令和２年度版物理数学I
目次

i

1　ベクトルの復習
1.1
内積と直交性
N次元の2つのベクトル,
が与えられたとき，その内積(a,b)を,
により定義する.  (a,b) = 0のとき，ベクトルaとbは直交する.また，ベクトルaのノルム(大きさ)|a|を
により定義する.
1.2 線形独立と線形従属
N個のベクトルの組{α 1 ,α 2 ,...,α N }があって, α1α1 + α2α2 + · · + α N α N = 0
を満たす係数の組{α 1 ,α 2 , . . . ,α N }が, α 1 = α 2 = . . . = α N = 0しかないとき，N個のベクトルは互いに線形独立であるという.一方，式(1.3)を満たす{α₁,α₂,...,α N }がα₁ = α₂ = ･･･ = α N = 0以外にも存在するとき，N個のベクトルは互いに線形従属であるという. [例題1.1 ] 以下の問いに答えなさい.

1.3
完全系
N次元空間では，以下のことが成り立つ. ● N個の互いに線形独立なベクトルの組{α 1 ,α 2 ,...,α N}を選ぶことができる．以下では簡単のためにこの線形独立なベクトルの組を{α,}と書くことにする. ●線形独立なベクトルの組は無数に存在する. ●線形独立なベクトルの組{α 1 ,α 2 , . . ,α N }を1組用意すれば，任意のベクトルェはその線形結合として,
と表される．結合係数α ,は一意的に定まる． ●この時，線形独立なベクトルの組{α;}は完全系を張ると言う. ●また，線形独立なペクトルの組{ a i }を基底ベクトルと呼ぶ.
座標系の取り方
1.4
線形独立でなおかつ完全系を張るべクトルの組(すなわち基底ベクトル) {a,}が決まれば座標系が決まる.任意の点xの座標は，式(1.4)のようにxを基底ベクトルの線形結合で表したときの結合係数の組を用いて(α 1 ,α 2 , . . . ,α N )で表す.我々はこれまで，多くの場合にカルテシアン座標を用いてきた．例えば，２次元のカルテシアン座標では基をとる.カルテシアン座標で( x, y )で与えられる点xは,底ベクトルとして，e1
となるので， ( x, y )と書くのである．
上の例(1)では,  (α 1 ,α 2 ) = 0よりα 1とα 2は直交しているが, 大きさは|α 1 | = |α 2 | = √ 2で1ではない.一方例(2)では，b 1とb 2は大きさも1ではなく直交もしてない．このように座標系を決める基底ベクトルは直交している必要も大きさが1である必要も無い.
1.5
正規直交座標系
N次元系で完全系を張るN個のベクトル組{a,}を基底ベクトルとする座標系で,
を満たすとき基底ベクトルは直交していると言い，こうした座標系を直交座標系と呼ぶ.また，基底ベクトルが，
を満たすとき，基底ベクトルは規格化されていると言う.基底ベクトルが直交していてなおかつ規格化されているとき特に正規直交座標系と呼ぶ.このときは,
が成り立つ. カルテシアン座標は正規直交座標系の1つの例である. N次元系でN個の線形独立なベクトルを用意すれば完全系を張り，任意のベクトルェはその線形結合で式(1.4)の形で書けることはすでに述べたが，基底ベクトル{α,}が正規直交座標系をなすとき，その結合係数{α;}は,
で与えられる.従って，基底ベクトル{α i}が正規直交座標系をなすとき任意の点τはその線形結合で，
と表される。これらは正規直交座標系を用いる大きな利点である. [例題1.3 ] 式(1.8)を証明しなさい.
1.6 グラム・シュミットの直交化
線形独立で完全系を張った基底ペクトル(従って座標系)が与えられていれば，これから規格直交した基底ベクトル(従って正規直交座標)を作ることができる．以下にその手順を示す．規格直交化されてない線形独立なN次元基底ベクトルの組{α;}が与えられていて，これから正規直交ベクトルの組{e;}を作る事を考える. 1.先ず, e 1 = a 1 / | a 1 |よりe 1を作る. 2. 次に，α ′ ⁄ = α ⁄ − (α ⁄ ε ⁄ )ε ⁄ ,  ε ⁄ = α ′ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |α ′ ⁄ ⁄ |によりe ⁄を作る. 3. 同様にして，n番目まで規格直交化されていてn + 1番目からN番目まで規格直交化されていないベクトルの組{e 1 , e 2 , . . . , e π , απ+1 , . . . , α N }があれば,  n + 1番目の規格直交化された基底ベクトルは,
により求まる. 4.  3の操作をn + 1 = Nまで繰り返す.こうして規格直交基底を求める方法をグラム・シュミットの直交化と言う．シュミットの直交化により得られる基底ベクトルは，はじめのα 1をどれに選ぶかで異なる. [例題1.4 ]シュミットの直交化の手順３で新しく作られる基底ベクトルe n+1はe j (j ≤ n)と直交することを示せ.
(1)シュミットの直交化により規格直交化した基底ベクトルの組{e1,e2,e3}を求めよ. (2)上で求めた基底ペクトルが互いに直交していること((e i,e j ) = δ ij )を確かめよ.
1.7 ヒルベルト空間
これまでは，有限次元( N次元)のペクトルを考えてきたが，これを無限次元に拡張したものをヒルペルト空間と呼ぶ．要素が無限個あるペクトルによって記述される空間と思えばよい．
2フーリエ解析
2.1 フーリエ級数
ある関数を別の関数で展開する方法として，これまでにテイラー展開を学んだ．テイラー展開は与えられた関数をより簡単なべき関数( x n )で展開するものである.しかし、もとの関数が周期関数のときは，展開する関数も周期関数である方が良さそうであることは容易に想像できる．そこで，任意の周期関数を簡単な周期関数である三角関数で展開しようというのがフーリエ級数である.
2.1.1　区分的に連続な関数
これから，いろいろな関数を三角関数で展開することを勉強するが，どんな関数でも展開できるわけではない．そこでこれから考える関数にある程度制約をつけることにする．まず，区分的に連続的な関数を定義する.「関数ƒ(x)が定義されている区間(定義域)を適当な有限個の区間に分けたとき，そのおのおのの内部ではf(x)は連続であり，区間の端では左右の極限値が存在する」ときこの関数を区分的に連続な関数と呼ぶ.このとき，境界点での関数値に左右の極限値が一致する必要は無い(つまり境界では不連続でも良い). f(x)とともにf'(x)も区分的に連続なとき，関数f(x)は区分的に滑らかであると言う．以下では区分的に消らかな関数のみを考えることにする.
