確率モデルとその応用ⅠⅠⅠ
尾崎 俊治
Illt………＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖‖＝‖刷州…l…llll……ll……ll…llll………11…＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖帥Il…ll…日l……ll……‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝………llll…l…日…llll…l…ll……ll…lllll‖‖‖＝冊

3．確率過程が独立ならば，この過程は独立増分（independentin−crements）をもつという．ここで，X（tk）−X（tk＿1）は3。1 ニ項過程増分（increment）とよばれる．

第1回，第2回で確率を定義し，いろいろな分布と任意のfl＜t2＜ …＜￡托および任意の九＞0に対その性質について議論した．今回は時間の変化に従っし，確率変数の組（ズ（fl＋呵，ズ（f2＋呵，…，ズ（fれ＋て確率法則が定まるような現象について述べよう．

九））の同時分布が（∬（fl），ズ（毎），…，ズ（㍍））の同時分

最も簡単な例として，単位時間ごとにコインを投げ布と等しいならば，この過程は定常増分（stationaryて表の出る回数を数える試行を考える。この試行は何increments）をもつという．あるいはこの過程は強定回でも続けることができる．試行の回数を時刻と考え常過程（s七ronglystationaryprocess）とよばれる．

れば，各時刻亡における表の出る回数Ⅳ（f）を確率変独立増分および定常増分をもつ確率過程（ズ（り，f≧数とする確率過程と考えられる．一般に，離散形ある0）は定常独立増分（stationaryindependentincre−

いは連続形時刻葱（≧0）における確率法則が確率変数ments）をもつという．この場合，上述の独立増分のズ（りで表されるとき，確率変数の集まり（ズ（り，吉≧条件と，任意の詰1＜f2および九＞0に村し，増分0）は確率過程（stochasticprocess）とよばれる。例えズ（f2十ん）一方（fl十ん）と∬（f2）−∬（わ）の同時分布がば，ある店に到着する客の数，交通事故の発生件数，等しくなるという条件をつけ加えればよい．

株式市場における株価の変動，ある個体の生存数の変

さて，ある店に到着する客の数，交通事故の発生件

化，騒音レベル，不規則振動の変動などは確率過程の数，計数管に記録される粒子の数，部品の故障数など例である．

はすべて数（整数）を数える確率過程である．このよ

もし時間f（≧0）が可算な集合f＝0，1，2，‥・（あるうな確率過程（N（t），t≧0）を特に計数過程（countingいは単位時間の倍数）ならば，確率過程は離散形時間process）とよぶ。ここで述べる二項過程，ポアソン過確率過程（discrete−timestochasticprocess）という．一程はいずれも計数過程である．

方，時間f（≧0）が連続形ならば，この場合は連続形
時間確率過程（continuous−timestochasticprocess）とⅣ（′りいつ．

X（t）の取る値の集合は状態空間（statespace）とよばれる．状態空間も離散形と連続形に分類できる．ここでは状態空間は離散形のみを取り扱う．
確率過程（ズ（り，f≧0）に共通した確率変数ズ（f）の一般的性質から述べよう．任意のfl＜f2＜ …＜去れに村し，確率変数方（fl）一二r（fo），ズ（f2）−∴Y（ら），・・■，ズ（㍍）一方（亡れ＿1）
おさき しゅんじ 広島大学工学部

図3．1二項過程の標本関数（○：成功，×：失敗）〒739−8527東広島市鏡山ト4−1
前節で述べたコインを投げ続ける確率過程を考え

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よう。この確率過程は牲散形時間確率過程であり，簡となる指数分布の密度になる．さて，ベルヌーイ試行単のために単位時間を乱とする。すなわち少 時間断♭＝＝において初めて挺回の成功が起こるまでの試行回数れ且，2，。一止におけるベルヌーイ試行列を考えるuは負の二項分布（前回の2且4参照）にしたがうから

定義凱乱 雑散形時間確率過程‡Ⅳ（m），開二乱｝2ヮ…）

裾（開）＝（冨二三）距脛）m【成において成功の確率即岬＜p＜胤）のベルヌーイ試行列を考える。Ⅳ（且）＝のとして，時刻陀における成功の事象の回数をⅣ（陀）（確率変数）とすれば，この確辛過程はパラメー

