💕日本数学会2018年度年会無限可積分系特別セッション講演アブストラクト2018年3月於東京大学💕日本数学会2018年度年会無限可積分系特別セッション講演アブストラクト2018年3月於東京大学

3月20日(火)
第Ｖ会場
10:00〜11:30
1小崎健太郎(中大理佐隣司（中　大更竹村剛一(中大理
qホイン方程式の多項式解について . 1 (分)真2   Zhijie Chen Ting-Jung Kuo Real-root property of the spectral polynomial of the Treibich– Verdier potential and related problems . 3 (Yau Math. Sci. Center) (Nat. Taiwan Normal Univ.) Chang-Shou Lin  (Nat. Taiwan Univ.) (I.)竹村剛二(中大理
野国步(広島工大工)潤一(東大数理)一列型C , D型Macdonald多項式の明示公式 . 5白石寒伊4後海永野法G 2型Weyl群不変なq超幾何積分の行列式公式. . . . . . . . . . . . . .  (15) 7な（新音子（神　戸&正俊(神戸
5伊藤公殺(豊蜂技科大) qサイクルのホモロジー 9朴佳南(神戸大理) q超幾何関数の一般化と,それを特殊解に持つモノドロミー保存変形
大山陽介(徳島大理工) φ超幾何函数,φr−1(0; b; q, x)の接続問題大山陽介(徳島大理工) 8神原北斗9竹田悠人上野著三雄(早大理(L)重対数関数による展開 . (II) 10上野☞三雄(早大理モノドロミー保存変形へのKZ理論的アプローチとSchlesinger方
11尾角正人(阪市大理) ( UC Davis ) A. Schilling T. Scrimshaw  (Univ. of Queensland) 21高崎金久(近幾大理工) 12位相的頂点とVolterra型可積分階層 . 23 15:45～16:45特別講演館ゲージ理論と館W代数 .木村太郎(慶大自然科学研究教育センター) 25 φ超幾何函数3φ2 (α 1 ,α 2 ,α 3 ; b 1 ,α ; q ,α )の満たす差分方程式のq -Stokes係数.モノドロミー保存変形へのKZ理論的アプローチにおける解の多6

9:30〜10:30
13
14山根宏之(宮山大理工) I. Angiono (Nat. Univ. of Cordoba) 15 Screening operators and sl2 action on the lattice vertex operator algebras of type A 1橋本義武(東京都市大知識工)松本拓也(名大多元数理)土屋昭博(  Kavli IPMU  ) 16佐藤僚(東大数理) Modular transformation properties and the Verlinde formula . . . 10:45〜11:45特別講演
弘(山梨大教育)シューベルト・カルキュラスの視点からのHall-Littlewood函数の一般化・母函数表示と応用 .
qホイン方程式の多項式解について
健太郎  (中央大学大学院理工学研究科)小嶋司(中央大学大学院理工学研究科)佐藤(中央大学理工学部)竹村剛一
qホイン方程式
本講演では、以下で定められるqホイン方程式の解について考察する。 ( x − q h 1+1/2)( x − q h 2+1/2) f ( x /q ) + q α 1+α 2 ( x − q l − 1/2)( x − q l 2− 1/2) f ( q x )     (1) − {(q°¹ + q°²)x² + Ex + q(b1+h2+l1+l2+a1+a2)/2(q°l2 + q−β/2)} f(x) = 0.これはq差分方程式であるが、f ( x /q )などの係数はすべてxについて2次多項式となっている。Eはアクセサリーパラメーターと考えられる。また、q → 1の極限においてホインの微分方程式を得ることができる。 qホイン方程式はHahnの1971年の論文[2]で得られていたが、[3]において2つの方法で再発見された。 1つは一粒子Ruijsenaars-van Diejen作用素の4回の退化であり、他方はq差分パンルヴェ第六方程式を生み出す線形q差分方程式([1])の特殊化である。 x = 0での級数解qホイン方程式に対して、x = 0のそばの解を
の形で探す。これは、線形常微分方程式の解を確定特異点のそばで解析する方法の類似である。本講演では0 < q < 1を仮定する。ここでλ1 = (h1+h2−l1−l2−α1−α2+β+2)/2, λ2 = (h1+h2−l1−l2−α1−α2−β+2)/2 (3)とおく。式(2)をqホイン方程式に代えすると、次の関係式を得る。 (1 − q^−^1)(1 − q^−^2) = 0 (4) c n [q h 1+h 2 (1 − q n +λ−λ 1 )(1 − q n +λ−λ 2 )] = −c n −2 [q(1 − q n −2+λ+α 1 )(1 − q n −2+λ+α 2 )] + cn-1[q1/2(qh1 + qh2) + Eqn-1+x + (q'1 + q'2)q2(n-1+x)+α1+α2-1/2]. (5)ただしn = 1に対応してc_1 = 0とおいている。式(4)よりλ = λ1またはλ = λ 2とおく。λ 1 − λ 2 (= β)は整数でないとすると、式(5)によりc,が順次決まる。Eを不定元とするとcnはEについてのn次式となっており、改めてcn(E)と書くことにする。
多項式解を持つためのアクセサリーパラメーター Eの条件式
Theorem 1 i ∈ {1,2}, j ∈ {1,2}とし、−λi − αjは0以上の整数とする。 N = −λ; − α;とし、E = E oはN + 1次方程式
の解とする。このとき、qホイン方程式は次の形の解をもつ。
式(7)はx^と多項式の積の形であるので、これを多項式解と呼ぶことにする。条件式cN+1(E) = 0の解の実数性と非重複性c,についての三項間漸化式(5)からSturm列の議論を使うことができ、次の定理が成り立つ。Theorem 1でi = 1, j = 1の場合について述べる。 Theorem 2 N = −λ 1 − α 1は0以上の整数とし、0 < q < 1であってh 1 , h 2 , l 1 , l 2 , α 1 , α 2 , βはすべて実数とする。さらに、N + λ 1 + α 2 < 1 (⇔ α 2 − α 1 < 1)およびλ 1 − λ 2 > −1 (⇔ β > −1)を仮定する。このとき、N + 1次方程式(6)の解はすべて重複しない実数である。超離散極限によるc v +1 ( E ) = 0の解の解析条件式(6)すなわちc N +1 ( E ) = 0は、一般には明示的に解くことはできない。しかし、q → +0という超離散極限におけるc N +1 ( E ) = 0の解の挙動は、場合によっては解明できる。定理2の設定に加え、h 1 < h 2 , l 1 < h 2 , 1 − l 2 + h 2 + β > 0を仮定し、c N +1 ( E ) = 0の解を適切な順番にE = E 0 , E 1 , . . . , E Nとおく。 ● 2 − l 1 − l 2 + 2h 2 + β > 0の場合、q → +0の極限で符号付き超繼散化の意味でE k ～ −q 1/2−k−λ 1+h 1 (k = 0, 1, . . . , N )という挙動を示す。 ● 1 ≤ m ≤ ( N − 1)/2をみたす自然数mに対して−4m − 2 < −l 1 −l 2 + 2h 2 + β < −4m + 1が成り立つ場合、q → +0の極限で次の挙動を示す。 q(α1+α2+λ1+λ2)/2 ( k = 0, 1, . . . , m = 1) — ( α 1 +α 2 + λ 1 + λ 2 ) / 2    ( k  =  m, m  +  1 , . . . , 2m ) E k ~ -q1/2-k-λ1+λ1 (k = 2m, 2m + 1, . . . , N ) [1] M. Jimbo, H. Sakai, A q-Analog of the Sixth Painlevé Equation. Lett. Math. Phys. 38 (1996), 145–154 [2] W. Hahn, On linear geometric difference equations with accessory parameters, Funkcial. Ekvac. 14 (1971), 73–78. [3] K. Takemura, Degenerations of Ruijsenaars-van Diejen operator and q-Painleve equations, J. Integrable Systems 2 (2017), xyx008, arXiv:1608.07265. Real-root property of the spectral polynomial of the Treibich-Verdier potential and related problems Zhijie Chen (Yau Mathematical Sciences Center, Beijing) Ting-Jung Kuo (National Taiwan Normal University) Chang-Shou Lin (National Taiwan University) Kouichi Takemura   (Chuo University) p(z) = p(z|τ)を基本周期が(1,τ)のワイエルストラスの二重周期関数とし、 ω 0 = 0, ω 1 = 1, ω 2 = τ, ω 3 = 1 + τとおく。半周期♕ (k ∈ {1, 2, 3})に対応してek = β(学| τ )とおく。 l 0 , l 1 , l 3を定数として次の作用素を導入する。
1990年頃、TreibichとVerdierによりq( lo,l,l2,l3)(z)は代数幾何的有限帯ポテンシャルであること、すなわち次の定理が発見された。 Theorem 1  ([5]) lo, l , l 2 , l 3がすべて整数のとき、ある奇数階の微分作用素であってH (lo,l1,l2,l3)と可換であるものが存在する。ここでのq(lo,f1,f2,f3)(z)はTreibich-Verdier potentialと呼ばれている。 P2g+1を標準的にとったとき、( P 2g +1) 2 = Q( H (lo,l1,l2,l3)が成り立つような2g + 1次多項式Q(E) = Q(lo,l1,l2,l3)(E(r)がとれ、これをH ( lo,h,l2,l3)に付随したスペクトル多項式と呼ぶ。超楕円曲線ν ² = Q(E)はEを固有値とするスペクトル問題
と密接に関わっている。とくに、E = E oがQ(E o ) = 0をみたすことと、式(1)においてf(x + 1,E) = ±f(x,E), f(x + τ,E) = ±f(x,E)をみたす固有関数f ( x, E o )が存在することは同値である。本講演では、以下の(Q)について考察する。 (Q):与えられた非負整数l 0 , l 1 , l 2 , l 3に対し、すべてのτ ∈ iR s 0に対してスペクトル多項式Q( l o,まず、l 1 = l 2 = l 3 = 0の場合、すなわち式(1)がLaméの微分方程式の場合はInceにより(Q)が肯定的であることが示されている。また、l 2 = l 3 = 0の場合も[3]にて(Q)が肯定的であることが示されている。ここで、以下の結果について報告する。 Theorem 2  ([1]) (Q)は、以下のそれぞれの場合にも肯定的である。すなわち、以下のそれぞれの場合の非負整数l 0 , l , l 2 , l 3に対し、すべてのτ ∈ iR s 0に対してスペクトル多項式Q ( l 0 ,l ,l 2 ,l 3 ) ( E | τ )の零点はすべて実数で非重複である。 (i) l 3 = 0, l 0 ≥ l 1 + l 2 − 1. (ii) l 0 + l 3 + 1 = l 1 + l 2 , l 2 + l 3 ≥ l 0 + l 1 + 1, l 1 + l 3 ≥ l 0 + l 2 + l 2 + l . (iii) l 0 + l 3 = l 1 + l 2 + 1, l 0 + l 1 ≥ l 2 + l 3 + 1, l 0 + l 2 ≥ l 1 + l 3 + l 3 + l . (i)はl 2 = l 3 = 0の場合の拡張であるが、Q(2,2,2,0)( E | τ )はτ ∈ iR >0の場合にも虚数解をもってしまうで条件l 0 ≥ l + l 2 − 1をそのまま外すことはできない。ホインの微分方程式との関係ところで、式(1)はホインの微分方程式に書き換えられることが知られている。すなわち、各i ∈ {1,2,3}に対してā i = −l i/2または(l i + 1)/2とすると式(1)は４点{e 1 , e 2 , e 3 , ∞}に確定特異点をもつ次の微分方程式に書き換えられる。
Theorem 2の証明の概略āṣ ∈ {−l i /2, (l i + 1)/2} ( i = 1, 2, 3)に対して微分方程式(2)が多項式解をもつためのEの条件は、スペクトル多項式Q(E)の零点となっていることと同値となることが知られている。式(2)の解を∑ j = o c j (x − e 2 ) jで書くとc jに対して３項間漸化式が得られる。Sturm列の議論からこの級数が多項式として解をもつためのEは実数であって非重複であることが示され、Theorem 2 (i)が証明される。 Theorem 2 (ii), (iii)については、[4]でのgeneralized Darboux transformationの結果を用いることでTheorem 2 (i)から導出される。 [1] Z. Chen, T. Kuo, C. Lin and K. Takemura, Real-root property of the spectral polynomial of the Treibich-Verdier potential and related problems, arXiv:1610.02216. [2] E. L. Ince, Proc. R. Soc. Edinb. 60 (1940), 83-99. [3] K. Takemura, Comm. Math. Phys. 235 (2003), 467-494. [4] K. Takemura, J. Nonlinear Math. Phys. 13 (2006), 584–611. [5] A. Treibich and J.-L. Verdier, Duke Math. J. 68 (1992), 217–236.
