評価方法:授業の出欠はとらない。評価は試験、レポートによる。ただし、片方だけでもよい。(具体的にはレポートの点数をA、試験の点数をBとすると評価Sは  S = A + B - A*B/100)で計算する。もし、他に評価項目Cがある場合には S = A + B + C - A*B/100 - B*C/100 - C*A/100 + A*B*C/100²以下略）試験：予想問題をだしますのでそれを参考に。予備知識：線形代数、簡単な微積分、物理化学程度の量子論進め方:プリントor論文（英文or日本語）を読みながら理解していきます。適宜、当てます。また簡単な発表をしてもらうこともあります。予定は随時変わります。
H27年度の講義予定
4 / 1 6 1回目　ガイダンス＋数学的準備4 / 2 3 2回目　HF理論+ α 4 / 3 0 ３回目榊造最適化、振動解析5 ／ 7 4回目制限、非制限のHF理論5 / 1 4 5回目  postHF（その１） 5 ／ 2 1休講（学会参加）レポートを宿題としてだします。 5 ／ 2 8 ６回目波動関数の解説 （基底関数を中心に） 6 ／ 4 7回目　 postHF(その２) 6 ／ 1 1休講（学会参加）レポートを宿題としてだします。 6 / 1 8 ８回目密度汎関数法基礎6 / 2 5 ９回目密度汎関数法応用7 / 2 １０回目　TD-DFT法１１回目　DFTの種類、開発など7 / 9 7 / 1 6  1 2回目補足7 / 2 3  1 3回目試験
0.数学的準備
線形代数、微積、量子力学の簡単な復習をおこなう。
0-1.基底と線形独立性
与えられたベクトル空間に対して任意のベクトルxはr個の一次独立なベクトルの集合{a¹,a²,...,a,}に対してそれらの一次結合としてx = c 1 a 1 + c 2 a 2 + ... + c 7 a rと表され、その表現が一意的である。すなわち係数c,(1 ≤ i≤r)はxによって一意的に定まるこのとき、ベクトルの集合（a , a , . .a, }を基底という。またこの数を次元という。例、カルテシアンの座標系ではx,y,zベクトル以外の関数にも拡張できて、これらも基底と呼ばれるテーラー展開における x ただしmは自然数フーリエ級数における　sin mx,cos nxただしm,nは自然数
0-2.正規直交承
互いに直交してその内積が０であり、かつその大きさ(ノルム)が１であるベクトルの集まり< a j >= δ j (i = jのとき1 , i≠ jのとき0) *ノルム=ベクトルの長さを一般化した概念で距離を定義するために用いられる。距離空間を形成するための条件を満たす。たとえば２つのノルムIlall, Ilbliは次の式を満たす。 llall ≥ 0, lαllall = llαall, lla + bll ≤ llall + llbll良く使われる例距離  ||×||2 := √ x 1 |² + · · + | x n |², 2つの関数f(x), g(x)の差、  max l f(x) - g(x) l
0-3.空間の完全性
任意のベクトル（関数も含む）を基底をつかって線形結合で表せるとき完全系をなす。つまり任意のxがつねに　 x = c ja 1 + c 2a 2 + ... + c,a ,, で表せる。関数の場合の完全系のとき任意関数がある直交関数（基底が関数に相当する場合の直交系）で展開できるとき完全系という。例、球面調和関数、ラゲール多項式、Hermite多項式、フーリエ級数
0-4. Euler-Lagrange方程式
ラグラジアンLは運動エネルギーmv²/2とポテンシャルV(x)の差の形をしており
Lを極小にするように物体が運動することが知られており、運動の軌跡は変分法で求めることができる。そのとき満たすべき条件式は作用δLが0になることであり
これをEu1er-Lagrange方程式という。Lの式に代入すると
変分法ではEu1er方程式と呼ばれ汎関数ノ[y] =  [ F(x,y,y')dxに対して
