（3ー八）

数
3学八̶

注意

問題は 1 から 4 までで， 3 ページから 9 ページにわたって印刷1してあります。また，解答用紙は両面に印刷してあります。

数2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 10 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

解答は全て解答用紙に HB 又は B の鉛筆（シャープペンシルも可）をまた使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。
ふく5

答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含ま学ない形で表しなさい。また，根号の中は最も小さい自然数にしなさい。
6

らん

解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。

7 解答を直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい解答を書きなさい。
8

受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面についてはその数字の9ぬの中を正確に塗りつぶしなさい。

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

1

次の各問に答えよ。

（〔問 1〕√6 ＋ 2√2）（〔問 2〕 2 次方程式

√2 －√33）を計算せよ。

4（ x － 1 ）2 ＋ 5（ x － 1 ）－ 1 ＝ 0〔問 3〕 右の図 1 のように，頂点が A，底面がを解け。
図1

A

一辺の長さ 5 cm の正方形 BCDE で，高さが 6 cm の正四角すいがある。

F

辺 AB を 3 等分する点を，頂点 A に近い方から順に F，G とする。
同様に，辺 AC，AD，AE をGL
HMEそれぞれ 3 等分する点を，頂点 A に近い方から順に

J

K

B

I

H，I，J，K，L，M とし，4 点 F，H，J，L，F をこの順に結び，D

4 点 G，I，K，M，G をこの順に結ぶ。
立体 FHJL－GIKM の体積は何 cm3 か。

C〔問 4〕 1，2，4，8 の数字を 1 つずつ書いた 4 枚のカード 1，2，4，8 がそれぞれ入った 2 つの袋 A，B がある。
袋 A，B から同時に 1 枚ずつカードを取り出す。
取り出した 2 枚のカードに書いてある数の和が 4 の倍数になる確率を求めよ。
ただし，2 つの袋 A，B のそれぞれにおいて，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
〔問 5〕 右の図 2 のように，直線ℓと図2ℓ

直線ℓ上にない 3 点 A, B, C がある。
かいとうらん

解答欄に示した図をもとにして，直線ℓ上にある 2 点 P, Q に対して，

Am ＝ AP＋PB＋BQ＋QC とするとき，あたいm の値が最も小さくなる 2 点 P, Q を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，2 点 P, Q の位置をB示す文字 P, Q も書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

−3−C2

図1右の図 1 で，点 O は原点，y2

曲線 m は関数 y ＝ ax （a ＞ 0）のmグラフ，直線ℓは1 次関数 y ＝ bx ＋ c（b ＜ 0）のグラフを表している。
点 A は直線ℓ上にあり，座標は（1, 1）である。
次の各問に答えよ。

〔問 1〕 x の変域 －5 ≦ x ≦ 3 に対する，A

関数 y ＝ ax2 の y の変域と1 次関数 y ＝ bx ＋ c の y の変域がxO

いっ ち一致するとき，a，b の値をℓそれぞれ求めよ。

図2〔問 2〕 右の図 2 は，図 1 において，

ya ＝ 1 とし，直線ℓが曲線 mm上にある点 B（－2, 4）を通り，C

曲線 m 上にある点を C（3, 9）とし，点 A と点 C，点 B と点 Cをそれぞれ結んだ場合を表している。
次の ⑴，⑵ に答えよ。

B⑴ 2 点 O，C を通る直線 OC と直線ℓとの交点をAP とした場合を考える。
点 P を通り，△ ABC の面積を二等分する直線の式を求めよ。


ただし，解答欄には，答えxOℓだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

−4−（2）右の図 3 は，図 2 において，

図3y

線分 BC と y 軸との交点を Qmとし，点 Q を通り，C

2 点 O，C を通る直線 OCに平行な直線を引き，直線ℓとの交点を R とした

Q場合を表している。
△ ABC の面積は △ BQR の面積の何倍か。

BRAxOℓ−5−3右の図 1 で，△ ABC は，AB ＝ AC，

図1A∠ BAC ＜ 60°の二等辺三角形であり，
点 O は 3 つの頂点 A，B，C を通る円の中心である。
点 D は，頂点 B を含まない AC 上にあり，∠ BAC ＝ ∠ DAC となる点である。

