1Tensorprodukte von Galoisdarstellungen
1. Einleitung.
Es sei: K ein endlich erzeugter Körper, GK = Gal(K s/K)
A/K eine abelsche Varietät über K, d = dim(A),T`(A) = limA[`n] der Tate-Modul, ` 6= char(K),←V`(A) = T`(A) ⊗Z` Q`, betrachtet als Q`[GK ]-Modul,
ρA,` : GK → Aut(T`(A)) ⊂ Aut(V`(A)) ' GL2d(Q`),ρA,` : GK → Aut(A[`]) ' GL2d(F`), die zugehörigen
Galoisdarstellungen.
Faltings (1983), Tate (1966), Zarhin (1975): Der Homomorphismus
τA,` : End(A/K) ⊗ Q` → EndQ`[GK ](V`(A))
ist ein Isomorphismus. Insbesondere hängt(ρA,`, ρA,`) := dimQ` EndQ`[GK ](V`(A))
nicht von der Wahl von ` ab.
Zarhin (1977), (1985); Faltings (1984): Für fast alle ` istτ A,` : End(A/K) ⊗ F` → EndF`[GK ](A[`])ein Isomorphismus. Daher ist(ρA,`, ρA,`) := dimF` EndF`[GK ](A[`])von ` unabhängig, wenn ` >> 0.
Frage 1: Sei B/K eine zweite abelsche Varietät. Gilt entsprechendes für ρA,B,` := ρA,` ⊗ ρB,` und für ρA,B,` := ρA,` ⊗ ρB,`?

2Bemerkung: Diese Frage ist mit der Tate-Vermutung eng verwandt. Wie bekannt, besagt die Tate-Vermutung T r (X) füreine glatte, projective Varietät X/K, daß die Zykel-Abbildung
cycrX : Ar (X) ⊗ Q` → (Het2r (X, Q`)(r))GKein Isomorphismus ist, für alle ` 6= char(K). Hierbei bezeichnet Ar (X) die Gruppe der codimension r Zykel auf X modulo
homologischer Äquivalenz.
In der Tat: T 2(A×B×A∗×B ∗) ⇒ (ρA,B,`, ρA,B,`) hängt nichtvon ` ab.
Frage 2: Wann ist die natürliche Einbettung
τA,B,` : End(A/K) ⊗ End(B/K) ⊗ Q` → EndQ`[GK ](ρA,B,`)ein Isomorphismus, d.h., wann ist(1) (ρA,B,`, ρA,B,`) = dimQ End0(A/K) dimQ End0(B/K)?
Ensprechend kann man fragen: wann ist(2) (ρA,B,`, ρA,B,`) = dimQ End0(A/K) dimQ End0(B/K)?
Hoffnung/Vermutung: Äquivalent sind:(i) Die Formel (1) gilt für ein ` 6= char(K);(ii) Die Formel (1) gilt für fast alle ` 6= char(K);(iii) Die Formel (1) gilt für alle ` 6= char(K);(iv) Die Formel (2) gilt für fast alle ` 6= char(K);(v) HomK s (A, B) = 0.

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2. Resultate.
Satz 1. Die Vermutung gilt, wenn A und B elliptische Kurvenüber K = Q sind.
Mithilfe der Resultate von [FJ] = Frey, Jarden, Horizontal
isogeny theorems (2002), kann man zeigen:Satz 2. Es seien A und B elliptische Kurven über K, die keine
komplexe Multiplikation haben. Dann gelten die Äquivalenzen:(ii) Die Formel (1) gilt für fast alle ` 6= char(K);(iv) Die Formel (2) gilt für fast alle ` 6= char(K);(v) HomK s (A, B) = 0.
Satz 3. Es seien A und B modulare abelsche Varietäten überQ, d.h., A und B sind isogen zu Produkten von Faktoren Af
einer geeigneten Jacobischen Varietät J1(N ) der Modulkurve
X1(N ). Dann gelten die Implikationen:
(iv)

⇒(ii)

⇒(i)

⇒(v).

Das folgende Resultat beinhaltet einen wichtigen Schritt zum
Beweis der Folgerung: (v) ⇒ (iii). Hierzu sei:V `(A) := V`(A) ⊗Q` Q`
Satz 4. In der Situation von Satz 3 gelte (v). Sind V ⊂ V `(A)
und W ⊂ V `(B) irreduzible Q`[GQ]-Teilmoduln, so ist auchV ⊗Q` W irreduzibel.
Bemerkung. Um (iii) aus (v) zu folgern, wird noch benötigt:
Vi ⊂ V `(A), V1 ⊗ W1 ' V2 ⊗ W2 ⇒ V1 ' V2, W1 ' W2.

