陸原九州大学数理学研究院e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp http://www.math.kyushu-u.ac.jp/¯hara/
概要
確率論は，身の回りにある「ランダム」な現象を理解するために発展した学問です。ランダムな現象には一見，なんの法則性も無いように見えるのですが，もう少し調べると「大数の法則」「中心極限定理」などに代表される，非常に美しい法則性が発見されます．これらは数字として大変に面白いのみならず，統計字，物理字，数理生物学など，様々な学問分野でも有効です.本講義では,「大数の法則」「中心極限定理」などの確率論の極限定理を中心にしたお話しをします。また，関係する話題として,「ランダムウォーク」や統計力学における「臨界現象」などにも少し触れたいと考えています.
目次
1はじめに：考える問題2

1　はじめに：考える問題
日常,「確率」という言葉を耳にすることはよくあります—ほとんど毎日,「今日の降水確率は…」を聞かされているように思います。また、宝くじに当たる確率は○○、トランプのポーカーでこの役ができる確率は○○,なども耳にします.このように「確率」は不規則な（ランダムな）現象，確実には結果を確実には予測しがたい（でも何らかの予測ができる）場合を扱う際に使われています．そしてまた，確率論の初歩ではいろいろな確率を計算することに重きが置かれます．いろいろな確率を計算できることはそれ自身重要ですし，常識に反した結果を出すものも多々あるので非常に面白いわけです.しかし，この講義では少し異なった観点から離率を眺め，そこに潜む規則性を探っていこうと思います．特に，たくさんの試行を繰り返した場合の結果を予言する「大数の法則」「中心極限定理」などにまず、焦点を当てましょう.その後、これらの法則から良く理解できるランダムウォークに進み、物理の世界とのつながりをつけます．更に，物理の世界で普遍的に見られる「臨界現象」に話を進めたいのですが，時間の関係でちょっと難しいかもしれません.さて，確率論は単なる数学上のお遊びではなく，確率の絡んだ現象はいろいろなところに顔を出します。いくつかの例を挙げますと： a.物理や化学の実験では「測定には誤差が付き物だから何回か測定して測定値の平均をとるように」と教わる、この考えは日常的にも頷ける（何回も実験をくり返すと「真の」値に近づく）ものである、が、この根拠は何なのだろう？ b.ある学校の一学年の男子をとりだし（３００人くらい）、身長を測定してその結果をヒストグラムにした(機軸に身長、縦軸にその身長の人が何人くらいいるかを書く)。その結果はなだらかなベルのようなカーブになるだろう. これは身長に限らない—体重についても似たようなグラフが出るだろう. また (生臭くて申し訳ない）この学年の生徒の数学の期末テストの成績についても、似たような結果になるかもしれない¹．何が原因でこうなるのか？ c.拡散現象、容器に臭素の結晶と空気を入れ、密閉して放置すると、だんだんと臭素が容器中に拡がっていくのがわかる。これを拡散現象と言うが、良素の色がついた部分は、時間とともにどのように拡がっていくだろうか²？ c'.ブラウン運動たばこの煙などを顕微鏡で見ると，煙の粒子がフラフラと動いているのが見えるだろう.これは煙の粒子に空気の分子がいろいろな方向からぶつかって，不規則な運動をしているのであるが，この粒子は時間とともに，どのように動いていくだろうか？ c”.気体の密度、空気は酸素と窒素の分子からできている．これらの分子は熱運動で激しく動いているはずだが，気体の密度はいつも一定に見える。これはなぜか？ d.株価の変動.株価は日によって(又，同じ日のうちでも時間によって)不規則に動いている.非常に不規則に見えるのだが，ある程度ならして見ると，何らかの規則性が見えるようにも思う． e.溶媒の中の高分子  DNAのように鎮状になった高分子を溶媒に入れると高分子は周りの溶媒の分子との熱運動でいろいろと形を変え、ある程度クシャクシャにまるまった形になる、このとき、高分子の長さと高分子の拡がり（丸まった高分子の猫から猫までの長さ）には，どのような関係があるか？ f.統計力学の臨界現象、磁石を熱していくとある温度（臨界温度T - ）以上では磁石ではなくなる．T -付近ではどんな現象が見られるのか？実は，このような現象は磁石に限らず，いろいろな物質で見られるものであるこれらの現象は，一見，無関係なように見えますが，奥の方ではつながっています．ａとbは「中心極限定理」という確率論の重要な定理，ｃとdは確率論の重要な研究課題であるランダムウォーク（ブラウン運動）というものの現れです³. e, fは統計力学の未解決問題の一つですが，ランダムウォークや中心極限定理と密接な関連があります。中心極限定理とランダムウォーク自身にも関連がありますし，中心極限定理は「統計学」の基礎にもなっています.本講義では上のような現象を理想化・簡単化した状況を考えることで，このような現象がなぜ見られるのか,その一般的原理を理解することを目的とします．同時にこのような考察を通して，現代数学の持つ美しさの一端を紹介できれば幸いです.
記号の約束と「オーダー」の概念
1.1
不等号：　a ≤ bはa ≤ bと, a ≥ bはa ≥ bと同じ意味です.
を使っても構いません。例を挙げると：
などと書けます。万は英語のＳに相当するギリシャ文字の大文字で，(英語では）sumの頭文字Ｓを表しています.積の記号：和と同じノリで，積を表す記号も導入します.
と書きます.  Πはギリシャ文字ァの大文字で, (英語では) productの頭文字Ｐを表しています. N → ∞：「Nが限りなく大きくなる極限」の概念：この講義では「Nがどんどんと大きくなっていったときに何が起こるか」という問題をよく考えます.「Nがどんどんと限りなく大きくなる」ことを数学では「Nが無限大（の極限）に行く」と言い，N → ∞と書きます. 「オーダー」の概念： ƒ(N)を正の整数Nの函数とします(例：ƒ(N) = N²とか, ƒ(N) =含とか).この講義ではNが大きくなっていったときにƒ(N)がどのくらいの速さで大きく（小さく）なるか，に注目するので,「オーダー」という概念が便利です.例をまず挙げると，ƒ(N) = N²もƒ(N) = 5N²も，ƒ(N) = 1回N²も，全部「N²のオーダー」と言います.つまり，Nが大きくなっていくときにf(N)が大きく（または小さく）なっていく一番主要なところを，定数倍は無視してNの函数として表したものが「オーダー」です「定数倍は無視」というのがミソで，要するにNが非常に大きく（無限大に）なった場合の「増え方の主要部分」を考えているのです.別の例ではƒ(N) =ﾎもƒ(N) =ﾎﾟも，ともにﾎﾟのオーダーです.一方, ƒ(N) =ﾎﾟはN−²のオーダーです.この講義ではNが大きくなったときにある量がどのくらいの速さで大きく（または小さく）なるか，の問題が頻出しますが，これは要するにその量のオーダーを訊いていることになります4.
コイン投げの数理：大数の法則と中心極限定理
2
上に述べた問題a〜fのとっかかりとして、コイン投げを考えましょう：10円玉を投げて、表が出るか裏が出るかを考察します。ただし一回投げただけでは面白くないので,「何回も（一万回とか）投げたうちのどのくらいが表になるか」を考えてみます.直感的に「そりゃあ，投げた回数の半分くらいは表でしょ」と言いたくなるし，これは間違いではないのですが，もう少し定量的に考えてみたいと思います.
2.1　実際にやってみました
名古屋大学で２００３年の夏に，高校生向け（約７０人）に公開講座をしました．その際．実際に４回ほど，コインを投げてもらいました．その結果（n回表になった人は何人か）は大体，以下のようになりました．
4回とも表であった人も，４回とも裏だった人もいます．これだけでは規則性はあまり見えていません．
2.2 少し解析する．Ｎ回のうちにm回表になる確率は？
では，上の結果を解析していきましょう．この講義では条件Aが実現される確率をP [A]と書きます．例えばP [コインを一回投げた結果が表]　は文字通り「コインを一回投げた結果が表」である確率を表します. (余分な注)本論に入る前に確率の背景についての注を２つ述べておきます. ●確率とはいったい何か、特に「現実の問題で確率をどのように決めるか」と言うのはそれほど簡単な問題ではありません、１７世紀頃から延々と議論がくり返されてきたにもかかわらず、明快な解答は得られておりません、むしろ、数学としての確率論はこの問いをうまく回避することで成立した経緯があります.この講義でもこの問いに直接取り組むことはせず， P [A]を「何回も同じ実験をやった場合にAが実現される割合」というくらいの（ちょっと曖昧な）認識で出発します．ただし，幾分トートロジーめきますが,この決め方に矛盾がないことは後の大数の法則でわかるでしょう。 ●コインを一回投げたとき，表が出るか，裏が出るか，は古典力学（物理）の問題です．つまり，コインの材質，質量分布，表面の様子・弾力，コインを受ける面の様子（摩擦，弾力など），そして何よりコインを投げる様子（コインに与える初速度，初角速度），などをすべて与え，空気の抵抗や重力の作用を考慮して計算すれば，どのようにコインが着地するかを予言することは理論的に可能なはずです.このように考えると，確率論は必要ないようですが，もちろん，そうではありません．コイン投げの場合，条件（コインをはじく強さ，はじく位置，コインの温度による弾性，etc）の微妙な差によって表裏の結果が異なります.かつ,これらの微妙な条件を生身の人間がコントロールすることはほとんど不可能なので，微妙に異なった条件の結果として，表裏がランダムにでているように見えます．この意味で確率論は有効です—もしも，いつでも完全に同じように投げる「コイン投げマシン」ができた場合には，投げた結果はいつも同じはずだから，確率論の出番はないでしょう.このように古典力学の世界での確率論は，我々の側のある種の「情報の欠如」（コインの初速度などがコントロールできない，など）に伴って登場することが多いです．なお，基子力学では「情報の欠如」とは本質的に異なった意味で確率論が登場しますが，この講義ではそれは避けて通ることにします. (余分な注終わり)コインをN回投げたときのi回目の結果によって決まる確率変数（ランダムな数）Xiを定義しましょう（i = 1,2,3,...,N).ここで
と決めます. (0,1を使うのは,「表」「裏」と書くのがじゃまくさいからですが，後で見るように別の効用もあります.）そして1回目からの結果を並べて(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 )などのように書きます.例えば,「 1回目から4回目まで表だけが出る」のは(1,1,1,1)と書きます．同様に， (1,1,0,1)は「３回目だけが裏で残りは表」の場合を表します.時にはスペースを省略するため, (1,1,0,1)の代わりに1101などと書くかもしれません.記号を整理したので，上のような出方のそれぞれがどのくらいの割合で起こるか，その確率を計算しましょう.それにはコイン投げについて２つの重要な仮定を行う必要があります.
1つ目の仮定：
一つ目の仮定は，コインを１回投げた場合の表と裏の出やすさの割合についてです．通常のコインは表裏がほとんど同じに作ってあるし，材質も均一でしょうから，表と裏はほとんど同じくらい出やすいだろうと思われます．そこで普通はコインの表と裏は同じくらい出やすいと仮定し，P [コインを一回投げた結果が表] = 1と仮定します．実際にはコインのひずみによってP [コインを1回投げた結果が表] ＝ 1回，P [コインを1回投げた結果が裏] ＝ 1回などととるのが良いのかもしれませんが，この取り方が良かったかどうかは後で失験をしてみないとわかりません、このように表と裏の出やすさが違う場合も後で考えますが，その際にはP |コインを１回投げた結果が表| ＝ p (pは0 < p < 1なる決まった数)とおいて計算していきます.以下ではより一般の場合でもできるように，P [コインを１回投げた結果が表] ＝ｐとして進みますが，特に断らない限りはp = 1と思ってくださって結構です．また，投げ方によってはコインが端で立つような事もあり得ますが，簡単のためにそのような場合は起こらないとして進みましょう.
