ISSN 1881–6134 Tottori Journal for Research in Mathematics Education http://www.rs.tottori-u.ac.jp/matheduテクノロジーを前提とした数学教育に関する研究坂元里佳子Rikako Sakamoto vol.17, no.10 Mar. 2015
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1.1　本研究の動機1.2本研究の目的1.3　本研究の方法本章では,本研究の目的・方法について述べる. 1.1では，本研究のテーマ設定に至った背景を述べる. 1.2では，本研究の目的を述べる． 1.3では，本研究の研究方法を述べる.
第１章　本研究の目的と方法
1.1本研究の動機
近年,「タブレット端末を用いた教育」をよく耳にするようになった. 調べてみると, 総務省では“ICTを利活用した協同教育の推進に関する調査研究”ということで平成22年度よりタブレット端末を使って「フューチャースクール推進事業」を小学校,中学校，特別支援学校で展開している．また，平成23年4月文部科学省から出された『教育の情報化ビジョン』の中においても，21世紀を生きる子どもたちに求められる力を育む教育を行うためには子どもたちの学習や生活の主要な場である学校において，教育の情報化を推進することが必要であると明記されており,その活用例としてタブレット端末を挙げている.だが，タブレット端末を用いた教育には問題点がいくつもあり,現在も模索が続けられている.その問題点のなかに「活用法」の問題がある．これは個別学習の中でタブレット端末をどのように使い，どのように効果を図るかという問題であり，成果のある実践事例が必要とのことだった.筆者は，この活用法の問題の原因がカリキュラムにあるのではないか,と考える.従来の教育内容・カリキュラムがタブレット端末などのテクノロジーを前提に考えられていないため,そこへテクノロジーを利活用しようと試みても上手くはいかないのではないか,と考えているのである.では,テクノロジーを前提にするとどのような数学教育が可能になるのか.このように考えるようになり，本研究に取り組むことを決めた.
1.2本研究の目的
ここ数年で，テクノロジーは目覚しい進歩を遂げた。教育にもこの影響はあり,「タブレット端末を用いた教育」をよく耳にするようになった.だが、この教育には問題点がいくつもあるという.筆者は,この活用法の問題の原因がカリキュラムにあるのではないか，と考える．従来の教育内容・カリキュラムがタブレット端末などのテクノロジーを前提に考えられていないため，そこヘテクノロジーを利活用しようと試みても上手くはいかないのではないか.また,今まで紙と鉛筆で出来ていた教育にテクノロジーを用いてもあまり効果的には働かせることができないのではないか,
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と考える.そこで,従来の数学教育にテクノロジーを利活用するのではなく，テクノロジーを前提とする新たな数学教育を提案する.このために,本研究では,テクノロジーを前提にすることでどのような数学教育が可能になるのか，テクノロジーを前提とした数学教育を可能にするには今までになかった何が必要になるのか，明らかにする．
1.3本研究の方法
上記の目標を達成する方法として，本研究では，まず，現在における世界の教育へのテクノロジーの利用状況を調べ,テクノロジーを用いた数学教育の現状を把握する. (第2章)次に,テクノロジーを用いた数学教育についての先行研究を分析し，先行研究から示唆されているテクノロジーの可能性を挙げる.  (第3章3.1)この挙がったテクノロジーの可能性から5つ選び,「本当に可能なのか」という視点で5つのリサーチクエスチョンとして挙げ,実際に事例に当てはめていく．この際に，本研究ではテクノロジーとしてGeoGebraという動的幾何ソフトを用いる. このGeoGebraを用いた学習の実験を行い，考察する．事例への当てはめとしては2つの方法で行う．まず1つめは，事例研究としてサイクロイドを使う．方法としてはサイクロイド初学者である筆者が実際に学習を行い，その学習過程から感じたことから5つのリサーチクエスチョンについての事例研究としての見通しをつける. (第４章)次に,実証調査として，文系大学生を対象に紙と鉛筆の際とGeoGebraを用いた際の学習の実験を行い，反応を分析・考察を行う．(第5章)この2つの事例研究(第4章,第5章)から,本研究の結論にあたる,テクノロジーを前提とした数学教育には今までになかった何が必要なのか，明らかにする．(第6章)
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〈本論文の章構成〉
第１章　本研究の目的と方法本研究の目的と方法を述べる.第２章　テクノロジーについて現段階では実際に「世界ではテクノロジーをどの程度教育へ利用しているのか」について，明らかにする．第３章　先行研究の分析テクノロジーを用いた数学教育について述べる.テクノロジーの可能性を整理し,「本当に可能なのだろうか」という視点で5つのリサーチクエスチョンとして挙げる. 5つのリサーチクエスチョン第４章　事例研究実際にテクノロジーを用いた事例研究について述べる.事例としてはサイクロイドを用い，初学者である筆者が GeoGebra を使って学習を進め, 5つのリサーチクエスチョンについての見通しを立てる.
第５章　実証調査
本章では，実際にテクノロジーを用いた実証調査について述べる.大学生を対象にGeoGebraを使って課題解決を行わせ,その反応調査を行い, 5つのリサーチクエスチョンについて照らし合わせて，テクノロジーを前提とすることでどのようなことが可能になるか，明らかにする．第６章　本研究の結論と残された課題本研究の結論と残された課題を述べる。結論としては，研究したことを基に，テクノロジーを前提とした数学教育には今までになかった何が必要なのか,考察する.
2.1　教育へのテクノロジー利用状況本章では，テクノロジーについて述べる． 2.1では,現段階では実際に「世界ではテクノロジーをどの程度教育へ利用しているのか」についてIEA(国際教育到達度評価学会)の記事を基に，教育へのテクノロジ一利用状況を明らかにする.
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2.1　教育へのテクノロジー利用状況
実際に，世界ではテクノロジーをどの程度教育へ利用しているのか, IEA(国際教育到達度評価学会: The International Association for the Evaluation of Educational Achievement)のSITES2006   (The IEA Second Information Technology in Education Study)の報告書12)13)14)を読み，考察した．

ICT費用の増加
低い国々は既に過去にかなりの額を拠出していた。 12)13)
教育方針としての国レベルのICT
教育方針の中に国・地域規模のICTが組み込まれているかを尋ねたところ，22の国・地域のうち20カ国が「はい」と答えた．そこで，肯定的な回答をした国とさらにその教育方針の中に具体的な11の要素(a〜k)のうち,どれが含まれているかを尋ねた. 12)13)その結果が図1の通りである.

