Groupes réductifs
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Soit G un groupe algébrique linéaire sur C (i.e. pour un certain n > 0, un sous-groupe de GLn(C) défini par des équations polynomiales en les coordonnées (gi,j)1<i,j<n)· On dit que G est réductif si G ne contient pas de sous-groupe distingué, fermé pour la topologie de Zariski isomorphe à G α (le groupe additif ( C , + )). Exemples : (C*) n et les groupes classiques GL n (C), Sp 2 n (C), SO n (C), SL n (C) et plus génralement tout sous-groupe fermé (au sens de Zariski) de GLn(C) qui agit irréductiblement sur C n . Voici deux autres caractérisations des groupes réductifs sur C : Théorème 1.1 ([Br-Mon, §2.2]) Pour un groupe algébrique linéaire sur C, sont équivalentes : G réductif ; ⇒ G contient un sous-groupe compact (pour la topologie usuelle) dense pour la topologie de Zariski ; ⇒ G est le complexifié d’un groupe de Lie compact (i.e. il existe un sous- groupe compact de G tel que C ® Lie(K) ~ Lie(G) ; ⇒ toute représentation rationnelle de G est semi-simple. Rappel : Une représentation rationnelle V de G est un C − espace vectoriel V muni d'une action linaire du groupe G telle que G → GL(V) soit un morphisme de groupes algébriques. Une telle représentation est semi-simple si V = ⊕ V , où les V , sont des sous-représentations de V irréductibles ( i.e. sans autre sous-espaces G –stables que 0 et V i ). Conséquence : Opérateur de Reynolds : Proposition 1.2  Pour toute représentation rationnelle V  de G il existe une unique projection G–équivariante : p : V → VG sur les vecteurs G–invariants de V . C’est la projection de Reynolds que l’on notera pv . Démonstration  : Démontrons l’unicité. Soient p, p ′ : V → VG deux pro- jections G – équivariantes. Soit ker p = ⊕ i V i une décomposition de ker p en somme directe de sous-G –modules irréductibles. Pour tout i, V i ∩ V G = 0. Fixons i. Soit 0̸= ν ∈ V i. Il existe g ∈ G tel que g.v i̸= v i . Donc : 0̸= g.ṿı − ṿı ∈ Ṿ∩ ker ṕ . Comme V i est irréductible, forcément ker p ′ ∩ V i = V i . D ′ où V i ⊆ ker p ′ pour tout i . Donc ker p ⊆ ker p ′ . De même, ker p ′ ⊆ ker p . Donc ker p = ker p ′ et p' = p. Q.e.d. Remarque : En raison de l’unicité, si W ⊆ V sont deux représentations rationnelles de G, on a : pw = pv | w . Corollaire 1.2.1 Soit X une variété algébrique affine sur C munie d’une action algébrique d’un groupe réductif G. ALors si Z1 et Z2 sont des sous- variétés fermes de X , disjointes et G – stables, il existe f ∈ C [ X ] G une fonc- tion G–invariante régulière sur X telle que : f|z  = 0 et f|z  = 1 . Démonstration  : Soient I Z 1 , I Z 2 les idéaux d'annulation de Z 1 et Z 2 dans C[X]. On a I Z 1 + I Z 2 = (1). Donc il existe f 1 , f 2 respectivement dans I Z 1 et I Z  tels que f 1 + f 2 = 1. Il suffit de poser f := p(f 1 ) où p est la projection de Reynolds de C[X] sur C[X]G. Q.e.d.
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Points (semi-)stables
Soit G un sous-groupe réductif fermé et connexe de GL n+1(C). Soit X une sous-variété irréductible fermée ( i.e. définie par des équations polyno- miales) de P n (C) stable sous G. En général, G a des orbites qui ne sont pas fermées dans X et donc il est impossible de munir l’ensemble des orbites de X d’une structure de variété algébrique de sorte que l’application x → G.x soit un morphisme de variétés algébriques. Au lieu de cela, on va définir un ouvert G – stable de X et une relation d’équivalence sur cet ouvert (très proche de la relation « être sur la même orbite » ) de sorte que le quotient soit une variété projective (éventuellement singulière) et que la surjection canonique sur ce quotient soit un morphisme de variétés. Définition 1  Soit x ∈ X. On dit que x est ... – instable s’il existe un polynôme homogène F ∈ C[I 0, ….,T n], G − invariant, tel que F(x) = 0 ; – semi-stable s’il existe un polynôme homogène F ∈ C [ T 0 , …. T n ], G − invariant, tel que F(x) ≠ 0 ; On notera X 88 l’ensemble des points semi-stables. – polystable s’il existe un polynôme homogène F ∈ C[T 0 , …., T n ], G − invariant, tel que F(x) ≠ 0 et t el que l’orbite G.x est fermée dans l’ouvert affine X F := {y ∈ X  : F(y) ≠ 0} ;
