ISSN 1881–6134 Tottori Journal for Research in Mathematics Education http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu算数教育における割合の指導に関する研究白枝果歩Kaho Shiroeda vol.17, no.8 Mar. 2015 3 44 4 55 7 88 88 14 19 28 29 37 43 44 45 47 49 50 51 54 555 56引用・参考文献参考資料

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第１１章研究の目的と方法1.1 本研究の動機1.2 本研究の目的1.3 本研究の方法本章では、研究の目的・方法について述べる。 1.1では、研究のテーマ設定に至った背景を述べる。 1.2では、研究の目的を述べる。 1.3では、研究の方法を述べる。

1.1 研究の動機
筆者は3年前期に受けた溝口先生の講義で、小学5年生の算数の単元である「割合」の部分の教科書作りを行った。「割合」を選んだ理由としては、自身が小学生のときに学習した際少し難しいと感じたということが一番に挙げられる。小学生のときはもちろん、その難しい原因を考えたことはなかったが、今でもなぜ割合が難しいのかはっきりしていない。教科書作りをしていく中で6社の教科書を比較し、それぞれの教科書には数々の違いがあり、割合の扱われ方には大きな違いがあることもわかった。また、子どもにとってだけでなく教師にとっても授業で割合を扱うことが難しいと感じる単元なのではないかと考えるようになった。現在、割合が難しいとされている原因については先行研究の中でいくつか挙げられているが、事実があいまいで明確でない部分も多い。そこで割合を指導することにおいてどういった指導をすればよいのか考えていきたいと思い、研究テーマにしようと考えた。
1.2 研究の目的
以前から割合は児童にとって理解することが難しく、教師にとっても教えることが困難だと感じる単元だとされてきた。実際、学力調査での結果は決してよくはないが、本当に割合という単元自体が難しいのか、指導が良くないのかはっきりとしていいない。割合の考え方は5年生で初めて導入されるのではなく、素地的内容や意味は１年生から積み上げられている。しかし、その方法が単元ごとで活用され、同じ考え方であると意識されないまま学習が進められてきている。本研究の目的は、割合が難しいとされている原因について先行研究によって把握し、そこから考えられる指導法を提案することである。また、「割合の見方」に焦点を当てて先行研究を見ていった後、筆者の考える割合の見方の枠組みを提案する。そして、実際に教育の場で活かせる指導法を考えていくことを目的としている。
1.3研究の方法
上記の目的を達成する方法として、まず学習指導要領の変遷を見ていくことでこれまでに割合がとのように扱われてきたのかを検討する。またその中で最新の学習指導要領（平成20年告示　小学校学習指導要領　算数編）の4領域のうち、割合に関係する「A　数と計算」と「D　数量関係」に着目し、現在の割合という単元の位置づけ、指導について考察する。そして現行の6社の教科書を8項目に分けて比較することにより、教科書間の違いを明らかにする。また、割合指導の実態を把握するために先行研究を読み、割合指導が難しいとされている原因を探る。その中で「割合の見方」に焦点を絞り、先行研究を参考に筆者の考える「割合の見方」の枠組みを提案する。
〈本論文の章構成〉
第１章　研究の目的、方法本研究の目的と方法を述べる。
第２章　割合とは
割合ではどういった学習がされているのか、過去の学習指導要領において指導順序、扱い方はどうなっていたのかを検討する。第３章　先行研究の分析割合が難しいとされている原因について書かれている先行研究を挙げ、その中で着目した「割合の見方」についていくつかの先行研究を取り上げる。第４４章「割合の見方」の枠組みの検討第3章で着目した「割合の見方」についての先行研究を参考にし、筆者の考える割合の見方の枠組みを検討する。第5章「割合の見方」の枠組みの活用第4章で提案した「割合の見方」の枠組みに教科書の問題を当てはめ、その結果について考察する。第6章　本研究の結論と残された課題本研究の結論と残された課題を述べる。
2.1 学習指導要領の分析2.1.1 学習指導要領の変遷2.1.2　最新（平成20年告示）の学習指導要領2.2 教科書比較本章では、3年生のときの講義で調べたことをもとに、学習指導要領と教科書の分析を行う。 2.1では学習指導要領の変遷を見ていくとともに、最新の学習指導要領（平成20年告示）について考察する。 2.2では６社の教科書それぞれの指導順序や割合部分の構成などについて比較する。
2.1 学習指導要領の分析
2.1.1 学習指導要領の変遷
この研究を始めるにあたって、過去に割合がどのように指導されていたのかを学習指導要領の変遷を見ることで検討していく。以下の表は割合の指導に関する部分だけをまとめたものである。

【考察】
学習指導要領の変遷を見ていく中で、昭和22年度、26年度は、波線部で表したように「日常生活」や「実際の場」などという言葉が見られた。しかしこれらの言葉は昭和33年度以降の学習指導要領では出てこなかった。また、昭和33年度では、それまで文章中にしか出てこなかった割合が、一つの項目として取り上げられるようになった。割合は記号であらわされている。次に割合という言葉については、昭和22年度、26年度、33年度は低学年の目標に割合という言葉があった。しかし、昭和43年度以降では第５学年、第６学年から量と測定の領域で現れる。昭和22年度と昭和33年度では日常生活と関連付けるように書いてあったが、それ以降では消えていたこと、割合が記号で表されていること、低学年から割合という言葉が出てくることが分かった。これらのことより、教科書作りは日常生活と関連付けながらも、割合をイメージしやすいようなツールを作成すること、他学年との関連付けをしながら、低学年から学習してきた乗法・除法も割合の基礎であることを理解させることを目的とした。
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2.1.2   最新（平成20年告示）の学習指導要領
