Perfekte Kuboide und die KastenvarietätErnst Kani
Queen’s UniversityTübinger Kolloquium, Universität Duisburg-Essen
21. Mai 2016

Outline
1. Einleitung
2. Frühgeschichte
3. Neue Ideen (mithilfe der arithmetischen Geometrie)
4. Die Bombieri-Lang Vermutung
5. Weitere Resultate
6. Diagonalquotientenflächen
7. Modularkorrespondenzen
8. Mazurs FrageLiteratur

1. Einleitung
I Man betrachte einen recteckigen Kasten (oder Kuboid):


y
wazxb c

I Nach Pythagoras gelten die folgenden Relationen:(1)

a2 + b 2 = x 2(2)

b2 + c 2 = y 2(3)

a2 + c 2 = z 2(4)

a2 + b 2 + c 2 = w 2

1. Einleitung – 2

I Ein rationales Kuboid ist eine Lösung der Gleichungen (1) –(3) mit a, b, c, x, y , z ∈ Q+ .
I Ein perfektes Kuboid ist eine Lösung der Gleichungen (1) –(4) with a, b, c, x, y , z, w ∈ Q+ .

• Problem 1: (Sanderson, 1740, Euler 1770) Finde(parametrische Familien von) rationalen Kuboiden.
• Offenes Problem 2: Gibt es perfekte Kuboide?
• Offenes Problem 3: Gibt es höchstens endlich viele perfekte
Kuboide?

2. Frühgeschichte• P. Halcke, 1719: bemerkte, daß (a, b, c) = (44, 240, 117) ein
rationales Kuboid liefert. (Das ist das kleinste!)• Sanderson, 1740, Euler 1770: Mithilfe der Pythagorischen
Tripel, Sanderson und Euler geben in ihren jeweiligen Büchern“Elements of Algebra” eine systematische Methode um
rationale Kuboide zu konstruieren. Diese heißen jetzt
Eulersche Kuboide; vgl. Euler, Elements of Algebra, II, Art.
238 (S. 443).
• A. Martin, 1894: In L’intermediaire des mathématiciens vol. 1(1894), p. 214, Artemas Martin (Washington) stellte Problem
2 als Question 361. Brocard (1895) bot eine Lösung an, dieaber von Tannery (1896) kritisiert wurde; vgl. L. Dickson’s
History of Number Theory, vol. II, ch. XVII.

2. 2. Frühgeschichte - 2• H. Olsen, 1916: Das Problem 254 des American Mathematical
Monthly 23 (1916), welches von H. Olsen aus Chicago gestellt
wurde, verlangt, daß man alle perfekten Kuboide findet.
V. Spunar, 1917 reicht eine “Lösung” ein, die behauptet, daßes keine solche Kuboide gäbe. (Diese Lösung wird in Dicksons
Buch erwähnt, wird aber nicht kritisiert, obwohl sie falsch ist.)• M. Kraitchik, 1954: findet Kongruenzbedingungen für die
Seiten a, b, c eines perfekten Kuboids.
• J. Leech, 1977: untersucht Kuboide mit der Eigenschaft, daßa, b, c und nur 3 der Zahlen x, y , z, w rational sind (Vorschlagvon M. Gardner, 1970).
• I. Korec, 1992: Mithilfe seiner früheren Resultate und einem
Computer zeigt Korec, daß max(a, b, c) > 4 × 109 ist, wenna, b, c die Seiten eines perfekten Kuboids sind.

