数理解析研究所講究録
1183 巻 2001 年 74-93

74

principal series for
On annihilator operators of theorthogonal Lie groups$\mathrm{C}\iota_{\mathrm{e}_{\epsilon}\cdot \mathrm{e}\mathrm{n}}\circ \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}_{1\mathrm{e}}$)寛 (東京大学大学院数理科学研究科)

織田

この講演の目的は, 複素直交 Lie 環 so
では Pfaffiall 型の作用素と呼ぶ) が,において,$(’ l_{\text{、}}\mathbb{C})$$\mathrm{P}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$型の普遍包絡環の諸要素 (本稿[14] で与えられた–般 Capelli 作用素力 j[(r\sim 、 ) に対して持$\mathbb{C}$つ役割と同様な役割を持つことを示し, その観点から分かる Pfa.ffian 型の作用素の性質を明らかにすることである.

この講演報告の構成は以下のとおり :\S 1 では, 一般 Capelli 作用素が役割を抽象化し, 一般の複素簡約 Lie 環
は,$\mathrm{g}$の各放物型部分環$\mathfrak{p}$指標から誘導される –般$\mathrm{g}$.

において持つに対する問題 (問題 1.1) としてまとめる. この問題 1.1ごとに立てられ, これを解くことにより,$\mathrm{v}_{\mathrm{e}}^{-}1^{\backslash }111\mathrm{a}$$\mathrm{U}(\mathrm{g}1(’\tau, \mathbb{C}))$加群の almihilator の ($\mathfrak{p}$に関する退化主系列や,$\mathfrak{p}$のの左, あるいは右イデアルとしての)$\mathrm{U}(\mathrm{g})$生成系を具体的に与えることができる. ここでは, これらの応用とともに, この問題を解くために鍵となるいくつかの命題を取り上げる. \S 2 では, Clifford 代数と直交 Lie 環との自然な関係を用いて内に Pfaffian 型の作用素を構成し, それらが 上張る-塁群の構造につ$\mathbb{C}$$\mathrm{U}(\epsilon \mathrm{o}(rl, \mathbb{C}))$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathfrak{s}\mathrm{o}(’ 1, \mathbb{C}))$

いて調べる. \S 3 では, Pfaflian 型の作用素を用いて, 主に (B) 型, (D) 型に共通の場合に問題 1.1 の解を構成する. \S 4 では, (D) 型固有の特別な場合に, やはり Pfaffian 型の作用素により問題 1.1 の解が構成できることを示す. \S 3, \S 4 が扱っているの放物型部分環は, Pfaffian 型の作用
素の線形結合で問題 1.1 の解が構成できるものすべてであるのだが, 残りの放物型部分環に対しては$\mathrm{U}(\mathfrak{s}\mathrm{o}(n, \mathbb{C}))$

どのような解があるだろうか. 実は,の行列式型の普遍包絡環の諸要素 (本稿では行列$\mathrm{U}(\epsilon \mathrm{o}(n, \mathbb{C}).\mathrm{I}$式型の作用素と呼ぶ) を用いると, Pfaffian 型の作用素と組み合わせて, 全ての部分環に対して解を構成することが可能である.

の放物型

この行列凹型の作用素については講演では触れず,

別の機会に発表するつもりであったが, 予告として

1$\epsilon o(\uparrow\tau, \mathbb{C})$$\S\check{\mathrm{o}}$に概略を記しておく.

一般論$\mathrm{g}$を複素簡約 Lie 環,$\triangle.\triangle^{+},$$\mathrm{f}_{\mathrm{I}},$

基本系とする. ルート分解$\square$をそれぞれ$\mathrm{g}=\oplus\{\mathrm{g}_{0}.

|\mathit{0}^{\cdot}\in\triangle\}$$\mathrm{g}$の Cartan 部分環,を用いて,という 2 つの巾零部分環を定める. 各 $lJ\in|)^{*}$ に対して$\mathrm{U}(\mathrm{g})$ルート系, 正ルート系, ルートの$|a>0$ },の左イデアル$\mathfrak{n}=\oplus${$\mathrm{g}$$\overline{\mathfrak{n}}=\oplus$

。

:

{

$\mathrm{f}\mathrm{i}$。

$|\alpha<0$}.

