l…………lll川Illl川‖l州＝ll川‖……………………‖lllll＝‖‖川Ill…i…ll州Ill川‖川＝‖‖州Illl…llll川Il川Illl州州‖‖川Illl州l刷l州‖川‖llllllllll川＝lll州Illlllllllllll川＝＝＝…………＝lll111＝仙サンプルパス最適化の確率的離散事象システムへの適用
石塚 陽，山下 英明
Il川Ill川Illl‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖川‖l州‖川‖‖ll…＝‖‖‖‖‖川‖川‖ll………＝ll川l……………l川Il………l…llllll‖‖川Ill川l川‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖川‖川‖lllll

理計画法を通用できる，というメリットがあります．

1．はじめにサンプルパス最適化に関する理論的解析および応用

確率的な離散事象システムに含まれる設計パラメーについては文献［3〜5］を，これ以外のシミュレーショ

タを，そのシステムの性能評佃尺度を最適にするようンに基づく確率システムの最適化に関しては本特集のに決める問題を考えます．

他の記事や，文献［2，6］などを参照してください．

この種の最適化を簸しくする一因に，システムの評

2章でサンプルパス最適化の大枠の定式化を述べた価尺度が設計パラメータの陽な関数として与えられず，後，3章で性能評価尺度の解析値があらかじめわかる

数値的にさえもその値を求めることが困難な場合が多ような簡単なシステムの例に対してサンプルパス最適いことがあげられます．例えば，有限バッファを有す化法を適用して，たしかに其の最適解に近い解が求まる待ち行列ネットワークで表現されるようなシステムることを確認します．4章では収束性の理論をごく簡の場合，サービス時間が指数分布などの相型分布に従単に紹介します．5章では，やや実際的な応用として，うのであれば，平衡状態方程式を解いて定常状態確率直列型生産ラインシステムにおいてスループットを最を求めることによって，スループット，平均滞在時間，大にする平均加工時間配分を求める問題を考えます．

平均系内人数などの評価指数を得ることができます．
しかし，この場合システムが中規模であってもその状態数が膨大となり，実際に平衡状態方程式を解くことは現実的ではありません．

2．定式化ん（β），Ⅳ＝1，2，…をβをパラメータとする確率空間（β，君P（・；の）上の確率変数とし，あるサンプル伽

そこで，このようなシステムの性能評価およびその∈ム＝こ対するこれ最適化においては，（a）性能評価尺度を近似する関数のくことにします．例えば，待ち行列ネットワークシス利用，あるいは（b）シミュレーションに基づく方法，なテムの場合，βは各サーバのサービス時間分布を決めどが用いられます．本稿では，後者のシミュレーショるパラメータやバッファ容量，んはⅣ人目の客の退ンに基づく最適化，特にシミュレーションに用いられ去時刻までのシステムのスループットなどと考えられるサンプル（乱数列）を固定し，そのもとで得られるます。ここでの目的は，ある任意のサンプル伽∈β

性能評価尺度を最適にするパラメータを決定するサンに対する評価尺度ダ（例えばシステムのスループッ

プルパス最適化法とその簡単な数値実験の結果を紹介

ト）の値します．要するに，サンプルパス最適化法は「性能評
ダ（β）＝1imん（㈲；β） ∧ト→00

価尺度の値をシミュレーションで求めながらそれを最を最大にするパラメータβを求めることです．パラ

適にするパラメータを決める」というごく素朴な方法

メータβの制約集合をSで表すと，この間題は以下なのですが，あるクラスのシステムでは，シミュレーのような最適化問題になります．

ションの過程が比較的単純な漸化式で表現されるため，性能評価尺度（の近似値）が設計パラメータの関数としてある程度陽に表現できて，その最適化に既存の数（P）（（1）5

一般にF（β）の厳密な値を求めることは困難ですが，

いしづか よう 上智大学理工学部

サンプルパス最適化では，この関数を固定されたサン〒102−8554東京都千代田区紀尾井町7−1

プルのもとでのシミュレーションによって近似するこやました ひであき 東北大学大学院経済学研究科とを考えます．すなわち，〒980−8576仙台市青葉区川内
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（31）195

てみましょう。3．1節の例は単調なシステムの例で，君v（β）＝ん（必；∂）3。2節の例はやや複雑なシステムの例になっています。とすれば，
厨「（拶）＝1im君v（拶）forailβ∈S（2）∧J→C83。簡単な例

