ステップ荷重を受ける単層ラチスドームの動座屈DYNAMIC BUCKLING OF SINGLE LAYER RETICULAR DOMES SUBJECTED TO STEP LOADINGS賢**，佐藤俊樹**，庄村昌明****加藤史郎*，村田Shiro  KATO,  Masaru  MURATA,  Toshiki  SATOH and Masaaki SHOMURA The purpose of this paper is to study the dynamic elasto-plastic buckling behaviors of single layered reticular domes. The domes are assumed to be under loadings that a static load proportional to its gravity  is followed by  a vertical step load with similar distribution of the static case. The analytical models are of about 190 meters span and two cases for 1.5 and 2.0 degrees are investigated for the subtended half angle of members. The  nonlinear equations for elasto-plastic vibration  of the domes are solved by Newmark's  β method. Based on the results of dynamic behaviors are drawn the following conclusions ; (1) the dynamic buckling loads as the additional step load  decreases almost linearly to the magnitude of the static load; (2) the differences of buckling loads between the elastic case and the elasto-plastic case are found large  for domes with a  subtended half angle greater than 1.5 degrees and as well as with a  member slenderness less than 90 degrees; (3) in such cases of  domes with real dimensions the buckling occurs in elasto-plastic region and the buckling loads are dependent on the yield strength of used materials. keywords: single layer reticular dome, dynamic buckling, step loading, dynamical elasto-plas- tic behaviors, safety factor単層ラチスドーム，動座屈，ステップ荷重，動的弾塑性挙動，安全率1．はじめに大規模なラチスドームは，一般的に自重や雪などの静的荷重を基に設計され，部材が決定される場合が多い。そのため，既往の研究が示すように》，設計したドームが静的荷重に対し、どの程度安全率を有しているかが，重要な課題となる。一方，日本のように地震や台風が多い地域では，これら動的な荷重によるドームの举動に対しても十分な配慮が必要であり、動座屈あるいは設計安全率と動的安全性かとの既連など，さらに多くの課題を検討しなければならない。ラチス構造物の安全性を妨げる要因の一つに、座屈がある²。単層ラチスドームの静的弾旋性座屈挙動は，多数の研究によってかなり理解されるようになってきたが，今日，その動的座屈举動については，解明されていない問題が多く存在するか。 1.1数値計算法や計算機の進歩に伴って，まず，保存系における動的安定問題が数多く扱われるようになった。