河西秀夫*
Hideo KASAI*山梨学院大学， Yamanashi Gakuin University,Sakaori2-4-5.Koufu city,Yamanashi Prefecture 400-8575, Japan,E-mail kasai@ygu.ac.jpキーワード:構造グラフ,層庁グラフ,層庁,グラフ理論,逆転層Key words: : Structure Graph,Startigraphic graph,Stratigraphy, Graph theory, Turned layer以下のように定義される集合V上の関係U*で定義されるラベ1.始めにル付き有向グラフS=(V/E*, U*, όν, όλ)を「層序グラフ」とい著者は義頭データベースの設計にあたり，義頭でみられる地う(河西2012,  2013,  2015).筑構造の記述方法としてラベル付き有向グラフを使用した構造Eは形成時期に関する同値関係である．包含関係の場合は母グラフを提案し,その数学的背景を検討した(河西, 2005 ; Kasai,岩を代表元とし，同時異相の場合は任意の地質体を代表元とする。この代表元を[x]と表現する。包含関係あるいは同時異相関2009 ;河西2012;河西2013;河西2015). グラフの頂点のラベルは地層名，弧のラベルは地層間の接触関係である．また，露頭で係にない場合は地質体そのものが代表元になる.これはxR"y⇒親察される構造から得られる層庁の記載方法として層庁グラフ[x]R*[y]である.を提案し,魔頭構造から層庁を求める推論の形式も提案した(河魔頭新面で観察される地質体の集合Ｖの元である地質体ｘとｙが接触しており, xがyより形成時期が古いとき,この関係をxUy西西, 2012,2013, 2015).ここで検討の対象とした露頭構造は，地層壁垂の法則と交叉切りの法則が適用できる地質構造と包含関と書く．Uは反対称的な関係であるとする.係，同時異相であった．ただし，地層の逆転がない地質構造にUの推移的閉包に反射的性質を追加した関係(反射的かつ推移限定した、今回は逆転層が存在する場合の露頭構造の記述に構的閉包)をじ*とする.このとき上の推論規則は, [x]R [y] ⇒造グラフと層斥グラが使用できるように検討した. [x]U*[y], [x]U*[y] ∧\[y]U*[z]⇒}[x]U*[z], ¢›([x],[yD=¢›(x,y)とな☆ ☆層序グラフは地質体間の新旧関係を表示したラベル付き有向地層の逆転がない地質構造に対して，下で定義するようなV, R ®  φν, φνで定義される有向グラフG=(V,R ® , φν, φλを「構造グラフ」と呼ぶ(河西, 2013, 河西2015).  R*は次のようになる. R +={(x,y)|xRy\/xIy\/xFy,x∈V,y∈V}, R ⇒ R + \/xLy\/xDy xとyは地質体をあらわす. xR yは空間的な上下関係xRy,質入関係xly, 断層関係xFy, 包含関係xLy, 同時異相xDyを統一的に表現したものである. φνはVの元である各地質体に地層名を対応付ける写像, ダムは順序対(x, y)に接触関係の名称の集合 A=(整合,不整合, 貰入,断層，包含，同時異相)の1つの元を対応つける写像¢A : R→Aである．構造グラフは露頭の構造を表すラベル付き有向グラフであり，頂点と弧はそれぞれ地質体と地質体間の接触関係を表している.魔頭における地質体の空間配置や接触関係の観察結果に地層累重の法則や交差切りの法則，包含関係，同時異相関係を当てはめて地質体の新旧関係に変換した結果が層序グラフである.グラフであり，頂点と弧はそれぞれ地質体と地質体間の新旧関係を表している．推移的閉包によりつけられた弧のラベルは一律に”推論”とする．本文では，地質体の形成順序と地質体間の接触関係を含めたものを層序と呼ぶ(河西, 2012).関係ひ*が成り立つ順序対([x],[ y])の集合を, U*={([x],[ y])/xU*y, x∈V,y∈V)と書く.関係ひ*は,反射律,反対称律,推移律を満たすので, V上の半順序である.  U*が全順序になる場合に限り, i≤jであれば[v,]U*[v]であるといえる.この場合, P=([v,], [v,], ……, [v,I)は地層の形成順序を表しており, [v,I]が最も古い地質体, [v,]が最も新しい地質体である．