山田裕一 Yuichi YAMADA  （電気通信大学）*

概要
このノートは、研究集会「微分トポロジー１７」の参考資料とするために、P. Ozsváth and Z. Szabóによる２つの論文[OS(int)], [OS(rat)]  (それぞれ論文タイトルのintegral整條数, rational有理係数, surgeryの意味）の一部を、手計算を交え、私見を加えて解説を試みたものである. This particle is written down for the Workshop "Differential Topology 17" (March 2017, UEC Tokyo). Mainly based on two papers [OS(int)], [OS(rat)] by P. Ozsváth and Z. Szabó.
目次
境界付４次元多様体の要1 1 Spin構造とSpin c構造2
5
6簡単な計算例
7 21 8 22

境界付４次元多様体の要
1
境界付４次元多様体のコホモロジーで最も重要な写像は→ H¹(∂X) → H²(X,∂X) → H²(X) → H²(∂X) →のＱであろう.これは交叉形式・に一致するが，注意が必要である.カップ積はH²(X) ® H²(X) → Z ではなくH²(X,∂X) ® H²(X,∂X) → Z あるいは*The author was supported by KAKENHI (Grant-in-Aid for Scientific Research) No. 16K05143 1
である．一方，ホモロジーの交叉形式は H 2 (X) ⑧ H 2 (X, ∂X) → ZあるいはH₂(X) & H₂(X) → Zで定義される．ここでポアンカレ双対を（係数を体と想定して）思い出しておくと
注意1.後でチャーン類c = c 1 (s) ∈ H 2 (X;Z)の自乗c 1 2 (s)が登場するが，この自乗c 2は（一旦Q係数に移行して）c∪Ｑ−1(c)と解釈すべきと思われる. (参照：補題3,補題5) H 2 (X)の基底を{ x i }とし，その双対基底（H 2 (X)の基底）を{ ξ i }とする．一方，H 2 (X)のポアンカレ双対H²(X,∂X)の{x,}に対応する基底を{Pd(x,)}とする。するとQ(Pd(x i ))のξκの係数 =  Q(Pd(x i ))(x k )  =  Pd(j(x i ))(x k )  =  j(x i ) · x kであることからQは交叉形式から定まる．具体的には，上記の基底{ x ;}に関する交叉形式・の行列表示が，基底{Pd( x i )}, {ξ i }に関する写像Qの行列表示となる.例1.  X = S n = X(O;n)とする. 球面S 2上のDisk束で,自己交叉Euler classがnのもの.  Sを切断,  Dをファイバーとする.  [S] · [D] = 1, [S] · [S] = n. ∂X = − L(n, 1). Z係数で考える.
2
n ≥ 3のとき，特殊直交群SO(n)の基本群はπ1(SO(n)) ≒ Z/2Z ＝ {±1}. SO(n)の２重被覆をSpin(n)で表す。単連結なリー群である.
次に，リー群Spinc(n)を次で定める.
次の自然な写像もある.
低次元では具体的にわかる：４元数体田の単位球面をS 3
で表すと
であり，またSpinc (3) = U (2)である. これを確認するにはH = R 4 = C 2および虚部ImH = R 3の同一視
を利用する。いずれも作用の核（中心）が{±1}.  C²の複茶構造はi o (zo + zıj) = (zo + zıj)i = (izo) + (-izı)jとする.
