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キロメートル（記号：km）は、国際単位系 (SI) の長さの単位で、1000 (103) メートルに等しい。
km の単位記号は、長さのSI基本単位であるメートル m に 103 倍を表すSI接頭語であるキロ k を付けたものである。

ヘクトメートル ≪ キロメートル ≪ ミリアメートル

表記 
口頭では、英語に近い発音の「キロメーター」と発音される場合があるが、計量法上は認められない。また、日本では和製漢字を用いて「粁」と表記することがある。これはメートルを表す「米」にその 1000 倍であることを示す「千」の字を合わせたものである（メートル#表記を参照）。ただし、計量法体系では、「粁」の表記は認められていない。

なお、サムネイルの画像のように、km をしばしば「Km」と大文字を用いて表記することがあるが、「ケルビン メートル」と誤読される可能性もあり、決してそのような表記はしてはならない。

Unicode には記号 km を一文字で表した  (339E) という合字がある。また、単に「キロ」と省略されることもある。

英語の綴り 

キロメートルの公式の英語の綴りは、kilometreである。JIS規格などにおいても kilometerと綴られることはない。ただし、米国でのみ1977年以降、例外的にkilometerとしている。

kilometre のアクセント 

kilometre の発音では、接頭語である kilo の最初のシラブルに強アクセントがある。これは、millimetre, nanometre などの分量単位の英語発音でも同じである。

なお、単位「メートル」に由来しない、-metre (-meter) で終わる語のアクセントは、その直前にあるのが普通である。例えば speedometer（速度計）のアクセントは、speedo- の第2シラブルに強アクセントがある。

換算 
1 キロメートル (1 km) は以下の長さに等しい（あるいは、ほぼ等しい）。
 1 km
 = 1000 m（定義）
 ≒ 0.621 マイル
 ≒ 1094 ヤード
 ≒ 3281 フィート
 ≒ 0.255 里（日本）
 = 2 里（中国）
 ≒ 9.167 町（日本）
 = 3300 尺（日本）
 = 3000 尺（中国）
 = 1 Click （英語）：（俗語）キロメートル。3 km なら 3 Clicks という。主に無線通信での会話に使用される。
オイラーの定数（オイラーのていすう）は、数学定数の1つで、以下のように定義される。

オイラー・マスケローニ定数、オイラーの とも呼ぶ。ちなみに、オイラーはこの定数を表わすのに記号  を用いた。 を用いたのはロレンツォ・マスケローニである。

この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。

オイラーの定数は超越数であろうと予想されている。しかしながら、無理数であるかどうか、および、円周率との関係性も、数学上の未解決問題の一つである。

調和級数との関係 

上式は調和級数と呼ばれる。調和級数が発散するという事実は、今日においては微分積分学の初歩であるが、古くは収束すると考えられていた。

調和級数が発散することの証明を最初に行ったのは、14世紀のパリ大学のニコル・オレームであるが、これには誤りがあり、正しい証明が得られたのは17世紀になってからである。その後ゴットフリート・ライプニッツなどは有限項の調和級数の近似式に関心をもつなど17世紀においても数学的な関心を集めていた。

有限項の調和級数の近似式への関心から、レオンハルト・オイラーは調和級数の増え方が極限において対数関数に等しいことを証明した。つまり、調和級数と対数関数との差はある定数に収束し、それがのちにオイラーの定数と呼ばれるようになった。オイラーはこの値を小数第6位まで求めた。その後、ロレンツォ・マスケローニが第32位まで求め（ただし、正しかったのは第20位まで）、γの記号で表した。

ガンマ関数との関係 
大文字のガンマ Γ で表されるガンマ関数と小文字のガンマ γ で表されるオイラーの定数は共にオイラーによって与えられたものであるが、オイラー自身は前者のガンマ関数を階乗 (factorial) と呼んでいる。ガンマ関数の記号はアドリアン＝マリ・ルジャンドルに始まり、オイラーの定数の記号はマスケローニに始まるものである。オイラーの定数の記号がガンマ関数に由来するものであったのか、今となっては確かめようがないが、オイラーの定数がガンマ関数に関係しているということは確かである。すなわち、ガンマ関数の乗積表示

に対し、その対数微分であるディガンマ関数

にを代入すると

を得る。

積分表示 
オイラーの定数の値は以下の定積分で与えられる。

あるいは

を用いれば

となり、更にのときに

であるから

となる。

級数表示 
オイラーの定数の値は以下の級数で得られる．

等々．
閉路（へいろ）あるいは閉道（へいどう）とは、始点と終点が同じ道のこと。すなわち、出発点に戻るような辿り方であって頂点の重複がないグラフのことである。グラフ理論や位相幾何学において用いられる。

閉路グラフ 

グラフの一種を言うこともある。n個の点vi（i=0, 1, ..., n -1）からなるグラフで、辺はちょうど、vi とvi+1（i=0, 1, ..., n -1添字はn を法とする）を結んだものからなっているもの。Cnと表記。

閉路の検出 
深さ優先探索で親ノードへの戻り辺があれば、それは閉路である。トポロジカルソートでも検出できる。
ロルフィー (Rolfee) は、PC-FXのイメージキャラクター。NECホームエレクトロニクスのマスコットキャラクターとしても活動した。

キャラクターボイスは大野まりな。

特徴 
13歳の少女で、ソバージュがかった青緑色の髪が両肩の外側に広がって後方に巻く独特な髪型をしている。広告などでは、「ロルフィーといっしょにアニメであそぼ」「アニメゲームでいっしょにあそぼ♥」といった台詞をよく言っていた。

経緯 
PC-FXのアニメ戦略にもとづいて只野和子にキャラクターデザインを委ね、オーディションで当時新人だった大野が抜擢された。1995年には『アニメフリークFX』に登場し、1997年には単独でヒロインを務めたゲーム作品『となりのプリンセス ロルフィー』も発表される。うちわ、インスタントカメラ、ピンバッジなど様々な雑貨が作成され、シングルCDも発売されるなどバーチャルアイドルとしても活動した。しかし、PC-FXと一体の存在であったため、PC-FXが商業的に失敗すると同時に活動の幅も狭まってしまった。

