なるべく多く解いて提出してくれたら評価にプラスαとして加点できます.やりたい人はやってみてください.以下に注意事項を書きます：
06/27
この文章(問題)に変更があった場合は,こんな感じで赤字で右に日付とともに明記しておきます. 04/13
第1次（第2回授業までの分）
以下で G は二項演算* : G × G → Gによって群をなすとし，e ∈ Gをその単位元とする. (簡単な問題たち)
(普通の問題たち) 4.任意にα ∈ Gをとり固定する. このとき写像Ad。: G → G; x → a × x × a −¹は全単射になることを証明せよ.
(考える問題たち) 7.非空な有限集合たちA,Bをとり写像ƒ : A → Bを考える. このとき#A = #Bならば「ƒは全射⇐⇒ ƒは単射」を証明せよ. 8.元たちx 1, x 2, . . , x n ∈ Gを固定したとき，元x 1 * x 2 * . . * x n ∈ Gはカッコの付け替えでx 1 * (x 2 * ( · · * (x n − 1 * x n ) ··· )) や(x 1 * x 2 ) * (x 3 * (··· * (x n − 1 * x n ) ··· )) などといろんなバリエーションで表現ができるが，結合法則から全て一緒になるのであった．一緒になるこhttps://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/(1/9)とはおいといて，そのバリエーションの個数をanと書く. 例えばn = 2,3,4ならα2 = 1   (∴ x 1 * x 2のみ),       α3 = 2   (∵ x 1 * (x 2 * x 3) = (x 1 * x 2) * x 3 のふたつ), α 4 = 5    (∴ x 1 * (x 2 * (x 3 * x 4)) = (x 1 * x 2) * (x 3 * x 4) = ((x 1 * x 2) * x 3) * x 4 = (x 1 * (x 2 * x 3)) * x 4 = x 1 * ((x 2 * x 3) * x 4)).この数列{an}n>2に対して漸化式を作れ.またそれを解いてαnの明示式を導出せよ（恐らくたくさん技を使う必要あり．使った技は明記すること．もし自分で証明していない技を使いたい場合は，しっかり証明をつけること）.
第2次（第4回授業までの分）
以下でもGは二項演算* : G × G → Gによって群をなすとし，e ∈ Gをその単位元とする. (簡単な問題たち) 1. Theorem 2.3の(⇐一)を，Theorem 1.5を用いてしっかり*¹証明せよ. 2.任意のH ≪ Gとa ∈ Gに対して「a ∈ H  ⇐⇒  H * a = H」を証明せよ. 3.任意の∅̸X ⊂ Gとa ∈ Gに対して「a ⋆ X = X ∗ a  ⇐⇒  a −¹ * X = X ∗ a −¹」を証明
(普通の問題たち) 4.  Z(G) ≤ Gを直接証明せよ. 5.任意の∅̸X ⊂ GとH ≪ Gに対して「X ⊂ H  ←  H * X = H」を証明せよ. 6.元たちa,b ∈ Gとn ∈ Zは,  aとbが可換ではなかったら,一般に(a * b)n ≠ a * b である。そのような例を作れ.
(考える問題たち)
7.部分集合∅ ≠ H ⊂ Gについて,「∀a,b ∈ H,a *b ∈ H」を仮定しても,  Hが有限でなければ，一般にHቋGである．そのような例を作れ. 8.部分群たちH,K ≪ Gは, Gがアーベルでなかったら,一般にH * K冬Gである.そのような例を作れ. 9.べき乗α” (α ∈ G,n ∈ Z)を再帰的に定義し，指数法則（Theorem 2.5）を二重帰納法*²でしっかり証明せよ.
第３次（第６回授業までの分）
(簡単な問題たち) 1.巡回群はアーベルであることを証明せよ. 2.有限巡回群Gについて（有限群かつ巡回群の意味）.その生成元をαとかくとき，非負整数nに対して， anがGの生成元になるための必要十分条件を述べ（証明せ）よ. 3. Theorem 3.5でH ≤ Gとなることをしっかり証明せよ. 4.元a ∈ Gに対して，記号(α)と({ a})が一致することを証明せよ. (普通の問題たち) 5.群G上の関係a ～ b : ⇐⇒  b = a or b = a −¹ が同値関係になることを証明せよ. 6.有限群Gについて,「∀a ∈ G, ord(a) < ∞」を証明せよ. 7.元たちa,b,c ∈ Gに対して,  ord( abc ) = ord( bca ) = ord( cab )が成り立つことを証明せよ. 8.有限アーベル群Gに対して「ヨa ∈ G s.t. ord(a) = lcm{ord(a) | a ∈ G}」を証明せよ.ここで， lcm{k, l,m} := lcm(k,lcm(l,m))などと再帰的に定める(well-definedな記法).
