ファジィゲーム
西崎 一郎，坂和 正敏……………ll州tt……l州帖州l‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖州Il…………………＝州l………‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州l…州…仙川…lll………‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖＝川取り扱う協力ゲームにおいて，パラメ

1．はじめにータのあいまい性を考慮すれば，提携のメンバーがその提携に属さな

通常の最適化モデルにおいては，意思決定者は1人いプレイヤーの助力なしに獲得できる利得である提携

あるいは同じ関心をもつ意思決定者が複数存在する場

値を正確に見積もることが困難であるとの観点から，合について考察されてきている．しかし，経営あるい提携値をファジィ数で表す協力ゲームの表現が必要とは公共の意思決定問題においては，一般に意思決定者なる．本稿では，ファジィ提携値をもつ協力ゲームのが複数でそれぞれの関心はお互いに異なるものとして基礎を概観した後，最適化問題と関連する応用例とし考えられる．このとき個々の意思決定者にとって，自て，ファジィ環境下での割当てゲームと生産計画ゲー

己の意思決定のみならず他の意思決定者の決定にも結ムを取り上げる［15〜17］．

果が影響を受けることになり，そこでは意思決定者が2．ファジィ提携値をもつ協力ゲーム

自己の目的を最適化するために，他の意思決定者と競争したり，あるいは協調しながら合理的な結果を導きプレイヤー全体の集合をⅣとして，〃の部分集合出そうとする．このような複数の意思決定者の相互依として表現される任意の提携5⊆Ⅳに対して実数直存関係を数学モデルとして定式化し，それぞれの意思線点上のファジィ数百（S）を考える．ここでは，提決定者にとって合理的な結果を分析する理論がゲーム

携5以外のメンバーがいかなる行動をとったとして理論と呼ばれている．特に，複数の意思決定者（プレも，5のメンバーのみで獲得できる利得の総計をイヤー）が提携を形成することを前提に問題を分析す

訂（5）とし，その値は実数直線上のファジィ数である

る場合，協力ゲームの理論と呼ばれ，本稿ではあいまと考える．このようなファジィ数の集まりをウ＝い性が考慮された協力ゲームに焦点を当てる．協力ゲ（∂（S）15⊆〃）と表すと，ファジィ協力ゲームはプレームでは，すべてのプレイヤーの集合の部分集合としイヤーの集合Ⅳとファジィ数の集合ウのペア（Ⅳ，て表現される提携の概念が基礎となり，各提携がそのウ）で表現される．

メンバーだけで獲得できる利得，すなわち提携値を見斤において提携5のファジィ提携借方（S）は正規積もった上で，各プレイヤーへの合理的な利得の分配かつ凸ファジィ集合で，そのメンバシップ関数〃宙（5）が考察されいる．この間題は最適化問題と関連し，解（〃）が連続で，メンバシップ値が0および1となる有の概念としてコア［11］を用いた応用例も示されている

限な〃の値をもつファジィ数で表されるとする．こ［9，17，18，26］．のとき，α∈［0，1］に対してメンバシップ関数〃宙（5）（ぴ）

一方，現実の意思決定問題を数学モデルとして定式がα以上となる斤上の非ファジィ集合を宙（5）のα−化する場合，各種のパラメータはある一定の数値に設レベル集合といい，定され，必要となればパラメータの一部の変動を考慮した感度解析が行われる．しかし，パラメー訂α（5）＝（〃∈斤l〃訂（5）（〃）≧α）

タ自身のあいまい性や不確実性が明確に認識されるような場合

房α（S）は区間［び吉（S），〃g（S）］で表現される．には，ファジィパラメータや確率変数を含む不確実性下の数学モデルが定式化される［10，22，23］．本稿でにしぎき いちろう，さかわ まさとしで表す．宙（S）はファジィ数なので，α−レベル集合すべてのプレイヤーがファジィ数を規定するメンバ

