1Der Ring der Modularkorrespondenzen
1. Einleitung.
Es sei: Γ(N ) = Ker(SL2(Z) → SL2(Z/N Z)), die Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe N,
XN = Γ(N )\H∗, die zugehörige Modulkurve,
JN = Jac(XN ), deren Jacobische Varietät,
EN = End0(JN ) = End(JN ) ⊗ Q, die Endomorphismenalgebra von JN (Ring der Korrespondenzen).
Klein (1879), Hurwitz (1883): Jede Matrix
ab∗A ∈ Mn := { c d ∈ M2(Z) : (a, b, c, d) = 1, ad − bc = n}(N )definiert eine irreduzible Kurve CA = CA auf XN × XN unddaher auch eine Korrespondenz(N )TA = TA: JN → JN ,die zu A gehörige Modularkorrespondenz (der Stufe N ). Zum
Beispiel ist
Tp = T(1 0) die bekannte p-te Hecke Korrespondenz.
0p

Der von den {TA : A ∈ Mn∗, n ≥ 1} erzegte Q-VectorraumX
MN =QTA ⊂ EN
ist, wie bekannt (Shimura), ein Unterring von EN , und heißt
der Ring (Algebra) der Modularkorrespondenzen der Stufe N.
Frage: Wann ist jede Korrespondenz auf XN modular, d.h., wannist MN = EN ?

22. Zur Geschichte der Modularkorrespondenzen.
Dedekind (1877) führt den Namen (und Begriff) “elliptischeModulfunktion” ein, definiert die j-Funktion (“Valenz”) undstudiert die ModulargleichungFA(j, jA) = 0,wobei A ∈ Mn∗ und jA(z) = j(A(z)). Spezialfall: Fn = F(n 0).
01

Er beweist, daß FA(X, Y ) ∈ Q[X, Y ] ein irreduzibles Polynom ist, und erwähnt, daß das Studium der KlassengleichungFn(X, X) = 0 zu den Kroneckerschen Resultaten (1857ff) überkomplexe Multiplikation führt.
Klein (1879) verallgemeinert den (Dedekindschen) Begriff derelliptischen Modulfunktion, indem er die Gruppe Γ(1) = SL2(Z)durch eine Kongruenzuntergruppe Γ ≤ Γ(1) ersetzt, insb.
durch Γ = Γ(N ). Dabei wird die Modulkurve
XΓ = Kompaktifizierung der Riemannschen Fläche Γ\Heingehend untersucht.
Er erwähnt, daß die natürliche Verallgemeinerung der Modulargleichung der Begriff der modularen Korrespondenz ist.
Grundidee: Sei C̃A = {(z, A(z)) : z ∈ H} ⊂ H × H der Graphder zu A ∈ Mn∗ gehörigen (Moebius) Transformation. Dessen
Bild (πΓ ×πΓ)(C̃A) auf Γ\H×Γ\H ist, wie man beweisen kann,eine irreduzible algebraische Kurve auf Γ\H × Γ\H, und manerhält daher eine Kurve/KorrespondenzCAΓ ⊂ XΓ × XΓ.

3Gierster (1880, 1883), Hurwitz (1883) benützen (und entwickeln) die Theorie der Modularkorrespondenzen, um gewisse
Klassenzahlrelationen zu erhalten, die die Klassenzahlrelationen von Kronecker verallgemeinern.
Hurwitz (1883 – 1887) betrachtet die Wirkung der (Modular)korrespondenzen auf dem Raum Ω1(X) der Differentiale 1.
Gattung von X = XΓ, wie folgt.
Ist C ⊂ X × X eine irreduzible Kurve mit NormalisierungνC : XC → C, so ist XC eine kompakte Riemannsche FlächeXCund wir haben zwei Überlagerungendurch

πC = pr1 ◦ νC

πC.

