多様化時代の数理計画法 第6回

これからの展望石井 博昭………l‖‖‖…………川………‖‖＝‖‖刷‖…ll川Il……………＝州mlI………………………ll州I…l…l……l………‖………ll……………………‖州……‖州……ll……‖‖‖‖‖‖州l‖‖＝‖‖‖‖㈱…………………‖＝…ll…l………

サーチの得意とするところ（であるべきところ？）で

1．はじめにあるので，本当はもっと進んで，多様化に対応して変最近の多様化の時代にどう対処するかというのはまさしくオペレーションズ・リサーチの課題である．
多様化の要因としては不確実性と価値基準の多様化があるが，この2つは密接に関連している．ここでは2章でこれまでのまとめをし，3章でこれからの展開化する，あるいはもっと適切に変化し得るような解を与えるモデルが必要であると思われる．
3．これからの展開
我々はたとえ確定的な事柄でもそれについて何ら情について述べて，そのなかで重要になってくるものと報がないとき，確率的に捉えて判断することが多い．

fuzzy random variableについて説明し，その後このまた，人を選ぶ，特に，嫌な役回りをする人を決める特集の連載を締めく くる．

とき，例えば，あみだくじで選ぶなど確率的に決めることも多い．これは，多様な考えを持つ人がいるとき，2．これまでのまとめ最終的に確率的に決める＝公平に決めると一般に考え山口氏の目標計画法，目標ベクトル法，多目的線形られているからでもある．次に天気予報を考えてみよ

計画法，フレキシブル計画法は価値基準の多様化にどう．一昔前はなかなかあたらなかったのであるが最近う対処するかに対する基礎的知恵を与えるものである．

はかなり的中するようになってきた．データや情報が一方，乾口氏の可能性計画法，私の確率計画法は不確

気象衛星などで瞬時に集められるようになってきたか

実性への対応の仕方を取り扱うものであるが，全体をらである．サイコロの目にしても物理現象として考え通してやはり，鍵となるのは情報であることがわかる

れば，振る角度など膨大な情報とそれらを基に計算をであろう．可能性計画はファジィの側面からのであり，すれば，出る目がわかるかもしれないように思われる．

確率計画法は確率現象としての捉え方であるが，乾口何が確率現象か，あるいはファジィ現象なのかと考氏が見事に示しているように，確率計画法と可能性計えてみることも必要になるように思われる．特に今回画法は数学的な定式化では類似性がある．また，リグの阪神大震災は確率事象だから仕方がないとするのか，レット関数とリコースも類似性があることがわかる．

そうではなくもっと情報がすばやく手に入り，予測が＼ リグレット関数は目標に対するもので制約に対するもできるのなら，あのような大規模な災害は防げたのでのがリコースである．従って，数理計画としてのモデはないかと思うかである．

ルとしては同一に扱える．すなわち，すべてどのモデ

一方，これまで確率現象の実現値は完全に知ること

ルも結局は非線形計画問題に帰着される．しかしながができるとしてきた．また，ファジィ現象では，唆昧ら，そこへの過程は異なっており，それが重要である．

性，漠然性は残るとしてきた．実現値が完全にわかっ

このことは現実への応用を視野に入れるともっと重要てから意思決定していては遅い場合や実現値が不完全となる．さらに，決定的に違うのは意思決定に役立つにしかわからない場合，さらには，我々の測定能力のように多様な解を用意するのが目的である点である．

限界などでどうしても唆昧性が残る場合があると思わ物事を多様な側面からみるのはオペレーションズ・リれる．そのような場合，実現値がファジィ数である確率現象を考えることの意味が出てくる．このような例

いしい ひろあきとしては在庫管理での品切れ費用等を考えることがで

大阪大学大学院工学研究科応用物理学専攻

きる．単位当たりの品切れ費用は厳密には唆昧でファ〒565吹田市山田丘2−1

ジィ数と考えることができる一方で需要の方は確率的

1996年12 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）69丁であるとすることが多いので，品切れ量に単位品切れ∫●−1J●

ヱ。♪（ッ）≦（α＋c）／（α＋∂＋c）≦莞。♪（γ）

費用を掛けた品切れ費用は，実現値がファジィな 確率変数 と考えることができる．このようなファジィを満たす非負整数として求められる．

性とランダム性を合わせ持つ変数をfuzzy random（品切れ費用をファジィ数とするときの最適解）

Variableという．正式な定義等は例えば文献［6］など

単位品切れ費用Cを以下の帰属度関数垢（ズ）：を見て頂くことにしてここでは省略する．

〃石（∬）＝maX（エ（ズー研），0）

このfuzzyrandomvariableの期待値はファジィ数となるので，在庫管理などでの総期待費用はファジィで与えられるL型ファジィ数ごとする．エは型関数と数となり，製品を何個発注するかなどの最適方策はフ呼ばれ，次の条件を満たすとする．

