2007年度代教学賞は，吉岡康太氏（神戸大学大学院理学研究科），坂内英一氏（九州大学大学院教理学研究院）の二人が受賞されました．以下両氏の業績を簡単に紹介いたします.
吉岡康太氏「ベクトル束のモジュライの研究」
吉岡氏は代教的ベクトル束，とくに代教曲面上のベクトル束のモジュライ空間について，精力的な研究を行なっています．代数曲面上のベクトル束は，いわゆるHitchin-小林対応を通じて実４次元多様体上のインスタントンと結びつき，微分位相幾何のDonaldson不変量や理論物理におけるゲージ理論とも関連します.当然さまざまな立場から数多くの研究があるわけですが，そのなかにあっても吉岡氏の成果は第一級のものです.吉岡氏の業績はおおむね三種類に分けることができます。第一はモジュライ空間のベッチ数の計算に関わるものです.  P² 上の場合にはじまり，さまざまな曲面上のベクトル束について計算を行なっていますが，まずは最初の公表論文であるThe Betti numbers of the moduli space of stable sheaves of rank 2 on P² (J. reine angew. Math. 453 (1994))について説明します.この論文ではP²上階数が2でc,が−H （Hは超平面のコホモロジ一類）となる安定ベクトル束のモジュライ空間（のGiesekerコンパクト化）のベッチ数を決定しました.  W. Barthらによる従前の研究では、csの値が小さい場合にしか計算ができていませんでしたから，画期的成果と言えます．証明はWeilの合同ゼータ関数を使って、有限体上定義される安定ベクトル束を数え上げる問題に帰着します.引き続く一連の論文では，線織面や楕円曲面上のベクトル束を扱いますが，そのさい，曲面をblow upしたり偏極を取り替えたりすると，モジュライ空間のベッチ数がどう変化するか（爆発公式、モジュライ空間のchamber構造）といった興味深い考察が行なわれます.モジュライ空間のベッチ数についての吉岡氏の結果は，直後にVafa-WittenがS双対性予想を発表すると，予想を裏付ける実例として，一躍脚光を浴びることとなりました．S双対性の物理的な意味は，高エネルギー領域と低エネルギー領域の対称性ですが，これを摂動級数に対する関数等式として翻訳すれば,インスタントンのモジュライ空間のオイラー数の母関数が保型性をもつ、という予想になります.吉岡氏の計算結果をながめると，P²上の場合はHurwitz類数が現れて，確かに保型形式になっていますし，線織曲面や楕円曲面の場合も母関数はテータ関数を用いて表示することができて，やはり保型形式が現れるのです.なおS双対性予想自体の数学的に厳密な証明はまだ知られていませんし、母関数がなぜ保型性をもつべきなのか、という疑問に対する原理的説明も，数学サイドからは存在しないのが現状です.吉岡氏の第二の業績は、Ｋ３曲面やアーベル曲面上のベクトル束のモジュライの詳細な構造論です.論文Some examples of Mukai's reflections on K3 surfaces   (J. reine angew. Math. 515 (1999))では、XをK3曲面, v = (r,c,,c,) ∈ Heven(X,Z)を「向井ベクトル」としたとき，階数r,チャーン類c,をもつX上の安定ベクトル束のモジュライ空間M = M(v) （向井茂氏によって非特異な複素シンプレクティック多様体の構造をもつことがわかっているが,大域構造はよくわからない）が， X上のd = d(v) = |v|個（ただしd(v)は向井ベクトルvの自然な「長さ」で，Riemann-Roch定理からMの次元の半分と一致します）の点をパラメトライズするHilbert概型X回というわかりやすい複素シンプレクティック多様体から双有理変換や複素構造の変形を行なって得られること，またBogomolov-Fujiki-Beauville内積付き格子H 2 (M,Z)がvの直交補空間と同型になることといった興味深い結果を，丸山正樹氏がベクトル束のモジュライ理論に導入した「初等変換」を一般化することによって示しています.