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3. Abelsche Varietäten vom Typ GL2 .
Definition: Eine abelsche Varietät A/K hat GL2-Typ, falls E :=End0(A/K) ein Zahlkörper ist vom Grad
[E : Q] = dim(A).
Bemerkung: Offenbar ist jede solche abelsche Varietät einfach.
Falls char(K) = 0, so ist V`(A) ein freier E ⊗ Q`-Modul vomRang 2, und wir können daher ρA,` als eine DarstellungρA,` : GK → GL2(E ⊗ Q`)
auffassen. Somit ist(3)ρA,` ⊗ Q` ' ⊕σ ρA,`,σ ,wobei σ über alle Einbettungen σ : E ,→ Q` läuft, und ρA,`,σ :GK → GL2(Q`) eine 2-dimensionale Darstellung ist.
PBeispiel: Es sei f = an(f )q n ∈ S2(N, ε) eine normierte Neuform vom Gewicht 2, und sei Af /Q der zugehörige Factor derJacobischen J1(N ) (Shimura Konstruktion). Nach Shimuraund Ribet hat Af GL2-Typ mit E = Q({an(f )}).
Die zugehörigen GL2-Darstellungenρf,`,σ := ρAf ,`,σ : GQ → GL2(Q`)
werden charakterisiert durch die Formeln
tr(ρf,`,σ (φp) = σ(ap(f )), det(ρf,`,σ (φp)) = σ(ε(p)p), ∀p - N `.
Hierbei ist φp ∈ GQ ein Frobenius Element bei p.

5Bemerkung: Ribet (1992) zeigt, daß aus der Serre Vermutung
folgt, daß jede abelsche Varietät A/Q, die GL2-Typ hat, modular ist. Daher ist jede solche isogen zu einem der Af .
Satz 5 (Ribet, 1976). (a) Die Darstellungen ρf,`,σ sind irreduzibel für alle `, σ.
(b) Falls f (oder Af ) keine komplexe Multiplikation hat, so ist
die Restriktion ρf,`,σ |GF irreduzibel für jeden Zahlkörper F.
(c) Falls Af komplexe Multiplikation bezüglich dem quadratischen Körper F hat (d.h., Af ⊗ Q ' E d, wobei E/Q eineelliptische Kurve ist mit End0(E/Q) = F ), so giltGρf,`,σ = IndGQF (χf,`,σ ),×wobei χf,`,σ : GF → Q` ein stetiger Charakter ist, der voneinem Größencharakter von F herkommt.
Bemerkung: Die Zerlegung (3) induziert eine Zerlegungρssf,` ' ⊕σ ρf,`,σder Semi-simplifizierung ρssf,` der Darstellung ρf,` = ρAf ,` ; hierbei ist ρf,`,σ : GQ → GL2(F`). Man beachte, daß nach Zarhinρssf,` ' ρf,` ist, wenn ` >> 0.
Satz 6 (Ribet, 1985, 1992). (a) Für fast alle ` ist ρf,`,σ irreduzibel.
(b) Es sei F ein Zahlkörper. Besitzt f keine komplexe Multiplikation, so ist die Restriktion ρf,`,σ |GF irreduzibel, für fastalle `.64. Modulare GL2-Darstellungen.
Definition: Es sei k = F`r , wobei ` > 5. Eine Untergruppe H ≤GL2(k) heiße streng nicht-auflösbar, falls H nicht auflösbar ist
und ` | |H|. Eine Darstellung ρ : G → GL2(k) heiße streng
nicht-auflösbar, falls ihr Bild ρ(G) diese Eigenschaft hat.
Bemerkung: 1) Aus einem Satz von Dickson folgt: Eine Untergruppe H ≤ GL2(k) ist streng nicht-auflösbar ⇔ H/Z(H) 'PSL2(`s) oder ' PGL2(`s), für ein s|r.
2) Eine streng nicht-auflösbare Darstellung ρ : G → GL2(k)ist absolut irreduzibel.
Satz 7. (a) (Serre, 1972) Ist E/K eine elliptische Kurve ohne
CM, so ist ρE,` streng nicht-auflösbar, für fast alle `.
(b) Ribet (1985): Besitzt f keine CM, so ist ρf,`,σ streng nichtauflösbar, für fast alle `.
Satz 8. Sind ρi : G → GL2(k) zwei streng nicht-auflösbare Darstellungen, so ist ρ1 ⊗ ρ2 reduzibel ⇔ ρ1 ' ρ2 ⊗ χ, für einen
Character χ : G → k ×.
Bemerkung: Satz 8 beinhaltet eine Verschärfung eines (unveröffentlichten) Satzes von Hamblen-K. (2007).
Satz 9 (Frey/Jarden, 2002). Sind E/K und E 0/K elliptische
Kurven ohne CM, so ist HomK s (E, E 0) 6= 0 ⇔ für unendlichviele ` gilt:
ρE,` ' ρE 0,` ⊗ χ`,für ein χ` ∈ Hom(GK , F×` ).

