モデルの効用
逆瀬川 浩孝…………州l川……冊州t……州……州州‖＝＝＝＝＝＝‖＝＝＝‖＝＝＝＝‖‖＝＝‖＝＝‖＝＝＝＝＝＝＝‖‖‖＝＝＝‖＝＝＝‖＝＝＝‖＝＝＝＝＝‖＝‖＝＝＝＝＝‖‖＝＝＝＝＝＝＝‖＝＝‖‖＝‖＝＝＝‖＝‖＝＝＝＝＝‖＝＝＝＝‖＝＝＝＝‖＝＝＝‖‖＝‖＝＝＝＝＝＝‖州Ill

指すということがオペレーションズリサーチの基本的
1． はじめにアプローチですが，その対象は千差万別，そのつど，オペレーションズリサーチにおけるモデル分析は，その間題固有の解決法を考えていたのでは大変です．

しばしば物理・化学における実験に準えられます．自問題の本質を掴み，必要な機能を持ったスケルトンモ

然観察あるいは実験の結果から作業仮説を作り，実験デルを作っておけば，表面上は違う状況設定であってを積み重ねることによりその仮説を検証し，必要ならも，同じモデルを使って考えることができる，というば修正を施し，さらに実験を繰り返す，という作業の経験が積み重なり，モデルの重要性が強調されている連鎖によって理論的体系が豊かなものになって行くののだと思います．と同じように，オペレーションズリサーチでもモテリレを使った「実験」が推進エンジンになっています．

物理・科学の美馬如こ比べて（もっとも，最近の化学

オペレーションズリサーチの教科書を読んでいると，多くの著者は実施の難しさを強調しています．そのような事態を想定して，なるべく現場に近いモデル作り

実験はコンピュータプログラミングが必要という話をを意識しているのはシミュレーションモデルでしょう．

聞きますが）オペレーションズリサーチにおける実験

例えば空港建設のような巨大プロジェクトにはシミュは特別な実験装置を使わずに，多くの場合コンピューレーションによるアセスメントが義務づけられているタを頼りに実施されます．つまり，数理的なモデルたと聞きます．そのシミュレーションは実際にモノがスちを作り，それらの動きを見ながら問題の解決法を探

ムーズに流れている，仕様を満たすような能力を備えるというわけです．ている，事故対策も万全である，ということをアピー

本誌数号前の「モデリング」特集号［3］に，学会をルするためのものですから，意思決定者，つまリモデ代表する「モデラー」の方々のモデルに対する考察がルを利用するだけの人たち，がそれを認識できなけれ書かれていて興味深いのですが，それらの中から共通ば困ります．ということは，あまり抽象的なシミュレ項として，「抽象化」と「汎用性」というキーワードーションモデルを作って「シミュレーションしましを取り出すことができます．

た」と言っても受け入れられないのでしょう．

この小論では，数理モデルの特徴としての「抽象そこで，このような目的のために作られた離散事象化」のレベルと，モデルの「汎用性」について説明しシミュレーション用のソフトウェアはモデルの動きをながら，モデルの効用について考えます．

視覚化したアニメーションツールを備えていて，巾ーが起きているのか，パラメータを変えると何が変わるの

2．モデルと抽象化かが一目で分かるようなモデルを簡単に作ることがでモデルを使って問題を考えるという思考法は何もオ
ペレーションズリサーチの専売特許ではなく，いろいきるようになっています．

しかし，この「現場対応」のシミュレーションモデろな学問分野でよく行われていることですが，オペレ

ルでも，アニメーションで勤し−ているのは実際のモノーションズリサーチの中では特に重要性が強調されてではなく，その動きは実際の動きと似せていますが，います．オペレーションズリサーチが「問題解決の科現実そのものではありません．必要な要因のみをピッ学」とも呼ばれていることと関わりがあるのでしょう．

