多様化時代の数理計画法 第5回

確率計画法VS．可能性計画法
乾口 雅弘…………‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖…………………………t………………l……川川…‖‖‖…………‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖川‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖‖‖＝…………‖‖‖‖＝州＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖＝‖州‖＝‖‖‖川11…州l2．ポートフォリオ選択問題と確率

1． はじめに計画法の適用不明確な係数を含む計画問題に対する数学的手法として，確率計画法と可能性計画法を2回に渡り紹介した．今回は，確率計画法と可能性計画法を比較し2．1 ポートフォリオ選択問題

よう．

●

可能性計画法は，ファジィ数理計画法の一種である．

収益率cJのれ種の資産5jが取引されている証券

確率とファジィといえば，過激な論争が絶えないと考市場において，ある一定額を投資する場合，各資産へえる読者も少なくないだろう．幸いにも，数理計画法どのような割合で投資すべきかを考えよう．資産ちの分野では，確率計画法とファジィ数理計画法の表立への投資比率を∬jとすると，投資収益率∑完1CJ∬∫

った論争はほとんどない．むしろ，不明確な係数を含が最大となるように￡jを決めれば良い・この間題は，む計画問題に対する類似したアプローチとして，協調しているようにも思える【1】，【2】（勿論，ファジィは好き

γ1最大化∑cj∬j

でないと突っぱねる確率計画法の研究者もいる）．実j＝1

際，定式化の考え方は全く同じであり，相違点は用い

γ1（1）

制約条件 ∑鶴＝る測度や代表値にある【2】．

J＝1

確率計画法と可能性計画法を比較すると，おおむ∬j≧0，プ＝1，2，…，mね，次の二つのことがいえる．

1．確率計画法では，係数が正規分布に従う場合には，問題が容易に解けるが，その他の場合は，通●と定式化される．通常，収益率cjは，時々刻々に変動するので，投資時点に明確に知ることはできない．

常解くことは容易ではない．一方，可能性計画法

ポートフォリオ選択問題では，通常，Cjは確率変数

では，どんな形状のファジィ数（可能性分布）をとして取り扱われる．一般に，C五とcj（豆≠J）には，相もつ問題でも容易に解ける．一般に，確率計画問関があると考えられるが，確．率計画法と可能性計画法

題より可能性計画問題の方が容易に解ける．の相違を著しくするため，独立であると仮定する．さ2．不明確な係数が独立であるとき，制約条件の数がらに，平均mJ，分散J言の正規分布Ⅳ（mJ，Jデ）に従うものとする．このとき，CJは次の確率密度関数J。ブ（r）

少なければ，可能性線形計画法では，少数の変数しか非零の値をとらない．一方，確率線形計画法をもつ．

では，多くの変数が非零の値をとる．

本稿では，上の1，2を具体的に示そう．そこで，1，（2）2の相違が著しく現れるポートフォリオ選択問題［3】を取り上げ，帰着問題や得られた解を比較する．

2．2 有効フロンティア
いぬいぐち まさひろ 広島大学工学部〒739東広島市鏡山1−4−1

投資収益率の期待値（リターン）が大きく，分散（リスク）が小さいほど望ましいので，ポートフォリオ

1996年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（39）641平均 分散0Cll・25 0・01125

400C21・22 0・00750

2／hU

C31・20 0・00750

OC41・15 0・00500

OO′bC51・05 0・00250

2．3 分散最小化モデル
ポートフォリオ選択問題を初めて数学モデルとして取り扱ったMarkowitzは，（3）式の一つのパーt／−ト最適解を求めるため，投資収益率を一定値丁にしたも4とで，分散を最小化する次のモデルを提案した【3】，［4］つJl0．81．0

ハU

1．2 1．4
図1．正規分布1．6︵害一≡PヱU監xむ一撃虻琵

最小化 V。J∬J

ニ∑一−ご・−J＝1

J＝17L

制約条件 且。J∬J＝mJ∬ブ＝丁（4）j＝1∬j＝1j＝1∬J≧0，J＝1，2，‥・，m●

この間題は，2次計画問題であるので，比較的容易に最適解が求められる．

0．0250．055

0．085

図2を用いて，このモデルを説明すると，期待値標準偏差（standard、deviation）が丁 となる直線Jに沿って，標準偏差が最小にな

図2．有効フロンティアとモデルの説明る点Pの解を求めることになる．実際，図1の例に対して，丁＝1・18として，最適解を求めると，（∬1，∬2，∬3，∬4，∬5）記（0・1767，0・2325，0・2109，0・2350，0．1449）