ァジィ数の順序関係に基づいて決めなければならない．

（1）すべてのズ∈斤についてエ（−ズ）＝エ（ズ）が成り立つ．

ファジィ数上の順序関係は半順序となることが多いの（2）エ（ズ）＝1⇔ズ＝0で，最適解ではなく非劣解が存在することになり，山（3）エ（・）は［0，∞）で単調非増加である．

口氏の解説された目標計画とか多目的計画に再び関係（4）ズ。＝inf（ズ＞Ol⊥（ズ）＝0）とすると0＜ズ。＜∞であるする．また，その最適方策自身もこれまでのモデルの（ズ0は上の零点と呼ばれる）．

場合と異なってくる．このことを以下のファジィ品切品切れ費用は当然正と考えられるので，一般性を失れ費用をもつ新聞売り子の衰通方策で説明する（［3］）．

うことなく椚＞0，ズ0＜∽とする．このとき，利得関数

新聞売り子問題は一番簡単な確率的在庫問題で以下の品切れ費用部分は仕入れ量がズであるとき，Jxのような設定となっている．

max（Y−X，0）であるから，fuzzyrandomvariableと［新聞売り子問題］なる．ファジィ数と確率変数の積の形をしているので毎朝新聞を売る少年がいる．新聞の仕入値は1部∂

この形のfuzzyrandomvariableを横型ハイブリッド円で売値はα＋∂円である．すなわち，新聞を1部売数ということにする．もちろん，横型ハイブリッド数るとα円の利益がある．新聞はその日のうちにしか売の期待値はファジィ数であるので，この場合の総期待れないので，売れ残ると1部当たり仕入値の分∂円だ

利得は以下のファジィ数丘（ズ）となる：

け損をする．一方，お客が釆ても新聞が品切れのとき

ズ 点（ズ）＝菩。（（即−∂（ズー州♪（ッ）はC円の 機会損失費用 が生じるとする．これが従来から唆昧で，議論のあるところである．新聞の毎日00の需要yは確率的で，その実現値はその日が終わるま

また，その帰属度関数はでわからないので．hereandnowすなわち，需要がわ

頂（X）（z）＝maX（L（（z−mα′（Ⅹ）−β（x））／α′（Ⅹ）），0）

かる前に期待総利益を最大にするように毎日仕入れ量である．ここで，を決めなければならない．彼は幾ら仕入れたら良いであろうか．

00

α′（ズ）＝一 ∑（ッ一方）♪（γ），
ツ＝ズ＋1

■

ズ．r β（∬）＝α＋（α＋机ヱ。J少（ット∬∑♪（カ）（品切れ費用が確定値とする従来の場合の最適解）

彼が∬だけ新聞を仕入れ，実際の需要がッであった
とき彼の総利得g（∬，γ）は以下のようになる．

＋ ∑（α一言（γ−わ）♪（γ）
ツ＝ズ＋1

γ＝0である．この場合の最適仕入れ量を求めるにはファジィ数の適当な順序関係が必要である．ここではファジィ数上の順序として［2］で考えられたものを用いると砂−∂（ズーγ）（ッ≦豆）g（∬，ツ）（∽＋α＋箱）／（椚＋α十占＋箱）
α芳一−C（ッー∬）（γ≧ズ）＞（∽＋α）／（∽＋α＋∂）

需要y＝ツである確率を♪（ッ）で表すと彼の総期待利に注意すれば，最適仕入れ量ズ′について次の関係を得

得E（ズ）はる．
∞

定理1（［3］）ズ

E（ズ）＝∑g（∬，ツ）♪（ッ）＝∑（即−∂（ズーク））♪（ッ）γ＝0
ツ＝0

確率分布関数をF（ズ）で示す．またF（ズー1）≦（α＋∽）／（α＋占＋あ）

00＋ ∑（α−C（ッー∬））♪（ッ）ツ＝エ＋1を満たす最大のズをズ ，となる．E（ズ）を最大にする最適仕入れ量ズ＊は698（32）F（∬）≧（椚＋α＋ズ0）／（α＋∂＋椚＋ズ0）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●

を一般化したファジィ数の入一順序（［2］）や，ファジィを満たす最小の∬をズ〟で示すと，ズ′はズ′と∬〟の間にある．

■

動的計画法（［1］，［5］）がそのような例である．さらに品切れ費用がファジィでない場合と比較する．センは当然のことながら，最適性の概念や実行可能性の概ター桝が最も可能性が高いことから，Cはファジィ数念についても多様性がでてくる．最適性の概念についでない確定値椚であるとして，従来の場合の最適任入ては従来から多目的計画でいろいろと考えられてはいれ量を求める条件式

