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「Still We Go」（スティル・ウィー・ゴー）は、SIAM SHADEの17枚目のシングル。2013年9月18日にデジタル・ダウンロードでiTunesなどの音楽配信サイトで発売されたのち、10月27日には表題曲のオフヴォーカル版を追加し、マキシシングルとしてライブ会場限定で発売された。

概要 
「LOVE」以来、実に12年ぶりの新曲である。タイトルについてはメンバー曰く「“俺ら、まだまだいけるんじゃねーか!”みたいな想いも込めて付けました」との事。ミュージック・ビデオも制作された。シングルとしては初めて単独での作詞・作曲となった。

収録曲 
Still We Go
'''Still We Go(Instrumental)
ダウンロード版には未収録である。
「On your marks!」（オン・ユア・マークス）は、TRUSTRICKの1作目の配信シングル。2014年10月29日にiTunes、レコチョクほか各サイトにて配信開始。

概要 
タイトルは、陸上競技などで用いられる「位置について!」という意味を持つ。
2014年11月9日に初めて開催される「福岡マラソン2014」のために書き下ろされた曲。
楽曲・ビジュアル共にマラソン大会のテーマ曲らしく爽やかなものをイメージしている。
ランナーの背中を押してくれるような軽快なチューンである。
2015年1月28日に発売された2ndアルバム「TRUST」にも収録されている。

収録曲 
 On your marks ! 
作詞：神田沙也加／作曲・編曲：Billy
無派閥連絡会（むはばつれんらくかい）とは、かつて存在した自由民主党の勉強会。この項目では、後身たる、無派閥有志の会についても扱う。

歴史 
2013年1月31日、山本有二衆院予算委員長（当時）の呼び掛けで、党内の無派閥の議員の情報不足の解消を目的として結成。同日の初会合には37名の議員が出席した。参加メンバーには会長に就任した山本のほか、鴨下一郎、浜田靖一らが名を連ねた。2014年8月8日の研修会には衆参合わせて約30名が参加した。

2014年9月30日、石破茂が同会に入会、その2日後の10月2日に顧問に就任した。同会は、上述の山本、鴨下、浜田など、2012年の自民党総裁選で石破を支持した議員が中心メンバーであるため、党内からは「事実上の石破派」と結成当初から目されていたが、石破本人は、無派閥の議員がお互い助け合うことを目的とした会とし、派閥との見方を否定した。

2015年9月8日、石破は無派閥連絡会を同日付で解散し、自らの派閥を結成することを表明。同月の28日に「水月会」の名称で石破派が結成。

同年11月5日、無派閥連絡会を解散したことによって、無派閥の若手議員が国会情報などが入らずに困っているのを理由として、浜田靖一や小此木八郎など、連絡会の元メンバーで、水月会に加わらなかった議員が、「無派閥有志の会」として活動する方針を確認した。石破を支持する議員が中心の同会は、石破派の「別働隊」との見方もあったが、2018年自由民主党総裁選挙において、石破が立候補した際には、浜田や小此木は当初野田聖子を支持し、野田が推薦人を集められず立候補を断念すると、現職の安倍晋三の支持に回っている。2020年自由民主党総裁選挙において、石破が4度目の立候補した際には、菅義偉の推薦人代表を小此木、選挙責任者は浜田が務める。
『LEGENDARY SONGS』(レジェンダリー ソングス)は、日本のロックバンド、up-beat tribute bandの1枚目のオリジナルアルバムである。

解説 
 up-beat tribute bandの1枚目のアルバムであり、UP-BEAT結成30周年の記念アルバムでもある。

 2回目のツアーの時にこのメンバーでしか出せないグルーヴがどんどん生まれてきて、その状態をそのまま記録したいと思い、レコーディングを決定。
 基本的に全曲一発録りでレコーディングされており、ドラムはどの曲も多くて2テイクほどで作成されている。

収録曲
東條 織江（とうじょう おりえ、1975年10月11日 -）は、兵庫県出身の女優。身長162cm。体重48kg。血液型はA型。舞夢プロ所属。

出演

映画 
 自由戀愛（2005年） - 市川房江 役
 タクミくんシリーズ そして春風にささやいて（2007年）
 クライマーズ・ハイ（2008年） - 悠木の母 役

Vシネマ 
 女形気三郎（2001年） - お峰 役

テレビドラマ 
 NHK
 篤姫（2008年） - 福田 役
 セカンドバージン（2010年） - 東條 役
 江〜姫たちの戦国〜（2011年） - 初の侍女 役
 梅ちゃん先生（2012年）
 はつ恋（2012年） - 事務員 役
 八重の桜（2013年） - 佐々山フサ 役
 日本テレビ
 おせん（2008年） - リカ 役
 さよならぼくたちのようちえん（2011年） - 拓実の母 役
 ゴーストママ捜査線〜僕とママの不思議な100日〜（2012年） - 母親 役
 だが、情熱はある（2023年） - スーパー女性店員 役
 TBS
 MONSTERS（2012年） - 事務員 役
 アリスの棘（2014年）
 SAKURA〜事件を聞く女〜（2014年） - 藤間利香子 役
 フジテレビ
 御家人斬九郎 第5シリーズ（2002年）
 奥様は警視総監5（2009年） - OL 役
 Dr.検事モロハシ（2012年） - レポーター 役
 テレビ朝日
 京都迷宮案内 第3シリーズ（2001年） - 母親 役
 熊本放送
 春、陽だまりの町（1999年） - 主人公 役
 BS朝日
 7万人探偵ニトベ（2009年） - クレーマー 役

ラジオドラマ 
 NHK-FM
 あくびと風の威力（2001年）

舞台 
 飛龍伝（2004年）
 ピアソラータ・九月の夜空（2004年）
 石川五右衛門（2005年）
 食卓の光景（2006年）
 俺たちがドラマだ!〜夏のせいかしら〜（2007年） - 主演
 紅弁天部隊上海へ行く（2010年）

CM 
 EPSON「ビジネスインクジェット」（2012年 - 2014年）
 アートネイチャー「ジュリアオージェ」（2013年 - 2014年）
 プリンススキーリゾート（2013年 - 2014年）
 近畿ろうきん（2014年）
 内閣府「消費者保護」（2014年）
他多数

