可能性理論にもとづく
ファジィ多目的線形計画法
市橋秀友，乾口雅弘
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最適性，有効性などの妥当性を検討することが考えられ\，、くつかの困難さにる(フェーズ 3 ).不適当な解と判定されれば，ファジィ直面するであろう.その困難さの l っとして，不明確なモデルを解釈し直し，同様の予 11闘を繰り返す.このよう数理計画問題を定式化するとき，知識のもとで係数をいかに定めればよいのか，漠然としに，ファジィ数理計画アプローチでは，現実問題からばた希求水準のもとで制約条件をどのように設定すればよ

かりではなく，ファジィモデルからも解の妥当性を検討いのかなどの知識，選好のあいまいさに起因する困難さすることが考えられる.

が考えられる.これらの値を無理に実数値として定める

本稿では，簡単な例題に対し，ファジィ多目的線形計と，定式化された問題に解が存在しなかったり，現実的画法を適用し，可能性理論 [2J にもとづく l つのファジィでない解が得られたりすることがある.そのため，再度，数理計画アプローチを簡単に紹介する.なお，種々のフ定めた値を検討したり，原因を分析する必要が生じ，多ァジィ数理計画法については文献 [IJ を参照されたい.

くの労力と時聞を要す可能性がある.そこで，値がはっきりと明確に定められないことを反映して，値をあいま2. 例題とファジィ多目的線形計画問題
による定式化

いなままファジィ数として表現するファジィ数理計画法が提案されている [IJ.

次の f日j 題を考える.
【例題]

ファジィ数理計画法のアプローチを図示すれば，図 1ある会社では，製品 p ，Q それぞれを機能の異のようになる.すなわち，ファジィ数理計画法では，通なる 2 つの機械M ，常の数理計画アプローチとは異なり，いったん，現実問

製品 P を 1 単位生産するのに，機械M でζと主斗主単位

題をファジィモデル(ファジィパラメータを含むモデル)

時間，機械 N でだいたい 6 単位時間要し，製品 Q を 1 単で表現する.このファジィモデルは，あいまいさを取り扱っているため，問現実世界|

N を用いて生産し，販売している.

実際の計両問題￨ ・係数に対する知識の不明確さ

題が明確に記述されていない.そこ￨ ・希求水準，選好の漠然性

この数学モデルは，通常の数理計画問題であるので，通常の最適化手法により解を求めることができる(フェーズ

モテルの叶一界

数学モデルへ変換する(フェーズ 1 ).

2). 得られた解は，数学モデルに対し解くて，明らかに最適解あるいは，有効解

チ法ト

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フの劃刷© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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ジ

フ

440 (10)

通数

大阪府立大学工学部

干 591 堺市百舌鳥梅町 4 丁 804

ま図

さひろ

ひでとも，いぬ L 、くやち

通常の解法

df 常理

いちはし論ズ理 11一 3

さを処理し，ファジィモデルを通常のイエ

日ンフ

フで，種々の解釈にもとづき，あいまい

オベレーションズ・リサーチ

時間，機械N でだいたい 4 単位時間要す.
機械M ， N の期当りの使用時聞をそれぞれ，できるだけだいた L 、 900 単位時間，だτ4nu

メンバシソプ依位生産するのに，機械M でだいたい 3 単位いたい 1800単位時間以内にしたい.製品7 千円ぐらい

ファジィ数とファジィ目標

図 2

9 千円ぐらいであり，販売の会社では，できるだけ 2200千円ぐらいの売上をあげた3400千円ぐらいの利益を得る可能性があって欲しい.このとき，製品 p ，Q をそれぞれ何単位生産すれば10ノンパシップ飴

価格は，それぞれ，旦足型千円，空豆笠千円である.こく，cb

P , Q の 1 単位当りの利益は，それぞれ，方 A(B)よいだろうか.

