第６回（’14年11月13日: Keywords · ··試験対策、発表）今日の課題. 1.以下の試験対策問題を解くこと（発表してもよい）. 2.今までの問題を発表する. A-6-1. [直和]
(2)  V 1 = (1 + X,X + X 2 ),V 2 = (1 + 2X + X 2 ,1 + X 3 )とすると、V 1とV 2はC[X] 上で直和にならないことを示せ. A-6-2. [直和]次の２つのベクトルV₁, V₂はベクトル空間Vの直和となるか示せ. (1)  V = C 4, V 1  =, V 2 (2)  V = C[X] 3,  V 1 = (1 + X, 1 + X + X 2 + X 3 ), V 2 = (1,1 + X + X 3 ) D-6-1. [塩谷先生からの問題]上のC-3-3のつづきの問題として以下を答えよ. 3. R²の基底x 3,x 4を固定する. C²のベクトルxがx = aixiとかけたとき、実ベクトル
a4を基底x 1,x 2,x 3,x 4 の下でのxのアバターと呼ぶことにする.  C 2 のベクトルxの、基底x 1, x 2, x 3, x 4の下でのアバター yと,基底x 3, x 1, x 2, x 4の下でのアバター zについて
をみたすA ∈ M(4,R)を求めよ. D-6-2. [塩谷先生からの問題]以下の中から, Wがベクトル空間Vの部分空間でないものをすべて挙げよ.また,部分空間でないことを示すベクトルの具体例を与えよ. (1)  V = K", W = {x ∈ K"|Ax = 0}.ただしA ∈ M(n; K). (2) V = s(R), W = {(x k) ∈ s(R)|(x k)は有界}. (3) V = s(R), W = {(x k) ∈ s(R)| lim x k = 0}. (4) V = s(R), W = {(x ) ∈ s(R)|有限個のkを除いてx k = 0}. (5) V = s(R), W = {(x k) ∈ s(R)|無限個のkについてx k = 0}. (6) V = s(R), W = {(x k) ∈ s(R)|x k+3 = 3x k (Vk)}. (7) V = s(R), W = {(x ) ∈ s(R)|x k+3 = x 3 (Ak)} (8) V = M(n, K), W = {A ∈ M(n, K)|Aは正則} D-6-3. [塩谷先生からの問題] Vをn次元ベクトル空間とし, x 1, … ,x nをその基底とする.また, y 1, … ,y k (k < n)をVの線形独立なベクトルとする.このとき, x 1, … , x nからいくつかベクトルを選んでy 1, … ,y ,に付け加えるとVの基底が得られることを示せ.
B-6-1. [直和]

(2)  V 1 = (1 + X,X + X 2 ),V 2 = (1 + 2X + X 2 ,1 + X 3 )とすると、V 1とV 2はC[X]3上で直和にならないことを示せ. (3) (a)  V i i  =  1,2,3)をベクトル空間Vの部分ベクトル空間とする. V i ∩ V 2  = {0}かつV 1 ∩ V 3 = {0}であるとき、 V 2 ∩ V 3 = {0}となるか？ (b) {0}はベクトル空間だが、V ⊕ W = V ⇔ W = {0}であることを示せ. (4)  V = ⟨ v 1, … ,v ⟩に対して、vが任意のv iと1次独立であるとき、Vと⟨ v ⟩は直和を構成するか？ただし、νi ≠ 0とする. (5) Vをベクトル空間とする.  V i i = 1, … ,s), w j (j = 1, … ,t)をVの1次独立なベクトルとしてV 1 = (v 1, … ,v s), V 2 = (w 1, … ,w )とする. このとき、任意の1 ≤ i ≤ sと1 ≤ j ≤ tに対して、 {v , w 1, … ,w }と{v 1, … ,v , ,v ,}が1次独立であるとしてもV 1 + V 2はそれぞれの直和になるとは限らないことを示せ. (6) n次正方行列Ａの固有値をλ₁,･･･ ,λ₁とし、固有空間をV₁とする.このとき、V₁ ⊕･･･⊕V₁,はC”の部分空間となることを示せ.
