VMIへの招待
久保 幹雄，宮本 裕一郎，村上 賢哉
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景となるVMIとあわせてご紹介しようと思います．

1． はじめにオペレーションズ・リサーチにおいて，最も古くか2．ベンダー管理在庫（VM暮）とはつ最も多くの研究が成されたモデルといったら皆さん

通常，企業における費用の削減というと，リストラは何を思い浮かべますか？ 筆者らは最近ロジスティや賃金の引き下げ，もしくは納入先へのディスカウン

クス関連の仕事をしているためか，まず思いつくのはトの要求などを想像すると思いますが，サプライ・チ在庫モデルと配送計画モデルです．在庫モデルや配送

ェインにおける襲用削減はちょっと違います．サプラ

計画モデルは個別でも大変多くの研究があるのですが，イ・チェインにおける費用削減は，システム全体の無ここで紹介するのはそれらを合わせたモデルです．実駄を省くことによって，誰も損をすることなしに常用は，最近ブームになっているサプライ・チェイン・マの削減を行うのです．その代表選手ともいえるのがベネジメントにおける最新の手法であるベンダー管理在

ンダー管理在庫（VMI）です．

庫（Vender ManagedInventory：略称VMI）は，あるメーカー（これをベンダー（供給者）とよびま在庫モデルと配送計画モデルを融合したモデルを基礎す）が同じ地域にある2件の小売店に直接商品を供給としています．在庫モデルも配送計画モデルもそれぞしているものとします．旧来の方式では，小売店の店れが星の数ほどのバリエーションをもつので，これら主が自分のお店の商品在序を調べて，それがなくなりの融合モデルは，研究のネタに困っている研究者にとそうになるとメーカーに発注をかけていました（今でっては，大変魅力的にうつるかもしれません（なぜっも，そうしているところがほとんどだと思います）．て，融合したモデルのバリエーションは星の数の二乗それぞれの小売店は相手側の発注に関する情報をもっ個にもなるので，飯の種には当分（おそらく一生！）ていませんから，2件ともばらばらに発注をかけるこ困らないからです）．しかし，「こんな応用もあるかもとになります．1件目の小売店は，毎週月曜日に商品しれない，あればいいな，そのうちあるかもしれない，を運んでもらうように発注をかけ，別の小売店は，毎…」という安易な動機付けだけで，モデルのバリエー

週水曜日に商品を運んでもらうように発注をかけていションを増やすのは賢明な方法とは言えません．このて，それぞれが発注する量は，メーカーのもっているような安易なモデルの設定が，実務におけるオペレートラックの半分にも満たないものとします．このとき，ションズ・リサーチの力を弱らせ，評判を落としてきメーカーは週に2回，工場から小売店のある地域に向た要因であると推測されるからです．星の数の二乗個

かってトラックを出さなければなF）ません．工場が小にもおよぶバリエーションの中から有意義なモデルを売店から遠いところにあるときには，トラックの輸送見いだすための唯一の方法は，実際問題に対処するた費用はばかになりません．また，トラックの積載効率めのモデルを設計することです．ここでは，筆者らがも50％に満たないので，この方式はとても非効率的直面した自動販売機に対するジュースの補充を念頭にです（図1上図）．

置いた在庫・配送計画モテリレとその解法について，背くぼ みきお，みやもと ゆういちろう
束京商船大学 流通情報工学〒135¶8533江束区越中島2−1−6
むらかみ けんやVMI方式は，最新の情報機器のたすけを借りて，小売店側の在庫の情報をメーカー（ベンダー）側が把捉できることを前提とします．これは，残り在庫量を把捉するためのセンサーを搭載した棚を小売店に置か富士電機㈱せてもらったり，小売店のPOS（PointOfSales）情〒19ト8502 日野市富士町1番地

