INSS JOURNAL Vol. 30 2023 NT-12
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統計的安全評価における代替統計モデルの適用（実機条件に対する不確かさ解析のベイズ推定）
Application of Surrogate Models for Statistical Safety Evaluation(Bayesian inference for uncertainty analysis of PWRs)
木下

郁男 （Ikuo Kinoshita）＊1

要約 加圧水型原子炉の小破断冷却材喪失事故を対象とした最適評価コード RELAP5 による統計
的安全評価に対して，確率的プログラミング言語 Stan を用いて代替統計モデルによる燃料被覆管
最高温度のベイズ推定を行った．代替統計モデルによる 95%値の評価精度について，破断口径が1 インチ，3 インチ，5 インチの場合に対して，学習データのサンプリングを変更して統計的に検討した．各破断口径に対して，適応的サンプリングを適用することによって，代替統計モデルによる 95%値の評価は，RELAP5 計算の 95%値とよく一致し，順序統計法よりも精度が良く，変動が小さいことを確認した．また，代替統計モデルによる 95%/95%値の評価は，RELAP5 計算の 95%
値よりも大きく安全側の評価を与えることを確認した．一方，その変動の範囲は，3 インチ破断では順序統計法の変動の範囲に含まれるが，1 インチ破断と 5 インチ破断では，順序統計法による変動の範囲に含まれず，保守的な評価となった．代替統計モデルをより汎化性能の良いものにすれば，すべての破断サイズに対して，95%/95%値は RELAP5 計算の 95％値よりも安全側で，かつ順序統計法と比較して過度の保守性を排した評価になると考えられる．
キーワード

統計的安全評価，代替統計モデル，不確かさ解析，ベイズ推定，適応的サンプリング

Abstract The present paper discusses Bayesian modeling and inference using the probabilistic programming
language Stan for the RELAP5 uncertainty analysis of fuel peak cladding temperature during a small break
LOCA scenario in PWRs. For the break sizes of 1, 3 and 5 inches, the accuracy of the 95% value estimatedby Bayesian modeling was examined statistically by changing the sampling of the training data sets. By
repeating adaptive sampling for each break size, it was confirmed that the 95% value estimated by Bayesianmodeling was almost the same as the 95% value calculated by the RELAP5 code, and more accurate and lessvariability than the order statistics. The 95%/95% value evaluated by Bayesian inference gave a safe side
evaluation compared with the 95% value of the RELAP5 code. The range of variation of the 95%/95% value
was included in the range of variation of the order statistics for the 3 inch break, but was not included in therange of variation of the order statistics for the 1 inch break and 5 inch break, resulting in an overly
conservative evaluation. If the surrogate model used in Bayesian inference had better generalization
performance, the 95%/95% value estimated by Bayesian inference for each break size would be on the safe
side of the 95% value from the RELAP5 code and would give an assessment excluding excessconservativeness compared with the order statistics.
Keywords Best estimate plus uncertainty (BEPU), Statistical surrogate model, Uncertainty analysis, Bayesian inference,
Adaptive sampling

1. 緒言

確かさを定量化する．統計的安全評価手法（Best Estimate
Plus Uncertainty, BEPU）(1)は，これらの不確かさをモンテ

大規模で複雑な人工物システムである原子力プラント

カルロ・サンプリングにより統合し，コード全体の不確かの安全性について十分な精度での議論を行うためには，詳さを評価する．本手法の適用により，最適評価結果に対す細な核熱水力計算モデルを実装した最適評価コードによる不確かさが定量的に評価され，過度の保守性を排した信るシミュレーションが不可欠である．最適評価コードは，

頼性の高い評価結果を得ることができる．統計的安全評価

原子力プラントを階層分解して要素ごとに物理現象をモ

手法は，米国，韓国，スペインなどの国で規制に採用されデル化し，それに対応する検証実験に基づいてモデルの不ており，日本でも採用が検討されている．日本では，日本＊１（株）原子力安全システム研究所 技術システム研究所

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原子力学会標準「統計的安全評価の実施基準」が 2008 年に及ぼす影響の大きい重要現象を抽出し，次いで，抽出しに策定され，2021 年に本手法の最新知見を反映した改訂

た重要現象に対応する計算モデルや入力データの不確か版(2)が発行された．

さを定量化し，それから，これらの不確かさが安全評価パ

統計的安全評価では，最適評価コードを用いた多数回

ラメータの解析結果に及ぼす影響を評価する．

のモンテカルロ計算により統計的安全評価値を求める．最適評価コードは計算コストが大きいため，これを実施可能①入力パラメータの不確かさの特定と定量化な計算時間で行うためには，最適評価コードよりも計算コ
ストの小さな代替統計モデル(3)の適用が有効である．代替
統計モデルは，計算コードの入力と計算結果との間の関係を近似するモデルである．一般に，パラメータを含んだ形

入力パラメータ
入力パラメータ
入力パラメータ
不確かさ
不確かさ
不確かさ
赤線が入力パラメータのサンプリング

式で定式化され，各パラメータはデータに適合するように定められる．統計的安全評価に代替統計モデルを適用するにあたっては，最適評価コードを用いた多数回のモンテカ②入力パラメータの不確かさの組合せ
最適評価コードによる解析

