任意に可換体kをとり固定する．簡単のためN 0 := {0,1,2,3,...}とかく．
1　次数付き代数
定義1.1.環Aがk-代数(k-algebra)であるとは，与えられた環の加法に関してk-ベクトル空間をなしており，次の両立条件をみたすもの： ∀c ∈ k, ∀x,y ∈ A,    c(xy) = (cx)y = x(cy)基礎体を固定してある場合，単に代数という.例えば, （n次正方行列全体のなす）行列環Matn(k)は行列の演算で代数.また，多項式環k[X]も多項式の演算で代数.代数とは，環としてだけではなく，ベクトル空間（＝線型代数が存分に使える）としての構造も持つ，すごく調べやすい対象.例えば行列環は，n次の行列単位¹³ E ij := (δikδεj)kℓを用いれば,ベクトル空間として
となる（次元はモチロンn²). 多項式環は
となる。注意1.2.ここのムゲンの意味は，基底{X' | i ∈ No}で生成される，（無限次元）ベクトル空間という意味.単にベクトル空間としてしか見ていないから，巾乗X ′も単なる記号にしか見ていない．積のコトを考えるときに意味を持つ（持たせる）、というだけ.行列環とは違い，多項式環の上記の直和分解は積とすごく相性がいい．実際，各ｉ∈ Noに対して， k[X]の1次元部分空間k[X](²) := kX²    (= {cX² | c ∈ k})を考えたら，モチロンk[X] = ⊕ i = 0 k[X](i)と直和でかけていて，積はk[X](i) · k[X](i) = k[X](i+j)と，i,jの“和”として，また同じk[X](•)で記述できる．行列環は不可なことに注意.この様に，積と上手くいっている直和分解を持つような代数に名前を付ける定義1.3.代数Aが次数付き代数(graded algebra)であるとは，部分空間たちA(i) ⊂ A (i ∈ No)で， A = ⊕ i = 0 A(i)かつ，Aの積に関してA(i) A(i) ⊂ A(i+i)をみたすものが存在するときを言う.多項式環は上記のように次数付き代数.多変数の場合も同様に次数付き代数になる.その前に多変数多項式環を定義する.定義1.4.不定元たちX 1 , X 2を固定.多項式環k[X 1 ]は可換環であったことに注意すると，それ係数の多項式環k[X 1 , X 2]  :=  (k[X 1])[X 2]を考えることが可能. これを2変数多項式環という. 帰納的に可換環k[X 1 , X 2 , . . . , X n ]を考えることができ，これを多変数（いまはn）多項式環という．もちろん多変数多項式環は自然に代数になる．ベクトル空間として
となる．さて，多変数多項式には斉次という概念があった．各ｉ∈ Noに対して，ƒ ∈ k[X 1 , . . , X n]がi次斉次であるとは, ∀ｃ∈ k,       f(cX1,...,cXn) = ci f(X1,...,Xn)をみたすときをいう. 例えばƒ(X 1 , X 2 , X 3 ) = X 3 + 4X 1 X 3 + 17X 1 X 2 X 3は3次斉次多項式で，0次斉次多項式は定数.そこで，各i ∈ N 0に対してk[X 1 , . . . , X n](i)  :=  { f ∈ k[X 1 , . . , X n] | f はi次斉次多項式}  =
とおけば，これは明らかにk[X1,...,Xn]の部分空間で，i ≠ jならばk[X1,...,Xn](i) ∩ k[X 1 , . . . , X n](j) = 0だからk[X 1 , . . . , X n] = ⊕ i = 0 k[X 1 , . . , X n](i)とわかる．明らかにi次斉次多項式とj次斉次多項式の積は(i + j)次斉次だから, k[X1,...,Xn](i) · k[X1,...,Xn](i)         k[X1,...,Xn](i+j)となり，結局，多変数多項式環k[X 1 , . . , X n]は次数付き代数となる.注意1.5.似た感じの分け方で，（総）次数を考えたくなるが，{ƒ ∈ k[X] | deg(ƒ) = k}は部分空間にならない. 例えば(1 + X + X 2 ) + (2X − X 2 ) = 1 + 3Xだから. では{ƒ ∈ k[X] | deg(ƒ) ≪ k}ならいいと思うが，そしたら，今度は直和に分けれないのでNG. でもこれはこれで意味がある．それは次.
