…………………………………l…………………………………………川…‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖川……………………l…l……l……………‖州l・・妻∴ 二∴・二ご十￣・−＿、、−一三‥十専一 二高橋 磐郎
川…li…＝‖＝‖‖‖州＝州…l………l………州…M…l帖‖………旧‖……州州仙……川…ll……川‖‖‖‖川‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖脚川Il川……l……………‖‖＝‖‖州‖‖l……l………川…州l川l…州l川i

二 1こ‥∴了￣ごく・−・証蹄騨輔、；∴・ ∴‥ナー3

表且：成績ÅN㌘には多方面の応用がある。Saa七y氏の本（第一講［4］）の中には大規模な多くの応用例があるが、ここでは学生の成績評価の問題を取り上げてみよう。
大学のような選択料計制の場合でも、従来は単なる平均点で学生の成績が評価されるのが普通である。単位を多くとった者もまた少ない者も、また科目の難易にも、無関係に平均点のみで評価するというのは疑問であると思っている人も多いと。際う。しかし平均点という従来からの根強い習慣に支配されてしまっているのが現状であろう。これに対するÅN常的解法をはじ

表2：成績評価の超行列めに述べようと思う。

もう一つは入試などによく現れるが、科馴こよって選択制の物が含まれる場合の評価法である。たとえば理系の大学入試で軋数学、英語が必修で、理科は、生物、化学、物理のいずれかを選択するというのがほとんどである。この場合、点数をどのように調整すべきかについては色々考えられているようだが、これに対するÅNP的解法を述べよう。

乱 2 3 且 2 3 4 5且 I一 汁き l∋ 1／2 且／3 且 0 り

2 0 の 0 且／2 且／3 0 且／2 且
3且2000の03 ，雲 il】 …巨 0 0 0 ￠ ゆ
4

凱鼠 選択料橿制留こおける成績評価

凋‥霊．3の 。2．700の00

5 の b4 0 の 0 0 0 0

簡単な仮想例を通して方法を説明しよう。5人の学生が3科目を選択して表且のような成績が得られた。

考えればよいだろう。各学生が自分の選んだ科目の壷

この場合科目というクラスタと学生というクラス要度を自ら選んで申告するというシステムが理想的

タがあるケ山スである。まず、各科目がそれを選択しであるが、現状では、科馴こ同等のウェイトをおくとた学生を評価することになるが、その評価値は点数のいうシステムが妥当であろう。（むろん科目によって単そのままと考えれば良い。しかし各評価者の評価値の位が異なる場合はそれを考慮に入れねばならない。）

和は且であるという大原則（§6．2（軋7）式）から、これをそうすると表2のように科目の選択数のみによってウ基準化じなければならない。その結果が表2のようにェイトが汲まる。

なる。このステップで科目の難易や点の甘さ辛さが平表2がこの間題の超行列であり、これに対して科目の総合評価値を∬1，∬2，∬3、学生の総合評価値を封1，準化される。

さて次に学生の科目の重要度に対する評価はどう

封29封3，封4，封5として、基本方程式（§7・2（7・5）式）を作って、それを解くと、たかはし いわろう 日本大学生産工学部〒275千葉県習志野市泉町1−2一皿冨卑田（34）∬1＝の。2S5

凱＝0−且56

さ．、■∴．

∴‥ ：∴ご∴© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ封3＝0．114∬3＝0・219（8．1）

表3：入試の超行列

封4＝0．253

師＝0．198①④④となる。

一般に多くの学生が選択する科目（たとえば科目2）

1

は、和を1にするという基準化によって、学生一人当① ④ ④ 1… た た＋1．．．れたりの取り分が少なくなるから不公平に見えるが、その分そのウェイトは高くなる（∬2＝0．496）のでバランスがとれている。

またこの方法によると一般に多くの科目を選択している学生は、単なる平均よりは高く評価される。た
とえば学生2は平均点ではどりから2番であるが、この方法では1番である。多くの科目をとることは、それだけ労力も必要だから、これは妥当な評価と言えとなる。

る。

この（8．6）式が学生の総合評価式となる。（一定倍

臥2 必修、選択科目の調整

1ルは基準化によって決まるので考える必要はない。）

簡単のため科目Aが必修、B，Cが選択という3科目

この評価法は、選択科目の点には、それを選択した学の場合を考えよう。学生1〜桐まBを、た＋1〜れはCを生全体の必修科目の出来栄えで、ウェイト付けすると選択したとしよう。

いう単純な物であるが、私の知る範囲では、未だかつて知られていない物である。

これに対する超行列は表3のようになる。（むろん各理系の大学のように、英語、数学という2科目が必科目の点α鐘，わj等は和が1の基準化がほどこされてい修で、生物、化学、物理という3科目が選択である5る。）

