-学生論文賞受賞論文

要約・ファジィ線形計画とファジィ環境下における確率的推移システム
藤田敏治(九州大学大学院理学研究科数学専攻現所属:同大学院数理学研究科博士後期課程)
指導教官

川崎英文助教授

考えて，それをクリスプな問題へ変換するというアプ

1.はじめにローチをとった

この論文では，ファジィ数理計画におけるいくつか

Ramík and 白mânek は，制約式に対してこの方法をとっている[4].

また，古川 [2J にの問題を扱っている.ファジィ線形計画およびファジより目的関数も含めてその係数に L- ファジィ数を考ィ多目的線形計画，それとファジィ評価関数を持つ確えた際の結果が与えられている.ここでは古川の考え率的推移システムである.また，ファジィ(多目的)線形計画問題を解く際必要となるクリスプ(ファジイにもとづき，係数として用いられるファジィ数の一般化，および多目的の場合についての結果を与える.

に対し，ファジイでない通常のものをクリスプと表現

まずファジィ数を定義する.ファジィ数は，そのメする)な多目的線形計画に関する結果も含む.それでンバーシッブ関数が R 上 [O ， lJ の値をとる関数で，は，以下それぞれの結果について述べる.

center と呼ばれる一点 m でのみ 1 の値をとり

2. 多目的線形計画問題の解の特徴付け
多目的線形計画問題を考える際，その評価の基準とm 以下の部分では広義単調増加， m 以上の部分では広義単調減少であるとする.つまり，“だいたい m くらい"という概念を表わすファジィ集合である.

ところで一して目的関数の空間に順序をいれて考える.この順序般のファジィ数という概念は，あまりに抽象的で計算として，たとえば目的関数の空間を R n とした場合 C上扱うのは困難である.よって，CRn を錐とし次のものを用いる.
x， y ε Rn に対してもう少し構造のはっきりした L-R ファジィ数というものを導入する.それx 三二 y特y-x εc

現在までに多目的線形計画の分野では，この C としは，メンバーシップ関数がある与えられた関数 L および R で表わされるもので，L が center 以下の部分のて acute な錐(その閉包が原点と半関空間に含まれる形を決定し ， R が center 以上の部分を決定する.この錐)を考え， }I慎序が半順序の公理を満たす際の解法のL および R は shape function と呼ばれる.また，形状みが与えられている.ここでは， C として一般の錐をは shape考 ι 解法を与えた.まず，この C により与えられる

deviationparameterα ， β で柔軟に決めることができfunction で与えられるが，その広がりは

shapefunction を与えた

}II貢序が一般には半順序の公理をも満たさないため，解る.また L-R ファジィ数は，の定義をより一般的な形で与え，次に解の特徴付け定際理を与えた.特に C が線形不等式系で与えられるで，パラメータ表現で (m ， α， β) LR と表わきれる.

(acute とは限らない)閉凸多面錐のときには，

acutem および L 側と R 側の α と β により定まるの次に，ファジィ数の順序関係を定義する.それは，な錐によって与えられる順序に関する多目的線形計画

center 間に大小関係がつき，かつ center 聞のある一点問題に変換できることを示した.その結果，従来の方を境にしてメンバーシップ関数の大小関係が逆転する

法 ([5J) を用いて解全体を求めることが可能で、ある.

ときにのみ比較可能というものである.この順序に関3.

し， L-R ファジィ数は半順序集合となる.さらに，こファジィ線形計画の順序に関し特徴付け定理が得られており，ファジイファジィ線形計画に関しては，これまでにその定式化にあたり複数の方法が提案されているが，われわれは制約式や目的式の係数としてある種のファジィ数を682(52)

数の大小関係はパラメータに関するクリスプな線形不等式系で表される.
以上で準備は整ったので1© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

いよいよファジィ線形計

オベレーションズ・リサーチ

-・〈 μN-l (UN‑l)^μGN (XN))J (1)

画問題を考える.

subjectto(i)n Xn + 1 - ρ( ・ IXm un) 0Sn ζ N-1

Minimize x1EÐ ゐゐ@…@じらsubjectto(ii)n 偽， E U

0Sn 三三 N-1

丸刈 EÐ ã i2 J:担@… EÐ ãinxn :三 b i ， i=1 , 2 ,…, m

ただし a^b: =min(a , b) で， 1 は [0， 1] 上の関数でめ二~0 ，ある.ここでは演算子〈を結合的 2 項演算^ :[0, 1] X

j= 1， 2 ， … ， n

ここで目的式および制約式の係数はすべて L-R フ[0 ，1]→ [0 ， 1] とみなし 1 をその単位元 (V X ε[0 ，1]

ァジィ数，変数は実数とする.またファジィ数どうしに対して 1 ^x=x) と考えることによって，問題(1)をの和，正数倍は通常の定義どおり，すなわちパラメー

1 パラメータを含む部分問題群:タ表現した際，成分どうしの和，および各成分との積

μ GN-V(XN-V; λ)shapefunction は，同ーの式内でさえ二 Maximize Eとする.なお，同じであれば何種類用いてもかまわない.

