lll州l………llllll州Illl川‖ll川…lll………l州l………llllll州Illl州Illll………ll州Il川……………llll川Illll州Illl州Ill‖州‖……ll川Illllll川Il川Ill川l川l…………ll仙Illll州州‖lll……………………1

立体トラスの部材配置最適化
大崎 純，加藤 直樹
l州‖‖‖州‖‖…‖………附‖州川㈲‖‖…刷‖…州‖‖…刷‖…旧‖‖‖‖………酬‖…抑‖川州…‖‖‖州‖‖‖州脚‖…‖‖‖‖刷‖…‖‖‖州‖‖…州…＝‖州‖‖州‖‖川‖…㈱‖…刷‖州‖‖‖州‖‖州＝IJ

1． はじめに建築構造物の中で最も一般的なビル型骨組は，柱や染部材を直交方向に接続して形成される．それらの部材間には，例えば大梁や小梁のように，力の流れにしたがって階層構造が存在する．
ビル型骨組とは異なり，軸力のみを伝える部材で構成された構造物をトラスといい，部材に曲げ変形が生

図1シュヴュドラードーム

じないように，部材の両端は自由に回転できるピン接合とする．トラス部材は一般に細長く軽量であるため，大空間を覆うための立体トラスに利用されることが多い（例えば［1，2］）．
立体トラスの部材には，ビル型骨組での梁や柱のような明確な種別や階層関係がなく，古くから経験的な試行錯誤によって多くの種類の部材配置が提案されてきた．立体トラスの典型的な形態を図1，2に示す．
部材配置は，意匠上も重要な意味を持つため，力学的な尺度だけでは決定することはできない．図1，2か
図2 ラメラドーム

らわかるように，立体トラスのユニットは，安定な平面構造物の最小単位である三角形で構成されることがについて検討する．

多い．
トラスの典型的な形態は，長年にわたる試行錯誤によって完成されたものであり，様々な長所を持ってい2．トラスのトポロジー最適化

る．しかし，最近の計算機の進歩にともない，最適な構造物を力学的制約条件の下で最適化する問題を構

形態を計算機上で作り出すことが可能になってきた

造最適化問題あるいは最適設計問題といい，部材の断（建築の分野では例えば［3，4］）．力学的性能や制約を面積や，節点位置などの変数は，設計変数といわれる考慮して最適な形態を求めることを，形状最適化ある［6］．また，制約条件は，材料の性質や設計規準など

いはトポロジー最適化といい［5］，機械や航空の分野

で定められ，一般に不等式で与えられる．目的関数ので多くの応用例がみられる．

定義が最も不明確であるが，必要な材料の総重量を最本稿では，まず，力学的制約を考慮したトポロジー小化する最小重量設計問題を考えることが多い．

最適化の概要と問題点を解説する．さらに，計算幾何設計変数ベクトルを∬∈斤mとし，節点変位などの学の手法を用いた曲面の三角形分割法の最近の研究を構造物の状態を表わす状態変数ベクトルを〃（∬）∈斤乃紹介し，立体トラスの部材配置最適化への適用可能性とする．例えば，静的荷重ベクトルp∈β乃に対するおおさき まこと，かとう なおき
京都大学大学院 工学研究科〒606−8501京都市左京区吉田本町
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応答を考える場合には，〟は次式を解いて求められる．
一打〟＝p（1）

ここで，∬∈斤〝×乃は剛性行列である．
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（17）343

制約関数は∬及び甜（∬）の関数であり，そのベクト材では制約が満たされる必要はないため，最適化

ルを野（∬；甜（∬））とする。また，変数の上下限値を問題の定式化に場合分けが必要になる。また，最∬ぴ，∬エ，困的関数をC（∬）とすると，構造最適化問題適解が許容領域の尖点に位置することもある［9］。

は一般に次のような形式となる①3。最適化の結果，不安意なトラスが得られることが多い［5，10，1旺Mimimize C（∬）

」旺二記の皿については，半正志値計画法を用いれば，subjectto邸（∬；紺（∬））≦凋∬エ≦∬≦∬ぴ

多くの固有値が重複する場合にも困難なく最適トポロ
ジーを得ることができることが知られている［12］。

邸（∬；鎚（∬））を∬のみの関数と考えて廊（∬）のように書くと，．．．ヒ記聞題は非線形計画問題の形式となり9応力制約にともなう困難点を，以下に簡単に説明す

微分係数を用いたアルゴリズムで解くことができる血る僧 第宮部柑の断面積及び応力を』右仇とし，応力のしかし，甜の第プ成分を㍑Jとすると，絶対値グ）上限値を古とすると，応力制約条件は次の・ ￣・ − ￣ 一 二

