不動産ファイナンスにおけるオプション：理論と実証
森iF 爽一郎………‖＝‖＝‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖＝‖＝‖‖＝‖‖州Ill川Il…‖＝‖‖州Illl‖‖＝‖‖‖＝‖＝‖＝‖＝＝＝‖＝＝＝‖＝＝＝‖＝＝＝＝‖‖＝＝＝＝＝＝＝＝‖‖＝‖＝＝＝＝‖‖＝＝＝＝＝＝＝‖‖＝＝‖＝＝＝‖‖＝＝‖‖＝＝＝‖‖‖＝＝＝＝‖‖＝‖＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝‖＝‖＝＝‖‖＝‖‖‖＝仙い．なぜそうなのか，またどのようにしたらイく動産を

1．はじめに対象にする適切なオプション理論を組み宜てることがイく軌慮ファイナンスとは，不動虎を対象にする賛塵運用をさす．fl本におけるこれまでのファイナンス理′論とその応川としての令敵l二て、；ご‥の研究対象は，株式，できるのかを検．汀し，その−一一例をしめす．

2．不動産とオプション契約

偵券，わ轄などの令融向．暮，−−，に対する研究がトであり，

2．1不動産市場とその証券化市場

商品一∫（Commodity）や保険はもちろん，その他の 夫

イく動産投資には金融市場とl甘様，現物（不動産その物資産の避川に関する研究はまだ始まったばかりであもの）に対する拉資とその証券化商ん！，に対する投資のる．これに対し，欧米，とりわけアメリカでにおいて，二つのタイプのものがある．たとえば，多くの八は食イ（軌J′たに関する研究は，．仁′、rニ（都市仁、㌔），経済（什融機関から什モローンを爪り，不軌産を購入する．金七や都舶晰丼判，ビジネススクール（イく軌成一、〃■ な

融機関は，通常，ローンの対象物什を拭き11にとり，そどの一、初野領域にわたる研究が長年にわたって行われての裏づけのもとに資金の貸Hl．しを行う．

きた．たとえば，不動産に関する′、甜抑ノな朝一リ三誌ミにか

金融機関は，このイ沌加封軋当貸川（モーゲージ：

ぎっても，20あまりのものが刊行されているほどで

Mortgage）において，さまぎまのリスクを負う．以ある．

卜に議論するように，とくに，作宅ローンの貸し倒れ

わが国では，21世紀をむかえ，二つの重要な中二郎（イく軌産デフォルトリスク）とローンの満期前の返済がイく軌催rfi場で隼じた．第1は住宅金側公件の住宅ロ（期眼前償還リスク）の二つが重要である．これらのーンの新規貸目し分の証券化が定期的に行われるようリスクを避けるため，あるいは，資金調達の手段としになったことであり，節2は，イく軌産をI甘資庫とするて，金融機関は住宅ローンの証券化を行う．つまり，

投資仁託，lI本型の不動産投資付託（J−REITs）が最大30隼にものぼる住宅ローンからの令利や元本返

東京所見取引所で売買可能になったことである．こう済を，投資家に配≡11や令利支払いという形で還元する

した動きは，他のイく軌産市場における隼新とともに，ことを約束する証券を発行する．これがモーゲージ・

従来，

金融市場とは別個に成り立っていた廿本の不動

産市域が，令融 rl丁場とリンクし，イJ二いの影響のもとで，
イ増加封IHi栴と証券価格が決定されるようになったこと

バック・セキュリティー（MBS）と呼ばれているものである．
たとえば，住宅金融公樺が今後発行する謝三券化商品

はパススルー型詞三券化商≠＝二呼ばれ，貸し倒れリスクを意味する．
イ（軌慮ファイナンスで検討されるべき問題は多くのを令融公樺が引き受けるのに対し，期前償還リスクをものがある．本稿では，不軌尾の賃貸あるいは読汀引こ

投資家が引き・受ける形をとる．イく軌慮の証券化は近年あたって，さまざまなオプション契約条項が付随して複雑さの度合いを増し，異なる信用リスクの度合いにいることに盲iミ‖する．その上で，イく軌慮の評価を行う

応じてきりわけを行い再度証券化するもの，証券化向域でナ，そうしたオプション契約の価伯を止しく計算す1■川−−を投資信託にするもの，証券化商品に対する尤物やることが必要であるが，金融資産を対象として開発さオプション取引など，さまざまな証券デザインがなされたオプション舛論を再二ちに過川することは適切でなれている．

もりだいら そういちろう
慶應義塾人一、jご：総合1攻策一、㍗吾l；〒252藤沢宜遠藤5322
606（4）

2．2 不動産契約におけるオプション
イく軌庵の取得あるいはその賃貸においては，さまざ
まなオプション（選択権）契約が内在している．オブ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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ションは，不垂加壷という，まさに「助かない資産」にいる．このオプションの契約（行使）期間は，イく軌産

