狂牛病の微分方程式モデル
中桐 裕子，栗田 治…………………I……llll…………‖州…川…ll………‖ll‖服……lll……l…………川m……‖‖‖………ll……l……l……‖‖…川…llt…仙川…‖州冊……llt……ll………州………ll………………＝刑…………l………ll……………l1．はじめに狂牛病は，1986年にイギリスで初めて確認された牛の感染症である．感染した牛の屑肉由来の飼料（肉骨粉）を再び牛が食すという「共食いの食物連鎖」によって感染規模は拡大し，さらに感染牛の輸出によって痛気はわずか20年弱で欧州中，さらにはわが国にまで飛び火した．狂牛病については詳細な調査が文献［1］などでなされており，また文献［2］ではイギリス狂牛嫡流行の実態を探る統計学的モデルが4是案されているが，本研究では流行の背後にある構造を推察して単純な微分方程式モデルを作成し，これを用いて実データ（イギリス国内の狂牛病累積発症数及び牛総数）のl廃棄■●●●●■一●●●●■‥●●●●t………●■●■−●●●●●．●■■．●■‥■．■‖●．●■川．1

図1狂牛病モデルの概念図

再現や状況の解析的把握を試みた．ある程度実データを上手く再現するモデルが作成できたことから，ここに発症するという過程や，外見では見分けがつかないで述べるような枠組みで現実を捉えることが有効であ未感染牛と感染牛とが区別されることなく，単位時間ると考えられる．に特定の割合で加工や廃棄をされるという畜産の過程

この研究では，複雑な環境に潜む最も単純で根本的が組みこまれている．また，加工された感染牛が（狂であると思われる構造を想定して，この基本的構造が牛病の原因となる）汚染肉骨粉へと姿を変えるので，生み出す大局的な流れをあぶり出すことに主眼を置いこの量に応じて次期の新規感染牛の数が決定されるとており，モデルによって，現実を詳細に到るまで忠実いう，汚染拡大の構造を想定する．図1に従って定式に再現することを第一の目的とはしていない．本稿で化を行うと，次のような式（1）−（4）が得られる：は多くの図や指標を活用して，狂牛病の流行という一つの現象をできる限り多角的に眺め，数学の手法や考え方の，社会現象への適用可能性を探りたい．

幽＝射的（わ十〟2（用−（α＋d）・飢（′）（カーγ・yl（g）如（f），（1）

幽＝γ・yl（廟（g）−（α＋d）・y2（Jトc・y2（J）， （カ2．モデルの作成と定式化（2）

狂牛病の流行に伴う国内の牛数の変動を再現するために，図1のような推移図を作成した．国内の全ての牛を，狂牛病に関して未感染あるいは感染（潜伏期）状態に分割して，各状態にある個体の数を議論する．
モデルには，牛が狂牛柄未感染の状態から感染し，後幽＝C・y2（J）， dJ一組＝α・…2（f）． （克ただし，以下を定義した：

yl（′）：（時刻fにおける）未感染牛の数，なかぎり ゆうこ，くりた おさむ
慶應義塾大学大学院理工学研究科〒223−8522横浜市港北区日吉3−14−1

受付02．3．13 採択02．7．19
666（40）y2（f）：潜伏期にある感染牛の数，
y3（f）：（時刻Jまでの）累積発症牛数，
釣（J）：累積汚染（牛向け）肉骨粉畳，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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占：（単位時間当たり）牛の出生率，まう過程では，従来から周知の感染症に関するロジス

α：牛の加工用屠畜率，ティック項：

d：牛の廃棄用屠高率，（単位時間に感染する未感染者数）

c：感染牛の発症割合，∝（未感染者の数）

γ：感染力の強さを表わすパラメータ，×（感染者く感染の原因〉の数）

α：加工牛が牛向け肉骨粉になる割合．のアイデアを応用した．ロジスティック項は，二種の系内では単位時間内に，図1において実線の矢印で個体群の人口を乗じた項（異種個体の 出会いの数 ）示した状態間の移行だけが起こる．そのうち1垂線のを用いて，個体群間の情報・物質のやり取りや相互作矢印で示した移行は，単位時間にそれぞれ特定の割合用を表現し，その結果もたらされる各個体群人口の変で生じるとした．例えば，未感染あるいは感染牛（つ化を追跡しようとするものである．耐久消管財の普及

