題目：リング干渉計による 弾性波の光学的計測喜多敏博
目次
1.序論
1 2.計測の原理
2 5 6 7 9 1 0 1 3 1 4 1 5 1 7
5.結論2 0付録
2 2
1レーザ光は、コヒーレンシ（coherency）の良い光である。コヒーレンシとは、日本語で『可干渉性』とも訳され、千渉の起こりやすさのことである。すなわち、レーザ光は干渉性に優れ、指向性が良い。このようなレーザ光の特徴を利用すると、さまざまな物理量を精度良く測定することが可能である。レーザ光を用いる測定を行う場合、レーザ光を自由空間内で伝送して系を測定すると光軸合わせなど、めんどうな調整が必要となる。しかし、レーザ光の伝送路として、光ファイバを用いると、その必要はなくなり、系に対する外乱の影響も、格段に受けにくくなる。本研究では、レーザ光を用いて、微小振動を測定する。レーザ光が、微小振動によってうけた何らかの変調を観測するには、レーザ光を干渉させればよい。光ファイバを用いると、比較的簡単にレーザ光を干渉させることができる。本研究で採用する干渉計は、リング干渉計と呼ばれる種類のものである。この方式は、他の干渉方式、例えばマイケルソン干渉計やマッハ・ツェンダ千渉計に比べて、温度変化によるファイバの伸縮の影響を原理的にうけないという特徴を持つ。被測定対象としての振動は、圧電現象を利用して励振する。圧電現象とは、電気的なエネルギが、機械的なエネルギに変換されること（またはその逆方向の変換）で、圧電性を有する物質に交流電界をかけると、機械的な振動が生ずることになる。レーザ光を用いた圧電振動の測定は、従来の純電気的測定では測り得なかった振動の振幅なども求めることが可能である。これによって、圧電材料の評価、振動状態の評価を行うことができる。本研究の測定原理は、文献［２］に基づいたものであるが、算出過程などで新たな原理も取り入れた。本論文では、第２章で測定の基礎的な原理を述べ、第３章で実際の測定、算出方法、測定系などについて述べ、第４章では、測定結果をふまえた振動の評価、考察を行う。なお、本報告書には本文以外に付録があるが、付録においては、本文４－３の内容「実測の振動振幅にたいする考察」のさらに詳細な検討が行われる。 -1- 2 − 1 リング干渉計による測定本章では、リング干渉計による測定の原理について述べる。まず、概略を述べる。被測定試料（ここでは圧電振動子）に駆動電圧を加え、振動を生じさせて、そこに光をあてる。あてる光はレーザ光をもちいる。被測定試料の表面で反射した光は、被測定試料の振動によって、位相変調という変化をうける。しかし、位相変調の信号は直接観察することは困難である。そこでこれを、観測が容易な強度変調という変化に変換する必要がある。変換には、光の干渉を利用する。この強度変調の信号を観測すると、被測定試料の振動についての情報を得ることができる。光の強度を電気信号に変換する茶子（フォト・ダイオードなど）をもちいれば、強度変調信号は電気信号として測定が可能である。これが測定原理のあらましである。以下に詳しく述べる。一般に、光波の電界ベクトルＥはE = A cos(ως t + φς) A :振幅（偏波の方向も含む）    ωτ：角周波数     φτ：位相と表すことができる。光波を用いた測定は、これら振幅、角周波数、位相のいずれかの変化を観測することでおこなう。なお、光の強度は、光の電界の振幅の大きさの２乗に比例するので、強度変調を測定することは、すなわちしAI²を測定することになる。計測用の光は、レーザ光（半導体レーザ；波長入＝１．３［μ m］）を使用する。レーザ光は、一般の自然放出光と違い、ほとんど完全に位相のそろっているコヒーレント光であり、干渉性に優れ、指向性もよい。このような性質は、微小な振動を計測するためのプロープ光として用いるのに極めて都合がよい。光波を導いたり、干渉させたりするのは、光ファイバを用いる。光ファイバを用いると、自由空間で光を導波して測定をおこなうのに比べ、極めて簡単に、かつ外乱の影響をうけにくい状態で測定を行うことができる。（ただし、温度変化による影響は大きい。これについては、後で論ずる。）光波の位相に関する情報を伝送するのは、多モード光ファイバでは不可能であり、単一モード光ファイバでなければならない。よって、本研究では、単一モード光ファイバを用いる。測定原理をあらわす概念図を Fig.  2 – 1に示す。振動を検出して測定するには、レーザ光を干渉させることが不可欠となるが、干渉させる方法として、Fig. 2 – 1のようなリング干渉計を用いる。後で説明するように、この千渉方式では、干渉する２つのレーザ光は同じ光路を通って（逝る向きは逆）千渉するので、温度変化によって生じるファイバの伸縮の影響をうけないという特徴がある。方向性結合器とは、図のただし書きにもあるように、入ってきた光を進行方向へは二分するが、逆方向へは導かないものである。遅延ループとは、光ファイバを円筒状の筒に巻きつけたものであり、光がこのループを通過するのに要する時間Ｔ ［sec］は、巻きつけてあるファイバの長さに応じて快まりT = n L / C 。 (2・1) n :光ファイバの屈折率(≈ 1. 4 7 ) L：延延一プの反さc。:真空中の光速（≈ 3. 0 × 1 0 8  [m/sec]  )となる。 LD (レーザ・ダイオード: Laser Diode)からでたレーザ光は、光ファイバを通って、試料に対向したファイバの端面から空気中に放射され、レンズにより掛光されて試料に達する。そして試料の表面で反射して、ふたたびおなじ端面に入射し、光ファイバを通りＡＰＤ（アヴァランシ・フォトダイオード: Avalanche Photodi ode）に入る。このＬＤからＡＰＤまでの光路は Fig. 2 – 2 （a） 〜（b） の４種類を考えることができる。ここでは、このうち（ａ）, （ｂ）のみについて考える。この2つの光路をたどるレーザ光が、遅延ループを通るのはFig. 2 – 2 （a）では、復路において、 Fig. 2 – 2 （b）では、往路においてである。このことより、光が試料表面に達する時刻は（ｂ）のほうがＴ［sec］だけ遅れる。試料が振動している場合、T [sec]のあいだに試料の表面が変位するので、（ａ）の光が光ファイバの端面と試料の表面とのあいだを往復する距離(空気中)と、（ｂ）の光のそれは異なる。その分だけ、（ａ）の光と（ｂ）の光のあいだに光路差が生じることになる。光路差が生じることは、その２つのレーザ光に位相참が生じることを意味する。試料が正弦波的に振動するとき、位相差も正弦波的に変化する。すなわち、レーザ光に正弦波的な位相変調がかかる。 *第３章３－１ではFig. 2 − 2 （c）, （d）を通るレーザ光も含めて考える。被測定試料の振動を(2・2) u (t) = U cos (wxt+φx) U：被測定試料の擬動振幅     ω a：角周波数φ x :試料に加える駆動電圧と、試料の振動との位相差とする。(添え字のAは、音響振動(Acoustic Vibration)に関する量であることを示す。）