なので，最適化問題（P）は十分大きいⅣに対して3．12ステ叫ジ直列型待ち行列

max君Ⅴ（β）（P〃）（（3）su軋to汐∈5で近似できるだろう，というのがサンプルパス最適化の考え方です。つまり，十分大きなⅣに対してl壬り題（P〃）の最適解が問題（P）の近似的な最適解となることを期待するわけです◎ 実際，4章で述べるように，

例えば君vがダに一様収束し，Sがコンパクト集合であれば，（P〟）の最適解は（P）の最適解に収束する

図3．1のような底列型の待ち行列システムを考えます。ここで，ステーション1の前には強限のバッファ容量があり，すでに無限人の客が並んでいるものとして9 ステーション2のバッファ容量は（ステーション内の客も含めて）βとします申 また，ステーション才のサービス峠F洞は率〃どの指数分布に従い，サービス規律は『Ⅰ『0，ブロッキングは生産ブロッキングとします。このシステムにおいて，性能評価尺度をシステことがわかっています。

必∈βを待ち行列システムにおける到着間隔時間やサービス時間を生成するための乱数系列などのように，離散事象システムを駆動するクロックサンプルとしま
しょうひ −一般に9 このサンプルが与えられたもとでは，時刻Ⅳでの評価尺度の他県v（β）は容易に計算することができます（通常のシミュレーションをすることに相当します）。例えば，待ち行列システムの場合卜拓としては，最初のⅣ八月の客の到着時刻におけるスループット，あるいはⅣ偶の席生サイクルにおけるスループットの平均などをとればよいでしょう。特に，サービス順序がサービス時間に関して不変であるような待ち行列システムや，より一般には「単調な」離散事象システム［1］の場令，サンプルを国定したもとでのシミュレーションは加法およびmax操作を含む単純な漸化式で表現でき，さらに，香v（汐）＝／（必；β）の実現値が釦の簡単な式で老視できれば，問題（P〃）は確定的な最適化問題となります。例えば9 サ｝バブにおけるノ番巨』の客のサービス時間S∠，ノの分布関数がG（。；β）であるとし，5z，．ブを定めるサンプルを［0，1］駐二の−一様乱数鮎・，、ケとすれば，サービス時間の実現値はSz，ノ（β）＝G1（αわ，ノ；β）で′ゴーえられるので，これを用いて種々の評価尺度の値を♂の関数として表現することができます。このようなアプローチの利′克として，近似最適解を既存の数理計画法の手法で得ることができるということがあげられます。

ムのスループット 71打とステーション2における平均系内人数附Pの衷みつき和J（卵，β）＝α71甜【β挿了P（4）として，これを最大にするサービス率配分卵やバッファ容量βを決める問題を考えます。もちろん，このシステムはノぼ／〟／1／（月十1）システムですから，Jは（β，β）の陽な関数と表せて，直接最適化することも「け能です。この問題に前述のサンプルパス最適化を迫川し，其の最適解との誤差を見てみましょう。
ステーションgでのノ番目の客のサービス時間を5ォ，ノ，ノ番臣−の客の退去時刻をかご，．プで表すと，βz，．ナは以下の漸化式でノブ一えられます8

月1J＝maX（β1，、卜1＋51，ノ，β2，．トβ）
ガ2，ノ＝maX〈β1，．ノ，か2，ノ】．〉＋S2，J［0，1］の一様乱数とすれば，サービス時間は5ォ，・ブ（〃z）＝−¶log軌，J（7）と定めることができます。このサンプル伽＝（軌，ノ）を岡定したもとでの各退去時刻は，上の（5），（6）のSォ，ノに（7）を代人することによって，βォ，ノ（卵，β）のように（卵，β）の関数となります。このとき，7甘と抑∬）をそれぞれ最初のⅣ人の客の退去時刻から求められる値．＼ 撒v（卵，β）＝両釘否ラ

したがって，このサンプルパス最適化が有効に機能〃1するためには，（P〃）の目的関数君vがβの単純な，既存の数理計画法が扱うことができるような関数として表現できることが望まれます。以下で，性酷評価尺OC）

