安部哲哉Abstract.このノートの目的は「双曲デーン手術定理を理解したい」と思わせることでる。 1.導入以下では、3次元球面S 3内の結び目のみを考察する。双曲結び目K ⊂ S 3とは、S 3 \ Kが完備かつ有限体積な双曲構造を許容する結び目のことである¹。Thurstonの双曲デーン手術定理とは、次のものである。定理1.1. Kを双曲結び目とする。高々有限個の手術を除いて、Kに沿ったr-手術は３次元双曲多様体となる。 Thurstonの双曲デーン手術定理に関する基本的な文献は、Thurston自身による講義録[4]である²。講義録の概要は、例えば著書[1]の4章に書かれている。双曲デーン手術理論については、著書[1]の３章に概説がある。関連する文献や教科書は沢山あるが、ここでは言及しない。双曲デーン手術定理の勉強は、figure-eight結び目4,の補空間を調べることから始まる。具体的には(1) S 3 \ 4 1が2つの理想四面体の貼り合わせであること。 (2) S 3 \ 4 1が（完備とは限らない、たくさんの）双曲構造を持つこと。 (3)どのS 3 \ 41の双曲構造が完備であるかを調べること。 (4)完備ではないS 3 \ 4 1の双曲構造と、4 1の双曲デーン手術との関係。を学ぶことになる。昔、私が双曲デーン手術定理を勉強しようとしたときは（双曲幾何学の知識を必要としない）(1)で挫折した（講義録[4]のChapter 1の内容)。従って(2), (3), (4)も勉強しなかった。次のセクションで(1)の概説をする³。講義録[4]のChapter 1の概要：いくつかの3次元多様体の構成方法（Dehn手術、分岐被覆、ヒーガード分解、四面体の貼り合わせ等）が紹介されている。（理想）四面体の貼り合わせの具体例として、S 3 \ 4 1が紹介されている。
安部哲哉
2.補空間S³ \ 4,について8の字結び目とは下図のものである。3つの結び目が書かれているが、全てイソトピックであることが（手を動かせば）わかる。「Knot table（結び目のリスト）」では41と書かれる。 Figure 1. 8の字結び目41次の２つの四面体を考える。Ｍを四面体を貼り合わせて得られたものとする。ただし、「矢印の種類」と「矢印の向き」が一致するように、面を貼り合わせる。 Mはセル複体となる。一方、Mは多様体にならない。まず、元々の四面体の全ての頂点は、同一視により一つの頂点ν ∈ Mとなることに注意する（貼り合わせの仕方に注意すれば、こうなることが確認できる)。さらに、Mの頂点vの近傍はトーラスのconeになることがわかる(ここでは説明しない)。従って、Mは多様体にならない。しかし、M \ {v}は多様体であり、次が成り立つ。定理2.1. M \ { v }はS 3 \ 4,と同相である。 Matsuzaki-Taniguchiの著書「Hyperbolic Manifolds and Kleinian Groups」のp34では、M\{v}をS ³ \ 4 1に変形する方法（図）が紹介されている（やや難解）。Google Booksから閲覧可能である。ここでは、講義録[4]のChapter 1の方法を紹介する。つまり、S 3 \ 41から、2つの四面体を構成し、その貼り合わせが上のものと一致することを確認する。ただし、詳細はLackenbyの講義録[3]に従う。
双曲デーン手術定理に向けて
証明.まず、次のS³に埋め込まれたグラフを考える。 (「なぜこのグラフを考えるのか？」は考祭しない）後の都合で辺に「向き」と「番号」をつける。これらは、適当に与えた。 Figure 3.  S³に埋め込まれたグラフこのグラフに４つの２セルを下図のように貼り付ける。S³内に埋め込まれた２セルをA, B, C, Dと名付ける。得られた2次元セル複体をKと置く。 Figure 4. 2セルの接着セル複体Kを上から見ると次のようになる。し辺1, 2のまわりが複雑である。その部分は後で調べる。セル複体Kに関して次が成り立つ。 Claim 1. S 3 \ Kは、2つの3次元球体の内部と同相である。 Claim １の証明の概略.次のS³に埋め込まれたグラフを考える。このグラフに４つの２セル