割合には小数の計算と百分率が関係する。そこで、最新の学習指導要領（平成20年告示）にある4領域のうち「A　数と計算」と「D　数量関係」の2つから、割合に関係するものを調べた。 （1）整数の性質についての理解を深める。また、少数の乗法及び除法や分数の加法及び減法の意味についての理解を深用いて資料の特徴を調べることができるようにする。 「A 数と計算」の内容の概観(学習指導要領第2章第2節算数科の内容より)第５学年では、整数の性質としては偶数、奇数、約数、倍数について指導し、また整数および少数の記数法について指導する。小数では、乗法及び除法などについて指導する。主な内容の解説【少数の乗法と除法】第5学年では、乗数や除数が少数である場合の乗法及び除法を用いることができるようにする。乗数が少数である計算になると、加法の繰り返しという累加の意味ではとらえられなくなるので、計算の意味を広げる必要がある。除数が少数である計算についても、計算の意味を広げる必要がある。
「D　数量関係」の内容の概観
百分率についての理解、目的の応じた資料の収集と分類整理、円グラフや帯グラフを用いた表現と特徴を調べることについて指導する。
主な内容の解説
③資料の整理と読み第５学年では、百分率をもとに全体の中での割合に注目して、円グラフや帯グラフを用いて表したり、特徴を調べたりすることを指導する。また、目的に応じて表、棒グラフ、折れ線グラフ、円グラフ、帯グラフを選んだり、関連付けて表したり、読み取ったり、判断したりするなど、活用することに取り組むことが大切である。
A（3）  小数の乗法、除法（学習指導要領 第3章 第5学年
の内容より)アウ小数の乗法及び除法についても、整数の場合と同じ関係や法則が成り立つことを理解すること。
ア　小数の乗法、除法の意味
小数の乗法の意味
・第5学年では、乗法を乗数が小数の場合にも用いることができるようにしたり、除法との関係も考えて、より広い場面や意味に用いることができるようにしたりして一般化していく。 ・教量関係を表している文脈が同じときには、整数の場合に成り立つ式の形は、小数の場合にもそのまま使えるようにする。 ・整数や小数の乗法の意味は、Bを「基準にする大きさ」、Pを「割合」、Aを「割合に当たる大きさ」とすると、B×P=Aと表せる。 ・教直線を用いることによって、乗数Pが1より小さい場合、積は被乗数Bより小さくなることも説明できる。
小数の除法の意味
① P=A÷B ・AはBの何倍であるかを求める考えである。 ・除法の意味としては、Pが整数の場合には、包含除の考えに当たる。 ② B=A÷P ・基準にする大きさを求める考えである。 •除法の意味としては、Pが整数の場合には、等分除の考えに当たる。 • ①②の式は、ＢやＰが整数の場合だけでなく、小数の場合にもそのまま当てはまると考えていくことが大切である。 ・公式や言葉の式だけでなく、数直線や図などを用いたり具体的な場面に当てはめたりして分かりやすくすることが大切である。 •はじめに乗法の式に表してから、除法で求めるという考えを用いることも大切である。 •除数と商の大きさの関係については、除数が１より小さいとき、数直線を用いるなどして、商が被除数より大きくなる理由について説明できるようにする。
ウ　小数の乗法、除法に関して成り立つ性質
・整数の乗法及び除法に関して成り立つ関係や法則が、小数の場合でも成り立つことを確かめるようにする。
〔算数的活動〕
小数についての計算の意味や計算の仕方を、言葉、数、式、図、数直線を用いて考え、説明する活動・小数についての乗法や除法の意味と計算の仕方を既習の乗法や除法の考え方を根拠に言葉や数直線などで説明する。
D（3）百分率（学習指導要領解説P.162より）
(3)百分率について理解できるようにする•割合を整数で表すとわかりやすいという良さに気付くようにする。 •日常の生活の中から百分率が用いられる事象を探すなどの活動を通して、算数が生活の様々な場で用いられていることに気付くことができるよう配慮する必要がある。 •歩合の表し方について触れる。
D（4）円グラフや帯グラフ
(4)目的に応じて資料を集めて分類整理し、円グラフや帯グラフを用いて表したり、特徴を調べたりすることができるようにする。 •資料について、全体と部分、部分と部分の間の関係を調べると特徴をとらえやすい事象があることに気付かせ、資料を、割合を示す円グラフや帯グラフに表したり、それを読み取ったりすることを主なねらいとしている。 •百分率と関連させて、かき方とともに、読み取ることも取り扱う。その際、グラフという表現の特徴を生かして、統計的な見方を育成していくようにする。 ・グラフは目盛りの入った用紙を用いる。 〔算数的活動〕目的に応じて表やグラフを選び、活用する活動・より適切な表やグラフを選択し、表やグラフを活用できるようにする。 ・複数のグラフを組み合わせたりするなど、表やグラフの表し方について工夫する。
【考察】
最新の学習指導要領を見ていくと、やはり割合の素地的な考え方は第2学年の九九の学習や“倍、半分”などを捉える学習から始まっていると考えられる。また、第5学年の割合の学習をする前から小数の学習をしており、今まで習ってきたことを統合させる授業が行われると考えた。小数は割合を学習するときに大きく関わってくる単元であり、そこから割合への繋がりも大切にしていかなければならない。小数の除法の際に出てくる包含除、等分除の解釈については第3学年にも出てくるが、難しいと考える児童も多いことが教育実習でも窺えた。
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2.2 教科書比較
以下の表は現行の6社の教科書の割合の部分の構成について比較したものである。今回は次の8つの項目についてそれぞれ書き並べ、その違いについて考察した。

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【考察】
●単元
指導順序として割合が扱われている単元の前後に着目すると、順序に違いがあることがわかった。割合の問題を解く際には分数や小数のかけ算、わり算を用いるが、その学習が割合の直前ではないことが多いため、割合を学習する前に小数や分数の計算について学習する方がいいと考える。
●導入問題の数値設定
