………………I……l………lll…llll…ll…ll…lll…llll……‖‖＝‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖…llllt………ll…lll…lll…lll……l………ll…………l…………lllIl…………ll……………lll……l…………‖＝‖‖‖………lll………lll………lll……l…ll………

数理計画：問題解決への広き門
茨木 俊秀…………l…lll……………………ll………………………l………lllll……l……l………ll…lll…lll…lll……l…lll…ll…………………………l……………………ll…………………………………ll……l…l…………ll…llll…ll…llll…lll…l…にはありません。そのことを理解するには、まず使っ

1． はじめにてタるのが一番だというのが私の意見です。使ってみ大学への通勤の途中に」、さな教会があって、そこに「狭き門より入れ、広き門より入る人は多いが、．‥（マタイ伝7章）」というような言葉が書いてあります。そういえば、昔読んだアンドレ・ジイドにも同名の小説がありました。これを見ながら、今回はひとつ、「数理計画」が間道解決への広い門であることを強調してみようと思い立った次第です。というのは、多くの人にとって数理計画が大変「狭き門」に映っており、その中へ入るのをためらわせているような気がするからですd

れば、数理計画が、問題解決への「広き門」であることが、実感できるはずです。
さて、この記事では、本特集のトップバッターとして、数理計画を使うには問題をどのように定式化するのか、数理計画の問題にはどのようなタイプがあるのか、またそれらはどのように役だっているのかなどをざっと紹介していきたいと思います。この特集の他の記事へのポインターも適宜付します。ただ、大学で数理計画の講義を取ったことのある人には、その最初の1、2回で学ぶことばかりですので、寝ころびながらさて、日々の生活から、企業、組織、さらには国際社会に至るまで、世の中に解決を迫られている問題は尽きることがありません。オペレーションズ・リサーチ

読み飛ばしてもらえば、十分です。

2．制約条件と目的関数は、これらの問題を解決するための学問であるといってよいのですが、とりわけ数理計画は、問題の解決策を最適解という形で提供できるという点で他と異なっています。しかし、数理計画が、数学的に高度な発展を遂げてしまったために、それを利用するにも、数学的に高度な知識がなければならないという印象を与えてしまったような気がします。でもそんなことはあ●りません。解決すべき問題を、数理計画問題にモデル化し、データを入力しさえすれば、あとは、数理計画のソフトが、最適解を求めてくれるからです。
オペレーションズ・リサーチの他にも、問題解決をどのような問題でも、解決策を考えるとき、その範囲を定める制約条件が存在するのが普通です。この制約条件を、決定すべき変数を用いた不等式や等式の組で表現するというのが、数理計画への定式化の第一歩です。こう書くと、大変抽象的で難しく聞こえてしまうのですが、例で説明すると、実は、簡単なことです。
仕事のブレークに飲むためのコーヒー、紅茶、…などを買い整えようとコンビニへ出かけたとしましょう。それぞれの値段は、単位量（g，mlなど）あたり、次の表の通りです。

標模している分野・手法はたくさんあります。人工知

コーヒー 紅茶 日本茶 ジュース

能、エキスパートシステム、ニューラルネットワーク、∬1

ファジィ理論、ソフトコンピューティング、創発システ

ム、など新しい名前が次々と生み出されています。守

値段：αj

備範囲はおのずと異なっていますが、数理計画ほど対最大必要量象を深く解析し、精密な解を提供してくれるものは他
いばらき としひで 京都大学大学院工学研究科数理2．0 2．5∬3こr4

3．00．5500g 300g 300g lOOOml

それぞれあまり買い溜めても仕方がないので、これも表に書いてあるように、最大必要量があります。また、欲しいものを欲しいだけ買えればよいのですが、工学専攻

あいにく財布の中には2000円しかありません。こ〒606京都市左京区吉田本町
Email：ibaraki＠kuamp．kyoto−u．aC．JP

1996年6 月号

J2

れらが制約条件です。制約条件を数式で記述するため© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（5）313