0πC, die&X
und πC0 = pr2 ◦ νC

X

gegeben sind. Setzen wir(TC )∗(ω) = trπC0 (πC∗ (ω)),∀ω ∈ Ω1(X),so erhalten wir einen C-linearen Operator (TC )∗ ∈ EndC(Ω1(X)).
Bemerkung: 1) Ist C = CAΓ , so kann man den Operator (TAΓ)∗ :=(TC )∗ als Summe von Moebius Transformationen explizit hinschreiben.
2) Hurwitz stellte fest, daß i.A. (TAΓ)∗ 6= m·idΩ, ∀m ∈ Z, d.h.,
daß diese Korrespondenzen allgemeiner sind als die, die die
Geometer (Chasles, Brill, Cayley) betrachtet hatten. Das führtihn dazu, ein “Verallgemeinertes Korrespondenzenprinzip” ( =Spurformel) aufzustellen, das man als Spezialfall der späteren
Eichler-Selberg Spurformel deuten kann.

4Klein/Fricke (1892) geben in Band II derVorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen
eine systematische Darstellung der Theorie der Korrespondenzen (auf einer kompakten Riemannschen Fläche), wie sie vonHurwitz(1887) und Klein(1889) entwickelt wurde.
Weiter werden die Modularkorrespondenzen als explizite Korrespondenzen eingehend untersucht; siehe z. Bsp. S. 596:
Unsere wesentliche Aufgabe wird natürlich die sein, dass wir die Modularcorrespondenzen in die allgemeine Correspondenztheorie des vorletzten Kapitels einordnen.

Hecke (1936-37) benützt spezielle modulare Operatoren (z. Bsp.
die “Hecke-Operatoren” (Tp)∗), und untersucht das Verhalten
der Fourierkoeffizienten unter der Wirkung dieser Operatoren
auf einer Spitzenform f ∈ Sk (Γ). (Beachte: Ω1(XΓ) ' S2(Γ).)
Ein Kernpunkt hier ist das Studium der Heckealgebra TΓ.
Shimura (1971) gibt in seinem Buch eine systematische Einführung in die Modularkorrespondenzen (ohne sie so zu nennen)
und studiert die Heckealgebra.
Ribet (1980) beweist die Tate-Vermutung (vor Faltings!) fürmodulare Jacobische Varietäten. Dazu muß er genügend viele
Homomorphismen (= Korrespondenzen) konstruieren, und dasgelingt ihm mit Hilfe von Modularkorrespondenzen (ohne daßdiese explizit erwähnt werden).

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3. Das Hauptresultat.
√Es sei: K = {Q( −n)}n≥1 die Menge der imag.-quad. Körper,h(D) die Klassenzahl der (Formen der) Diskriminante D,
hK = h(dK ) the Klassenzahl von K, wobei dK = disc(K).
Hauptsatz: Für N ≥ 1 gilt
(1)

MN = EN ⇔ h(N 2/dK ) = 1, ∀K ∈ K mit dK |N.

Bemerkung: Man sieht leicht, daß die Bedingung der rechten
Seite zu den folgenden beiden Alternativen äquivalent ist:(i) die Menge KN := {K ∈ K : dK |N } ist leer;(ii) N = 6, 9, 14 oder N = |dK |, für ein K ∈ K mit hK = 1.
Diese Bedingungen sind wiederum äquivalent zu:(i0) 4 - N und p ≡ 1 (mod 4), ∀p|N, p 6= 2.
(ii0) N = 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 19, 43, 67, 163.
Man beachte hierbei, daß die Äquivalenz von (ii0) mit (ii) dieLösung des Klassenzahl 1 Problems (Heegner) benötigt.
Korollar: (a) MN = EN , falls N ≤ 11 oder N = 13, 14, 17, 25, . . .
(b) MN 6= EN , falls N = 12, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 24, . . .
Grundidee: MN ⊂ EN sind halbeinfache Algebren, und es stelltsich heraus, daß(2)MN = EN⇔

Z(MN ) = Z(EN ).