クアップして現実を抽象化し，シミュレーションモデ現場から問題を発掘して定式化し，合理的な解決を目ルに落とし込むというプロセスを通っているのです．

さかせがわ ひろたか

このような，いわば現場密着型のシミュレーション

早稲田大学理．t学部

モデルの多くは，その間題固有の特徴を生かし，より〒169−8555新宿区大久保3−4−1

現実のオペレーションに近い，操作性の良いモデルを

2005年8月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（25）5朋目指すので，抽象化の度合いは低いのが普通です．これを損失の比である70：30に分かつ需要量を求め，れに対して，現場から少し離れてものが考えられるよ

それを毎日仕入れなさい，というのが「最適戦略」とうな問題，あるいはルーティン化されたオペレーショいうことになることが知られています．

ナルな問題では，「抽象化」の度合いを強めることに「新聞」売り子モデルの特徴の一つは，ある時期をより，要因間のつながりが浮き彫りにされ，数理モデ過ぎると無佃値になる（陳腐化する）商品を扱っていルとして定式化の可能性が見えてきます．

るというところにあります．そういう観点から見ると，抽象化することによって次に見えてくるのが「汎用陳腐化する商品はいくらでもあるわけで，この考え方性」です．もともと一つ一つのモデルはある問題を解はそれらの商品の仕入れ問題に通用できるはずだ，とくために作られたものですが，別の問題を解くためにして考えたられたのが航空機チケットの割引販売問題

抽象化してモデルを作ったら同じモデルになってしまです．

ったということがありえます．例えば，銀行の窓口のフライトチケット問題 航空機会社の価格設定の自混雑を分析するための畑モデルは修理工場の混由化により，ディスカウントチケットが出回ることに雑でも，タンカーの荷下ろしの混雑でも，同じモデルなりました．フライトのチケットはそのフライトだけを使うことができるというわけです．いわば，モデルに有効で，その便が飛んでしまえば売れ残りは無価値

は問題を捕まえる綱のようなもので，問題の「海」にになりますが，一方，ディスカウントチケットが売れ網を打って捕まえることができる問題が，そのモデルるからといって，売れ残りを恐れて事前に割引で売っの通用範囲ということになります．てしまうと，間近になって正規運賃でも売れるビジネ

この喩えを使うと，打った綱にとんでもないモノが引っかかってくる可能性がないわけではない，というのが次の二つの例です．

ス客の需要に応えることができず，正規運賃と割引運賃の差額をもうけ損なうことになー）ます．
新聞を仕入れて売る，という行為と，数の決まった

3．新聞売り子モデルとレベニューマネジ
メント

座席のチケットを売る，という行為は一見結びつかないように思われますが，売れ残ったら捨てるしかない，つまり，陳腐化する商品を売るという点で共通点があ

オペレーションズリサーチの勉強をした人ならば誰ります．さらに，需要があってもモノがなければ売りでも知っている有名なモデルの一つとして，新聞売り損なう，という点でも共通です．しかし，新聞は同じ子モデル（問題）があります．

値段で売るのに対して，チケットの方は割引運賃と正規運賃の2通りの価格があり，単純に対応付ける訳に毎朝街角で新聞を売っている健気な少年がは行きません．

いる．午後になってもまだ全部売れずに声を二つの状況比較 チケットの場合は何が問題だったからしているかと思えば，早々に売り切れてかというと，先に割り引きでチケットを売ってしまうしまい，もっとあればもうけも大きいのに，と，後から来るかもしれない正規運賃を払っても購入と臍を噛むことも多いらしい．仕入れ部数にする客を逃すことになる，ということでした．割引運関して何か有効なアドバイスは出来ないだろ

賃販売による代金は回収済みですから，もうけ損なっうかた差額運賃が機会損失となります．
こう考えることにより，新聞売り子問題との対応関という問題です．仕入れ値が30円，売値が100円と係が見えてきます．つまり，チケットを正規運賃で売すると，売れ残った場合の損失は30円，売り損なっる人を新聞売り子とみなして，正規運賃枠をいくつ確た場合の損失は70円と計算されます．問題は，気ま保すべきか，という問題を立てることにします．

ぐれな客の購買行動です．そのため，仕入れ過ぎても，いろいろな制約から，割引運賃の販売期間が限られ仕入れ足りなくても損するので折り合いを付けなけれていて，正規運賃のチケットは売れなかったら空席でばいけないという「トレードオフ」状況が発生します．

