寧魯 （九州大学数理学研究院）権2021年8月8日
概要
“和公式”とは一般の有限数列や無限数列の和を調べる道具である．“数”の性質を解析的手法を用いて研究する,「数論」の一分野である「解析数論」には，オイラーの和公式，アーベルの和公式，ポアソンの和公式，セルバーグの跡公式といった様々な“和公式”が現れる．この公開講座では，これらの和公式を紹介し，“発散級数”の評価，“素数分布”，いくつかの“ゼータ関数”の性質を調べる．そこから得られる数論的応用についても述べる. ●集合の記号：C,R, Q, Z, Nをそれぞれ,複素数,実数,有理数,整数,自然数の集合とする. ●写像の記号：A, Bを集合とする．Aの各元に対してBの元をただひとつ対応させる規則ƒがあるとき，ƒをAからBへの写像といい，ƒ : A → Bとかく.
目次
1導入2 2 4 3 6 4 14 5 19 6 20 7 25

1
8ゼータ正規化積28 9セルバーグゼータ関数

1
導入
●収束する級数と発散する級数● “無限”を数える(I) k,nを整数で, k ≥ 0とn ≥ 1を満たすとする. Sk(n) := 1k + 2k + . . + nkとする．下記の公式が知られている．
それでは，以下の数列の和についてはどうだろうか？
S k (n)のような“わかりやすい公式”は知られていないようである．y ＝弦のグラフを描いて，積分を用いると，T k (n)を上から評価出来る．
● k > 1と仮定する．このとき，
から● k = 1のときを考えよう.
2よって， lim T 1 (n) = ∞となる．なぜなら， lim  log(n + 1) → ∞となるから．下記の問題を考えてみよう（ナイーブな形）. :問題 1.1.       1. k ≥ 2とする.  T k :=  lim  T k ( n )の正確な値が計算出来るだろうか？ 2. lim T 1 (n) = ∞,下記の級数が発散することがわかっている. lim So(n) =  lim S 1 (n) =  lim S 2 (n) = ··· =  lim S k (n) = ∞.これらの発散級数を“計算”出来るか？（これらの発散級数に何か意味のある値を対応させられるだろうか？) ●上記の問題は，リーマンゼータ関数ζ(s)の特殊値を考察することに帰着される． (II)素数とゼータ関数定義1.2 (素数).整数n > 1の正の約数が，1とnに限るとき，nを素数という.例. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,...定理1.3 (Euclid 3rd Century B.C.).素数は無数に存在する.定理1.4 (Euler 1737).
ここで，和は素数全体に渡る． Euclidの定理は，Eulerの定理から導けることに注意する．（．有限和は常に収束！） ●大雑把に言うと，“素数の個数は平方数の個数より多い”と言える，なぜならT 2 = n 2 < ∞が成り立つから.定義1.5 (π(x)).実数x ≥ 2に対して, 2 ≤ p ≤ xをみたす素数pの個数をπ(x)とおく.例.   π(10) = 4, π(10²) = 25, π(10³) = 168, π(10 4 ) = 1229, π(10 5 ) = 9592, . .定理1.6 (素数定理,  Hadamard 1894 and de la Vallée Poussin 1896). xを正の実数とし，π( x )をxを超えない素数の個数とする．このとき，以下が成り立つ．
3 ●上記素数定理は，リーマンゼータ関数((s)の非零領域を調べることにより，証明された.定義1.7 (リーマンゼータ関数). Re(s) > 1を満たす複素数s ∈ Cに対して，下記で定義する.
複素数s ∈ Cに対して, σ := Re(s)とt := Im(s)とおく. このとき, s = σ + itとなる. (σ,t ∈ R.) θ ∈ Rに対して, eig = cosθ + isinθより, n- 8 = e-s log n = e-σ log n e-it log n = n-σ (cos(t log n) = i sin(t log n)).よって,  |n-s| = n-gであり,  (複素数z = x + iy ∈ Cの絶対値|z| = √x² + y²である。）下記の不等式を得る.
無限級数     n-°は，固定されたσ 0 > 1以上の全てのσ ∈ Rに対して，一様収束する．上記級数は((s)の優級数なので， ((s)は領域 {s ∈ C| Re(s) > 1}における正則関数を表す. ●あとで((s)が，C全体に有理型関数（極を除いて正則）として解析接続されることを示す.
