［特集］p.2-9「マスフェスタで見る今後の数学の可能性」
大阪府立大手前高等学校

宮城 憲博 ・ 海城高等学校

川崎 真澄「『数学Ⅰデータの分析』の指導法」
世田谷学園高等学校

大石 隆

授 業 実 践 記 録 p.10-22◆循環小数を楽しむ ～ 7 と 11 と 13 の華麗な関係～
岐阜県立多治見北高等学校

土岐 慎一

◆
「目黒高校数学科の授業実践」
多摩大学目黒中学・高等学校

荒尾 吉宣◆出前授業実践報告
埼玉県立熊谷西高等学校

山出 秀明◆課題学習のテーマ設定に「Focus Gold」
を
福岡県立修猷館高等学校

平野 義和「Focus Gold」と新科目「数学活用」との連携を考える p.23, 24
Focus Gold・Focus Up 編集委員

豊田 敏盟

「センター試験数学について」 p.25-27
Focus Gold・Focus Up 編集委員

竹内 英人

vol.

4

マスフェスタで見る今後の数学の可能性
大阪府立大手前高等学校教諭

宮城憲博

２．発表資料<発表テーマ>フェルマーの最終定理の考察-指数が整数の値をとる場合について-，数学から情報通信技術への展開，

1．マスフェスタとは生存競争の数学モデルについて，RSA暗号，ビュホンの針とモンテカルロ法，万華鏡の研究，ピタゴラ

大手前高校では，平成20年度から平成24年度

ス三角形の個数の近似，データ検索におけるアルゴリズムの構築，フィボナッチ数列に関する研究，数まで，文部科学省からスーパーサイエンスハイス

学パズル，Bertrandのパラドックス，最適採餌行動に見る流行現象の分析，ビックの定理の拡張，フェクール（SSH）の指定を受け，「数学に特化したヒナーの法則の数学的アプローチ，ウラムの螺旋，正多角形の敷き詰め，ビックの定理と兀の近似値計算，取り組み」を行ってきた。その中の1つに，「マ

ルーローの奇数多角形の一般化と重心の軌跡，因数と循環節の2分割和に並ぶ数についての考察，多角

スフェスタ」がある。昨年は，北は青森から南は数の拡張，ハノイの塔，曜日を求める数式，交通の最適化，正多角形の面積と等しい面積の正方形の作図，

福岡までの31高等学校の発表があり，盛大に行ボールの軌跡，結び目に対する解析的アプローチ，コインと天秤，実用数，(-1)*(-1)=+1，サグラ

われた。
（ポスター参照）

ダファミリア教会の魔方陣，数学を用いた文様出力プログラムの制作「マスフェスタ」とは，全国のSSH校を中心に，数学好きな生徒達が一同に会し，数学についての<発表要旨例>

課題研究を発表し合う場である。各校で数学の課
2

題研究に取り組んでいる生徒たちが，全国規模の大会で発表しあえることは，その後の探究活動に大きく役立つものと考えられる。また，教員も，この場を通じて，数学の課題研究についてのヒントを得ることができる。

他

多角数の拡張1．目的

p 角数 r 次元の一般項を求める。またそれの性質を発見する。

2．方法

階差数列を用いて p 角数の 2 次元，3 次元…と次元を上げ，r 次元の一般

数学の重要性については世間一般に認識されて項を推測してみた。しかし，一部分しか求められなかった。そこで，パスカいるところではあるが，数学を楽しむというレベルの三角形を用いて求められるのではないかと考えた。C（コンビネーショ

ルにおいては，まだまだの感がある。数学を活用

ン）の記号を用いることで，規則性を見つけて求めてみた。

することによって，科学現象・社会現象を「理解することができる」ことができ，その体験によって，数学の楽しさを発見できるのではないだろうか。

3．結果
パスカルの三角形に新たな項（この項を調整項と呼ぶこととする）を加えることで，多角数の一般次元の数列を全てパスカ

このマスフェスタでは，純粋数学だけでなく，ルの三角形のような形で表すことができた。また，調整項もパ

いろいろな分野においても，数学を活用し，高校スカルの三角形で表すことができたため，全ての項をCの記号

生らしい発見をしてもらえればよいと考えている。

で表すことができた。

マスフェスタが，より多くの高校生に対し，数学の楽しさを伝えていける場になることを祈っている。
新教育課程にも探究活動（課題学習・数学活用）が組み込まれ，多くの学校で課題研究への取り組
みが始まった。この「マスフェスタ」を，数学教
育の新しい実践例として参考にして頂きたい。

4．考察

p 角数は，階差数列をとると公差が p-2 である等差数列であることが分かった。次元を上げると，公差が p-2 の等差数列になるまでの階差の段数も上がることが分かった。

5．結論

p 角数 r 次元の一般項は，n+r-1Cr+(p-3)･n+r-2Cr=nHr+(p-3)･n-1Hr となる。

3

3．将来の可能性

今後の高校数学においては，基礎・基礎力の上数学が，広く人々に愛され市民権を得るためにに位置づけられた，表現力・コミュニケーション

は，学校において数学の楽しさを如何に伝えるか

力がますます必要になってくる。基本に戻って数ということが大切である。ややもすると，数学の学の楽しさを追求する取り組みを再考するよい機

授業は知識の伝達のみに終始してしまいがちにな会でもある。「マスフェスタ」のようなコミュニるが，これからの時代，ユニークなアイデア，アケーションの場が広がり，多くの生徒達が数学をグレッシブな姿勢がより必要とされる。高校生の身近に感じ取れるようになることが，ある意味，

多感な時期に，このような力を育成できる環境を

数学教育の大きな目的達成なのかも知れない。ま

整備していくことが必要であろう。

だまだやるべき事があり，私たちの楽しみも絶えることがない。
●数学レポート指導内容

時期として，数学課題レポートを年間3回実施し<採点シート>て，レポートを作成するものである。はじめは，生徒達も要領を得ず，調べたり，不十分な論証のレポートもあるが，提出されたレポートを学年担
4

当の教員が手分けして，
「形式」
「テーマ」
「独自

形式

5  4  3  2  1 独自性 5  4  3  2  1
総合

5  4  3  2  1

コメントと，生徒達の関心度も徐々に向上し，数学に対する意識も変容していく。これらをベースにしなが生に紹介したところ，「数学活用」（啓林館刊）を副読本に使用している彼らの心の琴線に触れたよ
うで，こちらの予想以上の反響がありました。曰

ボナッチ数列と互除法」についてのある性質について定理を得ており，現在，論文を準備中の恩田
直登君の結果を，こういった催しで紹介できない
ものか，と考えました。折しも，この報告集の巻末に記載されていた「大阪府立高数オリンピック」という報告が増田康隆君からあり，セミナーを開B先生
形式

5  4  3  2  1 独自性 5  4  3  2  1

テーマ 5  4  3  2  1

総合

5  4  3  2  1

コメント

ら，2年生では，数学の課題研究発表会（サマー

いたところ，大変興味深い結果でありました。そこで，現在のところSSHではない本校ではあるものの，この2人の結果をポスターセッションで参加させて頂けないでしょうか，と宮城先生に打診したところご快諾を頂け参加することができましスクール）を160人で行う。文系・理系にかかわらず，科学の基本ツールである数学について，全<テーマの例>

員でポスターセッションを行うのである。本校で素数，フェルマーの小定理，複素数，和算，暗号は，これらの取り組みの延長上に，マスフェスタと符号理論，折り紙と数学，待ち行列，等を位置づけている。各校でも色々な取り組みが<指導上の留意点>

されているが，「マスフェスタ」をうまく活用し，①本やWebサイトの丸写しはダメ。数行の文書を教育プログラムの作成をして頂ければと思う。

その内容の濃さに驚き，早速，担当している高１

列の一般公式を使いやすい形で得ることができた，の指導コメントも入れて返却している。また，良の質の向上を図っている。この作業を3回も行うのマスフェスタの報告集をご紹介いただきました。