２つ目の仮定：
上の仮定はコインを一回投げた場合の確率を言っているだけで，２回以上投げた場合にどうなるかには新しい仮定が必要です.それがコイン投げの独立性に関する以下の仮定です: (普通の人がフェアに投げた場合)コイン投げの結果をコントロールする（表か裏を選択的に出す）ことは不可能である．すなわち，表を出してやろうとか，裏を出してやろうとか思っても，自分の意志でそのようにすることはできない．特に，≥回目までの結果を見て， ≥ + 1回目以降の結果を左右しようとしても，それは不可能である．その結果，ｉ≠ｊの場合，；回目の結果とｊ回目の結果の間には何の影響力も働いていない.これはX tの言葉に直すと，どうなるでしょうか？手始めにP [X 1 = 1かつX 2 = 1] （1回目， 2回目ともに表になる確率)について考えてみます．１回目に表が出るのは全体のｐの割合です．２回目も表になるのは１回目が表だったうちのpの割合のはずです（ここで独立性を使いました5 ) .結局，独立性の仮定からP [X 1 = 1かつX 2 = 1] = P [X 1 = 1] P [X 2 = 1] = p 2となります.同様に，P [X 1 = 1かつX 2 = 0] = P [X 1 = 1] P [X 2 = 0] = p (1 − p)となります.このように考えていくと,  ε1,ε2を0か1のどちらか（どっちでも良い）としてP [X 1 = c 1かつX 2 = c 2 ] = P [X 1 = c 1 ] P [X 2 = c 2 ]
が成立するはずです。このような事情は３回以上の結果についても同様に成立しますから，結果としてP [ X 1 = c 1 , X 2 = c 2 , . . , X N = c N ] = P [ X 1 = c 1 ] P [ X 2 = c 2 ] . . . P [ X N = c N ]
が得られます7. ここでεは0でも1でも，勝手な値でよいです．これをP [X i ＝ 1] ＝ p, P [X i ＝ 0] ＝ 1 − pを代入して書き直すと
となります.要するに，表が出る確率はp,裏が出る確率は(1 − p)ですから，それを表と裏の個数分だけかければよいわけです。これを元にして,「N回投げたときにm回表が出る」確率を求めましょう．後のために
を定義しておきます.簡単なところから出発します.  N = 1の時は仮定そのもので
で面白くありません。Ｎ＝２の時,
は両方とも表,両方とも裏,だから納得ですね, S 2 = 1の場合はどうでしょう？この場合, (1,0) (初めに表,次に裏）と(0,1)（初めが裏，水に表）の２通りの出方があり，どちらも確率はp(1 − p)です．よってこの２通りを足して,
となります（他の場合も比較のために書きました）. N = 3も同様に計算できます。全部表，全部裏は良いとして，S 3 = 2の場合を考えると，110,101,011の3通りの出方があり，それぞれの確率はp²(1 − p)です．従って（全部表や全部裏，の場合も書くと），
とわかります.このへんで一般に「Ｎ回投げてm回表」の確率を考えます。何通りの出方があるか，と言うのが問題ですが,これは「N個の結果の中で丁度m個だけX i = 1となる」なり方の個数です．これをN個からm個をとる組み合わせの数
が得られます．さてさて，名古屋大の公開講座での結果と比較すると
となります。３行目と４行目を比較すべきですが，当たらずといえども遠からず，というところでしょうか10.これからの予告を兼ねてp = 1の場合，いろいろなNの値に対してP [ S N = m ]を計算したグラフを図1に載せました．なぜこんなことが起こるのか，以下で考えます.図1:  N回投げてm回が表の確率P [ S N = m ]のグラフ、いろいろ描いてみました．一行目の４つのグラフはN = 2,4,16,64のそれぞれを描いたもので，横軸が写，縦軸はP [ S N = m ]です．２行目の左はこの４つ，およびN = 8とN = 256を重ねて描いたもの（軸の取り方は同じ）.  2行目の右は左のグラフを界= 1を中心にして縦軸，横軸をうまく伸び縮みさせたものです—どのように伸び縮みさせたのか，また，実線で描いてある曲線は何なのか，は後のお楽しみです.
2.3    Nが大きくなったら？ I.コイン投げにおける大数の法則
本題に戻ります.前節では「コインをN回投げて，そのうちのm回が表」の確率を（表，裏が同じ確率で出るとして）計算しました．結果はP [S N = m] = N C π 2− Nというもので，その結果をグラフでお見せしました．それを再録すると図２の左のようになっています（ただし，余りたくさん点があるとわかりにくいのでN = 4,16,64,256の４通りに制限しました）. p = ⇒だけでは説得力がないので，p = ⇒もやってみたのが図の右です.図2:左:表と裏が同程度に出やすいコインをN回投げたときの確率、横軸はm/N，縦軸はそのP [ S N = m]を表しています. ４種類の点は上からN = 4 (●) , 16 (□) , 64 (◆) , 256 (○) . Nが大きくなるにつれて確率がֲֲֲֲֲֲֲ=ֶに集中していきます.右：同様の計算を表が⇒で出るコインで行った結果.今度は⇒ ⇒に集中が見られます.図２ではNを大きくすると，学の分布がpのところに集中していくことが非常に綺麗に現れています. この背後にある定理を述べると以下のようになります（一般化と証明は3.2節）.定理2.3.1 (コイン投げにおける大数の弱法則)表の出る確率がpのコインを投げた場合, N回投げたときに表の出る回数をS Nと書く（学が表の出る割合) .このとき,「学がpからずれる確率」はNが無限大になるとゼロに近づく．もっと詳しく言うと，勝手な正の数aに対して，以下が成り立つ：
(2.3.2) (細かい注)通常,「大数の弱法則」というのは上の箱の中の前半部分だけを言い，後半の(2.3.2)は含みません．ここでは定理の主張がより具体的になるように，後半まで含めて書きました．この定理の意味するところは，Nが大きくなるにつれ，当然がpに近づいていく，ということです．ただし，この言い方は不正確です.すなわち，Nが有限である限り，どんなに大きなNでも,「学がpからかなり離れている」ことは起こりえます(例えばN回ともすべて表,つまり学= 1,になる確率はp^であって,これはゼロではありません）.上の定理の主張は「このような変態な可能性は否定できないが，Nが大きければ大きいほど，その変態なことが起こる確率はゼロに近づく」というものです11. (予告) 3.2節の証明を見ればわかるように，この定理はもっともっと広いモデルに対してなりたちます（例：サイコロをN回転がして「１の目が何回出たか」を訊く）.
2.4    Nが大きくなったら？ II.コイン投げにおける中心極限定理
さて，大数の法則だけではNが大きいときに学− pがどのようにふるまっているのかが良くわかりません(Nが大きくなると確率的にゼロになる,ことはわかりましたが,もう少し詳しいことを知りたいのです).この答えは「中心極限定理」なのですが，その説明には少し準備が必要です．まずは2.2節で見せたグラフ（図1)を少し手直ししてお見せします(図3) .図3:図2の座標軸を取り替えたもの（横軸方向にずらした後，縦横ともに拡大；図1の右下の図に相当）。実線はy = √ž e − − − 2 /2のグラフで，４種類の点はN = 4 (●)，16 (●)，64 (●)，256 (●)の場合の確率を表します。座標軸の取り方は，横軸は√ p √ p ( R − 1)，縦軸はP [ S N = m ] × √ p (1 − p ) Nです.左の図はp = ⇒のコインの場合で，右はp = ⇒の場合です.左右ともに，Nが大きくなるとこれらの点が急速に実線のグラフの上に乗って行くことがわかります．(pの値が違う右と左が，両方とも同じ函数y = √ π e − z ′ ²のグラフに近づいていくことに注目してください.)上のグラフを数学的な定理の形で述べるのが，以下の定理です．なお，上では図２のグラフを伸び縮みさせましたが，本来は「縦軸に確率，横軸にS N − p N 」をとったグラフをまず書いて，それを縦軸は√ p (1 − p ) N倍,機軸は1/ √ ρ (1 − ρ ) √倍にする，と考えるのが自然です（この点はこの後で，より詳しく説明します）.定理を述べるために，まず状況を設定します．表の出る確率がｐであるコイン投げを考え，新しい確率変数(ランダムな数)
を定義します．このZ Nは図３の横軸そのものです．このとき，以下が成り立ちます（一般化と証明は定理2.4.1 (コイン投げにおける中心極限定理)上のZ N自身はランダムであるが，Nが大きくなると,「標準正規分布」とよばれるランダムな変数に収束する。つまり，Nが大きくなった時，確率P [α ≤ Z N ≤ b ]は, 1 =e-z /2と３直線x = a, x = b, y = 0で囲まれた部分の面積) =グラフy = - √2π √2πに収束する.少し注を付けておきます. ● e-z²/²と言うのは，以下のような函数です．まずe = 2.71828...は「自然対数の底」とよばれる特別の実数です。次に，egというのは，この数eのy乗（eをy回かけたもの）を表します— yが無理数の時の定義には少し工夫が必要ですが，ここでは立ち入りません．最後に，このyを− ξで置き換えたものがe-x²/²です.図４の左にy = e²,右にy = √ π e-x²/²のグラフを掲げました. ●標準正規分布zとは，実数の値をとるラングムな変数で，その分布が1 e-z /2と３直線x = a,x = b,y = 0で囲まれた部分の面積)   (2.4.3) P [a ≤ z ≤ b] = √2πで与えられるものです.以上がコイン投げの問題に対する，一応の数学的な解答—特に我々が直感的に考える「大体半分は表が出るでしょ」の定量的な意味—です.次の節では，これらの極限定理をもっと一般化するとともに証明します.
3　一般の確率変数と極限定理
ここまでは話をコイン投げに限定してきましたが,「大数の法則」や「中心極限定理」はより広い範囲の問題に対しても成り立ちます（一般にある程度の性質を満たす「独立」なランダム変数の和について成立します；この事情や上で出てきたp(1 − p)などの意味は次節で大数の法則の“証明”をやると少し見えてくると思います).これらの定理はある種の「独立な」現象に関して普遍的に成り立つ非常に一般的なものなので，数学的に非常に美しく，また重要です¹².同時に，この定理はイントロのa, b, c"の問題の背景を説明してくれます.
3.1 一般の確率変数
一般の場合を考えるため，この節では少し準備をします．一般論にするのには，もっと切実な理由もあります．生半可なやり方（ともかく計算）では，以下のような問題に立ち向かえないのです。 (問題)コインではなく，サイコロをN回，転がして，出た目の数の合計をS Nとする．学はどのような値になるだろうか？(または，どのような分布になるだろうか？)この問題はコインの問題よりも手強いです．一回ごとの結果が１から６の６通りもあるため，確率としては「 N回の内で, １の目がm 1回, ２の目がm 2回, ３の目がm 3回, ４の目がm 4回, ５の目がm 5回, ６の目がm 6回出る」ものを考えないといけません（m 1 + m 2 + ··· + m 6 = N ）が，この計算はかなり大変です（「多項分布」と呼ばれるものになります）.正６面体（立方体）のサイコロでさえこんなに大変なのに，世の中には正12面体や正20面体のサイコロもあるし，全ての面が同じ確率で出ないようなイカサマサイコロもあります．さらに実際にはサイコロよりもっともっと複雑な現象も考えたいわけで，何か良い方法がないと苦しくなります. 「大数の法則」や「中心極限定理」，さらに大数の法則の証明にもちいる「チェビシェフの不等式」は正にその方法を与えてくれるものです13
3.1.1 確率変数
まず,「確率変数」(random variable,略してrv)という概念を正式に導入します.これは一言で言うと,「その値が確率的に決まるような変数」のことであって，コイン投げでのX iやS N , Z Nなどが例です.確率変数を定義するには, ( 1 )その確率変数のとりうる値x 1 , x 2 , . . . , ( 2 )それぞれの値をとる確率,つまりp i = P [ X = x i ] （i = 1,2,…）を決めます（この２つが同じなら，同じ確率変数とみなす）.つまり，以下のような表を与えることが確率変数を決めることになります。また，このようなx iとp iの対応をXの分布といいます.