シップ関数の帰属度がすべてある値α（許容レベル）以上であればよいと判断したと仮定すると，提携値は広島大学大学院工学研究科

α−レベル集合を表す区間【浸（5），〃g（5）］の任意の値を〒739−8527東広島市鏡山1−4−1とると解釈できる．許容レベルαが与えられたとき

302（24）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ（1）

のファジィ協力ゲーム（〃，ウ）において，通常の協力

濾ルト崩（〃）≧び餌5）一正（5），∀5⊂〃を満たすファゲームにおける基礎概念の定義や解概念としてのコア

ジィ協力ゲーム（Ⅳ，ウ）におけるα−コアα−C（〟，ウ）の定義の拡張を考える．

は次の条件を満たす乃次元ベクトルJ∈斤〝の集合で任意の提携5とrがそれぞれ独自に獲得できる提ある．
∑㌫≧最（S），∀ざ⊂〃

携値の和よりも，提携Sとrが1つに合わさってでf∈5きる提携SU了 の提携値の方が大きいという優加法
む左（〃）≦∑れ≦粛（Ⅳ）

的なゲームの概念は次のように拡張できる．

f∈〃次に，α一優加法的で，定理1の条件を満たすファ定義1（α一便加法的ゲーム）与えられたα∈［0，1］とジィ協力ゲームのα−コアが空でない条件を考察する．

Snr＝8となる任意の提携S，Tに対して任意のα∈［0，1】に対して，条件（8）を制約とした線形〃g（SU了つ≧むg（S）＋粛（r）（2）

〃左（ぶ∪7つ≧〃左（S）十〃吉（r）

（3）

計画問題
min z。＝∬1十…＋J♪

が成立するファジィ協力ゲームをα−優加法的である

s．t． ∑㌫≧浸（5），∀5⊂〃という．

（】巾i∈5れ，・‥，J乃≧0

犯人協力ゲームにおける1つの分析はプレイヤー間の交渉の結果を予測することであり，そのような分析の最小値z吉に対してz吉≦〃g（Ⅳ）が成立すれば，ファはプレイヤーが全員の提携〃を形成し，その提携値ジィ協力ゲーム（〃，伊）のα−コアは存在する．また，をプレイヤーが全員で分配するという仮定のもとに行問題（lq）の双対問題はわれる．また，各プレイヤーは自分自身で獲得できる

max 恥＝￡脚払封

最小の利得より小さい利得では満足できない．これら

s．t． ∑〟5＝1，∀才∈〃的≧0，∀S⊂Ⅳ

クトルは通常の協力ゲームでは配分として定藻されてとなるため，次の定理が得られる．ここで凡＝（S⊂いるが，この概念も次のように拡張できる．

〃＝∈S）である．

定義2（α−配分）与えられたα∈【0，1］に対して〝左（Ⅳ）≦∑Jf≦〃g（〃）定理2 与えられたα∈［0，1］に対して，優加法的な（4）i∈〟

れ≧最（（机∀f∈〃（5）を満足する利得ベクトルJ＝（れ，…，∬乃）∈尺乃をα一配（11）5⊂〟lの条件を満たす各プレイヤーの利得，すなわち利得ベ

ファジィ協力ゲーム（〃，伊）が非空のα−コアをもつ
条件は問題（11）の制約条件を満たす的，S⊂Ⅳが∑〃吉（5）如≦ポ（〃）（lカ

5⊂〃分という．

配分Jと〟の支配関係も次のように拡張される．
定義3（α−支配関係）与えられたα∈［0，1］に対して∬，〟をα一配分とする．このときを満たすことである．

3．ファジィ提携値をもつ協力ゲームの応用

ェf＞机，∀ブ∈S
最適化問題と協力ゲームの関連を考察した研究とし∑れ≦最（S）て，割当てゲーム［26］や生産計画ゲーム［18］があるが，ft≡∫が成立すれば，JはSを通じて〟をα一支配するとい割当て問題や生産計画問題に含まれる数多くのパラメ