3. Neue Ideen (mithilfe der arithmetischen Geometrie)
I Frage: Gibt es einen geometrischen Grund dafür, daß es leicht

ist, viele rationale Kuboide zu konstruieren, aber schwierig ist,
perfekte Kuboide zu finden?
• A. Bremner, 1988: untersucht die projektive Fläche V ⊂ P5 ,die durch die Gleichungen (1) – (3) definiert wird. Daher: dierationalen Punkte V (Q) auf V (mit abc 6= 0) entsprechen den
rationalen Kuboiden.
Er betrachtet eine weitere Fläche W , die birational äquivalentzu V ist, und klassifiziert alle Kurven vom Grad ≤ 3 auf W .
Er erwähnt, daß W viele rationale Kurven besitzt. (“W has asuperabundance of rational curves lying upon it.”)• F. Beukers, van Geemen, < 2000: In ihrem(unveröffentlichen) Preprint zeigen sie, daß V birationaläquivalent zu einer elliptischen Fläche V 0 ist, die über P1
gefasert ist. Die Schnitte der Faserung liefern unendlich viele
rationale Kurven auf V 0 und daher auch auf V .

3. Neue Ideen - 2• R. van Luijk, 2000: In seiner (unveröffenlichen) Diplomarbeit
untersucht [vL] die Kastenvarietät (box variety) B ⊂ P6 . (DerName stammt von [FS].) Diese wird durch die Gleichungen(1) – (4) definiert, und daher entprechen die rationalen
Punkte B(Q) (mit abc 6= 0) den perfekten Kuboiden.
Er zeigt, daß B ⊗ C eine normale Fläche ist, die 48
Singularitäten besitzt, und daß ihre Desingularisierung B̃ vonallgemeinem Typ ist.
Ferner findet er 92 Kurven vom Geschlecht ≤ 1 auf B ⊗ C :– 24 Kurven/Q isomorph zu P1 (Komponenten von abc = 0),– 8 Kurven/Q(i), isomorph√zu P1 ,– 60 elliptische Kurven/Q( 2, i), keine über Q definiert.
I Bezeichnung: Sei L die Menge dieser 92 Kurven.

• Daher: Die Flächen V und B sind geometrisch vollkommenverschieden.

4. Die Bombieri-Lang Vermutung
I Frage: Welche spezielle diophantischen Eigenschaften besitzen

die Varietäten von allgemeinem Typ?
• Satz von Faltings, 1983: Ist C /K eine Kurve von allgemeinemTyp (⇔ gC ≥ 2) über einem Zahlkörper K , so ist C (K )endlich.
• Bombieri-Lang Vermuting: Ist X /K von allgemeinem Typ, so
ist X (K ) nicht Zariski-dicht in X . (K ein Zahlkörper.)• Lang Vermutung (LC): Ist X /K von algemeinem Typ, so gibt
es eine echte abgeschlossene Teilmenge E (X ) ⊂ X derart, daßU(X ) := X \ E (X ) für jeden Zahlkörper K 0 /K endlich viele
K 0 -rationale Punkte besitzt.
• Bemerkung: Gilt (LC) für eine Fläche X /K , so ist E (X ) =Vereinigung aller Geschlecht 0 oder 1 Kurven auf X ⊗ K .
Da E (X ) abgeschlossen sein soll, so folgt:

4. Die Bombieri-Lang Vermutung - 2• Geometrische Lang Vermutung (GLC): Eine Fläche X /K
allgemeinen Typs enthält höchstens endlich viele Kurven vomGeschlecht ≤ 1.
• Satz (?) von Bogomolov, 1977: (GLC) gilt, wenn X /C eineglatte Fläche allgemeinen Typs ist, für die c12 (X ) > c2 (X ) ist.
I Bemerkung/Frage: In dem Bourbaki-Artikel von M.

