………ll………‖…………………………l………………………ll…川……川川川l州‖…ll…l………………………lll…………………ll…………………ll…l……川……州…州川…川州…l川l……仙‖州l

ゲームの勝敗を確率する
高橋 幸雄…l……………ll川川l…………l……l……………l……………l…l………‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖川l………………l……………ll…l川m…川l……lll…川……川州‖＝‖‖川t…l川l…州‖…………lllll

偶然現象という意味での確率の歴史はたいへん古く、人類の歴史とほぼ同じ長さをもっている。現在発掘されているもっとも古いサイコロは紀元前3000年頃のものだし、木馬で有名なトロイ戦争（紀元前1200年頃？）では、兵士の退屈しのぎに多くのゲームが考●案された、という詰も残っている。ただ、確率は賭博や政治と深く関わっていたため、学問の対象とするのははばかられたようで、本格的な研究が始められたのはルネサンス以降であった1。のような問題であった。ここでは現代風にアレンジして紹介しよう。

問題1． 分配の問題
野球の日本シリーズでは、セ・リーグの優勝チームAとパ・リーグの優勝チームBが対戦して、先に4勝した方がシリーズ優勝、日本一となる。
シリーズの優勝チームには、賞金Z円が与えられる。ところがある事情から、Aが2勝、Bが1勝したところで対戦を中止しなければならなくなっ確率が本格的に研究されだした頃の主な題材は賭とゲームであった。たとえば、あのガリレオは「サイた。ではこの賞金ZをA，Bでいくらずつ分配すればよいだろうか。

コロ遊びについての考察」という本を書いて、3つのサイコロを振ったとき目の和が9となるのは25通りれることは考えにくいが、仮の話としてはなしを進めであることなどを示している。
ここではまず、その頃さかんに議論されたゲームの問題を紹介する。現代人の知識を持ってすればそれほよう。賞金をどう分配すべきかといっても、いろいろな考え方があり得る。たとえば

ど難しくはないが、確率という概念にまだ馴染んでい1．引き分けだから半分ずつない当時の人たちにとっては、なかなかの難問だった

2．無勝負だからどちらにも賞金を与えないようである。皆さんも、ぜひ昔の人と知恵くらべしてみていただきたい。

さらに後半で、3人の決闘問題を紹介する。だれが●日本シリーズでは、現実にこのように途中で中止さ

3・2勝1敗だからzとz
4．AとBは全く互角でそのときどきの勝敗は偶然最終的に勝ち残るかを確率的に考えるのだが、皆さんに支配されるものと考えて、どちらかが4勝するの直感とは異なった意外な結果が得られると思う。直まで続けたときの優勝確率の割合で分配感と現実のギャップを大いに楽しんでいただきたい。

1．パスカルとフェルマーの手紙
フランスの有名な数学者である パスカル（BlaisePa5Cal，1623【1662）と フェルマー（Pierre f ernュat，160ト1665）は、手紙をやりとりして確率論の研究を進めていた。これが有名なパスカルとフェルマーの往復書簡と呼ばれるもので、現在は6通だけが知られている。その中で、この2人が議論をしたのが、つぎたかはし ゆきお 東京工業大学 大学院 情報理工学研究科 数理・計算科学専攻〒152東京都目黒区大岡山2−12−1
1996年3 月号

パスカルとフェルマーはこれらの中で4．がもっとも自然なものと考えて、このケースについて研究した。
ただし、このころは、まだ、 確率，，とか 独立，，とかいう概念が明確でなかったので、彼らは「同等に確からしい」という概念に基づいて議論をしている。
それでは、皆さんも、AとBそれぞれの優勝確率を計算してみていただきたい。
1確率に関する最初の書物といわれているカルダノ（Cardan，Geronimo、イタリア，1444−152こ1）の本が出版されたのが1663年、後述のパスカルとフェルマーの往復書簡が1654年頃である。微積分学がニュートンとライプニッツによって始められたのが1670年頃であるから、確率論はその少し前ということになる。
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（17）153

1．1残り試合のパターン分類
もっとも自然な計算法は、優勝が決まるまでの勝敗のパターンをすべて書き出して、その確率を計算することであろう。
1宮⊥16⊥16⊥16

B B B
B B B AB B A BB A B BA A A
A A A B B
A B B A B
B A B B A

図1：パスカルの方法

11而

且16

計

1了1■81宮⊥16⊥16⊥16AA（亘）喜ZにAの受け取る賞金を求めるものであった。図1で、この計算から、Aの優勝確率はpA＝詰、Bの優勝確率は裡＝藷であることがわかる。

