ついてTaiki Shibata 2016年02月18日
概要
BichonとRiche [BibRic16]によるdense big cellの理論をもう少し射程範囲を広くして再定式化する.
目次

1
ホップ代数
以下で基礎体をkとする.テンソルは⑧ := ⑧kとかき，線型双対は(−)* := Homk(−,k)とかく.また自然なペアリングは(−,−) : C* × C → kとかく.ここではまずホップ代数の一般論を(若干余計なことも書いてあるが）まとめる.
1.1　ホップ代数
代数Aとは, k上のベクトル空間であって,次をみたす二つの線型射m : A ® A → A, u : k → Aを有するもののことであった.
それぞれ結合律と単位律に対応している.この図式の矢印を実直に反転させることで，余代数の概念を得る：定義1.1. k上のベクトル空間Cが余代数であるとは，以下の可換図式をみたす二つの線型射△ : C → C & C, ε : C → kを有するもの：
それぞれ余結合律と余単位律と呼ばれる.余代数C = (C; Δ,ε)が余可換であるとは，次の図式が可換であるときをいう.
ここでtwは標準的な“捻り”写像.もちろんこれは可換代数の双対概念である.記法1.2.代数では結合律があるのでabc := (ab)c = a(bc)としていたのであった．余代数の場合，余結合律からΔ(c) = ∑ i c 1 i ⑧ c 2 i  (c 1 i, c 2 i ∈ C ) とかくとき,
が成立するので，結局は順番だけが大切だと分かる．そこで，記号の省略として形式的に
とかく.すると余結合律から△ ○ (△ ® id)(c) = ∑ c1 ® c2 ® c3と書いても差し支えない.これをSweedler記法という[Swe81]. さらに慣れてきたら和の記号乃をも省略することがある.この記法のもと，余単位律は以下のようにあらわせれる
注意1.3. Sweedler記号は，論文や教科書によってバリエーションがある：
添え字の関係とか考慮して適したのを使う.余代数C = (C; Δc, εc), D = (D; Δd, εd)に対して，線型射f : C → Dが余代数射であるとは, Δ D ◦ ƒ = (ƒ ⑧ ƒ) ◦ Δ Cかつε D ◦ ƒ = ε Cをみたすときをいう．最初の条件をSweedler記法で書けば, f(c)1 ⊗ f(c)2 = f(c1) ⊗ f(c2)となり，番号付けとなかよしである.例1.4.以下に余代数の例を挙げる.
とすれば余代数をなす.これは行列余代数と呼ばれる.一般のベクトル空間V,Wに対して，次の自然な包含があることに注意する：
命題1.5.余代数Cに対してその双対空間C*は自然に代数になる. Proof.構造射はそれぞれ次で与えられる.
これが図式をみたすことを見るのはたやすい. （欲しい図式と，余代数の図式の双対をつなげばよい.）記法1.6.