インターネットアーカイブで確認できる最後の活動は、2015年6月23日までの「美少女ゲームポータル『ドキドキCplaza』」のバナーへの登場である。

登場作品 
 アニメフリークFX vol.1-5 (PC-FX)
 となりのプリンセス ロルフィー (PC-FX)
 Rolfee PERFECTデータ&スクリーンセイバー&壁紙&サウンドデータコレクション (Windows 95)
 となりのプリンセスロルフィー オープニング・テーマ 素直になれるなんて (Single CD)
 PC-FXベストキャラクターズ公式デジタル原画集 Vol.1-3 徳間書店インターメディア（ムック）
トリウム (、漢字:釷) は原子番号90の元素で、元素記号は Th である。アクチノイド元素の一つで、銀白色の金属。

モナザイト砂に多く含まれ、多いもので10 %に達する。モナザイト砂は希土類元素（セリウム、ランタン、ネオジム）資源であり、その副生産物として得られる。主な産地はオーストラリア、インド、ブラジル、マレーシア、タイ。

天然に存在する同位体は放射性のトリウム232一種類だけで、安定同位体はない。しかし、半減期が140.5億年と非常に長く、地殻中にもかなり豊富（10ppm前後）に存在する。水に溶けにくく海水中には少ない。
トリウム系列の親核種であり、放射能を持つ（アルファ崩壊）ことは、1898年にマリ・キュリーらによって発見された。 

トリウム232が中性子を吸収するとトリウム233となり、これがベータ崩壊して、プロトアクチニウム233となる。これが更にベータ崩壊してウラン233となる。ウラン233は核燃料であるため、その原料となるトリウムも核燃料として扱われる。

名称 
1828年、スウェーデンのイェンス・ベルセリウスによってトール石 (thorite、ThSiO4) から発見され、その名の由来である北欧神話の雷神トールに因んで命名された。

性質 
銀白色の柔らかい金属で、非常に延性に富む。結晶構造は面心立方格子構造で、1400 付近で体心立方格子構造へ転移する。また、融点と沸点の差が大きく、液体状態をとる温度幅は2946 と元素中最大。

酸化しやすいが、表面に酸化皮膜が形成されるとそれ以上進行しない。空気中で加熱すると白光を発して激しく燃焼し、粉末は常温で自然発火する。高温ではほかに、水素、窒素、第17族元素（ハロゲン）と反応する。純度が高ければ空気中でも安定しているが、酸化物と混合すると酸化が促進され、灰色から最終的には黒色となる。高純度の試料でも0.1 %ほどの酸化物を含んでいる。

水と反応して水酸化物を生じるが、不溶性なので不動態状となって反応は進みにくい。塩酸、王水には溶けるが、硝酸には不動態被膜が形成され溶けない。ただし、濃硝酸に触媒として少量のフッ化物イオンを加えると、不動態が破られ溶けるようになる。アルカリ溶液には不溶。

酸化物は、ほとんどの酸に溶けにくい。塩類（塩酸塩、硝酸塩、硫酸塩）は水溶性だが、塩基性にすると不溶性の沈殿を生じる。

化合物 
トリウムの化合物はその酸化数が+4のとき安定となる。

 二酸化トリウム　酸化物中、融点が最高 (3300)。
 フッ化トリウム(IV) ･　水和物をつくる。
 水酸化トリウム(IV) 　不溶性であり、両性ではない。
 硝酸トリウム(IV) ･　水和物をつくる。
 炭酸トリウム(IV) 

 過酸化物　不溶性固体の中にわずかに存在する。この性質を利用すると、他のイオンとの混合溶液からトリウムを分離することができる。
 リン酸イオンの存在下では、 はさまざまな組成の化合物を作り、どれも水や酸性溶液に不溶である。
 フッ化カリウムやフッ化水素酸と混ぜると、 は  のような錯イオンを作り、不溶性の塩  として沈殿する。

同位体 

トリウムの同位体は全て放射性同位体で、存在率100.00 %のトリウム232をはじめ、27種が知られている。
原子量は210 uから236 uまで。

ほとんどの同位体の半減期は10分以内と短く、比較的安定な以下の4種を除いて全て30日以内である。
 トリウム232 半減期140億年　アルファ線を放出してラジウム-228になる
トリウム230（イオニウム） ウラン238の崩壊生成物で、半減期は75380年。
 トリウム229 励起エネルギーが7.6 eVと著しく低い核異性体を持つ。半減期は7340年。
 トリウム228（ラジオトリウム） 半減期は1.92年。

用途 
 直熱型真空管  仕事関数を下げ熱電子放出を促進させるため、フィラメント表面に塗布された。主に送信管で使用され、トリウムまたはトリエーテッド・タングステン・フィラメントと呼ばれた。
 高屈折率レンズ  1948年アメリカで発明されたトリウムレンズは、酸化トリウムを10-30 %程含む超低分散光学ガラスによる。色収差が小さく、1950-1970年頃販売されたが、崩壊生成物放射線の懸念からランタノイドに置き換えられた。経年変化によるブラウニング現象でガラスが黄変するという欠点がある。通常の紫外線には反応しないが、短波長紫外線照射で青色蛍光を発するので鑑別できる。
 X線血管造影剤  第二次世界大戦前後、トロトラスト（二酸化トリウムのコロイド製剤）が用いられたが、大部分が肝臓に沈着し、数十年後に肝腫瘍（肝内胆管癌、血管肉腫など）の原因となった。また、泌尿器科領域などで用いられたウンブラトールも含トリウム造影剤であり局所に長期に沈着遺存した。
 るつぼ  二酸化トリウムが高融点酸化物で、高温下でも安定なことから用いられた。
 アーク溶接電極  着火性がよいTIG溶接用として、酸化トリウムまたはタングステン合金が用いられる。
 ガス灯のガスマントル  硝酸トリウムを含浸させた繊維を灰化した発光体。炎中で硝酸トリウムが酸化されて生じる酸化トリウムは融点が非常に高いため安定で、加熱すると白色に強く発光することから、かつて白熱ガス灯やランタンのマントルとして利用されていた。
 合金素材  耐熱マグネシウム合金や、タングステンとの合金が、前述のフィラメント、アーク溶接棒として用いられていた。
 触媒  不飽和炭化水素の水素化反応に用いられる。
 核燃料  第二次大戦後のアメリカでトリウム燃料サイクルが着目、研究された。現在はインドのトリウム炉で利用されている。
 天文学  超新星爆発時の元素合成モデルの推定のため、スペクトル観測される。

