diff --git "a/test/2010-2022_Math_I_MCQs.jsonl" "b/test/2010-2022_Math_I_MCQs.jsonl" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/test/2010-2022_Math_I_MCQs.jsonl" @@ -0,0 +1,214 @@ +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "1. （5 分) 已知集合 $A=\\{x \\in R|| x \\mid \\leqslant 2\\}\\}, B=\\{x \\in Z \\mid \\sqrt{x} \\leqslant 4\\}$, 则 $A \\cap B=(\\quad$ ）\nA. $(0,2)$\nB. $[0,2]$\nC. $\\{0,2\\}$\nD. $\\{0,1,2\\}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $A=\\{x \\in R|| x \\mid \\leqslant 2\\}=,\\{x \\in R \\mid-2 \\leqslant x \\leqslant 2\\}$,\n\n$B=\\{x \\in Z \\mid \\sqrt{x} \\leqslant 4\\}=\\{x \\in Z \\mid 0 \\leqslant x \\leqslant 16\\}$\n\n故 $A \\cap B=\\{0,1,2\\}$.\n\n应选 D.\n", "index": 0, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "2. (5 分) 已知复数 $z=\\frac{\\sqrt{3}+i}{(1-\\sqrt{3} i)^{2}}, \\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数, 则 $z\\cdot\bar{z}=(\\quad)$\nA. $\\frac{1}{4}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. 1\nD. 2\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 由 $|z|=\\left|\\frac{\\sqrt{3}+i}{(1-\\sqrt{3} i)^{2}}\\right|=\\frac{|\\sqrt{3}+i|}{|1-\\sqrt{3} i|^{2}}=\\frac{2}{2^{2}}=\\frac{1}{2}$ 可得 $z \\cdot \\bar{z}=|z|^{2}=\\frac{1}{4}$.\n\n另\n\n解 \n\n$$\n\\begin{aligned}\n& z=\\frac{\\sqrt{3}+i}{(1-\\sqrt{3} i)^{2}}=\\frac{\\sqrt{3}+i}{-2-2 \\sqrt{3} i}=-\\frac{1 \\sqrt{3}+i}{21+\\sqrt{3} i}=-\\frac{1}{8}(\\sqrt{3}+i)(1-\\sqrt{3} i)=\\frac{1}{4}(\\sqrt{3}-i) \\\\\n& z \\cdot \\bar{z}=\\frac{1}{4}(\\sqrt{3}-i) \\cdot \\frac{1}{4}(\\sqrt{3}+i)=\\frac{1}{4}\n\\end{aligned}\n$$\n\n故选: A.\n", "index": 1, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "3. (5 分) 曲线 $y=\\frac{x}{x+2}$ 在点 $(-1,-1)$ 处的切线方程为（ $）$\nA. $y=2 x+1$\nB. $y=2 x-1$\nC. $y=-2 x-3$\nD. $y=-2 x-2$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $\\because y=\\frac{x}{x+2}$,\n\n$\\therefore y^{\\prime}=\\frac{2}{(x+2)^{2}}$\n\n所以 $\\mathrm{k}=\\left.\\mathrm{y}^{\\prime}\\right|_{\\mathrm{x}=-1}=2$, 得切线的斜率为 2 , 所以 $\\mathrm{k}=2$;\n\n所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(-1,-1)$ 处的切线方程为:\n\n$y+1=2 \\times(x+1)$ ，即 $y=2 x+1$.\n\n故选: A.\n", "index": 2, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "5. （5 分) 已知命题 $p_{1}$ : 函数 $y=2^{x}-2^{-x}$ 在 $R$ 为增函数, $p_{2}$ : 函数 $y=2^{x}+2^{-x}$ 在 $R$ 为减函数, 则在命题 $q_{1}: p_{1} \\vee p_{2}, q_{2}: p_{1} \\wedge p_{2}, q_{3}:\\left(\\neg p_{1}\\right) \\vee p_{2}$ 和 $q_{4}: p_{1} \\wedge(\\square$ $\\left.p_{2}\\right)$ 中，真命题是（ $)$ \nA. $q_{1}, q_{3}$\nB. $q_{2}, q_{3}$\nC. $q_{1}, q_{4}$\nD. $q_{2}, q_{4}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解：易知 $p_{1}$ 是真命题, 而对 $p_{2}: y^{\\prime}=2^{x} \\ln 2-\\frac{1}{2^{x}} \\ln 2=\\ln 2\\left(2^{x}-\\frac{1}{2^{x}}\\right)$, 当 $x \\in[0,+\\infty)$ 时, $2^{x} \\geqslant \\frac{1}{2^{x}}$, 又 $\\ln 2>0$, 所以 $y^{\\prime} \\geqslant 0$, 函数单调递增;\n\n同理得当 $x \\in(-\\infty, 0)$ 时, 函数单调递减, 故 $p_{2}$ 是假命题.\n\n由此可知, $q_{1}$ 真, $q_{2}$ 假, $q_{3}$ 假, $q_{4}$ 真.\n\n故选: C.\n", "index": 3, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "6. （5 分) 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9 , 现播种了 1000 粒, 对于没有发 芽的种子, 每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 $X$, 则 $X$ 的数学期望为 $(\\quad)$\nA. 100\nB. 200\nC. 300\nD. 400\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：由题意可知播种了 1000 粒, 没有发芽的种子数 $\\xi$ 服从二项分布, 即 $\\xi \\sim B(1000,0.1)$.\n\n而每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 $X$\n\n故 $X=2 \\xi$, 则 $E X=2 E \\xi=2 \\times 1000 \\times 0.1=200$. 故选: B.\n", "index": 4, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "8. （5 分）设偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2^{x}-4(x \\geqslant 0)$ ，则 $\\{x \\mid f(x-2)>0\\}=($ )\nA. $\\{x \\mid x<-2$ 或 $x>4\\}$\nB. $\\{x \\mid x<0$ 或 $x>4\\}$\nC. $\\{x \\mid x<0$ 或 $x>6\\}$\nD. $\\{x \\mid x<-2$ 或 $x>2\\}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: 由偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2^{x}-4(x \\geqslant 0)$, 可得 $f(x)=f(|x|)$ $=2^{|x|-4}$,\n\n则 $f(x-2)=f(|x-2|)=2^{|x-2|}-4$, 要使 $f(|x-2|)>0$, 只需 $2^{|x-2|}-4>0$,\n\n$$\n|x-2|>2\n$$\n\n解得 $x>4$, 或 $x<0$.\n\n应选: B.\n", "index": 5, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "9. (5 分）若 $\\cos \\alpha=-\\frac{4}{5}, \\alpha$ 是第三象限的角, 则 $\\frac{1+\\tan \\frac{\\alpha}{2}}{1-\\tan \\frac{\\alpha}{2}}=(\\quad)$\nA. $-\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. 2\nD. -2\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 由 $\\cos \\alpha=-\\frac{4}{5}, \\alpha$ 是第三象限的角,\n\n$\\therefore$ 可得 $\\sin \\alpha=-\\frac{3}{5}$,\n\n则 $\\frac{1+\\tan \\frac{\\alpha}{2}}{1-\\tan \\frac{\\alpha}{2}}=\\frac{\\cos \\frac{\\alpha}{2}+\\sin \\frac{\\alpha}{2}}{\\cos \\frac{\\alpha}{2}-\\sin \\frac{\\alpha}{2}}=\\frac{1+\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}=\\frac{1-\\frac{3}{5}}{-\\frac{4}{5}}=-\\frac{1}{2}$,\n\n应选 $A$.\n", "index": 6, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "10. (5 分) 设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱长都为 $a$, 顶点都在一个球面 上, 则该球的表面积为（）\nA. $\\pi a^{2}$\nB. $\\frac{7}{3} \\pi a^{2}$\nC. $\\frac{11}{3} \\pi a^{2}$\nD. $5 \\pi a^{2}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 $\\mathrm{a}$ 的正三棱柱, 上下底面中心 连 线的中点就是球心, 则其外接球的半径为 $R=\\sqrt{\\left(\\frac{a}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{a}{2 \\sin 60^{\\circ}}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{7}{12} a^{2}}$, 球的表面积为 $S=4 \\pi \\cdot \\frac{7 a^{2}}{12}=\\frac{7}{3} \\pi a^{2}$,\n\n故选: B.\n", "index": 7, "score": 5} +{"year": "2010", "category": "（新课标）", "question": "12. (5 分) 已知双曲线 $E$ 的中心为原点, $P(3,0)$ 是 $E$ 的焦点, 过 $P$ 的直线 I 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点, 且 $A B$ 的中点为 $N(-12,-15)$, 则 $E$ 的方程式为（ )\nA. $\\frac{x^{2}}{3}-\\frac{y^{2}}{6}=1$\nB. $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{5}=1$\nC. $\\frac{x^{2}}{6}-\\frac{y^{2}}{3}=1$\nD. $\\frac{x^{2}}{5}-\\frac{y^{2}}{4}=1$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: 由已知条件易得直线 $\\mathrm{l}$ 的斜率为 $\\mathrm{k}=\\mathrm{k}_{\\mathrm{PN}}=1$,\n\n设双曲线方程为 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,\n\n$A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$,\n\n则有 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \\\\ \\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}} \\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1\\end{array}\\right.$\n\n两式相减并结合 $x_{1}+x_{2}=-24, y_{1}+y_{2}=-30$ 得\n\n$\\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\\frac{4 b^{2}}{5 a^{2}}$\n\n从而 $\\mathrm{k}=\\frac{4 \\mathrm{~b}^{2}}{5 \\mathrm{a}^{2}}=1$\n\n即 $4 b^{2}=5 a^{2}$,\n\n又 $a^{2}+b^{2}=9$,\n\n解得 $a^{2}=4, b^{2}=5$,\n\n故选: B.\n", "index": 8, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "1. (5 分) 复数 $\\frac{2+i}{1-2 i}$ 的共轭复数是 $(\\quad)$\nA. $-\\frac{3}{5} i$\nB. $\\frac{3}{5} i$\nC. $-\\mathrm{i}$\nD. i\n", "answer": ["C"], "analysis": "解：复数 $\\frac{2+i}{1-2 i}=\\frac{(2+i)(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}=\\frac{5 i}{5}=i$, 它的共轭复数为: $-i$.\n\n故选: C.\n", "index": 9, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "2. （5 分) 下列函数中, 既是偶函数又在 $(0,+\\infty)$ 上单调递增的函数是 $(\\quad)$\nA. $y=2 x^{3}$\nB. $y=|x|+1$\nC. $y=-x^{2}+4$\nD. $y=2^{-\\mid x}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：对于 $A . y=2 x^{3}$, 由 $f(-x)=-2 x^{3}=-f(x)$, 为奇函数, 故排除 $A$\n\n对于 B. $y=|x|+1$, 由 $f(-x)=|-x|+1=f(x)$, 为偶函数, 当 $x>0$ 时, $y=x+1$, 是增函数，故 B 正确;\n\n对于 $C . y=-x^{2}+4$, 有 $f(-x)=f(x)$, 是偶函数, 但 $x>0$ 时为减函数, 故排 除 C;\n\n对于 D. $y=2^{-|x|}$, 有 $f(-x)=f(x)$, 是偶函数, 当 $x>0$ 时, $y=2^{-x}$, 为减函数 ，故排除 D.\n\n故选: B.\n", "index": 10, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "4. （5 分) 有 3 个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同 学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )\nA. $\\frac{1}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{2}{3}$\nD. $\\frac{3}{4}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：由题意知本题是一个古典概型,\n\n试验发生包含的事件数是 $3 \\times 3=9$ 种结果，\n\n满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,\n\n由于共有三个小组, 则有 3 种结果,\n\n根据古典概型概率公式得到 $P=\\frac{3}{9}=\\frac{1}{3}$,\n\n故选: A.\n", "index": 11, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "5. (5 分) 已知角 $\\theta$ 的顶点与原点重合, 始边与 $\\mathrm{x}$ 轴的正半轴重合, 终边在直 线 $y=2 x$ 上, 则 $\\cos 2 \\theta=(\\quad)$\nA. $-\\frac{4}{5}$\nB. $-\\frac{3}{5}$\nC. $\\frac{3}{5}$\nD. $\\frac{4}{5}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：根据题意可知: $\\tan \\theta=2$,\n\n所以 $\\cos ^{2} \\theta=\\frac{1}{\\sec ^{2} \\theta}=\\frac{1}{\\tan ^{2} \\theta+1}=\\frac{1}{5}$,\n\n则 $\\cos 2 \\theta=2 \\cos ^{2} \\theta-1=2 \\times \\frac{1}{5}-1=-\\frac{3}{5}$.\n\n故选: B.\n", "index": 12, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "7. （5 分) 设直线 $\\mid$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点, 且与 $C$ 的一条对称轴垂直, $\\mathrm{I}$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的 2 倍, 则 $C$ 的离心率为（）\nA. $\\sqrt{2}$\nB. $\\sqrt{3}$\nC. 2\nD. 3\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: 不妨设双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,\n\n焦点 $F(-c, 0)$, 对称轴 $y=0$,\n\n由题设知 $\\frac{c^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,\n\n$y= \\pm \\frac{b^{2}}{a}$\n\n$\\therefore \\frac{2 b^{2}}{a}=4 a$,\n\n$b^{2}=2 a^{2}$, $c^{2}-a^{2}=2 a^{2}$\n\n$c^{2}=3 a^{2}$\n\n$\\therefore \\mathrm{e}=\\frac{\\mathrm{c}}{\\mathrm{a}}=\\sqrt{3}$\n\n故选: B.\n", "index": 13, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "8. (5 分) $\\left(x+\\frac{a}{x}\\right)\\left(2 x-\\frac{1}{x}\\right)^{5}$ 的展开式中各项系数的和为 2 , 则该展开式中常数项 为 $(\\quad)$\nA. -40\nB. -20\nC. 20\nD. 40\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 令二项式中的 $x$ 为 1 得到展开式的各项系数和为 $1+a$\n\n$\\therefore 1+a=2$\n\n$\\therefore a=1$\n\n$\\therefore\\left(x+\\frac{a}{x}\\right)\\left(2 x-\\frac{1}{x}\\right)^{5}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)\\left(2 x-\\frac{1}{x}\\right)^{5}$\n\n$=x\\left(2 x-\\frac{1}{x}\\right)^{5}+\\frac{1}{x}\\left(2 x-\\frac{1}{x}\\right)^{5}$\n\n$\\therefore$ 展开式中常数项为 $\\left(2 x-\\frac{1}{x}\\right)$ 的 $\\frac{1}{x}$ 与 $x$ 的系数和\n\n$\\because\\left(2 x-\\frac{1}{x}\\right)$ 展开式的通项为 $\\mathrm{T}_{\\mathrm{r}+1}=(-1){ }^{r} 2^{5-}{ }^{r} C_{5}{ }^{r} x^{5-2 r}$\n\n令 5- $2 r=1$ 得 $r=2$; 令 $5-2 r=-1$ 得 $r=3$\n\n展开式中常数项为 $8 C_{5}{ }^{2}-4 C_{5}{ }^{3}=40$\n\n故选: D.\n", "index": 14, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "10. (5 分) 已知 $\\vec{a}$ 与 $\\vec{b}$ 均为单位向量, 其夹角为 $\\theta$, 有下列四个命题 $P_{1}: \\mid \\vec{a}+\\vec{b}$ $>1 \\Leftrightarrow \\theta \\in\\left[0, \\frac{2 \\pi}{3}\\right) ; P_{2}:|\\vec{a}+\\vec{b}|>1 \\Leftrightarrow \\theta \\in\\left(\\frac{2 \\pi}{3}, \\pi\\right] ; P_{3}:|\\vec{a}-\\vec{b}|>1 \\Leftrightarrow \\theta \\in[0$ ， $\\left.\\frac{\\pi}{3}\\right) ; P_{4}:|\\vec{a}-\\vec{b}|>1 \\Leftrightarrow \\theta \\in\\left(\\frac{\\pi}{3}, \\pi\\right]$ ；其中的真命题是（ $)$\nA. $P_{1}, P_{4}$\nB. $P_{1}, P_{3}$\nC. $P_{2}, P_{3}$\nD. $P_{2}, P_{4}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 由 $|\\vec{a}-\\vec{b}|>1$, 得出 $2-2 \\cos \\theta>1$, 即 $\\cos \\theta<\\frac{1}{2}$, 又 $\\theta \\in[0, \\pi]$, 故 可以得出 $\\theta \\in\\left(\\frac{\\pi}{3}, \\pi\\right]$, 故 $P_{3}$ 错误, $P_{4}$ 正确.\n\n由 $|\\vec{a}+\\vec{b}|>1$, 得出 $2+2 \\cos \\theta>1$, 即 $\\cos \\theta>-\\frac{1}{2}$, 又 $\\theta \\in[0, \\pi]$, 故可以得出 $\\theta \\in[0$ ,$\\left.\\frac{2 \\pi}{3}\\right)$, 故 $P_{2}$ 错误, $P_{1}$ 正确.\n\n故选: A.\n", "index": 15, "score": 5} +{"year": "2011", "category": "（新课标）", "question": "11. (5 分) 设函数 $f(x)=\\sin (\\omega x+\\phi)+\\cos (\\omega x+\\phi)\\left(\\omega>0,|\\phi|<\\frac{\\pi}{2}\\right)$ 的最 小正周期为 $\\pi$, 且 $f(-x)=f(x)$ ，则（ $)$\nA. $f(x)$ 在 $\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 单调递减\nB. $f(x)$ 在 $\\left(\\frac{\\pi}{4}, \\frac{3 \\pi}{4}\\right)$ 单调递减\nC. $f(x)$ 在 $\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 单调递增\nD. $f(x)$ 在 $\\left(\\frac{\\pi}{4}, \\frac{3 \\pi}{4}\\right)$ 单调递增\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 由于 $f(x)=\\sin (\\omega x+\\varphi)+\\cos (\\omega x+\\varphi)=\\sqrt{2} \\sin \\left(\\omega x+\\phi+\\frac{\\pi}{4}\\right)$, 由于该函数的最小正周期为 $\\mathrm{T}=\\frac{2 \\pi}{\\omega}$, 得出 $\\omega=2$,\n\n又根据 $f(-x)=f(x)$, 得 $\\phi+\\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\pi}{2}+k \\pi(k \\in Z)$, 以及 $|\\phi|<\\frac{\\pi}{2}$, 得出 $\\phi=\\frac{\\pi}{4}$. 因此, $f(x)=\\sqrt{2} \\sin \\left(2 x+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\sqrt{2} \\cos 2 x$, 若 $x \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$, 则 $2 x \\in(0, \\pi)$, 从而 $f(x)$ 在 $\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 单调递减, 若 $x \\in\\left(\\frac{\\pi}{4}, \\frac{3 \\pi}{4}\\right)$, 则 $2 x \\in\\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3 \\pi}{2}\\right)$,\n\n该区间不为余弦函数的单调区间, 故 $B, C, D$ 都错, $A$ 正确.\n\n故选: A.\n", "index": 16, "score": 5} +{"year": "2012", "category": "（新课标）", "question": "1. （5 分）已知集合 $A=\\{1,2,3,4,5\\}, B=\\{(x, y) \\mid x \\in A, y \\in A, x-y \\in A\\}$, 则 $B$ 中所含元素的个数为（ $)$\nA. 3\nB. 6\nC. 8\nD. 10\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 由题意, $x=5$ 时, $y=1,2,3,4$,\n\n$x=4$ 时 $, y=1,2,3$ ，\n\n$x=3$ 时, $y=1,2$,\n\n$x=2$ 时,$y=1$\n\n综上知, $\\mathrm{B}$ 中的元素个数为 10 个\n\n故选: D.\n", "index": 17, "score": 5} +{"year": "2012", "category": "（新课标）", "question": "2. (5 分) 将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成, 不同的安排方案共有（ )\nA. 12 种\nB. 10 种\nC. 9 种\nD. 8 种\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：第一步, 为甲地选一名老师, 有 $C_{2}^{1}=2$ 种选法;\n\n第二步, 为甲地选两个学生, 有 $C_{4}^{2}=6$ 种选法;\n\n第三步, 为乙地选 1 名教师和 2 名学生, 有 1 种选法\n\n故不同的安排方案共有 $2 \\times 6 \\times 1=12$ 种\n\n故选: A.\n", "index": 18, "score": 5} +{"year": "2012", "category": "（新课标）", "question": "3. (5 分）下面是关于复数 $z=\\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题：其中的真命题为 $(\\quad)$, $p_{1}:|z|=2$,\n\n$\\mathrm{p}_{2}: \\mathrm{z}^{2}=2 \\mathrm{i}$,\n\n$p_{3}: z$ 的共轭复数为 $1+i$,\n\n$p_{4}: z$ 的虚部为 -1 .\nA. $\\mathrm{p}_{2}, \\mathrm{p}_{3}$\nB. $p_{1}, p_{2}$\nC. $\\mathrm{p}_{2}, \\mathrm{p}_{4}$\nD. $p_{3}, p_{4}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because z=\\frac{2}{-1+i}=\\frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=-1-i$,\n\n$\\therefore p_{1}:|z|=\\sqrt{2}$\n\n$p_{2}: z^{2}=2 i$\n\n$p_{3}: z$ 的共轭复数为 $-1+i$, $p_{4}: z$ 的虚部为 -1,\n\n故选: C.\n", "index": 19, "score": 5} +{"year": "2012", "category": "（新课标）", "question": "5. (5 分）已知 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等比数列, $a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$, 则 $a_{1}+a_{10}=(\\quad)$\nA. 7\nB. 5\nC. -5\nD. -7\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\because a_{4}+a_{7}=2$, 由等比数列的性质可得, $a_{5} a_{6}=a_{4} a_{7}=-8$\n\n$\\therefore a_{4}=4, a_{7}=-2$ 或 $a_{4}=-2, a_{7}=4$\n\n当 $a_{4}=4, a_{7}=-2$ 时, $q^{3}=-\\frac{1}{2}$,\n\n$\\therefore a_{1}=-8, a_{10}=1$\n\n$\\therefore a_{1}+a_{10}=-7$\n\n当 $a_{4}=-2, a_{7}=4$ 时, $q^{3}=-2$, 则 $a_{10}=-8, a_{1}=1$\n\n$\\therefore \\mathrm{a}_{1}+\\mathrm{a}_{10}=-7$\n\n综上可得, $\\mathrm{a}_{1}+\\mathrm{a}_{10}=-7$\n\n故选: D.