の中の円順列についての問題に興味を持ち，円順

性」「総合」の観点から評価を行い，複数の教員
いレポートについては，生徒達にも回覧し，互い

今春，
宮城先生と初めてお会いし，昨年度（第3回）

報告集を熟読しているうちに，かねてから「フィA先生
テーマ 5  4  3  2  1

川崎真澄

代なのにすごい」etc。

数学レポート採点シートている。これは，興味の持った数学テーマについ海城高等学校

く，
「面白い」
，
「
（研究を）聞いてみたい」，「同年

一例ではあるが，大手前高校では，1年生を，数学への興味・関心を高めるための「芽生え」のマスフェスタに参加してマスフェスタ当日は，全国の多くの高校生の皆さんから直接，ご自身の研究についてのあれこれを伺うことができました。その模様を本校HPに掲載いたしました（http://www.kaijo-academy.jp/
press/2012/08/post_507.html）。
説明して下さった生徒の皆さんの中で，大阪府立大手前高校の松田隼一朗さんや，岐阜県立岐山高校の柳原合さんは，後日，研究の詳細をお送り
くださり交流が続いています。また，横浜市立横浜サイエンスフロンティア高校（通称YSFH）の増田卓斗さんには11月10日（土）に，同校にてご自身の研究（ウラム螺旋上の三角数とペルの方
程式の関係）についてセミナーを開催してくださ
り，私，恩田，増田両君と共に本校の何人かの生徒がお世話になりました。増田さんの研究は圧巻で，その結果の美しさに一同が魅了され，実に4時間に渡り談論風発。貴重な時間を過ごすことができ，更なる交流の発展を約束しました。
お世話下さいました同校の高口健一先生と中山大輔先生に感謝申し上げる次第です。この日の模様
も本校HPに掲載しました（http://www.kaijo-academy.jp/
press/2012/11/ysfh1_1.html）。

た。宮城先生ならびに関係者の皆様にお礼申し上
げる次第です。

自分の文章に埋め込んで使用するのもダメ。グラフ・図版についても同じ。自作を原則とする

数学の課題研究に関する教材の一つとして「数学活用」については注目をしている。高校生が課

が，自作に代えられないときは，引用元を明記すること。

題研究に親しみを持って入っていけるように，数②参考にした本やWebサイトは，レポートに「参学の代表的なトピックスについて記述されている

考文献」として記載すること。Webサイトののが特徴である。自分の興味の持てそうな単元か

引用については，文献などで確認をすること。

ら入り，そのテキストを超えて，生徒達がどこま③参考にした部分と自分が考えた部分を明確に示で進んでくれるのかを見るのも楽しみである。色すこと。

々な教材が巷にあふれているが，それらをうまく利用して効果をあげたい。

増田康隆君（左）と恩田直登君（右）YSFHの皆さん（左端が高口先生，右端が中山先生）と海城高校の面々

5

「数学Ⅰ データの分析」の指導法
このように，全国の高校生諸君，そして先生方と交流をもつことができ，数学についての夢や研世田谷学園高等学校教諭

究の苦心を語らいあうことができるマスフェスタ

大石隆の素晴らしさを実感しています。
マスフェスタと，「数学活用」とが相互にうまく作用すれば，
このような，
いわば“高校生研究者”

今回，高等学校新学習指導要領において，必修

数学探訪（P.221）」なが多く輩出されるのではないかと夢想しています。

科目である「数学Ⅰ」に新分野「データの分析」

どはこの分野を学ぶ意義

主催者の皆様のご努力に敬意を表し，マスフェスが導入されました。その内容は従来の抽象数学と付けとして，また生徒へ

タの長きにわたる開催を祈念申し上げます。

は違い具体性のある統計学に近いことから，そのの導入として実生活の中指導法も大きく異なり，どのように授業に取り組での数学をイメージしやむかがイメージできず多くの先生方がその指導法

すい内容になっています。

に悩んでいることをよく耳にします。このたびこの分野の指導法をDVDに収めるお話をいただき，
啓林館，ジャパンライム，教学図書協会の協力の6

もと，試行錯誤しながら授業を実践してみました。

2．実践模擬授業

ここではその模擬授業の経験から様々な指導上の（1） 基本的な授業の進め方 (統計的探究の流

ポイントを先生方にご提示していきたいと思いまれをベースに授業展開し，生徒自らの手です。

データから何かしらの結論を推論させることがポイント)

1．新課程への導入の背景(データの分析の必要性を指導することがポイント)
お互いの研究でコラボレーションを模索中のYSFHの

まず最初に，「データの分析」がこのたび新課程

増田さん（右）と海城高の恩田君（左）へ導入された背景を理解しておく必要があります。
昨今では産業界を中心に統計学のニーズが高まり，国際社会は統計教育の必要性を大きく要求しています。いわゆる人々の「データに基づいた問題解決能力」を最重要視しているわけです。例えば大学生が企業に就職する際，一番学習しておいて欲
しい数学の項目として真っ先に統計が上がるそう
宮城憲博

みやぎのりひろ東大阪市生まれ．大阪教育大学教
育学部特別数学科を卒業後，大阪
府で教鞭をとる．教員歴27年。

現在，大阪府立大手前高校勤務。

趣味は民族舞踊。

です。その学習がまさしく時代の要請となっているのです。従来からの抽象数学だけではなく世の中にリンクした具体的な数学を指導することもこ
れからの数学教育の大切な流れであることは多くの先生方が感じている事と思います。そのような経緯で「数学Ⅰ」の必修科目の中に取り上げられてきたわけです。ですから，この分野を指導する

川崎真澄

かわさき ますみ

東京都生まれ。東京理科大学理工
学部数学科卒業。埼玉大学理工学
研究科修了。専攻は代数幾何学。

博士（理学）。現在，私立海城学園
数学科主任。趣味は古典芸能鑑賞。

ことになったのはごく自然な世の中の流れだと感じます。
例えば「データの分析」
を学ぶイントロダクショ
ンとして身近な教材を一つ例にとりますと，「啓林館

詳説数学Ⅰの教科書，第4章データの分析

Ploblem(問題)⇒Plan(計画)⇒
Data(データ)⇒
Analysis(分析)⇒Conclusion(結論)授業は常にこの流れを意識して展開します。
このプロセスを生徒は作業を通して体験し，各自がデータに基づく判断が出来るように指導します。自らデータを処理し，一つの結論を推論させることがこの授業の最重要ポイン
トとなります。
（2） 授業内容(箱ひげ図をメインとし大局的にデータを捉えることがポイント)
度数分布表，ヒストグラム，箱ひげ図，分散・標準偏差，散布図，相関係数などが主な内容
で，学校によってまちまちですが50分×5コ
マ～50分×10コマぐらいが時間数の目安でしょうか。実際にデータによる作業を生徒に

7

取り組ませその中からどのような傾向や結論

啓林館

数学活用（分布を比較する）よりが推論されるかを何人かの生徒に発表させてFIBAアジア18以下男子バスケットボール選

みたり，またはグループを作り，話し合わせ

手権大会」における，日本，台湾，レバノン

たうえで発表させてみるのも効果的ではないの3か国の代表選手（各12名）の身長を箱ひでしょうか。(数学の授業ではなかなか普段こげ図にしたものである．この箱ひげ図からわのような授業展開は少ないので貴重な体験だ

かることとして，次の2つを考えた。

Ⅰ レバノンの 190 cm より大きい選手の人と思います。)

ことがポイントです。よって，私としてはあ

8

10000

えることもできますね。また，この分野は「文系数学」としても将来大学の「経済学，経営学，商学，心理学等」への進路的な興味や動機付けにもなると思います。
（3）箱ひげ図(アナログ的指導法がポイント)

今回，特にこの「箱ひげ図」が指導上の最重要項目になるところです。生徒に箱ひげ図を各自で描かせる作業を通してそのデータの特徴が自然とわかるように指導します。最近ですとソフトなどを用いて情報科的に各自のパソコンを使用しながら指導する方法もありますが，私個人としては，一般教室で黒板をつかって，説明しながら一緒に演習を交えて箱ひげ図(5数要約)を描いていくような従来型の「アナログ的指導法」
を勧めます。これは我々

柄の組み合わせを次のAからDの中から一つ30000

す。ですから逆に普段，厳密な計算や論理がいや苦手な生徒を救う数学」とも積極的に捉選べ．
A．ⅠもⅡも示せない．
T

U

Y

K

S

B．Ⅰのみ示せる．

O

C．Ⅱのみ示せる．

さて，我々指導者として次に気になるのが入試ではないでしょうか。今までに出題されていない分野ですのでなかなか見当がつかず，どんな問題を練習させてよいか悩みの種です。私としては次の2点がとても参考になる教材になると考えています。まず一つは「現行～2006年度のセンター
試験の数学Ⅱ・数学Ｂの統計分野」がとても参考になります。箱ひげ図こそありませんがそれ以外の項目は大体出題されていますのでとても良い練
習問題になります。それともう一つは最近受験者が増えている「日本統計学会公式認定の統計検定試験３級」です。この過去問には箱ひげ図に関する問題も多く出題されており，またセンター試験
以上に具体性のある問題が多く出題されています
のでセンター試験，国公立大，私立大の受験対策に最適で大いに役立つと思います。

とイメージが似ています。生徒は苦労して5数台湾

要約を描きながらそのデータの特徴を肌で感日本勝る指導法はないと思います。

統計検定3級問題例（出典：ASIA－BASKET

http://www.asia-basket.com）

４．最後に (指導者側の探究心や意識がポイント)
正直なところ，私自身も最初はこの分野が導入
され恥ずかしながら「煩わしい」，「指導が面倒くさい」，「統計など数学で教える必要があるのか？」，「出来ればスルーしたい」などと勝手な理屈でネ
ガティブに捉えていました。これはこの分野が我々指導者側にとってとても微妙なポジションに位置するからです。教師によってもこの分野に対する重要性の見識はかなり個人差があり，また学校での扱いもいろいろな事情でまちまちです。

