2024年2月2日実施
イである. (m, n)は[ウ]個ある. (4)   0 ≤ θ ≤  π のとき，関数y = sin θ + cos θ の最大値は(5) １つの箱に赤玉と青玉が合計11個入っている。この箱から1個の玉を取り出し，それを戻さずにまた1個の玉を取り出す。このとき，取り出された2個の玉がともに赤玉である確率は 28であるという．はじめにこの55箱に入っていた赤玉の個数は   カ  個である. (6)   4点O (0, 0, 0),  A (1, 0, 0),  B (0, 2, 0),  C (0, 0, 3)を考える. Cから直線ABに下ろした亜線とABの交点をHとし，ZOHC = θとおく．このときtan θ = █キ█である． (7) 2つのペクトルå, å å å å å å å å – 4 å | = 1を満たすように動くとき, |å + å |の最大値はク
解説
別解もちろん単純に計算して,
としてもよい.
1である．3直線が1点で交わるには，mx + ny = 1 |こ
よってn = 5 − 3mとなり,  m + n = m + (5 − 3m) = −2m + 5である. ゆえに
これを満たす整数mは−2, −1, 0, 1, 2の5個であり,それぞれに対応するnも整数となるので,整数( m, n )の組も5個となる.別解①以下は次のように解くこともできる. (m, n) = (1, 2)は①を満たす.これを①に代入した式3 · 1 + 2 = 5と①より, 3(m − 1) + (n − 2) = 0  ⇐⇒  3(m − 1) = −(n − 2) · · · ②が得られる．②の左辺は3の倍数であることより，−( n − 2) = 3k （kは整数）と表されるので，これによりn = −3k + 2, m = k + 1となる.したがってm + n = (k + 1) + (−3k + 2) = −2k + 3 となるので, 1 ≤ m + n ≤ 10  ⇐⇒  1 ≤ −2k + 3 ≤ 10これを解くと– ≤ k ≤ 1であり，これを満たす整数kはk = −3, −2, −1, 0, 1の5個. kの値が1つ決まればm, nの組も1つ定まるので,整数(m, n)の組も5個となる. (4)三角関数の合成を用いると，y = sin θ + cos θ = √ 2 sin (θ +  π )と表される.
よってyの最大値は✔2, 最小値は1である. n n − 1と表される(5)　赤玉の個数をn個とすると，取り出された2個の玉がともに赤玉である確率は- 11 10ので,
←⇒ n² − n − 56 = 0  ←⇒ (n − 8)(n + 7) = 0 2 ≤ n ≤ 11より,  n = 8. よってはじめに箱に入っていた赤玉の個数は8個である. (6)   Hは直線AB上にあるので,
と表される.  CH ⊥ ABより
←⇒ (1 − k, 2k, −3) · (−1, 2, 0) = 0
ゆえにOH = 4 
(7)
が得られる。これより， → + 
ここですとすのなす角をθとおくと， x · y = | x || y | cosθ = cosθと表され，−1 ≤ cosθ ≤ 1なので−1 ≤ x · y ≤ 1.したがって
表1は，金融商品A，Bの各年の1月31日における1単位あたりの評価額を表している．
表1. 金融商品A, Bの評価額のデータ実数ェが0 ≤ x ≤ 1を満たすとする.表2は，A, Bをそれぞれ(1 − x), x単位だけ所有していた場合の各年の資産を表している.
表2. 資産のデータ表2のデータの平均値をf ( x ),分散をg ( x )とする.
解説2022年，2023年，2024年の資産はそれぞれ12x + 9,  −6x + 15,  −3x + 9であるので，f(x), g(x)は
である. (1)   f(0) = 11, g(1) = 42である. (2)　金融商品Aのデータをp, Bのデータをqとすると,
この結果から，金融商品A, Bの共分散をspq,標準偏差をそれぞれsp, sqとすると,
であるので，相関係数rは
である. (3)  ƒ(x)は単調増加であるので，０ ≦ x ≦ 1においてはx = 1のときに最大値12をとる.
h( x ) = ( x + 11)² − a(62x² − 28x + 8) = (1 − 62a)x² + (22 + 28a)x + 121 − 8a
であることから1 – 62a < 0が分かるのでこのグラフは上に凸な放物線であることが分かる.であることから， x = 1で最大値をとるための必要十分条件は
lが成り立てばよい．62a − 1 > 0であるので，14a + 11 ≥ 62a − 1  ←→ 4
初項から第５項までの和が100であり，初項から第１0項までの和が25である等差数列{a,,}に対して，数列{b,,}もの
で定める. (1)等差数列{α,,}の一般項をnの式で表すとα,, = __ア_をnの式で表すと[イ]である. (2)   b3 = 2 − 2である. (3)  bn < 1となる最小の自然数nは   エ     である. (4) b,はn = [ _オ_ ]のとき，最大値をとる．その最大値の桁数は[____]であり，最高位に現れる数字はキ　]である.ただし0.301 < log 10 2 < 0.302,  0.477 < log 10 3 < 0.478である.
(1)  公差をdとおくと,
となる. これを解くと,  a 1 = 34, d = −7となるので,
である. (2)   α₂ = 27,  α₃ = 20であり,
である. (3)
の両辺に，底が２の対数をとると, log2 bn — log2 bn — 1 = —7n + 41 3となるので，n ≥ 2のとき，
である(n = 1のときも成立する).
より，これを満たす最小のnは11である. 41 (4)   log2 bn — log2 bn–1 > 0すなわち−7n + 41 > 0を解くとn < −7あり，n ≥ 6のときb n −1 > b nである．すなわち，
となるので，π = 5のとき最大値となる.
より，b5 = 2¹00である．log¹0 b5 = 100 log¹0 2であることから， 30 < 30.1 < log 10 b5 < 30.2 < 30 + 0.301 < 30 + log 10 2となるので，10 30 < b 5 < 2 · 10 30 となり，31桁，最高位の数字は1である．注釈結局,
ということである.講評[]][小問集合] ((1)易(2)やや易(3)標準(4)易(5)やや易(6)標準(7)やや離) (7)が難しいが，他は手堅く完答したいところである. [2][データの分析，2次関数]（標準)与えられたデータに対して，平均，分散，相関係数を求める問題であった．f(x)，g(x)を具体的に定められれば， (3)以降は1次関数，2次関数についての処理となるが，係数などが繁雑で，計算が正しいか不安になった受験生も多いだろう. [3][数列，対数] (標準)等差数列をテーマとしているが，それと指数関数を絡めているので少々解きにくかったかもしれない．落ち着いて処理したいところ．一般項b,が求まれば， (3)以降は易しい．この問題で差がついたかもしれない．昨年度から，出題範囲に数学IIIが含まれなくなり，それ以前の出題と比較すると問題の離易度がやや下がっている．小問集合で(7)以外を完答に近いところまで仕上げた上で，[2], [3]でどれだけ処理しきれたか，という勝負になりそうである．目標は70%.解答・講評作成医学部進学予備校メビオメルマガ無料登録で全教科配信！本解答速報の内容に関するお問合せは…メビオ極.0120-146-156まで医学部進学予備校
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