上ではn個の値しかとらない確率変数（離散型確率変数）を考えましたが、実際には連続無跟個の値をとるような確率変数（連続型確率変数）もたくさんあります（中心極限定理で出てきた標準正規分布はその例）.そんな場合，確率変数Xについて，ある函数f(x)が存在して
と書けるとき，ƒ(х)をХの確率密度函数(probability density function)といいます．この場合のХの期待値は
と定義します14 .なお，以下では「積分」に慣れていない人のことを考慮して，かなりの議論を離散型確率変数に限定して行います。同様の議論が連続型確率変数に対しても成り立つことは「積分」を理解すれば納得できるので、省略します.
3.1.2 期待値と分散
ある確率変数があるとき，これをどのように特徴づければよいか，考えてみましょう．勿論，確率変数Xを完全に決めるには上のような表を与えればよいのですが，これは実際にはなかなか大変です（正20面体のサイコロや，Xが10 8通りの値をとる場合を想像してください）。たとえそれができたとして，10 8個もの場合のそれぞれの簡率p1,p2,...を教えてもらっても，何かわかった気になるでしょうか15？この困難を排して「直感的」に確率変数の分布を知るため、いろいろな方法が考えられてきました。その代表的なものが期待値と分散です16確率変数Xがx 1 , x 2 , . . , x nの値を,確率p 1 , p 2 , . . , p nでとるとき, Xの期待値(平均値, expectation value) 〈X〉を
で定義します¹。また,
をXの分散(variance)と言い，√Var[X]をXの標準偏差(standard deviation)と言います（標準偏差はσで表すことが多いです)このうち,「期待値」の方はおなじみです.  Xをあるクラスの生徒の数学のテストの点数としてみると，上で定義した「期待値」はこのクラスの点数の「平均値」に他ならなりません、つまり，Xの期待値というのはXの分布の中心をだいたい表しています.これに対して,「分散」はXの分布の広がりを表します.より正確には標準偏差σが，Xの分布の大体の拡がりを示します。テストの点数の例で言うと，以下のようになります：いま，同じテストをしたところ，クラスAもクラスBも平均点は同じだった．しかし，クラスAではみんながほとんど同じ点数だったので，分散が小さい（ゼロに近い）、一方，クラスBではできる人とできない人の差が非常に大きかったので，分散も大きい. (進んだ話題)勿論，期待値と分散だけを見ても，元の分布は決まりません．つまり，期待値と分散が同じでも異なった分布を持つような確率変数の例を考えることができます.テストの点数に例をとれば，期待値と分散が同じでも，異なる点数分布になるようなクラスがあり得ます．元の分布をもっと限定していくためにはℓ次の(期待値の周りの)モーメント(moment)と呼ばれる量
をすべて見ていく必要があります（ℓ＝2,3,4,...)¹8.ごく大ざっぽに言うと，期待値とすべての火数のモーメントを知れば，元の確率変数の分布を決定することができます．つまり，確率変数X,Yに対して
ならば，ＸとΥは同じ分布に従っています¹9.
3.1.3
「独立な」確率変数
大数の法則や中心極限定理のキーになるのは「独立な」確率変数という概念です。コイン投げの例を思い出しましょう.コイン投げの場合，１回目の結果と２回目の結果と３回目の結果,…，は「独立」であると考えるのが自然だろうと説明しました．なぜなら，「1回目が表だったから，２回目は裏にしてやろう」などと結果をコントロールできる人は，まずいないだろうからです．この「独立性」を数式にすればP [1回目表, 2回目裏, 3回目表] = P [1回目表]  P [2回目裏]  P [3回目表]
さらに一般に(2.2.3)で書いたように, P [X 1 = € 1 , X 2 = € 2 , . . . , X N = € N ] = P [X 1 = € 1 ] P [X 2 = € 2 ]  . .  P [X N = € N ]
がすべてのε ; = 0,1についてなりたつこと，つまり，『積事象の確率』が『各事象の確率の積』に分解することでした.これを一般の確率変数に拡張して，以下の定義を行います。定義3.1.1 (独立な確率変数)確率変数XとYが,それぞれ, X = x 1 , x 2 , . . . , x m ,およびY = y 1 , v 2 , . . , y nの値をとるとする．このとき，すべてのi = 1,2,...,mかつj = 1,2,...,nに対してが成り立つ時，ＸとＹは独立な確率変数(independent random variables)であるという.より一般に，L個の確率変数X(1), X(2), . . . , X(2)があり，それぞれがx(1)の値をとるとき， P[X(1) = x(1)かつX(2) = x(2)かつ. . .かつX(L) = x(L)]が成り立つなら，X(¹), X(²), . . , X(²)は独立な確率変数であるという.コイン投げの例で説明したように,「独立」な確率変数が表しているのは，それらの確率変数の間に関係（相関）がない，ということです．大数の法則や中心極限定理が成り立つのは，以下に述べるように，独立（または独立に近い）確率変数に対してです.
3.1.4 期待値と分散の基本的な性質
さて，期待値や分散が（確率そのものよりも）計算しやすいのは，以下のような関係式が成り立つことにより，考えている確率変数を，もっと簡単なものに分解して考えられるからです．まず，いつでも成り立つ性質として：命題3.1.2 (確率変数の期待値と分散)一般の確率変数X,Yと勝手な実数αに対して，以下が成立する：
(3.1.11)と(3.1.12)を期待値の線型性といいます.  (3.1.13)も含めて，自然な性質だと思います.また，X,Yが独立の場合は，以下も成立します：命題3.1.3 (独立な確率変数の積の期待値と分散)独立な確率変数X,Yに対しては，以下も成り立つ： ⟨X Y⟩ = ⟨X⟩ ⟨Y⟩ Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y]
こちらの方は、独立性が非常に効いています（以下の証明参照）これらの性質は複雑な量の期待値や分散を，簡単な量の期待値や分散に分解して計算する手段を与えてくれます（その具体例を3.2.1節で見る予定です）.以下，これらの性質の証明を簡単に述べます. (3.1.12)の証明まず準備として，確率変数aXの確率分布がどうなるかを書いてみると
となっています（ほとんどアタリマエのことですが，定義通りに期待値を計算するため，丁寧に書きました）。だから期待値の定義から
となって， (3.1.12)が証明できます. □
が得られるので，分散の定義から
(3.1.11)の証明X,Yは独立とは仮定していないので, Xはx 1 , x 2 , . . . , x n , Yはy 1 , y 2 , . . , y mの値をとるとして, P[X = x i , Y = y j ] = p ij と書くことにします. このとき,
となって(3.1.11)が証明されました．X,Yが独立でなくても(3.1.11)が成り立つことは，それほど当たり前でないかもしれません（特に，以下の分散の場合と対比すると）. ●
が成立しています。だから,
が成立しますが，右辺の和はｉについての和とｊについての和の積になっているので
となって証明されました．しつこいですが，上では確率が(3.1.21)のように積に分解した事（独立性の仮定）が本質的だったことを重ねて注意しておきます. □
最後に(3.1.15)ですが，これは今までの式を動員すればできます．定義から
ですが，２乗のところを展開して
更に(3.1.11)と(3.1.12)を用いて和の期待値を期待値の和になおしたりすると
となります.ここで最初の２項はそれぞれVar[X]とVar[Y]なので，独立でない場合も含めた一般の公式は
となります.この最後のステップで独立性の仮定が本質的だったことを重ねて注意しておきます. ●
3.1.5  S Nなどの期待値や分散の計算
コイン投げの時に出てきたように，期待値がμ ,標準幅差がσであるような，独立同分布な確率変数X 1 , X 2 , . . . , X Nに対して
と定義します。今さっき証明した性質を用いて，S Nなどの期待値や分散を計算してみましょう．すでに述べたように，期待値は確率変数の分布の中心，分散（正確には標準偏差）は分布の拡がりの目安を与えるから，この種の計算は直感的な理解のためにも重要です.まずS Nの期待値を計算しましょう．期待値の線型性(3.1.11)をくり返し使うと，
(3.1.32)
となりますが，仮定からVar[X i ] = σ²であるので， (3.1.32)からVar[S N ] = N Var[X 1 ] = N σ 2
が得られます. (3.1.31)は「SNの分布は大体Nμを中心にしていること」,また(3.1.33)は「その分布の拡がりは大体√√σくらいであること」，を示唆しています²².大事な性質なので，まとめておきます.補題3.1.4 ( S Nの期待値と分散)期待値がμ ,分散がσ²である独立（かつ同分布）な確率変数X 1 , X 2 , .に対して、SN X iを定義すると, {S N } = N {X 1} = N μ,       Var[S N ] = N Var[X 1] = N σ 2 (3.1.34)が成り立つ.
3.2 大数の法則
以上の準備の下に，大数の弱法則を定式化，かつ証明できます.定理3.2.1 (大数の弱法則, Weak Law of Large Numbers, wLLN) 期待値がμである独立かつ同分布SNはμに確率収束する(converges X,を定義する。このとき,な確率変数X 1 , X 2 , . . .に対して，S N in probability).すなわち
が成立する（上の式が確率収束の定義）.特に，X iが有限な分散σ ²を持つ場合には，任意の正の数εに対して， (3.2.2)が成り立つ.住●上ではX,が同分布（同じ試行の繰り返し）だとしましたが，同分布でない場合にもある程度拡張して成り立つことが証明されています.文献の[5][6]などをご覧ください. ●通常、大数の菊法則という場合には，定理の前半部分のみをいいますが，わかりやすい評価を与えるという意味で，後半も書きました。期待値の存在だけを仮定して定理を証明するのはそこそこ厄介なので，この講義では後半部分（分散の存在を仮定）を証明することにします．前半部分の証明には，例えば文献[6]のTheorem 5.2.2やTheorem 6.4.3の証明を参照してください（ごく簡単な概略は3.4.4節に載せました）.なお，大数の強法則というのもあり，以下のように表現されます：定理3.2.2 (大数の強法則, Strong Law of Large Numbers, sLLN)期待値がμである独立かつ同分布SNはμに，概収束する(converges X iを定義する。このとき,な確率変数X 1 , X 2 , . . .に対して，S N = with probability one, converges almost surely). すなわち,
である（上の式が概収束の定義）.上の定義で出てきた確率変数 lim  SN は，無限個のX」を決めないと決まらない量です。このような「無限個」 NのX ,を決めて初めて決まる量」に対する確率分布を考えることは自然ですが，数学的にはそれほど簡単ではありません．なので，この講義では強法則にはこれ以上踏み込みません．ただし，物理学への応用などを考えると，強法則まで理解したいところではあります.
3.2.1 大数の弱法則の証明と解釈
大数の弱法則の証明には，以下の不等式を用います.定理3.2.3 (チェビシェフの不等式) 期待値と分散が有限である確率変数Yに対して以下が成立する：
この証明は後回しにして，まずは大数の弱法則を証明しましょう.チェビシェフの不等式をY = H , α = εに対して適用してみます.単に代入すると
となるので，〈学〉とVar[学]を計算します. ঐについては，期待値の線型性(3.1.12)とS Nの期待値に関する補題3.1.4からす,
が出ます. 同様に， (3.1.13)と補題3.1.4から
これらをチェビシェフの不等式(3.2.5)に代入すると，任意の正の数εに対して
が成立することがわかります.これで大数の弱法則が証明されました.
確率の評価(3.2.2)の解釈大数の弱法則に現れている不等式(3.2.2), (3.2.8)を解釈しましょう.不等式の左辺は,「욕」がその期待値〈ﾀﾀﾞ〉＝μからε以上ずれる確率」です．不等式の右辺は，「この確率が，Ｎが大きくなると1/Ｎのように減少していく」ことを主張しています.これは我々の日常感覚と一致しています.コイン投げを例にとれば, Nを大きくすると（たくさんの回数,コインを投げると），表の出る割合がきっちりpになるとは言い切れないが，表の出た割合は非常に高い確率でμ = pの近くに来る，とは言えるのです.このように，チェビシェフの不等式と期待値や分散の基本的性質を用いて，我々が日常考えていることを基礎づけることができました．また，これは「確率とは何か」にもある程度の答えを与えてくれます．すなわち，コイン投げの場合に表が出る確率pとは,「コインを何回も投げたときに表の出る割合」と定義したくなるのですが，上の大数の法則はこの決め方に矛盾がない，ことを示しています.
