■学生論文賞受賞論文

要約■

マルチンゲール変換を用いたアメリカンオプション価格の上限評価
上園 智大（東京工業大学大学院情報理工学研究科数理・計算科学専攻 現所属・東京海上火災保険㈱）指導教官 高橋幸雄教授

1．はじめに

3．マルチンゲールの生成方法

オプションの公正価格を求める要求は大きいが，アRogersの手法は，infを与えるマルチンゲール過程

メリカンオプション価格の解析は難しく，これまで適がわかれば，モンテカルロ法を用いることでアメリカ当な方法が知られていなかった．アメリカンオプショ

ンオプション価格が推定できる利点を持つ．しかし，ンの価格は割り引かれたペイオフ値の期待値の，有界

このマルチンゲール過程は実際にはわからない．本論

な停止時に対するsupで与えられるが，Rogers［1］は，ではまず（1）式を離散化し，ある有界かつ可予測な過程マルチンゲールを変数とする一種のmin−maX問題と（β乃）による，割引いた原資産のマルチンゲール変換にしてこれを解く斬新な手法を提案した．しかし彼の手よって生成されるマルチンゲールの空間の中で下限を法を通用するには適切なマルチンゲール過程を構成す求めることにより，（1）式の近似解を求めることを試みる必要があり，これも簡単ではない．本論では離散化る．

モデルにおいて，原資産のマルチンゲール変換で与え新たな離散の確率空間（n，g，0）を考え，フィルトられるマルチンゲールに制限した上で，将来のある時レーションをg乃＝♂（5。，51，…，S乃）と定義する．ここ

点が最適となるマルチンゲールを逐次的に生成するこ

で，S，Z，〟の離散化は次のようになされる．α≦1，0とにより，価格に対する良い上界を求める方法を提案≦乃≦Ⅳに対して，△′＝7ソⅣ，5乃＝5乃＿1＋γS乃＿1△Jする．これは，精度の良い解を少ない計算時間で求め＋おg＿1ノ云7E乃，Z乃＝（1＋γ△′）一乃￠（S乃，乃），肪＝∑笈＝1るだけでなく，オプションヘッジという観点からも意

βm（㌫一見乃−1）．ただし，島は割引かれた株価過程を味のある価格付けをすることが数値的に確かめられる．

表している．このとき㍍は，有界かつ可予測な過程の集合㊥を用いて次のように評価される．

2．Rogersによる上限評価

坑＜恕E［豊艶（z乃一差β∽（㌫−㌫−1））］（2）

確率空間を（畠，矛，P）とする．リスク中立測度Pの下での標準ブラウン運動をり仇）として，♂（l鶴：∫

3．1過去の履歴と一つの時点を考慮する場合≦J）を完備化したものをフィルトレーション（夙）と￠（5乃，乃）＝（∬−5乃）＋というペイオフを持つオプシする．また，オプション満期をr，短期金利をγ，ョンを考える．坑の上界を求めるために（2）式右辺をボラティリティーを♂とする．株価過程SをdS亡＝考えることにしたが，実はこれを解くのも困難である．

クづ亡dJ＋d；㌢d耶，R値ペイオフ関数を￠，割引き内そのため（2）式をさらに制限し，過去の履歴からノ∈Ⅳ

在価値過程ZをZf＝e￣rf￠（5f，f）として定義する．

時点先の期待値を最小にするβ乃を逐次的に求めるこ

ただし，ある♪＞1に対してsupo≦′≦r】Z亡匿エ♪であるとで近似的に解いていくことにする．つまり固定されものとする．

た乃∈［1，Ⅳ】に対して，

禦慧可max（。豊1（z∠一泉β椚（㌫一言m−1）），Rogers［1］はアメリカンオプションの価格㍍が以￣Fのように表現されることを示した．

乙一肌）l可Theorem2．1
坑＝infE［sup（Zt−Mt）］（1）〟∈〃J O≦′≦∵r

ただし班は，Supo≦′≦rl〟f恒エ1かつノ仇＝0を満たすようなマルチンゲー

ル〟＝（〟f）の空間である．

（3）とすることでβ乃を求め，それを1≦乃≦Ⅳで繰り返す．ただしSが従う過程は，固定された乃に対して乃−1以下の時点では前述の式で表されるが，乃時点では実際のところノ時点先を見ているため

