Abstract

1.はじめに
大学初年次の代数学では，群，棄，体などの代数系について学ぶ．体は有限集合のとき有限体（またはガロア体）という.ガロア体という名称は，これを最初に考えたガロアの名前に因むものである．そうでないときは無限体と呼ばれる.有限体は必ず可換体である（ウェダーバーンの定理）ことが知られている.有理整数環Zは単項イデアル整域であり，m∈Z対して剰余環Z/mZが体⇒ mZが素イデアルである，すなわち極大イデアルである. ⇒ mが素数である.が成り立つ、よってpが素数のときZ/ p Z = F ,は有限体であるが，特にp = 2, 3の場合の演算表を示すと次のようになる. Z/2Z={0, 1}気1
× 0 1 2
本論文においては，有限体の標数および素体について述べ，さらにその存在と一意性について解説する．そして，具体的に有限体を構成する方法についても紹介する1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)
2.有限体の性質
体Kの単位元1 kに対して，n回加えると0になる，すなわち1 k +1 k +…+1 k = n·1 k = 0となるような自然数カの中で最小の数をＫの標数といい，char(K)と表す．ただしＫにこのような自然数カが存在しないときは，char(K) = 0と定義することにする．標数が0ではない場合，その標数pは素数であることがわかっている。また，標数が素数pの体Kの元a , bに対して( a + b ) ′ = a ′ + b ′  そして   ( a + b ) ′  = a ′  + b ′ ′が成り立つことがわかる.さらに体Kのすべての部分体の共通部分からなる体を，体Kの素体といい，Kの素体はKの最小の部分体である．例えば，有理数体Q，実数体R，複素数体Cの標数は0であり，素数Pに対してZ / p Z = F 。の標数はpである.これらについて以下のことが知られている.
定理（標数と素体） 3）
体Kの単位元を1 k ,素体をFするとき，次の(0-1), (0-2), (0-3)は互いに同値である. (0-1) char(K) = 0 (0-2) n ∈ Zに対して, n ⋅ 1 κ = 0ならばn = 0 (0-3) F≠Qまた，素数pに対して，次の(P-1),(P-2),(P-3)は互いに同値である. (P-1) char(K) = p (P-2)  p · 1 k = 0 (P-3) F ≡ Z/pZ = F o ■もちろん有限体Kの標数は崇数pであり，その崇体F 。はKの部分体であるから， KはF 。上の線形空間と見なすことができる.言い換えればKのF p上の次元がnのとき, Kの一組の基底をV 1 , V 2 , … , V nとすれば, Kの低意の元はC 1 V 1 + C 2 V 2 + ···+ C n V n (c 1 , c 2 , … , c n ∈ F p )の形に一意的に表される．よって， Kの元の個数はp"であることがわかる．よって
定理（有限体の元の個数）
有限体Kについてdim r , K = [ K : F , ] = nのとき, Kの元の個数はp "に等しい. ■となる.さて，有限体の乗法群の構造について述べると次のようになる.
補題
体Kの0と異なる元全体のつくる乗法群K*において，その有限部分群はすべて巡回群である． ■定理（有限体の乗装群）標数が素数の有限体K ,その素体をF ,として,  KをF ,上の線形空間と見てdim g  K = nとすれば,  Kの元の個数はp"であり，乗法群K*の元の個数はp" −1で巡回群である．■この巡回群K*の生成元のことを，有限体Kの原始元ということもある.次に，有限体の存在と一意性については以下の通りである.
定理（有限体の存在と一意性） 49
任意の素数pと自然数nに対して，元の個数がp "となる有限体Kが存在する．このようなKは素体F 。上の多項式x p " ー xの最小分解体に同型である．したがって，同型を度外視して一意的に定まる．■ (証明) F pをF pの代数的問包とし，K = k α ∈ F p ; α n = α jとおけば，Kが体になることが容易に確かめられる．Kは多項式ƒ(x) = x ′′ − xの解の全体であり,形式的微分ƒ′(x) = p ′′ x ′′ − 1 = − 1 ≠ 0とƒ(x)の共通の解は存在しない。よって，ƒ(x)は重解を持たないので， Kの元の個数はp"である. 【証明終】この結果から元の個数がq = p"の有限体はすべて同型であるが，これをGF(q)と表すことがある.