図1.  国-地域別のICT要素

図1より，教育方針の中に国・地域規模のICTが組み込まれていない国・地域は，ICT方針要素の数が0であることから，ロシア,スロバキア,スロベニアであることが予測される.一方, 11の全要素が方針に組み込まれている国・地域は,シンガポール,エストニア,イスラエル,南アフリカだった.また, 22カ国・地域の平均のICT方針要素の数の平均は約5.9であり，14の国・地域という参加国・地域のほとんどがこの平均値以上の要素を方針に組み込んでいた.日本は,この平均値5.9に対して3であり国際的に低い値だった.数学における教室でのICT利用の普及図2 は, すべての参加国において数学及び理科の教師が調査対象学級でICTを利用したと回答した割合を示す.南アフリカを除く5カ国では, 調査対象学級でICTを利用したと回答した数学教師は40%以下であった．これらの国は，スペイン・カタロニア地方,台湾,イスラエル,日本及びスロベニアであった．しかしながら，参加国の約半分では，数学教師の50%以上がその調査対象学級でICTを利用していた.日本は，数学教師が23％，理科教師が44％と国際的に低い値であった。 12)13)
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ICT利用での教師の自己申告に基づく技術的，教育的能力教師にICTの一般的利用と教育的利用について自己判断したレベルを示してもらうように頼んだ.図３から，国・地域全体を通じて教師の技術面と教育面でのICT能力に関する自己評価にかなりのばらつきがあり，明白なパターンが見える.ほとんどの国・地域では,教師の自己評価でのICT能力に関して，一般的に利用するほうが教育的利用より平均値が上がっている．つまり，教師は授業や学習環境より日常的環境でICTを利用することに自信があることを示している.日本では,両教科の教師が技術的なICT能力で非常に高い水準であるが，教育面でのICT能力ははるかに低いと報告され, この結果2つの能力の平均水準の差は最大であった．以上の点から，ICT利用での教師の教育的能力の構築において，ICTの技術的能力だけでは不十分であることが観察される。 12)13)考察“ICT費用の増加”についての報告より,この調査の参加国は, ICTへの費用を増やしていることから国としては教育へのICT使用に積極的な姿勢である,と読み取れる.また，図2は元の表を数学教師のICT利用率が高い順に並べ直したものである．表1と図3もこの順に合わせたデータの並びになるように直している. 図1と図2を見比べてみると,  ICT方針要素の数,数学教師のICT利用率の間には比例関係がないことがわかる.また,日本は国際的にICT方針要素の数も数学教師のICT利用率も低いことがわかった.次に，図2と図3を見比べてみると，数学教師のICT利用率が70%以上の5ヵ国は教育的ICT能力についての自己評価も他国に
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比べて高いことがわかった. 以上より, 日本は2006年の時点で教育へのICT利用に関しては国際的に遅れている面があるように思われる.また,タブレット端末の普及(2010年)はこれまでの教育的ICT利用状況にどのように影響したのかについては参考に出来るデータがなかったため，調べられなかった．だが，近年のタブレット端末を利用した授業実績をみる限り，タブレット端末の普及は教育的ICT利用状況に大きく影響しているだろう，と予測できる.
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本研究では,テクノロジーを前提とする新たな数学教育の提案を目的としている.研究を始めるにあたって,テクノロジーを用いた数学教育の現状を把握する必要があり，本章で詳しく述べた.要点としては以下のことが明らかになった.〇現在における世界の教育へのテクノロジーの利用状況• ICT費用の増加ICT費用の増加率は顕著には見られなかったが，その理由として，増加率が低い国々は既に過去にかなりの額を拠出していた. •教育方針としての国レベルのICT教育方針の中に国・地域規模のICT要素(11要素)がどの程度組み込まれているかを尋ねたところ，調査に参加した22カ国・地域の平均のICT方針要素の数の平均は約5.9であり，参加国・地域のほとんどがこの平均値以上の要素を方針に組み込んでいた．日本は，この平均値5.9に対して3であり国際的に低い値だった. ・数学における教室でのICT利用の普及調査に参加した22ヵ国・地域において数学及び理科の教師が調査対象学級でICTを利用したと回答した割合を調べたところ,調査参加国・地域の約半分では，数学教師の50%以上がその調査対象学級でICTを利用していた．そのなか，日本は，数学教師が23%, 理科教師が44%と国際的に低い値であった. • ICT利用での教師の自己申告に基づく技術的，教育的能力教師にICTの一般的利用と教育的利用について自己判断したレベルを示してもらった.ほとんどの国・地域では,教師の自己評価でのICT能力に関して一般的利用が教育的利用より平均値が上がっていた．日本では，両教科の教師が技術的なICT能力で非常に高い水準であるが教育面でのICT能力ははるかに低いと報告され，2つの能力の平均水準の差は最大であった.本章で明らかになったことを基に，次章ではテクノロジーを用いた数学教育についての先行研究の分析を行っていく.
3.1 テクノロジーの可能性3.2   5つのリサーチクエスチョン本章では,テクノロジーを用いた数学教育についての先行研究の分析について述べる. 3.1では,先行研究を読み,考察するなかで見つかったテクノロジーの可能性を整理した. 3.2では, 3.1で整理したテクノロジーの可能性の中から筆者が特に気になった5つの可能性が「本当に可能なのだろうか」という視点で5つのリサーチクエスチョンとして挙げた.
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第３章　先行研究の分析
3.1　テクノロジーの可能性
先行研究を考察するなかで，テクノロジーの可能性を整理すると以下のようになった.

3.2   5つのリサーチクエスチョン
多くのテクノロジーの可能性が示唆されるなか，今回は筆者が特に気になった以下5つの可能性が本当に可能なのか(A～E),テクノロジーを前提とした数学教育を考える中で5つのリサーチクエスチョンとして実際に事例を踏まえて調べる.テクノロジーを前提とした数学教育を考えることで, A 数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうか4)5) B答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうか²ﾘC実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうか7)8) D作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうか10) Eミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか"')
本章では,テクノロジーを用いた数学教育についての先行研究の分析を行った．分析をする中で，先行研究から示唆されているテクノロジーの可能性を整理し，このテクノロジーの可能性から5つ選び,「本当に可能なのか」という視点で5つのリサーチクエスチョンとして挙げた.
・テクノロジーの可能性
「動的な理解が可能」「難しい計算が可能」「作図したものを動かすことが可能(GeoGebra)」という3つの面から先行研究によって示唆されているテクノロジーの可能性を表(p.16)にして整理した.
• 5つのリサーチクエスチョン
以下の５つが本研究で明らかにしていく５つのリサーチクエスチョンである.テクノロジーを前提とした数学教育を考えることで, A数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうかB答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうかC実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうかD作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうかEミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか次章では，5つのリサーチクエスチョンが「本当に可能なのか」明らかにするために，実際に事例に当てはめて研究を行っていく．
4.1 GeoGebraについて4.2サイクロイドについて4.3調査方法4.4サイクロイドの学習過程と結果4.5議論本章では,実際にテクノロジーを用いた事例研究について述べる. 4.1では,本事例研究で用いるテクノロジーであるGeoGebraについて述べる. 4.2では，本事例研究の事例にあたるサイクロイドについて述べる. 4.3では, 本事例研究における調査方法を述べる. 4.4では，本事例研究におけるサイクロイドの学習過程と結果について述べる. 4.5では，議論として5つのリサーチクエスチョンに照らし合わせた際にどのようなことがみえてきたかを述べる.
