نظرية أس عطية-سينجر

نظرية أس عطية-سينجر
في علم الهندسة التفاضلية، هناك نظرية أس عطية-سينجر, والذي أثبته، وتنص على أن لكل مؤثر إهليلجي تفاضلي على متعدد شعب متراص، فإن الأس التحليلي (المرتبط بالبعد في فضاء الحلول) يساوي الأس الطوبولوجي (كما عُرِّف في بعض بيانات الطوبولوجيا). وتضُم هذه النظرية نظريات أخرى عديدة، مثل نظرية ريمان-روك، مثل بعض القضايا الخاصة، ولها عدة تطبيقات في الفيزياء النظرية.
معلومات تاريخية
طُرِحت مشكلة الأس في المؤثرات التفاضلية الإهليجية من قبل العَالِم . فقد لاحظ ثباتًا شاذًا في الأس، وطالب بابتكار صيغة لها عن طريق الكمية الثابتة الطوبولوجية. ومن بين الأمثلة المُحفِّزة نظرية ريمان-روك وقانونه العام نظرية هيرزبروك-ريمان-روك، وأيضًا نظرية هيرتسبروخ (Hirzebruch signature theorem). نجح هيرتسبروخ وبوريل في إثبات صحة وتكامل عنصر Â في شعب دروري متعددة، واقترح عطية بأن هذا التكامل من الممكن تفسيره إذا كان أس مؤثر ديراك (الذي أُعيد اكتشافه من قبل عطية وسينجر عام 1961).
وتم الإعلان رسميًا عن نظرية عطية-سينجر من قِبَل عطية وسينجر عام 1963. وهما لم يقوما بنشر البراهين في إعلانهما، على الرغم من وجودها في كتاب بعنوان (Palais 1965). أول برهان نُشر (Atiyah & Singer 1968a) استبدَّل نظرية cobordism على أول برهان بنظرية K-theory، وقاموا باستخدامه لتقديم براهين على قوانين عامة مُتعدِّدة على المستندات.
1965: إس بي نوفيكوف قام بنشر نتائجه عن الثوابت الطوبولوجية لفئات (Pontrjagin) الجذرية على تعدد الشعب المُستقرة.
ونتائج كيربي وسيبينمان ، مع حُجة العالِم رينيه ثوم (René Thom) تُثبِت وجود فئات (Pontryagin) الجذرية على تعدد الشعب الطوبولوجية. وتُعد فئات (Pontrjagin) الجذرية عناصر ضرورية لنظرية الأس على تعدد الشعب المُستقرة والطوبولوجية.
1969: عرَّف عطية المؤثرات الإهليليجية المُجردة على الفضاء المتري الكيفي. أصبحت المؤثرات الإهليليجية المُجردة العناصر الأساسية في نظرية كاسباروف(Kasparov) والهندسة التفاضلية اللاتبديليَّة التي وضعها العالِم كونيس(Connes).
1971: إي إم سينجر اقترح منهجًا شاملاً للتوسيعات المستقبلية لنظرية الأس.
1972: قام جي جي كاسباروف بنشر أعماله بخصوص تحقيق تناظُر K عن طريق المؤثرات الإهليليجية المُجردة.
قدَّم برهانًا جديدًا لنظرية الأس باستخدام معادلة الحرارة، الذي ذُكِرت في .
1977: الدكتور سوليفان قام ببناء نظريته عن وجود وتفرُّد العالِم ليبشيتز(Lipschitz) والبِنيات التي تكاد تكون مطابقة على تعدُّد الشعب الطوبولوجية للبُعد المختلف عن البُعد الرابع.
بعدما شجَّعته أفكار وألفاريز جوم، قدَّم برهانًا مختصرًا عن نظرية الأس الموضعية للمؤثرات التي تُعتبر داخليًا مؤثرات ديراك؛ وهذا يعالج الكثير من القضايا المُفيدة.
1983: إن تيليمان أثبت أن الأسس التحليلية لمؤثرات التوقيع التي تحتوي على القِيم في الحزم الشعاعية هي الثوابت الطوبولوجية.
1984: قام إن تيليمان بتكوين نظرية الأس مُستنِدًا على تعدد الشعب الطوبولوجية.
1986: إيه كونيس قام بنشر حُجَّته الجوهرية عن الهندسة اللاتبديلية.
1989: قام كلٌ من إس كي دونالدسن والدكتور سوليفان بدراسة نظرية يانغ ميلس عن تعدد الشعب الشبه مطابقة للبُعد الرابع. كما قدَّما مؤثر التوقيع S المُحدَّد على أساس الصِيغ التفاضلية من الدرجة الثانية.
1990: أثبت كلٌ من إيه كونيس وإتش موسكوفيتشي الأس الداخلي في سياق الهندسة اللاتبديلية.
1994: برهن إيه كونيس، الدكتور سوليفان وإن تيليمان على نظرية الأس لمؤثرات التوقيع على تعدد الشعب الشبه مطابقة.
المراجع
The papers by Atiyah are reprinted in volumes 3 and 4 of his collected works,
This reformulates the result as a sort of Lefschetz fixed point theorem, using equivariant K theory.
An announcement of the index theorem.
This gives a proof using K theory instead of cohomology.
This paper shows how to convert from the K-theory version to a version using cohomology.
This paper studies families of elliptic operators, where the index is now an element of the K-theory of the space parametrizing the family.
. This studies families of real (rather than complex) elliptic operators, when one can sometimes squeeze out a little extra information.
. This states a theorem calculating the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex.
and These give the proofs and some applications of the results announced in the previous paper.
.
,
This gives an elementary proof of the index theorem for the Dirac operator, using the heat equation and supersymmetry.
Bismut proves the theorem for elliptic complexes using probabilistic methods, rather than heat equation methods.
reprinted in volume 1 of his collected works, p. 65–75, ISBN 0-387-13619-3. On page 120 Gel'fand suggests that the index of an elliptic operator should be expressible in terms of topological data.
Free online textbook that proves the Atiyah–Singer theorem with a heat equation approach
Free online textbook.
This describes the original proof of the theorem (Atiyah and Singer never published their original proof themselves, but only improved versions of it.)
وصلات خارجية
Rafe Mazzeo: The Atiyah–Singer Index Theorem: What it is and why you should care. Pdf presentation.
Raussen, Skau, Interview with Atiyah, Singer, Notices AMS 2005.
R. R. Seeley and other, Recollections from the early days of index theory and pseudo-differential operators
A. J. Wassermann, Lecture notes on the Atiyah–Singer Index Theorem
مبرهنات في الهندسة التفاضلية
معادلات اشتقاقية