ワークフォーススケジューリング
由良 憲二…ll……l…l川‖州＝州‖l…l………l‖＝‖‖＝＝‖‖‖川‖‖…州…ll…酬‖＝川＝‖‖‖＝‖＝＝‖‖＝川＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝＝＝‖＝‖‖＝＝川‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝州＝川‖‖‖‖川‖‖………………‖llll州…

A：過当り2日間の休日を割当てる．
1． はじめに

B：2過当り2回の連続2日間休日を割当てる．

ワークフォーススケジューリング問題は，組織を構C：過当り1回の連続2日間休日を割当てる．そ成する人間の活動を時間軸上に配置する問題で，典型の連続休日は平日と週末のいずれかとする．

的な例として勤務スケジュールの作成を挙げることがD：2過当り1回の連続2日間休日とそれを含めて4日間の休日を割当てる．

できる．この種の問題に対する研究の歴史は古く，集合被覆（ないし分割）問題として定式化して解を得る

E：2過当り1回の週末休日と別に連続2日間休方法と，問題国有の特徴を利用して最適解ないし近似日割当である．
なお，証明は，最初の割当方策に対してのみ示し，解を作成する方法がある．
前者については読者にとってお馴染みの問題で，定他の方策については文献をご参照願いたい．

式化の方法と高速の解法を開発することが重要である．

2．1休日割当方策A

後者については，前者と伍して効率的にスケジュール各従業員に1週間当り2日間の休日を与える方策でを作成する最適ないし近似最適アルゴリズムを二［夫しある．このとき，必要最小従業員数Ⅳは，て見出すことに焦点が当てられてきた．そして，多く

Ⅳ＝β＋L（2E十4）／5」の研究がなされた結果，いくつかの興味深い知見が得＝「（5上）十2且）／51（1）られている．本論では，後者の内で，特に最適化アル

ここで止」はJに等しいか小さい最大整数を，「∬1はゴリズムについて焦点を当て，それらの中で重要と思∬に等しいか大きい最小整数を示す．
このとき，次の手順で勤務スケジュールを作成すれわれる研究成果を紹介する．

ば，そのスケジュールは各日の必要勤務者数を滴足し，2．基礎問題

Ⅳ人の従業員には過当り2日間の休日が割当てられ基礎問題として，1過当り7日間オープンしているる．従業員には1からⅣの番号を付ける．

サービスシステムにおいて，各日の必要勤務者数を満（手順）足するために，何人の従業員を雇用し（必要従業員数（Stepl）従業員1からWMEに週末の休日を割決定），従業員の出勤日をいつにするかを決める（勤当てる．休日が未割当のぶ人の内，lγ【β人に（月，務表決定）問題を取り上げる．

火）の休日を割当てる．

平日（月〜金）1日当り必要な勤務者数をβ，週末（Step2）Steplの終了時点で，休日が未到当の従（土，日）1日当り必要な勤務者数を且で表す．これ

業員がいる場合，lγ−βが偶数か奇数かで場合分けらの間で，β≧Eが成り立つものとする．このとき，し，次のように休日を割当てる．

従業員へどのように休日を与えるかという休日割当方（Step2a）W−βが偶数の場合は，休日未到当の策によって，ワークフォーススケジュールが異なる．

従業員に対して，番号順に，（水，木），（水，金），本章では，Brownelland Lowerre（1976）によって（木，金）の休【ヨペアを割当て，それでも残る場合は，示された5つの休日割当方策に対する結果を紹介する．

再び，（水，木），（水，金），（木，金）の休日を割当

5つの休日割当方策は以下の通りである．
ゆら けんじ
電気通信大学 システム工学科〒182−8585調布市調布ヶ丘1−5−1
2001年9月号

てる．これを，休日未到当の従業員がなくなるまで繰り返す．
（Step2b）W−Dが奇数の場合は，休日末割当の従業員の内，一人に対して（水，木）の休日を割当て，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（29）48丁残りの従業員に対しては，順に，（水，金），（木，金）にそれぞれ（Ⅳ−β）／2人ずつ休日を割当てるこ金），（水，木）の休日を割当てる．それでも未到当のとができる．これらの合計は，3（Ⅳ⊥β）／2である．

