第343回ガスクロマトグラフィー研究会講演会（2016.6.10 北とぴあ）[講演資料一部修正版]

定量計算の基礎
分析値の信頼性を確保する不確かさ算出～ガスクロマトグラフィー通則の解説について～

国立研究開発法人産業技術総合研究所
渡邉卓朗

はじめに
• 分析値の信頼性を確保するには、信頼性の高い標準物質を利用して検量線を作成し、それを用いて定量する必要がある。
• 同時に作成した検量線の質を評価して、定量結果に反映（不確かさを付与）する事も必要である。
• どのように定量計算を行い、不確かさを評価すればよ
いか、本講演では、JIS K 0114 ガスクロマトグラ
フィー通則 解説 5.で述べられている方法について、紹介する。
※ 本講演資料は、JIS K 0114:2012 ガスクロマトグラフィー通則 解説5.の記載を引用して作成している。
当該解説では検量線作成時の測定の不確かさ評価が抜けています。
これに関連して講演資料を補足・修正しましたので、該当箇所を赤色で示します
2検出器の応答

検出器の応答

標準液の濃度標準液の濃度○ 検量線の質を評価すれば・・・
不確かさ小

不確かさ大3測定値の不確かさが算出まで• 標準液の調製、その濃度値及びその不確かさの算出• 検量線の作成及びその検量線の質の評価• 未知試料の測定、測定値及びその不確かさの算出

4標準液の調製、その濃度値及びその不確かさの算出• 検量線を作成するために用いられる標準液は、不確かさが付与されているものを使用することが望ましい。
• しかし、そのような標準液が入手できない場合には、使用者が標準液を調製しその濃度値及びその不確かさを算出すればよい。

5

標準液調製時に使用する溶質（原料）の純度及びその不確かさの算出• 標準液調製時に使用する原料の純度に関する情報について，使用者に与えられているものの種類は，大きく分けて次の三つである。
– 純度及びその不確かさの表記があるもの（例：NMIJ
CRMなどの認証標準物質）– “純度：xx.x %以上”などといった表記のあるもの（例：製造業者保証値記載の試薬）– 純度及び不純物に関する情報がないもの

6純度及びその不確かさの表記があるもの• 認証標準物質のように純度値及びその不確かさが表記されているものについては、その値を使用する。
• ただし、付与されている値の単位が異なっている場合があるので、注意する。
• 単位が異なっている場合には、使用者が自身の責任において単位変換を行う必要がある。

7

“純度：xx.x%以上”などといった表記のあるもの• 市販の試薬のように，製造業者が保証する純度値などの表記があるものについては、その表記から得られる情報を用いて、原料の純度及びその不確かさを推定する。
• 純度値を推定する際には、表記されている純度値を、その原料の純度の中心値、すなわち純度値として使用する。
– “純度98.0 %以上”と表記されていた場合、純度値は98.0 %• 純度の情報から見積られる不確かさ及び不純物の情報から見積られる不確かさをそれぞれ推定し、これらの不確かさを合成することによって原料の純度の不確かさを見積る。
8

純度の情報から見積られる不確かさ• 表記されている純度xを原料の純度の中心値とし、最大値を1（100 %）とする。
• 原料の純度の中心値と最小値の範囲は、最大値と中心値までの範囲と同じであるとすると、原料の純度の最大値： 1 (100%)
原料の純度の中心値： x
原料の純度の最小値： x−(1 − x) = 2x − 1• この中での分布がく（矩）形分布であるとみなして、純度の情報から見積られる不確かさu(xp)を見積る。
u ( x p )＝1－(2 x－1)
2 3＝

2－2 x
2 3＝1－x39

不純物の情報から見積られる不確かさ• 表記されている純度x及びその純度の評価方法を確認する。
• 合わせて表記されている不純物iの濃度xiとその評価方法を確認する。
• 原料の純度の評価方法を用いて不純物iの評価を行うことができない場合には、原料の純度の評価において不純物iの評価が行われていないものとみなし、不純物iが含まれていることによる不確かさuiを見積る。
• 原料に表記されている不純物iを不純物iの濃度の中心値とし、最小値を0とする。
• 不純物iの濃度の中心値と最大値との範囲は、最小値と中心値までの範囲と同じであるとする。
10

