オプション評価の考え方

飯原 慶雄
川＝ll＝‖‖＝l川Il‖lltl‖川It川‖ll川Ill＝l川Ill＝ll‖l川＝llt＝ll‖‖＝＝＝川＝‖＝l＝川＝‖llt＝l＝‖川t＝‖‖＝l‖l‖‖＝川＝＝‖＝＝ll＝川Ill＝l＝l‖l‖‖＝l＝‖＝l‖‖＝lません．株式指数の場合は株式指数そのものの受け渡

1．オプションとはしはできませんので，権利行使時の株式指数と行使価

オプションとは，ある資産（株式，債券，通貨など）●格の差額の受け渡しが行われます．実際に資産の受けをあらかじめ決めた価格で購入したり，売却したりす渡しが可能なときでも権利行使時の資産価格と行使価る権利であるといわれています．権利だけで，購入し格との差額の受け払いで済ますことも少なくあー）ませたり，売却したりする義務がありませんから，権利をん．株式の他に債券についてのオプションの取引や，持っている人はその権利を行使するのが有利であると外国為替についてのオプション取引が盛んに行われてきだけ権利を行使し，権利を行使するのが不利なときいます．コール■オプションで権利を行使することはには権利を放棄します．したがって，このような権利行使価格に相当する金額を犠牲にして資産を獲得するをただで手に入れることができるならば，このようなことであー），プット・オプションは逆に資産を犠牲に権利を持つ人は絶対に有利で，この権利を行使されるして行使価格に相当する金額を獲得することになりま

相手方は絶対に不利になります．そこで，このようなす．そして，このように，将来，獲得できるものと犠権利を持つ人は相手方にこの権利の代価を支払うこと牲にしなければならないものを比較して獲得できるもになります．この代価はオプション価格あるいはオプの価値が大であるときだけそれを獲得するというようション・プレミアムと呼ばれます．以下では，このオな状況は，企業ではしばしば現れます．設備の拡張やプション価格がどのように決まるかを見てみます．オ

既存の設備の廃棄など，これまで決定木（decision

プションに関連したいくつかの用語について最初に説tree）で分析してきたも■のが，こうした可能性をオプシ明しておきます．権利を持つ人をオプションの保有者ョンとして評価することにより，正しい投資決定を行あるいは買い手，その相手となる人をオプションのラうことができるようになー）ました．

イター（writer）あるいは売り手といいます．オプショ
ンの満期日までの期間中いつでも権利が行使できるタ

2．裁定取引と裁定価格

イプをアメリカンと呼び，満期日だけに権利が行便で現在，オプション価格の理論として支配的な考え方きるものをヨーロピアンと呼びます．資産を購入するは，同じ利得をもたらす二つの金融資産の価格は同じ権利を持つオプションをコール・オプション，売却すでなければならないという考え方です．これは，基本る権利の方をプット・オプションと呼びます．またあ的には同じ品物は同じ価格で売買されるという一物一らかじめ決められている購入価格あるいは売却価格を価の法則と同じ考え方ですが，オプションの場合はいオプションの行使価格といいます．

くつかの資産を組み合わせて他の資産と同一の利得を欧米では個別の株式のオプションが取引所で広く取創ー）だすので，単純な一物一価の法則よりもう少し複引されていますが，わが国では，株式については珠式雑であり，しかも，その組合せを絶えず変化させてい指数オプションの取引は行われていますが，個別の株かなければならないのでさらに複雑になっています．

式についてのオプション取引は取引所では行われてい同じ品物が異なる価格で売買されているときには，低い価格でその品物を買って高い価格で売ることによりいいはら よしお 南山大学二つの価格の差額を儲けることができます．このよう〒466名古屋市昭和区山里町18

な利益を裁定利益と呼び，このような裁定利益が生ま1996年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（5）60丁れないような価格を無裁定条件の下での価格と呼びまとは金融の空洞化を招くことになります．第3に通信す．同じ品物の場合は，その品物の価格が等しければ技術，コンピュータ技術を中心とする技術革新が大幅裁定利益は生まれません．したがって，同じ畠物の価に進んでいます．世界中の情報がリアル・タイムで得格が等しいということが無裁定条件の下での価格の性られ，それによって直ちに注文をだすことができるよ質ということになります．いくつかの資産を組み合わうになりました．また，複雑な計算を実行し将来の変せて得られる利得が他の資産の利得に等しいならば，動の効果を予測することも可能になってきています．

