ぶんせき

2024年 第 1 号（通巻第589号）

令和 6 年 1 月 5 日発行（毎月 1 回 5 日発行）

I SSN   0386–2178

1
Bunseki 2024

The Japan Society for Analytical Chemistry

日本分析化学会

https://www.jsac.jp

全てがアップグレードした
最新のFTIR
FT/IR-Xシリーズは、日本分光の最新技術を投入したFTIRです。
高感度化はもとより、安定性、操作性においても最高レベルを追求しました。

フーリエ変換赤外分光光度計/Fourier Transform Infrared Spectrometer

FT/IR-X seriesの特徴■ リアルタイムデータ処理やサムネイル表示などの機能に加え、ナビゲーション機能を新たに搭載■ ハイスループット光学系により、55000：1の高S/Nを実現（８X）■ クラストップの0.07 cm-1分解に対応（８X）■ 自動BS交換ユニットと自動窓交換ゲートバルブユニットを組み合せマルチレンジ測定に対応（6X／８X）■ 環境へ配慮しダウンサイジングを追求 面積比40％、消費電力30％の従来機比減を達成（4X）

日本分光の最新情報はこちらからhttps://www.jasco.co.jp

日本分光HP高性能GPC

FT-IR

PyroGC/MS

MALDI-MS

LC-CollectIR

インターフェース

LC-CollectIRは、高い効率にGPCで分離された成分から移動相溶媒を蒸発させ溶質成分のみをFTIR用の「Geディスク」、PyroGC/MS用の「熱分解試料カップ」またはMALDI-MS用「ステンレスディスク」に捕集するシステムです。
GPCにより分離された混合物の各成分についてオフラインでの測定が可能になります。FT-IR分光測定やMALDI-MS
により簡単で迅速な分子量分布における共重合体の組成変化解析や、PGC/MSによる構造解析の研究に最適です。
さらに簡易分取装置として使用できるため、従来の分取法と比べ、大幅な時間短縮とコストの削減が可能になります。

応用例●混合物の分離と各成分の簡単で迅速な構造解析●分子量分布における、共重合体の組成変化●微細構造解析および樹脂の混合系の判別●樹脂の末端や内部構造の推定●分子量が近似した物質の分子構造の区別●簡易分取装置としての利用

GPC-IR測定

GPC-PyroGC/MS測定

BPA型エポキシ樹脂のFTIRによる組成分析

ポリマーブレンドと添加剤の測定
本システムでは、GPCフラク
ション毎の赤外スペクトルを測定可能です。得られたスペクトルから官能基の比等をク
ロマトグラムにオーバーラッ
プさせた解析も可能です。

各ピークのFT-IRスペクトル

GPCからのフラクションを熱分解装置用試料カップにトラップする事で、GPCの溶出時間ゾーン毎にPyroGC/MS測定が可能となります。得られたスペクトルの解析により、使用されているポリマーの種類や割合が解ります。
また、数％程しか使用されていな
い添加剤の特定も可能です。

RIのクロマトグラムとフラクションゾーン

ピーク③

ピーク①
ピーク④

ピーク②
ピーク⑤

各分取フラクションの熱分解GC/MS結果

芳香環
エポキシ基

GPC-MALDI-MS測定
MALDI-MSイメージング測定

8.0min付近

サンプル :
ポリカプロラクトン

8.5min付近

9.5min付近
GPCからステンレスプレートに直接サンプリングした上からマトリックス溶液とカチオン化剤溶液を混合してスプレーし、MALDI-TOFMSによりマスイメージング測定を実施しました。

