＝……冊‖…州脚‖…胴川‖…州‖……Il………………州…川‖……………………………‖州州……州…州‖…州…州‖…川州州……側‖州…州……馴‖…………‖州州…州…州…州州…

スポーツのスケジューリング

桧井 知己
t…川t一冊ttt州t……t………………川……………l州‖刑l…＝酬‖…刑Illl‖＝‖‖州Il州Illl州Ill晰…l…‖………l…鼎州Ill………l……lllll…lll…酬‖l州‖l………帖Illl…刑‖……ll川Illl川Illl州Illl…刑‖l…刷のアウェイゲームであると言う．毎日れ試合が平行して

1． はじめに本稿の目的は，スポーツスケジューリング問題に関する行われるとし，全試合は2m∵−1日で終了する．このようなスケジュールを組むことは可能であり，図1に2γも＝6研究について簡単にまとめることである．

ある種のスポーツ競技においては，いくつかのチーム（プレイヤー）が互いに戦い，その結果で順位を決定する、このとき，試合のスケジュールは非常に重要な問蓮となるが，その理由は様々なものが入り交じっている．それは例えば，競技施設の数による制約であったり，チーム間の公平さによるものであったり，TV放映のスケジュール，あるいはチームの移動コストが問題となることもある．このように様々の制約と要求を満たすスケジュールを作ることは，非常に難しい問題となることが多い．海外の文献を見る限りでは，スポーツ競技団体から依頼されて ORの研究者がスポーツスケジューリング問題の研究を行うことは少なくないようである【1，9，12，13，14］・

本稿第2節では，スポーツスケジューリングに関する用チームの例を挙げる（一般の2陀の場合については，後に議論する）．図1の1日目の試合は「チーム6とチーム1」，「チーム5とチーム2」，「チーム3とチーム4」の戟う3試合である．試合は前に善かれているチームのグラウンドで行うとする．すなわち，1日目の試合はチーム6，5，3のホームグラウンドで行われる．このような試合スケジュールを作成する問題を，スポーツスケジューリング
問題と呼ぶ．

各チームについて，各日程の試合がホームゲーム（H）であるか，アウェイゲーム（A）であるかをまとめたものを（本稿では）ホームアウェイテーブル（HAT）と呼ぶ・図1に対応するⅡATを図2に挙げる．異なるスケジュールが同一のHATを持つこともある［12］・語の定義を行い，第3節で議論の基礎となる「基準スケジュール」についてまとめる．第4節では，「実際のチーム名の割当間蓮」の多くが2次割当問題となることを示し，第5節では「実行可能スケジュールの生成法」についてまとめる．

2． スポーツスケジューリング問題
図1：チーム数6の実行可能スケジュール．

本稿では原則的に，チームが2乃（偶数）存在する状況について議論する．チームの集合をク＝（1，2，．‥，2rl）とチーム

1日目

2日目

AⅡ

A

H

A2AH

旦AⅡ

3HA

皇HA

4AH

AⅡ旦

5HAHAA

6HA

ⅡAⅡ

書く．以下で考慮するのは，全てのチーム対が1匝げつ戦う状況である．これは，いわゆる総当たり観であり，給試合数はれ（2陀−1）である・各試合は，対戦する2チームのどちらかのホームグラウンドで行う．チーム豆とJが戦う

