轟＿∴∴汁ミ‥二二三、二‥‡￣＿二 ＿森田 浩
Ill…＝＝‖‖‖＝＝＝‖＝‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖＝＝‖＝‖‖＝＝＝‖‖‖服‖…＝＝‖＝＝‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝＝‖＝＝‖＝＝＝‖＝‖‖‖＝＝＝＝‖＝‖＝‖＝‖‖＝‖＝＝＝＝＝‖＝＝＝‖‖‖‖‖‖＝＝‖＝＝＝‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖……ll…＝＝‖＝＝＝‖‖＝‖‖＝‖＝‖＝＝…川＝lる」と指摘しており，デ門タの持つエラーに関する明−． ∴．：こ＼・こ∴

確な説明がなされない限り非統計的な効率性尺度に懐データに基づいた手法ではそのデータのもつ不確実疑的号統計、fL者−は多いだろうとi‡っている。Seiford性を考慮に入れる必要がある。統計的手法はこの不確は1996年に報告したDEAの現状をまとめた論文［8］

実性をばらつきとして積極的に捉えて評佃している・手で「今後10年では確率的DEAの研究が最も注‖を法であるといえよう。何rH†か観測して平均値を取るの集めるであろう」と㌢兄している。その10年のや分も，推定量の分散を小さくしたり，ばらつきの火きさを過ぎた今9 不確実性の卜でのmEA分析手法にいくを同定したりするためである。「叶屏分析や分散分析でつかの進展が見られている。浅ヤのためその多くを把も同様である。そこでは，データにはばらつきがある握することはできていないが，いくつかを以守て、紹介ものという前提で二曙論化されているのである。

したい。

一方，DEA（data envelopmemt analysis）ではデータのもつホ確実性は陽には取り入れられていない。
統計的手法では得られたデータから全体像を把秘するための評価を推定しようとしているが，デ】タの伯が実際に得られた状況におけるDMU（decisiom mak−2。ヲアジィD臣A法と確率的D臣A法
確率的ひEA法の．；舌題に入る前にファジィDEA法について少し触れておきたい。
データク）もつイく確実性を記述する鰍、押くノなノバ去には，img umit）そのものの評桶を下そうとしているのが確率的な変動として表す確率変数として扱うノバ去とあⅢEAである。この違いがデータのばらつきを積極的いまいなものとして表すファジィ数として拭う方法がに捉えているか否かにつながっているのである。

あろう。甘軋 イ1確実データを拭うDEAとしては前不確実性を陽に考えないにもかかわらずDEAが仏者の確率的データによる分析があったが，多ノノ面で矢く使われているのは9 数三哩計軌手法によってさまざま川化されるにつれてファジィ数による評価法も多く見な情報が提供されることも一閃であろう。効率的でなられるようになってきた（例えば，乾Ilら［6］や．上川

いものに対する改善引標や非効率要因の特定が吋能で［10］）。確率的DEA法では確率rlくノ計Iil祀ミによる定式あり，モデルの拡張性でも優れている。偶矧†くノな「離化がなされるのに刈▲し，ファジィ数を扱うモデルでは差」をどう捉えるかに注力している統計学とシステムファジィ計画法によって定式化される。求角草のアルゴのもつ構造的な「誤差」を捉えようとしているmEA

リズムの頂からみると，確率rlく」計画法よりファジィ計という見方もできる。

画法のガが拭いやすいこともあるが，特に訂l本ではフしかしながら，DEAで不確実性を考える必要がな

ァジィ理論の研究苫たちが新たなデータ解析手法としいということはありえず，DEAの確定的なモデルがてDEAに注‡Jし，そのファジィDEA法への拡張が多く開発されてきている今イ1では，次の段階としてデ進められている。ファジィ DEA法では得られる効率ータ固有の偶発的「誤差」を陽に二取り入れたのEAモ

