წარმოებული

წარმოებული — მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ერთი ნამდვილი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე წერტილის მიდამოში არგუმენტის ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება . სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული წერტილის მიდამოში.
განსაზღვრება: ერთი ნამდვილი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი და
თუ ან , მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს და ვუწოდებთ შესაბამისად მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულებს. თუ წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს , მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს
წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია აკმაყოფილებს ტოლობას . ამიტომ უტოლობიდან , გამომდინარეობს ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში. ამდენად წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას არ გააჩნია წარმოებული . მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული.
თუ ფუნქციას ყოველ წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს აღვნიშნავთ სიმბოლოთი და ვუწოდებთ ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი ფუნქციის წარმოებულ ფუნქციას არ გააჩნია პირველი გვარის წყვეტები.
თუ ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას , რომელსაც ეწოდება ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული. ანალოგიურად ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი და
სადაც . ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული , აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები .
თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე გლუვს.
წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი
ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკის მხები წერტილში. ამისთვის ჯერ გავიხსენოთ მხების ლაიბნიცისეული განსაზღვრება, რომ მოცემული წირის წერტილში გავლებული მხები არის წრფე, რომელიც გადის და მასთან უსასრულოდ მიახლოვებულ წერტილებზე. მოყვანილი განსაზღვრება პირდაპირ გვკარნახობს როგორ უნდა ავაგოთ მოცემული წირის მოცემულ წერტილზე გამავალი მხები (ნახ.1). უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკის წერტილში მხების ასაგებად, წერტილის მცირე მიდამოში განვიხილოთ ნებისმიერი წერტილი და ფუნქციის გრაფიკზე ავიღოთ შესაბამისი წერტლი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ და წერტილების შემაერთებელი წრფის (გრაფიკის ქორდის) განტოლება იქნება
.
ახლა თუ წერტილით მივუახლოვედებით წერტილს, შესაბამისად წერტილიც მიუახლოვდება წერტილს და ქორდა გადაიქცევა მხებად თუ კი ასეთი არსებობს. ანუ მხების განტოლების მისაღებად საჭიროა (2) ტოლობაში გადავიდეთ ზღვარზე , და თუ ეს ზღვარი არსებობს, (1) ტოლობის გათვალისწინებით მივიღებთ
.
უკანასკნელი ტოლობის თანახმად ფუნქციის წარმოებული წერტილში ყოფილა ამ წერტილში გავლებული მხების განტოლების კუთხური კოეფიციენტის ტოლი, რომელიც როგორც ცნობილია განისაზღვრება ტოლობიდან , სადაც არის კუთხე მხებსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის (ნახ. 2), და ამიტომ სამართლიანია ტოლობა
.
კავშირი ფუნქციასა და მის პირველ და მეორე წარმოებულებს შორის
წამოებულის განსაზღვრების თანახმად თუ მაშინ როდესაც საკმარისად ახლოსაა წერტილთან, რაც ნიშნავს ფუნქციის მკაცრად ზრდადობას წერტილში. ანალოგიურად თუ მაშინ ფუნქცია მკაცრად კლებადია წერტილში. თუ , მაშინ ფუნქცია წერტილში შეიძლება იყოს როგორც ზრდადი ისე კლებადი (როდესაც წარმოებული არ იცვლის ნიშანს წერტილში, ასეთებია ვთქვათ წერტილში მკაცრად ზრდადი და მკაცრად კლებადი ფუნქციები) ან სულაც შეიძლება გააჩნდეს ექსტრემუმი. კერძოდ ფუნქციას გააჩნია ლოკალური მაქსიმუმი (მინიმუმი) თუ და წერტილში წარმოებული ნიშანს იცვლის დადებითიდან უარყოფითზე (უარყოფითიდან დადებითზე).
აგრეთვე ადვილი საჩვენებელია, რომ თუ მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია (ჩაზნექილია) წერტილის გარკვეულ მცირე მიდამოში.