大石

じっくり時間をかけて取り組む学校もあれば反対

東京都生まれ。

学習院大学理学部数学科を卒業。
小平邦彦先生に師事。東京都立
高等学校教諭を経て現在、世田
谷学園中学・高等学校に数学科
主任，高3特進クラス担任として勤務している。教員歴30年。

受験参考書，問題集などの著者
や，入試問題解説，映像授業出演など幅広く活躍している。趣
味は音楽、絵画等の芸術全般で，
特に舞台芸術が好きでオペラ，オーケストラから宝塚まで幅
広く時間さえあれば劇場に出向いている。

うなど比較的あっさり終了する学校などもありまレバノンす。そのさじ加減が難しいところでしょうが大切なのは我々指導者側がこの分野をよく研究，研修
し，食わず嫌いで終わらないよう，そのうえでど

170

180

190

200

210

220

上の図は，2010年に開催された「第21回

9

解答．B

に短時間で済ませたり，長期休業の課題として扱描いていく作業を通して理解を深めていくのります。私はこのアナログ的な地味な作業に

D．ⅠもⅡも示せる．

３．入試への展望 (統計検定3級試験がポイント)

が図形を指導するときに，生徒自らが図形をじることができ作業がそのまま理解につながになってみてください。

Ⅰ，Ⅱの事柄のうち，箱ひげ図から示せる事40000

る意味で「数学らしくない数学」だと思いまてくれる可能性が大きいと思います。
「数学嫌

Tubeでこの表題でご覧いただけます。是非ご覧

か国と比べて，最も大きい。

50000

20000

苦手な生徒でも興味と関心を持って食いついの紹介(模擬授業のほんのさわりですが…)がYou

Ⅱ 台湾の選手の身長の標準偏差は，他の2に結論を推論させることが大切です。ここのです。厳密性より大きく幅広く事象を捉える

学Ⅰ・データの分析」の指導法(ジャパンライム)

数以上である。

な厳密なことはあまり考えず，大きく大局的るところで，指導側も特に意識したいところ

さて，最後に恐縮ですが，
今回作成したDVD「数数は，日本の 190 cm より大きい選手の人 尚，このとき普通の数学の問題を解くようニュアンスが従来の数学の問題と大きく異な思います。

こまで生徒に指導するのが適切なのかをしっかり認識しておくことではないでしょうか。このところも我々の心構えとして大切なポイントであると隆

おおいし たかし循環小数を楽しむ～7と11と13の華麗な関係～
1．はじめに『Focus Gold

（Ｔのところである。今回の話は，第8章の発展教材として扱うものである。

Ｔ

0.bcdefa になるような最小の A を求めよ。

10

図書館にそういう本はありますか。

ら心配しなくていいよ。

Ｔパズルの本で読んだんだけど，同じ本は置いてなかったね。

（

Ｔ

ったね。
7!＝0.142857 （
4

4

と板書する

）

ずかであった。しかし，この記事を読めばあなた

142857999999④

3 桁づつで切って，足すと 999 である。
これらを発表させ，板書する）よし，これぐらいでいいだろう。きょうはこのうち，④が主役だね。③もふれる。
まず，④からいこうか。これ，おもしろいね。

(＊)の式に注目してほしい。

‘

142857=142*1000+(999-142)

142857 142*1000+(999-142)
143==
999999999*1001
1001
11*13
=7!
7*11*13Ｃ

へえ，すげえ。

Ｔ終わりの方の分母に注目してほしい。


7*11×13 となっているね。この3つの数字にマークする‘形だが，QDZ の場合は 13 が抜けて 7×11 が分子になるわけだ。ここまではいいかい。

Ｃ

11 だと分子は 7*13 ですね。

Ｔ

“

（
Ｂ

7!

…

11×13，QDZ

QAZ

…

7*13

少し間をとる

…

を板書する

7*11
‘

）

わかった。それが循環節の前半分につながるんだ。

Ｔ

素晴らしい。よくわかったね。
先の（＊）を追っていくと，前半分から1引には華麗な関係があるんだよ。

 じゃあ，次は 13 に移ろう。冒頭での質問だ。

11*13
=7!
7*11*13この時は 7! だから分子が 7 だけ抜けている…(＊)と，7! にたどりつくというわけだ。

QDZ の小数展開だ。

みなして考え，循環節を 090909 としてみる。
があることがわかるんだ。

している。

=

そうそう。でも，7 や 13 とあわせて 6 桁分と“そこで，この形に直して計算していくと，

2．授業実践記録

（を板書する

11 は 99 の約数だから 2 桁なんですね。

そうすると，この 3 つにはおどろくべき関係

きるね。

いる。

Ｔ

Ｔ

142857です。
999999④はこの分子が次のように書けることを主張

校生向けにもやろうと思っている題材である。

は生徒である。

Ｂ（③ 2 桁づつで切ると，ほぼ 2 倍 2 倍になって

以下，会話風に進める。Ｔは教師，Ａ，Ｂ，Ｃ）

第1章で学んだことがちゃんとここで応用でとなる。

これから紹介するような話を扱っていて，ぜひ高というわけだ。

２，
３人手をあげる

子には循環節をもってくるんだったね。

② 両端を足すと 8，その隣同士は 9，次が 10行っている中学生向けの「体験授業」でここ数年

13 の循環節の長さは，それを何倍かして 9 が（

正解。循環節の桁数だけ分母に 9 を並べ，分3 の倍数がでてこない。

そうだね，もっと長くなりそうな数だね。第の約数に 13 がはいっているので，13 は 6 桁“①

今年度は1年生を担当していないが，本校でけど。

するとどうなる？

Ｔ

はでてくる。

違いない。

これは 6 桁ですか，13 だと 12 桁かと思ったという性質もあるんだ。先の分母の 999999

はい，

ここで少し時間を取ると，だいたい次の４つて，７と11と13の華麗な関係に引き込まれるに‘循環節が 142857 だったけど，これを分数にがつくことがないか考えてみよう。

も「即答組」に仲間入りすることができる。そし4並ぶようにできるとき，9 が並ぶ数と等しい，

Ｂ

）

4

く調べよう。

じゃあ，Bくん。

少し時間を取るので，これを観察して何か気
考える時間

Ａ

QDZ＝0.076923 と板書する

1章ではあまり詳しくはなせなかったけど，Ｔ

桁の数字にはいろいろおもしろい性質がある。

員でこちらの循環小数を即答できた人はほんのわ“

話を本題に戻して，この性質をもう少し詳しＴ ま ず，この循環節をよく見てほしい。この6なっていないと思う。少なくとも私が知る高校教

QDZ を小数で言える人はいるかい？

じゃあ今度貸してあげるよ。

）

第1章で学んだように，結果はこう書くんだ

環小数になることやそれに付随するこの例題のよ唐突であるが，Ｔ

実際に筆算で計算させる。机間巡視でだを間違えられては困るけどね。

にしている。7! は高校の教員であれば，この循

Ｔ

ぜひ読んでみたいです。

土岐慎一

こちらで答えをいってしまうけど，ＴＡ

よし，みんな正解のようだ。もっとも，これ

これは 7! の循環節のもつおもしろい性質を問題

しかし，これが QDZ のとなるとそれほど常識には）いたいできた頃を見計らって

4

うなことは多分常識であろう。

数人手をあげる少しいるね。わからない人も多いので，まず4を３倍すると，６桁の循環節をもつ循環小数
44

Ａ

これを小数に直してみよう。

６桁の循環節をもつ循環小数 A=0.abcdef
4

だろうな。私も高校生の頃はできなかったか

（

循環小数

私も中学生の頃だったかな，初めてこのことを本で読んですごく感動した覚えがあるよ。

じゃ，7! の小数をいえる人は？

第8章の例題は次のようなものである。
例題253） 注：年によっては暗算の得意なものがスラスラ答えることもある。

数学Ⅰ＋Ａ』で「循環小数」は二度登場する。第1章
「数と式」
と第8章
「整数の性質」

シーン

岐阜県立多治見北高等学校

いた数字がそれだ。
Ｃ

そうか，だから QDZ は 7×11－1＝76

が11

「目黒高校数学科の授業実践」
循環節の前半分，後ろは999から引けばいいんだ。そうかそうか，これなら覚えられるな。
Ｔ

講制」の大学院を開き，社会人入学もできたので，

最後に，③もふれておこう。④のことも含め

で私はそれを利用して2年間，普通勤務を終えたて，詳しくは「数学Ⅲ」の無限等比級数を学

らすぐ大学へ飛んでいって講義を聴くという生活

ぶときちんとしたことが理解できるよ。

を2年間送り，博士課程前期（修士課程）を修了

ＴＣ

これは「きっちり 2 倍 2 倍」でいいんだ。

でも，14 の 2 倍が 28 はいいけど，28 の 2 倍は 56 なのに，57 で終わっています。

ぱっと見るとそうなるかな。でもね，小数は無限に続くんだよ。だから，56 の 2 倍もある
んだ。Ｃくん，56 の 2 倍は？
112 です。

Ｔ （

黒板に下のような図を描く

多摩大学目黒高等学校は，中学から入学した者

ですが，授業の予習をさせるには，授業に先行したプリント教材を配布し続けなければならず，校その際に，指導教官であった北岡良之教授（現のコースに分かれる時に合流するという形態にな

