多変数の微分（たへんすうのびぶん）は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

数ベクトル空間についての補足

数ベクトル空間
n 次元実数ベクトル空間  とは、集合としては

　　　　　　　　(1-2)

である。つまり n 個の実数  を用いて

　　(1-3)

の形で表せるもの全てを集めてきたものである。
特に、以下で定まる  を、第 i 標準ベクトルという。

　　　　(1-8)

である。

標準座標系
次に ,  の標準座標系を定義する。 に対し、

　　　　(1-6)

とし、これを  の第 j 座標関数という。ここで  は内積を表す。つまり、

　　　　(1-7)

である。
 標準座標系とは、 の組  のことである。当然、

　　　　(1-9)

が成立する。 にも、同様に、 や、標準座標系  が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 の標準座標系を  と表記し、値域側 の標準座標系も  と表記していては紛らわしいので、 の標準座標系を と書くことにする。つまり、

　　　　(1-10)

とする。
以降、「 に、標準座標系  が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

多変数ベクトル値関数
 に標準座標系  が定まっているとし、 に標準座標系 が定まっているとする。

 を  の部分集合とし、

　　　　(1-1)

を、 上で定義された  に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降  は  の第 i 成分を表す。 は以下の性質を満たす。

　　　　(1-11)

偏微分

設定
 に、標準座標系  が定まっているとし、 に、標準座標系  が定まっているとする。
 を、 の開集合とし、

　　　　(1-1)

を、 上で定義された  に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
ここで  は  の第 i 成分を表す。

偏微分の定義
 を  内の点とし、 を  のベクトルとする（は  でなければならないが  は であってよい）。

,  は固定されているものとする。

このとき、 が  で  について偏微分可能であるとは、以下の極限値

　　　　(1-4)

が存在することを意味する。

このとき のにおける、 について偏微分商、

を、以下のように定義する。

　　　(1-5)

成分関数の微分可能性
 の第 i 成分  は以下の等式を満たす。

　　　　(1-11)

上式において  は内積を意味する。

式 (1-10), (1-11) を用いて、 を（(1-5) の定義式通りに） で  について偏微分することを考える。
 が  で  について偏微分可能ならば、 は  で  について偏微分可能で、

　　　　(1-12)

が成立する。

逆に、式(1-1)より、

　　　　(1-13)

なので、 すべてが  で  について偏微分可能であれば、 も微分可能で、

　　(1-14)

が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

一変数関数の微分への帰着
(1-6) の各成分、つまり  は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数

　　　　　　(1-15)

を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、

　　　　　　(1-16)

である。但し、 は、

　　(1-17)

で定まる  の直線である。
また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。

記号「∂f/∂xj」について
 の点  における「（の）
ベクトル 」に対する偏微分商、即ち  を、
 
と書く。 即ち、

  (1-18)

と表記する。

また、 の第 i 成分、つまり  の点  における「（の）ベクトル 」に対する偏微分商  を、 と表記する。

ここで、 は、それぞれ  標準基底であり、 は、第 j 標準ベクトルを意味する。

ヤコビ行列の導入
 が  において、 全てに対して偏微分可能であるとき、

　　　　(1-20)

を  の  におけるヤコビ行列という。

微分

設定
 を  の開集合とし、

　　　　(2-1)

を、 上で定義された  に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

微分の定義
 を  内の点とする（つまり）。このとき、 が  で微分可能であるとは、

　　　　(2-2)

を充たす  行列  が存在することを意味する。この  を、 の  における微分という。

 とおくと、次のようにも表せる。

微分の一意性
 が  で微分可能であるとき、(2-2) を満たす  行列はひとつしか存在しない。つまり、 行列  が、

　　　　(2-3)

を満たすとすると、

　　　　(2-4)

が成立する。

微分可能性と偏微分可能性
 が  で微分可能であるとき、 は  で任意のベクトル  に対して偏微分可能である。実際、

　　(2-5)

ここで、

　　　　(2-6)

は、(2-2) に  を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の  極限は 0 となる。従って、

　　　　(2-7)

となる。以上より  が  で微分可能であるとき、 は  で  の任意のベクトル  に対して偏微分可能であることが示された。

式 (1-5), (2-6) から、 が  で微分可能ならば

　　　　(2-8)

であることが分かる。

ヤコビ行列の導入
式 (1-2-8) に  を代入すると、

　　　　(2-9)

である。従って の  での微分  の第 j 列は、

　　　　(2-10)

第 i , j 成分は

　　　　(2-11)

となる。従って、

　　　　(2-12)

となる。

誤差項の導入
「誤差項」の導入を行う。
 と  に対し、 の  における誤差項（ランダウの記号） を

　　　　(2-13)

によって定める。

　　　　(2-14)

　　　　(2-15)

であることが分かる。

(2-14) は、以下の恒等式

　　　　(2-16)

の  に  を代入すれば直ちに得られる。
(2-16) の恒等式ことを、本記事では  の点  における一次展開ということにする。
(2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、 が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は  の一次近似を表していると見ることができる。
つまり、点  の近傍で  は

　　　　(2-17)

とみなせることが分かる。

微分に関するいくつかの公式

偏微分の「方向」に関する公式
式 (2-8) から、 が  で微分可能であるとき、 は  において  の任意のベクトル ,  と、任意の実数  に対して、

　　　　(3-1)

が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)

