シリーズ・５年上・第１回
基本問題・練習問題のくわしい解説
５年上の学習は，第１回の「倍数と約数」から始まります。
第１回から，理解するのがむずかしい範囲なので，大変だと思いますが，最初から全力でがんばってください。
第１回の範囲は，問題を数多くこなしてなれることが大切です。
このプリントは，少しでも理解の助けになればと思い，作成しました。
説明がネチネチくどすぎると思うかも知れませんが，もともと問題の意味がわからないから解説を読むのであって，解説が省略してあったら，意味がないと思います。
すべての解説を読むのではなく，自分がわからない問題
だけ解説を読んで，理解するようにしてください。

目

次

倍数・公倍数・最小公倍数…p.1
約数・公約数・最大公約数…p.3
基本 1 (1)…p.5
練習 1 (1)…p.21
基本 1 (2)…p.6
練習 1 (2)…p.22
基本 1 (3)…p.7
練習 2 (1)…p.23
基本 1 (4)…p.8
練習 2 (2)…p.24
基本 1 (5)…p.9
練習 3 (1)…p.25
基本 1 (6)…p.10
練習 3 (2)…p.26
基本 1 (7)…p.11
練習 3 (3)…p.27
基本 1 (8)…p.12
練習 4 (1)…p.28
基本 2 (1)…p.13
練習 4 (2)…p.29
基本 2 (2)…p.14
練習 5 (1)…p.31
基本 2 (3)…p.14
練習 5 (2)…p.32
基本 2 (4)…p.15
練習 5 (3)…p.33
基本 2 (5)…p.16
チャレンジ (1)…p.34
基本 3 (1)…p.17
チャレンジ (2)…p.36
基本 3 (2)…p.18
基本 4 (1)…p.19
基本 4 (2)…p.20

すぐる学習会シリーズ５上第１回

くわしい解説シリーズの解説をする前に，基本的なことがらをまとめておきます。
倍数・公倍数・最小公倍数□の倍数とは，□を整数倍した数のことです。
たとえば，４の倍数は，小さい方から順に，（ア） ４，８，１２，１６，２０，２４，２８，３２，３６，…
のことです。
６の倍数なら，小さい方から順に，（イ） ６，１２，１８，２４，３０，３６，４２，…
となります。
公倍数とは，共通の倍数のことです。
たとえば，４と６の公倍数なら，（ア）と（イ）の両方に入っている数をさがして，（ウ） １２，２４，３６，…
となります。
最小公倍数は，公倍数のうち，もっとも小さい数です。
たとえば，４と６の最小公倍数なら，（ウ）の数の中でもっとも小さい，１２になります。
ところで，４と６の最小公倍数である「１２」の倍数を，小さい方から順に書くと，（エ） １２，２４，３６，…
となりますが，（エ）は（ウ）とまったく同じです。
このことから，
公倍数を求めるには，まず最小公倍数を求めて，次にその倍数をどんどん書いていけばよい。
ということがわかりました。
ちょっと練習してみましょう。
例題 ２４と４２の公倍数を，小さい方から順に３つ書きなさい。
解答 まず，２４の倍数をどんどん書いていきます。２４，４８，７２，９６，１２０，１４４，１６８，…
次に，４２の倍数をどんどん書いていきます。４２，８４，１２６，１６８，…
すると，２４の倍数と４２の倍数に共通した数として，「１６８」が見つかりました。
この「１６８」が，２４と４２の最小公倍数です。
あとは，１６８の倍数を，小さい方から順に３つ書けばＯＫです。
よって，答えは １６８，３３６，５０４ となります。
（解答終わり）-1-

前ページの例題のように，とにかく最小公倍数さえ見つけることができたら，公倍数はかんたんに求められることがわかりました。
最小公倍数を求めることは，とても大切な役割を演じていることがわかりましたね。
れんじよほう

ところで，最小公倍数を求めるには，「連除法」という，かんたんな方法があります。
連除法で，２４と４２の最小公倍数を求めてみることにしましょう。
右の図のように，わり算をさかさにしたような形を書きます。

） ２４

４２

両方の数をわることのできる数でわります。
２４と４２なら，両方とも２でわれます。
わった答えを，その下に書きます。

２ ） ２４１２

４２
２１

さらに両方の数をわることのできる数があったら，わります。
いまは，両方とも３でわれます。

２ ） ２４ ４２３ ） １２ ２１
４
７

われなくなったら，右の図のように，左側と下側の数をかけます。
２×３×４×７＝１６８ となり，例題で求めた最小公倍数と一致します。

２ ） ２４ ４２３ ） １２ ２１
４
７わざわざ倍数をどんどん書くよりも，「連除法」の方がずっと楽ですね。
７と９の最小公倍数を求めるときなどの，７と９の両方をわる数がない
ときは，そのまま７と９をかけ算するだけで，最小公倍数になります。
よって，７と９の最小公倍数は，７×９＝６３ です。
３つ以上の数の最小公倍数を求めるときは，注意することがあります。
６と２７と３０の最小公倍数を求める場合を例にして，説明しましょう。
３つの数とも，２でわることができますが，他には３つの数ともわることのできる数はありません。
こういう場合は，
２つでもわり切れる数があったら，わらなければならない。
というきまりがあります。
２や１０は２でわり，２でわり切れない９はそのまま下におろします。
そして，左側と下側の数をかけて，３×２×１×９×５＝２７０ となります。
最小公倍数の求め方
左側と下側のかけ算をする。
３つ以上の場合は，２つでもわれる数があったら，わらなければならない。
そのとき，わり切れない数は，そのまま下におろす。

-2-） ７ × ９

３ ） ６
２

２７ ３０
９ １０

３ ） ６ ２７ ３０
２ ） ２
９ １０
１
９
５

シリーズ５上第１回

くわしい解説約数・公約数・最大公約数□の約数とは，□をわり切る数のことです。
１２の約数について，考えてみましょう。１２は，１，２，３，４，６，１２でわると，割り切れます。
１２÷１＝１２，
１２÷２＝６，
１２÷３＝４，
１２÷４＝３，
１２÷６＝２，
１２÷１２＝１
よって，１２の約数は，（ア） １，２，３，４，６，１２ です。
１８の約数なら，（イ） １，２，３，６，９，１８ です。
公約数とは，共通の約数のことです。
たとえば，１２と１８の公約数なら，（ア）と（イ）の両方に入っている数をさがして，（ウ） １，２，３，６となります。
最大公約数は，公約数のうち，もっとも大きい数です。
たとえば，１２と１８の最大公約数なら，（ウ）の数の中でもっとも大きい，６になります。
ところで，１２と１８の最大公約数である「６」の約数をすべて書くと，（エ） １，２，３，６となりますが，（エ）は（ウ）とまったく同じです。
このことから，
公約数を求めるには，まず最大公約数を求めて，次にその約数を書けばよい。
ということがわかりました。
例題で，点検してみましょう。
例題 ２４と４０の公約数を，すべて書きなさい。
解答 ２４の約数をすべて書くと，１，２，３，４，６，８，１２，２４ です。
４０の約数をすべて書くと，１，２，４，５，８，１０，２０，４０ です。
２４の約数と４０の約数に共通した数は，１，２，４，８ です。
よって，２４と４０の公約数は，１，２，４，８ です。
ところで，２４と４０の最大公約数は８で，８の約数は，１，２，４，８ ですから，
確かに２４と４０の公約数は，最大公約数である８の約数になっています。
（解答終わり）-3-前ページの例題のように，とにかく最大公約数さえ見つけることができたら，公約数はかんたんに求められることがわかりました。
最大公約数を求めることは，とても大切な役割を演じていることがわかりましたね。
れんじよほう