楕円の中の（￡，J）はAがよ勝、BがJ勝した状況を表していて、その脇の数字は、その状態からスタートしただし、前にも述べたように、パスカルとフェルマーが議論していたころは、確率とか独立とかいう概念たとき最終的にAが受け取る賞金の期待値である。
このAの受けとる賞金の期待値はつぎのように計が走者していなかったので、たとえば上でBAAというパターンの確率が喜であるということは、かならずしも自明ではなかった。

算する。右端のAという状態はAが優勝した状態を表している。このときのAの賞金はZである。また右下の（3，3）という状態は、AとBがともに3勝しそこで、フェルマーは、優勝が決まるか決まらないかには関係なく、残り4試合をすべて行ったときの勝敗のパターンを列挙して、たとえばBAAのケースはBAAAとBAABの2つのケースに分けて、該当する場合の数の割合で確からしさ（確率）を考えることを提案した。ていて、ここから優勝する可能性はAもBもとも・に等しいので、Aの受け取る賞金は喜Zである。
つぎに（3，2）という状態で試合を中止したものとしよう。ここでつぎの試合をしたと仮定すると、状態はAか（3，3）に移るので、Aは少なくとも喜Zの賞金である0したがって、Aは残りのをZの半分izをB
B
B
A

B
AA
Bのものになるかわからないが、その可能性は5分5分

B
B
B
B

B
B
A
A

A
B
B
B

B
A
A
A

さらに受け取り、Bは主Zを受け取る。結局、AはB
A
B
B

A
B
A
B

B
B
A
B

B
A
B
A

A A A A A A
A B A A A B
A A A B B B
A A B A B A

はもらえる。残りの賞金喜ZはAのものになるかB

喜Z＋主Z＝告Zの賞金を受け取り、BはをZの賞金を受け取る。

このAの計算は、期待賞金Zと喜Zを足して2でこうすれば、ダA＝詰，裡＝鳥であることがすぐに理解できる。

この方法にも異論がだされ、たとえばAAAAのように優勝が決まってから2試合する場合とBBAA．な
ど最後まで優勝が絡んだ場合とでは起こりやすさが等しいとは限らない、という意見がだされた。現在では、フェルマーの考えの方が正しいことが認められ、これをベースに確率論が組み立てられている。

1．2 パスカルの方法

ぞれをを掛けて加えたものである。このような計算を各状態について行えば、状態（2，1）からスタートしたときのAの獲得賞金の期待値は詰Zとなり、Aの優勝確率は詰であることがわかる。
この方法は簡潔でしかも説得力があり、いまみてもなかなか見事な説明である。

1．3 マルコフ連鎖
パスカルの方法は、AとBが互角のときはよいが、パスカルが上のフェルマーの方法に先だって提案した解法は、 同様に確からしい という事象をベース154（18）割ったことになっている。あるいはZと喜Zにそれ互角でないと（2，2）や（3．3）での賞金額が決まらず、このままでは使えない。もうひと工夫必要である。たと© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

各人が自分が勝ち残る確率（生存確率）を最大にするよう行動したとすると、生存確率がもっとも大きいのはA，B，Cのうち、誰だろうか。
ちょっと考えると、Aがもっとも脱が良く、しかも最初に撃つのだから、生存確率はAが圧倒的に大きいと思われるに違いない。ところがところが、そうではないのである。結果は最後にお話しするとして、問題をきちんとモデル化してみよう。
この間題をモデル化するには、A，B，Cのそれぞれが、誰を狙って撃つのが最適か、ということをまず考えなければならない。

図2：Aの勝つ確率が吾のときのマルコフ連鎖

えば各ゲームでAが勝つ確率が告のときを計算するには、図2のように、Aばかりでなく、Bが優勝するケースまで含めて書いてやればよい。

2人が勝ち残ったときは、当然、勝ち残った相手を狙って撃つのが最善である。3人とも残っているときが難しい。

Aが自分の番のときBかCを狙って撃ったとすると、もしそれがあたれば、つぎは残りの1人から狙わこの図で、たとえば状態（3，2）における期待賞金額れる。AにとってはBに狙われるよりはCに狙われは、つぎのゲームでAが勝てば（確率吾で）賞金はる方がよいから、このことを考えると、Aは自分の番Z、Bが勝てば（確率号で）賞金は吾ZだからではBを狙って撃つことになる。

1Zx＋zx二＝z
ウ5

同様に、BもAを狙って撃つのが自分にとって最適である。ではCはどうだろうか。命中率の高いAを狙うべきだろうか？というように計算する。

すると、図2から、この場合Aが優勝する確率は結論から先にいうと、AもBも狙わずiこ、そっぽ畏＝・8208と、互角のときの詰＝・6875よりかなりを向いて撃ち、AとBのどちらかが倒れるまで待つ高くなることがわかる。のがよい。なぜか？

