3 次元画像コンファレンス 2022 講演論文集, 10-1 (2022.7.16, 長崎大学)

ポリゴン法 CGH における屈折光のレンダリング手法
Rendering of Refracted Lightin Polygon-Based Computer Holography
西 寛仁
Hirohito Nishi

松島恭治
Kyoji Matsushima

関西大学 システム理工学部 電気電子情報工学科
Department of Electrical, Electronic and Information Engineering, Kansai University
ABSTRACT
A novel technique is proposed to improve the method for rendering transparent objects in polygon-based computerholography. The method, previously proposed, has a severe restriction; the object model must have a planar backside tosimplify calculation of wavefields propagating inside the transparent object. The proposed new method removes therestriction by employing an intermediate plane where all incident wavefields entering through the backside polygons aresuperposed. Moreover, several techniques are proposed to reduce the computation time: dividing an object into submodels and optimizing spectral remapping used for rotational coordinate transformation of wavefields.
Keywords:コンピュータホログラフィ, CGH, 質感表現レンダリング

1.

はじめにできる可能性があるが，膨大な計算時間が必要とな近年の技術進歩により，全方向視差計算機合成ホり大規模な FP-CGH の作成は困難である．
一方，
我々ロ グ ラ ム (Full-parallax computer-generated hologram,はポリゴンモデルでポリゴンを面光源とするポリゴ

以下 FP-CGH)は，幅 10cm を超え，深い奥行きを有ン法を提案している．この手法では非平行間の伝搬する 3D 物体を再生できるようになった[1]．これに計算が必要なためソフトウェア実装が難しいものの，付随して，質感表現レンダリング技術も向上し，着大規模な FP-CGH を作成することが可能である．ま

実にコンピュータホログラフィの表現力が向上してた，ポリゴン単位で計算するため，隠面消去法とのいる．

相性もよい．

透明な物体についても，様々なレンダリング手法

このポリゴン法における質感表現レンダリングとが提案されているが，その一つに光線サンプリングして，我々は鏡面反射のレンダリング手法を提案し面(Ray−Sampling plane: 以下 RSP)を利用した手法がており大規模 FP-CGH の作成に成功している[4]．一ある[2]．これは，RSP に多視点画像をフーリエ変換

方，以前に提案した透明物体のレンダリングの手法

して並べることで光線情報を波面情報に変換し 3D

では，背景光波が入射する物体背面が平面である必像を再生させる手法である．この手法では，CG の高要があり，もし背面が平面でない場合は，後方部分度なレンダリング手法を用いることができるが，奥を切り取って平面化する必要があった[5]．本論文で行きの深い物体では RSP から遠い部分で像が不鮮は，この制約を無くした手法を提案し，さらに，物明になる．そのため，透明物体の遠方に背景がある

体分割により伝搬計算回数を削減する高速化手法を

3D シーンでは，物体を通して見る背景が不鮮明にな述べる．

る問題が生じる．この他にもポイントクラウドに基2.

透明物体レンダリングの原理づく点光源法でレイトレーシングを応用した手法もポリゴン法では１つのグローバル座標系 ( xˆ, yˆ , zˆ)提案されている[3]．この手法では様々な物体を表現と，ポリゴン毎に定義されホログラム面と平行なロ3 次元画像コンファレンス 2022 講演論文集, 10-1 (2022.7.16, 長崎大学)

zn

Back face←polygon
物体背面Air

Front face
polygons

Back face
polygons

Front face
polygons

Polygon Pn

Wavelength:λ0u ( xn , yn ,0; 0 )( xn , yn )u ( xn , yn ,0; 1 )Medium 1

Wavelength:λ1

Fig. 1. Boundary condition.

Object Plane

Background
Wavefield
(a)

(b)

(c)

Fig. 2. The field propagation between each polygon inside a transparent
object. (a) The limited object shape in the previous work [5]. Calculation
without (b) and with (c) the intermediate object plane.

