多目的計画問題に対する対話型ファジィ計画法とその応用
坂和正敏，矢野均
1111111/1
111/1/1/111111111/11111111111111111/11111111111111111111/1/1111111111111111111111111111111111/1/1111/11
111111111/11111111111111111111111/111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.

題点を克服するために，多目的計画問題の各目的関数にはじめに対する DM のファジィ目標をメンバシップ関数で規定し与えられた制約条件のもとで，複数個の相競合する目た後，DM の設定する基準メンバシップ値を対話的に更的関数を同時に最適化するという多目的計画問題に対し新することにより， DM の満足解を導出すると L 、う対話ては，複数個の目的関数を同時に最適化するという(完型ファジィ満足化手法が，線形 [9 J ，線形分数 [8 J,全)最適解は一般には存在しないので，ある目的関数を非線形 [6J の場合に対して提案されている.さらに，改善するためには少なくとも他の 1 つの目的関数を犠牲

DM の各目的関数に対する判断のあいまい性のみならにせざるを得ないような解，すなわち，パレート最適解ず，定式化に携わった専門家の人間としての判断のあいが導入されてきている.しかし，パレート最適解は一般まい性をも考慮して，各々の目的関数と制約式の係数にには無限個存在するので，現実の意思決定においては，ファジィ係数が含まれる多目的計画問題に対する対話型

人間としての意思決定者 (Decision Maker:DM) が，ファジィ満足化手法が，線形[ 7]，線形分数 [IIJ ，非自己の選好にもとづいてパレート最適解の集合の中から線形 [5 J の各々の場合に対して提案されてきている.

最終的な合理的な解を選択しなければならない.ところが DM の選好構造を充分に反映させるいわゆる選好関数

本稿では，紙面の制約上，これらの研究のすべてを紹介することはできないので，多目的計画問題に対するは本来未知で，また直接同定することも困難である場合

DM のファジィ目標を考慮した対話型ファジィ計画法とが多い.このような状況において，その環境管理計画問題への適用結果 [6J について解説

DM の選好関数を大域的に固定することなく，対話により得られる局所的な選好情報にもとづいて DM の選好解を導出するという，いわゆる対話型手法が数多く提案されてきた [2 ，3].

する.

2. 多目的計画問題に対する対話形ファジィ計画法

しかし，人間の判断のあいまい性を考慮すれば，ベクトル最小化問題として定式化された多目的計画問題に対一般の多目的計画問題 (MOP) は，複数個の互いにして DM は“各目的関数をだいたいある値以下にした相競合する目的関数を与えられた制約条件のもとで何らL 、"というファジィ目標をもつものと考えられる.このかの意味で最適化するとし、う問題として定義され，形式ような観点から，

1978 年に H.

J. Z mmermann[12J

は，多目的線形計画問題に対する DM のファジィ目標が的には，次のようなベクトル最小化問題として定式化される.

線形のメンパシップ関数で表わされる場合，最大化決定

minimize f(x)=( J,. (x) , "', fk(x))[1J にしたがえば，線形計画問題になることを示した.

subjectto XEX={XEEnlgj(x) 三 0 ，
j=l , …, m}

ところが従来のファジィ計画法 [4J で、は，暗黙のう

ちに DM は最大化決定にしたがうことが仮定されてお(1)

ここでx は n 次元決定変数ベクトノ~，fl(x) ， …，んり，各目的関数に対するメンパシップ関数を決定した後(X) は k j闘の相競合する目的関数，め (X) ， … ， gm(X) はの DM との対話が考慮されていなかった.このような間

m 個の制約関数で，さかわまさとし広島大学工学部

スカラーの目的関数の最適解の代わりに，ある目的関数

MOP て:\1 ，X は制約領域を表わす.

目的関数がベクトんで遣うるため，通常の〒 724 東広島市鏡山 1-4ー 1の値を改善するためには少なくとも他の 1 つの目的関数

やのの値を改悪せざるを得ない解，すなわち，パレート最適

ひとし

名古屋市立女子短期大学

1991 年 9 月号

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(15)445解が定義されている.

定義 1

ィ目標に対する DM の全体としての満足度を表わしてい(パレート最適解)ると解釈することができる.ここで，もし DM の統合関X*EX に対して ， f(X) 5:， f(x本)すなわち f(x) 孟 f(x*)

かっ f(x)*-f(x*) となる XEX が存在しないとき ，x*をパレート最適解であるという.

数 μD( μ f(X)) の関数形を大域的に同定することができれば，後は通常の単一目的計画問題を解くことに帰着され，話は簡単である.しかし一般には DM のこのようなベクトル最小化問題として定式化される MOP に対して，人間の判断のあいまい性を考慮すれば，統合関数の関数形を大域的に同定することは非常に困難

DM はrJiな作業であると思われる.したがってこのような場合に(x) をだいたい向以下にした L 、 j というようなファジは， DM の陰に存在する統合関数を大域的に陽に同定すィ目標をもつものと考えられる.ファジィ計画法では，ることなく，さらにより一般的な場合として，DM が rJ;(x) はだい引き出し，最終的に DM が満足できる解，すなわち満足たい向以下にした L 、 J ，あるいは ift(x) はだいたい解を求めると L 、う対話型手法が望ましい.このような観ん以上にしたい」というファジィ目標のみならず，念から各目的関数に対するメンパシップ関数が決定され(x) はだいたい Ci ぐらいにしたし、 jrJiというファジィ目

DM との対話により，局所的な選好情報をた後，メンパシップ関数空間において，DM の設定する標をももつような，一般化された多目的計画問題を取り基準点にある意味において近い Mーパレート最適解を求扱うことができる.

め，もし満足できなければ対話的に基準点を更新するこ

このような一般化多目的計画問題(GMOP) は，形式的に次のように表わすことができとにより，る.

足解を求めると L 、う手法が，提案され発展してきているfuzzyminft(x)fuzzymin

ft(x) iE1z

最終的に Mーパレート最適性の保証された満[6 , 8, 9J ,

ε1 1

(2)

GMOP (2) の目的関数 f(x)=(fl(X) ， … .fk(X))Tfuzzyequal fi(x) iE1sに対する DM のメンバシップ関数 μf(X)=( μfh …， μfksubjecttox εX; 1 1U1zU1 s ={1 , 2, "', k}(X))Tが決定された後，各メンパシップ関数に対して

fuzzy min fi(X) あるいは fuzzy maxfi

DM の志望水準を反映させる基準点 ρ=( 向，…，円 )T がここで，(X) は rJ;(X) をだいた L 、内以下，あるいはん以上にした L 、 j というファジィ目擦を表わし，

fuzzy equalfi(X) は rJi(X) はだいたい Ci ぐらいにした L 、 Jというファジィ目標を表わし，それぞれ対応するメンバシッ

まれる場合には ， f;(x) の大小関係にもとづいて定義されているパレート最適解の概念をそのまま適用することはできない.そこで，目的関数の代わりにメンパシップ関数の大小関係にもとづいて定義されるパレート最適解

ロl1 n1mlze(5)

vsubjectto Pi 一 μfi(X) 豆町 i=l ， … ， k
ここで基準点んは， Wierzbicki[10J の目的関数空間での基準点の考えをメンパシップ関数空間に拡張したものであり，基準メンパシップ値と呼ばれる.

しかし，ミニマックス問題を解いて得られる最適解はもし唯一でなければ， M- パレート最適解とは限らない.

を導入し，特に M- パレート最適解と呼ぶ.

したがって，(M- パレート最適解)

X* εX に対して μf(X) 二三 μ f(Xネ)となる XEX が存在しないとき ， x* を Mーパレート最適解であるという.
k 個の相競合するメンパシップ関数に対して，いわゆる統合関数とでも呼ぶべき関数
μD( μf(X))= μD( μf1(X) ， …， μfk(X))(3)

を導入すれば，次のようなファジィ多目的意思決定問題が形式的に定義できる.

(4)

xeX

ここで，統合関数 μD( μf(X)) の値はk 倒のファジ

常に Mーパレート最適性のテストを行なわなければならないと L 、う問題が生じる.このような問題点を回避するために，ミニマックス問題の代わりに，次のような拡張ミニマックス問題を解くことにより Mーバレート最適解を求める.

minimize

kv+p L;( ん一 μfi(X))

xeX ,'V(6)

i=lsubje
ctto Pi 一 μfi(X) 孟 v ， i=l ， "', k
ここでmaximize μD( μ f(X) )44
6 (16)

により求められる.

,DM のファジィ目標として fuzzy equalfi(X) が含

一般にDM の要求にある意味において近い解は，たとえば，次のようなミニマックス問題を解くこと.t' EX Vプ関数により規定される.

定義 2設定されるとp は十分小さい正の数である.

この拡張ミニマックス問題を解いて得られる最適解とGMOP(2) の Mーパレート最適解との関係は，次の定© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

理に与えられる.

開発と自然環境の保存をし、かにパランスよく調和させる定理 1

かが大きな社会問題となっている.ここでは，このよう(1) もしx* εX がある基準メンパシップ値に対する拡張ミニマックス問題の最適解であれば

x* はGMOP(2) の Mーパレート最適解である.
(2) もしx* εX が GMOP(2) の M- パレート最な背景のもとで大阪市を対象地域として，環境要因としての COD (化学的酸素要求量)量と S02 (二酸化硫黄)量をおさえながら，生産量を高めるという 3 つの目的関数をとりあげ，産業 j の資本金と労働者数を決定変x* が十分小さな ρ に対する拡張ミ数とする大阪市の環境管理計画問題を，多目的計画問題ニマックス問題に対する最適解となるような基準メとして定式化し，対話型ファジィ計画法を適用した結果ンパシップ値が存在する.

を紹介する [4 ，適解であれば

さて，DM が現在の Mーパレート最適解で満足するの6].

生産量を高めるための目的関数として， Cobb-Doug・か，あるいは基準メンパシップ関数を更新するのかの判

las 型の生産関数を用いて，次の目的関数の最大化を考断のための情報として.現在の解における各メンバシッえる.

プ関数間のトレード・オブ比を与えることが考えられる.このトレード・オフ比は，拡張ミニマックス問題のメンパシップ関数に関する制約式のラグランジュ乗数をんとすると，ん >0 i=l ， … ， k であれば，次式で与えられる

BμfρI(X)M- パレート最適性の保証されたDM の満足する解を導出するための対話型アルゴリズムを次のように構成することができる.ここで*印のついた手順で、は，DM との対話が行なわれる.

《対話型ファジィ計画法のアルゴリズム》

手順 o :与えられた制約領域における各目的関数の個別の最小値と最大値を求める.
手順 1

ここで ，Kj は産業 j の資本金(有形固定資産総額)，

Lj は産業 j の労働者を表わす決定変数である.
環境汚染の要因として，水質汚濁の指標 COD 量おめ，産業 j の単位出荷額あたりの環境要因の放出量的jんÀ i+P

以上の議論により(8)j=1

よび大気汚染の指標 S02 量をできるだけ少なくするた。μli(X) ーん +p
一一一一一)一n
fl= 'L， AjKjト bjL/j(i= い COD ， i=2:S02) と，資本係数(産業 j の単位出荷額あたりの資本金) kj を用いて，次の 2 つの目的関数の最小化を考える.
nf2= 'L，( 剖 lj/k j ).Kj

(9)nfa= 'L，( ω2J1kj} ・ Kj

(10)

1=11=1

制約式として，産業構造の急激な変化は望めないの*.各目的関数に対する個別の最小値と最大値を考慮して，メンパシップ関数を決定する.

で，資本と労働に対する上下限制約
aKjo~Kj~ßKjO ， a'Ljo 三二 Lj 三二 ß'LjO(11)を考える.ここで ， Kjo ， Ljo は，それぞれ産業 j の現状

手順 2

初期の基準メンバシップ値を l に設定する.

手順 3

設定された基準メンバシップ値に対して，拡張(1975年)の資本金あるいは労働者数で a， ß ， a' ， ß' は，ミニマックス問題を解き資本と労働の移動に対する摩擦を示す係数である.

M- バレート最適解と現在の解における各メンパシップ関数間のトレード・オフ比を求める.

手順 4* :現在の解に満足なら終了，そうでなければ，現在のメンバシップ関数値とトレード・オフ比を考慮して，基準メンバシップ値を更新して手 11似3 へもどる.
ここで，の要求量 7ij ， 上限値 rj および係数 kj を用いて，土地と水の要求量に対する次の制約式を考える.

'L,( 7ij/kj).Kj~ri(i= 1, 2)
j=1(12)

さらに，技術的制約として，全体の資本集約度(総資DM は，あるメンパシップ関数を改善するためには，他のいずれかのメンバシップ関数を犠牲にせざるを得ないことに注意しよう.

本金と総労働者数の比)の上限値 ql と下限値 q2 を用いた次の制約式を考える.

nnq2~五 ('L， Kj}/ 'L， Lj) 豆 ql

3. 大阪市の環境管理計画問題への応用
近年地球規模での環境破壊が深刻化しており，資源の1991 年 9 月号

また，利用できる土地や水は限りがあるため，産業 jの単位出荷額あたりの土地(i= 1)あるいは水 (i =2)

j=
1j=
1(13)

定式化された多目的計画問題の各目的関数に対して，DM があいまいな目標をもつことを仮定すると，対象と© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(17)441

表 1
業

産

コード

産業の分類
名

食

表 2
業

産

コード

イテレー

名

ション

皮品

基準メ

ill

0.50.49

維

窯業・土石製品ンパシii
20.60.60.480.62

鉄および鉄鋼ップ値

ii80.55

0.58

0.57

製

革衣

木材・木製品

14非5

家

加工金属製品67

パルプ・紙製品

1516

出版・印刷

178

化学品・化学製品

910

石炭・石油製品

181920n
l 13
具製

41234ム311繊.

2品

2コ対話過程

品

金鉄属

一電般機

械気機

械輸送機

械精密機

械そのμli 値

μfl

0.
52
510.4824

0.46780.4568

f.
l1
20.
5
2
5
10.5824

0.57780.5968μ 1.

o. ラ 251

0.53240.55780.54681
1 4, 915 , 513 4, 906 , 139 4, 902 , 924 4, 900, 487
12 144, 817 144, 394 144, 429 144, 286

f値

1.

他

103, 865

103, 826

103, 696

103, 752:252:: 打開7itil-::izii12する問題は次のように表わされる.
旬fuz:
Il
Y max ii=I:.AjKl‑bJLjbJ
1=1

現在のパレート最適解には満足できないため，現在の解

fuz:
IlYmin ん=去 (ω1μJ).Kjとトレード・オフ比とを考慮して，

1=1て，

aI
lY min .
fa=
L:( ω2j/kj) ・ Kjfuz:

μ11(X) を犠牲にしμ1 2 (X) と μI.(X) を改善しようと考えて，対応する基準メンパシップ値をそれぞれ (0.5 ， 0.6 , 0.55) に1=1更新している.このことは，生産量を抑えても，環境保nsubjectto L: (riJ/kj).Kj~五 r i (i =I ， 2)(14)

1=1

全を重視しようという意識が働いていることを示す.以
下同様な対話が，句"DM の満足する解が導出されるまで繰

q2 孟 (L: Kj)/( L: Lj) 孟 ql
J=1j=1

表 3αKjo<{.Kj<{.ßKJo ， j= 1, …, na'L jo 三三 Lj<{.ß'Ljo ， j=I ， … ， n

産業対象とした産業分類似 =20) を表 1 に示す.

きて，問題(1 4) に対する対話型ファジィ計画法の適用例を，仮想的な DM との対話過程(表 2 )にもとづいて説明しよう.

3与えられた制約領域における各目的関数の個別の最小値と最大値が示された後，DM との対話により，目的関数 11(X) .f2(X) .f.(X) に対するメンパシップ関数が，それぞれ，次のように決定されたと仮定する.

fuzzymax11: 線形裂(f~.ff) =(4800000 , 5020000)

fuzz
ymin12: 正接双曲線型(fg・ 25， n. 5 )=(147000 , 145000)

fuzz
ymin1.: 指数型(/g .fg.5 .f~) = (110000, 104000 , 102000)

ここで ， n は li のメンパシップ値が a であるような目的関数の値を表わす.
次に，初期基準メンパシップ値 1 に対して，拡張ミニマックス問題が解かれ，対応するパレート最適解とメンパシップ関数聞のトレード・オフ比が示される.

448(18)2DM は4満足解に対する資本金と労働者数の配分

1975

提案

(資100本万円金) 労働(人者)数(資100本万円金) 労働(人者)数

31 , 653

22, 527

22 , 981
10 , 114

17 , 521

9 , 132
14, 417
9, 17825 , 783
18, 740
19, 347
8 , 81036 , 996
75 , 595
86 , 440

8, 237
8 , 275
16 , 041
43, 49434, 161

33, 40368, 254
78 , 047

92, 004827

1, 80936 , 539
8
8
5

1
0
1
1

5, 161
3, 7644, 195

4, 6604, 4871
2

3, 77614, 0295, 8969, 0621
3

15, 538
108, 036

5, 5128, 47230, 980

28 , 750

28 , 964
10 , 147

103, 740

14

25 , 958

1
575 , 339

52 , 749

80, 583

10 , 853
56, 420161781 , 541

52 , 358
26, 736
18, 597
4, 14887 , 216
32, 81238, 8134, 89656, 00228, 597
19, 891
4, 43722, 701

28 , 094

24, 280

5
6
78

18
1
9
2
0

13, 479
8, 581

18, 08828, 579
20, 749

30, 677
32 , 687
4, 577
26 , 266© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

8 , 851
17 , 157
47 , 008

オペレーションズ・リサーチ

り返される.本例では，イテレーション 4 で DM の満足[6J Sakawa , M. and Yano.H.:An Interactiveするパレート最適解が導出されている.

Fuzzy Satisficing Method Using Augmented
Minimax Problems and Its Applications to

DM との対話により導出された満足解に対する資本1975年度の数値とともにEnvironmentalSystems , lEEETrans.onSys.

表 3 に要約されている.表 3 の結果から，産業別の資本

tems , Man , and Cybernetics , Vol. SMC‑15は 1975年を基準にとれば全般的に減少していることがわ(1985) , 720-729.

K 1 と労働 L 1 の最適配分は ，かる.しかし，木材や家具産業・電気や機械産業などは[7J Sakawa , M. and Yano , H.:An Interactive

資本が増加しているが，これらの産業は，石炭・石油やFuzzy Satisficing Method for Genera1ized

化学産業などに比べると単位出荷額あたりの環境要因のinearProgrammingProblems
MultiobjectiveL

放出量が少なく，環境保全の立場から考えると比較的好withFuzzyParameters , FuzzySetsand Sys
ｭtems , Vol.35 (1990) , 125‑
142.

ましい産業であり， DM の生産量の増大よりも環境保全を重視している立場に対応した結果といえる.また，労[8J

坂和正敏，矢野均，湯峯亨:多目的分数計画

働は，環境要因とは全く関係なく生産関数のみに考慮さ問題に対する対話型ファジィ満足化手法，電子通信れているため，ほとんどの産業で増加している.

学論文会誌，

ここで仮定された DM は，環境保全をかなり重視してVol.J69‑A (1986) , 32-4 1.

[9J Sakawa , M. , Yano , H.andYumine , T.:Anいるが，たとえば，環境保全は最低限許容できる範囲内

Interactiv
e Fuzzy Satisficing Method for

で，生産を優先させたいと考える DMに対しては，もちMultiobjectiv
e Linear Programming

ろん彼の選好構造にもとづいた結果が，対話型ブアジィ

ProblemsandItsApplication , lEEETrans.

計画法により求められる.

on Systems , Man , and Cybernetics , Vol.

SMC‑17 (1987), 654‑661.

参芳文献[10J Wierzbicki , A. P.:The Use of Reference[1J Bellmann , R.E.andZadeh , L.A.:DecisionnObjectivesinMultiobjectiv
eOptimization , iMakingi
naFuzzyEnvironment , Management

Fandel ,Sci. , Vol.17(1970) , 141‑
164.

CriteriaDecisionMaking:TheoryandAppli.

[2J Chankong , V.and Haimes , Y.Y.: Multi‑objectiv
eDecisionMaking:TheoryandMetho.
dology , North-Holland , 1
983.

1986.

cation (1 980) , 468‑
486.

[IIJ Yano , H. and Sakawa , M.:An InteractiveMultiobjective Linear Fractional Program‑
mingProblemswithFuzzyParameters , Fuzzy[4J 坂和正敏:ファジィ理論の基礎と応用，版，T. (Eds.) , Multiple

Fuzzy Decision Making for Generalﾎ2:ed[3J 坂和正敏:非線形システムの最適化《一目的から多目的へ>，森北出版，

G. and Gal ,

森北出

1989.

SetsandSystems , Vol.32 (1989) , 2
45‑
261.

[12J Zimmermann , H. J.
:Fuzzy Programming[5J 坂和正敏，矢野均:ファジィパラメータを含む

andLinearProgrammingwithSeveralObjec・

多目的非線形計画問題に対する対話型ファジィ満足tiv
eFunctions , FuzzyS
etsandSystems , Vol.

化手法，電子通信学会論文誌，Vol.J68‑A(1 983) ,1(1978) , 45-55.

1038‑
1046.

1991 年 9 月号

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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