待ち行列教育のための公式の新しい図式表現の提案
中西昌武，木村敦……lll……………………………………………………………………………………………llll………‖‖‖‖‖‖‖‖‖…………………………………………………………………………………ll……l……州…l………………llll………………

1．はじめに

待ち行列系

母集団

待ち行列問題は、コンピュータのオンライン端末

窓口
サービス

到着分布：待ち行列数・駅の改札口数・港の桟橋数・流通ターミナル数

サービス終了の検討などに広く応用されており、情報技術がどの＞くゝく1 ▲ように経営に役立てられているかを示す格好の材料となる。ところが待ち行列モデルそのものの数学的図−1待ち行列のイメ】ジなわかりにくさが初学者の学習の妨げとなっている。
本稿は、初学者の待ち行列理解を助けるための手段としての新しい図化技法を提案するものである。

直感的に理解しやすいものではない。ここが最初の関門である。結論として得られるM／M／1型の公式は次のようなものである。

2．待ち行列の公式
待ち行列は、母集団、到着分布、窓口数、サービ（i）平均待ち時間Wq（M／M／1）＝Ts…・（1）ス時間分布、待ち行列の（待合室の）容量、サービス順序、によって条件づけられる。入力源数を無限（ii）平均系内時間W（M／M／1）＝Ts…・（2）

大とする母集団、ランダムな到着分布、指数分布のサービス時間分布、待ち行列の容量制限なし、先着順サービス。以上の条件を与えると、待ち行列は比較的モデルが簡単になる。そこでこのような単純なモデル（M／M／1型）から待ち行列の説明に入るのが（h）平脚数Lq（M／M／D＝…・（3）（岬均系内数L（M′M′1）＝…・伍）

しかしこの公式もまた初学者にとっては直感的に一般的である（図1）。

理解しにくいようである。例えばなぜW（M／M／1）

平均到着率 入 は平均到着間隔時間Taの逆数、平均サービス率直ま平均サービス時間Ts の逆数で与はWq（M／M／1）をpで割った式となるのかが、よく理解できない。このように式の意味が十分に理解でえられる。多くの教科書はこの関係を説明した後、きないので、式の形の類似性から、公式の暗記まち到着分布とサービス時間分布の関係を表すトラがいを起こしたりする。こういった問題が起きていフィック強度u＝Ts／Taおよび窓口利用率p＝u／cのるのである。

説明に入る。ここでcは窓口の数である。とくに単一窓口の場合にはp＝Ts／Taである。

3．直感的に理解しにくい公式の形

ここから待ち行列の公式に到達するには、到着分布およびサービス時間分布の統計理論的な説明を通らなければならない。しかしその分布はかならずしも直感的な理解をさまたげている原因は、どうやら公式の形そのものにあるようである。
運動量から運動エネルギーヘ、といったような微積分の関係によって得られる物理量の場合は、人間

なかにしまさたけ 名古屋経済大学 経済学部の空間知覚の助けもあって、公式は比較的理解しやきむらあつし NTTコミュニケーションウェア㈱すい。公式にさまざまな値を代入することによってシステム開発企画部

得られる空間知覚のひろがりが対象の理解をより具体的で手応えのあるものとさせてくれる。

1998年12 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（45）687

より議論開始）で提案したものである。KMKとい結果の時間軸う図法名は3人のハンドル名のイニシャルをとったものである。

牽Ⅶq（M／G／且）

軋．締愚行剤の公式の閉式表現

ここではM／M／1型やM／り／1型を包含するモデルであるM／G／1型待ち行列（ランダムな到着分布、一般分布のサ｝ビス時間、窓口数1）の公式に図式表現の辛がかりを求めることにする。

サ｝ビス時間の変動係数（分散／平均値2）をCとすると、M／G／且型の平均待ち時間Ⅶ喝（M／G／且）は以下のようになる。
W射M／G／且）＝Ts20m／（Ta虚Ts） …（5）
ここでは m＝（且＋C2）／2であり、このりは補正係にシ∴・三こ−ミ：：、キミム ・−・・−■ ミこ＼、．∴・●ニヨ数と呼ばれる。上の式は、以下のように変形することができる。

Ⅶq（M／G／且） （甘a叩Ts）＝（Ts。り）。Ts o…（6）また、この式の両辺を甘a2で割ると、待ち行列の長さ（待ち数）に関する次の式が得られる。
−・、 い・・−）．ニ●二・ ・′−さ（6）（7）式をもとに、同じ面積を持つ2つの長方形のV9＝Rg

