第６章　記号法による交流回路の計算三間6・1 複素数とベクトル———問1          を掛けると90°進み，一1を掛けると90°遅らせることができる。 :. Z 3 = − j (3+ j 4) = 4 − j 3問2 教科書の式(6・20)を参照。 Z = * I = Z 2 • Z = ε - ঙ্ঙ = ε ( - ঙ্ঙ + ঙ্ঙ) = 1 = ε 0 =または，Z=ε ′′=1 ⁄ 120°であるから, Z²=1² <(120°+120°)=1 < 240°=1 < − 120° Z³=1³Z(120°+120°)=1Z360°=1Z0これらをベクトル図で表すと，解図１となる。

6・2 交流回路の計算一
負荷に加わる電圧をV (V),負荷電流をI (A)とするとき, Z = V / I (Ω)を負荷の複素インビーダンスといい，VIに関しては，VIの英部＝4〔W〕が負荷の消費電力，V1の虚部＝＝4/3 (V·A)か，負荷の無効電力を表す。なお無効電力の一(負)は，遅れ無効電力であることを示す。問2   前問の回路でインビーゲンス2=5+;10 (Ω), 流れる電流1=4−;3 (A)であもから, .'.  V = 21 =(5+j10)(4-j3)=20+j40-j15+30=50+j25 [V]電圧の大きさV = | V | = √50² + 25² = 55.9  [V] - 2 -
問4　 Z = 16 + j 12 [Ω]のときのYは,
問5 （a）コングクタンスG＝5 (mS)に電圧V＝10 (V)を加えたときに流れる電流I= YVである。
岡6

− 3 −

- 4 -
また,
また,
問9電流 I =10 (A)が位相の基準であるから,
これらのベクトル図を描くと，解図３となり， Vaoとİ2の位相差θは，解図より，次の値となる。 81=180°, − 5 −問10　L，Ｃ共振回路の共振周波数をf,,コンデンサの静電容量Cを4倍にしたときの共振周波数をfrとすると,

6・3 諸定理による交流回路の計算——
間1   教科書p. 51 (例題1 )の結果式(6)でjωLの代わりにーj 〜C –を用い，題意の
300×10+100×20
の順路によりキルヒホッフの第2法則(電圧則)を適用すると大式を得る。
Z 2 (Z 1 + Z 2 ) I 1 +          Z 2 I 3 −) ( Ż 1 + Ż 2 ) Ż 2 İ 1 + ( Ż 1 + Ż 2 )( Ż 2 + Ż 3 ) İ 3 = ( Ż 1 + Ż 2 )( Ë 3 − Ë 2 ) { Z z − ( Z 1 + Z z )( Z z + Z z )} I z = Z z ( E 1 − E z ) − ( Z 1 + Z z )( E z − E z ) :. （ Ż₂ − Ż₁ Ż₂ − Ż₁ Ż₂ − Ż₂ − Ż₂ Ż₂ ) Ż₂ − Ż₂ Ë₂ − Ż₁ Ë₂ + Ż₁ Ë₂ − Ż₂ Ë₂ + Ż₂ Ë₂ −( 2 1 2 2 + 2 2 2 3 + 2 3 2 1 ) 1 3 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 + 2 2 1 2 .. : i 3 = Z 1 ( E 3 = E 2 )+ Z 2 ( E 3 = E 1 ) ŻıŻ² + ŻıŻ³ + Ż³ Żı
.

- 7 -

問3

6・5 相互インダクタンスを含む回路の計算-

- 8 -

復習問題—基本問題— 1. ( a )  6+18の大きさ=√6²+8²=√100=10偏角θ=tan-¹(8/6)≒53.13°≒53°8′ (b) 4-j3の大きさ= /42+(-3)2= /25=5偏角θ＝tan~¹( − 3/4)≒ − 36.87°≒ − 36°52′ (c) (4+j2)+(6+j8)=10+j10の大きさ=√102+102=10√2÷14.14偏角θ=tan=¹(10/10)⇒45° (d) (12-j10)-(4-j7)+(8+j15)-16+j12の大きさ=J162+122=20偏角θ＝tan−¹(12/16)≒36.87°≒36°52′ ( e ) (8+j6)(5+j3)=(40-18)j(30+24)=54j54大きき= /22²+54²÷58.3降降降
- 9 -
偏角θ＝tan-¹(54/22)⇒67.83°⇒67°50′
大きさ=√19.2²+5.6²=√400=20偏角θ＝tan-¹( − 7/24)＝tan-¹( − 5.6/19.2)＝ − 16.26°≒ − 16°16′ 2. (a) A+B=(5+j8)+(4+j3)=9+j11 (b) A-B=(5+j8)-(4+j3)=1+j5
3. jÀのベクトルは，大きさが等しく，位相が写(rad)進んだベクトルになる。すなわち、j(4+j3)=-3+j4 − j sin 宮)のベクトルは，位相が宮(rad) (30°)遅れたベクトルになる。すなわち,
すなわち,

- 11 -
( a )    ÅÅ=50ε**×5ε**=250ε*=250 ∠ 180°= − 250 6. (a) Z=R+jXz=3+j4 [Ω]大きさZ=√3²+4²=√25=5  [Ω] (b)  Z=R-jXc=6-j2 [Ω]大きさZ=√6²+2²=√40=6.32 [Ω] 7. Z=R+jXL=4+j3 [Ω]大きさZ=√4²+3²=√25=5  (Ω)並列に接続した場合

- 12 -
11. R, L, Cに流れる電流を,それぞれİn, İl, İcとし, İnを位相の基準にとれは,  İ r =15 (A),  İ r = − j10 (A),  İ c = j2 (A)であるから,合成電流İは, l = l R + l L + l c = 15 − j 10 + j 2 = 15 − j 8  [A] ↑の大きさI=√15²+8²=17 (A)力率cos θ = I R / I = 15/17÷0.882        (88.2 %) Z = Z x + Z x + Z x + Z x =(2+ x 3)+(2− x 2)+(3+ x 9)=(2+2+3) =7+j10 [Ω]大きさZ = √7²+10²=√149÷12.2  [Ω]氷に，この直列回路に5Aの電流が流れたとき， 21,  23の各端子電圧をV, V2,  V3とすれば, Vi=ZiI=(2+j3)5=10+j15 (V)大きさV 1 = √10²+15²=√325÷18.03 [V] V 2 = Z 2 İ =(2− j2)5=10− j10  (V)大きさV2=V102+(-10)2=V200=14.14 [V] Vs=ZsI=(3+j9)5=15+j45 (V)大きさ V3= √15²+45²=√2250÷47.43  (V) 12.
式(2) −式(1)=式(3)であるから，回路より式(3)を立てる必要はない。 .".  L=CR1R2=600×10-12×50×103×10×103=0.3 [H]=300 [mH] 18.電流たの作る磁束と，電流たの作る磁束は，互いに打ち消し合う方向に生ずるので，差動結合である。したがって， ①の閉回路の方程式は、 (R+jwLn)İı – jwMI 2 = V ②の閉回路の方程式は，
- jwMI,+ jwL,+ = 0
なお，たを逆の方向にとって，これをほとおくと，たとほの作る磁束は和動結合となるが，この場合，回路の方程式は火式となって，
この式で，İs'＝＝İsとおくと，やはり式(1)，式(2)の連立方程式となるので，この連立方程式の解も， L ′ ＝ − I zとなり，両連立方程式のI zは等しくなる。式(1),式(2)の連立方程式と解くと，火式が得られる。
なお，このZ 1を，解図8のようにV-Y変換により求めると，
解図8ゆえに式(3)＝式(4)となり，この式でMを− MとしてもZiは同じである。しかし，このような変圧器の回路では，物理的には，差動結合である。 19.合成イングクタンスが2.5mHのときは和動結合，1.3mHのときは差動結合である。したがって，式(6・81),  (6・82)を用いて，
L 1 + L 2 − 2 M = 1.3×10−3 ( 2 )式(1) -式(2)より相互イングクタンスMを求めると，次のようになる。 4M=1.2×10-3
- 14 -
..  M=0.3×10~³ (H)=0.3 (mH)

- 15 -
上式で虚部が0のとき，すなわち並列共振時のCは，

− 16 −

または，
7.図6·113の回路のインピーダンスおよび電流を，解図9のように決める。
b-c間の合成インビーダンスŻьcは,
d点の電位 V d = jX L2 l2 = j3(32 − j24) = 72 + j96  (V)

- 17 -
c-d間の電位差V ω = V c − V d =(128+j96) −(72+j96) =56 (V)

- 18 -

ゆえに，テプナンの定理により，

− 19 −
E1 + E2 r + 2 R + j 2 ω L 12.ミルマンの定理によりVasを求めると，火式となる。
常改14
14. 図6・117 (a)の回路では，抵抗R ,の端子電圧が Vasに等しい。すなわち,
図(b)の回路では、E1>E2とすれば,

- 20 -

解図15解図16
17.テプナンの定理（等価電圧源の定理）により，回路網を解図17のような等価電源に置き換えてみる。
R1R2(1+jwCsRc)=Rc(rx+jwLz) R1R2+jCsRcR1R2=Rcrx+jwLxRc

- 22 -
L x = C 8 R 1 R 2 =1 × 10 −6 × 10 × 500 =5 × 10 −3 (H) =5  (mH) 19. a-b間のコイルの発生する磁束と，b-c間のコイルの発生する磁束は，互いに打ち消し合う方向に発生するので，差動結合である。ゆえに，a-c間の合成インピーダンスをZとおくと, 2 = jwL1+ jwL2- j2wM = j9+ j4- j2×4= j5  [Ω]ゆえに，回路電流Iは，水式となる。
20. V-Y変換を行うと，↑と1 ⁄の電流の作る磁束は，同じ方向であるので，和動結合であるから，解図18となる。

- 23 -

V ao=j4li+j4li2=j4(4-j2)+j4(-2-j4)=j16+8+16=24+j8 [V]となる。この場合，V-Y変換を用いる方が簡単である。 21.ミルマンの定理によりV‰を求めると,

− 24 −

問7・1
間2
7・2  三相の結線法と電圧・電流の関係

− 25 −
また，線電流をＩとすれば，式(7・15)から，
問3
問4    V結線の場合の線間電圧と相電圧の関係は,

7・3 三相交流の電力と力率—

- 26 -
:.  P=3P'=3×800=2 400 [W]=2.4 [kW]語2単相変圧器2台をV結線にしたときの出力Pは，式(7・21)から， P=30×√3=51.96 (kVA) 7・4平衡三相交流回路の計算一間1
R α = R 1 3
図7・48 (a)の等価単相回路は，解図3のようになる。この図から合成抵抗をR問3とすれば,
ゆえに，線電流Iは，
解図3ス②は,
ゆえに，線電流Iは,解図4
図7・48 (c)の等価単相回路は，解図５のようになる。この図からインピーゲンスZは,
-基本問題- 1.  端子a-b間, b-c間, c-a間の電圧をそれぞれVas, Voc, Vcsとすれば,解図6のようなベクトル図になる。 2. （a）電圧のベクトル図を描くと，解図７のようになる。 (b) 嫦子a-b聞, b-c聞, c-a聞の電圧をV as, V as, V caとすれば,ベクトル図から, Vao=|Vao|=|Ea-Eo|=√3×200=346.4 [V] V bc =|V bc|=|E c|=200 (V) Vca=|Vca|=|Ec|=|Ec|=200 (V) 3. △結線の場合の相電流と線電流の関係は，式(7・15)から, I=√3I'=√3×20÷34.64 [A]
負荷の力率cos θは，
5. ( a )  綾間電圧をVとすれば, 相電流I'は,

− 30 −
(b) 線電流Iは,改7・55 (b)の三角結線の場合(c)相電圧V'は, V'= V=100 (V) (d)全消費電力Pは, P=3I²R=3×5²×20=1 500 [W] 6.等価単相回路は，解図８のようになる。相電圧をV ′とすると, V'=600/ /3 (V)線電流Iは，式(7・15)から， I=√3I'=√3×20÷34.6 [A]線間電圧Vは,解図8 ——発展問題一
( a ) 各ヒータの抵抗Rは，120 V加わって10 A流れるから，
(ｂ)　線電流I，すなわち電流計④の読みは，相電流がI'＝10 (A)ゆえ，
- 31 -
I=√3I'=√3×10=17.32 [A] ( c ) 全電力Pは，式(7・17)から, P=3I²R=3×10²×12=3600 (W)=3.6 (kW)
| Í α |=√3| Í′ |=21√3 [A]ベクトル図(解図9)は広。基準で描いてあるが， V ∞基準では， I'はV ∞より30°位相が遅れているので, l。はÉ。より負荷角30°遅れており， Vasよりは60°遅れているので,
6.相電圧V'は,
解図9
ゆえに，負荷の抵抗Rは，力率をcos θとすれば， R=Z cos θ=8.66×0.8=6.93 [Ω]また，負荷のリアクタンスXは，無効力率をsin θとすれば, X=Z sin θ=8.66×0.6=5.2 [Ω] 7.負荷一相のインピーダンスの大きさZは, Z = √24²+18²=30 [Ω] ( a ) 負荷の相電圧をV'とすれば,回路の電流Iは,
- 32 -

—チャレンジ問題-
- 33 -
解図10 P=3I" R=3×13.56"×12=6.619 (kW)また，相電流I'は， Iab=Ibc=Ica=I'=20 [A] ( a ) 線電流Iは, 9=30
(ｃ)　負荷の力率cos θは，相電圧と相電流の位相差がニであるから， cosニ＝0.866 (86.6%)遅れ力率( d )  負荷の三相電力Pは，式(7・17)から， P=3V'I' cos θ=3×200×20×0.866=10 392 (W) = 10.392 (kW) 3.図7・63の等価単相回路は，解図11のようになる。この図から，合成インピーグンス②の大きさは, Zo= /(0.4+0.8+12)2+(0.2+0.7+9)2 = √13.2²+9.9²=16.5 (Ω)

- 34 -

治療問題
—基本問題一
( a )可動コイル形（b）可動鉄片形  （c）電流力計形  （d）熱電形1. ( e ) 誘導形2. (c)電流力計形3. （d）熱電形(約10MHzまで) 4.電流計が最大目盛を示している状態で図示すると，解図１となる。ここに，分流器の抵抗をR s，倍率をmとする。したが500mA 10mAって，図のa-b間の電圧をVabとすると， Vab=0.01×1.0=(0.5-0.01)×Rs
m = 500 [mA] = 50 10 [mA] 5.電圧計が最大目盛を示している状態で図示すると，解図２となる。ここに，倍率器の抵抗をR ,倍率をmとする。 − 100 V −
また，回路電流をＩとすると,
:.  R=90×20×103=180×103 (Ω)=180 (kΩ) 6.直列回路では，抵抗値とその両端の電圧は比例する。電圧計も回路的には抵抗と考えられるから, V 1の指示: V 2の指示＝50 : 200＝1  :  4 120Vを1 : 4の比に分けると,解図3
7. (a) VT……p.164参照(b) CT……p. 164～165参照8. 訳差ε=|49.2-50.00|=0.8 (V)

—発展問題—
1. 図8・59において，電圧計の指示値をV，電流計の指示値をIとすると，図(a)の回路では、
s'=19.960-20=-0.04 [Ω] |図(b)の回路では，
したがって，図(a)の回路の方が誤差が少ない。 2.抵抗Rを電圧降下法によって求めた測定価をMとし，内部抵抗を計算に入れて算出した抵抗Rの価を真価Tとして誤差率ε [%]を計算すると,
..
3.図(a)の回路の誤差をεα ,誤差率をεα ,図(b)の回路の誤差をεα ,誤差率をε,とおき,抵抗Rに流れる電流をI Rとすると,図(a)の回路では，ｧｧによる消費電力が誤差ε。となるので，大式が得られる。

- 36 -

したがって，εα＝εとなるのは，
のときである。 4.整流形（全波整流）計器は，平均値の1.11倍で目盛ってあるから, 10×1.11=11.1 (V) 5. 可動鉄片形電圧計は，実効値を指示する。
なお，この波形の平均値V。=1.6 (V)であるから，もし可動コイル形の電圧計で測定すれば1.6 Vを指示し，整流形電圧計で測定すれば，約1.78 Vを指示する。
− 37 −
6.然竜形電圧計は，実効値V 。を指示し，整流形電圧計は，平均値V 。の1.11倍を指示する。波形率＝ V e/ V 。で定義されているので，氷式を得る。 Ve = 107 [V], Vg×1.11=95 (V)
Vg=85.59 [V]
7. R t R 4 > R z R zのとき，R tかR 4を∞と考えれば，電流はdからcに向かって流れる。 R 1 R 4 × R 2 R 3のとき，R 2かR 3を∞と考えれば，電流はcからdに向かって流れる。つまり，電源電圧をVとし，検流計の内部抵抗を∞として，b点を接地した場合のd点電位はV d ,  c点電位V d ,
. :
したがって、 R 1 R 4 > R 2 R 3ではV a > V o ,  R 4 < R 2 R 3ではV a < V 。となる。 8.  p. 165参照。 9.コンデンサを直列に接続する。いま，静電電圧計の静電容量をC。直列コンデンサの容量をC，全電圧をV，電圧計の指示をV。 Cの両端の電圧をV。とすれば,
解図5の高電圧が加わるので，コンデンサの耐電圧には十分注意する必要がある。 10.  p. 156~160参照。 11. （a）二つのコイルを和動および差動に接続して，それぞれのイングクタンスを測定する。そのときの慎をL λ ,  L ηとすれば，相互インゲクタンスMは，火式でボまる。
(b)それぞれのコイルの自己インゲクタンスをL 1 , L 2 ,直列に接続したときの自己イングクタンスを測定する。そのときの価をL12とすれば，相互イングクタンスMは, L12＝L1+L2±2Mより求まる。すなわち,
12. 城大目盛100V,  0.5級の直流電圧計の誤差は，0.5Vであるから，指示が10 Vのときの百分率誤差ε oは,
指示が50 Vのときの百分率誤差6は,
指示が100Vのときの百分率誤差ε。は，

- 39 -

間
9・1
各種の波形
問1表9・1のバルス波の式から，周波数スペクトルを描けば，解図１のようになる。 -基本問顔1. 非正弦波電圧液形は，解図2のようになる。 2.基本波と奇数調波からなるひずみ波は対称波となるが，基本波と偶数調波からなるひずみ彼は非対称波となる。 3. （a）奇数調波  非正弦波交流の成分中,基本波の奇数倍の周波数を持った高調波をいう。 （ｂ）周波数スペクトル  非正弦波交流の成分を、模軸に周波数,縦軸に振幅をとって棒グラフのように表したもの。 （c）ひずみ車  非正弦波交流のひずみ率は，基本波の実効值に対する各高調波の実効伽の2乗の和の平方根の比を百分率で表したもの(式(9・17)参照)。 4.実効値をV,ひずみ率をdfとすると,
5.電流をもとすると,
=0.05 sin ωt+0.03 sin 2ωt [A]
=2.5+0.9=3.4 [W] 7.基本波の周波数は50 Hzであるから，基本波に対するインピーゲンスZiは,
9.   基本波（5 000 Hz）に対するインピーダンスZiは, Z1=√1000*+(2π×5000×50×10~3)²=1862.1 (Ω)≒1.86 (kΩ)第2調波（10 000 Hz）に対するインピーダンスZ 2は, Z2= √1 000² + (2π×10 000×50×10~5)² = 3 296.9  (Ω) ≒ 3.30  (kΩ) 10. 基本波および第2調波の電流の実効価を, それぞれI 1,  I 2とすれば,
11. 図(a)の回路の時定数Tは,
閩(b)の回路の時定数Tは,
12. 式(9・22)を適用すると,
1.電流：の実効値をＩとすれば, I=/24²+8²+6²=26 [A]
- 42 -
2.基本波電流の狭効値をIとすれば,
第３調波電流の実効値をIsとすれば,
となる。したがって，非正法波電流の実効値（は，
となる。また，電流もの瞬時値の式は， i = I 1 ⁄ 2 sin (ωt − θ 1 ) + I 3 ⁄ 2 sin ( 3ωt − θ ⁄ ) =4.47√2 sin (ω t − 0.464)+1.39√2 sin (3ω t − 0.983) (A)となる。ここに、
3.抵抗RおよびコンデンサCに流れる基本波電流の実効価を,それぞれI 1R, I 1C,全基本波電流の実効値をI ,とすれば,
RおよびCに流れる高調波電流の実効価を，それぞれI 2R , I 2C ,全高調波電流の実効値をI 2とすれば,
となる。したがって，ひずみ波電流の実効值Ｉは，
4.消費電力Pは,

- 43 -