論文・事例研提

アラノレ海の水位一微分方程式による考察ー
柳井浩
11l町l
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附
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川川
11附

1.

題に関する大略の報告を受け，問題を構造的に理解するはじめにために，ごく単純な微分方程式モデルを作って考察して中央アジアに位置するアラル海は，カザフスタン，ウみた.その結果，一定の流入量に対しては，水位や面積

ズベキスタンそしてトルクメンスタンの 3 共和国に固まが年月の経過とともに，一定の最終値に近づくことがわれた，海水の 1/3 程の濃度の塩水湖である.遠くパミかった.さらに，文献 [2J のシミュレーションの基本的なール高原および天山山系に源を発する 2 つの大河アム・データ，すなわち湖底の形状と流入量の推移を用いて，ダリア，シル・ダリアの水が注く:出口のないこの内陸

微分方程式モデルによるシミュレーションを試みたとこ

湖は，かつて世界第 4 位の湖水面積を誇っていた.

しかろ，水位およひ、面積の推移が文献 [2J に報告されている過し，過去 30年間にわたって行なわれた，両大河からの，去の実績とシミュレーションによる将来の予測にきわめ主として潜がし、農業用の大量の取水は，湖面を大幅に縮てよく一致することがわかった.

小，今やこれを枯渇の危機にさらしている.

微分方程式モデルの妥当性をこのように検証したうえ

湖面の縮小は，この地方一帯の気象の悪化をもたらし，で，アラル海の場合について面積の最終値を計算したとそのためにしばしば発生する嵐は，干上った湖底の塩分ころ，これがアラル海への水の流入量に正比例するといをほこりとして空中にまき散らし農作物にも甚大な悪う，じつに簡単な結果が得られた.すなわち，アラノL 海影響を与えている.そればかりではない.除草剤等の農の水面を維持しようとするならば，他の水を導かぬかぎ

薬の使用は出口のないこの湖水を汚染し，付近の井戸のり，取水を制限する他はないのである.

水質までも極端に悪化させ，住民の健康をいちじるしく

しかし，取水の制限もすぐに効果を現わすものではな

害い，漁民等湖水にたよって暮してきた人々の生活を根い.仮に今すぐ (1995年から)，湖水への流入量を 1960年

底から破壊するにし、たった.その惨状には，誠に目を覆の水準に戻したとしても，湖水がもとわせるものがある.の 90% にまで回復するには約40年を要することが，同じ

このような報道に加えて，専門家の調査もこれを裏づけた.地上における調査のみならず，航空機や人工衛星(1960年)の面積モデルによるシミュレーションによって見積もられるのである.自然の恵みに限界があることを無視した結果，による上空からの種々の科学的観測は，さらにくわしいデータを提供した [IJ.
また，アム・ダリアおよびシル・ダリア雨水系ネットワークの構造と取水の現状と予想をとり入れた、ンミュレーション [2J は，アラル海の枯渇の危機を如実に示していた.

l学会の研究会「巨大プロジェクトに関する OJEl‑}

筆者は，日本オペレーションズ・リサーチ

RJ( 主査=柳井浩)の研究集会において山元順雄氏(日本 GIF 研究財団)より，この間ゃないひろし慶応義塾大学理工学部〒 223 横浜市港北区日吉 3-14ー l

482(22)図 1

アラル海とその周辺© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

1,OOOkm
オベレーションズ・リサーチ

‑Z、、

λρ

下_S(x).
;;f

図 4錐体形状x

上ート~ムミコ可図 2

図 3

流入と流出相軌道図

環境そのものを破壊してしまった開発至上主義に対するi:) (状況点と呼ばれる)で表わされるこの系の状態が，この曲線に束縛され，それから外れることができないと手厳しい教訓として受けとるべきであろう.
本稿では，以下において，この微分方程式モデルによる考察とシミュレーションについて詳述する.

いう意味である.そして，i:が z の変化率であることから，i:>0 のときには状況点は右方へ

2. 数理宅デル

i:<0 のときには状況点は左方へ向かつて動く，そこで相軌道の形からして，充分時聞がこの桶は，水位が経過すれば，唱i(x)

図 2 に示されるような桶を考えよう.

水位

状況点、は相軌道と z 一軸の交点(x , 0)に近づく.ここに￡は微分方程式 (5) の右辺がゼロ，すな

わち方程式であるときの水面の面積が(のS(x い水面の面積ρ -f(x)=o(6)となるような形状をもっている.(水面は水位にかかわら>à:'満たす Z の値である.この乏を流入量 ρ に対する最終ず，常に連結した領域をなすものと仮定する. )\，、まこの水位と呼ぶ.
また，湖からの水の損失であるが，アラル海には出口

橘に単位時間あたり(3)ρ: 単位時間あたりの流入量

る.この地方のような乾燥した地方では蒸発が最も大きという水が流入する一方，単位時間あたりf(x い単位時間あたりの流出量(4)という水が流出するものとしよう.このとき，水位 z にS( 叫な要因となろうことは，想像に難くないが，これはいうまでもなく湖水の面積に比例する.むろん，温度や湿度にも依存するが， 1 年を 1 単位時間とするような話では，ついて次のような微分方程式が成立する.

