掛け持ち受験と冗長化
森 雅夫…‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖＝‖‖川l…t………ll…l……l…‖‖……l…………………l…………lll…川……‖……ltl……ll…‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州……………l…l州Illl…l……l…ll…lll………l…lll………ll…‖‖‖‖‖‖＝‖＝州

表1 少なくともどれか1校に合格する確率

1．はじめに大学や高校，中学を受験するときに，いくつかの学校や学部を掛け持ちで受験する人が多い．少し難しい

●

♪

乃＝2

乃＝3

乃＝5

刀＝10

0．1

0．19

0．271

0．40951

0．65132

0．2

0．36

0．488

0．67232

0．89273

A校を第1希望に，B校を第2希望に，滑り止めにC

0．3

0．51

0．657

0．831930．97175

校を受験する，などのパターンがふつう行なわれる．

0．4

0．64

0．784

0．92224

0．99395

なかには，10校近く受験し体力勝負にかける人もいる

0．5

0．75

0．875

0．968750．99903と聞く．逆に，うんと自信のある人や浪人しても何と

0．6

0．84

0．936

0．989760．99989

かその学校に入りたくて1校しか受験しないモサも少

0．7

0．91

0．973

0．99757

0，99999

なくない．人さまぎまである．以下では，まず，掛け0．8

0．96

0．992

0．99968

0．99999

持ち受験の効用について考えてみよう．

0．9

0．99

0．999

0．99999

0．99999

掛け持ち受験は，ロケットなどの大規模で複雑なシステムの信頼性を向上させる手法の1つである冗長化「下手な鉄砲，数打ちゃ当たる」という言葉もあるにあたる．そこで冗長化につながるシステムの信頼性ように，1校の合格率がわずか0．1なのに，体力に任せの考え方についても簡単に述べてみよう．て10校も受けると，どれかに合格する確率斤が0．65に急上昇するのは驚きである．もともと♪のある程度大2．合格確率はアップする

きな人は，掛け持ち数をむやみに増やしていっても，いま，M子さんが上に述べたふつうのパターンのよ

受験料ばかりかかり，βはそれほど大きくならない．

うにA，B，Cの3校を受験する場合を考えてみよう．

それではいくつ掛け持ちするのがよいだろうか．浪M子さんのA，B，C各校の合格の可能性は，予備校

人するのをどれほど避けたいかによって判断は違っての模擬試験のデータでは，それぞれ♪1，♪2，♪3であこよう．人によって違うが，尺を0．9あるいは0．95以上る．M子さんがどれかの学校に合格する確率斤は，全にするように，掛け持ち数を決めるとよいだろう．斤部に落ちなければよいのだからが0．95ということは，このようなやり方で20回受験し斤＝1−（1一♪1）（1−♪2）（1−♪3）（2．1）となる．♪．＝0．5，♪2＝0．6，♪3＝0．7とすると，どれかに合格する確率は，β＝0．94とかなり高くなる．
話を簡単にするために，同じレベルの学校だけをいくつか受けるものとしよう．各校の合格率を ♪々＝♪とし〃校受験すると，そのどれかに合格する確率は（2．2）

斤＝1−（1一♪）乃となる．表1はいろいろな〝に対して合格率を変化させたときの斤の値を示す．図1はそれをグラフにしたものである．

もり まさお 東京工業大学経営システム工学科〒152 日黒区大岡山2−12−1

1996年3月号

00．2

0．4

0．6

0．8

1

図1 どれかに合格する確率斤のグラフ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（13）149

たときに1回泣きをみる程度ということである．
この結果をそのまま鵜呑みにしてよいか，少し心配

1）どれかに合格する確率斤を0．9以上にする
2）その中で期待される満足度Sのできるだけ大きである∴M子さんにとって各校の合否が互いに影響を残さないという前提の下では，つまり，A校とB校のい組合せを選ぶというのはいかがだろうか．

受験結果は独立と考えてよい場合は，共に不合格とな表3は可能な大学の10通りの組合せについて，斤，る確率は（1−♪1）（1−♪2）と積の形で表わされるのSを計算したものである．M子さんの場合，両極端をで，この結果は正しい．しかし，M子さんが前の試験避けた常識的な判断と一致するが，筆者としてはA2，の出来，不出来で気力が落ち込んでいったりする場合

A3，A。．を掛け持ちで受験することを薦める．どれかはこのように計算できない．また，私立大学を受験すに合格する確率は0．94と高く，期待される満足度の値

る場合，多くの人がその大学のいくつかの学部を掛けは1．162と悪くない．また，満足度が標準以上のA2，A3持ちするが，それらの人たちの各学部の成績の順序関のどちらかに合格する確率は0．8以上と高く，それらが係はあまり変わらないことも考えられるので，独立性だめでA。に入ったとしても満足度はそれほど下がらが怪しくなり，このまま当てはめることはできない．

