千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

L Iy RVx

バルクエッジ対応の物理の多様性と普遍性

筑波大学数理物質系 物理学域
初貝 安弘

千葉大学理学部集中講義

イントロダクション

2015年7月9日-10日

今なぜトポロジカル相なのか

物理学の大事にするもの
自然科学のなかの物理学
多様性と普遍性

物理学における対称性とその破れ
連続対称性
対称性の破れと物性物理学

量子的な物質としてのグラフェン
物質中の相対論的粒子
量子力学とゲージ対称性

エッジ状態はどこにでもある！

トポロジカル相とは量子ホール効果と量子スピンホール効果
端をみて中身を考える：バルク・エッジ対応

千葉大学理学部集中講義

講義予定
物理学の大事にするもの
自然科学のなかの物理学
多様性と普遍性

物理学における対称性とその破れ
連続対称性
対称性の破れと物性物理学

量子的な物質としてのグラフェン
物質中の相対論的粒子
相対論的粒子とエッジ状態

トポロジカル相とは量子ホール効果と量子スピンホール効果
端をみて中身を考える：バルク・エッジ対応

2015年7月9日-10日

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

物理学とは
物理学とはなにかF = mg sin

+
_
2

Q
F =k 2r¨=⇥

2

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2015年7月9日-10日

物理学とは

物理学とはなにか

物性物理学
素粒子

原子核

http://www.naka.jaea.go.jp/ITER/
http://www.wallpaperlink.com

http://www.kek.jp/kids/class/nucleus/index.html

宇宙

プラズマ

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

物理学とは

物理学とはなにか

物性物理学
素粒子

普遍性
Universality
原子核

プラズマ
宇宙

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Universality (普遍性)とは？

2015年7月9日-10日

各論を超えた統一的理解
http://

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Universality (普遍性)とは？
法則

2015年7月9日-10日

質点の運動 として統一的に理解F = ma : 押しただけスピードアップ
質点：大きさの無い質量(m)のみを持つ点

理想化
近似？
数学的厳密さを失った？
http://

千葉大学理学部集中講義

法則

Universality (普遍性)とは？

2015年7月9日-10日

F = ma : 押しただけスピードアップ
理想化 質点：大きさの無い質量(m)のみを持つ点
複雑な対象

情報の縮約

m : 唯一の特性として抽出

ある時間スケール、空間スケールで成立する階層的基本法則の発見

Universality
http://

千葉大学理学部集中講義

Universality (普遍性)とは？

2015年7月9日-10日

ある時間スケール、空間スケールで成立する階層的基本法則の発見

Universality すべての物理法則は破綻する
階層間のクロスオーバー

Exact
Exact

Approx.

physics

厳密(exact)⇥ ¨ = mg sin

ある時間スケールにおける
単振動

Approx.

mathematics1¨ ⇥ (mg/⇤)近似(approx.)

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2015年7月9日-10日

自然科学としての物理学
普遍性

Universality

Physics

自然科学
多様性
化学
工学

各論の基礎付けDiversity

質的転回の基礎

chemistry

人間の幸福

engineering

文化的価値

生物学

biology

異なるアプローチ（相補的）有用な各論千葉大学理学部集中講義

Spontaneous Broken Symmetry

2015年7月9日-10日

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Spontaneous
BrokenSymmetry
Use it for particle physics : Y. Nambu

Universal & Basics
Concept
in the whole physics

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

物性物理学
素粒子

普遍性
Universality
原子核

プラズマ
宇宙

千葉大学理学部集中講義

講義予定
物理学の大事にするもの
自然科学のなかの物理学
多様性と普遍性

物理学における対称性とその破れ
連続対称性
対称性の破れと物性物理学

量子的な物質としてのグラフェン
物質中の相対論的粒子
相対論的粒子とエッジ状態

トポロジカル相とは量子ホール効果と量子スピンホール効果
端をみて中身を考える：バルク・エッジ対応

2015年7月9日-10日

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

物理学における”タイショウセイ”
物理学における対称性
対称性
Symmetry
対照
対称
対象
対称？
美人は顔のつくりが左右対称 ？

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

物理学における対称性
対称性

Symmetry対称？
美人は顔のつくりが左右対称 ？

nice !