6社を比較すると、2量の片方の数値が同じ数を比べた後に両方の数が違うものを比べるというように段階を踏んでいる出版社、初めからシュート数も入った数も違うものを比較している出版社、初めにそれぞれの割合を求めている出版社がそれぞれ2社ずつであった。児童に比べることへの関心を持たせるためには、比べることができるものから順番に、段階を踏んでいくことも必要であると考える。また、割合の教値設定についても、1のちょうど半分となる0.5、または⇒という教があった方が児童の考えを助ける手がかりになるのではないかと考えた。
●言葉の式
6社を比較すると、“比べる量”という言葉が見られた。しかし本来は“もとにする量”であると考えた。
�区
6社すべてが求める数の所を白抜きにしている。テープ図と併用している図もあるが、途中から線分図のみの図になる出版社が多い。また、白抜きにするだけでなく、比べられる量と、もとにする量がどのような関係にあるのかを図に書き込めることも大切であると考える。また東京書籍の2本の教直線については割合を学習する以前にすでに知っており、割合に入ったときに新たに理解する必要がないというところがいいと考える。
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●言葉で説明させる問題
言葉で説明させる欄については、設けている出版社と設けていない出版社があった。この欄については、筆者は言語活動の一環として設けられていると考えたが、とくに無くてもいいと考える。
本章では、学習指導要領の検討と教科書比較を行った。学習指導要領の検討の材料としては教科書作りを行った講義でまとめたものを用い、過去の学習指導要領の変遷、最新の学習指導要領と分けて見ていく。また教科書比較については、8つの項目に分けて比較した。
〇学習指導要領について
学習指導要領の変遷を見ていくと、昭和33年度では、それまで文章中にしか出てこなかった割合が、1つの項目として取り上げられるようになった。次に割合という言葉については、昭和22年度、26年度、33年度は低学年の目標に割合という言葉があった。しかし、昭和43年度以降では第5学年、第6学年から量と測定の領域で現れる。最新の学習指導要領を見ていくと、やはり割合の素地的な考え方は第2学年の九九の学習や“倍、半分”などを捉える学習から始まっていると考えられる。また、第5学年の割合の学習をする前から小数の学習をしており、今まで習ってきたことを統合させる授業が行われると考えた。
○教科書比較について
6社の教科書を比較して8項目のうち5つの項目についての考察を行い、単元については小数の学習と関連できるような指導順序にすること、導入問題の数値設定は半分としてとらえられる数値を入れること、言葉の式については“比べる量”ではなく“くらべられる量”を採用すること、図については東京書籍で使われているような2本の教直線にすることが望ましいと考えた。また言葉で説明させる問題についてはなくてもよいと考える。
3.1割合が難しいとされる原因について3.2  「割合の見方」について本章では、先行研究を読み、割合指導について検討していく。 3.1では割合が難しいとされる原因を挙げ、それに対してのクリティークを行う。 3.2では3.1を調べる過程で着目した「割合の見方」について再度調べたものを挙げる。

3.1割合が難しいとされる原因について
本研究の目的として、筆者はなぜ割合という単元は難しいのか、教師にとっても教えることが難しいとされているのかを究明していくということを挙げた。そこで、考えるもとになる先行研究を読み進めていくことにした。ここでは先行研究の中で言われている“割合が難しいとされている原因”についていくつか挙げ、それに対してのクリティークを行う。
●中村氏の考える原因
中村（1996）は、研究の結果、以下のような知見を得たと言っている。割合による意味づけは、「拡張の考え」を指導する場となることや整数・小数・分数を統一的にみられるという価値がある。一方、割合で意味づける問題点として、子どもに意味の拡張を意識させることや「1とみる見方」の具体的な方策が明確でないことが挙げられる。この問題点に対して次のような改善が考えられる。①割合を数直線に明示することで、乗法の意味づけを同教累加から割合へと拡げる。②扱う教材の要件は、「比例関係をとらえやすい素材にする」「問題文に1あたりの大きさを示さない」である。また、先行研究から割合の意味づけの問題点として、小数の乗法で意味の拡張を子どもが意識していない、割合の見方そのものが子どもにとって難しい、ということが指摘されている。実態調査の結果からは、割合で意味づけることの問題点として、小数をかける場合も累加の意味で不都合を感じていない子どもが約半数いるということがあげられている。つまり、7×2.4を「2.4個たす」という意味で考えている子どもが約半数いるということである。
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中村（2008）は、二量の関係について言及している。二量の関係をとらえるとき、差でくらべる方法と倍でくらべる方法がある。児童の多くが、差でくらべる方法ができるが、倍でくらべる方法（割合）はなかなかできない。それは、二量のうち一方を基準量にするということに困難性が潜んでいるからである。この困難性を解消するためには、差でくらべる方法から倍でくらべる方法へと移行させ、倍でくらべることのよさを児童に感得させることを割合の導入指導で行う必要がある。また、割合は児童が理解しにくい教材の一つであるとし、その原因として以下の3点を挙げている。 ①割合は二量の関係を表すため、基準量によってその表し方が異なる点。例えば、2と5の関係をみるとき、2を基準量とすると、 5は2.5となり、5を基準量とすると、2は0.4となる。 ②割合が二量の関係の結果を表すとき、様々な表し方がある点。割合の表現には、小数、分数、百分率、歩合などがある。 0.2、≒、20％、2割は同じ数量関係の結果を示しているが、表現が違うため、表している結果も違うと考えてしまう。 ③割合が百分率だけでなく、乗除の意味づけや、速さなどの異種の量を数値化する際にも用いられている点。乗除法の意味づけは「倍概念」であり、2×3は「2の3倍」と意味づけられ、３倍とは「２を１とみたときに３にあたる大きさ」である。この見方は、乗法を（基準量）×（割合）＝（比較量）と意味づけている。整数倍では比較的分かりやすいが、小教倍や分教倍になると理解が難しくなってくる。0.8倍が、0より小さい値になると考えている児童もいる。
