数理解析研究所講究録
1513 巻 2006 年 188-203

188

明治前期の日本において教えられ, 学ばれた幾何

立教大学名誉教授

公田$\text{藏}$(Osamu Kota)

Professor Emeritus, Rikkyo University
1.

はじめに

–

欧米詰国の幾何教育

わが国において幾何学が本格的に学ばれるのは, 明治になってからである. ここでは
明治 19 年 (1886) の中学校令制定公布以前にわが国で教えられ, 学ばれた幾何学について考察するが, 考察の対象としては, いわゆる 「初等幾何学」 に限ることにする.
最初に, 当時の欧米諸国の幾何教育について簡単に述べる.

(1) フランスでは, かつては幾何はユークリッドの『原論\sim を教科書として学ばれたが, 後には A. M. Legendre の “\’El\’ements de G\’eom\’etrie’’ や, これに範を取って編纂された教科書が用いられるようになった. Legendre の “\’El\’ements de G\’eom\’etrie’’ は, 元来はユークリッドの『原論』に代わる幾何の本を意図したもので, 初版は 1794 年であるが,版を重ねるごとに加筆訂正が加えられ, 1833 年に Legendre が亡くなるまでに l2 版まで刊行された. その後も Legendre の学生であった M. A. Blanchet が補訂したものが版を重ね, Legendre の “\’El\’ements deme’trie” は 18 世紀末の初版以来約–世紀にわたり,
フランスはもとより, 欧米諸国に多大の影響を与えたのである. ただし, Blanchet 補訂のものは, Legendre のものとは大分変わってきているという.
Legendre などのフランスの幾何学書では, ユークリッドの『原論』 とは異なり, 冒頭に公理を列挙するというスタイルを取らないものが多く, また, 時に代数を利用している. 立体幾何は重視され, 作図については, 伝統的な定規とコンパスによる作図だけで$\mathrm{G}’\infty$

はなく, 実用的な作図についてもふれている. わが国に影響を及ぼしたフランス書としては Amiot ([2]) と Rouch\’e-Comberouse $([28|, [29])$ がある. いずれも邦訳がある.

(2)

英国では, 長い間, 幾何はユークリッドの『原論』を教科書として学ばれてきたが, 教えられ, 学ばれたのは第 1 巻から第 6 巻までと, 第 11, 12 巻の–部であった. しかも, 実際には平面幾何だけであったり, 第 5 巻は軽く扱われたり省略されたりしたのである. Robert Simson 編のユークリッド『原論 j (1756) を底本として編纂された教科書が多かった. Isaac Todhunter の “The Elements of Euclid” ([30]) は 19 世紀半ばの代表的な教科書の–つで, 底本は Simson であるが, 若干の修正が加えられ, また, 註がっけられるとともに, 巻末には附録として『原論』本文にない諸定理などが記され, さらに 600 題余の練習問題が付け加えられている.
しかし,中等教育でユークリッドの『原論』を教科書として幾何を教授することには問題があり, 19 世紀の中頃から, 徐々にではあるが,『原論』そのままではなく, 英国の中等教育に適した形で幾何が教授されるようになった. Wilson ([35], [36]) や Wright ([37])などは, そのような立場で, Legendre や Rouch&Comberouse などのフランスの幾何学書

189を参考にして編纂された教科書である. Wright の本 (初版 1868 年) には T. A. Hirst がPreface を記しているが, それによれば, Hirst (は 1860 年から London の University College
School で,『原論』そのままではない, 新しい試みの幾何を教えたが, その講義のノートとフランスの幾何学書 (特に Rouch6-Comberouse) を参考にして, Wright の本が著されたとのことである 1. Wright は第 2 版の序文で, 第 1 版は大部分は Rouch\’e-Comberouse
によって編纂したと述べている. 第 3 版 (1876) の翻刻版は明治 20 年代に少なくとも 2
種類わが国で出版されている. ほかに邦訳もある. Wilson も邦訳がある.
1871 年に, 幾何教授の改良を目的として Association for the Improvement of Geometrical Teaching (略称 AIGT) が設立された. 現在の Mathematical Association の前身である. 最初の President は Hirst であった. 1875 年目 AIGT の “Syllabus of Plane Geometry(Corresponding to Euclid, Books I-VI)” が作成されたが, この Syllabus の第 4 版 (1885)
は後に菊池大麓によって邦訳され, 明治 20 年 (1887) に出版された ([10]) .

(3) 米国では, 初期には幾何はユークリッドの『原論 j (Simson あるいは Playfair) ま
たは Legendre (の英訳) によって教えられたが, 後には, Legendre を基盤とするが, ユー
クリッドの『原論』を考慮に入れて, 米国の学校での使用に適するように編纂された教科書によって教えられるようになった. たとえば Charles Davies の幾何は, 初版は 1830 年
代で, Legendre の英訳に米国の学校で教科書として使用できるように手を加えたものであったが, 多年にわたって版を重ね, 1851 年には増補修正版が発行された ([7]). Loomisの幾何 ([17]) は『原論』 と Legendre の両方の長所を取り入れて幾何の教科書を編纂しようとしたものであるが, 章の構成や順序は Legendre の影響を受けている. Robinsonの幾何も多年にわたり版を重ねたものであるが, 当時の米国の学校教育の実状を考慮して, 生徒には難しいと思われる内容を除き,展開の順序や証明を改め, 証明には代数的方法も用いている. 応用面を重視し, 長さ, 面積, 体積等の計算問題が多い. このため,Robinson の幾何は『原論』や Legendre とは趣の異なったものとなっている. Chauvenet[4] は Rouch6 Comberouse を参考にして編纂された書物で, フランス系の幾何である.
2. 「学制」公布の頃
明治 5 年 (1872) 8 月, 「学制」 が公布され, 関連する法令も制定公布された. 小学校の教育課程は, 下等小学, 上等小学各 4 箇年で, 同年 9 月公布の 「小学教則」 によれば,
下等小学, 上等小学ともそれぞれ八級に分かれ, 各級の修業は 6 箇月である (第八級が最初で, 最終が第–級). 数学に関連する学科は下等小学では「算術」 だけであるが, 上等小学では算術に加えて第六級から 「戯画」, 第五級から 「幾何」 が加わる. 「小学教則』には, 第五級の幾何について 「測地略幾何学ノ部 7 用\tau - 正形ノ類 7 授ク」 と記されている. 「測地略幾何学ノ部」 とは, 明治 5 年 8 月に文部省から刊行された, 瓜生寅編『測地略』巻之– ([34]) である. 『測地略\sim は陸地測量の書物であるが, 明治 5 年に刊行されたのは巻之–幾何学と巻之二平三角術で, 巻之–の凡例には 「初メニ幾何学三角町ノ \urcorner ヲ

1T. A.