選択問題は次の2目的計画問題として定式化される．となる．リスクを回避するため，分散投資を表してい−ノ．勺J

大に関係しない分散を最小化しているので，γを小さく∫m設定すると，平均，分散がともに小さい資産へ，不要

つJ

J

∫

2．っJ

2れ∑河 m∑河ニニ

βレ﹈

最イ

最小化

ることがわかる．このモデルの欠点は，収益率の大小に多く投資してしまうことにある．
（3）

2．4 満足水準最大化モデル†1

制約条件 ∑宣＝1
J＝1

確率1−αで見込める収益率zに注目するとき，投勺≧0，ノ＝1，2，‥．，れ資収益率がz以上である確率が1−α以上で，Zを最大化する問題として定式化することができる．各確率
通常，（3）式には，期待値を最大にするとともに分散を最小にするような完全な最適解は存在しない．そ●変数が正規分布に従うことから，この間層は次の間題と等価になることが知られている〔4］．

こで，期待値を改善するためには，分散を犠牲にせざγlるをえないパレート最適解が求められる．一般に，パ最大化 ∑mJ∬J−た。
J＝1

レート最適解は無数に存在する．

一−ニー

j＝1

γ1

例として，m＝5として，図1のように，平均と分散を定めた場合のパレート最適解集合を求めると，図2のようになる．図2は，各パレート最適解の期待値制約条件 ∑宣＝1
J＝1

∬J≧0，プ＝1，2，‥・，mと標準偏差（＝分散の平方根）をプロットしたもので，

ただし，たαは標準正規分布Ⅳ（0，1）の100αパーセン

有効フロンティアと呼ばれている．期待値が大きく，ト点であり，Pr（たα≦ズ）＝αとなる．（4）式に比べる標準偏差が小さい解がと，この間題を解くことは，かなり難しいが，2次計好ましい．有効フロンティアより左上の領域は実行不能領域であり，有効フロンティ画法を繰り返し適用して解くことができる【4】．この間

アは，その名の通り，期待値と標準偏差（分散）とを題を図2を用いて説明すると，傾きたαをもつ線形関実行可能な範囲でできる限り改善した境界線である．

数〃＝たαJ＋zの封切片zを有効フロンティアと交

642（40）オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（5）

1
00

して，図1の例を解くと，最適解（∬1，∬2，∬3，∬4，諾5）㌶

父U0接点Qに対応する解が得られる．実際，α＝0．05と0わる範囲で最大化する問題で，有効フロンティアとの04確率をかなり高く設定しても，∬5＝0となることか

U0（0．3090，0．3421，0．2611，0．0878，0）が得られる．95％とら，∬5に投資することはあまり得策ではない．∬5に218・76％も投資する（4）式の最適解は，消極的な解に0．8

1．0

1．2

1．4

1．6

図3．正規型ファジィ数なっていることがわかる．

確率最大化モデルも同様に適用することができる
が，紙面の都合上，省略する．

3．可能性計画法の適用●

3．1 対応するファジィ数と2目的計画問題
以上では，収益率cJを正規分布に従う確率変数とした．ここでは，Cjを可能性変数と考える．正規分布

0．09に対応して，次のメンバシップ関数で表される正規型

0．13

広がり（spread）ファジィ数qを考える．

図4．パレート最適曲面とモデルの説明（r一弓）2〃cJ（r）＝eXp（6）3．2 あいまいさ最小化モデル）

期待値が中心，分散（標準偏差）が広がりに対応す

ただし，弓はファジィ数qの中心で，正規分布の平ることから，（4）式に対して，均mJに一致させる．また，Wjはファジィ数qの広Tlがりを表すパラメータで，正規分布の標準偏差の、乃最小化 ∑ひJ∬j倍とする．図1に対応する正規型ファジィ数を示すと，

＿J＝1
γl

制約条件 ∑中j＝T

図3のようになる．

j＝1（1）式のCJを互いに独立で，正規型ファジィ数（可能性分布）qで制限される可能性変数と考え，可能∬J＝1
j＝1性計画法を適用しよう．

●（8）∬j≧0，ノ＝1，2，・‥，m期待値が中心，分散（標準偏差）が広がりに対応するので，（3）式の問題に対して，次の2目的線形計画なる線形計画問題が考えられる・ファジィ数の広がり問題が考えられる．