VP 
 シマンテック「ノートン・セキュリティ対策ソフト」（2013年 - 2014年）
 テイジン「あっちこっちふきん」（2013年 - 2014年）

スチール 
 パルコム（2009年 - 2013年）※WEBもあり
 花王「ビオレ」（2013年）※WEB
『ドランクドラゴンのバカ売れ研究所!』（どらんくどらごん-ばかう-けんきゅうじょ!）はTwellVで2014年11月14日にスタートしたバラエティ番組。

概要 
明日のヒット商品・サービスを探す研究所。明日のバカ売れは見つかるのか? そのバカ売れ商品をお笑いコンビのドランクドラゴンが持ち込まれた商品・サービスの特徴を分析します。

出演者 
所長
鈴木拓（ドランクドラゴン）
副所長
塚地武雅（ドランクドラゴン）
秘書
伊藤花菜（2014年11月14日 - 2018年4月21日）
大原実咲季（2018年5月5日 - 2022年8月15日）
北向珠夕（2022年8月22日 -）
研究員
本田兄妹（本田ひでゆき・本田あやの）
ねばーる君（2015年10月5日 -）
納豆お兄さん（2015年10月5日 -）
アナクロニスティック（長谷川巧貴・ホビー）（2017年4月3日 -）
岡野陽一（2017年4月3日 -）
いかちゃん（2017年4月3日 -）
ナレーション
江尻拓己（2014年11月14日 - 2018年7月）
阿部憲人（2018年8月 -）

スタッフ 
MA：イカロス
第19回世界水泳選手権大会（19th FINA World Championships）は2022年6月18日から7月3日までハンガリーの首都ブダペストで開催された世界水泳選手権。なおFINAは2022年ロシアのウクライナ侵攻を受けてロシア、ベラルーシ両国の選手、関係者の参加を認めないことに同意したため、両国の参加ができなくなった。

開催の経緯
2021年に開催される予定であった福岡大会は、新型コロナウイルス感染症の拡大の影響により、2020年に開催される予定であった東京オリンピックが2021年に延期されたことを受けて、国際水泳連盟（FINA）が日程の再調整を行って開催期日を2022年5月に設定した。しかし、日本国内での新型コロナウイルスの再拡大により、FINAは同大会を2023年7月に延期。これを受けてFINAは、実戦の機会を確保するために、世界水泳をブダペストで開催することが発表された。

競技日程 
大会は全74種目で行われ、過密日程などの関係から大会前半にドナウ・アレーナで競泳競技とアーティスティックスイミング、後半に飛込とマラソンスイミングが中心となっている。

競技結果

競泳競技

男子

女子

混合

飛込競技

アーティスティックスイミング競技

水球競技

オープンウォータースイミング競技

国別メダル受賞数 
 開催国

日本でのTV放送
地上波ではテレビ朝日系列で競泳の決勝、CSではテレ朝チャンネル2でアーティスティックスイミングの決勝が放送される。また、ABEMAでは競泳の予選から決勝までの全レースが配信される。
今大会では、前年に現役を引退した萩野公介が競泳キャスターと競泳の解説を担当する。
テーマソングはB'zの「ultra soul」。また、世界水泳応援ソングとして、B'zの「You Are My Best」がテーマソングと並行して使用される。

大会協賛社

FINA公式パートナー 
 ミルタプール
 ニコン
 農夫山泉
 オメガ
 ヤクルト本社
 サロンパス
『ザ・ラスト・ショット』は、2014年11月19日の22:00 - 22:59に、NHK秋田放送局の秋田発地域ドラマとして、NHK BSプレミアムにて放送された日本のテレビドラマである。主演は永井大が務めた。

ストーリー

キャスト 
 村木 翔平
 演 - 永井大
 大手スポーツメーカー「ペガサス」のシューズ職人。
 北大路 巽
 演 - 松田悟志
 秋田のプロバスケチーム「ブレイブ・ラッキーズ」の花形選手。
 藤原 さくら
 演 - 臼田あさ美
 村木の元恋人。
 ジミー鳴瀬
 演 - 中村昌也
 北大路のチームメイト。
 山中 純
 演 - 有薗芳記
 村木の同僚。
 武藤 陽一
 演 - 品川徹
 能代実業、バスケ部の名誉監督。
 大神 和成
 演 - 柴俊夫
 村木の上司。

スタッフ 
 演出 - 吉田浩樹（NHK秋田放送局）
 音楽 - 和田貴史
 脚本 - 三上幸四郎
 製作統括 -  宮﨑研介
 製作 - NHK秋田放送局
代数学において、ヒルベルト環 (Hilbert ring) あるいはジャコブソン環 (Jacobson ring) はすべての素イデアルが原始イデアルの共通部分であるような環である。可換環に対しては原始イデアルは極大イデアルと同じなのでこの場合ジャコブソン環はすべての素イデアルが極大イデアルの共通部分であるような環である。

ジャコブソン環は  と  によって独立に導入された。Krull はジャコブソン根基との関連からにちなんで名づけ、Goldman はヒルベルトの零点定理との関連から David Hilbert にちなんで名づけた。

ジャコブソン環と零点定理 

代数幾何学のヒルベルトの零点定理は有限個の変数の体上の多項式環はヒルベルト環であるというステートメントの特別なケースである。ヒルベルトの零点定理の一般的な形が述べているのは、R がジャコブソン環であれば任意の有限生成 R-代数 S もそうであるというものである。さらに S の任意の極大イデアル J の引き戻しは R の極大イデアル I であり、S/J は体 R/I の有限拡大である。

とくにジャコブソン環の有限型の射は環の極大スペクトルの射を誘導する。このことは、体上の代数多様体に対して、（スキームが導入される以前はそうであったように）すべての素イデアルではなくすべての極大イデアルだけを考えればしばしば十分である理由を説明する。局所環のようなより一般の環に対しては、環の射が極大スペクトルの射を誘導するということはもはや正しくなく、極大イデアルよりもむしろ素イデアルを使った方がきれいな理論ができる。