頂点を連結する弧[v][v]の位置に，接触関係の名称である弧[v,][v]のラベルφx([v,])を代入したP =([v 1],  φ x ([v 1], [v D, [v 1],  … ,[ v n .1],  φ x ([ v n .1], [v n ]), [v n ] )(辻地算体の形成順序と地質体間の接触関係を表しているので,「層序」である.第１図に愛頸斯面の例を示す.対応する構造グラフ(a’,b’,c’,d’),層序グラフ(a",b",c",d")を断面の下に示す.第１図の露頭斯面(a)は互いに整合関係にある地質体xとyを地質体zが不整合に覆う例である．地質体xには地質体wが包含されている.さらに，岩脈dがこれらの地質体に費入している。地質体の集合は，V={w, x,z, d}であり，接触関係は，xRy, xRz, yRz, xLw, xId, wId, yId, zIdである.代表元は, [x]={x,w}, [y]={y}, [z]={z}, [d]={d}である.接触関係は, [x]R[y], [x]R[z], [y]R[z], [x]A[d], [y]A[d], [z]A[d]である.孤のラベルは& a ([x],[y])=整合，φ a ([x],[z])=不整合，φ a ([y],[z])=不整合，φ a ([x],[d])=貫入, φ x ([y],[d])=賞入, φ x ([z],[d])=賞入である.推論規則から, [x]R[y] ⇒[x]U*[y],   [x]R[z]⇒[x]U*[z], [y]R[z]⇒[y]U*[z], [x]/[d]⇒[x]U*[d], [y]/[d]⇒[y]U*[d], [zV[d]⇒[z]U*[d]となり,層序はP≠[[x],整合, [y],不整合, [z],貰入, [d])となる第１図露頭断面(b)は，同時異相の関係にある地質体ｗとｘが地質体νと整合関係にあり,これらに深成岩yが貰入している.さらに地質体zがこれらを不整合に覆う構造である．図中の網かけは接触変成を受けている領域を示している.地質体の集合は, V={v, w, x, y, z}である.接触関係は, vRw, vRx, vIy, wRz, xRz, yRzである.代表元は, [v]={v}, [x]={x,w}, [y]={y}, [z]={z}であり,孤のラベルは, ¢a([v],[x])=整合, ¢ a([x],[z])=不整合，φ a ([v],[y])=真入，φ a ([x],[y])=真入，φ a ([y],[z])=不整合である．推論規則から，[v]R[w]⇒[v]U*[w]， [v]R[x]⇒ [v]U*[x], [v]/[y]⇒[v]U*[v], [w]R[z]⇒[w]U*[z], [x]R[z]⇒[x]U*[z], [y]R[z]⇒[y]U*[z]となり，層序はP≠[v]，整合，[x]， [x]， [y],不整合，[z])となる．第１図　構造グラフと層序グラフ各藤頭断面に対応する構造グラフを(a'), (b')に,層序グラフを, (a''), (b")に示す.
3.逆転用の表現
3-1. 逆転層の構造グラフによる表現
互いに接触する地質体xと地質体yが逆転関係にある場合がある. Vの元である2つの地質体xとyが接触しており，地質体xが空間的に下側にあり，両者が逆転関係にあることをxTyと書き，このような関係にある順序対(x,y)の集合をＴと書く．Ｔは次のようになる. T={(x,y){xTy,x€V,y€V}空間的な上下関係xRy, 真入関係xly, 断層関係xFy, 包含関保xLy,同時異相xDy,逆転関係xTyを統一的に表現するために,接触関係R *を次のように拡張する. xR*y ⇒ xR*y√xLy√xDy√xTy,  xR*y ⇒xRy√xIy√xFy xRy,  xly,  xFy,  xLy,  xDy,  xTyはいずれもxR*yで統一的に表現される。xR*yが成り立つ順序対(x, y)の集合をR"={(x, y)| xR*y\/xLy\/xDy\/xTy, x€V, y€V}とし，構造グラフGをG=(V,R å,  φν,  φλ)と再定義する.ここで，Vは地質体の集合であり，タvは頂点に地質体の名称を対応つける写像であり，タメは順序対(x, y)に接触関係の名称の集合Aの1つの元を対応つける写像である.  A=(整合,不整合,責入，断層，包含，同時異相，逆転整合，逆転不整合)となる. xR*vのとき、弧はxからyに向けて描かれる.第2図は逆転層の構造グラフの例であり，いずれの露頭新面も露頭で逆転層であることが確認されているものとする.第２図の露頭断面(a)に地質体xと地質体yが逆転不整合の関係にある例で，地質体xは地質体wを包含している．