モデリング考
伊理 正夫
Ill…lllll…lll………ll…l…l…lllll‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖服l

葉は，時代によってまた国によって，意味が一定して1． はじめにいたわけではない．次第に意味は一般化されてきていこの原稿執筆の依頼を受けて，本学会が創立40周るようであるし，mOdelあるいはmodellingにぴっ年事業の一つとして編集・発行した OR事典2000

たり相当する言葉のないところもある．［】本譜でも一（2001年5月1日，第2版）を眺め直してみた．学会

時 模型 と言おうという軌きもあったようであるが，の総力を挙げて作ったものだけに，この作業に関わらやはり片仮名言葉優勢の流れには抗し切れなかった．

れた編集委員長の放水野幸男元会長，編集幹事（補ロシア語ではmodellingに形としてはぴったり対応佐），用語編，基礎編，事例編，資料編の編集委員，する MO且eJMPOBaHHe

執筆者の方々の気合が港み出ていて，文字通りの 大ulation（日本語ではこれも シミュレーション と作 であるとの感を新たにした．この事典の旧版が片仮名用語がキマリで，もう 模擬実験 などは占▲語

1975年に刊行されたときにも故森［」繁一先生の着想になっている：くれぐれも シュミレーションと指導力に感嘆したものだったが，それから四半世紀うような間違いはしなし、ようにとの先輩からの御注意の間のIT関連技術の目覚しい進歩も取り入れた今回を後輩に伝えるのも筆者の務めか）のような意味に使の新版は素晴らしいという他はない（この間，森村英われることが多いようである．

典先生が主導された 事例編 の追補の事業のこともがどちらかというと英語のsim−といよく考えると，モデリングはもう少し普通の言葉で忘れてはならない）．CD−ROMl枚で軽々と持ち運ある 定式化（formulation）

ぶことができ，検索やジャンプが滑らかに可能なのは，義語である．実際，OR事典2000の中にも単にいく

事典を使う上で大変肋かる…そんなことは内容の本質

つかの数式が書いてあるだけの …モデルには関係ないという固随な人はもう居るまい．

目がたくさんある．

そこで本稿の主題であるモデルあるいはモデリングという単語を含む用語編の目次項目を数えてみると104もあった．基礎編，事例編，資料編にもモデル，モデリングという言葉は目白押しである．OR全体がモデリングの学，モデリングの術ではないかと思えるくらいである．また実際そう言っても大きな誤りではとかなり意味の近い類という項

3．モデルは多様モデルにはいろいろなものがあるので，それを分類するのは不可能であるが，敢えてそれを試みるためにモテリレに付く形容句によって，分類のためのいくつかの視点を挙げてみる．（ モデルの部分は省略）．

a．確率（stochasticあるいはprobabilistic），なかろう．
であるとすれば，モデルについてすべてを論ずるこ決定論的（deterministic）．となど筆者にはとてもできることではないので，本稿b．線形（1inear），非線形（nonlinear）．

では，筆者が日頃から個人的に抱いている モデル

c．連続（continuous），離散（discrete）．

に関するやや斜に構えた感想・意見を述べるだけにさd．静的（static），動的（dynamic）．

せていただきたい．

e．現象的（phenomenal），実体的（noumenal），構造的（structural）．

2．モデリングという言葉

f．規範的（normative），記述的（descriptive）．

米語でmodeling，英語でmodellingというこの言
いりまさお
東京大学名誉教授

2005年4JJ号

g．大域，局所，地域，世界，地球，……
h．エネルギー，環境，汚染，経済，人L」，i．重力（gravity），エントロピー（entropy），© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（3）221

から見ると物理の一種であるということになるらしい

j．固有名詞（人名，地名，等々）が）などには分野ごとに特有の考え方があって，例えば電気工学では「森羅万象みな等価回路で表して回路4．モデルは物の見方的に考える」のが最も分かりやすいとされている．こ

森口先生は，一時，「モデル人間とデータ人間」という対比を好んで用いられていた．ありとあらゆる大れは，何でもかんでも電気回路モデルを使って考えるということになろうか．

量のデータを揃えて，それに基づいて論を立てる人た

モデルは現実の問題の本質をある視点から抽象した

ちを データ人間模型 であるとしても，具体的な形には 類同と呼び，伝統的にはそのような議論のしかたが主流であったことは確かだが，それだけ（analogy）で本当に何かが分かったことになるのであろうかといいろなものがありうるということである．