に、コーヒー、紅茶、…などの購入量を、∬1，ご2，…での場合）数学の基本的な問題として、昔から膨大な量表すことにしましょう。たとえば、コーヒーを￡1g買の研究がなされてきました。しかし、目的関数を導入うと、1g当たり2円ですから、2血1円かかります。

して、それを最大にする解（最適解といいます）を求他も同様に考えて、予算の制約は、めるという数理計画問題（あるいは最適化問題）の研
究は、比較的新しく、線形計画法のシンプレックス法

2・0ご1＋2・5∬2＋3・0∬3＋0・5∬4≦2000 （1）の生みの親として有名な、G．B．Dantzigに始まるとと書けます。最大必要量の制約はもっと直接的で、されています。もっとも、変分法など、最適化を扱う数学がなかったわけではないのですが、数理計画の実0≦諾1≦500，0≦諾2≦300，用上の重要さに着目し、一つの独立した分野として研0≦∬3≦300，0≦∬4≦1000（2）

究を始めたというところが、やはりDamtZig先生の慧です。各変数に0以上と・いう制約も付いているのは、眼たる負の値の購入量は意味を持たないからです。（1）と（2）

3．ナップサック問題とその最適解を合わせたものがこの間題の制約条件であり、これらの不等式の範囲で、解JJ（J＝1，2，3，4）を決定するこ上の問題を一般的に、とが求められているのです。

n目的関数：∑c〆り→最大上の制約条件を満たす解はたくさんあります。たとj＝1

えば、諾1＝…＝諾4＝100もーつの解なら、∬1＝…＝m∬4＝0だって立派な解です。どうせ買うなら、制約の制約条件：∑αJ∬J≦わ

範囲でできるだけたくさん、いや満足度が高くなるよ

ブ＝10≦勺≦祝J，J＝】▼，2，…，乃

うに買いたいものです。でもそのためには、満足度をきちんと定式化しておく必要があります。面倒くさがと書いてみましょう。すなわち係数の2．0，2．5，…などらずに、それぞれの飲物に対するあなたの好みの度合をαメ，CJのように文字を使って表し、また変数の個数いを数値化してみましょう。少々もったいぶって、時を一般的にmとしています。でもこういう式を見たか

好係数と名付けます。時好係数と購入量の積が、満足らといって、「あっ、難しい」と敬遠しないで下さい。

度を表します。

こうすることによって、同じタイプのすべての問題例を一括して扱うことができる上に、個々の具体的な億コーヒー 紅茶 日本茶 ジュース
嗜好係数：CJ

2．52．0・2．3を用いて述べるより、本質がよく分かるという利点も0．3あるからです。ただし、実際に最適解を求めるときには、具体的な億をデータとして指定しておかなければ全体の満足度は、単純に考えて、それぞれの満足度なりません。の和とし、問題（4）は、線形（1次式）の目的関数に、（変数の2・0∬1＋2・3∬2＋2・5∬3＋0．3∬4→最大と表しましょう。

（3）

上下限の式を除けば）線形の不等式を1本だけ持っています。このような問題はナップサック問題と呼ばれ式（3）は目的関数と呼ばれ、数理計画問題のもうています。その理由は、一つαメの重さの品物jをそ一つの基本的な要素です。一般に、数理計画問題は、れぞれ∬メ個（ただし、J＝1，2，…，托）、許容重量ぁの（1）（2）のような不等式で書かれた制約条件の下で、ナップサックに詰める問題と解釈できるからです。

（3）のような目的関数を最大（あるいは最小）にする解

ところで、ナップサック問題の最適解は、・複雑なソご＝（∬1，∬2，∬3，∬4）を求めるという形に書かれます。

フトを使うまでもなく簡単な計算で求めることがで

この間題は、巌密に言うと、飲物最適購入問題となりきます。すなわち、ますが、大層なので、以下ではティータイム問題と呼Cブ／αブ，j＝1，2，‥り乃ぶことにしましょう。という比を考えると、ティータイム問題では、品物J与えられた制約条件に対し、それらを満足する解（実行可能解といいます）の存在を判定したり、それの1円当たりの満足度（すなわち、コスト・パフォーを求めるというのは、（とくに、制約条件が方程式系マンス）を表しています。おなじ1円を使うなら、こ
オペレーションズ・リサーチ

