lllll11111…‖‖‖‖川棚仙‖‖‖刷illll＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖＝‖＝‖‖＝州＝＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖＝‖＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖＝＝‖‖州……】llll＝＝‖‖＝‖‖＝＝‖‖＝‖‖＝＝‖‖刷Il……川…川‖＝‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖＝＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖刷

ANPを組み込んだAHPの通用：
教員の評価を例題として
関谷 和之
Illll…lllll！…l…‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝＝‖＝＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖州Ill…lll…………l…‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖＝…

ロセスには査定される教員の意見を組み込む手続きが1．はじめにあり，その手続きでは，AHPを発展させたAnalytic

Analytic Hierarchy Process（AHP）は，あいまNetwork Process（ANP）を利用する．これにより，いで漠然とした意思決定問題や人の主観判断に依存せAHP利用者をANPへ誘うことを本稿の目的とする．

ぎるを得ない評価問題に対して，直観による質的情報

なお，AHPの詳細に関する知識は優れた入門書［1〜から定量的な情報を導き出すお手軽な意思決定支援手

3，6］があるので，それらを参考にして頂きたい．さら法である．「AHP」をインターネット検索すれば，そに，AHP，ANPの計算手続きに関するいくつかのト

れは世の中に広く定着したオペレーションズ・リサー

ピックスは，本特集号の解説記事で述べるチの手法であることは認知できよう．

AHP，ANPをいかに適用するかを主眼においた内容

近年の経済不況や住民参加の意識向上に伴い公共事．本稿は，であり，それらの評価プロセスを手短く簡潔に紹介す業の数値的評価をはじめ，組織体や個人活動に対するる．そのため，AHP，特にANPを本格的に活用さ評価も広くとり行われている．大学においてもその例

れたい方は，文献［6］と解説記事の一読をお勧めする．

外ではない．今後さらに，主観判断，質的情報に頼る
評佃方法はますます利用されるであろう．そのような評価の場において重要なことは評価方法の透明性，評2．例題とその評価手続き「学部長が選定した教育活動の評価項目の下で，受価結果への説明責任，そしてその評価に関係する者講生からの授業評価と教員の意見とを反映させて教員（例えば，評価する側と評価される側）での合意形成

個々の教育活動を学部長が査定する」という例題を用である．評価に対する関係者間での合意形成の」二大のいてAHP，ANPの評価手続きを順に述べる．
まず，教員の教育活動の評佃項目を学部長が設定し，一つとしては，相互評佃がある．
例えば，教員が学生による授業評価で教育に関するそれらの評価項目を階層構造として構造化する．さら査定を受ける場合を想定しよう．熱心に授業参加したに学部長の主観判断から各評佃項目の相対的重要度学生からの授業評価と，そうでない学生からの授業評（ウェイト）を算出する．ここまでの評価プロセスを価とを同等祝して査定することに対しては，教員は不節2．1で説明する．一方，学部長本人は個々の教員の満を持つであろう．熱心な学生からの評価をそうでな教育活動状況を直接見聞きできない．そこで，受講生い学生からの評価より重要視して査定してもらいたいからの授業評佃と教員からの意見から評価項目毎にという本音を教員が抱いてもおかしくはない．評価を個々の教員の教育活動状況を評価する．この際に受ける側の意見を取り入れるという相互評価導入は，ANPを適用する．ANP適用による評価項目毎にお査定される教員からのガス抜き効果をもたらす．それ

ける教員の個別評価プロセスを節2．2で説明する．そにより査定する側，受ける側の間での合意形成への肋して，各評価項目における個々の教員の教育活動の個けとするのである．

別評佃を総合化するプロセスを節2．3で説明する．節

そこで，本稿では，教育に関する教員査定の評佃問

題を例題として挙げ，AHPの評佃プロセスに基づいて査定結果を例示する．ただし，このAHPの評価プ2．2を除く最終的な査定までの評価全プロセスはAHPに別している．

