数理計画の理論と実装

サプライ・チェイン最適化システムの統合と連携について
久保 幹雄
な場所で分野を超えた交流が成されているが，分野ご

1．はじめにとに使用されている用語の意味や定義が異なるため，最近注目を浴びているサプライ・チェイン・マネジ

議論が噛み合わず，有益な交流ができているとは言いメントにおける意思決定支援システムの中身は，オペ難い．例えば，ある分野ではサプライ・チェイン最適

レーションズ・リサーチのテクニック（特に，最適化，化とは「在庫」を適正化するための手法として捉えらシミュレーション，ゲームの理論）の集合体である．

れており，別の分野ではサプライ・チェイン最適化とここでは，サプライ・チェイン最適化に対する数理モは工場内のスケジューリングを指していたりする．異デルを一段上から眺めた抽象モデルを提案するととも分野間の交流は，サプライ・チェインのような複合的に，理論と実務の現状の整理と問題点，今後の研究のな学問体系にとっては必要不可欠なものであるが，こ方向性について考える．

れらの現象を目のあたりにし，研究者たちが同じ土俵

2．サプライ・チェイン抽象モデル
サプライ・チェインを対象とした最適化モデルには，で議論するためのモデルの必要性を痛切に感じた．これが，モデル間の関係を明確化するための抽象モデルを考えるに至った動機である．このモデルは，抽象ロ様々なものがある．ここで「モデル」とは，現実問題ジスティクス・オブジェクトを用いたロジスティクの典型例を抽象化したものである．同じ現実問題例をス・ネットワーク設計問題に対するモデル［1，第11

対象としていても，その抽象化のレベルによって，章］と，（一般化された）資源制約付きスケジューリン様々なモデルが作成できる．エンドユーザが使用するグに対するモデル［2，第25章］を基礎としている．

ことを想定した場合には，実ロジスティクス・オブジモデルについて論じる前に，サプライ・チェインとェクト（トラックや機械などを指す造語）を用いたモは何かについて考えてみる．「サプライ・チェイン＝デルが有効であり，一方，システムを作成するロジスロジスティクス＋情報技術」というのが，非専門家向ティクス・エンジニアや研究者が使用することを想定

けの講演での説明方式であるが，これは単なる標語でした場合には，抽象ロジスティクス・オブジェクトあって「何か？」という問いに答えるものではない．

（資源やネットワークなどを指す造語）を用いたモデ

ここで提案する抽象モデルでは，サプライ・チェインルが有効である．また，同じ抽象モデルでも，グラを空間（点），時間（期），資源，活動の四つの基本要素

フ・ネットワークなど高度に抽象化されたものから，とそれらの関係から構成されるものと捉える．これら

時間枠付き配送計画や資源制約付きスケジューリングの構成要素の中心に活動（activity）を据え，活動をなど具体的な応用を対象としたものまで様々な階層に基準として，資源を時・空間内に移動させることがサ分けることができ，それぞれ利点・弱点がある（利プライ・チェインの本質であり，目的であると考える点・弱点についての議論と使い（図1）．以下では，このモデルを活動基準サプライ・分けについては，拙著「ロジスティクス工学」［1，pp．9−10］を参照されたチェイン抽象モデルと呼ぶ．管理会計の分野には，活い）．

動基準原価計算（activitybasedcosting）と呼ばれるサプライ・チェインの理論や実務については，様々

くぼ みきお手法があるが，この手法は，ここで提示するモデルにおいて，活動と財務資源の関係を定めるときに有効で

東京商船大学流通情報工学ある．

〒135−8533江東区越中島2−1−6〟：点の集合．

2003年10月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（41）753

二図1活動基準サプライ・チェイン抽象モデル

原料供給地点，工場，倉庫の配置可能地点，顧客

ア戌〟：資源γが期′に点ブ上に存在することが可（群），作業工程，在庫の一時保管場所など，サプライ・チェインに関わるすべての地点を総称して能な三つ組（′，γ，わの集合．
粛タ：活動αが期′に行うことが可能な二つ組（α，f）

