白井朋之(九大数理) * , version 1.2
目次
Intro
1
1 2 Chordal Loewner equation 1 1 2 2.1 Capacity from ∞ . . . . . . . . . . . 2.2   Chordal Loewner equation . . . . . . 2.3 Starting from a continuous curve w t on Rし2.4 Flow of a map Φ A  . . . . . . . . . . 4 3   Chordal SLE 5 3.1 SLE κ in other domains  . . . . . . . Simpleness for κ ≤ 4  . . . . . . . . . 3.2 6 6 3.3 Locality property for κ = 6   . . . . . Restriction property for κ = 8/3   . . 7 3.4 8
4
Conformal map 10 4.1  Examples of conformal map . . . . .  10細かい所は詳しくチェックしていない所もありますので、お気付きの点がございましたらお知らせください.
1
Intro
D, Λ(≠ C)をC内の単連結領域とすると、等角写像Φ : D → Λが存在する．D内の複茶プラウン運動B tのDからの脱出時間をτ Dとすると.適当な時間変更σ : [0,τd] → [0,τd]が存在して, {Φ(B σι ), t ∈ [0, τ D ]}はまた∧内の複素プラウン運動となる。これが複茶プラウン運動の等角不変性(conformal invariance)である. 2次元格子上で定義される loop-erased  random walk( κ = 2), self-avoiding walk ( κ = 8/3), per- colation exploration process ( κ = 6),ペアノ曲線(κ = 8)などの連続極限として得られる(であろう)ランダム曲線{γt,t ≥ 0}も等角不変性が期待される。また，これらのランダム曲線は自己交差を許さないので，γ[0,t]とγ[t,T]は強い相関があり，マルコフ性は期待できない。しかし，価空間を等角写像のなす無限次元空間に拡大してマルコフ性を回復させたものがSLEである.
2
Chordal Loewner equation
D ⊂ Cが、連結な開集合であるとき領域という.また，領域Dの任意の閉曲線が一点に可縮であるときＤは単連結であるという.以降, H = {z ∈ C; Im z > 0}, D = {z ∈ C;|z| < 1}とする．また，領域Dから領域D'への解析的同型写像を等角写像(conformal map)ということにする
Capacity from ∞
2.1
定義2.1.コンパクト集合K ⊂亜がhullであるとは，田\ Kが単連結領域でかつ，K = K ∩ Hであるときをいう。 hullの全体をHとあらわす. K ∈ Hに対して，Riemannの写像定理より，ある全単射等角写像gk : H \ K → Hが存在する. Hの解析的自己同型群SL(2,R)¹の作用の自由度によって，gk(∞) = ∞かつ，流体力学的正規化(hydrodynamic normalization)の条件
をみたすように、つまり, + O (2.2) 9K(z) = z + ¹2 × 2の実行列で行列式が１のものによる一次分数変換の全体となるようにただ一通りに選べる。このα 1 = α 1 (K)をcapacity (from ∞)という.以後、gkと書くときには流体力学的正規化(2.1)をしているものとする. capacity は次のような確率論的な解釈が可能である.命題2.2. B tをH上の複茶プラウン運動として、 τ = τκ = inf{t > 0 ; B t ∈ R ∪ K }とすると. a 1 (K) =  lim  yE*y[Im(B 7 )].証明. (2.1)よりIm(gk(z) – z)は有界調和関数であるから，Im(gk(Bt) – Bt)は有界なマルチンゲールである。よって、Doobの任意抽出定理より, Im(gk(z) − z) = E 2 [Im(gk(B 7 ) − B 7 )] = − E 2 [Im( B 7 )].ここで、Im(gk(B,)) = 0であることは、gkによってR U KはRに写されることから従う.後は(2.2)に注意してz = iyとおいて両辺にyをかけ□てy →∞とすればよい. capacityは次のような性質を持つ.補題2.3. r > 0,x ∈ Rとし、以下の集合はすべてhullとする. (i) a1(rK) = r²a1(K) (ii) α₁(K + x ) = α₁(K) (iii) J ⊂ Kのとき、α₁ (K) = α₁ (J) +α₁ (gJ(K\J)) (iv) α₁(Ｋ ∩ J) + α₁(Ｋ ∪ J) ≤ α₁(Ｋ) + α₁(J)証明. (i),(ii),(iii)はそれぞれg,κ(z) = rgκ(z/r), 9K+z(z) = 9K(z+x) − x, 9K = 9g,(K\J) ° 9Jに注意すればよい. (iv) TK ∧ TJ = TKUJ, T := TK ∨ TJ ≤ TKUJ =: ηに注意する Im zは(非有界)調和関数であるから, Im(z) ≥ Ez [Im(Bn)].よって、z = B,として両辺期待価E™をとれば, E™[Im(B,)] ≥ E™[EB, [Im(B,)]] ≥ E™[Im(Bn)]となる。よって、 Ew [Im( B τκ )] + Ew [Im( B τ, )] = E w [Im( B ≠ K ∧ ≠ J )] + E w [Im( B ≠ K ∨ ≠ J )] ≥ E w [Im( B ≠ κ )] + E w [Im( B ≠ κ )] .後はw = iyとして両辺yをかけてy → ∞とすればよい. □注意2.4. K,Jはdisjointなhullとする.上の補題より,
α1(K ∪ J) ≤ α1(K) + α1(J)であるから、 α1(gk(J)) ≤ a1(J)である.