$J( \iota \text{ノ})=\sum_{H\in \mathfrak{h}}\mathrm{U}(\mathrm{g})(H-\iota \text{ノ}(H\dot{l})+\mathrm{U}(\mathrm{g})\mathfrak{n}$を考えると, その商

次に,$\mathcal{F}$

を

$\Pi$

$\mathrm{U}(\mathrm{p})$-加群$\mathrm{M}(\nu)=\mathrm{U}(\mathrm{g})/J(\nu)$の任意の部分集合とする.

は$\mathrm{l}\dot{\mathrm{u}}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}$

この $F$ に対して,

weightうに定める :

ここで,$\alpha^{\vee}$は$\alpha$.

に対する coroot である.
$\mathfrak{h}_{F}=${$H\in \mathfrak{h}|\alpha(H)=0$

for anyの$\backslash :\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\vee$加群である.

のいくつかの部分 Lie 環を以下のよ$\mathrm{g}$$|)(\mathcal{F})=\oplus\{\mathbb{C}\alpha\vee|\alpha\in F\}$$\mathit{1}\text{ノ}$$\alpha\in F$}.

75$|)=|)(\mathcal{F})\oplus \mathfrak{h}_{\mathcal{F}}$及びの Killing fornl に関してり $(F)$$\mathrm{g}$と$\mathfrak{h}_{F}$:. を表すこととして, 2 つの巾零部分環$\sum_{\alpha\in F}\mathbb{Z}\alpha$とが直交することに注意する.

$\mathfrak{n}(\mathcal{F})=\oplus \mathrm{t}B\alpha|\alpha\in\triangle^{+}\cap \mathbb{Z}F\}$$\mathfrak{n}_{\mathcal{F}}=\oplus\{\S_{\mathrm{Q}}.

を定めると,$\mathfrak{n}=\mathfrak{n}(\mathcal{F})\oplus \mathfrak{n}_{\mathcal{F}}$及び各$[\mathfrak{n}_{\mathcal{F}}, \mathfrak{m}(F)]\subset \mathfrak{n}_{F}$$/\backslash \in|$)及び百 F は, 負ルートに対して同様に定めを定義すると,$\overline{\mathfrak{n}}(\mathcal{F})$$[\mathfrak{h}r, \mathfrak{m}(F)]=0$$c$:の左イデアル$\mathrm{U}(\mathrm{g}j$,$\mathfrak{m}(F)=\overline{\mathfrak{n}}(\tau)\oplus \mathfrak{h}(F)\oplus \mathfrak{n}(F)$が成り立っている.

に対して,$F^{*}$

で|\alpha\in\triangle^{+}\backslash \mathbb{Z}F\}$という分解が得られる.

られるものとする. 最後に半単純部分環$\mathbb{Z}\mathcal{F}$$J_{F}(_{/} \backslash )=\sum_{\in H\mathfrak{h}\tau}\mathrm{U}(9)(H-/\backslash (H))+\mathrm{U}(_{9})(\mathfrak{m}(F)\oplus \mathfrak{n}F)$を考えると, その商の$\mathfrak{h}^{*}$$\mathrm{M}_{F}(_{/}\backslash )=\mathrm{U}(\mathrm{g})/J_{F}(_{/}\backslash )$への自然な延長.ma 加群の特別なものとなっている. また,は–般$\backslash ^{-}.\cdot \mathrm{e}\mathrm{r}$.

$\lambda_{F}$$,\backslash$を$\mathfrak{l}_{)}=1_{)}\tau\oplus \mathfrak{y}(\mathcal{F})\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}arrow \mathfrak{y}_{F}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\lambdaarrow \mathbb{C}$により定める.

以上の諸定義のもと, 次のような問題を考える
問題 11. 与えられた間$\mathrm{T}^{\Gamma}$$\mathcal{F}\subset\Pi$及び$,\backslash \in${$)F^{*}$:

に対して,の有限次元の ad(g)-stable な部分空$\mathrm{U}(\mathrm{g})$で(1. 1)$J_{F}(_{/}\backslash .)=\mathrm{U}(\mathrm{g})V+J(_{/}\backslash \mathcal{F})$を満たすものを具体的に構成せよ.