組み合わせた資産を購入する費用ともう一方の資産の第4に金融取引で銀行，生命保険，年金基金などの機価格が等しいというのが無裁定条件の下での価格の特関投資家の比重が増加して個人投資家の比重は著しく性となります．したがって，無裁定条件の下での価格低下してきています．
こうした金融資産の特質と金融市場の最近の動きははいくつかの資産価格の間に成立しなければならない関係を示すものとなります．以下で説明する株式オプ

金融資産の価格が裁定利益を生み出すようなものであションの場合も株式と債券とオプションの間の無我走ればこのような機会を利用して利益を得ようとする動条件を満足する関係式がオプション評価式と呼ばれまきを活発にします．金融市場の国際化は各国の金融市す．

場を孤立したものでなく相互に結び合わされた一つの無裁定条件の下でのオフ0ション価格を求める前に，統合された世界市場にする方向に進んできています．

無裁定条件の下での価格に関心がもたれるようになっ強力な情報通信システムを有する機関投資家は世界中た背景について考えておくことにします．オフ0ションに裁定機会を求め，裁定機会を利用して新しい金融商は金融資産に限らず商品取引やそれ以外の分野でも取品を創りだしています．このような裁定利益獲得のた引が行われていますが，最近のオプション理論の展開

めの競争は裁定利益がいつまでも存続すること・、を不可

は珠式，債券，通貨，金利など金融資産に関連したも能にし，各種の金融商品の価格を無裁定条件の下でののが圧倒的に多いといってよいでしょう．そこで，金価格に近づけます．また，裁定機会を利用するために融資産の特質と金融資産が取引される金融市場の最近も無裁定条件の下での価格を計算することが必要となの変化について見てみることにします．金融資産は経ります．これらが裁定という考え方を基本にしてオプ済主体（企業，政府，個人など）の間の法的契約関係ション評価を行う背景であるといって良いでしょう．

を表すものであって，一般に，将来ある金額（確定した金額とは限らないが）の受け払いを約束するもので3．2項モデルす．その約束の仕方は，株式や債券など取引所で取引無裁定条件の下での価格を裁定価格と呼ぶことにしされるものや，広く一般の人々を対象に売買されるもます．裁定価格について考えるために簡単な例についのについては，ある程度決まった形がありますが，個て考えてみます．いま，ある株式の価格が1，000円で別の取引の場合には当事者が合意すれば自由に契約の1期後の珠価が1，200円か800円のいずれかになると形を決めることができます．また，先物やオプションします（この非現実的な仮定は後で修正します）．1期のような金融派生商品の多くは，将来，基礎資産の受後に満期となる行使価格1，000円のコール・オプショ

け渡しを行わないで，差額で決済しますから，基礎資ンは1期後の株価が1，200円であれば200円の価値を産を準備しなくても，契約が完全に履行できるならば持ち，株価が800円になればその価値はゼロになりまどんな多額の取引でも実行可能となります．

す．株式の他に国債のように期末に受け取る金額が確

金融資産が取引される金融市場は最近大きく変化し定している債券があるものとして，期末に1，000円受てきています．そうした変化の第1に国際化があげらけ取ることができる債券の現在の価格が900円である

れます．日本の企業が海外で資金を調達するのは常識とします（1，000／900＝1．1111ですから，利子率はとなり，外国の企業も日本で資金調達を行うようにな11．11％ということになります）．この場合，債券と珠ってきました．外国人投資家の動向が日本の株式市場式を適当に組み合わせれば，期末にオプションと同一の動きを支配しているという人さえいます．第2に規の金額を受け取ることができます．株式と債券の購入制緩和，自由化の動きが進んできました．海外に比べ量をそれぞれズとッとするとて日本の金融制度は依然として規制が強いといわれて1，200ズ＋1，000γ＝200いますが，規制緩和の世界的な動きの中で孤立するこ

