国際政泊の数理分析
一戦争の原因の数理モデルー

山本 吉宣…ll……州‖州Illl…州……m‖刷‖‖…州‖ll川l州‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖州‖‖州…‖‖‖‖‖川‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝川Il……附‖lll州‖‖州‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖川‖＝＝‖‖‖川‖…………………‖‖＝＝‖‖＝川…仙‖…lt…

序−ゲームの理論と国際政治いて，無政府状態においても国家間の協力は可能であるという命題につながった（Oye，1986）．

本稿の目的は，戦争がどのような条件のもとで起きCるかに関するゲームの理論的なモデルを紹介すること

Dを通して，数理国際政治学の最近の動向を明らかにすることである．ゲームの理論は，すでに1950年代に，アナトール・ラバポートたちによって国際政治の分析に導入された．たとえば，米ソが互いに軍拡競争より軍縮を望みながらも，結局は軍拡に走る理由を「囚人のデイレンマ」（図1−Cは協力的行動，Dは非協力的行動，そして図のなかの数字は利得の大きさを示す）で説明したり，またキューバのミサイル危機を「チキン。ゲーム」（図2）で解明しようとする試み

図1 囚人のディレンマが行われた．また，戦争が相互に協力的な行動を取るよりも望ましいという「デッドロック」（図3）の可能性などが指摘された．さらに，きわめて高い紛争状態（戦争）はゼロ・サム的なものであり，またゼロ・サム的な状況は，戦争を引き起こす可能性が高いと論ぜられた．そして，例外は多々あるものの，1970年代までは，マトリックス・ゲームを使って，さまざまな国際政治現象をゲームの理論で説明しようとする努力が行われた（その集大成的なものとして，Snyder，Diesing，1977）．しかしながら，70年代の後半から，ゲームの理論そのものが大きく展開する．それは，繰

図2 チキン・ゲーム

り返しのゲームが定式化されたり，ゲームの解の概念が精密になり，また不確実性（uncertainty）の概念がC

Dゲームに組み込まれ，それに応じたゲームの解法が発達したのである．80年代において，（国際）政治学においてゲームの理論で一世を風摩したアクセルロッドの「囚人のデイレンマ」の無限の繰り返しゲーム（Axelrod，1984）は，無政府の状態（anarchy）こそが戦争の原因であるとの論が強かった国際政治学におやまもと よしのぶ 東京大学 総合文化研究科
図3 デッドロック〒153−8902 目黒区駒場3−8−1

1998年7月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（21）383

、・※由一、、；キ∴ − ・、ご・い・；・∴∴∴．・：二∴、・ざ∴、・二えば，人的，財政的，その他のコストがかかる。αの戦争をした場合のコストをc。，みのそれをcゎとしよう申そうすると，αの戦争を行ったときの期待効用は，さて9 戦争と平和をきわめて抽象的に考え9 a匡は（リスク中立的であるとすると），カ（1）＋（1−カ）（0）−

わ国があり，それぞれ協力（交渉／外交）（C）と非協Cα＝カーC。である。ぁのそれは，1¶（カ十cb）である。

力（戦争）（の）という2つの選択肢を持っていると［cがいちじるしく大きな場合9 特にc。があCゎが1一カすると9 D−のが戦争となる。そうすると，先の「囚を越える場合戦争は起こりえないし，交渉において戦人のデイレンマ」および「チキン￠ゲーム」において争という選択肢はまったく意味のないものである］。

は，戦争は，社会的に「非効率」なものと捉えられてそうすると，0と1の間に，双方にとって戦争よりもいる（図1および図2）む すなわち，戦争に比べて，大きな利益を与える交渉の範囲が存在する（すなわち，他の社会状況のなかに双方にとってより望ましい状況