2
– stable si x est polystable et si le sous-groupe d'isotropie G x est fini ;
et les points in/semi/poly/stables :
En particulier, l’ensemble des points polystables n’est pas toujours ou- vert. En revanche : Proposition 2.1  Les parties X 8 et X 88 sont ouvertes et G – stables dans X . Démonstration  : Démontrons que X 8 est ouvert. Rappelons pour cela un résultat sur les fibres des morphismes : Lemme 2.2 (cf. [Danilov, §4.4, th.])  Soit f : X → Y  un morphisme do- minant entre variétés algébriques irréductibles. Pour tout x ∈ X , dim x f−1 f(x) ≥ dim X − dim Y  et il existe un ouvert U  de Y  tel que pour tout y ∈ Y , dim f − 1 (y) = dim X  − dim Y . Posons γ : G × X → X × X, (g,x) → (x,g.x) et ∆ x la diagonale de X × X . Soit x un point stable. Soit C est une composante irréductible de γ − 1 λ χ contenant (1, x ). On applique le lemme ci-dessus à p χ : C → X, (g,x) → x et on en déduit qu’il existe un ouvert U de X tel que pour tout y ∈ U , dim G y = 0. Soit F un polynôme homogène invariant tel que F(x)̸= 0. et G.x est fermé dans l’ouvert affine X F . Notons Z := { z ∈ X F  : dim G z > 0}. D'après ce qui précède, Z est un fermé G – stable de X F , disjoint de l’orbite fermé G.x . Puisque G est réductif, il existe une fonction f régulière et G–invariante sur X F telle que :
Il existe alors un polynôme homogène et G –invariant R tel que f = Ro pour un entier α. Pour tout y ∈ X R F , dim G y = 0. En particulier toutes les
もし
orbites de G dans X R  ont la même dimension : dim G  et sont donc fermées. L’ouvert X R contient x et est contenu dans X 8 . On a ainsi montré que X 8 est ouvert. Q.e.d.
3
Définition du quotient en théorie géométrique des
invariants
Proposition 3.1 Soit C[X] l’anneau des fonctions régulières sur le cône au-dessus de X  (i.e. l’anneau C[T 0, …., T n] / I χ  où I χ  est l’idéal engendré par les polynômes homogènes nuls sur X). Alors l’anneau des invariants C[X]G est une C–algèbre de type fini. Démonstration  : Il suffit de vérifier que l’idéal C[X] ξ engendré par les po- lynômes invariants homogènes de degré > 0 est de type fini. C’est le cas car il est engendré par les p ( f i ) où p est l’opérateur de Reynolds C [ X ] → C [ X ] C et ( f i ) ; n’importe quel système de générateurs de C[X]+. Q.e.d. On peut alors définir X//G := ProjC[X]G (pour la graduation induite par celle de C[X]).
Digression-Rappel sur les Proj
Soit A une C–algèbre graduée (en fait on peut remplacer C par un corps algébriquement clos arbitraire) i.e. : A = ⊕d≥0Ad, A0 = C,V d,d' ≥ 0, Ad.Adv ⊆ Ad+d' On notera Ạl’idéal ⊕d>oAd On peut définir ProjA de la manière suivante : — comme ensemble, Proj A est l’ensemble des idéaux premiers homogènes de A ne contenant pas A+. — une base d'ouverts est donnée par les ensembles (ProjA) f où f est un élément homogène de A et (ProjA) f est l’ensemble des idéaux dans ProjA ne contenant pas f. — l'anneau des fonctions régulières sur (Proj A) f est (A f) o la partie ho- mogène de degré 0 du localisé Af i.e. { f m ∈ Af : a ∈ Am deg f } En particulier, ProjA est recouvert par des ouverts affines (ProjA) , iso- morphes àă Spec(A f )o. Si A est réduite i.e. sans nilpotent autre que 0 comme dans le cas affine on peut définir ProjA uniquement avec des morphismes de C–algèbres vers C :
ProjA = {φ ∈ Hom c − alg.(A, C) : φ | a +  ≠ 0} / ～