2   複素解析入門
解析数論における主要な道具は“複素解析”である．複素解析の基礎について紹介する.（教科書[4]，[8]等を参照してください.） ● D ⊂ Cを領域（連結な開集合）とする．[4]のp.48参照．定義2.1 (正則関数). ƒ: D → Cとする. Dの全ての点zにおいて，ƒが複素微分可能なとき，fはD上正則であるという．(ƒ′(z) = lim ƒ(z + h) − ƒ(z)が存在するというh意味.  h ∈ Cに注意. )定理2.2 (正則ならば複素解析的)、f : D → CをD上の正則関数とする。このとき，以下が成り立つ. 1. fは何回でも複素微分可能で，すべてのn ∈ Nに対して，f ( n )はD上正則である． 2.すべてのα ∈ Dに対して，fはz = αで複素解析的である，つまり，fはz = αのある近傍においてテイラー展開できる:
Dα(R) := { z ∈ C | 0 < | z − α | < R}. (α ∈ C, R > 0)とおく.定義2.3 (孤立特異点). fをD α (R)上の正則関数とする．f (α)が定義されないか，f ′ (α)が存在しないとき，z = aはfの孤立特異点であるという.定理2.4 (ローラン展開)、fをDa(R)上の正則関数とする．このとき，fはある円環領域において下記のようなローラン展開をもつ.
定義2.5 (主要部). f : D α ( R ) → Cを正則関数とし， z = αをfの孤立特異点とする.
を，fのz = aにおけるローラン展開の主要部という.定義2.6. f : D α ( R ) → Cを正則関数とし， z = αをfの孤立特異点とする. 1. fのz = aにおける主要部が0となるとき，z = aを除去可能な特異点という. 2. ƒのz = αにおける主要部が有限和となるとき，z = αを極という. 3. fのz = aにおける主要部が無限和となるとき，z = aを真性特異点という.定義 2.7 (整関数)、複素平面全体で正則な複素関数を整関数という.
定義2.8 (解析接続). D 1 ⊂ D 2 ⊂ Cを二つの領域とし，f : D 1 → C, g : D 2 → Cを複素解析的な関数とする．gのD1への制限が，fと一致するとき，gをfのD2への解析接続という.
3　オイラーの和公式
“オイラーの和公式”（以下，ESFと略記）と呼ばれる下記の和公式を考える．ESFはζ(s)の解析接続を導く際にも用いられる．[9]に従って，ESFとその応用をいくつか紹介する.定義3.1 (ガウス記号)、実数xに対して，[x] := max{n ∈ Z | n ≤ x}で定義する．命題3.2 (オイラーの和公式). f : R → Cとする. x > 0とする.区間[0,x]において, fが連続な導関数f'をもつならば，下記が成り立つ.
証明、以下のように積分区間を分割して計算する.
● ◎ ESFの応用l高校で下記の極限が発散する事実を習ったと思う.
6定義3.3 (ランダウの（ビッグオー）記号). f,g: R → Cとする. xo > 0とC > 0が存在して，x > x 0ならば| f (x)| ≤ C | g (x)|となるとき,
とかく.定理3.4.
証明. ESFで，f(t) = 1/tとおくと，下記を得る.
よって,

7
最後に，計算により，
◎ ESFの応用2 ：素数の分布に関する，ある漸近公式.定義3.5 (フォン・マンゴルト関数).整数n ≥ 1に対して，下記で定義する.
(3.1)例: Λ(1) = 0, Λ(2) = log 2, Λ(3) = log 3, Λ(4) = log 2, Λ(5) = log 5, Λ(6) = 0, . . . ●素数定理は下記の漸近公式と同値であることが知られている.
素数定理の代わりに，導出が比較的易しいいくつかの素数の分布に関する漸近公式を紹介する.定理3.6.
8下記の補題を示すことから始めよう.補題3.7. f : N → Cを数論的関数とする．このとき，下記が成り立つ．
証明.
●命題3.8.
証明.
ここで，下記を用いた．
ただし，n = Π k =1 ρ k と素因数分解した．ESFにおいて，f(t) = log tとおくと，下記を得る.
これで，証明された． →命題3.9.
証明.