• 不純物iの濃度の範囲は、不純物iの濃度の最大値： 2xi
不純物iの濃度の中心値： xi
不純物iの濃度の最小値： 0• この中での分布がく（矩）形分布であるとみなして、不純物iの濃度の標準不確かさu(xi)を見積る。
u ( xi )＝2 xi＝

2 3xi3• 全ての不純物iの濃度の不確かさを見積り、それらを合成することによって、不純物の情報から見積られる不確かさu(xip)を見積る。
u ( xip )＝∑u 2 ( xi )11

原料の純度の不確かさの算出• 純度の情報から見積られる不確かさと不純物の情報から見積られる不確かさを合成することによって、原料の純度の不確かさu(x)を見積る。
u ( x)＝ u 2 ( x p )＋u 2 ( xip )• なお、この純度の不確かさの算出方法には、不確かさをより小さく見積ってしまうリスクがある。
• 原料の純度の不確かさu(x)が1%未満であった場合、特別な理由がない限り、不確かさの値を1%に切り上げたほうがよい。
12

試薬純度の不確かさの見積もり例(1)• 試薬に表記されている純度が99.0%であり、不純物の情報が記載されていない場合– 純度の情報から見積られる不確かさu(xp)は、
u ( x p )＝1－x3＝

1－0.9903＝0.58 × 10－2

– 不純物の情報が表記されていない試薬であるので、不純物の情報から見積られる不確かさu(xip)を0とする。
– この試薬の純度の標準不確かさu(x)は、見積られたそれぞれの不確かさを合成することによって求めることができる。
u ( x)＝ u 2 ( x p )＋u 2 ( x ip )＝ (0.58 × 10－2 ) 2 ＋0 2 ＝0.58 × 10－2 ＝0.58 %– 得られた値は1%未満であるため、1%に切り上げる。
∴ u(x)＝0.01＝1 %13試薬純度の不確かさの見積もり例(2)• 以下の表に示すような純度及び不純物情報をもつ試
薬Aの場合
成分濃度

純度 (GC-FID)>97.0%水<1.0%

酸 (HClとして)<0.05%

不純物B (GC-FID)<2.0%– 不純物Bの濃度の評価方法は、物質Aの純度の評価方法と同じであるので、物質Aの純度の評価及び不純物Bの濃度の評価は同時に行われているものとみなすことができる。
– 水及び酸の濃度はGC-FIDを用いて評価することができないので、これらの不純物に由来する不確かさを見積る必要がある。
14• 純度の情報から見積られる不確かさは、
u ( x p )＝1－x
3＝1－0.970
3＝1.73 × 10－ 2• 不純物の情報から見積られる不確かさは、
x0.010u ( x water )＝ water ＝＝5.77 × 10－ 3
33x0.005
u ( xacid )＝ acid ＝＝2.89 × 10－ 333• この試薬の純度の標準不確かさu(x)は、見積られたそれぞれの不確かさを合成することによって求めることができるので、
u ( x)＝ u 2 ( x p )＋u 2 ( xip )＝ (1.73 × 10－2 ) 2＋(6.45 × 10－3 ) 2＝ 3.41 × 10－4＝1.85 × 10－2＝1.85 %15純度又は不純物に関する情報が無い試薬を使用する場合• 純度が確保された標準物質が入手できない場合、不確かさの見積りは、以下の表に示す評価方法を複数組み合わせるか、又は一つの方法を選択して行う。
差数法
面積百分率法
修正面積百分率法
示差走査型熱量計（DSC）等による凝固点降下法
定量NMRによる方法• 純度を評価した際には、採用した評価方法の選択理由又は基準を示す。
• 不確かさをより小さく見積ってしまうリスクがあるので、適切な不確かさを含むように留意する。
16

標準液調製のために使用する溶媒について• 標準液調製のために使用する溶媒は、分析種を不純物として含まないものを使用する。
• 分析種が不純物として含まれている溶媒を用いる場合、その不純物の濃度を推定し、その推定濃度に1 000を乗じた濃度値以上の標準液調製だけに使用する。
例：濃度1 μg/Lのベンゼン標準液を調製する場合には、用いる溶媒に含まれるベンゼンの濃度は1 ng/L未満でなければならない。