64. Eine Algebrenstudie.
Es sei: Γ eine Gruppe mit Γ0(N ) ≥ Γ ≥ Γ1(N ), wobei
1∗Γ1(N ) := {A ∈ Γ(1) : A ≡ 0 1 (mod N )},∗∗Γ0(N ) := {A ∈ Γ(1) : A ≡ 0 ∗ (mod N )};TΓ = hTpΓ : p ist primi, die Hecke Algebra von Γ;
T0Γ = hTpΓ : p ist prim mit p - N i.
Wir haben also die folgende Schachtelung von Q-Algebren:(3)T0Γ ⊂ TΓ ⊂ MΓ ⊂ EΓ.

Tatsache (Shimura): dimQ(TΓ) = gXΓ (= dimC(Ω1(XΓ)).
Mit Hilfe der Resultate von Ribet (1980) kann man zeigen:
GQ
Satz 1 (K, 2008) Es sei EQ
die Unteralgebra der QΓ = (EΓ )rationalen Endomorphismen von JXΓ . Dann gilt:(a) EQΓ ⊂ MΓ ;Q0(b) T0Γ ist das Zentrum von EQ,d.h.,Z(EΓΓ ) = TΓ ;(c) dim(T0Γ) = |N2(Γ)|, wobei N2(Γ) die Menge der normalisierten Neuformen (aller Stufen) in S2(Γ) bezeichnet.

Beweisprinzip: Studiere die Wirkung der Algebra EQΓ ⊗ C auf
dem Raum ΩΓ := Ω1(XΓ) ' S2(Γ), und benütze die Resultate
der Atkin-Lehner Theorie und die von Ribet.
Kernpunkt: ΩΓ ist ein treuer EQΓ ⊗ C-Modul.
Jedoch: ΩΓ ist i.a. kein treuer MΓ ⊗ C-Modul! (Shimura)

7

5. Das CM Phänomen.
Grunderkenntnis: Die Existenz elliptischer CM-Kurven auf JΓ =JXΓ bewirkt, daß ΩΓ als MΓ ⊗ C-Modul nicht treu sein kann.
Zur Erinnerung: Eine elliptische Kurve E/C hat CM, falls
End0(E) := End(E) ⊗ Q ' K, wobei K ∈ K. Man sagtdann, daß K der CM-Körper von E ist.
Es sei: JΓCM die abelsche Untervarietät von JΓ, die von allen elliptischen CM-Kurven auf JΓ erzegt wird.
J nCM das “Komplement”, d.h., die abelsche Untervarietät vonJΓ, die von allen einfachen abelschen Untervarietäten erzeugt
wird, die keine elliptischen CM-Kurven sind.
Dann ist JΓ ∼ JΓnCM × JΓCM und wir haben die ZerfällungEΓ = EnCM⊕ ECMΓ
Γ
0 nCM
0 CMCM)mit EnCM'End(JundE'End(JΓ ).
ΓΓΓ

Bemerkung: 1) Man sieht leicht, daßYCM(4) Z(EΓ ) 'K und dim(Z(ECMΓ )) = 2|KΓ |,K∈KΓwobeiKΓ = {K ∈ K : ∃E mit CM-Körper K und Hom(E, JΓ) 6= 0}.
2) Die obige Zerfällung von JΓ induziert auch die Zerfällungen
CMMΓ = MnCM⊕
MΓΓ

CMund ΩΓ = ΩnCM
⊕
ΩΓ
Γ .

8Satz 2: (a) ΩnCM
ist ein treuer (MnCM⊗ C)-Modul der MultiΓΓplizität eins.
nCM(b) Es ist EnCM=M.
ΓΓ
Bemerkung: Teil (b) benützt Teil (a) und die Resultate vonRibet (1980).
Korollar: Es ist MΓ = EΓ, falls JΓCM = 0 ist.
Satz 3: Ist JΓCM 6= 0, so ist ΩCMkein treuer MCM⊗ C-Modul.
ΓΓGenauer, setzen wir
CMMΓ

CM:= Im(MCM⊗C→End(ΩCΓΓ )),so gilt(5)CMCMdimC(Z(MΓ ⊗ C)) = 2 dimC(Z(M Γ )),CMCMund ΩΓ ist ein (treuer) MΓ -Modul mit Multiplizität eins.