い，Jα−dom5〝と表す．

ータに対して，問題の定式化に携わった専門家の人間

条件（6）はSのメンバーすべてが∬を〝よりも選好としての判断をより適切に表現するためには，従来のしていることを示し，条件（7）はSにとって∬が実現ように何らかの経験的あるいは主観的な方法である値可能であることを示す．に設定するよりはむしろ，含まれるパラメータそのもこの支配関係を基礎に定義されるコア［11，19］も次のように拡張できる．

ファジィ数としてとらえた方が，現実の意思決定状況

定義4（α−コア）与えられたα∈【0，1］に対してファジィ協力ゲーム（〃，ウ）における，すべてのα一支配されない配分をα−コアといい，α−C（〃，ウ）と表す．
定理1与えられたα∈【0，1］に対して優加法的で，2002年5月号のを「だいたい研ぐらいの数」であるというようなをより適切に表すことが可能になるものと期待できる．

このような観点から，割当て問題や生産計画問題の目的関数と制約式に含まれるパラメータのあいまい性がファジィ数として特性づけられると仮定すると［22］，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（25）303ここでは，共同の利益の最大値を求めるためにα−

ファジィパラメータを含む割当て問題や生産計画問題は次のように定式化される．

レベル集合を用いる．表記を簡単にするために，全体まず定式化される問題に含まれるパラメータの比較

提携〟に関する問題を考える．すなわち，与えられ的少ない割当て問題について考える．別人からなるたα∈［0，1］に対して，ファジィ数百＝（∂ぴ），オ，ノ＝1，売り手の集団〟＝（1，…，∽）と同じく椚人からなる…，弼のすべてのメンバシップ関数の値がα以上であ月い手の集団〟′＝（椚十1，…，2〃官）がある．売り手とるようなα−レベル集合買い手の集団全体をⅣ＝〟∪〟′とする．売買の対象

百α＝（cl〟∂ぴ（cび）≧α，オ，ノ＝1，…，∽）を家とすると，売り手オ∈〟はα∫円と評価しているを導入する．すべての意思決定者が割当て問題（相の目家を1件所有している．買い手刑＋ノ∈〟′は家を1的関数に含まれるファジィ数を規定するメンバシップ件だけ購入したいと考え，売り手どの家にはぁびの価関数の帰属度が，すべてある値α以上であればよい値を評価している．そこで，売り手と買い手の全員をと判断したと仮定しよう．このとき，割当て問題は係集めて最も互いに都合の良いペアを見つけ，そのこと数c∈百αに依存する通常の割当て問題として，次ので得られる利益全体を売り手と買い手の全員で分配しように定式化できる．て受け取る状況が協力ゲームの考えで記述できる．

