Key words: Pattern Design, R.Penrose, M.C.Escher
変旨

Summary

1.はじめに
本稿は平成13年度に発表した『ベンローズの非周期的パターンとエッシャー・パターンに関する考察』[注1]に続くものであり、本稿の研究目的は前稿で得た考察をさらに深めていくことにある。前稿では、イギリスの数理物理学者ロジャー・ペンローズが提示した非周期的パターン（以下ペンローズ・パターンと称する）を題材にとりあげた。このペンローズ・パターンでもちいられる図形は、内角が36度と144度のひし形と、内角が72度と108度のひし形である（図1）。この２種のひし形はさまざまな組み合わせができるが、ペンローズはひし形に図２のベクトル表記による組み合わせ条件をつけた（以下ペンローズ・ルールと称する)。この条件をもとに組み合わせていくと、数学で定義されるところの周期性をもたない（平行移動に関する対称性がみとめられない）非周期的パターンができあがる。前節では、その組み合わせ条件のアイデアに着目し、他の組み合わせ条件を探ってみた。その結果、必ずしも“非周期的のみ”を限定させなくても、デザイン的に魅力ある他の組み合わせ条件の存在を一部確認することができた。同時に、次なる問題も生じてきた。ひとつは、ペンローズがしめした条件以外に、いったいどれだけの組み合わせ条件のバリエーションがあるのだろうか、という茶朴な疑問である。もうひとつは、未だみたこともないユニークな組み合わせが、この先無数にあるかもしれないという期待である。そこで本稿ではペンローズが提示した２種のひし形に対して、その組み合わせ条件の解明をこころみることにした。デザインの立場からパターンをさぐる際、数学者たちの“非周期的にのみ”というこだわりは十分に魅力的ながらも絶対条件とはならない。デザインの領域では、「美しい、楽しい、あたらしい」などの感性基準にくわえてデザインとして適用させやすい物性基準を満たす条件をさぐるのが課題であり、現象の論理化や法則化に目的があるわけではない。だがデザインとしてみても興味深く、かつ科学者たちが求める要求を満たすものがあれば、さらに申し分ないことであろう。ペンローズ・パターンが、それらを同時に満たす希有な例であることはいうまでもない。ペンローズは「美しいアイディアは醜いアイディアに比べて、正しいアイディアであるチャンスははるかに大きい」と述べている[注2]。これは、そのままデザインの世界にもあてはめられる言葉として攻撃に受けとめていきたい。さらに前稿では、オランダのアーティストM.C.エッシャーがこころみた島や魚などのかたちで隙間なく埋めつくされたパターン（以下エッシャー・パターンと称する）も題材にとりあげた。そして前稿ではエッシャーがこころみた数々のパターンを、今後も継承すべきデザイン・パターン課題として捉え、誰もがエッシャー・パターンに変換できる方法および作例を提示した。本筋においても引き続き、できる限りエッシャー・パターンへの変換をこころみることにする。
2.組み合わせバリエーション
(2種のベクトル表記、裏返しなしの場合)
ペンローズが提示した組み合わせには、2種のベクトル表記が用いられており変返しなしという条件がつく。この２種のベクトルというのは、エッシャー・パターンへの変換をこころみる際、成形にあたり２種の線が使用できることを意味する。それは前稿で提示した図3-aのペンローズ・ルールと、それをもとに変換した魚と鳥の絵をみればあきらかである。前稿では図3-bという組み合わせのバリエーションも提示した。図3-aと図3-bの違いは太線で表示したベクトルの位置のみである。ただそれだけの違いでも、エッシャー・パターンへの変換をこころみる際の成形におよぼす影響は大きい。図3- aでは変換しやすいかたちとして魚と鳥が創出されたが、図3-bでは、鳥の変わりに動物のかたちが得られた。組み合わせを限定させるベクトル表記を眺めているだけでは、
予想がつかない図形変換の世界があるということを、ここであらためて確認しておきたい。さて、前稿では図3-a →図3-bとベクトル位置を変えるにとどまったが、本稿では、同じ条件でさらにバリエーションをさぐってみた。その結果が図４である。この際の条件とは、①２種のベクトル表記を用いて、②変返しなしで、さらに③ベクトルの凹凸がそれぞれペアで存在すること(③を満たしていないと組合わせが成立しない)である。図4-aにおいて、回転させたり攻返しをして重複するものを除いた結果、得られたA〜Jの10種のバリエーションを樹系図的にしめす(ペンローズ・ルールをもとにベクトル位置を変えた箇所を太線で表示した)。同様に鋭角36度のひし形においても、ペンローズがしめしたベクトル表記をもとに得られた1～10のバリエーションを樹系図的にしめす（図4-b）。A〜Jと1〜10の組み合わせは100通りになる。図4のなかでペンローズ・ルールはAと1、図3-bのバリエーション・ルールはAと3の組み合わせとなる。つまり前稿においては、100通り考えられる組み合わせのなかで2通りの組み合わせにしか触れていなかったことになる。そこで他の98通りの組み合わせを試した結果、表１を得た。表1で、しきつめによる組み合わせ不可を×印およびグレー