ルロ計算の一部を実施して，これらを学習データとしてモデルを構築する．したがって，学習データ以外のデータに対する代替統計モデルの計算精度（汎化性能）の確認が必③解析結果に対する不確かさ評価
最適評価

要である．特に，統計的安全評価において重要な 95%累積確率値（以下 95％値とも言う）に対する代替統計モデル

出力パラメータ
不確かさ

サンプル入力パラメータによる解析値の計算精度の評価が必要である．
2020 年の本誌論文(4)では，日本原子力研究開発機構の
ROSA 計画大型非定常試験装置（LSTF）における小破断
LOCA（冷却材喪失事故）模擬実験を対象に，代替統計モ
デルによる不確かさ解析において，交差検証法を適用する
ことにより 95％値の計算精度を推定できることを示した．
2021 年の本誌論文(5)では，実機プラントにおける小破断
LOCA 事象を対象に，代替統計モデルによる不確かさ解析における 95%値の計算精度の向上のために，適応的サン
プリング法が有効であること，交差検証法を適用することにより 95％値の計算精度を推定できることを示した．
2022 年の本誌論文(6)では，2020 年の本誌論文で実施した ROSA/LSTF における小破断 LOCA 模擬実験の不確かさ解析を対象に，不確かさ解析の代替統計モデルに対してベイズ推定(7) (8)を適用した．ベイズ推定により，95％値の計算精度をベイズ予測区間として定量的に，順序統計法(9)(10)

よりも精度良く評価できることを示した．
本論文では，2021 年の本誌論文で実施した実機プラン

トにおける小破断 LOCA 事象を対象に，不確かさ解析の代替統計モデルに対してベイズ推定を適用する．これにより，95％値の計算精度について，ベイズ予測区間を用いて定量的な検討を行う．

統計的安全評価(95%累積確率値)

図 1 統計的安全評価手法における不確かさ評価
図 1 に，統計的安全評価における不確かさ評価の概要を示す．統計的安全評価は以下の手順で実施する．①最適評
価コードの入力パラメータの不確かさを特定し，確率分布
として定量化する．②入力パラメータの不確かさ分布から
サンプリングを行って最適評価コードによる解析を行い（図中の赤字で示す），これらの解析結果を集計して出力パラメータの不確かさ分布を求める．③出力パラメータの不確かさ分布から統計的安全評価値を求める．通常，統計的安全評価値は 95%累積確率値で与えられる．
統計的安全評価においては，95%累積確率値は最適評価
コードの直接計算で得られた確率分布から直接評価するのが厳密であるが，これでは計算コストが大きくなる．計
算コストを削減するために，順序統計法や代替統計モデルを適用して 95％累積確率値の評価が行われている．
順序統計法は，統計理論から所定の確信度を有する評価を得るために必要なサンプル数（解析ケース数）を定めて不確かさを評価する方法である．解析ケースを抑えるこ

2. 統計的安全評価と代替統計モデル
統計的安全評価手法(1) (2)では，着目する事象に対し，まず重要度ランク表（PIRT）を作成して安全評価パラメータとにより，計算コストを削減することを意図している．必要なサンプル数は Wilks の式(9) (10)で与えられ，安全評価パ
ラメータのサンプルを大きい順に並べた場合，95％信頼水
準で 95％累積確率値が上位 1 位，2 位，3 位，4 位，5 位

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184に位置するために必要なサンプル数は，それぞれ 59 サン

𝑃𝑃�𝜃𝜃|𝑌𝑌� =プル，93 サンプル，124 サンプル，153 サンプル，181 サ
ンプルである．順序統計法は，不確かさパラメータの数に

𝑝𝑝�𝑌𝑌|𝜃𝜃�𝑝𝑝�𝜃𝜃�
𝑝𝑝�𝑌𝑌�

依存せずに適用できる頑健性があるが，解析ケースの選択

ここで𝑝𝑝�𝜃𝜃�を事前分布，𝑃𝑃�𝜃𝜃|𝑌𝑌�を事後分布という．ま

結果に依存して評価バラツキがあり，5％の確率で 95％累

た，データ Y が与えられたときの，新たなデータ y*が従積確率値を非安全側に評価する可能性がある．

う確率分布は，𝑝𝑝�𝑦𝑦 |𝜃𝜃�を 𝑝𝑝�𝜃𝜃|𝑌𝑌�で重みづけした積分として，次式で計算される．

𝑃𝑃�𝑦𝑦 ∗ |𝑌𝑌� � � 𝑝𝑝�𝑦𝑦 ∗ |𝜃𝜃�𝑝𝑝�𝜃𝜃|𝑌𝑌�𝑑𝑑𝑑𝑑

この 𝑃𝑃�𝑦𝑦 |𝑌𝑌� を y*の予測分布という．ここで，事後分

布𝑝𝑝�𝜃𝜃|𝑌𝑌�は一般に解析的に求めることができないため，

マルコフ連 鎖モンテカ ルロ法（MCMC 法） に より
図 2 代替統計モデル
本研究では，95％累積確率値の評価に対する代替統計モデルの適用性を検討している．代替統計モデルは，最適評価コードの入力と出力を近似するように少数のサンプ
ル（学習データ）から学習されたモデルである．図 2 に，代替統計モデルの概念図を示す．代替統計モデルは最適評
価コードよりも計算コストが小さいため多数回の計算が可能であり，これから得られる確率分布から直接的に95％累積確率値を評価することができる．
一方，代替統計モデルを統計的安全評価に適用するにあたっては，学習データ以外のデータに対するモデルの汎化性能の確認が必要である．すなわち，最適評価コードを用いた 95％累積確率値に対する代替統計モデルを用いた
95％累積確率値の計算精度の確認が必要である．本研究では，2020 年および 2021 年の本誌論文(4) (5)において，代替
統計モデルによる 95％累積確率値の計算精度は，学習データを用いた交差検証によって推定可能であることを示した.