際，チーム盲のホームグラウンドで試合を行うならば，この試合はチーム言のホームゲームであると言い，チームJ

3日目

4日目

5日目

図2‥ホームアウェイテーブル（ⅡAT）・

まついともみ東京大学大学院工学系研究科計数工学専攻〒113−8656東京都文京区本郷7−3−1

実際の例では，各チーム対が，双方のホームグラウンド

URL：http：／／www．misqiiro．t・u−tOkyo・aC．jprtomomi／

で1回ずつ戦う，（言わば）2重給当たり戟という方法をとることが多い（この場合，試合数は全部で2れ（2γい1）とな

1999年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）lJ‖る）。2重縁当たり戟に対しては，以下のミラ脚リングといチームのホームグラウンドで行うとする．この円盤を先ほう操作を用いることが多いようである紅9，哨．これは，総どの悶の止で1／（2閃仙1）周ずつ回転させて，各日の試合当たり戟のスケジュ山ルをたてた後，各試合を行うグラウを決定する（図4では番号を回転させている）．ただし後ンドのみを交換したスケジュ山ルを，後半に付けるという述する理由で，半径に対応する線分の矢印は，円盤の回転操作である。囲詔に，図孔のスケジュ匝ルにミラ山リング毎に反転させる1血上記の手続きで作られた実行可能スケを施した，6〜胤の闘困のスケジコLh−ルを挙げる．ミラージュ山ルを】基準スケジュ加ーノンダがしばしば周沌−られる理由は，「同じチ山ム対の戦の際の基準スケジ、ユ山ルである什実行可能スケジュールにいはできるだけ離れた闇経で行った方が，観客にとって魅は，基準スケジュールで無いものも存在するが，基準スケ力的である」ことと，「全試合田程の前革部で，すべてのジュールには以下に述べるような展研が存在する．

チ仙ム対が戦うことができる」ためのようである。

ルと呼ぷ．図且は，2陀ニ6ある英行可能スケジュールにおいて，チーム慮が栗田団とぜ＋胤闇闘の開田ホームゲームを戦うとき，威＋乱田田の試合ほサー【ム嘉のプレ仙ウであるというⅥ また両日アウェイゲームであるときも，老＋1田呂の試合はチーム盲のブ尤〃馴肇であるという。図2において，下線の場所がブレークに対応している．ブレークが数多くある実行可能
スケジュ・一柳ルは，チ仙ム閤の公平さが失われていると感じられるため，望ましくないとされることが多い．残念なが図凱 ミラーリング．

ら，（チ山・ム数が偶数の際は）ブレークの無いスケジュールは存在しないが，j玖下の性質が成り立っている．

チーム数が2陀叩且（番数）の問題は，人工的に2れ番目のチームを作り，チーム数が2陀の問題に帰着することが可定理且 チーム数が2穐の任意の実行可能スケジュールに能な場合もある。この際，チ叫ム2陀と対戟することは，そおいて，ブレークの総数は2mⅦ2以上であり，基準スケのチームは休みであること（オフまたはバイと呼ばれる）ジュールはプレ血クの総数が2和Ⅷ2である．チーム数を意味する。

が2陀のときタ 各チ山ムが丁度且 試合ずつプレ州クの試

3￠ 基準スケジュール

合を持つ実行可能スケジュールが存在する（このときプレ・−−】一夕の総数は2閃であるノ。チ山ム数が2孤∬1（笥数ノなチ山ム数が2閃の総当たり戟で，毎田m試合を平行してらばノブレーー・クが且つも存在しない実行可能スケジュール

帝む−ヲ2陀仙1田で全試合を行うスケジュールを，実行可能が存在する小ス伊ジ且血兆と呼ぶ．任意の正の偶数2陀に対して，実行
証明三 任意の実行可能スケジュールにおいて，対応する可能スケジュールは存在する．これほ，例えば以下の手続

斑Å甘中のある2つの行が同じになることは無い。なぜな

きで作ることができる。
i

32

2

らば，もしこのような行の対（チーム対）が存在するなら

3：三LP

ば，このチ山ム対が戦う試合が存在しないからである．ブ

レークが存在しないチームのHA甘における行は，ÅとH4が交互に現れるものであり，2種類しか存在しない，ゆえ2田目 5にブレークが存在しないチームは，最大2つしか存在しない．よってブレークの総数は，2官In2以上である．定義より明らかに，基準スケジュールのブレークの総数は2陀−2

4岡田5臣ヨ田である†園4：2開＝＄の基準スケジュー椚ル．

図4に示すように｝チーム1，2，…，2閃耶且 を半径且の1数学的には以下のように記述される；第ま日日に戦うチーム対直な半径に対応する線分を書いた円盤を用意する．矢印のは，（‡2陀，威‡，‡￡＋且，老¶且），‡ぜ＋2，老−2），‥・湖＋純一1，ま一犯＋り）であり（ただし度目ゐ，老＋たはモジュロを取って且から2詑Ⅶ1の間の値にしたもの），（1）チーム対‡2陶，電）の試合のグラ
ウンドば，暑が奇数ならば2陀，砥が偶数ならばせとし，（2）チーム対（ま＋た，蕊仙た）の試合のグラウンドは，ゐが奇数ならばま−ゐ，両端のチーmムが試合をするチーム対を塞し，矢印の根元のゐが偶数ならば悪＋たとする．

