პითაგორას თეორემა

პითაგორას თეორემა
მათემატიკაში პითაგორას თეორემა არის ურთიერთდამოკიდებულება ევკლიდეს გეომეტრიაში მართკუთხა სამკუთხედის სამ გვერდს შორის. თეორემას სახელი ბერძენი მათემატიკოსი პითაგორას გამო დაერქვა, რომელმაც პირველად დაამტკიცა მისი მართებულობა.
თეორემა შემდეგში მდგომარეობს:
ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში, კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდი ჰიპოტენუზის ტოლია უდრის დანარჩენ ორ გვერდზე მდებარე კვადრატთა ფართობების ჯამს.
ვთქვათ c არის ჰიპოტენუზის სიგრძე, ხოლო a და b დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძე, მაშინ თეორემა შემდეგი ტოლობით გამოიხატება:
ეს ტოლობა გამოხატავს მარტივ ურთიერთდამოკიდებულებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის, ანუ თუ მისი ორი ნებისმიერი გვერდის სიგრძე ცნობილია, მესამის გამოთვლაც შესაძლებელია. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს კოსინუსების თეორემაც, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ ნებისმიერი სამკუთხედის მესამე გვერდი, თუ ცნობილია ორი გვერდის სიგრძე და მათ შორის მდებარე კუთხე.
ამ თეორემის შებრუნებული ვერსიაც (კონვერსია) ასევე ჭეშმარიტია:
ნებისმიერ სამი დადებითი რიცხვისთვის a, b, და c სადაც a2 + b2 = c2, არსებობს სამკუთხედი გვერდებით a, b და c, და ყოველ ასეთ სამკუთხედს აქვს მართი კუთხე გვერდებს a და b შორის.
c²=(a+b)²-2ab=a²+b²
ისტორია
ის, რომ ეს თეორემა ეკუთვნის პითაგორას, ამტკიცებდა ძველი ბერძენი მეცნიერი და ისტორიკოსი პლუტარქე (I ს.) და ძველი ბერძენი მწერალი და ისტორიკოსი პროკლე (V ს.). გადმოცემის თანახმად, ამ აღმოჩენის პატივსაცემად, პითაგორამ ღმერთებს შესწირა ასი ხარი.
დიდხანს თვლიდნენ, რომ პითაგორამდე ეს თეორემა არ იყო ცნობილი, ამიტომაც დაარქვეს მისი სახელი, მაგრამ ცნობილია, რომ პითაგორამდე მას იყენებდნენ ძველი ეგვიპტელები, ბაბილონელები, ჩინელები, ინდუსები და ძველი სამყაროს ხალხები სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნისას. პრაქტიკაში მართი კუთხის ასაგებად (ანუ ურთიერთმართობული წრფეების ასაგებად) იყენებენ სამკუთხედს, რომლის გვერდებია 3, 4, 5, რაც, ცხადია, ცნობილი იყო ძველი აღმოსავლეთის ხალხებისათვის. სწორედ ასეთი პროპორციებითაა ნაკვეთი არქეოლოგების მიერ ნაპოვნი ხეფრენის პირამიდის ფილები. საინტერესოა ის ფაქტიც, რომ ხეოფსის ცნობილ პირამიდაში ე.წ. სამეფო ოთახის ზომებს აქვს სწორედ 3, 4, 5 ციფრებთან კავშირი.
ძველი ინდოეთის მათემატიკური ცოდნის ფასეულ წყაროს წარმოადგენს წიგნი „თოკის წესები“ (სულვა-სუტრა), რომელიც მიეკუთვნება ძვ.წ. VII-V სს-ს. წიგნის დიდი ნაწილი დათმობილი აქვს მართი კუთხის, კვადრატის, სამკუთხედების აგებას. მასში მოყვანილია პითაგორას თეორემაც.
ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის დამოკიდებულების აღმოჩენის მიკუთვნება პითაგორასთვის არ შეიძლება. მან მხოლოდ მოგვცა ამ თეორემის პირველი განზოგადება და მკაცრი დამტკიცება, გადაიტანა ეს მტკიცებულება პრაქტიკიდან მეცნიერებაში.
ბუნებრივია, რომ პითაგორელებისთვის, რომლებიც ციფრებში მისტიკას ხედავდნენ, განსაკუთრებულ ინტერესს წარმოადგენდნენ სამკუთხედები, რომელთა გვერდები გამოსახული იყო მთელი რიცხვებით და აკმაყოფილებდნენ პირობას: a2 + b2 = c2. ასეთ სამკუთხედებს ეწოდებათ პითაგორას სამკუთხედები.
ამიტომ, თეორემის დამტკიცებასთან ერთად, პითაგორელებმა მიაგნეს ე.წ. „პითაგორას“ რიცხვების (n, (n2-1)/2, (n2+1)/2, სადაც n კენტი რიცხვია) სამეულის უსასრულო მწკრივის პოვნის.