この問題の下線部にあいまいさが存在している.この

図 3

あいまいさを無視して，線形計画問題として定式化する

可能性測度と必然性浪u度可能性理論にもとづき，と，

2Xl 十 3 X 2 孟

900 (機械M の使用制限 J(2.
1a)

問題を通常の数理計画問題へ変形する.ファジィ数理計
画問題は，種々の解釈により，さまざまな定式化が考え

6Xl+ 4 X 2 話 1800

(機械 N の使用制限 J(2.
1b)

60Xl+45 x 2 ミ 22000[売上高の目標(2.1 c)

7Xl+ 9X2~ 3400

総利益の目標Xl 註 0， X2 ミ oとなり，解は存在しない.ただし製品 p ，(2.2) 式のファジィ線形計画

られるが [1 ， 3J ，

ここでは，その i つを述べる.まず，可(2.1 d)能性理論における 2 つの測度(可能性測度と必然性測度)(2.
1e)を定義する.ファジィ集合 A ，Xh X2 はそれぞれ，B が与えられたとき，ファジィ集合 A のもとでの可能性測度 0 ，必然性被u度 N はそれぞれ，次のように定義される(図 3 参照).

Q の生産量を表わす.

そこで，下線部のあいまいさを反映して，図 2 に示す

日以 B)=sup min{μ A(Y) ， μB( 百) }(3.1)

ような三角型ファジィ数 (a ， b) ， 線形のファジィ白標

NA(B)=inf max{1 ー μA( 引， μ B(Y)}(3.
2)

Jb , e) , (c , f[を定め，次のファジィ多目的線形計画問題として定式化する.

1.
.
X
2:
:$ 900

機械M の使用制限 J

(2.
2a)

機械 N の使用制限 J

(2.
2b)

~Xl+ 笠x2~22000

売上高の目標(2.2 c)Xt
2.
+2..X 2<と 3400

(総利益の目標(2. 2d)Xl 孟 0 ，

ただし官

ただし， μA ， μB はそれぞれ，ファジィ集合 A ，BのOA(B) , NA(B) は，Aのメンパシップ関数である.

土例+土X2::$ 1800

~X t+uもとで B である可能性，必然性の度合いを示している.
特に，

A , B が通常の集合である場合を考えると，(1;AnB ヲとのOA(B)= 1(2.
2e)

X2 註 o~=(2 ， 0.4) ， ~=(6 ， 1) ，1.. =(3 , 0.3 ),..1:..=(4， 0.3) ，担 =(60， 5) ，笠 =(45 ， 4) ，ヱ =(7 ， 0.5) ，之=(3.
3)(O;AnB= の1
1;A;;B

NA(B)= 1(O;A¥tB(3.
4)(9， 0.6) なる三角型ファジィ数であり，値の取りうる範となる.たとえば，

聞を示している三，とは“だいたい~以下七“だいたいあるとし寸情報を得たとき，手持ちのくじの番号の集合~以上"を示すファジィ不等号であり，ヱ"900 ，と 22000 ，と 3400 はそれぞれ，::$1800 ,J900 , 100 ), JI800 , 240) ,B 内にしA={1 ， 2} のいずれかが当選番号て、2 のいす.れかの番号があれば (An B キの)，当選している可能性があるといえる.さらに

1 ，2 の400[ なるファジィ目標を表わしどちらとも B 内にあれば (A ç;;; B) ，少なくとも i つが当ている.これらのファジィ目標は，満足できる範囲を表選していることはまちがし、なし、(必然、である).可能であ(22000 , 4000[ , (3400 ,るときに限り I を出す測度，必然であるときに限り 1 をわしている.

3.

通常の数理計画問題への変形(フェーズ1)
1991 年 9 月号

出す測度を考えれば，(3.3) , (3.4) 式の 0 ， N となる.