B-6-2. [基底、次元]
(1)ベクトル空間Ｖの部分空間Wをとる.また、Vはある部分空間V 1 V 2に対して、V = V 1 ⊕V 2であるとき、W = (W ∩ V 1 ) ⊕ (W ∩ V 2 )となるか. (2)  Aを(n−1)×n行列とする. また、rank(A) = n−1とする. このとき、W = {x ∈ C″|Ax = 0}とおく．このとき、ある横ベクトル(α 1, · · ,α n )が存在して、 {x ∈ W|(α 1, · · ,α n )x = 0} = {0}となることを示せ. C-6-1. [行列のつくるベクトル空間] Aをn × n対角行列とする.つまり、A = (a ij )とすると、a ij = λ iかつ、a ij = 0 (i ≠ j)である.このとき、Aを変数とする多項式で書ける行列全体の集合をC[A]と書く．つまり、 C[A] = {aoE + a1A + · · + amAAm |ai E C}である．このとき以下の問いに答えよ. (1) dim(C[A]) ≤ nであることを示せ. (2) {λ;}が相異なるn個の数であるとき、 E, A, A²,…. ,A"-¹は一次独立であることを示せ.つまり、C[A]の基底となることを示せ. C-6-2. [Q上ベクトル空間] Q上ベクトル空間において、 (1, √2)は一次独立であることを示せ.また、 (1, √2, √3)ではどうか？ E-6-1. [C-4-1.のこたえ． ] f(X) = a2X2+a1X+a0とする.このとき、f(X)-f(2−X) = a2(X2−(2−X)2)+a1(X−(2−X)) = a 2 (4X − 4) + a 1 (2X − 2) = (4a  + 2a 1 )X − 4a − 2a 1 = 0は、 2a 2 + a 1 = 0が成り立つから、こ(c,d ∈ C)このベクトルは、1, −2X + X²に対応し、線形独
0  −21の立てベクトルが線形独立であるかどうかで
ある．これは、この行列がrank = 2であるかどうかと同値である．簡約化して、 0  1ゆえ0 0に、1, −2X + X²は線形独立であり、明らかにこの空間を生成しているので、基底となる. ゆえに、次元は2. E-6-2. [C-4-2.のこたえ． ]このベクトルを{1, X, X², X³}によって行列表示すると、
ゆえに、最大数の一次独立なベクトルはfi, f2, f4・また、他のベクトルの一次関係は、ƒ = −f 1 + f 2, f 5 = 2 f 1 − f 2 + f 4となる. E-6-3. [C-4-3.のこたえ． ] ν 1 = X 2 − 3X + 1, ν 2 = 2X 2 − 6X + 3, ν 3 = X 2 − 3X + 2とし、W = 〈 r 1, ν 2, ν 3 〉とする.  {1, X, X, X 2, X 3 } 3 2 l
となり、これに標準基底{e ,e ,e ,e ,e }を付け加えたものを簡約化すると、 1 3
0 0 0 0) –3 –6
1 2
0
1 0 0ゆえに、〈v 1, v 2, v 3〉 = 〈v 1, v 2〉であり、 {v 1, v 2}はWにおいて基底となる．また、 (P 1 , P 2 , (1, X, X 2 , X 3 )e 2 , (1, X, X 2 , X 3 )e 4 )はVの基底となる.  Vの{v 1, v 2 }以外の基底ベクトルはWのVにおける補空間の基底をなす. ゆえに、補空間の基底は、{X, X³}となる.ホームページ： http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/jugyo/2014jugyo/senkei14.html （主にプリントのダウンロード用） blog : http://motochans.blogspot.jp/（授業内容など）手習い塾：水曜5,6限1E403にて数学の質問を受け付けています.以上の問題について悩んだり困ったりした場合は：今一度、ぜひご相談ください．まずはメールにて.