URL: http://www.stjapan.co.jp

マトリックス : THAP
カチオン化剤 : NaTFA

データは日本電子製JMS-S3000にて取得

本社／〒103-0014 東京都中央区日本橋蛎殻町1-14-10
TEL: 03-3666-2561 FAX: 03-3666-2658

大阪支店／〒573-0094 大阪府枚方市南中振1-16-27
TEL: 072-835-1881 FAX: 072-835-1880

A1

A2

A4

A3
A3

A4

A9

迅速凍結粉砕装置 IQ MILLMILL-2070

rpm

270
50/60 HzAC 100/120 V

50

340

3000

10

60 10

10

600 101

10 1

3000 rpm п 20秒

300 (mm),200/240 V

12 kg

п 2 cycles, 3回

450 VAwww.frontier-lab.com/jp info@frontier-lab.com

A10

100 µm

入門講座

データ解析：定量・定性からビッグデータの解析まで測定における統計解析の基礎
田

この度，2024 年の入門講座として「データ解析：定量・定性からビッグデータの解析まで」を企画いたしました．
近年の社会環境の変化に伴い，分析技術は高精度化・高感度が求められ，一方で分析対象物は高精密化・高機能化に伴い複雑化しております．このような分析対象物から有用な情報を得るためには，データ解析は重要であり，日々多くの分析化学者に活用されております．しかしながら，簡単に使用できる解析ソフトウェアにより，その原理まで深く理解せずともそれを使用できます．さらに得られたビッグデータを統計解析することまで可能となりました．
本入門講座では，「データ解析：定量・定性からビッグデータの解析まで」と題しまして 12 個のテーマを取り上げ，代表的な分析機器における定性・定量などのデータ解
析，統計解析，さらにビッグデータの統計解析事例についてご執筆いただきました．分析化学者が普段何気なく活用
しているデータ解析を改めて深く理解していただくことで，さらなる活用のきっかけとなれば幸いです．
〔「ぶんせき」編集委員会〕

2

中

秀

幸

標本と母集団測定における統計を考えるうえで一番基本となる考え方が標本と母集団である．測定における標本とは，実際に測定したデータのことである．また母集団とは，その測定を無限回行ったとしたときに考えることができる分布のことである．標本を数多く集めていくと母集団に関する情報が集まっていき，無限回測定を行ったとすると完全に母集団を知ることができる，ということである．
次にこれを逆転して考えてみよう．つまり，測定を行おうと考えた時には（我々には知ることができないが）何らかの母集団が決定している．そして，測定を行え
ば，その母集団からデータをランダムにサンプリングして得ることができる，と考えられるだろう．その「母集団からのサンプリング」という行為が統計的視点から見1は じ め にた測定の本質である．
次に，測定を何回か繰返していくつかのデータを得た

本解説では，測定データに適用する統計的手法につい後に，そのデータの平均値を求めて，それをその測定のて，もっとも基礎となる標本・母集団についての考え方

代表値とする，ということを考えてみよう．このとき測から，母平均の区間推定の考え方の基礎までを解説す

定者は何を知りたいのだろうか？取得したデータの平均

る．

値が知りたいのだろうか？それは違うだろう．本当に知特に，標本・母集団の考え方は統計的手法の根本となりたいのはその測定の真の平均値だろう．つまり，無限る考え方であり，この標本・母集団に関する統計的視点

回測定を繰返したときに得られる母集団の平均値（母平を測定データに適用することができるようになると初め均）を本当は知りたいのだが，しかし無限回の測定を行て測定データが意味のあるものとして見えてくるかと思うことはできない．よって有限回の測定の繰返しを行う．統計について苦手意識を持っている方に特に参考にい，そこで得られたデータの平均値（標本平均）を求めしていただきたい．

ることによって，それを母平均の代用として使用していただし紙面に限りがあるため，基本的な統計を理解するための必要最小限の内容のみピックアップして解説する，ということを行っている．つまり，標本平均によって母平均を推定している，ということである．

る．ある程度統計が詳しい読者の方からすると，重要なしかし，標本平均によって母平均を推定したとしても統計的知識を全く説明していない，と感じる解説かもしその推定がどの程度うまくできているのか，ということれない．ただ今回は分かりやすさをとにかく重要視し，はよく分からない．例えば，母集団のばらつきが大きい

大胆に教えるべき内容をカットしていることをまずもっ場合，そこから標本を取り出して標本平均を求めるといて断っておく．

う操作を何回も行ったとすると，その求められた標本平
均は様々な値をとってしまうだろう．逆に母集団のばら
つきが小さい場合には，求められた標本平均はだいたい同じくらいの値をとることが予想できるだろう．よって

The Fundamentals of Statistical Analysis in Measurement.

