თვლის ორობითი სისტემა

თვლის ორობითი სისტემა — თვლის სისტემა, რომელიც აგებულია პოზიციურ პრინციპზე 2-ის ფუძით. ამ სისტემაში იყენებენ მხოლოდ ორ ნიშანს - ციფრებს 0 და 1; აქაც, ისევე როგორც ყოველ პოზიციურ სისტემაში, ციფრის მნიშვნელობა დამატებით დამოკიდებულია მის მიერ დაკავებულ ადგილზე. რიცხვი 2 ითვლება მეორე თანრიგის ერთეულად და ჩაიწერება ასე: 10 (იკითხება: „ერთი, ნული“). შემდეგი თანრიგის ყოველი ერთული ორჯერ მეტია წინაზე, ე. ი. ეს ერთეულები ადგენენ რიცხვთა მიმდევრობას: 2, 4, 8, 16, ..., 2n, ... იმისათვის, რომ ათობით სისტემაში ჩაწერილი რიცხვი ჩაიწეროს ორობით სისტემაში, მას მიმდევრობით ყოფენ 2-ზე და მიღებულ ნაშთებს (0 და 1) ჩაწერენ რიგით ბოლოდან პირველისაკენ. მაგ., 27=13·2+1; 13=6·2+1; 6=3·2+0; 3=1·2+1; 1=0·2+1; ამრიგად 27-ის ორობითი ჩაწერა იქნება 11011.
ამ სისტემაში განსაკუთრებით მარტივად სრულდება ყველა არითმეტიკული მოქმედება: მაგ., გამრავლების ტაბულა დაიყვანება ერთ ტოლობამდე 1·1=1, მაგრამ რიცხვების ჩაწერა მოითხოვს ციფრების დიდ რაოდენობას. მაგ., რიცხვი 7000 იქნება 13-ნიშნა, მაგრამ იმის გამო, რომ ეს სისტემა იყენებს მხოლოდ ორ ციფრს, იგი ხშირ შემთხვევაში სასარგებლოა თეორიული საკითხების განხილვისას და ეგმ-ზე გამოთვლებისას.
თვლა ორობით რიცხვებში
თვლა ორობით რიცხვებში ემყარება იმავე პრინციპს, რასაც ნებისმიერი სხვა თვლის სისტემა გვთავაზობს. თვლა იწყება ციფრიდან 0 და ყოველი შემდეგი რიცხვი მიიღება ინკრემენტაციის (საფეხურებრივი ზრდის) გზით. კერძოდ, თუ ორობითი რიცხვის ყველა პოზიციაზე 1-ანებია, მაშინ ეს უკანასკნელები 0-ებად იქცევიან და მარცხნიდან ემატება 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია, წინააღმდეგ შემთხვევაში მარჯვენა განაპირა პოზიციიდან მოყოლებული ყველა 0 თანმიმდევრობით იქცევა 1-ად:
|}
ორობითი რიცხვის გარდაქმნა ათობითში და პირიქით
თუ კარგად დავაკვირდებით, ნებისმიერი ათობითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგინდეს ამ რიცხვის შემადგენელი ციფრების 10-ის ხარისხებზე ნამრავლთა ჯამის მეშვეობით, მაგალითად, რიცხვი 4516 დაიშლება შემდეგნაირად:
4516 = 4·103 + 5·102 + 1·101 + 6·100
ანუ, 10-ის ხარისხი ემთხვევა რიცხვში ციფრის პოზიციის ნომერს 'მინუს' 1. ანალოგიური პრინციპი მოქმედებს ორობითი რიცხვების გარდაქმნისას ათობითში, მხოლოდ ამ შემთხვევაში ფუძე 2-ის ტოლია. მაგალითად, ორობითი რიცხვი 1101012 წარმოდგინდება თვლის ათობით სისტემაში შემდეგნაირად (ინდექსი 2 მიუთითებს რიცხვის ორობით სახეს):
1101012 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 5310
ათობითი რიცხვის გარდასაქმნელად ორობითში, საჭიროა ეს რიცხვი მთელად გავყოთ 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლო პოზიციაზე, შემდეგ განაყოფი გავყოთ მთელად 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლოსწინა პოზიციაზე, და ა.შ. მანამ, სანამ განაყოფს არ მივიღებთ 1–ზე ნაკლებს:
53 : 2 = 26 ნაშთი: 1
26 : 2 = 13 ნაშთი: 0
13 : 2 = 6 ნაშთი: 1
6 : 2 = 3 ნაშთი: 0
3 : 2 = 1 ნაშთი: 1
1 : 2 = 0,5 ნაშთი: 1
მივიღეთ ნაშთების შემდეგი მიმდევრობა : 1 0 1 0 1 1. თუ ამ მიმდევრობას განვალაგებთ მისაღები ორობითი რიცხვის პოზიციებზე ბოლოდან, მივიღებთ: 1101012
არითმეტიკა ორობით რიცხვებში
შეკრება
ეს ოპერაცია უმარტივესია ორობით არითმეტიკაში. იგი ეყრდნობა 4 ძირითად ტოლობას:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით შევკრიბოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 011012 და 101112:
1 1 1 1 1 (<- ვიმახსოვრებთ)
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
------------------
1 0 0 1 0 0 (<- შედეგი)
გამოკლება
ძირითადი ტოლობებია:
0 − 0 = 0
0 − 1 = 1 (ვიმახსოვრებთ (-1)-ს)
1 − 0 = 1
1 − 1 = 0
მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გამოვაკლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 11011102 და 101112:
-1 -1 -1 -1 (<- ვიმახსოვრებთ)
1 1 0 1 1 1 0
- 1 0 1 1 1
-----------------------
1 0 1 0 1 1 1
გამრავლება
ძირითადი ტოლობებია:
0 • 0 = 0
0 • 1 = 0
1 • 0 = 0
1 • 1 = 1
მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გავამრავლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 10112 და 10102:
1 0 1 1
× 1 0 1 0
---------------
0 0 0 0
+ 1 0 1 1
+ 0 0 0 0
+ 1 0 1 1
------------------
1 1 0 1 1 1 0
გაყოფა
გაყოფა ორობით რიცხვებში ანალოგიურია გაყოფისა ათობით რიცხვებში. მაგალითად, გავყოთ 110112 (=2710) 1012 (=510) -ზე:
1 1 0 1 1 : 1 0 1 = 1 0 1
− 1 0 1
--------
0 1 1
− 0 0 0
-------
1 1 1
− 1 0 1
-------
1 0
როგორც ვხედავთ, გაყოფის პროცესი წარიმართა შემდეგნაირად: გასაყოფის პირველ სამ ციფრში 101 მოთავსდა ერთხელ, ნაშთი - 1. შემდეგ ჩამოვიტანეთ 1 გასაყოფიდან, მიღებულ რიცხვში 101 მოთავსდა 0-ჯერ, ნაშთი 11. კვლავ ჩამოვიტანეთ 1 და ამჯერად მასში 101 მოთავსდა ერთხელ. რამდენადაც გასაყოფიდან ჩამოსატანი ციფრები ამოიწურა, გაყოფას ვწყვეტთ. შედეგი შემდეგი სახისაა: განაყოფში მივიღეთ 101, ხოლო ნაშთში - 10. მართლაც, თუ ზემოხსენებულ ყველა ორობით რიცხვს გადავიყვანთ ათობითში, დავრწმუნდებით, რომ 2710 : 510 = 510 ნაშთი: 210
ლიტერატურა
რესურსები ინტერნეტში
Binary System at cut-the-knot
Conversion of Fractions at cut-the-knot
Binary Digits at Math Is Fun
How to Convert from Decimal to Binary at wikiHow
Learning exercise for children at CircuitDesign.info
Binary Counter with Kids
"Magic" Card Trick
Quick reference on Howto read binary
Binary converter to HEX/DEC/OCT with direct access to bits
Sir Francis Bacon's BiLiteral Cypher system , predates binary number system.
მათემატიკა