\n", "index": 20, "score": 5} +{"year": "2012", "category": "（新课标）", "question": "8. （5 分) 等轴双曲线 $C$ 的中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上, $C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的 准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \\sqrt{3}$, 则 $C$ 的实轴长为（ )\nA. $\\sqrt{2}$\nB. $2 \\sqrt{2}$\nC. 4\nD. 8\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: 设等轴双曲线 $c: x^{2}-y^{2}=a^{2}(a>0)$,\n\n$y^{2}=16 x$ 的准线 $l: x=-4$,\n\n$\\because C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的准线 $\\mid: x=-4$ 交于 $A, B$ 两点, $|A B|=4 \\sqrt{3}$\n\n$\\therefore A(-4,2 \\sqrt{3})$, B $(-4,-2 \\sqrt{3})$,\n\n将 $A$ 点坐标代入双曲线方程得 $\\mathrm{a}^{2}=(-4)^{2}-(2 \\sqrt{3})^{2}=4$,\n\n$\\therefore a=2,2 a=4$.\n\n故选: C.\n", "index": 21, "score": 5} +{"year": "2012", "category": "（新课标）", "question": "12. (5 分) 设点 $P$ 在曲线 $y=\\frac{1}{2} e^{x}$ 上, 点 $Q$ 在曲线 $y=\\ln (2 x)$ 上, 则 $|P Q|$ 最小 值为 $(\\quad)$\nA. $1-\\ln 2$\nB. $\\sqrt{2}(1-\\ln 2)$\nC. $1+\\ln 2$\nD. $\\sqrt{2}(1+\\ln 2)$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: $\\because$ 函数 $y=\\frac{1}{2} e^{x}$ 与函数 $y=\\ln (2 x)$ 互为反函数, 图象关于 $y=x$ 对称, 函数 $y=\\frac{1}{2} e^{x}$ 上的点 $P\\left(x, \\frac{1}{2} e^{x}\\right)$ 到直线 $y=x$ 的距离为 $\\mathrm{d}=\\frac{\\left|\\frac{1}{2} \\mathrm{e}^{\\mathrm{x}}-\\mathrm{x}\\right|}{\\sqrt{2}}$, 设 $g(x)=\\frac{1}{2} e^{x}-x(x>0)$ ，则 $g^{\\prime}(x)=\\frac{1}{2} e^{x}-1$, 由 $g^{\\prime}(x)=\\frac{1}{2} e^{x}-1 \\geqslant 0$ 可得 $x \\geqslant \\ln 2$, 由 $g^{\\prime}(x)=\\frac{1}{2} e^{x}-1<0$ 可得 $00\\right\\}, B=\\{x \\mid-\\sqrt{5}0\\right\\}=\\{x \\mid x>2$ 或 $x<0\\}$,\n\n$\\therefore A \\cap B=\\{x \\mid 20, b>0\\right)$ 的离心率为 $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$, 则 $C$ 的渐 近线方程为 $(\\quad)$\nA. $y= \\pm \\frac{1}{4} x$\nB. $y= \\pm \\frac{1}{3} x$\nC. $y= \\pm x$\nD. $y= \\pm \\frac{1}{2} x$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 由双曲线 $\\left.C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 （ a>0, b>0\\right)$,\n\n则离心率 $e=\\frac{c}{a}=\\frac{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\\frac{\\sqrt{5}}{2}$, 即 $4 b^{2}=a^{2}$,\n\n故渐近线方程为 $y= \\pm \\frac{b}{a} x= \\pm \\frac{1}{2} x$,\n\n故选：D.\n", "index": 26, "score": 5} +{"year": "2013", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "7. (5 分) 设等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{m-1}=-2, S_{m}=0, S_{m+1}=3$, 则 $m=$\nA. 3\nB. 4\nC. 5\nD. 6\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $a_{m}=S_{m}-S_{m-1}=2, a_{m+1}=S_{m+1}-S_{m}=3$,\n\n所以公差 $d=a_{m+1}-a_{m}=1$,\n\n$S_{m}=\\frac{m\\left(a_{1}+a_{m}\\right)}{2}=0$\n\n$m-1>0, m>1$, 因此 $m$ 不能为 0 ,\n\n得 $\\mathrm{a}_{1}=-2$,\n\n所以 $a_{m}=-2+(m-1) \\cdot 1=2$, 解得 $m=5$,\n\n另解: 等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 即有数列 $\\left\\{\\frac{S_{n}}{n}\\right\\}$ 成等差数列,\n\n则 $\\frac{S_{m-1}}{m-1}, \\frac{S_{m}}{m}, \\frac{S_{m+1}}{m+1}$ 成等差数列,\n\n可得 $2 \\cdot \\frac{S_{m}}{m}=\\frac{S_{m-1}}{m-1}+\\frac{S_{m+1}}{m+1}$,\n\n即有 $0=\\frac{-2}{m-1}+\\frac{3}{m+1}$, 解得 $m=5$.\n\n又一解：由等差数列的求和公式可得 $\\frac{1}{2}(m-1) \\quad\\left(a_{1}+a_{m-1}\\right)=-2$,\n\n$\\frac{1}{2} m\\left(a_{1}+a_{m}\\right)=0, \\frac{1}{2}(m+1) \\quad\\left(a_{1}+a_{m+1}\\right)=3$,\n\n可得 $a_{1}=-a_{m},-2 a_{m}+a_{m+1}+a_{m+1}=\\frac{6}{m+1}+\\frac{-4}{m-1}=0$,\n\n解得 $m=5$.\n\n故选: C.\n", "index": 27, "score": 5} +{"year": "2013", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "9. （5 分) 设 $\\mathrm{m}$ 为正整数, $(x+y)^{2 m}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $a,(x+y$ ) $2 m+1$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$, 若 $13 a=7 b$, 则 $m=(\\quad)$\nA. 5\nB. 6\nC. 7\nD. 8\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: $\\because \\mathrm{m}$ 为正整数, 由 $(\\mathrm{x}+\\mathrm{y}){ }^{2 \\mathrm{~m}}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $\\mathrm{a}$, 以及二项式系数的性质可得 $a=C_{2 \\pi}^{m}$,\n\n同理, 由 $(x+y)^{2 m+1}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$, 可得 $b=C_{2 \\pi+1}^{m}=C_{2 \\pi+1}^{m+1}$.\n\n再由 $13 a=7 b$, 可得 ${ }^{13} C_{2 m}^{m}=7 C_{2 \\pi+1}^{m}$, 即 $13 \\times \\frac{(2 \\pi) !}{m ! \\cdot m !}=7 \\times \\frac{(2 \\pi+1) !}{m ! \\cdot(m+1) !}$,\n\n即 $13=7 \\times \\frac{2 \\pi+1}{m+1}$, 即 $13(m+1)=7(2 m+1)$, 解得 $m=6$,\n\n故选: B.\n", "index": 28, "score": 5} +{"year": "2013", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "10. (5 分) 已知椭圆 $E: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$, 过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A 、 B$ 两点. 若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$, 则 $E$ 的方程 为 $(\\quad)$\nA. $\\frac{x^{2}}{45}+\\frac{y^{2}}{36}=1$\nB. $\\frac{x^{2}}{36}+\\frac{y^{2}}{27}=1$\nC. $\\frac{x^{2}}{27}+\\frac{y^{2}}{18}=1$\nD. $\\frac{x^{2}}{18}+\\frac{y^{2}}{9}=1$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解：设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$,\n\n代入椭圆方程得 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \\\\ \\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1\\end{array}\\right.$,\n\n相减得 $\\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}+\\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}=0$ $\\therefore \\frac{x_{1}+x_{2}}{a^{2}}+\\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} \\cdot \\frac{y_{1}+y_{2}}{b^{2}}=0$\n\n$\\because x_{1}+x_{2}=2, \\quad y_{1}+y_{2}=-2, \\quad k_{A B}=\\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\\frac{-1-0}{1-3}=\\frac{1}{2}$\n\n$\\therefore \\frac{2}{a^{2}}+\\frac{1}{2} \\times \\frac{-2}{b^{2}}=0$,\n\n化为 $a^{2}=2 b^{2}$, 又 $c=3=\\sqrt{a^{2}-b^{2}}$, 解得 $a^{2}=18, b^{2}=9$.\n\n$\\therefore$ 椭圆 $E$ 的方程为 $\\frac{x^{2}}{18}+\\frac{y^{2}}{9}=1$.\n\n故选: D.\n", "index": 29, "score": 5} +{"year": "2013", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "12. (5 分) 设 $\\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的三边长分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}, \\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $S_{n}, n=1$ , 2, 3... 若 $b_{1}>c_{1}, b_{1}+c_{1}=2 a_{1}, a_{n+1}=a_{n}, b_{n+1}=\\frac{c_{n}+a_{n}}{2}, c_{n+1}=\\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$, 则 ( )\nA. $\\left\\{S_{n}\\right\\}$ 为递减数列\nB. $\\left\\{S_{n}\\right\\}$ 为递增数列 \nC. $\\left\\{S_{2 n-1}\\right\\}$ 为递增数列, $\\left\\{S_{2 n}\\right\\}$ 为递减数列\nD. $\\left\\{S_{2 n-1}\\right\\}$ 为递减数列, $\\left\\{S_{2 n}\\right\\}$ 为递增数列\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: $b_{1}=2 a_{1}-c_{1}$ 且 $b_{1}>c_{1}, \\quad \\therefore 2 a_{1}-c_{1}>c_{1}, \\quad \\therefore a_{1}>c_{1}$,\n\n$\\therefore b_{1}-a_{1}=2 a_{1}-c_{1}-a_{1}=a_{1}-c_{1}>0, \\quad \\therefore b_{1}>a_{1}>c_{1}$,\n\n又 $\\mathrm{b}_{1}-\\mathrm{c}_{1}<\\mathrm{a}_{1}, \\quad \\therefore 2 \\mathrm{a}_{1}-\\mathrm{c}_{1}-\\mathrm{c}_{1}<\\mathrm{a}_{1}, \\therefore 2 \\mathrm{c}_{1}>\\mathrm{a}_{1}, \\therefore \\mathrm{c}_{1}>\\frac{\\mathrm{a}_{1}}{2}$,\n\n由题意, $b_{n+1}+c_{n+1}=\\frac{b_{n}+c_{n}}{2}+a_{n}, \\therefore b_{n+1}+c_{n+1}-2 a_{n}=\\frac{1}{2}\\left(b_{n}+c_{n}-2 a_{n}\\right)$,\n\n$\\therefore b_{n}+c_{n}-2 a_{n}=0, \\quad \\therefore b_{n}+c_{n}=2 a_{n}=2 a_{1}, \\quad \\therefore b_{n}+c_{n}=2 a_{1}$,\n\n由此可知顶点 $A_{n}$ 在以 $B_{n} 、 C_{n}$ 为焦点的椭圆上,\n\n又由题意, $b_{n+1}-c_{n+1}=\\frac{c_{n}-b_{n}}{2}, \\quad \\therefore b_{n+1}-\\left(2 a_{1}-b_{n+1}\\right)=\\frac{2 a_{1}-b_{n}-b_{n}}{2}=a_{1}-b_{n}$,\n\n$\\therefore b_{n+1}-a_{1}=\\frac{1}{2}\\left(a_{1}-b_{n}\\right), \\quad \\therefore b_{n}-a_{1}=\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}$,\n\n$\\therefore b_{n}=a_{1}+\\left(b_{1}-a_{1}\\right)\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}, c_{n}=2 a_{1}-b_{n}=a_{1}-\\left(b_{1}-a_{1}\\right)\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}$,\n\n$\\therefore$\n\n$S_{n}^{2}=\\frac{3 a_{1}}{2}\\left(\\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}\\right)\\left[\\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}-\\left(b_{1}-a_{1}\\right)\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{r-1}\\right][$ $\\left.\\frac{3 a_{1}}{2}-a_{1}+\\left(b_{1}-a_{1}\\right)\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{r-1}\\right]$\n\n$=\\frac{3}{4} a_{1}^{2}\\left[\\frac{a_{1}^{2}}{2}-\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}\\right]$ 单调递增（可证当 $n=1$ 时 $\\frac{a_{1}^{2}}{4}-\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}>0$\n\n故选: B.\n", "index": 30, "score": 5} +{"year": "2013", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "1. （5 分）已知集合 $M=\\left\\{x \\mid(x-1)^{2}<4, x \\in R\\right\\}, N=\\{-1,0,1,2,3\\}$, 则 $M$ $\\cap N=(\\quad)$\nA. $\\{0,1,2\\}$\nB. $\\{-1,0,1,2\\}$\nC. $\\{-1,0,2,3\\}$\nD. $\\{0,1,2,3\\}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 由 $(x-1)^{2}<4$, 解得: $-1b>a$\nB. $b>c>a$\nC. $a>c>b$\nD. $a>b>c$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 因为 $a=\\log _{3} 6=1+\\log _{3} 2, b=\\log _{5} 10=1+\\log _{5} 2, c=\\log _{7} 14=1+\\log _{7} 2$, 因为 $y=\\log _{2} x$ 是增函数, 所以 $\\log _{2} 7>\\log _{2} 5>\\log _{2} 3$,\n\n$\\because \\log _{2} 7=\\frac{1}{\\log _{7} 2}, \\log _{2} 5=\\frac{1}{\\log _{5} 2}, \\log _{2} 3=\\frac{1}{\\log _{3} 2}$\n\n所以 $\\log _{3} 2>\\log _{5} 2>\\log _{7} 2$,\n\n所以 $a>b>c$,\n\n故选: D.\n", "index": 36, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "1. （5 分）已知集合 $A=\\left\\{x \\mid x^{2}-2 x-3 \\geqslant 0\\right\\}, B=\\{x \\mid-2 \\leqslant x<2\\}$, 则 $A \\cap B=(\\quad)$\nA. $[1,2)$\nB. $[-1,1]$\nC. $[-1,2)$\nD. $[-2,-1]$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 由 $\\mathrm{A}$ 中不等式变形得: $(x-3)(x+1) \\geqslant 0$,\n\n解得: $x \\geqslant 3$ 或 $x \\leqslant-1$, 即 $A=(-\\infty,-1] \\cup[3,+\\infty)$,\n\n$\\because B=[-2,2)$,\n\n$\\therefore A \\cap B=[-2,-1]$.\n\n故选：D.\n", "index": 37, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "2. (5 分 $) \\frac{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}=(\\quad)$\nA. $1+i$\nB. $1-\\mathrm{i}$\nC. $-1+i$\nD. $-1-i$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\frac{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}=\\frac{2 i(1+i)}{-2 i}=-\\quad(1+i)=-1-i$, 故选：D.\n", "index": 38, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "3. （5 分) 设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$, 且 $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）\nA. $f(x) \\bullet g(x)$ 是偶函数\nB. $|f(x)| \\bullet g(x)$ 是奇函数\nC. $f(x) \\bullet|g(x)|$ 是奇函数\nD. $|f(x) \\cdot g(x)|$ 是奇函数\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because \\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 是奇函数, $\\mathrm{g}(\\mathrm{x})$ 是偶函数,\n\n$\\therefore f(-\\mathrm{x})=-\\mathrm{f}(\\mathrm{x}), g(-\\mathrm{x})=\\mathrm{g}(\\mathrm{x})$,\n\n$f(-x) \\cdot g(-x)=-f(x) \\cdot g(x)$, 故函数是奇函数, 故 $A$ 错误,\n\n$|f(-x)| \\cdot g(-x)=|f(x)| \\cdot g(x)$ 为偶函数, 故 B 错误,\n\n$f(-x) \\cdot \\lg (-x)|=-f(x) \\cdot| g(x) \\mid$ 是奇函数, 故 C 正确.\n\n$|f(-x) \\cdot g(-x)|=|f(x) \\cdot g(x)|$ 为偶函数, 故 $D$ 错误,\n\n故选：C.\n", "index": 39, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "4. (5 分) 已知 $F$ 为双曲线 $C: x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 的一个焦点, 则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为（）\nA. $\\sqrt{3}$\nB. 3\nC. $\\sqrt{3} m$\nD. $3 m$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：双曲线 $c: x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$ 可化为 $\\frac{x^{2}}{3 m}-\\frac{y^{2}}{3}=1$,\n\n$\\therefore$ 一个焦点为 $(\\sqrt{3 \\pi+3}, 0)$, 一条渐近线方程为 $x+\\sqrt{m} y=0$,\n\n$\\therefore$ 点 $\\mathrm{F}$ 到 $\\mathrm{C}$ 的一条渐近线的距离为 $\\frac{\\sqrt{3 \\pi+3}}{\\sqrt{1+\\mathrm{m}}}=\\sqrt{3}$.\n\n故选: $A$.\n", "index": 40, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "5. （5 分） 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为（）\nA. $\\frac{1}{8}$\nB. $\\frac{3}{8}$\nC. $\\frac{5}{8}$\nD. $\\frac{7}{8}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 共有 $2^{4}=16$ 种情况,\n\n周六、周日都有同学参加公益活动, 共有 $2^{4}-2=16-2=14$ 种情况,\n\n$\\therefore$ 所求概率为 $\\frac{14}{16}=\\frac{7}{8}$.\n\n故选: D.\n", "index": 41, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "8. （5 分) 设 $\\alpha \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\beta \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$, 且 $\\tan \\alpha=\\frac{1+\\sin \\beta}{\\cos \\beta}$, 则（）\nA. $3 \\alpha-\\beta=\\frac{\\pi}{2}$\nB. $3 \\alpha+\\beta=\\frac{\\pi}{2}$\nC. $2 \\alpha-\\beta=\\frac{\\pi}{2}$\nD. $2 \\alpha+\\beta=\\frac{\\pi}{2}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解：由 $\\tan \\alpha=\\frac{1+\\sin \\beta}{\\cos \\beta}$, 得:\n\n$\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}=\\frac{1+\\sin \\beta}{\\cos \\beta}$\n\n即 $\\sin \\alpha \\cos \\beta=\\cos \\alpha \\sin \\beta+\\cos \\alpha$ ，\n\n$\\sin (\\alpha-\\beta)=\\cos \\alpha=\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)$,\n\n$\\because \\alpha \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\beta \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$,\n\n$\\therefore$ 当 $2 \\alpha-\\beta=\\frac{\\pi}{2}$ 时, $\\sin (\\alpha-\\beta)=\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)=\\cos \\alpha$ 成立.\n\n故选: C.\n", "index": 42, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "10. (5 分) 已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$, 准线为 $I, P$ 是 $I$ 上一点, $Q$ 是直 线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点, 若 $\\overrightarrow{F P}=4 \\overrightarrow{F Q}$, 则 $|Q F|=(\\quad)$\nA. $\\frac{7}{2}$\nB. 3\nC. $\\frac{5}{2}$\nD. 2\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：设 $Q$ 到 $I$ 的距离为 $d$, 则 $|Q F|=d$,\n\n$\\because \\overrightarrow{\\mathrm{FP}}=4 \\overrightarrow{\\mathrm{F} 0}$\n\n$\\therefore|P Q|=3 d$\n\n$\\therefore$ 不妨设直线 $P F$ 的斜率为 $-\\frac{2 \\sqrt{2} \\mathrm{~d}}{\\mathrm{~d}}=-2 \\sqrt{2}$,\n\n$\\because F(2,0)$,\n\n$\\therefore$ 直线 $P F$ 的方程为 $y=-2 \\sqrt{2}(x-2)$,\n\n与 $y^{2}=8 x$ 联立可得 $x=1$,\n\n$\\therefore|Q F|=d=1+2=3$,\n\n故选：B.\n", "index": 43, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "11. （5 分) 已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$, 若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$, 且 $x_{0}>$ 0 , 则实数 a 的取值范围是（ $)$\nA. $(1,+\\infty)$\nB. $(2,+\\infty)$\nC. $(-\\infty,-1)$\nD. $(-\\infty,-2)$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\because f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$,\n\n$\\therefore f^{\\prime}(x)=3 a x^{2}-6 x=3 x(a x-2), f(0)=1$;\n\n(1)当 $a=0$ 时, $f(x)=-3 x^{2}+1$ 有两个零点, 不成立; (2)当 $a>0$ 时, $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(-\\infty, 0)$ 上有零点, 故不成立;\n\n(3)当 $a<0$ 时, $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(0,+\\infty)$ 上有且只有一个零点;\n\n故 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(-\\infty, 0)$ 上没有零点;\n\n而当 $x=\\frac{2}{a}$ 时, $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(-\\infty, 0)$ 上取得最小值;\n\n故 $f\\left(\\frac{2}{a}\\right)=\\frac{8}{a^{2}}-3 \\cdot \\frac{4}{a^{2}}+1>0$;\n\n故 $a<-2$;\n\n综上所述，\n\n实数 $\\mathrm{a}$ 的取值范围是 $(-\\infty,-2)$;\n\n故选: D.\n", "index": 44, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "1. （5 分）设集合 $M=\\{0,1,2\\}, N=\\left\\{x \\mid x^{2}-3 x+2 \\leqslant 0\\right\\}$, 则 $M \\cap N=(\\quad)$\nA. $\\{1\\}$\nB. $\\{2\\}$\nC. $\\{0,1\\}$\nD. $\\{1,2\\}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\left.\\because N=\\left\\{x \\mid x^{2}-3 x+2 \\leqslant 0\\right\\}=\\{x \\mid （ x-1) \\quad(x-2) \\leqslant 0\\right\\}=\\{x \\mid 1 \\leqslant x \\leqslant 2\\}$,\n\n$\\therefore M \\cap N=\\{1,2\\}$,\n\n故选: D.