名古屋大学
航空宇宙工学専攻

安全・信頼性工学 （３－１）

名古屋大学工学研究科
航空宇宙工学専攻
荒井 政大

信頼性を評価する
例１） 名古屋市千種区の住民100人を無作為に選び出し、その性別を調べたところ、４３名が男性であり、４７名が女性であった。この結果をして、千種区の住民の半数が男性、半数が女性とみなすことができるか？

例２） さいころを振ってその目を調べたところ、１が６回、２が４回、３が７回、４が３回、５が６回、６が４回、出現した。このさいころは歪みがなく、均等な確率でそれぞれの目がでるさいころであるとみなしてよいか？

このような事象の信頼性を評価することを考えましょう！

1

さまざまな検定法
１．Χ(カイ)二乗分布による検定法

２．t分布による検定法

３．Ｆ分布による検定

χ（カイ）二乗検定
χ 二乗検定とは、帰無仮説が正しければ検定統計量が漸近的にカイ二乗分布に従うような統計学的検定法の総称である。本講義では、最も一般的に用いられる「ピアソンのカイ二乗検定」について解説する。
下記の式で示されるカイ二乗値を評価指標として用いる。
「観察された事象の相対的頻度が、ある頻度分布に従う」という帰無仮説を検証する。

O:観測度数
E: 期待度数2

帰無仮説
数理統計学の用語で，英語ではnull hypothesis。仮説
検定で捨てるか捨てないか決めようとする仮説。差がない，効果がない，といった否定形のもの。帰無仮説
が測定値によって捨てられれば，差がある，効果があるといった肯定形の結論が得られる。
＜例＞
通行人100人を無作為に抽出したら男：女の比率が61:59だった。これは「男女比が1:1の集団から、ランダムに抽出された100人である」と言えるか。
⇒ この場合の「帰無仮説」は、「集団はランダムに抽出された100人である」ということ。 これが否定されれば、「集団はランダムではない」ということになる。

有意水準
統計的仮説検定を行う場合に，帰無仮説を棄却するかどうかを判定する基準。5% あるいは 1% がよく使用される。有意水準5% で検定を行うということは，第 1 種の過誤をおかす危険率が 5% であることを意味する。すなわち，同様の調査・検定を行うと，20回に 1 回は得られた結論が誤っていることを表す。「有意水準 α で検定すると有意な差が認められた」ということと，「危険率 α のもとで有意な差があるといえる」は同じような意味で使用される※有意水準を小さく設定するほど厳しい検定となる

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カイ二乗検定の例(1)①
例１） 名古屋市千種区の住民100人を無作為に選び出し、その性別を調べたところ、４３名が男性であり、5７名が女性であった。この結果をして、千種区の住民の半数が男性、半数が女性とみなすことができるか？
⇒ 帰無仮説は「千種区の住民は半数が男性、半数が女性であり、標本の100名はその母集団から無作為に抽出されたものである」となる。つまり、この仮説が棄却されれば、「千種区の住民は男女同数とは言えない」ということになる。

O観測度数 E期待度数 O-E (O-E)2 (O-E)2/E
男性

４３５０-7490.98

女性

５７５０7490.98※右はじの値の合計値がカイ二乗値なので、χ2 = 1.96

カイ二乗検定の例(1)②
カイ二乗値による検定法⇒ 自由度（項目数－１）に対応するカイ二乗分布表から、有意水準5%(p=0.05)におけるカイ二乗値を調べる。計算されたカイ二乗値が、分布表により得られた有意水準に対応する値よりも大きければ、帰無仮説は棄却される（検定は適切ではないと判定される）
この問題の場合、自由度１、有意水準5%のカイ二乗値は3.84、データから得られた値は1.96であり、データから求められた値の方が小さいので、帰無仮説は棄却されず、「男女比同数の千種区民から無作為に選ばれた100人のデータである」と検定される。