まり生きている全ての牛）のうち，割合αの牛が屠過程（未購入者と購入者の間での，その財に関する情高された後に加エされ，割合dの牛は加工されずに報のやり取り）や捕食種・被食種の個体数変動などを処分される．さらに割合占の牛は出産する．

モデル化する際に用いられている（例えば文献［3］にまた2重線の矢印で示した，未感染牛が感染してし詳しい）．本モデルでは単位時間に新たに感染する牛

表1解のパターンと相平面上での解軌道例
パターンiわ＜α＋d
出生率が屠畜率よりも小さい場合には，解軌道は右図のようになる・未感染牛数が誓㌘よりも多い時には未感染牛が減り，感染牛が増加するが．未感染牛がこれよりも少ないと，病気がいくら流行している状態であっても（感染牛がいくら多くても）感染牛数は必ず減少する．つまり病気の流行は高々1度で必ず収まる．出生率が小さいので，任意の初期値から出発した軌道は（高々1回の病気の流行を経て）原点：系内に牛が居なくなる状態にむかって収束する．

パターン追 α＋d＜♭＜α＋d＋c
このパターンでは右図のように．第1象限に安定な平衡点が現れる．つまり如何なる初期状態から出発した系であっても．時間が十分経過した後には病気が系内に定着して．状況がそれ以上変化しなくなってしまう．平衡点に相当する状態では．単位時間当たり出生数と，屠畜されるか新たに感染する未感染牛の数，屠畜されるか発症する感染牛の数が全て等しいので．未感染牛・感染牛の数が見かけ上変動しないという事態が永遠に継続する．平衡点付近での変動の速度は非常に小さく．特に感染牛数が多い状態から始まった系は，途中まではパターンiとほぼ同型の軌道を描いている事が分かる．

兼感染牛d＋d＋c（〃＋d＋叶（ムー〃−d）
dα〃α（〃＋d＋￠−ム）パターン逼 α＋d＋c＜b

このパターンでは，未感染牛数が慧よりも少ない時には・病気がそれ以上広がる余地が無い為に感染牛が減少して未感染牛が増えていくが．未感染牛数が亀吉禁よりも多いと感染牛の数が必ず増加してしまう．感染牛の数は一度増加を始めると，増加傾向が永遠に継続してこれが発散するが．この際に未感染牛の薮は一定値よに収束する．つまり感染牛の数が増大し続ける一方で，新しく生まれた牛の数にちょうど等しい数の未感染牛が新たに感染するので，未感染牛数は見かけ上一定値を保つ事になる．出生率が大きい系では病気が流行しやすいといえる．

2002年10月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（41）66丁

の数が，未感染牛の数y2（J）と（感染の原因である）においては，各物質の濃度変化は次のような微分方程

汚染肉骨粉の累積量の増加分yi（′）との稗に比例する式で近似できることが知られている（ただし物質。方と想定した．ただしここでは肉骨粉の摘更に関するデの濃度を［ズ］とする）：

ータが入手不可能なので，市場に出回っている（すな

一豊＝豊＝綽汀

わち製造したが哨蟄はされていない）肉骨粉ではなくは）同様に二つの物質が反応して異なる物質が生成される

累税肉骨粉畳を二取り扱っているために，累積肉骨粉畳次のような化学反応の単位時間当たり増加量如（g）を未感染牛が即座に消X＋y→Z々著しているとイ反定している．

（9）

ここで式（1）と式（2）に式（4）を代入して整理するとにおいては，各物質の濃度変化は次のような2次の微
血鮎＝抽1（f）恒2（翔一（α＋の・飢（′）

分方程式で近似できる：（カーα・川・yl（g）y2（り，（5）一響＝一撃＝普＝々［ズ】【y］・響＝α・柑・飢（加卜（α十d＋て）〟2（∫）（6）（川

物質の濃度を，ある状態にある個体数と読み替えると，となり，結局，系の状態を把揺するには未感染牛数

個体数の変化が微分方程式（8），（10）によって記述される

yl（J）と感染年数y2（りだけを追跡すれば十分であるこ

変動は，式（7），（9）のような反応の構造を有しているととが分かる．また式の上では，感染力の強さを表わす考えることができるだろう．この置き換えの方法を狂パラメータγと加工牛が牛向けの肉骨粉になる割合ヴ

