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Verallgemeinerte Humbertsche Schemata
und Durchschnitte von Humbert Flächen
1. EinleitungEs sei: Mg /C der Modulraum der Kurven vom Geschlecht g:
Mg (C) = {hCi : gC = g}.
Frage: Was kann man über die Dimension (und Struktur) der Untervarietäten von Mg sagen, die durch “spezielle Kurveneigenschaften” definiert sind?
Beispiele: 1) Kurven mit speziellen Automorphismen;
2) Kurven, die einen nicht-konstanten Morphismus zu einer
nicht-rationalen Kurve besitzen;
3) Kurven C, deren Jacobische Varietäten JC einen nichttrivialen Endomorphismus besitzen, d.h. End(JC ) 6= Z.
Bemerkung: Mithilfe der Torelli-Abbildung C 7→ (JC , λθ ) kannman Mg (C) als Teilmenge von Ag (C) auffassen. Hierbei ist∼
λθ : JC → JˆC die Theta-Polarisierung, und Ag bezeichnetden Modulraum, der Isomorphieklassen von hauptpolarisiertenabelschen Varietäten (A, λ) der Dimension g klassifiziert.
Wir können also die Isomorphieklasse hCi der Kurve mit der
Isomorphieklasse hJC , λθ i der hauptpolarisierten Jacobischen
identifizieren, und daher läßt sich Beispiel 3 auf Ag erweitern.

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Humbert (1900): Für jede positive ganze Zahl n ≡ 0, 1 (mod 4),
gibt es eine Fläche Hn ⊂ A2 (genannt eine Humbert Fläche)
mit den folgenden Eigenschaften:(i) End(A) 6= Z ⇔ hA, λi ∈ Hn, für ein n;(ii) M2 = A2 \ H1;(iii) ∃f : C → E, gE = 1 ⇔ hJC , λθ i ∈ HN 2 , für ein N ≥ 2.
Bemerkung: Eigenschaft (iii) wurde in [ECAS] (1994) wie folgt
verfeinert:(iii0) hJC , λθ i ∈ HN 2 ⇔ ∃f : C → E, deg(f ) = N, f minimal.
Hierbei heißt f : C → E minimal, falls f nur triviale Faktorisierungen besitzt (also f = f1 ◦ f2 ⇒ deg(f1) = 1 oderdeg(f2) = 1).
Fragen: 1) Wie kann man die Komponenten des Durchschnitts
Hn ∩ Hmzweier Humbert Flächen beschreiben bzw. analysieren?
2) Allgemeiner, wie kann man die Teilmenge der Kurven (oderder abelschen Varietäten) beschreiben, die eine “spezielle Eigenschaft” besitzen?

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2. Das Grundprinzip
Grundidee: Wie später genauer erklärt wird, definiert jede ganze
positiv-definite quadratische Form q ein abgeschlossenes Unterschema
Hg (q) ⊂ Ag
des Modulraums Ag . Solche Unterschema heißen verallgemeinerte Humbert Schemata.
Eigenschaften: 1) Hg (q) hängt nur von der GLr -Äquivalenzklasse
der quadratischen Form q = q(x1, . . . , xr ) ab.
2) Es ist Hg (q) 6= Ag , aber Hg (q) könnte leer sein.
3) Die klassische Humbert Fläche ist Hn := H2(nx2).
4) Es folgt leicht aus der Definition, daß für n 6= m gilt[(1)
Hn ∩ Hm =H2(q),
q→n,mHierbei ist die Vereinigung über alle ganzen positiv-definiten
binären quadratischen Formen q, die sowohl n wie auch mprimitiv repräsentieren. (Bezeichnung: q → n, q → m.)
N.B. Bis auf Äquivalenz gibt es nur endlich viele Formen q mit
dieser Eigenschaft, weil |disc(q)| ≤ 4mn.
Fragen: 1) Wann ist H(q) 6= ∅?
2) Was ist die (birationale) Struktur von H(q)?
3) Für einen gegebene Form q, wie kann man die hauptpolarisierten (h.p.) abelschen Flächen (A, λ) in H(q) konstruieren?
Gibt es eine “modulare Konstruktion”?