連結な閉多様体M の接束TM （と構造群O(n)の主束に置き換え）についてMが向き付け可能    ⇔  w 1 (TM) = 0  in H 1 (M;Z/2Z)このときMの向き  ↔ H 0 (M;Z/2Z)の指定の論理を延長する．ＭのSpin構造とはTMに同伴する主SO(n)束PsO(n)のファイバーごとの2重被覆である主Spin(n)束PSpin(n)（の同値類）のことで, MがSpin構造をもつ⇒ w2(TM) = 0  in H2(M;Z/2Z)このとき{MのSpin構造}  にH 1 (M;Z/2Z)が推移的に作用.つまり Stiefel-Whitney類がSpin構造の障害類である．なお，rank R ＝ 2の概複茶構造をもつ(従って有向)ベクトル束Eについてc 1 ( E ) ≡ w 2 ( E )  mod 2である.定義.位相空間X上のSO(n)主東PsO(n)のSpinc構造とは，ファイバーごとにξ : Spinc(n) ⇔ SO(n) × U(1)である束map：Pspinc(n) → PSO(n) × PU(1)をもつSpinc主束Pspinc(n)のこと. このときc1(P U (1)) ∈ H 2 (X;Z)を「Spinc構造のcanonical class」という. MがSpinc構造をもつ  ⇔ W 3 (TM) = βw 2 (TM) = 0  in H 3 (M;Z) ⇔ w²(TM) ∈ Im(H²(M;Z) mºd² H²(M;Z/2Z))である. β : H²(M;Z/2Z) → H³(M;Z)は (0 → Z → Z/2Z → 0が導く) Bockstein完全系列の連結準同型写像.結果的に向き付け可能な３，４次元多様体は常にSpinc構造をもち，構造の選択について，次が知られている.事実1. ４次元多様体XのSpinc構造sはc 1(s) ∈ Char H 2で分類できる.ここでCharH² = {c ∈ H²(X;Z) | c is characteristic (ie, c ∪ x = x ∪ x for ∀ x)} 3次元多様体のSpin c構造は「非零ペクトル場ぃの『ホモロジー類』(球体内での局所変形で写り合うものを同一視する）」 [Turaev]，４次元多様体のSpin c構造は概複素構造J（の同値類）で幾何的に捉えることができる.   (Y³ = ∂X 4のときはY上の非奪べクトル場vは (TX内の) TY内のplane場TY ∩ JTYの法ベクトルだと思う）これらのSpin c構造には共役conjugation t → īが存在する. それぞれ,  v → −v, J → −Jに対応する.
レンズ空間の場合
3
C²の複茶構造から定まる向きを重要視すれば「(O;p/q) = −L(p,q)  (p/q-framed unknotに沿うDehn surgeryが−L(p,q))」が正しい。なるべくこれを採用する。低次元多様体論では(O;p/q) = L(p,q)」がよく採用されている．論文を引用するときなどに間違える可能性がある． 3次元多様体Y 3のSpin c構造を指定するには，Yがboundする４次元多様体X 4を用いると都合が良い.定義1.  [Spin c構造の指定] X 4 = B 4 ∪ h 2  (2-handle 1つ接着;係数n ∈ Z,n > 0) の場合.  Y = ∂XのSpinc構造t,とは, XのSpinc構造s,で(c 1 ( ε j ), [ F ] ⟩ ≡ n + 2 j    mod 2nとなるもののYへの制限t i = s j | y として定める、一旦attaching circle Kに向きを入れる、fはh 2のattaching circleのSeifert膜Fにh 2のcoreを貼り合わせた閉曲面.これを「YのSpinc構造の集合の同一視：Spinc(Y) ≥ Z/nZ」とみなして(Y,t,)の代わりに(Y, j )と書くこともある.注意2.ここで言う(Y, t,)や(Y, j )は，多様体Yに対してSpinc構造が指定したのではなく，あくまで「Yの構成：デーン手術Y = (K;n)」を経由してSpin c構造を指定することに注意.例2. ：X = S n = (O;n)  (球面S 2上のDisk束で,自己交叉Euler classがnのもの) ∂X = − L (n, 1)のSpinc構造はn種類to, t 1 , . . . , t n − 1.
toが− L ( n, 1)の「canonical Spinc構造」である.
Correction term dについては後述するが，ここでは公式を引用しておく.補題1. [OS(int)] （後述の注意4も参照）
逆向きの場合にはd(L(n, 1), t j ) = −d(−L(n, 1), t j )となる.一般のレンズ空間の場合には，次の帰納的公式が知られていた。補題2. [OS]
where 0 ≤ i < p + q, r and j are the reductions of q and j modulo p , respectively.
図1: chain link
デデキンド和を利用した丹下氏の直接公式もある.一般のレンズ空間L(p,q) (0 < q < pとする)の場合に、次のような方法が発見された. Hirzebruch-Jung連分数展開を用いる.