従業員が残る場合は，再び，（水，金），（木，金），式（1）よ り，Ⅳ−β≧2月ソ5であり，3（Ⅳ−β）／2≧（水，木）の休日を割当てる．このことを，休日未割3且／5となる．一方，休日末割当の従業員数は式（2）よ当ての従業員がなくなるまで繰り返す．

り3且／5以下である．よって，Ⅳ−βが偶数の場合（証明）

は，Step2aで従業員全員に休日を割当てることがで従業員数を紺で表すと，週休2日なので，1週間きる．

当り利用可能延べ従業員数は5紺である．それに対し

Ⅳ−βが奇数の場合は，（水，木），（水，金），（木，て必要な延べ作業員数は，平日5日間で5β，週末2金）にそれぞれ（Ⅳ−β−1）／2人ずつの休日を割当可

日間で2且であるので，5上）＋2且である．よって，必能で，さらにもう一つ（水，木）という休日を割当可

要最小従業員数（肝）は式（1）で与えられる．

能である．これらの合計は，1＋3（Ⅳ−β−1）／2＝

次に，従業員数がⅣのとき，上記手順で各従業員3（Ⅳ−β）／2−1／2であり，式（1）より，3（Ⅳ−β）／2に1過当り2日間の休日を与えられることを示す．

−1／2≧3丘ソ5−1／2となる．

Ⅳ行7列からなる行列（表1参照）を考える．行

ところで，式（1）より，Ⅳ−β＝「2月ソ51であり，こは従業員を，列は曜日を示す．また，行ブ列ノにⅩ

れが奇数のとき，2E／5＝2（Z十ノ／5），ノ＝lor2である．

を置くことで，従業員オの曜日ノを休日にすることをこのとき，3且／5−1／2＝3オ十3ノ／5−1／2で，ノ＝lor2示す．

に対して3g十α（α＞0）となる．3（Ⅳ−β）／2¶1／2は整手順1は，第1行から第Ⅳ一旦行の（土，日）の数であることから，3（Ⅳ−β）／2一−−−1／2≧3才十1である．

列にⅩを置くことである．この時点で，休日未割当

他方，休日未割当の従業員数は，式（2）より，βの人数はE人である．（月，火）という2日間の休日−（Ⅳ−β）≦3且／5で，3且／5＝3Z十3ノ／5より，ノ＝lor

は，lγ−β人に害り当可能で，且≦Ⅳ−βの場合は条2に対して且−（Ⅳ−β）≦3才十6／5となる．そして，件を滴たすスケジュールが得られる．且＞lγ−βの且−（Ⅳ−β）が整数であることから，且−（Ⅳ−β）≦

場合は，E人中のlγ−β人に（月，火）という休日3i十1である．よってⅣ⊥βが奇数の場合，Step2bを割当てる．この時点で，彷′一旦十怖′−β人に休日で従業員全員に休日を割当てることができる（証明終を割当てたことになり，休日未到当の従業員数はⅣ了）．

−（Ⅳ一旦十Ⅳ一β）＝且一（Ⅳ−β）人であー），式（1）か

例．β＝7，且＝5の場合，式（1）より，Ⅳ＝9とな−），上記の手順を適用することで，表1のスケジュールがら，E−（Ⅳ−β）≦3E／5（2）以下，Ⅳ−βが偶数か奇数かで場合分けして考える．
Ⅳ−βが偶数の場合は，（水，木），（水，金），（木，得られる．