である。

また、(2-8) から、 が  で微分可能であるとき、 は  で  の任意のベクトル  に対して、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)

が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

アフィン写像の微分
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて

　　(3-4)

の形で具体的な数式として書ける、からへの写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（の点）で微分可能で、任意の点（の点）において、

　　(3-5)

である。逆に、任意の点において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

合成写像の微分
次に、合成写像の微分について説明する。をの開集合とし、は、の値域を含む（つまり、、特にとする）とする。多変数ベクトル値関数
　　　　(3-6)

は、で定義され、に値をとるとする。このとき、ととの合成写像は、で定義され、に値をとる多変数ベクトル値関数である。

が点で微分可能で、が、点で微分可能であるとき、もで微分可能で、

=　　　　(3-7)

ここで“”とは、行列としての積である。

■証明
を点で一次展開し、
を点で(2-16)同様に一次展開すると、

　　　　(3-8)

　　　　(3-9)

となるので、

　　　　(3-10)

である。従って

　　　　(3-11)

を示すを示せば終証である。

以下(3-11)を示す。

　　　　(3-12)

より、
　　　　(3-13)

一方、

=　　　　(3-14)

は、

　　　　(3-15)

の特殊なケースに過ぎないので、

　　　　(3-16)

さらに、

　　　　(3-17)

は有限の値であることから、

　　　　(3-18)

また、

　　　(3-19)

は、

　　　　(3-20)

であることと、線形写像の連続性から明らかである。

■

(3-7)を行列として具体的に表記すると

=
(3-21)

となる。これから、

(3-22)

が分かる。

合成写像の偏微分
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。

　　　　　　(3-23)

(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、

　　　(3-24)

以上より、

　　　　　　(3-25)

逆写像の微分
次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。をの開集合とし、は、の値域を含む（つまり、、特にとする）とする。多変数ベクトル値関数

　(3-26)

は、で定義され、に値をとるとする。さらに、がの逆写像、つまり

　(3-27)

とする。このとき、

　(3-28)

が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。

導関数の導入
これまでの議論では、一点を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。

を、の開集合とし、

　　　　(4-1)

を、上で定義され、に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

を、の固定されたベクトルとする。（でもよい。）このとき、「がで、について偏微分可能である」とは内の全ての点において、(4-1)の意味でがについて偏微分可能であることを意味する。このとき「のについての偏導関数」とは、「の点とにおける偏微分商を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、

　　　　(4-2)

である。特に

　　　　(4-3)

とする。

「がで、微分可能である」とは、「内の全ての点において、(2-2)の意味でが微分可能」であることを意味する。

このとき「のにおける導関数」とは、「の点とにおける微分を対応させる行列値の関数」である。つまり、

　　　　(4-4)

である。のことをや、と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。

また、(4-5)から、直ちに「がで、微分可能」ならば、「がで、任意のについて偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「がで、任意のについて偏微分可能」であっても、「がで、微分可能」とは限らない。

「がで、連続微分可能である」とは、「がで、全てについて偏微分可能であり、かつについての偏導関数がすべてで、連続であること」を意味する。

一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「がで、連続微分可能」ならば「がで、微分可能」であるものの、「がで、微分可能」であっても、「がで、連続微分可能」とは限らない。

但し、「がで微分可能であり、導関数がで、連続」ならば、「はで、連続微分可能」である。

全微分
 に  座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の  は全て  から  への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に

　　　　(5-1)

である。ここで  は転置を意味する。すなわち  とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。

式 (4-4) より  は、

　　　　(5-2)

で定まる行列値関数であるため、

　　　　(5-3)

であり、

　　　　(5-4)

がわかる。ここで、 を 、 を  と書くと、

　　　　(5-5)

となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、

　　　　(5-6)

となる。

微分の“逆問題”

スカラーポテンシャルの定義
を、の開集合とし、

　　(6-1-1)

を、上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。

式(6-1-1)のに対し、

　　(6-1-2)

を充たす、一変数スカラー値関数を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、のスカラーポテンシャルという。

以下、1行n列の行列値関数があたえられたとき、のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。

偏導関数に関する「微積分学の基本定理」
を、の開集合とし、を上で定義された多変数スカラー値関数とする。

を、内の点とする。（つまり）を、のベクトルとする。（でもよい。）
このとき、

=　　(6-2-1)

が成立する。但し、を充たす全てのに対して、
　　(6-2-2)
が成り立っているものとする。

以下、(6-2-1)を示す。まず、

　　　　　　(6-2-3)

で、
　　　　　　(6-2-4)
である。但し、は、(1-9)同様、

　　(6-2-5)

である。

(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、

=
　　(6-2-5)

従って、(6-2-1)が分かる。

ポアンカレの補助定理の準備
(6-1-1)のに対し、作用積分を定義する。

　　(6-3-1)

をの点とする。また、を、の開集合とし、さらにがを中心に星型とする。

がを中心に星型とは、任意のの点と、任意のに対し、

　　(6-3-2)

であることを意味する。

は固定されているものとする。また、

　　(6-3-3)

も固定されていると考える。

式(6-1-1)の、上で定義された1行n列の行列値関数に対し、を

=　　(6-3-4)

と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数

　　(6-3-5)

は、についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　を、点と、
実数を対応させる多変数スカラー値関数

　　(6-3-6)

とする。以降、点は、変数とみなす。