义的理解, 是一道容易题.


Question:
2. 若 $\bar{z}(1+i)=1-i$, 则 $z=(\quad)$
A. $1-i$
B. $1+i$
C. $-i$
D. $i$

Answer: D

【详解】 因为 $\bar{z}=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2 i}{2}=-i$, 所以 $z=i$.

故选: D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算, 涉及到共轭复数的概念, 是一道基础题.


Question:
3. 设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的方差为 0.01 , 则数据 $10 x_{1}, 10 x_{2}, \ldots, 10 x_{n}$ 的方差为 $($ )
A. 0.01
B. 0.1
C. 1
D. 10

Answer: C

【详解】因为数据 $a x_{i}+b,(i=1,2, \mathrm{~L}, n)$ 的方差是数据 $x_{i},(i=1,2, \mathrm{~L}, n)$ 的方差的 $a^{2}$ 倍,

所以所求数据方差为 $10^{2} \times 0.01=1$

故选: C


Question:
4.Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领城. 有学者根据公布数据建立了某 地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)\left(t\right.$ 的单位: 天)的 Logistic 模型: $I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$, 其中 $K$ 为最大确诊病例数. 当 $I\left(t^{*}\right)=0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情, 则 $t^{*}$ 约为 $(\quad) \quad(\ln 19 \approx 3)$
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69

Answer: C


Question:
5. 已知 $\sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=1$, 则 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=(\quad)$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer: B

【详解】由题意可得： $\sin \theta+\frac{1}{2} \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta=1$,

则: $\frac{3}{2} \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta=1, \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

从而有: $\sin \theta \cos \frac{\pi}{6}+\cos \theta \sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

即 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

故选: B.


Question:
7. 设 $O$ 为坐标原点, 直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点, 若 $O D \perp O E$, 则 $C$ 的焦点坐标为 $(\quad)$
A. $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$
B. $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$
C. $(1,0)$
D. $(2,0)$

Answer: B

【详解】因为直线 $x=2$ 与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $C, D$ 两点, 且 $O D \perp O E$, 根据抛物线的对称性可以确定 $\angle D O x=\angle C O x=\frac{\pi}{4}$, 所以 $C(2,2)$, 代人抛物线方程 $4=4 p$, 求得 $p=1$, 所以其焦点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, 故选: B.


Question:
8.点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 距离的最大值为 $(\quad)$
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

Answer: B


Question:
10. 设 $a=\log _{3} 2, b=\log _{5} 3, c=\frac{2}{3}$, 则 $(\quad)$
A. $a<c<b$
B. $a<b<c$
C. $b<c<a$
D. $c<a<b$

Answer: A


Question:
11. 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos C=\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$, 则 $\tan B=(\quad)$
A. $\sqrt{5}$
B. $2 \sqrt{5}$
C. $4 \sqrt{5}$
D. $8 \sqrt{5}$

Answer: C

【详解】设 $A B=c, B C=a, C A=b$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=9+16-2 \times 3 \times 4 \times \frac{2}{3}=9 \therefore c=3$

$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{1}{9} \therefore \sin B=\sqrt{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{2}}=\frac{4 \sqrt{5}}{9} \therefore \tan B=4 \sqrt{5}$

故选: C


Question:
12. 已知函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$, 则 $(\quad)$
A. $f(x)$ 的最小值为 2
B. $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称
C. $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\pi$ 对称
D. $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称

Answer: D

【详解】 $\because \sin x$ 可以为负, 所以 $\mathrm{A}$ 错;

$Q \sin x \neq 0 \therefore x \neq k \pi(k \in Z) Q f(-x)=-\sin x-\frac{1}{\sin x}=-f(x) \therefore f(x)$ 关于原点对称;

$Q f(2 \pi-x)=-\sin x-\frac{1}{\sin x} \neq f(x), f(\pi-x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}=f(x)$, 故 B 错;