たいして，柔軟性を付1・する‖的でり▲えられることがを耕保とする貸付け期l持＝こ州、11する．

多い．不動産にかかわるiミなオプション契約としては，

以卜のようなものがあげられる1．

ここで重要なことは，イ（軌庵を組保にとって資金を貸しつけた金融機関は，無償でこの倒産する株利を貸

1．デフォルト（倒産）

し手にJj一えているわけではないことである．イ．川Jスフい

2．則lうij償還権

レッドを，仁＝Jリスクがまったくないm手に対する令3．リース契約

利に卜来せする必要がある．そのために必要になるの

4．定期情地権が，この倒産オプションの佃仙を判定するためのオプ

5．買戻し契約

ション価格決定モデルである．

6．イく軌座間発プロジェクト（リアルオプション）
本稿では最初の∴つの問題を特に取り上げることにする．

このように考えると，倒産オプション仙伍〃，の盲フニ
定のために，有名なブラック＝ショールズモデルの利川を考えることができよう．ブラック＝ショールズの3．倒産する権利：倒産オプション
イ（軌慮を取得するにあたって必要な資令を情人れに
よってまかなったf．壬雄二片や投資家は，「倒産する権利」を保有していると考えることができる．

プット・オプション・モデルを以卜のような枠釧＿みでil‡き表すと次のようになる．
八＝〟eりW（−あ）−S。Ⅳ（−dl）

（3．1）

ここで，

（′l≡▼重建（3・2）

品…dl一両7（3．3）

址鎚垂二互±

これまでのアメリカの多くのイく軌庵ファイナンスにおける佃IJリスク研究では，実証・理論を問わずこうした宜場を収っている．これはわれわれの感覚かJ）す
ると一見奇一妙に一臥えるかもしれないが，まさにIl本のここで，S−）＝現時∴−．（のイ牒加封価楕，〟＝現時．・1（の員値域−モーJ」

り＝無リスク食利，r＝城〟情人れ期間，♂

金融機関が抱えるイく山位相王り越は，この∴1、（を！と現した＝抵？11イ司加童の収益率の標準偏差，つまりボラタリテ

ものと∴える．その意味は次のように説‖ノJできよう．

ィーである．この丘つの変数の仙を，卜．ミ己ブラック＝イ（軌慮を収得するための資金の借り丁は，利√・の支ショールズ⊥いこ代人することにより，容号引こ，イ（助産払いと原本の返済を行し、，災債を減らしていく．他ノノ，

抑保貸付■けの㍍川リスクをしめすプット・オプション

貸しf▲である令融機関は，融資の対象になるイく軌慮を価伯を第二定することができるように一U、われるかもしれ‡叫呆にとって，資金を貸しつけている．しかし，‡叫呆ない．しかし，原証券が金融賛藻である金融オプショ物件であるイ（動産の価伯はイく確実な変動をしめす．

ン，たとえば，l摘草、l雄」オプションと違い，問題はそ

借リ丁・は，イく軌庵価伯が融資の返済義椅を卜I‖1ると，価値の卜落したイ司柑産を貸し丁・である金融機関に「押う術中ではない．以卜▲にその理由をのべ，その対処策

をあわせて議論することにしよう．

し付け（Put）」，その代わりそれ以降の利r一の支払いとノ仁木の支払いを免れようとすることが「合珂邪J」である．これは，借り了・がプット・オプションを保イfしていることを意味する．つまり，金融機l掲は情り丁に，そのように意識しているかどうかは別として倒産オプションを克却している．借り丁は金融機関からオプシ
ョンを婦人している．
このノ∴（を図で示すと，川1のようになろう．
より正確に∴うと，借り丁はその時々の返済義務である負債の現在価植せ行使価格として，不動虎を原証券とするプット・オプションを金融機関から購人してT：住宅ローンの満期

01イ（助産ファイナンスにおけるオプション契約についての展望論文としては，たとえば，ShⅢing，Sirmans，andHenjanlill［8］を参照
2（州1隼11‖り一

住宅ローンの開始

この期間で倒産オプションを行使することが可能

図1倒虎オプションの考え〟© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（5）60丁3．1長期契約と金利やボラタリティーの不確実性

