OR濃欝静u鱗

紐と滑車と錘 (1)一一数理計画の散歩道一一
柳井浩

1.はじめにX壁や天井に回定した滑車，これに紐を通し，滑車のついた錘をぶらさげる.このような機構は，昨今でこそ少なくなったとはいえ，つい最近までは照明器具などの生活器具にも応用きれることが多く，なじみの深いものである.
この機構は，数理計画という視点から見ても，なかなか興味深い.個々の錘はそれぞれできるだけ下にきがろうとする.複数の錘からなる系の場合には，系全Y体の重心が最も低い位置にくるよう，錘の位置が自動図的に最適化される.ぃ、かえれば，天井を軸とする 12-1次のモーメントを目的関数とする最大化問題が，自動すなわち，壁面の 1 点P。と天井の I 点 P，に長さ L の紐的に解かれる.の両端を結び，動滑車を介して重き m のランプが吊さ制約条件となるのは，いうまでもなく壁や天井そして，紐の長きである.一一一紐がピンと張っていることを前提とするなら等式条件;ピンと張ったのが最適化れている(紐の目方は考えない)，ランプの位置(天井から滑車までの距離)を求めよう.
いま，図のように天井に沿って水平な X軸を設け，この結果と考えるならば不等式条件とすることができる.

れに直交して壁面を下向きに鉛直な Y 軸をとろう.こ

非線形計画に属するこの問題を，数式と数値計算にのとき，点 P。およぴP ，の座標はそれぞれ (0 ， 110) およ

よって解くことは，結局の所，最適解が満たすべき条び(向， 0) であるから，滑車Q(x ， y) とこれらの点の距件を定式化し，それを満たす解を探すことになるのだ

離の和がL であるという条件はが，後に示すように，単純な系の場合でも結構面倒な

h(x , y)=1x2+(y‑ao)
2+/(a， -x )2+ 〆 =L作業になる.一方において，実験装置を作って錘からと書ける.一方，ランプ，したがって滑車は重力によっ手をはなせば，錘の位置は瞬時にして最適な位置に移て下へきがろうとする.つまり ， y の値を大きくするよ

動する.そしてこれは，最適のための数学的条件がどうな力が働しもう少し力学的ないい方をすればX軸のような力学的現象と対応するのかを，目のあたりにまわりの 1 次のモーメント my が大きくなるような力(1)示してくれる.いや，いちいち実験をしないまでも，が働< (厳密にいうならば， m を質点とするとき重力加どのような現象が起こるのかは，速度g を乗じなければならないが，いちいちg を書くの日常体験からよくわかっているから，想像をするだけでも充分である.
本稿では，紐と滑車と錘が作るいくつかの機構について，このような対応関係を見ていくことにしよう.

2. 錘が 1 つの場合一一Lagrange乗数[例題1]まず，図 2 ‑ 1 のような仕掛けを考えよう.

は繁雑であるから，本稿では m がグラム重の単位をもつことにして話を進める)，いいかえれば，ランプの位置は(1)式という制約条件の下で，f(x , y) =my(2)という目的関数を最大化する数理計画問題の解として求められる.

この問題を図示したのが図 2-2 である.よく知らゃない〒 223ひろし慶応義塾大学理工学部
横浜市港北区日吉 3-14-1

1994 年 3 月号

れているように，両端を平面上の 2 点に結んだ，長き一定の紐に鉛筆の先をひっかけ，ピンと張って平面上© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(27)147,Y"'"'',,"Jく,P1 'JlX

円¥////、、、、、、‘・X
図2-3という関係を満たすような実数 λ が存在する(図 2-3 参照).この実数 λ を Lagrangeの乗数という.

Y
図(6)式の条件はまた，次のように定式化することもで2-2きる.すなわちを滑らせれば，これらの 2 点を焦点とする楕円が軌跡2" (x , y)=f(x , y)-Ah(x , y)として得られる.つまり， (1)式が満たす点の集合は P。とおけば， (6)式と等価な関係としておよびP 1 を焦点とする楕円である.楕円であればgrad2"=02(7)(8)

次関数の等高線として表わされるはずである.実際，という形が得られる.ここに 2'(x ， y) は Lagrange 関数

本稿のとりあっかいでは必要がないので，と呼ばれる.

くわしい計算は省略するが， (1)式は次式と等価である.