$\therefore f(x)$ 关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称, 故 $\mathrm{C}$ 错, $\mathrm{D}$ 对

故选: D


Question:
1. 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x-4<0\right\}, B=\{-4,1,3,5\}$, 则 $\left.A \cap B=（ \quad\right)$
A. $\{-4,1\}$
B. $\{1,5\}$
C. $\{3,5\}$
D. $\{1,3\}$

Answer: D


Question:
2. 若 $z=1+2 i+i^{3}$ ，则 $|z|=(\quad)$
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

Answer: C


Question:
6. 已知圆 $x^{2}+y^{2}-6 x=0$, 过点 $(1,2)$ 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer: B


Question:
8. 设 $a \log _{3} 4=2$ ，则 $4^{-a}=(\quad)$
A. $\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{6}$

Answer: B


Question:
10. 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, 且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1, a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$, 则 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=(\quad)$
A. 12
B. 24
C. 30
D. 32

Answer: D


Question:
11. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的两个焦点, $O$ 为坐标原点, 点 $P$ 在 $C$ 上且 $|O P|=2$, 则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 ( )
A. $\frac{7}{2}$
B. 3
C. $\frac{5}{2}$
D. 2

Answer: B

【详解】由已知, 不妨设 $F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$,

则 $a=1, c=2$, 因为 $|O P|=1=\frac{1}{2}\left|F_{1} F_{2}\right|$,

所以点 $P$ 在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上,

即 $\square F_{1} F_{2} P$ 是以 $P$ 为直角顶点的直角三角形,

故 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}$ ，

即 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=16$, 又 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2 a=2$ ，

所以 $4=|| P F_{1}|-| P F_{2}\left\|^{2}=\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{1} \| P F_{2}\right|=16-2\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|\right.$,

解得 $\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=6$, 所以 $S_{\triangle F_{1} F_{2} P}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=3$

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题, 涉及到双曲线的定义, 考查学生的数学运算能力, 是一道中档题.


Question:
1.已知集合 $A=\{x|| x \mid<3, x \in Z\}, B=\{x|| x \mid>1, x \in Z\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
A. $\varnothing$
B. $\{-3,-2,2,3)$
C. $\{-2,0,2\}$
D. $\{-2,2\}$

Answer: D


Question:
2. $(1-\mathrm{i})^{4}=(\quad)$
A. -4
B. 4
C. $-4 i$
D. $4 i$

Answer: A


Question:
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的

配货, 由于订单量大幅增加, 导致订单积压.为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市 某日积压 500 份订单末配货, 预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 , 志愿者每人每天能完成 50 份订 单的配货, 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 , 则至少需要志愿者（）
A. 10 名
B. 18 名
C. 24名
D. 32 名

Answer: B

【详解】由题意, 第二天新增订单数为 $500+1600-1200=900$,

故需要志愿者 $\frac{900}{50}=18$ 名.

故选: B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用, 属于基础题.


Question:
5.已知单位向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$, 则在下列向量中, 与 $\boldsymbol{b}$ 垂直的是（）
A. $\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$
B. $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
C. $\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$
D. $2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$

Answer: D

【详解】由已知可得: $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \cos 60^{\circ}=1 \times 1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

$\mathrm{A}$ : 因为 $(\vec{a}+2 \vec{b}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b}^{2}=\frac{1}{2}+2 \times 1=\frac{5}{2} \neq 0$, 所以本选项不符合题意;

B: 因为 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}=2 \times \frac{1}{2}+1=2 \neq 0$, 所以本选项不符合题意;

C: 因为 $(\vec{a}-2 \vec{b}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{b}^{2}=\frac{1}{2}-2 \times 1=-\frac{3}{2} \neq 0$, 所以本选项不符合题意;

D: 因为 $(2 \vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{b}=2 \vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b}^{2}=2 \times \frac{1}{2}-1=0$, 所以本选项符合题意.

故选: D.