800∬＋1，000γ＝0608（6）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

●●を満足するような∬とッがそのような組合せである証券の購入量をズゎ その価格を吼（グ＝1，…，乃）とすることが分かります一（前の式の左辺が株価が1，200円にと，期末の状態が才であるとズf円受け取ることになりなったときに得られる金額であり，彼の式の左辺が株ます．その効用をU（弟）で表すことにすると，期末の価が800円になったときの金額です）．ズとγを求める

受け取り額の期待効用は∑動び（ズ〜）となります．状態とズ＝0．5，ツ＝一0．4となりますから，債券を0．4単位依存証券の購入金額（∑射ろ）一定という条件の下でこ空売りし（11．11％で借り入ることができれば360円の期待効用を最大にするような弟を求めると，状態才借り入れ），株式を0．5単位購入すれば，期末に得られでの受け取り額の限界効用U′（ズf）が鋸慨に比例するる金額は，株価が1，200円になったときには200円にことが必要であることが分かります．したがって，状なり，珠価が800円になったときにはゼロになります．

態依存証券の価格はその状態の発生確率とそのときのこの時に期首に必要な金額は株式の購入金額500円か受け取り額の限界効用の積に比例します．他方，株価

らイ昔入分を差し引いた140円です．140円でコール・オが上昇したときに1円受け取る証券の価格をqひとすプションを保有したときと同一の金額を得ることがでると，期末の受け取り額から，上の式でC〟＝1，G＝きるのですから，オプションの裁定価格は140円とい0とすることにより，（ね＝方び／斤となり，株価が下落しうことになります．以上のことを記号を使って表現したときに1円受け取る証券の価格はq。＝和／斤となるてみましょう．現在の株価をS，期末の株価を〝・5ととが分かります．そこで，方〟と方。はそれぞれの状態でd・5，債券の現在の価格を1，1期後の受け取り額をの受け取り額の限界効用と状態の発生確率の積をそれ斤（利子率に1を加えたもの）とし，株価が〟・5とd・らの和が1になるように標準化したものと考えること

Sのときのオフ0ションからの利得をそれぞれCむとGができます．もし受け取り額の限界効用が一定であれとします（上の例ではG＝0ですが，行使価格によっば，方むと和はそれぞれの状態の発生確率になります．てはゼロになるとは限りませんので，Gで表すことに受け取り額の限界効用が一定であるような人あるいはします）．先の数値例のときと同様にしてオプション価状況を危険中立的といいます．その意味で，方びと方dを格を求めると危険中立的確率と呼び，このような確率を使ってオプ

C＝［Cぴ（斤−d）／（〟−d）＋C。（〟一尺）／（〟−

ション価格を求めるやり方を危険中立的評価と呼びま′／・二／、一す．となります．α＞斤＞dとすると（この不等式が成り立

この例の場合，状態依存証券が現実に存在しなくとたないと株式と債券と売買により裁定利益が発生しまも株式と債券を組み合わすことによってそのような証す），C とGの係数である（斤−d）／（〝−．のと（〟一券を創りだすことができます．株式，債券，オフ0ショ

尺）／（〟−d）はともに正で，両者の和は1になりますか

ンを始め，期末の受け取り額が二状態に依存して決まる

ら，これを確率と考えれば上の式はオプション価格はようなすべての金融資産の裁定価格は，期末の受け取期末の期待利得の割り引き値になることを示していまり額に状態依存証券の価格を掛けて合計することによす．したがって，これらの確率を方〟と和で表すとり得られます．実際，株式の価格は（〟・ヴ ＋d・鮎）5＝C＝（方びC ＋方。G）／斤Sとなり，債券の佃格は（すぴ＋q。）尺＝1となります．

これまでオプションの裁定価格の求め方として，他となります．

＼ この確率がどんな意味をもつのか考えてみます．期の資産によってオプションを複製しその複製費用から末の状態の個数が犯個であるとします．この例では期価格を求める方法，危険中立的確率を求め期末の期待末の株価は二つの値のどちらかであるとイ反定しました

受け取り額の割り引き値から価格を求めるやり方，状ので，期末には株価の上昇と株価の下落という二つの態依存証券の価格を求めてそれからオプションの価格状態のどちらかが起きます．期末にある特定の状態がを求める考え方について説明してきました．これらは生じたときにだけ1円を受け取ることができる証券を基本的には同一の考え方ですので，状況に応じてそれ考えます．ここでは，株価が上昇したときに1円受けぞれの概念を使用します．