カ仙C。とカ＋cゐの間）。したがって，情報が完備されてが存在する。しかしながら「デッドロック」（図3）

いれば9 戦争は実際に起きることはなく，領土紛争なにおいては戦争（D）は，たんに双方にとって支配的どにおいても9 交渉による解決が行われよう。ただし，な戦略であるだけではなく，社会的に非効率的なもの係争の対象となるものが無限に分割可能でないときにでもない。もしこのような利益構造が存在する場合には，交渉する範囲が存在しないこともありえる。たとは，戦争は起きざるを得ない。たとえば「戦争の期待えば，領土を分割不可能と考え，現状ではそれをあが効用モデル」というものがあるが，そこでは，戦争を保持しているとしようb そして，αがその領土を要求起こしたときの期待効用が，戦争以外の手段で得られしたとして，戦争に訴える場合と，交渉による場合をるものより大きいときに戦争が起きる，と論ぜられる

考えると9 戦争よりもよい交渉結果を双方ともが得る（凱eInO de Mesqu亙ta，且98且；山本，1986；原軌
1998）山 これは，まさに（少なくとも一方の当事者にことはありえない印

さて上記のモデルで，「交渉」の結果が自己強制的なものになり得るとのベース0ラインを設定している関しての）「デッドロック」の論理である。
しかし「戦争か交渉か」という問題に関して，戦争のが，ル」ビンシュタインの交渉モデルであるの方が交渉よりも多くの利得をもたらすという「デッ（RubirlSteim，1982；Morrow，1994，145−149）．

ドロック」は通常ありえない9 ということを最近

ルhビンシュタインのモデルはク ー定のパ『earom（1995）が提示している（また，石軋1998，

人がいかに分けるか，ということに関する交渉ゲーム参照）。まず，プレーヤー欄aとbが，一定の（無限にである。モデルは，まず，αが∬1という提案をする

分割可能な）パイ（Ⅹ−たとえば領土）を分割するこ（0≦∬1≦g）。次に，ぁが（i）それを受け入れるかとを考えよう（すなわちゼロ。サム状態）。そして，そ（もし受け入れるなら，交渉は成立し，ゲームは終わの際プレーヤーは夕（り平和的な交渉を行うという選る），あるいは（ii）それを拒否し，あらたにαに∬2と択肢と，（ii）戦争という手段に訴えてパイを奪う，という逆提案をする。そしてαは，それを受け入れるかいう2つの手段を持っているとする（この『earomのあるいは逆提案をする，というプロセスを繰り返す。

モデルは簡単ではあるが，それからさまぎまな種類のここで，もし交渉に失敗すれば，双方とも取り分は0

ゲームを内生的に導きだせるということから注削こ値となるとする（交渉に失敗したとき，0ではなく9するものである）。そうすると9 このゲームにおいて「現状」が維持される，というようにモデルを作るこは「平和的な解決」（それも自己強制的な解一第三者ともできる）。そして，交互の提案，逆提案のプロセが強制しなくても合意は遵守される）が存在する，とスは時間がかかるものであることから，α，ぁともにいうのが結論である。もし戦争という選択肢がない場割引き率（＆，＆）を持つ。このようにモデル化する

合には，交渉は9（∬9 且一諾）（方を且としておく）のと，何回目かで交渉が終わるゲームを考えても，またどの点をとるか，ということになる。ここで，戦争を無限に交渉が続くゲームを考えても，サブゥゲーム。

引き起こした場合，もし戦争に勝てば9 パイ全部を得パーることができ（1を得る），戦争に放ければ0を得る

想定した場合，解は，αの取り分は，斉［（1−♂ゎ）／としよう。αの戦争に勝つ確率をβ，放ける確率を1−（卜♂α♂ゎ）］，そしてぁの取り分は，方〈［♂b（1−♂α）］／

カとする（引き分けの確率はないとする）￠ 戦争を行（1「＆＆）］〉 である爪］

3鼻穏（22）イ（∬）を2フェクトの解が存在する由［交渉が無限に続くと© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズqリサーチ

直観的にいえば，上記のFearonのモデルで，カーれ＝0である．したがって，あの得ることができる最c。と少＋cゎの間でこのような交渉が行われる，という大の利得は，1＋♂（1−J2）となる．しかし，この∂のことである．このモデルにはいくつかの問題はあるが利得は，∂が第1回目のゲームにおいて戦争を選択し（たとえば，先に選択をするほうが優位である），非たときの利得［（1−カ1）・（1＋♂）−Cゎ］より小さくなる協力ゲーム（すなわち「無政府状態」）で，ゼロ・サことがある．すなわち，［♂＞（♪1＋cゎ）／（カ2一九十cb）］

ム的な状況でも，交渉の（一義的なかつ自己強制的の場′合である．このことは，カ2＞2♪1で，コストに比な）解がありえることを示している．

して，相対的な力が急速に低下するとき，∂は，将来以上のモデルでは，カ（相手国との相対的な力関のαの「平和的な解決」を避けるために戦争を引き起係）そのものは，「平和的な解決」がなされるかどうこすのである．このことは，ある国が，他の国の成長かを左右するものではない．このことは，国際政治学がいちじるしく，急速に追い付かれていく場合にも当において，大きな論争点であり続けてきた，どのようてはまろうし，またその国自身が急速に衰退し，他国な力の バランスのとき戦争が起きやすいか，という論との相対的な力関係が悪化する場′合にも当てはまろう．

争の意義自体を問うものである．もちろんこのことは，いわゆる予防戦争（preventive war）である．しか力（の分布）が無意味なものであると言っているわけ

し，この場合でも，もし何らかの形で，∂が戦争に訴ではない．αはカーCαを交渉の最低限のものとして要えず，交渉によって合意がはかられれば（この場合，求するが，それは♪が大きければ大きいほど，αにとαは第2番目のゲームにおいてその優位性をフルにはって有利なものとなっている．

使わないことを意味する），それは，合理的な行為の予防戦争と先制的戦争−「囚人のディレンマ」再訪結果である戦争よりも双方にとってよりよい結果をもたらす．ただし，そのような′合意は自己強制的なものではない．したがって，以上のような予防戦争は，いとはいえ，完備された情報のもとでも戟争（社会的わば「囚人のディレンマ」的状況を示すものであり，に非効率的なものであっても）は起こり得る．上記の第三者の強制力が存在しない「無政府状態」ゆえに引ゲームにおいてはカは一定であることが仮定されていき起こされるのである．

た．しかしながら，カが時間的に変化することは現実

以上のモデルは，繰り返しのゲームにおいて，カがの世界においてよく見られることである．一番単純に，変化する場合を考えた．しかし，1回限りのゲームをゲームが2回線り返されることを考え（無限に繰り返考えた場合でも，そして，完備された情報を考えた場されるときも同じ（Fearon，1995）），最初のゲーム合でも，♪が異なることがありえる．たとえば，先制においては，αの勝つ確率は勿，2回目のゲームでは攻撃をかけたケースの方が，守備に回る場合よりも戟カ2（＞カ1）となるとしよう．このように仮定しても，争に勝つ確率が高い場合である（以下，Fearon，ひとつひとつのゲームをみれば，戟争ではなく「平和1995参照）．たとえば，先制攻撃をかけた場合，勝つ的な解決」がはかられる．しかしながら，繰．り返され確率をか，後手に回った場合のそれをカβとしよう（かるゲーム全体を見ると，最初のゲームにおいて，∂カゞ＞カ占）．そうすると，交渉の結果をJとすると，αがJ戟争を選択するのが合理的であることがありえる．まを受け入れるのは，∬＞か−Cの ぁが受け入れるのは，ず，第2番目のゲームにおけるサブゲーム・パーフェ

1−∬＞1一カβ−Cbである．そうすると，交渉の範囲はクトの均衡解は，たとえばαが最終的な提案をすると（か−C。，♪β＋cゎ）である．ここで，かがカβより十分仮定すると［ただし，このような仮定を置かなくとも，大きく，♪′−Cα＞カざ＋cゎとなる場合，自己強制的な交同じような結論が得られる］，αはあがぎりぎり受け入渉の結果を保証する交渉の範囲は存在しない．どちられることができる∬2＝カ2＋c∂を要求する．そうすると，かが，相手が攻撃してくる前に自分から攻撃する十分

