茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

対称性とその自発的破れ
現代物理学の基礎概念

量子統計力学の帰結

筑波大学大学院数理物質科学研究科教授
筑波大学理工学群 物理学類
初貝 安弘

茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

Spontaneous Broken Symmetry

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本日の講義
物理学とはなにか
物理学の大切にするもの
自然科学としての物理学
物理学における対称性
対称性とはなにか
物質の相と対称性の破れ
情報化社会と物質の相対称性の破れと秩序変数
自発的対称性の破れ
磁気秩序と磁性体
Nambu-Goldstone Boson
量子統計
Fermi-Dirac 分布
Bose-Einstein 分布茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

物理学とは物理学とはなにか
F = mg sin+_2

Q
F =k 2r¨=⇥2茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

物理学とは物理学とはなにか

F = ma1 2
y = gt2
Wikipedia

g = 9.8[m/s ]2

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物理学とは物理学とはなにか物性(統計力学)
素粒子

原子核

http://www.naka.jaea.go.jp/ITER/
http://www.wallpaperlink.com

http://www.kek.jp/kids/class/nucleus/index.html

宇宙

プラズマ

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物理学とは物理学とはなにか物性(統計力学)
素粒子物理学
Physics
原子核

プラズマ
宇宙

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物理学とは物理学とはなにか物性(統計力学)
素粒子

普遍性
Universality
原子核

プラズマ
宇宙

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Universality (普遍性)とは？

各論を超えた統一的理解
http://茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

Universality (普遍性)とは？
法則

質点の運動 として統一的に理解F = ma : 押しただけスピードアップ
質点：大きさの無い質量(m)のみを持つ点

理想化近似？
数学的厳密さを失った？
http://

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法則

Universality (普遍性)とは？

F = ma : 押しただけスピードアップ
理想化 質点：大きさの無い質量(m)のみを持つ点
複雑な対象

情報の縮約

m : 唯一の特性として抽出

ある時間スケール、空間スケールで成立する階層的基本法則の発見

Universality
http://茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

Universality (普遍性)とは？
ある時間スケール、空間スケールで成立する階層的基本法則の発見

Universality
Exact
Exact

Approx.

physics

厳密(exact)⇥ ¨ = mg sin

Approx.

mathematics
1¨ ⇥ (mg/⇤)近似(approx.)

ある時間スケールにおける微小単振動茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

自然科学としての物理学
普遍性

Universality

Physics

自然科学
多様性
化学
工学

各論の基礎付けDiversity

質的転回の基礎

chemistry

人間の幸福

engineering

文化的価値

生物学

biology

異なるアプローチ（相補的）有用な各論茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

SpontaneousBroken
Symmetry
Use it for particle physics : Y. Nambu

Universal & Basics
Concept
in the whole physics

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物性(統計力学)
素粒子

普遍性
Universality
原子核

プラズマ
宇宙

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物理学における”タイショウセイ”
対照

対称

対象

対称？
美人は顔のつくりが左右対称 ？

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物理学における対称性
対称性

Symmetry対称？
美人は顔のつくりが左右対称 ？

nice !

not so much茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

物理学における対称性対称性

Symmetry
左右対称ひっくり返す「対称操作」

Symmetry

茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013「いろいろな対称操作」
回転角：120度、240度、360度

low symmetry

high symmetry＜
回転角：60度、120度、180度、240度、300度、360度茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

対称性の定量化「いろいろな対称操作」
low symmetry＜

high symmetry＜＜＜「連続対称性」
Nambu-Goldston Boson茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

対称性の低下と対称性の破れ
high symmetry

low symmetry

茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

対称性の低下と対称性の破れ

対称性の低下対称性の破れBroken Symmetry
Break down of Continuous Symmetry
連続対称性の破れ自発的? Spontaneous ?

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物理学としての物質科学：物性物理学
物性物理学＝凝縮系物理学 = 物の性質と特性

Condensed Matter Physics

物質の多様な形態（相）を研究する

Phase

金属はなぜ電気を通す

水の三態（液体、気体、固体）

陶器はなぜ絶縁体なのか

磁石はなぜ磁力ももつのか？

金、銀はなぜキラキラする？

なぜ水は透明か？

ダイヤモンドと鉛筆の違いは？

ルビーはなぜ赤い？
...

