ON A LESSON REPORT OF “MATH EXERCISE” AND ITS RESUITS

1. INTRODUCTION
ここでは、香川高専高松キャンパスの授業として長年取り組んでいる数学演習の、平成21年度の授業報告をする。内容については、高松キャンパス数学科以外の本校の先生方で、数学と関係する授業を担当されている先生方に高松キャンパスの教学教育の現状を知って頂くつもりで書き進めてゆきたい。高松高専が高度化再編により香川高専として生まれ変わったことに伴い、高松と詫間の両キャンパスとも低学年の数学の授業における高校検定教科書の導入が決まっているが、既に高松キャンパスでは平成２０年度1年生の授業から検定教科書を利用している。教学科主任の先導で平成１９年から準備を始め、高校相当の項目（数学科の担当部分）については全て検定教科書を利用することになっている。これは近年の志願者減やそれにともなう学力低下に対応するためであり、これまで使用していた教科書[1][2][3][4]の記述には随所に難しい部分があって中学を卒業したばかりの学生が自学自習するには不向きであったことが検定教科書導入の主な理由である。また、検定教科書は何社からも出版されており、更にそれぞれ何通りかのグレードのものが選択できるので学生のレベルや教員の好みに合うものを選び易い。副教材についても検定教科書の方が遥かに充実していて、高専専用の教科書(e.g.[1])を採用していた頃から問題集や記述式のワークブックなどについて高校用のものを利用していた。検定教科書の採用により、数学全体のカリュラムや授業進度はこれまでの平成２０年以前のものとは大きく変更され（これらの変更は「教学科と専門学科の連携協議会」を窓口として各専門学科に了解を頂き御要望に応えながら進められた）、21年度の数学演習を受講する２年生はこの新しいカリキュラムを最初に導入した学年のため、過去の数学演習における演習や試験問題を一新して、21年度の授業担当者が始めから作り直さねばならなかった。本論文に記載される試験問題をご覧頂くことが、新しいカリキュラムにおける1年生と２年生の状況を確認する一助となり、また、本論文が後の教科担当のための記録として利用されることも期待したい。ここで、平成２０年までの数学演習の学習項目と授業方法を振り返っておく。まず、平成２０年度までの数学演習の学習項目について記す。高松高専では、これまで長年に渡って、２年生必履修の「数学演習」が週に１時間（45分または50分）の科目として開設されてきた。その主な目的は１年および２年生で学習する数学の定着度を向上させることである。１年間の大まかなスケジュールは、前期においては１年で習った基礎教学I  II [1]の復習および練習問題、後期では2年で学習している微分積分[2]、線形代数[4]でのベクトルおよび行列（行列式の直前まで）であり、それぞれの定期試験の後を追うペースで演習を進めてきた。また、１・２年生の授業での学習項目は以下のとおりである。平成１９年度までは、１年生の授業の基礎数学I ・ IIにおいて、教科書[1]の第７章「場合の数と数列」(3年生で学習)を除く全ての項目を学習していた。大まかに挙げれば、数と式の計算、方程式・不等式、関数とグラフ（2次関数だけでなく無理関数・分数関数・逆関数も含む）、三角関数、指数・対数関数、2次曲線を含む図形と式などを１年間で学習する。 ２年生の授業では、微分積分の授業において、教科書[2]を全て終わらせていて、三角関数や対数関数の微積分、回転体の表面積や、広義積分まで習っている。線形代数については、教科書[4]の平面および空間ベクトル全部、行列に関して和や積に始まり行列式に少し入った所までを学習する。過去の数学演習では、以上の項目に関する演習問題を作成し、授業の中で演習してきた。演習問題の作成については、授業の度に設問のプリントおよび模範解答のプリントを作成している。非常勤の先生が授業担当のときには、標準問題集[5]を利用して演習プリントや試験問題を作成して頂いた。この標準問題集とは、高松高専の数学科が担当する全ての授業ついて基準となる問題を作成して一つに集めた問題集であり、当時の数学科教員５人で分担して作成することから始め、改良しながら平成１４年度に第一版を完成させ、翌年の１５年には四国高専へ公表されている。次に、平成２０年度までの数学演習の授業方法について記す。そのうちの幾つかは後のセクションで詳しく紹介する。筆者（上原）が本校へ赴任した平成11年以降だけでも様々な授業形態が採られていて、ティームティーチングや習熟度別クラスなど流行りの手法も取り入れられてきた。毎年の発展と工夫を重ね、演習方法だけでなく演習問題も改良させてきたため、少なくとも試験の点数において、徐々に演習の効果は得られていた。しばらくの間は４人ないし５人の教員で数学演習を担当し、特色ある授業として取り組んできたが、諸事情（人員不足）のため応急処置的に、通常の座学と同じ形態の１クラス１教員で授業する年度が続いた。更には一般教育科の定員減と、数学教員（鎌田）の定年時期が重なったため、現在も常勤の数学教員は4人体制のままである。このような状況になり、効果があるといっても人手を要するこれまでの方法では、数学演習を続けてゆくことが難しくなった。改めて、平成２１年度の取り組みにあたった経緯について記す。平成２１年度からの数学演習は、前述のように２名の教員で担当しなければならないという条件のほか、１コマ（９０分間）を体育など他の教科と分割した４５分間（正味４０分強）という悪条件のもとでの結果が求められた。それまでの数年間も同様の条件の下で行ってはきたが、１年２年生の数学の授業を担当していない非常勤の先生方に担当して頂いていたので、授業と演習との繋がりという意味でロスがあった。また、演習プリントだけでは、通常の授業の様な「導入→基本理論→公式→例題→演習」といった展開がしづらいため、授業効率が落ちる面もあった。これらに対して、前年度から数学科としての改善策を考え始めており、平成２１年度からは「出来るだけ多くの小テストを実施する」という方針で行うことになった。この役目を本論文の筆者である鎌田と上原（それぞれ2年代数・幾何担当と、 1年基礎数学Iを担当）の二人で担当することになった。基本方針である「なるべく沢山のテストをする」以外には何も決まっておらず、具体的な授業方法や準備は我々に任された。今年度の数学演習の授業を終えてみて、試行錯誤の繰り返しではあったが、一人の教員で担当する授業形態の割には、効率的な演習を繰り返すことが出来たのではないだろうか。その中で新しい演習方法が確立でき、低学年における数学の定着度向上に対する一定の成果も得られたと思う。
2. EXERCISE LESSON BY TEAM TEACHING
