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天 体 力 学 入 門 講 座 (13)井上 猛 T. Inoue（滋賀県 湖南市）
観測は 赤道座標系 "#$ に準拠して行なわれるとした。" 軸は 春分点の方向を向く様に選ばれて居る（文献 1) の p.621 ）
。



 
"
 

% = # 




$



軌道面

惑星運動を表現するのには 黄道座標系





Ω


   の方が 適して居る。上記 " 軸の周りに 黄道傾斜角 だけ回転して得られる
これを 軌道面内で描いてみれば 次の様に座標系である。 成分が異なって来るのでなるであろう。

動径 % を % と 書き分ける事にしたので

あった（文献 2) の p.198 ）
。

惑星 

 

 
% =   

%



太陽 

いず

何れもが 太陽を原点に据えた 直交座標系




  
 cos   
% =   =   sin  である。これらを重ねて描けば 次の様になるであろう。この時 以後の事を考えて黄道面を水平にする形に描いた。

0
ここで % は % に等しい 位置ヴェクトルで$しかある。然し 成分が異なって居るので書き
ただ分ける事にした。但し これ等の 大きさは単一なので 単に  と表記した。
太陽
黄道面

"







赤道面

#

軌道運動を記述し考察するのに好都合な
軌道座標系    導入の前段階のものとして 準軌道座標系     なるものを
導入する。



 =  2 + 2 + 2 ==  2 + 2
惑星の位置ヴェクトル % の黄道座標は方向余弦 cos



cos



cos

次の様に表わされる（文献

2)

  

 cos
  
   =   cos



 cos







に依って

の p.200 ）：







これらの方向余弦は定数  Ω 及び変数

 に依って次の様に与えられて居る：

ኳయຊᏛධ㛛ㅮᗙ cos

 = cos Ω cos = cos  cos Ω





cos

 = sin  sin 






 ˙

 ˙  ˙     =   ˙ ˙sin Ω sin  cos  =sin  sin Ω cos = cos  sin Ω + sin  cos Ω cos 

cos



 ˙

˙ で
を 準軌道座標系の量 (   ; ˙ ˙ )Z

表わす事を考える。代入して 計算すれば直ちに 次の表式に到達する事が出来る：




P





Y

X






sin Ω sin  ˙ )  cos Ω sin     = ( ˙

cos 



ここには  も ˙ も現われて来ては居ない。
か

斯くして 黄道座標 (  ) が 準軌道座標(  )に依って次の形に表わされる事になった： =  cos

=  cos Ω =  cos

なのであるから  = 0 も ˙ = 0 も当然の事となり 姿を見せる事が無いからである。
準軌道座標系  ==  cos  cos Ω

それは 準軌道座標系に於ては  は 常に 0

 sin  sin Ω cos  = sin Ω cos なる：==  cos  sin Ω +  sin  cos Ω cos  ==  sin Ω +  cos Ω cos  =  cos =

   の量に着目して面積速度の積分を 書いてみれば 次の様に

 =  ˙ =  ˙

 ˙
 ˙

 =  ˙ ˙

ここで 量  も ˙ も 共に 0 なのであるから=  sin  sin  =準軌道座標系に於ける 面積速度の積分は=  sin 

次の様になるのが知れる：



黄道座標系で表わした エ ネルギー積分˙ 2 +˙ 2 +˙ 2

Ω も  も 定数量であるから 次が得られる：

˙ = ˙ sin 22
˙ 2 + ˙ 2 + ˙ 2 = ˙ + ˙

これから  ˙



 ˙

 ˙

 ˙ =  なのが知れる







sin Ω sin 



cos 



 


   =   cos Ω sin 

2
= 2


面積速度の積分(   )0様に表わされる事になった：なるのが知れる：

続いては 黄道座標系の量で 表わされた



0ので 面積速度の積分(   ) が 次の以上から求めるエネルギー積分が 次の様に
22˙ + ˙   = 

準軌道座標系の量で表わして行く。この時

˙ = ˙ cos Ω ˙ sin Ω cos ˙ = ˙ sin Ω + ˙ cos Ω cos 




2
= 2（文献 1) (36) 式）
を


ところ

処 で 我々は 次の様な 量を導入して居たのであった (文献 1) (40) 式)：ኳయຊᏛධ㛛ㅮᗙ 




 

 

 

% 
=    =   
% =


 



2
2
2
   +  + ˙ = ˙ cos = ˙ cos ˙ = ˙ sin  +  cos   ˙ == ˙ sin  +  ˙ cos か斯くして 次の結果の得られるのを知る：