314（6）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（4）

の比を最大にする品物に当てるのが有利ですから、全制約条件の数mと変数の個数几は、現実の問題で品をcj／αjの大きいものから順に並べ、その順に最大は、何百、何千いや何万という大規模なものになるこ必要量まで購入していくという手が使えます。もちろともあります。幸い線形計画については、シンプレッ

ん、予算を使いきるとそこで打ち切りです。このアイクス法や内点法など、いろいろなアルゴリズムが詳し

デアを先の例に適用してみましょう。

く研究されており、それらを組み込んだソフトも数多く開発されています。これらを用いると、パソコンやCJ／αメ： 2・0／2・0＝1・0（コーヒー）

ワークステーションでも、几とmが何百（場合によって2．3／2．5＝0．92（紅茶）は何千）程度の問題ならば、十分解くことができます。

2・5／3．0＝0．83（日本茶）ちなみに、このティータイム問題に対し、前の解（5）0．3／0．5＝0．6（ジュース）はもはや実行可能解ではありません。適当なソフトで最適解を計算してみるとに従って、購入量は、この順にそれぞれ●∬1＝ 500（コーヒー1000円分）∬1＝500（コーヒー1000円分）∬2 ＝ 300（紅茶750円分）∬2＝0（紅茶0円分）∬3 ＝ 250／3（日本茶250円分）

ご3＝250（日本茶950円分）∬4 ＝0（ジュース0円分）

ご4＝500（ジュース250円分）（5）

満足度＝1775となります。日本茶を250円買ったところで予算の2000円を使いきってしまいますので、ジュースを買う（8）となります。この解がすべての制約条件を満たしていことはできません。このときの満足度は1898．3です。

ることは容易に確認できるでしょう。また、この程度

ここでは述べませんが、このようにして得られる解がの問題であれば、よく考えれば、最適性も証明できま

常に最適であることを理論的にきちんと示すことがすが、ここでは、計算結果を信じてもらうことにしまできます。

す。
ところで、線形計画のソフトを使うにあたって、問4．線形計画問題

題のデータはどのように入力するのでしょうか。もち上のティータイム問題の主な制約条件は、サイフのろん、問題（7）の係数、CJ，αij，≠ブ，わiを入力するだけ中身からきた式（1）だけでした。しかし、これ以外になのですが、たとえばm＝m＝1000という例では制約がつくこともあるでしょう。たとえば、コーヒー叫だけでも100万個にもなってしまいます。しかし、と紅茶は似ているので、両方合わせてせいぜい500g多くのソフトには、入力の手間を軽減するための工夫あれば十分だとか、いや紅茶と日本茶についても、両が組み込まれています。0でない係数のみを入力する方で300g以下、あるいはジュースも少しは欲しいの（これだけでも、全体の数パーセントですむことが多で、少なくとも500ml以上は購入するようにしたい、い）、他の類似の問題のデータを取り込んで変更部分などです。これらを数式で書くと、のみ入力する、係数行列の規則的な部分については生諾1＋∬2≦500，∬2＋∬3≦300，∬4≧500 （6）成のためのソフトがついている、などです。さらに、となります。この場合、式（1）（2）（6）の全体を制約条

本特集の八巻先生の記事には、次に出てくる非線形計件として、式（3）の目的関数を最大にする問題が得ら

画問題も含めて、より高度なデータの入力法が説明しれますが、これはもはやナップサック問題ではありまてあります。これらを使えば、データの入力は思ったせん。このように複数個の線形不等式条件をもつ問題ほど大変でないことも多いのです。