幾何学的関係を用いた待ち時間◎待ち数に関する2（同じ面積）つの公式を図で（図2￠3）表すことができる。この2つの図は互いに表裏一体の関係にある。

ちなみに∴］M／M／軋塾（指数分布）、M／D／1型（一定分布）、M／監阪／1型（アーランk相分布）の利用率

p＝1Pの軸分布では補正係数Dが簡単になるので、図中のサービスの長方形や利用率の長方形が描きやすくなる。

せ・㌣：＝1−、・−ミエ＼：・− ・．．ト‡土 −●・ヾ‥ でくJ＿三三ニニこ：モ・．．、′二・ 二．さ■・
ところが待ち行列の場合は、変化の様子が人間の． j ‡；≠．・：書こ∴さ二希薄盲ご ●こ∴I一二；・りこ 去1き三類推と異なるために、そのような空間知覚のひろがり

ここでは、もっとも図式表現が簡単になるM／M／を芋にしにくい。それが理解の妨げになっているよ1型を取り上げて、その使い方を説明する。M／M／

うなのである。

1型では、mの係数が消えて左側の四角形が「正方形」

確かに公式は利用率pを用いることで簡単に表現できるようになった。しかし、公式の単純化は、必ずしも初学者に対し、待ち行列の理解の助けとなるものではないように思われる。

はじめに＜条件の時間軸＞を横軸に、＜結果の時間軸＞を縦軸に取る。

次に、2つの四角形を用意し、図2と同じく「条このような反省に立ち、筆者は次のような待ち行列の公式の新たな図式表現（KMK図法）の導入を提案する。この図法は筆者および上野健一郎（日本オラクル（樺））の3人が、NⅥⅧY−SemJe『MC−14で展開した一連の議論（且995年12月の発言番号♯3541
隠忍恩（46）となり初学者が覚えやすい図となる（図4）。

件の時間軸」上に並べる。
左側：サ｝ビスの正方形（面積Ⅴ）
平均サービス時間Tsの正方形である〔

右側：待ちの長方形（面積R）（平均到着間隔時間Ta一平均サービス時間Ts）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーーーションズ0

リサ」チまた、このpを用いて（8）式を整理すると、平均待ち時間の公式（i）までたどり着けるので、初学者の公式暗記の苦痛を除去することが期待できる。なお初学者に図を描かせる場合は、サービスの「正方形」から描かせると間違いが少ない。
5．2KMK図法（待ち時間）によるM／M／1型
待ち行列の性質の把握
ここで、Tsを変えることによりどのように平均待ち時間が変わるかを、図の変化を通してシミュレートしてみよう。

窓口の処理能力を落とし平均サービス時間Tsを平均到着間隔時間Taに近づけると、次第に行列が混んでくる。その結果Ⅴ＝Rの面積保存の法則により、長方形は縦に長くなり、平均待ち時間Wq（MノMノ1）が長くなる。

図−4待ち時間（M／M／l型）のKMK図

最終的に、TsがTaに重なるとき、つまりp＝1のを底辺、平均待ち時間Wq（M／M／1）を高さとき、長方形は縦につぶれ平均待ち時間は無限大ととする長方形である。

なる。これは待ち行列がバースト（待ち行列系のパ平均サービス時間 Ts は自分が設定できる条件でンク！）を起こしたことを意味する。その逆にTaがある。縦軸の平均サービス時間はM／M／1型待ち行十分に大きいか、Tsを十分小さくすれば、長方形は列におけるその反映である。平均到着間隔時間 Ta

横長になり平均待ち時間の小さい余裕のある待ち行

しま、あらかじめ予測しておくべき条件である。平均列とすることができる。

つぎに平均サービス時間Ts・平均到着間隔時間

待ち時間Wq（M／M／1）は以上の結果である。

Ta・平均待ち時間Wq（M／M／1）の比について考え

ここで、サービスの正方形の右に並べる待ちの長方形の面積を、常にサービスの正方形と同じになるる。面積保存の法則から、平均サービス時間Ts、平ようにすれば、（6）式の関係により、平均待ち時間

均到着間隔時間Ta、平均待ち時間Wq（M／M／1）のWq（M／M／1）は常に待ちの長方形の高さとして求め3つの時間条件のうち2つの比が同じなら残る1つられるようになる。サービスの正方形と待ちの長方の時間条件の比も同じ、つまり図形が相似形の状態

形のこのような面積関係の性質を「KMK図法の面で拡大縮小することが導かれる。平均サービス時間

積保存の法則」と呼ぶことにする。ここでは「法則」がN倍になり平均到着間隔時間がN倍になると、平概念を、初学者の学習を容易にさせるための方便と均待ち時間もN倍になる。このような性質を「相似して用いている。の法則」と呼ぶことにする。

