(全問必
第１問30) (配点( 1 ) (1) k > 0, k ≠ 1とする。関数y = log k xとy = log 2 kxのグラフについて考えよう。
(ii)  y = log k xのグラフは、kの値によらず定点( Hる。
カキである。 (数学II第１問は次ベージに続く。)
(2105—4)
]については，最も適当なものを，次のの～⑤のうちか|+カら一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 (2) x > 0, x ± 1, y > 0とする。log x yについて考えよう。 (i)座標平面において,方程式log,y = 2の表す図形を図示すると,クのx > 0 , x ÷ 1 , y > 0の部分となる。クについては，最も適当なものを，次のの～⑤のうちから一つ選ペ— 6 — (ii)座標平面において，不等式0 < log, y < 1の表す領域を図示すると,テの斜線部分となる。ただし、境界(境界線)は含まない。については，最も適当なものを，次の①～⑤のうちから一つ選ケペ— 7 — [2] S(x)をxの2次式とする。xの整式P(x)をS(x)で割ったときの商をT(x)，余りをU(x)とする。ただし，S(x)とP(x)の係数は実数であるとする。 (1) P(x) = 2x3 + 7x2 + 10x + 5, S(x) = x2 + 4x + 7の場合を考える。
(2105—8) (2)方程式S(x) = 0は異なる二つの解α, βをもつとする。このときP(x)をS(x)で割った余りが定数になることと同値な条件を考える。 (i)余りが定数になるときを考えてみよう。仮定から，定数kを用いてU(x) = kとおける。このとき， ■チしたがって，余りが定数になるとき，║ツ║が成り立つ。については、最も適当なものを、次のの～③のうちから一つ選チペ0   P(α) = P(β) = kが成り立つことから,  P(x) = S(x)T(x) + kとなることが導かれる。また，P(α) = P(β) = kが成り立つことから，S(α) = S(β) = 0となることが導かれる()   P(x) = S(x)T(x) + kかつP(α) = P(β) = kが成り立つことから，S(α) = S(β) = 0となることが導かれる② S(α) = S(β) = 0が成り立つことから, P(x) = S(x)T(x) + kとなることが導かれる。また，S(α) = S(β) = 0が成り立つことか
ツ
の解答群

(数学II第１問は次ベージに続く。) — 9 —
(2105—9)
(ii)逆に『ツ が成り立つとき，余りが定数になるかを調べよう。 S(x)が2次式であるから、m, nを定数としてU(x) = mx + nとおける。P(x)をS(x), T(x), m, nを用いて表すと, P(x)=||テー|となる。この等式のォにα,βをそれぞれ代入すると──ト──となるので,とα ≠ βより[ _ナ]となる。以上から余りが定数になることツがわかる。テ画の解答群(0
2
ム
の解答群
0 P(α) = T(α) かつ P(β) = T(β) ()   P(α) = mα + π  かつ   P(β) = mβ + π 2 P(α)=(mα + n)T(α)  かつ  P(β)=(mβ + n)T(β) 3 P(α) = P(β) = 0 4)   P(α) ÷ 0   かつ   P(β) ÷ 0ナ画の解答群
(数学II第１問は次ベージに続く。) (i), (ii)の考察から、方程式S(x) = 0が異なる二つの解α、βをもつとき，P(x)をS(x)で割った余りが定数になることと[ツ]]であることは同値である。 (3)  ρを定数とし,  P(x) = x 10 − 2 x 9 − px 2 − 5 x ,  S(x) = x 2 − x − 2の場合を考える。P(x)をS(x)で割った余りが定数になるとき、♭＝ニヌ┃となり，その余りは「ネノ」となる。 (2105—11) (配点30)第２問mをm > 1を満たす定数とし, f (x) = 3 (x − 1 ) (x − m)とする。また, S(x)= f(t)dtとする。関数y = f(x)とy = S(x)のグラフの関係について考えてみよう。 (1) m = 2のとき，すなわち，f(x) = 3 (x − 1) (x − 2)のときを考える。
(ii)  S(x)を計算すると
であるから
(iii) ƒ(３)と一致するものとして，次のの～④のうち，正しいものは「ス]である。
ス│の解答群
0 S(3) 0 2点(2, S(2)), (4, S(4))を通る直線の傾き2点(0,0), (3, S(3))を通る直線の傾きの関数y = S(x)のグラフ上の点( 3 ,  S( 3 ))における接線の傾き質4関数y = f(x)のグラフ上の点( 3 , f( 3 ))における接線の傾き(数学II第2間は次ベージに続く。)
数学II
