カリフォルニア大学バークレイ,東京大学カプリ数物連携宇宙研究機構村山斉hitoshi@berkeley.edu, hitoshi.murayama@ipmu.jp 2021年(令和3年) 11月25日
1　QCDは詐欺？
強い相互作用の理論としてQuantum ChromoDynam- ics (QCD量子色力学)を最初に勉強した時,詐欺にあったように感じたのは私だけでしょうか？ 「この陽子を見てください。中にはカラフルできれいなクォークが３つ入っているんです。しかも分数電荷,というとてもユニークな性質があります。とはいえ残念ですが,決して見ることも,取り出してみることも,できません。でも本当ですよ,間違いありません,ちゃんと中にあるんです,保証します。いかがですか？」こう言われてお金を出す人がいるでしょうか。警察が聞きつけたら,絶対に介入してくるでしょう。そもそも強い相互作用の歴史は混乱の連続です。ここでは若い大学院生を念頭に少し歴史をひもといてみます。強い相互作用が必要で大事であることはすぐに理解できます。1932年にChadwickが中性子を発見し,原子核が陽子と中性子でできていると分かった瞬間,どうして陽子と中性子が結合して原子核を作るのか,が問題となりました。しかも陽子同士には電気的反発があることはわかっていました。ですから,電気的反発に打ち勝つ強い引力が必要なのは間違いありません。しかも原子核はたかだか数fmの大きさなので,強い相互作用は短距離力です。湯川秀樹さんは2 fmの距離の逆数をとって, ћ/c/2 fm〜 100 MeV/c²程度の質量を持ち,強い相互作用を媒介する粒子を提案しました[1]。陽子（バリオン=重い粒子）と電子（レプトン=細い粒子）の間の質量なので「中間子」1と名付けました。しかも湯川さんは中間子を光子と同じスピン1と考え,そのままでは斥力になるはずが符号を間違えて引力だと主張し,さらに中間子がベータ崩壊も媒介するという欲張りな理論でした。 NeddermeyerとAndersonが105 MeV/c²のミューオンを発見し，質量が湯川さんの予言と近いため湯川粒子かと期待されました。しかし第2次世界大戦中ナチの迫害から隠れ，空爆を避けてバチカン近くの高校に逃れたConversi, Pancini, Piccioniの3人は,実験を続けてミューオンは強い相互作用をしないので湯川粒子でないことを証明しました。その後坂田昌一、谷川安孝,井上健が「2中間子論」を唱え,もっと重く強い相互作用をする中間子がミューオンに崩壊していると主張。そしてPowellのグループがエマルジョンを使って宇宙線を飛行機や気球,アンデスなどの高い高度で観測し, 140 MeV/c²と少し重い中間子がミューオンに崩壊することを示しました。これが湯川粒子,今のパイオンと同定され,湯川さんは1949年のノーベル賞, Powellは1950年のノーベル賞となりました。一方ベータ崩壊などの弱い相互作用は中間子が媒介するには弱すぎることも明らかになり,今ではWボゾンの役割として理解されています。パイオンの役割は強い相互作用に限定されました。ちなみに湯川さんの符号の間違いは,パイオンが擬スカラーであり,さらにアイソスピン1であることがわかって,問題なく引力となりました。この段階では,パイオンが陽子と中性子を結びつけて原子核を作り,その周りを電子が回ることで,宇宙を説明できます。これが必要な粒子の全てです。なぜか必要もないミューオンという電子の「お兄さん」が存在し,パイオンはミューオンに崩壊して地上に降る宇宙線となります。今や医学でなくてはならない核磁気共鳴を提案したIsidor Rabiは,ミューオンについて「こんなもの誰が注文したんだ？」と文句をいったことが有名です。ミューオン以外はこれで必要なもの全部だというシンプルな描像でした。そのミューオンも今や福島原発の炉心や,火山のマグマ,ピラミッドの秘密の部屋の透視で活躍するようになりました。その後我々を形作る陽子・中性子とパイオンに加えて数えきれない中間子とバリオンが発見されて,新たな混乱を産みました。