値もファジィ放としてJナえられる。効率性もあいまい

デルの開発も必要となっている。Bauer［2］は「デーなものになるという考え方である。一九 確率的

タには統計的ノイズがあるためにそこから管≠られる効ⅢEA法では分布問題として扱う場合を除いて，一般率的フロンティアもそのノイズに汚染されたものになに，ある規範を設けて確率的な条件を確定的なILり題へと帰若させているため，得ちれる効率値は確定した数
もりた ひろし大阪大学大！、打浣 巨学研究科伯としてリーえられる。もちろん効率仙は確定値であっ〒565−0871吹州市山田丘2−1ても碓＊的変軌の人きさなどは加味されて算㌔tj−されて296（24）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ領域の内部にあるウェイトは強相補性条什が成立しており，通常の確定的なDEA法とは異なる．

おり，多少のノイズが加わってもその効率性評価に影

もっとも不確実性のあるのはモデルではなくデータ響しない．

であるから，ファジィ数として表すのか確率変数として表すのかはデータによって決められるものである．

4．効率値の信頼性

統計的な予測理論に基づいた推定値などを使うときには確率的な枠組みで議論すべきであろう．そのようなばらつきのあるデータはそのザ均伯などの代表伯を三哩論によらない予測値を使ったり，う莫然としていて確円いて解析することになるが，その場合には得られた定的な値がわからなかったりする場合にはファジィ数

効率性評佃がばらつきに対してどの程度信頼できるもとして議論すべきである．のであるかが注［丁される．一般に，効率的なDMUの効率伯は1となるため，効率的なものI甘l二では優劣3． DEAがつけられない．効率的なDMUの順序付けの〟法

m入力s出力をもつDMUがn個あり，DMUjはとしてAndersenらの拡張効率値（super efnciency

入力エノと出力狛をとるものとする．CCRモデルでscore）［1］があり，広く使われている）j法である．こは生産可能集合（productionpossibilityset）Pにはれは評価対象以外のDMUで構成される生産‖用旨集

次の仮定がおかれている．

合f㌔に基づいて算化した効率値のことで，効率的（Al）すべてのノ＝1，2，…，紹に対して（Jノ，〝J）∈PなDMUは生産叶能集合た。からの粧離に応じて1（A2）正のゐに対して（ご，〝）∈Pならば（触，毎）∈以上の効率値を取るようになっている．この怖が大きければ，効率的という評佃は多少のデータのばらつき／・）に対して影響を′受けることはない．拡張効率伯がばら（A3）烹≧ェ，威≦〝に対して（エ，〝）∈Pならば（度，タ）つきに対する信頼性を表していると見ることもでき，∈P

この年産可能集合Pの有効フロンティア上にある

効率riくノと評価されたDMUのばらつきに対するロバDMUが効率的と評価され，DMU。の効率値を求めスト性を示している．しかし，極端なウェイト付けにるための計画問題は次の問題（1）の包絡形とその双対形

よって効率的となっている特異な効率的DMUは拡である問題（2）の乗数形となる．

張効率伯が大きくなりすぎることも知られており，そminimize Oの値の大小によってロバスト性を比較することは必ずSubjectto 蝕。−X）≧0
包給形

しも適切ではない．
（1）

的√」刀≦0

データのもつぱらつきを直接拭い，ある確率水準αにおけるデータの二取り得る信頼領域Sαを考えること

バ≧0′ maximize uy。

によって効率性評仰の信頼性を測ることができる［5］．

データが領域5α内の伯をとるときの羞悪の効率値をSubjectto u′x。＝1
乗数形

（2）

−〃′芽＋㍑′y≦0

確率水準αにおける効率値βαとすると，βαは次のミ〟≧0，〃≧0

ニマックス問題から求めることができる．

問題（1）では，（βご。，〝。）∈Pとなる最小のβを求め

mln maX Oα＝u′y。 Jロ，〟0α，〃ていることになる．その値0＊は効率値（e踊Ciencysubjectto u′xo＝1

score）と呼ばれ，0＊＝1ならばPの境界線上にあり，−㍑′方＋〃′y≦0

β＊＜1ならばPの内部にあることがわかる．この境㍑，〃≧0界繰上にあるDMUをD効率的（DMefncient）とい（∬。，〟。）∈Sαい，さらに入出力にスラックがないものを効率的（e錦cient）という．