例 

 任意の体はジャコブソン環である。
 任意の主イデアル整域やジャコブソン根基が 0 のデデキント整域はジャコブソン環である。主イデアル整域とデデキント整域において、0 でない素イデアルはすでに極大であるので、確認すべき唯一のことは零イデアルが極大イデアルの共通部分であるかどうかだ。ジャコブソン根基が 0 であることを要求すればこれが保証される。主イデアル整域とデデキント整域において、ジャコブソン根基が消えることと無限個の素イデアルが存在することは同値である。
 ジャコブソン環上の任意の有限生成代数はジャコブソン環である。とくに、体や整数環上の任意の有限生成代数、例えば任意のアフィン代数的集合の座標環、はジャコブソン環である。
 局所環はちょうど1つの極大イデアルをもつので、それがジャコブソン環であるのはちょうど極大イデアルが唯一の素イデアルであるときである。したがってクルル次元 0 の任意の可換局所環はジャコブソン環であるがクルル次元が 1 以上であれば環はジャコブソンではありえない。
  は非可算体上の任意の可算生成代数はジャコブソン環であることを示した。

特徴づけ 

可換環 R に対して以下の条件は同値である。
 R はジャコブソン環である。
 R のすべての素イデアルは極大イデアルの共通部分である。
 すべての根基イデアルは極大イデアルの共通部分である。
 すべてのゴールドマンイデアルは極大である。
 R の素イデアルによるすべての商環のジャコブソン根基は 0 である。
 すべての商環において、冪零根基はジャコブソン根基に等しい。
 体であるような R 上のすべての有限生成代数は R-加群として有限生成である
 R の素イデアル P であって R/P が (R/P)[x–1] が体であるような元 x をもつようなものはすべて極大素イデアルである。
 R のスペクトルはジャコブソン空間 (Jacobson space) である、つまりすべての閉部分集合はその中の閉点全体の集合の閉包である。
 （ネーター環 R に対して）： R は R/P が 1 次元半局所環であるような素イデアル P をもたない。

性質  

 可換環 R がジャコブソン環であることと R 上の多項式環 R[x] がジャコブソン環であることは同値である。
数学において、単項右（左）イデアル環、主右（左）イデアル環 (principal right (left) ideal ring) は環 R であってすべての右（左）イデアルがある x ∈ R に対して xR (Rx) の形であるようなものである。（1つの元で生成されたこの形の右と左のイデアルは単項イデアルである。）これが左と右のイデアル両方に対して満たされるとき、例えば R が可換環のような場合、R を単項イデアル環、主イデアル環 (principal ideal ring) あるいはシンプルに 単項環、主環 (principal ring) と呼ぶことができる。

R の有限生成右イデアルだけが単項であるならば、R は右ベズー環 (right Bézout ring) と呼ばれる。左ベズー環は同様に定義される。これらの条件は整域 (domain) においてベズー整域として研究される。

整域でもあるような可換単項イデアル環は単項イデアル整域 (PID) と呼ばれる。この記事において焦点は整域とは限らない単項イデアル環のより一般的な概念に当てる。

一般的な性質 
R が右単項イデアル環であれば、それは確かに右ネーター環である、なぜならばすべての右イデアルは有限生成だからだ。それは右ベズー環でもある、なぜならばすべての有限生成右イデアルは単項だからだ。それにまた、単項右イデアル環はちょうど右ベズーかつ右ネーターな環であることは明らかである。

単項右イデアル環は有限直積で閉じている。 であれば、R の各右イデアルは  の形である、ただし各  は Ri の右イデアルである。すべての Ri が単項右イデアル環であれば、Ai=xiRi であり、  であることがわかる。それほどさらに努力しなくても右ベズー環もまた有限個の直積で閉じていることが証明できる。

単項右イデアル環と右ベズー環はまた商についても閉じている、つまり、I が単項右イデアル環 R の真のイデアルであれば、商環 R/I もまた単項右イデアル環である。これは環の同型定理からただちに従う。

上記のすべての性質は左でも同様に成り立つ。

可換の例 

1. n を法とした整数 .

2.  を環とし  とする。このとき R が主環であることと Ri がすべての i に対して主環であることは同値である。

3. 主環の任意の乗法的集合における局所化は再び主環である。同様に、主環の任意の商は再び主環である。

4. R をデデキント整域とし I を R の 0 でないイデアルとする。このとき商 R/I は主環である。実際、I を素イデアルの冪の積として分解できる： , そして、中国の剰余定理によって
, なので各
 が主環であることを見れば十分である。しかし  は離散付値環
 の商  に同型であり、主環の商であるので、主環である。

5. k を有限体とし , ,  とおく。このとき R は主環でない有限局所環である。

6. X を有限集合とする。このとき  は単位元をもつ可換主イデアル環をなす。ただし  は対称差を表し  は X の冪集合を表す。X が少なくとも 2 つの元をもてば、環はまた零因子をもつ。I がイデアルであれば、 である。X を無限集合とすれば、環は主環でない。例えば、X の有限部分集合で生成されるイデアルを考えよ。

可換 PIR の構造理論 

上の例 4 で構成された主環はつねにアルティン環である。とくに、それらは主アルティン局所環の有限直積に同型である。
局所アルティン主環は special principal ring と呼ばれ、極めて単純なイデアル構造をもつ：有限個のイデアルしか存在せず、各々は極大イデアルの冪なのである。この理由のために、special principal rings は uniserial rings の例である。

次の結果は主環の完全な分類を special principal rings と主イデアル整域の言葉によって与える。

Zariski–Samuel の定理： R を主環とする。すると R は直積  として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域であるかまたは special principal ring である。

証明は中国剰余定理を零イデアルの極小準素分解に適用する。

Hungerford による以下の結果も存在する：

定理 (Hungerford)： R を主環とする。すると R は直積  として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域の商である。

Hungerford の定理の証明は完備局所環 (complete local ring) に対する を用いる。

上記例 3 のように議論し Zariski-Samuel の定理を使うことで次のことを確認するのは易しい。Hungerford の定理は任意の special principal ring が離散付値環の商であるというステートメントと同値である。

非可換の例 

ただの体の直積ではないすべての半単純環 R は非可換右かつ左主イデアル域である。すべての右と左イデアルは R の直和成分であるので e を R の冪等元として eR あるいは Re の形である。この例と並行して、フォン・ノイマン正則環は右かつ左ベズー環であることが確かめられる。

