通信工学概論
Introduction to Communication Engineering

第４回講義資料
Lecture notes 4

ベースバンド及び高周波信号２
Baseband and radio-frequency signals 2

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1帯域制限信号(Band-limited signal)例４.１(Example 4.1)

𝑁𝑁

𝑥𝑥b 𝑡𝑡 = � 𝑋𝑋𝑛𝑛 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛) .
𝑛𝑛=−𝑁𝑁

周波数領域表現(Frequency-domain representation)
𝑁𝑁

∞

∞

𝑋𝑋b 𝑓𝑓 = � 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑋𝑋𝑛𝑛 � sinc 𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑−∞−∞𝑛𝑛=−𝑁𝑁

𝑊𝑊𝑊𝑊 ′ = 𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛と変数変換すると、(Under the change of variables 𝑊𝑊𝑊𝑊 ′ = 𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛)
𝑁𝑁∞′𝑋𝑋b 𝑓𝑓 = � 𝑋𝑋𝑛𝑛 � sinc 𝑊𝑊𝑡𝑡 ′ 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡 +𝑛𝑛/𝑊𝑊 𝑑𝑑𝑡𝑡 ′𝑛𝑛=−𝑁𝑁

𝑁𝑁−∞= 𝐻𝐻(𝑓𝑓) � 𝑋𝑋𝑛𝑛 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑊𝑊 ,𝑛𝑛=−𝑁𝑁

1/𝑊𝑊 for 𝑓𝑓 ≤ 𝑊𝑊/2,
𝐻𝐻 𝑓𝑓 = �0 otherwise.

最後は、例３.１の結果を使った。(The last follows from the result in Example 3.1.)2帯域制限信号の性質(Properties of the band-limited signal)𝑋𝑋b 𝑓𝑓 = 𝐻𝐻 𝑓𝑓

周波数特性(Frequency property)

𝑁𝑁� 𝑋𝑋𝑛𝑛 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑊𝑊 .

𝑛𝑛=−𝑁𝑁

周波数帯域は、区間[−𝑊𝑊/2, 𝑊𝑊/2]に制限されている。
The frequency band is limited to the interval −𝑊𝑊/2, 𝑊𝑊/2 .

表現力(Representation power)
離散時間アナログ信号{𝑋𝑋𝑛𝑛 }を適切に設計すると、周波数区間[−𝑊𝑊/2, 𝑊𝑊/2]に帯域制限された任意のベースバンド信号を表現できる。
Any [−𝑊𝑊/2, 𝑊𝑊/2]-limited baseband signal can be represented via an appropriate design ofthe discrete-time analog signals {𝑋𝑋𝑛𝑛 }.

∞∵ 𝑋𝑋𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞を所望ベースバンド信号の複素フーリエ係数に設定すればよい。
∞
Let 𝑋𝑋𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞be the complex Fourier coefficients of a target baseband signal.

3

sinc関数の正規直交性(Orthonormality of the sinc function)
任意の実数𝑡𝑡および整数𝑚𝑚と𝑛𝑛に対して、(For any integers 𝑚𝑚, 𝑛𝑛, and real 𝑡𝑡,)∞
1 for 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛,
� sinc 𝑡𝑡 − 𝑚𝑚 sinc 𝑡𝑡 − 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
0 for 𝑚𝑚 ≠ 𝑛𝑛.
−∞∵𝑡𝑡 ′ = 𝑡𝑡 − 𝑚𝑚と変数変換し、対称性sinc −𝑥𝑥 = sinc(𝑥𝑥)を使うと、Use the change of variables 𝑡𝑡 ′ = 𝑡𝑡 − 𝑚𝑚 and the symmetry sinc −𝑥𝑥 = sinc(𝑥𝑥).
∞∞′′� sinc 𝑡𝑡 − 𝑚𝑚 sinc 𝑡𝑡 − 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � sinc 𝑡𝑡 sinc 𝑡𝑡 + 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑−∞∞−∞= � sinc 𝑡𝑡 ′ sinc 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 − 𝑡𝑡 ′ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = (sinc ∗ sinc)(𝑛𝑛 − 𝑚𝑚).
−∞

