平均に関する仮説検定の方法はおおよそ次のとおりである。 l ）仮説を立てる。平均に関する検定を行う場合、調べることは平均がある値αと「同じかどうか」もしくは「それよりも大きい（小さい）」である。もし「同じかどうか」であれば、帰無仮説Ho:同じである(μ = μρ)対立仮説H 1 :異なる      (μ ≠ μ 0 )を仮説とし、「それよりも大きい（小さい）」であれば帰無仮説H 0:同じか小さい(μ ≤ μ 0)      《もしくは同じか大きい(μ ≥ μ 0)》対立仮説H 1 :大きい《もしくは小さい          (μ < μο)》 (μ > μο)を仮説とすればよい。つまり前回の解答は「（添加後の燃費）－（添加前の燃費）」なので帰無仮説H 0:燃費は同じか悪くなった(μ ≤ 0)    《実際には燃費は同じでも可(μ = 0)》対立仮説H1:燃費は良くなった(μ > 0) 2）母集団から標本を抽出する。基本は無作為抽出でよいが、調べたい事柄によっては層別抽出などを用いる。 3）帰無仮説を真と仮定したときの、標本の出現確率を計算する。実際には標本平均xがαに近いかどうかで判断するために、確率を用いてその基準（棄却域）を作る。母分散が既知か未知かによって、
で変換して、両側検定の場合（対立仮説が≠のとき） Pr{| Z or  T | > ε} = α (有意水準)となるεを求め、片側検定の場合（対立仮説が<, >のとき） Pr{( Z or  T ) > ε} = α (有意水準) Pr{( Z or  T ) < ε} = α (有意水準)    （対立仮説がμ < μ oのとき)となるεを求める。もしくはコンピュータ等で直接次の確率を計算するPr{|( Z or  T )| > (z or t )} (両側検定の場合)    （対立仮説がμ = μ 0のとき) Pr{( Z or  T ) < (z or t)}   (片側検定の場合)      (対立仮説がμ < μ 0のとき) ４） ３）の出現確率が極めて低いとき、帰無仮説を棄却して対立仮説が正しいと判定する。そうでないときは、判断を保留する。つまり、下記の図の灰色部分に入ったとき、帰無仮説を棄却すればよい。オーストラリア人の新生児１０人を無作為に抽出し、その身長を測定したところ次のようであった。 51.0 45.9 48.8 54.0 53.5 48.0 44.5 46.0 50.3 48.0日本人の新生児の平均身長が50.2cmであったとしたとき、日本人とオーストラリア人の新生児の平均身長が異なるかどうかを調べる。ただし、身長の分布は正規分布とみなしてよいとすみ。これを前ページの順番に沿って考えると。
l ）仮説を立てる
この問題では、日本人とオーストラリア人の新生児の平均身長に差があるかとどうかを調べている。一般的にこのような問題では差がある方に興味があることが多いので、帰無仮説と対立仮説は次のようになる。帰無仮説H o :平均身長に差は無い対立仮説H 1：平均身長に差があるこのように仮説をおけば、帰無仮説か対立仮説のいずれかが正しいことになる。つまり帰無仮説が棄却された場合、対立仮説が正しいと判断できる。これを数式で表すと、オーストラリア人の新生児の平均身長をμとして帰無仮説Ho : μ = 50.2対立仮説H 1 : μ ≠ 50.2となる。
2）母集団から標本を抽出する。
既に無作為抽出されているので省略。本来であれば、仮説を立ててから標本を抽出するのが本筋であるが、無作為抽出の場合、仮説が抽出に与える影響がないので、特に順番が入れ替わっても問題は無い。しかし、仮説によっては層別抽出などの必要性が生じることがあるため、仮説を立ててから標本を抽出するのが正しい。
3）帰無仮説を真と仮定したときの、標本の出現確率を計算する。
帰無仮説を真と仮定するので、オーストラリア人の身長は正規分布N (50.2,σ²)に従っていると仮定する。その仮定の下で、上記１０人の身長どの程度の確率で出現するかを計算する必要があるが、標本ごとに個別に確率を計算するのではなく、１０人まとめて平均値≠の出現確率を用いて判断することになる。つまり、標本平均の値x = 49.0の出現確率が問題となる。推定のところでも出てきたように、標本平均の分布は元の分布と母平均が等しく、母分散を標本数で割った値になることが分かっているので、この場合式はN(50.2,告)に従うときの、 P( X  < 49.0)の確率を求めればよい。 4） 3 ）の出現確率が極めて低いとき、帰無仮説を棄却して対立仮説が正しいと判定する。そうでないときは、判断を保留する。 3）で求めた出現確率が極めて低いとあるが、その境はどこにあるのであろうか。この答えは「問題によって異なる」としか答えようが無い。一般的には５％（２０回に１回）もしくは1 %（1 0 0回に1回）程度の出現確率のときに、極めて低い確率と見るが、人の命がかかっている場合等は０．１％（千回に１回）や０．０１％ (一万回に１回)の出現確率でやっと極めて低いとみなす場合がある。確率は０でない限り、起こる可能性がある。またこの値は、実際に帰無仮説が真の場合に帰無仮説を棄却する第１種の過誤の確率と等しくなる。この確率の値は事前に有意水準と呼ばれる値で決めておき、出現確率が有意水準以下の確率になったとき、帰無仮説を棄却する。今回の例では特に有意水準の指定は無いが、ここでは有意水準５％として話を進める。 3 )の最後に記載したようにP( X ＜ 49.0)の確率を求めることが可能であれば、その値と有意水準を比べて帰無仮説を棄却するかどうか判断すればよい。しかしながら今回の例の場合のように、母分散が未知の場合はt分布を使うことになるので、一般的に仮説検定では次のような形で、帰無仮説を棄却するかどうか判断する。
b)有意水準をαとしたとき、 zであれば標準正規分布におけるP(z < −z。もしくはz α < z ) = α tであれば自由度n − 1のt分布におけるP(t < −taもしくはta < t) = αとなるt。の値を求める。 c) |z|もしくは|t|の値とt 。の値を比較して|z| > zgもしくは|t| > tgであれば、帰無仮説を棄却して、 |z| ≤ zαもしくは|t| ≤ tαであれば判断を保留する。実際に計算をしてみると、母分散が未知なので、標本分散s² = (3.194)²を用いて変換するとtの値は
となる。このtは自由度10 − 1 = 9のt分布に従うので、P( t < −t。もしくはt。 < t ) = 0.05となるt。の値は2.262である。よって、| t |が2.262よりも大きいときは標本の出現確率が5 %以下になるために、帰無仮説を棄却するが、この例の場合は| t | ≤ 2.262なので帰無仮説を棄却することができない。つまり判断を保留する。この例の場合、棄却する箇所が分布の両側にあるので、両側検定と呼ばれる。両側検定は基本的にH 0 : μ = μ 0とH 1 : μ̸= μ 0のように、単純に異なるかどうかを検定したい場合に用いられる。
•検定 1ある会社のＡ工場で作られた電球の寿命を調べたら下記の通りであった。 84.3, 89.4, 84.5, 87.3, 89.2, 84.2, 82.4 A工場とは別のB工場で作られた電球の寿命の平均がμ = 83.1であるとき、両工場で作られる電球の寿命に差があるかどうか有意水準５％で検定せよ。但し、電球の寿命は正規分布に従うと仮定する。