RUC-AIBOX/OlymMATH huggingface dataset:
Subject: 代数
Problem: 设 $a, b, c \in \mathbb{R}$, $a^3 b + b^3 c + c^3 a = 3$, 求下式的最小值 $f(a, b, c) = (\sum a^4)^4 + 1000 \sum a^2 b^2$.
Answer: 2625
Subject: 几何
Problem: 若一个正方体的八个顶点到某平面的距离分别为 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, 考虑这个正方体的所有可能的棱长. 假设可能的棱长构成了集合 $S$, 求 $S$ 中所有元素的平方和.
Answer: 210
Subject: 代数
Problem: 对于 $i = 1, 2, \cdots, n$, 都有 $x_i < 1$, 且 $| x_1 | + | x_2 | + \cdots + | x_n | = 19 + | x_1 + x_2 + \cdots + x_n |$, 求正整数 $n$ 的最小值.
Answer: 11
Subject: 几何
Problem: 求最少需要几个正方体 (可悬空), 使其三视图均为 $3 \times 3$ 的方格.
Answer: 8
Subject: 代数
Problem: 设 $x$, $y$, $z$ 都是正实数, 求下式的最小值 $f(x, y, z) = \frac{(2 + 5y)(3x + z)(x + 3y)(2z + 5)}{xyz}$.
Answer: 241 + 44\sqrt{30}
Subject: 几何
Problem: 已知椭圆 $x^{2} / 4 + y^{2} = 1$, $N_{1}(-1, 0)$, $N_{2}(1, 0)$, $M(3, 0)$, 过 $M$ 的直线交椭圆于 $P$, $Q$ 两点, 连 $N_{1}P$, $N_{2}Q$, 得交点 $R$. 可以证明 $R$ 的轨迹形成一条二次曲线, 求它的离心率.
Answer: \frac{\sqrt{51}}{6}
Subject: 组合
Problem: 将编号为 $1, 2, \dots, 9$ 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上, 每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 $S$. 求使 $S$ 达到最小值的放法的概率. 注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合, 则认为是相同的放法.
Answer: \frac{1}{315}
Subject: 几何
Problem: 将边长为 $10$,  $12$,  $14$ 的三角形沿三条中位线折起来围成四面体. 求四面体的外接球直径的值.
Answer: \sqrt{55}
Subject: 组合
Problem: 对于 $k$, $n \in \mathbf{Z}_{+}$, 设有限数列 $\{a_{k}\}$ 的项数为 $n$, 其中, $a_{k} \leqslant m$, $a_{k}$, $m \in \mathbf{Z}_{+}$. 若 $m=2025$, 试确定项数 $n$ 的最大值, 使得数列 $\{a_{k}\}$ 满足：(1) 对任意一项 $a_{k}$, 若存在 $a_{k-1}$ 与 $a_{k+1}$, 则 $a_{k-1} \neq a_{k+1}$；(2) 不存在正整数 $i_{1} < i_{2} < i_{3} < i_{4}$, 使得 $a_{{i_{1}}} = a_{{i_{3}}} \neq a_{{i_{2}}} = a_{{i_{4}}}$.
Answer: 8098
Subject: 几何
Problem: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$, $P(x_{0},y_{0})$ 为椭圆上的一点, 且 $x_{0}>0$. 过点 $P$ 作圆 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$ 的切线, 与椭圆的第二个交点为 $Q$. 设 $I$ 为 $\triangle PFQ$ 的内心, $\angle PFQ=2\alpha$. 若 $a^2=\sqrt{3}, b^2=\sqrt{2}$, 求 $|FI| \cos \alpha$ 的值.
Answer: \sqrt[4]{3}
Subject: 数论
Problem: 将 0 至 9 这十个数字排列成首位不为零的不重复的十位数, 求能被 99 整除的十位数的个数.
Answer: 285120
Subject: 数论
Problem: 设 $n$ 个互异的正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 之和为 $2000$. 记 $A = \max\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$. 求 $A+n$ 的最小值. （$n$ 不是事先给定的）
Answer: 110
Subject: 代数
Problem: 给定正整数 $n=2024$. 求最大的整数 $M$ 的值, 使得对任意正整数 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, 均有 $[\sqrt{a_{1}}]+[\sqrt{a_{2}}]+\cdots +[\sqrt{a_{n}}]\geqslant [\sqrt{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+M\min \{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}}]$, 其中, $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.
Answer: 1364850
Subject: 代数
Problem: 已知 $m> 0$, 关于 $x$ 的方程 $(mx-3+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{x+m}=0$ 在区间 $[0,1]$ 上恰有两个不同的实根. 求实数 $m$ 的取值范围.