物質における種々多様な現象する蛍光灯はなぜ光る。信号機の赤青黄はどうやってつくられる？
どうやってＣＤに書きこむのかトランジスタってなに？？（パソコンはどうしてお利口？？）茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

物性物理学 とはなにか（続き）？
（量子）統計力学をその基礎とする多数の粒子が集まったときの物理的振る舞いの理解
温度とはなにか？
「相」とはなにか？
物質相の変化としての相転移

凝縮系物理学は物質科学の基盤
化学、材料科学、工学、生物学の物質的基礎

凝縮系物理学は現代の科学文明の基礎
現代社会の物質的基礎
環境問題、生命科学、すべての物質的基礎茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

現代の 物性物理学「量子統計力学的物性物理学」
量子力学的物質相「量子相」「量子相転移」
量子液体相、スピン液体相

ナノワールドにおける現象はすべて量子力学による記述を要求

実験室で実験可能な量子力学的現象
超伝導、超流動、レーザー、ボーズ凝縮、量子ホール効果
磁石、スピンの存在
アハロノフ・ボーム効果、ベリー位相量子計算機の物質的基礎。
スピンによる量子ビット
量子ホール系を用いた量子干渉デバイス

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物理学の中の 物性物理学

高温超伝導体ノーベル物理学賞 （凝縮系物理学）
量子ホール効果における分数電荷

ＳＴＭ

光の量子論
レーザー冷却
量子ホール効果
異方的超伝導と超流動ヘリウムの超流動
臨界現象と繰り込み群

原子のボーズ凝縮

半導体ヘテロ構造高分子の統計力学

磁性と乱れた系の局在茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

物理学の中の物性物理学
自発的対称性の破れ：

近年のノーベル物理学賞

ポスト南部ゴールドストン

スピン、局在モーメントの物理茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

超伝導と超流動：対称性の破れと相転移
BCS 理論
超伝導にもいろいろある：量子相転移

量子相転移

Bardeen, Cooper and Schrieffer

高温超伝導体の発見
J. Georg Bednorz K. Alexander MüllerDavid M. Lee, Douglas D. Osheroff, Robert C. Richardson

第2種超伝導Alexei A. Abrikosov,Vitaly L. Ginzburg, Anthony J. Leggett茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

磁石：秩序形成＝対称性の破れの例
電子は電荷の他に固有の角運動量を持つ（スピン）
スピン＝ /2:と同程度：量子論による記述

磁石：電子のスピンが一つの方向にそろったものスピンとは何だろうか (Dirac)
なぜスピンがそろうのか？
そろいかたにもいろいろある多様な磁気秩序相↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓（反強磁性：ネール状態）↑↑ ↑↑ ↑↑ ↑↑ ↑↑（強磁性）
どうやって磁気秩序を区別するか？

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ものの区別から量子相転移へ
物質の多様な形態を区別、理解する
水の三態（液体、気体、固体）

金属はなぜ電気を通す

磁石はなぜ磁力ももつのか？

陶器はなぜ絶縁体なのか

なぜ水は透明か？

金、銀はなぜキラキラするの？

ルビーはなぜ赤い？

ダイヤモンドと鉛筆の違いは？

...

多様な形態を「相」として特徴づけるどうやって？

秩序の概念をつかって！

どのように？

対称性の破れによって何を使って？

秩序変数を用いて秩序変数を用いた対称性の自発的破れによる相分類

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秩序と秩序変数
磁気秩序（磁石）
室温の磁石（秩序正しい）秩序相
磁石をバーナーで熱すると（でたらめ）

無秩序相

秩序変数：矢印！ “vector”⇥m(⇤⇤ r ) 場所 ⇥r での平均の磁化の方向 m

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秩序変数と対称性の自発的破れ対称性の観点から区別しよう！！
特定の方向がある！
秩序相

対称性が自発的に破れている
特定の方向がない

すべての方向が同等

無秩序相

秩序変数m(⇤r) := 0 対称性が破れている= 0 対称性が破れていない茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

対称性の自発的破れ
Spontaneous Symmetry Breaking
物質はすべての方向は同等のはず！
特定の方向はない
すべての方向が同等

物質の形態を定める法則は完全に等方的実現した状態には特定の方向がある！
秩序相対称性が自発的に破れている茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