そのなかで，対称変形に基づく偏平球殻の動座屈に関する研究は，Humphreys & Bodner 99 , Budiansky & Roth®, Archer & Lange®, Huang®, Stephens & Fulton 7 , 加藤・村田と松岡6らにより行われた。一方，非対称変形を含めた動座屈に関する研究は比較的y少なく，対応する座屈実験も現在までわずかしか存在しない。Klosner & Longhitano 9は等分布ステップ荷重下の周辺固定球殻の解析を行った。また，Stricklin& Martinez 100 , Murata, Katoh & Gould '''は，等分布ステップ荷重を受ける周辺固定球殻の動座屈荷重を求めた。さらに，Lock， Okubo & Whittier 19は等分布ステップ荷重下の動座屈実験を行い，対称変形および非対称変形の動座屈荷重を得た。周期外乱や従動力などの非保存力を受ける動的問題はV.V.Bobtinの著書书に詳しく，また，その後も多くの研究が成されている。ラングム外乱を受ける動的座屈問題は保存系における研究に比べて極めて少ない。しかし近年，瀧と半谷19によるアーチの動的解析や,国枝かによる上下地襲動を受ける球形ドームの応答解析，村田と安江일，村田・武藤と中山10による周期外乱を受ける偏平ア一チや偏平球設の動座屈等に示されるように，動座屈とそのメカニズムについての分析が行われ、多くの知見が得られるようになった。ラチス構造物の動的労動に関する研究は，静的なそれに比較して,あまり多いとは言えない。石川と加藤村は，上下地醍醐を受ける複層ラチス構造物の耐膜性について検討した。和田と向かは複層円筒トラス構造物について，また，多田と林￼は２層立体トラスの而始直地震設計法について論じた。一方，単層ラチスドームの動的単動や崩壊性状に関する研究は，田波・瀧と半谷か，加藤と向山ら公園により行われた。また，加藤・庄村と向山がは，水平と鉛道地震動を受けるラチスドームの応答性状と崩壊加速度について分析した。 1.2   म究目的単層ラチスドームの動的座屈性状は，以上のように徐々に研究されるようになってきたが，現在，その挙動を十分把握するまでには至っていない。そこで，本論文は，上下地磯助に対する単層ラチスドームの動的座屈挙動を理解するために，まず，ステップ荷重によるドームの動座屈とそのメカニズムについて分析するとともに、静的荷重の大きさが，どのように動座屈荷重に影響を与えるかについて検討する。
2.解析モデルと動荷重
2.1解析モデル
解析対象は，図―1に示すように，周辺をピン支持された部分球形状の陶胺合ラチスドームである。ドームのスパンは約190mで,稜線上の部材長は10mであり，部材半開角θ 。は1.5度と2.0度の2種類である。ここで，ドームの形状諸元を表一1に示す。ラチスを構成する部材は全て同一断面の鋼管を用い、ドーム複線上の部材細長比をλに設定する。ここでは，λ eは，30，50，60， 90の4種類について解析を行う。部材断面積A , ,断面二次モーメントI,けよ, A, = πd, l, , I, = πd, l, /8 で計算する。ここで, d,は管厚中心での直径。t,は管厚である。材料のヤング保数Eは、2100(tf/ cm²)で，降伏応力度σ ,は，2.4(tf/cm²)である。なお，使用した部材の諸元を表一2に示す。解析は演算時間等を考慮してドーム全体に対し、1/2対称モデルを用いる。 2.2解析法の概略ここでは，幾何学的刑務所性を考慮して弾었性協助方程式を組立て，ニューマークのβ法を用いて数値計算を行う。 βは1/6を，時間増分△t以0.005を用いる%。部材欄性の評価は，図―2に示す部材に対して，座屈たわみ角法で行う。この部材モデルは，接合部を装す両端の弾性式ね，部材を表す弾性部材および部材の降伏を模擬する3個の弾憩性ばねで構成される。ばねの弾憩性特性を，降伏前は弾性体とし、降伏後は式(1)の降伏曲面を流動するものと仮定する。なお、弾塑性解析手法の詳細および表一4示す静的座屈荷重については，文献25）を参照されたい。
ここで, N ,M, ,M,は,それぞれ,弾塑性式に生じる軸力,  y軸およびz軸まわりの曲げモーメントである。また，N，とM，は，降伏軸力と降伏モーメントである。接合部調整合を仮定しており，接合部の訪問性K,は十分に大きな値を設定する。なお、本解析では，部材のねじり剛性は無視する。質量M,は節点に集中するものと仮定し、節点に作用する静的な荷重P sを重力加速度g (=980cm/sec²)で除して，次にように定める。