慣習に従って，この積を合成積(convolution product)といい，元c*,d* ∈ C*の合成積を
例1.7.行列余代数Mat f (k) = ⊕ i j =1 k x ij の双対代数はどうなるであろうか？まずペアリングに関する双対基底を{Eij | 1 < i,j < n}とおく.すなわち{Eij,xke} = δί,κδj,eをみたすようにとる.このとき元  Α = ∑ i,j α ij Ε ij, Β = ∑ i,j, b i,j, Ε i,j, ∈ C*の合成積を計算したい．任意の基底xkeに対して，ペアリングを計算すればよいので
以上から，(Mat ξ (k))*は代数として行列代数Mat n (k)と同型であると分かる.補題1.8.余代数Cに対して, {Cの部分余代数} → {C*の両側イデアル};   D → D − .ここでD ⊥ := {ƒ ∈ C* | ƒ(D) = 0}. Proof.まず値域に入っていることは，D「が包含写像D → Cの線型双対の核になっていることから従う．次に逆を作りたい．任意に両側イデアルＩ ⊂ C*をとり固定する．このときI ⊥ := {c ∈ C | ⟨ I,c ⟩ = 0}を考えれば，これがCの部分余代数であることが以下のようにしてわ
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かる．任意にx ∈ I ⊥をとり，Δ( x ) = ∑ i Yi ⊗ z i ∈ C ⊗ C with { z i } iは線型独立と表示する．もし△( x ) ξ I − ⑧ Cならば，線形独立性から∃ u, ξ I −がとれるので，これに関して∃ α ∈ I s.t. α(yε)̸= 0となっている.すると，双対基底でβ ∈ C*をβ( z j ) = δ j,εとしてとれば,  Iが両側イデアルであることからα * β ∈ Iが従い, 0 = ⟨α * β, x⟩ = ⟨α, yε⟩ ≠ 0となるのでこれは矛盾.従ってx ∈ I ⊥ ⑧ Cである.逆もまったく同様に示されるので，結局x ∈ I ⊥ → I ⊥と分かった.最後にこの対応で逆になっていることを示す.すなわち任意に部分余代数Ｄ⊂ CをとるときD ⊥ = Dを示す．定義から(つ)は自明なので(C)をいう．ベクトル空間としてC = D ⊕ Eと分解し，ƒ ∈ C*をƒ(D) = 0かつƒ(E \ {0}) = {1}と定義すれば，明らかにƒ ∈ D ⊥である．任意のc ∈ D ⊥ に対して， ⊥の定義からƒ(c) = 0だが，これはƒの取り方からc ∈ Dを意味する．従ってD「「 C D. ●例1.9.この補題1.8と例1.7から行列余代数Mat 5 (k)は余代数として単純（つまり非自明な部分余代数を持たない）であることが分かる.余代数の線型双対は代数になったが，代数の場合はそうはいかない：命題1.10.有限次元代数Aに対してその双対A*は余代数. Proof.このとき(1.2)の包含射A* ⑧ A* → (A ⑧ A)*は同型となるので，これを使えば構造射が定義可能である. ●代数かつ余代数であって両立条件をみたすものを考えたくなる...ね！定義1.11.代数かつ余代数Bが双代数であるとは，余代数の構造射△ : B → B → B, ε : B → kが代数射となっているときをいう．すなわち次をみたす時をいう． △(ab) =
注意1.12.
図式を描けばすぐわかるように，上記条件はm : B ® B → B, u : k → Bが“余代数射”であることと同値である.例1.13.モノイドGに対して，kGは自然に代数となる．一方で，例1.4 (1)でみたようにkGは余代数でもある．すぐ分かるようにこれらの構造で，kGは双代数をなしている．そこまで真剣に双代数はしない（群論的に考えたら，モノイドに対する理論の展開が非常に難しいように).定義1.14.双代数Hがホップ代数であるとは，次をみたす線型射S : H → Hが存在するときをいう： Ah E H,
このＳをアンチポードという.注意1.15.条件(1.4)を言い換える.余代数Cから代数Aへの線型射全体Hom k (C,A)は合成積(1.3)の定義（値域）を拡張することにより，代数の構造が入る．これに留意すると，アンチポードの条件(1.4)とは，Sが代数Hom k (H,H)のなかで「id Hの合成積*に関する逆元」であるという条件に他ならない．特にこのことから，アンチポードは存在すればuniqueである．
例1.16.
