1-3 数学科研究活動報告

●学科

数学科

●学科専任教員

黒田耕嗣（教授）
鈴木正彦（教授）
田中周二（教授）
泊昌孝（教授）松浦豊（教授）

茂手木公彦（教授）森真（教授）

山浦義彦（教授）
渡辺敬一（教授）
市原一裕（准教授）
研究課題 「特異点の総合的研究」【研究の概要および結果】
数学の研究の中心課題の一つである特異点の研究を数学の多様な分野，代数，幾何，解析それぞれの立場からの視点で研究を行ってきている。
代数学の視点からは特異点の代数的性質を，代数幾何学，可換環論を用いて研究した。
より具体的には（1） 特異点の埋め込み次元と重複度に関する研究
有理特異点，F-regular 特異点 , F-pure 特異点の場合に埋め込み次元と重複度に関する不等式を与えた。
（2） F-threshold（F- 閾値）と重複度に関する不等式を提示し，次数付き環の場合にそれを証明した。
（3）半群で与えられる特異点を研究し，半群が 3 個の生成元をもつときに pesudo-symmetric 半群の構造を決定した。
幾何学の視点からは結び目の Dehn 手術で Seifert 多様体が生じる典型的な例はトーラス結び目の Dehn 手術で，その仕組みはトーラス結び目の補空間の Seifert ファイブレーションの拡張という観点から理解することができる。
本研究では，双曲結び目の Seifert 手術がどのように生じるのだろうか ? という根源的な問題をネットワークという全く新しい視点から明らかにすることを目標に研究を進めた。ネットワークというアイディアを導入することにより，双曲結び目の Seifert 手術をトーラス結び目の Seifert 手術と関連づける手段が得られ，その起源を記述することが可能となったことは本研究の大きな成果であった。特に今年度はその起源となるトーラス結び目の Seifert
手術の分類に重点を置いて研究を進めた。
解析学の立場からは許容関数を変数として微分不可能な「特異汎関数」に対して , その時間発展解を構成することを目的とする。 微分可能な汎関数の場合と異り，Euler-Lagrange 方程式が定義できないため , いわゆる偏微分方程式の発展方程式の扱いを直接施すことは出来ない。 そこで , 時間変数の差分化に基づいて , Morse flow を構成することを目指す。 この方法は , Minimizing movement method, あるいは , Discrete Morse flow method とよばれ , イタリア学派や慶応大学菊池（名誉）教授らによって研究されている。 特に Discrete Morse flow method は , 解の解析に大局的評価のみなら10ず , 局所評価を導入した点が大きな特徴である。 この局所評価を利用して , 近似指数によらない（従属しない）一様な正則性を有する近似解を構成することが大きな目的となる。
その研究の中で，関数が正値をとる点の集合上の特性関数を有するエネルギー汎関数に対する Discrete Morseflow の構成に取り組んだ。 この問題は , いわゆる自由境界問題として , 1980 年代に Alt -- Caffarelli によって導入された変分問題である。 この汎関数は , 特性関数が連続性をもたないため特異汎関数と位置づけられる。 理想的には直接このエネルギー汎関数に対する Discrete Morse flow を構成することであるが , 特性関数の特異性のため ,かなり困難であることが予想される。 そこで今回の研究では , 特性関数を滑らかな関数によって近似し , EulerLagrange 方程式の解の性質の助けも借りることにより , 空間変数に関して一様 Lipschitz 正則性 , 時間変数に関して一様 H\"older 連続性を有する Discrete Morse flow を構成することに成功した。
また，力学系の立場からは力学系のエルゴード性を決定づける力学系に対応する Peron・Frobenius 作用素のスペクトルを求めるのに，対応する力学的ゼータ関数の特異点の研究を進めた。その中で，Perron・Frobenius 作用素の essential spectrum が小さ
い力学系を高次元の場合に構築することが応用数学的に重要なことがわかってきた。具体的に 2 次元と 3 次元の場合に，そのような力学系の構成に成功し，その学系を用いると数値積分の計算に重要な役割を果たす疑似乱数を構成することに成功した。
高次元のディオファンタス近似では 4 時以下の実代数体について 1 万個以上の数体について，例外なく周期軌道をみつけることのできるような 2 次元と 3 次元の連分数のアルゴリズムを報告した，また，4 次体の中でも，とくに興味深い双 2 次拡大体に関する研究を行った。これにより，2 つの実 2 次無理数の同時近似や合成型 Pell-Fermat 方程式の解が計算できる。
（今後の計画と予想など）特異汎関数の時間発展問題の扱いとして , 時間変数の離散化による近似指数と , 特性関数の滑らか化に伴う近似指数の 2 つの近似パラメータが存在する問題を扱うことになる。
今後 , 得られた一様評価に基づいて , Morse flow の構成を目指す予定である。
その手順として考えられるのが , 時間変数離散化を固定し , 特性関数の滑らか化の近似指数を 0 に近づけることにより , オリジナルの特異汎関数に対する Discrete Morse flow が構成でき , この後に , 時間変数の離散化パラメータの 0 への収束を議論することで , Morse flow の構成に到達できると考えている。
解析的にも，数論的にも，現在は 2 次元，3 次元の研究にとどまっているので，これをさらに高次元の場合に拡張をしていきたい。
代数，幾何，解析，力学系，数論と幅広い研究を行ってきたが，これからはそれを統一する大きな枠組みを目的とできることが望まれる。
【研究発表】
Y. Yamaura:
A scheme of construction of minimizing movement associated to the singular functional " 2.6.2010. Research
institute WIAS, Humboldt, Germany.
K. Motegi（1）Workshop: Lefschetz fibration and category theory
A survey of Seifert Surgery Network I, II, 2010 年 6 月 25, 26 日 , 大阪大学
（2）トポロジーとコンピュータ 201011

