研究レポート
1I IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIInllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll1II 1111111111111111111 U1 11111111111111111111川 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

オプション売買高の時間推移に関する考察
田中泰明，土肥正，高木繁行，海生直人，尾崎俊治
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l1.

はじめに(円)

(枚)

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2000

株式オプションは先物取引と並んで投資家にとって有力なリスク・ヘッジの手段である.投資家は原株の売買とオプションを組み合せて効果的なポートフォリオを組むことにより株式相場のさまざまな変動に対応することが可能となる.わが国においても 1989年 6 月の大阪証券取引所を皮切りに，東京，名古屋の各証券取引所において株価指数を対象としたオプション市場が開設されている.現在までに数多くのオプションに関する研究 [IJ ー[3J が報告されているが，それらの大部分はオプション評価モデルすなわち市場の均衡に基礎を置いてオプションのリリース時における妥当なプレミアム値を算出するための数学的モデルを取り扱ったものである.このモデルの特徴として(i)オプションは純粋なリスク・へッジの手段として取り扱われていること (ü) オプションは権利行て名証 25 オプション(1 989年 12 月物)売買高の時間変化を使により決済されるかあるいはその権利が放棄されるか

図 1 に示す.これによれば満期日に至るまでのある時期のいずれかであると L 、う点が仮定されていることなどがにおいて売買高にピークが存在していることがわかる.

挙げられる.

一般にオプションの売買高は種々の要因により複雑に変

しかしながらオプションは権利行使だけではなくオプション証券そのものの売買い、わゆる転売や買い戻し)によっても決済することが可能である.すなわち現実の動するが，このような傾向は株式以外の他のオプション市場においてもよく見受けられるものである.
オプションの取引高が高くなる時期は権利の売買によオプション市場において投資家は常に権利行使と権利のり利得を得ょうとする投資家にとって格好の機会であり売買という 2 つの決済方法から成る利得を念頭に置いて当然その時期を知ることは投資戦略上非常に重要であおり，特に転売，買い戻しにより利得を得ょうとする取る.またオプションの転売による利得を知ることは従来引が積極的に行なわれているのが現状である.一例としのオプション評価モデルにおいては評価され得なかった付加価値を評価することであり，初期リリース時においたなかひろあき

どひ

ただし

広島大学工学部第二類(電気系 lt

広島大学大学院工学研究科Tてオプションを購入するか否かを決定する上で重要な情報となり得る.このような実状にもかかわらず従来のオ

たかぎ

しげゆき

広島大学大学院工学研究科T

プションに関する研究においては売買高の時間推移を取か L 、おなおと

広島修道大学商学部管理科学科 tt

り扱うような数学モデルはほとんど議論されていない.

おさき

しゅんじ広島大学工学部第二類(電気系)十•干 724 東広島市西条町下見

tt 干 731-31 広島市安佐南区沼田町大塚 1717
受理平成 2 年 7 月 16 日

90(34)

特に注意しなければならないのは市場の完全性と均衡条
件の下に構築された従来のオプション評価モデルにおいては転売行為そのものが実現し得ない点である.
こういった点を鑑み本論文ではヨーロピアン・コー© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

ル・オプションを例にとり，その転売問題について考察

し現実のオプション市場における売買高の時間推移をオ仮定できるものとする.
(i)原株やオプションの取引における手数料は不要であプションのリリース時に推測し得るようなモデルの構築る.

を試みる.

配当は考えない. (üi)市場には無危険資産が存在し，その(ü)空売りに対するペナルティーは存在せず，原株の短期利子率 r は既知の定数である.

2. オプション価格の指標また仮定(出)にもとづき，利得はすべてこの利子率 r に

現実のオプション市場で、の取引においては，投資家のよる時間価値の推移を考えて評価するものとする.

さまざまな思惑と駆引きによりオプションの売買価格は

2.
3 オプション価格の指標

複雑に変動するが，解析を進めるにあたってはその価格

時刻U t， 株価 z のときの，コール・オプションの売買価格を C(x， t) で表わし，についてなんらかの指標を定める必要がある.