où φ ～ φ s’il existe k > 0 et t ∈ C*, tels que pour tout m ≥ 0 et tout α ∈ Akm, φ(α) = tmφ'(α). On peut vérifier que si d > 0 et A(d) := ⊕k≥0Akd (gradué de sorte que A(d) = Akd), alors Proj(A(d)) ~ ProjA. Remarque : Si A est de type fini, il existe d > 0 tel que A( d ) soit engendré par un nombre fini d’éléments de A d (cf. [Bou, chapitre III, §1, proposition 3[). Si A est engendré par des éléments homogènes a 0 , …., a N de même degré, on peut identifier ProjA avec la variété projective : {[x] ∈ P N (C) : F 1 (x) = ... = F r (x) = 0} où F 1 , …. F r est un système de générateurs quelconque de l’idéal {P ∈ C[T 0 , ..., T N ]  :  P(α0, ...,αN) = 0}  . Remarque :  Si les générateurs a , sont de degrés distincts d 0 , ..., d N , il faut remplacer P N  par l’espace projectif àă poids P (d 0 , …., d N )† . Avec la graduation usuelle, ProjC[X 0 , ..., X n] = P n (C). Théorème 3.2  Si X 88̸= ∅, alors il existe un morphisme surjectif π : X 88  → X//G tel que : 1. π est affine ; 2. ∀ x,y ∈ X 88 ,π(x) = π(y) ⇔ G.x ∩ G.y ∩ X 88 ≠ ∅ ; 3. Il existe un ouvert (X//G) 8 de X//G tel que π−1 (X//G) 8 = X 8 ; De plus, si x ∈ X 8 , x est stable ↔ G x fini et G x fermé dans X 88 ,
Démonstration  :
Le morphisme π est le morphisme associé  ‘a l’inclusion C[X]G ⊆ C[X]. Plus concr 'etement, si fo,…., fN sont des générateurs homogènes de C[X]G , de degrés d 0 , …. d N , on définit le morphisme π : X ss → X//G par :
(si 0̸= x ∈ C n +1 et [ x ] ∈ X s s ) l’image du n + 1 − uplet ( f o( x ), …., f N ( x )) dans P ( d o , …. d N ). Si F est un élément homogène de C[X]G on note (X//G) F l’ouvert affine Proj(C[X]G)f  = Spec((C[X]f )o). Soient x,y ∈ X ss tels que π(x) = π(y). Soit F homogène et G − invariant tel que F(x) ≠ 0. Comme π(x) = π(y), on a aussi F(y) ≠ 0. Si G.y N G.x N X F = 0, alors on peut trouver une fonction régulière et G –invariante sur l’ouvert affine X F telle que f | un polynôme G –invariant homogène de degré k deg F tel que f = H . On a ainsi :
ce qui est impossible car π(x) = π(y). Réciproquement si G.x∩G.y∩X 88̸= ∅, soit z dans cette intersection. Soit F homogène et G –invariant tel que F ( z )̸= 0. On a forcément x,y ∈ X F . De plus si k > 0 et si H est un polynôme G –invariant homogène de degré k deg F , alors H est une fonction régulière sur X F et on a :
En particulier :
pour tout polynôme H homogène G –invariant de degré k deg F . Cela en- traîne : π(x) = π(y).
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L'ouvert X 8 est recouvert par des ouverts de la forme X F pour certains polynômes G –invariants et homogènes. Pour ( X //G )s , il suffit de prendre la réunion des ouverts (X//G) F Pour finir, soit x ∈ X 8 , nous allons montrer que G.x est fermé dans X 88 . Comme π : X 88 → X //G est un morphisme G − invariant, G .x ∩ X 88 ⊆ π−¹ π( x ). Il existe un polynôme homogène et G − invariant F tel que F( x )̸= 0 et G.x est fermé dans X F . Alors, pour tout y ∈ G.x∩X 88 , on a : π(x) = π(y), d'où : F(y)̸= 0 i.e. y ∈ X F ∩ G.x = G.x. Q.e.d. 4
Lien avec le quotient symplectique
Pour tout z = (zo, ..., zn) ∈ C n +1 , on notera ||z||² := |zo|² + ... + | zn|². Définition 2  Pour tout [z] ∈ P n (C) soit 〈 , 〉[z] la forme hermitienne sur l'espace tangent T[z]P n (C) définie par :
La forme symplectique de Fubini-Study sur P (C) est : [ z ] → Im ( , ) [ z ] ) - Soit X ⊆ P n (C) une variété projective. Soit G un sous-groupe fermé de GLn+1(C), réductif connexe. On suppose que X est G –stable. Soit K ⊆ G un groupe de Lie compact connexe dont G est le complexifié i.e. si ℓ et g sont les alg 'ebres de Lie de K et de G, C ® R Ë = g. On supposera que K = G ∩ U n+1(C) où : U n+1(C) := {g ∈ GL n+1(C) : ¢gg = 1}. On identifiera l'alg 'ebre de Lie t  'a une sous-alg 'ebre de l'alg 'ebre des matrices antihermitiennes : {H ∈ M n (C) : t H = − H }. Soit
Remarque : La forme de Fubini-Study induit une K –forme symplectique ω sur X :
Alors, ( X, ω ) est une K − variété symplectique et μ : X → ℓ * une appli- cation moment K −équivariante (pour l'action coadjointe de K sur t*) En particulier, le quotient μ− 1 (0)/K a une structure de variété symplec- tique ( cf. les exposés de Serge Parmentier dans ce même groupe de travail).