𝑝𝑝�𝑌𝑌|𝜃𝜃�𝑝𝑝�𝜃𝜃�に従う乱数を発生させて数値的に計算することが行われる．本研究では，確率的プログラミング言語
Stan(11)を用いて，事後分布の推定を行う．

本研究では，95％累積確率値の予測分布を用いて，95％
累積確率値の評価の不確かさを検討する．2022 年の本誌
論文(6)では，ROSA/LSTF における小破断 LOCA 実験の不確かさ解析にベイズ推定を適用し，95％値の計算精度をベ
イズ予測区間として定量的に，順序統計法よりも精度良く評価できることを示した．本論文では，実機プラントにおける小破断 LOCA 事象を対象に，不確かさ解析の代替統計モデルに対してベイズ推定を適用し，これにより，95％
値の計算精度について定量的な検討を行う．

3. RELAP5コ
コードによる不確かさ解析
3.1 対象事象
対象事象は 4 ループ加圧水型軽水炉（PWR）における小破断 LOCA 時高圧注入系不作動事象とした．PWR プラ

本研究では，代替統計モデルによる 95％累積確率値のントの小破断 LOCA 時には１次系が高圧状態で冷却材が計算精度について定量的な評価を行うために，代替統計モ

喪失していくため，高圧注入系の作動に失敗すると蓄圧注

デルにベイズ推定を適用し，95％累積確率値のベイズ予測入系による注水が遅れ，炉心損傷に至る可能性がある．こ

区間を評価する．

のためアクシデントマネジメント策として蒸気発生器を

ベイズ統計学の方法では，代替統計モデルに使用され利用した 2 次側強制減圧操作が行われる．

るパラメータを確率変数として扱い，不確かさを考慮した

表１に，不確かさ解析のベースケースとして設定した予測を行う．一般に，代替統計モデルは特定のパラメータ

主要な解析条件を示す．破断口位置は，加圧器接続ループ

θ からどのようにしてデータ Y が発生するかを表現する確の低温側配管とし，
破断差サイズは 1，
3，
5 インチとした．

率分布𝑝𝑝�𝑌𝑌|𝜃𝜃�としてモデル化される．ベイズ推定は，デー

また，2 次側強制減圧の条件は，炉心出口温度が 350℃に

タ Y に基づきパラメータ θ の確率分布𝑃𝑃�𝜃𝜃|𝑌𝑌�を推定する

達してから 2 分後（運転員操作遅れを考慮）に主蒸気逃が手続きであり，以下のベイズの定理に基づいて計算される．

し弁を全開にするものとした．ROSA/LSTF における小破断 LOCA 実験では，2 次側強制減圧の操作は破断後 600 秒

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表 1 主要解析条件
項目
解析条件
破断場所
加圧器接続低温側配管
破断サイズ
1，3，5 インチ
初期炉出力
定格
原子炉トリップ
加圧器圧力低タービントリップ
原子炉トリップと同時
安全注入信号加圧器圧力低主給水
原子炉トリップと同時に停止
補助給水
破断 60 秒後，全ループ給水
主蒸気逃がし弁
自動作動
高圧注入
不作動
蓄圧注入
全ループ作動低圧注入
全ループ作動炉心出口温度≧350℃到達後，2 次系強制冷却
遅れ時間 2 分で主蒸気逃し弁を全開と決まっていた.しかし，本論文の解析条件では，破断口径の違いによって 2 次側強制減圧の開始時刻が変化し，事故の事象進展も変わってくる．

185

最適評価コード RELAP5/MOD3(12)を使用して，3.1 節の解析条件をベースケースとし，
RELAP5/MOD3 コードの計算モデルの不確かさを変化させた統計解析を実施した(13)。
概要を以下に示す。
不確かさ解析は，日本原子力学会標準(2)に則って実施した．安全評価パラメータは PCT である．表 2 に，不確かさを考慮する重要現象とそれに対応する RELAP5 コードの計算モデル，および定量化した入力パラメータの不確かさを示す．
入力パラメータの不確かさ分布から，ランダム・サンプ
リング法により 1024 ケースのパラメータの組み合わせを
サンプリングし，各破断口径に対して解析を実施した．
1024 ケースの解析結果を集計し，PCT の 95%累積確率値
は一定値に収束することを確認した．
表 3 に，PCT の不確かさの統計値を示す．5%累積確率
値および 95%累積確率値は，以後，単に 5％値あるいは95%値とも言う.

3.2 燃料被覆管最高温度の不確かさ解析

図 3 に，全 1024 ケースに対する PCT 不確かさのヒスト
グラムを示す．ROSA/LSTF における小破断 LOCA 実験の

表 2 重要現象と入力パラメータの不確かさ
RELAP5 モデル
不確かさパラメータ
最小

最大

ヒストグラム

崩壊熱(14)1979 年度版 ANS
標準データ

崩壊熱乗数

0.98

1.02

一様分布

被覆管酸化(14)

Cathcart 相関式

酸化膜厚さ乗数

0.91

1.16

被覆管変形(14)

FRAP-T6 モデル

バースト温度乗数

0.86

1.07

露出炉心熱伝達(15)Dittus-Boelter
相関式

熱伝達係数乗数

0.58

1.88

炉心内相間摩擦(16)(17)

EPRI 相関式

相間摩擦係数乗数

0.13

3.00

伝熱管凝縮熱伝達(層流) (14)Nusselt 相関式

熱伝達係数乗数

0.56

1.44

伝熱管凝縮熱伝達(乱流) (14)Shah 相関式

熱伝達係数乗数

0.64

1.66

伝熱管入口 CCFL(18)CCFL 相関式

CCFL 定数

0.70

0.80

低温側配管水平層状化(19)Taitel-Dukler 式

水平層状化判定乗数

0.20

4.63

ダウンカマ相間摩擦(20)Kataoka-Ishii
相関式

相間摩擦係数乗数

0.58

1.60

重要現象

一様分布

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表 3 PCT の不確かさの統計値
破断口径
項目
1 インチ
3 インチ
5 インチ

186

1 インチ破断では，1,000K 以下の低温領域で PCT の分
布が分離している．しかし，これは 95%値の評価に大きな影響を及ぼさないと考えられる．3 インチ破断では，PCT

5%値

1024.71161.9752.8

平均値

1067.11237.0

869.0

95%値

1116.41342.4

957.2

歪度

-0.90

0.85

-0.67

断では，PCT の不確かさ分布に双峰性が確認できる．この

0.14

ピークの単純な分離は困難と考えられ，精度の良い代替統

2.69

尖度

1.20

の不確かさ分布は高温度側で裾野の広い分布となっている．代替統計モデルを不確かさ解析に適用するにあたり，
PCT の 95%値の計算精度に留意が必要である．5 インチ破計モデルの構築において留意が必要である.

200

4. 不確かさ解析のベイズ推定N = 1024

Number of Frequency [-]160

4.1 ベイズ推定の適用

12080

本節では，3 節で説明した RELAP5 コードによる不確40

かさ解析を対象に，確率的プログラミング言語 Stan(11)を用いて，不確かさ解析のベイズ推定を行う．

0
940

980

1020 1060 1100 1140 1180 1220
PCT [K]

多項式による線形回帰と，それと RELAP5 計算との誤差(a) 1 インチ破断
200

本研究では，2021 年の本誌論文(5)と同様に，10 変数 2 次を評価するガウス過程回帰との和で表される代替統計モ
デルを構築した．学習データは，RELAP5 計算による 1024

N = 1024のデータセットの中からランダム・サンプリングにより抽Number of Frequency [-]160

出し，学習データ数は，順序統計法と比較する目的で，93120

サンプル, 124 サンプル, 153 サンプル, 181 サンプルとし80た．テストデータは，RELAP5 計算による 1024 のデータ

40

セットの中から学習データとは別に無作為に選んだ 500

0

1050

1130

1210

1290
PCT [K]

1370

1450

(b) 3 インチ破断

サンプルとした．テストデータの累積分布関数は，全デー
タの累積分布関数とほぼ一致することを確認している．
上記の代替統計モデルを Stan により実装し，MCMC の実行を以下のように行った(21) (22)．統計モデルの各パラメ

200

ータの事前分布は，
無情報事前分布（一様分布）
で与えた．

Number of Frequency [-]N = 1024

160

MCMC の繰り返し数およびバーンイン期間は 2500 およ120

び 1000 とし，マルコフ連鎖の数を 3 に指定した．MCMCの実行後には収束の判定指標である𝑅𝑅� が 1.1 以下となるこ

0における代替統計モデル（Stan）による PCT のベイズ推定80とを確認した．

40

表 4 および図 4 に，学習データ数 93 および 181 の場合

600 660 720 780 840 900 960 1020 1080
PCT [K]の結果を示す。

(c) 5 インチ破断

図 4 における青線は，各テストデータに対するベイズ

図 3 PCT の不確かさのヒストグラム(13)推定による平均値についての累積分布関数である.図には，不確かさ解析では，PCT の分布は正規分布に近い分布とタに対するベイズ推定による 5％点および 95％点についなった．しかし，本論文で対象とする実機における不確かての累積分布関数である．赤線は，全 1024 データに対す

さ解析では，PCT の分布は正規分布とは異なる．

る RELAP5 計算値の累積分布関数であり，学習データを90%ベイズ予測区間も示している．破線は，各テストデー

×印で示している。

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表 4 代替統計モデルによる PCT のベイズ推定（ランダム・サンプリング）
1 インチ

破断口径

3 インチ

5 インチ

学習データ数

93

181

93

181

93

181

90%区間に含まれる割合 [%]

74.0

93.4

83.4

90.2

74.6

91.6

95％累積確率値 [K]1192.41126.01337.81335.91012.6957.9

95％/95%値 [K]1272.11186.51480.31415.61105.71060.1(a) 1 インチ破断(b) 3 インチ破断(c) 5 インチ破断
図 4 PCT の累積分布関数（ランダム・サンプリング）
代替統計モデルによる PCT の累積分布関数（平均値）

表 4 には，テストデータ（500 サンプル）に対して，を RELAP5 計算と比較すると，各破断サイズに対して，

RELAP5 計算結果が 90%ベイズ予測区間に含まれる割合

93 サンプルの学習データでは，代替統計モデルによる計を示している.181 サンプルの学習データでは，90%区間に算結果は RELAP5 計算と比較して 95％値を過大評価した．

含まれる割合が約 90%となっており，代替統計モデルに

一方，181 の学習データでは，代替統計モデルによる計算

よる PCT の計算精度は，ベイズ予測区間によって定量的結果は RELAP5 計算とほぼ一致する結果が得られた．

に評価できると言える

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定による 95%点に関する 95%累積確率値を求め，これを

1300
Stan95
Stan75/95
Stan95/95
Wilks95/95
RELAP51250

95%/95%値（95/95 値とも記す）として不確かさの指標とした．また，75%点に関する 95%累積確率値を求め，これを 75%/95%値（75/95 値とも記す）として 95%/95%値と平1200

均値との中間の指標とした．
図 5 に，PCT の 95％値について，学習データ数が 93 サ

1150

ンプル，124 サンプル，153 サンプル，181 サンプルの場
1100

1050

合に対する代替統計モデルによる評価（Stan95）と順序統
100

120

140

160

180

Number of Train Data [-](a) 1 インチ破断計法による評価（Wilks95/95）を比較して示す．赤線は，
RELAP5 計算による 95％値である.
順序統計法による評価では，1 インチ破断と 5 インチ破1550
Stan95
Stan75/95
Stan95/95
Wilks95/95
RELAP51500断の場合，学習データが増加しても 95%値の評価に大きな変化はない．これは，図 3 から分かるように、1 インチ
破断と 5 インチ破断では，95％値の近傍での PCT の分布のバラツキが小さいためである．一方，代替統計モデルに1450

よる 95％値の評価は，学習データ数が多くなるにしたが1400って精度が向上している．3 インチ破断では，いずれの学
習サンプル数についても，代替統計モデルの方が順序統計

1350

法よりも精度が良い．1 インチ破断では，124 サンプル以
1300

100

120

140

160

180

Number of Train Data [-]の方が順序統計法よりも精度が良い．

(b) 3 インチ破断

代替統計モデルによる 95％/95％値（Stan95/95）
，および

1200
Stan95
Stan75/95
Stan95/95
Wilks95/95
RELAP51150

上で，5 インチ破断では 181 サンプルで，代替統計モデル

および 75%/95%値（Stan75/95）は，すべての破断サイズ，
学習データ数に対して，順序統計法よりも高く評価した．

4.2 適応的サンプリングの適用

1100
1050

本節では，なるべく少ない学習データによって 95%累1000

積確率値の評価精度の良い代替統計モデルを構築するた
950
900

100

120

140

160

180

Number of Train Data [-](c) 5 インチ破断
図 5 PCT 95％値の順序統計法との比較（ランダム・サンプリング）
一方，ベイズ推定による 95％値と平均値の差異は，2022
年の本誌論文で評価した ROSA/LSTF 実験解析の場合は，
約 25 K であったのに対して，本論文の実機解析の場合は，1 インチ破断で約 60 K，3 インチ破断で約 80 K，5 インチ
破断で約 100 K と大きい．これは，実験解析よりも実機解
析の方が不確かさ解析の複雑度が大きいためと考えられる．
図 4 から分かるように，90%ベイズ予測区間は，データ
点ごとの変動が大きい．本研究では，各データのベイズ推

図 6 95%値を目標値とした適応的サンプリング(5)INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-12189

表 5 代替統計モデルによる PCT のベイズ推定（適応的サンプリング）
1 インチ

破断口径

3 インチ

5 インチ

学習データ数

103

123

103

123

103

123

90%区間に含まれる割合 [%]

86.0

92.6

87.2

93.0

79.4

87.6

95％累積確率値 [K]1149.71120.21351.41339.4

968.9

955.7

95％/95%値 [K]1215.51184.81446.21431.31059.11057.8(a) 1 インチ破断(b) 3 インチ破断(c) 5 インチ破断
図 6 PCT の累積分布関数（適応的サンプリング）
めに，適応的サンプリング(5)を適用した．適応的サンプリ開始した．そして，これらを入力とした RELAP5 計算をングは代替統計モデルに特有のサンプリング手法であり，行い，これらの結果を学習データとして代替統計モデルを目標値に向けて，効率的に学習データを選択する．

構築する．次に，代替統計モデルを用いて不確かさ解析を

図 6 に，95%値を目標値とした適応的サンプリングの手行い，PCT の累積確率分布を求める．さらに，この 95%値

続きを示す．適用的サンプリングは以下の手順で行う．初に対応する入力点から最も近いサンプリング点（本論文でめに，学習点を選択する．本論文では，93 個の学習点から

は 5 点）を新たな学習点として選択する．そして，これら

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-12190

表 4 および図 4 と比較して，適応的サンプリングによ1300
Stan95
Stan75/95
Stan95/95
Wilks95/95
RELAP51250って，少ない学習データでも 95%値の予測精度は向上し，
学習データ数 123 の場合で，RELAP5 計算値とほぼ一致す
る結果が得られた．

1200

図 7 に，PCT の 95％値について，適応的サンプリングを繰り返して適用した学習データ数が 103 サンプル，113

1150

サンプル，123 サンプルの場合に対する代替統計モデルに1100

よる評価（Stan95）と順序統計法による評価（Wilks95/95）

1050
90

95

100

105

110

115

120

125

130

を比較して示す．

Number of Train Data [-]順序統計法による評価では，これらのサンプル数に対(a) 1 インチ破断

して，93 サンプルの場合と変化はない．一方，代替統計モ
デルによる 95％値の評価は，適応的サンプリングを繰り

1550
Stan95
Stan75/95
Stan95/95
Wilks95/95
RELAP51500

返すことにより精度が向上し，各破断サイズに対して，113
サンプルで RELAP5 計算とほぼ一致する結果が得られた．
1 インチ破断では 113 サンプルで，5 インチ破断では 1031450

サンプルで，順序統計法よりも精度のよい評価結果が得ら
1400

れた．
ベイズ予測区間については，適応的サンプリングによ1350

り，95%値を与える入力データの周辺を多くサンプリング

1300
90

95

100

105

110

115

120

125

130

Number of Train Data [-]することで，95%値のベイズ予測区間は小さくなることが期待されたが，適応的サンプリングを適用した場合でも，(b) 3 インチ破断

ランダム・サンプリングの場合と比べてベイズ予測区間に大きな変化は無かった．これは，入力データの空間は 10

1200
Stan95
Stan75/95
Stan95/95
Wilks95/95
RELAP51150次元と高次元であり，30 点程度の学習データの追加では，
ベイズ予測区間に大きな影響を及ぼさなかったためと考

1100

えられる．

1050

代替統計モデルによる 95%/95%値（Stan95/95）
，および

1000

75%/95%値（Stan75/95）の評価は，ベイズ予測区間の幅が大きいため，3 インチ破断の 123 サンプルにおける

950

75%/95%値以外は，順序統計法による評価よりも高い結果

900
90

95

100

105

110

115

120

125

130

となった．

Number of Train Data [-](c) 5 インチ破断

4.3 順序統計法との比較

図 7 PCT 95％値の順序統計法との比較（適応的サンプリング）

95％累積確率値についての代替統計モデルによる評価と順序統計法による評価を厳密に比較するには，学習デーの学習点に対して RELAP5 計算を行い，これらの結果をタのサンプリングを変化させた統計的な検討が必要であ

学習データに追加して代替統計モデルを更新する．適応的

る．本研究では，RELAP5 による不確かさ解析（1024 サン

サンプリングの手続きにより，
RELAP5 コードによる 95％プル）から，93 サンプルのデータセットを無作為に 100 ケ

値に近いデータが学習データに追加されることになり，代ースずつ抽出し，各々のケースに対して，順序統計法によ

替統計モデルの 95%値の計算精度が向上することが期待

り PCT の 95％信頼水準／95%累積確率値を求めるとともできる．

に，代替統計モデルにより 95%累積確率値を評価した．代

表 5 および図 6 に，適応的サンプリングを繰り返し適替統計モデルによる評価では，各ケースの 93 サンプルの用した学習データ数 103 および 123 の場合における代替

データセットに対して，適応的サンプリングを繰り返し，統計モデルによる PCT のベイズ推定の結果を示す。

93, 98, 103, 108, 113, 118, および 123 サンプルのデータセ

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-12

表 6 代替統計モデルによる PCT のベイズ推定（100 ケースの集計）

1200

代替統計モデル

順序
統計法

95%値

75/95 値

95/95 値

95/95 値

平均値 [K]

1117.51140.11173.91128.7

最大値 [K]1124.11152.61203.01140.6

最小値 [K]

1109.41126.61138.31115.9標準偏差 [K]

2.4

5.2

12.4

6.5

平均値 [K]1346.91380.91431.81381.8最大値 [K]

1360.71397.41459.31460.0

最小値 [K]

1328.11360.41403.11318.41460

標準偏差 [K]

5.2

7.2

11.2

32.2

1440

評価法
統計量
1 インチ破断

1180
1160
1140
1120
1100

RELAP5 95%値

RELAP595%値

3 インチ破断

5 インチ破断

191

Stan 95%値

代替統計
モデル
95%値

Stan 75%/95%値 Stan 95%/95%値 Wilks 95%/95%値

代替統計
モデル
75%/95%値

代替統計
モデル
95%/95%値

順序統計法
95%/95%値(a) 1 インチ破断1420

平均値 [K]

960.0

1000.11059.2

976.9

1400

最大値 [K]

973.0

1019.51083.41002.21380

最小値 [K]

944.9

984.9

1028.5

946.6

1360

標準偏差 [K]

4.6

6.0

10.8

13.8

1340
1320
RELAP5 95%値

ットを用いた代替統計モデルによる 95%値が，RELAP5 計

RELAP595%値

算による 95%値と差異が最小となる学習データ数を決定
表 6 に，無作為に抽出した 100 ケースのデータセット

1100に対して，PCT の 95％値を代替統計モデルと順序統計法

1080

により評価した結果を比較して示す．代替統計モデルにつ1060

いては，75%/95%値および 95%/95%値の評価結果も併せ1040て示している．図 8 に，100 ケースの解析結果を要約した

1020

箱ひげ図を示す．これには RELAP5 計算による 95%値も1000

併せて示している．

980

順序統計法による 95%/95%値はサンプルケースごとの960

変動が大きい．特に，3 インチ破断のケースでは，図 3 か940

キが大きいため，標準偏差は 32.2 K と大きい．また，順序統計法による 95%/95%値は，RELAP5 計算の 95%値よりも小さくなるケースがある．これは統計的に 5%の割合でStan 75%/95%値 Stan 95%/95%値 Wilks 95%/95%値

代替統計
モデル
75%/95%値

代替統計
モデル
95%/95%値

順序統計法
95%/95%値(b) 3 インチ破断し，これを用いてベイズ推定を行った．

ら分かるように，95％値の近傍での PCT の分布のバラツ

Stan 95%値

代替統計
モデル
95%値

RELAP5 95%値

RELAP595%値

Stan 95%値

代替統計
モデル
95%値

Stan 75%/95%値 Stan 95%/95%値 Wilks 95%/95%値

代替統計
モデル
75%/95%値

代替統計
モデル
95%/95%値

順序統計法
95%/95%値(c) 5 インチ破断
図 8 PCT 95％値の分布（100 ケースの集計）

生じる．

代替統計モデルによる100ケースの95%値の平均値は，

代替統計モデルに よる100ケースの95%/95%値は，1インチ破断で 1117.5 K，3インチ破断で1346.9 K，5イン

RELAP5計算の95%値よりも大きく安全側の評価である．

チ破断で960.0Kであり，それぞれRELALP5計算による

一方，100ケースの変動の範囲は，3インチ破断では順序統95％値とよく一致する結果が得られた．また，標準偏差は計法の変動の範囲に含まれるが，1インチ破断と5インチ破それぞれ2.4 K，5.2 K，4.6 Kであり，評価のバラツキは小断では，順序統計法による変動の範囲に含まれず，保守的

さい．このように，適応的サンプリングを適用することにな評価となった．代替統計モデルによる100ケースのよって，代替統計モデルによる95%の評価は，順序統計法

75%/95%値は，95%値と95%/95%値とのほぼ中間の評価でよりも精度が良く，バラツキが小さい結果が得られた.

あり，RELAP5計算の95%値と比べて安全側の評価となっINSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-12

た．また，100ケースの平均値は，1インチ破断や5インチ

192

る場合，順序統計法では，評価値の順位に対応する数値を破断の場合でも順序統計法による変動の範囲に含まれる

PCT と ECR で割り振るため，評価値が 1 つの場合と比べ結果となった．本研究では，代替統計モデルとして，2次て 95%/95%値の評価の変動が大きくなる．これに対して，

多項式による線形回帰と誤差を評価するガウス過程回帰

代替統計モデルでは，PCT と ECR の 2 ケースの代替統計との和を使用したが，より汎化性能の良い代替統計モデル

モデルを構築するため 95%値の評価精度は評価値が 1 つを構築すれば，ベイズ予測区間を小さく評価することがでの場合と変わりない．一方で，適応的サンプリングの適用

き，すべての破断サイズに対して，95%/95%値をRELAP5にあたっては，PCT と ECR の両方の 95%値の評価精度を計算よりも安全側かつ順序統計法と比較して過度の保守向上するような学習データのサンプリングの検討が必要性を排した評価を与えると考えられる．

となる．

5. 結言

本研究は，原子力分野における DX（デジタルトランス
フォーメーション）や AI 応用の研究の一例として位置づけることができる．実機プラント解析における不確かさに

統計的安全評価では，安全解析コードを用いた多数回

は，本論文で扱った最適評価コードの不確かさ以外にも，のモンテカルロ計算により統計的安全評価値を求める．こ事故時プラント条件の不確かさ，事故シナリオの不確かされを実施可能な計算時間で行うためには，安全解析コード

等がある．これらの不確かさをデータベースとして整備し，よりも計算コストの小さな代替統計モデルの適用が有効

パラメータの感度解析を実施すれば，原子力プラントの更である．

なる安全性向上のための事故対策の最適化が可能となる．

本論文では，最適評価コード RELAP5 を用いた実機プ

代替統計モデルは，このような最適化を実用的なものにす

ラント小破断 LOCA 事象の統計的安全評価を対象に，確るために有効な技術であり，今後も研究を進展させること

率的プログラミング言語 Stan を用いて代替統計モデルにが必要であると考えられる．

よるベイズ推定を行い，安全評価パラメータ（PCT）の評
価結果を，RELAP5 による計算結果と比較検討した．
代替統計モデルによる 95%値の評価精度について，破引用文献

断口径が 1 インチ，3 インチ，5 インチの場合に対して，
学習データのサンプリングを変更して統計的に検討した．

(1) B. Boyack, R. Duffey, G. Wilson, P. Griffith, G. Lellouche,

各破断口径に対して，適応的サンプリング適用することに

S. Levy, U. Rohatgi, W. Wulff, N. Zuber, “Quantifying

よって，代替統計モデルによる 95%値の評価は，RELAP5

reactor safety margins: application of code scaling,

計算の 95%値とよく一致し，順序統計法よりも精度が良applicability,

く，変動が小さいことを確認した．また，代替統計モデル

methodology to a large break, loss-of-coolant accident,”

による 95%/95%値の評価は，RELAP5 計算の 95%値より

NUREG/CR-5249 (1989).