は，あいまいさと考えられることから，このモデルは，あいまいさ最小化モデルと呼ばれる．
γ1最大化 ∑廟

分散最小化モデルが2次計画問題であったのに対（中心）J＝1し，あいまいさ最小化モデルは線形計画問題に帰着↑1最小化 ∑叫∬j （広がり）J＝1するので，より容易に解ける．しかし，（8）式の非負（7）Il制約条件 ∑鶴＝1条件以外の制約条件は 2 本しかないので，和 がどんなに大きくとも，通常，高々二つの資産に投資する．J■＝1∬j≧0，プ＝1，2，…，m

図3の例に適用すると，（7）式のパレート最適解集解しか得られない．たとえば，図3の場合，先と同様にT＝1．18として，（8）式の最適廃を求めると，（∬1，∬2，∬3，∬4，∬5）記（0，0・4286，0，0・5714，0）となり，資合は，図4に示すような折れ線になる．頂点坑，巧，産52と54のみに投資する解が得られる．これは，（8）鴨，仇は，それぞれ，資産55，54，52，51に全額投式の最適解が図4の頂点鴨 と鴨を結ぶ線分上の点資する解に対応している．

Pに対応していることからも理解できる．このよう1996年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（41）643に，あいまいさ最小化モデルでは，多くの資産への分となる・このとき・∑完1CJ∬jが従う確率分布は，散投資が得られない．

−、−（享ぎざミ十∫こ＝訂）

3．3 満足水準最適化モデル
確率計画法の満足水準最大化モデルと同様に，確実となる．ただし，〇＝（∬1，エ2，‥．，∬几）tである．

性の度合い九で見込める収益率zに注目すると，投資相関係数拘が不明であることを反映して，考えら収益率がz以上である確実性の度合いがん以上で，Zれるすべての拘の組合せの中で・∑完1C〆りが従うを最大化する問題として定式化できる．この間題は，確率分布が最も不明確になるものを選ぶと，椀＝1，次の線形計画問題へ帰着される．

∀哀，J（五＜メ）となる．すなわち，任意の諾について，↑1n次式が成立する．

最大化 ∑中ゴー√−1n（1一句∑ぴJ∬jj＝1j＝1n

制約条件 ∑寓＝1（9）

max諾t∑諾＝

J＝1∬j≧0，ブ＝1，2，‥・，m（差潮）2（11）（3），（4），（5）式においても，分散の項を最悪のもの，すなわち，（11）式に置き換えよう．このとき，mj＝この間居では，制約条件が1本しか存在しないので，通常，一つの資産への全額投資を表す解が得られC；，JJ＝WJ／2に注意すると，（3），（4），（5）式は，それる・つまり，目的関数の係数（弓−√−ln（1一項叫）がぞれ，（7），（8），（9）式と等価になる．このように，確最大となる資産ちへ全額投資すれば良い．図3の場率変数間の相関がわからない場合の最悪の分散を用合について，九＝0．9として（9）式の最適解を求める

いた確率計画法と可能性計画法は等価となり，この等と，∬2＝1で他は0，すなわち，資産52に全額投資価性から解釈すると，（8），（9）式の解も納得できる．

する解が得られる．このことは，図4において，直線なお，上述のような等価性は，正規分布を用いたこ

γ＝√−1n（1一明Ⅷ＋zを平行移動すると，頂点鴨でとや，すべてのファジィ数が同じ形状と仮定したこと封切片zが最大になることからも理解できる．このよにより成立したが，一般に成立するとは限らない．しうに，可能性計画法の満足水準最適化モデルでは，一かし，詳細は省くが，独立な可能性変数をもつ可能性つの資産へ全額投資する解が得られ，一か八かの賭の計画問題は，可能性変数間の相互関係がわからない場ような解になる．

合を取り扱っているとみなすこともできる．

4．相関の不明な確率計画と可能性

5．最大リグレット最小化モデル

計画の等価性

収益率が独立な可能性変数となるポートフォリオ選
択問題では，多くの資産への分散投資を示す解が得ら文献【2］では，平均ベクトルと分散共分散行列で定れなかった．ここでは，この場合にも分散投資が得らめられる2次形式メンバシップ関数をもつ可能性計画

れる，最近，著者らⅠ5】が提案したモデルを紹介しよう．

法は，多変量正規分布をもつ確率計画法と等価になる二つの資産 51，52 への投資を考えよう．51へことが示されている．ここでは，互いに独立な可能性全額投資した後，それぞれの■資産の収益率が c ＝変数をもつ可能性計画問題が，確率変数間の相関がわ（1・0ち1・2）となったとしよう・つまり，52へ全額投資からない確率計画問題に対応することを述べる．

