重み多項式に関する話題1
大浦 学2 (高知大学理学部数理情報科学科)
今日、議論したいのは次の問題です。複素数体 C 上有限生成な環があって生成元を固定しC[f1 , f2 , . . .] = C[f1 , f2 , . . . , fn ],任意の fi を f1 , . . . , fn の多項式として表した場合∀fi , fi =Xc∗∗···∗ f1∗ f2∗ · · · fn∗ ,係数 c∗∗···∗ としてどのような数が現れるか。C の元ではあるが、取り扱う環によってはもう少し小さくてもよい場合があるだろう、という訳です。環としてここで取り扱うのは符号理論からくるものです。今述べた問題は生成元の取り方に依存しますが、生成元逹の情報がより多く得られるだろうと考えています。今日、お話しする内容はY.Choie and M.Oura,
The joint weight enumerators and Siegel modular forms
から取りました。Section 1 で後の議論に必要な符号理論、モジュラ形式について述べた後、Section

2 で種数 1 の場合、Section 3 で種数 2 の場合の上の問題を議論します。
1. 符号理論とジーゲルモジュラ形式. 二元体を F2 とし、二元体上 n 次元ベクトル空間 Fn2 にPは自然な内積 u · v =ui vi が入っているものとします。Fn2 の元 u に対し、0 ではない座標の個数を u の重さと言い、wt(u) で表すことにします。長さ n の線型符号とは Fn2 の部分空間のことを言います。この講演では単に長さ n の符号と呼ぶことにします。我々が扱う符号はよい性質を持つことが望まれます。その期待に沿う符号として、次に自己双対重偶符号を定義します。符号 Cはその双対符号

C ⊥ := {u ∈ Fn2 | u · v = 0, ∀ v ∈ C}と一致する (C = C ⊥ ) とき、自己双対であると言われます。重偶符号であるとは、C の全ての元の重さが 4 の倍数となるときに言います。自己双対かつ重偶符号を自己双対重偶符号と言います。自己双対重偶符号は長さ n が 8 の倍数のときに存在し、またそのときのみ存在することが知られております。次に例を述べます。n を 8 の倍数としたとき、次の n/2 個のベクトルで生成される長さ n の自己双対重偶符号を d+n と書きます:
(1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,





(0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0,n···0, 0, 0, 0),

···
..
.

0, 0, 0, 0),2(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, · · ·(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, · · ·1, 1, 1, 1),
1, 0, 1, 0).

これを n2 × n 行列と見立てて、d+n の生成行列と呼ぶことがあります。n = 8 の場合のみ、e8 と書くことにします。e8 はパラメータ [8, 4, 4] を持つハミング符号と呼ばれています。今日の話しででてくるもう一つの自己双対重偶符号として、パラメータ [24, 12, 8] を持つゴーレイ符号 g24 がありますが、具体的な生成元を書くの省略します。
1 仙台数論及び組合せ論小研究集会 2004 (2005 年 1 月 24 日〜 25 日) における講演記録。
2 科研費 (No.14740081) より補助を受けています。

1次に符号から得られる多項式、重み多項式についてお話しします。長さ n の符号 C の重み多項式はWC (x, y) :=Xxn−wt(v) y wt(v)v∈Cで定義されます。これは以下に述べる立場から言いますと、種数 1 の重み多項式ということになります。一般の種数 g に対して、重み多項式を定義します。g 個の C の元 v1 , v2 , . . . , vg と a ∈ Fg2に対してna (v1 , v2 , . . . , vg ) := ]{i| a = (v1i , v2i , . . . , vgi )}とおきます。これは

v1 = (v11v12

v2 = (..
.
vg = (v21..
.
vg1v22..
.
vg2·········v1n),v2n..
.
vgn),)と書いたとき、縦に四角で囲った Fg2 のベクトル逹のなかで a と等しいものが何個現れるかを数えていることになります。さて、長さ n の符号の種数 g の重み多項式は次で定義されます:(g)

WC (xa : a ∈ Fg2 ) :=XY

xna a (v1 ,v2 ,...,vg ) .

