第３回授業　レポート課題テキスト（p.57～58）の問題演習12の問1 ：問題12-2（ただし問題文に「…物体に水平方向に5.0Nの一定の…」と追加修正する。)，問2 ：問題12-4，問３：問題12-7，仕事と運動エネルギーを使って解け。注意1：計算式だけでなく，説明文（必要なら適切な図も）を加えて答案を作成すること。答案作成力も見る。注意 2：最初はこの問題がよく解けなかったとしても構わない。しかし，次の確認テストまでに何度も復習し,適切な答案を作れるようにすることを強く勧める。提出〆切：答案用紙を，授業と同じ週の金曜日（１３：００）までに提出提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。第４回 位置エネルギー：テキスト第12,  20,  23章
1.今回の授業の目的
力学２の前半では力学的エネルギーの理解を目指す。前回と前々回でそれぞれ『仕事』と『運動エネルギー』を扱った。今回の授業の目的は，位置エネルギー（とそのために不可欠な保存力と非保存力も合わせて）を理解することである。次回に力学的エネルギーを扱う。
2.授業の進行：テキストト第12, 20, 23章とこのプリントを合わせて理解を深める
(1)今回の概要：前回は，仕事の定義式に現れる力Fに運動方程式力F = m αを適用することで，仕事を速度で表し（前回プリント項目2の(5) の式（3.5)), そして運動エネルギー（前回の式（3.6)）という考え方に到達した。今回は，仕事の定義式に現れる力Fに（運動方程式でなく）力学１で学んだ何種類かの具体的な力を適用し，位置エネルギーという考え方を学ぶ。その位置エネルギーの理解に必要不可欠なことは，様々な種類の力が大きく２つのグループ,『保存力（例：重力，ばねの力，電気力）』あるいは『非保存力（例：摩擦力，空気抵抗）』に分けられることの理解である。（テキストには，エネルギーにおける非保存力の役割はきちんと説明されていないので，テキストを見る際に注意すること。) (2)保存力と非保存力（第12章p.55）:物体に力が働いて，初めの位置す。（時刻む，の位置）から最後の位置ﾃ₂（時刻ﾋ₂の位置）に移動したとする。この移動の間に力が物体に与える仕事Wの値が，物体の移動経路の形によって変わるかどうかで，力を大きく２種類に分ける。保存力（というグループ）:  『初めの位置す」と最後の位置す」を変えなければ，途中の移動経路が変わっても力が物体に与える仕事の値Wが変わらない』ような力を保存力（というグループに属する）という。保存力の例は，重力，ばねの力，電気力など。 →大雑把には，力の法測（力のベクトル群を決める公式）が速度に依存しないような力は保存力だと思ってよいだろう。（例外もある。）重力もばねの力も（基礎物理Aを受講している学生は電気力も）力の法則は速度に依存しないことを確認せよ。非保存力（というグループ）：  『初めの位置孔と最後の位置孔を変えなくても，途中の移動経路が変わると力が物体に与える仕事の値Wも変わる』ような力を非保存力（というグループに属する）という。非保存力の例は，摩擦力，空気抵抗，張力，垂直抗力など。 →大雑把には，力の法測（力のベクトル式を決める公式）が速度に依存するような力は非保存力だと思ってよいだろう。（例外もある。）摩擦力も空気抵抗も力の向きは速度と逆向き，つまり速度に依存して力のベクトルが決まることを確認せよ。重力が保存力であること：図1 のように，物体を軌道A→B→C→Dに沿って運動させる場合と,軌道A→E→D に沿って運動させる場合を考える。 (物体の質量はm,重力加速度の大きさはg, x軸は水平方向，y軸は鉛直上向きである。）これらの運動中に（手で持つ力など様々な力が物体に働くが，特に）重力F c = (0,−mg)が物体に与える仕事に注目し，軌道A→B→C→Dの場合の仕事Wabcd と軌道A→E→Dの場合の仕事Waedが等しいことを導く。 ©図1のA→Bの上昇部分における仕事Wabは(重力と鉛直移動のなす角が鈍角で, scosθ = −(y b − y g )なので) Wab = −mg(y b − y a ) < 0 であり, B→Cの下降部分における仕事Wbcは(重力と鉛直移動のなす角が鋭角で，scos θ = (y b − y a )なので) Wbc = mg(y b − y a ) > 0である。よって，A→B→Cと運動する間の仕事は打ち消しあってゼロになる：  Wabc = Wab + Wbc = 0 ◎したがって，運動全体の仕事は，W ABCD = W AB + W BC + W CD = W CD である。ここで，W CDはC→Dの運動部分だけの仕事であり，W bcと同様に考えてWcd = mg(y a − y a)である。よって, Wabcd = mg(Ya − Ya)である。次に，軌道A→E→Dの仕事Waedを計算する。 ◎重力尺は常に鉛直下向きなので，A→Eの部分の仕事W AEは（重力と移動方向が同じ向きなので）正の値W AE = mg(y a − y a )となり，E→D の部分の仕事W EDは（重力と移動方向が垂直なので）ゼロWED = 0である。