X 4 (p,q) = (CL; −a1, −a2, . . . , −a1),  H2(X(p,q)) = Z[h1,h2,. . . ,h1] CL = L 1 ∪ L 2 ∪ ··· ∪ L lはchain link (図1) .成分L iのmeridian-longitude systemをμ i,入,とする、記号h iは2-handleと対応するH 2 (X(p,q))の元を混用.  H 2 (X(p,q))は，単射でH 2 (X(p,q),∂X(p,q))に入る。ポアンカレ双対はH 2 (X(p,q),∂X(p,q))で，単射でH 2 (X(p,q))に入る.
境界∂X 4 (p,q) = L(p,q)について，chain Linkの特性から１次ホモロジー内でλ1 = μ2, ··· ,  μi−1 − λi + μi+1 = 0 (2 ≤ i ≤ l − 1), ··· ,  μι−1 = λι図2: μ i − λ i + μ i+1 = 0 Dehn surgeryの特性として，１次ホモロジー内でλ i − α iμ i = 0であることを合わせてαιμι = μ 2, ··· ,  μ i − ι − α iμ i + μ i +1 = 0 (2 ≤ i ≤ l − 1), ··· ,  0 = αιμι − μ − ι境界∂Xに制限してδφc ∈ H²(∂X(p,q)) = H²(L(p,q))をポアンカレ双対≥ H1(L(p,q))の中で扱うときに
(0,0,0, . . . ,1, -αι-1,1) = 0, (0,0,0,0,...,0,1, – αι) = 0, αιμι = μι−1となることに注意してL(p,q) = ∂X(p,q)のSpinc構造を，X 4 (p,q)のSpinc構造sの制限として表す.
レンズ空間のSpinc構造の表し方(Gibbons [G])
p/qの連分数展開(1)を介してL (p,q)を境界にもつ４次元多様体X (p,q)のSpinc構造sを考え, sの境界L(p,q)への制限として表す.  H²(X(p,q)) = Z¹の元c = c 1(5)をϕ c = (c(h1),c(h2),...,c(h1)) ∈ Zlで表して扱う.
とする. (Step 1) 次の集合を考える． 注：N(α)はαを含む．が嫌う（例3では太字）. N(a1) × N(a2) × ··· × N(a1)    ⊂ Z l (Step 2) 上の集合に含まれる各( x 1 , x 2 , ･ ･ , x ι )について，次の操作を行う：x i = α iとなるiが存在する（両端も可）限り( · · · , x i_1, α i , x i+1, · · · )  →  ( · · , x i_1 + 2, − a i , x i+1 + 2, · · · ) (Step 3)  Step 2の操作をしていって集合∇ (α 1) × ∇ (α 2) × · · × ∇ (α 1)から外れるものは捨てて残ったものだけ選ぶ.    注：Step 1では−α iを嫌ったがStep 3では許す例 3.   L (5, 2)  (5/2 = [3, 2])の５つのSpinc構造
補題3.  [OS(plumb)]  d(L(p,q),qc) = Qc ·Q-1 ·tqc + l
X(p,q)に穴を開けたX(p,q)をS 3からL(p,q)へのcobordismとみなすとχ(X) = l,σ(X) = –lなので，この右辺はSeiberg-Witten理論でたびたび現れるc1 2 – (2x + 3σ）に他ならない. 4 L(p,q)をDehn surgery ( CL ; −α 1 , −α 2 , . . . , −α 1 )と見て，第1成分L 1のmeridian μ 1 = μをH 1 (L(p,q))の生成元とみなし，第i成分L iのmeridian μ iがμの何倍か（つまりμ *での値を）調べるとµ² = α₁µ,   µ³ = (α₁α₂ − 1)µ,   µ₄ = (α₁α₂α₃ − α₁ − α₃)µ,   ···となるので，例えばϕ c = (c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , ...)であればPd(δφc) = {c1 + a1c2 + (a1a2 − 1)c3 + (a1a2a3 − a1 − a3)c4 + · · · }μが成り立つ．例2の表のμ*の欄にμ*(Pd(δφε))を書いておいた．μ*とt jのjとは異なる値であることに注意.