本論文では，オプションの価格が株価と時刻の確定関リリース時刻 t=O から満期時刻 t=T に至るまで，この価格で売買されるものとしよ

数として定まると仮定し，株価の不規則変動の間接的なう.したがって，オプションのリリース価格は初期株価影響を受けることによりプレミアムが不規則に変動するを Xo として C(xo ， O) と表わすことができる.時刻 τ(0 くものと考える.

!"<T) での原株の価格引が既知のもとでの，満期における株価を X(Tlx，) とし，この時刻での株価が既知の2.1 株価の不規則変動の破率モデル
時刻 t における株価を X(t) と表わし，この時間変動もとで、の，オプション保有者が満期 t=T において得るは次のIt ô 型確率微分方程式 [IJ[4J[5J により記述されことのできる利得を G 1 ( 叫)と表わすと，オプション保るものとする.

有者は，満期において株価が権利行使価格を上回った場

dX(t)=( μ 十七うX(t)d山X(t)dW(t) ・ここで μ は株式の平均収益率，σ はボラティリティー (volatility) と呼ばれる定数であり ，標準 Wiener 過程である.

(1)

W(t) は l 次元

式 (1) を初期条件 X(O)=xoのもとで Itô の公式 [4J[5J を用いて解けば，

X(t)=xoexp[μ t+ σ W(t)J ，(2)となるので，初期株価 Xo が既知のもとでの X(t) の推移確率分布は，次のような対数正規分布となる.

(t 注 0).

G 1 (x， )=max[X(Tlx， )-K， OJ ー C(xo ， O)e rT ，(6)と表わすことができる.ここで，式(的中の X(Tlx，) は，式(5) で与えられる確率分布にしたがう確率変数であるから，G 1 (x.) も確率変数となる点に注意しよう.一方，オプション保有者が満期まで待つことなく，この時刻t=!" において第三者にオプションを転売したときに得られる利得の満期における価値を G 2 (x，) とすると，(7)G 2 (x， )=C(x" τ )er(T- ， )-C(xo ， O)e rT ，Fx(x , tlxo , 0) 三 Pr[X(t) ζxIX(O)=xoJ=φ院竺]合にのみオプションの権利を行使するので，と表わされることになる.

(のさて市場における個々の投資家に注目すれば，ある投資家はその行動により利益を上げ，またある投資家は損

ここで φ( ・)は標準正規分布関数であり，次式で定義される.

失を被るであろう.しかし市場全体としては無危険資産による時間価値の推移と L 、う点を除けばゼロ・サムの状φ( ←右 j二 e叫- r]dy(4)また，任意時刻 t= τ(0 くす)における株価 X(τ) 三引が既知で、あるという条件下での，株価の推移確率分布も同態が成立していると考えられる.このような状態のもとでは時刻 t= τ におけるオプションの売却による利得の満期価値 G 2 (x，) と満期における利得の期待値が等しくなる，すなわち，様に1 1 og三一 μ (t-!" )-~Lσ 、It-r

1Jが成立することが予想できる.式(8)が成立することを本(t 二三 τ) ，(5)

論文では“中立的"であると呼ぶことにする.確率分布式 (5) を用いて，式 (8) を具体的に評価し，この結果をとし、う対数正規分布となる.

C(x，.!") について解くことにより，

2.
2 市場に対するいくつかの仮定
本論文では考察の対象とする市場の“完全性"の仮定を必要としないが，解析を簡単にするために次の 3 点は1991 年 2 月号

(8)

E[G 1 (x , )J=G 2 (X ,),Fx(x ， tlx，，!") 三 Pr[X(t) ζxIX(O)=x.J

C(x" 市 x. 叫 [(μ+す σ2ー州 T-!")]φ (d)-Ke- γ (T- ，) φ (d ー σ 、17:'二子))，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(9)(35)91

3.1 オプション保有者の判断基準

d-hg会 +(μ+σ2) (T‑‑r)一(10)σ vT- 7:

オプションの保有者は式(6)の G ， (x.) と式仰の G 2 (x.)との比較において後者が前者を下回らない確率がある定を得ることができる.
この関係式は，転売を行なおうとする時刻 r を固定する毎に成立するから，結局満期までの任意の時刻におい数 p， (O<p，<1) を上回ったとき，すなわち，
Pr[G ， ~G2J ミ Pl>悩)て，コール・オプションの“中立的な"売買価格は式 (9)が成立する場合にのみ，転売を決意すると考える . p， は，で与えられることになる.これは津木ら [6J の提案する保有者からみて転売により利得が得られる確率の下限値

アメリカン・コール・オプションの最適停止問題における合理的価格と一致するという点は興味深い.このことはヨーロピアン・コール・オプションの満期までの転売の可能性がアメリカン・コール・オプションの，満期までの任意時刻における権利行使の可能性と同等の“価値"を有するであろうことを示唆している.さらに市場
において，

)‑uF
“川μ+÷σ2=r，の関係が成立するとき式 (9)はよく知られた Blackand

Scholes のオプション評価モデル[ 1J に帰着されることになる.以下ではプレミアムの売買価格の指標，すなわ

ちオプション市場における売買価格の指標として式 (9)をを表わす.満期株価 X(Tlx.) は式(5)で与えられる確率分布にしたがうので，式(14)は標準正規分布関数を用いて，Ilo lZ~ +eT(T 寸 )C(x，，7:)
φ1----':zμ(T-T)1

Lσ vT- 7:1~ Pt.と表わすことができる.

3.
2 買い手側の判断基準
オプションの買い手の利得は，式回で与えられる G.

(x.) が正となった場合に発生するから，その確率が，ある定数 P2 (O<h< 1)を上回った場合，すなわち，
Pr[G8(x.)>oJ~ P2.闘を満足する場合に，オプション証券を買い受けると考える.同様にして式回も標準正規分布関数を用いてIlolZ~+eT(T叶 )C(x，，7: L-u(T-T)lz
一 μ (T 一川，~云 l-P2'L
σ 、/7'二示」

用いて転売問題を考察する.

φ110g

3. 転売成立条件の定式化(15)間と表わすことができる . P2 は買い手からみて転売の買い

本節では，実際のオプション市場において転売が成立受けにより利得が得られる確率の下限値を表わす.

3.
3 転売成立条件するための条件を数学的に定式化する.
前節で導出したオプション価格は，先に述べた意味で転売が成立するためには売り手，買い手両者の思惑が中立的な価格であるから，オプションの保有者全員が一一致することが必要である.したがって式回と式聞から様に中立的な，すなわち期待値にもとづいた判断基準を有しているならば，第三者に転売しようとする者は現わu(T- 7:) I
1logーμ
わさ三 φ~. 1=ー|云 l-h ，しσ""~.- 7:Jれないことになる.このことは転売を受けようとする側が成立するとき，売買が成立すると考えることができ(以降買い手と呼ぶ)から見ても同様である.

時

る.ただし，式 (18) が意味を持つのは ， P， +P2<1 が成立

刻 t= 7: でオプションを購入した買い手の，満期日でのしている場合であり，もし Pt+ P2~ 1 であるならば，売実際，利得を G.(x.) とすると，(1到となるのでオプション価格の評価式(9) を代入すれば，景にもかかわらず現実の市場において実際にオプションが売買取り引きされているのは保有者と買い手がともに全体として中立的でない判断基準にもとづいた投資政策を有しているためであると考えることができる.このことを数学的に表現するために本論文では以下に述べるよ92 (36)

為は成立し得ないことになる.

3.
4 転売成立確率(13)となることは容易に確かめられる.このような数学的背うな下限確率を導入する.

同り手と買い手の思惑が相反することになるため，転売行

G.=max[X(Tlx.)-K , OJ ー C(x，，7: )e T (T 吋)，
E[G.(x.)J=O ,IlolZ~ +eT(T- 叩 (x" 7:L (T‑7:)l

本節で提案した転売条件式(18)は，転売時刻 t= 7: での株価叫が既知であるならば決定論的なものとなる.しかしながら，初期株価拘だけが既知の場合，引は確率分布 Fx( η，7: I X o ， O) にしたがう確率変数であるから，式(1引が成立するか否かは確率的にしか判断し得ない.式(18) を満たす人の領域を D. とすると，

P R ( τ)=jDFx(mlzh0) ，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

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図 2】一、 áJr\「ミ↓時刻σ=0.1 (一定)のもとでの転売成立確率

図 3の時間推移

μ=0.2( 一定)のもとでの転売成立確率の時間変化

は初期株価が既知のもとでの，時刻 T での転売成立確率を表わすことになる.

