Durchschnitte von Humbert Flächen
und binäre quadratische Formen
Ernst Kani
Queen’s University

Universität Augsburg
6. Mai, 2017

Übersicht
1. Einleitung
2. Das Grundprinzip
3. Hauptresultate I
4. Hauptresultate II
5. Die verfeinerte Humbert Invariante
6. Verallgemeinerte Humbert Schemata
7. Die modulare Konstruktion
8. Die Struktur von H(q)9. Beweismethoden
10. Literatur

1. Einleitung
I Es sei:

Mg /C
Mg (C)

der Modulraum der Geschlecht g Kurven /C, d.h.
besteht aus der Menge der Isomorphieklassensolcher Kurven.

1. Einleitung
I Es sei:

Mg /C
Mg (C)

der Modulraum der Geschlecht g Kurven /C, d.h.
besteht aus der Menge der Isomorphieklassensolcher Kurven.
I Frage: Was kann man über die Dimension und Struktur derUntervarietäten (Unterschemata) von Mg sagen, die durch“spezielle Kurveneigenschaften” definiert sind?

1. Einleitung
I Es sei:

Mg /C
Mg (C)

der Modulraum der Geschlecht g Kurven /C, d.h.
besteht aus der Menge der Isomorphieklassensolcher Kurven.
I Frage: Was kann man über die Dimension und Struktur derUntervarietäten (Unterschemata) von Mg sagen, die durch“spezielle Kurveneigenschaften” definiert sind?
I Beispiele: 1) Kurven mit speziellen Automorphimen;

2) Kurven, die einen nicht-konstanten Morphismus zu einer
nicht-rationalen Kurve besitzen;
3) Kurven C , deren Jacobische JC einen nicht-trivialen
Endomorphismus besitzt, d.h. End(JC ) 6= Z.
I Bemerkung: Beispiel 2 ist ein Spezialfall von Beispiel 3.

1. Einleitung – 2

I Erinnerung: Nach Torelli haben wir eine Einbettungj : Mg (C) ,→ Ag (C),wobei Ag der Modulraum ist, der die Isomorphieklassen der
hauptpolarisierten abelschen Varietäten (A, λ) der Dimension
g klassifiziert.
∼
Explizit ist: j(C ) := (JC , λθ ), wobei λθ : JC → ĴC die
θ-Polarisierung ist.
Daher kann man Frage/Beispiel 3 auf Ag erweitern.
Für g = 2 hat Humbert (1900) diese Frage beantwortet.

1. Einleitung – 3

I Humbert (1900): Ist n ≡ 0, 1 (mod 4) eine positive Zahl, so

gibt es eine irreduzible Fläche Hn ⊂ A2 (genannt eine
Humbert Fläche) derart, daß:(i) End(A) 6= Z ⇔ (A, λ) ∈ Hn , für ein n;(ii) M2 = A2 \ H1 ;(iii) ∃f : C → E ⇔ (JC , λθ ) ∈ HN 2 , für ein N ≥ 2.
I Bemerkung: Eigenschaft (iii) wurde in [EC] wie folgt

verfeinert:(iii0 ) (JC , λθ ) ∈ HN 2 ⇔ ∃f : C → E , deg(f ) = N, f minimal.

1. Einleitung – 4
I Fragen: 1) Wie kann man die Komponenten des Durchschnitts

Hn ∩ Hmzweier Humbert Flächen beschreiben bzw. analysieren?
(Von besonderem Interesse: der Fall, daß n = N 2 .)

1. Einleitung – 4
I Fragen: 1) Wie kann man die Komponenten des Durchschnitts

Hn ∩ Hmzweier Humbert Flächen beschreiben bzw. analysieren?
(Von besonderem Interesse: der Fall, daß n = N 2 .)I N.B.: Der Durchschnitt

H N 2 ∩ H m 2 ∩ M2
klassifiziert diejenigen Kurven C , die zwei minimale
Morphismen f1 : C → E1 und f2 : C → E2 besitzen, deren
Grade N und m sind.

