令和元年度中学生チャレンジテスト
第３学年

数学
注

意

１ 調査問題は，１ ページから １８ ページまであります。先生の合図があるまで，調査問題を開かないでください。
２ 解答はすべて解答用紙④（数学）に記入してください。
えんぴつこ

３ 解答は，ＨＢまたはＢの黒鉛筆（シャープペンシルも可）を使い，濃く，はっきりと書いてください。また，消すときは消しゴムできれいに消してください。
せんたく しらんぬ

４ 解答を選択肢から選ぶ問題は，解答用紙のマーク欄を黒く塗りつぶしてください。
５ 解答を記述する問題は，指示された解答欄に記入してください。
また，解答欄からはみ出さないように書いてください。
６ 解答用紙は，オモテ，ウラがあります。
７ 解答用紙の〔生徒記入欄〕に，組，出席番号を記入し，マーク欄を黒く塗りつぶしてください。
８ 調査時間は４５分です。

下に，生徒アンケートが２問あります。先生の指示に従って，調査開始前に取り組んでください。アンケートの回答は解答用紙のアンケート欄のマーク欄を黒く塗りつぶしてください。
アンケート!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

次のアンケートを読んで，当てはまるものを一つずつ選びなさい。

当てはまる ど ち ら か と ど ち ら か と 当 て は ま らいえば，当て いえば，当て ない
はまる
はまらない

（１） 数学の授業の内容はよく分かる。・・・・・・・・・・・・・・・
・①

②

③

④

（２） 数学の授業で公式やきまりを習・・・・・・・・・・・・・・・
・①

②

③

④

うとき，そのわけを理解するようにしている。

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!問題は，次のページから始まります。

１ 次の問いに答えなさい。
（1） 7 － 6 ×（ － 2 ）を計算しなさい。

あたい（2） x ＝ 2，y ＝ 3 のとき，式 2（ x － 3 y ）－（ x ＋ 5 y ）の値を求めなさい。

中３数－１

（3）（ 12 a 2 － 3 a ）÷ 3 a を計算しなさい。

（4） 等式 x ＋ 2 y ＝ 4 を y について解いた式として正しいものを，次のア～エから1 つ選びなさい。
アy ＝－ウy＝

1x ＋22

1x ＋22イy ＝－エ

y＝

中３数－２

1x ＋42

1x ＋42

２ 次の問いに答えなさい。
あたい（1） x についての方程式 3 x ＋ a － 1 ＝ － x ＋ 3 の解が 4 であるとき，a の値を求めなさい。

!3 x ＋ 4 y ＝ 8（2） 連立方程式"を解きなさい。
#x － 2 y ＝ 6

中３数－３

（3） 次の【問題】について考えます。

【問題】
がし図は，洋菓子店で買い物をしたときのレシートです。
ケーキとシュークリームとプリンを買いましたが，レシートの一部が汚れてしまい，ケーキとシュークリームをそれぞれ何個買ったのか読み取ることができません。
買ったケーキの個数とシュークリームの個図‫ۑۑۑ‬ὒⳫᏊᗑ2019 ᖺ‫ڹڹ‬᭶‫ۍۍ‬᪥ࢣ࣮࢟ࠉ 1 ಶ㸦⛯㎸㸧 378 ࠉࠉࠉಶࢩ࣮ࣗࢡ࣮࣒ࣜ
ࠉ 1 ಶ㸦⛯㎸㸧 162 ࠉࠉࠉಶࣉࣜࣥ
ࠉ 1 ಶ㸦⛯㎸㸧 108 ࠉࠉ8 ಶ

数をそれぞれ求めなさい。
27 ಶ

࠾㈙࠸ୖࡆ⥲ᩘྜィ㸦⛯㎸㸧࠾㡸࠿ࡾ࠾ ࡘ ࡾ5670 ෇5700 ෇30 ෇

この【問題】を解くために，買ったケーキの個数を x 個，シュークリームの個数を y 個として，連立方程式をつくります。
次の②①に あ て は ま る 数 と し て 正 し い も の を，【Ａ】の ア～エ か ら，にあてはまる式として正しいものを，【Ｂ】のア～エからそれぞれ1 つ選びなさい。
!x ＋ y ＝ ①"②
#
【Ａ】
19ウ

27

ア

378 x ＋ 162 y ＝ 5700

イ378 x ＋ 162 y ＝ 5670

ウ

378 x ＋ 162 y ＋ 864 ＝ 5700

エ378 x ＋ 162 y ＋ 864 ＝ 5670

ア8イエ

30

【Ｂ】

中３数－４

３ 次の問いに答えなさい。
（1） 図１の立体 ABC － DEF は三角柱で，側面の四角形はすべて長方形です。三角柱
ABC － DEF において，辺 AB とねじれの位置にある辺はいくつありますか。あとのア～エから 1 つ選びなさい。
図１CABFDEア