2.1.2 フーリエ級数の定義
区間[−π,π]で定義され区間外では2πの周期性(f(x) = f(x + 2π))を持つ関数f(x)を，三角関数の組{cos nx},   {sin nx}を用いて
と展開することをフーリエ級数に展開すると言い，απ(n = 1,2,3,...)，δπ(n = 1,2,3,...)をフーリエ係数と呼ぶ．式を=でなく～で結ぶのは，全ての点で等しくなるわけでは無いからである．区分的に滑らかな関数の場合，連続点ではf ( x )とフーリエ級数は一致するが，不連続点ではf ( x )の定義にかかわらず，フーリエ級数は右方極限と左方極限の平均値,
に収束する.数学的には正しくない場合もあるが，簡単のため以下では式(2.1)を等号で結んで表記することにする.フーリエ係数an, bnは,
の関係があるからである. [例題2.1 ] 式(2.5)～(2.7)を証明せよ. [例題2.2 ] 式(2.5)～(2.7)から式(2.3)と(2.4)を証明せよ. [例題2.3 ]以下の関数のフーリエ級数展開を求めなさい.
例題2.3の(2)は遇関数である．そのためフーリエ級数に展開したときには奇関数であるsin nxのフーリエ係数は0になる．同様にして(3)は奇関数なので，遇関数であるcosnxのフーリエ係数は0になる．関数の対称性により，遇関数はcos nxだけで，奇関数はsin nxだけで展開できる.下の図は，例題2.3(1)の関数をそれぞれ3次(a)，10次(b)，100次(c)までフーリエ級数展開してプロットしたものである．次数が増えれば元の関数(図中の破線)に近づいていくことがわかる． (a) (b) (c)また，次の図(d)は上の図(c)をもう少し広い範囲でプロットしたものである．フーリエ級数展開したものが周期2πの関数になっていることがわかる. (d) (e)
2.1.3 ギブスの現象
上の図(e)は例題2.3(1)の関数を1000次までフーリエ級数展開した結果の一部を拡大したものである．関数が連続な部分はほとんど収束しているが， = πの不連続点でオーバーシュートしていることがわかる.このオーバーシュートは展開を無限次まで行っても起こり，その大きさは不連続点の飛びの大きさの18%程度になることが分かっている．こうした不連続点で見られるオーバーシュートもしくはアンダーシュートをギブスの現象と呼ぶ.フーリエ級数は平均してみれば元の関数に収束する(一様収束と呼ぶ)が，それぞれの点で見ると不連続点などでは収束しない(各点収束しないと言う)のである．一方，元の関数が定義域全体において連続で滑らかな場合は各点収束する.
2.1.4 一般区間への拡張
実際には周期が2πの関数ばかりではないので，周期がLの場合に拡張しておこう.区間[−L/2, L/2]で定義され区間外ではLの周期性(ƒ(x) = ƒ(x + L))を持つ関数ƒ(x)を,フーリエ級数で展開するためには，式(2.1)， (2.3)， (2.4)でx →ザxと変数変換すればよい.
当然のことながら，L = 2πとするとそれぞれ元の式(2.1)，(2.3)，(2.4)が得られる．不連続点では，元の関数値にかかわらず,
に収束する. [例題2.4 ]以下の関数のフーリエ級数展開を求めなさい.

2.1.5 複素フーリエ級数
区間[−π,π]で定義され区間外では2πの周期性を持つ関数f ( x )をフーリエ級数で展開するときに， { sin nx, cos nx }を用いる代わりに{einx}を用いると便利な場合がある．オイラーの公式，
より,
となる. これを式(2.1)に代入して整理すると,
とおくとcnとc_nは複素共役(c)
ただし,
と書ける．πについての和は−∞から∞に変化していることに注意すること({sin nx,cos nx}で展開する場合は0から∞である). 式(2.19)は,
(2.20)から導かれる. [例題2.5 ] 式(2.20)を証明しなさい. [例題2.6 ] 式(2.20)から，式(2.19)が導かれることを示しなさい.
区間[−L/2, L/2]で定義され区間外ではLの周期性を持つ関数f(x)を展開する場合に拡張すると,
となる。
2.1.6 ベクトルとの類似性と規格直交関数系
以下では,「関数f(x)とg(x)の内積(f(x) · g(x))」を
と定義することにする．ベクトルの時と同様に，関数f ( x )とg ( x )の内積( f ( x ), g ( x ))が0の時，f ( x )とg(x)は直交していると言う．また，関数f(x)のノルムを√(j(x),f(x)]と定義し，ノルムが１のときf(x)は規格化されているという.内積を式(2.23)で定義すると,「周期2πを持つ任意の関数f ( x )をe ′n =でフーリエ級数展開する」ことと「無限次元のベクトル空間(ヒルベルト空間)で，任意の点xを規格直交座標系をつくる基底ベクトルa,,で展開する」ことは1対1に対応付けることができる.  α n ↔ c inz ,  x ↔ f(x)と対応づけると,規格直交関係
とができる.関数の展開
(注1)完全系を張ることを証明するのは本当は難しい．今までの議論では，式(2.18)の形にかけるとしたところで完全系を張っていることを仮定してしまっているのである. (注2)式(2.23)の芸を重み関数と呼ぶ。これが無いと規格化が成り立たなくなる．内積を,
と定義して，規格化定数を関数系に押し付けて{͡(注3)テイラー展開では，任意の関数がべきの関数系{z"}の線形結合で展開できることを思い出すと，関数系{x"}も完全系を張っていることがわかる．ただし{x"}は規格化も直交化もされていない．
2.2 フーリエ変換
フーリエ変換は物理現象の様々なところで現れる．例えば，光の回折像はフーリエ変換で与えられる．X線も光の一種なので得られる回折パターンはやはりフーリエ変換になっている.その他にフーリエ変換は結晶などの周期的な系の扱いを簡単にしてくれる．また，微分方程式を解く際にも役立つ．
2.2.1 デルタ関数
フーリエ変換の話をする前にデルタ関数の復習をしておく．十分滑らかで，かつ遠方で急速にゼロになる任意の関数f ( x )に対して，
となる関数をデルタ関数と呼ぶ．デルタ関数は通常の関数として表すことはできず，適当な関数列δπ( x )の極限(δ( x ) = lim n→∞ δ n ( x ))で定義され，超関数と呼ばれる．上の定義から
であることはすぐ分かる．平たい言葉でいうと，デルタ関数δ( τ − τ 0 )は面積が1でτ = τ 0に非常に鋭いピークを持つ関数である．あるいは，クロネッカーのデルタ(δ,,,,)を実数に拡張したようなものと思っても良い.デルタ関数になる関数列はたくさん存在する．以下に証明なしでそのいくつかを載せておく．
[例題2.8 ] 式(2.28)を証明しなさい. [例題2.9 ] デルタ関数に関する以下の関係を証明しなさい. (1) δ( x ) = δ( − x ) (2) δ(ax) = πδ(x) (3) δ( x ² − a ²) = π {δ( x − a ) + δ( x + a )}   (a > 0)
2.2.2 フーリエ積分
前節までは，有限区間[−L/2, L/2]で定義された周期的関数を三角関数で展開することを考えてきたが，ここでは無限区間[−∞, ∞]で定義される関数を展開することを考える．そのためには，Lを無限大(∞)にしてやればよい.そこで,
と置き，式(2.21)， (2.22)を書き直すと，
と書ける．ｌを十分大きくとると△εは十分小さくなり，n△kは連続変数と見ることができるようになる．そこで，nΔk = kとして式(2.30)のnについての和をkについての積分で近似することにする(L → ∞では両者は等しくなる).  nがひとつ増える間によはΔだけ増えるのでdn ～些とみなせる. 従って式(2.30)の和は,
と書ける．これに式(2.31)のc 。を代入すると，
となる．ここでよについての積分を先に行い，その際f(t)はよの関数ではないので外に出してやると，
を得る. 式(2.34)と(2.35)をフーリエ積分と呼ぶ.デルタ関数の定義(2.27)と式(2.35)を比べてみると， ∑ ∫∞ e ik(x−¢)dkがデルタ関数δ(t − x)に対応していることが分かる．これもデルタ関数の表現の1つになっているのである．通常は，δ( x ) = δ(− x )の関係から指数関数の肩の符号を逆にした表現,
(2.36)が良く用いられる. 2.2.3 フーリエ変換式(2.34)から次の2つの式が成り立つことが分かる.