報をメーカー側に定期的に伝えたりすることによって2001年9月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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ができます．したがって，当然1日あたりの使用分だけを注文することが，お客さんにとって（唯一の費用である在庫保管費用を最小化するという意味で）最適になります．しかし，これは，物流の観点からは最悪の結果になります．
面積がAの円領域にランダムに分布している紹人のお客さんが毎日発注をし，さらに簡単のためトラックの積載容量や稼働時間上限などは無視できると仮定します．巡回セールスマン問題に対する漸近的解析として有名なBHH定理を使うと，抑がとても大きいときには，丁目ではおおよそβr√年オだけの距離をトラックが走ることになります（「巡回セールスマン問題って何？」という読者は［2］，もしくはOR学会誌のバックナンバー［1］をご参照￣Fさい）．ここで，βは

図1VMIの参考図

巡回セールスマン定数とよばれる定数で，実験的に約0．72であることが知られています．このように，物容易に達成できます．VMI方式では，メーカーが小流費用はタグとお客さんに思わせることはマーケテイ

売店の在庫をみて，在庫切れを起こさないように，独ング的には効果があることですが，その結果として街自の判断で商品の補充を行います．小売店側としては，中トラックが溢れかえり，渋滞や環境悪化などを引き面倒な発注作業をしなくてすむので通信費や事務処理起こす要因になってしまうのです．

費の節約になりますし，メーカー側としては，2件の今度は，お客さんに「物流費はタグではないのです

小売店への輸送を同じ曜日に行うことによって，輸送よ！」ということを理解していただき，丁目に1度費用を大幅に削減できます（図1下図）．すなわち，メの配達にしてもらったとします．r日というのは商ーカー側も得をし，小売店側も得をするので，Win−品の性質やお客さんの在俸保管能力によって決まる定Winの関係を構築したことになります．

数だと思ってください．たとえば，自動販売機へのジ筆者らが直面した自動販売機への補充は，VMI方ュースの補充の場合には，rはおおよそ7日くらい式の典型例です．実は，最近の自動販売機には，携帯です．この場合には，お客さんがバラバラに注文を出電話のような情報機器が取り付けられており，それをし，それに毎日応じて配達をするので，1日あたりの用いて売り上げや釣り銭の情報をいつでも好きなときお客さんの注文件数は（大数の法則より）だいたいに得ることができるのです．売り上げ情報を用いるこ叫7件となります．したがって，丁目の間にトラッとによって，配送センター側では，過去の商品の売れクが移動する距離は，βrノ万石7〒￣＝β、／茄宇となり行きや残り在庫量を把握できます．これらの情報をもます．これは，お客さんの都合に合わせて毎日運んでとに，効率的な配送経路と補充のタイミングを決めるいる場合のノア分の1となります．

ことが，在庫・配送計画問題の目的となります．

ここまでの議論では，お客さんが好きなときに配達してもらうという便利さを犠牲にして，そのかわりに3．VMlの効果配送費用を、／子分の1に削減したことになります．

簡単な封筒の真の計算でVMIの効果をみてみましこれは，顧客サービスと配送費用が単純なトレード・ょう．今までの年勿流方式では，お客さん（上の例ではオフ関係にあるという古い考え方に習ったもので，小売店）が自分の好きなときに荷物を持ってくるよう「お客さん（荷主）のわがまま（過剰なサービス要求）に指定することができました．配送にかかる費用は商が渋滞や配送費用上昇の原因である！」という短絡的品の価格に組み込まれているため無料と考えます．まな結論に行き着きます．しかし，大抵の場合は，力関た，古典的な在庫モテリレである経済発注量モデルのよ係で強いお客さん（荷主）の都合によって，再び毎日うに昔は発注に伴う費用がかかりましたが，最近では運ぶ旧来の方式に戻ってしまうのが関の山でしょう．

インターネットを使えば発注費用は無料と考えること
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オペレーションズ・リサーチ

図2 分割法の参考図（T＝6の場合）
VMI方式を使うとさらなる削減が可能なだけでなく，双方が得をすることができます．両者とも得をすることが，関係を長続きさせるためのコツなのです．
円領域に住んでいる定常な需要のスピードをもつお客さんにVMI方式を通用してみましょう．お客さんにとっては在庫がきれなければ良いのですから，いつ運んできても良いはずです．いま，円領域を1／7、に均等に分割し（図2），毎日分割された領域内のお客さんに対してだけ配達をすることにします．r日たつと再び最初の領域に戻って配達をするので，すべてのお客さんは丁目に1度配達されることになり，在庫切れは起きないことになります．この場合には，1日あたりのお客さんの総数は材7，配達領域の面積は4けですから，丁目の間にトラックが移動する距離

図3 配送計画モデルの概念図

配送計画モデルでは，お客さんとデポの概念が重要です．我々の場合には，お客さんとは自動販売機が置いてある場所，もしくは自動販売機そのものを指します．対象とするお客さんの数は，ターゲットとする業界での最大の数を想定しておきます．そうしか−と，より大規模な問題をもつユーザーさんに使ってもらおうと思ったときに，再度一から作り直す羽目になる危険性があるからです．ここでは，お客さんの総数を1デポあたり5，000件程度と想定することにします．デポとは，物流の分野の用語で，トラックが待機している場所を指します．朝，デポを出発したトラックが，は，βr抑／r＝β価になります．これは，何件かのお客さんを訪問して商品を補充し，夕方再びデポに戻ってきます．このときに，なるべく効率的な毎日運んでいる場合のr分の1，r日に1度配達しトラックの道順を求める問題が配送計画モデルです

た場合のノア分の1になります．

（図3）．

実際には，お客さんの需要のスピードは一定でないので，お客さんの在庫を監視することが必要になります．もちろん，上のような領域を分割してそれを順繰りに処理するといった簡便法も使うことができません．
以下では，筆者らが自動販売機への補充計画のコア・「なんだ，配送計画問題というのは巡回セールスマン問題のことなんだ」と思った読者もいると思います．
実は，実際の配送計画問題は巡回セールスマン問題のシステムとして作成したモデルとその解法について簡百倍くらい（あくまで主観です．実測値ではありません）難しい問題です．まず，トラックに積載できる重量には上限があります．これを超えると，カーブが曲単に紹介したいと思います．

がりづらくて危険なだけでなく，バレるとトラック屋さんは営業停止になってしまいます．もちろん，重量4．モデルの構築だけでなく容量も超えてはいけません（お中元の配達

ここで紹介する自動販売機の補充モデルは，配送計画モデルと在庫モデルが基礎になります．まず，配送計画モデルと在庫モデルについて，実際問題への適用を中心に，簡単に触れておきましょう．
2001年9月号

車でよく見かけるように，肋手備に積むという手もありますが，運転手の視界が妨げられるのでやめて欲しい裏技です）．
さらに，日本国内では，大きなトラックでは入るこ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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とのできない道路や橋がたくさんあります．自動販売

定的な変動の方が，モデルの妥当性に与える影響がは機への鱒充の場合には，道にトラックを置いて歩いてるかに大きいと判断しました．休日のオフィスや大学運んでいけば良いのですが，一般には決められた荷さ内でのジュースの需要量を想像してみてください．おばき場で荷を降ろさなければなりません．日本（特にそらく確定的に0のはずです．我々は，数ある在庫モ都市部）では，荷さばき場のスペースをあまりとれなデルの仮定から，計画期間を有限の離散値（単位は日いので，お客さんごとに入れるトラックの大きさが制で30日間）とし，計画期間内の各日における各商品限されることが多々あります．これは，トラックの種の需要量が確定値として与えられているという単純な類とお客さん間の相性の制約としてモデル上では処理ものを採用しました．30日先まで考えて計画をたてされます．

るのは，季節による需要量の変化を表現するためです．

時間枠も問題を難しくする一因です．ここで時間枠

日本は季節が急激に変わります．肌寒い冬から暖かいとは，お客さんを訪問することができる時間が，何時小春日和はあっという間にやってきます．それにつれ何分から何時何分までの間でなければならないことをて，ホットコーヒーの売り上げは急速に減少し，冷た表す制約です．指定された開始時刻よりも前に到着しいコーラの売れ行きが伸びるでしょう．これを考慮したトラックは，どこかで待っていなければなりません．

