1｜次の各問いに答えよ．ただし，答えは結果のみを解答欄に記入せよ．iは虚数単位とする． (1)   xyz空間において，原点Oを中心とする半径1の球面S : x² + y² + z² = 1, およびS上の点A(0, 0, 1)を考える. Ｓ上のＡと異なる点P(xo, yo, zo)に対して, ２点A, Ｐを通る直線とxy平面の交点をＱとする.次の問いに答えよ. (1-1)   AQ = tAP （tは実数）とおくとき，OQをOP,  OAおよびtを用いて表せ. (1-2)  OQの成分表示をxo, yo, zoを用いて表せ. -の共通部分が表す図形をCとする.点PがC上を動くとき, xy平面における点(1-3)  球面Sと平面x =一Qの軌跡を求めよ. (2)   xy平面において，点A(α, 0)を中心とする半径rの円をCとする．ただし，0 < r ≤ αとする．円Cの周上に，y座標が正である点Pと，点E(α + r, 0)をとる.さらに，点Pにおける円Cの接線とy軸との交点をQ, 2点E, Pを通る直線とy軸との交点をR,  LAEPをθとする.このとき, 3点P,  Q,  Rを頂点とする△PQRについて，次の問いに答えよ. (2-1)   QP : QRの比を求めよ.また, △PQRが正三角形となる場合のθの値を求めよ. (2-2) △PQRが正三角形となり，さらに頂点の１つが原点と一致する場合の，αとrの関係式を求めよ.解答(1) (1-1)   AQ = tAP ←→ OQ = (1 − t)OA + tOP. (1-2) 点Qを(x, y, z)とおくとき, (1-1)より(x, y, z) = (1 − t)(0, 0, 1) + t(x0, yo, zo) = (txo, tyo, 1 − t + tzo)点Qはxy平面上の点なので，z = 0より， 1 − (1 − z 0 ) t = 0.また，点Pは球面S上にあり，Aと異なるので−1 ≤ zo < 1を満たす．したがって，t = 1 − zo
(1-3) 点P(x 0 , y 0 , z 0 )が円Cを動くとき，次の式を満たす.
すなわち,
ここで，Q(x, y, 0)とおくと，(1-2)より，
明らかにx ≠ 0であり,
同様に
② , ③を①に代入すると,
これを整理すると， ( x − 2)² + y² = 3したがって，点Qの軌跡は，円( x − 2)² + y² = 3 ( z = 0).注：本問では「 xy平面における軌跡を求めよ」と問われているので， z = 0は不問だろう. (2)とおける. (2-1)   △AEPは二等辺三角形より， ∠AEP = ∠APE = θ元であるから, LAPQ = 2
また，△OERはረEOR =一を満たす直角三角形だから，
したがって，△QPRはQP = QRを満たす二等辺三角形である．ゆえに
また，△PQRが正三角形となるとき，
(2-2)点Pのy座標は正であるから，点Qはy > 0を満たす．したがって，条件のように原点と一致する点は， Qに限る.  Q = Oのとき，図は以下のようになる. △OPAに注目すると,
TI π元の直角三角形である.であるから，LAOP = LOPA = 20AP = 6 2 3よって，OA = a，AP = rよりa = 2r. 2次の各問いに答えよ.ただし，答えは結果のみを解答欄に記入せよ. (1)  方程式4x 4 − 8x 3 + 11x 2 − 8x + 4 = 0を解け. (2)   x2020 + x + 1をx2 + x + 1で割ったときの余りを求めよ.
解答(1)   4x 4 − 8x 3 + 11x 2 − 8x + 4 = 0    ····· ① ①にx = 0を代入しても式は成り立たないので，①はx = 0を解に持たない．両辺をx 2 ( ≠ 0)で割ると，
x + T = tとおけば，②は4(t² – 2) – 8t + 11 = 0となる. 4(t² − 2) − 8t + 11 = 0 ⇐⇒ 4t² − 8t + 3 = 0 ⇐⇒ (2t − 3)(2t − 1) = 0.したがって，①の解は，
の解である.
したがって①の4つの解は， x =
【参考】 x²で割らずに，そのまま因数分解してもよい.
ゆえに，2 x 2 — 3 x + 2 = 0または2 x 2 — x + 2 = 0の解を求めればよい. (2)   f(x) = x 2020 + x + 1とおく. また, x 2 + x + 1 = 0の解の1つをx = ωとおくと, ω² +ω + 1 = 0,  ω³ = 1を満たす.ここで，ƒ(ω)の値を求めると,
また， τの整式ƒ( x )をx² + x + 1で割ったときの商をQ( x )，余りをpx + q （p, qは実数）とおくと, f(x) = (x² + x + 1)Q(x) + px + q.ここで，ω² +ω + 1 = 0を用いると， f(ω) = (ω² + ω + 1)Q(ω) + pω + q = pω + q. ① , ②より, ρω + q = 2ω + 1 ⇐⇒ (p − 2)ω = 1 − q.     .....③ p ≠ 2と仮定すると，③よりω = − p – 2は成り立たない.したがって，p = 2であり，このとき③よりq = 1. したがってf(x)をx 2 + x + 1で割った余りは2x + 1. (3)   3次方程式x 3 − x 2 − x − 1 = 0
を得る．②にx = 2を代入すると，
①はx = 2を解に持たないので，α − 2 ≠ 0，γ − 2 ≠ 0であり，③から
つまり, x = 2 − α, 2 − β, 2 − γを解に持ちx 3の係数が1であるような3次方程式を求めればよい.  . . . (*)方程式①において，解と係数の関係から， α + β + γ = 1, αβ + βγ + γα = −1, αβγ = 1.また，求める３次方程式は， {x − (2 − α)}{x − (2 − β)}{x − (2 − γ)} = 0 ←⇒ x³ − {(2 − α) + (2 − β) + (2 − γ)}x² + {(2 − α)(2 − β) + (2 − β)(2 − γ) + (2 − γ)(2 − α)}x − (2 − α)(2 − β)(2 − γ) = 0.