温度低下による自発的対称性の破れ
Disordered

高温相Symmetric

特定の方向が無い：平均的にすべての方向が同等茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

温度低下による自発的対称性の破れ
Ordered

低温相

Broken Symmetry

特定の方向を自発的に物質が選び出す！

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温度低下による自発的対称性の破れ
Ordered

低温相

Broken Symmetry

自発的対称性の破れは自由度無限大になって初めて起こり得る（統計力学の対象）

More is Different
by P.W.Anderson
どの方向への対称性の破れ、秩序もやはり同等！！

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連続対称性の自発的破れとNambu-Goldstone Boson
同等な方向が連続無限個ある！
Breaking pattern 1
Breaking pattern 2
Breaking pattern 3
Breaking pattern 4
Breaking pattern 5
Breaking pattern 6
Breaking pattern 7

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連続対称性の自発的破れとNambu-Goldstone Boson
対称性の破れのパターンをゆっくり乱す
理想的な対称性の破れ

ゆっくりしたパターンの乱れ

もっとゆっくりしたパターンの乱れパターンの乱れの波長茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

連続対称性の自発的破れとNambu-Goldstone Boson
対称性の破れのパターンをゆっくり乱すパターンの乱れの波長
長波長のゆっくりした乱れは殆どエネルギーのロスが無い

音波的振る舞い

magnon (磁性波)phonon(格子振動の波)
Nambu-Goldstone Boson

Gapless excitation with
Spontaneous Symmetry Breaking

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Spontaneous Broken Symmetry

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少し勉強しましょう
統計平均 h · i とは？

物理量 O の統計平均
運動量、磁化、エネルギーOipihOi =Xipi Oi: 状態 i での物理量の値

磁化m = µB hSi: 状態 i が現れる確率ex. 全粒子数 hN i =Xni ,ni = Ni pii

Ni : 状態 i の粒子数
Boltzmann分布

ni / e古典統計✏i

1=kB T✏i: 状態 i のエネルギー

T : 絶対温度kB : Boltzmann定数

スピンの統計平均

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古典論から量子論へ
古典論と量子論

量子論
古典論

プランク定数：唯一の量子論固有の定数= 6.626068

10-34 [J・s][J・s] = （エネルギー） （時間）=（運動量） （長さ）== [kg・m/s2・m・s]= [kg・m/s・m]（エネルギー） （時間）（運動量） （長さ）
(角運動量)}>>≈：古典的：量子的(角運動量)茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

古典統計から量子統計へ量子力学的な同種粒子系✏i : 状態 i のエネルギーni : 状態 i の占有数

✏1

✏2

✏i...

✏1s , ✏2p , · · ·...

多粒子状態：すべての占有数 {ni } を指定することで定まる多粒子状態 {ni } の エネルギー E({ni }) =粒子数

Z=X

出現確率

eN ({ni }) =X

Xip({ni }) = e(E µN )
:分配関数（確率の規格化）{ni }✏ i ninii(E µN )

/Z

µ :化学ポテンシャル（粒子数を調整）

Fermi 粒子: 電子(electron), 中性子(neutron)ni = 0, 1

Pauliの排他律

Bose 粒子: 光子(photon), 音波の量子(phonon)

ni = 0, 1, 2, · · · , 1...

茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013古典統計から量子統計へ
もう少し頑張れ(興味のある方へ)

Z=Xe(E µN )

{ni }

=

⇢e{ni }Qi (1 + eX{ni }Pi ni (✏i

Qi (1 + e

粒子数の統計平均hN i ==Xµ)=i(✏i µ))Q(✏i µ)) + · · · ) = i (1N{ni } p{ni } =X{ni }NeY X(E µN )

eeni (✏i µ)ni(✏i µ)Fermi粒子) 1 Bose粒子

1 dlog Z/Z =dµX
1X dhni i=log Z =d✏iii
Fermi粒子1 d1(✏i µ) ±1hni i =log(1 ± e) = (✏ µ)d✏ie i± 1 Bose粒子

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古典統計から量子統計へ
Fermi-Dirac 分布

状態 i を占有できる粒子数 0,1 Pauli の排他律

Fermion: 電子(electron),hni i =中性子(neutron)

1e (✏i µ) + 1!e

(✏i

古典極限

Boltzmann分布µ)e (✏i µ)1

Bose-Einstein 分布 状態 i を占有できる粒子数 0,1,2,3,...
Boson: 光子（photon） 音波（phonon）

hni i =1e (✏i µ)

1!e

Boltzmann分布(✏i µ)

古典極限

e(✏i µ)1茗渓学園コアSSH APサイエンス学習会 Sep.1 2013

まとめ

物理学とはなにか
物理学における対称性
物質の相と対称性の破れ
自発的対称性の破れ
量子統計とは