一方Moduli spaces of stable sheaves on abelian surfaces, ( Math. Ann. 321 (2001))ではFourier-Mukai変換を駆使し、アーベル曲面上のベクトル束のモジュライについてK3の場合と類似の結果を証明しました.業績の第三は，H. Nakajima and K. Yoshioka, Instanton counting on blowup . I (Invent. Math. 162 (2005))に始まる中島啓氏との共同研究で，物理学者Nekrasovが定義したゲージ理論の分配関数に関わります．この分配関数は，無限遠直線に沿ってframeづけられたP²上の階数rのベクトル束（物理的対象としては無限遠方では消滅するインスタントン）のモジュライ空間から定義され、R 4のSU(r)同変Donaldson不変量と考えられるものです. Nekrasov予想とは、上の分配関数の主要項と，リーマン面上の周期積分で与えられるSeiberg-Wittenプレポテンシャルと呼ばれる量が一致するであろう、という主張です.前掲論文では，広田方程式の一般化であるblow-up equationsという微分方程式系を詳しく解析することによってNekrasov予想の解決に成功しました（中島・吉岡論文とは独立にNekrasov-Okounkovも同予想を証明しています）.低エネルギー極限Donaldson不変量と高エネルギー極限Seiberg-Witten不変量が等価であるというWitten予想の背景にあるのがSeiberg-Wittenプレポテンシャルですから、上の結果は，R 4上におけるWitten予想に対する数学的定式化を与えたことになります.このテーマについては中島・吉岡両氏による解説Lectures on instanton counting (in: Algebraic Structures and Moduli Spaces , CRM Proc.  Lecture Notes 38, AMS, Providence R.I., 2004)があります.以上の簡単な解説では必ずしも意をつくしていませんが，代数曲面上のベクトル束のモジュライ理論における吉岡康太氏の業績は独創的であるとともに深い内容を含み、代数学賞を受賞するにふさわしいものです.
坂内英一氏「代数的組合せ論の研究」
多重可移群，距離正則グラフ，堅いデザイン，アソシエーションスキーム，ヤコビ形式とコードの重さ枚挙多項式，４つの重さをもったスピンモデル，フュージョン代数，重複がない置換表現の指標表，...坂内氏の業績リストは組合せ論を中心に，多岐な分野にわたる唇大なものです.しかしこれらの研究すべてを貫く中心軸は，坂内氏自ら命名し精力的に研究を推進した「代数的組合せ論algebraic combinatorics」であるといっていいでしょう.アソシエーションスキームは，統計学の分野ではすでに６０年にわたって使われている概念です.しかし１９７０年代後半，Delsarteの理論に触発された坂内氏は、アソシエーションスキームの中でもPスキームとQスキームと呼ばれるものの研究・分類が特に重要であることに気付きました．この発見から生まれたのが伊藤達郎氏との共著Algebraic Combinatorics I. Association Schemes (Benjamin, 1984)です.  PスキームかつQスキームであるようなアソシエーションスキームに重点をおいて記述したはじめての単行本（教科書）として，本書は広くこの分野の研究者の支持を受け，それに伴って「代教的組合せ論」という用語も普及定着していったのです.アソシエーションスキームとは，可移置換群がみたす性質を組合せ論的概念に公理化したもので，有限集合Ｘとある公理系を満足するＸの２項関係R 0 , R 1 , . . . , R dからなっています.その公理の一つは(*) i,j,k ∈ {0,...,d}を任意に与え, (x,y) ∈ Rkとする.このとき(x,z) ∈ R i , (z,y) ∈ R iをみたすz ∈ Xの個数は,  (x,y)に依存せずi,j,kだけで決まる数p*,であるというものです.アソシエーションスキームx = (X, { R i } i=0....a )の関係 R iの隣接行列（( x, y) ∈ R i , ξ R iに応じて( x, y)成分を1または0とおいて得られる行列）をA ,とします.  