(1188330–1892) は 1860 年から London の University College School で教え, 1865 年
University College の物理学教授, 1866 年に de Morgan の後を受けて純粋七学教授となり, 1870 年までその職にあった. 1870 年に London 大学の assistant registrar となり, 1873 年から 10 年間は Greenwich のRoyal Navd College の director の職にあった.
$\mathrm{H}i\mathrm{r}\epsilon \mathrm{t}$190

載スルハ墨チ初学ノ捷径トスル所以ナリ」 とある. 明治 7 年に続編が刊行されるが, 続編まで含めて,『測地略』の内容は測量技術よりは数学のほうが多い. 巻之–では簡単な「総論」 に続き, 「幾何学」 として幾何学トハ津ノ形象 7 図画シテ其大小及ヒ点線ノ方向 7 推測スルノ学ナリ形
象二三種アリ即\neq 線面積是ナリ線\nearrow \只長サノミアリテ広ト厚$\mathrm{t}\backslash$

無キモノ也面ハ継ト広トヲ存スル者ナリ積 \長広厚皆 r 備ノ者ナリ
第–O 点トハ数理 7 以 7\check -論スレハ長広厚共二無 *者ナリ
第二 O 線二曲直ノニ種アリ直線トハニ点ノ間二野\tau - 毫\yen 屈撹セサル線ニシテ而モニ点 7 以フ– 其長サノ限 7 定ムル 下二示\mbox{\boldmath $\lambda$} 甲乙ノ如
曲線 $之二反シ
テ柾折屈撹スル者ナリ$\urcorner$$\backslash ^{\backslash }/^{2}\vee$から始まって, 平面幾何の–通りのことが記されている. 冒頭に定義が列挙されているが, 公準, 公理は述べられていない. 命題の配列の順序も 『原論\sim とは異なるし, いく

つかの命題の証明は省略されたり, 証明ではない直観的な説明がっけられたりしている.
測量の予備知識として幾何の概要を記したことと, 複数の書物を参考にして編纂されたためであろう. 少ない紙数に要点をまとめてあるが, 小学校の幾何の教科書としては問題がある. しかし, 当時, 日本語で記された幾何への入門書は乏しかったのである.
明治 5 年 8 月公布の 「外国教師ニテ教授スル中学教則」 には, 例として教科書名が記されている. 「下等中学教則」 の幾何では,

英テービス氏幾何学書 (イレメンタリー, ジオメトリー, エンド, ツリ
ゴノメトリー)

仏レジヤンドル氏幾何学書 (エレマンドゼヲメトリ)
独ウイーガンド氏幾何学書 (イレメンテデルゲヲメトリ)とある 3. r テービス」 とは Davies のことで, 同年 10 月の教則の–部修正の際に, 「デービス」 と表記が改められた. ウイーガンドは Wiegand である.
英語による場合, 幾何に限らず, 数学の教科書としては初期には Davies が使われることが多かったが, 間もなくもっぱら Robinson が用いられるようになり, Robinson の–連の数学教科書の翻訳, 翻案は何種類も出版され, 原書の翻刻版も出版されたのである.

3. 幾何学は 『測量」 の学
幕末にいたるまで, わが国の数学者は, ユークリッドの原論 (『幾何原本』) はもとより,
論証幾何学にあまり注目しながかった.『明治前日本数学史第四巻 j (1959), pp.160-161には, 次のように記されている.

蓋し幾何原本に盛られた厳密なる論理的証明法は, 我邦学者によって認識されなかった結果であって, その論ずる所は極めて簡単な事実のみで, 一見し
2 原著には図が記されているが, ここでは図は省略した. なお, ここに甲乙とあるように, 記号はローマ字を用いず, 漢字やかなを用い, 式は 「中国式」 で縦書きに記されている.

3 引用は『法令全書\sim 所収の文言によった.

191て分りきってみると考へた.

当時の我数学者はこれを重視せず, より複雑な幾何学問題を取扱ってみた所から, 我邦がより進歩してみたと誤認した結果ではあるまいか.

日本人にとって, ユークリッド幾何学との出会いは, 異文化との出会いであった. そのため, 幾何を学ぶのには多くの困難があった. 西洋数学を学ぶにしても, 代数や三角法のほうが幾何よりははるかに容易であったと思われる. まず第–は, 幾何学をどのような学問と認識するかである. 明治初期の邦文の数学書の序文や凡例などから, 幾何学が
当時どのように受けとめられていたかをみることができる. 例として福田理軒閲註, 福
田半訳解『代微積拾級訳解 j ([9]) をあげよう 4. この本の発行は明治 5 年 (1872) 夏であるが, 奥付には 「官許明治四辛未年十–月」 とある. 凡例には次のような記述がある.
幾何 \測量 7 云測量 \総\tau \check 測算計量スル
アラス学者混同スル ナカレ 5$\urcorner$

ニシテ必ス測天量地ノ業二限ルニ$\urcorner$

凡例についで 「符号」 (記号の説明) , 「称呼」 (用語の説明, 定義) が記されているが,称呼の中に, 次のような記述がある.

点始手任指スル所ナリ未弔詞チヲナサス
線点ノ連続シテ彼是ノ間ノ距離ノ形チヲ云
面線二線ノ乗シタルモノニシテ結腸ナリ
体面=線ノ乗シタルモノニシテ野積ナリ「幾何 \測量 7 云」 という文言の背後には, オランダ語の Meetkunst, 英語のがあると考えるが 6, 上の引用文からも見られるように, 幾何は論証より図形の計量に結びつけて受けとめられていた. これは幾何学よりも三角法のほうが早く輸入されていた
ことにもよるが, 当時の日本の数学家が和算の枠組みから中々脱却できなかったことも示している. わが国で Davi\’e より Robinson のほうが広く用いられた原因の–つはこの辺にもあると思われる.

