山田裕一 Yuichi YAMADA (電気通信大学) * 2019年2月
概要
このノートは、研究集会「微分トポロジー１９」での講演「4-dimensional light bulb theorem by Gabai II」参考資料とするために作成しました. Gabaiの論文[G]の紹介です. This particle is written down for the Workshop "Differential Topology 19"(March 2019, Tokyo). I give a talk on the paper [G] by D. Gabai.
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準備
目標とするのは次の定理だった。 Theorem 1.2  Let M be an orientable 4-manifold such that π 1 ( M ) has no 2-torsion. Two embedded 2-spheres with common transverse sphere G are homotopic if and only if they are ambiently isotopic.一方，出発点となるSmaleの定理は定理4.1 [Smale (1957)] ：向き付け可能な４次元多様体MへのS²の埋め込みに関して, homotopicならばregular homotopic. (さらに考察すると) genericなregular isotopyと有限個のfinger move, Whitney moveからなる.証明のアイデアを紹介する前に,前提となることをいくつか紹介する. (0)  4次元多様体の中の曲面Aを扱うにあたって,原論文ではMotion pictureとそうでない図が“うまく”組み合わされている．１つの図に両方が使われることもある． (1) ４次元多様体M 4に曲面A 2が埋め込まれており、さらにAの中に曲線c 1が埋め込まれているとき（M 4つA 2つc 1 ）, 「cを軸とするAと平行なTube (T(c))」が定まる. Fig.1 : MつAつcからのTube T (c) （右図はMotion pictureを利用） (2)   4次元多様体M 4内の曲線cに対し,両端点での円板(∂c) × D 2を固定して, 「cを軸にもつTube  (c × D²あるいはc × S ¹ )」を指定するにはframingが必要である．π 1 (SO(3)) = Z 2なので,選択は２通り. M内の曲線にはframingを指定してframed curveと呼ぶ.
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定理・定義
定義5.5と構成5.7は同時に理解するしかない．概要は，tubeの軸の位置関係を印した状態定義5.5：A tubed surface A in Mは次のもの達から成る. 「弧σ : x ～ y ⊂ X」と書いたら「曲面X内の2点x, yをつなぐimmersed弧σ」の意味曲面A o内で,弧の配置はgeneric（交点は２重点以下）で,交点は（結び目図式のように）上下情報をもつ. (⇒ ７章に交差交換の補題) (i) genericで自己横断的なimmersion f : A0 9→ M ,ここで• Aoは閉曲面「underlying surface」で基点zo, ・像A 1 = f(A 0 ) 「associated surface」 • A 1の2重点がn個.  fによる逆像を(x i,y i ) (x i,y i ∈ A 0,i = 1,2,...,n)とおく(ii)  M内で, A 1 = f (A 0 )と横断球面(transverse sphere) Gは点z = f (z 0 )で交叉. (iii)各iに対して弧σi : zo ～ xi ⊂ Ao  (i = 1, 2, . . . , n) (iv) ・r個の閉じた弧α j ・z 0 ∈ α j ⊂ A 0 （j = 1,2,...,r) • α j上の点p jとA o上の点q jの組(p j , q j ) • M内の弧τ j : f(p j ) ~ f(q j ) ⊂ M.ただしint( τ j ) ⊂ M\(A 1 ∪ G ). (α; & single tubeという. (τ;ではなくて)) (v) ・s個の弧の対(βk,γk)  (k = 1,2,...,s) •弧βk : zo ~ bk ⊂ Ao, 弧γk : zo ~ gk ⊂ Ao • M内の弧λk : f(bk) ~ f(gk) ⊂ M.ただしint(λk) ⊂ M\(A1 ∪ G). (λ kをdouble tubeという．幾何的にはHopf link×[0, 1].)総称「tube guide curves」弧σ i , α j , β k , γ k C Ao.総称「framed tube guide curves」弧τ j , λ k C Mいずれもtubeの軸になる.構成5.7：A tubed surface Aの実現(realization) in M概要は,指定された軸に沿ってtubeを実現した状態、図で説明する.定義5.23：A tubed surface AかNormal formとは、以下の条件を満たすもの(a)曲面f : A 0 → A 1 ⊂ Mがembedding. (b)弧α jが存在しない(r = 0). (c) 弧β k, γ k達がembeddedで,基点z oを中心として放射状に（反時計回りに） βι,γι, β2,γ2, ..., βs,γsと順序正しく並ぶ(d) 弧λ 1 , λ 2 , . . , λ s は, π 1 M の互いに異なる位数2以下の元となる.定義を述べたので，もう１つの定理をコピーしておく. Theorem 1.3  Let M  be an orientable 4-manifold and R1,R0 be embedded spheres which coincide near the common transverse sphere G. Then R 1 can be put into a normal form with respect to R 0 via an isotopy fixing a neighborhood of G pointwise.
いよいよ,証明の手法に進む
定義5.9：Tubed surface Aに対する,以下のような変形をtube sliding movesという. (i)曲面A oでの,孤のライデマイスター変形RII, RIII. (ii) 基点zoの周りでの,孤の順序交換(iii) Tube guide curveが２重点(yi)を超えるスライド.ただし, σιがy,を超えるのは禁則, (iv) Tube guide curveかdouble tubeの端点を超えるスライド.ただし, γκがbkをあるいはβkがgkを超えるのは禁則(v) Tube guide curveかsingle tubeの端点を超えるスライド.ただし, α jがp jまたはq jを超えるのは禁則.定義5.18：Tubed surface Aに対するelementary tubed surface isotopyは,次のものから成る. (a) Combinatorialを変えないsmooth change. (b)  Tube sliding moves （定義5.9) (c) Finger moves (d) Tube locus freeな (Whitney diskかframed tube guide curvesと交わらない) Whitney moves定理5.19. Tubed surfaces AとA ′かelementary tubed surface isotopyで移りあうならば,それらの実現はisotopic.証明：局所変形なので, local座標などで証明できる。 □ここで一旦,復習したい、定理5.19の証明のうち(c) finger moveの基礎は次の補題であった。補題5.1.設定：４次元多様体M内に埋め込まれた連結な曲面Rが横断球面Gをもつとする. Rにfinger moveを施したものをR 1とするとき, R 1にGの平行球面2枚をtubeして,生成された２交点を消したもの(R 2 )はRとisotopic.もし,定義5.18(c)と定理5.19を読んで,疑問「Rにfinger moveを施したR 1は,自己交点が2個増えるので, isotopyでは移り合わないはず」こう思ったなら誤解がある．定理5.19と補題5.1の文面の違いと「実現」の定義を，もう一度読み直してほしい. Tubed surfaceは実現する前の曲面で，いわば管の位置関係の情報を弧で印した状態.定理5.19に戻る.  (d) Whitney moveには２種類ある. [uncrossedとcrossed] Tubed surfaceにWhitney moveを施すとき，解消される異符号の自己交点の逆像をそれぞれ{ x i, y i }と{ x i v , y i }とする( f ( x i ) = f ( y i ) = f ( y i )).このとき, tubed surfaceとしてはx iと基点zoが弧σ ,で繋がれており, x ,も同様. Whitney diskの近傍の曲面の２成分に注目し, x iとx iが同一成分の場合がuncrossed,異なる成分の場合がcrossed. uncrossedの場合はsingle tubeが, crossedの場合はdouble tubeがmove後に現れる.定義5.20： "A regular homotopy ft is shadowed by tubed surfaces"設定：４次元多様体M内にはめ込まれた曲面Roが横断球面Gをもつとする. Immersed曲面R 0の, Gから離れた台をもつgeneric regular homotopy f t : R → Mが,有限個の{t,}以外では自己横断的で, (t,t,t,+1) ∋ sに対するf,(R)をR,とする：R, = f,(R),
このとき, tubed surface R i (i = 0,1,...,m)が存在して• R iはR iのassociated surface. • R i +1はR iのelementary tubed surface isotopy （主にfinger moveかWhitney move)が成り立つとき「ft is shadowed by tubed surfaces」という.定理5.21.  If f t : A 0 → M is a generic regular homotopy with f 0 ( A 0 ) an embedded surface, M a smooth 4-manifold, G a transverse embedded sphere, and f t is supported away from G , then f t is shadowed by tubed surfaces.
６章（代数）と７章（幾何）
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6章では, Tubed surfaceの代数について議論が進む. Tubed surface Aの各framed curve κ（τ jかλ kのどれか）は，実現によってGの平行球面G'につなぐ管T(κ)に変わる.  P(κ) = T(κ) ∪ G'とする¹. まず, P(κ)の向き・符号を精密に定める：例えば{βk,7k}と入からなるループにはzo βk λ gk λ zoの順に周る向き, P(x)の向きは, guide curveの基点z 0でない方の端点の付近での曲面の向きで定める.目標は, Tubeを実現したときの[A 1 ] ∈ π 2 (M)からの変化であり,結論は次の式
ここで, [入k]はframed curve λkのなすπ 1 M = π 1 (M\A)の元であり, π 2 Mへのπ 1 Mの作用を右から書いている．なお[G] ∈ π 2 Mは，当然，非自明である． A1がA1′とhomotopicなら式の両辺は消えるはず、そのためには[λk] = [λk]−1 (∈ π1M),つまり2-Torの元以外は, λk達が,それぞれ[λk] = [λk]−¹の対となって消滅する必要がある. この対がframingなどによらずに、必ず対消滅できることが、幾何的に示されている。命題6.9. ４次元多様体M内のtubed surface Aのasssoiated surface A 1が横断球面(transverse sphere)をもつ球面の埋め込みであり, Aの実現Aとhomotopicであったとする. このとき,次を満たすtubed surface A ′とGから離れた台をもつAのisotopyが存在する. • A ′のasssoiated surfaceはA ¹で, A ′の実現はAのまま,  かつ[ π 1 Mに2-Torがない場合] double tubeは高々1つだけで, π 1 Mの元として0 (null-homotopic). [ π 1 Mに2-Torがある場合] double tubeは高々2-Tor( π 1 M )の位数2の元の個数以下.
7章では,次の補題が証明される².
補題7.1：[交差交換の補題] 4次元多様体M内でtubed surface AからA ′が・球面上で,異なるtube guide curves弧あるいは弧α j \p jの異なる成分の交差交換で得られるとき,それらの実現A, A'はGから離れた台をもつisotopyで移り合う. ( AのAssociated surface A 1かtransverse sphereをもつことは仮定)証明の手法はMotion Picture.しかも,用法として真背頂ここでも横断球面Gを使う（Gと平行なS² × Iをとり，2枚のS² = S² × ∂Iを使う).原論文の図7.2はとても完成度の高い図で,これをわかりやすくする技量は、わたくしにはありません.この補題により,曲面上でのtube guide curves (α,β,γ,σ達)が“絡む”問題は生じない.証明の最後は弧α達(single tubes)の消去.交差交換で曲面を単純にする過程で, framed curves τが一旦複雑になるが,それらも結局解けてP(τ)がただの“コプ”になり,消去される. ■