電子の物質中での輸送計算‣ 相互作用‣ 近似‣ 輸送方法(KEK) 波戸、平山 (ミシガン大) A.F.Bielajew
Last modified on 2022.8.8電子の相互作用と輸送の概要

電子が物質中に入射された時の相互作用電子e電子

e (軌道)電子

１．原子核による電子の散乱

ラザフォード散乱：方向を変える電子

電子e（制動放射線）

光子

ee

核

核

電子

エネルギーを失う

光子

陽電子

ee+
e

(軌道)電子 光子

３．制動放射の発生

２．電子と(軌道)電子の衝突

e(軌道)電子

光子

４．電子・陽電子の対消滅
3物質中での電子のエネルギー変化（阻止能）
MeV
cmg
cm3

衝突 Zに比例衝突

阻止能 (MeV cm2 / g )<latexit sha1_base64="P4g1YeJZDx3X3zqZZMTWuYl8bIA=">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</latexit>

101

Ar密度効果小C (Z=6)
Ar (Z=18)
Pb(Z=82)100

Sn(Z=50)
Z/Aの違いI の違い

1/v2飽和放射輻射Z2に比例-1

10Pb
10-210-1

Sn

Ar
100

C

Data from estar of NIST

101

電子の運動エネルギー (MeV)1024

物質中での電子のエネルギー変化（阻止能）MeVcmgcm3σ∝Z
衝突 Zに比例衝突

阻止能 (MeV cm2 / g )<latexit sha1_base64="P4g1YeJZDx3X3zqZZMTWuYl8bIA=">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</latexit>

101

Ar密度効果小C (Z=6)
Ar (Z=18)

密度効果の違い

Pb(Z=82)

100

Sn(Z=50)
Z/Aの違いI の違い
Z/Aの違い21/v2 1/v
飽和飽和

平均電離エネルギーの違い

放射輻射Z2σに比例∝ Z2-110Pb
10-210-1

SnAr
100C

Data from estar of NIST

101

電子の運動エネルギー (MeV)

102
5電子輸送の近似
δδ

e-δγγ δγ

δγ

δ

平均自由行程 µm-nm オーダー
全ステップの計算は不可能

γ

δ

現実

連続減速近似eδ

しきいエネルギー以上のみサンプリングするγ

多重散乱近似モリエール理論などで多重散乱角 θMS(E, Z, t)を計算

eδ

γ
6

EGSでは、しきいエネルギー (AEElectron, AP) を用いてPhoton「個別サンプリング」と「連続近似」を両立させている• 個別にサンプリングするもの– しきいエネルギー以上の2次粒子を生成する反応– モラー／バーバー散乱 (2次粒子エネルギー > AE)– 制動放射 (光子エネルギー > AP)– 飛行中および静止時の陽電子の対消滅

e-• 連続近似でまとめて計算するもの

δγ– モラー／バーバー散乱 (2次粒子エネルギー < AE)– 制動放射 (光子エネルギー < AP)（エネルギー損出/吸収）– 原子励起– (多重) クーロン散乱7個別にサンプリングする相互作用制動放射電子電子e（制動放射線）e

光子

核e(軌道)電子

原子番号：Z(E0 ' E + k)<latexit sha1_base64="INcKvxbKRejTLuh+p1K6WrEk4Jk=">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</latexit>

- E0e

光子γk
E

γe-

核E0e+kγE

核γe-• 断面積 は Z2 に比例（原子核との場合）• 軌道電子による寄与は、全断面積の計算では考慮する- Z2 → Z(Z+ξ(Z))- スペクトルや角度分布のサンプリング

では考慮しない• 50 MeV以上：理論式でサンプリング• 50 MeV以下：データ(ICRU-37)を利用• 陽電子も同様に計算• Thomas-Fermi 遮蔽• ミグダル効果 >10 GeV（オプション）

ファインマン図9電子 (E0)

制動放射の微分断面積dσ/dkdσ/dk(barn[barn/MeV/atom]
MeV-1 per atom)