円周上に等間隔に並べ，チーム2柑を円の中心に配置する・
平行な矢印を開m且本，向きを互い違いに並べ，それと垂瑠穏望（28）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ0リサーチ

基準スケジュールにおいて，第1日目の試合全てを，論文は，室内クリケットの試合に関するものであり，各日第2†い1日目の後に移動することにより，各チームが丁の第何試合日かによって競技場の状態が変化し，また競技度1つブレークの試合を持つ実行可能スケジュールを作場の状態に関するチーム（プレイヤー）の知識量も変化することができる．

る，そのため，各チームが各日の第何試合を戦うかについチーム数が2和一1のときは，チーム数2†lの基準スケても，公平さが要求される．論文［2］ではこの間題に対し，ジュールにおいて，チーム2†lを架空のチームとし，チーデザイン理論を用いたアプローチを行っている．

ム2和との戦いは対戦チームの休みに対応させると，ブ1

レークの存在しないスケジュールとなる．
ブレーク数最小のスケジュールは，ブレークの無いチー

4．チーム名の割当
前節で議論した基準スケジュールは，ブレークから見たムが出現することから，不公平であるとされることも多公平性のみ議論されており，チーム間の関係が考慮されてく，上記定理中の「各チームが丁度1回ブレークを持ついない．

スケジュール」が好まれることもある［4］．各チームのブレークが1回以下であるような実行可能スケジュールの研究もされており，理論的に興味深い性質も見つかっているが，残念ながらここには紹介するスペースが無い［7】．

4．1 地域の要請
オランダのサッカーリーグについて扱っている論文［13】では，「ホームグラウンドが同じ地域にある2チーム基準スケジュールの短所としては，チーム2γ1が特殊なは，同時にホームゲームを戦うことは望ましくない．」と立場になるということがある．上記定理の証明からも明らいう要請が考慮されている．この要請は，1つの地域で同かなように，チーム2乃は常に（対戦相手の）ブレークの試時に試合が開かれると，その地域の観客がどちらか一方の合かその直前の試合を戟っている．チーム間の平等さを重試合しか観戟できないことから，試合による給収入が減る視したスケジュールに関する，デザイン理論に基づいた研ことを避けるため導入されている．

論文［13】では，実行可能スケジュールを適当に1つ選究もある【11】．

論文［9］で扱っている状況では，始めから日程が定まっんで固定し，地域の要請を考慮して実際のチーム名ている試合がいくつかあるため，ブレーク総数を上記定理

当てる問題を，2次制約の存在する割当問題として定式化で示された下界の値（［9］ではチーム数が音数であり，下し，発見的解法を用いて解いている．実行可能スケジュー

界はゼロ）におさえることが非常に困難である．このたルの一般的な選択法については，論文［13］では言明されてめ，休み（オフまたはバイ）をアウェイゲームと見なしたいない・実行可能スケジュールの選択も，解法の手続きのとき，3連続ホームゲームと3連続アウェイゲームが無い中に組み込んだ方法については，次節で述べる．

スケジュールの立案が求められている．休みをアウェイゲームと見なす理由については述べられていない．
チームの移動費用の総和最小化が要求される，論文［12】上記の「実際のチーム名を割り当てる問題」を，通常の2次割当問題に定式化する方法の1つとして，以下のようなものがある．例えば図1の実行可能スケジュールに対しのような問題も存在する．ブレーク数の少ないスケジューて，実際のチーム名γ＝（れ，ち，‥．，端）を割り当てる問

ルは，各チームがホームグラウンドと相手チームのグラウ

題は，以下のように定式化される（以下チームの集合Pとンドを交互に訪れるため，結果として移動費用が高くな実際のチーム名の集合γを区別して扱う）．チーム盲，J∈る・移動費用を少なくするためには，アウェイゲームが連Pに対して，HAT（図2）の第よ行と第ノ行について，同時続するようなスケジュールが望ましい．チームの給移動費にHが存在する日数を毎と表すと，行列（毎）は表形式

