1Korrespondenzen und HyperelliptischeKurven– gemeinsam mit G. Frey; vgl. [FK] (2012)
1. Einleitung.
B. Smith (2008) endeckte, daß der diskrete Logarithmus derGruppen, die von Jacobischen von hyperelliptischen Kurven
vom Geschlecht 3 über k = Fp (p > 3) herkommen, nicht sosicher ist, wie man bisher angenommen hatte.
Grund: die sogenannte trigonale Konstruktion.
Diese konstruiert zu einer gegeben hyperelliptischen Kurve C/kvom Geschlecht 3 eine zweite (i.a. nicht-hyperelliptische) Kurve
D/k und eine Isogenie
T : JC → JD
der Jacobischen Varietäten. Diese Konstruktion geht auf Recillas (1974) und Donagi/Livné (1999) zurück. Genauer:Donagi/Livné (1999) betrachten eine Entartung der Konstruktion von Recillas, die dann auf hyperelliptische Kurven vomGeschlecht 3 anwendbar ist.
Ziel: Ein elementarer Zugang zu dieser Theorie mit Hilfe vongewissen S4-Überlagerungen.

22. Spezielle S4-Überlagerungen.
Definition: Es sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper undsei f : C → C 0 eine separable Überlagerung von Kurven überk. Sei f˜ : C̃ → C 0 die Galoissche Hülle von f . Dann heißtMon(f ) = Aut(f˜) die Monodromiegruppe von f.
Bezeichnung: Es sei Ram(f ) = {P ∈ C1 : eP (f ) > 1} dieMenge der Verzweigungspunkte und Br(f ) := f (Ram(f )) derVerzeigungsort (branch locus) von f.
Satz 1: Es sei char(k) 6= 2, und sei
f = f2 ◦ f1 : C → C1 → P1
eine Überlagerung mit den folgenden Eigenschaften:1) deg(f2) = 3 und f2−1(P ) 6⊂ Ram(f2), ∀P ∈ P1;2) deg(f1) = 2, #(f1−1(f1(P )) \ Ram(f )) = 1, ∀P ∈ Ram(f ),und Br(f1) ∩ Ram(f2) = ∅.
Dann ist Mon(f2) ' S3 und Mon(f ) ' S4.
Zusatz: In der obigen Situation sei f3 : C∆ → P1 die Überlagerung,die zur Adjunktion der Diskriminante von f2 gehört. Dann istf˜2 = f3 ◦ f4 : C̃1 → C∆ → P1, wobei f4 : C̃1 → C∆ eine
zyklische, unverzweigte Überlagerung mit deg(f4) = 3 ist.
Bemerkung: Wir haben also die folgende Situation von Überlagerungen mit zugehörigen Galoisgruppen:31C̃2C0NT ∩ Kf@@ 0@

C2C̃1@
@

f1π

@

C1
f2P

1@
@ 2@

NTK@
@

f4

2 @

3C∆

3

A4

f3

P2
S4

2

Bemerkung: Es sei s := # Ram(f2). Nach Riemann-Hurwitz
ist dann
gC1 = s/2 − 2, gC∆ = s/2 − 1,also muß s ≥ 4 sein. Ferner sei 2t = # Br(f1). Dann gilt
gC = s + t − 5,gC̃ = 6(s + t − 4) + 1.

Außerdem sieht man, daß die S4-Überlagerung f˜ : C̃ → P1
den folgenden Verzweigungstyp hat: s Konjugiertenklassen
von Transpositionen und t Konjugiertenklassen von (2, 2)-Zykel.
Bezeichnung: Es sei H̃s,t(k) die Menge der Isomorphieklassen
von Überlagerungen f = f2 ◦ f1 : C → P1 wie in Satz 1
zu vorgegebenen s, t. Dann kann man zeigen, daß (der Funktor) H̃s,t fein repräsentiert wird durch einen Hurwitzraum H̃s,tder Dimension s + t. Der Quotient Hs,t := Aut(P1)\H̃s,t hat
demnach die Dimension s + t − 3.