1. Einleitung – 4
I Fragen: 1) Wie kann man die Komponenten des Durchschnitts

Hn ∩ Hmzweier Humbert Flächen beschreiben bzw. analysieren?
(Von besonderem Interesse: der Fall, daß n = N 2 .)I N.B.: Der Durchschnitt

H N 2 ∩ H m 2 ∩ M2
klassifiziert diejenigen Kurven C , die zwei minimale
Morphismen f1 : C → E1 und f2 : C → E2 besitzen, deren
Grade N und m sind.
I 2) Wie viele Komponenten besitzt Hn ∩ Hm ?

2. Das Grundprinzip

I Grundidee: Wie später genauer erklärt wird, definiert jedeganze positiv-definite quadratische Form q ein
abgeschlossenes Unterschema
Hg (q) ⊂ Ag
des Modulraums Ag . Solche Unterschema heißen
verallgemeinerte Humbert Schemata.
I Im folgenden werden wir nur den Fall g = 2 betrachten. In

diesem Fall gilt folgendes für H(q) := H2 (q).

2. Das Grundprinzip – 2
I Eigenschaften: 1) H(q) hängt nur von der GLr -Äquivalenz-

klasse der quadratischen Form q = q(x1 , . . . , xr ) ab.
2) Es gilt immer, daß H(q) 6= A2 , aber H(q) könnte leer sein.
3) Die klassische Humbert Fläche ist Hn := H(nx 2 ).
4) Es folgt leicht aus der Definition von H(q) (s. unten), daßfür n 6= m gilt[
Hn ∩ Hm =
H(q),
(1)
q→n,m

Hierbei ist die Vereinigung über alle ganzen positiv-definiten
binären quadratischen Formen q, die sowohl n wie auch mprimitiv repräsentieren. (Bezeichnung: q → n, q → m.)
N.B.: Bis auf Äquivalenz gibt es nur endlich viele Formen q
mit dieser Eigenschaft, weil |disc(q)| ≤ 4mn.

2. Das Grundprinzip – 3

I Fragen: 1) Wann ist H(q) 6= ∅?

2) Was ist die (geometrische) Struktur von H(q)? Ist H(q)irreduzibel?
3) Für eine gegebene Form q, wie kann man die
hauptpolarisierten abelschen Flächen (A, λ) in H(q)konstruieren? Gibt es eine “modulare Konstruktion”?

3. Hauptresultate I• Bezeichnung: Es bezeichne q = [a, b, c] die binärequadratische Formq(x, y ) = ax 2 + bxy + cy 2 .
Ferner sei Q die Menge der ganzen binären quadratischen
Formen q mit:(i) q ist positiv-definit;(ii) q(x, y ) ≡ 0, 1 (mod 4), ∀x, y ∈ Z.
Ferner, für n ∈ N bezeichne
Q(n) = {q ∈ Q : q → n}die Menge der Formen q ∈ Q, die n primitiv repräsentieren,d.h.,q(x, y ) = n, für geeignete x, y ∈ Z mit ggT(x, y ) = 1.

3. Hauptresultate - 2
I Satz 1: Es sei q eine ganze binäre quadratische Form und sei

N ≥ 1. Dann gilt:
H(q) 6= ∅ und H(q) ⊂ HN 2⇔

q ∈ Q(N 2 ).

3. Hauptresultate - 2
I Satz 1: Es sei q eine ganze binäre quadratische Form und sei

N ≥ 1. Dann gilt:
H(q) 6= ∅ und H(q) ⊂ HN 2⇔

q ∈ Q(N 2 ).

I Korollar: Ist m ≡ 0, 1 (mod 4) und N ≥ 1, so ist

Hm ∩ HN 2 6= ∅.
Ferner, ist m > 1 und N > 1, so gilt
Hm ∩ HN 2 ∩ M2 6= ∅.

3. Hauptresultate - 2
I Satz 1: Es sei q eine ganze binäre quadratische Form und sei

N ≥ 1. Dann gilt:
H(q) 6= ∅ und H(q) ⊂ HN 2⇔

q ∈ Q(N 2 ).

I Korollar: Ist m ≡ 0, 1 (mod 4) und N ≥ 1, so ist

Hm ∩ HN 2 6= ∅.
Ferner, ist m > 1 und N > 1, so gilt
Hm ∩ HN 2 ∩ M2 6= ∅.
I Beweis. OE m > 1. Betrachte q = [N 2 , 2εN, m], wobei

ε = Rest(m, 4). Nach Theorem 1 ist H(q) 6= ∅, daq ∈ Q(N 2 ). Ferner, da q → N 2 und q → m, so gilt wegen(1), daß H(q) ⊂ Hm ∩ HN 2 .