地質体の集合はV={w,x,y}であり，接触関係はxTy，xLwで，関係R'を使用するとxR*y, xR*wである.孤のラベルはφ a(xy)=逆転不整合, φλ(x,w)=包含である。対応する構造グラフを(a')に示す.第２図の露頭斯面(b)は地質体x, y, zが互いに逆転整合の関係にある例であり，地質体xは地質体wと同時異相の関係にある．地質体の集合は，V={w,x,y,z}であり，接触関係はxTy， yTz, xDwであり，関係R*を使用すると，xR*y， yR*z， xR*wである.孤のラベルはφ λ (x,y)=逆転不整合， φ λ (y,z)=逆転不整合， φ a(x,w)=同時異相である．対応する構造グラフを(b')に示す．
3–2. 逆転層の層序グラフによる表現
集合Vの任意の地質体xと地質体yが互いに接触しており，xとyが逆転関係にある場合，空間的に下側にある地質体xのほうが形成時期が新しい.推論規則は，[x]Z[y]⇒[y]U*[x]， ¢ x([x],[y])=逆転整合⇒ ¢ ѧ([y],[x])=整合， ¢ѧ([x],[y])=逆転不整合⇒ ¢ѧ([y],[x])=不整合である。これを推論規則(1)とする。地質体xとyが逆転関係にある場合，両者の接触関係は逆転不整合と逆転整合のどちらかとする.第３図に逆転層の例を示す。露頭断面は第２図と同じものである。露頭斯両(a)の地質体の集合はV=(w,x,y)であり，接触関係lはxTy,  xLwである。接触関係のラベルはφλ( xy)=逆転不整合, φ λ (x,z)=包含である.これらの地質体を類別すると代表元は[x]={x,w},  [y]={y]である．代表元を使用した接触関係と弧のラベルは，[x]7[y]，ダA([x],[y])=逆転不整合である.推論規則(1)から，[x]ﾌ[y]⇒[y]U*[x]， φx([x],[y])=逆転整合⇒ φ ѧ([х],[у])=整合となり，層序は，P’=([у]，不整合，[х])となる.魔頭断面(b)の地質体の集合は，V=(w, x, y, z)であり，接触関係はxTy,  yTz,  xDwである. これらの地質体を類別すると代表元は[x]={x, w}, [y]={y}, [z]={z}である.代表元を使用した接触関係と弧のラベルは， [x]7[y],  [y]7[z], & π [x],[y])=逆転整合， φ π ([y],[z])=逆転整合である.推論規則(1)から， [x]7[y]⇒[y]U*[x]， [y]7[z]⇒[z]U*[y]， φ ѧ([х].[у])=逆転不整合⇒ φѧ([у].[z])=不整合， φѧ([у].[z])=逆転不整合⇒ φ λ ([z],[y])=不整合となり，層序は P ≠ [z],整合, [y],整合, [x]となる.
3-3.逆転層の層序グラフの問題点
第４図(a)は，互いに逆転関係にある地質体x，yを地質体zが不整合に覆う例である。地質体xは地質体wをレンズ状に含んでいる．ただし，地質体ｚは地質体ｘと直接接していない．第４図(a)の地質体の集合はν=(w, x, y, z)であり,接触関係l社, xTy, yRz, xLwである.これらの地質体を形成時期により類別すると， [x]={x, w}, [y]={y}, [z]={z}である.代表元を使用した接触関係と弧のラベルは，[x]7[y],  [y]R[z], & λ ([x],[y])=逆転整合， φ λ ([y],[z])=不整合である.推論規則(1)から， [x]7[y]⇒[y]U*[x]， [y]R[z]⇒[y]U*[z]， φ ѧ([х],[у])=逆転整合⇒ ¢ѧ([у],[х])=整合となり，これから，次の層序が求まる. P',=([y],整合, [x],整合), P',=([y],不整合, [z])層序グラフを(a’)に示す．推論規則から部分的な層序は求まるが，全体的な層序は求まらない．地質体[z]は地質体[x]と直接接していないので，層序グラフでは頂点[x]と[z]を結ぶ弧が描かれない.しかし，実際の露頭判断では地質体[z]が最も新しいものと判断される。地質体[x]，[y]が逆転した後に，浸食され，地質体[z]がこれらの地質体を不整合に覆うという形成順序が推定される.これは，逆転関係にある地質体[x]，[y]を1つの地質体としてとらえることができる.一連の逆転層をHとすると,第４図(a)の地質体[x]と[y]はHに属し, [z]はHに属していない. [x]と[y]がHに属しているという関係を[x]H[y]と書く．Hは対称的な関係であり，Hの反射的かつ推移的開包をH*としたとき，H*は反射律，対称律，推移律を満すV上の同値関係である.魔頭で観察される形成時期に関する地質体の同値類の集合 Vをさらに一連の逆転層Hに属するという関係にあるという関係H*で類別できる．この時，同値類[[x]]と同値類の集合，すなわち商集合V/H*は，[[x]] ={[v]|[v]H*[x],[v]∈V]，V/H*={[[x]] |[x]∈ V}である．[[x]]は[x]を元とする同値類であるが．本論文では，以下[[x]]を[x]+と表示する．例えば，形成時期に関する地質体の同値類[x]と[y]が逆転関係にある場合，[x]н={[x],[y]}である．この場合，[x]が代表元であり，代表元は任意とする．地質体[x]が逆転していない場合は，[x]н={[x]}である．このように，逆転関係にある地質体を[x]нで一括表現できる.一連の逆転層全体とその空間的に上位にある地質体の接触関係を[x]τR*[y]τのようにあらわす. VIE*上の関係からVIH*上の関係を定義する推論規則，[x]R'[y]⇒[x]μR'[y]нが得られる． V/H*上の接触関係から新旧関係ひ*を推論する規則は[x]HR*[y]H ⇒ [x]HU*[y]H , [x]HU*[y]H/\[y]HU*[z]H ⇒[x]HU*[z]Hである. [x]HU*[y]Hが成り立つ順序対([x]r, [y]r)の集合をU*とし、層序グラフSを,  S=(V/T*,U*,φν,φλ)のように再定義する. φνはグラフの頂点[x]нに代表元[x]の名称を対応付ける写像，みは同値類の順序対([x]н [y]н)に接触関係の名称の集合 Aの1つの元を対応付ける写像である([x]# [y]#)の接触関係の名称は順序([x] ,[y])の接触関係の名称と同じであり，φ λ ([x]H, [y]H) = φ λ ([x],[y]) ([x]H ≠[y]н)となる.商集合V/H*上の関係U*は半順序であるから，V/H*の各元である同値類を番号付けることができる。 ひ*が全順序になる場合, C mの並びは形成順序を表しており、層序は次のように表現される. P *=(C 1 , φ λ (C 1 , C 2 ), C 2  …, C nc -1 , φ λ (C πc -1 , C πc ), C πc )複数の形成時期に関する地質体の同値類[gi]〈i=1, , , n〉が存在しているとする. nは同値類の数であり，空間的に最も下側にある地質体は[g 1]である．これらの地質体の内[g 1](i=1, , , n-I)が逆転関係にありこれらの一連の逆転層を地質体[g,]が不整合に覆うとする一連の逆転層を[V,]gとし，これらの逆転を不整合に覆う地質体を[V,]hとすると，[V,]h={[g,],  [g,],  ...,  [g,.1]}, [V,]r={[g,]}である.この同値類[V,]нと[V,]нの接触関係は[V,]нR*[V,]нであり,接触関係のラベルはφ a ([Vx]H,  [Vy]H)=不整合である.新旧関係は，[Vx]hR*[Vy]h⇒ [Vx]hU*[Vy]hであり，層序はP ′=(IVxlH,不整合, [Vy]H)になる.一方,一連の逆転層Hの間の層序はP a =([gn.1], ダハ([gn.1],[gn.2]), [go2], …, [g2], & n([g2][g1]), [g1])である.一連の逆転層で形成時期が新しい地質体[g,]を[g,]нの代表元に選び, [V,]нの代表元として[gn]を選ぶと，[gi]HU*[gn]Hであり，接触関係はφλ([gi]H, [g,,]H)= & A ([V,]H , [V,]H)=不整合である. [V,]rの元の数が1の場合,すなわち|[V,]n|=1であるとき, [V,]nと[Vç]нの直積Ｋを取ると, K={([gi], [gnD|[gi]∈[Vç]н, [gn]∈[Vç]н}となり，[V,]нと[V,]нの各元の関係([g,]，[g,])が求まる．このとき，[V x ]HU*[V y ]H ⇒[g i] U* [g ]が成立するものとする．代表元をそれぞれ[g1]と[g1]を選ぶと，([g1]，[g1])が求まる．これを推論規則(2)とする.層序グラフではこの推論から得られた弧を破線で表す。[g」と[8,]が直接接している場合は弧は実線になり，直接接していない場合は弧は破線になる。