nを正の整数, x = ( x 1 , · · · , x n )を変数とする. a, b, c, d, q, tをAskey-Wilson/Koornwinder多項式のパラメータとする．P(1r)(x|a,b,c,d|q,t)を一列型分割(1r) (0 ≤ r ≤ n)に対するKoornwinder多項式とする. Definition  1.1. 対称なLaurent多項式G,( x )を次で定める：
分割入の共役を入’とする．[4]で与えられたBC型の核関数関係式を用いれば，m個の変数y = (y 1 , ···,ym)に関するKoornwinder差分作用素の固有関数を用いることで，lengthがm以下の分割λの共役λに対するn変数(n ≥ m)のKoornwinder多項式P x (x |a, b, c, d |q, t)を構成することができる.これをm ＝ 1の場合に適用する. Askey-Wilson多項式の四重級数表示[1] を用いることで次の定理を得る. Theorem 1.2.
ここに
[2], [3]に従ってパラメータを特殊化すれば，一列型分割に対するC,型Macdonald多項式は次で与えられる. Theorem 1.3. s = tn-r+1に対して，次が成り立つ.
特に，一列型D n型Macdonald多項式P(1 r ) (x |q, t)はP(P n ) (x |q, t) = P(C n ) (x |1; q, t)より得られる. 2.一列型C , D型Macdonald多項式の組合せ的明示公式Definition 2.1.
ここにn < rのときはα(") = 0と定めるC,型Weyl群で不変な対称単項多項式をm,と書くことにすれば，次の定理を得る. Theorem 2.2.特にむ＝１とすれば，P(Pn) (x|q,t)についての公式が得られる証明の概略：Theorem 1.3.より，次の定理を得るTheorem 2.3. s = t n − r+1に対して，次が成り立つ.
Theorem 2.3.の左辺と右辺のm(1--2)の係数を比較することによって，Theorem 2.2.を得る. [1] A. Hoshino, M. Noumi and J. Shiraishi, Some transformation formulas associated with Askey-Wilson polynomials and Lassalle's formulas for Macdonald-Koornwinder polyno- mials. Mosc. Math. J. 15 (2015), no. 2, 293-318, 404-405. [2] T. H. Koornwinder, Askey–Wilson polynomials for root systems of type BC , in Hyperge- ometric Functions on Domains of Positivity, Jack Polynomials, and Applications (Tampa, FL, 1991), Contemp. Math. , Vol. 138, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 189–204. [3] I. G. Macdonald, Orthogonal polynomials associated with root systems, Sém. Lotha. Combin. 45 (2000), Art. B45a. [4] K. Mimachi, A duality of MacDonald–Koornwinder polynomials and its application to integral representations. Duke Math. J. 107 (2001), no. 2, 265–281.
伊藤雅彦  (琉球大学・理)宮永愛子  (神戸大学・理)野海正俊（神戸大学・理)本講演では、例外型Ｇ₂型ルート系に付随したq超幾何積分を成分とする行列式がqガンマ函数の積で表示できることを紹介する.以下, q ∈ C *を固定し|q| < 1とする. z = ( z 1 , z 2 ) ∈ (C*)²とし, G 2型Weyl群不変な有理型函数Φ( s n ( z )をΦ ( s,t) ( z ) ( z ±¹ )∞(( z 1 z 2 )±¹ )∞(( z 2 z 2 )±¹ )∞( z ±¹ )∞(( z 3 z 2 )±¹ )∞ (a iz ≠ ¹)∞(a i ( z 1 z 2)≠ ¹)∞(a i ( z į z 2)≠ ¹)∞(t j z ≠ ¹)∞(t j ( z į z 2)≠ ¹)∞(t j ( z į z ₂ )≠ ¹)∞と定義する. ただしq階乗冪を(x)∞ = Π i=0 (1 − q i x) と書き, Φ(s,ι)(z)の添字(s,l)はゆ(｡∀(z)に含まれるパラメータa; ∈ C*とt; ∈ C*の個数に対応している.まず,本講演の背景となる先行結果を述べる.  Φ(ι,ι)( z )とΦ(ι,ι)( z )を重み函数とする複素積分(G 2型q超幾何積分と呼ぶ)について、以下の無限積表示が知られている.命題(無限積表示). α = α 1 ∈ C*, t = t 1 ∈ C*か* | α | < 1, | t | < 1を満たすとき
が成立する.また, a, ∈ C* (1 ≤ i ≤ 4)が| a, | < 1を満たすとき次が成立する.
式(1)はG 2型のMacdonald定数項公式と同値な公式として知られており、式(2)はGustafson [6,7]による.  (G)型に限らずルート系を一般にした場合のα超幾何積分の無限積表示については[3]を参照のこと.) さてMacdonald定数項公式との関係などから、古典型ルート系に付随したq超幾何積分については、その楕円化も含めて様々な拡張が知られている.積分の重み函数に含まれるパラメータの数を増やす方向では, [1,2,4,5]等がある．ところが，例外型に対してはG 2型の場合でも，上記q超幾何積分の公式(1), (2)の拡張は知られていなかった.そこで,講演者らはq差分de Rhamの方法を使って式(1), (2)の単純な別証明を与えるところから出発し,その拡張であるΦ(2.1)(2), Φ(5.0)(2)及びΦ(3,1)(2), Φ(6,0)(2)を重み函数とするG2型q超幾何積分に対して,以下の結果を得た. z = (z 1 , z 2 ) ∈ (C*)²の函数m i (z), h i (z) (i = 0,1)をそれぞれmo(z) = 1,    m1(z) = z1 + z11 + z1z2 + z11z21 + z12z2 + z12z21, ho(z) = θ(√qz1)θ(√qz1z2)θ(√qz1z2),   h1(z) = θ(−√qz1)θ(−√qz1z2)θ(−√qz1z2)とする.ただしθ(x) = (x)∞(qx−1)∞とする.本研究は科研費[課題番号:(C)25400118, (B)15H03626]の助成を受けたものである.
q差分方程式を求めることで,右辺の因子でパラメータに依存するものを決定する.た,それぞれの左辺を特殊化して(ι,ι)(z)やΦ(ι,ι)(z)等の場合に帰着させることによりパラメータに依らない因子を求める.講演では、上記行列式が満たすq差分方程式の導出方法や,特殊値の求め方等を紹介する予定である. [1]伊藤,野海: Selberg型BC,楕円超幾何積分の行列式公式,日本数学会2017年度秋季総合分科会無関可積分系セッション（山形大）講演アプストラクト, 17–18.
qサイクルのホモロジー伊藤公毅（豊橋技術科学大学)*ジャクソン積分に現れる積分路(qサイクル)は,コンパクトではない局所有限サイクルのq類似に過ぎない.そこで,本講演では「コンパクト」なqサイクルとして(一応)機能しうる概念を(複茶)1火元の場合に提案し，これを用いて，ジャクソン積分の正則化を与える.以下, {bx(t)}xezを有理函数bx(t) =試(t) ∈ C(t)の族で, bx+x(t) = bx(t)bx(qxt)を満たすものとする.
とおき,サイトゥ(P¹ \ D)を,その下部圏がU = U+ U U-,   U+ ⊂ C* \ D+,    U- ⊂ C* \ D-を満たす開集合ＵＣＣ*を対象とし,被覆族は
を満たすものとして定める。ここで， U±は最大q±²≥o-不変開部分集合を表す。このq(P 1 \ D)上の層L q(P 1 \ D)を以下で定める:
以下では, π : g(P 1 \ D) → C*/q 2 =: E gを射影が定める自然なサイトの射とする.先ず, q ′ A o := { q ′ t + ∈ C ′ | q ≤ | t + | ≤ 1 }, ∂ + q ′ A o := { q ′ t + ∈ C ′ | | t + | = q }とおき, g(Pl \ D)上の層Cgv Ag, Cg+gv Agを
で定め、
S E q  := π− 1 (E q上の高々1位の極を持つ有理型1次微分形式)とおく.ここで, C,は点pを台とする摩天楼層を表す.この準備の下,
Cpが定めるS-1の元を{q'+1p,q'p},
が定めるS-¹の元をC(0;q") ® ξ,
とおき,複体S .( g (P 1 \ D), L g (P 1 \ D ))の境界作用素∂は
で定める.ここで, ∑ pはsπ*ξのA 0上のすべての極に亘っての和である.この複体のホモロジーをqサイクルのホモロジーとよび,
以下
とおく. 但し, θ(x) := (x; q)∞(q/x; q)∞(q; q)∞で定義される.ジャクソン積分の正則化は, qサイクルs+f dqt
はループの内部に( ν_はループの外部に), pのqスパイラルq͡p以外の極を含まないようにとっておく.