Question:
6. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$, 则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=(\quad)$
A. $2^{n}-1$
B. $2-2^{1-n}$
C. $2-2^{n-1}$
D. $2^{1-n}-1$

Answer: B


Question:
8. 若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为 ( )
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

Answer: B


Question:
9. 设 $O$ 为坐标原点, 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点, 若 $\square O D E$ 的面积为 8 , 则 $C$ 的焦距的最小值为 ( )
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32

Answer: B

【详解】 $\because C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$

$\therefore$ 双曲线的渐近线方程是 $y= \pm \frac{b}{a} x$

$\because$ 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点

不妨设 $D$ 为在第一象限, $E$ 在第四象限

联立 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=\frac{b}{a} x\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=b\end{array}\right.$

故 $D(a, b)$

联立 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=-\frac{b}{a} x\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=-b\end{array}\right.$

故 $E(a,-b)$ $\therefore|E D|=2 b$

$\therefore \square O D E$ 面积为: $S_{\triangle O D E}=\frac{1}{2} a \times 2 b=a b=8$

$\because$ 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$

$\therefore$ 其焦距为 $2 c=2 \sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq 2 \sqrt{2 a b}=2 \sqrt{16}=8$

当且仅当 $a=b=2 \sqrt{2}$ 取等号

$\therefore C$ 的焦距的最小值： 8

故选: B.


Question:
10. 设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$, 则 $f(x)(\quad)$
A. 是奇函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递增
B. 是奇函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递减
C. 是偶函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递增
D. 是偶函数, 且在 $(0,+\infty)$ 单调递减

Answer: A


Question:
11.已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

的等边三角形, 且其顶点都在球 $O$ 的球面上. 若球 $O$ 的表面积为 $16 \pi$, 则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer: C

【详解】设球 $O$ 的半径为 $R$, 则 $4 \pi R^{2}=16 \pi$, 解得： $R=2$.

设 $\square A B C$ 外接圆半径为 $r$, 边长为 $a$,

$\because \square A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形,

$\therefore \frac{1}{2} a^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9 \sqrt{3}}{4}$, 解得: $a=3, \therefore r=\frac{2}{3} \times \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{2}{3} \times \sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离 $d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{4-3}=1$.

故选: C.


Question:
12. 若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ ，则 $(\quad)$
A. $\ln (y-x+1)>0$
B. $\ln (y-x+1)<0$
C. $\ln |x-y|>0$
D. $\ln |x-y|<0$

Answer: A


Question:
1. 设集合 $M=\{1,3,5,7,9\}, N=\{x \mid 2 x>7\}$, 则 $M \cap N=(\quad)$
A. $\{7,9\}$
B. $\{5,7,9\}$
C. $\{3,5,7,9\}$
D. $\{1,3,5,7,9\}$

Answer: B


Question:
3. 已知 $(1-i)^{2} z=3+2 i$, 则 $z=(\quad)$
A. $-1-\frac{3}{2} i$
B. $-1+\frac{3}{2} i$
C. $-\frac{3}{2}+i$
D. $-\frac{3}{2}-i$

Answer: B


Question:
4. 下列函数中是增函数的为 $(\quad ）$
A. $f(x)=-x$
B. $f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$
C. $f(x)=x^{2}$
D. $f(x)=\sqrt[3]{x}$

Answer: D

【详解】对于 $\mathrm{A}, f(x)=-x$ 为 $R$ 上的减函数, 不合题意, 舍.

对于 $\mathrm{B}, f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$ 为 $R$ 上的减函数, 不合题意, 舍.

对于 $\mathrm{C}, f(x)=x^{2}$ 在 $(-\infty, 0)$ 为减函数, 不合题意, 舍.

对于 $\mathrm{D}, f(x)=\sqrt[3]{x}$ 为 $R$ 上的增函数, 符合题意, 故选: D.