第2回目のゲームの∂の利益は，（1−∬2）＝（1−カ2−なインセンティブを持つのである（先制的戦争cゎ）となる．第1回目のゲームにおいてαが∬1を提案

preemptive war）．この場合も，戦争よりも交渉によし，∂がそれを受け入れるとすると，∂の全体を通しって双方にとってよりよい結果が得られることは容易ての利得は，1−Jl＋♂（1−∬2）（♂は∂の割引き率）とに示すことができる．しかし，この結果は，自己強制なる．ここで，もしαが第1回目のゲームにおいて，的なものではない．

∂にもっとも有利な提案をしたとすると，それは，1998年7月号

以上から明らかなように，「囚人のデイレンマ」を© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（23）385

いかに解決していくかに関して
アクセルロッド以降の理論の発く0．5，0．5）

展が注目されるゆえんである（Ost『Om，1998；Axelrod，1997ニ高木，且998）咽（0。7，0。3）

不確実性歴戦争

以上からわかるように，カとcが山走で，情報が完備されて（0。2，0。2）いれば9 戦争は起きず「平和的な解決」がはかられる。しかしながら，情報が完備されていな

ここまい場合9 戦争が起きることがあbる。不確実性は9 戦争に勝つ確率（カ）と戦争のコスト（c）にかかわるものとして定式

とり9 結果として9 ゐは∬（♪−Cα＜∬＜♪＋c占）を受化される。たとえば9 単純化のため，1回限りのゲー容する（ただし9 αは最低限でも∬sを要求することはムを考えてみようの たとえば，戦争に勝つ確率カは，言うまでもない）也 もちろん，サブゲームDパー一定の確率分布に従っており，この分布からα，ぁがトの均衡解は，αがぁが受け入れられるギリギリの利それぞれ独立にくじを引くとしよう。このような場合，

得である∬＝カ＋cbを要￣求し9 それを∂が受け入れるとαが自分が勝つ確率を0。8，ゐも自分が勝つ確率を0。8いうことになる。いずれにせよ戦争は起きない。とことする可能性がある冊 もしそうであるとすると，「平ろが， もしcゎが不確実であれば，（Zは「真の」カ＋cb和的な解決」のための交渉の範囲が消滅してしまう可を越えた要▼求をする可能性がでてくる。もし，αが能性が高くヲ αはぁの許容範囲を越えた要求を行い，「真の」カ十c∂を越えた要求をすれば，∂は，戦争に∂は戦争という手段に訴えることがある。この点，訴えることになる。すなわち，不確実性が戦争の原因

BuenodeMesqu豆taたち（1997）は，カの不確実性にになり得るのである。そして，αから見てのcむの確率

着日し，国家の力を客観的にはかれるものとそうでは分布を考えると，真のcゎより大きなcゎの面積が戦争のないものに分けるモデルを構築し，均衡解を導き，そ起きる確率となる。

フェクのなかで9 客観的な指標において9 有利にたてばたつ

図4のモデルで∂も逆提案ができるとすると（すなほど戦争を起こしやすいという命題を導きだしているのわち，αが〜gを選択したとき，ぁが〜gかgを選択

戦争に由来するいまひとつの不確実性は，戦争のコすることができるというモデルを考えるとすると），ストである。戦争の人的，財政的9 その他のコストが「現状」がそのまま維持されるのは，きわめて特殊な小さければパ、さいほど戦争の利益は大きく，その回の場合に限られるということである。すなわち，カ＝∬ざ

