第12回基礎ゼミ混雑課金とNWモデル2018年6月21日福田研五百藏夏穂*次善料金政策での最適混雑料金(大阪都市圏でのケーススタディ) *確率的利用者均衡条件下での最適混雑料金(赤松[1988])
▶▶▶ 2位置づけ1組のODが複数のリンクで直結実際の道路は2次元のネットワークここからは，，実際のネットワークに混雑課金を適用する際のモデルと効果に関する分析を行う
▶▶▶ 3過去の研究May and Milne [2000]イギリスケンブリッジでネットワークを対象としてコードン，距離比例制，システム最適を計算（コードンは料金，位置ともに所与） Santos et al [2001]イギリス8都市でコードンの効果を計算(コードンの位置固定,料金は最適化) Verhoef [2002]ネットワーク中の課金すべきリンクと料金水準の最適な組み合わせZhang and Yang [2004]コードンを横切るリンクの集合を内生的に求め，上海のネットワークに適用
▶▶▶ 4道路課金の種類ここでは交通ネットワーク均衡モデルを用いて,コードンプライシングと高速道路料金の効果を比較分析するコードンプライシングエリアプライシングシンガポールロンドンアメリカ日本
▶▶ 5モデルトリップ費用
xa=Er Es Ej δ ars Grsネットワーク均衡時使われている経路のトリップ費用はすべて同じCrs-Crs ≥ 0 qrs (crs-Crs) = 0 9's ≥ 0 Qrs = Irsこの時，rs間の総トリップ数Qrsについて以下の式が成り立つD-1 (Qrs) = Crs I:ゾーン数L：リンク数xa：リンクaを流れる交通量trs：ゾーンrs間j番目経路の所要時間tfs :ゾーンrs間j番目経路の道路料金Qrs：ゾーンrからsへの交通量Drs 1：逆需要関数α：時間価値qrs：ODペアrs間のj番目経路を選択したトリップ数Ars：ODペアrs間で利用可能な経路集合これらを満たす,リンク交通量，経路交通量, OD交通量，均衡交通費用の組→状態や厚生を評価できる
無料金均衡の場合    τα=0 for all a
社会的余剰最大化問題
▶▶ 7次善の料金政策（一般的定式化）ネットワークの一部のリンクでのみ料金を徴収それらのリンクにおいて料金水準を最適に設定Drs 1 (z)dz − α  →  ta(xa(τ)) xa(τ) aEA s.t.  τα ≥ 0 for a ∈ H τα = 0 for a # H τ = (τι,τα,…,τι) Hは課金するリンクの集合課金がされないリンクでは，制約が課せられるので，事前の解となる代替的な次善料金方式として，それぞれの方式に対応するHを特定する
▶▶▶ 8コードンプライシングrQrs(t) D-1 (z)dz – α  → ta(xa(t))xa(t) <0 aEA *単一コードンτα = τς for a ∈ H τα = 0  for a # H Hはコードンを横切る全リンクτが同額で課せられる＊多重コードンTα = τcm  for a ∈ hm τα = 0  for a # H M本のコードンラインが引かれたとすると,課金されるリンク集合Hはhm,m = 1,2,...Mにわけられるそれぞれはm番目コードンを横切るリンク集合同額τcmが課される
▶▶ 9高速道路料金r Qrs(t) D=1 (z)dz — α ta(xa(t))xa(t) aEA FC ＊均一料金ta = τς for a ∈ H τα = 0  for a # H Hはオンランプリンクの集合＊ゾーン料金ta = th for a E hm τα = 0  for a # H hmは料金ゾーンmに属する高速道路のオンランプおよび料金所境界を横切るリンク集合
▶▶▶ 10大阪でのケーススタディ対象地域とゾーン区分対象地域は36ゾーン241ノード・630リンクからなるネットワーク高速道路ネットワーク
▶▶ 11リンク走行関数・トリップ需要関数の特定化＊リンク走行関数
Wa：リンクaの交通容量v=0.48 ,β=2.82 *需要関数Drs(Crs) = d・nr・ngs・exp(−γ・Crs)       nr,ns：昼間人口1994年の全国道路交通センサスデータを観測値としてパラメータ推定パラメータ推定結果d = 0.00024(15.0503) θs = 0.6055(10.2505) γ = −0.00074(−24.8606) R² = 0.5430
▶▶ 12無料金均衡とシステム最適システム最適により平均トリップ長の減少→短いほど外部効果が小さい平均速度の上昇→9.52/30.2[km/h]-8.62/21.2[km/h] 29％上昇
社会的余剰は5億9500万円すくない(混雑による1日当たり損失額) (改善可能な便益の最大値)相対的改善次善料金でどのくらい近づけられるかの指標相対的改善=
現行の政策による2億6700万円は社会的最適化の44%に当たる
▶▶ 13