t ~ iR et pour tout [v] ∈ P n (C) :
Dans ce cas : μ− 1 (0)/S 1 ~ P n− 1 ~ P n (C)//C*. Ce dernier isomorphisme est une illustration du théor 'eme suivant : Théorème 4.1  i) x ∈ X 88 ⇒ G.x ∩ μ− 1 (0) ≠ ∅ ; ii) L'inclusion μ− 1 (0) ⊆ X 88 induit un homéomorphisme : μ−1(0)/K → X//G ,  K x → π(x) . ii) L’homéomorphisme de ii) induit par restriction un homéomorphisme :
où : µ¯¹(0)reg = {x ∈ µ¯¹(0) : dµ|x : T x X → ℓ* est surjective} . Démonstration  : On pose pour tout v ∈ Cn+1 et tout g ∈ G, pv(g) := ||g.v||². On a alors :
La démonstration du théor 'eme repose en grande partie sur le lemme suivant : Lemme 4.2 l1) dpv|g = 0 ⇔ pv(g) est un minimum global ; l2) si pv(g) est un minimum, alors : pv 1 (pv(g)) = KgGv où Gv est le stabilisateur de v dans G ; l3) pv atteint un minimum ⇒ l'orbite G.v est fermée dans Cn+1 ; l4) dpv(g) = 0 ⇒ μ(g[v]) = 0 ; l5) si 0̸= ν ∈ Cn+1 et si l’orbite G.v est fermée dans Cn+1, alors [v] E X 88 et G.[v] est fermée dans X 88 .

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Admettons … Démontrons i) : Soit x = [v] ∈ X 88 . Il existe un polynôme homog ‘ene et G–invariant tel que F(v) ≠ 0. Alors : G.v ⊆ F− 1 (F(v)) ⇒ 0̸F G.v. Soit w dont l’orbite G.w est fermée dans G.v. Puisque F ( w )̸= 0, [ w ] ∈ X ⁸⁸ . On a aussi G.[ w ] ⊆ G.x. De plus, G.[w] ∩ μ− 1 (0)̸= ∅ d’apr ‘es l3) et l4). Réciproquement, supposons que G.x ∩ μ− 1 (0)  M. Soit [ v ] dans cet in- tersection. D'apr 'es L4), l1) et l3), G.v est fermée dans Cn+1. Donc l5) ⇒ [v] ∈ X 88 . Puisque [v] ∈ G.x et que X 88 est un ouvert G−stable de X, x ∈ X 88 . Démontrons ii) : Soit x ∈ X 88 . D'apr 'es i), il existe y ∈ G x ∩ μ −1 (0). On a alors :π(x) = π(y) donc μ−1(0) → X//G est surjective. Si x, y ∈ μ− 1 (0) et si π(x) = π(y), alors G.x ∩ G.y ∩ X ss ≠ ∅. Or, d'apr 'es l4), l1), l3) et l5), G.x et G.y sont fermés dans X 88 . Donc G.x = G.y. Il existe v, w ∈ Cn+1 \ {0} et g ∈ G tels que x = [v], y = [w], w = gv. On a donc : μ([v]) = μ(g.[v]) = 0 (14≠ 1) p o (1) = p o (g) (~) g ∈ KG v . D'où : w = gv ∈ Kv ⇒ y ∈ Kx. Par conséquent μ−1 (0)/K → X//G est aussi injective donc bijective. Comme μ− 1 (0)/K et X//G sont compacts (car μ− 1 (0) est fermé dans X et X//G est une variété projective) on a bien un homéomorphisme. Démontrons iii) : dμ | x  : T x X → ℓ* surjective  ⇔ dim ker dμ | x  = dim X  − dim K  . Or, kerdμ | x = ξ  (l'orthogonal pour la forme symplectique ω) (cf. un autre exposé du même groupe de travail). Donc dimker dμ | x = dim X − dim K.x. Ainsi dμ | x  est surjective ⇔ dim K.x = dim K  i.e. dim K x = 0 i.e. K x fini. Si x ∈ μ− 1 (0), d'apr 'es l4), l3) et l5), l'orbite G.x est fermée dans X ss . Il reste donc  'a montrer que si x ∈ μ− 1 (0), K x fini ↔ G x fini. Soit x ∈ X tel que μ(x) = 0 et soit g ∈ G tel que g.x = x. Il existe k ∈ K  et a ∈ ℓ tel que g = k exp(ia). En effet, il existe a1,a2 ∈ ℓ tels que : g = exp(a1+ia2). On a alors g*g de la forme exp(2ia) (Campbell-Hausdorff) pour un certain a ∈ ℓ et on vérifie que g exp(−ia) ∈ G ∩ U n+1(C) = K. Posons pour tout t ∈ R, h(t) := μ(exp(ita).x).a ∈ R. Comme g.x = x et comme μ est K –invariante, 0 = μ(x) = μ(g.x) = μ(k-1g.x) = μ(exp(ia).x). Donc h(0) = h(1) = 0. Il existe par conséquent 0 < t < 1 tel que h'(t) = 0. Or, si on pose y := exp(ita).x et ay := de|e=0 exp(ea).y, on a : h'(t) = dμ(y)(iay).a = ωy(iay,ay) = 〈ay,ay〉y .
9
Par conséquent : ay = 0. Donc exp(Ra) et exp( i Ra ) fixent y et aussi x. Mais alors exp(iRa) ⊆ K x ; donc si on suppose que K x est fini, a = 0 et Q.e.d. g ∈ K . D'où : G x = K x si K x est fini et μ(x) = 0.