ホップ代数の例を挙げる. (1)群Gに対して群環kGは例1.13のようにして双代数であるが，さらに各g ∈ Gに対しT S(g) := g−1とおくことで，ホップ代数になる. (2)一変数多項式環k[T]はΔ(T) := T & 1 + 1 & T,    ε(T) := 0,    S(T) := −T
により（それぞれを代数射に拡張して）ホップ代数になる. (3)より一般にリー代数gの普遍包絡環U(g)はPBWの定理を考えると，gの各元に対して(1.5)と同様の構造を入れる（但し$は反代数射に拡張して, see命題1.18)ことでホップ代数になる. (4)一変数多項式環k[T]は△(T) := T ⑧ T, ε(T) := 1を代数射に拡張して双代数となる.これがアンチポードで閉じているような“ところ”を考えたい.それにはアンチポードの定義からS(T)T = 1となっていなければならないので，Tによる局所化k[T,1/T]でよい. このとき局所化のuniversalityからをみたすように△, εが延長できることが分かる. よってこれと,  S(T) := 1/Tによってローラン多項式環k[T, 1/T]はホップ代数になる. (5) n²変数多項式環k[T 11 , T 12 , . . . , T nn]は行列余代数（例1.4 (2)）と同じ構造(Δ(Τ ij ))i,j = (Τ j j )j,j,j,j,j,j,j,j,j,j,j = (δij)i,j = (δij)i,j
で（代数射に拡張して）双代数になる．これも上記の例(4)のようにして適当な局所化によりホップ代数となる。実際，行列式 D  :=  det(T jj) j,jによる局所化 H  = k[T 11, . . . , T nn , 1/D]を考えればよい.行列式は(1.6)と行列式の乗法性からΔ( D ) = D ® D, ε(D) = 1をみたすとわかる.そして△, εをH上に
をみたすように延長でき，Hはまず双代数．そして
から決まるアンチポードによりHはホップ代数となる．ここで(−)は余因子行列.注意1.17.例1.16 (5)のホップ代数Hはn次一般線型代数群GLnの“座標環”と呼ばれているもの. 任意の可換代数Rに対してAlg x (H, R)をHからRへの代数射全体とするとき，これは合成積*に関して群をなす. 実際,  ƒ ∈ Alg k (H, R)の*-逆元はƒ ○ Sで与えられる. このときAlg x (H, R) = → GL n (R);        f (-) (f (T ij ))i jが群同型を与える.このHはO(GLn)とかかれたりする.命題1.18.ホップ代数HのアンチポードSは以下の性質を持つ： (1) Ｓは反代数射. (2)  Hが可換⇒  S² = id. Proof. (1)反代数射であること，つまりS(xy) = S(y)S(x) and S(1) = 1を示す．後ろのはΔ(1) = 1 ⑧ 1とε(1) = 1よりすぐ従う．前のは伝統的にz := ∑ S(x1y1)x2y2S(y3)S(x3)を二通りに計算することになってるγ . 表示をΔ(x) = x i ⊗ x i , Δ(y) = y j ⊗ y j で与えたとき, z =
となり主張が従う. (2) S²がSの左右*-逆元であることを示せばよい（注意1.15参照）.片方だけみてみると, (S² * S)(h) =   S²(h1)S(h2) =   S(h2S(h1))   (∴反代数射)そして，Hが可換ならば= ∑ S(S(h 1 )h 2 ) = S(ε(h)1) = ε(h)1.一方でHが余可換ならば= ∑ S(h 1 S(h 2 )) = · · · ●実は似たような計算で「Sが反余代数射」であることや「Hが余可換⇒ S 2 = id」であることがすぐに示せる.有限次元の場合は，命題1.10と合わせることで次を得る.命題1.19.有限次元ホップ代数Hの線型双対H*もホップ代数.
1.2余加群
Aを代数とする.ベクトル空間Mが左A-加群であるとは，線型射α : A ® M → Mが存在して次をみたすときをいうのであった： A ◇ A ◇ M 一id💦💦
これは代数と同じ図式であることに注意する。全体（A-加群圏）をAMと書くことにする.これも例によって双対化する.
定義1.20.
Cを余代数とする．ベクトル空間Vが右C-余加群であるとは，線型射ρ : V → V ® Cが存在し次をみたすときをいう.