\n", "index": 45, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "2. (5 分) 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称, $z_{1}=2+i$, 则 $z_{1} z_{2}=$\nA. -5\nB. 5\nC. $-4+i$\nD. $-4-i$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解： $z_{1}=2+i$ 对应的点的坐标为 $(2,1)$,\n\n$\\because$ 复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称,\n\n$\\therefore(2,1)$ 关于虚轴对称的点的坐标为 $(-2,1)$,\n\n则对应的复数, $z_{2}=-2+i$, 则 $z_{1} z_{2}=(2+i)(-2+i)=i^{2}-4=-1-4=-5$,\n\n故选: A.\n", "index": 46, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "3. (5 分) 设向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 满足 $|\\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{10},|\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{6}$, 则 $\\vec{a} \\bullet \\vec{b}=(\\quad)$\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 5\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $\\because|\\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{10},|\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{6}$,\n\n$\\therefore$ 分别平方得 $\\vec{a}^{2}+2 \\vec{a} \\bullet \\vec{b}+\\vec{b}^{2}=10, \\vec{a}^{2}-2 \\vec{a} \\bullet \\vec{b}+\\vec{b}^{2}=6$,\n\n两式相减得 $4 \\vec{a} \\bullet \\vec{b}=10-6=4$,\n\n即 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=1$,\n\n故选: A.\n", "index": 47, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "4. (5 分) 钝角三角形 $A B C$ 的面积是 $\\frac{1}{2}, A B=1, B C=\\sqrt{2}$, 则 $A C=(\\quad)$\nA. 5\nB. $\\sqrt{5}$\nC. 2\nD. 1\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: $\\because$ 针角三角形 $A B C$ 的面积是 $\\frac{1}{2}, A B=c=1, B C=a=\\sqrt{2}$, $\\therefore S=\\frac{1}{2} \\operatorname{acsin} B=\\frac{1}{2}$, 即 $\\sin B=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$,\n\n当 $B$ 为针角时, $\\cos B=-\\sqrt{1-\\sin ^{2} B}=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}$,\n\n利用余弦定理得: $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \\cdot B C \\cdot \\cos B=1+2+2=5$, 即 $A C=\\sqrt{5}$,\n\n当 $B$ 为锐角时, $\\cos B=\\sqrt{1-\\sin ^{2} B}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$,\n\n利用余弦定理得: $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \\cdot B C \\cdot \\cos B=1+2-2=1$, 即 $A C=1$,\n\n此时 $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$, 即 $\\triangle A B C$ 为直角三角形, 不合题意, 舍去,\n\n则 $A C=\\sqrt{5}$.\n\n故选: B.\n", "index": 48, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "5.（5 分）某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75 , 连续两天为优良的概率是 0.6 , 已知某天的空气质量为优良, 则随后一天的 空气质量为优良的概率是（ $)$\nA. 0.8\nB. 0.75\nC. 0.6\nD. 0.45\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 $p$, 则由题意可得 $0.75 \\times$ $p=0.6$,\n\n解得 $p=0.8$,\n\n故选: A.\n", "index": 49, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "8. (5 分) 设曲线 $y=a x-\\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2 x$, 则 $a=($\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $y^{\\prime}=a \\frac{1}{x+1}$,\n\n$\\therefore y^{\\prime}(0)=a-1=2$\n\n$\\therefore a=3$.\n\n故选: D.\n", "index": 50, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "10. (5 分) 设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=3 x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\\circ}$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点, 则 $\\triangle O A B$ 的面积为（ )\nA. $\\frac{3 \\sqrt{3}}{4}$\nB. $\\frac{9 \\sqrt{3}}{8}$\nC. $\\frac{63}{32}$\nD. $\\frac{9}{4}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 由 $\\mathrm{y}^{2}=2 \\mathrm{px}$, 得 $2 p=3, \\mathrm{p}=\\frac{3}{2}$,\n\n则 $F\\left(\\frac{3}{4}, 0\\right)$.\n\n$\\therefore$ 过 $A, B$ 的直线方程为 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\left(x-\\frac{3}{4}\\right)$, 即 $x=\\sqrt{3} y+\\frac{3}{4}$.\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y^{2}=3 x \\\\ x=\\sqrt{3} y+\\frac{3}{4}\\end{array}\\right.$, 得 $4 y^{2}-12 \\sqrt{3} y-9=0$.\n\n设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right) ， B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$ ，\n\n则 $y_{1}+y_{2}=3 \\sqrt{3}, y_{1} y_{2}=-\\frac{9}{4}$.\n\n$\\therefore S_{\\triangle O A B}=S_{\\triangle O A F}+S_{\\triangle O F B}=\\frac{1}{2} \\times \\frac{3}{4}\\left|y_{1}-y_{2}\\right|=\\frac{3}{8} \\sqrt{\\left(y_{1}+y_{2}\\right)^{2}-4 y_{1} y_{2}}=\\frac{3}{8} \\times \\sqrt{(3 \\sqrt{3})^{2}+9}=$ $\\frac{9}{4}$\n\n故选: D.\n", "index": 51, "score": 5} +{"year": "2014", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "12. （5 分) 设函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})=\\sqrt{3} \\sin \\frac{\\pi \\mathrm{x}}{\\mathrm{m}}$, 若存在 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 的极值点 $\\mathrm{x}_{0}$ 满足 $\\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+\\left[\\mathrm{f}\\left(\\mathrm{x}_{0}\\right.\\right.$ ]$^{2}\\frac{1}{4} m^{2}+3, \\quad \\therefore m^{2}>4$.\n\n求得 $m>2$, 或 $m<-2$,\n\n故选: C.\n", "index": 52, "score": 5} +{"year": "2015", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "1. （5 分）设复数 $z$ 满足 $\\frac{1+z}{1-z}=i$, 则 $|z|=(\\quad)$\nA. 1\nB. $\\sqrt{2}$\nC. $\\sqrt{3}$\nD. 2\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $\\because$ 复数 $z$ 满足 $\\frac{1+z}{1-z}=i$,\n\n$\\therefore 1+z=i-z i$,\n\n$\\therefore z(1+i)=i-1$,\n\n$\\therefore z=\\frac{i-1}{i+1}=i$\n\n$\\therefore|z|=1$\n\n故选: A.\n", "index": 53, "score": 5} +{"year": "2015", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "2. （5 分 $) \\sin 20^{\\circ} \\cos 10^{\\circ}-\\cos 160^{\\circ} \\sin 10^{\\circ}=(\\quad ）$\nA. $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$\nB. $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$\nC. $-\\frac{1}{2}$\nD. $\\frac{1}{2}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\sin 20^{\\circ} \\cos 10^{\\circ}-\\cos 160^{\\circ} \\sin 10^{\\circ}$ $=\\sin 20^{\\circ} \\cos 10^{\\circ}+\\cos 20^{\\circ} \\sin 10^{\\circ}$\n\n$=\\sin 30^{\\circ}$\n\n$=\\frac{1}{2}$\n\n故选: D.\n", "index": 54, "score": 5} +{"year": "2015", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "3. (5 分) 设命题 $p: \\exists n \\in N, n^{2}>2^{n}$, 则 $p$ 为 $(\\quad)$\nA. $\\forall n \\in N, n^{2}>2^{n}$\nB. $\\exists n \\in N, n^{2} \\leqslant 2^{n}$\nC. $\\forall n \\in N, n^{2} \\leqslant 2^{n}$\nD. $\\exists n \\in N, n^{2}=2^{n}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: 命题的否定是: $\\forall n \\in N, n^{2} \\leqslant 2^{n}$,\n\n故选: C.\n", "index": 55, "score": 5} +{"year": "2015", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "4. （5 分) 投篮测试中, 每人投 3 次, 至少投中 2 次才能通过测试. 已知某同 学每次投篮投中的概率为 0.6 , 且各次投篮是否投中相互独立, 则该同学通过 测试的概率为 $(\\quad)$\nA. 0.648\nB. 0.432\nC. 0.36\nD. 0.312\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：由题意可知: 同学 3 次测试满足 $X \\sim B(3,0.6 ）$,\n\n该同学通过测试的概率为 $C_{3}^{2}(0.6)^{2} \\times(1-0.6)+C_{3}^{3}(0.6)^{3}=0.648$.\n\n故选: $A$.\n", "index": 56, "score": 5} +{"year": "2015", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "5. (5 分) 已知 $M\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$ 是双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 上的一点, $F_{1}, F_{2}$ 是 $C$ 的左 、右两个焦点, 若 $\\overrightarrow{M F_{1}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{MF}_{2}}<0$, 则 $\\mathrm{y}_{0}$ 的取值范围是（ )\nA. $\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)$\nB. $\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{6}, \\frac{\\sqrt{3}}{6}\\right)$\nC. $\\left(-\\frac{2 \\sqrt{2}}{3}, \\frac{2 \\sqrt{2}}{3}\\right)$\nD. $\\left(-\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}, \\frac{2 \\sqrt{3}}{3}\\right)$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：由题意, $\\overrightarrow{M_{1}} \\cdot \\overrightarrow{M_{2}}=\\left(-\\sqrt{3}-x_{0},-y_{0}\\right) \\cdot\\left(\\sqrt{3}-x_{0},-y_{0}\\right)$\n\n$$\n=\\mathrm{x}_{0}^{2}-3+\\mathrm{y}_{0}^{2}=3 \\mathrm{y}_{0}^{2}-1<0\n$$\n\n所以 $-\\frac{\\sqrt{3}}{3}0\\}$, 则 $A \\cap B=(\\quad)$\nA. $\\left(-3,-\\frac{3}{2}\\right)$\nB. $\\left(-3, \\frac{3}{2}\\right)$\nC. $\\left(1, \\frac{3}{2}\\right)$\nD. $\\left(\\frac{3}{2}, 3\\right)$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\because$ 集合 $A=\\left\\{x \\mid x^{2}-4 x+3<0\\right\\}=(1,3)$,\n\n$\\mathrm{B}=\\{\\mathrm{x} \\mid 2 \\mathrm{x}-3>0\\}=\\left(\\frac{3}{2},+\\infty\\right)$,\n\n$\\therefore A \\cap B=\\left(\\frac{3}{2}, 3\\right)$,\n\n故选：D.\n", "index": 65, "score": 5} +{"year": "2016", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "2. （5 分) 设 $(1+i) x=1+y i$, 其中 $x, y$ 是实数, 则 $|x+y i|=(\\quad)$\nA. 1\nB. $\\sqrt{2}$\nC. $\\sqrt{3}$\nD. 2\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: $\\because(1+\\mathrm{i}) \\mathrm{x}=1+\\mathrm{yi}$,\n\n$\\therefore x+x i=1+y i$,\n\n即 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1 \\\\ y=x\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1 \\\\ y=1\\end{array}\\right.$, 即 $|x+y i|=|1+i|=\\sqrt{2}$, 故选: B.\n", "index": 66, "score": 5} +{"year": "2016", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "3. (5 分) 已知等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 前 9 项的和为 $27, a_{10}=8$, 则 $a_{100}=(\\quad)$\nA. 100\nB. 99\nC. 98\nD. 97\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because$ 等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 前 9 项的和为 $27, \\mathrm{~S}_{9}=\\frac{9\\left(\\mathrm{a}_{1}+\\mathrm{a}_{9}\\right)}{2}=\\frac{9 \\times 2 \\mathrm{a}_{5}}{2}=9 a_{5}$.\n\n$\\therefore 9 a_{5}=27, a_{5}=3$,\n\n又 $\\because a_{10}=8$,\n\n$\\therefore \\mathrm{d}=1$,\n\n$\\therefore \\mathrm{a}_{100}=\\mathrm{a}_{5}+95 \\mathrm{~d}=98$,\n\n故选: C.\n", "index": 67, "score": 5} +{"year": "2016", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "4. (5 分) 某公司的班车在 7: $00,8: 00,8: 30$ 发车, 小明在 7:50 至 8: 30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的, 则他等车时间不 超过 10 分钟的概率是（ $)$\nA. $\\frac{1}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{2}{3}$\nD. $\\frac{3}{4}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：设小明到达时间为 $y$, 当 $y$ 在 7: 50 至 8: 00 , 或 8: 20 至 8: 30 时,\n\n小明等车时间不超过 10 分钟,\n\n故 $P=\\frac{20}{40}=\\frac{1}{2}$,\n\n故选: B.\n", "index": 68, "score": 5} +{"year": "2016", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "5. （5 分）已知方程 $\\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距 离为 4 , 则 $n$ 的取值范围是（ $)$\nA. $(-1,3)$\nB. $(-1, \\sqrt{3})$\nC. $(0,3)$\nD. $(0, \\sqrt{3})$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $\\because$ 双曲线两焦点间的距离为 $4, \\quad \\therefore c=2$,\n\n当焦点在 $\\mathrm{x}$ 轴上时,\n\n可得: $4=\\left(m^{2}+n\\right)+\\left(3 m^{2}-n\\right)$, 解得: $m^{2}=1$,\n\n$\\because$ 方程 $\\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线,\n\n$\\therefore\\left(m^{2}+n\\right)\\left(3 m^{2}-n\\right)>0$, 可得: $(n+1)(3-n)>0$,\n\n解得: $-1b>1,0b>1,0b^{c}$, 故 $\\mathrm{A}$ 错误;\n\n函数 $f(x)=x^{c-1}$ 在 $(0,+\\infty)$ 上为减函数, 故 $a^{c-1}$ $b^{c}$; 故 B 错误;\n\n$\\log _{a} c<0$, 且 $\\log _{b} c<0, \\log _{a} b<1$, 即 $\\frac{\\log _{c} b}{\\log _{c} a}=\\frac{\\log _{a} c}{\\log _{b} c}<1$, 即 $\\log _{a} c>\\log _{b} c$. 故 $D$ 错误；\n\n$0<-\\log _{a} c<-\\log _{b} c$, 故 $-b \\log _{a} c<-a \\log _{b} c$, 即 $b \\log _{a} c>a \\log _{b} c$, 即 $a \\log _{b} c0 \\\\ m-1<0\\end{array}\\right.$, 解得 $-3b>0)$ 的左焦点, $A, B$ 分别为 $C$ 的左, 右顶点. $P$ 为 $C$ 上一点, 且 $P F \\perp x$ 轴, 过点 $A$ 的直线 I 与线段 $P F$ 交于点 $M$, 与 $y$ 轴交于点 $E$. 若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点, 则 $C$ 的离心率为 $(\\quad)$\nA. $\\frac{1}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{2}{3}$\nD. $\\frac{3}{4}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：由题意可设 $F(-c, 0), A(-a, 0), B(a, 0)$,\n\n设直线 $A E$ 的方程为 $y=k(x+a)$,\n\n令 $x=-c$, 可得 $M(-c, k(a-c))$, 令 $x=0$, 可得 $E(0, k a)$,\n\n设 $O E$ 的中点为 $H$, 可得 $H\\left(0, \\frac{k a}{2}\\right)$, 由 $B, H, M$ 三点共线，可得 $k_{B H}=k_{B M}$,\n\n即为 $\\frac{\\frac{k a}{2}}{-a}=\\frac{k(a-c)}{-c-a}$\n\n化简可得 $\\frac{a-c}{a+c}=\\frac{1}{2}$, 即为 $a=3 c$,\n\n可得 $\\mathrm{e}=\\frac{c}{\\mathrm{a}}=\\frac{1}{3}$.\n\n另解: 由 $\\triangle A M F \\backsim \\triangle A E O$,\n\n可得 $\\frac{a-c}{a}=\\frac{M F}{O E}$,\n\n由 $\\triangle B O H \\backsim \\triangle B F M$,\n\n可得 $\\frac{a}{a+c}=\\frac{O H}{F M}=\\frac{O E}{2 F M M}$,\n\n即有 $\\frac{2(a-c)}{a}=\\frac{a+c}{a}$ 即 $a=3 c$,\n\n可得 $\\mathrm{e}=\\frac{c}{\\mathrm{a}}=\\frac{1}{3}$.\n\n故选: A.\n", "index": 81, "score": 5} +{"year": "2016", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "12. (5 分) 定义“规范 01 数列” $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 如下: $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 共有 $2 m$ 项, 其中 $m$ 项为 $0, m$ 项 为 1 , 且对任意 $k \\leqslant 2 m, a_{1}, a_{2}, \\ldots, a_{k}$ 中 0 的个数不少于 1 的个数, 若 $m=4$, 则不同的“规范 01 数列”共有（）\nA. 18 个\nB. 16 个\nC. 14 个\nD. 12 个 \n\n\\section{\n", "answer": ["C"], "analysis": "解：由题意可知, “规范 01 数列”有偶数项 $2 \\mathrm{~m}$ 项, 且所含 0 与 1 的个 数相等, 首项为 0 , 末项为 1 , 若 $m=4$, 说明数列有 8 项, 满足条件的数列 有：\n\n$0,0,0,0,1,1,1,1 ; 0,0,0,1,0,1,1,1 ; 0,0,0,1,1$, $0,1,1 ; 0,0,0,1,1,1,0,1 ; 0,0,1,0,0,1,1,1$;\n\n$0,0,1,0,1,0,1,1 ; 0,0,1,0,1,1,0,1 ; 0,0,1,1,0$, $1,0,1 ; 0,0,1,1,0,0,1,1 ; 0,1,0,0,0,1,1,1$;\n\n$0,1,0,0,1,0,1,1 ; 0,1,0,0,1,1,0,1 ; 0,1,0,1,0$, $0,1,1 ; 0,1,0,1,0,1,0,1$. 共 14 个.\n\n故选: C.\n", "index": 82, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "1.（5 分）已知集合 $A=\\{x \\mid x<1\\}, B=\\left\\{x \\mid 3^{x}<1\\right\\}$, 则（）\nA. $A \\cap B=\\{x \\mid x<0\\}$ B. $A \\cup B=R$\nC. $\\mathrm{A} \\cup \\mathrm{B}=\\{\\mathrm{x} \\mid \\mathrm{x}>1\\}$\nD. $A \\cap B=\\varnothing$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $\\because$ 集合 $A=\\{x \\mid x<1\\}$,\n\n$B=\\left\\{x \\mid 3^{x}<1\\right\\}=\\{x \\mid x<0\\}$\n\n$\\therefore A \\cap B=\\{x \\mid x<0\\}$, 故 $A$ 正确, $D$ 错误;\n\n$A \\cup B=\\{x \\mid x<1\\}$, 故 $B$ 和 $C$ 都错误.\n\n故选: A.\n", "index": 83, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "3. （5 分） 设有下面四个命题\n\n$p_{1}$ : 若复数 $z$ 满足 $\\frac{1}{z} \\in R$, 则 $z \\in R$;\n\n$p_{2}$ : 若复数 $z$ 满足 $z^{2} \\in R$, 则 $z \\in R$;\n\n$p_{3}$ ：若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} \\in R$, 则 $z_{1}=\\overline{z_{2}}$;\n\n$p_{4}$ : 若复数 $z \\in R$, 则 $z \\in R$.\n\n其中的真命题为（ $)$\nA. $\\mathrm{p}_{1}, \\mathrm{p}_{3}$\nB. $\\mathrm{p}_{1}, \\mathrm{p}_{4}$\nC. $p_{2}, p_{3}$\nD. $p_{2}, p_{4}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：若复数 $z$ 满足 $\\frac{1}{z} \\in R$, 则 $z \\in R$, 故命题 $p_{1}$ 为真命题; $p_{2}$ : 复数 $z=i$ 满足 $z^{2}=-1 \\in R$, 则 $z \\notin R$, 故命题 $p_{2}$ 为假命题;\n\n$p_{3}$ ：若复数 $z_{1}=i, z_{2}=2 i$ 满足 $z_{1} z_{2} \\in R$, 但 $z_{1} \\neq \\overline{z_{2}}$, 故命题 $p_{3}$ 为假命题;\n\n$p_{4}$ : 若复数 $z \\in R$, 则 $z=z \\in R$, 故命题 $p_{4}$ 为真命题.\n\n故选: B.\n", "index": 84, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "4. (5 分) 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$, 则 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公 差为 $(\\quad)$\nA. 1\nB. 2\nC. 4\nD. 8\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$, $\\therefore\\left\\{\\begin{array}{l}a_{1}+3 d+a_{1}+4 d=24 \\\\ 6 a_{1}+\\frac{6 \\times 5}{2} d=48\\end{array}\\right.$,\n\n解得 $\\mathrm{a}_{1}=-2, \\mathrm{~d}=4$,\n\n$\\therefore\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公差为 4 .\n\n故选: C.\n", "index": 85, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "5. (5 分) 函数 $f(x)$ 在 $(-\\infty,+\\infty)$ 单调递减, 且为奇函数. 若 $f(1)=-1$ , 则满足 $-1 \\leqslant f(x-2) \\leqslant 1$ 的 $x$ 的取值范围是 $(\\quad)$\nA. $[-2,2]$\nB. $[-1,1]$\nC. $[0,4]$\nD. $[1,3]$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\because$ 函数 $f(x)$ 为奇函数.\n\n若 $f(1)=-1$, 则 $f(-1)=1$,\n\n又 $\\because$ 函数 $f(x)$ 在 $(-\\infty,+\\infty)$ 单调递减, $-1 \\leqslant f(x-2) \\leqslant 1$,\n\n$\\therefore f(1) \\leqslant f(x-2) \\leqslant f(-1)$\n\n$\\therefore-1 \\leqslant x-2 \\leqslant 1$\n\n解得: $x \\in[1,3]$,\n\n故选: D.