ように書くことができる∂∂∬（5）

底匡武 二毎叫 A＞0fであるから，構造最適化問題を解くためには，甜の∬（7）

ここで＼ノ射＝0の部材には応力制約は与えられない。

に関する微分係数（設計感度係数）が必要になる。そこのような場合分けを回避するために，部材が存在す

れらは，拶（勘牒毎））の定義式を∬で微分した式からるとき1，存在しないとき0であるような0−1変数飢得られ，設計感度係数を求める過程を設計感度解析とを剛−て応力制約をl仇】仇≦言あるいはlのl仇≦∂彿のいう。例えば，静的問題では，（1）式の両辺を∬の第才ように書くこともできる。いずれにしても，最適化問

成分∬gで微分した次式を用いる咄

題は混合整数計画問題となるため，分枝限定法などを闘＋厨＝（6）

実際の設計問題では，行列厨のサイズは数千あるいは数一方になることもある。したがって，構造最適化問
題では，制約関数の評価と設計感度解析のために多くの計算量を必要とし，それらの回数が少ないアルゴリ川いて解かなければならない［且3］。
続いて，最適トポロジーの不安定性について考察する。例えば9 図3のような4部材トラスに対し，荷重の作用する節点の変位に関する制約の下で最適なトポロジーを求めることにする。部材3，4には軸力が作用しないから，ズムを選択する必要がある。

存在可能な節点位置を固定して，それらを結ぶ部材の接続関係を最適化することをトポロジー最適化という8 通常は，部材の断面積を下限値が0の連続変数として最適化し，その結果断面積が0となって不要とみなすことができる部材を除去して最適トポロジーを得る。このような革法をグランドストラクチャ法という厨が正のときには部材1，2のみが存在するトラスが得られる由 このトラスは節点2において不安定であるが，節点2を固定すれば1つの部材からなる安定なトラスが得られる。しかし，βが負で部材に圧縮力が作用する場合，節点2を固定して得られる部材は細長いので，座屈といわれる現象により，部材に曲げ変形が生じて崩壊するかもしれない。したがって9 図3のような簡単な平面トラスでも，不安定［5チ 7］◎

この手法を用いると，設計変数は連続変数であるから，・最適トポロジーを得ることは容易であるように見な最適トラスをまず求めておいて，後でそれを安定化すればいいというわけにはいかない［14］．

える。しかし，トポロジー最適化には次のような困難点が存在する。

1。固有振動数などの固有値に関係する制約を与えると，・最通解においてそれらが塞複することが多い。

そのため固有値の設計感度係数が不連続になり，勾配に基づく非線形計画法を適用することが困難になる［8］。
2．トラスの単位断面積あたりの軸力を応力という。
応力制約条件を考慮する場合には，存在しない部
区呈3 軸力をうける4部材トラス
3嚇（18）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ勘リサーチ

次に，立体トラスの不安定性について検討してみる．の部材の断面積は微小な値になっている．このトラス

図2のラメラドームの緯線方向分割数が3の場合につは，2つの部材が存在する平面内には安定であるが，いて，頂点に鉛直下向き荷重が作用した場合の頂点変面外には不安定である．したがって，中央の節点を剛位に関する制約の下で，部材重量を最小化するようなに接合しても，南外への不安定性は解消されず，立体解を求めると，図4のような断面積分布が得られた．

トラスでは，平面トラスにはなかったような不安定性

したがって，中央付近に太い部材が必要であることがが見られることがわかる．トラスの対称性を保持するわかる．これに対し，頂点の節点と図4に示した支点ような制約を与えれば，8本の長い部材に均等に断面a，hc，d及びそれらと対称な位置にある4つの支点を積が配分される解が得られるが，その場合にも，部材直接結ぶ8本の部材が存在可能であるときには，最適の座屈の問題が残される．また，頂点と支点を直接結トポロジーは図5のようになり，2つの長い部材以外ぶ部材は，最初に想定した球面とはかけ離れており，このようなトラスは意匠上も望ましくない．
さらに，例えば図6のような平面トラスも面外に不安定であり，図7のような立体トラスも，支点を結ぶ軸周りの回転に関して不安定である．したがって，立体トラスでは，平面トラスのように不安定な節点を固定するというような簡単な操作で安定化することはできず，トポロジー最適化は極めて困難である．