取る証券と下落したときに1円受け取る証券の二つがこれまでは1期間で考えてき・ましたが，2期間の場このような証券になります．このようにある状態が起合はどのようになるでしょうか．第2期日に1期間モきたときだけに1円を受け取る証券を状態依存証券とデルを適用して1期末のオプション価格を求め，それ呼びます．それぞれの状態の発生確率をか，状態依存を1期末のオプション価値としてもう一度1期間モデ

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（7）609

ルを適用することにより2期間のオプションの価格を次の期の株価は2個の値のいずれかであるという形に求めることができます．1期後の株価がαSのときになっていますが，期間の数を増やすことによって最後は，2期後の株価は〟25−か〟dSのいずれかになり，1の期間での状態の数を増やすことができますし，一定期後の株価がdSのときには，2期後の株価はαdSかの期間を小さな部分期間に分割してやれば，物理的なd25−のいずれかになるものとします．2期後のオプシ

時間の長さを増加させることなしに状態の数を増加さョンからの利得を，株価に応じてそれぞれCぴ〟C〟。，せることができます．ただし，部分期間の数の増加とGdで表し，1期後の株価が〟Sのときのオプションのともに〟，d，斤の値が変化することに注意する必要が

価格をCαとすると，先の1期モデルでの式でS，〟5，あります．これらの値と二つの珠価の発生確率を適当dS をそれぞれ〟5，〟25■，㍑dSに，C ，Gをそれぞれに選択し，部分期間の数をどんどん増加させてやると，Cむα，Cむdに代えることにより期間の最後での株価の確率分布が上の確率微分で表さC〟＝［Cぴぴ（ガーd）／（〟−d）＋Cむ。（㍑一月）／（〝−

れる株価の確率分布と一致するようにすることができd）］／斤

ます．このとき行使価格がEのコール・オプションの価格は次のようになります．

またはCむ＝（方 Cぴぴ＋和Cむ。）／ガ

C＝且Ⅴ（dl）一旦ピーrW（威）となります．同様にして，1期彼の株価がdSのときのオプション価格Gを求め，このCぴとGを再び1期モデルに代入することにより

ここてこ、dl＝［log（5／β）＋（γ＋♂2／2）T］／Jノア￣，

銭＝d一両7

C＝（私2Cぴむ＋2花・む和Cむ。＋和2G。）／斤2で，Ⅳ（・）は標準正規分布の分布関数で，g￣rrは r期という結果が得られます．方び2＋2方び和＋和2＝（方び＋後に1円受け取ることができる債券の現在の価格です．

和）2ですから，方 2，2方 和，和2が2期後の状態について

この式は最初にこの形のオフ0ション価格を求めた人のの危険中立的確率であり，2期彼の状態依存証券の価名前をとってBlack−Scholes式と呼ばれています．こ格を供用，吼血，q。dとすると，の式の第2項のⅣ（銭）は，log（Sソ5）の確率分布が平供用＝方 2／斤2，供血＝2好む和／斤2，払＝和2／月2均（γ−♂2／2）r，分散♂2rの正規分布であるとしたととなり，各資産の価格がこの状態依存証券の価格からき5＊が行便価格E以下になる確率であり，それにた求められることも容易に確認できます．

いし，SerrⅣ（琉）は同じ確率分布について5＊のE以上の部分についての部分期待値になっています．した4．Black−Scholes 公式

がって，β−S公式によるオプション価格は満期時のこれまでは将来の株価の実現値を予め決めてそれかオプションの利得max（S＊−E，0）の期待値に割り引らオプション価格を求めました．しかし，実際このよき係数e￣rrを掛けたものになっています．ただし，満うな実現値を決めることは困難で，むしろ，将来の株期時の株価の確率分布について，log（SソS）の平均が価を連続的な確率分布を有する確率変数と考える方が実際には（〟−J2／2）rであるのに，オプション価格を容易でしょう．株価は負になりませんから，正規分布求めるときには（γ−♂2／2）rになっていることに注のような分布は適当でないでしょう．数学的取り扱い

意してください．すなわち，この場合，確率微分の第の容易さとデータの適合度の良さから対数正規分布が1項の〟（株式の投資収益率）を γ（無危険利子率）よく利用されます．ある確率変数の確率分布が対数正に代えたものが，危険中立的評価のために使用される規分布であると，その確率変数を対数変換したもののことになります．