う疑問を呈された．つまり，「これこれしかじかのデータはこのように見ればこのようなことが分かる．」
いうところが大切なので，その 物の見方をモデル（同型といってもよいか）の範囲でいろ6．モデルの普遍性，不変性，頑健性
ただ一つの特定の対象にしか適用できないようなもという形で積極的に強調した議論をすべきであるとおのはモデルとはいえない．つまり，モデルは普遍性をっしゃっていた．特にORにおいてはそのような モ持っていなければならない．これについてはどなたもデル人間 が増えなければならないとも．

異論はないであろう．

モデルは模型と言われることもあるように，現実そところで，「モデルは不変性を備えていなければなのものではなく，そこに内在する本質（の一部）をいらない」ということについてはそれほど多くの人が注くらか簡単化して取り出したものである．簡単化して意を払っていないのではないかと懸念する．つまり，取り出すことを英語（＜ラテン語）ではabstract

モデルの構成に必要なデータを集めるときには常にい（抽象）という．取り出さなかったものは捨てられる，くらかの悪意性が含まれているものであるが，その悪すなわち捨象される（和英辞典では抽象も捨象もいず意性によって結果が大きく異なるようでは正しいモデれもabstractionとなっていることからも知られるよ

ルとは言えないということである．一番簡単な例を挙

うに，抽象も捨象も同じことなのである）．

げよう．

抽象・捨象はそれに関わる人の主観的な行為である．

ORにもよく現れる重力モデルを例にとってみよう．

したがって，モデル作りをしたりモデルを使って何か人口が∽1，∽2，…，沼〃のⅣ個の都市があり各都市間をするときには，大袈裟に言えばその人の世界観が問の距離が（んであるとする．このとき2都市間の交通われていることになるのではなかろうか．

量れはれ＝C瀞で与えられる笹だしcは定5．モデルと数理と物理と数）というのが重力モデルの基本形である．このモデモデルとは「それに依って考えるもの」であるから別に 数学 を使わなければならないということはな
い．まして 複雑な数式を使わなければならないということなど決してない．しかし，ともするとそういうことになりがちではある．「抽象的に考える」ことと「数学的に考える」こととは確かに 紙一重

では

ルにはオ＝ノのときにあやれをどうするのかという問題もあるが，まずは 分割・併合に関する不変性について考える．このモデルを何かに適用して 結構良く合うというので，さらに良く合うように二つのパラメタα，βを導入して 一般化された重力モデル
れ／＝（−（〝わ）α（〝わ）αを使いたいという誘惑に駆られる（dゎ）βある．せめて「数理的に考える」ことくらいにしておきたい（いやそうすべきなのかもしれない）．
世の中には数学よI）物理の方が好きな人もいる．そのような人たちにとっては「物理的に考える」のも一つの考え方であろう（両方ともきちんと考えるのはかなりしんどいので，筆者にはどちらでも同じようなものであるが）．また，伝統ある工学分野の電気工学やのは自然であろう．しかし，都市という区切りは市町村合併でも分かるようにかなり悪意的なものである．
そこで，その代わりに メッシュを使うほうが良いとも考えられるが，メッシュの場合でもどの大きさのものを選ぶかはかなり勝手であり，最近のようにメッシュの区切り線である緯線・経線もその定義が変わったりする．いま，都市1と都市2をそれぞれ1′，1′′と機械工学（これらも 物理帝国主義者 と呼ばれる人
222（4）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

2′，2′′に二分してみる．当然，人目については∽1：＝あるとは限らないからである．「インフレにすれば所

椚1′＋研1′′，∽2：＝椚2・＋∽2′′，となっているはずである．

得が上がる」など．ばねに加える力とばねの伸びのよ

また簡単のためdl′2・＝dl′2′′＝dl′′2．＝dl，′2．．＝d12としておうに因果とは別に関係のあるものもある．しかし，低く．交通量はか2＝♪1′2・十久・2′′十れ′2′十か′2′′でなければ速の輸送機の主翼面積5，積荷も含めた輸送機の総重ならない．そのためにはα＝1でなければならないこ

量Ⅳ，飛行速度〃の間には，ある簡単化されたモデとは明らかである．すなわち，この場合モデルの分子ルによれば，Cをある比例定数として〃2＝C咽とに関する限り不変性の観点から 一般化いう関係があるという．これを，「翼面積5の飛行機は不可能である．分母の（dゎ）2や（ 九）βは実はもっと悩ましい．