は、線形計画問題と呼ばれ、数理計画の最も代表的な

5．非線形計画問題対象となっています。

これまでの例では、制約条件と目的関数は共に線形目的関数‥ ∑完1C〆り→最大（1次式）でした。現実の多くの最適化問題では、すく

制約条件‥ ∑完1叩メ≦わi，よ＝1，2，…，m0≦ごメ≦祝メ，J＝1，2，‥・，几・

1996年6 月号（7）なくとも近似的には線形の扱いが可能な場合が多いのですが、そうでない例ももちろんあります。

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（7）315

J2＝127・27（紅茶318・17円分）

たとえば、先のティータイム問題では、コーヒーご1gの満足度を2．0∬1と書きましたが、これは線形の比

ご3＝172・73（日本茶518．19円分）

例関係、つまり、購入量ヱ1が2倍になれば満足度も2∬4＝836・36（ジュース418．18円分）倍になるという関係を表しています。しかし、∬1が涌足度＝1151．73小さい内は2．0∬1でよいが、大きくなるにつれて、満（9）足度の増え方は減少して、下図の力（∬1）ような曲線となります。曲線が関係するだけに、小数を含んだ複じゃないかという人もいるでしょう（これは、原点で雑な数字になっており、またすべてをある程度ずつ買の傾きが2．0で、∬1＝500（＝鋸1）で傾きが0になうという結果になっています。

る2次曲線です）。他の飲物についても同じように考えると、次の間題になります。

非線形計画では、線形性にとらわれずに自由に目関数や制約条件を選べるので、それがカバーする問題の範囲は大変広いものになります。逆に言うと、その中には数学的に難しい問題も含まれていますから、満足度すべての非線形計画問題をすらすらと解いてしまうアルゴリズムを期待するのは無理というものです。しかし、非線形計画のアルゴリズムの最近の発達は著しく、また、ソフトも整備されてきていますので、あまりひねくれた問題でなければ、結構大規模なものも扱い得るようになってきています。このあたりの様子は、八巻先生の解説に詳しく書いてありますので、お読み下さい。
ul＝5∞6．整数計画と組合せ最適化
ティータイムはまだ続きます。上の例では、たとえ

図1：コーヒーの満足度曲線

ばコいヒーを372．73g買うという結果になりましたが、これを実行するのは実際には困難です。最近で目的関数：∑；＝1榊J）→最大はすべてパックになって売られているので、パックの制約条件：2．0ェ1＋2．5ご2＋3．0∬3＋0．5諾4≦2000∬1＋∬2≦500，∬2＋諾3≦300，∬4≧500
0≦∬1≦500，0≦J2≦300
0≦ご3≦300，0≦エ4≦1000
ただし 、整数倍でないと困るからです。話を決めてしまうために、パックの大きさは、コーヒー200g，紅茶と日本茶は100g，ジュースは500mlとしましょう。購入すべ

きパック数をそれぞれ鋸と記すと、ティータイム問
題は、つぎのようになります。

ム（諾1）＝−（2．0／1000）ご…＋2血1

目的関数：400yl＋230y2＋250y3＋150y4一→最大ム（諾2）＝−（2．3／600）ご…＋2．3∬2

制約条件：400yl＋250y2＋300y3＋250y4≦2000

ム（ご3）＝−（2．5／600）∬三＋2．5∬3ム（ヱ4）＝−（0．3／2000）∬雲＋0．3諾4．
この種の問題は、線形に非ずということで、非線形

200yl＋100y2≦500
100y2＋100y3≦300500y4≧5000≦yl≦2．5，0≦y2≦3計画問題と呼ばれています。この例では目的関数だ0≦y3≦3，0≦y4≦2

けですが、制約条件に非線形不等式を考えることもあyl，y2，y3，y4：整数

り、これらはすべて非線形計画問題です。

一見すると、線形計画問題と同じような形をしていま上の新しいティータイム問題を、非線形計画用のソすが、制約条件の最後にある整数条件がくせ者で、こフトを用いて解いてみると、の条件のために数学的にもアルゴリズム的にも、全く∬1＝372・73（コーヒー745・46円分）