A 0 , . . , A dが生成するM x (C)の部分代数（Bose- Mesner代教） 21の基底A 0 , . . , A dに関する構造定教が{p t}です.各関係Riが対称であるとき21は可換代数で，原始巾等元Eo,...,Eaを基底に選ぶことができます.基底の変換行列PをA i = ∑ E i P jiで定義し, Q = nP-1とおきます. 有限群Gの共役関係が定めるアソシエーションスキームではPがＧの指標表になっているので，一般の場合にもP,Ｑを文の指標表といいます. Bose-Mesner代数以はHadamard積に関しても閉じています.  n = |X|とおいて，基底nE 0 , . . . , nE dが定めるHadamard積に関する構造定数を{g,}としましょう.二つのd + 1次正方行列B 1 = ( p 1 x ), B 1 = ( q i )を考えます. B1が3重対角行列である差をPスキーム，B1が3重対角行列であるときΩスキームと呼びます（PスキームやΩスキームでは直交多項式が付随して定まることが本質的であって、坂内氏の研究でも直交多項式は随所に使われ重要な役割を果たします). Delsarteは，Ｐスキーム，Ｑスキームにおいては，コード理論，デザイン理論を統一的に扱うことができることを指摘しました.これが示唆するのは、Ｐスキーム・Ｑスキームを中心とする代数的組合せ論が，幅広い分野の諸問題に対して統一的なアプローチを可能とするのではないかということです．坂内氏は実際このことを積極的に主張し，かつ自ら結果を出すことで，代数的組合せ論が多くの分野に関係し豊富な研究対象をもつことを実証してきたのでした. １９９０年代以降坂内氏が行なってきた研究のいくつかをあげます. (a) Subschemes:アソシエーションスキームにおける関係をグループ分けして新たな関係を作るとき，いつまたアソシエーションスキームになるかを論じました．ここで得られた条件は"Bannai-Muzichuk condition"と呼ばれています(J. Algebra 144 (1991)). (b) Fusion algebras:教理物理学の共形場理論に付随するフュージョン代数とアソーシエーションスキームとの関係を論じました．類似しながらまったく異なった立場から研究されてきた対象を，はじめて統一的にとらえたものと評価されています(J Algebraic Combin. 2 (1993)). (c) Spin models:絡み目不変量を与えるJonesのスピンモデルとアソーシエーションスキームとの関係はF. Jaegerが注目したものです.坂内悦子氏との共著では、絡み目における有向交点の４つの型に対応して４種類の重さをもつスピンモデルを研究しました(Pacific J. Math. 170 (1995)). (d) Jacobi forms: Broué-Enguehard (1972)の結果を４変数多項式環の場合に拡張しました．すなわち小関道夫氏との共著論文で，４変数多項式環への複素鏡映群作用の不変式環から、コード理論を通してJacobi形式が構成できることを示しました(Proc. Japan Acad. 72 (1996)).この論文以後、坂内氏と整数論研究者との共同研究が増加します. (e) Multiplicity-free representations:最初期からの研究テーマですが,近年の仕事としては，未解決問題だった1GL(n,g²)の明示的分解があります（J. Algebra 265 (2003).田中太初氏との共著）.斜交群の誘導表現の自己準同型環の指標表の決定も重要な仕事でしょう(川中氏，Song氏との共著, J. Algebra 129 (1990)).以上の例が示すとおり坂内氏は幅広い研究分野で顕著な業績をあげており，現在も球面充填の代数的組合せ論を中心に精力的な研究を続けています.また代数的組合せ論の世界的リーダーとしての二十年にわたる活躍は、多数の若手研究者に強い刺激と鼓舞とを与え，同分野が今日の隆盛を見る原動力となりました．こうした功績は，代数学賞受賞にまことにふさわしいものです． (代教学賞委員会委員長　伊吹山知義　大阪大学大学院理学研究科)