グレイモラセス法を用いた冷却リチウム原子の生成(Producing Ultracold Lithium Atoms by Gray Molasses)理学研究科数物系専攻谷澤　昂樹
本論文はGray Molasses Coolingを用いた冷却6Li原子気体生成の実験的研究についてまとめたものである。冷却原子生成の手段として一般的に用いられる磁気光学トラップ(以下MOT)にはドップラー冷却限界と呼ばれる冷却の理論的下限値が存在する。その冷却限界より低い温度まで冷却できる方法として偏光勾配冷却と呼ばれる方法が存在する。この偏光勾配冷却は、多くのアルカリ原子に対して原子の共鳴周波数よりも低い周波数(負の離調)の光を用いる方法が使われてきたが、6Li原子はその励起状態の超微細構造間隔が小さいことを理由に、これを適用できない。そのため、6Li原子にも有効である、正の離調の光を用いるGray Molasses Coolingという方法を用いて冷却することを試みた。 Gray Molasses Coolingの原理を簡単に述べる。まず、偏光に空間的勾配を作ることによってポテンシャルの山を形成し、原子がその山を登り続けることで運動エネルギーを失っていく。また、選択則から遷移先が存在しない状態(暗状態)が存在し、それをうまく活用した冷却法でもある。さらに3準位系を考えると、2つの光の離調の差が0に近づくとき、冷えた原子が暗状態に入りやすくなることがわかり、より冷却効率が高まる。この冷却法の導入で冷却効率を上げられれば、冷却原子実験に使える原子数を増やすことができ、従来の方法では検証できなかった実験が可能になるといったメリットがある。 Gray Molasses Coolingの導入にあたって、MOTとの両立が可能であり冷却に適した周波数、強度を持った光を用意できる光学系を設計、及び実装した。冷却手順としてMOT、Compression MOT(以下CMOT)、Gray Molasses Coolingを行ったが、各段階における原子数、温度、位相空間密度などを評価した。その結果、Gray Molasses Cooling直後で原子は164 ± 4μKにまで冷却されており、位相空間密度は4.8 × 10−7となった。
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参考文献88 5

1.1研究背景
1975年、T. Hänsch, A. Schawlowがレーザー光によって原子を冷却する理論を示した[1]。それを基に、1980年代には原子ビームの減速[2]、光モラセスによるレーザー冷却[3]、MOTによる原子の捕獲[4]が実現した。これらのレーザー冷却技術は原子がレーザー場中にあるときに受ける輻射圧を利用したものである。その冷却限界温度(ドップラー冷却限界温度)は原子の自然幅Γで決まり、レーザー場中での冷却と加熱の寄与が釣り合うときの温度として求められる[5]。1989年、Jean DalibardとClaude Cohen-Tannoudjiによって偏光勾配冷却の理論が提唱された[6]。この方法は下準位の磁気副準位を考慮することで可能となる冷却法であり、ドップラー冷却限界温度より低い温度にまで冷却することができる。1995年には偏光勾配冷却を正に離調をとった光を用いて行う、Gray Molasses Coolingによってセシウム原子の冷却が行われた[7]。近年、このGray Molasses CoolingにおいてCooling光とRepump光が同じ上準位を結ぶような光を使うと速度選択コヒーレント分布トラップ(Velocity Selective Coherent Population Trapping,以下VSCPT)の条件が満たされることがわかり、 40 K[8], 7 Li[9], 6 Li[10]で更なる冷却効率の向上に成功した。この冷却法は光トラップ中でも有効であり[10]、蒸発冷却における原子数のロスを抑制しながら冷却が出来る方法である。今日の冷却原子実験は上で述べたようなレーザーを用いた冷却技術を用いて、アルカリ原子をはじめとする様々な原子において可能になった。その中でもLi原子は同位体にフェルミ粒子である6Liとボース粒子である7Liが存在し、異なる量子統計に従う物性研究を行うことができる。また、フェッシュバッハ共鳴により広い領域にわたって散乱長を制御できるという性質があり、クォーク、ハドロン、分子などの様々な量子系を再現するシミュレーションに活用できる。これまで我々の研究室では、散乱長が平均粒子間距離に比べて十分大きいユニタリー極限の状態方程式を解明し[11]、その結果を同様にs波散乱長で相互作用している核物質へ応用した[12]。
1.2本研究の目的
冷却原子生成において重要なパラメータとして位相空間密度ρがある。温度が低く、密度が大きくなったときに位相空間密度は大きくなり、その値が１に近づいたときに冷却原子が緩縮体としての性質を示すようになる。本研究の目的は冷却過程にGray Molasses Coolingを追加し、より位相空間密度の高い冷却Li原子を生成することである。そのために、Gray Molasses Coolingを行う上での各パラメータに対する原子の温度および原子数の依存性を調べ、その物理的理解と共に最適なパラメータを探し出すことが必要である。これまではMOT、CMOTのあとに光トラップへ移行し蒸発冷却を行っていたが、 Gray Molasses CoolingをCMOTのあとに導入することによってより効率的な冷却を試みた。第2章ではGray Molasses Coolingの理論について述べる。前半(2.1)で2準位系での議論を行い、後半(2.2)で3準位系での議論を行う。多くの参考書に記載されるような量子力学の基礎的な理論については割愛するが、特に重要である基礎理論として原子と光の相互作用(付録B)と角運動量の合成(付録C)を付録に記述する。第３章ではGray Molasses Coolingを含んだ全ての実験について述べる。Gray Mo- lasses Coolingの他に、光学系の設計、MOTの生成および最適化、CMOTの最適化なども行ったのでその手順や結果についてもこの章で紹介する。また付録Aでは、ヨウ素分子気体を用いた光源の周波数安定化について紹介する。ヨウ素分子による周波数安定化の方法は数nm以上の広い波長領域にわたって任意の周波数に安定化することができ、Li原子の分光だけでは得られない周波数が必要とされる実験を行うにあたって有用である[13]。
1.3 冷却原子の生成
はじめに、冷却6Li原子生成までの全体の流れについて簡単に説明する。全ての冷却原子実験は真空チャンバー内で行われる。真空チャンバー内の高真空側(～ 10−6Pa)にあるオープンには固体の6Liが入っており、温めることによって蒸気圧に応じて気体の6Li原子が放出される。気体となったLi原子を2DMOTで集め、Push光を用いて差動排気管を通って超高真空側(～ 10−10Pa)へと送る。超高真空側へ送られた6Li原子は3DMOTによって冷却かつ空間的にトラップされる。トラップされた原子雲の直径は約800μmである。3DMOTでは1分程度のローディング時間で～ 10 8個の原子を集めることができる。この時点での温度は2mK程度である。これらの値から計算される位相空間密度は～ 10−7である。その後、CMOTを用いて原子のトラップ領域を小さくすると同時に原子の温度をさらに下げて、ドップラー冷却限界温度140μKの数倍程度の温度にまで冷却する。本実験ではCMOT時で、原子雲直径およそ400μm、温度約780μK、MOTからの移行効率90%程度であった。位相空間密度は～ 10−5程度であった。これまでは7 CMOTのあとに光トラップを用いて原子を捕獲し、蒸発冷却によって100nK程度の温度まで冷却していた。このとき、原子数は2桁以上少なくなるが、位相空間密度が1に近くなり、冷却原子が量子統計に従い始める。本研究では、CMOTのあとにGray Molasses Coolingを用いることによって蒸発冷却前での位相空間密度をより高め、最終的に得られる冷却原子実験に使える原子の個数を増やすことを目的としている。先行研究の達成した温度、原子の移行効率から見積もって、CMOT後から位相空間密度を1桁以上増やすことができれば十分な成果が得られたと言える。
MOTの冷却原理はいわゆるドップラー冷却であり、自然幅Γに由来したドップラー冷却限界温度が存在する。ドップラー冷却限界は、光による冷却と加熱の寄与が釣り合う温度として求められる。この限界温度以下にまで冷却するために多くのアルカリ原子(K, Rbなど)に対して偏光勾配冷却が適用される。一般に偏光勾配冷却に用いられる光は、原子の共鳴周波数より低い周波数、すなわち負の離調を持った光で行われる(Bright Molasses)。これはドップラー冷却との両立という観点では自然な考えであると言えるだろう。ここで紹介するGray Molasses Coolingは正に離調をとった光で行う偏光勾配冷却である。これらの冷却は、その冷却原理こそ似ているものの、冷却効率に対する考え方に根本的な違いがある。その違いについて述べる。下準位の角運動量の大きさがJである2準位系を考える。Bright Molassesでは上準位の角運動量はJ' = J + 1を用いる(図2.1左)。これにより、あらゆる偏光の光に対しても全ての基底状態から遷移できる励起状態が存在することになる。また、自然放出によって異なるJの基底状態に落ちた原子ももれなく拾い上げるためにRepump光を入れ、冷却サイクルに戻す。これは、冷却の効果を高く発揮するために原子から見て光を「明るく」しようとする考えである。これは熱い原子を冷却する際に有効な考えであり、MOTでも同じ遷移が使われている。一方でGray Molasses Coolingは励起状態の角運動量は基底状態と等しいJ' = Jの遷移を用いる(図2.1右)。このとき、ある偏光で遷移先が存在しない状態(暗状態)が生じる。Gray Molasses Coolingでは冷えた原子が暗状態に入りやすいようになっている。また、自然放出によって冷却サイクルから外れた原子であっても、それが冷えている場合は、あえて相互作用しないように暗状態に入るようにしておく。この仕組みによって熱い原子を優先的に冷却し、一度冷えた原子は光との相互作用で加熱されにくい状況を作り出している。こうして冷却効率を高めるとともに、光による加熱の寄与を小さくすることで冷却限界温度を低くしている。Gray Molasses Coolingの「Gray」という言葉の由来はこれであり、真っ白でもなく真っ黒でもなく、明るいところと暗いところの両方が存在する冷却方法という意味でGrayという言葉が使われている。ここではGray Molasses Coolingの理論を述べる。初めに2準位系で議論を展開し、その後より実験の状況に近い3準位系で議論する。本論文ではGray Molassesに必要である理論のみをピックアップし、なるべく簡潔にまとめることを心掛けている。より詳細な議論については、[14]、[15]などを参考にされたい。図2.1   Bright MolassesとGray Molassesの造い。基底状態の角運動量はJ = 0,1が存在し、J = 1と励起状態J'とのカッブリングを冷却に用いている。例としてm,, ＝ m, + 1の遷移を引き起こすσ+偏光の場合を表示している。【左：Bright Molasses】J' = J + 1の遷移での冷却。全ての基底状態に対して遷移できる励起状態
2.1
Gray Molasses Cooling
