Abstract

はじめに
§ 1.
関孝和編『開方飜変之法』(1685)は開出商数第一、験商有無第二、適尽諸級第三、諸級替数第四、視商極数第五の五条から成り立つ。本論文では開出商数第一について簡単に説明した後、験商有無第二を取り上げる。残りの三條は「関孝和編『開方飜変之法』について(II)」[8]で扱う。 『開方飜変之法』の験商有無はこれまで藤原松三郎とAnnick Horiuchi(堀内美都)氏以外は、字義通り「商の有無を験す法」と解釈し「この方法は根の有無を確かめる方法としては誠に心もとないものである」(加藤平左エ門[6, p.53])、「孝和がかかる誤りを犯したものとは思えないが、孝和の意図が奈辺にあったかが、今日までの研究ではまだ判明していない。」(平山諦[3, p.94])と考えられてきた。本論文では藤原およびHoriuchi氏の解釈を踏まえた験商有無の新しい読み方を与える。 『開方歓変之法』の底本は最良の写本である早稲田大学小倉文庫イ16-228 ¹に基づく。関孝和編『病題明致之法』(貞享二(1685)年重訂)の底本は学士院8918(旧伯爵有馬家文庫)を用いる。『解伏題之法』の底本は学士院118である。枠で囲った縦書きの漢文は、底本を可能な限り忠実に活字にしたものである。ただし、正に朱、負に黒が用いられている算木は、印刷の都合上正は黒、負は正の表現に斜線を加えたものに改める。また、訓点は省いた。ポイントを小さくして原文を解説した箇所は、原文の割注に対応している。 ( )内は現代数学を用いた説明である。
§ 2．開出商数第一
開出商数第一は前半で開方式(1変数代数方程式)を四つに分類している。後半では開方式の商数の開出の方法(すべての実根を求め、その結果商数が求められる)を述べている。開出商数はすでに林鶴一[2]、藤原松三郎[1]により解読されているが、以下に概略を述べる。 § 2.1.   開方式の分類開方式(1変数代数方程式)には、全商式、変商式、交商式、無商式、の４つがある。正負いずれか一方の商(根)を１つだけ持つのは全商式という。(重根は１つと数える。)正負いずれか一方の商を数個持つのは変商式という。正商と負商を両方持つときは交商式という。正負それぞれ開出商を得ることができないときは無商式という。無商式は雙級 (偶数次数)に限る。開方式(方程式)の4分類を、開出商数第一で取り上げられている8例を併せ、表1にまとめる。商の件数(根の数)は重根を1つと数え、虚根は含めない。
§ 2.2. 商数を開出する方法
「開出商數之法」を小倉文庫イ16-228では「商数を開出するの法」と読み下しているので、商が何件あるかを求める方法ということになる。
開方式(n次代数方程式) f (x) = 0が与えられたとき、実尽f(α) = 0となる正商または負商αを立て、x = y + αと変数変換し、f (y + α) = 0を組み立て除法により求め
を得る。続いて、g(y) = f(y+α)/y = 0に対し方尽g(β) = 0となる正又は負の商βを立て、y ＝ z + βと変数変換しg(z+β) = 0を求める。また続いてh(z) = g(z+β)/z = 0に対し廉尽k(γ) = 0となる正又は負の商γを立て、k(w+γ) = 0を求める。以下同様に隅上級(n − 1次の項)まで繰り返す。各級の商α, β, γ, . . .が求められたとき、α, α+β, α+β+γ, . . .がf ( x ) = 0の逐商(次々に求められた商、すなわち全ての商)である。ある級で開くことが出来ないときは無商とする。 f(α) = 0となる正商または負商αの求め方を関孝和は『解隠題之法』で詳述している。関は1つの商の求め方を『解隠題之法』で扱い、すべての商の求め方を『開方飜変之法』開出商数で扱っているのである。開出商数のアルゴリズムを例により見てみる。開出商数の例3
1 1
1 f(x) = 2 − 3x + x²とおく。f(1) = 0(原文の「実尽」)より、x = y + 1と変数変換すると
となる。
とおくと、g(1) = 0(原文の「方尽」)より1と2(= 1 + 1)がf(x) = 0の根である。ある級で開尽することが出来ない場合を例2により見てみる。
−1)
負商一を立てると実が尽きる。g(y) = 9 − 5y + y 2 = 0は実根を持たないので、いかなる正又は負の商を立てても方は尽きない。制注「若至其級而不能開盡者爲无商也」に該当する場合であり、方余、廉余の欄に無と書いている。
験商有無第二
& 3.