3. Hauptresultate I - 3

I Bemerkung. Der 2. Teil des Korollars zeigt, daß derModulraumM2 (1, n) =[H N 2 ∩ M2

1<N|nzusammenhängend ist.
Das beantwortet eine Frage von Accola-Previato[AP] (2006).

3. Hauptresultate I - 3

I Bemerkung. Der 2. Teil des Korollars zeigt, daß derModulraumM2 (1, n) =[H N 2 ∩ M2

1<N|nzusammenhängend ist.
Das beantwortet eine Frage von Accola-Previato[AP] (2006).
I N.B.: Aus (iii’) folgt, daß der Modulraum M2 (1, n) diejenigen

Isomorphieklassen von Kurven C klassifiziert, die einenMorphismus f : C → E vom Grad n zu einer elliptischen
Kurve E besitzen.
Dieser Raum wurde von Lange[La] (1976) untersucht.

4. Hauptresultate II

I Frage: Wann ist H(q) irreduzibel?

4. Hauptresultate II

I Frage: Wann ist H(q) irreduzibel?
I Satz 2: Ist q = [a, b, c] ∈ Q(N 2 ) primitiv, d.h.., istggT(a, b, c) = 1, so ist H(q) eine irreduzible Kurve.

4. Hauptresultate II

I Frage: Wann ist H(q) irreduzibel?
I Satz 2: Ist q = [a, b, c] ∈ Q(N 2 ) primitiv, d.h.., istggT(a, b, c) = 1, so ist H(q) eine irreduzible Kurve.
I Definition. Eine quadratische Form q heiße vom Typ(N, m, d) falls q ∈ Q(N 2 ) und falls m|N unddisc(q) = −16m2 d

und ggT(d, N/m) = 1.

4. Hauptresultate II

I Frage: Wann ist H(q) irreduzibel?
I Satz 2: Ist q = [a, b, c] ∈ Q(N 2 ) primitiv, d.h.., istggT(a, b, c) = 1, so ist H(q) eine irreduzible Kurve.
I Definition. Eine quadratische Form q heiße vom Typ(N, m, d) falls q ∈ Q(N 2 ) und falls m|N unddisc(q) = −16m2 d

und ggT(d, N/m) = 1.

I Lemma 1: Ist q ∈ Q(N 2 ), so gibt es eindeutige positive ganze

Zahlen m|N und d derart, daß q den Typ (N, m, d) besitzt.

4. Hauptresultate II - 2
I Satz 3: Ist q = [a, b, c] ∈ Q(N 2 ) vom Typ (N, m, d), so sei

cm (q) = ggT(a, b, c, m).
(a) H(q) hat höchstens 2ω(cm (q)) irreduzible Komponenten,
falls 8 - cm (q). Hierbei ist ω(n) := |{p|n}|.
(b) Ist d > N 4 /(4m2 ) und ist cm (q) ungerade, so besitzt
H(q) genau 2ω(cm (q)) irreduzible Komponenten, außer wennq ∼ [N 2 , 0, 4d].

4. Hauptresultate II - 2
I Satz 3: Ist q = [a, b, c] ∈ Q(N 2 ) vom Typ (N, m, d), so sei

cm (q) = ggT(a, b, c, m).
(a) H(q) hat höchstens 2ω(cm (q)) irreduzible Komponenten,
falls 8 - cm (q). Hierbei ist ω(n) := |{p|n}|.
(b) Ist d > N 4 /(4m2 ) und ist cm (q) ungerade, so besitzt
H(q) genau 2ω(cm (q)) irreduzible Komponenten, außer wennq ∼ [N 2 , 0, 4d].
I Bemerkungen: 1) Ist cm (q) = 1, so folgt aus Theorem 3(a),daß H(q) irreduzibel ist. Daher: Theorem 3(a) ⇒ Theorem 2.
2) Falls 8|cm (q), so hat H(q) höchstens 2ω(cm (q))+1 irreduzible
Komponenten, und es gilt ein ähnliches Resultat wie in Teil(b) (aber mit mehr Ausnahmen). Außerdem kann man auch inden Ausnahmefällen die Anzahl der Komponenten bestimmen.

