1.はじめに
わが国は国土の約70%が山地・丘陵地で構成され、また施弱な地質が広く分布している。さらに、榛雨期や台風期には、しばしば家雨に見舞われるなど、斜面災害が発生する危険性が高い環境下に置かれている。その結果、毎年のように斜面災害によって多くの尊い命や財産が奪われてきた。さらに、近年の地球温暖化等の進行の影響により集中豪雨の発生回数が増加しており、斜面災害の危険性がますます高まってきている。わが国の斜面災害としては、地すべり、土石流、がけ崩れの3種類に分類され、それらの発生回数の内、がけ崩れが約70％を占めており、その中の大部分を比較的浅い位置ですべり崩壊が発生する表層崩壊が占めている。このような表層崩壊による被害を軽減させるためには、崩壊する可能性のある場所や時刻を事前に評価・予測することが不可欠であり、そのためには、対象地域の士賀・地形条件ならびに降雨特性などの地域の表層崩壊発生の要因を考慮に入れることのできる力学モデルによる表層崩壊発生の危険度評価が重要となる。このような力学モデルとしては、降雨浸透による表上層内の地下水位の変動とそれに伴う表層崩壊発生の危険度の変化を定量的に評価する手法を用いる必要があり、代表例として、沖村・市川の手法『がある。この手法では、物理モデルである無限長斜面安定解析式を用いて斜面の安定性を評価しており、樹木根系の効果として、根系による鉛直方向の粘着力効果を粘着力増分という形で考慮している。樹木根系の表層崩壊発生の抑止効果の研究として、銀本¶や阿部¶による樹木根系の現地調査によって、樹木根系の効果を求める手法が数多く考案されてきた。また、北原〝は根系の粘着力増分において、鉛直・水平両方向の粘着力増分がどちらも重要であると報告しているが、従来の無限長斜面安定解析式を用いている手法では、沖村・市川りや今井9の手法のように鉛直方向の粘着力増分は考慮されているが、水平方向の粘着力増分は考慮されていない。このような背景から、筆者らが所属する研究室¶では、樹木の上載荷重及び鉛直根・水平根の粘着力増分を考慮した無限長斜面安定解析式を提案し、その有用性を検討してきた。しかし、この手法では水平根の粘着力増分は樹木根系の分布に関わらずすべり面までの深さに比例して大きくなるように設定しており、安定性を過大評価していると考えられる。そこで、本研究では樹木根系の体積分布に着目し、上述した問題点を改良した樹木根系による粘着力増分を考慮した無限長斜面安定解析式を提案することを目的としている。
2．樹木根系の影響を考慮した無限長斜面安定解析式
2. 1従来の援案式
筆者らが所属する研究室¶が提案してきた無限長斜面安定解析式は、（１）式で表される（図ー２．１参照）。なお、水平方向の粘着力増分は右辺の第二項で表されている。 Fs = Cs+Crv+Acos2 0 tan φ + B sin 0 cos 0 B sin θ A = qo + Yt · (H — h) + (Ysat — Yw) · (h — Hz) B = qo + Yt • (H — h) + Ysat • (h — Hz)ここに、Fs：安全率、θ :潜在すべり面の傾斜角（°）、II：表土層深（基岩面から地表面までの高さ）(m)、Hs：潜在すべり面から地表面までの高さ（m)、h：基岩面から地下水面までの高さ（m)、Hz：基岩面から潜在すべり面までの滴さ（m）、D :数値標高モデル（DEM）における単位格子幅（m）、C ｡ :土の粘着力（kN/m²）、φ :土の内部摩擦角（°）、 γ :土の湿潤単位体積重量（kN/π²）、Ysat：土の飽和単位体積重量（kN/π²）、γ, :水の単位体積重量（kN/π²）、C,, :根系による鉛直方向の粘着力増分（kN/m²)、Crn：根系による水平方向の粘着力増分（kN/m²）、qo：樹木による上載荷重(kN/m²)
2. 2 本研究における提案式
( 1 )式において、水平根の粘着力増分をC,H × H,という式で考慮しており、表土層H,が深くなるにつれて値も大きくなるようになっている。しかし、樹木根系は図ー２．２³のように深度方向には一様には分布しておらず、水平根の粘着力増分も同様に分布すると考えられるため、(１)式では水平根の粘着力増分を過大評価していることがわかる。そこで、本研究では水平根の粘着力増分が以下の（２）式で表せると考え、fという関数を推定していくこととする。 f × CrH
ここに、C r H :根系による水平方向の粘着力増分（kN/m²)、f :水平报の分布状態を考えたときの関数
2. 2. 1 樹木根系の体積分布の考慮
