1. Introduction
●  McFadden and Train (2000) •一般化ランダム効用最大化離散選択モデルを導出•このモデルはconditional indirect utility (CIU)を次式で表すU*( zj, S, Ej, U) ●観測項ζ , ●観測個人属性 』 非観測個人属性v ●データに適用するために，モデルをさらに特定化●選択肢jの確定効用を次式で表すV; = V(z;, s, v) •この仮定の下で研究者はパラメータ推定をする(2) m 1. Introduction ●変数z, ,s ,vはVjにまとめられるという仮定を置いて，CIUは(3)式で表すU* (Vj, Ej) (3) ●このとき，選択確率はp(i|z, s) =  |  P(i|z, s, v) f(v)dv (4) ● f(v)は母集団におけるvの確率分布p(i|z, s, v) = Pr[U*(Vi, εi) > U*(Vj, εj)Vj] (5) 4 1. Introduction ●一般に加法型誤差項で定式化するU*(Vj, εj) = Vj + εj •ここで, εjとVjは独立である(6) •個人の非観測異質性vを無視した効用の線形パラメータでの特定化が一般的であり, V j = V (zj, s, v) = β′ x(zj, s) ●つまり，式(4),(5)は次のように簡単にできるP(i|z,s) = Pr(β′x(zi,s) + ει > β′x(zj,s) + εj∀j)  (8) •実際にはεの分布において，一定の仮定をおく• i.i.d. extreme value分布→MNLモデル(7) 5ちょっと脱線して復習●車の効用,バスの効用が次式で表されるU c =V c + ε c        V c = β i T c + β 2 M c U b =V b + E b        V b = β iT b + β 2 M b ● T:所要時間，M:金銭的コスト•たとえばVc=4, Vb=3のとき，車の方が確定効用が大きい1. Introduction ●式(3)から式(6)の流れは自然であるが… (3) U*(V j , E j ) (6) U*(V j, ε j ) = V j + ε j •誤差項が異質的でi.i.d.の仮定を壊していることがありうる. •これまで多くの研究者が加法型誤差項の分散を観測，非観測，個人属性の関係などを特定化してi.i.d.の仮定を緩和してきた•この論文では加法型仮定を乗法型に修正7 2. Model formation •式(9)で与えられるJ個の選択肢の有限集合C上において，一般的な乗法型誤差項を仮定する. ● V ¡ < 0：効用関数の確定項• εj > 0：ランダム変数　個人ごとにi.i.d.でV jとは独立•これらの仮定は多くの適用において自然な仮定•式(5)の選択確率はこのモデルの下では次式P(i|z, s, v) = Pr(Viei ≥ VjejVj)   (10) •乗法型の定式化も，次のような導出を行うことで,加法型の古典的な定式化と関連させることができろ8
2. Model formation •以上より，対数形を用いることで加法型のRUMフレームワークで表現できるP(i|z, s, v) = Pr(Vi + ξi ≥ Vi + ξi) •乗法型定式化では正の定数を両辺に掛けることはIn (V)に定数を加えることと等価なので，正規化のためにあるパラメータを1か-1にfixするとよい•役に立つのは，費用のパラメータを1に正規化すると，他の係数はすべてwilling to pay指標として解釈することが可能2. Model formation •この定式化は非常に一般的であり, これまでの古典的なモデルにおけるMNL, MEV(GEV), mixedなどすべての離散選択モデルで利用できる●たとえば，MNLの場合e-λ ln(-Vi) P(i|z, s) = - Ejece-Xln(-Vj) = ; Ejec(-Vj)-y (14) •また,この定式化は効用関数の線形パラメータを置く必要性があまりない（非線形でもOK） ●というか，線形パラメータを置いても，対数を取ったりする時点で非線形になってしまう• Biogemeなら推定できるよ