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3. Hauptresultate (für g = 2)Satz 1: Sei q eine positive quadratische Form in r Variablen. Ist
H(q) := H2(q) 6= ∅, so hat H(q) die Codimension r in A2;d.h.,dim H(q) = 3 − r.
Ferner, ist q 0 eine zweite positive quadratische Form, so gilt(2)

H(q) = H(q 0)⇔q ∼GLr q 0.

N.B. Für r = 1 ist q(x) = nx2 mit n ≥ 1, und dann gilt
Hn := H(nx2) 6= ∅ ⇔ n ≡ 0, 1 (mod 4).
Daher sind die Humbert Flächen genau diejenigen, die im Fallr = 1 auftreten.
Definition: Eine ganze positive binäre quadratische Formq(x, y) = ax2 + bxy + cy 2
besitzt den Typ (n, m, d), falls folgendes gilt:(i) disc(q) := b2 − 4ac = −16m2d < 0 und (n, d) = 1;(ii) q → (mn)2;(iii) q(x, y) ≡ 0, 1 (mod 4), ∀x, y ∈ Z.
Die Menge aller quadratischen Formen vom Typ (n, m, d) sei
mit T (m, n, d) bezeichnet.
Satz 2: Sei q eine ganze binäre quadratische Form derart, daßq → N 2, für ein N ≥ 1. Dann gilt:(3) H(q) 6= ∅ ⇔ H(q) ist eine irreduzible Kurve⇔ q ∈ T (N/m, m, d), für ein m|N, d ≥ 1
mit (N/m, d) = 1.

5Korollar: Ist m ≡ 0, 1 (mod 4) und N ≥ 1, so ist
Hm ∩ HN 2 6= ∅.
Ferner, ist m > 1 und N > 1, so gilt sogar
Hm ∩ HN 2 ∩ M2 6= ∅.
Beweisidee. Betrachte q = [N 2, 2εN, m] ∈ T (1, N, m−ε
4 ),wobei ε = Rest(m, 4).
Bemerkung: Die Bedeutung der Parameter (n, m, d) wird zum
Teil durch die folgende Tatsache erläutert. Diese führt auch zu
der später betrachteten modularen Konstruktion.
Satz 3: Es sei C eine Kurve vom Geschlecht 2, und seien N ≥ 2,
d ≥ 1 zwei ganze Zahlen. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:(i) hCi ∈ H(q), für ein q ∈ T (N/m, m, d), wobei m|N und(N/m, d) = 1;(ii) Es gibt zwei komplementäre elliptische Unterlagerungenfi : C → Ei vom Grad N und eine zyklische Isogenie h :E1 → E2 vom Grad d.
N.B. Eine elliptische Unterlagerung ist ein minimaler Morphismus f : C → E nach einer elliptischen Kurve E. Zwei elliptische Unterlagerungen fi : C → Ei heißen komplementär, falls
die folgende Sequenz exakt ist:
f1∗(f2 )∗

0 → JE1 → JC → JE2 → 0.

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4. Einige Anwendungen
Anwendung 1: Die irreduziblen Komponenten von Hm ∩ HN 2 .
Diese lassen sich mithilfe von (1)–(3) und der Reduktiontheorie(der binären quadratischen Formen) berechnen. Zum Beispiel:H5 ∩ H4 = H[1, 0, 4] ∪ H[4, 0, 5] ∪ H[4, 4, 5],H5 ∩ H9 = H[4, 0, 5] ∪ H[5, 2, 9] ∪ H[5, 4, 8].
Die Anzahl der irreduziblen Komponenten von Hm ∩ HN 2 ist:
\m 1 4 5 8 9 12 13 16 17 20 21 24 25
1 ∗ 1 1 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3
4 1 ∗ 3 4 3 4 5 5 5 6 5 6 6
9 1 3 3 5 ∗ 6 5 6 8 7 7 9 916 2 5 5 6 6 9 9 ∗ 9 12 10 11 12
25 3 6 6 8 9 9 10 12 15 14 11 13 ∗N2Anwendung 2: Kurven mit zusätzlichen Automorphismen.
Satz 4: Es sei C eine Kurve vom Geschlecht 2. Dann gilt:(a) V4 ' D2 ≤ Aut(C) ⇔ hCi ∈ H4.
(b)
D4 ≤ Aut(C) ⇔ hCi ∈ H[4, 0, 4].
(c) S3 ' D3 ≤ Aut(C) ⇔ hCi ∈ H[4, 4, 4].
(d) D3, D4 ≤ Aut(C) ⇔ hCi ∈ H[4, 0, 4] ∩ H[4, 4, 4].
N.B. Die Kurven in diesen Familien haben explizite Gleichungen:(a) y 2 = x(x − 1)(x − α)(x − β)(x − αβ) (Jacobi, 1832)(b) y 2 = x(1 − x2)(1 − κ2x2) (Legendre, 1832)(c) y 2 = x6 + ax3 + 1 (Bolza, 1888)(d) y 2 = x(x4 − 1) (Bolza, 1888; Burnside)7