\n", "index": 86, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "6. (5 分) $\\left(1+\\frac{1}{x^{2}}\\right)(1+x){ }^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为（ $)$\nA. 15\nB. 20\nC. 30\nD. 35\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\left(1+\\frac{1}{x^{2}}\\right)(1+x)^{6}$ 展开式中:\n\n若 $\\left(1+\\frac{1}{x^{2}}\\right)=\\left(1+x^{-2}\\right)$ 提供常数项 1, 则 $(1+x)^{6}$ 提供含有 $x^{2}$ 的项, 可得展开 式中 $x^{2}$ 的系数:\n\n若 $\\left(1+\\frac{1}{x^{2}}\\right)$ 提供 $x^{-2}$ 项, 则 $(1+x)^{6}$ 提供含有 $x^{4}$ 的项, 可得展开式中 $x^{2}$ 的系数:\n\n由 $(1+x) 6$ 通项公式可得 $\\mathrm{C}_{6}^{r} \\mathrm{x}^{\\mathrm{r}}$. 可知 $r=2$ 时, 可得展开式中 $x^{2}$ 的系数为 $C_{6}^{2}=15$.\n\n可知 $r=4$ 时, 可得展开式中 $x^{2}$ 的系数为 $C_{6}^{4}=15$.\n\n$\\left(1+\\frac{1}{x^{2}}\\right)(1+x)^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为: $15+15=30$.\n\n故选: C.\n", "index": 87, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "9. （5 分) 已知曲线 $C_{1}: y=\\cos x, C_{2}: y=\\sin \\left(2 x+\\frac{2 \\pi}{3}\\right)$, 则下面结论正确的是（ )\n\nA. 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线 向右平移 $\\frac{\\pi}{6}$ 个单位长度, 得到曲线 $\\mathrm{c}_{2}$\n\nB. 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线 向左平移 $\\frac{\\pi}{12}$ 个单位长度, 得到曲线 $\\mathrm{C}_{2}$\n\nC. 把 $\\mathrm{C}_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向 右平移 $\\frac{\\pi}{6}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$\n\nD. 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向 左平移 $\\frac{\\pi}{12}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 把 $\\mathrm{C}_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 得到函数 $y=\\cos 2 x$ 图象, 再把得到的曲线向左平移 $\\frac{\\pi}{12}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\\cos 2\\left(x^{+}\\right.$ $\\left.\\frac{\\pi}{12}\\right)=\\cos \\left(2 x+\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\sin \\left(2 x+\\frac{2 \\pi}{3}\\right)$ 的图象, 即曲线 $C_{2}$,\n\n故选: D.\n", "index": 88, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "11. (5 分) 设 $x 、 y 、 z$ 为正数, 且 $2^{x}=3^{y}=5^{2}$, 则 ( )\nA. $2 x<3 y<5 z$\nB. $5 z<2 x<3 y$\nC. $3 y<5 z<2 x$\nD. $3 y<2 x<5 z$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $x 、 y 、 z$ 为正数,\n\n令 $2^{x}=3^{y}=5^{z}=k>1 . \\quad \\lg k>0$.\n\n则 $x=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg 2}, y=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg 3}, z=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg 5}$.\n\n$\\therefore 3 y=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg \\sqrt[3]{3}}, 2 x=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg \\sqrt{2}}, 5 \\mathrm{z}=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg \\sqrt[5]{5}}$.\n\n$\\because \\sqrt[3]{3}=\\sqrt[6]{9}>\\sqrt[6]{8}=\\sqrt{2}, \\sqrt{2}=\\sqrt[10]{32}>\\sqrt[10]{25}=\\sqrt[5]{5}$\n\n$\\therefore \\lg \\sqrt[3]{3}>\\lg \\sqrt{2}>\\lg \\sqrt[5]{5}>0$\n\n$\\therefore 3 y<2 x<5 z$.\n\n另解： $x 、 y 、 z$ 为正数,\n\n令 $2^{x}=3^{y}=5^{2}=k>1 . \\quad \\lg k>0$.\n\n则 $x=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg 2}, y=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg 3}, z=\\frac{\\operatorname{lgk}}{\\lg 5}$.\n\n$\\therefore \\frac{2 x}{3 y}=\\frac{2}{3} \\times \\frac{\\lg 3}{\\lg 2}=\\frac{\\lg 9}{\\lg 8}>1$, 可得 $2 x>3 y$,\n\n$\\frac{5 z}{2 x}=\\frac{5}{2} \\times \\frac{\\lg 2}{\\lg 5}=\\frac{\\lg 2^{5}}{\\lg 5^{2}}>1$. 可得 $5 z>2 x$.\n\n综上可得: $5 z>2 x>3 y$.\n\n解法三: 对 $\\mathrm{k}$ 取特殊值, 也可以比较出大小关系.\n\n故选：D.\n", "index": 89, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "12. (5 分) 几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大 家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软 件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4$, $8,1,2,4,8,16, \\ldots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下 来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $\\mathrm{N}$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是（）\nA. 440\nB. 330\nC. 220\nD. 110\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 设该数列为 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$, 设 $b_{n}=\\frac{a_{(n-1) n}}{2}+1+\\ldots+\\frac{a_{n(n+1)}}{2}=2^{n+1}-1, \\quad\\left(n \\in N_{+}\\right)$, 则 $\\sum_{i=1}^{n} b_{i}=\\sum_{i=1}^{\\frac{n(n+1)}{2}} a_{i}$,\n\n由题意可设数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $N$ 项和为 $S_{N}$, 数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$, 则\n\n$$\nT_{n}=2^{1}-1+2^{2}-1+\\ldots+2^{n+1}-1=2^{n+1}-n-2\n$$\n\n可知当 $N$ 为 $\\frac{n(n+1)}{2}$ 时 $\\left(n \\in N_{+}\\right)$, 数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $N$ 项和为数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 即为 $2^{n+1}-n-2$,\n\n容易得到 $N>100$ 时, $n \\geqslant 14$,\n\nA 项, 由 $\\frac{29 \\times 30}{2}=435,440=435+5$, 可知 $S_{440}=T_{29}+b_{5}=2^{30}-29-2+2^{5}-1=2^{30}$, 故 A 项符合题意.\n\n$B$ 项, 仿上可知 $\\frac{25 \\times 26}{2}=325$, 可知 $S_{330}=T_{25}+b_{5}=2^{26}-25-2+2^{5}-1=2^{26+4}$, 显然不 为 2 的整数幂, 故 $B$ 项不符合题意.\n\n$C$ 项, 仿上可知 $\\frac{20 \\times 21}{2}=210$, 可知 $S_{220}=T_{20}+b_{10}=2^{21}-20-2+2^{10}-1=2^{21}+2^{10}-23$, 显然不为 2 的整数幂, 故 C 项不符合题意. $\\mathrm{D}$ 项, 仿上可知 $\\frac{14 \\times 15}{2}=105$, 可知 $\\mathrm{S}_{110}=T_{14}+b_{5}=2^{15}-14-2^{+} 2^{5}-1=2^{15}+15$, 显然 不为 2 的整数幂, 故 $D$ 项不符合题意.\n\n故选 A.\n\n方法 二 : 由 题 意可 知 : 第一项, $\\frac{2^{0}, 2^{1}}{\\text { 第二项 }}, \\frac{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}}{\\text { 第三项 }}, \\ldots$\n\n$$\n\\frac{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \\cdots, 2^{\\mathrm{n}-1}}{\\text { 第n项 }},\n$$\n\n根据等比数列前 $n$ 项和公式, 求得每项和分别为: $2^{1-} 1,2^{2-} 1,2^{3-} 1, \\ldots, 2^{n_{-}} 1$\n\n每项含有的项数为: $1,2,3, \\ldots, n$,\n\n总共的项数为 $\\mathrm{N}=1+2+3+\\ldots+n=\\frac{(1+n) n}{2}$,\n\n所有项数的和为 $S_{n}: 2^{1-} 1+2^{2}-1+2^{3}-1+\\ldots+2^{n}-1=\\left(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\\ldots+2^{n}\\right)-n=$\n\n$$\n\\frac{2\\left(1-2^{n}\\right)}{1-2}-n=2^{n+1}-2-n\n$$\n\n由题意可知: $2^{n+1}$ 为 2 的整数幂. 只需将 $-2-n$ 消去即可,\n\n则(1) $1+2+(-2-n)=0$, 解得: $n=1$, 总共有 $\\frac{(1+1) \\times 1}{2}+2=3$, 不满足 $N>100$,\n\n(2) $1+2+4+(-2-n)=0$, 解得: $n=5$, 总共有 $\\frac{(1+5) \\times 5}{2}+3=18$, 不满足 $N>100$,\n\n(3) $1+2+4+8+(-2-n)=0$, 解得: $n=13$, 总共有 $\\frac{(1+13) \\times 13}{2}+4=95$, 不满足 $N>$ 100 ,\n\n(4) $1+2+4+8+16+(-2-n)=0$, 解得: $n=29$, 总共有 $\\frac{(1+29) \\times 29}{2}+5=440$, 满足 $N$ $>100$\n\n$\\therefore$ 该款软件的激活码 440 .\n", "index": 90, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "1. $(5$ 分 $) \\frac{3+i}{1+i}=(\\quad)$\nA. $1+2 i$\nB. $1-2 i$\nC. $2+i$\nD. $2-\\mathrm{i}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解 $: \\frac{3+i}{1+i}=\\frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac{4-2 i}{2}=2-i$,\n\n故选：D.\n", "index": 91, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "2. （5 分）设集合 $A=\\{1,2,4\\}, B=\\left\\{x \\mid x^{2}-4 x+m=0\\right\\}$. 若 $A \\cap B=\\{1\\}$, 则 $B=(\\quad)$\nA. $\\{1,-3\\}$\nB. $\\{1,0\\}$\nC. $\\{1,3\\}$\nD. $\\{1,5\\}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解：集合 $\\mathrm{A}=\\{1,2,4\\}, B=\\left\\{x \\mid x^{2}-4 x+m=0\\right\\}$.\n\n若 $A \\cap B=\\{1\\}$, 则 $1 \\in A$ 且 $1 \\in B$, 可得 $1-4+m=0$, 解得 $m=3$,\n\n即有 $B=\\left\\{x \\mid x^{2}-4 x+3=0\\right\\}=\\{1,3\\}$.\n\n故选: C.\n", "index": 92, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "3. (5 分) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远看巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? \"意思是: 一座 7 层塔 共挂了 381 或灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍, 则塔的 顶层共有灯（）\nA. 1 盏\nB. 3 盏\nC. 5 或\nD. 9 或\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：设塔顶的 $a_{1}$ 盏灯,\n\n由题意 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是公比为 2 的等比数列,\n\n$\\therefore S_{7}=\\frac{a_{1}\\left(1-2^{7}\\right)}{1-2}=381$,\n\n解得 $\\mathrm{a}_{1}=3$.\n\n故选：B.\n", "index": 93, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "6. （5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作, 每人至少完成 1 项, 每项工作由 1 人完成, 则不同的安排方式共有（ $)$\nA. 12 种\nB. 18 种\nC. 24 种\nD. 36 种\n", "answer": ["D"], "analysis": "解： 4 项工作分成 3 组, 可得: $C_{4}^{2}=6$, 安排 3 名志愿者完成 4 项工作, 每人至少完成 1 项, 每项工作由 1 人完成, 可得： $6 \\times \\mathrm{A}_{3}^{3}=36$ 种.\n\n故选: D.\n", "index": 94, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "7. （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩. 老师 说: 你们四人中有 2 位优秀, 2 位良好, 我现在给甲看乙、丙的成绩, 给乙 看丙的成绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩. 根据以上信息，则（ $)$\nA. 乙可以知道四人的成绩\nB. 丁可以知道四人的成绩\nC. 乙、丁可以知道对方的成绩\nD. 乙、丁可以知道自己的成绩\n", "answer": ["D"], "analysis": "解：四人所知只有自己看到, 老师所说及最后甲说话,\n\n甲不知自己的成绩\n\n$\\rightarrow$ 乙丙必有一优一良, （若为两优, 甲会知道自己的成绩; 若是两良, 甲也会 知道自己的成绩)\n\n$\\rightarrow$ 乙看到了丙的成绩, 知自己的成绩\n\n$\\rightarrow$ 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩,\n\n给甲看乙丙成绩, 甲不知道自已的成绩, 说明乙丙���优一良, 假定乙丙都是优, 则甲是良, 假定乙丙都是良, 则甲是优, 那么甲就知道自已的成绩了. 给乙 看丙成绩, 乙没有说不知道自己的成绩, 假定丙是优, 则乙是良, 乙就知道 自己成绩. 给丁看甲成绩, 因为甲不知道自己成绩, 乙丙是一优一良, 则甲 丁也是一优一良, 丁看到甲成绩, 假定甲是优, 则丁是良, 丁肯定知道自已 的成绩了 故选: D.\n", "index": 95, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "9. （5 分）若双曲线 $c: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2)$ ${ }^{2}+y^{2}=4$ 所截得的弦长为 2 , 则 $C$ 的离心率为 ( )\nA. 2\nB. $\\sqrt{3}$\nC. $\\sqrt{2}$\nD. $\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解 双曲线 $c: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线不妨为 $b x+a y=0$\n\n圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 的圆心 $(2,0)$, 半径为: 2 ,\n\n双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 所截得 的弦长为 2 , 可得圆心到直线的距离为: $\\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3}=\\frac{|2 b|}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$,\n\n解得: $\\frac{4 c^{2}-4 \\mathrm{a}^{2}}{\\mathrm{c}^{2}}=3$, 可得 $\\mathrm{e}^{2}=4$, 即 $\\mathrm{e}=2$.\n\n故选: A.\n", "index": 96, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "11. (5 分) 若 $x=-2$ 是函数 $f(x)=\\left(x^{2}+a x-1\\right) e^{x-1}$ 的极值点, 则 $f(x)$ 的极 小值为 $(\\quad)$\nA. -1\nB. $-2 e^{-3}$\nC. $5 \\mathrm{e}^{-3}$\nD. 1\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：函数 $f(x)=\\left(x^{2}+a x-1\\right) e^{x-1}$,\n\n可得 $f^{\\prime}(x)=(2 x+a) e^{x-1+}\\left(x^{2}+a x-1\\right) e^{x-1}$,\n\n$x=-2$ 是函数 $f(x)=\\left(x^{2}+a x-1\\right) e^{x-1}$ 的极值点,\n\n可得: $f^{\\prime}(-2)=(-4+a) e^{-3}+(4-2 a-1) e^{-3}=0$, 即 $-4+a+(3-2 a)=0$.\n\n解得 $a=-1$.\n\n可得 $f^{\\prime}(x)=(2 x-1) e^{x-1+}\\left(x^{2}-x-1\\right) e^{x-1}$,\n\n$=\\left(x^{2}+x-2\\right) e^{x-1}$, 函数的极值点为: $x=-2, x=1$,\n\n当 $x<-2$ 或 $x>1$ 时, $f^{\\prime}(x)>0$ 函数是增函数, $x \\in(-2,1 ）$ 时, 函数是减函 数,\n\n$x=1$ 时, 函数取得极小值: $f(1)=\\left(1^{2}-1-1\\right) e^{1-1}=-1$.\n\n故选: A.\n", "index": 97, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "1. (5 分) 已知集合 $A=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}=1\\right\\}, B=\\{(x, y) \\mid y=x\\}$, 则 $A \\cap B$ 中元 素的个数为 $(\\quad)$\nA. 3\nB. 2\nC. 1\nD. 0\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: 由 $\\left\\{\\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\\\ y=x\\end{array}\\right.$, 解得: $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\\\ y=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{array}\\right.$ 或 $\\left\\{\\begin{array}{c}x=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\\\ y=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{array}\\right.$,\n\n$\\therefore A \\cap B$ 的元素的个数是 2 个,\n\n故选: B.\n", "index": 98, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "2. (5 分) 设复数 $z$ 满足 $(1+i) \\quad z=2 i$, 则 $|z|=(\\quad)$\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$\nC. $\\sqrt{2}$\nD. 2\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because(1+\\mathrm{i}) \\mathrm{z}=2 \\mathrm{i}, \\quad \\therefore(1-\\mathrm{i})(1+\\mathrm{i}) \\quad \\mathrm{z}=2 \\mathrm{i}(1-\\mathrm{i}), \\mathrm{z}=\\mathrm{i}+1$.\n\n则 $|z|=\\sqrt{2}$.\n\n故选: C.\n", "index": 99, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "4. (5 分) $(\\mathrm{x}+\\mathrm{y})(2 \\mathrm{x}-\\mathrm{y})^{5}$ 的展开式中的 $x^{3} \\mathrm{y}^{3}$ 系数为 $(\\quad)$\nA. -80\nB. -40\nC. 40\nD. 80\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $(2 x-y)^{5}$ 的展开式的通项公式: $T_{r+1}=\\left[_{5}^{r}(2 x)^{5-r}(-y)^{r}=2^{5-r}\\right.$ $(-1){ }^{r}\\left[{ }_{5}^{r} x^{5-r} y\\right.$\n\n令 $5-r=2, r=3$, 解得 $r=3$.\n\n令 $5-r=3, r=2$, 解得 $r=2$.\n\n$\\therefore(x+y)(2 x-y)^{5}$ 的展开式中的 $x^{3} y^{3}$ 系数 $=2^{2} \\times(-1)^{3}\\left[_{5}^{3}+2^{3} \\times 1 \\times\\left[_{5}^{2}=40\\right.\\right.$. 故选: C.\n", "index": 100, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "5. (5 分) 已知双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\\frac{\\sqrt{5}}{2} x$, 且与椭圆 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点, 则 $C$ 的方程为 $(\\quad)$\nA. $\\frac{x^{2}}{8}-\\frac{y^{2}}{10}=1$\nB. $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{5}=1$\nC. $\\frac{x^{2}}{5}-\\frac{y^{2}}{4}=1$\nD. $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{3}=1$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: 椭圆 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 的焦点坐标 $( \\pm 3,0)$,\n\n则双曲线的焦点坐标为 $( \\pm 3,0)$, 可得 $c=3$,\n\n双曲线 C: $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\\frac{\\sqrt{5}}{2} x$, 可得 $\\frac{b}{a}=\\frac{\\sqrt{5}}{2}$, 即 $\\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\\frac{5}{4}$, 可得 $\\frac{c}{a}=\\frac{3}{2}$, 解得 $a=2, b=\\sqrt{5}$,\n\n所求的双曲线方程为: $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{5}=1$.\n\n故选: B.\n", "index": 101, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "6. (5 分) 设函数 $f(x)=\\cos \\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)$, 则下列结论错误的是 $(\\quad)$\nA. $f(x)$ 的一个周期为 $-2 \\pi$\nB. $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\\frac{8 \\pi}{3}$ 对称\nC. $f(x+\\pi)$ 的一个零点为 $x=\\frac{\\pi}{6}$\nD. $f(x)$ 在 $\\left(\\frac{\\pi}{2}, \\pi\\right)$ 单调递减\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $A$. 函数的周期为 $2 k \\pi$, 当 $k=-1$ 时, 周期 $T=-2 \\pi$, 故 $A$ 正确,\n\nB. 当 $x=\\frac{8 \\pi}{3}$ 时, $\\cos \\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\cos \\left(\\frac{8 \\pi}{3}+\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\cos \\frac{9 \\pi}{3}=\\cos 3 \\pi=-1$ 为最小 值, 此时 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\\frac{8 \\pi}{3}$ 对称, 故 $B$ 正确,\n\nC 当 $x=\\frac{\\pi}{6}$ 时, $f\\left(\\frac{\\pi}{6}+\\pi\\right)=\\cos \\left(\\frac{\\pi}{6}+\\pi+\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\cos \\frac{3 \\pi}{2}=0$, 则 $f(x+\\pi)$ 的一个 零点为 $x=\\frac{\\pi}{6}$, 故 $C$ 正确,\n\nD. 当 $\\frac{\\pi}{2}b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切, 则 $C$ 的离心率为\nA. $\\frac{\\sqrt{6}}{3}$\nB. $\\frac{\\sqrt{3}}{3}$\nC. $\\frac{\\sqrt{2}}{3}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切, $\\therefore$ 原点到直线的距离 $\\frac{2 a b}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=a$, 化为: $a^{2}=3 b^{2}$.\n\n$\\therefore$ 椭圆 $\\mathrm{C}$ 的离心率 $\\mathrm{e}=\\frac{\\mathrm{c}}{\\mathrm{a}}=\\sqrt{1-\\frac{\\mathrm{b}^{2}}{\\mathrm{a}^{2}}}=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$.\n\n故选: A.\n", "index": 104, "score": 5} +{"year": "2017", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "11. (5 分) 已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\\right)$ 有唯一零点, 则 $a=(\\quad)$\nA. $\\quad-\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{2}$\nD. 1\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: 因为 $f(x)=x^{2}-2 x+a\\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\\right)=-1+(x-1)^{2}+a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ $=0$,\n\n所以函数 $f(x)$ 有唯一零点等价于方程 $1-(x-1)^{2}=a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ 有唯一解, 等价于函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象与 $y=a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ 的图象只有一个交点.