OR 演習例解空港での飛行機発着スケジューリング
一ーその 2 一一

鈴木久敏
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119. 前回の復習

10. 凸関数と FIFOルール

教師:前回の続きを考えてみましょう. JAN航空の問

教師:きて，空港使用料が滞留時間の 2 乗ではなく，題を思い出してくだきい.そして，図 9 のダイヤグラ

3 乗とか 4 乗に比例する場合，あるいは tan(T;/24)

ムを描きましたね.にこで民は飛行機 i の滞留時間)に比例する場合な運航に必要な最小の機数を求める問(1)は， r飛行機をど，空港使用料がもっと複雑な関数で与えられる場合，空港における在庫とみなして，在庫切れが起こらない総費用(空港使用料総額)を最小にする運航計画はどうなると思う?

ようにすれば良い j のでしたね.

空港使用料が滞留時聞の 2 乗に比例するとき，空港

高橋:前回と同じように，数学モデルを作って証明す

使用料総額を最小にする問 (2) は， r 空港に滞留する飛行ればいいんでしょう.たとえば 3 乗の場合， FIFO で管機を FIFO で管理する，すなわち，先に到着した飛行機理したときの滞留時間の 3 乗和.).， 'FO と，から順番に出発させれば良い』という結論でした.

LIFO で管理したときの滞留時間の 3 乗和 SUFO の大小を調べればいいんでしょう.

3: ∞cABave‑

6: ∞aaF⑨av,

av

9: ∞12: ∞,,

15: ∞

e.
.
.
..⑪18: ∞

2
1:∞
24: ∞

[問題 ]JAN 航空会社は，毎日 A ，B, C の 3 空

港を以下に示す時刻表で運航している.
使

出発

出発

到着

到着

番号

空港

時刻j

空港

時刻

①A

9:
00B

12:
00②A

10・ 00

B

1
3:
00③

A

15:
00B

18:
00④A

20:
00C

24:
00⑤A

22:
00C

2:
00⑥

B

4:
00A

7:
00⑦

B

1
1:
00A

14:
00⑧B

15:
00A

18:
00

⑨C

7:
00A

1
1:00⑩C15:00A

19:00(1)この時刻表通りに運航するのに飛行機は何3: ∞機必要か?
図9JAN 航窓のダイヤグラム(2)着陸 1 回当たりの空港使用料が滞留時聞の2 乗に比例するとき，空港使用料の総額を最すずき小にするには，飛行機をどのように運航した

ひきとし

筑波大学大学院経営システム科学
干 112

文京区大塚 3-29-1

1994 年 2 月号

らよいか?

*OR演習部会編 rOR演習問題集 j 日科技連より採録© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(29) 97

教師:そう簡単かな?

今度は関数が複雑だから，(18)

S"=f(T九 )+f(T九)=α{(T/2)+ L1}2 + α{(T/2)- L1}2

FIFO や LIFO が最適かどうかもわかりませんよ!
ここでは，=2α(T/2)2+2 α0 2

もう少し別な角度から考えてみましょう.

ミ三 2α (T /2)
2

もう一度，空港使用料が滞留時聞の 2 乗に比例する場合，すなわち，空港使用料が f(T.)= αn(α は比例定数)で与えられる場合を考えてみましょう.前回の議=S'となり，確実に式 (16) の S' よりも大きくなります.そ論でわかったように，飛行機が 2 機の場合，その滞留の様子を図示したのが，図 10 の下半分です.

時間を Th高橋:本質的には，前回の最後に先生が話した凸 2 次

T2 とすると，(13)

T1+ T2=T ( 一定)

計画と同じことではありませんか?

となり2 機の総滞留時間 T は常に一定です.この条ろがあるんですか?

件(厳密には Th(14)T2 の非負条件も必要)の下で総費用

S=f(T1)+f( 九)=αn+αn

教師:いい質問ですね.図 10 で，下半分の T1 宇古の場合を見てくだきい.総滞留時間 T を 2 機の飛行機で均等に分け合うのを止めると，総費用が T1 = ちの場合よを最小にするには，個々の飛行機の滞留時間を(15)

どこか違うとこT¥=T'2=T/2り増えますね.そうなるのは空港使用料f(Ti ) が 2 次関とするのが最も望ましかったわけです.すなわち，総数のときだけですか?