用の最小化問題については，第4．3節で扱う．

で以下のように表される．

チーム数2γlの と き のブレーク数の上界としては，2乃（m−1）−（2γもー4）という式が知られている
2が，れ＞3においてこれを達成する実行可能スケジュールが存在するかは，分かっていない［12］．

ブレーク数とは異なる基準が重要視されている問題と

2 0 023 0 2230 22

しては，論文［2］において，競技場が唯一つのため各日の4 2 23 0試合にも順序を付けねばならない問題を扱っている．この5 00 2 2

6 0 2 2
1999年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

2 3（29）143

係数m銅は，範，範∈すのホームグラウンドが同一

凱 実行可能スケジュールの生成地域にあるとき軋，そうでないとき0をとる係数とする．
チ加ム嘉を実際のチ帥ム名範に割り当てるとき胤となる

払Ⅷ変数お壷pを導入すると9以下のような問題を解いて得られるスケジュ加ルは望ましいズケジユ匝ルとなる巾

二、￣ ‥・、
ヨトニL／iご「∴声つ＝ユ？＝こ∴．：、、；ごミ∵こ ．・、、：− ・ ト●：．・・．．．・．
・′＼′・・

それに実際のチいム名を割り当てるというものであった．
このときコ固定する実行可能スケジュールとしてどんなものを選ぶべきかも麗質である− 以下で述べる論文［9，且2i

2れ 2れ 2穐 2柁

、

前節の開港は，実行可能スケジュールを1つ固定して，・、は，英行可能スケジュー‰ルの選びブ射こついても考慮している．

蕗の胤 全列挙法
第4。2節でも言及した論文【9］の解法は列挙法に基づいており，解法ほ2段階に分かれている，第1段階では，制残念ながら92次割当問題は非常に難しい問題であり，約を満たす実行可能スケジュールを全て列挙している．実

チーム数が18程度の問題でも，現実的な時間で厳密解を際には9チームの問題で，列挙された実行可能スケジュー求めることは（現在までに開発されている算法では）困難

ルは826種類であった．列挙法の詳細についてほ後に述と思われる 臣3，且のj血 ただしブ 以下に述べる2つの論文べる。第2段階で勘この826種類のスケジュールに関し

旺9，且2】で扱っている状況では，チーム数が且0以下のため，て，実際のチ山一ム名（9チーム）を割り当てる問題を，全探上記の2次割当問題（に瀕する問題）を全探査（注：且0！＝査を行って解いている（注：826＊9！＝299，738，錮0であ3，628，800である）を行って解いている中る）．第2段階の計算には，SmmSPA隠C−20ワ酬クステーションで24時間程度かかったとある。

穏。慧 甘∇放映による要請

残念ながら，実行町能スケジュール全体の特徴付けにつアメリカのバスケッ恥ポールの大学リーグについて

いてほ，現在までに知られていることばほとんど無い．論扱っている論文監9』はチ競技団体からの実際の依頼の下

文阿では∴整数計画法を用いて実行可能スケジュールので研究を行っているためか，上記よりも更に踏み込んだ冒生成を行ってむ−る◆ 実行可能スケジュールの生成は，パ的関数を扱っている。この論文でほ，各チーム対の試合にターー▲一一八ン生成乳HA甘生成弧スケジュール生成部の3段階

対して）その試食の質に対するWV局の評価が3段階で与に分かれている。

えられてルーる．そL／て）試合は（週軋週乳週田，週泉…）

パタ・脚∪ン生成部では，誰A甘の各行に対応するものを全と交互に行われ，甘Ⅴ視聴率獲得の要請から，評価の高いて列挙している。例えば論文［9］で生成しているのは，試食は早い時期の週末に行われることが望ましいとされチーーム数牒であることから，長さ9の列でH（ホームゲーる．二週末に行われるゲ山ムを評価の高いものにしたいとム）または，胤（アウェイゲーム）を8つ含み，B（バイすなわいう田的関数も，止記の2次割当問題として表すことがでち休みを意味する）を1つ含むものである・これは9＊きる。それには例えば，係数mp留を範と範の試合の評28＝勘鋸噛存在する。2，304通りのパターンをすべて生価（評価が高い私憶が小きい）とし，係数ゐ盲メは，対応す成し，それぞれにミラー−リングを施す．このうち以下の制る実行可能スケジュ加ルにおいて，盲とブの試合が週末な約を満たすパターンのみを残した結果，38種類のパターらば乱，週田ならばり，となる0一且係数とすればよい巾