1つイ2つウ

中３数－５3つエ4つ（2） 図２は，底面の半径が 3 cm で，高さが 4 cm，

図２すい

母線の長さが 5 cm の円錐の見取図です。次の問いに答えなさい。

①円錐は，ある平面図形を直線のまわりに 15 cm

4 cm3 cm回転させてできる立体とみることができます。
直線 l を回転の軸として 1 回転させたとき，この円錐ができる図形が次のア～エの中にあります。それを 1 つ選びなさい。
アイlウlエll［直線 l は，ア・イでは三角形の 1 辺を，エでは直径をそれぞれふくんでいます］② 次のア～エの中に，図２の円錐の展開図で側面になるおうぎ形があります。
正しいものをア～エから 1 つ選びなさい。
ア

イ
144°

90°

ウ

エ
180°
216°

中３数－６

（3） 図３は， 3 辺の長さが 2 cm， 3 cm， 6 cm の直方体の見取図です。図４はこの直すい方体から，この直方体の 3 つの頂点を通る平面で三角錐を切り取った立体の見取図です。あとの問いに答えなさい。

図３図４
真上6 cm2 cm
3 cm
正面①

図４の立体の投影図が，次のア～エの中にあります。それを 1 つ選びなさい。

立面図

エ

平面図

平面図

平面図

平面図②ウ立面図

イ立面図

立面図

ア

図４の立体の体積として正しいものを，次のア～エから 1 つ選びなさい。
ア12 cm3

イ18 cm3

中３数－７

ウ

24 cm3エ30 cm3

（4） 図５の五角形 ABCDE において，頂点 A，B，C における外角の大きさはそれぞれ 60°，70°，80°であり，頂点 D における内角の大きさは 90°です。このとき，頂点 E における内角の大きさを求めなさい。
図５60°

AEB70°

CD80°（5） 図６の四角形 ABCD は平行四辺形です。四角形 ABCD の 1 つの対角線 AC 上に2 点 A，C と異なる点 E をとり，点 D と点 E を結びます。
CA ＝ CB，∠ ABC ＝ 70°，∠ AED ＝ 90°のとき，∠ CDE（さを求めなさい。

図６ABDE70°

C中３数－８）の大き４ 次の問いに答えなさい。
あたい（1） 比例 y ＝ 3 x において，x の値が 2 から 6 まで増加するときの y の増加量として正しいものを，次のア～エから 1 つ選びなさい。
イ4（2） 図１は，反比例 y ＝axア3の値を求めなさい。

ウ12エ18のグラフで，点 P（ 3，2 ）を通ります。このとき，a

図１y2O

中３数－９P
3x（3） 火をつけると，それぞれ一定の割合で短くなる 2 本のローソク M，N があります。
この 2 本のローソクに同時に火をつけ，x 分後のローソクの長さを y cm として，xと y の関係をグラフに表すと，それぞれ図２の直線 m，n になりました。
3
直線 m の式は y ＝ －x ＋ 21 であることがわかっています。
4
ローソク N は，火をつける前の長さは 14 cm でしたが，火をつけてから 35 分後に燃え尽き，長さが 0 cm になりました。あとの①～③の問いに答えなさい。
図２（cm） ym（ローソク M ）b
14

点 P は直線 m，n の交点
a：直線 m と x 軸の交点の x 座標の値n（ローソク N ）b：直線 m と y 軸の交点の y 座標の値
c：点 P の x 座標の値

PdOcad ：点 P の y 座標の値

x35 （分）ローソク M の火をつける前の長さは何 cm ですか。次のア～エから正しいものを 1 つ選びなさい。

①ア14 cm

イ21 cmウ28 cmエ35 cmローソク N の長さが 8 cm になるのは火をつけてから何分後ですか。次のア～エから正しいものを 1 つ選びなさい。

②

ア15 分後

イ20 分後

ウ25 分後エ28 分後

③ 「ローソク M とローソク N の長さが同じになったのは，同時に火をつけてから何分後か」を求めるための方法を次の【考え方】にまとめました。
【考え方】の中の ア には，図２の a ～ d からあてはまる記号を 1 つ選び，また，イには適切な言葉を書き入れ，【考え方】を完成しなさい。
【考え方】
ローソク M とローソク N の長さが同じになった時間は，図２のの値が表している。
その値を求めるには，アイをつくり，それを解けばよい。

中３数－１０５ 次の問いに答えなさい。
（1） 2 つのさいころ A，B を同時に 1 回投げるとき，A のさいころの出る目の数を a，B のさいころの出る目の数を b とします。
あたい

