モンテカルロ法によるランダム空孔群まわりの応力集中係数予測Stress Concentration Factor Prediction for Random Porosity Model by Monte Carlo Method住祐（福井大）正　桑水流　理（福井大） ○　前田Keisuke MAEDA, University of Fukui, Bunkyo 3-9-1, Fukui-shi, Fukui Osamu KUWAZURU, University of Fukui, Bunkyo 3-9-1, Fukui-shi, Fukui Key Words: Die-Cast, Monte Carlo Method, Stress Concentration Factor, Probability, Porosity 1.箱liaダイカスト材には，形を形成する段階で空孔が内部に発生し，その影響で応力集中が発生するため，欠損のない材料よりも強度が低下してしまう.しかし,まだダイカスト材内の空孔間相互作用が判明していないため，正確な強度が算出できない.理由は,ダイカスト材に発生する空孔群は大きさや配置などがランダムで発生するためである.この研究の目的は，ランダムな空孔による応力集中係数への影響を予測できるようにすることである.そうすることによって，より効率よく製品を設計できるようになる．そのために，乱数によって空孔の配置と大きさをランダムに変化させるランダム空孔モデルを用いた.
2．解析方法
2． 1　 2孔まわりの応力集中係数
応力集中係数とは、切り欠きや他の応力上昇要因が存在する部分における最大応力の、公称応力に対する比である.ここでは，公称応力に対する最大応力集中係数の比として定義する．また空孔は全て球形と仮定する．空孔群まわりの応力集中係数を計算するために，孔間の応力集中係数の経験的予測式りを用いる．2つの空孔の配置を図1に示す．空孔の中心問距離を2d,中心問距離を無次元化した値が风＝ 2d/{a  +a }) , 空孔の寸法比をr(＝a /a )), 中心間を結んだ直線が引張軸に垂直な面となす角をθと置く. このとき, 2孔まわりの応力集中係数K,は次式で求められる(1). K t = K iso + K int (1) K int = φ(r) • (cos θ) š (r) • (δ − 1) − φ(r) φ(r) = 0.477 − 0.276(γ 5,00 +.γ − 5,00 ) − 0.275 ξ (r) = 3.462 − 2.016(r 1.038 + r − 1.038) − 0.338 η(r) = 0.180+0.471(r 5,00 +r-5,00) −0.0386 (2) (3) (4) (5)上式のK isoは孤立空孔の応力集中係数，K isは2つの空孔間相互作用, φ(r),  ξ(r),  η(r)はK imの係数で, 寸法比rに依存する値である．ここで，3次元弾性論解よりポアソン比vを0.3としたときのK isoの値は2.046である21.上式から2孔間の応力集中係数K (δ,  r,  θ)を計算する.
2. 2ランダム空孔モデル
一辺bの立方体領域に,大きさがランダムなN個の球形空孔をランダムに配置する。空孔の中心座標は一様乱数③で,笠孔の半径は正規乱数例で決定する。ただし，半径の平均をro,半径の標準偏差をr。とする.このときの空孔体積率をpとする。実際には，pの目標値と必要な空孔数N，平均半径roから領域サイズbを決定し,その中にN個の空孔を乱数によって発生させる．空孔群中の２孔間の応力集中係数を，式(1)~(5)を用いて計算する.この計算を全ての空孔の組み合わせで行い，空孔ごとの最大応力集中係数を出力する．そのヒストグラムからK,の確率密度分布を調べ,累積確率から任意の発生確率αのランダム空孔群まわりの応力集中係数K,"を求める.空孔の個数Nを決める基準が明確でないため, Nを変えてK,の確率密度分布を調べ,分布が十分に収束するNを指定する.これらの計算プログラムはFORTRAN77を用いて作成した(4)半径r oを0.1mm, 1mm, 5mm,変動係数r l r oを0.01, 0.1, 0.5,空孔体積率ρ(目標値)を0.1%, 1%, 10%とそれぞれ変動させ, K,の確率密度分布熱を調べる.それらの計算結果からランダム空孔群まわりの応力集中保数を予測する式を作成する.