注意3.共役t → ī（概複茶構造で言えばJ → −J）について、丹下氏によるとレンズ空間L(p,q)のSpinc構造の集合{t,}への「共役」作用の固定点はi = 9 − 1  p + q − 1 のうち“有効なもの” - option - who - who - such who - news and services - such who -対応する．また，φεでいうと「Step 2の変形の過程の中に逆符号の対が存在するもの」にあたる．例：進分数展開p/q = [α₁,α₂,･･･ ,α₁]で，すべてのα₁が偶数の場合，共役の固定点の1つはϕ c = (0,0,۰۰۰,0).  lが奇数（pが偶数）のときは，(−α1,2,−α3,2,۰۰۰,2,−α1)がもう1つの固定点.  Spin構造の「characteristic sublink」と似ている.注意4.補題1について，個人的には，符号に関して2 (cf(s) – (2x + 3σ))との整合性から，次の様に直したい気がします（オイラー標数χは向きを逆にしても逆符号にならない)： Unknot Oの(−n)-surgery (O; −n) = L(n, 1) (n > 0)について

4
Correction term (d-invariant)
この章は整数係数ホモロジー球面しか考えていなかった頃の記事のコピーを調整したものである.ここでCorrection termの定義,性質とその典型的な応用例を引用しておく.定義2. ([OS, p.21], Correction term) For a Spinc QHS (Y,t), d(Y,t) is the minimal grading of the image of HF∞(Y,t) in HF+(Y,t).補題4. ([OS, Corollary 9.8], Correction termの性質) d(Y1$Y2, t1$t2) = d(Y1, t1) + d(Y2, t2), d(Y, t) = d(Y, t),       d(−Y, t) = −d(Y, t)ここで, 3-, 4-manifoldのSpinc構造を,それぞれnowhere vanishing vector場, almost complex str. Jで表すことにすれば, conjugation t → īはv → −v, J → −Jに対応する.補題5.  ([OS, Corollary 9.8]) If Y bounds a negative definite 4-manifold X , then Qx(ξ,ξ) + rkH²(X;Z) ≤ 4d(Y) for each characteristic vector ξ. In particular, if a ZHS Y satisfies d( Y ) < 0, then Y bounds no negative definite 4-manifold. (unimodular行列に関するElkiesの定理により不等式の左辺が0以上になるため)さて, Yを整係数ホモロジー球面とする（よってSpinc構造は一意的）とき,
Casson不変量： HF+のオイラー標数Correction termの間に次の関係式が成り立つ.定理3. ([OS, p.30]) λ(Y) = χ(HF+d(Y)) − ∑d(Y)ただし, Casson不変量はλ(Σ(2,3,5)) = −1となるよう正規化している(Σ(2,3,5)はnegative definite E 8 plumbingの境界で, −1-framed左手trefoil) .
Heegaard Floer Homologyとデーン手術
5
[Heegaard Floer Homologyの基本] Spin c構造tを備えた有向閉３次元多様体Y（記号(Y,t)）に対して鎖複体CF°(Y,t)を経由して「ホモロジー」HF°(Y,t)が定まる.  Y1からY2へのsmooth 4次元cobordism W : Y 1 → Y 2でSpinc構造sでs | γ 1 = t i (i = 1, 2)を満たすものに対してƒŸ¸¸ : HF°(Y1, t1) → HF°(Y2, t2)が誘導される．それらを通して，不変量「d-invariant」d(Y,t)などが定義される． Y内のnull-homologousなknot Kに対して, Yn(K)でYのKに沿うn-surgeryを表すとする.  W n ( K )で,  Y × [0,1]の境界Y × {1}のKに沿ってn-framed  2-handle を接着したsmooth ４次元cobordism「2-handle cobordism」 W n ( K ) : Y → Y n ( K )を表す。逆向きにしたW"(K) : Yn(K) → Y も便利に使う. (Y, K)から鎖複体CFK∞(Y, K)が定まる. これを利用してHF∞(Yn(K), t)を求めるのが目標である. (コ)ホモロジーの係数現はF = Z/2Zとする(が,ときどきZと書いてしまう) .記号：Uのdegreeは−2.
