令和元年度中学生チャレンジテスト
第２学年

数学
注

意

１ 調査問題は，１ ページから １８ ページまであります。先生の合図があるまで，調査問題を開かないでください。
２ 解答はすべて解答用紙④（数学）に記入してください。
えんぴつこ

３ 解答は，ＨＢまたはＢの黒鉛筆（シャープペンシルも可）を使い，濃く，はっきりと書いてください。また，消すときは消しゴムできれいに消してください。
せんたく しらんぬ

４ 解答を選択肢から選ぶ問題は，解答用紙のマーク欄を黒く塗りつぶしてください。
５ 解答を記述する問題は，指示された解答欄に記入してください。
また，解答欄からはみ出さないように書いてください。
６ 解答用紙は，オモテ，ウラがあります。
７ 解答用紙の〔生徒記入欄〕に，組，出席番号を記入し，マーク欄を黒く塗りつぶしてください。
８ 調査時間は４５分です。

問題は，次のページから始まります。

１ 次の問いに答えなさい。
（ x － 2 y ）を計算しなさい。
（１）（ 2 x ＋ 3 y ）－ 2（２） 12 a 2 b ÷ 3 a を計算しなさい。

中２数－１

（３） 等式 2 y － x ＝ 1 を y について解いた等式として正しいものを，次のア～エから 1 つ選びなさい。
アイウエx ＋12－x ＋1y＝
2x＋1y＝2
1y ＝x ＋2y＝あたい（４） x ＝ － 3，y ＝ 2 のとき，－ x 2 ＋ y の式の値を求めなさい。

中２数－２２ 次の問いに答えなさい。
（１） 二元一次方程式 x ＋ y ＝ 4 の解について，次のア～エから正しいものを 1 つ選びなさい。

アx ＋ y ＝ 4 の解はない。

イx ＝ 2，y ＝ 2 だけが，x ＋ y ＝ 4 の解である。

ウx ＋ y ＝ 4 を成り立たせる整数 x，y の値の組だけが，x ＋ y ＝ 4 の解である。

エx ＋ y ＝ 4 を成り立たせる x，y の値の組のすべてが，x ＋ y ＝ 4 の解である。

あたい!2 x － 3 y ＝ 11（２） 連立方程式"を解きなさい。
#y ＝ x － 4

中２数－３

か だん

なえ（３） 環境係で校庭の花壇にビオラとパンジーの花の苗を植えることになりました。
環境係のさくらさんが，苗の値段を調べるためにホームセンターに出かけると，ビオラとパンジーの花の苗はそれぞれポットと呼ばれる容器に入れられ，ポット 1ぜいこみ

個単位，それぞれ税込の値段で売られていました。
環境係としては，ビオラとパンジーを合わせて 70 個のポットを 4000 円ちょうど
こうにゅうで購入したいと希望していました。
そこで，さくらさんは，ビオラのポットを x 個，パンジーのポットを y 個購入するとして，購入したいポットの個数とポット 1 個あたりの値段，希望する購入金額の数量をもとに，次のような連立方程式をつくって解いたところ，希望通りのビオラとパンジーのポットの個数を購入できることがわかりました。
! x ＋ y ＝ 70"
#50 x ＋ 60 y ＝ 4000
ポット

この連立方程式について，次の①，②の問いに答えなさい。
次のア～エの中に，パンジーのポット 1 個あたりの値段があります。正しい①ものをア～エから 1 つ選びなさい。

