第３① 講座

素因数分解

要点のまとめ
11以上の整数を自然数という。

2

素数 1とその数のほかに約数がない自然数を素数という。（ただし，1は素数ではない。）

3

素因数分解

自然数を素数だけの積の形で表すことを素因数分解という。

4累乗と指数同じ数をいくつかかけたものを，その数の累乗といい，右かたの小さい数を指数という。

5平方 32 を「3の2乗」と読む。また，2乗のことを平方という。

チェック₁

素数20以下の素数をすべて求めなさい。

解120以下の自然数を書く。

111は素数ではないから，ななめの線で消す。

2123134514156716178189191020

2を残し，2の倍数である 4，6，8，10，12，14，16，18，20をななめの線で消す。
同じように，3を残し，3の倍数をななめの線で消していく。このように続けていき残っているものが，素数となる。

20までの場合はこれ以外に消えるものはないので，20以下の素数は，2，3，5，7，11，13，17，19。

答

2，3，5，7，11，13，17，19

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

1 20から30までの素数をすべて求めなさい。

コーチ
問題は「20から30」
だが，30以下の自然数を書き，チェック₁のように考えて，ななめ線で消していくとよい。

〔

チェック2

素因数分解

2 )90
3 )453 )15590を素因数分解しなさい。

解

右のように，小さい素数で順にわり，素数の積をつくる。

答

2*3 *590=2*3*3*5=2*32*52指数を使って表す

〕

素数になる
までわる

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

2 次の数を素因数分解しなさい。
⑴

30〔〕

⑵ 99

⑶ 280〔〕

3 28にできるだけ小さい自然数をかけて，その結果をある自然数の平方になるようにしたい。どんな数をかければよいですか。また，それはどんな自然数の平方にな〔〕コーチ

例えば 36（=62）
は，

36=（2*3）*（2*3）=（2*3）2りますか。となっている。

かける数〔─ 10 ─〕 自然数の平方〔〕練習問題
1 素因数分解①105⑴

次の数を素因数分解しなさい。
⑵〔2 素因数分解②コーチ

270

素数を小さい方から順に書き並べると，〕〔〕

2，3，5，7，11，13，…

次の問いに答えなさい。

252，784をそれぞれ素因数分解しなさい。

⑴

252
〔

⑵

3 素因数分解の利用①⑴

784〔252を素因数分解を利用して約分しなさい。
784〕

〔〕

〔〕

次の問いに答えなさい。

次の数はどんな自然数の2乗になっていますか。

① 324

②〔⑵〕

441〕

次の数にできるだけ小さい自然数をかけて，ある自然数の2乗になるようにしたい。どんな数をかければよいですか。
① 150

②〔

4 素因数分解の利用②280〕〔〕

次の問いに答えなさい。

294を素因数分解しなさい。

⑴〔⑵〕⑴の素因数分解をもとにして，次のア〜ケのうち，294にあてはまるものをすべて選びなさい。
ア
カ

2の倍数
8の倍数

イ
キ

3の倍数
9の倍数

ウ
ク

5の倍数
10の倍数

エ
ケ

6の倍数
11の倍数

オ

〔
─ 11 ─7の倍数〕

第３② 講座

正負の数（基本〜加減）要点のまとめ1

数の大小

正の数は0より大きく，負の数は0より小さい。(負の数)<0<(正の数)
正の数は，絶対値が大きいほど大きい。負の数は，絶対値が大きいほど小さい。

正負の数の加法 2つの数の和を求めるには，次のようにする。

2①同符号の数のとき，絶対値の和に共通の符号をつける。
②異符号の数のとき，絶対値の大きい方から小さい方をひき，絶対値の大きい方の符号をつける。
3

正負の数の減法

4

加法と減法の混じった計算

正の数，負の数をひくことは，その数の符号を変えて加えることと同じである。

5-8+4-6 を加法だけの式になおすと，(+5)+(-8)+(+4)+(-6) となる。この 5，-8，4，-6 を，この式の項といい，5，4 を正の項，-8，-6 を負の項という。

チェック₁

数の大小

次の各組の数の大小を，不等号を使って表しなさい。
⑴-13，+9⑵+2，+10⑶-11，-12解⑴⑵

絶対値が大きいほど大きい。

⑶

絶対値が大きいほど小さい。

答⑴(負の数)<0<(正の数)-13<+9⑵ +2<+10⑶-11>-12

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

1 次の各組の数の大小を，不等号を使って表しなさい。
0，-5⑴

⑵
〔〕

-2.3，-1.9⑷チェック2⑴⑶〔〕-6，+2，0⑸〔-16，-7〕〔〕〔加法

同符号の2数の和⑵(-5)+(-3)=-(5+3)

異符号の2数の和⑶(-7)+(+11)