$\mathrm{G}\infty \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{y}$4. 明治前期の 『原論\sim の邦訳(1)

山田昌邦訳 『幾何学』 全三巻

明治 5 年 (1872) $-6$ 年 (1873)

4r 代微積拾級』は Elias Loom 油の “Elements of Analyticaland of the Diffeoential andIntegral Calculus” の漢訳である. 「米利堅心密士談 英国偉列出カロ訳 海宵李善蘭筆述」 で, 全十八巻,
初版は清の威豊 9 年 (1859) である. r 代微積拾級訳解\sim は, 実際に刊行されたのは r 代微積拾級』の巻物までの部分 (解析幾何の, 直線と円に関する部分まで) であった.『代微積拾級』では数学の記号や式は漢字を用いた 「中国式」 になっているが, [訳解』では Loomis の原著を参考にして, ローマ字を用いた 「通常の」 形になっている. なお,『代微積拾級訳解 J は, 日本語で解析幾何を扱った最初の刊本である.
5 『代微積拾級訳解』の本文巻–の冒頭に. 「泉臼 $t$ 」 としてこれと同様なことが記されているので,れは福田理軒の幾何に対する見解である. 花井静編輯の『筆算通書』巻之四にも同様な趣旨のことが述べ$\mathrm{G}\infty \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{y}$こられている.
6 オランダ語のmoeten は「測る」 であるから, 明治初年まで, Moetkunst は「度学」 や「測量術」 などと訳されていた. これは–つには当時の洋学者が漢訳西洋数学書に接することがあまりなく, 「幾何」 という訳語を知らなかったこともあると思われる.

192

ユークリ

$\text{ッ}$ドの 『原論』 第 1 巻の最初の邦訳で, 三巻に分けて出版された. 巻之–は

明治 5 年 (1872) 開拓使の刊行で, 巻之二, 巻之三は明治 6 年である 7. 底本としたのはSimson の系統のものである. 巻之二の緒言には, この巻を草するに当たって近藤真琴の訳稿を–部参考にしたことが記されている. 巻之三の末尾に 「復習」 として問題が 53 建
つけられている. 小倉金之助 「明治数学史の基礎工事」 ([21] 第 2 巻に収録; 初出は [20])によれば, 山田昌邦は徳川家の沼津兵学校の教師であったが, 明治 3 年海軍兵学寮の数
学教師となり, 間もなく北海道開拓使に出仕し, 訳書『幾何学』を出版した. その後数多くの訳書を刊行した 8. 後に実業家となったとのことである.

(2) 西洋千八百七十二年 英国ロヘルト, ポツトス氏原著 荒川重平
何問題』 明治 8 年 (1875)中川將行訳『幾原著は Robert Potts の “Euclid’s Elements of Geometry, The First Six Books” ([23])で, 主として Simson の英訳に基づき, 各巻ごとに註と問題を多数付け加えた教科書である. 問題は Questions と Examination Papers とから成り, 後者はいろいろな試験問題から選んである. 前者は, その内容から, 多くは口頭で答えさせる問題であろう. 初版は1845 年であるが, 版を重ねる際に問題も増補されている. また, 学校での実際の使用に便利なように, 第 4 巻までと力\searrow 第 1 巻だけというように抄本にしたものも出版されている. 米国での翻刻版もある.
この『幾何問題\sim は, 原著 1872 年版の Examination Papers 全 588 題の邦訳である. 訳
者の荒川, 中川は沼津兵学校に学び, 当時はともに海軍教官であった.『幾何問題』が出版された明治 8 年には, Robinson の幾何などは邦訳されていたが, ユークリッド『原論\simの第 6 巻までの邦訳はまだ出版されていなかったので,『原論』の各巻にしたがって編纂されたこの問題集は, 大変むずかしいものであったと思われる. なお, 緒言には問題を解くことを通して幾何を学ぶ際の注意も記されている. 明治初期の, 幾何 (あるいは数
学) の学習法に関する言明として注目すべきであろう.

初学ノ輩問題二対シテ難キヲ覚フルトキハ平行垂直線等ヲ引 *或 \点 7 撃チ
或 \圏ヲ画ク等ノ事ヲナシ以 T- 数回試ムヘシ然 ) 而シテ尚 ‘原理ノ存スル所$1$$+\ovalbox{\tt\small REJECT}$

探究$\backslash \sqrt[\backslash ]{}$

ハ晒=因至ラサルモ必 7‘ 無益ノ労作トナシテ此試験ヲ四隅スル勿 何トナレ
往々未発ノ理 7 発検スル アレハナリ是 幾何 7 学フノ要訣タリ$\check{\tau}$$\urcorner$

学者其 忽諸スル勿レ『幾何問題\sim の, 原論第 1 巻, 第 2 巻の部分の略解は, 明治 12 年 (1879) に, 荒川重平・中川將行同著『幾何問題解式 j ([25]) として出版された. Potts の原著では–部の問題に対しては解答 (略解ではない) を記しているが, 邦訳では略解あるいはヒントだけ
7 国立国会図書館所蔵の山田昌邦訳 『幾何学』 は, 巻之–には見返しおよび各丁の版心に 「開拓使」 の文字があるが, 巻之二, 巻之三には 「開拓使」 の文字はどこにも記されていない. 細かいことのようであるが, これは, 開拓使仮学校で明治 5 年から 7 年まで James R. Wa8son が語学と数学を教えていたことと, あるいは何か関連があるかもしれない.
8 それらの中で, 明治 11 年 (1878) の山田昌邦纂訳『英和数学辞書』は, わが国最初の数学用語の英和対訳辞書として注目すべきものである. この本は 「山田氏蔵版」 である.

193である. なお,『幾何問題』は和綴じ, 縦書きであるが,『幾何問題解式』のほうは和綴じであるが, 左開きで横書きである.

(3)

亜国格拉克先生口授

山本正至

川北朝隣 9 訳『幾何学原礎』

米国人 Edward W\sim ren Clark (1849–1907) が静岡学校 (静岡学問所) で行ったユー

クリッドの『原論』の講義を邦訳したものである. 首巻から巻之五までは版権免許明治八年十二月五日, 巻之六は版権免許明治十–年+–月六日である.
渡辺正雄 ([40]) によれば, Clark は最初 Rutgers College に入学したが, 途中で渡欧し,スイスのde Th\’eologie で神学を学んだ. 明治 4 年 (1871) 来日, 明治
6 年まで静岡学問所で教え, 同年 12 月から 1 年間, 東京の開成学校で化学を教えた. 明
治 7 年離日. 開成学校長の畠山義成とは Rutgers 以来の旧知であったという.
『幾何学原鉱』 の首巻冒頭には Clark の序文 (英文) があり, ついで凡例に$\backslash \nearrow^{\backslash }=\text{ネ^{ー}}\backslash \text{ブ}\backslash \text{の}\acute{\mathrm{E}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}$