3.結果と考察
3． 1　応力集中係数の確率密度分布
空孔数Nを約20～20000 個と変化させ，Kの確率密度分布の変化を調べる.図2は，平均半径r 0 = 0.1mm，標準偏差r e =0.01mm,空孔体積率ρ(目標値)＝1％で，空孔数Nが203個の場合と19099個の場合の応力集中係数の確率密度分布である．空孔数が少ない場合，応力集中係数の確率密度分布は収束していないが，空孔数をさらに増やしていったところ,空孔数が約2000個の時点で収束した．これによって，空孔モデルの応力集中保数のデータ数は約1000-~2000個前後が適当であると言える. ３． ２　空孔条件による応力集中係数の変化空孔の体積率，平均半径，変動係数をそれぞれ変化させ,各値が応力集中保数にどのような影響を与えるかを調べる.図3は, 図2(b)から求めた応力集中係数K,の累積確率αである.以下では, K 0.01とK 0.99をおおよその下限と上限とする.全部で27個のモデルを作成し，応力集中係数の下限と上限を計算する.計算結果を図4に示す.ただし,平均半径1mmの結果は省略する. 横軸を空孔体積率p, 縦軸を応力集中保数K,と置いている.プロットが平均値で,誤差棒で下限と上限を表す.空孔の体積率が増加すると, K,の平均も増加し,ばらつきは大きくなる.その一方で空孔の平均半径と変動係数が応力集中係数に与える影響はあまり見られず，影響を与えるのは空孔体積率だけであることがわかる.平均半径rが大きくなると,鋳巣間距離も同時に大きくなるのでδは変化しないため,式(2)からK ,に影響を与えない.また標準偏差が大きくなると半径のばらつきは大きくなるが，半径が大きい空孔同士が隣り合う確率より大きい空孔と小さい空孔が隣り合う確率のほうが高いので，δが変化せず, Kintに影響を与えない.よって, Kiはほぼpだけによって定まることになる.
3． 3　空孔体積率の応力集中係数への影響
複数のαに対する空孔体積率pと多孔間相互作用Kimの関係を図5に示す. 図5の各近似線から，空孔モデルの応力集中係数を予測する式を作成する. 図5は27個作製したすべてのモデルのデータをまとめて，累積確率αごとに応力集中條数K,を近似している.図5の近似直線は次式で与えられ図5の各K,"の近似線を計算し, A, Cに該当する値を累乗近似する．その際，累積確率a=0.01のときの値が近似直線から大きく外れてしまう事と,空孔数が1000-~0000の場合,累積確率0.999では外れる空孔の個数が10~20個と非常に少ないため,累乗近似する場合はK 0.999とK 0.01を除外して近似試行錯誤の結果，図6に示すように，ＡとCの変化を直線近似できることがわかった．得られた予測式はA=0.7802—100.2994(1 — α ) 0.1822 (7) C = 10−0,8687(1 −α)−0.4836 (8)であった．これらの式(7)，(8)を式(6)に代入した式が，空孔モデルの応力集中係数の予測式である． p[%]で計算したため，pに値を代入する際には注意が必要である．ただし，αは0~1の値である.
4.結
lia
本研究では，空孔群モデルの応力集中係数の予測式を作成することができた.これにより，空孔の発生する材料の設計をより効率的に行うことができるようになると思われる.
文
歓
桑水流理，ほか４名：日本鋳造学会第159回全国講演大(1)会議演概要集(2011), p.96. (2) S. G. Lekhnitskii : Theory of an Anisotropic Body (MIR Publishing) (1981) pp404-411.長田秀和：統計学へのステップ(2000)共立出版. (3)浦昭二:電子計算機のプログラミング8 FORTRAN77入(4)門(1990)培風館.