AHP，ANPの固有ベクトル法における数理構造
関谷 和之…lll＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖州l…‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖川l州l…＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖川Ill＝＝‖＝＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖＝＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝川Ilt…l…l………＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖刷としよう．この値を自己評価値と呼ぶ．例えば，図1

1．はじめにでそれぞれが対応するポテンシャルの値を自己評価値

重回帰分析では，正規方程式を解くことで説明変数とする．5人の構成員は自己以外から評価を受ける．の値を求める．それは，誤差自乗和最小化という最適

例えば，教員オ1は2人の学生51，S2から評価を直接化問題の最適解が正規方程式の解であることに一致す受ける．具体的には，教員flは自己評価値0．423のるからである．それでは，AHP，ANPの一対比較行ぶl，自己評価値0．577の52からそれぞれ，0．5と0．3列，超行列の固有方程式の主国有ベクトルは一体どんという評佃を得た．そこで，0．5×0．577＋0．3×0．423

な最適化問題に対応づくのであろうか？

本解説では，固有ベクトル法に対応する最適化問題（1）

を教員flの外部評価値と呼ぶ．

を紹介し，これが，非負行列に対するフロペニウスのより一般的に記述しよう．教員≠l，ち，ねの自己評定理に基づく「ポテンシャルに関する均衡化原理」で価値をそれぞれ軌，細2，棚3，学生51，∫2の自己評価あることを述べる．この原理の下では，意思決定者の値を緋。，紺5とすると，各外部評価値は表1の通りで意図に対しても柔軟に対処可能になり，また，超行列ある．当然のことながら，各構成員が自由に自己評価解析における固有ベクトル法での問題点が解決可能でした場合，自己評佃値と外部評価値にはギャップが生あることを紹介する．

じる．そこで，各構成員のこのギャップを比固有ベクトル法以外にも，誤差最小化原理，エントロピー最適化原理，ベンチマーク導入に基づく評価法

外部評価値
自己評価値で測定すると，以下の五つの比が得られる．など数多く展開されている．しかし，現在までの通用事例報告では固有ベクトル法利用が一般的なのでこれ

0．385

0．215

0＿400

らの原理，評価法の解説は割愛する．
本稿では，一対比較行列，超行列を区別しない場合，それぞれを単に評価行列と呼ぶ．なお，本特集号の記事「ANPを組み込んだAHPの適用」で述べた例題を用いて説明することもある．例題についての詳細は先出の記事を参照されたい．

0．577

0．423

図1ポテンシャルの均衡状態

2．ポテンシャルに関する均衡化原理

表1自己評佃値と外部評価値「ANPを組み込んだAHPの適用」の例題「教員の教育面での査定」を用いて，固有ベクトル法に対応す

0．5ぴ4＋0．3乱，50．4礼，4＋0．4ぴ5

3・ナレ
・ナしl

静岡大学工学部︹∂り﹈

せきたに かずゆき

0．1祉J4＋0．3tu5eU

乱k

O．31〟1＋0．51〃2＋0．5址J3

ぴ50．71〃1＋0．51〃2＋0．5ぴ3〒432−8561浜松市城北3−5−1294（44）

外部評価値

2

5人の構成員がそれぞれ自らの価値を自己評価した

1

2人の学生sl，52が相互に評価した状態を図1で示す．

■一Uる最適化問題を紹介しよう．3人の教員才1，お，ねと構成員 自己評価値© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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と」について説明しよう．cぴ＞0ならばまたそのとき0．5z仇十0．3れJ5 0．4z〟4＋0．4z〟5 0．1紺4＋0．3れJ5
（2）

れJl

れJ2に限りノードノからオへ杖を引くことで得たグラフで

乙〃30．3紺1十0．5乙〃2＋0．5れ）3 0．7紬1＋0．5れノ2＋0．5z〟3
れノ4

全てのノードから全てのノードに辿り着けるならば，

乙〟5行列C＝［cゎ］が既約である．図1のグラフは全ての（3）ノードから全てのノードに少なくとも1本以上杖を経これらの比それぞれを過剰評価率と呼ぼう．紺1＝…＝紺5＝1とすると，fl，ゐ，ね，∫1，S2の過剰評佃率て辿り着くので，行列（5）は既約である．