2　フィルター付き代数
先程の最後の注意にあったように，その固定した（総）次数以下の集合というのもある意味自然な対象で，ちゃんと全体をコントロールしてそう．名前がついてる．定義2.1.代数Aがフィルター付き代数(filtered algebra)であるとは，部分空間の列0 ⊂ A 0 ⊂ A 1 ⊂ A 2 ⊂ ··· ⊂ Aで，A = U k = 0 A kかつ，Aの積に関してA k A ℓ ⊂ A k + ℓをみたすものが存在するときを言う．多項式環k[X]はk[X] k := {ƒ ∈ k[X] | deg(ƒ) ≪ k}を考えれば² } ，これでフィルター付きになる.
多変数の場合も同様にして総次数(total degree)でフィルターが付けれる．ここで，総次数は0̸= f = ∑ i1,...,in ⊂ i1,...,in X i1 · · · X in ∈ k[X 1,...,X n]に対して, tdeg(ƒ) := Max{i1 + ··· + in | ci1,...,in̸= 0}であった. 例えば2 + X1 + X1X2 + 7X2X2なら総次数はX2X2の箇所で見て2 + 1 = 3.次は基本的である．証明はそのまんま．
命題2.2.
次数付き代数 A = ⊕ ≠ o A( iに対して，A k := ⊕ i = o A( i )とおけば，これで Aはフィルター付き代数になる.これをAのgradingに付随するfilteringという.
注意2.3.
実はある意味で逆もいえて，フィルター付き代数A = U k Akが与えられたら，G(*) := A i /A i −1とおけば（ただしA_1 := 0)，Aの積から誘導される自然な積で，次数付き代数gr(A) := ⊕ s G (i)が自然に得られる．これをAのfilteringに付随するgradingという（俗に「Aのグルをとる」という). このgr(A)は時としてAより扱いやすく，Aの性質をよく反映している．今回の話には関係ないが.さて，次数付きとフィルター付きの概念を導入したが，先程の命題からフィルター付きの方が，次数付きよりも上位互換であることが分かった．確かに情報としては次数付きの方が，直和分解を要請している分，よりその代数の構造に一歩踏み込んでいる．輪切りにしてピースを手に取ることができる感じ．一方で，フィルター付きの方は，内側から徐々に肉を詰めていく感じ．直接輪切りにできない代わりに「ずっと向こう」というのを，内側の有限的なところから，攻めていける（構成できる）という利点がある.先にコンセプトだけ言うと，無限変数というものの定義は，有限変数の「ずーっといった先」と考えるのが自然なので，このフィルトレーション的な考え方で構成して見せる．しかし大問題として，「ずーっといった先」は，ある大きなハコが決まっていて，その中での話（部分空間という言葉は，それが入っているベクトル空間が必要).ハコがないのに行った先という言葉は意味をなさない.次に，そのハコを構成をするための道具を説明する.
3
加群の帰納極限(inductive limit)
一般に，Aを代数として，A-加群たちM k (k ∈ N o )が与えられたとする．これだけではお互い独立しているが，各k,ℓ ∈ No with k ≪ℓに対して，A-加群射（:= A-加群準同型）たちf k ℓ : M k → M ℓが存在していると仮定する（つまり相互関係を入れる）.ただしf kk = id Mkとしておく.以下では，これが次の条件を満たすとする³’：
ニュアンスとしては，Mrたちが，順序の推移律を保ちながら，ちゃんと並んでいるという感じ（もちろんMkたちに包含関係はないからこれはいいすぎだが).これからさらに色を付けていく.外部直和として⊕ k M kを考えることはできる．モノとしては
で，当たり前に（成分ごとの演算で）A-加群になる．但し，簡単のために直積集合はNoの順序で並べておく（つまり⊕ k M k = M 0 ⊕ M 1 ⊕ M 2 ⊕ ･ ･ ). 各kに対して，自然な包含写像
を考えることができる（あたりまえだが、単射に注意）.さて，色を付ける9ために，次の集合で生成される⊕ k M kのA-部分加群Nを考える：
これで割ったものを
とかきM』たちの帰納極限(inductive limit)や6 ,順極限(direct limit)という.ニュアンスとしては，Nで割ったということなので，与えられたkより先のlでは（つまりM eでは），伝達係fkeを通して一直線に並んでいるとみなせれるという感じ.ちゃんと言うと，剰余加群の中で元をx := x + Nと書くことにすると，任意のk ∈ N 0と元x k ∈ M kに対して