Anwendung 3: Isogene elliptische Involutionen.
Eine elliptische Involution ist ein σ ∈ Aut(C) mit σ 2 = 1
derart, daß Cσ := C/hσi eine elliptische Kurve ist.
Satz 5: Es sei C eine Kurve vom Geschlecht 2 mit hyperelliptisher Involution σC , und sei d ≥ 1. Äquivalent sind:(i) Es gibt eine elliptische Involution σ ∈ Aut(C) und eine
zyklische Isogenie h : Cσ → CσσC vom Grad d;(ii) hCi ∈ H[4, 0, 4d] ∪ H[4, 4, 4d + 1] ∪ H(d), wobei H[4, 4, d + 1], falls d ≡ 3 (mod 4),
H[4, 0, d],falls d ≡ 1 (mod 4), d > 1,
H(d) =
∅,
sonst.
Bemerkung: Nach Accola/Previato [AP] (2006), p. 142: “Acondition for being isogenous to any degree does not appear tobe known”.
Anwendung 4: Kurven mit elliptischen Morphismen.
Es sei Ld ⊂ M2 der Modulraum der Geschlecht 2 Kurvenf
C mit einem Morphismus C → E vom Grad d nach einer
elliptischen Kurve E. Es ist also[
Ld :=HN 2 ∩ M2 .
1<N |dFrage ([AP]): Wann ist Ld zusammenhängend?
Antwort: Immer! Denn aus dem Korollar von Satz 2 folgt
sogar, daß sich stets je zwei irreduzible Komponenten von Ld
treffen.

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Anwendung 5: Jacobische Produktflächen: JC ' E1 × E2.
Satz 6: Es sei C eine Kurve vom Geschlecht 2. Äquivalent sind:(i) JC ' E1 × E2, für geeignete elliptische Kurven E1, E2;(ii) hJC , λθ i ∈ H(q), für ein q ∈ T (N, 1, d) mit (N, d) = 1.
Bemerkung: Hayashida and Nishi (1965) stellten die folgende
Frage, die sie aber nicht vollständig lösen konnten:
Für welche Paare (E1, E2) ist E1 × E2 ' JC , für ein C?
Mithilfe von Satz 6 (und tiefliegenden Resultaten aus der Zahlentheorie) kann man beweisen (s. [MS], [JT]):
Satz 7: (a) Es sei Hom(E1, E2) = Zf und d = deg(f ). Danngibt es eine Kurve C mit JC ' E1 × E2 genau dann, wennd > 1 und d kein numerus idoneus mit d ≡ 2, 4, 6 (mod 8) ist.
Mit anderen Worten, C existiert solange d ∈/ L, wobei
L = {1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 42, 58, 60, 70, 78,
102, 130, 190, 210, 330, 462, d∗};hierbei ist d∗ > 109 eine weitere mögliche Zahl mit dieser
Eigenschaft. Ferner gibt es kein solches d∗ falls die Vermutung
von Euler/Gauss (oder falls die Verallgemeinerte Riemannsche
Hypothese (GRH)) richtig ist.
(b) Ist Rg(Hom(E1, E2)) > 1, so existiert stets eine Kurve C
mit JC ' E1 × E2, außer für endlich viele Paare (E1, E2) von
Isomorphieklassen elliptischer Kurven. (Genaue #: 46 Paare.)Genauer gibt es genau 15 (Isomorphieklassen von) Flächen A
mit Picardzahl ρ(A) ≥ 4 derart, daß A 6' JC , für irgendeine
curve C. (Jede solche Fläche A ist eine Produktfläche.)9