下線の箇所は原文をそのまま現代表記したものであるが正しくない。訂正した表現を【】内に記す。与えられた原式(方程式)をα 0 + ··· + a n x n = 0とし、正負商一算α(= ±1)を立てる。所布の隅(最高次の係数)に原式の隅anをおき、商αを順に掛けた数を実まで布く。天…下願夏方原式α) ··· An ao a1 anon-1所布anon an所布の実(定数項)ananと原式の実αが同名(同符号)のときは其の商(αと同符号の根)なし、異名(異符号)のときは其の商ありとする。実が同名であっても、他の級の少なくとも1つが異名であれば其の商があるように適尽其級法(たとえば、廉級が異名であれば適尽廉級法)【適尽方級法】によって原式各級数(実級から隅級の係数の一つ)の符号は替えず絶対値のみを替える。界名の級が多くあるときは上級(低次)の適尽其級法を用いる。【いかなる場合も適尽方級法を用いる。 α nが正のとき所布の隅に1とおき、α nが負のとき−1とおくというのが定説(たとえば、[1][2][4][6]など)であるが、18世紀前半に改変された『開方翻變五條』に基づいた誤った解釈である。原書の「原廉」「原隅」を無視している。詳細は[7]を見よ。験商有無の例1 −2 + x + x² = 0 (根は1, −2)正商一を立てる。廉実方1) 1原式所布1 1 1所布の実1は原式の実–2と異名なので正商有り。負商一を立てる。 −1)   −2     1     1   原式1 所布の実1は原式の実–2と異名なので負商有り。験商有無の例2 1 − x + x² = 0 (実根はない。共役2虚根をもつ)実方1)    1 1      1      1   所布所布の実１は原式の実１と同名なので正商無し。方が異名なので適尽方級法により、実数、方数、廉数を替え正商を持たせるようにする。実行結果は視商極数の最初の例で取り上げているので、解説は[8]で行なう。実方原式−1)  1 −1  1所布−1   1 1所布の実１は原式の実１と同名なので負商無し。(実方廉すべて原式と同名なので替数により負商を持たせることは出来ない。実際、c + bx + ax² = 0, (a > 0, b < 0, c > 0)は正根2つを持つか実根を持たないかのいずれかで負根を持つことはない。）験商有無の例3(原文略) 5 − 9x + 5x² − x³ = 0 (正根１と共役２虚根をもつ)関実  方    廉原式1)     5                  9 −1 5所布–1 −1 −1 −1所布の実–1は原式の実5と異名なので正商有り。康関天方−1)  5 5 所布−1   1 1 −1たない。）所布の実１は原式の実５と同名なので負商なし。(所布と原式のすべての級が同名なので替数はできない。実際、d + cx + bx² + ax³ = 0, (a < 0, b > 0, c < 0, d > 0)は負根を持
§ 4.