過去に数学演習において取り組んだティームティーチングについて振り返っておく。平成１１年および平成１２年度は、高松高専教学科の全５人の教員が担当するティームティーチングによる数学演習が行われた。その概要を説明する。まず時間割について、２年の全4クラス（それぞれ機械科M、電気科E、制御科S、建設科Ｃとする）を、火曜５時間目にＭとＳ、続く６時間目はＥとＣで授業をするという具合に、１年間を通して数学演習を連続で２クラスずつ同時に配置してもらった。当時の授業時間は５０分であった。授業は通常の演習の時間と、まとめテストの時間がある。演習の時間では毎回、項目を絞ったプリントに取り組ませた。 1クラスにつき2名の教員が毎回違うペアで、毎回違うクラスを順に受け持ち、授業時間中は主に学生の質問や個別指導を行いながら、場合により黒板等で全体説明を適宜行った。１１年度については演習のプリントもその度に回収し、問題作成の担当者が（週毎に輪番で）採点して、次回の演習の時間に返却した。月に一度はテストの時間とし、その月に演習したプリントを出題範囲として実施した。この試験結果を成績としたため、定期試験は行わなかった。また、時間割を同一日に、連続した２時間としたのはこのように小テストを成績に組み込むためである。教員５人で分担するため、問題作成と採点を担当するのは月一回のペースであったが、かなりの負担であった。数値的データが残されている訳ではないが、採点においても、学生への個人指導の際ににおいても、どのような問題が得意か不得意か感覚的に捉えることができて、またどのように説明したら学生の理解に繋がるかも体験することができたので、赴任したばかりの筆者（上原）にとっては勉強になる所が沢山あった。加えて、先輩の先生方の教え方を問近で見られることは、ティームティーチングにおける利点であり、授業改善など教員にとってのメリットは大きい。１クラス４０人前後であるので、教員一人につき学生２０人の面倒を１時間でみるのは色々な意味でちょうど良い加減ではなかったかと思う。教学演習の授業を通して、毎週、数学の教員総出で、実践に即した（試験の得点に繋がる）指導が行われたため、労力の分、全体的な学力向上に効果があった。
3. LESSON CLASSIFIED BY SKILL LEVEL
過去に取り組んだ習熱度別クラス編成について振り返っておく。平成１５年度では、１クラス４０人を３０人クラスと１０人のクラスに分割した習熟度別の数学演習に取り組んだ。 3 0人クラスが成績上位クラスで、１０人のクラスが下位のクラスである。当時は学校全体の問題として、増加する留年の問題が取り沙汰され、成績において下位に属する学生への対応が求められていた。数学科ではこれまで、全体的な学力向上、定着度向上に主眼をおいて数学演習に取り組んできたが、留年の危機がある成績下位グループへの手当てのために、習熟度別クラスで教学演習を行うことになった。当授業の時間割については、どのクラスも同時に行わず全く別の時間帯で行った。これは各クラスの１０人クラスを一人のベテランの教員が受け持つためである。３０人クラスへは各ホームルームで授業し、１０人は別の部屋（図書館棟３階の一室）に移動して授業を受けることにした。１０人クラスの学生に対して、出来るだけ配慮し自然に授業を受けてもらう方法を考えたが妙案なく、このような形となった。教育全体で、当時は“ゆとり教育”への移行が進んでいる頃で、県内の中学においては、偏差値教育に繋がるのを避けるためか、統一模擬試験および成績の順位付けが廃止された時期である。筆者（上原）は初年度のクラス割振りを仰せ付かり（授業担当ではないが）、２年生の前期の始め及び定期試験後の度にクラス分けに携わったが、学生のメンタル面に支障がないよう、例えば１０人クラスに入れられて恥ずかしいから学校に行けないような問題を引き起こすことがないように、特に初めてのクラス分けは慎重に行った。まず、２年生の始めのクラス分けは次のように行った。 1年の最終成績で割り振る前に、 1年生全員に対して、「来年の２年生の教学演習はクラスを３０人と１０人のグループに分けて別の教室で授業する。皆の想像通り、当然３０人の方が成績の良いグループであるが、授業で使うプリント問題は同じ。違いは一人の先生が３０人の面倒をみるか、１０人の面倒をみるか、それだけだ」と説明をしておいて、次のような（希望クラス）アンケートを実施した。それは三択で、①３ ０人クラスを希望、②１０人クラスを希望、③どちらでもよい、を教室の黒板にクラス名簿を張り付けて、各自に記入させた。結果はクラスにより微妙に異なるが、大まかには一致していて、②と③が同数くらいで大勢を占め、①の３０人クラス希望者が少数いる程度であった。実際は、１年の総合成績に従ってクラス分けをさせてもらったが、アンケートの希望と相反することはなかった。前期中間試験後の二度目のクラス分けのため、以下のアンケートを実施した。まず試験より前に、次の様な希望調査をした。
前期中間試験後には、３０人クラスと１０人クラスそれぞれ別のアンケートを実施した。まず３０人クラスについて次のような結果が得られた：
３０人クラスに所属すべき成績をとった学生が１ 0人クラスを希望しても１０人クラスへの配属はしない。これについては学生も了解している。逆に、成績が大きく下がった場合は、移籍を希望しなくても１０人クラスへ移籍するものという暗黙の了解は得られていた。ただ、ある（成績不振のため１０人クラス行きを命じられた）１名だけ移籍を拒んだことを記憶しているが、これは降格を嫌がったのではなく、教員との相性を気にした、学生の好みの問題であった。次に１０人クラスのアンケートについては次のような結果が得られた：
アンケートの結果から分かるように、１０人クラスを設けた効果があり、力がついたと実感した学生はどのクラスも過半数を大きく超えている。教える側の感触としても効果を実感でき（この試験の結果だけでは何とも言えないが）、１年間を通してみると得点アップにも繋がっている。また、当初において懸念された学生への心のケアについて考えてみても、本校の学生の気質に助けられていた部分はあるが、クラス分けのシステムを考える上でそれほど気にしなくてよいと思われる。 1年間を通して、習熟度別クラスによる数学演習は学生には概ね好評であった。一人の教員が受け持つ学生の人数を少なくさえすれば、効率が上がり結果に表れるという、単純かつ決定的な効果を実感できる試みであった。
4. THE L ATEST LESSON M THOD