- V S C全体（右C-余加群圏）をMCと書くことにする.左バージョンCMも同様に定義する.記法1.21.この場合のSweedler記法はρ(v) =      vo & v1        (v ∈ V)とかく.番号動く順番を気にしてる．左余加群ならρ(ν) = ∑ν−1 ⑧ νοとかいてしまう．そしてΔ(v–1) = v–2 ⊗ v–1 とかけば整合性が出る.命題1.22.例1.4 (1)を思い出す. C = kXに関して. {右C-余加群} = { X-graded vector spaces V = { 17 V x   ( Proof. (C)：右C-余加群Vについて，各x ∈ Xに対してV x := { v ∈ X | ρ ( v ) = v ⊗ x }とおく．任意のν ∈ Vに対してρ (v) = ∑ x ∈ xウx ∅ xと表示するとき，余加群の定義からid ⊗ εするとν = ∑ x ν zである.また余加群の定義からρ ⊗ idすると(id ⑧ Δ)ρ(ν) = ∑ x ρ(ν z ) ⑧ xとなり，もう一度代入するとこれは∑ x v x ⑧ x = ∑ x ρ(v x ) ⑧ xだからv x ∈ V zが従う．よってν ∈ ⊕ x V zとわかり，V = ⊕ x ∈ x V z · (つ) : V = ⊕ x ∈ x V xが与えられたとき，各x ∈ Xに対してρ x : V x → V x → kx;        v → v → xとおき，ρ := ⊕ x ∈ x ρ xとおけば，Vは右C-余加群になる.
余代数の線型双対はいつも代数になったことを思い出す.命題1.23. Cを余代数とする．右C-余加群Vは，次の作用で左C*-加群となるC  → V := } vo{c*,vi}これは口では「hit action」という.系1.24. Cが有限次元余代数ならば，ベクトル空間V上の構造に関して命題1.23の対応で{ V上の右C-余加群構造} ← ¹:¹→ { V上の左C*-加群構造}. corresp. Proof.まず初めに,一般にベクトル空間V, Wに対して,次の自然な単射があることに注意する²). V & W* — Hom k (W, V);    v & w* —   (w → v{w*, w}).特にW = C*とするとV ⑧ C** → Hom k (C*, V)を得る.一般にC → C**に注意すると合成してV & C → Hom k (C*,V)であり，両辺にHom k (V, −)を施すとHom k (V, C)   →   Hom k (V, Hom k (C*, V))  →   Hom k (V  → C*, V).最後のは☁-Hom adjunction. 実際に計算すると，これで余加群構造射ρを送った先が，命題1.23の→であることが分かる．いま，仮定よりCは有限次元なので(1.7)は同型．これにより主張の一対一対応が従う. ●
1.3単純余加群
以下で余代数C = (C; Δ,ε)を固定する.当たり前だが余加群の共通部分もまた余加群に注意する．余加群V = (V;ρ) ∈ Mcとν ∈ Vに対して, 〈v〉:= ∩{ W ⊂ V :部分C-余加群| v ∈ W }とおく．次は余加群の基本定理とでも呼ぶべき（加群と比べて）際立った性質である．命題1.25.この〈v〉は有限次元Proof.まずCの基底{c;},をとり, ρ(v) = ∑, v; ® c;と表示する（もちろん有限和）。これでW := ∑ i kviとおくとき，id ⊗εすればν = ∑ i ε(ci)vi ∈ Wなので，あとはWがVの部分余加群が示せたら，最小性から〈v〉⊂ Wとなり主張が従う.各ｉに対してρ(vi) ∈ W ⊗ Cがいえたらよい.まず適当なスカラー αj ℓ ∈ kでΔ(ci) = Σ i,e α,i,e c, 8 c,と表示するとき，余加群の定義から