ない．

3．満足度を考慮する

4．追い込み作戦

大学は受かればよいというものではない．自分の希第2節で述べたように，個々の大学の合格率は低〈望する分野が希望するレベル・環境で学習できるかが，とも，体力に任せてたくさん受ければ，どれかに合格大学選びのポイントであろう．いま，する確率を大きくすることができる．しかし，たくさM子さんは希望する分野の勉強ができ，受験可能な大学を調べたら，ん受験すると受験費用もかかるだけでなく，1回の受5校あった．これらの大学について，学習内容，スタッ

験に受験日の前後を合わせると2，3日の勉強時間をフ，設備，環境，通学可能性あるいは下宿，世間的な消耗することも多い．本番が受験期間の後半の場合，評価などを考慮して，大ぎっばではあるが満足の程度数打つのは止めて，追い込みに力を注ぐのも1つの作を表現し，満足度の高い順に，A．，A2，A3，A4，A5 戦である．と並べてみた．M子さんの場合，A3が標準的と思われ，その満足度を1としたときに，Alは満足度が高く表2 M子さんの合格率と満足度

A3の2倍程度に思われ，A5は半分程度に思われる．大大学 合格率♪貞 満足度α烏学Aたの合格率を♪々，満足度をα烏とする．

Al0．2

2

複数の大学を掛け持ちで受験し，いくつかの大学にA2

0．5

1．5

合格したときには満足度の高い大学に入学するものと

A3

0．6

しよう．いま，Al，A2，A3の3つの大学を受験する

A4

0．7

0．8

場合の期待される満足度5は，とにかくAlに合格すれ

A5

0．8

0．3

ば満足度はα．，A．に失敗しA2に合格すれば満足度は
表3 大学の各組合せの合格率と満足度

α2，A3のみ合格すればα3であるから，掛け持ちする大学 合格率ガ 満足度5

5＝α1♪1＋α2（1−♪．）♪2

Al，A2，A30．840

1．240

Al，A2，A40．880

1．224

表2はM子さんの各大学の合格率と満足度をまとめAl，A2，A50．920

1．096

たものである．数多く掛け持ち受験をすれば合格の確

Al，A3，A。

0．904

0．867

率も高くなり，期待される満足度も大きくなることは

Al，A3，A50．936

0．765

十α3（1−♪1）（1−♪2）♪3 （3．1）と表わされる．

分かっているが，受験料や受験のための宿泊・交通費

A．，A。，A5

0．952

0．906

を考えると，3校しか受けられない．M子さんとしてA2，A3，A4

0．940

1．162

A2，A3，一 A50．960

1．098

A2，A4，A5

0．970

1．066

A3，A。，A50．976

0．853

はどの大学を選んで受験したらよいであろうか．皆さんはどのようにアドバイスしますか？

いろいろな考え方があるだろう．1つの方法として，
150（14）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

M子さんは追い込みの効くタイプであり，受験までの残りの1ヵ月を何とか頑張って，できればA3，A2，Alのどれかに入りたい．どれか1校に絞って赤本に集

5．信頼性と冗長化
冗長というと，くどくて長たらしいとか，ふつうよ

中すれば，その大学の不合格率を20％低下できると信い意味では使われない．モノを設計するときにあまー）じている．もともと合格率の高いところは効果は現わ

キチキチにつくると，部品のどれかが壊れると，モノれにくいだろうから，このように設定しておこう．そそのものが使えなくなってしまうことも多い．たとえれでは，どの大学の赤本を中心に勉強したらよいだろば，背広を買うとその背広のボタンと同じものがおまうか．追い込みにより，他の大学の合格率も幾分上がけについてくる．ボタンをうっかりと落としてしまい，ることになろうが，ここではその変化は考えない．

違った種類のボタンを付けたのでは恰好が悪い．その表4はA．，A2，A3 を受験し，A々の大学の赤本を集中的に勉強したときの斤とSを計算したものである．

とき，香えのボタンがあると助かる．
ロケットや通信衛星などは，細かく数えれば何十万合格する確率βは式（2．1）において，A々大学の不合格個もの部品から構成されている．そのどれかが故障し率（1−♪々）が20％下がるだけだから，どの大学の赤たら作動しなくなっては困るので，故障しやすい部品本に取り組んでも同じ値になる．難易度の高いAlを狙については，代替部品や代替の機能を追加して寿命をうと，満足度Sがかなり改善される．この3つ受ける長持ちさせるように工夫している．これを冗長化するのであれば，勇気を奮ってAlの赤本を勉強するのがよという．