2.2   Chordal Loewner equation
単純曲線γ t : [0, ∞) → Hに対して,とする. このK tに対して,  H \ K t をH に写す等角写像をgt = gk tとして得られる等角写像の族{gt,t ≥ 0}をすると、gt(z)のみたす微分方程式は以下のように与えられる.命題2.5.単純曲線γ : [0,∞) → Hで、γ = 0となるものを考え，K t = γ([0,t]), g t = g κ tとする. (i)極限wt = 9t(%) = limz→7t 9t(z)は一意的に存在する。ただし，極限はz ∈ H \ K tをみたすようにとるものとする。また，t → w tは連続(ii) b(t) = a 1 (K t)がC 1級ならば、g tは微分方程式
をみたす。また，この方程式はT z = sup{t > 0 ;  gt(z) ≠  wt}までwell-definedである.  (必要ならば、To = 0としておく。）注意 2.6.  a 1 (K t )は補題 2.3より単調増大で連続であるが，狭義単調増大ならば，σt = inf{s > 0 ; a 1 (K s ) > 2t}とおいて、デt = γ s ,とおけば, αι(ŷt) = 2tとなる。このとき， Loewner方程式は
となる。以後断わらなければこのパラメーターで考えているものとする.注意 2.7. x ∈ Rに対して、g (z) = g t (z − x) + xとおけば,
をみたす。ただし、w ī ＝ x + w t .よって，命題2.5の中の初期価γ = 0は任意のx ∈ Rに対してγο = xとして定義できる.注意 2.8.  g t (z) = x t + √−1y t とすると、
に，虚軸上では原点に近づく方向に動く.例2.9. γt = 2√tiとおくと.
で、 g t (−∞,0)   =   (−∞,−2√†),   lim ε↑o g t (0,ε  + 2√ti)   =    (−2√t,0),   limειο θε(0,ε + 2√ti)   = (0,2√t), gt(0,∞) = (2√t,∞).このとき, wt = gt(2√ti) = 0で,
注意2.10.一般にｓ＜ｔとして，H \ gs(K t )をHに写す等角写像を9s,t := 9g,(K t )とあらわすと,
をみたすが、例2.9では
となっている.
2.3  Starting
from  a  continuous
curve wt on R
前節ではYt ⇒ K t ⇒ g t ⇒ w tという順で連続曲線wtが定まった．今度は逆に連続曲線wtから始まって
の順で考えてみる.連続関数w : [0,∞) → Rでw 0 = 0となるものに対して，Loewner equation
の解を考える。この方程式の解g t (z)は，時刻
までwell-definedである．このT zを用いて，
と定義する。このK tを連続関数w tに付随するLoewner chainという.このとき,解gtはH \ K tから田への等角写像で流体力学的正規化条件をみたすものを定める。さらに,
を定義する。これをtraceということがある.注意2.11. traceが定義できるかどうかはもちろん明らかでないが， w tの1/2-Hölder normが十分小さければ、γεは単純曲線として定義されることが知られている。しかし、この十分条件ではw tをプラウン運動としたときにtraceが定義できるかまだ定かでないが，Rohde-Schramm[3]によってwell-definedであることが示されている.注意2.12. {μ t,t ≥ 0}をR上のボレル測度で、t → μεが弱位相に関して連続で、sup 0< s<t ht (R) ≤ M tかつsupp μt ⊂ [−M t , M t ]をみたすとする． H上の時間に依存する正則ベクトル場をStieltjes変換によってV(t,z) = fr
を考えても同様である。μ t = 2δ w tが上で述べた場合になる.注意2.13. f t = 9 t 1 : H → H \ K tとする. ft(gt(z)) = zを両辺tで微分することにより、
であることがわかる.命題2.14.次のことは同価(i) (K t,t ≥ 0)は連続関数(w t,t ≥ 0)に付随するLoewner chainである. (ii) a)任意のt ≥ 0に対してa(K t ) = 2t. b)任意のＴ > 0とε > 0に対して次の性質をみたすδ > 0が存在する: t ≤ Tに対して直径がε未漢の連結集合S = S t ⊂ H \ K tであってK t+δ \ K tをH \ K tの中で∞から分離するようなものが存在する.