それを特殊解に持つモノドロミー保存変形朴佳南(神戸大学)毛#X Tsuda[1]は微分の場合に超幾何関数の拡張式を特殊解に持つモノドロミー保存変形を求めた.そのq類似を求めることが目標である.まず, q超幾何関数[2][3]の拡張式FN,Mを定義する.その積分表示を用いて,それが満たすパフ系を求める.次に,それを簡約化して得られる係数行列は,その作り方から両立条件を満たすので,それを参考にラックス形式をつくり,モノドロミー保存変形を得る.本稿では, N = 1の場合について述べる. 1.1.級数F M Nの定義q超幾何級数の拡張式F M Nを,次のように定義する
2. F1.Mを特殊解に持つモノドロミー保存変形チ1,Mを特殊解に持つモノドロミー保存変形について述べる.定義2.1行列A, Bを
によって定まる方程式を考えるこの方程式(5)に対して,次のことが成り立つ.定理2.1 (5)で定義されるモノドロミー保存変形は, ∑1,Mで表される解を持つ.ここでは,証明の概要を述べる.  F 1.Mの横分表示から得られる方程式の係数が, (3)のように表されることを示せばよい.まず, ∑ 1,Mの積分表示からパフ系を求める. N = 1の場合の秩分表示(2)における被秩分関数を
とおくと
が、パフ系の解の基底になる.ここで, p 0 = 1, p 1,i = (1 − b 1 u 1 ) [[i − 1 − x x x u 1である.互換の積をρ = σ M · · σ 1 (σ i = { x i ↔ x i+1,α i ↔ α i+1})とおくと, F1.Mのバフ系として次を得る[5]
他変数に対するqシフトは,置換σ,を用いることによって求められる. ここで, (¥ 0, . . . , ¥ M )とおく.このパフ系は行列の積で次のように表すことができる
この行列R i , Q мは( M + 1)次正方行列である.これに対して,パラメーター α M = 1と特殊化すると,パフ系の未知関数Ψ 0 , Ψ 1 , · · · ,Ψ Mのうち,Ψ Mだけがx Mに依存するよv m −1をx 1 , . . , x m −1にのみ依存する関数として,それぞれr 1 , r 2 ,うになる。およYo ˙˙˙ r m−1とおくと,式(11)(12)は¥ oと¥ mだけの連立方程式として,次のように表せる
[1] Teruhisa Tsuda, Hypergeometric solution of a certain polynomial hamiltonian system of isomonodromy type, Quart. J. Math, 63 (2012), 489-505. [2] E.Heine, Uber die Reihe…, Reine Angew.Math., 32 (1846), 210–212.
大山陽介（徳島大学大学院社会産業理工学研究部理工学域） 1超幾何級数, φ r − 1 (0, 0, …, 0; b 1 , …, b r − 1 ; q , x )の満たす差分方程式の接続問題を考える. σqu(x) = u(xq)として,
を考えるところ(b kとa jとの関係はあとでわかる）だが，原点での解が分岐するので代わりにz = x ", p" = qと置いてp-差分方程式
q-超幾何級数[GR] ,φs(α1,...,αr;b1,...,bs;q,x)
1の原始r乗根ωを一つ取って
となるような原点における(1)の局所解がとれる( j = 0,1,2,...,r − 1).この無限和は収束級数であり，以下ではψ i = 1とする．この解は一般には超幾何級数では表示されない（r = 2の場合は例外的に超幾何級数と関係がつく）. ¹本研究は科研費(課題番号:6K05176)の助成を受けたものである。
主定理はこの命題から簡単な計算で得られる。 r = 2の場合は第1種Jackson q-Bessel函数の接続公式[Z]と本質的に同じである. ■文献： [GR] Gasper, G., Rahman, M.; Basic Hypergeometric Series, 2nd ed, Cambridge (2004). [O] Ohyama, Y.; Connection formula of basic hypergeometric series r<p,-1(0; b; q, x), J. Math. Tokushima Univ., 51 (2017), 29–36. [Z] Zhang, C.; Sur les fonctions q-Bessel de Jackson, J. Approx. Theory 122 (2003), 208-223.
大山陽介（徳島大学大学院社会産業理工学研究部理工学域）1
の接続問題を考える．記号については前講演abstractを参照されたい．この方程式は原点が不確定特異点になり，非超幾何型の発散級数を係数にもつ．この方程式についてはすでにWatson [W]が考察しているが，Stokes現象を扱っていないので解析が不十分であったので，q-Stokes係数の決定を目標とする. ■無限遠における局所解はすべて収束級数で表示され
であり，y2,∞(x),y3,∞(x)はa1,a2,a3をcyclicに変えることで得る. ■原点における局所解は
となり，y3,0(x)は超幾何級数ではない発散級数で表される. ■収束級数であるy1,0(x), y2,0(x)の無限違での接続係数はThomaeの接続公式[T]の単純な極限であるが， y3,0(x)は発散するので単純な極限ではない. (a2, a3, b1/a1; q) ∞ → y1,∞ (x) + idem(a1; a2, a3), V1,0(x) = (b1, a2/a1, a3/a1, q) ∞ Y2,0(x) =
+ idem( a 1 ; a 2 , a 3 ). ¥3(x, λ) = q-Borel変換Bき: C[[t]] → C[[t]]を次で定める手法
B+の逆変換としてq-Laplace transform L Aを次のJackson積分で定める：
w(x) = ∑ n=q w nx nとおく.  v(ξ) = B t (w)は次の差分方程式( s 3 = a 1 α 2 α 3 ) : (1+83ξ/α 1 b 1q )(1+83ξ/α 2 b 1q )(1+83ξ/α 3 b 1q )v(ξq) = (1+83ξ/b 2q )(1+83ξ/b 1q 2 )v(ξ).を満たすので
ここで
とおくと
この最後の式は3Φ2(α1,α2,α3;b1,b2;q,x)が満たす差分方程式の原点での第３の解になる
からь → 0の適当な極限で得られるので，Thomaeの接続公式を用いてq-Stokes係数が決定できる.簡単のために分岐のない場合に接続公式を書いたが、3Ø2(α1,α2,α3;0,0;α,х)のように分岐する場合も扱える．前講演と合わせ，分岐する場合にも収束・発散いずれの場合も接続公式が計算できる. ■文献： [T] Thomae, J.; Les séries Heinéennes supérieures, ou les séries de la forme …, Ann. Mat. Pura Appl. 4 (1870), 105–138. [W] Watson, G. N.; The continuation of functions defined by generalized hyper- geometric series, Trans. Camb. Phil. Soc. 21 (1910), 281–299.神原北斗，竹田悠人，上野喜三雄（早大・理工） 2015年の秋季総合分科会において，KZ方程式の変形としてモノドロミー保存変形を捉える枠組みについて講演した．今回はその続きである．その１では１変数の変形方程式の正則解が多重対数関数により展開されることを示す.モジュライ空間M 0.5のKZ方程式を，その上の立方体座標(z,w)で表示したものを2変数KZ方程式と呼び2KZと記す:
ここで係数行列 X 0 , Y 0 , Z 0 , X (1) , Y (1)はすべて定数行列であり，積分可能条件
をみたすとする．ここでzを主変数，wをパラメータとして，2KZの変形を考える：
ただし，X(1),Y(1)は定数行列であり，X(w),Y(w),Z(w)はwの関数を成分とする行列である．この方程式系を2DKZと記す．2DKZの積分可能条件としてつぎの非線形微分方程式系が得られる:
これを１変数の変形方程式と呼び１DEと記す．この方程式の原点ｗ＝０における正則解全体の構造を調べることが当面の目標である.まず，Ｆ＝ X,Y,Zに対して，F(w) = Fo + F(w)， F(0) = Oとおくと，つぎの事実が簡単な計算によって得られる.命題1  X 0 , Y 0 , Z 0 が正則性条件(5)
をみたすとき， Î (w), Î (w), Î (w)はつぎの方程式系をみたす.
方程式(6)に正則なパラメータをもつ多成分のBriot-Bouquet方程式の理論を適用してつぎを示すことができる.命題2 (1)行列X o , Y o , Z oが正則性条件(5)の他に，固有値条件ad( X (1) ),    ad( X (1) − X 0 + Y 0)   が正整数の固有値を持たない(7)をみたすとき，初期値をX(0) = X 0 , Y(0) = Y 0 , Z(0) = Z 0とする1DE (4)の原点での正則解X(w), Y(w), Z(w)が唯一つ存在する.
この命題からつぎを得る.命題3  1DEの正則解X(w),Y(w),Z(w)をパラメータX(l),Y(l)と初期値X 0 ,Y 0 ,Z 0について展開するとき，その展開係数は多重対数関数(MPL)により表示できる．証明の方針を述べる. (証明できているのはn = 2の場合のみである.)
・漸化式より，展開係数を順次積分してMPLで表示する．その際，非線形項から生じるMPL同士の積はシャッフル積を使ってMPLの線型和に直す.課題：一般のnの場合も含めて，展開係数の完全表示を求めること.上野喜三雄  (早大理工)この講演の目標は，前の講演で導入した変形方程式1DE
とSchlesinger方程式の関係を考察することであるX(1),Y(1)に対して，線型微分方程式
を考える．これはwを変数とする１変数KZ方程式（1KZ）である．この方程式の基本解行列をひとつ選び，それをG = G(w)とおく．(1)の未知関数をF = G-1FG (F = X,Y,Z)とゲージ変換するとつぎの非線形微分方程式系を得る.
この方程式系を1DEと記す。 1DEは，2DKZ（前の講演を参照）において∑ := G-1 Lとゲージ変換して得られる線型微分方程式系の積分可能条件と同値である．さらにAo, Al, Awを
と定める。このとき方程式系(3)は
と同値であり，Ã 0 + Ã 1 + Ã v = − Ã =: Ã ∞が成立している．(厌が定数行列であることに注意せよ.）この方程式(5)は１変数Sclesingher方程式に他ならない．これを1SEと記す.この1DEと1SEの対応関係を用いると，1DEの定数解から1SEの解を構成できることに気が付く、つぎの事実に注意しよう. (2015年総会における講演で言及している.)命題１原点ｗ＝０で正則な1DEの解X(w),Y(w),Z(w)が定数解であるための必要十分条件は X o = X (0), Y o = Y (0), Z o = Z (0)が2KZの積分可能条件（前の講演を参照）
をみたすことである.例： AppellのF 1 (α, β, β ′ , γ; z, zw)を特徴づける2KZはつぎの係数をもつ：
(ここで, p = 1−γ,q = α+β+pとおいた.)これに対応するÍDEの解Î(w), Î(w), Î(w)を計算するとつぎのようになる．関数系g j (j = 2, 3)をg2 = 2F1( −p, β′, 1 −p −β ;w),   g3 = wp+β 2F1(β,β +β′ +β +β +β +β +β ;w)として,
ただし，g'j = ∂∂j/∂w，(j = 2,3),
とおいている．最後に Z(w)は
(ただし,ﾎﾟ; = αβ′ + β′ g j + ((q − β′ ) w /p ) g ′ j (j = 2, 3) ）と計算される.命題2上で求めた文(w),文(w),文(w)に対して対応関係(4)により文(w),文(w),文(w)を定めれば，これは1SEの解を与える．この解は原点ν = 0においてwP+βの特異性を持っている.コメント：ここで考察した対応関係は2変数の2DEと2SEに拡張することができる.
尾角正人(阪市大理) Anne Schilling (カリフォルニア大デーヴィス校) Travis Scrimshaw （クイーンズランド大）パス(ＫＲクリスタルのテンソル積の最高ウェイト元)と厳装配位との間のKKR型全革射[3]は講演者らが[2]以来取り組んでいる課題だが，このたび非例外型のアフィンリー霖に対しては解決をみたので報告する[6].アイデアは簡単で，simply-lacedなA型とＤ型での全単射[4, 5]を使う.非例外型ではsimply-lacedでない場合のパスはA型またはＤ型のパスに埋め込まれるので，その像がA,D型の全単射によってちょうどその型の儀装配位へ写されることを見ればよい.