Bemerkung: Die obigen Multiplizität 1 Aussagen folgen sofort
aus der (bekannten) Tatsache, daßCΩΓ (TΓ ⊗ C) = TΓ ⊗ C,
denn daraus folgt, daß CΩΓ (MΓ ⊗ C) ⊂ TΓ ⊗ C kommutativ
ist. Genauer haben wir:Satz 4: (a) Der von einer Neuform f ∈ N (Γ) erzeugte MΓ ⊗ CUntermodul ΩM(f ) ⊂ ΩΓ ist ein irreduzibler M ⊗ C-Modul.
(b) Es gibt eine Teilmenge M(Γ) ⊂ N2(Γ) derart, daßMΩM(f ).
ΩΓ =f ∈M(Γ)

Außerdem gilt dann, daß ΩM(f ) 6' ΩM(g), ∀f 6= g ∈ M(Γ).

96. Der Fall Γ = Γ(N ).
Vorbemerkung: Obwohl die Hauptkongruenzgruppe Γ = Γ(N )die Vorraussetzungen der vorherigen Abschnitte nicht erfüllt,
so ist sie doch konjugiert zu einer Untergrppe Γ(N 2, N ) mit
Γ0(N 2) ≥ Γ(N 2, N ) ≥ Γ1(N 2), und daher lassen sich per Konjugation alle Definitionen und Resultate auf Γ(N ) übertragen.
Bezeichnung: Sind f, g ∈ N2(Γ(N )), so schreiben wir f ∼ g,falls ihre Fourierkoeffizienten außerhalb N gleich sind, d.h.,f ∼g⇔an(f ) = an(g), ∀n mit (n, N ) = 1.

Ferner schreiben wir f ≈ g, falls ein Twist fχ ∼ g, wobei χein Dirichletcharakter mod N ist.
Satz 5: Sind f, g ∈ N2(Γ(N )), so gilt:ΩM(f ) 'M ΩM(g)⇔ΩM(f ) = ΩM(g)⇔f ≈ g.

Zusammen mit Satz 4 folgt hieraus:
Satz 6: Ist Γ = Γ(N ), so ist(6)nCM
dimQ(Z(MnCM))=|N(Γ)|/φ(N ),Γ2(7)dimC(Z(MΓ )) = 2|N2CM (Γ)|/φ(N ).

CMHierbei bezeichnet
N2CM (Γ) = {f ∈ N2(Γ) : fχ ∼ f für ein χ 6= 1}
die Menge der Neuformen, die CM im Sinne von Ribet (1977)
besitzen, und N2nCM (Γ) bezeichnet das Komplement.

10Bemerkung: Durch die Werke von Hecke, Shimura (1971) undRibet (1977) weiß man, daß die f ∈ N2CM (Γ) durch gewisseGrößencharaktere zu Körpern K ∈ K konstruiert werden.
Ein penibles Abzählen solcher Größencharaktere (unter Zuhilfenahme gewisser Tatsachen über binäre Thetareihen) liefert
Satz 7: Für N ≥ 5 ist|N2CM (Γ(N ))| =(8)Xh(N 2/dK )K∈KN

φ(N ).
2Korollar: Für N ≥ 5 gilt KΓ(N ) = KN , und daher ist
dim(Z(ECMΓ(N ) )) = 2|KN |,(9)während(10)dim(Z(MCMΓ(N ) )) = 2

Xh(N 2/dK ).

K∈KN

Daher: Z(EN ) = Z(MN ) ⇔ h(N 2/dK ) = 1, ∀K ∈ KN .
⇒ Hauptsatz!
Bemerkung: Man kann auch zeigen, daß (für N ≥ 5)
1|N2(Γ(N ))| = φ(N )2(ψ(N ) − 6),24Q
wobei ψ(N ) = N p|N (1 + p1 ). Daher ist
φ(N )
3 X
dim Z(MN ) =(ψ(N ) − 6) +h(N 2/dK ).
242K∈KN