危険性 
 燃焼性  粉末状態のトリウムは自然発火性で、注意して扱うべき金属である。
 放射性  トリウムは半減期の長いアルファ線源であり、外部被曝より内部被曝のリスクが高い。体内に入ると、肺、膵臓、肝臓について発癌危険性がある。国際がん研究機関 (IARC) は、トリウム232とその崩壊生成物を「ヒトに対して発癌性がある」Group 1に分類している。
楠賞全日本アラブ優駿（くすのきしょうぜんにほんあらぶゆうしゅん）は、アングロアラブの全国3歳馬によるチャンピオン決定戦として、園田競馬場で行われていた競馬の競走である。

概要 
第1回は1961年とされるが（当時の資料がほとんど残っていないため不明な点も多い）、名称や距離などは度々変更された。

1967年から楠賞という競走名に、1973年からは「農林(水産)大臣省典楠賞・全日本アラブ優駿競走」として地方競馬全国交流競走となり、1985年から1995年にかけては中央競馬所属馬も出走可能であった。事実上アングロアラブ系の競走馬の日本ダービー的色合いが強かった。

1990年代には1着賞金は2000万円を超え、なかでも1992年は1着3400万、1着から5着までの賞金の合計は6800万円に達していた。1999年は1着2000万円。

アングロアラブ競走の規模縮小に伴い2003年は全日本の冠を外し、楠賞兵庫アラブ優駿として施行された。

翌2004年はサラブレッド系競走（兵庫県競馬でデビューした古馬限定重賞）に転換、楠賞として開催され、アングロアラブの全国規模の3歳根幹競走としての役割を終えた。新装した楠賞の競走回数はアラブ系競走として行われた回数を継続したため、初回の2004年度は第43回となった。

歴代優勝馬 

※当初と同じ条件で施行されたが、回数にはカウントされていない。
 競走名：第1回 「園田銀盃」、第2回 「銀盃賞」、第3回 「春の銀盃賞」、第4回 「春の銀賞」、第5回 「園田アラブ優駿」、第6～11回 「楠賞」、第42回 「楠賞兵庫アラブ優駿」
 距離：第1、2回 ダート1800m、第3～8、10回 ダート2130m、第9回 姫路ダート2000m、第11回 ダート2320m、第12～37回 ダート2300m、第38回～ ダート2400m
 出走条件：アングロアラブ系3歳馬。第1～8回 兵庫・春木交流、第9～11回 兵庫所属馬限定、第12～23回・35回～ 地方全国交流、第24～33回 中央・地方全国交流、第34回 指定交流 
 優勝馬の馬齢は2000年以前も現表記を用いている。

競走各回の出典 
(第25回)
(第26回)
(第27回)
(第28回)
(第30回)
(第31回)
(第35回)
(第36回)
(第37回)
(第38回)

(第39回)
(第40回)
(第41回)
(第42回)
実解析において実数の自然対数（しぜんたいすう）は、超越数であるネイピア数  を底とする対数を言う。 の自然対数を  や、より一般に  あるいは単に（底を省略して） などと書く。 通常の函数の記法に則って引数を指示する丸括弧を明示的に付けて、 や  などのように書いてもよい。

定義により、 の自然対数とは 冪  が  自身に一致するような冪指数  のことに他ならない。例えば、 となることは、 となることを理由とする。特に  の自然対数は  であり、 の自然対数は  である。

自然対数は、任意の正数  に対して 逆数函数  の  から  までの間のグラフの下にある面積（のときは面積にマイナス記号をつけた値）として定義することもできる。この定義の単純さは自然対数を含む多くの公式によく馴染むことから、「自然」の語が冠されているのである。自然対数のこの定義は、負数や任意の非零複素数に対しても拡張することができる（ただし、それは多価函数を導く。複素対数函数の項を参照）。

実変数実数値の函数と見た自然対数函数  は自然指数函数  の逆函数であり、それは二つの恒等式  と  の成立を意味する。

他の任意の対数がそうであるように、自然対数は
 
なる意味で乗法を加法へ写す。これにより自然対数函数は正の実数の乗法群  から実数の加法群  への写像  として
群の準同型になる。

 以外にも、任意の正数  に対して、それを底とする対数を定義することができるが、そのような対数は自然対数の定数倍として得ることができる（例えば二進対数は自然対数の  倍である）し、通常はそうして自然対数から定義される。対数は未知の量がほかの適当な量の冪と見なされる問題を解く際に有用で、例えば指数函数的減衰問題における減衰定数としての半減期を求めるときなどに利用できる。このように対数は、数学や自然科学の多くの分野において重要であり、また金融経済において複利を含む問題にも利用できる。

リンデマン–ヴァイアシュトラスの定理により、 でない任意の（正の）代数的数に対してその自然対数は超越数となる。

歴史 

自然対数の概念が表立って現れるのは、1649年より以前にとによるの成した業績においてであり、その中には の面積を決定することによる直交双曲線  の求積が含まれている。それら解法は、こんにち自然対数に結び付けられる性質を満足する「双曲対数」函数の必要から生じたものである。

自然対数への初期の言及はニコラス・メルカトルが1668年に著わした自身の著書 Logarithmotechnia（「対数の方法」） にあるが、既に1619年には数学教師のが事実上の自然対数表を編纂している

記法の慣習 
記法 "" および "" は何れも紛れなく  の自然対数を表しているが、底を明示しない記法 "" もまた自然対数を表すのに用いられることがある。このような記号の使い方は数学では広く用いられ、一部の自然科学の文脈やさまざまなプログラミング言語でも用いられる。ただし、別の文脈では "" が常用対数（底  の対数）を表すのに用いられる。

符号位置

「自然」の意味 

直観的には、常用の記数法が底  の位取りであるため、10を底とする「常用対数」がよほど「自然」に感じられるかもしれない。だが、数学的に見れば10は何ら著しい特徴を持つ数ではなく、10 を用いるのは文化的な理由（典型的には両手の指の数が10本あること）からだ。文化的な理由ではほかにも 5, 8, 12, 20, 60 などに基づく命数法がしばしば用いられる。

自然対数  が「自然」であるというのは、数学において自然に生じ、よく見かけるということを根拠とするものである。例えば対数函数の微分の問題 を考えるとき、底  が  に等しいならば、この導函数は単に  となり、 における微分係数は  に等しくなる。

別な意味で底  の対数が最も自然と思わせる理由として、単純な積分やテイラー級数でそれが極めて容易に定義できること（それは他の対数ではできない）が挙げられる。この自然さの更なる意味は、微分積分学の中では見えてこないが、例えば自然対数を含む単純な級数が様々存在することによって知ることができる。とニコラス・メルカトルがそれを「自然対数」 と呼んだのは、ニュートンとライプニッツが微分積分学を繰り広げるよりも、何十年か先んじる。