樹木根系の崩壊防止力を評価する場合、樹木の根の分布状態を知る必要がある。しかし、一般的に絶面を掘り返して調べることは困難であるため、樹高や胸高直径などの地上部の測定可能な情報だけで推定できる方法を開発する必要がある。そこで、阿部¶はスギ投系を対象として、梁さ方向の体積分布を推定するため、ワイプル分布を用いて10cm厚土層ごとの体積の分布を(3)、(4)式で表現している。
f(z) = m(z-y)m-1 e-(2-y)m/ao (4)ここに、V(z)：10cm厚土層内の根の体積（cm²）、L：根系全体の体積（cm²）、z：根の最大伸長深さの階級（z = 1,2,3,4,... z = 1のとき深さ0～10cmを、z = 2のとき深さ10～20cmを表す)、Z max：根の最大伸長深さ（cm）、f (z)：ワイブル確率関数(３)式のワイプル確率関数は、γ、m、α 0 3つのバラメータによって決まる。γは、位置のバラメータといわれ、ワイプル問数の始点を決める。根の分布の場合、地表面（z = 0）での根の体積はゼロであるため、γは0となる。mは形のパラメータで、ワイプル曲線の線形を決める役割を持つ。αgはスケールパラメータといわれ、ワイプル曲線の広がりを表す。m、αρは以下の(５)、(６)式でそれぞれ表せる。 m = 2.0/{logZmax — log(0.3522Zmax — 10.7990)} α o = (0.35227max − 10.7990)™
ここに、Zmax：根の最大伸長深さ(cm) 2. 2. 2 樹木根系の体積分布の推定スギ棋系の体積分布を阿部ツの示した(3)式と、日本リサイクル緑化協会ツが提示した以下の（7)式を用いて推定する。推定した樹木根系の体積分布を図ー２．３に示す。 V, = −6.0974d³ + 4.4263d² + 0.0012d
ここに、ﾚ：根系全体の体積（m³）、d：胸高直径（m）図ー 2. ３より、最大伸長深さの半分ほどの深さの時点で、樹木根系の体積は全体の９割を占めることがわかる。このことより、地下部の樹木根系の及ぼす影響は深さ方向に一定ではなく、地表面に近い場所で大きくなると考えられる。したがって、従來式における水平根の粘着力増分が等分布しているという考え方では不十分であるといえる。また、樹木根系の体積分布は樹種毎の根の最大伸長深さZmaxから求められるが、Zmaxの測定は困難であるため、本研究では胸高直径より推定する方法を用いる。今井¶が示した根の深さ（最大伸長深さ）と胸高新面積の関係から、スギとヒノキそれぞれの根の最大伸長梁さと胸高断面積の関係式を導き出し、その式を以下に示す。 (スギ)      log Zmax = 0.505 log A + 1.007 (ヒノキ) log Zmax = 0.406log A + 0.716
ここに、Zmax：根の泉大伸長深さ（m）、A：胸高断面積（m²）
2. 2. 3 水平根の粘着力増分の推定
上述した根の深さと根の体積分布を考慮し、以下の提案式で水平根の粘着力を胸高直径DBH街に推定する。水平根の分布状態を考えた場合の水平根の結着力増分の結果を以下の図ー２．４、５に示す。
ここに、f :水平根の分布状態を考えたときの関数、Hmax :水平方向の粘着力を生じる根の最大深さ（m） （図－２. 6に示すように、樹種による最大伸長深さZmaxとすべり面深さII,を比較し小さい方をHmaxとする)、i,ミすべり面までに存在する根の体積（π 7 、 L ：根の総体積（π 3 ）図ー 2． 4に示すように、基岩面深さ/とすべり面深さHsが等しい場合、a)根の樹種による最大伸長深さZmexがHs以下である限り捜索式の水平方向の粘箸力は従来式を下回るが、b)検の樹種による最大伸長深さZmaxがH、H s以上である場合、換案式の水平方向の粘着力は従来式と等しいこととなる。その理由として、a)の場合、従来式では根がすべり面藻さまで等分布しているという考えに基づいているため、そこまで根が達していない状態であれば水平方向の粘着力を余分に算出している。一方、提案式ではそれを是正しているため、値が小さくなっている。また、b)の場合、この条件では常に根がすべり面に到達しているため、従来式と提案式で値は変わらないこととなる。図ー 2． 5に示すように、基岩面深さ/>すべり面深さH 2の場合、根の樹種による最大伸長深さZmaxがH 2と等しい場合を除き、提案式の水平方向の粘着力は従来式を下回る。Z max ≤ H ,の条件の場合は図ー２．４と同様であり、一方、 Zmax > H sの条件の場合は、従来式では根がすべり面深さまで等分布しており、すべり面までで根が持つ最大の力が発撰されるという考えであるため、すべり面以深に根が存在する条件の場合に粘着力を過大に評価していたことになる。