まず、簡単のために2準位系でのGray Molasses Coolingの理論を述べる。すなわち、基底状態と励起状態にカップルする単一周波数の光のみが存在し、その他の準位は存在しない。ただし、基底状態、励起状態ともに磁気副準位を持っており、その縮退が解けることは考慮する。実際の実験では、基底状態| F = 1/2 ⟩と| F = 3/2 ⟩を結ぶRepump光も用いるがここでは考えない。Repump光も含んだ3準位系での議論は2.2節で行う。
2.1.1 偏光勾配場
図2.2のような、偏光が直交した2つの直線偏光の光を対向させて干渉させている状況を考える。それぞれの光が作る電場E1(z), E2(z)は、
と表される。これらの電場を足し合わせて整理すると、
σ+偏光、kz = 3π/4,7π/4,･･･でσ−偏光になることが確認できる。すなわち、偏光が位置に依存しており、偏光勾配場が形成されている。そのため、この場の中に原子が存在するとき、原子はその位置によって相互作用する光の偏光が変わる。これはGray Molasses Coolingを理解する上で最も基本であり重要な事柄である。
2.1.2　選択則と暗状態
6Li原子2²S1/2 → 2²P1/2の光学遷移(D1遷移)を考える(図2.3)。下準位、上準位両方ともJ = 1/2であり、6Liの核スピンはI = 1なので、F = 1/2, 3/2を取りうる。それぞれのFに対して、磁気副準位mf = −F,−F + 1, ··· , Fが存在し、非摂動状態で縮退している。ある基底状態| F , m F ⟩に共鳴周波数を持った光が入射したとき、その光が持っている偏光に応じて遷移できる先が限定される。具体的には、σ+偏光でm F ′ = m F + 1, σ−偏光でmfr = mf − 1、π偏光でmfr = mfのみが許される。π偏光とは量子化軸の方向に向いた直線偏光のことである。量子化軸と垂直な方向の直線偏光はσ±偏光とσ−の線形結合で書けるため、これら2つの遷移を引き起こす。これを考慮すると基底状態|F = 3/2, m F = 3/2)にσ +偏光、および基底状態|F = 3/2, m F = −3/2)にσ −偏光が照射されている場合、遷移できる励起状態が存在しないことがわかる。このような遷移先が存在しない状態を暗状態と呼ぶ。Gray Molasses Coolingではこの暗状態を上手く活用し冷却サイクルを構築している。偏光について注意すべき点として、量子化軸に沿って入射した光がㅠ幅光になることはない。これは光(もしくは電場)が横波であることから自明である。ただし、Gray Molassesは磁場ゼロの状態、すなわち量子化軸が定まっていない状況で行う冷却であり、図2.2に示した直線偏光の位置でπ偏光のm F ′ = m Fの遷移を引き起こすことができる。また、それぞれの遷移に対して遷移強度が異なっており、その遷移強度の大きさはクレブシュ・ゴルダン係数の2乗によって決定される(付録C参照)。
偏光勾配場中のライトシフト
2.1.3
Gray MolassesはF = F ′の遷移を使用する。その理由を理解するための説明を以下で行う。ここでは簡単のためにF = F ′ = 1/2の2準位を考える(図2.4)。実際に実験に用いる遷移はF = F ′ = 3/2であるが、原理に大きな違いはない。基底状態F = 1/2は磁気副準位mf = ±1/2を持ち、非摂動状態で縮退している。ある準位iから別の準位jヘ遷移するときのクレプシュ・ゴルダン係数をCi,j (付録C参照)と表す。これは、この遷移の強さを指し示している。この遷移に対応するラビ周波数Ωj」は、
と書ける。ここで、Γは自然幅、Iは光の強度、Isatは飽和強度である。このラビ周波数を用いてライトシフトの大きさを表すことができ(付録B参照)、
である。δは光の離調である。これらの表式より、ライトシフトの大きさはラビ周波数に依存しており、ラビ周波数はクレプシュ・ゴルダン係数に依存していることが分かる。クレブシュ・ゴルダン係数は偏光によって決まる定数であるので、すなわち偏光によってライトシフトの大きさが決定するということである。この理屈で、偏光勾配場にある原子はポテンシャルの山と谷を感じることになる(図2.5)。
2.1.4   Gray Molasses Cooling
ここまでの議論で、偏光勾配場中の原子がライトシフトによって位置に依存するポテンシャルを感じることが分かった。Gray Molasses Coolingはこのポテンシャルの山を活用している。 Gray Molasses Coolingの過程を理解するために、例としてσ+偏光の位置にあるm F = 1/2の原子(図2.6のz = λ/8)を考える。原子はその温度に応じた運動量をもって空間を移動している。そのときポテンシャルの山を登ることになるので、原子は山の高さに応じた運動エネルギーを失う。山の頂上付近では谷底(3λ/8のm ғ ＝ −1/2など)に比べてクレブシュ・ゴルダン係数の値が大きく、吸収によって上準位に遷移しやすい。上準位に遷移した原子が自然放出で谷底に落ちた場合、最初の状態と比べて丁度山の高さに相当するエネルギーを失ったことになる。この過程を繰り返すことで原子はエネルギーを失っていき冷却される。別の可能性として、山の低い位置で吸収によって励起状態に遷移し、自然放出で山の頂上付近に落とされることも起こりうるだろう。しかし、クレブ
2.1   Gray Molasses Cooling
シュ・ゴルダン係数の違いから、この加熱の過程は、先に述べた冷却の過程に比べて確率的に起こりにくいという点が重要である。統計的に、山を登ったあとに谷底に落とされる原子の方が多いところに注意する。
2.1.5 反跳冷却限界温度
ここまでで考えてきた2準位系でのGray Molasses CoolingはSub-Doppler Coolingの一種であり、ドップラー冷却限界温度(Li原子で約140μK)を下回る温度にまで冷却することができる。しかし、別の要因によって理論的な冷却限界温度が存在する。この冷却限界温度を反跳冷却限界温度と呼ぶ。その物理的意味の説明と導出を以下で行う。 Gray Molasses Coolingは、原子がポテンシャルの山を登ることによって運動エネルギーを失い、結果として冷却されるというメカニズムであった。このことから、ポテンシャルの山の高さが原子の特つ運動エネルギーより十分大きいと、原子は山を登りきることができず頂上付近での光ポンピングが行われないので、冷却サイクルがうまく働かないことが予想できる。すなわち、Gray Molassesによって冷却できる限界温度Tiimは山の高さ△Eによって制限されており、
であると言える。ただし、この冷却限界Tiimは、Gray Molasses Coolingに用いる光の強度や離調を変化させてポテンシャルの山を低くすれば限りなく0に近づけることができる。そのため、このポテンシャルの山の高さに由来する冷却限界温度は理論的な限界ではない。真の理論的な冷却限界は、反跳冷却限界である。これは、自然放出の際に原子が吐き出す光子１つが持つ運動量によって原子が反跳されることに由来する。Gray Molasses Coolingは冷却サイクルとして自然放出によって光を吐き出すが、そのとき光子１つが持つ運動量
を原子が受け取ることになる。自然放出の向きは等方的であるので、原子が持つ運動エネルギーの期待値には下限値が存在し、
である。よって、この下限値から換算される反跳冷却限界
が導出される。Li原子の場合、Tr = 3.5μKである。
2.2  VSCPT
ここからは3準位系でのGray Molasses Coolingの理論を述べる。2.1節でも述べた通り、Gray Molasses Coolingにおいて自然放出によって異なる全角運動量Fの基底状態
2.2 VSCPT
に落ちた原子を再度汲み上げるための光としてRepump光が必要である。すなわち2.1節と異なる点として、基底状態としてF = 3/2,1/2の2つの準位が存在し、またそれぞれの基底状態と励起状態を結ぶ光(Cooling光,Repump光)が存在する。Repump光として異なるFの励起状態にポンプするような光を用いても良いが、あえて同じFの励起状態にポンプする。これによって系は2つの基底状態と1つの励起状態から成る3準位系となるが、このとき2準位系での冷却サイクルとは異なる冷却原理が生じる。もちろん、 2準位系で述べた冷却サイクルの理論が破綻するわけではなく、あくまで新たに冷却効率を高める原理が追加されるという意味である。その理論について以下で説明する。
2.2.1 Λ型３準位系と重ね合わせ暗状態
2.1節で少し述べたが、Gray MolassesにはCooling光の他にRepump光が必要である。そのため、2つの基底状態がそれぞれ別の光によって1つの励起状態とカップリングするような3準位系が自然と形成される。このような2つの基底状態と1つの励起状態を持つような３準位系をΛ型３準位系と呼ぶ。ここではそのΛ型３準位系の基本的な理論について紹介する。図2.7のような2つの基底状態|1⟩ , |2⟩および1つの励起状態|3⟩からなるΛ型3準位系を考える。エネルギーの基準は励起状態|3)にとってある。 |2)は|1)より、広δ記ғรだけエネルギーが高く、|1) ↔ |3) , |2) ↔ |3)にカップルする光の周波数はそれぞれω 1 = ω 0 + δ 1 ,ω 2 = ω 0 + δ 2 − δHFSである。ここではδHFS ≫ δ 1 ,δ 2であると仮定し、ω 2の光が|1) ↔ |3)にカップルしたりω1の光が|2) ↔ |3)にカップルすることはないとする。波動関数ψ = c 1 |1) + c 2 |2) + c 3 |3)はシュレディンガー方程式
に従う。これに対して、õ₂ = e i (δήғs+Δ)t c 2 , õ₃ = e iω1t c 3と変換することにより(付録B参照)、
を得る。ここで△ ＝ δ 1 − δ 2は2つの光の離調の差(相対離調)である。このハミルトニアンを対角化すれば固有値が求まる。また、チルダ( ˆ )は回転系で見ていることを示すための記号として用いる。ここで次のような基底の変換を行う(図2.8参照)。
|g+),|g_)は、|1) |2)平面上で|1) ,|2)を角度θだけ回転させた新たな基底である。ただしこれらは固有状態であるとは限らないことに気を付ける。Ω 2 ≫ Ω 1の極限で|g+⟩ → |2⟩,|g–⟩ → − |1⟩になる。便宜上、ハミルトニアンを分解し、
と表す。σは、励起状態を基底状態( )に落とす働きを持つ下降演算子である。 Ή λに式(2.14)を代入すると、 H A = h δ+ | 9+ | (9+ | + h δ _ | g _ ) (9- | + h Δ | 3) (3| + h Ω g ( | 9+ ) (9- | + | 9- ) (9+ | ) δ + = cos² θδ 1 + sin² θδ 2   ,   δ_ = sin² θδ 1 + cos² θδ 2 Ω 1 Ω 2 Ωg = (δ 2 − δ 1 ) sin θ cos θ = (δ 2 − δ 1 ) Ω 2 + Ω 2
となる。この式から2つの基底状態|g+) , |g−)の間にカップリングが生じているが、これは△ = 0でΩ g = 0より消滅する。この△ = 0の条件をラマン条件という。同様にÄafに代入すると