i:=有~ {p‑f(x)}がない.湖水の水は蒸発や地下への浸透によって失われ(5)年聞をまとめて考えればよい.また，地下への浸透は水が存在するその下でなければ起り得ない.水深による多ここに￡は水位の時間微分を表わす.この微分方程式が寡はあるにしても，第 1 次近似としては湖水の面積に比本稿の基本的モデルである.桶は湖水，流入は河川や降例する項をとるべきである.このような見地からすれば

雨，流出は河川による流出，蒸発，地下への浸透等によ

流出量 f(x) はる水の損失に対応している.

f(x)=v ・ S(x)このような対応関係からすれば，水面の面積 S(x) および流出量 f(x) がo 三三 z において定義された非負の(7)という式によって近似できる.

アラル海の場合については，次節で述べるが，いまこ単調増加関数としてよいだろう.したがって，微分方程こで一例として，湖底が錐体形状をなす場合を考えてみ式(5)によって与えられる水位 Z とその時間微分￡との関よう(図 4 ).この形状の下では，湖水の面積は水位の 2係を z ー￡平面に図示すれば，大略，図 3 に示されるよ乗に比例する.それゆえ，面積 S(x) はS(x)=s ・ x2

うな曲線が得られよう.

このような曲線は栴軌道図と呼ばれるが，それは点 (x，1993 年 9 月号

(8)

したがって

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(23)483xとなる.すなわち，流入量 p の平方根に比例する.またこれを(め式に代入すれば最終水位に対応する湖水の最終面積 S は

s=X 2 = 主S

Iう•となる.すなわち，湖底の形状が錐体をなす湖水の面積流入最は，最終的には流入量に比例するという，単純な結果がS得られる.

3.

(図 5 )

シミュレーションと宅デルの妥当性.Zhu らは文献 [2J において，アム・ダP.Raskin , Zρ

i斑入量

図 E

(12)

pリアおよびシル・ダリア両河川をめぐる複雑な配水シス
テムを，かなりこまかくコンピュータ上に再現，さらに錐体形状の場合の最終水位と湖水の最終面積

年間の降水も 5 つのパターンにわけで，現実のデータにf(x)=v ・ s• X2(めと書くことができる.ここに合わせてそれぞれに確濯を割りあて，シミュレーション

s は比例係数である.

(WEAP) を行なった結果を示している.

(9)式を (6)式に代入すれば，Zhu博士の許可を得てこれを載録したのが図 B である.

p‑ v SX2=0。0)

一方，アラル海に関して，百科事典程度の一般的な記を得る.それゆえ，最終水位は述以上の詳しいデータを，直接，しかも早急に得ること)
11(

s=J7ぞは，われわれには困難であった.そこで，この文献に用

80』
Paup)
oE ×

70

ロ Surface Area

xFlowEnteringtheSea
・ Sea level60(g)-23gω・

5040x唱idaT
一10りa-SurfaceArea
Sealevel706A

20ηtnυ
iVA吋Ld‑‑AHVAHυ

(Nguc〈gロh3020159.
4126.
80ftEX。

1
9301
940

1
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図 S

484(24)

1
960

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970Year

WEAP によるシミュレーションの結果© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサ一千而積
9 210mx:*
t:.
r

7060
50
4030F20図 B

751(x)=(2.
308x‑
52.
3)X 1010湖底の形状である.

さて，次に，流入量とその推移を調べよう.図 6 から1020 30

図 740 506070m'](f:l:

アラル海の水位と面積証してみることにした.

まず，水位と面積の関係であるが，これは湖底の形状によって定まる.文献 [2J のシミュレーションでは，実測の結果を使っているはずだから，図 6 から水位と面積の値を採取しこれをヨコ輸とタテ輔の値としてプロットして結べば，この関係が得られる.図 7 にその結果を示x>22.66(1司によって近似してみることにした.
ここで，この式による近似の幾何学的意味を考えてみよう.一般化していえば凶式はa彊

ー・Jという形である.いま仮に湖水が水位にかかわらず円形

2π r 2 (x) = Sj(x)(15)

z>41?ト=0(19)9で落ち着いており，さらに，この時代には年聞の流入量と損失量がパランスして，水位が安定水位に達していたものと見て，損失量f(52)=55X 1Q9 m3/年同と考えた. (1同および剛式を (7)式に代入9凶を得た.今かりに，アラル海の水の損失量がすべて水面からの蒸発であるものとすれば，これは 809mm/年の蒸発に相当する.