Knot Floer Homologyでは(Y, K)に対して，まずZ ⊕ Zフィルター付F[U]鎖複体C = CFK∞(Y, K)が定められる．ここで「Z ⊕ Zフィルター付」とは関数牙: C → Z ⊕ Zがあって∂ x = → ˙ y iのときF(¥ i ) ≤ F(¥)となることを表す.またUの作用はF(¥) = (i,j)ならばF(U¥) = (i − 1,j − 1). CFK∞(Y,K)は，(Y,K)の2点付Heegaard分解(Σ,α,β,ω,z)を用いて構成される．(その構成はHeegaard Floer理論として根本的で，非常に重要だがここでは割愛する） CFK∞(Y,K) = {[x,i,j] ∈ (Tα ∩ T β ) × Z × Z | s (x) + i − j = 0}ただし, g : T α ∩ T β → Zは(Y, K)のrelative Spin c構造のChern classによるKのSeifert膜に対する値の半分.
ij-平面の格子点(i,j)上に，F(ž) = (i,j)となるCFK∞(Y,K)の元¥を配置して考える（実際には元はž = [x, i, j]である (x ∈ Tα ∩ Tβ)) .記号：ij-平面の領域（あるいはi,jの条件）Sに対してC{S} = {ž ∈ C|F(ž) ∈ S}の生成する部分鎖複体とする（図3：色（黄色）のある部分が生きている元）.主に使うのは
実はB+はCF+(Y)に一致する.例5.  図3はT (3,4)の場合である.
で，このことはj軸上の５つの点の配置から読み取れる.
gradingはUで−2, ∂で−1変化する.  Uの作用はU · [x, i, j] = [x, i − 1, j − 1]. 矢印は∂を表しており∂x₂ = U x₁ + x₃, ∂xs = U 2x3 + x5,図3: T(3,4)の場合のAž（左）とB+（右） H(B+)の計算ではU−2x5 ～ x3 ～ Ux1 = 0に注意（～はhomologous） ,  H(A±1)ではx5 ～
U³x1 ～ U²x3 = 0となることなどに注意して
T(3,4)についての例5は一旦ここまで、例6に続くH(A t )は， |s|がじゅうぶん大きいところで“安定”する．次に，２つのmap v ‡ , h ‡ : A ‡ → B ‡を用意する. • v +は商写像.
・ h ⇒は次の合成写像（図4) C{max(i,j − s) ≥ 0} π → C{j ≥ s} π → C{j ≥ 0} π → C{j ≥ 0}図4: hž : Až → B+例6.  T(3,4)の場合(続)  H(A) ≥ T+,H(B+) ≥ T+である.  v) , h) のモデルはそれぞれ
定義 4. 「v +」: A +」 → B + 1のモデルがU 2 」とは，同一視A +」 = T + , B + 1 = B + = T +の下でvﾆｭがU². : T+ → T+ （全射でKer = F ⊕ FU−¹）と表示されること. 実際,  H(Aﾆｭ)の生成元はUx3,  H(B+)の生成元U-1x3であった（例5).  v-1は全射でKer = F(Ux3,x3).後で「モデル」を用いて計算を簡略化する.なお，knotの不変量族{Vk(K)}k≥0（および{Hk(K)}k≥0）は「写像む」のモデルがU k」として定まる：V,の性質として：V, ≥ V, +1 ≥ V, − 1,  V,(K) = 0 (g(K)はKのgenus)なお，{V k (K)} k ≥ 0はconcordance不変量であり， ν + (K) = min{k |Vk(K) = 0}の性質に興味が持たれている¹. T(3,4)の場合，g = 3でV = V 1 = V 2 = 1, V 3 = 0. A+ = ⊕sєzA+, B+ = ⊕sєzB+ (sに関係なくB+ = B+であるが和をしておく)として，写像D ‡ : A ‡ → B ‡をD t ({as}sez) = {bs}sez,    where bs = h t _n(as_n) + v t (as)と定め，X+(n)をD+の写像錐(mapping cone)とする．つまりA+ ⊕ B+上で
で定める鎖写像，そのホモロジーをH ∗ (X ± )とする.なお，写像鍾H ∗ (X ± )の計算には，次の３種類の自然な写像
を利用すると良い。実際[OS(int)]にD ∗ : H ∗ ( + ) → H ∗ ( B + )が全射の場合にH ∗ ( X ± ) ≈ Ker D ∗を利用している.定理5 (Ozsvath-Szabo [OS(int)]). “Mapping Cone Theorem”整係数ホモロジー有向球面Y内のknot Kと整数n(≠ 0)について，H ∗ (X+(n))がHF+(Y n (K))に一致する.さらに，HF+(Y) ≒ H ∗ (B ∗ )と合わせて，自然な写像H ∗ (B ∗ ) → H ∗ (X+(n))は