前者をフーリエ変換，後者を逆フーリエ変換（あるいは単にフーリエ変換）と呼ぶ．指数関数の肩の符号が逆になっていることに注意すること. (注意) F(k)をƒ(k)と書く教科書もある. (注意)係数の1/2πを対称になるように両方で分けて,
とする定義や，指数関数の肩の符号を逆にとる定義もある．また，結晶学ではkの代わりに2πkを用いたりする．従って，専門書を読んだり公式集を見たりするときは，定義をそのつど確認する必要がある.本講義では，式(2.37)， (2.38)の定義を使うことにする.式(2.37),  (2.38)または， (2.39)， (2.40)を用いると式(2.34)のフーリエ積分は，
とかける．これは，ある関数f ( x )をフーリエ変換してさらに逆フーリエ変換すると元の関数に戻ることを示す.つまり，逆フーリエ変換はフーリエ変換の逆変換となっている. [例題2.10 ]以下の関数のフーリエ変換を求めなさい.
[例題2.11 ]以下の問いに答えなさい. (1)デルタ関数δ( x )のフーリエ変換を求めなさい. (2)  (1)の結果を用いて，式(2.36)を証明しなさい. [例題2.12 ] ガウス型関数ƒ(x) = √α/πe−αz²のフーリエ変換を求めなさい. (解答)
例題2.11，2.12の結果は，「実空間で広がりを持つ関数のフーリエ変換は，逆空間で局在した関数になり，実空間で局在した関数のフーリエ変換は逆空間で広がりを持つ」という教訓を与える．特にガウス型関数のフーリエ変換はガウス型関数になるという事実は応用上重要なので記憶する事. 例題2.12は物理数学IIで扱う複索積分を用いるともっと簡単に証明出来る.
0 x < 0 1 0 ≤ xさい.
eikz (2)  (1)の結果を逆フーリエ変換することでステップ関数が，θ(x) =  lim → 2π c + ik dkと書けることを示せ. (3)  (2)の結果から，ステップ関数の微分がデルタ関数になる(dθ(x) = δ(x))ことを示せ．この結dx果は重要なので記憶しておこう.
2.2.4 微分演算とフーリエ変換

(2.43)が成り立つ.つまり導関数のフーリエ変換は元の関数のフーリエ変換にikをかけたものになる.同様にして,
書き換えると,
なる. [例題2.14 ]式(2.42),  (2.43)を証明せよ. [例題2.15 ]式(2.44),  (2.45)を証明せよ.
2.2.5たたみこみ積分
区間(−∞,∞)で定義される2つの関数，ƒ(τ)，g(τ)があるとき，
で定義されるƒ * gを関数ƒ( x )とg( x )のたたみこみ積分と呼ぶ.たたみこみ積分には,
(2.47)の関係がある．これを書き直すと，
と書ける．これは，たたみこみ積分のフーリエ変換は，フーリエ変換した関数の積になることを示していろ. (注意)ここで，フーリエ変換並びに逆フーリエ変換は式(2.37)，(2.38)の定義を用いた．式(2.39)，(2.40)の定義を用いる時は，式(2.47)は,
と定義する教科書もあり，この場合も係数が変わってくる. [例題2.16 ]式(2.47)を証明しなさい.
2.2.6 パーセバルの関係
フーリエ変換した関数の積と元の関数の積の間には,
(2.52)の関係が成り立つ. ここでg*(x)とG*(x)はそれぞれg(x)とG(k)の複素共役である. これをパーセバルの関係という.特に，f(x) = g(x)の時には，
(2.53)の関係が成り立つ．また，g(x) = f(x)e ik'zとすると， | f ( x ) | ² e − ik' x dx = 1 F(k)F*(k — k')dk (2.54) 2πが成り立つ.これをウィナー・ヒンチンの公式と呼ぶ. [例題2.17 ] パーセバルの関係式(2.52)を証明せよ. [例題2.18 ] ウィナー・ヒンチンの公式(2.54)を証明せよ. sin² x dxの値を求めよ. [例題2.19 ] 例題2.10の結果を用いて，積分
2.3 ラプラス変換
ここでは，フーリエ変換に良く似たラプラス変換を勉強する．ラプラス変換は直接物理現象と結びつくことは少ないが，ある種の微分方程式を解く際に問題を簡単にしてくれるという利点がある．この章では簡単な性質を見ていくことにする.
2.3.1　ラプラス変換の定義
関数f ( x )に対して積分, F(s) = f(x)e-sxdx = L{f(x)} (2.55)が存在するとき，F(s)をf(x)のラプラス変換と呼ぶ．ここでsは正の実数とする．逆にF(s)が与えられて，式(2.55)を満たすf(x)が存在するとき，f(x)をF(s)の逆ラプラス変換と呼び,
(2.56)と書く．定義から，ラプラス変換した関数を逆ラプラス変換すれば元に戻る．
(2.57)逆フーリエ変換の具体的な表式を一応与えておく.
しかし，この積分を実行するためには複素関数論の知識が必要なので詳細は物理数学IIで勉強してほしい.逆ラプラス変換を直接計算できなくても様々なところで役に立つ．ラプラス変換の定義は，フーリエ変換に良く似ている．実際，多くの良く似た性質を持つ．式(2.55)の定義から分かるように、ラプラス変換は常に存在するわけではない.ラプラス変換が存在する(従って積分が実行できる)ためには，十分大きなェに対して正の定数Mが存在して, |e-soxf(x)| ≤ M (2.59)となるs 0が存在すれば，s > s 0に対してラプラス変換は存在する.つまりぁが大きいところでe**よりも発散の遅いもしくは発散しない関数にはラプラス変換が存在する.