v1 ,v2 ,...,vg ∈C a∈Fg2

この多項式は、次数 n の非負整数係数斉次多項式です。上で種数 1 の重み多項式の定義を書きまし
たが、x = x0 , y = x1 とすると今与えた定義と一致することが確認できます。自己双対重偶符号の種数 g の重み多項式逹で生成される C 上の環を W(g) で表すことにします。自己双対重偶符号が存在するための必要十分条件が n が 8 の倍数であることを考えると W(g) = C ⊕ W(g)8 ⊕ W(g)16 ⊕ · · ·という次数付き環であることが分かります。ここで各変数 xa の次数を 1 と考えて次数をつけていることに注意します。

τ −τ√> 0} を種数 g
2 −1のジーゲル上半空間、Γg := Spg (Z) を種数 g のモジュラ群とします。Hg 上の正則函数 ϕ(τ ) でÃ!
¡¢a b−1kϕ (aτ + b)(cτ + d)
= det(cτ + d) ϕ(τ ),∈ Γgc d次にモジュラ形式について復習します。Hg := {τ ∈ Matg×g (C)| t τ = τ,を満たすものをモジュラ群 Γg に関する重さ k のモジュラ形式というのでした (g = 1 のときは尖点に関する条件が必要です)。これらにより生成される次数付き環を A(Γg ) = C⊕A(Γg )1 ⊕A(Γg )2 ⊕· · ·と表すことにします。もう少し条件をきつくしたモジュラ形式を考えてみます。モジュラ形式はフーリエ展開

ϕ(τ ) =Xs√af (s) exp(2π −1 trace(sτ ))を持ちます。ここで s は g 次半整数かつ半正定値行列全体をわたります。A(Γg ) の元 f で全てのs に対して af (s) ∈ Z となるもの全体がなす Z-加群を AZ (Γg ) と書くことにします。

次に符号理論を利用したモジュラ形式の構成法を述べます。a, b ∈ Fg2 に対してテータ定数を½ ³¾X√
1 ta´ ³a´ ³a´ bn+
θab (τ ) :=exp 2π −1
τ n++ n+·22222gn∈Z2と定義します。写像 T h : xa 7→ θa0 (2τ ) は長さ n の自己双対重偶符号 C を Γg に関する重さ n/2(g)のモジュラ形式 T h(WC ) へと写し、C 代数準同型写像 T h : W(g) → A(Γg )(4) を引き起こします。ここで A(Γg )(4) = C ⊕ A(Γg )4 ⊕ A(Γg )8 ⊕ · · · です。この写像 T h は、g = 1, 2 の場合、(g)W(g) と A(Γg )(4) の間の同型写像となることが知られています。次に T h(WC ) が格子のテータ函数として捉えられることを説明します。自己双対重偶符号 C ⊂ (Z/2Z)n に対して、自然な射影

ρ : Zn → (Z/2Z)n の逆像として得られる ΛC := √12 ρ−1 (C) は even unimodular な格子となりま(g)(g)す。このとき、T h(WC ) は格子のテータ函数 ϑΛC と一致します:

X(g)T h(WC ) = ϑΛC :=Y`1 ,`2 ,...,`g ∈ΛC i,j√exp π −1(`i · `j ) τij .

(g)

格子のフーリエ展開を考えることにより、特に T h(WC ) ∈ AZ (Γg )(4) も理解されると思います。

2. 種数 1 の場合. この Section では種数 1 の場合を取り扱います。重み多項式を WC と書くことにし、変数は、x0 , x1 ではなく、x, y を用いることにします。種数 1 の多項式は C 上代数的独立な二つの元

We8 = x8 + 14x4 y 4 + y 8 ,Wg24 = x24 + 759x16 y 8 + 2576x12 y 12 + 759x8 y 16 + y 24で生成されることが知られています (Gleason, 1970). よって任意の自己双対重偶符号 C をとってきたとき、その重み多項式 WC は We8 と Wg24 の多項式として一意的に表されます。例えば、

N.J.A.Sloane のホームページ (http://www.research.att.com/˜njas) にある長さ 32 の自己双対重偶符号のリストの 50 番目の符号 C32,50 を考えると
WC32,50 =1 42We8 + We8 Wg244242と書けます。ここで係数が Z[ 12 , 13 , 17 ] の元であることに注目します。逆に任意に自己双対重偶符号をとってきて二つの生成元 We8 , Wg24 の多項式として表した場合、その係数に Z[ 21 , 13 , 71 ] 以外の元は現れないことを示しましょう。C を任意の自己双対重偶符号とします。T h(WC ) は AZ (Γ1 )の元です。AZ (Γ1 ) は重さ 4 のアイゼンシュタイン級数 E4 = 1 + · · · と重さ 12 の尖点形式√∆ = exp 2π −1τ + · · · の整数係数の多項式として表されることが知られています。関係式∆=125 3 · 7を使いますと、T h(WC ) ===です。よってXXX¡¢
T h(We8 )3 − T h(Wg24 )cab E4a ∆b(cab ∈ Z)½¾¢b1 ¡a3cab T h(We8 )T H(We8 ) − T h(Wg24 )25 3 · 700abc]
a0 b0 T h(We8 ) T h(Wg24 )

WC =

X

00abc]
a0 b0 We8 Wg24 ,が得られ、上の主張は示されました。

3

1 1 1c]a0 b0 ∈ Z[ , , ]2 3 7

3. 種数 2 の場合. この Section では種数 2 の場合を取り扱います。重み多項式を WC と簡略化した形で書くことにします。W(2) は四つの代数的独立な元 We8 , Wg24 , Wd+ , Wd+ と Wd+ で C
244032上生成されます (Duke, 1993). 具体的な自己双対重偶符号 d+48 に対して、その重み多項式はWd+ = 23 · 22229 · 2−2 3−2 5−1 7−2 41−1 We68 − 25 13 · 23 · 3−2 7−2 11−1 41−1 We38 Wg24
48+ 2 · 23 · 113 · 3−2 7−1 11−1 41−1 We38 Wd+ − 32 5 · 23 · 2−2 41−1 We28 Wd+2432+ 24 7 · 23 · 3−1 5−1 41−1 We8 Wd+ − 29 19 · 3−2 7−2 11−2 Wg224
40+ 26 23 · 3−2 7−1 11−2 Wg24 Wd+ + 2 · 23 · 37 · 3−2 11−2 Wd2+2424と一意的に表されます。逆に、任意の自己双対重偶符号の種数 2 の重み多項式を We8 , Wg24 , Wd+ , Wd+ , Wd+
2440

11逹の多項式として表した場合、その係数には Z[ 21 , 13 , 15 , 71 , 11, 41] 以外の元は現れないことを示しましょう。C を任意の自己双対重偶符号とします。T h(WC ) は AZ (Γ)(4) の元です。ここでまずAZ (Γ2 ) に関する結果を述べておきます。次の 15 個の AZ (Γ2 ) の元

X4 , X6 , X10 , X12 , Y12 , X16 , X18 , X24 , X28 , X30 , X35 , X36 , X40 , X42 , X48
は AZ (Γ2 ) の極小の (すなわち、どの一つも取り除けない) 生成系であることが知られています (井草凖一, 1979). ここで生成元 Xk の添字 k はジーゲルモジュラ形式としての重さを表しています。
各 Xk の具体的な記述は省略します。この井草の定理より、次の補題が導かれます。
補題 1. AZ (Γ2 )(4) は、Z 上

X4 , X12 , Y12 , X16 , X24 , X28 , X36 , X40 , X48 ,
かつ

X62 ,

X6 X10 ,X6 X18 ,X6 X30 ,X6 X42 ,2,
X6 X352,
X10

X10 X18 ,2,X18

X10 X30 ,X18 X30 ,2,
X30

X10 X42 ,X18 X42 ,X30 X42 ,2,
X10 X35
2X18 X352,
X30 X352,
X422,
X42 X35
4X35で生成される。
これら 30 個の元は AZ (Γ2 )(4) の Z 上の極小の生成系ではありませんが、我々の議論にはこのままで十分です。この補題により T h(WC ) は上記 30 個の元の整数係数多項式として表されます。
補題 2. 補題 1 で与えられた AZ (Γ2 )(4) の生成元はすべて

1 1 1 1 1 1
Z[ , , , , , ][T h(We8 ), T h(Wg24 ), T h(Wd+ ), T h(Wd+ ), T h(Wd+ )].
2432402 3 5 7 11 41の元である。
以上により T h(WC ) が1 1 1 1 1 1
Z[ , , , , , ][T h(We8 ), T h(Wg24 ), T h(Wd+ ), T h(Wd+ ), T h(Wd+ )]2432402 3 5 7 11 41の元であること、従って WC が1 1 1 1 1 1
Z[ , , , , , ][We8 , Wg24 , Wd+ , Wd+ , Wd+ ]2432
40
2 3 5 7 11 41の元であることが示され、主張が得られました。
432