1. Introduction
B提案手法(MPEC)を用いた推定法を説明(2章)観測可能な状態x選択結果d意思決定者i (1 ≤ i ≤ M)構造パラメ一タθ :コスト,利益などを示す内生変数σ:意思決定者の政策関数.構造パラメ一タθの関数となる. σは均衡条件を通じて，θに拠る. h(θ,σ) = 0     (1) θを所与としたときの, ∑(θ)を(1)式を満たすσの集合と定義する》 (θ) := {σ: h(θ,σ) = 0} δ (θ)は∑(θ)の要素であり,期待価値関数とし,一意に定まる.また, ∑(θ)はθと1対1対応する. L(θ, ô (θ); X)を観測データXの対数尤度とし,尤度最大化パラメータは次と定義max L(θ,σ(θ); X ) } (3) θ = argmax − M l &(0)€Σ(0) 4
NFXPアルゴリズムでは,次を繰り返す. outer loop:尤度関数を最大化する構造パラメ一タθを求めるinner loop:パラメータθを所与とし,すべてのδ (θ) ∈ ∑(θ)の中から不動点解δ (θ)を求めるやりたいことは,構造パラメータθを推定する際に,内生変数σがθから算出されたものであればよい⇒均衡制約条件(1)を用いた制約付き最適化問題として定義するmax — L(θ,σ;X)  subject to h(θ,σ)=0 (4) (θ,σ) M定理1 : (3)式と(4)式の等価性を示すôは尤度最大化の(3)式で定義され, (4)式の解は(ō,ō)とする. ô*(θ) = arg max L(θ, ô (θ))と定義する. σ ( H )また,  L(θ,θ*(θ))= L(θ,σ)となる.このとき,  θ = θとなる.証明: (θ,σ)は(1)式を満足し，σ ∈ ∑ θであるため, (3)式より, L(θ,θ*(θ)) ≥ L(θ,σ). ô*(ô) ∈ ∑(ô)であるため,制約条件(1)を満たし, (4)式より,  L(ô,ô*(ô)) ≤ L(ô,ô).モデルが特定され,解が1つであるため,  ô =罰となる. 5
Rust, J.(1987)のバスエンジン補修/交換の問題を例にして, NFXP法を説明(3章) T期バスの状態observed state x , unobserved state ε ,意思決定d」 [1 (エンジンの交換) |0 (エンジン補修により運行)ある期の効用関数u u(x, d, ε; θ₁, RC) = ν(x, d; θ₁, RC) + ε(d) if d = 0 −c(x; θ 1 ), v(x, d; θ₁, RC) = < −RC − c(0; θ₁),    if d = 1状態xの推移確率(一次マルコフ性を仮定) c:補修コストθ₁:補修パラメータRC:交換コストθ₂, θ₃:状態推移パラメータp(x t+1, Et+1 | X t, Et, d t; θε, θε) 6
↑今期と次期の状態により,価値関数を定義7
仮定:推移確率の条件つき独立性(CI) p(x',ε'| x,ε,d;θ₂,θ₃) = ρ₂(ε'| x';θ₂)ρ₃(x'| x,d;θ₃) CIの仮定を用いて,期待価値関数を次で定義する. EV(x) =   / V(x, ε) p2(ε|x; θ2) dε選択肢の期待価値関数((7)式からεを除いて）
これを期待価値関数の定義式に戻すEV(x) =     max{EV(x, d)} p2(e'|x; θ2) de' (8) εを極値分布とし、ロジット型の条件付き選択確率を導出(θ = (RC,θ 1 ,θ 3 )がパラメータ) exp[v(x, d; θ₁, RC) + βEV(x, d)] P(dlx; θ) = (9) exp[v(x, d'; θ₁, RC) + β EV(x, d')] 8
で,結局この式に落ち着く.不動点の求解.
a
T
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(13)式,  (16)式を等価な均衡制約条件付き最適化問題と定式化. (等価であることの証明は定理1より) max — L(0, EV) (θ,EV) M (18) subject to   EV = T (EV, θ) NFXPが不動点の算出プロセスを毎回解いているのに比べて, Bellmanの等式を一度評価すればよいので,計算負荷は小さい.