D が可除環で  が自己同型でない環自己準同型であれば、skew polynomial ring  は右ネーターでない主左イデアル域であることが知られており、したがって主右イデアル環ではありえない。このことは域に対してさえも主左と主右イデアル環は異なるということを示している 。
抽象代数学、とくに加群論において、加群の稠密部分加群（ちゅうみつぶぶんかぐん）は本質部分加群の概念の精密化である。N が M の稠密部分加群であれば、"N ⊆ M は有理拡大 (rational extension) である"ということもできる。稠密部分加群は非可換環論における商環と関係がある。ここで現れるたいていの結果は最初 ,  と  において証明された。

この用語は位相空間論における稠密部分集合の概念とは異なることを注意すべきである。稠密部分加群を定義するのに位相は全く必要ないし、稠密部分加群は位相加群において位相的に稠密かもしれないしそうでないかもしれない。

定義 
この記事は  と  に現れる exposition を修正する。R を環とし M を右 R 加群とし N をその部分加群とする。M の元 y of M に対し、

と定義する。表現 y−1 は形式的なものに過ぎないことに注意する。加群の元 y が可逆であると言うことは意味がないからだ。しかしこの表記は y⋅(y−1N) ⊆ N であることを示唆する助けになる。集合 y −1N はつねに R の右イデアルである。

M の部分加群 N が稠密部分加群 (dense submodule) であるとは、M のすべての元 x ≠ 0 と y に対して R のある元 r が存在して xr ≠ {0} かつ yr が N の元となることである。言い換えると、導入した表記を用いて、集合

ということである。このとき、関係は

と表記される。

別の同値な定義は本質的にホモロジカルである。N が M において稠密であることと

ただし E(M) は M の移入包絡、は同値である。

性質 
 N が M の本質部分加群であることと M のすべての元 y ≠ 0 に対して集合 y⋅(y −1N) ≠ {0} であることが同値であることを示すことができる。すると明らかにすべての稠密部分加群は本質部部加群である。
 M が非特異加群 (nonsingular module) であれば、N が M において稠密であることと本質であることは同値である。
 環が右非特異環 (right nonsingular ring) であることとその本質右イデアルがすべて稠密右イデアルであることは同値である。
 N と N'  が M の稠密部分加群であれば、N ∩ N'  もそうである。
 N が稠密で N ⊆ K ⊆ M であれば K もまた稠密である。
 B が R の稠密右イデアルであれば、R の任意の y に対して y−1B もそうである。

例 
 x が R の中心の非零因子であれば、xR は R の稠密右イデアルである。
 I が R の両側イデアルであれば、I が右イデアルとして稠密であることと I の左零化イデアルが 0 であること、すなわち  は同値である。とくに、可換環において、稠密イデアルはちょうど忠実加群であるイデアルのことである。

応用

加群の有理包 
すべての右 R 加群 M はその移入包絡 (injective hull) である極大本質拡大 E(M) をもつ。極大稠密拡大を用いた類似の構成の結果が、E(M) の部分加群である rational hull Ẽ(M) である。加群が真の有理拡大をもたず Ẽ(M) = M であるとき、加群を rationally complete という。R が右非特異であれば、もちろん Ẽ(M) = E(M) である。

rational hull は直ちに移入包絡の部分加群と同一視される。S = EndR(E(M)) を移入包絡の自己準同型環とする。すると移入包絡の元 x が rational hull に入ることと x が M 上 0 である S のすべての写像によって 0 に送られることが同値である。記号で書けば、

一般に、M 上 0 だが M の元でないある x で 0 でないような S の写像が存在するかもしれず、そのような x は rational hull には入らない。

極大右商環 
極大右商環 (maximal right ring of quotients) は R の稠密右イデアルと関連して2つの方法で記述することができる。
 1つの方法は、Ẽ(R) はある自己準同型環と同型な加群であることが証明され、その環構造からこの同型によって Ẽ(R) に環構造、極大右商環の構造が入る 。
 
 2つ目の方法は、極大右商環は R の稠密右イデアルから R の中への準同型の同値類の集合と同一視される。同値関係は、2つの関数が同値であることを R のある稠密右イデアルで一致することによって定める 。
アーベル群の理論において、アーベル群の捩れ部分群（ねじれぶぶんぐん）とは有限の位数をもつすべての元からなる部分群である。アーベル群が捩れ (torsion) 群あるいは周期 (periodic) 群であるとは、そのすべての元の位数が有限であることで、torsion-free であるとは、単位元を除くすべての元の位数が無限であることである。

実際に有限位数の元が加法で閉じていることの証明は加法の可換性によっている（例の節を見よ）。

アーベル群 A の捩れ部分群 T(A) は A の fully characteristic subgroup であり、剰余群 F(A) = A/T(A) は torsion-free である。これらの対応は関手的である：アーベル群をその捩れ部分群に送り準同型をその捩れ部分群への制限に送る、アーベル群の圏から捩れ群の圏への共変関手 T が存在する。アーベル群をその捩れ部分群による商に送り準同型を標準的な誘導写像（well-defined であることは容易に確かめられる）に送る、アーベル群の圏から torsion-free 群の圏への共変関手 F も存在する。

アーベル群 A が有限生成であれば、その捩れ部分群 T と torsion-free 部分群の直和として書くことができる（しかしこれはすべての非有限生成アーベル群に対して正しくない）。A の捩れ部分群 S と torsion-free 部分群の直和としての任意の分解において、S は T と等しくなければならない（しかし torsion-free 部分群は一意的には定まらない）。これは有限生成アーベル群の分類において重要なステップである。

p-冪捩れ部分群
任意のアーベル群  と任意の素数 p と任意の自然数 n に対してp^n の位数をもつ A の元全体の集合

（この記号はよく使われる）は部分群であり p-冪捩れ部分群 (p-power torsion subgroup) と呼ばれる。

の全てのnに渡って和を取ったもの

（この記号もよく使われる）も部分群を成し、Aのp-部分 (p-part) と呼ばれる。これはもちろんp-群である。

捩れ部分群 Ator はAのp-部分のすべての素数 p を渡る直和に同型である。

A が有限アーベル群のとき、 は唯一の A のシロー p-部分群と一致する。これはでコーシーの定理 (群論)を考えればすぐにわかる。

A の各 p-冪捩れ部分群は fully characteristic subgroup である。より強く、アーベル群の間の任意の準同型は各 p-冪捩れ部分群を対応する p-ベキ捩れ部分群の中に送る。

