…州…………川‖‖‖州t…l………‖…‖‖‖‖‖＝‖……………………ll……川………………………………l…………………………1…l…………………l……＝‖‖‖‖‖川l………ll………………………l川l……t州t州川州

投票による決定制度とシャープレイシュービック指数
武藤 滋夫………l…l……l…＝‖‖‖＝‖‖……………lll……l………l……l…………llll……＝‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖＝‖‖州Ill………＝l‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖川It州11111……l……‖‖‖‖‖‖……………………ll…‖‖‖州‖‖‖‖‖………………ltl………ltl……

指数を説明しよう．

1．はじめに

いま，ある議会が3つの政党A，B，Cに所属する

投票は，企業，各種団体から，市町村議会，都道府●議員から構成されており，議月の総数は100人，A党所

県議会，国会，さらには国連や欧州連合（EU）など

属の議月は50人，B党所属の議月は15人，C党所属のの国際機関に至るまで，数多くの組織において，意思議月は35人であるとする．議案の採択には過半数であ決定の方法として用いられている．

る51人の賛成が必要であるとし，議案の採決に際し同このような投票による決定制度においては，投票主じ政党に所属する議員は同じ投票行動（賛成なら賛成，体（個人ないしは政党，国家などの集団）が票決に対反対なら反対）をとるものとする．このとき，議会でしてもつ影響力の評価がしばしば大きな問題となる．の議案の採決において，この3つの政党はどれだけの例えば，政界再編が始まる前のわが国の国会において影響力ないしはパワーをもっていると考えたらよいでは，いわゆる中間政党と呼ばれた公明党，民社党は保あろうか．議員数に比例して50：15：35であるといっ有する議席数に比べ大きな影響力を持っているといわてよいであろうか．

れていた．また，衆参両議院の議員選挙における各選

シャープレインユーピック指数は，協力ゲームの解挙区の投票者の影響力の格差は，いわゆる「1票の重の1つでありShapley［1953］によって提唱されたシャみ」の不平等として選挙の度に新聞紙上を賑わせていープレイ値を，Shapley and Shubik［1954］が投票者る．しかしながら，例えば前者の公明党，民社党の場の影響力の評価に適用したものであり，次のような考合には単に経験的ないしは直観的な議論であり，また，え方をとる．

後者の1票の重みの場合にはこれがなぜ投票者の影響

いま，提出された議案に村して，それを最も支持す力と結びつくのかについて理論的な説明が与えられてる政党から順に（この議案を支持する）グループを作いないなど，これまでの投票主体の影響力に関する議っていくことを考える．例えば，ある議案に対して，論は理論的なサポートがほとんどないままに行われてA党がこれを最も支持し，ついで，B党，C党の順にきたといってよい．

この議案を支持する度合いが減じていくとする．した

本稿の目的は，投票者の影響力を測定する指数としがって，グループはA党，B党，C党の順に作られててゲーム理論が生み出したシャープレイシュービック

い〈． （以後，A←B←Cと表わす．）このとき，A党指数を紹介すると共に，これを用いた，投票制度におだけでは議員数は50人で過半数には達せず議案を通せける投票者の影響力の評価，及び公平性など投票制度ないが，これにB党が加わると議員数の合計は50＋そのものに村する評価を，実例をまじえながら解説す

15＝65で過半数である51人を超え議案を通すことがでることである．

きる．したがって，このグループ形成においてはBが2．シャープレイシュービック指数
次の簡単な例を用いて，シャープレインユーピック影響力をもつと考える．A党とB党のみで議案を通せるのであるから，この後たとえC党が加わったとしてもC党の参加は意味をもたない．また，B党が最も支持し，ついで，C党，A党の順に支持する度合が減じむとう しげお 東京都立大学経済学部ていく議案の場合には，グループの形成はB←C←A〒192−03八王子市南大沢ト1の順になる．この場合には，15＋35＝50でC党が加わ1996年12 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（25）691