......................................................(2)ここで, P ,は鉛直力向に作用する荷重であるが，節点が支配する球面上の面積に比例して計算する。ただし、静的荷重P sがゼロの場合には、式(2)で質量を定めるのが困難であるため，ここではν s r
=3と同じ質量を用いる（安全率V s。は後述）。表一3に部材細長比λ。=60に関する節点集中荷重，節点集中質量および単位面積あたりの静的荷重を示す。 2.3　ステップ荷重ステップ荷重P。は，静的集中荷重P。の分布と相似であり，鉛直力向に作用すると仮定する。ただし、動的荷重なを加えるにあたり、静的妨重に対する釣合を近似的に求めるため，まず，荷重を除々に増加させて所与の荷重Pになった後、しばらく値を固定し、静的的合がほぼ得られてからステップ荷重を作用させるものとする（図一3）。滅衰は，1次と2次のモードに対して減衰定数を仮定するレーリー型を用いまたその歯は図―3に示すように0〜2秒の間は臨界嫉哀（h=100%）とし、その後のステップ荷重が加わる時間帯は2%とする。 2.4無次元パラメータ本論文で用いる無次元量やパラメータを本節で示す。ここでは弾塑性解析と弾性解析を別々に行い，結果をまとめている。そこで使われるパラメータは，以下のように，それぞれ静的座屈荷重つまり，弾性座屈荷重PCと弾弾性座屈荷重,で無次元化される。なおРёとРёは，静的な荷重のみを作用させた場合における，静的弾性産屈荷重および静的弾盤性産屈荷重である。
に弾性座屈あるいは弾塑性座屈する場合の最小のステップ荷重である。また，式(3)，(4)の第1番目で定義されるVseとVseは，それぞれ，弾性座屈荷重Pç”および弾塑性座屈荷重Pç”を基準とした安全率である。 2.5 ドームの静的座屈荷重部材半開角が1.5度と2.0度および部材細長比2。の種類が30，50， 60, 90に関する静的座屈荷重を装一4に示す。表中の（）内の値は弾性座屈荷重を表す。実際に弾性座屈する場合は，部材半開角が1.5度でな= 90のドームのみであることが分かる。
3.ステップ荷重によるラチスドームの動座屈
3.1動座屈解析に用いるモデルの種類
解析に用いるモデルは，部材半開角が1.5度と2.0度の2種 部材細長比λ 0種類が30, 50, 60, 90の4種であり，また安全率Vs。が2, 3，4と無限大の4種（弾性解析においても，静的荷重は弾塑性座屈荷重に関する安全率ν s =2, 3, 4,無限大に対する値を用いる）であり，したがって，計32モデルとなる。また，座屈メカニズムや提動状態を分析するためのモデルとして，弾性解析と弾塑性解析を考慮すると，全部で64モデルとなる。さらに，ここで示した全モデルに対し、十数回の振動計算を行い、動座屈荷重を求めている。ステップ荷重による動産屈荷重を求める方法は，以下のようである。まず，ゆっくりと静的的合を保ちながら荷重を増加させ，2秒後にステップ荷重を加え，10秒間の援動状態を得て，一回の解析を終える（図一3）。このステップ荷重を増加させながら、上記の方法を繰り返し，摄動状態に大きな変化。つまりメカニズムが生じてドームが崩壊する最小のステップ荷重を動座屈荷重とする。 3.2 ドームの面有周期図―4に，部材半開角θ 。が2.0度で，安全率Vs。＝2におけるドームの線形固有周期の一覧を示す。最大国有周期Г,=0.93秒に続いて,近接して多くの固有周期が存在する。このことは，この近辺に外乱のパワーが存在すると，いずれかのモードが共振する可能性を示す。 3.3最初に動座屈時の振動状態を分析する。振動状態を示すために111節点と23節点を選みこの二つの節点はドームの頂部とサイドの位置(図一1参照)にあるため、座屈メカニズムの分析に都合がよい。図一5 (23節点) , 6 (111節点)は弾性の座屈荷重前後の掘動状態を示す。この場合のドームのパラメータは、θ e=2.0度，λ e=50, vsr =2であり，ステップ荷車は座屈前がPoe =0.636  Por =1.150)で，動座屈時がPoe =0.639（Pop =1.155）である。弾性動座屈荷重が弾弾性動座屈荷重より大きい場合は，弾性解析は，工学的にはほとんど無意味であろうが、ドームの座屈挙動を知るうえでは，弾性動座屈のメカニズムを分析し、弾磁性のメカニズムと比較することは大いに意義がある。図―6に示されるように，座屈前の提動状態で，変位が十数回の振動で減衰していく様子がよく理解できる。しかし、図―5から分かるように，ドームサイド部分の協動は，２から3秒と周期がかなり長く，動座屈の瞬間であることが伺えるか。