（ａ）のレーザ光に対する、（ｂ）のレーザ光の位相差Δ θはΔθ = 2 k {u (t + T )  — u (t ) } ( 2 ・ 3 ) = Δθι・ sin (ωιt + φ´ι),ただし　(　Δ θ x ≡  4 k U sin (ω x T / 2 ) ( 2 ・ 4 ) φ´ㅅ≡　ωㅅT/2 + φㅅ+ π k =  2 π / λ   :波数△θをもちいると（a）, （b）を通るレーザ光の電界は、それぞれcos (ωc t + φc) cos (ωc t + φc + Δ θ + Δ φ) ως：レーザ光の角周波数( 2 ・ 5 ) φς：レーザ光の初期位相（試料への駆動電圧にたいする） △ φ ：振動による位相変調以外に起因する位相差のように表すことができる。Fig. 2 − 2 （a）の光路長と、Fig. 2 − 2 （b）の光路長は、ほぼ同じであるので、この２つの光路を通るレーザ光は、コヒーレントに干渉する。干渉後のレーザ光の強度はI ab (t) = C I ld [1+cos (4 θ l·sin (ω l + φ ´ l) + Δ φ} ] ( 2 ・ 6 ) C：比例定数のようになる。ＡＰＤの出力からはＩ。。（ｔ）に比例した電圧が得られる。 I ab （t ）は、第１種ベッセル関数を用いると、フーリエ級数に展開でき、おのおのの周波数（ƒㅅ＝ ωㅅ/２πの整数倍）の振幅を求めることができる。 Iab (t) = CIlb { 1 + Jo (dBA) ·cosdø - 2 J. (dB n) •sind$ • sin (wattffa) + 2 J 2  ( Δθ λ )  ·cosΔφ  · cos  ( 2 ω λ t + 2 φ ′ λ ) ( 2 ・ 7 ) — ……} , J i  :   i次の第１種ベッセル関数。またｘ≪１のとき

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京都大学士学部出気系教育なので△θ △ ≪ 1の場合I ab (t) = C I LD { 1 + cos4$ — 2 · 4 8 x /2 · sinaφ     · sin (ω x t + φ ´ x ) + 2 ·(å θ å)² /8  ·cosåø  · cos  ( 2 wat + 2 φ´å) — ……) 。 ( 2 ・ 8 )被測定試料の振動振幅ひが微小であるとき、（２・３）よりΔ θ λ ≪１が成り立ち（２・８）の近似は適当なものである。 ( 2 ・ 8 ) 、（ 2 ・ 4 ）より、角周波数ωλの振幅がΔ 0 λに比例、すなわちひに比例することが分かる。
2 -- 2   髙い周波数を測定する工夫
( 2 ・ 8 )のなかに現れるωλ（被測定試料の振動の角周波数）は値が大きくなると、その振幅の測定が困難になる。レーザ光の検出器であるＡＰＤの周波数特忙は、Λ P Dの負荷抵抗とカパシタンスとによって決まる、R C時定数で制限されるからである。さらに、ＡＰＤの出力電圧を測定するのにロックインアンプを使用するが、本実験で使用するロックインアンプは、１００［kIIz］以上の周波数を測定することはできない。そこで、L Dを強度変調する。例えば、1 [MIz]の振動を測るとする。 ( 2 ・ 8 )より、 1 ［MIz］の強度変調が生じるが、このときＬＤを０．９５ [MBz]で強度変調すると、１［MBz］の成分の一部が０．９５［MBz］だけシフトされて、５０ [kIz]と１．９５ [MIz]の成分が生じる（Fig. 2 − 3）。５０ [kIIz]はロックインアンプで測定が可能なので、これを測定すればよいことになる。 L Dを強度変調することは（２・６）においてI L D =  I i.D  ( t ) ( 2 ・ 9 ) =  I。 {1 + α cos  (ω ι t + φ ι ) } I 。:定数     α :変調度    ως :強度変調の角周波数φι :初期位相（試料の駆動電圧を位相の基準とするため）のように置き換えることに相当する。このことからI a b （t ）はI a b  ( t ) = C I o α [ (1 + cosaφ)         · cos (ωιt + φι) —a0 x/2  •sinaφ        • sin ((ωx-ωz) t +φ´x-φz} + (Δθ λ)²/8 ·cosΔφ · cos { (2 ωλι ωλ) t + 2 φ´λι φι} (2 ・10) — ………]となる。
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測定原理を表す概念図
細線
光ファイバの接続部分（ＦＣ型コネクタによる）
(Avalanche Photodiode)
である。なお方向性結合器とは、入ってくる光波にたいして
ものである。 F i g. 2 - 2 4種類の、レーザ光の光路1.95 [MHz] = |ωヽ+ωιl/2π 5 0 [kHz] = l ω λ − ω λ l / 2 π FREQUENCY ( b ) L Dを0．9 5 [MHz]で強度変調した時F i g. 2 - 3強度変調をかけた時の周波数シフトの効果3 − 1実際に測定に用いる系をFig. 3 – 1に示す。以下、測定系の各要素について述べる。ロックインアンプは、微弱な電圧を測定するための交流電圧計である。ロックインアンプの参照入力に交流信号を入れると、その信号の周波数と同じ周波数について、振幅電圧と、位相（参照入力信号が基準）を測ることができる。（詳しくは、 3 – 7参照。） 2 － 2で述べたＬＤの強度変調は周波数また（角周波数ωኒ）で、また、試料の振動の駆動は周波数まれ（角周波数ωλ）で行うとする。後で３－３で述べるように、試料の振動振幅ひを算出するためには、（３・11）に現れている、周波数がチェ、 l f x − f x l 、 l 2 f x − f x lの3成分を測らなくてはならない。すなわち周波数f x 、 l f x ー f x l 、 l 2 f x ー f x lの信号を、ロックインアンプの参照入力に入れる必要がある。ﾁչは、直接入れればよいが、残りの2つは電気的に作り出すことになる。それには、周波数ミキサを用いる。周波数ミキサとは、電気的に２つの交流信号の掛け算を行うものである。その出力には、入力した２つの周波数の和と差が現れる。周波数ミキサに、周波数ƒㅅと周波数ƒヵの信号を入力すると、出力にはしまえ+ fいとl fメー fいの信号が現れる。l f x + fいの信号は低域通過フィルタに通すことで除去すると、I f x ー f z lの信号を得ることができる。また、12 f x ー fいの信号を得るためには、まず2 f xの信号を作る必要がある。これには周波数ダプラを用いる。周波数ダプラとは、周波数を２倍にする働きをもつもので、周波数ミキサの２つの入力を共通にすることで構成できる。すなわち、周波数ミキサが出力する和成分として、２倍周波数が得られる。これによりƒ λが2 f xになり、2 f xの信号とf xの信号から、先程と同様に12 f x ー f x 1の信号を得る。