Question:
5. 点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为 $(\quad)$
A. $\frac{9}{5}$
B. $\frac{8}{5}$
C. $\frac{6}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

Answer: A


Question:
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题, 视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据, 五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+\lg V$. 已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9 , 则其视力的小数记录法的数据为 $(\quad) \quad(\sqrt[10]{10} \approx 1.259)$
A. 1.5
B. 1.2
C. 0.8
D. 0.6

Answer: C


Question:
8. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $B=120^{\circ}, A C=\sqrt{19}, A B=2$, 则 $B C=(\quad)$
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{5}$
D. 3

Answer: D


Question:
9. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_{2}=4, S_{4}=6$, 则 $S_{6}=(\quad)$
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

Answer: A


Question:
10. 将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为 $($ ）
A. 0.3
B. 0.5
C. 0.6
D. 0.8

Answer: C


Question:
11. 若 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 a=\frac{\cos a}{2-\sin a}$, 则 $\tan a=(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer: A

【详解】 $\because \tan 2 a=\frac{\cos a}{2-\sin a}$

$\therefore \tan 2 a=\frac{\sin 2 a}{\cos 2 a}=\frac{2 \sin a \cos a}{1-2 \sin ^{2} a}=\frac{\cos a}{2-\sin a}$,

$\because a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \cos a \neq 0, \therefore \frac{2 \sin a}{1-2 \sin ^{2} a}=\frac{1}{2-\sin a}$, 解得 $\sin a=\frac{1}{4}$,

$\therefore \cos a=\sqrt{1-\sin ^{2} a}=\frac{\sqrt{15}}{4}, \therefore \tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\sqrt{15}}{15}$.

故选: A.


Question:
12. 设 $f(x)$ 是定义域为 $\boldsymbol{R}$ 的奇函数, 且 $f(1+x)=f(-x)$. 若 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$, 则 $f\left(\frac{5}{3}\right)=(\quad)$
A. $-\frac{5}{3}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$

Answer: C

【详解】由题意可得： $f\left(\frac{5}{3}\right)=f\left(1+\frac{2}{3}\right)=f\left(-\frac{2}{3}\right)=-f\left(\frac{2}{3}\right)$,

而 $f\left(\frac{2}{3}\right)=f\left(1-\frac{1}{3}\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)=-f\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}$,

故 $f\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{1}{3}$.

故选: C.


Question:
3.已知命题 $p: \exists x \in R, \sin x<1$; 命题 $q: \forall x \in R, e^{|x|} \geq 1$, 则下列命题中为真命题的是 ( )
A. $p \wedge q$
B. $\neg p \wedge q$
C. $p \wedge \neg q$
D. $\neg(p \vee q)$

Answer: A

解析:

根据正弦函数的值域 $\sin x \in[-1,1], \sin x<1$, 故 $\exists x \in R, p$ 为真命题, 而函数 $y=e^{|x|}$ 为 偶函数, 且 $x \geq 0$ 时, $y=e^{x} \geq 1$, 故 $\forall x \in R, y=e^{|x|} \geq 1$ 恒成立. 则 $q$ 也为真命题. 所以 $p \wedge q$ 为真, 选 $A$.


Question:
4.函数 $f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是 $(\quad)$

A. $3 \pi$ 和 $\sqrt{2}$

B. $3 \pi$ 和 2

C. $6 \pi$ 和 $\sqrt{2}$

D. $6 \pi$ 和 2

Answer: C


Question:
6. $\cos ^{2} \frac{\pi}{12}-\cos ^{2} \frac{5 \pi}{12}=(\quad)$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer: D


Question:
7. 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 随机取 1 个数, 则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为 $(\quad)$

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Answer: B

解析:

在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 随机取 1 个数, 可知总长度 $d=\frac{1}{2}$, 取到的数小于 $\frac{1}{3}$, 可知取到的长度范围 $d^{\prime}=\frac{1}{3}$, 根据几何概型公式 $p=\frac{d^{\prime}}{d}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}, \therefore$ 选 B.