(Euler方程式は解くべき微分方程式を与えるもので解そのものではないことに注意)エネルギーEが波動関数によって極小化される場合にも適用され、 HF法やDFTの定式であるロータン方程式やコーンシャム方程式の導出にも用いられる。 0-5. Lagrange未定定数法
に極値を与えるにはK[y]がJ[y]の極値曲線でない場合、J F + λGdxの極値曲線になるようaなえが存在する。つまり、Euler方程式はF, –
このときの１を未定乗数と呼ぶ。波動関数は積分すると電子の個数Nとなることからそのような拘束条件をいれて上記の最適化を実行することでエネルギーの定式を得る。
0-6.対角化、行列式
一般的に正方行列に適当な変換してもとの行列と相似な対角行列を得るような変形をいう。 Hermite行列という転置自己共役にたいして不変A jj │ A角化（＝対角成分以外0に変形）可能である。 n個の線形方程式で表される場合、基底が直交しかつ演算子に対してスカラー倍として表現できる場合を指す。良く用いられるのはHermite演算子で任意の基底a,bに対して内積＜ax,b> = ＜ a, xb＞をみたす演算子をHermite演算子（自己共役演算子）という。量子化学でとりあつかうエネルギーに対応するHamilton演算子はHermite演算子であり、固有値が実数でかつ、ユニタリ演算子によって対角可能である。
0-7.固有値、固有ベクトル
関数（ベクトル）が演算子（行列）に対してスカラー倍（固有値）として表現できる場合、固有関数（固有ベクトル）という。量子力学では主に波動関数に対する固有値問題を対象としてエネルギーを波動関数のHamilton演算子に対する固有値として求める。通常の方程式は解を求めるのに対して、固有値問題は固有関数である波動関数と固有値であるエネルギーを同時に求めるという点が特徴である。また、量子力学において固有値がとびとびの値をとる量子化という現象が見られることも重要である。そのような値に対応する固有関数は固有状態とよばれる状態に対応する。これらの系は無限個の基底からなるが実際には有限基底の中で近似解を求めるためいろいろな問題点に直面するがそれについては後で詳細に説明する。
1.基礎方程式
量子力学の中で古典的な軌跡の概念に取って代わる波のことを波動関数Ψという。1926年、オーストリアの物理学者Schrödingerは任意の系の波動関数を求めるための方程式を提案した。この方程式をSchrödinger方程式という。Schrödinger方程式は量子力学の基本的方程式であり、波動関数がどんな系をも完全に記述できる。今回は、時間を変数として含まない型のSchrödinger方程式を提示し説明する。時間に依存しないSchrödinger方程式は時間とは無関係なので、その解は定常状態の波動関数という。化学者にとって興味ある原子、分子の竜子状態などの問題が、定常状態の波動関数のみを用いて扱える。
1-1.Schrödinger方程式
時間を含まないSchrödinger方程式は、 Ĥ Ψ = E Ψ
で与える。Eは電子のエネルギー、Ψ = Ψ( x 1,x 2,……,x ν )は波動関数、 ÅはHamilton演算子である。 x,は竜子iの座標であり、空間座標,とスピン座標s,からなっている。N個の竜子とM個の核に対するÂは、
である。Mは技αの質量と電子の質量比であり、ZはおよびZ gは核αと核βの電荷である。ラプラシアン演算子∇, ²と∇ ε ²はおのおのi番目の電子とα番目の核の座標に関する微分を含む。第1項は、電子の運動エネルギーに対応する演算子、第２項は核の運動エネルギーに対応する演算子で、第３項が電子と核の間のクーロン引力を、第４と第５項はそれぞれ電子間、核間の斥力をあらわしている。次に、Born-Oppenheimer 近似を導入する。この近似は、核は電子と比べると非常に重いので、竜子が核に対して相対的に動いているとき核は静止している、という考え方である。この近似のもとでは、式(1.1.2)の第２項の核の運動エネルギーは無視できて、最後の項の核問反発は定数とみなせる。これより
となる。原子核間の反発エネルギー V ,,は
である。全エネルギーWは電子エネルギーEと原子核間の反発エネルギーV,,,の和でW = E + V .