\n\n(1)当 $a=0$ 时, $f(x)=x^{2}-2 x \\geqslant-1$, 此时有两个零点, 矛盾;\n\n(2)当 $a<0$ 时, 由于 $y=1-(x-1)^{2}$ 在 $(-\\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\\infty)$ 上递 减,\n\n且 $y=a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ 在 $(-\\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\\infty)$ 上递减, 所以函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象的最高点为 $A(1,1), y=a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ 的\n\n图象的最高点为 $B(1,2 a)$,\n\n由于 $2 a<0<1$, 此时函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象与 $y=a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ 的图象 有两个交点，矛盾;\n\n(3)当 $a>0$ 时, 由于 $y=1-(x-1)^{2}$ 在 $(-\\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\\infty)$ 上递 减,\n\n且 $y=a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ 在 $(-\\infty, 1)$ 上递减、在 $(1,+\\infty)$ 上递增,\n\n所以函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象的最高点为 $A(1,1), y=a\\left(e^{x-1}+\\frac{1}{e^{x-1}}\\right)$ 的\n\n图象的最低点为 $B(1,2 a)$,\n\n由题可知点 $A$ 与点 $B$ 重合时满足条件, 即 $2 a=1$, 即 $a=\\frac{1}{2}$, 符合条件;\n\n综上所述, $a=\\frac{1}{2}$,\n\n故选: C.\n", "index": 105, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "1. （5 分）设 $z=\\frac{1-i}{1+i}+2 i$, 则 $|z|=(\\quad)$\nA. 0\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. 1\nD. $\\sqrt{2}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解 $ｚ=\\frac{1-i}{1+i}+2 i=\\frac{(1-i)(1-i)}{(1-i)(1+i)}+2 i=-i+2 i=i$,\n\n则 $|z|=1$.\n\n故选: C.\n", "index": 106, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "2. （5 分）已知集合 $A=\\left\\{x \\mid x^{2}-x-2>0\\right\\}$, 则 $\\left.C_{R} A=（ \\quad\\right)$\nA. $\\{x \\mid-12\\}$\nD. $\\{x \\mid x \\leqslant-1\\}$\n\n$U\\{x \\mid x \\geqslant 2\\}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解：集合 $A=\\left\\{x \\mid x^{2}-x-2>0\\right\\}$,\n\n可得 $A=\\{x \\mid x<-1$ 或 $x>2\\}$, 则: $C_{R} A=\\{x \\mid-1 \\leqslant x \\leqslant 2\\}$.\n\n故选: B.\n", "index": 107, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "4. (5 分) 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$, 则 $a_{5}=(\\quad)$\nA. -12\nB. -10\nC. 10\nD. 12\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: $\\because S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$,\n\n$\\therefore 3 \\times\\left(3 \\mathrm{a}_{1}+\\frac{3 \\times 2}{2} \\mathrm{~d}\\right)=\\mathrm{a}_{1}+\\mathrm{a}_{1}+d+4 \\mathrm{a}_{1}+\\frac{4 \\times 3}{2} \\mathrm{~d}$,\n\n把 $a_{1}=2$, 代入得 $d=-3$\n\n$\\therefore a_{5}=2+4 \\times(-3)=-10$.\n\n故选: B.\n", "index": 108, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "5. （5 分) 设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$. 若 $f(x)$ 为奇函数, 则曲线 $y=f($ $x$ ) 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 ( )\nA. $y=-2 x$\nB. $y=-x$\nC. $y=2 x$\nD. $y=x$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: 函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$, 若 $f(x)$ 为奇函数,\n\n可得 $a=1$, 所以函数 $f(x)=x^{3}+x$, 可得 $f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+1$,\n\n曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线的斜率为: 1 ,\n\n则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为: $y=x$.\n\n故选：D.\n", "index": 109, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "6. (5 分) 在 $\\triangle A B C$ 中, $A D$ 为 $B C$ 边上的中线, $E$ 为 $A D$ 的中点, 则 $\\overrightarrow{E B}=(\\quad)$\nA. $\\frac{3}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\frac{1}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$\nB. $\\frac{1}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\frac{3}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$\nC. $\\frac{3}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{1}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$\nD. $\\frac{1}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{3}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 在 $\\triangle A B C$ 中, $A D$ 为 $B C$ 边上的中线, $E$ 为 $A D$ 的中点,\n\n$\\overrightarrow{\\mathrm{EB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AE}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}$\n\n$=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\frac{1}{2} \\times \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})$\n\n$=\\frac{3}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\frac{1}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 故选: A.\n", "index": 110, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "8. (5 分) 设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$, 过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 则 $\\overrightarrow{F M} \\bullet \\overrightarrow{F N}=(\\quad)$\nA. 5\nB. 6\nC. 7\nD. 8\n", "answer": ["D"], "analysis": "解：抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F(1,0)$, 过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\\frac{2}{3}$ 的直线为: $3 y=2 x+4$,\n\n联立直线与抛物线 $C: y^{2}=4 x$, 消去 $x$ 可得: $y^{2}-6 y+8=0$ ，\n\n解得 $y_{1}=2, y_{2}=4$, 不妨 $M(1,2), N(4,4), \\overrightarrow{F M}=(0,2), \\overrightarrow{F N}=(3,4)$. 则 $\\overrightarrow{F M} \\bullet \\overrightarrow{F N}=(0,2) \\bullet(3,4)=8$.\n\n故选: D.\n", "index": 111, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "11. (5 分) 已知双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点, $F$ 为 $C$ 的右焦点, 过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$. 若 $\\triangle O M N$ 为直角三角形, 则 $|\\mathrm{MN}|=(\\quad)$\nA. $\\frac{3}{2}$\nB. 3\nC. $2 \\sqrt{3}$\nD. 4\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: 双曲线 $c: \\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的渐近线方程为: $y= \\pm \\frac{\\sqrt{3}}{3} x$, 渐近线的夹角 为: $60^{\\circ}$, 不妨设过 $F(2,0)$ 的直线为: $y=\\sqrt{3}(x-2)$, 则: $\\left\\{\\begin{array}{l}y=\\frac{\\sqrt{3}}{3} x \\\\ y=\\sqrt{3}(x-2)\\end{array}\\right.$ 解得 $M\\left(\\frac{3}{2},-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$,\n\n$\\left\\{\\begin{array}{l}y=\\frac{\\sqrt{3}}{3} x \\\\ y=\\sqrt{3}(x-2)\\end{array}\\right.$ 解得: $N(3, \\sqrt{3})$,\n\n则 $|M N|=\\sqrt{\\left(3-\\frac{3}{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=3$.\n\n故选：B.\n", "index": 112, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "1. (5 分 $) \\frac{1+2 i}{1-2 i}=(\\quad)$\nA. $-\\frac{4}{5}-\\frac{3}{5} i$\nB. $-\\frac{4}{5}+\\frac{3}{5} i$\nC. $-\\frac{3}{5}-\\frac{4}{5} i$\nD. $-\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5} i$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $\\frac{1+2 i}{1-2 i}=\\frac{(1+2 i)(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}=-\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5} i$.\n\n故选: D.\n", "index": 113, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "2. (5 分) 已知集合 $A=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2} \\leqslant 3, x \\in Z, y \\in Z\\right\\}$, 则 $A$ 中元素的个数为\nA. 9\nB. 8\nC. 5\nD. 4\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: 当 $x=-1$ 时, $y^{2} \\leqslant 2$, 得 $y=-1,0,1$,\n\n当 $x=0$ 时, $y^{2} \\leqslant 3$, 得 $y=-1,0,1$,\n\n当 $x=1$ 时, $y^{2} \\leqslant 2$, 得 $y=-1,0,1$,\n\n即集合 $A$ 中元素有 9 个, 故选：A.\n", "index": 114, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "4. (5 分) 已知向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 满足 $|\\vec{a}|=1, \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=-1$, 则 $\\vec{a} \\bullet(2 \\vec{a}-\\vec{b})=(\\quad ）$\nA. 4\nB. 3\nC. 2\nD. 0\n", "answer": ["B"], "analysis": "解 向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 满足 $|\\vec{a}|=1, \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=-1$, 则 $\\vec{a} \\cdot(2 \\vec{a}-\\vec{b})=2 \\vec{a}-\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=2+1=3$\n\n故选: B.\n", "index": 115, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "5. (5 分) 双曲线 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\\sqrt{3}$, 则其渐近线方程为 $(\\quad)$\nA. $y= \\pm \\sqrt{2} x$\nB. $y= \\pm \\sqrt{3} x$\nC. $y= \\pm \\frac{\\sqrt{2}}{2} x$\nD. $y= \\pm \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\mathrm{x}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $\\because$ 双曲线的离心率为 $e=\\frac{c}{a}=\\sqrt{3}$,\n\n则 $\\frac{b}{a}=\\sqrt{\\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\\sqrt{\\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\\sqrt{\\left(\\frac{c}{a}\\right)^{2}-1}=\\sqrt{3-1}=\\sqrt{2}$,\n\n即双曲线的渐近线方程为 $y= \\pm \\frac{b}{a} x= \\pm \\sqrt{2} x$,\n\n故选：A.\n", "index": 116, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "6. (5 分) 在 $\\triangle A B C$ 中, $\\cos \\frac{C}{2}=\\frac{\\sqrt{5}}{5}, B C=1, A C=5$, 则 $A B=（ ）$ \nA. $4 \\sqrt{2}$\nB. $\\sqrt{30}$\nC. $\\sqrt{29}$\nD. $2 \\sqrt{5}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解：在 $\\triangle \\mathrm{ABC}$ 中, $\\cos \\frac{\\mathrm{C}}{2}=\\frac{\\sqrt{5}}{5}, \\cos \\mathrm{C}=2 \\times\\left(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\right)^{2}-1=-\\frac{3}{5}$,\n\n$B C=1, A C=5$, 则 $A B=\\sqrt{B C^{2}+A C^{2}-2 B C \\cdot A C \\cos C}=\\sqrt{1+25+2 \\times 1 \\times 5 \\times \\frac{3}{5}}=\\sqrt{32}=4 \\sqrt{2}$.\n\n故选: A.\n", "index": 117, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "8. (5 分) 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”, 如 $30=7+23$. 在不超过 30 的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于 30 的概率是 $(\\quad)$\nA. $\\frac{1}{12}$\nB. $\\frac{1}{14}$\nC. $\\frac{1}{15}$\nD. $\\frac{1}{18}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: 在不超过 30 的素数中有, $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$ 共 10 个，\n\n从中选 2 个不同的数有 $C_{10}^{2}=45$ 种,\n\n和等于 30 的有 $(7,23)$, $(11,19),(13,17)$, 共 3 种,\n\n则对应的概率 $P=\\frac{3}{45}=\\frac{1}{15}$,\n\n故选: C.\n", "index": 118, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "10. （5 分) 若 $f(x)=\\cos x-\\sin x$ 在 $[-a, a]$ 是减函数, 则 $a$ 的最大值是 $(\\quad)$\nA. $\\frac{\\pi}{4}$\nB. $\\frac{\\pi}{2}$\nC. $\\frac{3 \\pi}{4}$\nD. $\\pi$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $f(x)=\\cos x-\\sin x=-(\\sin x-\\cos x)=-\\sqrt{2} \\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)$,\n\n由 $-\\frac{\\pi}{2}+2 k \\pi \\leqslant x-\\frac{\\pi}{4} \\leqslant \\frac{\\pi}{2}+2 k \\pi, k \\in Z$,\n\n得 $-\\frac{\\pi}{4}+2 k \\pi \\leqslant x \\leqslant \\frac{3}{4} \\pi+2 k \\pi, k \\in Z$,\n\n取 $\\mathrm{k}=0$, 得 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 的一个减区间为 $\\left[-\\frac{\\pi}{4}, \\frac{3}{4} \\pi\\right]$,\n\n由 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是减函数, 得 $\\left\\{\\begin{array}{l}-a \\geqslant-\\frac{\\pi}{4} \\\\ a \\leqslant \\frac{3 \\pi}{4}\\end{array}, \\quad \\therefore a \\leqslant \\frac{\\pi}{4}\\right.$.\n\n则 $a$ 的最大值是 $\\frac{\\pi}{4}$.\n\n故选: A.\n", "index": 119, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "11. (5 分) 已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\\infty,+\\infty)$ 的奇函数, 满足 $f(1-x)=f$ $(1+x)$, 若 $f(1)=2$, 则 $f(1)+f(2)+f(3)+\\ldots+f(50)=(\\quad)$\nA. -50\nB. 0\nC. 2\nD. 50\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because f(x)$ 是奇函数, 且 $f(1-x)=f(1+x)$,\n\n$\\therefore f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1), f(0)=0$,\n\n则 $f(x+2)=-f(x)$, 则 $f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$,\n\n即函数 $f(x)$ 是周期为 4 的周期函数,\n\n$\\because f(1)=2$,\n\n$\\therefore f(2)=f(0)=0, f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2$,\n\n$f(4)=f(0)=0$\n\n则 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0$,\n\n则 $f(1)+f(2)+f(3)+\\ldots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)$\n\n$+f(50)$\n\n$=f(1)+f(2)=2+0=2$, 故选：C.\n", "index": 120, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "1. (5 分) 已知集合 $A=\\{x \\mid x-1 \\geqslant 0\\}, B=\\{0,1,2\\}$, 则 $A \\cap B=（ \\quad)$\nA. $\\{0\\}$\nB. $\\{1\\}$\nC. $\\{1,2\\}$\nD. $\\{0,1,2\\}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because A=\\{x \\mid x-1 \\geqslant 0\\}=\\{x \\mid x \\geqslant 1\\}, B=\\{0,1,2\\}$,\n\n$\\therefore A \\cap B=\\{x \\mid x \\geqslant 1\\} \\cap\\{0,1,2\\}=\\{1,2\\}$.\n\n故选: C.\n", "index": 121, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "2. $(5$ 分 $)(1+i)(2-i)=(\\quad)$\nA. $-3-i$\nB. $-3+i$\nC. $3-i$\nD. $3+i$\n", "answer": ["D"], "analysis": "解: $(1+i)(2-i)=3+i$. 故选: D.\n", "index": 122, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "4. (5 分) 若 $\\sin a=\\frac{1}{3}$, 则 $\\cos 2 a=(\\quad)$\nA. $\\frac{8}{9}$\nB. $\\frac{7}{9}$\nC. $-\\frac{7}{9}$\nD. $-\\frac{8}{9}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解: $\\because \\sin a=\\frac{1}{3}$,\n\n$\\therefore \\cos 2 a=1-2 \\sin ^{2} a=1-2 \\times \\frac{1}{9}=\\frac{7}{9}$.\n\n故选: $B$.\n", "index": 123, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "5. (5 分) $\\left(x^{2}+\\frac{2}{x}\\right){ }^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $(\\quad)$\nA. 10\nB. 20\nC. 40\nD. 80\n", "answer": ["C"], "analysis": "解：由二项式定理得 $\\left(x^{2}+\\frac{2}{x}\\right)^{5}$ 的展开式的通项为:\n\n$$\nT_{r+1}=C_{5}^{r}\\left(x^{2}\\right)^{5-r}\\left(\\frac{2}{x}\\right)^{r}=2^{r} C_{5}^{r} x^{10-3 r}\n$$\n\n由 $10-3 r=4$, 解得 $r=2$,\n\n$\\therefore\\left(\\mathrm{x}^{2}+\\frac{2}{\\mathrm{x}}\\right)^{5}$ 的展开式中 $\\mathrm{x}^{4}$ 的系数为 $2^{2} \\mathrm{C}_{5}^{2}=40$.\n\n故选: C.\n", "index": 124, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "6. (5 分) 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴, $y$ 轴交于 $A$, B 两点, 点 $P$ 在圆 $(x-2)$ ${ }^{2}+y^{2}=2$ 上，则 $\\triangle A B P$ 面积的取值范围是 $(\\quad)$\nA. $[2,6]$\nB. $[4,8]$\nC. $[\\sqrt{2}, 3 \\sqrt{2}]$\nD. $[2 \\sqrt{2}, 3 \\sqrt{2}]$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解: $\\because$ 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴, $y$ 轴交于 $A, B$ 两点, $\\therefore$ 令 $\\mathrm{x}=0$, 得 $\\mathrm{y}=-2$, 令 $\\mathrm{y}=0$, 得 $\\mathrm{x}=-2$,\n\n$\\therefore A(-2,0), B(0,-2),|A B|=\\sqrt{4+4}=2 \\sqrt{2}$,\n\n$\\because$ 点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$ 上, $\\therefore$ 设 $P(2+\\sqrt{2} \\cos \\theta, \\sqrt{2} \\sin \\theta)$,\n\n$\\therefore$ 点 $\\mathrm{P}$ 到直线 $\\mathrm{x}+\\mathrm{y}+2=0$ 的距离: $\\mathrm{d}=\\frac{|2+\\sqrt{2} \\cos \\theta+\\sqrt{2} \\sin \\theta+2|}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\left|2 \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)+4\\right|}{\\sqrt{2}}$,\n\n$\\because \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right) \\in[-1,1], \\quad \\therefore d=\\frac{\\left|2 \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)+4\\right|}{\\sqrt{2}} \\in[\\sqrt{2}, 3 \\sqrt{2}]$,\n\n$\\therefore \\triangle \\mathrm{ABP}$ 面积的取值范围是:\n\n$\\left[\\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{2} \\times \\sqrt{2}, \\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{2} \\times 3 \\sqrt{2}\\right]=[2,6]$.\n\n故选: $A$.\n", "index": 125, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "8. (5 分) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $\\mathrm{p}$, 各成员的支付方式 相互独立. 设 $\\mathrm{X}$ 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, $D X=2.4, P$ $(x=4)\\frac{1}{2}$\n\n因为 $D X=2.4$, 可得 $10 p(1-p)=2.4$, 解得 $p=0.6$ 或 $p=0.4$ (舍去).\n\n故选: $B$.\n", "index": 126, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "9. (5 分) $\\triangle A B C$ 的内角 A, B, C 的对边分别为 $a, b, C$. 