となる。この結果から基底状態の１つである|g_)は、離調によらず、励起状態とカップリングしない、すなわち|g_)は暗状態である。ただし上で述べたとおり、△ ≠ 0の場合は基底状態間のカップリングが存在しているため、完全な暗状態となるためにはラマン条件を満たさなければならない。このことから、ラマン条件△ = 0を満たせば重ね合わせによる暗状態|g_)が生じることが分かったが、ここで重要なのが、この暗状態|g_)はあらゆる偏光のもとで暗状態を保つということである。すなわち、2.1で述べた2準位系の暗状態とは異なり、位置によらず常に暗状態である。この重ね合わせ暗状態を活用すると、2準位系のGray Molasses Coolingよりも低温にまで冷やすことができる。詳しくは次の節で述べる。
2.2.2　運動量とライトシフトを含んだラマン条件
付録Bでは双極子近似によって位置の依存性を無視する理論を紹介するが、ここでは位置の関数としてレーザー場を書き表す。レーザー場が2つの周波数ω1,ω2の光からなっているとき、
と書ける。ここで、
である。 €1,2はω1,2の光の偏光ベクトルである。次に、運動量pの自由原子ハミルトニアンは以下のように表せる。
ω 01,02は、|1) ↔ |3) , |2) ↔ |3)の共鳴周波数であり、エネルギーの基準は励起状態|3)にとっている。回転波近似の下での原子と場の相互作用ハミルトニアンは
である。ここで3準位系での双極子ベクトルdは、
これらより、相互作用ハミルトニアンは
である。
と定義すると、よりシンプルに書き換えられて
の係数に回転系への変形
以上の議論で回転系のハミルトニアンĤ = Ň A + Ň AFが得られたが、計算を上手く進めるために、エネルギーの基準をたぶに取り直す(図2.9)。るは2つの光の離調の平均で、 δ = (δ1 + δ2)/2で定義される。回転系のハミルトニアンは対角項の値が置き換えられて、
を解くことを考える。ここからは波動関数を外部状態と内部状態の因子の積として表すことにする。つまり

Gray Molasses Coolingの理論
である。ψ i (r,t) = ⟨ r |ψ iとすると、それぞれの外部状態の波動関数に対して以下の運動方程式が得られる。
一番上の式について、δ ≫ |Δ|であることからψ3はΓよりも早く振動し、∂t√3は真空とのカップリングによって蒸早く減衰するとみなせる。よってθεψ 3 = 0と仮定する。さらに、p²/2m ≪ ћδであることから、結果として
と近似できる。これを残りの2つの式に代入すると、
となる。ここで
はラマンラビ周波数、もしくは2光子ラビ周波数と呼ばれている。また、
はライトシフトである。これらの運動方程式は有効ラマンハミルトニアン
を用いてまとめて書くことができる。σʀ = |1) (2)はラマン下降演算子である。ψ(p) = 〈p|√〉とすると、exp ( i k · r) |p 〉 = |p + fik 〉なので
と導かれる。今|1)の状態の原子が2つの光から運動量を受け取りながら|2)の状態に遷移したときを考える。すなわち、受け取る合計の運動量はћδk = ћ(k¹ − k²)であり、 |p) |1) → |p + ħδk) |2)の遷移を考える。すると、運動方程式はよりあらわに書けて、
となる。この遷移に対する共鳴条件は
であり、より分かりやすく書くと
であり、これが運動量とライトシフトを含んだラマン条件である。ここでhωʀ  = ñ²(δk)²/2mはラマン反跳エネルギーで、運動量れδkの原子が持つエネルギーに相当しており、p ‖ ＝ p · δk/δkは運動量pのδkに沿った成分である。最初の項は原子の持つ運動量によるドップラーシフトを表している。式(2.41)を、p ‖について解くと、
であり、いま|p⟩ |1⟩ → |p + ĥδk⟩ |2⟩の遷移を考えているので、|2⟩の運動量は
となる。すなわち、運動量を含んだラマン条件を満たして冷却を行うと、すべての原子が|—ñδk/2) |1)と|ñδk/2) |2)にたまっていく。このような冷却法をVSCPTという。すべての原子が|―れδk/2) |1)と|ћδk/2) |2)にたまっていくということは、運動量空間での分布が狭くなっていくということであり、それは温度が低くなることと同義である。 2.1.5節で述べた通り、2準位系のGray Molasses Coolingでは運動量空間での広がりは光子の反跳によってたkを下回ることはできない。しかし、VSCPTにおいては、この広がりを下回るまで分布を狭めることができ、反跳冷却限界温度を下回る冷却が可能である。VSCPTでは運動量空間でp = − ñδk/2とp = ñδk/2の2つのピークが生じるが、その間隔はδk ≪ |k₁|, |k₂|より十分小さいので、2つのピークによる実効的な運動量空間での広がりが問題になることはない。
2.3    Li原子のGray Molasses Cooling
本研究で冷却する原子は6Li原子である。Li原子は原子番号3、最外殻電子1つのアルカリ原子であり、全てのアルカリ原子の中で最も質量の小さい原子である。図2.10は6Liの超微細構造である。全電子スピンがS = 1/2なので、電子基底状態S軌道で電子の全角運動量J = 1/2のみを持ち、電子第1励起状態P軌道ではJ = 1/2,3/2を持つような微細構造を有している。核スピンはI = 1であり、2²S1/2でF = 1/2,3/2、2²P1/2でF' = 1/2,3/2、2²P3/2でF' = 1/2,3/2,5/2の原子の全角運動量をそれぞれ持つ。このうち、2² S 1/2 ↔ 2² P 1/2間の光学遷移をD1遷移と呼び、2² S 1/2 ↔ 2² P 3/2間の光学遷移をD2遷移と呼ぶ。これらの遷移両方において、自然幅はΓ = 2π × 5.8724MHzである。 Gray Molasses CoolingのCooling光としてF = F'を満たすD1遷移のF = 3/2 ↔ F' = 3/2を結ぶ光を用いる。その際、自然放出によって基底状態F = 1/2に落ちる原子を汲み上げるためにRepump光としてF = 1/2 ↔ F ′ = 3/2を結ぶ光を用いる。これまでの議論から分かる通り、これらの光はどちらも正に離調をつける。励起状態にはF' = 1/2の準位も存在し、これら2つの光は離調は大きいが、この準位ともカップルすることになる。すなわち、厳密には４準位系を成している。ただし、この状況下でもこの章で述べたような冷却サイクルが働くことが先行研究([10]など)からわかっているのでこの条件で実験を行う。 25
ここでは、2章で述べたGray Molasses Coolingによる6Liの冷却を実現するために行った光学系の設計からGray Molasses Coolingの実験結果までの全ての実験について述べる。
3.1光学系
ここでは、Gray Molasses Coolingに必要な光学系の設計と実装について述べる。Gray Molasses Coolingを用いた冷却6Li原子生成に必要な光は以下の通りである。 ●光源安定化のための6Li D2線分光用の光   (D2 F = 3/2 → F ′ = 5/2) ●  MOT Cooling光   (D2 F = 3/2 → F ′ = 5/2) ●  MOT Repump光    (D1  F = 1/2 → F ′ = 3/2) ●  Probe光    (D2  F = 3/2 → F' = 5/2) ●  Image Repump光   (D1 F = 1/2 → F' = 3/2) ● Push光   (D2 F = 3/2 → F' = 5/2) ●  Gray Molasses Cooling光   (D1 F = 3/2 → F' = 3/2) ●  Gray Molasses Repump光   (D1 F = 1/2 → F' = 3/2)これらの光の周波数および強度を100μsのタイムスケールで制御する必要がある。図3.1,3.2は、これらの光の周波数設計図である。図3.3に光学系全体の概要図、図3.4にD1線の光学系の概要図を示した。図3.5は図3.4の光学系を実際に配置したものである。まず、671nmで発振する外部共振器型半導休レーザー (以下ECDL)を6LiのD2遷移F=3/2 → 5/2に周波数を安定化する。分光には音響光学素子(以下AOM)で110MHzで回折した-1次光を用いているので、ECDLの光はD2遷移F = 3/2 → F' = 5/2の周波数より110MHz高い周波数で安定化されている。安定化された光はTapered Amplifier(以下TA)によって増幅され、光ファイバーを通った後、Probe光、Push光、MOT Cooling光に分けられる。光を分ける際には偏光ビームスプリッタ(Polarizing Beam Splitter,以下PBS)を用いる。さらに、D1線用ECDLをピートロックで安定化するための光も分けておく。MOT Cooling光はその周波数と強度を制御するために、AOMダブルパスとAOMシングルパスを通しておく。 AOMダブルパスは回折周波数を変化させても光のパスが変わらないという特徴があり、周波数制御をするためには必ず必要である。このようにして生成されたMOT Cooling光は下で説明するMOT Repump光と2 × 2の偏光保持ファイバーを用いて混ぜられ、チャンバーテーブルで2DMOTと3DMOTの生成に使われる。次に、D1遷移に用いるECDLは、D2遷移用ECDLの光を使ってビートロックによって約10GHzの周波数差で安定化される[16]。安定化された光はTAで増幅された後ファイバーを通り、Image Repump光とMOT Repump光に分けられる。MOT Cooling光のときと同様に、周波数と強度を制御するためにAOMダブルパスとAOMシングルパスを組んでおく。 Gray Molasses Cooling光およびGray Molasses Repump光は、MOT Repump光をAOMで調整することによって得られる。まず、MOT生成時は図3.4のAOM2に与えるラジオ波を切っておく。すなわち、光はAOM2をただ通過するだけであり回折を受けない。その後AOM3ダブルパスで回折され、+184.6MHz ×  2の周波数変調を受けてファイバーへ入る。Gray Molasses Cooling時にはAOM2にラジオ波が入力され、その-1次光がGray Molasses Cooling光となりファイバーに入る。そのとき、一部の光は回折されずに通過し、0次光として取り出される。0次光はMOT Repump光と同じパスを通り、AOM3のダブルパスで204.1MHz ×  2の周波数変調を受けてGray Molasses Repump光として用いられる。AOM0次光は中心に穴が空いたようなビームモードをしており、AOMでの回折効率およびファイバーカップリング効率が低くなるという難点がある。しかし先行研究から、Gray Molasses Repump光はその強度が2Isat程度あれば十分とされ、今回の0次光を活用する方法でも十分な強度が確保できることを確認した。ここで、Isatは飽和強度で6LiD1線に対しては7.59mW/cm²である。対するGray Molasses Cooling光は201 sat以上の強度が必要になることもあり、十分な強度を得るためにMOT光よりも小さいビーム径にコリメートしたい。図3.4の構成だと、MOTとは別のファイバーにカップルすることになるので、ビーム径を自由に決められる。今回はファイバー直後で70mWの光が得られた。MOT光と混ぜる際に1/4のパワーを捨てなければならないことも踏まえてビーム径を6mmに設定し、40Isatが確保できた。この構成で光を制御する際に注意すべき点が２つある。