タ厨の二項過程（b鼠mom温a鼠p訂OCeSS）（諾＝勘ゐ＋且フ¶。γ）となる。上記と同様に厨＝A△￡として，・陀→∞とすればとよぶ。

前回の2．3p且で述べたようにベルヌーイ試行は各試（1…豊）（1一夏）…（且一旦崇）（冨二‡）厨彪（虹Ⅷ）閃−た（た一且）！

行は独立で成功の確率厨が一定である。図3．且に二×軒1（且一針ゐÅ△￡

項過程の標本関数を示す。この事実から次のことが言える。

A（封）た￣1e【入￡且。独立増分 ベルヌーイ試行の定義から明らかに二一一一子▲1ヂ（た…孔）！

項過程ほ独立増分をもつ。

2。定常増分 任意の区間［陀1，閃1十和jで成功の事象が起こる確率は区間の長さ閃にのみ依存しy陀且とは独立である。∪となるパラメゝ−一夕Åおよび彪のガンマ分布（前回の2．4。2参照）にしたがう▲〉一九 区間担湖で鋸回成功する確率の極限は犯→（犯のときしたがってダニ項過程は定常独立増分をもつ。開＝1から数えて初めて成功するまでの時間は・・騨研（1−￡）（且一三）…（且一座ま）・）

×（叫一計左となる幾何分布にしたがい，そして，区間［0，閃】でた回成功する確率は→誓わ（彪＝且〉2）・・山ファ乙）となるパラメータÅ藍のポアソン分布にしたがう℡（冨）距厨）m−・ぬとなる二項分布にしたがう。

以上述べたように二項過程は離散形時間上で起こるランダムな現象を記述する確率過程であり少定常独以上述べたように二項過程は定常独立増分をもつので，任意の時刻を時間原点としてもよく，しかもそ立増分をもつむの確率法則は時間差のみに依存し，どの時点をとってそして，初めて成功するまでの回数は幾何分布（そも同じである◎すなわちアニ項過程は離散形時間でラの極限は指数分布），動画臼の成功までの回数は負のンダムに生起する現象（ベルヌーイ試行列）を数学的二項分布（その極限ほガンマ分布）となる。一方，区に定式化した戊のである。

間阿湖で姻戚功する確率は二項分布（その極限はポ二項過程の極限を考えよう。時刻陀を固定して，開△藍＝藍としよう。△藍を単位時間と考えれば，ある連続時間区間阿湖を開等分した二項過程において，アソン分布）にしたがう。
次節で述べるポアソン過程は連続形時間上で趣こるランダムな硯象を記述する確率過程であり，二項過程の極限と考えてもよい。

厨＝Å△羞とする。ここで，Åは単位時間当りの成功の生起する

凱慧 ポアソン過程
この節では離散形時間上の二項過程を連続形時間割合としよう。この過程は定常独立増分をもつことに注意すれば，初めて成功するまで回数の極限は上の対応する確率に置き換えたポアソン過程（Pois−somp訂OCeSS）について議論する。連続形時間上の計数（且叩厨）乃一皿p＝Å△威（且一針且→Åe一Å￡△詰過程‡Ⅳ（￡），￡≧0）を考える。ここで，Ⅳ（藍）ほ時刻￡
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までの事象の数（例えば，客の到着数，ジョブの到着固定した時間fに対して，数など）を表す．

Cく⊃∑漑（f）＝1

まず，次の記号を定義する．

た＝0となるから，島（f）はたに関する確率関数になっている
定義3．2任意の関数J（九）はことに注意しよう．
定義3．3の（ii），（iii），（iv）から＝0

P（Ⅳ（ト＋ん）−Ⅳ（り＝た世（り＝戎）ならば0（ん）（スモール・オー・エイチ）であるという．

定義3．3計数過程（Ⅳ（り，f≧0）は次の条件

1一入ん＋0（ん）（た＝威）

入九＋0（叫（た＝哀＋1）（た＞宜＋1）〈 0（ん）となる・鳥（f＋ん）は時間区間（0，壬】，（い＋珂で独立（i）Ⅳ（0）＝0となるから，昂（f＋九）については（ii）過程は定常独立増分をもつ
昂（f＋ん）＝昂（ま）昂（ん）（iii）P（Ⅳ（九）＝1）＝入ん＋0（九）＝昂（瑚1一入ん」−0（可］（iv）P（Ⅳ（ん）≧2）＝0（九）となり，島（亡＋九）については島（f＋九）＝島−1（相通＋0（呵］を満たすならば，パラメータ入のポアソン過程とよばた＋島（瑚1一入九＋0（呵トト∑軋宣（f）0（ん）