(3.1) , (3.2) 式の可能性測度 0 ，必然性測度N はこの概念のファジィ集合の場合への拡張である.なお，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(11)441(3.
5)NA(B) 孟 nA(B)が常に成立する(必然なものは可能であることを表す).
さて，例題に戻ろう.この問題は，“機械M ， N の使用制限，売上高の目標を必然的に満たし，かっ，総利益のペる解法と同様な考え方にもとづいている.もちろん，(3.10) 式を非線形計画問題に対する種々の最適化手法により解くこともできる.
(3.10) 式でh に値を与えると，(3.10b)‑(3.10e)

目標を可能的に満たす度合いが最大の解"を求める問題

式は線形不等式になり，シンプレックス法により，実行と解釈できる.この解釈にもとづき， (2.2) 式を定式化

可能解の存否を確認することができる.実行可能解が存すると，次のようになる.

在すれば，

(3.
6a)

maximizeh

は厳しくなるので，実行可能解が存在しなければ，制約条件

hをN 2X1+3X2(;$900) 計(3.6b)N6x1+4 X 2(;三 1800) 討(3.6 c)h に関する二分法を適用した次のアルゴリズムが考えら

N60xt+ 45X2( と 22000);;::;;h

(3.6d)れるT
T7X 1 十 9X2( と 3400);;::;;h(3.6e)

X 1;;::;;O , X2孟 0 ， O~五 h 豆(3.6 f)

連続なメンバシップ関数をもっファジィ集合 A ，Bについて次式が成立することが知られている[ 4J.

与えられた値以上にすることはできない.このことより，〔アルゴリズム1)=0 として，シンプレックス法により， (3.

【手順 1 J h10b)-(3. lO f) 式を満たす解の存否を調べる.解が存在すれば，その解を z市 =(X，*， X2*) とする.解が存在しな

nA(B) ミ h~[AJhn [BkF の(3.7)

ければ，ファジィ目標，使用している測度などを検討し，NA(B) ミ h~[AJ1-h~ [BJh(3.
8)

解が存在するように変更する.

また，[手順 2J

ただし，A,h を与えられた値以上にすることができる.

h の億が大きいほど (3.10b )-(3.10e) 式の各制約条件[AJh={ 官 |μA (y);;::;;h} と定められる.

B が三角型ファジィ数 (a 1> dtl , (a2 , d 2 ) であるとき ， X1 註 0 ， X2 孟 O について，次式が成立する [5].

[AX1+Bx2Jh=[AJhX1+[BJhX2a2+(I‑h).d2JX2=[a1X1+a2 x 2 一 (l-h) (d1X t+ d2X2) ,a1xt+a2X2+(l‑h)(d1Xt+d2X2lJ
また，C,すれば，終了する.このとき，得られた解が (3.10) 式の最適解の I つとなる.

=[a 1 一 (l-h) • d1> a t+(1 -h) ・ d 1 J X 1
十 [a2 一 (l-h). d 2,

h= 1 として，シンプレックス法により， (3.

10b)‑(3.10f)式を満たす解の存否を調べる.解が存在(3.
9)

D がそれぞれ，ファジィ目標 J b , e) , (c , f[f 手 I1贋 3J

hL=O , h U =1 と設定する.

[手順 4]

h= (h L +hU )/2 として，シンプレックス法により，(3.10b)‑(3.10f)式を満たす解の存否を調べる.解が存在すれば，その解を z本とし ，hL=h とする.

解が存在しなければ ， hU=h とする.

であるとき ， [CJh=[b ー (l-h). e , + ∞)， [DJh=( ー[手順 5]∞ ， c+(I-h) ・f]となる.

適解はポとなる . hU-h L ミ~e であれば，手順 4 へ戻る.

以上より，(3.6) 式は次のように書き換えられる.