2.3.2 基本的な関数のラプラス変換
い．ただし，導けるようにしておいて欲しい．
[例題2.20 ] 式(2.60),  (2.61),  (2.63),  (2.65)-(2.68)を証明しなさい.
2.3.3 ラプラス変換の性質
ラプラス変換は以下の性質を持つ.
これらも覚える必要は無く，必要なときに見ればよい．ただし，導けるようにしておいて欲しい． [例題2.21 ] 式(2.73)～(2.80)を証明しなさい. [例題2.22 ] 式(2.75)から式(2.69),  (2.70)を証明しなさい. [例題2.23 ]式(2.79)から式(2.62),  (2.64),  (2.71),  (2.72)を証明しなさい. 2.3.4　たたみこみ積分関数f ( x ), g ( x )のたたみこみ積分f * gを,
により定義すると,
(2.82)の関係が成り立つ．つまり，２つの関数のたたみこみ積分のラプラス変換は，そろぞれの関数のラプラス変換の積に等しい. [例題2.24 ] 式(2.82)を証明しなさい. 3
直交多項式としての特殊関数
3.1     Γ関数とB関数3.1.1 Г関数x > 0のとき， Γ( x ) = e-ttx-1dt (3.1)で定義される関数をΓ(ガンマ)関数と呼ぶ. Г関数は, Γ( x + 1) = xΓ( x ) (3.2)の性質を持つ.特にェが整数nのときは, Г( n + 1) = n! (3.3)となる．このことからΓ関数は階乗( π !)を実数に拡張したものと考えることが出来る．その他の代表的な関数値としては，Γ(1) = 1，Γ(1/2) = √πなどがある. [例題3.1 ] 式(3.2)を証明しなさい. [例題3.2 ]  Г(1) = 1,  Г(1/2) = √元を示しなさい. x < 0のときは，式(3.2)を用いて，x + n > 0となるnにより， Γ( x + n ) Γ( x ) = − x(x + 1)...(x + n − 1) (3.4)と定義する．定義からゎが負の整数のときは発散する．スターリング(Stirling)の公式xが十分大きいときは，以下の公式が成り立つ. Г( x + 1) ~ √2πxxxe-x (3.5) (3.6) log Γ( x + 1) ~ x log x − x + log √ 2πx ~ x log x − xこれをスターリングの公式と呼ぶ.証明は難しいので省略するが，統計力学でしばしば出てくる.右の図は，Γ( x + 1)を区間(−3,4)でプロットしたものである．同時に，√2πxx*e-×も区間(0,4)でプロットした． Г(х + 1)か√2πxx*e-*で良く近似できることが分かる. x > 0, y > 0の時, B(x,y) =
(3.7)で定義される関数をB(ベータ)関数と呼ぶ. B関数はΓ関数を用いて, B(x,y) = (3.8)と書き表すことが出来る. [例題3.3 ] 式(3.8)を証明しなさい.
3.2 直交多項式の一般論
3.2.1 直交多項式の定義ある関数f(x)がxのべき乗の線形結合により, f(x) = a0 + a1x + ··· + an-1xn-1 + anxn (3.9)と書けるとき，f ( x )をぁについての多項式と呼ぶ．また，最大のべき数をこの多項式の次数とよぶ．上の例では次数nである.区間[ a, b]で正である重み関数w( x )を用いて内積を, (f(x), g(x)) = w(x)f*(x)dx (3.10)で定義することにする. 内積が0となるとき，関数f ( x )とg ( x )は直交するという. n次の多項式φπ ( x )が,
と書けたとする．ここでαξはn次の多項式のk次の(線形結合)係数を表す(α kのn乗ではないことに注意すること). 多項式の組{φ,(x)} = {φ,(x),φ,(x),φ,(x),...}が,
を満たすとき，{φη( x )}を直交多項式と呼ぶ．ここで，φη( x )はφm( x )の複素共役である．特に， w n = 1の時，正規直交多項式と呼ぶ. (注)直交多項式であれば，w,を多項式の定義に押し付ける(つまりφ, (x)/ √ π,を改めてφ, (x)と定義して規格化する)ことでいつでも正規直交多項式に変換することが出来る．しかし，特殊関数と呼ばれる一連の直交多項式の定義は歴史的理由で規格化されていない場合がある. (注)この講義では，実関数しか扱わないので式(3.12)でφ m (x) = φ m (x)であるが，後々のためこのように定義しておく.直交多項式は，重み関数を与えられればシュミットの直交化によりべきの関数列{1, x, x ², x ³, . . . }を直交化することで求められる. [例題3.4 ] 区間[−1,1]で重み関数w(x) = 1である直交多項式を関数列{1,x,x²,x³}からシュミットの直交化により３次まで求めよ. n次の直交多項式はx n (m ≤ n − 1)と直交する．すなわち，
(3.13) [例題3.5 ] 式(3.13)を証明せよ.
3.2.2 一意性
w(x)が区間[α, )で定義された否負の実関数で，任意の整数nに対して，ʃ α w(x)xndxが存在するとき，式(3.11)で定義され直交関係(3.12)を満たす直交多項式は，最大次数の係数α "を与えれば唯一に定まる.直交多項式は定数倍しても直交するので係数をどれか１つ決める必要があるのである.
3.2.3 漸化式

(3.14) (3.15)
である. (証明) φn(x)とφπ−1(x)はそれぞれ,
と書ける.そこで，φ n (x) – x çn-1 φn-1(x)は高々n – 1次の多項式となる. 従ってn – 1次までのφk(x)
αn – 1で展開できて,
と書ける．これとφ j (x)  (j ≤ n − 3)との内積をとると，
とおくと, (3.22)と書けることが分かる．これではまだ，bn−1とbn−2したがって，βnとγnが未知数なので次にこれを求める. 0 = α n (xφn−1(x), φn−1(x)) − β n (φn−1(x), φn−1(x)) 0 = α n (x φ n − 1 (x), φ n − 2 (x)) − γ n (φ n − 2 (x), φ n − 2 (x))これから,とγnが求まる. (3.20) φπ(x) = (απx − βπ)φπ−1(x) − γπφπ−2(x)まず，式(3.22)とφ n − 1( x )の内積をとると，ここで右辺の分子は, [例題3.6 ] 式(3.14),  (3.15)より，重み関数がw(x) = 1で，区間[−1,1]で定義され最大次数の係数αγが１である直交多項式を求めよ. 3.2.4   ロドリーグ(Rodrigues)の公式φ n (x) = − w(x)     dxn (3.27)で定義される関数を考える。ただしG(k)(a) = G(k)(b) = 0とし，G(k)(x)はGn(x)のk階導関数とする(ここまででは，φη(x)は多項式とは限らないことに注意). このとき，関数φη(x)はn − 1次以下の多項式と直交する．式(3.27)をロドリーグの公式と呼ぶ. [例題3.7 ]上記を証明せよ.式(3.27)を満たし，φn ( x )がn次の多項式となる，従って， dn+1    cn_dnGn(x) = 0 dxn+1 w(x) dxn (3.28)を満たすG n ( x )を見つければw ( x )を重み関数とする直交多項式{φ n ( x )}を作ることが出来る.これまでに，我々は直交多項式を求める３つの方法すなわち， 1.シュミットの直交化による方法2. 漸化式による方法3.ロドリーグの公式による方法を知った.