2.4   Flow of a map Φ A
0を含まないhullをHullということにする. 70 = 0である単純曲線γ : [0, ∞) → Hから定まるコンパクト集合の単調増大族をK t = γ[0,t]とする。 Hull Aに対して、 T A = inf{t > 0 ; K t ∩ A ≠ ∅}とする。 Φ 0 = Φ A : H \ A → Hを正規化された等角写像とし、t < T Aに対して
と定義し，K tとg t (A)に対応する等角写像をそれぞれ
とすると以下の可換図式がなりたつ.
明らかにΦε ◦ g t = g t ◦ Φοが成り立つよって,  Y t ✉ 1: Flow of a conformal map (またはK t )から等角写像Φ A (= Φ 0 )のflow
が構成される。 wt = gt(γt), w* = Φt(wt)とおく.命題2.14において、増大する集合族K*は正規化の条件α 1 (K *) = 2tを除けば,  Loewner chainの条件をみたすことがわかる.
とおくと，命題2.5より，対応するg*は
補題2.15.以下が成り立つ.
証明.んはz = 0の近傍U(0) ∩ HからH (の中)へのh (0) = 0で局所的に実な解析関数とする。つまり, h(z) = β 1z + β 2z² + ··· , β 1 > 0,β i ∈ Rとする。 K t = h(K t )とすると、K tとβ 1 K tを比較することにより
であることがわかる(計算要). このこととà 1 (K t ) = 2tに注意すると(2.14)を得る. □ flowによって得られたΦεの時間微分Φεがみたす微分方程式は以下で与えられる.命題2.16. AをHullとし、gtをγtから定まるLoewner evolutionとする。 Φ A (=: Φ 0 )のg tによるflowをΦ tとすると.
証明. Φt(z) = g t ◦ Φo ◦ g t − 1(z)をtで微分して，補題2.15を用いると、
ここで、z → wtとすれば簡単な計算より
を得る. ■同様にして， (2.15)をzで微分すると以下の微分方程式を得る.命題2.17. AをHullとし、gtをγtから定まるLoewner evolutionとする。 Φ A (=: Φ 0 )のg tによるflowをΦ tとすると.
注意2.18.この節では, Φ 0 = Φ Aとしてflowを考えたが、あるxの近傍N zにおける局所的に実な変換Φ o = Φとx出発の曲線γから定まるhull K tについて、 0 ≤ t ≤ T = inf{ t > 0 ;  γ t ∈ ∂N x }において同じ結論が成り立つ.
3
Chordal SLE
前節のことに注意して，w tをプラウン運動とするとどうなるかを考える。以後は、B tはB o = 0の標準１次元プラウン運動とし、 wt = √ κ Bt, κ > 0とする。κの値によってK tの振舞いには劇的な違いが出てくることを見る.定義3.1. w t = √ κ B tに対するランダムなLoewner方程式
によって定義されるランダムな等角写像の族{gt,t ≥ 0}またはそれから(2.9)によって定義されるLoewner chain { K t , t ≥ 0}をパラメーター κ > 0のChordal Stochastic Loewner evolutionまたはChordal Schramm-Loewner evolutionといい，簡単にSLEKとかく. K tがある曲線{γ t,t ≥ 0}のhullとして生成されるかどうかは明らかでないが、次のことが知られている.定理3.2. SLE ,は確率１で曲線により生成される.命題3.3.任意のκ ≥ 0に対して，曲線{γt,t ≥ 0が
として定義され，Loewner chain {K t,t ≥ 0}を生成する.プラウン運動のスケール不変性やマルコフ性からSLEは同様の性質を持つことがわかる.命題3.4. gt = {gt(z),t > 0,z ∈ H}をSLEとすな(i)(スケール不変性) α > 0に対して,
とする。このとき， {g(α)(z),t ≥ 0,z ∈ H}はαによらず同分布である. (ii)(定常独立増分) gt = 9s,t ° 9sとなる正規化されたgs,t : H \ gs(Ks) → Hがただ一つ存在する。この9s,tに対して, g*,t(z) = 9s,t(z + ws) — wsと定義すると、 g*,t(z),t ≥ s,z ∈ HはF。と独立でg*,tの分布はt − sにしかよらない。特に, 9*,t = 9t-s·証明. (i) g(α)(z) = zは明らか.