科目システムではどのようになるかは読者の練習に科目の総合評価値を叫り，叫学生のそれを∬1，・‥，委ねることにしよう。

∬た，∬た＋1，…，ごれとすると、基本方程式は（ご1＋・‥＋∬た ＋利江1＋‥・＋∬れ）／2＝祝（￡1＋…＋∬た）／2

9。AHPにおけるデザイン問題＝lJ（∬た十1＋…＋∬几）／2＝W∬五＝祝α豆＋城 （戌＝1〜た）（8．3）
勺＝祝αゴ＋ひCj（j＝た＋1（ノれ）（8．4）（8．2）
AHPでは一対比較のデータから対象の特性を推定することが原則であったが、対象の数れが大きくなると、その一対比較数はれC2＝乃（耶い−1）／2となって、れの2乗のオーダーで増大するので、．データを得る手間がとなる。

かかる。そこで全ての一対比較データを調べないで、ここでその一部だけを選んで対象の特性を推定しようといた∑α豆＝α月（Bをとった学生の科目Aの点の和）宜＝171∑αj＝αc（Cをとった学生の科目Aの点の和）（8．5）
J＝た＋1

う考えがおこる。
このような、一部のデータだけからの推定には、§4でのべた不完全情報の解析法が利用できるが、この場合選ぶべき対の数m（＜れC2）が与えられたとき、どとして、（8・3）の総和をとって（8．2）をみると、2γ＝のような対を選べば最も精度の良い推定ができるか、

祝αβ＋りとなるからりル＝α月、同様に（8．4）からぴ／祝＝という問題がおこる。

これは統計学でいうデザイン問題と呼ばれるものαcとなるので（8．3），（8．4）はである。むろんmを大きくすればよい精度が得られ∬五／祝 ＝ α電＋α月ゐ宜（宜＝1〜た）るが、一定のmの下でも、うまい選び方と下手な選び∬ブル ＝ αゴ＋αcCj（ブ＝た＋1…た）（8．6）

方では精度に大きな差ができる。

1998年6 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（35）341紆偶の対象を柁個の点とみて、その対を枝とみることによって、（無向）グラフが対応するが、デザイン問
題と撼、勘偲m横のグラフを選ぶことに相当する。（すべての対を調べる、いわゆる完全情報の場合は、すべての2慮を結ぶ枝をもつ完全グラフに相当する）。
したがってAH剛こおけるデザインとはどのようなグラフを選ぶかとu、う問題となる。このデザイン問題の詳細は制にのべられているが、ここではその骨子を概説しよう。
結論を言えば、「デザインのよいグラフとは強正規（s紐0狐gly訂喝u且a∬）グラフである」ということになるが∴強正規グラフは、まれにしか存在しないし、中々作りづらいので、準強正規グラフで代用しても実用上は結構よい精度が得られる。そこで強正規、準強正規グラフとは何か、またそれによる推定の精度の解析はどのようにすればよいかと言った間題をつぎにのべよう。
凱鼠 強正規ダラ習と準強正規ダラ習
まず正規グラフについてのべよう。ある点に繋がっている枝の個数をその点の連結度数（あるいは単に度数）と呼び、どの点の度数も同じdであるグラフを（度数dの）正規グラフという。度数dの陀点正規グラ
フの枝の数mは働∵＝融／2となることは容易にわかる。

点戌とガとの間に枝があるとき（この2点盲，ゴは隣接（叫するというが）α宜ゴ＝且そうでないときα宜j＝⑬とする
図且：強正規グラフと非強正規グラフと軋点グラフには行列適＝［α宣ゴ］が対応する、これを隣接行列と言う。ここで考えるグラフはループがなく、2重枝はないもので、（ii）点戌とjとが隣接していないとき、戌とjとの両方このようなグラフを単純グに同時に隣接する点の個数が、まとゴとに関係な三三と言う。完全グラフの隣接行列は、対角元は0でく、【一定で〃である。

他の要素はすべて1となる。またゼロ行列を隣接行列とするグラフ、つまり点のみで枝のないグラフ、を空図且（a）のグラフは、陀＝10，m＝略d＝3，Å＝0，グラフと呼ぶ。

担＝且の強正規グラフである。たとえば①と②とは隣接していて、この両者に同時に隣接する点は存在しな

度数dの軋点正規グラフの隣接行列逓は、つぎの性質をもついからÅ＝＝￠である。⑥、⑧など他の隣接2点についても同様にこの両者に隣接する点は存在しない。一方隣鬼♂＝♂．鬼＝戊♂