მოგვიანებით აღმოჩენილ იქნა აგრეთვე სხვა დამოკიდებულებები, რომლებიც იძლევა, „პითაგორას რიცხვების“ პოვნის საშუალებას. მაგ.: პლატონის თანახმად, „პითაგორას“ სამეული შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი სახითაც: n; (n/2)2-1; (n/2)2+1, სადაც n ლუწი რიცხვია.
აი, „პითაგორას“ სამეულის რამდენიმე რიცხვის ცხრილი:
მათემატიკის ისტორიკოსები თვლიან, რომ პითაგორას თეორემა ჯერ დაამტკიცეს ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედებისთვის. ეს სამკუთხედები ხშირად გვხვდება ორნამენტებში და წააგავს კვადრატებისა და მისი დიაგონალების ბადეს. იმ კვადრატის ფართობი, რომელიც აგებულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე, ტოლია კათეტებზე აგებული კვადრატების ფართობთა ჯამის.
მართლაც, სამკუთხედ ABC-ს ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შეიცავს 4 სამკუთხედს, ხოლო კათეტებზე აგებული კვადრატები - 2-2 სამკუთხედს.
საუკუნეების განმავლობაში ეს თეორემა მრავალჯერ იქნა დამტკიცებული. ამჟამად იგი არის რეკორდსმენი თეორემა განსხვავებულ დამტკიცებათა რაოდენობის მიხედვით და შესულია გინესის რეკორდების წიგნში. დამტკიცებათა ერთი ნაწილი დაფუძნებულია კვადრატის დაყოფაზე - ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც აგრეთვე ეკუთვნის კათეტებზე აგებულ კვადრატებსაც; მეორე ნაწილი ეფუძნება ტოლდიდ ფიგურებამდე შევსებას; მესამე ნაწილი კი იმას, რომ მართი კუთხიდან ჰიპოტენუზაზე დაშვებული სიმაღლე სამკუთხედს ჰყოფს მის მსგავს ორ სამკუთხედად.
თეორემის რამდენიმე დამტკიცება
პითაგორას დამტკიცებები
I დამტკიცება. 2 ნახაზზე გამოსახულია ორი ტოლი კვადრატი, თითოეულის გვერდის სიგრძეა a + b. თითოეული მათგანი დაყოფილია ნაწილებად, რომლებიც შედგება მართკუთხა სამკუთხედებისა და კვადრატებისაგან. ნათლად ჩანს, რომ თუ კვადრატის ფართობს გამოვაკლებთ a და b კათეტების მქონე მართკუთხა სამკუთხედის გაოთხკეცებულ ფართობს, დარჩება ტოლი ფართობები, c2 = a2 + b2 .
ეს დამტკიცება მიეწერება პითაგორას და ეყრდნობა სამკუთხედების მსგავსებას.
ABC მართკუთხა სამკუთხედის C მართი წვეროდან დავუშვათ CM სიმაღლე. სამკუთხედები ABC, CMB, ACM მსგავსია ორი კუთხით (<ACB = <BMC = <CMA, <ABC = <BMC = <MCA). ABC და ACM სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს ტოლობა: AB/AC = AC/MA, საიდანაც AC2 = AB x MA (1). ABC და CBM სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს ტოლობა: AB/CB=CB/MB, საიდანაც CB2 = AB x MB (2)
(1) და (2) ტოლობების შეკრებით მივიღებთ: AC2 + CB2 = AB2. ე.ი. c2 = a2 + b2 .
თეორემა დამტკიცებულია.
შუასაუკუნეების დამტკიცებები
ბჰასკარის დამტკიცება
ინდოელ მათემატიკოსს ბჰასკარს (ახ.წ. XII ს.) თავის ცნობილ წიგნში - „მეცნიერების გვირგვინი“, მოჰყავს დამტკიცება, რომელიც ეყრდნობა ფიგურათა ტოლდიდობას. ეს დამტკიცება შედგება მხოლოდ ნახაზისა და ერთადერთი სიტყვისაგან „უყურე!“
მართლაც, თუ ოთხ ტოლ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელთა კათეტებია a და b, ისე განვალაგებთ, როგორც ნახაზზეა ნაჩვენები და შევკრებთ მათ ფართობებსა და ცენტრში მოთავსებული კვადრატის ფართობს, მივიღებთ a2 + b2. ეს კი დიდი კვადრატის ფართობის c 2-ის ტოლია. c2 = a2 + b2 .