これは 次の形に書く事が出来る：











 =  ˙sin Ω sin 

 



   =     =  cos Ω sin 


cos 



文献 1) の p.626 に 次の様な意味の事を経過に伴なって 変化する。それが 2 ˙ の形を取る時には 定数量に留まる事をこの表式は表わして居る。詰まり  と  とがわけ一つの函数関係にある訳である。 ここで

% が 黄道座標系   に於けるは 次のものを表わす (文献 3) の p.157)：

 軸の方向余弦を表わして居る と

これは 次の 等式の成立を教えて呉れる：  = sin Ω sin 1(弧度法 の 場合)

180° (度分秒 の 場合)
2エネルギー積分 ： ˙ +˙

cos Ω sin 

2

2
=2 は


次の様になる：  = cos 
更に  が  に等しいと云う事も知れる。
先に記した関係式  =  ˙
量  ˙ ˙ = 2 ˙

右辺の量 2 ˙ に於ける  も ˙ も 時間のかんすう

記して居る： = sin   ˙ =
 ˙ sin ˙ 2 + 2 2 ˙ 2

 ˙ は ˙ が 面 積 速 度 の 積 分 の 値

只今の微分計算には 少しばかり 説明が必要であろう。時刻 に 角度が であった に等しくなる事を表わして居る。
 =  cos  ,  =  sin  であるから
これ等の 時間に依る微分を行なう。

2
= 2


ものが 時刻 + Δ に  + Δ になったとして cos  の 微分計算を考える。

cos( + Δ) cos cos( + Δ) cos  ( + Δ) ==( +Δ )( + Δ) ( +Δ )Δ
Δ sin Δsin
2 sin  +ΔΔ22
2  Δ == sin  +

=
Δ
Δ
Δ
2
Δ
2
Δ 




 sin ΔΔ
Δ
Δ sin 22˙˙sin  +
+= sin  +
Δ
Δ
2
Δ
2
2
 2

 
Δ
˙
˙
sin 

sin  sin  +
2
これを次の形に書く：

cos( + Δ)( +Δ )
cos Δ
sin  +
2

 sin Δ 

Δ
2
˙ =
)
˙ +
Δ
Δ
2

 


Δ
˙
sin  +
sin 
˙
2


(

sin 

 sin Δ
2
Δ
2

Δ
sin  +
2ኳయຊᏛධ㛛ㅮᗙ 

左辺の量を より 大きな量で 押えて行く事を考える。

cos( + Δ)( +Δ )

cos 





Δ
+ sin  +
2

(



Δ
sin  +
2

˙
)

sin 




Δ
2  Δ
Δ
Δ
2

sin

Δ 


Δ
2
˙ + sin  +
Δ
2
2



sin



˙ +

˙

sin  右辺の それぞれの量を より 大きな量に置き換えて行く。

Δsin  +
2

Δ
2
Δ
2


1;

sin

0

,

(0

Δ

 )

上で 左側の不等式は 三角函数の性質から定義導入するに際して扱ったものである

明らか また 右側の評価式は 円弧の長さを(文献 3) の p.155)。

Δ
Δ

˙

, (0

Δ

量  は 定数である。 変数  の 微分係数

= ) ;0˙等は 惑星運動の性質に基づいて 導き出すせい˙ は 正の量であるとする。これを 上から事の出来るものである。

押える量  も  同様に 定数である。これ





Δ
Δ
Δ
sin  = 2 cos  +sin=sin  +
2
4
4
Δ


Δ

1
Δ sin 41 == cos  +
Δ
4
2
2
2
4

か

斯くして 函数 cos  の 微分計算が 次の様になるのが知れた：

cos( + Δ)( +Δ )
右辺の

=

cos 

1  + 1 +1
  
2及び  は 微小定数 に依ってそこで  +

+2

定数を 導入すれば 微分の計算が 次の様に

 =

(

sin 

˙
)

の様に表わされる。

ここに  及び  は 新たな定数である。

cos( + Δ)( +Δ )

cos 

(

sin 

只今の結果は 次の様に 読む のが望ましい。

122

  なる

表わされるのが知れる：

˙
)



(0

Δ

= )