ところで，最大公約数を求めるには，「連除法」という，かんたんな方法があります。
連除法で，１２と１８の最大公約数を求めてみることにしましょう。
右の図のように，わり算をさかさにしたような形を書きます。

） １２

１８

両方の数をわることのできる数でわります。
１２と１８なら，両方とも２でわれます。
わった答えを，その下に書きます。

２ ） １２６

１８９

さらに両方の数をわることのできる数があったら，わります。
いまは，両方とも３でわれます。

２ ） １２ １８
３ ） ６
９
２
３

われなくなったら，右の図のように，左側の数だけをかけます。
２×３＝６ となり，最大公約数は６になります。

２ ） ２４３ ） １２
４

４２
２１
７

１ ） ７

９

３ ） ６
２

２７ ３０
９ １０

わざわざ約数をどんどん書くよりも，「連除法」の方がずっと楽ですね。
７と９の最大公約数を求めるときなどの，７と９の両方をわる数がないときは，７も９も１では割り切れるので，最大公約数は１になります。
３つ以上の数の最大公約数を求めるときは，注意することがあります。
６と２７と３０の最大公約数を求める場合を例にして，説明しましょう。
３つの数とも，３でわることができますが，他には３つの数ともわることのできる数はありません。（２と９の２つだけなら２で割り切れますが。）
こういう場合は，
２つでもわり切れる数があったとしても，わってはいけない。
というきまりがあります。
最小公倍数の場合は，２つでもわってよいというきまりだったので，全然違いますね。
最大公約数の求め方
左側だけかけ算をする。
３つ以上の場合は，全部を割り切る数でないと，わってはいけない。

-4-

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(1)

ワンポイント「最も近い」ということばの意味を理解しましょう。

７の倍数とは，７，１４，２１，２８，……のように，７を整数倍してできる数のことです。
７

たとえば右の図は，７を３倍してできる，２１という７の倍数です。

７２１

このように，７の倍数というのは，７が何個か集まってできる数の
ことです。

７

この問題は，１００に近い７の倍数を求める問題でした。
１００÷７＝１４ あまり ２ ですから，１００の中に７は１４個入っていて，２あまります。
もし１００の中に７が１４個ぴったり入っていたとしたら，
１００は７の倍数なのですが，実際は２あまっているので，
１００は７の倍数ではありません。
ということは，１００から２を取り除いた，１００－２＝９８ なら，
ちょうど７が１４個ぶん入っているので，７の倍数になります。
よって，答えは９８であると考えていいような気がしますが，
じつは，このように求めた９８が，答えにならないことがあるのです。

７

７

７

…
７の倍数

１４個
７

７

７

…
１００

２

９８
７

７

…
１００

７

２

９８という数は，７が１４個ぶんぴったりでした。
ですから，確かに９８は７の倍数です。
でも，７がもう１個あって，７が１５個になっても，７の倍数であることはまちがいありません。
７が１５個のときは，１００をオーバーしてしまいますが，オーバーしても，１００に近ければ，それが答え
なのです。
１０５
９８

７が１４個で９８でしたから，もう１個７があると，
９８＋７＝１０５ になります。
（ ７×１５＝１０５ というやり方もあるし，１００の場合は２あまっていたから，あと７－２＝５ を加えて，１００＋５＝１０５ というやり方もあります。）

７

７

…
１００

７

７
２

こう ほ

結局，１００に近い７の倍数の候補としては，１００よりも小さい９８と，
１００よりも大きい１０５が考えられました。
９８は１００よりも２しか小さくなく，１０５は１００よりも５も大きいので，
１００に最も近い数は，９８になります。

-5-

98

100
２

105
５

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(2)

ワンポイント

約数を一気に２つずつゲットしていく方法をマスターしましょう。

とつぜんですが，６０は４でわり切れます。６０÷４＝１５ となります。
よって，４は６０の約数です。
ところが，６０÷４＝１５ という式から，６０÷１５＝４ ということもわかります。
よって，１５も６０の約数になります。
このように，１つ約数がわかれば，わり算をすることで，約数がもう１つわかってきます。
このことを考えて，約数をどんどん求めてみます。
まず，６０÷１＝６０ ですから，６０の約数として，１と６０をゲットできます。
次に，６０÷２＝３０ ですから，２と３０をゲットできます。
さらに，６０÷３＝２０ ですから，３と２０もゲットできます。
６０÷４＝１５ は，すでにやりましたね。これで，４と１５もゲットしました。
６０÷５＝１２ ですから，５と１２をゲット。
６０÷６＝１０ ですから，６と１０をゲット。
６と１０のあいだには，７，８，９しか数がありませんが，どれも６０をわり切ることはできません。
以上のことから，６０の約数は，１，２，３，４，５，６，１０，１２，１５，２０，３０，６０の１２個です。
（補足…上の説明では，約数をすべて書いて，その個数を数えて求めたのですが，５年上第１４回
では他の方法を学習します。お楽しみに！）-6-

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(3)

ワンポイント

とても基本問題とは思えない，まちがいやすい問題です。しっかり理解してください。

まず，５０をわるのか，５０でわるのか，その違いに気をつけましょう。
「５０をわると５あまる」というのは，たとえば５０円のお金を持っていて，そのお金で，１個何円かのあめを，できるだけたくさん買うことにします。
すると，最後に残ったお金が，５円になる，ということです。
では１個何円のあめを買ったでしょう，という問題です。

５０
□

□

…
５０

□

□

…
５０

…

５

□に入る数は，５０の約数ではありません。なぜなら，□は５０をぴったりわり切る数ではないからです。（ぴったりわり切る数を，約数というのでしたね。）
でも，□は ５０－５＝４５ なら，ぴったりわり切ります。
つまり，□は４５の約数なのです。
４５÷１＝４５ → １ と ４５４５÷３＝１５ → ３ と １５４５÷５＝９→ ５ と ９

４５
□

□

…
５０

…

５

よって，４５の約数は，１，３，５，９，１５，４５ の，６個です。
しかし，この６個がすべて答えになるわけではありません。
なぜなら，「最後に残ったお金が，５円になる。」という条件に合わない答えがあるからです。
最後に５円残る，ということは，１個のねだんは，５円よりも高いはずです。
なぜなら，１個が５円以下だと，残っている５円で，もっとあめを買えてしまうからです。
よって，１個のねだんは，４５の約数である１，３，５，９，１５，４５のうち，５より大きい，９，１５，４５の３個のみが答えになります。
このような問題の解き方を整理しておきます。
５０をわると５あまる数を求める
５０円お金を持っていて，品物をできるだけたくさん買うことにすると，５円あまる。
５０－５＝４５ の約数。
あまりの「５」よりも大きいものだけが答えになる。（５もダメ）-7-