(3.
10a)

maximize h
2x ， +3 x 2+ h (0.4x ， 十 0.3 X 2)

重 1000 ー 100h (3.10b)

6Xl 十 4X2+ h (X ， 十 0.3 X 2) 三 2040-240h (3.
10c),60x +45 x 2- h ( 5X1+4x2)

(3.
10d)

,

7.5x +9. 6X2‑h(0.5x1+O.6X2)
主主 3000+400h
X2 孟 0 ，0;三 h 豆(3.10) 式にこのアルゴリズムを適用した結果 ， (X., X2'h)=(195.38 , 179.274， 0.30793) なる解が得られた.

5.

解の妥当性の検討(フェーズ 3)

ファジィ数理計画問題に対する最適性および，ファジィ多目的計画問題に対する有効性の概念は，最近，議論

ミ 18000+4000h

Xj ミ 0 ，h U ーがく ε であれば，終了する.このとき最され始めたばかりである [4J. それゆえ，妥当性の評価方法などは未だ十分に研究されていない.そこで，ここで

(3.
10e)

は，解の状態を図示し，他のモデルによる解と比較する(3.10 f)ことにより，直感的に解の妥当性を検討する.
図 4 に解 (X" x2)=(195.38 , 179.274) の各目標の達

4. ー解法(フェーズ 2)成状況を示す.

(3.10) 式の一解法を述べる.従来提案され機械M ， N の使用制限，売上高の目標をほどほどに満ているブアジィ数理計画問題の解法の多くは，ここで述たし，総利益の目標を満たす可能性がある解が得られてここで、は，442 (12)© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

機械 M の機械 M の使用 ;f~Ji:l~使用制限

機械 N の機械 N の使用制限

イ吏用制限

売上iなの目標

ノ/ツy と3400

総利益 lの目標|

図 47xl+9X2，/\ノ〆三 3400

総利益 l/ノぐ刀目標|/./¥(XI> x2)= (1 95.38, 179.274) の場合いることがわかる.比較のため，(2.2) 式の係数のあい

図 5(Xj , x2)=(202.732, 188.525) の場合

異変数 d.- ， di -l- の係数は，各目標聞に通約性をもたせまいさを無視し，ファジィ目標をもっファジィ線形計画るための係数であり，ここでは，ファジィ目標の幅にも問題(フレキシプル計画問題 [IJ ，とづき定めている.

この場合，L 字型モデルにもとづく目標計画問題 [6J と等価になる)により

図 5 の解では，総利益の目標を満たす可能性があると(x" x2)=(202.732 , 188.525) が得らいう意味がうまく解に反映されていないことがわかる.

解を求めると ，れ，図 5 のようになる.また，係数のあいまいさを無視なり満たされているが，売上高の目標はそれほど満たさし，加重型モデルにもとづく目標計画問題 [6J ，++3d++3d.-+d~mlnlmlze 3dj2

また，図 6 の解では，機械M， N の使用制限の目標はか(5.
1a)れておらず，目標の達成バランスが悪いことがわかる.
次に，意思決定者が機械M ， N の使用制限の目擦をも制約条件

2x1+3x2+dj‑‑d1+=900(5.
1b)

う少し必然的に満たしたいとすると，“機械M ， N の使用(5.
1c)

制限を満たす必然性が非常に高く，売上高の目標を必然60Xj+45x2+40d3‑‑40d3+=22000(5.
1d)

的に満たし，総利益の目標を可能的に満たす度合いが最7x t+ 9x2+4d~--4d~+=3400(5.
1e)

大の解"を求める問題と解釈し直し，次の問題を解く.

6Xt+4x2+2.4d2‑‑2.
4‑1‑=18002Xj 注 0，(5.
1f)

X2 ミ oにより解を求めると ，(X., X2)=(180, 180) が得られ，図示すると，図自のようになる.ただし，(5.1) 式の差

maximizeh
制約条件( N2xl 十 3X2( ::s 900))2~h

機械 M のは 1'Ì(t\，lの使用f!ìl] 限

十1:川;filj 限

機械 N の機械 N の使用制限

使用制限

先上向

売上高の目標の目標/℃シ/三3400
図 B(X" x2)= (1 80 ， 180) の場合

1991 年 9 月号

(5.
2a)