QCDでは,こうした強い相互作用をする粒子のグループ, 「太い粒子」という意味のハドロンはは, Gell-MannとZweigのクォーク模型ですべて系統的78に理解できる、と説明します²。一方クォーク３つで陽子p(uud)のスピン1/2を作るためには,それぞれスピン1/2でないといけないので,スピン・統計の定理によればフェルミ統計に従うはずです。しかし△++(uuu)はスピン3/2でクォークの対称的な波動関数になるので,むしろボーズ統計に従うように見えます。そのつじつまを合わせるためには, 3つの値をとるカラーという自由度をでっち上げます。1964年のGreenbergの論文[5]が最初のようです。カラーについて反対称な波動関数にすれば,全体としてフェルミ統計と矛盾しません。しかしなぜカラーという新しい自由度が必要なのかは不明でした。1965年には韓(ハン)・南部の論文[6]で,カラーが強い力のもとになる「電荷」であることが提案されています。これが私の知る限り,カラーによる非可換ゲージ理論の最初の提案です。さらにカラーがキャンセルする組み合わせが束縛状態として「軽い」と主張しました。南部さんはQCDもつくったのです³。ただ、カラーはelectroweak theoryのように破れていてグルーオンは重いと思っていたようで,だとするとクォークは取り出すことができたはずです。この点は間違っていました。次の問題はクォーク自身が見つからないことです。ミリカンの実験では,電荷は常に整数値。電荷が+2/3や−1/3の粒子は単体では見つかりません。ここでクォークは「閉じ込め」4られているのだ，と教わります。中にあるのに決して見えず,取り出せない,というのです。詐欺のようですが、一応専門用語で「そういうものだ」と言われると、「そうかな」と思ってしまいますが、これはわからないことに名前をつけただけで、説明になっていません。しかも,湯川粒子であるパイオンは,ハドロンの中で特別に軽いことがわかります。そうでないと,強い相互作用を陽子や中性子の大きさを超えて隣まで伝えることができません（図1）。つまりパイオンが軽くなければ原子核は結合せず,宇宙で唯一の原子は水素となり,私たち生命は生まれなかったことになります。ほとんどのハドロンはGeV程度なのに、なぜこの大事な粒子に限って都合よく軽いのでしょうか？教科書ではこれは南部陽一郎さんのノーベル賞になった「カイラル対称性の自発的破れ」によってパイオンが質量ゼロの南部・ゴールドストン粒子と理解できるからだ[2, 3],と説明を受けます。当時はQCDは知られていなかったのに、カイラル対称性を考えること自身突拍子もないこと図1:パイオンは他のハドロンに比べてずっと軽い(上)。実際,パイオンが250 MeVよりも軽くないと,パイオンが媒介する強い相互作用は核子の大きさである0.8 fmを超えて引力を及ぼすことができず,原子核を結びつけることはできません（下）。ここではu , d quarkでできたハドロンに限っています。(Credit: Kavli IPMU)だっと思います。実際南部・ジョナ＝ラシニオ模型は核子（陽子・中性子）で書かれた理論です。それが超伝導のBCS状態のように,核子の対が凝縮している方がエネルギー的に安定だというのです。実際QCDがわかってみると、ラグランジアンを見るだけでカイラル対称性が「ある」ことは自明ですが、なぜカイラル対称性を「破る」のかはわかりません。カイラル対称性を破るクォーク対の真空期待値⟨qq⟩は,摂動論では計算できないのです。そういうものだと思えばパイオンは軽いのだ，というだけでは,私たちの存在に関わる重大問題の説明としては納得がいきません。私たちは大学院で,この無茶なストーリーを受け入れるように洗脳されます。まさしく詐欺ではないでしょうか。
2 実験