5. Die verfeinerte Humbert Invariante
Grundidee: Die Néron-Severi Gruppe NS(A) einer h.p. abelschen
Varietät (A, λ) besitzt eine kanonische quadratische Form q(A,λ),die verfeinerte Humbert Invariante. Diese wird wie folgt definiert.
Sei: A/K eine abelsche Varietät mit dim(A) = g (K ein Körper),
NS(A) = Pic(A)/ Pic0(A) ihre Néron-Severi Gruppe,∼
λ : A → Â eine Hauptpolarisierung.
Dann gibt es eine natürliche Injektion
Φλ : NS(A) → Endλ(A) := {α ∈ End(A) : α̂λ = λα},die durch Φλ(D) = λ−1 ◦ φD gegeben ist. Außerdem ist Φλ ein
Isomorphismus, falls K algebraisch abgeschlossen ist (Mumford).
Proposition 0: (a) Es sei tr : End(A) → Z die übliche Spurabbildung. Dann definiertqA(α) = 12 tr(α2),
eine ganze, positive quadratische Form qA auf Endλ(A).
(b) Die Formelq(A,λ)(α) = 41 (2g tr(α2) − tr(α)2)
definiert eine ganze, positiv-definite quadratische Form q(A,λ)
auf der Quotientengruppe Endλ(A) := Endλ(A)/Z1A.
Definition: Die quadratische Form q(A,λ) heißt die verfeinerte
Humbert Invariante von (A, λ).

10Bemerkungen: 1) Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, so ist
λ = φθ , für ein θ ∈ NS(A), und dann induziert Φλ einen
Isomorphismus∼

Φ̄λ : NS(A, θ) := NS(A)/Zθ → Endλ(A).
Daher kann man q(A,λ) = q(A,θ) auch als quadratische Formauf NS(A, θ) betrachten. (Beachte: θ ∈ NS(A) ist durch λeindeutig bestimmt.)2) Falls A eine abelsche Fläche ist (also g = 2), so giltq(A,λ)(Φλ(D)) = (D.θ)2 − 2(D.D),∀D ∈ NS(A).

Außerdem wurde in [ECAS] gezeigt, daß wenn D̄ ∈ NS(A, θ)primitiv ist, (d.h., wenn NS(A, θ)/ZD̄ torsionsfrei ist), so ist
N = q(A,λ)(D̄) = q(A,θ)(D̄)
die klassische Humbert Invariante von A, die Humbert im Fall
K = C mithilfe der Periodenmatrix von A definiert hat.
Man beachte, dass wenn rank(NS(A)) > 2 ist, so besitzt (A, λ)unendlich viele verschiedene (klassische) Humbert Invarianten
N = q(A,θ)(D̄).

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6. Verallgemeinerte Humbertsche Schemata
Prinzip: Mann kann die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)
benützen, um abgeschlossene Unterschemata Hg (q) des Modulraums Ag zu definieren.
Definition: Es seien (M1, q1) und (M2, q2) zwei quadratische ZModuln. Dann repräsentiert (M1, q1) den Modul (M2, q2)
primitiv, falls es eine Injektion f : M2 → M1 gibt derart, daßf ◦ q1 = q2 und M1/f (M2) torsionfrei ist.
Ist dies der Fall, so schreibt man q1 → q2.
N.B.: Ist n ∈ Z, so gilt q1 → n (im Sinne des §2) genau dann,wenn q1 → q2 := nx2.
Bezeichnung: Ist q eine positive quadratische Form (auf Zr ), sosei
Hg (q) := {(A, λ) ∈ Ag (K) : q(A,λ) → q}.
Satz 0: Hg (q) ist ein abgeschlossenes Unterschema von Ag , vorausgesetzt, daß char(K)26 | disc(q).
Beispiele: 1) Wie schon erwähnt, ist die klassische HumbertFläche durch Hn = H2(nx2) definiert (wenn K = C).
2) Ist (A, λ) ∈ Ag , so ist NS(A) 6' Z ⇔ (A, λ) ∈ Hg (nx2),
für ein n ≥ 1. (Analogon zu Humberts Resultat (i).)
Offene Fragen: 1) Wann ist Hg (q) 6= ∅?
2) Berechne dim Hg (q) (falls Hg (q) 6= ∅).
3) Wann ist Hg (q) irreduzibel?