2．2 休日割当方策B

各従業員に2週間当り2回の連続2日間の休日を与える方策である．この場合の必要従業員数は，休日制

表1ヱ）＝7，且＝5に対する休日割当方策Aによる勤務ス
ケジュール

当方策Aの場合と同一である．従業員の勤務スケジ
ュールは，期間を2週間として，次の手順で作成する．
（Stepl）従業員1からW−Eに第2週末の休日

従業員 月 火 水 木 金 土 目
Ⅹ Ⅹ

2Ⅹ Ⅹ

（Step2）従業員W−E＋1から従業員番号の増加

3Ⅹ Ⅹ

順に，lγ−β人ずつ，第1週の（月，火），（水，4Ⅹ Ⅹ木），（金，土），（第1過の日，第2過の月），第2過

5Ⅹ Ⅹ

6Ⅹ Ⅹ

からlγに第1週末の休日を割当てる．の（火，水），（木，金）という休日を割当てる．ここで，従業員Ⅳ＋々（々＞0）は，従業員々として取り扱

7Ⅹ Ⅹ

8Ⅹ

94川（30）を割当てる．β＞Eのとき，従業員Ⅳ−（β一旦）十11う．また，Steplで1週日に休日が割当てられた従Ⅹ
Ⅹ Ⅹ

業員Ⅳ−（β一旦）＋1からⅣには，それ以外に1過日に休日を割当てない（計算終了）．

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表2 エ）＝7，E＝5に対する休日割当方策Bによる勤務スケジュール

第2週

第1週

従業員

月 火 水 木 金 土 日 月 火 水 木 金 土 日
Ⅹ Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

12Ⅹ Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

3Ⅹ Ⅹ

Ⅹ Ⅹ
Ⅹ Ⅹ

45Ⅹ Ⅹ

6Ⅹ Ⅹ

Ⅹ Ⅹ
Ⅹ Ⅹ
Ⅹ ⅩⅩ Ⅹ

7Ⅹ Ⅹ

8Ⅹ ⅩⅩ Ⅹ

9Ⅹ ⅩⅩ Ⅹ

例．β＝7，E＝5の場合，式（1）より，Ⅳ＝9となり，表3 β＝7，E＝5に対する休口割当方策Cによる勤務ス
ケジュール

上記の手順を適用することで，表2のスケジュールが得られる．

従業員 月 火 水 木 金 土 目

2．3 休日割当方策C

この方策では，各従業員に1週間当り1回の連続2日間休日を与える．ただし，休日の2日間は平目と週末の曜日とを両方は含めない．
必要最小従業員数Ⅳは，Ⅳ＝β十L（且十1）／2」

1Ⅹ Ⅹ

2Ⅹ Ⅹ

3X Ⅹ

4Ⅹ Ⅹ

5Ⅹ Ⅹ

6Ⅹ Ⅹ

従業員の勤務スケジュールは，従業員1から杯L∴g

7Ⅹ Ⅹに第1週末の休日を割当て，残りの従業員に，（木，8Ⅹ Ⅹ金），（火，水）の連続休日を割当てる．

9Ⅹ Ⅹ

10Ⅹ Ⅹ

（3）

例．β＝7，且＝5の場合，式（3）より，Ⅳ＝10となり，上記の手順を適用することで，表3の勤務スケジュールが得られる．

日で1週末は勤務とする．

2．4 休日割当方策D
各従業員に，2週間当り1回の週末休日を与え，ここのとき，それぞれの必要最小従業員数は，週末方の休日を含めて2週間当り4日間の休日を与える方策

策1で2E十L（5上）−8丘■十4）／5」，週末方策2でL（5βである．

十3）／4」である．

8丘ソ5β≧1の場合，必要最小従業員数Ⅳは2且である．従業員の勤務スケジュールは，従業員1．からEに第1週末の休日を割当て，残りの従業員E十1か2．5 休日割当方策E
この方策は，各従業員に，2週間当り1桓Iの週末休日を与え，さらに別に連続2日間休日を与える．

ら2且に第2週末の休日を割当てる．第1週について，3E／2β≧1の場合，必要最小従業員数Ⅳは2居で従業員且＋1から2Eに，月から金へ順に2丘㌧∴D人

ある．従業員の勤務スケジュールは，従業員1からずつ休日を与え，第2過については従業員1から且且に第1週末の休日を割当て，残りの従業員g＋1かに，金から月へ順に2且−β人ずつ休日を与える．

ら2Eに第2週末の休日を割当てる．第1（2）過につ8且／5ヱ）＜1の場合，Ⅳ＞2月、となる．週末の勤務方（火，水）の連続休日を順に割当てる．

策として次の2つが考えられる．

3E／2β＜1の場合，それぞれの必要最小従業員数は，週末方策1：各週末には，且人が働く．

週末方策2：各従業員は，2週末の内，1週末は休
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いて，従業員g＋1（1）から2且（E）に，（木，金），休日割当方策βで示した週末方策1のとき2且＋© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）489