ーカル座標系 ( xˆn , yˆn , zˆn ) ，傾いたローカル座標系

全ての背面ポリゴンからの光波をまず物体平面まで( xn , yn , zn ) の 3 つの座標系を用いる．2 つのローカル伝搬して重畳し，それをすべての前面ポリゴンに伝座標系の原点は一致しておりポリゴン面内にある．

搬計算した．この場合，伝搬計算回数は N + M 回と2.1. 屈折光の計算方法なり，大幅に計算量を削減することができる．

Fig.1 の様に，光波が波長 0 の空気中から波長 12.3. ポリゴン単位の計算手順の透明媒質に入射する場合を考える．境界面のポリ光波が背面ポリゴン Pn に入射した場合の計算手

ゴン Pn に入射する光波を外側で u( xn , yn ,0; 0 ) とし，順を Fig.3 に示す．(a)に示した様に，入射光波を内側で u( xn , yn ,0; 1 ) とする．この時，光波の振幅成fn ( xˆn , yˆn ; zˆn , 0 ) とする．ここで， zˆn はポリゴン Pn の分はフレネルの公式に従い線形的に変化するが，波グローバル座標での ẑ 座標値を表す．(b)に示すとお動の連続性のため位相は変化せず，屈折率によってり，ポリゴン面と平行になるようにこの光波の回転光波の波長のみが変化する．そのため，変換を行う．

u( xn , yn ,0; 0 )  u( xn , yn ,0; 1 )(1)

f n ( xn , yn ; zˆn , 0 ) = R −1n  f n ( xˆn , yˆ n ; zˆn , 0 ) −1n(2) はポリゴン Pn の平行なローカル座標が成り立つ．なお，簡単化のため本研究では境界面

ここで，Rで生じる反射については考慮しない．の ( xˆn , yˆn ,0) 面から傾いた ( xn , yn ,0) 面への光波の回

2.2. 物体形状の制限による伝搬回数の削減

転変換を示す．さらに，Fig.3(c)の様に，物体内に入以前の提案手法では計算の簡略化のために，Fig.2(a)の様に背面を平面にする必要あった．しかし，本手法では自己オクルージョンが無く(凹部が無く)，射しない余分な光波をカットするためにポリゴン形状のマスクを乗算する．

fn( xn , yn ; zˆn , 0 ) = An ( xn , yn ) fn ( xn , yn ; zˆn , 0 )(3)

断面積が最大となる平面(以下，物体平面)の前後でここで， An ( xn , yn ) はポリゴンの内側で 1，外側で 0

背面ポリゴンと前面ポリゴンを判別可能なモデルととなるマスク関数である．この後は，透明媒質内のいう制限のみを課す．この時，Fig.2(b)の様に背面ポ光波として扱い，Fig.3(d)の様に，波長を媒質内の波リゴンから入射する光波をそれぞれ前面ポリゴンに長に変化させて再度回転変換を行い，ホログラムと伝搬計算して出射させる必要があるため，背面ポリ平行な媒質内光波を求める．

ゴン数を N とし，前面ポリゴン数を M としたとき，

f n( xˆn , yˆ n ; zˆn , 1 ) = R n  f n( xn , yn ; zˆn , 1 ) (4)

伝搬計算の回数は N  M 回となり計算量が膨大に提案法の原理では，この光波を物体平面まで伝搬計なる．そのため，今回の提案手法では Fig.2(c)の様に算するが，次節で述べるとおり分割処理を行うため，実際にはサブモデルの境界面まで伝搬計算を行なう．

西 寛仁<h_nishi@kansai-u.ac.jp>
関西大学システム理工学部電気電子情報工学科〒564-8680 大阪府吹田市山手町3-3-35
TEL 06-6368-1121(内線 5720)

なお，波長の変化が逆になること以外は同じため，前面ポリゴンから出射する光波の計算は省略する．

3 次元画像コンファレンス 2022 講演論文集, 10-1 (2022.7.16, 長崎大学)

Background wavefieldf p ( xˆ, yˆ ; zˆ p , 1 ) = Prop zˆ p  f p−1 ( xˆ, yˆ ; zˆ p −1 , 1 ) yˆ nyn

λ1λ0+  Prop zˆ p  f q( xˆq , yˆ q ; zˆq , 1 ) 