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7. Die modulare Konstruktion (g = 2)
Die Grundkonstruktion (“basic construction”); vgl.
[FK1], [FK2]: Es sei N ≥ 1 und (E1, E2, ψ) ein Tripel, dasaus zwei elliptischen Kurven Ei/K und einem Isomorphismus∼

ψ : E1[N ] → E2[N ]der Gruppen Ei[N ] der N -Torsionspunkten besteht. Sei
πψ : E1 × E2 → Aψ := (E1 × E2)/(Graph(ψ))
der Quotientenhomomorphismus, der also eine Isogenie vom
Grad N 2 = |Graph(ψ)| ist.
Ist ψ eine Anti-isometrie (bzgl. den Weilpaarungen auf Ei[N ]),und ist K = K, so ∃!θψ ∈ NS(Aψ ) derart, daßπψ∗ θψ = N (θ1 + θ2), wobei θi = pri∗(0Ei ),und dann ist (Aψ , λθψ ) ∈ A2 eine h.p. abelsche Fläche. Daher,
wenn
ZN = {hE1, E2, ψiN }Menge der Isomorphieklassen solcher Tripel bezeichnet, so definiert
die Regel (E1, E2, ψ) 7→ (Aψ , λψ ) eine Abbildung
βN : ZN → A2,
die in [FK2] die Grundkonstruktion (“basic construction”) genannt wird.

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Tatsachen: 1) Ist K = C, so kann man ZN = {hE1, E2, ψiN }mit den Punkten der Quotientenvarietät
ZN = (X(N ) × X(N ))/(SL2(Z/N Z)/ ± 1)
identifizieren, wobei X(N ) = Γ(N )\H die Modulkurve derStufe N ist, und die Gruppe SL2(Z/N Z) auf der Produktfläche
X(N ) × X(N ) durch eine (getwistete) Diagonalwirkung operiert. Ferner gibt es einen Morphismus von VarietätenβN : ZN → A2,
der, via der obigen Identifikation, mit der Grundkonstruktionübereinstimmt.
2) Das Bild von βN ist die Humbert Fläche HN 2 , und derinduzierte Morphismus
βN : ZN → βN (ZN ) = HN 2
ist endlich vom (generischen) Grad 2.
Frage: Wie sieht βN−1(H(q)) aus, wenn q eine binäre Form ist mit∅=
6 H(q) ⊂ HN 2 ?
Vermutung: βN−1(H(q)) ist die Vereinigung von höchstens zwei
Modulkurven auf ZN , d.h., von Kurven, die Bilder sind derModularkorrespondenzen TA,N auf X(N ) × X(N ).

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8. Der Fall der Produktflächen A (m = 1)
Sei X0(d) = Γ0(d)\H, die Hecke Modulkurve, und sei
X0(d) = {hE1, E2, hi : h ∈ Hom(E1, E2) zyklisch, deg(h) = d}.
N.B.: Wie bekannt, ∃ natürliche Bijektion X0(d) ↔ X0(d)(C).
Fixiere N , und seien k, d derart, daß k 2d ≡ −1 (mod N ). Danndefiniert die Regel τd,k,N (hE1, E2, hi) = hE1, E2, kh|E1[N ]i eine
Abbildungτd,k,N : X0(d) → ZN ,die, via den obigen Identifikationen, von einem Morphismus
τd,k,N : X0(d) → ZN
induziert wird. Außerdem ist τd,k,N birational auf sein Bild.
Betrachte die Kompositionµd,k,N := βN ◦ τd,k,N : X0(d) → ZN → A2.
Satz 8: Das Bild von µd,k,N : X0(d) → A2 istµd,k,N (X0(d)) = H(qd,k,N ),wobei
qd,k,N = [N 2, 2kt, (k 2t2 + 4d)/N 2] mit t = d(k 2d + 3).
Korollar: Ist q ∈ T (N, 1, d), so ist H(q) = µd,k,N (X0(d)), für
ein k mit k 2d ≡ −1 (mod N ).
N.B.: Hierzu wird noch die folgende Tatsache benötigt:
Lemma: Eine binäre quadratische Form q ist vom Typ (N, 1, d)genau dann, wenn q ∼ qd,k,N , für ein k mit dk 2 ≡ −1 (mod N ).

