複雑系による経済モデル分析

第5回 ニューラルネットワークと複雑系
時永 祥三…州‖l‖……………………l………ll州…州州川川＝州………Illl…川冊‖州l川附‖…州‖………川州州…州…＝………ll…川……川馴‖…………‖州川川州……州

入力層

1． はじめに

隠れ層

隠れ層

出力層

ニューラルネットワーク（以下では，適宜NNと略する）の構成理論は，本来，複雑系の理論とは直接的に関連ない分野として発展してきた．しかし，最近，ニューロンにカオス理論をとりいれて能力を高める試ニューラルネットワークのユニット結合みがなされ，また，ニューラもと多数の単純なニューロンの集合により，複雑な情報処理の機能を作りだすものであり，複雑系の理論に宴麺号おけるエージェントに通じるものがあることなどを考慮して，とりあげることにした．以下では，次のような分野に関して述べる．

（1）階層型NNによる企業分析（倒産予測など）

図1階層型NNの構成（2）結合型NNによる最適化，カオスNNによる／

この入力信号の和は，一定のしきい値払を持った関記憶数により制御されて出力される．第乃屑の第才番目（3）CNNによる進行波のシミュレーションのニューロンの出力値ガは次のように計算される．

2．階層型NN∬㌢＝′（〟㌢−㍍）（2）2．1階層型NNの構成と逆伝幡法

ここで，関数′（・）はユニットの動作を規定する特性

いま， 図1に示すように，ユニット（ニューロン）であり，通常は数値計算上の収束などを考慮して次のシグモイド関数が用いられる．の集合からなる層をⅣ層作り，乃−1番目の層に含まれる第ノ番目ユニットと，乃番目の屑に含まれる第オ／（J）＝1／（1＋exp（α−∬））番目のユニットが，ある重み抑㌍￣lをもった回線に

ここでαはシグモイド関数に含まれるパラメータでより結合されているとする．第1層はニューラルネッ適当に（ゼロでもよい）に設定しておく．

（3）

トワークヘ送られる入力信号を受け付ける入力端子で準備された学習データを用いてNNを調整する手あり，最後の第〟屑はニューラルネットにより解析

順（重みとしきい値の最適化）は，逆伝幡法（backされた出力信号を取り出す出力端子である．

propagationargorithm）として整理されている［10］．

いま，第乃−1屑の第ノ番目のユニットの出力信号

NNにおける学習とは，ネットワークへ特定の入力をガ￣1とし，これが第刀層の第f番目のユニットへ（第1層のユニットヘの入力∬わ を加えたときに，対の入力となっているので，人力信号の和（ユニット才応して望ましい出力信号（第Ⅳ屑の出力信号∬n がの状態〟ヂ）は以下のように記述される．

得られるように，ネットワークのパラメータ紺芸プ￣1α㌢＝∑裾㌍￣lガ￣1（1）およぴゐデを調整していくことである．
入力信号扇，そのときに得られるべき出力信号ガ

ときなが しょうぞう

九州大学大学院経済学研究院経済工学部門との組はネットワークに対する教師信号と呼ばれる．

〒812−8581福岡市来区箱崎6−19−1

教師信号の組を多数用意し，これらを繰り返しネット

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（31）165

ワークに与えることにより，学習により最適なパラメアサンプルとして設定する．これが基本的な検索条件ータ値が計算される．になる．

このように企業の財務データが入手できたら，財務最小化すべき評価関数をネットワークの出力と教師信号との間の最小2乗誤差とすると，次に示される逆指標の分布の形状を統計解析し，形状が極端なもの伝幡法による最適化の式が得られる．出力層Ⅳのユ（1つに集中しているなど）は入力データの候補からニット古から戻される学習信号は，出力層からの出力除外する．この場合，同時に，企業の選択についても値ガと教師信号d㌣との差を使って次のようになる．

