最難関問題集４年下第9回・くわしい解説
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応用問題Ａ 1
応用問題Ａ 2
応用問題Ａ 3
応用問題Ａ 4…p.2…p.4…p.5…p.6

応用問題Ｂ 1
応用問題Ｂ 2…p.7…p.10

すぐる学習会
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最難関問題集４下第９回

くわしい解説応用問題A 1 (1)

いつもＯから補助線を引くので，「おから」（Ｏから）とおぼえておきましょう。
Ｂ

右の図のように，Ｏから補助線を引きます。
141°

ＯＡ
Ｂ

半径は同じ長さなので，右の図のかげをつけた三角形も，しゃ線をつけた三角形も，二等辺三角形になります。

141°

ＯＡＢ
★

よって右の図の★と★は同じ角度になり，☆と☆も同じ角度になります。

★
141°
☆

★と☆の和は 141 度になります。
☆
ＯＢ★

右の図の太線でかこまれた図形は四角形ですから，内角の和は360 度です。

★
☆

「ア★★☆☆」で 360 度ですが，★と☆の和は 141 度ですから，★★☆☆は，141×2＝ 282（度）です。
よってアは，360－282＝ 78（度）です。

-2-ＡＯ

ア☆
Ａ

最難関問題集４下第９回

応用問題A 1 (2)(1)で，角Ｏは 78 度であることがわかりました。

78
13
13＝ ですから，円周の である弧の長さが，40.82cmです。
360
60
60
円周は，「半径×2×3.14」で求められます。
よって，半径×2×3.14×13＝ 40.82 となります。
60

このような問題は，まず 40.82 を 3.14 でわると，計算がしやすくなります。
40.82÷3.14＝13 ですから，半径×2×よって，半径＝13÷13＝13 となります。
60

13÷2＝ 60÷2＝ 30（cm）です。
60-3-くわしい解説

最難関問題集４下第９回

くわしい解説応用問題A 2(1) イとエの面積の和は，右の図のしゃ線をつけた半円から，三角形ＡＢＣ（＝ウ）を引くことによって求めることができます。

Ａアイ

半円の直径は 20 cmなので，半径は 20÷2＝ 10（cm）です。
半円の面積は，10×10×3.14÷2＝ 157（cm2）です。

オエ

12cm16cmウＢ20cmＣ

三角形ＡＢＣ（＝ウ）は，底辺が 12 cmで高さが 16 cmだとして，12×16÷2＝ 96（cm2）です。
よって，イとエの面積の和＝半円－三角形ＡＢＣ＝157－96＝ 61（cm2）です。

(2) この問題は，アとイの和である半円と，エとオの和である半円の面積を求めて，「ア＋イ＋エ＋オ」を求め，(1)の答えである「イ＋エ」を引くことによって「ア＋オ」を求める方法で解きます。（実は，もっともっと簡単な方法がありますが。）
アとイの和は，直径が 12 cm（＝半径が 6 cmの）半円です。
アとイの面積の和は，6×6×3.14÷2 です。
エとオの和は，直径が 16 cm（＝半径が 8 cmの）半円です。
エとオの面積の和は，8×8×3.14÷2 です。
よって「ア＋イ＋エ＋オ」は，6×6×3.14÷2＋8×8×3.14÷2＝18×3.14＋32×3.14＝(18＋32)×3.14＝50×3.14＝ 157（cm2）です。
「イ＋エ」は，(1)で求めた通り 61 cm2ですから，「ア＋オ」は，157－61＝ 96（cm2）です。
別解 「ヒポクラテスの定理」という定理があって，アとオの面積の和は，なんと！
三角形ＡＢＣの面積と等しくなるのです！
三角形ＡＢＣの面積は，12×16÷2＝ 96（cm2）ですから，「ア＋オ」も，96 cm2です。
（ヒポクラテスの定理が成り立つ理由は，中学校で「三平方の定理」を習うとわかります。）-4-最難関問題集４下第９回

くわしい解説応用問題A 3

まず，右の図のようにかげの部分を移します。

45°
ＯＰＯＰ

かげの部分は，右の図の全体の面積から，白い直角二等辺三角形の面積を引くことによって求めます。
45°

右の図全体は，「おうぎ形ではない」ことに注意しましょう。
太線で分けて，左側は直角二等辺三角形，右側は四分円です。
左側の直角二等辺三角形の面積は，4×4÷2＝ 8（cm2）です。
右側の四分円の面積は，4×4×3.14÷4＝4×3.14＝ 12.56（cm2）です。

4cm
45°
ＯＰ

4cm

4cm

よって全体の面積は，8＋12.56＝ 20.56（cm2）です。
白い直角二等辺三角形は，底辺が 3＋3＝ 6（cm），高さが 3 cmですから，面積は，6×3÷2＝ 9（cm2）です。
3cm
45°
3cm

ＯＰ3cm

全体の面積は 20.56 cm2 で，白い直角二等辺三角形の面積は 9 cm2 ですから，かげをつけた部分の面積は，20.56－9＝ 11.56（cm2）です。

-5-最難関問題集４下第９回

くわしい解説応用問題A 4

このような問題では，正三角形を見つけることがポイントです。

右の図の太線でかこまれた三角形は，辺の長さがどれもおうぎ形の半径になっていますから，正三角形です。
よって 1 つの内角は 60 度です。

9cm

右の図のように，7 つの正三角形を書きます。
ところで，Ｎ角形の内角の和は，180×(Ｎ－2) で求められます。
七角形の内角の和は，180×(7－2)＝ 900（度）です。
右の図の 7 つのです。の角度の和は，900－60×2×7＝ 60（度）9cm