V b = Vc = P(i|z, s, v) = Pr(Viei ≥ VjejVj)     (10)たとえばEb = 1,Ec = 2 → ε b = 0.5,ε c = 1 → ' ε b = 0.1,ε = 0.5 →ちなみにεは指数分布(exponential distribution)に従う（左図参照）理由は後述. 3.1. Distribution o.エ. DiStribution Fei(x)r=1 — Fei(—Xlnx) ● ξiがextreme value分布の場合，ξiのCDFはF ξ i (x) = e-e-x •よって，εiのCDFはF ε i (x) = 1 − e − e λ ln x  = 1 − e − e − e − 1 − e − x λ ●これは指数分布の一般形である13 3.2. Elasticities ●選択肢iの説明変数xkの直接弾力性は定義より∂P(i) xk     ∂P(i)∂Vi  xk Eik =   •式(13)を用いてVi = − λ ln(− Vi) (13) ∂P(i) ∂Vi ∂Vi   xk λ  Cik — ∂Vi  ∂Vi ∂xk P(i) - Vi ∂P(i) = P(i)(1 – P(i))より●ここでMNLの場合eik = − V (1 − P(i)) ∂ − x k ●同様に交差弾力性はeijk = - Vi (P(j)) ∂Vj x k 14 3.3. Trade-offs •トレードオフも加法型と同様に計算できるdU i
dei ∂εi = 0  なのでdxik dxil 15 3.4. Expected maximum utility •式(9)における効用の定義下での最大効用はU* = max U i = max V i E i = max V i e           (15) iEC iEC •  ξはGEV分布に従うと仮定するとF (ξ 1 ,..., ξ 1 ) = e-G(e- ξ 1 ,...,e- ξ 1 ) • G関数とは特徴的な性質を満たした関数•このとき，期待最大化効用は次式で導出されるE[U*]=-(G*)¯ q [1+-] σλ (17) 16 3.5. Marshallian consumer surplus •消費者余剰は-V iを一般化費用と解釈して導出•このとき小さな変化dViにおける補償変分は選択肢iが選ばれるとき-dVi,それ以外は0 •よって，限界的な変化dViにおける補償変分は– P(i)dV,    (19) • aからbへのViの変化の補償変分はAモ•たとえばP(i)が古典的なMNLで与えられたとき,よく知られたログサム公式になる−∫α P(i)dVi = −∫α eVi  dVi = −∫α eVi + eVi )∫α = log(e α + e ′ ) − log(e ′ + e ′ ｣ ) | P(i)dV, (20) 17 3.6. Heterogeneity of the scale of utility •効用を次のように分解することを仮定U*(V,,ε,)=V(z,,s)μ(s,v)ε,  (21) •個人の観測異質性s,非観測異質性は効用のスケールにのみ影響を与える•加法型の定式化の下で式(5)(6)を合わせるとP(i | z,s,v) = Pr(V(z,s)μ(s,v)+ε, >V(z,s)μ(s,v)+ε,)    (22) •乗法型の定式化の下で式(5)(9)を合わせるとP(i | z, s,v) = Pr(V (z,,s)μ(s,v)ε, > V (z,,s)μ(s,v)ε,)     (23) = Pr(V (z,,s)E, > V (z,,s)E,) (24) •乗法型の定式化では効用のスケールは確率とは無関係である18
1.線形パラメータのロジットモデルデータ：デンマークのSPデータ(車と鉄道) V, = λ(−COST + β ⁄ AE + β ⁄ changes + β ⁄ headway + β ⁄ inVehTime + β ⁄ waiting ) (25)コストのパラメータは-1に固定.入は推定しにいく.対数に変形すると次式(26) V, = −λ log(COST − β,AE − β,changes − β,cheadway − β,inVehTime − β,waiting)    (26)
19 5. Concluding remarks ●今までは加法型の誤差項→乗法型もある！ ●推定もできる！(Biogemeで！) •アプリオリに効用関数の構造を与えて同じデータで推定したところ，乗法型の方が当てはまりが良い場合が多かった•しかも，改善度合いは微少ではなく結構大きい！ ●場合によってはmixed logitや潜在クラスにするよりも改善することも●とにかく推定してみようということで，やってみたが… • Rだと非線形なので，収束がうまくいかず推定できない・・・