検討を加え，あまりにも分布からはずれている企業∂㌢＝（d㌢−∬門g（αn，（外れ値）はサンプルから除外する．
（4）♂（∬）＝′（∬）（1−′（ェ））外的基準として，倒産企業にはゼロ，健全企業には第乃層のユニット才から第乃−1層のユニットへ向か1を与え，出力がそれぞれ，できるだけゼロ，1に近って戻される学習信号はくなるように重みの調整がなされる．一方，学習が終∂㌘＝g（〟㌢）∑∂g＋1裾㌍1・花々（5）了したあとに判別が不明な企業の財務指標を入力した以上の量を用いて，重みとしきい値との修正は，計算場合には，NNの出力は整数ではなく実数である．出の現在のステップと次のステップをg，f＋1とすると，力はゼロと1の間にあるので，この値が0−0．5なら次のようになる（導出は省略する）．

倒産，0．5−1なら健全といったような判断を行う．
ニューラルネットワークの判別能力を評価するには，△抑芸プー1（り＝ヴ∂㌘ガ￣1＋α△紺㌘プ￣1（′−1）（6）

涙㌍￣1（J十1）＝紺芸プ▼1（J）＋△紆芸プ■1（J）（7）△郎（〜）＝が㌘＋α△㍍（′−1）（8）

ゐ臣＋1）＝㍍（′）＋△ゐ狛）（9）

学習に用いるサンプルと判別のテストを実施するサンプルを選択する必要がある．本来は，これらのサンプ
ルは重複しない企業サンプルであることが必要である．

ここで収束のためのパラメータα，ヴは通常1以下であり，α＝0．5，ヴ＝0．5程度の値を用いる．

また，倒産が発生した年度から数年前のデータまで全部用いることにより，性能が向上することも期待で2．2 階層型NNによる倒産予測

きる．以上のようなことを考慮し，次のようなサンプ

倒産予測は1940年代にAltmanらにより開始されルの組合せを用いて評価実験を行った．

た伝統的な経営分析の手法であり，代表的な財務指標（ケース1）単年度の財務データによる倒産予測を選択して，これらにある係数をかけて加えた関数単年度の財務指標を用いて倒産予測を行う．

（線形結合による判別関数）を計算し，この値がある（ケース2）3年間の財務指標による倒産予測

しきい値より大きくなれば良好な企業であり，そうで倒産の数年前から経営悪化の傾向があると仮定し，ない場合には倒産の危険性があると判断する方法であ倒産の前の3年間の財務指標を用いて倒産予測を行う．

る［2，9］．これらの判別関数が，財務指標の線形結合

したがって入力端子の数はケース1の3倍となる．

からなる関数であるのに対して，NNを用いた判別分これらのケースごとの判別結果の一部を表1に示し析では，非線形の判別関数となるので，判別の能力がている．結果は，ニューラルネッ向上することが期待できる［8，11，12］．以下では，の離散化）と，外的基準とが一致する場合を正しい判

日本の戦後の倒産企業のデータをもとにして，階層型別として，テストに用いた全部のサンプルに対するこNNの判別能力を多変量解析の結果と比較検言寸してみの比率を判別率としている．なお，比較のため，通常る．

調査すればわかるように，1956年以降，1995年ま

表1ケース2の倒産予測の性能（認識率％）
倒産企業と予測 健全企業と予測で一部上場企業のうち148社の企業が倒産している．
倒産した企業に対して，同じ条件に置かれながら倒産しなかった企業（健全企業）を抽出し，これらを対比

トワークの出力（そ96％
10％

倒産企業

健全企業

4％
90％

データとして確定する必要がある．これをペアサンプ
ルとよぶ．まず，倒産した企業と同じ業種に属する企

表2 判別分析（多変量解析）による予測（ケース2）
倒産企業と予測 健全企業と予測業であることが必要であり，その次に，倒産発生時点で倒産企業と同じ程度の資本金を有していた企業をペ