滞留時間 T を 2 機の飛行機が均等に分け合うのが最適

高橋:よくわかりません.滞留時聞を d だけ増やすとです.このとき，総費用 S' はきの総費用の増加分が， LJ だけ減らすときの総費用の(16)

S'=f(T'l)+f(T'2)=2f(T/2)=2 α(T /2)
2となります.この状況を図 10の上半分に図示しました.
ここで，もし i総滞留時間 T を均等に分け合うのを止めて，T1 を 4 時間だけ増やすと，式 (13) より ，T2 を逆に d だけ減少させて，(17)減少分より大きければいいわけですよね.
教師・それはそのとおりですが，そうなるのは関数形がどんな場合ですか?

空港使用料f( T;)が 3 次関数

や 4 次関数，あるいは tan(T.l 24) の場合を考えてみてください.

T"I=(T/2)+L1

高橋:先生!

Tコ =(T/2)-LJ

わかりました.関数の形が下に丸まっているからですね.

教師:ハイ，そのとおりです.数学では，下に丸まっとしなければなりません.総費用 S" は，ている関数を『凸関数』と言います.
f(Ti ) が凸関数であることの数学的な定義は，
Tl=T2 の場合

T T/2
Ti=T/2んf(Tl)+Àd( 百)孟 f(λ1 T1+ﾀT2)
2(19)

fo
rVÀ1, Vﾀ2 sucht
hat0 孟ん，λz 壬 1 andﾀl+ん =1です . T"I+T九 =T より，式 (18) は，まきし〈式 (19)でT

À1 =À2= 1/ 2, T1= T九五 =TW2時間と置いたものに他ありません.

結論として，皆さんに知ってほしいことは， r 空港使

空港使用料
Tl 宇 T2 の場合

Tt=T/2 ーム
T{=T/2+ ム

用料が滞留時間に関して2 次関数の場合に限らず，もっと一般的に，凸関数ならば，総滞留時間 T を 2 機の飛行機が均等に分け合うのが最適になる』ことです.
別な言い方をすると，到着時刻と出発時刻l がダイヤで決められているので，実際に滞留時聞を完全に均等にT{tTi

分け合うことは不可能なので， r 空港使用料が滞留時間

T

滞留時間IL{I::::I

図 1098 (30)に関して凸関数ならば(均等にもっとも近くなる)，FIFO ルールに従って飛行機の離発着を管理するのが空港使用料の特性最適になる』ことです.

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

もちろん，前にも述べたように，上述の結論は飛行機の離発着に限らず，一般の在庫に対しでも成り立つ
在庫費用性質です.空港に滞留している飛行機も『在庫! .1なんです.

11. コスト構造と在庫政策
教師:きて，ここでちょっと別な質問をしましょう.
中村さん!

あなたは女性なので，よくスーパーで食料品など買い物をするかと思いますが，どうですか?

中村:ハイ.私は大学からの帰りが遅いことが多いので，いつもは母や妹がいきます.でも，夕方に帰宅す

在庫期間るときは買い物してから帰ることがあります.

教師・それじゃ，たまたま今日あなたが卵を買って在庫費用が帰ったところ，家の冷蔵庫の中に，お母きんが 2 日前に買ってきた卵と，妹きんが昨日買ってきた卵が，何個か残っていたとしましょう.今晩，卵料理を作ると凸関数

参

FIFO ルールが最適

凹関数

参LIFO ルールが最適

き，あなたはどの卵から使いますか?

中村:それは，卵が古くなって腐ってしまうともった
図 11いないから，一番古い 2 日前の卵を最初に使います.

コスト構造と最適在庫政策

教師:そうですね.健全な経済観念の持ち主なら，誰をアンバランスにした方が総在庫費用が安くなるわけ

でもそうするでしょう.それはなぜでしょうか?

ですから，在庫を LIFO で管理する政策が最適となりま中村す.これをまとめたのが図 11 です.

r なぜ? J って言われでも...・

教師:冷蔵庫の中の卵も在庫ですね. r一番古い卵からなお余談ですが， f(Ti ) が 1 次関数のときは，凸関数使う』ということは，中村さんは『冷蔵庫の卵を FIFOでもあり，凹関数でもあるわけですから，在庫を FIFOで管理している』ということです.すなわち，中村きで管理しようと， LIFO で管理しようと，もっと極端にんは暗黙のうちに，冷蔵庫の中の卵について凸関数のいえばデタラメに管理しでも，どれでも最適なんです.

在庫費用を意識して，在庫管理していることになりま

なにしろ総在庫期間 2; Ti = T は一定なんですから.