3．球面上の一様三角形メッシュ生成と立b

図4 ラメラドームの最適部材断面積

体トラス部材配置最適化への応用
前節で紹介したように，立体トラスの設計問題では，力学的性能に関する制約条件，意匠上の制約条件のもとで最適設計を行なっている．本章ではこの設計問題から生じる球面上の一様三角形メッシュ生成に関する新しいアルゴリズムを紹介し，立体トラス部材配置最適化への応用について言及する．
大スパンの空間を覆う屋根として用いられるトラス構造物の中で，単層の形式のトラスは，三角形のユニ

図5 頂点と支点を直接結ぶ部材がある場合の最適トポロ
ジーットで構成されることが多い（図1，2参月別．
三角形ユニットからなる部材配置を決定するときの条件としては，外力作用時の応答量などの力学的特性に加えて，ユニットの形状，部材長の分散などの意匠的要求が存在し，それらを制約条件あるいは目的関数として導入した最適化問題を定式化することができる．
ここでは力学的特性に関する要求や制約は陽に考慮せずに部材長のばらつきのみを考慮する問題を考える．

図6 立体トラスの不安定な平面要素

実際，生産コストの観点から部材長のばらつきを小さくすることが必要であり，ばらつきが小さければ得られる三角形要素は正三角形に近くなり力学的特性の観点からも優れた構造物となることが期待される．したがって，問題は，与えられた曲面に所与の個数の節点を配置し，曲面を辺長のばらつきの少ない三角形メッシュで近似する問題として定式化できる．

図7 立体トラスの不安定な立体要素
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これらを背景に，筆者等［15〜17］は，最近次のよう© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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な最適化基準のドでの三角形メッシュ分割問題を考察とする。そのためにyUSに対する三次元ボロノイした。

図Vor（yU5）を利用する血問題丑：与えられた曲面止に−一定個数の節点を配置しS七ep3 S：＝SU（P＊）とし，lSl＜nならStep2に戻て，その点集合の三角形分割で生じる最大辺と最小辺る。の長さの比を最小化する三角形メッシュ分割を求める

瓢叩堵 得られた視点集合ぶをぶ乃とし，あ＝d（ぶ乃問題相∪折∴丸し」げ）とする．．5＝園とする。

この問題はNP困難と考えられる難しい問題であS紬p5 脛の境界上に，相続く2点間の距離があるが，文献［15］において，平面上の凸多角形領域に対〜3d′ヱとなるように点を配置する。配置された点の数して逐次ボロノイ分割アルゴリズムにより定数近似のをゐとし，そのノ．ミミ集合をぶ去とする。

解が容易に得られることを示した。また，又献［16，S官印6 Vリガ完を初期配置点集合として，Steplかm］においてこのアルゴリズムはさらに曲面上の三角らStep2を適川して裾【々点を脛内に配置する。

形メッシュ生成に拡張されている。本稿では球面上のSせep7 最終F伽こ配置された蔦集合をぶ克とし，折∪三角形メッシュ蛙成に限定して得られた理論的成果とぶ長のデロー肌ネ三角形分割を出力する。

実験結果を紹介する埼 この間題に対しては，Nooshin

如と葺ゐをアルゴリズムの彪固目の繰り返しにお等［18］によって9 ここで紹介する手法とは別のヒュー

けるStep2で求められた点とStep3で得られた．鴬集

リスティックが提案されているが，その理論的評価は合とするt．

行われていない。

3℡2 理論的評価と実験結果

なお，三角形メッシュは有限要素法に対して広く応得られた三角形分割の辺長比がどの程度に収まるの用されているがヲ そこでは9 大きな計算誤差が生じなかという理論的興味に対して次の定理を得ている。

いよう9 現れる角度ができるだけ均等になるようなメ定理且：犯がd乃≦d（Ⅴ，Ⅴ）／2と柁≧2烏十悌lを保証ッシュ生成法の研究が盛んに行われている［19，20L

できるぐらい†うナ火きいとする。このとき，アルゴリ

ここで扱う問題はその意味で新しいタイプの三角形メズムで得られ七三角形分割辺の球面距離は6d乃以Fッシュ集成問題と言える。

である。辺長比については次式が成り立つ。

3。鼠 問題の定式イヒと解法≦6・球面の上半分の半球面（それを腰と記す）とその境界上にあらかじめ配置された点集合げがJjlえられているとする。5を腰め内部または境界王に配置されたす＝喜集合としヲ Ⅴを脛の頂点集合とする。J】え面上のこ〕、：（㍑，〃に対してd（㍑，〃）を祝，〃聞のユークリ