総干IJ 主主|の目標|

図 7(5.2b)/安ン/と3400(Xl> xz)=(189.783 , 175.082) の場合© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(13)443

( N6xt+4X2(:::;1800))2 孟 h(5.
2c)

N60xt+ 45 X2( と 22000) ミ h(5.2d)

T
T7x1+(5.
2e)

9 X 2( と 3400) ミ h

x 1 主主 0 ，

9 月号/発売中/定価 930 円

X2 ミ 0 ， 0 孟 h話 1(5.
2f)

ここで，“非常に"と L 、ぅ修飾語を表わすため，必然性次世代知能コンビュータ測度を自乗している.この問題も (3.6) 式の問題と同じ
くアルゴリズム I で，解くことができ，解は (Xh X2 , h)=(189.783 , 175.082, 0.173626) となる.この解を図示
すると，図 7 のようになる.図 4 に比べ，機械M ，次世代アナログ情報処理技術

合原一幸

人工知能研究最前線
脳とニューロと人工知能

後藤滋樹
臼井支朗

カオスと知的情報処理
奈良重俊.P.デイビス
ファジィ理論は人間の思考にどこまで迫れたか
向殿政男

エンジニアリングカオスの提唱

大石進一

神経細胞におけるアナログとデジタル曽我部正博
脳のデジタル性，アナログ性と人間精神
大木容介

電子回路の中のデジタルとアナログ雁部洋久

Nの使用制限の目標がより満足されていることがわかる

6.

おわりに以上つの例題に対してファジィ多目的線形計画法を適用した.上述のように，ファジィ数理計画アプロー

チでは，不明確な係数などを不明確なまま表現するので，モデルが容易に構成できると考えられる.また，問題の解釈にもとづき通常の数学モデルに変換されるので，不明確さに対する意思決定者の多様な要求を反映することコンビュータの中のデジタjレ義足とアナログ表現
駒富安男ができる.今後，ファジィ数理計画法(特にフェーズ 2 ，3)の研究が発展し，ファジィ数理計画法が種々の実際問題に応用されることが期待される.
参考文献[1J Inuiguchi , M. , Ichihashi , H. and Tanaka ,9 月号/発売中/定価 980 円

H.: Fuzzy programming: A Surveyof Recent

離散数学のすすめ. Stochastic versus Fuzzy Apｭ
Development

proaches to Multiobjective programming
離散数学とはなにか

野崎昭弘

離散数学のすすめ秋山 l

位相幾何学における離散構造

根上生也

組合せ論の最近の話題から

徳宣典英

NP 完全性と回路計算量
Packing の不思議

町岡元

役に立つ離散数学
最適化問題とその近似解法

今井浩

ブロックデザインの応用

高橋磐郎

生体系の離散モデルと暗号系

横森貴

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underUncertainty (eds. R. SlowinskiandJTeghem) , Kluwer Academic Publishers , Dordｭrecht.1990.4
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[2J Dubois , D. and Prade , H̲

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Theory an Approach to Computerized Proｭcessing of Uncertainty. Plenum Press , NewYork. 1
988.
[3J 乾口雅弘，市橋秀友，久米清文:ファジィ数理計
画問題の様相的構成.システム制御情報学会論文誌，

2, 3 (1989) , 69‑
79.

ザ· UNIX[4J 乾口雅弘，久米靖文:ファジィ多目的計画問題に対

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444(14)

する解の概念.日本ファジィ学会誌， 2 ， 1(1990) ， 65-78

An Overview̲ Analysiso
fFuzzy Information ,Vol.1: Mathematicsand Logic (ed.J.C. Bezｭdek) , CRC Press , Boca Raton , FL , 1987 , 3‑39.
[6] 伏見多美雄，福川忠昭，山口俊和:経営の多目標
計画一目標計画法の考え方と応用例U- ，森北出版， 1987

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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