Seifert surgeries, chain links and volumes, 2010 年 9 月 10 日 東京工業大学（3）Fifth InternationalConference Japan-Mexico on Topology and its Applications
On primitive/Seifert positions, 2010 年 9 月 27 日 , Universidad de Colima（Mexico）（4）東北結び目セミナー
Seifert Surgery Network and chain links, 2010 年 10 月 23 日 , 遊学館（山形県）（5）Group Seminar@Murakami Lab
Seifert Surgery Network and chain links, 2010 年 11 月 11 日 東京工業大学
M. Mori（1）Dynamical systems generated by algebraic method and low discrepancy sequences（with Masaki Mori），2010 年
12 月 11 日 , Pucon, Chlle, Information and Randomness, 2010（2）高次元の疑似乱数の新しい構成（with 森真樹）
，2011 年 3 月 7 日 , 北海道大学 , Dynamics of Complex Systems
K. Kuroda（1）Fiannce における Ling Memory Process, 科研費シンポ『無限粒子系と確率場の諸問題』2010 12 月 6 日（2）Long memory in Finance and fractional Brownian motion，統計数理研究所研究集会 『経済物理学とその周辺』
2010 9 月 3 日
S. Tanaka
日本保険年金リスク学会第 8 回大会の会長講演「保険債務の市場整合的評価」2010.10.2
K. Ichihara
2010.5.8 On exceptional surgeries on Montesinos knots（joint work with In Dae JONG（OCAMI）and Shigeru
Mizushima（Tokyo Institute of Technology）），日大トポロジーセミナー, 日本大学文理学部 3号館3階 3304教室.
2010.5.27 Exceptional surgeries on alternating knots（joint work with In Dae JONG（OCAMI）and Shigeru
Mizushima（Tokyo Institute of Technology）），東京工業大学村上研グループセミナー，東京工業大学大岡山キャンパス，本館 2 階 H230 セミナー室 .
2010.6.15 On exceptional surgeries on Montesinos knots（joint work with In Dae JONG（OCAMI）and Shigeru
Mizushima（Tokyo Institute of Technology）），東大トポロジー火曜セミナー , 東京大学駒場キャンパス数理科
学研究科棟 056 教室 .
2010.8.2 On exceptional surgeries on Montesinos knots（joint work with In Dae JONG（OCAMI）and Shigeru
Mizushima（Tokyo Institute of Technology）），The University of Melbourne Algebra/Geometry/Topology Seminar,
Old Arts B, The University of Melbourne.
2010.9.29 On exceptional surgeries on Montesinos knots（Joint works with In Dae Jong and Shigeru Mizushima），
International Conference Japan-Mexico on Topology and its Applications（V-JAMEX），The Facultad de Ciencias of
the Universidad de Colima, Colima, Mexico.
2010.10.23 Acylindrical surfaces in 3-manifolds of genus two（ 小 沢 誠 氏（ 駒 澤 大 学 ），Hyam Rubinstein 氏（University of Melbourne）との共同研究），東北結び目セミナー , 遊学館（〒 990-0041 山形市緑町 1-2-36），
第 5 研修室 .
2011.1.10 Acylindrical surfaces in 3-manifolds of genus two（joint work with Makoto Ozawa（KomazawaUniversity）and Hyam Rubinstein（University of Melbourne）），「リーマン面・不連続群論」研究集会 , 大阪国際交流センター 2 階小会議室 C, D（大阪市天王寺区上本町 8-2-6）．

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●論文 :K. Watanabe（1）Coefficient ideal of ideals generated by monomials, To appear in Communications in Algebra（with S. Ohnishi）．
（2）F-signature of graded Gorenstein rings, To appear in J. Pure and Allp. Algebra（with A. Sannai）．
（3）Pseudo-symmetric and atomic numerical semigroups generated by three elements, To appear in Proc. Inst. Natural
Sci., Nihon Univ., {\bf 46}（2011），（with H. Nari and T. Numata）．
（4）Multiplicity bounds in graded rings, To appear in Kyoto Journal of Mathematics（with C.Huneke and S. Takagi）．

K. Kuroda:（1）Stock price process and long memory in trade signs，Advances in Mathematical Economics, Springer, Vol 14,
69-92, 2011（2）株価過程と売買符号の Long Memory, 物性研究 , Vol 93/5, 633-636, 2010
Y. Yamaura: “Uniform Lipschitz continuity of solutions to discrete Morse flows”, Int. J. Pure and Applied Math. Vol 67,
No. 2（2011），193 -223.
K. Motegi: Networking Seifert surgeries on knots（with Arnaud Deruelle and Katura Miyazaki），Memoirs Amer.
Math. Soc.（出版受理）
K. Ichihara:（1）Kazuhiro Ichihara and In Dae Jong, Toroidal Seifert fibered surgeries on Montesinos knots. Comm. Anal. Geom. 18（2010），No. 3, 579-600.
（2）Kazuhiro Ichihara and In Dae Jong, Gromov hyperbolicity and a variation of the Gordian complex. Proc. Japan Acad.
Ser. A Math. Sci. 87（2011），No.2, 17-21.
（3）Kazuhiro Ichihara and Mitsuhiko Takasawa, Constructions of surface bundles with rank two fundamental groups.
Proceedings of the Institute of Natural Sciences, Nihon University, 45（2011）．
●著書S. Tanaka「R によるアクチュアリーの統計分析」，朝倉書店，2011.3

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