not so much

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

物理学における対称性
対称性

Symmetry
左右対称

ひっくり返す「対称操作」

Symmetry

千葉大学理学部集中講義「いろいろな対称操作」

2015年7月9日-10日

Symmetry

千葉大学理学部集中講義「いろいろな対称操作」

120度回転2015年7月9日-10日

Symmetry

千葉大学理学部集中講義「いろいろな対称操作」

240度回転2015年7月9日-10日

Symmetry

千葉大学理学部集中講義「いろいろな対称操作」

360度回転2015年7月9日-10日

Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

60度回転

Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

120度回転Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

180度回転Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

240度回転Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

300度回転Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

360度回転Symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

low symmetry

high symmetry＜
回転角：60度、120度、180度、240度、300度、360度

千葉大学理学部集中講義

対称性の定量化

2015年7月9日-10日「いろいろな対称操作」
low symmetry＜

high symmetry

＜

＜

＜

「連続対称性」
Nambu-Goldstone Boson

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の低下と対称性の破れ
high symmetry

low symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の低下と対称性の破れOK!

high symmetry

No good!

low symmetry

90度回転千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の低下と対称性の破れOK!

high symmetryOK!

low symmetry

180度回転千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の低下と対称性の破れ
high symmetry

low symmetry

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の低下と対称性の破れ千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の低下と対称性の破れ

対称性の低下対称性の破れBroken Symmetry
Break down of Continuous Symmetry
連続対称性の破れ自発的? Spontaneous ?

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

磁石：秩序形成＝対称性の破れの例
電子は電荷の他に固有の角運動量を持つ（スピン）
スピン＝ /2:と同程度：量子論による記述

磁石：電子のスピンが一つの方向にそろったもの
スピンとは何だろうか (Dirac)
なぜスピンがそろうのか？
そろいかたにもいろいろある
多様な磁気秩序相↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓（反強磁性：ネール状態）↑↑ ↑↑ ↑↑ ↑↑ ↑↑（強磁性）
どうやって磁気秩序を区別するか？

千葉大学理学部集中講義

秩序と秩序変数2015年7月9日-10日

磁気秩序（磁石）
室温の磁石（秩序正しい）秩序相
磁石をバーナーで熱すると（でたらめ）

無秩序相

秩序変数：矢印！ “vector”⇥m(⇤⇤ r ) 場所 ⇥r での平均の磁化の方向 m

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

秩序変数と対称性の自発的破れ
対称性の観点から区別しよう！！
特定の方向がある！
秩序相

対称性が自発的に破れてい特定の方向がない
るすべての方向が同等

無秩序相

秩序変数

m(⇤r) :

= 0 対称性が破れている= 0 対称性が破れていない

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の自発的破れ
Spontaneous Symmetry Breaking
物質はすべての方向は同等のはず！
特定の方向はない
すべての方向が同等

物質の形態を定める法則は完全に等方的実現した状態には特定の方向がある！
秩序相

対称性が自発的に破れてい千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

温度低下による自発的対称性の破れ
Disordered

高温相

Symmetric

特定の方向が無い：平均的にすべての方向が同等

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

温度低下による自発的対称性の破れ
Ordered

低温相

Broken Symmetry

特定の方向を自発的に物質が選び出す！

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

温度低下による自発的対称性の破れ
Disordered

高温相

Symmetric

特定の方向が無い：平均的にすべての方向が同等

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

温度低下による自発的対称性の破れ
Ordered

低温相

Broken Symmetry

特定の方向を自発的に物質が選び出す！

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

温度低下による自発的対称性の破れ
Ordered

低温相

Broken Symmetry

どの方向への対称性の破れ、秩序もやはり同等！！

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

温度低下による自発的対称性の破れ
Ordered

低温相

Broken Symmetry

自発的対称性の破れは自由度無限大になって初めて起こり得る（マクロな系固有の現象）

More is Different
by P.W.Anderson
どの方向への対称性の破れ、秩序もやはり同等！！

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

連続対称性の自発的破れとNambu-Goldstone Boson
同等な方向が連続無限個ある！
Breaking pattern 1
Breaking pattern 2
Breaking pattern 3
Breaking pattern 4
Breaking pattern 5
Breaking pattern 6
Breaking pattern 7千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