さらに，ステップ術重がほんの少し高くなると，5秒前後で急敗に変位が増加し，動座居を起こす。一方，ドーム頂点では提動状態に変化が見られず，座風はサイド部分に生じていることが分かる。図―7, 8は共に23節点,図―9は111節点の弾性摩屈時の振動状態であり，ドームのパラメータは静的荷重，つまり，安全率を除いて全て図─5のドームと同じである。図─7のドームの安全率はν 。 =3であり，図─8，9はPs = 0の場合の結果である。図から分かるように，静的荷重が大きくなるにしたがって，ドームサイド部分の周期が長くなり，動座屈に至っている。一方，静的物重がゼロの場合は，約6秒で座屈してはいるが，サイド部分の振動周期は１秒弱でドーム自身の固有周期に近く（図─8），しかも動座屈はこの近辺では生じておらず，ドームの頂点部分に発生している（図―9）。この2ように，静的筒重の大きさによって弾性動座屈モードは変化する。 3.4   弾塑性動産屈時の振動状態図―10, 11は，動座屈時前後の弾壁性基動状態を示す。両図におけるドームのパラメータは、図一5と同じであり，安全率はそれぞれvs. =2とvs. =3である。援動状態は，弾性座屈時とは異なり，ドームの座屈部分近傍で振動数が極端に低くなることはない。ステップ筒面が加わったあと，１回もしくは数回の振動の後，雖性ヒンジにより数パネルにわたって座屈メカニズムが生じ、その結果ドーム全体が崩壊する。 3.5動座屈メカニズム弾盤性座屈は，弾性座屈に比較して現象が急激で，数回の摄動で塑性ヒンジが進行し、各種の崩壊メカニズムが出現して座屈する。図―10に示したドームでは，頂部に崩壊メカニズムができ，その部分が強設して動座屈を起こす（図―13，黒丸は塑性ヒンジ）。静的荷重が小さくなると種々の異なった座屈メカニズムが発生する。例えば，図―11のように数部材が塑性状態に入った後も数回版动し、その後ドーム頂点から少しずれた部分に非対称のメカニズムが生じ崩壊に至っている（図一14）。一方，弾性座屈では頂部が最初大きく掘動し，その後徐々に減衰した後，もしくはその過程で，サイド部分の認動によってドームは動座屈を引き起こす（図―15）。両者のメカニズムの違いは，図一12のステップ荷重と最大変位との関係にも見られる。弾性座屈では頂点の変位(111節点,図―12A)は大きくなっておらず,サイドの節点 (23節点)に座屈現象が見られるが、逆に、弾塑性ではサイドの飾点は大きくならず，頂点の変位が増大し，動座屈となる(図―12B) 。
4.静的荷重の動座屈荷重への影響
4.1静的荷重とステップ荷重に対する余力図―16, 17は静的荷重が弾變性動座屈荷重に与える影響を示す。図―16は部材半開角θ e=2.0度であり，図―17はθ e=1.5度についてである。同図で，横軸は静的荷重，縦軸はステップ荷重であり，両者とも静的弾砲性産屈荷重により無次元化されている。両図から分かるように、θ e=2.0度のλ e=30とθ e=1.5度のλ e=90を除いて（この２つは他と座屈モードが異なる），動座屈荷重は，静的荷重の大きさに比例して，ほとんど線形的に，しかも，各部材細長比え。に対し、ほぼ同じ傾きで動座屈荷重が低下している。弾性動座屈荷重はこの傾向がさらに強く，図―18，19に見られるように，一つの例外を除いて（この場合は，λ。=90, F se =0.47で,座屈モードが他と異なるのが原因），ほとんど線形的に動座屈荷重が低下している。なお、両図で用いている弾性動座屈荷重および静的荷重は，弾性の静的座屈荷重で無次元化されている。 4.2安全率とドームのステップ荷重に対する余力図―20, 21は，安全率とその動的座屈耐力（余力）との関係を示す。横軸は安全率ν 。を，縦軸は次式で示すように静的荷重に対する動座屈荷重の比率η，を示す。 concons (5)なお，図中の点線は静的な弾塑性余力を示す。両図は，静的弾塑性変位の時刻歴：111節点鉛直方向弾塑性解析（θ 。=2.0度） (A)弾性解析図一12　動荷重と最大変位（θ e=2.0度）耐力に対し、ある安全率で設計されたドームがどの程度のステップ動荷重に耐え得るか、あるいやは設計静的荷重の何倍まで動的余力があるかを示す。同図から，安全準と動的余力は線形関係に近いことが分から。参考のために，弾性解析における安全率ν se と動的余力n 。の関係を図―22，23に示す。ここでのν seは静的弾性座屈荷重を基準とする安全率であり，計算はν s 。