まず、MOT Repump光とGray Molasses Repump光はAOMダブルパスを2度通過するので、周波数制御の際はAOM1とAOM3の両方で周波数が決定されるという点である。すなわち、Gray Molasses Cooling時にGray Molasses Cooling光の周波数をAOM1で制御する場合、その周波数変化はGray Molasses Repump光にも反映されるので、その帳尻合わせをAOM3でする必要があるということである。しかし、この状況はGray Molasses Coolingにおいてはむしろ都合が良い。AOM1の周波数だけを変化させる場合、Gray Molasses Coolingにおいて重要なパラメータの1つである相対離調△は一定に保たれる。そのため、1つのAOMを制御するだけで、ラマン条件△ ＝ 0を崩さずに2つの光の周波数を制御することができる。もう１つの注意すべき点はGray Molasses Repump光は、強度も周波数と同様に2つのAOMによって制御されなければならない点である。 AOM2の回折を弱めるとGray Molasses Repump光の強度が強くなるので、その帳尻合わせをAOM3で行う。以上のような注意点が存在するが、D1遷移全体で使用するTAは1つだけとシンプルであり、Gray Molasses Cooling光に大きなパワーを用意できるという点で優れたシステムであると考えている。図3.6は、チャンバーテーブル上でのMOT光、Gray Molasses Repump光とGray Molasses Cooling光の混ぜ方の概要図である。to X,to Y,to Zと表記した光はそれぞれ冷却原子生成場所にx軸,y軸,z軸方向に入射する。z軸が鉛直方向であり、x軸,y軸は水平方向である。MOT光はF = 50の非球面レンズでコリメートし、ビームウエストは10mmである。 Gray Molasses Cooling光はThorlabs社のF810APC-635を用いて直進光にする。ビームウエストは6mmである。ここではNPBSではなくPBSを用いているため、1つ目のPBSで2つのビームを混ぜるときに偏光が直交してしまう。しかし、そのあとのPBSでも1:1の強度比になるように偏光を調整することで結果的に2つの光を同じ偏光で取り出すことができる。この方法で光を混ぜる場合、全体の光のパワーの1/4は捨てることになるが、フォトディテクタでその光のパワーを観測しパワーモニターとして利用する。
3.2 イメージング
トラップされた原子の密度分布を得ることをイメージングという。我々は吸収イメージングによって原子の密度分布を測定を行った。ここでは、その吸収イメージングの理論と、実験の詳細について述べる。
3.2.1 吸収イメージングの理論
3次元的にトラップされた原子に対し、周波数ω ＝ ω 0 + δ(ω 0:原子の共鳴周波数,δ:離調)を持った光(Probe光)がx軸に沿って入射することを考える。ある位置xから光が微小区間dxだけ進んだときの強度変化dIは、以下の式で表される。
ここで、Ωは原子から発せられる蛍光が検出器に入る割合であり、nは原子数密度、σは吸収断面積で、
である。ただし、σ 0 ＝ 3λ²/2πは共鳴吸収断面積、I sat ＝ πhcΓ/3λ²は飽和強度である。これを積分し、 f n(x,y,z)dxについて解くと、透過率T = Iτ/Iο(Iτ:透過光強度,Iο:初期強度)と飽和パラメータso = Io/Isatを用いて、
となる。 – ln(T)は光学深度(Optical Depth,以下OD)と呼ぶ。Probe光にはδ = 0の光を用いるが、分解能の良いイメージング系ではΩを無視すると原子数の過小評価につながることがあるので注意する。 soについても、I 0 ～Isat = 2.54[mW/cm²]程度の強度の光を用いる場合は無視せず考慮すべきである。本研究で行った吸収イメージングに用いたProbe光は、パワー : 300μW、1/eビーム半径: 5mmであり、強度を計算するとIprobe ~ 0.3Isとなる。これより、s 0 ~ 0.3でありTが小さいときにわずかに影響があるが、今回は無視している。また、このProbe光強度と原子の散乱レートおよび典型的な原子数N ～ 10 8 、原子から見たレンズの立体角を用いてΩを求めるとΩ ＜ 0.01であることがわかり、無視している。よって以下では、式3.4に従って原子数を求める。実際の実験では、パラメータT(y, z)を以下の流れで求める。まず、上で述べた流れで原子をイメージングし、そのときのシグナルをS(y, z)とする。次に、原子雲を除去した状態でイメージングしL(y, z)とする。最後に原子なし、Probe光なしの状態でのシグナルを取得し、BG(y, z)とする。そして下式を用いて透過率を計算する。
また、全原子数はy,z軸に関しても積分することで得られて、

3.2.2 吸収イメージングの実験
吸収イメージングのProbe光には図3.1に示した通りF = 3/2 → F ′ = 5/2に共鳴の光を用いる。また、この遷移を最大限引き起こすために図3.2に示したImage Repump光を用いてF ＝ 1/2の状態にある原子をF ＝ 3/2に汲み上げておく。図3.8は吸収イメージングにおける原子雲、レンズ、CCDカメラの位置関係および光の進行するパスを示した概略図である。コリメートされたProbe光は1枚目のレンズで集光されたあと同じ焦点距離を持つレンズによって再び平行光に戻されCCDカメラに入射する。Probe光の通過する位置に原子が存在する場合、原子によって光の吸収が起こる。今回の設計では吸収によってできる原子の影の大きさは実際の原子雲サイズと等しい(倍率:1倍)。図3.9は吸収イメージングのタイムテープルである。MOTで原子を捕獲し、CMOT、 Gray Molassesによって原子の冷却が行われたあと、Time-of-Flight法(以下TOF法)を行うために、ttofの時間だけ原子を熱膨張させる。TOF法については3.2.4節で詳しく述べる。ttofには、イメージングコイルの立ち上がり時間100μs、Image Repump光の照射時間40μsも含まれる。イメージコイルは、吸収イメージングの最中に100mG程度の定常磁場を作り、量子化軸を決定する役割がある。CCDカメラは立ち上がりに数十μsかかるので、Probe光照射の40μs前から露光させ、10μs間照射されるProbe光全てを測定できるようにしておく。露光時間は100μsである。こうして原子＋光の写真(S)が撮影される。CCDカメラで繰り返し撮影をするには70ms以上の間隔が必要なので、Sの撮影後、70msの間隔をあけて光のみの写真(L)を撮影する。Lの撮影時点では70msの間隔をあけているので原子は十分拡散している。最後に、同様の時間間隔をあけた後、全ての磁場および光を切り、バックグラウンド(BG)を撮影する。以上の流れで、ODを計算するために必要な3枚の写真が得られた。図3.10は実際に吸収イメージングを行って得られた画像である。撮影にはPrincetonのCCDカメラ(512 × 512pixel)を用いた。図3.9の流れでS,L,BGに対応する画像を撮影し、式3.4,3.5を用いて各y,z座標でのODを計算する。ODを2次元プロットすることができたら、オフセット付き2次元ガウシアンでフィットする。すなわち、フィッティング関数は
であり、フィッティングパラメータA,Yo,Zo,σy,σz, Bの価を決定する。図3.11は図3.10のデータから得られたODとそのフィッティング結果をy軸方向に足し合わせ、1次元のグラフとして表示したものである。原子数や温度を求めるときに、ここで決定されたフィッティングパラメータを用いる。原子数については、2次元ガウシアンの積分値がπΑσγσzとなることを使って、式3.4,3.6より、
として求められる。温度の求め方は3.2.4節で述べる。
3.2.3 倍率評価
吸収イメージングの光学系設計の概要は図3.8に示した通りで、設計上の結像倍率は1倍であるが、これはあくまで設計上の理論値であり正確な値ではない。そのため光学系を組んだあとに倍率を評価する必要がある。倍率評価のための実験の概要は図3.12の通りである。まず距離を正確に測定することができるターゲット(今回はものさし)を用意し、ミラーを用いてターゲットでの散乱光がCCDカメラ上で結像するように配置する。レンズの相対距離を変化させなければ結像倍率は変化しないはずなので、このターゲットが何倍の像として結像されているかを測定すれば原子のイメージングの倍率もわかる。ターゲットに用いるものは要求されるスケールで正確に距離を測定できるものであれば何でも良い。CCDカメラで撮影した画像を解析し、単位長さを表すpixel数を求めれば倍率が得られる。測定した結果、今回のイメージング系は0.996 ± 0.004倍であるとわかった。以下、測定結果として示す原子雲のサイズは全てこの倍率を反映させたものになっている。
3.2.4 温度評価
吸収イメージングによって原子の密度分布を求められることを述べたが、TOF法を用いることで原子の温度を評価することもできる。冷却された原子のトラップポテンシャルを瞬間的に切ったとき、原子はその温度に依存した速度で等方的に広がっていく。トラップされている原子が３次元ガウシアンの形状であると仮定すると、トラップを切ってから時間ttofだけ経過したときの測定される原子雲のサイズσ。は、
の関係式で表される。ここでσ 0はトラップを切った直後(ttof = 0)の雲のサイズであり、ν。＝√kbT/mは温度に依存した原子雲の膨張速度である。この式より、ttofを設定し、σc,σ 0を実験によって測定できれば、原子の温度Tを求めることができる。これらのσの価は式3.7を用いて行ったフィッティングの結果を用いる。 σoを測定せずに温度を評価したい場合は、異なるtrofで実験を2度行えばよい。吸収イメージングをttof1,ttof2の経過時間で行ったときの原子雲のサイズをそれぞれσc1,σc2とすると、上式より以下の2式が成り立つ。
辺々引いて、温度Tについて解くと、
となり、トラップ解放直後のサイズを測定する必要がないことがわかる。これは、σ 0が小さすぎることによる誤差や、トラップの非等方性の影響を緩和するのに効果的である。以上の議論から、トラップ解放後の原子雲のサイズは式3.9に従うことが分かった。実験で温度を高精度に求めたい場合は複数のttofに対するデータを測定し、式3.9を用いてフィッティングする方法が用いられる(図3.14)。
3.3 MOT
3.1で用意した光を用いて2DMOTおよび3DMOTを生成する。我々の実験装置は図3.15のようになっている。まず、高真空側(〜10−6Pa)にオープンがあり350 ℃に温められている。そこから6Li原子気体が蒸発して2DMOT領域に入る。2DMOTで一時的にトラップされた原子はPush光によって差動排気管を通り、超高真空側(～10−10Pa)に送られる。そしてガラスセルの中で3DMOTによってトラップされるという構造である。以下では、MOTにおける各パラメータの最適化と、その結果得られた冷却原子の評価について述べる。
3.3.1    MOT最適化