4. Hauptresultate II - 4
I Numerische Beispiele: Mithilfe der Reduktiontheorie derbinären quadratischen Formen und der obigen Resultate (undandere), erhält man:
H1 ∩ H4 = H[1, 0, 4],
H1 ∩ H5 = H[1, 0, 4],H4 ∩ H5 = H[1, 0, 4] ∪ H[4, 0, 5] ∪ H[4, 4, 5],H9 ∩ H5 = H[4, 0, 5] ∪ H[5, 2, 9] ∪ H[5, 4, 8].
Die Anzahl der irreduziblen Komponenten von HN 2 ∩ Hm ist:
\m
1
4
9
16
25

N2

1
∗
1
1
2
3

4
1
∗
3
5
6

5
1
3
3
5
7

8
2
4
5
6
8

9 12 13 16 17 20 21 24 25
1 2 2 2 3 3 2 3 3
3 4 5 5 5 6 5 6 6∗ 6 5 6 8 7 8 10 9
6 9 9 ∗ 9 12 10 11 12
9 9 10 12 15 16 11 13 ∗N.B.: Enthält der Durchschnitt HN 2 ∩ Hm ein reduzibles H(q),so ist die Komponentenanzahl in rot angegeben.

5. Die verfeinerte Humbert Invariante
I Grundidee: Die Néron-Severi Gruppe

NS(A) = Div(A)/ ≡einer hauptpolarisierten abelschen Varietät (A, λ) besitzt einekanonische ganze quadratische Form q(A,λ) (genannt dieverfeinerte Humbert Invariante).

5. Die verfeinerte Humbert Invariante
I Grundidee: Die Néron-Severi Gruppe

NS(A) = Div(A)/ ≡einer hauptpolarisierten abelschen Varietät (A, λ) besitzt einekanonische ganze quadratische Form q(A,λ) (genannt dieverfeinerte Humbert Invariante).
I Bezeichnung: Es sei A/K eine abelsche Fläche über einem
algebraisch abgeschlossenem Körper K . Ist λ : A → Â eine
Hauptpolarisierung, so ist λ = φθ , für ein θ ∈ NS(A). Setzeq̃(A,λ) (D) = (D.θ)2 − 2(D.D),∀D ∈ NS(A).

Nach dem Hodge Index Satz definiert q̃(A,λ) eine
positiv-definite quadratische Form q(A,λ) auf derQuotientengruppeNS(A, λ) := NS(A)/Zθ.

5. Die verfeinerte Humbert Invariante - 2

I Definition: Die quadratische Form q(A,λ) heißt die verfeinerte

Humbert Invariante von (A, λ).
I Bemerkung: Ist D̄ ∈ NS(A, λ) primitiv, d.h., ist NS(A, λ)/ZD̄

torsionfree, so gilt (vgl. [EC] (1994)), daßN = q(A,λ) (D̄)
die klassische Humbert Invariante von A ist, die Humbert im
Fall K = C via der Periodenmatrix von A definiert hat.
N.B.: Ist rank(NS(A)) > 2, so besitzt (A, λ) unendlich vieleverschiedene (klassische) Humbert Invarianten N.

6. Verallgemeinerte Humbert Schemata
I Prinzip: Man kann die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)

dazu benützen, um abgeschlossene Unterschemata Hg (q) desModulraums Ag zu definieren. (Hier g = 2.)

6. Verallgemeinerte Humbert Schemata
I Prinzip: Man kann die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)

dazu benützen, um abgeschlossene Unterschemata Hg (q) desModulraums Ag zu definieren. (Hier g = 2.)
I Definition: Es seien (M1 , q1 ) und (M2 , q2 ) zwei quadratische
Z-Moduln. Dann repräsentiert (M1 , q1 ) den Modul (M2 , q2 )primitiv, falls es eine Injektion f : M2 → M1 gibt derart, daßq1 ◦ f = q2

und

M1 /f (M2 ) torsionfrei ist.

Ist dies der Fall, so schreibt man q1 → q2 .