最後の和を書き直すと,
口10なぜなら,
よって
(注意： ∃ N ∈ N such that n ≥ Nならばlog(n + 1)/n² ≤ n−3/²が言える.)以上より，証明された.
= log log ∞ （Euler 1737） ESFの一つの一般化である“アーベルの和公式”を用いる. (以下，ASFと略記する.)定理 3.11 (アーベルの和公式)、任意の数論的関数a(n)に対して, (数論的関数とはN上の関数のこと）
とおく.ここで, x < 1ならば, A(x) = 0とする. ƒ: R → Cが連続な導関数を区間[y, x]上持つと仮定する，ただし，０＜ y ＜ xとする．このとき，以下が成り立つ．
証明、積分区間を以下のように分割する.
あとは，ESFの証明と同様である． ● ●すべてのn ≥ 1に対して，α( n ) = 1とおけば，A( x ) = [ x ]となってASFからESFが導かれる.
証明.
とおく．命題3.10において，P(x) = log x + O(1)を既に示した．
とおく.このとき,
となり，ASFにおいて，ƒ(t) = 1/ log tとおけば，
12である．以上より，
が成り立ち,
である. ● ◎応用4 ：ζ(s)のRe(s) > 0への解析接続σ = Re(s) > 1とし, f(x) = x− 8とおく. このf(x)に対して,オイラーの和公式を使う.
ここで,
に注意すると，Re(s) > 1に対するζ(s)の下記の表示を得る．
さて，(3.6)の右辺の積分が{s ∈ C| Re(s) > 0}に属するsに対して，収束することをみよう．実際，σ > 0のとき，この積分は下記のように上から評価される．
よって，(3.6)の右辺が，s ∈ {s ∈ C | Re(s) > 0, s ≠ 1}に対して，意味をもつことが証明された．この式は，ζ(s)がRe(s) > 0に解析接続されて，s = 1において一位の極をもつことが示された．極s = 1における留数を計算すると，
となる。命題3.13.元々Re(s) > 1において定義されていたリーマンゼータ関数ζ(s)は, Re(s) > 0まで解析接続される．s = 1での一位の極（留数１）を除いて，ζ(s)はRe(s) > 0において正則となる. ●“ポアソン和公式”を用いて, ζ(s)がC全体に解析接続できることをあとで証明する.
無限積
4

|u| < 1/2のとき,
系4.2. Ｄ⊂ Cを領域, { u n ( z )}をD上の正則関数列とする. Dのすべてのコンパクトun(z)が一様絶対収束するならば,部分集合上で, (1 + un(z))もDのすべてのコンパクト部分集合上で一様絶対収束し，D上の正則関数を定義する. ● A ⊂ Cがコンパクト⇐→ Aが有界閉集合●一様収束については，[4]のp.44参照. ([4]のp.39参照. )命題4.3. {p,}を素数全体からなる数列とする. (p, = 2, p, = 3, p, = 5, . . . ) σ = Re(s) > 1なるs ∈ Cに対して，無限積は，Re(s) > 1内のすべてのコンパクト部分集合上で一様絶対収束し，Re(s) > 1上の正則関数を定義する.証明. p n s = exp( − s log p n )は整関数である．Re(s) ≥ σ 0 > 1に対して，σ 0 > 1より，以下が成り立つ. (1 − p n s )はRe(s) > 1内のすべてのコンパクト部分集合上で一様絶対系4.2より, □収束し，Re(s) > 1上の正則関数を定義する.定理 4.4 (オイラー積). σ = Re(s) > 1に対して，以下が成り立つ.
証明、以下の等式に注意する.
同様に，
ゆえに，証明された.

●

となる。証明．R > 0を固定し，自然数NをN ≥ 2Rを満たすように取る．|z| ≤ Rとn ≥ Nに対して,
∑ n=1 ⇌は収束するので，f(z)は，C − Z = {z ∈ C | z ≠ Z}のすべてのコンパクト部分集合上で一様絶対収束し，有理型関数を定義する．初めに，以下が確認できる． 1. f(z + 1) = f(z).
|y|→∞ |z|≤1/2 πとおく．すると，g(z)も上記の1,2と3を満たすことが確認で次に，g(z) := sin π zきる. 最後に，F(z) := f(z) − g(z)とおく．F(z)は有界な整関数となる．Liouvilleの定理より，F(z)は定数関数となる．limy→∞ F(z) = 0より，F(z) ≡ 0となる． ●系4.6.