た補充計画をたてるためには，日ごとの各商品の需要よく，道路上で用もないのに待機しているトラックを量を与えるモデルは，大変都合がよいのです．

見かけると思いますが，あれはサボっているのではな

さて，本題の在庫・配送計画問題に入りましょう．

く，時間待ちをしているのです（もちろん単にサボっ問題の目的は，むこう30日分の計画を，商品の在庫ている場合もありますが）．海外の文献では，時間枠をきらさないように，かつ在庫費用やトラックの移動がない配送計画に関する論文が主流でした．しかし，費用があまりかからないように補充することです．

日本の事例では，ほとんどの場合に時間枠が必要にな

我々は，商品の品切れは絶対にしてはいけないというります．まだまだ他にも条件がたくさんあり，それら制約を加えるのではなく，品切れしたときには，品切の条件が適用する現場によって千差万別なのです．これ量に応じたペナルティ費用を支払うものとしてモデれが配送計画問題が巡回セールスマンの問題の百倍くル化しました．これは，土曜，日曜に配送をしないとらい難しいと言った理由なのです．そのため，実際のいう条件下では，どうしても品切れを余儀なくされる配送計画のためのシステムには，単にベンチマーク問お客さんが出てきてしまう可能性があるためです．実

題例が上手に解けるというだけでなく（これは必要条

務における最適化システムを設計する際には，「解が件です），様々な付加条件が追加されても決してコケありません！」といって停止してしまうことはできるないアルゴリズムが必要になるのです．

だけ避ける必要があります．理論家にとっては，実行

一方，在庫モデルでは，商品の概念が重要になりま不能であるというのは立派な答えなのですが，実務家す．我々の自動販売機の補充問題においては，商品はにとっては，どのお客さんの，どの商品が，どれだけ缶やボトルのジュースのほか，コーヒーの粉や紙コッ品切れしなければならないか，という答えの方がはるプなどを表します．簡単のために缶ジュースを想定しかに有意義だからです．これは，品切れのペナルティてください．缶ジュースの種類は数百あり，季節ごと費用の推定が困難で，かつ設定が面倒だという不利益にその品揃えが大きく変わります．また，新商品もを補って余りあるものです．

続々登場し，そして消えていきます．そのため，古典同様に在庫費用の推定も，一般には困難です．しか的な在庫モデルにありがちな，商品の需要（のスピーし，ホットコーヒーの劣化とコーラやオレンジジュード）は一定であるとか，商品の需要は定常な確率分布

スなどの劣化のスピードが大きく異なることをモデルにしたがう，といったモデルは使いものになりません．

化するためには，在庫費用を商品ごとに設定できるとさらに，各日の需要量は，ライバル会社のキャンペーいう自由度が必須になるのです．しばしば，オペレーン，天候（特に気温），さらには近所で運動会や人気ションズ・歌手のコンサートなどの行事が行われるか否かなど，に推定できるもの以外のパラメータをモテリレに組み込様々な要因によって変動します．多くの在庫モデルでむことはタブー視されてきました．しかし，これはモは，需要の確率分布を与えることによってモデル化をデル化の自由度を極端に狭めてしまう危険性がありま試みますが，我々は，確率的な変動より，日ごとの確す．実務における最適化は，データを色々変えること

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リサーチの専門家の間では，データが正確© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

によってシミュレーションを行う，いわゆるWhatづくヒューリステイクスの漸近的な振る舞いを調べる

If分析のために使われる場合がほとんどです．したがことを主目的とした，やや理論的な研究もたくさんあって，直接の推定が難しいデータでも，データを色々ります（サーベイ論文として［6］があります）．しかし，変えることによって許容な解を模索できる最適化モデ