倒産企業
健全企業

166（32）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

82％
22％

18％
78％

オペレーションズ・リサーチ

の多変見解析により倒産予測をした結果を表2に示し

α∫＝∑勅副（川）ノている．結果から分かるように表2による判別は極め

これで現在の時刻における計算は終了する．このとき，て良好である．

五番目のニューロンは同期的に，現在の状態J∫を，このような倒産予測のほかに，財務指標を入力，転換社併の格付を出力とするシステムを構成することができる［6］．一般に，複数の格付を同時に判別する必要があるので，例えば，ランクが4段階である場合に，これらのランクの外的基準を0．125，0．375，0．625，次に規則に従って変更する．
仇一巌＞0 なら ∬rを1にする〝∫−ゐf＜0 なら ∬fを0にする
αf−れ＝0 なら ェrを変化させない
次の時刻には，出力（状態）ェ は結合された先の0．875という代表値にしておき，NNの学習を行う．

ニューロンの入力として伝達される．伝達された出力格付が未知の企其の財務指標を入力した場合のNNは，この時刻における新しい入力となるので，再度，の出力による認識（判別）では，0．0−0．25をランクニューロンにおける入力合計の計算，しきい演算が実1に割り当てるなどの離散化を行う．これにより債券の格付の予備的な判断を行うシステムが構成できる．

また，時系列を生成するシステムの関数を，NNが近似できると仮定し，株価や為替レートを予測する方法が開発されている［15，16］．

施される．この繰り返しにより，順次，入力の値の更新が行われていく．

このような動作を繰り返すことにより，次に示すエネルギーが最小になることが示されている．

E＝−0．5∑恥エf∬ノー∑ゐ晶

3．結合型NNとその応用

UI

（11）

したがって，与えられた最適化問題における解と状態変数∬ ，問題の構造と重みとの対応関係をうまくと3．1結合型NNによる最適化問題の解法
結合型ニューラルネットワークは，図2に示すように自分自身へのフィードバックを含む多入力ー出力のニューロンからなるネットワークであり，最適なニューロンの状態に達したときのニューロンの集合が，与えられた問題に対する解を与えている．れ厄はユニッ

トノからユニットfへの結合の重み（結合係数）である．ニューラルネットワークの動作は時刻を1つずつると，状態を更新して最終ステップにいたった段階で，問題の解を求めることができる．
実際には状態の値をゼロか1に切り替えるのは安定的ではないので，次のような変換を用いた演算で代用される．
机＝∑軌溝−ゐ（lカJ

xL＝0．5（1＋tanh（uJo．5））（13）

進めることにより変更されていく．ニューロンの状態

この式に従ってユニットの状態が遷移していく．・最終を表す変数を∬Jとし，・最終的には1かゼロをとる．

的に，これ以上遷移が起こらない状態になったら，次まず，入力の値が与えられていると仮定すると，ニュの規則で状態をゼロか1に読み替える．

ーロンへの入力は合計され，しきい値による演算を実エJ≧0．5 なら ェrを1にする行した結果が出力の値とされる．

エf＜0．5 なら ェfを0にする
例題として，次のような連立1次方程式の解法を考

入力信号える．5∬l＋8J2＝47，3∬l＋2．r2＝17．連立1次方程式

ユニット

L r

■○ulLrは，変数∬iに値を与えたときに，左辺と右辺の値の差が小さくなる方向へ変数の値を修正していけば，最Lru2

終的に解が求まる．表現の都合上，解を次のような5L

rO」

u3
L

u

つの，1か0をとる数値ビットの合計として表すことにする．

u4∬l＝晶l＋ふ2＋晶3＋晶4＋一缶5L∬2＝品1＋品2＋品3＋義4＋ズ豪
速立方程式の左辺と右辺の差である次式がエネルギーl関数となる．

g＝−0．5∑∑∑∑抑び．鳥上端羞′−∑∑ゐび範

fノ烏Jfノ

図2 結合型ニューラルネットワークの構成

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（14）（33）16丁一方，最小化したい目的関数は次のものである．
lAJ−∂l2→min

