1.はじめに
土壌構造を記述する方法の一つとして土壌断面内の固相と間隙の分布をフラクタル理論によって記述する方法がある．フラクタル理論はMandelbrot（1982）によって提唱されたもので，ユークリッド幾何学では記述できない不規則な物体の形状を記述できるという特徴がある.フラクタル図形は全体と部分が自己相似になっており,特徴長さを持たないという性質がある．わが国でも広中(1985)や高安（1986）によってフラクタル理論が紹介され，その後，様々な分野で応用された.土壌科学へのフラクタル理論の応用も1980年代後半から始まり，1990年代には間隙分布や間隙表面積，粒径分布等の土壌物理特性の表記や土壌中のガスや微生物の拡散移動や水分溶質移動などの土壌物理過程の表記等への応用が検討された（例えば，Perfect and Kay, 1995; Giménez et al., 1997).  Hatano et al.  (1992)は褐色森林土，暗赤色土，疑似グライ土，黒ポク土，火山放出未熟土の不攪乱土壌試料にメチレンプルー溶液を浸透させ，着色部分のフラクタル解析を行った．また，田村ら(1993)はススキ原野，アカマツ林，落葉広葉樹林を対象に植生遷移が黒ボク土の微細形態に及ぼす影響を検討し，フラクタル解析も行った．また，根系構造へのフラクタル解析も行われ（例えば，Tatsumi et al., 1989;筑紫・広田, 1997)，第40回土壌物理研究会シンポジウムでは「根系構造のとらえ方:フラクタル次元，空隙性およびマルチフラクタル」と題した講演が行われた（巽, 1999). Bittelli et al. (2015)の著した“Soil physics with python”には，土壌構造を記述する方法の一つとしてフラクタル解析が紹介され，フラクタル次元を算定するPythonプログラムコード（PSP_boxCounting）が載せられている.土壌のフラクタル次元を求めるためにボックスカウンティング法（box counting technique）が採用されているが，従来法とは異なる部分もあるようだ．そこで，九州各地の黒ボク土地帯に分布する硬盤層の微細形態への適用を通して従来法とBittelli et al.  (2015)を比較した例を紹介する.
2.土壌のフラクタル次元の求め方
2.1従来法
フラクタル次元を求める方法の一つにボックスカウンティング法がある．この方法では粗視化の程度を変化させて図形のフラクタル次元を算出する．最初，特徴長さL1のボックスが選定され，対象とする図形を覆うのに必要なボックスの個数としてN 1が定義される．次に，形は同じであるが，最初のボックスより小さな特徴長さL 2を持つポックスが選ばれる．この場合，図形を覆うのに必要なボックスの個数№は増加する．さらにボックスの特徴長さＬを０に近づけていくと，図形を覆うのに必要なボックスの個数N(L)はさらに増加する. ボックスカウンティング法によるフラクタル次元Dは次のように定義される.
このため，LとN(L)のそれぞれの対数値をプロットした後，回帰直線を求め，その傾きからD値を求めることが通常行われる. 2.2 Bittelli et al. (2015)によるフラクタル次元の求め方Bittelli et al. (2015)は，Loを任意の参照長さとするとフラクタル次元Dは次のように定義され,
Lが小さなときは
が成り立つことを用いてフラクタル次元を求める方法を提示している．従来法と異なり，LとN(L)のそれぞれの対数値をプロットして，回帰直線を得る過程が省略され，逐次計算されるD値の収束を確認しながら1ピクセルの時のD値を採用する.
