３次元画像コンファレンス 2002 講演論文集,pp.113〜116, 東京 (2002,7,4)(3D Image Conference 2002)

全方向視差 CGH におけるBabinet の原理による隠面消去
Hidden Surface Removal by Babinet’s Principle
in Computer-Generated Full-Parallax Holograms
近藤暁靖

松島恭治

Akinobu Kondoh and Kyoji Matsushima
関西大学工学部電気工学科

Department of Electrical Engineering, Kansai University

ABSTRACT
A novel method for hidden-surface removal is suggested in computer-generated holograms (CGHs) with fullparallax. In this method, the Babinet’s principle and wave optical calculation of diﬀraction simpliﬁes the hiddensurface removal processing, and prevents its computation time from remarkably increasing. Optical reconstructionof holograms fabricated by using the method is demonstrated.
Kyewords : CGH, Digital hologram, Hidden surface removal, Babinet’s principle

1

はじめに消去法 [4] が用いられるが，全方向視差 CGH では計算機合成ホログラム（以下 CGH）では，3 次その処理過程が複雑過ぎ，遮蔽を求めるために莫大元仮想物体からの光波の数値合成法として点光源モな演算時間を必要とする．また，観察者がホログラ

デルの光線追跡法 [1, 2] が現在最もよく用いられてムを見る位置を変化させるとその見え方も変化するいる．その理由は断層ホログラム等の他の手法に比ため，2 次元 CG で用いられている Z バッファ法なべて単純で立体物のレンダリングに適しているため

どの単純なアルゴリズムだけでは自然な隠面処理はであり，特に縦方向視差を放棄した CGH では大き困難である [5]．そこで本論文では，Babinet の原理な成果をあげている．一方，全方向視差 CGH では，を利用し，実用的な演算時間で波動光学的に隠面消その演算時間 Tc はホログラムのピクセル数を Mp ，去する手法について報告する．

仮想物体表面上に配置された点光源数を Ns として，2T c = τ M p Ns

Babinet の原理
本研究で用いた Babinet の原理について説明す(1)る [6]．いま，Fig. 1 のように 3 つの開口があるとと表される [3]．ここで τ はアルゴリズムや CPU のする．(a) は全開口 S ，(b) は (a) の中に島状のマス性能に依存した係数である．この性質のため，103

ク Ma が存在する開口 Sa ，(c) は (b) の Ma に相当個程度の点光源を有する表面モデル物体の数平方セする部分が切り抜かれた開口 Sb である．このときンチ程度の CGH を作成した場合，一般にその計算Sa と Sb は相補的な関係となっており，時間は数十時間にも達する．そのため，全方向視差

S = Sa + Sb

CGH において隠面消去処理をすることは容易ではない．

(2)が成り立っている．ここで開口 S の背面より光波縦方向視差を放棄した CGH では，点光源とそのuM が入射したときの開口 S によるホログラム面

光線を遮蔽する物体との幾何学的配置に基づく隠面における回折光の複素振幅 uH は Fresnel-Kirchhoﬀの回折積分で与えられるので，
uMiexp(−ikr)dSuH =
λ S r

近藤暁靖
E-mail : xiaojing@laser.ee.kansai-u.ac.jp
関西大学工学部電気工学科〒 564-8680 大阪府吹田市山手町３丁目３番地３５号
TEL 06-6368-1121(大代表) 内線 5722

1(3)

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Fig 1: Apertures for Babinet’s principle: a frameaperture (a), an aperture with an island mask (b)and its complementary aperture (c).となる．ここで λ は波長，r は開口 S からホログラ
ム面までの距離，k は波数である．(3) 式は (2) 式

Fig 3: Deﬁnition of coordinates and setup for syn-の関係を適用すると
iuMexp(−ikr)dSuH =λ Sa +Sb r

thesizing object waves from two pieces of objects.

=uHa + uHb(4)と変形される．uHa ，uHb は単独の開口 Sa ，Sb による回折光の複素振幅である．つまり開口 S からの回折光の複素振幅 uH は S における相補的な開口Sa と Sb からの回折光の複素振幅の和となる．これが Babinet の原理である.

3

Babinet の原理を用いた波動光学的隠面消去
Fig. 3 に本研究で用いる座標系と 3 次元表面モデル仮想物体の配置を示す．二つの仮想物体 O1 と O2

Fig 4: A complementary aperture M  to a mask,

は，それぞれ z = zO と z = zM に位置しており，

which corresponds to the silhouette of the object
O2 , and diﬀraction by the aperture.

ホログラムは z = 0 に位置しているものとする．これらの物体モデルの表面に点光源を稠密に配置し，光線追跡法によりホログラム上で計算した物体光波ファントムイメージとなる．の複素振幅を，それぞれ uO1 (x, y) と uO2 (x, y) とそこで本研究では，uO (x, y) から，物体 O2 によっすると，二つの物体全体からの光波はて遮蔽される光波の成分を取り除くため，前述のuO (x, y) = uO1 (x, y) + uO2 (x, y)(5)Babinet の原理を用いている．すなわち，Fig. 3 に示すとおり，物体 O2 の重心付近をとおり，ホログとなる．しかしながら，uO1 (x, y) の計算においてラムに平行な平面 T を考える．この平面 T 上で物前方の物体 O2 による隠蔽を考えていないため，

体 O2 のシルエット M を求め，これを Babinet のuO (x, y) を再生すると，Fig. 2 のように後方の物原理における島状マスク Ma と等価な物として用い

体 O1 が前方の物体 O2 に透けて見える，いわゆるる．つまり，Fig. 4 に示すように，シルエット Mによるマスクと相補的な開口 M  を設定する．物体 O1 からの光波の開口 M  面上における複素振幅

OO

uO1 (x, y, zM ) を光線追跡法で数値合成し，さらに
2

開口 M  を通過した物体 O1 の光波を，フレネル回折等により波動光学的に回折・伝搬させることによ1

り，後方の物体 O1 の光波のうち，前方の物体 O2で遮蔽されている光波の成分 ub (x, y) をホログラム面上で求める．シルエット M でマスクされた物体

Fig 2: An example of a phantom image in opticalreconstruction.

O1 の光波を ua (x, y) とする時，前述の Babinet の2３次元画像コンファレンス 2002 講演論文集,pp.113〜116, 東京 (2002,7,4)(3D Image Conference 2002)

O

S ilh o u e tteo f O 2

S ilh o u e tteo f O 2OOS ilh o u e tteo f O 2Fig 5: Optical reconstruction images of CGHs for an object O1 and only a mask corresponding to thesilhouette of O2 without O2 itself (d)–(f), and schematic outlines (a)–(c).
4原理により，

uO1 (x, y) = ua (x, y) + ub (x, y)

本手法により作成したホログラムの再生像
まず，Babinet の原理による遮蔽の効果を確認す(6)

るため，物体 O2 を配置せずにそのシルエットによとなる．従って，前方の物体 O2 による隠蔽を考慮るマスク M と物体 O1 のみを配置して，マスク Mした物体光波 uO (x, y) は，によって遮蔽された光波 ua (x, y) のホログラムを作uO (x, y)

成した．Table I に用いたパラメータ，また Fig. 5=ua (x, y) + uO2 (x, y)=

uO1 (x, y) − ub (x, y) + uO2 (x, y)のピクセル数は 8192 × 4096 で，ピクセルピッチは=uO (x, y) − ub (x, y)

2 × 4µm であり，物体 O1 として zO = 150[mm] の(d)〜(f) にその CGH の光学再生像を示す．CGH(7)

位置に実サイズ 5mm の立方体を配置している．な
お立方体表面には密度 1 × 104個/cm2 で点光源を並となる．

(7) 式からわかるとおり，この方法では，前方のべている．また点光源の振幅を面毎に変調すること

物体による隠蔽を考慮した物体光波 uO (x, y) を求により，ホログラム面 H となす角度に応じて変化めるために必要な計算時間は，隠蔽を全く考慮しなする輝度の補正とシェーディング [7] を行っている．

い場合に対して，ub (x, y) の計算に必要な時間だけ一方，物体 O2 としては，ホログラム面からの距増加することになる．しかしながら，前方の物体が離 zM = 50[mm] にやはり実サイズ 5mm の立方体それほど大きな物でない場合，開口 M  に含まれるを仮定し，(x, y, zM ) 平面に投影したそのシルエッ

サンプリング点の数はホログラムのピクセル数に比トに対応したマスクのみを配置し，O2 そのものはべてかなり少ないため，(1) 式より，光線追跡によ配置していない．Fig. 5 (a)〜(c) は再生像 (d)〜(f)る計算時間はそれほど大きなものにはならない．まの物体とマスクの配置を示している．再生像を観た，開口 M  が複雑な形状であっても，開口を含む察する視点は (d) 左，(e) 正面，(f) 右と変化させて最小の長方形領域で複素振幅を計算してから開口形いる．

状のマスクをピクセル毎に乗算することにより開口Fig. 6 (d)〜(f) は，シルエットによるマスクだけの形状に合わせて複素振幅分布を切り抜くことが出でなく，物体 O2 を実際に配置して作成したホログ来る．そのため，計算領域の判定等は必要ない．さラムの光学再生像である．O2 は O1 と同じ点光源

らに開口 M  からの回折光波の計算には一般に FFT密度で輝度補正・シェーディングをしている．Fig. 5を用いることができるため，開口 M  の面積が小さと同様，視点を変化させると後方に配置された物体い場合にはそれほど長い計算時間を要しない．

が前方の物体により隠されていくことが分かる．また (e) は (d) や (f) に比べて下方へ視点を移動させているが，縦方向の視差があるため，その場合でも自然な重なりが再生されていることが分かる．

3３次元画像コンファレンス 2002 講演論文集,pp.113〜116, 東京 (2002,7,4)(3D Image Conference 2002)

OO

OO

22

OO2

Fig 6: Optical reconstruction images of CGHs for two pieces of objects O1 and O2 (d)–(f), and schematicoutlines (a)–(c).
Fig. 7 は，Fig. 6 と同じ CGH の光学再生像であるが，(a) では前方の物体 O2 に，また (b) では後

6, pp. 389–392 (1992).
[3] K. Matsushima and M. Takai: “Recurrence方の物体 O1 にカメラの焦点を合わせて記録していformulas for fast creation of synthetic three-る．前方の物体に焦点を合わせた (a) では，後方のdimensional holograms”, Appl. Opt., 39, pp.
6587–6594 (2000).

物体がぼけ，また，そのぼけ像が前方の物体に遮蔽されていることから 2 つの物体の奥行き方向の位置[4] J. Underkoﬄer: “Occlusion processing andsmooth surface shading for fully computed

関係がわかる．

5synthetic holography”, SPIE Proc. PracticalHolography XI, 3011, pp. 19–29 (1997).

まとめ
全方向視差 CGH において Babinet の原理を用い[5] 藤井, 吉川：“CG を利用したフレネルホログラ
ムのシェーディング処理”, 3 次元画像コンファた隠面消去を試みた．その結果，この手法で作成した 2 つの仮想物体を含むホログラムの光学再生像

レンス’99, pp. 299–304 (1999).

は，後方物体からの光波を前方物体が適切に遮蔽[6] 村田：“光学”, 第 5.2 章, サイエンス社 (1979).

し，水平方向にも垂直方向にも自然な重なりを再現[7] 松島, 本荘：“陰影付けした表面モデル 3 次元物体の全方向視差計算機合成ホログラム”, 映像情しているものであることが分かった．

報メディア学会誌, 56, pp. 986–992 (2002).

参考文献[1] J. P. Waters:“Holographic image synthe-

sis utilizing theoretical methods”, Appl. Phys.
Lett., 9, pp. 405–407 (1966).
[2] A. D. Stein, Z. Wang and J. J. S. Leigh:“Computer-generated holograms: A simpliﬁed
ray-tracing approach”, Computers in Physics,

Table I: Parameters used to fabricate CGHs.
Number of pixels
Sampling pitches

8192×4096
2×4[µm]Reconstrucion wavelength632.8[nm]Surface density of point sources
z-position of object O1

104 [cm−2 ]150[mm]z-position of mask and object O2

50[mm]

Dimension of objects(x-width)5[mm]Fig 7: Optical reconstruction images of a fabricated CGH: the object O2 is in focus while O1 isout of focus (a), and vice versa (b).

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