ここで、w(α) = α-1/2wαtは一次元プラウン運動.よって、g(α)はSLE κである. (ii) g*,s(z) = gs,s(z + ws) − ws = zは明らか.
wt – wsはFsと独立でwt-sと同分布である。よって,  {g*,t(z),t ≥ s,z ∈ H}は{gt(z),t ≥ 0,z ∈ H}と同分布である. ■注意3.5.上の定常独立増分性は，κ = 0の場合に相当する例2.9においては、gs,t = gt-sとして成り立っていた.注意3.6. w t = √ κ B t = xとしてx出発のプラウン運動を用いてSLE kを定義してその法則をP ±とあらわすことにすれば，以下の意味でマルコフ性がなりたつ:
がP z -a.s.で成り立つただし F s (g) := F (g o g s).また，ｓをstopping time σとしてもwtの強マルコフ性より同様である.
3.1   SLEK in other domains
Dを単連結な領域,  z, w ∈ ∂Dを異なる2点とする。 F : D → HをF(z) = 0,F(w) = ∞である等角写像とする。Ｆは一意的ではないが，０を0, ∞を∞へ写すHの解析的自己同型はz → rz,r > 0しかないから，その自由度のみ．gtをHにおけるchordal SLE κとして、
をDにおけるchordal SLE κという。もし、FのかわりにF = rFをとれば、
ここで，命題3.4のスケール不変性より，gt(rz) = rgt/r²(z)であることを用いた。よって、Dにおけるchordal SLE κの定義は定数倍の時間変更を除いて一意的に定まる.
3.2   Simpleness for κ ≤ 4
単純曲線γ t ⊂ H (γ = 0)を考え, T = inf{t > 0 ;  γ t ∈ R} < ∞とする。 γτ > 0であると仮定するこの曲線に対応する{gt, t ∈ [0,T]}を考える. t ↑ Tでの状況を考えてみる．g tによるγ([0,t]), γ t, γ([t,T])の像はそれぞれ9t(Yt) = wt ∈ R 9t(7([0, t])) = [gt(0−), wt] ∪ [wt, gt(0+)] ⊂ R gt(γ([t,T])) = wtとgt(γτ)を結ぶ単純曲線ここで, t ↑ Tとすると, gt(γ([t,T]))と実軸で囲まれた領域は一点wr = gr(gr)に収束しgr(γ([0,T])) = [gr(0−),wr]となる．実軸上の点  x    ∈   [0,γτ]   を初期値とするLoewner方程式の解gt(x)はgt(x)  ∈ (gt(0+),gt()T))となり,時刻t = Tでwrに一致する。一方，z ∈ K (γ[0,T]と実軸に囲まれる部分)はやはりt = Tでwrに一致する．よって，実軸上の解の挙動を親祭すれば、gt(z) = wtとなるzについての情報が得られる. x > 0として,
とおくと Loewner equationより,
より，Y ε ( x )は次元が(1+4/κ )のBessel過程²となる。よって，１＋４/κ ≥ ２のとき，つまりκ ≥ ４のときは,  Y t (x)̸= 0 ⇔ g t (x)̸= w t , ∀ t ≥ 0,∀ x ∈ R\{0}であることがわかり，T = ∞となる. ²次元がδのBessel過程のみたすSDEはdX t = dBt +
κ > 4のときは、T < ∞となる確率が1であるから，t < TのときはK t = γ([0,t])であり，t = Tでγ([0,T])と実軸に囲まれる領域がK τとなる.注意3.7.任意のκ ≥ 0に対して, lim γ t = ∞ ,  a.s.という意味でtransientである.命題3.8.以下が確率１で成り立つ. (i) 0 ≤ κ ≤ 4ならば、γは単純曲線で、γ(0, ∞) ⊂ H. (ii) 4 < κ < 8ならば,
ただし、γ[0,∞)∩ H ≠ Hである. (iii) κ ≥ 8ならば、曲線γは耳を埋めつくす。つまり, γ[0, ∞) = H.この結果は以下のBessel過程に関する結果からの帰稿である.命題3.9. T zはz出発のδ(= 1 + 4/κ)次元のBessel過程 X T のの〜の到達時間である. (i) δ ≥ 2のとき、 T z = ∞,∀ x ≥ 0. (ii) δ = 2のとき，inf t X ≠ = 0,∀ x > 0. (iii) δ > 2のとき， X ≠ → ∞,∀ x > 0. (iv) δ < 2のとき， T z < ∞, ∀ x > 0. (v) 3/2 < δ < 2のとき，P(T x = T y ) > 0,∀ x < y. (vi) δ ≤ 3/2のとき，P(T x < T y ) = 1,∀ x < y.