4

カイ二乗分布表Excel関数
CHITEST関数
χ２乗分布の値（χ２条に対する確率値）を返す関数
書式 CHITEST[実測値範囲, 期待値範囲]⇒ 得られた値がp=0.05より大きければ帰無仮説は棄却されない

CHIINV関数
χ２乗分布の右側確率の逆関数の値を返します．
書式 CHIINV[確率, 自由度]
⇒ 例えば，有意確率0.05, 自由度1に対応する値は，3.8414となります．

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カイ二乗検定の例(1)③
計算してみましょう

１．有意水準を１％とした場合について、先の帰無仮説が棄却されるかどうかを検定しなさい。

２．抽出された男女の数が、男性39名、女性6１名であった場合について、有意水準５％にて、先の帰無仮説が棄却されるかどうかを調べなさい。

カイ二乗検定の例(2)例２） 日本人のABO式血液型は A=40%, O=30%, B=20%,AB=10%であるものと考える。名古屋大学の学生から無作為に選んだ100名の血液型は以下の表のようであった。名大生の血液型は、上記の日本人の血液型分布とほぼ同じとみなしてよいか検定せよ。

O観測度数 E期待度数 O-E (O-E)2 (O-E)2/E
A型

３４４０O型

２７３０B型

２５２０AB型

１４１０6カイ二乗検定の例(３)例３） サイコロを振ってその目を調べたところ、１が６回、２が４回、３が７回、４が３回、５が６回、６が４回、それぞれ出現した。このサイコロは歪みがなく、均等な確率でそれぞれの目がでるサイコロであるとみなしてよいか？

t検定
t検定とは、統計量がt分布に従うことを利用する統計学的検定法のことである。母集団が正規分布に従うことを仮定している。ｔ検定は２つのグループの平均の差が偶然誤差の範囲内にあるかどうかを検定するものである。
例えば2つの実験結果により得られた平均値について、その平均値が異なる値である場合、その違いが偶然なのか、それとも何か本質的な違いがあるのか（有意水準5%または有意水準1%で差があると言えるのか）について、判断を下すことができる。

7例１①（１標本のｔ検定）
愛知県のある酒蔵では、アルコール度数13%の日本酒を製造している。出荷品のアルコール度数を30本の無作為抽出により検査したところ、平均値は12.6%, 標準偏差は1.1であった。この生産品のアルコール度数は13%であると言えるか。
⇒ 帰無仮説＝13%である。
対立仮説＝13%とは言えない。
母集団の分散が未知であるが、母集団が正規分布に従うものとして検定する。以下のｔ値を算出すればよい。

t=̅̅ :標本平均:母平均

s :標本標準偏差
n :標本数例１②（１標本のｔ検定）t値を求めると・・・・ －1.992
この例の場合、値は大きくても小さくてもダメなので、両側検定を行う必要がある。自由度は30-1で29。
⇒ 自由度29, 有意水準5%の場合についてtの境界値を求める。
t.inv.2t関数を用いてその値を計算すると、
t.inv.2t (0.05,29) = 2.045
この場合、「検定統計量(の絶対値)＜境界値」となり、帰無仮説は棄却されない。すなわち、アルコール度数は13%であると検定される。

8例２①（２標本のｔ検定＝平均値の差の検定）
t分布を使って，2つのサンプルの母平均（母集団の平均）が等しいかどうかを確認する手法．例えば，ある小学校において、２つのクラスで漢字テストを行ったとして、2つのグループで学力に差があるか否かを検定する．こうした分析方法を2標本検定と呼ぶ．

t=,̅

:標本平均:標本標準偏差,m, n :標本数

例２②（２標本のｔ検定）
平均点

標準偏差

標本数

６年１組

８2

２０３０６年２組

７8

１９３２t=

ν=̅

= 0.8062= 147.589

例２③（２標本のｔ検定）
t値 ： 0.8062
自由度 ν ： 147.58⇒ t分布表による検定

自由度147、有意確率5%に対応するｔ値の臨界値を1. t分布表から読み取る
2. Excelの関数 t.inv.2t(0.05,147)により計算する。

⇒ 臨界値（境界値） 1.9762
得られたtの境界値(1.96)よりもt 値(0.8062)が小さいので、本例題における帰無仮説は棄却されない！
すなわち、２クラス（標本）の学力には差がないと検定される。