画書は今を去る事二千有余歳 「ギリーキ」 国測量学士 「ユークリット」 氏
著す所尋常幾何学書にして原名 「エレメントリーユークリット」 と号す亜国「格拉克 (ふりがな : クラーク) 」 先生静岡学校に於て之を教授す其図解詳にして最註解し易きを以て是を歯して初学の資となす–西洋各国に於て此書頗る行はる諸名家顕す所の尋常幾何学書大概之に基たり因て幾何学原礎と名付く

幾何学書は通例文を以て之を詳解し生徒をして譜熟せしむるを法とす然共
文意達せす誤解を生るを留る故に式を設けて初学をして便解し易からしむるなり

幾何は量地建築を始要用最広し世人皆之を知る故に其用方を挙ざるなりと記されている.『幾何学原由』首巻には総目録が記されているが, それによれば首巻のほかに巻面–から巻之八までの全九巻の構成で,『原論』の第 1 巻から第 6 巻までと第 11,
12 巻の–部, すなわち, 英国での伝統的な幾何のコースの内容である. 首巻は序文, 総目
録と原論第 1 巻の冒頭の部分 (定義, 公準, 公理) である.『幾何学原礎』では Defimltion
を「命名」, Postulate を「確定 J, Axiom を「公論」, Proposition を「考定」, Theorem
を「定理」 と訳している $1$ . 訳書の巻四–は原論第 1 巻の命題, 以下は訳書の–巻が原論の–巻に対応する. 各巻 (巻曇霞を除く) の巻末には問題がっけられている.『幾何学原動』の首巻から巻之六までの 7 冊は, ユークリッドの原論の第 6 巻までの最初の邦訳である. 筆者は巻之七と巻之八は未見である.
『幾何学原礎\sim の底本は Simson の系統のものである. 底本は Todhunter であろうといわれているが, Todhunter とは若干の異同があるので, Todhunter を主たる底本とはしながらも, 他の本 (恐らく複数) を参考にしたと考える.『幾何学原礎』では, Todhunter とは異なり, 式を併用しているが, 欧米では, 教科書では式を用いていなくても授業では式を用いることはなされていたから, 式の使用は Todhunter との相違として特に問題にすることはないと考えるが, Clark が講義の際に黒板に書いた式をそのまま記しているの
9 川北の名前は「朝鄭」 であるが,『幾何学原礎\sim では 「朝隣」. r 例題解二では「二二」 と記されている.
10 山田昌邦訳『幾何学\sim では, これらをそれぞれ命名, 定則. 公論, 設題, 定義と呼んでいる.

194

で, 数学的には無用の, 余分なものまで記されているところがある (第 1 巻の第 4 命題など). そして, 訳者は, 先生がわざわざ書いて示されたことだからということで, それに何とか (教育上の) 意味をつけようとして苦心しているのである.
『幾何学原礎』巻之–から巻之六までの問題の解答は, 川北朝鄭編輯『幾何学原礎例

題解式』全 5 巻として出版された ([6]). 荒川中川『幾何問題解式』では略解だけであったが,『幾何学原礎例題解式』では略解ではない解答が記されている. 各巻の巻末には「例題補遺」 として新たに問題が追加されているが, その中には『幾何学原礎』の知識で解くのはむずかしいものもある (どこか和算の遺題継承を思わせる).

(4)

長沢亀之助訳『宥幼立』

明治 17 年 (1884) 1 月

Todhunter の “The Elements of Euclid” ([30]) の全訳 (註や問題を含めて) である.
(5)

曽禰達蔵訳

鈴木敬信閲 『突氏幾何学』

明治 17 年 (1884) 4 月

Todhunter の “The Elements of Euclid” ([30]) の第 1 巻から第 4 巻までの本文と, 対応する練習問題の邦訳である. 曽禰は工部大学校造家科第一回 (明治 12 年) の卒業である. 訳文は長沢訳より読みやすい 11.

5. フランス書, およびフランスの影響を受けた幾何学書の邦訳(1)

仏国李珍大圏原著

東京大村邦秀訳『幾何学通書 巻之–\sim

明治 12 年 (1879)

李珍大 (リゼンドとふりがながつけられている) とは Legendre のことで, Legendre の“\’El\’ements dem\’etrie’’ の 1877 平版の邦訳である. 緒言には, 原本は–巻であるが邦訳ではこれを四巻に分けて, 翻訳ができるごとに出版すると記されているが, 巻之–以外は未見である. 巻之–では, 原著の Livre I から Livre III までが訳されている. (原著は Livre VIII までと附録から成る. LivreI から Livre IV までは平面図形, LivreV から
Livre VIII までは空間図形を扱う).
$\mathrm{G}’\infty$

この邦訳は訳文に若干問題がある. 訳語としてあまり適切でないと思われるものも目につく. 加えて, 文法上の誤り, 読み違えもあり, 数学的内容に対する誤訳もある. 内容を十分に理解していなかったと思われる箇所もある. 翻訳原稿を–応作成してからの原文との照合の不十分, あるいは校正の際のミスによると思われるものもある. たとえば,原著の–つの文が省略されたところがある. これは単なる組み版や校正の際の誤りかとも思うが, あるいは訳者はその–文を不要と考えたのかもしれない. しかし, それは数学の立場からは省略されるべきではない箇所である. また, 作図の公法に関する部分は原文の意味を取り違えているし, 通約不能量に関する部分も翻訳は不明確である.
この邦訳は, 当時の日本において, 論証幾何がそれまでに日本で学ばれていた数学 (和算はもとより, 代数や三角法などの洋算) と「異質」 であり, 論証幾何を学び, 内容を理解するのがいかに困難であったかを示しているともいえよう.

(2)

陸軍士官学校編『算学講本』全五冊

内外兵事新聞局

明治 9 年 (1876) $-13$ 年(1880)
11 訳文が読みやすいことは, 初期の工学寮工部大学校で『原論』にしたがって幾何が教えられていたことと無関係ではないと考える.

195

緒言には次の記述がある.