ンが残ったと報告されている．

趨。認 移動費用の最少化⑳週末の呵ホームゲーム）が4回ある・

アメリカの野球リーグについて扱っている論文［咽では仁各チームの移動費用（または移動距維）の総和を最少化する問題を扱っている。この間凄も以下のように2次割当問題として定式化することができる・係数mp留をちのホームグラウンドから範のホ」ムグラウンドへの移動⑳3連続軋 3連続Åが無い（このとき迅（バイ）はAと見なす）・⑳週末のみ見たとき，3連続Hも3連続Aも無い・⑳最初の5週間の週末では，2つ以上のHか，Hが且つ以」ヒ潤が1つあるn⑳ 最後に2つÅが連続しない．

費用とする血係数ゐ首ブはヲ対応する実行可能スケジュールにおいてプチー【ム或のホ山ムグラウンドからチームゴの実は，まだいくつか複雉な制約があるが，紙面の都合上割ホームグラウンドへ移動するチームの総数とすればよい．

愛する．

瑠錮（30）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ㊥リサーチ

ⅡAT生成部では，パターン生成部で生成された38パ

5．2 局所探索法

ターンから9つを選んでHATを生成する．HATとなる
必要条件としては，各日（各列）が4つのH，4つのA，1つのBからなる必要がある．38パターンから9つを選ぶ
38C9通りの方法のうち，この条件を満たす選び方は17通りであった．生成は，以下の制約を満たす解を全て列挙することによって行っている．

論文［12］では，実行可能スケジュールの空間を局所探索するという 発見的解法を用いている．具体的には，実行可能スケジュールを1つ固定して，前節の「チーム名の割当問題」を仝列挙で解き，実行可能スケジュールを少し変形させて，また「チーム名の割当問題」を仝列挙で解く，という作業を繰り返し実行する．現在の実行可能ス
ケジュールより，「チーム名の割当問題」の最適値がより∑≡1ゐ豆た諾盲＝4（ゑ∈（1，2，…，9）），∑芝1α豆た∬豆＝4（ゐ∈（1，2，…，9）），∑莞1∬盲＝9，

以下に述べる2種類の方法を用いている．論文［12】にお勘∈（0，1）（哀∈（1，2，‥．，38日．

いて要求されているスケジュールが満たすべき制約は，良い実行可能スケジュールが得られたら，実行可能スケジュールを更新する．実行可能スケジュールの変形には，● ミラーリングを施した後のスケジュールに，3連続H
ただし，壱∈（1，2，…，3S）はパターンの添え字，勘はパも3連続Aも無いこと．

ターン盲を選ぶとき1となる0−1変乱0−1係数ん豆たはパターンまがゐ日日にHならば1となり，0−1係数α盲たはパだけである．

1つ目の変形法は，現在の実行可能スケジュールの日をターン盲がた日目にAならば1となるものである．
上記の制約を満たす解を1つ，整数計画法のソフトウェ交換する方法である（例えば吉日目とブ日日の全試合を交アを用いて求める．求まった解において1となっている換する）．ただし，Hが3日連続するあるいはAが3日連添え字の集合を51としたとき，∑古び1ガ壱≦8という制続するような交換は行わない．

約を追加して，．制約を満たす解を新たに1つ求める．新た2つ目の変形法も，現在の実行可能スケジュールからに求まった解において1となっている添え字の集合g2に適当な2日（例えば豆日日とブ日日）を選び，その2日の対し，∑∈5。∬盲≦8という制約を更に追加し，制約を満試合を変更する（他の日の試合は変更しない）ものである・

たす解を新たに1つ求める．以下，制約を満たす解が新た

ただし試合の変更は以下に述べる方法で行う（図5はチーに得られる限り，この手続きを繰り返す．

ム数8の場合）・以上の手続きによって，全ての解を生成することが出来る．17通りのHATの生成にかかった時間は，Sun
SPARC−20上のCPLEXを用いて1分程度であったと報

2

1J l
5

3→41→2；×；
現在のゴ日日の試合．

6
7−→8
現在の戎日日の試合5−→・6告されている．
1−−−−−−25→6のHATに対して，それぞれに対応する実行可能スケするか」をチェックする問題は，多項式時間で解けるかが