畳み込み𝑔𝑔 𝑡𝑡 = (sinc ∗ sinc)(𝑡𝑡)に対して、そのフーリエ変換𝐺𝐺(𝑓𝑓)は、
For the convolution 𝑔𝑔 𝑡𝑡 = (sinc ∗ sinc)(𝑡𝑡), its Fourier transform 𝐺𝐺(𝑓𝑓) is given by

1 for 𝑓𝑓 ≤ 1/2,
𝐺𝐺 𝑓𝑓 = 𝐻𝐻0 𝑓𝑓 𝐻𝐻0 𝑓𝑓 = 𝐻𝐻0 𝑓𝑓 , 𝐻𝐻0 𝑓𝑓 = �0 otherwise.

よって、(Thus,)

1𝑔𝑔 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 = sinc 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 = �0for 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛,for 𝑚𝑚 ≠ 𝑛𝑛.

∵ ナイキスト条件より(Due to the Nyquist criterion.)∎4離散時間信号の復調(Demodulation of discrete-time signals)
𝑁𝑁𝑥𝑥b 𝑡𝑡 = � 𝑋𝑋𝑛𝑛 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛) .
𝑛𝑛=−𝑁𝑁

正規直交性を用いた復調(Demodulation based on orthonormality)𝑁𝑁∞∞� 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 sinc 𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑋𝑋𝑛𝑛′ � sinc 𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛′ sinc 𝑊𝑊𝑊𝑊 − 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑋𝑋𝑛𝑛−∞𝑛𝑛′ =−𝑁𝑁−∞

最後の等号は、sinc関数の正規直交性から従う。
The last follows from the orthonormality of the sinc function.

ナイキスト条件を用いた復調(Demodulation based on the Nyquist criterion)
𝑁𝑁𝑛𝑛= � 𝑋𝑋𝑛𝑛′ sinc(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛′ ) = 𝑋𝑋𝑛𝑛 .
𝑌𝑌𝑛𝑛 = 𝑥𝑥b𝑊𝑊′𝑛𝑛 =−𝑁𝑁

最後の等号は、sinc関数のナイキスト条件から従う。
The last follows from the Nyquist criterion of the sinc function.
5高周波信号への変調(Up-conversion to radio frequency (RF) signals)
帯域幅𝑊𝑊のベースバンド信号𝑥𝑥b (𝑡𝑡)を中心周波数𝑓𝑓c (≫ 𝑊𝑊)の高周波信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)に変換する。

Convert a baseband signal 𝑥𝑥b (𝑡𝑡) with bandwidth 𝑊𝑊 into an RF signal 𝑥𝑥(𝑡𝑡) with center frequency 𝑓𝑓c (≫ 𝑊𝑊).

𝑥𝑥 𝑡𝑡 = Re 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝑡𝑡= Re 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡) + Im 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 sin(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡) .

In-phase (I)成分(component)

Re[𝑥𝑥b 𝑡𝑡 ]Quadrature (Q)成分(component)

高周波発振器𝜋𝜋 シフト
2 Shift

RF Oscillator𝑥𝑥(𝑡𝑡)

Im[𝑥𝑥b 𝑡𝑡 ]直交振幅変調(Quadrature amplitude modulation (QAM))
6

証明(Proof)
周波数領域で変調を設計し、時間領域に戻す。
Design the up-conversion in frequency domain and represent it in time domain.

𝑋𝑋b (𝑓𝑓)−𝑊𝑊/2 O 𝑊𝑊/2
𝑥𝑥(𝑡𝑡)は実信号𝑥𝑥(𝑡𝑡) is a real signal

2𝑋𝑋(𝑓𝑓)𝑓𝑓−𝑓𝑓cO

2𝑋𝑋 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋b 𝑓𝑓c − 𝑓𝑓 + 𝑋𝑋b (𝑓𝑓c + 𝑓𝑓).

𝑓𝑓c

𝑓𝑓

2𝑋𝑋(𝑓𝑓) = 𝑋𝑋b 𝑓𝑓c − 𝑓𝑓 + 𝑋𝑋b (𝑓𝑓c + 𝑓𝑓) = 2𝑋𝑋 −𝑓𝑓 .