最も簡単なD (2)型のときに詳しく見てみる. 1. D (2)型の場合1.1.ディンキン図のfolding A lin-1型ディンキン図にはσ(i) = 2n − iなる自己同型がある．またA lin-1型KRクリスタルB nには，σ(e n b) = e n ( n σ(b),σ(f n b) = f n ( n σ(b)なる写像σ : B n → B n ( r ),σが存在する.
とおくと，Br kのσ不変な部分集合上には，e i = e i e λ n − i (i̸= 0, n), e n = e λ ( j iも同様)によりD (2) -クリスタル構造が入る. KKR型全単射で基本的なパス上での操作lhは，より広いA型クリスタル上での操作の合成として以下のように定義する.
列スプリットls, 箱スプリットlbも同様に定義される.以下の図式によりD(2) ,型のときに全単射まが構成される. 記号の意味は講演で説明する. 1.非例外型のアフィンリー環に対して，パスの集合から蘇装配位の集合への全単射ゆが存在する. 2. Φをあるinvolution θで捻った字= θο字のもとで,パスと嫌装配位の重み(energyとcharge)が保存される. 3.パスの側で組合せＲを施しても儀装配位は変化しない. 2の帰結としてX = M予想の証明もすべての非例外型の場合に得られた．よって，[1, Theorem 5.4]のアフィンリー環/単純リー環の分岐関数のフェルミ公式は非例外型の場合に正しいことが示された. [1] G. Hatayama, A. Kuniba, M. Okado, T. Takagi and Y. Yamada, Remarks on fermionic formula, Contemporary Math. 248 (1999) 243-291. [2] G. Hatayama, A. Kuniba, M. Okado, T. Takagi and Z. Tsuboi, Paths, crystals and fermionic formulae , MathPhys Odyssey 2001, 205–272, Prog. Math. Phys. 23, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2002. [3] S. V. Kerov, A. N. Kirillov and N. Yu. Reshetikhin, Combinatorics, the Bethe ansatz and representations of the symmetric group , Zap.Nauchn. Sem. (LOMI) 155 (1986) 50–64. (English translation: J. Sov. Math. 41 (1988) 916-924.) [4] A. N. Kirillov, A. Schilling and M. Shimozono, A bijection between Littlewood-Richardson tableaux and rigged configurations, Selecta Math. (N.S.) 8 (2002) no. 1, 67–135. [5] M. Okado, R. Sakamoto, A. Schilling and T. Scrimshaw, Type D (1) rigged configuration bijection , J. Algebr. Comb., 46 341–401 (2017). [6] M. Okado, A. Schilling and T. Scrimshaw, Rigged configuration bijection and proof of the X = M conjecture for nonexceptional affine types , arXiv:1707.04876.
高崎金久  (近畿大学理工学部) rを正整数，qを形式的変数（あるいは|q| < 1という数）として，2個の整数分割入= ( λ i )営1 , μ = (μ i)ニ1を足にもつ位相的頂点（two-partition topological vertex)
を考える（正確にいえば，本当の位相的頂点はその(−1)|\+|γ|倍である）。ここでＰは整数分割全体の集合，κ(入)は入の2次Casimir値
であり， s λ /η (q-ρ), s μ /η (q-ρ)は無限変数x = ( x i )ニ1の歪Schur函数s λ /η ( x ), s μ /η ( x )のq-ρ = ( q i−1/2)≥1での値を表す.  W λ μ ( r )は複素安定曲線のモジュライ空間元g,nのHodge積分に対する組合せ論的表示に現れる[1]. Zhouは離散変数s ∈ Zに依存する補正項c(s,λ) = 2s|λ| + s(4s² − 1)/12とべき和変数t k = ξ ∑ i=1( x i ) k , t k = ξ ∑ i=1(yi)kのSchur函数S λ (t) = s λ (x), S μ (t) = s μ (y) （行列式公式で再定義する）を用いて母函数
を構成し，この母函数が2次元戸田階層のも函数であることを示した[2].本講演では，Lax形式における考察に基づいて，この2次元戸田階層の特殊解がVolterra型（いわゆるhungry Volterra）可積分階層と関係することを示したい、これはDubrovinらがHamliton形式とVirasoro条件に基づく考察から予想して[3, 6],  r = 1（本来のVolterra階層に相当する）の場合に証明したこと[4, 5]を別の方向から説明していると考えられる. (2)のャ函数のフェルミオン表示から、この特殊解は次のような1変数差分作用素（あるいはそれを表現するZ × Z行列）の因子分解問題によって特徴付けられることがわかる：
ここでU, W, Wはそれぞれ
という差分作用菜であり（Λはsのシフトを表す）, w k , w kはs , t , t , tの函数である。ひに対してW, Wを求めることができれば,
で定義されるL, Lは2次元戸田階層のLax方程式系の解である.因子分解問題(3)を直接的に解くことは難しいが，ひはすでに因子分解された形をしているので，そこから初期時刻におけるW,Wの初期値W 0 = W | t=z=0, W 0 = W | t=z=0を
というように読み取ることができる．これからL, Lの初期値L 0 = L | t = ī= 0, L 0 = L | t = ī= 0も具体的に求められるが，よく調べてみれば，それらは分数階差分作用茶
のべき乗と次のように関係していることがわかる：
これは次のより基本的な等式（sを連続変数として成立する）からの帰結である： WoA1/(r+1)Wo-1 = Lo = −WoA-r/(r+1)Wo-1.
Loは分数格子→ Z上のポテンシャルu = u(s,t,t)をもつ差分作用素
に対するLax方程式系
用素である（A kはΛの非負整数べき， λ kはλの負整数べきからなる）.  (7)は一般化された(Liuら[6]の用語では分数型)  Volterra階層のLax表示である．r = 1の場合が本来のVolterra階層に相当する。部分格子Z ⊂ ,±TZの上では，この分数型Volterra階層は2次元戸田階層と
という関係で結ばれている.今回の考察はLax形式に限定した発見的なものであり，未解明の部分を多く残している．今後の課題はも函数レベルでの考察やDubrovinらの結果との関係を探ることである. [1] C.-C.-M. Liu, K. Liu and J. Zhou, Formula of two-partition Hodge integrals, arXiv:0310272. [2] J. Zhou, Hodge integrals and integrable hierachies, Lett. Math. Phys. 93 (2010), 55–71. [3] B. Dubrovin, S.-Q. Liu, D. Yang and Y. Zhang, Hodge integrals and tau-symmetric integrable hierarchies of Hamiltonian evolutionary PDEs, Adv. Math. 293 (2016), 382–435. [4] B. Dubrovin and D. Yang, On cubic Hodge integrals and random matrices, arXiv:1606.03720. [5] B. Dubrovin, S.-Q. Liu, D. Yang and Y. Zhang, Hodge-GUE correspondence and the discrete
[6] S.-Q. Liu, D. Yang and Y. Zhang, Fractional Volterra Hierarchy, arXiv:1702.02840.
館ゲージ理論と館W代数(Keio University ♠慶應義塾大学)* Taro Kimura 』木村太郎We provide a brief introduction to quiver W-algebra, which is a gauge theory construction of W-algebra. We show that the gauge theory partition function is generated by the screening charge, and the generating current of the W-algebra is given by the qq-character, a double quantization of the character for the fundamental representations associated with the quiver. The Virasoro algebra, and the W-algebra in general, is a symmetry algebra describing the infinite dimensional conformal symmetry appearing in several fields of physics, e.g., string theory, critical phenomena in statistical mechanics, mathematical physics. The q-deformation of Virasoro/W-algebra was introduced in the middle of 1990s [1, 2], but its physical realization, namely a physical system for which the q-Virasoro/W-algebra plays a role as the symmetry algebra, has not been found for a long time. In the late 2000s, a new physical realization of conformal algebra was proposed, called the AGT relation [3], which shows a connection between 4d supersymmetric gauge theory and 2d conformal field theory. In this case, the conformal algebra is naturally q-deformed by considering 5d gauge theory compactified on a circle R 4 × S 1 [4]. Another realization of the q -conformal algebra is quiver W-algebra [5, 6, 7], which relates Γ-quiver gauge theory in 5d to the q-deformed algebra Wq1,92(Γ), while the AGT relation states a connection between G -gauge symmetric theory and W-algebra W 91,02 ( G ). Indeed a duality exchanges Γ and G , and explains a relation of these two connections with the conformal algebra. The formalism of quiver W-algebra gives rise to several new features as follows: For finite type simply-laced quiver, Γ = ADE , the algebra W q1,92 (Γ) reproduces the construction by Frenkel-Reshetikhin [8]. If we start with non-finite type quiver, namely affine or hyperbolic quiver, we obtain a new family of W-algebras, associ- ated with affine/hyperbolic Lie algebra. The q-deformed algebra arises from 5d gauge theory on R 4 × S 1 . Applying our formalism to 6d gauge theory compactified on a torus R 4 × T 2 , we obtain the elliptic deformation of W-algebras. Considering a quiver consisting of vertices and edges, inevitably it turns out to be simply-laced. Utilizing a connection between gauge theory and W-algebras, we define the fractional quiver gauge theory, reproducing the W-algebras associated to non-simply-laced Lie algebras, which also implies fractionalization of quiver variety. In this article, we explain basic aspects of quiver W-algebra, including the operator- valued gauge theory partition function ( Z -state), and the construction of the generating current for the algebra, which is given by the double quantization of characters associ- ated with quiver (qq-character.) Please refer to the original papers [5, 6, 7] for details. See also a review article [9] and the shortened version in Japanese [10]. The author's work was supported in part by Keio Gijuku Academic Development Fund, JSPS Grant-in-Aid for Scientific Research (No. JP17K18090), MEXT-Supported Pro- gram for the Strategic Research Foundation at Private Universities "Topological Sci- ence" (No. S1511006), JSPS Grant-in-Aid for Scientific Research on Innovative Areas "Topological Materials Science" (No. JP15H05855), and "Discrete Geometric Analysis for Materials Design" (No. JP17H06462). Gauge theory is a quantum field theory, which owes its dynamics to a gauge field A ∈ g, a Lie algebra valued one-form field defined on a spacetime. It has a symmetry under the gauge transformation A → gAg- 1 + gdg- 1 with g ∈ G (adjoint representation), where G is the gauge group, the Lie group associated with the algebra g. Quiver gauge theory, in general, has several gauge fields transforming under the corresponding multiple gauge groups, characterized by a quiver graph Γ. 1  Let Γ be a quiver with a set of nodes (vertices) Γ 0 and arrows (directed edges) Γ 1 . An edge from the node i to j is denoted by e : i → j . We assign a gauge group U( nj ) to each node i ∈ Γ 0 under which a gauge field A i transforms in adjoint representation, A i → g i A i g i 1 + g i d g i 1 with g i ∈ U( n i ). For each edge e : i → j we assign a field transforms in bifundamental representation of U( n i ) and U( n j ), namely ( ñ i , n j ). We consider four-dimensional Euclidean spacetime R 4 = C 2 for gauge theory. We define the field strength (curvature; two-form) from the gauge field F i = dA i + A i for the node i ∈ Γ 0 . We are in particular interested in the instanton (anti-self-dual; ASD) configuration, *Fi = -Fi, which can be a solution to the classical e.o.m (Yang-Mills equation). Such a configuration is characterized by instanton (2nd Chern) numbers:
We define a set of gauge group ranks n = ( n i ) i ∈ r θ and instanton numbers k = ( k i ) i ∈ r θ . We denote the instanton moduli space by M n,k described using the ADHM construc- tion. Then we define the gauge theory partition function
where q k = Π i ∈ Γ q k k with q i = exp (2π √ − Ι τ i ), and ( τ i ) i ∈ Γ q is the complexified gauge coupling constant. We remark that this simplified partition function can be derived using the path integral formalism with extended supersymmetry. Evaluation of the integral over the instanton moduli space can be performed by applying the equivariant K-theoretic localization (See, for example, [11]): The integral is localized on discrete fixed points under the torus action, given by ( ν i,α)α=1,...,η := ( e α +,α )α=ι,...,π, ∈ U(1) π, ⊂ U( n i ) for gauge symmetry, and (q 1 , q 2 ) := ( e c 1 , e c 2 ) ∈ U(1) 2 ⊂ SO(4) for spacetime rotation symmetry.  We define q = q1q2 = e t + t 2 .  The fixed point is labeled by the multiple partition (λ i,α)iεΓο,α=1,…,n i , satisfying the non-increasing condition λ i,α,1 ≥ λ i,α,2 ≥ · · · ≥ 0 = · · = 0. We have two vector bundles, whose Chern characters are given by
Then we define (the character of) the universal sheaves from these two bundles evalu- ated at the fixed point ( λέα )
where we define
with the transposed partition denoted by ( λ i,α ) i ∈ Γ o,α = 1,...,n,. The map ( λ i,α,k ) → ( x i,α,k ) corresponds to that from the Young diagram to the Maya diagram. We remark that the first expression is manifestly symmetric under exchange q 1 ↔ q 2 , but it becomes not manifest in the second one. We define the degree-m character of the universal sheaf, obtained through the Adams operation,
which is given by a degree- m power sum symmetric polynomial of infinitely many variables. This is called the gauge invariant; single trace; chiral ring; observable in the context of supersymmetric gauge theory. Then we define the t-extended partition function [11, 12]
which plays a role as the generating function: The derivative with the conjugate t- variable gives rise to the expectation value of the observable
This operator average is taken with respect to the plain partition function (2) given by Z(t = 0) = Z. Since, as mentioned above, the universal sheaf character is given by the power sum polynomial with infinite variables, we can consider the operator formalism using the free field realization. (See, for example, [13] and also [14].) Namely, identifying the derivative with the t-variable with the observable, ti,-m := ∂/∂ti,m ↔ Y [m] , we obtain the Heisenberg algebra, [ t i, −m, t j,m ′] = δ i, j δm,m ′ . In this sense, the t -variable is promoted to the operator generating the Fock space F = C[[ t i,1,t i,2, . . .]][0] with the vacuum state annihilated by any negative modes t i, –m | 0 ⟩ = 0 for m > 0. Thus, the t -extended partition function, depending on the t-variables, is also promoted to an operator. From this point of view, we define the Z-state through the operator/state correspondence,
It has been shown that the Z-state for Γ-quiver gauge theory compactified on a cir- cle R 4 × S 1 is generated by the screening charge associated with quiver W-algebra W q1,q2 (Γ): Z-state [5] Let i : X → Γ 0 , such that i(x) = i for x ∈ X i . Then the Z-state is generated by screening charges of the algebra Waygz (F).
The configuration X is defined with the empty configuration ( λ i,α) = 0,
The screening charge is defined as a discrete sum (could be formulated using Jackson integral) of the screening current
with the free field realization
and the commutation relations
The matrix ( c , ) is the mass-deformed q -Cartan matrix, which is reduced to the ordi- nary quiver Cartan matrix in the limit m → 0,
where ( μ e ) e ∈ Γ , is the multiplicative bifundamental mass parameter. The mass defor- mation plays an essential role to define the algebra, in particular, associated to the affine quiver. See Sec. 5. We remark the transposition clml = q-mcl-ml The Z-state (10) is responsible for the vector and bifundamental hypermultiplets. To obtain the (anti)fundamental hypermultiplet contribution, we insert additional ver- tex operators
where Xf = { fi,f}i€Γo,f=1,...,n{ and Xaf = { fi4,f}i€Γo,f=1,...,n$t are sets of the multiplicative fundamental and antifundamental mass parameters, obeying the OPE
The q-Pochhammer symbol is defined as ( z; q) n = Since the dual vacuum obeys ⟨ 0 t i,m = 0 for m > 0, the plain partition function given by imposing t = 0 is correspondingly given as a correlator
Such a correlator realization of the partition function (18) resembles the AGT rela- tion [3], which states that the gauge theory partition function with gauge group G is given by a conformal block of W ( G ) algebra, while quiver W-algebra is sensitive The relation between these two descriptions is to quiver structure, but not to G. understood as a base/fibre (geometry); spectral (integrable system); S-duality (string theory). We also remark that the expression (18) immediately leads to the discretized version of the Dotsenko–Fateev integral
Namely, each contribution from the fixed point configuration X is given by a correlator of the screening currents with the vertex operators. In other words, the screening current generates the contribution associated with a specific configuration
Although this correlator involves infinitely many operators, one can truncate the num- ber of screening charges by considering the codimension-2 defect.  See, for example, [15]. We define another vertex operator, called the Y-operator:
where ( ˆ ρ ) iεΓ α is the Weyl vector in the simple root basis (as long as det( c , )̸= 0), and the commutation relations are defined
while this OPE becomes trivial if i = j . It gives rise to the commutation relation
where the multiplicative δ -function is defined δ ( x ) = ∑ n ∈ z x n . The Y-operator average is computed using the OPE factor as follows:
Since we have
the Y-operator average plays a role of the generating function of the observable (8). One can construct the generators of W-algebras using this Y-operator (the q- Sugawara construction): It has been shown in [5] that the generating currents of quiver W-algebra W q1,q2 (Γ) is given by the operator-valued qq-character associated with quiver Г, which turns out to be a commutant of the screening charge. We define the iWeyl reflection incorporated by the A-operator
with the definition
where
Thus the A-operator is written in terms of the Y-operators. Let us write down the commutation relations for the free fields:
where ( c [ m ] ) is the inverse of the q -Cartan matrix (15). We remark that, in the limit q1(q2) → 1, these commutation relations become trivial due to the factor (1 −q i )(1 −q i ), which implies the quantum algebra becomes the classical commutative algebra: It still holds the Poisson structure even in this limit The Y and A operators play roles of the weight and root vectors: The Weyl reflection is generated by the root vector. Then the qq-character is given by
Monomials generated by the reflection may include the Y-operators both in numerator and denominator. We apply the iWeyl reflection as long as the Y-operator appears in the numerator, which terminates within finite processes for finite type quiver Γ = ADE, while it becomes an infinite series for affine/hyperbolic quiver. We remark that the qq-character has the integral formula from the quiver variety associated with the quiver [. See [16] for details. Although the Y-operator does not commute with the screening charge as shown in (24), the qq-character T i x commutes with the screening charge
which implies the following: The operator-valued qq-character provides the free field realization of the generating current of the algebra W q , q ( Γ ), which is a commutant of the associated screening charge. Let us demonstrate this statement with an example. Let us consider the simplest example: A 1 quiver, consisting of a single node without any edges. In this case, the fundamental qq-character is given by
which turns out to be the generating current of the q -deformed Virasoro algebra [2]. Then, in the classical limit, it is reduced to the fundamental representation character of SU(2). We can also consider higher representations of SU(2).  The spin- ξ ((2 ℓ +1)-dimensional) representation character is given by χ ℓ = γ ℓ + γ ℓ− 1 + . . . + γ− ℓ . Then the correspond- ing qq-character is generated by the product of the Y-operators with ℓ arguments w = (w f ) f =1,...,e,
where