②

ア40 円

イ50 円

ウ60 円

エ70 円

次のア～エの中に，さくらさんがつくった連立方程式を解いて求めたビオラとパンジーのポットの個数の組み合わせがあります。正しいものをア～エから 1つ選びなさい。
ア

ビオラのポット 10 個，パンジーのポット 60 個

イビオラのポット 20 個，パンジーのポット 50 個

ウビオラのポット 30 個，パンジーのポット 40 個

エビオラのポット 50 個，パンジーのポット 60 個
中２数－４

３ 次の問いに答えなさい。
（１） 図１で，直線 l ，m は平行です。このとき，∠ x の大きさを求めなさい。
図１

l35°

80°
mx（２） 3 本の直線 l ，m，n に2本の直線 p，q が交わっている図２において，平行な2 直線の組をあとのア～エから 1 つ選びなさい。
図２
lm

n68°

115°
p68°

112°

q

アl とmイm とnウ

l とnエ

p とq

中２数－５

（３） 図３の五角形 ABCDP の頂点 P における外角は 55°です。図４の四角形 ABCPは，五角形 ABCDP の頂点 P を頂点 D 上まで動かした図形です。
あとの①，②の問いに答えなさい。

図３

図４

ABABP55°

CDC（D）
P①

五角形 ABCDP の頂点 P における内角の大きさを求めなさい。

②

四角形 ABCP の外角の和と五角形 ABCDP の外角の和を比べるとどうなりますか。次のア～オから正しいものを 1 つ選びなさい。
四角形 ABCP の外角の和の方が五角形 ABCDP の外角の和より 55°小アさい。
四角形 ABCP の外角の和の方が五角形 ABCDP の外角の和より 90°小イ

さい。
四角形 ABCP の外角の和の方が五角形 ABCDP の外角の和より 180°小ウ

さい。
エ

四角形 ABCP の外角の和と五角形 ABCDP の外角の和は等しい。

オ

四角形 ABCP の外角の和と五角形 ABCDP の外角の和は，問題の条件だけでは比べられない。

中２数－６

（４） 図５の △ OAB は ∠ AOB ＝ 120°，OA ＝ 2 cm，OB ＝ 3 cm の三角形です。
△ OCD は，点 O を回転の中心にして，点 B，O，C が一直 線 上 に な る よ う に△ OAB を時計回りに回転移動させた三角形です。
図５のように，線分 AB と線分 OD の交点を点 E，線分 OA と線分 CD の交点を点 F とするとき，あとのア～エから正しいものを 1 つ選びなさい。
図５COBFAEDア△ OCF ≡ △ OBEイ△ OEB ≡ △ OFDウ△ OCD ≡ △ OEBエ△ OAE ≡ △ OBE（５） 図６のように，線分 AB と線分 CD がそれぞれの中点 O で交わっているとき，次のことがらが成り立ちます。
「AO ＝ BO，CO ＝ DO ならば ∠ OAC ＝ ∠ OBD である。」
図６ADOC
B
上のことがら，「AO ＝ BO，CO ＝ DO ならば ∠ OAC ＝ ∠ OBD である。
」の中で，仮定にあたる部分をすべて書きなさい。

中２数－７

（６）「三角形の外角は，それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい。」ことを図７を用いて次のように証明しました。

あ，いに，あとのア～オから当てはまるものをそれぞれ入れて証明を完成しなさい。

図７AEaBbcxyCD

証明△ ABC の辺 BC を延長した直線上の点を D とします。
また，点 C を通り辺 BA に平行な直線 CE をひきます。
さっかく

このとき，平行線の錯角は等しいので，平行線の同位角は等しいので，∠

∠x ＝∠
い＝∠b

あ……①……②①，②から∠x ＋∠y ＝∠a ＋∠bよって，三角形の外角は，それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい。

アaイbウcエxオy

中２数－８

４ 次の問いに答えなさい。
（１） 図１の直線 l は一次関数のグラフです。
かたむ

直線 l が点 P（ 0 ，4 ），点 Q（ 4 ，2 ）を通るとき，この一次関数のグラフの傾きを，あとのア～オから 1 つ選びなさい。
図１yl（ 0 ，4 ）P（ 4 ，2 ）
QxO