が成り立っている．いまc;は基底で取っていたから，ρ( v i ) = ∑ j,ε v e ⊗ α j,έ c j ∈ W ⊗ Cを得る．従って，ＷがＶの部分余加群. ●いつものように単純C-余加群を，非自明な部分余加群を含まない非ゼロな余加群として定義する．余加群Vに対して，そのsocleを，Vの単純部分余加群の和（直和）として定義し，soc (V)と昔くことにする.系1.26.余加群Vについて以下が成り立つ. (1) Ｖが単純ならば必ず有限次元. (2) V̸= 0ならばsoc (V)̸= 0. Proof. (1)任意に0 ≠ ν ∈ Vをとるとき，単純性からV = (v)となる．命題1.25よりこれは有限次元. (2)仮定から0 ≠ ∃ν ∈ Vがとれる.もし( ν )が単純ならばこれで終わり.もし違えば定義から部分余加群0 ≠ ∃W ⊆ (v)がとれる. いま命題1.25より(v)は有限次元なので，この操作はいずれ終わる. ●定義1.27.余代数が既約: ←→ 唯一の単純部分余代数をもつ.命題1.28.ホップ代数Hに対して, Hが既約   ←→   任意のV ∈ M Hに対して, V ≠ 0 ⇒ V ∞ H ≠ 0.ここでVcoH := {v ∈ V | vo ⊗ v1 = v ⊗ 1}はVのH-coinvariantsからなる部分集合. Proof. (⇒)系1.26(2)から単純部分余加群S ⊆ Vがとれる．その基底をv1,...,vnとかく(系1.26(1)参照).このときVの構造射をρとかけば
=1という余代数としての同型を得る．ここで例1.9からMatfi (k)は余代数として単純だったことを思い出すと，仮定のHの既約性からn = 1でなくてはならず， 0̸= S = {v1 | ρ(v1) = v1 ∅ 1} = Vcoh ˙ (←)任意の単純部分余代数D ⊆ Hに対して，D ≠ 0だから，仮定より0̸= DcoH = {h ∈ D | ∆(h) = h ∅ 1} = ε(D)1 ●とわかる．従って，∃ d ∈ D s.t. ε (d) ≠ 0とわかり，1 ∈ ⇌ D ¤ ⊆ Dとわかるので，D = k 1 .
1.4　余加群のコテンサー
代数Aと，その左右加群M, Nに対してA上のテンソル積M S A NとはM & A & N act.&id-id&act. , M & N cano. , M & A N (= ("Image"), m ⊗ a ⊗ n ├ → ma ⊗ n − m ⊗ anのイコライザーとして得られるのであった．これの双対概念として：定義1.29.余代数CとV ∈ M C , W ∈ C Mに対して，C上のコテンソル積V □ C W ⊆ V ⑧ WをV □ C W → V → W  coact. Bid – id B coact. → V  B C  B Wのコイコライザーで定義する.定義から関手V □ C (−) : C M → Vec kは左完全であることに注意する.例1.30.ホップ代数Hと右H-余加群Vに対して, V □ H k = { v ∈ V | v 0 ⊗ v 1 = v ⊗ 1} = V cohとなる。テンソル積の性質M ® A A ≈ M, (M ® A N) ® B L ≈ M ® A (N ® B L)の類似が成り立つ：命題1.31.以下でCを余代数とする．次の自然同型がある： (1)任意のV ∈ M Cに対して, V □ C C ⇒ V ; v ⊕ c ↔ v ε(c). (2)任意のV ∈ C M , W ∈ C Mとベクトル空間Xに対して, (V □ c W) ◇ X ≒ V □ c (W ◇ X).ただし，右のW & XはWだけで° Mとみている. (3)任意の余代数Dと任意のV ∈ M C , W ∈ C M D , Z ∈ P Mに対して, (V □ς W) □ D Z ≒ V □ς (W □ D Z)ただし，両側 CMPは代数のときと同様に解釈する. Proof. (1)逆はv → v 0 ⊗ v 1で与えられる．