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【クリティーク】
中村（1996）の研究について、割合で意味づけるとあるが、割合の見方にはどのようなものがあるのか。また、論理立てられていない部分もあるので、なぜいいのか悪いのかはっきりとしていないと感じた。しかし、”小数をかける場合も累加の意味で不都合を感じていない子どもが約半数いる”という実態調査に関しては実際に現在言われている問題であるため、考えていくべきことである。中村（2008）の研究で、二量の関係のうち倍でくらべる方法で二量のうち一方を基準量にすることに困難性が潜んでいるとされているが、これについてもなぜ倍でくらべる方法が難しいのかがはっきりしていない。差でくらべる方法に関しても考えるときは一方を基準量にするため、倍でくらべる方法だから難しいという理由にはならないと考えた。また、原因として挙げられている3点は、どれも現象をつまびらかにしているにすぎず、原因の理由としては不十分であると言える。
●田端氏の考える原因
田端（2003）は、同種の量と異種の量の指導順序や導入場面の違いについて言及している。平成元年の学習指導要領では、同種の量の割合（歩合・百分率）と異種の量の割合（単位量あたり等）を5学年に配置していた。ところが学年配当が大幅に変更となった平成10年の学習指導要領では、同種の量の割合（歩合・百分率）を5学年、異種の量の割合（単位量あたり等）を6学年とした。ところが、同種の量の割合と異種の量の割合を同じ5学年で指導することとなっていた平成12年の検定教科書の６社すべてが、異種の量の割合の後に同種の量の割合を指導していたのである。
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○導入場面による比較
以下の表は筆者がまとめたものである。

○割合の学習指導段階の整理と問題の所在
これより、①、②の学習指導段階ならびに数学的アイデアは同じである。しかし、同種の量の割合だけが、③の学習指導段階が必要となる。これをもって田端（2002）は、「学んだことをもとに発展的に考える授業をしようとした場合、異種の量の割合の後に同種の量の割合を指導すべきと考える」と主張していな。
【クリティーク】
田端（2003）の研究について、導入場面による比較の表を見てみると、”公倍数の考え”、”平均の考え”とあるが、この論文の中では無定義であり、どういう意味で言っているのかがわからない。また、異種の量の割合と同種の量の割合の学習指導段階において、同種の量の割合の方が難しいとしている理由は、数の上で言っているのか、他の理由があるのかが明確でないと考える。
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●渡辺氏の考える原因
渡辺（2011）は、割合の導入問題での児童の思考の様相と先行研究から、以下の2点の問題点を挙げている。 ①与えられた数値から比べようとしたときに、およその割合をとらえにくい。
例）バスケットの投げた数と入った数についての図この図は入った数が投げた数の中で散らばっているため、投げた数全体の中で入った数がどれくらいの割合になるのか視覚から見当をつけることが難しい。
大小関係はわかるが全体の中の部分の数と見ることは難しい。また、混み具合を考える導入問題では、絵で表すことが多い。児童は目で見て、広さとそこにいる人数の量の関係を感覚的に捉え、どちらが混んでいるのかを考える。その感覚的に捉えた、混んでいる状態を具体的な操作や既習を使って説明するという流れになっている。
②「同じ上手さ」が比例関係の上になりたつという新たな認識
を持たなくてはいけない。
10回投げて7回入ったと、40回投げて28回入ったのは「同じ上手さ」であると児童は容易に認識できるものではない。比例関係のない場合に、比例関係を取り入れることは児童にとって問題を難しくする面もある。このように考えると、割合の導入問題の素材には以下の点を取り入れる必要があるのではないかと考えられる。 ・児童が2量を見たときに、見た目でおよその割合が判断できる素材。 ・児童が2量を見たときに、ともなってかわる2量という意識が働く素材。
【クリティーク】
渡辺（2011）の研究について、子どもにとって比例関係を認めることが難しいとある。今回のフリーシュートの事例を考えた場合、そもそも比例関係で捉えるのは危ないかもしれない。また、以下のようにシュートした数をそろえた表で考えた場合、数値的には同じだが、使い方には違いがあるため、本当に比例としてとらえて良いのかが疑問である。

●坂井氏の考える原因
坂井（2008）は、割合が小学校5年生の子供にとって理解しにくい単元であるとし、その理由として以下の3点を挙げている。 ①割合の単元では、割合・比較量・基準量の3つの求め方を学習するが、それぞれが独立した学習内容となっており、子供が、これら３つの関係を相互に関連づけて理解していない。 ②問題場面の把握のための線分図や立式のための関係図の意味を理解して立式していない。 ③子供にとって、「もとにする量」「くらべる量」という割合に関する用語は馴染みがなく、意味が分かりにくいために、子供がこの２つの量を正しく判断できない。
【クリティーク】
坂井（2008）の研究について、挙げられている原因は子どもの問題ではなく教師側の問題であると言える。1つ目に挙げられている原因を見ると、子どもが割合・比較量・基準量の3つの関係を相互に関連づけて理解できていないとあるが、その原因は理解できるような指導ができていない教師の問題であると考えられる。また、関係図は立式の手だてになるとは言えないだろう。
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3.2  「割合の見方」について
調べた先行研究の中から、筆者は「割合の見方」という言葉に着目し、更に先行研究を調べることにした。
●青山氏（2013）の研究