3.2.2 チェビシェフの不等式の証明
では，チェビシェフの不等式の証明をしますが，びっくりするくらい簡単です.証明を見ればわかるように，チェビシェフの不等式の類似物は一杯作れます（「マルコフの不等式」などと名前がついているのもあります）.少し一般に考えた方が原理がわかりやすいので，α,bを勝手な数（α > 0）として
を証明し，最後にも＝〈X〉としましょう.確率変数Xはx iの値を,確率p iでとるものとします(i = 1,2,3,…,n) . 〈(X − b)²〉の表式から出発し, iの和を| x i ー b | ≥ αを満たすものに限定すると，和の値は小さくなります（和の中身が非負なので，足す項が減れば和は減る)：
最後の和の記号は， | x i − b | ≥ aを満たしているようなiについてのみ和をとる，ということです．ところが，右辺の和の中身はいつでも| x i − b ≥ aを満たしています.つまり,和の中ではいつでも( x i − b )² ≥ a²なので,この和はα²以上のものを足していることになります。従って和の値はα²× （和の個数）よりも大きい：
ところが，この右辺の和は，| x̣− δ | ≥ αなるx̣の美現確率を足しているのだから，̃ρ [| X − δ | ≥ α]そのものです：
両辺をα²で割ると(3.2.9)を得ます．また，♭は何でも良かったので特に♭＝ (X)ととると，チェビシェフの不等式になります. ●
3.2.3 確率変数の収束概念について（おまけ)
すでに見たように，確率論では確率変数の収束を考えるのですが，その強さにはいくつかのレベルがあります.参考までにまとめておきます.確率変数の列Y,  (n = 1,2,3,...)と, その収束先（の候補）の確率変数Zがあるとします. ● Y,がZに法則収束または分布収束する(converges in law , converges in distribution)とは，Y,とZの架積分布函数をそれぞれFy_とFzと書いたときにFzが連続な全てのxにおいて
となること（大まかに言って，Y,の分布がZのそれに収束すること）です. ● Y,がZに確率収束する(converges in probability)とは,
が成り立つことです. ● Y,がZに概収束する(converges with probability one, converges almost surely)とは,
が成り立つことです確率収束と概収束は大数の法則で既に登場しました．中心極限定理では法則収束が出てきます.これらの収束概念の強さには，以下の関係があります：
すなわち，概収束する場合は確率収束も法則収束もします．確率収束する場合には概収束しない例がありますが,法則収束はします．法則収束は，まともな収束概念の中では一番「緩い」もので，これだけでは確率収束も概収束も保証できません、さらに詳しいことは，文献の[5][6][7]などを参照してください.
中心極限定理
3.3
上では「大数の法則」を見たので，今度はもう一つの重要な極限定理,「中心極限定理」について述べます.定理3.3.1 (中心極限定理, Central Limit Theorem, CLT)期待値がμ,分散がσ²である独立かつ同分布な確率変数X 1 , X 2 , . . .を考える．確率変数
を定義すると，Nが無限大になるとき，Z Nは標準正規分布に法則収束または分布収束する(converges in law, converges in distribution). すなわち,
が成立する（上の式が法則収束の定義）.グラフの面積で表現すれば，Nが無限大になる極限では，確率P [a ≤ Z N ≤ b]は,
社●大数の法則と同じく，中心極限定理も非常に広い範囲で成り立つ定理です. ●大数の法則と同様に，X tが同分布でない場合でも，X tが適当な条件を満たせば中心極限定理が成り立つことが，色々と研究されています（特に有名なのはLindelöfの条件）、文献の[5][6]などをご覧ください. ● X ,の独立性の仮定を弱めるのはもっと微妙な，難しい問題です. 「下手に弱めると中心極限定理が成り立たない」ことの一端を，５節で見たいと思います.この定理の証明は火の節に回し，この節ではまずコイン投げの場合に戻って，2.4節で紹介したグラフの振る舞いを説明します.特に以下の質問に答えようと思います. ●図３のグラフの横軸はなぜ，あのように伸び縮みさせるのか？ (関連質問)なぜ上のようにZ Nを定義するのか？ ●図３のグラフの縦軸はなぜ，あのように伸び縮みさせるのか？ (関連質問)なぜ確率が面積（積分）で表されるのか？ ●このように伸び縮みさせるとなぜ，あの曲線に行くのか？ (関連質問)極限で出てくる実数のグラフy = √ π e- π ⁄ 2 ⁄ 2はどのような原理で決まるのか？その後，3.4節で，より一般の場合も含めて，中心極限定理の証明（説明）を行います.なお，数式を少し簡単にするため，また一般の中心極限定理との関係をつけるため，コイン投げの個々のX ,の期待値と分散を
と書いて，以下では使います.
3.3.1 グラフの横軸はどう決めたのか？つまりZ Nはなぜ，このように決めるのか？
まず気になるのがZ Nの取り方やグラフの伸び縮みのさせ方をどのように決めたのか，ということでしょう.これについてはある程度の解答を与えられます（縦軸の伸び縮みは次の小節で扱います）.この問題の解答には,横軸を（予でなく） S Nにとったグラフから出発する方がわかりやすいだろうから，グラフをいろいろと伸び縮みさせる過程を図５に示します（いろいろなｐの例があった方が良いと思って今度はｐ＝きとしました）.まず，図の解説をします. (1)左上のグラフ：横軸はm = ¯ X j,縦軸はP [ S N = m]にとりました. N = 256 ( ρ )は図の範囲外（右側)に分布の中心があるので( Np = 51.2) ,よく見えていません. (2)右上のグラフ：横軸はm − Nμ, 縦軸はP [SN = m]にとりました. 上の(1)ではNとともに右の方に中心が移動していたので規則性が見えにくいから，S Nの期待値（N p ）の位置を中心に持ってくるように各曲線を平行移動しました．これで分布の中心は大体そろいましたが，Nが大きくなるにつれて高さは低く，幅は広くなっています. 1 (3)左下のグラフ：横軸はm − N μ ,縦軸はP [ S N = m ]にとって，(2)のグラフを横軸方向に一σ√ Nました．幅はどのNでも同じようになってきましたが，高さがそろっていません． (4)右下のグラフ：横軸はm − N μしました。これで漸く，高さも幅もそろうようになりました。実線はy = √ e − − 2 /2のグラフです.最終段階の(4)のグラフを表現したのが中心極限定理でした．この小節では上の(1)から(3)の取り方を説明し，次の小節で(2)から(4)を説明します.まず， (1)から (2)への変換は大数の法則から示唆されます．つまり，労がｐの周りに集中していくわけですから，S Nそのものを見てたら分布の中心は右の方へ動いてしまいます．よって，分布の中心（ N p ）を常にグラフの中心にするように平行移動しただけのことです.問題は(2)から(3)です.  (2)のグラフでは分布の中心はγ-軸ですが，Nとともに幅が大きくなったのでこれを縮めたいのです。どのくらい縮めればよいでしょうか？すでに，確率変数Xの拡がりの目安は〝/Var[X]であることを見ました．また，大数の弱法則の証明のところで((3.1.33)参照)，Var[ S N ] = p (1 − p ) N = N σ ²である事も見ました．S Nの標準備差で見れば√ p (1 − p ) N = σ√ Nとなっていて，SNの拡がりがNとともにσ√√くらいで増えていくことを示唆します（ここのところ，図５の右上のグラフで確かめてください。今は　p＝さなので，σ＝きです）。これを打ち消すようにσ√で横軸を割ってやれば，幅が大体一定の分布ができるでしょう．これが(2)から(3)への変換の理由です.なお，この２つの変換を続けてやることは
を定義するのと同じで，これは正に(2.4.1)です．いままで天下りに定義していたZ Nの定義が少し身近に感じられたでしょうか？ここで分子のS N − N μは(1)から(2)への平行移動を，分母のσ√正は(2)から(3)への横軸方向の縮めを表しています.註：上の(3.3.5)の伸び縮みのファクター σ√▽の内,一番大事なのは√▽の部分です²¹.このお陰でいろいろなNでも大体同じ幅を持つようになります.もう一方のσ = √p(1 − p)の方は，異なるpでも同じ幅になるように働いています.別の言い方をすると, σ = √p(1 − p)は,できたZ Nの分散をそろえるため,つまりVar[ Z N ] = 1
となるように，導入したものです．（ただし，このようにとったら異なるpのグラフがすべて同じ曲線に行くことは決して自明ではありません！その「自明でないことが起こる」のが中心極限定理の主張です。)
3.3.2 グラフの縦軸はどう決めたのか？またはなぜ，確率が面積で与えられるのか？
上では横軸の伸び縮みの理由が大体わかりました．今度は縦軸の方を考えましょう．図５では(3)から(4)の過程ですが，以下の議論のためには(2)から(4)を考える必要が出てきます．結論から言うと，グラフの縦軸は確率が曲線の下の面積で与えられるように決めています.そこで，まず，確率とグラフの下の面積の関係を有限のN = 16を例にとって考えましょう.図6: μ = p = ξ, N = 16のグラフ（本文中での説明のために，従来の青点に加えて，ヒストグラムの形にしました）.左：縦軸はP [ S N = m]，横軸はm − N μ (図5の(2)）.スペースの関係でm − N μ ≤ 6のみを図示しています.右：縦軸はP [ S N = m ] × σ √ N ,横軸は(m − Np)/(σ √ N ) (図5の(4)).実線はいつも通り， y = √ e − z /2のグラフです.図6の左にはP [ S N = m ]のグラフを，横軸をm − Npにとって描きました．これは図5の(2)そのものですが，各mでのP [ S N = m ]の値のみならず，それぞれのmの周りに幅１の短冊をとって，ヒストグラムのようにしてみたものです．こうすると，P [ S N = m ]の値はそれぞれのmのところにある長方形の面積そのものになります—例えば，影を付けたm = −1のところの長方形の面積はP [ S N = −1]に等しい. (なぜなら，この長方形は幅が1，高さがP [ S N = m ]なので，面積はP [ S N = m ]になるから.)この考えに基づくと, (A < Bは勝手な整数)確率
は図6の左の折れ線とz-軸の間の, z = A − zからx = B + zの部分の面積と考えることもできます.これが図の右ではどうなるかを次に考えましょう.図6の右は左の図を,「横軸は1/(σ√√)だけ縮め,縦軸はσ√√倍に引き延ばした」ものです(今はp = ±, N = 16なのでσ√ N = √ρ(1 − p)N = ξです).このとき，横軸を縮めたのと同じ割合だけ縦軸を引き延ばしているのがミソで，こうすると，左側に出ている長方形（短冊）のそれぞれは（横が縮んだ分だけ縦が伸びたから），面積が同じ対応する短冊に移ります.例えば左で影を付けた長方形の面積はP [ S N = −1]でしたが，対応する（右でも影をつけた）長方形の面積も(P [S N = m] × σ√ N ) × (σ√ N ) − ¹ = P [S N = m]となって，面積は変わりません.従って，(3.3.7)を表す面積は，確率
A − 1/2からx = B + 1/2 の部分の面積と考とも書けますが，これは図6の右図の折れ線とx-軸の間の，x = σ√ N σ√Nえることもできます.これで漸く，この小節の問いに答えることができます．今まで見てきたように，Ｎが小さくても，確率を面積で表すことは可能でした．ただし，そのときに出てくる曲線はヒストグラムに出てくるような折れ線になっています. ところが, (少なくとも図５の(4)のような例を見る限り）図６の右の短冊の頂点（青点）はNが大きくなるにつれて実線のグラフの上に乗っていきます。また，短冊の幅もどんどん小さくなっていきます。ということはNが大きくなった極限では(3.3.8)の面積は実線のグラフy = √zπe-≠²/²のグラフと≠軸の間の部分の面積に近づきそうです。これが中心極限定理でy = √ e − − − ′ /²のグラフの下の面積が出てくる理由です。また縦軸を伸ばす割合は，この面積の解釈ができるように「横軸を縮めた分を打ち消すように引き延ばす」ことで決められていたのです註：ここでは機軸を縮める割合と縦軸を伸ばす割合が丁度同じでした。これは実はSNのとりうる値がたまたま間隔１で分布していたための，幸運な事情です。元々の確率変数のとりうる値が問隔aで分布していたなら，上で説明した「確率と面積」の解釈を少し変更する必要が出ます。またその結果，縦軸の引き延ばしはσ√√√αにすべきであることがわかります.