λ1λ0q

Polygon Pnxˆn(5)ここで， Propzˆ  は zˆ p 平面への伝搬計算を示す．qxnpはサブモデル p に含まれるポリゴンの番号である．
このままでは，物体外に出てしまう光波が含まれる
f n ( xn , yn ; zˆn , 0 )(b)

f n ( xˆn , yˆ n ; zˆn , 0 )
(a)

yn

λ1

λ0yˆ nλ0ため，

f p ( xˆ, yˆ; zˆ p , 1 ) = Ap ( xˆ, yˆ; zˆ p ) f p ( xˆ, yˆ; zˆ p , 1 )λ1の様にサブモデルの出射側の zˆ p 面において，物体内で 1，外で 0 のマスク関数 Ap ( xˆ, yˆ; zˆ p ) を乗算する．

xˆnxn

(6)

物体の外側を伝搬する光波も求める必要がある
Maskf n( xn , yn ; zˆn , 0 )(c)

 ( xˆ, yˆ , zˆ p −1 ; 0 ) を zˆ pため， zˆ p −1 平面の物体外光波 f out

f n( xˆn , yˆ n ; zˆn , 1 )(d)

平面まで伝搬計算して余分な光波を反転マスク

Fig. 3. Procedure for calculating the wavefield passing
through polygon Pn.
Backgroundwavefield[1 − Ap ( xˆ, yˆ; zˆ p )] で除去し， zˆ p 平面の物体外光波 ( xˆ, yˆ ; zˆ p , 0 )f outzˆ p −1 zˆ pHologramẑobj ( xˆ , yˆ ; zˆ p , 0 )
f out

λ1λ0

 ( xˆ, yˆ ; zˆ p −1 , 0 ) = [1 − Ap ( xˆ, yˆ ; zˆ p )]Prop zˆ p  f out(7)を求める．全サブモデルに対してこの手順を繰り返ẑ

すことで物体内外を伝搬する光波を計算することができる．ただし， zˆobj 平面以降は，波長の関係が反転するので注意が必要である．

qf p−1 ( xˆ , yˆ ; zˆ p −1 , 1 )3.

f p ( xˆ , yˆ ; zˆ p , 1 )
 ( xˆ , yˆ ; zˆ p −1 , 0 )f out

3.2. スペクトルの再マッピングを利用した高速化
ホログラム面に対して傾斜角が大きいポリゴン

Fig. 4. Dividing the object into several sub-models
to reduce the diffraction area of each polygon.に光波の回転変換を行った際，スペクトルの中心が計算の高速化が広がり，サンプリング間隔が減少する．そこで，

3.1. 物体分割による高速化
物体の奥行きが大きい場合，背面ポリゴンの入射光波は，回折により物体平面で大きく広がるため計Fig.5 の様にシフトして形状が歪むため，計算領域

本研究ではスペクトルの再マッピング[6]を利用し計算量を削減した．
式（2 ） と式（ 4 ）の回 転変換 では， まず 光波算量が増加する．そこで，本研究では，Fig.4 の様にfn ( xˆ n , yˆn ; zˆn , 0 ) をフーリエ変換する．

物体モデルを奥行き方向の複数のサブモデルに分割

Fn (uˆn , vˆn ; zˆn , 0 ) = F  f n ( xˆn , yˆ n ; zˆn , 0 ) (8)する．全体の計算手順はこのサブモデル間の伝搬計

ここで， F  はフーリエ変換であり， uˆn と vˆn はそれ算の繰り返しになる．

ぞれ xˆn 軸と yˆ n 軸の空間周波数である．次に，座標変サブモデル p の背面の zˆ p −1 平面から前面の zˆ p 平面までの物体内外の光波の計算では，まず zˆ p −1 平面の換(回転変換)を行う．
Fn (un , vn ; zˆn , 0 ) = n−1 Fn (uˆn , vˆn ; zˆn , 0 ) (9)光波 f p−1 ( xˆn , yˆn ; zˆ p −1 , 1 ) を zˆ p 平面まで伝搬計算し，更ここで，  は平行なローカル座標系から傾いたロに前述の方法でサブモデル p の各ポリゴンから入射ーカル座標系への回転座標変換であり，un と vn はそする光波も同 zˆ p 平面に伝搬させる．

