هندسة تفاضلية

هندسة تفاضلية
في الرياضيات، الهندسة التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد الشعب قابل للمفاضلة أيضا، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية.
أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة باستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي.
جوهري مقابل عرضيِ
منذ البداية وحتى منتصف القرن التاسع عشر، درِست الهندسة التفاضلية من وجهة نظر عرضية : حيث يتم اعتبار المنحنى ،و السطح واقعين في فضاء إقليدي ذو أبعاد أكثر (على سبيل المثال سطح في فضاءِ بيئيِ مِنْ ثلاثة أبعاد). إنّ النَتائِجَ الأسهلَ تلك في هندسة تفاضلية للأقواس.
كانت البداية بعملِ ريمان،حيث طُوّرتْ وجهة نظر الجوهرية ، وفيها لا يمكن الكَلام عن نقلخارج' الجسمِ الهندسيِ خارجا لأنه يعتَبَرُ أساسا معرفا بشكل حر.
إنّ وجهةَ النظر الجوهرية أكثر مرونة، فهو على سبيل المثال مفيدة في النسبيةِ حيث لا يمكن أَن يؤخذ الزمكان بشكل عرضي. وفق وجهة النظر الجوهرية من الصعب تعريف التقوس وتراكيب أخرى مثل الاتصال الرياضي، لذا هناك صعوبات تفرضها وجهة النظر هذه.
وجهتي النظر هاتين يُمْكِنُ أَنْ تُصالحا، وبمعنى آخر: الهندسة العرضية يُمْكِنُ أَنْ تعتَبر كإضافة تركيبِ إلى الجوهريةِ.
هندسة المنحنيات التفاضلية
قائمة بمواضيع المنحنيات
صيغ فريني-سيري
المنحنيات في الهندسة التفاضلية
عنصر خط
انحناء Curvature
نصف قطر الانحناء Radius of curvature
دائرة التقبيل
منحني Curve
هندسة السطوح التفاضلية
سطح مسطر,
سطح مخروطي Conical surface
انحناء متوسط Mean curvature
مبرهنة إغريغوم
مبرهنة غاوس-بونيت.
الحسبان على متعددات التفرع Gauss-Bonnet مبرهنة
حسبان متعدد المتغيرات,
متعدد التفرع Manifold
شعاع مماسي أو متجه مماسي Tangent vector
فضاء مماسي Tangent space
حزمة مماسات Tangent bundle
فضاء مماسي مرافق Cotangent space
حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
حقل شعاعي Vector field
حقل تينسوري Tensor field
شكل تفاضلي Differential form
مشتق خارجي Exterior derivative
مبرهنة فروبنيوس,
اتصال (رياضيات) Contact (mathematics
طوبولوجيا تفاضلية
تشاكل تفاضلي Diffeomorphism
Large diffeomorphism
قابلية توجيه Orientability
مبرهنة ويتني المضمرة Whitney embedding theorem
قيمة حرجة Critical value
نقطة سادل Saddle point
نظرية مورس Morse theory
مشتق لاي Lie derivative
مبرهنة هيري بول Hairy ball theorem
مبرهنة بوانكاريه-هوبف Poincaré-Hopf theorem
مبرهنة ستوكس,
De Rham cohomology
مفارقة سميل Smale's paradox
حزم ليفية Fiber bundles
الحزمة الليفية
حزمة مبدئية Principal bundle
حزمة إطار Frame bundle
حزمة هوبف Hopf bundle
حزمة مترافقة Associated bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
حزمة مماسية Tangent bundle
حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
حزمة خط Line bundle
حزمة مفصلية Jet bundle
هندسة ريمانية
List of coordinate charts،
تينسور متري Metric tensor،
متعدد شعب ريماني،
هندسة لاإقليدية،
زيادة زاوية Angle excess،
عالم-كرة Sphere-world،
معامل نجمة هودج Hodge star operator
حقل شعاع قاتل Killing vector field
جيوديسي Geodesic
جيوديسي أولي Prime geodesic
جيوديسي
إسقاط أسي Exponential map
Injectivity radius
حقل جاكوبي,
مبرهنة المجانسة Uniformization theorem
مبرهنة مايرز Myers theorem
فضاء متناظر Symmetric space
سطح فائق Hypersurface
مبرهنة ناش المضمرة Nash embedding theorem
مبرهنة الانضغاط لغروموف،
حدسية هسيانغ-لاوسون Hsiang-Lawson's conjecture
متعدد تفرع جزئي ريماني Riemannian submanifold
بنى متعددة
متري جوهري Intrinsic metric
متعدد تفرع ريماني كاذب Pseudo-Riemannian manifold
متعدد تفرع ريماني-جزئي Sub-Riemannian manifold
نسبية عامة General relativity
هولونومي (تقييد تام) Holonomy، هولونومي محلية
G-structure
متعدد تفرع معقد Complex manifold،
متعدد تفرع معقد تقريبا Almost complex manifold
متعدد تفرع كيلر Kähler manifold
متعدد شعب كلابي ياو
Hyperkähler manifold
هندسة تماسكية
هندسة اتصال Contact geometry
G2 manifold
تورق
شروط التكاملية للجمل التفاضلية
هندسة فينسلر Finsler geometry
هندسة معلومات Information geometry
انحناء Curvature
المقالة الرئيسية : انحناء متعدد تفرع ريماني''
مبرهنة إغريغوم
مبرهنة غاوس-بونيت,
اسقاط غاوس Gauss map
شكل أصلي ثان Second fundamental form
شعاع انحناء Curvature vector
شكل الانحناء Curvature form
تينسور الانحناء Curvature tensor
انحناء جيوديسي Geodesic curvature
انحناء مقياسي Scalar curvature
انحناء مقطعي Sectional curvature
انحناء ريتشي Ricci curvature، انبساط ريتشي Ricci flat
انحناء ويلي Weyl curvature
جريان ريتشي Ricci flow
سطح أصغري Minimal surface
تواصل (رياضيات) Connection (mathematics)
شكل التواصل Connection form
مبرهنة شيرن-غاوس-بونيت Chern-Gauss-Bonnet theorem
Chern-Weil homomorphism
تواصل كارتان Cartan connection
تطبيقات تواصل كارتان Cartan connection applications
Vierbein
نظرية ابنشتاين-كارتان Einstein-Cartan theory
مشتق متباين مترافق Covariant derivative
تواصل ليفي-كيفيتا Levi-Civita connection
إطار متحرك Moving frame
نقل متوازي Parallel transport
عزم (هندسة تفاضلية) Torsion (differential geometry
مصادر