異なった扱いをしなければなりません。一般に、線形オペレーションズ・リサーチ

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●

計画問題に（一部あるいは全部の）変数の整数条件がして、これらすべての通倍のルートとそこを流れる通加わったものを整数計画問題と呼んでいます。

倍量が、リンクの容量制限の下で実現できるでしょう

さいわい、塵数計画問題に対してもいろいろなソフか。Jた上の通倍巧→りの量を変数石井で表すと、一次不等式を用いて必要な制約を書くことができます。

トがありますので、その一つを使って解いてみると、

この間題では、変数ごijkが几2m個存在しますから、

yl＝2（コーヒー800円）

陀＝50，m＝100という比較的小規模なネットワーク

y2＝0（紅茶0円）

でも変数の数は25万個にもなってしまいます。

y3＝3（日本茶900円）

AT＆Tなどの通倍会社では、時間的に変動する需要毎に合わせるために、このような問題を一定時間

y4＝1（ジュース250円）ごとに解いて、その時点の最適ルートを通して通倍を満足度＝1700（10）行うというダイナミック・ルーティング方式を採用しとなりました。この解は、予算2000円のうち1950円ています。そのため、しか使ってないのですが、どう考えてもこれより満足解く必要があり、線形計画法の新アルゴリズムである度を上げる解を作ることはできません。このあたりが整数計画の難しい、いやおもしろいとこ・ろです。

カーマーカー法が用いられたことでも話題になりました。

整数変数鋸を導入することで、パック放という離散的な量を扱えるようになったわけですが、世の中にはこのように離散的な（あるいは組合せ的な）決定を迫られることがよくあります。とくに、ある計画を実行するかしないか、ある要素を選ぶか選ばないか、など、YESあるいはNOの答が必要な場合がよくありますが、これらは0あるいは1をとる変数を導入すれば定式化できます。
離散的あるいは組合せ的な性質を扱う問題は、より一般的に、組合せ最適化問題と呼ばれ、数理計画の重V3要な分野となっています。上のように、整数計画問題に直してからと解こうというのもーつの標準的なア

図2：通倍ネットワークプローチですが、問題ごとに専用の定式化とアルゴリズムを考えることもなされています。最近では、メタ・もう一つの例として、航空便の搭乗月スケジューリヒューリスティックスと絵称される近似アルゴリズムング問題を考えてみましょう。航空会社は、生き残りが盛んに研究されており、これについてはこの特集のをかけて、経営の合理化にしのぎを削っていますが、久保先生の記事が大変参考になります。

たしかに、最近、出てくる食事はすっかり合理化され、スチュワーデスの数も少なくなったことを実感し7．・大規模な問題ます。このパイロット、パーサー、スチュワーデスなティータイム問題は変数を4個しか持たない、おもちゃのような問題（toyproblem）でした。しかし現実どのスケジューリング問題は、各航空会社が頭を悩ませているものです。には多くの変数と制約式をもつ大規模な問題がいく

簡単のため、各便に搭乗するパイロットのスケジュらでも登場します。ここに、二つばかりそのような例ーリングのみを取り上げます。計画期間中に、一人のをあげてみましょう。

パイロットが取り得るスケジュールの一つ、たとえば、

几地点γ1，γ2，…，γnを結ぶ通倍ネットワークを考え今日成田からA便に乗ってニューヨークへ行き、一晩ます。ネットワーク中にはm本のリンクJl，J2，…，Jm

泊まった後、次の日のB便でニューヨークからロンドが張られており、Jたの容量は視たであるとします。簡ンへ飛び、さらにC便でロンドンから関西空港へ、と単な例を図2に示します。いま、それぞれの（i，J）対いったものをレグ（1eg）と言います。このようなレグについて巧→り方向の通倍の要求量が布であるとの内、現実性のあるものを数え上げて、乃個求めたと1996年6 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（9）317

します。すると、m便のすべてにパイロットを配置しても制約の内容が確率的であったり、ファジィな記述なければならないという制約条件の下で、必要なパイが避けられないという場合です。詳しく述べると長くロット数の最小化を図るという数理計画問題が得られなってしまいますので省略しますが、数理計画には確ます。