若 $\\triangle A B C$ 的面积为 $\\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$, 则 $\\mathrm{C}=(\\quad)$\nA. $\\frac{\\pi}{2}$\nB. $\\frac{\\pi}{3}$\nC. $\\frac{\\pi}{4}$\nD. $\\frac{\\pi}{6}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解: $\\because \\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$.\n\n$\\triangle A B C$ 的面积为 $\\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$,\n\n$\\therefore S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} a b \\sin C=\\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$ $\\therefore \\sin \\mathrm{C}=\\frac{\\mathrm{a}^{2}+\\mathrm{b}^{2}-\\mathrm{c}^{2}}{2 \\mathrm{ab}}=\\cos \\mathrm{C}$,\n\n$\\because 0<\\mathrm{C}<\\pi, \\quad \\therefore \\mathrm{C}=\\frac{\\pi}{4}$.\n\n故选: C.\n", "index": 127, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "11. (5 分) 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左, 右焦点, $O$ 是坐标原点. 过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线, 垂足为 $P$, 若 $\\left|P F_{1}\\right|=\\sqrt{6}|O P|$, 则 $C$ 的离心率为 $(\\quad)$\nA. $\\sqrt{5}$\nB. 2\nC. $\\sqrt{3}$\nD. $\\sqrt{2}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解：双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad(a>0 . b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\\frac{b}{a} x$, $\\therefore$ 点 $\\mathrm{F}_{2}$ 到渐近线的距离 $\\mathrm{d}=\\frac{\\mathrm{bc}}{\\sqrt{\\mathrm{a}^{2}+\\mathrm{b}^{2}}}=\\mathrm{b}$, 即 $\\left|P F_{2}\\right|=b$,\n\n$\\therefore|\\mathrm{OP}|=\\sqrt{\\left|O \\mathrm{~F}_{2}\\right|^{2}-\\left|\\mathrm{PF}_{2}\\right|^{2}}=\\sqrt{c^{2}-\\mathrm{b}^{2}}=\\mathrm{a}, \\quad \\cos \\angle \\mathrm{PF} \\mathrm{F}_{2} \\mathrm{O}=\\frac{\\mathrm{b}}{\\mathrm{c}}$,\n\n$\\because\\left|\\mathrm{PF}_{1}\\right|=\\sqrt{6}|\\mathrm{OP}|$\n\n$\\therefore\\left|P F_{1}\\right|=\\sqrt{6} a$ 在三角形 $F_{1} P F_{2}$ 中, 由余弦定理可得 $\\left|P F_{1}\\right|^{2}=\\left|P F_{2}\\right|^{2}+\\left|F_{1} F_{2}\\right|^{2}-2\\left|P F_{2}\\right| \\cdot\\left|F_{1} F_{2}\\right| C O S \\angle$ $\\mathrm{PF}_{2} \\mathrm{O}$\n\n$\\therefore 6 \\mathrm{a}^{2}=\\mathrm{b}^{2}+4 c^{2}-2 \\times b \\times 2 c \\times \\frac{b}{c}=4 c^{2}-3 b^{2}=4 c^{2}-3 \\quad\\left(c^{2}-a^{2}\\right)$,\n\n即 $3 a^{2}=c^{2}$,\n\n即 $\\sqrt{3} a=c$,\n\n$\\therefore \\mathrm{e}=\\frac{\\mathrm{c}}{\\mathrm{a}}=\\sqrt{3}$,\n\n故选: C.\n", "index": 128, "score": 5} +{"year": "2018", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "12. (5 分) 设 $a=\\log _{0.2} 0.3, b=\\log _{2} 0.3$, 则 $(\\quad)$\nA. $a+b\\lg \\frac{5}{2}, \\frac{\\lg 0.3}{\\lg 2 \\lg 5}<0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{ab}<\\mathrm{a}+\\mathrm{b}<0$.\n\n故选: B.\n", "index": 129, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "1.已知集合 $M=\\{x \\mid-42^{0}=1, \\quad 0<0.2^{0.3}<0.2^{0}=1$, 则 $00\\right\\}, B=\\{x \\mid x-1<0\\}$, 则 $A \\cap B=$\nA. $(-\\infty, 1)$\nB. $(-2,1)$\nC. $(-3,-1)$\nD. $(3,+\\infty)$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】由题意得, $A=\\{x \\mid x 2$, 或 $x 3\\}, B=\\{x \\mid x<1\\}$, 则 $A \\cap B=\\{x \\mid x<1\\}$. 故选 A.\n", "index": 136, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "2. 设 $z=-3+2 \\mathrm{i}$, 则在复平面内 $\\bar{z}$ 对应的点位于\nA. 第一象限\nB. 第二象限\nC. 第三象限\nD. 第四象限\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】由 $z=-3+2 i$, 得 $\\bar{z}=-3-2 i$, 则 $\\bar{z}=-3-2 i$, 对应点 $(-3,-2)$ 位于第三象限. 故选 $\\mathrm{C}$.\n", "index": 137, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "3. 已知 $\\overrightarrow{A B}=(2,3), \\overrightarrow{A C}=(3, t), \\overrightarrow{B C}=1$, 则 $\\overrightarrow{A B} \\cdot \\overrightarrow{B C}=$\nA. -3\nB. -2\nC. 2\nD. 3\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】由 $\\overrightarrow{B C}=\\overrightarrow{A C}-\\overrightarrow{A B}=(1, t-3),|\\overrightarrow{B C}|=\\sqrt{1^{2}+(t-3)^{2}}=1$, 得 $t=3$, 则 $\\overrightarrow{B C}=(1,0)$, $\\overrightarrow{A B} \\cdot \\overrightarrow{B C}=(2,3) \\cdot(1,0)=2 \\times 1+3 \\times 0=2$. 故选 C.\n", "index": 138, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "4.2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆, 我国航天 事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。 为解决这个问题, 发射了嫦娥四号中继星 “鹊桥”, 鹊桥沿着围绕地 月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行. $L_{2}$ 点是平衡点, 位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 $M_{1}$, 月球质量为 $M_{2}$, 地月距离为 $R, L_{2}$ 点到月球的距离为 $r$, 根据牛顿运动定律和万 有引力定律, $r$ 满足方程:\n\n$$\n\\frac{M_{1}}{(R+r)^{2}}+\\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R+r) \\frac{M_{1}}{R^{3}}\n$$\n\n设 $a=\\frac{r}{R}$, 由于 $a$ 的值很小, 因此在近似计算中 $\\frac{3 a^{3}+3 a^{4}+a^{5}}{(1+a)^{2}} \\approx 3 a^{3}$, 则 $r$ 的近似值 为\nA. $\\sqrt{\\frac{M_{2}}{M_{1}}} R$\nB. $\\sqrt{\\frac{M_{2}}{2 M_{1}}} R$\nC. $\\sqrt[3]{\\frac{3 M_{2}}{M_{1}}} R$\nD. $\\sqrt[3]{\\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】由 $a=\\frac{r}{R}$, 得 $r=a R$\n\n因为 $\\frac{M_{1}}{(R+r)^{2}}+\\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R+r) \\frac{M_{1}}{R^{3}}$,\n\n所以 $\\frac{M_{1}}{R^{2}(1+a)^{2}}+\\frac{M_{2}}{a^{2} R^{2}}=(1+a) \\frac{M_{1}}{R^{2}}$,\n\n即 $\\frac{M_{2}}{M_{1}}=a^{2}\\left[(1+a)-\\frac{1}{(1+a)^{2}}\\right]=\\frac{a^{5}+3 a^{4}+3 a^{3}}{(1+a)^{2}} \\approx 3 a^{3}$,\n\n解得 $a==^{3} \\sqrt{\\frac{M_{2}}{3 M_{1}}}$,\n\n所以 $r=a R=\\sqrt{\\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$.\n", "index": 139, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "5. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分, 评定该选手的成绩时, 从 9 个原 始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分, 得到 7 个有效评分. 7 个有效评分与 9 个原始评 分相比, 不变的数字特征是\nA. 中位数\nB. 平均数\nC. 方差\nD. 极差\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】设 9 位评委评分按从小到大排列为 $x_{1}b$, 则\nA. $\\ln (a-b)>0$\nB. $3^{a}<3^{b}$\nC. $a^{3}-b^{3}>0$\nD. $|a|>|b|$\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】取 $a=2, b=1$, 满足 $a>b, \\ln (a-b)=0$, 知 $\\mathrm{A}$ 错, 排除 $\\mathrm{A}$; 因为 $9=3^{a}>3^{b}=3$, 知 B 错, 排除 B; 取 $a=1, b=-2$, 满足 $a>b, 1=|a|<|b|=2$, 知 $\\mathrm{D}$ 错, 排除 $\\mathrm{D}$, 因为 幂函数 $y=x^{3}$ 是增函数, $a>b$, 所以 $a^{3}>b^{3}$, 故选 C.\n", "index": 141, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "7. 设 $\\alpha, \\beta$ 为两个平面, 则 $\\alpha / / \\beta$ 的充要条件是\nA. $\\alpha$ 内有无数条直线与 $\\beta$ 平行\nB. $\\alpha$ 内有两条相交直线与 $\\beta$ 平行\nC. $\\alpha, \\beta$ 平行于同一条直线\nD. $\\alpha, \\beta$ 垂直于同一平面\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】由面面平行的判定定理知: $a$ 内两条相交直线都与 $\\beta$ 平行是 $a / / \\beta$ 的充分条件,\n\n由面面平行性质定理知, 若 $a / / \\beta$, 则 $a$ 内任意一条直线都与 $\\beta$ 平行, 所以 $a$ 内两条相交 直线都与 $\\beta$ 平行是 $a / / \\beta$ 的必要条件, 故选 $\\mathrm{B}$.\n", "index": 142, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "8. 若抛物线 $y^{2}=2 p x \\quad(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\\frac{x^{2}}{3 p}+\\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点, 则 $p=$\nA. 2\nB. 3\nC. 4\nD. 8\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】因为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $\\left(\\frac{p}{2}, 0\\right)$ 是椭圆 $\\frac{x^{2}}{3 p}+\\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点, 所以 $3 p-p=\\left(\\frac{p}{2}\\right)^{2}$, 解得 $p=8$, 故选 $\\mathrm{D}$.\n", "index": 143, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅱ）", "question": "10.已知 $a \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), 2 \\sin 2 \\alpha=\\cos 2 \\alpha+1$, 则 $\\sin \\alpha=$\nA. $\\frac{1}{5}$\nB. $\\frac{\\sqrt{5}}{5}$\nC. $\\frac{\\sqrt{3}}{3}$\nD. $\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】 $\\because 2 \\sin 2 a=\\cos 2 a+1, \\therefore 4 \\sin a \\cdot \\cos a=2 \\cos ^{2} a \\because a \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\therefore \\cos a>0$. $\\sin a>0, \\therefore 2 \\sin a=\\cos a$, 又 $\\sin ^{2} a+\\cos ^{2} a=1, \\therefore 5 \\sin ^{2} a=1, \\quad \\sin ^{2} a=\\frac{1}{5}$, 又 $\\sin a>0, \\therefore \\sin a=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$, 故选 B.\n", "index": 144, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "1.已知集合 $A=\\{-1,0,1,2\\}, B=\\left\\{x \\mid x^{2} \\leq 1\\right\\}$, 则 $A \\cap B=(\\quad)$\nA. $\\{-1,0,1\\}$\nB. $\\{0,1\\}$\nC. $\\{-1,1\\}$\nD.\n\n$\\{0,1,2\\}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】由题意得, $B=\\{x \\mid-1 \\leq x \\leq 1\\}$, 则 $A \\cap B=\\{-1,0,1\\}$. 故选 A.\n", "index": 145, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "2. 若 $z(1+\\mathrm{i})=2 \\mathrm{i}$ ，则 $z=(\\quad)$\nA. $-1-\\mathrm{i}$\nB. $-1+\\mathrm{i}$\nC. $1-\\mathrm{i}$\nD. $1+i$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】 $z=\\frac{2 \\mathrm{i}}{1+\\mathrm{i}}=\\frac{2 \\mathrm{i}(1-\\mathrm{i})}{(1+\\mathrm{i})(1-\\mathrm{i})}=1+\\mathrm{i}$. 故选 D.\n", "index": 146, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "3. 《西游记》《三国演义》《水淓传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝, 并称为中国古典小 说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况, 随机调查了 100 学生, 其中阅读 过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位, 阅读过 《红楼梦》的学生共有 80 位, 阅读过 《西游记》且阅读过 《红楼梦》的学生共有 60 位, 则该校阅读过 《西游记》的学生人数与 该校学生总数比值的估计值为 $(\\quad)$\nA. 0.5\nB. 0.6\nC. 0.7\nD. 0.8\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】由题意得, 阅读过 《西游记》的学生人数为 $90-80+60=70$, 则其与该校学生人数之 比为 $70 \\div 100=0$. 7. 故选 C.\n", "index": 147, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "4. $\\left(1+2 x^{2}\\right)(1+x){ }^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系���为\nA. 12\nB. 16\nC. 20\nD. 24\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】由题意得 $x^{3}$ 的系数为 $C_{4}^{3}+2 C_{4}^{1}=4+8=12$, 故选 A.\n", "index": 148, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "5.已知各项均为正数的等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 4 项和为 15 , 且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$, 则 $a_{3}=(\\quad)$ \nA. 16\nB. 8\nC. 4\nD. 2\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】设正数的等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公比为 $q$, 则 $\\left\\{\\begin{array}{l}a_{1}+a_{1} q+a_{1} q^{2}+a_{1} q^{3}=15 \\text {, } \\\\ a_{1} q^{4}=3 a_{1} q^{2}+4 a_{1}\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}a_{1}=1, \\\\ q=2\\end{array}, \\therefore a_{3}=a_{1} q^{2}=4\\right.$, 故选 C.\n", "index": 149, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "6. 已知曲线 $y=a \\mathrm{e}^{x}+x \\ln x$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y=2 x+b$, 则 ( )\nA. $a=e, b=-1$\nB. $a=e, b=1$\nC. $a=e^{-1}, b=1$\nD.\n\n$a=e^{-1}, b=-1$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】详解: $y^{\\prime}=a e^{x}+\\ln x+1$,\n\n$k=\\left.y^{\\prime}\\right|_{x=1}=a e+1=2$\n\n$\\therefore a=e^{-1}$\n\n将 $(1,1)$ 代人 $y=2 x+b$ 得 $2+b=1, b=-1$, 故选 D.\n", "index": 150, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "10. 双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点为 $F$, 点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上, $O$ 为坐标原点, 若 $|P O|=|P F|$, 则 $\\triangle P F O$ 的面积为\nA. $\\frac{3 \\sqrt{2}}{4}$\nB. $\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}$\nC. $\\frac{\\mathrm{x}_{1}}{\\mathrm{x}_{2}}$\nD. $3 \\sqrt{2}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】由 $a=2, b=\\sqrt{2}, c=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\\sqrt{6}$ ．\n\n$$\n\\because|P O|=|P F|, \\therefore x_{P}=\\frac{\\sqrt{6}}{2}\n$$\n\n又 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上, 不妨设为在 $y=\\frac{b}{a} x$ 上,\n\n$\\therefore S_{\\triangle P F O}=\\frac{1}{2}|O F| \\cdot\\left|y_{P}\\right|=\\frac{1}{2} \\times \\sqrt{6} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4}$, 故选 A.\n", "index": 151, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "11. 设 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数, 且在 $(0,+\\infty)$ 单调递减, 则 $(\\quad)$\nA. $f\\left(\\log _{5} \\frac{1}{4}\\right)>f\\left(2^{-\\frac{3}{2}}\\right)>f\\left(2^{-\\frac{2}{3}}\\right)$\nB. $f\\left(\\log _{8} \\frac{1}{4}\\right)>f\\left(2^{-\\frac{2}{3}}\\right)>f\\left(2^{-\\frac{3}{2}}\\right)$\nC. $f\\left(2^{-\\frac{3}{2}}\\right)>f\\left(2^{-\\frac{2}{3}}\\right)>f\\left(\\log _{5} \\frac{1}{4}\\right)$\nD. $f\\left(2^{-\\frac{2}{3}}\\right)>f\\left(2^{-\\frac{3}{2}}\\right)>f\\left(\\log _{5} \\frac{1}{4}\\right)$\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】 $\\because f(x)$ 是 $\\mathrm{R}$ 的偶函数, $\\therefore f\\left(\\log _{3} \\frac{1}{4}\\right)=f\\left(\\log _{3} 4\\right)$.\n\n$\\therefore \\log _{3} 4>1=2^{0}>2^{-\\frac{3}{2}}$, 又 $f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 单调递减, $f\\left(\\log _{3} 4\\right)f\\left(2^{-\\frac{2}{3}}\\right)>f\\left(\\log _{3} \\frac{1}{4}\\right)$, 故选 C.\n", "index": 152, "score": 5} +{"year": "2019", "category": "（新课标ⅲ）", "question": "12. 设函数 $f(x)=\\sin \\left(\\omega x+\\frac{\\pi}{5}\\right)(\\omega>0)$, 已知 $f(x)$ 在 $[0,2 \\pi]$ 有且仅有 5 个零点, 下 述四个结论:\n\n(1) $f(x)$ 在 $(0,2 \\pi)$ 有且仅有 3 个极大值点\n\n(2) $f(x)$ 在 $(0,2 \\pi)$ 有且仅有 2 个极小值点 (3) $f(x)$ 在 $\\left(0, \\frac{\\pi}{10}\\right)$ 单调递增\n\n(4) 的取值范围是 $\\left[\\frac{12}{5}, \\frac{29}{10}\\right)$\n\n其中所有正确结论的编号是\nA. (1)(4)\nB. (2)(3)\nC. (1)(2)(3)\nD. (1)(3)(4)\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】 $\\because f(x)=\\sin \\left(w x+\\frac{\\pi}{5}\\right)(w>0)$, 在 $[0,2 \\pi]$ 有且仅有 5 个零点. $\\therefore 0 \\leq x \\leq 2 \\pi$ ， $\\frac{1}{5} \\leq w x+\\frac{\\pi}{5} \\leq 2 \\pi w+\\frac{\\pi}{5}, \\frac{12}{5} \\leq w<\\frac{29}{10}$, (4)正确. 如图 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为极大值点为 3 个, (1)正 确; 极小值点为 2 个或 3 个. $\\therefore$ (2)不正确.\n\n当 $00)$ 交于 $D, E$ 两点, 若 $O D \\perp O E$, 则 $C$ 的焦点坐标为 $(\\quad)$\nA. $\\left(\\frac{1}{4}, 0\\right)$\nB. $\\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)$\nC. $(1,0)$\nD. $(2,0)$\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】因为直线 $x=2$ 与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $C, D$ 两点, 且 $O D \\perp O E$, 根据抛物线的对称性可以确定 $\\angle D O x=\\angle C O x=\\frac{\\pi}{4}$, 所以 $C(2,2)$ ， 代人抛物线方程 $4=4 p$, 求得 $p=1$, 所以其焦点坐标为 $\\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)$, 故选: B.\n", "index": 158, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（全国卷Ⅲ）", "question": "6. 已知向量 $\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=5,|b|=6, a \\cdot b=-6$, 则 $\\cos \\langle\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}\\rangle=(\\quad)$\nA. $-\\frac{31}{35}$\nB. $-\\frac{19}{35}$\nC. $\\frac{17}{35}$\nD. $\\frac{19}{35}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】 $\\because|\\vec{a}|=5,|\\vec{b}|=6, \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=-6, \\quad \\therefore \\vec{a} \\cdot(\\vec{a}+\\vec{b})=|\\vec{a}|^{2}+\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=5^{2}-6=19$ ．\n\n$|\\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{(\\vec{a}+\\vec{b})^{2}}=\\sqrt{\\vec{a}^{2}+2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+\\vec{b}^{2}}=\\sqrt{25-2 \\times 6+36}=7$\n\n因此, $\\cos \\langle\\vec{a}, \\vec{a}+\\vec{b}\\rangle=\\frac{\\vec{a} \\cdot(\\vec{a}+\\vec{b})}{|\\vec{a}| \\cdot|\\vec{a}+\\vec{b}|}=\\frac{19}{5 \\times 7}=\\frac{19}{35}$.\n\n故选: D.\n", "index": 159, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（全国卷Ⅲ）", "question": "7. 