3.土壌の微細形態への適用例
久保寺（2000）は九州各地の黒ボク土地帯に分布する硬盤層の特性を明らかにしている．研究対象とした硬盤層は，阿蘇火山周辺に分布する埋没火山灰土壌の「ニガ土」，雲仙火山周辺に分布する「かしの実層」，阿蘇外輪山北東部に分布する「バンバン」，九重火山周辺に分布する「花牟礼層」および開聞火山周辺に分布する「コラ」である。各地点の代表断面より試料採取を行い，一般理化学性，元素組成，鉱物学的特性および微細形態を分析した．微細形態の観察には土壌薄片を用いた．土壌薄片は風乾した試料に樹脂と硬化剤を浸透，加熱固化，切断後研磨して作成した.ボックスカウンティング法を適用した各硬盤層の土壌薄片をFig. 1に示す.久保寺（2000）の中から土壌薄片写真をスキャナーでディジタル画像として取得した.取得したディジタル画像をAdobe Photoshopを用いて530×770ピクセル前後まで画像解像度を下げた後，グレースケールに変換して用いた.これらのディジタル画像をPSP_boxCountingプログラムコードで読み込み，解析を行った.  PSP_boxCountingプログラムコードはポックスカウンティング法による複数のボックスサイズと個数の関係を求める部分とその結果を利用してBittelli et al. (2015)によりフラクタル次元を計算する部分から構成されている.そのため，先に得られるボックスサイズと個数の関係の出力値を用いて従来法の計算を行った.ボックスカウンティング法による複数のLとN(L)の関係を求め，両対数グラフにプロットした例をFig. 2に示す. 「かしの実層（a）」では全範囲のデータを対象に一つの回帰直線が得られた．その傾きからD値は1.828と求まり，フラクタルの特徴を有していると考えられた.これに対して「バンバン(b)」はL = 0.012 mm前後を境
に、0.012 mm以下では回帰直線の傾きから求められたD値は1.703でありフラクタルの特徴があった．一方， 0.012 mm以上ではD値が2.428となりフラクタルではないと考えられた．このようなフラクタルの特性が観察できるスケール範囲があることについて波多野（2000）も解説しており，従来法によりフラクタル次元を求める時には注意が必要である. Bittelli et al. (2015)により「かしの実層」のフラクタル解析を行った例を示す（Fig. 3）。プログラムを実行するとFig. 3下のような解析結果がコンソール上に表示されるとともにFig. 3上のようなボックスサイズと個数の関係がプロットされる．解析に用いた「かしの実層」の画像は縦777ピクセル，横531ピクセルから成り，解析により得られた間隙率は17.1 %であった．初期のボックスサイズは縦横200ピクセルに設定され，そのサイズで画像全体を覆ったとき，空隙を含むボックスは３個であった．ボックスサイズを半分にしながら繰り返し空隙を含むボックスの個数を算定し，フラクタル次元を求めると最終的には1.727と求められた. Bittelli et al. (2015)により求められたフラクタル次元は従来法で求めた値と比較して小さくなった．全ての硬盤層についても同様にフラクタル解析した結果をTable 1に示す.その原因として(3)式の近似によりフラクタル次元を求めていることが考えられるが，詳細は不明である．硬盤層で得られたフラクタル次元の範囲は従来法で1.703 ～ 1.867であり，Bittelli et al.（2015）による方法で1.622 ～ 1.808であった.  Giménez et al.  (1997) は文献で報告された問隙をもとに算出したフラクタル次元を整理しているが，本研究で扱った試料と同様なスケール範囲で得られたフラクタル次元は1.69 ～ 1.85であった．従来法とBittelli et al.  (2015)の方法で得られたフラクタル次元も，これとほぼ同様な範囲で得られておりどちらも妥当なものと判断された.
4.おわりに
Bittelli et al. (2015)の著した“Soil physics with python”には，これまでの土壌物理学の教科書では取り上げられることのなかったフラクタル解析が土壌構造を記述する方法の一つとして紹介されており，フラクタル次元を求めるプログラムコードも示されていたことをきっかけとして，土壌の微細形態のフラクタル次元について再訪してみた．フラクタルの概念を自然界に適用する方法の一つとしてボックスカウンティング法が考案され，土壌科学の分野においてもフラクタル次元を求めるのに利用されていることを再認識した．土壌科学においては当初，フラクタル次元を求め自己相似性の評価等が盛んに行われたが，その後フラクタル幾何学モデルを用いて土壌構造のモデル化，モデル化した土壌構造をもとに土壌水分32
特性等の推定へと発展してきている．土壌構造に由来する様々な物理特性を記述する方法の一つとして，更なる発展が期待される分野のように感じた.