ア4イ2ウ

12エ－12オ－2あたい（２） 表は，ある一次関数について，x の値とそれに対応する y の値を表しています。
表x…

－3－2－10123…

y…

－3－113579…

次のア～エの中に，表の x と y の関係を表す式があります。正しいものをア～エから 1 つ選びなさい。
アy ＝ 2x ＋ 3イ

y ＝ 3x ＋ 2ウ

中２数－９y ＝ 2xエy ＝ 5x ＋ 3

（３） 次のア～エの中に，一次関数 y ＝ － 3 x ＋ 4 のグラフがあります。正しいものをア～エから 1 つ選びなさい。
アイyy5－55O5x－5O－5x－5ウエyy5－555O5x－5－5O5－5

中２数－１０x（４） 図２の直線 l は，一次関数 y ＝

1x ＋ 2 のグラフです。
2図２yl4－4O4x－4x の変域が 2 ≦ x ≦ 6 のとき，y の変域はどのようになりますか。次のそれぞれのに当てはまる数を求めなさい。
≦y ≦あたい（５） 一次関数 y ＝ 4 x － 3 において，x の値が 1 だけ増加したとき，y の増加量を求めなさい。

中２数－１１

（６） 図３のように， 2 つの直線 l ，m が点 P で交わっています。
かたむ

じく

直線 l の式は y ＝ 2 x － 4，直線 m の傾きは負です。直線 l と x 軸，y 軸との交点を，それぞれ A，B とし，直線 m と x 軸，y 軸との交点を，それぞれ C，D とします。
点 P の x 座標が 4，△ PAC の面積と△ OAB の面積の比が 5：1 であるとき，直線 m の式を求めなさい。
図３ymlDPOCAB

中２数－１２x

５ ゆきさんととおるさんは，連続する 5 つの整数の和がどんな数になるかを表をつくって調べています。

表
連続する 5 つの整数の組み合わせ

連続する 5 つの整数の和

3，4，5，6，7

3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7 ＝ 25

6，7，8，9，106 ＋ 7 ＋ 8 ＋ 9 ＋ 10 ＝ 40

8，9，10，11，128 ＋ 9 ＋ 10 ＋ 11 ＋ 12 ＝ 50

12，13，14，15，16 12 ＋ 13 ＋ 14 ＋ 15 ＋ 16 ＝ 70

ゆきさんは，表から，次のことを予想しました。

予想
連続する 5 つの整数の和は 5 の倍数になる

この予想がいつでも成り立つことは，次のように説明できます。

説明
一番小さい整数を n とすると，連続する 5 つの整数はn，n ＋ 1，①，②，n ＋（ n ＋ 1 ）＋（①）＋（③と表される。

それらの和は②）＋（③）＝ 5 n ＋ 10＝5（n ＋2）
n ＋ 2 は整数だから，連続する 5 つの整数の和は 5 の倍数である。

次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） 説明の中の①，②，③中２数－１３に当てはまる式を答えなさい。

（２） とおるさんは表と説明から，次のことに気がつきました。あと の ア～オ か ら④に当てはまるものを 1 つ選びなさい。

説明から，連続する 5 つの整数の和は 5 の倍数だから，連続する 5 つの整数の和を 5 でわった数は，表でみると連続する 5 つの整数のうち，ア最も小さい数

イ

2 番目に小さい数

ウ

中央の数

エ

2 番目に大きい数

オ

最も大きい数④になる。

（３） 連続する 5 つの整数の和が 100 であるとき，連続する 5 つの整数のうち，最も大きい整数を次のア～エから 1 つ選びなさい。
ア19

イ20

ウ21

エ

22

中２数－１４

６ 図１の よ う に，△ ABC を も と に，あ と の 手 順 1 ～ 4 に よ っ て △ ADP と△ AEP を作図しました。（１），（２）の問いに答えなさい。
図１ADEBCP