(2)　0 ≤ x ≤ 1の範囲で，関数y = f (x)のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積をS 1 ,   1 ≤ x ≤ mの範囲で，関数y = f ( x )のグラフとx軸で囲まれたである。ン図形の面積をS 2とする。このとき，S 1 = [[セ), S 2 = S 1 = S 2となるのはタ] = 0のときであるから，S 1 = S 2が成り立つようである。また,なf(x)に対する関数y = S(x)のグラフの概形はチS 1 > S 2が成り立つようなf(x)に対する関数y = S(x)のグラフの概形はである。ツセ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)ン
タ]の解答群
0
(数学II第2間は次ベージに続く。)
(2105—14)
については，最も適当なものを，次のの～⑤のうちから一つツチずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。数学II (3)関数y = f (x)のグラフの特徴から関数y = S (x)のグラフの特徴を考えてみよう。関数y = f (x)のグラフは直線x = [_____]に関して対称であるから、すべての正の実数々に対して
して
となる。以上から,すべての正の実数ρに対して, 2点(1 - ρ, S(1 - ρ)),を結ぶ線分の中点についての記述として，後の0～5である。 (数学II第2間は次ベージに続く。)
(2105—16)
▋の解答群のm 0 m 2 ② m + 1 (3) m + 1 2ト■の解答群
の解答群ナ
=     の解答群
]の解答群ヌ
不の解答群(0) 0のの4 x座標はpの値によらず一つに定まり，y座標はpの値により変わる。 x座標はpの値により変わり，y座標はpの値によらず一つに定まる。中点はpの値によらず一つに定まり,関数y = S(x)のグラフ上にある。中点はpの値によらず一つに定まり,関数y = f (x)のグラフ上にある。中点はρの値によって動くが，つねに関数y = S(x)のグラフ上にある。中点はpの値によって動くが、つねに関数y = f (x)のグラフ上にある。 5)数学II第３問(配点20) (1) cos x = 0を満たすxは、 0 ≤ xく2 xの範囲に二つある。そのうち、値が小さい方はx = ■ 7である。であり，大きい方はx =イア]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 1
(数学II第３間は次ベージに続く。) (i) 0 ≤ x < 2 πのとき，方程式cos 3 x + cos 2 x + cos x = 0
を考える。三角関数の加法定理により
が成り立つ。これらを用いると
が得られる。
個の解をもつことがわかる。そのうち，最も小さ
ウの解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) H
↑
の解答群

(数学II第３間は次ベージに続く。) (ii)  nを3以上の自然数とする。 0 ≤ x < 2 πのとき，方程式cos ( n + 1 ) x + cos nx + cos ( n − 1 ) x = 0を考える。 （i)と同じように考えると、③のすべての解を求めることができる。そのうち，最も小さい解はｘ＝［コ］であり， 2番目に小さい解はｘ＝サである。 n
数学II第４問（配点20)座標平面において，方程式x ² + y ² = 4が表す円をC 1 , x ² = 8 x + y ² + 15 = 0が表す円をC 2とする。必要に応じて，次のことを用いてもよい。 -点と直線の距離一点( x 1 ,  y 1 )と直線ax + by + c = 0の距離をdとするとき
となる。
イ半径は
である。 (数学II第４問は次ベージに続く。) (2)   C 1とC 2の両方に接する直線の方程式を求める方法について考えよう。次の方針に基づいて考える。 -方針- C1の接線のうち，C2にも接するものを求める。 C 1上の点P(p, q)をとり, PにおけるC 1の接線を1とする。PはC 1上にあるのでρ² + q² = 4が成り立つ。 (i) ℓの方程式を求めよう。 ρ ≠ 0かつq ≠ 0の場合を考える。原点( 0 , 0 )とPを結ぶ直線をmとすると、ℓとmは垂直である。mの傾きは「エ」であるので、ℓの傾きはオー川となる。よって、ℓの方程式は「カー」となる。 p = 0またはq = 0の場合も， [力] ]の表す直線は，PにおけるC 1の接線となることがわかる。エ  || ,   || オ   ||の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
│の解答群力
(数学II第４問は次ベージに続く。) (ii)  ℓがC₂に接するのは,キ
++
の解答群
0 ℓがx軸に平行である①　ℓがy軸に平行であるのℓがC 2の中心を通る質C 2の中心とℓの距離が、C 1の半径に等しい4 C 2の中心とℓの距離が、C 2の半径に等しい(数学II第4間は次ベージに続く。) (iii) （i),  (ii)での考察から，次のことがわかる。 ℓがC 2に接するときのPの座標は
とする。よって，これらのｐ，ｑの組
力画に代入すれば，C 1とC 2の両方に接する直線の方程式が得られる。