ｔ分布表

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例３（２標本のｔ検定）
20人の被験者に対して、サッカー用シューズと、ジョギング用シューズをはいて100メートルを走らせた時のタイムを計測した。これら結果には、有意な差があると言えるだろうか。Ｔ検定を用いて判断せよ。
サッカーシューズ

ランニングシューズ

112.5s1112.8s

112.8s1112.7s

213.6s1213.2s213.5s1213.1s

312.8s1312.6s

312.4s1312.7s414.2s1414.0s

414.0s1413.8s

512.3s1513.1s

512.4s1513.2s614.1s1612.8s

614.0s1612.7s

713.8s1713.2s713.6s1713.4s

812.2s1812.8s

812.4s1812.9s

913.1s1913.2s

913.0s1913.3s

1012.9s

2013.0s

1012.8s

2012.8s

カイ二乗検定・ｔ検定について（まとめ）・カイ二乗検定、ｔ検定ともに、本講義で述べたのはほんの一例です。
・カイ二乗分布やｔ分布表について、その数学・統計的な意味についての説明は割愛しました。興味があればぜひ調べてみてください。
・有意水準を５％とするか、１％にするかによって検定の結果は変わってきます。適切な有意水準を設定することが重要です。

11ワイブル分布
ワイブル分布は、物体の強度を評価するための確率論的指標を得るために1939年に提案された。一般には、チェーンモデルと呼ばれ，チェーンを引っ張って破壊する場合を想定している．いわゆる直列モデルでは，最も強度が低いチェーンの輪が最初に破壊してしまえば鎖全体が破壊したと判定される（最弱リンクモデル）．
材料の破壊，特に脆性材料では，最も弱い部位が破断してしまえば全体が機能を失うと（破壊したものと）みなされるので，材料強度を評価する際にワイブル分布が広く利用されている．
また，この考え方を機械の故障に適用すると，いくつかの部品のうち，どれか一つが故障すればその機械は「故障した」を判定されることから，この最弱リンクモデルの考え方が適用できる．そのため，部品や機械の劣化や故障による寿命を統計的に評価するための指標としても，ワイブル分布は広く用いられている．

累積密度関数
ワイブル分布の累積密度関数：

1exp

(W.1)

xは変数，bは形状パラメータ(ワイブル係数), θは尺度パラメータ（統計的な指標）を表す．形状パラメータbは分布の形状や破壊のパターンに深く関係をもち，bの値が増大すると分布の幅が狭くなり，減少すると分布の幅が広がる．すなわち， bはデータのバラツキを表しており， bの値が大きいほどデータのバラツキが小さく，信頼性が高いことを示している．上式においてx =θ とすると，

1exp=0.632(W.2)

すなわち尺度パラメータ（統計的な指標）とは，累積破壊率63.2%となる際の値という意味であることが確かめられる．

12

累積密度関数（２）式(1)の両辺について，対数を２度とって整理すると，

lnln 1ln

ln

(W.3)

数したがって，縦軸をln(1-F)-1，横軸をlnxはとすると，両者の関係は一次関数となる．つまり，ワイブル分布を上式で近似すれば，その傾きからパラメータbを読み取ることができる．同様に，累積破壊率Fからθを読み取ることができる．
メディアンランク法によるFの計算式：

.
.