確率分布は正規分布になります．また，株価の変動をプット・オプションと株式を組み合わせると，オプションの満期時には，株価が行使価格を上回るときに表すためにはプットの権利は放棄され，株価が行便価格を下回る

dS＝〟Sdf＋瓜S滋という確率微分が使われることもあります．現在の株

ときには株式を相手に引渡すことによって行使金額を価を5，r期間後の株価をS＊とすると，株価の変動が受け取りますから，プットと株式を組み合わせたもの

上の確率微分であらわされるとき，log（5ソ5）の確率の価値は株価が行便価格を上回るときには株価と等し分布は平均（〃−♂2／2）T，分散♂2rの正規分布になりくなり，下回るときには行使価格に等しくなります．

ます．前節で説明したモデルはある期の株価に対してこれに対して，このプット・オプションと同一の満期610（8）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

と行使価格を有するコール・オプションと満期時の受上限金利を支払うだけで良いというキャップ付き金利

け取り額が行使価格と等しくなるような債券を組み合契約があります．逆に下限の金利が決めてあって金利わせると満期時の受け取り額は先のプットと株式の組がその下限以下になっても下限金利を受け取ることが合せと全く等し〈なト）ます．したがって，無裁定条件できるフロア付き金利も現れてきています．スワップの下ではそれぞれの組合せの費用は等しくなり，満期を除けばこれらはいずれもオプションの性質を持ってまでの期間がrで行使価格がgのコールとプットのいます．これらのオプション価格を求めるためには，価格をそれぞれCとP，現在の株価を 5とすると将来の金利の確率分布を考える必要があります．ただP＋S＝C＋gr7立●

し，金利は債券の価格と一定の関係があー），また，金という関係が成立します．この関係を70ット・コール・利には色々な期間の金利があります．これらの間の関パリティといいます．プット・オプションの価格はこ係を適切に処理しないとどこかで裁定利益が生まれるのプット・コール・パリティを利用して求めることがような不完全なモデルができあがります．金利ではなできます．

く債券価格の確率分布を考えることもできますが，債これまではオプションの権利行使はオプションの満券の満期時の受け取ー）額は，信用リスク（債務不履行期に行われるものとして説明してきました．その意味リスク）が無視できるならば，確定的ですので，このでこれまで述べたオプション価格はヨーロピアン・オ

点で株価の変動とは大きく異なります．すべての債券プションの価格ということになります．また，株式にの価格の間の関係を説明できるようなモデルができれついてはオプションの満期まで配当の支払いがないもば理想的なのですが，簡単なモデルでは現実のデータのと仮定してきました．株式について配当の支払いがとの整合性が著しく低くなー）ます．そこで，現実のデないときには，無裁定条件の下ではアメリカン・コーータとの整合性をもたせながら理論的整合性（無裁定ル・オプションの価格は満期以前には株価から行使価条件）を満足するようなものとして色々なタイプのモ格を差し引いたものを上回ることになりますので，アデルが提案されています．

メリカン・オプションは満期以前に権利行使されることはありません．したがって，アメリカン・コール・オプションの価格はヨーロピアン・コール・オプションの価格に等しくなります．しかし，株式の配当があ5．1債券価格，利回り，期間構造，フォワード・レート

満期まで利子の支払いを行わないゼロ・クーポン備る時には満期前に権利行使を行って配当を受け取るこについて額面が100r￣qで満期までの期間が〃であるとが有利になる可能性がありますから，アメリカンと債券の価格がβ〃であると（100／β月）1／乃−1がこの債券

ヨーロピアンの価格は異なってきます．プット・オプの満期利回りあるいは最終利回りになります（利子がションの場合は満期前に権利行使することによr）満期支払われるクーポン憤では将来の利子と額面の支払い時での権利行使と同一の金額を満期前に受け取れます

額の割「）引き値が債券価格に等しくなるような割引きので，株式の配当の有無に関係な〈，アメリカンとヨ率を満期利回りと呼びますが，ここでは，ゼロ・クーーロピアンの価格は異なってきます．アメリカン・オ