はそれぞれ，0．8，0．8，0．4，1．3，1．7となる．これ
3．最適化モデリングとその分析
らの玉▲つの過剰評佃率はばらつくが，棚1＝0．385，棚2＝0．400，紺3＝0．215，紺4＝0．423，紺5＝0．577とするするモデル化がAHP，ANPの優れた点である．さと，玉▲つの過剰評価率は全て1であー）一致する．

らに，AHP，ANPではその結果を評価行列としてまここで，過剰評価率のばらつきが構成員全体での不とめ，固有ベクトル法で分析し，ウエイト算出する．

公平感を示すものとして，できるだけ均一な過剰評価

しかし，主観情報を柔軟にモデリングすることが可能

率を達成する自己評価値を求めることにしよう．さらなプロセスにおいても，分析者もしくは意思決定者に，最大の過剰評価率をできるだけ抑えることで均一（「ANPを組み込んだAHPの適用」の例題では学部な過剰評価率を求めよう．それは，以下の最適化問題
0．5紺4＋0．3乙〃5 0．4れ′4＋0．4紺5 0．1肌十0．3れJ5乙〟1

mln maXw＞0Z〟2

主観情報，直観による判断を枝の値へと巧みに変換長）がウエイトに対する意図，しかも，枝の値に反映されていない意図を持つことがある．

れJ3

0．3以力十0．5乙〃2十0．5れJa O．7紺1＋0．5紺2＋0．5紬3乙仇乙〃5

図1で具体的に説明しよう．学部長は教員れ ゐ，（4）ぁと学生51，∫2の相互評価を￣Fに「熱意」に関する教員の評価を行うが，図1での枝の値，つまり表1にはとして定式化できる．この式（4）の最適解は0000．5 0．3

学部長の直接の判断は含まれていない．一方，学部長

0000．4 0．4

は3名の教員のウエイト勅，抑2，紺3の決定において0000．1 0．3

0，3 0，5 0．5000．7 0．5 0．500（5）一方の学生のウエイトが他方のそれのα倍以下であるという意図
α紆4≧紺5，α紺5≧紺4（7）の主固有ベクトルに一致する．つまり，「均一な過剰を持ったとしよう．この制約式（7）を満たす教員のウエ評価率を求めること」を「過剰評価率の均衡化原理」

イト軌，紺2，棚3でなければ，学部長には受け入れ難と呼ぶと，固有ベクトル法は「過剰評価率の均衡化原しヽ図1で示した固有ベクトル法での分析結果紺4＝理」に基づきウエイト算出すると解釈できる．なお，「過剰評価率の均衡化原理」と固有ベクトル法との関0．423，抑5＝0．577はα＝2であれば学部長には受け入係［3］は以下の定理で保証される．

れられるが，α＝1．2であれば無理である．評価行列定理1（フロペニウスのミニマックス定理）：乃次（5）の解析である固有ベクトル法を最適化問題

元の非負の正方行列C＝［cび］の最大固有値をんaxと0．5れ′4＋0．3乙〃5 0．4紆4＋0．4z〟5 0．1れ∫4＋0．3れJ5

ヱ仇mln maX

すると，任意の（全ての成分が）正のベクトルぴ＝min

出払

7肌l

紺4＋紺5＝1，膵≧0z＝1，・・・，刀 れフォの求解として捉え直せば，常に学部長には受け入れるが成立ち，かつCが既約行列であればmaxmin釦泄J＝ ‑‑min maxx凱塑w＞0∠＝1，…，乃

Z仇

沈J5

S．t．α紆4≧紺5，α紺5≧紺4三笠土色塑

≦んax≦叩弧Z仇7〟30．3z仇十0．5乙〃2＋0．5乙ん−3 0．7れJl＋0．5礼∫2＋0．5れJ3［仇，・‥，紺乃］rに対して，つねに∫＝し・・，〃乙〃2w＞Og＝1，…，〃

れノ∫

ウエイトを算出することができる．ここで，ぴ。＋ぴ5（6）＝1は正規化条件である．そこで，今後は固有ベクトが成立ち，Cの主固有ベクトルが式（6）の左辺の最大ル法による評価行列の解析を最適化問題（8）による解析値，右辺の最小値を与える．さらに，Cの主固有ベに置き換えて考えよう．

クトルはスカラー倍を除いて唯一つである．

この定理での仮定「行列C＝［ciJ］が既約であるこ

では，最適化問題（8）の最適解を求めることは可能であろうか？ 実は，線形計画問題を繰り返し解くこと© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