務を抱えながら，あるいは複数科目を担当してと名城大）と研究する過程で今回の「７と11と13っています。高入生は二年次に連絡生を中心としいう状況下では，教材作成の時間の確保に厳しいた特別進学クラスに合流する際に未履修部分をセものがありました。また，入学してくる生徒レベ

ミナーや補講等で補完する形をとっています。カルが嬉しい話ではありますが年々向上しているのリキュラム上は，数学Ⅰ+Ａ：6単位，

で(あるいは，ばらつきがあるので)，プリント教した。

の華麗な関係」を見いだした。他に，QJZ もそこで研究し，いまも続けている。
QJZ＝0.0588235294117647.
444数学Ⅱ+B：7～8単位，


材の内容の見直しを毎年迫られて，さらには教育

数学Ⅲ＋C：8～10単位

課程の変更等

な負担となり，自作プリントによるテキストは，入生の割合が高くゆとり世代を過ごしてきた者に時間を短縮させるための手段として，一部の単元

0.0028

対して対応するのに，行事等を差し引いた実時間に絞って活用にとどめるようになってしまい，既0.000056

数で高校数学の助走を行うことで非常に苦慮をし成の教材をうまく活用していくことを模索してい0.00000112ている次第です。さらに，自ら進んで学ぶことがきました。

0.0000000224

できる生徒に育てたい。そして，夢や目標を自ら0.000000000448の力で掴めるようになってほしいとの願いを，教0.00000000000 …

育現場において数学というツールを生かした指導を展開したいと考えております。近年はゆとり教

授業で主に使用する教材は，私学の機動性を生

0.1428571428……

育の影響を大きく受けた世代への対応を考えつつ，かして，時勢に合わせたよりよい副教材を採用し授業内容の満足度を上げかつ，到達度も上げなけて，教材に掲載された例題や問題を多用して授業ればならない！という私学の使命を果たすことをに生かすようにしました。当初の私の教材選びの目指して，限りある授業時間数内で生徒の満足度

観点は，教材で扱われている例題や演習問題が授を考えて効率良く進めるために試行錯誤を繰り返業の流れに乗せられる題材が揃っているかどうか

しております。

で考え，自作のプリント教材を作成する手間を省…

実は，このように続いていて，後ろの繰り上がりがあって，見かけ上違うようにみえているだけだったんだよ。
Ｃ

これもすげえ。

Ｔ循環小数は探ればいろいろおもしろい性質が解法はあまり意識しないで，解説等がうまく使えいくよ。
Ｔ

チャイムが鳴る§プリント教材を中心に授業を行っていた頃）

じゃあ，きょうはこれで終わり。
きょうの宿題はプリントを作成しておいたので，これをやっておくように。

Ａ


土岐

起立。……
（

授業実践記録終）§副教材を活用しての試行錯誤を通してこうとすることが大きな目的でした。教材が示すある。
「数学Ⅲ」までやると，もっと広がって（立ちふさがる壁を超えるのは大きと表面上の時間数は確保されているのですが，高まわりそうである。

0.14

12

荒尾吉宣

と高校から入学した者が高校2年生の文系・理系

この数字の並びがあと十年ぐらいは私について）

多摩大学目黒高等学校

15年ほど前になるが，名古屋大学が「昼夜開きょうのメインのところがわかったようだね。

さっき，「ほぼ 2 倍 2 倍」となっていたけど，Ｃ

3．終わりに慎一

とき しんいち

岐阜県生まれ。 名古屋大学理学部数学科を卒業，岐阜県教員になる。岐阜高校を振り出しに，いくつかの高校を経て母校である多治見北高へ。平成23年3月で定年退職。その後講師として継続して勤務。途中，名古屋大学大学院多元数理科
学研究科で修士（数理学）の学位を取得。数学パズルに詳しい。
趣味は囲碁で現在四段。

るときは行間を授業で埋めてより生徒に合った解

限られた時間内で時間数以上の成果を上げるた

法ノートを作っていくというスタイルで進め，授めに，既成の教材に頼らないプリント教材中心の

業ノートと教材を合わせると理解の深まる最良の授業を行わなければならない期間が長く続きまし教材が出来上がる様にしたところ，生徒たちの取た。自分の伝えたいことを前面に出して，説明部

り組み姿勢もよく，多くの者のノートはそのまま

分と例題を織り交ぜて授業で扱う内容を事前にプ印刷して冊子にして後輩に配布できるものでした。

リントにまとめて授業で扱うので，授業内でプリ

しかし，私が担当する生徒にとっての教材の内容

ントを利用して扱った内容については，効率よくは比較的難しい内容となってしまう場合が多かっ

授業を進めることができて，理解定着も良好なのたため，生徒たちの動きは復習が中心となりがち13

で，さらに進んで予習に踏み込んで自学してもらを核にしてその類題や発展形をできるようにして

く赤でFocus Goldの模範解答を考えながら欄をに指導をしていくことが必要になっているようで

おうと仕向けていたのですが，取り扱う内容のいいくかが勝負になるところ，生徒の身丈に合った埋めるようにさせるようにしたり，定期考査の試す。

い教材ほど解説のハードルが高くなる傾向があり解説を持ち合わせた教材が手元にないと自学自験範囲や長期休暇の宿題では漠然と範囲を指定すましたので，校内の上位層でないとなかなか自分

習を推し進めることが難しいということを改めてるのではなく，同一内容テーマの教科書例題→傍で進めることが難しいという状態が続き，解説の痛感することになりました。

用問題集→Focus Goldの例題や練習問題をひと

行間を自分で埋めることができないものが多く出かたまりにして問題番号を指定して演習をさせて，てきました。自ら進んで学ぶ生徒を育成すること同じテーマでも言い回しが変わるとできなくなっを目指していましたので，質問等に応じるキャパ

14§新教育課程が導入されててしまう生徒へも配慮をして，出来る者も出来な

シティーも限られてしまうことから，副教材と同新教育課程が導入されてからの検定教科書が発い者もともにFocus Goldに触れなければならな

じ出版社のシリーズのもっとも易しい教材を合わ

行されるまでは，私立学校の多くは副教材またはい機会をつくり，より身近な存在となるように努せて持たせた時期もありました。その際は本校のプリントをメインとした授業展開をしている学校

めてFocus Goldが生徒たちにとっていざという場合，公立高校との併願で入学してくる生徒が多が多いと思われます。私自身，私学の教員として時に自分の疑問等を払しょくさせることが可能な

いせいか，参考書や問題集を自分の小遣いで買わスタートしたこともあり，効率性を考えて教科書

バイブルとなる1冊になるような配慮を行っていなければいけない者が多く，推奨参考書を紹介しを利用した授業展開はほとんど行ったことはあります。その際，指定したFocus Goldの問題をすてもなかなか手に出来ない者が多くいたので，学ませんが，今回の教科書の検定制度の趣が変わり，

べてやってもらうのが理想ではありますが，初学校の諸費精算扱いとして学校配布の形で持たせる

授業や副教材で補っていた大切な事柄が検定教科者にとっては難しいと思われる小問が含まれてい形態にしました。以前から，難易度の異なる二つ書に取り上げられたことを機に，生徒にとって学る場合には，学年末(夏休み中等)までにできるよの教材が一体化した教材ができないか！と思ってびやすく，指導する側も授業を効率よく進められ

うになればよいとか明確に表示して，今必ずできいたところ，啓林館発行のFocus Goldシリーズ

るような教材の活用について改めて考えるようにるようにしなければいけない問題と追い追いできが発刊されたことを機に，高校１年生の授業用メなりました。

るようにすればよい問題かを知らせるようにしてイン教材として採用しました。これは，同じ科目

かつてプリント教材として起こしていたシナリ

います。一通りの学習を終えて入試問題タイプのを複数の担当者で担当する場合に，扱う内容の足オに沿った多くの部分を教科書の内容を利用し，総合問題演習を行う時期でかつ孤独と戦いつつ壁並みを具体的に細かく揃えるためにも好都合でし