が成立しているような場所がlim , M kである.以下で，いろんな性質を見ていくことで感覚を確かにする.まず，自然な射影π : ⊕ k M k → (⊕ k, M k)/N; x → xとの合成として
とおく.以下が成立する努）:命題3.1. (1) k ≤ ℓ ⇒ fk = fe ○ fke (2) ∀ x ∈ lim, M k , ∃ k ∈ N 0 , ∃ x k ∈ M k s.t. x = f k ( x k ). (3) xk ∈ Mk [fk(xk) = 0 ⇒ k ≤ ∃l s.t. fkℓ(xk) = 0]. ♡これらを示すという行為で，lim，M kの正体を知るという感じ．なぜNはああいう定義なのかとかそういうのは，証明することで理解ができる. (1)これは単純で，任意のx k ∈ M kに対して
となるからO.K. (2)まずx ∈ ⊕ k M kなので，定義から有限個の元でx = ∑ k = o ik ( x k )とかけている（ x k ∈ M k ).するとより大きいn < mで(m = n + 1で十分)考えれば,
となるので，これでよい. (3)仮定からik(xk) ∈ Nということなので，∃α, ∈ A, ∃d, ∈ Uk{···} s.t. ik(xk) = ∑ s α,d,の形.この表示ではなにも手に着かないので，より詳しく分け直す.添え字集合の№は整列集合なので一直線に並べられる．いまik(xk)つまりkが知りたいので，(a)それ以前と(b)それ以降と(c)その他の３つに∑ g α sd sをリネーム（記号を改めて）して分けておく： (a) S1 := ∑ i α i (ik (yki) - ieifkei (yki)) with α i ∈ A, yki ∈ Mk, k ≤ l i . (b) S 2 := ∑ j β j ( ipj ( zpj ) − ik fpjk ( zpj )) with β j ∈ A, zpj ∈ Mpj, pj < k. (c) S3 := ∑ i ∑ j Yij(ipj(Wpj) - iljfpjej(Wpj)) with Yij ∈ A, Wpj ∈ Mpj. such that S 1 + S 2 + S 3 = ∑ c α s d s .モチロン最後のS 3は調整項で，∑ c α s d s = i k (x k )だからS 1 + S 2で, ik以外のところit,,ip,が出てきてるからそれを打ち消す役目の項.さてS 1 + S 2 + S 3 = ik ( x k )の目で見たら，片々比較して消えているところなどが出てくる7ので，以下の関係式たちを得る： (i)  ik(xk) = ∑ i α iik(yk i ) - ∑ i β j ik fp jk(zp j ). (ii)  0 = − Ei aiie, fke, (yk,) − Ei Ej Vijie, fp,e, (Wp,). (iii)  0 = ∑ j βjipj (zpj) + ∑ j Yijipj (Wpj).さらにｉ≠ｉ′ ⇒ ℓｉ≠ｌｼなどと取っておいたんだと言っておけば, (i)' xk = Ei αiyki - Ej βj fpjk(zpj). (ii)' ∀i, 0 = α i f k i (yk i ) + ∑ j ∀ij f p j ℓ i (Wpj). (iii)' ∀j, 0 = βjzpj + ∑j YijWpj .となる. さて, l := Max{l i}とでも取って, (i)'の両辺にf keを施すと
♂もちろんi●どもの行先は直和⊕ k M kなので，成分で比較して同じ添え字と違う添え字で分離するという意味.
できた. □これらから，lim k M kで一致していれば，もとの空間で「ずーっと先で一致」している事が言える：系3.2.任意のxk ∈ Mk, xℓ ∈ Mℓに対して, fk(xk) = fe(xe)    =⇒    k,l ≤ ∃m   s.t.   fkm(xk) = fem(xe) ◎大小に関してk ≪ lとしても一般性を失わない*).すると
となるから，先ほどの命題よりℓ ≤ ∃m s.t.  fem(xe − fke(xk)) = 0となる．あとは，移項して● femfke = fkmに注意すればよい.この新しく作ったlim k M k with f k : M k → lim k M kはいわゆるuniversal propertyをもつ91 :命題3.3.