(考える問題たち)
9.アーベルでない群Gについて，一般に「{α ∈ G | ord(α) < ∞} ≪ G」は不成立である．例を作れ. 10. 一般に「∀a,b,c ∈ G,ord(abc) = ord(acb)」は不成立である. 例を作れ. 11.有限位数の元たちa,b ∈ Gについて，a,bが可換であっても，ord(a)とord(b)が互いに素でなければ，一般に「ord( ab ) = ord( a )ord( b 」は不成立である．例を作れ. 12.位数有限の元たちa,b ∈ Gについて, a,bが可換であっても, gcd(ord(a),ord(b)) b ord(ab)を割り切らなければ，一般に「ord( ab ) = lcm(ord( a ), ord( b ))」は不成立である．例を作れ. 13.有限群Gの元の個数が偶数でなければ，一般に「e ≠ ∃a ∈ G s.t. a² = e」は不成立である.例を作れ. 14.有限アーベル群Gについて.任意に巡回部分群H ≪ Gをとり固定する. 任意のk ∈ Zに対して，gcd(k,＃H)＝1ならば，写像ƒ : H → G; a → a kは単射になることを証明せよ. 15.有限巡回群Gに対して，次の集合間に全単射を構成せよ： {d ∈ N | dは#Gの約数},       {H ⊂ G | HはGの部分群} 16.有限アーベル群Gが「任意のn ∈ Nに対して， #{ a ∈ G | a n  = e} ≤ n」をみたすならば, Gは巡回群になることを証明せよ. [ヒント]問題(15)は，上の問題(8)をチラ見する.
第4次（第9回授業までの分）
(簡単な問題たち) 1.非空な集合X上に同値関係～が定まっているとする. (a)任意のx ∈ Xに対して, x ∈ [x]を示せ. (b)任意のx,y ∈ Xに対して, x ～y ⇐⇒ [x] = [y]  ⇐⇒  [x] ∩ [y] ≠ ∅を示せ. 2.群Gとその部分群H ≤ Gについて. 各a,b ∈ Gに対して, a ≡, b (mod H) : ⇐⇒  ab−¹ ∈ H と定義する. (a)この≡,  (mod H)がG上の同値関係になることを示せ. (b)任意のa,b ∈ Hに対して, a ≡, b (mod H)  ⇐⇒ a ∈ Hb  ⇐⇒ b ∈ Ha  ⇐⇒ Ha = Hbを示せ. (c)同値類全体の集合をH\G := {Ha | a ∈ G}とかくとき， #(H\G) =  #(G/H)を示せ. (普通の問題たち) 3.ある素数pで#G = p²となっているとき，Gは必ずアーベルであることを示せ. 4.群Gと部分群たちG ≥ H,Kについて, G上の関係を次で定義する. g ～ g'    : ←→     ∃h ∈ H, ∃k ∈ K s.t. g = hg'k. (a)これが同値関係であることを示せ. (b)同値類はHgK  =  {hgk | h ∈ H,k ∈ K}となることを示せ. [ヒント]問題(3)はZ(G)は常にGの部分群であったことに注意する. [定義]このときの同値類全体の集合をH\G/K := {Hg›K}›ε›とかき，伴って考えられる同値類分解G =
をＧの( H , K )-両側剰余分解と呼ぶ. λEΛ (考える問題たち) 5.部分群たちG ≥ H 1 , H 2に関して，次を示せ. (G : H 1 ) < ∞    ⇒⇒    (H 2 : H 1 ∩ H 2 ) < ∞.さらにこのとき(H 2 : H 1 ∩ H 2 ) ≤ (G : H 1 )が成立することも示せ. https://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/(4/9) 6.部分群たちG ≥ H 1 , . . , H nに関して，次を示せ. 1 ≤ ∀i ≤ n, (G : H i) < ∞   ⇒   (G : N
7. Gが有限群であると仮定する.部分群たちG ≥ H 1 , H 2に関して,次を示せ. min{#H 1 , #H 2 } > √ #G    ⇒⇒    H 1 ∩ H 2 ≠ {e}. [ヒント]問題(5)は自然な写像H 2 /( H 1 ∩ H 2 ) →→ G /H 1をつくり， (i) well-definedであって(ii)単射なことを示せばよい.