თუ და წერტილში იცვლის ნიშანს, მაშინ წერტილს ეწოდება ფუნქციის გადაღუნვის წერტილი.
გაწარმოების (წარმოებულის გამოთვლის) წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები
ელემენტარული და მათი შებრუნებული ფუნქციების წარმოებულები მოიცემა შემდეგი ცხრილით:
1. (მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულია); 5. ;
2. , კერძოდ ; 6. ;
3. , კერძოდ ; 7. ;
4. , კერძოდ ; 8. .
თუ და წარმოებადი ფუნქციებია და , მაშინ გაწარმოების შემდეგი წესებია სამართლიანი:
მრავალი ცვლადის ფუნქციის კერძო და მიმართული წარმოებულები
ვთქვათ და ყოველ ვექტორს გარკვეული წესით შეესაბამება ერთადერთი , ანუ მოცემული გვაქვს ცვლადის ფუნქცია. ჩავთვალოთ რომ ცვლადის გარდა ყველა სხვა ცვლადს მიენიჭა ფიქსირებული მნიშვნელობა, ანუ , მაშინ იქნება ერთი ცვლადის ფუნქცია. თუ ფუნქციას გააჩნია წარმოებული წერტილში, მაშინ რიცხვს ვუწოდებთ ფუნქციის კეძო წარმოებულს ცვლადით წერტილში და აღვნიშნავთ სიმბოლოთი , ანუ
.
თუ ყოველ წერტილს შეესაბამება რიცხვი , მივიღებთ ცვლადის ფუნქციას, რომელსაც ეწოდება ფუნქციის კეძო წარმოებული ცვლადით და აღინიშნება სიმბოლოთი ან თუ ეს არ იწვევს გაუგებრობას .
განვიხილოთ ვექტორი . ადვილი დასანახია, რომ თუ , მაშინ ვექტორი , უახლოვდება ვექტორს ვექტორის მიმართულებით, რადგან და ვექტორები კოლინეარულია (ეს განსაკუთრებით თვალნათელია თუ n=2 (იხ. ნახ. 3)) . ნათქვამიდან ცხადია რატომ ეწოდება რიცხვს
,
ფუნქციის წარმოებული წერტილში მიმართულებით. ადვილი დასამტკიცებელია მიმართული წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულა
,
სადაც არის სკალარული ნამრავლი და ანუ ფუნქციის გრადიენტია.
კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის წარმოებულიМ. Лаврентьев, Б. Шабат, Методы теории функции комплексного переменного. Наука, Москва (1965)
ვთქვათ არის კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, არის არე, და განსაზღვრული გვაქვს კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია მაშინ
მნიშვნელოვანია იმის გათვალისწინება, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრების თანახმად (3) ტოლობაში მონაწილე ზღვარი არსებობს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ზღვრის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია -ის რიცხვისკენ მისწრაფების გზისაგან. უკანასკნელი პირობა საკმარისად მძიმე შეზღუდვაა და განაპირობებს იმას, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციას სადაც , გააჩნია წარმოებული წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ და ფუნქციები დიფერენცირებადია წერტილში და ამ წერტილში სრულდება ე.წ. კოში-რიმანის პირობები (ხშირად დალამბერ-ეილერის პირობებადაც მოიხსენიებენ)
.
თუ კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია წარმოებადია არეში, ამბობენ რომ ის ანალიზური ფუნქციაა ამ არეში. აღმოჩნდა რომ თუ ფუნქცია ანალიზურია, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებულები, კერძოდ სამართლიანია შემდეგი თეორემა
კოშის თეორემა (1842 წ.) თუ ფუნქცია ანალიზურია არეში და უწყვეტია (-ს ჩაკეტვა) სიმრავლეზე, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებული ამ არეში და სამართლიანია ინტეგრალური წარმოდგენა
სადაც არის არის საზღვარი.
სქოლიო
მათემატიკური ანალიზი