図 2 は σ=0.1 にしたとき， μ =0.1 ， p=0.2 の 2 通りについて式帥で表わされる転売成立確率の時間推移を示したものである.ただし下限確率値は Pt=60[%] ， pz=4. 数値例と考察30[%J に設定してある.一方図 3 は同じ下限確率値につここでは満期 T=0.33[年 J(= 4 カ月)，行使価格 K=

いて μ=0.2 のときの転売成立確率の時間推移を(1=40[ ドル]のヨーロピアン・コール・オプションを例に取0. 1, σ=0.2 の 2 通りについて示したものである.これり，数値計算により転売成立確率の時間推移の考察を行らの図から転売成立の確率は満期までのある時期においなう.式倒の積分はモンテ・カルロ法[7]により 5 [日]てピ -9 を示すことがわかる.株価の変動を支配するパ間隔で数値評価し，各時刻での発生サンフ勺L 数は 1000個ラメータがおよぽす影響を見てみると，σ が同じ値であとする.また初期株価 Xo は 40[ ドル J ，利子率 r は年利

るならば μ が大きい方が，また μ が同じ値ならば σ が小率で0.05 であるものとする.

さい方が転売成立確率は小さくなりピークの位置は満期に近い時刻に移動することがわかる.これは原株の価絡の上昇が確実に見込める状況下ではオプションの保有者(%)25が売却を決意しにくいためであり，逆に株価の平均的上昇率に比べてそのまわりのばらつきが大きい場合にはリ20

リース直後において原株の収益に大きな期待が持てないので売却を決意しやすいためであると考えることができ

15る.

次に図 4 は μ=0.2， σ=0.1 ， P2 =0.35 のとき，保有10者側の下限確率ムのいくつかの値について転売成立確率の時間推移を示したものである.この結果から転売成

5

立確率はムの変動にかなり敏感に反応し，わが大きくなるほど成立確率は小さくなり，ピ -9 の位置は満期側。

.34(JJH寺安IJ

図 4オプション保有者の姿勢の変化と，転売成立確率の時間推移の関係
1991 年 2 月号に移動することがわかる.したがってオプション保有者が慎重な意思決定を行なう場合ほど売買のピークが満期に近い時期に訪れるであろうことがリリース時に推測できる.

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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3。

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32。

4(月)

時刻l

図 S

図 S

各条件式の成立確率の時間推移(σ=0.1 ，4(月)時刻l

各条件式の成立確率の時間推移(σ=0.2 ，μ=0. 1)

μ=0. 1)がモデルに取り入れられていないことに起因すると考え売買成立の可能性が，ある時期にこのようなピ -!l を示す原因を明らかにするために，初期株価が既知のもと(μ ， σ)=(0.1 ， 0. 1)，(0.1 ， 0.2) での場合について，(A)式 (1司の成立確率(売りの確率)， (B)式 (1司の成立確率(買 L 、の確率)，および(c)転売成立確率 P R ， の 3 種類の時間推移を図 5 および関 B に示す.ただし，下限確率値はム=60[%J , P2=30[%J としてある.

られる.

5.

おわりに

本論文ではヨーロピアン・コール・オプションを対象にその売買取引高の時間変化に注目し，これをオプションのリリース時刻において予測するモデんについて考察した.これはオプションの保有者と買い手の思惑の違い

