წრფივი ალგებრა

წრფივი ალგებრა — მათემატიკის, უფრო ვიწროდ კი ალგებრის დარგი რომელიც შეისწავლის ვექტორებს, ვექტორულ სივრცეებს (სხვანაირად წრფივი სივრცე), წრფივ გარდაქმნებს და მსგავს მათემატიკურ სტრუქტურებს. წრფივი გარდაქმნა განსაკუთრებული ასახვაა, რომელიც ინახავს წრფივი სივრცის ოპერაციებს. წრფივი ალგებრა თანამედროვე მათემატიკის მნიშვნელოვანი დარგია. ის გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, აბსტრაქტულ ალგებრასა და ფუნქციურ ანალიზში. წრფივი ალგებრის სტრუქტურების წარმოსახვაში ანალიტიკური გეომეტრია გვეხმარება. ის ფართოდ გამოიყენება ინჟინერიაში, ფიზიკასა და სხვადასხვა მეცნიერებებში.
1. წრფივი სივრცე
განსზღვრება 1.1
სიმრავლეს S მასში განსაზღვრულ ოპერაციებით (შეკრება + და ველის ელემენტზე გამრავლება •) ეწოდება წრფივი სივრცე (ან ვექტორული სივრცე) V ველის მიმართ, თუ დაკმაყოფილებულია მოთხოვნები:
1. s + t = t + s, ყოველი s და t ელემენტისათვის S-დან
2. არსებობს ელემენტი 0, ისეთი რომ s + 0 = s, ყოველი s-სათვის S-დან
3. ყოველი s-სათვის S-დან არსებობს ელემენტი –s, ისეთი რომ s + (–s) = 0
4. b • (a • s) = (b • a) • s, ყოველი x-სათვის S-დან და a და b-თათვის V-დან
5. a • (s + t) = (a • s) + (a • t), ყოველი s და t-თათვის S-დან და a-სათვის V-დან
6. ყოველი s-სათვის 0 • s = 0, სადაც მარცხენა ნული V-ს ელემენტია, მარჯვენა კი S-ის
7. ყოველი s-ისათვის 1 • s = s, სადაც 1 ველის ერთიანია
შემდგომში ვექტორი ვუწოდოთ წრფივი სივრცის ელემენტს.
თეორემა 1.2
თუ a • s = 0, მაშინ ან s = 0 ან a = 0
დამტკიცება
თუ a ≠ 0 და a • s = 0, გავამრავლოთ ტოლობა a¯-ზე. გვექნება
0 = a¯ • 0 = a¯ • a • s = 1 • s = s
თვით ველი წრფივი სივრცის ერთ ერთი მაგალითია იმავე ოპერაციების მიმართ რაც ველშია განსაზღვრული.
მაგალითი 1.3
ველის ველით გაფართოება V ⊂ W წრფივი სივრცის მაგალითია. W-ში არსებული ოპერაციების მიმართ W წრფივი სივრცეა V-ს მიმართ.
შევნიშნოთ, რომ თუ S არის წრფივი სივრცე W-ს მიმართ, მაშინ ის ავტომატურად არის წრფივი სივრცე V-ს მიმართაც.
მაგალითი 1.4
ნებისმიერი სიმრავლის B ასახვები ველში V ჰქმნის წრფივ სივრცეს M(B, V). ორი f და g ასახვის ჯამი იყოს ანასახების ჯამით განსაზღვრული ასახვა, ანუ
(f + g)(B) = f(x) + g(x)
ასახვის ნამრავლი ველის ელემენტზე განისაზღვროს ტოლობით
(a • f)(x) = a • (f(x))
ადვილი შესამოწმებელია, რომ მივიღეთ წრფივი სივრცე.
მაგალითი 1.5
სივრცეში M(B, V) გამოვყოთ ქვესივრცე ასახვებისა რომელთა მნიშვნელობები მხოლოდ სასრულ რაოდენობა არგუმენტზეა ნულისაგან განსხვავებული, თითქმის ყველგან ნულია. აღვნიშნოთ იგი F(B, V)-ით. თუ თვით სიმრავლე B სასრულია, მაშინ, რასაკვირველია, F(B, V) = M(B, V). თვით B განვიხილოთ ჩადგმული ამ სივრცეში: თუ b ∈ B, განვიხილოთ b როგორც ასახვა, რომელიც თვით b-ს შეუსაბამებს ველის ერთიანს, ხოლო ყველა დანარჩენს ნულს. სივრცის F(B, V) ყოველი ელემენტი a: B → V შეგვიძლია წარმოგვიდგინოთ კომბინაციის სახით a = ∑ a(b) • b.
მაგალითი 1.6
პოლინომთა სიმრავლე წრფივი სივრცის მაგალითია. ავირჩიოთ რაიმე სიმბოლო, ვთქვათ x, და განვიხილოთ ფორმალურ ხარისხთა სიმრავლე X = {x⁰ = 1, x¹ = x, x², x³, . . .}. წრფივი სივრცე F(X, V) იქნება მრავალწევრთა წრფივი სივრცე V[x]. მისი ყოველი ვექტორი a, ანუ ასახვა X-დან V-ში შეიძლება ჩავწეროთ შემდეგი სახით
a₀ + a₁ • x + a₂ • x² + a₃ • x³ + . . .
სადაც
a₀ = a(1), a₁ = a(x), a₂ = a(x²), a₃ = a(x³), . . .
ველის V ელემენტებია.
მაგალითი 1.7
თუ შემოვიფარგლებით მხოლოდ k-ზე ნაკლები ხარისხის მრავალწევრებით, მივიღებთ წრფივ სივრცეს V[x, k]-ს.
V[x, 1] = V, V[x, 2] = {a₁ • x + a₀}, . . .
თუ მოცემულია გაფართოება V ⊂ W, მაშინ V[x]-ის ელემენტი შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც W-დან W-ში ასახვა: W-ს ელემენტ w-ს ანასახი იქნება ველი W-ს ელემენტი რომელიც მიიღება პოლინომში x-ის მაგივრად w-ს ჩასმით. V[x]-ში შეიძლება შემოვიტანოთ გამრავლებაც, როგორც V-დან V-ში ასახვის მნიშვნელობათა გამრავლება, ანუ პოლინომთა ჩვეული მოქმედება. ამ მოქმედებათა მიმართ პოლინომთა სიმრავლე კომუტატური რგოლია. თვით ველი ამ რგოლის ქვერგოლია, როგორც მუდმივ ასახვათა სიმრავლე, ანუ ნულოვანი ხარისხის პოლინომთა სიმრავლე. ამგვარ წარმონაქმნს უწოდებენ ალგებრას აღებული ველის მიმართ.
მაგალითი 1.8
წრფივი სივრცის კლასიკური მაგალითია ველის ელემენტთა n-ეულების სიმრავლე Vn. თუ ავიღებთ სიმრავლეს B = {1, 2, . . ., n}, მაშინ Vn = F(B, V). ჩვეულებრივ მის ვექტორს, ანუ ასახვას B → V წარმოადგენენ როგორც (u1, u2, . . .). ოპერაციები ასე შეიძლება ჩაიწეროს
(u1, u2, . . .) + (v1, v2, . . .) = (u1 + v1, u2 + v2, . . .)
v • (u1, u2, . . .) = (v • u1, v • u2, . . .)
ყოველივე ზემოდ აღწერილი უნდა დავინახოთ როგორც წრფივი სივრცის მოცემის სხვადასხვა ფორმა. ამ ფორმებს შორის ბუნებრივი შესაბამისობებია. საქმეში უნდა გამოვიყენოთ ის ფორმა რომელიც ყველაზე უფრო მორგებულია განსახილველ საკითხთან.
2. ქვესივრცე
წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე თუ სივრცეში განსაზღვრული ოპერაციების მიმართ ჩაკეტილია, მაშინ იგი თვით იქნება წრფივი სივრცე. ამგვარ ქვესიმრავლეს ქვესივრცეს უწოდებენ.
მხოლოდ ნული ერთ-ერთი ქვესივრცეა, ერთადერთი, რომელიც ერთი ვექტორისაგან შესდგება. თვით სივრცეც ფორმალურად თავის თავის ქვესივრცეა. შემდგომში ჩვეულებრივ ქვესივრცედ ამ ქვესივრცეს არ ვიგულისხმებთ.
მაგალითი 2.1
ყოველი ვექტორი a განსაზღვრავს ქვესივრცეს V • a-ს, რომელშიც ვგულისხმობთ სიმრავლე {v • a}-ს, სადაც v გაორბენს ველი V-ს ყველა ელემენტს.
მაგალითი 2.2
წრფივი სივრცის S ყოველი ქვესიმრავლე B განსაზღვრავს წრფივ სივრცეს F(B, V). თუ ასახვას f: B → V შევუსაბამებთ S-ის ვექტორს ∑f(b) • b მივიღებთ ასახვას F(B, V) → S. გამოსახულებას ∑f(b) • b შეიძლება შევხედოთ როგორც F(B, V)-ის ელემენტს და შეიძლება შევხედოთ როგორც S-ის ელემენტს. ეს ორი ხედვა უნდა განვასხვაოთ. პრიველი ხედვით განსხვავებული გამოსახულება შეიძლება მეორე ხედვით ტოლი აღმოჩდეს. ამ ასახვის ანასახი იქნება S-ის უმცირესი ქვესივრცე რომელიც მოიცავს B-ს. ამ ქვესივრცეს B-თი წარმოქმნილს უწოდებენ და V[B]-თი აღვნიშნავთ.
მაგალითი 2.3
ქვესივრცის კიდევ ერთი მაგალითია V[x, k]. ყოველი k-სათვის ის წრფივი სივრცე V[x]-ის ქვესივრცეა, V[x, k] ⊂ V[x].
ქვესივრცეთა თანაკვეთა წრფივი ქვესივრცეა. ქვესივრცეთა გაერთიანება არ არის წრფივი სივრცე, ქვესივრცეთა ჯამად ვიგულისხმოთ მათ მომცველ სივრცეთა თანაკვეთა, ანუ უმცირესი ქვესივრცე, რომელიც ყოველი მათგანის მომცველია. წრფივი სივრცის ქვესივრცეთა სიმრავლე ამ ოპერაციებით ჰქმნის სტრუქტურას, რომელსაც მესერს (lattice) უწოდებენ.
3. აფინური სივრცე
განმარტება 3.1
წრფივი სივრცე S-ის მიმართ აფინურ სივრცეს უწოდებენ სიმრავლე A-ს და მასში განმარტებულ ოპერაციას:
A-ს წერტილს მიმატებული S-ის ვექტორი, თუ
1. ყოველი a-სათვის A-დან და s-სათვის S-დან a + s განმარტებულია და ეკუთვნის A-ს
2. ყოველი a და b წერტილებისათვის A-დან არსებობს ერთადერთი ვექტორი S-დან s, რომლისათვისაც a + s = b
3. (a + s) + t = a + (s + t), ყოველი a-სათვის A-დან და s და t-სათვის S-დან
მაგალითი 3.2
აფინური სივრცის ყველაზე გავრცელებულ მაგალითს იძლევა ქვესივრცე. ვთქვათ T არის S-ის ქვესივრცე. ავირჩიოთ რაიმე წერტილი S-დან s და განვიხილოთ ყველა ჯამი s + t, სადაც t ეკუთვნის T-ს, ანუ სიმრავლე s + T. ეს სიმრავლე იქნება T-ს მიმართ აფინური სივრცე.
თუ დავუკვირდებით A მიმართებაშია S-თან, როგორც თვით S სივრცე ველთან V. თვით წრფივი სივრცე S, რასაკვირველია, აფინური სივრცის ერთ-ერთი მაგალითია. თუ აფინურ სივრცეში წერტილს დავაფიქსირებთ ამ წერტილს მიმატებული ვექტორები განსაზღვრავს წრფივი სივრცის ურთიერთცალსახა ასახვას აფინურ სივრცეში. ამ ასახვით S შეგვიძლია განვიხილოთ სივრცის A არჩეულ წერტილში მხებ სივრცედ.
აფინური სივრცის ყოველ წერტილ a-ზე გამავალი წრფე არის წერტილების a + v • s სიმრავლე, სადაც v გაირბენს ველის ელემენტებს, ხოლო s ფიქსირებული ვექტორია. ორი წრფე {a + v • s} და {b + v • t} პარალელურია თუ მათი განმსაზღვრელი ვექტორები ჯერადია, ანუ t = v • s, რომელიღაც v-სათვის ველიდან. რადგან წერტილთა ყოველი წყვილისათვის a და b არსებობს ერთადერთი ვექტორი s = b - a, გამოდის რომ არსებობს მათზე გამავალი ერთადერთი წრფე {a + v • s}.
ასევე შეიძლება განიმარტოს უფრო მაღალი განზომილების ბრტყელი ობიექტი. ყველა ამათგანი აფინური ქვესივრცე იქნება, ოღონდ საკუთარი წრფივი სივრცით. აფინური ქვესივრცის შესაქმნელად საჭიროა გამოვყოთ წრფივი ქვესივრცე და წერტილი.
4. ფაქტორსივრცე
ავიღოთ S-ში ქვესივრცე T. ნებისმიერი ელემენტისათვის u სივრციდან S განვიხილოთ u + T ქვესიმრავლე. ეს ქვესიმრავლე T-ს მიმართ აფინური სივრცეა. მთელი სივრცე დაიყოფა ურთიერთ არაგადამკვეთ აფინურ სივრცეებად, შრეებად. თუ ვექტორი v შედის u + T შრეში, მაშინ v = u + t, სადაც t ქვესივრცე T-ს ვექტორია. ამიტომ შრეები u + T და v + T ერთი და იგივეა, ანუ u + T = v + T. შრეები ან არ გადაიკვეთება, ან ემთხვევა ერთმანეთს. ერთ-ერთი ამგვარი შრე თვით ქვესივრცე T-ა. ამ შრეთა ერთობლიობა წრფივი სივრცეა ინდუცირებული შეკრებისა და ველის ელემენტზე გამრავლების მიმართ. ამ წრფივ სივრცეს ფაქტორსივრცეს უწოდებენ და აღნიშნავენ S / T-თი.
თუ ქვესივრცე R-სა და T-ს თანაკვეთა ნულია, მაშინ R-ს ყოველ შრეში აქვს არაუმეტეს ერთი ელემენტისა. მართლაც, R-ში რომ არსებობდეს ორი განსხვავებული ელემენტი s და r, რომელიც T-ს მიმართ ერთი და იგივე შრეში შედის, მაშინ r - s უნდა ეკუთვნოდეს T-ს, ანუ r - s = 0, r = s. რაც ეწინააღმდეგება დაშვებას. აქედან გამომდინარეობს
თეორემა 4.1
თუ R და T-ს თანაკვეთა ნულია, მაშინ R-ს შეესაბამება S / T-ში R-ის იზომორფული ქვესივრცე.
ავირჩიოთ T-ს დამატება R, ანუ ქვესივრცე, რომელიც T-სთან მხოლოდ ნულით გადაიკვეთება და T-სთან ერთად კი მთელ სივრცეს წარმოქმნის. ქვესივრცის R ყოველ ვექტორს შევუსაბამოთ შრე რომელშიც ის ძევს. ამ თანადობით ფაქტორსივრცის ნულს, ანუ T-ს მხოლოდ R-ის ნული შეესაბამება. ამავე დროს ყოველ შრეში R-ის ერთი ელემენტია, რადგან S-ის ყოველი ელემენტი წარმოიდგინება ჯამად x + u, სადაც x ∈ R და u ∈ T. მივიღეთ ურთიერთცალსახა თანადობა R-ის ელემენტებსა და შრეებს შორის. ეს თანადობა იზომორფიზმია.
ალგებრა