定義 

自然対数  は直交双曲線  の面積として定義される。それは具体的には定積分として
 
と定めるということである。この函数は対数の基本性質  を満足するという意味において対数である。定数  は  を満足する正数  として定義される。

自然指数函数が先に（具体的には無限級数として）定義されている場合には、自然対数を自然指数函数の逆函数として定義することもできる。すなわち  は  を満足する函数である。実数全体で定義された自然指数函数の値域は正数全体の集合に一致し、また自然指数函数は狭義単調増大（ゆえに一対一）であるから、 はこの方法で任意の正数  に対して矛盾なく定まる。

一般化

複素数の対数 

 でない複素数  を極座標表示して

と書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので

ということになる（と書くことはあまりない）が、この  の選び方は一通りではなく 、 の整数倍だけ異なる値を選ぶことができる。したがって、複素数の対数関数は多価正則関数である。

定義域を制限することによって、その定義域の上では正則な一価関数となるように  の選び方を定めることができる。定義域は 0 を含まない単連結領域ならどれでもよいが、よく使われるのは複素平面から 0 と負の実数を除いた領域であり、変数の偏角を  の範囲にとる。このとき、 によって正則な一価関数が得られる。この関数を対数関数の主値と呼び、

と書く（と書くことはあまりない）。

複素対数関数は、実数での対数関数が満たす恒等式を満たすとは限らないので注意が必要である。例えば、 や  は一般には成り立たない。

バナッハ環における対数関数 

 を満たす  に対して、テイラー展開

が可能である。この級数展開も、1668年にメルカトルによって見出されたものである。

すべての固有値の絶対値が 1 より小さい正方行列  が与えられたとき、このテイラー展開の変数に  を代入することにより、行列  の対数  が定義される。ここで、 は  と同じサイズの単位行列である。これをさらに一般化して、和や積の構造と両立するノルムを持った完備な空間であるバナッハ環において、ノルムが 1 より小さい元  に対し、上の式によって  の対数が定義できる。このとき、指数関数による  の像は可逆元  になっている。
黄金比（おうごんひ）とは、次の値で表される比のことである：

以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。「デザインを美しくする」などといった巷間よく見られる説については「用途」の節を参照。小数に展開すると 1 :  あるいは  : 1 といった値となる。

黄金比は貴金属比の一つである（第1貴金属比）。

幾何的には、 が黄金比ならば、

という等式が成り立つことから、縦横比が黄金比の矩形から最大正方形を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の相似になるという性質がある。正五角形の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列  は、等比数列をなす。そのため、（中項  と末項  の比という意味で）中末比（ちゅうまつひ）とも呼ばれる。

線分を2つに分け、短い部分と長い部分の長さの比が、長い部分と全体の長さの比に等しくなるようにしたときの比であるため、外中比（がいちゅうひ）とも呼ばれる。黄金比で長さなどを分けることを黄金比分割または黄金分割（または）という。

黄金比における

を黄金数（おうごんすう）という。しばしばギリシア文字の （ファイ）で表されるが、（タウ）を用いる場合もある。黄金数は、二次方程式  の正の解である：

黄金数の性質

既約多項式 

すなわち、黄金数  の有理数体  上の既約多項式は  である。
  は無理数であり、

連分数表示 
黄金数は次のような連分数表示を持つ：

次のような表示も持つ：

級数表示

三角関数による表示 
三角関数を使うと次のように表すことができる：

指数関数による表示 
指数関数を使うと次のように表すことができる。

黄金比に関する極限

フィボナッチ数列との関連 
フィボナッチ数列の隣接2項の比は黄金数に収束する。

等比数列  において、 より
（は自然数）
が成り立つ。
,
,
,
,
,
...
となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。番目のフィボナッチ数を  とすると、 は次のようになる。

幾何学的性質 
半径の比が
 
である3つの円が互いに外接する時、その3つの円の全てと外接する大小2つの円を描くことができ、それらを合わせた5つの円の半径の比は

である。

ここで

であり、隣接する円との半径の比が同じで、互いに密に接する円の列を螺旋状に無限に配置することができる。

（→デカルトの円定理）

作図 

最も簡単な作図方法は下記の通り。
 正方形 abcd を描く。
 辺 bc の中点 o を取る。
 中心を o とし、d (a) を通る円を描き、辺 bc の延長との交点を e とする。
 長方形 abef を描く。
 ab : be は黄金比となる（長方形 abef は黄金長方形）。

正五角形や五芒星（星形：☆）（何れも作図可能）から容易に作図することができる。正五角形の一辺と対角線の比、五芒星の辺と隣接2頂点の距離の比は、黄金比に等しい。

応用 
五次方程式  を解く過程で黄金数が出現する。

この後は  と2つの2次方程式から5つの解を求めることができる。

歴史 

伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス（紀元前490年頃 - 紀元前430年頃）が初めて使ったといわれる。黄金数の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。

同じく古代ギリシアの数学者ユークリッド（紀元前3世紀? -）の著書『ユークリッド原論』では第6巻の定義3で外中比の定義が記されている。『原論』第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。東京工芸大学教授の牟田淳によると、ローマ建築の理論にも、黄金比の考え方が見られる。

ルネサンス期イタリアの学者レオナルド・ダ・ヴィンチ（1452年4月15日 - 1519年5月2日（ユリウス暦））も発見していた記録が残っている。彼が描いた有名な美人画『モナ・リザ』の顔は黄金比になっているという指摘もある。

ダ・ヴィンチの同時代人であったルカ・パチョーリは著書で『神聖比例論』として言及した。「黄金比」という用語が文献上に初めて登場したのは1835年刊行の、ドイツの数学者マルティン・オーム（「オームの法則」で有名なゲオルク・オームの弟）の著書『初等純粋数学』。また、1826年刊行の初版にはこの記載がないことから、1830年頃に誕生したと考えられる。

用途 
長方形は縦と横の長さの比が黄金比になるとき、安定した美感を与えるという説がある。これはグスタフ・フェヒナーの1867年の実験を論拠としている。しかし、フェヒナーの実験の解釈については否定的な様々な見解がある。1997年に国際経験美学会誌の黄金分割特集では、この実験結果を「永遠に葬るもの」とする見解が掲載された。また類似の（すなわち、同様に根拠が極めてあやしい）安定した比とされるものに白銀比がある。