るが，ファジィ要素，確率変動要素の存在下ではα一J●−1．方一言♪（γ）≦（α＋c）／（α＋∂＋c）≦ヱ。♪（ッ）。

最適（制約条件が成り立つ可能性がαの下での最適解，あるいは別の観点から考えると最適解である可能性がα）等一般化あるいは別の考え方も必要かと思わに代入すると定理1のズJの条件
ダ（ズー1）≦（α＋研）／（α＋占＋椚）れる．実行可能性についても，ファジィ数理計画・確と同じとなる．従って，このとき，ズ＊＝ズ′となるが，率計画でいろいろ考えられてきているが，さらに上記（研十α＋ズ。）／（∽十α＋∂十方。）＞（椚＋α）／（∽＋α＋∂）よのような多様性に見合った一般化や別の観点が重要でり，ズ＊≦ズ′≦ズ〟となり，唆昧性があるときは幾分多くあると思われる．

仕入れる方がよい可能性があることがわかる．このこ

我々をとりまく実際の問題は本当にこの特集にあるとは唆昧あるいは不確実な状況の下では安全サイドでようなすべての要素を含んでおり，これらの統合され考えるという我々の常識的行動と一致しているかと思たアプローチがますます重要となってくる．我等のわれる．

ORがまさしく本領を発揮する時であり，発揮させる

とにかく，現代のように多様化された時代には意思べきであると強く思う．

決定のためのモデルも現実にあった形で多様化しなければならない．fuzzyrandomvariableはそのような参考文献可能性をもっていて，新聞売り子問題のようにファジィな部分とランダムな部分が混在しているモデルも取［1］Bellman，R．E．，andL．A．Zadeh，り扱える．しかし，ベースとなる理論の方が先行して

ingina fuzzyenvironment，応用についてはあまり研究されていないようでこれか

17（1970）B141−164．

らのオペレーションズ・リサーチの課題である．
実際，これまでは，不確実・不確定性を含む状況では，確率要素を含むモデル，ファジィ要素を含むモデルというように別々に扱われてきた．しかし，現実に［2］Furukawa，NDecisionmak−

Man昭ement Science，

Aparametrictotalorderonfuzzy

numbers and a fuzzy shortest route problem：（砂Jオ椚ねα′わ乃10（1994）367−377．

［3］Ishii，H．

Stochasticinventory problems with

は確率要素・ファジィ要素両方が混ぎっているモデル

fuzzshortagecost・ proceedingsの方が適当な場合も多いように思われる．例えば，従r叫／i、／で〃（、ぐ（川∫／（−（ソ〜借J／（・⊥・lJり（九｝在＆（砂／∫IJJ〝／5／伸一

来の線形計画で右辺の定数が確率変動し，坪数がファPtng，（Ed．K．Sawaki）（1994）93−98．

ジィ要素である場合は，確率線形計画やファジィ線形［4］石井，ソフト最適化（坂和編）第3章「離散システ計画とは異なる，より現実的なファジィ確率線形計画ができあがるが，これまでは多分考えられてこなかっムのソフト最適化」朝倉書店1995．

［5］Iwamoto，S．and Fujita，T．， Stochasticdecision−たと思われる．また，一方で，従来のモデルのより現makingin a fuzzy environment

実的一般化として，不確定要素・不確実要素を取り入（砂g和′わ乃5月g5．ノ卸弼．

れたモテリレも少しずつではあるが考えられている．組合せ最適化にファジィ要素を導入したファジィ組合せ，tO appearinJ．

［6］Kruse，R．andK．D．Meyer：Statistics with侮ue
ddia，D・ReidelPuPlishingCompany（1987）・

最適化モデル（［4］）や，最近注目されているDEAにフ［7］森卸告，確率的DEAモデルについて，1993年度日

ァジィ要素や確率変動要素を考慮したファジィDEA

本オペレーションズ・リサーチ学会秋期研究発表会ア（［8］），確率的DEA（［7］）等がその例である．

ブストラクト集，202−203．

しかし，これら一般化されたモデルの解析・解法に［8］長野他，出力値にファジィ数を用いたDEA，1994

はこれまでにない新しい手法や考え方が必要となるで

年度日本オペレーションズ・リサーチ学会春期研究発あろう．新聞売り子問題で用いたファジィ数上の順序

表会アブストラクト集，281−282．

1996年12月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（33）699