（咽爪〝lmax ∑∑cむれ
f＝1J＝1

このとき，売り手才や買い手桝＋ノの家に関する評

mS．t． ∑如＝1，ノ＝1，…，桝価があいまいであるならば，売り手オが所有する家の評価はだいたいαf円で，買い手椚＋ノの売り手才のf＝1（1刀m

所有する家の評価はだいたいゎび円であるというよう∑九＝1，オ＝1，…，桝 J＝1に評価されるであろう．これらの評価値をファジィ数

れ∈（0，1）才，ノ＝1，・‥，研∂ ，んで表現し，メンバシップ関数の定義域を非負

このような割当て問題は，係数c∈百αに依存して無とする．さらに，売り手才と買い手椚＋ノの共同の利限個存在することになるが，係数cの値はα−レベル

益もファジィ数集合百。に属する任意の値である．すなわち，ファジィ数のベクトルのすべてのメンバシップ関数の帰属度

万（（才，∽＋ノ））＝∂ぴ＝ん−∂（1劫がα以上であるという意味においては任意である．と考えることができる．ここで，∂むのメンバシップ

このとき，ファジィパラメ関数の定萩城が負になる部分の帰属度は0とする．こータを含む問題に対して，のとき，提携5のファジィパラメータを含む割当て

係数c∈∂。を任意に選ぶことが可能であれば，目的問題は次のように表現される．

関数に対して楽観的な最大値の評価と悲観的な最大値の評価が考えられ，与えられたα∈【0，1］に対して，
max ∑ ∑ ∂仁凄むr∈5∩〟「椚十ノ∈5∩〟′

次の2種類の計画問題を定式化できる．
S・t・r扇〟れ≦1・椚＋ノ∈5∩〟′

爪E ＋椚ヨ‖Ⅸ∑ れ≦1，オ∈5∩〟max∑∑cu九 ♪ J＝1J＝1∽＋J∈5∩〟／〝王∑れ＝1，ノ＝1，…，研 f＝1

れ∈（0，1），オ∈Sn〟，椚＋ノ∈Sn〟′
また，全体提携〃についても同様にファジィパラメ〝‡∑九＝1，才＝1，…，∽ J＝1ータを含む割当て問題は次のように表現される．

れ∈（0，1），オ，ノ＝1，…，椚〝lm

max ∑∑∂むれ
l＝1J＝1e∈百α椚s．t． ∑れ＝1，ノ＝1，・‥，椚

爪〝‡

i＝1

ヨ‖訳

爪

∑れ＝1，ノ＝1，…，朋 r＝1

れ∈（0，1），才，ノ＝1，‥・，研m

問題（用に対してファジィ数で表現される目的関数の最大値が評価されると，提携5自身で獲得できる共同の利益の最大値を提携借方（5）とすることによってファジィ協力ゲーム（Ⅳ，￠）を生成できる．

max∑∑cむれ ♪ f＝1．7＝1m∑九＝1，オ＝1，…，研 J＝1304（26）（咽（畑∑れ＝1，オ＝1，‥・，椚 J＝1
れ∈（0，1），ブ，ノ＝1，…，∽e∈百α

ここで，p＝（九），オ，ノ＝1，‥・，∽である．問題（l軌（用© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

においては，係数cは，もはや単に係数としてではなく，変数として取り扱われていることに注意しよう．
［0，1】の区間でいくつかのαを取り上げて問題（用と形式となる目的関数を最小化する通常の1レベルの計画問題に還元できる．

しかし，問題釦と等価な非線形計画問題をさまぎまなαに対して解くことは，計算の観点から困難であるため，問題（用とは完全に等価ではないが，問題（用の問題（用を解くことによって図1に示されるようなファジィ提携値宙（〃）を構成することを考える．
問題（l馴こ対しては，幸運にもファジィ数∂に対するα−レベル集合の性質より，百の実行可能領域は，最適値を悲観的に見積もる問題として，線形計画問題〝lJ乃max ∑∑c缶如
f＝1J＝1

それぞれ対応するα−レベル集合の左右の端点を用い〝ls．t． ∑れ＝1，ノ＝1，…
，椚て，閉区間［e⊥，C斤］のように表されるので，問題（用の最適解は次の問題を解くことにより得られる．

i＝1

￠カ

〝I

∑れ＝1，オ＝1，‥・，研 J＝1〝l〝lmax ∑∑c紬び
f＝1J＝1

れ∈（0，1），才，ノ＝1，…，刑〝lを採用する．この間題の最適値は問題￠鋸こ比べて明ら

s．t． ∑れ＝1，ノ＝1，…，刑
f三I伽）

m

∑れ＝1，ブ＝1，…，刑かに小さい最適値を与える．

問題帥と問題㈲の最通解をそれぞれ〆冊，〆此とJ＝1する．このとき，

れ∈（0，1），g，ノ＝1，…，桝

椚m

この間題の制約式の係数は0と1のみで，右辺定数も整数であるため，問題伽）の最適解はその実数緩和問題の最通解である．

浸（Ⅳ）…∑∑cお古凡

i＝1J＝1mm〃g（〃）…∑∑c弘志冊
i＝1ノ＝1

一方，問題（l鋸こついては，その実数緩和問題を考えとおき，αの値を［0，1】の間でさまざまに変化させていくことによって，図1のようなファジィ数で表されても爪mる提携使古（Ⅳ）を構成することができる．同様に

n ∑∑c血J＝lノ＝1

宙（5）を構成することができるので問題（用や問題（用かs．t． c∈百。

らファジィ協力ゲーム（〃，ウ）が生成されることが示〝lmmaX♪

∑∑cむβぴされた．

f＝1J＝1倒）〝Is．t． ∑れ＝1，ノ＝1，…，椚
i＝1m∑れ＝1，才＝1，…，椚
ノ＝1

如≧0，才，ノ＝1，‥・，椚となる．制約式の中にあるcをパラメータとした問
題は線形計画問題となり，その最通性の条件はKuhn−Tuckerの条件で与えられるので，問題Ql）Eま線形制約式と相補条件式で構成された制約条件のもとで，2次次に，ファジィパラメータを含む生産計画問題について考察する［17］．意思決定者の集合をⅣ＝（1，…，乃）とし，各意思決定者はそれぞれが所有する資源を共同で使用することにより，♪種類の製品を製造すると考える．意思決定者f∈Ⅳの初期所有資源を占r＝（占f，…，占ふ）とする．ここで，克は意思決定者才が所有する鳥番目の資源の畳で，ファジィ数で表されるものとし，メンバシップ関数の定義域を非負とする．
任意の提携5⊆Ⅳの所有する資源々の総量は︶〃り町 〃r㈲㌫（5）＝∑疏i∈∫1である．製品ノを1単位製造するには資源々∈（1，…，刑）をそれぞれ反射単位必要とする．また，製品ノを1単位販売すると〜ノの収入があるとする．パラメー
タ∂毎，どノもファジィ数とし，メンバシップ関数の左巻域を非負とする．

需要には制限がないものとして，この生産計画問題
0を資源制約のもとで♪種類の製品の販売による収入確。（明晩（Ⅳ）の最大化を目的としたファジィパラメータを含む最適図1提携〃ファジィ提携値
2002年5月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）305

乃化問題として定式化する．この生産計画モデルが線形〃吉（5）…∑d頑睨であるとすると，一般に提携Sの下でのファジィパ

J＝1Ji

ラメータを含む生産計画問題は次のように表現される．

〃g（S）…∑cヂ〟ヂ5月

max ∂1祝1十…＋∂♪以♪

J＝1とおき，αの値を［0，1］の間ででさまぎまに変化させていくことによって，ファジィ数で表される提携値

s．t． ∂11仇＋…＋∂1♪祝♪≦ふ（5）（細訂（S）を構成することができる．上述のように，問題∂椚1仇＋…＋反椚♪〟p≦㌫（S）㈹からファジィ協力ゲーム（Ⅳ，ウ）が生成されること

仇，…，α♪≧0が示された．問題㈹カ、ら生成されたファジィ協力ゲー

この間題に対してファジィ数で表現される目的関数ム（〃，ウ）をファジィ生産計画ゲームと呼ぶことにすの最大値が評価されると，提携5自身で獲得できるる．

収入の最大値を提携値訂（∫）とすることによってファ次に，ファジィ生産計画ゲームについて，α−コアジィ協力ゲーム（〃，ウ）を生成できる．
α−レベル集合を用いる．すなわち，与えられたα∈の存在やα−コアに含まれるの点の計算方法を考える．
補助定理1ファジィ生産計画ゲーム（〃，￠）はα一優加法的であり，〃雷（Ⅳ）一正（〃）≧〃g（5）−〃吉（S），∀5⊆［0，1］に対して，ファジィ数百＝（∂J），占＝（㌫），j＝Ⅳをみたす．

（反毎），烏＝1，・‥，研，ノ＝1，…，♪のすべてのメンバシッ

定理3 ファジィ生産計画ゲーム（〃，ヴ）は非空のα−プ関数の値がα以上であるようなα−レベル集合コアをもつ．

収入の最大値を求めるために，割当て問題と同様に（百，占，j）α＝（（c，む，A）l

実際にコアに属する利得ベクトルを見つけるために，〃どノ（q）≧α，ノ＝1，・‥，久感度解析や双対性の考えを利用して利得ベクトルを計〃ム（∂烏）≧α，点＝1，…，椚，￠刀〃∂u（α扉）≧α，々＝1，…，研，ノ＝1，‥・，♪）を導入する．割当て問題の時と同様に，与えられたα算する．問題㈹の双対問題を考えるために，ある方∈（1，・‥，研）に対応する右辺定数扇（S）に1を加えた次の間題を考える．

に対して問題㈹を楽観的および悲観的に評価する問題

max ∂1〝1＋‥・＋∂♪㍑♪

は，α−レベル集合の左右の端点を用いて，閉区間［c⊥，s．t． ∂抽1＋‥・＋郎勅遥扇（S）＋1
各射的十…十度々♪〟♪≦あ（5），烏≠々，々＝1，…，例e〟】，［が，ふ斤］，［Aエ，A〟］のように表されるので，それぞれ次のように定式化できる．
max cF的＋…＋cgα♪

仇，…，〟♪≧0s．t． 血仇＋‥・＋αf♪α♪≦好（5）

この間題から問題㈹と同様に，与えられたα∈［0，1］（細に対応する次の2つの問題を誘導できる．

羞1ZJ．＋‥・＋α乞♪〟♪≦占雲（S）

max cf仇＋…＋c￡恥仇，・‥，〟♪≧O

s．t． 砿仇＋・‥＋α急〟♪≦毎（5）＋1

max cチ仇十・‥十c￡祝♪

α雷1〝1＋‥・＋砿瑚遥朗（5），s．t． α且仇十‥＋菰勅遥辟（5）鋤々≠々，烏＝1，…，椚
￠醐

α1，・‥，㍑♪≧O

成1仇＋‥・＋α急♪α♪≦∂去（S）

max cF仇＋…十cg〝♪

仇，…，祝♪≧0s．t． α㌫〟1＋…＋塊㍑p≦∂君（S）＋1

ただし，問題￠馴ま割当て問題の場一合と同様に，パラメ

α主1仇＋…＋α宝♪祝♪≦古君（S），ータc，む，Aと決定変数〟に関するミニマックス問題

仇，‥・，〟♪≧0め，比較的容易に計算できる悲観的な最大値を与える問題㈲と問題別）の最適値をそれぞれzが，Zぎ とし，問題であると考えられる．

もとの問題㈲，㈹の最適値をそれぞれz左，Zgとする．

問題錮と問題㈹の最適解をそれぞれ〃＊∫⊥＝（揖皿，…，〟葺乱），〟＊S尺＝（〟ヂ5月，…，α葺5りとする．このとき，

糾々≠々，カ＝1，・‥，椚とは等価にならないが，線形計画問題で表現されるた306（28）

㈹

さらに，
鳥…鳥−
〟ZZ

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（姻オペレーションズ・リサーチ

y宮上…zぎ貞一Zg郎）

協力ゲームにおいて拡張されている［1，2，5，6，13，とおく．

15，24］．一方，非協力ゲームにおいては，戦略選択，定理4 与えられたα∈【0，1】とょ＝1，‥・，乃に対して，利得に対する選好，利得の生起，見積もられた利得の次の区間に属する利得ベクトルはα−コアに属する．