牛病モデル式（5），（6）を分割した次のような式は区別されずに，その横だけが意味を持つことになる（5）⇔響＝［響］1＋［掌］ので，今後は以￣Fのような指標αを設けて防疫に関2＋［響］3＋［響］。，

する議論をすることにする：
α＝摺：未感染牛が牛向けの肉骨粉を食して（11）（6）⇔響＝［め2（呵1＋［禦］

かつ狂牛病に感染してしまう割合，2

つまり国内防疫策の弱さの指標．

＋［響］

ヨ‖副

連立微分方程式（5），（6）は，解析的に解くことができに適用してみると，モデルは次のような記述に変換すない．よって本モデルを実データに当てはめる際などることができる（ただし未感染牛を坑，感染牛を坑，には，すべてモデルの数値解を計算することになる．

死亡あるいは発症した牛を．方で表わすことにする）：

しかしながらこのモテリレにおいては，出生率∂と屠

高率α＋d，発症率cの大小関係によって，3パター［響］1＝紬）ンの解が得られることが解析的に導かれるので，表1

占⇒名→2】う：未感染牛の出産，ではそれぞれのパターンについて，横軸に未感染牛数，縦軸に感染牛数を取った相平面上にてその解軌道を示［響］2＝∂〟2（f）

し，系内動向の解釈を行った（微分方程式系の解析手法については，例えば文献［4］に詳しい）．

∂⇒坑→れ十‡ち：感染牛の出産，3．モデルの解釈−［響］。＝［禦］l＝αα・yl（佃）ここで，モデル化した現象を把揺する上で生産性の高い概念を紹介しておきたい．微分方程式を用いて個（Z（γ⇒y＋坑→21ち：未感染牛の感染，体数変動を近似するという試みは，古くより化学反応−［響］。＝（α＋d）・yl（′）

速度論においてなされてきた．例えばある物質。方が反応速度定数々を伴って他の物質yに変質する，次α＋d⇒n＋＞一方：未染牛の屠畜，のような化学反応々

一方一−→ y668（42）（7）−［響］2＝（α＋d）・y2（′）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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α＋d

⇒％ ＞

一方：感染牛の屠畜，2−3歳で出荷されているなど，実際の畜産の状況を考え合わせると，感染牛の発症割合は潜伏期間の逆数よりも多少′トさい値であると予測できる．狂牛病に感−［響］3＝C・y2（′）

染する年齢の分布や牛の生存確率などのデータが存在C⇒靖一・→ズ：感染牛の発症．

すれば，（感染牛の）感染してからの時間分布をある程度明らかにする事が可能であろうが，ここでは簡単

上式では，モデルにおいて想定している変動：牛の出産と死亡（屠畜あるいは発症），未感染牛の感染という流れを簡便な形で確認することができた．逆に上のような変動の構造式から微分方程式を生成することも可能である．のため，発症割合が潜伏期間の逆数の2分の1であるとして計算を進める（このパラメータが変化した時の推定値の変動については後述する）：

c＝・（5×12）−1去…0833・
防疫策の弱さを表わすパラメータαの推定

4．実データへの当てはめ結果

残る一つのパラメータαは系の解が牛の総数y直）

この節では，作成したモデルによって実際の現象の記述を試みて，さらにその結果を通じた現象の解釈を＋y2（J）や累稗発症数y3（りの実データを上手〈再現するように値を推定すればよい．

行いたい．イギリス国内の狂牛病発症データ及び牛のイギリス国内では，表2に示すように段階的に防疫総数データにモデルを当てはめてみる．なおここでは策が強化されている［5，6］．本研究中では便宜上これ単位時間を1ヶ月とおいて計算している．以下にパラらの規制を，施行された順に規制Ⅰ，ⅠⅠ，ⅠⅠⅠ，ⅠⅤと名メータ毎の具体的な設定方法を記す．

付けた．このうち規制ⅠからⅠⅠⅠは国内防疫策を強化す

牛の出生率ぁの設定るための規制であるので，これに合わせてαの値が出生率は，1986年から2000年まで各年の畜産統計減少していくものと考えられる．これらの値を初期状態（規制が何も施行されていない状態）から順に助，値［5］の平均値を12で割った値とした：

仇，偽，偽と置いて，逐次的にデータに当てはめを行っ∂＝0．02273．

牛の層畜率α及びdの設定た．なお，規制ⅠⅤは前述したように牛の加工に関する屠畜率の合計α＋♂は，1986年から2000年まで各規制であり，本モデル中のパラメータα，dの値に影年の畜産統計値［5］の平均値を12で割った値で与える．

響を与えると考えている．

ところでイギリス周内では1996年に，生後30ヶ月以以上のような手順で，モデルを現実データに当ては上経過した牛の加エを一切禁止する法律（表2中の規めた結果を図2に示す．なお，初期値として1986年制ⅠⅤ）が施行されており，廃棄された牛の数も記録さ6月の感染牛の数を1500頭と与えた．節1で述べたれている［5］．本モデルではこの規制施行前は死亡し通り，実データへの当てはめによって次のような成果た全ての牛が何らかの形で加工されていたと考えて廃をあげることができた．

棄用屠畜率d＝0とおき，規制ⅠⅤ施行後は廃棄牛数の感染年数の動向の可視化データを利用してαとdを個々に算出した：

図2（a）において破線で示したのが感染牛数の推定曲規制ⅠⅤ施行前 α＝0．02311，d＝0．

線である．感染牛数は1990年9月の規制ⅠⅠ施行直前

規制ⅠⅤ施行後 α＝0．01283，d＝0．01056．
表2 イギリス国内の主な防疫策

先の出生率の値を考え合わせると，規制施行前後ともに占＜α＋dが成り立っているので，現れる解のパ廃棄用

年月

屠畜率

ターンはパターンiく病気の流行が高々1回で収まる♂

αタイプ〉 であることが分かる．

．＿、 段 防階規制 牛の共食い食物連鎖

口 禁止

感染牛の発症割合cの設定

d＝0 疫的 策に 規制 全ての動物への牛特定 Ⅱ 危険部位の投与禁止 の減

狂牛病の一般的な潜伏期間は約5年間であるといわれている［5］ので，もし感染牛の感染してからの経過時間分布が均一であれば，発症割合は潜伏期間の逆数で近似できるといえよう．しかし肉牛のほとんどが2002年10月号

96．3

規制 哺乳動物からの肉骨粉

強少Ⅱ の使用一切禁止

化に規制 生後30ヶ月以上
Ⅳ の牛の加工禁止© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

対d＞0

データ有 笹（43）669

統数を取るという大前提が存在するために，このよう

90．9

Ⅶ県ノ・￣に系内要素が0に近い状態での解に関して議論するに

規 制ⅢJi＼は慎重さを要するところではある．しかし潜伏期の長田l＼

さゆえ，狂牛病流行の見かけ上終息時期と完全な根絶

88．7 ノ．、
累積発症数推定値：：＝規制Ⅰ′／；

時期の間にかなりのタイムラグが生じている点などは，有効な示唆を与えているところではないだろうか．な＼ 、、、感染牛推定値：コ

お狂牛病の発生時期について，1970年代から80年代にかけて肉骨粉の加工処理過程に変更があったことが狂牛病が発生する大きな原因となったとする孟見が存在

86．12 初の狂牛病確認しており［6］，モデルによる推定が現実とはかけ離れ（a）感染牛数と累積発症牛数の推定ていないことが期待できる．
88．7
牛数（頭）規制Ⅰ

1．275×10T

96．3

規制Ⅱ

規制Ⅲ
−V⁝・・∵∴︑

l．25×107●防疫策効果の数量化
90．9↓1．225×107
1．2×10T

実データに系の式を当てはめてみたところ，防疫策
牛の総数推定値：yl（り＋弘（り実データ（点）l．175×107
1．15xlO7の弱さの指標となるパラメータαの値は，法規制以前：偽＝5．8×10￣7（比率1．00）
規制Ⅰ施行移行：仇＝4．2×10￣7（ノ／0．72）
規制ⅠⅠ施行移行：勉＝0．5×10￣7（／／0．08）

1．125×107

未感染牛推定値（J′ 0．00）

規制ⅠⅠⅠ施行移行：偽＝0

時刻

小86．12 初の狂牛病確認（b）牛の総数と未感染牛数の推定と次第に小さくなると推定された（ただし括弧内には助を1としてパラメータの相対的な大きさを記している）．この縮小の割■合を見ると，規制Ⅰは規制ⅠⅠに区12比べて狂牛病予防の効果がかなり小さかったことや，に最大で約41万頭存在していたであろうことが示唆

規制ⅠⅠⅠによって安全がほぼ完全に確保されたことなどされた．これは当時の牛総数（約1220万頭）の約が読み取れる．

3．3パーセントに当たる．

実際の規制の効果を見ても，これと合致した状況を

1999年に生後30ヶ月以上の牛を対象に無作為抽出見ることができる．すなわち，牛同士の共食いを禁止の狂牛病検査が行われ，検査牛中の約0．46パーセン

した規制Ⅰだけでは，他の家畜向けの肉骨粉が牛向けトの牛が感染していた［5］．当時の牛の総数（約1140

飼料に誤って混入されるなどの過失を防ぐことができ万豆削 にこの割合を乗じるとその時点での感染牛数をなかったために，この規制施行以降に産まれた牛の中約5．2万頭と推定することができるだろう（実際にはからも，狂牛病を発症する牛が多数確認された［5］．

生後30ヶ月以上の牛はこれより若い牛よりも狂牛病

政府はこれを受けて他の家畜，動物に関しても肉骨粉の感染率が高いといわれているので［5］，牛全体に占や危険部位を与えることを段階的に禁止していったの

める感染牛の割合はこの推定よりも少ないと考えられだが，これらの規制の効果は着実に上がっていったこる）．一方モデルによる同時点の感染牛推定値は約とが，本モデルにおいて数値的に示唆されたわけであ3．3万頭であり，両者が：近しい値であることからモデる．特に規制ⅠⅠⅠ以降，パラメルが的外れではないことが示唆される．

新たに感染することがない）と算出されたことから，ータ他の値が0（牛が狂牛病の発生と終息時期の推定

96年以降のイギリスにおいては狂牛病に対して高い同図にて推定曲線を過去へと延長すると，月当たり安全性が得られたといえるだろう．

新規感染牛推定数が一頭以上となる狂牛病の発生時期

感染牛累積数の推定は1982年初頭と推定される．逆に曲線を未来に延長モデルの式において係数が正の項だけを足し合わせすると，月当たり新規発症推定数が一頭以下となる見ることで，一度でもある状態にあったことがある個体

かけ上の終息時期は2014年前半，さらに感染牛数がの数，つまり累積数を容易に計算することができる．

一頭以下と推定される狂牛病の根絶時期は2026年末

社会的に興味があるのは，（時刻fにおける）感染牛と算出された．微分方程式系においては，個体数が連の累積数や感染していてかつ加エされた牛（そのうち6TO（44）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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少なからぬ割合の牛が人間の食用になったと考えざるでは判断できない項目である．イギリス国内におけるを得ない）の累積数であろう．それぞれを￠1（わ，年毎新規感染牛数の推定値を図4に示しておく．これ￠2（J）と置くと，これらは図1や式（6）より次のようなを見ると，イギリス国内では規制ⅠⅠ施行前の1989年

式で算出できることが分かる：に感染の危険性が最も高かったことが予想できる．

感染牛の累積数：

5．感染牛発症割合の設定の吟味み（り＝α・α・yl（りy2（J），（用感染していたにも関わらず加工された牛の累積数：

以下では便宜上，狂牛病の平均的な潜伏期間5年間￠2（〜）＝α・y2（′）．

（14）の逆数（12×5）￣1をc。【月●1】と置く．これまでは，感イギリス国内における感染牛の累積数推移の推定値

染牛の発症割合をc。／2とした時の当てはめ結果を記を図3に示す．これによると，狂牛病が発生してからしてきた．ところが前述したように，この設定の妥当2000年6月までに感染した牛の総数はおよそ77万衰貞性を確認することは困難であるので，ここではこの値であり，このうち約51万頭が飼料や食料に加工されを様々に変更すると，算出される推定値にどれほど影たと算出された．発症牛（我々が確認することができ響が及ぼされるのかを確認しておきたい．

る数）の2000年6月までの推定数は約19万頭である
発症割合cを・Co・号・号と変えた時の感染牛の推が，実際にはこれの約4倍強の感染牛が存在し，その定値の変化を図5に示す．発症割合が小さいことは，うちおよそ3分の2の牛が加工に回されてしまったとより多くの感染牛が発症に到る前に屠畜されているこ推定されたのである．とに対応するので，目に見えない感染牛がより多く存累積感染牛数を用いて，年間の新規感染牛数なども在すると推定される．例えば感染牛数が最も多かった

次のように算出することができる：と推定される時刻は，いずれも規制ⅠⅠ施行直前（90あ（J＋12）−￠l（g）．

（畑年9月）であるが，この時の推定数は，発症割合が大

新規感染牛数によって，狂牛病に感染してしまう危険

きい順に17．8万豆乳 40．8万頭，48．5万頭と異なる．

率がどれほど高かったか，当時の環境の良し悪しを計

また狂牛病が発生してから2000年6月までの間に感ることができよう．これは単に新規発症数を見るだけ染した牛の推定累積数も44．7万頭，76．6万豆乳 97．7万頭と大きく差が開く．これらの数値例を見ても，発症割合をより適切に設定することが，このモデルを実例に当てはめる際の大きなポイントであることが分かるだろう．
本稿で扱っている常微分方程式モデルでは，系内で状態を変動させる個体の数は，各状態にある個体数のみに依存して決定されると考えており，各個体がある状態に移行してからの経過時間（滞留時間）を考慮に入れていない．本稿のモデルと同様の枠組みで，他の図3 累積感染牛数と累積加工感染牛数の推定個体数（頭）個体数（頭）30∝DO二2m200∝旧1mlOO∝氾三氾∝）086 87 88 89 90 9192 93 94 95 96

図4 年毎の新規感染牛数推定
2002年10月号（年）

規制t 規制Ⅱ

規制Ⅲ

図5 発症割合cの変化による感染牛数推定値の変動© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（45）6Tl

伝染病拡大についてもモデル化が可能であると考えら

感染牛

れるが，この時にも感染者の発症割合を適切に設定す40∞00

ることが重要な項目となろう．特に潜伏期間が長く，

30〔X）00

病気が潜伏している間に（その病気以外の原因で）死20∞00

亡する者が多いようなケースでは注意が必要となる．

10（X）0040∝）000 8（：00000 120000∝）

6．イギリス国内動向の吟味

未感染牛

0．初期状態（黒点）から規制Ⅰ施行まで

ここでイギリス国内の狂牛病拡大の様子を，表1にて用いた相平面（未感染牛数，感染牛数を軸に取った感染牛平面）上で確認してみる．相平面上での解軌道につい400000て数学的にやや細かい説明を加えるが，この図を用い300000て実際に起きた状況変化を眺めてみると，特にイギリ

20∞00

スで施行された防疫策の効果を把捉しやすいことが明100000

らかになる．節4で行ったように政策を定量的に評価

40∞000 8COOOOO 120000（：0

未感染牛するに留まらず，そのインパクトを直感的にイメージ

1．規制Ⅰ施行（黒点）から規制Ⅱ施行までするための一助として相平面の活用を提案しておきたしヽ

先ほど述べたように，当てはめ対象期間ではイギリ

400000ス国内での解軌道の形状はいずれもパターンiのよう30∞00になる．まずパターンiの場合の解軌道を図6で詳し

20（：DOO

く見てみよう．未感染牛数の増加／減少の境界線は次lO0000のような式で与えられる：

40∞000 8∞0000 120000∞霊紡・yl（′），

普＝0⇔訂2（′）＝（畑

2．規制Ⅱ施行（黒点）から規制Ⅲ施行まで

これは鮎を通り・yl（∫）＝急に漸近する双曲線の一感染牛部である．また感染牛の増加／減少の境界線は
＝

40∞00
30∞00

α＋d＋c0⇔肌（り＝

未感染牛（l刀

20∞00

α（γで与えられる，つまり未感染牛の多寡のみによって感10∞00

染牛の増減が決定されることが分かる．未感染牛数が40∞000 8（：00000 120000CO

多ければ感染牛は増加して，少なければ感染牛が減少

3．規制Ⅲ施行（黒点）以降するという次第である．またパターンiでは∂＜α＋d＋cより，境界線式（16），（1別ま交差することがない．

︒．
′

dひl（り＝0⇔弘（り＝（a）相平面で見るイギリス国内の状況変動

b−α−d

感染牛
弘（り400000

αα弘（り−ム／ふ・、、、．、．

↑＼ l

未感染牛、、・・・・坐迎＝0⇔紳）＝ dα＋d＋c

300000

αα
20∞00
10∞00

未感染牛yl（り1．15×107

1．25×107（b）イギリス国内の状況変軌・まとめ（平衡点）

図6 パター ンiの解軌道詳細．
6丁2（46）

1．2×107

図7© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ￣▼■■￣

−γ・yl（りy；（J）＋（1−∈（′））・〃，先ほど実データに当てはめた結果について考えてみると，これらの牛数増減の境界線は規制が施行されて（1切幽＝γ・yl（減（Jト（β＋d）・y2（り （カαの値が変動するたびに移動をして，解軌道の形状にーC・y2（り＋＋∈（り・〃，影響を与える．この様子を図7■（a）に示す（牛全体に占幽＝C・y2（〜）， （カ幽＝α・…2（り＋〃・綽）〟． dJ

める感染牛の規模が小さいので，この図の縦横のスケールは異なる）．規制ⅠⅠ施行以前には，未感染牛数がα＋d＋cααを上回っているために感染牛数が増加を続式（19）−￠カの中で，イギリス国内のモデルに追加された

けるが（0，1），規制ⅠⅠの施行によってαの値が十分小さくなるので，これによってα＋d十c

頓に下線を付して区別した．

が未感染牛数

このモデルは，イギリスからの輸入が原因で狂牛病ααが国内に持ちこまれ，病気が拡大する状況の構造をあを上回り，感染牛数が減少し始める（2，3）．これらのる程度上手く表現できていると考えられる．各国内の軌道をまとめて表示したのが図7（b）である．

牛の総数や出生率などの畜産統計値と，イギリスから図7のように，相平面上での状態変動の軌道を描いたことで，防疫策の指標αがある程度減少すると感の輸入量データが入手できれば当てはめを試みること染牛数がただちに減少を始めるようになるという，規は容易に可能である．しかし次のような理由により，実データにこのモデルをそのまま適用した結果を利用制の効果発揮の仕組みを明確に示すことができた．繰

して考察を行うことには問題があると思われる：

り返していえば，感染牛数がそれ以降増加するか減少α＋d＋cするかを決定するのは未感染牛数とαα

α十d＋cであり，いわばこの「運命の分かれ道

αα●感染規模が小さいの大小」を，イギリス以外の国では，狂牛病の発祥牛の数が高々800頭（イギリスでの値の0．5パーセントほど）であり，感染の規模がかなり小さいといえる．