6. Verallgemeinerte Humbert Schemata
I Prinzip: Man kann die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)

dazu benützen, um abgeschlossene Unterschemata Hg (q) desModulraums Ag zu definieren. (Hier g = 2.)
I Definition: Es seien (M1 , q1 ) und (M2 , q2 ) zwei quadratische
Z-Moduln. Dann repräsentiert (M1 , q1 ) den Modul (M2 , q2 )primitiv, falls es eine Injektion f : M2 → M1 gibt derart, daßq1 ◦ f = q2

und

M1 /f (M2 ) torsionfrei ist.

Ist dies der Fall, so schreibt man q1 → q2 .
I N.B.: Ist n ∈ Z, so gilt q1 → n (im Sinne von §2) genau dann,wenn q1 → q2 := nx 2 .

6. Verallgemeinerte Humbert Schemata
I Prinzip: Man kann die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)

dazu benützen, um abgeschlossene Unterschemata Hg (q) desModulraums Ag zu definieren. (Hier g = 2.)
I Definition: Es seien (M1 , q1 ) und (M2 , q2 ) zwei quadratische
Z-Moduln. Dann repräsentiert (M1 , q1 ) den Modul (M2 , q2 )primitiv, falls es eine Injektion f : M2 → M1 gibt derart, daßq1 ◦ f = q2

und

M1 /f (M2 ) torsionfrei ist.

Ist dies der Fall, so schreibt man q1 → q2 .
I N.B.: Ist n ∈ Z, so gilt q1 → n (im Sinne von §2) genau dann,wenn q1 → q2 := nx 2 .
I Bezeichnung: Ist q eine ganze, positiv-definite quadratische
Form (auf Zr ), so sei
H(q) := {(A, λ) ∈ A2 (K ) : q(A,λ) → q}.

6. Verallgemeinerte Humbert Schemata - 2

I Proposition 1: H(q) ist eine abgeschlossene Untermenge vonA2 , vorausgesetzt, daß char(K )2 6 | disc(q).

6. Verallgemeinerte Humbert Schemata - 2

I Proposition 1: H(q) ist eine abgeschlossene Untermenge vonA2 , vorausgesetzt, daß char(K )2 6 | disc(q).
I Beispiel: Wie schon erwähnt, ist die klassische HumbertFläche durch Hn = H2 (nx 2 ) definiert (wenn K = C).

6. Verallgemeinerte Humbert Schemata - 2

I Proposition 1: H(q) ist eine abgeschlossene Untermenge vonA2 , vorausgesetzt, daß char(K )2 6 | disc(q).
I Beispiel: Wie schon erwähnt, ist die klassische HumbertFläche durch Hn = H2 (nx 2 ) definiert (wenn K = C).
I Bemerkung: Man kann die Definition der verfeinerten

Humbert Invariante auf hauptpolarisierte abelsche Varietäten(A, λ) beliebiger Dimension g ≥ 2 verallgemeinern. Dannliefert die obige Definition von H(q) abgeschlossene
Unterschemata von Ag .

7. Die modulare Konstruktion: 1. Schritt
I Schritt 1: Die Grundkonstruktion ([FK])I Satz 4: Es sei char(K ) - N ≥ 1, und sei X (N)/K die affine

Modulkurve der Stufe N. Dann gibt es einen endlichen
surjektiven Morphismus
βN : X (N) × X (N) → HN 2 .
Ferner ist die Normalisierung H̃N 2 von HN 2 isomorph zu derQuotientenfläche (X (N) × X (N))/ Aut(βN ).

7. Die modulare Konstruktion: 1. Schritt
I Schritt 1: Die Grundkonstruktion ([FK])I Satz 4: Es sei char(K ) - N ≥ 1, und sei X (N)/K die affine

Modulkurve der Stufe N. Dann gibt es einen endlichen
surjektiven Morphismus
βN : X (N) × X (N) → HN 2 .
Ferner ist die Normalisierung H̃N 2 von HN 2 isomorph zu derQuotientenfläche (X (N) × X (N))/ Aut(βN ).
I Bemerkung: 1) Der Morphism βN ist eine Variante derGrundkonstruktion (“basic construction”) von [FK].
2) Es ist deg(βN ) = | Aut(βN )| undAut(βN ) ' SL2 (Z/NZ)/{±1} o Z/2Z.
Insbesondere ist | Aut(βN )| = | SL2 (Z/NZ)|, falls N ≥ 3.