次に、今年度の（平成２１年度の）数学演習の授業方法について説明したい。冒頭で述べたように、担当教員は二人という条件のもとで（１クラスに１教員で) 、出来るだけテストを実施する授業スタイルを作り上げなければならなかった。結論から言うと、定期試験４回と小テスト６回の合計１０回のテストを実施した。通常の授業ではプリントを用いた問題演習を行い、それ以外の時間は小テストを実施した。定期試験を含めると全授業回数は年間３２であるから、およそ２週の演習授業を行った次の授業では小テストを行う割合になる。実際には、１つのまとまった項目について最大３回分の演習問題を作成して、３週連続の演習を行ったら、４回目にまとめの小テストを実施する様な調子で進める場合が多かったが、教員と学生の双方にとって最も適切なペースであったと感じる。例えば、数学Ⅱ [7]の微積分ならば、微分・微分の応用・積分の３項目に分けて１時間ずつ演習したら、次の授業では３回分の演習を出題範囲とする小テストを行うといった具合である。一度の演習における出題範囲は、ちょうど教科書の一節分にあたり、言い換えるとチェック問題一回分に相当するが、このペースだと演習のプリントも作りやすいし、学生が飽きない程度に小テストも実施できた。 ２１年度に数学演習において演習した項目の概要は以下である（詳細は２２年度のシラバスに記載される内容と最も近い）: (1) 数と式、方程式と不等式[6] (2)   2次関数とグラフ[6] (3) 三角関数・指数関数・対数関数[7] (4)平面ベクトル[9] (5) 複茶数と方程式、式と証明[7] (6)空間ベクトル[9] (7) 微分積分[7] (8)その他(代数・幾何の授業の演習問題)おおまかに言って、上記の(1)(2)は基礎数学II、(3)は基礎数学Iと微分積分、(4)(5)(6)(8)は代数幾何、(7)は微分積分の授業に対応している。(5)(6)(8)については、数学演習の小テストまたは定期試験には出題しておらず、代数・幾何の定期試験の出題範囲としている。教学演習の時間では扱わなかった項目として、２年生の微分積分において学習する「教列」、１年生の基礎数学Iの「順列と組合せ」、基礎数学IIの「図形と方程式」などが挙げられるが、２２年度では（余裕あれば）これらについても少しずつ演習に組み込んでみたい。以上が授業の概要であるが、その他に、２１年度の数学演習で取り入れた試みをいくつか記しておく。定期試験後の初めの授業は、本校では大抵、答案の返却と解説の時間となっているが、今年度の数学演習においては試験の解説をあまり行わなかった。模範解答と個人の答案を返却したら、試験問題の講評くらいにして、すぐ次の項目の演習に取り掛かるのである。ただし、極端に正答率の低い問題があったり、項目全体として出来が悪かったりすれば、それらの類題プリントを作成して演習させた。これには毎回の試験問題の正答率データを残せていることが功を奏していて、無駄な授業時間を浪費せず、効率的に演習の機会を増やすことに繋がっている。また、４月の最初の授業においては、簡単なガイダンスを行った後に、数学科として取り組み始めている「新３年生アンケート問題」を、筆者がマーク式試験ヘアレンジして、解かせた。このアンケート問題について少し補足しておくと、数学科の教員で分担して、 ２年終了までに学習した公式や基本例題を主とするテスト問題を作成し、２１年度の新３年生を対象に、微分積分の授業の初回で実施した。新３年生の定着度を測る目的の新しい試みであるが、試しに２年生にも実施してみようということで、アンケート問題から１年生の内容だけを取り出して行ったものである（ここで詳細は控える)。
5. EXERCISES
次に、演習の時間のために作成したプリントの作成方法をまとめる。演習問題自体については量が膨大になるため、ここに記載することは控える（後述の定期試験は演習問題を集約したものであるため、そちらかまたは、ポートフォリオをみて頂きたい）。通常の演習問題は、記述式の演習問題であり、教科書の例題やチェック問題を出題の基準として作成した。定着度を高めることが第一の目的としているから、多くは講義の授業で経験したことのある問題である。これに加え、公式を書かせる程度の出題や、例題よりも易しい問題をプリントの頭に配置したり、早く出来あがる学生のために、最後の一題は応用問題を出題したりした。演習問題を手書きで作成するにしても、TeXやワープロを用いて作成するとしても、毎週のように問題および解答を作成するのは容易なことではない。演習問題作成のために、検定教科書を利用する最大のメリットである豊富な副教材を生かし、問題作成ソフトウエアをいくつか購入して利用した。 2  1年度の演習問題に限っては、数研出版のチャート式の問題集データベースからプリントを編集できるソフトウェアで全て作成した。このようなソフトを今まであまり利用していなかったが、今回の数学演習のような大量の演習問題を作成しなければならない状況において手放せない存在となってしまった。答えのプリントに計算ミス等の誤りが存在しないことだけをとっても、学生の復習時や教員の解答作成時におけるストレスもなくて、素晴らしく画期的なことである。演習プリントはＢ４版の紙に片面で印刷したが、これは、各学生の演習している様子や出来具合が教員によく見えるようにするためである。たいてい授業終了５分前くらいに解説と解答のプリント（Ａ４用紙１枚の両面に縮小コピー）を配布しているのだが、当初は隣の学生同士でプリントを交換し採点させていた。これは緊張感を持って演習に取り組めるようにするためであったが、他人の答案だとどうしても採点に時間がかかることや、授業時間４０分の中で解説・解答プリントを読む時間も必要なので、状況を見て自己採点させることもあった。授業時間中は常に机問巡視することにより、学生の質問に答えたり、学生の演習や自己採点の様子を確認したりした。厳密に点数を記録してゆく訳ではないが、ゆっくり教室を一周するだけでも学生の取り組み具合はよく分かり、取り組みが不十分な場合は特に目に付く。このとき、Ｂ４片面のプリントに問題を印刷しているため個々の学生の出来具合が確認し易かった。実際に、一年間を通して学生の演習の時間の取り組みは悪いものではなかった。「演習の授業なのだから、授業中の演習に取り組まなければ数学演習の点はない」と学生に言い開かせていて、学生もそのつもりでおり、どうもこちらの方が隣同士で採点することよりも、学生の取り組みの向上に繋がっているようであった。プリントの出来を周りと楽しみながら競える学生にとっては、隣と探点したり自己探点したりすることが取り組み向上に繋がるようであるが、多くの学生にはあてはまらないように感じた。やはり取り組みを良くするためには、学生自身の向学心と教員の監視によるところが大きい。
6. TEST QUESTIONS