（3）

このとき最適値0若をα効率値（α−e用．ciencyscore）と呼ぶ．β若＝1となるαの最大値αmaxは，確率水準

一方，問題（2）では評価対象のDMUにとって最も有利なウェイト（㍑＊，〃＊）が決められる．効率値が1となるDMUではこのウェイトは一意に決まらない．
各DMUにとって効率値が1となるウェイトの集まαmaxで起こり得る任意の確率変動に対して常に効率的になることを示しており，この確率水準をもって効率性の信頼度（reliability）と呼ぶことにする．信頼領域は正規性の仮定の下では2次関数として表される．

りをウェイト空間における支配領域といい，この支配
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（25）297

問題（3）をiヂ‡二接解くことによってαmaxを求めるのは難接近していることを意味している．No．2とNo．6のしいので，双対問題に信頼領域制約を付け加え，さら仁矧度は高く，ここでの木綿毀津1三に対しては，確信をに㍍楯領域の大きさが確率水準αと単剥な関係にあもって効率的であるということができる。詳細な解析ることから，次の2次骨相回甘越により存摘細度を求める

結果は文献盲二5］を参照されたい。

ことができる。

㍍頼領域を構成するにあたってはデータ構造をあらわすパラメータを推定する必繋がある。特にデータのillinimize △＝（∬。あ，〟。一夕。）′∑古1

分散成分の肺定が重要となるが，事潮にこれらがわか・・・∫・−
Subjectto 〝。一K。バ≦0（4）っている場合はほとんどなく，与えられた人岨カデー．il．．＼■．，′▲i二三・＝タから推定することが多くなる．しかしながら，通常′＼、Tl盲のデげタセットでは分散を精度よく推定するために甘一

人目カデータ（∬。，〟。）はⅠ甘÷規分布Ⅳ（（よ。，タ。），∑。）に従分なデータ数があるとはl限らない。領城l限定法などでうものとしている。また，且∵。，K〃は評価対象であ設定する求みのトトⅠ肛伯と】ホ＝ニように，計画問題の最るⅢMU。の人出カデータを外して得られるそれぞれ適解はこれらの他に正接影響される。したがって，そ研×（銅】1），∫×（乃−1）行列であり，拡張効＊植を求のり・え引こは巨分注意しなければならないが，とはいめるときと同じ里産叶能集合イ㌔を構成することにっても桁度良く推定するには不十分な情報しかないのなる。つまりこの間越の崩過伯は，評価対象以外のが−一般的であろう。

りMUで構成される雄藻‖∫能集合までのマハラノビス

5。確率的計画法とD臣A抑離を求めていることになる。
このときの信頼度凍m。Xは，問題（4）の最適伯△＊が5．1機会制約条件モデル
デ｝タを碑率変数とみると，効率値を求めるための軸制空雛十∫のズ2分布に従うことから，ズ2糾S（αmax）＝△＞≡く（5）

緑形計画問題は確率的線形計画問題となる。このときとして求められる。極端な革み付けによって効率的との確率変数は正規分布に従うと仮定されることが多い。

評価されたものは，特定の人情力項l1のみがイ（確実件

DEAはノンパラメトリック手法であるが，ここにパの影響を強く受けるようになり，その結果，信顧度はラメトリックな確率モデルを入れることになる。しか低いものになってしまう。

しこの仮定はデータ構造に対する正規性の仮定であり，ここでは人桐山デ」タは紙面の都合上掲載しないが，DMUの構造やりEAのモデルに対する仮定ではない。

刀根［9］にある病院のデータに適用したところ，14の確率的計囲法では確率的な制約条件の成牒二に関して2病院のうち，5つの病院（No．2，3，6，8，10）が効つの考えガがある。1つは制約条件の成立する確率を率倍1をとりⅢ効率的となった。これらの信頼度なあるレベル以上にしようというもので，もう1つは制どを表＝こ示す。拡張効率牌はいずれも1より大きく約条件を満たさない最をできるだけ小さくしようとすなっているが，△＊とそこから導附されるすi湖i度払−。Xるものである。前者は機会制約条件モデル（chance¶より，No．8は効率的ではあるがその信頼度はきわめconstrainedmodel），後者はリコース付き2段階問題て低くわずかな確率的変動に対しても非効率的となっ（two−StagePrOblemwithrecourse）として定式化すてしまうことがわかる。No。8は残りの13脚のDMUることができる。

01esenらの機会制約条件モデル［7］では，制約条件から構成される∠打産可能集合のフロンティアに梅めて〃′。Y＋乙∠′y≦0が機会制約条件
Pr（−−〃′ェ、ブ十㍑′批≦0）≧勒ノ＝1，2，…，犯

表且 効率的と評価されたDMUの㍍輯度
36108

拡張効率値 1．06 1．0三Z 1．08 1．00 1．04
6．420．92

且軋60．00

4．34

信緯度α111aX 0．83 0．08 ￠．99 0．00 0．64
95％効率値 ．988 。95−5 1 ．933 ．98ユ
99％効率値 ．975 ．944 且 ．920 ．971
望9爵（26）に緩められている。これは生産叶能集合の仮定の1つである「人出カデータは年産可能集合に含まれる」を「人山カデータは確率の以上で生産可能集合に含まれる」としたものである。入出力データ（エノ，〝．ブ）は正規分布Ⅳ（（烹．7，タノ），∑J）に従うと仮定すると，（6）式は一〃′烏十乙g′否．汗ば←1（qブ）パ商≦0 （7）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ8リサーチ（6）と表される．ここで￠は標準正規分布の分布関数で率分布を特定することが必要となるが，ノンパラメトある．1川くノ関数にも確率変数が含まれるが，α％点のリックな確率モデルを過別できる場面として，繰り返最大化という考え小こよリ

し測定が行われるときとか予測確率が−fブ▲えられている

max免＝〟′‰＋針1（α。）ノ（z血石ときなどが考えられる．繰り返し測定が行われたとき，（8）としている．この敲人伯密を機会制約効率伯それぞれの観測値を母集団からのランダムサンプルと（chanceconstrainede踊ciencyscore）と呼んでいる．

して扱うと，これらは等確率で実現した確率変数の値

この問題はハ制約における凸関数の巌大化となり，とみることができる．肯個の観測値が（方烏，y々），々＝その最適解を求めるのは容易ではない．01esenらも1，2，…，打と得られたとき，各々の観測値は確率轟＝大域的最適化のためのソフトを川いて機会制約効率伯1／仔で実現したものと考えられる．何らかの事前情報の上l眼伯と下限値を求めるにとどまっている．

によりこの出現確率如が与えられる場合にはその値を使えばよい．このときのリコースコストは5．2 リコースモデル．打不確実牲をデータの持つ観測誤差としてとらえるな

Q（β，バ，Sェ，∫〟）＝min∑轟（巌寝＋q；γ♂）（12）／√−1

らば，制約を満たさない最が最小となるように生産可と表され，その結果に得られる確率的計画問題は能集合を柿成しようという考えガもできる．これに対minimize O−（e sx＋e′sy）応するのが確率「1勺計内法におけるリコースモデル［3］．打である．リコースモデルでは2段椚法が取られ，まず，＋∑如（巌寝＋扇招）

1汀J題（1）の制約条件を満たさない宜をリコース変数（n，subjectto O（x吉＋74）＝Xh）＋sr／丁＿tγy）として導入する．

（13）（．．ソ． ノlト∴＼β（J。十γ∬）＝励＋sJ

人≧0，SJ≧0，軸≧0，γ空≧0，γ♂≧0（9）l′ ′il∴、、、々＝1，2，‥・，∬

このときリコース変数の加東和の故小値を考え，そのとなる．

期待値問題（13）の最初の制約条件が（11）式のように与えられる

Q（0，），Sx，Sy）＝E［min（q；n＋qLry）］（10）

ときには，その最適解は線形計画問題を逐次的に解くをリコースコスト（recourse cost）と呼び，制約をL型法［3］と呼ばれる功除平面法によって求められる．

満たさなかったことに対するペナルティとして目的関しかし問題（1劫の最初の制約条件には変数βと変数寝数に課す．次に崩小化問題を解き，効率値βとリコの積がある非線形関数であり，L型法をそのまま用いースコストの伯（￠とおく）を求める．

ることはできない．交互に一方の変数を固定して線形通常の確率的計画法でいうリコースは制約条件の左計両問題として解くことを繰り返すことで解を求める

辺と右辺のギャップを才持している．そのようにリコーことができる．

スを定義するなら（9）式の最初の式はこのモテルで得られるものは効率値β＊とスラック

β∬。＋n＝都＋∫ェ（11）ざ雷，S漂および目的関数の第3項にあるリコース値q＊としなければならないが，ここで考えているリコースである．効率的なDMUはβ司く＝1，ざ書＝5葺＝0である

では，ばらつきの原因はデータ（J。，〟。）にあるものととともに￠＊＝0となる．このリコース値はデータのしているため，データの値にリコース変数を加えて制もつぱらつきが効率値へ及ぼす影響の度合いを表して約を満たさない量を補正することとした．したがって，いるとみることができる．

（J。＋γ∬，〝。−γ〟）が制約を満たす，つまり，生産可能数値例を用いてその様子を見てみよう．2入力1出集合に含まれるようにするためにリコース変数をおい力をもつ6つのDMU（A，B，C，D，E，F）があている．

り，入力値がそれぞれ3回観測されたとする．ここでリコースを考えることで，ばらつきを考えないとき3回の観測値には対応関係があって，3つのデータセの生産可能集合と比べて，ばらつきに相当する分だけット（方1，yl），（芽2，y2），（方3，y3）が各々確率1／3で生産可能集合を拡大させたことになり，それに伴って生起するものとしている．図1に単位出力あたりの入効率値も下がることになる．

力値の散布図を示しているが，簡単のため対応関係のこのリコースモデルでも期待値操作を行うために確

2001年6ケ】号

表示は省略している．

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（27）299

表4 効率性分析の結果（すべてのばらつきが2倍）

量⊃0＼望盈じ血−、・ニーさ⊃ゆ6:〇2ム6

表5 効率性分析の結果（C，仇 Eのばらつきが2倍）

喝⑳

10812

hputL／ou陶t

長l等ず喜 A
効率値

BCD E ≡．769 ．511 ．993 ．729 田 ．7岩3

リコーース値 ￠．42 0．80 0．35 0．4望 ￠ 0．ヰ4

図且 入拇カデータ

表2 効率性分析の結果平均値はそのままでばらつきを2倍にしたときの効率値とリコース値を計算した。表4はすべてのDMUにおいてばらつきの大きさを2倍したときの結果であ．859．638 1

1．936

り，表5は効率的であったC，D，Eのばらつきだけを2倍にしたときの結果である。表2と衷4を比べて．782 ．528 1 且 且 ，756（リコース）

みると，ばらつきが大きくなったことでCは非効率的となっている。全体的に効率値は下がっており，リリコース値 0．35 膵 星巨 0 0．30

コース値は2倍近くになっている。リコース値がばらつきの大きさに応じた指標になっていることがわかる。

衰3 拡張効率値とリコース値

また，表2と表5を比べてみると，Dの評価が大きく変わっている。Ⅲのばらつきが大きくなっているため，Aとの違いがなくなってきているものと思われる。
これらはいずれも平均値は固定させてばらつきの大きさだけを変化させたものであり，ばらつきを考慮に人れたモテリレであるからこそ得られるものである。ひ

A，B，『は非効率的で，Fにはスラックが存在しとつのDMUが何回かの入出力値を測定できるときそうである。C，Ⅰ〕，Eは効率的となりそうである。には，従来では平均値を取ることによってばらつきを表2に3匝‡の平均値による効率値（第1行）とリコー小さくしてから効率性分析を行うことはできたが，ばスモデルによる効率値（第2行）およびリコースコスらつきの大きさを考慮することはできない。このとき

ト（第3行）を示す。A，Bは非効率的であり，効率同じ平均値をもっていれば，同じ効率性と評価されて値もばらつきの影響を受けて変化する。Fは効率的フしまう。しかし，同じ平均値をもっていても，ばらつロンティアに近く，確率的な変垂加こよって効率的と評きの大きいデータをもつDMUの効率性は劣るもの価されることもありうるが，リコースモデルでの効率と見るべきである。複数個の観測データを個々に用い値はかなりづ、さくなっている。これはデータのばらつて効率性を評価することにより，データのもつぱらつきにより効率性が大きく影響されることが原因と考えきの大きさを取り入れた効率性分析が可能となる．

られる。C，D，Eはすべて効率的となっており，その度合を見ることはできない。Andersenらの拡張効

また，将来の環境を予測しながらシステム設計などを行うとき，実現する環境によってシステムの効率性率値を算出する要領でリコースモデルでの拡張効率値は変わる。シナリオ分析で用いられるように将来の環を計算すると表3のようノになる。効率値とリコース低境が予測確率とともに示されている場合，各環境におから，Cが最もばらつきの影響を受けていることがわ

ける人山力値は予測確率の大きさにしたがって生起すかる勺

る確率変数と見ることができる。リコースモテリレを用

リコース値とばらつきの大きさの関係を見るために，
遜⑳厨（28）いると，複数の環境における効率性をその予測確率に© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチしたがって統合した効率他によって表すことも「一拍旨とManagementSciences，Vol．39，Pp．1261L1264，1993［2］P．W．Bauer，Recent developmentsin thなる．

不確実件が伴うときには複数の観測データを取ることでそのばらつきを捉えることができるが，リコースモデルによりこの複数の観測データからの効率性の評価が吋能となる．さらに，機会制約条件モデルなど他の確率的DEAモデルで仮定していたデータに対するパラメトリックな統計モデルが必要なく，DEA本来の特徴であるノンパラメトリックでデータオリエンテッドな盲評価指標をノブ・えることができる．

econometric estimation of frontiers，Journalof
Econometrics，Vol．46，pp．3956，1990［3］］．BirgeandF．Louveaux，Introductiontostochastic
programming，SpringerVerlag，1997［4］w．W．Cooper，LM．Seiford and K．Tone，Dataenvelopment analysis：A comprehensive text withmodels，applications，referencesandDEALSOlversoft−
ware，KluwerAcademic Publishers，2000［5］H．Morita and L．M．Seiford，Characteristics on
StOChasticDEAe用．ciencyLReliabilityandprobability

6．おわりに

being efficientL，Journalof Operations Research

本稿では確率的DEA法に関するいくつかの訪題を紹介した．端近の凶際会議でもDEAを確率的なデー

Society ofJapan，Vol．42，No．4，Pp．389−404，1［6］乾II雅弘，谷野拝三，ファジィ人JIりノデータによる吋能

タに適川しようとした報菖がいくつか見られるが，簡性DEA，fi本ファジィ学会誌，Vol．11，No．3，pp．472−

便法的な内容のものが多く見られる．厳密な統計的な

481，1999

角珊†をしないままに効率値の信頼区間であると主張しているものもあった．解析的な導出は難しいものも多く，評価値を如何にして導け1するかというガが応用上も東要であることは間違いない．理論的な裏づけを与えるとともに，今後多くの適用事例を積み上げていくことが必要であろう．

［7］0．01esen and N．C．Petersen，Chance−COnStrained
efhciency evaluation，Management Science，Vol．41，
pp．442−457，1995［8］LM．Seiford，Data envelopment analysis：Theevaluationofthestateoftheart（1978−1995），Journal
OfProductivityAnalysis，Vol．7，pP．99−138，1996［9］ノノ根薫∴経営効率性の測定と改善，Fl本科学技術連盟，
1995

参考文献

［10］∩卜FI7徹，包綿分析法DEAとファジィDEA，H本ファ［1］P．Andersen and N．C．Petersen，A procedure for

ジィ学会誌，Vol．10，No．2，pp．193−199，1998

ranking efncient unitsin data envelopment analysis，

2001年6‖号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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