7. Die modulare Konstruktion: 2. Schritt
I Schritt 2: Die Modularkorrespondenzen X NAI Bezeichnung: Ist d ≥ 1, so bezeichne Md die Menge derprimitiven 2 × 2 Matrizen der Determinante d. Es ist also
Md = Γ(1)αd Γ(1), mit Γ(1) = SL2 (Z), αd = 10 d0 .

7. Die modulare Konstruktion: 2. Schritt
I Schritt 2: Die Modularkorrespondenzen X NAI Bezeichnung: Ist d ≥ 1, so bezeichne Md die Menge derprimitiven 2 × 2 Matrizen der Determinante d. Es ist also
Md = Γ(1)αd Γ(1), mit Γ(1) = SL2 (Z), αd = 10 d0 .
I Resultat (Klein): Ist K = C, so gibt es zu jedem A ∈ Md eine

irreduzible Kurve
XAN ⊂ X (N) × X (N),die nur von der Doppelnebenklasse ±Γ(N)AΓ(N) abhängt.

7. Die modulare Konstruktion: 2. Schritt
I Schritt 2: Die Modularkorrespondenzen X NAI Bezeichnung: Ist d ≥ 1, so bezeichne Md die Menge derprimitiven 2 × 2 Matrizen der Determinante d. Es ist also
Md = Γ(1)αd Γ(1), mit Γ(1) = SL2 (Z), αd = 10 d0 .
I Resultat (Klein): Ist K = C, so gibt es zu jedem A ∈ Md eine

irreduzible Kurve
XAN ⊂ X (N) × X (N),die nur von der Doppelnebenklasse ±Γ(N)AΓ(N) abhängt.
I Bemerkung: Analytisch gesehen ist X (N) = Γ(N)\H, und X NA

ist das Bild des Graphen ΓA ⊂ H × H von A (betrachtet als
Moebiustransformation auf der oberen Halbebene H).

7. Die modulare Konstruktion: 3. Schritt
I Schritt 3: Die Structur von H(q)I Bezeichnung: Ist A ∈ Md und N ≥ 1, so sei

qAN = [N 2 , 2mt, m2 (t 2 + 4d)/N 2 ].
0Hierbei ist t = Spur(BA), wobei B = 10 −1
und die Zahl
m|N durch folgende Formel gegeben wird:N= ggT(x − w , y , z, N), falls BA = ( xz wy ) .
m

7. Die modulare Konstruktion: 3. Schritt
I Schritt 3: Die Structur von H(q)I Bezeichnung: Ist A ∈ Md und N ≥ 1, so sei

qAN = [N 2 , 2mt, m2 (t 2 + 4d)/N 2 ].
0Hierbei ist t = Spur(BA), wobei B = 10 −1
und die Zahl
m|N durch folgende Formel gegeben wird:N= ggT(x − w , y , z, N), falls BA = ( xz wy ) .
m
I Lemma 2: (a) q N ist eine Form vom Typ (N, m, d).
A(b) Ist q eine Form vom Typ (N, m, d), so gibt es eine(primitive) Matrix A ∈ Md derart, daß q ∼ qAN .

7. Die modulare Konstruktion: 3. Schritt - 2
I Bezeichnung: Ist A ∈ Md und N ≥ 1, so bezeichneN

X A := βN (XAN ) ⊂ HN 2 ⊂ A2
das Bild der Modularkorrespondenz XAN auf der
Humbertfläche HN 2 .

7. Die modulare Konstruktion: 3. Schritt - 2
I Bezeichnung: Ist A ∈ Md und N ≥ 1, so bezeichneN

X A := βN (XAN ) ⊂ HN 2 ⊂ A2
das Bild der Modularkorrespondenz XAN auf der
Humbertfläche HN 2 .
I Satz 5: Ist q eine binäre Form vom Typ (N, m, d), so gilt(2)

H(q) =

[

N

XA,

A

wobei die Vereinigung über alle A ∈ Md läuft mit qAN ∼ q.
Diese Vereinigung ist endlich, weil folgendes gilt:
NN(3) gBA1 g −1 ≡ ±BA2 (mod N), g ∈ Γ(1) ⇒ X A1 = X A2 .