3.3.3 なぜ,あの曲線に“収束”するのか？
次に気になるのは，このような変換をしたものがなぜ，y =これは非常に重要な問いですが，余り簡単な答えを示すことはできません.大学３年程度の数学（例えば「特性函数の方法」）を駆使すれば完全な答えを与えられるので，これは3.4.2節で紹介しました.また目標を少し下げて, Nが大きくなったものが何かの曲線に近づくならば，それはy = √≥≠e-≠²/²の曲線だと言うことを，3.5節で説明（完全な証明ではない）します.
中心極限定理の証明
3.4
この節では中心極限定理の証明をします.
3.4.1 中心極限定理の証明のいろいろ
中心極限定理の証明には，何通りかの方法があります. （1）コイン投げの問題ならP [ S N = m ]の具体形がわかっているから(2.2節)，これが(上で決めたスケール変換を行った後で） Nを大きくしたときにどのような値に近づくか，計算してみると良いわけです。P [ S N = m ]の中に出てくるNCmの計算（その定義の中の「階乗」の評価）が曲者です.これは「スターリングの公式」と言うものを使ってガリガリ計算するとできますが，かなり大変です．ただし，この方法はコイン投げのように，一回の試行の結果が２通りしかない場合に（のみ）使えます．サイコロなど一回の試行の結果が６つもあるものになると，この種の方法でやるのは（不可能ではないにせよ）ほとんど絶望的なのは，既に述べた通りです. ( 2 )通常，大学の数学でやるのは「特性函数」というものを使って証明する方法です．これは非常にエレガントで，かつ，適用範囲も大変に広い．良いことづくしなのですが，問題はこの方法を理解するには「フーリエ変換」などが必要になることです．大筋は，この後の3.4.2節にまとめました． (３)確率変数の分布を特徴づけるには，高次のモーメント（またはそれに関連したキュムラントと呼ばれる量）を全部計算すれば（大体）十分です．従って， Z Nの高次のモーメントを計算し，（Nが大きくなると）これが標準正規分布の高次のモーメントに収束していくことを示す手もあります²5．自分で納得するには，３次，４次くらいのモーメントを計算してみるのが良いでしょう26 「独立」性が非常に効いて，分散の時の類似の式が成り立ち，高次のモーメントが簡単になるのが納得できると思います. ( 4 )統計力学や情報理論などで使われる「エントロピー」を使う方法もあります（最近の発展）.これも非常に面白い方法です.
3.4.2 特性函数による中心極限定理の証明（概要）
参考までに，中心極限定理の，特性函数を用いた証明の概略を説明します²¹．既に述べた通り，定理は「期待値と分散が有限である独立同分布な確率変数」について成り立ちますが、ここでは証明を簡単にするため、
という仮定を付け加えて証明します。「フーリエ変換」「特性函数の収束と確率変数の収束の関係」および「ガウス積分」を認めれば，高校数学の範囲で理解できるように工夫しました．一般の場合の証明については，例えば最後の文献[5]のp.147や文献[6]のTheorem 6.4.4を参照してください（概略は3.4.4節に載せました）. Step 1.引数が純虚数の場合の指数函数引数が純虚数の場合の指数函数を（i = √二Iは虚数単位)，勝手な実数yに対して     e i y  := cosy + i sin yと定義
することにしましょう（オイラーの公式）.このように定義すれば (実部と虚部を別々に計算して) ,この指数函数の導函数はd - eiy = (3.4.3) — (cosy + isiny) = — siny + icosy = ieiy dyが成り立つこともわかります. (つまり，引数が実数の場合の指数函数の導函数の公式
において，形式的にa = iとおいたものが成立しています28.)なお，e½を用いずに，sin x .cos xだけを用いて以下の議論を展開することも可能ですが，却って見通しが良くないと考えて，敢えてe™を導入しました. Step 2.フーリエ変換と逆変換さて，上で定義した指数函数を用いて，一般の函数f(x)に対してそのフーリエ変換(Fourier transform) f(k)もの
で定義します.ここでkは勝手な実数です.上の式はƒからƒを決める式ですが，驚くことに逆の式も成り立ちます.
これをフーリエ逆変換(inverse Fourier transform)と呼びますが，大事なことはf(x)とf(k)が一対一に対応していることです.つまり，f(x)の代わりにf(x)を計算できれば，それからf(x)を逆算できるのです.以上のフーリエ変換と逆変換の関係は，ここでは天下りで認めてください。（天下り要素その1) Step 3.特性函数一般の確率変数Xに対し,
をXの分布の特性函数(characteristc function)と呼びます.特にXの分布確率が，(3.1.1)でのように，確率密度函数f(x)を持つ場合には，期待値の定義から
となり，特性函数は(3.4.5)で定義したフーリエ変換f(k)に一致します²9．さらに，かなり緩い条件の下で, A.二つの確率変数X,Yの特性函数が一致すれば, X,Yの分布は同じであるB.確率変数の列(Y, Y, Y, Y, Y, . . .)と確率変数Zがあり,   lim  φγ,  = φzが成り立つなら,  (Y, )はZに法則収束することも成り立ちます。これらが特性函数を用いる利点です.中心極限定理の証明ではZ Nの極限の分布を知りたいので，我々はZ Nの特性函数，すなわちφ N (k) = f N (k) = 〈eikZn〉（のN → ∞での極限）を計算したいのです.これができれば上の2のフーリエ逆変換や3のBの性質を用いて，Z Nの極限の分布を決められるはずです.
Step 4.  Z Nの特性函数の計算その1
さて,「期待値や分散の計算は確率そのものの計算よりも楽な場合が多い」と以前に述べましたが, 〈eik2ɴ〉についても正にその通りです。指数函数の性質eª+ b = eª ebをくり返し使う³⁰と（指数函数eªはexp(a)とも書く；μとσはX,の期待値と標準偏差)
と積の形になります。ここでX 1が互いに独立であったことを思い出すと，exp(曲5 ≠四)も互いに独立です。独立な確率変数の積の期待値は期待値の積に分解するので((3.1.14)) ,結局となります（最後のところでは，X ;の分布が同分布であることを用いました）.この段階でも，Nが大きい時，何か変なことが起こりそうな感じはします．指数函数の中身では，分母に√√があって，これが無限大に行けば，指数函数の中身はゼロになります．つまりN → ∞の極限では指数函数が1に行くので，期待値も１に行くことが期待されます．一方で，期待値全体がＮ乗されているので，期待値が１に行っても，その速さが遅ければ，期待値のN乗は無限大やゼロになるかもしれません.この辺りの事情をしっかり解析するため,「テイラー展開」の概念を使います. Step 5.テイラーの公式一般に，函数ƒが(n + 1)-階微分可能の時，以下の（残項が積分形の）テイラーの公式(Taylor's formula)が成り立ちます：
が得られます。ここで右辺最後の項については，積分の性質31
を用いて積分の中身を絶対値で置き換えて（まずはェ> 0とします.また|e'9| = 1を用いました)
に等しい.ここで
となっていることがわかり， (3.4.10)より特性函数が
を満たすことがわかります.この右辺のN-乗については
であるので，同様の理由によって，e 0 = 1に行きます.以上から，最終的に，
が得られました. Step 7. Step 3のBの性質，および「標準正規分布の特性函数がe-k²/²であること32」を用いれば，上のStep 6が完了した時点で「Ζ Nの極限分布が標準正規分布である」こと，つまり中心極限定理が証明されました．これで十分なのですがもう少し続けて，確率密度函数f(x)を求めようとすると，以下のようになります. φ(k)を，Step 2の知識でもってフーリエ逆変換すれば，我々の知りたかったf(x)がわかります．具体的には
という積分をやればよろしい。これはガウス積分というもので，大学初年度に習います（天下り要素その2） 33結果だけを書くと
となり，まさに，我々の欲しかった正規分布の確率密度函数が得られました. 32ただし，この事実の証明には以下で述べる「ガウス積分」が必要になるので，以下で述べるのと本質的には同じことです。
 33概要は以下の通り：まず，指数函数の肩について，−ikx − -と変形できることに注目すると，被積分函数の指(k + ix) 2 −数函数はe-(k+(x)²/2 x e-z²/2となります。次に,(xが眺度数であるにも関わらず)普通の積分の変数変換のつもりで, e-z²/2 ( " + " e-z²/2 duとなり,さらに議論して尋ङの離分はe-u²/²duとなり，さらに譲論して最後の額分はe-u 2 /2du = √2πであることがわかります。ただし,「なぜu ＝ k ＋ izと変数変換して良いのか」「なぜそのような銃分の銃になるのか」などには大学レベルの理解が必要なので，ここに書いたことはあくまで大筋です
おまけ：テイラーの公式(3.4.11)の証明
3.4.3
最後に，テイラーの公式(3.4.11)の証明を述べます．大変に美しく汎用性の高い定理ですが，数学的掃輸法を用いれば，高校数学の範囲内で十分に証明できます.第１段. n = 0およびn = 1. （本来，n = 0だけやれば十分ですが，一般のnの場合への導入として，n = 1.もやります.) n = 0の場合は簡単で，微分と積分の関係式
の左辺からƒ(α)を右辺に移行すればできます. n = 1の場合は，恣意的に1 =孟(y − x)と思って，上の右辺を部分積分します：
だと思って，(3.4.31)の第2項を部分積分すれば終わりです

3.4.4余分なことを仮定しない,大数の弱法則と中心極限定理の証明
今まで，大数の菊法則や中心極限定理を，定理の仮定よりも強い仮定の下で証明しました（大数の菊法則なら分散の存在，中心極限定理なら３次のモーメントの存在，をそれぞれ仮定）．ここでは，それらの定理を余分な仮定なしで証明する方法の概略を述べます³¹（完全に原の趣味の反映なので、記述はかなり不親切です.）まず，テイラーの公式の一つのバージョンとして，以下が成り立つことに注意する：f(x)がx = aでn-階微分可能であるとき,
となる函数である35中心極限定理の証明には， (3.4.10)まではこれまでと同様に進む：
右辺にでているg(k)については,
を得る.大数の弱法則の証明も同様で，S N /Nの特性函数をψとして,
を得る。この右辺は，Y ≡ μ（離率変数は，Y = μの値しかとらない恒等函数）である確率変数の特性函数だから，S N /Nはμという定数に法則収束することが結論できる．しかし，行き先が定数の場合は法則収束も確率収束も同じなので，これで大数の弱法則が証明された．
完全なおまけ：中心極限定理に出てくる曲線を求めよう
3.5
ここでは3.3.3節の予告通り，中心極限定理にでてくる極限の曲線がなぜy = → e − − − − ′²であるのか，に部分的に答えてみます．ただし，この節の内容は高校３年～大学一年程度の知識を必要とする³ものになってしまいました．でも，前小節で紹介した「特性函数の方法」とは少し違った視点としての存在意義はあると考え，書くことにしました．なお，以下の方法は「安定分布」「無限分解可能分布」などに関連した考えを，我々の目的に合うように書き直したものです（例えば文献[5]参照）.この小節では，以下の主張：
f(z)dzの意味で確率密度函数f(z)を持つと仮を説明（完全な証明ではない）します．中心極限定理を満足に説明するには，うえでは仮定した「求めたƒ(z)にf (z)dzが実際に成立すること」も示す必要がありますが，これはもっと道具対して lim  P [a < Z N < b ] =立てが大仰になるので諦めました。そこまで理解するには3.4.2節で紹介している「特性函数の方法」などを用
の極限分布として現れるものを求めてみます³8.  N → ∞の極限では(3.5.2)のY Nの分布が
と表されると仮定して，ƒ(y)を求めていくのです．説明は何段階かに分けて行います.