表１は，a ＋ b の値について表したものの一部です。例えば，表１の右下の 9 は，a が 3，b が 6 のとき，a ＋ b ＝ 9 となることを表しています。
さいころ A，B を同時に投げるとき，a ＋ b の値が 9 以上となる確率を求めなさい。
ただし， 2 つのさいころはともに， 1 から 6 までのどの目の数が出ることも同様に確からしいものとします。

表１b123456123456723456783456789a（2） ある中学校のクラスの生徒 25 人のハンドボール投げの記録を調べました。メモ
は，調べた記録を小さい方から 10 番目まで，順に並べて書いたものです。
また，表２は調べた 25 人の記録を度数分布表に整理したものです。表２の度数分布表をもとに，あとの①～④の問いに答えなさい。

メモ

表２

ハンドボール投げの記録（m）
810811913914915階級（m）
以上

未満

5 ～

10510 ～

15Ｘ

15 ～

20

Ｙ

20 ～

25

525 ～

30

730 ～

352

計

中３数－１１

度数（人）25表２の階級の幅として正しいものを，次のア～エから 1 つ選びなさい。

①

ア

0.5 m

イ1m

ウ5m

エ

10 m

②

表２の，Ｘにあてはまる数を求めなさい。

③

表２において，記録が 30 m 以上 35 m 未満の階級の相対度数を小数第 2 位まで求めなさい。

調べた生徒 25 人の記録から，平均値は 19.6 m であることがわかっています。

④

また，中央値は，表２からその値が入っている階級がわかります。このとき，
さい ひん ちこの平均値と中央値，表２で求められる最頻値の大小関係を正しく表したものを，次のア～エから 1 つ選びなさい。
ア

最頻値＜平均値＜中央値

イ

中央値＜平均値＜最頻値

ウ

平均値＜中央値＜最頻値

エ

平均値＜最頻値＜中央値

中３数－１２

６ りかさんとさとるさんの 2 人は，次の【課題】について話し合って取り組んでいます。

図１のように，同じ長さのマッチ棒を使って，正方形を縦・横につないだ形をつくります。このとき必要なマッチ棒の合計の本数を考えます。
ここでは，縦方向に a 本，横方向に b 本のときのマッチ棒の合計の本数を，＜ a，b ＞で表すこととします。例えば，図２は a ＝ 2，b ＝ 4 のときを示しており，＜ 2，4 ＞ ＝ 22 となります。

図１

a本b本

図２
＜ 2，4 ＞ ＝ 22

このとき，＜ a，b ＞を，a，b の文字を使った式で表しなさい。

中３数－１３次の【会話】は， 2 人が話し合った内容の一部です。
【会話】
りかさん

：図２をみれば，マッチ棒の並び方がどのようになっているかがわかるね。例えば，＜ 2，4 ＞なら縦方向に 2 本，横方向に 4 本だから，縦に並んでいるマッチ棒が 10 本，横に並んでいるマッチ棒が 12 本で合計 22 本となり，＜ 2，4 ＞ ＝ 22 となるわけね。

さとるさん：そうだね。すると，例えば，＜ 3，4 ＞なら，縦に並んでいるマッチ棒と横に並んでいるマッチ棒の本数をたすと，＜ 3，4 ＞ ＝①となるよ。
りかさん：では次に，同じように考えて，＜ a，b ＞について考えようよ。考え方のポイントは，縦に並んでいるマッチ棒と横に並んでいるマッチ棒に分けて考えることね。

さとるさん：そうだね。縦方向の a，横方向の b を使うことで，縦に並んでいるマッチ棒の本数を a，b を使った式で表すことができるよ。
りかさん：同じように，横に並んでいるマッチ棒の本数も a，b を使って式で表すのね。

さとるさん：そして，この 2 つの式をたすといいんだ。
りかさん：できたね。＜ a，b ＞ ＝②となるよ。

次の（1），（2）の問いに答えなさい。
あたい（1）【会話】の中の（2）【会話】の中の①に，あてはまる値を求めなさい。

②にあてはまる文字式を書きなさい。

また，その式をどのように導いたか説明しなさい。ただし説明には，縦に並んでいるマッチ棒と横に並んでいるマッチ棒のそれぞれの本数を a，b を使った式で表し，それを用いて書きなさい。

中３数－１４７ 図のように，手順１，手順２に従って △ ABD と △ EBD，△ BFE と △ DGC をつくります。このとき，△ ABD ≡ △ EBD，△ BFE ≡ △ DGC が成り立ちます。あとの（1），（2）の問いに答えなさい。