った時点ではまだ過半数に達せず，A党が加わって初8カ国の順列の数8！，この国が加わった彼の6カ国めて議案を通すことができる．したがって，このグルの順列の数6！，をすべてかけたものとなる．したがープ形成においてはA党が影響力をもつ．各グルー70って，シャープレインユーピック指数はこれをグルー形成において影響力をもつ政党をピヴォット（pivot）

プ形成の総数15！で割った約0．002である．と呼ぶ．いま，議会にはさまぎまな議案が提出され3次に，常任理事国がピヴオットになるためには，そ政党それぞれの支持する議案が同じ確率で起こってくの国が加わる前に他の4つの常任理事国と非常任理事る，したがって，6（＝3！）通りの3政党間のグループ

由のうち4カ国以上が加わっていなければならない．

形成もすべて同じ確率1／6で起こってくる，と仮定

したがって，各常任理事国のシャー70レインユーピッ

したときの，各政党がピヴオットとなる回数の期待値

ク指数は，（10！／4！6！）8！6！＋（10！／5！5！）9！

をもってシャープレイシュービック指数とする．この5！＋……＋（10！／9！1！）13！1！＋（10！／10！0！）

例では，各グループ形成におけるピヴオットは次のよ

14！0！を15！で割った約0．196と与えられる．（上式のうにまとめられる．

各項は，それぞれ10カ国の非常任理事国のうち4カ国，グループ ピヴオット グループ ピヴオット
形成

5カ国，…，10カ国が加わっている場合の組合せおよび順列の数を掛け合わせたものである．）シャープレ

形成

A←B←CB

B←A←C

A

C←A←B

A

A←C←B
B←C←A
C←B←AC

イシュービック指数で評価した場合，常任理事国は非A

常任理事国に比べ非常に大きな影響力を有しているこAとがわかる．

したがって，シャープレインユーピック指数は，A現在，日本及びドイツの常任理事国入りが話題とな

党は4／6，B党は1／6，C党は1／6である．Bっているが，もしそうなった場合の両国のシャープレ党，C党は議員数はかなり異なるが，議案の票決へのイシュービック指数ならびに現在の常任理事国5カ国影響力は全く同じである．のシャープレインユーピック指数の変化を考察するこ3．シャープレイシュービック指数の応用例
シャープレインユーピック指数は，カナダの憲法改正にかかわる投票における各州の影響力の評価，様々とも興味深いであろう．

4．投票主体の非対称性の導入とシャー
レイオーウェン指数な国の国会，地方議会における政党の影響力の評価，第2節で述べた3政党の例において，政党間にたとなど実際の投票システムの評価にしばしば用いられてえばイデオロギー的な差異があり，A党，B党，C党きている．ここでは，国連の安全保障理事会において，の順に左から右へ並んでいたとする．このとき，A党常任，非常任理事国の間にどれだけの影響力の差があの次にC党が加わる，ないしはC党の次にA党が加わるかをシャープレインユーピック指数を用いて評価しる，というグループ形成は，A←B←CおよびC←Bた例を紹介する．その他の応用例については，Lucas←Aというグループ形成に比べればほとんど起こりえ［1983］に詳しい解説がある．

ないであろう．議会や国際機関における投票では，投国連の安全保障理事会は拒否権をもつ5つの常任理票主体の間にイデオロギー，国益の違いなど立場上の事国と10の非常任理事国からなり∴議案の採択には常相違のある場合が多く，このような場合には，すべて任理事国5カ国すべてと非常任理事国4カ国以上の賛のグループ形成が同じ確率で起きることを成が必要である．

シャー70レイシュービック指数では十分な分析ができ

まず，非常任理事国のシャープレインユーピック指るとは言い経い．

数を求める．非常任理事国がピヴオットになるためにこのような状況へも適用できるようシャープレイシ

は，その国が加わる前に5つの常任理事国のすべてとュービック指数を拡張したのがOwen［1971］である．

非常任理事国のうちちょうど3カ国が加わっている必

上記の3政党の例を用いてOwenの考えを説明しよ要がある．このようなグループ形成の総数は，他の9う．まず，3政党の位置が次のように左から右への1カ国の非常任理事国のうちどの3カ国が加わっている次元の直線上で表わされていたとしよう．A，B，Cかの組合せの数9！／3！6！，この国が加わる前に加わは各政党の位置であり，a，b，CはそれぞれAB，Aっている常任理事国5カ国と非常任理事国3カ国の計C，BCの2等分線である．議案もこの直線上に位置