2

母平均の推定値だけをそのまま提示しただけであれば，
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1

その値がどのくらい信用できるのか，ということがよくさを知ることが必要である．それぞれのデータのばらつ

分からない．つまり推定した値がどの程度信頼できるのきの大きさは，標本平均からそれぞれのデータがどの程か，ということを求めることができれば，それは非常に度離れているか，ということに相当する．これを式で表

有用な情報提供となる．

すことを考える．まず，測定値を表す変数を x とする．

それでは，推定値がどの程度信頼できるのか，という

この x は測定を行うたびに母集団からサンプリングされことを表すためには何が必要かを考えてみよう．前述して得られる値であり，データを取得するたびに値が変わたように，いくつかのデータから標本平均を求める，とる．このような変数を「確率変数」と呼ぶ．このとき繰

いう操作を何回か繰返した場合，得られる何個かの標本返し測定を行い，データを n 個取得したとしよう．こ

平均間のばらつきは母集団のばらつきが反映されるだろの場合あるデータが持つばらつきの大きさ（残差＊1）はう．つまり母平均の推定値である標本平均がどの程度信以下の式で表すことができる．

用できるか，ということは元の測定の母集団のばらつき

x i−x–の大きさに依存するということである．しかし，測定のここに，x（i＝1, ..., n）は測定データ，x– は標本平均i

母集団のばらつきの大きさは母平均と同じく標本から推定せざるを得ない．通常統計ではばらつきは「標準偏

（1）

を表す．

差」もしくは標準偏差の二乗に相当する「分散」によっ

次に平均的なばらつきの大きさを得るためにこの残差て表される．「標準偏差」とは簡単にいうと「ばらつきの和を求めるが，このまま残差の和をとっても 0 となの平均値」である．そして標準偏差，分散にも母集団のるのは自明だろう．これは標本平均を中心にプラス方向

もの，標本のものがあり，それぞれ，「母標準偏差」「母にもマイナス方向にもデータがばらついているためであ

分散」「標本標準偏差」「標本分散」と呼ばれる．また，る．よって残差を正の値とするためにすべての残差を二母集団の性質を表す「母平均」「母分散」「母標準偏差」

乗しその和を求める．

等は「母数」と呼ばれ，また「標本平均」「標本分散」

n∑(x − x )「標本標準偏差」等は「統計量」と呼ばれる．

i =1

（2）

2

i

これを残差の二乗和と呼ぶ．次に残差の二乗平均を求まとめると，測定の目的は，・測定を代表する値として用いる標本平均

めるために残差の二乗和をデータの個数から 1 を引い・測定結果がどの程度信用できるかを求めるための母

た n−1 で割る．

集団のばらつきの推定値nの上記二つを求めることである．

2s (x)=

それでは「測定結果がどの程度信用できるか」という∑(x − x )
i =1

2

i

n −1

（3）

2
）のことを「標本分散」と呼ここで求められた s（xことを客観的に示す方法はどのようなものがあるだろう

ぶ．それではなぜ，この標本分散を求める際にデータのか？
例えば，よく行われている測定結果の提示例を思い出個数である n で割るのではなく n−1 で割るのだろう
か？

してみると，

これを考える上で重要なのは，ここで求めようとしているのは残差の二乗平均であるが，本当に意味のあ
測定結果る残差はいくつあるか，ということである．確かに残差

溶液中に含まれる Cd2＋イオンの濃度は n 個求まっているが，残差は式（1）で求められてい1.23 mg/L±0.13 mg/L

るため，先ほども触れたように残差の和は 0 になる．そうなると例えば，5 番目のデータ x 5 が分からなくなっのように，正しい値が含まれるであろう範囲として表すてしまったとしても，残差の全和が 0 となるので，ことが多い．よってここからは，測定を代表する値と測n(x 5 − x )= − ∑(x i − x )定データのばらつきを求め，そこから正しい値が含まれ

i =1
i ≠5

るであろう範囲を求める手法を解説する．

3

分散と標準偏差（4）が成立する．つまり，残差が一つ分からなくなっても，分かっている残差の和を求めてそれにマイナスを付けれここではばらつきの大きさを定量化することを考えば分からなくなった残差を求めることができる，というる．ばらつきは標準偏差や分散によって表されるが，そことである．これはつまり本当に意味のある残差はれぞれの算出について解説する．
標準偏差とはいわば，ばらつきの平均値である，と説明した．これについて考えよう．ばらつきの平均値，ということはまずそれぞれの測定データのばらつきの大き
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＊1