率計画やファジィ計画もあって、このような状況に対この間題は整数計画問題になるのですが、便数m処することができます。

が少し大きくなると、可能なレグの個数乃は組合せ的

また、制約条件と目的関数をどう区別するかといに爆発してしまい、すぐに何万あるいは何十万といううことも、しばしば問題になります。ティータイム問

大きさになります。したがって、近似解法が試みられ題では、予算の制約を2000円としましたが、とくにていますが、実用上重要な問題なので、人工知能やエ2000円に限定することはなく、なるべく安くあげた

キスパートシステムによるアプローチなども含めて、いというのが本音なのかも分かりません。つまり、予いろいろな問題解決手法の実験場となっている感があ算の式（1）は、目的関数ります。最近では、メタ・ヒューリスティックスの旗色が良いと聞いています。
この特集には、以上の他にも数理計画の興味深い応用がいろいろ扱われています。今野先生の「理財工2．0：rl＋2．5∬2＋3．0こr3＋0．5ズ4→最小とすべきだというわけです。
今までの定式化では、目的関数はつねに一つだけで学」では、ファイナンスの問題に関連して大規模な非した。これも考えてみればおかしな話で、現実の問題線形計画問題が登場します。今野先生独特の語り口

では、あれもこれも最適化したいというのが、むしろで、数理計画のような定量的アプローチの重要さが力普通かも分かりません。このような欲の深い人は、強く述べられています。福島先生の「均衡モデル」は、「二兎を追うものは一兎も得ず」と切り捨ててしまう

相補性条件を持つ非線形問題であり、交通流にからむこともできるのですが、心優しい数理計画はちゃんと問題を題材に、幅広い応用と解法が、最近の動向も含多目的最適化という分野を準備しています。そこでめて解説されています。久保先生の「タグより安い数は、複数個の目的関数のバランスを取って、いかに稔理計画」では、組合せ最適化の代表的な例である配送

合的な最適化を計るかが研究されていて、この目的の計画問題が扱われています。そこで出てくるルート生ソフトも開発されています。詳しくは本特集の中山先成法は上のパイロット問題の解法と本質的に同じもの生の解説を見て下さい。
数理計画問題へのモデル化にあたって大切なポインです。

トは、重要な変数、制約および目的関数を厳選して、なるべくシンプルなモデルをつくることです。重要さ

臥 定式化にあたっての分からないものは、最初は無視してモデルを作って現場の人たちと数理計画の話をすることがときどしまい、得られた解を見ながら改めてその対策を考えきあります。そこで、さあ制約条件と目的関数を書いるのが現実的です。このあたりのトレーードオフを如何てみましょうという段になると、「さて？」と頭をひに行うかは重要で、問題解決に至るまでには、いくつねってしまうことが結構あります。日頃、制約条件ともの数理計画のモデルを作っては解くという作業を反か目的関数を意識して整理したことはないという訳復することになります。

です。そこで、もう少し詳しく話をきいて、制約条件数理計画について次のような批判を聞きます。「…と目的関数の作成の手助けをすることになるのです

を解決するために、数理計画問題に定式化して最適が、対象とする問題をこのように系統立てて考え直す解を求めたが、実際にはいろいろな理由で使えなかっだけでも、問題に対する新しい理解が得られることがた。だから、数学的に厳密な最適解を求めても仕方が多いようです。その結果、数理計画のソフトを使うまない。」でも、使えなかった理由は、最適解にあるのでもなく、解決策の見当がついてしまうことすら少なではなく、その元になっている数理計画のモデルが対くありません。

象を正しく表現していなかったからです。正しいモデ

ところで、制約条件によっては、これまで述べたよ

ルを得る努力を怠っては、役に立つ情報が得られないうな不等式に書けないこともあります。データが不足ことは、数理計画だけでなく、どのような問題解決手していて書けない場合はもちろんですが、そうでなく法にも共通しています。もう一度書きますが、シンプ

