A new estimation approach for the multiple discrete- continuous probit (MDCP) choice model Transportation Research Part B 55 (2013) 1-22 Chandra R. Bhat, Marisol Castro, Mubassira Khan 2015/6/19(金)　理論談話会交通研B4庄司惟論文の戦略離散・連続モデルの中のひとつのアプローチであるMDCEVモデルを拡張したMDCPモデルに対し、有用なパラメータ推定法であるMACMLを適用する。 Discrete-continuous modelの概要(4-11) 1.関連する論文のレビュー(12-25) 2. MDCPモデルの定式化(26) 3.モデルの推定(27-28) 4.シミュレーション結果(29) 5. 6.まとめ(30)
従来のMNL,MNP→多肢から一つの選択肢を選択される。（mutually exclusive)しかし、多肢から複数の選択肢を選択しなければならない状況が存在する。 (例)行動の選択と時間の配分→multiple discrete-continuous (MDC) situation !
離散・連続選択モデル(＝連続量の選択肢が離散的な選択肢に影響を及ぼす場合に、離散選択と連続量の選択を相互に関連付けてモデル化するものである。)は、大きく二つに大別される。 ①Tobitモデルを基にしたモデル群②効用最大化理論に基づくモデル群
①Tobitモデルを基にしたモデル群Tobitモデル→「離散問題の選択を表すモデル」と「選択される場合の観測量を表す連続問題のモデル」によって構成されている。式の構成法によりType I 〜Type Vが存在する。
Y*1
Yn1 0実際に観測されるy,の値(例)消費量は連続量として観測できるが、消費量がゼロという世帯も存在する。
解き方として(1)KKT condition→素直なアプローチ？ (本論文はこっち) (2)Roy's identity→上記で解きにくい場合？ 1. Discrete-continuous modelの概要00 ②効用最大化理論に基づくモデル群(2)Roy's identity（寄り道？) Un = fn(x1n,x2n, …,x1n) zi* = g(p1,p2,…, p1, En)が最大となるを求めたい。しかし、KKTだと解きづらい場合がある。これはUn = fn(x1n,x2n,…,x1n)の関数形による。
O ②効用最大化理論に基づくモデル群(2)Roy's identity（寄り道？)
間接効用関数(U n = fn (x1n,x2n, …,x1n)にx t = g(p 1,p 2,…,p 1,E n )を代入して得られるU n = y(p 1,p 2,…,p 1,E n )のこと)を適切に定義することで、Roy's identityが成立  X; / ∂pi_ = g(p1,p2,…, p1, En)
10 ②効用最大化理論に基づくモデル群(2)Roy's identity（寄り道？） Miwa&Yamamoto&Morikawa(2008)の例駐車場所（i=1,2)と駐車時間x,に対し、 Yi=Yi(pi,E,Zi,S,N,Ei) Yi=(αi + βipi + θiE + φizi + ψs + η)exp(−μρi) + εi多肢から一つを選択する問題しか扱えない！！
11 ②効用最大化理論に基づくモデル群(2)Roy's identity →多肢から複数選択肢を選択する問題は扱えない(1)KKT condition →簡単に解ける関数型はごく限られる・・・ Bhat(2005)でMDCEV (Multiple Discrete-Continuous Extreme Value)モデルを提案！
15 MDCEV (Bhat,2005)の概要(今回の論文はこれの拡張です)研究U1 = (t1 + y1)α1e(βx1+ε1) U2 = (t2 + y2)α2e(βx2+ε2) U3 = (t3 + y3)α3e(bx3+ε3) U4 = (t4 + y4)α4e(βχ4+ε4) max¯ ∪ = ∪ 1 + ∪ 2 + ∪ 3 + ∪ 4 t1,t2,t3,t4行動原理s.t. t1 +t2 + t3 + t4=24 (KKT条件) t 1 = 20 t2= 1 t3= 3 t3= 0
1.3 MDCEV (Bhat,2005)の概要(今回の論文はこれの拡張です)非負条件のもとKKT条件で解くラグランジュ乗数λ対数とって整理&少なくとも一つの活動には時間を振るので、その活動をj=1とするi e(βxj+εj)αj(tj + γj)αj-¹ − λ = 0 if tj > 0 i | e(bxj+ɛj)aj(tj + γj)aj-¹ − λ < 0 if tj* = 0 i Vj + εj = V 1 + ε1 if tj* > 0 Vj + εj < V1 + ε1 if tj* = 0 ※Vj = βxj + lnαj + (αj − 1)ln(tj + γj) − λ < 0
14. MDCEV (Bhat,2005)の概要(今回の論文はこれの拡張です) -Vj + εj = V 1 + ε1 if tj* > 0 Vj + εj < V1 + ε1 if tj* = 0- P (t², t³, …, t³, 0,0, …, 0)|ε1 M g(V1 – Vi + ε1) ∂[V 1 − Vi+1 + ε 1 ]変数変換に伴う項 J in = − ∂t** (i,_h_= 2,_.._, __ 1)_ K
1.5 MDCEV  (Bhat,2005)の概要 (今回の論文はこれの拡張です)
8
- 8
remarkably elegant and compact closed form structure!! (Bhat談)
1,0 Bhat(2011) A simulation evaluation of the maximum approach composite marginal likelihood (MACML) estimator for mixed multinomial probit models (今回の論文はこれをMDCPに適用するものです)従来MNPはMSL(最尤）で推定。しかし、積分の次元が大きくなると計算困難になってしまう...