をみたすものがあれば，ただ一つのA-加群射h : lim k M k → Lが存在して，任意のkに対して
(償習として，存在する射は点線でかく.) ⊙まず先ほどの命題より，任意のx ∈ lim, Mkに対して，∃k, ∃ x k ∈ Mk s.t. x = fk ( x k )なのであったから，主張のが可換図式になるように設定されるべきなので，h( x ) := gk( x k )と定義されるべき.さてこれがwell-definedを言わねばならぬ.つまり，別のでfe(xe) = x = fk(xk)となっていた時に，gɐ(xɐ) = gʁ(xʁ)を言わねばならぬ.先の系より，適当なk,l ≤ mでfem(xe) — fkm(xk) = 0となる．すると
でオシマイ.射hの一意性も構成から明らか.

注意3.4.
universal propertyを持つとき，それは（モノが存在すれば）同型を除いて一意的であることが，一般に言えている．実際，さっきの記号で(L, g k )がuniversal propertyを持つとすれば，今度は(lim¸k, Mk, fk)の方をお客さんと見れば，ﾖ!k' : L → lim¸k Mkで例の図式を可換にするものがただ一つ存在する. 他方で，当たり前にid : lim k M k → lim k M kも例の図式を可換にするのだから，一意性から結局はﾚ◦ﾚ′ = idを強いる．全く同様にid : L → Lでも考えればﾚ′ o k = idを強いるので，総じてλは全単射.つまりL = limk. Mk.テンソルを作るときも同じ感じで，所望の性質を持つモノでuniversal propertyをもつものとして実現される.いまは構成的にlim Mkを作ったが，射と可換図式だけで結局はその物体の性質を論じることができる（但し，それをみたすものが存在することを言うには，今のように構成して見せる必要が一回ある）こういうのを圏論という．具体的なモノではなく機能に着目する．以上でハコlim M kが作れたことになる！例えば，逆にハコが最初からあった場合，ちゃんと今作ったやつになっているか不安. 実際それはOKで次が成り立つ：補題3.5. A-加群Mをとり固定する.このとき, Mの部分加群たち{Mk}kで, k ≪ lならike : Mk → Meと包含関係のあるものを適当に考える．さらに，次をみたすと仮定する： ∀k,l ∈ No,    ∃m ∈ No    s.t.    Mk + Me ⊂ Mmすると，帰納極限が考えられ，次が成立する：
⊙まず∑ k M k = U k M kは，仮定より右辺が加群になっているのでO.K.次にlim k M k = ∑ k M kをuniversalityを用いて示す.そのためにL := ∑ k M kと，自然な包含ιk : M k ↔ Lを考えれば，ペア(L, ικ)に関して，universal propertyからﾖ!h : lim，M k → Lで例の図式を可換にするものが存在する.このとき● hは全射：任意の∑ k ˙ x k ∈ ∑ k M kに対して，∑ k ˙ x k ＝ ∑ k uk(x k ) ＝ ∑ k h(f k (x k )) ＝ h(Σκ fk(xk)). ●広は単射：任意のx ∈ Ker( h )に対して，少なくともx ∈ lim x , M kだから，ﾖk,ﾖx k ∈ M k s.t. x = fk(xk)の形. すると,  0 = h(x) = hfk(xk) = ιk(xk)よりxk = 0.
だからhは同型.
●この設定でM 0 ⊂ M 1 ⊂ M 2 ⊂ . . なわけだから，最初に行ったfiltrationの事になっている．つまりだいぶ一般化した感じ.これで「ずーっと行った先」と言っていた意味が分かると思う.