連続対称性の自発的破れとNambu-Goldstone Boson
対称性の破れのパターンをゆっくり乱す
理想的な対称性の破れ

ゆっくりしたパターンの乱れ

もっとゆっくりしたパターンの乱れパターンの乱れの波長

連続対称性の自発的破れとNambu-Goldstone Boson
対称性の破れのパターンをゆっくり乱す

Symmetries are destined to be broken (Nambu)
periodof low
the energy
disturbance
It implies
excitations
長波長のゆっくりした乱れは殆どエネルギーのロスが無い%~! & 音波的振る舞い= ck

k = 2⇡/

magnon (磁性波)phonon(格子振動の波)

Nambu-Goldstone Boson
Gapless excitation with
Spontaneous Symmetry Breaking

千葉大学理学部集中講義

Spontaneous Broken Symmetry

2015年7月9日-10日

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の破れを使った相分類の大成功
Nambu-Goldstone&〜1980
Landau-Ginzburg-Wilson
The Munich physics professor advised Planck against going into physics,
saying, "in this field, almost everything is already discovered, and all thatremains is to fill a few holes."M. Planck 〜1900

Quantum phases without symmetry breaking
Quantum/spin liquids
対称性の破れを越えて新しい概念へWhy do we care topological phases ?
Characterization of phases
too much success

Ginzburg-Landau theory

Local order parameter: hS(r)i
Symmetry breakinghS(r)i 6= 0

Magnetism, superconductivity, charge/orbital ordering ...

Is thisTosatisfactory
?
pol
ogi
calliquids
Quantum/Spin!

Absence of symmetry breaking
need something more:Quantum/Spin Liquids ?
Quantum Liquids in Low Dimensional Quantum Systems
Low Dimensionality, Quantum Fluctuations
No (fundamental) Symmetry Breaking
No Local Order Parameter

New Type of Order
Topological Order!

Quantum Liquids in Condensed Matter

X.-G.Wen ’89

Integer & Fractional Quantum Hall States
Dimer Models of Fermions and Spins
Half filled Kondo Lattice
Kitaev model & Levin-Wen model
Anisotropic superfluids/superconductors (ABM, BW, p-wave )Graphene, Weyl semi-metal
Topological insulators : quantum spin Hall states
Photonic crystals & Some of cold atoms ..

Quantum Liquids ?
Quantum Liquids in Low Dimensional Quantum Systems
Low Dimensionality, Quantum Fluctuations
No (fundamental) Symmetry Breaking

GappedGapless

New Type of Order
Topological Order!

No Local Order Parameter

X.-G.Wen ’89

Quantum Liquids in Condensed Matter

GappedInteger & Fractional Quantum Hall States
Dimer Models of Fermions and Spins Gapped
Half filled Kondo Lattice

GappedKitaev model & Levin-Wen model

Gapped/Gapless

Anisotropic superfluids/superconductors (ABM, BW, p-wave)
Graphene, Weyl semi-metal

Gapless

Topological insulators : quantum spin Hall states
Photonic crystals & Some of cold atoms ..

Gapped“Insulators are stable” implies “Topological”
Insulators : Gapped
Band insulators
Superconductors
Integer & Fractional Quantum Hall States
Integer spin chains (Haldane)
Dimer Models (Shastry-Sutherland)
Valence bond solid (VBS) states
Half filled Kondo LatticeSpin Hall insulators
Kitaev model & string net

Absence of low energy excitations
Energy gap above the ground state

Lots of variety
Absence of fundamental symmetry breaking (mostly)
Quantum/spin liquids (gapped)

“Insulators are stable” implies “Topological”
insulator
Insulators : Gapped

Band insulators
Gapped: Nothing
in the gap : cf. Nambu-Goldstone boson

Superconductors
No lowInteger
lying excitations& Fractional Quantum Hall States
gapless modes:
Integerspin chains(Haldane)No
Response
for small
perturbation
Dimer Models (Shastry-Sutherland)
acoustic phonons
Valence bond solid (VBS)
states？？？
zero sounds
Half filled Kondo Lattice??
spin waves
Spin Hall insulators
Kitaev model & string net