3.5.1 極限の確率変数の満たすべき性質は何か？
まず， (3.5.2)をもう少し変形します．Ｍ Nを (大きな)勝手な正の整数とすると， (3.5.2)の定義から
と書けるはずです。ここでニは，両辺に出てくる確率変数の分布が等しい，事を意味する記号です.さて，ここで， x̸≡ c （0 < ε < 1）を一定にしたままNとMを無限大にしましょう. Y Nの極限として出てくる確率変数をYと書くと40 , Y M+N,Y Mの2つも，同じ確率変数Yに行くでしょう．またこのとき
です．従って， (3.5.5)の両辺でN → ∞としたと思えば，極限のY は
を満たすはずです。 (3.5.7)が核心の関係式であり，以下ではこれを元に解析を行っていきます.
3.5.2 極限の確率密度函数ƒ( x )の満たすべき性質は何か？ —積分方程式
「Y Nの極限がf ( x )に従う」と言うのがそもそもの我々の仮定だったので，極限Yの確率密度函数はf ( x )そのものになるはずです。これを用いて，上の関係式(3.5.7)をYの確率密度函数f (y)の言葉に焼き直しましょう.左辺はYだから，今述べたことにより，その確率密度函数はf(y)です．右辺のは何でしょう？これには以下の2つの関係式を用います.命題3.5.1 (連続型確率変数の確率密度函数) (i)確率変数X,Yの確率密度函数をそれぞれf(x),g(x)とする。 Z = X + Y の確率密度函数をh 1 (z)とし，さらにXとY は独立であると仮定すると，
(ii)確率変数Xの確率密度函数をf (x)とし，勝手な正の実数αに対して，新しい確率変数W = αXを定義する。 Wの確率密度函数をh₂(w)とすると，勝手な正の実数αに対して
(i)の性質の証明には大学一年でやる「重積分」を使うのが自然です（高校数学でも理解できないわけではないですが，少し苦しい）. (ii)の方はたんなる積分変数の変換なので高校数学で十分に理解できます．これらの証明は略これを(3.5.7)の右辺に用います。まず上の(ii)から，√εΥの確率密度函数は先ｹ(予)であり，√ｴーεΥの離率密度函数は, , , , , , , , , , , )であることがわかります. 次に,  (i)を用いると,

極限の確率密度函数ƒ( x )の満たすべき性質は何か？ —微分方程式
3.5.3
後は(3.5.11)を解けば良いのですが，これは高校数学では簡単に解けません．右辺の積分は昼み込み（convo- lution）と呼ばれるもので,「フーリエ変換」を用いて解くのが一般的ですが, これをやると3.4.2節の「特性函数の方法」と同じになってしまいます．そこで，ここでは「特性函数の方法」を使わず，敢えて泥臭い方法でやってみます. (3.5.11)の右辺はƒが２つ出てきて積分だから始末が悪いわけです.幸い，(3.5.11)は0 < ε < 1を満たす勝手なぁで成り立つので，両辺をεの級数に展開してみましょう（ここで「テイラー展開」の考えを使いました）。級数に展開した場合の各次数の係数が互いに等しいはずだ、ということからｆの満たすべき方程式を導くのです41 εの級数としてみたとき，左辺はそのままf(z)です．右辺はと言うと，
を用いて強引に
となります。ここで,
であることに注意します（これはYが何かの勝手な値をとる確率だから，全確率に等しく，1であるべきだ）.また,
もゼロだろう）。最後に
とおくと（この量αは何かの正の値のはず）
が得られます、つまり，極限の確率密度函数f(z)は（適当な正の定数αに対して）上の微分方程式を満たす必要があることがわかりました。
3.5.4  f(x)の微分方程式を解く
最後に(3.5.20)の微分方程式を解けば，話は完結します．この方程式を綺麗に解くことは高校の範囲を超えていますが、大体の大筋を説明します43一般的に使える微分方程式の解法の一つに「級数展開で解く」やり方があります：
の形に殺数で書けることを仮定して微分方程式に代入し，係数α,の間の関係式（漸化式）を求め，それからα,を求めていく方法です. (そして最後に級数風開が実際にできることを確かめます) .これをやってみましょう.  (3.5.21)を(3.5.20)に代入すると
となりますが，和全体の微分を和の各項を微分することで置き換えると（ここのところ—微分と級数の順序交換—はまったく自明な問題ではありません、大学一年生で詳しくやるところです。今はこのような問題には目をつぶります)
となります（最後の行では酸数の添え字を付け替えました）.この級数がすべてのzの値に対してゼロなのだから，z"の係数がすべて０であるべきです.つまり，すべてのn ≥ 0に対して
これはα nとα n+2の間の関係式（漸化式）だから高校数学で十分に解けます. nの小さい方から順番にやれば良く，結果はn ≥ 0に対して
となります. ここで(2n + 1)!! = (2n + 1) · (2n − 1) · (2n − 3) · · · 5 · 3 · 1であり,  0! = 1と解釈します.これを見ると，α,の添え字が偶数と奇数で２つの系統に分かれているのがわかります.そこで，偶数・奇数毎にこの結果をまとめて
を定義すると（(3.5.26)の最後の等式は指数函数のテイラー展開を逆に使った)，微分方程式の解ƒ(z)は勝手な定数α 0とα 1を用いて,
と書けることがわかります44.上で定義したſeven( z )は正に求める形をしているのでメデタイわけです45 問題はſodd( z )の方であって，問題の条件を満たさないなどの理由でfodd(z)を排除できたら話は完結します.そのためにはfodd(z)がどのような函数かを調べる必要があります．答えを言ってしまうとこれは
となっています. (この等式を証明するには，両辺の酸数展開が一致することを示せばよい．ただし，どのようにしてこの等式に導かれるかは秘密.）この積分の形にするといろいろなことがわかります.特に, (1) fodd(z)はzの奇函数で，zが正ならfoda(z)の値も正, (2) z → ∞でfoda(z)はO(ž)くらい,などがわかります.このどちらの性質も
には不向きです— （1）からはこの積分が正であることがわかるし,（2）からはこの積分がそもそも収束しないことがわかります.と言うわけで，foda(z)は極限分布のf(z)の成分としては非常に不適切であることがわかりました．従って, f(z)として許されるのはfeven(z)のみ，つまり
という結論です.メデタシメデタシ. (なお, α 0の値そのものはf(y) dy = 1であるべき事からαρ =と決まりますが，本質ではないので省略します.）
4　ランダムウォーク
この節では統計力学への橋渡しとして，ランダムウォークを考えます.
4.1  1次元ランダムウォーク
以下のような問題を考えます：人が数直線上の原点にいる．コインを投げ，結果が表なら数直線の正の方向（右）に一歩進む；結果が裏なら、負の方向（左）に一歩進む、一歩進んだ後は今いる地点を出発点にしてコインを投げて進むことをくり返す. これをN回くり返したとき，この人はどの付近にいるだろうか？このような運動は１次元単純ランダムウォーク（または酔歩, random walk）と呼ばれます. 図７に横軸を数直線，縦軸を歩数にとって，１次元単純ランダムウォークの例を示しました.図7:  1火元ランダムウォークの例：左から全歩数がN = 10², 10³, 10², 10² stepsの場合 横軸はx,縦軸は歩数で，図示している範囲は縦軸は0からN，横軸は±2√√.この問題に対する部分的な答えは,今までやってきた大数の法則や中心極限定理から直ちに待られます.というのは，この問題を以下のように定式化できるからです.まず，i歩めの数直線上の動きをX，で表します：
このX ,は確率変数で,まともなコインを投げる場合は+1と−1を同じ確率でとるはずです.つまり, P [X i = 1] = P[X i = −1] = 1.また，コイン投げの時と同様，X iとX iは独立なはずです．そして，N歩めの位置はS N = ↑ X iとなっています.このように考えると，この単純ランダムウォークの問題は，コイン投げで表の割合を考えたのとほとんど同じで，違いは（1） X i = 0,1の代わりにX i = −1,+1となっていること, (2)今回はN歩の後の位置,つまり, S Nそのものに興味があること，の２つだけです（１）の違いにより，今回は
となります.従って，大数の弱法則の証明（(3.1.33)付近）を思い出すと，
と結論できます.これは何を言っているのでしょう？まず，ランダムウォークの場合のVar[S N ]の意味を考えます. 〈S N 〉＝０だから、分散の定義からN = Var[S N ] = 〈 | S N |² 〉 (4.1.4)です. |S N |はN歩後の位置の，原点からの距離そのものですから，上の分散には「原点からの距離の２乗の平均」という意味がつきます（このため，この量を平均２乗変位(mean square displacement)とよびます）.つまり， (4.1.3)や(4.1.4)は「原点からの距離の２乗の平均はNである」と言っているわけです。距離の２乗の平均がNだから，距離そのものの平均は大体√√と思っても良いでしょう46.これがランダムウォークの著しい特徴です47コイン投げの時にも強調したように，このような確率現象では，たまたまコインが「すべて表」になる可能性もあり，その場合には正の方向にN離れたところまで行ってしまっています．しかしこのようなのは例外的な場合であり，その確率は非常に小さいわけです．そして「典型的」な場合には，原点から√Var[S N ] = √ ∩くらい（これ以内）の距離のところにいる，と期待されるわけです．これは要するに，表と裏が入り交じって出たために，原点付近で行きつ戻りつした結果です．この事情は「典型的」ないくつかの例を見ると，より良く納得できます. (図7参照) .
4.2 高次元ランダムウォーク
同じような問いを，この人の運動の火元を上げて考えることもできます．平面上の原点に人がいて，確率１ずつで東西南北の一つの向きに一歩進む，ことを考えましょう．（一歩目の後は，今いる位置を出発点に同じ事をくり返します.）この時，N歩の後にはこの人はどの付近にいるでしょうか？ (このモデルは２次元単純ランダムウォークと呼ばれます.）図8に2次元単純ランダムウォークの例を示しました.この問題に対しても１次元の時と全く同じように解析を進めることができます．特に，Ｎ歩目の位置について， l次元と全く同様にアインシュタインの関係式〈 ( N歩後の原点からの距離)² 〉＝ N
が成り立ちます.実はアインシュタインの関係式，つまり(4.2.1)は３次元以上の単純ランダムウォークでも成り立つことが容易にわかります.また，ランダムウォークのモデル（この人の進み方）を少々変えても—例えば，時々２歩分進むことにするとか—概要は変わりません：この場合は適当な定数cを用いて〈 (N歩後の原点からの距離)² 〉 ≈ cN
と書けます.つまり, 1.1節の言葉で言うと,「平均２乗変位がNのオーダーである」ことはやはり成り立っています.この意味で，ランダムウォークにおけるアインシュタインの関係は，普遍的に見られる現象の一つであると言えます.また，これがイントロの問題ｃやｃ′のヒントを与えてくれます.
臨界現象へ
5
今まで考えてきたのは，数学的には解決された問題です．その中心にあったのはたくさんの独立な確率変数の和でした．そしてこの場合（N個の確率変数の和をS Nと書く），独立性のおかげでVar ( S N ]が大体Nくらいになる48という大きな特徴が見られました．Varの平方根（つまり標準偏差）がその量のバラツキの目安になることを思い出すと，これは「Ｎこの独立な確率変数の和は√万くらいのバラツキをもっている」とまとめることができます．そして，中心極限定理もランダムウォークも，すべてはこの「独立性」と「Nこの和のバラツキは✓N」から来ている，と言っても過言ではありません.また,「独立性」が鍵でしたから，独立性の仮定が満たされれば（今までに述べてきた定理の条件が完全には満たされなくても—例： X tが同分布でなくても）これらの現象（または類似の現象）が見られることが予想されます.実際,今までにも少し述べたようにX,が完全には同分布でない場合にも大数の法則や中心極限定理が成り立つことは証明されています。また，独立性の仮定も（ホンの少しなら）破っても大丈夫であることも証明されています．この意味で，中心極限定理は非常に普遍的に成り立つものと言えます．ところが,「独立性」の仮定がある程度以上破られると，問題は一気に難しくなります．一見なんでもありの世界になってしまいそうですが，そのような場合でも何が普遍的に言えるのか，を考えるのは現代確率論の大きな未解決問題の一つです．そしてまた，このテーマに対する，非常に面白くかつ具体的な問題が，統計力学における臨界現象という形で現れてきます.この公開講座の最後では統計力学における臨界現象に焦点をあてて，この未解決問題を解説したいと思います.より具体的には，以下の（一見ことなる） 2つの問題を考えます. ( 1 )中心極限定理の拡張に関して(磁石のモデルの臨界現象)：中心極限定理は「独立な」確率変数に対して成り立つ，ということは何度も強調した通りです．又，その際, S N − (S N )を√ ∇で割ることで，Nが無限大になった場合に良い極限に収束するような確率変数（Z N ）を作り出せました.では，独立でない場合はどうなるのでしょう？独立性が少しだけ破られている場合は実質的に独立な場合と同じであり，√万で割ると行き先は正規分布になります．しかし，独立性がもっと破られている場合は未解決です.この場合、中心極限定理に類似の結果49が成り立つと期待されていますが、詳細はよくわかっていません.さて一方、このような典型的な振る舞いを示す例が，物理学に（日常生活に）存在します。それは磁石です。ご存知のように，永久磁石を熱していくと，ある温度（キュリー点）以上では鉄を引きつけなくなります（磁石ではなくなる).しかし(少し工夫しつつ)温度を下げてくるとキュリー点より下ではまた磁石に戻ります.この現象を磁石になっている「相」と磁石でない「相」の間の相転移と呼びます．更に，このキュリー点付近では「臨界現象」と呼ばれる，普遍的な現象が見られることもわかっています. (2)ランダムウォークの拡張に関して(高分子の臨界現象)：ランダムウォークにおいて，人が動くときに「今までにいた場所には行けない（自分の足跡は踏んではいけない)」という条件を付けてみましょう（このような条件をつけたモデルはself-avoiding walk （自己回避酔歩）と言われます）.「自分の足跡を踏まない」ためには，各ステップが独立ではダメです（もし独立にステップを踏んでいると，容易に自分の足跡を踏んでしまう)．つまり,「自分の足跡を踏まない」条件は各ステップの独立性を壊してしまうので，問題が非常に難しくなるのです.イントロの問題eはこのself-avoiding walkのd = 3のものと実質的に同じです.
言葉の定義
d-次元の正方格子とは，d-次元の空間のなかで，座標の各成分が整数値をとっているような点の全体をいいます. d = 1なら数直線上の整数の点の全体，d = 2なら平面上の点で，x,y座標がともに整数の点の全体，etc.となります.このとき，d-次元正方格子の点の一つ一つをサイト，隣り合ったサイトのペア（つまり，隣り合ったサイトをつなぐ線分）をボンドといいます.
臨界現象とは
5.1
では，臨界現象とは何なのか，上に簡単に述べたランダムウォークや磁石のモデルを説明しましょう．以下ではd-次元正方格子の上でモデルを考えていきます.
5.1.1 自己回避ランダムウォーク(SAW)
今まで考えたランダムウォークは，過去の履歴に関係なく，座標軸の方向に一歩ならどこでも動けるものでした．これは空気中の分子の運動などを表すには自然な設定です．しかし，ここで問題を少し変えて，溶液中に長い線のような高分子が入っている場合を考えてみます．高分子を形作っている分子や原子は溶液の分子にぶつかられてあちこち動きます．結果として，高分子は非常にギザギザに折曲がりながら，溶液中を漂うことになるでしょう.そこで問題は，高分子がどのくらいギザギザしているのか，また，まっすぐのばした時の高分子の長さと，洛液中の長さにはどのような関係があるのか，ということです.このような問題も，ランダムウォークをもとにしてモデル化することができます．すなわち，今まで考えてきたランダムウォークの軌跡（つまり，時刻ゼロから粒子の動いた跡）を見るのです．これは一般に非常にギザギザな線になっているでしょうから，高分子の問題にぴったりでしょう．ただし，これだけでは大きな欠陥があります。溶液中の高分子は，決して自分自身とは交わりませんが，いままで考えてきたランダムウォークでは，軌跡は自分自身と交わることも許しています.そこで，高分子を考えるために，今までの問題を以下のように変形しましょう.今まで考えてきたランダムウォークの問題において,「その軌跡が自分自身と交わってはいけない」の条件を付加してみる. (このようなランダムウォークを，Self-Avoiding Walk (SAW)という.そして，N-ステップのSAWの端から端までがどのくらいの距離になっているか（つまり、平均２乗変位がどのくらいのオーダーか）を考えたい.新しく付け加えた条件は，一見，大したものではないように見えます．しかし，「軌跡が自分自身と交わってはいけない」ことを保証するには、各ステップが独立ではいけません（もし独立にステップを踏んでいると、容易に自分の足跡を踏んでしまいますから）.更に，過去の自分と交わらないためには，過去の履歴をすべて覚えておく必要があります。ウォークが長くなればなるほど，自分の過去も長くなりますから，この条件は大変になってきます。こんなわけで、問題が非常に難しくなるのです.この問題は1950年代には知られていましたが，見かけによらず離問でした．現在でも，完全に解決されている訳ではありません．ただし，その後の研究によって，以下のようなことが段々とわかってきました．考えている空間の火元をd，原点から出発するn-ステップのSAWの数をc n，n-ステップのSAWの平均二乗変位を( t n )²と書きます（ℓ nがn-ステップの平均の拡がりを表します）、すると以下が証明されます. ●次元に依存する定数μがあって，n → ∞ではc n ≈ μ nと書ける. (より正確には， lim (c n ) 1 /n = μ ) . ●更に，μ n ≤ c n ≤ μ n e n °がなりたつ．ここでαは1より小さい定数である以上は割合早く，1960年代半ばまでには証明されていました．ところが，これ以上の厳密な結果となると，20年近くも進歩が止まってしまいました．その間，物理学者，化学者の努力により，数学的には厳密でないながらも，以下のような予想がたてられました. a.実際には，ある定数γ,νがあって，n → ∞ ℃ cm ≈ μ n π ¬¹およびl, ≈ n ′が成り立っているだろう. (このγ,νを臨界指数とよびます.) b.定数μはモデルを少し変える（例：1ステップで遠くまで跳べるようにする，など）と値が変わる．しかし， γ,νは考えている火元のみで決まる非常に安定な量だろう. (これを臨界指数の普遍性と言います). c.一般に臨界指数の値は氷元による.しかし，臨界指数の間には(2 − η)ν = γのような関係式が成り立つ. (これをスケーリングの関係式と言います.  ηはここでは定義していませんが，別の臨界指数です.) d.  4次元より上では，γ = 1, ν = 1, γ = 0だろう. (この簡単な値を平均場的な臨界指数の値と呼びます. また,「○○火元より上では平均場的」となる火元○○のことを臨界次元と呼びます.）つまり，SAWの臨界火元は４だろう. e. d = 2ではγ = 3 , ν = 4 , ν = 2 , ν = 3 , ν = 3 ,現在，予想a,b,c,eは2, 3, 4次元では未だに予想であり，証明されている訳ではありません．ただし，２次元については21世紀になって非常に大きな進歩があり，予想a,b,c,eが証明されるのも時間の問題と思われます50．また，５次元以上での予想a〜dは1985年から1990年にかけて証明されました。
5.1.2 パーコレーション
ランダムウォークと磁石のモデルの橋渡しのために，パーコレーションというモデルについて簡単に触れます.パーコレーションとは例えば，大きな岩に小さな亀裂がたくさん入った場合に，その亀裂がつながって岩の中に水が浸透（percolate）していくような現象をモデル化したものです.数学のモデルとして定義する際には，以下のようにします．格子上の隣り合った点の間を「ボンド」と呼びます。そして, 50年は2005年に公開講座をした時，まさに「時間の問題」と書いたのですが，今だに未解決なようです... ●それぞれのボンドはランダムに亀裂になったり，ならなかったりする． ●あるボンドが亀裂になる（水が通る）確率はp（亀裂にならない確率は1 – p) ●各ポンドの状態は他のポンドとは独立に決めると取り決めて、このようにボンドの状態（角裂）が決まった時に端から端まで角裂だけをつないだ通り道ができるかどうかなどを問題にします．特に，原点から無限遠まで亀裂の道でつながるかどうかが重要です（つながれば岩の表面から深部まで水がしみ込める．つながらないなら，しみ込めない．）すぐに予想されるように，pが小さい（亀裂ができにくい）時には，原点から亀裂を通していける場所は非常に限られてしまいます．当然，この場合には無限遠にもつながりません．一方，pが１に近い場合にはそこら中が亀裂な訳ですから，亀裂を伝わってどこまでも行くことができます．つまり，この場合は原点が正の確率で無限遠とつながるでしょう.実際，これらは数学的に厳密に証明されています．原点が無限遠につながる確率をθ(p)と書きます．また，原点が平均して何個くらいの点とつながっているか，その期待値をχ(p)と書きます．更に，原点がこのくらいの距離までつながっているという距離の目安をξ(p)と書きます．すると，証明された事実として● pが小さいところでは，原点が無限遠までつながる確率θ(p)はゼロである. ●  2次元以上では，pが1に近い場合，正の確率で原点が無限遠につながる，つまりθ(p) > 0. ●  2次元以上では0 < p c < 1なる「臨界確率」があって， −  p < pcではθ(p) = 0,  χ(p) < ∞,  ξ(p) < ∞. −  p > pcではθ(p) >,  χ(p) = ∞,  ξ(p) = ∞.更に，厳密には証明されていない部分もあるものの，以下の予想があります. a. ある定数（臨界指数）γ,ν,βがあって, −  p ／ pcではχ(p) ≈ (pc − p)− τ,  ξ(p) ≈ (pc − p)− τ . −  p \x pcではθ(p) ≈ (p − pc) βとなっているだろう. b.臨界確率pcはモデルを少し変える（例：斜めにも水がしみ通れるようにする，など）と値が変わる．しかし、γ,ν,βは考えている次元のみで決まる，非常に安定な量だろう（臨界指数の普遍性）、 c.一般に臨界指数の値は次元による.しかし，臨界指数の間には(2 − η)ν = γのような関係式が成り立つ. d. ６次元より上では，γ＝１，ν＝ 5, β＝ 1, γ＝ 0だろう（平均場的な臨界指数の値；臨界次元は6）. e. d = 2ではγ = 1 c 43定性的にはSAWと同じような予想になっていることに注意してください．SAWの場合と同じく，これらは未だに証明されていません、ただし，系の次元が十分に高いとき（15次元以上，適当な条件をつけると７次元以上）には証明されています.また，２次元での最近の進歩には目覚ましいものがあります.