戦争に対する意志（陀SOlve）は大きくなる。さてこで，かつC。＝Cゎ＝0，

こで，若干趣向を変えてヲ ゲームが「現状」の配分

もゐも「現状」変更を試みない￠ いいかえれば，パイ（∬ざ，且−∬5）から出発することを考えよう由 そしての分配が完全に力関係（カ）に一致している場合であ単純化のため9 まずαが「現状」の変更を求める要求る。㌘owel且（1996）は，図4のゲームの第2の選択を出すか（g），出さないか（〜g）を選択し9 もし〜厨点において，∂がαの要求を受け入れるか，戦争をすなら，それでゲームは終わるとする。もし9 αが「現るか9 だけではなく，あが逆提案をすることができ9状」の変更を求めると，∂はαの要求を受け入れるかつそれが無限に続く，というモデルを考えた（図（￠）か9 あるいは戦争に訴える（』）か，という2つの5）。Powel且は図5の基本的なモデルにもとづき9 カ

選択肢を持つものとするの そして，ゲームはここで終（戦争に勝つ確率）に不確実性はなく，戦争のコストわるとする。それを図示したのが図掴である（右側のcが不確実な場合，どのような結果が得られるかを分数字は後述）。このゲームの場合，カ＋cム＜∬ざの場合，析した（不確実性がない場合には，戦争は起きない）uαは〜gをとる。そして9 カ十cゎ＞∬sの場合，αはgをその結果9 Cが0と1の間に均等に分布していると仮急患6（24）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.のときである8 そのときにはα

オペレーションズむリサーチ

を知っているが，αは∂の利得を知らないとすると，αは，∂が，たとえば，強いか弱いか（すなわち，且−Aのときと，E−Qのときのぁの利得のどちらが大きいか）知らないで，〜且か且を選択しなければならない．そうすると，αは，先験的にあが強いか弱いかの図5 基本モデル

確率にもとづいて選択を行う．しかしながら，図4のような1回限りのゲームにおいては，αは，ぁのコス定した場合，パイの分割が♪と一致していると戟争がトに対して持つ先験的な確率によって選択を行いゲー起きる確率はゼロ，それがカから離れれば離れるほどムの結果が決まる（先に述べたように，その先験的な戦争の確率は高くなっていくことを示した．

確率如何では戦争が起きる）．しかし，もし，図4の抑止ゲーム（自己利益達成のための不確実性の操作）−「チキン・ゲーム」再訪

ゲームが繰り返し行われるとすれば，αはあの選択から∂の強さ，弱さの確率を（ベイズのルールに従って）修正することができ，また∂もそのことを見込ん

さて，戦争のコストcは現実の世界において，避けで，選択を行う．また図4のゲームが繰り返し行われようもなく存在するものであると同時に，それは相手るとして，αが最初に〜且をとるとそのゲームにおいに対して意図的に操作できるものであることがある．ては，ゎに関する新しい情報は得られない．したがっそうすると，上記のようなモデルの文脈では，直観的て，αの∂についての先験的確率は変わらない．しか自分は自分のcをよく知っているが，相手し，αが且をとり，わが0をとれば，あは確実に弱い，はそれを確実には知らず，したがって，相手方に対しということが明らかになる．このように不確実性のもて，自分は自分の真のCよりも小さなcを持っているとでプレーヤーは，相互に自分の「性格」についてのと相手に信じさせることが交渉上有利である．すなわ

シグナルを送るのである．そして∂は実際には弱いにち，自分が実際に「弱い」（戟争のコストが高い）ともかかわらず，第1回目のゲームにおいて何らかの確しても，自分が「強い」（コストが低い）との評判

率でAをとり，そのことによって戦争が起きずかつα（reputation）を相手にもたせ，そのことによって相が自分の利益に反する行動を取らせないことができ，手が自分・の不利になるような行動を取ることを防ごう

それが一定の条件のもとでは（繰り返しのゲーム全体とする行動をとろう（すなわち抑止）．図4の右側はを通しての）均衡解となりえる（これは，チェーンス

数字は，∬占＝0．5，∬＝0．7，少＝0．6，Cα＝0．4，Cむ＝トアのパラドックスと呼ばれるものである一Alt，0．2とした場合のものである．もちろん，すでに述べ