点と呼ぶ．点（集合）間には集約・非集約関係が定義できる．例えば，顧客を集約したものが顧客の集合．
タ屈〟（α，f）：活動αが期才に行われたとき，期∫に群となる．

おける点グ上の資源γが消雪（生成）される可タ：期の集合．

能性がある三つ組（ぶ，γ，わの集合．

期とは連続時間を離散化したものである．最も単A‰：期5に活動αを行ったとき，期Jに資源γが純な期集合は，有限な正数r，時刻の列0＝Jl＜点グ上で消費される量．負の値のときには，生成ゐ＜…＜′rを与えたとき，区間（′ざ，わ．1】（オ＝1，…，される量を表す．

T−1）の順序付き集合として生成される．′吊

Uけど（エ机）：期fにおける点グ上での資源γの上限−′fがすべて同じであるとき，J州一′i（＝∂）を期集合の幅と呼ぶ．サプライ・チェインをモデル化（下限）．
∬。亡（∈Z＋Or（0，1））：期′に活動αが行われる数を表する際には，意思決定レベルの違いにより様々な幅をもつ期集合が定義される．ここでは，それらを集めたものをタと定義する．期（集合）に対しても，点と同様に集約・非集約関係が定義できる．

す非負の整数変数（もしくは0−1変数）．

目的関数は，変数∬。fによって定まる分離可能な費用関数∑ ん（∬。f）（〟，り∈〟タ

例えば，日を集約したものが週であり，週を集約したものが月（もしくは四半期や年）となる．と，各（オ，γ，わ∈タ戌〟に対して定まる資源制約の逸脱量のペナルティ付きの和を最小とするものとする．

虎：資源の集合．
J一…こ＿サプライ・チェインを構成する企業体は，製品∑▲心；・いI・ ハニヱJ 仙（〟，∫）：（／．r，J）∈ア男〟（〟，ぶ）（部品，原材料，中間製品，完成品），生産ライン，

この制約は，資源量の上下限や原材料の供給量上限，機械，輸送機器（トラック，船，鉄道，飛行機），需要を満たすための条件などを表す．

金（財務資源），人（人的資源）などの資源からその他の制約として，活動間の依存関係を考える．

構成される．資源（集合）に対しても，点と同様

この制約は，「活動用が期オに行われると，活動α′もに集約・非集約関係が定義できる．

同じ期Jに行われなければならない」などの形式で表現され，具体的には，スケジューリングにおける活動

ぷ：活動の集合．
サプライ・チェインとは，資源を時・空間内で消間の先行制約や，トラックを運行させる活動を行うた費・生成させることであると捉え，資源を消雪・めには運転手が移動するという活動を同時に行う必要生成する基本となる単位を活動（activity）と呼があることなどを表す．

ぶ．活動（集合）に対しても，点と同様に集約・非集約関係が定義できる．
丁54（42）

実ロジスティクス・オブジェクトである顧客，配送センタ，トラックなどは，上で定義した抽象ロジステ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチイクス・オブジェクト（点，資源）から派生させて作消雪される原材料資源の集合，生産に必要な資源の集成する．

合（機械資源，人的資源）などの属性をもつクラスと例えば，点を，ID，名称，位置情報（緯度・経して定義され，在庫活動は，在席の開始期，終了期，度），郵便番号，電話番号，住所などの属性，点の集在庫する製品（の集合），在庫保管費用などの属性を約・非集約関係を表すデータ構造，地図上への描画メもつクラスとして定義される．

ソッドなどをもつクラスとして設計し，顧客クラスを，これらの活動テンプレートの組み合わせによって，点クラスから派生させ，配送可能な配送センタの集合，様々なモデルを構築できる．以下では，サプライ・チ配送センタ間の移動時間，入庫可能なトラック，配送ェイン最適化の代表的なモデルを上の抽象モデルと関可能な時間枠などの属性を付加して生成する．また，連づけながら解説する．