を下図（右）のように貼る。S³内に埋め込まれた２セルをA, B, C, Dと名付ける。得られた２次元セル複体をKと置く。すると、S 3 \ KとS 3 \ Kは同相である。(詳細はあとで述べる)  口Figure 6.  S³に埋め込まれたグラフと2次元セル複体K Claim 1（の証明）より、S 3 \ Kは「上半空間」と「下半空間」に分かれることがわかった。以下で、「上半空間」がFigure 2の左側の四面体に対応して、「下半空間」がFigure 2の右側の四面体に対応することを示す。セル複体Kをより詳しく調べる。2セルA, Bの和集合は理解しやすい（下図（左）参照)。また、2セルC, Dの和集合も理解しやすい（下図（中央）参照)。しかし、辺2（と辺1)の周りの様子が、わかりにくい。わかりやすくするために、辺２の周りを（Manascoのバブルっぽく）下図（右）のように置く。つまり、 2つのバブル（3次元球体と同相なもの）以外では、グラフをS 2上に配置する。辺２の周りでは、２セルC, D, B, Aは下図のようになる。B'やA'は、BとAの裏面のことである。別の見方をすると、辺２の周りは次のようになる。具体的には、辺２の周りにセルが６つ集まっている。 (図の雰囲気は著書[2]を参考にした）辺２の周りなので、ＢやＡではなく、Ｂ′とA'が見えていることに注意。 Figure 9.辺２の周りの様子「上半空間」において、2セルA, B, C, Dがどのように隣り合っているのかを調べる。2セルA,Cが隣り合っている部分は次のようになる（青線）。辺１は（「上半空間」では）隣り合っていないことに注意すること。 Figure 10.セルAとセルC 「上半空間」において、2セルA, Bが隣り合っている部分は次のようになる（青線）。辺2は（「上半空間」でも「下半空間」でも）隣り合っていないことに注意すること。 Figure 11.セルAとセルB 「上半空間」において、２セルA, Dが隣り合っている部分は次のようになる（青線）。辺２は（「上半空間」では）隣り合っていないことに注意すること。 Figure 12.セルAとセルD 6
双曲デーン手術定理に向けて
Claim 1（の証明）より、「上半空間」は３次元球体の内部と同相である。これを（貼り付けられた）3セルの内部と見る。ここで、3セルとは、（抽象的な）3次元球体B³をある写像∂B³ → Kで貼り付けたものである。この写像を指定するために、3次元球体（中身のつまった風船のイメージ）を次のように膨らませて、3次元球体の境界が2セルA, B, C, Dとなるようにする。 (可能な限り膨らませた) ３次元球体の境界において、どのように２セルA, B, C, Dが見えているのかを考察する。 Figure 13. 3次元球体を膨らませるこの３次元球体の境界に関して、Aが下図のようになるように書くことにする。ただし、図は3次元球体の中から見ているとする。 (例えば上図の黒丸から見る) Figure 14. 3セルの貼り付け方残りは次のようになる。次の図により３セルの貼り付け方が指定される。 7 Figure 15. ３セルの貼り付け方同様のことを「下半空間」に対して行うと、次が得られる。下図（左）は、セル複体Kを下から見た図である。 Figure 16.セル複体Kの裏側と３セルの貼り付け方以上より、Kに2つの3セルを貼ると（S 3と同相な）セル複体K 3が得られる。ここで4 1は、K³の全ての頂点と辺3, 4, 5, 6を合わせることにより得られる。ここで、辺3, 4, 5, 6を一つの頂点いに潰す。得られたセル複体をM'と置く。構成よりM'\{v}はS 3 \ 41と同相である。M'は次の四面体を貼り合わせたものである。
双曲デーン手術定理に向けて
最後にM'とMが同相であることを確認する。そのために、上の四面体を次のように書き直す。M'は次の四面体を「矢印の色」と「矢印の向き」が一致するように、面を貼り合わせたものである。 Figure 18.セル複体M'この貼り合わせは、Figure 2と同じなので、M ′とMは同相である。
□
Claim １の証明を補完する。（論理的な間違いがあればご指摘ください）まず、次の二つのS³に埋め込まれたグラフG, G'を考える。グラフG, G'の補空間は同相である。実際、S³内におけるGの閉管状近傍Nは、連続変形によりG'の閉管状近傍N'になる。(下図参照)これより、同相写像S 3 \ N → S 3 \ N ′が存在する。 S 3 \ NとS 3 \ Gは同相であり、 S 3 \ N ′と$³ \ G′は同相である。以上より、同相写像f : $3 \ G → $3 \ G'が得られた。この写像ƒはAをA 'に、BをB 'に、DをD 'に写す。従って、S ³ \ KとS³ \ Ãは同相である。S³ \ Ãは2つの3次元球体の内部と同相なので、 S³ \ Kも2つの3次元球体の内部と同相である。
双曲デーン手術定理に向けて