Démonstration du lemme 4.2 :
l5) : Si 0̸= ν ∈ C n+¹ et si l’orbite G.v est fermée dans C n+¹ , alors comme G est réductif, il existe un polynôme G –invariant F tel que F | G.v = 1 et F(0) = 0. Quitte  'a remplacer F par une de ses composantes homog 'enes, on peut supposer que F est homog 'ene. On a alors [ v ] ∈ X ss . Soit x := [ v ]. Soit y = [w] ∈ G.x ∩ X ss ; il existe f homog 'ene et G − invariant tel que f(y)̸= 0. Forcément, x ∈ Xf. Sans perte de généralité, on peut supposer que f(y) = f(w) = 1. Or :
est un morphisme (de variétés algébriques affines) fini donc fermé. Par conséquent  : y = [w] ∈ G.[v] ∩ Xf = ψ(G.v) = ψ(G.v) = G.x  . l4) : déj 'a fait ! 13) : Si G.v est fermée, alors inf w ∈ G.v || w || 2 est atteint! Pour la réciproque on utilise le résultat suivant : Lemme 4.3 ([Kempf, th. 1.4]) Si on a une orbite fermée G.w ⊂ G.v, alors il existe un sous-groupe  'a un param 'etre λ : C* → G tel que limt→o λ(t).v ∈ G.w Si on admet ce lemme et si on suppose que pv atteint un minimum en 1, soit G.w une orbite fermée de G.v . On choisit un sous-groupe  'a un param 'etre λ comme dans le lemme. Décomposons v en vecteurs propres pour λ : v = v1 + ... + vr où r ≥ 1 et λ(t).v i = t n i pour tout i et pour certains entiers n 1 < ... < n r . Puisque
existe, n i ≥ 0 pour chaque i. Si n 1 > 0, lim t → 0 λ( t ).v = 0 et p v n'atteint pass son infimum sur G . Donc n 1 = 0 et v 1 ∈ G .w . Comme pour tout t ∈ C * on a :
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||入( t ).v||² = ||v1 + t²²v2 + ...||² ≥ ||v1 + ... + vr||² forcément r = 1 et v = v 1 ∈ G.w ⇒ G.v fermé. l2) : Supposons que p v atteigne un minimum en 1 et que p v (g) = p v (1) i.e. ||g.v||² = ||v||² pour un certain g ∈ G . Il existe a ∈ ℓ tel que g ∈ K exp( ia ). On a alors : || exp(ia).v||² = ||v||² Comme l'application : h : R → R, t → || exp( ita ).v || 2 est convexe, on a : h(t) = h(0) = h(1) pour tout 0 ≤ t ≤ 1. Soient v 1 , ...,v r des vecteurs propres de la matrice antihermitiennes a associés  'a des valeurs propres (distinctes) iλ1, …, iλr ∈ R. On a alors :
sur [0, 1]. On en déduit que r = 1 et λ 1 = 0. En particulier : exp( iα ).v = v et exp(ia) ∈ G v . On a bien montré que g ∈ K G v . l1) : Comme G = K exp it (cf. ci-dessus), il suffit de vérifier que l'ap- plication : ℓ → R, α → ‖ exp( ia ).v‖ 2 est convexe. C'est le cas, il suffit de calculer la dérivée seconde et d'utiliser que a est diagonalisable dans une base orthonormée avec des valeurs propres dans iR ! Cela ach 'eve la démonstration du lemme 4.2.
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Crit ‘ere d’Hilbert-Mumford
Pour déterminer si un point de X est semi-stable, on n’est pas obligé de calculer l'alg 'ebre des invariants C[X] G . C'est ce que nous allons voir dans cette partie. On notera Y ( G ) le réseau des sous-groupes  'a un param 'etre de G i.e. les morphismes de groupes algébriques C* → G. Définition 3  Soient x = [v] ∈ X  et λ ∈ Y(G). Il existe une décomposition de v : v = v1 + ... + vr ‘a où les v i sont non nuls et λ(t).v i = t n v i pour certains entiers n i deux deux distincts. On pose μ(x, λ) := min{ni : 1 ≤ i ≤ r}. Propriétés : μ(g.x,gλg− 1 ) = μ(x,λ). Remarque : Comme X est projective, le morphisme C* → X , t → λ(t).x
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se prolonge de mani 'ere unique  'a C. On notera lim t→0 λ( t ) . x l'image de 0 par ce prolongement. Alors, μ( x, λ ) est aussi le poids avec lequel C* agit sur la fibre Opn (1)| v où y := lim t →o λ(t).x. Théorème 5.1 (crit ‘ere de Hilbert-Mumford) i) Un point x ∈ X est semi-stable ⇔ µ( x, λ) ≤ 0 pour tout λ ∈ Y ( G ) non constant ; ii) Un point x ∈ X est stable ⇔ μ(x,λ) < 0 pour tout λ ∈ Y(G) non constant. Démonstration  : Soit λ ∈ Y(G) non trivial. Soit x = [v] où comme ci-dessus, v = v 1 + ... + v r pour des v i vecteurs propres de λ de poids n i . Supposons n 1 < ... < n r . On alors μ(x, λ) = n 1 . i) : ⇒ : Supposons x semi-stable. Si n 1 > 0, alors lim t → 0 λ( t ).v = 0 donc 0 ∈ G.v. Cela contredit l'existence d'un polynôme homog 'ene et G − invariant tel que F(v) ≠ 0. Donc n 1 = μ(x, λ) ≤ 0. ←: D'apr 'es le lemme 4.3, si 0 ∈ G.v , il existe un sous-groupe  'a un param 'etre λ ∈ Y(G) tel que lim t→0 λ(t) v = 0. Cela entraîne μ(x,λ) > 0 : contradiction ! Donc 0 & G.v et comme G est réductif, il existe un polynôme homog 'ene et G-invariant F tel que F(v) F 0. ii) se démontre avec des arguments similaires. Q.e.d.