Cが狙うとするとAであるが、もしあたってしまう

2．決闘の問題と㍑漁夫の利M●

今度は 決闘の問題，，という名で知られる3人ゲー
ムの問題を考えよう。この間題は決闘という題材を使っているので高校生の教材としてはふさわしくないとお叱りをうけるかもしれないが、ほかの状況に作りなおすよりはもとのままのほうがわかりやすいので、あえてもとの形で紹介する。必要があれば、通常のゲーと、つぎにはBに先に狙われるd ところがAとBが撃ち合いをして一方が倒されたときには、つぎに撃てるのはCである。たとえ相手がAになろうとも、この場合、Cとしては先に撃った方が有利なのである㌔
このように、A，B，Cの狙う先が決まると、決闘の進行状況は後ででてくる図4のような状態推移図で表すことができる。この図からA，B，Cの生存確率を計算して比べれば、誰の生存確率がもっとも高いかわムの言葉に焼きなおしてご利用いただきたい。

かる。ただ、この計算は少し複雑なので、この図の説問題2．決闘の問題

明と生存確率の計算はもう少し先に延ばして、まずは

A，B，Cの3人がピストルを使って決闘する。
A，B，Cの命中率は、それぞれ．5，．4，．3である。

肩慣らしのつもりでもっと簡単な2人の決闘の問題をみておこう。

鼓を引いて撃つ順番を決めたところ、A→B→C→A→…の順に、自分の選んだところを狙って撃つことになった。ただし、狙われて弾が命中した者は、その時点で決闘からはずれる。
1996年3 月号

2厳密には、このことは数値的にきちんと調べなければならない。A，B，Cの命中率が．5，．も．3ではなく、．9，．2，．1というように、Aの命中率が飛び抜けて高いときには、CはAを狙った方が有利となる。

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（19）155

p∫1′・＝ α∫p∫ ＋β1m′．Y

⊂ロー竺L

「汀十ロ⊃

〈py∫ ＝ αl一・ダー ＋．β1′・♪＿Yl−（2）ここでp．Y＝1り丹＝0を代人すれば、
図3：2人による決闘♪∫l・− ＝ αÅ ＋ 仇＝廿＿Y（3）

2．1 2人の決闘〈 押＿Y ＝ ノブl一・Jぺl■−となり、この第2式を第1式に代人して整理するとXとYの2人が決闘する場合を考える。
ⅩとYが交互に相手を狙って撃つ。ⅩがYを狙α∫p∫l■■ ＝って撃ったときにあたる確率をα1、はずれる確率を（4）1−β．Yβl・となる。これは当然のことながら（1）と▲一致する。

β1＝1−α1、ヽ一がⅩを狙って撃ったときにあたる（3）の第2式を使えば、Yが撃つ番である状態1′■∫

確率をα】・・、はずれる確率をβl一・＝1−αrとしよう。

から・スタートしたときにXが勝ち残る確率がすると、決闘の進行状況は図3のように表すことができる。Ⅹと書かれた状態はⅩが勝ち残ったこと

pl′￣∫ ＝∩．YJl・を、l−，と書かれた状態はYが勝ち残ったことを表し

1−β∫／ブl′ている。ズyとyズはまだ決着がついていない状態となることもすぐにわかる。

で、∫i−rはつぎにⅩが撃つ順番、i′r∬はつぎにYが（5）Yが勝ち残る確率は（4），（5）を1から引いてもよ撃つ順番であることを表している。

いし、ⅩとYの役割を交換して求めてもよい。

ここではⅩが勝ち残る確率を計算してみよう。こ

2．2 3人の決闘：Aの生存確率

れは分配の問題のときほど簡単ではない。状態芳yと状態l■rズの間で行ったりきたりするため、ひとつそれではもう一一度、3人の決闘の問題に戻ろう。

ずつ順に求めることができないからである。

決闘の進行状況は図4のように表すこ・とができる。

状態Jn・rからスタートしたときに、Ⅹが1回で命ここで、たとえば、状態仁一一1βはA、B，Cの3人と中させてしまう確率はα1である。1回目ははずし、も残っていてつぎに撃つのがCの番である状態、β亡■

Yの番となったときにYもはずし、2回目にXが命はB，Cの2人が残っていてつぎに撃つ番がBである

中させる確率はβ∫βl′・α∫である。同様に3回目でⅩ状態を表している。Aは、Aが勝ち残ったという状態が命中させる確率は（恥βl′）2呵である。

である。矢印の脇のα1とかβ月とかいうのは、そのこのようなことをずっと繰り返していくと、状態ような推移が起こる確率で、α右αβ，αcはそれぞれ∫l からスタートしたときにⅩが先に命中させる確A，B，Cの命中率、β右舶，ノブc・はそれらを1からひ率捏l′は、無限等比級数の公式を用いていたはずれの確率である。