教科書傍用問題集で教科書の不足部分を補っていにぶつかったような時，きちっと仕上げたというた。しかし，当時のFocus Goldシリーズは一般

くという平凡な流れではありますが，自ら進んで満足感を持ったバイブルとなる参考書あるいは問的に知名度が低く，本校も進化していく過程であ

学ぶ姿勢を育てて受験に対応できるレベルにまで題集が手元にあるということが計り知れない心のったことから，有名なベストセラーを利用してい引き上げるために，副教材のFocus Goldシリー

支えになるということが私自身も身を持って体験かないと受験生の心理として心もとない気持ちがズを授業・課題・宿題用に活用することにしまし

したことがあり，一人で追い込みをかけて仕上げ

生じてしまうことがあったようで，学校の教材よた。授業においては教科書と教科書傍用問題集をている時の友となる参考書を学校の授業を通してりも塾・予備校の方に心がなびいてしまう傾向が用いて受験の基礎レベルの理解を深めさせ，その準備させることを目指しています。私の高校生時あり学校で配布する教材に苦慮することがありま

内容の定着及び視野を広げさせるためにFocus

代は大学への数学の解法の探求シリーズをバイブした。高校３年生の特別進学クラスにて書店で扱Goldの例題や練習問題を啓林館テスト問題作成

ルとしていたので，数学好きの生徒に勧めたこと

うベストセラーの教材を授業で利用しつつ，質問サイト「お助け先生」を活用して作成したWordがありましたが，期待した感動が得られないことできない時間帯への対応，部活動引退後の空白部

のプリントを利用して，生徒自身が問題を解けるが多く，私が学生時代に好んだ教材とゆとりの世分の補い等を目指してFocus Gold

かどうかで，単にわかったつもりになっているの代を過ごした世代が欲する教材には想像以上の大を配布したところ，夏休みの長期休暇中での自学か？本当にできるようになっているのか？きちっきな開きを感じました。今後は生徒達が取り組み

自習用教材，あるいは困った時のサポートセンターと理解ができているかどうか？のセルフチェックやすいと思われる教材を紹介するだけでなく，高の役目をFocus Goldがしっかりと果していたこを宿題の形で提出させるようにしました。提出の校に入学するまで学習塾内でしか学んだことのなとを生徒から聞かされ，生徒目線での教材の選び際は出来ている所はFocus Goldで自分の答案とい者が多い中，高校生としての自宅等での自己学方を実感することになりました。授業で扱うこと比較してチェックさせ，我流の答案の良し悪しは習の習慣をつけられない現状を考慮して，自ら進のできる問題は限られ，いかに授業で扱った問題

私が赤でのチェック。出来ない場合は空白ではなんで学ぶ生徒を育てるには教材の利用法から丁寧

数学Ⅲ＋C

15

荒尾

吉宣

あらお よしのぶ

横浜市生まれ。東京理科大学理工
学部数学科を卒業後，埼玉銀行
（現りそな銀行）を経て現在，多摩
大学目黒中学・高等学校数学科教
諭 高1学年主任。趣味はゴルフ。

出前授業実践報告
埼玉県立熊谷西高等学校

1．はじめに
今年9月26日熊谷市立富士見中学校にて，『数について』の出前授業を行ったときの実践報告をします。
『数について』ということで，まず私たちが日頃使っている 10 進法に触れ，9 の倍数の見分け方，
11 の倍数の見分け方を紹介しました。続いて，2進法について展開しました。今まで中学生対象に授業をしたことがなかったので多少とまどいましたが，中学生たちはとても興味をもって授業に参加してくれました。以下，報告の内容ですが実際

16の授業とは多少異なります。

2．10進法について（1）10進法とは10 進法は 0，1，2，3，…，9 の 10 個の数字で数を表す。

1，2，3，…，9 と数えて，9 の次は 10 となる。

そして，10 の束を作っていき 10 が 10 個集まると 100，100 が 10 個集まると 1000，…のようになっている。

例えば，234 は，100 の束が 2 個と 10 の束が 3個，そして 1 が 4 個集まったものである。
2*100+3*10+4*1=234（3）11 の倍数の見分け方（2）9の倍数の見分け方（例1）234 は9の倍数か？

2○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○○○○○○○○↓○○○○○○○○○○○↓○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

3

4

○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
↓ ↓ ↓ ○○↓ ↓ ↓ ↓○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○

いずれも
9 の倍数

これら（網掛け部分）の和が9の倍数になっていればよい。

2+3+4=9 （9*整数）

だから，234 は 9 の倍数である。

（例2）231 は 11 の倍数か？

2○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○○○○○○○○↓○○○○○○○○○○○↓○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

3

○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○
○○○

1

3．2進法について（1）数字当てマジック

1～31 の数字のうち，1 つの数字を決める。

次に下の①～⑯のカードからその数字の入っているカードをすべて選ぶ。
①のカード

01 03 05 07

09 11 13 15

17 19 21 23

11 の倍数②のカード

02 03 06 07

10 11 14 15

18 19 22 23

25 27 29 31

26 27 30 31

⑧のカード

⑯のカード

08 09 10 11

12 13 14 15

いずれも

山出秀明

24 25 26 27

28 29 30 31④のカード

04 05 06 07

12 13 14 15

20 21 22 23

28 29 30 31

16 17 18 19

17

20 21 22 23

24 25 26 27

28 29 30 31

その選ばれたカードから，数字を当てるというマジックです。
次にその仕組みについて説明しましょう。
たとえば，26 を選んだとしよう。

↓
○

借りてくる

これら（網掛けの部分）の和が 11 の倍数になっていればよい。

しかし，10 の位の 3 個は借りてきたので，返さなければならない。

したがって，2-3+1=0 （11*整数）だから，231 は 11 の倍数である。

26 の入っているカードは，②，⑧，⑯のカードで
ある。
step1
step2
step3
step4
step5

26 は 16 以上ですか？

Yes.

残りの数 10 は 8 以上ですか？

Yes.

残りの数 2 は 4 以上ですか？

No.

残りの数 2 は 2 以上ですか？

Yes.

残りの数 0 は 1 以上ですか？

No.

（26 の中に 16 の束がありますか？）（26-16=10 の中に 8 の束がありますか？）（10-8=2 の中に 4 の束がありますか？）（2 の中に 2 の束がありますか？）以上のように5 つの質問をしていたのです。
⑯のカード ⑧のカード ④のカード ②のカード ①のカード
Yes
Yes
No
Yes
No
26 =
1
1
0
1
0
すなわち，16=24 の束が 1 個，8=23 の束が 1 個，

4=22 の束が0個，2=21 の束が 1 個，1=20 の束が 0 個それぞれ必要であるということです。
10 進法
2 進法
16 = 24 = 100008= 23 = 1000
4
= 22 = 1002= 21 = 10
1= 20 = 1
したがって，26 を 2 進法で表すと，26=16+8+2=1*24+1*23+1*21

10 進法

10 進法

2 進法

2 進法

このように数字が与えられたら，2n の大きいかたまりの方から順にとっていき，2n がある場合
は ｢1｣，ない場合は ｢0｣ で数を標記していく，
これが 2 進法である。

10 進法で表された数 1～31 を 2 進法で表すと，
18

4．最後に

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ことは難しかったです。しかし，2 進法の活用の例えば，13 を 2 進数に直すと，

2 進法
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

となります。

10 進法
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

2 進法
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111

（2）2進法について

2 進法は，0 と 1 の 2 個の数字だけで数を表す。

したがって，1 の次は，10 となる。そして，11，
100，101，110，111，…
と続く。

2 進法の利点「1 or 0」の 2 種類の数字で表されるので，数字の

感想として新しい数の概念（2 進法）を教える

2 個ずつの束をつくる。

中で，アニメ映画『崖の上のポニョ』の 1 シーン

すると，
○○

○○

○○

○○

でモールス信号が使われていることを紹介したと○○○○2 の束が 6 個とバラが 1 個できる。

○

2) 13 …1
6

10 進法=10000+1000+10=11010

10 進法
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

10 進法で表された数を2進法に直す

次に，2 の束を 2 個ずつ束ねると，
○○○○

○○○○

○○○○

22=4 の束が 3 個できる。（2 の束は 0 個）2) 06 …03

さらに，22=4 の束を 2 個ずつ束ねると○○○○○○○○○○○

23=8 の束が 1 個と，22=4 の束が 1 できる。
2) 03 …11以上の計算式を 1 つにまとめると，
13=1×23+1*22+0*21+1*1=1101(2)2) 13 …1
2) 06 …0
2) 03 …11（３）2進法の加法（例） 110(2)+11(2)=1001(2)（応用）1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝Sを求めてみよう。
2進法で表すと，

