博士課程学生 (Doctoral Course Student)

コンパクトな部分群を持たないならば，c(G) は里見 貴志 (SATOMI Takashi)

G によらないある定数 C < 1 で上から抑えら(学振 DC1)れることも示した．私は，このような C < 1 の(FMSP コース生)

best possible な定数が c(R) になる，すなわち Gが開かつコンパクトな部分群を持たないならばA. 研究概要

∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥q ≤ c(R)∥ϕ1 ∥p1 ∥ϕ2 ∥p2 が成り立つこと

私は 2 つのテーマについて研究している．

を示した．

1 つ目は Cayley グラフのエクスパンダー性評

さらに，p ≥ 1 と ∥ϕ1 ∥1 ，∥ϕ1 ∥∞ ，∥ϕ2 ∥1 ，∥ϕ2 ∥∞価 に つ い て の 研 究 で あ る ． G を 有 限 群 ，S をを固定したとき，∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥p の取りうる値の上G の部分集合とする．Tao は重み付き Balog-限を与えた．また，G = R のときに ∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥pSzemerédi-Gowers の定理を使って，Cayley グラが上限の値と一致する場合が存在することも証明

フ Cay(G, S) のエクスパンダー性を評価する手法した．

を導入した．重み付き Balog-Szemerédi-Gowersの定理とは，「N は正の整数とし，G 上の正値関I am studying about two themes.

数 f の畳み込み f ∗ f の L2 ノルムが大きいとき，

One is the study of the expanderness of Cayley

suppf が S と大体一致し，|S N |/|S| が 1 に近いgraphs. Let G be a finite group and S a subset

ような S ⊂ G が存在する」という定理である．

of G. Tao introduced a method for studying theTao は「(X, Y, E) が有限二部グラフとし，D をexpanderness of Cayley graph Cay(G, S) withグラフ密度とすると，|A| ≫ D|X|，|B| ≫ D|Y |the weighted Balog-Szemerédi-Gowers theo-となる A ⊂ X ，B ⊂ Y が存在し，任意の a ∈ A，rem. The statement of the weighted Balog-b ∈ B に対し a，b を結ぶ長さ 3 の経路の個数がSzemerédi-Gowers theorem is as follows. “LetO(D5 )|X||Y | 以上になる」という補題を使って

N be a positive integer and f a positive func-

重み付き Balog-Szemerédi-Gowers の定理を証明

tion on G. If the L2 -norm of f ∗ f is large, then

した．私は長さ 3 以上の経路の場合でもこの補題

there exists S ⊂ G such that suppf is almostが成り立つことを示し，さらに X ，Y が有限測度

same as S and |S N |/|S| is close to 1.”空間の場合に一般化した．

Tao proved this theorem by using the follow-

ま た ，私 は 異 な る 議 論 で 重 み 付 き Balog-

ing lemma. “Let (X, Y, E) be a finite bipartite

Szemerédi-Gowers の定理を証明することで，定graph and D its graph density. Then there ex-理の評価を改良した．さらに，G がユニモジュ

ist A ⊂ X and B ⊂ Y such that |A| ≫ D|X|,

ラーな局所コンパクト群の場合に同様の定理が成|B| ≫ D|Y |, and the number of paths of length

り立つことを示した．

3 from a to b is more than O(D5 )|X||Y | for all

2 つ 目 は ，一 般 の 局 所 コ ン パ ク ト 群 に 関 す る

a ∈ A and b ∈ B.” I proved that this lemma

Young の不等式の最良値についての研究である．

holds even when the length of paths is longer

1 + 1/q = 1/p1 + 1/p2 となる p1 , p2 , q ≥ 1 に対than 3, and I extended the lemma in the caseし，∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥q ≤ ∥f ∥p1 ∥ϕ2 ∥p2 という関係が成り

where X and Y are finite measure spaces.