黄金比は、長方形の形状の物の縦横比に利用されることが多い。例えば、名刺やクレジットカードをはじめとする様々なカード類などは、短辺と長辺の比率が1対1.6台であることが多い。

ディスプレイのアスペクト比には、WQXGA（解像度2560x1600）、WUXGA（同1920x1200）など、黄金比に近い8:5 (16:10) のものもある。

黄金比はパルテノン神殿やピラミッドといった歴史的建造物や美術品の中に見出すとされてきたが、これらは後付けの都市伝説であるものが含まれる。一方で、意図的に黄金比を意識して創作した芸術家も数多い。

自然界に存在する植物の葉脈や巻貝の断面図など対数螺旋ではないが黄金比に近い例として度々挙げられる。工学分野では、自動車ではスポーツカーやオフロード、セミトレーラー用トラクタや軽トラックのトレッド（輪距）とホイールベース（軸距）の関係が黄金比に近い。具体的には 普通乗用車であれば1500 mm 程度のトレッドに対し、ホイールベースが2400 mm 前後とやや短い値となる。これは、いずれの車種においても旋回性能が重要視されるためである。

黄金比は、容姿の美しさの指標として美容業界でもよく用いられ、身体において足底から臍（へそ）までの長さと臍から頭頂までの長さの比が黄金比であれば美しい、また、顔面の構成要素である目、鼻、口などの長さや間隔、細かな形態も黄金比に合致すれば美しいとされている。そして、その黄金比は横1：縦1.618となっている顔である。
なお、黄金比に近い容貌はコーカソイド（白人）に多く、日本人を含むアジア人は黄金比とはかけ離れてることが多いため、日本においてはアジア人に近い「白銀比」（別名「大和比」）という比率で美しさを論じる審美観が存在し、白銀比が古代から現代までの建築、仏像の造形、さらには現代の創作などにおいて「かわいい」キャラクターデザインなど日本の文化の背景の一つになっているという分析もある。

黄金数の小数展開
エルビウム は原子番号68の元素。元素記号は Er。希土類元素の一つ（ランタノイドにも属す）。灰色の金属で、常温、常圧で安定な結晶構造は六方最密充填構造 (HCP)。比重は9.05、融点は1497 ℃ (1529 ℃という実験値もあり)、沸点は2863 ℃ (2900 という実験値もあり)。空気中で表面が酸化され、高温で燃えて Er2O3 となる。水にゆっくりと溶ける。酸に易溶。ハロゲンと反応する。常温で常磁性を示す。安定な原子価は3価。

名称 
イットリア鉱石の産地のイッテルビー (Ytterby) が語源。イッテルビーからはエルビウムの他、イットリウム、イッテルビウム、テルビウム、と合計四つの新元素が発見されている。これらの元素はいずれも、イッテルビーから名称の一部をとって命名された。

用途 

酸化エルビウム(III) Er2O3 がガラスの着色剤に使われる（きれいなピンク色になる）。光ファイバーに添加（ドープ）されたり（光信号増幅のため）、YAGレーザーにも添加して利用される（Er:YAGレーザー：医療分野で利用される）。

歴史 
モサンデール (C.G.Mosander) が1843年に分離に成功。単体分離は1879年。

同位体
微分積分学における平均値の定理（へいきんちのていり）または有限増分の定理 は、実函数に対して有界な領域上の積分に関わる大域的な値を、微分によって定まる局所的な値として実現する点が領域内に存在することを主張する。平均値の定理にはいくつかバリエーションがあるが、単に 「平均値の定理」 と言った場合は、ラグランジュの平均値の定理と呼ばれる微分に関する平均値の定理のことを指す場合が多い。

平均値の定理は微積分学の他の定理の証明（例えば、テイラーの定理、微分積分学の基本定理）にしばしば利用される、大変有用なものである。平均値の定理の証明自体にはロルの定理を用いる。その一方で、平均値の定理はそのまま多変数の関数に適用することはできない。また、もっと弱い条件の元でも同じ定理が成り立つ。その他種々の理由から、平均値の定理を使うこと避ける数学者もいる。多変数関数にも使えて、平均値の定理の代わりになるような定理として、有限増分不等式がある。これは存在型ではない。あるいは、積分を持ち込んで微積分学の基本定理で代用することもある。

歴史 
平均値の定理の特別の場合について、最古の記述はインドのケーララ学派Parameshvara (1370–1460) によるGovindasvāmiおよびバースカラ2世に関する解説の中に見られる。制限された形の平均値定理は、1691年にミシェル・ロルが今日ロルの定理と呼ばれるものを、多項式に限って、微分積分学の手法を用いることなく示した。現代的な形の平均値定理を定式化し証明したのはオーギュスタン・ルイ・コーシーで、1823年のことである。

微分の平均値定理

有限増分の定理 
有限増分の定理と呼ばれる定理にもいくつか異なるバージョンがあり、後で述べる平均値の定理の別名でしかない場合もある
 弱い有限増分の定理
 函数  は閉区間  上で有限かつ連続、開区間  で微分可能であるとき、 とすれば  が成立する。
 強い有限増分の定理
 函数  は閉区間  上で有限かつ連続、開区間  で微分可能であるとき、区間  上で  となる定数  が存在するならば  が成立する。

微分可能性に関しては、殆ど至る所微分可能や、殆ど至る所左側（resp. 右側）微分可能に緩めたもの、あるいは微分係数が∞となることを許す場合でも、適当な仮定のもとで成り立つ。また、絶対値をとれば結論の不等式を  のような形に書くこともできる。

ラグランジュの平均値の定理 
a < b とし、f(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数とする。このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して
 
が成り立つ。これを微分に関するラグランジュの平均値の定理という。左辺は、グラフにおいて (a, f(a)), (b, f(b)) を結ぶ線分（曲線の弦と呼ぶ）の傾き（= 平均変化率）であるから、ラグランジュの平均値の定理は弦と平行な接線（= 瞬間の変化率）を持つ点が a と b の間に存在するということがこの定理の主張である。つまり平均値の定理は存在型の定理である。