1(2)+10(2)+100(2)+1000(2)+10000(2)+100000(2)+1000000(2)+10000000(2)=11111111(2)この値に 1 を加えると，11111111(2)+1(2)=100000000(2)=256

よって，S=256-1=255

この計算方法を示すのに 2 進法のそろばんを作

代わりに「ON or OFF」，「+ or -」，「明 or 暗」，ってみました。近頃そろばんを習う生徒がめっき「長 or 短」，「凹 or 凸」などに置き換えることにり少なくなったせいか，桁上がりの感覚を理解さ

より，様々なものに応用できる。例えば，コンせるのに少し時間を要しましたが，2 進法の仕組

ピュータ，モールス信号，バーコード，点字など。

みを直ぐに理解してくれる生徒もいました。

ころ，とても興味を示してくれました。
ところで，私事ですが今年教員免許更新のため大
学で秋山仁先生の授業に参加しました。その授業
の中で，秋山先生は話されていました。
『The  good  teacher  explains，the  superior  
teacher  demonstrates，the  excellent  teacher  inspires.』
そういう意味で，今回の出前授業では中学生に数山出について『 inspire 』することができたのではな

埼玉県深谷市生まれ
埼玉県立熊谷西高等学校 教諭
東京理科大学理学部応用数学科卒
趣味 教具作り 車

いかと思います。

秀明

やまで ひであき

19

課題学習のテーマ設定に「Focus Gold」を○はじめにに解き直している生徒をよく見かけます。

修猷館高校は，福岡ソフトバンクホークスの本余談ですが，本校の多くの生徒が受験する九州

拠地ヤフードームの近くにある男女共学の福岡県

大学の今年度入試の理系数学において，『Focus

立普通科の高等学校です。また，1784年に福岡Gold Ⅲ+C』の例題「円 x +(y-1) =4 を x 軸
2

2

紹介します。

の図形の性質で学習したことを，コラムをヒント①“宝くじの賞金の期待値”に数学Ⅰの図形と計量(三角比)で学習したことを［設定の理由]：教科書には載っていない数学A

用いてとらえなおしている点が興味深く，評価で「確率」の期待値だが，授業では『Focus Gold』


きると思います。折角ですから，生徒が考えた③の証明を紹介します。

藩の藩校として産声を上げ，現在まで230年に亘の周りに回転させてできる立体の体積」がそのまの例題を教材にして学習した。そこで，実際にる歴史を有する学校でもあります。特に細かい校ま出題され，直前に『Focus Gold』で最終確認

この夏の宝くじの期待値を求めてみた。

則もなく生徒の自主性を重んじており，運動会やをしていた生徒はとても驚いたと言っていました。

②“折り紙を使って角の3等分線を引く”

文化祭などの行事は生徒による実行運営委員会が（彼らの多くはめでたく合格しました。）［設定の理由］
：数学Aの図形の性質で（目盛りの

組織され生徒主体の運営のもとで行われています。

20

福岡県立修猷館高等学校□□□□□ □□□□□
平野義和

ない定規とコンパスによる)作図を学んだ。そ部活動への入部率も高く，生徒は勉学だけでなく○課題学習のテーマ設定に『Focus Gold』をのとき，ギリシアの3大難問の1つである「角部活動や学校行事にも積極的に取り組み，文に武私は，今年度1年生を担当しています。ご存知の3等分線」は作図不可能であることを聞いた。

に精一杯励んでいます。
本校では，平成20年より2学期制を実施しておのように，今年度より数学と理科については新課

また，『Focus Gold』のP.510のコラムに折程となり，課題学習が導入されました。

り紙を用いて「辺を3等分」する方法が紹介されている。それでは，折り紙を用いて「角を3「£ABC において，b<c ⇔ B<C」
証明

0º<B<C<180º だから

B<C ⇔ cosB>cosC ⇔ cosB-cosC>0
余弦定理よりc2+a2-b2
a2+b2-c2
2ca
2ab

21

a>0，b>0，c>0 より，両辺に 2abc をかけてり，定期考査は前期，後期各2回ずつ年間に4回行

我々は課題学習の形態について，本校の生徒のっています。数学は，1週間に1年で5時間，2年

実態を踏まえ，生徒にテーマを設定させてレポー

で文系5時間，理系6時間，3年で文系5時間，理トを提出させるというものにしました。生徒に課

系6時間の授業時間があります。決して多いとは

題学習のテーマをどのように設定させればよいかいえない授業時間ですが，生徒が希望する大学にについて，生徒に自らテーマを見つけさせて取り合格できる力を付けること，数学のよさを伝える

組ませる，教科書の後半に用意してあるものからことを目指して日々の授業を展開しています。

選ばせる，我々がテーマをいくつか用意してそこ『Focus Gold』に関しては，本校では発刊されから選ばせる，などの方法を提示しました。結果

平面図形で学んだ“角の2等分線と線分比”のた平成19年度から生徒全員に持たせており，今年

は，教科書の後半に用意してあるものから選んだ性質について三角比(面積の公式)を利用した証

度で6年目になります。利用方法は，学年によって

生徒が最多でした。数学の知識の少ない1年生に明が載っている。それでは，「£ABC において，  若干異なるのですが，生徒の自立した学習習慣をとって自分で課題を設定することは難しいのでは身につけさせるための教材という性格が最も強く，ないかと思っていたのですが，自らテーマを見つ

週末や長期休業中の課題にしたり，校内実力考査

けて取り組んだ生徒が予想に反してたくさんいま①については，授業で学習した事柄を身の周りのに数問を指定して出題したりすることもあります。

した。そのような中に，数は非常に少なかったの

具体的なもので実際に試したところが単純な例でまた，教科書の例題等にはない，いわゆるプラス

ですが，『Focus Gold』を参考にテーマを設定しはありますが評価できると思います。

くできた証明だと思います。数学Aの図形の性質

た生徒がいました。

②については，レポートの内容はインターネット

では，十分条件であることと必要条件であることで検索したものそのままのようでしたが，設定のの証明をそれぞれしなければなりませんが，上記の方法ではその必要がありません。

åの部分の補充にも使用しています。

等分」することはできないだろうか？

③“｢£ABC において，B<C ⇔ b<c」であることを余弦定理を使って証明する。
”［設定の理由］
：数学Aの教科書に「£ABC において，b<c ⇒ B<C」が成り立つことの証明が載っている。
『Focus Gold』のP.489のコラムに

b<c ⇒ B<C」も三角比を利用して証明できないものだろうか？

b(c2+a2-b2)-c(a2+b2-c2)>0

bc2+a2b-b3-ca2-b2c+c3>0

a2(b-c)-bc(b-c)-(b3-c3)>0

a2(b-c)-bc(b-c)-(b-c)(b2+bc+c2)>0(b-c){a2-bc-(b2+bc+c2)}>0(b-c){a2-(b2+2bc+c2)}>0(b-c){a2-(b+c)2}>0(b-c)(a+b+c){a-(b+c)}>0

ここで，a+b+c>0，

a<b+c ⇔ a-(b+c)<0
b-c<0 ⇔ b<cだから，よって，B<C⇔ b<c

終スペースの都合で多少編集をしていますが，よ

生徒は我々の狙いをよく理解してくれています。


全く自由にテーマを設定することは難しいかも

1年の最初の定期考査の時からその対策に『Focus

しれませんが，そのヒントやきっかけを与えてや理由にあるように，コラムをヒントに“3等分”とGold』を使っている者も少なくありません。1年

ればそれを起点に自分でテーマを設定できる生徒“折り紙”を結びつけた態度，すなわち角の3等分①，②，③のいずれも，課題学習の内容に合致の後半以降は，定期考査や実力考査の対策の教材はいるのではないかとも思って，『Focus Gold』

線を作図では出来ないが，折り紙を使ったら出来したものであり，その目標を十分に達成できていとして多くの生徒が利用しています。3年になるのコラムなどを参考にテーマを設定するのもよい

るのかもしれないと思って調べたその態度が評価るのではないかと思います。

と受験勉強の教材としても利用しています。各々のだろうと言っていたからかもしれません。

できると思います。

『Focus Gold』のコラムは興味深いものが多く，③についても，設定の理由にあるように，数学A

生徒にとっては日頃の授業では気づくことのないの習熟度に合わせて例題やステップアップを中心

今回，その中から彼らが設定したテーマを3つようなことを取り上げてあるので，数学に対する

我々は，凡人が極めてありふれた方法で間違いな

印象を良くしたり，数学に対する学習意欲が増しく答を出す方法が知りたいのである。その要領はたりするなどの効果が期待できます。もっとも先今例に出した天才の真似をしないこと。又暗記を生によっては今まで授業中で使っていた雑談ネタ