2，1階層構造の作成と評価項目の評価
まず，学部長は，教員の教育査定には二つの評佃項

せきたに かずゆき
静岡大学二Ⅰ二学部

目「教育への熱意」「教え方の巧さ」で各教員の教育〒432−8561浜松市城北3−5−1

活動を評価するのがふさわしいと判断した．そして，

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（9）259

表1教育面の査定に関する一対比較行列

教育面での査定し撃室戸の痛可

教育への熱意．＿、￣ン′￣ ノ一一 ′、

ヽ一ヽヽヽ

、警缶
図1教育面の査定に関する評価の階層構造

これらの二つの評価項目の下で，教員fl，f2，ねを相対図2「査定」の下での「熱意」と「巧さ」の相互評価構評価するという評価構造を決定した．これを図1の実造

線の矢線と破線の矢線とで示す．図1での矢線は枝と呼ばれ，何らかの評価関係が存在することを示す．例［軌，紺2］Tの第1成分軌を「熱意」のウエイト，第2えば，「教育面での査定」から「教育への熱意」と成分緋2を「巧さ」のウエイトとして与える．つまり，「教え方の巧さ」への杖がある．これは，「教育面での［軌，紺2］＝［1／3，2／3］なので，「熱意」のウエイトは1／査定」において，「教育への熱意」と「教え方の巧さ」3，「巧さ」のウエイトは2／3である．
学部長の一対比較による評佃をグラフで表現するとがそれぞれどれぐらい重要であるかという評価関係を示す．さらに，「教育への熱意」から教員fl，′2，f3へ

図2となる．ただし，一対比較行列の対角成分は全ての枝は「教育への熱意」の観点から各教員の評価を与1であるので，「熱意」（「巧さ」）から出て「熱意」えることを意味する．

（「巧さ」）に戻る自己ループとなる枝は削除した．図

図1では，「教育面での査定」から「教育への熱意」2の「熱意」「巧さ」の横にある数値は，「教育面の査への実線の枝に1／3，「教え方の巧さ」への枝に2／3定」における「教育への熱意」，「教え方の巧さ」の解という値がある．これらは，「教育面の査定」におけ析結果である．図1，2で四角枠□で囲まれたもの

る「教育への熱意」，「教え方の巧さ」のウエイトを示をノードと呼び，ノードに与えられた値をポテンシャす．このウエイトは，学部長の主観により決定する．

ルと呼ぶ．図2のポテンシャルは図1では，それぞれに対応する杖の値となることに注意する．

具体的には，学部長が「教育面の査定」下では，「教育への熱意」の「教え方の巧さ」に対する重要度

2．2 相互評価を利用した教員への評価の程度を自らの感覚で判断し，その判断に合わせて適評価項目「熱意」と「巧さ」それぞれの観点から教当に数値に変換する．数値への変換方法の基本原則で員3人への直接評価を学部長はできないので，「熱意」は，「教育面の査定」下で「教育への熱意」は「教えと「巧さ」に関連する授業評価アンケートの項目を学方の巧さ」より重要であれば，1より大きい数値を，部長が選択し，その解答結果を利用して評価する．なそうでなければ1以下の値を与える．このような一対お，教員3人のそれぞれの担当科目で学生s．，∫2が受比較による判断から，「教育面の査定」における一対講した．したがって，各評価項目での教員3人のウエ比較行列（表1）を作成する．表1の1／2の数値は，イトは，図3で示される相互評価構造下で上側のノー学部長の判断では「熱意」が「巧さ」より重要でないドのポテンシャルとして決定する．決定された各評価ことを示す．

項目における教員3人のウエイトは図1の破線の枝の一対比較の結果全てを集めた一対比較行列から各項値である．
では，「熱意」における教員3人の評価手順につい目のウエイトを算出するためには，この一対比較行列て説明する．表2左の数値は各教員がそれぞれ受講生の固有方程式

51，52からの「熱意」に関する授業評価に対してどれ［；1北］＝憬（1）だけ重要視するかを一対比較して節2．1の手順で導出から最大固有値とその固有ベクトル（主固有ベクトル）を求め，その成分和が1である主固有ベクトル11一対比較行列の主固有ベクトルの意味付けは本稿の解説
記事で簡単に述べる．さらに詳しくは文献［7］を見よ．