表4 β＝7，且＝5に対する休Fl割当方策Eによる勤務ス
ケジ ュール以上の条件のもとで，必要従業員数Ⅳと従業員の勤務スケジュールを決める問題を取り扱う．
必要従業員数Ⅳを決めるに当って，少なくとも必従業員 第2週

要な人数制約として，次の3つがある．

月 火 水 木 金 土 日

1Ⅹ Ⅹ

2Ⅹ Ⅹ

3Ⅹ Ⅹ

①週末休日制約：従業員は，β週末中の少なくとも月週末で休日を与えられることから，従業員はβ週間で，β−A週末は勤務する．各週末の必要な出

4Ⅹ Ⅹ

勤者数はmax（β．，β7）（これを居で表す）であるか

5Ⅹ Ⅹ

ら，これをβ倍した数よりも，Ⅳ（β−A）は大きく6Ⅹ Ⅹなければならない．したがって，

7Ⅹ Ⅹ

Ⅳ≧「β且／（β一月）18Ⅹ Ⅹ

9Ⅹ Ⅹのと同じ制約で，1週間当りの総必要従業員数を，110Ⅹ Ⅹ

週間当り5日間勤務する従業員が何人いれば充足でき（4）②総必要従業員数制約：これは式（1），（3）を導出したるかを示す制約である．つまり，5Ⅳ≧β1＋β2＋…
＋β7より，
L（2上）−3丘、＋1）／5」，週末方策2のときL（4β十2）／3」でⅣ≧「（β1＋β2＋…＋β7）／51（5）③最大必要従業員数制約：従業員数は，曜日の中である．
例．β＝7，且＝5の場合，3且／2β≧1より，Ⅳ＝10となり，第1週は表3，第2週は表4のスケジュール最も多く必要とする勤務者数より多くないといけない．
これは，が得られる．

Ⅳ≧max（β1，β2，…，β7）

3．曜日毎に異なる必要勤務者数，週末休日割当の一般化並びに連続勤務日数の考（6）以上の式（4）〜（6）を満足するⅣを必要従業員数とする．
次に，勤務スケジュールを作成するアルゴリズムを示す．

慮（Stepl）必要従業員数Wを式（4）〜（6）で求める．

Brownelland Lowerre（1976）は，従業員の連続（Step2）週末休日を従業員に割当てる．週末はE勤務日数について考慮を払っていない．そのため，連人が勤務するので，lγ一旦人は休日とすることがで続勤務目数が長いスケジュールを結果として生成する

きる．そこで，第1週末（第1過の日曜日）では従業ことがある．また，従業員の週末休日に関しても，2

員1からⅣ一旦が休日，第2週末（第1週の土曜日週中に1回だけ週末休日を割当てることは扱っていると第2週の日曜日）では次の従業員Ⅳ−且十1からが，そのほかの場合を扱っていない．そこで，Baker，2（Ⅳ一旦）が休日，というように休日を割当てる．たBurnsandCarter（1979）は，これらのことを考慮しだし，従業員Ⅳ十ゑ（々＞0）は，従業員点として取りたスケジュー1）ング方法を分析した．その後，Burns扱う．

andCarter（1985）は，各曜日の必要勤務者数が異なる場合を取り扱えるように一般化した．そこで本節で（Step3）従業員に割当てる平日の休日ペアを決定する．曜日ノにおける余分の従業員数5Jを求める．

は，このBurns and Carter（1985）のスケジューリ

ふ＝Ⅳ一玖（ノ＝2，3，…，6）（7）

ング法を紹介する．

ふ＝且一仇（ノ＝1，7）（8）

各曜日の必要勤務者数を玖（ノ＝1，2，…，7）で表す．

次に，且個の休日ペアのリストを求める．

ここでノ＝1は日曜日を，ノ＝2は月曜日を，ノ＝7は土①S々＝maX（SJ）なる曜日ゐを選ぶ．

曜日を表す．また，従業員はβ週末中の少なくとも（訂ふ＞0なるオ≠ゐを任意に選ぶ．すべてのオ≠ゐにA週末で休日を与えられる．そして1過（この場合は日曜日から土曜日までの7日間）に5日間だけ勤務し，2日間は休日とする．さらに，各従業員は，連続して6日間までしか勤務しないようにする．
490（32）