Absence of low energy excitations
Energy gap above the ground state

Lots of variety
Absence of fundamental symmetry breaking (mostly)
Quantum/spin liquids (gapped)

“Insulators are stable” implies “Topological”

Quantum(gapped)Insulators: Nonliquids
metal, gapped
Band insulators
Superconductors
Integer
Integer && Fractional
Fractional Quantum
Quantum Hall
Hall States
StatesTopological Order
Integer spin chains (Haldane)
X.G.Wen ’89
Dimer Models (Shastry-Sutherland)
Valence bond solid (VBS) states
Half filled Kondo LatticeSpin Hall insulators
Kitaev model & string net
Zoo

Something for classification
Topological order
Edge states
Berry connections

千葉大学理学部集中講義

講義予定
物理学の大事にするもの
普遍性
物性物理学？
２１世紀の物理学

物理学における対称性とその破れ
連続対称性
対称性の破れと物性物理学

量子的な物質としてのグラフェン
物質中の相対論的粒子
相対論的粒子とエッジ状態

トポロジカル相とは量子ホール効果と量子スピンホール効果
端をみて中身を考える：バルク・エッジ対応

2015年7月9日-10日

Co
ngr
atu
lati
on!

物理学セミナー2010, Oct. 5

Graphene??

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

π-electron systems
benzenephenanthrene

naphthalene
benzopyrene
anthracene

tetracene

pentacene

coroneneGraphene??

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Carbon Nano-Tube

Graphene

Fullerene千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Carbons in Dimension 0,1,2,3,...
fullerene D=0graphene

D=2

polyacetylene

diamond D=3

D=1

4 D graphene
for latticegauge theory
M.Creutz
JHEP04(2008)017

Graphene??

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

THEOREM (Landau, Mermin)
1,2D crystal is unstable against for long range fluctuations

CrystalTranslational symmetry is broken
Fluctuation:phonon
Nambu Goldstone mode
It’s sound like :longer wavelength, then energy cost is small

Strong fluctuation in 2 dimensions
Melting of the crystal

Broken Translational symmetry ( Nambu-Goldstone)
1D gas
千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Broken symmetry :Invariant by translation
1D crystalIt implies low energy excitations

Translational symmetry is broken !

Modification & energy cost

short period modulation : high energy costlong period modulation : low energy costperiodalmost no change

phonon(Sound)Graphene??

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

THEOREM (Landau, Mermin)
1,2D crystal is unstable against for long range fluctuations

In reality

Su

?
?
le

rpr stab
:
l
i
s
a
t
e
s
y
r
c
#
1
2D

Impossible to realize

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

What is so special for
Graphene ??
QED ( quantum electrodynamics ) in a PENCIL

Condensed matter realization ofrelativistic particles

千葉大学理学部集中講義

Energy - momentum relationpE

2015年7月9日-10日

Classical particles

p2
E=
2m
Relativistic particles

Einsteinat restc :light velocity

with momentum千葉大学理学部集中講義

Energy - momentum relation

2015年7月9日-10日

Usual semiconductors ( Si, GaAs, ...)

If m is large,
with momentump
E = ±(mc2 ) 1 + (p/mc)2 ⇡ ±Ec
2

p
2
+ mc
Ec =
2m

band gap

Negative energy states

Anti-particles

千葉大学理学部集中講義

Graphene

2015年7月9日-10日

Zero gap semiconductor
Energy momentum relation

Whenis not a real light velocity(just a slope:for graphene)

QED ( quantum electrodynamics ) in a PENCIL

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Quantum description of Relativistic particles
Graphene

Dirac equationc.f. Newton eq.

is not a real light velocity(just a slope:for graphene)“Mr. Tompkins in Wonderland” by G. Gamow
Story of the world where the light
speed is about the speed of a bike
Lorentz contraction
on the bikefrom www.amazon.com