第5次（第11回授業までの分）
(簡単な問題たち) 1. G ≥ N 1,….,Nに対して, 1 ≤ Vi ≤ m, G/N ,がアーベル⇒⇒ G/N ,=1 N ,がアーベル. (普通の問題たち)部分群たちG ≥ H,Kに対して, [H, K] := 〈 { [h, k] ｜ h ∈ H, k ∈ K } 〉  ≤ GをＨとKの交換子群と呼ぶ（または交換子部分群と）. 2. Gがアーベル ⇒⇒  D(G) = [G,G] = {e}. 3. Ｇ ≥ Ｎ, Ｎ′に対して，Ｇ ≥ [ N, N′ ]. [コメント]交換子群D(G) = [G,G]は「AN ≤ G [G ≥ N & G/Nはアーベル ⇐⇒  NつD(G)]」をみたすので「剰余群の演算が可換になるような最小の正規部分群」ということになる．このアーベル群G/D(G)はGのアーベル化といわれ，G'adとかかれたりする. (考える問題たち) 4. #G < ∞のとき，H ≤ Gについて， G = H ∪ {g ∈ G | ord(g) = 2}    &    #(G/H) = 2ならば#Hは奇数でありHはアーベル.
第6次（第14回授業までの分）
(簡単な問題たち) https://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/(5/9) 1.群homたちf,g : G → G ′について.生成系としてS ⊂ G with G = ⟨ S ⟩をとるとき, 「∀ x ∈ S, f(x) = g(x) ⇒ f = g」を，生成の最小性を用いて証明せよ. 2.非負整数たちn,mについて. (a)等号nZ + mZ = gcd(n,m)ZおよびnZ ∩ mZ = lcm(n,m)Zを示せ. (b)群同型gcd(n,m)Z/mZ ⇒ nZ/lcm(n,m)Zを示せ. 3.非自明な*³巡回群たちG,G'に対して，G × G'が巡回群  ←→   #G,#G'  < ∞ & gcd(#G, #G') = 1. 4.任意のg ∈ Gに対して, Ad g : G → G; h → ghg− 1としたのだった. (a) Ker(Ad g )を決定せよ. (b)次の写像がwell-definedな群homであることを示せ. Ad : G → Aut(G);  g → Ad g (c) Ker(Ad)を決定せよ. (d) Inn( G ) := Im(Ad)をGの内部自己同型群とよぶ.これについてInn( G ) ≤ Aut( G )を示せ. (e)群同型G/Z(G) ≒ Inn(G)を示せ. (普通の問題たち) 5.  N ≤ Gに対して，Homgrp(G/N,G')をG/NからG'への群hom全体の集合とする．このときHomgrp(G/N,G')から次の集合への全単射を構成せよ. {f : G → G' | f:群hom & N ⊂ Ker(f)}. 6.群Gのアーベル化Gab := G/D(G)があった．いままでのように商写像をπD(G) : G → Gabとかく. 任意のアーベル群 H と任意の群hom  f : G → H に対して，以下の主張を示せ. (a)各g ∈ Gに対してƒªb(gD(G)) := f(g),   gD(G) ∈ Gªbとおくと，well-definedな写像ƒab : Gab → Hを得る．さらにこれは群homである． (b)勝手な群hom ϕ : G ab → Hについて，f = ϕ ◦ π d(g)をみたせば，ϕ = f ab . 7.  N, N'  ≤ Gについて,  N' ≤ Gであった. (a)次はwell-definedな写像であることを示せ.
(b)上の写像は群homであることを示せ. (c)次の群同型を示せ.
*³ここで「非自明」とは，G ≠ {e}（単位元を使わずに言い換えれば#G > 1）という意味. https://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/(6/9)担当：柴田大樹[ヒント]問題(7-b)は，まずnn',mm' ∈ NN'に対してnn'mm'をNN'の元として表示する．次にその行先に関して議論しなくてはならないが，例えばx := n′m−¹n′−¹mという元を考えて,  x ∈ N ∩ N ′であることを示し，それをうまく使えばよい. [コメント]問題(6)は準同型ƒªbの唯一性を主張しており，アーベル化のいわゆる「圏論的普遍性」を言っている．図式で書くと以下のような関係． (少し考える問題たち) 8.有限群Gとその正規部分群たちN, N ′ ≤ Gが, gcd(#N, #N ′ ) = 1をみたすとする. (a) N ∩ N ′ = { e}を示せ. (b) #G = #N · #N ′ならばG = N × N ′であることを示せ. [定義]群Gの部分群N  ≤ Gが直積因子: ⇐→  ∃ N ′  ≤ G s.t. mult : N × N ′ =→ G :群同型. 9. 上の定義の状況で，必然的に N N ′ = {e}かつ N, N ′ ≤ Gであることを示せ. 10.上の定義の状況で，任意の部分群G ≥ H二Nについて，NはHの直積因子であり， H ≈ N × (H ∩ N ′ )となることを示せ. 11.群Gとその部分群N ≤ Gについて，次の同値を示せ.
