待ち行列の応用アラカルト

り，エレベータがあったり，ロビーがあったり，あるいは曲り角があったりする場合は，なるべく均質な部分に分割してその1つ1つを窓口と考え，それらを順人の流れの解析に通過することによって目的地に到着すると考えれば，いわゆる直列型の待ち行列モデルとしてモデル化することができます．したがって，各ノードの平均系内客数を求めれば通路のどの部分が混雑しているか見当が逆瀬川 浩孝（早稲田大学）

つけられますし，平均滞在時間を合計すれば目的地に到着するまでの所要時間を見積もることができます．
待ちノ行列理論といえば多くの人は銀行の窓口やスーまた，同じ通路を通って目的地から建物の入り口へ

パーのレジの前に並ぶ行列のように人の待ち行列を思向かう（帰る）人の流れがあると，歩くスピードはまい浮かべますが，最近の話題はインターネットに代表すます複雑になってゆきますが，やはり大雑把に考えされる通信ネットワークとか，コンピュータネットワて，通路にいる人の数すなわちサービス中の客の数にークでの目に見えない「客」の待ち時間が主になって依存したサービス時間を受ける，というモデルを使ういます．その中にあって，人の流れとその混雉現象をことにします．ただし，客のタイプ，という概念を導ネットワーク待ち行列モデルを利用して分析した例が入して，目的地に向かう客か，建物の外に出ようとし報告されています．それを紹介しましょう．出典はアている客かを区別することにします。

メl）カのOR学会が出版している論文誌Operations

さらに構造を複雑にして，入り口も目的地も複数あResearchの中にあるOR事例（OR practice）のコり，それぞれを結ぶ通路もいろいろな経路が考えられラムです．

る，という場合でも，上と同じような考え方でモデル建物の中にある日的地に向かって，不特定多数の人化することができるでしょう．その場ノ合は，廊下，階が建物の外から到着するというケースを考えます．建段，エレベータホール，などをいろいろな目的を持っ物の入り口から目的地までは狭い通路を通らなければた客が利用しますから，それらをノードとするネットならないとしたら，その混雑はどのように評価されるワークの上を（目的地が違う）いろいろな種類（クラでしょうか．この状況を待ち行列モデルを用いてモデス）の客が動き回るという，複数クラス，複数タイプル化してみます．建物の入り口に到着してから目的地の客を持つネットワーク型の待ち行列モデルを考えるに到着するまでを「サービス時間」と考えるのです．

ことになります．このモデルは適当な′仮定の下で横形通路が混雑してくると歩くスピードが落ちて，目的式解と呼ばれる定常解を持つことが知られていますか

地に着くまでの時間が増えますから，サービス時間はら，例えば平均値解析MVAを用いた数値解パッケ

ダイナミックに変化します．通路の混雑状況は一様でージを用いて分析ができます．

はなく，場所によって濃淡はありますが，それを無視

このモデルを病院の施設計画の評価のために実際にして通路上にいる人の数によって歩くスピードが決ま適用し，設計プランの人の流れや混雑具合を分析したると考えましょう．このモデル化では通路にいる人は結果の報告が下の論文です．2つの診療棟と300床をすべてサービス中の客ですから，結局サービス中の客持つ病院の診療施設が手狭になり，さらに1つの診療の数によってサービスの速さが変化するようなサービ棟を増設することになりましたが，新しい診療棟は入スを考えることになります．窓口の数は通路に入れるり口から遠いところにできるため，今ある診療施設を人の数の上限とすればよいでしょう．通路が人で一杯通らないと行けないようになっています．完成後の人のときは新たな客は入ることをあきらめる，というこの流れが相当に悪くなることを心配した病院の管理スとにしておけば，M／G（N）／C／Cという呼損系のモデ

タッフが確率モデルの専門家に調査を依頼してきた，ルができ上がります．という設定です．

通路が直線の廊下だけでなく，途中に階段があった
1998年5月号

上のモデルを適用するために客のクラス，タイプを© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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設定し，各種のデー∵タからモデルのパラメー一夕を推定ーードとするネットワーークとしてモデル化しそうですが，し9 評価指標をバッケ、叩ジを用いて計算する9 という通路をセグメント化してノ、−一1ドにしてしまう，というプロセスについてはあまり詳しくは善かれていません

考え方が興味深かったので紹介しました。

が論文を参照してください。誘導路をうまく設定する
事考文献

ことによって混雑を減らすことができる，ということ

Smith，ゴ，M…（1994），Applicatiom of state、depemdentが結論になっています。

論文のペ叫ジ数の制約からヲ 必ずしもモデルのすべてが理解できたわけではありませんが，このタイプのqueues to pedestriam／veheculaT netWOrk design，OpenratiomsRes。Ⅴ（）軋。42山3，pp，414【427。

問題ほ普通に考えると診療室とか検査室9 病室等をノします∩ いったん北側の車が途切れると9 今度は東側の信号が青になり9 閲様に東側の車が途切れるまで青を維持します。信号の切換えに要する無駄な時間を考l二￣王ご ■

慮すると，このように信号を制御することによって車幸巨て−の平均待ち時間が最小になることが解ります（汀このモデルを一方の道路（例えば北側）からみて，
北側の信号が赤である時間を遊休期間（Vacatiom

Per五od），停止中の前の辛が交差点に進入してから次幽白帯 英明（東北大学）の辛が進入するまでの追従遅れ時間をサービス時間，交通流の解析にも苗くから待ち行列は用いられています。交通流の数学的解析では，流体モデルにおいて，北側の車の待ち行列が解消されてから北側のすべての車が交差点を通過し終わるまでの時間を切換時間（Sw−itchover T血e）に置き替えると9 このモデル

偏微分方程式を用い交通密度彼の伝播を解析する研究がよく知られています。しかし9 ここでは待ち行列理はよく知られている遊休のある待ち行列モデルになり論を直接適用した例として，車が途切れたときに信号ます。この場合，切換え時間の途中に新たに北側からが換わるような交差点のモデルを紹介します。

車が到着すると9 その車は待たずに交差ノ酎こ進入でき9簡単のため，閣のように北側と東側からだけ車が到切換え時間はその車が交差点を通過し終わるまで延長着する交差点を考えましょう◎ 北側の信号が青になる

されますへ すなわち9 切替時間の長さは切替え時間中と9 それまで交差点の前で待っていた車は順々に交差の車の到着に依存し，この点は遊休のある待ち行列の点を通過します8 信号は9 青になってから到着した車基本的なモデルとは異なります。これまでの研究では，も含めてすべての北側の辛がなくなるまでヮ 青を維持

単1台のサーービス時間中に北側と束側から到着する車の平均台数をそれぞれ恥P2とすると9 Pl十β2＜1のと北き定常状態をもつことが示され，車の平均待ち時間等
m瑚亜mMm∴．∴∴㍉−！∴∵‖㌦ト■しh㍉↓∴軋トが解析されています。交通流モデルのもう且つの特長

は，卓の剖二着がランダムではないことです巧 速度の遅い車の後には車が連なっているでしょうし，赤信号によっても車の群ができるでしょう。，この結果，交差点に到着する単はり ある程度の群をなしていると考えら

苛m！．． ∴ ∴∴：れます。ニれは9 ATM交換機等の通信システムの到欝

着過程として

9 この且の年間盛んに研究されてきたバースト入力と同じ性質です。

閏

交差点のモデルに対する1960年代の研究では，解析慧慧窃6（32）

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