立つ（測度はユニモジュラーな局所コンパクト群

I improved the estimate in the weighted Balog-

G の Haar 測度）．

Szemerédi-Gowers theorem by a diﬀerent argu-

ここで，p1 , p2 > 1 とする．このとき，G が開かment. Moreover, I generalized the theorem inつコンパクトな部分群を持つことが，等号成立す

the case where G is a unimodular locally com-る場合があるための必要十分条件となることがpact group.

Fournier によって示されている．

The other is the study of the best constant of

以降，G が開かつコンパクトな部分群を持たな

the Young’s inequality with respect to general

いとする．任意の ϕ1 ，ϕ2 に対し ∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥q ≤locally compact groups.

c∥ϕ1 ∥p1 ∥ϕ2 ∥p2 をみたすような best possible なIf p1 , p2 , q ≥ 1 satisfies 1 + 1/q = 1/p1 + 1/p2 ,定数 c を c(G) とする．Fournier は G が開かつ1

then we have ∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥q ≤ ∥ϕ1 ∥p1 ∥ϕ2 ∥p2 (the論の関係, 作用素環セミナー, 東京大学数理measure is a Haar measure of G that is unimod-科学研究科, 2019 年 4 月.

4. 群上のたたみ込みに関する Young の不等式

ular locally compact group).
Let p1 , p2 > 1. Then, they are equivalent thatの拡張, RIMS 共同研究「表現論とその周辺

G has an open compact subgroup and that

分野の進展」（研究代表者：大島芳樹先生）,

there is the case when the equality holds. This

京都大学数理解析研究所, 2019 年 7 月.

5. Larsen-Pink-Tao による SLd (k) の Productproposition is proved by Fournier.
From now on, suppose that G has no open com-theorem の紹介, Workshop on “Actions ofpact subgroups. Let c(G) be the best constant

Reductive Groups and Global Analysis”, 東c that holds ∥ϕ1 ∗ϕ2 ∥q ≤ c∥ϕ1 ∥p1 ∥ϕ2 ∥p2 for any

京大学玉原国際セミナーハウス, 2019 年 8 月.

ϕ1 , ϕ2 . Fournier also proved that there exists6. ユニモジュラーな局所コンパクト群上でのたconstant C < 1 (independent of G) such that

たみ込みの Lp 評価と Young の不等式の関c(G) ≤ C holds if G has no open compact sub-係, 2019 年度表現論ワークショップ, 県民ふgroups.

れあい会館（鳥取県立生涯学習センター）,I proved that the best constant of C < 1 is2020 年 1 月.

c(R), in other word, I proved that ∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥q ≤c(R)∥ϕ1 ∥p1 ∥ϕ2 ∥p2 holds for any G that has noopen compact subgroups.
Furthermore, I calculated the upper limit of∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥p when p, ∥ϕ1 ∥1 , ∥ϕ1 ∥∞ , ∥ϕ2 ∥1 , and∥ϕ2 ∥∞ are fixed. I proved that there is the casewhen ∥ϕ1 ∗ ϕ2 ∥p is equal to this upper limit if
G = R.
B. 発表論文
1. T. Satomi：算術的組み合わせ論による等質空間上のたたみ込みのスペクトル評価, 東京
大学大学院数理科学研究科修士論文 (2019).

2. T. Satomi：局所コンパクト群上のたたみ込
みの Lp 収束性と Young の不等式の関係, 京都大学数理解析研究所講究録 2139 (2019)

136–147.
C. 口頭発表
1. Selberg’s expander construction (afterTao) について, Workshop on “Actions ofReductive Groups and Global Analysis”, 東京大学玉原国際セミナーハウス, 2017 年 8 月.

2. (1) Freiman’s product theorem の紹介, (2)Balog-Szemerédi-Gowers の定理の評価の改良と一般の不変測度への拡張, Workshop on“Actions of Reductive Groups and GlobalAnalysis”, 東京大学玉原国際セミナーハウス, 2018 年 8 月.

3. 群上のたたみ込み関数の L2 評価とグラフ理2