れる．

盲＝2

（た＝1，2，3，…）となる．これらの式の両辺を整理して，九→0とすれ

1■（J）

ば，島（りに関する微分方程式
d昂（f）

df

＝一入昂（りlfJい＝df（た＝1，2，・・・）＝人為−1（f）一入島（れを得る・初期条件昂桝＝P（Ⅳ（0）＝0）＝1および島（0）＝P（Ⅳ（0）＝た）＝0（た‥＝1，2，…）を用いて解けば，0 ′1／2わ

昂（り＝e￣人士，旦（り＝人士e￣入￡

図3．2 ポアソン過程の標本関数
ポアソン過程は図3．2に示すような計数過程である．定常独立増分をもつ過程であるので，時間区間（0，￡］においてた個の事象の起こる確率となる．一般に，

瑚）＝掌e一入土（転0，1，2，…）となる．これはパラメータ人吉のポアソン分布である。
島（りがポアソン分布になることは厳密に証明するた
めには数学的帰納法あるいは母関数を用いなければ島（f）＝P（Ⅳ（り＝たlⅣ（0）＝0）（た＝0，1，2，…）ならない．
ポアソン過程はランダムに起こる現象をモデル化を定義する．この確率を用いれば，任意の時間区間（β，β＋申こおいてた個の事象の起こる確率はP（Ⅳ（5＋り−Ⅳ（β）＝た）＝島（りしたものである．したがって，どの時刻をとっても独立となり（独立増分），時間区間（5，5＋f］での確率法
則は時間差fのみに依存して，起点の時刻βと独立となる（定常増分）．次節ではこのポアソン過程の事象となり，時刻βと独立となる．
1998年1月号が起こるまでの確率法則について議論する．
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43凱認 ポアソン過程の到着時間間隔分布

定理凱且、パラメータÅ＞0のポアソン過程‡Ⅳ（藍），威≧0｝においてゾ到着時間∬ゐ（叙＝軋，2，・…）は独立で同前節において，ポアソン過程び咋咲藍≧呵の確率−〉・一入の平均胤／Åをもった指数分布にしたがう弔

変数ノⅤ（藍）につレ、て議論した∴ この節では，ポアソン過程における事象が趣こる時間間隔に着陸しよう小帝盤過程は到着時開閉隔∬1，∬2プ…ば狐立で同一の…一般分布厨（疫）にしたがう計数過程である。そこでタ変義認8趨 計数過程脚（詰）ラ蕊≧0‡を考えるw∬ユはポアソン過程は次のように定義してもよいn

初めて事象が起こるまでの時間としよう巾叫山般に∴翫は（彪｝且）番田からゐ番田の事象が起こるまでの時間

定義乱5パラメ、叫夕Å＞ののポアソン過程（Ⅳ（￡），丑≧とする∴そのとき，｛∬ぬ，ぬ＝且っ2，勺dP‡は到斎時間0）は到着時間間隔分布が指数分布ダ（￡）＝且叫e一入￡に、 ・・−・、l−・、したがう再生過程である。

から彪番田の事象が起こるまでの時間とすればゐ番目の事象が起こるまでの時間βゐ＝∬1＋濫2＋ぶ彪＝濫1＋葦㌃卜≠＋∬赴（ぬ＝1っ2フ叶・）。Ⅳ山十一首挺について考えよう。∬ゐ（ゐ＝且，2，…）は独立で同一の指数分布にしたがうから，和の分布ぶたは例となる亡，ここでい‰＝Ⅷとする。

2．且4で示したようにガンマ分布にしたがう（2。4．4項参照）。すなわちf〆岬 ぶW i?