1/k 発散核

Z=4710(Z e)θγ ~ me c2 / E0100

オプション：
現実的な角度分布~ Z2 に比例

1

Z=60.10.01e（電子の運動エネルギー = 5 MeV）

1000

光子 (k)

Data from Selter&Berger (1986)0123
光子エネルギー (MeV)4510

電子・陽電子散乱
モラー散乱

入射電子

ee-E0(電子-電子 散乱)γme

軌道電子+e-バーバー散乱入射陽電子

e-

E1 (>AE)e+

E2 (>AE)-e-ee-

軌道電子e+γe-

同種粒子e-

電子質量

しきいエネルギー = 2(AE-RM)

e-

E0
me

(陽電子-電子 散乱)

E1

γ

E2+γ

異種粒子

e+ee+
e-

しきいエネルギー = AE-RM• EGS5 での詳しい扱い (オプション)• e- は自由‣ 断面積は Z に比例 ‣ モラー散乱におけるK-X 線生成（電子衝突電離。診断で使われるX線管のシミュレーション等で重要）

11

対消滅
消滅 γ
e+
陽電子

e(軌道)電子

消滅 γ

E0

入射陽電子

e+e-

me c2

軌道電子k1γγ• 飛行中、静止時ともに扱う• e+e-→nγ (n > 2) は無視• ECUT 以下で e+ 停止 → 対消滅• 残った励起原子の寄与は無視• 束縛状態（ポジトロニウム）の効果は無視

k2(E0 + me c2 = k1 + k2 )<latexit sha1_base64="0tV5gTFuLrt+SbnX5XDmGv8siYU=">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</latexit>

陽電子が静止 (E0 = mec2) してから対消滅した場合
光子のエネルギーは k1 = k2 = me c2 = 0.511 MeV

12統計的にグループ化して扱う相互作用• 連続的なエネルギー損失• 多重散乱エネルギー損失
1. 衝突エネルギー損失• ベーテ・ブロッホ理論 + 密度効果
• 電子と陽電子では異なる（モラー vs バーバー）• 通過する物質内の電子のイオン化することでエネルギーを損失➡ 損失量は、物質内の電子数密度に比例➡ 電子エネルギーが K 殻のイオン化エネルギーより十分に上2. 放射エネルギー損失• 高エネルギー電子・陽電子に対して重要• 制動放射の微分断面積を、しきいエネルギー (AP) 以下で積分して決定• 電子と陽電子で同じ
14

密度効果
入射電子により物質が分極し、衝突阻止能が減少

e-e-e- e- e- e- e- eeee ee-e-e-e-e- - e- ee- e ee-ee- e- e

核e-

導体での大きな分極 (ex. 黒鉛)e-ee-e-核e-核e-e- 核 e希ガスでの小さな分極 (ex. アルゴン)

密度効果の阻止能への影響
衝突阻止能の変化割合

30

1 MeV
10 MeV
100 MeVΔ/(dE/dx)coll in %20

Electron energy

Δ/(dE/dx)total in %Electron energy
25

1 MeV
10 MeV
100 MeV

101510

全阻止能の変化割合

15Pages,AD 4,1(1972)

550

H

O Ne Ar C Al Cu Pb
Material

0H

O Ne Ar C Al Cu Pb
Material
16

EGS5 での密度効果• Berger, Seltzer, and Sternheimer‣ 278 物質のパラメータを内蔵• Sternheimer and Peierls‣ 一般的扱い• Z と ρ のみを用いる• 正確さは少し劣る（全阻止能誤差<2%）17物質が吸収するエネルギーe± が「t」だけ動くときのエネルギー吸収の期待値
 ⌧⌧
dEdE
=⇥tdx 衝突
dx 放射<latexit sha1_base64="KMYjm9LuNX4wMhQy1K4zP9NqZ5I=">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</latexit>(しきいエネルギー以下の現象による阻止能)tsρΘ

吸収線量 (Gy) = エネルギー吸収(J)/質量(kg)エネルギーストラグリング → ランダウ分布 or ガウス分布18多重散乱角 Θe-ZZZZtZZΘZ

PDF (Θ) = ? : t だけ移動した後の多重散乱角分布• モリエールの小角長ステップ理論 (EGS4, PRESTA, EGS5)• Goudsmit-Saunderson 理論 (EGS5)• Fermi-Eyges 理論
19

