数学2022年3月5日実施1座標空間において，O(0, 0, 0),  A(1, −1, −1),  B(2, 0, 2),  C(2, 2, 0)を頂点とする四面体がある。点Oから△ABCが作る平面に向かって垂線OHを下ろす。線分AHの延長と線分BCの交点をPとする。次の各問いに答えよ。ただし，答えは結果のみを解答欄に記入せよ。 (1)　点Hの座標を求めよ。 (2)　四面体の体積Vを求めよ。 (3)　線分AHと線分HPの長さの比AH:HPを求めよ。 (4)　点Pの座標を求めよ。解答(1)   AB × AC = (−8, 2, 2)//(−4, 1, 1) (= ↑とする)このとき，OHはOAのn上への正射影ベクトルであるから
である。 (参考) 正射影ベクトル下図の３点O,  A,  Bについて, 点Aから下ろした直線OB上に下ろした垂線の足をHとすると,  OHは,  OBのOA上への正射影ベクトルと言い,
と書ける。(OAが逆向きのときも成立する。)なお，次のように証明できる。
(別解)点Hは平面ABC上の点であるから，実数s, tを用いて
OH ⊥平面ABCよりOH ⊥ AB,かつOH ⊥ ACであるから
(別解)
(3)　点Pは直線AH上の点であるので，実数kを用いて
また点Pは直線BC上の点でもあるので，BP : PC = t : 1 − t (tは実数)とすると
よって，AP = 3AHよりAH:HP= 1：2である。 (4) (3)よりAP = (1, 2, 2)なので, OP = (2, 1)である。よって, P(2, 1, 1)である。 2次の各問いに答えよ。ただし，答えは結果のみ解答欄に記入せよ。 (1)関係式2ª = 3, 3 b = 5, 6ª = 10が与えられたとき, cをa, bを用いて表せ。 (2)   4種類の数字0,  1,  2,  3を用いて表現された自然数を,次のように小さい方から順に並べる。 2, 10, 12, 20, 22, 30, 32, 100, 102, 110, 112, 120, 122, 130, 132, 200, …次の問いに答えよ。 (a)第1489項目の数値はいくつか。 (3)   n = 14¹00とし，nの最高位の数字をαとする。次の各問いに答えよ。なお，必要に応じて下記対数表を用いること。 (a) nの桁数を求めよ。 (b) aの値を求めよ。 (c) a × nを15で割った余りを求めよ。 log 10 2 = 0.3010     log 10 3 = 0.4771     log 10 4 = 0.6021     log 10 5 = 0.6990 log 10 6 = 0.7782     log 10 7 = 0.8451     log 10 8 = 0.9031     log 10 9 = 0.9542解答(1)条件より, α = log₂ 3
log 2 5 … log2 3 = a . . log2 5 = abであるから, log, 10 c = log 6 10 = log 2 6 a log2 2 + log2 5 ll log 2 + log 2 3 1 + ab = 1 + a (2) 与えられた数列は，正の偶数の列2, 4, 6, 8, ......を4進法に直して並べた数列と解釈できる。 (a)   1489番目の正の偶数は2 × 1489 = 2978であり, 2978を４進法で表すと, 2978 = 2 · 4 5 + 3 · 4 4 + 2 · 4 5 + 2 · 4 2 + 0 · 4 + 2 = 232202(4)であるから，与えられた数列の第1489番目の数は232202 (b)   4進法で2022と表される数は，10進法で表すと2022(4) = 2 · 4³ + 0 · 4² + 2 · 4 + 2 = 138であり, 138は69番目の正の偶数であるから, 2022は第69項目である。 log10 n = log10 14100 = 100 log10 14 = 100(log10 2 + log10 7) = 100(0.3010 + 0.8451) = 114.61 (3) (a)であるから114 < log10 n < 115 . . 