図3．12ステージ待ち行列システム
周盟6（32）（6）

また，サービス時牒＝㌦．ヶを定めるサンプル軌，ノを陣珊Ⅴ（隕月）

度やその最適値がわかるような簡単な例を具体的に見（5）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ◎リサーチ（8）

＝∑失1（β2，ノ（〝，βトβ1，ノ（〝，β））／′、．リl、／いとし，この最適解を〝〃＝（〃㍗〃のrとします．いま，（9）

眉＝4，〃…a．＝2とし，サンプルの長さⅣを何通りかによって近似すると変化させたときの問題（Pl，〃）の目的関数昂（〃2）＝且（2ん（〝，月）＝α77㍍（〝，βトβl侃（〝，β）（10）

は性能評価尺度′（〝，β）の近似値と見なすことができ一助〟2）および見Ⅳ（〃2）＝凡〃（2−〃2，〃2）のグラフを
図3．2に，解いて得られた〃㌢の結果を表3．1に示します．以下ではα＝8，β＝1として数値実験を行いまます．これらの図，表には問題（Pl）の厳密な目的関す．

数と真の最適解も示してあります．
（サービス率配分問題）

図3．3は，以上の結果から得られた〃㌢およびまず，バッファ容量βが厨に固定されていて，さら凡Ⅳ（〝Ⅳ）の莫値からの誤差をプロットしたものです．に〃1と〃2の合計が〃…alに固定されているもとでのこれから，ほぼ誤差が、／万に比例して減少している

最適サービス率配分問題

ことがわかります．

max賞（〝）＝J（〝，厨） Subj．topl＋FL2＝Pt。tal 〟1，〃2≧0（Pl）‡（バッファ容量決定問題）（11）

次に，サービス率〝がβに固定されているもとでの最適バッファ容量決定問題を考えましょう．これの近似問題をmax賞（β）＝J（β，β）

max凡〃（〃）＝ん（〟，β）
Subj．toFLl＋FL2＝Pt。tal（P川）（P2）（（1カ（13）Subj．toB≧1を考えましょう．これを次の間題で近似します．

〃1，〃2≧0max賞，Ⅳ（β）＝ん（β，β）（P2，Ⅳ）（ Subj．toB≧1け1）

ここで，β＝（0．71．3）rとし，サンプルの長さⅣを何通りか変化させたときの問題（P2，〃）の目的関数のグ
ラフを図3．4に，これを解いて得られた最適解β〃と目的関数値を表3．2に示します．これらには問題（P2）の厳密な目的関数と真の最適解も示してあります．
これらより，サンプル長（シミュレーションの長さ）Ⅳが100程度以降は，薫，〃と昂の誤差は若干残ってはいるものの，問題（P2，Ⅳ）の最適解は其の最通解になっていることがわかります．

SJOJ﹂山0

0．2 0．4 0．6 0．8 1 1．2 1．4 1．6 1．8

2〟2

図3．2 問題（P川）と（Pl）の目的関数

表3．1問題（P川）と最適解と真の最通解JV〃㌢ 賞，〃（〃Ⅳ）
10 0．93988．3150
100 1．2079
5．24401000 1．1872
4，7246
10000 1．1642
4，6661
100000 1．1608
4．7505

10100

1000

10000

100000N

図3．3 真値からのずれ
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（33）19丁＼匂孤呵＞声m嘩巧㈲囁ノヱ了＼

図3．5 ステージ待ち行列システム＞β2，叱J】1十S2，〃け1＋1）∬ォ，ノ＝mim（叙」町埴＝凡才＝1，2のように与えられます。ただし，1は0−1の指示関数を表しています色 さらに，ステーション3におけるノ番目の客の到着時刻を』Jと表すと仁玖，ノはAJを用
024

B68

図3．4 特題（P2，Ⅳ）と（P2）の甘的関数

いて以下の漸化式で与えられます。
』、′＝maX［mim（β1，〃1，．7＿1十S描け1＋1，β2，叶 1十S2，〃2，ト1＋1），β3，ノβ］
表3。2 問題（P2，〃）の最適解と其の最適解

ノⅤ βⅣ 坑，Ⅳ（が）12．3537
1001000
10000100000

β乙，、ノ＝』〟′， グ＝1，2玖、7＝maX（』J，β3，．ト」）十53，ノ卵＝（／∠1〃2〃3）rとおけば，ここでも（8），（9），（10）と同様に7鞠（肌身＝昭玖（卵，β）およびん（汎月）を定