6
Points ordonnés sur la droite projective
6.1 Soient X = P 1 (C) et G = GL 2 (C). Si r ∈ Z , on pose :
Si r > 0, on a :
et si r < 0, il suffit de remplacer ci-dessus [1 : 0] par [0 : 1] et d'échanger r et ーr.
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Cette fois, X = P 1 (C) n , G = SL 2 (C) qui agit diagonalement. Notons x = ( x 1 , ..., x n ) les coordonnées de x (∀ i, x i ∈ P 1 ). On a alors si r > 0 :
où k est le nombre de coordonnées x i = [1 : 0]. On obtient tous les sous-groupes  'a un param 'etre de G = SL2(C) en conjugant par exemple λ 1 par les g ∈ SL 2 (C). Or si λ = gλ 1g− 1 , μ(x,λ) = 2k – n où cette fois, k est le nombre de coordonnées x i = g-1[1 : 0]. Finalement, x ∈ P 1 (C) n est semi-stable pour l'action diagonale de SL 2 (C) ⇔ pour tout k tel qu'une coordonnée x i de x se rép 'ete k fois, 2k – n ≤ 0 i.e. chaque coordonnée de x est répétée au plus [ π ] fois. De la même façon, on peut vérifier que x est stable si chacune de ses coordonnées est répétée strictement moins de [ π ] fois. En particulier tous les points semi-stables sont stables si n est impair.
6.3

projection stéréographique : § ² ⇒ , le diagramme commutatif suivant :
2 2 + y 2
13
On reprend l'exemple ci-dessus pour n = 4. Dans ce cas :
X 88 = {(x 1 , ..., x 4 ) ∈ X  :  chaque x i est répété au plus 2 fois } , X 8 = {(x1, ...,x4) E X : les xi sont 2 'a 2 distincts } . De plus, pour l'action diagonale de G = SL2(C), il y a 9 orbites qui sont semi-stables, non stables. Plus précisément, il y a 3 adhérences d'orbites semi-stables non stables et chacune contient 2 orbites fermées :
G.(0,0,00,00), G.(1,1,00,00) ⊆ G.(0,1,00,00) où l'on a posé : 0 := [1 : 0], 1 := [1 : 1], ∞ := [0 : 1] ∈ P 1 ( C ). Enfin, le morphisme G – invariant :
([v1], [v2], [v3], v4]) → [det(v1, v2) det(v3, v4) : det(v2, v3) det(v4, v1)] induit les isomorphismes suivants :
où : t := [1 : t] ∈ P 1 (C) pour tout t ∈ C. Remarque : L'inverse de l'isomorphisme de la première ligne est donné par : P¹(C) → X//G, [x : y] → π(0, 1, , ∞, [x : y]) où π : X ss → X//G est la projection sur le quotient.
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7
Cohomologie du quotient
Objectif : Calculer la cohomologie (singulière) H*( X//G ). Pour cela on construit une stratification de X :
dont la strate ouverte est S 0 = X 88 et on établit une sorte de relation de récurrence entre la cohomologie équivariante de X et celle des strates.
