CALCUL DES PROBABILITÉS. — Solution directe du problème résolu par M. Bertrand. Note de M. Désiré André. «  On suppose que deux candidats A et B  soient soumis  à un  scrutin de ballottage. Le nombre des votants est a +  β. A obtient a suffrages et est élu, B en obtient β. On demande la probabilité pour que, pendant le dé pouillement du scrutin, le nombre des voix de A ne cesse pas une seule fois de surpasser celles de son concurrent. » Le nombre des événements possibles est évidemment celui des permu- tations que l'on peut former avec a lettres A et β lettres B. » Appelons Qa,β le nombre des événements défavorables. Les permuta¬ tions qui leur correspondent sont de deux sortes : celles qui commencent par B, celles qui commencent par A. » Les permutations défavorables commençant par B sont en nombre égal au nombre des permutations que l’on peut former avec a lettres A et β — 1  lettres  B, car il suffit évidemment d'y supprimer la lettre initiale B pour obtenir ces dernières. » Les permutations défavorables commençant par A sont en même nombre que les précédentes, car on peut, par une règle simple, les asso- cier, chacune à chacune, aux permutations formées avec  a lettres A et β — 1  lettres B. »  Cette règle se compose de deux parties : »  1º Étant donnée une permutation défavorable commençant par A, on y supprime la première lettre B  qui enfreint la loi du  problème, puis  on échange entre eux les deux groupes séparés par cette lettre : on obtient ainsi une permutation, parfaitement déterminée, de α lettres A et β — 1 lettres B. Soit, par exemple, la permutation défavorable AABBABAAA, de cinq lettres A et de trois lettres B; en  supprimant le premier B qui enfreint la loi, on sépare les deux groupes AAB, ABAA; en échangeant ces groupes entre eux, on obtient la permutation ABAAAAB, formée de cinq lettres A et deux lettres B. »  2° Étant donnée une permutation quelconque de α lettres A et β — 1 lettres B, on la parcourt, de droite à gauche, jusqu’à ce qu’on obtienne un groupe où le nombre des A dépasse d’une unité celui des B; on considère ce groupe et celui que forment les lettres placées à sa gauche; on inter- vertit ces deux groupes, en plaçant entre eux une lettre B : on forme ainsi une permutation  défavorable  commençant  par A  et  parfaitement  déter- minée. Soit, par exemple, la permutation ABAAAB ; en opérant comme on vient de le dire, on  la partage en deux groupes ABAA, AAB;  en  inter- vertissant ces groupes et placant entre eux une  lettre B, on forme  la per- mutation défavorable AABBABAAA. » Il résulte de tout ce qui précède que le nombre total des événements défavorables est le double du nombre des permutations que l’on peut former avec a lettres A et β — 1 lettres B; c'est-a-dire que
»  Si l'on désigne par Pa,β le nombre des événements favorables, on a donc
ou bien »  Par suite, la probabilité demandée est M. M.-E. Roger adresse une autre démonstration de la formule donnée par M. Bertrand. M. BERTRAND  présente, à propos de ces diverses Notes, les observations suivantes : «  La réponse élégante faite par M. André à là question que j’avais pro- posée, et le théorème remarquable par lequel M. Émile Barbier généralise celui que j'avais donné me fournissent l'occasion de revenir sur ce théo- rème lui-même. »  Proposé comme exercice curieux de calcul et de raisonnement, il a, en réalité, une plus haute portée. Il se rattache à la question importante de la durée du jeu, traitée par Huygens, Moivre, Laplace, Lagrange et Ampère. C. R., 1887. 2* Semestre. (T. CV, N° 10.)