Gray Molasses Coolingの効果をより精度よく調べるために、MOTを最適化することは必要不可欠である。ここでは、3DMOTで捕獲できる原子数が最大になるようにピームのパス、周波数、磁場などを最適化した。我々の装置は2DMOTからPush光で3DMOT側へと6Li原子を送り冷却原子を生成するので、まず2DMOTおよびPush光のアライメントを最適化したあと、3DMOTのアライメントを最適化、最後に周波数と磁場を最適化しMOT原子数が最大になるように調整する。MOT光の周波数および磁場の強さは、光軸合わせの段階である程度最大になるように調整するが、最終的にはCooling光周波数、Repump光周波数、磁場の3つのパラメータを3次元的に掃引しながら最適値となる組み合わせを求める。その結果、磁場勾配:16.02 Gauss/cm(軸方向),Cooling光離調:−5.8Г,Repump光離調:−5.2Гで原子数が最大となることが分かった(図3.16)。よく見るとCooling光離調:—5.8Г,Repump光離調:—2.5Г付近にも第2ピークが見られるが、これら2つのピークは2DMOT,3DMOTのどちらかの最適点を表していると考えている[17]。
MOT原子数評価
最適化されたMOTの原子数を評価するために、3.2で述べた方法で吸収イメージングによって原子数を求めた。その結果、原子数はNmot,im = 1.0 × 10 7個と求まった。 MOT原子数の評価はイメージングによって行うことも可能だが、荒い精度で良ければ図3.17のようにしてMOTの蛍光をレンズで集光しフォトディテクタで観測することでも行える。図3.18は、ある瞬間からMOT光を照射しMOTに原子が蓄積されていく過程の蛍光をオシロスコープで観測した結果(赤線)とそのフィッティング(青線)である。フィッティング関数は下式である。
このフィッティング係数aは、原子数Nに比例するはずであるので、このaが最大になるように調整すればよい。ディテクタに入ったシグナルを用いて原子数を評価することができる。ディテクタから出力されるシグナルは以下の式で表される。
散乱率は、
で計算される。今回は、Cooling光(D2線)とRepump光(D1線)のそれぞれの散乱率を計算し、その平均の値を採用した。1光子エネルギーはE = hvであり、hはプランク定数、νは光の周波数である。立体角は、MOT点光源から見たレンズの面積を計算することで求まる。ディテクタの倍率はあらかじめパワーがわかっているレーザー光をディテクタに入れ、そのときの出力電圧を測定することで決定した。3.13を原子数について解くと、原子数はN MOT.fl = 3.4 × 10 8個であると求まった。この方法があくまで概算程度の精度しか得られない理由として、散乱レートがMOT光の強度に依存することがあげられる。すなわち、MOT光の強度揺らぎが測定に影響するので、より正確な原子数の測定を行うには吸収イメージングを用いる方が良い。今回、2通りの方法で原子数を求めたが、その結果
と大きな差が生じた。イメージングでの評価に考えられる要因としては、Probe光の周波数が共鳴周波数と一致していない、Repump光による汲み上げがうまく働いていないなどが考えられる。原因を入念に調査したが、現時点では結果は変化していない。蛍光からの評価に考えられる要因は、散乱レートを低く見積もりすぎていることがあげられる。以下ではイメージングから求めた値を原子数として用いる。ただし、式3.15にも見られるように、蛍光から求めた原子数との間に34倍の差があり、原子数を過小評価している可能性があるので注意する。原子数の誤差については、次の節で説明する。
MOT原子数安定度評価
MOT原子数が長期的に安定であることは、繰り返し実験を行う際の再現性を高めるために重要である。原子数の評価には、2つの評価による差によって大きな不確定性が生じたが、原子数の揺らぎは吸収イメージングによって得られるODの揺らぎを測定することで評価できると考えた。吸収イメージングによる原子数測定を30回行い、測定結果の平均値と標準偏差を求めた。その結果、(標準偏差)/(平均値) ~ 0.10と求まった。図3.20が実際のデータである。これより、MOT原子数はNmot,im = (1.0 ± 0.1) × 10 7となった。
MOT温度評価
3.2章で述べたTOF法で最適化後のMOTの温度評価を行った。ttofを200μsから1600μsまで200μsずつ変化させて密度分布を測定し、式3.9でフィッティングを行う。図3.21が実際の実験データである。フィッティングの結果、トラップ解放後の1/e半径σ 0 = 0.90 ± 0.05mm、熱膨張の速さv 。= 1.65 ± 0.03m/sと求まり、MOTの温度は1.98 ± 0.04mKと求まった。
MOT位相空間密度評価
位相空間密度は冷却原子実験において重要なパラメータである。位相空間密度ρは、原子数密度n,ド・プロイ波長λdb = h/√2πkBTMを用いて
と表される。N個の原子が3次元ガウス分布にあるとき、中心密度noを用いて以下の式が成り立つ。
αはトラップ解放直後のガウス半径σ 0を用いればよく、さらに冷却原子の原子数N 、温度Tが分かれば位相空間密度が求められる。MOT原子数Nmot,im = 1.0 × 10 7 、温度1.98mK、σ 0 = 9.0 × 10− 4 mを用いてMOTでの位相空間密度ρмotを計算すると、およそ9.9 × 10−9と求まった。
3.3.2   MOTまとめ
設計した光学系によって、MOTで原子をトラップし冷却することに成功した。原子数が最大になるようにCooling光,Repump光の周波数および磁場の大きさを最適化した。その結果、磁場勾配:16.02 Gauss/cm(軸方向),Cooling光離調:—5.8Г,Repump光離調:−5.2Гで原子数が最大となることが分かった。この条件で原子数を2通りの方法で評価し、吸収イメージングによる評価方法ではN MOT,im = 1.0 × 10 7 、蛍光による評価方法ではN MOT.fl = 3.4 × 10 8と求まった。以下の評価には吸収イメージングによって求まった原子数を用いる。温度は1.98 ± 0.04mKであり、位相空間密度ℓmotはおよそ9.9 × 10−9であった。
3.4 CMOT
3DMOTの段階で2mK程度にまで6Li原子を冷却することに成功したが、Gray Molasses Coolingに移る前にCMOTを行うことによってより温度を下げられる。また、 CMOTは原子をより狭い領域に圧縮することができるので位相空間密度が高くなると同時に、Gray Molassesへの移行効率も向上することが期待できる。CMOTは3DMOTによって原子が捕獲された後、Cooling光、Repump光の強度と周波数を時間的に変化させると同時に、磁場勾配を強くすることで行われる。各パラメータの決定のために、 3DMOTと同様に最適化を行った(図3.22参照)。ここでは、位相空間密度が最も高くなるように最適化した。最適化によって決定したCMOTのタイムテーブルは図3.23である。最適化後に、MOTと同様に原子数、温度、位相空間密度を評価した。イメージングによって原子数を求めたところ、Ncmot,im = (9.1 ± 1.3) × 10 6であった。MOTからの移行効率はNcmot,im/Nmot,im = 0.91 ± 0.13である。図3.24に、TOF法による測定の結果を示した。比較のためにMOTでのデータも同時にプロットしてある。フィッティングの結果、σ 0 = 350 ± 26μm, v σ = 1.061 ± 0.009m/sと求まり、温度は786 ± 11μKであった。これらの結果から、位相空間密度ρcмотはおよそ6.2 × 10− 7で、MOTと比較するとρcmot/ρmot = 63である。
Gray Molasses Cooling
3.5
ここまでで用意できたMOT、CMOTによる冷却原子をさらに冷却し位相空間密度を高めるためにGray Molasses Coolingを適用させる。まず、Gray Molasses Coolingに関するパラメータについて定義を確認する。図3.25はGray Molassesの2つの光と離調についての図である。  Gray Molasses Cooling光とGray Molasses Repump光の離調をそれぞれδc, δrとする。相対離調△は、
と定義する。また、δ。は全体の離調(絶対離調)としてδα11と呼ぶことにする。Cooling光とRepump光の強度はそれぞれIcool, Irepと表記する。CMOTのあとGray Molasses Coolingを開始するまでの遅延時間をΔt、その後Gray Molasses Coolingを続ける時間の長さを持続時間ヶとする。水平面上でprobe光の入射方向をx軸、水平面上でこれに垂直な向きをｙ軸、鉛直上向きをｚ軸と定義し、それらの方向に加える補正磁場の大きさをそれぞれB x , B y , B zとする。これらのパラメータがGray Molasses Coolingの冷却効率に影響を与える可能性が高いと考え、実験で検証した。その結果を以下に記す。
3.5.1 相対離調
初めに、2.2節で述べた相対離調を検証する。まず、δ all = 5Γを固定し、△を変化させたとき、冷却に対してどのような影響があるかを測定した。図3.26が安験結果である。これを見ると△ = 0.05Г付近で温度が最も低くなっている。△ < −0.05Гにおいては冷却効率が著しく悪く、原子をイメージングすることができなかった。包絡線の広がり幅が自然幅Γより狭いことがわかるが、これは2光子遷移由来の冷却効果であることを示している。ドップラー冷却との比較のために、CMOT Cooling光の最終離調に対する温度の応答とGray Molasses Coolingの相対離調に対する温度の応答を同じ周波数スケールで表したものを図3.27に示す。図3.26を見ると、そのピークは△ = 0から少しずれた点にあった。これはライトシフトの影響であると考えられる。式2.36,2.41に実際の値を代入しライトシフトによる共鳴のずれを計算したところ、0.13Гと求まった。オーダーは一致しているが3倍程度異なっている。計算でクレプシュ・ゴルダン係数は１としたが、実際には暗状態があることやより低い係数の遷移があることから実効的に1より小さい値になっていることが考えられ、それによって実験値との差が生じたと考えられる。
3.5.2
絶対離調とGray Molasses Cooling光強度
次に、全体の離調とGray Molasses Cooling光の強度との関係を調べる。3.5.1節の結果より、△ = 0.05Гの条件の下で実験を行った。今回設計した光学系では図3.4のAOM1,AOM3がそれぞれ全体の離調,相対離調を独立に操作できるため便利である。図3.28に測定結果を示した。これによると、δα11 = 4.5Γ, Icool = 1.5Isat(Irep = 7Isat)で位相空間密度が最も高くなるということが分かった。絶対離調が小さく強度が高い範囲において位相空間密度が非常に悪くなっているが、これは正の離調の光が原子によって散乱する場合、ドップラー効果によって原子を加速させる性質があり、その効果が働いているのではないかと考えている。
3.5.3
Repump光強度
今回設計した光学系では、Gray Molasses Cooling光の強度を変化させるとそれに伴ってGray Molasses Repump光の強度も変化する。そのため、3.5.2節でCooling光の強度を変化させながら測定したとき、Repump光の強度も変化している。ここでは、図3.4のAOM3の回折率を変えることで、Cooling光強度を一定に保ったままRepump光の強度を変化させる。2つの光の離調およびCooling光強度はすでに最適化した値で実験を行った。実験の結果が図3.29である。まず、Repump Intensityが4.5Isatよりも小さい範囲では冷却効率が非常に悪くすぐに拡散してしまい解析不可能であった。それ以上の範囲ではRepump光強度が増加するにつれて原子数は大きくなり、温度は減少する傾向が見られている。温度はある一定値に漸近しているようにも見えるが、原子数で評価すると明らかに十分な強度が得られているふるまいではない。現在の光学系では得られるRepump光強度は最大で7I satが限度であるので、Repump Intensityは7I satで固定する。 biA to requ