ついてSz＝0の場合は，g＝ゑとする．

③休日ペア（Z，点）をリストに加え，5ォとSゑから1を引く．
④この子続きを且回繰り返す．

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（Step4）第1週の勤務スケジュールに休日ペアを4．従業員能力ないし資格の階層性割当てる．第1過では，従業員は週末休日の割当状況
から，次の4つに分類できる．

従業員が有する能力ないし資格に階層性があー），上位ランクの従業員が【F位ランクの従業員の代わりを果タイプ1：週末1，2ともに休日．このタイプには，第1過に休日ペアを割当てる必要はない．

たすことができる場合（EmmonsandBurns（1991））

タイプ2：週末1が休日で，週末2が勤務．このタがある．また，必要に応じて，パートタイムの従業員を雇う場合（Emmons and Fuh（1997））もある．こイプには，第1週に1日の休日が必要である．

タイプ3：週末1が勤務で，週末2が休日．このタ

こでは，前者の問題について，Emmons and Burns

イプには，第1週に1日の休日が必要である．

（1991）に基づいて説明する．

タイプ4：週末1，2ともに勤務．このタイプには，対象とするシステムは，1週間に7日間稼動しているとする．従業員にはすべての週において2日間の休

第1過に2組の休日ペアを割当てる必要がある．
休日ペアのリストの最初から順に，休日ペアを従業日が割当てられ，β週末中の少なくともA週末で休員に割当てる．まず，タイプ4の従業員に割当てる．

日を与えられないといけない．従業員の連続労働口数

次にタイプ2，3の従業員に割当てる．そのとき，ペは2〜5日間の範囲になるようにする．

アの曜日の早い方をタイプ3に，残りをタイプ2に割

従業員には∽種のタイプがあり，従業員は資格で当てる．

ランク付けられていて，タイプ々の従業員はタイプ点（Step5）第i週（i≧2）の勤務スケジュールに休日＋1の従業員の代わりを務めることができる．従業員

ペアを割当てる．第才一1週までのスケジュールが決

タイプ毎の必要人数は，曜日で変化しないものとする．

まると，各従業員が第グ週でどのタイプに属するかが1日当り必要なタイプ1〜々の最小従業員数をβ々，1決まる．そして，Step4の割当を適用する．

日当F）必要なタイプ々の最小従業員数をd烏で表す．

例．β1＝β3＝β5＝β7＝5，β2＝β4＝β6＝7，β＝2，Aβ々とめ，従業員の過当り休【1が2日であること，＝1の場合を取り上げる．このとき，且＝5，Ⅳ＝10

そしてβ週末中のA週末で休日を得るという条件をである．Sl＝S7＝0，S2＝S4＝S6＝3，S3＝55＝5より，満たすために必要な最小の総従業員数をⅣで表す．

且個の休日ペアとしては，例えば，（火，木），（火，また，必要なタイプゑの最小従業員数を細々で表す．

木），（月，火），（水，木），（月，金）と選ぶことがで1日当りの必要勤務者数が乃のとき，休日条件を滴きる．このとき，勤務スケジュールは表5のように得たすための最小従業員数／（紹）は，られる．

／（乃）＝maX（「紘β／（β−A）1，「7乃／51）（9）

このとき，／（dゐ）はタイプカの従業員に対する必要者

表5 上）1＝β3＝β5＝β7＝5，β2＝β。＝β6＝7，連続勤務日数5日，2週末中1週末休r・1
である場合に対する勤務スケジュール第2週
従業員 第1週

日 月 火 水 木 金 土 日 月 火 水 木 金 土

1Ⅹ

2Ⅹ

3Ⅹ
Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ

4Ⅹ

5Ⅹ

Ⅹ
ⅩⅩ

Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ

9

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Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ

710Ⅹ

Ⅹ

68Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ Ⅹ
Ⅹ Ⅹ

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ⅩⅩ（33）491

数dゐを満たすために必要なタイプ々の従業員数を示

プゐについては第1過から第β週まで週番号順に，し，／（β々）はタイプ1〜点の従業員の総数に対する制

以下のStepに従って，休日割当を行う．

約だけがあるとしたときの総従業員数を示す．必要総（Step2）週末休日が割当てられていない週が3週

従業員数Ⅳは，任意のゐに対して，タイプ1〜々の間あるいは4週間にわたる最初の過（つま㌢）（1／3）な

従業員数がβ烏の制約を滴足し，タイプ々＋1〜研のいし（1／4））に対して，1日の平日の休日を，次の順従業員数がそれぞれ固有の制約d々を満足するように，序で与える．
（1／4）に対しては，金曜日か木曜日次式の関係を満たす．

（1／3）に対しては，金曜日か木曜日

Ⅳ≧／（βゐ）＋／（d糾1）＋…＋／（d椚）（ゑ＝1，2，…，∽）（1ゆ

ランクが高い従業員は一般に給与も多く，それらの従いずれの場合も，金曜日に休日を与える余裕があれば，金曜日に割当てる．
（Step3）残りの週に対して，次の順序で，休日を業員数を少なくすることを目指すと，各タイプの従業員の必要人数が次式で与えられる．

割当てる．

仇＝／（dl）（11）

祝歳＝maX（′（め），／（β烏）一肌一紺2−…一紗烏＿1）（々＝2，3，…，∽）（3／3）と（4／4）に対して，月曜日か火曜日（2／4）に対して，（水，木），（木，金），（火，水）あ（12）各タイプの従業員数がこれらの式を満足する場合，るいは（月，火）（3／4）に対して，（火，水），（月，火），（水，木）あ

以下のアルゴリズムで勤務スケジュールが得られる．

るいは（木，金）（2／4）と（3／4）の週が複数個存在する場合は，ステッ

このアルゴリズムは，週末休日を割当てる段階と，プ5の方法に従う．

平日に休日を割当てる段階の2段階から構成される．
週末休日を割当てる段階で次の記号を用いる．

（2／3）に対して，（火，水）ないし（水，木）∬ヵ＝A細々／β（1湖（1／2）に対して，木曜日，金曜日あるいは水曜日〝烏＝β（Lこご彪」＋1−∬ゐ）（用（2／2）に対して，火曜日，月曜日あるいは水曜日

このとき週末休日の割当て手順は以下の通りである．
（Stepl）与えられたm，d＝（dl，d；，・・・，dm），D＝（β1，β2，…，β椚），A，βを基にして，式（11ト（1射こより，紗点，∬々，〝点（点＝1，2，…，∽）を求める．

（Step2）従業員のタイプ別に，k＝1，2，‥・，mの順に，〝々週末でLこと烏」人の従業員に休日を与える．そ（Step4）ステップ3で，各過に対して割当可能な日が複数個ある場合は，次のルールで決定する．
（a）既に割当可能な休日が残っていない曜日と連続出勤日数が2より小さいあるいは5より大きくなるような曜日は避ける．それでも決まらない場合は，（b）を用いる．

して，残りの月¶机週末で「∬烏1人の従業員に休日を（b）5日間の平日におけるタイプ々の従業員に割当て与える．休日の割当人数が少ない〝々週末は連続せずる休日ができるだけ均等になるように選択する．に，交代で生じるのが良い．そこで，数列5＝（1，3，それでも決まらない場合は，各タイプの従業員全5，…，βorβ−1，2，4，6，…，β一lorβ）に従って，各体の休日が均等になるように選択する．それでもタイプにまたがって，L∬々」並びに「諾々「人の従業員が決まらない場合は，（C）を用いる．
（c）可能であれば，連続した休日が後の割当で使える週末休日を得る週末を順に決める．
（Step3）各週末に休日を割当てる従業員を選択するに当っては，タイプ々のL∬々」人の従業員を先に割ように残すことができる曜日を選択する．それでも決まらない場合は，（d）を用いる．

当て，その後で残りの従業員の週末休日割当を順番に（d）第2退から第β過に対して，以前に割当てた休行う．ただし，従業員細々＋J（J＞0）は，従業員／とし日からの連続勤務日数が4日に近い曜日を選択すて取り扱う．