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第４章　事例研究
4.1  GeoGebraについて
テクノロジーといっても多種多様なものがあるが，本研究ではGeoGebraという動的数学ソフトウェアを扱う. GeoGebraとは，幾何，代数，解析を１つに結びつけた動的数学ソフトウェアで，大西洋大学の Markus Hohenwarter により，学校で学んだり教えたりするために開発されたものである．簡単なマウス操作で幅広い用途の図やグラフを作成し自由に動かすことができる.また，特徴として「数式処理機能」と「動的幾何機能」の両方の機能を持ち，その両方の機能を同時に活用できるソフトであることが挙げられる.
4.2サイクロイドについて
事例案を考えるにあたり，まず「先行研究ではどのような事例について扱ってきているのか」と気になり，扱われている事例の統計を取った．さまざまなテクノロジーを用いた研究があるなか，特に「関数」や「幾何」においての事例が多く扱われていることがわかった．しかし,「関数」と「幾何」の両方を用いた事例は見当たらなかった.そこで，今回用いるテクノロジーであるGeoGebraの特徴の「数式処理機能」と「動的幾何機能」の両方の機能を活かすことのできる「関数」と「幾何」の両方が融合した事例を扱いたいと考え,本研究ではサイクロイドを事例として扱うことにした.
4.3  開査方法
調査は，サイクロイドを未学習の筆者が実際にGeoGebraを用いてサイクロイドを学習する.その学習過程で,感じたことや気付いたことを5つのリサーチクエスチョンに照らし合わせる.
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4.4　サイクロイドの学習過程と結果
サイクロイドとは「半径aの円Cが定直線上を滑ることなく回転していくとき、円周上の定点Pが描く図形」である.この定義を知った際, 図形の直感的な予想図は図4のようなものだった.その後，正しいサイクロイドのグラフを見たが，なぜ予想と違うのかはすぐには理解できなかった.数式を見てもしっかりと理解することはできなかったため,数学的に学習する前に, GeoGebraで実際に図をつくってみるところから始めた．作る際に参考にしたのは，“GeoGebra日本”¹³〉というGeoGebraの操作方法，使用実例などを紹介しているサイトである. このサイトを利用し図5の手順でサイクロイドを作成した．また，図6はこの手順で作成したサイクロイドである.
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実際にGeoGebraで作成して手元で円を動かしてみると，なぜ予想と違ったのかが直感的に理解できるようになった．また，サイクロイドの概形や動きを実際に作ることで全体像が見え, GeoGebraを使用する前よりサイクロイドの学習への抵抗が軽減されたように感じる．だが，操作５の「TをC中心に角度－x(T)/a回転」は，GeoGebraでの作図だけでは理解ができず，紙面での学習が必要になった.操作5について図6のGeoGebraで作成したサイクロイドを拡大した図(図6-1)を利用して詳しく見ていくと以下の通りになる.操作5「TをC中心に鱼度ニx(T)/a回転」角度 − x(T)  =  Tのx座標半径a a Tを(t,0)とおくと,角度　ー t=OT=PT=aθより,角度  — a =  — aゆえに，操作5は「TをC中心に角度-θ回転」もしくは「TをC中心に角度θ逆回転」と言い換えることができる.この式を挟まずに操作5を理解することは容易ではない.また,操作5「TをC中心に角度－x(T)/a回転」→「TをC中心に角度－θ回転」の変換は容易だが，逆に「TをC中心に角度−θ回転」→「TをC中心に角度－x(T)/a回転」の変換は難しく感じる. そもそも「TをC中心に角度－x(T)/a回転」という表現は参考にした教科書にも載っておらず，GeoGebraで作図をする際にのみこの理解が必要とされる. しかし, この変換さえ理解できればGeoGebraでサイクロイドを作成することは容易である.最後に，点Pの軌跡について考える。GeoGebraにおいては，軌跡を描く機能があり[描画点,駆動点]の順に選択すると自動的に軌跡が描かれるようになっている.ちなみに,ここでいう描画点とは軌跡を描く点(点P), 駆動点は自由度の点(点T)である. このような機能があるため，作図だけではXとYの式を出すことができず，紙面での学習が必要とされる．だが，図6-1を用いるとX,  Yの式は以下のように容易に算出できる. • X=OT—PQ ACQYより, X=aθーasinθ=a(θ — sinθ) • Y=CT—CQ ACQYより, Y=a一acos θだが，GeoGebraでサイクロイドを動かしていくと以下のような4つの場合分けが必要になってくることに気付く.
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4.5
4.4の学習過程を踏まえて，前述した以下5つのリサーチクエスチョンについて議論する.テクノロジーを前提とした数学教育を考えることで, A数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうかB答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうかC実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうかD作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうかEミスコンセプションの解消に役立てられるだろうかA数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうか紙面での数式だけで終わる学習が図形の作成から入ることで新たな概念が生まれるのではないか.実際に作図することで全体像が見え，GeoGebraを使用する前よりサイクロイドの学習への抵抗が軽減されたように感じたことは関係するのはないか,と思われるまた，半径aの円Cの定点Pが描く軌跡だけでなく半径aが変化するときの円C'のときの定点Pの軌跡も観察可能になってくるため，また一段階レベルの上がった複雑な図形の軌跡も学習可能になるのではないか,と考える. B答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうか今回のサイクロイドについての学習では見通しを立てるに値する成果を得られなかった. C実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうか今回の調査では，サイクロイドを教材とした実世界に関わる問題を見つけることが出来ず，扱うことができなかった．だが,サイクロイドについて調べてみると，「サイクロイド菌車」というものがあることを知った.サイクロイド菌車とは,菌車の菌形にサイクロイドを用いた菌車であり，かみ合う菌先にエピサイクロイド,菌元にハイポサイクロイドを用いると,かみ合いが滑らかになり，磨耗も一様になるので，時計などの精密機械に使用されているものである。 17）一例として,サイクロイド菌車は下図のようなものがある.今回の調査では，サイクロイドを教材とした実世界に関わる問題を見つけることが出来なかったが，調べてみると，数学は実世界に深く関わっており,教材とできる要素が見受けられた.今後,このような実世界に関わる問題が「扱いやすくなるか」という点において，以下のように予測が立てられた．自分自身のイメージの中で処理しにくい問題や,モノを使っての表現や説明が難しい問題であったサイクロイドが今回GeoGebraを用いることで正確に細かく観察できるようになった．これにより，学習する側も教える側も扱いやすくなるのではないか，と考えられる. GeoGebraのようなテクノロジーを用いることで実世界と同じように目の前で数学的モデルが動かせることができ，より実世界に近いイメージのまま学習できるのではないか. D作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうか白紙から作図をしなければならないという状況下のため，元のルールとなるような「定直線に沿って円が滑らずに回転する」という部分や半径 a を変えたときも観察できるような工夫など考え
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る必要がある．これにより，より広い視野で問題を扱う事ができたのではないか.また,問題の全構造を把握することができるようになるのではないか，と考えられる． Eミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか予想と実際の軌跡の違いを視覚的に理解することには有効ではないか,と思われる.実際に紙面でコインを動かすよりも正確に，細かく観察することができ,イメージを正すという面でGeoGebraはよく機能したように思われる.以上が，筆者が学習の中で感じた5つのリサーチクエスチョンにおける現在の見通しである.