「残差」ではなく「偏差」という用語を使う場合も多いが，本項では「残差」を「測定値と標本平均との差」，「偏差」
を「測定値と母平均との差」の意味で用いる．

3

n−1 個であるということを示している．この自由度について本稿ではこの程度の解説にとどめておくが，詳細を知りたい場合は「分散の不偏推定量」について調べてず，次式によって求める．
s(x )=

s(x)
n

（6）

つまり，データの標準偏差を繰返し回数の平方根で割ほしい．
さてここで求められた標本分散は残差の二乗平均を表ることによって求められる．これは繰返し回数が多くなしており，これは標本のばらつきを表すパラメータとしればなるほど標本平均のばらつきが小さくなることを意て十分用いることができるものである．しかし標本分散味しているが，例えばサイコロを振って出た目の平均値

は残差を二乗していることから，単位が元の測定データの標準偏差を求めることを考えると，3 回振ったときのの単位の二乗となっており，測定データとは異なる次元平均値より 10 回振ったときの平均値のほうがばらつきで表されている．そうすると例えば，標本平均の大きさ

は小さくなるだろう．なぜなら，もしサイコロを 1 回とばらつきの大きさを比較したい，というような場合，だけしか振らない場合は，1・6 という端の値が 1/6 の分散は異なる次元を持っているので比較ができないとい

確率で出るが，3 回の平均値であれば 3 回連続 1・6，

う問題が起こる．よって，ばらつきを表すパラメータで10 回の平均値であれば 10 回連続 1・6 が出なければ平測定データと同じ次元を持つものを求める必要がある．

均値が 1・6 にはならない．つまり端の値が出にくくな

ここで，標本分散の次元は測定データの次元の二乗とるということは，繰返し数が多くなるにつれて標本平均なっているのであれば，標本分散の平方根を求めれば同のばらつきが減り，その減る程度がじ次元のばらつきを表すパラメータを求めることができということを意味している．

るだろう．

4

n

s(x)= s 2(x) =∑(xi − x )2
i =1

n −1

（5）

s ）のことを「標本標準偏差」とここで求められた （xn 分の 1 である，

確率分布について母集団のばらつきの推定値を求めることができたが，母平均，母標準偏差が分かれば母集団のことをすべて知ることができたと考えるのは早計である．なぜなら，母呼ぶ．

標準偏差の値が同じであっても，母集団の形は異なって「標本分散」「標本標準偏差」を求める目的は，母集団

いるかもしれないからである．ここで母集団の形についのばらつきの大きさを知るためであった．しかし母集団て言及しているが，その母集団の形を表すものを「確率のばらつきの大きさを完全に知るためには無限個のデー分布」と呼ぶ．

タが必要であり，それは絶対に行えない．よって「標本「確率分布」は確率変数の値の取りやすさを表したも分散」「標本標準偏差」を算出し，それを「母分散」「母のであり，典型的なものとして「矩形分布」「三角分布」

標準偏差」の推定値とする．

などがある．図 1 に矩形分布，図 2 に三角分布を示す．

ここで，母数を示す文字について説明する．これまで

図 1 は母平均が 0，分布の半幅が 1 である矩形分布でに説明してきたように「標本平均：x– 」「標本分散：s 2あり，これは−1 < x < 1 の範囲にすべての測定データが（x ）」「標本標準偏差：s（x ）」のように統計量を示すため存在し，さらにその範囲内の値は同じ確率で出現するこにはアルファベットが使われるが，それに対して母数にとを意味している．