17

検量線の作成及びその検量線の質の評価• 水素炎イオン化検出器（FID）や熱伝導度検出器（TCD）は，測定対象化合物の物質量に比例した応答、すなわち、検量線は直線である。
• n番目の標準物質の濃度をxn、n番目の標準物質に対する分析機器の応答値をynとすると、作成された検量線の式は、
y=a+bx（式1）

ここで、 a:作成した検量線のy切片
b:作成した検量線の傾き18濃度と応答値との真の関係式の推定• 濃度と応答値との真の関係式を推定するために、最小二乗法を使用する。
• 標準物質の濃度及び分析機器の応答値はそれぞれ不確かさをもっているが、この場合の完全な最小二乗法の取扱いは、非常に複雑な表現が必要となる。
• それゆえ、特別な理由がない限りは、不確かさが含まれない条件、すなわち一般的によく知られている最小二乗法を用いて，検量線の式を推定する。
– 定量値の不確かさを推定した後に、標準物質の濃度の不確かさと標準物質を測定したときの不確かさ（検量線作成時の分析機器応答値の不確かさ）を合成する。

19

濃度と応答値との真の関係式の推定• 最小二乗法を用いて切片a及び傾きbを求めると、
nnnn∑ ∑ y －∑ x ∑ x yx n2

a＝ i＝1nni＝1i＝1∑nb＝i＝12

n x －
x n i＝1
 i＝1 nnnn∑

2nnni＝1ni＝1i＝12

n x －
x n i＝1
 i＝1 n∑n2n（式2）n∑ x y －∑ x ∑ ynn∑n（式3）

20

切片及び傾きそれぞれの標準誤差の推定• a及びbそれぞれの標準誤差をsn(a)、及びsn(b)とすると、
2nn

 n
 

yn   n2
n x n y n－ xnnn


i＝1i＝1 i＝1  x 22


nyy－－

nn
n2
nn


＝i
1
 i＝1

 i＝1 n xn2－
xn 




i＝1
 i＝1 s n (a)＝2n
 n



2



n(n－2) n xn －
xn  
 i＝1
 i＝1  


∑∑∑

∑ ∑∑

∑∑∑

∑nn
 n

nxy－xy2n nnnnni＝1i＝1i＝1ny n2－
y n  － 2nn
i＝1
 i＝1 n x n2－
x n i＝1
 i＝1 s n (b)＝2n n2(n－2) n x n －x n  
 i＝1
 i＝1  


∑∑

∑

（式4）

∑∑ ∑∑

∑

2（式5）

∑21

切片及び傾きそれぞれの標準不確かさの推定• 切片a及び傾きbそれぞれの標準誤差に由来する標準不確かさu(a)及びu(b)は，それぞれく（矩）形分布を仮定し、標準誤差を√3で除することによって推定することができる。
s (a)u (a)＝ n3

（式6）

s (b)
u (b)＝ n
3

（式7）

22

未知試料の測定，測定値及びその不確かさの算出• 未知試料に対する分析機器の応答y'が得られたとき、検量線を用いて未知試料の濃度x'を推定すると、
y′ − ax′ =b（式8）23未知試料の濃度の不確かさの推定• このときのx'の標準不確かさu(x')を見積るためには、
22 ∂x'  2
 ∂x'  ∂x'  ⋅ u ( y ' )＋  ⋅ u 2 (a)＋  ⋅ u 2 (b)u ( x' )＝  ∂a  ∂b  ∂y ' 2（式9）2 1 y '－a 
1＝   ⋅ u 2 ( y ' )＋－  ⋅ u 2 (a )＋－ 2  ⋅ u 2 (b)b b b• また、x'の相対標準不確かさurel(x')を見積るためには、u rel ( x ′)＝u ( x ′)x（式10）※ これで、終わりではない！
24