[日lA[:] +b+円T[:]

そこで，われわれの例題についてこの条件を書き下(3)A‑IILZ‑ai a仙 1‑uLaoal U‑a絆lb 一一 Haμ2+Gi-d)1‑uLao(U‑ahaDJ(4)lJL白という形の 1 次関数である.すなわち'この問題は 21 次関数を最大にする数理計画の問題ということになる.

きて一般に，等式 h(x ， y) =L という制約条件の下で，目的関数f (x , y) が最大値をとる所では，関数hがL という債をとる等高線と，目的関数の等高線が，互いに接しているはずである.いいかえれば，この点では関数h と/のグラジェント・ベクトルが平行になるはずである.グラジェント・ベクトルというものが等高線の法線で，関数の値が大きくなる方向を向いたベクトルだからである.式で書けば

148(28)àL~J

一一f(x川， y)=[O 川，m刈刈] [:]gradf= λgrad hr

したがって，gradr=171=
I2澂I
炸

目的関数(2) も次式で与えられる制約条件の下で2" (x , y)=my‑A(.
/x2+(y‑ao)2 十 ./(al-x)2+ 〆) (9)と定義きれる.

c= 詰{U ー(…。FHU ー (al ‑ao)2}
また，してみよう. Lagrange 関数はZω -x)

口\ ./x 2 +(y-ao)2一¥一./(al‑x)2+y2JIm‑A( , ̲y‑aoy‑)1¥.
/x2+(y‑ao)2 './(al‑x)2+y2J.J(10)となる.図 2 ‑ 1 を参照すればただちにわかるように，
Z/‑ao
1.
1 ./x8/̲̲
2~(1̲.
2'in8/̲̲2, I̲ ̲ ¥222 +(y/x+y‑a̲o¥Y's~...-.
仇)thzM, sin&=G I-X 2".
/(al‑x)2+y2' ~...-. .
/(al‑x)2+y(11)(12)という関係が成立するから，これらを代入すれば，結局の所，条件 (8) は‑A(sin81‑sinfh)=O(13)m 一 λ(cos81 +cosfh)=O仰という形に帰着される.
このことはしかし力学的に見ればカの釣合いに他(6)ならない.すなわち，紐に働〈張力を T とするとき，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

TTXm
図2-4

滑車Q における力の釣合いはT
sin8
1=Tsin8.
zm=Tcos8+Tcosé込
1

水平方向

鉛直方向

Y(1)
5

図(16)となり， (13) および(14)式にそれぞれ対応しているからでそこで，これらを仰式に代入すれば，ある.これらの式から， Lagrange 乗数 A が紐の張力 Tという力学的意味をもつことがわかる:

y=与(1+ 1I芋互}
uo

側=与(Iーマ _f}o .)2¥~ .
;L2-冠/間¥<,(1司λ =T

きて，このような理解の下では λ がゼロでないというのは自然な仮定であろう. (λ がゼロになるか否かの議論は後の節ですることにしよう).この条件の下では2-5が得られる.なお，制式は図 2-5 からただちに導かれる関係式
官邸

al-x=ytan θ(1司あるいは(15)式からただちに8.
z(=8)
1=8(18)が得られる.つまり，紐は滑車を通る鉛直線に関して左右対称の角度をなすことがわかる(そこで，以後 8 の添字は省略することにしよう).また，このことと， (14)あるいは (16)式からに側~側式を代入して求めたものである.
また，側および仰の両式から紐の長き L を消去すれ
l ま，(y ーす)(X 一号)=一与旦。骨を得る.すなわち ， x=すおよびF? を漸近線とする

A=T="!-笠-。司

2cos8という関係式が得られる.

双曲線(図 2 ‑ 6) が得られる.
側および制式も参照しつつ，動滑車Q の動きを考え一方， (11)および(12)式を，紐の長さがL となる条件(1)式、

仰al=Lsin8(23)、ao2、。
、 a2y-ao=Lcos θ、、

X、、、、の 2 式が得られる.これらに(18)式の関係を使えば，a1。1).
.

X, al-X‑‑‑‑‑‑‑‑.
sin8in8.
z‑ L
1I s。

‘、。m

引一2之二笠旦ムーーι__1cos81'cosé私心‘、に代入すればの 2 式が得られ，これからただちに

mo=?
?

。4)

ωθ=士♂ヲ7(25)が得られる.これらの関係は図 2-5 のように紐の左Y側の部分を折り返して画いてみても容易に理解できよ

図7.
1994 年 3 月号

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2-6(29)149てみると，滑車Q は紐の長き Lが長くなるにつれて下降し， OP 1 の垂直二等分線に漸近する.また紐を短くしていけば ， Q はこの双曲線に沿って上昇するが， y=aOのこのことを使った 1 つの応用について述べておこう.