4　より一般の定義
構成を反省してみると，加群どもMkの順序関係，つまりNoの順序がキーだった．よってここを若干変更（一般化）しても，そのまま以上の議論を通すことができる．そのために言葉を.非空な集合Λ上の二項関係≤が, (反射律) ∀ λ ∈ ν, λ ≤ λ , (反対称律) ∀λ, μ ∈ Λ, [[[λ ≤ μ] ∧ [μ ≤ λ]] =→ λ = μ] , (推移律) ∀λ,μ,ν ∈ λ, [[[λ ≪ μ] ∧ [μ ≪ ν]] ⇒ λ ≪ ν]をみたすとき，組(Λ, <)を半順序集合(partially ordered set, poset)という．そもそも二項関係とは単に直積集合Λ × Λの部分集合として考えればよい（むしろ定義）.注意4.1.余談だが，もしさらに∀λ, μ ∈ Λ,  [[λ ≤ μ] ∨ [μ ≤ λ]]が成り立つとき(つまりどれも比較可能),全順序集合(totally ordered set)という. 例えば,今までの(No, <)は全順序.固定された集合Xの部分集合の関係(包含関係)に関して, (彰(X), ς)は半順序であり全順序ではない．他方，Zでの整除関係z|yは，反射律・推移律をみたすが，3| − 3 ∧ − 3|3 but 3 ≠ −3だから反対称律をみたさない. モチロン全順序性もNG.さて，半順序集合(Λ, <)が与えられたとき，これは次のようにして圏をなす： (対象) Λの元すべて. (射) λ,μ ∈ Λに対して，#Hom(λ,μ) = 0(if λ冬μ)，= 1(if λ ≪ μ)．射の合成は推移律のまま.このとき，帰納極限の最初の条件(M k , f k e )は，単に「この圏(Λ, <)からA-加群の圏A-Modへの(共変)関手10が与えられたとせよ」に他ならない．実際，関手Φ : (Λ, <) → A-Modが与えられたとき，その定義から，次が成立する：
モチロンHom(λ,λ) = {id}もOK.今までの話しだと，(λ, <) = (No, <)として，Φ( k ) = Mkとしたものに過ぎないと分かった！さて，この枠組みで帰納極限を構成するにはさらに「どれよりもずっと向こうに何かとれる」という仮定が必要.半順序集合(Λ, <)に対して,さらに次の“上界”条件が成り立つものを有向集合(directed set)あるいはフィルター付き集合(filtered set)という(定義によっては，反対称律がない場合もあるので注意）： (上界律) ∀λ, μ ∈ Λ, ∃ν ∈ Λ s.t. [λ ≪ ν] ∧ [μ ≪ ν]例えば，今までの(No, <)や(R(X), C)は，それぞれMaxや和集合というのを考えればよいので，有向集合.これらの仮定のもとで，関手Φ : (Λ, <) → A-Modが与えられたとき，lim，Φ(λ) ∈ A-Modが前セクションと全く同じように構成可能である.
5　代数の場合
今までは，環（代数）を固定して，その加群でずっと考えてきた．正確には加群の圏で考えてきた．ときにはさらに積構造が入っているときを考えたくなる．つまり基礎体を固定して代数の圏で考えたくなる.今までのM kとして，k-代数A kを考え，加群準同型として，代数準同型f k l : A k → A kを考える.加法にだけ着目すれば単にk-加群（＝ベクトル空間）というだけの事なので，今までの話が使える．つまりk-加群lim, A,を構成することは可能. これに積を入れたい.任意のx, q ∈ lim, A kに対して,命題3.1から∃ x k ∈ A k , ∃ y ℓ ∈ A ℓ s.t. x = f k ( x k ), y = f ℓ ( y )であった.そこで, k,l ≤ mを適当にとり固定したものに対して, x · y  :=  fm(fkm(xk) fem(ye))とおきたい.つまずmの取り方によらないことを言う．もっと大きいm ≪ m ′をとってしまっていた場合， fm(fkm(xk) fem(ye)) = fm' fmm'(fkm(xk) fem(ye))       (∴ liṃを定義したあたりの話) = fm' (fmm' (fkm(xk)) fmm' (fem(Ye))        (.  f.,*は代数射，特に積を保つ) = ƒm׳(ƒkm׳(xk) ƒℓm׳(Ye))と同じくなるのだから，OK.次に代表元の取り方によらないことを言う．もしx ＝ x ＆ q ＝ qだったとする．これらもx = fk'(xk'), Y = fe'(ye')とかけてるとする(xk' ∈ Ak', ye' ∈ Ag').このとき,系3.2から, k, k' ≤ ∃m & ℓ, ℓ' ≤ ∃n s.t.
となる. そこでp := Max{m,n}とでもすれば, これらの両辺にそれぞれ{mp, fnpを施したら, fkp(xk) = fk'p(xk')  &  fep(ye) = fe'p(ye') □となる．よって，これで置換えて，先ほどの大きなm'でも考えておけばよい．さて，これでlim，A，に和と積が定まった．あとはこれらが環の性質（結合律や分配律）やスカラー倍との両立を言わなければならないが，積や和の定義を考えると，全然そのままで考えている（ねじったり変なことをしていない）ので，当たり前に成立する．従って，これでlim，A kは代数になる．