O

頂点 A と点 D を結ぶ。

D

頂点 B を通り，線分 AD に平行に引いた直線と，辺 AC を C の方向に延ばした直線との交点を E とする。

B

次の各問に答えよ。

C〔問 1〕 ∠ BAC ＝ a°とするとき，∠ CBE の大きさをa を用いた式で表せ。

E−6−

〔問 2〕 右の図 2 は，図 1 において，図2

A

頂点 B と点 D を結び，線分 BD と辺 AC との交点を F とした場合を表している。
次の ⑴，⑵ に答えよ。

O△ABF ≡△EBC であること⑴

Dを証明せよ。

⑵

F
B

AD＝21 cm，BC＝10 cm

Cのとき，辺 AB の長さは何 cm か。

E−7−

4

右の図 1 は，1 個の白い球を置き，置いた球の個数に等しい 1 番目の奇数 1 を白い球に書いた場合を表している。
右の図 2 は，図 1 において，1 と書かれた球の上側と右側，右斜め上側に，縦の球の個数と横の球の個数が等しくなるように白い球を並べ，並べた個数に等しい

1
図1 1
113
図2 31331
1133333333

図3 5535531331
1155355333
3333555555
55
55
55xxxxxxxxxxxxxxxx

775775355313311177577535533333
3377577555555555
557777777777777777

2 番目の奇数 3 を白い球に書いた場合を表している。
右の図 3 は，図 2 において，3 と書かれた球の上側と右側，右斜め上側に，縦の球の個数と横の球の個数が等しくなるように白い球を並べ，並べた個数に等しい
3 番目の奇数 5 を白い球に書いた場合を表している。
右の図 4 は，図 3 において，

図45 と書かれた球の上側と右側，右斜め上側に，縦の球の個数と横の球の個数が等しくなるように白い球を並べ，並べた個数に等しい
4 番目の奇数 7 を白い球に書き，この操作を，同様の規則によって，1 から数えて n 番目の奇数が書かれた球が現れるまで繰り返し，n 番目の奇数を x とした場合を表している。
次の各問に答えよ。

〔問 1〕 並べた球の総数が 784 個となるとき，x の値を求めよ。

−8−xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

〔問 2〕 右の図 5 は，図 4 において，図5x と書かれた球以外の球を，

xxxxxxx

何も書かれていない白い球に交換し，何も書かれていない白い球全体を点線で囲んだ場合を表している。

x

ここで，

xx＝32 ＝9とした場合を考える。9＝4 ＋ 5 であり，x何も書かれていない白い球の個数は 42 個，

x2

球の総数は 5 個であるから，32 ＋ 42 ＝52が成り立つことがわかる。
また，
x＝52 ＝25とした場合を考える。25＝12 ＋ 13 であり，何も書かれていない白い球の個数は 122 個，球の総数は 132 個であるから，52 ＋ 122 ＝132が成り立つことがわかる。
さらに，
x＝72 ＝49とした場合を考える。49＝24 ＋ 25 であり，何も書かれていない白い球の個数は 242 個，球の総数は 252 個であるから，72 ＋ 242 ＝252が成り立つことがわかる。
そこで，次の性質 P について考える。
性質 P
2a ＋ b2 ＝c2
ただし，a は 3 以上の奇数，b と c は 3 より大きい連続する 2 つの整数
次の ⑴，⑵ に答えよ。
⑴ a＝123 のとき，性質 P を満たす b，c の値をそれぞれ求めよ。
⑵ a＝2n ＋ 1（ただし，n は正の整数）のとき，性質 P を満たす b，c をn を用いた式で表し，等式 a2 ＋ b2 ＝c2 が成り立つことを示せ。
 ただし，解答欄には，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

−9−