仙がどう推移するかを考慮にいれて，現在倒産すべきイ（軌産‡盲付けは長期にわたる．向業川イく軌催では少かどうかをそえる．

なくとも5牛，居住用イ（軌産では3りfトにわたる貸付他〟，アメリカン・プット・オプション佃仙を解析

けが普通である．そうすると，ブラック＝ショールズ

的に求めることはイく＝川ヒであることが知られている．

モデルのように，無リスク令利（り）やボラタリティ

したがって，その解を解析rlくノ近似あるいは数伯解はにー（♂）は暗闘とともに一定であるとするのはあまI）によって求めるほかない．イ（軌産ファイナンスでは，しも強い仮定といわなければならない．しかし，それらたがって，．汁ちフニファイナンスの成米がもっともよく応が咋‖りとともに確率的に変化すると考えると，モデル川される分野となっている．

はきわめて複雑になる．

3．4 不動産価値は対数正規するか？
ブラック＝ショールズ・モデルでは，原証券である

3．2 不動産市場の流動性
イ司加童は個別件の一灯い賛塵である．2LDKのこ物什

資塵価格は対数正規分布に従うと考えた．これは，原と∴ってもそれがどのようむ場所にあるのか，マンシ

資正価桁が員にならないと∴う一・∴（と分仰の非対称件をョンなのか一／i建てなのか，卜地付きなのか情地楯号考慮している．・∴（で妥二11な選択と∴える．

のか，あるいはまた岱し家なのか持ち家なのか，葉木J

これに対し，上地や家屈などの価格は，すそ野が広隼なのか，などさまざまな条件にによってその仙仙がい分布あるいは価格のジャンプがあるような分布に従異なる．標準化が困難であることは，個々の物件の定う‖†敵性がある．特定のイく軌慮の価植は，それを，耽り

員が清発でないこと，いわゆるIIJ場性，流動性の欠如

巻く環境，たとえば近くに新しいビルの新築がなされを意味する．

たこと，公′ii；：の発隼やIfl然環塙の激変，道路や鉄道な

このことはブラック＝ショールズ・モデルを導目す

どの／＝．†インフラの整備や感化などといった「イベンる際の均衡条件：無リスクヘッジ・ポートフォリオをト」による影響をこうむることが多い．そのためこう

連続rIくノに形成できるための条什が整っていないことをしたイベントが突然起こると，1該イく動産の価仙は突意味する．つまり，原証券たるイ（動産とイ司伽肯損、11ロ

然の変化をしめす．こうした場合，価格変動性そのもーンのどちらかを』世位克却し，他ノノを1i往付二購人のが確率「畑こ変化するようなモテリレ，ジャンプ過程をするようなポジションを遭糸加引こ実現することにより，許容するようなモデルが必要であるかもしれない．

イ（軌克とイ司加払低当ローンからなるポートフォリオが3．5 Ruthless Default？

無リスクであるようにする，ことはほとんどイ（叶能で金融資産を偵資産とするヨーロピアン型のプット・オプションであれば，インザマネーの状態，つまり，ある．
不動庄耕保貸付けの倒産オプション佃佃をillり定する

満期における原資産価格が行使佃格以下にあれば，即場は，離散的な価蘭磯風をI祢堤にするようなオプショ

行使することが望ましい．しかし，アメリカンオプシ

ンモデルが必安になるであろう．この場合重要になるョンである倒産オプションの場合はそうでない．また，のが，後にホすような「ブラシイング・カーネル」にこうした経済rIくノ理由ばかりでなく，手頃呆資産が残存貸よるオプション価格決定である．プライシング・カー

H袖をゝ卜州っても借り子はプットを行使するとは限ら

ネルアプローチを川いると，原資産であるイく軌成の仙ない．倒産処理の法的事務的コスト，倒産したことに桁とそのデリバティブズである倒産オプション仙格をよる情手の社会的な地位の失堕などは，「Ruthlee

整合性を持って，同時に決定できるとともに，どのよ（厳格な）倒産オプション」の執行をためらわせるでうにして投資家のりスク選好，時間遥好率がオプショあろう．他人 アメリカの一部の州やFl本のように倒ン佃格に影響をJi一えているかがわかる．

産が合法あるいは非合法に元利金払い停止後も居住す

3．3 期前行使の可能性：アメリカン・オプショ

ることができることなどは，逆に倒産を早める効果がある．こうした理由はII米で巽なるかもしれない．どン？

例慮はいつでも‖摘巨である．借入れの最終時点のみのようにこうした要l大ほ組み入れて，不動産を憤証券

でこのオプションは行イ許可能であるわけではない．しとする倒産（プット）オプションモデルを作るかが垂たがってデフォルトオプションは，満期前の行使がい貿である2．

つでも吋能なアメリカン・プット・オプションと考える必繋がある．佑り子は，現在と将来の組保イ（軌J星植
608（6）

2「Ⅰそuthlee（厳格な）倒産オプション」にかかわる問題については．Vande】l［9］が詳しい．

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3．6 行使価格の変化とその不確実性にわたる消肇からの期子、f効川を最人にすることにある