手順１∠ ABC ＜ 90°，AB ＜ AD の平行四辺形 ABCD に対角線 BD をひき，頂点 B を中心とした半径 BA の円と，頂点 D を中心とした半径 DA の円の 2 つの交点のう
ち点 A ではない方を点 E とします。つづいて，点 E と点 D，B をそれぞれ直線で結びます。

手順２△ EBD の辺 DE を延長した直線に点 B から垂線をひき，その交点を F，辺 BCを延長した直線に点 D から垂線をひき，その交点を G とします。

図ADB

CGE
F
（1） △ ABD と △ EBD が合同となる根拠が手順１の中に示されています。
△ ABD と △ EBD において，手順１で示された根拠で，「 BD が共通」のほかにどのようなことから，△ ABD と △ EBD が合同であるといえるのですか。次のア～エから正しいものを 1 つ選びなさい。
アBA ＝ BE，DA ＝ DEイBA ＝ BE，∠ ABD ＝ ∠ EBD

ウDA ＝ DE，∠ ADB ＝ ∠ EDBエ∠ ABD ＝ ∠ EBD，∠ ADB ＝ ∠ EDB
中３数－１５（2） △ ABD と △ EBD が合同であることと手順２から，△ BFE ≡ △ DGC を証明しました。
証明の中のの，れ 1 つを選び，また，

アエ，イ，ウには①～⑩の中からそれぞには三角形の合同条件を書き入れて証明を完成しなさい。

証明△ BFE と △ DGC において，BF ⊥ DF，DG ⊥ BG より，∠ BFE ＝ ∠ DGC ＝ 90°･･････①

四角形 ABCD は平行四辺形だから，
AB ＝ DC･･････②BA ＝ BE･･････③BE ＝ DC･･････④△ ABD ≡ △ EBD より，②，③より，四角形 ABCD は平行四辺形だから，∠ DAB ＝ ∠ DCB･･････⑤△ ABD ≡ △ EBD だから，
∠ DAB ＝ ∠ DEB･･････⑥⑤，⑥より，∠ DEB ＝ ∠ DCB･･････⑦

また，∠ BEF ＝ 180°－ ∠ DEB ･･････⑧∠ DCG ＝ 180°－ ∠ DCB ･･････⑨⑦，⑧，⑨より，ア，イ，∠ BEF ＝ ∠ DCG
ウより，

エよって，△ BFE ≡ △ DGC中３数－１６･･････⑩

８ ちはるさんとひとみさんは，駅から歩いてくるあきらさんを迎えに行くため，学校の校門前で集合しました。ちはるさんは徒歩で，ひとみさんは途中の店で買い物をするために自転車で，それぞれ行くことにしました。
2 人同時に学校の校門前を出発したのですが，ちはるさんの方が先にあきらさんと出会いました。 2 人がひとみさんをその場で待っていると，ちょうど 2 分後に，ひとみさんが到着しました。
学校，店，駅は，図１のように一本道に沿ってあり，あきらさんはこの道を駅から学校に向かって歩いています。ただし，ちはるさんの歩く速さとひとみさんの自転車の進む速さはそれぞれ常に一定です。

図１
ひとみさんは２分後に到着
ひとみさん
ちはるさん

あきらさん

学校の校門前店

２人があきらさんと出会った地点

駅

図２は，ちはるさんとひとみさんについて，学校の校門前を出発してから 2 人があきょ りきらさんと出会った地点に着くまでの時間 x（分）と学校の校門前から 2 人が進んだ距離y（m）の関係を表したグラフです。グラフ上の点 C，D は， 2 人がそれぞれあきらさんと出会った時間と距離を示しています。
また，グラフ上の点 A，B の座標はそれぞれ A（ 5，1250 ），B（ 24，1250 ）です。
あとの（1）～（4）の問いに答えなさい。

図２（m）y駅

２人があきらさんと出会った地点

C（ 5，1250 ）A

学校の校門前D（ 24，1250 ）
B

x（分）

O
中３数－１７（1） ひとみさんが買い物をした店は，学校の校門前から何 m の地点にありますか，図２から求めなさい。

（2） ひとみさんが買い物のために店にいた時間は何分間ですか，図２から求めなさい。

（3） ちはるさんの歩く速さが毎分 80 m のとき，ちはるさんが学校の校門前を出発しあたいてからあきらさんと出会う地点に着くまでにかかった時間を t 分とするとき，t の値を求めなさい。

（4） ひとみさんは，あきらさんの歩く速さがもう少し遅ければ， 3 人同時に出会うことができたのではないかと考えました。
3 人が同時に出会うと考えられる地点の，学校の校門前からの距離を示す値を pとするとき，p を解答用紙の図２に示しなさい。ただし，p を示すために使った線は消さないで残しておくこと。

中３数－１８