しないこと。克明に一歩一歩答に近づいて行くこが書かれていて使えなくなったという方もいらっとより外に方法はない。

しゃいますが…。
何にせよ，『Focus Gold』のコラムの使い方としては面白いのではないかと思います。

ュックを背負って山登りをするときのような気持

豊田 敏盟

フォーカスゴールド
編集委員

Toshiaki Toyoda

で一歩ずつ近づいて行く気持。未だ頂上は遠いが自分は次第に近づいているという希望を持って辛近年の大学入試の数学問題において，複数の漸抱することが肝要である。然し山に登るとき地図化式で表した数列を具体的に羅列させ，その数列教育課程も変わり「創造性の基礎を培う」ことの読み間違い等で道に迷うこともあろう。そんなの特徴を問うものを目にします。そこで，新科目が新たに挿入されたり，「数学的な見方や考え方の時にうろたえてはいけない。ガムシャラに前に進「数学活用」の指導にも役立てばと思い，奇数とよさ」が数学の実用性などを含んだ「数学のよさ」

むことばかりを考えて進退きわまることのないよに変更されたり，課題学習が導入されたりと数学

うに，或場合には適当なところまで後戻りをする

を通して生徒に伝えなければならないことが少しことも時によっては必要なことである。そうしてずつ変化しています。生徒の方も，数学に対する苦労して頂上に着いた時の気持ちというものは実意欲の質が変化してきていたり，演習量と成果のに言うに言い難いもので，苦労が多かった程答の現れ方の間に決して比例するとはいえないような出たときの気持ちはよいものである。よく生徒諸現象が現れてきていたりなど，やはり変化してい君の数学の勉強を見ていると山登りの紀行文を読ます。そんな中にあって，「どうしたら数学がでんで山に登った気分になっている人が居る。言いきるようになるのですか？」という質問だけは今かえると実際に自分では考えもせず解答書などをも変わらず受け続けています。

読んで答を出し，それで自分はひとかどの山登り

○おわりに

22

この一歩一歩ということが大切である。丁度リ

「Focus Gold」と新科目「数学活用」との連携を考える～雑感～

先日，本校が毎年発刊している校誌の昭和36年
度版を読む機会を得，そこに，当時の本校のある数者から受ける質問「どうしたら数学ができるよう

べきで，他人任せの本読みでは真の醍醐味は味わになるでしょうか。何か勉強の方法が悪いのではえない。登山によって身体が鍛錬されていくと同ないでしょうか。」に答えたものです。書かれていじように数学の勉強によって我々の頭脳が鍛錬さることは至極もっともなことなのですが，何ともれていくものとしたらたとえそのために多くの時

味わいのある文章で，私自身今一度肝に銘じてお間を費やしたとしても決して無駄ではないであろ

かなければならないことでした。みなさんにそのう。我々は決して大学の受験準備のために数学の勉

一部を紹介して終わりにしたいと思います。最後

強をしているのではないことを銘記して貰いたい。』

までお付き合いいただきありがとうございました。
『数学の問題には必ず答がある。その答を出す仕に答えたりすることもあり得る訳である。然し

この数列の特徴を調べよ。

1-(-1)n-1(®2 )n-1-1
+
1+1
®2 -1
(-®2 )n-1-1+(-®2 )-1(-1)n-1-3+{(®2 )n+(-®2 )n}
an=
2
an=1-

実際に初項から第15項まで記すと，…

期待したいと思います。

【特徴1】第1階差 {bn} は次のとおり。

1 1 3 1 7 1 15 1 31 1 63 1 127 1 …

・奇数番目の項は 1，3，7，15，31，63，127，･･･で，2l-1 (l=1，2，3…)となる。

・偶数番目の項はすべて 1

この考えは，第1階差の一般項 bn が求まれば，
一般項 an の式化につながります。

【特徴2】an+4-an=(3 や 6 の倍数)である。

が求められます。
【注意】

福岡県生まれ。東京理科大学理学部卒業。
現在，修猷館高等学校数学科教諭。

k が奇数のときbk=2

k+1
2-1 で，k が偶数のとき

1+(-1)k1-(-1)kやは，k が偶数，奇22数で，1 や 0 となる便利な式ですan+4 -an =(3 や 6 の倍数) であるを説明してみましょう。
ⅰan が奇数のとき

an=2m-1 (m は自然数) として，an+1，an+2，

an+3，an+4 を順に求めると，an+4=8m-1 とⅱ

k は k≥1 なる自然数として，+{(®2 )n-1+(-®2 )n-1}

次に，【特徴2】のこの考えは，数列 {an} の各項を 3 や 6 で割った

それでは，
【特徴1】についてまとめてみましょう。
ひらの よしかず

k=1

から

す。
平野義和

23

=1+ § {(-1)k+(®2 )k-1+(-®2 )k-1}

余りは循環する数列であることを示唆していま方が分かりさえすればよいのである。極めて優れ

ば数万ともいわれる問題の答を全部暗記して即座となります。

k=1

この数列から，生徒には次の特徴を挙げることを且計算し一歩ずつ目的に近づいて行く方法で臨む

bk=(-1)k+ (®2 )k-1+(-®2 )k-1

n-1

持ちは分からない。(途中略)載されているのを偶然見つけました。生徒や保護

これを整理すると，

an=a1+ § bk

数列{an} を初項から第15項まで書き上げ，

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15

k+1
1+(-1)k1-(-1)k*1+*{2 2 -1}22n-1

an が偶数のときは an+1=an+1

1 2 3 6 7 14 15 30 31 62 63 126 127 254 255

何れにしても数学の勉強は自分の頭と手で考え瞬間に答が出たり，暗記力の素晴らしい人であれ

とする。

bk=

よって，n≥2 のとき

a1=1 で，an が奇数のときは an+1=2anをしたと言ったような連中には本当の山登りの気学教師による「数学の勉強の仕方」という文章が掲た人であればその仕方も極めて簡潔で問題を見た

偶数が交互に並ぶ，次の数列 {an} を考えました。

bk=1 ですから，なり，an+4-an=6m=(3 や 6 の倍数)
an が偶数のとき，

an=2m として，an+1，an+2，an+3，an+4 を順に求めると，an+4=8m+6 となり，
an+4-an=6(m+1)=(3 や 6 の倍数)

ここで，an+4-an=(3 の倍数) は，an+4 とan は【偏微分を使う場合】

た，a1=1，a2=2，a3=3，a4=6 より，これらをz とすると，3 で割った余りが等しいことを示しています。ま3 で割った余りは，それぞれ 1，2，0，0 です。

体積 V=xyz=32 …①

を 6 で割った余りが等しく，a1，a2，a3，a4 を6 で32
，これを②に代入すると
xy
32
32
S=xy+2y･
+2･
･x
xy
xy
64
64
+
=xy+
x
y
∂S
64
では，
=y- 2 =0 とすると，x∂x同様に，an+4-an=(6 の倍数) から，an+4 とan割った余りは，それぞれ 1，2，3，0 です。

つまり，数列 {an} の各項を 3 で割った余りを並べた数列は 1，2，0，0 が循環し，6 で割った余りを並べた数列は 1，2，3，0 が循環します。

さらに調べると，an+6-an=(14 の倍数) となり，

14 で割った余りは，1，2，3，6，7，0 が循環します。このように考えを進めると，この数列の教
材は整数問題に発展しますね。
 Focus Goldでは近年の入試問題の傾向を反映
24

直方体の縦，横，高さの長さをそれぞれ x，y，させるとともに，例題の解説やコラムの中で，このような数学的な見方・考え方を育てる編集にも心掛けています。
最後に，近年の入試問題の類題として，次の岡山大学（2011年入試）を挙げておきます。この問題では，漸化式の場合分けを，an の添字(index)
n で行っています。

数列 {an} が次のように帰納的に定められて

いる。

a1=0，
2an (n が奇数のとき)
an+1=(n=1，2，3…)
an+1 (n が偶数のとき)
1 a10 を求めよ。
2n が奇数の場合と偶数の場合それぞれについて，an+4 を an で表せ。

3

an を 3 で割ったときの余りを求めよ。

「Vol.3 の問題の解説」
Vol.3 で挙げた次の問題について解説します。
容積が 32m3 のふたのない直方体の箱を薄いプラスチックで作る。材料を最小にするには，どんな寸法にすればよいか。

箱の外側の表面積 S=xy+2yz+2zx …②①から z=

x2y=64 …③

同様に，

∂S
64
=x- 2 =0 とすると，
y∂yxy2=64…④「センター試験数学について」
フォーカスゴールド
編集委員

竹内 英人
Hideto Takeuchi

今回は，時期も迫ってきた，センター試験につ練習をやっていたから出来ました！！」と嬉しそ

いてのお話しをしようと思います。12月に入る

うに報告してくれたのを今でも覚えています。

と多くの学校でセンター対策の講義が行われてい次がその問題です。

るかと思います。この時期，センター試験の数学
指導はどのように行っていくのが良いのでしょう
とはいうものの限られた時間の中で，多くの問題を処理する能力が求められます。そういった意∂ 2S 128 ∂ 2S 128
一方， 2 = 3 ， 2 = 3 で，x>0，
x
y
∂x
∂y
∂ 2S
∂ 2S
y>0 であるから>0， 2 >0 となり，関∂ x2∂y