倉庫や配送センタは，点クラスに総床面積，高さなど3．ロジスティクス・ネットワーク設計モの容量を表す情報，仕分けや加工などの可能な活動のデル集合を付加して生成する．

同じように，資源を，ID，名称，使用可能な期間

ロジスティクス・ネットワーク設計は，ストラテジの集合，購入の際の固定費用，継続期間，再生期間，ックレベルの意思決定モテルであり，オペレーション集約・非集約関係を表すデータ構造をもつクラスとしズ・リサーチの世界では，古くから施設配置問題として設計し，輸送手段クラスを，資源クラスから派生さて研究が行われてきたが，最近では実務を意識した拡せ，移動費用，平均時速，積載量量上限，積載量量上張モデルに対する研究も増えてきている．

限，稼働時間上限，単位時間あたりの稼働費用，移動開始地点（デポ）などの属性を付加して生成する．

活動については，輸送，生産，在庫，調達，販売などを表すテンプレート（雛形）を準備する．

上で述べた抽象モデルにおいては，活動は影響を与える資源が発生（消滅）する点によって位置的な情報と関連づけることができる．例えば，輸送を表す活動は，点の対として定義される枝（才，ノ）と結びつけて考

例えば，点才から点ノへの移動時聞7も（期）を要すえることができる．また，製品資源や財務資源を，よる輸送活動のテンプレートαに対するタ尿〟（α，′）は，り具体的に製品（品目），費用（収益）に置き換える以下の集合

ことによって，やや抽象度の低いロジスティクス・ネ

（（′，γ，わレは枝（才，ノ）上を通過可能な製品資源）

ットワーク設計モデルを設計することができる（図（（′＋了も，γ，ノ）レは枝（オ，ノ）上を通過可能な製品資2）．資源の調達を表す活動が影響を与える期と，活動源）を行った期の差を，活動の継続期間（tenure）と呼ぶ．

昔（（∫，γ，ノ）レは枝（ブ，ノ）上で使用可能な輸送資

これらの用語を使うと，ロジスティクス・ネットワー

β＝f

ク設計とは，継続期間が大きい調達活動を行う一か否か源）と，生産や輸送などの活動をどの枝上で（年間レベル（（ん，財務資源，ゐ））などの比較的長い幅をもつ期内に）何単位行うか（この和集合と定義できる．ここで，んはすべての期間（0，T】を表し，ゐは財務資源の保管場所を表すダミーの点である．

同時に決定するモデルであると考えることができる．
具体的には，倉庫，工場，ならびに生産ラインの設置より具体的には，輸送活動は，発地点，着地点，活動を開始することができる期の集合，終了しなければならない期の集合（これらは輸送を行う時間枠を規程する），開始時刻，終了時刻，サイクル時間，リード時間，輸送を行う製品の集合，使用する資源の集合（輸送手段，人的資源）などの属性と，活動に付随する発地，着地の情報から，輸送に要する移動時間，移動距離，移動費用（財務資源）、を計算するためのメソッドから構成されるクラスとして定義される．
同様に，生産活動は，生産される製品資源の集合，
2003年10月号

れはネットワークの形状を定めることに相当する）をや輸送機器の購入の是非を決定すると同時に，新設した工場における各製品の生産量や点間の各製品群の総輸送量を決定する．
ここで，生産量や輸送量は，生産活動や輸送活動を単位期間（例えば年間）に何単位行うかによって定まる量であり，ネットワーク理論における枝上の製品の流量（フロー量）に相当する．実際の最適化を行う際には，固定費用付きの多品種流問題に対する適切なアルゴリズムを用いる必要がある．我々が準備しているのは，数理計画ソルバを用いるものと，大近傍局所探© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（43）丁55