3.有限体の構成
可換体Rについて多項式環R[x]は単項イデアル整域であり， R上の多項式f(x)に対して剰余環R[x]/(f(x))が体⇒ (f(x))が素イデアルである，すなわち極大イデアルである. ⇒ f(x)がR上既約である.が成り立つ．実際に，元の個数がp"の有限体を作るときは，以下の結果
定理（有限体の構成方法） 5)6)7)
p(x)をF p上のn次既約多項式とすれば, F p [x]/(p(x))はF pのn次拡大体で,元の個数がp "の有限体である.ということに基づく．まず最初にＦ，上の既約なn次多項式f (x)を一つ選び，剰余項Ｆ＝Ｆ，[x]/(p(x))として構成して行く.このときxの剰余類をα = x = x + (p(x))とおくとp(α) = p(x) + (p(x)) = 0        (*)であり， (*)を用いて計算することにより， Fの元は一意的に(**) c 0 + c 1 α + c 2 α 2 + ··· + c n − 1 α n− 1     (c 0 , c 1 , c 2 , ··· ,c n− 1 ∈ F p  )の形に表される.したがって，αの幕もまたすべて(**)の形に表されることがわかる．ところが，αは一般には，巡回群F*の生成元ではなく，αの幕はF*のすべての元を尽くすとは限らないことには注意が必要となる.有限体GF(p")を取り扱う場合には,それと同型な体F p [x]/(p(x))のうちで,根式=αが巡回群F*の生成元であるようなＦ p上のn衣既約多項式p(x)を選ぶことによって，有限体Fを構成する方が都合がよい.もしもp(x)が，上述のように都合よく選ばれているならばF = {0, α, α², …, α 9–1 (= 1)}     (ただし, q = p")であるから，αの冪を，(*)を用いて計算することにより，すべてを(**)の形に書き表すことにする．このときFのおのおのの元は，一方では指数による表示，一方では(* *)の形の表示と，二通りに表示される. ( 0 = 0 α = α α n-1 = α n-1 α" = c n,0 + c n,1 α + ····· + c n,π-1 α π-1 α 9-2 = c q-2,0 + c q-2,1 α + ····· + c q-2,n-1 α n-1 α 9-1 = 1 Fの元を，上のように二通りに表示しておくと，Ｆの演算のうち，和では右の表示，積では左の表示を用いることにより，演算を簡便化することができる.また，F p [x]のモニックなn次既約多項式のうち，GF(p")*の生成元を根にもつものを原始既約多項式ということがある.以下に，有限体の構成についての例を挙げることにする.
例1  ( GF(2 2 ) )  6)8)
F 2 = Z/2Z = { O,  I }上の2次多項式で既約であるものはx 2 + x + 1だけである．実際にこれ以外の3つはx² = x · x, x² + 1 = (x + 1)  (x + 1), x² + x = x · (x + 1)と，積として表される．また，x² + x + 1が因数分解できたとしてみるとx² + x +1 = (ax + b)  (cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bdであるから| ac = 1 ad + bc = 1 bd = 1でなければならない．よって，ac =1よりa =1, c =1が得られ，bd =1よりb =1, d =1が得られる．ところが，このときad + bc = 2 = 0となり矛盾が生じる．したがって，x ² + x + 1はF 2上で既約であることがわかる．よって，x² + x + 1で生成されるイデアルI = (x² + x + 1 )は，極大イデアルでありF 2 [x]/I = {k 0 +k 1 x + I ; k 0 , k 1 ∈ F 2 } = {I , 1 + I , x + I , 1 + x + I }は元の個数が2² = 4の有限体GF(4)である．ここでI = 0, 1+ I = 1, x + I = αとおくと，αはx² + x + 1 = 0のF 2 [x]/Iにおける解であるからα² +α +1 = 0 ⇔ α² = −α − 1 ⇔ α² =α +1となる。するとαの幕はα² = α + 1, α³ = (α +1)α = α² + α = (α +1)+ α = 2α +1 = 1なので，αがGF(2 2 )の原始元であることがわかる.