関してはギリシャ文字が用いられる．例えば「母平均：μ」「母分散：σ2」「母標準偏差：σ」である．
ここで我々は測定を繰返し，その標本平均を測定結果

図 2 は母平均が 0，分布の半幅が 1 である三角分布であり，これは−1 < x < 1 の範囲にすべての測定データが存在することは先ほどの矩形分布と同様であるが，母平とするわけであるが，ここで求めた標準偏差はあくまでも測定データが平均的にどのくらいばらつくかを示した指標である．しかし，測定結果を標本平均としているのであれば，標本平均がどの程度ばらつくのかを知る必要がある．標本平均がばらつく，というのは例えばある測
定を 5 回繰返して標本平均を得たとしよう．そしてさらに 5 回繰返してまた標本平均を得る，これを繰返すといくつかの標本平均が得られる．そうすればいくつか得られた標本平均間のばらつきが求められるだろう．このばらつきを標本平均の標準偏差という．ただ，上記のように繰返し測定を何回も行って標本平均を幾つも得てから標本平均の標本標準偏差を求めるという手続きは非常に煩雑である．よって通常はこのようなことは行わ
4

図1

矩形分布
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均±母標準偏差）の範囲に約 68.3 ％，（母平均±2×母標準偏差）の範囲に約 95.4 ％，（母平均±3×母標準偏差）の範囲に約 99.7 ％ の値が存在することが知られている．基本的な母平均の存在範囲の推定は上記の性質を用いて行う．また 68.3 ％，95.4 ％，99.7 ％ 以外の確率を用いたい場合でも，母標準偏差を何倍したときにどの程度の確率が含まれるかを数表やソフトウェアを用いれば簡単に知ることができる．

5
図2

三角分布

正規分布を用いた母平均の区間推定

それではここから先ほど説明した正規分布を用いて，母平均の存在範囲を推定する方法を解説する．まず測定の母集団が母平均 μ，母標準偏差 σ の正規分布に従っていたとしよう．その測定の母集団を図 4 に示す．
図 4 で示した測定の母集団からデータを n 個サンプ
リングし，その標本平均を求めると，式（6）で示した
ように標本平均の標本標準偏差はn 分の 1 となるが，もちろん母標準偏差も同様で，

σ (x )=σn（7）

ここに，σ（x– ）は標本平均の母標準偏差を表す．
が成立する．よって，図 4 の測定の母集団から n 個
サンプリングして標本平均を求めたとき，その標本平均

図3

正規分布

均に近づくほど値の出現確率は高くなり，端に行くほど確率が低くなる分布である．
さて，ここで示された矩形分布も三角分布も両者とも値の存在範囲は，−1 < x < 1 である．しかし分布の形が異なるため，母標準偏差の値は異なる．矩形分布であれ
ば分布の半幅を3 ，三角分布であれば分布の半幅を6 で割れば母標準偏差が求められる．つまり，図 1 の矩形分布の母標準偏差は 1/ 3 ，図 2 の三角分布の母標

図 4 測定の母集団
上記の図では μ＝2，σ＝3 としている．

準偏差は 1/ 6 となる．よって母平均，母標準偏差が分かったとしても母集団について十分な情報を知ることになったわけではなく，確率分布の形を知らなければ存在範囲を知ることはできない．
それでは測定において最も重要な確率分布は何だろうか？それは正規分布である．正規分布を図 3 に示す．正規分布は多くの測定結果は正規分布に従っていることが知られているように，非常に汎用性のある分布であり，測定結果がどの程度信用できるかを求めるために用いられる最も基本的な分布である．正規分布は図 3 で示したようにきれいな対称形の山形の分布である．
正規分布は母平均と母標準偏差（母分散）が分かれば一意に決定する分布であり，図 4 に示すように，（母平
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図 5 標本平均 x– の確率分布
上記の図では n＝3 としている．

5

の確率分布は図 5 になる．

表等はこの標準正規分布の性質を表したものである．

図 5 でグレーの線が図 4 で示したデータの確率分布である．そこから n 個サンプリングし標本平均を求めているので，その分ばらつきが小さくなっている．
さてここで，標本平均の分布は母平均 μ，母標準偏差σ/ n を持つ正規分布に従っているが，このままでは測定それぞれによって母平均，母標準偏差の値が異なり，一貫性をもって演算を行うことが難しい．よってこの分布をさらにシンプルな分布へ変形し，その結果から演算を行うことを考える．ここで図 5 の標本平均の分布を確認すると，分布の中心は 0 からずれているので，中次に標準正規分布と図 3 で示した正規分布の性質を考え合わせると，
−1 <

x −µ
<1
σ/ n

（8）

の範囲内には全データの 68.3 ％，
−2 <

x −µ
<2
σ/ n

（9）

の範囲内には全データの 95.4 ％，
−3 <

x −µ
<3
σ/ n

（10）

心を 0 にすることを考える．分布の中心は μ なので，の範囲内には全データの 99.7 ％ が含まれる，というこ

x–とが分かるだろう．この中で代表として，式（9）につ−μ の分布を考えれば，分布の中心が 0 となるだろう．
x–

図 6 に −μ の確率分布を示す．
次に x– −μ の確率分布は母標準偏差が σ/ n であるので，この母標準偏差を 1 にすることを考える．つまり，
x––−μ を母標準偏差で割った（x −μ）／（σ/ n ）の分布を／（σ/ n ）の確率分布を考えればよい．図 7 に（x– −μ）
示す．
図 7 で示した確率分布は必ず母平均 μ＝0，母標準偏差 σ＝1 の正規分布となる．この母平均 μ＝0，母標準偏差 σ＝1 の正規分布のことを「標準（規準）正規分布」

いて考える．
式（9）を変形する．
x −µ
<2
σ/ n
σ
σ
−2
<x − µ <2nnσσ−x − 2< − µ < −x + 2
n
n
−2 <

x −2

σ
σ
< µ <x +2
n
n

（11）

と呼び，今行ったような標準正規分布へとデータを変換

式（11）を見ると，母平均 μ は x– −2σ/ n から，x– ＋することを「標準化（規準化）」という．正規分布の数2σ/ n までの範囲の中で，約 95.4 ％ の確率で存在する，ということを意味していることが分かる．これが正規分布を用いた母平均の区間推定と呼ばれるものである．
95.4 ％ 以外の確率を用いたい場合は，正規分布表やソ
フトウェアで簡単に知ることができる．
さて，ここまで説明してきた母平均の区間推定であるが，実際の測定データに適用することを考えると大きな問題が 2 点存在する．
まず 1 点目は，母平均の区間推定を行うためには，式（11）を計算しなければならない．そこで式（11）に含まれる変数を確認すると，x– については，標本平均なので，実際に測定したデータの標本平均を求めればよいので問題ない．次に n については，これは標本平均を求図 6：x–－μ の確率分布

めるための繰返し回数であるので，これも問題ない．最後に σ であるが，これは母数である．つまり無限回測定を行わない限り知ることができない．よって本来 σは未知の値である．そうなると区間推定は行えなくなってしまい，この手法は意味のないもののように思えるが，そういうわけではない．つまり，この正規分布を用いた区間推定は，「非常に質のいい母標準偏差の推定値を事前に知っている」というときに用いることができる．例えば，ある製造ラインで長年製品を作製しており，そのラインで生産された製品のばらつきはこれまでに多くの製品を作製しているので，そのこれまで生産された製品の測定結果から求められた標本標準偏差は質の図 7 （x–－μ）/（σ/ n ）の確率分布

6

良い母標準偏差の推定値であることが担保されている，
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というようなときである．これであれば，正規分布を用

本平均の確率分布は，標本平均を求めるためのサンプリ

いた母平均の区間推定を行っても十分意味のある結果をング数が多くなるにつれて，正規分布に近づいていく．」

得ることができる．言い換えると，顧客から預かった測というものである．例を見てみよう．

定対象物について 5 回繰返し測定を行った，というよ

図 8 にある測定データの確率分布を示す．この確率うなときには使うことはできない．なぜなら 5 個のデー分布は見て分かるように二つの山があり，正規分布からタで母標準偏差を推定することになるが，その推定は大きくかけ離れたような分布になっていることが分かる

データの個数が少なすぎ，あまりうまくいかないことがだろう．

考えられるからである．このようなときには t ─分布を

この母集団から一つデータをランダムにサンプリング

用いた母平均の区間推定を行う．これに関しては後述す

する，という手続きを 1 000 000 回繰返したときのヒス

る．

トグラムと，その分布の母平均，母標準偏差を持つ正規

もう一つの問題は，測定の母集団が正規分布に従っていない場合はどうするのか？

分布を重ねて表記したグラフを図 9 に示す．

というものである．確かサンプリング数が 1 回なので当然ヒストグラムは元に今回はまず図 4 で示した正規分布に従った測定の母の確率分布と同じ形になる．また同じ母平均，母標準偏集団が存在し，そこから n 個データを取得して標本平差を持つ正規分布とも全く形が異なることが分かる．