48．8274
7．942847．8152

制約条件Fでのサービス率配分問題を考えます。

47．94434

義することができます。簡単化のために以下のようなmax賞（卵）＝J（酋月）Subj．to〃l＝〃2（15）（P3）

〃1＋〃2＋〃3＝〃total

3．2 3ステ…ジ待ち行列

拘，〟2，〃3≧0

今度は，凶3。5のようにステーション3に2個所かこの近似問題は，以下のようになります。

ら客がくる3ステージ待ち行列システムを考えましょう。ここで，先ほどと同様，ステーション才のサいビ

ス時間は率〃zの指数分和こ従い，サービス規律は

max昂，〃（卵）＝ん（汎β）（P3，〃）

Subj．to〃1二〃2『Ⅰ『0ラ ブロッキングは生産ブロッキングと仮定しま（摘〃1十〃2＋〟3＝〃t。tal〃1，〃2，〃3≧0

す，また，ステーション1，2が共にブロッキングにな

紙面の都合上これらを解いた結果は省略しますが，ったときには，サービスの終了順にステーション3に〃t舶．＝3，β＝4とおいた場合の，いろいろなⅣに対進むことができるものとします。いま9 Ⅳf，ノ，オ＝1，2をステーション3においてノ番目の客が到着した時点する抑的関数昂（〃3）＝昂（1．5−〃3／2，1．5−〃3／2，〃3）および羨川（〃3）＝賞，Ⅳ（1。5−掩／2，1．5〃3几〃3）のグラでのステーション才を退去した客数を表す確率変数とフを図3．6に示しておきます。この図より，この間題し9 殿，．ブ，ダニ1，2をステーションZをノ番目に退去しの場合も近似最適化問題の解が厳密解に収束することた客がステーション3において何番巨‖こサービスを受がうかがえるでしょう〃 ただし，この例のように，パけるかを表す確率変数とします。このとき9 動J，踪，ノラメータ（今の場今はサービス率）を変えるとサービス順序が変わるようなシステムの場合，評価尺度の近は，Aち，．′＝ノⅥ，．ト1＋1（ガ1，机，ブ1＋gl，〃り1＋1なものとなるので，近似問題（摘を先の例題のように単≦β2，〃2J1十52，Ⅳ2，ノ＿1十1）
鶴ノ＝邦，ノ【1＋1（玖〃け1＋Sl，机，J【1十1
周9爵（34）

似値のパラメータに関する表現式は上述のように複雑純な非線形計画問題として解くことは一般には困難で© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ8リサーチ

・凡はC上の凹関数z6・5〜」P− 6・ある可算桐密な集合∂⊂Cに対して，（仮定B）〜l⊥P‡

5．5

1im品（0）＝F（0）forallO∈∂．＼■・八一・Sの要素数が有限個5・tダⅣ（のl，匿（錮＜∞forallβ∈5（仮定C）

4．5（4・1imFⅣ（0）＝F（0）forallO∈S一Ⅳ→∝，

これらいずれの仮定のもとでも，（P〃）の最適解が問3．5

題（P）の最適解に収束することがいえます．

3

命題4．1［5］私∈用とする．（仮定A）あるい

2．5は（仮定B）のもとで，（軋）の任意の集積点は2（P）の最通解である．

1．5

命題4．2（仮定C）のもとで，ある整数廊が存
10．8

11．2

1．4
〟3

図3．6 問題（Pl，〃）と（Pl）の目的関数

在し，f雫⊂P＊forallⅣ＞廊となる．
命題4．1のタイプの収束性については文献［5］を，より定量的な扱い（j㍉の停留点のFの停留点への収束ある点に注意しなければなりません．