単一コードン・都心：300円・都心周辺：500円・大阪市全域：700円社会的余剰は大阪市全域で最大(相対的改善は65.6%)多重コードン・都心：100~200円・都心周辺：100~200円・大阪市全域：500~600円3つ通過すると1000円ほどの課金になる(相対的改善は77%ほど)車一コードンでの結果

多重コードンでの結果

▶ ▶ 14高速道路料金均一料金900円で最適(現行料金は過小)ゾーン料金：2ゾーンシステムシステムCが効果的(相対的改善53.8%)コードンに比べて効果が小さい→課金を回避する経路選択が可能で制御対象が限定コードンに比べて消費者余剰の減少が小さい→同水準の混雑緩和便益のために消費者余剰減少は少なくて済むゾーン料金：4ゾーンシステム2ゾーンでの上位結果
4ゾーンでの上位結果
相対的改善が2ゾーンより大きいのに対して，消費者余剰の減少は小さい→詳細な料金システムの設計で，利用者損失を抑えながら混雑緩和できるかもしれない
まとめ交通流動を記述するモデルを大阪都市圏に適用し次善の料金政策の効果を分析した*都心部・都市周辺・大阪全域の単コードンでは,大阪全域コードンで社会的余剰が最も改善効果が発揮された. *3重コードン制では，中心部へ全てのコードンを通過する場合1000円程度徴収するのが最適、厚生改善は77％ *高速道路におけるゾーン料金制は厚生改善効果は小さいが,同程度の厚生改善を期待する場合，利用者の余剰減少は少なくて済む
赤松・桑原[1988]確率的利用者均衡条件下での最適混雑料金交通経済学及び交通ネットワーク均衡理論における混雑料金理論,限界費用原理利用者の行動・料金の設定条件，需要関数の現実を簡略化したものでしかないもっと現実に即すには… ①費関数の過程ex)リンクコストが他リンクの交通量に依存する場合→限界費用原理は成立②交通流に関する過程ex)違う車種が同一リンクに流れる場合→限界費用原理は成立しない③料金の設定制約ex)次善の問題→ケーススタディにとどまるこの研究では，個人行動の不確定性を考慮する最適：総走行時間最小化確率的利用者均衡状態：交通量に応じてその所要時間が変化するネットワークにおいて，すべての利用者が自分が経路を変更することにより認知する所要時間を改善することができない状態
最適化問題としての定式化
Crs =  t (crs,…,crs,…)経路交通量とリンク交通量
rs経路の一般化費用とリンクの一般化費用
設定状況・計画者は利用者に対して各リンクごとに料金を課す・利用者は認知の一般化費用を最小化する経路選択を行う・一般化費用は所要時間と料金の和-般化費用は誤差工を含む・リンク所要時間はリンク交通量に関して単調増加で凸な関数・総需要固定利用者行動と交通フローパタンを表現prs = Prob(Crs ≤ Crs,k ≠ l) Crs = crs + crs Crs:認知一般化費用ξrs:確率変数（誤差項） Ca=Ca(Xa) frs = qrsPrs grs:ODペアrs間の全交通量これらを同時に満たすネットワーク配分がSUE（確率的利用者均衡配分） :リンク交通量:リンク費用:経路交通量:経路費用
SUE配分は以下の最適化問題と等価
混雑料金dを付加することによるSUEフローパターンx総走行時間最小化
ゲーム理論であればStackelberg問題の形目的関数・制約条件が凸関数であれば解けるZnが凸ではない見方を変えて最適化の時のx oがSUEの時のに一致すればよいはず…般化費用についてのSUEと所要時間についてのSOが一致するための必要十分条件を導く方針にする
最適性条件SUEと等価な最適化問題と双対な問題
S*sはS*sの共役関数  S*sはS*sの共役関数Prsは各経路の選択確率を要素としてもつベクトル
SO問題の目的関数と一致！
最適性条件SUEが達成されている時任意のODペアについて
変形して偏微分
一般化費用についてのSUEと所要時間についてのSOがや-致している状態で条件式が成立していなければならないdSrs (Prs) Srs(tys + ers) dPrs SOの時の期待最小一般化費用SOの時の限界所要時間SOが達成されている時使用されている経路の限界経路所要時間は等しい各ののペアで使用されている経路の限界経路所要時間は等しい∂S*s (Prs) rSo — t o dprs
△ 21最適経路料金ロジットベースSUEで最適経路料金を求めるdS*s (trs + ers) = trso + ers - trs dprs経路料金は一般的にdS*s(Po) rSo · t k dprs ersが未知変数他は経路所要時間・交通量から知れるんロジットモデルにおける期待最小費用関数Srs(crs) = filn > exp(-θcrs) Pk ln Pk Ar,s S*s(Prs) = A θは認知費用の確率変動の大きさを表すパラメータ確率的選択によって生じる付加項最適経路料金rSo ln – 1 Ak,r,s prSo従来の混雑料金式の一般化式