Answer: [3,193-132\sqrt{2}]
Subject: 组合
Problem: 一个班有 25 名学生. 老师想要准备 $N$ 块糖果举办竞赛, 并按照成绩分配糖果 (分数相同得到相同数目的糖果, 分数越少得到的糖果越少, 可以是 0 块). 求 $N$ 的最小值, 使得无论竞赛有多少题目, 以及学生的答题情况如何, 都可以这样分配糖果.
Answer: 600
Subject: 组合
Problem: 设 $n$ 为正整数, 集合 $T_{n}$ 为数集 $A_{n}=\{k \mid k \in \mathbf{Z}_{+}, 且 k \leqslant n\}$ 的一个子集, 且 $T_{n}$ 中任意两个数之差不等于 4 或 7. 若 $T_{n}$ 的元素个数的最大值记为 $f_{n}$ (如 $f_{1}=1$, $f_{2}=2$), 求 $\sum_{n=1}^{2023}f_{n}$ 的值.
Answer: 932604
Subject: 数论
Problem: 试求最大的正整数 $n \le 2025$ 使得存在正整数数列 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$, 使得 $a_i + a_j (1 \le i < j \le n)$ 互不相同, 且模 $4$ 意义下各余数出现的次数相同.
Answer: 1296
Subject: 数论
Problem: 记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 数列 $\{x_n\}$ 满足: $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 4x_n + [\sqrt{11}x_n]$. 求 $x_{2021}$ 的个位数字.
Answer: 9
Subject: 几何
Problem: 已知正三棱锥 $P-ABC$ 与正三棱锥 $Q-ABC$ 内接于同一个单位球 $O$, 两顶点 $P$, $Q$ 在底面 $ABC$ 的异侧. 设二面角 $P-AB-C$, 二面角 $Q-AB-C$ 的平面角分别为 $\alpha$, $\beta$. 求 $AB \tan(\alpha + \beta)$ 的值.
Answer: -\frac{4\sqrt{3}}{3}
Subject: 代数
Problem: 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$, $\angle BAC = 30^\circ$. 在边 $AB$ 上取五等分点 $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$, 点 $A$, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$, $B$ 顺次排列. 记 $\theta_k = \angle BT_k C$ ($k = 1, 2, 3, 4$). 求 $\tan A \cdot \tan \theta_1 + \sum_{k=1}^3 \tan \theta_k \cdot \tan \theta_{k+1} - \tan \theta_4 \cdot \tan B$ 的值.
Answer: -5 - \frac{10 \sqrt{3}}{3}
Subject: 组合
Problem: 给定一个 $2022 \times 2022$ 的方格表.在方格表的每格中填入 $A$, $B$, $C$, $D$ 四种颜色之一. 若方格表中每一个 $2 \times 2$ 的正方形都有四种颜色, 求有多少种不同的完美表格.
Answer: 12 \times 2^{2022} - 24
Subject: 数论
Problem: 设正整数 $a$, $b$, $c$, $d$ 满足 $a < b < c < d$, 且其中任意三个两两不同的数都可作为一个钝角三角形的三边长. 求 $d$ 的最小值.
Answer: 14
Subject: 代数
Problem: 设函数 $f(x)=\sin^4 \omega x - \sin \omega x \cdot \cos \omega x + \cos^4 \omega x (\omega > 0)$. 若存在 $a, b \in [0, \pi]$, 使得 $f(a) + f(b) = \frac{9}{4}$, 求 $\omega$ 的最小值.
Answer: \frac{7}{12}
Subject: 组合
Problem: 给定一个3行2025列的方格表, 一只蚂蚁从左下角的格出发, 每次可移动到有公共边的格. 若蚂蚁不重复地走遍方格表的每个格并且最终到达方格表的右上角, 求不同的走法有多少种.
Answer: 2^2023
Subject: 几何
Problem: 已知双曲线 $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ 的左, 右焦点为 $F_1$, $F_2$, 过 $F_2$ 的直线与双曲线右支交于 $A$, $B$ 两点. 求 $\triangle AF_1F_2$, $\triangle BF_1F_2$ 的内切圆半径之和的取值范围.
Answer: \left[2, \frac{4}{3}\sqrt{3}\right)
Subject: 数论
Problem: 已知对任意的正整数 $n$, $\tau(n)$ 表示 $n$ 的正约数的个数, $\varphi(n)$ 表示与 $n$ 互质但是小于 $n$ 的正整数的个数. 若正整数 $n$ 满足, $n, \tau(n), \varphi(n)$ 中其中之一为其他两数的算术平均, 则称为好数. 求共有多少个好数.
Answer: 4
Subject: 数论
Problem: 设 $a, b, c$ 是正有理数, 且 $a+1/b, b+1/c, c+1/a$ 均为整数. $a + b + c$ 的所有可能的值构成了集合 $S$, 求 $S$ 中所有元素之积.