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(4)

ワンポイント「とりあえずひき算をしてみる」という，ウラわざがあります。

① ５６と６３の両方とも，「７の段の九九」にありますから，７でわれます。
よって，右のような連除法により，答えは７になります。
（最大公約数は，左側だけのかけ算です。最小公倍数とまちがわないようにしましょう。）

７ ） ５６８

６３
９

なお，わる数がすぐ見つからない場合は，「とりあえずひき算をしてみる」と，うまくいく場合がかなりあります。
この問題の場合も，ひき算をすると ６３－５６＝７ となり，その７でわることができます。

② ５２と７８の両方とも，２でわれることはすぐわかります。
２でわると，２６と３９になりました。
２６と３９は，両方とも何でわれるかが，なかなかわかりにくいです。

２ ） ５２２６７８３９こういうときは，片方だけでもとりあえずなにかでわってみる，という方法があります。
２６の方は，とりあえず２でわれます。２でわると，２６÷２＝１３ となります。
ということは，２６は２でわれますが，１３でもわれることがわかります。
この１３で３９の方もわってみると，３９÷１３＝３ となり，われることがわかりました。
よって，右のような連除法により，
答えは ２×１３＝２６ です。

２ ） ５２ ７８
１３ ） ２６ ３９
２
３

なお，わる数がすぐ見つからない場合は，「とりあえずひき算をしてみる」と，うまくいく場合がかなりあります。
この問題の場合も，ひき算をすると ７８－５２＝２６ となり，その２６でわることができます。

③ ３つの数の最大公約数を求める問題です。
この場合も連除法で求めます。
答えは ２×２×３＝１２ です。

２ ） ８４２ ） ４２３ ） ２１
７

９６ １０８
４８
５４
２４
２７
８
９

なお，わる数がすぐ見つからない場合は，「とりあえずひき算をしてみる」と，うまくいく場合がかなりあります。
この問題の場合も，ひき算をすると ９６－８４＝１２，１０８－９６＝１２ となり，その１２でわることが
できます。

-8-

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(5)

ワンポイント

３つ以上の数の最小公倍数を求める場合，「２つでもわってよい」ことに注意しましょう。

① ４と７の両方をわる数がないときは，そのまま４と７をかけ算するだけ） ４ × ７で，最小公倍数になります。
よって，４と７の最小公倍数は，４×７＝２８ です。

② 右のような連除法になり，

３ ） ３６ ４５３ ） １２ １５４５

最小公倍数を求めるときは，左側と下側のかけ算をするので，３×３×４×５＝１８０ です。

③ ３つの数の最小公倍数を求める問題です。
この場合も連除法で求めます。
３つともわれる数でわった状態が，右の図です。
しかしここでわり算を終わらせてはいけません。なぜなら，

２ ）
２ ）

８ １２ １６
４
６
８
２
３
４

最小公倍数を求める場合は，２つでもわれる数があったらわらなければならない。
そのとき，わり切れない数は，そのまま下におろす。
というきまりがあるからです。
この問題の場合も，２と４だけは，２でわれます。
わり切れない３は，そのまま下におろします。
すると，右のような連除法になり，最小公倍数は，２×２×２×１×３×２＝４８ です。

-9-２ ） ８ １２ １６
２ ） ４
６
８
２ ） ２
３
４
１
３
２

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(6)

ワンポイント

最大公約数，最小公倍数の求め方をしっかりマスターしておきましょう。

公約数を求めるときは，まず最大公約数を求めます。
次に，その最大公約数の約数をすべて書けばＯＫです。
２８と４２の最大公約数は，右の連除法の左側だけをかけ算するので，
２×７＝１４ です。
１４の約数は，
１４÷１＝１４ → １と１４
１４÷２＝７→ ２と ７２ ） ２８ ４２
７ ） 1４ ２１
２
３

よって，２８と４２の公約数は，１，２，７，１４ です。
これが，アの答えです。
公倍数を求めるときは，まず最小公倍数を求めます。
次に，その最小公倍数の倍数を書いていけばＯＫです。
２８と４２の最小公倍数は，右の連除法の左側と下側をかけ算
して，２×７×２×３＝８４ です。
８４の倍数を小さい方から順に３つ書くと，８４，１６８，２５２ です。
これが，イの答えです。
（注意…８４の倍数を書くときに，８４，１６８の次に，ついつい１６８を２倍して３３６にするミスが多いので，注意しましょう。）- 10 -

２ ） ２８ ４２
７ ） 1４ ２１
２
３

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(7)

ワンポイント

１００をオーバーした方が近いこともあるので，注意しましょう。
８８
８「８でわるとわり切れる」数というのは，右の図のように，…
８が何個か集まってできる数のことです。「８の倍数」とも
８でわり切れるいいます。
「ひも」を例にすると，８cmずつ切っていくと，あまりなく切ることのできる長さです。

「８でわると１あまる」数というのは，ひもを例にすると，８cmずつ切っていくと，最後に１cmあまる長さのことです。

８

８ １
…
８でわると１あまる

１００÷８＝１２ あまり ４ ですから，１００の場合は８でわると４もあまってしまいます。これでは，あまりすぎです。

８

８

…
１００

８

８

８

…
９７

８ １

４もあまっている状態から，１だけあまっている状態にするためには，
４－１＝３ だけ小さくする必要があるので，１００－３＝９７ ならＯＫです。

８

４

１２個

９７÷８＝１２ あまり １ ですから，確かに９７は，８でわると１あまります。

８

８

８ １

…
９７

ところが，答えは必ず９７であるとは限りません。
なぜなら，この問題は「１００に最も近い」と書いてありました。
別に１００をオーバーしていても，１００に近ければよいわけですから，
１００をオーバーした場合も考えなければなりません。
９７の場合は，８が１２個ぶん入っていましたが，８が１３個ぶんあったら，右の図のようになります。
９７よりも，８が１個ぶんだけ大きい数になるので，９７＋８＝１０５になります。

９７は１００よりも３しか小さくなく，１０５は１００よりも５も大きいので，
１００に最も近いのは，９７になります。

- 11 -

１３個
８

８

８

97

100

８ １

…
９７
１０５

３

105
５

シリーズ５上第１回

基本 1

くわしい解説(8)