8. Die Struktur von H(q)I Structuranalyse von H(q)I Vorbemerkung: Wegen Satz 5 führt das Studium derirreduziblen Komponenten von H(q) zu den folgenden 3
Aufgaben:
1. Bestimme die SL2 (Z/NZ)-Konjugiertenklassen der Matrizen A
mod N.
2. Studiere die ±-Wirkung auf den Konjugiertenklassen.
3. Untersuche die Umkehrung der Implikation (3).

8. Die Struktur von H(q)I Structuranalyse von H(q)I Vorbemerkung: Wegen Satz 5 führt das Studium derirreduziblen Komponenten von H(q) zu den folgenden 3
Aufgaben:
1. Bestimme die SL2 (Z/NZ)-Konjugiertenklassen der Matrizen A
mod N.
2. Studiere die ±-Wirkung auf den Konjugiertenklassen.
3. Untersuche die Umkehrung der Implikation (3).
I Lösungen: 1) ist eine einfache Erweiterung der Resultate vonNobs[No] (1977).
2) ist eine Übungsaufgabe und führt zu den Ausnahmen, die
im Satz 3 auftreten.
3) ist schwieriger. Wenn die Umkehrung nicht gilt, so liegen
die Kurven im singulären Ort von HN 2 . Es gilt aber:8. Die Structur von H(q) - 2
I Satz 6: Ist q eine Form vom Typ (N, m, d), die die Bedingung(4)|{(x, y ) ∈ Z2 : q(x, y ) = N 2 , ggT(x, y ) = 1}| = 2

erfüllt, so gilt die Umkehrung von (3) für die Matrizen
Ai ∈ Md mit qANi ∼ q.

8. Die Structur von H(q) - 2
I Satz 6: Ist q eine Form vom Typ (N, m, d), die die Bedingung(4)|{(x, y ) ∈ Z2 : q(x, y ) = N 2 , ggT(x, y ) = 1}| = 2

erfüllt, so gilt die Umkehrung von (3) für die Matrizen
Ai ∈ Md mit qANi ∼ q.
I Bemerkung: Ist d > N 4 /(4m2 ), so zeigt die Theorie derquadratischen Formen (Reduktionstheorie), daß q die
Bedingung (4) erfüllt. (⇒ Theorem 3(b).)

8. Die Structur von H(q) - 2
I Satz 6: Ist q eine Form vom Typ (N, m, d), die die Bedingung(4)|{(x, y ) ∈ Z2 : q(x, y ) = N 2 , ggT(x, y ) = 1}| = 2

erfüllt, so gilt die Umkehrung von (3) für die Matrizen
Ai ∈ Md mit qANi ∼ q.
I Bemerkung: Ist d > N 4 /(4m2 ), so zeigt die Theorie derquadratischen Formen (Reduktionstheorie), daß q die
Bedingung (4) erfüllt. (⇒ Theorem 3(b).)
I Theorem 7: Ist N > 2 eine Primzahl und q eine Form vom

Typ (N, N, d), für die (4) nicht gilt, so gilt die Umkehrungvon (3) genau dann, wenn N ≡ 1 mod 4.

8. Die Structur von H(q) - 2
I Satz 6: Ist q eine Form vom Typ (N, m, d), die die Bedingung(4)|{(x, y ) ∈ Z2 : q(x, y ) = N 2 , ggT(x, y ) = 1}| = 2

erfüllt, so gilt die Umkehrung von (3) für die Matrizen
Ai ∈ Md mit qANi ∼ q.
I Bemerkung: Ist d > N 4 /(4m2 ), so zeigt die Theorie derquadratischen Formen (Reduktionstheorie), daß q die
Bedingung (4) erfüllt. (⇒ Theorem 3(b).)
I Theorem 7: Ist N > 2 eine Primzahl und q eine Form vom

Typ (N, N, d), für die (4) nicht gilt, so gilt die Umkehrungvon (3) genau dann, wenn N ≡ 1 mod 4.
I Beispiel: Die Form q = [9, 6, 9] hat den Typ (3, 3, 2), erfüllt

aber die Bedingung (4) nicht. Daher gilt die Umkehrung von(3) nicht für q, also ist H(q) eine irreduzible Kurve, die im
singulären Ort von H9 liegt.