またラグランジュの平均値の定理は 、 とおくと、（ただし 0 < θ < 1）
 
とも表せる。

証明
（は定数）とすると、関数が閉区間で連続で、開区間で微分可能ならば関数も同様となる。

このとき、となるならば、

だから、ロルの定理よりとなるが存在し、

∴　となるが存在する。

コーシーの平均値の定理 

ラグランジュの平均値の定理の拡張として、f(x), g(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数、区間内の各点 x において g' (x) ≠ 0, g(b) − g(a) ≠ 0 であるならば

 

なる c ∈ (a, b) が存在する。これをフランスの数学者コーシーにちなんでコーシーの平均値の定理という。特に g(x) = x である時がラグランジュの平均値の定理である。仮定「区間内の各点 x に対し g' (x) ≠ 0」はもう少し弱めて「区間内の各点 x で f' (x), g' (x) は同時に 0 にならない」としてよい。

ロピタルの定理 

コーシーの平均値の定理から極限をとると、系としてロピタルの定理（またはベルヌーイの定理）が導かれる。f(x), g(x) を f(a) = g(a) = 0 でありかつ a の十分近くで 0 にならない微分可能な関数とするとき、以下の定理を得る。
 
左の等号は f(a) = g(a) = 0 による。右の等号はコーシーの平均値の定理による。

積分の平均値定理 

関数 f(x) が有限の容積 vol(E) をもつ集合 E 上で有界かつ可積分ならば、f(x) の E における積分値を E において平均化した値は、 E における f(x) の上限 sup f(x) と下限 inf f(x) の間にある：
 
これを積分の第一平均値定理という。また、もう少し一般に拡張した形のものを指すこともあり、それは次のように述べられる。集合 E 上で f(x) が有界、g(x) が可積分ならば、積 f(x)g(x) は可積分であって、
 
となる定数 μ のうちに等式
 
を満たすものが存在する。ここで f(x) が連続ならば、E の点 ξ を適当に取れば μ = f(ξ) と書けることが中間値の定理から従う。特に一変数の場合を考えれば、有界な関数 f(x) が区間 [a, b] で連続かつ積分可能ならば
 
を満たす ξ が a < ξ < b の範囲に存在する。この式の左辺は、関数 f(x) が区間 [a, b] で掃く“符号付き”面積 ∫ab f(x) dx を区間の全長（図形の横の長さ）b − a で割ったものである。したがってこの等式は、関数 f(x) が区間 [a, b] において掃く図形の平均の“符号付き”高さ（その符号付き面積を持つ図形を一定の符号付き高さに均したときの高さ）を実現する点が区間内に存在することを保証する。

第一平均値定理の系として、開区間 (a,b) において有界変動かつ連続な関数 F(x) と有界な単調関数 φ(x) に対して、φ(x) はルベーグ・スティルチェスの意味で F(x) に関して可積分であって、a < ξ < b で
 
を満たすものが存在することが示せる。これを第二平均値定理という。特に、開区間 (a,b) において、f(x) が可積分で φ(x) が有界かつ単調な関数であるならば、f(x) の不定積分が第二平均値定理にいう F(x) の条件を満たしているので、この場合の第二平均値定理の等式は
 
の形に表せる。

注

注釈
ヴェーダ（Veda）とは、紀元前1000年頃から紀元前500年頃にかけてインドで編纂された一連の宗教文書の総称。「ヴェーダ」は「知識」の意。

バラモン教とヒンドゥー教の聖典である。長い時間をかけて口述や議論を受けて来たものが後世になって書き留められ、記録されたものである。

「ヴェーダ詠唱の伝統」は、ユネスコ無形文化遺産保護条約の発効以前の2003年に「傑作の宣言」がなされ、「人類の無形文化遺産の代表的な一覧表」に掲載され、無形文化遺産に登録されることが事実上確定しており、2009年9月の第1回登録で正式に登録された。

シュルティとスムリティ 
インドの聖典はシュルティ（天啓）とスムリティ（聖伝）に分かれる。ヴェーダはシュルティに属する。

 （天啓）
 古代のリシ（聖人）達によって神から受け取られたと言われ、シュルティ（天啓聖典）と呼ばれる。ヴェーダは口伝でのみ伝承されて来た。文字が使用されるようになっても文字にすることを避けられ、師から弟子へと伝えられた。後になって文字に記されたが、実際には、文字に記されたのはごく一部とされる。
 ヴェーダ、ことにサンヒターの言語は、後の時代のサンスクリットとは異なる点が多くあり、特にヴェーダ語と呼ばれる。アヴェスター語とも極めて近く、言語学的にも重要である（例えばホートリ祭官（Hotṛ/Hotar）はアヴェスター語のザオタル（Zaotar(司祭官））に、ヴェーダで祭祀そのものを示すyajñaはアヴェスター語のYasna（崇拝・祈祷）に対応する。ヴェーダ語の冒頭に置かれる定型句yajāmaheはアヴェスター語のyazamaide（われらは崇拝す）である）。

 （聖伝）
 聖典には、他にリシ達によって作られたスムリティ（古伝書）があり、ヴェーダとは区別される。スムリティには、『マハーバーラタ』・『ラーマーヤナ』・『マヌ法典』などがある。

ヴェーダの分類 
広義でのヴェーダは、分野として以下の4部に分類される。
 サンヒター（本集）
 中心的な部分で、マントラ（讃歌、歌詞、祭詞、呪詞）により構成される。
 ブラーフマナ（祭儀書､梵書）
 紀元前800年頃を中心に成立。散文形式で書かれている。祭式の手順や神学的意味を説明。
 アーラニヤカ（森林書）
 人里離れた森林で語られる秘技。祭式の説明と哲学的な説明。内容としてブラーフマナとウパニシャッドの中間的な位置。最新層は最古のウパニシャッドの散文につながる。
 ウパニシャッド（奥義書）
 哲学的な部分。インド哲学の源流でもある。紀元前500年頃を中心に成立。1つのヴェーダに複数のウパニシャッドが含まれ、それぞれに名前が付いている。他にヴェーダに含まれていないウパニシャッドも存在する。ヴェーダーンタとも呼ばれるが、これは「ヴェーダの最後」の意味。ヴェーダ語よりも古典サンスクリット語に近い。

更に、各々4部門が祭官毎に『リグ・ヴェーダ』、『サーマ・ヴェーダ』、『ヤジュル・ヴェーダ』などに分かれる。都合4X4の16種類となるが、実際には各ヴェーダは更に多くの部分に分かれ、それぞれに名称がついている。ヴェーダは一大叢書ともいうべきものである。現存ヴェーダ著作だけでもかなりの多さになるが、古代に失われた多くの学派の文献をあわせると更に膨大なものになると考えられている。