製品A，B，C 1消費生成†製革D

生成†製品A，B，C製品A，B，C

トラック資源

継続期間15年＠恒垂）桓頭寺ヰ⊇桓D辱参

垂 手車 垂車
図2 ロジスティクス・ネットワーク設計モデル

図3 ロジスティクス・ネットワーク最適化の適用例

索に基づくメタ解法であり，両者は基本的には同じモ注意を払わなければならないのが「在庫」の概念であデルを対象とするが，その詳細度や解ける問題の規模る．一口に在庫といっても，その種類は様々であり，が異なる．

要因別に分析する必要がある．また，在庫は，複数の具体性を出すために，ある業務用プリンタメーカの意思決定レベルに跨って存在するため，各レベル間のサプライ・チェインを例として示す（図3）．この例

情報のやりとりを通じて，種類別の在庫量ならびに費では，完成品を作るための製品・部品間の親子関係を用の辻棲が合うようにモデル化することが肝要である．

表す部品展開表と，ロジスティクス・システム内に含ロジスティクス・ネットワーク設計モテリレにおいて陽まれる施設や地点を点とし，もの（製品）が移動する的に考慮する在庫は，サイクル在庫と安全在庫である．

可能性がある点の対を枝としたネットワークを入力とサイクル在庫とは，生産や発注の間隔（サイクル時

すると，組立，配線，包装，輸送，梱包などの活動を間）に依存して定まる在庫であり，意思決定変数であどこで何単位行えばよいかを決定する．

る輸送モード（これは杖上に配置される資i原としてモサプライ・チェイン最適化モデルを作成するときに，丁56（44）デル化される）の選択に依存して決まる．安全在庫と© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

は，需要の不確実性に対処するための在庫であり，ああり，各点においてサービスレベルを満たすための安る仮定（需要量と分散の比が顧客に依存せず一定）の全在庫をどこにどれだけ配置すればよいかを決定する．

下ではフロー量の凹費用関数としてモデル化できる．

これは，ストラテジックレベルのロジスティクス・ネ

ロジスティクス・ネットワーク設計モデルの多期間●

ットワーク設計モデルにおいて，近似的に扱われていへの拡張は比較的容易である．多期間ロジスティクた安全在庫を，より正確に表現したモデルであると考ス・ネットワーク設計モデルでは，資源を配置するおえられる．

おまかな期も決定する．多期間ロジスティクス・ネッ安全在庫配置モデルでは，ロジスティクス・ネット

トワーク設計モデルの意思決定レベルはタクテイカルワーク設計モデルにおいては定数であると仮定していレベルである．次の期へ持ち越す在庫を明示的に変数たリード時間（発注から到着までの時間）を変数であとして扱うので，期ごとに変化する需要に対処するたると仮定し，その最適化を行う．このモデルを用いる

めの在庫（作り置き在庫）を考慮することができる．

ことによって，どの点に安全在庫によるバッファを設

具体的には，単位期間を月（もしくは年や日）としてけて押し出し・引っ張りの境界とするかを決めることを考え，月別の需要量データの情報をもとに，各月にができる．

おける生産量，輸送量を決定する．これは，従来は工ロジスティクス・ネットワーク設計モデルと同様に，場内だけで用いられてきた機械容量などの資源制約を業務用プリンタメーカのサプライ・チェインを例とし考慮した生産計画をサプライ・チェイン全体に拡張して示す（図4）．この例では，ロジスティクス・ネッたものである．多期間のロジスティクス・ネットワー

トワーク設計問題を最適化することによって定められ

ク設計モデルに，た生産地点と年間生産量の情報をもとに，安全在庫を生産準備のための段取り活動を含めたものは，以下で述べる（大バケットの）ロットサイどの地点に保持すればよいかを決定している．具体的

ズ決定モデルとほぼ同じものになり，その境界は曖昧には，本体の在庫を工場の生産終了地点（押し出し・である．

引っ張りの境界）に置き，モニタ，コンピュータ，メ今後の研究の課題となるのは，囲もしくは国家群を

モリを組立工程の前に適切な量だけ置くことによって，跨いだサプライ・チェインに対応するための，関税，顧客需要のサービスレベルを満たし，かつ全体での安関税控除，移転価格，為替の変動（不確実性）などを全在庫費用の合計を最小化している．本体在庫をバッ考慮したモデルの設計である．また，通常は定数としファとすることにより，サプライ・チェインは最終顧て入力される顧客需要を，価格を変数とすることによ