手順 1 ：頂点 A を中心として，辺 AB，辺 AC の両方に交わる円をかき，その円と辺 AB，辺 AC との交点をそれぞれ点 D，点 E とする。
手順 2 ：点 D，点 E をそれぞれ中心として，互いに交わるように等しい半径の円をかき，その交点の 1 つを点 P とする。
手順 3 ：頂点 A と点 P を通る直線をひく。
手順 4 ：点 D と点 P，点 E と点 P を結ぶ。

中２数－１５

（１） 手順 1 ～ 4 で作図された △ ADP と △ AEP が合同であることを次のように証明しました。仮定や証明のを，

エア，イ，ウには当てはまる等式には当てはまる合同条件をそれぞれ書き入れ，仮定と証明を完成しなさい。

仮定
手順 1 によってア

手順 2 によって

イ証明△ ADP と △ AEP において仮定から，共通な辺だから，

ア……①

イ……②

ウ……③①，②，③より，

エ△ ADP ≡ △ AEP

よって（２） △ ADP ≡ △ AEP から，△ ABC がどんな三角形でも，手順 1 ～ 3 で作図された直線 AP について，次のことがらが成り立ちます。
こん きょあ◯い◯には，ことがらが成り立つ根拠となる式をあとのⅠ群のア～ウから，には，直線 AP を表している記述をあとのⅡ群のア～エから，それぞれ正しいものを 1 つ選びなさい。

△ ADP ≡ △ AEP からが成り立つのであ◯

直線 AP はⅠ群

ア

∠ ADP ＝ ∠ AEPイウい◯

である。

ア

頂点 A を通り直線 BC に垂直な直線∠ PAD ＝ ∠ PAEイ

頂点 A と辺 BC の中点を通る直線∠ APD ＝ ∠ APEウ

直線 BC に平行な直線エ∠ BAC の二等分線

Ⅱ群

中２数－１６

７ 図１のように，BC ＝ 50 cm，CE ＝ 30 cm の長方形を底面とし，AB ＝ 40 cm の直方体の水そうが水平に置かれています。水そうの中には，水そうを区切るための長方形の し き り が あ り，側 面 や 底 面 に 垂 直 に 固 定 さ れ て い ま す。し き り の 辺 の う ち，GH ＝ 30 cm であることはわかっています。
水の入っていないこの水そうに，給水口から一定の割合で水を入れます。
水面の高さは，辺 AB 上の目盛り①，辺 DC 上の目盛り②に水面がふれているところでそれぞれ測るものとし，水を入れ始めてから x 分後の水面の高さを y cm とします。
給水口から水を入れると，水は図１の矢印の方向から見てしきりの左側に入り始めました。図２は，水を入れ始めてから x 分後の水面の高さ y cm を目盛り①で測り，そのあたい値が 40 cm になるまでの x と y の関係を表したグラフです。
水そうとしきりの厚さは考えないものとして，あとの問いに答えなさい。

図１

図２（cm）y

給水口40AHDEF40 cm

30 cm

30 cm

目盛り①BGC20

目盛り②50 cm

O

610（１） しきりの辺 FG の長さを求めなさい。

（２） 給水口から，毎分何 cm3 の割合で水を入れたか求めなさい。

中２数－１７20x（分）（３） 側面としきりとの間の距離 BG の長さを求めなさい。

（４） 次の説明は，図２において「水を入れ始めて 6 分後から 10 分後までは，y の値は一定になっている。」ことを，「水そうの中のようす」をもとに説明したものです。
説明の中のに，当てはまる「水そうの中のようす」を表す言葉を書き入れ，説明を完成しなさい。

説明
給水口から一定の割合で，水そうに水を入れているが，水を入れ始めて 6 分後から 10 分後までは，。

よって，目盛り①で測った水面の高さは変化しない。
したがって，y の値は一定となっている。

（５） 水を入れ始めてから，x 分後の水面の高さ y cm を目盛り②で測 り，そ の 値 が４０cm になるまでの x と y の関係を表したグラフを，解答用紙の図３に書きなさい。
（図３は図２のグラフをで表しています。）

図３（cm）y4020O610

中２数－１８20x（分）