(19) と胸式を使えばAfz-f笠7lIl L

きて，次に Lagrange 乗数のもう 1 つの解釈について述べておこう.いま，紐の長き L がほんのちょっと(Il L) 長くなったとしよう.滑車Q はそれに応じて下(36)= 2cos8

位置て、壁x=O とぶつかることになる.という関係が得られる.また， (2)式からIlf=mlly。司が得られるから，これを側式に代入すれば
Il L~2cos8lly

がる.新しい位置を (x+ Il x , y+ Il Y) とすれば，(3聞という関係が得られる.すなわちいま，ランプを lcm下では紐の長きの条件がh(x 十 Il x ， y+lly)=L+ Il L側という形で成立している.あるいは元の位置 (x ， y) を中心として左辺を Taylor 展開して 1 次の項までとれにさげたいときには，現在の位置における角度。を分度器で淑1) 定し，紐を 2cos8cm だけ長くすればよいことになる.
なお念のため，側式を使ってこのことを確かめてみば

h(x+llx ， Y+ 幻)主 h(x ， y) +(gradhyrllXlyJ

L .

(31)となる.これに旧い位置で成立している関係式 (1) を代ムL~(g叫y[とl(32)という関係が 1 次の精度で成立することがわかる.

。骨となる.側式を使えば

盛L=ーよ-(40)

2cosθ'

すなわち，側式と同じくIl L~2cos8lly県1)が得られる.

一方において，新しい位置 (x+llx ， y+lly) に移れば，目的関数の値も f (x+llx , y+Il y) に増加する.こを中心として Taylor展開して1 次の項までとれば，その増分Ilfが次の式で与えられ3. 錘が 2 つの場合- Kuhn‑Tuckerの条件[例題 2] この例題では図 3 ‑ 1 のような仕掛けを考えることにしよう.すなわち，天井の 1 点 P 1 に長き Lることカf わかる.

司EEEEEEJZHrEEE』E'LJuT)
FfJar(sｭ=aaIl f=f(x+llx , y+lly) ‑f(x , y)の，重きが無視できる紐の一端を結ぴ，動滑車 Q を介し。3)て重き ml のランプをさげる.さらに紐のもう一端に重さ1nQの錘を結ぴ，これを，天井の P 1 からは al だけ離れ

ところが，旧い位置においては (6)式の関係が成立しているからこれを側式に代入して(扮式と比較すれば，た位置にとりつけられた滑車 Po を通して，ランプと釣合わせようとしている.このとき，ランプと錘の位置を求めよう.

rllxl

M さ λ(gradh)T!さ ).IlL。。

LllyJ

天井に沿って Po ， P 1 を通過する水平な X 軸を設ける.
これと直交して鉛直方向下向きに Y軸を設け，錘とラという関係が得られる.

すなわち，

A1L=一一主­dL 2J瓦ζ冠dL

入して(羽)式と比較すればれも，旧い位置 (x ， y)よう.側式を Lで微分すればλ について).~企L=IlL。。

。

Xという関係が成立する.この関係から， Lagrange 乗数
λ が紐という‘資源、'の. 1 次のモーメントという尺度で見た‘限界価値'であるという解釈もできる.いいかえれば，

λ は紐が 1 単位長くなったときに1 次のモーメントがどれだけ増大するかという微係数に対応している(‘限界'という言葉は経済学の術語で，微係Y数という意味である).

150(30)図© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

3-1

オベレーションズ・リサーチ

ンプ(滑車Q) の天井からの距離を，それぞれ Yoおよび式の等式部分は，簡単な計算によってただちに導かれ仇としよう.滑車Q において紐が鉛直線となす角度は，るように，例題 1 における考察からも明らかなように，左右相等しい.

したがって，ランフρは線分PoP ，の垂直二等分線上にあることが明らかだから，この例題ではランプの(Yo‑‑L)2_4y ,2= a ,2と書ける.これは点 (L.O)

(6)
を中心とし

y =::tす(仇 -L)

2 直線

的,を漸近線としてもつ双曲線である.したがって，問題z座標は問題にならない.

また，この例題では制約条件を不等式条件として取の許容領域は図 3-2 にも示されているように，双曲扱うことにしよう.第 1 の条件は紐の長さに関するも線の左葉部分と Yo および y ，軸によって境界を与えらのでれる凸集合である.