まずAの生存確率を求めでみよう。

p∫l・・＝呵＋β∫βl■・a・∫＋（恥β−・・）2呵＋…

2人の決闘のときと同様に、たとえばAβC というd′．r（1）1−β∫βyとなることがわかる。

状態からスタートしたとき、最終的にAが勝ち残る確率をp．4β亡．・のように書くことにしよう。すると、こ図3を使うと、等比級数を使わないで方程式からの場合、このⅩが勝ち残る確率を求めることもできる。変数をもう少し導入する。状態1・r∫からスタートしたときにⅩが先に命中させる確率をpl′∫、同様に状態ズとi・rからスタートしたときにⅩが先に命中させる確率をそれぞれp∫、prと書くことにしよう。もちろんp∫＝1，py＝0である。
すると、前の問題のときのように、つぎに撃ったとp．4 ＝1，pβ ＝p（二・＝ 0からはじめて、各状態からスタートしたときのAの生存確率をつぎのように順番に求めていくことができる。

AC−と仁一AからスタートしたときのAの生存確率
p．1Cとpc」は、方程式

きに命中する場合としない場合を考えると、pズl一・とp．4C ＝ 叫れl＋／ブ．1pCAm′∫について、つぎのような方程式がたてられる。

クぐJ＝ αcp（．・＋／ブ（二・pdC・

156（20）（6）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ（7）

2．3 3人の決闘：Bの生存確率
Bの生存確率を餌β（・などと書くことにすると、これらは上と同じ手続きを（6）の替わりにヴβ ＝1，餌 ＝ ヴC・＝ 0（16）を用いて行うことによって求めることができる。結果だけ示すと
αβノブ′lヴ．4β（・■＝ヴC■．4β＝n′月

ヴ月仁一．4＝什βノブ（・（17）

1−／ゴ．吊ブβ1−βββ（：・作βノブc（18）

1−βA／ブ月1−ノニブββ（▼である。したがって、もとの問題2におけるBの生存確率は（17）から
ヴAβC ＝．1379●に（6）を代入して、その連立方程式を解けば♪．4（．■ ＝となる。これはまた、ずいぶん小さい値である。

αA（8）

1−βAβ亡．・
αAβc♪（、．1 ＝（19）

2．4 3人の決闘：Cの生存確率
最後にCの生存確率をりβCのように書くと、こ（9）1−βAβc

れらはと求めることができる。
J−c ＝1，′・A ＝ ′・月 ＝ 0

β仁一とC βからスタートしたときのAの生存確率（20）からはじめて、同様にすればよいのであるが、今度のは、方程式場合、0になる項が少なく、式はかなり複雑になる。
pβぐ ＝ αβpβ ＋ββpぐβ〈（10）pcβ ＝ αcpぐ＋βぐpβぐ

使えば、答は簡単に求められる。（15）と（19）を1かから求められるが、pβ＝pc・＝0だかららひくと♪βC ＝pcβ ＝ 0（11）であることはすぐにわかる。

Cは命中率が一番低く、しかも撃つ順番が最後であはAとBか互いに競い合うために、一番弱いCが得

pβCA ＝αβpCβ＋ββpC．4β（12）をするのである。まさに漁夫の利である。

pcAβ ＝1・pAβCを、pC．4 と pc・β を定数だと思って、♪AβC，pβCA，αA

ナルについては【2】を参照いただきたい。なお、じゃαAβc

1−βA′ββ1−βAβc

arAββ
α．4βc
1−βAβ月1−β．4βc・（13）

んけん遊びに関係した結託の話が【3】に、また各種の確率ゲームが【4】に紹介されている。
（14）となる。

【1】トドハンター著、安藤洋美訳『確率論史（パスカルからラプラスの時代まで）j，現代数学社（1975）．

もとの問題2におけるAの生存確率を求めるには【2】マーチン・ガードナ（13）に αA＝．5，β．4＝ふββ＝．6．β（・＝，7を代入し学ゲームパズル」，白楊杜（1966）．て計算すればよい。実際に計算してみると
pAβC ＝・3846【3】高橋幸雄‥じゃんけん遊げ、オペレーションズ・（15）となる。これは予想していたほど高い確率ではない。
1996年3 月号

参考文献

分配の問題については【1ト3人の決闘問題のオリジ

pc・A月について解き、そのあと（9），（11）を代入すれば

pβCA ＝（21）

るのにもかかわらず、生存確率は一番高くなる。これ

pAβC ＝ G′ApC・A ＋βApβCA

pAβC＝pcAβ＝

γAβC・＝1−．3846−．1379＝．4775

これがCの生存確率である。実に5割近い。

3人残っているときのAの生存確率は、方程式〈

しかし、A，B，Cの生存確率の和が1であることをリサーチ，VOl．28，110．9（1983），pp．424−一427．

【4】中村義作著『遊びの確率論j，海鳴社（1982）．

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（21）15丁