Ⅴ＝R （M／M／1型の面積保存の法則）

Ⅴ＝Ts2，R＝Wq（M／M／1）・（Ta−Ts）

この図を覚えると、初学者は、この図から、Wq（M／M／1）＝

Ts2
Ta−Tsにたどり着くことができる。さらに、利用率p（または窓口数1におけるトラフィック強度u）が、条件

筆者の経験では、待ち行列の知識のない初学者に…．（8）同じ開いをすると「平均待ち時間は変わらない」と答えるものが多いが、図の練習を通じて相似の法則を覚えさせるとこうした間違いが少なくなる。
またF＝1／pが整数である必要はないが、M／M／1の時間軸上におけるTaとTsの相対的な位置関係を型においてFが整数の時は平均待ち時間が平均サー示す指標であることを理解させることもできる。

ビス時間の整数（F−1）分の1となる。この関係を法1998年12月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（47）689

則として覚えさせると、Wq（MノM／1）、Ta、甘s 同

平均待ち時間と平均待ち数が表裏一体の関係にあ士の相対的な大きさがイメ｝ジしやすくなり、初学ることは、図4◎5の双対関係から容易に理解する者の理解の助けとなる。

ことができる。

図5は、平均待ち数Lq（M／M／りが利用率pによって一意に定まることを如実に表している。利用率pは（M／M／軋型の整数倍の法則）且よりも大きくならない。初学者は、利用率pが1に『が整数であるとき、− −近づくときに平均待ち数mq（M／M／りがどのように− − −増大し、待ち行列系がバーストしてゆくかを直感的−に理解することができる。

．、 ・ 宝ミニ ∴i：・．：さ二三ご ■．∴−∴■・二ご望：ごニー、こ．、＼・；、∴・：き一室：、串草やl時尚‡■∴さトt、：ご！ざ！こ餞；吏（組乳）の平均待ち数の公式をそのまま利用すると、平

平均系内時間は、平均待ち時間と平均サービス時均待ち数L覗（M／M／りのKMK図を作ることができ間Tsの和である。M／M／1型の場合、図6のようにるが、ここでは前節の平均待ち時間 Ⅶ喝（M／M／且）

サービスの正方形とちょうど同じ高さまで待ちの長のKMK図から時間のバラメータを消して待ち数の方形を持ち上げたKMK図として表すことができる。

公式のKMK図にたどり着く方法を説明する。

公式（鑑）は、この関係を針で整理してしまったために、図4の条件の時間軸及び結果の時間軸をそれぞれかえって分かりにくい式となっている。ここではpをTaで割り¶ Pを用いて（S）式を整理し、リトルの公式用いずに平均系内時間を表現することにする。

m喝（M／M川匝Ⅶ棚瑚／M／且）／甘a を適用すると、初学者は図6の作図方法を覚えるだけで、平均到M／M／1型待ち行列における待ち数に関する面積保

着間隔時間Taと平均サービス時間Ts、もしくは、存を表す以下の式が得られる。

利用率pと平均サ｝ビス時間Tsから、待ち行列系内に滞在する時間W（M／M／且）を求めることができる。

二・．∴・二ニー了′‥‥；ニ

初学者に2つの図のこのような変換関係を覚えさせると、初学者は、平均待ち時間の図から出発して待ち数の図とこの式を経由して、容易に平均待ち数の公式（五泉且）にたどり着けるようになる。

（9）式の関係を、図4と同じように図示すると図5のようになる。

行列伸びるへ｝縮むⅤ冒＝＝隠℡（面積保存）

TsTa

余裕←→混む
利用率
P

P＝1 の軸低←→高図−6系内時間（M／M／1型）のKMK図

利用率

5．5KMK図と待ち行列のグラフとの関係
図−5待ち数（M／M／1型）のKMK図69⑳（48）待ち行列でよく使われる平均待ち時間や平均待ち© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ

時間軸

C個の窓口がすべてふさがっている確率をここで数のグラフとKMK図との関係について簡単に触れておく。KMK図において待ち数の長方形は利用率は「ビジー確率」と呼び、b。で表すことにする。ビの変化に対し面積保存の法則に従って変化する。すジー確率は、窓口に一人もいない確率をp。とするとると利用率と平均待ち数および平均系内数の関係をき、以下の式で求められる。