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オペレーションズ・リサーチプC−■■I■a・・−・−

A

ように与えられる．

自民党 社会党 公明党 共産党 民社党 連合
0．567

A←B←C

享 B←A←CB←C→−A 宰 C←B←A

0．117

0．117

0．067

0．067

0．067

公明党など中間政党に比づ，議席数の割に社会党が小さな影響力しかもたないことがわかる．ただし，中間政党ではない共産党も民社党，連合と同じ影響力をすると考え，議案からの距離の近い政党ほどその議案持っており，シャープレインユーピック指数だけではを支持する度合が強いとする．したがって，グループ「中間政党は議席数の割に大きな影響力を持つ」とい形成は，aより左ではA←B←C，abの間ではB←Aう主張をサポートすることはできない．次に，政党間←C，bcの間ではB←C←A，Cより右ではC←Bのイデオロギーなどの位置の違いをいれて，シャープ←Aの順となる．それぞれピヴオットになる政党は，レイオーウェン指数による分析を行ってみる．

B，A，A，Aである．したがって，もし議案がAC●

シャープレイオーウェン指数を適用する際にまず問の間で一様に起こるとすれば，シャープレインユーピ

題となるのは，投票主体の位置の決定である．Onoand

ック指数は，AはaC／AC，BはAa／AC，Cは0

Mutoでは，Frank and Shapley，Rabinowitz andと与えられる．また，もし議案が1次元数直線上の非Macdonaldと同様，過去のデータを基に因子分析を用

常に広い区間で一様に起こるとすれば，有界な区間でいて各政党の位置を定める．（RapoportandGolanはあるabおよびbcの影響はほぼ無視することができ，有識者へのアンケート調査を基に各政党の位置を定め

シャープレイシュービック指数は，A，Bは1′／2，るという方法をとっている．）まず，1989年から1992年

Cは0となる．中間に位置するB党の影響力が第2節の3年間の参議院の，票決（全会一致を除く）におけの場合に比べ大きくなったことがわかるであろう．2

る各政党の行動（賛成もしくは反対）を調べ，その結次元以上の場合も考えは同様である．このOwenの指果，60％以上をしめる共産党のみ反対のパターン■をは数は後にShapleyによってより一般化され，シャープじめとして，自民党のみ賛成，自民党と民社党のみ賛

レイオーウェン指数ないしは非対称シャープレインユ成など，計8つのパターンに分けられることを明らか

ーピック指数と呼ばれている．詳しくは，Shapleyにする．次いで，このデータをもとに因子分析を行い，［1977］，OwenandShapley［1989］を参照．

因子スコア及び因子負荷量に基づいて各政党の位置おシャー70レイオーウェン指数の応用例としては，アよび議案のパターンの方向を定める．最後に，この結メリカ合衆国の最高裁判所の裁判官の影響力を分析し果に基づき，この3年間の議案のもとでの各政党のシたFrank and Shapley［1981］，アメリカ合衆国の大ャープレイオーウェン指数を求める．因子の数が少な

統領選挙における各州の影響力を分析したRabin−

いときには，我々の直観にあわない奇妙な結果が得ら

0witzandMacdonald［1986］，イスラエルの議会におれるが（例えば，1因子の場合には，公明党，民社党

ける各政党の影響力を分析したRapoport and Golanを除く他の4政党の指数はゼロになるなど），因子の数［1985］，などがあるが，通常のシャープレインユーピを増すに従い指数も妥当なものになり，3因子以上でック指数の応用例に比べその数は少ない．以下では，は，自民党の指数が最も大きく，次いで公明党，社会自民党が参議院で過半数割れを起こした1989年の参議