本実験では周波数ミキサは、R & K社製ダブル・バランスト・ミキサ（D B M）M 5を用いる。M 5の特性を Table 3 − 1に示す。レーザ光の光源は、レーザ・ダイオード（NEC OD-8326）を用いた。このＬＤの中心波長、スペクトル幅をTable 3 – 2に示す。このスペクトル幅△ λからコヒーレンス長Iを求めると、 ( 3 ・ 1 ) l ≈ λ。² / λ > 0. 3 4 [m m] 。受光器はアヴァランシ・フォトダイオード（ＡＰＤ；アンリツ社製ＭＺ118Ａ＋ M H 923A）を用いた。ＡＰＤは入ってきた光の強度に比例した電圧を出力する、光電変換器である。この出力をロックインアンプに入力し、測定する。本実験で用いるＡＰＤの周波数特性をFig. 3 – 2に示す。被测定試料に対向するファイバの端面からでたレーザ光は、レンズで巣光され、被測定試料の表面に当てられる。表面で反射したレーザ光が、再び光ファイバーの端面に戻るよう、焦点および光軸を合わせる。レンズと被測定試料との距離、およびレーザ光と被測定試料の表面とが成す角度は、制御できるようになっているので、これにより焦点および光軸を合わすことができる。さらに、被測定試料はX – Yステージ上にあるので、空間的に位置を移動できる。このため、レーザ光を当てる点を移動させつつ、試料を測定することが可能である。
3 – 2       実際のＡＰＤ出力
2章では Fig. 2 − 2の ( a ) ,   （ b ）を通るレーザ光だけを考えた。しかし、実際は同図の（ｃ），（ｄ）を通るレーザ光による信号も、ＡＰＤの出力となって現れる。ここでは、その分も考慮する。 Fig. 2 – 2 （a） 〜（d）を通る４つのレーザ光は、方向性結合器を通る回数はどれも同じである。方向性結合器が、どこから入るレーザ光に対しても１：１の分配比で枝別れさせるなら、４光がＡＰＤにはいるときの強度は同じになる。しかし実際は、分配比は１：１からずれているので、４光の強度は異なる。また、遅延ループがあるため、４光がＬＤから出て、ＡＰＤに到達するまでの時間は異なる。（ｄ）の光が到達する時刻を基準にして０とすると、（ｃ）は時刻２ T、（a）と（b）は時刻Tに到達する。このため、（a）～（d）を通るレーザ光による４つの強度変調信号（角周波数：ωኒ）は、.ωኒでまたは２ωኒでの位相差をもって重なり合う（ Fig. 3 − 3 ）。ω¿の値によって、強度変調信号は強めあったり弱めあったりする。（この現象は、レーザ光のコヒーレントな干渉とは、全く別のものである。）以下、このような、角周波数ωኒの信号の振幅について考察を行う。いま、x = a, b, c, dに対してI x （t ） : （x ）の経路を通るレーザ光がＡＰＤに入る時の強度とすると、レーザ光を（２・９）のように強度変調することから( 3 ・ 2 ) I , (t) = A, {1+αcos (ωιt+ωιT+φι)} ( 3 ・ 3 ) I ь (t) = A ь {1 + α cos (ωιt +ωιT +φι)} ( 3 ・ 4 ) I 。(t) = A。{1+αcos (ωιt+2ωιT+φι)} ( 3 ・ 5 ) I a (t) = A q {1 + a cos (wLt + φ L ) } A x :強度変調をかけない時のレーザ光の強度と表すことができる。なお、（ｄ）の光がＬＤからＡＰＤ間で行くのに要する時間(本研究に用いる系ではTの1 /50程度)は無視した。これらのうち、Ｉ «とI 』は2章で述べたようにコヒーレントに干渉する。この2つ以外はどの二つを取ってみても、光路差がレーザ光のコヒーレンス長より大きいので、干渉は起こらず、結果は、単純な和（電力の和）としての寄与をするのみである。となる。これをふまえると、ＡＰＤに入るレーザ光の、全体としての強度はI (t) = I +I ++ 2 y VI .I +Cos (Δθ+Δφ) +I +I . ( 3 ・ 6 ) γ :コヒーレンス度　(0≤γ≤1)。今の場合γ ≈ 1としてよい。なおΔ θ + Δ φは、（a ) , （b ）の光の電界の位相差である。（（２・５）参照）ものだけを考えると、 I ωL(t)= α {A cos (ωLt + 2 ωLT + φL) + A cos (ωLt + φL) + (A,+A,+2VA,A,·cosΔφ·J,(Δθι)) ·cos (ωιt +ωιT +φι) } =  (C I o a /2) ・ { (A ｡｡･cos ω L T + A ｡･cos 2 ω L T + A ｡ ² /A ,A , + (A . b · sinω L T + A . · sin 2 ω L T )  ² / A . A . b  ¹ ⁄ ² ( 3 ・ 7 ) ・cos (ωんｔ＋θι)ただし　A ｡ = A ｡ + A ｡ + 2 √ A ｡ A ｡ ·cos Δ φ 0 L：位相項（重要なものでない） C I 。= 2 √ A . A 。 （（2・10）と比較することによる）となる。ここで、Jo(Δθλ)≈１（Δθλ≪１）を用いた。また、θλはΑ。が、Αな、 Aる、ωιT、およびφιを含む量で、今の場合、重要ではない。 4光の強度比を実際に測定したところ、 A.: Aな: Aな: Aな=  19.3 : 88.0 : 82.8 : 20.6  (3・8)であったので、（３・７）に代入して整理するとI ωι( t )=  C I 。α   {cos² Δ φ + (2.5090cosωιT +2.6036)cosΔ φ +1.0043cos² ω L T +3.2662cosω L T +2.2641)  172 ( 3 ・ 9 ) • cos (ωι t + θι)本研究では、常にωι＝ ５０ [kllz]・2 πに設定し、またては遅延ループ長(145 [m] 、195 [m] ）できまり、0.7105 [μ sec] 、0.9555 [μ sec]の2種類しかない。よって、cosω L Tは0.9553、0.9752のどちらかである。この条件下でのI ωι( t )の振幅の理論値をFig. 3 − 4に示す。同図の複軸の変数はcos Δ φである。cosωLTが0.9553、0.9752のいずれでもFig. 3 – 4のように、cos △ φについて、ほぼ直線的に変化するので、（３・９）はI ωL (t) = C I 。α (cosΔφ+1.10cosωLT+1.46) • cos (ωLt+θL) ( 3 ・10)と近似できる。近似したことによる誤差は、０．１％～１％である。また、ωιを変化させた時のI ωι（ t ）の振幅の理論値をFig. 3 – 5に示す。同図の横軸の変数は、cosωιTである。これより、ωιを変化させてゆく時、強度変調信号であるＩωι（ｔ）の振幅は、正弦波に類似した変化を示すはずである。 (cos Δ φは一定とする。)実際に強度変調をかけ、ω¿と強度変調信号の振幅との関係を測定した結果をFig. 3 – 6に示す。 (横軸： f L =  ω L /2 π )角周波数がωιの成分I ωι（t ）に加え、I ωιーωι l成分、I 2 ωιーωι l成分もあわせて記すと、ＡＰＤの出力電圧ッ（ｔ）は、Ｉ（ｔ）に比例しv (t) = C' I o α [ (1.46+1.10cosωιT +cosΔφ) ・cos(ωιt +θι) +a0 x/2  ·sinaφ・cos ( (ωx-ωl) t + φ´x- φι-ωlT + π/2) + (qθ n)² /8  ·cosqφ・ cos  {  (2 ωx − ωx)  t + 2 φ´x − φ l − ωxT} (3 ・11) + ・・・・・] C´ :比例定数となる。ここで、各々の周波数成分の位相について（2・9）と（3・2）、 （３・３）との違いを考慮してある。また、すべてコサインに統一して表記した。この（３・１１）と、（２・８）、（２・１０）の違いに注意する必要がある。本研究では、（３・１１）の第１項（ωι成分）、第２項（ωιーωι成分）、第３項（2 ωλ − ωι成分）の振幅および位相を測定する。 3 - 3      cos Δ φ、Δ θ λ、ひの算出( 3 ・11)において、角周波数ωλ、1ωλーωλ1、12 ωλーωλ1の信号の振幅をKo、Ki、K2とおく、すなわちK。 =  | C'  I 。α  ( C ω L + cos Δ φ ) | Ki ≡ |C' Ioa a0x/2 •sina$ | K, ≡  | C'  I , α (קםא)² / 8  ·cosקט|
ただし　C ω L ≡ 1.46+1.10cos ω L Tとする。Ko、Ki、Kiは、A P Dの出力をロックインアンプで測定すると得られる。K i /K o 、K i /K iのように各々の比をとることによりC '、I o 、αの影響を打ち消した後、cos △ φについて解くとi ）    cos Δ φ ＞ 0の時、 2 (K,² + 2 K, K,)

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ii ) cos Δ φ ＜ 0の時、
また、cos Δ φ、sin Δ φを用いてΔ θ λを求めると
(3 • 15)であり、符号については、（２・４）よりsin (ω T / 2 ) ≥ 0の時Δ θ x =  ( sin (ω x T / 2 ) ＜ 0の時　（ 3 ・ 16 ) ー l A  θメlとなる。( 2 ・ 4 )より、試料の振動振幅ひは
により求まる。△ φが第１象限または第４象限にあるときと、第２象限または第３象限にあるときとで、計算式が異なることに、注意する必要がある。実際には、 △ φは窄に近く、したがってcos△ φ > 0としてよい。
3 − 4     補正（振幅、位相）
この節では、測定値の補正について述べる。補正は、振幅、位相について行う。まず、振幅の補正について述べる。補正を要するのは、ＬＤの強度変調の変調度αである。３－３では、αは定数として扱ったが、実際は、変調用の発信器の出力を一定に保っても、変調度αは周波数によって変わる。変調度αの周波数特性をFig. 3 − 7 （a）～（b）に示す。周波数範囲は、 (a) : 0～0.6 [MHz] 、(b) : 0～1 0 [MHz] 、(c) : 0～4 0 [MHz]とした。これを用いて、強度変調をかける周波数によって補正を行う。次に、位相について述べる。（３・１３）、（３・１４）に示したようにcos Δ φの値を算出する際、cos Δ φの値が正の時と負の時で、用いる式が異なるので、 cos Δ φの正負を決定する必要がある。実験では、信号の位相も測定するので、これを利用して、cos Δ φの正負を決定することができる。ここでは、ロックインアンプが実際に表示する位相の値を表す式を示す。また、これを用いて、cos Δ φの正負を決定する方法についても述べる。信号の位相の値は、ロックインアンプで読み取ることができる。しかし、位相の変化は、信号がロックインアンプに入る以前に、電気系統の回路の中などでも生じるので、読み取った値は、（３・11）に示した位相とは異なる。本研究では、実際の測定において、つねに( 3 ・18) | ω x ー ω x | = | 2 ω x ー ω x | =   5  0  [kHz] ・2 πとなるようにする。このことから、ωλ、ωλの信号が通る寵気系統では、ωλ、ωλの周波数に依存する位相差が生じ、I ω λ ー ω λ l 、I 2 ω λ ー ω λ lの信号が通る暗気系統ではωλ、ωςに依存しない位相差が生じることになる。位相のずれが生じる部分を Fig. 3 – 8に示す。図に示したようにφι。(ωι)： L Dに加える強度変調の信号と、 L Dの出力光の信号との位相差φε^(ω λ ) : ω λの信号が通る電気的経路で生じる位相差φ ε (ω ι ) : ω ιの信号が通る電気的経路で生じる位相差Φ ^ r d : A P Dの特性に起因する位相差φ ғιτ：周波数ミキサのあとのフィル夕回路で生じる位相差。これらの位相差のうち、周波数に依存するものは、φιρ(ωι)、φε^(ωι)、 φε (ωι)であり、周波数に依存しないものは、φ λ p d 、φ p l τである。 Fig. 3 – 9  (a) 〜 (c)に、それぞれφιρ(ωι)、φε λ (ωι)、φε λ (ωι)の周波数特性を示す。また、（３・18）の条件のもとでφ ^ p = 0.541 [rad] ,   φ flt = - 2.39 [rad]    (3・19)と実測された。Fig. 3 − 8と、（3 ・11）より、角周波数l ω λ − ω λ lの信号の位相(ロックインアンプの表示)はω λ > ω ιの    φ λ + Ρ λ ι , + φ ω (ω λ ,ω ι ) + φ λ − π /2      ( 3 ・20a) ω x ＜ω ιのであり、同様に、角周波数12 ωλーωι΄ Iについては2ωλ>ωι´の時     2φλ+Ρ ｡｡.+φω´ (ωλ,ωι´)+φλ  (≡θ,)   (3・21a) 2ωx<ωr´の時  ー2φx+P ｡｡｡ーφω′ (ωx,ωr´)+φx,(≡θz)   (3・21b) ( Δ θ λ · s in Δ φ > 0 ) P s i n =  (   0ただし( 3 ・22) ( Δ θ λ · sin Δ φ < 0 ) . 土π (cos Δ φ > 0 ) P . . . =  (     0 ( 3 ・23) (cos Δ φ ＜ 0 ) ± π φω(ω x, ω x) ≡ − (ω x/2 − ω x) T − φιd(ω x) − φε^(ω x) + φε^(ω x) φω′ (ωλ, ωι)≡ (ωλ−ωι)Τ + φιρ(ωι) − φε′ (ωλ) + φε′ (ωι) ( 3 ・24) φ k ≡ φ a p d一φ f l tと定めるものとする。なお、タメは、試料の駆動電圧とその振動との位相差であり、（２・２）において示したものである。これらの位相の値からcos△φの正負を判断するには、（３・21）に含まれるP . . .