クォークの存在は1968年のKendall, Friedman, Tay- lorたちによるSLACでの電子と陽子や重水素の深非弾性散乱の実験[7]で確認されたとされていて、1990年のノーベル賞となっています。陽子や重水素の中に点状のスピン1/2のDirac粒子があってほぼ自由に振る舞い,それが数GeVの電子と散乱したとして,データが理解できるというものでした。ここで「漸近自由性」という考えが生まれ,強い相互作用は核子の大きさを超える2 fm程度の「長距離」では確かに強いものの,高いエネルギー,つまりGeV-1 ～0.2 fm程度の短距離では弱くなり,ほぼ「自由」な粒子として記述できる可能性が真剣に考えられました。場の量子論の立場では,それまで知られていたすべての理論は，朝永さんの繰り込み理論に遡り，短距離では力は強くなり長距離では弱くなる,という性質を持っていました。Zeeはその当時知られていた場の量子論全てが同じ振る舞いをすることを示しました[8]。ところが彼の論文で考えられていなかった唯一の理論が非可換ゲージ理論でした。当時は量子化の手続きすらはっきりしていなかったためです。その後Gross, Wilczek, Politzerは非可換ゲージ理論に限ってはベータ関数5の符号が負であり、短距離で弱くなる漸近自由性の性質を持つことを示し, 2004年のノーベル賞となりました。Politzerはご自身のノーベル講演で“the neat, linear progress, as outlined by the sequence of gleaming gems recognized by Nobel Prizes, is a use- ful fiction.”と語り,科学の進歩は決してlinearでないことを強調しています。当時Harvardの大学院生であったPolitzerが非可換ゲージ理論のベータ関数が負であることを計算で示した際,指導教官のColemanはPrince- tonでサバティカル中で，当時Princetonの教授であったGrossと学生のWilczekの計算ではベータ関数が正であると聞いていて，自分の学生の計算結果を信じなかったそうです。それ以前に実際’t Hooftがベータ関数が負であるとの結果を会議で発表していたものの、その重要性が認識されていなかった様子でした。しかしその後GrossとWilczekは符号の間違いを見つけ, Politzerの結果を確認したとのことです。Grossはそこで「強い相互作用が短距離で弱くなる」ことの重要性を広く強調し、今では実験で非常によく検証されています（図2)。最終的にGross, Wilczek, Politzerの3人が共同受賞となりました。Zeeは悔しかったことでしょう。つじつま合わせのようだったカラーの自由度が,韓・南部の論文でゲージ量子数と格上げされ、ここまできていきなり重要になりました。 1974年「11月革命」と呼ばれる大事件が起きました。 BrookhavenでTingのグループが行った陽子をベリリウムの標的にぶつける実験と, SLACでRichterのグループが行ったe+e−衝突実験が，ともに崩壊幅が100 keV以下、つまり寿命が10−20秒という、強い相互作用では考えられない長寿命の粒子を発見したのです。それまではハドロンの寿命は10−²³秒程度が相場でした。 Tingは中国語の漢字の名字「丁」に似せてJ粒子と名づけ, Richterは一方e+e−衝突の共鳴で割と幅が狭い(4.3 MeV) φ = s 5になぞらえてψ粒子[10]と名付けました6。今はご存知の通り両方に敬意を評してJ/ゆと呼ばれ, ccの束縛状態として理解できます。その後SLACとDESYの実験でさまざまなハドロンが見つかり，新しいcharm quarkがあるとすれば粒子のスペクトルを説明できることがわかりました。さらにJ/ゆの崩壊幅が小さいことは, Γ(J/ψ → ggg) ∞であることから,強い相互作用が高エネルギーで弱くなることで説明できることを, AppelquistとPolitzerなどが後に示しました[12]。しかも, charm quarkの存在は,少し前に予言されていたのです。Glashow, Iliopolous, Maiani [13]の論文でK中間子のFCNC (K 0 -K 0混合, K L → μ +μ −など)が非常に小さいのはcharm quarkの存在で理解できるとの指摘があり, Mary K Gaillard7とBen Leeはcharm quarkか5 GeV/c²以下でないといけないことを同年3月に計算で示していました[14]。まさしくその通りだったのです。しかし1977年にはLeeは自動車事故で亡くなります。生きていればGaillardと2人でノーベル賞