ッド距離，d（e）を辺牒の長さとする。また，平面上の有限集合ガタyに対してd（斉，y）＝mim（♂（エ，y）lヱ∈ガ，〝∈y）とする埠 すると，嘗二の問題は次のようれた三角形メッシュの最大辺および最小辺であるb
アルゴリズムのStep5では，Step4で定まったあをもとに境界とこに点間の距離がd乃〜3あの範囲に収まるように配置するが，半球面の境界形状（赤道部分）は鋭角部分がないのでd乃〜2d乃の範囲に収まるように配置できる。このとき，次のように辺長比が改善できる∞に定式化される。

− m竺Ⅹピ∈rd（e） 問題乱：min mln一叫一一−】− ∫。㌣，抽〜T∈Jmlne∈rd（e）一
ここでアはSU Vに対するすべての三角形分割の集削‥α＞2に対して，裾≧諾す細満たすとする。
さらに，領域の境界上に点間の距離があ〜2（羞を満たすように配置できるものとする。するとアルゴリズ合を表す。
逐次ボロノイ分割アルゴリズムは，すでに配置された点集合から最も違ぃり．㌔位置を領域内から選び，そこにあたらしく点を配置するという操作を繰り返すもの
で，以下のように記述される。

ムによって得られる辺長比の上限は2αで抑えられる。
花が卜分大きいとαが2に近づき，辺長此は4に近くなる。

以下計算実験の結果について述べるが，半球面や球を平面で切り落とした領域（半球面よりカ、さいものとA噛0「壱置mm INCREMENTする）に対して色々実験を行ったが，最大辺の長さとS世ep及 ぶ：＝府とする。

S富ep2 靡内で〟（．￡クyU5 ）を最大にする頂∬をが3碍6（2￠）ただし，eヱれ。X，gmj。は各々アルゴリズムによって得ら最小辺の長さの比は常に2以下であった。したがって，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ図8 半球面と初期点

図10 得られた三角形メッシュ（乃＝500）

図9 得られた三角形メッシュ（乃＝100）

図11半球面より小さい部分球面における三角形メッシ
ュ（紹＝300）

上記の理論的評価はさらに改善できるものと考えている．計算実験からすると，提案手法は実用的観点からも優れた方法と言える．
ここで考察した問題は点の数が固定されていたが，三角形トラスの部材配置への応用を考えると，節点の数が固定されていると考えるのは不自然である．むしろ部材長の下限値が与えられている場合を考察する方が自然である．この場合次の結果が得られている．
定理2：部材長の下限を亘とし，亘＜d（Ⅴ，Ⅴ）／2を満たすものとする．いま，アルゴ1）ズムのStep5で，境界上に点間距離が亘〜β亘となるように配置可能と図12 対称性を有する三角形メッシュ（犯＝200）する．すると，アルゴリズムによって得られる最大辺と最小辺の長さの比はmax（2，β）で抑えられる．
以下，実験結果を示す．図8に示すような境界に等けないことがすぐに分かるが，実はこれだけでは十分間隔に4つの初期点が与えられた半球面を考える．乃でない．このため，対称面と球面が交わる部分にあら＝50，100，200，300，400，500の場合に逐次ボロノイかじめ一定の間隔で点を配置する必要がある．最終的アルゴリズムを適用すると，いずれの場合も辺長比はに実現される三角形メッシュの最小辺の長さをd＊と1．9〜2．0の間に収まった．乃＝100，500の場合に得らすると点間距離が2d＊以下となるように配置すればれた解を図9，10に示す．半球面よりも小さい部分球十分であることも分かっている．

面に対する実験も行い，同様の成果を得ている（図11参月酎．また，応用を考えると，対称性を有する三4．おわりに角形メッシュ生成についても考えておく必要がある．

立体トラスの力学的性能を考慮したトポロジー最適いま， 一つの対称面が与えられているものとする（図化問題の概要と困難点を紹介し，意匠的条件を考慮し12参照）．この面について面対称な三角形メッシュをた部材配置最適化のための三角形分割法を概説した．

作るには，配置する点集合が対称性を持たなくてはい

本稿では，大域最適解を求めることを前提とした記述

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（21）34丁を行ったが，実際の設計では準最通解が得られれば十Semiーdefiniteprogrammingfortopologyoptimization

分であるから，本稿で紹介した解を修正することによOf trusses under multiple elgenValue constraints，り，実用的な設計が得られるものと期待される。

Comp．Me班．Appl．Mech．Engng。，Vol．80，pp．203−

最後に，本稿がこの分野の新たな研究につながれば

1999［13］u．pmRingertz，Abranchandboundalgorithmfor

幸いである。

topology optimizati（〕n Of truss stTuCtureS，Eng。Opt
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3偲恕（22）

オペレーションズ。リサーチ