の値を求め、（３・23）を用いればよい。たとえば（３・21b）の場合、 P . . . =   θ 2 - 2 φ x - φ ω ′ (ω x , ω ι ′ ) - φ x ( 3 ・25) θ 2 :読み取った、角周波数12 ω 1 – ω 2 ′ 1の信号の位相で求められる。この値が０の場合cos Δ φ > ０、± πの場合cos Δ φ < ０と判断できることになる。なお（３・２４）において、φλのみが実測できない。しかし、後で４－１で示すように、振動が共振状態にあるときはφ λ ≈ π / 2となる。よってω λを共振周波数に設定すれば、φ λ ≈ π / 2と置くことができ、 P . . ,が求められる。また逆に、△ φが十分小さく、cos △ φが正であると仮定することができれば、 P . . . = 0としてよい。このとき、（3 ・21a）と（3 ・21b）の和をとればθ , + θ , =  2 φ x ( 3 ・26)となる。これを用いると、実測によらなくても¢♪の値が求まる。（ただし、 (３・26)を用いて¢♪をもとめると、２で割るという過程があるため、ｎπ ( nは整数)の不確定性が残る。)なお、以上の議論では、周波数ミキサ（D B M）でのミキシングの過程で生じる位相差については、全く検討をしていないので注意を要する。
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細線光ファイバ2重線寵気的経路実際の測定系Fig. 3 - 1 : :信号の周波数く> : T a b l e  3 − 1      D B M  (R & K社; M 5の特性) R F, L O   ····· 入力端子RF, LO      0.1～500 [MAz]周波数帯域D C ～ 5 0 0 [MAz] 5. 2 [d B]変換損失アイソレーションRF, L Oの各入力レベルは、５０ [m A] , ２０ [m W]まで。 T a b l e  3 - 2    レーザ・ダイオード(NEC OD-8326)の特性中心波長   λ。=   1  3  0  1.   7  [ n m ]スペクトル幅　△ λ ＜ ５ [nm] ( a ) ( a )  :坂幅特性（b ） :位相特性and the context of the ( b ) ... (c) Fig. 3 - 7変調度αの周波数特性
ただし、光ファイバでの遅延時間は無視する。 :
:電気的経路:位相差（矢印の始点を基準とした終点の位相）位相ずれの生じる部分Fig. 3 - 8 1 – 1この節では、基礎的な予備知識として、古典力学に基づく振動に関する理論について述べる。''いま、実際の振動子を質点の集合と見なす。安定な平衡点の近くで質点のおこなう微小振動は、近似的に必ず単振動と見なせるが、質点には、抵抗および強制力（角周波数ωλ）が働いており、振動方程式は
k  x  :弾性的な力となる。また
β ≡ η / 2 m,     ω｡² ≡ k / m,     ρ΄ ≡ F / mとおくと、 x + 2 β x + ω ² x  =  ρ ′ sinω x tと表される。強制力 F'sinω x tは、圧電逆効果によるものである。 ( 4 ・ 3 ) ( 4 ・ 3 )をラプラス変換その他の解法で解くと、変位xはx = Asin (ωヽーδ) + a e ''' + b e ''' ( 4 ・ 4 ) a,  b :稱分定数ただし　Α≡ρ′ { (ω｡² −ωｽ²) ² + 4 β²ωｽ²} -''² (4・5) ( 4 ・ 6 ) δ = tan-¹  { 2 β ω λ  /  { ω ｡² — ω λ² } } λ ι ,  λ , ≡ − β ±√β² − ω ｡² ( 4 ・ 7 )となる。本研究における測定対象は（４・４）の第１項である。ここで、無次元盘Qが次のように定義される。 Q ≡ ω。/ 2  β ( 4 ・ 8 ) Qが無限に大きい場合、変位の振幅Ａは、ωｽ＝ω｡で無限に大きくなり、位相差♂は、ωχ＜ω。の時、δ＝ 0、ωχ＝ ω。の時δ＝ π/2、ωχ＞ω。の時δ＝πであり、δはω₁＝ ω｡で不連続に変化する。Ｑが有限の値で、かつＱ＞１/√２であるとき、Aはωχ＝ ω。(1 − 1 / 2 Q²)  ¹ ′²において極大値( 4 ・ 9 ) Ares =  2 p' (Q/wo) ²/√4 Q² - 1をもつ。振動状態はω λとω 。の大小関係により、つぎの３つに分類される。 (4・10) a) ω x ≪ω ｡のとき：  A ≈ ρ ′ /ω ｡² =  F / k ,   δ ≈ 0 であり、ばねの強さkが振動を制御する。（弾性制御） b）ω λ ≈ ω 。のとき（共振時）： A ≈ ρ′ Q /ω。² =  ρ′ /( 2 β ω。) =  F /( η ω。),   δ ≈ π /2   ˙ ( 4 ・11)
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であり、制動力が振動を制御する。（抵抗制御） c）ωχ≫ω。のときA = ρ ′ /ω x² =  F/ (m ω x² )      , δ =  π ( 4 ・12)であり、慣性mが振動を制御し、かつＡ✂ωλ-²である。（慣性制御）次に、位相のずれると、Ｑの関係について述べる。（４・６）においてωｽ＝ωｽιのときδ＝π/4、 ωｽ＝ωｽιのときδ＝ーπ/4   (4・13)であるとすると、 ω λ = ω λ =  2 β =  ω 。 / Qとなる。したがってω。、ω λ ι 、ω λ εがわかれば、Ｑの値が求まる。また、 A, : ωχ＝ωχのときの変位の振幅,      A, : ωχ＝ωχ2のときの変位の振幅とすると、 Ai= Ai= Ares/V2と計算される。 4 − 2      円板状振動子と、その振動形態本研究では、被測定試料の１つとして、材料がＰ－７（村田製作所製；チタン酸ジルコン酸鉛系）である円板振動子を用いた。 P － 7のおもな材料定数をTable 4 －１に、また、円板状振動子の形状を Fig. 4 －１に示す。 α :円板状振動子の半径,      t :円板状振動子の厚みとする。分極は厚み方向になされており、結晶系は、 z軸を6回対称軸とした6 m mと等価である。この円板状圧翟振動子の振動モードには、径方向への拡がり振動と、厚み縦振動があり、径方向への拡がり振動の共振周波数は、円板の円周長（ Fig. 4 – 1の2 π α）に依存し、厚み縦振動の共振周波数は、円板の厚み（ Fig. 4 – 1のt ）に依存する。径方向への拡がり振動の解析は、円柱座標系において、圧電方程式と運動方程式を組み合わせ、機械的境界条件を用いることによって行われる。*' 圧電基本式は、円柱座標を用いるとS,, = s , , T,, + s , , E Too + d 3, E z
u , ：径方向への変位。
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運動方程式は