やはり実務的な観点からは，非現実的な仮定が多すぎ，ルが，実務的には必要とされているのです．

採用することができませんでした．
我々が用いた在庫・配送計画問題のためのアルゴリ

また，実際には計画期間は無限と考えなければなりません．上で述べたような30日分の計画をたてて，ズムは，決して目新しいものではありません．まず，その計画通りに30日間配送を行うというのは，あま問題の構造を分析するために，自動販売機が1台の場り現実的ではありません．自動販売機の売り上げ情報合を考えましょう．実は，自動販売機（お客さん）ごは，刻々と新しいものに置き換えられるので，新しくとの日別の配送固定賓用が与えられたときに，最適な入ってきた情報をもとに再計画をたてることによって，補充日を決定する問題は，古典的な動的ロットサイズより良い解を得ることができるからです．我々は占−決定モデルであるWagnerWhitinモデル［7］と類似

リング・ホライズン方式とよばれる静的な問題を用いの問題になF）ます．これは，動的計画法で（多項式時て動的な問題を近似的に解決するための常磐手段を採間内に）解くことができます．この動的計画アルゴリ用することにしました．ローリング・ホライズン方式

ズムを順次用いることによって，在庫・配送計画問題

では，30日分の計画をたてたら，その通りに運ぶのの初期解を得るための挿入法が設計できます．さらに，は翌日だけです．明日になったら新しい情報をもとに，初期解を改善するために，配送計画では定評のある2日目から31日目の計画を（再び静的な在庫・配送Cross−Opt近傍を用いたローカルサーチを構築しまし

計画問題を解くことによって）たてます．このように，た．

30日分の計画の最初の1日だけを順次用いて実施す

我々が直面した問題例は，非常に大規模なものです．

ることによって，目先の情事削こ偏らない計画ができる

1つの配送センターから商品を運ぶ自動販売機の数は訳です

数千におよび，販売している商品の数は数百，計画期間の数は30日です．メモリ量の少ないコンピュータ

5．解法

では，データをオンメモリで保管することさえ困難で在庫・配送計画問題に対するアルゴリズムについてす．したがって，最適化の計算を高速に実施するためも簡単に触れておきましょう．在庫・配送計画問題にには，適切なデータ構造やアルゴリズムの選択が必要

対する過去の研究もたくさんあります．我々のプロジになります．しばしば，大規模な実際問題を解く際に，ェクトも，従来の研究を入念に調べることからはじめすぐに目新しいメタヒューリステイクスを適用してしました．

まう例をみかけますが，往々にして失敗に終わるようAir Products＆Chemicalにおける実際問題を見です．本事例のように大規模な組合せ最適化問題に対事に解決したBellら［4］の研究では，1台のトラックするアルゴリズムを設計する際に重要なことは，問題が経由する顧客数が少ない（多くて3件程度）ことかの構造に対する洞察と，問題にあったアルゴリズムおら，必要なルートをあらかじめ生成しておく方法を採よびデータ構造を選択することなのです．我々が採用用しています．最近の事例に基づくCampbellら［5］したのは，基本データ構造として属∵d木，ローカルの研究でも，Bellらと同様に1台のトラックが経由サーチの近傍としてはCross−Opt近傍，ローカルサする顧客数が少ないので，ルートを生成しておく方法

ーチの高速化のためのdon，tlook bitなど，配送計画を用いています．このように，ルートを生成しておくや巡回セールスマン問題を例としてその効果が実証さことによって，「巡回」の部分の困難さを消してしまれたものばかりです．

い，通常の数理計画アプローチに帰着させることは，配送計画問題の解法の常書手段ですが，残念ながら6．効果

我々の直面する自動販売機への補充問題には用いるこ

音のオペレーションズ・リサーチの失敗例として，とはできませんでした（1台のトラックが1日に15手法を導入したのはいいが，削減された費用をはるか件以上の自動販売機を訪問することもあるからです）．に上回る費用がかかってしまった，ということをよく他にも，3章で述べたような，単純な領域の分割に基耳にします．これは，最近のサプライ・チェイン関連