3.3    Locality property for κ = 6
Hull Aに対して、Φ A : H \ A → HをΦ A (∞) = ∞, Φ A (0) = 0, Φ A (∞) = 1と正規化された等角写像とする。SLE k K tに対してT A = inf { t > 0 ;  K t ∩ A ≠ 0}とすると、前節より,
であることに注意しよう. 事象E t,a = {T A > t}の上でのγの条件付分布を考える。 γに対して、
とする.である.定義3.10. SLE kがlocality propertyをもつとは，任意のHull Aに対して，{γέ,0 < t < T A }がSLE κの{γ t , 0 < t < T å }の時間変更と同分布であるときをいう。ただし，T 3はΦ A (∂A)への到達時間である.注意3.11.上の定義をΦ Aで引き戻して考えてみると、Aに到達するまでの間のH内のSLEとH \ AのSLEは時間変更すれば同分布になる。ということを述べている．大雑把に言うと，locality propertyとは，H \ A内のSLE path γがAに到達するまではAの境界の存在を感じないでHのSLEと同様に振舞うことを意味している.注意3.12. SLE κがlocality propertyをもつには、明らかにκ > 4が必要である．実際，κ ≤ 4のときはγは実軸Rに到達しないが，任意のHull Aには有限時間で到達する確率が正である。よって、γ*は有限時間でRに到達する確率が正となり矛盾である.定理3.13. (chordal) SLE κはκ = 6のときに限り， locality propertyをもつ.証明.ｔ＜Ｔ Aに対して
と定義し、K tとg t (A)に対応する等角写像をg t : H \ K *  → H, Φ t : H \ g t (A) → H とする。 w *  = Φ ε ( W ε )
をみたし，w ξを定める．ここでw t = √ κB tに注意して，Itôの公式と命題2.16を用いると
をみたし局所マルチンゲールとなる.
とσ tを定義し,
であるから、β ⇒ w.また、命題2.17と(3.4)より
となり，明らかにgo(z) = go(z) = zであるから， gtはSLExである. ●注意3.14. Φ AのかわりにΦを局所的に実な等角写像とする。このとき，x ∈ Rから出発するSLE 6がxの近傍N zの境界にヒットするまでは、SLE 6に同分布となる.
