学振特別研究員 (JSPS Fellow)
田中雄一郎(TANAKA

T. Kobayashi introduced a notion of visible acYuichiro)

tions on complex manifolds. Using his theory,
we can deal with both finite and infinite dimensional representation spaces with discrete(学振 DC1)
A. 研究概要

spectra, continuous spectra or mixture of themin the same framework.

リー群の無重複表現の統一的扱いをその目的として、小林俊行氏は「複素多様体への可視的なMotivated by visible actions on complex homogeneous spaces, Kobayashi did a pioneering work in a generalization of the Cartan de-作用の理論」を導入した。この理論によって、有限次元でも無限次元でも、さらには離散分解しても連続スペクトラムを含んでも、無重複表現

composition in a non-symmetric setting. Originated from É. Cartan’s work on the Cartan

を一つの枠組みで捉えることができる。
可視的作用を動機付けとして、小林氏は symmet-decomposition G = KAK, the decomposition
theorem of the form G = KBH in the symmetric setting has been well-established by B.

ric でないような部分群によるリー群の分解の系統的な扱いを初めて行った。symmetric な部分群によるカルタン分解については、É. Cartan に始

Hoogenboom and T. Matsuki in the compact
case, M. Flensted-Jensen in the case where

まる豊富な研究がある。簡約リー群 G とその部分群の組 (L, H) に対し、(G, L), (G, H) が共にコン(G, K) is a Riemannian symmetric pair and T.
Matsuki in the general case. As mentioned,
Kobayashi dealt with a double coset decom-

パクト対称対である場合の分解 G = LAH につ
いては B. Hoogenboom 氏と松木敏彦氏による、(G, L) が非コンパクトリーマン対称対で (G, H)が一般の対称対である場合の分解 G = LAH に

position with respect to non-symmetric subgroups, and classified all the pairs (L, H) of

ついては M. Flensted-Jensen 氏による、そしてLevi subgroups which admit generalized Cartan decompositions G = LBH for the unitary group G = U (n). Here, B is a subset(G, L), (G, H) が共に一般の対称対である場合の両側剰余類 L\G/H は松木氏による研究がそれぞれなされている。小林氏は先述のように sym-of a Chevalley–Weyl involution σ-fixed point
subgroup Gσ = O(n). In this setting for

metric でないような組を扱い、特にユニタリ群
G = U (n) に対して、一般化カルタン分解 G =LBH を許容するレビ部分群の組 (L, H) の完全な分類を与えた。ただし、B は G の Chevalley–(G, L, H, σ), one generalized Cartan decomposition G = LBH gives rise to three strongly visible actions L ↷ G/H, H ↷ G/L, diag(G) ↷Weyl 対合 σ による固定化部分群 Gσ の部分集合である。この (G, L, H, σ) の設定において、分解(G × G)/(L × H) (triunity of visibility) andthen leads us to three multiplicity-free theo-

G = LBH は 3 つの強可視的作用 L ↷ G/H,H ↷ G/L, diag(G) ↷ (G × G)/(L × H) を導き（強可視性の三位一体）、さらに 3 つの無重複定

GGGrems IndG
H χH |L , IndL χL |H , IndL χL ⊗IndH χH(triunity theorem of multiplicity-freeness property), where χL and χH are unitary characters

GGG理 IndG
H χH |L , IndL χL |H , IndL χL ⊗IndH χH をof L and H, respectively.
Using the herringbone stitch method and anもたらす（χL , χH はそれぞれ L, H のユニタリ指標）。

invariant theoretical technique introduced byKobayashi in his paper in which he gave a classification for the unitary group, I classified all

小林氏がユニタリ群に対する分類を与える際に導入した編み上げの手法と不変式論の議論、及び J. Stembridge 氏による有限次元無重複テン

the pairs of Levi subgroups which admit generalized Cartan decompositions for any compact

ソル積表現の分類結果を用いて、私は A 型以外の全ての単純コンパクトリー群に対して、一般

simple Lie group except for the type A casewith the help of a classification theorem for finite dimensional multiplicity-free tensor prod-化カルタン分解を許容するレビ部分群の組の分類を与え、B, C, D 型についてはそれぞれ論文

2, 3, 4 にまとめた（例外型の論文は投稿中）。

ucts given by J. Stembridge. I summarized myclassification results for the types B, C and D
as the papers 2, 3 and 4, respectively (a paper

With the aim of uniform treatment ofmultiplicity-free representations of Lie groups,

13. 田中雄一郎, コンパクトリー群に対する一for the exceptional case is submitted).

般化カルタン分解について, 2011 年度表現

B. 発表論文

論シンポジウム, 国民宿舎 紀州路みなべ,

1. Yuichiro Tanaka, Classification of visible

November 2011.

actions on flag varieties, Proceedings of theJapan Academy, Series A, Mathematical

4. 田中雄一郎, 旗多様体への可視的作用とカルタン分解の一般化, 日本数学会 2012 年度年

Sciences, Japan Academy, No. 88, 2012,
pp.91-96.

会, 東京理科大学神楽坂キャンパス, March2012.

2. Yuichiro Tanaka, Visible actions on flagvarieties of type B and a generalization ofthe Cartan decomposition, Bulletin of the

5. 田中雄一郎, 旗多様体への可視的作用の分類とその応用, 表現論と非可換調和解析の展望, RIMS, Kyoto University, June 2012.

Australian Mathematical Society, the Australian Mathematical Society, published6. 田中雄一郎, 旗多様体への可視的作用とカルタン分解の一般化, 日本数学会 2012 年度
秋季総合分科会, 九州大学伊都キャンパス,online: 20 August 2012, pp1-17.
3. Yuichiro Tanaka, Visible actions on flag

September 2012.

varieties of type C and a generalization of
the Cartan decomposition, Tohoku Mathematical Journal, 掲載決定済み.

7. 田中雄一郎, 旗多様体への可視的作用の分類とカルタン分解の一般化, 幾何学セミナー,
首都大学東京南大沢キャンパス, November

4. Yuichiro Tanaka, Visible actions on flag
varieties of type D and a generalization of2012.

the Cartan decomposition, Journal of theMathematical Society of Japan, 掲載決定済み.

8. 田中雄一郎, Visible actions on flag varieties and a generalization of the Cartandecomposition（ポスター発表）, 城崎新人セミナー, 城崎総合支所, 兵庫県豊岡市城崎町桃島, February 2013.

5. Yuichiro Tanaka, A generalized Cartandecomposition for connected compact Liegroups and its application, 数理解析研究
所講究録, RIMS, Kyoto University, No.

D. 講義

1795, p. 117-134.

E. 修士・博士論文

6. 田中雄一郎，旗多様体への可視的作用の分類とその応用, 数理解析研究所講究録, RIMS,

F. 対外研究サービス

Kyoto University, to appear.

G. 受賞
数理科学研究科長賞

C. 口頭発表
1. Yuichiro Tanaka, A generalized Cartan
decomposition for connected compact Liegroups and its application (ポスター発表),
Infinite Analysis 11 - Frontier of Integrability -, Graduate School of Mathematical Sciences, Auditorium, The Universityof Tokyo, July 2011.
2. Yuichiro Tanaka, A generalized Cartan
decomposition for connected compact Liegroups and its application, Topics in Combinatorial Representation Theory, RIMS,
Kyoto University, October 2011.
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