= 5 (2 − α)(2 − β) + (2 − β)(2 − γ) + (2 − γ)(2 − α) = 12 − 4(α + β + γ) + (αβ + βγ + γα)
であるから，④より求める方程式は， x ³ − 5 x ² + 7 x − 1 = 0. (*)以降の別解①がx = α, β, γを解に持つとき, X = 2 − α, 2 − β, 2 − γを解に持つ方程式を作る.このとき, x = 2 − Xを①に代入すると
これは,  X = 2 − α, 2 − β, 2 − γ, すなわち,   (α − 2)(β − 2)  ′   (β − 2)(γ − 2)  ′   (γ − 2)(α − 2)  を解に持つ方程式である．したがって，求める方程式はx³ — 5x² + 7x — 1 = 0. 3】次の各問いに答えよ．ただし，答えは結果のみを解答欄に記入せよ. (1) sin³ θ + cos³ θ = 11
(9) sin θおよびcosθの値を求めよ. (2)座標平面上に2点A(−2, 0), B(2, 0)がある.円(x − 4)² + ( y − 3)² = 4上に点Pをとって, AP² + BP²を最小にするような点Pの座標を求めよ. (3)　1から55までの整数のどれか1つを同じ大きさのカードに書いて，1を書いたカードに1枚，2を書いたカードドを2枚，以下同様に55を書いたカードを55枚作り，これらを箱に入れる．箱の中をよく混ぜてから1枚のカードを取り出し，それに書いてある数をXとする. (3-1)   X = 28となる確率を求めよ. (3-2)   Xの期待値（平均値）を求めよ.解答(1)  与式により(sin θ + cos θ)(sin² θ − sin θ cos θ + cos² θ)
16 sin θ + cos θ = tとおくと，sin θ cos θ =
t = sin θ + cos θ = √ 2 sin(θ + 45°),  90° < θ < 180°より,  − 1 < t < 1なので,  t = 1 3したがって，sin θ + cos θ =となるので，sin θ，cos θはsの2次方程式, sin θ cos θ = − 8
の2つの実数解である. 1 + v 7 1 ± √7より，90° < θ < 180°と併せてsin θ =よって, s 4 (2)　中線定理より
したがって，OFが最小値となる点Pの座標を考えればよい.円の中心をCとすると
となるので，OF = 3，すなわちO，P，Cがこの順に一直線上に並ぶとき，OFは最小となる.よって，このとき【参考】て扱ってもよい.円上の点Pをx = 4 + 2cos θ , y = 3 + 2sin θ (0 ≤ θ < 2π)と媒介変数表示して,  AP² + BP²をθの関数とし(3) (3-1)カードの枚数は全部で
枚であり，28と書かれたカードは28枚あるので，求める確率P(X = 28)は,
(3-2)   X = k (k = 1, 2, ･･･ , 55)となる確率P(X = k)は,
よって，求めるXの期待値E(X)は
4次の各問いに答えよ.ただし，(1)，(2)は結果のみを解答欄に記入せよ. sin² 5x   を求めよ. (1) lim (2)　半径3の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ. (3)    xy平面上でx ≥ 0, y ≤ 0のとき
を満たす点( x, y )の存在する部分を図示せよ.解答(1)
(2)　球の中心から直円柱の底面に下した垂線の長さをx (0 < x < 3)とすると，底面の半径は，三平方の定理より√ 3² − x² = √ 9 − x².したがって，直円柱の体積V(x)はV(x) = π(9 − x 2 ) · 2x = 2π(9x − x 3 ) V'(x) = 2π(9 − 3x²) = 6π(√3 + x)(√3 − x)
よって，増減表より，求める最大値はx = √3のときでV(√3) = 12√3π.別解底面の半径をy (0 < y < 3)とおくと，直円柱の高さは，三平方の定理よりしたがって，直円柱の体積W(y)はW(y) = πy² · 2√9 − y² = 2π√9y² − y². y² = tとおくと，０＜ t ＜９でありW(y) = 2π√9t² — t³. f(t) = 9t² − t³とおくとf'(t) = 18t − 3t² = 3t(6 − t)
よって，増減表より，f(t)の最大値はt = 6のときであり，W(g)の最大値はy = √6のときでW(√6) = 2π√f(6) = 12√3π. 【参考】
ここで，y 2 > 0,  9 – y 2 > 0であるから，相加平均と相乗平均の関係により
したがって,
等号が成り立つのは,
であるから，y = √6のときにW(y)の最大値は12√3π. (3)
講評1 （標準） (1)は空間の軌跡に関する典型問題であった．極力落としたくない．(2)は図形的な考察を適切にできるかが問われた内容であった. 最低でも(2-1)をとっていきたい. 2 （やや易）いずれも典型問題であった．(3)がやや計算量が多くなるので，工夫して計算していきたいところである． 3 （やや易）いずれも典型問題であった．(2)は中線定理が利用できると計算量をぐっと減らせ，周りに差がつけられるだろう．様々な手法で解くことができる問題なので，解法の選択が重要な問題であったと言える. 4 (やや易)いずれも典型問題であった．丁寧に計算を進め，できればどれも落としたくない．いずれも典型問題であり，点差がつく良い出題であった．他の科目にもよるが，ボーダーは65 %前後であろう．