2024年3月10日実施〔１〕以下の問いに答えよ。設問(1) i ）と(2) i ）は，結果のみを解答せよ。設問(1) ii ）と(2) ii ）は，途中の式，考え方も記述せよ。 (1)　30人の学生がテストを受け，2人が満点を取ったとする。この30人からn人を選んだとき，満点を取った学生が含まれている確率をP(n)とする。ただし, nは28以下の自然数とする。 i )  P(5)を求めよ。 -を満たすようなnのうち最小のものを求めよ。 ii )  P(n) ≥ π (2)　複茶数平面上に3点A(1 + 2 i), B(5), C(z)がある。ただし, iは虚数単位である。 i ）三角形ABCが正三角形となるようにzを定めよ。ただし，反時計回りの順に，点A，点B,点Cが並んでいろものとする。 ii）点点C(z)が z − 1 − 2i z − 5 Iz ー 5解答(1)　30人からn人を選んだとき，満点を取った学生が含まれている確率は，余事象を考えて
である. 25 · 24 i )  P(5) = 1 – 30 · 29 9 29 ii )
←⇒ (30 – n)(29 – n) ≤ 435である. ここで,  f(n) = (30 − n)(29 − n) = (n − 29)(n − 30) (1 ≤ n ≤ 28)とおくと,  f(n)はnに関して単調減少であり, f (9) = 420 ≤ 435であるから， P ( n ≥ 气を満たすようなnのうち最小のものはn = 9である. (2)  α = 1 + 2i,  β = 5とおく. i ） 点A(α)を中心として，点B(β)を反時計回りに气だけ回転した点がC(z)であるから,
ii )
であろから,これは―― α z − α が純虚数またはz = αであることを意味する.  - z − β AC ⊥ BCが成り立つことから，点Cは線分ABを直径とする円周上を動く.また，点Cが点Aと一致するとき点Cは明らかにこの円周上の点である。以上により，点Cが描く図形は線分ABを直径とする円（ただし，点Bを除く）である。この円の中心をD(3 + i)とすると， OD = √ IOであり，半径は√5であるから，求める|z|の最大値は✓10 + ✓5である.別解点Ｃの軌跡については, zキ5の条件の下で,
として求めてもよいだろう.大阪医科薬科大学後期テストゼミ・直前テキスト方程式z³ ＝ 1の解をz¹, z², z³とし, 0 ≤ arg z¹ < arg z² < arg z³ < 2πとする。複茶数平面上に3点A(z 1), B(z 2), C(z 3)をとるとき，次の問いに答えよ。 (中略) (3)　複茶数平面上の点P(α)について, αが ≥2 −α  − ri (r > 0)をみたすとき, AP² + BP² + CP²の最大値および，そのときのｒとαを求めよ。ただし，iは虚数単位である。 〔２〕 Ｏを原点とする座標平面上において，Ｏを極, x軸の正の方向を始線とする極座標を定め，極方程式2 1 – cosθ r =おけるCの接線をI, Iとx軸およびy軸との交点をそれぞれQ, Rとするとき，以下の問いに答えよ。 (1) ｌの傾きをθを用いて表せ。 (2)　ZOQRをθを用いて表せ。 OQ (3) θ→+0  OR²を求めよ。解答2 -(> 0)を直交座標に関する方程式に直すと次のようになる.ただし, ０＜ θ ＜ πより極方程式r = - cos θ 1 - y > 0である.