ブラック＝＝ショールズモデルでは，行使仙桁（〟）と仮定すると，投資家の意思決定問題は次のように定は一定であるとみなした．しかし，倒虎オプションモ

式化できる．

デルでは，子ノー硬価格は災情残高，つまりn偶の現在価凡才献⇒g∴ トJ（C（，，el）］＝gJ，−［z′（C−，）＋伽（e】）］

仙にあたる．たとえば住宅ローンであれは，通常は毎S7／むど（−しわ：CI＝H＋．テ川1

Jj一定裾の利／・とノ仁木の返済が寺J・われる．それにより，C。＝H）一Jもタブ。

抒情城れは減少していく．住宅金融公怖からの情人れ

制約条什を＝棚関数に代人し，決定変数である（柚，では，「ゆとり返済」と呼ばれる制度があり，初別の〃1）で偏微分し，その結果を資産価格（5−，）について解返済微を少なくおさえ，1（＝ト後からの返済顆カヾ多く

くと，S‖＝E∴ ［脇・．宕．］

なるように，住宅ローンの什組みが設定されている．
つまリn債賎−1一丁jである行使価格は，確定的ではあるが，が‖られる．ここで，g∴ ［・］は′夫確率（リスク小J／二確

変化する．

率でなく）の卜 で其り待仙を計算することを一酎昧する．

他ノノ，もし令利がイ1確実である場合はどうなるであさらに，ろうか？ 国定令利情人であっても返すべき員情碓高府1≡βニ阜〔也の現／仁仙i仙は令利変動の形響を′受ける．もし変動金利？′′（Cr，）

貸付けであれば，毎期の什情城れは確率的に変則する．
令利がイく碓 夫であれば，イ相打夫なイⅧ摘潮闇との相関も考えなければならないであろう．州閻を持つ∴つの資虎を状態変数とするアメリカンオフションの一汁価ははプライシング・カーネル（確率的割引ファクター）と呼ばれ，将来キャシュフローを価格に変換する重要な役割を果たしている．HestoIl［3］は，効目関数〜／（・）がベキ（l〕（）Wer）里効川関数をしている場介，

プライシング・カーネルが次のような形を取ることを

数帆汁算によっても雉しい1廿題がある．

いずれにせよ，行使価梢（〟トー⊥という仮定は，明らかにした．

〟（よ．）＝β．打αイ（動産を対象とする倒産（プット）オプションでは適

ここでαは投資家のりスク川避度をあらわすパラメ

切でないータである．また，βは投資′束が抱く異なる時点のii■i

4．新しい不動産価格決定モデル

習の相対的な重要性をしめす時間選好パラメータであ卜で指摘した問題のうちで，ヨーロピアン・オプシ

る．

ョンの仮定を保持したまま，離散モデル＋ジャンプを作容したガンマ分布としたときのモデルを，あたらし

さらに，資産の将来キャシエフローが，ノ已になる確率変数乏によって，
fl＝ピ〃＋♂タ】（4．1）

い資産価格決定モデルである「プライシング・カーネ

ル・アプローチ」を川いることによって解決できる．

と定式化できると仮定しよう．ここで，〃は分布の位
箭パラメータを衣し，♂は，ボラタりティー・パラメ

その例をしめそう．

4．1投資家の意思決定問題とプライシング・カー

ータをよす．指数関数による変換を行ったのは，非線形ならびに結果がf＝こならないようにするためである．

ネル

プライシング・カーネル・アプローチを川いると，投資′束の1共用肛最適化f！り越を考え，そこから，どのようむ資本資塵であっても，その均衡価楕を導くことができる．投資家は，現在／＝0と将米／＝1にそれぞれ確定的か咋キ！子y，と Hを得ることができるとしよう．

この所得から，現れS。＝する金融資産を乃。株だけ購人（7紬＞0）あるいは空売り（〃。く0）するものとしよう．
この資産からの1期間後のキャシュフローはイ雄阻夫でそうすると，このとき，原証券たるイ（軌慮あるいはl二地の均衡価格は，S。＝g∴ ［〟（ま1）・ヱ1］＝g∴ ［βま「α・．斎1］＝g∴ ［β封α］＝gた ［β（e〃＋♂√1）トα］＝現 ［β（e〃（1mα）＋抑α）∫1）］＝βピ州￣￣α）g∴ ［官印肌α）√り］と計算できる．ここで，資産の将来キャシエフローが一般化ガンマ分布していると仮定しよう3．つまり，あり，それをJlで表すものとする．投資家は，1其り
間後に乃1株だけのk対先月を行うことにより，投資
ポジションを解iilける．投資家のII標は，現在と将来
2（）01牛11‖り・