（軌1）

ここで、♂はすべての要素が且である行列。さて強正規グラフと軋次の性質をもつ（空グラフでも完全グラフでもない）正規グラフのことである；

接していない2点、たとえば、①、⑦に同時に隣接する点として②が存在するから〃＝1である。他の非隣接2点⑥、⑦にも隣接する唯一点⑨が存在する。
図且（b）は（a）と似ているが、これは強正規ではな（亘）点豆とゴとが隣接しているとき、豆とjとの両方にい。たとえば非隣接2点②、⑥に同時に隣接する点①、同時に隣接している点の個数が、盲とゴとに関係⑦があるが、他の非隣接⑥、⑧に対して同時に隣接すなく、一定でÅである。

る点は⑦の一点しかない。

3名望（36）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズひリサーチ

（i）（ii）の条件をもう少し簡単に、つぎのように言いく推定の誤差の大′J、によってなされるペきであるが、かえることもできる；どの点からもそれに隣接する（以上の3方法のうち推定の誤差解析に最も便利なのはしない）どの点へも、2ステップで（2本の枝を通ってLLSであるので、これに基づく誤差解析の方法をのべ）行けるパスの本数はつねに入（〝）である。この観点かておこう。

らすると、強正規グラフの隣接行列Aはつぎの性質をむろんLLSは連続モデル（§3．1（3．1）式）に基づいたもつことが容易にうなづける；

もので、AHPデータの離散性（§3．3）はこのモデルにそぐわないが、いままでみてきたようにこれら3方法

A2＝α∫＋むA＋cJ，（9．2）

α＝d一拘らご入叫〃，C＝〃はいづれも似通った結果を与えるから、LLSでよいと判定されたデザインは他の解析法でもよい結果を与えるとみてさしつかえないだろう。

これはJとAとが生成する代数系（多元環）が1次でああるデザインが与えられたとき、これに対応するグることをいみしている。つまりAとJとの間に行列としての積や和をどのように繰返しほどこしても、そのラフGの枝（盲，j）に対する一対比較データが得られる

結果はつねにJと∫とAのみの（整数係数の）1次結合ことになるが、Gを乃点グラフとしてその枝全体の集で表わせることを意味している。

合をEとすると、転＝log叫に対するモデルは、§
3．1（3．2）式のようにまた（9・1）および（整係数α，み，Cで）（9．2）をみたす

隣接行列Aをもつグラフは強正規であることも証明

毎＝毎一句＋毎，（ま，刃∈且（9．4）

されている［1］。図1（a）の隣接行列Aはとなる。

A2＝2∫−A＋J

LI」Sは毎を誤差と見た最小二乗法であるが、AHPをみたすことが、直接計算してもまた（9．2）からもわのウェイト叫h・・㍉て玩は定数倍は任意であるから、§かる。

3．2でみたように、彿1，…，免れに対してあとでのべるように、れ点m枝の強正規グラフに基（9．5）

0＝滋1＋滋2＋・‥＋滋mづくデザインは、同じ柁点、m枝の他のグラフに比べという条件が付加される。て、よい推定精度を与えるが、それは隣接行列の線形Gとしてたとえば図1（a）を考えてみよう。これに対代数的な1次性に基因すると思われる。

して（9．4）と（9．5）とを表の形にまとめてみると、表4

しかし強正規グラフが存在するれ，mの組合わせはのようになる（転は省略してある）。このような表をし極めてまれである。そこで、強正規性を拡張、緩和しばしばデータ表と呼ぶ。データ表の右辺の係数行列をて準強正規グラフなる概念を導入しよう。隣接行列Aズ、左辺の定数ベクトルをがつぎの条件をみたす正規グラフをγ次の準強正規グ
ラフと呼ぶことにする；

d ＝
またA叶1＝α0∫＋α1A＋■‥＋αγAγ＋α叶1J（αiは整数、宜＝0〜γ＋1）

1次の準強正規グラフは強正規グラフである。

むろんrを十分大きくとればどんなグラフでも（9．3）γ［d12，d23，・‥，毎JO，0］

血 ＝

（9．3）

［彿1，…，滋10jrとすると、モデル（9．4）（9．5）は、と＝［占12，占23，■・・，転10，0］

Tをみたすが、準強正規というときはγは比較的小さく、せいぜい氾以下でなければならないとする。

9．2 諸デザインに基づく推定の誤差解析
以上のべた様々なデザインによって得られた一対比較データは、当然不完全情報の場合に相当するが、その場合の対象ウェイトの推定法には§4でのべたように、Harker法、二段階法、LLS法などがある。どのようなデザインがよいかを判定するには、それに基づ1998年6月号

として、dニ．方血＋畠（9．6）と書くことができる。
§3．2でのべた方法をまとめると、（9．4）、（9．5）（あるいは（9・6））に対する最小二乗推定ふ＝［品1，‥・，品れ］は、血に関する方程式
ズアズ五＝ズアん（9．7）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（37）343