〕-3，+4，-5⑹〔+0.3，+0.08〕

3つ以上の数の和(+8)+(-11)+(-3)=+(11-7)=(+8)+｛(-11)+(-3)｝（答えの+の符号は，つけなくてもよい。）

=-6

=-8

=+4=(+8)+(-14)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

2 次の計算をしなさい。
⑴⑷(+6)+(+8)(+9)+(-7)

⑵
〔〕

〕

⑶
〔

⑸
〔

(-4)+(-9)(-6)+(+10)

〔─ 12 ─〕⑹〕(-12)+(-7)(+3)+(-3)

〔〕〔〕3 次の計算をしなさい。
⑴(+5)+(-8)+(-4)

コーチ(-6)+(+13)+(-5)⑵

加法の交換法則
a+b=b+a

加法の結合法則〔

チェック3⑴〕〔減法(-5)-(+8)=(-5)+(-8)=-13⑶ (-9)-(+12)-(-11)⑵ (-10)-(-16)=(-10)+(+16)

ひく数の符号を変えて加える。

(a+b)+c=a+(b+c)

〕=(-9)+(-12)+(+11)=+6=(+11)+(-21)=-10

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

4 次の計算をしなさい。
⑴⑷(+5)-(+9)(-8)-(+6)

⑵
〔〕

⑶

〔

⑸
〔

(+13)-(-1)(-16)-(+16)

〕⑹(+13)-(-14)-(+8)

〔〕⑵(-14)-(+19)-(-17)

チェック4
⑴〕

加法と減法の混じった計算

15+(-12)-(+17)=15+(-12)+(-17)

減法を加法になおす。

=15-29負の項の和を求める。

-9+17-8+4⑵=15-12-17加法の記号と（=-14異符号の2数の和を求める。

〕

〔〕

〔〕

=17+4-9-8

同符号の項をまとめる。

=4異符号の2数の和を求める。

=21-17）をはぶく。

〔(-20)-(-20)

〔

5 次の計算をしなさい。
⑴〕(-7)-(-10)

同符号の項の和を求める。

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

6 次の計算をしなさい。（かっこをはずして計算しなさい。）⑴⑶⑸

12-(-2)+(-9)-8+10-16-4-(-11)-20+(-7)

18-(+6)+(-15)

⑵
〔〕
⑷

〔〕
⑹

〔

-9-13+27-21+15-42+31〕
─ 13 ─〔〕

〔〕

〔〕

練習問題
1 数の大小①⑴⑷

次の各組の数の大小を，不等号を使って表しなさい。

+2，0⑵

〔〕

〔〕

-20，-19

2 数の大小②0，-3⑶+13.5，+15.3〔〕〔
12⑹ - ，23〕〔〕〔〕

⑸ -0.11，-0.09

絶対値が3より小さい整数を，小さい方から順にならべなさい。
〔

3 加法
⑴

⑷

次の計算をしなさい。

(+7)+(-10)

0+(-55)〔⑴⑷0-(-80)4+(-9)-(-7)

〔⑷

〔⑵〕

-45+37+6-14〔⑶〕⑹〕(-25)-(+25)

〔⑸

5 加法と減法の混じった計算(+11)+(-7)+(-16)

〕(+18)-(+60)

〔(-21)+(+30)

〔

次の計算をしなさい。

〔
⑴〕
⑸

〔

4 減法

⑵

(+17)-(-8)-(+29)

〕

〔⑶〕
⑹〕

次の計算をしなさい。
⑵〕〔⑸〕-55+(-18)-(-63)

31-17+24-13〔
─ 14 ─⑶〕⑹〕〕(-14)+(-14)

〔〕〔〕(-9)+(+14)+(-12)(-23)-(-17)

〔〕〔〕(-13)-(-12)-(+21)

21+(-11)-(-8)-18〔〕〔〕-19+38-47+26

STEP 問 題
1 次の数の大小を，不等号を使って表しなさい。
1
1- ，- ，-0.3
3
4〔

2 次の計算をしなさい。
⑴(-27)+(-8)⑵

〔⑷〕(-17)+(-15)+(+21)

〔〔⑸(-18)-(-13)

〔⑷〔〕(+127)-(-89)+(-27)

〔-9+16-21+17

〔〕
⑹

⑵〕

(- 56 )+(- 29 )
〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

(+ 23 )+(- 14 )+(- 12 )(- 14 )+(- 18 )(- 34 )-(+ 12 )-(- 25 )〔〕⑵(+21.4)+(-17.7)-(+11.4)〔〕

5 次の計算をしなさい。
⑴⑶-2.5-(-0.3)-(-0.9)

4 計算の順序をくふうして，次の計算をしなさい。
⑴

〕

〔
⑸

⑹

(+11.8)-(-11.2)〕-36-(-54)-(+12)

〕

〔⑵

⑶

(-4.1)+(+2.7)+(+0.5)〕

3 次の計算をしなさい。
⑴(-3.8)+(+7.6)

37-57-6+15-13〔
─ 15 ─⑶〕〕〕10-20+30-40+50-60〔〕