である. したがって(x, y) = (r cosθ, r sinθ)におけるｌの
(2)　(1)の結果をさらに整理すると
e LOQRはとx軸のなす角だからLOQR 2
注釈ここで，原点Oは放物線Cの焦点である．右図のように，Pを端点としx軸に平行な半直線をＰの左側にとると，その半直線と線分OPがなす角はθであり，放物線の性質から直線lはその角を二等分する. これより LOPR = LOQR = (3)　(2)より△OPQはOを頂角とする二等辺三角形であることがわかる．したがって
また
[ 3 ]   Oを原点とする座標空間に点A (2, 0, 1)を中心とする半径1の球面Sがある。2点P (0, 0, 4), Q (x, y, 0)を通る直線がSと点Rで接しているとき，以下の問いに答えよ。 (1)  ¿APR = θとするとき，cosθの値を求めよ。また，内献På · PRを求めよ。 (2)　xy平面上でQ全体が描く図形の方程式を求めよ。解答(1)   PÅ = (2,  0,  −3)であるので,  |PÅ| = √2² + 0² + (−3)² = √13.また，ARは球の半径であるので，AR = 1.したがって，PR = √PA² – AR² = 2√3.以上より,
また, PÃ · PR = √13 · 2√3 · cos θ = 12 (2)  PA = (2, 0, −3), PQ = (x, y, −4)であるので, PÃ · PQ = |PA||PQ| cos θに代入することにより
x ≥ −6における範囲で両辺2乗して, x² + 12x + 36 = 3x² + 3y² + 48 ←⇒ 2x² + 3y² − 12x + 12 = 0 ←⇒ 2(x − 3)² + 3y² = 6
[4] nを自然数とする。 I n = tan r xdxとおくとき，以下の問いに答えよ。 lo (1) I 1 ,  I 2 を求めよ。 (2) π I n 4(n + 1)をを示せ。
解答(1)
において下に凸であり，このグラフ上の２点(0, 0), (2) y = tan xのグラフは0 < x < 1)を結ぶ直2 4 4 |ギ-xである。したがって，０ ≤ x ≤ –ェが成り立ち，等号が成り立線の方程式はy = –においてtan x ≤ 4汗w π -のときのみであるから,つのはx = 0, 4
となる。したがって，I n < -が成り立つ. (証明終) 4( n + 1) (3)  題意の無限級数において，n = Nまでの部分和は
=  − (I 1 − I 3 ) + (I 2 − I 4 ) − (I 3 − I 5 ) + (I 4 − I 6 ) − ····· + (−1) N−1 (IN−1 − IN+1) + (−1) N (IN−IN+2) =  − I 1 + I 2 − (−1) N − 1 I N +1 − (−1) N I N +2となる。ここで0 < I n <   4(n + 1) が成り立ち， lim −− π
+ 1)  = 0であるから，はさみうちの原理よりlim In = 0である。したがって，上の部分和において lim  IN+1 = 0， lim  IN+2 = 0が成り立つので，求める極限は
である.講評〔1〕 ［硫率・複茶数平面］(標準)大阪医科業科大学では珍しい，中間２題という構成であった．(1)のP(n)については余事象の確率を考えてしっかりと得点しておきたい． (2)の複茶数もよくあるタイプの問題である． (ii)については定石通り展開してzについての方程式を作ってもよいが，解説のように純虚数条件から線分ABが円の直径になっていることに気づけると楽である.
〔2〕 ［極方程式・極限］（やや離）
極方程式は基本的に直交座標に関する方程式に直すとよい。 ZOQRについては，(1)の流れからtan ZOQRを考えるのが自然だが，故物線の性質を利用して図形的に処理してもよい．極方程式という題材には少し戸惑った受験生もいたかもしれない.
[3]   [空間座標] (標準)
球面と直線に関する問題.  (1)の計算は落とせない.  (2)も一見離しそうに見えるが単純に内髄計算をするだけであるので極力得点しておきたい問題であった．点光源による球の射影の問題を解いた経験があった受験生にとっては取り組みやすかったであろう. 〔4〕 ［数学Ⅲの積分・極限］（やや麓）有名なtan" xdxを題材とする問題であった．(1)の計算は落とせない．(2)の証明で方針に困った受験生は多かったかもしれないが， (3)は(2)の結果を認めてなるべく解き進めておきたい．昨年度まで100分で大問5題の出題が続いていたが，今年度は前期・後期ともに90分で大問4題の出題となった．また,〔1〕に関しては中問２題構成となるなどやや変化が見られた.〔1〕,〔3〕はなるべく完答に近いところまで仕上げたい.〔2〕,〔4〕でどれだけ立ち回れたかの勝負となりそうだが,この２問については，後半で手詰まりとなった受験生も多いであろう．1次合格の目標は60%.解答・講評作成医学部進学予備校メビオメルマガ無料登録で全教科配信！本解答速報の内容に関するお問合せは…メビオ極.0120-146-156まで
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1900~21:00 (土日祝可) R学BEN学学研校- - - :37 | UR(ニュル/大阪メトロ合町場) : back3分