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本章では，実際にテクノロジーを用いた事例研究を行った．筆者が実際にGeoGebraを用いてサイクロイドを学習し、その過程で感じたことや気付いたことを5つのリサーチクエスチョンに照らし合わせ，以下の見通しを立てた. O5つのリサーチクエスチョンに照らし合わせA 数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうか図形の作成から学習へ入ることで新たな概念が生まれるのではないか.実際に作図することで全体像が見え,学習への抵抗が軽減されたように感じたことは関係するのではないか.また.一段階上がった複雑な軌跡も学習可能になるのではないか. B答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうか今回のサイクロイドについての学習では見通しを立てるに値する成果を得られなかった. C実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうかサイクロイドを用いた実世界の問題は今回扱っていないため,見通しは立てられなかった.しかし. 「扱いやすくなるか」という点においては予測が立てられた. D作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうか白紙から作図をしなければならないという状況下のため,多くの作図の工夫を考える必要があり，より広い視野で問題を扱う事ができたのではないか.また,問題の全構造を把握することができるようになるのではないか. Eミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか予想と実際の軌跡の違いを視覚的に理解することには有効ではないか.実際に紙面でコインを動かすよりも正確に,細かく観察することができ,イメージを正すという面でGeoGebraはよく機能したのではないか.次章では，実証調査を行い，本章で得た見通しを基に5つのリサーチクエスチョンを明らかにする.
第５章　実証調査
5.1調査の目的5.2調査問題5.3調査方法5.4調査結果とその分析5.5護論本章では,実際にテクノロジーを用いた実証調査について述べる. 5.1では，本調査の目的について述べる． 5.2では，本調査の調査問題について述べる. 5.3では，本調査の調査方法について述べる. 5.4では，本調査の調査結果とその分析について述べる． 5.5では，議論として5つのリサーチクエスチョンに照らし合わせた際にどのようなことがみえてきたかを述べる.
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第５章　実証調査
5.1調査の目的
本調査は，第4章でみることが出来なかった部分を補い，5つのリサーチクエスチョンに対する見解を明確にするために行う．この結果を分析し,「テクノロジーを前提とすることでどのようなことが可能になるか」を明らかにし，さらに「テクノロジーを前提とする数学教育にはいままでになかった何が必要になるのか」考察する.
5.2 調査問題
調査問題を決定するにあたり，課した条件が以下の通りである．
また，第4章で行ったサイクロイドを用いた事例研究の際の5つのリサーチクエスチョンへの照らし合わせの際に見受けることができなかった部分を見るために,リサーチクエスチョンＢ「答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうか」に値する結果が見受けられる可能性がある問題を探した.以上の条件から，以下2つの問題を調査問題として設定した.
【問題】:四角形の中の四角形
【問題】:四角形の中の四角形①～④の四角形ABCDのそれぞれの辺の中点を結んでできる四角形はどんな四角形か。 ①四角形ABCDが正方形のとき。 ②四角形ABCDが長方形のとき。 ③四角形ABCDがひし形のとき。 ④四角形ABCDが平行四辺形のとき。
【問題】シムソン線
【問題】シムソン円に内接する直角三角形ABCを描く。円周上に点Pを取り、点Pからそれぞれの辺へ垂線を描き、その交点を点M、N、Lとする。この三点の関係は何か。以上2つの問題の実験の筋書き，調査シートの流れは以下の通りである．(資料としてP.50 - 56にも記載あり．)
～実験の筋書き～ 5つのリサーチクエスチョンの見通し予想A--O B--O C---× D---O E---A 【問題】:四角形の中の四角形①～④の四角形ABCDのそれぞれの辺の中点を結んでできる四角形はどんな四角形か。 ①四角形ABCDが正方形のとき      ②四角形ABCDが長方形のとき④四角形ABCDが平行四辺形(のとき。 ③　四角形ABCDがひし形のとき。解答・・紙と鉛筆①四角形ABCDが正方形のとき    ②四角形ABCDが長方形のとき→ひし移→　正方形③　四角形ABCDがひし形のとき。 ④　四角形ABCDが平行四辺形のとき。 →平行四辺形↑長方形【問題】四角形ABCDそれぞれの辺の中点を結んでできる四角形はどんな四角形か。また、その理由は何か。仮説・・紙と鉛筆GeoGebraで作図し、動かして探っていく。解答・・・GeoGebra作図し、動かしてみて、四角形ABCDがどんな四角形であっても外の四角形の対角線と中の平行四辺形の辺が平行というこの関係は変わらなかった。 →規則性があるということは理由として使えるのでは？もとの四角形の対角線を引く。四角形を三角形の組み合わせと見る。 【中点連結定理(中学３年の相似の範囲)】を使うと、辺の中点をつないだ線と対角線が平行であることわかる。 「２組の対辺がそれぞれ平行」であることが平行四辺形の定義なので、中にできる四角形は平行四辺形になる。

～実験の筋書き～
【問題】シムソン線円に内接する直角三角形ABCを描く。円周上に点Pを取り、点Pからそれぞれの辺へ垂線を描き、その交点を点M、N、Lとする。この三点の関係は何か。また、三角形ABCがちがう種類の三角形の際の三点の関係性はどうか。描いて調べてみると、三角形ABCがどんな三角形でも点N、N、Lは一直線上にありそうだ。解答・・・GeoGebra (証明1)テクノロジー本当にいつでも一直線上にあるのか。その理由はなにか。 GeoGebraで作図し、動かして探っていく。四角形PBCAは、円に内接するので、 ZPBC+ZPAC = 180° ZPBC=90°のとき、 L (=B)、M (=A) 、Nが1直線上にあることは明らかである。 ZPBC＞90°のときは、ZPAC（＜90° ）について論ずればよいので、 ZPBC＜90°と仮定しても一般性を失わない。このとき、 「ZPAC＞90°であるので、点Mは辺CAの延長上にある。 4点 P,  N,  A,  N は、同一円周上にあるので、また、 ZPBC<90°より、L、NはPBに対して同じ側にあり、四角形PBLNは円に内接するので、 ∠PBL＋ ∠PNL＝180°が成り立つ。よって、 ZPNM+ ZPNL=180°となり、3点 D、E、F は1直線上にある。 5つのリサーチクエスチョンの見通し予想A···O B···Q C···× D···O E···A
【問題】:四角形の中の四角形　～調査シートの流れ～
【問題】:シムソン線
～調査シートの流れ～
調査問題の流れは以下の通りである.