す.実際，もし 10個人りパック C 円 (c>O) で買ってき教師:再び中村さんに聞きますが，中村きんがスーた卵が毎日 1 個ずつ腐っていくとすると，購入後 T 日

ノ fーてゆH のパックを買うとき，今日の日付と昨日の日目には卵の単価が cl (10-T) となって，凸関数になり付のパックがあったら，どちらを買いますか?

ますから，中村さんの行動は合理的なわけです.

中村:もちろん少しでも新鮮な今日の日付のものです.

次に，では在庫費用 f( T.) が凸関数ではなく，逆に凹関数の場合(上に丸まっているとき)は，どんな在庫管理の方針を立てるべきでしょうか?
佐藤君!

教師:ということは，中村きんはスーパーで買い物するとき，LIFO ルールを採用しているということです

ね.これは，中村さんが『暗黙の内に凹関数の在庫費どうなると思う?

用を意識している』といっていいのかもしれませんね佐藤:もしかして，凸関数のとき FIFO が最適だから，凹関数のときは LIFO が最適だったりして・ H ・

教師:いいカンしてますね，佐藤君!

そのとおりな(厳密には 2; Ti = T が成り立たないので，凹関数の場合と類似な議論が成り立つわけではないl.
このように同じ中村さんが，自宅の冷蔵庫の中の卵んだ . f(Ti) が凹関数であることの定義は，式 (19) の逆とスーパーの店頭の卵では，別な在庫費用を想定してで行動している.すなわち，状況や立場によって，在庫Ihf(T1)+ ゐf(T2) 三五 f(À 1 T1 十 À 2 T2)

(20)

for
VÀ1 , Vﾀ2suchthat0 三五ん ，À2 壬 1 andﾀ1

もちろんスーパーの店頭では，仕入れた卵がFIFO で捌けるように，店長がせっせと日付の古い卵パックを+ん =1となることです.したがって，在庫期間(滞留時間)
1994 年 2 月号

に対するコスト構造が違ってきているわけです.

客が取りやすい七の方に積んでいるわけですが(笑© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(31) 99

3: ∞

ABc

6: ∞

9: ∞

12: ∞

15: ∞

18: ∞

21: ∞

24: ∞

3: ∞
図 12、.

'ν・)‑

12.

図 13

ネットワーク

機体の許容な運航(ダイヤグラム上)に飛んで，再ぴ①に戻ったとしよう.これと同じこと

ネットワーク・モデル

教師:再び，話を問(2) の最小費用の運航計画に戻しまが，ネットワークの上ではどうなりますか?

山田君!

山田:ハイ，簡単です.ネットワークの上では，図 14

しょう.じつは，今まで考えてきたモデルと全〈違う，のようにループになります.ダイヤとちょうど同じ順別なモテ事ルを工夫することもできるんです.

序で，①→⑧→⑤→⑮→①の順に頂点を通ります.

図 12 は，全部の便①，②，…・・・，⑩を点で表わしたものです.図 9 のダイヤより，①便は B 空港到着なので，次は B 空港出発の⑥，⑦，⑧便のいずれかに使える.そのことを，図 12 では，点①から点⑥，⑦，⑧へ向かう 3 本の矢印(①→⑥，①→⑦，①→⑧)で表わしている.①便を次に⑥便として使うと，飛行機が B空港に 16時間滞留するので，矢印①→⑥に数値16 2 を付し，そのときの空港使用料を表わす.また，点①から点④へ向かう矢印が描かれていないが，これは(空港が違うので)①便を④便として使えないことを意味している.

図 12 のように，点と数値がついた矢印でできた線図を I ネットワーク j というんだ.専門用語では，ネットワークの点を『頂点 j ，矢印を『枝J ，矢印に付きれた数値を『重み』っていうんだ.
きて，図 9 のダイヤの代わりに，図 12 のネットワー

クを使って，総費用の最小化を考えることにする.

まず，ダイヤの上で飛行機を運航してみる.たとえば，図 13 のように，飛行機が①→⑧→⑤→⑮→①の順

100(32)

図 14

機体の許容な運航(ネットワークよ)© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

教師:その飛行機の空港使用料はどうなりますか?

を満たす枝の集合をループ(専門用語ではサイクル)っ

山田:①→⑧のとき 3 時間滞留で3 2 ，次に⑧→⑤のとていうんだ.ちょっと難しかったかな?

き 4 時間滞留で42だから・ H ・アッ，そうか.ループ上の枝の重みを足せばいいんだ.