前田隆一（1960）は「割合という用語は、元来日常語から来ており、その使い方が明確でない」と述べ、使い方を次の3つに大別している。 ①Aが同種の量Bのp倍であるとき、AのBに対する割合はpであるという使い方例）出席率、利益率など②割合という用語を、同種の二量の比の意味に使う場合例）米と麦とを3対2の割合で混ぜる③異種の二量について割合という用語を使う場合例）物理学でよく使われる「速さは長さの時間に対する割合である。」 「密度は質量の体積に対する割合である。」一方の量の単位当たりの他方の量の大きさであって、1ha当たりの米の収穫高とか、1km²当たりの人口などという[単位量当たりの大きさ]の言い方も、③とみなしてよい。青山（2013）も割合と倍とは同義ではなく、二量の関係を比較する際に用いられている場合を意味するものが割合であるとしている。そして、児童が比較を要する割合の問題場面に出会う前に育てておきたい「割合の見方・考え方」を前田の説①～ ③に対応させて、 ①二量の直接の倍関係でとらえる見方・考え方②二量の整数の比でとらえる見方・考え方③二量のうち一方を１とみて単位量あたりの大きさでとらえる見方・考え方としている。
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●田端氏（2002）の研究
(1)倍と同種の量の割合①二重対比兄は800円、弟は200円もっています。弟をもとにすると兄は何倍のお金をもっていますか。この場合は、二人の所持金を倍の見方で把握している。
②全体と部分
50m²の花壇のうち、20m²にチューリップが植えてあります。チューリップの植えた面積は、花壇全体のどれだけにあたるでしようか。全体の部分に占める割合を求めて表現しているのだから、この数量関係の把握の仕方は割合であると考えられるが、倍の見方で把握しているともいえる。兄と弟の例にしても花壇の例にしても二つの数量の関係を把握している段階では、一方を１と見て他方がそのどれだけにあたるかを測定しているだけである。ここに次の文章が付け加わった場合。もう一つ60m²の別の花壇があります。この花壇にも20m²のチューリップが植えてあります。このとき、どちらの花壇の方がたくさんチューリップが植えてあるといえるでしょうか。割合の見方で関係を比較する段階では、それぞれの花壇の面積を１とみてチューリップの植えてある面積がどれだけにあたるかと考えている。これら二組の数量関係を比較する場合、全体の面積が２倍ならばそれに占めるチューリップの面積も２倍のとき「同じ割合」と考えているはずなので、比例関係を仮定していることになる。この比例関係を前提として数量の関係を把握するときに「割合」といいたい。
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③一量対比（時間的経緯を含む）
小学校入学のとき体重が20kgだったあきらさんは、小学校を卒業するときには50kgになりました。あきらさんの体重は何倍になったでしょうか。あきらさんの増えた体重を倍の見方で把握している段階では倍である。これが別の人と比較して、いわゆる体重の増加量を割合の考えで数値化して比較するときに割合(成長率)となる。整数÷整数で商が小数となる際に小教倍が指導される。この整数倍から小数倍へと倍の意味が拡張された際にはじめて割合の見方が顕在化するが、あくまでもこの段階では割合の見方であって「割合」ではない。
(2)異種の量の割合と比例
比例が前提となる点においては、異種の量の割合も同様である。二つの公園の混み具合を調べる問題を考える。それぞれの公園の面積が異なる場合、単位面積あたりの人数で比較したり数値化したりする前提には、面積が2倍の公園に人数が2倍の数いるとき「同じ混み具合」と考えている。単位面積あたりの人数を除法で求めることができるのは、面積が1/nならば人数も1/nのとき「同じ混み具合」と考えている。
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●田端氏（2007）の研究割合（比）の三用法による類型整数問題①－ I （割合（比）の第一用法） 1mで4gの針金があります。同じ針金が12gあったとき、針金は何ｍあるでしょうか。この問題の解決では、倍を求めるのは割り算であることの他に、重さが長さに比例することを暗黙のうちに用いている。この前提のもと、「重さがn倍ならば長さもn倍となるはず」という比例的推論を行っている。比例していることを顕在化させるためには、針金の重さを適当に変化させ、重さが変わっても除法を用いる根拠は何かを明確にしたい。第一用法では、商が被除数に比例することや倍の意味と測定との関係を明確にできる。整数問題①－ II （割合（比）の第二用法）
重さが長さに比例することを顕在化させるには、第一用法のときと同じことをすればよい。すなわち、長さが変わっても乗法を用いることを確認した後、乗法を用いる根拠は何かを確認したい。第二用法の学習では「長さがn倍ならば重さもn倍になるはず」という比例的推論を行っている。比例的推論を行うとは、二つの数量において一方の数量が他方の数量に比例していることを前提とした上で数学的推論を行っている。比例関係の理解においては、二つの数量がともなって変化することに気づかせることが重要である。このためには、第一用法の場面から「長さは重さに比例する」こと、第二用法の場面から「重さは長さに比例する」こと、この二つの理解があってはじめて、「長さと重さとが比例関係にある」といえる。第一用法と第二用法の学習があってはじめて、比例関係にあることが顕在化できると考えられる。整数問題①－Ⅲ（割合（比）の第三用法)
3等分して長さを求めるこの問題は、一方が1/10ならば他方も1/10であるという小数倍まで拡張した際の比例的推論の素地として重要である。同時にこれは、比例関係の根底にある均質性の理解に他ならない。比例的推論が形式的に指導されないためにも、ともなって等しい大きさに割っている意味を大事にしたい。一方、この場面で1mの値段を口円として、長さが3倍の3mで12gであることから口×3＝12として立式させ、これを方程式の考えにより口＝12÷3として考えを導く指導方法も考案されている。この場合の数直線は下の通りである。次章では、ここに挙げた先行研究をもとに、新たな割合の見方の枠組みを提案する。