第４章で行ったサイクロイドを用いた事例研究の際のものも含めて以上2つの調査問題における5つのリサーチクエスチョンの見通しを簡単に〇，△，×で示したものが以下の表である．
②四角形の中の四角形(本調査問題) ③シムソン線(本調査問題)以上より，本実証調査では「四角形の中の四角形」と「シムソン線」の2つの調査問題を設定する.
5.3  關査方法
調査は,大学生を対象に行う.調査環境としては,ペアを組ませ,  1つのペアに調査シート,  GeoGebraのコマンド説明の用紙, iPad(GeoGebra)をそれぞれ1つずつ与え，調査問題について課題解決を行わせる．この際に，調査問題は＜特殊な状況＞の問題から始め,紙と鉛筆で課題解決を行わせる.次に, ＜一般化された状況＞の問題をまた紙と鉛筆で課題解決させ，仮説を立たせる．この仮説が,「本当にいつでも成り立つか」という視点からGeoGebraを用いて，仮説を立証する．また，GeoGebraを用いて「なぜこの解答になるのか」の理由を探り，証明させる．この調査の一連の流れを動画で撮影し，反応調査を行う．この反応調査と調査終了後の感想・意識調査から5つのリサーチクエスチョンに照らし合わせて，テクノロジーの可能性を明らかにする.
5.4 調査結果とその分析
本調査では,問題解決の結果,反応調査の結果,感想,アンケート結果の4つを結果とし,テクノロジーが与える影響について分析する.
問題解決の結果
問題解決の面では, 「証明を行う際にどのように考えていくか」に注目した.その評価として,以下のA,  B,  Cの段階ができているかどうか，観察した．
【問題】四角形の中の四角形
A図を動かした際に外の四角形の対角線と中の平行四辺形の辺がいつでも平行になっていることに気付く. B「いつでもＡの現象が起こる」という規則性があるということは，理由につながるのではないか，と考えている． C外の四角形を対角線で区切った2つの三角形の組み合わせと見ることで，中点連結定理を用いて証明を完成させることができることに気付く.
【問題】シムソン線
A直線を180度で構成されたものとして捉え，角度を考えて問題解決を行おうとしている. B円に内接する四角形の条件を用いることで，考えの補助として円を作図することに気付き，また点Pを動かした際の円の動きの規則性に気付く. C 2つの円を作図することで円周角を用いて証明を完成させることができることに気付く.

反応調査
問題解決の際に多く見られた反応は以下である. ・証明を行う際に，補助線を引くような追加の作図をすることへの抵抗がみられた. •「作図したものが動かせる」という特徴が生かされず，動かしている最中ではなく，動きを止めた際の図で考える面があった. •「今どこの何を考えているのか分からなくなってしまった」という発言が多く見られた. ・シムソンの問題に関しては，考えを整理するために紙に描き直して考える場面が多くみられた. ・試行錯誤を行い，自分の考えが間違っているかどうか確かめる場面が多く見られた.被験者のGeoGebraを用いた学習に対しての感想調査後，被験者に対してGeoGebraを用いた学習に対しての感想を書いてもらった．感想としては，以下のようなものがあった． ＜肯定的な感想＞ ・自分の考えを正確に作図できて，動かすこともできるのでとても便利だと思った. •作図に時間がかからないので，考えることに専念することができた. •作図したものが動かせることで関係性・規則性を見つけやすかった. •描いたり消したりが容易なため，試行錯誤しやすかった. ・曖昧な自分の考えを実際に作図することで明確な解答を得ることができ，自分の解答に自信を持つことができ，自分の間違いを受け入れやすかった. ・正確な数値が一目でわかるため，ひらめきの回数が増えると思った. •動かせるので考えやすいし発想が広がると思った. •条件を変えずに図形を動かすことができるのでイメージしやすいと思った. •解答の確認がしやすく，実際に現象を見ると納得がいくのでわかりやすかった. •動かすことで規則性は見つけやすかった. ・自分の仮説の間違いに気付き，なぜそうなるのかを考えることが出来たので正しい答えに近づきやすくなったと思う. •場合分けをせずに点を動かすだけですべての場合の図形の形を見ることができたのでわかりやすかった.く否定的な感想＞ •使い慣れていないこともあり，扱いにくかった. •思ったことが表現出来ず，書き込めないため分からなくなってしまう. •深く集中して問題を解くならば,断然紙とペンがいい. •動かしすぎて頭がついていかなかった（シムソン) •答え合わせ程度の利用が生徒のためにもいいと感じた. (シムソン•今どこを考えているのか分からくなった.  (シムソン) •段階を踏まえて自分で作図することで学習内容を覚える面があるので，今回の学習を今後覚えていないかもしれない．(シムソン) ・上手く使わないと逆に頭の中がごちゃごちゃになってしまうと思った．紙に書くほうが良い場合もあるなと思った．(シムソン)調査後の意識調査アンケート結果調査後に意識調査として5段階評価のアンケートをとった.各質問に対しての結果は以下の通りである. C実世界の問題の扱いやすさの可能性を感じましたかEミスコンセプション(誤った考え)を直すのに役立ちましたか以上4つの結果を整理すると，以下の点が気になった. •操作への慣れが学習の妨げや促進に大きく関わっている. ・シムソンの問題に関しては，GeoGebraを用いるだけでは学習が難しいようで，考えを整理するために紙に描き直して考える場面が多くみられ，GeoGebraの学習上の位置づけを見直す必要があると感じた. •動きのなかで規則性・関係性を見つけることが出来たペアは学習に上手く活かせていたが，見つけることが出来なかったペアが動きに惑わされてしまい動きが思考の妨げになっているようだった. •証明を行う際に，補助線を引くような追加の作図をすることへの抵抗がみられたペアがいる一方で，考えたことをすぐに試して補助の作図をたくさん行い，試行錯誤を繰り返すペアも見られた.この2つ目と4つ目の点において，特に気になったため，分析を行った. 2つ目の「GeoGebraの学習上のツールとしての位置づけ」に関しては, 「四角形の中の四角形」の問題と「シムソン」の問題の2つの問題によってGeoGebraが学習において上手く機能しているかどうかが変わっていることに気付いた. 「四角形の中の四角形」においては,動きによって思考の広がりが見られたが, 「シムソン」の問題においては,思考の広がりが見られなかった.むしろ,操作がまだ拙いなかでの作図が多い問題だったため，頭が追いつかずGeoGebraではなく紙へ作図をやり直して考える場面が多く見られた.実験対象者の感想でも,「シムソン」の問題に対してはテクノロジーを用いた学習に対しての否定的な感想が多く，また,問題解決の際の段階調査もあまり良い結果を得ることが出来なかった.この結果を受けて，今回の事例は，作図はただ紙面上で分かりやすくするためだけではなく，その過程で自分の思考の整理を行うということも重要な役割を備えているということがより分かった事例であると感じた．すると，現段階でのGeoGebraはタッチ操作で行う作図であるため、思考の整理という役割を担う作図ツールとしては,紙と鉛筆より劣ると思われる.問題が作図の複雑な問題であればあるほど，じっくりと思考を整理しながら考えるために，テクノロジーよりも紙と鉛筆という作図ツールが適切なのかもしれないと感じた．だが，実験対象者の反応や感想から，自分の考えが間違っているかどうか，合っているかどうかなど試行錯誤する場面ではテクノロジーの方が行いやすいことが分かり,多方面からを考えさせたい問題の際には上手く機能するように感じた. 4つ目の「追加の作図への抵抗と試行錯誤」に関しては，まず,補助線を引くことができなかったペアと多くの追加の作図を行ったペアに話を聞いた．すると，補助線を引くことができなかったペアは「操作を誤るとややこしくなるので引きたくないという気持ちがあった」ということだった．また，多くの追加の作図を行ったペアは,「追加の作図を描いたり隠したりが容易なので考えたことはとりあえずやってみた」とのことだった。ここで“追加の作図を行うことに抵抗がある”ということを“紙とペンの学習の際の弊害”として考えてみた．すると，これまで紙とペンでの学習では，間違った線を引くと消すことが難しくあまり多くの追加の作図を行わなかった。そのため，補助線は考える際に必要なものとして確定した線として引くようになり，間違っているかもしれない線を引かなくなってしまった．そのため一つの考えに縛られ，多面的に問題に対して考えることができなくなってしまっているのではないか,と考えられる.このように考えると，もしGeoGebraに慣れて操作に困難を感じなくなった際,今回の多くの追加の作図を行ったペアのように「追加の作図を描いたり隠したりが容易なので考えたことはとりあえずやってみよう」という多面的に問題に対して考えて試行錯誤を行おうとする態度が育成されるのではないか,と5つのリサーチクエスチョンとはまた別に，新たな可能性が明らかにされた結果なのではないかと考えられた.