2;-;;存下 Lho(Yo.y ,) =Yo+(1)という不等式で与えられる.結果として紐がピンと張きて，このような凸集合を許容領域とし，線形関数(4) を目的関数とする最大化問題の最適解は，いわゆるKuhn-Tucker の条件を満たしている:

gradf‑ﾆograd(ho‑L)-Æ , gradh ,-Æ2 gradh2=Oれば等式が成立する.
第 2 の条件は，錘の位置に関するもので，(8)00h ,(yo. y ,)= ‑Yo 壬 oho(yo.y， )-L 壬 o(1 再)という形で与えられる. (2)式の条件は (1)式と形式を揃

h ， (yo.y，) 三五 o

(2 再)えであるが，これは .

h2(.
IJO.y ，) 三五 O

(3一再)

Yoが非負という条件に他ならない.物理的に見れば，錘が滑車 P。をすり抜けて反対側A。主主 O.

Æ2 主主 O

(9)に落ちることはないというのが，この条件の意味であAo(ho(yo.y ,)- L)=O(10)る.

ん h ， (yo.y， )=O(11)んあ(yo.y， )=O(12)第 3 の条件は，ランプの位置に関するものである.

wh2(YO.y ,)= ‑y , ~玉 oÆ' 詮 O.

ここに ÆO.Æ' およひな2 は Lagrange 乗数であり，これに天井の存在が，ランプがそれよりも上に位置すること

かかわる最後の 3 条件(9X10)および(11)は相補性条件と呼を妨げている.

ばれており，等式

一方，錘もランプも，共に重力によって下にきがろうとする.系全体として見れば，そのX軸まわりの l 次のモーメント moyo+m ， y ， が最大になるような力が働く.それゆえ，この問題は(1).
れる不等式条件の下で(2) およぴ(3)式で与えら1 次関数不等式条件が実質上(つまり等式で)効いてこない場合には，対応する Lagrange乗数がゼロになるべきことと対応している.

Kuhn‑Tucker条件は，関与する関数f.h i 等がどれも微分可能な凸関数である場合には，最大のための必要十分条件となるが，その証明などは，他の多くの書物

f(Yo.y , )=moyo+m , y ,(4)にも記きれていることなので割愛するが，以下に見る(mo 孟 O.

(5)

ように，この条件は，最大点がもっ性質の巧妙な記述

m ， 註 0)を目的関数とする最大化問題となる.になっている.

きて，この問題を図示したのが図 3-2 である.

y(1)一般に，複数の不等式条件が課せられている最大化問題の最適解の制約に対する相対的位置は，図 3-3,のようにさまざまである.
(a) の場合のように，制約条件がどれも効いていなければ，最適の条件はgradf=O(13)でよい.
(b) の場合のように 1 つの不等式条件

h,(yo , y，) 三五 O

(14)だけが効いているときには，実質上，h ,(yo , y ,)=O
図1994 年 3 月号

3-2(1)
5という等式制約条件だけを考えればよい.したがって，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(31)151

てを用ト品川引う式きベで日'L品切前町品川崎州司
仇MW
伽MW

1l

J11汁リ
1 」

仇MW向HW

JII

VJ
一12 一叶F=rill---

解官一 一哩つゆ戻ば

回明こみ

L

「 l|l卜 L

41d パパ「1J11 」つlJ1J1「ト||卜]||jo1 パパユパ汁

一l
Jt
JJtIl--[mo ーん +À ， =O。。

ml-JL-:-Ào+ ん =0

(25)

.
.
;Y，斗(すAUAU、，，

ω・ hk

L

諸諸刻一れにであるから，hl>O Yl
hl=Ohl<O

件制的
4mれ体

dfhhh。

1
悶わ具 丘 、 蜘 丘 、 助
側面1
仰一み劫一旬並ゐ劫一ゐ劫一ゐ，トさgggg

MMMM

Yo (a)h ゎ ιlJ つ | 戸 戸一「血てをVNき式の刷Yl,uhF1となる.

きて，解がこれらの条件を満たすやり方には，いろいろな組合せがある.順に見ていこう.
(c)

図(i) Ào=O の場合
この場合には側および胸式から3-3

前節でも述べたように，

gradf‑ﾀ1gradh ,=01(6)という関係を満たす Lagrange 乗数À ， の存在が最大のための条件になる.