である。式(1.1.1)をEについて解いてからV,,,を加えても、あるいはÅの定義にV,,,を含めておいてĤ Ψ = W Ψの形のSchrödinger方程式を解いても、どちらでもかまわない。
1-2.Bornの解釈
波動関数は、それによって記述される系に関するあらゆる力学的な情報を含んでいる、というのが量子力学の主張の中心にある。ここで粒子の位置に関して波動関数がもっている情報に注目してみる。粒子の位置に関しての波動関数の解釈として、Bornの解釈がある。この解釈は、波動関数の２乗(または、もしΨが複素関数なら絶対値の２乗、|Ψ|² = Ψ*Ψ)の値が、その粒子を見出す確率に比例する、というものである。具体的にいうと、「ある点rにおいて、ある粒子の波動関数がΨという値をもつなら、rとr+drの間にその粒子を見出す確率はΨ drに比例する」ということである。
1-3.波動関数Ψの制限
Schrödinger方程式は固有値方程式であるから、一般にΨがその固有関数の解であれば、Nを任意の定数とするときN Ψもその方程式の解である。これより、Bornの解釈の比例を等号にかえるような、規格化定数Nをいつでも見つけることができることになる。また、 Ψ は粒子の確率密度として解釈されるので、 Ψ ²を全空間で積分したとき、その解は１でなければならない。これらの要請から、次の等式が成り立たなければならない。
さらに、波動関数字にはPauliの原理を満たすことが条件づけられている。これはつまり、フェルミ粒子である二つの竜子は座標の交換に対して反対称でなければならないというものである。 (1.3.2)
1-4.スピン軌道と空間軌道
1個の粒子、つまり1竜子に対する波動関数を軌道と定義する。分子の中の1竜子の波動関数に対しては分子軌道を使っていくことにする。空間軌道Φ t (r)は位置ベクトルrの関数で、その電子の空間分布を記述しており、 Φ , (r )  ² drがrにある微小体積要素drの中にその電子を見出す確率を与える。空間分子軌道は、普通は規格直交系をなすと仮定されている。
ここで、δ yはKroneckerのデルタ記号であり、i ＝ jでは1 、i ＝ jでは0となる。空間軌道の組{Φ,}が完全系だとすれば、任意の関数f(r)は正確に次のように展開できる。
ここで、α,は定数の係数である。完全系であるためには無限個からなる組でなければならないが、実際には無限個の集合は扱えないのでK個の軌道からなる有限個の組{Φ, l i = 1,2,……,K}のみを考える。この有限の組は、完全系の張る空間の中のある部分空間を張るにすぎないが、得られた結果はこの有限個の軌道で得られる部分空間の中での“正確”な結果といういい方ができる。 １個の電子を完全に記述するためには、スピンの特定が不可欠である。電子のスピンを記述する完全系は、２つの規格直交関数α(ω)とβ(ω)、すなわちスピン上向き(↑)とスピン下向き(↓)からなっている。 1個の竜子の空間分布とスピンをともに記述する波動関数が、スピン軌道χ(x)である。xは空間とスピン、両方の座標をあらわしている。各空間軌道、Φ(r)から2つのスピン軌道をつくることができる。一方はスピン上向き、もう一方はスピン下向きに対応していて、おのおのその空間軌道にαまたはβのスピン関数をかけたものである。
K 個の空間軌道の組{Φ, l i = 1,2,…,K}が与えられれれば、 2 K  個のスピン軌道の組{χ; l i = 1,2,… ,2K}をつくることができる。
空間軌道が規格直交ならば、スピン軌道も規格直交である。

2.Hartree-Fock理論
竜子のSchrödinger方程式に対する近似解を見つけることは、量子力学の誕生以来、量子化学者の第一の目的であり、我々は常に多電子問題を取り扱わねばならない。この多電子問題を解く試みの中心となるのがHartree-Fock法である。この方法では、 1個の配置関数で波動関数を近似し、変分法によって最良のスピン軌道の組{X,}を求めることができる。