こ れ に 倣 う 時 は sin  に 対 し て は

即 ち 函 数 cos  を 時 間 で 微 分 す れ ば

cos 

sin  ˙ なる 微分係数が 得られる と。

なる。

˙ なる 微分係数が得られる事にኳయຊᏛධ㛛ㅮᗙ ˙ の ˙ を2
= 2 に

面積速度の積分  = 22 2 ˙22

エネルギー積分 ˙ +代入して ˙ 2 +2
2

これを 2 ˙ 2 = 2 + 2 + 22 の形に2= 2 を得る。


書けば 2 ˙ 2  0 であるから 右辺の量も 2 + 2 + 22  0 である。これは˙ = 2 が

置 き 換 え る 。そ う す れ ば˙ =  2 と 表わされる事になる。

次に  の  に依る 微分係数を  と 表記

Δ Δ Δ
Δ Δ
=
=
を
Δ
Δ Δ
Δ Δ
1
1
通じて ˙ =  ˙ が得られる。 = の
する時は に 関 す る 二 次 式 で あ る か ら ˙ = 0 を

両辺を 時間 で 微分すれば 次が得られる：

与える  が存在するならば 二箇所で 等式˙ = 2 + 2 + 22 = 0 を 成立させる。
˙ = 0 が  =  1 及び  =  2 で起るとし
0
せい

1

1
˙ =
2


 2 = 2 であると仮定する。これ等を

この時 0



 1 = (1) 及び  2 = (1 + ) と 表わさ1 とする。 1 及び  2 がれる事になる。
もと以上の準備の許に 計算を進めて行く。

0 = 2 2 ˙2 2 = 2 + 22 + 22 2

0 = 1 2 ˙1 2 = 2 + 21 + 21 2

辺々の引き算を行なう。

0 = 2(21 ) + 2(2 2

1 2 )

これを  に付いて書く。

 


2

量  に依って この様な形に 与えられる と云う事を 表わして居る。計算を続ける。

 2 = 22 + 22 2 = (1面積速度の積分の値  は   (1

2

 )と

置けば 次の様に表わされる事になる：








 なるのが知れた。

 と 函数関係に ある  = () を これの逆数で考えると 取り扱いが容易となる。
そこで  を 関係  = () 

=



=

 2



1


2 +

2
+



2


1
=


1
1 2
=
2
2
2
1


この儘で議論して行く事も出来るのである

せい

か

2 =

まま

2 )

先に ˙ を 正の量に 選ぶ事にして居たので斯くして 2 ˙ =+ 22
1 
 () =


エネルギー積分の値  が 新たに導入した

=

2

 
 ()

以下 計算



=

2
2

2
= 2 の
中の積分定数  及び  に  =  及び
=を代入すれば 次が得られる：
2

 2
=
˙ 2 + 22
エネルギー積分 ˙ 2 +1 = 2 = 0 であり 2 + 1 = 2 であるから 次を得る：

1 1 

2


 


˙ =

正の量  及び  で以て 表わす事を考える。

2

11  ˙ =
2

 


1
に依って


が 書き換えをする事で 見通しが良くなる
ので 次の様な量 ! を導入する：

1 
1! () =  () 2  2
1 ! () =
! =



 2

=
(1 !2 )
2
1 ! () = 1 !2 (! 1)

!


1

2

ኳయຊᏛධ㛛ㅮᗙ 解となって居るのが知れた。角度 

そこで! = !() = cos()( : 定数)

sin(



= 



= 180°(度分秒の場合)

は(弧度法の場合)
しかな る 条 件 に 服 す 事 に な っ て 居 た 。然し
こうぎと置いて 両辺を微分してみる：! () =

!2 の

1

かい

!2

1



微分方程式 ： ! () = 

かいへい

これを開平すると 次が得られる：! () = 



はず

広義積分の適用に依って この条件は 外す
事が 出来るのである。更に 次に示す様に)不等式に 等式を加える事が出来て 総ての只今の計算は 先に cos  を 時間 で 微分

角度を取る事が出来るのである：

した際の計算を参考にすれば 容易に諒解

0されるであろう。

0° 

sin(
0

) が0


sin(

) となるのは(弧度法の場合)

180° (度分秒の場合)

0° を満たす時である。この時には 計算：


2
sin(
) = 1 cos() == 1 !2 が出来るので 次が得られる：
! () =
sin(
)=
1 !2
すなわ

即 ち 上の開平で 負符号の方を採用すれば
表式 !() = cos() が 微分方程式 をわけ満たす事になって居る訳である。では 正の2

180° 

360° (度分秒の場合)
もと




1
 1


=


 
= cos()=
1 +  cos()かして 動径  が 次の形に表わされると云うのが知れた：

=(弧度法の場合)
1 +  cos(

惑星 

=

表式 !() = cos() を微分した関係：! () =

) に 着目をすれば!2 ) = + 1 !2! () =

sin(

(
1

となって 正の場合が得られる事になった。
以上から 表式 ： !() = cos()