この節では、小テストおよび定期試験について記す。数学演習は週に４５分間の授業であるため、小テストは４０分間で行い、定期試験については４５分とすべきであるが、試験割の関係で最大９０分で実施できるので年間を通して７０分で行った。演習の時間は記述式の問題に取り組んているが、小テストも定期試験も全て、四国共通試験と同様のマーク方式とした。また、全国統一高専到達度試験（以下、到達度試験）の設問を試験問題に取り入れてみた。ただし、演習のプリントに取り入れることはせず、(小テストには少し取り入れることはあったが）その多くは定期試験において出題した。どれも同じマークシート形式なので出題し易いためであるが、到達度試験の問題は演習問題に比べて簡単であるから、力試しの意味からもこのような配分とした。当然ながら、本校の検定教科書を用いたカリキュラムと、到達度試験の高専の教科書に沿った設問とでは分野名が同じでも食い違う箇所が多く、出題できる設問は教少なかった。例えば、本校の1年生では加法定理を習っておらず、指数・対数関数も２年の前期に学習すること、検定教科書には関数のグラフの拡大縮小が公式として明記されていないこと(一般的にy = f(x)のグラフのx方向の拡大縮小の記述がない）、逆関数は２年の最後に習うこと、関数y = x n (n ≥ 3)は累乗根の単元で少し出現する程度などのことから、本校の２年生では（未習のものが多いため）基礎教学分野の出題さえ到達度試験の設問のままでは出題しにくい。加えて、到達度試験の選択肢は五択や六択のものが多く、しかも解答の値や不等式をそのまま選ぶものばかりである。センター試験や四国共通試験[10]のような、式の空欄の数字を埋める方式では、完全に答えを出さないと得点にならないが、五択では問題を読まなくても２割の確率で正解になってしまう。１時間程度で到達度試験から数間とり出したようなテストを、選択肢もそのままで出題することには抵抗を感じたため、実際には出題形式をアレンジ(選択肢を増やしたり、答えは値をマークする形式にするなど）した。次に、4度の定期試験を記載しておく（今年度の場合、各定期試験の出題はその直前の小テストの形式を引き継いでいるため、両方の記載は避けて定期試験にみに留める) :数学演習「21年度後期末」テスト2年( )組( )番氏名（試験要項●マークシートに氏名を記入し（ふりがなは不要）、年【クラスar格の欄に左詰めで、クラスと番号をそれぞれ２桁で記入し、その数字もマークせよ。例えば、２年M組３番の人なら左の欄に（空ける）     と記入して数字もマークする（全員５桁の番号である)。 2 0 1 0 3 ●問題中の空欄［１］ [2] …にあてはまる数字や符号を、マークシートの該当欄に１つずつマークせよ。設間は両面にある。計算は余白を利用せよ。 [1]関数y = f(x)の導関数は[1]または[2]で表され、x = aにおけるf(x)の微分係数は[3]により表わされる。空欄にあてはまる式を選択肢より選んで番号をマークせよ。 (1) a (6) f(y)
[2]関数f(x) = xnの導関数は4であり、不定積分は5である。選択肢から選び番号をマークせよ[3]関数y = f(z)の導関数の定義として正しい式は6]である。選択肢から選び番号をマークせよ。
2(2+ h)² − 2 ⋅ 2²の説明として正しいものを選び7ヘマークせよ。この極限値を計算すると[4] lim h 8日になる。 (1) f(x) = x²のx = 2における微分係数3 f(x) = x²のx = 1からx = 2への変化率5) y = 4xの導関数7)y = 2xのx = 2における変化率② f(x) = x²のx = hにおける微分係数4) f(x) = 2x²のx = 2における微分係数6 y = x²の導関数
[5]  関数f (x),g(x)と任意の数α,b,cに関する以下の定積分について不適切なものを選んで[9]にマークせよ。
[6]右図のように、2つの関数y = f(x)とy = g(x)のグラフで囲まれる斜線部の面積を表わす式として正しいものを選び、 [10]へ番号をマークせよ。 H (1)
2 4)
6 [7]以下の空欄にあてはまる数を計算して、その数をマークせよ。 (1)関数f(x) = x 3 + x 2 + x + 1のx = 1における微分保数は11になる。 (2)曲線y = x 3 − x + 4のx = 1における接線はy = 12 x + 13である。
f(t)dt = x² + x − 2を満たすとき、α = − 14 ], [15]であり、f(x) = [16]x + [17]である。 (4)関数f(x)が等式f(x) = 3x² + 2x −
(5)曲線y = −z²の接線で点(0,1)を通るものは２本あるが、傾きが正の数になる方はy = [19]x + [20]である。 (6)関数f(x) = 2x 3 − 9x 2 + 12x + 1は、x = [21]のとき極小値[22]をとる。 (7)区間１≤ x ≤ 3において、曲線y = x 2 −2xとx軸に挟まれてで出来る２つの図形の面積の総和は123である。 (8)区間−2 ≤ x ≤ √3における関数f(x) ＝ x 3 − 3 c + 2の最大値は24であり、最小値は25である。 (9)曲線y = 2x²と直線y = 2xで囲まれる部分の面積を求めると、
[8]下の選択肢のうち、極値を持つ関数を１つ選んで番号を[28]ヘマークせよ。
[9]放物線y = 12 ー x²とx軸が囲む部分の中に、底辺がx軸と重なるように長方形を描く。このような長方形のうちで、面積が最大となるものを求めると、その面積は【29】3Dである。空欄の２桁の数字をマークせよ。 2年数学演習後期中間試験 （09.12.03実施）       2年 ___組 ___番氏名__
[1]次の文章の空欄に入る用語を、各小間の直後にある選択肢より選び、番号をマークせよ。(以下各２点) (1)有向線分ABにおいて、Aを[1]、Bを終点という。その位置を問題にせず、大きさと[2]に着目した量を3という。 ①スカラー        ②計量      ③ベクトル        ④中点          ⑧始点          ⑨長さ①向き(2)大きさが１のベクトルを「4」という。すに対し、向きが反対で大きさが同じベクトルをすの「5」といい、 −でとかく。 ①基本ベクトル     ②逆ベクトル     ③単位ベクトル      ④平行ベクトル(3)さ= AB,さ= DCとして、さとさが互いに等しいとき、四角形ABCDは[6]となる。 ①正方形          ②長方形         ③ひし形           ④平行四辺形(4) 2点A,Bの座標をA(α1,α2)、B(b1,b2)とするとき、ABの1点分は「7」y成分は「8」である。 ② b1 − b2       ③ b1 − a1 ① αι ー α2 6 a1 + a2 (5)原点Ｏを始点とするベクトルＯＡを、点Ｏを基準とする点Ａの9ベクトルという。