ワンポイント「答えが出るまで書きまくる」がんばりが必要です。

６でわると２あまる数を小さい方からどんどん書いていき，「５の倍数」が出たらそこでストップ。それが答えになります。
ところで，５の倍数にはどういうとくちょうがあるか，わかりますか？
５の倍数を小さい方から書くと，５，１０，１５，２０，…となります。
とつぜん大きい数で，たとえば２７９５も５の倍数，１６３８０も５の倍数です。
それに対して，１３８は５の倍数ではありません。
５の倍数であるかどうかを判断するのは，とてもかんたん，一の位が「０」か「５」であれば５の倍数，でなければ５の倍数ではない，ということです。
ということは，この問題は，まず「６でわると２あまる数」を小さい方からどんどん書いていき，一の位が「０」か「５」の数が出たら，そこでストップすればよいことになります。
では，「６でわると２あまる数」を，小さい方からどんどん書いていきましょう。
まず，最も小さい数は，「２」です。 （よく，８であるとかんちがいしやすいので，注意しましょう。）
確かに２は，２÷６＝０ あまり ２ ですから，６でわると２あまります。
次の，「６でわると２あまる数」は，８です。
確かに８は，８÷６＝１ あまり ２ ですから，６でわると２あまります。
「６でわると２あまる数」を，小さい方から順に書くと，次のようになります。
２，８，１４，…
このように，「６でわると２あまる数」を順に書くときは，まず，あまりの「２」を書き，次に「６でわると」の「６」を，どんどんプラスすることで，どんどん書くことができます。
あまり↓
２ ，８ ，１４，……
＋６ ＋６

このように書いていくと，１４の次の数は，２０です。
２０は，一の位が「０」なので，５の倍数です。
よって，６でわると２あまる数のうち，最も小さい５の倍数は，２０になります。

- 12 -

シリーズ５上第１回

基本 2

くわしい解説(1)

ワンポイント

ベン図を書いて解くのが基本です。

このような問題では，右図のような「ベン図」を書いて考えましょう。

１ ～ １００
２で３で

２でも３でもわり切れる数というのは，右図のかげをつけた部分です。
（ア） ２でわり切れる数…２，４，６，８，１０，１２，…
（イ） ３でわり切れる数…３，６，９，１２，１５，…
２でも３でもわり切れる数は，（ア）と（イ）に共通した数なので，６，１２，…となります。
つまり，２でも３でもわり切れる数は，６でわり切れる数になります。
（かっこ良く言うと，「２と３の公倍数は，最小公倍数である６の倍数になる」ということです。）
ですから，１００の中に，６が何回入っているか，というわり算になります。
１００÷６＝１６ あまり ４ ですから，１００の中に６は１６回入っています。
よって，１から１００までの中に，２でも３でもわり切れる数は，１６個あることになります。

- 13 -

６

６

…
１００
１６回

６

６

…
１００

６ ４

シリーズ５上第１回

基本 2

(2)

ワンポイント

ベン図を書いて，どこの個数を求めるのかを理解しましょう。

２でも３でもわり切れる数は，右図のかげをつけた部分になって，１６個であることが(1)でわかりました。

２でわり切れるが３ではわり切れない数は，右図のかげをつけた部分になります。
ここの個数は，２でわり切れる数の個数から，１６個をひいた残りになります。

１ ～ １００
２で
３で

１ ～ １００
２で３で１６
個

２でわり切れる数は，１００の中に２が何回入っているか，ということですから，１００÷２＝５０（個）です。
よって，２でわり切れるが３ではわり切れない数は，５０－１６＝３４（個）になります。

基本 2

(3)

３でわり切れるが２ではわり切れない数は，右図のかげをつけた部分になります。
ここの個数は，３でわり切れる数の個数から，１６個をひいた残りになります。

１ ～ １００
２で３で１６
個

３でわり切れる数は，１００の中に３が何回入っているか，ということですから，１００÷３＝３３ あまり １ により，３３個です。
よって，３でわり切れるが２ではわり切れない数は，３３－１６＝１７（個）になります。

- 14 -

くわしい解説シリーズ５上第１回

基本 2

(4)

ワンポイント(1)～(3)で求めた個数を，ベン図に書いてから問題を解きましょう。

(1)で，２でも３でもわり切れる数は１６個とわかり，

１ ～ １００２で３で１６個(2)で，２でわり切れるが３でわり切れない数は３４個ある
ことがわかり，

１ ～ １００２で３で３４
個(3)で，３でわり切れるが２でわり切れない数は１７個ある
ことがわかりました。

１ ～ １００２で３で３４
個(4)では，２でも３でもわり切れない数の個数を求める問題ですから，右図のかげをつけた部分になります。
白い部分の個数は ３４＋１６＋１７＝６７（個）で，このベン図全体の個数は，１から１００までの１００個ですから，２でも３でもわり切れない数の個数は，
１００－６７＝３３（個）になります。

- 15 -

１６
個

１６
個

１７
個

１ ～ １００
２で
３で
３４
個

１６
個

１７
個

くわしい解説シリーズ５上第１回

基本 2

くわしい解説(5)

ワンポイント

倍数・公倍数・最小公倍数について，しっかり理解できているかどうかがポイントです。

２でも３でも５でもわり切れる数は，右図のかげをつけた部分になります。
この部分は，２の倍数でも３の倍数でも５の倍数でもあるので，２と３と５の公倍数になります。

１ ～ １００
２で３で

５で２と３と５の最小公倍数は，たとえ２つでもともにわれる数がないので，そのままかけ算をして ２×３×５＝３０ です。

）２ × ３ × ５

よってこの問題は，１から１００までの中で，３０でわり切れる数が何個あるか，という問題になります。
１００÷３０＝３ あまり １０ ですから，１００までの中に３０は３回入っています。
よって，２でも３でも５でもわり切れる数は，３個あることになります。

- 16 -

シリーズ５上第１回

基本 3

(1)

ワンポイント等差数列の知識を使って解きましょう。

等差数列には，２つの公式があります。
（ア）（イ）

Ｎ番目の数＝はじめ＋増える×（Ｎ－１）
Ｎ番目までの和＝（はじめ＋おわり）×Ｎ÷２

少し似ている公式なので，混乱しないように気をつけましょう。
この問題は，次のような数列が登場しています。
５， １２， １９， ２６， ３３，……
この数列は，７ずつ増えている，等差数列です。
この数列の，１０番目の数を求める問題ですから，上の公式の（ア）を利用します。
（ア）

Ｎ番目の数＝はじめ＋増える×（Ｎ－１）

「はじめ」は５，「増える」は７ずつ増えているから７，Ｎは１０番目だから１０にします。
すると，１０番目の数＝ ５ ＋ ７ ×（１０－１）＝５＋７×９＝５＋６３＝６８
Ｎ番目の数＝はじめ＋増える×（ Ｎ－１）
よって，１０番目の数は６８になります。

- 17 -

くわしい解説シリーズ５上第１回

基本 3

くわしい解説(2)

ワンポイント等差数列の知識を使ってもできますが，倍数の考え方で説明します。

「７でわるとわり切れる」数というのは，右の図のように，７が何個か集まってできる数のことです。「７の倍数」とも
いいます。

７

７

…
７でわり切れる

７「ひも」を例にすると，７cmずつ切っていくと，あまりなく切ることのできる長さです。
「７でわると５あまる」数というのは，ひもを例にすると，７cmずつ切っていくと，最後に５cmあまる長さのことです。