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本章では、割合についての先行研究を調べ、割合が難しいとされている原因について挙げ、クリティークを行った。また、「割合の見方」にも着目し、先行研究を調べた。
○割合が難しいとされる原因について
今回は5つの先行研究に書かれている原因を取り上げた。原因として挙げられていたものは、割合そのものが難しいとするもの、同種の量の割合と異種の量の割合の指導順序とするもの、子どもの理解がしにくい問題提示の仕方であるとするものなどがあった。しかしクリティークを行っていくと、説明として不十分ではないかと思われる箇所や割合だけには限らないと思われるものがあり、難しいとされる原因についてはまだはっきりしていないものでないかと考えた。
○割合の見方について
以下のような割合の見方があることがわかった。 ①Aが同種の量Bのp倍であるとき、AのBに対する割合はpであるという使い方②割合という用語を、同種の二量の比の意味に使う場合③異種の二量について割合という用語を使う場合割合の３用法次章では、これらの先行研究をもとに、新たな割合の見方の枠組みを提案する。
4.1枠組みを設定する意義4.2枠組みの構成について4.3  「割合の見方」の枠組みの提案本章では、第3章3.2で挙げた「割合の見方」の先行研究をもとに、筆者の考える「割合の見方」の枠組みの作成過程を述べる。 4.1では、この枠組みを作成することによってどういった効果が見込めるのか、筆者の考えを述べる。 4.2では、枠組みで用いる軸の設定理由や、枠組みに教科書の問題をどのように当てはめていくかを述べる。 4.3では、4.1と4.2を踏まえ、筆者の考える「割合の見方」の枠組みを提案する。
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4.1 枠組みを設定する意義
第３章において先行研究の分析を行った結果、いくつかの先行研究の中に「割合の見方」という言葉があった。研究者によってその見方は様々だったが、筆者は「割合の見方」の枠組みを作成し、教師がその枠組みを把握した上で授業を行うことによって、より児童が理解しやすいと感じる割合の指導になるのではないかと考えた。割合には“割合の3用法”が存在するが、従来の割合の指導ではそれを児童に教えることはしない。教師としても言葉は知っていてもそれを意識した指導はなされていないように思われる。そこで今回、割合の見方の枠組みを提案することにより、その枠組みを意識した指導ができると期待する。先行研究で挙げられている見方だけでなく、それをマトリックスにすることにより、縦軸としてだけでなく横軸での分類もすることができ、子どもがつまずく問題をより細かく把握することができる。また、教科書に対応させ、使われている問題の傾向や指導順序を明確にすることによって、これからの割合指導に何かしらの手助けになるものができるのではないかと考えた。
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4.2枠組みの構成について
第3章3.2において示した先行研究をもとに「割合の見方」の枠組みを考えていくこととする。 「割合の見方」の枠組みを考えるにあたって、縦軸と横軸を設定した。縦軸として用いたものは前田(1960)の①~③と田端(2002)の（1）①~③、(2)の割合の見方であり、これ以降は以下のように表記することとする。縦軸としては、“割合の意味”とされるものを選んだ。今回“割合の意味”として枠組みに使う論文は2つあったため、次節ではその2つの割合の見方の関係性を述べるとともに、横軸と合わせた枠組みを提案する。縦軸を判断するときには、同種の量の割合を歩合、百分率、異種の量の割合を単位量当たりとして分け、同種の量の割合を細分化するときには文章の言い回しによって判断することとする。また、【Ta3】においては時間的経緯の表記のある問題のみを割り振ることとした。
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また、横軸は田端（2002）を参考に、式の形によって分けることのできる割合の3用法を設定した。割合の3用法は問題に式があって成立するものであるので、3用法のような式のない問題については【その他】という欄を設けた。横軸に関してもこれからは以下のように表記することとする。
割合の3用法の式は以下のようなものである。 A：比べられる量、B：もとにする量、p：割合　とすると、第１用法…p=A÷B第2用法…A=B×p第３用法…B=A÷p横軸を判断するときには、問題を解く際に用いられている式の形で判断し、3用法のような式が用いられていない場合には【その他】の欄に割り振ることにする。 2軸の関係について、縦軸は文章の言い回しによって判断する“割合の意味”についての軸、横軸は式の形によって判断する軸であり、2軸は相入れないものとする。次節では、実際にこれらの項目を用いて考えた「割合の見方」の枠組みを提案する。
4.3  「割合の見方」の枠組みの提案
と、以下のようになった。
ここで、前節で縦軸の侯補として挙げた2つ先行研究に書かれている割合の見方の関係性を述べる。
○「【Ta】倍と同種の量の割合」について
【Ta】は同種の量の割合全体のことを指していると捉え、同種の量の割合の大枠とした。【Ta1】【Ta2】【Ta3】については【M1】の“Aが同種の量Bのp倍であるとき、AのBに対する割合はpである”という記述から【M1】を細分化したものだと考えたが、【M2】は“同種の二量の比”という記述から“○対口”のような比で表すものと解釈し、別枠とした。
○「【Tb】異種の量の割合と比例」について
【Tb】と【M3】は“異種の量”という記述より、上記の同種の量の割合とは別とし、単位量当たりの大きさの問題を割り振る枠とした。次章では、本章で作成した「割合の見方」の枠組みに教科書の問題を当てはめ、その結果について考察する。
本章では、第3章3.2で挙げた「割合の見方」の先行研究をもとに、筆者の考える「割合の見方」の枠組みの作成過程を述べた。
○枠組みを設定する意義
筆者は「割合の見方」の枠組みを作成し、教師がその枠組みを把握した上で授業を行うことによって、より児童が理解しやすいと感じる割合の指導になるのではないかと考えた。今回、割合の見方の枠組みを提案することにより、その枠組みを意識した指導ができると期待する。また、教科書に対応させ、使われている問題の傾向や指導順序を明確にすることによって、これからの割合指導が首尾一貫としたものになると考える。