遅延時間,持続時間
3.5.4
まず、遅延時間をΔt = 0とし、τの値を変化させ、冷却にどのような影響があるか調べた。図3.30は、その実験の結果である。これを見ると約500μsまでは原子の温度が上昇し、加熱の効果が働いていることがわかる。その後、1200μs付近でわずかに最も冷えるピークがあり、それ以降の温度は少し高くなるが、おおよそ一定の値を保っている。位相空間密度で評価し、最適な持続時間はτ = 1200μsと求まった。τ < 500μsでの加熱の原因は、MOTコイルに流れる電流を切るときにかかる時定数に由来する残留磁場による影響などが考えられる。この加熱の効果を減らすために、△t = 500usとして加熱が活発な時間が経過してからGray Molasses Coolingを行うことを試みた。しかし、最低到達温度及びそのときの位相空間密度に変化がなかったため、Δt = 0で固定した。
3.5.5 補正磁場
外部磁場によるゼーマン効果によって磁気副準位が成すポテンシャルの山が形状を変え、冷却効率に影響を与えるかもしれない。 Gray Molasses Coolingにおけるポテンシャルの山の高さは周波数に換算しておよそ数MHzである。ポーア磁子μβ 〜 1.4MHz/Gaussであることを考えると、数百mGaussの磁場でポテンシャルの山の高さに対して無視できない摂動を加えることになる。数百mGauss程の大きさを持つ地磁気をはじめ、あらゆる定常的な外部磁場を打ち消すために補正磁場を製作した。図3.31,3.32が製作した実物の補正コイルである。x,y,zの全ての方向に対して定常磁場を作り出せるヘルムホルツコイルを製作した。全ての補正コイルは1Aで2Gaussの磁場を作り出す設計になっており、計算通りの磁場を作っていることも確認した。図3.33,3.34,3.35は、それぞれx,y,z軸の方向にかける補正磁場の大きさを変化させたときの冷却効率を示したものである。縦軸左は3msのTOFのあとに撮影した原子の1/e半径であり、温度と正の相関がある。縦軸右は原子数である。y軸,z軸については特に温度にわかりやすいピークがあるが、x軸についてはピークが見られなかった。位相空間密度が最も高い点であるB x = 50mG, B y = 150mG, B z = 250mGをそれぞれ最適値とした。 piA to 19q oiA to 19q
3.5.6
Gray Molasses評価
ここまでで、各パラメータによる冷却効率への影響を調べることができ、最適なパラメータが得られた。この条件で、最終的なGray Molasses Coolingの移行効率、温度、位相空間密度を評価した。まず、Gray Molasses Cooling後の原子数はNgm,im = (3.9 ± 0.6) × 106個であった。移行効率はNGM,im/NCMOT,im = 0.43 ± 0.07と求まった。温度はMOT,CMOT同様TOF法によって測定した。図3.36が測定結果で、フィッティングによって、σ 0 = 631 ± 7μm, v σ = 0.476 ± 0.003m/sと求まった。これより、温度は164 ± 4µKであった。位相空間密度ρgmは4.8 × 10− 7となり、CMOT後との比は、ρςм/ρςмοτ = 0.77であった。
3.6 実験結果考察
設計した光学系によってMOT, CMOT, Gray Molasses Coolingを行い、冷却効果が現れることを確かめた。まず、MOT,CMOTは過去の実験結果([17]参照)と比較すると温度が高い値になってしまった(MOTで約2倍、CMOTで約3倍)。原因の究明に尽力したが、改善は見られなかった。この時点での冷却効率の悪さはGray Molasses Coolingの冷却効率にも悪影響を与える可能性が高く、今後改善していく必要がある。具体的な改善方法としては、 MOT時点で最適化した光のパスは原子数が最大になるように調整されていたが、他の評価基準(位相空間密度、温度、磁場中心との距離など)で再度最適化しなおし、その後他のパラメータについても最適化すると良いかもしれない。 Gray Molasses Coolingにおいて相対離調△は自然幅Γより狭い範囲で冷却効率に対して変化をもたらす、敏感なパラメータであることが分かった。ただし、△が0から離れた領域(△ > Γ)でも2準位系で議論したGray Molasses Coolingの効果があると期待されていたが、それは見られなかった。その原因として、Gray Molasses Cooling開始時点(CMOT直後)での温度が高いことが考えられた。その推測が妥当であるか考えるために、最適化された条件でのGray Molasses場でのポテンシャルの山の高さを見積もった。近似なしのライトシフト(式B.16)に実際の値(Repump光強度Irep = 7Isatと絶対離調δαι = 4.5Г)を代入したところ、山の高さは温度に換算して112μKと求まった(Cooling光のパラメータで計算すると105μKであった)。1回の冷却サイクルで山の高さと同じ温度を失うと仮定すると冷却サイクルをおよそ6回行えばCMOT直後の温度からGray Molasses後の温度に冷えると考えられる。ここで、単純な2準位系での散乱レート
のTOFフィッティング結果v = 1.061m/sを用いると、6回の冷却サイクルが行われるまでに原子が移動する平均の距離dは
と求まった。Gray Molasses Cooling光のピームの半径は6mmでありdに比べて大きいが、実際には暗状態の影響で今回の計算より散乱レートが小さいことが予想され、ビームの範囲から外れる原子がある可能性が高くなってくるかもしれない。そうなると移行効率の低下や、密度の低下につながるのでやはりCMOT直後の温度を低くすることは重要であると考える。
3.6 実験結果考察
強度依存性について、Repump光の強度がCooling光の強度よりも高いときに高い冷却効率を示していたが、これは先行研究で報告されている結果と異なっている。その点についてもなぜそのような違いが生じたか検証していきたい。 Gray Molasses Coolingの持続時間は1200usで最適であり、それ以上の持続時間でも温度が変化しないのは偏光勾配のポテンシャルの山の高さが原子の運動エネルギーの大きさと同等になっていることを示していると考えられる。そのため、τ > 1usの時間において、光の強度及び離調を時間変化させ、ポテンシャルの山の高さを低くすることができれば更なる冷却が望めるかもしれない。補正磁場は特にy軸とz軸方向に依存性が見られた。0～1Gaussの変化で、温度に20%程度の影響を与えるので、やはり補正すべきである。現時点で、Gray Molasses Cooling後の位相空間密度はCMOT直後と比較して0.77倍と悪くなってしまった。温度は164 ± 4μKであり、CMOTの温度を下回ったが、6Liのドップラー限界を下回ることができなかったので、まだ満足な冷却効率を得たとは言えない。特に原子数の移行効率が低いので改善する必要がある。
本論文の成果は、MOTとGray Molasses Coolingを両立する光学系の設計とGray Molasses Coolingの実装の結果をまとめたことである。第２章では、Gray Molasses Coolingについての理論を述べた。MOTでの冷却にはドップラー冷却限界(6Liで140μK)が存在するが、Gray Molasses Coolingはドップラー限界以下の温度にまで冷却ができるSub-Doppler Coolingの一種であった。多くのアルカリ原子に対してしばしば用いられている負の離調の偏光勾配冷却は、6Li励起状態の超微細構造の狭さゆえに適用することができない。対して、正の離調の光を用いるGray Molasses Coolingは6Li原子に対しても有効である。その冷却原理に関しては、2準位系、3準位系に分けて考えることで異なる2つの冷却のメカニズムを理解した。2準位系での議論は、空間的に偏光に勾配ができた場を考え、選択則による暗状態や、クレプシュゴルダン係数の違い、それに伴うライトシフトの差などを考えることで理解できた。 2準位系で考えたCooling光に加えてRepump光を考慮することによって3準位系成されるが、この状況において冷却された原子が重ね合わせによる暗状態に入りやすく、結果としてより効率の良い冷却サイクルが生じる。これは、2つの光の離調が等しい(△ = 0)というラマン条件を満たしているときに成り立つものであった。6Li原子においてはD1遷移のF = 3/2 ↔ F ′ = 3/2とF = 1/2 ↔ F ′ = 3/2の2つの遷移を利用することで実現できる。第３章では、光学系の設計からGray Molasses Cooling実験の結果まで、全ての実験についてまとめた。MOTとGray Molasses Coolingを両立できる光学系を設計し、実装した結果を示した。MOTの段階では温度が1.98±0.04mK、位相空間密度は9.9 × 10−9であった。CMOTを行うことによって、温度は786 ± 11μK、移行効率は0.91 ± 0.13であり、位相空間密度は6.2 × 10− 7で、MOTと比較すると63倍であった。 Gray Molasses Coolingを行うと温度は164±4μKになり、移行効率はNGM.im/NCMOT.im = 0.43±0.07であった。位相空間密度は4.8 × 10−7で、CMOT直後の0.77倍であった。今後は、まず冷却効率をさらにあげるためにMOT、CMOT、Gray Molasses Cooling全ての段階での最適化をより入念に行い、ドップラー限界を下回る温度で、かつ位相空間密度がCMOTから1桁向上させられる程度の冷却効率を目指したい。そのうえで、今回は検証しなかった時間変化Gray Molasses Coolingや光トラップ中でのGray Molasses Coolingなどに挑戦したい。これらを達成すれば冷却原子生成における非常に重要な技術として研究に大きく貢献するだろう。
冷却Li原子気体は分子の束縛状態を利用し、外部磁場を与えることでフェッシュバッハ共鳴により粒子間の散乱長を操作できる。さらに、光を用いると有効長をも独立に制御できることが近年提案されており[18][19]、我々も次世代の量子シミュレーション実験の実現に向けて取り組んでいる。目的のフェッシュバッハ共鳴を操作するための光の周波数は原子の共鳴周波数から1000GHz以上離れており、原子遷移から直接オフセットロックなどで光源を安定化するのが難しいという問題がある。また、SHGを用いた2S → 3P遷移の共鳴周波数の光をつくるための種の光もLiの吸収線で安定化することは難しく広い波長領域で使用可能な周波数安定化システムが必要である。。広い波長領域での周波数安定化システムとしては、周波数コム、超低熱膨張率ガラスを用いたULE共振器、波長計、ドップラーフリー分子分光などが挙げられる。我々はこの中でも比較的実装に時間がかからず、低コストで複数個の導入も可能なドップラーフリー分子分光の方法を選択した。ヨウ素分子は可視-赤外領域に多くの吸収スペクトルを持っており、必要となる波長領域でも吸収線が複数存在しているので我々の実験に最適である。そのためヨウ素分子気体を用いてレーザーの周波数を安定化しようと考えた。ここでは、671nm付近のヨウ素分子気体の吸収線を用いた光源の安定化について述べる。その手段として用いたロックインアンプの理論についても軽く説明する。