この結果から，買いの確率はリリース後から満期に向けて次第に低下していくが，売りの確率は σ の大きさにより時間推移が定性的に異なってくることがわかる.これらの相乗効果により図 5 においては転売成立確率がピークを示すが，図 6 においては満期に向かつてほぼ単調に減少していきピークを示さない.したがって成立確率にピークが発生するのは(1)オプションのリリース直後では満期までの時間が長いことから，転売による利得が得られるか否かの不確実性が大きく，オプシヨン保有者の判断基準が成立しにく L 、， (目)満期が近づくと先行きの不透明さがかなり浄化され，保有者，買い手共に取引を行なう意味がなくなるため，満期に向かつて転売成立確率は減少していく，という 2 つの性質が，満期までのある時期における売り手と買い手の思惑の聞に一種のトレード・オフを発生させるためであると考えられる.
さて図 l で示されたように，実際のオプション取引では満期直前付近にピークが発生することが多いが，本モを下限確率の導入により数学的にモデル化したものであり，オプションをリリース時に購入した投資家は慎重な意思決定を行な L 、，逆にオプションをその後に購入しようとする投資家は野心的な意思決定を行なうと考えた場
合に売買取引高の時間変化の様子を非常にラフではあるが定性的に予測し得ることを示した.すなわちこれらの思惑の相違の聞の一種のトレード・オフにより実際の市場において売買が成立していると考えることができる.

今後の課題としてオプジョンの売買価格の指標の再検討が挙げられる.本論文で用いたオプション価格の指標は時刻と株価の確定関数であると仮定されており，不規則変動は株価の不規則変動の影響を間接的に受けることにより発生するものである.実際にはオプション価格は市場における売買高の影響を受け，またその時間変動には周有の不規則性が存在するであろうと考えることができる.今後はこのような点を考慮に入れたよりよい価格モデルを検討する必要があろう.

テ・ルにおける結果で、は予想発生時期がリリース時に近い方に存在することになる.これは現実の市場においては売買高の高まりが売買高自身を高める方向へ働くこと，すなわち一種の正のフィード・パックの機能を有する点

94 (38)

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発表された内容はつの既存企業があるときに 1 参入企業が総利益を最大にするように施設を配置する問題を扱っている.施設配置問題における目的関数ベクトル(ao) ー施設を候補地 i に置いたときの市場 j から得られる利益ーを，市場 j での既存企業との価格競争による物最適化とその応用機均衡価格から算出するというゲーム論的アプローチをとっている.

-第 5 回
日時:平成 2 年 11 月 27 日(火)14:00‑17:00(のIGameTheory

におけるProblem について J 渡辺隆裕(東京工業大学)

場所:神戸商科大学出席者: 19名
テーマと Z尊師: (1) I ファジイ推論を用いたフレキシフツレ

生産スケジューリング~多様な目的への対応 -J 鳩野逸

本発表では，社会的選択関数とその戦略的操作不可能性に焦点を絞ってのチュートリアルが行なわれた.内容
としては生(大阪大学工学部精密工学教室)
多様なスケジューリング目的に対応可能なフレキシプ
ル生産スケジューリングのための知識ベースをファジイ推論を用いて構成する手法について考察した.

(2) I シミュレーションによる定量評価を含んだ物流制理に始まり，

Gi bbard.Satterthw
aite の操作不可能性定

Condorcet winner に関連した Moulinの定理等の紹介がなされた.

蓄量経営管理システム感御エキスパートシステムとその実プロセスへの応用」高-第33 回橋哲也(神戸製鋼所電子技術研究所)

日時:平成 2 年 12月 8 日(土)エキスパート・システムによる定性的判断とシミュレータによる定量評価を組み合わせることにより，生産現場の物流を最適化するシステムについて議論し，それを製鉄所のピレット精整工程に応用した例が紹介された.

機確立毛デルにおける最適化懇-第 3 回
日時: 12 月 8 日(土)Implementation

14:00‑17:00

出席者: 8 名場所:中央区八丁堀東京都勤労福祉会
館
テーマと講師日本のこれからの経営管理システム:イノベーション」上田亀之助(上回イノベーション研究所・杉野女子大学)

わずか 40年で世界の経済大国に成長した日本の経営管理システムは変転きわわまりない世界のボーダレス化・

14:00‑17:00

場所:東京工業大学本館 194号室参加者: 23 名

グローパル化・多極化・情報化のなかでそれに積極的に順応してゆく必要があります.それには常にイノベーシ

テーマと講師: (1) I 既存企業との価格競争を考慮した参ヨン(創新・新機軸)を推進してゆかなければなりませ

入企業の施設配置問題について J 劉威(東京工業大学)

ん.

1991 年 2 月号

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