Answer: \frac{21}{2}
Subject: 几何
Problem: 已知椭圆 $C: x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1$ $(a>b>0)$ 的离心率 $e=4 / 5$, $P$ 为椭圆上异于长轴左右顶点 $A$, $B$ 的任意一点, $F_{1}$, $F_{2}$ 分别为椭圆的左右焦点, 且 $\angle APB=2 \alpha$, $\angle F_{1} P F_{2}=2 \beta$, 求 $\tan \beta \cdot \tan 2 \alpha$ 的最小值.
Answer: -\frac{5}{2}
Subject: 代数
Problem: 已知 $\frac{by}{z}+\frac{cz}{y}=a$, $\frac{cz}{x}+\frac{ax}{z}=b$, $\frac{ax}{y}+\frac{by}{x}=c$, 且 $abc=1$, 求 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的值.
Answer: 5
Subject: 几何
Problem: 在矩形 $ABCD$ 中, $AB=2$, $AD=4$, 点 $E$ 在线段 $AD$ 上, 且 $AE=3$. 现分别沿 $BE$、$CE$ 将 $\triangle ABE$、$\triangle DCE$ 翻折, 使得点 $D$ 落在线段 $AE$ 上. 求二面角 $D-EC-B$ 的余弦值.
Answer: \frac{7}{8}
Subject: 代数
Problem: 设 $f(x) = || \cdots || x^{10} - 2^{2007}| - 2^{2006}| - \cdots - 2^2| - 2| $. 求 $f(2007)$ 的值.
Answer: 1
Subject: 组合
Problem: 用六种不同的颜色给正四面体 $ABCD$ 各棱染色, 每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱不同色. 求所有棱均不同色的概率.
Answer: \frac{3}{17}
Subject: 组合
Problem: 对于正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, 将 $1, 2, \cdots, 8$ 分别放在正方体的八个顶点上, 要求每一个面上的任意三个数之和均不小于 $10$. 求不同放法的个数.
Answer: 480
Subject: 组合
Problem: 给定直线上 $2024$ 个点. 现在随机将所有点配成 $1012$ 对, 连成 $1012$ 条线段. 求找到一条线段, 与其余 $1011$ 条线段都相交的概率.
Answer: \frac{2}{3}
Subject: 组合
Problem: 五名网球选手进行单循环赛（任意两人之间恰好比赛一场）, 且没有平局. 在这十场比赛中的每一场, 两名选手的获胜概率都是 $50\%$, 且各场比赛的结果相互独立. 求对于整个比赛过程, 存在四位两两不同的选手 $P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$, 满足 $P_1$ 胜 $P_2$、$P_2$ 胜 $P_3$、$P_3$ 胜 $P_4$、$P_4$ 胜 $P_1$ 的概率.
Answer: \frac{49}{64}
Subject: 几何
Problem: 在椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{2019} + \frac{y^{2}}{2018} = 1$ 中, $F$ 为左焦点. 过右焦点的直线 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 的左准线及椭圆 $\Gamma$ 依次交于点 $C, A, B$. 若 $\angle FAB = 40^{\circ}$, $\angle FBA = 10^{\circ}$, 求 $\angle FCA$ 的值.
Answer: 15^{\circ}
Subject: 组合
Problem: 初始时, 饲养员在一个 $20 \times 20$ 的方格左上角的格内放置一根质量为 $a$ 的胡萝卜和一只兔子. 接下来, 若兔子与胡萝卜在同一格中, 它将吃掉 $\frac{1}{20}a$ 质量的胡萝卜, 同时, 饲养员将剩下的胡萝卜等可能地放置到某个格 (有可能是当前的格) 中; 否则, 兔子会移动到一个相邻的格 (两个格相邻当且仅当它们有一条公共边) 中, 且该移动会缩短它与胡萝卜之间的距离. 求兔子吃完整根胡萝卜时, 其移动次数的期望.
Answer: \frac{2318}{5}
Subject: 组合
Problem: 有一个 $n \times n$（$n \geqslant 2$, $n \in \mathbb{Z}_{+}$）的方格表, 称其中每个 $1 \times 1$ 的格为单位格. 在每个单位格里要么放上一枚棋子要么不放任何东西. 若放完棋子之后, 发现对于任意一个单位格, 必有与其相邻（即异于该单位格且与该单位格至少有一个公共顶点的单位格）的某个单位格中有一枚棋子, 则称放入棋子的总数目为 "$n$-好数". 对于每个 $n \geqslant 2(n \in \mathbb{Z}_{+})$, 记 $f(n)$ 是所有的 $n$-好数的最小值. 若常数 $c$ 满足: 对一切 $n \geqslant 2(n \in \mathbb{Z}_{+})$, 均有 $f(n) \geqslant cn^{2}$ 成立, 求 $c$ 的最大值.