A.1　ヨウ素分子の光学遷移
本実験で周波数安定化に用いたヨウ素分子の吸収線は電子基底状態から第二電子励起状態への遷移(B ← X遷移)のうちのひとつである。このB ← X遷移スペクトルはGerstenkornらによって出版された標準スペクトル集[20]に記載されており、14800- 2000cm−¹の範囲に多くの吸収が見られることがわかる。ヨウ素分子B ← X遷移の吸収は、電子の全角運動量量子数J、基底状態の振動状態量子数v ′′、励起状態の振動状態量子数v'によって指定される。今回見た吸収スペクトルに対して、これらの量子数を特定するために以下で議論する。また、その吸収線をドップラーフリー分光を用いて観測した場合に得られる超微細構造についても考える。詳しい議論は[21]を参照されたい。
A.1.1 吸収線の数値計算
本研究で周波数安定化に利用する吸収線はヨウ素分子B ← X遷移である。この吸収線の周波数を数値的に求める手法を述べる。まずX,B状態それぞれのポテンシャルを原子間距離Rの関数として求める。ここでは、原子核が電子よりはるかに重いことで導入できるボルン-オッペンハイマー近似を用いている。[22][23]有効分子ポテンシャルは、以下のように短距離、中距離、長距離の3つの区間に分けて考える。
にフィッティングによって決められる。今回は、[22]に記載されている値を用いた。この有効分子ポテンシャルに加えて、電子の全角運動量Jに依存する遠心力項、
を考慮する。これによって有効ハミルトニアンは、
であり、解くべきシュレディンガー方程式は
となる。これを無次元化すると以下の式になる。
この形はヌメロフ法[24]を用いた数値計算が可能であり、固有値と固有状態を求めることができる。
65
A.2 ヨウ素分子飽和吸収分光
A.2.1   飽和吸収分光
まず初めに、図A.1の系でヨウ素分子の飽和吸収分光を試みた。ECDLからは約20mWの光が出射されており、その後TAによって100mW程度にまで増幅されている。 pump光に100mW,probe光に1mWのパワーを用い、FM分光法[25]によって飽和吸収の微分信号も同時に取得している。これによって得られたシグナルが、図A.2である。微分信号を見ると僅かな飽和が確認できるが、透過光強度ではほとんどわからない。これは周波数安定化に用いるエラーシグナルとしては小さすぎるため、ロックインアンプを用いて超微細シグナルの検知を試みた。
A.2.2　ロックインアンプを用いた飽和吸収分光
前小節で得られたシグナルは非常に小さく、周波数安定化のためのエラーシグナルにはならない。そこで、ロックインアンプを用いて大きなシグナルを得ようと試みた。セットアップは図A.3の通りである。図A.1との変更点は、まずpump光がAOMによって1次回折されている。pump光のパワーはAOM回折後で100mWになるように調整されている。その回折光は40kHzの周期でON/OFFする矩形波として出力されている。すなわち、pump光が40kHzの周期で強度変調されてヨウ素セルに入射されている。次に、微分信号はロックインアンプに入力されている。そして、回折光に強度変調をかけていた40kHzの信号をロックインアンプのリファレンスに入力する。これによってロックインアンプは40kHzで振動する成分のみを出力するので飽和によるラムディップの微分信号を大きなシグナルで得ることができる。図A.4がロックインアンプを用いて得られたヨウ素分子飽和吸収シグナルの微分信号である。図A.2と比べて大きく、強度ゼロを交差するような信号の取得に成功した。実際にこの信号を用いて、光源の周波数安定化を行った。右から2番目(周波数0MHz付近)のシグナルにECDLの周波数をロックし、オフセットロックによって冷却原子生成用のECDLの周波数を安定化した[16]。この方法で安定化したECDLによって6Liの3DMOTに成功した。MOTが生成されているということはこの時点でも数MHz程度の安定度は保たれていると言える。
A.2.3 線幅の改善
A.2.2で得られたヨウ素分子気体の超微細構造は線幅が太く、超微細構造が分解できていない。そこで以下の2点を工夫し細い線幅でのシグナルを得ようと試みた。線幅の評価には他の超微細シグナルとの周波数間隔が十分に大きい3つのシグナルα1,α10,α15([21]参照)を用い、ローレンツ関数の微分形でフィッティングして求めた線幅の平均値を使用した。
衝突広がり
セル中の原子(もしくは分子)が他の粒子と衝突することによって、吸収スペクトルが拡がることが知られている。これを衝突広がりという。衝突広がりを含んだスペクトルの半値幅△ωは、
と記述できる。ここで、Γは自然幅、Nは粒子数、σは散乱断面積、τは粒子の平均速度である。Nはセル内の気体の圧力に比例している。すなわち、セル内の粒子の圧力が高くなるほど衝突広がりが大きくなる。ヨウ素分子分光実験に用いているセルには、cold fingerが取り付けられており、そこを温度制御することによってセル内の飽和蒸気圧を制御できる仕組みになっている。本実験では、図A.7のようにしてcold fingerを温度制御し、セル内の圧力を調節した。cold fingerの温度とセル内部の圧力はネルンストの公式によって関係づけられており、ヨウ素分子に対するパラメータも既に与えられている。 [26]ヨウ素分子に対するネルンストの公式は以下の通りである。
P[Pa]は飽和蒸気圧、T[K]はcold fingerの温度である。この式に従い、測定したcold finger温度からセル内部の圧力を求めた。cold fingerの温度を15 ℃から65 ℃の範囲で変えていき、そのときの吸収線の線幅をフィッティングによって求め、横軸圧力、縦軸線幅としてグラフにプロットした(図A.8)。その結果、セル内部の圧力が大きくなるにつれて線幅が太くなる傾向が見られた。実験データを線形近似すると傾きは、4.7kHz/Paであった。
パワープロードニング
次に、入射光の強度によって線幅が太くなる現象であるパワープロードニングの影響を調べた。パワープロードニングを含んだスペクトルの半値全幅は、自然幅Γ、飽和強度I satを用いて、
と書ける。本実験では、probe光パワーが約1mW、pump光パワーが約100mWで実験を行っていたため、probe光によるパワープロードニングの影響は十分小さく無視できると仮定した。pump光の強度を変化させていき、測定したシグナルの線幅をグラフにプロットした(図A.9)。式A.10で、自然幅と飽和強度をフィッティングパラメータとしてフィッティングを行ったところ、飽和強度はIsat = 2599[mW/cm²]と求まった。以上の方法で線幅を改善する前と後でヨウ素分子の吸収スペクトルがどのように変化したかを比較した。図A.10は上が改善前(pump光強度：100mW, cold finger温度：65 ℃)、下が改善後(pump光強度：20mW, cold finger温度：20 ℃)のヨウ素分子気体の吸収線である。これを見ると、改善後(下)の-580MHz, -420MHz, -150MHz付近のシグナルにより細かい構造が見られた。ただし、パワープロードニングを抑えるためにpump光強度を弱くしたことによってS/N比は悪くなっていることが確認できる。
A.3 ロックインアンプ
ロックインアンプとは、ノイズに埋もれてしまうほど微弱な信号を観測するために用いられる測定機器である。その基本的な原理はヘテロダイン技術であり、特定の周波数の信号を直流に変換し、ローパスフィルタを通すことで測定したい周波数の信号だけを見ることができる。
A.3.1簡単な解釈
図A.11のような状況を考える。測定したい信号sin(ωreft)をロックインアンプに入力する。同時に測定したい信号と同じ周波数の参照信号sin(ωrert + δ)をロックインアンプのreferenseとして入力する。これら2つの信号をミキサーで掛け算すると、
sin(Wreft + δ)図A.11  ロックインアンプの簡単な構造時定数τ ≫ 2π/ωrefのローパスフィルタを通すと出力Voutは、
となる。すなわち、入力と参照信号の相対位相によって出力が変化し、δ = 0で最大出力となる。これだけでは微弱信号を検出できる理由がまだわからないので、入力に様々な周波数成分のノイズが乗っている場合を考える(図A.12)。参照信号は上の場合と同じで、単一周波数の正弦波である。図のように2つの信号を掛け算すると測定したい周波数の信号のみが掛け算のあとで直流成分として取り出せている。これを時定数の大きいローパスフィルタで取り出せば、ノイズを遮断して目的の信号だけを得ることができる。
A.3.2 飽和吸収分光の場合
ロックインアンプを用いた飽和吸収分光を考える。目的の原子に対してprobe光、 repump光を対向方向から重ね合わせて照射する。ただし、pump光には(sin(ωreft)+1)/2で振動するような強度変調をかけておく。そのprobe光をフォトダイオードで観測したときのシグナルVinは、
となる。VDopplerは、pump光なしでの吸収スペクトルであり、いわゆるドップラー吸収のシグナルである。VHFSはpump光が照射されることで生じるラムディップのシグナルである。今、周波数スイープの時間スケールを十分遅くしており、
に入力し、参照信号としてVref = sin( ωreft )を用いると、これらの類は、
となる。O(wref)は、ωrefのオーダーで振動する成分を表している。このシグナルをカットオフ周波数がωrefよりも十分に小さいローパスフィルタを通すことによってVHFSに比例したシグナルを得ることができる。
A.4 展望
今回、ヨウ素分子のドップラーフリー分光に成功し、そのエラーシグナルを用いて3DMOTができた。ただし、実用するにあたって解決すべき課題がいくつか残されている。まず、今回周波数安定化に用いたシグナルは複数の超微細構造の吸収線が混ざったものを使用していたことである。これは単に比較的信号の大きいシグナルを用いていたためであり、冷却原子実験に応用する場合は他の超微細シグナルとのオーバーラップが少ないシグナル(α1,α10,α15)を用いるべきである。これらのシグナルを用いて周波数の安定度を評価していきたい。次に、ノイズの低減化が必須である。ロックインアンプの性質上、非常に小さなシグナルを増幅させて表示している。そのため分光に用いている光の強度播らぎの影響がかなり大きくノイジーなシグナルが測定されている。強度安定化を施すなどして、ノイズの低減化に努めたい。その他に、今回のシステムに最適なフィードバック回路の製作、セル本体温度の最適化、D型ミラーを用いた複数回セルを通過する分光、TAをinjection lockingに変更するなどを行っていきたい。これらの課題が解決されれば、広い周波数領域での光源の周波数安定化システムとして満足に働くであろう。

B.1 回転波近似
周波数ωを持った単色のレーザー場
を考える。ここでεは偏光单位ベクトルである。この電場に位置の依存性が無いことに注意する。このアプローチは双極子近似もしくは長波長近似と呼ばれる。これは、レーザー場の波長が原子サイズに比べて十分大きいとする仮定である。cos(ωt)をオイラーの公式を用いて書き換えると、