2. 2. 4 樹木根系の重量の考慮
従来の式では、表土層の重量を考える場合、表土層内の樹木根系の存在は無視されている。樹木根系の単位体積重量は土の単位体積重量と比較すると非常に小さく、従来式では表土層の重量を過大に算定していると考えられる。そこで、図ー２．７に示すように地下部の樹木根系の体積を地下水面で二分し、地下水面以浅の樹木根系の体積をル,(z)、地下水面以深の樹木根系の体積をk,,,(z)とする。さらに、樹木根系が地下部に占める重量とそれに伴って減少する土の直量をまとめて樹木1本あたりの重量変化量R t (z) （kN）とし、以下の式で表す。
ただし、 h>Hzの場合  Vsr(z) = {fox f(z)dz}V,  、Vwr(z) = {f(as+zw}f(z)dz}Vr h ≤ Hzの場合  Vsr(z) = {ƒ ²³³³× ƒ(z)dz}V,   、Vwr(z) = 0ここに、R i (z)：樹木1本あたりの重量変化量(kN)、γ,：樹木樹系の単位体積重量(kN/m²)、L,r(z)：地下水面以浅の樹木根系の体積（π ′ )、V,,,(z)：基岩面から地下水面までの樹木根系の体積（π ′ )、V :樹木根系の総体積（π ′ )、z, :地下水面以浅の根の高さ(m)、z,,,:すべり面-地下水面間の根の高さ(m)、z,max :すべり面-地表面間の根の高さ(m) Ri(z)を１つの格子内の樹木の分だけ用意し、それらを格子の面積で除することで単位面積当たりの重量に換算して(10)式とともに(1)式にあてはめると、以下のように変せる。
ただし、 h>Hzの場合 A(z) = qo + Yt : (H − h) + (Ysat − Yw) : (h − Hz) + gz Zil=1 Rt(z)、 B(z) = qo + Yt • (H − h) + Ysat • (h − Hz) + − ∑ i =1 Ri(z) h ≤ Hzの場合  A(z) = qo + Yc · Hs + pz ∑ i=1 Ri(z)、B(z) = qo + Yc · Hs + pz ∑ i=1 Ri(z)
３．樹木根系が安全率に与える検討結果
3. 1解析条件
胸高直径 DBIIやすべり面から地表面までの高さH 。地下水位λを変化させて安全率の変化を確認する。設定したデータを表一３．１～３に示す。鉛直根の粘着力増分C,vは、木之下ら9が示した近似式で算出し、根の最大伸長深さZmaxがすべり面深さH sを下回る場合はC ry = 0とした。

3. 2 検討結果
3. 2. 1  表土層深(1.5m)に対して根の最大伸長深さが十分小さい場合( DBH 0.05mとする)斜面勾配θを20、30、40°で変化させ、20°で地下水位位を0.0m、0.5m、1.0m、1.5mの場合をパターン1、30°の場合をパターン2、40°の場合をパターン3とする。検討結果の一例として、斜面勾配9を30°とした場合(パターン2),の結果を図ー３．１に示す。また、従来式で算出された安全率Rと提案式で算出された安全率R ′の差ΔR ′を以下の(14)式で算出し、その最小値ΔFs Minと最大値ΔFs Maxをまとめたものを表一３．４に示す。
AFs = Fs' - Fs
(14)ここに、F,′：提案式で算出された安全率、F, :従来式で算出された安全率
検討結果より、パターン毎にはグラフの形状に大きな変化は見られず、斜面勾配が大きくなるほど、挽案式と従来式で同様に安全車が低下する傾向が見られる。図ー３．１より、共通して根の最大伸長深さZmaxをすべり面深さH 2が上回った所から、提案式と従来式の安全率に差が生じ始めていることがわかる。これは、樹木根系が存在しなくなる深さでは、樹木根系の崩壊抑止力がなくなるためだと考えられる。また、グラフの急落は、地下水位がすべり面にまで達することで士の粘着力C,が0になったことによるものである。各バターン内で、地下水面の位置にすべり面が発生した場合にはぼ等しい値を取っており、そこから徐々に安全率は低下していくため、地下水位が高いほど、地下水面下における安全率は低く禁出されることがわかる。また、地下水位が高くなるほどΔFs Maxの絶対植は小さくなっているが、これは土の飽和単位体積重量Y satが増加することでR t (z)の試が小さくなったことが原因であると考えられる。 3.  2.  2  表土層深(1.5m)に対して根の最大伸長深さが十分大きい場合( DBIFO.30mとする)斜面勾配θを20、30、40°で変化させ、20°で地下水位hを0.0m、0.5m、1.0m、1.5mの場合をバターン4、30°の場合をパターン5、40°の場合をパターン6とする。検討結果の一例として、新面勾配0を30°とした場合(パターン5)の結果を図ー３．２に示す。また、取小値ΔFs Minと最大値ΔFs Maxを主とめたものを表一３．５に示す。