であるから、結局

衷4：データの衷「品五の分散（つまり精度）は財￣1の対角元髄1 髄2 髄3 髄4 舶5 伽6 ㍊7 髄8 髄9 髄10（をα2倍）したもので測ることができる」（9。1且）

且剛沌

且一皿

これが誤差解析の基本原則である。

且・∬虻

以上の結果からわかるように、mmSでの誤差評価は1岬⊥

データα豆jにも無関係で、デザイン濫のみに依存する。

仙且

且

これが随敲都法や二段階法にはない利点である。
Ⅷ胤

且

さらにデザインが度数dの正規グラフになる場合、一且軋その隣接行列を過とすると、このデザインに対する情血乱

温報行列凰飢ま仙且

且ー且

1（9。且2）

風厨＝＝感ぼ＋♂Ⅷ∵遡【且となり、その逆行列j膵−1の対角元はどれも同一の値

且になることが容易にわかる【3］。

図晦）のグラフに対して、風厨鵬1の対角元財豆豆は、（軌鳳凰）（9．5）を用いて直接計算すると、且7／50となる。

田 巴 且 山一且 乱 仙且したがって欄＝器α2ニ￠脇2匡且〜呵（9・瑚の解となることがわかる（くわしくは問）。（凱7）は最となる。また図且（わ）に対しては、同じような計算をし／j、二乗法における正規方程式と呼ばれているものでて（あるいは直接数値計算をしてもよいが）ある。この正規方程式における左辺の係数行列濫丁度

v［品宜］＝α2＝0■批2（壱＝且〜叫（鋸呵は最′j＼二乗法において極めて重要な役割をもつもので、しばしば情報行列と呼ばれる。これをjぼ＝濫γ濫を得る。同じ正規でも強正規である図且（a）の方がややとすると、最′j、二乗推定品は精度がよいことがわかる。

一般に正規でないグラフに対するデぜインでは
ぬ＝＝鰯ば￣1濫甘ゐ（9．8）

財る宜の値は豆によって異なるから、デザインの良さをとなる。（むろん財の逆行列が存在するようなデザイ論ずるにはmax（W［品宜りで測るのが妥当である。このンを考えてのことである）。

点から考えても、同一の開ヲmに対しては、正規グラフのものが良い精度を与えることは、直観的に自明で（9。4）における誤差転が、期待値￠、分散α2で独立な確率変数であるという条件の下で、最小二乗法に関すある。

［3］には漑＝4…20の各開に対して、色々なmにつるつぎの基本定理が成立つ［司。

いて、準強正規グラフ、強正規グラフに対するデザイ定理乱 最′』、二乗推定（軌8）は不偏推定、つまりンの誤差呵巌］の値が4頁にわたる表にのせられてい（9．9）

屈［品瓦］＝蒐宜 （戌＝乱…犯）ことが示されているが、その理論的証明はできていなであって、甜￣iの宜行、ゴ列要素を財宜jとすると、品宜とい。また準強正規の場合次数が低いものが良い精度を品jとの共分散Ⅴ［品底，品ゴ1は劫西の♂2倍である。
＼．、‥ 二る。この範囲では、強正規のものが準強正規よりよい与えるかというと必ずしもそうではない。
（9。川）何が最良なのかという理論的研究にはまだ多くの問題が残っているが、実用的には［3】の内容はかなり役［コに立つと思われる。

品宜が不偏推定であるから、その精度はその分散呵競］

この講座を終えるにあたって、これを企画されまたで測ることができる。（9。Ⅲ）で豆＝ゴの場合が品壱の分散

毎回原稿を丁寧に読んで、誤りやわかりにくいところ

3穏卑（38）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ￠リサーチ

を指摘していただいた、成険大の上田徹先生ならびに原稿をワープロできれいに仕上げて貰った王克義君はじめ、私の研究室の諸君に深く感謝の意を表したいと［誤り訂正記事］

第3講162頁の五等をつぎのように訂正して下さい。
1 0

思います。

2 2．245251 0．7仁）7 15

参考文献
0［1】P・J．CameronandJ・H・VanLint：

GraphTheory，

CodingTheoryandBlockDesigns

0．445，Combridge

0．442

3館（1994）．

0．5

11り︼

［2】高橋磐郎，小林竜一，小柳芳雄： 統計解析，，培風

12l

Univ．Press，London（1975）・

1．414 1

入max＝4．04

0．631
4 祝

［3］KeyiⅥねIlg andIwaro Tbhhashi： How to se−

0．396

祝
祝

pleteInformation−Strongly Regular Graph De−

祝

1ect Paired Comparisons in AHP ofIncom−

Sign ，J仙mαgげqpe和如花月eβeα化ゐぶoc戎e旬扉J叩肌，Vol．41，No．2，（1998）．

1998年6 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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