有界性のある確率均衡モデル熊本大学円山 琢也Watling et al., 2018. Stochastic user equilibrium with a bounded choice model. Transp. Res. Part B Methodol. 114, 254–280.
• User Equilibrium (利用者均衡; UE) • Stochastic UE (確率的利用者均衡; SUE) •交通配分モデルへの経路選択モデルの導入•実務検討の報告例：首都高速(e.g.渡邊ら2004,井上ら2011)，阪神高速(e.g.石橋ら), NEXCO全国(e.g.山本ら2016)など•高速転換率内生化モデル(松井・藤田2000)：旧来からの転換率モデルをUEに統合•償還計画・整備計画の評価等を念頭においた長期予測のためのモデル•現況再現性の重視：リンク交通量，料金収入,高速利用距離分布
図-6 提案モデル（その2）の経路選択構造出典)井上ら2011モデルの論理性・合理性を保ちながら現況再現性を高める工夫Nested LogitタイプのモデルあるODペア間の高速利用において利用しうるICペアの選択肢集合を決定数十個の選択肢を設定することもランプペア: 4 ×4 =16選択肢ランプ
井上ら(2011)の方法(首都高) • Step 1 不自然な経路の除外非補償型ルール•高速利用経路で一般道路部分の距離> OD間距離•経路距離> OD間距離の2倍• Step 2    安さ優先の経路の抽出• Step 1の経路集合から料金が安い経路10経路• Step 3    速さ優先の経路の抽出• Step 1の経路集合から所要時間の短い経路10経路• Step 4    Step 2とStep 3の経路を合計し,  20経路になるまで時間の短い経路を追加(最新の検討では、さらに改良した方法が利用されている)山本(2016)の方法   (NEXCO)時間価値を変化させて一般化時間が最小となる選択肢を複数探索する
なぜ選択肢集合の決定が重要か？
if V ≤ −1確率=0 or 1が表現される5非有界な誤差項分布: (unbounded) ε₂ , ε₁が正規分布  →ε  も正規分布⇒プロビットモデルεշ , ε1がi.i.dガンベル分布→εはロジスティック分布⇒二項ロジットモデル確率は限りなくゼロに近づきうるがゼロにはらなない選択肢集合に含まれる選択肢の確率はゼロにならない(通常利用される)非有界な誤差項分布に基づくモデルでは選択肢集合の設定が重要
•経路変数を明示しない(Implicit)アプローチ• Dial配分：Efficient Pass(有効経路) •その時点の所要時間に基づく→経路集合が一定にならず厳密には収束しない/振動しうる• MCA:サイクリックな経路問題•  Oyama Hato (2019)時間構造化NWでのMCAの展開例•距離ベースの決定法Leurent (1997)実務で安心して利用できる「決定版」がない
Watling et al., 2018. Stochastic user equilibrium with a bounded choice model. Transp. Res. Part B Methodol. 114, 254–280.
概要
•既存のSUEで選択肢集合内の経路選択確率が非ゼロになる問題に対し，有界性のある選択モデル(Bounded Choice Model, BCM)を新たに提案し，その均衡モデルとの統合を示すBCMはClosed form .経路選択肢集合も均衡解として算出と解釈可•均衡解は存在し，唯一
8

出典) Watling et al. 2015, 2018トをわずかに超過した経路コス利用されない最小経路コストの2~6倍の経路コストの経路コフローが流れうる両極端なUE, SUEの中間のモデルを作成できないか？
( 1 )既存のSUE
•非有界な(unbounded)誤差項分布•選択肢集合に含まれる経路の交通量は非ゼロ•既存の経路選択肢集合の限定方法はアルゴリズムに依存
( 2 )経路選択肢集合の事前生成法
• SUEの計算以前に選択肢集合を決定・固定•経路選択集合の決定に利用した所要時間は均衡所要時間と異なる•選択肢集合の生成の理論と選択モデルの理論が整合せず政策感度などに悪影響が生じうる1最初に紹介したランプペア選択を内生化したUEにも同様な課題あり( 3 )限定合理的・利用者均衡モデル(Boundedly Rational User Equilibrium, BRUE) •  Mahmassani and Chang, 1987; Guo and Liu, 2011; Lou et al., 2010; Di et al., 2013 ; Di and Liu, 2016 •点推定ではなく，区間推定的•唯一解ではない：政策評価，便益評価に不都合( 4 )内生的な選択肢集合限定法：制限付き(Restricted) SUE •均衡解に依存した条件で経路選択肢集合を決定•  Watling et al. (2015). Rasmussen et al. (2015). •均衡解の存在が保証されず/唯一解も保証されず
1.確定UEのように準最適(sub-optimal)経路を除外せず，非現実的な全経路を含むこともない2.点推定 (BRUEは区間推定) 3.経路フローの均衡解と同時に経路選択肢集合も均衡させる。均衡コストと整合的に選択肢集合を決める4.ランダム効用理論に基づく5.解の存在と唯一性が保証される