７

７

１００÷７＝１４ あまり ２ ですから，１００の場合は７でわると２しかあまっていません。これでは，たりません。

７

７

…
１００

７ ２

７

７

…
１０３

７

２しかあまっていない状態から，５だけあまっている状態にする
ためには，５－２＝３ だけ大きくする必要があるので，
１００＋３＝１０３ ならＯＫです。

７…
７でわると５あまる

５

５

１０３÷７＝１４ あまり ５ ですから，確かに１０３は，７でわると５あまります。
ところが，答えは必ず１０３であるとは限りません。
なぜなら，この問題は「１００に最も近い」と書いてありました。
別に１００より小さくても，１００に近ければよいわけですから，１００より小さい場合も考えなければなりま
せん。
１４個

１０３の場合は，７が１４個ぶん入っていましたが，

７

７

…
１０３

７

５

７

５

１３個

７が１３個ぶんの場合は，右の図のようになります。

７

７

…
９６
１０３

１０３よりも，７が１個ぶんだけ少ない数になるので，１０３－７＝９６になります。
１０３は１００よりも３しか大きくなく，９６は１００よりも４も小さいので，１００に最も近いのは，１０３になります。

- 18 -

シリーズ５上第１回

基本 4

くわしい解説(1)

ワンポイント「６でわっても９でわっても」というところの言い換えを考えましょう。

まず，「６でわっても９でわってもわり切れる」という数のことを，考えてみましょう。
はじめに，めんどうな方法から。
６でわるとわり切れる数は，６，１２，１８，２４，３０，３６，…です。
９でわるとわり切れる数は，９，１８，２７，３６，４５，５４，…です。
両方に共通の数は，１８，３６，…です。
よって，「６でわっても９でわってもわり切れる」数は，１８，３６，…という数です。
これらの数は，「１８でわるとわり切れる数」になっています。
次に，かんたんな方法を。
６でわり切れる数は，６の倍数。９でわり切れる数は，９の倍数。
よって，６でも９でもわり切れる数は，６と９の公倍数。
最小公倍数は１８なので，「１８でわるとわり切れる数」になります。
以上のことから，「６でわっても９でわってもわり切れる」数は，「１８でわるとわり切れる数」であることがわかりました。
実際の問題は，「６でわっても９でわっても２あまる数」でした。
この問題文の，「６でもわっても９でわっても」という部分を，「１８でわると」と言い換えます。
すると，「１８でわると２あまる数」を求めればよいことになります。
あとの解き方は，基本 1 (8)の解き方と同じです。
基本 1 (8)では，「６でわると２あまる数」を順に書いていきました。
その書き方は，まず，あまりの「２」を書き，次に「６でわると」の「６」を，どんどんプラスすることで，どんどん書くことができる，という書き方でした。
あまり↓

２ ，８ ，１４，……
＋６ ＋６

この問題も，「１８でわると２あまる」のですから，まず，あまりの「２」を書き，次に「１８でわると」の「１８」を，どんどんプラスすることで，どんどん書くことができます。
あまり↓
２ ，２０ ，３８，……
＋１８ ＋１８ですから，一番小さい２けたの数は，２０になります。

- 19 -

シリーズ５上第１回

基本 4

くわしい解説(2)

ワンポイント

たいした個数じゃない場合は，全部書いてしまいましょう。

「６でわっても９でわっても２あまる」というのは，６と９の最小公倍数が１８であることから言い換えると，「１８でわると２あまる」ということが，(1)でわかりました。
このような数は，無限にあります。しかしこの問題の場合は，「２けたの整数」という条件がついています。
２けたの整数は，全部書いても１０から９９までの９０個。たいした数ではありません。
よって，全部書いて個数を数える解き方がオススメです。
「１８でわると２あまる」のですから，まず，あまりの「２」を書き，次に「１８でわると」の「１８」を，どんどんプラスすることで，どんどん書くことができます。
あまり↓
２ ，２０ ，３８ ，５６ ，７４ ，９２ ，１１０ ，……
＋１８ ＋１８＋１８ ＋１８＋１８ ＋１８

これらの数の中で，２けたなのは，２０，３８，５６，７４，９２の５個になります。

- 20 -

シリーズ５上第１回

練習 1

くわしい解説(1)

ワンポイント「１２でも１６でもわり切れる数」とは，どのような数でしょう。

① １２でわり切れる数は，１２の倍数です。
１６でわり切れる数は，１６の倍数です。
ですから，「１２でも１６でもわり切れる数」は，１２と１６の公倍数になります。
１２と１６の最小公倍数は４８ですから，１２と１６の公倍数は，４８の倍数になります。
結局この問題は，「１から９９９までの整数のうち，４８でわり切れる整数で，最も大きい数」を求める問題になります。
９９９÷４８＝２０ あまり ３９ ですから，９９９は４８でわり切れず，
３９あまってしまいます。

４８

４８

…
９９９

４８ ３９

ということは，３９がじゃまですから，３９をとりのぞいてしまえば，４８でわり切れます。
つまり，９９９－３９＝９６０ が，最も大きい数になります。
（４８×２０＝９６０ という方法でもＯＫです。）② １から９９９までの中に，４８でわり切れる数が何個あるか，という問題です。
たとえば１から２０までの中に，３でわれる数は，３，６，９，１２，１５，１８の６個あります。
これを計算で求めると，２０の中に３が何回入っているか，ということですから，
２０÷３＝６ あまり ２ により，６個になります。
同じように，１から９９９までの中の４８でわり切れる数は，９９９÷４８＝２０ あまり ３９２０個になります。

- 21 -により，

シリーズ５上第１回

練習 1

くわしい解説(2)

ワンポイント

ベン図の登場です。

右のベン図のマルは，それぞれ１２・１６・１８でわり切れる数を表しています。

１ ～ ９９９
１２で
１６で

１８で

「１２でも１６でもわり切れて，１８ではわり切れない数」は，右図のかげをつけた部分（ア）になります。
（ア）は，１２でも１６でもわり切れる数（ア＋イ）の個数から，
１２でも１６でも１８でもわり切れる数（イ）の個数を引いた，
残りの個数になります。

１ ～ ９９９
１２で
１６で
ア
イ

１８で

（ア＋イ）は，１２でも１６でもわり切れる数でした。
１２と１６の最小公倍数は４８ですから，
９９９÷４８＝２０ あまり ３９
よって，（ア＋イ）の個数は，２０個です。

１ ～ ９９９
１２で
１６で
ア
イ

１８で

（イ）は，１２でも１６でも１８でもわり切れる数でした。
１２と１６と１８の最小公倍数は１４４ですから，
９９９÷１４４＝６ あまり １３５
よって，（イ）の個数は，６個です。

１ ～ ９９９
１２で
１６で
ア
イ

以上のことから，（ア）の個数は，２０－６＝１４（個）に
なります。
１８で

- 22 -

シリーズ５上第１回

練習 2

くわしい解説(1)

ワンポイント

この問題が解けなかったときは，基本 1 (3)の復習をしましょう。

基本 1 (3)で，「５０をわると５あまる数は全部で何個か」という問題を解きました。
その解き方を整理すると，以下のようになりました。
５０をわると５あまる数を求める
５０円お金を持っていて，品物をできるだけたくさん買うことにすると，５円あまる。
５０－５＝４５ の約数。
あまりの「５」よりも大きいものだけが答えになる。（５もダメ）

