■学生論文賞受賞論文

相互評価の下での可能性定理
小原 朱理（筑被人十人′、描こ什会l∴珊け錐トシステム情桐数理ヤ攻＋現川嘱・ll本アイ・ピー・エム㈱）
指や教′l−l−11tlり川■り教投．ごと〟について，選択肢刈（J，〟）に関する社会的選

1．はじめに好順けは各プレーヤーの衣叩ける（．エー，〝）に関する過アローはその叶能件定fりとで，社会の恵一U、決定に「民川くJ」なノバよが有イIミしないことを㌦1リJした．本研究では，アローの枠組ネを相宜．甘価に箭き挽え，艮ヰ∬Jな好順けのみによって決⊥される．
公理4（パレート最適性）選択肢対（．工・，〟）に対し（∀′）（．ご＞招〟）ならば．Ⅰ−＞甜〟となる．
公理5（非独裁性）独裁者が〝在してはならない．

社会rl吊好走法の井〟れを導いた．
アローの定理の設定では投票署仝体が選択肢仝体に対して選好順序を長明するのに対し，柚宜．甘佃では投票者−がIrl分【′1身を除いた他叫 辻票抑こ対して選好欄直二を長川ける∴1．（が巨Ij賞・の‡！りの踊署二な相違一−1（である．

以卜，アローの定叩とその変形の幾つかを紹介し，それと対比させなが心木研究の枠組ネと結果をホす．

アローの‖」◆胎lナト⊥J‥りlは以卜の公理を満たす社会的決定ノ鳥〔が〟れしないことをiミ脹している．

定理1（アローの可能性定理）公刊と1，2，3，4，5の仝てをil軋足する社会的決⊥ノ再（は存在しない．

3．可能性定理の関連研究
次にアローの公理‖外の公理とそれらの組合せによ

2．アローの可能性定理ってやかれる結果の一例を紹介する．

2．1個人の選好順序付けの方法と記号
投票署をプレーヤーと呼ぶ．プレーヤ岬の刊本渠合公理6（社会的評価と個人的評価の非負の関連性）
選択肢∫膏がシチュエーション〟でエ＞朋〟となってを【州とし，一州≧2，選択肢の仙数はニミつ以卜とする．

いるときシチュエーションろが任意の〜と作意の．r′，また，く，＞，空で選好順けを表す．．エー＞〟は選択り友〟∈Ⅳ＼〈．ご〉に対して（（J≧〜・。〝→．ヱ・≧〜・わ〝）∧（．r＞招〟⇒J＞

Jは選択肢ルよりも好ましい，．ヱlニヒ〝は．rと〝は川程′・′ノ〝）∧（．工ノ≧〜・。〝⇔J′≧〜わ〝））を満たすならばシチュエー度に好ましいことを左す．．工・≧〟は．ヱ・＞．りまたは．ユー竺．り

ションわでは．エー＞助りとなる．

であることとする．仝プレーヤーの選好順序の組合わせをシチュエーションと呼ぶ．プレーヤー〜がシチュエーション〟において，．ヱ・＞〝という逃好を衣刊＝ノていることをユ・＞吼りまたは〝く〜。．rと衣．ミ」し，〝において朴会的選好順ルが．r＞〝となることを．r＞s。〟または〝くざ。．rと衣．；己する．く，竺についても同様とする．

公理7（市民主権性）あらゆるシチュエーション〟で1附こ，r≧ぶ。〝となる選択肢対（．ご，〟）は在れしない．

定理2 公理1，2，3，5，6，7を満止する社会的i人定ノ鳥（は〝在しない．
公理8（非抑圧性）常に（∀〟）（（∬＞7・。〝）＝⇒（〝＞ぶ√〜ユう）となるプレーヤー才は在れしない．

公理9（非安定性）（∀〝）（J＞餌〟），（∀〟）（∬二㌣郎〟），

2．2 一般可能性定理
まず，決定ノブJ〔が満たすべき艮t主義の公理系と▲般可能性定理を紹介する．

（∀〟）（，工・く．s。〝）のどの条件についてもそれを満たす選択肢対（．r，〝）は〝在しない．

公理1（弱順序性）各プレーヤーの選択肢に対する選好順けこは弱順再：である．また，結果として導かれる朴会的遊女川蝉H凍潮岬である．

公理2（個人の選好の無制約性）仝てのプレーヤ定理3（ハンソンの可能性定理1）公理1，2，3，5，8，9の全てを満足する決定ノ再〔は存在しない．

4．相互評価における可能性定理

ーは仝ての選択肢に対して，弱順けである阻りどのよ4．1相互評価のルールと記号

うむ選好順けをム明することも．汁される．

ここでは選択肢をプレーヤーI上l身とする相力二評価の公理3（無関係対象からの独立性）全ての選択肢

1、でIii一様の公理の組合せから導かれる結果を調べる．

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2（）（）1隼12J】り・（45）T17

各プレーヤーは「1分以外のプレーヤー全損を評価の対象とすることにする．卜に従い，仝プレーヤーによるl′】分l l身を険し、たプレーヤー対の全体に対する避好

表1公理系と社会的決定ノノ式
公理 10111213
Jl／v／J

JJJ
JJJ
JJJ

順けこの組合せをシチュエーションと呼ぶ．
そして，アローの公印に基づいて，州／Jl㌢川tliにおけ141517

16

決定方式
非存在
非存在

Jノ

J 全て無差別公理 1 2 3 4 5 6 7 9 8

非存在決定方式
非存在
非存在ノ

J、ノ、／v／Jる公理を以卜のように設定する．

JJノ JJJ

公理10（相互評価における弱順序性）各プレーヤ

JJJ JJJ非存在ーの【 1分t！1身を除く仝プレーヤーに対する選好順序は粥順序であり，社会的越州l跡序も牒馴頂けである．

公理11（相互評価における個人の選好の無制約性）

定理6（社会的選好順序の無差別性）社会的決定
ノノ式が公」哩1（），11，12，16を満たすな らば

仝てのプレーヤーは弱順け性（公理10）を満たして（∀〟）（∀（々，ハ）（か㍉バとなる．つまり，必ず仝てのいる限り，l′1分l上1身を除く全てのプレーヤーに対して選択肢を無差別とする社会的決定が導かれる．

どのような選如灘再：を表明することも許される．

公理12（相互評価における無関係対象からの独立性）全てのプレーヤー対（ん，／）について，（ん，りに関

この結果も意味のある朴会的決定の存在をプラ定している．次に，パレート最適性（公理16）の代わりに以卜の非安定性を導入する．

する朴会rlくノ選好順けはんと／以外のプレーヤーのム

公理17（相互評価における非安定性）（∀α）（ん＞

明する々と／に関する選好牒再：のみによって決定さぶ。／），（∀〟）（点さs ／），（∀〟）（点くぶ。ハのどの条什についれる．てもそれを満たすプレーヤー対（々，／）は／庸二しない．

公理13（相互評価におけるパレート最適性）選択
肢対（点，／）にヌ、＝ノて（∀／∈Ⅳ＼†点，ハ）（カ＞′ ／）ならばん

その結果やはリi1i▲定的でない次の定理を得た．

定理7 公理1（），11，12，17を満止する社会的決
定ノノ式は〟在しない．

＞ぶ。／となる．
ところが，これらの公理から以卜の定理が導かれる．

定理4 公理10，11，12，13を満足する社会決定

5．結論
以卜の結果を衣1にまとめた．朴／J二．沖仙（衣1卜

ノ再（は／了丞ミしない．
従って別の公理系を考える必要がある．

部）においてはそうでない場合（表l卜部）よりも少公理14（相互評価における非負の関連性）遥択肢

なし−公理の糾▲み合わせからオ盾や好ましくない結果がオ，ノがシチュエーションαでオ＞s。ノとなっているとき導かれている．これは，相宜評価では比iミ的な決定ノノシチュエーションわが作意のカと任意のオ′∈Ⅳ＼（々）

式がより／了／Ⅰミし難いことをホ唆している．

に対して（（オ≧如ノ⇒才≧如ノ）∧（オ＞々。ノ⇒オ＞柚ノ）∧（g′≧々J
参考文献⇔〜′≧柚ノ））を満たすならばg＞最である．

公理15（相互評価における市民主権性） どのようなシチュエーション〟でも常にJ≧5〟ノとなる選択肢［1］Arr（）W，K．）．：S（）（・ialCj〜りi（t（ブandIndtl）id7L〟ltん／t［eS，2Ild ed．，John Wiley and S（）nS，1963．
12］IIanss（）n，I3．： Gr（）uPl）references ，EL・（）n（）md7，ica，対（オ，ノ）は〝在しない．

しかし，公二叩14，15を導人しても以卜の紡某となV（）1．37，1969，5（ト54．

［3］7IaIISS（）n，B∴ TheIndependence C（）Ilditionilltheった．

定理5 公理10，11，12，14，15を満足する社会決定ノノ式は存丞三しない．

The（）ry（）fS（）CialChoice ，77te（）7T mld D（！（／・id（n7，Vol．
4，197二i，25−49．

L4］ケネスJ．アロー（J去れ脚リJi沢）：「社会的選択と仙人

次に，パレート最適性に関して々＞ぶ。／を々≧ざ。／と緩め，以卜のように設定し証してみる．

的詔冊けIl本経済相i侶Il1977．
1＿5］今野i一；仁「数理決定は入門 キャンパスのOR」，朝倉苦公理16（相互評価におけるパレート最適性）選択り」1992．

肢対（ん，／）に対して（∀J∈Ⅳ＼〈々，ハ）（ん＞〜・。／）ならばん［6］†榊′l肺：「「きめノノ」の諭Jl机，東京人′、州撤仝，198（）．

≧ぶ。／となる．

［71松ノ川ILl： Arr（）Wのr一般HJ一肘・′‡三定理の証明の解説 ，ところが，このパレート最適件（公二哩16）の設定

では以卜の様な事態が起こることがホせた．
718（46）

オペレーションズ・リサーチ，Vol．46，No．2，2り01，93
97．

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