Deschamps (1977) wird (ohne Beweis) behauptet, daß die
obige Aussage aus den Resultaten von Bogomolov folgt.
Stimmt das?
I Schwierigkeiten: 1) Wie kann man die Menge E (X )bestimmen? Sogar in der Situation von Bogomolov gibt es
keinen Algorithmus zur Bestimmung von E (X ).
2) Für die Desingularisierung B̃C der Kastenvarietät ist
Bogomolovs Voraussetzung nicht erfüllt. (Es gilt hier, daßc12 (B̃C ) = 16 und c2 (B̃C ) = 80 ist.)5. Weitere Resultate- alle unveröffentlich, aber erhältlich bei arXiv [math.AG].
• M. Stoll, D. Testa, 2010: untersuchen die Kastenvarietät BCund ihre Desingularisierung B̃C . Zum Beispiel:– sie berechnen alle geometrischen Invarianten von B̃C ,– sie bestimmen Aut(B̃C ) (es gilt | Aut(B̃C )| = 1536 = 29 · 3),– sie bewisen, daß die Picardgruppe Pic(B̃C ) = NS(B̃C ) ' Z64
und von 140 Kurven erzeugt wird: die 92 Kurven in L, und die
48 exzeptionellen Kurven, die die 48 Singularitäten auflösen.
I Frage/Vermutung(ST): Ist E (BC ) = L? Ist jede Kurve vomGeschlecht ≤ 1 auf BC eine der 92 Kurven, die [vL] gefundenhat?
• N.B.: Aus Vermutung (ST) + Langs Vermutung (LC) (+[vL]) folgt, daß Problem 3 eine positive Antwort hat: es gibt
nur endlich viele perfekte Kuboide.

5. Weitere Resultate - 2I Bemerkung: Um (ST) zu motivierien, beweisen Stoll undTesta[ST]:• Die Kurven in L sind genau diejenigen glatten Kurven C auf
BC , die Geschlecht gC ≤ 1 und Grad deg(C ) ≤ 4 haben.
Nach Bogomolov ist der Grad einer Kurve beschränkt, wenn
ihr Geschlecht beschränkt ist. [FS] beweisen genauer:• Ist C ⊂ BC glatt (oder, allgemeiner, ist die NormalisierungC̃ → C von C bijektiv), so gilt, daßdeg(C ) ≤ 16gC̃ + 176.
Natalia Garcı́a-Fritz[GF] (2015) hat in ihrer Doktorarbeit dasfolgende Resultat bewiesen:• Ist C ⊂ BC glatt an jeder Singularität von BC , so gilt, daßdeg(C ) ≤ 4gC̃ + 44.

5. Weitere Resultate - 3• A. Beauville, 2013: gibt eine Konstruktion der Kastenvarietät
BC , die etwas mehr intrinsisch ist. Daraus folgt:
BC ist eine Diagonalquotientenfläche!
• E. Freitag, R. Salvati Manni, 2013: geben eine analytische
und eine modulare Beschreibung von BC , Aut(BC ) und von L.
1) Sie konstruieren BC als einen Quotient von H∗ × H∗ ;2) Sie zeigen, daß (ein offener Teil von) B ⊗ Q(i) einemodulare Interpretation besitzt.
3) Jedes α ∈ Aut(BC ) ist modular (d.h., wird induziert vonElementen in hΓ(1) × Γ(1), τ i, wobei τ der Automorphismus
ist, der die zwei Faktoren des Produkts vertauscht).
4) Alle Kurven in L sind modular (oder kuspidal).
Insbesondere folgt aus 1): B ⊗ Q(i) ist eine (verallgemeinerte)modulare Diagonalquotientenfläche.

6. Diagonalquotientenflächen
I Sei: X eine glatte projektive Kurve über einem Körper K ,G ≤ Aut(X ) eine endliche Gruppe von Automorphismen,
π : X → X := G \X , der Quotientenmorphismus,
Y := X × X , die Produktfläche,∆G = {(g , g ) : g ∈ G } ≤ G × G , die diagonale Untergruppe,
ZG := ∆G \Y , die Diagonalquotientenfläche bezüglich G ,φ = φG : Y → ZG , der zugehörige Quotientenmorphismus,
ψ = ψG : ZG → Y := X × X , der induzierte Morphismus.
I Bemerkungen: 1) Es ist ψ ◦ φ = π × π :φψπ × π : Y = X × X → ZG → Y = X × X .
Daher sind φ und ψ endliche Morphismen vom Graddeg(φ) = deg(ψ) = |G |.
2) Die Fläche ZG hat höchstens endlich viele Quotientensingularitäten. Die Struktur von ZG und die ihrer
Desingularisierung Z̃G kann man explizit beschreiben; vgl.
K.-Schanz, 1997.