4

3. Der hyperelliptische Fall.
Vorbemerkung: Es sei jetzt s = 4. Dann ist gC1 = 0, also ist
C hyperelliptisch. Ferner sind dann E := C∆ und E 0 := C̃1
elliptische Kurven, und daher ist
f4 : E 0 = C̃1 → E = C∆(nach Wahl geeigneter Nullpunkte) eine 3-Isogenie.
Sei C0 = C̃/(N T ∩ K) die Normalisierung von C ×C1 C̃1, undsei
f0 : C0 → C̃1 = E 0
die zugehörige Überlagerung (s. Diagramm). Der Diskriminantendivisor D := Disc(f0) = (f0)∗(Diff(f0)) ∈ Div(E 0) ist
reduziert vom Grad 4t. Bei geeigneter Wahl des Nullpunkteskann man D wie folgt zerlegen:
D = D1 + [−1]∗E 0 D1, D1 = D11 + D12 mit (f4)∗D11 = (f4)∗D12.
Wir erhalten also einen reduzierten Divisor D11 vom Grad t
auf E 0, der aber nicht ganz eindeutig bestimmt ist.
Umgekehrt: Sei E 0/K eine elliptische Kurve mit 3-Torsionpunkt
P3 ∈ E 0[3](k), und sei
f4 : E 0 → E
die zugehörige 3-Isogenie mit Kern hP3i.
Ferner sei ein reduzierter Divisor D11 vom Grad t auf E 0gegeben, zu dem es einen Divisor D12 gibt mit der Eigenschaft, daß (f4)∗D11 = (f4)∗D12. Außerdem sollen (f4)∗D11und D := D11 + D12 + [−1]∗E 0 (D11 + D12) reduziert sein.

5Sei f1 : C → P1 eine hyperelliptische Kurve mitDisc(f1) = π∗(D11 + D12),
wobei
π : E 0 → E 0/[−1]E 0 = P1,
die “Weierstraß Überlagerung” von E 0 ist. Ferner sei
f2 : E → E/[−1]E = P1
die Weierstraß Überlagerung von E. Dann ist
f = f2 ◦ f1 : C → P1 → P1
eine (2, 3)-Überlagerung vom Typ von Satz 1, deren GaloisHülle f˜ : C̃ → P1 eine S4-Überlagerung ist, die über f4 (usw.)
faktorisiert.
Wir erhalten also:
Satz 2. Es sei E3 → X1(3) die universelle elliptische Kurve mit
3-Torsionspunkt. Dann gibt es eine dominante rationale AbbildungΦt : E3 ×X1(3) . . . ×X1(3) E3 → H4,t,|{z}t Faktoren

die endliche Fasern hat.

64. Die trigonale Konstruktion.
Bezeichnungen: Es sei wieder f = f2 ◦ f1 : C → C1 → P1eine (2, 3)-Überlagerung wie in Satz 1 mit gC1 = 0. Wie vorher
sei f˜ : C̃ → P1 die zugehörige S4-Überlagerung und N T =Gal(C̃/C). Sei:τ ∈ N T eine der zwei Transpositionen in N T,
S ' S3 eine der zwei Stabilisatoren in S4 mit τ ∈ S.
Setzen wir T = C̃/(S ∩ N T ) und D = C̃/S, so haben wirzwei Überlagerungen
ϕ1 : T → C und ϕ2 : T → D,
die eine Korrespondenz zwischen C und D definieren; es gilt
offenbardeg(ϕ1) = 2 und deg(ϕ2) = 3.
Wir erhalten somit einen Homomorphismus
T∗ = Tϕ1,ϕ2 = ϕ2∗ ◦ ϕ∗1 : JC → JD
zwischen den zugehörigen Jacobischen Varietäten.
Satz 3. Ist gC = 3, so ist T∗ ist eine Isogenie vom Grad 8.
Bemerkungen: 1) Donagi/Livné (1999) weisen nach, daß es soeine Isogenie gibt, ohne aber eine zugehörige Korrespondenz
genau anzugeben. (Der Beweis benützt die Konstruction vonRecillas und ein Degenerationsargument.)2) Smith (2008) benützt in seinem Artikel (ohne Beweis) dieTatsache, daß die von Donagi/Livné konstruierte Isogenie durcheine (explizite) (2, 3)-Korrespondenz induziert wird.