算学講本 \数学代数学ヨリ平図幾何学二至ルヲ以\tau - 全部トス乃チ我が陸軍教師タル透耶児 (ふりがな : ヴィーヤール) 氏屈烈多事 (ふりがな : クレットマン) 氏力本校ノ第–二年生徒二教授スル為二輯録スル所ニシテ教官神保長
致ヲシテ訳述セシメ罪 7 石版=上 ‘\check ‘/以フ\check - 学課教程ノー部=備フ此書や論理設
術繁簡其宜キヲ得\tau - 陸軍士官二需要ナル条目略具備セリ
ついで緒言には, このため校外からもこの本を求めるものが多かったが, 校外からの需要に応じることはできなかったが, ここに–二の校正を加えて出版したと記されている.
ヴィーヤールはフランス陸軍の工兵大尉, 明治 7 年来日. クレットマンは工兵中尉で, 明
治 10 年来日した. クレットマンは在日中に大尉に昇進し, 明治 11 年帰国. 訳者神保長
致 (じんぽ ながおき, 1842–1910) は幕末に開成所に学び, 明治元年沼津兵学校に入学するが, 学問優秀のため抜擢されて三等教授になった. 後に, 長期間にわたって陸軍
士官学校教官であった.
全巻の構成は, 明治 9 年発行の第–編, 第二編は数学代数学 12, 明治 11 年の第三編は平面幾何学, 同年の第四編は立体幾何学, 明治 13 年の第五編は三角学, 標高平図幾何学である. 第三編, 第四編の幾何学の底本は Amiot ([2]) で, リセ (lyc\’ee) の教科書である.
Amiot の原著は平面図形, 空間図形, 常用曲線 (Notions sur quelques courbes usuelles)の三部と, 補足 「球面上の図形」 から成り, 平面図形と空間図形の部分は 「課」に分けられている. 平面図形は全 34 課, 空間図形は全 24 課である.
『算学講本\sim の平面幾何の部分は, leqon ( 教」 と訳している) の分け方も Amiot の通りであり, 本文の記述は, –部省略したり簡略にしたところはあるが, Amiot に沿っている. 練習問題も大部分は Amiot のものをそのまま用いているが, –部省略されている. 立体幾何は, Amiot では全 24 課であるが, 後半の–部の課を省略して全 20 教にしている. したがって,『算学講本』第三, 第四編は, Amiot の本の平面図形と空間図形の部分の全訳に近い.
『算学講本』の算術, 代数や三角法も, 幾何と同様に, リセの教科書によったものと考えられる. 明治初期の陸軍士官学校において, フランスのリセの内容に準じた数学教程が作られ, リセの教科書によって数学が教授されていたことは注目に値する.
$(1\mathrm{e}q\mathrm{o}\mathrm{n})$$\mathrm{I}$(3)

教導団第三課編『平面幾何教授書』

陸軍文庫

明治 10 年 (1877)

全 1 冊であるが, 内容は 6 巻に分かれ, 最後に附録として問題がっけられている. 底
本はアメリカの Loomis ([17]) であるが, 若干補筆されている. 補筆の際に参考にしたのは Legendre, Rouch\’e-Comberouse, 加えて Robinson などであると思われる. 底本が英文の書物であるから, 編纂の際に参考にしたのはフランス書ではなく, 英語で書かれた

Chauvenet と Robinson であったとも考えられる.
Loomis の原書の第 28 版 (1868) が国立国会図書館に所蔵されているが 13, これと比較すると, 原書を–部簡略にしたところや, 原文に加筆したところがある. 量の比と比例12 この 「数学」 とは算術のことである.

13 これは旧畠山義成蔵書である. 平面幾何の部分のいくつかのページに鉛筆による書き込みがある. 畠
山が Rutger8 留学の時に使用した教科書ではないかと考える.

196の最初の部分は Loomis とは違ったものになっているが, この部分は Rouch\’e-Comberouse
か Chauvenet によって記されたと考える. このような相違はあるが, 大体は Loomis の幾
何の平面幾何学の部分の邦訳である. 附録としてつけられた問題は, 原書の巻末につけられた問題の大部分を収録し, 加えて計算問題が補充されている. 附録の問題と原書第28 版巻末の問題とでは–部に問題の順序の違いや問題の異同があるが, これは底本とした版の違いによるかもしれない. 原書にはない計算問題は, Robinson 等を参考にして補充されたと考える.
訳文はしっかりしており, 数学的内容をかなり正確に伝えている. Loomis の原著にはない, 通約不能量に関する部分の記述も, かなりしっかりと書けている. (陸軍士官学校の『算学講本』の幾何では, 通約可能な場合に限って説明されている).
当時, 陸軍で刊行された教科書の多くはフランスの書物の翻訳や翻訳に近いものであったが, この『平面幾何教授書』の底本はアメリカのもので, しかも, 当時 West Point の米国陸軍士官学校で使用されていた教科書とは異なる. Loomis を底本として『平面幾何教授書』が編纂された経緯や, この『平面幾何教授書』がどこでどのように使用されたかは不明である.『平面幾何教授書』は士官学校用の教科書と考えられるが, この本と士官学校編『算学講本』 との関係も不明である.

(4)『平面幾何学』横須賀造船所 明治 13 年 (1880)

序文, 目次はなく, 本文 343 ページ, 正誤表 7 ページから成る. 巻末に 「明治+–年八月九日出板権届」 とある. 海軍の横須賀造船所費舎で使用された教科書で, Legendre の影

響を受けた平面幾何の書物である. 練習問題はつけられていない. 安藤洋美 ([3]) は底本
は Rouche’-Comberouse であるとしているが, Legendre に拠りながら Rouch\’e-Comberouseを参考にしているようにも思われる. なお, 造船所ですぐ役に立つと思われる実用的なことがらに関する記述は, Legendre や Rouch6-Comberouse よりも詳しい.
内容は, Legendre の幾何のはじめの 4 巻 (平面図形) と大体同様であるが, 正五角形の作図など, むずしいものは取り扱われていない. 数学的内容は大体は正確に訳されている. 訳文から見ると, 非通約量に関する部分は, 訳者がこれを理解するのに苦労したように思われる.
このように, 横須賀造船所では, 同じ時期の陸軍士官学校や, 東京大学予備門, 工部
大学校に近い程度の教科書によって平面幾何が教授されていた. 横須賀造船所における他の教科書はまだ見る機会がないので, これだけで断定することはできないが, 平面幾
何以外でも, しっかりとした数学 (フランス流の) が教授されていたと思われる.

(5)

中村精男校閲凡例によれば,

赤木周行抄訳『常用曲線\sim

明治 15 年 (1882)

Amiot の “\’El\’ements de G\’eom\’etrie’’ (1875) , Rouch6-Comberouse の“Trait\’e de G\’eom\’etrie \’El\’ementaire’’ (1868) から, 常用曲線 (Courbes usuelles) に関す
る部分を心置抄訳したものであるという. 内容は, 初等幾何的方法による円錐曲線と螺線 (helx) で, 当時の中学校の教科書として使用できるように編纂されたものである.
校閲者の中村精男 (なかむら きよお, 1855–1930) は東京大学理学部の仏語物理学科の明治 12 年の卒業であり, 赤木周行 (あかぎ ちかゆき) も仏語物理学科に学んでい197

中村は後に中央気象台長, 東京物理学校の設立にもかかわり, 多年にわたり同校の校長であった.
る.