360° (度分秒の場合)!2 が 得られる事になる。

=

 と 表記して来て居たのであった。斯く) 0 となるから 計算：
2)=
1 cos() =太陽から惑星までの距離  は  及びの時は sin(

sin(

1
=

1


!() =が 次の範囲：(弧度法の場合)解が得られたので 表記を 元に戻す。

符号の方は 何を意味するのであろう？
角度 

2



)が




太陽 
うち

斯くして 残る 二つの積分の中の一つを求める事が出来た。

参考文献
１）井上 猛 , 天体力学入門講座 (11) , 天界 2007 年 11 月号 pp.615-626
２）井上 猛 , 天体力学入門講座 (12) , 天界 2009 年 5 月号 pp.194-200
３）井上 猛 , 天体力学入門講座 ( 7) , 天界 2005 年 3 月号 pp.151-157

Ⱥ଎੥તٚȻ

௽!߃ଲ඾ུഛ໲ঃၳ!ॻ೰ๅ Wfs/2/1ള༏๼გ༎!B5 ฻!293༁!3118ා21࠮31඾อ࣐!๱ค຦

ࠉ᪥ᮏ࡟ࡣྂ᮶ࠊኳᩥ⌧㇟࡟㛵ࡍࡿከᩘࡢ
ྂグ㘓ࡀᏑᅾࡍࡿࠋࡑࢀࢆ㞟ࡵࡓࡶࡢࡀ⚄⏣ ⱱ⦅ࠕ᪥ᮏኳᩥྐᩱࠉୖୗࠖ㸦᚟้∧ཎ᭩ᡣ 㸧࡛࠶ࡿࡀࠊᖺ௦ࡣ  ᖺࡲ࡛࡛࠶ࡗࡓࠋࡑࢀࢆᖥᮎࡲ࡛ᘏ㛗ࡋࡓࡢࡀ኱ᓮṇḟ⦅ࠕ㏆ୡ᪥ᮏኳᩥྐᩱࠖ㸦ཎ᭩ᡣ㸧࡛࠶ࡿࠋࡋ࠿ࡋΏ㎶⨾࿴Ặࡣ ձྐᩱࡢ᭩࠿ࢀࡓሙᡤࡀศ࠿ࡾ࡟ࡃ࠸ ղグ㘓⪅ࡀṊኈ࣭་⪅࣭Ꮫ⪅࡞࡝▱㆑㝵⣭࡟೫ࡗ࡚ࠊᗢẸࡢグ㘓࡟ஈࡋ࠸ ճኳᩥグ㘓ࡢཎ඾ࡀ᳨⣴ࡋ࡟ࡃ࠸ࠊ࡜࠸࠺㞴Ⅼࡀ࠶ࡿࡇ࡜
࡟Ẽ௜࠸ࡓࠋࡑࡇ࡛ẶࡣࡇࢀࡽࡢⅬ࡟␃ពࡋࡘࡘ⭾኱࡞ᩥ⊩ࢆ΅⊟ࡋࠊྠ᭩࡟ὤࢀࡓ
ྂグ㘓ࢆᣠ࠸ฟࡋ୍࡚෉ࡢᮏ࡟ࡲ࡜ࡵࡽࢀ
ࡓࠋࡑࢀࡀᮏ᭩࡛࠶ࡿࠋ