在 $\\triangle A B C$ 中, $\\cos C=\\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$, 则 $\\cos B=(\\quad)$\nA. $\\frac{1}{9}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{2}$\nD. $\\frac{2}{3}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】 $\\because$ 在 $\\triangle A B C$ 中, $\\cos C=\\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$\n\n根据余弦定理: $A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 A C \\cdot B C \\cdot \\cos C$ $A B^{2}=4^{2}+3^{2}-2 \\times 4 \\times 3 \\times \\frac{2}{3}$\n\n可得 $A B^{2}=9$ ， 即 $A B=3$\n\n由 $\\because \\cos B=\\frac{A B^{2}+B C^{2}-A C^{2}}{2 A B \\cdot B C}=\\frac{9+9-16}{2 \\times 3 \\times 3}=\\frac{1}{9}$\n\n故 $\\cos B=\\frac{1}{9}$.\n\n故选: A.\n", "index": 160, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（全国卷Ⅲ）", "question": "9. 已知 $2 \\tan \\theta-\\tan \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=7$, 则 $\\tan \\theta=(\\quad)$\nA. -2\nB. -1\nC. 1\nD. 2\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】 $\\because 2 \\tan \\theta-\\tan \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=7, \\therefore 2 \\tan \\theta-\\frac{\\tan \\theta+1}{1-\\tan \\theta}=7$,\n\n令 $t=\\tan \\theta, t \\neq 1$, 则 $2 t-\\frac{1+t}{1-t}=7$, 整理得 $t^{2}-4 t+4=0$, 解得 $t=2$, 即 $\\tan \\theta=2$.\n\n故选: D.\n", "index": 161, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（全国卷Ⅲ）", "question": "10. 若直线 $l$ 与曲线 $y=\\sqrt{x}$ 和 $x^{2}+y^{2}=\\frac{1}{5}$ 都相切, 则 $l$ 的方程为 $(\\quad)$\nA. $y=2 x+1$\nB. $y=2 x+\\frac{1}{2}$\nC. $y=\\frac{1}{2} x+1$\nD.\n\n$y=\\frac{1}{2} x+\\frac{1}{2}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】设直线 $l$ 在曲线 $y=\\sqrt{x}$ 上的切点为 $\\left(x_{0}, \\sqrt{x_{0}}\\right)$, 则 $x_{0}>0$,\n\n函数 $y=\\sqrt{x}$ 的导数为 $y^{\\prime}=\\frac{1}{2 \\sqrt{x}}$, 则直线 $l$ 的斜率 $k=\\frac{1}{2 \\sqrt{x_{0}}}$,\n\n设直线 $l$ 的方程为 $y-\\sqrt{x_{0}}=\\frac{1}{2 \\sqrt{x_{0}}}\\left(x-x_{0}\\right)$, 即 $x-2 \\sqrt{x_{0}} y+x_{0}=0$,\n\n由于直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=\\frac{1}{5}$ 相切, 则 $\\frac{x_{0}}{\\sqrt{1+4 x_{0}}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}}$,\n\n两边平方并整理得 $5 x_{0}^{2}-4 x_{0}-1=0$, 解得 $x_{0}=1, x_{0}=-\\frac{1}{5}$ (舍),\n\n则直线 $l$ 的方程为 $x-2 y+1=0$, 即 $y=\\frac{1}{2} x+\\frac{1}{2}$.\n\n故选: D.\n", "index": 162, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（全国卷Ⅲ）", "question": "11. 设双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 离心率为 $\\sqrt{5} . P$ 是 $C$ 上一点, 且 $F_{1} P \\perp F_{2} P$. 若 $\\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 4 , 则 $a=(\\quad)$\nA. 1\nB. 2\nC. 4\nD. 8\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】 $\\because \\frac{c}{a}=\\sqrt{5}, \\therefore c=\\sqrt{5} a$ ，根据双曲线的定义可得 ||$P F_{1}|-| P F_{2} \\|=2 a$ ，\n\n$S_{\\triangle P F_{1} F_{2}}=\\frac{1}{2}\\left|P F_{1}\\right| \\cdot\\left|P F_{2}\\right|=4$, 即 $\\left|P F_{1}\\right| \\cdot\\left|P F_{2}\\right|=8$ ，\n\n$\\because F_{1} P \\perp F_{2} P, \\quad \\therefore\\left|P F_{1}\\right|^{2}+\\left|P F_{2}\\right|^{2}=(2 c)^{2}$\n\n$\\therefore\\left(\\left|P F_{1}\\right|-\\left|P F_{2}\\right|\\right)^{2}+2\\left|P F_{1}\\right| \\cdot\\left|P F_{2}\\right|=4 c^{2}$, 即 $a^{2}-5 a^{2}+4=0$, 解得 $a=1$, 故选: A.\n", "index": 163, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（全国卷Ⅲ）", "question": "12. 已知 $5^{5}<8^{4}, 13^{4}<8^{5}$. 设 $a=\\log _{5} 3, b=\\log _{8} 5, c=\\log _{13} 8$, 则 $(\\quad)$\nA. $a4$, 可得 $c>\\frac{4}{5}$. 综上所述, $a0)$ 上一点, 点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 12 , 到 $y$ 轴的距离为 9 , 则 $p=()$\nA. 2\nB. 3\nC. 6\nD. 9\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】设抛物线的焦点为 $F$, 由抛物线的定义知 $|A F|=x_{A}+\\frac{p}{2}=12$, 即 $12=9+\\frac{p}{2}$, 解得 $p=6$.\n\n故选: C.\n\n【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径, 考查学生转化与化归思想, 是一道容易题.\n", "index": 167, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅰ）", "question": "6. 函数 $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 ()\nA. $y=-2 x-1$\nB. $y=-2 x+1$\nC. $y=2 x-3$\nD. $y=2 x+1$\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】 $\\because f(x)=x^{4}-2 x^{3}, \\therefore f^{\\prime}(x)=4 x^{3}-6 x^{2}, \\therefore f(1)=-1, f^{\\prime}(1)=-2$,\n\n因此, 所求切线的方程为 $y+1=-2(x-1)$, 即 $y=-2 x+1$.\n\n故选: B.\n", "index": 168, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅰ）", "question": "8. $\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $(\\quad)$\nA. 5\nB. 10\nC. 15\nD. 20\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】 $(x+y)^{5}$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} \\quad(r \\in N$ 且 $r \\leq 5)$\n\n所以 $\\left(x+\\frac{y^{2}}{x}\\right)$ 与 $(x+y)^{5}$ 展开式的乘积可表示为:\n\n$x T_{r+1}=x C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 或 $\\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=\\frac{y^{2}}{x} C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$\n\n在 $x T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 中, 令 $r=3$, 可得: $x T_{4}=C_{5}^{3} x^{3} y^{3}$, 该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 10 ,\n\n在 $\\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$ 中, 令 $r=1$, 可得: $\\frac{y^{2}}{x} T_{2}=C_{5}^{1} x^{3} y^{3}$, 该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 5\n\n所以 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $10+5=15$\n\n故选: C\n", "index": 169, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅰ）", "question": "9. 已知 $\\alpha \\in(0, \\pi)$, 且 $3 \\cos 2 \\alpha-8 \\cos \\alpha=5$, 则 $\\sin \\alpha=($ ( )\nA. $\\frac{\\sqrt{5}}{3}$\nB. $\\frac{2}{3}$\nC. $\\frac{1}{3}$\nD. $\\frac{\\sqrt{5}}{9}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】 $3 \\cos 2 \\alpha-8 \\cos \\alpha=5$, 得 $6 \\cos ^{2} \\alpha-8 \\cos \\alpha-8=0$,\n\n即 $3 \\cos ^{2} \\alpha-4 \\cos \\alpha-4=0$, 解得 $\\cos \\alpha=-\\frac{2}{3}$ 或 $\\cos \\alpha=2$ （舍去）, 又 $\\because \\alpha \\in(0, \\pi), \\therefore \\sin \\alpha=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\alpha}=\\frac{\\sqrt{5}}{3}$.\n\n故选: A.\n", "index": 170, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅰ）", "question": "11. 已知 $\\odot M: x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-2=0$, 直线 $l: 2 x+y+2=0, P$ 为 $l$ 上的动点, 过点 $P$ 作 $\\odot M$ 的切 线 $P A, P B$, 切点为 $A, B$, 当 $|P M| \\cdot|A B|$ 最小时, 直线 $A B$ 的方程为（ ()\nA. $2 x-y-1=0$\nB. $2 x+y-1=0$\nC. $2 x-y+1=0$\nD. $2 x+y+1=0$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】圆的方程可化为 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4$, 点 $M$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\\frac{|2 \\times 1+1+2|}{\\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\\sqrt{5}>2$ , 所以直线 $l$ 与圆相离.\n\n依圆的知识可知, 四点 $A, P, B, M$ 四点共圆, 且 $A B \\perp M P$, 所以\n\n$|P M| \\cdot|A B|=2 S_{\\triangle P A M}=2 \\times \\frac{1}{2} \\times|P A| \\times|A M|=2|P A|$, 而 $|P A|=\\sqrt{|M P|^{2}-4}$ ，\n\n当直线 $M P \\perp l$ 时, $|M P|_{\\min }=\\sqrt{5},|P A|_{\\min }=1$, 此时 $|P M| \\cdot|A B|$ 最小.\n\n$\\therefore M P: y-1=\\frac{1}{2}(x-1)$ 即 $y=\\frac{1}{2} x+\\frac{1}{2}$, 由 $\\left\\{\\begin{array}{c}y=\\frac{1}{2} x+\\frac{1}{2} \\\\ 2 x+y+2=0\\end{array}\\right.$ 解得, $\\left\\{\\begin{array}{l}x=-1 \\\\ y=0\\end{array}\\right.$.\n\n所以以 $M P$ 为直径的圆的方程为 $(x-1)(x+1)+y(y-1)=0$, 即 $x^{2}+y^{2}-y-1=0$,\n\n两圆的方程相减可得: $2 x+y+1=0$, 即为直线 $A B$ 的方程.\n\n故选: D.\n", "index": 171, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅰ）", "question": "12.若 $2^{a}+\\log _{2} a=4^{b}+2 \\log _{4} b$ ，则（ $)$\nA. $a>2 b$\nB. $a<2 b$\nC. $a>b^{2}$\nD. $a0$, 此时 $f(a)>f\\left(b^{2}\\right)$, 有 $a>b^{2}$\n\n当 $b=2$ 时, $f(a)-f\\left(b^{2}\\right)=-1<0$, 此时 $f(a)0$\nB. $\\cos 2 \\alpha<0$\nC. $\\sin 2 \\alpha>0$\nD. $\\sin 2 \\alpha<0$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】当 $\\alpha=-\\frac{\\pi}{6}$ 时, $\\cos 2 \\alpha=\\cos \\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)>0$, 选项B错误；\n\n当 $\\alpha=-\\frac{\\pi}{3}$ 时, $\\cos 2 \\alpha=\\cos \\left(-\\frac{2 \\pi}{3}\\right)<0$, 选项A错误;\n\n由 $\\alpha$ 在第四象限可得： $\\sin \\alpha<0, \\cos \\alpha>0$, 则 $\\sin 2 \\alpha=2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha<0$, 选项C错误，选项D正确;\n\n故选: D.\n", "index": 174, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "3.在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成1200份订单的配货, 由于订单量大幅 增加, 导致订单积压. 为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500 份订单末配 货, 预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 , 志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货, 为使第二天 完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者（）\nA. 10 名\nB. 18 名\nC. 24名\nD. 32 名\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】由题意, 第二天新增订单数为 $500+1600-1200=900$,\n\n故需要志愿者 $\\frac{900}{50}=18$ 名.\n\n故选: B\n\n【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用, 属于基础题.\n", "index": 175, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "5. 若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为 $(\\quad)$\nA. $\\frac{\\sqrt{5}}{5}$\nB. $\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$\nC. $\\frac{3 \\sqrt{5}}{5}$\nD. $\\frac{4 \\sqrt{5}}{5}$\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】由于圆上的点 $(2,1)$ 在第一象限, 若圆心不在第一象限,\n\n则圆与至少与一条坐标轴相交, 不合乎题意, 所以圆心必在第一象限,\n\n设圆心的坐标为 $(a, a)$, 则圆的半径为 $a$,\n\n圆的标准方程为 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$. 由题意可得 $(2-a)^{2}+(1-a)^{2}=a^{2}$,\n\n可得 $a^{2}-6 a+5=0$, 解得 $a=1$ 或 $a=5$,\n\n所以圆心的坐标为 $(1,1)$ 或 $(5,5)$,\n\n圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离均为 $d=\\frac{|-2|}{\\sqrt{5}}=\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$;\n\n所以，圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为 $\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$.\n\n故选: B.\n", "index": 176, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "6. 数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 中, $a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$, 若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$, 则 $k=(\\quad)$\nA. 2\nB. 3\nC. 4\nD. 5\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】在等式 $a_{m+n}=a_{m} a_{n}$ 中, 令 $m=1$, 可得 $a_{n+1}=a_{n} a_{1}=2 a_{n}, \\therefore \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=2$,\n\n所以, 数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列, 则 $a_{n}=2 \\times 2^{n-1}=2^{n}$,\n\n$\\therefore a_{k+1}+a_{k+2}+\\cdots+a_{k+10}=\\frac{a_{k+1} \\cdot\\left(1-2^{10}\\right)}{1-2}=\\frac{2^{k+1} \\cdot\\left(1-2^{10}\\right)}{1-2}=2^{k+1}\\left(2^{10}-1\\right)=2^{5}\\left(2^{10}-1\\right)$,\n\n$\\therefore 2^{k+1}=2^{5}$, 则 $k+1=5$, 解得 $k=4$.\n\n故选: C.\n", "index": 177, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "8. 设 $O$ 为坐标原点, 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点, 若 $\\square O D E$ 的面积为 8 , 则 $C$ 的焦距的最小值为（）\nA. 4\nB. 8\nC. 16\nD. 32\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】 $\\because C \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$\n\n$\\therefore$ 双曲线的渐近线方程是 $y= \\pm \\frac{b}{a} x$\n\n$\\because$ 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点\n\n不妨设 $D$ 为在第一象限, $E$ 在第四象限\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\\\ y=\\frac{b}{a} x\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\\\ y=b\\end{array}\\right.$\n\n故 $D(a, b)$\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\\\ y=-\\frac{b}{a} x\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\\\ y=-b\\end{array}\\right.$\n\n故 $E(a,-b)$\n\n$\\therefore|E D|=2 b$\n\n$\\therefore \\square O D E$ 面积为: $S_{\\triangle O D E}=\\frac{1}{2} a \\times 2 b=a b=8$\n\n$\\because$ 双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$\n\n$\\therefore$ 其焦距为 $2 c=2 \\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\geq 2 \\sqrt{2 a b}=2 \\sqrt{16}=8$\n\n当且仅当 $a=b=2 \\sqrt{2}$ 取等号\n\n$\\therefore C$ 的焦距的最小值： 8\n\n故选: B.\n", "index": 178, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "9. 设函数 $f(x)=\\ln |2 x+1-| \\ln |2 x-1|$, 则 $f(x)(\\quad)$\nA. 是偶函数, 且在 $\\left(\\frac{1}{2},+\\infty\\right)$ 单调递增\nB. 是奇函数, 且在 $\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 单调递减\nC. 是偶函数, 且在 $\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right)$ 单调递增\nD. 是奇函数, 且在 $\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right)$ 单调递减\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】由 $f(x)=\\ln |2 x+1|-\\ln |2 x-1|$ 得 $f(x)$ 定义域为 $\\left\\{x \\mid x \\neq \\pm \\frac{1}{2}\\right\\}$, 关于坐标原点对称,\n\n又 $f(-x)=\\ln |1-2 x|-\\ln |-2 x-1|=\\ln |2 x-1|-\\ln |2 x+1|=-f(x)$,\n\n$\\therefore f(x)$ 为定义域上的奇函数，可排除 $\\mathrm{AC}$;\n\n当 $x \\in\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 时, $f(x)=\\ln (2 x+1)-\\ln (1-2 x)$,\n\n$\\mathrm{Q} y=\\ln (2 x+1)$ 在 $\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递增, $y=\\ln (1-2 x)$ 在 $\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递减,\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递增，排除 $\\mathrm{B}$;\n\n当 $x \\in\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right)$ 时, $f(x)=\\ln (-2 x-1)-\\ln (1-2 x)=\\ln \\frac{2 x+1}{2 x-1}=\\ln \\left(1+\\frac{2}{2 x-1}\\right)$,\n\n$\\because \\mu=1+\\frac{2}{2 x-1}$ 在 $\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递减, $f(\\mu)=\\ln \\mu$ 在定义域内单调递增,\n\n根据复合函数单调性可知: $f(x)$ 在 $\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递减, D正确. 故选: D.\n", "index": 179, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "10.已知 $\\triangle A B C$ 是面积为 $\\frac{9 \\sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形, 且其顶点都在球 $O$ 的球面上. 若球 $O$ 的表面积为 $16 \\pi$, 则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）\nA. $\\sqrt{3}$\nB. $\\frac{3}{2}$\nC. 1\nD. $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】设球 $O$ 的半径为 $R$, 则 $4 \\pi R^{2}=16 \\pi$, 解得: $R=2$.\n\n设 $\\square A B C$ 外接圆半径为 $r$, 边长为 $a$,\n\n$\\because \\square A B C$ 是面积为 $\\frac{9 \\sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形,\n\n$\\therefore \\frac{1}{2} a^{2} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{9 \\sqrt{3}}{4}$, 解得: $a=3, \\therefore r=\\frac{2}{3} \\times \\sqrt{a^{2}-\\frac{a^{2}}{4}}=\\frac{2}{3} \\times \\sqrt{9-\\frac{9}{4}}=\\sqrt{3}$,\n\n$\\therefore$ 球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离 $d=\\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\\sqrt{4-3}=1$.\n\n故选: C.\n", "index": 180, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "11. 若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$, 则（）\nA. $\\ln (y-x+1)>0$\nB. $\\ln (y-x+1)<0$\nC. $\\ln |x-y|>0$\nD. $\\ln |x-y|<0$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】由 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ 得: $2^{x}-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}$,\n\n令 $f(t)=2^{t}-3^{-t}$,\n\n$\\because y=2^{x}$ 为 $R$ 上的增函数, $y=3^{-x}$ 为 $R$ 上的减函数, $\\therefore f(t)$ 为 $R$ 上的增函数,\n\n$\\therefore x0, \\therefore y-x+1>1, \\therefore \\ln (y-x+1)>0$, 则A正确, B错误;\n\n$\\mathrm{Q}|x-y|$ 与 1 的大小不确定，故 $\\mathrm{CD}$ 无法确定.\n\n故选: A.\n", "index": 181, "score": 5} +{"year": "2020", "category": "（新课标Ⅱ）", "question": "12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 $a_{1} a_{2} \\cdots a_{n} \\cdots$ 满足 $a_{i} \\in\\{0,1\\}(i=1,2, \\cdots)$, 且存在正整数 $m$ , 使得 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \\cdots)$ 成立, 则称其为 $0-1$ 周期序列, 并称满足 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \\cdots)$ 的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期.