実際，余加群の定義からv 0 ⊗ v 1 ∈ V □ C Cはよく，また行って帰ってidentityもコテンサーの定義からよい. (2)コテンサーの定義式に，体上だから完全関手である(−) & Xを施せばよい. (3)コテンサー V □ C (−)が左完全であったことを思い出せば, (V □ c W) □ D Z   def: (V □ c W) ⊗ Z   ≥  V □ c (W ⊗ Z)  つ V □ c (W □ D Z)を得るが，これが所望の同型を与えることを見るのはたやすい. ●代数射Ａ → Ｂがあれば右A-加群Mを係数拡大して右B-加群M ◇ A Bが考えられたように,コテンサーを用いて余加群の“係数拡大”が考えられる.余代数射ƒ : C → Dが与えられたとき，CはC → C → C  f→ D → CでP Mの対象と見れる.そこでこのときW ∈ M Pに対してind B (W) := W □ D Cとおき，右のCだけでMCの対象とみる．これで関手ind S : MD → MCを得る．一方で，(V,ρ) ∈ Mcに対してresら(V) := Vをres B (V) → V → C → V → Dでresら(V) ∈ MPと見ることにする. これで関手resら: MC  → MPを得る.以上の準備のもと，代数の方でよく知られたFrobenius reciprocity 31 Hom B ( M ⊗ A B, N ) ≒ Hom A ( M, res B N )の双対を得る：命題1.32.任意のV ∈ M cとW ∈ M pに対して，Hom p (res B (V)，W ) ≒ Hom c (V, ind B (W)). Proof.構造射をρ : V → V → Cとかくとき，片方はHom P (res B (V), W) → Hom C (V, ind B (W));    φ → (φ & id) o ρで与えられる．実際，C-余加群射であることも値域がコテンサーの中にはいってることもすぐわかる.逆はHom C (V, ind S (W)) ∋ ψ → (id S ε) o ψである．これがD-余加群射であることが難しい．まずψがC-余加群射だから；
他方で欲しいのは
これがcommuteするかどうかは，α ⑧ ƒ(b) = α 1 ⑧ α 2 ε(b)かどうか．しかし(1.8)はW □ D Cでの等式より，条件からこれはO.K.最後にお互い逆の対応かどうか.つは自明によい. ⊂は上記のφ(v) ＝ α ⑧ ὁ的に考えてよい●
2
Dense big cellの理論
2.1 設定
ホップ代数たちA,B,B',Cであって，次の可換図式をみたすホップ代数''の全射たちが与えられているとする. A
次の条件を課す：仮定2.1. (1) φ, φはそれぞれホップ代数のsplittings i : C → B, i' : C → B'をもつ. 以下で, Cはこのsplittingsによって左B-余加群，左B'-余加群とみる. (2) Bの既約な商ホップ代数Uが存在して，iが左B-余加群としての同型C ≈ Bco0を誘導する．ここで，Bは標準全射B → Uで右U-余加群とみている．さらに同様のことが(−)′でも成り立っている. (3)合成射A → A → A π → B → B ′は単射.注意2.2.条件(1), (2)に関して.いまの設定ではB,B'を最初にとったが，既約ホップ代数たちA → U,U'で, U,U'がC-余加群としてconormalであるものをとってはじめてもよい. 実際,このときHopf crossed productでB := C#Uと作ったものが先の条件(1), (2)を満たす.さて目標は，Cの右単純余加群全体（の同型類）を適当なパラメータ集合Λを用いて{u(λ) | λ ∈ Λ}とかくことにしたとき，これらを用いて「Ａの右単純余加群を全部構成」することである.