5.1.3 磁石のモデル(スピン系)
身の回りにある磁石（永久磁石）は熱していくと，ある温度以上で磁力を失います．この現象を数学的にモデル化したのが「イジングスピン」系とよばれるものです.このモデルでは実際の磁性体を理想化して，結晶の各原子が小さな磁石（スピン）からなっていると考えます.それぞれのスピンは熱運動によってランダムに向きを変えますが，同時に，互いに並び合いたいという傾向も持っています。スピン同士が並び合いたい傾向と，熱運動によりランダムになる傾向のどちらが強いかで，磁石になったりならなかったりすると考えるのです.もう少し詳しく言うと，以下のようになります．まず，結晶をモデル化してd-次元の格子を考えます．格子の各点xにスピン（φε）が乗っているとし，スピン変数φεは+1と−1の値をとると考えます．そしてスピン同士の相互作用によるスピン系のエネルギー（ハミルトニアン）は
となると仮定します（( x, y)は隣り合った格子点のペアについての和) . さて，格子上のスピンはそれぞれのφzが±1の値をとれる訳ですから、無数の実現可能性があります、しかし、ある特定のスピンの配位が実現される確率は，統計力学の一般原理によりボルツマンファクター e-βH
に比例すると考えるのです. ここでβは温度の逆数に相当する正の数です.このモデルは第２節で考えてきた独立な確率変数の問題を，独立でないものに拡張したものになっています.つまり、β = 0（物理の言葉では超高温の極限）ではHの値がなんであってもスピンの配位の実現確率は同じです。つまり，この場合には各スピンが独立にランダムな値をとっていることになり，まさに第２節の問題そのものになります.一方，β = +∞ （物理の言葉では絶対客度の極限）では，Hの値が最小値をとるようなスピンの配位の実現確率だけが，その他の配位の実現離率よりも無限に大きくなってしまいます．つまり，この場合にはHが最小値をとるようなスピンの配位だけが実現されるのです。今考えているモデルではHが最小値をとるのは、すべてのφ = +1となったものか，すべてのφ = −1となったもののどちらかです．いずれの場合もスピンは完全にそろっており，スピンの和が巨視的な磁力となって現れる訳です.問題はこの中間でどうなっているかですが、パーコレーションの時と同じく，以下のようなことが数学的に証明されています．スピン変数の値の期待値をM ( β )と書いて，これが磁石の強さを表していると考えます．また，下に出てくるχ,ξはパーコレーションでの対応物に類似した量です. ● βが小さいところでは，結晶の持つ磁力M (β)はゼロである. ● ２次元以上では，βが十分に大きい場合，M(β) > 0である. ● ２次元以上では0 < β c ＜１なる「臨界逆温度」があって, − β < βcではM(p) = 0, χ(p) < ∞, ξ(p) < ∞, − β > βεではθ(p) >, χ(p) = ∞, ξ(p) = ∞.更に，厳密には証明されていない部分もあるものの，以下の予想があります. a. ある定数（臨界指数）γ,ν,βがあって, − β  γ βcではχ(β) ≈ (βc − β)−τ, ξ(β) ≈ (βc − β)−τ. − β ↘ βεではθ(β) ≈ (β − βε)βとなっているだろう. b.臨界逆温度β。はモデルを少し変える（例：隣り合っていないスピン同士にも相互作用が働く）と値が変わる。しかし，γ,ν,βは考えている火元のみで決まる，非常に安定な基だろう（臨界指数の普遍性）. c.一般に臨界指数の値は次元による.しかし，臨界指数の間には(2 − η)ν = γのような関係式が成り立つ. d.  4次元より上では，γ = 1, ν = 5, β = 5, η = 0だろう（平均場的な臨界指数の値；臨界次元は6）. e. d = 2ではγ = π, ν = 1, β = π, η = =である. 4繰り返すだけ紙の無駄とも思えるくらい，パーコレーションの時と似た結果になっています．異なるのは臨界火元と臨界指数の値のみです．今までのモデルと同じく，d > 4の結果は証明されています．また，d = 2のモデルは正確に解けるので，やはり証明されています.
5.1.4　まとめ
以上，３つの異なるモデルでの臨界現象について，数学的に証明されたことと予想されていることを列挙しました．３つのモデルとも，良く似た振る舞いを示しています．特に，パーコレーションとイジングモデルはほとんど同じです.特徴を整理すると● 「臨界値」 (pc,βc)があって，臨界値を境にして系の定性的振る舞いが変わる. ●臨界値に近づく際の系の振る舞いは少数の「臨界指数」で特徴づけられる●臨界値そのものはモデルの定義に大きく依存するが、臨界指数は系の次元などで決まる，非常に安定な（普遍的な）豊である. ●臨界指数の間にはある種の恒等式（スケーリングの関係式）がなりたつ. ●系によって決まるある次元（臨界次元）があって，この次元より上では臨界指数は非常に簡単な値をとるとなります以上の特徴は，特に臨界指数の普遍性は，実は第２節の中心極限定理にも見られたことです．あの場合，Ｎこの確率変数の和は√ ∇ = N 1/2のオーダーの拡がりを持っていました、この性質は（確率変数が独立なら）かなり一般に成り立つので「臨界指数が1/2」が普遍的に成立していることになります.ただし，ここのお話と第２節のお話には根本的な違いもあります．第２節の話は非常に広い確率変数に対して(独立性を少々破っても）成り立つものでした．一方，ここでの臨界現象は，系のパラメーターを臨界値に近づけないと観察できません。つまり，パラメーターを非常にうまく調節してやる必要がある訳で，闇雲にパラメーターを選んだら観測できない可能性が高いのです。この意味で，ここでの臨界現象は中心極限定理の成り立つようなものよりも起こりにくいと言えます.以下では，このような臨界現象（特にその普遍性）をどのようにしたら解釈できるのか，時間の許す限り述べたいと思います.
5.2 スピン系の臨界現象：スピンの和のふるまいから
これまでに見てきた臨界現象を中心極限定理の成り立つ場合と比較するために，スピン系を例にとって，スピン全体の和がどのように振る舞っているのか，わかっているところを述べておきます．β。という臨界点を境にして系の振る舞いが大きく変わることは既に述べました。このとき，Nこのスピンの和（を適当に規格化したもの）がどのように振る舞うかには，以下のような予想（一部は証明済み）があります。実のところ、このような予想とその証明は後から紹介する「くりこみ群」の考えに基づいているのですが，こちらを先に述べた方がわかりやすいだろうと考えて，この順序にしました.以下，B Lとは，一辺の長さがL （この中にL dこのサイトが入っている）の立方体を表します．このとき，大体以下のようなことがわかって／予想されています. 1 V X La  ∑  φ zを考えると，Φ zはL → ∞で正規確率変数に収束する．つまり，β < β c 1. β < βςでは，Φι = −ェ∈ B Lでは中心極限定理が成り立つ. 2. β > β 。では磁石になっているので単純に上のようなことはなりたたない。ただし，Φ Lの定義を修正して, , V × L a  Σ (φ x − M)を考えると，これは正規確率変数に収束する（だろう）。この意味で，β > βρ Φ L = − rf Br.でも（スピン変数の期待値を修正すれば）中心極限定理がなりたつ．なお，χとはβ ＜ βεでのχに相当する，有限な量である。 3.問題はβ = βεであるが，これについては良くわかっていない．ただし，βがβεに近づくとχが無限大になっていくから，上のような単純な結果は成り立たないと思われる． √La+2  ∑ φ がある正規確率変数にいくと思われ，証明も割合に良いところまで– d > 4ではΦ L = -来ている。 – d < 4でどうなるかは全くわからない「くりこみ群」の考えがある種の示唆を与えてくれるが、マダマダである.ここでβ ≠ βεの場合のΦι の定義に注目してください。和の記号の前の係数は1/√∑ですが， L đというのはこのブロックの中に入っているスピンの総数です．この意味で，Φιというのは第２節で考えてきたS N /√√と本質的に同じるのです.そして上の1は，スピン同士の相互作用があったとしても，β < β 。では相互作用は大して重要ではない，ことを主張しています.ところが，β = βεではχ = ∞なので，従来の意味での中心極限定理は期待できません．χ = ∞になる分，√ √よりももっと大きな数でスピンの和を揃ってやることが必要です．これでうまく行く保証はありませんが，d > 4での結果は，これがある程度うまく行くことを示しています.
5.3 くりこみ群の考え
さて，このような現象を理解する道具となりうるのが「くりこみ群」(renormalization group)の考え方です.この考え方では，上に考えたようなΦ Lの分布に注目するのですが，大きなLに対するΦ Lの分布を一気に計算するのではなく， L = 2のような変換を積み重ねることで最終的に大きなLのΦ Lの分布に到達することを目指します.もう少し具体的に言うと，以下のようになります. (簡単のために１次元のスピン系を考えて，スピン変数に端から1,2,3,…と番号をふっておきます.）我々の目的は大きな（無限大の）Lに対するΦ L = C L Γ ... i=1の分布を調べることです。しかし，これを一気にやる代わりにブロックスピンと呼ばれる新しい確率変数φ (1) = C1 (φ2j-1 + φ2j)
を導入し，{ d ( ' ' )がどのような分布に従っているかを考えるのです（C 1は解析がうまく行くようにとる定数) . {φ(1)}の分布がわかったら，また新しい変数
を導入し，こいつの分布を調べます．以下同様にφ(π+1) = C π(φ(π) + φ(π) )
を順次（n = 1,2,…）導入して，これらの分布を調べます．作り方から，δ(n)は2nこのφの和（に定数をかけたもの）になっていますから，π → ∞におけるφ(n)の分布をみてやれば，欲しいものが大体得られます。そして，このように｡(㎡)の分布から｡(㎡+¹)の分布を作る変換を「くりこみ変換」と言います.くりこみ群の特徴とメリットは何でしょうか？わざわざややこしいことをやっているように見えるだろうと思うのですが，以下の２点は挙げてよいでしょう. ●くりこみ変換はφ(n)の分布f(n)からφ(n+1)の分布f(n+1)への変換を与えるから，これはスピンの分布函数の空間の中での力学系を定義する．元々の統計力学の問題が，分布の空間での力学系の問題に書き換えられた. ●この場合,「時間」に相当するものはn （どのスケールでものを見るか）である．くりこみ変換はものを見るスケールを変えた時に，系がどのように変わって見えるかを教えてくれる．また，それをもとにして元々の系の性質を知ることができる。実際にくりこみ変換をやってみると，元々異なった系がスケールを大きくすると同じようなものに見えてくることがある．これは普遍性の根拠を与える．これらは従来になかった両期的なものの見方である。 ●臨界現象を示すような系は大抵複雑で，とてもではないけども解ききることはできない。しかし、くりこみ群の方法が目指すような,「ちょっとずつ変換する」方法ならやっていけることが多々ある．実用的にもくりこみ群は重要である.時間があれば，このあたりのことを実例を通して説明したいと考えています.
A 文献案内
確率論の本はいろいろと出ていますが，この講義で扱った内容について適度に詳しく書いてある本は（ちょっと探した範囲では）見つけることができませんでした．そこで，程度には余り拘らず，良いと思うものを挙げます.まず，以下の[1]は非常に良いのでお奨めです（高校３年くらいの知識で読みこなせます）。ただ，残念ながら現在は絶版のようです.次に，[2]は「数学セミナー」という月刊誌の特集記事です。一つ一つの記事は長くないので，大体の感じを掴むのにも適していると思います.また[3][4]は大学生向けの教科書ですが，それほど難しくありません．[2]の後に説むのに適していると思います. [5][6]は大学生向けの本格的な教科書で，特に[6]は非常によく書かれていて，お薦めです．[7]は大数の完全法則に焦点を当てた，文字通りマニアックな本です.なお，僕のweb pageの「講義」のところ（http://math.kyushu-u.ac.jp/ hara/lectures/lectures-j.html）からのリンクには過去の講義ノートの一部が置いてあります．2001年度の「数学展望II」のものはこの公開講座の延長上にあるもので，参考になるかもしれません。また2002年度の「確率論」はその更に延長上にあります. 1. 楠岡成雄：「確率・統計」森北出版，新数学入門シリーズ７ (1995) 2.特集「確率」：数学セミナー 1995年6月号(1995) 3.福島正俊：「確率論」袋華房，数学シリーズ(1998) 4.小針あき(日へんに見)宏：「離率・統計入門」岩波書店(1973) 5.西尾真喜子：「確率論」実教出版(1978) 6. Kai Lai Chung : A Course in Probability Theory Academic Press (1974) 7. 服部哲弥：「離率変数の収束と大数の完全法則–少しマニアックな確率論入門– 」共立出版(2019)臨界現象やくりこみ群に関しては、 8.特集：「くりこみ群」数学セミナー 1997年4月号(1997) 9. 服部哲弥：「ランダムウォークとくりこみ群」共立出版(2004) 10. 田崎晴明＋原隆：「相転移と臨界現象の数理」共立出版(2015)を挙げておきます.