• 一般的によく知られている最小二乗法では、検量線の作成のために使用された標準物質の濃度の不確かさと標準物質を測定したときの不確かさ（検量線作成時の分析機器応答値の不確かさ）を、ゼロと仮定。
• そのため、この検量線を用いて得られた定量値の不確かさには、標準物質の濃度の不確かさと標準物質を測定したときの不確かさが含まれていない。
• 簡易的に標準物質の濃度の不確かさを推定する場合には、– 検量線の作成に使用された標準物質全てについて、濃度値Cn及びその標準不確かさu(Cn)を用いて濃度値の相対標準不確かさurel(Cn)を求める。
– 得られた各urel(Cn)の中で最も大きな値を、検量線の作成のために使用された標準物質の濃度の相対標準不確かさurel(C)であるとみなす。
– 検量線の作成では標準物質毎に繰り返し測定を行って分析機器の応答値を得ているので、それぞれについて応答値の平均値yn及びその標準不確かさu(yn)を用いて応答値の相対標準不確かさurel(yn)を求める。
– 得られた各urel(yn)の中で最も大きな値を、標準物質を測定したときの相対標準不確かさurel(y)であるとみなす。
25

• 検量線を用いて未知試料の濃度x‘を推定した際の濃度値の相対標準不確かさurelは、式10で求めたx’の相対標準不確かさurel(x‘)と検量線の作成のために使用された標準物質の濃度の相対標準不確かさurel(C)及び標準物質を測定したときの相対標準不確かさ（検量線作成時の分析機器応答値の相対標準不確かさ）
urel(y)を合成したものであるので、urel = urel ( x′) + urel (C ) + urel ( y )222（式11）

したがって、u＝x'・urel （式12）26標準液の調製における濃度及び不確かさの計算例• マイクロシリンジ、全量フラスコ及び電子天びん（秤）を用いた調製法について例を示す。
［使用機器］– 電子天びん：最小表示が0.1 mg、繰返しの標準偏差が0.3mg、直線性が±0.3 mg– マイクロシリンジ：最大1 mL、質量が30 g前後のもの– 全量フラスコ：規定体積1 000 mL、許容誤差±0.4 mL– 分析種：1-オクタノール （純度98.0 %、標準不確かさ：1.15 %）– 溶媒：ヘキサン （溶媒中に含まれる分析種の濃度は、1μg/L未満のもの）
27

調製操作の流れ
マイクロシリンジで分析種を取る
マイクロシリンジの針先をセプタム等で封じる
電子天びんを用いてマイクロシリンジをひょう量
分析種をメスフラスコに入れ，蓋をする
マイクロシリンジの針先をセプタム等で封じる
電子天びんを用いてマイクロシリンジをひょう量分析種をメスフラスコに溶媒を入れ，規定体積までメスアップする28• この調製操作で得られる標準液の濃度Cは、
mb－ma
mC＝x ⋅ ＝x ⋅VV

（式13）

ここで、
C：調製された標準液の濃度（g/L）
x：分析種の純度（kg/kg）
V：溶媒の体積（L），すなわち全量フラスコの規定体積
m：分析種の質量（g）で、全量フラスコに分析種を入れる前にひょう量されたマイクロシリンジの質量maと入れた後にひょう量されたマイクロシリンジの質量mbの差

29

• マイクロシリンジを用いて分析種である1-オクタノールをとり、そのマイクロシリンジを電子天びんで10回ひょう量。
ゼロ点（g）

溶質を取った後のマイクロシリンジの天びん指示値（g）

溶質を取った後のマイクロシリンジの質量（g）123456789100.000 00.000 0－0.000 10.000 00.000 00.000 00.000 10.000 1－0.000 1－0.000 130.156 830.157 430.157 230.156 930.155 830.157 730.156 630.156 530.158 130.157 330.156 830.157 430.157 330.156 930.155 8
30.157 730.156 530.156 430.158 230.157 4

平均値
標準偏差

－0.000 01
0.000 0730.157 04
0.000 70• 得られた結果から、分析種を取った後のマイクロシリン
ジの質量mbは30.157 0 gである。
30• このひょう量における不確かさ要因は、
項目