も大きく安全側の評価を与えることを確認した．一方，その変動の範囲は，3 インチ破断では順序統計法の変動の範囲に含まれるが，1 インチ破断と 5 インチ破断では，順序統計法による変動の範囲に含まれず，保守的な評価となった．
今後の課題として，より汎化性能の良い代替統計モデ
ルを構築することが望ましい．これにより，ベイズ予測区

anduncertainty(CSAU)

evaluation(2) 日本原子力学会, “統計的安全評価の実施基準：2021”,
AESJ-SC-S001:2021 (2021).
(3) A.C. Davison, “Statistical Models,” Cambridge University
Press (2008).
(4) 木下郁男, “統計的安全評価における代替統計モデルの適用（不確かさ解析への適用性に関する検討）,”
INSS JOURNAL, Vol.27, pp.219-230 (2020).

間を小さく評価することができ，すべての破断サイズに対(5) 木下郁男, “統計的安全評価における代替統計モデル

して，95%/95%値は RELAP5 計算の 95％値よりも安全側の適用（実機条件の不確かさ解析に対する適用性ので，かつ順序統計法と比較して過度の保守性を排した評価検討）,” INSS JOURNAL, Vol.28, pp.151-162 (2021).

になると考えられる．
また，代替統計モデルの有効性が期待できる応用として，評価すべき安全評価パラメータが複数の場合への適用が考えられる．たとえば，LOCA 時の安全評価パラメータとして，PCT に加えて ECR（等価被覆酸化量）を評価す(6) 木下郁男, “統計的安全評価における代替統計モデルの適用（Stan による不確かさ解析のベイズ推定）,”INSS JOURNAL, Vol.29, pp.217-228 (2022).

INSS JOURNAL Vol . 30 2023 NT-12

193(7) A. Gelman, J.B. Carlin, H.S. Stern, D.B. Dunson, A.

(19) 鳥毛俊秀, 木下郁男, 山田実, "小破断 LOCA 時高圧

Vehtari, D.B. Rubin, “Bayesian Data Analysis, Third

注入系不作動事象への統計的手法の適用；（9）重要

edition,” Chapman and Hall/CRC (2013).

現象に係るモデル不確かさの定量化（伝熱管凝縮熱(8) 久保拓弥, “データ解析のための統計モデリング入門,” 岩波書店 (2012).

伝達，低温側配管水平層状化）," 日本原子力学会
2014 春の大会, L24 (2014).

(9) S.S. Wilks, “Statistical Prediction with Special Reference(20) C. Clark, J.P. Schlegel, T. Hibiki, M. Ishii, I. Kinoshita,

to the Problem of Tolerance Limit,” Annals of“Uncertainty in RELAP5/MOD3.2 calculations forMathematical Statistics, 13, pp.400-409 (1942).

interfacial drag in downward two-phase flow,” Annals of(10) A. Guba, M, Makai, P. Lenard, “Statistical Aspects of Best
Estimate Method-I,” Reliability Engineering and System
Safety, 80, pp.217-232 (2003).
(11) Stan Development Team, “Stan Modeling Language Users
Guide and Reference Manual,” Ver. 2.29, https://mcstan.org, (2022).
(12) The RELAP5 code development team, “RELAP5/MOD3
code manual,” NUREG/CR-5535 (1995).
(13) I. Kinoshita, M. Murase, “Uncertainty analysis of small
break LOCA with HPI failure in PWRs: A comparison of
uncertainty of quantification between Monte Carlo andWilks’ formula approach,” Proceedings of the ANS Best
Estimate Plus Uncertainty International Conference(BEPU2018), BEPU2018-149, Lucca, Italy, May 13-19(2018).
(14) 鳥毛俊秀, 木下郁男, 山田実, "小破断 LOCA 時高圧
注入系不作動事象への統計的手法適用 ～被覆管酸化，崩壊熱，被覆管変形および伝熱管凝縮に係る
RELAP5 モ デ ル の 不 確 か さ の 定 量 化 ," INSSJOURNAL, Vol.21, pp.213-222 (2014).
(15) T. Torige, I. Kinoshita, “Application of the statistical safety
evaluation method to the small break LOCA with highpressure injection failure (Quantification of the uncertainty
of uncovered core heat transfer model),” Proceedings of
the ASME 2013 International Mechanical Engineering
Congress & Exposition (IMECE2013), IMECE201364305, San Diego, CA, November 13-21 (2013).
(16) 木下郁男, 鳥毛俊秀，山田実, "炉心内相間摩擦にかかる RELAP5 モデルの不確かさの定量化," INSSJOURNAL, Vol.24, pp.201-210 (2017).
(17) I. Kinoshita, T. Torige, M. Yamada, “Uncertainty
quantification of the RELAP5 interfacial friction model inthe rod bundle geometry,” Journal of Nuclear Engineeringand Radiation Science, Vol.2, No.2, 021003 (2016)(18) 楠木貴世志, 村瀬道雄, 冨山明男, "蒸気発生器に伝熱管下端における気液対向流制限に関する研究のレビュー," INSS JOURNAL, Vol.24, pp.211-220 (2017).

Nuclear Energy, Vol. 94, pp.230-240 (2016).
(21) 松浦健太郎, “Stan と R でベイズ統計モデリング,” 共
立出版 (2016).
(22) 馬場真哉, “R と Stan ではじめるベイズ統計モデリン
グによるデータ分析入門,” 講談社 (2019).