この問題の場合も，同じように解いていきます。
まず，「１０７と１７０をある数でわると，どちらも２あまる」という問題文に注意しましょう。
これは，「１０７をわると２あまる」し，「１７０をわっても２あまる」という意味です。
よって，１０７－２＝１０５ の約数でもあるし，１７０－２＝１６８ の約数でもあります。
つまり，１０５と１６８の公約数になります。
１０５と１６８の最大公約数は２１ですから，２１の約数を求めることになります。
２１÷１＝２１，２１÷３＝７ ですから，２１の約数は，１，３，７，２１です。
ところが，あまりである「２」よりも大きいものだけが答えになるので，３，７，２１の３個が正解です。
また，これらの整数のうち，最も大きい数は２１です。

- 23 -

シリーズ５上第１回

練習 2

くわしい解説(2)

ワンポイント「７でわっても１１でわっても」という問題文の言い換えがポイントです。

まず，「７でわっても１１でわってもわり切れる」という数のことを，考えてみましょう。
７でわり切れる数は，７の倍数。１１でわり切れる数は，１１の倍数。
よって，７でも１１でもわり切れる数は，７と１１の公倍数。
最小公倍数は７７なので，「７７でわるとわり切れる数」になります。
以上のことから，「７でわっても１１でわってもわり切れる」数は，「７７でわるとわり切れる数」であることがわかりました。
実際の問題は，「７でわっても１１でわっても２あまる数」でした。
この問題文の，「７でもわっても１１でわっても」という部分を，「７７でわると」と言い換えます。
すると，「７７でわると２あまる数」を求めればよいことになります。
「７７でわると２あまる」のですから，まず，あまりの「２」を書き，次に「７７でわると」の「７７」を，どんどんプラスすることで，どんどん書くことができます。
あまり↓
２ ，７９ ，１５６ ，２３３ ，……
＋７７ ＋７７ ＋７７

すると，３けたの数で，最も小さい数は１５６であることがわかりました。
次に，最も大きい数を求めます。これも，どんどん７７をプラスしていけば，いつかは最も大きい数が求められますね。しかし，ちょっとずつ増やしていっても，なかなか最も大きい数に到達しないかも知れません。
こういう場合は，一気に７７の１０倍の７７０とか，ガーッとプラスしてしまうことをオススメします。
あまり↓
２ ，７９ ，１５６ ，２３３ ，…………，１００３＋７７ ＋７７ ＋７７＋７７０

そうすると，２３３＋７７０＝１００３ となりました。これは４けたになってしまって，ちょっと大きすぎました。
こういう場合は，１００３から，７７を引いていって，ちょうどいい数にします。
あまり
－７７
↓
２ ，７９ ，１５６ ，２３３ ，……，９２６，１００３＋７７ ＋７７ ＋７７＋７７０

９２６なら，３けたなのでＯＫです。
よって最も大きい数は，９２６になります。

- 24 -

シリーズ５上第１回

練習 3

くわしい解説(1)

ワンポイント

最も小さい数を求める，カンタンな方法はありません。「やるしかない」のです。

まず，最も小さい数を求めましょう。
「６でわると４あまる」数は，まず，あまりの「４」を書き，次に「６でわると」の「６」を，どんどんプラスすることで，どんどん書くことができます。
あまり↓
４ ，１０ ，１６，……
＋６＋６「９でわると１あまる」数も，まず，あまりの「１」を書き，次に「９でわると」の「９」を，どんどんプラスすることで，どんどん書くことができます。
あまり↓
１ ，１０ ，１９，……
＋９＋９両方の数列をよく見ると，両方に「１０」という数が入っていることがわかります。
よって，最も小さい数は１０であることがわかりました。
最も小さい数は１０であることがわかりましたが，さて次の数は何でしょうか。
それは，図を書くことでわかってきます。
「６でわると４あまる」数は，右図のように４からスタート
して，６ずつピョンピョン飛んでいくイメージです。
「９でわると１あまる」数は，右図のように１からスタート
して，９ずつピョンピョン飛んでいくイメージです。
１０から，「６ピョン」と「９ピョン」，とはねていって，
いつまた同じ場所に着地するか，ということになります。

６

６ ６ …

4 10 16 22
９
1

９
10

９ …
19

28

６

６ ６ …

９

９

９ …

10
１８
１８
６と９の最小公倍数は１８ですから，１０から１８ピョンして，…
１０＋１８＝２８ のところに着地，次は，２８＋１８＝４６ のところに着地，ということをくり返します。
10
２８
４６
１０，２８，４６，…… という，等差数列になります。
この等差数列の，５番目を求める問題です。
５番目までくらい，全部書いてもたいしたことはありませんが，公式で求めると，次のようになります。
５番目の数＝はじめ＋ふえる×（Ｎ－１）＝１０＋１８×（５－１）＝１０＋１８×４＝１０＋７２＝８２。

- 25 -

シリーズ５上第１回

練習 3

くわしい解説(2)

ワンポイント等差数列のＮ番目の公式を使って求めましょう。

「６でわると４あまり，９でわると１あまる」数は，(1)により，次のような等差数列になることがわかりました。
１０，２８，４６，…
この数列の中で，２００に最も近い数を求めるのが，(2)の問題です。
等差数列の，Ｎ番目の公式を使って求めましょう。
Ｎ番目の数＝はじめ＋増える×（Ｎ－１）
数列 １０，２８，４６，…
かを求めるのですから，の，はじめの数は１０で，増える数は１８です。何番目に２００が登場する

１０＋１８×（Ｎ－１）＝２００
あとは逆算をしていきます。
２００－１０＝１９０
１９０÷１８＝１０.５… 四捨五入して，１１
１１＋１＝１２
よって，１２番目の数が，２００に最も近い数です。
もう一度公式にあてはめて，最も近い数を求めます。Ｎは１２にします。
１２番目の数＝１０＋１８×（１２－１）＝２０８
よって，２００に最も近い数は，２０８になります。

- 26 -

シリーズ５上第１回

練習 3

くわしい解説(3)

ワンポイント

大変まちがいやすい問題です。この問題をミスなく解けたら，かなりの実力です。

３けたの数というのは，１００から９９９までです。
１からではなく，途中から始まっているので考えにくいですね。

１００ ，１０１ ，１０２，……， ９９９

こういう場合は，１から９９までを，無理矢理
１ ，２ ，…， ９９， １００ ，１０１ ，１０２，……， ９９９
くっつけます。
そうすると，１から９９９まで，ちゃんとそろうのです。
くっつけるのは，１から９９までであって，
１から１００までではありません。
１から１００までをくっつけてしまうと，
１００がダブってしまうので，よくないのです。