サンヒター 
狭義では、以上のうちサンヒター（本集）の事をヴェーダと言い、以下の4種類がある。

 『リグ・ヴェーダ』
 ホートリ祭官に所属。神々への韻文讃歌（リチ）集。インド・イラン共通時代にまで遡る古い神話を収録。全10巻。10巻は最新層のものだと考えられ、『アタルヴァ・ヴェーダ』の言語につながる。
 『サーマ・ヴェーダ』
 ウドガートリ祭官に所属。『リグ・ヴェーダ』に材を取る詠歌（サーマン）集。インド古典音楽の源流で、声明にも影響を及ぼしている。
 『ヤジュル・ヴェーダ』
 アドヴァリュ祭官に所属。散文祭詞（ヤジュス）集。神々への呼びかけなど。『黒ヤジュル・ヴェーダ』、『白ヤジュル・ヴェーダ』の2種類がある。
 『アタルヴァ・ヴェーダ』
 ブラフマン祭官に所属。呪文集。他の三つに比べて成立が新しい。後になってヴェーダとして加えられた。

一覧表

ヴェーダ時代以降の文献

ウパヴェーダ 
付随的・応用的な知識をまとめたものをいう。
 『アーユル・ヴェーダ』 - 『アタルヴァ・ヴェーダ』に付随する医術
 『ガンダルヴァ・ヴェーダ』 - 『サーマ・ヴェーダ』に付随する音楽・舞踊
 『スターパティア・ヴェーダ』 - 『ヤジュル・ヴェーダ』に付随する建築術
 『ダヌル・ヴェーダ』 - 弓術

ヴェーダーンガ 

ヴェーダーンガはヴェーダの補助学であり、以下の6種類がある。
 シクシャー（音声学）
 （儀式）
 ヴィヤーカラナ（文法）
 ニルクタ（語源）
 （韻律 (韻文)）
 （インド占星術）

ウパーンガ 

 プラーナ - 系図や世界の創造・破壊に関する伝承
 ニヤーヤ - 論理学
 ミーマーンサー - 祭式
 ダルマ・シャーストラ - 法律

日本語訳

抄訳
ネプツニウム は原子番号93の元素。元素記号は Np。アクチノイド元素の一つ。また最も軽い超ウラン元素でもある。銀白色の金属で、展性、延性に富んでいる。常温、常圧（25℃、1atm）での安定な結晶構造は斜方晶系。280 付近から正方晶系となり、更に580 付近より体心立方構造 (BCC) が安定となる。比重は20.45、融点は640 、沸点は3900 。原子価は+3から+7価（+5価が安定）。

ネプツニウム239の半減期は2.4日。ウラン238は天然にも存在するので、ネプツニウム239、プルトニウム239は天然にもごく僅かに存在する。他にネプツニウム236（半減期15.4万年）、ネプツニウム237（半減期214万年）などがある。

ネプツニウム237はネプツニウム系列（ネプツニウム237からタリウム205までの崩壊過程の系列）の親核種である。この系列の元素で半減期が一番長いネプツニウム237でも半減期が214万年しかないため、この系列は天然には極めて稀にしか存在しないが、最終系列核種のビスマス、タリウムはごく普遍的に天然に存在する。また、ウラン鉱の中から極微量のネプツニウムが核種崩壊の際の副産物としてしばしば発見される。ネプツニウム237は、核兵器の爆発によって生成する。

名称 
海王星の neptune が語源となり、ネプツニウムと名付けられた。

奇しくも、その元素記号はかつて幻に終わったニッポニウムと同じ Np があてがわれた。なお21世紀初頭現在では、過去に提案された名前は混乱回避の観点から新元素の名前としては使えなくなっている。

歴史 
1934年にエンリコ・フェルミらのグループは様々な物質に中性子を当てる実験を行い、質量数が1つ大きな同位体となったのちにベータ崩壊して原子番号の1つ大きな原子になることを観察している。その中でウランから生じた核種の中に、鉛以上の核種としては同定できないものが1つあったため、93番元素の可能性が示唆された。これについてオットー・ハーンやリーゼ・マイトナーらが詳しく調べたところ多くのベータ崩壊が見付かり、93番以降も97番元素まで合成が進んでいた可能性が示された。しかし1938年の末頃になって、観察された多くのベータ崩壊はウランの核分裂で生じたバリウムなどの放射性同位体に由来することが判明した。しかし少なくとも半減期23分のウラン同位体のベータ崩壊については確認されたため、93番元素の可能性は残された。

ネプツニウムはまた、ニッポニウムの事例に続いて日本人が発見に関わっていた元素としても知られる。1940年に理化学研究所（理研）では逆にウラン238から中性子を1個取り除いたウラン237の合成実験を独自に行っている。そのベータ崩壊が確認できたことからネプツニウム237が生じたことになり、仁科芳雄は93番元素の存在を見出した。しかし当時理研では単離まで行かなかったため発見とは認められず、第2のニッポニウム実現には至らなかった。

その直後、1940年の暮れになると、マクミラン、アベルソン（アーベルソン）がウラン238に中性子を当てて、ネプツニウム239を作った。こちらは単離が実現したため、人工的に作られた最初の超ウラン元素として認められた。

特徴 
ネプツニウムは外観は銀のようで、ほかの元素と活発に化学反応を起こす。
また、ネプツニウムは温度によって結晶構造が異なる。

 αネプツニウム
 280 以下の状態のネプツニウムで、斜方晶系である。
 密度は20250 kg/m3
 βネプツニウム
 280 以上577 以下の状態のネプツニウムで、正方晶系である。
 密度は19360 kg/m3
 γネプツニウム
 577 以上の状態のネプツニウムで、立方晶系である。
 密度は18000 kg/m3

また、ネプツニウムは四つの酸化状態が存在する。

 Np3+
 淡い紫色をしており、Pm3+ に類似している。
 Np4+
 黄緑色をしており、Pm4+ に類似している。

用途 
ネプツニウムはプルトニウム238製造の際に用いられる。

また、ネプツニウムは、燃えないウラン238が中性子を浴びて原子力発電等に使用されるプルトニウム239に「中性子捕獲核種変換」する中間生成物でもある。（高速増殖炉のブランケットで劣化ウランをプルトニウムに変えるのがこの反応である）
ウラン238+中性子 → ウラン239 → β崩壊 → ネプツニウム239 → ベータ崩壊 → プルトニウム239。
「ウラン238+中性子 → ウラン239 → β崩壊 → ネプツニウム239」の部分は中性子捕獲反応。