73) Der Name “trigonale Konstruktion” kommt daher, daß manzu einer vorgegeben hyperelliptischen Kurve C/k vom Geschlecht
3 stets eine trigonale Unterlagerung f2 : P1 → P1 konstruieren
kann derart, daß f = f2 ◦ f1 eine (2, 3)-Überlagerung (wie inSatz 1) ist. Genauer gilt:
Satz 4. Es gibt eine dominante rationale AbbildungΨ4 : H4,4 → MH,3
vom Grad 2 von dem Modulraum H4,4 der hyperelliptischen(2, 3)-Überlagerungen (mit gC = 3) zu dem Modulraum MH,3
der hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht 3.
Bemerkung: In Smith (2008) (wie auch in Donagi/Livné (1999))
wird die trigonale Unterlagerung durch die Lösung gewisser
Tangentenbedingungen konstruiert. In [FK] (2012) geben wirein explizites lineares Gleichungsystem an, das aus 8 Gleichungen in 7 Variablen besteht, deren Lösung diesen Morphismus
bestimmt.

85. Allgemeine S4-Überlagerungen.
Vorbemerkung: Wie erwähnt, ist die von Donagi/Livné betrachtete Situation eine Entartung der originalen Konstuktion vonRecillas (1974). Der folgende Satz unfaßt beide Situationen(und viel mehr).
Bezeichnung: Ist f : X → Y eine Überlagerung von Kurven,so seiP (f ) := Ker(f∗)0 ⊂ JX
die 0-Zusammenhangskomponente des Kerns der Abbildungf∗ : JX → JY . (“Verallgemeinerte Prymsche Varietät”.)
Bemerkung: P (f ) ist eine abelsche Untervarietät von JX derDimension gX − gY . Ferner gibt es eine (eindeutig bestimmte)
Surjection πP (f ) : JX → P (f ) mit
iP (f ) ◦ πP (f ) = [deg(f )]JX − f ∗f∗.
Bezeichnungen: Es sei G ≤ Aut(X) eine endliche Gruppe undπ = πG : X → Y := X/G
der Quotientenmorphismus. Für eine Untergruppe H ≤ G sei
XH = X/H und fH : XH → Y die induzierte Überlagerung.
Es gilt alsoπHfH

π = fH ◦ πH : X → XH → Y.
Es seien H1, H2 ≤ G zwei Untergruppen, und sei H12 = H1 ∩H2. Dann haben wir zwei induzierte Abbildungenfi = fH12,Hi : XH12 → XHi ,i = 1, 2.

9Also ist (f1, f2) eine Korrespondenz, die einen Homomorphismus
TH1,H2 = (f2)∗ ◦ f1∗ : JH1 := JXH1 → JH2 := JXH2 .
der Jacobischen Varietäten induziert.
Bemerkung: Sind Hi ≤ Ki ≤ G vier Untergruppen, so definiertT̃H1,H2 := πP (fH ,K ) ◦ TH1,H2 ◦ iP (fH ,K )2322einen Homomorphismus
T̃H1,H2 : P (fH1,K1 ) → P (fH2,K2 )der verallgemeinerten Prymschen Varietäten.
Bezeichnung: Es sei G = S4 undN T = hτ, σ 2i, wobei τ = (12), σ = (1324),
P2 = hτ, σi, eine 2-Sylowuntergruppe von S4,
S = hτ, ρi, der Stabilisator der Ziffer 4 (ρ = (123)).
Satz 5. Es sei π : X → Y eine S4-Überlagerung, und sei f1 =fN T,P2 und f2 = fS,G. Dann sindT̃N T,S : P (f1) → P (f2) und T̃S,N T : P (f2) → P (f1)zwei Isogenien mit
T̃S,N T ◦ T̃N T,S = [16]P (f1) und T̃N T,S ◦ T̃S,N T = [16]P (f2).
Bemerkung: Im Fall, daß Y ' XP2 ' P1 ist, so gilt offenbar
P (f1) = JN T und P (f2) = JS . Hier gilt sogar, daßTS,N T ◦ TN T,S = [2]JN T

und TN T,S ◦ TS,N T = [2]JS .