Answer: \frac{1}{7}
Subject: 组合
Problem: 已知线段 $x+y=1$ ($x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$) 上有 $2020$ 个点. 求最小的正整数 $k$, 使得对任意这样 $2020$ 个点, 总能存在一种方法将这 $2020$ 个点分为两组, 其中一组点的纵坐标之和不大于 $k$, 另一组的横坐标之和不大于 $k$ (这 $2020$ 个点可以重合).
Answer: 506
Subject: 组合
Problem: 设集合 $A = \{1, 2, \cdots, 5\}$, 由集合 $A$ 的全体子集组成的集合称为 $A$ 的幂集, 记作 $2^A$. 称映射 $f: 2^A \rightarrow A$ 是 ``完美映射'', 若对任意的 $X, Y \in 2^A$, 均有 $f(X \cap Y) = \min\{f(X), f(Y)\}$. 求完美映射的个数.
Answer: 4425
Subject: 组合
Problem: 已知一个正多边形的每条边和对角线恰各染成 $2018$ 种颜色之一, 且所有边及对角线不全同色. 若正多边形中不存在两色三角形 (即三角形的三边恰被染成两种颜色), 则称该多边形的染色是 ``和谐的''. 求最大的正整数 $N$, 使得存在一个和谐的染色正 $N$ 边形.
Answer: 2017^2
Subject: 数论
Problem: 定义函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$, 对任意的 $x, y \in \mathbb{Z}$, 均有 $f(x^2 - 3y^2) + f(x^2 + y^2) = 2(x+y)f(x-y)$. 若 $n > 0$, 则 $f(n) > 0$, 且 $f(2015)f(2016)$ 为完全平方数. 求 $f(1) + f(2)$ 的最小值.
Answer: 246
Subject: 组合
Problem: 设集合 $X=\{1,2,\cdots ,2022\}$. 集族 $\mathcal{F}$ 由 $X$ 的若干互不相同的子集组成, 满足: 对任意的 $F\in \mathcal{F}$, 均有 $|F| \geqslant 800$; 且对任意的 $x\in X$, 使得 $x\in F$ 的集合 $F\in \mathcal{F}$ 至少有 $800$ 个. 求最小的正整数 $m$, 使得一定存在 $\mathcal{F}$ 中的 $m$ 个集合的并集为 $X$.
Answer: 1222
Subject: 几何
Problem: 已知在平面直角坐标系内, 点 $P(x, y)$ 的轨迹满足方程组
$\begin{cases}
a^{2}x-axy-y=0, \\
a^{2}y+axy+x=0,
\end{cases}$.
点 $A(1,t)$ 与 $B(s,2)$ 关于原点中心对称. 求 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP}$ 的最小值.
Answer: 6\sqrt{3}-5
Subject: 几何
Problem: 已知与圆柱 $OO'$ 底面成 $60^\circ$ 角的截面 $\alpha$ 截圆柱侧面所得的平面图形为椭圆, 球 $C_1$、$C_2$ 位于截面 $\alpha$ 的两侧, 分别与圆柱的侧面、一个底面及截面 $\alpha$ 相切. 设球 $C_1$、$C_2$、圆柱 $OO'$ 的体积分别为 $V_1$、$V_2$、$V$. 求 $\frac{V_1+V_2}{V}$ 的值.
Answer: \frac{4}{9}
Subject: 组合
Problem: 将 $8 \times 8$ 方格表的 $64$ 个格编号为 $1, 2, \cdots, 64$, 使得对一切 $1 \le i \le 63$, 编号为 $i$ 与 $i+1$ 的两个格均有一条公共边. 求主对角线上的八个格的编号之和的最大值.
Answer: 432
Subject: 组合
Problem: 在 $101 \times 101$ 的方格表中, 每个格填入集合 $\{1, 2, \cdots, 101^2\}$ 中的一个数, 且集合中的每个数恰用一次. 方格表的左右边界视为同一条线, 上下边界也视为同一条线 (即为一个圆环面). 若无论怎么填, 均存在两个相邻格 (有公共边的) 其所填两数之差不小于 $M$, 求 $M$ 的最大值.
Answer: 201
Subject: 组合
Problem: 有红色、绿色、白色、蓝色 (除颜色外均相同) 的棋子各两枚. 现从中选取七枚镶嵌在一个正六棱锥的顶点处, 每个顶点镶嵌一枚棋子. 求不同的镶嵌方法种数.