証明.命題4.5において，z = 1/2とおく．左辺は
16を得る．以下を用いれば，
を得る. l系4.7. h(z) :=は，C − Z = {z ∈ C|z ≠ Z}のすべてのコンパクト部分集合上で証明．命題4.5の証明と同様に，h(z)はC − Zのすべてのコンパクト部分集合上で一様絶対収束し，有理型関数を定義することが示せる．h(z)を微分して，下記を得る．
□ cot(−z) = − cot(z)より，C = −Cとなるので，C = 0.定理4.8.
証明. R > 0とし,  |z| ≤ Rとする. このとき,
は，複素平面全体で正則関数を定義する．ƒ(z)の対数微分を取れば，下記を得る
17 (ここで，系4.7を使った). よって，ある定数Cを用いて，f (z) = C sin πzとかける. f(z) ● lim π 2系4.9.
証明.定理4.8より,
となる．テイラー展開を考えると，
となる．二つの表示式のz²の係数を比較すると，下記を得る．
二つの表示式のz 4の係数を比較すると,
を得るが，次式に注意すると，
□
5 ガンマ関数
以下の議論では，ガンマ関数Γ(s)の基本的な性質を必要とする．必要な性質をここでまとめておく．証明は大抵の「複素解析のテキスト」に載っている．例えば，[4]，[8]等を参照せよ.定義5.1 (ガンマ関数). Re(s) > 0に対して，以下で定義する.
なり，以下の点で一位の極を持つ以外は正則となる.
また，s = −nでの留数は(−1) n!となる．以下の表示
と積公式
を持つ．ここで，γはオイラーの定数である．この無限積はすべてのsに対して収束するので，Γ(s)は決して零にならない．ガンマ関数は二つの関数等式を満たす．
すべてのｓとm ≥ 1に対して，乗法公式(multiplication formula)が成り立つ.
系5.3.
x > 0に対して,
19証明、Γ( x )の積公式の両辺の対数微分をとれば,
となる。よって,
が得られる． x = 1とすれば， Γ′(1) = −γが得られる．一方， xに関して微分すれば，下記を得る.
□
6
ポアソン和公式と((s)の関数等式
記号C(R) := {f : R → C,連続}. L 1 (R) := {f: R → C,可測| f ∞ |f (x) | dx < ∞} . f(y) := f_∞ f(x)e-2πixy dx  : fのフーリエ変換.   (f ∈ L 1 (R))
f(x + n)がRのすべてのコf(m)が絶対収束すると仮定する．このとき， f(x + n)とおく. 仮定より，F(x)はR上の連続関数となる．F(x +証明. F(x) := 1) = F(x)より，F(x)はフーリエ級数でかける．
(F ∈ L²(R/Z)と{e²πimɪ | m ∈ Z}が，L²(R/Z)の完全正規直交系になることに注意せよ.）フーリエ係数amを計算すると，下記を得る.
ここで,
より，このフーリエ級数はR上の連続関数となる．よって，R上のxの連続関数としての下記の等式を得る.
上記の式で， x = 0とすれば証明される． □
定理6.2.
系6.3.
上の系を用いて，ζ(s)の関数等式を証明する.先ず，Re(s) > 0のときの以下のガンマ関数の積分表示を思い出す:
21
つまり
Re(s) > 1のとき，上の式でn = 1から∞まで足すと，
をξ2(s)に代入すると,
最終的に，ξ(s)に対する下記の積分表示を得る。
22
命題6.4. Re(s) > 1に対して,
は，任意の複素数αに対して，絶対収束する証明、任意の複素数αをとる．φ(t)の一様収束性より，
となる．よって，任意のt > 0に対して，あるM > 0が存在して，|ϕ( t ) t α+¹| < Mとなる。よって,
となり，証明が終わる． ●上の補題より，(6.1)の右辺の積分は，任意のs ∈ Cに対して，絶対収束する．さらに， (6.1)の右辺は，sと1 – sを入れ替えても不変である．
定理6.7 (Euler). s ≠ 0,1に対して,
証明、定理6.6より，
23
証明、下記の関数等式を用いる：
(cos(3π/2) = 0に注意) (iv)   (6.3)でs = 4とする:

24
●
ζ(s)の特殊値とベルヌイ数
7
以下の命題から始める.命題7.1.あるr > 0が存在して，| z | ＜ rに対して，下記が成り立つ.