千葉大学理学部集中講義

Dirac fermionsFermions & Anti-particles

2015年7月9日-10日

Fermion :It can not occupy a single seatwith somebody else
Pauli exclusion principle

particle

粒子は2個は入れない！
pair creation

Dirac sea

Red part is singly occupied :never observed directly
only holes(anti-particles) can be seen

hypothesis, fantasy ?

holeGraphene
Just a filled valence bandquite standard for semiconductors
pair annihilationLED千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

P.A.M. Dirac, 1928phalf electrons

Si= Graphene千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

P.A.M. Dirac, 1928phalf electrons: Dirac equationqSi

p2x + p2y == Graphene✓0px + ipy
*

✓

px

0
px + ipy

ipy
0
px

ipy
0

◆

◆2

= (p2x + p2y )

✓

1
0

0
1

◆

2 成分が必要：スピンの発見（「スピンはめぐる」朝永）✓◆q0
px ipyE = ±cp, p = p2x + p2yc=Epx + ipy
0千葉大学理学部集中講義

One more half electrons

2015年7月9日-10日

Majorana fermions

Majorana fermions = Re/Im (electrons)
量子計算機？

超並列（ルール違反！）
非Neumann 型

千葉大学理学部集中講義

Graphene

2015年7月9日-10日

Condensed Matter realization of Dirac Fermions
QED ( quantum electrodynamics ) in a PENCIL
Schwinger-Feynman-Tomonaga

Su

rpr

2006

ise

#2

Lots of fancy ideas of high energy particle physicists
are realized and checkedin our condensed matter Lab.

Klein paradox
Quantum Hall effects
Gauge structures

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

いろいろな境界とエッジ状態
Graphene

Several types in edges

d

e
rd

Arm

a
Be

r
i
a
ch

s
e
g
ed

s

ge

ed

g
za

g
Zi
ed
s

ge

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

いろいろな境界とエッジ状態

Several types in edges

何も

r
i
a
ch

Arm

s
e
g
ed

る
い
て
し es
在 dg
局 e
が ed
子 rd
電 Bea

！
い
な

る
s
ge い
ed て
し
ag 在
gz
Zi が局

子

電

Fujita et al., J. Phys. Soc. Jpn. 65, 1920 (1996)
Fujita et al.,’96

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Edge states: It’s real !
First principle calculation

Okada and Oshiyama,
Phys. Rev. Lett. 87, 146803 (2001)

STM image

Kobayashi et al,
Phys. Rev. B71, 193406 (2005)

千葉大学理学部集中講義

Why the Edge States are there??

2015年7月9日-10日

Accidental ?
NO !
Inevitable reasons
Universal Structures behind:
Bulk determines the edges
Bulk-Edge Correspondence？？
Bulk

cut into two !
s

端をみて

e

s

なかみを考える！

ate
t
s
e
dg

e
g
d
e
with

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Z2 Berry phases determine the zero modes
Lattice analogue of Witten’s SUSY QM
S.Ryu & Y.Hatsugai, ’02
YH’06

Berry phase
Z for each ky(ky ) =

dkx A(kx , ky )ky :fixed

Require Local Chiral Symmetry(ex. bipartite ){ , H} = H + H =0

(ky ) = ⇡A =h (k)|rk (k)iZak

1DZ2 quantization⇢(ky ) =⇡
0c.f. Z2 in 3D TR inv. caseZero energy localized states EXIST: There exists odd number of zero modes

Bulk-edge correspondence: “Bulk determines the edges”

千葉大学理学部集中講義

講義予定
物理学の大事にするもの
自然科学のなかの物理学
多様性と普遍性

物理学における対称性とその破れ
連続対称性
対称性の破れと物性物理学

量子的な物質としてのグラフェン
物質中の相対論的粒子
相対論的粒子とエッジ状態

トポロジカル相とは量子ホール効果と量子スピンホール効果
端をみて中身を考える：バルク・エッジ対応

2015年7月9日-10日

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日’80, K.v.Klitzing et al.