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5.5
5.3の調査結果とその分析を踏まえて，前述した以下5つリサーチクエスチョンについて議論する.テクノロジーを前提とした数学教育を考えることで, A数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうかB答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうかC実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうかD作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうかEミスコンセプションの解消に役立てられるだろうかA数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうか一度のみの学習では難しいが何度も今回のような学習を繰り返すことで，新たな概念(力)として“イメージカ”を上げることができるのではないか,これまで平面の止まった図としてしか見られなかったものを頭の中で動かせるようになる力がつくのではないか,と考える.また，一点に考えが偏らずに“総体的に図形を見ようとする態度”が身につき，考えが広がるのではないか，と考える. B答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうか今回の調査のなかで，図形に新たに作図して動かすことで規則性のある動きを見つけそれを理由として取り入れようとする態度が多く見られた.  GeoGebraで得た気付きを考えとして取り入れて紙面に落としてもらうことで，段階をふまえた論理的な思考が立っていたように思われた. C実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうか本調査ではこのリサーチクエスチョンに対しての結果は見受けられなかった.
D作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにでき
るだろうか
本調査では,被験者が操作に慣れておらず作図の際でつまずいているため明確な結果は見受けられなかった．だが，動かすことでの数値の変化を考慮することで，補助線や外接円などの証明に必要な隠れた図を見つけて，幾何の知識を改めて見直すことが出来ていたように見受けられた. Eミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか仮説としての考えを立証する際に，実際に自分で動かして正誤を確かめることができ,「なぜ違うのか」を考えやすく,自身の間違いを受け入れやすかったのではないか，と見受けられた.
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本章では，実際にテクノロジーを用いた実証調査を行った．研究方法としては,大学生を対象に紙と鉛筆の際とGeoGebraを用いた際の学習の実験を行い，反応を分析・考察を行う．この実証調査を通して，以下のことが明らかになった． O 5つのリサーチクエスチョンに照らし合わせA数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうか何度も今回のような学習を繰り返すことで，新たな概念として“イメージカ”を上げることができそうだ.一点に考えが偏らずに“総体的に図形を見ようとする態度”が身につき，考えが広がった. B答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうか図形に新たに作図して動かすことで規則性のある動きを見つけそれを理由として取り入れていた. GeoGebraで得た気付きを考えとして取り入れて紙面に落とし,段階をふまえた論理的な思考が立っていた. C実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうか本調査ではこのリサーチクエスチョンに対しての結果は見受けられなかった. D作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうか補助線や外接円などの証明に必要な隠れた図を見つけて，幾何の知識を改めて見直すことが出来ていたように見受けられた. Eミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか実際に自分で動かして正誤を確かめることができ,「なぜ違うのか」を考えやすく，自身の間違いを受け入れやすいようだった．以上のことを踏まえて，次章では，本研究の結論とともに，テクノロジーを前提とした数学教育の教育的示唆を行う.第6章　本研究の結論と残された課題6.1本研究の結論6.2残された課題本章では，本研究の結論と残された課題について述べる． 6.1では，研究の目的に対する結論を述べる． 6.2では，本研究において残された課題について述べる．
第6章　本研究の結論と残された課題
6.1本研究の結論
本研究の目的は，テクノロジーを前提とする新たな数学教育を提案するためにテクノロジーを前提にすることでどのような数学教育が可能になるのか,テクノロジーを前提とした数学教育を可能にするには今までになかった何が必要になるのか，この2点について明らかにすることである.研究方法としては,テクノロジーの可能性として挙げられている多くの事柄から5つに焦点を当て，これが「本当に可能なのか」という視点で5つのリサーチクエスチョンとし，第4章，第5章において事例に当てはめて研究・調査してきた．その結果として以下のことが言える.まず,「テクノロジーを前提とする新たな数学教育を提案するためにテクノロジーを前提にすることでどのような数学教育が可能になるのか」という目的に対しては,第4・5章で行った実験の意識・反応調査から得た5つのリサーチクエスチョンの結果を以下のようにまとめ，結果として述べる. A数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうか結果として，期待できる．特に動的幾何の分野においてだが，自分自身で作った図が“動く”という点で，実験対象者全員が大きな反応をしていた．一点に考えが偏りがちだった紙面での学習にくらべて，図が動いた際の多くの可能性を考え“総合的に図形を見ようとする態度”が見られた．また，このような学習を繰り返すことで，動的幾何の分野でつまずきの多い“イメージカ”というのが養いやすくなるだろうと考える. B答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうか結果として，やや期待できる.本研究では,証明問題を用いて調査したが,その際に“規則性のある動き”のようなGeoGebraで得た気付きを考えとして取り入れて紙面に落とし，段階をふまえた論理的な思考が数人の実験対象者に見られた．だが，“規則性のある動き”を見つけられない実験対象者は動きを上手く活用できずにいた.また，動きがあることで多様な面から問題を捉え，誤った考えに行き着いてもGeoGebraを使い間違いに気付き，その理由を考えて理解しようとする態度が見られた.