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図学と折り紙（２）Graphic Science and Origami (2)三谷 純

Jun MITANI［前川定理］「山折り」と「谷折り」の数の差は±２１．はじめに折り紙で形を作るとき，その折り操作にはカドとカド［川崎定理］１つおきの内角の和は１８０度をあわせるなどして，パタンと平らに折りたたむ操作が

図２は，平坦折りした紙を開いたときに現れる展開図大半を占めます．立体的な形に仕上がる作品もありますの例で，この２つの定理を満たしています．これ以外にが，その途中の工程では平坦な状態であることがほとんも，さまざまな方法で折り畳んだ紙を実際に開いてみどです．伝承折り紙として有名な兜やヤッコさん，セミて，２つの定理が常に満たされていることを確認してみは完成形まで平らなままで，鶴も最後に翼を広げるまでましょう．図１の小鳥の展開図も，すべての頂点においの各工程は平らに折りたたみます．このように，紙を平て，この定理の示す条件が満たされています．

らに折る操作は折り紙の基本的な操作で，これを「平坦折り」と呼びます．

ところで，これらの定理が示すものは必要条件であって，十分条件ではありません．つまり平坦に折ることが連載第２回目の今回は，このように紙を平らに折る「平坦折り」にまつわる話を紹介します．

できる展開図は必ずこの２つの条件を満たしますが，この条件を満たすからと言って，必ずしも平坦に折ることができるわけではありません．

２．平坦折り「局所的な」平坦折りに関する必要十分条件について

平坦折りでできる折り線は必ず直線になります．そのため，平坦折りした紙の展開図はまっすぐな線分の集合は，ここでは詳しく述べませんが，文献［３］の p２２７にわかりやすくまとめられています．となります．図１は，平坦折りで作られる「小鳥」の完

ここで「局所的」という言葉を使ったのは，ある１点成形とその展開図です．展開図は線分の集合で表されるだけに注目して，その点の近傍で折り畳めるかどうかをことが確認できます．

議論しているからです．部分的には折ることができても，大局的には（折り紙全体では）紙の衝突が起こって実際には折り畳めない，という展開図も存在します．このような「局所的には折れるけど大局的には折れない」という状況を理解するには，図３

の単純な展開図を考えるといいでしょう．２つの谷折り線を折ると，紙がぶ平らに折りたたまれた状態は，折り紙の一般的な状態

は紙がぶつからないので平らに折りたためます．図３の展開図なので，古くから多くの方が研究の対象としてきましは少し複雑に見えますが，あらゆる点で上記の条件を満た．その成果として，折り線が交差する点に着目する

たし，なおかつ大局的に折りたためることが確認されてと，次の２つの性質が必ず満たされることが前川定理・います．是非実際に折り畳めることを（図を拡大コピー

図１ 小鳥を折った後の形（左）とその展開図（右）［１］，［２］川崎定理として知られています

つかって平らに折り畳めません．一方で図３して）確認してみてください．あたえられた展開図が大．

局的に折りたたまれるか否かの判定は NP 困難な問題で
M

M60°

V30°
45°

60°
MV75°

90°

M4(M)-2(V)=230°+90°+60°=180°
45°+75°+60°=180°

図２ 前川定理（左）と川崎定理（右）の説明



図３ 大局的には折れない展開図 ， 大局的に折れる展
開図

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あることが知られているため［４］，「与えられた展開図を図中のアルファベットに（ ）を付けています）．続い折る」というのはちょっとしたパズルとして楽しめまて，２の線で多角形 c を折り返します．b が既に反転済

す．

みなので c はそのままにします（反転の反転はそのまま）．さらに続いて，３の線で多角形 d を折り返しま

３．平坦折りと鏡映変換

す．以上で，a を固定した状態で折りたたんだ後の b，ある図形を鏡に映した形に変換する「鏡映変換」と折c，d の位置が確定しました．折り線４は使っていませんが，折りたたんだ状態で，a と d が折り線４をちょうり紙の折り操作は密接な関係を持っています．
ここで，平坦折りにおける折りの操作を考えてみまど共有する配置になります．

す．平坦折りの場合，折り線は必ず直線で，折る操作は１８０度の角度で折ることになります（折り線を軸にして2１８０度回転させる，つまり「折り返す」ということ）．折り紙を置いた面を上から見下ろすと，紙の一部を折り線

b’ 1d’c3によって鏡映変換したことになります．
図４

のように，折り紙のカドを破線で手前に折り返してみると，折り返す前のカドの形 A と，折り返した

図６ 折った後の形の決定

このように基準となる多角形を固定し，それに折り線

はもう一度を介して接続する多角形を順番に折りたたんでいくこと折った様子です．折った後では紙の重なり順が上下逆にで最終的に折った後の形を求めることができます．折りなりますが，２次元平面での形だけに注目すると，折るたたむ順番は任意です．上の例では，a を固定して，b,前の形 B と折った後の形 B’は，やはり鏡映の関係にな

c,d の順番に折りたたみましたが，これを d，c，b の順ります．

番にたたんでも同じ結果になります（繰り返しになりま

後の形 A’は鏡映の関係にあります．図４

すが，紙の重なり方，つまり多角形の重なり順は，これAだけでは決定できません）
．

A’
B’