これらの式を連立させ、機械的境界条件を用いて解くと
となる。音速りは
を満たすとき、径方向への振動は共振状態になる。なお、電気的条件は、 ∂E z /∂ r =  0であり、これは（４・16）において自動的に満足されているまた、厚み方向への振動の共振周波数はγ ′を音速としてω» = (n v ′ / 2 t ) · 2 π    (n = 1,3,5,....)      (4 · 23)により与えられる。この円板状圧電振動子のアドミタンス計測を、純電気的測定法によって行ったものを Fig. 4 － 2に示す。測定には、L Fインピーダンス・アナライザ（ヒューレット・バッカード社製；4192A）用いた。周波数範囲は0.1 ［MBz］～１０［MBz］とした。１［MIz］付近より低い周波数範囲でのピークは、径方向への拡がり振動によるもので、１［MHz］よりも高い周波数範囲でのピークは、主に厚み縦振動によるものである。
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4 − 3      実測の振動振幅にたいする考察この節以降では、実際に光学的に測定した結果をもとに、考察を加える。まず、径方向への拡がり振動について述べる。この振動は、弾性波の波数ベクトルが、電界をかけた方向に対して直交する振動である。 Fig. 4 – 3に拡がり振動の第１共振周波数付近での測定結果を示す。レーザ光を当てる方向は、試料の円形の面に垂直な方向、すなわちFig. 4 － 1のz軸方向であり、レーザ光を当てる点は、試料の中央（ヶ≈ 0）である。したがって、振動自体は径方向への拡がり振動によるものだが、測定は、厚さ方向の変位を測定している。周波数範囲は0. 1 6 ［MHz］ ～ 0. 2 2 ［MHz］とした。振幅値は、試料に加えた駆動電圧で正規化したものS 3 / E 3を用いた。電圧で正規化すると、加える電圧の値が変化しても、一定電圧で駆動した際と全く同じ傾向の測定結果が得られる。 (圧電効果の線形性より。) Fig. 4 - 3を見ると、0.1 8 6 [MBz]付近に共振点があることがわかる。ここで、このFig. 4 − 3から音響振動のＱ値をもとめる方法を示す。 ( 4 ・14)からQ = ω。／ (ω λ = ω λ ι )であるが、ω。は共振周波数なので、振幅値がピーク値をとるときの周波数である。 ω xi、ω xiは、（4・15）を考慮すると、ピークの振幅値の1 /√2倍の振幅値をとる周波数である。これらを図から求めると、振動のＱ値を求めることができる。 Fig. 4 − 3を用いてＱ値を算出したところ、Ｑ＝ ６１.１となった。また、被測定試料である円板状振動子のＳ。/Ｅ。の低周波極限値（ω→０）は、圧電定数d 9に等しい9 。（後述する。）一方、（4・10）と（4・11）を比較すると、共振時の振幅は、低周波での振幅のＱ倍になることがわかる。よってかったは( 4 ・24) d 33 =  (S3/E3)RES/Qによって求められるものと思われる。ここに添え字ＲＥＳは、共振時の値であることを示す。この測定原理が成り立つためには、S 3 / E 3の低周波極限がd 3である必要があるが、　このことを、数学的に確かめる。5'　( 4・16) ～ ( 4・19)からS3/E3= Szz/Ez
( 4 ・ 2 5 )の低周波極限（ω→ 0 )をとればS 9 /E 9 → d 93     (*. S 7 /E 2 → d 31. S 00 /E 2 → d 31)   (4 ・26)となり、確かめられた。（この結果はヶの値に依存しない） Fig. 4 – 3の場合、 ( 4 ・ 24)をもちいてdつを算出すると、 dつ= 5. 3 1 [x 1 0 -¹º m/V]となる。これは、大木氏修士論文''における、同様の実験の結果ともよく一致する。しかし、 Table 4 − 1のd 。。の値と比べると、約3 0 %大きく測定されている。これは、レーザ光が入射する方向にたいして、試料の片面が、固定されているため生じる誤差と思われる。''　これは、試料を、側面で固定するなどして、z方向に関して、両面が自由端である状態で計測すれば、解決できるだろう。　ちなみに、ここで求めたＱ値は、（４・８）あるいは（４・14） ′によって定められるものだが、円板振動子上の振幅の空間的な分布は、均一でなく、 （4 ・18）のような分布となる。d ｡｡ （＝低周波極限でのS ｡ / E ｡ ）がヶに関係のない定数である以上、（４・24）より、Ｑ値も空間的に一定ではなく、計測点の場所によって、Ｑ値も異なることが予想される。次に、Fig. 4 － 4に拡がり振動の第２共振周波数付近での測定値を示す。共振点は、０．４６５ ［MHz］付近である。これについてＱ値を求めると、Ｑ＝ ４０．２となる。第２共振においては、それより低い周波数でしか振動できない成分が追随できないので、第２共振の光学的計測からは、低周波極限で定義される材料定数（ dなど）の測定はできない。仮に（４・２４）に従って♂を算出したとしても、それは本来のｄではなく、それよりもかなり小さい値になる。最後に、厚み縦振動について述べる。この振動は、弾性波の波数ベクトルが、電界をかけた方向に対して平行となる振動である。厚み縦振動は、振動の生じる方向をｚ（３）とすると、つぎの力学的、電気的条件によって、特徴づけられる。
S i :歪み      D i :電気変位すなわち、z方向以外の歪みはなく、z方向に関して、寵気変位Ｄは一定である。拡がり振動の場合の、振動方向に関して電界が一定という条件と比較して、電気変位が重要な役割を果たしていることがわかる。そこで、厚み縦振動の場合には、 S 3 / E 3ではなく、S 3 / D 3に注目して、測定を行う。このとき、（ 4 ・ 24 ）と同様の議論で求まるのは、d 3ではなくS =  s E T + g D E = − g T + b T Dで表される式（圧電基本式のg形式）における圧電定数gに相当するものである。
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ただし、本研究の測定においては、圧電定数gの目安となる値（ g ′とする）が求められる。S 3 / D 3に注目したとき、圧電定数gの目安となるg ′ 3 3が求まることになる。  Fig. 4 － 5に厚み縦振動の第１共振周波数付近の測定結果を示す。共振点は、１．２７［MHz］付近である。ｄ₃₃を求めるのと同様にして求めたｇ´₃₃は、 g´₃₃ =  1 8. 1  [x 1 0~³ V m/N]であった。
4 − 4