状態肌（りの取り得る値（用ここで，A＝［αu］，∂＝（∂1，∂2）Tは方程式の左辺の係数行列，右辺の係数行列である．式（用を展開して，ズむの1次，2次の項を整理して式（用と比較すると，しきい値と重みは，次のようになることが分かる．
ゐノ椚＝2∑れ恥‡勒… ＝−2∑恥伽これらを用いた状態更新の関係式は，次のようになる．
図3 カオスNNにおける分岐過程

恥＝∑∑勒，烏 為 ＋ゐむ（摘端＝0．5（1＋tanh（uii／0．5））

（19）

烏

最終的には，解∬1＝3，∬2＝4が正確に計算される．

結合型NNは，生産計画など最適な資源配分を求［司→回→回→［司→匝］一一−−−−図4 カオスNNにおけるパターン記憶と連想める問題のほか，商品の配送問題（理論的には巡回セールスマン問題として定式化される），あるいは生産ンの記憶に利用される．いま，100個のカオスNNをスケジューリングなど，いわゆる組合せ問題を解く場

10×10の平面に配置しておき，それぞれのニューロ合に用いられる［13］．

ンの状態が画像の濃淡を表すとしておく．このカオス

3．2 カオスNNと連想記憶

NNに，例えば，A，B，C，Dという4つの文字を結合型NNの1つの拡張としてカオスNNが提案記憶させることができる．4つの2次元的なパターンされており，時系列や2次元平面上のパターンを記憶をカオスNNに記憶させる場合には，結合係数l爪メして，連想する機能をもつシステムとして研究されてを，これら4つのパターンの自己相関係数を用いて計いる［1］．カオスNNは類似したパターンを検索する算しておく．カオスNNは時間の経過とともに，不機能をもっているので，似たような株価パターンを検規則なカオス的な変動を開始する．パラメー出するような場合への応用が可能であろう．

すると，図4に概略を示すように，この4つのパター

カオスNNは，次のような方程式で記述される．

タを調整ンが，10×10の平面に次々と現れる．

〃4．CNNによる拡散分析

yf（′＋1）＝ぬf（f）十∑l仇メみ（J）−αrf（f）＋αf 帥 J＝1
J （f＋1）＝1／【1＋exp（−〟ど（f＋1）た）］

添字の才（ゴ＝1，2，…，Ⅳ）はニューロンの番号を表し，恥はニューロンノから才への結合係数である．

カオスNNは，通常のNNと異なり，時間的に変化する（動的な）特性を持っている．いま，式￠研こおいて，重みをゼロ（恥＝0）として，単独のカオスNNを考察する．次のようにパラメータを設定する．
烏＝0．7，α＝1．0，E＝0．02
定数であるα を変化させると，システムの状態であるyf（f）は大きく変動する．いわゆる，カオス的な挙動を示す．これを分岐点図として図3に示す．ののとり方によって，状態は，一定の値となったり，複数の値をとったり，周期的な変動をしたりする．階層型

NN，結合型NNでは，このような状態の振動は起こらない（あるいは望ましくない）．

このような動的な特性はカオスNN によるパター
168（34）糾

4．1CNNの原理

カリフォルニア大学のChua教授らにより提案されているCNN（Cellular NeuralNetwork）による2次元的な拡散モデルによるパターン生成の分析について述べる［3−5］．cNNは，もともと，2次元的なオートマトンである，セルラーオ，トマトン（CellularAutomaton） を拡張した概念として提案されたものである．しかし，そのパラメータの取り方によりカオス的な挙動が発生することで注目を集めることとなった．CNNはニューロンの挙動を微分方程式で記述したものであり，次の方程式とな争．2次元平面上のある座標むのセルC（オ，ノ）について
血u〟J＝−エ心＋∑α烏〆（Jた ）＋∑∂鳥肌′＋zぴ ￠劫yむ＝／（∬ぴ）鍋／（エ）＝0．2（lェ＋1トlェー11）