各素数 p に対して、これはすべての群をその p 冪捩れ部分群に送りすべての準同型をその p-捩れ部分群に制限するアーベル群の圏から p-冪捩れ群の圏への関手を提供する。これらの関手の捩れ群への制限のすべての素数の集合にわたる積は、捩れ群の圏から p-捩れ群の圏のすべての素数に渡る積への忠実関手である。ある意味、これは p-捩れ群を孤立して研究することで一般の捩れ群についてすべてわかるということを意味する。

例とさらなる結果

 非アーベル群の捩れ部分集合は一般には部分群ではない。例えば  は 表示

  〈 x, y | x2 = y2 = 1 〉

をもち、元 xy は2つの捩れ元の積であるが、位数は無限である。
 冪零群の捩れ元は正規部分群をなす。

 明らかに、すべての有限アーベル群は捩れ群である。しかしすべての捩れ群が有限であるわけではない。巡回群 C2 の可算個のコピーの直和を考えよ。すべての元の位数は 2 なのでこれは捩れ群である。有限生成でなければ商群 Q/Z の例が示しているように捩れ群の元の位数に上界がある必要もない。

 すべての自由アーベル群は torsion-free だが逆は正しくない。反例は有理数全体 Q （加法群）。

 A が有限生成でないときでさえも捩れなし部分 (torsion-free part) のサイズは、アーベル群のランクの記事においてより詳しく説明されているように、一意的に定まる。

 アーベル群 A が torsion-free であることと Z-加群として平坦であること、つまり C があるアーベル群 B の部分群であるときにはいつでもテンソル積 C ⊗ A から B ⊗ A への自然な写像が単射であることは同値である。

 アーベル群 A を Q （あるいは任意の divisible group）でテンソルすると捩れが消える。つまり、T が捩れ群であれば T ⊗ Q = 0 である。捩れ部分群 T をもった一般のアーベル群 A に対しては A ⊗ Q ≅ A/T ⊗ Q である。
体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。

用語 
 を有限次体拡大とする。元  は

であるときに  の原始元 (primitive element) と呼ばれる。この状況で、拡大  を単（純）拡大という。このとき E のすべての元 x は

の形に書ける、ただしすべての i に対して  であり、 は固定されている。つまり、 が n 次分離拡大であれば、ある  が存在して、集合

は E の F 上ベクトル空間としての基底である。

例えば、拡大  と  はそれぞれ原始元  と x による単拡大である（は  上不定元 x による有理関数体を表す）。

存在の主張 

定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった。ガロワの時代から、原始元の役割は分解体をただ1つの元で生成されるものとして表現することだった。そのような元のこの（任意の）選択は Artin の扱いにおいて避けられる。同時に、そのような元の構成の考慮は退く：定理は存在定理 になる。

すると以下のアルティンの定理は古典的な原始元定理に取って代わる。

定理

 を有限次体拡大とする。このときある元   に対して  であることと  なる中間体 K が有限個しか存在しないことは同値である。

すると定理の系はより古風な意味での原始元定理（分離性は通常暗黙に仮定された）である：

系

 を有限次分離拡大とする。このときある  に対して  である。

系は代数体、すなわち有理数体 Q の有限拡大に応用する、なぜならば Q は標数 0 ゆえ任意の拡大が分離的だからである。

反例 

分離的でない拡大に対しては、これは標数が素数 p である必要があるが、少なくとも次数 [L : K] が p であるときには、L / K は原始元をもつ、なぜならば中間体が存在しないからだ。[L : K] = p2 のとき、原始元はない（したがって無限に多くの中間体が存在する）かもしれない。これは例えば次のようなときに起こる。K が

Fp(T, U),

p 元をもった有限体上の二不定元 T と U による有理関数体であり、L が K に T と U の p 乗根を添加して得られる体のとき。実は次のことがわかる。L の任意の元 α に対して元 αp は K に入るが、原始元は K 上次数 p2 をもたなければならない。

構成的結果

一般に、有限分離拡大 L / K に対するすべての原始元からなる集合は L の真の K-部分空間すなわち中間体の有限の集まりの補集合である。このステートメントは有限体のケースについては何も言っていない。有限体に対しては体の乗法群（巡回群）の生成元、これは当然原始元である、を見つけるために捧げられた計算理論が存在する。K が無限のときは、鳩ノ巣原理により証明できる。2元で生成された線型部分空間を考えると、c を K の元とする線型結合

は有限個しかなく両方の元を含む部分体を生成できないことが証明される。これはアルティンの結果から古典的な結果がどのように導かれるかを示す方法としてほとんどすぐであり、中間体の個数の言葉での例外的な c の個数が有界であることが得られる（この数はガロワ理論によってアプリオリにそれ自身制限されるものである）。したがってこのケースにおいて trial-and-error は原始元を見つける実際的な手法となることができる。例を見よ。

例 
例えば次のことはすぐに明らかではない。有理数体  に両方の多項式

と

の根、それぞれ  と  としよう、を添加して、 上4の体 K =  を得、拡大は単純で原始元 γ in K が存在して K =  となる。実は次のことを確認できる。

の冪 γ i for 0 ≤ i ≤ 3 は 1, , , and  の整数係数の線型結合として書き下すことができる。これらを線型方程式系としてとると、あるいは分解することによって、 と  について  上解くことができ（例えば  を得る）これは γ のこの選択が確かにこの例の原始元であることを意味している。ガロワ理論によって与えられるすべての部分体の知識を仮定すればより簡単な議論は 1, , , and  の有理数体上の独立性に注目することである。これは γ によって生成される部分体は  あるいは  あるいは  によってすべての次数 2 の部分体を使い果たして生成される体ではありえないことを示している。したがってそれは体全体でなければならない。
この記事は現代代数学の分野である環論の文脈における準正則性の概念についてのものです。数学における準正則性の他の概念については、英語版の曖昧さ回避ページ quasiregular をご覧ください。