3−一一般化ガンマ分舶こ関しては，Johnson，Kotz，andBalakrishnan［4］を参照のこと© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（7）609／（言1，∂）＝卓呈三旦ヱ ／ （・一−

この式から次のような結論が導かれる．
・期待値パラメータ（〝）の存在：ヤ均パラメータ〃

をガンマ分布する確率変数の架度関数としたときに，がdlと訪を通じて正接プットオプション価格に影式（4．1）のような変換を行ったとき確率変数烹lは一

響を′j・えている．この意味は，ガンマ分イlける確率

般化ガンマ分布に従う．

変数ではジャンプすることを．粁容するため，無リス

ガンマ分布する確率変数は，非負の仙を収ると共に，「＝仙女が小さいときは，れこ人きくひずみ，「川Ⅰ度がクヘッジポートフォリオを，離散的なl世界であっても，構築‖J一能でない．そのため，ブラック＝ショー

高くなるにつれて，」l湖分舶こ近づくと；‡う性質を持ルズモデルと異なり期も＝lたパラメータが価栴式の小つ．また，ガンマ分布する確率変数は，ジャンプするに現れるものと考えることができる．このことは，ことを許容する．その意味で，金融資産価格に関して

イ司軌産のように，その資産価梧が外f＝Iくノな「イベン良く仮定される対数正規分布よりも，上地や建物の価ト」によって影響をこうむるときの，デフォルトの格系列の特性をより良く表していると∴えよう．

価仙を．汁算することがl木順位であることをホしている．

ガンマ分布を仮定すると，ガンマ分布の積率母関数

・ボラタリティーパラメータ（♂）が陽に現れないこから，悼証券たる卜地あるいは不軌産価格は，と：通常のオプション公式では，ボラタリティーはS。＝βe 州▼α）Eエ ［（〆川α）√1

非7鋸こ軋要な役割をはたす．これに対し，この式で）］＝ノ鮎州￣α）［1一（1−

（4．2）

α）♂］α

は，ガンマ分布の「川1度∂が分布のゆがみを表しのように表される．さらに，1期間後に11日を支払うているため，それによって，ボラタリティーの代わ

割引債佃格も現物不動産価格とIii】様にして，次のようりの役割がなされているとも考えられる．

に示すことができる．

・現物不動産と倒産する権利の価値との関係：式β。＝gr［〟（烹1）・1］（4．2）には，投資家の時l肛選好率（β）やリスク回避度（α）がl勺γ上している．つまり，式（4．5）をみると，＝βe囲（1十αα）∂＝

呪物価格（5。）や1其Ill封剖Ij＝か価格（β0）を通じて，

他ノノ，行使価格〟，行使期聞1期間のプット・オ

lまり接「畑ここれら，投資家のリスクや時朝‖射出こ関す

プションの均衡佃格は，次のようにして計算される．

る態度を表すパラメータがデフォルトに影響してい昂二且∴ ［〟（∫．）・C（∫1）］
二g∴ ［β∫「α・肋J［〟−∫l，0］］

ることがわかる．われわれのモテリレでは，デフォル
トするかどうかは，イく軌J；封こ投資している投資家の二〟・βe￣レα（1＋〟）▼∂（C（成l∂））

裁品のもとにある．そのときに，こうした定式化を−βe′叶α）［（1−α）♂］α（トC（dll∂））

通じて，投資家のリスクや咋l封選好がデフォルトに
ただし，どのような影響をリ▲えるかを検証することが吋能にG（踊＝言寄滋なる．

・デフォルト確率：式（4．5）のC［あl∂］は，倒推確率

dl＝（1n〟−〃）（♂1＋α−1）をあらわす．つまり，不軌慮佃伯が偶人額をド【lJlる

成＝dl＋（1n〟−〃）

ここで，Cはガンマ分布の累積架度関数を表して確＊をしめす．式（4．3）を見るとわかるように，dlの小に，リスクIl∫I避パラメータが間接的に人っていいる．

ることは興味深い．

さらに，上でもとめた原証券である一塊あるいは不軌産と1期聞割引佑にかんする均衡価格式を川いると，

5．期前償還する権利：金利オプション

不軌産産を憤資産とするときにデフォルトをする権利

住宅ローンを30年聞，8％のl叶定金利でA銀行かの価値：プット・オプション価格は，次のようにあらら情りたとしよう．峠聞がたち，住宅ローン令利がわされる．

鳥＝〟・β。（C［成l∂］ト5。（C［dll∂］）（4．5）

残高分をA鎚†‖こ返して，つまり借換え，期前償還

ここで，
dl＝1n（桁成＝d．＋1n（属壱一〃）610（8）

4％に卜ったならば，当然のことながら，8％ローンの（Prepayment）を行し−，他の銀行から4％金利で新（ピ￣レ5。／β。）1′∂1−（e￣〃S。／β。）

］

（4・6）

に住宅ローンを情りたほうが将来の金利支払いを減らすことができる．
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これは明らかに金利オプションである．つまり，この違い，などによるものと思われる．