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Bemerkung: Ist q ∈ T (N, 1, d), so kann man die NormalisierungH̃(q) von H(q) genau angeben; s. [MS]. Genauer gilt:
Satz 9: Es sei q ∈ T (N, 1, d), also q ∼ qd,k,N mit dk 2 ≡ −1 (N ).
(a) Der Morphismus µd,k,N faktorisiert über die NormalisierungνN 2 : H̃N 2 → HN 2 der Humbertfläche HN 2 , und sein Bild auf
H̃N 2 ist birational isomorph zu der Fricke Kurve
X0(d)+ := X0(d)/hwdi, wobei wd = ( d0 −10 ).
(b) Der induzierte Morphismus νd,k,N : X0(d)+ → H̃(q) ist
ein Isomorphismus, außer wenn q eine (nicht-triviale) ambige
Form ist. In diesem Ausnahmefall ist deg(νd,k,N ) = 2 undH̃(q) ' X0(d)/hwd, αd1 i,für eine (explizit berechenbare) Atkin-Lehner involution αd1
mit d1|d und (d1, d/d1) = 1.
Bemerkungen: 1) Ist a := deg(νd,k,N ) > 1, so folgt, daß die
Kurve H(q) ⊂ (HN2 )sing im singulären Ort von HN 2 liegt,
und daher ist dann HN 2 nicht normal.
2) Nach Satz 9 ist H̃(q) durch die Angabe von d, a und d1
genau bestimmt. Ferner kann man das Geschlecht von H̃(q)explizit ausrechnen; zum Beispiel ist
g(X0(d)+) = (g(X0(d)) + 1)/2 − (h(−d) + h(−4d))/4,
wobei h(D) die Anzahl der Klassen primitiver Formen der
Diskiminante D ist. (Also ist h(D) = 0, wenn D 6≡ 0, 1 (mod 4).)

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Beispiel: Die Komponenten von H9 ∩ H25.
qg(H(q)) 3-Typ a d1 5-Typ a d1
[9, 0, 16]
0(1, 3, 4) − − (5, 1, 36) 2 4[4, 0, 9]0(1, 3, 1) − − (5, 1, 9) 1 −[5, 2, 9]0(3, 1, 11) 1 − (5, 1, 11) 1 −0(3, 1, 14) 2 2 (5, 1, 14) 2 2[8, 8, 9][9, 4, 12]
0(3, 1, 26) 1 − (5, 1, 26) 1 −[9, 6, 25]
1(1, 3, 6) − − (5, 1, 54) 1 −[9, 4, 20]
1(3, 1, 44) 1 − (5, 1, 44) 1 −0(3, 1, 50) 1 − (1, 5, 2) − −[9, 8, 24][9, 2, 25]
1(3, 1, 56) 1 − (5, 1, 56) 1 −Daher hat H9 ∩ H25 genau 9 irreduzible Komponenten, und
H[8, 8, 9] ⊂ (H9)sing ,H[9, 0, 16] ∪ H[8, 8, 9] ⊂ (H25)sing .
Insbesondere ist weder H9 noch H25 normal.

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9. Der allgemeine Fall (m ≥ 1)
Vorbemerkung: Hier werden alle Modularkorrespondenzen TA,N
auf X(N ) × X(N ) benötigt. Jede solche wird durch primitive
matrix A ∈ Md definiert, wobei
Md = Γ(1)αdΓ(1),with Γ(1) = SL2(Z), αd = ( 10 d0 ) .

