未来への架け橋＜令和元年度版＞

度数分布表をもとに、中央値がふくまれる階級を読み取り判断する問題あることがらの起こりやすさについて、確率を用いて説明する問題
問題の概要をかいてください。

次のように考えて解きます。

必要な知識・技能は、これ！

[1]中央値がふくまれる階級を読み取る。
↓○１年生：10分以上15分未満■中央値の意味を理解すること「資料の値の大きさの順に並べたときの中央の値」※資料の個数が偶数の場合、資料の中央の２つの値の平均※資料の個数が奇数の場合、資料のまん中の値

合計人数が100人⇒50番目と51番目の値の平均○３年生：５分以上10分未満
合計人数が105人⇒53番目の値

階級「10分以上15分未満」※正答は、赤字(2.5×18＋7.5×31＋…＋27.5×3)÷100＝11.05(2.5×20＋7.5×33＋…＋27.5×3)÷105＝10.97…

□最頻値：１年生7.5(分)、３年生7.5(分)(度数が最も大きい階級(5分以上10分未満)の階級値)（１年生） 中央値(10～15)（３年生）
中央値(5～10)
(人)

(人)

最頻値
30 (7.5)

最頻値
30 (7.5)

平均値(11.05)2020

1010005 10 15 20 25 30（分）00■樹形図や表などを使って、起こり得る場合を整理して全て数え上げ、確率を求めること

①

②

３

①×②×３○①×②×３○①○②○
３×5 10 15 20 25 30

①②×３○

②３○

樹形図から、求める確率は
２４
くじ引きＡ
くじ引きＢ ３９

資料によって、中央値、平均値、最頻値は違ってきます！

りすいくじ引きを判断する。
↓（分）[1]の結果から、２４「＜なので、景品があたり３９やすいのは、くじ引きＢである。」※正答は、赤字Ｃ

くじ引きＢ[2]求めた確率を比べて、景品があた平均値(10.97…)

Ｂ
Ａ

くじ引きＡ

【表】

【樹形図】

ＤＣ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ｂ
Ｃ

…

[2]中央値がふくまれる階級を比べて、中央値が大きいといえる学年を判断する。
↓[1] の結果から、中央値が大きいといえる学年「１年生」【中央値、平均値、最頻値を比べると】□平均値：１年生11.05(分)、３年生10.97…(分)[1] 樹形図や表を使って、景品があたる確率を求める。
↓赤玉を①、②、白玉を３として樹形図をつくると、

…

53番目

○中央値以外にも平均値、最頻値に要注目！
□平均値
・「（資料の個々の値の合計）÷（資料の個数）」
・度数分布表で「（(階級値×度数)の合計）÷（資料の個数）」□最頻値
・「資料の値の中で、最も多く現れる値」
・度数分布表で「度数が最も大きい階級の階級値」

必要な知識・技能は、これ！

…

50番目、51番目

ワンポイントアドバイス！

次のように考えて解きます。

ＡＢＣＤＡAAABACADＢBABBBCBDＣCACBCCCDＤDADBDCDD

ワンポイントアドバイス！
場合の数を数え上げるとき、下のような間違いに要注意！
【間違った数え上げ方で求めた確率（例）】
赤玉、白玉の取り出し方
くじ引きＡ
くじ引きＢ
赤赤 ×
白 ○

白白 ×

赤

赤 ×
白 ○

樹形図から、景品があたる確率は、
１
１
くじ引きＡ ３ くじ引きＢ ２

もれや重なりがないよう、玉に番号を付けるなど、玉を区別して考えることが大切です！

未来への架け橋
数量の関係を捉え、文字式を用いて構想する問題＜令和元年度版＞
平成28年度全国学力・学習状況調査（数学Ｂ） ６ を参考に出題された問題

２つの数量の関係を一次関数として捉え、グラフや式を用いて考察する問題

２直線の交点のｘ座標が、ＣさんがＡさんに追いつかれるまでにかかった時間

問題の概要をかいてください。
630

3020

次のように考えて解きます。

必要な知識・技能は、これ！

[1]ｎを定数として、手順通りに求めた数を表す式をｎａの形(定数項が０の形)にすればよいことを読み取る。

■数量及び数量の関係を文字式を用いて表したり、その意味を読み取ったりすること（例）ｎを整数とすると２の倍数、２で割り切れる数 ⇔ ２ｎ⑥の数：ｎａ⑤の数：ｍａ－１

定数項を０にすればよい。

２×定数項を－１にすればよい。
(ａ＋１をたして、⑥の数の定数項を０にするから)【手順⑤】④の数を４でわる④の数：４ａ－４－２＝２× (－１)
０＝２× ０２＝２× １
４＝２× ２…

【手順⑥】
ａ＋１をたす…

[2] [1]をもとに、手順の⑤の式の定数項が－１になる手順⑤を考える。

定数項－４を－１にする手順を考えればよい。

ｎワンポイントアドバイス！
○数量の関係が捉えにくい場合は、図や表などを活用！
□計算の方法と結果とを区別して整理【関係を表す図】
×△

÷○Ｂ

ＡＣ
÷△×○

[3] 新しい数あてゲームで、最初に決めた数をあてる方法を考える。
↓[2]で考えた手順で計算する。
（４a－４）÷４＋（a＋１）＝２aから、最初に決めた数は、手順通りに求めた数を２でわれば求められる。
※この解答には、別解があります。
※正答は、赤字□特定の数量に着目して整理
【線分図】
□km
道のり○km

●時間

時間

△km
▲時間

■時間

【表】
ＡＢ

合計

定価ｘｙ

○○

代金

□ｘ

◇ｙ

△△

図や表に整理すると、数量の関係がわかりやすくなります！

次のように考えて解きます。

必要な知識・技能は、これ！

[1] Ｃさんが歩いた時間と距離の関係をグラフにかき込む。(右上図参照)[2] [1]をもとに、ＡさんとＣさんについて、ｘとｙの関係を表す式を求める。
↓Ａ：傾き－90で、点(29，0)を通る⇒ ｙ＝－90ｘ＋2610
Ｃ：２点(20，630)、(30，0)を通る⇒ ｙ＝－63ｘ＋1890■一次関数のグラフをかいたり、一次関数のグラフ等から式を求めたりすること。

[3] [2] で求めた２つの式を連立方程式として解き、ＣさんがＡさんに追いつかれた時刻を求める。
ｙ＝－90ｘ＋2610…①
ｙ＝－63ｘ＋1890…②
80①、②よりｘ＝、ｙ＝210
3

ワンポイントアドバイス！

23≦x≦29だからこれは問題にあう。

80
23 分 ⇒ 26 3 分 ⇒ 26分40秒
求める時刻は、７時30分から26分40秒後の７時56分40秒である。
※正答は、赤字式

グラフyｎ
傾き ｍ変化の割合

ｎｍｎｎ

y＝ ｍ ｘ＋ｂｍｂの値は、グラフが通る点の座標を代入して求める。

xＯ○表、式、グラフのそれぞれのよさに要注目！
□変化の様子がわかりやすい
ｘの増加量
ｘｙ

11・・・ －２ －１・・・
３５ｙの増加量21０７2１９2□全体の様子がわかりやすい
ｘの値が増加するにしたがい

1２ ・・・
１１ ・・・
2ｙの値は、増加⇒一定⇒減少となっている。

y□正確に考察できる

ｙ＝ａｘ＋ｂｘ、ｙのうち、一方の値を式に代入すればもう一方の値を正確に求められる。 Ｏ

目的に応じて、表、式、グラフを適切に選択し、活用することが大切です！

x未来への架け橋＜令和元年度版＞

図形の性質を使って、相似の証明をしたり、計量したりする問題

空間図形を平面上に表現して捉え、図形を計量する問題
問題の概要をかいてください。
かきこんだ図かきこんだ図かきこんだ図Ｍ45°60°

60°

Ｌ60°

Ｈ45°

Ｋ

次のように考えて解きます。
(2)：[1]仮定と結論を読み取り、等しい角を見いだし、図にかきこむ。(上図参照)【仮定】∠ＥＡＣ＝∠ＤＡＢ…①【結論】△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ【等しい角】∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＥ…②∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＥ…③①、②、③より、∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ…④∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ（円周角の定理）…⑤[2] [1]から相似条件を根拠に証明を完成する。
④、⑤より、２組の角がそれぞれ等しいので、△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ※正答は、赤字(3)： [1]点Ａから線分ＣＤに下した垂線などを図にかきこみ角の大きさを求める。(上図参照 )・∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°（∠ＢＡＣ＝６０°、△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣ）
・∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝６０°（円周角）
・∠ＡＣＤ＝４５°（ＡＤ：ＤＢ＝３：１）
・∠ＡＯＤ＝２∠ＡＣＤ＝９０°（中心角）

次のように考えて解きます。

必要な知識・技能は、これ！

ＤＯＡ■相似条件２組の角の大きさがそれぞれ等しいとき■特別な直角三角形の辺の比

Ｂ

30°

245°

23145°

60°

11

ワンポイントアドバイス！
○角が等しいことを示したり、辺の長さを求めたりなどするときは、図形の性質などの根拠が重要！
【間違った証明（例）】Ｌ

１5＝ ２ ＡＢ＋ＢＣ＝７・底面に着目する。 Ｋ
右図のように、線分ＣＫを延長した直線と点Ｆからその直線に下した垂線の交点をＩとする。

Ｋ
Ｈ

Ｈ
3Ｃ120°

3①、②より、２組の角がそれぞれ１・△ＡＤＨから、ＤＨ＝ ２ ＡＤ＝２ ２３
ＡＨ＝ ２ ＡＤ＝２ ６等しいので、△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢをいうための根拠が明確ではない。

根拠を明らかにした上で、○○(根拠)だから、△△(結果)である。と考え説明する習慣をつけましょう！

Ｐ

上に、点Ｐ、Ｑがあるとき
ＰＱ//ＢＣならば、

ＱＣ

Ｂ

ＡＰ：ＡＢ＝ＡＱ：ＡＣ＝ＰＱ：ＢＣ■特別な直角三角形の辺の比Ａ■三平方の定理

ｃｂＢ

ａ63 3

ワンポイントアドバイス！
○見取図だけの判断は要注意！
見取図の線分の長さや角の大きさは、見た目とは異なる場合があります。
【展開図】
【投影図】

Ｆ

１

ＣＨ＝ ２ ＣＫ＝３（点ＨはＣＫの中点）
１２△ＨＦＩで、ＨＦ ２ ＝ＨＩ ２ ＋ＩＦ ２
ＨＦ＝３ ７[3]△ＭＨＦに着目し、[1] [2]をもとに、線分ＭＦを求める。
・ＭＦ ２ ＝ＭＨ ２ ＋ＦＨ ２
ＭＦ＝４ ７ (正答)

Ｍ

7Ｈ

Ｃ60°

ＩＦ＝ ３ ＣＦ＝３ ３（△ＣＦＩの辺の比）・△ＡＤＯから、ＡＤ＝ ２ＯＡ＝４ ２Ａ△ＡＢＣで辺ＡＢ、ＡＣａ２＋ｂ２＝ｃ２Ｉ

円周角の定理から、図から、∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ…②■平行線と線分の比

直角三角形ＡＢＣについてＣ

ＣＩ＝ ２ ＣＦ＝３（△ＣＦＩの辺の比）∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ…①

面積はＤＣ×ＡＨ÷２＝１２＋４ ３(正答)[2] [1]をもとに、線分ＭＨや、線分ＦＨをふくむ平面に着目し、それぞれを求める。
Ａ・台形ＡＤＫＣに着目する。
Ｍ
4
ＭＨ＝ＭＬ＋ＬＨ
Ｄ
Ｂ△ＡＤＥと△ＡＢＣで[2] [1]の結果から、特別な直角三角形を見いだし、辺の比を使って面積を求める。

・△ＡＨＣから、ＣＨ＝ＡＨ＝２ ６

必要な知識・技能は、これ！

[1] 線分ＭＦ、点Ｍから底面に下した垂線などを図にかきこむ。(上図参照)

Ｃ■円周角の定理
・∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ・∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ

Ｈ

3 7

Ｆ

展開図や投影図などを実際にかいて、解決に必要となる直角三角形などを見いだすことが大切です！