74

宍8喜

盲目目とメ日日の試合を合わせたもの

ジュールをすべて列挙している。HAT生成部で得られたHATに対して，「対応する実行可能スケジュールが存在3l l

スケジュール生成部では，HAT生成部で得られた17

11 l
521→23一→4

65−−−67−−・・8

新しい五日目の試合．

新しいブロ目の試合．

未解決問題である．論文【9】では，実行可能スケジュールの存在判定問題を0−1整数計画問題として定式化し，整数計画法ソフトウェアでそれを解いている．詳細はここで

図5：スケジュールの変形．

ある日の試合は，図4で措いたようにチームを頂点とは省くが，非常に素朴な定式化を行って，変数300個程度，するグラフの（有向）完全マッチングで表される．ゆえ

制約式234本の0−1整数計画問題としている．HAT生成に，2日分（ま日日とブ日目）の試合に対応する2つの完全部と同様な方法を用い，結果として826通りの実行可能マッチングをあわせると，頂点を共有しないサイクルの集スケジュールが得られたと報告されている．計算時間はまりとなる．サイクルが烏個のとき，各サイクル毎に2日Sun SPARC−20上のCPLEXを用いて10分程度であっ分（吉日目とブ日日）の試合の内どちらを選ぶかで，2た種たと報告されている．

類の実行可能スケジュールを生成することができる▲（た1999年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）145だし2鈷のうち且つは現在の実行可能スケジュールであ最後に】本稿をまとめるきっかけとなった論文［9］の紹る。）ここでも，斑が3田連続するあるいはÅが3田連続介をして下さった，東京大学工学部計数工学科の宮代隆平するような交換は街わなルー。図5では，4種類存在する実君に感謝します¶

行町能スケジュ山ルの内の且つを新たな試合として選んで1′もる†（且つ闇の変形方法は，2つ圏の変形方法の彪＝1

参考文献紅1］』胤Å『m如omg amd軋』．Wil且is＝ Sc払edⅧ且imgもheの場合と風なすこともできる．）、、− ・‥ ・． ●ト ーーt．一 りナ、J・、∫／￣了・・． 、、・・ヾ・−．∴：い−： ∴、 ニー・こ、−．

二・ ∴・ぎ：・・− −．

本稿でほ，2銅チ山ムが飯田椚試合を平行に行い，2和明・ −、‥∴・√・㌧り．・・・ ト‥．−：・：、へ∵∴＼：）
1凱

乱闘で緻当り観を行うスケジュールを作成する問題について，既往の研究の概説を行った。
第4節の望次割当問題は，チ血ム数が少な陣場合は全列挙でも解くことば出来るが，第5節の解法のように何度も解く状況では，より高連な解法が必要であろう，第5節の，実行可能スケジュールの生成碇つ舶ては，理論的に分かってルーることが殆ど無く，これからの研究が待たれる小∴∴、…・・

亭：−i・：・、．；・こ・・．、‥ ＼・∴．い．ミ．・・i・∴．、（蹴温l皿We訂Aca舶micPⅦblishe『S，1996）．
卜・・・・・：∴lい∴ ト∴・・、ハ‥‥、．∴べ ∴㌦・・、 ．！、：∫．ニー J∵ ・′JJ．−−∴！‥こ−さ、・‥ い∴ニ

E5］D可鮎W鳶で貯a‡Min血izingirpegⅦ且ariもiesimsports
SC払edⅦ温esl且馴mg g貯ap払tb．eory。血豆βC㍗eぜe郎が盲eば∴−く、．i三！．て −．：−、∴

当」と「英行可能スケジュ・−ル生成」の2段階に分か【6j m。deWe訂訂aこ のn抽e ml且1もip且iciもieso釘divisioms：
抽eⅧSeO釘即apbs払∬SpOr七ss洩edⅦ1鼠mgs．純血御妹
且茄（乱9鮎），且25−1認6．

れた解法を提案しているが，これを同時に取り扱うことに［7］野・鮎Weyra：Somemodelsofg柑p払s餌sche血1一よって，より速い解法が得られる可能性があるレ この2本且mgSpO好もscompeもi七ions．β盲βC㌻eぜe』厨厨g威ed∬αぜゐe山
肌α離cβソ詔胤（1986），那−65由第動5節で詳述した論文仁9，咽では，「サーム名の割の論文は）健用した実際のデータが逐一掲載されており，