Question:
8. 下列函数中最小值为 4 的是（ ）

A. $y=x^{2}+2 x+4$

B. $y=|\sin x|+\frac{4}{|\sin x|}$

C. $y=2^{x}+2^{2-x}$

D. $y=\ln x+\frac{4}{\ln x}$

Answer: C


Question:
9. 设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是 $(\quad)$
A. $f(x-1)-1$
B. $f(x-1)+1$
C. $f(x+1)-1$
D. $f(x+1)+1$

Answer: B

解析:

$f(x)=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$

$f(x)$ 向右平移一个单位, 向上平移一个单位得到 $g(x)=\frac{2}{x}$ 为奇函数.

所以选 B.


Question:
11. 设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点, 点 $P$ 在 $C$ 上, 则 $|P B|$ 的最大值为
A. $\frac{5}{2}$
B. $\sqrt{6}$
C. $\sqrt{5}$
D. 2

Answer: A


Question:
12. 设 $a \neq 0$, 若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点, 则
A. $a<b$
B. $a>b$
C. $a b<a^{2}$
D. $a b>a^{2}$

Answer: D

解析:

$f^{\prime}(x)=2 a(x-a)(x-b)+a(x-a)^{2}=a(x-a)(3 x-2 b-a)$

当 $a>0$ 时, 原函数先增再减后增.

原函数在 $f^{\prime}(x)=0$ 的较小零点时取得极大值.

即 $a<\frac{a+2 b}{3}$, 即 $a<b, \therefore a^{2}<a b$.

当 $a<0$ 时, 原函数先减再增后减.

原函数在 $f^{\prime}(x)=0$ 的较大零点时取得极大值.

即 $a>\frac{a+2 b}{3}, a>b, a^{2}<a b$, 故选 D.


Question:
1. 集合 $M=\{2,4,6,8,10\}, N=\{x \mid-1<x<6\}$, 则 $M \cap N=()$
A. $\{2,4\}$
B. $\{2,4,6\}$
C. $\{2,4,6,8\}$
D.

$\{2,4,6,8,10\}$

Answer: A


Question:
2. 设 $(1+2 \mathrm{i}) a+b=2 \mathrm{i}$, 其中 $a, b$ 为实数, 则（)
A. $a=1, b=-1$
B. $a=1, b=1$
C. $a=-1, b=1$
D.

$a=-1, b=-1$

Answer: A

【详解】因为 $a, b \hat{\mathbf{|}} \mathbf{R},(a+b)+2 a \mathrm{i}=2 \mathrm{i}$, 所以 $a+b=0,2 a=2$, 解得: $a=1, b=-1$. 故选: A.


Question:
3. 已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-2,4)$, 则 ||$^{\prime} a-b \mid$ ()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Answer: D


Question:
4. 分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长 (单位: $\mathrm{h}$ ), 得如下茎叶图:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 甲 & & 乙 \\
\hline 61 & 5. & . \\
\hline 8530 & 6. & 3 \\
\hline 7532 & 7. & 46 \\
\hline 6421 & 8. & 12256666 \\
\hline \multirow[t]{2}{*}{42} & 9. & 0238 \\
\hline & 10. & 1 \\
\hline
\end{tabular}

则下列结论中错误的是 ()
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8
C. 甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4
D. 乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6

Answer: C

【详解】对于 $\mathrm{A}$ 选项, 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 $\frac{7.3+7.5}{2}=7.4, \mathrm{~A}$ 选项 结论正确.

对于 $\mathrm{B}$ 选项, 乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:

$$
\frac{6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1}{16}=8.50625>8
$$

$\mathrm{B}$ 选项结论正确.

对于 $\mathrm{C}$ 选项，甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值 $\frac{6}{16}=0.375<0.4$, $\mathrm{C}$ 选项结论错误.

对于 $\mathrm{D}$ 选项, 乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值 $\frac{13}{16}=0.8125>0.6$,

$\mathrm{D}$ 选项结论正确.