この節では、ロックインアンプで読み取った位相の値について述べる。  Fig. 4 – 6 （a）、（b）に拡がり振動の第２共振周波数付近の位相の値を示す。（a）はl fメー fいの信号の位相、（ｂ）はl 2 fメー fいの信号の位相である。それぞれ、 (３・20a)，（３・21a）に対応する。周波数範囲は、０．３９［MBz］から０．５ 2 ［Māz］である。３－４で論じた補正すべき項は、この狭い周波数範囲では、周波数依存性は、ほぼ無視して考えてよい。 Fig. 4 – 6 （a）では、共振点（0. 4 6 5 ［KBz］付近）をはさんで、ほぼ１８０度位相が変化している。それに比べ、 (ｂ)のほうは、ほぼ３６０度変化している。これはそれぞれ、（３・20a）, （３ ・21a）における、φλ、2 φλの寄与であると考えられる。（4 ・10）～（4 ・12）から、φιは、共振点をはさんで、周波数が高くなるにつれて、０→－πと変化するからである。また、位相が－ π /2だけ変化した周波数を求めれば、共振周波数を求めることができる。次に、ﾁｭとﾁｭの大小関係をかえて、同じ周波数領域を測定した結果を Fig. 4 – 7 （a）, （b）に示す。前と同様、（a）はl f x ー f x lの信号すなわち（3・ 20）、（ｂ）は12 f λ ー fいの信号すなわち（３・21）に対応する。３－４で述べたように、（ｂ）から、cos Δ φの正負の判定や¢♪の算出などを行える。この場合、 (３・25)を用いてＰ｡｡｡を求めると、Ｐ｡｡｡≈７ [deg.]となる｡琴にかなり近いので、cos Δ φ > 0としてよい。完全にP ｡｡｡ =   0とならないのは、ロックインアンプの誤差（位相については、５ [deg.]くらいの誤差がある。）や、ＤＢＭでの位相のずれ（低域通過フィルタによるものを除く。）などが考えれる。また、P...= 0を認めるとして算出した�kは、φk＝ 5 4 + 1 8 0 n [deg.]である。（nは整数） また、厚み縦振動の第１共振付近で位相を測定したものを Fig. ４－８に示す。しかし、共振点の前後で、振動状態の変化を示すような位相のはっきりした変化は、見受けられなかった。これは、厚み縦振動の振動状態が必ずしもきれいではないということに対応しているものと思われる。
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京都人学士学部短気系教会
4 − 5     表面弾性波の計測について
以上の節では、振動子全体に定在波（バルク波）を励振し、測定した。この節では、ＰＺＴ系セラミクス基板上（両面研磨加工）に作成したＩＤＴ（インター・ディジタル・トランスデューサ）によって弾性表面波を励振し、光学的に測定した。作成したI D Tの概念図を Fig. 4 － 9に示す。実際作成した試料では、 l =  4.6 [mm],  w= 2. 4 [mm], d,= 20 [μm], d,= 20 [μm] λ =  8 0 [μ m]である。使用した基板は、P Z T系セラミクス®'（チタン酸ジルコン酸鉛系）で、その上に、リフトオフ法によりアルミニウム黯極を、すだれ状に形成した。作成した試料は表面波フィルタとして機能させることができる。フィルタとしての寵気的な特性を Fig. 4 − 10に示す。中心周波数は2 9.7  [MIz]であり、帯域幅は、３．４［MBz］である。挿入損失は、１５ｄＢであった。この試料にたいして、これまでと同じように、測定を試みた。しかし、 l 2 ω λ − ω λ ( )の成分は、極めて微小であるので、計測が困難であった。したがって、振動振幅は相対値のみを求めた。なお、測定の周波数は、すべて２９．８２８１ [MHz]で行った。さらに、X － Yステージをもちいて、試料をFig. 4 － 9においてＹ方向に５ ［μ m］ずつ移動させて測定した。 Fig. 4 – 11 （a）に、試料への入力電力が１ [W]であるときの振動振幅の測定結果を示す。また同図（ｂ）に、同じときの位相特性も示す。（ａ）の振幅特性を見ると、ほぼ３０［μ m］ごとにピークらしきものを認めることができる。しかし、仮に基板上で定在波がたっているとしても、ｽ＝ ８０ [μ m]であるから、 4 0 ［μ m］ごとにピークがでてくるはずである。この場合、１［W］というかなり大きな電力を加えているので、振動の励振も線形な効果だけでなく、髙次の項も発生し、音響振動の非線形な要素が振幅の空間分布に何らかの影響を与えているかもしれない。（ｂ）の位相分布はあまりはっきりしない。次に、試料への入力電力をかなり小さくして０．１２５［Ｗ］で測定してみた。この時の結果を同様に,   Fig. 4 − 12 ( a ) ,   ( b )に示す。この場合は、入力電力が小さいため、振動が非線形の要素をもつことはないと思われる。その反面、測定する信号が小さくなってしまい、はっきりとしたピークが現れなくなった。それでも、よく観察すると、（ａ）のプロットをみると、点をひとつとびにつないだとき、周期８０［μ m］の曲線が現れる。周波数の高い波と低い波が共存しているのかもしれない。位相にも４０ [ μ m]の周期性がみうけられないこともないが、はっきりしたことは分らない。最後に、試料の振動を全く生じさせず、試料をＹ方向に移動させながら、ＩＤＴ上で反射率を測ってみた。この結果をFig. 4 − 13に示す。これをみると、電極の間隔は、ほぼFig. 4 – 9でのd 1 、d 2と等しいとしてよいと思う。
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α =  5.25mm
t =  1.7mm T a b  l e  4 − 1      円板振動子の材料（村田製作所；P-7）の主な材料定数ε 33 T / ε o =     2 1 0 0 = -207  [10-'²m/V] dシι [ 1  0 -'' m / V ] 4 1 0 = d 3 3 1 5.8    [ 1 0 -'² m² / V ] S 11 E   = σ E = 0.3 6 P ll 7.8 [ 1  0 ³ kg/m³ ] . . ( b )角周波数12 f x ー f x 1の信号の位相( 2 f x > f x ) X f a < f l角周波数If x ー f x lの信号の位相  O f x > f x ( a )角周波数12 f x ー f x 1の信号の位相  O 2 f x > f x  X 2 f x < f x ( b ) ( b ) o
ll sense of the state of the state of the state. The state of the state Fig. 4 - 11 ( a ) ( b ) ( a ) ( b ) ( a ) ( b ) Fig. 4 - 13 ＩＤＴ上における光の反射率本研究で得られた結論を示す。第３章では、コヒーレントに干渉するレーザ光のみでなく、４つの光路（ Fig. 2 – 2 ）を通って来るレーザ光をすべて考慮し、ＡＰＤ（アヴァランシ・フォトダイオード）にはいるレーザ光の強度について、解析を行った。また、簡単のため、実際上十分な精度のある近似を行った。これで得られた式を用いて、新しい原理により、被測定試料の振動振幅を求める方法を示した。これによれば、従来の方法では必要であった、位相変調器が不要である。さらに、位相についても解析を行い、ﾁλ、ﾁλの大小関係を変化させて位相を測ったときの式を示し、位相の補正についても検討を行った第４章では、最初に振動についての一般的な議論を行い、Ｑ値の導入および共振点付近における振動の振幅、位相の特性を明らかにした。また、主な測定対象である円板状圧電振動子の振動形態について、数学的な考察(特に低周波極限について)を行った。さらに、実測データに基づき、拡がり振動の第１共振点付近および第２共振点付近での振幅特性、位相特性を示した。第１共振点での振幅およびＱ値を用いて、拡がり振動については圧電定数d 、厚み縦振動についてはg ′（圧電定数gの目安となる値）を求める原理を示し、実際に測定を行った。また、ＰＺＴ基板上における表面弾性波についても、光学的測定を行い、入力電力の違いによって、振動状態が違っていることを示した。