6. Diagonalquotientenflächen - 2• Anwendung: Betrachte die folgende Situation:
X := X (8) = Γ(8)\H∗ , die Modulkurve der Stufe 8,
G = Γ(4)/Γ(8) ' (Z/2Z)3 , also ist
X = X (4) ' P1 .
N.B.: gX = 5, und X und G sind über Q definiert.
• Satz 1: (∼[FS]) Sei ZG /Q die Diagonalquotienfläche vonX = X (8)/Q bzgl. G = Γ(4)/Γ(8). Dann gilt:(5)B ⊗ Q(i) ' ZG ⊗ Q(i).

• Grundidee: [FS] benützen die Existenz einer Isomorphie
X (8) ' Proj(A),wobei A := C[ϑ00 (z), ϑ10 (z), ϑ01 (z), ϑ00 (2z), ϑ10 (2z)]) dergraduierte Ring ist, der von den klassischen Thetafunktionen
ϑa,b (vom Gewicht 12 ) erzeugt wird.

6. Diagonalquotientenflächen - 3
I Erinnerung: Die Thetafunktionen ϑa,b sind durch

ϑa,b (z) =∞X

2e πi((n+a/2) z+b(n+a/2)) .

n=−∞definiert und erfüllen die klassischen Thetarelationen
ϑ200 (z) = ϑ200 (2z) + ϑ210 (2z)ϑ201 (z) = ϑ200 (2z) − ϑ210 (2z)ϑ210 (z) = 2ϑ00 (2z)ϑ10 (2z).
[FS] bestimmen auch die Wirkung der Erzeugenen
T = 10 41 , T 0 = 14 01 , R = 85 138
von G = Γ(4)/Γ(8) auf der Basis ϑ00 (z), ϑ10 (z), . . . , ϑ10 (2z).
Dadurch können sie den Ring der Invarianten von A ⊗ A bzgl.
∆G bestimmen. (Eigentlich benützen sie hierzu eine Gruppe∆(4, 8), aber diese führt zum gleichen Invariantenring.)

7. Modularkorrespondenzen
I Frage: Inwiefern ist ein Produkt von Modulkurven etwas

Besonderes?
I Teilantwort: Es besitzt einen reichen Vorrat von Kurven,nämlich die Modularkorrespondenzen. (→ Heckeoperatoren.)• Konstruktion: Sei α ∈ GL+2 (Q) ∩ M2 (Z), und sei
T (α) = {(z, α(z)) : z ∈ H∗ } ⊂ H∗ × H∗
sein Graph. Ist Γ = Γ(N), so ist das BildTΓ (α) ⊂ X (N) × X (N) = Γ(N)\H∗ × Γ(N)\H∗
eine irreduzible (algebraische) Kurve auf X (N) × X (N).
• Beispiel: Ist Γ = Γ(1), so ist jede Modularkorrespondenzvon

1 0der Gestalt TΓ (αn ), mit n ≥ 1, wobei αn = 0 n . Ferner istTΓ (αn ) birational äquivalent zu X0 (n) : TΓ (αn ) ∼ X0 (n).

7. Modularkorrespondenzen - 2• Satz 2: ([FS]) Via der Isomorphie (5) ist jede Kurve in L
entweder das Bild einer Modularkorrespondenz T (α) (mitdet(α) = 1) oder das Bild einer Spitzenkurve {c} × H∗ oderH∗ × {c}, wobei c ∈ H∗ \ H eine Spitze ist.
Der folgende Satz beinhaltet eine Teilumkehrung:• Satz 3: Ist C eine Kurve vom Geschlecht ≤ 1 auf
BC ' ZG ⊗ C, die modular ist, (d.h., C = φ(TΓ(8) (α)), für einα), so ist C ∈ L.
• Daher: Die Vermutung (ST) (d.h., E (B) = L) ⇔(*) Jede Kurve in E (B) ist modular oder eine Spitzenkurve.