正答に素直に行き着くという面ではなく，自分自身の考えがなぜ間違っているのかについて理由を考えるという面でよく機能していた. C実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうか結果として，期待できると言える.今回の調査では，実世界に関わる問題を見つけることが出来ず,扱うことができなかったが，調べてみると数学は実世界に深く関わっており，教材とできる要素が多数見受けられた．テクノロジーを用いることで，実世界では観察が難しいものを教材として数学モデル化することが容易になり，正確に細かく観察し問題解決できるようになるだろう．また，その数学的モデルは実世界と同じように動かせることができるため，より実世界に近いイメージのまま学習でき，従来よりも実世界に関わる問題が扱いやすくなるように見受けられた. D作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうか結果として，やや期待できると言える.手順をしっかりと踏まなければ作図できないようになっているため，幾何の知識を改めて見直すことが出来ていた．基礎をしっかりと定着させるという面ではよく機能していた.また，テクノロジーを用いることで，従来よりも高度な問題が扱いやすくなり，より広い幾何の知識を扱うことができ，理解が深まるのではないか,と期待が持てた.しかし,その際には操作の慣れの問題やGeoGebraに書き込みができないという不便さがあるため思考を混乱させてしまい，上手く機能しない場合もある．そのため,学習にテクノロジーを用いる際は,テクノロジーの学習上の位置づけを考えなければならない. Eミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか結果として，期待できると言える．動きや現象に対しては実際に自分で動かして正誤を確かめることができ，また数値もはっきりと出るため自分自身での正誤の確かめが行いやすく，自身の間違いを受け入れやすいようだった.また，GeoGebraでは描いたり消したりが容易なため試行錯誤を繰り返し,「なぜ違うのか」と考えて理解しようとする態度がよく見られた.以上を持って「テクノロジーを前提とする新たな数学教育を提案するためにテクノロジーを前提にすることでどのような数学教育が可能になるのか」に対しての結果とする.次に，第4章・第5章で行った実験からテクノロジーを用いた問題解決の効果を以下のようにまとめた.テクノロジーを用いた問題解決の効果メリットとしては. •動きがあることで, 思考の広がりがみられた. •試行錯誤が容易なため，多方面から問題解決を行うことができるデメリットとしては, ・操作への慣れが学習の妨げや促進に大きく関わっている. ・あくまで外面・表面上に思考を表現するための作図ツールであり，じっくりと考えながら自分の内面の思考を整理するという役割としての作図ツールとしては機能していない．そのため，複雑な図形問題になればなるほど，思考を混乱させてしまっている面がある. ・動きを思考に組み込むという考え方が養われないと上手く機能しないため，結果を得るにはもっと訓練が必要.以上から,「テクノロジーを前提とした数学教育を可能にするには今までになかった何が必要になるのか」についての結果を以下の２点から考えた. ＜問題・カリキュラムに求めること＞テクノロジーを扱うならば,多方面から考えて問題解決を行うことができるような“発想や思考の広がりが期待される問題”が良いつまり，従来の日本の知識詰め込み型の受験対策のための勉強ではなく，知的好奇心を高める子どもの主体的な探求型の学習に重点をおいたカリキュラムが必要とされる.
くテクノロジーに求めること＞
作図が正確で便利というメリットだけではなく，思考の整理としての役割も果たすことができるような作図ツールにならなければならない.そのために,テクノロジーの表現方法がもっと増えると良い.機能の発達あるいは退化と言うべきかもしれないが,ボタン操作で行う作図ではなく，垂線や角度などをタッチペンで作図できるようにし，それを後に正確な図への補正を行うことや，メモを書き加えることができるというような自分で描いたという実感が得られるような紙と鉛筆に劣らない多様な表現方法が行えるようになれば,思考の整理としての役割も果たすことができるのではないか,と考える.以上が本研究の結論である.
6.2　残された課題
本研究では,テクノロジーを用いた問題解決について調査を行うことで，前節で述べた見解が得られた．しかし，調査は大学生を対象とした2人でペアを組んで行うような環境であり,実際の教育現場とは環境も対象者も大きく異なる.また，同じ幾何の問題に対しても見受けられる反応が変わっていたため，どのような条件の問題のときにテクノロジーが上手く機能するのか，明確に出来ていない.調査問題についてさらに検討を行い，教育現場により近い環境で調査を行うことで，テクノロジーを前提とする数学教育を実現するには何が必要なのか，根拠とともに明らかにしていくことを残された課題とする.
1) 高橋昭彦, 「インターネット上の学習材(パターンブロック)を用いた問題解決学習に関する研究―具体物による算数的な活動の再考―」,日本数学教育学会誌,第83巻,第8号, 2001, pp14-23 2)松尾七重, 「世界の中学校数学教育の動向」,日本数学教育学会誌,第82巻, 第11号,  2000,  pp.11-18 3)飯島康之, 「テクノロジーは授業を変えるか」,日本数学教育学会誌，第82巻，第7・8号，2000，pp.81-82 4)鳩村元太郎, 「GeoGebraのDGS環境でのCAS機能活用による可能性の検討—多面的な見方に着目して—」第43回数学教育論文発表会論文集, pp.97-102 5) 高橋富彦,「数学教育におけるテクノロジーの活用—解法の糸ロを探る指導の工夫―」,日本数学教育学会誌,第86巻,第1号, 2004, pp.48-49 6)ジョン・マック, 「テクノロジーと数学,そして教育論議のための文脈」，日本数教育学会誌，第78巻，第5号，1996，pp.16-19 7)西村圭一,植野美穂,松元新一郎,田中賢治,清野辰彦,本田千春,細谷和博,指田昭樹,中本信子, 「中等教育段階の数学力リキュラム開発に関する基礎的研究」,日本数学教育学会誌,第87巻,  3号,  2005,  pp.2-11 8)松嵜昭雄,穢田正美,「数学的モデリングにおける理解深化に関する一考察―クランク機構の関数関係の把握―」,日本数学教育学会誌, 第81巻, 第3号,  1999,  pp.20-25 9)佐藤徳顕, 「授業を模索することでもたらされる可能性」,日本数学教育学会誌, 第94巻, 第11号,  2012,  pp.54-57 10) コレット・ラボルデ, 「フランスの算数・数学教育へのテクノロジーの統合：カブリ・ジオメトリによるインタラクティブな動的幾何を事例として」,日本数学教育学会誌,第83巻,第10号，2001，pp.44-53 11) 宮川健, 「テクノロジーによる関数関係理解の改善に関する一考察―事象のグラフ化におけるミスコンセプションに焦点をあてて―」,日本数学教育学会誌,第80巻,第1号, 1998, pp.9-14 12) 「 SITES2006 」,   IEA ,   ＜ http://www.iea.nl/sites_2006.html ＞ , (2014/8/11アクセス) 13)「第2回IEA国際情報教育調査(SITES2006報告書)」, ＜ https://www.nier.go.jp/04_kenkyu_annai/pdf/sites2006houkokusho. pdf＞,  (2010/8/11アクセス) 14) 「「教育におけるICTの活用」(SITES2006報告書)について」, ＜ http://www.nier.go.jp/saka/sakasites.pdf＞,　(2010/8/11アクセス) 15) 「GeoGebra日本」, ＜https://sites.google.com/site/geogebrajp/＞, (2014/8/11アクセス) 16)高橋陽一郎,他, 「数学Ⅲ」新興出版社啓林館, p.35 17) 「コトバンクデジタル大辞典」 ＜ https://kotobank.jp/dictionary/daijisen/＞,  (2015/1/30アクセス)