〇「割合の見方」の枠組みの提案
縦軸として用いたものは前田(1960)の①~③と田端(2002)の（1）①~③、(2)の割合の見方であり、前田の見方を【M1】 【M2】【M3】、田端の見方を【Ta】【Ta1】【Ta2】【Ta3】【Tb】のように表記した。また、横軸として用いたものは、割合の3用法であり、【第１用法】【第２用法】【第３用法】とし、３用法でないものは【その他】と表記した。縦軸として用いた2つの論文の関係性を考えると、枠組みは以下のようになった。
次章ではこの枠組みに教科書の問題を当てはめ、考察を行う。
5.1 教科書と比較5.2枠組みについての考察本章では、第4章で提案した「割合の見方」の枠組みをもとに考察を行う。 5.1では、枠組みに教科書の問題を対応させ、問題一つ一つを当てはめていく。 5.2では、5.1で対応させたものについての考察を述べる。

5.1　枠組みを教科書に対応させた結果
本節では、第4章で提案した枠組みに教科書の問題を当てはめる。この表では、以下のような教科書とその中の単元について検討した。
表の色については上記の色と対応している。また、扱った問題については参考資料に載せてあり、表の数字は参考資料に表
今回は教科書1社のみの問題を当てはめたが、その中でもいくつかの特徴が見られた。次節では、この表の結果について考察を述べる。
5.2枠組みについての考察
5.1において扱った教科書は1社3冊であり、枠組みに教科書の問題を当てはめた結果、以下のようなことがわかった。 1点目は、いくつかの空白になる枠があるということである。その中でも、【その他】の欄については【M2】しか当てはまる問題がなかった。その欄に該当するものとしては、以下のような比べられる量、もとにする量にあたる数値のない問題がある。赤のテープが60cm、青のテープが75cmあります。赤と青のテープの長さの比をかきましょう。 ⇒60：75このように、途中式はなく答えのみを表記させる問題は比の単元にしかなく、【M1】、【Tb】の欄には当てはまる問題はなかった。比の問題については、他の単元に比べて少し異質な問題が多かったように思われるが、今回は比を割合の一部として捉え、枠組みの中に入れることとした。縦軸に着目した場合、「【Ta3】一量対比（時間的経緯を含む）」の欄について、当てはまった問題は【第2用法】の2問しかなかった。今回は文章中に時間的経緯の表記のある問題のみを当てはめたために該当する問題が少なくなったと考えられるが、当てはまったものも【第2用法】の問題しかなかったため、少し偏りがあると考える。また、横軸に着目すると、【第１用法】から【第３用法】まで問題数に大きな偏りはないが、【Tb】に関する項目のみ【第１用法】にあたる問題しかなかった。 2点目は、「【Ta2】:【第3用法】→【第2用法】」、「【M2】:【第3用法】→【第2用法】」のように2つの欄にまたがる問題があるということである。特徴としては、【第1用法】、【第3用法】から【第2用法】という順番で立式されるということと、2式で答えが出るということである。ページ数に着目すると、単元の終盤にあたるところにそのような問題があることがわかる。このことから、式を2つ用いて問題を解くものは1つの式で問題を解くものに比べて発展的な問題であると捉えられていると考える。また、「【Ta2】:【第３用法】→【第２用法】」の欄に関しては6年生の下の教科書の「割合を使って」という単元に当たるため、この問題に関しても発展的な問題であると考えた。
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第5章では、第4章において作成した「割合の見方」の枠組みに実際に問題を当てはめ、考察した。資料として用いた出版社は１社だけであったが割合に関する単元を見ていくと５下、6上下と３冊に亘り扱われていることがわかった。 「割合の見方」の枠組みを構築し、教科書の問題を当てはめていった結果、教科書の問題の傾向として以下のようなことがわかった。 •それぞれの枠に当てはまる問題の数には偏りがあり、空欄になるところもある。 ・2つの枠にまたがる問題がある。 (2つの式を用いて解く問題がある。） 1点目に関しては、筆者の分類の仕方によって偏りが出てしまったと思われる。しかし、それは縦軸で見てみると差が出ているように見えるが、横軸で見ると大きな差はないことがわかった。このことより、文章の言い回しで分類すると時間的経緯の意味合いが含まれる問題など問題数が少ないものもあるが、立式という意味で考えると割合の3用法がまんべんなく扱われていることがわかる。問題の種類も同じページに同じような傾向の問題が固まっているわけではなく、ランダムに出題されているように感じた。【その他】の欄については【M2】しか当てはまる問題はなく、比は割合として枠組みに当てはめるときに少し異質なものであると感じた。 2点目に関しては、2式で解く問題が当てはまることから、やや発展的な問題であると考えられる。ページ数を見てみると、単元の終盤にあたるところに多くあることがわかった。
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第６章
6.1本研究の結論6.2残された課題本章では、本研究の結論と残された課題を述べる。 6.1では、研究の目的に対する結論を述べる。 6.2では、本研究において残された課題について述べる。

6.1本研究の結論