E8〕∬A『e鵬md amd C．別emrem七：CompⅧも即aided

他の研究者が継続研究することも可能と思われる。特にSC払edⅦ1img払raspor七且eagⅦe。刃Ⅴダの児，慧9（1991），

E且2】は，著者らの提案したスケジュ山ルが結願受け入れらトト二≧5．

れず，その理由に依頼団体内部に力関係があったことを挙［9］誓・m−Ⅳem‰aⅧSera・mdM息甘rick＝Sched山ingama−』Or COllege ba・Skeもballcom鮎reIユCe。七o appea．訂im

げるなど，臨場感あふれる記述で，事例研究の熱気を感の厨eγe鳶恵の乃β属eβe紺Cゐ；鮎βeαγCゐγeβ厨0町ぜ，Tm貰−97一呵孔997），甘敗eIJOgisもic＄Imsもiもuもe，Schoo乳0∬互m血s−じさせる論覚である中痛a且amd Sysもems E

絶当り戟のスケジュ山リングでも，イギリスのクリケッ

Ofコ脂c払mo且ogy，払仇p‥ 漕毘器幾豊慧芸才ms七iもⅦもe

恥り山グでは，且田に行う試合数が0〜2試合程度と決E呵P．M．Parぬ鼠osamd軋Wolkowicz，eds∴ 伽αdγα蜜豆c

まっておらず，非常に長い期間内に全試合を行う．この間
題ではプ各チームの試合間隔の公平さが重視される．このような問題についても，いくつかの発見的解法が提案されてルーる腑町均呵・特に睦肘掛解法の詳細が数学的にきご ∫・・・・●こ一ゾ・・∫、‥∴・・・∴ご・：こ∴・・・ t・・：・・
訂1e鰐，鳳岱，乱994）。

［瑚K瓜隠ⅦSSel旦‥ Balamclmg Carでy−0V即e鮎cもsim
訂0Ⅶmd∬Obimもournament・戯omeぜ㌻盲ゐα，67（1980），
1二〜7131［且2】鼠胤隠ⅦSSe且and∬，M．Ⅴ且eⅦmg：Devisimgacosも路ちんと書かれている申さて，近年の田本の状況はどうなっているのだろう．昨飽cもivesche（呈u且efbr aba5eba・11凰eague．のpe和宮盲0犯β鮎βeα陀ゐ，4慧（1994），614−625・年の凋∵り仰グのチーム合併といった事件を見ると，第4。1［且3］』胤M鰯c払relユder：Combinatoria且誠peC七sofco耶上節の「地域の要請」といった目的関数が俄然現実味を帯びて見える。各競技団体では，魅力的な甘Ⅴ放映日程やチームの移動費用とレ、ったことを考慮してスケジュ山ル

SもぞⅧC七iomo釘compeもiもiom Du七chprofbssional董boもーba且‖e∂′gⅦeS，β豆βCγe宮e』ppg盲eば∬α富ゐemαま豆cβ，35●−−、■●−−［瑚隠・∬−Wi且且isamd臥』・馳r撤 S坤edulimg七be血s−を組んでいるだろうか？見たい試合が甘Ⅴ中継されないもでa温風am sもaもe c『icke七seasom u別ng S血ulaもed aⅣという苦情が，新開の投稿欄のお決まりの話題であること

45（丑99恥276−2弧

ば確かである。田本のスポーツ競技団体で実際に行われているスケジューリング方法についての（個人的な要望でなt・−‥・、・・い∫〜・・・・一寸∴：り‥・∴・・∫〜・；∴・ヾミ∫二∫′∴、ご、−・い−J，・、［嘲M‥Ⅴ腑ighもこ 甘imeもabl主mgcoum七y crick如触七uぎeSu別mg孔払rmofもabt且SearCh：ゐ附那出げq押掛‥‥．．．・・‥・一．ヽ・い・・∴．∫、−● ご：、∴：i：・∵：−ニ∴く）専門的な分析が必要であろうn ここでも，0隠の活躍が待たれている．

錮柑（32）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ◎リサーチ