2003年12月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（65）9耶表1（i），（ii）における上界値，標準偏差，MAD値，括弧ロ

内は（ii）の値

lA＞0
β0

タl上界

標準偏差

MAD値

80 21・846（21．824） 0・008（0・007） 1・585（1・118）

上）100 10・057（10．137） 0・021（0・010） 4・498（2・6飢）」

120 4・137（4．225） 0・018（0・010） 4・608（1・558）

これを1≦乃≦Ⅳで繰り返すことでβ＊を求め，マルチンゲールを生成する．また，過去の履歴と二つの先

図1関数gと値βの関係の時点を考慮する場合も有効であった．
S打乃＿1−S乃＿1＝わ△ば乃＿1＋d；g＿1価亡完（4）と表される．ど′は正規分布に従う確率変数である．

4．実験結果∬＝100，γ＝0．06，♂＝0．4，T＝0．5，Ⅳ＝40，α上のS，Z，〟の形を用いてさらに変形すると＝1の場合において，（i）ノ時点先を考慮する場合，（ii）

minE［max（（（A−XL）＋一仇．XL−必卜1），D）Z免＿1】
仇∈R

過去の履歴と2時点を考慮する場合，で価格の上界の（5）期待値，標準偏差，MAD値を評価する．ここでいうとなる．上の変数はぎ乃＿1上で次のように定義される．

ボギ1、−／ふ−ご；，。方乃＝（1＋わ△f）（1＋γ△f）乃￣1，

MAD値とは上の手法で得られたマルチンゲールが，A＝（1＋わ△り￣1（1どれだけ戌のinfを得るマルチンゲールに近いかを＋γ△J）￣（乃￣1）∬−￡＿1，β＝maXJ≦雅一1（Z −〝′）．時点表す指標であり，小さい程良い．なお，ノの値は各時乃−1の情報を持った上で最適な仇を考えているので，点毎で最大に取れば良いことがわかっている．

ここでの確率変数はズ長のみである．また仇が取り二つの手法での結果をSo＝80，100，120の3通り得る範囲は［−1，0］であることがわかっており，について表1に示す．（i）と（ii）の結果を比べると，上界g（晶）＝（A一見完）＋−β花見−〟乃＿1をズ元の関数とみな値に関してはそれほど違いが見られないもののMAD

すと，図1のようになる．このgと定数βのmaxを値に関しては（ii）の方法が良い．一方，計算時間を考慮取った関数の期待値を最小にする醜が求めたい銑にすると，（i）手法の方がずっと優れている．

なる．関数gと直線∂が交わる2点のJ座標をα，まとめとして次のようなことがいえる．（1），（i）の手∂（α＜∂）とおくと，α＝（A一肌＿1−β）／（1＋仇），∂＝法はβ牙を簡単な式で表すことができるため，他の手一（肌＿1＋β）／β乃となる．よって，期待値Ⅳ些法と比べ計算時間が優れている．上界の精度に関してE［max（g（ズ），β）lg乃＿1】は次のように計算できる．たは（ii）と同様である．（2），（ii）の手法は（i）と比べて良い

1 だし，舟）＝頂言古e一品♂＝

MAD値を求めることができる．また計算時間を工夫

d謂＿1価すれば，考慮する時点の数を増やすことでさらに良い（1＋γ△′）乃￣1（1＋わ△′）結果を得られることが予想される．（3），本手法は株価である．

過程がある程度複雑であっても適用でき，α＜1のとⅣ＝E［max（g（方），β）l島＿1］

き（CEVモデル）でも評価することが可能である．

＝ノ三（A−（1・帰一軋1）栂）血（4），多資産のオプションの場合，考慮する確率変数の＋Jb如）か上∞㈲＋〟乃−1）′（カ血（6）数が増えるため本手法の適用は今のところ難しい．

α，∂がβ乃の関数であることに注意してⅣをβ乃で微参考文献分すると，α＝−∂のときにlγが最小となることが［1］L．C．G．Rogers：Monte Carlo Valuation of Amer−

わかり次のようなβ芳が得られる．
β若＝一icanOptions，MathematicalP7nance，12，271−286，2002．

脇＿1＋♪
（7）

（〝乃＿1＋β）＋（〟乃＿1＋β−A）

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