均を算出したときの母平均の区間推定であった．そうで次に測定データの確率分布から 2 個，3 個，4 個，5あれば，測定の母集団が正規分布に従っていなければこ個サンプリングし，それぞれ平均値を求める，という手こで論じた母平均の区間推定に関しては全く使えなく続きを 1 000 000 回繰返したときのヒストグラムと，そなってしまう気がするが，実はそのようなことはない．

の分布の母平均，母標準偏差を持つ正規分布を重ねて表

それは「中心極限定理」が存在しているからである．

記したグラフを図 10（a）〜（d）に示す．

中心極限定理とは簡単に言うと，「一般的に，測定のこれを見ると，繰返し数が 2 回のときはまだ山が 2

母集団がどのようなものであっても，そこからいくつか

つ見えているが，繰返し数が 3 回になれば山が一つにのデータをサンプリングし，標本平均を求めた場合，標なり，ほぼ同じ母平均，母標準偏差を持つ正規分布と変わらない分布になっていることが分かる．さらに繰返し
数が 4 回，5 回と増えていくにつれて正規分布との一致
度が高くなる．繰返し数が 5 回のときはほぼ正規分布と区別がつかなくなっていることが分かるだろう．
このように中心極限定理は図 8 で示したような変わった分布であっても強力に働き，繰返し数が 3，4 回くらいになるとほとんど正規分布とみなしても問題ないくらいになる．この中心極限定理の成立条件は，測定データの分布の分散（標準偏差）の値が有限，というものである．通常の分布であれば，ばらつきの値が有限であることは当然であるので成立条件を満たす＊2．
このように，通常の測定結果であれば，中心極限定理

図8

ある測定データの確率分布の成立条件は満たしていると考えられ，標本平均は正規分布に従っていると考えても差し支えない．

6t ─分布を用いた母平均の区間推定

さて先ほど説明したように，正規分布を用いた母平均の区間推定は十分質の良い母標準偏差の推定値を知っているということが前提になっていた．しかし，このような前提条件はいつもクリアできるようなものではない．
例えば，顧客から持ち込まれたサンプルを測定する場合
は，多くの繰返しを行うことは難しいだろう．そのよう＊2

図 9 サンプリング 1 回のときのヒストグラム
正規分布の縦軸はヒストグラムにスケーリング済み．
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中心極限定理の成立条件を満たさない例外的な分布の例としては，後述する自由度が 1 のときの t- 分布が相当し，特にこの分布のことをコーシー分布と呼ぶ．コーシー分布は分散が存在しないだけでなく，平均値（厳密には期待値）
も存在しない．

7

な場合は，標本標準偏差を求めることはできても，その標本標準偏差を母標準偏差の質の良い推定値と考えるのは無理がある．そのような場合はどうすればよいのだろうか？
それは，先ほどの正規分布を用いた推定の際は，母標準偏差を用いて正規化し，母平均 0，母標準偏差 1 の正規分布に変形したが，今回の場合は，標本標準偏差を用いて正規化を行えばよい．つまり，
x −µs(x)/ n（a）繰返し 2 回（12）の値を求めればよい．
正規分布のときは，正規化した値は標準正規分布に従っていたが，式（12）にて正規化した値は，自由度n−1（繰返し回数から 1 を引いた，標本分散，標本標
準偏差を算出する際に用いる自由度と同じもの）のt ─分布に従うということが知られている．t ─分布を図示したものを図 11 に示す．
図 11 に表記されている線は，最も色の薄いものは自由度が 3，色が濃くなるにつれて自由度が大きくなり，
最も色の濃いものが自由度無限大（正規分布）のものである．つまり，自由度が小さい場合は正規分布と比べ幅が広い，つまり算出された標本標準偏差にもばらつきが（b）繰返し 3 回