ნასირ-ედ-დინ-ალ-ტუსის დამტკიცება
XII საუკუნის გამოჩენილი აღმოსავლელი მეცნიერ-ენციკლოპედისტის, ევკლიდეს „საწყისების“ არაბულ ენაზე მთარგმნელის - ნასირედდინ-ალ-ტუსის დამტკიცებაც ეყრდნობა ფიგურათა ტოლდიდობას. ABC სამკუთხედის გვერდებზე ავაგოთ კვადრატები ABGK, ACED და BCQN. გავაგრძელოთ ABGK კვადრატის AK გვერდი, ACED კვადრატის DP გვერდის გაგრძელებასთან F წერტილში გადაკვეთამდე, ხოლო ABGK კვადრატის BG გვერდი BCQN კვადრატის QN გვერდთან M წერტილში გადაკვეთამდე. DE და QN გვერდების გაგრძელებები იკვეთება P წერტილში. რადგან DP||AQ და PN||EB, ხოლო <ECQ=900, როგორც მართი კუთხის ვერტიკალური, ამიტომ ECQP არის მართკუთხედი. ABC სამკუთხედის C კუთხის წვეროდან დაშვებული CO სიმაღლე გავაგრძელოთ KG – ს გადაკვეთამდე L წერტილში. L, O, C , P წერტილები ერთ წრფეზეა.
SKLOA = SACPF = SACED = a2
SLGBO = SCBMP = SCBNQ = b2
SAKGB = SAKLO + SLGBO = c2
ამრიგად, ვიღებთ: c2 = a2 + b2 .
თანამედროვე დამტკიცებები
გადიოდა წლები და საუკუნეები. პითაგორას თეორემა გახდა მათემატიკის სასწავლო კურსის ნაწილი. XIII ს-ის დასაწყისში იგი ისწავლებოდა ევროპის ყველა სასწავლო დაწესებულებაში. რუსეთში მას ასწავლიდნენ პეტრე I-ის მიერ დაარსებულ მათემატიკისა და ნავიგაციის სკოლაში.
საოცარია, მაგრამ თითქმის ყველა ასწლეული უმატებდა ახალ-ახალ დამტკიცებებს ამ მრავალჯერ დამტკიცებულ თეორემას.
ტემპელგოფის დამტკიცება
გერმანელი მათემატიკოსის ტემპელგოფის დამტკიცებაში მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე აგებულია კვადრატები და ამ ფიგურაზე დამატებულია 1 და 2 სამკუთხედები, რომლებიც საწყისი სამკუთხედის ტოლია (ე.ი. შევსებულია ორ ტოლდიდ ფიგურამდე). პითაგორას თეორემის სამართლიანობა გამომდინარეობს AEDFPBDA და ACBNMQ ექვსკუთხედების ტოლდიდობიდან. აქ EP წრფე ყოფს AEDFPB ექვსკუთხედს ორ ტოლდიდ ოთხკუთხედად, CM წრფე ყოფს ACBNMQ ექვსკუთხედს ორ ტოლდიდ ოთხკუთხედად. სიბრტყის მობრუნება A წერტილის გარშემო 900- ით AEPB ოთხკუთხედს ასახავს თავის ტოლ ACMQ ოთხკუთხედში. ტოლდიდ AEDFPB და ACBNMQ ექვსკუთხედებს აქვთ საერთო სამკუთხედები ABC, DCF და QMN , ამიტომ მათი დანარჩენი ნაწილებიც ტოლი იქნება. ე.ი. SABNQ = SAEDC + SCBPF, ანუ c2 = a2 + b2
გოფმანის დამტკიცება
ეს არასტანდარტული დამტკიცება ხდება ნახაზის მეშვეობით. მასზე არ არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე აგებული კვადრატები. ABC სამკუთხედის წვეროებზე გავავლოთ AD, BE და BF მონაკვეთები ისე, რომ AD2AC, BE 2AB და BF2CB, თან AD=AC, BF=BC და BE=AB. ე.ი. კვადრატების ნაცვლად ავაგეთ მათი ნახევრები. F, C, D წერტილები ერთ წრფეზეა; ADFB და ACBE ოთხკუთხედები ტოლდიდია, რადგან ∆ ABF = ∆ ECB; ADF და ACE სამკუთხედებიც ტოლდიდია. ორივე ოთხკუთხედიდან საერთო ABC სამკუთხედის გამოკლებით მივიღებთ: a2/2 + b2/2 = c2/2, ანუ c2 = a2 + b2 .
ალგებრული დამტკიცება
ყველა ზემოთხსენებული დამტკიცება ეყრდნობა ფიგურათა ტოლდიდობას ან ტოლშემცველობას. თუმცა არსებობს ალგებრული დამტკიცებაც. განვიხილოთ ერთ-ერთი მათგანი - მიოლმანის დამტკიცება:
მოცემულ სამკუთხედში ჩახაზულია წრეწირი, რომლის რადიუსია r, ხოლო p - ნახევარპერიმეტრი.