∞時間領域表現1 ∞1𝑥𝑥 𝑡𝑡 = � 𝑋𝑋b 𝑓𝑓c − 𝑓𝑓 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑓𝑓 + � 𝑋𝑋b 𝑓𝑓c + 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑
Time-domain
2 −∞
2 −∞
representation∞
1 ∞1′′= � 𝑋𝑋b 𝑓𝑓 ′ 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑓𝑓 −𝑓𝑓c 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑓𝑓 ′ + � 𝑋𝑋b 𝑓𝑓 ′ 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑓𝑓 −𝑓𝑓c 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑓𝑓 ′
2 −∞
2 −∞
1
1−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓𝑡𝑡c= 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 𝑒𝑒+ 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝑡𝑡 = Re 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝑡𝑡 ∎2
27

ベースバンド信号への復調(Down-conversion to baseband signals)
搬送波周波数𝑓𝑓c 、帯域幅𝑊𝑊の高周波信号を𝑥𝑥(𝑡𝑡)、そのフーリエ変換を𝑋𝑋(𝑓𝑓)とする。
Let 𝑥𝑥(𝑡𝑡) and 𝑋𝑋(𝑓𝑓) be an RF signal with carrier frequency 𝑓𝑓c and bandwidth 𝑊𝑊 and its Fourier transform.

時間領域表現Time-domain representation∞

𝑦𝑦b 𝑡𝑡 = 2𝑊𝑊 � 𝑥𝑥 𝜏𝜏 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝜏𝜏 sinc(𝑊𝑊(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏))𝑑𝑑𝑑𝑑 .

周波数領域表現
Frequency-domain representation−∞

𝑌𝑌b 𝑓𝑓 = 2𝑊𝑊𝑊𝑊 𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c 𝐻𝐻 𝑓𝑓 .

𝐻𝐻(𝑓𝑓)は以下で与えられるsinc(𝑊𝑊𝑊𝑊)のフーリエ変換である。(例３.１参照)
𝐻𝐻(𝑓𝑓) denotes the Fourier transform of sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊). (See Example 3.1.)

1/𝑊𝑊
𝐻𝐻 𝑓𝑓 = �0for 𝑓𝑓 ≤ 𝑊𝑊/2,
otherwise.

ベースバンド信号への復調(Down-conversion to the baseband signal)
𝑦𝑦b 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 .

8

証明(Proof)
高周波信号の周波数領域表現2𝑋𝑋 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋b 𝑓𝑓c − 𝑓𝑓 + 𝑋𝑋b (𝑓𝑓c + 𝑓𝑓)を利用する。
Use the frequency-domain representation of the RF signal 2𝑋𝑋 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋b 𝑓𝑓c − 𝑓𝑓 + 𝑋𝑋b (𝑓𝑓c + 𝑓𝑓).

周波数シフトFrequency shift

ローパスフィルタ

2𝑋𝑋 𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c = 𝑋𝑋b 2𝑓𝑓c − 𝑓𝑓 + 𝑋𝑋b (𝑓𝑓).

Low-pass filter

𝑌𝑌b 𝑓𝑓 = 2𝑊𝑊𝑋𝑋 𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c 𝐻𝐻 𝑓𝑓 = 𝑊𝑊𝑋𝑋b (𝑓𝑓)𝐻𝐻 𝑓𝑓 = 𝑋𝑋b 𝑓𝑓 .

𝑋𝑋(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c )の時間領域表現∵ 𝑋𝑋b (𝑓𝑓)は帯域制限信号(𝑋𝑋b(𝑡𝑡) is band-limited.)

Time-domain representation of 𝑋𝑋(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c )∞� 𝑋𝑋 𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝑡𝑡 .
−∞第３回講義資料を参照(See the lecture notes 3.)