2003年4月号（45）295

で最適化問題は）の最通解を求めることができる．そのるという評佃項目の評価を学部長の意見により決定し説明のために，いくつか記号を導入して最適化問題は）た．の記述を簡略化しよう．まず，教員Jゴの外部評価値

ここでは学部長は3人の教員の主張をγi（ぴ），学生sどの外部評価値をγ汗3（ぴ）とすると，●「二つの評佃項目「熱意」と「巧さ」に対するウ

過剰評価率は麺吐（オ＝1，…，5）である．最適化閉

エイトの値決定には教員各自の意見も加味されるれJWiべきである」題（8）の実行可能領域をnとすると，最適化問題（8）はを認め，新たに評価項目の評価を考え直した．

minmax（空1i＝l・・・・，5）3名の教員それぞれは評価項目「熱意」と「巧さ」（9）

S．t． ぴ∈nへのウエイトに対して以下のように主張した．若手の教員flは「熱意」が「巧さ」より重要視されるべきである．問題（9）は分数計画問題［1］であり，パラメーであると主張し，中堅の教員ぉは「熱意」と「巧さ」

タ〃を導入した補助問題（10）を考える．

は同等であるべきであると主張し．ベテランの教員ね

tlll11 ∫は「巧さ」が「熱意」より重要視されるべきであると

s．t． ぴ∈n（10）γ才（∽）−〃軌≦ざ ダ＝1，・‥ ，5
γど（ぴ）は膵の線形関数なので，パラメータ〃を固定すると最適化問題（10）は線形計画問題である．〃を逐次更新して線形計画問題（10）を解くことで問題（8）の最適解主張した．そして，各教員毎に二つの評価項目への一対比較行列を作成し，それらの解析から，教員から評価項目への評価を表2のように得た．
この評価全体の構造を図2に，解析すべき超行列を式（11）に与える．

を与えるアルゴリズムを以下に示す．

査定 熱意 巧さ ′1 ね ≠3アルゴリズム

Step O：k：＝0とする．u，0∈flを適当に選び，〃0：＝maX（甥1勘・‥，5）

査定

100 0 00熱意

1／3 000．7 0．5 0．3

巧さ

2／3 000．3 0．5 0．7（11）とする．

Stepl：パラメータFLをphに固定して問題（10）を解き，その最適解を5烏，び烏とする．

Step2：sh＝0であれば，問題（8）の最適解はwhでJl0 0．385 0．255 000ゐ0 0．400 0．380000′30 0．215 0．365 000図2の枝は査定，評価項目，教員の3階層間での評価関係を示す．ノード「熱意」からノード「教育面であり，終了．さもなくば，〃紺‥＝maX（掌l可・＝，5），々：＝…
として，Steplへ．の査定」へは辿り着けないので，超行列（11）は既約でない．なお，2次以上の評価行列の対角要素に非負のいかなる値を与えてもその評価行列の既約性は不変であ

これは分数計画問題に広く適用できるDinkelbachのアルゴリズムを問題（8）に則した形で記述したものであ

表2 教員から評佃項目への評価る．なお，最適値周辺で収束速度が遅くなるが，この点についての改良は文献［1］を参照されたい．
4．既約でない評価行列での問題点
フロペニウスのミニマックス定理では評価行列が既約であることが十分条件であるが，樽に超行列は既約であるとは限らない．まずは，既約でない評佃行列を持つ例を示す．

「ANPを組み込んだAHPの適用」での例題「教育面の査定」では，学部長が3名の教員の教育面での評

価項目として「熱意」と「巧さ」の二つの観点で評価し，「熱意」と「巧さ」は1：2のウエイト付けを与え
2g6（46）

図2 教員の評価項目への意見を加味した評価構造© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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る．