１ ，２ ，…， ９９，１００， １００ ，１０１ ，１０２，……， ９９９
ダブる

１から９９９までの中に，数列に登場する
１ ，２ ，…， ９９， １００ ，１０１ ，１０２，……， ９９９数は，何個あるのでしょう。
このことは，９９９が，数列 １０，２８，４６，…の中の，何番目の数かがわかればよいのと同じです。
もし９９９が１２番目の数だとしたら，９９９までに１２個あることがわかる，ということです。
そこで，９９９がＮ番目の数であるとして，等差数列の公式を利用しましょう。
Ｎ番目の数＝はじめ＋増える×（Ｎ－１）
１０＋１８×（Ｎ－１）＝９９９ となります。あとは逆算です。
９９９－１０＝９８９９８９÷１８＝５４.９… ここは四捨五入ではなく切り捨てして，５４にします。
５４＋１＝５５
よって，９９９までの中に，数列に登場する数は５５個あることがわかりました。
ところで，逆算の途中で，四捨五入ではなく切り捨てをしましたね。なぜそうしたか，わかりますか？
もし切り上げをしたら，５４.９…は５５になり，Ｎ－１が５５ですから，Ｎは５６です。
すると，５６番目の数＝１０＋１８×（５６－１）＝１０００ となり，９９９をオーバーしてしまうからです。
ここ次に，１から９９までの中に，数列に登場
１，２，…，
９９， １００ ，１０１ ，１０２，……， ９９９する数が何個あるかを求めましょう。
ふたたび９９がＮ番目の数であるとして，
１０＋１８×（Ｎ－１）＝９９
９９－１０＝８９８９÷１８＝４.９… また切り捨てして，４にします。
５５個
５個
４＋１＝５
１ ，２ ，…， ９９， １００ ，１０１ ，１０２，……， ９９９
よって，９９までの中に，５個あります。
結局，１から９９９までには５５個，１から９９までには５個ですから，１００から９９９までには，５５－５＝５０（個）あります。

- 27 -

シリーズ５上第１回

練習 4

くわしい解説(1)

ワンポイントとにかくどんどん書いていくことが大切です。

３本ずつたばねると２本あまるということは，「３でわると２あまる」ことと同じです。
あまり↓
２ ，５ ，８ ，１１ ，１４ ，……
＋３ ＋３ ＋３ ＋３５本ずつたばねると４本あまるということは，「５でわると４あまる」ことと同じです。
あまり↓
４ ，９ ，１４ ，……
＋５ ＋５

すると，両方の数列に，１４が共通して入っていることがわかります。
よって，「３でわると２あまり，５でわると４あまる，最も小さい数」は１４であることがわかります。
最も小さい数は１４であることがわかりましたが，さて次の数は何でしょうか。
それは，図を書くことでわかってきます。
「３でわると２あまる」数は，右図のように１４からスタート
して，３ずつピョンピョン飛んでいくイメージです。
「５でわると４あまる」数は，右図のように１４からスタート
して，５ずつピョンピョン飛んでいくイメージです。
１４から，「３ピョン」と「５ピョン」，とはねていって，
いつまた同じ場所に着地するか，ということになります。

３

３ ３ …

14 17 20 25
５
14

５

５ …

19

24

３

３ ３ …

５

５

29

５ …

14

３と５の最小公倍数は１５ですから，１４から１５ピョンして，
１４＋１５＝２９ のところに着地，次は，２９＋１５＝４４ のところに着地，ということをくり返します。
（ア） １４，２９，４４，…… という，等差数列になります。

１５
１４

１５
２９

…
４４

ところで問題文には，「１５本ずつたばねると５つのたばができて何本かあまる。」と書いてありました。
５つのたばができるということは，１５×５＝７５（本）はあり，６つのたばまではできないので，
１５×６＝９０（本）はない，つまり，８９本まで，ということがわかります。
つまり，えんぴつの本数は，７５本以上８９本以下，という範囲であることがわかります。
（ア）の数列を書いていくと，１４，２９，４４，５９，７４，８９，１０４…となり，範囲に入っているのは８９本だけです。よって，答えは８９本であることがわかりました。

- 28 -

シリーズ５上第１回

練習 4

くわしい解説(2)

ワンポイント

練習 3 や，練習 4 (1)と同様に，ピョンピョン飛んでいきましょう。

３人ずつ分けていくと，１人あまるような数は，次のような数列になります。
あまり↓
１ ，４ ，７ ，……
＋３ ＋３

４人ずつ分けていくと，１人あまるような数は，次のような数列になります。
あまり↓
１ ，５ ，９ ，……
＋４ ＋４両方の数列に共通する，最も小さい数は，１です。
３

３人ずつ分けていくと，１人あまるような数は，１から３ずつピョンピョンしてできる数です。

３ ３ …

1

４ ７ 10
４

４人ずつ分けていくと，１人あまるような数は，１から４ずつピョンピョンしてできる数です。

４

1

よって，「３人ずつ分けると１人あまり，４人ずつ分けても１人あまる数」というのは，１から３ずつピョン，
４ずつピョンして，同じ場所に着地するのはどこか，という問題と同じです。
３と４の最小公倍数は１２なので，１から１２ピョンして，
１＋１２＝１３，さらに１２ピョンして，１３＋１２＝２５，ということをくり返します。

４ …

５

９

３

３ ３ …

４

４

14

４ …

1
１２
１

１２
１３

…
２５

よって，「３人ずつ分けると１人あまり，４人ずつ分けても１人あまる数」というのは，１から始まって，１２ずつ増える等差数列になります。
１，１３，２５，…
しかも，７人ずつ分けるとあまりなく分けられなければならないのですから，この数列を，７でわり切れる
数が出てくるまで，どんどん書いていく必要があります。
１，１３，２５，３７，４９，…
１２
１２
１２
１２
よって，「３人ずつ分けると１人あまり，４人ずつ分けても１人あまり，しかも，７人ずつ分けるとあま
１
１３
２５
３７
４９
りなく分けられる」数の中で，最も小さい数は「４９」７でわり切れるであることがわかりました。
（次のページへ）- 29 -

１２

４９からあとも，１２ずつピョンピョンはくり返されます。
また，７でわり切れる数は７ずつピョン
ピョン飛んでいきます。

７

１２

１２
７

７

７

１２
７

…
…

４９

８４
すると，１２と７の最小公倍数は８４ですから，８４だけ飛ぶと，同じ場所で着地することになります。
４９
１３３
その場所は，４９＋８４＝１３３ です。
１３３は，１００以上２００以下の条件に合っています。
さらにその次に同じ場所で着地するのは，１３３＋８４＝２１７ ですが，これは条件に合いません。

結局，１００以上２００以下という条件にぴったり合うのは，１３３人の場合だけですから，これが答えになります。

- 30 -

シリーズ５上第１回

練習 5

くわしい解説(1)

ワンポイント

時間の単位には，時間・分・秒があります。これを秒にそろえて解いていきましょう。

Ａは１分２０秒ごとに印刷します。１分は６０秒ですから，６０＋２０＝８０（秒）ごとに印刷します。
Ｂは１分１２秒ごとに印刷します。１分は６０秒ですから，６０＋１２＝７２（秒）ごとに印刷します。
１時間は６０分で，１分は６０秒ですから，１時間は，６０×６０＝３６００（秒）です。
１時間＝３６００秒のあいだに，Ａは８０秒ごとに印刷するのですから，３６００÷８０＝４５（枚）を印刷します。
１時間＝３６００秒のあいだに，Ｂは７２秒ごとに印刷するのですから，３６００÷７２＝５０（枚）を印刷します。
結局，Ａは４５枚，Ｂは５０枚印刷しますから，全部で ４５＋５０＝９５（枚）を印刷します。