さて，次に流入量の経年変化であるが，この文献 [2J での根拠にもとづく想定の上に偶発的な気候の変化をシミ

x :5. とlaーでは大体の傾向をつかむだけでよいので，この流入量の経年変化を近似的に
9t~三 1960(55X10ρ (t)=1l[2+53exp( ー 0.7(t-1960))]x !09とし寸関係にあるから，これから r(x} を求めれば..;π戸71(18)P=55x10 m 3/年

ュレートしたものを加えて作っているようである.本稿をしている場合を考えれば，その半径 r (x) と面積とはr (x)=オ7r

S

流入量は過去については実際のデータを，将来については相応、SEftE ト tih

一ab 一a>〈一一=0bzz

Sj(x)= α x-b

面積(52)=68x10m2

り一一一一=一一←~=0.809m/年

x;
;
:;
;
22.
6
6=0

(1司9̲f(52L55x10
S(52) 68x10す.そこで，水位 z に対する面積 S(x) を
7x=52m

水位いられているデータを借りて本稿のモデルの妥当性を検Sj(x)=(2.308x‑52.3)X10

1950年ごろまでは，t>1960
聞とおくことにした.
(16)という関係が得られる.これを模式的に示したのが図 S

さて，徴分方程式(5) の p を ρ (t) でおきかえた方程式

x=co}̲¥ {P(t)-f(x)}S(x)

凶にこれらの関数を代入し，初期条件をである.
すなわち，井戸のような狭く深い場所があり，その周x(1950)=52

凶

囲に中華鍋の底のような形の湖底が広がっている.このとして解を数値的 (Runge-Kutta 法)に求めてみたのことはアラル海に関する“浅く広く，一部に 70m 近い深が，図 S である.

い部分がある"とし、う百科辞典の記述とも符合するもの
1993 年 9 月号

さらに，図 9 と図 6 を重ねてみたのが図 10 である.こ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(25)485次に最終水位について考えてみよう.

70f(x)=v • Sl(X)[卜一己ιλ7け2加0似1店附560

面積水位としてこれを (6)式に代入して最終水位を求めれば，

x=互+L必43.5防5 14.9
幻7m241.62a av

24.
40x109m2

40闘となる，岡

したがって，このときの湖水の面積S(x) ， すなわち最終面積がアラル海の場

30合にも錐体形状の場合と等しく

S=S(x)=与20間ということになる.これらを図示したのが10

図 11 である.

。

'50'60

図 9微分方程式モデルによる水位と面積の経年変化の'702000'
90'
10'
201

こうして見てくると，この湖水の水位の挙動が本質的には単純で，本稿に述べたような l 本の微分方程式によっても，大概のところは充分に記述できることが推測されシミュレーションる.

れからもわかるように

2 つのシミュレーションの結果はきわめてよく一致している.したがって，本稿の数理モデルの妥当性は，とりあえず，否定されないものとし

この微分方程式モデルの妥当性を容認するならば，この湖水の面積は最終的に年間流入量 (m 3 )最終面積-，ーーー一一一一という値になる.てよかろう.

80{伺EMCBo
同×70

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4126.
8010。

1930194019501960

図 10486(26)© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

凶主70、\ト、60¥

ド一一Jう~

50\yメト流入反S40¥30

図 11 アラル海の最終水位と湖水の最終面積ーレ/ト、

以乙1'
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面積入さ~量

10。

'50'
60'70

澗

'90

2000 '
10'20'
30'40 年

図 12 取水制限と湖面の回復したがって，アラル海の面積の維持を欲するならば，

ウム j に筆者等を招待せられ，庸上，文献 [2J の筆者の 1

この式が示・すごとく，損失(その大部分は蒸発であろう)人である Zhu博士を紹介された.その折，筆者は同博士を防ぐか，あるいは流入量を確保しなければならないのと本稿のシミュレーションの結果をともに検討する機会である.前者が不可能なら後者が唯一の方法となる.

を得た.またその後，文献 [2J のシミュレーションの結果そこで，取水制限の効果を見積もることにしよう.仮に今すぐ(1 995年から)現在のような取水を全面的に停止して，流入量を 1960年の水準に戻したときの水位と面積の回復の過程を本稿の微分方程式モデルによるシミュを掲載することについても，同財団を通じてお願いした
ところご快諾をいただいた.
本論文の発表はこれらに関係する皆様のこ・協力のたまものである.ここに感謝の意を表したい.

レージョンによって計算した結果が図 12 である.この図文に見るとおり，湖水の回復の過程はきわめて緩慢である.

献

湖水の面積がもと (1960年)の 90% になるのは 2035年頃[ 1] Mick Ji n , P
h. P. “ Desiccation of the Aral
すなわち取水制限を始めてから約 40年後のことと見積もSea:A Water Management Disaster in theられる

Soviet Union" Science , Vo 1. 241 , 1988 , Sept.

〔謝辞) 1.でも述べたとおり，本稿は日本 OR 学会「巨大プロジェクトに関する ORJ 研究会における山元順雄

pp.1170ー 1176

[2] Raskin , P. , Hansen , E. , Zhu. Z. , IWRA ,氏(日本 GIF 研究財団)らの報告と討論を発端とする

M. and Stavisky , D. “ Simulation of Water

ものである.また，SupplyandDemandin the Aral Sea" W ater

日本 GIF 財団は 1992年 10 月 29 日に国連大学で‘行なわれた「アラル海問題に関するシンポジ

1993 年 9 月号

Inter
national17(1992) pp.55‑67© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(27)48
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