数学、特に環論において、準正則性 (quasiregularity) の概念は環のジャコブソン根基で研究するための計算的に便利な方法を提供してくれる。直感的には、準正則性は環の元が「悪い」、つまり、望ましくない性質をもっているとはどういうことかを捉える。「悪い元」は準正則である必要があるが、準正則元はかなりあいまいな意味で「悪い」必要はない。この記事においては、主として単位的環に対して準正則性の概念を考える。しかしながら、一節は非単位的環における準正則性の理論に割かれる。これは非可換環論の重要な側面を構成する。

定義 
R を（単位元をもつ）環とし、 r を R の元とする。このとき r が準正則 (quasiregular) であるとは、 が R の単元である、つまり、乗法について可逆であるということである。右または左準正則性 (right or left quasiregularity) の概念はそれぞれ  が右または左逆元をもつ状況に対応する。

単位的でない環の元 x が右準正則 (right quasiregular) であるとは、ある y が存在して  となるということである。左準正則 (left quasiregular) 元の概念も同様に定義される。元 y を x の右準逆元 (right quasi-inverse) と呼ぶことがある。環が単位的であれば、この準正則性の定義は上で与えられた定義と一致する。 と書けば、この二項演算 * は結合的である。それゆえ、元が左と右の準逆元を両方とももてば、それらは等しい。

注意 
準正則性について、別の定義が存在する。すなわち、rng  において、二項演算  を  と定義すると、これにより上記の  と同様  は 0 を単位元とするモノイドとなり、 は、この演算に関して左逆元が存在するときに、左準正則というのである（右準正則も同様）。このとき、 が単位的環であれば、 が左（resp. 右）準正則であることと  が環の乗法について左（resp. 右）逆元を持つことが同値である。

"* による定義"がジャコブソンによるオリジナルのものである。 であるから、符号を考慮すれば定義を行き来出来る。例えば、一方の定義で  が左準正則であることともう一方の定義で  が左準正則であることは同値である。

本記事では、"* による定義"を採用するが、上記注意により"  による定義"でのステートメントに修正することは容易である。

例 
 R が環であれば、R の加法単位元 0 はつねに準正則である。
  が右（resp. 左）準正則であれば、 は右（resp. 左）準正則である。
 R が環であれば、R のすべての冪零元は準正則である。

 行列はその加法逆元が固有値として −1 をもたなければ行列環において準正則である。より一般に、有界作用素はその加法逆元が −1 がそのスペクトルになければ準正則である。
 単位的バナッハ代数において、 であれば、幾何級数  は収束する。したがって、すべてのそのような x は準正則である。
 R が環で  が R 上 n 不定元形式的冪級数環であれば、S の元が準正則であることとその定数項が R の元として準正則であることは同値である。

性質 
 （可換とは限らない）環のジャコブソン根基のすべての元は準正則である。実は、環のジャコブソン根基はすべての元が右準正則であるという性質に関して極大な、環の唯一の右イデアルとして特徴づけることができる。しかしながら、右準正則元がジャコブソン根基の元であるとは限らない。これは記事の初めのリマークを正当化する - 準正則元が「悪い」必要はないが、「悪い元」は準正則である。環のジャコブソン根基の元はしばしば「悪い」と思われる。

 環の元が冪零かつ中心的であれば、それは環のジャコブソン根基の元である。これはその元で生成される単項右イデアルが準正則（実は冪零）元のみからなるからだ。

 環の元 r ≠ 0 が冪等であれば、環のジャコブソン根基の元ではありえない。これは冪等元が準正則ではありえないからだ。この性質は、上記の性質と同様、記事のトップで与えられた、準正則性の概念はジャコブソン根基で研究するときに計算的に便利であるというリマークを正当化する。

半環への一般化 
準正則元の概念は直ちに半環 (semiring) へと一般化される。a が半環 S の元であれば、S から自身へのアフィン写像は  である。S の元 a が右準正則 (right quasiregular) であるとは、 が一意とは限らない固定点をもつときにいう。各そのような固定点は a の左準逆元 (left quasi-inverse) と呼ばれる。b が a の左準逆元でさらに b = ab + 1 であれば、b は a の準逆元 (quasi-inverse) と呼ばれる。準逆元をもつ半環の任意の元を準正則 (quasiregular) と言う。半環のすべてではなく一部の元が準正則であるということはあり得る。例えば、通常の加法と乗法による非負の実数の半環において、 は固定点  をすべての  に対してもつが、 に対しては固定点をもたない。半環のすべての元が準正則であれば半環は準正則半環 (quasi-regular semiring)、閉半環 (closed semiring)、あるいは時折レーマン半環 (Lehmann semiring)と呼ばれる（後者は Daniel J. Lehmann の論文 に敬意を払っている）。

準正則半環の例は（それらの中でも顕著に、正則表現の代数）によって提供される。そこでは準逆元は最小固定点解として定義される単項演算（a* で表記される）の役割に持ち上げられる。クレイニ代数は加法的に冪等であるがすべての準正則半環がそうであるわけではない。非負実数の例を無限大を含むように拡張でき、それは任意の元 a ≥ 1 の準逆元が無限大である準正則半環になる。この準正則半環はしかしながら加法的に冪等ではないので、クレイニ代数でない。しかしながらそれは complete semiring である。より一般に、すべての complete semiring は準正則である。用語 closed semiring は実は著者によってはただの準正則ではなく complete semiring を意味するために用いられる。

はまた準正則である。2つの Conway の公理は実は独立である、つまり、the product-star [Conway] axiom,  のみを満たし the sum-star axiom,  を満たさない半環が存在し、and vice-versa。半環が準正則であることを意味しているのは the product-star [Conway] axiom である。その上、が準正則であることと the product-star Conway axiom を満たすことは同値である。

準正則半環は最短経路問題の一般化である algebraic path problems において現れる。
クシャおじさん（本名：成田 幸雄（なりた こうゆう）、1920年〈大正9年〉- 1993年〈平成5年〉）は、日本の男性タレント。顔が一瞬で短くなる一発芸で1970年代のテレビ界で活躍した。

小学校2年の時に川に飛びこんで頭を打ち、軍隊時代に落馬して顔をぶつけたことにより、顎はずしが可能となった。1993年に73歳で死去。

。

出演

テレビ

バラエティ 
東芝ファミリーホール特ダネ登場!?（日本テレビ） - 浪曲師として水上温泉で舞台に立っていた成田を番組プロデューサが見出して出演させ、著名になるきっかけとなる。
マチャアキのガンバレ9時まで!!（日本テレビ） - ブリッジ役のレギュラー。