We remark that this qq -character contains 2 c terms, so that one cannot see decompo- sition into the irreducible representations of SU(2). Nevertheless, the q-character [17] of the corresponding representation is obtained from the qq-character in the limit ( w f ) → ( q f − 1 w ), and then taking q 2 → 1, since S(q − 1 ) = 0 and S(q f ) q − 3 1 for n E Z\{-1,0}. In particular, the case with ℓ = 2 plays an important role to characterize the algebra W 91,92 ( A 1 ). Namely, one can obtain the OPE of the generating current T 1,x [2]
with the delta function δ(x) = x n , and the scalar factor arising from the OPE of
See the commutation relation of The formalism discussed in Sec. 4 is applicable to any quiver, including affine and hyperbolic quivers. Here let us consider the simplest affine quiver A 0 , consisting of a single node with a loop edge. In this case, the mass deformation plays an essential role for the q-Cartan matrix:
The parameter μ ∈ C × is called the multiplicative adjoint mass of 5d N = 1* theory. In the massless limit, μ = 1, the q-Cartan matrix becomes trivial. The qq-character is generated by the local reflection
A remarkable feature of the affine quiver is that the qq-character does not terminate within finite terms since the affine character is in general given by an infinite series. In addition, the coefficients appearing in the qq-character are given by the Nekrasov function with dual variables. See [5, 9] for details. In general, the qq-character of Î-quiver theory on the ALE space C 2 / Γ ′ is dual to that of Î ′ -quiver theory on C 2 / Γ. This duality is interpreted as a generalization of [18], which is naturally understood using the 8-dimensional setup, called the gauge origami [16]. The quiver W-algebra discussed so far arises from the 5d quiver gauge theory defined on R 4 × S 1 . Starting with the 6d gauge theory on R 4 × T 2 , one can define the elliptic deformation of W-algebras. Let p be the elliptic nome p = exp(2π√−1τ) ∈ C × with the modulus of the torus T 2 denoted by τ . In this case the partition function is given by applying the elliptic class to the Chern characters,
with θ(z;p) = (z;p)∞(pz-¹;p)∞, which is reduced to the Dolbeault index in the limit p → 0. To obtain the free field realization, we apply the Clavelli-Shapiro's doubling trick [19]. For example, the Y-operator is given by
with
See [6] for details. We define a fractional quiver ( Γ, d ), which is a quiver Γ decorated with a set of pa- rameters ( d i ) i ∈ Γ g . We assume d i ∈ Z > 0 so that it plays a role of the root length of the corresponding algebra. We define a gauge theory partition function depending on ( d i ) by replacing the equivariant parameter as (q1,q2) → (q14,q2). The universal sheaf for the node i ∈ Γ 0 is given by
where ( y i ) i ∈ r o is the fractionalization of the universal sheaf
The fictionalized sheaf plays a fundamental role to construct the fractional quiver W-algebra, which reproduces the q-deformed W-algebra of [8] for Γ̸= ADE. The symmetrization of the q-Cartan matrix (15) is then given by
where we omit the degree of the character and djj = gcd(dj, dj). See [7] for details. [1] E. Frenkel and N. Reshetikhin, "Quantum affine algebras and deformations of the virasoro and W-algebras," Commun. Math. Phys. 178 (1996) 237–264, q-alg/9505025 [math.QA]. [2] J. Shiraishi, H. Kubo, H. Awata, and S. Odake, "A Quantum deformation of the Virasoro algebra and the Macdonald symmetric functions," Lett. Math. Phys. 38 (1996) 33-51, arXiv:q-alg/9507034  [math.QA]. [3] L. F. Alday, D. Gaiotto, and Y. Tachikawa, "Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories," Lett. Math. Phys. 91 (2010) 167–197, arXiv:0906.3219 [hep-th]. [4] H. Awata and Y. Yamada, "Five-dimensional AGT Conjecture and the Deformed Virasoro Algebra," JHEP 01 (2010) 125, arXiv:0910.4431 [hep-th]. [5] T. Kimura and V. Pestun, "Quiver W-algebras," arXiv:1512.08533 [hep-th]. [6] T. Kimura and V. Pestun, "Quiver elliptic W-algebras," arXiv:1608.04651 [hep-th]. [7] T. Kimura and V. Pestun, "Fractional quiver W-algebras," arXiv:1705.04410 [hep-th]. [8] E. Frenkel and N. Reshetikhin, "Deformations of W -algebras associated to simple Lie algebras," Comm. Math. Phys. 197 (1998) 1–32, q-alg/9708006 [math.QA]. [9] T. Kimura, "Double quantization of Seiberg–Witten geometry and W-algebras," arXiv:1612.07590 [hep-th]. [10] T. Kimura, "Quantum Field Theory, Quantum Geometry, and Quantum Algebras (in Japanese)," Math. Sci. 653 (2017) 56–63, arXiv:1705.05099 [hep-th]. [11] H. Nakajima and K. Yoshioka, "Lectures on instanton counting," CRM Proc. Lec. Notes 38 (2003) 31–102, arXiv:math/0311058 [math.AG]. [12] A. Marshakov and N. A. Nekrasov, "Extended Seiberg–Witten theory and integrable hierarchy," JHEP 01 (2007) 104, arXiv:hep-th/0612019. [13] J. Shiraishi, Lectures on Quantum Integrable Systems (in Japanese) . Saiensu-Sha, 2003. [14] H. Nakajima, Lectures on Hilbert Schemes of Points on Surfaces. American Mathematical Society, 1999. [15] M. Aganagic and N. Haouzi, "ADE Little String Theory on a Riemann Surface (and Triality)," arXiv:1506.04183 [hep-th]. [16] N. Nekrasov, "BPS/CFT correspondence: non-perturbative Dyson–Schwinger equations and qq-characters," JHEP 03 (2016) 181, arXiv:1512.05388 [hep-th]. [17] E. Frenkel and N. Reshetikhin, "The q -characters of representations of quantum affine algebras and deformations of W -algebras," in Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics , vol. 248 of Contemp. Math. , pp. 163–205. Amer. Math. Soc., 1999. math/9810055 [math.QA]. [18] H. Nakajima, "Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras," Duke Math. 76 (1994) 365–416. [19] L. Clavelli and J. A. Shapiro, "Pomeron factorization in general dual models," Nucl. Phys. B57 (1973) 490–535.
茂木康平  (東京海洋大学)*最近、Korepin [1]とIzergin [2]によるドメイン壁分配関数のIzergin-Korepin解析を波動関数に拡張することにより、6頂点模型の波動関数の明示表式を系統的に導出する方法を見出した[3]。この手法は楕円多項式の概念を用いることにより、楕円量子可積分系に適用することも可能である。以下、Felderhof模型やPerk-Schultz模型の楕円類似に相当する模型[4,5]に適用して得た結果について述べる。楕円Felderhof模型[5]は補助空間W。と量子空間F，のテンソル積W。 S ,に作用するL演算子Lα j ( u, v | p, q | h )
ll [−u + v + p + q]で定義される。ここで、[u]はテータ関数[u] = H(πiu),   H(u) = 2sinhu Π n =1(1 − 2q²²cosh(2u) + q 4n)(1 − q 2n)である。 L演算子の積であるモノドロミー行列の補助空間に関する行列要素であるB演算子B(u|v1,...,vM|p|q1,...,qM|h) =   a(0|L a1 (u, v 1 |p, q 1 |h)L a2 (u, v 2 |p, q 2 |h + 2q ī ) · · · L aM (u, v M |p, q M |h + 2q M – ī )    1 |a, ( q j = ∑ j =1 q k )の積の行列要素として波動関数W M,N ( u 1 , . . , u N | v 1 , . . , v M | x 1 , . . , x N | h )と双対波動関数W M,N ( u 1 , . . . , u N | v 1 , . . , v M | v 1 , . . , x N | h )をW M,N ( U 1 , . . . , U N | V 1 , . . . , V M | X 1 , . . . , X N | h ) {x 1 . . . x N | B ( u N |v 1 , . . . ,v M |p |q 1 , . . . ,q M |h + 2( N − 1)p ) × . . . × B ( u 2 | v 1 , . . . , v M | p | q 1 , . . , q M | h + 2p ) B ( u 1 | v 1 , . . , v M | p | q 1 , . . , q M | h ) | Ω \ M , W M,N ( u 1, . . . , u N | v 1, . . . , v M | x 1, . . . , x N | h ) = M (TI|B(uN|v1,...,vM|p|q1,...,qM|h + 2(N − 1)p) × . . . × B(u2|v1, . . . , vM|p|q1, . . . , qM|h + 2p)B(u1|v1, . . . , vM|p|q1, . . . , qM|h)|p1として定義する。ここで、|Ω) M := |0)₁ ⑧ ･･･ ⑧ |0) MとM (Ω| := 1 (1) ⑧ ･･･ ⑧ M (1)はそれぞれスピンが全て上向きの状態と全て下向きの状態である。また、〈 x 1 ･･･ x N |と|¤1···κ)はそれぞれ下向きスピンの列１＜ x 1 < ··· < x N ≤ Mと上向きスピンの列1 ≤巧<元< · · <茨≤ Mをラベルする状態である。波動関数と双対波動関数に関して以下が成立する。定理１　波動関数と双対波動関数に関して以下の等式が成立する。 W M,N ( U 1 , . . . , U N | V 1 , . . . , V M | X 1 , . . . , X N | h ) =   Π 1<j<k<N[uj − uj, + 2p] S M,N (u 1 , . . . , u N | v 1 , . . . , v M | x 1 , . . , x N | h ). W M,N ( U 1 , . . . , U N | V 1 , . . . , V M | X 1 , . . . , X N | h ) =   Π 1<j<k<N [u j − u j + 2p] S M , N (u 1 , . . . , u N | v 1 , . . , v M | x 1 , . . , x n | h ). S M,N ( u 1 , . . . , u N | v 1 , . . , v M | x 1 , . . , x N | h )およびS M,N ( u 1 , . . , u N | v 1 , . . , v M | x 1 , . . , x n | h )は以下で定義される楕円Schur関数である。
定理1はBump-Brubaker-Friedberg [6], Bump-McNamara-Nakasuji [7]の結果の楕円類似に相当する。定理１の応用として、ドメイン壁分配関数からfactorial Schur関数の双対Cauchy公式を導出するBump-McNamara-Nakasuji [7]のアイデアを楕円Felderhof模型に適用することにより、以下を得た。定理２　以下の楕円Schur関数の双対Cauchy等式が成立する。