党，連合，民社党，（ないしは，民社党，連合），共産

院議月選挙から次の1992年の参議院議員選挙の間の参党の順になる．例えば，5因子まで考えたときの各政議院における主要6政党（自民党，社会党，公明党，党の指数は，共産党，民社党，連合）の影響力を分析したOno and

自民党 社会党 公明党 共産党 民社党 連合

Muto［1995］の結果を紹介する．1989年6月の参議院

0．511 0．166

0．202

0．000

0．049

議月選挙直後の主要6政党の議月数は，自民党109，社と与えられる．したがって，「中間政党は議席数の割に会党74，公明党21，共産党14，民社党10，連合12であ大きな影響力を持つ」という主張が，シャープレイオ

った．（各政党系の無所属議月も含む．）参議院の定数

ーウェン指数によって理論的にサポートされる．また，は252ゆえ，議案の採択に必要な票数は127である．議1989年−1992年の時点で，議席数は大きいにもかかわ論を簡単にするため，主要6政党のみを考察の対象とらず社会党の影響力が公明党よりも低くなっていたこする．まず，シャープレイシュービック指数は以下のともわかる．

1996年12 月号・© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）6g3

0．072

5．代議員制度とシャープレイシュービッ
ク指数

りある．そのうち，例えばA3←A2←B2←Al←B5←
B4←Bl←B3というグルー70形成の順列では，A2が加わった段階でA区の投票者が2人，そしてB5が加

これまでは，直接投票における投票者（ないしは集わった段階でB区の投票者が2人となるから，この順団）の影響力を，シャープレインユーピック指数及び列においてはB5がピヴオットである．一般に，A区のその拡張であるシャープレイオーウェン指数を用いて投票者がピヴオットとなるのは，この投票者がグルー評価してきたが，本節では，代議員制度のような間接プに加わる前に，A区の投票者が1人とB区の投票者投票制度において，各選挙区の投票者が代議員の選出が2人ないしは3人加わっている場合であり，このよを通して議会での決定にどれだけの影響力をもちうる

うな順列は，それぞれ（2！／1！1！）（5！／2！3！）3！

かを，シャープレインユーピック指数によって考察す4！，（2！／1！1！）（5！／3！2！）4！3！通りある．しる．

たがって，A区の各投票者のシャープレインユーピッ
まず，簡単な例を用いて，代議月制度における投票者の影響力の評価の基本的なアイディアを説明する．

2つの選挙区A，Bがあり，A区では3人の．投票者

ク指数はこの合計を順列の総数8！で割った1／7である．一方，B区の投票者がピヴオットとなるのは，この投票者がグループに加わる前に，B区の投票者がが1人の代議月を選出し，B区では5人の投票者が23人とA区の投票者が0または1人加わっている場合，人の代議員を選出する．議会では，2つの地区で選出及びB区の投票者が1人とA区の投票者が2人またはされた合計3人の代議員の間で単純多数決により議案3人加わっている場合であり，このような順列は，の採否が決定される．A区の投票者をAl，A2，A3，（3！／0！3！十3！／1！2！）（4！／3！1！）3！4！，（3！／B区の投票者をBl，B2，B3，B4，B5とする．議論

2！1！十3！／3！0！）（4！／1！3！）3！4！通りある．しを簡単にするため，各地区における代議月は比例代表たがって，B区の各投票者のシャープレイシュービッ的に選出されるものとする．したがって，A区では2ク指数は，この合計を8！で割った4／35である．1／人以上の投票者が集まれば選出される代議員をコント

7＞4／35であり，1票の重みは小さかったA区の投ロールでき，B区では，投票者が4人以上集まれば選票者の方が，シャープレインユーピック指数で考える出される代議月2人ともを，また，2−3人集まればと大きな影響力をもつことが分かる．

1人をコントロールできる．この例では，いわゆる「1代議員制度においては，一般に，各選挙区に割り当票の重み」，即ち各選挙区における「代議員定数／投票てられている代議月定数に比べ投票者の数が非常に大者数」，を比較すると，A区では1／3，B区では2／きい．このような場合には，議会での決定が単純多数5であり，B区の投票者の方が重みは大きいことを注決によって行われるとすれば，（1）奇数人の代議月をも意しておく．

つ地区（奇数人区），偶数人の代議月をもつ選挙区（偶まず，議会では3人の代議員の間の単純多数決で議数人区）が混在している場合，シャープレインユーピ案の抹否が決定されるから，投票者のグループは，少ック指数で評価した偶数人区の投票者の影響力は，奇なくとも2人の代議眉をコントロールできれば議案を数人区の投票者の影響力に比べて無視しうるほど小さ通すことができる．2人の代議員をコントロールできい，（2）奇数人区の投票者の間でも，その影響力は，当るのは，A区の1人とB区の1人，及びB区の2人の該選挙区の投票者の数のみに依存し，割り当てられて代議月をコントロールする場合の2つである．上述のいる代議月定数には全く依存しない，といういずれも比例代表的な代議員の選出を考慮すれば，A区の1人直観にはそぐわない奇妙な結果が得られる．詳しくはとB区の1人の代議月をコントロールできるのは，少Muto［1989］を参照していただきたし†．

なくともA区の2人とB区の2人の投票者を含むグループであり，B区の2人の代議員をコントロールできれる理由の1つは，投票者のグル」プは議会で過半数るのは，少なくともB区の4人の投票者を含むグルーを超える代議員をコントロールでき，したがって議案プである．の採否を直接左右できるとき，そしてそのときにのみ以上のことをもとに，シャープレインユーピック指

このようにわれわれの直観には合わない結果が得ら影響力をもつ，と考えたことである．各選挙区で選出数は，次のように与えられる．8人の投票者が1人ずされた代議員が議会において様々な決定を行っていく

つ加わってグループを作っていく方法は全部で8！通代議眉制度においては，投票者のグループが大きくな

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オペレーションズ・リサーチりコントロールできる代議月の数が増えれば，たとえ紙数の都合もあり詳しくは立ち入らないが，衆議院議会で過半数を超える代議月をコントロールできない

議月選挙の新制度及び参議院議月選挙に見られるブロ

場合でも，成立する議案は彼らの意見を以前よりもよック別比例代表制を並立した場合には，各投票者の修り多く取り入れたものとなり，彼らは議会での決定に正シャープレインユーピック指数は，所属する選挙区より大きな影響を及ぼしうるであろう．

における1票の重みとその選挙区が属するブロックにこのような点は，過半数を超える代議月をコントロおける1票の重みの和として与えられる．

ールできるか否かだけを考えるこれまでのアプローチ

以上の修正シャープレイシュービック指数による分では全く考慮されていない．上記のような影響力をど

析の結果を，わが国の衆議院議月選挙（新制度）及びのように分析に取り入れていくかは重要かつ複雑な問参議院議員選挙に適用した結果を最後に述べる．

題であり今後さらに研究を進めて行かねばならないが，新しい衆議院議員選挙は，全国で計300の小選挙区

以下では，その第1歩として，投票者のグループのも（選出される代議月各1名）及び計11の比例代表区（選つパワーを彼らがコントロールできる（選出すること出される代議月の総数200名）からなり，合計500名ののできる）代議月の数によって与えたときの，個々の議月が選出される．1994年9月に自治省がまとめた衆投票者のもつ影響力を考察する．

議院議員選挙区別選挙人名簿登録者数をもとに各選挙先に与えた2つの選挙区からなる例をもう一度考え区の投票者の修正シャーフロレインユーピック指数を求てみよう．いま，順列A3←A2←B2←Al←B5←B4