260（10）オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

03142104030nU O0500

O O OO O O

乙〃1

れJ23・（3）れJ30050503000505070も〃44Z〟55 粁 押 付 け 甘から主固有ベクトルを求めて，図4のノードのポテン

図3 学生と教員の相互評価構造

シャルを与える．したがって，紺1＋紺2＋紬3＝1かつれ∫。十細5＝1である式（2）の主固有ベクトルは［0．385，表2「熱意」の下での各ウエイト0．400，0．215，0．423，0．577］Tであるから，教員才．，ゐ，おのウエイトは，それぞれ0．385，0．400，0．215となる．
ここで，教員からの意見がウエイト仇，棚2，紺3にいかに反映されたかを簡単に検証しよう．「熱意」における教員の≠1，ね，′3のウエイトを単に2人の受講生の平均値として試算3すると，それぞれ0．3850．2150．400である．教員Jlのウエイト紺1＝0．385が平均値のそれ（0．400）より小さいのは，教員と1がs2をslよりも高く評価し，他の教員がぶ2と51を同等祝しているからである．実際，ANPの解析結果である受講生s．，0．577

0．423

s2のウエイト［軌，ぴ5］＝［0．4：Z3，0．577］は教員Jlが提図4「熱意」の下での教員と学生との相互評価構造示したウエイト［0．3，0．7］と教員≠2，才3のそれら［0．5，0．5］との中間にある．さらにし，一方，表2右の数値は受講生からのアンケートでの該当項目の解答結果を集計し算出することで得られ0．423＋0．577

た2としよう．表2をグラフ表現すると図4である．
「熱意」に関する各教員のウエイトは図4の上側ノである．なお，教員′1の意見の変化による勅，紺2，紺3ードのポテンシャルに対応する．節2．1と同様に図4への影響は節3の感度分析で詳しく説明する．のノードのポテンシャルは，表2から生成される行列次に，「教え方の巧さ」の下での学生の授業評価お′1 ち ね SI S2

よび教員の主観判断により，「教え方の巧さ」の下で30041030 0 00

ね40 0 00

ち50 0 00flの学生から教員，教員から学生への相互評価によるウ（2）

エイトは表3として与えられたとする．表3から超行列を生成し，その固有方程式（4）を解析することで，∫10．3 0．5 0．50052

0．7 0．5 0．500の解析で与えられる．ANPでは，行列（2）を超行列と呼ぶ．超行列の解析は，一対比較行列の解析と同様に，対象となる行列の主固有ベクトルを求めることである（詳しくは文献［6，8］を見よ）．つまり，超行列式（2）の0000．2 0．3

J（、lれJ10000．6 0．2れ）27〟20000．2 0．5

0．3 0．5 0．5

00．7 0．5 0．5Z〃3乙〃3

（）

汁．1

れ740

祝ノ5

？〟50

3人の教員Jl，ゐ，お，2人の学生∫1，∫2の各ウエイトは固有方程式

2評価項目間でのデータの平準化［6］のために，表2右の数値は列和1に正規化したが，その限りではなし−．非負値で意思決定者の意図に沿えばよい．
2003年4月号

3平均値としてウエイトを与えることは，受講生からの教員への評佃のみで決定し，さらに2人の受講生を同等祝して評佃することとして解釈できる．

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（11）261（4）

表3「巧さ」の下での各ウエイト

検討：感度分析 統合化＝超行列の解析（6）
図6 評佃プロセスの流れ与えている．これは，図5のグラフでのノード「教育面の査定」に値1を持つ自己ループを追加したすることに対応し，ノード「教育面の査定」のポテンシャルを基点として他のノードのポテンシャルを決定という
図5 教育面の査定の評価階層構造とウエイト計算操作の便宜的処理である．
式（1），（3），（4）と同様に，式（6）の固有方程式それぞれ0．255，0．380，0．365，0．449，0．551となる．1以上の解析結果から，図1の全ての枝の値は決定され，その結果をまとめると図5のようになる．

0 0 0 0‖ 1

Z〟1

1／3 00 0 0 0

れノ2

れノ2

2／3 0

0 0 0 0

れJ3

乙〃3

乙〃4

乙〃4

02．3 統合化と評価プロセスの流れ0

階層構造に構造化された「教育面での査定」は，学0 0．400 0．380 0 0 0

れ75

れノ5

部長，教員，学生の主観判断から各校の値が算出され0 0．215 0．365 0 0 0

祝ノ6

れJ60．385 0．255 0 0 0て，図5としてまとめられる．この8本の枝の値は（7）から主固有ベクトルを求めて，図5の各ノードのポテ「熱意」のウエイト×「熱意」に関する教員のウエイト＋「巧さ」のウエイト×「巧さ」に関する教員のウエイトンシャルを決定する．紺1＝1，紺2＋紺3＝1，紬4＋紺5＋紺5として統合して，3人の教員の総合評価を行う．した＝1を満たす主固有ベクトルは［1．00，0．333，0．667，がって，教員の総合ウエイトは，0．298，0．387，0．315］Tであり，3人の教員≠1，オ2，ねの総熱意