ll × Π j + π [2p] 1/2 [2q j ] 1/2 Π 1<j<k<n+m [ Vk − V j + q j + q k ] Π j = 1 Π j = 1 [ u j − w k + 2p ]. Lは、x ∪ x = {1,2 . . . ,n + m}を満たすx = {x 1, . . . ,x n}ここで和記号xLL={1,2,...,n+m} (1 ≤ x 1 < x 2 < · · < x n ≤ n+m)とx = { x 1 · · x m } (1 ≤ x 1 < x 2 < · · · < x m ≤ n+m)の組全てに関して和をとるという意味である。 [1] V.E. Korepin, Commun. Math. Phys. 86, 391 (1982). [2] A. Izergin, Sov. Phys. Dokl. 32 , 878 (1987). [3] K. Motegi, arXiv:1703.07924, arXiv:1704.03575, arXiv:1704.07035. [4] T. Deguchi, P. Martin, Int. J. Mod. Phys. A 7 , Suppl. 1A, 165 (1992). [5] D. Bump, P. McNamara, M. Nakasuji, Comm. Math. Univ. St. Pauli 63, 23 (2014). [6] O. Foda, M. Wheeler, M. Zuparic, J. Stat. Mech. PO2001 (2008). [7] B. Brubaker, D. Bump, S. Friedberg, Commun. Math. Phys. 308 , 281 (2011).宏之(Hiroyuki YAMANE)   (富山大学理工学研究部(Univ. of Toyama))*1山根Iván ANGIONO (Córdoba Univ., The Argentine Republic)*² Axiomatic treatment of the Weyl groupoids has been introduced by [5]. The Weyl groupoids have been applied to study of representation theory of generalized quantum groups [2, 3, 4, 6, 7, 8, 9]. Here we explain the main result of [1]. Let I be a non-empty finite set. Let V be a free Z-module with a Z-basis {vi|i E I}, so rank zV = |I| and V = Φ i ∈ 1Zv i . Let Φ (V) be a power set of V . Let B (V) be a set of all Z-bases of V , so B(V) ⊂ P(V). Let R ∈ P ( V ). Assume R̸= ∅. For B ∈ P ( V ), let R B ,+ := Span Z , o B and RB;- := Span z co B . We say that B is a base of R if the following (x) and (y) hold: R = R B + U R B − . (x) ∀α ∈ B, Zα ∩ R = {α, −α}. (y) Let B(R) be a set of all bases of R, so B(R) ⊂ B(V). Let R ∈ ¥(V). Assume R̸= ∅. Let B be a non-empty subset of B(R). We say that ( R, B) is a generalized root system [5] (see also [4, 8]) if AB ∈ B, ∀α ∈ B, ∃τα(B) ∈ B, R τα(B),+ ∩ R B ,− = {−α}. For R E P(V), let M(R) be the set of all maps from I to R. Theorem 1 [4, 5, 8].  Let ( R,B ) be a generalized root system.  Then there exist a non-empty subset B of M ( R ) and bijections τ i : B → B ( i ∈ I ) satisfying (a)-(c) below. (a) The map ϕ :斑→ M ( R ) defined by ϕ( π ) := π( I ) is injection. (b) φ ( B) = B. (c) ∀ π ∈ B, ∀ i ∈ I, ( τ i ( π ))( I ) = τ π ( i )( π ( I )). π( j ) + N ξπ( i ), which implies that N ξ = 2 and N ξ = 2 such that ( τι(π))( j ) = ( τ i ) 2 = id B and N i j ( τ ) = N i j . Let J be the set of all maps f : N → I. Let (R,B) be a generalized root system. For π ∈ B and i ∈ I, define the Z-module automorphism s ī : V → V by s ī (v j ) := v j + N ī j v i . For π ∈ B and f ∈ J, let π f,o := π and π f,t := τ f(t)(π f,t-1), and let 1 π s f,t := idv and 1 π s f,t = (1 π s f,t-1) o s f(t). Let
Theorem 2 [5]. We have
In particular, if 1*sf,t = 1*sg,r, then πf,t = πg,r Let ( R, B) be a generalized root system. Let B λ ( λ ∈ Λ ) be non-empty subsets of B such that (i) ∪λ∈Λ B x = B and B x ∩ B x = ∅ (λ ≠ μ). (ii) For λ ∈ Λ and π, π′ ∈ B λ , defining the Z -module automorphism p : V → V by p(π(i)) := π'(i) (i ∈ I), we have p( R π(I),+) = R π'(I),+ (iii) ∀λ ∈ Λ, ∀ i ∈ Ι, ∃ μ ∈ Λ, τ i ( ˇ β λ ) = ˙ β μ . For π, π′ ∈ B, we write π ≡ π′ if {π,π′} ⊂ B, for some λ ∈ Λ. Theorem 3 [1]. Assume that ℓ 7,k = k and 1 π s f,k = 1 π s g,k. Assume that there exists a non-empty proper subset S = { i 1 , . . , i x } { i − 1 < i t } of { 1 , . . , k } such that π f,t− 1 = π f,t (t ∈ {1, . . . , k} \ S) and ℓ 7, x = x, where f' ∈ I is such that f'(1) := i 1, . . ., f'(x) := i x. Then there exists a non-empty proper subset T = {j1, . . . jz} (jt-1 < jt) of {1, . . . , k} such that πg,t-1 ≡ πg,t (t ∈ {1,...,k} \ T) and 1 × s f,x = 1 × s f,x, where g ∈ J is such that g'(1) := j1, . . ., g'(x) := jx. (Note that | S | = x = | T | .) [1] Iván Angiono, Hiroyuki Yamane, Bruhat order and nil-Hecke algebras for Weyl groupoids, to appear in Journal of Algebra and Its Applications, arXiv:1709.08572. [2] Iván Angiono, Hiroyuki Yamane, The R-matrix of quantum doubles of Nichols algebras of diagonal type, J. Math. Phys. 56, 021702 (2015). [3] Saeid Azam, Hiroyuki Yamane, Malihe Yousofzadeh, Classification of Finite Dimensional Irreducible Representations of Generalized Quantum Groups via Weyl Groupoids, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 51 (2015), no. 1, 59-130. [4] Punita Batra, Hiroyuki Yamane, Centers of Generalized Quantum Groups, to appear in Journal of Pure and Applied Algebra, arXiv:1309.1651. [5] István Heckenberger and Hiroyuki Yamane, A generalization of Coxeter groups, root systems, and Matsumoto's theorem, Mathematishe Zeitschrift, 259 (2008), 255-276. [6] Istvan Heckenberger and Hiroyuki Yamane, Drinfel'd doubles and Shapovalov determi- nants, Revista de la Union Matematica Argentina, Volumen 51, no 2 (2010), 107-146. [7] Naihuan Jing, Kailash Misra, Hiroyuki Yamane, Kostant-Lusztig A-bases of Multiparam- eter Quantum Groups, to appear in Contemporary Math., arXiv:1709.0857. [8] Hiroyuki Yamane, Generalized root systems and the affine Lie superalgebra G(1)(3), São Paulo Journal of Mathematical Sciences, Volume 10, Issue 1, (2016), 9-19. [9] Hiroyuki Yamane, Iwahori-Hecke type algebras associated with Lie superalgebras A(m,n), B(m,n), C(n) and D(m,n). RIMS Kôkyûroku Bessatsu B11 (2009), 197-222. Screening operators and sl2 action on the lattice vertex operator algebras of type A1橋本義武  (東京都市大学)*1松本拓也  (名古屋大学)*2土屋昭博  (Kavli IPMU)*3本講演では、Belavin-Polyakov-Zamolodchikov(BPZ)によって提案された2次元共形場場理論の基本的な模型である「ミニマル模型」の１変数をによるVirasoro対称性を保ったmarginal変形を考える。特に、形式的幂級数環O = C[[c]]とその商体K = C((c))の対(K, O)の上で理論を展開する事により、BPZ理論の特徴を説明すると共に、その拡張についても議論する。 2次元共形場理論は、統計物理学や弦理論など、幅広い応用を持つ場の量子論であり、その表現論的構造を調べることは、基本的で重要な問題である。その基礎となったのは、1984年にA. A. Belavin, A. M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov(以下、BPZ)らによって提出された、いわゆる「BPZミニマル模型」である[1]。本講演の出発点もここにある。彼らは、共形不変性が２次元においては無限次元のVirasoro代数に拡大することに注目し、その表現論を巧みに場の量子論の枠組みに取り入れることによって、最も基本的な物理量である相関関数を決定する情報を、Virasoro代数の表現論から抽出することに成功した。BPZの議論でポイントとなるのは、Virasoro代数の中心(中心電荷と呼ばれる)が特別な値；
をとるとき、Virasoro加群に加算無限個の特異ベクトルが現れ、その表現が著しく退化するという点である。一方、中心電荷が一般の値の場合は、そのような特殊な現象は起こらない。我々の目的は、2次元共形不変性すなわちVirasoro対称性を保ったまま、理論全体を1変数εによって変形し（これを「marginal変形」と呼ぶことにする）、その表現論的構造を丁寧に調べることである。具体的には、このmarginal変形によって、BPZが注目した中心電荷の特殊値cp+p_と一般の値での現象を、1変数εによってinterpolateする理論を構成することが目標である。そのため方法として、ボソン(Heisenberg代数)を用いたvirasoro代数の自由場表示を用いる。その理由は、Virasoro加群のintertwiner演算子であるscreening作用茶を具体的に構成できるという点にある。screening作用素を定義するには、twisted de Rham理論の枠組みの中で積分のサイクルを具体的に作る必要があるが、これは[2]で行われた。次に、理論のmarginal変形を議論するために、変数εに関する形式的冪級数環の= C[[c]]とその商体K = C((c))を用意し、理論全体をKとOの対(K, O)上で展開する事を意識する。BPZミニマル模型は、の上の理論をＣ上へ簡約することによって、再現される[4]。 O上でのVirasoro加群を解析するためには、 O上でScreening作用素を定義する必要があるが、この「繰り込み」が可能であることは[6]によって示された。このようにり上でVirasoro代数やW代数の表現論を展開する事は、Virasoro代数のFock表現を明らかにしたB. L. Feigin, D. B. Fuchs [3]で用いられたJantzen filtrationをより自然な形で実現している。さらに、BPZミニマル模型を部分商として含んだより大きな代数として、A1型格子頂点作用素代数があるが、り上のScreening作用素を考えることにより、格子頂点作用素代数に作用するVirasoro intertwiner演算子E, Fを構成することができる[4]。これは、BPZのミニマル模型をScreening作用素の定義するcohomologyによって特徴づけたＣ上のFelder複体[5]のり上への持ち上げであり、 [6,7]の精密化でもある。 [1] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov, "Infinite conformal symmetry in two- dimensional quantum field theory," Nucl. Phys. B 241 (1984) 333-380. [2] A. Tsuchiya and Y. Kanie, "Fock space representations of the Virasoro algebra – Intertwining operators," Publ. RIMS, Kyoto Univ. 22 (1986) 259-327. [3] B. L. Feigin and D. B. Fuchs, "Representations of the Virasoro algebra," Representations of Lie Groups and Related Topics, Adv. Stud. Contemp. Math., Gordon and Breach, New York, 7 (1990) 465-554. [4] Y. Hashimoto, T. Matsumoto and A. Tsuchiya, in preparation. [5] G. Felder, "BRST approach to minimal models," Nuc. Phy. B 317 (1989) 215–236. [6] A. Tsuchiya and S. Wood, "On the Extended W-Algebra of Type sl2 at Positive Rational Level," International Mathematics Research Notices, Volume 2015, Issue 14, 1 January 2015, Pages 5357- 5435, [arXiv:1302.6435 [math.QA]]. [7] B. L. Feigin, A. M. Gainutdinov, A. M. Semikhatov, and I. Y. Tipunin, "Logarithmic extensions of minimal models: Characters and modular transformations," Nucl. Phys. B757 (2006) 303–343, [arXiv:hep-th/0606196].
佐藤僚（東大数理） N = 2超共形代数と呼ばれる無限次元Lie超代数は，M. AdemolloらによってVirasoro代数をLie部分代数に含むような超対称類似として導入された．以下では，中心電荷ｃをもつＮ＝２超共形代数に付随して定まる単純頂点作用茶超代数をL。と表記する．互いに茶な整数の組(p,p') ∈ Z ≥ 2×Z ≥ 1によって中心電荷が
と表わされるときの既約L e-加群（自動的に既約最高ウェイト加群）は, ● p' = 1の場合：有限個のユニタリ極小系列（Di Vecchiaら） ● p' > 1の場合:連続パラメータを持つ非可算無限の系列（Adamović）と分類されている．前者の場合，ユニタリ極小系列の指標は古典的なテータ関数を用いて記述することができ(Matsuo),指標のなす線形空間がモジュラー群SL 2 (Z)の作用に関して不変であることが知られていた（Ravanini- Yang）.その一方で，後者の場合にはある一部の離散的なパラメータに対応する既約L 。加群の指標（以下では非典型指標と呼ぶ）に限っては, Appell–Lerch和と呼ばれる有理型関数を用いて記述されることが知られていた（Gorelik-Kac）、しかし，Appell-Lerch和に対するモジュラー変換則は，テータ関数とMordell積分によって記述される“余剰項”をもつため，非典型指標のなす線形空間はモジュラー変換で閉じていないことが知られていた（cf. Semikhatov-Taormina-Tipunin, Kac-Wakimoto) .本講演では，ρ′ > 1の場合にすべての既約L ｡-加群の指標公式を決定し，それらのモジュラー姿換則を既約指標のみを用いて記述した[Sat17]の主結果を概説する. Theorem 2.1 ([Sat17, Theorem 3.7および4.12]).任意の入∈ S p,p,およU (μ, x) ∈ K p,p × (C \ S)に対して，指標のモジュラー S-変換則
ここで得られた展開係数を用いてVerlinde公式の類似（cf. Creutzig- Ridout）を考えることで，あるL c-加群間の絡作用茶の次元（つまり，P 1上の3点共形プロックの次元）に関する次の予想を得る. Conjeture 2.2 ([Sat17, Conjecture 5.1]).モジュラー S-行列から得られる
型の絡作用蒸（intertwining operator）の次元に一Remark 2.3.この予想はKazama-Suzukiコセット構成を介してKac- Wakimoto認容レベルにおけるVerlinde公式の類似[CR13]と関連する. [CR13] T. Creutzig and D. Ridout. Modular data and Verlinde formulae for fractional level WZW models II. Nucl. Phys. B , 875(2):423– 458, 2013. [Sat17] R. Sato. Modular invariant representations of the N = 2 super- conformal algebra. arXiv preprint arXiv:1706.04882, 2017.