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シリーズ５上第１回

練習 5

くわしい解説(2)

ワンポイント

最小公倍数を１セットとする解き方になれましょう。

Ａは８０秒ごとに１枚，Ｂは７２秒ごとに１枚印刷するのでした。

８０秒

８０秒

８０秒

８０秒

…

７２秒 ７２秒 ７２秒 ７２秒 ７２秒 …
スタート

８０と７２の最小公倍数は７２０ですから，
７２０秒のときに，ＡもＢも同時に印刷します。
そこで，７２０秒を１セットにして，考えていきましょう。
１セット＝７２０秒のあいだに，Ａは ７２０÷８０＝９（枚）を印刷します。
１セット＝７２０秒のあいだに，Ｂは ７２０÷７２＝１０（枚）を印刷します。
１セット（７２０秒）

よって，１セット＝７２０秒のあいだに，Ａ，Ｂ合わせて，
９＋１０＝１９（枚）を印刷します。

１９枚

いま，全部で５０９枚を印刷しなければなりません。
１セットでは１９枚印刷するのですから，５０９枚の中に，１９枚が何回入っているかを計算します。わり算ですね。
５０９÷１９＝２６ あまり １５ ですから，
２６セットできて，あと１５枚あまります。

１セット（７２０秒）

１セット
１セット（７２０秒） （７２０秒）

１９枚

１９枚

１９枚

……

５０９枚

１セット＝７２０秒です。ところで１分は６０秒ですから，１セットは，７２０÷６０＝１２（分）です。
２６セットぶんは，１２×２６＝３１２（分）になります。
１時間は６０分ですから，３１２÷６０＝５ あまり １２ により，２６セットぶんは，５時間１２分です。
あまっている１５枚については，とにかく書いていかないと何秒かかるかわかりません。
ちょうど２６セット終わったところから始めて，Ａ→ 80 160 240 320 400 480 560 640 720
Ａは８０秒ごとに印刷し，Ｂは７２秒ごとに印刷するのですから，右図のようになります。
Ｂ→ 72 144 216 288 360 432 504 576 648 720

２ ４
６ ８ １０ １２ １４Ａ→ 80 160 240 320 400 480 560 640 720

枚数を数えていくと，右図の赤い数字のようになり，１５枚目を印刷するのは５７６秒後です。
５７６÷６０＝９ あまり ３６ ですから，
９分３６秒後ということになります。

Ｂ→ 72 144 216 288 360 432 504 576 648 720
１
３ ５ ７ ９ １１ １３ １５

結局，２６セットぶんは５時間１２分，残り１５枚は９分３６秒かかりますから，５０９枚を印刷するのに，５時間１２分＋９分３６秒＝５時間２１分３６秒かかることになります。

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シリーズ５上第１回

練習 5

(3)

ワンポイント(2)ができたら，(3)はとてもカンタンです。

(2)で，５０９枚を印刷するには５時間２１分３６秒かかることがわかりました。
この時間をまず，秒の単位にしましょう。
１時間は６０分ですから，５時間は，６０×５＝３００（分）です。
よって，５時間２１分は，３００＋２１＝３２１（分）です。
１分は６０秒ですから，３２１分は ６０×３２１＝１９２６０（秒）です。
よって，５時間２１分３６秒は，１９２６０＋３６＝１９２９６（秒）です。
Ｂは７２秒ごとに１枚印刷するのですから，１９２９６秒では，
１９２９６÷７２＝２６８（枚）を印刷します。

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くわしい解説シリーズ５上第１回

チャレンジ

(1)

ワンポイント

最小公倍数をうまく利用することが大切です。

くわしい解説

まず，２の倍数が何個あるかを考えます。
３でわると１あまる数は，１から始まって，３ずつピョンピョンするので，次の（ア）のような数列です。

（ア）

あまり
↓
１ ，４ ，７ ，１０，……
＋３ ＋３ ＋３２の倍数は，次のような数列になります。
２，４，６，……
両方の数列に共通している最も小さい数は，４です。
４の次の数は，３と２の最小公倍数である６をプラスしていけば，どんどん求められます。
あまり↓
４ ，１０ ，１６ ，……
＋６ ＋６

これは等差数列になっています。
１０００がＮ番目であるとすると，等差数列の公式により，次のような式になります。
４＋６×（Ｎ－１）＝１０００
あとは逆算です。
１０００－４＝９９６
９９６÷６＝１６６
１６６＋１＝１６７
よって，１から１０００までの中に，２の倍数は１６７個あります。

（次のページへ）- 34 -

次に，５の倍数が何個あるかを考えます。
３でわると１あまる数は，前ページにもあったように，次の（ア）のような数列です。

（ア）

あまり
↓
１ ，４ ，７ ，１０，……
＋３ ＋３ ＋３５の倍数は，次のような数列になります。
５，１０，１５，……
両方の数列に共通している最も小さい数は，１０です。
１０の次の数は，３と５の最小公倍数である１５をプラスしていけば，どんどん求められます。
あまり↓
１０ ，２５ ，４０ ，……
＋１０ ＋１０

これは等差数列になっています。
１０００がＮ番目であるとすると，等差数列の公式により，次のような式になります。
１０＋１５×（Ｎ－１）＝１０００
あとは逆算です。
１０００－１０＝９９０
９９０÷１５＝６６
６６＋１＝６７
よって，１から１０００までの中に，５の倍数は６７個あります。

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シリーズ５上第１回

くわしい解説チャレンジ(2)

ワンポイント

ベン図を書いて求めることもできますが，ここではもっと分かりやすい解き方にします。

「３でわると１あまる数」は，１から始まって，３ずつピョンピョン飛んでいきます。
２の倍数は，２ずつピョンピョン，５の倍数は，５ずつピョンピョンです。
そこで，３と２と５の最小公倍数である，３０までについて，考えてみます。
１から３０までの整数のうち，「３でわると１あまる数」を書くと，次のようになります。
１，４，７，１０，１３，１６，１９，２２，２５，２８
この中で，２の倍数は，４，１０，１６，２２，２８で，５の倍数は，１０，２５です。
よって，２の倍数でも５の倍数でもないのは，次のようになります。
（ア）

１，７，１３，１９

つまり，１から３０までを１セットとすると，その中に，あてはまる数が４個あることがわかりました。
では，１から１０００までではどうでしょう。
１０００÷３０＝３３ あまり １０ ですから，１から１０００までの中には，１から３０までのセットが３３セットと，あと１０あまっています。
１セットの中には４個あるのですから，３３セットの中には，４×３３＝１３２（個）。
あまっている１０の中には，上の（ア）を見るとわかる通り，１と７の２個が入っています。
よって，全部で １３２＋２＝１３４（個） になります。

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