・啓林館の教科書「数学Ⅲ」に記載されているサイクロイドの説明(第4章) 16)
サイクロイド）
半径oの円Cが定直線上を滑ることなく回転していくとき。円周上の定点Pが描く図形をサイクロイドという。いう上の図のように，定直線をx軸とし，Pの初めの位置が原点Oにあったとして，この円が角θラジアンだけ回転したときのPの位置を(x, y)とする。上の図において，OT=TP=aθであるから， x=OT-PQ=aθ-asinθ y=CT—CQ=a—acosθしたがって，サイクロイドの媒介変数表示は，次のようになる。 x=a(θ−sinθ),     y=a(1−cosθ)上のサイクロイドの媒介変数表示で, α＝1のときは次のようになる。
・実証調査で用いた調査シート①(問題：四角形の中の四角形)
四角形の中の四角形
【問題 】
・実証調査で用いた調査シート②(問題：四角形の中の四角形)
GeoGebraで作図して動かしてみよう！ II理由(中学までの数学の範囲の知識を使って)想（GeoGebraを使ってみて）略! ・実証調査で用いたコマンド説明(問題：四角形の中の四角形)
・実証調査で用いた調査シート①(問題：シムソン線)
シムソンの問題
【問題 】円に内接する直角三角形ABCを描く。円周上に点Pを取り、点Pからそれぞれの辺へ垂線を描き、その交点を点M、N、Lとする。この三点の関係は何か。
・実証調査で用いた調査シート②(問題：シムソン線)
GeoGebraで作図して動かしてみよう！ II  答 えI理由・実証調査で用いたGeoGebraコマンド説明 (問題：シムソン線)
・実証調査で用いた意識調査シート
意識調査
３どちらともいえない2まあまあ感じる1とても感じる4あまり感じない5全く感じない5つのリサーチクエスチョンA数学の仕組みが見えてくることで新たな概念の発達が期待されるだろうかB答えや動きを思考の材料にすることで論理的思考力の育成を重視した学習ができるだろうかC実世界に関わる問題を扱いやすくなるだろうかD作図することで幾何の知識を曖昧なものから明確なものにできるだろうかEミスコンセプションの解消に役立てられるだろうか• A新たな概念(力)の発達の可能性を感じましたか？ 3 2 1 4 • B動きは理由を考えるにあたり役立ちましたか？ 3 2 1 5 ・C　実世界の問題の扱いやすさの可能性を感じましたか？ 4 2 3 11 5 • D 幾何の知識が明確になる可能性を感じましたか？シ2 1 4 5 · Eミスコンセプション(誤った考え)を直すのに役立ちましたか？ 5 3 4 2 1 • GeoGebraを使っての課題解決についての感想・意見をお願いします。 5 ] f 4 ' ] [ J [ ] [ ] [本研究を進めるにあたり，ご指導頂いた多くの方々に心より感謝申し上げます.指導教官である溝口達也先生には，本当に丁寧なご指導をして頂きました.はじめの頃は「研究は厳しく,人間関係は温かく」という溝口先生のお言葉を聞き，ついていけるのか不安で仕方がありませんでした．しかし，ゼミで聞く溝ロ先生のお話はとても興味深いお話ばかりで，あっという間に時間が過ぎていきました.ものの見方・考え方が少しずつ視野の広いものへと変化し、算数・数学教育の世界はこれほどおもしろいものだったのか、と思わせられました.算数・数学教育についての知識欲が日に日に増し,もっともっと溝口先生から多くのことを学びたいという気持ちが今もまだ心にあります.卒業研究においては, ３年生の冬から４年生の春にかけては就職活動，夏には教員採用試験，秋には教育実習と研究に十分な時間をかけることが出来ない日々が多く，停滞の日々が続いていましたが，その時々で状況に合った助言や激励のお言葉をいただき，最後まで研究を続けることができました.本当にありがとうございました.また,研究室の先輩である玉木義一さん,吾郷将樹さん,岸川友飛さん,岡友章さん,和田匠馬さんには,研究で行き詰まってしまった際,相談に乗っていただくことが度々ありました.その際には,お忙しい中でも快く相談に乗って下さり,さらに共に考えてくださり,とても心強かったです.後輩の荻原友裕さんには,実験協力者を紹介して頂きました．若林直広さん，横田真照さんには、夏合宿の準備や進行の際に多くの仕事を引き受けて頂き,私は研究発表の方へと力を注ぐことができました.本当にありがとうございました．最後に同級生の白枝果歩さん，困ったときは自分のことのように頭を悩ませ考えてくださいました.ともに学び，ともに迷い，ともに支え，時には刺激し合い、本当に良い仲間と共に研究に励むことができ，とても嬉しく思っています.研究において実験協力をしてくださった鳥取大学生の方々にも,お忙しい中時間を取ってくださり，深く感謝申し上げます.本当に多くの方々の助けを受けて本研究を完成させることができました。改めて感謝申し上げます.ありがとうございました.平成27年1月坂元里佳子鳥取大学数学教育研究ISSN 1881–6134 Site URL：http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu矢部敏昭　鳥取大学教学教育学研究室　tsyabe@rstu.jp溝口達也　鳥取大学教学教育学研究室　mizoguci@rstu.jp (投稿原稿の内容に応じて，外部編集委員を招聘することがあります) ❖本誌は，次の稿を対象とします。 •鳥取大学数学教育学研究室において作成された卒業論文・修士論文，またはその抜粋・要約・抄録・算数・数学教育に係わる，理論的，実践的研究論文／報告•鳥取大学，および鳥取県内で行われた算数・数学教育に係わる各種講演の記録・その他，算数・数学教育に係わる各種の情報提供❖投稿は，どなたでもできます。投稿された原稿は，編集委員による審査を経て，採択が決定された後，随時オンライン上に公開されます。 ❖投稿は，編集委員まで，e-mailの添付書類として下さい。その際，ファイル形式は，PDFとします。 ❖投稿書式は，バックナンバー（vol.9以降）を参照して下さい。鳥取大学数学教育学研究室〒 680-8551  鳥取市湖山町南4-101 TEI & FAX  0857-31-5101  (海口) http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu/