ダム湖の容量と流量の調節
一流量ベクトル法による取り扱い一柳井 浩，西村 友志
l……l＝＝＝‖…＝l川Il…＝＝…‖……ll＝＝＝＝‖＝＝＝＝‖＝＝‖‖＝‖‖‖…llll‖‖＝＝＝‖＝＝＝＝＝＝‖＝＝＝‖＝‖‖＝＝＝＝＝＝＝＝‖‖‖‖‖＝＝＝‖＝＝＝‖＝＝‖‖＝＝＝‖‖＝＝＝＝＝州………llll…＝‖＝＝＝‖‖‖＝＝‖＝＝‖‖‖＝‖‖＝…llll……l＝＝＝＝＝＝‖‖‖＝冊l

図1の下部にダ（りを図示した．これを累積チャートとい1．はじめに河川の流量は季節によって変動し，下流における洪水やう．また，渇水の原因となる．過剰な流量を貯え，不足時に放流して，流量を平準化するためにダム湖（貯水池）が設けられるが，テ＝：流暮ベクトル（3）（三）＝（ニ）

その容量によって，流量の平準化にも限度がある．また一方，発電，潅漑，水上交通等，多種の水利用には，望ましというベクトルを定義するが，これは各期の総流量を一年い流量が，時期に応じて変化する．そこで流量の変化に対分並べたものである．

して，ある一定の容量のダム湖にどのように水を貯え，ど朝のように放流すれば，どの程度の効果が上がるのか問題になる・［1】〜［5］→方，ガンジス河の支流マハカリ河など，山地の河川に苫0Tl

ダムを築く計画が検討されている［6トダムの建設に先立団って，候補地の選択が必要になる．しかし，地形，ハイドログラフ等のデータも，大まかにしか分からない場合も多い．問題の構造を単純な形で明確化し，全体の傾向を大きく掴んで，見積もりを与える方法がなければ，自然の大きさに対処することはできない［7ト本研究の主目的は，そのJl r2 ら 上Jo

ような視点から候補地の評価を支援する方法の提供であ

図1：河川の流量の変化と累積流量る．

例2．1マハカリ川のハイドログラフ

2．流tとその図示
河川の流量変化は自然の現象で年々変化するのが普通で図2には，ガンジス川の支流マハカリ川のパンチェスワあるが，それでも，年々おおよそ一定のパターンに従ったールにおける月平均水量のハイドログラフが示されてお変化が見られるので，この基本的なパターンに対する策をり，これから算出した2年分の累積流量のグラフが図3で講じよう．

ある．さらに，図3の累積グラフには1年を3期に分けていま，ある河川の流量は，毎年同じように繰り返される折れ線を近似したものが重ねて画かれている．これを見て階段関数で，図1の上部に示されるようなハイドログラフも，m＝3で充分な近似が得られることが分かるだろう．

で与えられるものとする．

すなわち，石川島播磨重工業〒135−8322 東京都江東区毛利1−19−10，IHI江東事務所
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オペレーションズ・リサーチ︶にしむら ともゆき

ごU

〒223−8522 横浜市港北区日吉3−14−1′一■lヽとしておけばよい．

5

慶磨義塾大学理工学部︶

お＝31．6（億m3） 12月〜 5月末

やない ひろしl

ム＝21．5（億m3） 10月〜11月末︵J（∈）壁：時刻土までの累積流量（2）6月〜 9月未

4

ダ（t）＝Jl＝131．5（億m3）︶／（古）：時刻古における流量 （1）600504003

水生︵億㌦／月︶

021

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
月

Jo rl J2

図2：月平均水量−ハイドログラフー

わ J4 J50年

r6 r7 J島 J9 JlO′11 r

1年

2年

図4：ダム湖への流入量と流出量の関係（m＝5）0（12）

︵UO︵Uこのような条件のもとで，ダム湖をめぐる流量の制御の5▲U
3累積流i︵億ハ・＝（了l・2問題を流入出量ベクトルによって取り扱う方法を流土ベク

2トル法とよぶ．

4．制御の可能性
ところで，図4からもわかるように，容量Cのダム湖が

1 4 7 10 13 16 19 22 25

溢水もしくは枯渇しないためには，月F（り≧C（り≧F（t）−C

図3：累 積 流 量（2年分）（13）が常に成立していなければならない・ここに，（13）式の右
3 ダム湖による流出土の制御辺をいま，この河川に容量Cのダム湖を設け，時刻土＝0かC⊥（り＝叩トC：累積流出1下限

ら流出量の制御をすることを考える．上流からの水をすべてこのダム湖に導けば，前節で述べた流量が，このダム湖（14）とよぶことにする．

いいかえれば，ダム湖の容量がCであるとき，流出量のへの流入tということになる．

制御が可能なのは，累積流出量C（りが，累積流出量下限

一方，流出量は流入量と同期して毎年同じように繰り返C⊥（りと累積流入量ダ（t）の曲線にはさまれる 帯 （図4されるものとする．

参照）の範囲である．この帯を制御可能帯とよぶことにしg（り：時刻土における流出量（7）よう．

g（モ）d∈ 時刻ほでの累積流出量（8）（7（り＝これを各期の流入・流出量に翻訳してみよう．数学的に上土言えば，∂＝‥流出土ベクトル（9）誓X〈専一eり≦C（三）＝（二；二）（15）という条件を満たす範囲の流出が可能である．（証明略）こ

このとき，年間流入量および年間流出量は，それぞれこに，

秤＝ム＋ム＋…＋ふ：年間流入暮
Gy＝釦＋∂2＋‥イ∂れ：年間流出土

（10）

3

J

君＝∑ふ，句＝∑釦
た＝i

た＝壱であるが，長年にわたる収支を考えれば，これらは互いにすなわち，専，dきは，軌期から第ゴ期までにわたる流入量等しくなければならない．

および流出量である．

2（川1年11‖1一（16）（11）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（45）647

とするベクトル

テ＝［冨ぎ］（18）となる．

いま，すべての月における平均流量gを5（億m3／月）≦g≦25（億mソ月）

（b）

（a）

（19）という範囲に調節することが希望されているものとしよ

図5：実現しうる流出量ベクトル身の等高線（m＝2）

う．これを各期の流出量に直せば，
O2︵︶2120≦ 釦 ≦100

22に，求める最小のダム湖は，調節希望嶺域と容量制約六角形がかろうじて共通部分をもつようなものだということになる．図7には，そのような容量制約六角形を描いてみた．このダム湖の容量は，31．5億m3で，年間総流量の17％にあたる．この容量のダム湖があれば，調節希望額域の中での流量の調節が可能になる．

（15）式の左辺が，ト∂のチェピシェフ・ノルムに帰着するので，（15）式はβ（テ，∂）＝mチX（Iムー∂ l）≦C（17）となることが，詳しい計算から分かる（計算略）・

m＝2，3の場合には，また，この議論を図5，6のように図解できる．すなわち，年間流入量牲と年間流出量Cyは等しいから，ベクトルテ，∂の終点が動きうる範囲は，成分の和が一定の直線や平面の第1象限部分である．特に，m＝3の場合には，三角図表をもちいると便利である．

また，ダム湖の容量C，および，流入量ベクトルテが与えられれば，流出量ベクトル∂の実現可能な範囲が定まる
が．そのm＝2，3の場合の具体的な形は，図5，6に示されて図7：パンチェスワール多目的ダムの三角図表

いるように，テを中心とする土Cの線分，あるいは，一辺の長さが三角図表の目盛りでCの正六角形になる．これを，例題4．2 土砂堆積による貯水池機能の低下と貯水池の寿制約区間あるいは制約六角形とよぶ．

命

例題4．1パンチェスワール多目的ダムの客土例2．1でとりあげたマハカリ河のパンチェスワールに多目的ダムを建設する場合について，流出量を与えられた範囲に調節するための，最低限必要なダム湖の容量を調べて上流から水とともに流れてきた土砂が堆積すれば，貯水池の実質的な容量が減る．流量調節が目的のダムならば，その機能が低下する．
三角図表上でいえば，容量制約六角形が縮小され可能みよう．ここでも例2．1と同様，1年を3期に分けて考えるな流出量の範囲が狭くなり，容量に余裕がなければ，所期ことにすれば，流入量ベクトルテは，各期の総流量を成分の流出量を実現することが出来なくなってしまう．

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648（46）︵う．図7にテとこの領域を示すが，これを見れば分かるよう（15）式をそのまま用いるしかないが，几＝2，3のときには，︶終点の範囲である．これを調節希望領域と呼ぶことにしよm≧4，すなわち，1年を4期以上に分割する場合には，︵＜一051＜＜一3〇となる．これらの共通部分が，希望する流出量ベクトルの

図6：実現しうる流出量ベクトル身の範囲（m＝3）

︶10≦ ∂2 ≦50

オペレーションズ・リサーチすなわち，これが河川Ⅳの流量を調節することができる範

治水目的の貯水池は，容量制約六角形が縮小し，その機囲である．この式からすれば，河川Ⅳの調節可能な範囲は，能を失うまでの期間が寿命と考えられる．

河川ムおよび〟の合流後，容量C上＋C〃のダム湖が設けられた場合と同等である．
例5．2 放流による利益とその最大化 ダムの放流する水が，その期に応じて単位量当たり，水の価格：pl，揮，p3（28）で 売れる ものとしよう．各期の流出量を流出量 ‥釦，∂2，ぁ（29）とすれば，年間の売上は，

P＝pl釦＋p2∂2＋p3あ（30）

図8：土砂堆積による貯水池機能の低下となる．そこで，これを例えば，例4．1において，必要最小容量は31．5億m3と計

年間流出量 ‥ Cy＝釦＋∂2＋由算されたが，いま仮に，それを上回る50億m3の貯水池を建設したとする．そのとき，年間1．2億m3の土砂が堆積す釦≧0，∂2≧0，由≧0 （31）れば，このダムの寿命は，＝15．41（年）

（23）

（32）

﹈﹈

1．2

ダム湖の容量：Cト

50−31．5という条件の下で最大にする問題を考えよう．すなわち，
plと計算される．

（33）

さて，流量ベクトル法によるダムの容量，制御などをめぐる問題の取り扱いをいくつかの例題を通じて示すこと

流出量ベクトル：∂にしよう．

例5・1 合流河川の流量調節 2つの河川上，〟が合流＜gl＜釦人齢ト

拘拘価格ベクトル‥p ＝5．流tベクトル法による各種問題の取り抜い（34）とすれば，して河川Ⅳとなる．このとき，上流の河川エおよび〟に，容量がCエおよびCん一のダム湖を設け，河川Ⅳの流量を調P＝pT合＝maX！

（35）

節する問題を考える．
制約条件

河川エ，〟の流入量をチエ，テ〟とすれば，上流にダムがなければ，河川Ⅳに流れ込む流入量は，合Tγl＝ノ豆cy

P（J，∂）≦C

テ〃＝㌢十㍗ ‥ 河川〃の流入量ベクトル（24）となるが，上流のダムによって，河川ム，〃の流出量がという問題になる．ここに，∂エ，∂〟に調整されたとすれば，河川〃への流出量は，
れ＝去［…］∂〃＝∂ム＋∂M：河川Ⅳの流出量ベクトル （25）となり，これが調節の対象となる．

（38）

は三角図表を載せている平面の法線ベクトルである．

三角不等式からただちに導かれるように，これは，Pを目的関数とする，3変数釦，∂2，あに関する線p（テⅣ，∂〃）＝ P（チエりM，∂エ＋∂〃）≦ β（チエ，∂ム）＋p（テ〃，∂〟）

形計画問題であり，許容領域は（36）式によって与えられる三角図表上の（36）および（37）式によって与えられる容量制（26）約六角形である．したがって，最適解は，この正六角形上であるから，

β（テ〃，∂Ⅳ）≦Cエ＋Cルー

2001年11日り・の頂点の一つに存在するが，そのいずれになるのかは目的（27）関数Pの係数pl，p2，p。の大小関係によって次のように定ま© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（47）649l￣丁 −b→m匝−
第 第1 i十l
期 期

兼 集
I i†1
期 期

図10：増水期のハイドログラフ

図9：容量制約六角形の頂点と目的関数増加の方向る（計算略）・

pl≦p2≦p3

Ⅵ（釦＝ムーC，∂2＝ム，由＝ム＋C）

pl≦p3≦p2

鴨（釦＝ムーC，∂。＝長＋C，あ＝お）p3≦pl≦p2

鴨（釦＝ん∂2＝ム＋C，あ＝お−C）

p3≦舛≦pl佑（釦＝ム＋C，由＝九由＝ムーC）

p2≦p3≦pl

鴨（釦＝ム＋C，∂。＝長一C，あ＝お）

p2≦pl≦p3

鴨（釦＝ん∂2＝長一C，由＝ふ＋C）

これらは，次のようにまとめることができる．すなわ

図11： ハイドログラフのベクトル表示とち、目的関数の係数のうち値が最も大きいものに対応する

ダム湖の機能（2期の場合）変数を取り上げ，容主制約六角形でこの値が最大になる辺に注目する．さらに，係数のうちで値が次に大きいものにいま，第去−1期までに水が極力放流され ダム湖が空注目して，辺上でその値が最大になる頂点を求めれば，こになっているものとしよう．すなわち，第五期の期首においれが売上を最大にする流出量を示している．ては，ダム湖の容icが第盛期以降の水i調節のために準例題5．3 流tピークの平準化備されているものとする．

毎年ある一定の期間に大きな増水が見こまれ，これが洪水の原因となる場合には，それに先立つ期における貯水量

したがって，第i期においては，流入量中Cまでの水をダム湖に導くことができるから，流出iあは，を極力減らし，増水期には水をたくわえ，下流への流量の平準化をすることが求められる．すなわち，高々2〜3期にわたる水量調節の問題である．これを考えよう．
増水期を第i期として，第乞および壷＋1期の流量をハイドログラフに画いたのが図10である．
ここで，ダム湖に水を導くことによって，流量がピークになる第i期における下流の流睾∂iをできるだけ小さくしムーC≦∂i≦ム（41）にすることができる．
同様にして，第ほよびi＋1期にわたる流出圭あ＋釦＋1についてもム＋ム＋1−C≦∂i＋あ＋1≦ム＋ム＋1﹁Jが成立しなければならない．

﹈

∂ ＝トL

テ ＝ヘムん∧釦叶トたい．そこで，流量を次のようなベクトルように，PQR5によって囲まれる平行四辺形である．これ：流入主ベクトル

l：流出量ベクトルが，流出i∂i，釦＋1を網節できる範囲である．

l＜ロ︺で表すことにし，これらを第虚および宜＋1期の流量を軸とする直交座横平面に描くことにする・（図11）

850（48）（41），（42）式で与えられる範囲は図11にも示されている

次に，増水期を第i期として，第虚，i＋1および壷＋2期の3期にわたる場合について考えよう．この場合について© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

（42）

﹈

多くの貴重な助言をいただいた．ここに感謝の意を表した
い．

l

流入量ベクトル（43）

参考文献﹈

つ︼

1

〔11多々納 裕一，岡田 憲夫，河合 一「残留域流出量‥流出量ベクトル

（44）

2−＜ロU

トへqU

＜ム∧入部汀叶

テ ＝﹁．■■Lも，流量を次のベクトルを考慮した利水用貯留システムの信頼性評価モデル」

土木計画学研究・論文集No．7，1989年12月，pp．99−

で表すことにし，これらを第宜，五＋1および五＋2期の流量106を軸とする3次元空間に描くことにしよう・（図12）［2］多々納 裕一，岡田 憲夫，河合 一「渇水の継続期間を明示的に組み込んだ貯水池運用計画モデル」土木

計画学研究・論文集No．9，1991年11月，pp．173−180［3］多々納 裕一「貯水池システムの統合操作ルール設計のための分権的アルゴリズムの開発」土木計画学研究

・論文集No．15，1998年9月，pp．31−40【4】OttoJ・Helweg and Thanakorn Uan−On Nonlin−
earReservoirAnalysiswithRisk−BenefitObjectives
WaterInternational13，1988，pp．80−84［5］Abdulmohsin AIshaikh and Saud Tゝher Optiomal
Design ofIrrigation CanalNetwork Under Uncer−

図12：ハイドログラフのベクトル表示とtainty Using Response Surface Method

ダム湖の機能（3期の場合）

WaterIn−

ternationa120，1995，pp・155−162【6］建設省・（財）日本グローバル・インフラストラクチャー

この場合の流出量∂の範囲は，（41），（42）式で与えられた研究財団平成10年度報告書，「東ヒマラヤ水系河川管条件に加え，第五，五＋1および五＋2期にわたる流出量∂l＋理基礎調査」，平成11年3月∂汀1＋釦＋2に関する条件【7】伊藤 弦，柳井 浩「ダム建設の最適位置と最適容量／i＋ム＋1＋ム＋2−C」オペレーションズ・リサーチ，1996年4月号，pp．228−≦ ∂i＋∂叶1＋∂汁2235≦ ム＋ム＋1＋ム＋2（45）を満たさなければならない．

【8】柳井 浩，西村 友志「貯水池の容量と流量の調節一
流量ベクトル法による取り扱い−」rIt！ChnicalReport

したがって，この範囲は図12に示されるような平行6面

No．00−001，慶應義塾理工学部管理工学科，17．V．2000

体になる．
6． おわりに本研究では，ハイドログラフを階段関数で近似しベクトルとしてまとめて考える 流量ベクトル法 を展開してきた．紙幅の関係で割愛したが，さらに，年間流入量の変化などについても，多少の修正をほどこせば，この方法の適用が可能である［8ト このようないくつかの例題から分かるように，実際の計画問題に対しても，十分な支援を与えると考えている．
本研究は日本オペレーションズ・リサーチ学会と日本グ
ローバル・インフラストラクチャー研究財団との協同研究部会「インフラストラクチャー問題」の活動の一環として行われたものである．この研究会のメンバーの方々からは，

2001隼11＝1−© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（49）651