れぞれ xn 軸と yn 軸の空間周波数である．この時，ス−1n

ペクトル中心が大きく高周波側に偏るのを防ぐため，

3 次元画像コンファレンス 2022 講演論文集, 10-1 (2022.7.16, 長崎大学)
uˆnunWallspectrum

shift anddistortionvˆncenter16vn

Sphere1, vn −Pn , y1; zˆn , 0 )(10)の様にスペクトルをシフトする．Pn, x と Pn, y はポリゴ
ン Pn の単位法線ベクトル Nn ( Pn, x , Pn, y , Pn, z ) の x, y 軸成分である．シフト量を入射後の波長 1 に基づいて変換後のマスク処理を行う．光波 fn( x n , yn ; zˆn , 1 ) を平行なローカル座標系に戻すために，先ほどと同様にまずスペクトル
Fn (un , vn ; zˆn , 1 ) = F  f n( xn , yn ; zˆn , 1 ) (11)を求め，Fn(uˆn , vˆn ; zˆn , 1 )Pn, yP= n  Fn (un + n, x , vn +; zˆn , 1 ) 11(12)として，式(10)のシフトをキャンセルした後に光波の回転変換を行う． n は −n1 の逆座標変換である．
こ の後 ， 逆 フ ーリ エ 変 換 す るこ と に よ り， 光 波

fn( xˆ n , yˆn ; zˆn , 1 ) を得ることができる．
4.

CGH の光学再生
提案法で正しくレンダリング出来るか確認するために実際に FP-CGH を作成し CG のレンダリング画像との比較を行った．この 3D シーンを Fig.6 に示す．また，計算パラメータを Table 1 に示す．Fig.7 の65

Fig. 6. The 3D scene of the created FP-CGH.
較し，提案法により正しくレンダリングが行えていることを確認した．
謝辞
本研究は，日本学術振興会科研費 22H03712 の助成を受けたものである．

設定するのは，2 回目の回転変換のシフト量と一致させるためである．この後，式(3)の様に逆フーリエẑ65

Units: mmFig. 5. Rotational coordinate transformation from theparallel local coordinates to the tilted local
coordinates in Fourier space.
Pn , xx̂

21

Rotational
coordinatetransformationFn(un , vn ; zˆn , 0 ) = Fn (un −Hologramŷ

参考文献[1] K. Matsushima, Introduction toHolography, Sect. 1.3 (Springer, 2020).

Computer[2] S. Wakunami, and M. Yamaguchi, “Calculation forcomputer generated hologram using ray-samplingplane,” Opt. Express. 19, 9086-9101 (2011).
[3] T. Ichikawa, K. Yamaguchi, and Y. Sakamoto,“Realistic expression for full-parallax computergenerated holograms with the ray-tracing method,”
Appl. Opt. 52, A201-A209 (2013).
[4] H. Nishi, and K. Matsushima, “Rendering of specular
curved objects in polygon-based computer
holography,” Appl. Opt. 56, F37-F44 (2017).
[5] H. Nishi, and K. Matsushima, “Rendering oftransparent objects in polygon-based computer
holography,” Information Photonics 2017, IP21PM-1-8 (2017).
[6] K. Matsushima, “Computer-generated holograms forthree-dimensional surface objects with shade andtexture,” Appl. Opt. 44, 4607-4614 (2005).
Table 1 Parameters used for creating the FP-CGH.
Number of pixels
65,536  65,536
Pixel pitches
1 m  1 m
Wavelength632.8 nm
Refraction index of object
1.5

CG 像と FP-CGH の再生像は良く一致しており，提案法で正しくレンダリングできていることを確認できる．
5.

まとめ
本研究では，ポリゴン法における透明物体レンダリング法について提案した．従来法の物体形状の制約を無くし，更に計算を高速化するための 2 つの手法を提案した．実際に FP-CGH を作成し CG 像と比(a)(b)Fig. 7. (a) The CG image of the 3D scene used for
creating the FP-CGH, (b) Optical reconstruction ofthe FP-CGH.