(i)  N ≤ G, (ii) ヨf : G → N :群hom  s.t. f | N = id N . [ヒント]問題(8-a)はLagrangeの定理を使えばすぐわかる．問題(9)の共通部分は群準同型よりすぐ従う．正規部分群であることは適当な群準同型の核としてNやN'が実現されることをいえば簡単.問題(11)の(⇒)はG ≥ N × ≥ N ′と標準的な射影N × N ′ → Nを繋げればよい.逆の(←)はN' := Kerfと置いてみよ.条件から「∀g ∈ G, f(f(g)) = f(g)」が従うが，これをうまく使う. [コメント]問題(11)の射の条件を可換図式で書けば以下のようになる．ただし1は単位元だけからなる自明な群. 1 id 3f https://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/(7/9) shibata@ous.ac.jpかっこよく言うと，この短完全列は「左分裂する」という． (考える問題たち) 12. ∀H ≤ G [(G : H) < ∞ ⇒ ∃ N ≤ G s.t. (G : N) < ∞ & N ≤ H]を証明せよ.
(a) ƒ ∈ Aut(G)が[ƒ² = id ⇒ e ≠ ∀ x ∈ G, ƒ(x) ≠ x]をみたすとき, [∀ x ∈ G, ∃ a ∈ G s.t. x = a-¹ f(a)]を証明せよ. (b) Gが非可換群のとき，∀ƒ ∈ Aut(G) [ƒ² = id ⇒ e̸= 3x ∈ G s.t. ƒ(x) = x]を証明
(みんな大好き巡回群シリーズ) 14.以下でGを有限群とする. (a) Gが巡回群のとき，次は(well-definedかつ)全単射であることを証明せよ*4. {H ⊂ G | Hは部分群}  → {d ∈ N | 0 ≤ d ≤ #G & d | #G};        H ←→ #H.   (b) (b) Gが巡回群のとき，任意のd | #Gに対して，#{g ∈ G | g d = e} = dを証明せよ.
{ℓ ∈ N | 0 ≤ ℓ ≤ ord(a) & gcd(ℓ,ord(a)) = 1} → {g ∈ G | ⟨a⟩ = ⟨g⟩};      ℓ → ⟨a ℓ⟩. 15.有限群Gに対して，主張「(♭)が単射⇒ Gは巡回群」を#Gに関する帰納法を用いた以下の手順を踏むことで確認せよ.
i. ord( x ) | #Kのとき，Gは巡回群になることを示せ. ii. ord( x ) ↑ # Kのとき， # Nが素数になることを用いて， Gは巡回群になることを示せ.
i. g ~ g' in G  ⇐⇒ ord(g) = ord(g'). ii. g ∈ Gの同値類[g]は#[g] = ϕ(ord(g)). iii.完全代表系Xを一つとり固定するとき，次は全単射であることを示せ. .X  → {d ∈ N | 0 ≤ d ≤ n & d | n};         x → ord(x). (b)等式ϕ(n) = ∑o≤d≤n & d|n ϕ(d)を証明せよ. 17.有限群Gに対して，次の主張*6を以下の手順を踏むことで確認せよ. Gは巡回群    ←⇒     ∀n ∈ N, #{g ∈ G | gn = e} ≤ n. (a) (⇒)について.以下で巡回群Gの生成元をaとかく. i.任意のd | #Gに対して，{g ∈ G | g d = e} = {a#G/d}を示せ. ii.任意の自然数nに対して，{g ∈ G | g n = e} ⊂ {α#G/gcd(n,#G)}を示せ. iii. (⇒)を示しきれ*7. (b) (←)について.各d | #Gに対して，G a := {g ∈ G | ord(g) = d}とおく. i.等号#G = ∑o≤d≤#G & d|#G #Gを示せ. ii. G d̸= ∅ならば，任意のx ∈ G dに対して{g ∈ G | g d = e} = ⟨ x ⟩が成り立つことを示せ. iii. G d̸= ∅ならば， #G d = ϕ(d)が成り立つことを示せ. iv.任意の0 ≤ d ≤ #G with d | #Gに対して， #G d = ϕ(d)が成り立つことを示せ. v. G#G ≠ ∅を示せ. vi. (⇐)を示しきれ. [ヒント] 問題(12)はGからBij(G/H)への自然な群homを考え,核を考察してみよ. 問題(17-b-iv)は，問題(16)をよく見る.