3.2.5 グルサ(Goursat)型積分表示
以下の話は複素関数論を勉強しないと完全には理解できないので，物理数学IIで複素関数論を勉強した後に思い出してほしい.しかし，一部の結果を飲み込んでしまうと直交多項式の重要な関係式を理解できる.グルサ(Goursat)の定理複素関数ƒ(z)が正則な関数とすると，そのn回微分ƒ(n)(z)は積分， f(t) f(n)(z) = (t − z)n+1dt 2πi (3.29)で与えられる．ここでCはt = zを正の向きに一周する任意の閉曲線である．直交多項式がロドリーグ公式(3.27)で定義される時，グルサの定理を適用すると， G n ( t ) φπ(z) = 2πi j lc w(z)(t − z)n+1 dt (3.30)と書ける．これを直交多項式のグルサ型積分表示とよぶ.
3.3 有限区間の直交多項式
ここでは，有限区間[a,b]で定義される直交多項式を考える．有限区間は一般性を失うことなく[−1,1]に限定できる．適当に変数変換することで区間[a,t]に変換できるからである．区間[−1,1]で定義された直交多項式で良く用いられるのはヤコピ(Jacobi)多項式である．後で分かるようにルジャンドル(Legendre)多項式やチェピシェフ(Chebyshev)多項式はヤコピ多項式の特殊な場合である. (注)ヤコピ多項式を区間[0, 1]で定義する場合もある.
3.3.1 ヤコビ(Jacobi)多項式
ヤコピ多項式{ P(α,β)(x)}は重み関数がw(x) = (1 − x)α (1 + x)βで，区間[−1,1]で定義される直交多項式で，ロドリーグの公式により，
と定義される.ただし，D =告である.また，以下の性質を持つ.直交関係
漸化式2(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β) P (α;β) (x) = (2n + α + β + 1){(2n + α + β)(2n + α + β + 2) x + (α ² − β 2)} P(α,β)(x) − 2(n + α)(n + β)(2n + α + β + 2) P(α,β)(x)    (3.34)ただし, (3.35)
3.3.2 ゲーゲンバウア(Gegenbauer)多項式
ゲーゲンバウア多項式{Cy(x)}は，係数は別としてヤコピ多項式においてα = β = λ − 1/2と置いた特殊な場合で，重み関数はw(x) = (1 − x²)^−†でありヤコピ多項式により,
Γ(λ + ž)Γ(n + 2λ) ρ(λ−ž,λ−ž) (x) Γ(2λ)Γ( n + λ + ½) (3.36)と定義できる。あるいは，ロドリーグ公式により直接， C λ ( x ) =  (−) π Γ( λ + ½)Γ( n + 2λ)    1
C λ ( x ) =  2 π π!Γ( λ )Γ( n + λ + ½) w( x ) (3.37)と定義される．ゲーゲンバウア多項式は以下の性質を持つ．直交関係w(x)C λ*(x)C λ(x)dx = π2¹− λ Γ(n + 2λ) δππ n!(入+ n)Γ²(入) (3.38)漸化式(n + 1)C λ +1 (x) = 2(λ + n)xC λ (x) − (2λ + n − 1)C λ −1 (x) (3.39)ただし, C λ ( x ) = 1,  C λ ( x ) = 2λx

3.3.3   ルジャンドル(Legendre)多項式
ルジャンドル多項式P,( x )は重み関数w( x ) = 1に対応する区間[−1,1]で定義された直交多項式で，ヤコピ多項式においてα = β = 0,ゲーゲンバウア多項式においてν = 1/2とおいた特殊な場合である.すなわち, P n (x) = P (0,0) (x) = C 1 /2 (x), (3.41)あるいは，ロドリーグの公式により，
(-)" D"[(1 - x 2 )"], (3.42)と定義される．式(3.42)を展開すると，
(−) m (2n − 2m)! m!(n − m)!(n − 2m)! (3.43)と書ける．ここで，[ x ]はガウスの記号でxを超えない最大の整数を表す. 従って[n/2]は，nが偶数の時--- Po(x) ···· P 1 (x)はn/2,  nが奇数の時は(n − 1)/2である. 式(3.43) 0.5 —— P2(X)より， P n (x)はnが奇数のとき奇関数となり，nが偶---- P3(x)数のとき遇関数となることが分かる. — P 4 (x)右に4次までのルジャンドル多項式のグラフを示す.証明は省略するがグラフから，n次のルジャンドル多項式はn個の零点を持つことが分かる.さらに，π次多項式のπ個の零点は，π + 1次多項式のπ + 1個の零点の間に位置することも分かる．これらのことは，ルジャンドル多項式に限らず直交多項式に一般的に言えることである. [例題3.8 ] 展開式(3.43)を証明せよ.ルジャンドル多項式は以下の性質を持つ.直交関係
[例題3.9 ] 直交関係(3.44)を証明せよ.漸化式(n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x) − nPn−1(x), (3.45)ここで，P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x. [例題3.10 ] 漸化式(3.45)を証明せよ.母関数ルジャンドル多項式は，関数1/√I − 2xt + i ²をtの関数としてt = 0のまわりにテイラー展開したときの展開係数となる。すなわち,
(3.46)このとき，1/√1 – 2xt + t²をルジャンドル関数の母関数と呼ぶ. [例題3.11 ]式(3.46)を証明せよ. (解答) 1 —をx = 1の周りにテイラー展開する．f ( x )のn次導関数は, f(x) = √1 − x (2n)! f(n)(x)= 22nn! f(0)(x) = (1 − x)− ±, f(1)(x) = =(1 − x)− =よりn = 0,1の時に成り立つ.  n = kの時に成り立つと仮定すると,
(2(k + 1))! = 22(k+1)(k+1)!(1 − x)− z−(k+1)
[例題3.12 ] 式(3.46)をロドリーグ公式(3.42)にグルサの定理(3.29)を適用することで証明せよ. [例題3.13 ] 母関数(3.46)を用いて，漸化式(3.45)を証明せよ.クーロン・ポテンシャルへの応用右図のようにz = aの点に点電荷qを置いたときに，球座標で(r,θ,φ)で与えられる点に出来るポテンシャルをφとすると，¢は図の距離r 1を用いて，
とかける．r₁は余弦定理より，r₁ ＝ √r² − 2ar cos θ + a²と書けるので,
となる.これと母関数の展開式(3.46)を比較すると，ポテ
に電荷−qを置いたときに球座標で(r,θ,φ)で与えられる点に出来るポテンシャルをφ考える.重ね合わせの原理によりφは,
で与えらる。これはさらに,
と書き直せる．これは電気双極子の作るポテンシャルを表し，電気双極子の作るポテンシャルはルジャンドル多項式で展開できることを示す.これを電磁気学では多重極展開と呼ぶ.