よって，WAED = WAE + WED =  mg(ya − ya)である。以上から,  Wabcd =  Waed  = mg(ya − ya)となる。点A と点D を結ぶ軌道が図１の２つだけでなく，どんな曲線軌道であっても，重力が物体に与える仕事WA→pという同一の値になることが証明できる。 (曲線軌道を微小な階段に分解することで計算する。階段の水平部分と鉛直部分をどんどん短くし，階段の数をどんどん増やせば,曲線軌道になる。）区2 D Cこれは，重力が保存力であることを意味する。ばねの力が保存力であること：図2 のように，ばねに結び付いた物体を位置A→C→B→Dの順にBC 間で一往復してA からD に運動させる場合と，位置A→Dの順に往復せず素直にA からDに運動させる場合を考える。（ばね定数はk，ばねの自然長からの伸びはｘである。）これらの運動中に（手で持つ力など様々な力が物体に働くが，特に）ばねの力Fs = (−kx,0) が物体に与える仕事に注目し，路A→C→B→Dの場合の仕事WACBDと経路A→Dの場合の仕事WADが等しいことWACBD = WAD を導く◎往復経路の仕事はWacbd = Wab + Wbcb + Wbdと分解できる。ただし，Wab は物体がA→Bと移動する間に力Fが（物体に）与える仕事，WBCBは物体がB→C→BとBC 間を一往復する間の仕事,  WBDは物体がB→Dと移動する間の仕事である。よって，一往復の仕事WBCB = 0を示せれば， WACBD = WAB + WBD = WADとなり，WACBD = WADが導ける。 。一往復の仕事Wbcbがゼロであることを示そう。そのために，BC間の微小距離（図2 参照）だけ物体が移動する間の微小仕事dW bcb = −kxdxに注目する。物体がB→Cの向きに移動する場合, xが減少するので変化量は負dx ＜ 0となり，dW bcb ＞ 0である（力と移動方向が同じ向きなので仕事が正であることに合致する)。また，物体がC→Bの向きに移動する場合，xが増えるので変化量は正dx > 0となり，dW bcb ＜ 0である（力と移動方向が逆向きなので仕事が負であることに合致する)。よって，ある微小区間（例えば図２に示すdxの区間）を左向きに動く場合の微小仕事dW rcr（> 0）と右向きに動く場合の微小仕事dW rcr（< 0）は，絶対値は等しいが（ |dW rcrl = |kxdx|)符号が逆なので,足すとゼロである。ところで,一往復の仕事WBCBIは,微小仕事dWBCB をー往復B→C→Bの間で足し上げたもの（積分）である。従って，B→C向きの微小仕事とC→B 向きの微小仕事が打ち消しあう（足してゼロである）ことから，一往復の仕事はゼロである。 Wbcb = 0が示せた。力学2（工）（4 回目）以上のように，一往復の仕事Wbcb = 0なので，Wacbd = Wadが成立することが分かる。同様に，点A からD への移動経路がBC 間の一往復だけでなく様々な任意の往復をする経路であっても，ばねの力が物体に与える仕事は往復しない経路の仕事Wapに等しいことが分かる。これは，ばねの力が保存力であることを意味する。摩擦力が非保存力であること：テキスト問題演習12の問題12-5は，摩擦力が非保存力であることを示す具体例である。物体の移動経路が，素直に直進するか，一度折り返すかで，摩擦力が物体に与える仕事の値が異なることが分かる。また，摩擦のある面上を物体が曲線軌道を描いても，摩擦力は常に速度と逆向きの力なので，重力のように微小仕事がゼロになったり，ばねの力のように往復運動で仕事が打ち消すようなことは起こらず，物体の移動距離が長くなればなるほど摩擦力の仕事は大きくなる。従って，初めの位置x₁（¥₁）と最後の位置x₂（¥₂）が同じでも途中の経路の長さによって摩擦力が物体に与える仕事の値は異なる。これは，摩擦力が非保存力であることを示す。確認演習：問題演習12の問題12-5に再び取り組み(前々回レポートの解答を確認し)，摩擦力が非保存力であることを確かめよ。 (3)位置エネルギー（保存力が物体に与える仕事，第12章p.55～56）：物体が初めの位置ﾃから基準点花へ移動する間に保存力にが物体に与える仕事Uを（保存力による）位置エネルギーという。重要な具体例として，重力による位置エネルギーUeとばねの力による位置エネルギーUsの表式を導く。重力による位置エネルギー Ug(y) (高さy = 0を基準とする場合): 図l のように,鉛直上向きにy軸をとり，高さy = 0の位置を基準点とする。項目(2)の『重力が保存力であること』より，水平方向に移動する間に重力が物体に与える仕事はゼロである。よって，高さyの位置における重力による位置エネルギーUg(y)は，鉛直方向に高さyから0まで移動する間に重力が物体に与える仕事である。重力Fe = (0, −mg)は一定ベクトルなので，仕事はy成分（鉛直方向）の単純な掛算で計算できる（高さの変化量Δy = 0 − y = −yに注意), [J]重力による位置エネルギー：   Ug(y) = FgyΔy = mgy