成分表示ＯＡ＝ (α1,α2)のとき、点Aのx座標は10、y座標は11である。 ①基準      ②単位      ③位置⑥ α₂ (6) 座標平面上の２点E 1 (1,0), E 2 (0,1)に対して、す＝σ E 1 = σ 2とするとき、す,すを12ベクトルという。一般にẩ = a₁ ẩ + a₂ ǰと表わされ、このときẩの成分表示を(13),[14])とかく。 ①単位       ②位置       ③基本        ③ α₁ ζ          ③ α₂ ζ (7)すとすのなす角をθとするとき、内積さての定義式は15である。今、含= (αι,α2),含= (αι,ω2)とすると内積の計算式は「16」となる。 ① | c | c | c | (8)すとすが垂直であるとき、内積するの値は17となる。すとすが平行であるとき、18となる実数kがある。 ①1      ②−1      ③0      ③ざ−ล＝k      ③ざ−ล＝k        ③ざ=kđ [2]以下の問いについて、正しい答えを各小問の直後にある選択肢から選んで番号をマークせよ。 (1)図のベクトルの成分表示は([19] [20])である(ただし、1マスの幅は１とする)。 ①１　②２　③３　④－１　⑤－２　⑥－3 (2)図の正６角形ABCDEFにおいて、OX＝式, OB＝式とするとき、次のベクトルを式,すを用いて表わDE = [21],せ。
(3)座標がA(1,4), B(3, −2)のとき、成分表示はAB = 23であり、 AB | = 24である。 ① (4,2)            ② (2,–6)             ③ (–2,6) 6 √10 (4) ẩ = (−2,1)とẩ = (z,−4)が垂直のときx = [25]、ẩ = (−1,1)とẩ = (3,y)が平行のときy = [26]. ② 2           ③ 3 6 –3 6 –2 ① 1 (5)一辺の長さが２の正三角形ABCにおいて、BCとできのなす角θは27で、内積AB  BCの値は[28]である。 6 60° ① 1          ② 2         ③ − 1              ④ − 2                ⑤ 120° (6) ３点A(−2,0), B(−3,4), C(2,−1)について、線分BCを3: 2に内分する点の座標は291、△ ABCの重心の座標は30である。 ① (–1,1) ③ (0, − 1) ② (−1,0)
[3]以下の各小問(1)〜(4)について、正しい答えを直後の選択肢より選び番号をマークせよ。 (1) 3点A(2,3), B(7,5), C(z,1)が一直線上にあるとき、AC ＝ kABとすると、k ＝ 32]で、x ＝ 33]である。 ① 1       ② 2       ③ 3      ④ −1        ⑤ −2          ⑥ −3
(4) 4点A(1,3),B(3,–2),C(4,1),D(x,y)を頂点とする四角形ABCDが平行四辺形のとき、x =[37]、y =[38]である。 ① 1        ② 2 [4]以下の問題(1)～(3)とその証明または解答において、空欄にあてはまる数値1～9を求めてマークせよ。 (1)平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2 : 3に内分する点をE、対角線BDを5 : 3に内分する点をFとする。このとき、3点A,F,Eは一直線上にあることを証明せよ。証明.  AB = Y, AD = Zとする。点Eは辺CDを2 : 3に内分することから、
になる。点Fは対角線BDを5 : 3に内分するので、
42 AEが成立するので、3点A,F,Eは一直線上にあることがいえる。 41 (2) △ ABCにおいて、辺ABを3 : 1に内分する点をD、辺ACを2 : 3に内分する点をEとし、線分BEとCDの交点をPとする。 AB = T, AC =さとして、APをT,さを用いて表わせ。解答.  BP  :  PE = t : (1 ーt)とすると、AP = (1 ーt) T
(3)  △ Aが直角である二等辺三角形ABCにおいて、三辺BC,CA,ABを3 : 2に内分する点をそれぞれL,M,Nとする。このとき、AL ⊥ MNであることを証明せよ。
である。よって、
ここで、∠ A = 90°であるから、す・ざ= 0であり、また、AB=ACであるから、となる。となるので、AL・MN = 0が得られる。ゆえに、AL L MNである。数学演習前期末試験090917実施（設問は両面）　２年____組____番氏名___の欄に左詰めで、
クラス番号は、機械科は01、電気科は02、制御科は03、建設科は04とする。
●以下の問題の空欄１～ 44にあてはまる数字や符号をマーク欄に1つずつマークせよ。 [1]次の三角関数の値を求めて、空欄にあてはまる数字をマークせよ。
7 8 [3] a = √ 3, B = 45°, C = 15°である△ ABCについて、b = [4]  関数y = sin (2) +  q )の周期は[12]であり、この関数のグラフとθ軸との交点のうちで原点から二番目に近い交点の座標を求めるとθ = [13]である。該当する値を以下から選んで番号をマークせよ。
[5]   0 ≤ x ≤ πにおける方程式sin θ + sin 2θ = 0の解は 14 個ある。二番目に大きい解を下から選ぶとx = [15]である。
[6]等式cos² x = 16はつねに成立する。空欄にあてはまる式を下から選んでマークせよ。
[7]次の二つの等式が成り立つよう、空欄にあてはまる式を下から選んで番号をマークせよ。 sin(α + β ) = [17] ccs β + [18] sin β、 ccs(α + β ) = 19 ccsβ + 20 sin β ⑥ cas β ② casa ⑤ sin β ⑧ ー cos β ① sin α ③ — sino 🔥 — cosc [8] 21 πにおいて最小値23 24をとる。空欄に入る数をマー関数y = sinθ + √ 3ccsθ (0 ≤ θ < 2π)は、θ = 22クせよ。 [9]
[10]次の左辺を整理して簡単にするとき、空欄にあてはまる数を求めてマークせよ。
9 10のうち、最も大きいのが33で、最小なのは34である。①〜③の番号をマー [11]   ① 1、② log₁クせよ。