れは，1初のローン金利を行使佃柿として，その時々4．残存期間：ローンの満期が近づくにつれて，返の市場金利を原資産とする，令利オプションである．

済すべき令翻は少なくなる．したがって，残存したがって，この情り授えを行うことができる権利は，

n債顆を・一一紙返済しようと∴う．誘囲情H一言くなる

適切な金利オプション価格決定モデルを川し、て，そのであろう．

佃他を計算できる．金融機関がみずからの住宅ローン

5．季節効果：l】本のように6J＝二12JJにボーナスを証券化し，期前償還リスクを投資家に転嫁する場合，収人がある場合は，そのJjに期前償還をする確

この期前償還権の佃仙分だけ，証券化商品の佃仙を．1■Jj

率がIl−ぉくなる．また多くの11本の企業は3‖年

くしなければならないだろう．逆に∴えは このi‡il三券

度小二職位の移動が子i・われる．そのため住み矯化商品を購入しようとする拉資家は，この部分の価植えが行われる‖川巨性が■‡■いく，新規の住宅を購人を過切に考慮しないと，期前償還リスクに対応するリするために†持り抱えを行う‖川巨件が．‡■古くなるでターンを寺ミ子られないことになる．

あろう．アメリカでは，在夏の移則しやすい時

この期前償還佃仙を計算するためには，多くの令利の期間構造モデルが利用可能である．しかし，卜で述べたように，倒慮オプション価値を計算するときとIii一制に借り扱えが行われる‖∫階lでトが■高いことが知られている．

6．借り手の年齢：ローンの借りf・は，紙婚や「供様，イく動産市場特有の要因を考慮する必要がある．そを粘つことによる世帯数の嘲れ イー伏の独立にれらについて簡単に述べることにしよう．

よる世帯数の減少，つまりライフサイクルに応

5．1金利差以外の期前償還に影響を与える要因

じて家を冒し、かえる傾向がある．貰い轄えに応

固定令利口ーンの期I打償還は，令利差のみで／巨じる

じた期前償還の‖用巨昭三がある．

わけではない．むしろその他の安l大1が期前償還の決定

7．抵当不動産のタイプ：マンションと一Ji娃て什にあたって重要である．そうした「非合理的」要因と七を比較してみよう．多くの八は，才一．：いときに呼ばれる物には多椎多様な物があり，その軋野性も時

マンションを偶人し，その後一家族数の呵加lに付とともに，またl玉Iや地域によっても異なる．則l河償還

い−▲ノi姓てを購人する．そうであれば，マンシに影響をり一える令利以外の要区＝二は，次のような経済

ョンを祇、tlとする住宅ローンでは，一Ji娃て什

環境安Ⅰ大】や借り丁・械性とがある．

宅購人のために則前償還をする‖∫能什が多いと1．燃え付き効果：ローンを借りた八には，2椎類の†杵丁・がいるとそえられる．できるだけ，借令

いえる．

8．その他の要因：そのほかさまざまな要因が其州iを減らそうとする八とそうでない人である．燃

償還に呈影響をあたえる．離婚のしやすさ，人種

え尽き効果は，前者の†杵丁・がヤ・い時期にローンの追い，「マスコミ効果」と呼ばれるマスコミがの返済を行うことにより，ある一定の期l〜りがた

食利に関する幸Ii退をどのくらい増やしたかどう

つと， 則前償還が行われるローンの剖介が減る

か，などさまぎまな要因が，その峠々新たに考ことを意味する．これをどう測定するかは，さえられている．

まざまな考えんがあるが，ローン域．‡■ごjがも支も簡5．2 期前償還確率の推定

単な安l村であろう．

則Iii瀾還確率とそれに呈影響をり・える安l刃とのl削の関

2．借り手の職業：所得カゞi高し、脚酌まそうでない職係を推定する試みがこれまで㌢数行われてきた．もっ業に比べて，期前償還を行うためのキャシエフ

とも里純なものは，将来のある「特定峠一・∴りの則1iii償

ローが豊かであるはずであり，結果として期前還確率を，定什「lくノ従械変数l叶帰モデル（ロジソトある

償還は多くなる．また，地城あるいは社会的移

いはプロビット分析）を川いて推定する．より進んだ軌のl高し、職業では，新規の住宅購入のための則モデルは，将来の「作意の」峠．・1（の則前償還確率，い前償還が多くなることが知られている．