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•250回計算の平均をとり,パラメータの平均，分散を比較•βが大きい場合は, NFXPと同じ結果であるなど,両者の精度の差はほぼないaFor each β, there are 250 replications. Standard deviations are reported in parentheses. MSE is calculated by summing over all structural parameters. 4. Monte Carlo Experiments 13 •MPECのほうがNFXPよりも計算時間は短い(AMPLで180倍以上, MATLABで3倍以上)
aFor each β , we use five starting points for each of the 250 replications. CPU time, number of major iterations, number of function evaluations and number of contraction mapping iterations are the averages for each run. 14
Aguirregabiria and Mira(2002) TABLE I Monte Carlo Experiment
Monte Carlo distribution of MLE (In parenthesis, percentages over the true value of the parameter)
Monte Carlo distribution of PI estimators (relative to MLE) (All entries are 100* (K-PI statistic-MLE statistic)/MLE statistic)
･計算速度はパラメータが4つの場合は，NPLは9倍速い・MPEC型はNFPXと等価であるが, NPLは漸近等価Nested Pseudo Likelihood Algorithm (NPL): Let fi, be an estimate of fi,. Start with an initial guess for the conditional choice probabilities, Po E [0, 1]M]. At iteration K > 1, apply the following steps: Step 1: Obtain a new pseudo-likelihood estimate of α, α κ , as (11) * = arg max ¯ ln ¥(q,)(Pk-l)(q,)( where Yo(P)(alx) is the element (a, x) of Yo(P). Step 2: Update P using the 'arg max' from step 2, i.e. (12) PK = ¥(ακ,∂ι)(PK-1). Iterate in K until convergence in P (and α) is reached. 15まとめ•構造モデルの推定にMPECを用いる手法を提案･シングルエージェントの動的離散選択モデルで実証•標準的なソフトウェアで計算可能であり, NFXPよりも早い今後の課題•動的離散選択ゲームにも適用可能かを検証する所感･コロンブスの卵的？ ･等価性と計算性の両方を力バーつづく?
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選択確率(時刻t, Pair Set g) P(d, | S g,,;θ) = P(d, | L, S g,,;θ)P(L, S g,,;θ) = exp({u(S g,,)+ βυ(S g,,))/σ) , exp(σ ln R , , R選択結果上位ネストパラメー (1)ログサレt)+ βυ( S 。t ) | σ | ıgeL exp(lu(S 。将来価値. V(S'g.t+1)P(S'g.t+1) (2) (3)価値関数v(d,,Sg,t)=u(d,,Sg,t)+σε,(d,)+ε,(L)+βv(d,,Sg,t)利他差→ θ S' , , (d.) = m' 8 , X dam
X i t + S g n θ 3 ln k intra Network Utility (5) t期でintra g内S g ,t (d t ) = S g ,t (のリンクが形成u(d , S , t ) = S ,形成あり効用(6)形成なし効用u(d,, dよる利他等の縮iのタタメ
++. Omake 18
選択確率(時刻t, Pair Set g) P(d, | S ε,,;θ) = P(d, | L, S ε,,;θ) P(L, S ε,,;θ) = exp((u(S ε,,)+ βυ(S ε,,))/σ) _ exp(σ ln R ω,,) LL, exp(σ ln R L ',t ) R L t Network Utility    S g , (d,) = m ′ s ′ = 0 1 + θ'ln k g ,t exp({u(S g,,)+ βυ(S g,,))/σ)= exp(u(S g,,)/σ)= exp(βυ(S g,,)/σ)= R L t R L t = [exp(θ'ln k g,t + 0 1 )] / σ 0 2 = [exp(θ'ln k g,t )exp(θ i )] /° 0 2 = [exp(ln(k g,t ' ))]/° 0 30 2 = (k g,t ′ ) ′′ o 0 3 0 2 = (k g,t ) ′′ o 0 3 0 2 niki適応度モデル適応度モデル19ご清聴ありがとうございました.