Modulare Beschreibung von TA,N : Es sei
TA,N = {hE1, α1; E2, α2; hiN };∼hierbei ist αi : Ei[N ] → VN := (Z/N Z) × (Z/N Z) eine
(symplektische) Stufe-N -Struktur, h : E1 → E2 eine zyklische
Isogenie vom Grad d = det(A) derart, dass
α2 ◦ h|E1[N ] = [A]N ◦ α1, α1 ◦ (ht)|E2[N ] = [A∗]N ◦ α2,
wobei [A]N ∈ End(VN ) durch die Matrix A (mod N ) gegebenist (via der Standardbasis von VN ), und A∗ = det(A)A−1.
Bezeichnung: Es sei τA,N : TA,N → ZN durch die Regel
τA,N (x) = hE1, E2, ψxiN
definiert, wobei0ψx := α2−1 ◦ [( −10 1 )]N ◦ α1 ,wenn x = hE1, α1; E2, α2; hiN .

Durch die modulare Interpretation induziert dies einen Morphismus
τA,N : TA,N := ΓA,N \H → ZN ,der zugehörigen (groben) Modulschemata; hierbei ist
ΓA,N := Γ(N ) ∩ A−1Γ(N )A ≥ Γ(N d).

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Wir betrachten nun die KompositionµA,N := βN ◦ τA,N : TA,N → ZN → A2.
N.B.: 1) Ist k 2d ≡ −1 (mod N ), und ist σk ∈ Γ(1) derart,
0 (mod N ), so faktorisiert τ
daß σk ≡ k−1
σk αd ,N über den
0 kvorherdefinierten Morphismus τd,k,N , und beide haben das gleiche Bild in ZN . Daher kann man µA,N als Verallgemeinerungvon µd,k,N betrachten. (Allerdings ist im allgemeinen τA,N
nicht mehr birational auf sein Bild.)
2) Verschidene Matrizen A ∈ Md können die gleiche Bildkurve
T A,N := τA,N (TA,N ) auf ZN produzieren. Es ist daher nützlich,
den folgenden Begriff einzuführen.
Definition: Eine Matrix A ∈ Md = Γ(1)αdΓ(1) heißt (rechts-)
normalisiert, falls sie die folgende Form hat:
A = gαd = g ( 10 d0 )mit g ∈ Γ(1) = SL2(Z).

Satz 10: Ist A = ( xz wy ) ∈ Md normalisiert, so gilt
µA,N (TA,N ) = H(qA,N ),wobei qA,N ∈ T (N/m, m, d) durch die Formel
qA,N = [N 2, 2m(x − w), m2(tr(A)2 − 4yz)/N 2]
gegeben ist. Hierbei ist m := N/ gcd(tr(A), y, z, N ).
Korollar: Ist q ∈ T (N/m, m, d), so ist H(q) = µA,N (TA,N ) mit
einer geeigneten normalisierten Matrix A ∈ Md. Insbesondere
ist also H(q) eine irreduzible Kurve.

19Dieses Korollar folgt aus Satz 10 zusammen mit der folgenden
Verallgemeinerung des vorhergehenden Lemmas:
Lemma0: Ist q ∈ T (N/m, m, d), so gibt es eine (explizit berechenbare) normalisierte Matrix A ∈ Md derart, daß q ∼ qA,N .
Bemerkungen: 1) Satz 10 and sein Korollar liefern die Existenzaussage von Satz 2.
2) Wir fassen zusammen:(i) Jede Modularkorrespondenz T A,N := τA,N (TA,N ) auf ZN
definiert via βN eine (verallgemeinerte) Humbertkurve
H(q) = βN (T A,N ) ⊂ ZN 2 .
Diese wird durch Satz 9 explizit beschrieben.
(ii) Umgekehrt, jedes (nicht leere) H(q) ⊂ ZN 2 (mit q binär)
ist das Bild einer geeigneten Modularkorrespondenz T A,N . Fernerkann man die (normalisierte) Matrix A aus der Vorgabe von q
explizit berechnen (s. Lemma0).

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