下の対数に関する式①～⑥のうち、正しいものは、[36]と[37]である。該当する番号をマークせよ。 (順不同) [13] log。M ① log , M +log , N = log , M log , N ②log、M —log、N = ③ log (M+N) = log M+log N log, N ⑤ log, M² = 2 log, M ④ log ( MN ) = log M + log N ® (log, M)² = 2log, M方程式log2(x − 2) + log2(x + 1) = 2の解はx = [14] | 38 |である。 [15]対数に関する①～⑥の式のうち、全てのx > 0に対して必ず成り立つものは、39と40である。番号をマークせよ。 ① log 2 (x+4) = log 2 x+2 ✆ log₂ x − log₂ 3 =
[16]せよ。図Aは関数41のグラフで、図Bは関数42のグラフである。最適な関数を①～⑥から選び番号をマーク
[17]次の関数とそのグラフの組み合わせで正しいものは[43]と44]である。番号をマークせよ。(順不同)以上１００点満点（各４点)。数学演習前期中間試験（09.06.15）（マークシートのみ回収する。計算は白紙を利用せよ。問題用紙は次の授業に持ってくること。)
の欄に左詰めで、クラス番号と出席番号を２桁で記入し、その数クラス番号は、機械科は01、電気科は02、制御科は03、建設科は04とする。例えば、 2年E組5番の[1]以下の空欄にあてはまる数をマークせよ。
[2]以下の記述のうち正しいものを二つ選び、その番号を[7]、[8]にマークせよ（順不同)。ただしα, bは実数とする。 ① (a − b)³ = a³ − b³ ② α,むが同符号ならば、 | α ー δ | ＝ | α | ＝ | Δ
[3]式の展開と因数分解について、以下の空欄にあてはまる数をマークせよ。 (1) (a+2b+3c)(a −2b+3c)を展開し整理すると、項は「9」個あり、bcの係数は「10」で、acの係数は「11」である。 (2) (2x + 1)3を展開して整理すると、zの係数は12 、定数項は13になる。 (3) ３次式&α³＋ όを１次式と２次式の積に因数分解したとき、αの係数は[14]であり、αbの係数は[15] 16]である。
[5]方程式と不等式について、以下の空欄にあてはまる数をマークせよ。 241251 V 26 (1)方程式2x² − 6x+3＝0の解はエニ27である。 (2)不等式式² ー 3x ー 4 ≥ 0の解を以下から選んで30 ～マークせよ③ −1 ≤ x ≤ 4 ② x ≤ 4, −1 () x ≥ 4, −1 ⑤ x ≥ 1, −4 ① x ≤ 1, −4 ① −4 ≤ x ≤ 1
4 > 0が全ての実数xで成立するとき、αの範囲は31 < [6] aは0でない定数とし、不等式ax² + 2(a − 1)x + a < 32 [7]以下の不等式の性質のうち、間違っているのは、[33]と[34]の二つである。番号をマークせよ(順不同)。 ① a > bかつb > cならばa > cである。 ②α＞ｂならぼα＋ｃ＞ｂ＋ｃである。 ③ ac > bcならぼa > bである。 Ø a > bかつc > dならばa + c > b + dである。 ® a > b > 0ならばa 2 > b 2である。 ⑤ a > bかつc > dならばac > bdである。 T Tである。 ① a > b > 0ならばa [8] a,b,cは定数で、a≠0とし、D=b²−4acとする。2次関数y=az²+bx+cのグラフで、空欄にあてはまるものを選び、その番号をマークせよ。 (1) α < 0かつD > 0のときのグラフは[35]であり、α > 0かつD < 0のときのグラフは[36]である。 (2) a < 0であって、方程式ax² + bx + c = 0が重解をもつときのグラフは 37である。 [9]  関数y = f(z)について、以下の記述のうち正しいものを二つ選び、その番号を[38]、[39]にマークせよ（順不同)。 y = f(x −2)のグラフは、y = f(x)のグラフをx軸方向に2平行移動したものである。 O y + 2 = f(x)のグラフは、y = f(x)のグラフをy軸方向に2平行移動したものである。気@ y = f(2c)のグラフは、y = f(x)のグラフをx軸方向に2倍に拡大したものである。 &の6 y = f(−x)のグラフは、y = f(x)のグラフをx軸に関して対称移動したものである。 y = −f(x)のグラフは、y = f(x)のグラフをy軸に関して対称移動したものである。 y = −f(−x)のグラフは、y = f(x)のグラフを原点に関して対称移動したものである[10]縦が横よりも２cm長い長方形を真っ直ぐに切って、正方形を切り取るとき、残りの長方形はもとの長方形と相似になった。もとの長方形の横の長さは、40 + √ 41 cmである。空欄の数字をマークせよ。 [11] αは定数で、2次関数y = 2x² ー(α − 1)x − α + 1がx軸と接する時、接点は([42], 0)または([43]44], 0)になる。 [12]  関数y = 2x² − 8x + 5 (0 ≤ x ≤ 3)は、x = [45]のとき最大値[46]をとり、x = [47]のとき最小値[48]49]をとる。空欄にあてはまる数字または符号をマークせよ。 [13]以下の2次不等式の解はどのような範囲になるか、選択肢①～①から選んで番号をマークせよ。 (1) x² - x + 1 < 0の解は、[50]。 (2) x² − 2x + 1 > 0の解は、51になる。 (3) −x² + 3x − 3 < 0の解は、52である。 (4) x² + 4x + 1 < 0の解は、53になる。 ①１つの区間②２つの区間③存在しない④全ての実教⑤１つの教⑥２つの教⑦１つの教を除く全ての実数[14]グラフが3点(0,4),(1,1),(3,7)を通る2次関数は、y = 54せよ。
(定期試験は以上)
7. A NALYSIS OF TEST RESULTS
前節に記載した定期試験について、試験毎のクラス平均点および得点分布をまとめる。平均点だけ見ても分かるように、定期試験毎に離易度が大きく異なる。これは試験問題作成者が異なることと、難易度も特に合わせなかったためである。
84.54 85.66 81.18 81.00
59.4 | 61.58 | 48.45 |