0．29および評佃項目のウエイト細熱意＝0．51，紺巧さ＝超行列（ll）の主固有値は1で，それに対する固有ベク0．49は，図3で示した相互評価構造に対応する評価

03・O

ハリ O

0．215 0．365

0ゎ

0 00．400

0．400 0．380（15）の主固有ベクトルである．

0．385
紺熱意た0（13）0．385 0．255

0［3：…］［3：≡ト［3：；］＝［：：ヨ才10・仙32＋0・3929

廿．1ト1二70O0O

巧さ0方程式から以下の式（1凱（14）が成立する．

・50000熱意7である．したがって，超行列（11）の主固有値1での固有3

熱意 巧さ

（12）

⊥・ナん

［0．00，0．51，0．49，0．32，0．39，0．29］r5行列

ゐ

トルは学部長の意見が無視されたウエイトは意思決定者である学部長には受け入れ難いものであり，分析結果と＋紺巧さ

0．215

しては不適当である．

ただし，紺査定＝0，紺熱意＝0．51，細工膵＝0．49である．
紺奔走は「査定」のウエイトであり，紺勲竃，抑f用は5．既約でない評価行列の分析

添え字通り，評価項目「熱意」「巧さ」のウエイトで既約でない評価行列に対してフロペニウスのミニマある．

ックス定理が成立せず，固有ベクトル法では0のウエ式（13）から，「熱意」と「巧さ」のウエイト紺熱意，イトを算出する問題点がある．この問題を解決する方

紺巧さのそれぞれは，学部長，教員Jl，ゐ，′3それぞ法の一つに平均原則［3］の適用がある．そこで，平均原則に関して簡単に紹介する．

れによる「評佃項目」への評価

平均原則は，節2で導入したノードの外部評価値∑（杖の値）×（杖の始点の自己評価値）にウエイトを課して決定することがわかる．しかし，棚査定＝0であるので，学部長による評佃項目の評価

ヨ引囲

そのノードを終点とする杖全ての枝1本当たりの平均を自己評価値と対比することであり，具体的には

は「熱意」と「巧さ」のウエイト紺熱意，Z拘さに●評価行列の各行毎でその行に含むウエイトの個数で割る．

全く影響を与えない．そのため，式（用カ、ら，学部長にという計算手続きに対応する．

よる意見が全く反映されてないウエイト排熱窓，棚巧さ

まず，節2の既約な評価行列（5）と図1の相互評価構で，各教員のウエイト軌1，勘2，紺ねが決定すること造を例にとり，平均原則による分析を具体的に解説すがわかる．

る．∫ど，わの自己評価値をそれぞれび紬．封互とする．

このように教員のウエイト紺fl，紺∠2，紺と。および評

図1のノードJlに対して，Jlを終点する枝は2本（∫1，価項目のウエイト棚熱意，紺∫−jさには意思決定者である∫2からの枝）なので，≠1の枝1本当たりの外部評価値学部長の意見が全く反映されておらず，教員と評佃項は目間の相互評価のみで決定された結果に一致する．実

0．5祝左1十0．3れノぶ23日琵

際，教員のウエイトz仇＝0．32，以ん2＝0．39，紺f3＝である．この例題では，どの教員も同人数の受講生から評佃を受けるが，一般に，評価する受講生の数は教員毎に異なり，多くの受講生から評価を受ける教員ほど外部評価値は高くなるであろう．そこで，受講生1人当たりの外部評佃値と自己評価値の比をとり，それを過剰評佃率とする．つまり，∠．の過剰評価率は0．5乙〃ざ1＋0．3祝互2（咽2乙〃fl

図3「査定」を除いた相互評価構造
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（47）297

である．同様に，ゐ，お，Sl，S2それぞれの過剰評価

彿巧さ］r＝［0．35，0．65］rは式（12）の結果［0．51，0．49］rと率は比較して学部長の意見［1／3，2／3］rに近く，学部長の意見も組み込まれた結果を得た．

0．4膵sl十0．4ぴざ2 02れ，f2

1れ′ぶ．＋0．3れ，ざ20．3勅l＋0．5勅2＋05紆f。0．7紺ま1＋0．5乱ク亡2十0．5れノゎ

2軌3

既約でない評価行列に対する平均原則による分析以3祝悠1

外の方法もある．例えば，評価行列（11）の（1，1）成分を3れノざ2し佃1からβ＞1に置き換えた評価行列（23）β理の適用，つまり最適化問題

1／3 000．7 0．5 0．3

2／3 000．3 0．5 0．7

0．1ヱ仇．＋0．3乙〃s22れ7f。

0．5乙〃g．＋0．3乱フぶ2 0．4れノ占1＋0．4紺ざz
2紺と1mln maX≠・、Il2乙仇2＋0．5軌2＋0．5れJf。
0．3肋．十0．5軌2＋0．5軌。0．7勅．
37〟s2

二い†＼（

（20）

を解くことは00 0 0 0である．これら五つの過剰評佃率（吼（19）への均衡化原

0 0．385 0．255 0000 0．400 0．380 0000 0．215 0．365 000の主固有ベクトルを求める方法もある．βを大きくと000 0．5／2 0．3／2