さそうだ．とは言っても，A．に入れる可能性は36％し簡単のために，たとえば，アンプ，CDプレイヤー，かなく無謀な気もする．その努力により，ここでは勘スピーカーからなるステレオ装置のように，3つの要定に入れなかった，A2，A3の大学の合格率のアップ

素A，B，Cからなるモノ（システムとも言う）を考分に期待して夢を追うことになる．

える．A，B，Cのどれが故障してもモノが機能しな

A．の夢を追うよー）浪人するのをできるだけ避けた〈なるとき，直列システムと呼び，概念的には図2のいのであれば，やはー）A2，A3，A。を受けて，中でもように表わされる．各要素をスイッチと考えて，両端満足度の高いA2の勉強を中心にやるのがよいであろに電流を流す場合，3つともオンになイていないと電￣I．

流が流れないことを模式化している．各要素が所定の期間故障しないで機能し続ける確率を信頼度と呼び，
表4 追い込みの効果
赤本
上昇後の 合格確率
修得大学 合格率斤Al●．0．36♪1，♪2，♪3とおくと，上の直列システムの信頼度β2
満足度
S0．872

1．392

A2

0．60

0．872

1．312

A30．68

0．872

1．280

は，その期間3つの要素のいずれもが機能していなくてはならないので（4．1）

斤2＝♪1♪2♪3となる．各要素の信頼度が♪1＝♪2＝♪3＝0．9と高くても，直列システムの信頼度は斤2＝0．729と低くなる．

合格すると，数日以内に入学金を納めなければならない．大抵の場合，志望順位の低いところから入試が

図2 直列システム始まり，志望順位の高い大学の発表が行なわれる前に納入することを求められる．親にとっては頭の痛い問

これに対し，掛け持ち受験の場合は，図3のような題である．受験のときの調子を聞き合否を推し量りな並列システムとして表わされる．どれかのスイッチががら，入学金を納めたり，見合わせたりするが，一種オンになっていれば電流が流れるというわけである．の保険だと思って観念するほかない．これを回避する

並列システムの場合，各要素がいずれも代替的役割を志望校選びも考えられる．子どもがある程度希望するのであれば，どこでもよいから合格して欲しいという受験前の気持ちと，合格し始めた後の冷静な心持ちとのギャップの調整は難しい．

巨富］
図3 並列システム

1996年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（15）151

しているので冗長化されていることになる．2節でみたように並列システム信頼度β3は斤3＝1−（1一♪1）（1一♪2）（1−♪3）と計算され，各♪々＝0．9のとき斤。＝0．999と高信頼度を得る．
いま，直列的なシステムに対して，各部品を2つずつ使いながらシステムの信頼度を上げる場一合，冗長化のやり方として図4，図5のような2通りの方法がある．どちらが得策であろうか．図4の直・並列システ
0．2

ムはもともとの直列システムを2重に持ったものであ

0．4

0．6

0．8

1

図6 月。，β5のグラフ

り，図5の並・直列システムは部品ごとに2垂化してシステムを構成したものである．各要素の信頼度がい

部品の信頼度♪の小さい中は，♪を少し上げてもシスずれも♪のとき，図4，5の各システムの信頼度斤。，テムの信頼度斤は大きく改善されない．また，♪が1斤5はに近い高信頼度のところでも，斤の改善は容易でない
斤4＝1−（1−♪3）2（4．2）

月5＝il−（1−♪）2〉3（4．3）

ことがわかる．

さて，ある通信衛星が10万個の部品からなる直列システムであるとしよう．衛星は高価なので1万回打ちとなる．

これらのグラフは図6のようになる．冗長化する場上げて1回程度の失敗は仕方がないとして，信頼度を合，できるだけ部品に近いレベルで冗長性を持たせて0．9999以上に設計したいとする．たとえば，各部品のゆく方がよいことがわかる．図6のそれぞれの曲線は衛星の使用期間の間の信頼度を0．999999999（ナイン・S字形をしている．複雑なシステムの信頼度の曲線はナインという）にすると，このようにS字形をすることが知られている．個々の斤＝0．999999999100，000＝0．99990となり，ようやく要求が満たされる．部品数が多くなると，各部品にはますます高信頼度が要求され，最近ではエレブン・ナインなどとも言われる．こうなると

図4 直・並列システム

個々の部品の信頼度を上げることは難しく．なるので，冗長化などの工夫をしてシステムの信頼度を上げることが必要になる．
つまり，掛け持ち受験と心は同じである．
図5 並・直列システム

珍 ⑳ ◎152（16）⑳ 珍© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●