直接接していない場合の孤のラベルは”推論”とするが，接触関係の種類を明示する場合，”推論〈接触関係名〉”とする.第4図の露頭断面(a)の例では，逆転関係の同値類は， [Vx]h={[x],[y]}, [Vx]h={[z]}であり,接触関係は, [Vx]hR*[Vx]h,接触関係のラベルはφ a ([V x]H , [V x]H )=不整合である．新旧関係は, [V x ] s R * [V x ] H ⇒ [V x ] H U * [V x ] Hである.一連の逆転層の中で形成時期が最も新しい地質体は[y]なので, [V,]の代表元として[y]を選び, [Vz]нの代表元として[z]を選ぶと，推論規則(2)から，[gx]нU*[gz]н ⇒[y]U*[z],   $ a([y],  [z])=不整合になる[x]と[z]は直接接していないが，推論(2)から両者の関係を求めることができる．層序グラフでは頂点[x]と[z]の間に破線の弧が引かれ，この方向は[x]から[z]の向きである．孤のラベルは”推論〈不整合〉”とする．層序は次のようになる． P = [y],整合, [x],整合, [w],推論(不整合), [z])第４図(a”)に層庁グラフを示す.第４図(b)は一連の逆転層を切る断層の例である.地質体w, x, yは逆転しており，断層ƒがこれらの逆転層を切っている．ƒの上盤側には地質体yが存在している.地質体wは地質体vをレンズ状に含んでいる．これらの地質体を形成時期に関する同値類にまとめると，[w]={w,v}，[x]={x]，[y]={y}，[n]={f]であり，接触関係は[w]7[x], [x]7[y], [x]F[n, [y]F[n]である.弧のラベルは, φ λ ([w], [x])=逆転不整合, φ λ ([x], [y])=逆転不整合, φ λ ([x], [f])=断層， φ λ ([y]， [/D=斯層である． [w]ﾌ[x]⇒[x]U*[w]， [x]ﾌ[y]⇒[y] U*[x], [x]F[f]⇒[x]U*[f], [y]F[f]⇒[y]U*[f]から,層序としてP ==[y],整合，[x]，整合，[w]，P b =([x]，断層， [f])， P c =([y]，断層， [f]が求まるが，全体的な層序は求まらない．一連の逆転層Hに属するという関係で類別すると，[Vx]H={[w]，[x]，[y]}，[f]H={[/]}となり，接触関係は[V,]H,[V]Hである．弧のラベルはφ λ ([V,]H, [/l]=断層である。 [/l]H =1なので， [V x]Hと[/l]Hの内積をとると， {([w], [fl), ([x], [fl), ([y], [fl]}が得られる. [Vx]HU*[Vx]H=[gi] U* [gn]より，層序として，P’=([y]，整合，[x]，整合，[y]，断層，[f])が求まる.
4.あとがき
逆転が存在する地質構造を対象にして検討した構造グラフと層庁グラフを検討した.魔頭で観察される2つの地質体xとyの接触関係を、xR y ⇔xR y V xLyV xDyV xTy, xRy ↔ xRyV xIyV xFyで表現した.接触関係は,上下関係(xR)),地層塁重の法則(xf),交叉切りの法則(xf), xFy),包含関係(xLy),同時異相(xTy),逆転関係(xTy)を統一的にxRyで表現した.また,地質体の接触関係の情報を弧のラベル(整合,不整合,責入,断層,包含,同時異相,逆転整合,逆転不整合)で表現した.このように接触関係の表現を拡張することにより,逆転関係が存在する露頭構造を構造グラフ( V. R )として表現できた.ここで，Vは地質体の集合である。地質体の形成時期に関する同値類の代表元を[x]で表すと，接触関係は[x]R 2 [y]であり，新旧関係は[x]R 2 [y]⇒[x]U*[y]となる．さらに一連の逆転層Hに属する同値類を[x] Hで表すと，新旧関係(.i[x]HR*[y]H={[x]HU*[y]Hとなる。一連の逆転層を[x]H ={[x]|l ≤ i ≤π-1}とし，逆転層を覆う地質体を[y]α-{[x]}とする．[y]r|=lの場合，[x]нと[y]нの内積をとると，逆転層を構成する[x,]とそれを覆う地質体[x,]の関係([x,])が求まる. φ λ ([x]н, [y]н)⇒ φ λ ([x,], [xn])と[xi]ﾌ[xi,1]⇒[xi,1] U* [xi]から各地質体の新旧関係が求まる.以上のようにして，逆転層を含めた地質構造に対する露頭構造や層序の表現が可能になった.