証明.系4.7より,
●定義 7.2 (ベルヌイ数)、ベルヌイ数Bn (n = 0,1,2,3,...)を下記で定義する.
例：
さて
25となり，この式でzを2πizで置き換えて，命題7.1を使えば，
を得る.以上により，下記が証明された．定理7.3. n ∈ Nに対して，下記が成り立つ.
特に，下記が成り立つ.
s = 2n (n ∈ N)とおくと,
また，関数等式でs = 2n + 1とおくと,
ここで，cos(nπ + π/2) = 0を用いた．以上をまとめて，
26
定理7.4. n ∈ Nに対して,
が成り立つ.命題7.5.
証明. Re(s) > 0かつs ≠ 1におけるζ(s)の積分表示(3.6) :
をみたす.両辺の対数微分を取り，極限を取る.
ここで,
より，g'(s) = γ + O(s − 1)なので，
となる。 27
●
定理7.6.
証明.下記の関数等式の両辺に，Γ(1 – s)を掛けて,
公式(5.3) :
を使うと，下記を得る.
次に，(s − 1)を掛けて，両辺の対数微分を取ると，
を得る. 	
8
ゼータ正規化積
a = {a n} π=1 を正の実数からなる数列とする.定義8.1 (aのゼータ関数).
ζα(s)が, s = 0を含むある領域まで解析接続されて, s = 0で正則と仮定●[仮定]する.定義8.2 (ゼータ正規化積).列αが上の仮定を満たすとき. αの正規化積を下記で定義する.注意.
となる．よって，このときは
となり，実数の（通常の）積になる.定理8.3 (Riemann 1859).
となる。
よって,
29となるので,
となり,
となるので,
●定義8.5 (フルビッツゼータ関数)、実数x > 0とRe(s) > 1なるs ∈ Cに対して,フルビッツゼータ関数は，以下で定義される.
● ζ(s, 1) = ζ(s)：リーマンゼータ関数. ζ(s, x )は，sの関数として複素平面全体に解析接続されて，s = 1での留数1の一位の極を除いて，正則となる.定理8.6 (Lerch 1894).
つまり，以下が成り立つ.
証明、はじめに，以下に注意する．
さらに，sに関して微分して，s = 0を代入すると，
f(x)が定数，つまりa = 0を示す。
よって, a(x + 1) + b = ax + bとなり，α = 0が示せた．最後に，bを決める．f (1/2)を計算する.
Г(1/2) = √πと
31と計算されて,となる。
□
セルバーグゼータ関数
9
記号： ●  SL(2, R) =  { ( α δ )  | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1} :特殊線形群（行列の積で群になる，実リー群） ●  G = PSL(2, R ) = SL(2, R )/{±( } })} ●  H = {z ∈ C | Imz > 0} :上半平面● Γ ⊂ G :ココンパクトなトーションのない離散部分群このとき，商空間X ＝ Γ\田は種数g ≥ 2のコンパクトリーマン面となる．（Gは田に一次分数変換g.z = gﾆﾅﾑで作用し，旺上のG-不変ハール測度はdμ(z) := dxdy/y²となる。）セルバーグゼータ関数とは？ ● RつZつ{p | pは素数} → ζ(s) = Π p (1 − p− s)−¹ :リーマンゼータ関数● PSL(2,R)つΓつPrim(Γ)：原始的双曲共役類→ ΖΓ(s)：セルバーグゼータ関数γ ∈ Γを双曲的な元，つまり| tr(γ)| > 2とすると，γのΓにおける中心化群は無限巡回群になり，γはGにおいて，下記の元と共役になる．（あるg ∈ Gが存在して，gγg−1が下記の対角行列になる.）
Prim(Γ) := {[δ] | δ ∈ Γ,δが原始的双曲元}をΓの原始的双曲元のΓ-共役類の集合とする.  (ここで，[δ] = {γδγ−1 | γ ∈ Γ}で，原始的双曲元とは他の双曲元のべきでかけない双曲元のこと.） ●群，部分群，作用，共役，共役類などの「群論」の専門用語については，[6]を参照.定義9.1 (セルバーグゼータ関数)、Γ （またはX）に対するセルバーグゼータ関数は,下記のオイラー積で定義される.