伽

ここで，エ心，〟叫裾はニューロンにおける状態，入力，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

出力である．zぴはしきい値，／（∬）は変換関数，α叫ならないかを判断できる．これまで，1次元のセル配∂鳥 は歪み係数である．なお，式㈲の合計をとる範囲

列における進行波の存在条件について導出されている．

以下では，CNN−1における進行披の例をとりあげを示す添字々，Jは，座標（才，ノ）から一定の半径γの範る．考察するセル範囲の1か所，例えばセルC（10，囲内にあるセルを意味する．

10）を含むすべてのセルの初期値を，1つの安定均衡

この方程式を用いた応用例としては，画像信号を入力として与えた場合に，その輪郭（エッジ）部分を自点ざAに設定しておき，シミュレーションを開始する．

動的に抽出するなどの処理がある．

次に，セルC（1，1）の状態を別の安定均衡点5βに設定

一方，入力をゼロとした場合の自律的な挙動についし，この安定均衡点がセルC（10，10）にまで達するかても応用が示される．このCNNは彼の進行を表現すを調べる．定められた時間経過の後に，セルC（10，ることができ，ネットワークにおける障害の拡散や，10）の場所において，現在の状態であるる値S＝（〟，企業の連係関係の伝搬を表現するのに都合がよい［14］．

ぴ，紺）と初期値であるS。＝（〟。，ぴ。，祝局）との変移
侮＝（加−〟。）2＋（〃−む。）2＋（紺一批）2以下では，このケースを考察する．
仇擁＝′（為）＋βぴ∇2範㈹￠9を求め，その値が大きいか小さいかで進行波の伝搬をここで，変数のベクトルは範＝（恥，〃ぴ，…）であると推定する．この変移γdが小さい場合には進行波が阻し，変数恥，〃坑…はセルC（f，ノ）の内部状態を表す止されたと考えられる．

図5にはこの例を示す．図5ではセル位置を示す才（添字才，ノは2次元平面における座標）．ここで，ラブラシアン∇2を次のような近隣のセルの状態を用いた一ノ平面における状態恥の値を縦軸に示している．

図5の上の図では，拡散係数が大きいのでセルに加近似で置き換える．

えられた状態の変化は一定の時間経過後にはすべての∇2乙Jむ→〟汀．ノ＋仇＿lJ＋〝u．．＋紆り＿l−4恥 ㈹以下では助〝（勘）＝狛．1J＋狛＿lJ＋払ぃ十．＋以り＿1−4恥と表す．次の2つのCNNを考察する．

血びノ肋＝α［〃ぴ−′（勘）］＋βJ）≠〝（狛．∫）
血び〟′＝ ヤー〃む＋恥
血びノ肋＝−β晦

爪り ㊥ ㊥けur ￠ ￠（CNN−1）′（ェ）＝0．5［（51＋∫2）ェ＋（∫。−∫1）
×（I∬＋1トlェー1I）＋E伽）

α＝9，β＝30，∫l＝S2＝2／7，ぶ。＝−1／7，E＝1／14．
（CNN−3）︑lり

血むノ肋＝α【〃ぴ−〟び−♂（αぴ）］＋β払Di〝（鋸り）

8

血び〟〜＝和一〃ぴ＋恥＋仇劇好（〃f．J）

血ノぴノ肋＝一郎び＋βぴβ之〝（紺f，ノ）ねV♂（J）＝ざIJ＋0．5（50−5．）（l∬＋1ト】J−11）V

α＝9，β＝19，50＝−1．143，5l＝0．714．

CNN−1は次の2つの安定状態（不軌点）をもつ．
5．＝（〟。，む。，紺。）＝（⊥1．25，0，1．25）
5β＝（‰，ぴ。，紬b）＝（1．75，0，−1．75）
また，CNN−3は安定なIimit cycle（周期的な軌道）をもつ．