巧さ 総合評価

0．385

0．255

合ウエイトは，それぞれ0．298，0．387，0．315である．

0．298

これは式（5）の計算結果と一致する．
（5）1／30．400

0．38

0．387

教員の総合ウエイトが算出されるまでの評価プロセ

0．215

0．365

0．315

スを図6にまとめる．表1〜3の作成過程で主観，直感の判断を巧みに組み込み，どの解析段階でも，対象である．となる行列の主固有ベクトルを求める．この解析法をここで，教員の総合評佃をANPの解析として考え固有ベクトル法と呼ぶ．てみよう．まず，図5から超行列査定 熱意 巧さ
010

fl f2 ′3

実用上で特に大切なことは，感度分析（次節で説0 0 0明）を利用した検討段階を踏むことであり，必要であれば，この評価プロセスを繰り返す．つまり，図5と熱意

1／3 00 0 0 0

巧さ

2／3 00 0 0 0（6）超行列式（7）の係数を繰り返し見直し，学部長，教員が00．385 0．255 0 0 0納得するまで固有ベクトル法で解析することが重要で≠1

ね00．400 0．380 0 0 0ある．

ゐ00．215 0．365 0 0 0を生成する．図5の各杖の値は対応する超行列（6）の要素に与えられている．そして，（1，1）要素に1の値を262（12）3．感度分析
評価プロセスの反復をできるだけ系統立てて分析す© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチO O O

32000000600002

Jlの順位であったが，「教育面での査定」から「熱〝2 0．5 0．5

そこで「教育面での査定」から「熱意」，「巧さ」へ0変化はないであろうか？

0J〝10．5050意」，「巧さ」への枝の値が多少変化してもこの順位に

乙〃1Z〟1Z〟2Z〃2Z〃3祝ノ3Z〟4Z〟4れ）5れ）520

れゐ，ちの総合評価は0．298，0．387，0．315でち＞ね＞

0るには，感度分析を利用するとよい．式（7）では教員

0‖川を満たす［勅，棚2，祝ノ3］に対しての杖の値を〃．，〃2とすると，0．255
0．380（ll）〃20．365が各教員の総合ウエイトである．話を簡単にするためが各教員の総合評価である．仇，〃2が変化しても，教に評価項目へのウエイトを［む1，〃2］＝［1／3，2／3］と固定員ちは二つの評価項目でともに第1位なので総合評する．式（10）は変数勅と変数仇，㍑2の積を含むが，式価では永遠にトップであることがわかる．一方，〃l，（10）を満たす正規化された［紺．，ぴ2，ひ3］Tは関係式（1勿を〃2が変化しても，教員れねの総合ウエイトの順位の満たし，それに限ること［9］が知られている．

入れ替えは起きないであろうか？ 実は，Jlがどりで1ある［〃1，〃2］Tの範囲は，同一の制約条件を持つ二つの3．2zノ1＋2．8〝2＋1

線形計画問題maX

1．88〝1十1．32zィ2（1か1．32zィ1＋1．48zJ2〃1

式（11），（12）から各教員の総合ウエイトの比はs．t．0．385〃1＋0．255〃2≦0．215〃1＋0．365〃2，（8）0．385（3．2zィl＋2．8〝2＋1）一十2〃1＋〃2＝1，〃1，〃2≧O

0．400（3．2zィ1＋2．8〟2＋1）一十2（1．88α1＋1．32zJ2）

mln 乙ノ1

0．215（3．2zJl＋2．8zJ2＋1）十2（1．32仇＋1．48〟2）

s．t．0．385〃1＋0．255乙ノ2≦0．215乙71＋0．365乙ノ2 （9）〃1＋〃2＝1，〃1，〃2≧0ヨ引監

である．教員Jlの総合ウエイトが教員あのそれを超のそれぞれの最適値で与えられる．式（8），（9）の最適値を求めることで，0≦〃．≦0．398で教員Jlはどりであることがわかる．つまり，この範囲では，式（7）から得られた教員順位は維持されるのである．これは，現在の評佃結果［〃1，〃2］＝［1／3，2／3］から「熱意」に対するウエイト（〃1）が大きくなると，現在の順位が変動することを示唆する．したがって，学部長は「巧さ」のウエイトが「熱意」のそれよりも2倍以上であるかどうかを再確認すべきであろう．