7. Modularkorrespondenzen - 3• Beweiskizze von Satz 3: Wir haben die folgende Situation:
X (8) × X (8)φ↓Bψ ↓X (4) × X (4)Sei C := φ(TΓ(8) (α)) ∈ E (B), d.h., gC ≤ 1⇒ gC ≤ 1, wobei C := ψ(C ) = TΓ(4) (α).
1. Schritt: gC ≥ 3, falls det(α) ≥ 3.
Setze n = det(α). Dann gilt
C ∼ X0 (4, n) := H∗ /(Γ(4) ∩ Γ0 (4n)),
und man kann eine explizite Formel für gX0 (4,n) herleiten.

7. Modularkorrespondenzen - 4• 2. Schritt: Analyse der Fälle det(α) ≤ 2.
Fall 1: det(α) = 1.
Dann ist α ∈ SL2 (Z) = Γ(1), also ist
C = φ(Γα ) mit

α ∈ G8 = Γ(1)/(±Γ(8)).

Eine etwas penible Analyse zeigt, daßgC ≤ 1 ⇔ ord(α)|8 ⇒ C ∈ L.
Fall 2: det(α) = 2.
Hier gilt, daß C ∼ H\X0 (8, 2), wobei |H| | 4 und
X0 (8, 2) := (Γ(8) ∩ Γ0 (2 · 8))\H∗
Geschlecht 17 hat. Eine genaue Analyse zeigt, daß gC ≥ 3.

8. Die Frage von Mazur• Mazur, 1978: Inwieweit sind die Isogenieklassen elliptischerKurven E /Q durch ihre mod N Galoisdarstellungen bestimmt?
• Frey (1985), Darmon (1994): Formulierten Vermutungen, diediese vage Frage präzisieren.
• Remark: Die Studie der Isomorphismen der mod N
Galoisdarstellungen führt ganz natürlich zu den modularen
Diagonalquotientflächen
ZN = ZX (N),GN , where GN = Γ(1)/(±Γ(N)),
da die Punkte von ZN solche Isomorphismen “klassifizieren”.
• Vermutung (1995): Ist N = p eine Primzahl mit p ≥ 23, soist jede Kurve C in E (Zp ) modular.
• N.B.: Diese Vermutung + (LC) ⇒ Darmon’s Conjecture.

8. Frage von Mazur - 2• Satz 4 (Bakker/Tsimerman, 2013): Die obige Vermutung istrichtig, wenn p >> 0.
• Bemerkung: Leider liefert der Beweis von [BT] keine
Abschätzung über die Größe von p.
I Aber man könnte hoffen, daß die Methode von [BT] sichderart verfeinern lässt, um einen Beweis der obigen
Vermutung zu liefern. Dann ist es vielleicht auch möglich, daßman eine ähnliche Aussage für ZG ⊗ C = BC beweisen kann,d.h., daß man Bedingung (*) beweist.
Dann würden wir erhalten:I (LC) ⇒ #(perfekten Kuboide) < ∞ (Problem 3)

Literatur• [BT] Bakker, Tsimerman, On the Frey-Mazur Conjecture overlow genus curves. ArXiv, 2013.
• [Be] A. Beauville, A tale of two surfaces. ArXiv, 2013.
• [FS] E. Freitag, R. Salvati Manni, A parametrization of thebox variety by theta functions. ArXiv, 2013.
• [Ga] N. Garcı́a-Fritz, Curves of low genus on surfaces andapplications to Diophantine problems. Ph.D. Thesis, Queen’s
University at Kingston, 2015.
• [ST] M. Stoll, D. Testa, The surface parametrizing cuboids.
ArXiv, 2010.
• [vL] R. van Luijk, On perfect cuboids. Doktoraalskriptie, 2000.