Answer: 424
Subject: 几何
Problem: 抛物线 $y^2=2px$ 的内接 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$, 斜边 $BC \perp x$ 轴于点 $M$, 延长 $MA$ 到点 $D$, 使得以 $AD$ 为直径的 $\odot N$ 与 $x$ 轴切于点 $E$, 联结 $BE$, 与抛物线交于点 $F$. 若四边形 $AFBC$ 的面积为 $8p^2$, 且 $A, F$ 点不重合, $p^2=\sqrt{2}$, 求 $\triangle ACD$ 的面积.
Answer: \frac{15\sqrt{2}}{2}
Subject: 组合
Problem: 给定整数集合 $A = \{1, 2, \cdots, 100\}$. 设函数 $f: A \rightarrow A$ 满足: （1）对任意的 $1 \leqslant i \leqslant 99$, 均有 $|f(i) - f(i+1)| \leqslant 1$；（2）对任意的 $1 \leqslant i \leqslant 100$, 均有 $f(f(i)) = 100$. 求 $\sum_{i=1}^{100} f(i)$ 的最小可能值.
Answer: 8350
Subject: 数论
Problem: 设集合 $A = \{0, 1, \cdots, 2018\}$. 若 $x, y, z \in A$, 且 $x^2 + y^2 - z^2 = 2019^2$, 求 $x + y + z$ 的最大值与最小值之和.
Answer: 7962
Subject: 几何
Problem: 若不等式 $2\sin^2 C + \sin A \cdot \sin B > k \sin B \cdot \sin C$ 对任意的 $\triangle ABC$ 均成立, 求实数 $k$ 的最大值.
Answer: 2\sqrt{2}-1
Subject: 代数
Problem: 求最小的实数 $a$, 使得对所有正整数 $n$ 和实数 $0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_n$ 满足
$$a \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{(k+1)^3}}{\sqrt{x_k^2 - x_{k-1}^2}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + 3k + 3}{x_k}.$$
Answer: \frac{16\sqrt{2}}{9}
Subject: 几何
Problem: 已知 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 为非零的不共线的向量. 设 $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{1+r} \overrightarrow{OA} + \frac{r}{1+r} \overrightarrow{OB}$. 定义点集 $M = \{K \mid \frac{\overrightarrow{KA} \cdot \overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KA}|} = \frac{\overrightarrow{KB} \cdot \overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KB}|} \}$. 当 $K_1$、$K_2 \in M$ 时, 若对任意的 $r \geq 2$, 不等式 $|\overrightarrow{K_1 K_2}| \leq c |\overrightarrow{AB}|$ 恒成立, 求实数 $c$ 的最小值.
Answer: \frac{4}{3}
Subject: 组合
Problem: 在平面区域 $M = \{(x, y) | 0 \le y \le 2 - x, 0 \le x \le 2 \}$ 内任取 $k$ 个点, 均能将这 $k$ 个点分成 $A$、 $B$ 两组, 使得 $A$ 组所有点的横坐标之和不大于 $6$, 而 $B$ 组所有点的纵坐标之和不大于 $6$. 求正整数 $k$ 的最大值.
Answer: 11
Subject: 代数
Problem: 设方程 $4^{1-2x} + \log_2 x = 0$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$ ($x_1 < x_2 < x_3$). 求 $\frac{\log_2 x_2}{x_1 x_2 x_3}$ 的值.
Answer: -32
Subject: 组合
Problem: 求最大的 $C \in \mathbf{R}_{+}$, 使得从任何实数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022}$ 中均可以选取一部分项, 同时满足以下条件: (1) 任何连续三项不同时被取出；(2) 任何连续三项至少有一项被取出；(3) 被取出的各项之和的绝对值不小于 $C(|a_{1}| + |a_{2}| + \cdots + |a_{2022}|)$.
Answer: \frac{1}{6}
Subject: 代数
Problem: 已知对于任意的实数 $x$, 均有 $f(x) = 1 - a \cos x - b \sin x - A \cos 2x - B \sin 2x \ge 0$. 求 $(A^2 + B^2)(a^2 + b^2)$ 的最大值.
Answer: \frac{27}{32}
Subject: 组合
Problem: 已知区间 $[0, 1]$ 内有若干个数（可以相同）, 其和不超过 $S$. 求 $S$ 的最大值, 使得总可以将这些数分成两组, 每组中的各数之和均不超过 $11$.
Answer: \frac{253}{12}
Subject: 代数
Problem: 设 $\begin{cases} \sin \alpha = \sin(\alpha + \beta + \gamma) + 1, \\ \sin \beta = 3\sin(\alpha + \beta + \gamma) + 2, \\ \sin \gamma = 5\sin(\alpha + \beta + \gamma) + 3. \end{cases}$ 求 $\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma$ 的所有可能值的乘积.