000 0．4／2 0．4／2

000 0．1／2 0．3／2

れば，学部長の意見が最終結果のウエイトび熱意，細工膵に大きく反映する．
（21）

行列（22），（23）は既約ではないが，平均原則等を用いる

0．3／3 0．5／3 0．5／3 00

ことで学部長の意見を組込むことが可能である．この

0．7／3 0．5／3 0．5／3 00

事実は一般の場合でも成立するのであるが，それを支の主固有ベクトルを求めることに一致する1．評佃行える定理を紹介する．

列帥は，評伸行列（5）の各行に対応するノードを終点と定理2：犯．次の非負で既約な正方行列Clと乃2次して持つ枝の本数でその行を割ったものである．の非負で既約な正方行列C2，乃2×乃1行列C21に対しっまり，評価行列（5）に対する平均原則による分析は，て，乃1＋乃2次の非負の正方行列評価行列（5）の各行に対して対応するノードを終点する枝の本数で割ることで得られる評価行列（21）の主固有ベクトルを求めることである．

を考える．C21の全ての成分が非負で少なくとも一つは正の成分が存在し，かつClの最大固有値がC2の最大固有値より大きければ，Cの最大固有値はClのさて，既約でない評佃行列（11）に対して平均原則による分析を行うと10000

最大固有値と一致し，さらに主固有ベクトルはスカラ

01／12 00 0．7／4 0．5／4 0・3／4ー倍を除いて唯一つであり，成分が全て正のものが存

2／12 00 0．3／4 0．5／4 0・7／4

在する．

0 0．385／2 0．255／2 000

さて，評価行列の主固有ベクトルを求めるためには，

0 0．400／2 0．380／2 000パワー（べき乗）法がよく利用されている．しかし，

0 0．215／2 0．365／2 000（22）の主固有ベクトルを求めることになる．そして，教員′1，≠2，≠3のそれぞれのウエイトはその主固有ベクトパワー法では収束しない評価行列が存在する．これをCとすると，Cの全対角成分に適当な正数亡を加えた行列C＋EJ（Jは単位行列）にパワー法を適用すると収束し，Cの主固有ベクトルを求解できる．

ルの教員に対応する成分和を1とする正規化により，0．30，0．39，0．31として与えられる．同様に，「熱6．おわりに意」と「巧さ」のウエイトはそれぞれ0．35，0・65で意思決定のプロセスではそれに関わる人たちができある．したがって，平均原則による分析結果［z〟熱意，るだけ自由に意見や主観判断を出し，それらを一見してわかりやすい形式で記述することが望ましい．

1遊行列（21）の主固有ベクトルを［紺汽，び毘，紺畏，経き1，紺ぎ1］Tとすると，fl，J2，ねのウエイト［び六，び毘，紺完］（紺差＋膵完＋紺毘）一1とsl，52のウエイト［紺ぎ．，彿畏］（抑き1十び畏）1は超行列（5）から得られる′1，ん，ゐ，5ユ，52のウエイトに等しい．
298（48）

ここで紹介したAHP，ANPでは各人の意見が評価行列，グラフ表現，さらに制約式で記述される．これらの記述は全て「過剰評価率の均衡化原理」の下で，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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錮数理計画問題（4），（8），伽）として定式化でき，それらにResearch，31（1987），31L54．
［2］sekitani，K．and Takahashi，I．：

対する頑健で精緻なアルゴリズムが存在する．

and analysis for AHP and ANP

AHP，ANPで要求される細かいルール（例えば，，Journalof theOperationsResearchSocietyofJapan，44（2001），67L

完全一一対比較，ウエイト正規化や絶対評価法）には拘89．

らずに，意思決定問題を自由に大胆に数理計画問題［4］として記述しアルゴリズムで解くプロセスが定着

A unifjed m。del［3］Sekitani，K・andYamaki，N．：

ALogicalInterpre−

tationfortheeigenvaluemethodinAHPすることを期待する．

，Journalof

theOperationsResearchSocietyofJapan，42（1999），219−232．

参考文献［4］田地宏一，嵯峨山洋介，田村坦之： 不完全情軸を考慮［1］Borde，J・and Crouzeix，J．P．：

Convergence of a

DinkelbachLType Algorithmin Generalized Frac−tionalProgrammlng

した集団ANPの提案，システム制御情報学会論文誌，

15（2002），305−311．

，Zeitcshrift fur Operations© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

2003年4月号（49）299