B

を見てみましょう．これは鶴の展開図です．折り紙に詳しい人

は，これを見てすぐに「鶴の展開図だ」とわかります

図４ 折り操作と鏡映変換

図４

それでは，もう少し具体的な例として，図７

を開くと，図５のような展開図が得られます（ここでは山谷の区別をしないものとします）．
さて，この展開図から，折った後の「形」を一意に決が，皆さんはどうでしょうか．右上が頭，左上と右下が翼，左下が尾に対応します．この展開図には，折り線で囲まれた多角形が全部で５２個あります．このうちの１つを固定して，隣接する多角形を順番に折りたたみながらのような鶴の形が現れます．多定することはできるでしょうか．答えは「できる」です．

たどっていくと，図７

輪郭線と折り線で囲まれた多角形に鏡映変換を施すこと角形を辿る順番は自由で，どのように辿っても同じ結果で，折った後の形を再現できます（ただし「紙の重なりになります．もし，異なる辿り方で異なる結果になって方」はここでは議論しません）．説明しやすいように，しまったら，それは展開図に誤りがあった（そもそも平図５らに折りたためない展開図であった）ということです．

のように各領域に a~d，折り線に１〜４の番号をすでに述べた手順では，多角形を１つ辿るたびに鏡映振って説明してみます．
4d3a21cb

図５ 図４ の展開図



図７ 鶴の展開図と折った後の形

図６に示すように，まず多角形 a はそのままにして，変換するので，隣り合う２つの多角形を取り出してみる

b を１の線で折り返します（折り返したものに対してはと，必ず「一方が元の形のままで，他方が鏡像」になり

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ます．元の展開図に対して，折りたたんだ後で鏡像となる（裏と表が反転する）多角形に色を付けると図８ようになります．白とグレーの多角形が互い違いに並び，決して同じ色の多角形が並ぶことはない，ということを確認できます．
図９ ねじり折りは紙の重なり順にサイクルがある

以降で，現在 Web で公開中の ORIPA［５］に実装されている，紙の重なり方の決定方法を紹介します（これは，目黒俊幸氏が先行して開発したソフトウェアで採用されていた方式です）．ORIPA では，山と谷の区別のついている鶴の展開図に対しても１秒足らずで可能な紙の重なり方をすべて見つけ出すことができます．

図８ 折った後の向きによる色分け

４．
１ 重なり決定のアルゴリズム
基本的な考え方を最初に説明しましょう．まず，折り４．平坦折りと紙の重なりの推定

紙全体の問題を局所的な紙の重なり順決定の問題に分割

それでは展開図から折った後の紙の重なり方を決定す

し，局所的に矛盾のない重なり方を選び出します．そのることはできるのでしょうか．ここでの紙の重なりと後，全体で矛盾のない重なり方に統合することを行いまは，展開図に含まれる多角形領域が，折った後にどのよす．具体的には，次のような手順で行います．なお，以うに重なり合うか（各多角形領域の上下関係のこと）を降では折り線で囲まれた領域のことを face，face を分言います．

割して作られる多角形のことを subface，折り畳んだ後あらゆる重なり方をしらみつぶしに試せば，展開図の情報と矛盾が無いものを見つけ出すことができそうな気がします．では，このアプローチは有効でしょうか．前回紹介したねじり折り（図９）のように，紙の重なり順にサイクルを持つものもありますから，各領域に１つずつ重なり順を割り振るだけではうまくいきません．互いに重なり合う多角形領域のすべての組み合わせに対して，どちらが上でどちらが下になるのかを割り当てる必要があります．図９に示す鶴の展開図の場合，多角形領域の数は５２あるので，多角形領域のペアの数は５２×５１／２＝１３２６組あります．これらのうち，折った後で一部でも重なる関係にある多角形領域の組は６３８組あります．の 位 置 に 応 じ て subface を ま と め た グ ル ー プ をsubfaceGroup と表記することにします．

 展開図を折った後の face の位置と向き（表面が上を向いているか下を向いているか）を求める．

 face を 複 数 の subface に 分 割 し，そ れ ら をsubfaceGroup にまとめる．
（４．
２節）
subfaceGroup 単位で subface の妥当な重なり順を求める．
（４．
３節）

すべての subfaceGroup で矛盾しない重なり関係を探す．
（４．
４節）

は第２節で紹介したものと同じですので，以降では手順， ， の内容を説明します．
手順

したがって，ペア毎にどちらが上になるかで２通りの可能性があるので，全体では２６３８通り（約１０１９２通り）の可能性があることになります．とてもこれを全部調べるわけにはいきません．

４．
２ face の分割と subfaceGroup の作成
展開図を折りたたんだ後で，face をその上を横切る
他の face の輪郭線で複数の subface に分割します．続

実は，山谷の区別がつけられた展開図であっても，いて，同じ位置，同じ形の subface をグループ（subface-折った後の紙の重なり方を決定する問題は NP 困難であGroup）にまとめます．図１０の例では F１が４つに分割ることが示されています［４］．つまり，多角形の数の多項され，F２，F４は２つに分割されます．F３は分割されませ

