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一対比較データの解析にも役立つ定差方程式
牧野都治-一巡 3 角形の数の平均と分散一対比較データの解析法の 1 っとして，選好多角形内に生じている一巡 3 角形の数を調べ，帰無仮設Ho;

r 判定がランダムである」となる.よって,^__

1
3 1E(Piik )=lX 一一
一一=一一4+OX'V" 44 ・これより E(Tn ) はE( 九)=E( .
玄九)=+.(~)
7.
kriikJ‑4"¥3}を検定する方法があることは，ケンドールの本 (Rank=in(n-1)(n-2) … H ・ H ・-… H ・ H ・..…(1)CorrelationMethods) などによって，よく知られてい24る.ここで，選好多角形は各頂点を矢線で結んだ多角と求まる.また，分散 V(Tn) については形であるが，たとえば 2 つの頂点 A ， B について， A→ B

ント E( T;) を計算しておいて ，のように， B に矢が向けられていれば， A より B の方が(九)と求めればよい.そこでケンドールでは，次のよ好まれていることを表わす.また，

2 次モーメV( お )=E( T;)-E 2A と B とに関して，うな計算を行なう.はじめに E[ (~Piik)2] を求める.そ判定がランダムであるということは，矢がどちらに向のために(玄 P抽 )2 の展開式を考え，その期待値をとっくかが確率 1/2 で定まることを意味している. (これらて整頓すると，のことについては，本誌'93年 7 月号の拙著「一対比較データの図表示に思う j を参照されたい)

きて，このような検定を行なうために，選好 n角形内に生ずる一巡 3 角形の数民の確率分布がわかっていると都合がよい.少なくとも，れの平均・分散ぐらいは知っておきたい.これらを，ケンドールの本では，

E[(ふPiik)2]=告げ).{( ~)十 3}となり，分散がV(Tn)=in(n1)(n-2)-H ・ H ・-… H ・ H ・..…(2)32と求まる.

次のように求めている.まず平均についてであるが，これらはいずれもよく知られていることであるが，頂点が U ， k である 1 つの 3 角形をとり出したとき，そ

本稿では以下， (1)式や(2)式が差分を用いて容易に求めれが一巡 3 角形であれば Pijk=l ，られること，および一巡 3 角形でなく一巡 4 角形のと

そうでなければ Pijk

きにはどうなるか，などについての考えを述べたい.

=0 となる確率変数 Piik を考えて，

Tn= ~ Pijki ..i, kとおけば，これが一巡 3 角形の級数になる.ただし，~は相異なるすべての U ， k についての和をとることを意味している.ここで1 つの 3 角形をとり出した

とき，それが一巡 3 角形となる確率を考えてみると，-定差方程式による求め方
選好 n角形内の一巡 3 角形の数 Tn について，次の式が成り立つ.

Tn= Tn‑1+Rn(n 二~4) …....・ H ・...・ H ・-…・・ (3).

ただし ， Rn は選好(n-1)角形内の 2 つの頂点と第 n左まわりと右まわりがあるので番目の点とを結んだときできる一巡 3 角形の数を表わ+1X2=4(tYX2=12/"~

す.そこで， (3)式の両辺の期待値をとるとE(Tn}=E(Tn‑l)+E(Rn).
まきのとじ東京理科大学経営学部〒 346 久喜市下清久

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ところで， (n- l)角形でたとえば頂点 1 ， 2 を結ぶ辺について，図 1 のように矢が 2 へ向いていれば n → 1© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

しようとするには，判定がランダムであるとしたとき，選好 n角形内に生ずる一巡k角形の数れ (k) の平均・分散を計算しておくのがよい.そこで，一巡 3 角形のときと同様に，定差方程式をつくってみると，

Tn= T‑1+Rn (n 注 h 注 4) ……...・ H ・.....・ H ・ ..(6)nとなる. (6)式でのおや Rn は ， Tn(k) , Rn(k) と書カ通れるべきものであるが，以下その意味での h を省略することにする.きて，平均E(Tn) はE(Tn)=E( れ -l)+E(R n ) ....・ H ・...・ H ・....・ H ・-… (7)から求めることができる.ただし，一巡h角形についてnーIは E(R n ) を計算するのに，ループを数えるか数えないかを定めておかなければならない.この，ループを数えるかどうかについては，前記「一対比較データの図表示に思う J に詳述しであるが，図n 番目の項点を結ぶ 3 角形

合j には→ 2 を頂点とする 3 角形が一巡する確率は (+r 矢が 2 から 1 へ向いていてもn→ 2 → 1 を頂点とする3 角形が一巡する(前とは逆順になるが)確率はE(Rn)=(ザ X2.(~二 D
よって (7)式はるので，が得られる.

1 /n‑1¥E(Rn)=ー( ""J. )民(仇川E刊)=ベ(す封rηト刊吋-→1
一方，

4¥ 2 J

ここで， E( 包)=十であることを考慮して (4)式を解くと，結局(1)式と同じものが得られる.
Tn - 1 と Rn

E(Rn)=(となるので，(7)式はE( れ)=E( 九ーペ+rX{(k- l) !}.(~-nとは独立であると考えてよいので，¥k‑1J

V(T)=V(Tn‑l)+V(Rn) (n~4).
n
いまの場合，+rX{(k 一俳句二 Dr ループを数える場合」には (8)式が，よって，

1f"n‑l¥E(Tn)=E(Tn‑l)+‑4‑.(‑:;J. ) ..・ H ・.......・ H ・.(4).
4¥2J‑*‑r1となり，これを解いてn を頂点とする，このような 3 角形が(γ)個でき

肌

E( れ)=E( Tn‑l)+(.(~- ~)¥2J ¥k‑1J(すr

それでは分散はというと， (3)式の右辺で，r ループを数えない場

V(R n ) は

1 Xl
V(Rn)=(‑:;(1 2 x よ +02X+)¥n2)
J" l\~"4 , v"4J

一( lX士+oxty}=会 (γ)
であるからとなり，これを解いて E( お)の式がE( 九)=(すrX{(k 俳句)と求まる.
それでは，分散 V(Tn ) はどうかというと， (6)式右辺
Tn - 1 と Rn とが独立でないので，V( お)= V( お→)十 V(R n )3 f"n‑¥V(Tn)=V(Tn‑l)+ ー(‑:;lJ. )........・ H ・-…・・ (5).
16¥ 2 Jとすることができない.そこで，この方法での解はあ'こで， V(73)=iであることを考慮、して(5)式を解16きらめなければならない.この場合にはやはり，ケンくと， (2)式と同じ V(Tn ) の式が得られる.

ドールの本にあるような方法を拡張して，こつこつ解くよりしかたないのかもしれない.

-一巡h角形の数の平均と分散
一巡 3 角形に限らず，一般に一巡k角形 (k 孟 4) を活用

1994 年 4 月号

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