解説

選挙制度の数理
一一小選挙区制と比例代表制の問題点一一

大山達雄
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2. 小選挙区制の数理

1.はじめに
わが国の政界における昨今の状況としては，与野党小選挙区制はそれぞれの選挙区において最高得票をを問わずほとんどすべての政治家が「政治改革J を唱得た 1 人を当選者とする最も単純な選挙制度である.

えているといっても過言ではないであろう. r政治改

諸外国においては single memberelectoralsystem な

革 j が叫ばれて久しいが，これだけ大きな声がありつどと呼ばれているが

1 つの選挙区において最高得票

つ前宮沢内閣においても解決に至ることなし未だにを得た 1 人を当選者とすることから，非常に少ない得見通しが明確でないということは「政治改革」という票数で当選となる場合もあるため，いわゆる死票が多問題が言うは易〈実行することがいかに難しいかを反いのが欠点といわれている.またこの制度のもう 1 つ映しているといえよう.政治改革の中核をなすのが，の欠点としてよく言われるのがコンドルセ・パラドク

わが国の衆議院，参議院においてどのような選挙制度

ス (Condorcet paradox)を採用すべきかといういわゆる選挙制度改革論議であ権者総数21 万人を有する選挙区において ， X , y , Zの 3と呼ばれるものである.有る.これまで小選挙区制，比例代表制，これらを折衷人の候補者に対する選好順序とそれぞれのグループにしようとする並立制，併用制，連用制あるいはこれら属する有権者数が表 l のように与えられているとする.に何らかの修正を加えた統合制，死票救済のための改

このとき小選挙区制によると ， X , y , Zの各候補者を最訂案など非常に数多くの選挙制度が各政党，委員会，も選好する有権者数はそれぞれ 8 万人

調査会などから提起きれ，綿密な検討がなされてきて人となるので， X が当選することになる.一方，候補者7 万人，6万いる.

しかしながらこれらの検討案に対しでも，各政g より候補者Z を選好する有権者数を P(x>y) ， 候補者党の思惑が交錯し，賛否両論が入り乱れるため，国会

z より候補者y を選好する有権者数を P(y>z) などのの場でも未だ解決には至っていない.

ように表わすと ，これまでに提起された，あるいはいずれかの国におP(y>x)= 4 十 3 十 4>4 十 4+2=P(x>y) , P(y>z)=4+ 3+ 4> 4+ 2+ 4=

いて採用されたどのような選挙制度を採用するにしてP(z>y) なる関係を有する.すなわち候補者 u を選好も，大きな政党に有利である，小さな政党に有利であする有権者数は x， z のいずれを選好する有権者数よりる，死票が多すぎる，等々必ず何らかの問題点が提起も多いので，候補者 U を当選としなければならない.こきれ，それに伴ってお互いの利害関係が対立すること

表1になり，解決が困難となるというパターンが繰り返さ選好JI頂序と有権者数れている.本稿では，わが国においてもこれまで選挙選好順序

ケース 1

ケース 2

一般ケース

制度議論の中心となっている小選挙区制，比例代表制

x>y>z46

Wlx>z>y4

2

W2

y>x>z

3

2

W3

y>z>x45μ'4z>x>y24W5z>y>x42W6

計2121wについて，その数理的側面に注目し，それぞれの制度の特徴と問題点についての解説を加える.最後に各国の選挙制度について，概要と問題点を紹介する.

おおやまたつお埼玉大学大学院政策科学研究所
干 338 浦和市下大久保 255
1994 年 1 月号

iロL

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39

のようにして小選挙区制が矛盾した結果を与えること

合，ある候補者 Xt が他のいずれの候補者よりも選好さカぎわかる.

れるための必要十分条件は，以下の関係が成立するこ

きて 3 人の候補者の選好順序とそれぞれのグループに属する有権者数が表 1 のケース 2 のように与えられたとする.このとき小選挙区制によれば， x , y , zの各候補者を最も選好する有権者数はそれぞれ 8 万人7とである.

(4)

W(協 =1}) 九EM仁 JW(協 =1}η 匂t> ω)>W(仇=l})九EAえ t.jW(協=1}ハ仇>ゐ})foralljEM , j ヰ， t万人， 6 万人となるので，やはり z が当選することになる.一方，それぞれの 2 人に対する選好関係に関して

証明候補者五が候補者瓦よりも選好されるためのは，以下の関係が成立する.

条件を考える.

P(x>y)>P(y>x) , P(z>x)>P(z>x) , P(y>z)>P(z>y)

n(=m!) 通りの選好順序の集合のうちで， Xt が￡よりも上位にあるものの集合を Xt が 1 位の場合とそれ以外の候補者 X.IJ< 1 位になる場合とにすなわち g より zが選好され， x より zが選好きれ，さらに z より gが選好きれる.このような状態をみzy，間の選好順序に関する循環状態と呼ぶことにする.一分けると，前者は{九= 1} ，後者は{ム= 1}n{ρt>ρ'j} のように表わすことができる.

したがって Xt が瓦よりも上位にある場合の有権者数はこれらをすべての般に x， y， z のうちの 1 人が他の 2 人よりも選好きれる

X. , k ヰ t ， jについて加えることによって，次のようにための必要十分条件は，表 1 の一般ケースの表現を用表わすことができる.

いて以下のように与えられる.

(5)(i )x が y ，(1)(iiJ y がz，(2)(ijj)zがx ，(3)

ω(協=リ)+.E';三 t.jW(協=削匂，>あ})一方，候補者瓦が候補者Xt よりも上位にある場合のz よりも選好きれる場合(WI+ 助+叫>助 +W.+ 仇

有権者数も，上と同様にして広が 1 位の場合とそれ以Wl+W2+ ωs>ω3 十 W. 十 W6

外の候補者 X.が 1 位になる場合とに分け，これらの有x よりも選好きれる場合

権者数の総和をとることによって次のように表わすこ(uゐ +W.+ ω'6>WI+U七十 U品とができる.

~ WI+W3 十 W， >W2 十 Ws+W6(6)ω(協=I})九EM三 t.jW(協 =1}η 仇>刈)y よりも選好きれる場合

したがって Xt が瓦よりも選好きれるためには式 (5)(W.+WS+U品 >WI+W2+W3が式(6) より大きくなればよい.この関係がすべてのjε¥W2+Ws+W6>W1+W3+W.

M , j 中 t について成立することが候補者 X， が他のどのしたがってあ仏 Z の 3 人の候補者の聞に循環状態が生じないための必要十分条件は，上の(1)， (2), (3)のう候補者瓦よりも選好きれるための必要十分条件となるので，式(4) の関係が得られる.

小選挙区制において 1 位となった候補者は前述の表ちのいずれかが成立することである.
一般に m 人の候補者の集合を {Xh "', Xm} と表わす

1 のケース 1 の例からもわかるように必ずしも他のどとき，ある候補者 X t が他のいずれの候補者よりも選好の候補者よりも最も選好きれるとは限らない.上の定されるための必要十分条件を考えてみよう .m 人の候理は小選挙区制において 1 位となった候補者が他のど補者の間には m! (=n) 通りの順序が存在する.それの候補者よりも選好きれるための必要十分条件を与えらの各順序 iEN= {1,… , n} に対応する有権者数をるとも解釈することができる.

Wi と表わす.ある候補者X.，

kEM={1 ， … ， m} ，がきて m 人の候補者 Xh … Xm がいる場合，ある候補者何番目に選考きれるかを表わす順位を九とするとき，が他のいずれの候補者よりも選好きれるということとn(=m!) 通りの順序の集合のうち九 =s となるようm 人の候補者の聞の循環状態が生じるということとのな選好順序集合を{ん =s} ， 候補者X. 17)順位が候補者関係をみよう.まず m 入の候補者の集合 S=

Xl の順位より上位にあるような選好順序の集合をXm} にもとづいて有向グラフ G= (V , E) を頂点、集{Xh …

I{ん>ム}などと表わす.さらにそれぞれの順序集合に合 V= {
i XiES , i=1 ， … m} ， 枝集合 E= {(i,含まれる順序に対応する有権者数の総和を ω ( {九=j)I
Xi が瓦より選好される}のように定義する.ここs})=1:i副帥 =s}Wi， W ({九>ム}) =1:iE{帥〉ρl}叫などと表で候補者 Xi が瓦より選好きれるということは，それぞわすことにする.このとき，次の定理が得られる.

れの候補者がより選好きれる有権者数を用いて，

定理

W({ρi> あ })>W({ρzζ あ})のように表わすことが40ある選挙区に m 人の候補者Xム… ， Xm がいる場

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オベレーションズ・リサーチ

できる.このようにして得られるグラフは，任意の 2党の議席数を決定する方法を除数法と総称する.除数

頂点 i， j に対して (i， j) εE であるかまたは (j， i)E法の中で最もよく用いられている最大除数法は 1792年

E であるから，に米国の T. Jefferson によって採用されたことからトーナメントグラフとなる['89] など参照).

(Grimaldim個の頂点からなるトーナメントグ

ジェファーソン法とも呼ばれている.またヨーロッパ

ラフは必ず m-1 本の枝からなる有向経路を持つ(1 934

では，その最初の提案者とされている 19世紀のベル年にL. Redei によって与えられたといわれる.

['89,Grimaldip.4 5 1]参照)から，この経路に沿って選好j順序が存在することになる.しかしながらこのことは，
S 云 m ， 個の頂点の聞に有向閉路が存在することをS,ギーの数学者の名前をとってドント (d'Hondt) 法と呼ばれている.

1 議席が“代表"する得票数を Æ ( 必ずしも整数とは限らない)とするとき，各政党 i の議席数をほj と与えることにすると，政党数がn で総議席数が否定するものではない.いまこのグラフに含まれる最K の場合

大人数の候補者からなる循環状態がs 人て'あるとする.

(8)

循環状態が存在しないとすると s=O，すべての候補者を満たすような最大の A が存在する.このような A を ÆCからなる循環状態が存在する場合は s=m となる.と書くと，全，. i=1 ，… ， N の中にはちょうど整数値になるものが存在する.というのは， IÌ をんより少し

3. 比例代表制の数理でも大きくすれば(8)が満たされなくなるので，そのと比例代表制はそれぞれの政党の得票率に応じて議席を与える方法である.いま A，る l子j 注 K

きいずれかの i に対して去が変化することになるから

B, C, D, Eの 5 政党がである.そこで会の値が整数値となるような政党 iの集29.2 9b, 12.4 9b, 10.

合を E= {i l 去一:整数}とおくとき ， K'= };信Nlfj=得票率としてそれぞれ 39.8 9b，79b, 7.9 9bを得たとき，総議席数が 100 の場合 A， B,K ならば，上述のごとく議席数をC, D, E の各政党に得票率に応じてたとえば40， 29 ,(9)8 の議席を与えるというのが比例代表制であ12, 11,る.きて問題はこの議席の配分の仕方であって，いろいろな配分方法がそれぞれ異なる配分解を与えると

di=L~JiENと定めればよい . K'>K の場合には IEI-1 個の政党から 1 名ずつを減らせばよい.
最大除数法に次いでよく用いられている過半4、数法

いっても過言ではない.

は 1832年に D. Webster によって最初に提案されたこ

一般に政党数が n，それぞれの政党 iε N={ 1 ， ・，とから米国ではウェプスター法と呼ばれている.またそして総議席数を K とする.このとヨーロッパではサントーラゲ (Sainte.Lagues) 法と呼きそれぞれの政党 iεN の割当分 qil ;t， 総得票数をばれ，特にデンマーク，ノルウェーでは現在でも実際P=};iENPi とすると，次のように与えられる.の議席数百扮に用いられている.過半小数法の基本的n} の得票数を ρ"(7)q，=告iεNな構造は，前述の最大除数法とほぼ同様である.すな

最大剰余数法と呼ばれる配分方法では，まずすべてわち最大除数法では子を越えない最大整数L子j を採用の政党 iEN= {1, 2 ,…, n} にそれぞれ LqiJ (qi を越するのに対して，過半小数法では子を四捨五入した整えない最大整数)議席を与える.総議席数がK である

数値1子 +0.5J を用いる点が主な相違点である.

ことから，あと K -};iENLq.J 議席だけの追加配分をする必要がある.そこで， qi-LqiJ，εN を大きい )1債に議席数配分方法としての除数法の手順は一般に以下のような形に表わすことができる.まず除数関数 v

並べ，上位から K-};.信 NLq.J個の政党に 1 つずつ議席(d) ，ただし dζ v(d) :::d 十1，を与え，得票数ρ を除数を追加する.最大剰余数法の場合と同様の初期配分数関数 v(d) で除して得られる階数関数 r(p， d) を次のに対して ， qi-Lq，J ではなく，叫F止の大きさの順にように定める.

同様の追加配分を行なうという方法は修正最大剰余数(1助ゆ ， d) = 長了法と呼ばれる.修正最大剰余数法では評価基準ι炉

総議席数がh のときの政党 i の配分議席数を d(k ，において o :::qi‑LqiJ<1 であることから，通常の最と表わすと，われわれの求める d(K ， i) , iEN を決定

大剰余数法と比べて有権者数ρz のより少ない政党に有する手順は以下のように書くことができる.

利である.

除数法の計算手順

1 議席がどれだけの得票数を“代表"すべきかとい主主♀よιう量(除数と呼ぴ，以下A と表わす)にもとづいて各政k=0

1994 年 1 月号

d(k , i)= 0 , k ε {0 , 1，・・・ K} ，

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i)

ελT.

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式(1 3) においてパラメタ t の値を変えることによって，パ主旦ムr(ρh d,) =maXiεN r(Pi'd,)(11)

ラメトリック除数法はさまざまな除数法となりうる.

たとえば t= 1 は最大除数法， t=tは過半小数法，そしなる添字 t を求める.

(12)
主主足立ι
ければ，

Id(k+l , t)=d(k ,t) +lId(k 十 1 ， i)=d(k , i)i 宇 t ， iEN法は除数法の有する性質を備えていることに加えて，k+1→ k. もし k=K ならば，終了.そうでなパラメタを調整することによって除数法としての特性て t= 0 は最小除数法に対応する.パラメトリック除数

Step2 へ行<.

を変えることができるという柔軟性を有する点が特徴

上のアルゴリズムは， Step2 の手続きからもわかるである. 硎ama ['91J では，パラメタ t の f直としてように，除数関数がたとえば政党の現在の配分議席数0.46ζtζ0.48 あたりが“公平き"の観点から適当であを表わす場合には，議員 1 人当たりの得票数の最も多るとしている.

い政党に次の議席を配分する操作を繰り返すことを意

A, B, C, D, E, Fの各政党得票数がそれぞれPA=味している.除数法は除数関数 v(d) の与え方によって5551 ，異なった配分を与える.これまでにも諸外国でよく用

34 ，したがって n= 6 , P=10000 ， そして K=100 の例

ρB=3359 ，

ρc=963 ，ρD=5 1，

ρ E=4 1，

ρ F=

いられている最も代表的な除数法を除数関数，階数関に上述の議席配分方法を適用した配分結果を表 3 に示数とともに表 2 に示す.表 2 に示した 6 つの除数法がす.この場合の最大除数法と過半小数法に対する除数

どのような得票数分布と総議席数のデータに対してもはそれぞれん=一一一
ÀM=5'7'r. ーーーとなる.またパラメト5551,

6718M‑m

ほぼ同様の配分解を与えてくれれば問題はないのであリック除数法においては，パラメタ t の値として 0.46ζるが，実はこれらの配分方法はデータによってはこと

tζ0.48 に対して得られる同ーの配分解を示す.表 2 にごとく異なる配分解を与える(大山[ '87bJ など参示した代表的な議席配分方法についての導出の経緯，照).さらにこれらの配分方法はそれぞれ異なる特性を理論的な関連等については，たとえばLucas有することから，いずれの配分方法がより望ましいか

Balinski.Young ['79, '82J などを参照されたい.

を明確にすることは非常に困難となる.これが議席配分問題が難しいことの 1 つの理由である.

['83J ,4. 各国の選挙制度

除数法の 1 つの一般的な形を提示したものとしてパ

小選挙区制を採用している固としてはイギリス，

ラメトリック除数法がある.パラメトリック除数法のオーストラリア，カナダ，フランス，アメリカ，イン除数関数は次式のように与えられる.

ド，ニュージーランドなどがあるが，これらの国々の(1司v(d , t)=d+t

O -::;;, t-::;;'l ,t: パラメタ

間でも小選挙区制はそれぞれ少しずつ異なっている.

中でも最も古い歴史を有しているのはイギリスであっ表2

各種除数法の除数関数と階数関数

分配方法

最大除数法

d+1

過半小数法

d+~
2等比率法

調和平均法

最小除数法

パラメトリック除数法

42除数関数階級関数
ρdd+t

されている小選挙区制は選挙区数250程度であるから，人口約 40万人につき 1 選挙区となり，イギリスの場合

d十1に比較しでかなり大きくなる.またフランスでは，前ρ述のコンドルセ・パラドクスを避けるための 1 つの方d+よ法として，第 1 回投票で有効投票の過半数をとれば当2
p/d(d+1)/d(d+1)d(d+1)d+~
2て，下院では人口約 85000 人につき 1 選挙区として，全国を 650選挙区に分けている.わが国において現在検討

ρ(d+ ~)

d(d+I)pdρ

d+t選となるが，そうでない場合に第 1 回投票で有効投票のtの得票があれば第2 回投票にも立候補できるという条件で第 2 回目の投票を行なう.アメリカの場合は上院が各州 2 名という同ーの議員定数であるのに対して，下院においては人口に比例して議員定数を配分している.

1790年センサス実施後の議会において下院議席総数112 という法案が可決きれ，その後これを各州に配分することに関しては，政治家，研究者によって多くの配分方法が議論され，下院議席総数の増加ととも© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

表3

政党得票数と分配議席数

政党得票数

LF法

GD法

MF法

EP法

HM法

SD法

PD法

A555156575555555455B

335934343433333334C

96310

910

9

910

10D51。

。

11111E41。

。

。

l11。

F34。

。

。

。

11。

合計

10000

100

100

100

100

100

LF法:最大剰余数法，EP法:等比率法，

100GD法最大除数法，100MF法:過半小数法

HM 法:調和平均法， SD法:最小除数法

PD法:パラメトリック除数法に幾多の変遷を経てきている (Lucas[ '83] ,BaIinski.のは I つの特徴である.

Young ['82] ，渡辺 ['89] など参照).現在の下院議

オースト 1) ア，イタリアではまず各選挙区に何らか

席総数435 は 1930年に設定されたもので， 1950年にアラの方法で各党ごとに議席を配分し，次に残りの定数をスカ，ハワイが新しく州に加入したときに一時的に 2配分に貢献しなかった分と死票にもとづいて再配分す議席増となった以外は固定きれている.また議席の各るという 2 段階配分方法を用いている.スウェーデン，州への配分方法については，1941年に過半小数法から等比率法に変更され，現在に至っている.

デンマークでは全国で 4% 以上の得票のあった政党に対して過半小数法を適用する.スイス，ベルギー，オ

比例代表制を採用しているのはドイ、ソ，イタリア，ランダでは有権者は各選挙区の定数と同数の候補者にベルギー，オランダ，スイス，オーストリア，スウェー投票することができる.各党は候補者ごとの得票を総デン，デンマーク，ノルウェーなどのヨーロッパの国々計し，所属政党別の得票として算出して各党にドントが主体である.ドイツの連邦議会の議員定数は 496 であ法にもとづいて配分する.配分された議席は候補者ごるが，その半分の248の小選挙区が作られており，有権との得票順に与えられる.比例代表制において候補者者は小選挙区の候補者 1 人と 1 つの政党を選ぶ.小選の顔が見えないという 1 つの欠点を補った方法といえ挙区では最高の得票を得た候補者が当選となるが，政る.

党に対する投票は全国の投票を総計して最大剰余数法

選挙制度の問題は平等とは何か，公平とは何か，不(1987年以前はドント法)によって各党に配分する.

偏的であるとはどういうことか，などの非常に難しい各党に配分された議席をその党の各州の得票によって問題をそれ自体に含んでおり，完全に解決するには再び最大剰余数法によって配分する.このようにしてもっと時間が必要かも知れない.これまで約 200年もの各党の各州における当選者の数が決まるが，ここで小間多くの研究者によって積極的に研究され，かなりの選挙区の当選者を優先的に当選とし，残りを各州の各成果が得られている.今後ともますます多くの若い研

党の拘束名簿から補充する.小選挙区の当選者数がそ究者がこの問題に興味を持ち，解決に少しでも近づけの党の割当よりも多い場合には，小選挙区の当選者をることを期待したい.

優先的に当選とするため超過議席として扱い，次の選参考文献

挙まで議員定数を増やすことになる.わが国ではこの方法を小選挙区比例代表併用制と呼んでいるが，各党の議席数は実質的に比例代表制によって決定される.
なお政党に対する全国の投票を総計して各党に配分する際，全国で 5% 以上の得票を得たものを対象とする1994 年 1 月号

[1] 大山達雄，

1987a.

“選挙区議員定数問題の数理オベレーションズ・リサーチ，

Vo 1. 32 ,N.
o5 , pp.269‑
280.

[2J 大山達雄， 1987b. “選挙区事例からみた議員© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

43定数配分方法の比較分析オベレーションズ・リ
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