なお、アイソトープ電池に使用されるプルトニウム238はウラン238の (d,2n) 反応でネプツニウム238を作ることで生産されている。

核兵器の製造 
ネプツニウムは核分裂性で、理論上、核燃料として使用することができる。1992年には、アメリカ合衆国のエネルギー省がネプツニウム237が「核起爆装置のために使用できる。」という機密扱いの事項を解禁した。なお、核兵器製造には利用されていない。

前述のように戦時中は理研がネプツニウムの発見を自力で行っている。その技術は核開発に繋がる懸念を生み、戦後処理の一環として理研の加速器は破壊処理された。以降、日本はニホニウムの発見まで60年近くにわたり元素発見の最前線から遠ざかることになる。

天然での存在 
ネプツニウムはウラン鉱の中から極微量見つかる。特にネプツニウム237は、ウラン鉱中に於いてプルトニウム239生成の際の副産物としてしばしば発見される。このため、プルトニウム239の親核種としてネプツニウム239の存在も確認されている。

同位体 

ネプツニウムには安定同位体が存在せず、すべてが放射性同位体である。ネプツニウムには19の同位体が存在し、質量範囲はネプツニウム225からネプツニウム244まで及ぶ。比較的安定している同位体は214万年の半減期を持つネプツニウム237、15万4000年の半減期を持つネプツニウム236、396日の半減期を持つネプツニウム235が存在する。残りの同位体は4.5日未満の半減期を持っており、また大多数これらの同位体のほとんどが50分未満の半減期を持っている。また、ネプツニウムには4つの核異性体の同位体が存在し、もっとも長い半減期を持つのは 236mNp で22.5時間の半減期を持っている。

ネプツニウムの化合物 
 ネプツニル(V)イオン (NpO2^+) - 青緑色をしている。
 ネプツニル(VI)イオン (NpO2^{2+}) - 淡いピンク色をしている。
 酸化ネプツニウム(IV) (NpO2) - 緑色の結晶である。
 八酸化三ネプツニウム (Np3O8)

このような化合物は土の中やウラン鉱の中に極微量含まれている。
スティーブン・クック（Stephen A. Cook, 1939年12月14日 -）は、米国・カナダの計算機科学者・数学者。専門は計算理論、特に計算複雑性理論の論理学的側面やの研究に従事している。2012年現在、トロント大学計算機科学科と数学科の教授である。

経歴 
ニューヨーク州バッファロー生まれ。1961年ミシガン大学卒業。ハーバード大学で1962年に修士号、1966年に博士号取得。同年カリフォルニア大学バークレー校数学科助教授となったが、1970年には在職権を更新できなかった。バークレーの電気工学・計算機科学科の30周年式典でのスピーチで、チューリング賞受賞者で同大学教授リチャード・カープは「数学科を説得して彼に在職権を与えさせられなかったのは、我々の永遠の恥辱である」と述べた。同年トロント大学計算機科学・数学科の准教授となり、1975年には教授、1985年には大学教授 (University Professor) となった（現職）。

研究 
博士課程では、関数、特に乗法の複雑性を研究。1966年に博士号を取得した。数年後の1971年の論文 "The Complexity of Theorem Proving Procedures"（定理証明手続きの複雑性）で、多項式時間変換（チューリング還元）の記法とNP完全性を定式化し、充足可能性問題 (SAT) がNP完全だと示すことでNP完全問題の存在を証明した。特に後者の件はソビエト連邦のも独自に発見しており、と呼ばれている。その論文では計算機科学最大の問題である「P対NP問題」も定式化している。「P対NP問題」は非形式的には、答えの正しさや最適さを効率的に確認できるあらゆる最適化問題について効率的アルゴリズムで最適に解くことができるかどうか、という問題である。日常生活におけるそのような最適化問題は豊富に存在するので、「P対NP問題」への肯定的な答えが得られれば、実用的にも哲学的にも意義深い結果となる。

クックは、（容易に解を検証可能な）最適化問題の中に効率的アルゴリズムで解けないものがある、すなわち P と NP は等しくないと予想した。この予想は計算複雑性理論の研究を活発化させ、それによって計算問題の本質的複雑性への理解が深まり、効率的に計算できる問題についても理解が深まった。クックのP≠NP予想は今も証明されておらず、有名な7つのミレニアム懸賞問題の1つとされている。

その計算複雑性理論への多大な貢献により、82年のチューリング賞を受賞。 受賞理由は次の通り。

重要かつ意義深い方法で我々の計算複雑性への理解を高めさせた貢献に対して。彼の重要な論文 The Complexity of Theorem Proving Procedures は1971年 ACM SIGACT 計算理論シンポジウムで発表され、NP完全性の理論の基礎となった。過去10年間、この領域は計算機科学の中でも最も活発な研究の場となった。

1975年に発表した論文 "Feasibly Constructive Proofs and the Propositional Calculus"で、多項式時間の概念のみを使った証明の記述を定式化するPV (Polynomial-time Verifiable) 方程式理論を提唱。1979年には指導学生 Robert A. Reckhow と連名の論文 "The Relative Efficiency of Propositional Proof Systems"では、p-simulation と効率的なの記法を定式化し、そこから命題論理と呼ばれる分野が生まれた。彼らは「あらゆる真の論理式について短い証明がある証明系の存在」と NP = coNP が等価であることを証明した。クックはこの分野について指導学生 Phuong The Nguyen と共同で "Logical Foundations of Proof Complexity" という本を執筆している。

クックの主な研究領域は計算複雑性理論とであり、プログラム意味論、並列計算、人工知能にも関心を寄せている。

受賞歴 
 1977年 - Steacie Fellowship
 1982年 - Killam Research Fellowship
 1982年 - チューリング賞
 1999年 - CRM-Fields-PIMS prize
 2006年 - John L. Synge Award
 2008年 - Association for Computing Machinery (ACM) フェロー
 2010年 - ヘルツバーグメダル

王立協会とカナダ王立協会のフェローである。また、米国科学アカデミーとアメリカ芸術科学アカデミーの会員にも選ばれている。これまでに30人の学生が彼の指導で博士号を取得している。

私生活 
子どもは2人おり、2012年現在は妻と共にトロント在住。趣味はヴァイオリンとセーリング。