検討結果より、３．２．１項と同様に、バターン毎にはグラフの形状に大きな変化は見られず、斜面勾配が大きくなるほど、提案式と従来式で同様に安全率が低下する傾向が見られる。また、グラフの急落なども３．２．１項と同様のことがいえる。しかし、３．２．１項とは異なり、全ての条件で虫通してすべり面突され。が小さくなった場合に提案式と従来式との差が大きくなる傾向のあることがわかる。これは、従来式では水平根の粘着力は常にすべての水平根が粘奢力を発揮するとしているが、提案式では謝木根系の分布量を推定してすべり面以浅の水平根の粘奢力増分を算出しているため、すべり面深さH¸が浅くなるにつれて提案式における水平根の粘着力増分も小さくなることを反映していろからである。
3. 2. 3 表土層深（1.0m）と根の最大伸長深さがほぼ等しい場合（DBH-0.10mとする）
斜面勾配θを20、30、40°で変化させ、20°で地下水位hを0.0m、0.5m、1.0mの場合をパターン4、30°の場合をパターン5、40°の場合をバターン6とする。検討結果の一例として、斜面勾配θを30°とした場合（バターン5）の結果を図ー３．３に示す。また、最小値ΔFs мinと最大値ΔFs мaxをまとめたものを表ー３．６に示す。

4.まとめ
本研究では、従来提案した樹木根系の影響を考慮した無限長斜面安定解析式に、樹木根系の体積分布の深度方向の影響を新たに考慮することで式の改良を試みた。樹木根系の体積分布の影響を考慮して水平方向の粘着力増分を改良したところ、安全率が従来のモデルより低下するという結果を得た。安全率が低下する主な条件は、表土層深に対して根の最大伸長深さが十分小さい場合の条件では、樹木根系が存在しない場所にすべり面が発生する場合であり、表土層深に対して根の最大伸長深さが十分大きい場合では、水平根の粘落力増分が低下する場合であった。これらのことより、表層崩壊は樹木根系が存在しない箇所で発生しやすいことがわかる。また、樹木根系が基岩面付近にまで達している場合には、表土層の比較的浅い箇所で発生するという結果を待た。これは、樹木根系が持つ崩壊抑止力は樹木根系が存在している場所でのみ発揮されると考えて安定解析式を改良したため、従来式で過大評価していた崩壊抑止力を是正したためと考えられる。したがって、樹木根系の分布を考慮した本研究での提案式を用いることにより、より適切に樹木根系の粘着力増分を評価できたといえる。しかし、図ー２．２からも読み取れるように、樹木根系は地表面に近いほど太い根を持つため、地表付近の崩壊抑止力は大きくなると考えられ、本研究では樹木根系の体積の分布のみを考慮しており、根の太さの分布は無視しているため、今後、これらの点を考慮する必要がある。 1) 2) 3) 4)沖村孝，市川雒平：数値地形モデルを用いた表層崩壊危険度の子測法，土木学会論文集，III-3，pp. 69-75，1985.塚本良則：樹木根系の崩壊抑止効果に関する研究，東京農工大学農学部演習林報告，23，pp.65-123，1987.阿部和時：樹木板系が枠つ斜面崩壊防止機能の評価方法に関する研究，森林総研研報，373, pp. 105-181, 1997.北原曜：森林根系の崩壊防止機能,水利科学, No.311, pp.11-37, 2010.今井久：樹木根系の斜面崩壊抑止効果に関する調査研究,ハザマ研究年報, pp.34-52, 2008. 5） 6)木之下弦,松尾道,辻勲平,上月崇史,鳥居宜之:豪雨を起因とする表層崩壊危険度評価手法の予測精度向上化の検討〜樹木根系の効果を考慮して〜，第23回高専シンポジウム in Kobe講演要旨集，D–026，2018.日本リサイクル緑化協会技術開発部：根株の容積及び重量の推定について，pp.1-25, 1998. 7)所員（非常勤）、神戸市立工業高等専門学校、博士（工学）、斜面防災工学鳥居増本 慎次郎小野市役所（元神戸市立工業高等専門学校学生）所具（非常勤）、神戸市立工業高等専門学校、博士（工学）、地盤工学野並質