まあ，今日のところはそうだと信じてください.ということで，総費用を最小にするために， r各頂点

教師:山田君のいうように

1 機の飛行機の運航は，ごとに入る校と出る校を 1 本ずつ選ぴ，選んだ枝の重ネットワークの上で 1 本のループに対応します.そのみの合計が最小になる』ように，枝の集合を決めるこ

飛行機の空港使用料は，ループを構成している枚の重とにしよう.

みの合計(例では 3 +4 + 13+14 ) に比例します.

佐藤かえって難しくてわかんない.

22

22ということは， r枝の重みの合計が小きくなるようにループを作ればいい j

高僧:先生!ということだね.

でも，それじゃ，まだ全部の便を飛んでいませんよ.⑥や②の便はどうなってしまうんです

教師まあ，そういわずに...・もう少し我慢して.

佐藤君!

各頂点、から出る枝は，飛行機の話に戻すと，何に対応しますか?

佐蔵頂点』が『便』に対応するから，出る枝はか?

教師:さすが，高橋君!

よく気がつきましたね.

仮にダイヤ上で，別な飛行機が⑥→②→⑥と飛んだ

教師:たとえば，図 14 で頂点①から出ている①→⑧の枝は?としよう.これも，ネットワークの上で⑥→②→⑥の佐藤:そうか!

ループになっていますね.

教師:そうですね.図 13 のダイヤを観ると，①便は(飛高橋.先生!

わかりました.ネットワーク上で，全行機の胴体を 2 つに分けられないので) ，次に⑥⑦⑧の部の頂点(便)を何本かのループで覆えばいいですね.

いずれかの便として出発するはずですから，頂点①か到着便①を⑧便で出発させることだ.

教師:ハイ.結局，総費用を最小にする問題が，図 12

ら出る枝は必ず 1 本です.わかりましたか?のネットワーク上で，佐藤:ハイ.逆に，頂点①に入る枝は『出発便①にどの便で到着した機体を使うか j の意味ですね.という(a) 全部の頂点を覆うことは，ダイヤの上では⑥⑦⑧⑨⑩便のどれか 1 つだ(b) 枝の重みの合計が最小となるように，何本かのループを選ぶ問題に置き換え

から，頂点①に入る枝も，頂点⑥⑦⑧⑨⑩からの枝のられたわけです.

これもモデルの一種ですね.前回は『数学モデル』
でしたが，今回のはネットワークを利用しているから，f ネットワーク・モデル』だね.

13. rループ』とは?
教師:きてきて，モデル化しただけではダメだね.そのモデルを有効活用して，本来の問題を解決しなければOR にならない

さっきから「ループ，ループj っていっていたけど，『ループ』って何だろう?と，ループになるんだろう?

どんな性質をもっている

佐藤君，どう思いますか?

⑦

佐藤:グルっとひと回りする『輪っか j のことでしょ⑧フ.

教師:そうなんだけど，r輪っか j って何ですか?

佐藤;元に戻るように矢印を集めたもの.

教師:かなりいい線ですね.

219ζ20 2 1
22 6⑨2 2 2 215 1
6 2
1 22222 23 (2 92(21(2 152 202 1

じつは，次の 2 つの条件(a) 各頂点に入る枝がちょうど 1 本(b) 各頂点から出る枝もちょうど 1 本
1994 年 2 月号

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

図 15行列モデル(33)101図 16

最小費用の割り当て

図 17

どれか 1 本ということですか.よくわかりました!

最小費用の運航計画(ネットワーク上)

ぶj ことだから，行列では『列ごとに 1 つの Cりを選ぶ』
ことに対応します.

14. 行列モデル

教師:高橋君には完全に見抜かれてしまっていますね.

教師:ここまで話を進めてくると，さらに別なモテゅル

そうすると，高橋君!

図 15 の行列で， r行ごとに 1つの要素を選ぶj かつ『列ごとに 1 つの要素を選ぶjを作ることができます.
図 15 のような表，すなわち，r行列 j を作ってみよようにして，なおかつ，選ばれた要素の総和を最小にう.行に到着便，列に出発便を採る.そうすると ， i 行してやれば，

j 列は，高橋: Cijが滞留時間の 2 乗だから，到着便と出発便fi1更で到着した飛行機を j 便として出発させる j ことに対応するのでi 行 j 列の要素 Cij にCi
j . 到着便 i を出発便 j としてどうなりますか?