で表示した。残りが、何かしらのパターンで組み合わせ可能となる。表1をひもとくにあたり本稿ではPI〜P4およびPP（ペンローズ・パターン）という分類をこころみた（図5)。辺の長さが共通で、角度の異なる２種のひし形の組み合わせを考えるとしたら、通常、図５のPI〜P4の組み合わせが思い浮かぶ。そして結果判断からもPI～P4を基本組み合わせとする分類法は都合がいいことがわかり、本稿ではこれを採択した。さらにペンローズ・パターンがおさまる項目としてPPという分類を設けた。基本組み合わせとしては、通常は思いつかない。ペンローズならではの第５の組み合わせともいえる。
3.表記上の注意点
表1をみるとP1、PPの組み合わせが8通りでてくる。またP2、P2,3、P4の組み合わせも、それぞれ４通りでてくる。まずはこの問題を考えてみたい。表1ではA-1、A-4、B-2、B-3、C-2、C-3、D-1、D-4の組み合わせがペンローズ・パターンとなる。このうちペンローズが提示したのはA-1のみである。その他にペンローズ・ルールが7通りもあるのは、いったいどういうことなのか。これを具体的にさぐったのが表２である。もしもペンローズ・ルールが複数あるとしたら、それをもとにエッシャー・のパターンに変換させる場合、都合がいい。なぜならば２種の線だけでかたちを作るのは難しい課題であり、ルールが多ければ多いほど納得いくかたちを得やすいからである。当初そのように考え、それぞれのペンローズ・ルールをもとに図形変換をこころみた結果、なぜか似たようなかたちが複数でてきて困惑した。そこで問題を整理するために、同じ自由曲線をもとに複数のかたちを作って確かめた（表２における成形a〜dの太線表示）。成形aの2本の自由曲線を、それぞれを180度ずつ回転させて、同じペアがあらわれないようにしたのが成形b〜dである。そして、それぞれを８通りあるペンローズ・ルールのベクトル表記に対応させて、できあがったかたちを表２に列挙した。表２において、それぞれ重複したかたちがあらわれる。そこで同じかたちを仕分けられるよう、図中にI～IVの識別番号をつけた。すると、どの横一列をとっても順不同ながら必ずI〜IVが出揃うことが確認できた。つまり８通りのペンローズ・ルールは、どれも同じ移動操作をしめしていたことがわかった。成形a〜dの逢いは、たまたま、はじめに描いた線の違いだけとも解叙できることから、いずれかの横一列をもって代表させて構わないのである。他に表1で、P1が8通り、P2、P2,3、P4の組み合わせが4通りでてくるが、同じように、どれかひとつに代表させても構わないことを確認した。前稿P.35、図21においても指摘したことだが、ベクトル表記による組み合わせ条件のアイデアには、このように同じ結果をもたらすにもかかわらず、異なる表記が複数存在するという問題点がある。エッシャー・パターンへの図形変換をこころみる際、ベクトル表記は手がかりとしてとても有効であるだけに、このベクトル表記特有の問題点には注意していきたい。
4.組み合わせの特徴
(2種のベクトル表記、裏返しなしの場合) 2種のベクトル表記、裏返しなしというペンローズ・ルールと同じ条件で、ベクトル位置を変えた組み合わせのバリエーションを確かめた結果、それぞれ特徴ある組み合わせがあらわれた。以下、特徴をまとめておく。
4.1. [20]の組み合わせ
表1においてP1の組み合わせができるのはA-2、B-4、C-1、 D-3、E-4、F-3、G-2、H-1である。このなかでA-2、B-4、C-1、 D-3は図6-aのように回転対称による組み合わせが可能となる。その場合、鋭角が36度のひし形を中心にもってくることはできない。もちろん図6-bのように単調に組み合わせることもできるが図6-aとbを混在させて組み合わせることはできない。Plの単調な組み合わせは、図6-cのように変化をつけることができる。以下、エッシャー・パターンに図形変換させた作例もあわせて載せておく。
4. 2. [R]の組み合わせ
次に、表1においてP2の組み合わせができるのはA-3、A-7、 B-1、B-5、C-4、C-8、D-2、D-6である。図7-aのように単純に組み合わせていくこともできるが、図7-b,cのように回転対称にP12、P1:3、P1:4などがあってもよさそうなところ、P2:3以外に同時にできるものはみあたらない。このタイプの組み合わせが前編を書くきっかけになったが、偶然にも稀少なタイプにめ
ぐり会っていたことがわかった。
4.4. [F]の組み合わせ
表1においてP4の組み合わせができるのはI-9、I-10、J-9、J- 10である。図9-aをみるとわかるように単調な組み合わせとなる。しかし図8-bと同様、単調な組み合わせに変化をつけることができる（図9-b）。 4.5. [F]の組み合わせペンローズ・パターン（図10）に関しては前編P.30 − 31で詳しく述べてあるので、本稿では次の点を指摘しておきたい。 P23においてはP2とP3の組み合わせが混在可能なためユニークな組み合わせができた。同様にペンローズ・パターンも、 PlとP2の合体で構成されているからユニークな組み合わせができた。とするならば、今後ユニークな組み合わせを探る際、 PI〜4のような基本的な組み合わせが混在あるいは合体可能か否かが重要な手がかりになるかもしれない。以上、同じ組み合わせのなかでI-9、I-10、J-9、J-10などと複数でてくる場合は、いずれかひとつに代表させて構わない。先に述べたとおり、ベクトル表記は異なっても得られる結果は同じだからである。 45ラン  25バン10 4 1 2 2 4 10 3 4 18 2 4 2 ) < 3 > < 1 > < 1 > < 1 > < 1 > ) 4 1 o 435 > 425 > 425 > 429 >   < 2 > < 15 > < 15 > < 15 > 8 ショーズ16 ショーズ16 ショーズ17 ショーズじると、そのようなどの>< 4.35 > 4.05 < 51 > 4.05 > < 2022 < 2022 < 2022 0 < 37> < 45> < 37> < 61> > < 30 > < 4 > < 5 > < 5 > &うようなどのなど55ショー 2 2015年48月15, 2015 < 15  3 45  625 4  74  4  825 4  90  4ないというようなら、 15 08図11  表記上のバリエーション
5.組み合わせのバリエーション
(2種のベクトル表記、裏返しありの場合)ペンローズ・パターンを提示するにあたりペンローズは２種のひし形に、2種のベクトル表記、裏返しなしという条件をつけた。この２種のひし形で、２種のベクトル表記、変返しなしという条件のうちの“変返しなし”を取り払ったらどういう組み合わせが登場してくるのか。以下、2種のベクトル表記で裏巡しありの場合を考えてみたい。ベクトル表記の組み合わせにおいて、条件がひとつ変わるだけで考えられる組み合わせの数は指数的に変化する。①２種のベクトル表記を用いて、②ベクトルの凹凸がベアで存在し、③裏返しありが条件となる場合、その組み合わせ数は指数的に増加する。そこで③に関して、２種のひし形における変返しの辺の数に条件をつけて、組み合わせ数の絞り込みを考えてみた。たとえば双方のひし形の四辺において、東返しが奇数どうし、あるいは偶数どうしでペアで変返されていないと組み合わないのではなかろうかと考えた。しかし図12ような場合でも組み合わせが成立することから、まずは総当たり的に列挙してみた。その結果、ベクトル表記上、ひとつのひし形において96のバリエーションを得た（図11）。このバリエーションを得るプロセスは、続編で詳しく述べることにする。ひし形は２種あるので総当たり的に検証するとなると96×96 = 9,216通りの組み合わせになる。これは仮に毎日10通りの組み合わせを検証したとすると、すべての数を検証し終わるまでに約３年間要することになる。このような量に対して、まずは統計学的アプローチをこころみることにした。ランダムにピックアップした組み合わせ結果
5.3. [2]の組み合わせ(裏返しあり)
2種のベクトル表記、英返しありという条件で、典味深いあらたな組み合わせが登場してくるのはP2のタイプではなかろうか。2種のベクトル表記、変返しなしの条件ではみることのできなかった組み合わせが可能となる。たとえば図15-a,b,cのような組み合わせ結果を得ることができた。この図15-a,b,cは同じP2でありながら、図16のように回転対称による組み合わせはできない。だが、ここには図7-aのようなP2の単調さがみられない。表と裏が複雑にかみあった様相がみてとれる。パズルゲームなどで、はじめに解答をみてしまうとプロセスの楽しみは半減してしまう。それと似たように、この図15-a,bに関しては、まさかこんな組み合わせができるとは予想できなかっただけに、結果を得るまでのプロセスを楽しむ（苦しむ）ことができた。他に組み合わせ不可としたなかに、予想もできなかった組み合わせが存在しているかもしれない。図16はP2の組み合わせで、回転対称による組み合わせも可能となるタイプであり、同様の結果を得る組み合わせがいくつかあるなかでも衰返し箇所がユニークなものを澄んで載せた。いわば冈７の裏返し版といえる。図16-a,b,cは、そろぞれを混在させることができないところも図7と同様である。 5. 4. [国の組み合わせ（裏返しあり） “褒返しなし”において、P3のみの組み合わせはできなかった。しかし“東返しあり”ではP3のみの組み合わせを得ることができた。図17-aをみると図5のP3と若干界なるが、ここではP3の分類におさめた。 5.5.国国の組み合わせ（裏返しあり） “衰返しなし”において、特に柔軟な組み合わせを可能にさせたP2・3の裏返し版が図18である。だが脱角36度のひし形のみがすべて衰返っているので、衰返る意味をもたない。“変返しあり”のペンローズ・パターンにおいて図19のようなケースがありながらも図13を得たことを考えると、“英返しあり”のP2·3においても他に有効な組み合わせルールが存在する可能性は否定できない。
6.まとめ
本稿では前編に引き続き、数学者たちの間で話題になったペンローズ・パターンを題材にとりあげた。そしてペンローズが提示した組み合わせルール以外の組み合わせをさぐってみた。ペンローズは組み合わせにあたり、2種のベクトル表記、変返しなしという条件をつけた。そのベクトル表記において、ベクトル表記は異なっても同じ組み合わせ結果をあらわすものが複数でてくるという問題を本稿であきらかにすることができた。また他の組み合わせルールをさぐった結果、さまざまな組み合わせバリエーションを得ることができた。そしてそれらを特徴別に分類することができた。さらに本稿では、ペンローズがしめした組み合わせルールの“東返しなし”を“東返しあり”とした場合をさぐってみた。その結果、“東返しあり”でペンローズ・パターンが成立する組み合わせルールを提示することができた。その他、“東返しあり”ならではのユニークな組み合わせをいくつか提示することができた。本稿では前編に引き続き、エッシャー・パターンへの図形変換をこころみた。ベクトル表記による組み合わせが確認できる図形であるならば、何かしらのエッシャー・パターンに図形変換できることをあらためて確認することができた。ペンローズ・パターンやエッシャー・パターンなどのすぐれた題材は、ただ作品として鑑賞するばかりではなく、パターン・デザインの課題として受けとめていくことが重要であり意義があると思われる。引き続き研究していきたい。
付記
ペンローズの非周期的パターンは、以前、結晶学の世界において注目されたことがあった［注3］。そして現在、今度は科学の最前線において話題を提供している。発信者は、他ならぬペンローズ自身である。現在、科学の世界で話題を集めているものに、コンピューター・脳・DNAがある。これらは21世紀の主役ともいわれている。コンピューター・脳・DNA、この３つの共通項は「情報」である。そして「情報」の科学的解明が進んだ先には、どのような世界像が待ち受けているか。それぞれの専門家たちが予見を述べている。たとえば人工知能が可能になる（ミンスキー）、意識はDNAで解明される（クリック）など。ペンローズもそれら予見者の一人として独自の見解「マイクロチュープル説」をあらわし反響をおよぼしている。非周期的パターンが登場してくるのは、その自説においてである。前編で、2種のひし形を非周期的にしきつめる際のアルゴリズムが存在しないことについて触れた。ペンローズは、さらにポリオミノと呼ばれる正方形をくっつけたパズルゲームを引き合いにしてアルゴリズムが存在しない（＝計算不可能性）実例を私たちにしめす［注4］。つまり、他愛もないパズルゲームさえも計算では解決できないとして、計算を前提とするコンピューターによる人口知能信奉者たちに警鐘を鳴らすのである。 「われわれは意識を用いることによっていかなる種類の計算活動も越える活動を遂行できる」[注5]ペンローズ・パターンは、当初は遊びの延長線上で発見されたという。しかし後年、そのペンローズ・パターンが自脱を掘りさげていく過程で大きな役割を果たすことになるとは、おそらくペンローズ自身も予想していなかったに違いない。たかがパターン問題、されどパターン問題であった。以上“非周期的パターン”をめぐる現在の状況を付記しておく。
姓
1）藤田伸：ペンローズの非周期的パターンとエッシャー・パターンに関する考察、デザイン学研究、143、29-38、2001 2）ロジャー・ペンローズ、林一訳：皇帝の新しい心、みすず書房、475、1994 3）ロジャー・ペンローズ、林一訳：島帝の新しい心、みすず書房、492、1994 4）ロジャー・ベンローズ、林一訳：心の影1、みすず書房、 35～39、1994 5）ロジャー・ペンローズ、林一訳：心の影1、みすず書房、 1, 1994