ただし，mは物体の質量，gは重力加速度の大きさである。ばねの力による位置エネルギー  U s (x)（自然長の位置x = 0 を基準とする場合）: 図2 のように，ばねの伸びをχとし，自然長の位置x = 0を基準点とする。ばねの力ξ = (−kx,0) は一定ではないので,前回プリント項目2の(4)の式（3.4)のように微小仕事の定積分で計算する。また，項目(2)の『ばねの力が保存力であること』より，位置x₁におけるばねの力による位置エネルギー U₂(x₁)は，x軸に沿って位置x₁から基準点0まで往復せずに素直に移動する場合の仕事である。よって，位置の微小変化dx の間の微小仕事はdW = Fsxdx = −kxdxであることに注意して，次のようになる。
ただし，kはばね定数である。位置エネルギーの意味：以上のように得られる位置エネルギーは，初めの位置えにある物体に保存力Fcが与える仕事（エネルギー）である。そして，物体が持つ位置エネルギーを他の物体に与えることもできる。例えば重力では，高さyにある物体が重力だけで落下して基準の高さにある他の物体に（衝突などで力を加えることで）仕事を与えられる。このようにして他の物体に与えられる仕事（エネルギー）の最大値がmgyである。そして，その最大値mgyだけのエネルギーが既に物体に蓄えられていた，と考えることもできる。このように高さyの位置で物体に蓄えられるエネルギーが位置エネルギー Ug(y) = mgyだと言える。同様に考えて，ばねの伸びxの位置で物体に蓄えられるエネル********ギーが位置エネルギーUs(x) = (1/2)kx²だと言える。 O xでは,このエネルギーがどのようにして物体に蓄えられたのか。基準から高さyに物体を持ち上げたり，自然長からばねをx伸び縮みさせたりするには，手などで力を加えて仕事Wを与える必要がある。この仕事Wが物体やばねに位置エネルギーUとして蓄えられるのである。（問題12-6を解いて理解せよ。） (4)演習1：問題演習12 (p.57〜58) の問題12-1(5)(6), 問題12-6に取り組む。問題12-8の設定で, 滑り降りた位置を高さy = 0として，滑り降りる前の高さで物体が持つ重力による位置エネルギーを求めよ。問題12-8 (1)(2)の答えと比較して，気が付くことをまとめよ。 (5) 演習2：積分を用いた仕事の計算物体がx = −2  [m]からx = 3  [m]まで移動するあいだ, F (x)dxを求めよ。 F(x) = (Fx(x),Fy(x) ) = (x − 2,   x²) [N]の力が加わった。仕事W = ( (発展的内容) (6)位置エネルギーと保存力の関係（第12章p.55）:図1と同様にxy座標をとると,重力 χ e = (0, F ev ) =
また，図２と同様にxy座標をとると，ばねの力g = (Fsx,0) = (−kx,0)とばねの力による位置エネルギーU ε ( x )には次の関係が成り立つ（式（4.2）を参照）:
これら式(4.3),  (4.4)の定積分は, 物体の位置(x 1あるいはy 1 ）から基準点（x = 0 あるいはy = 0）への積分である。これは，項目(3)の初めの下線部分で述べた位置エネルギーの意味（定義）に従っている。重力とばねの力に限らず，あらゆる保存力と位置エネルギーについて次のようになる： ◎簡単化して物体がx軸上を運動する場合を考えて，物体の位置をx，基準点をx nとする。 ◎物体に働く任意の保存力のx成分をF x (x)とする。一般的にF x (x)は物体の位置xによって変化する。 ●保存力による位置エネルギーをU(x)とする。このとき，次が成立する：位置エネルギー
(6)非保存力による仕事とエネルギーの散逸（テキストに明示されていないこと）:項目(3), (4)で，保存力が物体に与える仕事は位置エネルギーに等しいことが分かった。保存力がする仕事は経路によらないので，どこかをぐるりと一周して初めの位置に戻ってくると，仕事はゼロになる。したがって，物体が持つエネルギーは変化しない。一方，非保存力の場合は，ぐるりと一周して戻ってくる間にする仕事はゼロにならない。すなわち,物体が持つエネルギーが変化したことになる。エネルギーはどうなったのだろうか？特に非保存力による仕事が負となる場合を考えよ。確認実験： 机上で手を滑らせて，摩擦で手が熱くなること，また音も出ることも確かめよ。この熱や音のエネルギーはどうやって供給されているのか考えよ。この確認実験から分かるように，非保存力（代表例は摩擦力）によって熱や音が発生するとき，そのエネルギーの供給元は，非保存力がする負の仕事によって減少した物体が持つエネルギーである。このように仕事や物体が持つエネルギーが，非保存力がする仕事によって，熱や音などの形のエネルギーとなって減少することを，エネルギーの散逸という。