よって，GF(4)={0, 1, α，α+1}となっている．演算表は次の通りになる.例2 （GF(3 2 ））まず，F 3 [x]の中からf (x) = x 2 + 1を選んでみる.これについてf (0) = 1, f (1) = 1 + 1 = 2, f (2) = 4 + 1 = 2であるから，F 3の中に解をもたないので，f (x)はF 3 [x]において既約な2次多項式である．ょって，F 3 [x]/(x² +1)は元の個数が3² = 9であるような有限体GF (9)である．β = αとおくと，これはx² +1＝0のF 3 [x]/(x² +1)における解であるからβ² +1=0 ⇔ β² = −1 ⇒ β² = 2が成り立つ。するとβ ³ = 2β, β 4 = 2β 2 = 2 · 2 = 4 = 1であるから，βはGF(3²)の原始元ではないことがわかる,原始既約多項式を見つけるために，F 3 [x]の中から改めてp(x)= x² + 2x + 2を選ぶことにする．これについてp(0)=2, p(1)=1+2+2=5=2, p(2)=4+4+2=10=1であるから，x² + 2x + 2 = 0はF 3の中には解をもたない．したがって， p (x)はF 3 [x]において既約な2次多項式であることがわかる.ょって，F 3 [x]/(x² + 2x + 2)は元の個数が3² = 9の有限体GF (9)である．ここでθ = πとおくとx² + 2x + 2 = 0のF 3 [x]/(x² + 2x + 2)における解であるからθ² + 2θ+ 2 = 0 ⇒ θ² = −2θ − 2 ⇒ θ² = θ + 1であることを用いてθの幕を計算すると以下のようにθ² = θ + 1, θ³ = θ² + θ = 2θ + 1, θ 4 = 2θ 2 + θ = 2( θ + 1 )+ θ = 3θ + 2 = 2, θ 5 = 2θ , θ 6 = 2θ 2 = 2( θ + 1 ) = 2θ + 2, θ 7 = 2θ 2 + 2θ = 2( θ + 1 )+ 2θ = 4θ + 2 = θ + 2, θ 8 = θ 2 + 2θ = ( θ + 1 )+ 2θ = 3θ + 1 = 1となるから，θはGF(3 2 )の原始元であることがわかる．よって，上の計算結果からGF(9) = {0, 1, θ, θ², θ³, θ⁴, θ⁵, θ⁶, θﾌ} = {0, 1, θ, θ +1, 2θ +1, 2, 2θ, 2θ +2, θ +2 } = {0, 1, 2, θ, 1+θ, 2+θ, 2θ, 1+2θ, 2+2θ}
(例2の追記)  79例2で示したβはGF(3 2 )の原始元ではなかった．しかし，F 3 [x]/(x 2 +1)の元は( k o , k 1 ∈ F 3 ) k 0 + k 1 βの形に一意的に表されるのでGF(3 2 ) = { 0, 1, 2, β, 1+ β, 2+ β, 2β, 1+ 2β, 2+ 2β}となっている．そこでβ 2 = −1 = 2を用いて積を計算すると，乗積表は以下の通りになる．

4.おわりに
有限体は,ガロア体と呼ぶことからもわかるように,初めてこの概念を公表したのはガロアによるものである.その後，デデキントが多項式環における剰余環として有限体を構成した．このことまでを，この論文では紹介した．さらに，有限体のガロア群も興味ある問題である．また近年では，有限体は符号理論の数学的基礎として，重要な役割を果たしている.
�肴文獻
1）岩永恭雄「代数学の基礎」日本評論社, 2002 2）廣瀬健「情報数学」コロナ社， 1985 3）菅野恒雄「代数学II一群・体一」森北出版, 1976 4）永尾汎「代数学」朝倉書店, 1983 5）金子晃「応用代数講義」サイエンス社, 2006 6）平松豊一「情報の数理　応用代数学」姜華房, 1997 7）増田真郎「応用のための代数系入門」サイエンス社, 1981 8）細井勉「情報科学のための代数系入門」産業図書, 1982 9）橘貞雄，神蔵正，衛藤和文共著「応用代数学入門」冨山房インターナショナル，2007 10）尾関和彦「情報技術のための離散数学入門」共立出版, 2004 11）杉原厚吉，今井敏行共著「工学のための応用代数学」共立出版，1999 12）小倉久和,高漢徹行共著「情報の論理数学入門」近代科学社, 1991 13）伊理正夫,藤重悟共著「応用代数」コロナ社, 1988