ドラマ 
 必殺仕置人 第1話「いのちを売ってさらし首」（1973年、ABC / 松竹） - 孫八
 当初は悪役での出演に難色を示したが、「念仏の鉄の技を印象付ける大切な役だから」と説得されて承諾した。
 プレイガールQ 第12話「女の敵は女」（1974年）- クシャ小父さん(クレジットはクシャ小父さん、ドラマ内では白バイ警官役)

映画 
「はだしのゲン涙の爆発 」

注釈
岡松 忠（おかまつ ただし、1961年7月10日 -）は、日本のオートレース選手。福岡県出身。17期、山陽オートレース場所属。

選手データ 
 プロフィール
 選手登録 1982年5月30日
 身長　158.5cm
 体重　58.2kg
 血液型　B型
 趣味　魚釣り

 戦歴 
 通算優勝回数:49回 
 グレードレース(SG,GI,GII)優勝回数:9回
 全国区レース優勝回数、SG優勝回数:なし 
 GI優勝回数:6回
 GII優勝回数:3回

 受賞歴
 オートレース表彰選手
 優秀選手賞:1回
 通算勝利記録選手賞（通算1着回数1,000回達成）

略歴
1989年
GI・第24回スピード王決定戦（山陽オートレース場）優勝。
1990年
GII・秋のスピード王決定戦（飯塚オートレース場）優勝。
1991年
GI・春のスピード王決定戦（伊勢崎オートレース場）優勝。
1994年
GI・開場記念山陽グランプリ（山陽オートレース場）優勝。
GI・第29回スピード王決定戦（山陽オートレース場）優勝。
1995年
9月27日、GI・全国地区対抗戦（浜松オートレース場）優勝。この年、優秀選手賞受賞。
1996年
GII・九スポ杯争奪山陽王座決定戦（山陽オートレース場）優勝。
1998年
3月12日、GI・開設記念グランプリレース（川口オートレース場）優勝。
2000年
GII・スポニチ杯争奪選抜地区対抗戦（山陽オートレース場）優勝。
2022年
2月10日、通算1000勝達成。

無冠の帝王 
岡松はこれまで通算優勝回数49回のうち、GIを6回、GIIを3回と制覇しているが、最高ランクのSGは未だに制覇していない。そのため、オートレース界では無冠の帝王の代名詞として称されている。
ブリュノ・レヴィ（Bruno Levy、1979年8月3日 -）は、フランスの映画プロデューサー。

作品 
 ゴーギャン タヒチ、楽園への旅 Gauguin - Voyage de Tahiti (2017)
 欲望に溺れて Plonger (2017) ※日本劇場未公開
 おかえり、ブルゴーニュへ Ce qui nous lie (2017)
 TOMORROW パーマネントライフを探して Demain (2015)
 ニューヨークの巴里夫 Casse-tête chinois (2013)
 フランス、幸せのメソッド Ma part du gâteau (2011) ※日本劇場未公開
 PARIS Paris (2008)
 ロシアン・ドールズ Les poupées russes (2005)
 スパニッシュ・アパートメント L'auberge espagnole (2002)
 ありふれた愛のおはなし Rien à faire'' (1999) ※キャスティング
『殉愛』（じゅんあい）は、百田尚樹による2014年の書籍。シンガーソングライター、タレント、司会者、ラジオパーソナリティとして関西で人気を博したやしきたかじんの最晩年を、たかじんが自筆したとされるメモや、看病に人生を捧げたと主張する未亡人・家鋪さくらの証言、看護日記などに基づいて描いた、「かつてない純愛ノンフィクション」として発売されたが、「ノンフィクション」といえるのかなど、内容について議論があり、表現について複数の訴訟が提起されるに至った（#内容を巡る議論参照）。

出版の経緯 
百田が2014年3月4日、リーガロイヤルホテルの「光琳の間」にて行われた、やしきたかじんを偲ぶ会「TAKAJIN MEMORIES 2014 あんたのことが ICHIZUに やっぱ好きやねん」に招待されていた。しかし、元々の予定がありキャンセルする予定が、スケジュールが空いたので、会に出席し家鋪未亡人（家鋪さくら）に初めて出会った。その一週間後、家鋪さくらからのメールで会って話をしたい旨を受け、直接会い、生前「たかじんが百田のファンであった」こと、「僕の本を出して貰うなら百田に助けてもらう」と言うメモを見せられ、看護記録等のメモを読込み、家鋪さくらと話込み、決まっていた仕事を半年後倒しをして、メモに書かれていた出来事を関係者に裏付け取材を行ったとされる。

内容を巡る議論

未亡人の不倫・重婚疑惑 
たかじんの未亡人については、たかじんからのプロポーズを受け、交際していた時期に別の男性（イタリア人）と結婚していたという指摘があり、
さらに未亡人がたかじんと不倫関係にあった時期がある、あるいは重婚状態にあったとの疑惑がある。一方、本書では未亡人が結婚していたことが伏せられ、イタリア人男性は「恋人未満」の存在であったとされている。ちなみに著者の百田は本書発売後の2014年11月18日になって、重婚の疑惑を否定しつつ、「たかじんの妻にはイタリア人男性との結婚・離婚歴がある」ことを事実と認め、離婚歴について書くかどうか「大いに迷った」と発言した。

作家の林真理子は、当該疑惑やたかじんの長女が出版差し止めを求め提訴したこと（後述）についてマスコミが「全く報道しない」と指摘し、「この言論統制は何なんだ!」と不満を表明した。

長女に関する描写と販売差し止め訴訟 
本書の内容について、2014年11月21日、たかじんの長女が幻冬舎を相手取り、出版差し止めと1100万円の損害賠償の求める訴訟を起こした。

本書はたかじんの長女を「横柄な態度で8歳下の父の若妻に暴言を浴びせる『中年女性』」として描き、以下のようなエピソードを掲載している。

たかじんに、食道ガンになったのは自業自得という内容のメールを送って激怒させ、たかじんは絶縁を宣言した。
たかじんに金の無心を繰り返して辟易させ、たかじんは親友に対し娘と絶縁したいとこぼした。
闘病中のたかじんを一度も見舞わなかった上、退院したたかじんに対し、その妻を誹謗中傷する内容のメールを送りつけた。
 たかじんの死後開かれた「やしきたかじんを偲ぶ会」において、挨拶をしようとした未亡人に対し野次を飛ばした。