あいまい性などが考慮されたゲームが考察され，m［〟㌘，〟㌘］…∑【紺，ゐ㌘］［y左た，y㌘］糾

Nash均衡解が一般化されたり，その計算方法に関する研究が報告されている［3，4，7，8，12−15，20，烏＝1

ここで，［α，封［c，d】…［αC，ムd】とする．

21，25］．

定理4で与えられた各意思決定者に対する利得の区
参考文献

間は次のように解釈される．生産計画問題に含まれる数多くのパラメータを，問題の定式化に携わった専門家の人間としての判断のあいまい性を表現するためにファジィ数として表し，さらに意思決定者が生産計画問題の目的関数と制約式に含まれるファジィ数を規定するメンバシップ関数の帰属皮が，すべてある値α以上であればよいと判断したとき，各意思決定者への収入の公正な配分の予測を各資源の限界的な価値の最小値と最大値で表される区間と，各意思決定者の資源の初期保有量の最小値と最大値で表される区間の稗で評価している．さらに，各意思決定者に対してこの範囲の利得の組み合わせが提示されれば，その利得ベクトルを支配する異なる利得ベクトルを提示できない，すなわちどのような提携を形成しても，定理4で与えられた利得ベクトルよりもよい利得をその提携のメンバーに保証する利得ベクトルを提示できないことを示［1］）．−P．Aubin， Cooperative fuzzy game ，Math一
針睨班b＝〆（加憫め那月蝕御坊6，ト13，1981．

［2］）．−P．Aubin，MathematicalMethods qf Game andEconomic 771eOry，Revised Edition，North−Holland，Amsterdam，1982．

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［5］D．Butnariu， StabilityandShapleyvalueforan n−perSOnSfuzzygame，Fhz即SetsandSystems，4，63−

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［6］D．Butnariu，Valuesandcoresoffuzzygameswith

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Gα弼g乃eoり116，43−68，1987．

［7］J．］．Buckley， Multiple goalnon−COOPerative

している．

conflicts under uncertainty：a fuzzy set approach ，

4．おわりに凡ヱ砂Sgねα乃d伽ね桝5，13，107−124，1984・

本稿では，提携に属さないプレイヤーの助力なしに獲得できる利得を正確に見積もることが困難であるとの観点から，ファジィ数で表された提携値をもつファジィ協力ゲームと関連する概念を定義し，適用例としてファジィパラメータをもつ割当て問題と生産計画問題からファジィ協力ゲームを生成し，その解について考察した．定理等の証明は紙面の都合上割愛したが，興味のある読者は文献［15，16］を参照されたい．

［8］L．Campos，

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［9］Ⅰ．Curiel，CbqPe和IiveGame771eOTyandAMlications，KluwerAcademicPublishers，Dordrecht，1997．

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［11］Y．Kannai， The core and balancedness ，R．J

AumannandS．HartEds．，HbndbookqfGame771eO町，のゲームの一例であるため，他の研究についてごく簡

1，355−395，EIsevierSciencePublishers，1992．
［12］I．Nishizakiand M．Sakawa， Equilibrium solu−

単に紹介しておく．協力ゲームにおいて，提携に属しtionsformultiobjectivebimatrixgamesincorporating

たプレイヤーは彼の意思決定の権利を完全に提携に委

fuzzy goals

譲することを受け入れなければならず，このような厳4妙巌血ぬ喝86，433−458，1995．

ここで取り上げたトピックはファジィ環境のもとでしい制限を緩めるために，プレイヤーの提携への部分的な参加を表現できるファジィ提携が考慮された協力ゲームが，AubinやButnariuによって導入され，コアやシャプレイ値などの解概念がファジィ提携をもつ
2002年5月号，Joumald Otimization 771eOry a［13］西崎，坂和， 乃人協力ファジィゲームにおける虫小コ
ア，関連する解および仁 ，日本ファジィ学会誌，8，301−
309，1996．

［14］Ⅰ．Nishizakiand M．Sakawa， Equilibrium solu−© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（29）30丁tionsin multiobjective bimatrix games with fuzzy
payoffsandfuzzygoals

1

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