3.3.4 チェビシェフ(Chebyshev)多項式
チェビシェフ多項式{T,(x)}は，区間[−1,1]において重み関数w(x) = 1/√I − x²に対応した多項式で，ヤコピ多項式{P(α;β)(x)}においてα = β = −1/2とした特別な場合である．あるいは，ゲーゲンバウア多項式{C λ (x)}でλ → 0とした極限で, 2²² T n ( x ) = (3.52)と定義できる．また，ロドリーグの公式から直接， ( − )         1 1 T n (x) = (2n − 1)!! w(x) D n [w(x)(1 − x 2) n ] ,   w(x) = - √1 − x 2 (3.53)と定義される．式(3.53)を展開すると具体的な展開式として, (3.54)と書ける．ここで，[ x ]はガウスの記号でxを超えない最大の整数を表す. 従って[n/2]は，nが偶数の時はn/2,  nが奇数の時は( n − 1)/2である．式(3.54)より， T n ( x )はnが奇数のとき奇関数となり，nが偶数のとき遇関数となることが分かる.右に4次までのチェピシェフ多項式のグラフを示す.ルジャンドル多項式の時と同様に，n次のチェビシェフ多項式はn個の零点を持つことが分かる．さらに， n次多項式のn個の零点は，n + 1次多項式のn + 1個の零点の間に位置することも分かる.
[例題3.14 ] 展開式(3.54)を証明せよ.チェビシェフ多項式は以下の性質を持つ.直交関係w(x)T*(x)Tn(x)dx = wnδnm,,    wn n = 0 (3.55) π/2   n ≥ 1 [例題3.15 ] 直交関係(3.55)を証明せよ.漸化式Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x), (3.56)ここで，To(x) = 1, T 1(x) = x. [例題3.16 ] 漸化式(3.56)を証明せよ.母関数チェビシェフ多項式は，関数~1=2=4
チェビシェフ多項式は，関数~1=2=4=をtの関数としてt = 0のまわりにテイラー展開したときの展開係数となる。すなわち，
1 − t 2このとき, √1−2xt+t²をチェビシェフ関数の母関数と呼ぶ. [例題3.17 ] 式(3.57)を証明せよ. [例題3.18 ] 式(3.57)をロドリーグ公式(3.53)にグルサの定理(3.29)を適用することで証明せよ.有用な公式チェピシェフ多項式には上記以外に有用な公式として, T n (cos θ) = cos nθ
がある．これを利用すると様々な公式が初等的に求めることが出来る．さらにド・モアブルの定理((cos θ + i sin θ) π = cos nθ + i sin nθ)を用いると,
が直ちに導ける. [例題3.19 ] 公式(3.58)を証明せよ.チェビシェフ多項式が物理で直接表に出てくることは少ない．しかし，関数を多項式で展開して近似する際には最大の誤差が最も小さい多項式であることが知られている.そのため数値計算では良く用いられる.計算機でsinやcosを計算するときも，実は計算機の中ではチェピシェフ多項式で多項式展開した近似式を計算しているのである．そのため，我々は気づかないところでお世話になっているのだ．
3.4 半無限区間での直交多項式
3.4.1 ソニン(Sonine)の多項式ここでは，区間[0, ∞]で直交する多項式を考える．ヤコピ多項式の類推から，区間[α,δ]の直交多項式は， 1 φ n (x) = K n − − D n [w(x)(x − a) n (x − b) n ],   w(x) = (x − a) α(x − b) β (3.60)という形のロドリーグの公式で作ることができる．従って，区間[0, ∞]の直交多項式を作るためには， a → 0,  b → ∞といったスケール変換をしてやれば良いと思われる.この変換は，ヤコビ多項式ではx → 1 − 2x/βとしてβが∞の極限をとればよい.
で定義される多項式{S$(x)}をソニンの多項式と呼ぶ. これをロドリーグの公式で書くと, Sπ(x) =   1    1 (3.62)となる. [例題3.20 ] 式(3.61)から式(3.62)を導け.式(3.62)からソニン多項式の展開式, (−)k(n + α)! (n − k)!(α + k)!k! x k
S α ( x ) =が得られる。ソニン多項式は，以下の性質を持つ.直交関係(n + α)! δ π m n!
[例題3.21 ]  直交関係(3.64)を証明せよ.漸化式(n+1)S n+1(x) = (2n+α+1−x)S n (x) − (n+α)S n − 1(x),  S 0(x) = 1, S 1(x) = α+1−x (3.65) [例題3.22 ] 漸化式(3.65)を証明せよ.母関数
[例題3.23 ] 式(3.66)を証明せよ. (注)ここで定義したソニン多項式をラゲール陪多項式と呼ぶこともあるので，注意が必要である．例えばMethematicaの組み込み関数であるLaguerreL[]がそうである．ラゲール多項式は他にも幾つか異なる定義がある. 3.4.2   ラゲール(Laguerre)の陪多項式ソニンの多項式により, Lm (x) = (−)mn!Sm−m (x) (3.67)で定義されるn − m次の多項式をラゲールの陪多項式と呼ぶ. これをロドリーグの公式を用いて直接書くと， n!         1 Lm(x) = (−)m − n: (3.68)となる．式(3.68)を展開すると， n! ( − ) k L π ( x ) = (−) π n! (n − m − k)!(m + k)!k! xk
となる．ラゲールの陪多項式は以下の性質を持つ．直交関係
[例題3.24 ] ソニンの多項式の直交関係(3.64)からラゲール陪多項式の直交関係(3.70)を導け.漸化式(n + 1 − m)L π+1(x) = (n + 1)(2n − m + 1 − x)L π (x) − n 2 L π−1(x), Lm(x) = (−) m m!, Lm+1(x) = (−) m + 1)!(m + 1 − x) (3.71) [例題3.25 ] ソニン多項式の漸化式(3.65)からラゲール陪多項式の漸化式(3.71)を導け.母関数
[例題3.26 ] 式(3.66)から式(3.72)を導け. 3.4.3   ラゲール(Laguerre)の多項式ラゲールの陪多項式で特にm = 0としたものをラゲールの多項式とよび{Ln(x)}と書く，すなわち， L n (x) = L n (x) (3.73)ロドリーグの公式で表すと, L n (x) = (3.74)となり，具体的な展開式は，
(3.75)である．これと式(3.69)を比べるとラゲール陪多項式はラゲールの多項式を用いて，
と書けることが分かる．ラゲールの多項式は以下の性質を持つ．これらはラゲールの陪多項式でm = 0とおけばすぐに求まる.直交関係
漸化式Ln+1(x) = (2n + 1 − x)Ln(x) − n 2 Ln−1(x),   Lo(x) = 1, L1(x) = 1 − x (3.78)右の図は，ラゲールの多項式をノルムが１になるように規格化した関数(e-1/2xLn(x)/n!)をプロットしたものである．n次のラゲール多項式はn個の零点を持つことが分かる. -- Lo(x)
3.4.4 水素原子の波動関数
水素原子についてシュレディンガー方程式を解くと，主量子数がnで角運動量量子数がlである電子軌道の波動関数の動径方向成分R ′ ( r )は，ボーア半径をα Bとすると，
となる.