9. Beweismethoden
I Definition. Eine N-Präsentierung einer hauptpolarisiertenabelschen Fläche (A, λ) ist 4-Tupel (E1 , E2 , ψ, π), in dem
Ei /K eine elliptische Kurve ist, ψ : E1 [N] → E2 [N] eine Antiisometrie, und
π : E1 × E2 → A
eine Isogenie ist derart, daß Ker(π) = Graph(−ψ) undπ ∗ θ ≡ N(θ1 + θ2 ),wobei θ der Theta-divisor von (A, λ) ist und θi = pri (0Ei ).

9. Beweismethoden
I Definition. Eine N-Präsentierung einer hauptpolarisiertenabelschen Fläche (A, λ) ist 4-Tupel (E1 , E2 , ψ, π), in dem
Ei /K eine elliptische Kurve ist, ψ : E1 [N] → E2 [N] eine Antiisometrie, und
π : E1 × E2 → A
eine Isogenie ist derart, daß Ker(π) = Graph(−ψ) undπ ∗ θ ≡ N(θ1 + θ2 ),wobei θ der Theta-divisor von (A, λ) ist und θi = pri (0Ei ).
I Bemerkung: Es folgt aus der Grundkonstruktion (vgl. [FK]),

daß folgendes gilt:(A, λ) besitzt eine N-Präsentierung⇔(A, λ) ∈ HN2 .

9. Beweismethoden - 2
I Schritt 0: Berechne die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)

von (A, λ) aus einer gegebenen N-Präsentierung (E1 , E2 , ψ, π)von (A, λ). Dieses ist das Hauptresultat von [ES]. (In [MS]wurde ein Spezialfall behandelt.)9. Beweismethoden - 2
I Schritt 0: Berechne die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)

von (A, λ) aus einer gegebenen N-Präsentierung (E1 , E2 , ψ, π)von (A, λ). Dieses ist das Hauptresultat von [ES]. (In [MS]wurde ein Spezialfall behandelt.)
I Schritt 1: Benütze die modulare Interpretation von X (N), um

den Morphismus
βN : X (N) × X (N) → A2 .
zu konstruieren. Dann zeigt die Grundkonstruktion, daßIm(βN ) = HN 2 . Zeige, daß βN endliche Fasern besitzt, unddaß βN eigentlich ist. Somit ist βN ein endlicher Morphismus.

9. Beweismethoden - 2
I Schritt 0: Berechne die verfeinerte Humbert Invariante q(A,λ)

von (A, λ) aus einer gegebenen N-Präsentierung (E1 , E2 , ψ, π)von (A, λ). Dieses ist das Hauptresultat von [ES]. (In [MS]wurde ein Spezialfall behandelt.)
I Schritt 1: Benütze die modulare Interpretation von X (N), um

den Morphismus
βN : X (N) × X (N) → A2 .
zu konstruieren. Dann zeigt die Grundkonstruktion, daßIm(βN ) = HN 2 . Zeige, daß βN endliche Fasern besitzt, unddaß βN eigentlich ist. Somit ist βN ein endlicher Morphismus.
I Schritte 2 und 3: Finde eine brauchbare modulare

Interpretation der (Normalisierung der) Modularkorrespondenz
XAN . Benütze diese und Schritt 0 um zu zeigen, daßβN (XAN ) ⊂ H(q) ⇔ qAN ∼ q.

10. Literatur[AP] R. Accola, E. Previato, Covers of Tori: Genus 2. Letters forMath. Phys. 76 (2006), 135–161.
[FK] G. Frey, E.K., Curves of genus 2 and associated Hurwitz
spaces. Contemp. Math. 487 (2009), 33–81.
[EC] E. K., Elliptic curves on abelian surfaces. Manusc. math. 84(1994), 199–223.
[MS] E. K., The moduli spaces of Jacobians isomorphic to a productof two elliptic curves. Collect. Math. 67 (2016), 21–54.
[ES] E. K., Elliptic subcovers of a curve of genus 2. Preprint, 2016,41pp.
[La] H. Lange, Über die Modulvarietät der Kurven vom Geschlecht
2. J. reine angew. Math. 281 (1976), 80–96.
[No] A. Nobs, Die irreduziblen Darstellungen der Gruppen SL2 (Zp ),insbesondere SL2 (Z2 ). 1. Teil. Comment. Math. Helvetici 39(1977), 465–489.