2-1.Slater行列式
Ψを近似的に表現するのに、ここでは規格直交化されたN個のスピン軌道χ,(x)の反対称積を用いる。この反対称積がSlater行列式
である。変分原理法によると、電子座標に関するいかなる反対称規格化波動関数Ψの、基底状態に対するエネルギーの期待値 Ψ* Ĥ Ψdxは、常に正確な波動関数ΨoのエネルギーEoより高くなる。
等号はΨ = Ψ oのときのみ成り立つ。ここで規格化されたSlater行列式に対する、簡略で便利な記法を導入する。この記法では、規格化定数をすでに含んでいるとし、その行列式の対角成分のみを書く。
もし電子の座標がつねにx 1,x 2,… x Nの順に並べてあるとすると、さらに次のように略記できる。 (2.1.4) Ψ(x 1 ,x 2 ,……,x N )= X iX j……X kこの記法を用いると、式 (2.1.1) は次のように書ける。
また、 Ψ * Ĥ Ψdxは通常プラケット表示を用い次のように書かれる。

2-2.Hartree-Fock方程式
N電子系の基底状態を記述するのに使うことのできる最も単純な反対称波動関数は1個のSlater行列式である。
変分原理によれば、この汎関数形をもつ最良の波動関数は、可能な限り低いエネルギー
を極小にするようなものである。ここで
である。これらの積分はすべて実数値をとり、Ｊij ≥ K ij ≥ 0である。Ｊijはクーロン積分、 K ijは交換積分と呼ばれる。次の等式
は重要である。式(2.2.2)の２重和にi＝jの項を含めてある理由は、この等式にある。式(2.2.2)を規格直交化の条件∫ χ i (x) * χ j (x)dx = δ jのもとで最小にすると、Hartree-Fockの微分方程式
が得られる。ここで、ε j,はスピン軌道χ,(x)とχ,(x)を占めたときの軌道エネルギー、vの電子が存在することによって電子iが感じる平均ポテンシャルであり、f (i)はFock演算子と呼ばれる。またf (i) = f * (i)、ε j =ε j *より、 f (i)はHermite演算子、 ε jはHermite行列εの要素である。 f (i)と波動関数Ψは{ χ, li = 1,2,… ,N }の間の任意のUnitary変換に不変である。また、 Hermite行列は適当なUnitary行列で対角化することができる。この任意性を利用すると、式(2.2.7)は次のように書き換えることができる。
f(i)χ i (x) = ε iiχ i (x)
(2.2.9)こうして多電子問題が1電子問題に帰着されたわけである。この方程式の解は反復計算により求めなければならない。それは解として求めるべきχ,(x)が演算子f(i)の中に現れるからである。
2-3.Hartree-Fock装の利点と問題点
Hartree-Fock法の利点は、電子構造をみながら相互作用を数え上げることにより、エネルギーの表現が得られることである。これは閉殻構造ばかりでなく、開殻構造の電子状態であっても、波動関数が単一行列式で表現されていれば、いつでも相互作用を数えあげられることを意味する。 Hartree-Fock法は、多くの系について初期的な予測を提供してくれるので非常に便利である。また、安定分子や遷移状態のいくつかの構造や振動数についても妥当な計算結果を与える。つまり、基本的なレベルの良い方法ということができる。 Hartree-Fock法では、二個の電子を交換してもΨ  は変化しないという要請を、波動関数を反対称化することで満たしている。これは、同じスピンを持った一対の電子から来る主な相関を自動的に含む。この相関を交換相関という。しかし、反対スピンを持った電子の運動は相関のないままとなっている。このため、反応や結合解離のエネルギーを正確に調べるのには不十分である。そのため、我々は次に述べる電子相関を含む密度汎関数法を用いる。
3.密度汎関数理論