わば，期前償還の期l〜り構造を推定できるようなモデル

3．地域：ローンの発隼した地域によって，期前償である．つまり，将来に作意の峠′・1（′まで剃l軸償還が還確率が異なることが知られている．異なる地

H■われなし、で，それから微少糾問のl去り′十』〆で則前

域の経済格差，宝も候などの達し、，特に米川では，償還が行われる確率を推定する．これが次に述べる，

州ごとに異なる期前償還に関する手数料や税令′ト存分析を川いた期l嗣貴還確率の期肌構造推定である．

20（）1隼IIJJり一© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（9）611

5．3 Coxの比例ハザード・モデルの推定結果は公表されていない．ここでは，実際の銀

このような関係を推定するための統i汁モデルとして行の貸Ⅲしデータをもとにし，説明変数が時間と共には，隼存分析におけるCoxの比例ハザードモデルが変わりうることを許容したモデルを試みた，一条・ある．ノ番目のローンについて，ろ（りを時点（J＝こお、ド［1］による推定結果を示すことにしよう．

本分析に使川したデータは，1995年1J−jから2000

ける説明変数（共変量）の行ベクトル，βをそれに対応するパラメータの列ベクトルとすると，ハザード関

年6Jjの5年6ヶ月の聞に観測された住宅ローンの返数ゐ（りは，次のように定義される．

済に問わるデータ（約定返済，一部繰上返済，全額繰
上返済，川体信用生命保険による返済，代位弁済），（5．1）

ゐ（′；ろ（用＝ゐ0（り・eXp（ろ（りβ）

ここで，ゐ。（りは，ろ（りが0ベクトルとなったとき

約13汀〟作（佑棟数約37ノブ什）を対象としている．

のハザード関数であり，説明変数の影響を排除した純

つまり，様々な借入開始時期を持つ住宅ローンに関す

粋にローンの時間経過に伴う期前償還確率の変化をしる，ある一定期I別に観測された取引データの集合であめす．その意味でベースライン・ハザード関数と呼ばる．

れる．このモデルから，ノ番FIのローンがJ期までに

什宅ローン残高1ノノ「りを1件としたときの約90〟

期前償還が行われない，∴い換えれば，隼存している

件のランダムサンプリングデータからの推定結果を，確率は以下のように表される．

表1にしめそう．情操えの金利効果は契約上の約束固
定金利（通用金利）と6ヶ月物市場金利との比の係数

S（t）＝eXp（Jtho（u）exp（ろ（t）8）du）（5・2）（十0．1289）がそれを示している．たとえば，8％固定
ろ（りが0ベクトルとなったときの金利ローンに対し，市場金利が4％に下がったとする

5（り＝eXp（（一上とゐ0（抽））と，eXp（0．0289×8／4）だけ，その什宅ローンは期前はベースラインfl二存関数と呼ばれ，償還確率がl豆iくなる．

S直）と表記する．

金利比のみならず，5．1節で示されたようなその他

5．4 推定例

数多くの要因が期前償還に影響を与えていることがわ【l本の住宅ローンに閲し，その詳細lな期前償還確率

かる．

表1推定結果（lJil定金利特約付）

量

融資比重（汀V）

zl

時間依存性
共変量

返済比率
家族数
担保順位
他借入年間返済額
一部繰上返済回数
残存LoanAge
債務者年齢

z2 −0．0052 0．00007
z：l −0．0675 0．00043
z4 −0．0241 0．00136
zn −0．0259 0．00042
z6 0．6095 0．00167
z7 −0．0020 0．00001
0．0116 0．00007
之8

一−0．00590．00003

適用金利／6ケ月金利 z9 0，0289 0．00011
月別ダミー

1月

zlt） −0．1419 0．00253（時間依存性）2月
3月

zll −0．2227 0．00252

4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月

ー

612（10）

土地のみ降入
職業A
職業B
職業C
職業D
地域A
地域B
地域C
地域D

47，005
5，120
24，196313
3，807

0．00010．00010．0001

133，9730．00010．00010．0001

96，6150．0001

26，0900．000164，9183，158
7，836

0．00010．00010．00010．00010．00010．00010，0001

z12 0．0154 0．00236
42
1，440
zl：l 0．0886 0．00233
4，279
z14 −0．1612 0．00246
12，408z15 −0．2976 0．00267
0．0001z川 0．0539 0．00265
413
457
0．0001z17 −0．0572 0．00268
z18 −0．4748 0．00298 25，472
0．0001
17，5840．0001z19 −0．3767 0．00284
z2（） −0．4210 0．00282 22，320
0．0001
z21 0．8883 0．00206 186，769 0．0001
15，3650．0001z22 −0．4787 0．00386
z2：l 0．3807 0．00113 114，145 0．0001
z24 0．4002 0．00165 58，595
0，0001
19，1930．0001
z25 0．4771 0．00344
1（i刀660，0001
z26 0．3067 0．00242
2，966
0．0001
z27 0．1300 0．00239
4，088
0．0001
z28 0．1585 0．00248
113
0．0001
z29 0．0312 0．00294© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ森0．Olf）（）．（）14（）．012r）．（）l（）（）（）ー）RO．（〕06什Ⅲ）4（）．（）02