3.5
無限区間の直交多項式〜エルミート(Hermite)多項式
ここでは，無限区間[−∞,∞]で直交する多項式を考える．ソニン多項式の時と同様に，区間[−∞,∞]で直交する多項式を作るためには，式(3.60)でα → −∞，♭ → ∞といったスケール変換をしてやれば良いと思われる．この変換は，ヤコピ多項式ではα = β， x → x/√αとしてαが∞の極限をとればよい.
で定義される多項式{H,(x)}をエルミートの多項式と呼ぶ. これをロドリーグの公式で書くと,
となる. (注)上の重み関数をw(x) = e−x²/²としてエルミート多項式を定義することもある．定義が変われば以下の式も当然変わってくるので，文献を読むときには定義を確認する必要がある． [例題3.27 ] 式(3.80)から式(3.81)を導け.式(3.81)からエルミート多項式の展開式,
が得られる．この式から，奇数次のエルミート多項式は奇関数となり，偶数次のエルミート多項式は遇関数になることがわかる．右図はエルミート多項式をノルムが１になるように規格化した関数(e-1/2x² H n (x)/√2nn!)をプロットしたものである．この関数は調和振動子に対応するシュレディンガー方程式を解いたときの波動関数になっている. [例題3.28 ] 式(3.82)を証明せよ.エルミート多項式は，以下の性質を持つ.直交関係w(x)H*n(x)H n(x) = 2 n !√πδmn
[例題3.29 ]  直交関係(3.83)を証明せよ.漸化式H n +1(x) = 2xH n (x) − 2nH n − 1(x),   H 0(x) = 1,  H 1 = 2x (3.84) [例題3.30 ] 漸化式(3.84)を証明せよ.母関数
[例題3.31 ] 式(3.85)を証明せよ.
微分方程式と特殊関数
4
自己随伴演算子
4.1
以下では線型2階の常微分方程式を考える．線型2階常微分方程式の一般形は，
で与えられる．演算子Ｃに対して随伴演算子Ｃを，
と定義する。 ∑は,
と書き直せるので， ∑ = ∑となるためには， 2p 0 (x) − p 1 (x) = p 1 (x), p 0 (x) − p 1 (x) + p 2 (x) = p 2 (x)従って，
であれば， L = ∑を満たす．このような演算子を自己随伴演算子と呼ぶ．po(x) = p(x)，p2(x) = q(x)と書くことにすると，式(4.1)は,
と書き直せる.自己随伴型でない演算子は完( T exp  J *完( ) dt を書けることで自己随伴型演算子に変換できる. (証明)

4.2 スツルム・リウヴィル(Sturm-Liouville)型微分方程式
区間[α,b]でp(x),  q(x),  w(x)がxの実数値連続関数でp(x) > 0,  w(x) > 0としたときに，自己随伴形式で,
(4.6)と書かれる微分方程式をスツルム・リウヴィル型微分方程式と呼ぶ. ここで，λπは定数である．これは２階の常微分方程式であるから解を決めるためには２つの境界条件が必要になる.  A 1 ,  A 2 ,  B 1 ,  B 2を実数の定数とするとき，
と書かれる境界条件を正則境界条件と呼ぶ。正則境界条件の下でスツルム・リウヴィル微分方程式を満たす解を求める問題をスツルム・リウヴィル型固有値問題と呼ぶ．このとき，入,は勝手な値を取ることはできず，境界条件により値が決まる．このλ,を固有値と呼ぶ．スツルム・リウヴィル型固有値問題は２つの重要な性質を持つ.定理4.1スツルム・リウヴィル型固有値問題の固有値は実数である. [例題4.1 ]定理4.1を証明せよ.定理4.2スツルム・リウヴィル型固有値問題の解(固有関数値)は区間[a,d]で重み関数をw(x)として直交する．すなわち2つの異なる解をu 1(x)，u 2(x)とすると，
(4.8)である. [例題4.2 ]定理4.2を証明せよ.
4.3 行列との対応
自己随伴演算子Cに対応するスツルム・リウヴィル固有値問題の2つの固有関数をu(x)，v(x)とすると,
が成り立つ. [例題4.3 ] 式(4.9)を証明せよ.積分 f o f*(x)g(x)dxを(f,g)と書くことにすると，式(4.9)は, (v, Lu) = ( ∑v, u) = ( Lv, u)が成り立つことを示している．一方，線型代数を思い出すと，行列Aがエルミート行列であれば，任意の2つのベクトルν,  υに対して, (v, Au) = (t A*v, u) = (Av, u)が成り立つ.このことから, A ↔ C   A = t A* ↔ C = Cという対応関係が見て取れる．また,「エルミート行列の固有値は実数である」ことと定理4.1が,「エルミート行列の固有ベクトルは直交する」ことと定理4.2が対応する. 4.4
直交多項式が満足する微分方程式
前節で扱った直交多項式は全てロドリーグの公式により,
という形で与えられることがわかる．ここでX(x)はたかだかぁについての2次多項式である．
[例題4.4 ] 式(4.11)を証明せよ.
Dn[wXn] = Knwφnより, = K n [{K 1φ 1 + (n − 1)X ′ }D[wφn] + (n + 1){K 1φ ′ 1 + (n − 1)X ′ } wφn] − (2) (1)=(2)より, XD 2 [wφn] + (2X' − K 1φ1 )D[wφn] − (n + 1) ( K 1φ'1 + π − − − x" ) wφn = 0 D[wφn] = wφn + w φn,  D2[wφn] = wφn + 2w φn + w ′φnを代入して整理するとwXφ" + (2w'X + 2wX' − K1wφ1)φ" + | w ′′ X + 2w′ X′ − K 1w′ φ 1 − (n + 1) ( K 1φ′ 1 + n − − − x ′′
K 1 wφ1 = wX' + w'X, K 1 (w'φ1 + wφ1) = w''X + 2w'X' + wX"より, n − x d² φ n + λπφ n = 0, λ n = − n √ K 1φ ′ 1 + dx20n + K101 dxここで入は定数

ヤコビの微分方程式

自己随伴形式で書くと,
(4.14)ルジャンドルの微分方程式
(4.15)自己随伴形式で書くと,
チェビシェフの微分方程式
(4.17)自己随伴形式で書くと,
ソニンの微分方程式ソニン多項式{S"(x)}は以下の微分方程式を満たす.