飛ばすしかない，と仮定すると，新聞の仕入れ量と正もし，毎日の需要がランダムに決まり，トレンドがな

規運賃枠，新聞を買いに来る客と正規運賃でチケットいのであれば，明日の需要量は確率的にしか予測できを買いに来る客，という対応が取れ，売れ残った場合ないので，過去の需要記録を少ない順番に並べて，その損失は，新聞の場合が仕入れ値，フライトチケット

542（26）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

の場合は割引運賃，売り損なった場合の損失は正規運グラフになり，グラフの面積は全く同じになります．

賃と割引運賃の差額，という対応関係でまとめること客が待っているところに到着した場合も，この二つのができます．

確率過程のサンプルパスは見方を変えると同じ重力きをその結果，最適な正規運賃枠は，新聞売り子問題のしていることが言えるのです．

最適戦略をそのまま通用することができることになり

実際，仮待ち時間のサンプルパスを直交メッシュ状ます．つまり，正規運賃をA，割引運賃をβとするの餅網に貼り付けて，左上隅を右下へ向けて押しつけ，と，正規運賃を利用する客の需要に関する過去のデー縦横の針金が45Dで交わるような菱形に歪めてみると，タを小さいものから順に並べ，月−β：βに分ける数経過時間のようなサンプルパスになるでしょう（図1を正規運賃枠として確保する，というのが最適戦略と→図2）．つまり，それまで垂直にジャンプしていたなります．

ところが傾き1のスロープになり，傾き−1で減少していた部分が一挙に垂直にジャンプして減少するよう

4．待ち行列モデルとリスクモデルになります．数学的に言えば，経過時間のグラフをJ待ち行列モデルの分析ツールの中に「残余仕事量」

軸〝軸が450で交わる斜交座標によって変換すると，あるいは「仮待ち時間」というものがあります．処理

仮待ち時間のサンプルパスと1対1対応するというこ中の客の残リサービス時間を含めて，系内にいる客がとなのです．

要求している仕事量（サービス時間）の合計が残り仕リスクプロセス 話変わって，保険会社の金の動き事量です．もし，サービスする人が一人で，サービスを簡単な数学モデルで記述することを考えます．収入は先着順に行われ，客がいる間は働き続けると仮定す

は保険料，支出は保険金支払いだけとしましょう．保ると，ある時刻オにおける残り仕事量は，「仮に」時

険料はもちろん契約の時期によって，あるいは保険金刻Jに客が到着したとすると，その客の待ち時間になの額によって変わってきますから，丁寧に考えようとる，という意味で「仮待ち時間」と呼ばれることもあすればし、ろいろあるでしょうが，契約者が無数と言っります．仮待ち時間のサンプルパスは客の到着時点でてし−いほどたくさんいるとすれば，おおざっぱに言っその客の持ってきた仕事量，すなわちサービス時間だて一定金額が「流入」して来ると見なしても良いでし

け上にジャンプし，新たな客が到着するか，仕事量がょう．支払いの方はもちろん支払い請求（支払い）が0になるまで，−1の傾きで減り続ける，という動きあった場合で，これはいつ起きるか分かりません．まをします．

た，支払額も，ケースバイケースで異なります．そこ

経過時間プロセス これに対して，仮待ち時間ほどで，次のようなモデルが考えられます．システムの状

有名ではありませんが，「経過時間」という考え方が態（つまり，資金量）は一定スピードで増え続け，離あります．現在サービス中の客のシステムに滞在して散的にランダムなタイミングでランダムな量減少する，いる時間を表すものです．そのサンプルパスはサービという動きを繰り返す．このような動きを繰り返す確

ス開始直後に，サービスを開始した客のそれまでの待率過程はCramer−Lundbergの1）スクプロセスと呼ばち時間からスタートし，傾き1で増え続け，サービスれていて，金融工学のテーマになっています．

が終了すると，次の客の待ち時間まで下にジャンプすリスクプロセスと経過時間プロセス さて，このリスクプロセス，サンプルパスを描いてみると，その前る，という重力きをします．