時間領域表現

畳み込みの性質より、(From the property of the convolution,)Time-domain representation

𝑦𝑦b 𝑡𝑡 = 2𝑊𝑊𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝑡𝑡 ∗ sinc 𝑊𝑊𝑊𝑊∞

= 2𝑊𝑊 � 𝑥𝑥 𝜏𝜏 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝜏𝜏 sinc(𝑊𝑊(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏))𝑑𝑑𝑑𝑑 . ∎−∞9ベースバンド信号への復調(Down-conversion to baseband signals)∞

𝑦𝑦b 𝑡𝑡 = 2𝑊𝑊 � 𝑥𝑥 𝜏𝜏 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑓𝑓c 𝜏𝜏 sinc(𝑊𝑊(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏))𝑑𝑑𝑑𝑑 .
−∞𝑥𝑥(𝑡𝑡)

ローパスフィルタ
Low-pass filter

局部発振器
Local oscillator

シフト 𝜋𝜋Shift 2

ローパスフィルタ
Low-pass filter

Re[𝑦𝑦b 𝑡𝑡 ]Im[𝑦𝑦b 𝑡𝑡 ]10

送信器(Transmitter)
離散時間信号{𝑋𝑋𝑛𝑛 }Discrete-time signals {𝑋𝑋𝑛𝑛 }高周波へ変調Up-conversion

デジタルベースバンド信号

デジタル信号処理

Digital baseband signal

Digital signal processing

連続時間ベースバンド信号
Continuous-time baseband signal

Digital-to-analog converter𝑥𝑥b (𝑡𝑡)

電力増幅器

高周波信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)Power amplifier

RF signal

デジタル・アナログ変換器

通信路Channel※高周波への変調までをデジタル信号処理で行う場合もある。
Digital signal processing may be used for the up-conversion.
11高周波信号の例(Example of RF signals)𝑥𝑥b (𝑡𝑡)𝑥𝑥(𝑡𝑡)

𝑋𝑋0 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊)

𝑋𝑋2 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊 − 2)𝑋𝑋1 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊 − 1)

𝑁𝑁 = 2, 𝑋𝑋−2 = 𝑋𝑋−1 = 0, 𝑋𝑋0 = 1, 𝑋𝑋1 = −1, 𝑋𝑋2 = 1, 𝑓𝑓c = 10𝑊𝑊の場合

12

受信器(Receiver)
高周波受信信号RF received signal

高周波帯域通過フィルタ
RF bandpass filter

連続時間ベースバンド信号
Continuous-time baseband signal

𝑦𝑦b (𝑡𝑡)

サンプリングSampling

低雑音増幅器Low noise amplifier (LNA)

ベースバンドへの復調
Down-conversion

高周波信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)RF signal

離散時間信号{𝑌𝑌𝑛𝑛 }Discrete-time signals {𝑌𝑌𝑛𝑛 }※理想的な場合
Ideal case

※ベースバンドへの復調もデジタル信号処理で行う場合がある。
Digital signal processing may be used for the down-conversion.

13

演習(Exercise)
以下のコサインロールオフフィルタ𝐺𝐺(𝑓𝑓)の逆フーリエ変換𝑔𝑔(𝑡𝑡)を求めよ。
Evaluate the inverse Fourier transform 𝑔𝑔(𝑡𝑡) of the following raised-cosine filter 𝐺𝐺(𝑓𝑓):

1for 𝑓𝑓 ≤ 1 − 𝛼𝛼,0 ≤ 𝛼𝛼 ≤ 1
𝐺𝐺 𝑓𝑓 = �𝐺𝐺c (𝑓𝑓) for 1 − 𝛼𝛼 < 𝑓𝑓 ≤ 1 + 𝛼𝛼,0otherwise,
1𝜋𝜋𝑓𝑓 − (1 − 𝛼𝛼) .
𝐺𝐺c 𝑓𝑓 = 1 + cos
22𝛼𝛼
ただし、4𝛼𝛼𝛼𝛼 ≠ ±1と𝑡𝑡 ≠ 0を仮定せよ。(Here, assume 4𝛼𝛼𝛼𝛼 ≠ ±1 and 𝑡𝑡 ≠ 0.)𝐺𝐺(𝑓𝑓)10−1.5 −1

𝛼𝛼 = 0𝛼𝛼 = 0.50𝑓𝑓

1 1.514