▶▶▶ 22最適リンク料金最適リンク料金d°の存在と唯一性について検証・経路選択確率が0に近いと経路料金が無限大・SOでリンクフローは唯一に求まるが，経路フローは唯一ではない*リンク交通量xと経路交通量fの関係*リンク料金dと経路料金eの関係最適経路料金e oと最適リンク料金ƒ oの関係Prs = exp(−θcks) / →  exp(−θcms)  ∀r,s,k mリンク料金dとリンク交通量xの関係を導くわかりやすくするためにODペアを区別しない表記に統一K：全経路（通し番号） L：全リンクN：全ノードΔ：δακをa行k列要素とする接続行列（L×K）
▶▶ 23リンク交通量xと経路交通量f x = Δf Δはδακの定義とリング交通量保存から階数がL-N 01 [Er A ≡ PΔQ = L 0 0」 P: L × L行列Q: K × K行列両辺左からPをかけて  ¥ ≡ Px f ≡ Q-1f → f = Q f ƒの要素のうちL-N個は(x 1 ,…,x L-N )によって決まり残りのK-(L-N)はxによらない任意の変数λ f1(x,λ) f = fl-n(x,λ) λ1 λκ−(L−N)リンク料金dと経路料金e e =  tΔd両辺左からtQをかけてē= tAÃ ě ≡ t Qe d ≡ ( t P)-1d dの要素のうちL-N個は(e 1 ,…,e L-N )によって決まり残りのNはeによらない任意の定数μ d1(e1,…,el-n,µ) d L - N (e1, … , eL - N , µ ) d= μ1条件∑ j=1 Qkjej = 0 (k = L − N + 1,… K)ムカ
最適経路料金eoと最適リンク料金foの関係認知費用の誤差項が経路ごとに独立とするとf 0からe 0の写像関係には経路ごとに独立しているek = Ψκ[fk(x,λ)] ψ1[f1(x,λ)] Ψ L-N [ fL-N (x,λ)] eo . ψ L- N+1 λ 1 ] ψκ [λκ-(l-n)]
リンク料金dとリンク交通量xの関係
最適リンク料金d°のN個の要素はx°に依存しない任意の定数μとなり，残りのL-N個はx°,λ,μの関数d1 (x°, λ, μ) d L − N ( x ° , λ, μ) d° = ll1 ԱN最適リンク料金d°のN個の要素はx°に依存しない任意の定数μとなり，残りのL-N個はSOリンク交通量x°,μに関して一意に求まるd1(x',μ) d L − N ( x ° , μ ) do = ll1 Ա N e⁰とƒ⁰の関係式，ƒ⁰からe⁰の写像，制約条件λ1,…λκ-(L- N )は任意の値でよい変数ではなく, x⁰に対して一意的に決まる
25  25簡単なネットワークへの理論の適用K=6 0
0 L-N=4 N=1
P: 5 × 5行列
Q: 6 × 6行列
例г 1 0 0 0 P =リンク交通量から経路交通量が求まるf1 = x1-x4-x5+λ1+λ2 f2 = X4-X1 f3 = x5-λ2 f4 = x2-(λ1+λ2) f5 = λ1 f6 = λշ経路料金からリンク料金が求まるd1 = e1 − μ d2 = e4 = μ d3 = μ d 4 = −e 1 + e 2 + μ d5 = −e1 + e3 + μ経路料金の式ek = tk - tk + g ln (リンク料金に分解し書き換えるとdta l+1 da = Xa | idxa確率的付加項α = (α 1 ,…,α 5 )はα 1 = ln q − ln{x 1 −x 4 −x 5 +λ 1 +λ 2 } − μ α 2 = ln q  — ln{x 2 +(λ 1 +λ 2 )} — μ α 3 = μ α 4 = ln{x 1 −x 4 −x 5 +λ 1 +λ 2 } − ln(x 4 − λ 1 ) + μ α5 = ln{x1-x4-x5+λ1+λ2} — ln(x5 — λ2) + μリンク料金が存在するための制約条件e1 — e2 — e4 + e5 = 0 e1 — e3 — e4 + e6 = 0 SO状態でのリンクフロー限界所要時間を代入すればX2X4 X2X5 ^2= λ1=一X1+XっSUEに対する最適料金が求められる！ 1 0 = 0 0 0 0 1 q:OD交通量0
簡単なネットワークへの理論の適用q = x1+x2 = x3 + x4 + x5 = 1 ti = aixi + biパラメータa, bのもとSOを計算総走行時間:1.793
SOでのフローと減価哀所要時間からUE,SUEでの最適リンク料金を計算( μ =1.0 ,θ =5.0)料金付加なし→総走行時間はSO時より大きい
料金付加あり→総走行時間はSO時と一致
まとめ*確率利用者均衡条件下でも適当な経路料金を設定することで、ネットワークにおいて通常のSOフローパターンに一致させることができる*任意のネットワークに適用可能にするには、一般化費用のもとでSUE状態を表す方程式に期待最小一般化費用がSO状態で限界所要時間と等しいことを示す条件を付加する*ロジットベースSUEでは限界費用原理を包括する一般化式で表現できる*ロジットベースSUEではノード数のリンクに任意の料金を設定すれば残りのリンクの最適リンク料金は一意に求まる。