Å（Å∬）良【1e一入丑娩黙戎匪、・ −J瑚ゐ≦藍｝＝鷹￡√ざ．‡，（良一且）ぎ二て．となる山

さてp 園乱3に示したように，ぶゐ≦志ということは閣認。認到着時間ぶゐ≦若とⅣ（老）≧ゐの関係

時刻若までにぬ個の事象が起こっていることであるから巨動的≧雄であることと同等である。

図3。3は到着時聞耳1ぅ∬2，…，∬彪と起番目の事象が定理凱慧 パラメータÅ＞ののポアソン分布について，起こるまでの時間を図示したものである止
さてタ ∬1の分布は、 ・・、 ・i脛‡∬且≦密）＝且州㌘‡∬1＞藍｝
すなわちブ︑心・●●−まÅ（Å∬）た∽1e【入謹ニ●−‥e一入￡（彪m胤）軍となる。さらにダ 定常独立増分の事実からとなる。あるいは，
厨そ斉2≦度量gl＝β｝
鞘凝＞￡〉＝㌘‡Ⅳ（藍）＜彪）＝且岬脛‡茸2＞畔翫＝ぷ）

すなわち，、●− ：−・，− ・ −い＝且馴厨‡Ⅳ（蕊）＝0）（定常増分）

・、00＝且】脛‡Ⅳ（患1−β）−Ⅳ（β）＝の）（独立増分）（ゐ仙且）里となる．

二＝∴一−そ1−ナしi

上記の恒等式は部分積分を繰り返し実行することとなり，g2の分布は風と独立でやはり指数分布にしによって解析的に証明することもできる．しかし，ポたがう。当然，∬3，g4，…は独立で，指数分布にしたアソン過程とガンマ分布の関係から直ちに恒等式をが牛得ることができる。

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3．4 二項過程とポアソン過程の対比の下での微分方程式

二項過程はベルヌーイ試行列が続く確率過程であd昂（f）

劇

り，時間区間【0，f】をれ等分した二項過程において，d為（f）

p＝入△f

虎として，m→∞とすれば，対応するポアソン過程が＝一入昂（f）＝人為＿1（り一入鳥（り （た≧1）を得る．したがって，その解は得られることを示した．

（人吉）たe￣人毛島（土）＝二項過程とポアソン過程について，上記で得た結果を対比しながら，まとめてみよう．初めて成功する（事象が起こる）までの試行回数（時刻）はそれぞれ幾何分布および指数分布にしたがう．もちろん，各到着となるパラメータ人吉のポアソン分布になる．

3．5 ポアソン過程の応用

時間列（ズた，た＝1，2，…）は独立でそれぞれパラメー

3．5．1 部品補給問題

タpの幾何分布およびパラメータ入の指数分布にしたある部品は決められた時間r毎にのみ補給するもがう．のとする．その部品は故障毎に直ちに新しい部品と取次に，初めてた回成功する（事象が起こる）までのり換えるとする．部品の故障はパラメータ入の指数分

試行回数（時刻）はそれぞれ負の二項分布およびガン布にしたがって故障し，待機中は故障しないと仮定す

マ分布にしたがう．一方，試行回数几の区間（時間区る．補給部品が不足する確率をp（例えば1％，2％）間［0，f］）でた回成功する（事象の起こる）確率はそれぞれ二項分布およびポアソン分布にしたがう．
次に，二項過程において試行回数m ＝1，2，…に以内にするには何個の部品を準備しなければならな

いか．

部品は指数分布にしたがって故障するから，時間区おいてた回成功する確率島（m）（m＝1，2，…；た＝間［0，r］で研国政障する確率はパラメータ入rのポア1，2，…，m）を考えよう．初期条件をソン分布にしたがう．したがって，た個以上の部品が［0，ア］で故障する確率がpより小さくなるため

昂（0）＝1， ろ（0）＝0と促定する（ポアソン過程においてま ＝ 0のときⅣ（0）＝0に対応する）．

皇苧e一入T≦p
壱＝たあるいは昂（れ＋1）＝（1−p）昂（m）
た−1

昂（れ＋1）＝p島＿1（れ）十（1−p）島（陀）（た≧1）⊥∑号ew入T≧トpi＝0となるから，差分方程式を満たす自然数を求めればよい．

△昂（陀）＝昂（㍑＋1）−fも（乃）＝−pfも（和）数値例として部品の平均故障時間100時間（入 ＝0．01／時間），ア＝300時間とする．p＝0．02（2％）な△f㌔（m）＝f㌔（れ＋1）−鳥（柁）らばた＝8個，p＝0．01（1％）ならばた＝9個となる．