Bemerkung: Satz 7(a) + Satz 8 + Satz 9 ⇒ Satz 2.

75. Der Irreduzibilitätssatz.
Bezeichnungen: Es seien fi ∈ Sk (Γ1(N )) zwei normierte Neuformen der Stufe Ni|N mit Nebentypus εi (also fi ∈ Sk (Ni, εi)new ).
Ferner sei Ei = Q({an(fi)}) und σi : Ei ,→ Q`. Ist k ≥ 2, so
hat man (nach Deligne) Darstellungenρfi,`,σi : GQ → GL2(Q`),
die (mit f = fi, σ = σi) durch die folgende Bedingungencharakterisiert sind:tr(ρf,`,σ (φp)) = σ(ap(f )), det(ρf,`,σ (φp)) = σ(ε(p)pk−1), ∀p - N `.
Satz 10. (a) Falls f1 (oder f2) keine komplexe Multiplikation hat,so ist ρf1,`,σ1 ⊗ ρf2,`,σ2 genau dann reduzibel, wenn es einen
Dirichlet Charakter χ gibt derart, daß(4)σ1(ap(f1)) = σ2(ap(f2))χ(p),∀p - N `.

(b) Es habe fi komplexe Multiplikation bezüglich dem quadratischen Körper Fi, für i = 1, 2. Genau dann ist ρf1,`,σ1 ⊗ ρf2,`,σ2
reduzibel, wenn F1 = F2.
Bemerkung: Indem man Satz 10 mit dem folgenden Satz 11vergleicht, so ergeben sich die Sätze 3 und 4. (Beachte, daßdie Folgerung (i) ⇒ (v) die einzige nicht-triviale Implikationin Satz 3 ist.)
Satz 11 (Ribet, 1980). Es ist HomQ(Af1 , Af2 ) 6= 0 ⇔ entweder haben beide Formen fi keine komplexe Multiplikation
und es gilt (4) (mit geeigneten σi), oder beide haben CMbezüglich demselben Körper F1 = F2.

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6. Die Adjunktierte Darstellung.
Definition: Es sei V ein k[G]-Modul und ρ = ρV : G → GL(V )die zugehörige Darstellung. Der adjuktierte Modul ist ad(V ) =Endk (V ), der durch die Regel(gf )(v) = g(f (g −1v)), für g ∈ G, f ∈ ad(V ), v ∈ V,zu einem k[G]-Modul wird. Die zugehörige Darstellung ad(ρ) :=ρad(V ) heißt adjunktierte Darstellung.
Bemerkung: 1) Es sei ad0(V ) := {f ∈ ad(V ) : tr(f ) = 0}.
Dann ist ad0(V ) ein k[G]-Teilmodul von ad(V ), und es giltad(V ) = ad0(V ) ⊕ k, falls dim(V ) ∈ k ×.
2) Man hat die folgenden k[G]-Isomorphismen:ad(V ⊗k W ) ' ad(V ) ⊗k ad(W ), ad(V ∗) ' ad(V )∗ ' ad(V ).
3) Es ist ad0(V ) ⊗ detV ' Sym2(V ), falls dim(V ) = 2.
4) Ist V absolut irreduzibel (d.h., dim(Endk [G](V ) = 1), sofolgt leicht aus den obigen Eigenschaften, daßEndk[G](V ⊗ W ) = Homk[G](ad0(V ), ad0(W )) ⊕ Endk[G](W ).
Daher: Ist auch W absolut irreduzibel, so gilt
V ⊗ W ist abs. irreduzibel ⇔ Homk[G](ad0(V ), ad0(W )) = 0.
5) Falls dim(V ) = 2, so gilt nach [DDT] = Darmond, Diamond,Taylor, Fermat’s Last Theorem (1995), daßad0(V ) reduzibel ist ⇔ V ' IndG
H (χ), mit [G : H] = 2.

9Daher folgt aus Satz 5, dass ad0(ρf,`,σ ) genau dann irreduzibelist, wenn f keine CM hat.
Satz 12 (Ramakrishnan, 2000). Es sei K ein Zahlkörper undseien ρi : GK → GL2(Q`) zwei `-adische Darstellungen. Danngilt:(5)ad0(ρ1) ' ad0(ρ2)⇔ρ1 ' ρ2 ⊗ χ ` ,×für ein χ` ∈ Homcont(GK , Q` ). In Fall, daß K = Q ist,
so kommt χ` (unter gewissen Voraussetzungen) von einem
Dirichlet-Charakter her.
Bemerkung: Satz 10(a) folgt leicht aus Satz 12, zusammen mit
den obigen Bemerkungen. Der Beweis von Satz 10(b) ergibt
sich durch ein genaues Studium der zugehörigen induzierten
Darstellungen (mithilfe vom Satz von Clifford, Theorie derGrößencharaktere, usw.).