だったのではないでしょうか。
さらにSLACでのe + e − → hadronsの断面積やπ 0 → γγの崩壊振幅がカラーの数に比例していること,バリオンをクォーク３つの束縛状態として理解するためには,カラー３つがキャンセルしていると考えられることなどから,カラーの数は３であると考えるのがもっともらしくなりました。こうして３つのカラーに基づく非可換ゲージ理論であるQCDが強い相互作用の理論として急速に受け入れられていきました。そしてDESYのPETRAでのe+e-衝突実験で3-jetイベントがグルーオンの証拠となりました。KEKでのトリスタン実験では4-jetイベントでの角分布から,クォークから放出されたグルーオンがさらにグルーオン2つへ分かれる自己相互作用が見つかり、非可換ゲージ理論の最初の実験的証拠となりました（図3）[15]。この4-jetの解析はLEPでのZ 0崩壊でさらに進められ, 5つのクォークとSU(3)のゲージ理論を定量的にサポートするに至りました（図4）[16]。しかしこうしたQCDの成功は、すべて摂動論に基づくものです。そもそもの疑問であったクォークの閉じ込めやカイラル対称性の破れは結合定数が強くなったことによる非摂動効果と考えられるので,これではまだ説明できていません。図2で確かに低エネルギーで結合定数が強くなることは間違いありませんが,強くなると計算ができなくなりはっきりとした予言ができないのです。今まではこの問題に迫るには,格子ゲージ理論による数値計算しかないと考えられていました。実際格子ゲージ理論を使うと,クォークと反クォークの間のポテンシャ図4:  LEP実験でのQCDの群SU(3) (星印)とクォークの表現ＴＲを決めた結果[16]。SU( Nc ) = SU(3)であれば, C A = Nc = 3, C F = (N 2 − 1)/2Nc = 3, T R = 1なので, C A /C F = 2.25, T R /C F = 0.375が星印に対応します。ここではZの崩壊で, u, d, s, c, bをほぼmasslessとみなせるためN f = 5と考えてよいことが前提になっています。ルを計算することができ,距離に比例して上がっていきます（図5）。こうであれば,クォークと反クォークを無限に引き離すためには無限大のエネルギーが必要となるので、「閉じ込め」が起きているということができます。しかしこの計算ではクォークは無限に重いことを前提にしています。クォークが軽いと,引き離してポテンシャルエネルギーがあがるよりも軽いクォークの対を作って力を遮蔽した方がエネルギー的に得になるので,あるところからポテンシャルエネルギーがあがらなくなり,閉じ込めの効果を見ることができないからです9。また,数値計算の結果ではプラックボックスとなり, 「理解した」かというとモヤモヤが残ります。もっと直接的に理解する方法はないのでしょうか。具体的には, QCDスケールよりも軽いクォークであるu, d, sの3つをほぼmasslessのflavorと近似し, Nc(カラー自由度の数)= 3, N f (クォークのフレーバの数)= 3の理論を理解することが目的となります。
３　閉じ込めの理論