10¹¹⁴ < n < 10¹¹５とわかるので，nは115桁の数である。 (b)　最高位の数がaなので, a × 10¹¹⁴ ≤ n < (a + 1) × 10¹¹⁴ log10 a + 114 ≤ log10 n < log10(a + 1) + 114 log10 a ≤ 114.61 < log10(α + 1) + 114 ∴ log10 a ≤ 0.61 < log10(a + 1) ∴∴∴①となるが，対数表より①を満たすaはa = 4である。 a × n = 4 × 14¹00 (c) ≡ 4 × (−1)¹⁰⁰    (mod15)            (∴  14 ≡ −1 (mod15)) = 4 × 1 = 4であるから,  a × nを15で割った余りは4である。次の各問いに答えよ。ただし,答えは結果のみを解答欄に記入せよ。 (1)   (1)次の各定積分の値を求めよ。
π , sin x ≤ y ≤ 1をみたす点( x, y )の存在する範囲をx軸のまわりに回転してえられる立(2)　不等式0 ≤ x ≤ 2休の休憩をV 1 , y軸のまわりに回転してえられる立体の休憩をV 2とする。V 1 , V 2をそれぞれ求めよ。解答(1)部分積分を考える。
よって
(2)よって
(参考) バウムクーヘン分割下図の斜線部分をy軸まわりに回転してできる立体の体積V,は
4次の各問いに答えよ。ただし，答えは結果のみを解答欄に記入せよ。 (1) 1個のサイコロをくり返し振る試行について，次の問いに答えよ。サイコロは，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。 (1-1)　１の目が２回出れば試行を終えることにする。ちょうど５回振って試行を終える確率を求めよ。 (1-2)　１の目が連続して２回出れば試行を終えることにする。ちょうど５回振って試行を終える確率を求めよ。 (2)　ある工場では，作られる製品のうちｐ(0 < p < 1)の確率で不良品が発生するという。ある程度たくさんの製品が生産された時点で検査を行い，それに合格すれば一斉に出荷する。検査方法としてA：4個抜き出して検査し，不良品が1個以下なら合格B：7個抜き出して検査し，不良品が2個以下なら合格という2つの方法を考えた。 (2-1) A, Bそれぞれにつき,検査で合格する確率を求めよ。 (2-2)　Aのほうが合格しやすいのはpの値がどのような範囲のときか。
解答
(1)(1-1)　1の目が2回出れば試行を終えることにするとき，ちょうど5回振って試行を終えるのは，1〜4回目に1の目が１回，2～6の目が３回出て，５回目に１の目が出るときであるから，求める確率は
(1-2)　１の目が連続して２回出れば試行を終えることにするとき，ちょうど５回振って試行を終えるのは，１，２回目に1の目が連続して出ることがなく，3回目に2～6の目が出て，4，5回目に1の目が連続して出るときであるから，求める確率は
(2)(2-1)　検査Aで合格するのは，4個の製品のうち不良品が0個または1個のときであるから，その確率P(A)は
また検査Bで合格するのは，7個の製品のうち不良品が0個または1個または2個のときであるから，その確率P(B)は
(2-2)   P(A) > P(B)となるpの値の範囲を考える。(2-1)より
講評[1] [空間図形] (やや易)四面休の休憩，交点の位置ベクトルからの出題であった。いずれも入試基礎レベルであるので，計算ミスに注意して進めたい。
[2] [小問集合] (標準)
対数の変換，4進法，桁数・最高位からの出題であった。(2)が見慣れず，ルールを発見するのに戸惑った受験生はいたであろう。他は入試基礎レベルの問題である。
3 [数Ⅲ積分法] (標準)
部分積分， x軸・y軸まわりの回転体に関する問題であった。いずれも入試基礎レベルであるので，計算ミスに注窓して進めたい。 4 [確率] (標準)確率からの出題であった。特に難しいところはなく，計算ミスに注意して進めたい。 I期に引き続き，全体的に易化傾向にある。捻った出題もなく，楽直な問題ばかりであるので，高得点勝負になるだろう。一次突破ラインは65%程度か。
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