ჰილბერტის აქსიომატიკა

ჰილბერტის აქსიომატიკა — ევკლიდური გეომეტრიის აქსიომების სისტემა. შემუშავებულია ჰილბერტის მიერ, როგორც უფრო სრული, ვიდრე ევკლიდეს აქსიომების სისტემა.
სისტემა შედგება 20 აქსიომისგან და დაყოფილია 5 ჯგუფად: თანამონაწილეობის (8 აქსიომა), განაწილების (4 აქსიომა), შესაბამისობის, ანუ კონგრუენტულობის (5 აქსიომა), უწყვეტობის (2 აქსიომა) და პარალელურობის (1 აქსიომა).
აქსიომები
20 აქსიომისგან შემდგარი სისტემა განაწილებულია 5 ჯგუფად:
თანამონაწილეობის აქსიომები:
პლანიმეტრიული:
როგორიც არ უნდა იყოს A და B წერტილები, არსებობს a წრფე, რომელსაც ისინი ეკუთვნის.
როგორიც არ უნდა იყოს ორი განსხვავებული A და B წერტილი, არსებობს არაუმეტეს ერთი წრფისა, რომელსაც ეს წერტილები ეკუთვნის.
ნებისმიერ a წრფეს ეკუთვნის ორი წერტილი მაინც. არსებობს 3 წერტილი მაინც, რომელიც არ ეკუთვნის ერთ წრფეს.
სტერეომეტრიული:
როგორიც არ უნდა იყოს სამი წერტილი A, B და C, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთ წრფეს, არსებობს α სიბრტყე, რომელსაც ეკუთვნის ეს სამი წერტილი. ნებისმიერ სიბრტყეს ეკუთვნის ერთი წერტილი მაინც.
როგორიც არ უნდა იყოს სამი წერტილი A, B და C, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთ წრფეს, არსებობს არაუმეტეს ერთი სიბრტყისა, რომელსაც ეს წერტილები ეკუთვნის.
თუ ორი წერტილი A და B ეკუთვნის a წრფეს, რომელიც α სიბრტყის ნაწილია, მაშინ ეს წერტილები ამ α სიბრტყეს ეკუთვნის
თუ არსებობს ერთი წერტილი A, რომელიც α და β სიბრტყეებს ეკუთვნის, მაშინ არსებობს ერთი B წერტილი მაინც, რომელიც ამ ორივე სიბრტყეს ეკუთვნის.
არსებობს ოთხი წერტილი მაინც, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთ სიბრტყეს.
განაწილების აქსიომები:
ხაზოვანი:
თუ а წრფის B წერტილი მოქცეულია იმავე წრფის А და С წერტილებს შორის, მაშინ А, В და С ამ წრფის განსხვავებული წერტილებია და В ასევე მდებარეობს С-სა და А-ს შორის.
როგორიც არ უნდა იყოს ორი განსხვავებული А და С წერტილი, მათ მიერ განსაზღვრულ წრფეზე არსებობს არანაკლებ ერთი ისეთი В წერტილისა, რომ С მდებარეობდეს А-სა და В-ს შორის.
ნებისმიერ სამ წერტილს შორის, რომლებიც ერთ წრფეზე მდებარეობენ, არსებობს არაუმეტეს ერთი წერტილისა, რომელიც დანარჩენ ორს შორისაა.
პაშის აქსიომა — ვთქვათ A, B, C — სამი წერტილია, რომლებიც არ მდებარეობს ერთ წრფეზე, ხოლო a არის ამ წერტილების სიბრტყეში მდებარე წრფე, რომელიც არ გადის ამ წერტილებიდან არცერთზე. ამავდროულად, თუ a წრფე AB მონაკვეთის რომელიმე წერტილზე გადის, მაშინ ის ასევე უნდა გადიოდეს AC მონაკვეთის რომელიმე წერტილზე ან BC მონაკვეთის რომელიმე წერტილზე. (პაშის აქსიომა აბსოლუტური გეომეტრიის აქსიომების ნაწილია)
შესაბამისობის (კონგრუენტულობის) აქსიომები:
მონაკვეთების შესაბამისობა (კონგრუენტულობა):
თუ A და B არის а წრფეზე მდებარე ორი წერტილი, А’ — არის ამავე ან სხვა а’ წრფეზე მდებარე წერტილი, მაშინ მოცემული А’ წერტილიდან წრფის მხარეს а’ წრფეზე მოიძებნება, თანაც მხოლოდ ერთი, ისეთი В’ წერტილი, რომ А’B’ მონაკვეთი იქნება АВ-ს შესაბამისი. ყველა АВ მონაკვეთი იქნება ВА-ს შესაბამისი.
თუ მონაკვეთები А’B’ და А"B" შეესაბამება ერთი და იმავე АВ მონაკვეთს, მაშინ ისინი ერთმანეთსაც შეესაბამება.
ვთქვათ, АВ და ВС — a წრფის ორი მონაკვეთია, რომელთაც საეთო წერტილი არ აქვთ, А’B’ და B’C’ იმავე ან სხვა а’ წრფის ორი მონაკვეთია, რომლებსაც ასევე არააქვთ საერთო წერტილი. მაშინ თუ АВ მონაკვეთი А’B’ მონაკვეთის შესაბამისია, ხოლო ВС — B’C’ მონაკვეთის, АС იქნება А’C’ მონაკვეთის შესაბამისი.
კუთხეების შესაბამისობა (კონგრუენტულობა):
თუ მოცემულია ∠ABC კუთხე და B’C' სხივი, რომელიც მდეგარეობს ამ კუთხის სიბრტყეში, მაშინ არსებობს ზუსტად ორი სხივი, რომლებიც ასევე მდებარეობენ ამ კუთხის სიბრტყეში, B’D და B’E, ისე, რომ ∠DB’C' ≅ ∠ABC და ∠EB’C' ≅ ∠ABC.
„შედეგი“. ყველა კუთხე თავისივე თავის შესაბამისია.
სამკუთხედი ΔABC ≅ ΔA’B’C', თუ AB ≅ A’B', AC ≅ A’C', და ∠BAC ≅ ∠B’A’C'.
უწყვეტობის აქსიომები:
არქიმედეს აქსიომა.
„წრფეების სისრულე“. წრფეზე ერთი წერტილის დამატებაც კი გამოიწვევს უთანხმოებას თანამონაწილეობის, განაწილების, შესაბამისობის პირველი 2 აქსიომასა და არქიმედეს აქსიომას შორის.
პარალელურობის აქსიომა, რომლისთვისაც ჰილბერტმა აირჩია არა ევკლიდური ფორმულირება, არამედ მისი ეკვივალენტური, პროკლის აქსიომა:
ვთქვათ, გვაქს a წრფე და A წერტილი, რომელიც a წრფეზე არ მდებარეობს. მაშინ სიბრტყეზე არსებობს მხოლოდ ერთი წრფე, რომელიც გადის A წერტილზე და არ გადაკვეთავს a წრფეს.
21-ე აქსიომა
თავდაპირველად (1899) ჰილბერტმა 21-ე აქსიომაც დაურთო:
„მონაკვეთზე ნებისმიერ ოთხ წერტილს შეიძლება შეურჩიო სახელები A, B, C და D ისე, რომ B წერტილი იმყოფებოდეს A-სა და C-ს შორის , ასევე A-სა და D-ს შორის. C წერტილი კი A-სა და D-ს შორის, და B-სა და D-ს შორის.“
1902 წელს მურმა დაამტკიცა, რომ ეს აქსიომა გადაჭარბებულია.
ისტორია
ევკლიდური გეომეტრიის აქსიომური სქემა დავიდ ჰილბერტმა 1899 წელს გამოაქვეყნა სადღესასწაულო ტომში „Festschrift“. ამჟამად „გეომეტრიის დაფუძნება“ გამოცემულია მსოფლიოს მრავალ ენაზე.
რესურსები ინტერნეტში
Math Department at the UMBC
Mathworld
ევკლიდური გეომეტრიის აქსიომები
გეომეტრია
აქსიომები