前期末試験の平均点が特に低くなっているが、これは三角関数や指数対数関数の範囲のため演習すべき沢山の公式や例題があるにも関わらず演習の時間が比較的少なかったことや、以前の高専用教科書[1]の（難しい）内容で作ったためである。到達度試験の問題も試験に採用したが、逆に簡単過ぎ（６つ前後の選択肢から選ぶ問題が多い）たり、未習の内容を含む問題が多かったりして、これを補完する問題も作成した。また小テストより離易度を上げ、新しい問題を追加したことも加わって、離易度としてはそれ程でもないが、学生には難しく感じたようであった。後期中間試験の平面ベクトルについては平均点がきわめて高くなっているが、他の時期の試験に比べて若干易しめであったことに加え、（これよりも）試験問題作成者が講義の授業を同時期に担当していることが大きい。試験の最初の方の一部で、ごく基本的な問題が続いていることはあるにせよ、全体の離易度としては到達度試験とそれ程変わらないし、また同範囲の小テストと出題形式は同じで問題や選択肢は大きく変えているため、難易度よりも学習した時期的な要素が大きいと思われる。小テストと比て、その後に実施される定期試験において殆どの者がスコアを上げている。逆に下がった人数は、Mで１人、Ｅで８人（うち小テストが９０点台が４人)、Ｓで４人、Ｃで４人（うち９０点台は２人）であった。クラスの平均点としては、Ｍで１４点、Ｅで１１点、Ｓで１１点、Ｃで１４点上がっている。他の時期の定期試験においても、小テストに比べてスコアは上がっているが、これ程上がったことはない。より高度な難しい問題へ挑み続けることは必要であろうが、効率と効果を考えれば必ずしもそうとは限らず、離易度は適当に抑えて、数（頻度や量）をこなすと、特に中層から下層の得点者に対して良い結果が得られることが分かった。また、難しくし過ぎないことは、学生のモチベーションを保つ意味もある。演習や講義における学生の様子を把握しながら、演習や試験問題の作成に取り組んで行かなければならない。また、平均点の高い試験に於いて、小テストから定期試験のスコアの上がり方を見ると、得点上位者はあまり上がらず（伸びる余地がない）、下位の者ほど大幅に上がっている。逆に、平均点の低かった難しい試験においては、比較的上位から中間層の学生で得点を伸ばしている者が多い。今後は、これらのことについて検証してゆき、授業運営に生かすことを考えてゆきたい。次に、各試験の問題別正答率をまとめる：
7–6後期中間試験の問題別正答率番号正答率番号
正答率は個々の問題の難易度に左右されるので現時点では何とも言い難いが、、分野ごとに得意不得意があると言うよりは、たいてい授業で習った時期が近いほど出来が良く、時間が経つほど出来が悪くなることは確かなようである。今後は正答率データの有効利用を考えて行きたいが、第一に考えられることは、講義の授業改善への利用である。例えば、項目ごとの時問配分や宿題の出し方を調整することで、より効率的な授業運営も可能となる。また、年々授業時間が削減されて、これまでの時間配分では授業運営が難しいため、数学科ではカリキュラムのスリム化に取り組んでいるが、この数学演習のデータを参考にして（正答率の高い所に時間削減の余地があること）スリム化に取り組めるのではなかろうか。
8. LESSON QUESTIONNAIRE
前期末と後期末に合計２度の授業アンケートを、答案の裏面に自由記述ということで書いてもらった。一度目の前期末試験におけるアンケートの主な内容は大まかに言って以下のようであった：難しかった、小テストより難しい12票、問題なし楽しい復習になってよい受けやすい授業など２５票、マーク式に達和感1票、答案で何処が間違ってるか分かるもの欲しい１票、もっと解説が欲しい１人。数学演習の時間は、主に復習になっているという理由から、有意義なものと感じている学生が記述の中では最も多かった。その他には、前期末試験の問題は難しかったらしく、試験が難しいという記述が目立ち、中にはアンケートを書く余裕さえ無い学生もいたようであった。 ー方で、予想外であったのは、マーク形式の試験に関する意見が上記の二つしかなかったことである。そのうちの一つは、マーク式だと試験中の見直しを行いづらいという意見であるが、これにはマークや見直しする時間も込める意味で試験時間を長めにとることで対応した。答案で何処が間違っているか分かるものが欲しいという意見については、色々な対応策を考えて実施してみた。当初は、試験後の授業において、各学生マークシートおよび問題用紙に模範解答を書き込んだものを印刷して配り、解説または復習の演習を行うことで、各自が確認するための時間を設けたので、解決したつもりでいた。小テストでは、年間を通して、個人のスコアと模範解答を記入した問題用紙を配るだけであったが、二回目の定期テストの返却からは、横範解答と各問題ごとの正答率を表にしたのもを配った。それでも採点した答案が欲しいという要望が（他の授業において）あったので、数学演習においても各学生がマークした答案、正答、マークが正解の場合は〇、不正解なら×としてまとめた個人成績表を作成して全ての学生に配布した。最後の学年末試験のアンケートにおいては、学生からの意見はなくなり、学生からの注文や要望にに対して完全に答えてやることが出来た。以下で、学年末のアンケートを原文のまま記しておく（記入のあった者の意見で、他の学生は無記入）:
2年機械科の学生の感想：
●よかったです。 ●あまり理解できなかった。 ●授業時間が短かった。 ●今までに学習した数学の復習ができてよかった。 ●数学の復習ができてよかった。忘れているところが多かったのでよかった。 ●今回のテストは勉強不足で反省している。 ●数学の復習になりとても有意義な時間となった。 ●授業は真面目に問題を解くことができた。この授業で問題の解き方を思いだすことができてよかった。 ●毎週１回しかない授業だけに集中してプリント学習に取り組むことができた。 ●あずい。 ●数演では習ったことを復習できるのでうれしい。すぐに忘れてしまうのでしっかりと身についけたい。 ●勉強になった。 ● １，２年での数学で習ったことのいい復習になったと思う。これからも数学の基礎知識をしっかりと身につけてゆきたい。 ●たのしかった。 ●忘れかけていた公式などを復習できたので良い授業だった。
2年電気科の学生の感想：
●一年間ありがとうございまいた。数学は高専では必須だと思うので、これからも身に付けていきたいと思います。 ●お世話になりました。 ●普通に勉強できた。 ●質問しやすく良い環境で勉強できました。ありがとうございます。 ● ７０分もかからないです。ちよい長すぎるかも？ (後期末試験の感想) ●自分では真面目に取り組めたと思うので少しだけでも力がついたと思う。 ●数学のいい復習になった。 ●なし。 ●わりと楽しかったです。 ●授業やテストが終わってから時間がたっている内容をするので復習になりました。 ●プリントなので自分のペースで解くことができてとても良かった。 ●良い復習になりました。 ●答えの解説もしてほしかった。 ●楽しかった。 ●楽でよかったです。 ●要項まとめプリントがあって分かりやすかった。 ●代数などの応用問題や微分積分を教えてもらい復習ができてテストのとき効果がでたのでよかった。