本研究の目的として、割合が難しいとされている原因を究明し、そこから考えられる指導法を提案することを挙げた。割合が難しいとされている原因については第3章で先行研究を挙げたが、割合が難しいのは教師の指導の問題、そもそも割合という単元が難しいなど研究者によって意見は様々であり、原因についてははっきりしたものはまだ解明されてないのではないかと考える。そこで、調べた先行研究の中から「割合の見方」という言葉に着目し、そこから新たな枠組みを構築することで、これからの割合指導が首尾一貫としたものになるのではないかと考えた。 「割合の見方」の枠組みを構築し、教科書の問題を当てはめていった結果、以下のようなことがわかった。 ・それぞれの枠に当てはまる問題の数には偏りがあり、空欄になるところもある。 ・2つの枠にまたがる問題がある。 (2つの式を用いて解く問題がある。）以上のことから、枠組みに教科書の問題を当てはめていったことで、問題傾向を知ることができた。この結果を受けて筆者は、教師は教科書がどういった意図でこのような問題傾向になっているのか知ることで、教えるときの意識も変わってくると考える。また、今回提案した枠組みを用いてどのような指導をするかということについてであるが、現在今回のような割合の見方は学習指導要領や教科書では全く出てこない。しかし、教師がどのような問題が扱われているかを把握することによって、実際の場面で児童のつまずきが見られたときに、どのような問題がつまずきやすいのかを把握することに役立てられると考える。そして今回でわかった問題の偏りについては、割合を苦手と感じる児童により幅広い問題に触れさせることで理解につながることもあると思われるため、問題数が少ないものを増やすということも必要になってくるのではないかと考えた。
6.2　残された課題
本研究は、算数教育における割合の指導についてということで「割合の見方」の枠組みを提案し、教科書とも対比させて考察を述べたが、資料として使った教科書が１社ということが一番研究として不十分であると考える。他の5社の教科書も大きな差はないと考えたが、より多くのデータで問題傾向を検証することが課題である。また、この枠組みを教師が把握した上での授業実践がなされていないため、本当にこの枠組みが算教教育において有用であるのか、実践することも今後の課題とする。
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引用・参考文献
中村享史（2008). 『割合概念の理解における児童の思考の様相ーノートの記述の分析を通して一』日本数学教育学会誌第90巻第４号pp.2-10田端輝彦（2003). 『同種の量の割合の導入に関する一考察』日本数学教育学会誌 第85巻第12号   pp.3-13渡辺敏（2011). 『児童が潜在的に持っている割合の見方を生かした導入についての研究』日本数学教育学会誌第93巻第2与 pp.11-21中村享史（1996).『小数の乗法の割合による意味づけ』　日本数学教育学会誌 第78巻第10号  pp.279-285坂井武司（2008).『色テープ図を活用した割合の指導に関する研究』　日本教学教育学会誌　第90巻第8号　pp.13-21田端輝彦（2002). 『同種の量の割合と異種の量の割合の指導順序に関する考察』日本数学教育学会誌第84巻第8号pp.22-29田端輝彦（2007).『整数の乗法における比例関係の顕在化に関する一考察一割合（比）の三用法の類型と１あたり量を示さない問題の分析を中心として一』　数学教育論文発表会論文集第40巻  pp.325-330青山尚司（2013). 『割合の見方・考え方を育てる指導の工夫一数直線図上で対応する数量を操作する活動を通して一』日本数学教育学会誌　第95巻第10号　pp.2-10前田隆一（1960). 『新算教教育講座第三巻　数量関係　第三編割合』  吉野書房文部科学省（2008). 『小学校学習指導要領解説　算教編　東洋館出版社』啓林館（2012). 『わくわく算数５下』『わくわく算数６上』『わくわく算数６下』文部科学省（2008). 『小学校学習指導要領解説　算数編　東洋館出版社』
本研究を進めるにあたり、多くの方々に熱心に指導していただいたことに深く感謝いたします。特に指導教官である溝口先生には、1年生の頃から免許取得のことなどを始め、大変お世話になりました。大学入学前から数学は好きでしたが、溝口先生の講義やゼミを通して、より数学の魅力を感じることができたと思います。また、卒業論文を進めていく中で教員採用試験や教育実習などがあり、その前後は研究に充分な時間がかけられないこともありましたが、少ない時間の中でも先生が熱心に指導くださり、無事研究を終えることができたことに大変感謝いたします。研究室の先輩である、玉木義一さん、吾郷将樹さん、岸川友飛さん、岡友章さん、和田匠馬さんは、お忙しい中でも快く相談に乗ってくださいました。研究に行き詰まったときでも、院生室にお邪魔したら一緒に頭を悩ませてくださる先輩がいると思い、本当に心強いものがありました。そして、後輩の荻原友裕さんには発表の準備など様々な面で支えていただいたことに感謝しています。横田真照さん、若林直広さんも、夏合宿の準備をしてくださったり相談に乗ってくださったりと、あらゆる面でお世話になりました。最後に、同級生の坂元里佳子さんとは、お互いに助け合い、刺激し合い、苦楽を共にしてきました。このような良い仲間と研究に励むことができたことを本当に嬉しく思っています。このような多くの方々に支えられ、論文を完成させることができました。感謝の気持ちを忘れず、社会に出てもここで学んだことを生かしていきたいと思います。心からお礼申し上げます。平成27年1月白枝果歩鳥取大学数学教育研究ISSN 1881–6134 Site URL：http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu矢部敏昭　鳥取大学教学教育学研究室　tsyabe@rstu.jp溝口達也　鳥取大学教学教育学研究室　mizoguci@rstu.jp (投稿原稿の内容に応じて，外部編集委員を招聘することがあります) ❖本誌は，次の稿を対象とします。 •鳥取大学数学教育学研究室において作成された卒業論文・修士論文，またはその抜粋・要約・抄録・算数・数学教育に係わる，理論的，実践的研究論文／報告•鳥取大学，および鳥取県内で行われた算数・数学教育に係わる各種講演の記録・その他，算数・数学教育に係わる各種の情報提供❖投稿は，どなたでもできます。投稿された原稿は，編集委員による審査を経て，採択が決定された後，随時オンライン上に公開されます。 ❖投稿は，編集委員まで，e-mailの添付書類として下さい。その際，ファイル形式は，PDFとします。 ❖投稿書式は，バックナンバー（vol.9以降）を参照して下さい。鳥取大学数学教育学研究室〒 680-8551  鳥取市湖山町南4-101 TEI & FAX  0857-31-5101  (海口) http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu/