講座

AHPからANPへの諸問題ⅠⅤ
高橋 磐郎
冊抑制＝llllllttltlllllllt州‖附仙附附…………………冊州側刷鼎＝M附冊州刑附附州‖附m棚醐仙附附州刷＝附川削附州州胴川棚Ⅷ附州側削冊l刷削川刑耶

6・ANP（Analytic Ne七work Process）

として表1が得られた。今後C，R，Dに対する評価値を列ベクトルとして並べてできる行列Ⅵ′（表1）を評価とは

AHPの特徴は、一対比較の情報に基づいて固有ベの代替案（A，E，J）に対する評価行列と呼基準（C，R，D）
ぶ。

クトル法を用いて各対象の評価値を推定するという面と、いくつかの評価基準の下での評価値と統合化す

表1：評価基準からの評価るという階層構造にあった。Saaty氏の提案するANPというのは、簡単に言うと後者の階層構造をネットワーク構造に拡張したものであるといえる。
Saa七y氏はこのネットワーク構造の解析の基本として、重圧型（SuperMatrix）と呼ばれる行列を導入し、解析法を確立した。興味深いことに、この超行列はマANPの解析はマルコフ過程の解析に似た特徴を持つことである。

はじ捌こ簡単な例を通してその特徴をつかもう。

lr

ルコフ過程の解析の基本となる推移行列に似ていて、．

その行列としての性質、既約性や原始性、を利用して6．1 ANPの例とその超行列
例1アメリカでの例だが、車の評価をするのに、代替案に相当するものとして、アメリカ車（A）、ヨーロッパ車（E）、日本車（J）を考え、評価基準に相当するものとしてコスト（C）、修理システム（R）、耐久性（D）を考える。
CA
Ⅳ＝E

R D

O．637 0．5821〕．105
0．105 0．109 仇637

J0．258 0．3091〕．258

しかしこれと同時に、各車から見たとき、Cや見やDはどの程度重要かという見方もできる。
図1：車の評価のグラフ
普通のAHPのような各評価基準に対する車の評価

アメリカ車（A）からみたとき、C，軋Dはそれぞれどの程度重要かが表2（a）、ヨーロッパ車（E）からみたとき、q，R，Dの重要度が表2（b）、日本車（J）からみたと

たかはし いわろう 日本大学生産工学部

きのものが、表2（c）である。これは各代替案から評価〒275千葉県習志野市泉町1−2−1

基準の重要度を評価したもので、この評価行列をyとしておこう。

1998年4 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）219

れを評価してその評価値に比例した額を投資しよう

衷2：代替案からの評価

どいうわけである。

評価基準としては品質、広告、サ山ビスを取り上（a）

げ、これらからのM，BフWの各評価値を評価行列関7とLノて且且励声膿

晶，監勒＝且（軋3）乱槻Wサ広 軌噸槻

1山M明明を得たとする。

一一一方ファレストフード各社は、品質、広告、サービスの各々にどのようなウェイトを置いて経営しているかという点を調査した結果から、次の評価行列yが得られた。

W礪

り〟

㍗

咄りん
2㍗

1伽

2へ∂

伽

サ．．Li‡．1⊆t＝．−㍉仙ニ

広く盛M晶V

こづこ、 二￣‥二∴官

つまりは、Mは品質に即且1、広告にu21、サービスにu31

w一・のウェイトをおいて経営していることになる∴町Wに・こ‥・・−・一i

一っいても同様である。

このときこのÅNPに対する超行列ぶを‖‖り‖‖＝‖（6b且） つて、上記の馳わや勒の値が一対比較によって得られ汀i︒ほ‖〃ノ‖
ほほ毒バ一︹いJ灯い︺

卜nn一J‖﹂ヨ訂引‖ÅNPでは、評価基準間の関連構造が重要なのであ‖‖たものか、直接調査によって選られたものかなどはもと定義する。

はや問題とせず、仏領や即豆Jの値は与えられたものとし

関′もyもその各列で要素の和は且であるから、澄のて出発することを注意しておこう。

各列で要素の和は乱である。各要素が非負で、その各さてまたもう一・■一方において投資家自身が、ファース列で要素の和が且である行列を確率行列というが、ぶトフゝ一−−−−ド産業においては品質、広告、サ】ビスのどは確率行列となることがわかる。この例に対する超行れがどの程度董要かという見解をさまざまな調査か

列は次の笹刻式のようになる。

ら得ているとする。これらをそれぞれ恥髄2，晦としよこ 三ミニニノゝトニう。つまり投資家の評価基準に対する評価行列（ベク∴0∴⁚トル）は︑∵0︵M・1止り山広ニ髄∵ト．∵﹁

晶0︵⁝U∴4・黙︶

り血障且

3サ・

7∪髄︵MU5八髄l只9﹂

髄59︵ノい︵⁝M∵ぺい＝・︑い∵︑3ハJ

ワd﹁⁚﹂J⁚トパいこ題爪∪∩∠・︑︿M⁚︵‖︶

4￠爪．u

鼠ハリV−㌦

ハいトレ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

へサト日日︼︑∃扇山∴しニド（M）ラバーⅣ珊ガーーキング（軌ウエンディ（W）を選び、こぶの例であるが、ある投資家（個人にしろ、機関にしろ）ド産業への投資を考え、マクドナルがプアレーストフ、Y一喝となる。この間題に対する超行列はり首けほLドuヨ‖1＝〟

例望 もう一つの例をあ爵ザてみよう。やはりアメリカ

慧望◎（32）∴・、

オペレーションズ。リサーチ

、・ニ ー

0

恥

1 0 叫

0 0l l0勒

0 0 0 0叫

0 0 0 000 0

ので、評価者と被評価者の区別は固定したものでなくU12 てノ13なってくる。このようなシステムを相互評価システム

γ221J23と呼ぼう。

喚

γ32 U33（6．6）

相互評価問題の典型は、美人コンテストのような場合に現れる。何人かの審査員が何人かの女性の美を審0 ぴ211〃221〃23 0 0 0

査することになるが、たとえば下位にランクされた女

0 て〃31ぴ32 W33 0 0 0

性が「私は美人なのだけど、審査員の審美眼が欠けて喝

0 ぴ11W12 W13 0 0 0となる。この場合も当然gは確率行列としての性質を持っている。

いるために高く評価されないのだ」というクレームをつけたとする。

そこでマネージャーは参加女性自身が審査員の審美投眼を審査するというシステムを作れば公平だと考えるとする。α人の審査員、b人の女性に対するこのシステムは図3のような図1のANPと同じネットワークのパター ンとなる。

このような問題は、体操競技や飛び込みやシンクロナイズスウイミングなど多くのスポーツゲームの評価に現れる。

AIA2・‥

Aα

図2：（a）ファーストフード問題
又この評価関連の構造を図示すると図2（a）のようなネットワークが得られる。これを簡略化して図2（b）のように書くことも多い。
図3：相互評価
投また民主的な社会では、すべての人々が自己の意見を主張する権利を持つから、企業における能力評価などでも、従来のように上司が平社員を評価するだけでなく、平社員も上司を評価するという権利が出てくる。
また、大学でも、従来は教員が学生の成績を評価するが、教員自身が学生から評価を受けるようになって
図2：（b）ファーストフード問題

くる。事実アメリカなどでは、教員の教育面での評価は学生からのアンケート結果が重要な要素となっている大学も多い。これらはいずれも図3のようなANP

6．2 相互評価問題とANPのパターンとしてモデル化できる。

AHPでは、評価基準がいくつかあって、その各々が各代替案にどのようなウェイトを与えるかということが問題となる。つまり評価基準が代替案を評価するというように、評価するもの（評価者）と評価される者（被評価者）がはっきりと区別されている。
しかしANPとなると代替案自身が評価基準の重要相互評価システムというものを、一般的に次のようにモデル化することができる；
陀個の対象（1，2，‥・，乃）があって、対象Jが対象豆を評価するウェイト叫が次の条件をみたすものとする。

n ∑瑚＝1，J＝1〜れ
豆＝1度を評価するというフィードバック過程が入ってくる
1998年4 月号

叫≧0，宜，j＝1へ仁和© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（6．7）（33）221

どの対象jについても、その評価ウェイトの和が1で4｝を評価するとする。その評価行列は
遠州H の！fユ．1（13できることを裏付けたものである。なお常識的には自﹂・⁚⁚．・

2
机．Uあるという条件臥どの対象も同等の権利で他を評価う︼

￠ 0

（6。9）

髄34 視認5

Y札

つUとにする。

こ）〜ム．て墓三う

．
3

相川m
髄

己′5．1 0

でそのグラフは図魂のようになる。
− ●、 −︵MU2∵

1．うてJ﹁∴仙﹁∴．▲．″⊥−1∫：一．︑ら‖1りニⅣ√∵÷11−▲り叫●

この評価ウェイトを行列の形に並べたもの

侮 mW 翫ニリU

分自身への評価は行わないので、髄五壱＝￠と考えるこ−をま、どの列での要素の和も且だから明らかに確率行列である。また、対角元が0であるどんな確率行列を考えても、その要素を相互評価システムのウェイトと考えることができる。
したがってどんなÅⅣPの超行列もすべて（6。7）の条

図4：プロジェクトチーム

件を満たす相互評価システムの行列となる。しかし
視宜jの健のうちどれがゼロでない（正である）かが問題となる。

このように考えるとANPと相互評価システムとは数学モデル上はとくに差はないものである。今後簡単

たとえば図胤の場合は、犯＝6となり、対象全体はのためすべてANPと呼ぶことにしよう。上にÅNPのC，汎フDという評価基準クラスターとÅ，E，諸という代替3つの例とそのグラフ図且，2ラ4をあげたが、実はこれら案クラスタ山北分かれるが、jと乞が同一のクラスターーは本質的に異なる構造を持っている。そしてÅNP解に属していれば祝電J＝の、異なるクラスタゝ一一所に属して析もそれに基づいて変わってくるのである。

いれば叫jが正の値を持つ。

一般に正方行列（行数と列数が同一の行列）が与え・、、 −・・：二〜−∴−・・Jご∴こで＝・∵・T、さ∴・小こ∴ や・‡：．ご：られたとき（壱ラメ）要素がゼロでないなら点豆から点jへÅNPの解析はその超行列、あるいは相互評価シスの方向をもつ矢線を描き、ゼロなら矢線は描かない、

テムと．して考えれば、評価行列に基づいてなされるのとすると一つの有向グラフが作れる。図1や図3はこであるが、これらの行列の性質に応じてÅNPの解法のル｝ルによって作られグラフである（図で○←→①が異なってくる。またその性質は対応するグラフの構とあるのは①≠①を簡略化したものである）。

造と密接な関係がある。そこでこの節では行列の性質

このグラフの構造がÅNPや相互評価システムでは重要な意味を持つ。ÅN炉ではグラフの点がいくつかとそのグラフ構造との関係を調べておこう。
ここで考えられる行列はすべて正方行列で、対応すのクラスター（評価基準のクラスターや代替案のクるグラフは上に述べたように（五，ゴ）要素がゼロでないラスター）に分割され、クラスター閤には矢線がある

ときのみ点宜からjへの矢線を持つ有向グラフである。

が、クラスター内では矢線を持たないという構造になはじめに既約行列という概念を定義しよう。この言っていることが多い（ANPでもSa風七y氏の提案してい葉の起こりは行列論から始まったものであるが、そるの定義は対応するグラフで考えたほうがはるかに分

温血e訂depen舶mce クという概念はこの限りではないが）。しかし一般の相互評価問題では、そのグラフのかりやすい。既約行列というのは、対応するグラフが構造は必ずしもそのようなクラスターに分かれてい強連結であるものを言う。有向グラフの任意の2点豆，ゴるとは限らない。

を考えるとき、点豆からjへ矢線の方向に沿って到達で例認 簡単な仮想例であるが、5人からなるあるプきるとき、このグラフを強連結という。（単に連結とロジェクトチ、鵬ムで互いに関連する他者を評価する問いうのは、方向を無視して図形的につながっているグ

題を考えよう。このチームを‡且，2）3，4，5‡であらわラフを言う）。

．

2望望（34）．ノ 、− ・、、−・∴

図且と区摘のグラフは強連結であるから対応する行© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズw

リサーチ

列（6．2）や（6．9）は既約行列である。しかし図2では、「投」へ他の点から到達できないから、連結ではある∠軋が、強連結ではない。したがって（6．6）は既約行列ではない。

ANPの超行列が既約である場合、その解析は簡単③であるが、そうでないと解析法が複雑になる。はじめ

図5：原始行列のグラフにANPの超行列はマルコフ過程の推移行列に似ていかし幸いにして原始性もグラフ的に判定できる次のると述べたが、推移行列が既約であるようなマルコフ定理がある（第1講【41）。

過程はエルゴード的と呼ばれるもっとも標準的なものである。エルゴード的マルコフ過程というのは任意定理1行列が原始であるための必要十分条件は、対の状態から他の状態へ推移できる可能性を持つもの

応するグラフが強連結で、すべてのサイクルの長さので、やはりその解析法は自然で簡単なものとなるので最大公約数が1であることである。

ある。
この定理の証明は省略するが、いくつかの例で確か

このように既約行列という概念は簡単であるが応用上重要な意義を持っているが、さらにこの既約行列めてみよう。図5は原始行列のグラフであったが、このうち次の条件をもつものを原始行列という；つまりのグラフのサイクルは非負の要素をもつ既約行列Aに対して、A†職＞0（Amの要素がすべて正）（1，3，1）と（1，2，3，1）（6．10）となるmが存在するとき、Aを原始行列というのであであってその長さはそれぞれ2，3であるからその最大公約数は1となっている。また図4のサイクルは（1，2，1），（2，3，2）…など長さ2のものと（1，5，4，1），

る。

（2，5，3，2）■・・などの長さ3のものがあるから、これだ

例4 例えばO

10

けでもう最大公約数が1であることがわかり、図4に100対応する行列（6．9）は原始行列であることがわかる。

001

しかし図1をみると、サイクルの長さはすべて2か4か6…かであって最大公約数は2となるから、対応すは既約であるが、原始でない。しかしる行列（6．2）は原始ではない。

123011

このように既約行列に対するグラフ上ですべての﹈

10001

サイクルの長さの最大公約数cはきわめて重要な概念

012二βでこれをこの行列の周期と呼ぶことにする。原始行列3とは周期が1である既約行列である。
また一般に既約行列であって対角元に山つでもゼロは原始である（月5＞0）。月に対するグラフは図5のよでない要素があれば、対応するグラフはループ（始点うになる。と終点が同一点である矢線）をもつことになる。これ

一般に既約行列を考えるとき、その要素の正負は問は長さ1のサイクルであるから、それだけでサイクルわないが、原始行列を論ずるとき、その要素は常に非の長さの最大公約数は1であることがわかる。したが負のみを考えることに注意しよう。ANPの超行列はって無論非負行列であるから原始か否かを論ずることが「対角元に非ゼロ要素をもつ（非負）できる。

さて前節でみた例1（図1）、例3（図4）は既約行列であったが、このうち例1は原始ではなく、例3は原始で既約行列は原始である」（6．11）という性質も生まれる。

ある。行列の既約性を調べるのは対応グラフの強連結性を調べれば良いから比較的容易であるが、その原始性を（6．10）式から直接判定するのは容易ではない。し1998年4月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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