密度汎関数理論(DFT)とは、波動関数Ψのかわりに電子密度ρを変数として用いて、電子密度のみで電子状態のエネルギーが表せるという点である。つまり、電子密度の空間分布さえ知ることができれば、基底状態の電子状態を記述する理論である。N電子系では3N次元空間のSchrödinger方程式を解かなくても、三次元空間における電子密度ρ(r)と、これに関連した相関交換汎関数から、基底状態のエネルギーが求められる。そのため、電子密度ρ(r)が定まれば、基底状態に対応する反対称化された波動関数が得られるはずである。このとき、電子密度ρ(r)はN表示可能であるという。また、基底状態のエネルギーと、基底状態に対応した反対称化しされた波動関数の二つが定まれば、固有値問題から基底状態のHamilton演算子も完全に決定される。そのため、Hamilton演算子の外部ポテンシャルv(r)も決定される。このとき、電子密度ρ(r)はv表示可能であるという。N表示可能の条件は、ρ(r)が非負で連続、かつ全空間を積分するとNになることである。しかし、v表示可能の成立条件は、いくつかの必要条件しか明らかでない。電子密度ρ(r)がN、v表示可能であるとき密度汎関数理論は意味を持つ。逆に電子密度ρ(r)がN表示可能でないときには、最小解に対応した波動関数から得られた電子密度ではないし、v表示可能でないときには、エネルギーを密度の汎関数E[ρ(r)]として最小化させることが、基底状態のエネルギーを求めることに一致しない。
3-1.Hohenberg-Kohnの定理
オリジナルの密度汎関教理論はHohenberg-Kohnの定理に基づいている。まず、大きな箱中の時間に依存しない局所外部ポテンシャルv(r)の影響下で運動するN電子系を考える（ここでは縮退していない基底状態のみを考慮する。)。 Hohenberg-Kohnの第一の定理は、電子密度ρ(r)によってポテンシャルv(r)が決定されることを示している（ただし、重要でない定数が付随する。)。つまり、電子密度ρ(r)と波動関数には一対一の関係があるということである。このことは以下で背理法によって証明する。同じ密度ρ(r)およびv ≠ v' + const.で関係づけられる別のポテンシャルv(r)が存在すると仮定する。この仮定により、二つの外部ポテンシャルv(r)およびv'(r)とそれに対応する二つの異なる基底状態波動関数字およびΨ’が存在する。言い換えると、基底状態エネルギー E oおよびE oを持つ異なるHamilton演算子、白と白'が存在するということも表している。 Hamilton演算子は
で与えられる。 Rayleigh-Ritzの変分原理により
を得る。二つの式を足すとにより符号が矛盾することが分かる。従って密度から一意に外部ポテンシャルが求められ、さらには、系のHamilton演算子や電子特性を決めることが可能であると結論づけられる。 T [ ρ ]を竜子の運動エネルギー項、 V n [ ρ ]を核-竜子引力と核間の反発のポテンシャルエネルギー、V ee[ρ]を電子-電子反発項としたとき、全エネルギーはE,[ρ]は
で与えられる。ここで
F HK [ ρ ]は全運動エネルギーと電子問反発エネルギーの和である。一方、Hohenberg-Kohnの第二の定理は、いかなる試行密度δに対してEo[ρ]≤ E,[ρ]
が成り立つことを示している。ただし、 β (r)≥ 0、 β (r)dr = Nである。証明は試行波動関数Ψのエネルギー
に対する変分原理から示される。ここで、等号は真の基底状態の時を表す。さらに電子数を一定にする拘束条件を課すことにより、変分
から、Euler方程式