表すグラフは、図8のように、平均待ち数および平…．（10）均系内数をそれぞれ表す待ち数の長方形の左上端点が描く軌跡として理解することができる（ただし図8は、縦軸の縮尺を変えたため、左側にある利用率cC

bc＝の正方形がつぶれて見えている）。

PC●po‥‥（11）またこの図の縦軸のみをTa倍すると、利用率と平均待ち時間および平均系内時間の関係を表すグラフ

M／M／c型における平均待ち時間、平均系内時間、平均待ち数、平均系内数は以下の公式で表される。

を描くことができる。

（Ⅴ）平均待ち時間Ts

Wq（M／M／c）＝bc・…．（12）C（トP）（yi）平均系内時間

Ts

W（M／M／c）＝bc・＋Ts …．（13）C（1−P）（Ⅴ址）平均待ち数

IJq（M／M／c）＝bc‥∴′（14）付iii）平均系内数

L（M／M／c）＝bcf・u…．（15）

ここでビジー確率の性質は以下の通りである。
P→0のときb。→OP→1のときb。→1
C→大のときb。→小0 0．10．2 0．3 0．40．5 0．6 0．7 0．8 0．91．0
以上をもとに、M／M／c型における平均待ち時間利用率pに関する面積保存の公式を図式表現する。（12）式は、

図−7利用率と待ち数・系内数の関係（M／M／1型）

KMK図は、図法による待ち行列理解のアプローチであるといえる。公式を覚えるのが苦手な初学者
でも、さほど苦痛なくこの図を作成することができ以下のように変形できる。
Wq（M／M／c）・（Ta・C−Ts）＝（Ta・bc）・Ts． （16）
ここでは右辺の（Ta・bc）・Tsが保存対象面積となる。

この関係を図示すると、図8のようになるる。最初にKMK図を書かせてしまえば、初学者は（平均サービス時間×平均到着間隔時間）の2つの四角形の幾何学的関係を用いて容易に待ち行「サービスの長方形」と、（平均到着間隔時間×窓口列の公式（i）〜（iv）までたどり着くことができる。

数c一平均サービス時間）を底辺とする「待ちの長方形」を「条件の時間軸」上に並べる。

6．KMK図法（M／M／c型）
6．1M／M／c型（待ち時間）のKMK図法
次に、M／M／c型（複数窓口：窓口数c）における面積保存の法則を考える。M／M／c型はM／M／1型の応用型として考察可能である。ただしM／M／c型の場合、複数窓口による偶然誤差の相殺効果を考慮しなければならない。
1998年12 月号

ただしM／M／c型における面積保存の対象はサービスの長方形ではなく、利用者が到着したときに窓口が全部ふさがっている確率（ビジー確率）b。だけサービスの長方形よりも背が低い長方形（ここではビジー長方形と呼ぷ）となる。

待ちの長方形の面積Rを、常にビジー長方形の面積Vbと同じにするとき、待ちの長方形の高さは、© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（49）691

するか、または甘sを十分小さくすれば、待ちの長方形が横長になり平均待ち時間の小さい余裕ある待ち行列となる。この動き方は、M／M／1型と同じである。

なお図8の縦横の時間軸をTaで割ると、M／M／1型のときと同様にM／M／c型の平均待ち数および平均系内数の公式（Ⅴ組）（Ⅴ旺i）の図式表現が行える。

岱町望醐♂MダG型好こお厨ずる『相似の法則』

M／M／c型においても相似の法則が成立することを確認する。Ⅷa，TsをそれぞれN僻しても、利用率炉 は不変である。従って軋もまた不変である。その裾果、ビジー長方形の保存面積（TaQb。）けTsがN2僻、また待ちの長方形の底辺Taqc閥TsがN倍となる
ことから、面積保存の法則によってWq（MノM／c）はN倍となる。よって、MノM／c型においても「相似の法則」は成立する。ただし「整数倍の法則」はM／

図−8待ち時間（M／M／c型）のKMK図

M／c型では成立しない。

平均待ち時間Wq（M／M／c）を示す値となる。

M／M／且型との違いは、「サービスの正方形」を6伊慧初学瀞への説明すこおすするピが血確率b。の故障臆∴洲凋竃

「ビジ｝長方形」に置き換えた点と、「平均到着間隔時間」を「平均到着間隔時間×窓口数c」に置き換えた点の2点である。

また、M／M／c型における待ちの長方形の底辺には、Ta仙TsではなくてTa■C劇Tsを用いる。この図初学者への説明におけるM／M／c型におけるビジー
確率魁。の扱いだが、魁。は幾何学的に表現できない値のため、KMK図法では利用率に応じてサービスの長方形を扁平化する値としてわ。を処理している。もし払。について詳朝な説明をしようとすれば初学者がを覚えると、初学者はこの図から、苦手とする確率論的な説明に入らざるを得なくなる。
∴、・・・− ご、‥‥㌧−・エ・・．・‥二Ta。C隅Ts。，（，．（17）を経由して、利用率 炉におけるM／M／c型の待ち時