る．それでも決まらない場合は，（e）を用いる．

一方，平日の休日割当手順は，次の通りである．た（e）リストの最初を選択する．

だし，（彷）スロットは，週末休日が続けて割当てら（Step5）同じタイプのスロットが複数個ある場合れていない週の数がノで，そのノ過の内の第∠過を示

は，Step4で示した（a）〜（e）のルールで選択する．なす．

お，（3／3）と（4／4），（2／4）と（3／4）は同じタイプのスロ（Stepl）タイプ1，2，…，mの順に，そして各タイ492（34）ットとして取り扱う．

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オペレーションズ・リサーチ

表6 ∽＝3，♂．＝晶＝品＝1，β1＝1，∂2＝3，β3＝6，3週末休日である場合に対する勤務スケジュール
第2週

第1週

従業員

第3週

タイプ 番号 日 月 火 水 木 金 土 日 月 火 水 木 金 土 日 月 火 水 木 金 土

32Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ
Ⅹ Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

7Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

6Ⅹ Ⅹ
Ⅹ Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

Ⅹ

453Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

2Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

Ⅹ

11Ⅹ Ⅹ
Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

8Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ

9Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ Ⅹ

Ⅹ

Ⅹ

例．研＝3，A＝1，β＝3，d＝（dl，あ，広）＝（1，1，1），β＝（β1，β2，β3）＝（1，3，6）とする．このとき，式（11），（1カより，助＝2，ぴ2＝3，棚3＝4．また，式（1凱（14）より，エ1ると，最低限必要な従業員数Ⅳは，次式で与えられる．
Ⅳ＝maX（β＋「2E／51，「βg／（β−A）1）（15）＝2／3，∬2＝1，J3＝4／3，〝1＝1，〝2＝3，〝3＝2である．こBurns and Koop（1987）は，この最小従業員数で，のときの勤務スケジュールを表6に示す．

上記の4つの条件を満たす勤務スケジュールの作成法

5．マルチシフトスケジューリング
マルチシフトスケジューリングでは，1日のサービス時間が長時間にわたる場合に典型的に生じる問題で，1日24時間サービスの場合は，24時間を8時間ずつの3シフトに，あるいは12時間ずつの2シフトに分を示した．それは，予め部分的なスケジュール（モジュール）を用意しておいて，それを組み合わせてスケジュールを作成する方法である．

6．おわりに勤務スケジュールの最適化に関する研究は，今後もけることが多い．24時間のサービスでない場合でも，よ−）複雑で，現実に近いモデルの分析へと進んでいく

1日のサービス時間が8時間を越える場合は，一般にものと考える．現在，この研究分野にとっての重大なマルチシフトで対応する．繁忙時間にシフトのサービ問題点として挙げられるのは，どのような複雑さの問ス時間が重なるように設定して対応することもある．

題まで最適解が得られるかがわかっていないことであBurnsandKoop（1987）は，1日3シフト（1シフト8時間）で，平目のシフトオにおける必要勤務者数る．今後，研究を進め，この限界を明らかにする必要がある．

がβゎ 週末のシフトgにおける必要勤務者数が．払の勤務スケジュールの作成は，複雑な場合では近似解場合に，次の4つの条件を満たすスケジューリング問を生成するヒューリスティックな解法が有望で，これ題を分析した．

らの手法が今後さらに発展・普及していくと考える．

①従業員は各過当り平均して2日間の休日を割当て

しかし，計算量の少ないアルゴリズムで解が得られる

られる．そして，連続して2週末勤務する従業員問題に対して，あえてそのような方法を使用する必要は，少なくともその間に1回の連続休日を割当てはなかろう．また，問題が複雑なために，近似解法をられる．

作成せざるを得ない場合でも，初期解作成などに解析②従業員はβ週末中のA週末は少なくとも休日が結果は有用であろう．その意味でも，スケジュール最適化の研究が発展することが期待される．

割当てられる．
③2つの連続して勤務するシフト間には，少なくと参考文献も16時間の間がなければならない．また，シフト変更時には，少なくと1日の休日が与えられる．

［1］K．R．Baker，R．N．Burns and M．W．Carter，Sta④従業員の最大連続勤務日数は6シフトまである．

SChedulingwithday−0ffandworkstretch constraints，

このとき，β＝β1＋β2＋β3，且＝且1＋g2＋g3とす
2001年9月号

AIIETransactions，11，4（1979），pp．286u292．

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（35）493

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