SelbergはZr(s)について下記の定理を証明した.定理9.2 (Selberg 1956, [12]).      1. Re(s) > 1に対して定義されたZr(s)はC全体に有理型関数として解析接続される. (実際は，整関数になる). 2.  Zr(s)はs = −k (k ∈ N)に，位数(2g − 2)(2k + 1)の客点を持ち， s = 0に，位数2g − 1とs = 1に，位数1の寄点を持つ   ：自明客点. 3. Zr(s)はs = ½ ± irnにおいて客点を持つ    :非自明客点ここで, L 2 (L\H) = {f : H → C,可測| f(γz) = f(z)∀γ ∈ Γ, ∫Γ\H |f(z)|² dμ(z) < ∞}に作用するラプラシアン△ 0 ＝ −y 2 ( ∂ 2 + ∂ 2 )の固有値の集合を{λ n ＝ 1/4 + r 2 } π = 0とおいた. (ϕ n(z)がn番目の固有関数. ⇐⇒ ∆oϕ n = λnϕ n. )このゼータ関数Z Γ (s)は下記の関数等式を満たす：定理9.3 (Selbergによる関数等式1956, [12]).
この関数等式は二重ガンマ関数を使って，対称な関数等式に書き直すことが出来る.
ここで, Γ₂(z) = exp(ζ₂(0, z))は二重ガンマ関数であり, ζ₂(s, z) = ∑n,m≥0(n+m+z)−8は二重フルビッツゼータ関数である. Selbergの定理9.2, 9.3はセルバーグ跡公式（“非可換ポアソン和公式”）を用いて証明される．跡公式の左辺はラプラシアンの固有値に渡る和で，“スペクトル辺”と呼ばれている．また，跡公式の右辺は離散群Γの共役類に渡る和で，“幾何学的辺”と呼ばれている． ГhvpをГの双曲的共役類の集合とする．双曲的な元γに対して，γのを中心化群Ζ γ (Г)の生成元とする.
33
定理9.4 (セルバーグ跡公式， Γ：試験関数).
数h(r)に対して証明できる．また，tanh(z) = e ≠ e − ≠ である．
セルバーグゼータ関数の性質（定理9.2, 9.3）は，セルバーグ跡公式（定理9.4）を用いて証明できる．以下ではこれを説明する．実数β ≥ 2を固定する.下記の試験関数を考える.
工変換は
と計算されるので，下記の命題を得る.命題9.5. s ∈ C, Re(s) > 1に対して，下記が成立する.
証明. I(s)を単位元からの寄与とする.
tanh(πr) = 1
34を使えば，下記を得る.
次に，
とおくと，双曲的共役類からの寄与は，以下で与えられる．
H(s)を計算すると,
これで，証明された. □この命題を使えば，Zr(s)の解析的性質，つまり定理9.2を証明できる．また，(9.1)の左辺はｓを１－ｓに置き換えても不変であり， (9.1)式と (9.1)でｓを１－ｓに置き換えた式との差を考えれば、下記を得る.
これから，定理9.3を得る.
35
[1]小山信也，素数とゼータ関数，共立出版. [2]小山信也,セルバーグ・ゼータ関数,日本評論社. [3] 権寧咎,セルバーグゼータ関数と素測地線定理の現在,第63回代数学シンポジウム報告集. https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp18.html [4]野村隆昭，複素関数論講義，共立出版. [5]雪江明彦,概説微分積分学,培風館. [6]雪江明彦,代数学1群論入門,日本評論社. [7]雪江明彦,代数学２環と体とガロア理論,日本評論社. [8] L. V. Ahlfors, Complex analysis. Third edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. [9] T. M. Apostol, Introduction to analytic number theory. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xii+338 pp. [10] H. M. Edwards, Riemann's zeta function. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xiv+315 pp. [11] D. A. Hejhal, The Selberg trace formula for PSL(2, R ). Vol. 1. Lecture Notes in Mathematics, 548. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976. vi+516 pp. [12] A. Selberg, Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20 (1956), 47–87. [13] J. P. Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. GTM 7, Springer- Verlag, New York-Heidelberg, 1973. viii+115 pp. Faculty of Mathematics, Kyushu University 744 Motooka, Fukuoka 819-0395, Japan