(4.19)自己随伴形式で書くと,
ラゲールの陪微分方程式ラゲール多項式{Lm(x)}は以下の微分方程式を満たす.
(4.21)自己随伴形式で書くと,
エルミートの微分方程式エルミート多項式{H,,(x)}は以下の微分方程式を満たす.
自己随伴形式で書くと,

4.5
昇降演算子と漸化式
4.5.1 昇降演算子の一般式2暗微分方程式が， d − u + p2(x)u = 0 Lu = po(x) dx² + p1(x)と与えられ，その解がu(n,x)と書けたとする． Lu = 0が,
(4.27)と２通りに因子分解できる時,
となる．ここでλπ，λπはu (π, x)の定義によって決まる定数である．このT，Tを±の符号に応じて，プラスのとき階差!の上昇演算子，マイナスのとき階差!の下降演算子，両方を合わせて昇降演算子と呼ぶ. (証明)
(4.32)となる.  Ťu(n,x) ∞ u(n ± l,x)についても同様に証明できる．等号にならないのは定数倍した関数は同じ線形の微分方程式を満たすためである.
昇降演算子の求め方
4.5.2
微分方程式，Lu = po(x)ֲֲֲֲֲֲֲ+ p 1(x)ニ+ p 2(x)u = 0が,
と書き直せるとすると，
と書き直せる．３章で勉強した全ての直交多項式にはこうした昇降演算子が存在する．
4.5.3 ルジャンドル多項式の昇降演算子
ルジャンドル多項式{P n ( x )}の満たす微分方程式(4.15)の両辺に1 − x²をかけたもの,
を式(4.25)と比較すると,
となる. これが式(4.26),  (4.27) の形に因子分解できるとして,  ƒ(n,x) =  ƒ(n,x) = 1 − x²とおくと, g(n,x)は式(4.33)を満足しなければいけないので，g(n,x)を解く微分方程式として，
を得る．右辺はxについての2次の多項式なのでgは1次の多項式と推定できるのでg = ax + bと仮定して微分方程式を解くと,
従って,
の2解が得られる. ここでc 2 (n) = c 1 (n + 1)となっていることから，g 1 , g 2はそれぞれ式(4.26)，(4.27)の91 = g(n,x),   92 = g(n + 1,x)に対応していることが分かる. これから式(4.35)は,
と因子分解できる．このことから，ルジャンドル多項式に対して，
という昇降演算子が存在することが分かる．次に，入n，入nを決める．ルジャンドル多項式を次数の高い方から数項を書き下すと，
これを，式(4.38)に代入してxのn − 1次の項を比較するとλ n = nが，また式(4.39)に代入してxのn + 1次の項を比較するとλ n = −(n + 1)が求まる．以上のことから，ルジャンドル多項式に対する昇降演算子,
が存在することが分かる.また，昇降演算式(4.41)，(4.42)から微分の項を消去すると3項間漸化式(3.45)が得られる.
チェビシェフ多項式の昇降演算子
4.5.4
チェビシェフ多項式{T,(x)}の満たす微分方程式(4.17)の両辺に1 – x²をかけると微分方程式,
となる。これは,
と因子分解できる。またチェピシェフ多項式には昇降演算子,
が存在する. 昇降演算式(4.45)，(4.46)から微分の項を消去すると3項間漸化式(3.56)が導かれる. 4.5.5 ソニン多項式の昇降演算子ソニン多項式{S宗(x)}の満たす微分方程式(4.19)の両辺にェをかけると微分方程式,
となる。これは,
と因子分解できる.またソニン多項式には昇降演算子,
が存在する. 昇降演算式(4.49)，(4.50)から微分の項を消去すると3項問漸化式(3.65)が導かれる. 4.5.6 エルミート多項式の昇降演算子エルミート多項式{Hn(x)}の満たす微分方程式(4.23)は,
と因子分解できる.またエルミート多項式には昇降演算子,
が存在する. 昇降演算式(4.52)，(4.53)から微分の項を消去すると3項間漸化式(3.84)が導かれる.
その他の重要な特殊関数
4.6
4.6.1 ルジャンドルの陪関数ルジャンドル多項式を用いて, P π (x) = (−) π (1 − x 2 ) π /2 d π P π (x) dxm (4.54)で定義される関数をルジャンドルの陪関数と呼ぶ. ルジャンドル多項式に対するロドリーグ公式(3.42)を用いて直接書き下すと,
となる．定義からmは0 ≤ m ≤ nであるが，
により，−n ≤ m ≤ nに拡張される．ルジャンドル陪関数は以下の性質を持つ.直交関係
漸化式
母関数
ルジャンドルの陪関数はルジャンドルの微分方程式(4.15)と良く似た微分方程式,
を満たす. この微分方程式でx = cos θと変数変換すると,

4.6.2 球面調和関数
ルジャンドルの陪関数を用いて
を満たす.この方程式で最初の２項の微分演算子は，ラプラシアン(△＝直した時の角度部分の演算子に対応する．従って，球面調和関数はラプラス方程式(△u = 0)またはヘルムホルツの方程式(Δu = k²u)を極座標で変数分離して得られる微分方程式の角度部分の固有関数になっている.そのために物理の様々な面で重要な役割を果たす.球面調和関数は直交関係,
(4.64)を満たす.
角運動量演算子
角運動量演算子lをl = −ir × ∇により定義する(基子力学ではさらにlをかけてl = −ihr × ∇と定義するので注意すること).これはベクトル型の演算子である．具体形を書き下すと，
が成り立つ.また, + i cot θ l ± = l x ± ily ≠とLを定義すると，これはmについての昇降演算子になっていて
(4.71)が成り立つ.球面調和関数の具体形球面調和関数の具体形を示しておく.
量子力学では，これらの球面調和関数を線形結合により立方対称場の基底になるようにした立方球面調和関数Yımを用いる場合が多い. l=0, 1, 2, 3, ...に対応した軌道を習慣的にそれぞれs, p, d, f軌道と呼ぶ. 以下にl = 2までの立方球面調和関数の具体的な表式とその習慣的な名前をまとめておく.  l = 2までの立方球面調和関数は，Yım ＝ ∑ {(−)mYım + Yı−m }，Yı−m ＝ − ˙ ∑ {(−)mYım − Yı−m }で与えられる．ｌ≥ 3では表式はもっと複雑になる．

必要な公式
A
三角関数
cos ππ = (−1) π, sin ππ = 0    (n :整数) sin α sin β = ={cos(α + β) − cos(α − β)} sin α cos β = = {sin(α + β) + sin(α − β)} = {cos(α + β) + cos(α − β)} cos α cos β =オイラーの定理eix = cosx + i sin x