7.1
Préliminaires à la stratification
Définition 4  On note Y(G) le groupe des sous-groupes-à-un-paramètre de G. Soit
où (λ,m) ~ (χ′,m′) si pour tout t ∈ C*, λ(tm′) = χ′(tm′) Notation : ≥ :=  "√ ː= (λ, m) mod  ～ . Remarque : si G = C m ~ (C*) r est un tore de dimension r , alors :
et :
L'action du groupe G sur Y ( G ) par conjugaison se prolonge à M ( G ). Définition 5 Une norme sur M(G) est une application q : M(G) → Q G—invariante est telle que pour tout tore T ⊆ G, la restriction q м(т) est une forme quadratique définie positive. Exemple : Si G est semi-simple et K est la forme de Killing de g ( i.e. K(X,Y) = Tr(ad(X)ad(Y)), on peut prendre :
où λ′(1) = ♗ | t =1 · Si x ∈ X , la définition de μ ( x , λ ) s'étend de manière unique de λ ∈ Y ( G ) à λ ∈ M(G) de sorte que : μ(x,rλ) = rμ(x,λ) pour tout r ∈ Q. | 2 . On fixe pour la suite une norme sur M(G) que l'on note ||
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Définition 6 ([Hesselink, 4.1])  Pour tout x ∈ X , on note
et :
Remarques : — D'après le critère d'Hilbert-Mumford, x est semi-stable ⇔ qg(x) = ∞. On verra que si qc(x) < ∞, Λ G (x)̸= ∅ (l’infimum est un min). — L'ensemble Λς(x) va servir à définir la strate contenant x. Exemple : si G = T est un tore ... Notons ( , ) le produit scalaire sur M(T) correspondant à la forme qua- dratique || ||². Si χ est un caractère de T , alors χ définit un élément du dual de M ( T ). On peut donc définir χ * ∈ Y ( T ) (unique) tel que :
sur M ( T ). Notons χ 0 , …, χ n les poids par lesquels T agit sur C n +1 et χ 0 , …, χ n ∈ Y(T) les sous-groupes-à-un paramètre correspondants. Soit x = [ x 0 : ... : x n ] E X . On note C ( x ) l'enveloppe convexe de l'ensemble fini { χ i : x i̸= 0 }. Voici un lemme de géométrie élémentaire : Lemme 7.1  Il existe un unique élément β ∈ C ( x ) tel que ||β||² est minimal. Démonstration  : Par récurrence sur la dimension d du Q –espace vectoriel engendré par les χ ∗ et en utilisant que tout élément de C ( x ) peut s'écrire comme un barycentre de d + 1 éléments parmi les χ i Q.e.d. Ce β ∈ M ( T ) sera l'indice de la strate contenant x . Voici le lien entre β et l'ensemble Λτ(x) : Lemme 7.2
Démonstration  : cf. les lemmes 12.6 et 12.7 de [Kir]. Q.e.d.
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7.2
Indices de la stratification
Soit T un tore maximal de G . Soient {χο, …,χ n} les poids de T dans Cn+1 On appellera un élément β ∈ M ( T ) tel que || β || est minimal parmi les normes des éléments de l’enveloppe convexe d’une partie de l’ensemble {Xo, …, X*} une combinaison minimale de poids. Notons M(T)+ le cône engendré par les sous-groupes-à-un-paramètre dominants. Si par exemple, G = SLr et T est le tore des matrices diagonales, via l'identification usuelle entre M ( T ) et Q r , M ( T ) + correspond aux (q 1 , …,q r ) ∈ Q" tels que q1 ≥ ... ≥ qr. On notera B l'ensemble des combinaisons minimales de poids qui sont dans M(T)+.
7.3
Stratification de X
Définissons les strates : Définition 7  Pour tout β ∈ M(T), soit :
Proposition 7.3 X est la réunion disjointe des S β ∈ B . On a de plus : Proposition 7.4  Pour tout β, Sβ ⊆ cf. les lemmes 12.15 et 12.16 de [Kir]. 7.4 Description des strates Soit β ∈ M(T). Définition 8  Soient
et :
La variété Z β est une sous-variété fermée de X et Y β une sous-variété localement fermée. On définit le morphisme de variétés :
autrement dit :
Définition 9  Soient
et Y β := p −1 Z β Remarques : — Notons stab β le sous-groupe de G stabilisateur de β pour l'action adjointe. Le groupe stab β est réductif et laisse stable Z β . De plus, d'après [Kir, rem. 12.21], il exite un sous-groupe réductif connexe G β de stab β tel que Z ξ 8 est l'ensemble des points de Z β semi-stables pour l'action de G β . Soit λ un sous-groupe à un paramètre de G qui est un multiple de β . On note P β := P λ := { g ∈ G  :  lim t → 0 λ( t ) gλ( t − 1 ) existe dans G } . Proposition 7.5  — Z 38 est un ouvert stabβ−stable de Z β ; — Y3 et Y38 sont P3–stables. Le résultat suivant permet de décrire les fibres du morphisme p β . Théorème 7.6 ([BB, th. 4.3]) On suppose que V est un G m –module† et que X est une sous-variété fermée lisse et Cm –stable de P ( V ). Alors : i) l'ensemble XGm des points Gm – fixes de X est une réunion disjointe de sous-variétés fermés connexes et lisses de X. Pour tout x ∈ X, le morphisme :
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t → t.x se prolonge de manière unique à A¹ et on note limt¬o t.x l’image de O par ce prolongement. ii) Si C est une composante connexe de X Gm , alors l’ensemble Y des y ∈ X tels que lim t → 0 t.y ∈ C est une sous-variété localement fermée et lisse de X. iii) de plus le morphisme Y → C, y → lim t → 0 t.y est un fibré vectoriel i.e. une fibration localement triviale de fibre un espace affine (sur C). Corollaire 7.6.1 Pour tout β ∈ B , les variétés Y β et Z β sont lisses et le morphisme p β : Y β → Z β est une fibration localement triviale de fibre (en chaque point) un espace affine. Cela reste vrai si l'on remplace Y β et Z β par Y 88 et Z 88
7.4.1
Lien avec les strates Proposition 7.7 ([Kir, th. 13.5]) Pour tout β ∈ B , on a : i) S β = G.Y β , ii) le morphisme G × P β Y β 8 → S β , (g,y) mod 〜 → g.y est un isomor- phisme.