6. 教育課程と教科書–

いくつかの学校の事例(1) 工学寮工部大学校
工学寮工部大学校の数学教育については [12] とそれを補訂した [13] に述べたのでこ
こでは詳しくは述べないが, 幾何は初期にはユークリッドの『原論 j (Simson を底本とした教科書) , 後には Todhunter と Wilson で, 解析幾何は Todhunter であった.
(2)

東京英語学校東京大学予備門

明治 10 年 (1877), 東京開成学校と東京医学校とを併合して東京大学が設立された. そして, 東京大学法, 文, 理学部への予備課程として, 東京英語学校と東京開成学校予科を併せて東京大学予備門が創設された. 東京大学予備門は東京大学に付属し, 当初の修業年限は 4 箇年であったが, 明治 14 年 7 月, 修業年限は 3 箇年となった. 明治 15 年 6 月,
東京大学医学部予科が東京大学予備門に併合されるが, 両者の修業年限も教育課程も従前のままであり, 従来の予備門を 「本曇」, 旧医学部予科を 「分饗」 と称した. 両者の教育課程が同じになるのは明治 17 年 6 月で, このとき, 本盤, 分霊とも修業年限は 4 箇年となった. 明治 18 年 8 月, 東京大学予備門は文部省直轄となる. 翌明治 19 年 (1886),
旧工部大学校予科を併合するが, 同年 4 月の中学校令公布に伴い, 第–高等中学校となった. 後の第–高等学校で, 今日の東京大学教養学部の前身校のーつである.
数学の内容は, 東京英語学校では算術, 代数, 幾何, 三角法であったが, 東京開成学校の予科課程 (明治 9 年のもの) では算術, 代数, 幾何, 三角法, 円錐曲線法, 代数幾何であった. 円錐曲線法とは初等幾何的方法により円錐曲線を扱うもので, 英国の伝統的な教育課程では『原論』の次に学んだものである. 代数幾何とは Analyticalの訳で, 解析幾何のことである. 東京英語学校では教科書として Robbinson のものが使われた. 東京開成学校予科 (英語の組) も大体は Robinson であった. 明治 11 年 6 月, 東京
大学予備門の教則が定められたが, このとき 「円錐曲線法」 は数学の内容から除かれた.
藤沢利喜太郎は明治 11 年東京大学予備門の卒業であるが, 藤沢は明治 32 年 (1899) 夏の講習会での数学教授法の講義の中で, 菊池大麓の尽力によって, 明治 11 年から東京大学予備門での数学の教科書が, 幾何を含めて Robinson から Todhunter に改められたと述べているが ([8], pp. 246–247, 369), 以下に記すように, これは当時の『東京大学予備四–覧』に記されていることなどと少し違いがある. なお, 藤沢は幾何学的円錐曲線法を Drew の本で教わったが, 大変難しいものであったと述べている ([8], P. 366).
『東京大学予備門–覧 明治十二, 三年』 (明治 13 年発行) には教科書に関する記載はないが, 前年度の試験問題が掲載されている. それによれば, 幾何の問題は全部で 6 問であるが, 3 問は Robinson の教科書の例題や問題そのままで, l 問は Todhunter の巻末の問題, l 問は Wilson の平面幾何にある問題, あとの 1 問の出典は不明である. 従って,
明治 11–12 年度の主たる教科書は Robinson のままであったと考える.
小松醇郎 [11] には東京大学予備門の, 明治 12–13 年度の (ものと思われる) 試験問
題が掲載されているが (同書, pp. 280–281), 幾何 (第三年のもの) は平面幾何 4 問,$\mathrm{G}\infty \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{y}$198

立体幾何 2 問の計 6 問で, 平面幾何の問題は Wright の本の内容そのままと, Wright の本に記されていることから容易に解けるものとで, 立体幾何の 1 問は定義や基本的な定理などを説明させるもの, もう 1 問は Robinson の本の内容そのままである. このことから,
この年度の平面幾何の教科書は Wright であったことがわかる. 立体幾何の教科書が何であったかは, この試験問題だけからはわからない. なお, 第三年 (第二級) の数学の担
当者は, 明治 11–12, 12–13 年度とも中久喜信順である.
『東京大学予備門–覧 明治十三, 四年』 には 「教科細目」 が記載されている. 数学の部分は次の通りである. これから, 何を教科書とし, どのように教えられていたかを知ることができる. 幾何では定義や定理などを暗記させていたが, これは英国の伝統的な幾何の教授法である.
(第四級)
第–年
数学 -週間六時
教科書 ロビンソン氏実用算術書

第–学期二軸テハ貨幣算ヨリ諸等二至ルマテ第二学期 =五テハ諸等ヨリ百分
算二至ルマテ第三学期二於テハ百分算ヨリ比例 $–$ 至ルマテヲ教フ而シテ必要ノ釈義 7 与へ又教科書二就*生徒ノ解 ‘\check ‘/能ハサル所 7 説明 ‘.‘/且 ‘ノ ‘ 問題ノ解釈ヲ黒板二記載シテ之 7 辮明セシム
(第三級)
第二年
数学 -週間四時
教科書 ロビンソン氏実用算術書

トドハンタル氏

ライト氏平面幾何書

小代数書

第–学期二心テハ算術 7 終り又幾何総論 7 教フ第二学期二於テハ幾何第–巻
ヲ終り代数ノ始動ヨリ最小公倍数二至ルマテヲ教フ第三学期二叉テハ幾何第二巻 7 終り代数分数約方ヨリー次方程式=面ルマテヲ教フ而シテ其ノ授業法
ハ算術粗代数学ニハ前回与フル所ノ課 7 試問 而シテ後\neq 次回ノ課業 7 説明
ス幽幽時アルトキハ即題或 宿題 7 与ヘテ常二其練習 7 怠ラサラシム幾何学
ハ教科書ノ順序二従ヒ反覆ソノ理義 7 講明 ‘\near ow ‘ 生徒ヲシテ名称, 解釈, 及定論$\backslash \sqrt[\backslash ]{}$$\rangle$