cobordism W n (K) : Y → Y n (K)が誘導するƒችn (K) : HF+(Y) → HF+(Y n (K))に対応する. Spinc構造を加味した改良3章で述べた同一視Spinc(Yn(K) = Z/nZの同一視（t, ↔ i)を用いる、HF(Yn(K), t,)を求めたい．i ∈ Z /nZに対して，{s|s ≡ i} = {s ∈ Z |s ≡ i  mod n}として
D t i : A t → B tをD tの制限とし，X t (n)をその写像鍾とする。定理6 (Ozsvath-Szabo [OS(int)]).整係数ホモロジー有向球面Y内のknot Kと整数n(≠ 0)について, H*(X*(n))  = HF*(Yn(K),ti)簡単な具体的な計算例は次の章で扱うことにする. Gradingとdegreeの調整B† = CF+(Y)の方で調整する、degreeを移動してv+,h+のdegreeが−1になるようにA†の方も調整する. [n > 0のとき] s = σ + ℓn ≡ i  mod n (0 ≤ σ < n)とする (s ÷ n = ℓ . . σ) . CF+(Y)のdegree dの元とB ξ + ℓnのd + 2ℓσ + nℓ(ℓ − 1) − 1の元とを対応させる. [n < 0のとき]ほぼ同様(省略).有理係数のsurgeryに改良[Ozsvath-Szabo [OS(rat)]]少しnotationが進化している.
とし，写像v+,h+,より正確にはv | i+ps | ：(s, A | i+ps | ) → (s, B + ),も前と同様に定義し，写像D i,p/q : A i → B iを
D i,p/q({(s,as)}s∈Z) = {(s,bs)}s∈Z,    where = v + ps (as) + h + p(s-1) (as-1)で定め，X, n/nをその写像鍾(mapping cone)，そのホモロジーをH ∗ (X, n/n)とする。定理7 (Ozsvath-Szabo [OS(rat)]).整係数ホモロジー有向球面Y内のnull-homologous knot KについったH*(Xi p/q) ≈ HF+(Yp/q(K),ti) K ⊂ S 3の場合，X + p/qのabsolute gradingはB +のabsolute grading（これはKには依らない）,つまり同型H*(X*p/q(O)) = T+ 31の元のdegreeをd(−L(p,q),t i )とすること，によって定める.例7. (O;5/2) = −L(5,2) (i = 1) A† = Θ s ∈ Z(s, A† j + j ) ··· ⊕ (−3, A†,7) ⊕ (−2, A†,5) ⊕ (−1, A†,2) ⊕ (0, A†) ⊕ (1, A†) ⊕ (2, A†) ⊕ (3, A†) ⊕ ··· (i = 0) A ‡ = ⊕ s ∈ Z (s, A ‡ֲz ) ··· ⊕ (−3, A± s) ⊕ (−2, A± s) ⊕ (−1, A± s) ⊕ (0, A± ) ⊕ (1, A± ) ⊕ (2, A± ) ⊕ (3, A± ) ⊕ ··· HF+(−L(5,2),0) ≒ J+の確認表2の見方：同じ行の元の和がサイクル.例えば(s, A† 2 ) = (−1, A† 3 )内のx 5をx 5 −3 )と表すことにすると, D+ z (x 5 − 3) + x 8 ′ ) = h + 1 (x 5 − 3) + v + (x 8 ′ ) = x 8 + x 8 = 0  ∈ (0 , B + )その右隣，そのまた隣，...も同様でD + x (0) + x (2) = h + (x (0) + v + (x (2) = x 8 + x 8 = 0  ∈ (1, B + ) D + x (2) + x (5) ) = h + (x (2) ) + v + (x (5) ) = x 6 + x 6 = 0 ∈ (2, B + ) D + 5 / 2 (x 6 ) + x ( 7 )  = h ± (x 6 5 ) + v ± (x (7 )  = x 1 + x 1 = 0  ∈ (3 , B + )最後にD + 5 / 2 ( x ( 7 ) = h + ( x ( 7 ) = 0  ∈ (4 , B + ).反対に左端では    D ÷ 5/2(x (−3′) = v ÷ 3(x (−3′) = 0  ∈ (−3, B + ). D t ,5/2(x(−3) + x(−5)  = h + 3(x(−8) + v + 2(x(−5)  = x0 + x0 = 0  ∈ (−2, B + ) D 0,5/2(x(−5) + x(−3)) = h + 2(x(−5)) + v +1(x(−3)) = x 5 + x 5 = 0 ∈ (−1, B + )がサイクルであることがわかる.以上からx(−3) + x(−5) + x(−3) + x(0) + x(2) + x(5) + x(7)
表2:  X 0,5/2のサイクル ((O;5/2) = −L(5,2)の場合)
6 簡単な計算例