8
Application à la cohomologie du quotient
Les stratifications ci-dessus permettent de ramener le calcul de la coho- mologie d'un quotient à un calcul de cohomologie de quotients de variétés de dimensions strictement plus petites. Nous allons seulement considérer l'exemple où X = (P 1 ) n ⊂ P ((C 2 ) 8 n ) est muni de l'action diagonale de G = SL 2 . On pose T le tore des matrices diagonales de SL2. Soit α le caractère de T défini par :
Dans ce cas, X*(T) = Zα et M(T) = Qα. On choisit la norme sur M ( G ) telle que || rα || = | r | pour tout r ∈ Q et on choisit pour chambre dominante le cône Q>0α. Les poids de T sur l'espace C 2 sont ±α donc les poids T sur l'espace ( C 2 ) 8 n sont de la forme : (2k − n)α, 0 ≤ k ≤ n .
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En particulier, l'ensemble des combinaisons minimales de poids (qui in- dexent les strates) est :
Soient x = (x 1 , …,x n ) ∈ X et 0̸= ν ∈ (C 2 ) ∅ n tel que x = [ v ] dans P(( C 2 ) 8 n ). Les poids des composantes de v pour l'action de T sont de la forme :
où r est le nombre de x i égaux à 0 et s celui des x i égaux à ∞. On en déduit que si β = (2k − n)α, π < k ≤ n, alors avec les notations de la partie précédente :
et Z β est l’ensemble des ( n ) points de X dont k coordonnées sont égales à 0 et n – k à ∞.
On peut vérifier que X , les strates S β et l'isomorphisme ci-dessus onto encore un sens en remplaçant C par F p et que tout est défini sur F q pour tout q puissance de p. En remarquant que G/B ~ P 1 , on peut donc compter les points :
Lorsque n est impair, on trouve :
car sur X 8 = X 88 les orbites de SL2 sont en fait des orbites de PGL2, qui agit librement.
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D'où :
3.3.11] le résultat suivant : Théorème 8.1 (formule de Lefschetz généralisée et pureté du Frobenius) Soit F q un corps fini de cardinal q. Si X est une variété projective rationnel- lement lisse définie sur Z, alors il existe des nombres complexes α 1 , …,α r, βι, …, β s  tels que β i̸= α i  pour tous i, j  et pour tout n  :
de plus, chaque |α i | (resp. |β j |) est de la forme q n i (resp. |q n j+ ž |) pour certains entiers n i (resp. n j ). Enfin pour tout k, le 2k-ième nombre de Betti de X(C) (resp. le (2k + 1)–ième) est égal au nombre de α i de module qk (resp. de β z de module qk+ z ). Remarque : Cela s'applique à X//G en effet, si X est lisse et G réductif, X//G est rationnellement lisse (pour ce résultat et aussi pour une définition de « rationellement lisse » cf. [Bout]).
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Dans notre cas, on en déduit que pour n impair, les nombres de Betti de la variété des n points ordonnés sur la droite projctive : P 1 (C) n //SL 2 sont :
et les nombres de Betti impairs sont nuls. Pour le cas où n est pair on a besoin de désingulariser ( cf. [MFK, chap. 8 §7])
Références
[BB] A. BIALYNICKI-BIRULA, Some theorems on actions of algebraic groups, Ann. of Math. (2) 98 pp. 480-497, 1973. [Bou] [Bout] Bourbaki, Algèbre commutative. J.-F. Boutot, Singularités rationnelles et quotients par les groupes réductifs , Inventiones 88, pp. 65-68, 1987. [Br-Mon] [Danilov] M. Brion, Invariants et coriants des groupes réductifs, notes de l'cole d't de Monastir (juillet-août 1996), disponibles http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/㎡brion/notes.html V. I. Danilov, Algebraic varieties and schemes, Encycl. math. sci. 23, Springer, 1994. [Gro] A. Grothendieck, Formule de Lefschetz et rationalité des fonc- tions L , Séminaire Bourbaki, Vol. 9, Exp. No. 279, 41–55, Soc. Math. France, Paris, 1995. [Del] P. DELIGNE, La conjecture de Weil II, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 52, pp. 137–252, 1980. [Hesselink] Wim H. Hesselink Uniform instability in reductive groups, J. Reine Angew. Math. 303/304 , pp. 74–96 (1978). [Kempf] G. R. Kempf, Instability in invariant theory, Annals of math., vol 108, no 2, pp. 299-316, 1978. [Kir] F. Kirwan, Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometry , Mathematical Notes, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. [MFK] D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan, Geometric invariant theory, 3—ème édition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
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