めると，最小は北海道8区で4．45×10￣6，最大は島根3←Bl←B3を考えると，A2，B5，Blが加わった段階

区で7．36×10￣6であり，最大と最小の格差は1．65倍でで，それぞれコントロールできる代議月の数が0からある．

1，1から2，2から3に増加する．したがって，こまた，参議院議員選挙制度は，全国で計47の中選挙の順列においては，A2，B5，Blの3人の投票者の貢区（都道府県単位で議員定数は各選挙区で2〜8名と献度が1で他の投票者の貢献度は0である．一般に，異なる）及びただ1つの比例代表区（定数100名）からA区の投票者の貢献度が1となるのは，この投票者がなり，計252名の議員が選出される．衆議院の場合と同A区の投票者としては2番目に加わる場合であり，こ様1994年9月自治省まとめの参議院議月選挙区別選挙のような順列は総数8！のうち，2！／3！＝1／3でお人名簿登録者数をもとに各選挙区の投票者の修正シャ

こる．B区の投票者の貢献度が1となるのは，B区のープレイシュービック指数を求めると，最小は東京都

投票者として2番目ないしは4番目に加わるときであで1．90×10▼6，最大は鳥取県で5．30×10￣6であり，最り，それぞれ総数8！のうち，4！／5！＝1／5でおこ大と最小の格差は2．80倍である．

る．したがって，修正シャー70レインユーピック指数

いずれも比例代表区を通しての投票者の影響力を考は，A区の投票者は1／3，B区の投票者は2／5であ慮に入れているため，新聞紙上等で話題になる選挙区り，これはそれぞれの区の「1票の重み」と等しい．

のみの比較で考えた場合に比べ，格差は小さ〈なって次に，投票者の数が3〟人，5∬人（〝は大きな整数）いる．参考のために，選挙区のみの比較で考えた場合となったときを考えると，上の議論と全く同様にして，の最大と最小の格差は，衆議院議月選挙では2．22倍，∬がどんなに大きくなろうとも，A区の投票者がピヴ参議院議月選挙では4．99倍である．

オットになる確率は1／3斤，B区の投票者がピヴオットになる確率は2／5〟と与えられる．

6．まとめ

この性質は，一般に成り立ち，各投票者の修正シャ

本稿では，投票者の影響力のシャープレイシュービ

ープレインユーピック指数は，その選挙区の代議月定ック指数及びその拡張概念による評価を，国連の安全数をその区の投票者数で割ったいわゆる1票の重みで保障理事会の常任理事国と非常任理事国の各影響力の与えられる．詳しくは，武藤，大西，小野［1995］を評価，自民党が過半数割れを起こした1989年から1992

参照．このことから，1票の重みに対して，「過半数を年の参議院における主要6政党の影響力の評価，衆参

超えない少数党の支持者であっても当選させうる議月

両議院議月選挙における各選挙区の投票者の影響力の数によって政策に影響力を及ぼしうると考えたときの評価，の3つの例を引きながら解説してきた．1票のシャープレイシュービック指数である」との意味付け重みの議論など，このような投票主体の影響力に関すを与えることができる．

る議論は数多く行われているものの，それは経験的，

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（29）6g5直観的なものが多く，その理論的なサポートはほとん

者の影響力ーゲーム理論による分析，理論と方法，ど行われていない．ここで述べたシャープレインユー

10，147−163，1995．

ピック指数及びその拡張概念による分析を始め，ゲー［7］小野理恵，投票による意思決定制度と投票力指数，ムヨ空論を用いた分析は，今後このような投票主体の影響力の評価および投票制度そのものの評価に大きな貢修士論文，東北大学経済学部，1994．

［8］Ono，R．andS．Muto，Parties，PowerintheHouseOf CouncilorsinJapan：An Apt）lication 〆 the

献をなすものと期待される．
なお，シャープレイシュービック指数と並んで応用

Non即mmetYIc Sh卸Iey−Owen lnda，Discussion

例の多い，バンザフ指数については，紙数の都合もあPaper No．417，KyotoInstitute of Economic

り本稿ではふれなかった．興味のある読者は，Banzhaf

Research，KyotoUniversity，Japan，1995．

［1966］，Dubey and Shapley［1977］，Lucas［9］Owen，GリPoliticalGames，NdvalResea7ThL曙is一［1983］，小野［1994］，Straffin［1994］等を参照していただきたい．

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