等 7 諸記セシム(第二級)
第三年
数学 -週間六時
教科書 ライト氏平面幾何書

トドハンタル氏小代自書

第–学期二於テハ幾何\nearrow \第三巻ノ巻首ヨリ第四章二至ルマテ代数ハニ次方程
式ヨリ有奇数=至ルマテ第二学期二河テハ平面幾何及代数初歩 7 終り第三学
期=院テハ平面幾何及代数 7 復習セシメ総 T\leftrightarrow 生徒ヲシテ前日授クル所ノ課業ヲ講義説明 ‘\check ‘/或 Y 問題ノ解釈 7 為サシメ教員其誤謬 7 正 ‘\check ‘/又疑義アレハ之ヲ
質問セシム而シテ後教科書— 就 7–次回ノ課業 7 授ケ及他書ヨリ抜粋曲シクハ
自設ノ即題或 \宿題 7 与ヘテ之 7 練習セシム
(第–級)
第四年
数学 第–学期–週間六時 第二第三学期–週間三時

199

教科書 トドハンタル氏大代数書 ウヰルソン氏立体幾何書
チャンブル氏対数表 トドハンタル氏小三角書
第–学期 =於テハ立体幾何及代数 7 終り第二学期 =於テハ三角法第一節ヨリ

第十七節二至ルマテヲ教へ第三学期二於テハ第十八節ヨリ巻尾二至リテ三角法 7 終’ 而シテ其授業法 \第三年数学 } 同シ$\mathrm{s}$『東京大学予備門–覧』の記述と, 教科書とした洋書の需給状況から考えると, 菊池はRobinson を排し, 代数と三角法については Todhunter を推薦したが, 幾何は Todhunterのような『原論』そのままの 「伝統的な」教科書ではなく, 最初から英国の「新しい」幾
何の教科書を推薦したと考える. 菊池は英国に 2 回留学し (慶応 2 年 (1866)
慶応 4(1868), 明治 3 年 (1870) 明治 10 年 (1872) , 最初の留学のときと, 2 回目の最年
初に London の University College School で学んだが, そのとき学んだ幾何は, 伝統的な
ユークリッドではなく, Hirst にはじまる新しい試みのものであり, それが菊池の幾何学
観, 数学観に大きく影響していると考える (菊池は Wrangler であるから, ユークリッドの『原論』も学んでいる). 菊池は, 明治 20 年 (1887) に AIGT の Syllabus (第 4 版) を邦訳出版したときに, 序文の中で次のように記しているが, そこに記されている彼の幾何教育に対する考えは, 英国留学から帰国したときにすでに形成されていたと考える.
–

$)$

–

余 \未夕此ノ表 7 以フ- 充分満足シタリト言フ能ハス之 7 編纂シタル会員ト錐モ決シテ之 7 完全ナルモノトハ認メサリシナル可シト信ス然レトモ学識経験
共=面ハレル諸大学者ノ協議二成レルモノナレハ筍\yen 幾何学ノ教授二従事ス
ル血ノ\必ス ‘参考ニセサル可カラサル 明ナリ又此学課ヲ修ムル者 \之 5 見テ
大二得ノ所有 J 可 本邦二於テハユークリッド妄尊ノ夢未 F 全ク雨メサル者有)| 然ノミナラス不幸ニシテロビンソンノ如*書盛二行ハル
実—識者ノ嘆スル所ナリ故二本書ヲ訳シテ之ヲ世二公ニスルハ最有益ナル事ナリ ト信ス$\urcorner$$\backslash \nearrow\backslash$$\backslash \urcorner$

ところで,「新しい」幾何の教科書としては, Wright 以外に Wilson のものもあり, Wilson

ならば平面幾何, 立体幾何ともに揃うのであるが, なぜ平面幾何は Wright なのか, その理由を記したものは見いだせないが, 恐らく, –番大きな理由は, 内容と配列の順序が,Wright のほうがすぐれていると考えたことであろう (Wright の本は, 直線形についで円を扱い, 作図題や比例, 面積はその後で扱っている) 加えて, 菊池が英国で最初に学ん.

だ幾何が, Wright の本に近いものであったことも影響していると思われる. 菊池は 「不実=識者ノ嘆スル所ナリ」 と慨嘆している
幸ニシテロビンソンノ如*書盛二行ハルが, Robinson の幾何は, 和算から西洋数学への移行に際しての 「過渡期の教科書」 としての意味はあったと考える. すなわち, 明治初期に, 「中間段階」 としての Robinson の時期を経て Wilson, Wright, Chauvenet などの時期へ進んだことによって, 和算の考え方$\backslash \urcorner$

から論証幾何への移行がさして困難なくできたという面はあったと考える.
なお, 小倉金之助は,『数学教育史』において,「明治 15–18 年頃に於て, 原書として最も多く採用された教科書は, 代数 トドハンター 幾何 ウィルソン, ライト 三角法
トドハンター 等であった. 実際の事実として, トドハンターの『ユークリッド\sim が,広く採用された形跡は, 少ないのである」 と述べている (p. 323).

200

(3)

文部省直轄

大阪中学校

明治元年 (1868) に大坂に舎密局の創設が企てられた. 舎密局は翌明治 2 年に開設され, 洋学校が設けられた. その後, 洋学校の名称, 組織, 所管はしばしば改められた. 開成所, 第四大学区第–番中学, 開明学校, 大坂外国語学校, 大坂英語学校などである. 明
治 12 年 (1879) 4 月には大坂専門学校となるが, 翌明治 13 年 12 月には大阪中学校となった. 文部省はこれを中学校のモデルスクールとしたのである. 明治 13 年 (1880) 12 月,「教育令」 が改正施行され, 翌明治 14 年 7 月, 文部省達により 「中学校教則大綱」 が示されるが, この教則大綱の通りに施行したのは大阪中学校が最初であったという. 大阪中学校は明治 18 年 7 月に大学分校となり, 修業年限も学科課程も改められるが, これは将来大学にすることを含みとしたものであった. 翌明治 19 年の中学校令施行に伴って第三高等中学校となる. 明治 22 年に大阪から京都に移転し, その後第三高等学校となる. 今日の京都大学の前身校の–つである.
明治 16 年 10 月の『大阪中学校–覧\sim 所収の 「教授規則」 第八条には学科課程と教科用図書が記されている. 教科用図書の数学の部分は次の通りである.

算術
代数
幾何

三角法

初等中学科
筆算摘要
代数学
幾何学原礎
常用曲線
高等中学科
三角新論
対数表

-至五

五冊

-至六

全

六冊
七冊
–冊

明治八年十月
明治十年十月
明治+–年十二月
明治十五年八月

神津道太郎訳
石川 葬訳
山本正至, 川北朝隣訳
赤木周行抄訳

乾坤二冊

明治+–年十二月

宮川保全訳述–至七

英人チャンバー著

第九条には各学課授業の要旨が記され, 各学課の目標がはっきりと示されている. 数学の部分は次の通りである.