性等）については文献［4］を参照してください．

4．収束性

5．生産システムの平均加工時間配分問題

問題（P）の最適解集合をP＊，（P〃）の最適解集合を直列型の待ち行列システムでモデル化される〟マf雫とすると，一般には（2）の各点収束だけでは摺がシンの生産ラインを考えます．マシン1の前には無限P＊に収束することは保証できません．しかし，前節個の部品が並んでいるものとし，マシン才での加工時の例からもわかるように，通常はサンプルを固定した間は平均仇の指数分布に従い，ブロッキングは生産もとでの十分長いシミュレーション結果を最適化するブロッキングを仮定します．マシンZ（才＞1）の（マシことによって，定常状態を最適化する真の最適解に近ン自身を含む）バッファ容量をβ才とします．〝＝2いパラメータを得ることができそうです．実際，（a）の場合は，図3．1の例と一致します．このようなシスf㍉の一様収束性，あるいは（b）j㍉の凸性（最大化問テムにおいて，平均加工時間の総和∑竺1銑が一定の題であれば凹性）のもとで，この推論が正しいことがもとでスループットを最大にするような平均加工時間言えます．また，3．1節の最適バッファ配分の例のよの配分を求める問題を考えます．マシンオでのノ番目

うに，（c）設計パラメータが離散変数の場合，は十分大の（サンプル助，ノを固定したもとでの）加工時間をきいⅣに対して近似最適解が真の最通解となること

5ぴ，退去時刻をβg，ノとすると，はほぼ明らかでしょう．以上のことを，摂動を受ける

5ど，ノ（銑）＝一銭log軌，ノ

数理計画問題の感度解析・安定性解析の結果をもとに，ですから，各退去時刻は平均加工時間ベクトルβ＝簡単に紹介しておきます．ここでは，制約集合Sは（β1… β〝）rの関数として以下のように書くことがで乃次元ベクトル空間β乃の閉部分集合，C⊂β乃を5きます．

を含む相対的開凸集合とし，以下の3種類の仮定を考えます．

βォ，ノ（β）＝maX（βト1，ノ（β）
十Sォ，ノ（銑），βォ，Jrl（β）＋S∠，ノ（仇），・！FⅣ（0）t＜＋∞forallO∈S（仮定A）（用β行1，ノ＿β‖（β））（1斡

・f㌦はS上で上半連続（8）と同様に十分大きいⅣにおけるⅣ／β〟，〃（郎でス・5内の任意のコンパクト集合上で凡はループットを近似すると，スループット最大化はダに一様収束し，ダは5上で連続β〟，〃（♂）の最小化で近似することができます．したがって，平均加工時間の総和仇。talが与えられたもとで2001年4月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（35）199

のスループット最大化問題は，以ドの問題で近似できとすれば，問題（19）はminmax d（P，β）

ます山

β J㌧≡ニア、い伽）

miIlβ吼〃（汐）‡Su軋toβ∈S〃‡su軋to拶∈S＝β≧0（19）∑仇＝仇。ta ご−lのように書くことができ，さらに，これは等価的に以l卜の問題になります。

（i7）および（18）から，β∬，〃（β）は区分的に線形な関数であるので，このまま微分不可能最適化手法を道川したり，

ヱTlln（ブ√；、■「■

あるいは多数の制約条件を有する線形計画問題に変換（LPルグ，〃）

subj．tod（P，＠）−6≦OforallP∈A4，Nして解くことも可能です。文献［3］では，同様の問題

β∈Sを微分不可能最適化手法のひとつであるバンドル法である固定された経路P∈夕凪〃に対して，d（P，汐）に解いています。ここでは，後者のタイプの解法を簡単関して線形なので，（LP」W，〃）は非常に多数の制約条件に説明しましょう℡ ヱ九ノをノード（Z，ノ）に対応させたを有する線形計画問題となります。もちろん，

匝15。1のようなネットワークⅣ（汐）を考えます。ここ（LPル叩）の制約条件を一度に取り扱うことは困難です

で，ノード（0）はダミーノードで，衷5．iのように弧が，次のような緩和法により最適解を得ることが可能（arc）に重みをつけたものです。

です。適彗な部分集合01⊂j㌔，〃を選び，点＝1とし，例えば，図5、1のN（β）は，マシン数〟＝4で，線形計画問題

バッファ容量が（β2β3β。）＝（231）の場合です。

i mln（ブ √）●■† subj。tO（7（P，β）−♂≦O foral P∈0ゐ β∈5（18）よ県．仇…（β）はⅣ（ののノード（0）から（朗∵Ⅳ）までの最長経路長になっています。したがって，・飽，Ⅳ＝（君ダは（0）から（朗∵Ⅳ）への経路）の最適解（βゐ，♂ゐ）を求め，酢のもとでの最長経路長d（県β）＝㌘の経路長

dゐ＝maX匪凪仰d（P，β烏）と最長経路P々∈p彿Ⅳを求めます。もしも十分小さな正数どに対して♂虹1ヂ≦どならば終了，そうでなければ0点から適当な部分集合β烏を削除し，あらたにP烏を付け加え，つまり−とど」（1，2）」ぷ」（1，。）ぷ」（1．4）→⑳⑳◎→（1，N）