3.4
Restriction property for κ = 8/3
κ ≤ 4の場合のSLE κを考えると、 γ ＝ 0の単純曲線γ(0, ∞) ⊂ Hを生成する。 Hull Aに対してΦ A : H \ A → HはΦ A (0) = 0, Φ A (∞) = 1をみたす等角写像とする。κ ≤ 4の場合γ[0, ∞) ∩ A = 0が正の確率で起きる。この事象の上で、γ* = ΦΑργを定義する.定義3.15.任意のHull Aに対して、γ[0, ∞)∩A = 0という条件の下でのγ* = Φ A ○γの分布がSLE κの時間変更と同分布になるとき、SLEKはrestriction propertyをもつという.注意3.16. (i) restriction propertyはγ(0, ∞)に関するもので，locality propertyはγ[0, t], t > 0に関するものである. (ii) locality propertyとは逆に、κ > 4ではP(T A < ∞) = 1であるからγ[0,∞) ∩ A = ∅という条件付分布を考えるためにはκ ≤ 4である必要がある.注意3.17.原点出発の複素プラウン運動Btが[0, ∞)で上半平面に留まるという条件をつけたものをX tとすると、Re X tは1次元プラウン運動で、 Im X t は3次元Bessel過程となる。このとき、 Φ AをH \ AをHに写す等角写像とすると、
に等しい。もう少し一般に,
が成り立つ。このことは，以下のような議論で大体わかる: TR = inf{ t > 0 ;  Im B t > R}とすると、
定理3.18. (chordal) SLE xはκ = 8/3のときに限り，restriction propertyをもつ．また，κ = 8/3のときP(γ[0, ∞) ∩ A = 0) = Φ′ A (0) 5/8.証明. 1°)まずC = {Φ A ; A is a Hull}は写像の合成に関して半群となることに注意する。実際、A, BをHullとすると
である。また，SLE kがrestriction propertyをもつとすると、 = P((Φ A ° γ)[0, ∞ ) ∩ B = ∅ | γ[0, ∞ ) ∩ A = ∅) × P(γ[0, ∞) ∩ A = ∅) = P(γ[0, ∞) ∩ B = ∅) · P(γ[0, ∞) ∩ A = ∅)となり、 C ∋ Φ A → P(γ[0, ∞) ∩ A = ∅) ∈ [0, 1]は積に関する半群[0,1]への準同型となる。このことより、あるα > 0が存在して,
となることに注意する(実際はp(A) = Φ ′ A(0)となる） 2°)逆に(3.5)がp(A) = Φ A (0)で成り立つとするとP((ΦΑγ)[0, ∞) ∩ B = ∅ and γ[0, ∞) ∩ A = ∅) = P(γ[0,∞) ∩ (ΑυΦ¬¹(B)) = 0) = Φ′′Α∪Φ¬¹(Β)(0)ª = (ΦΒ ◦ ΦΑ)′(0)ª = Φ ′ B (Φ A (0)) α · Φ ′ A (0) α = Φ ′ B (0) α · Φ ′ A (0) α = P(γ[0, ∞) ∩ B = ∅) · P(γ[0, ∞) ∩ A = ∅).よって、P((Φ A γ )[0, ∞ ) ∩ B = ∅ | γ [0, ∞ ) ∩ A = ∅ )はP(γ[0, ∞) ∩ B = ∅) に等しい. 3°) Φ έ (w έ )について調べる. Itôの公式と命題2.17よりdΦ' ( w ε )
の公式を用いると
となる. 注意3.17より,  0 ≤ Φ t (w t ) ≤ 1であるから、M t = Φ t (w t ) 5/8は有界マルチンゲール、よって， M t ∧ T λ はマルチンゲールだから，
注意3.19. (3.6)について:注意3.17よりΦ ξ (w ε ) = P w ε (γ[0, ∞) ∩ g ε (A) = ∅)であるから，T A = ∞の場合はg t (A)がt → ∞で無限途に動き，T A < ∞の場合は，t → T Aでw tとgt(A)の距離が0になるのでwt出発のγ[0,∞)がgt(A)にヒットする確率は１または０に収束する(のだろう).
4
Conformal map
4.1
Examples of conformal map
以後，等角写像と言えば，解析的同型写像を意味することにする.例 4.1.単位円Dをそれ自身に写す等角写像は, w = f(z) = eio z − a , θ ∈ R,α ∈ D 1 − āzの形に限る.例 4.2. 上半平面az + b ,  a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0 w = f(z) = cz + dの形に限る.例 4.3. 上半平面田を単位円 Dに写す等角写像は
でその逆写像はで与えられる.例4.4. H N Dを{z ∈ H ; Rez > 0}に写す等角写像は
でその逆写像は
で与えられる.例4.5.上の例とw = z²を合成すれば、H ∩ DをHに写す等角写像はでその逆写像は
で与えられる.例 4.6.  {z ∈ C ;  | Im z | < π/2} をHに写す等角写像は
でその逆写像は
で与えられる.以下では、 hydrodynamic normalization
+ O(|z|¯²),  zを見たすものを考える.例4.7. H \ [0,ai]をHに写す等角写像fは、
で、その逆写像はで与えられる.例4.8. H \ D rをHに写す等角写像fは,
で，その逆写像は
で与えられる.また同様に、H ∩ D rをHに写す等角写像fは,で、その逆写像は
で与えられる.