ࠉࠕྐᩱ⦅ࠖ࡟ࡣ඲  㡫࡟ࢃࡓࡗ࡚ィ ಶࡢฟ඾ࡀᥖࡆࡽࢀ࡚࠸ࡿࠋグ㍕౛ࡣࠊ౛࠼ࡤḟࡢ㏻ࡾࠋ
ᮾிࠉᡃ⾰࠙ࢃࡀࡇࢁࡶࠚ᪥ᮏᗢẸ⏕άྐᩱ㞟ᡂ➨  ᕳࠉ ⦅ 㞟 ጤ ဨ㸸 ㇂ ᕝ ೺ ୍ࠉ ୕ ୍ ᭩ ᡣࠉࠉ་ࠉ㝶➹ඖỈᡞ⸬ኈ࡛ᚋ࡟⏣ཎ⸬་ࢆࡘ࡜ࡵࠊࡑࡢ
ᚋỤᡞ࡛་⪅ࢆࡋ࡚࠸ࡓຍ⸨᭥ᑿᗡ㸦་ྡࢆຍ⸨⋞டࠊྕࡣ༡➉㌺ࠊⱝ࠸᫬ࡣᖹྜྷࠊ
ᮏጣࡣ἟⏣㸧ࡢ㝶➹ࠋྂ᭩ࡢᢤࡁ᭩ࡁࢆྵࡵ࡚ぢ⪺ࡁࡋࡓࡇ࡜ࢆグࡋࡓࡶࡢࠋ
㸯⾜┠ࡣᕥ࠿ࡽྐᩱࡢᡤᅾ㒔ᗓ┴ྡࠊྐᩱྡࠊฟ඾㸦ྐᩱ㸧ྡࠋ㸰⾜┠ࡣྐᩱ␒ྕࠊ
ฟ඾ࡢⴭ⪅ࡲࡓࡣ⦅⪅ࠊฟ඾ࡢⓎ⾜⪅ࠊฟ඾ࡢⓎ⾜ᖺ᭶ࠊྐᩱࡢ࠾ࡼࡑࡢᏐᩘ㹙༢఩ࡣ༓Ꮠࠋୖ౛࡛ࡣḞ㹛ࠊグ㘓⪅ࡢ⫋ᴗࠊྐᩱᙧᘧࠋ㸱⾜┠௨ୗࡣྐᩱࡢᴫせ࡛࠶ࡿࠋ⥆ࡃࠕグ㘓⦅ࠖࡣ  㡫࠶ࡾࠊグ㍕ᙧᘧࡣ౛࠼ࡤḟࡢ㏻ࡾࠋ
࠙኱ὶᫍࠚࠉᐶᩥ༑୍ᖺ༑᭶୕᪥ࠉ0ࠉཤ୕᪥኱ὶ
ᫍධᖸ᭶୰ப
ࠉࠉ⣖ᕞ⸬▼ᶫᐙᐙ஌ࠉᐶ
ᩥ༑୍ᖺ༑᭶༑୍᪥
ࡇࡢグ㘓ࡀ࡞ࡉࢀࡓࡢࡣ༑᭶༑୍᪥࡛ࠊ
ࠕཤ୕᪥ࠖࡣ༑᭶୕᪥ࠋ
㸦ഛ⪃㸸ࠕ㏆ୡࠖ࡟ྠ᪥ὶᫍグ㘓࡞ࡋ㸧㸯⾜┠ࡣ⌧㇟ࡢศ㢮ࠋ㸰⾜┠ࡣᕥ࠿ࡽグ㘓␒ྕࠊ⌧㇟ࡢほᐹ᪥ࠊ⌧㇟ࡢ኱ศ㢮㹙0 ࡣὶ࣭ᫍ㝹▼㹛
ࠊグ㘓ࡢᮏᩥࠋ㸱⾜┠ࡣほᐹ᪥ࡢすᬺࠊྐᩱ␒ྕࠊྐᩱྡࠊグ㘓ࡢグ㍕
᪥ࡲࡓࡣほᐹ᭶᪥ࠋ㸲⾜┠ࡣグ㘓࡟㛵ࡍࡿὀ࡛ࠊḍእࡢഛ⪃ࡣ⌧㇟ࡢẚᐃ࡟㛵ࡍࡿὀ࡛࠶ࡿࠋ௚ࡢᩥ⊩㹙ࡇࡇ࡛ࡣ኱ᓮᮏ㹛࡜ࡢ↷ྜࡀ࡞ࡉࢀ࡚࠸ࡿࠋ
ࠉኳᩥ⌧㇟ࡢศ㢮ࡣ኱ᓮᮏࢆ㋃くࡋ࡚࠸ࡿࡀࠊྂグ㘓ࡣ✀㢮ู࡛࡞ࡃᖺ௦㡰࡟㓄ิࡋ࡚࠶ࡿࠋ㔜ⅬࡣỤᡞ᫬௦㸦 ᖺ௨ᚋ㸧࡟࠶ࡿࡀࠊࡑࢀ௨๓ࡢグ஦ࡶ㸱㡫ศ࠶ࡿࠋᘬ
⏝ࡉࢀࡓグ㘓ᩥࡣ㛗▷ᵝࠎ࡛ࠊ㸯⾜࠿ࡽ
S ࡢ  ⾜ࡲ࡛࠶ࡿࠋ㛗ᩥࡣᙜ᫬ࡢேࠎ
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