客の需要を満たす部分（後半）と本体の在庫を目標値って変化させるモデル（収益管理モデル）に対する研に生産をする部分（前半）に分けられる．工場より上究も，今後の重要な課題である．

流のサプライ・チェインでは，本体のエシェロン在庫ポジション（実在庫＋下流の在庫＋発注中の在庫）を4．安全在庫配置モデル

エシュロン基在庫レベル（最適化された目標値）にな

安全在庫配置は，タタテイカルレベルの意思決定でるように生産を行えばよい．

図4 安全在庫最適化の適用例
2003年10月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（45）丁5丁むことによって，より現実的かつ効率的な解を得るこ

5．ロットサイズ決定モデルとができる．

ロットサイズ決定は，タクテイカルレベルの意思決

ロットサイズ決定モデルは，扱う期間の幅によって定モデルであり，与えられた資源（機械や人）の下で，大バケットと小バケットに大別される．小バケットと活動をどの程度まとめて行うかを決定する．研究者がは，各期における段取り活動がたかだか2回以下に限

主に対象としている狭義のロットサイズ決定は，需要定されたモデルを指し，それ以外を大バケットと呼ぶ．

量が期によって変動するときの各期の生産量ならびに大バケットモデルは，多期間ロジスティクス・ネット

在庫量を決定するモデルであり，生産を行う際の段取ワーク設計モデルとほぼ同じ構造をもち，小パケットり費用と在庫費用のトレード・オフをとることを主眼

モデルは，以下で述べるスケジューリングモデルに在においている．

庫の概念を付加したモデルになる．このように，ロッ一般に，生産や輸送は規模の経済性をもつ．これをトサイズ決定は，期の幅の取り方によって，様々な意

モデル化する際には，生産や輸送のための諸活動を行思決定で用いることができる汎用性の高いモデルであうためには「段取り」と呼ばれる準備活動が必要になる．

ると考える．ロットサイズ決定とは，段取り活動を行

前述の業務用プリンタメーカのサプライ・チェイン

う期を決定し，生産・輸送を表す諸活動をまとめて行の例においては，ロットサイズ決定と後述するスケジうときの「量」を決定するモデルである．これは，スューリングは，安全在庫配置問題を最適化することにトラテジックレベルのロジスティクス・ネットワークよって分けられた部分問題に対して個別に適用される．

設計モデルにおいて，サイクル時間と呼ばれるパラメサプライ・チェインの前半部に対するロットサイズ決ータを用いて定数として扱われていた生産や輸送の周定の適用例を図5に，スケジューリングの適用例を図期をより正確に表現したものと考えられる・．

6に示す．

ロットサイズ決定問題は，オペレーションズ理論面では，最近ではロットサイズ決定問題のベン・リサーチの世界では古くから多くの研究が行われている問

チマーク問題例の整備も進み，多面体構造の解明に基題であるが，国内での（特に実務家の間での）認知度づく数理計画アプローチ，メタ解法によるアプローチ

はいま一つのようである．適用可能な実務は，ERPの両者とも，実用規模の問題の求解までもう一歩の段（Enterprise Resource Planning）やAPS階にあると考えられるが，研究者側のさらなる努力が（AdvancedPlanningandScheduling）などを導入し必要である．ており，かつ段取りの意思決定が比較的重要な分野で6．スケジューリングモデルある．そのような分野においては，ERPやAPSで単スケジューリングは，オペレーショナルレベルの意

純なルールで自動化されていた部分に最適化を持ち込・？巨］
メ㌧

配線品目A 彗200

バックログ

1

本体需要品目A

1区画

図5 ロットサイズ決定最適化の適用例
丁58（46）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

組立品目A200●

図6 スケジューリング最適化の適用例

思決定モデルであり，上位のロットサイズ決定モデルでまとめられた活動をいつ（どの期に）行うかを決定

7．配送計画モデル

する．一度に行う活動の量は上位レベルで決められて配送計画は，タクテイカルレベルとオペレーショナいるので，スケジューリングにおいては，変数∬。fはルレベルの両者で用いられる意思決定モデルであり，0−1変数として扱うことができる．ロットサイズ決定

主にトラックや船舶などの移動する資源による空間内モデルによって集約された活動を，通常の活動と区別に散らばる活動の処理順序を決定する．ロジスティクするために作業（ジョブ）と呼ぶ．一般にスケジュー

ス・ネットワーク設計モデルにおいては，移動資源のリングとは，製品を加工するための作業（ジョブ）の巡回順については，陽には考慮されていなかった．し開始時刻を決定するモデルの総称であるが，工場内のかし，実際の輸送手段の移動は，空輸送を最小にする資源（機械，人，原材料）の作業への割り振りや作業ように工夫して運用されることが多い．したがって，モードの選択も，同時に決定する場合が多い．

配送計画モデルとロジスティクス・ネットワーク設計

最近では，（問題ごとに特別に設計された）変数固定テストの洗練化によって，小規模問題例なら制約論モデルは，相互にデータをやりとりしながら最適化を行うことが理想である．

理や分枝限定法を用いて厳密解を得ることができるよ

配送計画に対する最適化アプローチは，最近ではほうになってきている．また，大規模問題例に対しては，とんどのソフトウェアで採用されており，ソフトウェメタ解法の適用が推奨される．

アの種類も豊富である．ほんの十年位前には，「配送スケジューリングのようなオペレーショナルレベル計画では実務的な付加条件が多いので最適化アプローの意思決定支援システムの導入の際には，ユーザごとチは不可能である」と我が国の実務家の間では許されのカスタマイズが必要になるケースが多い．現在，我ていたのだが，最近では，テレビや新聞1でも頻繁にが国の現場で使用されているシステムの多くは，古典取り上げられるほどに普及が進んでいる．これは，他的なディスパッチングルールb）ようなone−paSSのヒのオペレーションス・リサーチ手法の普及のためのヒューリステイクスである．これは，現場に応じた付加ントを与えてくれる．手法の普及のためには，論文を条件に応じるための開発時間（ならびに費用）を短縮するためであると推測されるが，One−paSSのヒュー1例えば，2003年1月16日付けの日経新聞夕刊「最速のリステイクスに基づいたメタ解法［3］も研究者側からルートを探せ」では，東芝物流への配送計画の導入事例が提案されており，より高精度な近似解法を組み込んだ実用システムの普及が課題となっている．
2003年10月号

紹介されている．記事の一部は，日経のホームページにも掲載されている．

http：／／www・nikkei・CO・jp／wte／20030115u261fOOl＿15．html© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（47）丁59

書くだけでなく，現場の説得と教育，導入しない理由VenderManagedInventory）などのバリエーションの調査，成功事例の蓄積，現場の声をもとにしたモデに対するシステムの実用化も課題である．

ルの改良，非専門家向けの講演，共同研究，技術指導，参考文献

システムの開発と低価格化，悪質な（売り逃げ）業者［1］久保幹雄：ロジスティクス工学，朝倉書店，2001．の排斥など地道な作業が重要なのである．
もちろん配送計画に対しても，多くの研究課題が残されている．一般的には，大規模な問題例に対する解法を洗練させること，ユーザごとのカスタマイズ条件から新たな問題のクラスを抽出することなどが課題であり，個別では在庫計画と融合させた問題（VMI：

丁60（48）［2］久保幹雄：田村明久，松井知己，応用数理計画ハンドブ
ック，朝倉書店，2002．
［3］野々部宏司，茨木俊秀：汎用スケジューラーRCPSP
によるアプローチー，オペレーションズ・リサーチ，45，3，18−124，2000．

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