教えておいた方が良いかも知れません。Focus

数 S のグラフは常に下に凸である。

以上から，x=y=4，z=2 にて，表面積 S の最小値は 48m2

A=xy，B=2yz，C=2zx とおき，x>0，

y>0，z>0 から，相加平均≥相乗平均の関係
を使うと

S
xy+2yz+2zx 3=≥ (xy)(2yz)(2zx)
33

よって，S≥3･3 4(xyz)2=3 4(xyz)2(等号はxy=2yz=2zx のとき)

そして，xyz=32 より，

S≥3･3 4*(32)2 =48以上から，x=y=4，z=2 にて，表面積 S の最小値は 48m2

味では，センター試験特有の解法テクニックもGoldにおいてもそうしたテクニックは可能な限り掲載してあります。
（例えば，Focus Gold数学Ⅰ＋Aでは，「加重重心(p.512)」，数学Ⅱ＋B
では，p.426，p.430，p.432に「面積公式」を，
少しマニアックなところで，Focus Gold数学Ⅱ＋Bでは，「空間における加重重心(p.670)」につ【相加平均≥相乗平均の関係を利用する場合】©(ß)=®2 cosß-®6 sinß を考える。

か？センター試験は「答えがあっていれば良い」

この③，④を連立して実数 x，y を求めると，
x=y=4（問） 0º≤ß≤90º の範囲で，関数

いて取り上げてあります。
）確かに，このようなテクニックは，時間短縮という面では大いに助かりますが，センター試験対策としてこのようなテクニック的な話ばかりをするのも考えものです。
やはり，あくまでも数学という学問を教えるわけですから，センター試験の数学といえども，「知識・技術」だけを教えるのではなく，「知恵」を授け
ていきたいものです。そこで，今回は，センター試験の過去問を題材に，普段，私がどのような授業を心がけているかお話しいたします。かなり，©(ß)= ツテ cos(ß+ トナ º) と表せる。

（1998年度センター本試

角度は度数法のまま）先生方にとってみれば何のことはない問題ですが，
普段から，三角関数の合成を，「丸暗記」していた生徒にとっては出来が良くなかったようです。
そこで，いつものように，先生方も一瞬，手を止めて，普段どのように，「三角関数の合成」について指導しているか思い出してみて下さい。果たして，その指導で，生徒さんは上の問題が解けたでしょうか？では，ここで，一般的に教科書に載っている，「三角関数の合成」について示しておきます。
asinß+bcosß= a2+b2 sin(ß+å)…①

asinß+bcosß= a +b cos(ß-∫) …②2

ただし，å は sinå=∫ は cos∫=2ba，coså=
a2+b2
a2+b2
b
a
，sin∫=
a2+b2
a2+b2

昔の問題ですが，結構，話題になった問題ですの

多くの受験生は上記①について知っているでしょで覚えてみえる先生方も多いと思います。ちなみう。
（実際，教科書では①のみ掲載されているこに，この年，僕も受験生を担当していて，センターとが多い。
）しかし，sin を用いて合成する①式は試験から戻ってきた生徒に聞くと，「一瞬，焦っ

覚えているけれど，②の「cos を用いる方法は？」て頭が真っ白になった。でも普段から公式を導くと聞かたら，「知りません」とする生徒が多いの

25

ではないでしょうか。センター試験で大事なのは
まさしくここだと思うのです。つまり，答えを出すために，色んなテクニックを覚えるのではなく，マーク式試験のように，とにかく答えを出さねばならない場合に，②を覚えていなかったならばどうしたらいいだろうか？と自分自身で「ひねり出す力」があるかどうかです。そのためには，日頃から，「ひねり出す」だけの土台を作っておかな
ければなりません。
今回はこの問題を色んな方向から眺めることによって，「ひねり出す力を育てる指導のヒント」をお伝えできればと思います。
（ここでは，解答風に書かせていただきます）

å=60º とすれば (240º などは トナ º に入らない)
coså=2!，sinå=r=2®2©(ß)=2®2 cos(ß+60º)   =(®2 ，-®6 )･(cosß，sinß)と，式を考える。

OA=(®2 ，-®6 )，OP=(cosß，sinß)とすると，A は定点，P は単位円 x2+y2=1 上を動く。

©(ß)= ツテ cos(ß+ トナ º)-1が，わからないので，逆を考える。
ツ

テ や トナ º ではやりづらいので，

r= ツ

O

©(ß)=rcos(ß+å)

rcos(ß+å)=r(cosßcoså-sinßsinå)であるから，


図のように，O，A，P を考えれば，=OA･OP=|OA||OP|cos(ß+60º)=2®2 cos(ß+60º)rsinå=®6

となる。

(答)

(方法３) sin(90º+x) の公式を用いる。

rsinå
®2
=
rcoså ®6

（sin を用いて合成する公式は覚えていたとして，） ®2 cosß-®6 sinßy1y=®3 x

O

-1
-1

å

=2®2 sin(ß+150º) 2®2 sin{90º+(ß+60º)}
=2®2 cos(ß+60º)

みました。

®2 ･1-®6・0=rcoså

私が日頃から高校生を指導するときに繰り返し®2 =rcoså

言うことは，「基礎・基本を大事にしなさい。
」，「基®2 ･0-®6 ･1=rcos(90º+å)

色々な考え方をしてみなさい」です。私自身，数

ß=90º として-®6 =-rsinå

(答)(方法４)恒等式（？）を利用する。

礎の中に本質が見えてくる。基本的な問題こそ，学が得意になる一番のコツは，「基本的な問題について色々な考え方をしてみる（別解を考える）」®6=rsinå
を解くと(方法１)と同様に，r=2®2 ，となり，
å=60º である。

ことだと思っています。別解の大切さは，どの先
生方も異論の無いところだと思いますが，応用問題になれば，別解が多く見つかるのは当たり前です。私が強調したいのは，教科書レベルの問題の(答)？

ß=0º，ß=90º の2つのみを調べているので必中で，いかに色んな考え方が出来るかということです。そういった意味では，センター試験の問題は非常によく練られていて，色んな考え方が出来

要条件であって，十分条件ではありません。

る良問が多いと思います。
「たかがセンター，され記述の入試，模試では当然，十分条件であるこどセンター」，どうせ指導するなら目先の結果だ

とを示さねばならないでしょう。
（例えばけではなく，本当の数学力が身につく，センターcos(ß+60º) に加法定理を用いる）

試験対策指導をしたいものですね。

しかし，センター試験，マーク試験などでは，本文の内容にご意見，ご感想がある方は，

そんな「きれいごと」も言っていられないので，

takeuchi@meijo-u.ac.jpまで(お気軽にメール下必要条件とは，さい。)

・ツ

テ のマークに入る答えがもしあるならば 2®2 であるし・(ß+ トナ º) のマークに入る答えがもしあるならば 60º であるということで対応するわけです。
（これは技術ではなく知恵ですね）

は，できる。

角度を ß+150º=90º+(ß+60º) と考えれば
1 x

以上，基本的な1問から，色々な考えを探ってもちろん，これは任意の ß で考えるところを，

= 2+6 ･1･cos(ß+60º)rcoså=®2

要である。

©(ß)=2®2 cos(ß+60º)®2 cosß-®6 sinß

加法定理より，⇔tanå=®3

x

A(®2 ,-®6 )

  ⇩

を考える。

1

こういった機転（これも知恵？）もセンター試
験では重要となってきます。

®2=rcoså

-1

テ ，å= トナ º とおいて，©(ß)=®2 cosß-®6 sinß60º

つでも見つければ，（出題ミスがなければ）答めることができる。

よって，連立方程式

y
1 P
ß

えのはず」
，というわけです。

ß=0ºとして，	  ®2 cosß-®6 sinß⇩と表せたとする。

©(ß)=®2 cosß-®6 sinß=rcos(ß+å)

 ß=0º，90º のときに成り立っていることが必(答)(方法２)内積の利用©(ß)=®2 cosß-®6 sinß

部分に代入して成り立つような数の組を何か1

 適当な数値を ß に代入することで r と å を求

よって(方法1)加法定理の利用
26

®3
より，
2

(方法１)のように，r と å を用いて，

 この「もしあるならば」の部分については，
大学入試センター側が「ある」といってくれているわけですから，出題ミスでなければ，©(ß)=2®2 cos(ß+60º) となります。

 「センター試験では，マークシートの穴うめ

27

2013

改

訂

改

訂

20121201