Answer: \frac{3}{512}
Subject: 代数
Problem: 设 $n \in \mathbf{Z}_{+}$, $n \geqslant 2$, $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}$, 且 $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = 1$. 令 $b_{k} = \sqrt{1 - \frac{1}{16^{k}}} \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{k}^{2}}$ $(1 \leqslant k \leqslant n)$. 求 $b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n-1} + \frac{4}{3} b_{n}$ 的最小值.
Answer: \frac{\sqrt{15}}{3}
Subject: 几何
Problem: 定义异面棱长相等的四面体为等腰四面体. 设等腰四面体 $DBMN$ 的外接球半径为 $R$, $\triangle BMN$ 的外接圆半径为 $r$. 已知 $DB=MN=a$, $DM=BN=b$, $DN=BM=c$. 求 $\frac{r}{R}$ 的取值范围.
Answer: \left[\frac{2\sqrt{2}}{3},1\right)
Subject: 数论
Problem: 已知 $n = \overline{d_1 d_2 \cdots d_{2017}}$, 其中 $d_i \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ $(i = 1, 2, \cdots, 2017)$, 且 $\sum_{i=1}^{1009} d_i d_{i+1} \equiv 1 \pmod{4}$, $\sum_{i=1010}^{2016} d_i d_{i+1} \equiv 1 \pmod{4}$. 求满足条件的 $n$ 的个数.
Answer: 6 \times 5^{2015}
Subject: 代数
Problem: 设 $x\in (0,1)$, $\frac{1}{x}\notin \mathbf{Z}$, $a_{n}=\frac{nx}{(1-x)(1-2x)\cdots (1-nx)}$, 其中, $n=1, 2, {\ldots}$. 称 $x$ 为 ``好数'' 当且仅当 $x$ 使上述所定义的 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{10}> -1$ 且 $a_{1}a_{2}\cdots a_{10}> 0$. 求全体好数在数轴上对应的所有区间的长度之和.
Answer: \frac{61}{210}
Subject: 代数
Problem: 已知 $a>0$, $b\in \mathbf{R}$. 若 $|ax^3-bx^2+ax|\leqslant bx^4+(a+2b)x^2+b$ 对任意 $x\in [\frac{1}{2},2]$ 都成立, 求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围.
Answer: \left[\frac{\sqrt{2}-1}{2},+\infty \right)
Subject: 几何
Problem: 已知 $P$ 为正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 棱 $AB$ 上的一点, 满足直线 $A_1B$ 与平面 $B_1CP$ 所成角为 $60^\circ$. 求二面角 $A_1-B_1P-C$ 的正切值.
Answer: -\sqrt{5}
Subject: 代数
Problem: 设 $x \in [0, 2\pi]$, 求函数 $f(x) = \sqrt{4\cos^2x + 4\sqrt{6}\cos x + 6} + \sqrt{4\cos^2x - 8\sqrt{6}\cos x + 4\sqrt{2}\sin x + 22}$ 的最大值.
Answer: 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})
Subject: 数论
Problem: 求所有的素数 $p$, 使得 $p^2 - 87p + 729$ 为完全立方数.
Answer: 2011
Subject: 代数
Problem: 对任意正实数 $a_1, a_2, \cdots, a_5$, 若 $\sum_{i=1}^{5}\frac{a_i}{\sqrt{a_i^2+2^{i-1}a_{i+1}a_{i+2}}}\geqslant \lambda$, 求 $\lambda$ 的最大值.
Answer: 1
Subject: 代数
Problem: 若实数 $x$, $y$ 满足条件 $x^2 - y^2 = 4$, 求 $\frac{1}{x^2} - \frac{y}{x}$ 的取值范围.
Answer: (-1, 1)
Subject: 数论
Problem: 求不定方程 $\arctan \frac{1}{m} + \arctan \frac{1}{n} + \arctan \frac{1}{p} = \frac{\pi}{4}$ 的正整数解的组数.
Answer: 15
Subject: 几何
Problem: 在 $\triangle ABC$ 中, 内切圆分别与边 $AB$, $AC$ 切于点 $E$, $F$, $AD$ 为 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的高, 且 $AE+AF=AD$. 求 $\sin \frac{A}{2}$ 的取值范围.
Answer: \left[\frac{3}{5},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
Subject: 代数
Problem: 已知函数 $f(x) = a(|\sin x| + |\cos x|) - 3\sin 2x - 7$, 其中, $a$ 为实参数. 设数对 $(a, n)$ ($n \in \mathbf{Z}_{+}$), 使得函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0, n\pi)$ 内恰有 $2019$ 个零点, 所有这样的数对构成了集合 $S$, 求 $\sum_{(a_0, n_0)\in S} (a_0^2+n_0)$.
Answer: 4650
Subject: 几何
Problem: 对于正四面体 $ABCD$, $M$、$N$ 分别为棱 $AB$、$AC$ 的中点, $P$、$Q$ 分别为面 $ACD$、面 $ABD$ 的中心. 求 $MP$ 与 $NQ$ 所成的角.