不足の確率2％以下にするためにはた＝8個，さらに＝p島−1（れ）一p島（m）（た≧1）

安全を見込んで，不足の確率1％以下にするためにはを得る．この差分方程式を解けば，た＝9個補給すればよい．
為（れ）＝主；．．j〆（1−p）m￣ゐ

3．5．2 最適化問題となり，二項分布にしたがう．

さて，上記の差分方程式において，p＝入△fとして，ある部品はパラメータ入のポアソン過程にしたがって到着する．予め決められた時間ア毎にまとめて到着

陀→∞（△￡→0）とすれば，した部品を一括発送（処理）するとする．もし，時間
昂（0）＝1， 島（0）＝0
1998年1月号（た≧1）

区間【0，二町の途中で一括発送（処理）するとしたら，部© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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品の舵平均待ち時間を最小にする途中の発送時間を次へとサービスをするとは限らない）．財／財型待ち

決定しよう

行列モデルはマルコフ過程の中でよく知られた出生時矧矧間軌耶でいくつかの部品が到着したときの総平均得ち時間を求めよう∴簡単のために，時間区間帆耶てm個の部品が到着したとするp当然その確率死滅過程によって定式化される℡特に，極限確率は簡単な解析解となる。

さてタ朗里封ふ）侍ち行列は到着はポアソン過程

は贋（藍）＝随一加となる鶴そのとき，部品の到着時刻にしたがって到着し，そのサービス時間は一般分布を∬匝＜修）とすればタ その確率分は領「畑加となり，踪（窓）（恵≧の）にしたがうとする。〟／α／∞の∞はサー残りの時間（詰一山∬）では部品が到着しないゎしたがって，ビス窓mは無限大であることを表すhすなわち∴到着した客は直ちに山般分布α（￡）にしたがってサ泄ビス舶祢翫≦守睡（丑）＝乳｝

を受けるとする∴現実に服このような待ち行列は存在

適厨｛∬1≦∬，∬且十∬2＞老）厨‡Ⅳ（￡）＝且‡●

しないが，寵話蘭線の近似モデルと考えてもよい。
さて，一昭￠プ／00待ち行列を考えよう。乱4．2で示した−

ように，暗闇区間往M侶ぞ和人の客が到着したとすれÅプ（・−1−・八∫ばタ それぞれの客の到着ほ抑湖上の山梯分布にしたf」盲：がっている順序統計量になる申そこで，〔の，藍〕でサービとなるから，世湖上の一様分布にしたがうⅥ この事実スの終了していない確率はを一般化すれば，陀個の部品が到着したとすれば，㍑個それぞれが掛湖上の一様分布からの順序統計量になることが知られている

厨＝威悲訂乱【仙鞘紅・堵＝繍M（藍一榊となる闊 したがって，時刻盈で犯人のうちた人がサー

この事実を用いると，時間区間【0，戎］で到着する平ビス中の（サーー・ビスが終了していない）確率ほ

均部品数はÅ意であり，それぞれの平均待ち時間は老／2が（且仙卵）m−Å‥である。したがってタ時間区間［￠，蕊］の総平均待ち時（≡）

間ほとなる〃 時刻￡までに客の到着する確率はポアソン過程にしたがうから，
明暗刻￡で軋人がサーービス中‡となるぷ

本題に戻って，時間区間［0，ア］の途中の時刻￡で発送（処理）するとすれば平 総平均待ち時間は∽鉦冊）れ−ゐ′ ・孤＝成蘭−＋・・；〜．

‥
二三（榊乱フ2，Dqq）

壁票ヱe−p入￡となるから，詰＝鮮／2がこの総平均待ち時間を最小にする。すなわち，時間区間帆耶の半分の所で発送（処理）すればよい。となり，ポアソン分布にしたがう。
特に9月才／財／∞待ち行列はα（f）＝1−e叫〃￡（詰≧0）と仮定したときであるから，

凱58認 甜／α／∞得ち行列

厨＝膝闇＝岩（且−e一〃￡待ち行列理論は0偲の中でもよく知られた理論であ）となるから，パラメh夕

りy多くの解析結果が知られている。待ち行列理論で教科書に記載されているほとんどのモデルは財／財型待ち行列モデルである。ここで，財／財の最初の財は待ち行列の客がポアソン過程にしたがって到着することを表し，叫財の彼の財はそのサービス時間が指数・∴ ・ ・・・J
≠Jのポアソン分布となる。
紙面の都合で，参考文献は次回へ回す。

分布にしたがうことを表している（サービスは客がいるときのみであるからタポアソン過程のように次から亀院© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ企リサ…チ