对于周期为 $m$ 的 $0-1$ 序列 $a_{1} a_{2} \\cdots a_{n} \\cdots, C(k)=\\frac{1}{m} \\sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k}(k=1,2, \\cdots, m-1)$ 是描述其性质的重要指标, 下列周期为 5 的 $0-1$ 序列中， 满足 $C(k) \\leq \\frac{1}{5}(k=1,2,3,4)$ 的序列是 $(\\quad)$\nA. $11010 \\cdots$\nB. $11011 \\cdots$\nC. $10001 \\cdots$\nD. $11001 \\cdots$\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】由 $a_{i+m}=a_{i}$ 知, 序列 $a_{i}$ 的周期为 $m$, 由已知, $m=5$,\n\n$C(k)=\\frac{1}{5} \\sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+k}, k=1,2,3,4$\n\n对于选项A,\n\n$C(1)=\\frac{1}{5} \\sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\\frac{1}{5}\\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\\right)=\\frac{1}{5}(1+0+0+0+0)=\\frac{1}{5} \\leq \\frac{1}{5}$\n\n$C(2)=\\frac{1}{5} \\sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+2}=\\frac{1}{5}\\left(a_{1} a_{3}+a_{2} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{7}\\right)=\\frac{1}{5}(0+1+0+1+0)=\\frac{2}{5}$, 不满足;\n\n对于选项B, $C(1)=\\frac{1}{5} \\sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\\frac{1}{5}\\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\\right)=\\frac{1}{5}(1+0+0+1+1)=\\frac{3}{5}$, 不满足;\n\n对于选项D,\n\n$C(1)=\\frac{1}{5} \\sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\\frac{1}{5}\\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\\right)=\\frac{1}{5}(1+0+0+0+1)=\\frac{2}{5}$, 不满足;\n\n故选: C\n\n【点晴】本题考查数列的新定义问题, 涉及到周期数列, 考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力 , 是一道中档题.\n", "index": 182, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（全国甲卷）", "question": "1. 设集合 $M=\\{x \\mid 00$, 乙: $\\left\\{S_{n}\\right\\}$ 是递增数列, 则 ( )\nA. 甲是乙的充分条件但不是必要条件\nB. 甲是乙的必要条件但不是充分条件\nC. 甲是乙的充要条件\nD. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件\n", "answer": ["B"], "analysis": "【详解】由题, 当数列为 $-2,-4,-8, \\cdots$ 时, 满足 $q>0$,\n\n但是 $\\left\\{S_{n}\\right\\}$ 不是递增数列, 所以甲不是乙的充分条件.\n\n若 $\\left\\{S_{n}\\right\\}$ 是递增数列, 则必有 $a_{n}>0$ 成立, 若 $q>0$ 不成立, 则会出现一正一负的情况，是矛盾的, 则 $q>0$ 成立, 所以甲是乙的必要条件.\n\n故选: B.\n", "index": 187, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（全国甲卷）", "question": "9. 若 $a \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\tan 2 a=\\frac{\\cos a}{2-\\sin a}$, 则 $\\tan a=(\\quad)$\nA. $\\frac{\\sqrt{15}}{15}$\nB. $\\frac{\\sqrt{5}}{5}$\nC. $\\frac{\\sqrt{5}}{3}$\nD. $\\frac{\\sqrt{15}}{3}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】 $\\because \\tan 2 a=\\frac{\\cos a}{2-\\sin a}$\n\n$\\therefore \\tan 2 a=\\frac{\\sin 2 a}{\\cos 2 a}=\\frac{2 \\sin a \\cos a}{1-2 \\sin ^{2} a}=\\frac{\\cos a}{2-\\sin a}$,\n\n$\\because a \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\therefore \\cos a \\neq 0, \\therefore \\frac{2 \\sin a}{1-2 \\sin ^{2} a}=\\frac{1}{2-\\sin a}$, 解得 $\\sin a=\\frac{1}{4}$,\n\n$\\therefore \\cos a=\\sqrt{1-\\sin ^{2} a}=\\frac{\\sqrt{15}}{4}, \\quad \\therefore \\tan a=\\frac{\\sin a}{\\cos a}=\\frac{\\sqrt{15}}{15}$.\n\n故选: A.\n", "index": 188, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（全国甲卷）", "question": "10. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为 $(\\quad)$ \nA. $\\frac{1}{3}$\nB. $\\frac{2}{5}$\nC. $\\frac{2}{3}$\nD. $\\frac{4}{5}$\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 可利用揷空法, 4 个 1 产生 5 个空,\n\n若 2 个 0 相邻, 则有 $C_{5}^{1}=5$ 种排法, 若 2 个 0 不相邻, 则有 $C_{5}^{2}=10$ 种排法,\n\n所以 2 个 0 不相邻的概率为 $\\frac{10}{5+10}=\\frac{2}{3}$.\n\n故选: C.\n", "index": 189, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（全国甲卷）", "question": "11. 已如 $A, B, C$ 是半径为 1 的球 $O$ 的球面上的三个点, 且 $A C \\perp B C, A C=B C=1$, 则三棱雉 $O-A B C$ 的体积为 $(\\quad)$\nA. $\\frac{\\sqrt{2}}{12}$\nB. $\\frac{\\sqrt{3}}{12}$\nC. $\\frac{\\sqrt{2}}{4}$\nD. $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】 $\\because A C \\perp B C, A C=B C=1, \\therefore \\triangle A B C$ 为等腰直角三角形, $\\therefore A B=\\sqrt{2}$,\n\n则 $\\triangle A B C$ 外接圆的半径为 $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, 又球的半径为 1 ,\n\n设 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $d$,\n\n则 $d=\\sqrt{1^{2}-\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$,\n\n所以 $V_{O-A B C}=\\frac{1}{3} S_{\\triangle A B C} \\cdot d=\\frac{1}{3} \\times \\frac{1}{2} \\times 1 \\times 1 \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\frac{\\sqrt{2}}{12}$.\n\n故选: A.\n", "index": 190, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（全国甲卷）", "question": "12. 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\\mathbf{R}, f(x+1)$ 为奇函数, $f(x+2)$ 为偶函数, 当 $x \\in[1,2]$ 时, $f(x)=a x^{2}+b$. 若 $f(0)+f(3)=6$, 则 $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=(\\quad)$\nA. $-\\frac{9}{4}$\nB. $-\\frac{3}{2}$\nC. $\\frac{7}{4}$\nD. $\\frac{5}{2}$\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】因为 $f(x+1)$ 是奇函数, 所以 $f(-x+1)=-f(x+1)$ (1);\n\n因为 $f(x+2)$ 是偶函数, 所以 $f(x+2)=f(-x+2)(2)$.\n\n令 $x=1$, 由(1)得: $f(0)=-f(2)=-(4 a+b)$, 由(2)得： $f(3)=f(1)=a+b$,\n\n因为 $f(0)+f(3)=6$, 所以 $-(4 a+b)+a+b=6 \\Rightarrow a=-2$,\n\n令 $x=0$, 由(1)得: $f(1)=-f(1) \\Rightarrow f(1)=0 \\Rightarrow b=2$, 所以 $f(x)=-2 x^{2}+2$.\n\n思路一: 从定义人手.\n\n$f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{5}{2}+2\\right)=f\\left(-\\frac{5}{2}+2\\right)=f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)$\n\n$f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=f\\left(-\\frac{3}{2}+1\\right)=-f\\left(\\frac{3}{2}+1\\right)=-f\\left(\\frac{5}{2}\\right)$\n\n$-f\\left(\\frac{5}{2}\\right)=-f\\left(\\frac{1}{2}+2\\right)=-f\\left(-\\frac{1}{2}+2\\right)=-f\\left(\\frac{3}{2}\\right)$\n\n所以 $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=-f\\left(\\frac{3}{2}\\right)=\\frac{5}{2}$.\n\n思路二: 从周期性人手\n\n由两个对称性可知, 函数 $f(x)$ 的周期 $T=4$.\n\n所以 $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=-f\\left(\\frac{3}{2}\\right)=\\frac{5}{2}$.\n\n故选: D.\n", "index": 191, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "1.设 $2(z+\\bar{z})+3(z-\\bar{z})=4+6 i$ ，则 $z=(\\quad)$\n\nA. $1-2 i$\n\nB. $1+2 i$\n\nC. $1+i$\n\nD. $1-i$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解析:\n\n设 $z=a+b i$, 则 $\\bar{z}=a-b i, 2(z+\\bar{z})+3(z-\\bar{z})=4 a+6 b i=4+6 i$, 所以 $a=1, b=1$,\n\n所以 $z=1+i$.\n", "index": 192, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "2.已知集合 $S=\\{s \\mid s=2 n+1, n \\in Z\\}, T=\\{t \\mid t=4 n+1, n \\in Z\\}$, 则 $S \\cap T=(\\quad)$\nA. $\\varnothing$\nB. $S$\nC. $T$\nD. $Z$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解析:\n\n$s=2 n+1, \\quad n \\in Z$\n\n当 $n=2 k, k \\in Z$ 时, $S=\\{s \\mid s=4 k+1, k \\in Z\\}$ ； 当 $n=2 k+1, k \\in Z$ 时,\n\n$S=\\{s \\mid s=4 k+3, k \\in Z\\}$.所以 $T \\ddot{U} S, S \\cap T=T$. 故选 C.\n", "index": 193, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "3. 已知命题 $p: \\exists x \\in R, \\sin x<1$; 命题 $q: \\forall x \\in R, e^{|x|} \\geq 1$, 则下列命题中为真命题的是 \nA. $p \\wedge q$\nB. $\\neg p \\wedge q$\nC. $p \\wedge \\neg q$\nD. $\\neg(p \\vee q)$\n", "answer": ["A"], "analysis": "解析:\n\n根据正弦函数的值域 $\\sin x \\in[-1,1]$, 故 $\\exists x \\in R, \\sin x<1, p$ 为真命题, 而函数 $y=y=e^{|x|}$ 为偶函数, 且 $x \\geq 0$ 时, $y=e^{|x|} \\geq 1$, 故 $\\forall x \\in R, y=e^{|x|} \\geq 1$ 恒成立., 则 $q$ 也为真命题, 所 以 $p \\wedge q$ 为真, 选 $\\mathrm{A}$.\n", "index": 194, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "4. 设函数 $f(x)=\\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是 $(\\quad)$\nA. $f(x-1)-1$\nB. $f(x-1)+1$\nC. $f(x+1)-1$\nD. $f(x+1)+1$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解析:\n\n$f(x)=\\frac{1-x}{1+x}=-1+\\frac{2}{1+x}, f(x)$ 向右平移一个单位, 向上平移一个单位得到 $g(x)=\\frac{2}{x}$ 为奇 函数.\n", "index": 195, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "6. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑、冰球���冰显 4 个项目进行培训, 每名 志愿者只分配到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者, 则不同的分配方案共有（）\n\nA. 60 种\n\nB. 120 种\n\nC. 240 种\n\nD. 480 种\n", "answer": ["C"], "analysis": "解析:\n\n所求分配方案数为 $C_{5}^{2} A_{4}^{4}=240$.\n", "index": 196, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "7.把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线 向右平移 $\\frac{\\pi}{3}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)$ 的图像, 则 $f(x)=(\\quad)$\n\nA. $\\sin \\left(\\frac{x}{2}-\\frac{7 \\pi}{12}\\right)$\n\nB. $\\sin \\left(\\frac{x}{2}+\\frac{\\pi}{12}\\right)$\n\nC. $\\sin \\left(2 x-\\frac{7 \\pi}{12}\\right)$ D. $\\sin \\left(2 x+\\frac{\\pi}{12}\\right)$\n", "answer": ["B"], "analysis": "解析:\n\n逆向: $y=\\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\stackrel{\\text { 左移 } \\frac{\\pi}{3}}{\\longrightarrow} y=\\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{12}\\right) \\stackrel{\\text { 横坐标变为原来的2倍 }}{\\longrightarrow} y=\\sin \\left(\\frac{1}{2} x+\\frac{\\pi}{12}\\right)$.\n\n故选 B.\n", "index": 197, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "11. 设 $B$ 是椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点, 若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足, $|P B| \\leq 2 b ， \\quad$ 则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(\\quad)$\n\nA. $\\left[\\frac{\\sqrt{2}}{2}, 1\\right)$\n\nB. $\\left[\\frac{1}{2}, 1\\right)$\n\nC. $\\left(0, \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right]$\n\nD. $\\left(0, \\frac{1}{2}\\right]$\n", "answer": ["C"], "analysis": "解析:\n\n由题意, 点 $B(0, b)$, 设 $P\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 则 $\\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1 \\Rightarrow x_{0}^{2}=a^{2}\\left(1-\\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\\right)$, 故\n\n$|P B|^{2}=x_{0}^{2}+\\left(y_{0}-b\\right)^{2}=a^{2}\\left(1-\\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\\right)+y_{0}^{2}-2 b y_{0}+b^{2}=-\\frac{c^{2}}{b^{2}} y_{0}^{2}-2 b y_{0}+a^{2}+b^{2}$\n\n$y_{0} \\in[-b, b]$\n\n由题意, 当 $y_{0}=-b$ 时, $|P B|^{2}$ 最大, 则 $-\\frac{b^{3}}{c^{2}} \\leq-b, b^{2} \\geq c^{2}, a^{2}-c^{2} \\geq c^{2}, c=\\frac{c}{a} \\leq \\frac{\\sqrt{2}}{2}$,\n\n$c \\in\\left(0, \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right]$\n", "index": 198, "score": 5} +{"year": "2021", "category": "（新课标ⅰ）", "question": "12. 设 $a=2 \\ln 1.01, b=\\ln 1.02, c=\\sqrt{1.04}-1$, 则 $($ )\nA. $ag(0)=0$, 故 $a>c$.\n\n综上, $a>c>b$.\n", "index": 199, "score": 5} +{"year": "2022", "category": "（全国乙卷）", "question": "1. 设全集 $U=\\{1,2,3,4,5\\}$, 集合 $M$ 满足 $\\partial_{j} M=\\{1,3\\}$, 则 ()\nA. $2 \\in M$\nB. $3 \\in M$\nC. $4 \\notin M$\nD. $5 \\notin M$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】由题知 $M=\\{2,4,5\\}$, 对比选项知, A 正确, $\\mathrm{BCD}$ 错误\n\n故选: A\n", "index": 200, "score": 5} +{"year": "2022", "category": "（全国乙卷）", "question": "2. 已知 $z=1-2 i$ ，且 $z+a \\bar{z}+b=0$ ，其中 $a, b$ 为实数，则（)\nA. $a=1, b=-2$\nB. $a=-1, b=2$\nC. $a=1, b=2$\nD.\n\n$a=-1, b=-2$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】 $\\bar{z}=1+2 \\mathrm{i}$\n\n$z+a \\bar{z}+b=1-2 \\mathrm{i}+a(1+2 \\mathrm{i})+b=(1+a+b)+(2 a-2) \\mathrm{i}$\n\n由 $z+a \\bar{z}+b=0$, 得 $\\left\\{\\begin{array}{l}1+a+b=0 \\\\ 2 a-2=0\\end{array}\\right.$,即 $\\left\\{\\begin{array}{l}a=1 \\\\ b=-2\\end{array}\\right.$\n\n故选: A\n", "index": 201, "score": 5} +{"year": "2022", "category": "（全国乙卷）", "question": "3. 已知向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 满足 $|\\vec{a}|=1,|\\vec{b}|=\\sqrt{3},|\\vec{a}-2 \\vec{b}|=3$, 则 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=()$\nA. -2\nB. -1\nC. 1\nD. 2\n", "answer": ["C"], "analysis": "【详解】解: $\\because|\\vec{a}-2 \\vec{b}|^{2}=|\\vec{a}|^{2}-4 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+4|\\vec{b}|^{2}$,\n\n又 $\\because|\\vec{a}|=1,|\\vec{b}|=\\sqrt{3},|\\vec{a}-2 \\vec{b}|=3$,\n\n$\\therefore 9=1-4 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+4 \\times 3=13-4 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}$\n\n$\\therefore \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=1$\n\n故选: C.\n", "index": 202, "score": 5} +{"year": "2022", "category": "（全国乙卷）", "question": "4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后, 继续进行深空探测, 成为我国第一颗环绕太阳飞行的 人造行星, 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}: b_{1}=1+\\frac{1}{a_{1}}$, $b_{2}=1+\\frac{1}{a_{1}+\\frac{1}{a_{2}}}, \\quad b_{3}=1+\\frac{1}{a_{1}+\\frac{1}{a_{2}+\\frac{1}{a_{3}}}}, \\cdots$, 依此类推, 其中 $a_{k} \\in \\mathbf{N}^{\\star}(k=1,2, \\cdots)$. 则 ()\nA. $b_{1}\\frac{1}{a_{1}+\\frac{1}{a_{2}}}$, 得到 $b_{1}>b_{2}$,\n\n同理 $a_{1}+\\frac{1}{a_{2}}>a_{1}+\\frac{1}{a_{2}+\\frac{1}{a_{3}}}$, 可得 $b_{2}b_{3}$\n\n又因为 $\\frac{1}{a_{2}}>\\frac{1}{a_{2}+\\frac{1}{a_{3}+\\frac{1}{a_{4}}}}, a_{1}+\\frac{1}{a_{2}+\\frac{1}{a_{3}}}b_{4}$;\n\n以此类推, 可得 $b_{1}>b_{3}>b_{5}>b_{7}>\\cdots, b_{7}>b_{8}$, 故 $\\mathrm{A}$ 错误;\n\n$b_{1}>b_{7}>b_{8}$, 故 B 错误; \n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\frac{1}{a_{2}}>\\frac{1}{a_{2}+\\frac{1}{a_{3}+\\cdots \\frac{1}{a_{6}}}} \\text {, 得 } b_{2}a_{1}+\\frac{1}{a_{2}+\\cdots \\frac{1}{a_{6}+\\frac{1}{a_{7}}}} \\text {, 得 } b_{4}p_{2}>p_{1}>0$. 记该棋手连胜两盘的概率为 $p$, 则 ()\nA. $p$ 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关\nB. 该棋手在第二盘与甲比赛， $p$ 最大\nC. 该棋手在第二盘与乙比赛, $p$ 最大\nD. 该棋手在第二盘与丙比赛, $p$ 最大\n", "answer": ["D"], "analysis": "【详解】该棋手连胜两盘, 则第二盘为必胜盘,\n\n记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为 $p_{\\text {甲 }}$\n\n则 $p_{\\text {甲 }}=2\\left(1-p_{2}\\right) p_{1} p_{3}+2 p_{2} p_{1}\\left(1-p_{3}\\right)=2 p_{1}\\left(p_{2}+p_{3}\\right)-4 p_{1} p_{2} p_{3}$ 记该棋手在第二盘与乙比赛, 且连胜两盘的概率为 $p_{\\text {乙 }}$\n\n则 $p_{\\text {乙 }}=2\\left(1-p_{1}\\right) p_{2} p_{3}+2 p_{1} p_{2}\\left(1-p_{3}\\right)=2 p_{2}\\left(p_{1}+p_{3}\\right)-4 p_{1} p_{2} p_{3}$\n\n记该棋手在第二盘与丙比赛, 且连胜两盘的概率为 $p_{\\text {丙 }}$\n\n则 $p_{\\text {丙 }}=2\\left(1-p_{1}\\right) p_{3} p_{2}+2 p_{1} p_{3}\\left(1-p_{2}\\right)=2 p_{3}\\left(p_{1}+p_{2}\\right)-4 p_{1} p_{2} p_{3}$\n\n则 $p_{\\text {甲 }}-p_{\\text {乙 }}=2 p_{1}\\left(p_{2}+p_{3}\\right)-4 p_{1} p_{2} p_{3}-\\left[2 p_{2}\\left(p_{1}+p_{3}\\right)-4 p_{1} p_{2} p_{3}\\right]=2\\left(p_{1}-p_{2}\\right) p_{3}<0$\n\n$p_{\\text {乙 }}-p_{\\text {丙 }}=2 p_{2}\\left(p_{1}+p_{3}\\right)-4 p_{1} p_{2} p_{3}-\\left[2 p_{3}\\left(p_{1}+p_{2}\\right)-4 p_{1} p_{2} p_{3}\\right]=2\\left(p_{2}-p_{3}\\right) p_{1}<0$\n\n即 $p_{\\text {甲 }}b>0)$ 的左顶点为 $A$, 点 $P, Q$ 均在 $C$ 上, 且关于 $y$ 轴对称. 若 直线 $A P, A Q$ 的斜率之积为 $\\frac{1}{4}$, 则 $C$ 的离心率为 ()\nA. $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$\nB. $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$\nC. $\\frac{1}{2}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】解: $A(-a, 0)$,\n\n设 $P\\left(x_{1}, y_{1}\\right)$, 则 $Q\\left(-x_{1}, y_{1}\\right)$,\n\n则 $k_{A P}=\\frac{y_{1}}{x_{1}+a}, k_{A Q}=\\frac{y_{1}}{-x_{1}+a}$,\n\n故 $k_{A P} \\cdot k_{A Q}=\\frac{y_{1}}{x_{1}+a} \\cdot \\frac{y_{1}}{-x_{1}+a}=\\frac{y_{1}^{2}}{-x_{1}^{2}+a^{2}}=\\frac{1}{4}$,\n\n又 $\\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$, 则 $y_{1}^{2}=\\frac{b^{2}\\left(a^{2}-x_{1}^{2}\\right)}{a^{2}}$,\n\n所以 $\\frac{\\frac{b^{2}\\left(a^{2}-x_{1}^{2}\\right)}{a^{2}}}{-x_{1}^{2}+a^{2}}=\\frac{1}{4}$, 即 $\\frac{b^{2}}{a^{2}}=\\frac{1}{4}$,\n\n所以椭圆 $C$ 的离心率 $e=\\frac{c}{a}=\\sqrt{1-\\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\n故选: A.\n", "index": 212, "score": 5} +{"year": "2022", "category": "（全国甲卷）", "question": "12. 已知 $a=\\frac{31}{32}, b=\\cos \\frac{1}{4}, c=4 \\sin \\frac{1}{4}$, 则 ()\nA. $c>b>a$\nB. $b>a>c$\nC. $a>b>c$\nD.\n\n$a>c>b$\n", "answer": ["A"], "analysis": "【详解】因为 $\\frac{c}{b}=4 \\tan \\frac{1}{4}$, 因为当 $x \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right), \\sin x\\frac{1}{4}$, 即 $\\frac{c}{b}>1$, 所以 $c>b$;\n\n设 $f(x)=\\cos x+\\frac{1}{2} x^{2}-1, x \\in(0,+\\infty)$, $f^{\\prime}(x)=-\\sin x+x>0$, 所以 $f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 单调递增,\n\n则 $f\\left(\\frac{1}{4}\\right)>f(0)=0$, 所以 $\\cos \\frac{1}{4}-\\frac{31}{32}>0$ ，\n\n所以 $b>a$, 所以 $c>b>a$,\n\n故选: A\n", "index": 213, "score": 5}