これに対し長女側は、上記記述は虚偽であり、「1人の遺族の話を根拠に、他の親族の取材をせずに一方的に攻撃するもの」、「あまりに一方的なひどい内容」、「事実と違うことだらけ」と反論し、本書の中に「すべて事実である」という記述があることについて、「百田さんから取材の申し込みもありませんでした。こんなのノンフィクションじゃないですよね?」とコメントした。

本訴訟において長女側は、未亡人が「無償の愛を注ぎ、相続においても何も求めず謙虚な姿勢を示してきたという作品の基調はそもそも事実に反する」と主張し、記述内容自体を「根本的」に否定する具体的証拠も多数提出した。

一方の、著者の百田側はツイッターにおいて、「たかじん氏の娘が出版差し止め請求の裁判を起こしてきた。裁判となれば、今まで言わなかったこと、本には敢えて書かなかったいろんな証拠を、すべて法廷に提出する。一番おぞましい人間は誰か、真実はどこにあるか、すべて明らかになる。世間はびっくりするぞ。」と発言したが、裁判の中で「長女が（父の）たかじんとの間に確執があった」などの上記の主張を立証する具体的証拠を出すことができなかった。

2016年7月29日に出された東京地方裁判所の判決では、出版の差し止めについては却下したものの、本書の6か所の記述（上記エピソード）が「事実に反し、プライバシー侵害及び名誉毀損にあたる」として長女側の主張を概ね認め、330万円の損害賠償支払いを幻冬舎に命じ、記述されているような（上記）エピソードがあったこと自体を否定した。

この判決に納得しなかった百田・幻冬舎側は控訴したが、東京高等裁判所も、東京地裁の判決を概ね支持し書籍物の差し止めについては第一審と同様認めなかったものの、東京地裁が指摘した6か所の「事実に反する及びプライバシー侵害及び名誉棄損」記述に加えて、さらにもう1か所の名誉毀損的記述が存在することも認め、賠償金を365万円にまで引き上げた。2017年12月21日、最高裁は幻冬舎の上告を受理しないと決定、これにより第二審の判決が確定した。なおこれらの判決について、2018年3月時点で百田側からの明確なコメントはない。

たかじんの元マネージャーに関する描写 
たかじんの元マネージャーも、たかじんの妻に暴言を吐いたり、会社の帳簿を操作したりしていたなどの記述で名誉を傷つけられたとして、著者の百田と幻冬舎に1100万円の損害賠償を求める訴訟を起こした。

2018年11月28日、東京地方裁判所は14か所の記述が名誉毀損に当たると認定。マネージャーとしての能力を欠き、金に汚い人物として描かれていると指摘し、裏付けを欠く部分が少なくなく、真実と信じる相当性があるとは認められないとした。多くの読者の目に触れ、評価の低下は大きいとして連帯して275万円の支払いを命じた。百田と幻冬舎は、連名で「主張が認められなかった部分は誠に遺憾。判決を精査して対応を検討する」とのコメントを出した。

評価 
たかじんの楽曲を数多く手がけてきた作詞家の及川眠子は本書について、「なぜウラも取らずに、1人の人間を犯罪者だと決めつける? ノンフィクション作家を名乗るのであれば、きちんと本人に取材すべき。あの本にはそういった『正当性』がまったくない」と評している。

Amazon.co.jpのレビューでは評価が二分し、「あまりの美談ぶり」を訝るコメントも寄せられた。これに対し著者の百田は「Amazonレビュー、未亡人に対する誹謗中傷がひどすぎる!実態も真実も何も知らない第三者が、何の根拠もなく、匿名で人を傷つける。本当に人間のクズみたいな人間だと思う!」と反発した。

売上 
発売日当日に『中居正広の金曜日のスマたちへ』（TBSテレビ）に百田が出演し、再現VTRを交え著書の内容を紹介。初週で6.5万部を売上げる。

書誌情報

関連書籍 
角岡伸彦、西岡研介、家鋪渡、宝島「殉愛騒動」取材班『百田尚樹『殉愛』の真実』宝島社　2015年
 角岡は2014年に『ゆめいらんかね やしきたかじん伝』（小学館）を発表していた。
春吉（はるよし、はるきち）

 春吉 (福岡市) - 福岡県福岡市中央区の地名。
 春吉 (北九州市) - 福岡県北九州市小倉南区の地名。
 日本人の男性名の一つ。

はるきち
ティム・ピゴット＝スミス（Tim Pigott-Smith、1946年5月13日 - 2017年4月7日）は、イギリスの俳優。

出演作品 
 フランス、幸せのメソッド
 刑事フォイル
 ダウントン・アビー
 アリス・イン・ワンダーランド
 ジョニー・イングリッシュ
 ヴィクトリア女王 最期の秘密
 Vフォー・ヴェンデッタ
 6日間
 007 慰めの報酬
有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり）は、数学の特に群論における定理であり、有限アーベル群の基本定理（ゆうげんアーベルぐんのきほんていり）とも呼ばれる。
任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、 によって示された。この定理はの特別の場合として、さらに単因子定理、すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。

定理の主張 

この一意に定まる数列を  の不変系、その各項を  の単因子と呼ぶ。

証明 
この定理の証明法はいくつも存在する。筋の良い証明の一つは群の表現論を用いるもので、ほかにも例えば有限群の指標を用いるものもある。

以下に示すものは完全に群論の枠組みに収まるもので、分解の存在性は補題 1 による（それには補題 2 を用いる）。

応用 
 上記の分解において、 の冪数は  に等しく、また  の位数は積  に等しい。したがって、有限アーベル群の位数がその冪数以下となれば、それは巡回群である。特に、可換体の乗法群の任意の有限部分群は巡回群になる。
 二つの有限アーベル群が同型となるのは、各位数の元の数がそれら二つの群において一致するときである。実際、このデータから単因子が求められる。「アーベル」であるという条件を欠かすことはできない: 例えば、任意の奇素数  に対し、位数  かつ冪数  の群がふたつ存在する。それはアーベル群  と  上のハイゼンベルク群である。

注

注釈