しておけば，最大の収益率1．2が得られたのに，51へ2節では，確率変数が独立であると仮定したが，こ全額投資したために1．05の収益率しか得られなかっこでは，確率変数間に相関があるかも知れないが，そた．すなわち，1．2−1．05＝0．15であるから，最適投れがわからない場合を考えよう．仮に，CiとcJの相資実に比べて，15％の収益を逃したことになる．この関係数を鞍とすると，分散共分散行列∑は，
J至仇2JIJ2βnJIJ2 …
J宣

ことより，51へ全額投資する案諾を選んだことによ

恥Jlαれa22るリグレット（残念度）r（霊，C）を，1・2−1・05＝0・15

伽J2Jm∑＝と定めることができる．
（10）

結果として得られる収益率cは，決定時点には明β1凡打IJn β2mJ2Jれ644（42）J確にわからず，可能性変数．となる．したがって，リグ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

レットγ（訂，C）も決定時点には不明確で，可能性変数を小さく設定したので，不要に多く55へ投資していを含む関数（可能性関数）になる．リグレットは小さる．また，あいまいさ最小化モデルや満足水準最適化い方が好ましいから，可能性関数γ（諾，C）の最小化問モデル（可能性計画）では，一つまたは二つの資産に題が考えられる．この間題に満足水準最適化モデルを賭けるような投資になっている．満足水準最大化モデ適用しよう．すなわち，リグレットr（諾，C）が9以上

ル（確率計画）や最大リグレット最小化モデルの解は，である確実性が九以上のもとで，ヴを最大化する問題比較的受け入れやすい解である．勿論，丁，α，んの設を考える．

定に応じて異なった解が得られるので，用いるモデル

几個の資産があり，各資産の収益率が互いに独立なの選択と合わせて，これらのパラメータの設定も肝要可能性変数であるとすると，この間題は，次の線形計である．多目的計画法のような対話型手法の導入が期画問題に帰着される．

待できる．

最大化 q

6．おわりに確率計画法と可能性計画法をポートフォリオ問題を制約条件 √−1n（1−り●通して比較し，帰着問題の難易度や，得られる解の性質から，両手法の特徴について考察した．一般に，問ケ1＋∑中J＋9≧c巨ノー1n（1一九）町

題の取り扱い易さの面では，可能性計画法が優れてい

J＝1る．しかし，可能性計画法では，制約条件が少ない場

五＝1，2，‥．，m合には，極端な解が得られることもある．いずれのア∬j＝1

プローチ，いずれのモデルを用いるかは，問題の設定

j＝1勺≧0，J＝1，2，‥・，m

や意思決定者の意向との適合性および解法の難易度の，ニーズとシーズの面からの検討による．

（12）

たとえば，九＝0．8として，図3の例に適用すると，次回は，本連載の最終回として，多目的計画法や，（￡1，∬2，∬3，∬4，∬5）記（0・4080，0．3067，0．2528，0．0325，0）なる最適解が得られる．資産51〜54への分散投資

確率計画法と可能性計画法の最近の話題や今後の応用を展望する．

を指示する解となっている．

参考文献

このリグレットに基づく方法を確率計画問題に導入することも可能であるが，一般に，定式化された問題【1】Slowinski，R．and Tbghem，J．（Eds．）‥ Stochasticを解くことは困難となろう．可能性計画問題は比較的

Uerβ祝β凡zzyApproαC／もeβわ〟祝摘0むec如e〟α兢e−

取り扱い易いので，このように種々のモデルの導入が●mαfねαJProタrαmm3れタ視れder仇ceγねれty，Kluwer

容易である．

AcademicPublishers（1990）．

（4），（5），（8），（9），（12）式の解を比較するため，解の帯状グラフを図5に示す．分散最小化モデルでは，丁［2］乾口雅弘‥ 確率計画問題とファジィ数理計画問
題 ，日本ファジィ学会誌，4（1993）21−30．
［3］今野浩＝ 理財工学Ⅰ‥平均・分散モ

0．0

0．2

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分散最小化モデル

0．60．81．0

デルとその拡張 ，日科技連（1995）．

［4］石井博昭‥ 確率論的最適化 ，伊理，

（確率計画）

今野編，数理計画法の応用＜理論満足水準最大化モデル

編＞，産業図書（1982）1−40・（確率計画）［5】乾口雅弘，坂和正敏： ポートフォリ

あいまいさ最小化モデ
ル （可能性計画）

オ選択問題へのファジィ数理計画法

満足水準最適化モデルの適用に関する一考察 ，第11回フ（可能性計画）ァジィシステムシンポジウム講演論

最大リグレット最小化文集（1995）253−256・モデル（可能性計画）

図5．各解の比較
1996年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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