未感染牛数以上に引き上げることに成功した点においこのような規模の小さい変動を記述するには，個て，イギリスで施行された規制ⅠⅠが高く評佃されるべ

体数変動を連続変数で近似する微分方程式は適さきであると結論付けることができるだろう．

ないかもしれない．
●他の要因による影響が相対的に増大する

7．モデルの応用可能性

感染規模が小さいために，モデルに組みこまれ最後にこのモテリレの応用可能性について述べる．狂ていない安国：牛に与えられていた飼料の違いや，牛病は発祥国であるイギリス以外のヨーロッパ各国でイギリスからの輸入が原因で汚染された第三国かも広がりを見せており，その原因は，イギリスからのらの汚染家畜の輸入などの影響が相対的に大きく汚染家畜や汚染飼料の輸入であるといわれている．以下では，これまで考えてきたモデルにイギリスからの輸入という項目を加えて，イギリス以外での狂牛病流行について考察するための足がかりを提案しておきたしヽ

まずイギリス国内の未感染牛数，感染牛数の推定値
をyPK（り，yどK（わと置いて，さらに牛の感染割合ぞ（J）
を次のように定義する：（咽単位時間当たりイギリスから輸入される肉骨粉の量を〟，家畜の畳をⅣとすると，次のような定式化をする事ができる：

幽＝紬（f）再2（翔一（α＋d）・yl（J）（カ

図8 イギリス国外狂牛病モデルの概念図
2002年10月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（47）6丁3なるので，このモデルでは実際の状況を追従しきれなくなる．

これによって各策の評価の指標を得た．
ここで提案したような単純な微分方程式モデルは非ここで提案したモデルに，上で述べたような他の要常に簡便で操作性が高いので，現象を様々な視点から因まで上手く取りこむことができれば，感染規模がや眺めるための有効なツールとなり得ることが示唆されや大きい国に関しては，当てはめを行うことで何らかた．同様の枠組みによって，狂牛病や感染症の拡大だの知見を得ることが可能であるかもしれない．

けではなく，他の変動現象を記述することも可能であると考えられる．

8．まとめ

参考文献

本研究の主な成果は次の通りにまとめることができ［1］EU Scientific Steering Committee（2000）：Final

る：

1．ある程度現状を再現可能な，簡便なモデルが作成できた．本モデルで推察した構造により現状を把握することが有効であると考えられる．ただしモデルの記述性をさらに高めるには，感染期から発症する個体の割合をより適切に設定することが必要である．

坤ブナJわJJ′！／●〟けSぐん・J両方（、S／Lで，ブ〃g C′）〃川J∫仏ノー：・の〃／／JJgg曙，てゆゐfcαJγ衰烏 q／β0〃才乃g 勧の堵的，γ柁 助c勿ゐαわー♪α卸「Gβ尺ノ．

［2］R．M．Anderson，C．A．Donnelly，N．M．Ferguson，al．（1996）： Transmission Dynamics and Epidemi0−
logy ofBSEin British Cattle，Ndture，Vol．382，pp．

779−788．

2．微分方程式系の解析理論を活用して，畜産に関するパラメータが狂牛痛系に与える影響や，系の収束先などについて議論ができた．
3．モデルを実データに当てはめた（適切なパラメ［3］河野光雄（1997）：『社会現象の数理解析』，中央大学出版部．
［4］アトリー・ジャクソン（1994）：『非線形力学の展望Ⅰ』，共立出版．

ータの値を推定した）結果，外見では健康な牛［5］イギリスDEFRA（Department for Environmentと見分けがつかない感染牛数の動向（推定値）

Food and RuralAffairs）ホームページ，http：／／www．

を可視化することができた．

defra．gov．uk（2001年10月から2002年1月にアクセ

4．狂牛病発症数の将来予測や，狂牛病の発生時期と終息時期の推定などを行うことができた．

ス）．
［6］中村靖彦（2001）：『狂牛病』，岩波新乱

5．実際に施行された防疫策の効果を数量化できた．

674（48）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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