クォーク閉じ込めの仕組みについては,私の亡き同僚Stanley Mandelstamが大胆な提案をしました[18]。モノポール凝縮というアイディアです。第2種の超伝導体では,磁場はAbrikosov束として超伝導体を貫きます。これはクーパー対の凝縮が磁場を受け付けないため,磁場が貰く部分は超伝導を壊しエネルギーが高くなり,その体積を最小にするように細いチュープのような位相欠陥になるためです。ここで仮に磁気単極子（モノポール）が存在するとして,超伝導体の中にモノポールと反モノポールを置くとすると,モノポールから反モノポールへの磁力線がAbrikosov束として細いチュープとなるため、エネルギーはチュープの長さ,つまりモノポールと反モノポールの間の距離に比例します(図6)。ですから,モノポールと反モノポールの間には一定の引力が働き、2つを引き離すには無限のエネルギーが必要になります。つまり,第２種の超伝導体の中では,モノポールは閉じ込められていることになります。ここで電場と磁場を入れ替えてみます。超伝導体ではクーパー対という電荷をもったもの（2つの電子）が凝縮しており，その結果モノポールが閉じ込められます。逆に磁荷をもったもの（つまりモノポール）が凝縮すると、その結果電荷が閉じ込められるはずです（図6)。クォークのような「電荷」（カラー荷）を閉じ込めるには，（カラー磁場に対応する）モノポールが凝縮すればいい，というのです。これで閉じ込めの仕組みが,馴染みのある物理で説明できそうなので,概念的には大きな進歩です。しかしもっと大きな問題が残っています。そもそもQCDにモノポールなどあるのでしょうか。モノポールは電磁気学,つまりU (1)のゲージ理論で考えらえますが, SU (3)ではどうでしょうか。そしてもしモノポールがあったとしても、なぜ凝縮するのでしょうか。Mandelstamはこの点について答えていません10。この点については実は大きな進歩がありました。1995年にSeibergとWittenが,超対称性が2つあるQCDを考え,モノポールが実際に凝縮することを解析的に示したのです[19]。超対称性は弱い相互作用のスケールv 〜 250 GeVがなぜ量子重力のスケールM pl ~ 2×10¹ 8 GeVとかけ離れているのか、という階層性の問題を解くために, LHCでの発見が期待されてきた理論上のアイディアですし,究極の理論と言われる超弦理論でも「超」が付いていますから必要なものです。ですがここではむしろ理論的な「道具」として,場の理論を非摂動効果を含めて扱えるために活躍します。超対称性というパワフルな対称性を武器に,非摂動効果を調べることができるようになるのです。私はWittenがこの結果をプリンストンの高等研究所で発表した講演を聞くことができて,感動したことを覚えています。ノートひとつ持たず,チョーク一本だけで,基本から説き起こし結果を目の前で導く,そして少しハスキーなテナーの高い声で話す様子はとても印象に残りました。ちょっと宗教儀式のような雰囲気でした。具体的には, SeibergとWittenはQCDといってもSU(3)ではなく, SU(2)を考えました。超対称性が２つあるとゲージボソンのパートナーとして,スピン1/2のゲージーノが２つあり,さらにそのパートナーとしてスピン0のゲージスカラーがあります。SU(2)ですから、ゲージボソンは3つの場(W+,W°,W−)があります。ゲージスカラーも同じ量子数(φ +,φ o,φ − )なので,その中性の成分〈φ⁰〉＝ ν ≠ 0が凝縮すると, SU(2)がU(1)に壊れます。この時,大統一理論と同じようにモノポールが生まれます。モノポールの質量は普通は大変重く,真空期待値νとゲージ結合定数gで, v/gの振る舞いになります。しかしvが小さくなると同時にエネルギーが低くなるためgは大きくなり,両方の効果でモノポールの質量は軽くなっていきます。SeibergとWittenはνが十分小さくなるとモノポールの質量が厳密にゼロになりうることを示しました。ですが,このままではモノポールの凝縮まではいきません。この理論は超対称性が2つもあるので,現実世界からはかなりかけ離れた「美しい」世界であり,現実の世界に近づけるためには超対称性を破らなくてはなりません。2つあるうち一つを破るためには、ゲージーノのひとつとゲージスカラーに質量を手で入れます。この時,質量ゼロとなったモノポールが凝縮することを示したのです。これでモノポール凝縮が非可換ゲージ理論で実際におきることがわかりました。このことは後に一般のSU( Nc )のゲージ理論へ拡張され, QCDと同じSU(3)でもモノポール凝縮が起きることが示されました。これで閉じ込めについては一件落着のようにも見えますが,まだそうとは言えません。ここではクォークが入っていない理論で議論しているからです。特にカイラル対称性がどうなっているかについては、このままではわかりません。