存在し，それが反映されて分布の幅が広くなっている．
そして自由度が大きくなるにつれて正規分布に近づいていく．最後に自由度が無限大になるとデータをすべて知っているという状態になるため，そうなると自由度が無限大の t ─分布と正規分布が一致するのは当然である．
t ─分布は先ほどの正規分布とは違い，自由度が必要となる．自由度が決定すれば一意に t ─分布は決定する．
t ─分布を母平均の区間推定に用いるためには次式を用いる．
−t(p,ν )<x −µ< t(p,ν )s(x)/ n（13）

式（13）を正規分布のときと同様に式を変形すると，（c）繰返し 4 回

x − t(p,ν )

s(x)
s(x)
< µ < x + t(p,ν )
n
n

（14）

（d）繰返し 5 回
図 10 標本平均のヒストグラム
正規分布の縦軸はヒストグラムにスケーリング済み．

8

図 11 t ─分布
自由度 ν＝3, 5, 10, ∞［正規分布］．
ぶんせき

2024

1

表1

数，累積分布関数等の議論を行っていない（例えば，本t ─分布表稿での確率分布を表したグラフの縦軸については全く触

確率：p

自由度：ν

0.95

0.99

0.999

れていない）．もっと詳細を知りたい方は統計の教科書

112.70663.657636.619

等で勉強していただきたい．とりあえず本稿の内容が分

2

4.303

9.925

31.599

かれば，初級程度の統計の教科書は読むことができるだ

3

3.182

5.841

12.924

ろう．

4

2.776

4.604

8.610

統計はデータを解釈するうえで非常に重要なものであ

5

2.571

4.032

6.869

6

2.447

3.707

5.959

る．しかし測定データを取得し，その後そのデータを解

7

2.365

3.499

5.408

8

2.306

3.355

5.041

9

2.262

3.250

4.781

10

2.228

3.169

4.587

20

2.086

2.845

3.850

50

2.009

2.678

3.496

100

1.984

2.626

3.390

釈しようとしたときにはじめて統計をどうしようか？と考える人がいる．しかしそれは是非やめてほしい．なぜなら，測定データは統計的手法に合わせて取得法を決めることができるからである．つまり，データを取得する
前にデータ処理方法を決めておけば，そのデータ処理方法を適用しやすい測定データを取得する方法を考えることができる．そのようなデータであれば非常に単純な統計的手法を適用するだけでも質の良い結果を得ることも
できる．

s ）を算
となる．つまり，母平均が含まれる確率 p と （x測定を行う前にはもちろんその測定の定義，測定方t
出したときの自由度 ν を求め，そこから （p,ν）の値を法，測定手順を決定し測定を行うだろうが，それととも求めればよい．t（p, ν）の値は数表やソフトウェアで簡に取得したデータにどのような統計的手法を適用するの単に求められる．一例を表 1 に示す．

か，ということも併せて決定し，そのあとに測定を行っ

例えば，データを 10 個取得し，標本平均と標本標準ていただきたい．

偏差を算出した場合，95 ％ の確率で母平均が含まれる区間を求めたいとすると，この場合自由度は 9 となる
ため，表 1 の「自由度：9」「確率：0.95」の欄にある，t（0.95,
9）＝2.262 を採用して式（14）に代入すれば母平均の区間推定を行うことができる．

7

最

後

に

ここまで駆け足で統計の基礎から母平均の区間推定ま文献1） 田中秀幸： 分析・測定データの統計処理 ，（2014）
,（朝
倉書店）.
●

●

田中 秀幸（Tanaka Hideyuki）
産業技術総合研究所計量標準総合センター
工学計測標準研究部門データサイエンス研
究グループ（〒305 ─ 8563 茨城県つくば市
梅園 1 ─ 1 ─ 1 中央事業所 3 群）．筑波大学

で説明したが，最初に述べたように重要な点も大きく省

大学院工学研究科修了．博士（工学）．《現いて説明を行っている．例えば，母平均，母分散にかか

在の研究テーマ》測定における不確かさ評

わる期待値の議論や，確率分布にかかわる確率密度関

ぶんせき

2024

1

価に関する研究．《主な著書》分析・測定
データの統計処理．

9