まず実行可能解の全体を S とする .5 を定めるファジィ線形不等式系は，順序の特徴付け定理によりクリlf(λ 〈 μN-V(UN-V) ^…〈 μN-l(μN-l) 八 μGN (XN)) I(i)m , (ii) mN- ν SmS

N‑1]

1三二 ν sNμGN(XN; λ) ニ λ 〈 μ GN (XN)

0 豆 λζ1

スプな線形不等式系に変換されることがわかる.次にに埋め込んで考える.

Minimize の意味だが，ファジィ数に対し導入した半考えても，問題(1)に対しては，その評価基準か最小型順序に関する極小元を求めることとする.このとき，故うまく再帰式が導けないからである.よって，このというのも普通に部分問題群を順序の特徴付け定理によりファジィ線形計画問題の解ように不変埋没原理を用いて 1 パラメータを導入する

全体はRn上の閉凸多面錐 K で与えられる順序に関必要がある.こうして得た部分問題に対しては，そのする， 5 の極小元全体と一致することが示きれる.この相隣る問題聞の再帰式を導くことができる.その再帰極小元は，対応するクリスプな多目的線形計画問題を式を解くのである.最終的には，解けば求められるが，ここで前節の結果が必要となる.

を代入すれば μ白(ゐ; 1) すなわち求める最大値を得る

なぜなら，この K に関する順序は半順序の公理きえもことができる.

満たさず，よって従来の方法をそのまま適用できないが多く，面倒なものである.そこでわれわれは，数値からである.最後に目的関数が複数になったファジイ計算の簡略化のため，新たな表記法を導入した.それ

多目的線形計画問題であるが，これも同様の考え方には，ベクトルあるいは行列的な表現である.これによより，前節の結果を用いて解が求められる.

り，計算は非常に簡明になる.

4.

ファジィ環境下における確率的推移システム

しかし，実際の再帰式の計算は計算量

しかしここでは紙面の都合で省略する.詳しくは本論文を参照していただきたい.なお問題(1)には，BeI
lmanandZadeh の問題はもちろん確率評価基準をもつような問題も含まれる.

ファジィ評価関数を持つ確率的推移システムが最初に考えられたのは，λ に単位元である I

BeI
lmanandZadeh[lJ において参考文献である.この論文は，ファジィ環境下における意志決[1J Bellman , R.E.andZadeh , L.A. , Decision‑mak.

定法として基礎となる考えを提案しており，その後のci.
inginaFuzzy Environment, ManagementS

議論に大きな影響を与えてきた.しかし，その中の確p.141-164, 1
970.
ence17, p

率的推移システムに関する誤りをわれわれは [3J で指[2J 古川長太，ファジィ線形計画とファジィベクトル摘し，新たな方法を提案している.ここでは，その方の空間における凸集合の分離定理，研究集会「最適化法をより広い問題に対して適応可能とするとともに，数値計算をする上て効果的な方法を与える.
それでは，まずわれわれの考えるファジィ確率的推移システムを定式化する.細かい説明は省略するが，基本的には BeIlman andZadeh のシステムと同じものである.違いは評価関数て1 彼らが最小型評価基準だったのに対し，われわれはさらにその関数を考えている.

MaximizeElf(μ。 (μ。 )^μ1 (μl)^
1994 年 12 月号

基礎理論とその応用 J ，新潟大，

pp.86-87 , 1992.

[3J Iwamoto , S.andFujita , T. , StochasticDecision.
ubmitted.
makinginaF
uzz
yEnvironment, s[4J Ramik ,]. and 酎m孟nek ， ]., Inequalit
yRelationbetw
eenFuzzyNumbersandi
tsUseinFuzzyOp timization , FuzzySetsandSystems16, 1
985.
[5J Yu , P.L., Multiple‑criteriaDecisionMaking ,PlenumPress, NewYork , 1985.

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