MNP
多重積分減らしてもせいぜい(J-1)次にしかならない！！！
][ 8 Bhat(2011) MACMLポイント①MVNCD(multivariate standard normal cumulative distribution)の評価②CML(composite marginal likelihood)を用いる
Bhat(2011) MACML ①MVNCD(multivariate standard normal cumulative distribution)の評価Pr(W < w) = Pr(W1 < w1,W2 < w2,…,W1 < w1)一変量条件付分布Pr(W i < w i |W 1 < w 1 ,…,W i –1 < w i –1) = E (Î i |Î 1 = 1,Î 2 = 1,…,Î i –1 = 1) Indicator  Î ,を用いた表現
E(Î,) = Φ(w,)一変量累積標準正規分布
Bhat(2011) MACML ①MVNCD(multivariate standard normal cumulative distribution)の評価E(Î i |Î 1 = 1,Î 2 = 1,…,Í i −1 = 1)   を求める。つまり、 Î¹,Î²,…,Îi-1(= Î<i)を独立変数として、従属変数Î¡をうまく表現することを考えればよい。＝回帰モデルy = ax + b Îį − E(Îį) = α′ [ ζ i − E(Îζi)] + ñ最小二乗係数(= Ωﾆﾈ･ Ωἱ.<i) [ Cov(Î 1 ,Î 1 ) a = Sxy / Sx , b = y − axと推定するアレできCov(Î 1 , Î i −1 )独立変数の分散Ω<i = Cov( Γ<i, Γ<i) = [Cov(Ii-1,Ii)  …  Cov(Ii-1,Ii-1)] Cov(Îi,Îi) Ω i <i = Cov( Γ <i, Γ i ) = | | Cov(Î i , Î i – 1 )独立変数と従属変数の共分散
Bhat(2011) MACML ①MVNCD(multivariate standard normal cumulative distribution)の評価(1) if Wi < Wi   より Ti² = |1   if Wi < wi   →   E ( Ti 2 ) = Φ(wi) Ii = 1 '0 otherwise Î Î j = { (1   if W i < w i ∩ W j < w j   →  E ( Î i Î j ) = Φ 2 (w i ,w j ) l 0 otherwise二変量累積標準正規分布Cov(Îi,Îi) = E (Îi2) − {E(Îi)}² = Φ(wi)[1 − Φ(wi)] Cov(Îí,Îí) = E(ÎíÎj) – E(Îj)E(Îj) = Φ2(wi,Wj) – Φ(wi)Φ(wj)
Bhat(2011) MACML ①MVNCD(multivariate standard normal cumulative distribution)の評価α = Ωﾆ₁ · Ωἱ<i Îį – E(Îí) = α′ [Î<i – E(Î<i)] + ñ [ Cov(Î 1 ,Î 1 )     … [ Cov(Îi,Îi) Ωi,<i = Cov( Γζί, Γζί) = | Ω<i = Cov(Î<i,Î<i) = | | Cov(Îi,Îi-1)| [Cov(Ii-1,Ii)  …  Cov(Ii-1,Ii-1)] Cov(Îí,Îí) = Φ(wí)[1 − Φ(wí)] E(Î¡|Î¹ = 1,Î² = 1,…,Î¡–¹ = 1) = E(Î¡) + α'[Î<¡ − E(Î<¡)] = Φ(w i ) + (Ω≤į· Ω i,<i)'(1 − Φ(w i ), 1 − Φ(w 2 ), …, 1 − Φ(w i −1))' ー,二変量正規分布だけで表現することができた！！！
23 Bhat(2011) MACML ②CML(composite marginal likelihood)を用いる合成周辺尤度全尤度関数が評価困難なときに使う。 MNPだと、次元数的にやはり推定困難に陥る。結論として、①のMVNCDの近似手法と併用することで、MNPの推定に非常に有効に働く！
Bhat(2011) MACML ②CML(composite marginal likelihood)を用いる合成周辺尤度こんな状況を想定・通常の最尤法ではL(θ,m) = Prob(C1 = m1,C2 = m2,C3 = m3,...,C7 = m7)
Bhat(2011) MACML ②CML(composite marginal likelihood)を用いる合成周辺尤度L(θ,m) = Prob(C1 = m1,C2 = m2,C3 = m3,...,C7 = m7)計算を簡単にするために以下を提案LçmL(θ,m) = Prob(C1 = m1) × Prob(C2 = m2) × … × Prob(CT = mT) →同一個人の選択間の誤差相関を考慮できていないT T − 1 T期から異なる|  Prob(Ct = mt,Cw = mw) L3ML(θ,m) = 2期を全て列挙→MNPベースのモデルではこれが適切（結果論）
2の行動原理K   / Xqk + 1 ) \ Aqk 1 max Uqt (Xqt) =   >