318（10）オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

ルでしかも本質を的確にとらえたモデルの構築が、数理計画によるアプローチの成功の鍵をにぎっているのけがあるかもわかりません。

本文中の例題の数値解は、文献【7】のソフトを用です。中山先生の記事でも、モデル化の重要性が議論いて得ました。この本には、プログラムが別売りされされており、意思決定という観点からみれば、解法よていますので、簡単に試してみることができます。さり大切だとさえ述べてあります。この点については、らに最近では、久保先生の記事の中にも出てくるよう私も全く同意見です。に、PDS（publicdomainsoftware）として簡単に入手できるタダ（！）のソフトもたくさんありますので、と9．意思決定支援システムヘの道
数理計画問題へのモデル化は、私たちの問題に対する認識を数式という言語で記述していることに他なりません。数理計画では、この記述さえ与えれば、それを解くという作業は数理計画のアルゴリズム（つまり、ソフト）にまかせてしまうことができます。
しかし、世の中の複雑な問題が、すべてこのパターンで解決出来るとは限りません。初期の人工知能によるアプローチも、対象を論理的な言語で記述すれば、もかく身近な問題を解いてみることをお勧めします。
最後に、狭き門と広き門の話には続きがあります。
聖書によると、広い門から楽に入った人は、実は、そのあと苦労することになるのです。これは、数理計画にあてはめてもかなりの真理を含んでいるような気がしますが、ここで深く追求することはやめておきましょう。楽に得られる成果だけでも結構大きなものがあるのですから。

参考文献

あとは論理的推論で解決策を見い出すことができると考えていました。しかし、この理想だけではシステ
ムの効率があまりにも悪いことがすぐ明らかになり、つぎは問題の解き方に関して我々がもっている知識をいかに取り込むかがテーマになりました。いわゆるエ波書店（1982）・【広い範囲の話題を要領よく．】［2】伊理正夫： 線形計画法 、共立出版（1986）．【線形計画の定評ある教科書．］【3】Ⅴ・フバータル（阪田省二郎、藤野和建、田口東キスパートシステムはその成果の一つです。

数理計画は、記述された問題を解く能力はきわめて高いのですが、やはりこれだけでは問題解決手法として限界があります。人工知能の場合と同じく、問題解決に役立つ知識を積極的に取り入れることが必要だと考えられます。これは、数理計画に基づく意思決定支援システムと呼ぶべきもので、数理計画がさらに発展して行くための一つの方向を示しているのでは●【1】西川よし−、三宮信夫、茨木俊秀： 最適化 、岩ないでしょうか。この範時に入るシステムも、具体的訳）‥ 儀形計画法、上、下 、啓学出版（1986）．【線形計画の理論から応用までを詳しく．名著．］【4】今野浩： 線形計画法 、日科技連（19即）．【単体法、2次計画、内点法などをやや詳しく．】［5】平本巌、木下昌男、栗原和夫： パソコンパッケー
ジによる例解線形計画法 、サイエンス社（1986）．
【パッケージの計算例に基づく説明．】【6］坂和正敏： 経営数理システムの基礎 、森北出

な問題については、結構見かけるようになってきまし版（1991）．【線形計画、多目的、ファジィ、ゲームた。今後の展開が楽しみです。

理論など．】［7】茨木俊秀、福島雅夫：むすび

FORTRAⅣ77最適化プロ

グラミング 、岩波書店（1991）．【各種最適化アルゴリズムのプログラム付き．】

この特集の導入として、用語の説明と若干の応用例を紹介しました。かなり数式を使ってしまいましたが、話に具体性を持たせるため、やむを得なかったというのが言い訳です。

いや、数式はこわくない。それより数理計画を詳しく勉強したい、という殊勝な方もおちれるかもわかりませんので、念のため、線形計画を中心に教科書的な参考文献を何冊かあげておきます。ただし、本箱をざつとみて目についたものをひろっただけですので、抜1996年6 月号【司森雅夫、森戸晋、鈴木久敏、山本芳嗣： オペレー

ションズリサーチⅠ 、朝倉書店（1991）．【ORと数理計画の話題・応用例がおもしろい．】［9】藤田宏、今野浩、田通園士： 優遇化法 、岩波講

座応用数学、岩波書店（1994）．【最適化理論のコンパクトな紹介．】【10】￣森哲男： 数理計画法 、共立出版（1994）．【線形、非線形、ネットワーク、組合せ最適化など．】© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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