験商有無で述べていることを現代の数学で表すと次のようになる。験商有無(字義通りの解釈)方程式α 0 + α1x + · · + απx π = 0, (α 0 π ≠ 0)の正根と負根の有無は次の通り。 (1) aoan > 0のときは正根を持たない。 (2) aoan < 0のときは正根を持つ。 (3)  (−1)²a0aπ > 0のときは負根を持たない。 (4) (−1)²a0aπ < 0のときは負根を持つ。評価(2)(4)は中間値の定理により正しいが、(1)(3)は関が開出商数で取り上げた8例中3例が反例になっている。 (1)の反例：全商式1 − 2 x + x² = 0、変商式2 − 3 x + x² = 0 (3)の反例：交商式−6 − 7 x + x ³ = 0関は数学的に正しくない命題を述べているのであろうか。験商有無(字義通りの解釈)にたいする疑問は藤原松三郎が提示している。孝和がかかる誤りをするとはちょっと思へないのである．上に引用した文章の次こ若雖箕同名，他級中有異名者，以適盡其級法而替原式各級數，而后爲其商有之也とあり，質α 0が布くところの質1(または(−1) nと同名のとき(正根無しといってみるにも拘はらず)、もし他の級に異名のものあらば、適盡其級法でαρの値をかへ(符號はもとのままにして)，しかる後にその商有りと言ってゐるのは矛盾である。故に上文中「其の商無しとする」とあるは「一時商無しと見」ることであって，適盡其級法によって，商のあるための係數の範圍を定めるのではあるまいか. [1, p.212]
また、A. Horiuchi氏も次のように述べている。
Fault-il considérer ici que Seki a commis une erreur?  Pour plusieurs raisons, il convient de ne pas conclure trop vite.  Il semble, en effet, que, malgré le nom attribué au test, son principal objectif ne soit pas de déterminer dans un cadre général l'existence d'une racine; il s'agit plutôt de repérer les coefficients susceptibles d’être remplacés afin de transformer l’équation en une équation admettant une racine. [4, p.215]関がここで誤りを犯したと考えるべきか。いくつかの理由で拙速に結論を出すべきでないと考える。実際、テストに帰する名前にも拘らず、その主目的は一般的枠組みでの根の存在の決定にあるのではなく、むしろ、方程式が根を持つような係数の範囲を決めることであるように見える。関孝和は、藤原が指摘しているように、諸級替数で符号を替えないで絶対値のみ替えて商を持たせるようにしているので、符号のみにより商の有無を判断しているとは考えられない。 『開方飜変之法』は、験商有無第二に先立ち開出商数第一で1. 開方式の商(方程式の根)の符号と数による4通りの分類2.開方式の全ての商の求め方3.開方式の全ての商と分類の例を述べている。験商有無第二に続いて、適尽諸級第三で適尽方級法、適尽廉級法などを与えている。諸級替数第四は「依験商有無法調有異名級(験商有無法に依りて異名有る級を視)」た後、適尽其級法(たとえば、異名の最上級が廉級のときは適尽廉級法)を用いて各級の係数の符号は変えず絶対値のみ変えて商を持つようにする方法を述べている。したがって、験商有無第二は開出商数の方法で正商または負商が求められないときに行なう替数の第一ステップとして述べたと考えられる。このことは、『開方飜変之法』重訂の半月後に重訂された『病題明致之法』の下記の文が傍証になる。虚題には無商の式(寒根を持たない方程式)を得るもの、負商の式(正根が必要なのに負根しかない方程式)を得るもの、背題図意(題意に適さない)商を得るものの三品がある。無商式は替える数を天元の一として適尽方級法など【適尽方級法】を開除し商の極数を視る。負商式は験商有無によって異名の項を見つけ替える数を天元の一として適尽其級法【適尽方級法】を開除し商の極数を視る。負商式に験商有無を適用することから、験商有無に先立ち商を求めていることが分かる。すなわち、験商有無は商の有無を験すだけの方法ではない。験商有無が開出商数の方法で正商または負商が求められないときに行なう替数の第一ステップであることをフローチャート(図1)に示す。最後に、A. Horiuchi氏が“Il semble, en effet, que, malgré le nom attribué au test, (実際、テストに帰する名前にも拘らず、)”と問題にしている「験商有無」の名称について見ておく。Horiuchi氏が書いているように、「験商有無」を訓読すると「商の有無を験す」となる。そこで関孝和の「験」の用例を見てみる。関は『解伏題之法』において「得A験B之後求C也(Aを得てBを験しこの後Cを求むるなり)」の構文を3回用いている。定乗第二両式を得て、居省約縮を験むるの後、定乗を求むるなり換式第四定乗を得て、畳括を験むるの後、換式を求むるなり生苑第五換式を得て、支治を験むるの後、生剋を求むるなり。根幹になる操作の前処理となる手続きを実行することを験と呼んでおり、「一定の条件にあるかどうかを調べ、条件に合えば処理を行なう」というように使われている。
§ 5.おわりに
本研究では『開方飜変之法』験商有無について以下のことを示した。 「験商有無」の役割は、正商または負商を持たないとき、替数が出来る可能性があるか否かを事前に判定することにある。可能性があるときは、(「適尽其級法」ではなく)「適尽方級法」により替える級数(係数)の範囲を決める。「質同名者其商無之」は藤原松三郎が書いているように「『其の商無しとする』とあるは『一時商無しと見』る」と解釈すべきで、そのときは替数を行なうということを表している。「験商有無」は替数の第一ステップとして正しいアルゴリズムである。