に対して行っており，そのため横軸の個は変換されている。また，解軸は，次式で示すように，静的病重に対する弾性動座屈荷重の比η εである。 o  5.ステップ荷重による動座屈荷重の推定5.1 線形仮定を基にした動座屈荷重の推定式ステップ荷重が加わる場合，保存系ではAstatic座屈荷重が理論図一14   動座屈形状（弾塑性座屈：Por = 0.340 ）的な最低動座屈荷重となるり。図―24は静的的合曲線とステップ荷重を受けた場合の掘動状態を表す模擬図であり、抜動の軌跡は，図中の位相空間（は速度, w は変位）中の等エネルギー（振動エネルギーとひずみエネルギーの和）曲面上を移動する。このとき,テップ荷重がAstatic座屈荷重以上になると，振動軌跡はAstatic点d, d'（静的不安定的合点；サドルポイント）を超えて動座屈を起こす。ステップ荷重の動座屈荷重を推定するために，このAstatic座屈メカニズムが成立するものとし，しかも，以下の仮定，(I)静的的合曲線並びに振動状態がほとんど線形であり，さらに，(II)動座屈と静的壁屈時の変位がほぼ同じとすると，d点とe点の変位が等しい，を用いる。この結果，次の比例式が成立する。
1:α = Pop : (Pop - Pop
ただし、図―24に示すように，パラメータαはAstatic座屈メカニズムにおける振動初期値b点と静的的合点cまでと静的的合点からdあるいかはd'までの距離の比を表す。式(7)を変形すると，以下の無状元化された弾塑性座屈荷重が得られる。安全率と動的余力の関係は，式(4)，(5)と(8)を考慮すると，下式となる。弾性動座屈荷重並びに弾性の安全率と動的余力については，同様の根拠から以下の式が得られる。

5.2動座屈荷重の推定式と解析結果との比較
Astatic座屈のメカニズムは２つに分類されており，それらは同図の(B)と(C)に対応する屈服型と分岐型である。一般に分岐型ではαは小さく，屈腰型では比較的大きい値となる。実際にはAstatic点は静的解析を行って求める必要があるが，ここでは静的荷重がゼロの場合の動座屈解析の結果に適合させてパラメータαを決定する。弾變性動座屈で，部材半開角θ 。が2.0度の場合はαはほとんど１に等しく，α＝1として推定式（8）を図─16中に描く。同図に見られるように推定式は計算結果の下界を示し、特に, λ e=50, 60では良い一致を示す。また，部材半開角θ。が1.5度では，αが小さく， 0.7となる。この値を用いて推定式（8）を図一17中に描くと， L 。＝ 90を除いて下限値として良い値となる。 L =90は，前述したように静的座屈では弾性座屈の噴撃であり，弾性座屈の結果に近いα =0.35で良い一致を示す。一方，弾性動座屈では（図―18, 19），αはかなり小さく，値として0.2を用いると，推定式はθ。=2.0，1.5度ともに非常に良い予測値を与える。 (B)屈服型動座屈位相空間によるAstatic動座屈のメカニズム図一24安全率と余力の関係は，各設定したαの値を用いて，式 (9) 並ひに（11）より，図―20〜23に描かれる。同図より，弾塑性では，下界として，また，弾性では良い推定値として利用できることが分から。
6.まとめ
ステップ動荷車を受ける単層ラチスドームの弾盤性振動解析を行い，動座屈挙動を分析した。特に，静的病重に対する安全率に応じて，動荷重（ステップ荷重）に対する動座屈を起こすまでの余力を求めた。また，Astatic座屈との関連から動座屈荷重の推定式を求め、解析結果との比較を行った。以下にその結果をまとめる。静的称重の増加（安全率の低下）に対し動座屈を起こすまで1)の余力はほとんど線形的に低下する。 2)解析結果の下界を示す弾塑性動座屈荷重に関する推定式を与えた。 3) 4)解析結果と非常に良い一致を示す弾性動座屈荷重に対する推定式を提案した。弾性と弾遊性の動座屈メカニズムの違いを分析した。また,静的荷重の大きさによって，動座屈モードが変化することを示した。本研究は，限られた条件，モデル数での検討であり，今後，単層ラチスドームの耐膜性の評価や耐膜設計法の確立には，より多くの要因を考慮した解析・検討を行う必要がある。さらに，地震など，実際の外乱を受けるドームの動座屈挙動を分析し、多くの情報を収集する必要があろう。
路
本研究に関し、貴重なるご助言を頂きました名城大学日置輿一郎教授，中日本建設コンサルタント(株)久保田領一郎氏に心より謝意を表します。また，研究に協力頂いた名城大学大学院生小菅将文氏に深く感謝致します。