(コ)ホモロジーの係数環はF = Z/2Zとする. HF+(−L(5,1),0) ⇒ T+の「計算法」((0;5) = −L(5,1)の場合) . Unknot Oに対してCFK∞(S 3 , O) = { x i = [x, i, i]|i ∈ Z },    ∂x i = 0,    Ux i = x i −1 | T+xo       s ≥ 0 H(A)= H(B š ) = H(B작) = T작x 0 | T+x_s   s < 0 'すべての元がサイクルなので，チェインがそのままホモロジーになる．なのでHを省略する．図5: Unknot Oの場合B+ (すべての元がサイクル) D†({as}sez) = {bs}sez,    where bs = h t _5(as_5) + v t (as)表3を説明する（ぜひ別表を拡大してご覧下さい）.例えばA±10内のx_6をx(−10)と表すと, A + = ⊕sєzA +の元x (−10) + x (−5)，つまり··· ⊕ A † 11   ⊕ A † 10 ⊕ A † 9 ⊕ ··· ⊕ A † 5   ⊕ A † 4 ··· x(−10) + x(−5)   =   ( Ato
表3: x(−10) + x(−5) + x(0) + x(5) + x(10) ∈ Ker D†(5)あるいは，その部分和
のD†による値についてh†10 : A†10 → B†10+5 = B†5,   v†5 : A†5 → B†5   でありD 0 (x (−10) + x (−5)) = h + 10(x (−10) + v + 5(x (−5)) = x 4 + x 4 = 0  ∈ B + 5その右隣，そのまた隣，...も同様にD†(x 4-5) + x(0)) = h†5(x(-5)) + v†(x(0)) = x9 + x9 = 0  ∈ B† D ξ (x 9 ) + x (5 )     = h ξ (x 9 ) + v ξ (x 9 )      = x 9 + x 9 = 0  ∈ B ξ D†(x,5) + x(10)    = h† (x(5) + v† (x(10)     = x4 + x4 = 0  ∈ B† 0左端で Dt (x (−10) = v ±10(x (−10) = 0  ∈ B±10, 右端でDt (x (10) = ht (x (10) = 0  ∈ Bt .
     以上から   x −10) + x (−5) + x (0) + x (10) ∈ Ker Dt (5)   がわかる. つまりX达(5)のサイクルである。これを図にしたのが表3. 　他のサイクルをいくつか表にしたのが表4（ぜひ別表を拡大してご覧下さい）.表4では同じ行の元の和がサイクルをなす．最小degreeのサイクルは一番下のx [ 5 ] + x 0 ] + x 0 ] + x 0 ]で，そのdegreeは(注意4),
それらのdegree shiftについて (図6) s = 5(ℓ − 1) > 0のとき
でありh + ( − 1) ( x 5( − 1) ) = x 6)なので，degree shiftは「A +のx 0はA + ( ε− 1)のx 5( ε− 1)に対応
する」と考えて（ x i+1とx iのdegree差が2であることも思い出せば) A ξ ξでのdegree shiftは2 · {5(ℓ − 1) + 5(ℓ − 2) + · · · + 5} = 5ℓ(ℓ − 1). s = 5 ℓ < 0のときKer (v 5 ℓ : A 5 ℓ → B + ) = { x 5 ℓ | 5 ℓ ≤ j < 0 }でありv5e(x5e') = x(5e+5)なので，degree shiftは「A5eのx5eはA5e+5のxoに対応する」と考えてA ξ eでのdegree shiftは2 · {5| ℓ | + 5(| ℓ | − 1) + · · · + 5} = 5| ℓ (| ℓ | + 1) = 5ℓ ( ℓ − 1).例 8.   ((0;5), j = 0)   = (−L(5,1), to)   表3および表4の簡略化.各H ( A s ) = H ( B ) = T+に着目し，最小限の情報で計算するには，次のような表と図を書くと良い² （別表でいえば斜めの点の列を縦にして最小degreeのものを下に揃える）.しの作用は「各列で１つ下げる」である. H(A t ) = T+,H(B+) = T+である.  v t , h t のモデルはそれぞれ
これらを左上から左下に向かう矢印で表し，像が一致するものを辺でつなぐ. • ((0;5), j = 0) = (−L(5,1), to)
例9.  Knot T(3,4)のDehn surgery 3  (4-surgery (T(3,4);4))についても計算してみたい．各H(A t ) = T+, H(B+) = T+に着目し，例8の方法（X t (j) = Ker D t (j)を利用）で考える. v + , h +は例5, 6で求めてある.なお，T (3, 4)の4-surgeryはSeifert manifold − S (−1; (4, 1), (3, 2), (8, 1))であり，L-spaceではない：Eisenbud-Hirsh-Neumann, Jankins-Neumannの判定法（次の章）によると