ポン債の利回りだけを考えてクーポン債は毎期のクープションの価格は満期時の期待受け取り額の割り引きポン（利子支払い額）と額面からなる複合的な証券と値という形になー）ませんので，ヨーロピアン・オプシ考えます）．以下ではこれを〃期の利回りと呼ぶこと

ョン価格についてのβ−5公式のような簡単な式は現にします．1期，2期と期間毎に利回りを並べたもの在のところ得られていません．

を利子率の期間構造と呼びます．現在時点での金利にはここで述べた利回りの他に将来の二つの時点の間の5．金利オプション

貸借にたいして支払うべき利子率を現在時点で決めて最近，金利の変動が激しくなるとともに，固定金利おくフォワード・レートがあります（これに対して上と変動金利の交換（金利スワップ）や，交換する権利に述べた利回りをスポット・レートと呼びます）．1だけをもつスワッ70ションなどが現れてきました．ま年，2年，3年の利回l）がそれぞれ5％，5．5％，6％た，変動金利は金利が低いから良いが将来金利が高くであると，1年後から3年後までの2年間金を借りたなる危険性があると考える人にたいし，ある上限を決ときの金利は，無裁定条件の下では現在から3年間金めて変動金利がその上限を越えて上昇したときには，を借りるとともにその金を現在から1年間貸したとき

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（9）611

と同一ですから，［（1．06）3／（1．05）］1／2−1となります．

を求めると，㍍＝6．5742％，侮＝5．4366％となりま

これは将来の期間についての金利ですが，現在時点です．次に1期後の2期間の利回りを亀と斤。とすると，確定していますから，現在の金利ということになりま

3期後に満期となる債券の1期後の価格は100／（1＋す．スポット・レートとフォワード・レートは時間の斤 ）2と100／（1＋点。）2になります．この債券の現在時点経過とともに変動していきます．これらの変動を表すでの価格は，危険中立的評価によりこれら二つの値のものとして色々なモデルが試みられています．ただ，平均値を現在の1期間の利回りで割り引いたものです．

債券価格，スポット・レート，フォワード・レートはそして，現在の3期間の利回りが6％ですから，相互に一定の関係がありますから，それらのどれを使0．5×［100／（1十亀）2＋100／（1＋尺。）2］／1．05＝って金利変動を表しても良いのですが，変数間の関係′100／（1．06）3を乱すようなやり方をしてはいけないことに注意してが成立しなければなりません．他方，3期間の利回りください．のボラティリティは9％ですからlog（凡ノ斤。）／2＝0．09となります．これら二つの式から亀と斤dを求め5．2 Black−Derman−Toyモデル

ると，月初＝7．0925％，月。＝5．9242％となります．2

ここではBlack−Derman−Toyのモデルを取り上げ

期彼の1期間の利回りをれ化，れd，㌔ほとすると，3期金利の動きをどのようにモデル化するかを見てみます．

後に満期となる債券については1期彼のそれぞれの状

まずデータとして利回りとそのボラティリティ（変動態ごとに次に関係式が成立します．

性）を考えます．1期，2期，3期の利回りが5％，0．5×［100／（1＋れ川）＋100／（1十γぴ。）］／（15．5％，6％で，2期と3期の利回りのボラティリティ㍍）＝100／（1＋凡 ）2が9．5％と9％であるとします（利回りのボラティリ

0．5×［100／（1＋γぴ。）＋100／（1＋γ。。）］／（1ティについては後で説明します）．先の株式の場合と同指）＝100／（1＋斤。）2

様に1期後には二つの状態のいずれかが生じるものと二つの式に対して未知数は3個ですから，それぞれし，それぞれの発生確率を1／2とします．先の例ではの状態での利回りのボラティリティは等しいものと仮株価の実際の動きを考えましたが，ここでは期待金額定して，れ化／㍍。＝㍍。／侮。となるようにします．これらの割り引き値が資産の価格となるような危険中立的評の式かられ川，㍍か 指。を求めると，れ川＝8．2689％，価を考えます．1期後の1期間の利回りについて二つ㍍。＝6．9573％，指。＝5．8793％となります．の可能性を考えてそれを㍍と指とします．2期後に満