Xqt Ψqtk = exp(β′qZqtk + ξqtk)消費者特性外生因子 誤差項K S.t. → ） PqkXqk = Eq KKT q :消費者k :選択肢k=1全ての消費者に関して、選択肢数と選択機会数は等しい。 Yqmg = 0, Yqmg < 0, if x å k > 0,     k = 1,...,K,  k ≠ mq if xgk = 0,     k = 1,...,K,  k ≠ mg Yqk = Vqk + β′qZqk + ξqk Yqma = Yqk = Yqmq Vqk = b'zqk + (ακ − 1)ln (*qk/γκ + 1) − lnpqk
推定するのは　ακ,Υκ, b, δ, Ω, Λ尤度関数をどう記述するか・・・結局Lq = det(Ja) fk-1(hq,nc,0Lq,c|Hq,Yq) dhq,nc /hq,NC== ∞平均行列と密度関数内の差分Y*mgを変数変換に伴う“Non-Consumed”共分散行列も整理ヤコビアン"Consumed"に整理
28 Lq = det(Jq) | Jhq,NC==∞ = det( J q ) × ΦLq,c (OLq,c; Hq,c, Ψq,c) × ΦLq,nc (OLq,nc; Hq,nc, Ψq,nc)多変量正規密度多変量正規累積→ここからMACMLの多変量正規累積→1,2変量正規累積　近似手法がでるかと思いきや、そのような記述がない。コードにも表現されていない。多変量のまま計算している？（調査中…）

Table 1

6.まとめ30 •離散/連続モデル• MDCEVモデル• MDCPモデル• MACML推定法
31 MACMLの中の①MVNCD(多変量標準正規累積分布)の近似手法を検証してみる。 Pr(W < w) = Pr(W1 < w1,W2 < w2,…,W1 < w1) = P r (W1 < W1,W2 < W2) x | | {Φ(wi) + (Ω~} · Ωi,<i)'(1 − Φ(w1), 1 − Φ(w2),…, 1 − Φ(wi-1))' {
V1 = αχ1 + ε1 V1 = αχ2 + ε2 V1 = αχ + ε 3 V1 = αχ4 + ε4経路コストx,は全て等しいとする。  x, = x, = x, = 10(minuite)経路重複=相関と考え、誤差項の分散共分散行列を次のように仮定/1
1
0
(0 P1    P1 + P2
33意思決定に関係あるのは誤差項のみ。多変量正規乱数によるε;でなされる意思決定と、 MACMLの近似手法による確率P;から導かれる尤もらしい意思決定が、どの程度一致するのか調べる。乱数→一組のε jに対して、一つの意思決定が成される。 MACML→誤差項の平均/分散が分かれば一意に定まる。 7.お長け34 example1
example2
7.お長け35 example3
example4
7.お長け36 example5 example6
お疲れ様でした！ shoji[at]trip.t.u-tokyo.ac.jp 1)福山,羽藤:ネットワーク上の空間計画に向けた観測と行動モデルの展開2) Dubin, J.A., McFadden, D.L. : An econometric analysis of residential electric appliance holdings and consumption, Econometrica, Vol. 52, No. 2, pp. 345-362,1984. 3)三輪富生,山本俊行,森川高行:駐車場所－駐車時間選択行動への離散－連続選択モデルの適用と駐車料金施策分析,都市計画論文集, No. 43 - 1, pp. 34-41, 2008 4) C.R. Bhat, Raghuprasad Sidharthan: A simulation evaluation of the maximum approach composite marginal likelihood (MACML) estimator for mixed multinomial probit models, Transportation Research Part B 45,pp. 940-953, 2011 5) C.R. Bhat: A multiple discrete–continuous extreme value model: formulation and application to discretionary time-use decisions, Transportation Research Part B, 39 (8) pp. 679–707, 2005 6) C.R. Bhat: The maximum approximate composite marginal likelihood (MACML) estimation of multinomial probit-based unordered response choice models, Transportation Research Part B 45 pp. 923–939, 2011
39 ßq D×1の列ベクトル。 βq = b + βq,   βq~MVND(OD, Ω) ξqtk β gとは無相関。消費者間でも無相関。選択肢kと,時期tではそれぞれ相関あり。以下の自己回帰モデルを仮定して表現。 ξqtk = δξq(t-1)k + Nqtk選択肢間の相関のみありNqt = (Nqt1,Nqt2, …,NqtK)'～MVNK(0K,A) Ψqtk = exp(β′qZqtk + ξqtk)消費者特性外生因子 誤差項q :消費者t :選択時期k :選択肢