式時間で，重なり方を見つけ出すアルゴリズムは存在しん．分割されてできた subface は４つの subfaceGroupないのです．

（図中の A〜D）にグループ化されます．このグループ

何か工夫しない限り現実的に解決できない問題であると言えます．

単位で妥当な重なり順を求め，その後に全体で矛盾のない重なりを求めることになります．

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13含まれる重なり順は誤りなので，これらのケースがまっ

F3

F4F2

C

たく含まれない重なり順だけを，その subfaceGroup にD

B
F1おける妥当な解として保持しておきます．

A４．
４ すべての subaceGroup で矛盾しない重なり方の

図１０ 多角形領域の分割とグループ化

構築
４．
３ subfaceGroup 内での妥当な重なり順

続いて，各 subfaceGroup で得られた重なり順が，全subfaceGroup 内で，subface を問題なく重ねられる体で矛盾しない組み合わせ を 求 め ま す．た と え ば，方法を全て調べあげます．図１０で示したように，sub-subfaceGroup では Fi が Fj よりも上に配置されていfaceGroup 内では，同じ形の subface が重なっているたるのに，subfaceGroup では Fi が Fj よりも下 に 配 置

め，その境界に着目し，重なり順として適切でないものされているような場合（図１３），必ずどこかで紙の交差を除外します．図１
１は１つの subfaceGroup の輪郭に着が起きてしまうはずなので，これは不適切なケースとし目した時の断面図の例で，取りうる subface の輪郭線て除外します．

（図１１中の黒丸）の種類は次の３通りに分類できます．

subfaceGroup(A)subfaceGroup(B)Eboundary：紙の輪郭と 一 致 す る 稜 線（図１０中 の 太 い 実

FiFj線）

FjFi

Efold_{upper, lower}：折り線と一致する稜線で，必ず２つ１組で存在する．面の向き（上を向いているか下を向いて

図１３ subfaceGroup 間で不整合なケースいるか）および折り線の山谷の違いによって上に配置さこうして最後まで残ったものが，実現可能な重なり方れるもの Efold_upper と下に配置されるもの Efold_lower を区です．１つの展開図にも，妥当な重なり方が複数存在し別できる．
（図１０中の細い実線）

ます．たとえば図１４は，この方法で兜の展開図から妥当

Econnect：face を分割することで生成された，折り線ではな紙の重なり方をすべて列挙した様子を表しています．

ない稜線．隣接する subfaceGroup と共有される．
（図右下に，通常の折り方で得られる兜の例がありますが，１０中の破線）

これを含めて９通りの方法が，同じ展開図から復元されsubfaceGroupうることを確認できます．
E boundary
E fold_upper
E fold_lower

subfaces

E connect

図１
１ subface の輪郭線のタイプ
E fold_lower AA

E fold_upper AEconnect

E fold_upper

E fold_lower AEfold_upperA
Efold_upperB
Efold_lower A
Efold_lower B

図１２ 適切でない重なり順

図１
４ 兜の展開図から得られる９通りの異なる紙の重なり方

５．おわりに連載第２回目の今回は，平坦折りの話を紹介しましsubfaceGroup 内で，順番に subface を重ねていった

た．展開図から折った後の紙の重なり方を再現する問題

場合に，適切でない重なり順として，図１２に示す３通りは NP 困難であることが知られていますが，アルゴリズのパターンがあります．

ムを工夫することで，鶴程度のものであれば，すぐに妥が発生するのは，折り線の種類から決定される上下関係に反する場合です．のケースでは互いに接鶴の展開図から得られる折り方として５通りのものを発続する Efold_lower と Efold_upper の間を他の面が横切って，見しました．通常の折り方と違う４通りはどのようなもと Efold_upper ののでしょう．是非，実際に手を動かして試してみてくだ

図１２の紙が交差してしまいます．

は E

fold_lower

ペアが複数存在し，それらが互い違いになっている場合で，やはり紙が交差してしまいます．これらのケースが14

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当な結果を見つけ出すことができます．ORIPA では，さい．

参考文献［１］ 前川淳作，笠原邦彦編著，『ビバ！おりがみ』，サンリオ，1983.
［２］ T. Kawasaki, On the relation between mountaincreases and valley-creases of a flat origami. InProc.1 st International Meeting Origami Scienceand Technology, pp. 229―237, 1989.
［３］ E. D. Demaine, D., J. O’Rourke，上原隆平（訳）幾何的な折りアルゴリズム，近代科学社，2009.
［４］ M. Berm, B. Hayes. The complexity of flat origami.
In Proc. 7 th ACM-SIAM Symposium Discrete
Algorithms, pp. 175―183, 1996.
［５］ J. Mitani, ORIPA, http : //mitani.cs.tsukuba.ac.jp/oripa/●２０１
２年８月８日受付
みたにじゅん筑波大学大学院システム情報系准教授

２００
４年，東京大学大学院工学系研究科精密機械工学専攻博士課程修了．
博士（工学）．２
０１
１年より現職．CG，形状モデリングに関する研究に従事．
mitani@cs.tsukuba.ac.jp

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