2022年2月27日実施1 OA = 3,  OB = OC = AB = BC = CA = 4である四面体OABCを考える。OA =さ, oB =さ, osc =さとして，次の問いに答えよ. (1)　内積す・ごを求めよ. (2)　内積ささを求めよ. (3)  頂点Oから平面ABCに下ろした垂線をOHとするとき,  OHをさ,さ,さを用いて表せ. (4)　線分OAを1 : 3に内分する点をPとする．直線OHと平面PBCの交点をQとする．四面体OABCの体徴をV 1 ，四面体QABCの体徴をV 2とするとき，V 1 : V 2を最も簡単な整数の比で表せ、また，△ABCの垂心をH',辺BCの中点をMとするとき，AH : HH' : H'Mを最も簡単な整数の比で表せ.解答3 ー (1)ﾋﾟﾆﾆ8   (2)ﾋﾟﾆﾋﾟ = -2    (3) OH =ﾆ͡16 16 (4) V 1 : V 2 = 23 : 15,  AH : HH' : H'M = 9 : 7 : 8解説(1) ON 2 (2) OAの中点をNとして，直角三角形ONBについて考えると，cos LBON = OB 9 3よって，ささ= |OA||OB| cos 2BON = 3 · 4 · 2と分かる。
(3)　図形の対称性より，点Hは直線AM上にあることが分かるので，平面OAM上で考える．三角形OAMにおいて点Οから直線AMに下ろした垂線と直線AMの交点が点Hである.直角三角形ANMについて考えると,
よって
別解次のように，平面ABCの方程式を立てて，垂直条件を利用して解いてもよい.点Hは平面ABC上にあるので，OH = l a + m b + n c （l + m + n = 1)とおける． → · δ = → · c = −
l + m + n = 1も含めてこれらを連立して解けばよい、ただし，全体の計算量はかなり多くなる.実は対称性よりm = nであるため，OH = l a + m b + m c （l + 2m = 1)とおくと手早い. (4)   (3)と同様に平面OAM上で考える。三角形OAHと直線PMに関してメネラウスの定理より,
これよりV 1 : V 2 = OH : QH = 23 : 15
である。これとAH : HM = 3 : 5 = 9 : 15より, AH : HH' : H'M = 9 : 7 : 8別解1次のように，ベクトルで直線や平面の方程式を立ててもよい.点Qは直線OH上にあるので
とおける。また点Qは平面PBC上にあるので
とおける。 →  →  → が一次独立であることから，係数比較する.
OHをOF, 6, c のスカラー倍の和で表し，係数の和が1になるように調整してもよい.
2 点Pが正三角形ABCの頂点を次のような規則で移動する。ただし，頂点は反時計回りにA, B, Cの順になっている. [規則1]点Pが頂点Aにあるとき，さいころを振って出た目の数だけ時計回りに移動する. [規則2 ] 点Pが頂点B, Cにあるとき,硬貨を投げて表ならば反時計回りに1つ,裏ならば時計回りに1つ隣の頂点に移動する. n回の操作で点Pが点Aにいる確率をαn,点Bにいる確率をbn,点Cにいる確率をcnとする、最初，点Pは点Aにある. απ+1, bn+1, cn+1をαπ, bn, cnを用いて表すと, απ+1 = Pである。さらに，απ+1をαπで表すと，απ+1 = Hとなる。よって，α nをnの式で表すと，α n #である。カ
解説点Pは操作1回毎に，下図のように各点へと移動する.最初点Pは点Aにあるので，α 1 = b 1 = c 1 = 3またn回目とn + 1回目の操作終了時において，点Pの位置における確率の関係は右図のようになるので，次式が得られる.
1一方② − ③よりbn+1 − cn+1う(bn −cn)であり, b1 =c1なのでbn −cn =0  ⇐⇒ bn =cnとわかる(これは対称性からも明らかである).したがって,
_ a + b 3実数a < bに対して, A(a, 0), B(b, 0), f(x) = (x − a) (x ( x − b)とする。点Aを通り, 2 y = f(x)のグラフにAでない点で接する直線をl 1 ,その接点をCとし，また，点Bを通り，y = f(x)のグラフにBでない点で接する直線をl 2 ,その接点をDとおく. 次の問いに答えよ. a + b (1) 関数y = f(x)のグラフは点0 |
(2)　点Cの座標を求めよ. (3)  y = f(x)のグラフとx軸で囲まれる部分の面徴をS 1 ,四角形ACBDの面徴をS 2とする.  S 1 : S 2を最も簡単な整数の比で表せ.解答に関して( x, f ( x ))と対称な点は( a + b − x, − f ( x ))である.ここで, (1)
である。l 1がA以外の点でy = f(x)と接するので，2次方程式
が重解を持つ。このときこの2次方程式の左辺は,
点Cのx座標については次のように求めてもよい.接線l,の方程式をy = l,(x)とおき,接点Cのx座標をγとおく.このとき3次方程式
の３つの解はα, γ, γである.また, ３次方程式
の３つの解はα,  —— –, bである. ①においてl 1 ( x )が1次式であることに注意すると①と②の左辺の2 x 3 , x²の係数は同じであるから，それぞれの３つの解の和は解と係数の関係により等しい．したがって，
a + 3bを解いてγ = 4 (3)   (1)で示した対称性を用いると,
より，S1：S2 = 2：3. S 1については次のように計算してもよいだろう.
よりS1 =
注釈y = f(x)のグラフをx方向に− α + b だけ平行移動した関数をy = g(x)とおくと，各設問は次のように解くこ2とができる.
講評[1] [空間ベクトル] (標準)計量の入った空間ベクトルの典型問題である。基本のベクトルは決められているし、その内積も求めさせているので，解法はおのずと決まる．ただ，すべて未知数をおいて分点の公式などで解こうとすると少し面倒になる．三角形OAMを切り抜いてきて三角比やメネラウスの定理を使うとか，三角形ABCが正三角形だから垂心と重心が一致することなどを使って，図形的に考えるのが楽だろう．
2 [確率・数列] (標準)
確率漸化式の問題. Ａからの移動はさいころ, Ｂ, Ｃからの移動は硬貨と確率が異なるので状況を整理する力が必要である. 数列{a,,}の漸化式を作る際はα,, + b, + c, = 1であることを利用するとよい. また,  BとCの対称性からbnとcnが等しいことにも気づきたい.
[3] [数学IIの微積分] (やや離)
3次関数のグラフとその接線，面積等について問うもので，3次関数のグラフの概形についての有名事実の証明なども含む出題であった．問われていることは難しくないのだが，見通しよくかつ要領よくやらないと計算を乗り切ることが出来なかったであろう.全体としては昨年の後期と同程度の離易度であるが，どの問題も解法の選択次第で作業量が異なり，得点分布は大きく散らばりそうである。離問はないが制限時間が厳しいことを考えると全問解ききるのは難しい。目標は75%.解説動画公開中！ https://www.youtube.com/channel/UCwE0Fes3Ch0EyoPRWeeYB0Q解答求報の内容に関するお問合せは0120-146-156  892~21:00(土日祝ps://www.mebio.co.jp/硬.0120-192-215 se in fl e . 「福岡校メビオの友だち登録はこちらから〈〈 2022年度入試を最後まで走りきるために！ 〉〉