გავავლოთ რადიუსები წრეწირთან შეხების წერტილებში. ABC სამკუთხედის ფართობი ერთის
მხრივ ტოლია ab / 2, მეორე მხრივ - rp / 2. r = (a + b _c)/2 . ე.ი. S = (a+b-c)/2 * (a+b+c)/2 = ab / 2, აქედან კი c2 = a2 + b2 .
ზოგჯერ საკმარისია შევხედოთ ნახაზს, რომ მივხვდეთ მის დამტკიცებას. X საუკუნის ბაღდადელმა მათემატიკოსმა და ასტრონომმა ან-ნაირიზმ (ლათინურად ანარიცმა) წარმოადგინა ასეთი დამტკიცება. ამავე დამტკიცებას ეფუძნება XIX-XX ს-ების სახელმძღვანელოებში გაჩენილი დამტკიცება წყვილ-წყვილად ტოლ ფიგურებად დაყოფის გზით.
აი, კიდევ ერთი დამტკიცება: პითაგორას სამკუთხედი შევსებულია მართკუთხედამდე. მას ჯერ გამოვაკლოთ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ფიგურები, მივიღებთ ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატს. ხოლო ამავე მართკუთხედს თუ გამოვაკლებთ 5, 6, 7 და დაშტრიხულ მართკუთხედებს, მივიღებთ კათეტებზე აგებულ კვადრატებს (9 და 8). ეს ამტკიცებს, რომ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი ტოლია კათეტებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამის.
აინშტაინის დამტკიცება
ეს დამტკიცება ეფუძნება ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის დაყოფას 8 სამკუთხედად. ევკლიდეს დამტკიცება გეომეტრიის ცნობილ სახელმძღვანელოში `საწყისები” ევკლიდეს მოჰყავს პითაგორას თეორემის რვა დამტკიცება.
პითაგორის თეორემის მნიშვნელობა
პითაგორას თეორემა საფუძვლად უდევს ბევრ გეომეტრიულ გამოთვლას. ჯერ კიდევ ძველ ბაბილონში მისი საშუალებით ანგარიშობდნენ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლეს მისი ფუძისა და გვერდის მიხედვით; წრის დიამეტრისა და ქორდის სიგრძის მიხედვით - სეგმენტის სხივს; სხვადასხვა წესიერი მრავალკუთხედების ელემენტებს შორის კავშირს; ამ თეორემის მიხედვით მტკიცდება მისი განზოგადებაც, რაც მახვილი ან ბლაგვი კუთხის პირდაპირ მდებარე გვერდის სიგრძის განსაზღვრის საშუალებას იძლევა: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C.
ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს d12 + d22 = 2(a2 + b2) - პარალელოგრამის დიაგონალებსა და გვერდებს შორის კავშირი, საიდანაც ადვილია სამკუთხედის მედიანის სიგრძის გამოთვლა მისის გვერდების მიხედვით.
პითაგორას თეორემაზე დაყრდნობით გამოდის ე.წ. ჰერონის ფორმულა - სამკუთხედების ფართობის გამოსათვლელი ფორმულა მისი გვერდების სიგრძეების მიხედვით. ცხადია, ამ თეორემას იყენებდნენ პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრისთვისაც.
მართკუთხა სამკუთხედის კათეტებზე კვადრატების ნაცვლად შეიძლება აიგოს ნებისმიერი მსგავსი ფიგურები (ტოლგვერდა სამკუთხედები, ნახევარწრეები და ა.შ.). ამასთან, ჰიპოტენუზაზე აგებული ფიგურის ფართობი ყოველთვის ტოლია კათეტებზე აგებული ფიგურების ფართობთა ჯამის.
პითაგორას თეორემა გვხვდება მხოლოდ ევკლიდეს გეომეტრიაში. იგი არ არის მოყვენილი არც ლობაჩევსკის, არც სხვა არაევკლიდურ გეომეტრიაში. ამ თეორემით იანგარიშება საკოორდინატო სიბრტყეზე ორ ნებისმიერ წერტილს M(x1; y1) და N(x2; y2) შორის მანძილი:
ეს თეორემა დღესაც არ კარგავს თავის მნიშვნელობას და ალბათ, მის მრავალრიცხოვან დამტკიცებებს კიდევ ბევრი ორიგინალური დამტკიცებაც დაემატება.პითაგორელების სიმბოლოა წესიერი პენტაგრამა (წესიერი ხუთკუთხედი)
იხილეთ აგრეთვე
ფერმას დიდი თეორემა
წრფივი ალგებრა
ლიტერატურა
This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.
For full text of 2nd edition of 1940, see
Also ISBN 3-540-96981-0.
რესურსები ინტერნეტში
Pythagorean Theorem
ინტერაქტიული წყაროები:
Interactive proof
Another interactive proof
Pythagorean theorem
Animated, Non-Algebraic, and User-Paced
History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics
მათემატიკური თეორემები