値

天びんの繰返し性
0.3 mg
天びんの直線性±0.3 mg
天びん変動実測（ゼロ点）
天びん変動実測（マイクロシリンジ）タイプ

標準不確かさBBAA

0.17 mg
0.17 mg0.02 mg
0.22 mg• 以上の不確かさ要因を合成したものが、mbの標準不確かさであるu(mb)であるので、u (mb )＝ (0.17) 2＋(0.17) 2＋(0.02) 2＋(0.22) 2 ＝0.33 mg• 全量フラスコ内に分析種を入れた後のマイクロシリン
ジの質量についても同様にひょう量し，質量ma及びその標準不確かさu(ma)を求めると、
ma＝30.057 5 g
u(ma)＝0.32 mg
31• 全量フラスコ内に入れられた分析種の質量mは、mbとmaとの差であるので、
m＝mb−ma＝30.157 0−30.057 5＝0.099 5 g• 質量mの合成標準不確かさは、不確かさの伝播則に従って計算するので、 ∂m  ∂m u (m)＝  b  ⋅ u 2 (m b )＋ a  ⋅ u 2 (m a )＝ u 2 (mb )＋u 2 (m a ) ∂m  ∂m 
22＝ (0.33) 2 ＋(0.32) 2 ＝0.46 mg = 0.000 46 g

• 式13を用いて調製した標準液の濃度Cを求めると、
m0.099 5C＝x ⋅ ＝ 0.980 ×＝ 0.097 54 g/L = 97.54 mg/L
V
1.00032• 全量フラスコの許容誤差は、タイプBの不確かさ要因• く（矩）形分布を仮定し、その値を√3で除した値が、その不確かさ要因の標準不確かさとなるので、
u (V ) =0.4
3= 0.23mL = 0.000 23 L

• 濃度Cの合成標準不確かさu(C)は、不確かさの伝播則に従って計算するので、
 ∂x  ∂m 
 ∂V 222u (C )＝ ⋅u(x)＋⋅u(m)＋
 ⋅ u (V ) ∂C  ∂C  ∂C 222mx
 x⋅m ＝   ⋅ u 2 ( x)＋  ⋅ u 2 (m)＋－ 2  ⋅ u 2 (V )
V 
V 
 V 
222＝ (0.099 5) 2 ⋅ (0.011 5) 2＋(0.980) 2 ⋅ (0.000 46) 2＋(－0.097 5) 2 ⋅ (0.000 23) 2＝0.001 23 g/L = 1.23 mg/L
33

標準液の濃度及びその不確かさ
標準液 1

標準液 2標準液 3

標準液 4

標準液 5

濃度値 Cn（mg/L）

97.54

202.57300.34397.86489.92

濃度値の標準不確かさ u（Cn）（mg/L）

1.23

1.37

1.49

1.57

1.94

濃度値の相対標準不確かさ urel（Cn）

1.26 %

0.68 %

0.50 %

0.39 %

0.40 %• 上に示すような標準液を調製し、検量線作成のために使用。
• 調製した標準液のうち、濃度値の相対標準不確かさが最も大きいのは標準液1の1.26 %である。
• よって、検量線の作成のために使用された標準物質の濃度の相対標準不確かさurel(C)は、1.26 %である。
34

標準液の測定結果

平均値
標準偏差
標準不確かさ相対標準不確かさ

標準液１ 標準液２ 標準液３ 標準液４ 標準液５99 231 202 578 303 633 395 963 492 477
97 593 200 711 302 568 397 198 494 499
98 998 204 055 304 219 398 396 495 222
96 296 203 194 301 111 394 122 491 024
98 030 202 635 302 883 396 420 493 306
1 363
1 418
1 365
1 826
1 914
682709682913
957
0.70%
0.35%
0.23%
0.23%
0.19%

• 上記の結果を用いて式1の切片a及び傾きbを、最小二乗法を用いて推定する。
• 各標準液を繰り返し測定した結果、標準物質を測定したときの相対標準不確かさ（検量線作成時の分析機器応答値の相対標準不確かさ）が最も大きいのは標準液1の0.70 %である。
• よって、標準物質を測定したときの相対標準不確かさurel(y)は、0.70 %である。
35

• 式2及び式3を用いて切片a及び傾きbを推定すると
nnnn∑ x ∑ y －∑ x ∑ x y
2na＝ i＝1nni＝1i＝1ni＝12 n
n∑ x － ∑ xn i＝1
 i＝1 nn