。。

m ，=仰となる .
mo 主主 0，ん
moおよび慨は目方であるから，(5-再)m， 孟 Oである.側および制式を (9)式に代入すれば(c)の場合のように 2 つの不等式条件-mo 孟 0，hl(YO.Yl) 壬 o(1司h2(YO.y，) 壬 oa闘がギリギリ(つまり等式として)満たされる場所に最大点がある場合には，図中の点 A，におけるように，ベクトル gradf が，ベクトル grad h ， と grad h 2 が張る錐の中に入っていなければならない.すなわち，gradf= ん grad hmo=-À ,,+ﾀ gradh
22(1却という関係を満たす非負の À， およびんが存在しなければならない.もし，そうでなければ，点 A 2 におけるよ

うに，ここから，制約条件を侵すことなし目的関数が増加する方向に (h， =O に沿って)進むことができる.
ただちにわかるように，条件 h2が効いてこない (b)の-m ,主主 O。8)となる.すなわち

mo=O, m ,=O

自由

また，側および帥式により

À,=O , ﾀ=02~蹄)が得られる.したがって，許容領域すなわち(1 )(2) および(3) を満たす解はどれも最適解になる.力学的にいえば，紐がピンと張っていなくてもよい(ん =0) 場合とは，結局の所，無重力 (mo=m ， =O) の場合に対応するものと解釈できる.

(ii) ん >0， À, >O, À2 >0 の場合
この場合，(1削 1) および(1司式が成立するためには， (1)場合は， (1却式においてん =0 という特別の場合として取(2)および(3)式において等号が成立しなければならない.

り扱うことができる.また，変数や不等式条件がさらすなわちに多い場合についても，同様に考えれば，一般の場合

Yo=O

152(32)© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

。1)

オベレーションズ・リサーチ

n~=O(yo‑L)2‑4YI2=aI2(6-再)が同時に成立しなければならない. (31)および側式を (6)式に代入すればすぐにわかるように，これが可能なの式において等号が成立しなければならないから，(Yo‑L)2‑4y/=aI2(6-再)~=O•を得る.すなわち，この場合の解は

(40)

Yo=O

は

L=al(33)

すなわち，紐の長きがちょうど 2 つの滑車を結ぶ長き

JL ‑a122

Yl= ー(41)

2 一一になっている場合に限られる.このような特殊な場合である.いいかえれば，図 3-2 における点 R に最適解を除けば，この場合に対応する解は存在しない.

がある.錘がランプの目方に抗しきれず，天井の滑車。ii)

九の所まで引き上げられランプが紐の長き一杯まで下,10 >0, ,1 1 =0 , ,1 2 >0 の場合

この場合には， (10)および(12)式の条件から， (1)および側および臼1)式を側および倒式に代入すれば(3)式において等号が成立しなければならないから，(Yo‑L)
2‑4YI2=a12にさがっている状態である.

Yl=O。 / T2 ̲~2(34)を得る.すなわち，この場合の解は

YO=L‑al側m1-~土L

宗一 t=

(44)

一ハり

f=ai

コh刊、cSO

批いれ27L=サm}OA1dqLJjF」、上の結果から， (24) および胸式は/J 一∞ながある.ランプが天井の高さまで引き上げられている(43),10=0を得る.図 3-4 からもすぐにわかるように，この場である.いいかえれば，図 3-2 における点 S に最適解状態である.

U1

合に紐が鉛直線となす角度を仇とすればM る「(31-再)

め =0臼却mO- ,10+ ,1 1=0(6一再)(45)となる.附およひぴ0附式をベクトル形式てで"書きなおせば，

mo‑ﾀo=O(36)m ， 十 ，12=0側/l

臼となる.条件から ，10 ， んは共に正ていあるから，この式はとなる.さらに，閉式から (5) およぴ(9)式により(38)

ml=Ol[門附m判
0叶|ド=寸[1 +刊叶
Aべ1[01JL2∞
mlJ‑Aoc0慣s 仇t ゐ0ベクトルILmolが__~1m1J'J"2 つのベクトルgradho=r"~vr' / I~ /V1 U 0‑L2cos80JCl<,が導カ通れる.すなわち，ランプの目方がゼロだというT<nことが，ランプが天井の高さまで引き上げられる (Yl=よぴgrad h1=[ 了]の張る錐の中にあることを意味し0) 原因になっていることがわかる.ている ベクトル[引が目的関数fの点R におけるグ

また，側式は，後にも述べるように， Lagrange 乗数んが紐にかかる張力であることに対応している.

。V)Ào >O, ,1 1 >0， λ2=0 の場合ラジェント・ベクトルであることを思い起こせば，このことが，最適解が点 R にあるための条件になること

eeedrgipt

YA‑‑,‑/mmは容易に理解できょう(図 3-5).