(W.4)

n: サンプル数，i: 順序数

メディアンランク法による解析例＜解析例＞引張試験のデータをワイブル分布で評価する．
→ Excel等で，データ, F=(i+0.3)/(n+0.4), lnln(1/(1-F)),
lnσを整理して，ワイブル分布を求める準備をする．
σ(破壊応力)iF

lnln{1/(1-F)}

lnσ1500.067308-2.66384308538817

3.912023

2530.163462-1.72326315027689

3.970292

355

0.259615-1.20202311524655

4.007333

458

0.355769-0.82166651512869

4.060443

561

0.451923-0.50859539373415

4.1108746650.548077-0.23036544473332

4.1743877680.644231

0.03292496191434

4.219508

8690.740385

0.29903293186205

4.234107

9700.8365380.59397721666039

4.248495

1072

0.932692

0.99268892949027

4.276666

13ワイブルプロット

・ lnln(1-F)とlnσのグラフを作成して，最小二乗により一次近似・・・
・ F=0.63(累積破壊確率63%)に対応する応力値を読み取る
・ 得られた尺度値がワイブルプロットにより得られる統計的な応力の臨界値（尺度値）となる．

ジョンソン法を用いたワイブルプロット
ガラス板に直径10mmの鋼球を衝突させて，ガラス板が破壊する際の鋼球の衝撃エネルギーを調べた．
〇＝破壊が生じたエネルギー値，×＝破壊が生じなかったエネルギー値
E[J]
0.9

判定
×

E[J]
6.2

判定
×1.2×6.8〇

1.6×7.3〇

2.1×7.9×2.7〇

8.5〇

3.8×8.2〇

4.1×9.1〇
×4.8×9.25.3〇

9.8〇

6×10.1〇→ 破壊が生じなかった実験結果も，統計データとして反映させたい場合に，ジョンソン法は有効な方法となる．

14

平均故障順位を用いる考え方
平均故障順位(i)= 平均故障順位(i-1) + Δ(i, i-1)
∆ ,(J.1)

平均故障順位

1

(J.2)

＜手順＞
(1) 破壊が生じた際のデータ(故障データ)と破壊が生じなかった際のデータ(打ち切りデータ)をともに含んだ応力値(エネルギー)を小さい順に並べる．
(2) 最小のデータに対して，平均破壊順位ならびに平均故障順位の増分Δの初期値を与える．
・ 最小のデータで破壊が生じたとき： 平均故障順位＝1, Δ＝１
・ 最小のデータで破壊が生じなかったとき：
平均故障順位＝0, 増分は手順(3)に準ずる計算手順（ジョンソン法）(3) 故障データについてのみ，式(J.1)により平均故障順位を求める．
ただし，平均故障順位の増分Δは一つ以上の打ち切りデータにあう際に変化し，式(J.2)により算出するものとする．
(4) 平均故障順位に基づき，式(W.4)よりメディアンランクFを算出する．
No.

E[J]
12
345678910111213
14151617181920

破壊順位
0.9
1.2
1.6
2.1
2.7
3.8
4.1
4.8
5.3
6.0
6.2
6.8
7.3
7.9
8.5
8.2
9.1
9.2
9.8
10.1

増分
1.050E+00

1

平均破壊順位Flnln{1/(1-F)}

lnE

1.050E+00

3.676E-02-3.285E+00

1.050E+00

3.676E-02-3.285E+00

2.959E+00
4.868E+00

1.303E-01
2.239E-01-1.969E+00-1.372E+00

1.917E+00

7.173E+00
9.477E+00
1.178E+01

3.369E-01-8.896E-01

2.140E+00

5.628E-01-1.894E-01

1.485E+01
1.793E+01

7.135E-01
8.641E-01

2.230E-01
6.910E-01

2.208E+00
2.219E+00
2.282E+00
2.313E+00

1.330E+00

2
1.909E+00
34
2.305E+00
56
73.073E+00
8915

ジョンソン法：ワイブルプロット

得られた強度（尺度）は9.68MPa→ 通常の方法よりも高い値が求められる傾向があるようです．

演 習 （χ2検定）
サイコロを振ってその目を調べ，そのサイコロが「均等に目がでるサイコロである」という帰無仮説について，カイ二乗値を用いて検証しなさい（=0.05 とします）．
サイコロの目

観測度数O

期待度数E

O-E(O-E)2(O-E)2/E

１２
３４５６16