成瀬　弘　(山梨大学)*筆者は、シューベルト・カルキュラスに関連して登場する対称函数やシューベルト類を代表するシューベルト多項式について、ここ数年間研究を進めてきた。その中で、コホモロジー理論について知られている種々の結果をＫ理論の場合に拡張するという事をいくつか行ってきた。(cf.  [2],[5],[7])その過程で、K理論に限らずその他の種々のコホモロジ一理論についても同様の拡張ができる可能性があると感じ、いくつかの場合について一般のコホモロジー理論への拡張の作業を行ってきた。ここでは、さらにシューベルト・カルキュラスの枠組みを含むより一般的な状況に対応するものとして、 Hall-Littlewood函数について一般コホモロジーの場合にどのようなものが考えられるかについての考察結果を報告したい。Hall-Littlewood函数は、パラメータとなる変数tを含み、このtを特殊化することでシューア函数(t = 0の場合)やシューアQ函数(t = −1の場合)を得ることができる。そこで、このHall-Littlewood函数を考えることで、種々の結果を統一的に理解できることが期待できると考えられる。実際、ここでは特にこの一般化されたHall-Littlewood函数の母函数表示を求める(cf.[13])ことで、コホモロジーの積構造の特殊な場合の計算を比較的容易に行うことができる。また、K-理論においてシューベルト類を代表する多項式が行列式表示やパッフィアン表示を持つことが文献[2]で示されたが、この事も母函数表示から自然に導びくことができる。なお、ここで報告する事柄の多くは、岡山大学の中川征樹氏との共同研究に基づくものである。(特に、文献[11],[12]など)ここでは、形式群から作られる一般コホモロジー理論について簡単に説明する。トポロジーの分野では、複素コボルディズムMUがこの一般コホモロジーを統制する。代数幾何の範疇では、代数的コボルディズムの理論が作られている。(cf.[9])これらの詳細についての説明はここではできないが、基本的な演算として形式群が重要な役割を果たしている。形式群（より正確には、 1次元の可換な形式群）とは、次の性質をみたす2変数の形式冪級数F ( x, y ) ∈ R [[ x, y ]]のことをいう。 ( Rは、可換環とする。) (1) F(x,y)は、次の形をしている。
(2)変数x, yについて可換である。
(3)結合法則をみたす。
形式群とZ上の共形場に関しては、文献[6]があり、興味深い。 2.2. log F (x)とexp F (x)形式群F(x, y) ∈ R[[x, y]]に対して、 F(x,y) = exp F (log F (x) + log F (y))をみたすlog F (x)とexp F (x)を考える。一般には、このようなものは存在するとは限らないが、Rがトーションを持たない可換環の場合は、R SQを係数にもつlog F (x), exp F (x) ∈ R & Q[[x]]が、以下のように作れる。
ここで、CP”は、複素n次元射影空間で[CP”]は、そのコホモロジ一類を表す。例えは、Fm(x,y) = x + y + βxyのとき、[CPn] = (−β)"である。 log F (x)とexp F (x)を用いて[t] F倍を次で定める。 [t] F x := exp F (t log F (x)) t = n自然数のとき、
である。[−1] Fx = xは、逆元であり、F(x, x ) = 0を満たす。例   Fm(x,y) = x + y + βxyとする。このとき、
である。一般の楕円曲線は、５個のパラメータμ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 , μ 6を用いて、 y² + μι xy + μ 3y = x³ + μ 2x² + μ 4x + μ 6と表され、これに対応する形式群は、BuchstaberとBunkovaにより文献[1]で決定されている。特に、μ 1 ,μ 2のみ残して、μ i = 0, i = 3,4,6とした場合は、
となる。 (Hyperbolic typeと呼ばれる。)また、μ 2 , μ 4のみ残して、μ i = 0, i = 1, 3, 6とした場合は、δ = μ 2 , ε = μ 2 − 4μ 4とおき、S δ,ε ( x ) := 1 − 2δx 2 + εx 4として、
となる。(このとき、exp F (x) = sn(x; δ,ε)はelliptic sineで(exp F (x)')² = S δε ((cxp F (x))。)これらの場合は、Krichever形式群となり、可積分系と関係がある。[1] 2.4. P F ( z )形式群
これは、次のようにも表される。第1変数での偏微分をF 1 ( x, y ) := ∂ x F ( x, y )と表すと
である。また、P F ( x, y ) ∈ A [[ x, y ]]を
で、定める。このときF ( x, y )が、結合法則を満たすことを用いて次が示せる。補題1 P F (x,y)は、可逆でありP F (x,x) = P F (x)となっている。例   Fm(x,y) = x + y + βxyとする。このとき、
である。 Hall-Littlewood函数(cf.  [10])には、いくつかの変種が存在する。通常は、分割入に添え字付けされているがここでは、その母函数を考えるため正整数列入= (λ 1 , . . , λ r )で添え字付けされる対称函数として以下のように定める。変数x 1 , . . . , x nに対して、r ≤ nとする。 Aを係数環とし、形式冪級数T( x, y ),形式Laurent級数H( z )を用意しておく。形式群F ( x, y )に対して、一般化されたHall-Littlewood函数を定める。定義2  F, T, Hに対する一般化されたHall-Littlewood函数Q,...,.(x1,...,xn;T, H)を、次の式で定める。
ここで、正整数よに対してx k := H ( x )T ( x, x ) x k − 1とおいた。またwは、対称群のコセットの代表を動き、変数x 1 , . . , x nの置換として作用する。このように対称群で軌道和を取る操作は、幾何学的にはpush-forwardの写像にあたる。cf.[11],[12]通常は、TとHを、次のように特殊化した場合を考える。すなわち、 T(x,y) = F(x,[t] F ğ ), H(x) = π j )のとき、x β = x kで、このときHP Fを定める。 T(x,y) = F(x,[t]Fij), H(x) = 1のとき、x|k] = F(x,[t]Fij)x k-1で、このときHQ Fを定める。定義3 tを不定元とし、HPξ ( x 1 , . . , x n ; t ), HQξ ( x 1 , . . , x n ; t )を次で定める。
簡単のため、次の定理ではH ( z )は、形式幕級数とする。
と定める。このとき、正整数の列λ 1 , . . , λ ,に対して、A ( z 1 , . . . , z , )におけるz − λ  := z ¯^¹ . . . z ¯ ^ の係数は、Q ξ ( x 1 , . . , x n ; T , H )である。すなわち、次が成立する。
ここで、[z-^]ƒ(z)は、ƒ(z)のz-^の係数を取ることを表す。注意5 H(z)が位数よの極を持つときは、λ 1 , . . , λ r > kに対して、同様のことが成立する。系6 [12]
F(x,y) = x + yの場合の通常コホモロジーのときは、HQ Fは通常のHall-Littlewood Q函数となり、上記の系はその知られた母函数表示となる。 t = 0やt = −1の場合の代数的コボルディズムでのこれらに対応する幾何学的な構成については、[3],[4]を参照の事。ここでは、connective K理論の場合に、具体形に関する結果と応用について述べる。ことでは、comfective it AmongEne、いる。系7 (Determinant-Pfaffian formula)[2] F = F m (x,y) = x + y + βxyとし、λを長さrの分割とする。 T ( x, y ) = F ( x, [ t ] j )でH ( z ) = 1ないしH ( z ) =元( x, yとおく。このとき、t = 0で、次の式を得る。
t = −1のときは、次のPfaffian公式を得る。 (rは偶数とする。)
補題 8
ここでgi,j := (-1)i,βi-j (2(j) + (jjj,o) δi,j li Kroneckerのdelta記号。母函数の式に、この補題を用いることで、K理論的なSchurQ-函数GQ x = GQ x ( x 1 , . . . , x n ) (GQ,GPについては[5]を参照)について、2行の分割し対応するものを1行の積の和で表す式や、 1行のGQ, GPの積の分解にあたるPieri公式の特別の場合が得られる。命題9 k > ℓ > 0に対し、次が成立する。
ここで、
命題10 k ≥ l > 0に対して、
今後の課題として以下が考えられる。 1.  BCD型のHall-Littlewood函数の一般化2.Hyperbolic typeなどの楕円コホモロジーの場合の具体形を記述する。 3. tを1のべき根に特殊化した場合の多項式の意味について（p-compact群と関係している。) 4.Hall-Littlweood函数をSchur函数で展開したときの係数の具体形を求める。 (Kostka係数の一般化となる。) 5.ホモロジーのSchubert基底に対応する多項式についても、母函数表示を求める問題がある。例えば、次の例がある。 Dual stable Grothendieck polynomial gx(y1,y2, . . .) ∈ Z[β][[y1,y2, . . .]]は、次で定義される。
c.f.[8] [1] V. M. Buchstaber and E. Yu. Bunkova, Krichever formal groups Functional Analysis and Its Applications, Volume 45,99-116 (2011). [2] T.Hudson,T.Ikeda,T.Matsumura and H.Naruse, Degeneracy Loci Classes in K -theory - Determinantal and Pfaffian Formula, Advances in Mathematics Volume 320,115–156, 2017. [3] T.Hudson and T.Matsumura, Segre classes and Kempf-Laksov formula in algebraic cobor- dism, arXiv:1602.05704 [4] T.Hudson and T.Matsumura, Symplectic and odd orthogonal Pfaffian formulas for alge- braic cobordism, ,arXiv:1710.07093. [5] T.Ikeda and H.Naruse, K-theoretic analogues of factorialSchur P- and Q- functions , Adv. Math. 243 (2013), no. 1, 22–66. [6] T.Katsura, Y.Shimizu and K.Ueno, Formal groups and conformal field theory over Z, Adv. Stud. Pure Math. 19, 347–366 (1989). [7] A.N.Kirillov and H.Naruse, Construction of double Grothendieck polynomials of classical types using Id-Coxeter algebras , Tokyo Journal of Mathematics, Vol.39 no.3,(2017), 695–728. [8] A. Lascoux and H.Naruse, Finite sum Cauchy identity for dual Grothendieck polynomials, Proc. Japan Acad. Ser. A. Math. Sci. Volume 90, No.7(2014), 87 - 91. [9] M.Levine and Morel, Alegbraic Cobordism, Springer 2007. [10] I.G.Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, 2nd edition, Oxford Univ. Press, Oxford, 1995. [11] M.Nakagawa for and H.Naruse, Gysin formulas the The universal univer- sal   Hall-Littlewood functions, Contemporary Mathematics AMS, to appear in arXiv:1604.00451v2. [12] M.Nakagawa and H.Naruse, Generating functions for the universal Hall-Littlewood P- and Q-functions ,arXiv:1705.04791. [13] H. Naruse, Elementary proof and application of the generating function for generalized Hall-Littlewood functions , arXiv:1705.02856.