(m = 7,α = 2)となり, Horizontal foliationを許容する.これはtaut foliationである.あるいはNaimiの判定法4  ((yo;y1,y2,y3) = (−1; 1, 3, 1))
によるとtaut foliationをもつ. Taut foliationを許容する多様体はL-spaceではない. • ((T(3,4); 4), j = 1) = (-S(-1; (4,1), (3,2), (8,1)), t1)

L-space (Seifert manifoldの場合)
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Seifert manifoldかL-spaceかどうかの判定について，多くの研究者の努力の成果を１つの定理（定理8）として紹介する.直接的には(新しいので5 ) S. D. Rasmussen氏の論文「L-space intervals for graph manifolds and cables」から引用いたします. D. Eisenbud-U. Hirsh-W. Neumann, M. Jenkins-W. D. Neumann, R. Naimi, D. Calegari- A. Walter, P. Lisca-G. Matic, P. Lisca-A. I. Stipsicz, S. Boyer-C. M. Gordon-L. Watson, J. Rasmussen-S. D. Rasmussen.定理8. Let M be a closed oriented Seifert fibered manifold, then the following are equivalent (1) π 1 ( M ) admits a non-trivial representtion in Homeo ↓ R. (2) π 1 (M) is left orderable. (3) M admits a co-oriented C 0 taut foliations. (4) M has non trivial Heegaard Floer Homology, ie, M fails to be an L-space. S. Boyer-D. Rolfsen-B. Wiest論文「Orderable 3-manifold groups」からの引用定理9. [BRW] Eisenbud-Hirsh-Neumann, Jankins-Neumannの判定法An oriented Seifert manifold
admits a horizontal foliation if and only if one of the following conditions holds: 5適切な引用でないかも知れません。専門家でないためすみません。 (1) −(n − 2) ≤ b ≤ −2 (2) b = −1 and there are relatively prime integers 0 < α < m such that
we have
(3) [reverse the orientation] b = −(n − 1) and after replace β 1 by α −β 1 , condition (2) holds.
knot 不変量について少々
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S 3内のknot KがL-space surgeryを許容する(L-space knot)とする. Alexander polynomialない
つまり
逆算には例10. K = T(3,4)の場合 (例5,6)  (α1,α2,α3) = (0, −1,1)で,  to = t1 = t2 = 1それ以降は0.定理10 (Ozsvath-Szabo [OS(rat)]). L-space surgeryを許容するS³内のknot Kのr = p/q > 0係数surgeryについて，Spinc構造t,が| i | < p/2qの範囲で
整数係数surgery (q = 1)なら
定義. Deficiency D p /q (K, i) = d(S p /q (K), i) − d(S p /q (O), i). Gibbons氏の論文[G]をReviewする機会をいただいたのが勉強のきっかけでした．３次元多様体と４次元多様体を行き来する議論に魅力を感じました.謝辞研究集会「微分トポロジー１７」の共同世話人でもある丹下基生氏（筑波大学）には初期版を読んでいただき貴重な指摘をいただきました．感謝いたします.