• ２項選択での例示•多項選択への拡張•確率均衡配分としての定式化・解の性質•計算アルゴリズム•数値実験例出典) Watling et al 2018 2項選択確率のモデル間比較Binary choice, alternative approaches選択肢1の選択確率Systematic utility of alternative 1 minus that of alternative 2最小知覚差2項ロジットfo, Binary Logit Model f 1, Threshold Indifference Modelモデルf², Threshold Choice Set Model國値あり®f³, Bounded Choice Model有界性のあるThreshold/Indifference band選択モデル選択モデル閾値/有界値FO: 2項ロジットモデルBinary Logit Model: x:確定効用の差分θ:パラメータfo(x; θ) = (1 + exp(−θx))− 1 (−∞ < x < ∞) fo:選択確率F2:閾値あり選択モデルThreshold Choice Set Model:
if x > δ x:確定効用の差分δ:閾値θ:パラメータ
15

minimum perceivable difference最小知覚差(MPD) Threshold Indifference Model: f 1 (x; θ,δ,α) = (1 + exp(θ(δ − x)))− 1 + α {1 − (1 + exp(θ(δ − x)))− 1 − (1 + exp(θ(δ + x)))− 1 + fi:選択確率x:確定効用の差分効用の差分が閾値外であれば，2項ロジットで表現閾値内であれば，無差別という仮定から導出されるδ:閾値θ,α:パラメータ
π 1 = (1 + exp(θ (δ + V 2 − V 1 )))− 1 πշ = (1 + exp(θ(δ + V 1 − V 2 )))−1 π 12 = 1 − π 1 − π 2選択肢1の選択確率　π † ＝ π 1 + π 12α選択肢1の選択確率π ž = π 2 + π 12 (1 − α) ( = 1 − π ž )補償型モデルKrishnan (1977) Incorporating thresholds of indifference in probabilistic choice models. Manag. Sci. 23 MPDモデル鉄道経路選択への適用例として加藤ら(2004) 16
Bounded Choice Model:
if 0 ≤ x ≤ δ if x > δ導出過程は少し煩雑なので略(論文参照)
出典) Watling et al 2018 2項選択確率のモデル間比較Binary choice, alternative approaches選択肢1の選択確率Systematic utility of alternative 1 minus that of alternative 2最小知覚差2項ロジットfo, Binary Logit Model f 1, Threshold Indifference Modelモデルf², Threshold Choice Set Model國値あり®f³, Bounded Choice Model有界性のあるThreshold/Indifference band選択モデル選択モデル閾値/有界値モデルの性質比較• F0(2項ロジット), F1 :滑らか(smooth)で確率は上
 界・下界で限りなく1 or 0に近づく. ただし確率は常に非ゼロ• F2 (閾値あり選択モデル):滑らかでない(non- smooth)で，闘値δで不連続（ジャンプする） • F3 (有界性のある選択モデル):滑らかでない(non- smooth)が，連続←この性質は提案する確率均衡モデルの解の性質の解析で重要• F2, F3:確率ゼロを表現可能• F1:限定合理モデルと類似：効用差分～0のとき選択確率の変化→小(傾きを平らに)，閾値の影響小• F2:閾値の影響大• F3:闘値の付近で不連続にならないように確率を補止しているイメージ
•モデルF1:は3項選択以上への拡張が複雑•モデルF2：Rasmussen et al. (2017)が適用例最大の欠点：非連続性→均衡解が存在しないこともある•モデルF3:均衡解の存在を証明可能均衡解の唯一性も選択モデルの単調性を利用すると，通常のリンクコスト関数下で証明可能(詳細は論文)有界性のある多項選択モデル(Bounded Choice Model; BCM) δ:閾値θ:パラメータ(exp (θ(Vj − max(V 1 , V 2 , . . . , V n ) + δ)) − 1) + − − (j = 1, 2 , . . . , n ). p j (V; θ, δ) =  ∑ k=1 (exp (θ(Vk − max(V1, V2, . . . ,Vn) + δ)) − 1)+選択肢jの選択確率最大効用を与える選択肢の効用との差が閾値δ以上⇒  (exp (θ(Vj − max(V1,V2,…,Vn)+ δ)) − 1) ↓ = 0 (0 if x ≤ 0 (x)+= | x if x > 0多項選択でもClosed Formで記述される閾値δ → ∞で多項ロジットと一致exp(θV j ) pj(V; θ, δ) → ∑ = − (θVk) 21