Moliere 理論（中精度、中制限、簡単）• デフォルト• 散乱角 Θ を変数 (E, Z, t) に依らない “換算角” θ と関係付けている• f (n)(θ) で θ をサンプリング → Θ を得る• 小角度 ( < 20o) で良い近似• 長い t が必要 ( > 100 elastic MFP)
Goudsmit-Saunderson (GS) theory（高精度、少制限、煩雑）• ルジャンドル関数で散乱断面積を展開• 係数 f (E, Z, t, θ) → 大きなデータベースが必要• すべての散乱角で正確20

ステップ内での輸送21

EGS4
ミシガン大で開発（協力：ＫＥＫ）

1. 多重散乱ステップサイズ（s：直線距離）を決める。
2. 直線距離(s) 移動後に、多重散乱モデルを用
い、散乱角(Θ)、横変位 (Δx2+Δy2)、曲線距離(t） を求める。

1. 曲線距離 t 内で1点 (ξ) をランダムにサンEGS5プリングし「多重散乱蝶番点」とする。

2. 同点で、多重散乱モデルにより電子の方向を屈曲させる。
（t,ξ,Θをサンプリング）
この Random hinge モデルで、多重散乱ランダムヒンジ<t/s> 及び <Δx2+Δy2> を適切に計算できる。(ただし移動に伴うエネルギー損失を無視した場合)

22

EGS5のステップ内輸送機構(2)•ζt と (1-ζ)t からなるヒンジモデルの代わりに, scatteringstrength ζK1(t) と (1-ζ)K1(t) からなるヒンジモデルを用いる。
– エネルギー損失を考慮するため.

• “エネルギー損失ヒンジ ” を導入し、K1を求めるためのG1の積分を単純化– エネルギー損失ヒンジ間でエネルギーは不変
詳細：THE EGS5 CODE SYSTEM

https://rcwww.kek.jp/research/egs/egs5_manual/slac730-160113.pdf• “Characteristic dimension” を導入し、適切なステップ長の設定を容易に。
23

電子の輸送方法の代表的な“クラス”
クラスⅠ (ITS, MCNP)

クラスⅡ (EGS, Penelope)t : 固定長さ (最大エネルギーの関数)

t: 物理的な断面積に従いサンプリング
現実的な１事象の全体をシミュレートできる

E0t

EE0Eδ

E = E0 - ΔE(t)Edep= ΔE(t) - EδEt
Eδ,γE = E0 - t (dE/dx) - Eδ,γ
Edep= t (dE/dx)• ΔE(t) : エネルギー損失ストラグリング分布からサンプリングしたエネルギー損失• dE/dx : しきい値で決まる制限付き阻止能24

電子の輸送方法の代表的な“クラス”
クラスⅠ (ITS, MCNP)

クラスⅡ (EGS, Penelope)t : 固定長さ (最大エネルギーの関数)

t: 物理的な断面積に従いサンプリング
現実的な１事象の全体をシミュレートできる

E0t

EE0Eδ

E = E0 - ΔE(t)Edep= ΔE(t) - Eδ

Et
Eδ,γ

E = E0 - t (dE/dx) - Eδ,γ
Edep= t (dE/dx)• ΔE(t) : エネルギー損失ストラグリング分布からサンプリングしたエネルギー損失• dE/dx : しきい値で決まる制限付き阻止能25

電子輸送モデルの比較
コード

EGS5

散乱過程

M.S.モデルRutherfordMoliereClass

ステップ内輸送機構

2Dual Hinge
Characteristic dimension

MottGSEGSnrc

Mott

GS

2

1回散乱の分離Penelope

Mott

GS

2

Dual Hinge
大角散乱の分離ITS 3.0 #Mott

GS

1# Adopted as electron transport of MCNP

26

Electron•

光子と電子の反応対象
単一の原子、電子、原子核

例外- 密度効果における分極- レイリー散乱における原子間の干渉