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ここでは、本文４－３「実測の振動振幅にたいする考察」で論じられた内容を、さらに詳細に検討する。根拠となる実験データは、平成３年春の応用物理学会で発表されたものである。主に検討することは、以下の通りである。圧電機効果と圧電縦効果の物理的な違い圧電定数を算出する方法サンプル上での振動振幅の空間的な分布
A − 1 圧電横効果と圧電縦効果の物理的な違い
本研究では測定する振動として、 r方向への拡がり振動と、 Z方向への厚み振動とがある。（サンプルにおけるr方向、Z方向については Fig. 4 − 1参照のこと。）どちらの振動についても、ひずみＳを測定する方法は同じであるが、データ処理の際に着目する量は異なる。 r方向拡がり振動については(ひずみＳ₃）／（電界強度Ｅ₃）に着目し、Ｚ方向厚み振動については（ひずみS 3 ）／（電束密度D 3 ）に箸目する。その理由は、各々の振動に対する電気的条件の違いである。 Fig. A − 1に示すように、 r方向拡がり振動は圧電機効果によって生じるものであり、その電気的な条件は∂E3 = 0   [ r方向についてE3が一定] д r (A・1)となる。一方、Ｚ方向厚み振動は圧電縦効果によって生じ、電気的条件は( A • 2 ) ∂D³ = 0  [ Z方向についてD³が一定] д Zである。³’　それぞれの振動について、物理的に本質の役割を果たす量に着目するということである。またそれぞれの箸目量から算出できる材料定数は… ( i ) S3／E3　からは　圧電定数ｄ33 … ( ï ) S 3 / D 3   からは　圧電定数9 ′ 3 3である。（算出の方法に関してはＡ－２を参照。）  （ｉ）は（４・２５）、(４・２６)のとおりであるが、（ñ）については、４－３の最後の部分での議論に少し付け加える。（４・２８）の前半の式S  =     s ET + g D
において、もしT = 0が成立すれば、圧磨定数gはS ／ Dとして求められるはずであるが、本研究の実験に用いたサンプルにおいては、T = 0が成立するとは限らない。そこでg ′ ｡ ｡ （圧電定数g ｡ ｡の目安となる値）のみが求められるのである。何らかの方法でで= 0を満たすことができれば、正確なg 33の値が得られることが期待できる。
A − 2 圧電定数を算出する方法
4 － 3の最初の部分でも述べたが、圧電定数を求める方法を、図を用いてさらに具体的に述べる。 Fig. A – 2のような測定結果のグラフがあるとする。例として、 r方向拡がり振動の第１共振点でのS 3 / E 3の結果を用いて、 d 3を求める場合を示す。圧電定数d 3 sは、 (A・3) d 33 = S 3 /E 3 （直流領域または低周波極限）と定義される。この定義では直流領域すなわち低周波極限でのS 3 / E 3の値を用いていることに、注意が必要である。交流振動を用いて、特に共振点での振動を用いているを測定しようとすると、次の関係を考慮しなければならない。共振点における振幅＝（直流領域における変位）× Ｑ     （Ａ・４）ここでＱは共振現象のＱ値であり、共振の鋭さを示す値となる。これらのことから、 d 。。を算出するには、共振点でのS 。/ E 。の値と、Q値が分かればよいことになる。 S。/ E。の値の最大値、すなわち共振周波数f ,でのS。/ E。の値を Fig. A − 2のように（S3/E3) PEAKとする。S3/E3の値が(S3/E3) PEAK ／√2となる点の周波数をƒ₁、ﾁ₂（ただしƒ₁＜ƒ₂）とする。Ｑ値は(A • 5) Q= f,/ (f,-f,)のように求められる。このＱを用いて、圧電定数ｄ｡｡は( A ・ 6 ) d33=  (S3/E3) PEAK / Qと求められる。この方法は、第１共振点についてのみ有効である。なお、この算出方法についての数学的根拠については、４－２、４－３、あるいは参考文献５に詳しい。 Z方向厚み振動の第１共振点でのS 3 / D 3の結果を用いてg ′ 3 3を求める場合も、全く同様に求めた。
A − 3 サンプル上での振動振幅の空間的な分布
本文中では、測定はサンプルの中央付近の振動についてのみ行ったが、ここでは振動振幅の空間的な分布に関して行った実験とその結果について述べる。レーザ光を入射する位置は、  Fig. A − 3に示すように(1)中央付近中央と端の中間(2) ( 3 )葉の３点である。（S 3 /D 3については、（１）、（３）の２点のみで測定を行う。）最初に、0.19 MHz付近（r方向拡がり振動の第1共振点）でのS 3 / E 3の結果を用いてd s sを求めた結果を Fig. A − 4の（a）、（b）、（c）に示す。またそれぞれの測定点で測定されたd 。の値をTable A ー 1に示す。なお、 Fig. 4 － 3と比べるとグラフの形状が鋭さを欠いているように見えるが、これは測定を行った周波数範囲が異なるためである。 Table  A − 1から分かるように、中央付近では正確な測定が可能である。中央から離れるにしたがって測定値は小さくなる。この原因は、サンプルの大きさが有限であり、中央から離れて端に近づくにつれ、境界面の影響が出てくるためと思われる。すなわち、サンプルの端の付近の振動形態は、４－２で論じたような理想的な振動形態とは異なるということである。次に、1.3  MH z付近（Z方向厚み振動の第１共振点）でのS 3 / D 3の結果を用いてる´｡｡を求めた結果をFig. A − 5の( a ) 、( b )に示し、測定されたる´｡｡の値をTable A − 2に示す。この場合も測定点が端になると、測定点が小さくなる傾向がある。この傾向は、拡がり振動の時よりも頭者に出ていることがわかる。
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◇Ｚ方向厚み振動（縦効果） 2種の振動の電気的条件の違いFig. A - 1 ..
Fig. A - 2圧籠定数を算出する方法を説明する図d 33 =
A – 1カタログ値のd 3と測定されたd 3 3
A -- 2カタログ値のgっっと測定されたy ′っっ