よって，かげをつけた部分のまわりの長さは，「半径が 9 cmで，中心角が 60 度」のおうぎ形の弧の長さと同じです。
9×2×3.14×60
1＝ 9×2×3.14× ＝ 3×3.14＝ 9.42（cm）になります。
360
6-6-最難関問題集４下第９回

くわしい解説

応用問題Ｂ 1 (1)

右の図のように，半径12ｍの半円をえがきます。
アは 12－1＝ 11（ｍ），イは 8－1＝7（ｍ），ウは 12－イ＝12－7＝ 5（ｍ）です。

ウ

イ
8ｍ

10ｍ6ｍ

ア5ｍ

さらに，右の図のように動きます。
エは，11－6＝ 5（ｍ）です。

8ｍ

10ｍ6ｍ

エ

12ｍ 11ｍ

ロープが動くことのできるはん囲は，右の図のようになります。
半径 12 ｍの半円と，半径 11 ｍの四分円と，半径 5 ｍのおうぎ形が 2 つあります。
半径 5 ｍのおうぎ形の中心角は，(180－▲)度と，(180－■)度です。合わせて，(180－▲)＋(180－■)＝360－(▲＋■) です。

5ｍ

▲

8ｍ

10ｍ6ｍ ■

5ｍ

12ｍ 11ｍ

直角三角形の内角の和は 180 度ですから，▲＋■＝180－90＝ 90（度）なので，半径 5 ｍのおうぎ形 2 つの中心角の和は，360－(▲＋■)＝360－90＝270（度）です。
（次のページへ）-7-

最難関問題集４下第９回

くわしい解説270
3＝ですから，四分円が 3 つぶんです。
3604

よって，半径 12 ｍの半円と，半径 11 ｍの四分円と，半径 5 cmの四分円が 3 つぶんになるので，12×12×3.14÷2 ＋ 11×11×3.14÷4 ＋ 5×5×3.14÷4×3＝72×3.14＋ 30.25×3.14＋18.75×3.14＝ ( 72＋30.25＋18.75 ) ×3.14＝ 121×3.14＝ 379.94（cm2）です。

-8-

最難関問題集４下第９回

くわしい解説

応用問題Ｂ 1 (2)点Ｐが辺ＡＢ上を動くとき，ぴんとはったロープは右の図の動くので，8ｍ動いたはん囲は，右の図のしゃ線部分のような，長方形になります。

10ｍ6ｍ8ｍ

10ｍ6ｍ

点Ｐが辺ＢＣ，辺ＣＡ上を動くときも，同じように長方形になります。
▲

8ｍ10ｍ6ｍ

点Ｐが点Ｂに止まっているときは，半径 12 ｍのおうぎ形をえがきます。
カ

点Ｐが点Ｃ，点Ａに止まっているときも，同じく半径 12 ｍのおうぎ形をえがきます。
よって，ロープが動くことのできるはん囲は右の図のしゃ線部分になります。

ウ
ア8ｍ

長方形部分は，ロープの長さが 12 ｍですから，ア＋イ＋ウ＝8×12＋6×12＋10×12＝ 288（ｍ2）です。

10ｍ6ｍ

オ

おうぎ形部分は，くっつけると円になるので，エ＋オ＋カ＝12×12×3.14＝ 452.16（ｍ2）です。
全部で，288＋452.16＝ 740.16（ｍ2）になります。

-9-エイ最難関問題集４下第９回

くわしい解説

応用問題Ｂ 2円周の長さを求めて計算していくよりも，角度で考えた方が解きやすいです。
円周の22は，360× ＝ 240（度）です。
33

つまり，のかげをつけた部分のまわりの長さが，白い部分のまわりの長さよりも，240度ぶんだけ長くなっています。

かげをつけた部分のまわりは，白い部分のまわりは，よってですからですからは直線部分は同じなので，とです。

です。

よりも 240度ぶんだけ長いことになります。

はよりも 240度ぶんだけ長いです。の合計は円になり，360 度ぶんです。

（次のページへ）- 10 -

最難関問題集４下第９回

よって，と右のような線分図になり，(360－240)÷2＝ 60（度）です。

くわしい解説の和は 360 度，差は 240 度になり，和差算です。の角度は，240度
360度の角度は，60÷2＝ 30（度）ですから，右の図のようになります。
30°

中心3011＝ ですから，このおうぎ形の面積は，6×6×3.14× ＝ 9.42（cm2）3601212です。
6cm

右の図の★をつけた三角形は，底辺を 6 cmにすると，高さは太線の部分になり，正三角形の半分なので，6÷2＝ 3（cm）です。

6cm

★

30°

よって，★の面積は，6×3÷2＝ 9（cm2）です。

白い部分の面積は，1つのおうぎ形の面積が 9.42 cm2で，1 つの三角形の面積が 9 cm2 ですから，9.42×2＋9×2＝ 36.84（cm2）です。

全体の円の面積は，6×6×3.14＝ 113.04（cm2）ですから，かげをつけた部分の面積は，113.04－36.84＝ 76.2（cm2）になります。

- 11 -30°