この場合には， (10)および(11)式の条件から(1)および(2).J'zYoY
図1994 年 3 月号

図3-4© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

3-5(33)153この場合には， (10)式の条件から(Yo‑L)2‑4YI2=aI2(6 再)が得られる.すなわち，解は許容領域の境界をなす双曲線上にある.
また，条件λ1=0， Æ2=0 を (24)および側式に代入してベクトルの形で書けば，

ほJ=ん同す|(54)という関係が得られる.
ロ11

図ベクトルr 1rlo1 と I~LJ はそれぞれ目的関

3-6LffHJ

また，制式からんを求めればん品力mo= m10 ‑2c瓦瓦ーんる.
師岡nであるから，この式は，これらの 2 つのベクトルが同じ方向を向いている所に最適解があることを示していとなるから，これを仰)式に代入すればそこで，制式から計算をして仇を求め，これに対応する仰を (6)式によって求めれば，結果として，となる.ん >0 であるから。。

YO=L 一山

4m./4m02-mI2al(55)

一一2EL

あ111=m1.2L./4mo仁川 2仰)という関係が得られる.すなわち，ランプの目方が錘の2 cos80倍より大きくなると，錘がランプの目方に抗しきれず，天井まで引き上げられてしまう.また，紐2cos仇はいくらでもゼロに近い値になるから，ランプの目方の如何にかかわらず，いつかは錘がこれに抗しきれなくなる.

を引き上げている張力を T とすれば，カの釣合いから(51)という関係が成立する.この式と仰式を比較すれば，すぐにわかるように，

ﾆo=T(5却すなわち ， Æoは紐に働く張力と解釈できる.したがって，仰)式から

ﾆ1=ﾆO‑mo=T‑mo

ばならない張力 T のうち錘 mo が受けもつ分を除いた(叫ん >0，ん =0， Æ2=0 の場合

ここで，最適解が許容領域の端点 S およびR以外の点に存在する条件。 <H=ml. 生 <!l!至側91 .
/4m02‑mI
2‑2'‑‑2を整理すると

2./ L 2 -a ,2,を得る.これが錘とランプが釣合うことのできる条件である.ここに仇は，ランプが紐の長きの許すかぎり下にきがったときに，紐の鉛直線がなす角度である

((44)

式参照).
制式によれば，

ÆO=mo=一一塑Lー6骨2cos81が成立する.ここに 81 は釣合いの位置において紐と鉛直線のなす角度である(図 3 ‑ 1 参照l.したがって，(53)が得られる.錘がなければ滑車の所で受けとめなけれ部分ということになる.

が得られる.

1て触れておこう.図 3-6 に見るように，紐がランプ

m1=2cos80T(56)0< 号;<iとτ竺!....(=: 2cos 仇)側

さらに， Lagrange乗数んとんの力学的な意味につい154(34)2数ャf と双曲線で与えられる境界条件 hcのグラジェント

m1
一一 2cos80の長さ L を短かくしていけば，

lj.YI +( 号 fJ

逆にいえば

1 m,mo(ω)

COS U1= 一三・-­.t,が成立する.
側式はまた，Lagrange 乗数 λ。が紐にかかる張力で© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

プの目方の半分であるときに限られ，それ以外にないことを示している.これは初等力学でいう滑車の原理

Y¥に他ならない.
このことはまた，次のようにも説明できる.紐の長きに関する条件(1)式において a\=O とすればYO+2Yl~五 LYo価却となる.これと， (2)および(3)式の条件を Y O -Y 1 平面上に示せば，この問題の許容領域は図 3-7 のような 1つの直角三角形になる.一方において，目的関数(4) も図また線形関数である.したがって，問題は線形計画問

3-7

題に帰着されることがわかる.図より明らかなように，あり，これが滑車 fもの所で釣合っていることを意味している.

次に，紐の端を固定する点 Pl を滑車P。にウンと接近させてみよう.あるいは紐の長さ L をウンと伸ばしても相対的には同じ効果を得ることができる.このとき，この問題の解は

号くすのとき S=(L.O)

支;>÷のとき R=(O.
一回z;=すのとき線分 SR上の任意の点

明らかに (}1 はゼロに， COS ()\は 1 に接近し，側式はl1110= す ml

‑t)

信1)

側相4)

制である.釣合いがたもたれるのは，最後の場合に他ならない.ただし，これも紐の目方がゼロだという仮定となる.この式はランプと錘が釣合うのが，錘がラン

1994 年 3 月号の下での話である.

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