仮待ち時間と経過時間のサンプルパスを比較した場に描いた待ち行列モデル分析で用いた経過時間のサン合，もし誰もいないところに到着し，退去するまで次プルパスとよく似ていることが分かります．経過時間の客が到着しなければ，両方とも直角三角形のようなプロセスもリスクプロセスも，増加するときは一定ス
ピードで増加し，ランダムな事象によってランダムな量，下にジャンプする，というサンプルパスになります．ただし，経過時間の場合，ジャンプする量が・最大でもJ軸まで，客がいなければサンプルパスは0に留まりますが，リスクプロセスの場合は，そういう制約はなく，ジャンプしてJ軸を下回ると倒産となっ

図1仮待ち時間プロセス 図2 経過時間プロセス
2005年8rトぢ・て，プロセスが終了してしまいます．リスクプロセス© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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えますが，それを大胆にも「保険料はコンスタントに流入してくる」と仮定することで待ち行列のモデルの綱に引っかけることに成功したのです．
抽象化し，理想化することによって現実から帝離することを余儀なくされます．日わく線形性，日わく独
図3 保険会社の準備金プロセス

立性，日わく定常性，などなど．現実の問題ではほとんど実現不可能なこれらの理想的条件は，しかし，モの初期資金量は，時刻0でサービスを受けている客のデルの価値を減じるものではなく，それどころか，多経過時間に対応します．

くの問題でモデル思考の有効性を実証しています．

結局，待ち行列モデルの言葉で言うと，最初待ち行抽象化の度合いが高くなれば，それだけ，視野が広列が形成されている状態から始めて，最初に窓口が遊がり，引っかかる問題の数も種類も増え，適用範囲も休になるまでの動きがリスクプロセスの関心事である，柔軟になります．といっても，過度の抽象化は当面のということが分かります．

問題の理解という点ではマイナスかもしれません．

ここから先の数理モデルによる解析については牧本「ロメオとジュリエット」が家と個人の確執物語，と［1］を参照してください．ついでながら，文献［1］と同括ってしまえば，分類学的興味には有益かもしれませ

じ待ち行列の特集号には，このモデルが遺伝子のパタんが，作品の風合はどこかに行ってしまいます．

ーンマッチングの問題に通用されてし−る例も紹介され逆に，解決すべき問題を抱えている側では，分析の目的に応じて，ほどほどの抽象化，一般化を行うことていて，刺激的です（文献［2］）．

により，既存の「汎用」モデルたち（例えば，OR事5．モデルの汎用性典［4］）のフレームワークに落とし込む，つま−）「定上に述べた二つの事例は，オペレーションズリサー式化」することができれば，それらの持つ豊富な体系

チにおけるモデルを特徴付ける「抽象化」と「汎用を利用できる可能性が高くなります．モデルを上手に性」という二つのキーワードをよく説明しています．

利用することによって，新たなモデルの開発コスト削最初の問題では，新聞売り子の気の毒な境遇から離れ減という効用を得ることができるでしょう．て，独立同分布する需要の分布と実損と機会損の関係だけに問題状況を集約することにより，後世の新たなこの小論を今は亡き畏友の山崎源治氏に捧げます．

問題状況をそのフレームワークに取−）込むことができ参考文献

た，と言えましょう．
この場合は，モノを売るという点では新聞もチケッ
トも同じですから比較的スムーズな視点の移動ができますが，2番目の例は想像するのが難しいでしょう．
待ち行列モデルは時間の計算をしているのに対して，保険会社の方はお金の計算です．保険会社への支払い請求は会社側から見ればランダムに到着し，請求額は［1］牧本直樹，リスク評価と待ち行列モデル，オペレーショ

ンズリサーチVol．49，No，7，418−421，2004．
［2］豊泉洋，ゲノムの中にあらわれた待ち行列，オペレーシ
ョンズリサーチVol．49，No．7，413−417，2004．
［3］日本オペレーションズリサーチ学会，特集モデリング，オペレーションズリサーチVol．50，No．4，220−263，2005，［4］日本オペレーションズリサーチ学会，OR事典，2001．

確率変動する，というモデル化が可能でしょう．入る方，つまり保険料収入についても同じようなことが言544（28）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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