Answer: \arccos \frac{7}{18}
Subject: 几何
Problem: 空间有四个点 $A$、$B$、$C$、$D$, 满足 $AB = BC = CD$. 若 $\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 36^{\circ}$, 求直线 $AC$ 与 $BD$ 所成角的大小的所有可能值之和.
Answer: 126^{\circ}
Subject: 代数
Problem: 对任意 $2016$ 个复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{2016}$, 均有 $\sum_{k=1}^{2016} | z_{k} |^{2} \geq \lambda \min_{1 \leq k \leq 2016} \{ | z_{k+1} - z_{k} |^{2} \}$, 其中, $z_{2017} = z_{1}$. 求 $\lambda$ 的最大值.
Answer: 504
Subject: 几何
Problem: 设 $\triangle ABC$ 为椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的内接三角形, 其中 $A$ 为椭圆 $\Gamma$ 与 $x$ 轴正半轴的交点, 直线 $AB$, $AC$ 斜率的乘积为 $-\frac{1}{4}$, $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心. 求 $|GA| + |GB| + |GC|$ 的取值范围.
Answer: \left[\frac{2\sqrt{13}+4}{3}, \frac{16}{3}\right)
Subject: 几何
Problem: 已知 $O$ 为坐标原点, $F$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点, 过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$, $B$ 两点, 椭圆上两点 $P$, $Q$ 满足 $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \mathbf{0}$ 且 $P$, $A$, $Q$, $B$ 四点共圆. 求椭圆 $C$ 的离心率.
Answer: \frac{\sqrt{2}}{2}
Subject: 代数
Problem: 已知 $P(x) = x^8 + 3x^7 + 6x^6 + 10x^5 + 15x^4 + 21x^3 + 28x^2 + 36x + 45$, $z = \cos \frac{2\pi}{11} + i\sin \frac{2\pi}{11}$. 求 $P(z)P(z^2)\cdots P(z^{10})$ 的值.
Answer: 11^8 (5^{11} - 4^{11})
Subject: 几何
Problem: 已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=y$, 圆 $C_{2}: x^{2}+(y-4)^{2}=1$, $P$, $A$, $B$ 是抛物线 $C_{1}$ 上互异的三点, 且点 $P$ 异于原点. 已知直线 $PA$, $PB$ 都与圆 $C_{2}$ 相切, $|PA|=|PB|$. 求点 $P$ 的纵坐标.
Answer: \frac{23}{5}
Subject: 代数
Problem: 设 $n = 108$, $n$ 项正数列 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 满足 $0 < x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n$ 及 $x_1 + x_2 \leqslant x_n$. 求 $\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right)\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}\right)$ 的最小值.
Answer: 210\sqrt{10}+11035
Subject: 几何
Problem: 过正四面体 $ABCD$ 的顶点 $A$ 作一个形状为等腰三角形的截面, 且该截面与面 $BCD$ 所成角为 $75 ^{\circ}$, 求这样的截面有多少个.
Answer: 18
Subject: 代数
Problem: 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=0$, $a_{n+1}=\frac{8}{5}a_n+\frac{6}{5}\sqrt{4^n-a_n^2}\left(n\in\mathbb{N}\right)$. 求 $\sum_{k=0}^{2005} a_k$ 的小数部分(用小数表示).
Answer: 0.84
Subject: 几何
Problem: 平面直角坐标系中, $A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)$. 假如存在参数 $a$, 使得直线 $l:y=ax+b$ 将 $\triangle ABC$ 分割成面积相等的两部分, 求 $b$ 的取值范围.
Answer: \left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)
Subject: 数论
Problem: $a_1, a_2, \cdots, a_{2016}$ 为 $1, 2, \cdots, 2016$ 的排列, 且满足 $2017 | (a_1 a_2 + a_2 a_3 + \cdots + a_{2015} a_{2016})$. 这样的排列有 $K$ 个, 求 $K$ 模 $4066272$ 的余数.
Answer: 2016
Subject: 数论
Problem: 已知 $n$ 为不大于 2021 的正整数, 且满足 $\left( \left[ \sqrt{n} \right]^2 + 1 \right) | \left( n^2 + 1 \right)$, 求 $n$ 的个数.
Answer: 47
Subject: 数论
Problem: 求所有满足下述条件的有序正整数对 $(m,k)$ 的个数, 其中 $3 \leqslant k \leqslant 12$, $2 \leqslant m \leqslant 20$. 同时, 用 $m$ 进制循环小数表示 $\frac{1}{k}$ 时, 循环节内各数字互异, 且删除小数部分前几位可以得到 $\frac{2}{k}, \cdots, \frac{k-1}{k}$ 的 $m$ 进制循环小数表示.