を，お互いにダブらないように巧〈組み合わせて，総費用を最小化することに対応します.

使うときの滞留時間の 2 乗

教師.他の皆もわかったかな?

を書く.ただし，空港が違って，到着便 i を出発便 j との総費用最小化問題に対してして使えないときは，滞留時聞が無限にかかるものとになっているんだ.

考えて， CzJ= ∞と約束する.
先ほど，図 14 のネットワーク上で， r 各頂点ごとに出図 15 の行列は，問 (2)

1 つの『数学モデルj15. 割当問題

る枝と入る枝がちょうど 1 本』ということを議論した

教師:今，上で話をした『行列モデルj ，すなわち ， n X

けど，それは，図 15 の行列の上では，どんなことに対n の正方行列 C=[Cij] が与えられたとき，応するんだろうか?

高橋:簡単ですね.

高橋君!

どうですか?

r頂点ごとに出る枝が l 本j ということは，飛行機の話に戻して考えれば，r到着便の機(a) 各行からちょうど 1 つ(b) 各列からちょうど 1 つとなるように要素 Cij を選び，その総和を最小にする問

r割当問題 (assignment problem)J体を使って，次に出発可能な便を 1 つ選ぶj ことだか

題は，ら，行列では『行ごとに 1 つの Cij を選ぶ』ことに対応

OR の分野で昔から研究きれている問題なんだ.効率します.のいい解法も知られている.詳しいことは，また，別一方，r頂点ごとに入る校が 1 本j ということは，飛行機では『出発便の機体に使用できる到着便を 1 つ選102(34)と呼ばれ，な機会に話すことにして，この割当問題を数式を用いて表現してみよう.

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

3: ∞

CAB

6:00AJS'￨

9:
Q
Oて

12:00:"

4I

15: ∞

J6li

18 湖、

20 ①ilj ゃ:;

21: ∞

24: ∞

3: ∞
図 18

最小費用の運航計画(ダイヤグラム上)

まず，決定すべきことは f どの要素 Cij を選ぶか j ということだから，決定変数として，(21)0-1 変数(1 要素 Cij を選択するとき
Xij=¥
0 その他を導入する.

このとき，上の割当問題は

ロl1 n(23)subjectto ょEzu=l，最小機数の割り当てする⑧便として使うことに対応します.つづいて，⑧便の続きを先に調べてしまいましょう.図 16 の 8 行目
で C8，5がO 印だから⑧便は次に⑤使に使って，さらにC5，10がO 印だから⑮便に使って， clO，dJíO 印だから①便に使って，これで元に戻りました.結局，①→⑧→⑤→⑩→①となって，これが 1 つのループ分です.

卓会ijXij

(22)

図 19

2 つ目のループは，まだ②便が飛んでいませんので，

(24)
(25)

i=l ， 2 … .nn

L: Xij=l , j=I , 2…, nぉ ε{O，l}，i ，j =1.2. ・ '.nと定式化できます.これも『数学モデル』の 1 つです.

行列の 2 行自に注目しましょう . C2，6がO 印だから②便は次に⑥使に使ってC6，2 が O 印だから直ちに②便に戻って，これが 2 つ目のルーフρ②→⑥→②です.

3 つ目のループは，③便に注目すると，図 16から③→⑦→④→⑨→③となります.

この割当問題の最適解を求めると，図 16の行列でOすべての便について調べ終わったので，これをネッ印を付した筒所がXij=1 ， 何も印がない箇所がXij=O でトワークとダイヤの上に描いてみると，それぞ、れ図 17す.すなわち， 0 印を付した行列の要素 Cij を選ぶのと図 18 になります.これが，総費用が最小となる運航が，割当問題の最適解です.

計画です.ダイヤを観てみるとわかるように，これは総費用を最小にする運航計画

前回 FIFO ルールで求めた運航計画と一致しています.

はどうなりますか?となると，山田君!

そのとき，総費用は，図 16 で O 印の付いたらの合計

山田-ェーと . x18=1 だから，到着便①を出発便⑧に割32+15 2 +17 2 十 7 2 +132+32+6 2 十 4 2 +4 2 +14 2 == 1. 014

り当てて.次に ， x26=1 だから，到着便②を出発便⑥にに比例することになります.

割り当ててと...・

教師:ちゃんとわかっているようですね.もう少し丁寧に説明すると ， Cl ，8がO 印だからぬ 8=1 となり，これ

16. 終わりに教師:どう，みんな，わかったかな?