￠糾1＝￠た∪（Pた）＼β克とし，点：＝ゐ＋1として同じことを繰り返します。

ここで，〟＝9，つまり9マシンの場合の簡単な数−2．
N・■

値例を示します（図5．2）。以下ではサンプルの長さⅣは800（）0とし，以下の3種類のバッファ容量虚＝（β2月3…β9）rのもとでβ9即。。。を最小にする90単位時⑳⑬⑳ 【一＿ヰ（3，N）

間の総平均加二】二時間の最適配分卵＝（〃1〃2…〃9）Tを求めてみましたむ

4（4，1LY＿】

ン（4，2）

気，さ㌔）．．一＿．＿」一＿＿ヰ（4，3）りミ，占㌔）（，4）＿◎◎◎ 一一・一−ヰ（4，N）

ミ，J㌔）

仏）磨＝（22222222）r（B）麿＝（1ユ333311）r

図5．且．贈二4，バッファ容量腰＝（231）rのN（釦（C）磨＝（11113333）r
この程度の規模の問題であれば，特に工夫をするまでもなく，度二の緩和法において∂烏＝βとし，制約を付け加えていくだけという戦略でも90〜100回程度の繰

弧

重み（0）→（1，1）

β1，1（仇）（五和l，．ブ）→（五っ．ブ）

ぶ宜，．ケ（∂享）（れJrl）→（宜，J）

軋−ク（∂五）（乞7J−月什1）→（仁」烏）0

選⑳餞（36）β1 ∂2 ∂3＼ ′ノ＼ ′ノ ＼＼′ノ〔氾 β2 β3
図5．2 9マシン生産ラインシステム© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ特に図5．1の仏）は，均一の直列型生産ラインでは，ラ表5．2（準）最適平均加工時間配分

点最適平均時間配分〃Ⅳ （A） 9・478▲50 61−7）T（B 10．78 49361．57 340．5617 349．275臥180 ）T（C 9．078 ．517 68．90546231．98 631．74 50）r

四〃（〃Ⅳ，貞）（11，5449．736 9．559 9．4360 9，407

0．057218

インの中央に最も性能の良いマシンを配置し，外側（入口と出口）にいくにつれて配置するマシンの性能を落とす，という配置が最適であるということを表していて，これはボウル現象（Bowlphenomenon）として知られています．従来は，何回もシミュレーションを繰り返し，試行錯誤でおよその最適配分パターンの傾向を推察するというような報告が多く見られましたが，サンプルパス最適化を用いれば，この例のように手軽に（準）最適配分を得ることができます．

6．おわりに本稿で紹介したサンプルパス最適化は非常に単純な
12

34567

アイデアであり，簡単に（近似）最適パラメータを求8めることができる便利で有力な方法です．しかしなが（A）盈＝（22222222）Tの場合

ら，収束性の十分条件のチェックが難しい場合が多い

ことや，シミュレーションの長さと其の解との誤差の見積もり，近似最適化問題の有効な解法，等解決すべき点もあります．筆者らも，いくつかの生産システムのモデルに対してこの手法を用いた最適化を試みていますので，機会があれば報告させていただきたいと思います．
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tureinDiscrete−EventSystems，AWileyLInterscien−

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［3］PlambeckE．L．，Fu B．−R．RobinsonS．M．andSurR∴

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［4］shaphiro A．： Simulation−based optimization〜（C）虐＝（11113333）Tの場合

COnVergenCeanalysisandstatisticalinference，

図5．3（準）最適平均加工時間配分

mun・Statist．−StochasticModels，Vol．12，No．3，pp．

Com−

425−454，（1996）．

り返しで，終了判定基準（d良一♂た）／♂々＜0．0001をみization，たす解が得られました．

表5．2と図5．3に求まった〝〃を示します．これらは，各バッファ容量において，サンプル（乱数系列）変えて5匝卜最適化を行い，その平均をとったものです．

2001年4月号［5］Robinson S．M．： Analysis ofsample−path optimL
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（37）201