を得る。ここでLagrange未定乗数μは化学ポテンシャル(あるいは負の電気陰性度）を表す。 F HK [ρ]の厳密な形を知っていれば、式(3.1.7)は基底状態の電子密度についての厳密な方程式となる。ただしＦ нк [ρ]は外部ポテンシャルν(r)とは独立に定義されることに注意しなければならない。これはF HK [ρ]が、ρ(r)の普遍な汎関数であることを意味する。 Hohenberg-Kohnの定理は、電子密度ρ(r)から外部ポテンシャルν(r)が一意的に定まることを示しているが、電子密度ρ(r)から基底状態の外部ポテンシャルを与えることまでは保証していない。これを補う役割を果たしているのがv表示可能性である。そこで、Hohenberg-Kohnの第一の定理を言い換える。すなわち、基底状態の波動関数と、v表示可能である電子密度とは一対一の対応がある。この対応関係によってv表示可能な密度から、これに付随する基底状態の性質が決まる。したがって、基底状態の全ての性質がその電子密度の汎関数であるというときには、これらの汎関数が全てv表示可能な密度についてのみ定義されていることを理解する必要がある。また、汎関数および変分法に現れる密度に対する条件を弱めても、いわゆるN表示可能性を要求すれば、密度汎関数理論の定式化が可能であることが知られている。
3-2.Kohn-Sham方程式
KohnとShamは、運動エネルギー汎関数T[ρ]に対する巧妙な間接的アプローチを創出した。これにより密度汎関数理論は厳密な計算を行うための道具となった。KohnとShamが提案した内容は、運動エネルギーを精度よく、しかも単純な方法で計算できるように軌道を取り入れることにし、このとき生じる小さな補正を別に取り扱うことであった。KohnとShamは、HohenbergとKohnの普遍的な汎関数F HK ρの定義（式(3.1.5) ）にならい、これに対応する形で相互作用のない参照系を導入した。そのHamilton演算子は
である。この系には電子-電子反発項が含まれておらず、基底状態の電子密度は近似なしにρとなっている。この系では、基底状態の波動関数は近似なしに
である。ここでχは1電子Hamilton演算子h ςの固有状態で、エネルギーの低いほうからN個を採用する。すなわち
である。運動エネルギーT s[[p]はは
である。ここで式 (3.1.5) を書き換えて
(3.2.6)である。ここで定義された量E xc[ρ]は交換-相関エネルギーと呼ばれる。そこに含まれるものは、おそらく十分に小さいと考えられるT[ρ]とT s [ρ]の差、および非古典的な部分のV s .こうすると式 (3.1.9) のEuler方程式は
となる。ここでKohn-Sham有効ポテンシャルvsr (r) b
で定義される。さらに
は交換-相関ポテンシャルである。制限条件∫ ρ(r)dr = Nのもとで、外部ポテンシャルν s (r) = ν sg (r)の中で互いに相互作用なく運動する竜子の系に、通常の密度汎関数法を適用したときに得られる式と、式 (3.2.7) は完全に一致する。従って、与えられたνεπ(r)に対して、単にN個の1竜子方程式
を解いて
とすれば、式(3.2.7)を満たすρ (r)を得る。このN個の方程式がKohn-Sham方程式と呼ばれる。 Korn-Sham 方程式は、相互作用のある竜子の運動を独立粒子系として扱うことができることを示している。つまり、電子は共通の局所ポテンシャルνgrの中で運動している1個の電子として記述される。非常に複雑な多電子の関与する電子間相互作用は全て局所ポテンシャルやerへ押し込めている。また、KornとShamの考え方の狙いは、真の運動エネルギーT[ρ]の中心的な部分であるT s [ρ]をどのように決めれば、KohnとShamの補助的軌道を用い、明示的な形で、T s [ρ]を書けるようにできるかというところにある。しかし、縮退していない基底状態に対する相互作用のない、v表示可能な密度については、
が成り立つ。これより、式(3.2.6)で定義した交換-相関エネルギーには、正の運動エネルギー分が含まれている。
3-3.密度汎関数理論利点の問題点