は図 12 のネットワークて①→⑧の枝を通ることになりこんなふうに，最小費用の運航計画を求める問題は，ます.ダイヤの上では，到着便①を次に B 空港を出発ダイヤグラムの上でも，ネットワークの上でも，行列1994 年 2 月号

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(35)103の形でもとらえることができるんだ. r利用できるモデ
ルは 1 っとは限らない』ことに注意してほしいな.

ORでは，複雑な現象を簡単な数学モデルで表現し，です.よって. ]AN航空の手持ちの機数を n とし，式(26) の両辺を各飛行機について加え合わせると，(27)~ (i 機の飛行時間)+~(i機の滞留時間) =24nモデルの上て参解決策を見つけたり，解決策の妥当性をとなる.左辺の第 1 項は ]AN航空全体の総飛行時間で評価することが多いんです .OR をうまく使いこなせるすから，ダイヤが与えられた時点で決まる定数です.

かどうかは，モデルの善し悪しで決まってしまうんだ.

したがって，機数n を最小にするには，左辺の第 2 項の中村:先生!でも，総費用を最小にするならば. F
IFO

総滞留時聞を最小にすればいいわけです.

ルールでよかったはずですよね.何でわぎわぎ，ネッ

いま，図 15 の行列モテソレで要素 Cij の値(図 12 のネットワーク・モデルや割当問題なんか，難しいモデルをトワークでは枝の重み)を Cij= (滞留時間 )2 ではなく，使う必要があるんですか?

Cij= ( 滞留時間)にすれば，最小機数を決める問題も行教師:すごく的を射た質問だね.確かに，演習課題に列モデルやネットワーク・モデルとして捉えることが出した問題を解くだけならば，高橋君が見つけてくれできます.そう考えて，苦手l 当問題を解いた結果が図 19

た FIFO ルールが最適で，前回説明した簡単な『数学モです.もちろんダイヤの上に表わしてみると

デルj を利用するだけで.

運航計画になっています.

FIFO の最適性が証明できる.しかも，今日，説明したように. rFIFO ルール (LIFO

5 機のこのように，ネットワーク・モテソレや行列モテソレは，ルール)の最適性は，在庫費用が凸関数(凹関数)の問(1)の最小機数問題と問(2)の最小費用問題の両者に，場合まで拡張できる』こともわかった.

同時に適用できる『汎用モデルj なんです.

でも，それが使えるのは，在庫費用が凸関数とか，簡単なモデルはよいモデルです.また，汎用性の高凹関数とか，偶然にうまい性質をもっている場合だけいモデルもいいモデルです.往々にして，この 2 つはですよね.

両立しな.、ことが多い.両者がうまくバランスしたモ

もっと現実に近い状況を考えてみてくだきい.物の値段とか費用というのは，多くの場合もっと複雑で，デルを見つけることが.OR を使う人に要求きれていることなんです.

たとえば郵便料金や鉄道運賃などのように，階段関数になることもありますね.しかも，料金が急に高くなる境目が等間隔とは限らなかったり，上がる料金の幅

本稿で扱った題材は，

日科技連の OR演習部会[1 Jの教材として用いられていたものです.筆者自身は，10年以上にわたり，東工大，埼玉大，東海大，豊橋技も一定でなかったりします.
こんなふうに，在庫費用(空港使用料)がもっと複科大，筑波夜間大学院などで.OR教育を担当するたび雑な場合.FIFOのようなうまいルールが見つかるとはに用いてきた.大勢の学生とのやりとりの中でさまざ限りません.その場合でも，ネットワーク・モデルやまな角度から議論され，今日の形になっている.とに行列モデルは，数値が与えられれば，割当問題の解法

かく，学生たちが「ついついノ、マって徹夜した」とボを利用して最適な在庫計画(運航計画)が求められまヤクほど，学生たちが夢中になって取り組んでくれるす.その意味で，後者のモデルは難しいけど. r汎用性

点で，初期の OR教育の目的は十分達せられている.

があるモデル』ということになります.

参考文献

再度，運航に必要な最小の機数を求める問(1)を考えてみましょう.各飛行機 i は，飛行中か空港に滞留中か[
1J OR演習部会編 iOR演習問題集 J.のいずれかですから[
2J 横山勝義編「輸送・運搬における OR技法J. 培(26)1 日当たり(i 機の飛行時間) +(i機の滞留時間) =24

104(36)

日科技連.

風館.

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