نهاية دالة

نهاية دالة
تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.
تعتبر نهاية أو غاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:
للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.
نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.
التاريخ
انظر إلى برنارد بولزانو.
تعريفات
يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان
لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة
|ε> |f(x) - b تكون متحققة.
وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.
لتكن , النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل يوجد على الأقل نقطة واحدة حيث.
.
لتكن , و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد بحيث إذا كانت و إذاً .
العلاقة بالإستمرارية (الإتصال)
كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.
خصائص
قاعدة التسلسل
, و
غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد حيث إذا توفر فإن ).
قاعدة لوبيتال
الجمع والتكامل
نظرية
العدد هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A بحيث و .
مثال:
الفترة المفتوحة كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ.
النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ لكنها لا تنتمي إلى
. كل النقاط في هي نقاط تراكم ل
المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم
نظرية
إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c
نظرية
لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:
إذا أعطي جوار لـL
يوجد جوار لـ c
بحيث x≠c هي أي نقطة في إذاً
أمثلة
1)
الحل
أفترض f(x)=b, لكل, نريد إثبات أن
، وإذا كان , نفترض .
(في الحقيقة في أي موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),
إذا , ((الواحد تعويض عن ))
لدينا وبما أن أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية
أن
2)
الحل:
لتكن g(x)=x , لكل , إذا كان نختار إذاًو إذا كانت
, يكون لدينا , بما أن , نستنتج أن
مما يعني أن
نظرية [معيار المتتابعة
إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:
1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L
2/ لكل متتابعة في A تتقارب إلى c بحيث لكل , المتتابعه
تتقارب إلى L
معيار التباعد
لنفرض أن ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم
1/ إذا كانت ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و لكل بحيث المتتابعة تتقارب إلى c لكن المتتابعة
لا تتقارب إلى L
2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و
لكل بحيث المتتابعة تتقارب إلى c لكن المتتابعة.
ليست تقاربية في R
أمثلة
1/ غير موجودة
الحل
نفرض أن إذا كانت x>0 سنعتبر c=0
إذا أخذنا المتتابعة لـ حيث ,
هذا سيؤدي إلى أن لكن
وكما نعلم أن المتتابعة
ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن غير موجودة.
انظر أيضًا
نهاية متتالية،
قاعدة لوبيتال.
مراجع
دوال
نهايات (رياضيات)