KohnとShamの理論では、一様な電子ガスモデルに基づく局所交換相関ポテンシャルを用いているので、局所密度近似(LDA)と呼ばれる。このモデルでは、実際には一様でない電子分布を微小部分にわけ、個々の微小部分drに関して一様な電子ガスモデルの結果を適用し、それらを足し合わせることで、竜子分布からエネルギーを求めている。そのため個々の微小部分drの竜子密度が分かればよいという局所的性質を持っている。しかし、不対電子を有する系にLDAを当てはめて系を記述すると、半整数の電子を縮退した軌道に詰めねばならず、系を適切に記述できない。そのため、全電子密度ρ(r)だけでなく、新たに電子スピン密度q(r,s)を導入し、開殻系でもより正確に記述できるようになった。このスピン分極を考慮した方法は、全竜子密度だけの場合と区別してスピン密度汎関数と呼ばれ、LDAに対してスピン分極がある場合は局所スピン密度近似(LSDA)と表記される。スピン分極を持ち込むことで、密度汎関数理論による分子の計算精度は格段に上がる。しかし、電子が自分自身と相互作用してしまうこと(自己相互作用)や、交換エネルギーの誤差が大きいことなどが欠点として依然として残っている。また、密度汎関数理論は、相互作用のないv表示可能な密度についてだけ成り立つという意味において、制限されたものとなっている。すなわち、きちんと定義された相互作用のない系の基底状態密度にだけしか成り立たない。さらに密度汎関数理論ではしばしばKorn-Sham方程式を解く際に、HOMO-LUMOギャップが小さく、SCFの収束が遅いことが問題となっている。そのために安定な波動関数をSCFの初期状態に与えることが重要になる。もし最初に不適切な波動関数が与えられてしまうと、SCFの収束が困難になってしまうか、基底状態ではない状態に収束してしまうおそれがある。
3-4.hybrid技
Hartree-Fock (HF)法は同一電子のクーロン反発項と交換項は完全にキャンセルする性質を持つ。このように電子が自分自身と相互作用しないことを“正確な交換”という。しかし密度汎関数法の交換エネルギーは、前節で述べたように自己相互作用をもつために制度が悪くなっている。特に交換エネルギーは相関エネルギーに比べて絶対値が大きいので、交換エネルギーの誤差は全エネルギーの精度に影響する。そのためHF法の交換エネルギーの厳密な取り扱いを密度汎関数法に取り込み、自己相互作用をなくそうという試みがBeckeにより提案された。今までの密度汎関数法を純粋な密度汎関数というのに対して、Beckeにより提案された新しい汎関数はhybrid汎関数と呼ばれる。ここではhybrid 汎関数の一つである、B3LYP 法(Becke  Three  Parameter  Hybrid Functionals) を紹介する。
ここで、E xc[ρ]は交換-相関エネルギー、E x HF[ρ]はHFの交換エネルギー、E x Stater[ρ]はSlaterの交換エネルギー、 E x Becke [ρ]はBeckeの非局所的な部分の交換エネルギー、 E x VWN[ρ]の相関エネルギー、E x [ρ]の相関エネルギーである。パラメータAはHFとLSDAの交換エネルギーの混合比を決定する。汎関数を局所項と非局所項に分割したときの、非局所的な部分の交換エネルギー、相関エネルギーの割合がパラメータBとCである。そしていろいろな分子や原子にDFT計算を実行し、汎関数の混合比を最適化した。計算の対称はGlデータベースと呼ばれる56分子の原子化エネルギー、42分子のイオン化エネルギー、8分子のプロトン親和力、及び周期表第一周期元茶の原子エネルギーである。最終的に得られたA = 0.20、B = 0.72、C = 0.81は実験値に合致するように調整された半経験的に保教である。その結果、G1データベース116個の実験値からのずれを根二乗平均したものは3.35 kcal/molとなり満足のいくものとなった。また、LYP汎関数は局所項と非局所項に分けることができないので、LYP汎関数の局所部分とVWN汎関数を足して1.00になるように工夫されている。