ここでは，3期の利回りまでしかデータが与えられ期となる債券の1期後の価格は利回りの定義から1期ていませんので，3期後の利回りまでしか求めること彼の利回りに応じて100／（1＋㍍）か100／（1＋指）になができませんが，もっと長期間の利回り．とそのボラテります．危険中立的評価で考えていますからこの債券ィリティを与えてやれば，同じような方法で危険中立の現在時点での価格はこれらの債券価格の期待値を現的な将来の利回りを求めることができます．将来の利在の1期間の利回りである5％で割り引いたものにな回りが求まればそれから将来の債券価格とフォワーります．他方，現在の2期間の利回りが5．5％ですか

ド・レートを求めることができますので，それらのもら，のを基礎にしたオプションの価格も容易に求めることができます．
0．5×［100／（1＋㍍）＋100／（1＋侮）］／1．05＝100／（1．055）2が成立しなければなりません．確率1／2で二つの値α6．オプションの効用一般にあるものの評価というときにはそのものの価と∂をとる確率変数の分散は（α2＋∂2）／2−（α＋∂）2／4＝（α−占）2／4

格のことを指しているのでしょうか．確かにあるものとなるので，標準偏差はlα一別／2となります．現在時を評価するというときに，そのものの値段あるいは価点での乃期の利回りのボラティ．リティを1期後の二格を求めることもありますが，そのものの有用性とかつの状態での乃−1期の利回りを対数変換したもののそのものの価値を指すことも少なくありません．そこ標準偏差で測ることにします．2期間の利回りのボラで最後にオプションの有用性について考えてみたいとティリティが9．5％ですから，log（㍍／指）／2＝0．095思います．これまで説明してきたオプションの価格理となります．これら二つの式を満足するような㍑と筍論から明らかなように他の資塵を組み合わせてオブシ

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オペレーションズ・リサーチ

ヨンと同一の効果をもつものを創りだすことができますから取引費用が無視できるな．らば，オプションの取引そのものは必要がないことになります．ここで取引費用と呼んでいるものは資産の売買に伴う金銭の支出

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だけではなく情報の収集や各種の計算の費用も含まれます．現実には取引費用がかかりますから，オフ0ションの取引はこうした取引費用の節減に役立つものと考えられます．現物，先物，オプション，スワップなどを組み合わせていちばん安い費用で求めるものを獲得することが必要になります．オプション価格について説明したところから明らかなように，コール・オプシ
ョンの購入は資産の購入と借入を組み合わせたものに

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量子情報の数理
量子確率論非可換確率論

ョンの売りと買いを組み合わせてオプション価格の受量子系の確率過程

け取り分と支払い分が一致するようにしただけであっ量子エントロピーて，コストがゼロになる代わりに他のリスクを負担す
これまでのポートフォリオ理論ではオプションの売買弘ることになります．取引費用を十分に考慮していない

チャネル理論とその量子コンピュータヘの応用

量子通信過程の数理構造とその解析

則真彦男昇樹雅敏重

矢田光石達鎗
大塚有明渡須

量子情報の新展開

替を中心にゼロ・コスト・オプションと呼ばれるもの

量子力学の基礎と量子暗号

内山智香子

量子通信チャンネルの視点についての理論的指針を与えることは困難といわぎるを得ません．今後の研究課題ということになるのではないでしょうか．

「数」と自然の構造

参考文献●ここではオフ0ション理論について2項モデルを中心に説明しました．確率過程理論を基礎に連続時間モデルを勉強するのには田畑吉雄「数理ファイナンス論」（牧野書店），森村英典・木島正明「ファイナンスのための確率過程」（日科技連），木島正明「ファイナンス工学入門」（日科技連），沢木勝茂「ファイナンスの数理」（朝倉書店）等があります．

田Ⅰ．数の体系

田Ⅳ．物理定数の発見

田Ⅰ．特殊な数

田Ⅴ．物理定数と自然の構造

田Ⅲ．「数」と自然〈数理科学・1996年6月号別冊〉［好評発売中］B5・定価1900円

数理科学における逆問題
C．W．グロエッチュ著．金子・山本・滝口共訳

第1章・入門／第2章・第1種の積分方程式によりモデル化される逆問題／第3章・微分方程式に於けるパラメータの評価／第4章・逆問題の数学的背景／第5章・逆問題の幾つかの方法／第6章・逆問題の注釈付きの参考文献

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1996年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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