V

R. Willett et al.

topologically cylinderGraphene

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Anomalous QHE of gapless Dirac Fermionse2(2n + 1), n = 0, ±1, ±2, · · ·
xy =
h
2
e
1
= 2 (n + )h2Zhang et al. Nature 2005
Novoselov et al. Nature 2005

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

2e⇥(integer)xy =h

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Klitzing et al. ’80

Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Niij ’82

--4
--3
+6
--3

+2

--2
--3

--2

+4

+1

+3

+3

+2
+3

+3

--4
--3

--2

+2

--2
+2

--2

+2
--1

+3
+2

+2

+3

+3
--1

--2

+3
+1
+3 --2

+2

--4

--2

+2
--4

+3
--3

千葉大学理学部集中講義

Why is it ?

2015年7月9日-10日

It is topological ! Can’t be fractional

winding number -1

Singular point : stable千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Berry connection, gauge structure
✓

◆✓ ◆
✓ ◆
0 1
a
a
Eigen vector?
=E
E = ±11 0bb✓◆ ✓ OK
◆ ✓
◆ ✓ ◆
E=1
1 1
a
a+b
0
=
=
1
1
b
a b
0
✓ ◆
✓ ◆
If a = 1 , then b = 1 a
1 1
=p
b
2 1

Gauge Freedom？？？
a = 1 M.V.Berry??
✓ ◆ ✓ ◆Can we do this?
Is it all ?

No!

a
0
a = 0 !!!!
=?
b1
✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆
a
0
0
0
=
b
1 , i , eiphase is arbitrary

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Hall conductance by “Berry connection”“Classical” Observables: charge/spin density00hOiG = hG|O|Gi = hG |O|G i = hOiG0“Quantum” Observables !

G1 |G2 ⇥ =

⇥
⇥
i( 1
G1 |G2 ⇥e|G0 i = |Giei: interference2)

G|G + dG⇥ = 1 + G|dG⇥

Hall conductance by bulk
A = hG|dGi :Berry Connection
Z
e2
i = A
⇥C
:Berry Phase
xy =
h
Z
1
TKNN’82
C=
dA : Chern number(Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Niij ’82 )2⇡iGeometrical phases !

Bulk

xy of the Filled Fermi sea & Dirac Sea
千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Integration of the NonAbelian Berry Connection of the
Numerical advantage for graphene“Fermi Sea” & “Dirac Sea”
Hj (k)|⇥j (k) = j (k)|⇥j (k)Berry connections=( | 1 ⇥, · · · , | M ⇥) Collect M states below the Fermi level⇥††⇤ 1 |d 1 ⌅ · · · ⇤ 1 |d M ⌅
⇧
⌃
.
.
†
.
..
..
..
AF S ⇥ d = ⇤⌅†M |d 1 ⌅⇤···Matrix vector potential of the Fermi ( Dirac ) Sea
Non Abelian extension for the Chern numbers

e 1
⇥xy =
h 2 i
2

⇤

†
M |d M ⌅TrM dAF S

T2
Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Niij ’82

Niu-Thouless-Wu’84

Hatsugai ‘93, ‘04千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日
Topol.
char. by edges

Stability of the quantized Hall Conductance
Gauge invariance and quantization of

adiabatic process to increaseyx

L Iy R

Vx
Gauge transformation

Byers-Yang formulaA⇥A =A+⇤ ,⇥Laughlin ‘81

xy

=

(A

⇥

A)

⇥ ⇥ ⇥ ⇥ = ei2⇥ / 0 ⇥ one particle state
e
⇥⇥ =⇥
= 0=
h
flux quantum

yx
2⇥

neVx
e
E
=
=n
Vx =
Iy =
⇥
h/e
h
h
E = n · eVx⇥ = ⇥0 = ,e

All states are invariant up to phase after the process:Some n states are carried from L to the Rn : generic integer ( but undetermined )yx Vx

Another view by edge states

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Edge states are topologically stable Edge
Cyclotron motion by Lorentz forceF =ev ⇥ B

Currents are canceled in the bulk but induces a boundary current

Edge states

Edge states are chiral
One way going !!
Cannot stop !
No back scattering

Stable for impurities !!

X

Topological stabilityofChiral edge states

Edge States of Graphene

千葉大学理学部集中講義

Standard-1
Quantization (hole) -2-3

= 1/21

y

-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13

+1

-1

R

L
R

L

-3

+13
+12
+11
+10
+9
+8
+7
+6
+5
+4

Standard
Quantization

L

x

+3

Dirac Type
Quantization

2015年7月9日-10日

+3
+2
+1

ky

R

Edge States of Graphene

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

y= 1/51

+11
+9
+7
+5

x

+3

Edge States being
consistent with
Dirac Type
Quantization

L

+1

-1

-3
-5
-7
-9
-11

ky

R

Bulk --- Edge Correspondence
bulk
edge
Graphene= xyxy
千葉大学理学部集中講義(d)

F=1/21
F=1/5

(c)

(a)

3
0.5

F=1/51F=1/21

(b)

1 3

1

2015年7月9日-10日

2
0.5

2
1

E
0

0

E

E

1

0

-0.5-1-0.5 -1

E

0

-2
-2

-1

-1

-3

0

0.2

0

0.2

0.4 k 0.6
0.4

y

ky

0.6

0.8
0.8

1
1

0-3

0.2
0

0.2

0.4

k

y
0.4

0.6

ky

0.8
0.6

1
0.8

1

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Right / left to the symmetry
unnormalizable

Extended states

1 ikr! 0 (V ! 1)
e (r) ⇠ p e
V
V: Volume

8

6

4

2

5

10

15

20

normalizable
Bound states / Edge states1
r/a0
b (r) ⇠ p 3 ea0a0 :size of the bound state
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2

1

2

3

4

5

6

Clear difference only in the infinite system

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Why do we care edge states?
Why the Edge States are there??
Accidental ?
NO !
Inevitable reasonsPhysical Structures behind:“Bulk determines the edges”“Edge determines the bulk”
Bulk-Edge Correspondence

xy

bulk

=

xy

edge

千葉大学理学部集中講義“Quantum” Spin Hall Effect2015年7月9日-10日= Quantum Hall Effect without magnetic field= Quantum Hall Effect with time-reversal invariance
No external net magnetic field

QHE
QSHE

TR invariant
is broken
BBspin upspin down

Quantum effects !
No classical correspondent !
Think different
Following the QHE

H=

千葉大学理学部集中講義

Time Reversal & Quaternions

2015年7月9日-10日

F.J.Dyson ’61-Quaternion
complex number
real number

R

C

H

No magic, neither crazyjust Pauli matrices


Hamilton 四元数発見の碑

t
⇤

t

⇤

= (Ret)I2 + (Imt) i z + (Re ) i y + (Im ) i x⇠= (Ret) 1 + (Imt)iH + (Re ) jH + (Im ) kH

: Quaternion (四元数)

iH ⇠
=i z
= i z , jH ⇠= i y , kH ⇠222i H = k H = k H = iH j H k H =1

Quaternion 2×2 Matrix, Yang Monopole & quantization: YH, NJP12, 065004 (2010)千葉大学理学部集中講義

Topological Insulator

2015年7月9日-10日

Topological insulator : Quantum Spin Hall state
2D

1d boundary

TNG 3D

2d boundary

Also higher dim.: domain wall fermions: Lattice gauge theory千葉大学理学部集中講義

Why the Edge States are there??

2015年7月9日-10日

Accidental ?
NO !
Inevitable reasons
Universal Structures behind:
Bulk determines the edges
Bulk-Edge Correspondence

2D
？？

？？
Bulk

cut into two !
s

端をみて

e

s

なかみを考える！

ate
t
s
e
dg

e
g
d
e
with

千葉大学理学部集中講義

Why the Edge States are there??

TNG 3D2015年7月9日-10日

Accidental ?
NO !
Inevitable reasons
Universal Structures behind:
Bulk determines the edges
Bulk-Edge Correspondence

？？

？？
Bulk

cut into two !
s

端をみて

e

s

なかみを考える！

ate
t
s
e
dg

e
g
d
e
with

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

エッジ状態：そこにあるには何かの理由が！

バルク・エッジ対応
YH ’93 : IQHE (Hofstadter)
Kitaev ’01 Majorana chains
Ryu-YH ’02 Graphene, d-wave superconductivity
Qi-Wu-Zhang ’06, General theorem

Universality
Bulk state(scattering state)
Bulk Gap
Non trivial VacuumControlwitheach other

Edge state(Bound state)

Particles in the gap

can not be independent千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Lots of examples for bulk-edge correspondenceFriedel sum rule
Polarization

Levinson’s theorem, Friedel’s sum rule
King-Smith & Vanderbilt

Solitons in polyacetylene
Q(S)HE

Su-Schriefer-Heeger ‘79

Halperin ‘82 YH ‘93

Kane-Mele‘05 Bernevig-Hughes-Zhang ‘06

Haldane spin chain (Kennedy triplet) Kennedy ‘90
ZBCP & Majorana

Hu, ‘94

Fujita state in graphene

Kitaev, ’01

Fujita et al.‘96

Ryu-YH‘02

Cold atoms in optical lattice & edge states
Photonic crystals & edge states
Spin LadderHaldane & Raghu, ’08, Wang et al., ’08,

Arikawa-Tanaya-Maruyama, YH ’09

AND more...

Scarola-Das Sarma., ‘07千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Lots of examples for bulk-edge correspondenceFriedel sum rule

Lots of variety

Levinson’s theorem, Friedel’s sum rule

PolarizationAbsenceKing-Smith
Vanderbilt
of& symmetry
breaking
Solitons in polyacetylene
Q(S)HE

Su-Schriefer-Heeger ‘79

Bulk: Insulators !

Halperin ‘82 YH ‘93

Kane-Mele‘05 Bernevig-Hughes-Zhang ‘06

Haldane spin
chain (Kennedy triplet)
Quantum/spin
liquids(gapped)Kennedy‘90
ZBCP & Majorana

Hu, ‘94

Fujita state in graphene

Kitaev, ’01

Fujita et al.‘96

打てども響かず

Ryu-YH‘02

Cold atoms in optical lattice & edge states
Photonic crystals & edge states
Spin LadderHaldane & Raghu, ’08, Wang et al., ’08,

Arikawa-Tanaya-Maruyama, YH ’09

AND more...

Scarola-Das Sarma., ‘07千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

対称性の破れを使った相分類の大成功
Nambu-Goldstone&〜1980
Landau-Ginzburg-Wilson
The Munich physics professor advised Planck against going into physics,
saying, "in this field, almost everything is already discovered, and all thatremains is to fill a few holes."M. Planck 〜1900

Quantum phases without symmetry breaking
Quantum/spin liquids
対称性の破れを越えて新しい概念へ千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Solitons in polyacetylene

格子欠陥と近傍のソリトン千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Surface states of Semiconductors & polarization
GaAs

Si 7×7

誘電体と分極Spin Ladder+ --+ ---+ with---+ ---+ring---+ ---+exchanges---+ ---+ ---+ ---千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

人工格子

千葉大学理学部集中講義

グラフェン

シリセン

graphenesiliceneplanarsp2

buckled3
sp -like

Similarity & Variety

2015年7月9日-10日

千葉大学理学部集中講義

2015年7月9日-10日

Lots of examples for bulk-edge correspondenceFriedel sum rule

Levinson’s theorem, Friedel’s sum rule

Need something more

Polarization

King-Smith & Vanderbilt

Solitons in polyacetylene
Su-Schriefer-Heeger‘79 !
Topologicalorder
Q(S)HE

Bulk-edge correspondence

Halperin ‘82 YH ‘93

Kane-Mele‘05 Bernevig-Hughes-Zhang ‘06

Haldane spin chain (Kennedy triplet) Kennedy ‘90

Quantum
entanglement
ZBCP & Majorana
Hu, ‘94 Kitaev, ’01

physics
Fujita state inCondensed
graphene Fujita etmatter
Ryu-YH‘02
al.‘96
Cold atoms in opticalinlattice& edgestates Scarola-Das Sarma., ‘07
21-stCentury
Photonic crystals & edge states
Spin LadderHaldane & Raghu, ’08, Wang et al., ’08,

Arikawa-Tanaya-Maruyama, YH ’09

AND more...