0し）On
0

（）

12

川

24

30

36

42

4〜弓

54

6r）

6h

LoanAge

図2 推㍍されたベースライン・ハザードl関数：S（り，横帥の単†J／二はJJをしめす．特約付とは，ローン閃始後川定欄利情人を、変動金利情人に変
更できるオフションがついた什モローンのことを指す．

またこの結果にもとづいて推定されたベースライン・ハザードl対数は，匝12に′Jこされている．

111dex−Based Futures a11d OptiollSin RealEstate ，♪ノア／用〝／（イf九〜′∫∫プ〜gJ？ビ∫ぐ〟Jでん，1996，7（2），243−258［：31Ileston，Steven L， IIIVisibleI）arametersinOption
6．おわりにI）rices

11本においてイく軌産ファイナンス研究はまだ始まったばかりである．バブル帖の異常な地仰のト什とその彼の長其胴恥㈲佃向がIl木綿済にり・えた影響は深刻なものがある．このことは研究名■のll†二域から∴えは イく軌

慮の公正価伯（FairValue）を適切に判断する押論と，ノり〜／〃7（／／イ苗77／／タ㍑、（∴199ニー，48（3），933947

L41NormanL．）（）hnsoll，SamuelKotz，N．t3alakrishnan，C（）7Z／！717（（）Z（∫U7Ziz）〟rt〟／（）I）is！）′ibz［lt（）nS，（WileySeriesinI）r（）bability and MathematicalStatistics）．

L5：］IノentZ，Ge（）rge H．and K．S．Maurice Tse， An
Opti（）11l）ricillg Approach t（）The Valuati（）n（）f Real

Estate C（）ntaminated with tIazardoし1S Materials ，

什組みがなかったから起こったことであるとも∴える．

ノり〃川′／／−リ■人 川／〃．ヾんィ／（イ ／−…／〃＝・′／…／什り〃り〃J／ハ．1州5、そうであれは，イく軌産佃桁やそのデリバティブズの価

10（2），121144

格に関する理論である「イく軌産ファイナンス研究」は，
今後ますますその重要性が−l■Jほるであろう．
イ（軌産ファイナンス研究は，すぐれて！、捌矧的な研究「6］Schwartz，Eduard（）S．andWalterN．Torous， Pre−
Payment and the Valuation of Mortgage−Backed
Securities ，Jol（rnal（JFinann］，1989，44（2），375−392

である．この論文では，ファイナンス理論で発展して［7］Schwartz，Eduardo S．and Walter N．Torous

きたオプション理論がどのようにして，イ司加温損、11貸

Mortgage Prepayment and Default Decisions：A

イ、J●の「イ．川Jリスク」と「期I軸賞還リスク」を説明し，〟〃〟と／7ノろ〟〃Ecり〃〃研ぎぐ∫』∫∫0〔・わ品川，1993，21（4），43ト449

iElり定できるかをしめした．

L81Shilling，JamesI）．，C．F．SirmansandJohnD．Ben−
janliIl，

参考文献

卜l］一條裕彦，森−ド爽イミl；，「住モローンのプリペイメント
分析」，lレト金融・証券計量巨、rニ・、／‥会2（）りl牛夏季人会r

OnOption−PricingModelsin RealEstate：A

Criti〔1ue ，ノh〃ピγオ（・〟7？βピ〝／ぬJ〟′（フ 〟粥d（ルみ〟ア7 だ川−〃〃7J77（・∫d∫、†り（・7〟Jわ7Z，19日7，15（1），742752［91Vandell，Kerry D，柄集，22卜239，2りり1牛7Jj［2］Case，KarlE．and RobertJ．Spiller，I）efaultl（isk And RealI〈state Prices：The Use of2（）（）1隼11‖号l）oisson RegressionApproach ，American Rea

IIowIミuthlessIs Mortgage

Default？AReviewAndSynthesisOfTheEvidence
Mortgage♪ノアげ7Z〟／〆〃07 ∫わ硯■〟ピJ（ヲ〟作九1995，6（2），245−264© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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