Calvert，Humes，1988；山本，1989；石黒，1998）．

たように，￡が無限に分割可能であるとすれば，ゲー

この場合，不確実性は，少なく ともその国にとってムの解は1−∴￡と1−♪−Cゎとが一致するようにαが∬を（完備された情報のときよりも大きな利益をもたらす選択する，というものである．しかし，αが何らかのという意味で）望ましいものである．しかしながら，理由で（たとば，Jが自由に分割できず），∬＝0．7と小さな戦争を含めて戦争も1つの交渉の手段と考えるしたとしよう．そうするとこのゲームは（純粋戦略のと，のちのことを考えて，実際に「弱く」とも，「強みを考えた場合）2つのナッシュ均衡を持つ「チキい」という評判を維持するために戦争を行う，というン・ゲーム」である．均衡の1つはαが且，ろがQをとことも合理的な均衡経路でありえる．また，逆に自分ることである．今1つは，αが〜E，∂カゞAを取るこは実際には「強い」のに，評判としては「弱い」ときとである．したがって，ナッシュ均衡は（0．7，0．3）に，その評判を変化させるために戦争を行うこともあ（且とQ）と（0．5，0．5）（〜且とA）の2つであり，り得るのである．このような場合，不確実性は，戦争∂にとっては後者が有利である．しかしながら，後者の原因の1つとなるのである．にいえば，は，もしαが（何らかの間違いで）且を取ると，∂はまた，図5のような無限に続くゲームを考え，「チAを取り待ない．サブゲーム・パーフェクトの解は，キン・ゲーム」的なゲームの結末を考えるモデルも存前者である．この場合，もしろカヾきわめて強く，Cゎが在する．たとえば，Powell（1990）は，図5にもとゼロであるとの信条をαに持たせれば，αは〜且を取づき，αも∂も相手が強いか弱いか不確実な情報しかることになろう．より一般的にいえば，あはαの利得持っておらず，かつEを続けた場合徐々に戦争に突入

1998年7 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（25）38丁する確率が増大していくというモデルを構築し，確実に戦争に至る経路が広く存在することを示した。また，『earom（1994）は，同じようなモデルを使いながら，ゲームが進行するにつれて妥協（￠）のコストが上がっていくという仮定を入れ（すなわち，提案叩逆提案を繰り返していくと，国内政治において政府が容易に妥協できなくなる圧力が高くなる），そのコストがより高い民主主義の回の要求の信頼性が高まり，有利な立場に立ち得る，とレ1うモデルを構築しているぬ

emcesandtheEscalatiomofInternationalDisputes，』∽g蕗cα裾鞠gZ≠ZcαJSc才g邦Cg厨β〃才β肌88，577−592．
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・ト・、 リ：′′十・・′′∴車ノ．ヾ′‥・．／1ノ．・・．二！、−．二・−I￣こ1
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、・・‥− ・し −い− ・ハ′小 ∴一．・・／リー．√／・・小、√′一・∴（′ニり

以上のようなモデルはさまざまなヴァリエーション

mationひPrincetom：PT・incetonUniversityPress．

をともなって（特に掬5がさまざまな形に変形され），Morrow，James D血（1994）Game7協eo7y jbr励Iitical

国際政治学での重要ないくつかの問題を分析するのに応用されている。またサ 本論では触れなかったが，たとえば「平和的な解決」が，のちの力関係に影響を与える（すなわちカを変化させる）とした場合，異なるモデルが構築できよう（Powell，1991，1993）。⊃ さらに本稿で紹介したようなモデルは9 他の問題にも応用

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できる。たとえばαとぁが経済的な交渉をしている場合を想定すると9 相互主義的な制裁を戟争と同じよう

me Search jbr C柁dibili＆．Cambridge：Cambridgeに取り扱うことができるし，また，αとぁとの交渉のUmiversity Press。

結果に対して9 国内の批准が必要な場合は，内政と外交交渉を結びつけるモデルを構築することもできるのである（M互且ne『，1997；Ⅲowns and Rocke1995）。

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