まだ非現実的
4
SeibergとWittenが用いた超対称性が2つある理論では,実はカイラル対称性が初めから破れています。南部さんはカイラル対称性が「自発的に破れる」ことで,パイオンを南部・ゴールドストン粒子と理解し、その軽さを説明しようとしました。初めから破れているのでは,南部・ゴールドストン粒子は出てきません11。その後Seibergは,超対称性が1つの理論を考えました[20]。Seiberg–Wittenの超対称性が2つある場合と違って，この場合にはカイラル対称性がある理論を考えることができるので現実世界へ一歩近づきました。そこで焦点は、この理論がカイラル対称性を自発的に破るかどうか,です。しかし, Seibergの解は奇妙なものでした。現実世界とは似ても似つかない答えが出たのです。 Seibergの結果（図7の左端, m = 0の場合,クォークは質量ゼロと仮定）によると, SU( N c )の理論（QCDではN c = 3）を考えた際,クォークの数N fがN cよりも小さいN f < N c場合は理論に基底状態がないというのです。具体的にはクォークの超対称性パートナーであるスピン0のスクォークが凝縮し,どんどん大きな値へ転がっていく, run-awayの振る舞いをするというのです。基底状態がないのではQCDの真空を扱うことができません。また, N f = N cの場合は逆に基底状態が無限個あり，そのほとんどではバリオン数を破ってしまいます。 Nf = Nc +1の場合は閉じ込めが起きてクォークが中間子やバリオンの束縛状態になるのはいいものの、カイラル対称性は自発的に破れません。 N c +2 ≤ N f ≤ ¾ N cの場合は，もっと奇妙なことが起きるというのです。結合定数が強くなって非摂動効果が効いてくるとクォークがNc個集まってバリオンに結合するところまではいいのですが、さらに低いエネルギーへ行くとバリオンがNf – Nc個の「破片」に分かれてしまいます。この破片を「磁気的クォーク」と呼び,元のクォーク（電気的クォーク）と区別します。そして磁気的クォークはSU(Nf – Nc)の「磁気的ゲージ場」と相互作用するというのです。さらにξ N c < N f < 3N cになると, 2次相転移のようにスケール不変な粒子描像を持たない理論となるといいます。どの場合も,現実のQCDとは似ても似つかない振る舞いです。
5　やっと現実世界へ
Seibergの導いた非現実的な振る舞いは超対称性がまだ一つ残っているからで,うまく超対称性を破れば現実世界に近づけられるのではないか、と考えられます。実際ゲージーノやスクォークはQCDには要らないので,質量を与えて重くすればいいはずです。ですが,ここで問題になるのは,与えた質量が非摂動論的にどう効いてくるかを調べないといけないことです。Seibergの解では中間子やバリオンといった束縛状態がでてきますので、単に質量を与えるのとは違います。実際QCDでも,クォークの（小さな）質量を入れるとカイラル対称性は若干破れるため,パイオンは厳密な南部・ゴールドストン粒子ではなくなり,若干の質量をもらいます。しかしパイオンの質量はクォークの質量の合計ではなく,クォークの質量の平方根に比例することが知られています。非摂動効果は直感的ではないのです。実際Seibergの解に超対称性の破れを入れる試みは2000年頃に多くありましたが、非摂動効果を取り入れる点でうまくいっていま82図7: 横軸mは超対称性粒子の重さに対応します。左端( m = 0)が超対称性粒子がmasslessで超対称性のあるQCD。右端(m = ∞)が超対称性粒子がないQCDで,現実のN f = 2,3の場合は実験的にカイラル対称性が破れる(χSB)とわかっています。一方Nf ≥ H Nになると漸近自由性がなくなりますが,そのちょっと下ではconformal field theoryになって閉じ込めが起きない(Banks-Zaks fixed point [21])ことが知られています。両端は似ても似つかない振る舞い。左端から少し右へ行くのが超対称性を若干破ったとき(m ≠ 0)で,厳密に解け, N f < 3N cではすべてカイラル対称性の破れに収束します。QCDスケールΛを超えて連続的に現実世界(m = ∞)に繋がっているように見えます。 N f ≥ 3Ncではまだ厳密解が見つかっていません。
せんでした。
超対称性を破りつつ,非摂動効果をちゃんと調べる方法はあるのか12。私は自分の1998年の論文を思い出しました。「アノマリーによる超対称性の破れの媒介機構」というメカニズムです¹³。長い名前ですし,名前は実はむしろ誤解を招くので,以下では英語の頭文字を取ってAMSBと呼ぶことにします。実は超対称性というのはあまりにパワフルな対称性なので,破るのが難しいのです。うまく破れても,それを標準模型の超対称版(例えばMinimal Supersymmetric Standard Model = MSSM)に伝えるのもまた難しいです。そのために多くの理論屋がいろんなメカニズムを提案しては現象論と合うためには複雑になりすぎ，また簡単なものを探し，と模索を続けてきました。そこでGian Giudice, Markus Luty, Riccardo Rattazziと私の４人は,実は何もしなくても重力はあるので,ちゃんと超対称性の破れが伝わるのだ,ということを指摘しました[22]。何もしないのがよい,という禅問答めいたメカニズムで，これがAMSBと呼ばれています¹⁴。一方AMSBには, UV insensitivityという特殊な性質がありました。無理に日本語にすると「紫外不感症」となりますが、プランクスケールでの初期値によらず、どのエネルギースケールでの超対称性の破れもそこでの物理だけで決まる,という性質です。パラメータは一つだけで,破れの全体の大きさです。この性質のため,単体の素粒子でも束縛状態でも,超対称性の破れが計算できてしまうのです。加速器の現象論にとってはあまりメリットはありませんが、非摂動効果を知るためにはうってつけでした。そこでSeibergの非現実的な結果に,少しだけAMSBを導入すると，前節で書いたような不思議な基底状態の性質が0 < N f < 3N cの全域で一つに収束し,カイラル対称性が破れるという結論が（ほぼ）厳密に導けます(図7のm ≠ 0のケース) [25, 26]。普通は格子ゲージ理論でスーパーコンピュータを使わないと計算ができないクォーク対の真空期待値〈āq〉も簡単に計算でき,ちゃんと0でない値が出ます。つまり, QCDを一度超対称にし, Seibergの厳密解を使い，改めて少しだけAMSBを導入すると，QCDと(massiveのgluinoとsquarkを除くと）同じ理論になります。その基底状態も厳密に求まり、ちゃんと南部さんのいう通りにカイラル対称性が破れているのです。こうして南部さんに遅れること60年,私はやっとカイラル対称性の破れに納得できました！さらにゲージ群をSU(Nc)からSO(Nc)に変えると,モノポール凝縮によって閉じ込めが起きることも厳密に示すことができました[27, 28]¹³。格子ゲージ理論ではカイラル対称性があるmasslessのクォークで計算ができないので,閉じ込めとカイラル対称性の破れを同時に示す初めての結果です。ただ,全てのケースが理解できたわけではありません。 N f ≥ 3N cになると, AMSBではスクォークがm²( q ) < 0となってしまい,安定な真空がありません。この場合の研究はまだ続けています。もう一つの問題は,厳密に解けるのはAMSBのgluinoとsquarkの質量がQCDスケールよりも小さい場合なので，これを大きくして行く際に（図7で右へ向かい， m ≈ Λを超える場合）相転移があるかどうかです。今の結果では相転移はなく,超対称性がないQCDに自然に連続的につながっているように見えます。一方相転移があると,超対称性の破れが小さく厳密に解けるケースと,超対称性の破れが大きく現実のQCDに対応するケースが連続的に繋がらず,新しい知見が得られないことになります。これがたまたまうまくいっているのか,より深い理解があるのか、まだはっきりしていません。ちなみに、このやりかたで超対称性はあくまで「道具」でしかありません。もちろん超対称性は大統一理論や超弦理論,ダークマター,階層性問題の解決などで期待がかかり,現実の物理の理論としてどこかのエネルギーで見つかるべきだと思っています。LHCで見つかっていない今でもILCで見つかる可能性は充分残っていますし、いずれはもっと高いエネルギーで探索していくべきです。ただ超対称性が実際にあるのかどうかはここでは直接の関係はありません。余談ですが, AMSBにはドラマがありました。著者4人が集まったのは，夏休み中のCERNでした。夏の間に研究結果は既に出ていて,論文もある程度書いてはいたのですが，夏が終わってそれぞれの大学へ戻ると，授業だ雑用だと気が散って論文を完成させるところまではいっていませんでした。そんな中で私がある晩arXivをチェックすると, Lisa RandallとRaman Sundrumがほとんど同じ結果を論文にして投稿していたのです[24]。私は慌てて３人の共同研究者にメールを送りました。するとCERNにいたGiudiceとRattazziから，「頑張って今日中に論文を仕上げよう。お前はもう夜だから寝ろ。今朝のこっちで作業を開始する」と返答がありました。もっともだと思い床につきました。寝ている間, CERNでGiudiceとRattazziが論文を書き続け,夜になると当時東海岸にいたLutyに原稿が渡り,彼が論文をさらに書き続け,最後は西海岸の私に回ってきました。私がなんとか論文を仕上げ投稿した結果,論文はわずか1日遅れ,さすがにコミュニティは独立の仕事として認めてくれました。これが私の小さいグループの論文としては最多引用件数（1500件以上）ですので、ここで頑張らなかったら教授になれなかったかもしれません。時差にいいことがあると思えたのは,人生で金輪際この時だけです。
6他の応用
こうしてQCDのようにパリティを破らないゲージ理論については,満足のいく結果が得られました。その後パリティを破る理論に応用することも始めました。実はパリティを破り閉じ込めを起こすようなゲージ理論にどういう対称性が残り、どんな軽い束縛状態が存在するか、はほとんどわかっていません。いくつか予想は立てられてはいるものの,格子ゲージ理論でもまだ調べることはできず,どの予想がもっともらしいかの判定もできていないのです。なにせ標準模型も大統一理論もパリティを破っていますから,こうしたゲージ理論の基底状態には大いに興味があります。超対称性のある理論にわずかなAMSBを加えることで、こうした理論でも厳密に基底状態を求めることができました[29, 30]。しかもその結果は,今までのどの予想とも異なり，対称性をより破り，一方束縛状態のフェルミオンは数少ないものでした。いずれは格子ゲージ理論が進歩すれば,はっきりとどの予想が正しいかは判定できるはずのものです。楽しみにしています。また, 2次元や3次元の物性系への応用も考えられます。この手法を使って高温超伝導に迫ることができたら、と夢が膨らみます。
7 まとめ
大学院時代「詐欺」だと感じたQCDでしたが,超対称性を一度導入し,改めてわずかにAMSBを加えることで，厳密に基底状態を求めることができ，「詐欺」ではなかったことがはっきりしましたし、「納得」できました。湯川さん,南部さんはやっぱり偉大だったのです。天才に向かって「詐欺」だと文句を言った非礼はどうかお許しいただきたいものです。