とかける。すなわち、E(±)(t) α e≠iωtのように時間発展する。レーザー場中にある原子が分極し、双極子となっている状況を考える。原子核から見た電子の位置をr 。とすると、双極子ベクトルは
である。よって電場Eの中に置かれた原子に対する双極子相互作用ハミルトニアンは
となる。dは下降演算子σ = |g) ⟨e|を用いて次のように書ける。[14] d = ⟨ɡ|d|e⟩ (σ + σ†)
従って、原子と場の相互作用ハミルトニアンは、
となる。ここで、双極子ベクトルを以下のように変形する。
ここで、d(+) å σ, d(−) å σ†のである。 |e)がe−iωo†のように時間発展することを考えると、σ,σ†もそれぞれ、e-iωot,eiωotのように時間発展する。よって、d(+),d(-)もまたそのように時間発展することが分かる。これを踏まえると、以下のような近似が成り立つ。
これはω 0 + ω ≫ |ω 0 − ω |であるとき、ゆっくりとしたダイナミクスを見たい場合には、速く振動する項( ∞ e±i(ω +ω)t )は無視するという近似である。これを回転波近似という。式(B.2),(B.7)よりもう一度あらわに記述すると次のようになる。
ここで、
はラビ周波数である。
B.2 ライトシフト
原子の状態を次のように記述する。
ここで、cg,ceは状態の時間依存性を含んでいる。エネルギーの基準を基底状態|g)にとり励起状態とのエネルギー差をfiωoとすると、原子のハミルトニアンH Aは、
である。これと、相互作用ハミルトニアンB.9を足し合わせた全体のハミルトニアンHを用いたシュレディンガー方程式indt |ψ) = H |ψ)は、
であり、行列表示すると、
ここで、če = ceeiwt/2, čg = cge-iwt/2と変換する。これを用いてシュレディンガー方程式を書き換えると、
と書ける。これは回転系のシュレディンガー方程式である。このハミルトニアンを対角化し、固有値を求めると、
と求まる。δ ≫ Ωを仮定し展開すると、
と近似できる。ここでδ = ω −ω 0は光の離調である。非摂動状態の固有値±πδ/2からのずれ、±ßΩ²/4δをライトシフトと呼ぶ。これは、振動電場によるシュタルクシフトと捉えることもでき、ACシュタルクシフトとも呼ばれる。基底状態に対しては、U AC = h Ω 2 /4δである。ライトシフトについて、直感的な解釈を紹介する。原子核と電子を合わせて双極子であると考える。原子に光が入射すると原子は振動電場によって双極子となるが、その振動が電場の振動と比べて位相に遅れが生じることは容易に想像できる。周波数が共鳴周波数より低いとき(δ < 0)、電場はゆっくりと振動するので双極子の追従の位相遅れは小さくなる。その結果、双極子と電場が同じ向きを向いている時間が長くなるので、エネルギー的に得をする。反対に周波数が高いとき、電場の振動は早く、双極子の追従の位相遅れが大きくなる。これによって双極子が電場と同じ向きを向く時間が短くなりエネルギー的に損をする。図B.1,B.2はそれぞれ離調を負と正にとった場合のライトシフトの概念図である。 2つの正弦波の重なり(紫色で塗りつぶされた領域)が大きければ大きいほどエネルギー的に得をすることになる。ここで用いたδ ≫ Ωの仮定は光トラップなどで有効である。光トラップの離調は典型的にδ ～ 10 7 Γである。強度はI ～ 10 8 Isatであり、ここから求まるラビ周波数はΩ = Γ √ I/2Isat ～ 10 4 Γとなり、δ ≫ Ωがよく満たされている。一方でGray Molasses Coolingではδ,Ω ～ Γの状況であり、近似する前の式B.16をライトシフトΔEとして用いるのが妥当である。
Gray Molassesは基底状態| F , m F ⟩から、励起状態| F ′ , m F ⟩への遷移強度を考えることで理解できる。また、それぞれの基底状態から遷移できる励起状態には選択則と呼ばれる制限がある。この選択則によってどの励起状態にも遷移できない状態すなわち暗状態が生み出される。これらの事柄は、量子力学における角運動量の合成を学ぶことによって理解できる。この章では、角運動量についての基礎と、クレプシュ・ゴルダン係数の導出までを述べる。
C.1角運動量
C.1.1 角運動量演算子と固有状態
まず、x, y, z軸周りの角運動量を求める演算子として、Jx, Jy, Jzを考える。これらは次のような交換関係で結び付けられている。
ここで、
である。遇置換、奇置換はそれぞれαβγがxyzの偶数回の置換、奇数回の置換ということである。またこれらを用いて、全角運動量演算子Jが表せて、
式(C.1),(C.3)の関係式から、4つの演算子[J², Jx, Jy, Jz]の組み合わせに対して、2つの演算子に対する物理量のみを同時に決定することができる。また、これらの演算子には次のような交換関係が成り立っている。
これより[J², J]は同時固有状態を持つことができる。どの演算子に対して同時固有状態を考えるかは任意であるが、慣例的に[J², J₂]を選ぶことが多い。その同時固有状態についての[J², J2]の固有値をそれぞれ入j,入mとする。すなわち、
である。ここでj,mは同時固有状態を決めるための量子数である。次の小節からは、この固有値λj, λmの値を計算していく。
C.1.2 昇降演算子と固有値
量子力学における角運動量の議論をする際に便利な演算子を定義する。
これを昇降演算子と呼ぶ(J+を上昇演算子、J_を下降演算子と呼び、それらをまとめた呼び方が昇降演算子である)。式(C.4)から昇降演算子に対しても同様の交換関係が得られて、
である。J₂との交換関係も簡単に求めることができて、 [Jz, J±] = [Jz, Jx] ± i[Jz, Jy] = ihJy ± hJx = ±hJ±
となる。上昇演算子と下降演算子の交換関係も計算することができて、
と求まる。昇降演算子を固有状態| j, m )に作用させたものを考える。 J 2がJ 2と交換することを考慮すると、
すなわち、Jα | j,m ⟩もまた、J 2の固有状態であり、| j,m ⟩と同じ固有値を持っている。次に、式(C.9)の関係から
が得られる。すなわち、J ± | j, m ⟩もまたJ,の固有状態であり、その固有値はλm ± lである。これが昇降演算子と呼んでいる所以であり、J+はJ,の固有値の大きさをhだけ増加させ、反対にJ_はただけ減少させる。mは状態に対する任意のラベルであったが、そのmを用いて、λm = mhとする。これは、全角運動量のz軸への射影に相当している。改めて昔くと、
である。 J± | j, m ⟩の固有値がλm ± ћ = (m ± 1)ћであることから、
が得られる。ラベルmに対する制限を考えるために、次のような関係式を求めておく。
(C.15) | j, m ⟩で挟むと、 〈j, m 〉J ≠ J ≠ 〈j, m〉 = 〈j, m 〉[J 2 − J 2 〈J 2 ± fi〉]〈j, m〉 = λ j − m〈m ± 1〉ñ 2           (C.16)ここで、右辺はmが際限なく大きくなるとき、負の値をとってしまうが、 〈j,m〉J±J±〉j,m〉≥  0より、そうあってはならない。すなわちm は最大値を持っており、ここではそれをmmaxとし、
であると決める。式(C.15)を| j, mmax ⟩に適用すると、 J_J+ |j, mmax ⟩ = [J 2 − J 2 (J 2 + ñ)] |j, mmax ⟩
である。右辺は| j, mmax ⟩の性質から明らかに0であるので、 (C.19) J 2 | j, mmax ⟩ = J 2 (J 2 + ¯ ¯ i) | j, mmax ⟩ = mmax ( mmax + 1) ¯ i 2 | j, mmax ⟩となる。すなわち、λj = mmax(mmax + 1)h²である。任意のラベルｊをｊ＝ mmax(> 0)とすることによって、
が得られる。同様の議論によってmには最小値mminが存在することもわかり、 J- |j, Mmin} = 0 (C.21)を満たしている。そして同じ手法でm minの値が具体的に求まり、m min ＝ −jである。これらより、
が得られる。さらにmに対する制限を求めるために| j, − j ⟩にJ +を繰り返し作用させることを考える。そのときmの値は1ずつ増えていく(式(C.14))。そしてm = mmax = jに到達したところでmの増加は止まる。すなわち、mは連続的な価をとるのではなく離散的な値をとる。すなわち、
である。また、| j, − j)に対する整数回のJ+の作用でmがこのような変化をするためにはｊにも制限がかかり、ｊは整数もしくは半整数でなければならないことが分かる。式(C.15)に入jを代入すると、
が得られる。
C.2 角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数
2つの角運動量J1.J2の合成を考える。全角運動量はこれらの和で与えられ、J = J 1 + J 2である。ここで、J 1 , J 2は独立な自由度を持っており、
であるとする。この場合、J 2 , J 2 , J 2 2に対して同時固有状態が存在する。その同時固有状態を| j1 , m1 ; j2 , m2 ) = | j1 , m1 ) | j2 , m2 )と記述する。そうすると、 J 2 | j1, m1; j2, m2) = j1(j1 + 1)ñ2 | j1, m1; j2, m2) J 2 | j1, m1; j2, m2 | = j2(j2 + 1) ñ2 | j1, m1; j2, m2 | J1z | j1, m1; j2, m2 } = m1 ñ | j1, m1; j2, m2 } J2z |j1, m1;j2, m2} = m2ñ |j1, m1;j2, m2}
が得られる。また、全体の角運動量に対してJ 2 , J 2 , J 2 , J 2が交換するので、別のラベルを用いた同時固有状態| j 1 , j 2 ; j , m )に対して、
Jz | j1, j2; j, m ⟩ = m ñ | j1, j2; j, m ⟩も得られる。 j 1, j 2が明確である場合、 j 1, j 2; j , m } = | j , m }と省略して書くことがしばしばあるので覚えておく。次に、これら2つの基底での状態| j 1 , m 1 ; j 2 , m 2 ⟩ , | j 1 , j 2 ; j , m ⟩の間で変換することを考える。変換を記述すること自体は簡単であり、
である。すなわちこれは|j1,j2;j,m)を|j1,m1;j2,m2)の基底で展開しているということであり、その展開係数が（j 1 , m 1 ; j 2 , m 2 | j 1 , j 2 ; j , m |である。この展開係数のことをクレブシュ・ゴルダン係数という。逆の変換についても同様に、
が得られる。ここでJ 2がエルミートであることを踏まえると
であり、j' ≠ jの場合、クレブシュ・ゴルダン係数は0になる。よって、j1, jによる展開は、j 1 ＝ j 1 , j 2 ＝ j 2の場合のみ考えればよい。さらにJ 2 ＝ J 1 2 ＋ J 2 2もエルミートで
m = m1 + m2
が得られる。これは角運動量の保存を意味している。また、jのとりうる値にも制限がある。2つのベクトルJ1,J2の足し合わせで、長さが最も長くなる時と最も短くなるときに対応しており、
である。以上から基底の変換則が導かれ
となる。右辺の内積がクレブシュ・ゴルダン係数である。