を速度びで飛ばそうと思ったら総重量Ⅳが〃2s／C（dゎ）2の肩の2が 重力モデル の名の由来であろうになるように荷を積めばよい」と読んではいけない．

が，これはむしろ，2次元的に人口が一様に広く分布

ぴ2＝Cl竹Sは「速度が〃だと翼面荷重†けSは〃2／Cしている場合「β＞2だとdゎが小さいときにれが発までしか取れなしJ」とか「翼面積5で総重量Ⅳを支散し」，「β＜2だとdゎ・が大きいときにれが発散す

えるには少なくとも速度び＝珊で飛ばなければる」ので，その中間を取ってβ＝2としたのだとも考ならない」と読むべきものである．

えられる（β＝2だと，（んが小さいときにも大きいとこの種の誤用を防ぐようなモデル記述言語もないわ

きにも発散するけれど，どちらもそんなにひどくはなけではないが，式の書きっばなしではなく日常言語でいので適当にごまかせるということか）．

モデルの使い方を親切に記述するのがよかろう．

もう一つの不変性の観点は，一種の次元解析的なセンスである．例えば，東京都の各区の，年間犯罪発生

8．モデルの妥当性，検証数を線形回帰分析によりいくつかの要因で説明しよう

モデルは所詮主観的なものである，とはいっても，とするとき，区の昼間人目，夜間人目，建物数，総面それは独善的であってよい，あるいは他人に対して説積，等々の要因ではあまりよく説明できなかった．そ得力がなくてもよいということではあるまい．モデル

こで，区民一人当たりの平均収入を説明変数に加えてにはその適用対象と通用の目的とがあるわけであるかみたら，格段によく合うようになった．というようなら，その日的に適ったものでなくてはならない．それことがあったとしよう．「合ったのだから良いではなをモデルの 妥当性（adequacy，Validity）

いか」と喜ぶ人もいるかもしれないが，そうはいかな妥当性を示すことをモデルの 検証（validation）い．ある区を等質に二等分したと想定してみよう．平という．といい，均収入以外の変数はみな半分になるが，平均収入だけ検証の責任は誰にあるのかということを，筆者はは変わらない．こんなモデルはいくら合ったからとい時々考える．誤解を恐れずに言えば，モデルの妥当性ってとても受け入れられるものではない…少なくともの検証の責任はモデルの提案者，使用者にある．「私筆者には．

は今までにない良いモデルを考えついた．多くの人がモデルに含まれる各種のパラメタの中には適当にいこれを使ってその有効性を確認してほしい．」とかい加減な値を与えておけばよいものと，非常に慎重に「先生にこのモデルを使えと言われたので，それを使選ばないと分析結果に大きな影響が出るものとがある．って修士論文を書きました．」とかいうのは，何か変別の言い方をするとパラメタの感度分析が大切である．

ではないであろうか．実際，世の中にはとても検証不このことは事前に理論的に行うのでもよいし，パラメ可能としか思えないモデルも多数ある．その検証方法

タをいろいろと動かして実験的に行うのでもよいが，まで含んだモデルであって初めて完成したモデルといそれがきちんとなされていないと何かが分かったことえるのではないか．新しいモデルを提案するときには，にはならないであろう．

その検証方法まで含めて提案すべきであるし，モデルはその選択と使用法が最も大切なのであって，そこを7．モデルの誤用

しっかり考えなければ修士の学生だか単なるコンピュ言うまでもないことであるが，現象的モデル（実験ータだか分からない．

式や統計的モデルなど；投入産出分析などもこの類）は使い方に注意がいる．いくつかの量の間に定量的な関係があるからといってそれらの量の間に因果関係が2005年4fl号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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9．現実に忠実なモデルとモデルに忠実な現実とどで集中定数系という概念が生まれるとなるべく電磁場I を通しての干渉が少ないような素子，回路を作ろうとの努力が始まる． 二値システム

モデルは簡単なものの方がよいとはいっても，あまモデルの性質を調べているうちに「それに忠実な現実り現実離れしたものでも困る，というときには「モデを作ってしまえ」ということになる，等々．

ルをなるべく現実に近づける」という意図を我々は持という

ただ，このモデルと現実との関係は，そして上に長々と述べてきたことがら全体も，人間が関係してくつ．

しかし，工学や物理の分野では「現実をなるべくモる社会・経済システムについては難しい．

デルに近づける」ということも行われる．電気工学な22ヰ（6）

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