2.2   既約 B-余加群
以下でM ∈ M Bは，仮定2.1(2)の標準全射B → Uで右U-余加群とみる．任意のV ∈ M Cに対して，Frobenius相互律（命題1.32）からHom B (res B (V), M) = Hom C (V, ind B (M))がいえているのであった. まずこのindら( M )を言い換える：補題2.3.任意のM ∈ M Bに対して，ベクトル空間としてM ∞ ≥ ind S ( M )である. Proof.まず，命題1.31(1)の同型M □ B B ≥ Mは右U-余加群の同型であることに注意. これの両辺に(−) □ ∪ k = (−) ∞すると，命題1.31(3)からM □ B ( B □ U k) ≒ ( M □ B B ) □ U k ≒ M ∞ Uを得る. いま仮定2.1(2)からB ∞ ∪ k ≒ Cだったので主張が従う. ●この結果とUの既約性から次を得る。 :命題2.4. Bの右単純余加群全体は{resg(u(λ)) | λ ∈ Λ}で与えられる. Proof.まず単純余加群L ∈ MBをとる.仮定2.1(2)からUは既約なので命題1.28からLcoU̸= 0と分かる.すると補題2.3からind ʃ (L)̸= 0と分かるので，系1.26(2)よりC-単純部分余加群ι(λ) ⊂ ind B ( L ) for some λ ∈ Λが存在する．このこととFrobenius相互律から0  ≠  Hom C (u(λ), ind E (L))  ≠  Hom B (res E (u(λ)), L)となるため，右B-余加群（全）射resら(ι(λ)) → Lをえる．これの両辺resら(−)をとると， res = (res = (u(λ)) = res = (L)となるが，左辺は仮定2.1(1)のsplitnessからιι(λ)に一致する．従って，単純性からιι(λ) 〜 resミ(L)でなければならない. ■これで単純B-余加群は分かったが，次の単純A-余加群の話をするためにはB'の方との関係を調べる必要がある.補題2.5.任意のV ∈ M Cに対して，次の右B ′ -余加群の単射が存在する： res B ind B res B (V) → ind B (V) Proof.仮定2.1(3)の単射A → A ® A → B ® B ′は自然に左B-余加群射にみれるので，単射を保つことに注意して，これにresg(V) □ B (−)を施せば， res B (V) □ B A   →   res B (V) □ B (B ⊗ B ′ )  ≒   res B (V) ⊗ B ′を得る．最後の同型は命題1.31(1)．この射はid ⑧ァ'に一致し，その像がV □ c B'とわかる．実際，示すべきは，任意のν ⊗ α ∈ res B (V) □ B Aに対して， v0 ⊗ v1 ⊗ π ′ (a)   ≠   v ⊗ ϕ ′ π ′ (a1) ⊗ π ′ (a2)   (2.1)   v ⊗ ϕπ (a1) ⊗ π ′ (a2)だが，元の仮定からvo ⑧ i(v1) ⑧ a = v ⑧ π(a1) ⑧ a2が成り立ち，これにid ⑧ φ ⑧ π ′を施せばsplitnessの仮定2.1(2)からOK. 最後にB′-余加群射であることは，π′がホップ射より自明.  ロ
2.3  既約A-余加群
各λ ∈ λに対して, H 0 (λ) := ind B (resB (ιι(λ)))とおき6 , λ ﾟ := {λ ∈ λ | H 0 (λ) ≠ 0}とおく.このH 0 (λ)はBを用いて構成したが，これとB ′の関係が次で与えられる：補題2.6.任意のλ ∈ λ ♭に対して，soc B ′ (res B ′ (H ′ (λ))) ＝ res B ′ (u(λ))が成立. Proof.補題2.5でV = res ξ(ι(λ))の場合を考えたら，右B ′ -余加群の単射res B, (H 0 (λ))   → ind B ′ (u(λ))を得る. これの両辺でsoc B (−)をとったとき, λ ∈ Λ 'であることと系1.26(2)に注意すれば, 0  ≠  soc B ′ (res B ′ (H ′ (λ)))  →  soc B ′ (ind B ′ (u(λ))) (2.2)を得る.一方で，命題2.4のB′-版から，単純右B′-余加群全体が{resς,(ιι(λ))}λελであることが分かる. いま入∈ Λ๋だったから特にindら(ι(λ)) ≠ 0なので，その単純部分B ′ -余加群としてあるμ ∈ Λによってres B ,(ι( μ ))が入っているとしてよい．するとFrobenius相互律(命題1.32)から0  ≠  Hom B ′ (res B ′ (ι(μ)), ind B ′ (ι(λ)))  ≠  Hom ′ (ι(μ), ι(λ))となるから，C-単純余加群の仮定からλ = μを強いる．すると(2.2)の右はresら,(ι(λ))であることが分かり，主張が従う. ●次がメインの定理である".定理2.7.任意のλ ∈ λ ♭に対して，H 0 (λ)のA-socle L (λ)は単純．さらに{L(λ) | λ ∈ λ ♭ }が単純 A-余加群全体を与える. Proof.まず単純A-部分余加群たちL, L' ⊂ H 0 (入)をとる．補題2.6からsocי(L) = res B (u(λ)) = socי(L ′ )とわかる．従って，L ∩ L ′ ≠ 0となるので，L = L ′を得る．後半の主張を示す。以下で任意に単純 A-余加群Lをとる．すると線型双対 L* は明らかにゼロではないから，系1.26(2)からsoc B (res B (L*))̸= 0となる．すると命題2.4より∃μ ∈ Λ   s.t.   resE(u(μ)) ⊂ rese(L*)
となる．系1.26(1)からLが有限次元であることに注意すれば，(2.3)の線型双対によってres B (L)   =   res B (L**) — → res B (u(μ))*を得る. いまresら(ι(μ))*は単純Β-余加群であるから，命題2.4からﾖλ ∈ Λ s.t. resら(ιι(μ))*当u(入)となる．そこでFrobenius相互律（命題1.32）を使えば0  ≠  Hom B (res B (L), res B (U(A)))  ≠  Hom A (L, H 0 (A))となる．従って，A-余加群としてL → H 0 (入)となっており，前半の主張からL = soc A (H 0 (入)) = L(λ)を強いる. ●
2.4代数群の場合(例)
主に連結分裂簡約群Gの座標環A = O(G)の場合（注意1.17参照）が，以下で説明するようにdense big cellのモデルケースとなっている.注意2.8.この場合O(G)は可換ホップ代数であるが，他にもBichon-Riche [BibRic16]でも述べられている通り，Parshall-Wang [ParWan91]による量子座標環0 g (G) (G = GLn,SLn)において(非可換ホップ代数)この方法が用いられている．さらにBrundan-Kleshchev [BruKel03]によるqueer supergroup Q(n)のスーパーの座標環O(Q(n))においても(braidedホップ代数)そうである.まず定義から分裂極大トーラスＴＣ Ｇの座標環をC := O(T)とし, (G,T)のルート系△に適当な順序△ ＝ △+ □ △ −を入れることで構成されるポレル部分群たちB± ⊂ Gの座標環B := 0(B − ), B ′ := 0(B + )を考える．このとき包含の関係から誘導されるホップ代数の標準全射が(2.1)に対応する.また構成からユニポテント群たちU + , U − ⊂ GであってTのadjoint actionによってと分解するものが取れる.その座標環たちU := O(U-),U' := O(U+)は既約ホップ代数であり，分解に即した射影B± → Tに対応するホップ代数射が仮定2.1(1)のsplittingに相当し，仮定2.1(2)の状況になっている.最後に積B- × B+ 🎄🎄 G × G ⇒ Gに関して，適当な意味での“像がdense”である（例えばJantzen [Jan03, Part II, 1.9]参照）ことに対応する座標環の条件が，仮定2.1(3)に相当している.また，Tの既約表現，同値にC-単純余加群は（Tがアーベルなので）もちろん1次元空間であり，Tの指標群（ホップ代数ではCの群様元全体）をΛ := X(T)によってパラメータ付けされる．具体的には，各λ ∈ λ := X(T)に対して，ιι(λ) := k λはk λ → k λ → C;    ν → ν → λによってC-単純余加群をなし，これらでC-既約余加群はすべて得られる.以上から，Gの既約表現全体，同値にA-単純余加群全体が，定理2.7によって{L(λ) := soc λ (H 0 (λ)) | λ ∈ λ 5 }        (H 0 (λ) := ind β (k λ ),   Λ 5 := {λ ∈ λ | H 0 (λ) ≠ 0})で与えられることが従う．ただし，ホップ代数的にできることはここまでで6 ，これ以上のこと(例えばΛ ♭をルート系の言葉でかくなど)はちゃんと表現論をしないといけない.