CNNのような離散的な結合素子の配列（discretecoupled excitable cells）によって進行波を表現する

場合において，拡散係数βが′J、さい場合には進行波が阻書される（propagationfailure）ことが知られている［7］．逆に，係数がどれ位大きくないと進行波と2002年3月号

lO

図5 進行波の伝搬（上：伝搬，下：阻止）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（35）169

にしたしきい値より小さくなった時点とする．状態がセルに進行している．

不動点，リミットサイクルに移行しない場合には，ス

一方，図5の下の図ではセルの範囲，C（1，1）−C（5，テップ2へと戻って制御を繰り返す．

5）およぴc（5，5）−C（5，1）にあるセルの結合を切断しCNN−1について，制御される前，および制御彼のている拡散係数をゼロにするので，進行波はこのライセルの状態を示したのが図6〜8である．ここで，セン上で阻止され，これ以降には拡散していない．

4．2 CNNにおけるカオスとフィードバック制御

ルは10×10の範囲で2次元的に配置されているが，次に，CNNが不規則な振動をしている場合に，安この図6−8では1列にならべて表示している．すな

定点へと移行させる制御について考察する．例えば，

わち，仇，1，仇，2，…，仇0，10，仇．1，〃l，2，…，仇0，10，抑1ん紺1，ネットワークの構成要素が乱雑な状態に入ったときに，…，ぴ10，10の順に表示している．

正常な状態にリセットすることに用いる．目標値との最初の図6では，セルの初期状態としてランダムな差をフィードバック制御入力として加えることにより，数値を与えた場合を示している．途中の図7は制御の同期化が可能である．目標とする不動点あるいはリミットサイクルを烹（f）とした場合に同期化の制御は
斤［ま（り−J（f）］を微分方程式の右辺に加えたフィード●

バック制御により可能である［14］．
dr（〜）〟f＝′（∬（才））＋灯ほ（fトェ（用8㊥ここで，∬はフィードバックゲインである．しかし，一般には観測データしか与えられていないため，システムは未知でありフィードバック制御はできない．
しかし，この問題はカオスシステムを推定あるいは近似することにより解決できる．前回の解説で説明し58たように，カオス時系列からそれを生成する方程式力1∝11502002503》

図6 セルの初期状態（恥，ぴぴ，勒）

学系を推定する方法として遺伝的プログラミング
1．5（GP：Genetic Programming）を用いる方法がある．
以下では，GPによりCNNのシステム方程式の近似1形を推定していると仮定する．これにより，次のよう0．Sな制御が可能となる［14］．
O

アルゴリズムとしてまとめると，次のようになる．
（ステップ1）不動点あるいはリミットサイクルの一○，5検出t

いま， 関数の形が推定されているので，これを用いて不動点あるいはリミットサイクルま（〜）を推定して0おく．

501∝I IS0200

2503α】

図7 一定の時間後のセルの状態（勘，〃む，枇）（ステップ2）制御入力を加える
時刻′に烹（J）に移動するには，フィードバックゲインスを小さい低から一定の間隔で増加させながら血（f）励＝f（∬（用＋スほ（り−エ（′）］の結果
銅→ま（わ）となるように決めればよい．エ（f）がま（f）に近くなると入力α（′）は小さくなり，制御が完了すればゼロになる．

（ステッ703）制御の終了の判断
制御を終了させるのは，目的としている均衡点，リミットサイクルと，現在の状態との誤差が，ある設定
1TO（36）50

1∝11502α）

2即：抑○

図8 セルの最終状態（恥，恥，恥）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ350

中間の段階であり，状態が同じレベルに集まり始めて

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（37）1Tl