Answer: 21
Subject: 数论
Problem: 已知正整数 $n$ 满足: 在任意连续 $n$ 个正整数中, 一定可以挑出两个数 $a$、$b(a\neq b)$, 且存在正整数 $k$, 使得 $210|(a^k-b^k)$. 求满足条件的 $n$ 的最小值.
Answer: 9
Subject: 组合
Problem: 四面体 $ABCD$ 的顶点为 $A, B, C, D$. $M_1, \cdots, M_6$ 为六条棱的中点. 在这 $10$ 个点中任取 $4$ 点, 求它们不共面的概率.
Answer: \frac{47}{70}
Subject: 代数
Problem: 设 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \in [0, 1]$, 求 $\prod_{1 \le i < j \le 5} |a_i - a_j|$ 的最大值.
Answer: \frac{3\sqrt{21}}{38416}
Subject: 数论
Problem: 求 $\sum_{k=0}^{1234}\binom{2016\times 1234}{2016k}$ 在模 $2017^2$ 下的余数（回答在 $[0, 2017^2)$ 上的那个值）.
Answer: 1581330
Subject: 数论
Problem: 从左到右依次写出 $1$ 到 $10000$ 的全部正整数, 然后去掉那些能被 $5$ 或 $7$ 整除的数, 将剩下的数连成一排组成一个新数, 求新数被 $11$ 除的余数（回答在 $[0, 11)$ 上的那个值）.
Answer: 8
Subject: 数论
Problem: 将形如 $0.a_1 a_2^{(k)} \cdots a_n^{(k)} \cdots$ 的十进制小数记为 $A(a_1, k)$, 其数字 $a_1$ 为 $1$ 至 $9$ 的任何一个自然数. 而当 $a_1$ 给定后, $a_2^{(k)}$ 等于乘积 $ka_1$ 的个位数字, $a_n^{(k)}$ 等于乘积 $ka_{n-1}^{(k)}$ 的个位数字, 其中 $n=3, 4, \cdots$. 求 $\sum_{k=1}^9 \sum_{a_1=1}^9 A(a_1, k)$ 的值.
Answer: \frac{401}{9}
Subject: 数论
Problem: 设集合 $S\subset \{1, 2, \cdots, 100\}$. 已知对 $S$ 中任意两个不同元素 $a, b$, 都存在正整数 $k$ 和 $S$ 中的两个不同元素 $c, d$（允许等于 $a$ 或 $b$）, 使 $c < d$, 且 $a + b = c^k d$. 求集合 $S$ 元素个数的最大值.
Answer: 48
Subject: 数论
Problem: 设数列 $\{a_n\}$ 满足: (1) $a_1$ 是完全平方数 (2) 对任意正整数 $n$, $a_{n + 1}$ 是使 $2^na_1+2^{n-1}a_2+\cdots+2a_n+a_{n+1}$ 为完全平方数的最小的正整数. 若存在正整数 $s$, 使得 $a_s = a_{s + 1} = t$, 求 $t$ 的最小可能值.
Answer: 31
Subject: 数论
Problem: 设正整数 $x_1, x_2, \cdots, x_{2005}$ 满足 $\sum_{i = 1} ^ {2005} x_i = 432972$, 求 $\sum_{i = 1} ^ {2005} \gcd(x_i, x_{i+1}, x_{i+2})$ 的最大值, 其中下标按模 $2005$ 理解.
Answer: 432756
Subject: 数论
Problem: 求最小的整数 $m\ge 2017$, 使得对任意整数 $a_1, a_2, \cdots, a_{m}$, 存在 $1 < i_1 < i_2 < \cdots < i_{2017} \le m$ 及 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_{2017} \in \{-1, 1\}$, 使得 $\sum_{j=1}^{2017}\varepsilon_j a_{i_j}$ 能被 $2017$ 整除.
Answer: 2027
Subject: 数论
Problem: 称一个正整数是``好数'', 如果它可以表示为 $1893$ 个整数的两两之差的平方和. 求最小的非完全平方数的正整数 $a$, 使得任一好数的 $a$ 倍仍然是好数.
Answer: 43
Subject: 组合
Problem: 设 $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ 是 $20$ 个两两不同的正整数, 且集合 $\{a_i + a_j | 1 \le i, j \le 20\}$ 中有 $201$ 个不同的元素. 求集合 $\{|a_i - a_j| | 1 \le i, j \le 20\}$ 中不同元素个数的最小可能值.
Answer: 100
Subject: 数论
Problem: 求不超过 $2009$ 的正整数 $t$ 的个数, 使得对所有自然数 $n$, 有 $\sum_{k = 0}^n \binom{2n+1}{2k+1} t^k$ 与 $2009$ 互质.
Answer: 980