(1) Relative Cost Model: Variable bounds δ(C)=(δ 1 (C),δ 2 (C),...,δ M (C)) where閾値のδm (C) = (τ − 1) min {cms : s ∈ Rm}     (m = 1, 2, . . . , M;  τ > 1).決め方相対コストモデル：   OD間の最小コストの一定倍数(2) Absolute Cost Model: Constant OD-specific bounds, δ(c) ≡ δ = (δ 1 ,δ 2 ...., δ M ) where δ m >0 for m = 1,2,...,M.絶対コストモデル：  OD別に定める
均衡の定義
Definition 1. Bounded Stochastic User Equilibrium (Bounded(δ) SUE) The route flow x ∈ G is a Bounded SUE if and only if it is both an SUE: ⇐経路交通量= OD ×経路選択確率Xmr = dmPmr(c(x)) (r ∈ Rm;  m = 1, 2, . . . , M) and the choice model is given by the Bounded Choice Model form based on bounds δ(C): (exp (−θ (cmr − min (cms : s ∈ Rm) − δm (c))) − 1)+ − Pmr(C) =  Ererm (exp (-θ(cmt - min (cms :  s ∈ Rm) − δm (C))) − 1)+均衡解は存在し，リンクコスト関数が狭義単調ならば，解は唯一アルゴリズムStep 0:初期化: Step 1:列生成(Column generation):経路集合の拡張制約付き数え上げ法などStep 2:限定親問題(Restricted master problem) MSA逐次平均法などStep 3:交通量負荷(Network loading) Step 4:有界条件(Bounded condition)閾値外のコストのある経路を選択肢から除外Step 5:収束判定厳密な収束性は提示されていないが，概ね収束は期待できるとのこと
出典) Watling et al 2018通常のSUEだと，いつでもflowは非ゼロ提案モデルは，ゼロフローを表現しつつ，連続な交通量変化を表現24
利用経路は12個確定均衡では均衡経路はーク非サイクル経路に非ゼロフローを配分出典) Watling et al 2018
有界性をもつSUEを提案：以下の特徴1.準最適経路を除外せず，非現実的な全経路を含むこともない2.点推定3.経路の均衡解と同時に経路選択肢集合も均衡させる4.ランダム効用理論に基づく5.解の存在と唯一性が保証される・確定UEとMNL-SUEの中間にあるモデル・有界性のある選択モデルはClosed-form

•閾値δの決め方
•闘値を変化させて現況再現性の高いものを選択• SP調査で閾値を推定• GPS調査などによる経路選択データから推定•アルゴリズムの改良• Gradient projection, DSD •経路選択肢間の類似性，変動需要，限定合理性モデルとの統合，非対称な選好，状況に依存した時間価値etcの考慮
•交通量を未知変数とした等価最適化問題はおそらく構成できない(はず) •提案モデルBCMに対応したログサム:直感的には以下の式になりそうだが違うSm = − g ln     (exp (−θ(cmt − min(cms) − δm(c))) − 1)+ teRm正しいログサムなら微分すると確率д Sm ≠ Pr(t,m)  になっている. д Cmt •期待最小費用の計算は数値積分が必要と思われる• BCMをImplicitに計算するローディング法は開発できないか？
•実務においける高速選択率内生型UEモデルにおける高速利用ランプペア選択モデルへの応用•ランプペアを列挙することは現実ネットワークでも可能なので，実務への応用が期待できる•ただし，ログサムがclosed-formで記述できないので，上位に高速利用有無選択を考慮するNest型モデルへの展開に難あり
•有界性のある誤差項εの式形は論文に陽に記述されてはいない2項選択BCMの計算例(t2=15, δ=4） ガンベル分布の切断分布？松井寛,藤田素弘, 2000.高速道路を含む都市圏道路網における利用者均衡配分モデルの実用化に関する研究.土木学会論文集2000, 85–94.渡邊健司,中村毅一郎,森田綽之,井上紳一：首都高速道路における利用者均衡配分モデルの適用検討,第24回交通工学研究発表会論文報告集, pp. 153-156, 2004.井上紳一,山口修一,鈴木裕介,円山琢也,森田綽之, 2011.高速道路上の経路選択を考慮した拡張型利用者均衡配分モデルの実証的研究.土木学会論文集D3（土木計画学） 67, 67  I_779-67_I_786.石橋照久,北澤俊彦,飛ケ谷明人, 2008.阪神高速道路の将来交通量推計における利用者均衡配分の導入.阪神高速道路株式会社技報24.山本隆, 2016.利用者均衡配分に基づく全国高速道路の交通量推計手法に関する研究.土木学会論文集D3（土木計画学） 72, 153–172.加藤浩徳,小野田恵一,家田仁, 2004.都市鉄道の経路選択行動における最小知覚差の計測ならびにその交通需要に与える影響.運輸政策研究7, 2–9.