えるならば，どりを脱出できる．したがって，式（13）の第1成分から第3成分の差を非負とする制約式を持つ
二つの線形計画問題
maX 〟1

S．t．−2．096zJl−2．484〟2−「2．17≧0，（14）〟1＋〟2＝1，仇，α2≧O
mln 〟1（19S．t．一2．096zゎー＝2．484zィ2＋2．17≧0
仇＋〟2＝1，〝1，〟2≧0

一方，「巧さ」からの教員3人に対する枝の値が変化したら，教員の総合ウエイトはどう変化するであろうか．これらの杖の値は学生と教員との相互評価から決定したものだが，相互評価で教員flがうまく学生を解くことで，教員Jlが単独第2位以上になる［仇，〟2］の範囲がわかる．式（14），（15）を解くことで，0．809＜仇≦1であれば教員f．は単独第2位以上である．しかし，式（用の第1成分から第2成分の差は常に負なのを評価することで，「巧さ」からの教員3人に対する枝の値を変動させて，総合ウエイトでどりから脱出できるであろうか？ 簡単な分析をしよう．
「巧さ」での教員flの学生へのウエイトを㍑1，〟2とで，教員′1は第1位にならない．さらに，任意の評

価項目へのウエイト［〃1，〃2］に対して，0．385〃1（3．2zJl＋2．8zィ2＋1）一「〃2＜0．400〃1（3．2仇＋2．8zィ2＋1）−ト〃2（1．88zィ1＋1．32zJ2）する．式（4）の行列は非負で全ての列和が1なので，最大固有値は1である．したがって，仇十㍑2＝1，仇，㍑2≧0，ひ1＋紺2＋紺3＝1かつ2003年4月号

ヨ引冨が成立する．1＜1．88zィ1＋1．32zィ2なので，式（咽カ、ら教員Jlは第1位になりえないことがわかる．

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（13）263

4．おわりに

参考文献

本稿では，AHPの流れにそって，その一部にANPを組み込む例題を示した．フィードバック構造を持つ相互評価導入は，双方向の意見を取り込めることで合意形成を評価決定までのプロセスに練り込むことが可能であることを示した．また，AHPの特徴である一対比較行列からウエイト導出と階層構造上での各ウエイトの統合化は，それぞれANPの特殊形として位置付けられることを述べた．

［1］刀根薫： ゲーム感覚意思決定法−AHP入門−，日科技連出版社，東京，（1986）．
［2］木下栄蔵： 孫子の兵法の数学モデル，講談社 東京，（1998）．
［3］木下栄蔵： 入門AHP，日科技連出版社 東京，（2000）．

［4］Saaty，T．L∴ The Analytic Hierarchy Process ，
RWSPublications，Pittsburgh，（1996）．
［5］saaty，T．L．： The Analytic Network Process ，特に，AHP，ANPには効用理論のようなエレガン

RWSPublications，Pittsburgh，（1996）．

トさはないが，あいまいで複雑な評価問題，意思決定［6］高橋磐郎： AHPからANPへの諸問題Ⅰ〜VI ，オペ

問題に対して有向グラフと評価行列により視覚に訴えたモデリング可能という長所を持つので，感度分析しレーションズ・

リサーチ，43，No．1−6（1998）．

［7］Sekitani，K．andYamaki，N．： ALogicalInterpre−ながら試行錯誤して数多くの事例に適用されることをtationfortheeigenvaluemethodinAHP期待する．

the Operations Research Society ofJapan，42（1999），

本稿の草稿を読んで，特集記事と解説記事に分割することを提案して下さった電力中央研究所の大屋先生に感謝します．また，筑波大学の大澤先生，猿渡先生，専修大学の生田目先生には一般の方が読みやすい記事という観点で多くのご助言を頂きました．ここに深く感謝します．

219−232．

［8］Sekitani，K．and Takahashi，I．： A un摘ed modeland analysis for AHP and ANP，Journalof theOperationsResearchSocietyofJapan，44（2001），67−89．

［9］関谷和之： A sensitivity analysis for AHP andANP ，日本OR学会研究部会「評価のOR」配布資料，（2002，12）．

264（14），Journalof

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