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のソフトウェアでも同様です．紙と鉛筆だけで管理でイ・チェイン（ロジスティクス）の現実問題に適用しき，かつ削減費用も大したことない問題に，大規模かようとすると，データの収集に多大な時間と労力がかつ高価なソフトウェアを導入しても，元が取れるはずかってしまいました．しかし，最近の情報技術の進歩がありません．オペレーションズ・リサーチを実際問によって，全社的な情報のやりとりやデータの蓄積を題に適用する際に最も重要なことは，それが論文にな行うための仕組み（いわゆる処理的情報技術）が急速るか否かではなく，それを解くことによって現実にどに普及してきています．そのため，サプライ・チェイれだけのインパクトを与えるかなのです．

ンにおけるオペレーションズ・リサーチ（これは解析自動販売機補充用の在庫・配送計画が実務的にどれ的情報技術に位置づけられます）の通用は，以前とくだけインパクトがあるかを，再び封筒の裏の計算を用らべると格段に敷居が下がってきています［3］．今後いて推定してみましょう．まず，日本の清涼飲料水のは，多くの研究者がこの分野に興味をもち，たくさん自動販売機の総数は約265万台です．また，補充に伴の成功事例が出てくることを期待します．

う費用は1回あたり約7，000円程度と推定されていま
参考文献

す．釣り銭の回収や清掃などで，少なくとも過に1回は補充を行うので，年間の配送費用は，265万7，000円365／7で約1兆円となります．実際問題例に対して予備的なシミュレーションをしたところ，システムの導入によって，トラック数と配送費用を6割程度に，品切れ回数を5分の1程度に減らせることが確認されました．したがって，日本国内だけをマーケットとした場合でも，年間4，000億円以上の常用削減が期待さ［1］久保幹雄，巡匝Iセールスマン問題への招待（Ⅰ），（ⅠⅠ），（Ⅲ），オペレーションズ・リサーチ，39：25−31，91−96，
156−162，1994．

［2］山本芳嗣，久保幹雄，巡回セールスマン問題への招待，
朝倉書店，1997．
［3］久保幹雄，ロジスティクス工学，朝倉書店，2001（出版予定）．

［4］w．J．Bell，L．Dalberto，M．L．Fisher，A．］．Greenfield，れ，さらにはトラックの走行距離の減少にによる環境

R．Jaikumar，P．Kedia，R．G．Mack，and R．J．Prutz−の改善や渋滞の緩和を考えれば，十分に元が取れるとman，Improving the distribution ofindustrialgases考えられます．もちろん，導入常用が削減費用を上回

withanon−1inecomputerizedroutingandschedulingOptimizer．Inte痴ces，13：4−23，1983．

ることは決してないでしょう．

［5］A．Campbell，L．Clarke，A．Kleywegt，and M．

7．おわりにSavelesbergh，Theinventoryroutingproblem．InT．G．

ここでご紹介した自動販売機への補充を念頭に置いた在庫・配送計画問題のためのアルゴリズムは，他の分野にも拡張できるものと思われます．たとえば，ガスボンベの配送は，ボンベの残量の配送側での把握が義務化された現在では，比較的容易に適用できるものと思われます．また，在庫費用や品切れ費用が明確に定義できない分野（たとえば家庭ゴミの収集）も，訪問する頻度に制約を与えた多期間の配送計画問題としCranicandG．Laporte，editors，FleetManqgementand
Lqgtstics，Chapter4，pageS95−113，Kluwer AcademicPublishers，1998．

［6］A．Federgruen and D．Simchi−Levi．Analyses ofVehicleroutingandinventory−rOutingproblems，InM．

Ball，T．Magnanti，C．Monma，and G．Nemhauser，
editors，Netwo祓 nuting，Chapter4，pageS297−371，
EIsevierScience Publishers，1995．

［7］H．M．WagnerandT．M．Whitin，Dynamicversionて定式化できるので，我々が考えたアルゴリズムが適of the economiclot sizing model，Manqement SciT用できると考えられます．

β乃Cβ，5：89−96，1959．

いままでは，オペレーションズ・リサーチをサプラ486（28）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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