第四款 算術 算術 \百般ノ学術, 日用ノ計算=潮クヘカラザル者ナリ之ヲ授クルニハ数理 7 推究 術語ヲ解釈 ‘\check ‘/法則ヲ論証 ‘.‘\acute ’ 傍フ\check 簡法二通セシムルハ
勿論実際適切ノ問題 7 与ヘテ其応用ヲ試 施算正確ニシテ且迅速ナラシメン$\backslash \nearrow\backslash$$\backslash \backslash \sim$

コトヲ要ス

第五款 代数 代数\nearrow \記号, 字母 7 用ヰテ施算ノ繁冗ヲ省キー術ヲ以 T- 許多ノ問題二活用スルノ便アルノミナラス数理ヲ詳明ニスルノ関鍵ニシテ数学ノー基本トナル者ナレハ殊二順序ヲ正クシテ理論 7 推究セシムヘシ
第六款 幾何 幾何 \線, 面, 角, 体ノ性質, 関係及其測度法 7 推究スル者
ニシテ物ノ長短, 容積等ヲ精測スルニ必要ナルノミナラス思想 7 緻密ニシ推理, 判断等ノカヲ養成スル者ナレハ之 7 説明スルニハ最詳細精確ナルヲ旨トス又常用曲線 \普通ノ曲線ヲ撰ヒテ之ヲ授ケ其大略ヲ知ラシムヘシ
第七款 三角法 三角法 \八線ノ性質, 関係及三角形ノ測定法ヲ推究スルモノニシテ土地ノ高低, 遠近等’ 測量スル如キモ亦多クハ鹿科=曲ス之レヲ授クルニハ務メテ理論, 実算井ヒ進マシムヘシ

201

幾何の要旨の中に 「思想 7 緻密ニシ推理, 判断等ノカヲ養成スル」 という文言があることは注目してよいであろう. なお, 当時は他の中学校でも, 大阪中学校の 「教授規則」と同様な教則が作成されていたのである.
「教授規則」 についで 「教科細目」 が記されている. 初等中学科の幾何に関する部分は次の通りである.

授業毎週二時即–期間四拾時
教科用書 幾何学国礎
幾何学原曲二拠 ) 界説ヨリ始メテ直線, 角及多角形— 関スル命題尾迄 7 授ク
其之ヲ教フルや教科書ノ順序 7 逐ヒ専生徒ヲシテ予修セシメ次回ノ課席=於テ之 7 辮明講説セシム又時々平=席題或 \宿題ヲ与ヘテ之ヲ運用セシム
第五級

$1$

授業毎週二時即–期間四拾時

第四級

教科用書

幾何学原礎

幾何学原礎二拠リテ比例首ヨリ尾迄及円ノ部少許ヲ授ク其教方\nearrow \前級二同シ
授業毎週三時即–期間六拾時

第三級

教科用書 幾何学原町
幾何学原礎二期 ) 円ノ部前群ノ続 7 授ケテ砂面幾何 7 卒へ尚諸ノ問題 7 与ヘ
テ其応用ヲ熟習セシム白干方 J\第五四 $=$ 同シ$\iota$

授業毎週二時即–期間四拾時

第二級

教科用書

幾何学原礎

面ノ交接首ヨリ尾耳環立体ノ前半甲唄 7 授ク其教方ノ\第五級二同シ
第–級

授業毎週二時即–期間四拾時
教科用書

幾何学原礎

常用曲線

立体前級ノ続キヲ授ケテ之ヲ畢へ且諸ノ問題ヲ与ヘテ其応用ヲ熟習セシメ次二常用曲線二拠リテ通常ノ曲線ヲ授ケ以\tau \leftrightarrow 全ク幾何ノ科ヲ卒フ其教方\nearrow \第五級二歳シ
ここに記されている幾何の内容, 順序は『幾何学原礎』 とは異なり, Robinson (の邦訳) に基づいたと思われるもので, それに『常用曲線』の内容が加えられている.『幾何学原礎』を教科書として Robinson の本の順序で教授するということは実際上は考えにくいので, 以前に Robbinson を用いて幾何を教授していたときの教授細目をそのまま記載したためであろうと思われる. また, 教科用図書表の 「幾何学引解 -至七 七冊」 という記載は, 同書の巻之–から巻之七の意味だとすれば, 首巻の内容である定義や公理, 公
準の取り扱いはどうしたのか, 首巻から巻之六までの七冊だとすれば, 立体幾何の取り扱いはどうしたの力\searrow この点については未詳である. 小倉『数学教育史 j 324には大阪中学校の明治 18 年度の教科書が記されているが,「幾何学原礎 $1-6$ 」 となっているほかは, 明治 16 年度のものと全く同じである 14. このように, 大阪中学校ではユーク$\text{ヘ^{}\mathrm{o}\backslash }-\backslash ’\vee^{\backslash ^{\backslash }}$14 小倉のこの記述は不正確である. 恐らく, 何かの二次史料に拠ったための誤りであろう (本稿末尾の「付記」 を参照).

202

リッドの『原論』に準拠して平面幾何が教えられたが, 立体幾何の取り扱いがどのようであったかについては不詳である.
以上, この節では東京大学予備門と大阪中学校における幾何教育について述べたが, 両校とも明治 19 年の中学校令により高等中学校となったため, この 2 校では, それ以降は初等的方法によるユークリッド幾何は教えられなくなった. 他方, この頃から全国の尋常中学校の数学教育は整備されていくのである.
付記 本稿を作成してから後に, 明治前期の数学教育についてのいくつかの史料を見ることができたが, その結果本稿の–部, 特に大阪中学校に関する部分の記述は若干修正する必要があることがわかったが, 紙数の関係もあり, これについては他の機会に発表することにする.

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蔵「明治初期の工学寮・工部大学校における数学教育」.『数学教育史研究』第 5 号(2005),

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$A$.

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[20] 小倉金之助『数学史研究 第二輯』, 岩波書店, 昭和 23 年 (1948).
[21] 『小倉金之助著作集』, 全 8 巻, 動詞書房, 昭和 48 年 (1973)[22] 『大阪中学校–覧

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-

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$III$

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[38] 山田昌邦訳 『幾何学』 全 3 巻, 明治 5 年 (1872) $-6$ 年 (1873) .

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$||$

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[40] 渡辺正雄『増訂 お雇い米国人科学教師』, 北泉町, 平成 8 年 (1996).
15 この翻刻版の底本の出版年などの書誌情報は不明であるが,Prefaoe には 1860 と記されている.