2年制御科の学生の感想：
●わかりやすかったです。 ●この授業のおかげで数学の復習ができたのでよかった。 ●計算問題ばかりで楽しい授業でした。 ●微積や代数の授業で習ったことを復習できてよかった。 ●前に学習した範囲をもう一度勉強することができたので復習になって良かったです。 ●大変だったけど大切なことだと思った。
2年建設科の学生の感想：
●微分積分を復習できたのでよかった。 ●微積の授業で学習した内容を忘れたころに復習したり普段はあまり解かない難しい問題に取り組んだりと、とても有意義な時間であったように思います。授業で解けても使いたいときに使えなければ何の意味もないことが授業を通して分かった。復習することの大切さを肝に命（銘）じて精進していきたいです。 ●数学演習の授業は今まで習ってきたことを復習できるので、とても良かったと思いました。でも、一度習ったはずなのに問題がほとんど解けないことがあったので辛かったです。これからは忘れないようにしっかりと数学を勉強していきたいです。 ●教演は復習問題だから自分のできていないところを再確認できてよかった。 ●今までのことを復習できたのでよかった。 ●単(短)時間で、できるだけの計算をする勉強方法は自分に向いていると分かった。 ●数学全体が急に難しくなった気がした。 ●良かったと思います。 ●一週間に半コマしかない少ない授業ではあったが、まじめにとりくめば成果がでるものだと思いました。 ●忘れた頃にその内容をやらされるので中途半端な出来だったので残念だった。授業終了前に答えをわたされ「答え見ながら家でやれ」というのならば、最初から答えをわたしてもらった方が勉強になったと思う。 ●楽しかった。 ● １年間、数学演習をして、いろいろな問題を解いたので数学に対する苦手意識も前ほど感じなくなりました。 ●難しかった。 ●春休みに少しでも復習したい。 ●数学の総復習みたいで良かったと思います。
9. CONCLUSION
数学演習は独立した科目ではなく、現在のように線形代数３単位のうちの１単位分であったり、以前は微分積分４単位のうちの１単位分であったりしたが、平成２３年度からは「数理演習」に名称変更されて１単位の独立した科目となる予定である。これまで習熟度別クラスや、１０回以上のテストを実施するような方法を用いたり、平均点に縛られることもなく（本校では６０点以上が合格なので平均点は７０～８０点台に保つ必要あり)、比較的自由な授業方針で取り組むことができたが、独立した科目となれば、大胆な方法を取り入れることが難しくなりそうである。一方で、成績表に得点が表れる科目となれば学生の取り組みが向上することは期待できそうであるが。数学演習の最大の目的は、学生の数学知識に対する定着度の向上にある。試験の前後に理解したり覚えていたりした数学の知識も、使わなければ徐々に忘れてしまうことは避けられない。少しでも学生の頭に定着させるためには、できるだけ頻繁に利用することが必要で、加えて複数の授業で同時期に学習してゆくことが出来れば非常に効率が良い。幸いなことに高松キャンパスにおいては、数学・物理・各専門学科との話し合いの場が定期的に持たれていて、その中でカリキュラムの打ち合せも行い改善されてはいるものの、それだけで容易に結果が得られるわけではない。本校における数学演習の取り組みは、どうも他校にはない本校独特のものらしいが、定着度向上のための方策としては最も直接的で効果的なものではなかろうか。 ２１年度の教学演習を終えてみて、以前とは違う認識や目標も生じた。一般的に言って、演習の時間では、講義で扱えなかったような応用問題に取り組むのが理想であろう。我々の教学演習では定着度向上を最大の目的とし、成績上位層を伸ばすことなど目的としていないにも拘らず、演習問題や試験問題の作成の際にはついつい難易度の高い出題になりがちであった。前期が終わるまでこのような傾向が拭い切れずにいたが、後期からは意識してやめ、演習問題は教科書のチェック問題レベルとし、応用問題は進度の速い学生に対する時間調整のための１問に留めた。特に小テストや定期試験では、応用問題よりも基本的な問題の作成に力を注いで、基本問題こそ多彩な出題となるよう努めた。前期と後期を比較して、特に前期末試験は比較的難しくて平均点が低く、後期中間試験は易しくて平均点が高かったわけだが、後期の方が定着度向上への効果がみられたように思う。定着度向上の前に、如何に学生を勉強させるかということも重要である。演習での学生の様子からは（まだ客観的なデータ等の裏付けがあるわけではないが) 、学生の学習意欲に関しても後期の方が良いように感じた。全ての学生に対して効果がある取り組みは難しい。上を伸ばして下を作らない努力、つまり、上位層の学生または下位層の学生にターゲットを絞ってレベルアップを図る取り組みは不可欠であるが、これらについてはやはり授業時間外の補習などで対応するしかなさそうである。結局のところ、数学演習の授業の枠組みの中で、 2年生全体の効用をより大きくするためには、中位層以下に焦点を絞るのが最も効率が良いようである。これらのようなコントロールを行い、それによる成果を実証して行くために、以前は教員の感覚や勘で行うしかなかったが、我々の手法では正答率など数値データを残せて利用もできるため、定量的で客観的な対応ができる可能性を秘めている。今後の目標として、数学演習を単なるプリント演習の時間に終わらせず、数学の他の講義との連携を強化することも考えて行ければと思う。すなわち、演習の小テストや定期試験で得られた正答率などのデータに基づいて、通常授業での力点の置き方を改善し、逆に、通常授業における学生の状況を考慮しながら数学演習の出題について再検討して行きたい。最後に、今回は一年分の試験スコアや正答率などのデータに対する表面的な分析しかできなかったが、次回の授業報告では年次毎のスコアの比較をはじめ、更に踏み込んだデータ分析にも着手できるであろう。
R EFERENCES
[1]斉藤斉,高達飾夫ほか「新訂基礎教学」大日本図書2003. [2]斉藤斉,高遠節夫ほか「新訂嶺分積分I 」大日本図書2003. [3]斉藤斉,高遠節夫ほか「新訂嶺分積分Ⅱ」大日本図書2003. [4]斉藤斉,高達節夫ほか「新訂線形代数」大日本図書2003. [5] 高橋宏明ほか高松高専教学科「標準問題集」unpublished [6]岡本和夫ほか「新版数学I 」実教出版2009. [7] 岡本和夫ほか「新版数学II 」来教出版2009. [8] 岡本和夫ほか「新版数学Ａ」実教出版2009. [9] 岡本和夫ほか「新版数学Ｂ」実教出版2009. [10]上原成功ほか“高松高専の１６年度四国共通訳験（数学）結果の分析”高松工業高等専門学校研究紀要41(2006)