これについては、6。1で述べた、炉→0のときわ。→0、またp→且のときb。→且となる性質だけでもKMK図（M／M／c型）を用いた簡略なシミュレー

間および系内時間の公式（Ⅴ）むi）にたどり着くことがションは可能なので、KMK図を動かす練習でM／できる。

M／c型を直感的に理解させてからわ。の数学的構造

ここで、Tsを変えることにより待ち時間がどのよの説明に入ったほうが、初学者の抵抗感が少ないかうに変化するかを、図の変化を通してシミュレートも知れない。ただし複数窓口による偶然誤差の相殺してみる。

効果をどのように初学者に分かりやすく説明するか

M／M／c型の場合はビジ←長方形の変化の仕方にについては別途検討が必要である。

注目する。Ts が小さいときは、ビジー確率 が小さいのでビジ｝長方形の形は、サービスの長方形に比べ扁平した形となる。TsがTa中Cに近づき利用率が−ア．まとめ

先にも述べたように、利用率pによる待ち行列の公且に近づくと、ビジー確率もまた1に近づき、ビジー式は、いずれも式の意味が初学者に分かりにくいも長方形はサービスの長方形と同じ形に近づく。のとなっている。また（i）〜（掠）のM／M／1型の公式とサ｝ビス時間Tsが長くなるとともに、Vb＝Rの法則に従って、待ちの長方形は縦に長くなり平均待ち時間炉が長くなる。TsがTa由仁 に重なるとき、（Ⅴ）〜（Ⅴ皇且宣）のM／M／c型の公式を見比べてみても、相互の構造的な対応関係がわかりにくい。
このような状態のまま初学者を放置すると、初学待ちの長方形が縦につぶれ（まさにパンク旦）平均者軋 学習の拒絶か、公式の丸暗記のいずれかを選待ち時間が無限大となる。このとき利用率は1となぶようになり、待ち行列の持つ構造的な面白さを知る。その逆に、甘品が十分に大きいれ cを十分多くることなく待ち行列嫌いとなってしまうであろう。

69望（50）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ山ションズ。

リサーチ

KMK図法は、幾何学的なイメージ出発点とするので、図が描ければ初学者は公式を覚えていなくても待ち行列の特徴を理解することができる。また、公式だけ見ても判然としなかった「待ち時間と待ち数の表裏一体関係」も、この図を用いて分かりやすく説明できるようになる。統計理論による説明は、KMK図法によって待ち行列のイメー

基礎コース統計学
A5・264頁・1700円

田中勝人著

基礎課程微分積分Ⅰ，ⅠⅠ
西山 享著Ⅰ：208頁・1380円／ⅠⅠ：136頁・1280円

ジが掴めるようになった段階であらためて行えばよい。

参考文献

毎月20日発売／952円［1］森村英典。大前義次，『応用待ち行列理論』，日1月号・特集

多彩な光科技連，1975年．

光子と光波

英英

J

非古典的な光
光と量子Zeno効果
レーザー冷却と原子光学近接場（ニアフィールド）ナノ光学
高強度レーザーと天体プラズマ
目に見える光の世界
光情報化社会徹

光ソリトン

一久雄弘聡明嗣晃彦［3］佐伯膵，『考えることの教育』，国土社，1983年．

光喜正隆

一基礎理論から光通信，マルチメディアまで−

田本野我田部田谷上霜山北久河高横長池臣］高橋幸雄，「やさしい待ち行列（1）−（亜」『オペレーションズ・ リサーチ』，1995年11月−1996年1月．

●臨時別冊

現代数学のあゆみ

B5・144頁・1762円

杉浦光夫・足立恒雄共編

偶数月18日発売／905円
1月号・特集分子・量子・光・バイオ・コンピュータ
ーノイマン型コンピュータを超えて−

光ニューロコンピューティング
非同期ディジタルコンピュータ

朗明貴俊崇 智MCPプロジェクトについて

野山森川谷
西陶横石南

量子コンピュータ／量子計算

サイエンス社
http：／／www，Saiensu．co．jp ＊価格は税抜き。

1998年12月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（51）693

正〒151一刀051東京都渋谷区千駄ヶ谷1王卜25

TEL（03）5474−8500 FAX（03）5474−8900