故选: C


Question:
6. 设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 点 $A$ 在 $C$ 上, 点 $B(3,0)$, 若 $|A F|=|B F|$, 则 $|A B|=$ ()
A. 2
B. $2 \sqrt{2}$
C. 3
D. $3 \sqrt{2}$

Answer: B


Question:
10. 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$, 则 $a_{6}=()$
A. 14
B. 12
C. 6
D. 3

Answer: D


Question:
11. 函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为 ()
A. $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
B. $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
C. $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$
D. $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$

Answer: D


Question:
12. 已知球 $O$ 的半径为 1 , 四棱雉的顶点为 $O$, 底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上, 则当该 四棱雉的体积最大时，其高为（)
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer: C

【详解】设该四棱雉底面为四边形 $A B C D$, 四边形 $A B C D$ 所在小圆半径为 $r$, 设四边形 $A B C D$ 对角线夹角为 $a$, 则 $S_{A B C D}=\frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \cdot \sin a \leq \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \leq \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot 2 r=2 r^{2}$

(当且仅当四边形 $A B C D$ 为正方形时等号成立) 即当四棱雉的顶点 $O$ 到底面 $A B C D$ 所在小圆距离一定时, 底面 $A B C D$ 面积最大值为 $2 r^{2}$

又 $r^{2}+h^{2}=1$

则 $V_{O-A B C D}=\frac{1}{3} \cdot 2 r^{2} \cdot h=\frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{r^{2} \cdot r^{2} \cdot 2 h^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{\left(\frac{r^{2}+r^{2}+2 h^{2}}{3}\right)^{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{27}$

当且仅当 $r^{2}=2 h^{2}$ 即 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时等号成立,

故选: C


Question:
1. 设集合 $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\left\{x \mid 0 \leq x<\frac{5}{2}\right\}$, 则 $A \cap B=()$
A. $\{0,1,2\}$
B. $\{-2,-1,0\}$
C. $\{0,1\}$
D. $\{1,2\}$

Answer: A


Question:
3. 若 $z=1+\mathrm{i}$. 则 $|\mathrm{i} z+3 \bar{z}|=()$
A. $4 \sqrt{5}$
B. $4 \sqrt{2}$
C. $2 \sqrt{5}$
D. $2 \sqrt{2}$

Answer: D

【详解】因为 $z=1+\mathrm{i}$, 所以 $\mathrm{i} z+3 \bar{z}=\mathrm{i}(1+\mathrm{i})+3(1-\mathrm{i})=2-2 \mathrm{i}$, 所以

$|i z+3 \bar{z}|=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$

故选: D.


Question:
5. 将函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到曲线 $C$, 若 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $\omega$ 的最小值是（)
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

Answer: C

【详解】由题意知: 曲线 $C$ 为 $y=\sin \left[\omega\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=\sin \left(\omega x+\frac{\omega \pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$, 又 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $\frac{\omega \pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，

解得 $\omega=\frac{1}{3}+2 k, k \in \mathbf{Z}$, 又 $\omega>0$, 故当 $k=0$ 时, $\omega$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$.

故选: C.


Question:
6. 从分别写有 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张, 则抽到的 2 张卡片上 的数字之积是 4 的倍数的概率为 ()
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{2}{3}$

Answer: C


Question:
8. 当 $x=1$ 时, 函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 , 则 $f^{\prime}(2)=()$
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

Answer: B


Question:
11. 已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点, $B$ 为 $C$ 的上顶点. 若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$, 则 $C$ 的方程为 ()
A. $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{16}=1$
B. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
C. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
D.

$$
\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1
$$

Answer: B


Question:
12. 已知 $9^{m}=10, a=10^{m}-11, b=8^{m}-9$, 则 ()
A. $a>0>b$
B. $a>b>0$
C. $b>a>0$
D. $b>0>a$

Answer: A