＝ − 2.59 × 10 22nnnn

b＝ i＝1i＝1i＝1n∑ xn y n－∑ xn ∑ y nn
2 n∑ xn － ∑ xn i＝1
 i＝1 n2＝1.00 × 10 336

• 切片a及び傾きbのそれぞれの標準誤差sn(a)、sn(b)は、式4及び式5を用いて推定することができるので、
2nn

 n
 
 n
2n∑ xn y n－∑ xn ∑ y n   nn

i＝1i＝1
 i＝1
  x22n∑ y n － ∑ y n  －∑ n2nn i＝1 
 i＝1
 i＝12 nx－x

∑
∑nn

i＝1
 i＝1 s n (a )＝= 2.24 ×10 32
 n 2  n
 n(n－2) n∑ xn － ∑ xn   i＝1   i＝12nn
 n

nx
y－x
y2
∑∑
∑
nnnn
nn
  i＝1i＝1i＝12 n∑ y n － ∑ y n  －2nni＝1
 i＝1 
2 n∑ xn － ∑ xn i＝1
 i＝1 s n (b)＝= 6.822
 n 2  n(n－2) n∑ xn － ∑ xn   i＝1   i＝137

• 検量線の切片a及び傾きbの標準誤差に由来する不確かさは、式6及び式7を用いて推定すると

u (a)＝2.24 ×10 3＝＝1.29 ×103
33

S n (a)S (b) 6.82
u (b)＝ n ＝
＝3.94
3338

濃度未知試料の測定• 検量線作成時と同条件にて濃度未知試料中の分析種である1-オクタノールの測定を行い、未知試料
182 495
181 967
183 381
179 644
平均値
標準偏差

181 872
1 596• 未知試料中の分析種に対する分析機器の応答y'は181 872、応答y'の標準不確かさu(y')は応答y'の標準偏差を測定回数の平方根で除した値なので、
u ( y′)＝1 596

4 ＝79839

濃度未知試料中分析種の濃度の推定• 作成された検量線の式8を用いて未知試料中の分析種の濃度x'を推定すると、()

y ′－a 181 872－ − 2.59 ×10 2x′＝＝＝1823b1.00 ×1040

推定した濃度値の不確かさ計算• 作成された検量線を用いて未知試料中の分析種の濃度x'を推定した際の濃度値の標準不確かさuは、式9、式10、式11及び式12から、
2

 ∂x′  ∂x′  ∂x′ 22 ⋅ u 2 ( y ′)＋u ( x′)＝  ⋅ u (a )＋ ⋅ u (b) ∂a  ∂b  ∂y ′ 22

1
 1
 ｙ ′ －a ＝   ⋅ u 2 ( y ′)＋－  ⋅ u 2 (a )＋－ 2  ⋅ u 2 (b)b b b
2222

 181 872－2.59 × 10 2 
11
23 2 ⋅ 3.94 2＝ ⋅ 798 ＋－⋅ (1.29 × 10 ) ＋－3 3 
3 2(1.00 × 10 )
 1.00 × 10 
 1.00 × 10 2

2＝1.68u rel ( x′)＝u ( x′) 1.68＝＝0.009 23＝0.92x182

222urel = u rel ( x′) + urel (C ) + urel ( y ) =(0.92% )2 + (1.26% )2 + (0.70% )2 = 1.71%

u＝x'･urel＝182×1.71 %＝3.11 mg/L41• 約95 %の信頼の水準をもつと推定される区間を求める場合には、得られた合成標準不確かさ及び包含係数k＝2から決定される拡張不確かさUを導けばよい
ので、
U = k･u(x') = 2･3.11 = 6.22 mg/L

• 濃度値の桁に合わせて拡張不確かさの端数を切り上げると、
U = 7 mg/L

• 以上から、未知試料中の分析種（1-オクタノール）の濃度値及びその拡張不確かさは、(182 ± 7) mg/L
注：説明のために途中のいくつかの時点で数値を丸めているので、表計算ソフトウェア等を用いて計算した結果とは異なる。
42

終わりに
• 分析値の不確かさを表現するにはどのように計算すればよいか、検量線の質を評価してどのように不確かさを付与すればよいか、JIS K 0114 ガスクロマトグラ
フィー通則 解説 5.で述べられている方法について、紹介した。

43