1）表が出る確率をp = −
幾何分布の形に合わせると
《注意》何人かの学生が解答を「１－（衷が３回出る確率）」としているが、これでは「衷が３回ではない確率」＝「表が１回以外になる確率」となる。数理統計学において、確率の値は既約分数（これ以上約分できない分数）または有効数字３桁以上で答えることとする。既約分数でない場合や、有効数字が３桁に満たない場合は１点減点となるので注意。有効数字については衷面を参照のこと。
有効数字について
工学の世界では実際に何かを測定した場合、有効数字として記入された桁数までは信頼できる値であることを示しているため、有効数字を正確に取り扱うことは非常に重要である。本来であれば、途中計算の桁数や最終結果の桁の処理方法（いわゆる四捨五入や切捨て等）に関しても色々と細かい計算規則があるが、この授業ではごく一般的に用いられている有効桁数＋１桁目を四捨五入したものと考える。
l ）有効数字の桁数について
有効数字の定義はいくつかあるが、ここでは簡単に先頭から連続した0を除いて、残った数字の数を有効数字とする。例えば12.345 →有効数字５桁0.123   →有効数字３桁←左側にある“ 0. ”の部分は有効桁数として数えない←左側にある“ 0.00 ”の部分は有効桁数として数えない0.0012 →有効数字２桁のようになる。次に1万や1億などの大きな桁数の数字の場合で有効数字の桁数を本来の桁数よりも小さくする場合は、次のようにする。 l万を有効数字３桁→ 1.00 × 10 4 “ 10,000 ”と書くと有効数字５桁になる7億2千万を有効数字2桁→ 7.2 × 10 8          “ 720,000,000 ”と書くと有効数字9桁になるつまり、a.bcd × 10ªの形で書くと有効桁数が分かりやすい。 12.345   →   1.2345 × 10 0.123 0.0012   →   1.2 × 10−3注意） 1万を有効数字3桁書く場合、右側の「0」には意味があるので、間違っても消してはならない。
2）演算による有効数字の変化
有効数字を考慮した場合四則演算によって有効数字の桁数が変わる場合があるので注意が必要である。特に有効数字の桁数が違うものの演算を行ったとき、ほとんどの場合において精度の悪いほうに揃う（つまり有効桁数が上がることはない！）。また同じような数の引き算を行うと、有効桁数が低くなるので注意が必要となる。この授業においては、特に断りがなければ有効数字３桁以上で答えることとする（演算による有効数字の変化については特に厳しく見ない）。有効数字が良く分からない場合は、とりあえず電卓の結果をすべて書き表せば試験では正解とする。ちなみに、有効数字の桁数が足りない場合（注意：電卓の結果が「0.25」の場合の解答は「0.250」となる）、および分数で記入した場合に既約分数（完全に約分されている）で無い場合は減点の対象（通常－１点）となるので、注意してください。
・確率分布と連続型確率の計算について確率分布の定義は離散型、連続型を問わず、次のようにx以下になる確率で定義される。
のことをXの確率密度関数と呼ぶ。このとき、連続型の確率は積分を使って
で計算できる。この式から連続型において一点ヵになる確率の値は０であることがわかる。さらに、P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)である。 ・確率分布の例（連続型の場合） ・一様分布(パラメータはa, b)ある区間[a,b]で一様に分布している。実際には確率密度関数が常に一定の分布。
別
・指数分布(パラメータは入)統計でよく用いられる基本的な分布の一つ。到着時間間隔の分布などとして使われる。
また、指数分布は無記憶性P(X > t + s|X > t) = P(X > s)を持っている。別λ = 1の指数分布に従う確率変数Xが区間(2,3)に入る確率
統計で最も用いられる基本的な分布。身長・体重や誤差の分布などとして使われる。
また、正規分布はN(μ,σ²)と書くことが多い。特にN(0,1)を標準正規分布と呼ぶ。 －正規分布の確率計算－一般に正規分布の確率密度関数は定積分することができないので、コンピュータや近似値の表を使って計算する。「R」を使った計算は来週行うので、ここでは表を使った計算法を示す。例 確率変数Xが正規分布N (5, 2²)に従うとき、区間[2, 6]に入る確率1．表は標準正規分布の確率の値のみなので、z = x二片で変換する。 σ x − 5で変換すると区間は[²≒5, 6≒5] = [−1.5, 0.5]となる。 z ＝つまり、正規分布N(5, 2²)に従うとき、区間[2, 6]に入る確率と標準正規分布N (0, 1²)に従うとき、区間[−1.5, 0.5]に入る確率が等しい。 2．表はP(0 < z ≥ a)なので、0からの確率になるように変形する。 [−1.5,0.5]を0で分割して[−1.5,0]と[0,0.5]の2つの確率の和と考える。また、正規分布は左右対称なので、[−1.5,0]と[0,1.5]の確率は等しい。 ３．表の値を読んで確率の計算をする。 P(2 ≤ x ≤ 6) = P(−1.5 ≤ x ≤ 0.5) = P(−1.5 ≤ x ≤ 0) + P(0 < x ≤ 0.5) = P(0 ≤ x ≤ 1.5) + P(0 < x ≤ 0.5) = 0.43319 + 0.19146 = 0.62465 = 0.625 ・Ｒのインストールチェック・Rが起動するかチェック・Rを起動したとき、日本語が文字化けしていないかチェック(日本語を使うときはフォントをMS Gothicにするのがお勧め。編集→ GUIプリファレンスのフォントを変更） ・簡単な式（例 1+1）を入れて答の確認•「demo(graphics)」と入力して、デモの動作確認上記のことが全て動作すれば問題なし
・Rの簡単な使い方
· [0, 1]の一様乱数を１０個発生runif(10) ・データを入力してヒストグラムを書くx <- c(11,13,17,20,25,27,28,30,31,33,32,27)  ←括弧の中身は何でも可hist(x) ·一様乱数のヒストグラムを書くx <- runif(100)  ←括弧の中身は乱数の数hist(x) ・標準正規分布に従う乱数のヒストグラムを書くx <- rnorm(100)  ←括弧の中身は乱数の数hist(x) ・三角関数(sin x )のグラフを描くcurve(sin(x),-5,5) ・標準正規分布のグラフを描くcurve(dnorm(x),-4,4) ・標準正規分布従う乱数のヒストグラムと標準正規分布のグラフを描くx <- rnorm(100) hist(x,xlim=c(-4,4),ylim=c(0,0.5),freq=F) par(new="T")  ←グラフの上書き命令curve(dnorm(x),-4,4,ylim=c(0,0.5)) ・おまけ　ヒストグラムの幅を固定hist(x,breaks = seq(-5,0.5)) ← —5から5まで0.5刻みで
2019年度数理統計学Ｎ科   小テスト解答用紙2019.10. 9 ・連続型確率の計算次の確率の値を求めよ1 ）区間[−2, 4]の一様分布において、区間[1.2, 3.3]に入る確率。 2）パラメータ入＝ fの指数分布において、区間[3, 12]に入る確率。 3 ）μ = 0,σ² = 1の標準正規分布N (0,1)において、区間[−1.89, −0.15]に入る確率。