[14] では, 一般 Capelli 作用素を用いて,の場合に, すべての $F$ , generic なに対して解 ’ が構成された. この問題の応用として, 同じく [14] で, (1) 退化主系列表現の主系列
表現内での微分方程式による特徴付けを, 主系列表現の実現に依らない形で与える, (2) 超幾何微分方程式系の構成, (3) ラドン変換の像の特徽付け, 等が扱われている. また (1) に関して, (4) 退化主系列表現の annihilator の生成系の構成, 及びその双対として (4’) 一般 Verma 加群) のalmihilator の生成系の構成, にも応用がある.
を Lie(1) について少し触れる. 聖を の normal real fonn として,懸であるような連結実簡約 Lie 群とする.
上の llyper function 全体を B(G 旬で表し,のへの$\mathrm{g}=\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, \mathbb{C})$$/\backslash \in \mathfrak{h}_{F^{*}}$$\iota/$$\mathrm{M}_{F(/}\backslash$$(G_{\mathrm{R}})=$$G_{\mathrm{P}_{\mathrm{A}}}’$$\mathrm{g}$$G_{\mathrm{R}}$左作用$\mathcal{E}(X)$$B(G_{\mathrm{R}})$$X\in \mathrm{g}_{\mathrm{R}}$及び右作用 $|(X)$ をそれぞれ$\ell(X)f(g)$$=$$\frac{d}{dt}f\cdot(\exp(_{-}tx)g)|_{t0}=$$r(X)f\cdot(g)$$=$$\frac{cl}{dt}f(g\exp(tx))|t=0$で定める. この 2 つの作用用に延長される. ここで,$t^{J}(\cdot),$$\mathrm{t}’(\cdot)$$\mathcal{F}\subset \mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathcal{B}(G_{\mathrm{R}}^{1}:JF(_{/}\backslash ))=$

{

は

及び

$\mathrm{U}(\mathrm{g}\mathrm{p}_{\backslash })$for$g\in G_{\mathrm{J}\mathrm{R}}^{l}$$\mathrm{f}_{\mathrm{o}\mathrm{I}^{\backslash }}g\in G_{1\mathrm{R}}’$の普遍性, 及び$,\backslash \in \mathfrak{y}_{\tau^{*}}$

and

and

$f\cdot(g)\in B(G_{\mathrm{P}}^{1})$$f(g)\in \mathcal{B}(G_{\mathrm{R}}’)$$\mathrm{U}(\mathrm{g})=\mathbb{C}\oplus_{\mathrm{R}}\mathrm{U}(\mathrm{g}_{\mathrm{R}})$に対して定まる関数空間$f\cdot(g)\in B(G_{\mathrm{F}}^{t},)|,.(D)f=0$,

for any:$D\in J_{F}(’\backslash )$により}$\mathrm{U}(\mathrm{g})$の作

76に硫の左作用の構造を入れたものが,$G_{\mathrm{F}_{\vee}}’$の退化主系列表現である. この表現空間は, 自然に主系列

:

表現

{

$B(c^{l}\mathrm{R}:J(/\backslash _{F}))=$に埋め込まれるが,$V\subset \mathrm{U}(\mathfrak{g})$が$f(g)\in B(G_{\mathrm{R}}^{l})|r(D)f\cdot=0$

any$\mathrm{f}\mathrm{o}\iota^{\backslash }$$D\in J(\lambda_{F})$に対する問題 1.1 の解であれば,$(\mathrm{g}, F, /\backslash )$$\iota/^{r}$の$\mathrm{A}\mathrm{d}(G_{\mathrm{R}})-\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{i}]\mathrm{i}\mathrm{t}\backslash \gamma\vee$って, 任意の $f(g)\in B(G_{\mathrm{R}}:J(\lambda_{F}))$ に対して, $f(g)\in B(G_{\mathrm{R}}..JF(/\backslash ))\Leftrightarrow’\cdot(D)f=0$.

$\mathrm{U}(g)$for anyが成り立つ. ここで,
any
for anyはの標準的反自己同形とした.
)
結論として得られる$\ell(D^{a})f=0$$D^{a}\in$}$D\in l^{\gamma}\Leftrightarrow P(D)f=0$.

$D\in l^{ra}$$\mathrm{f}_{\dot{\mathrm{O}}1^{\backslash }}$によ$D\in l^{\text{ノ}}’\Leftrightarrow$$\mathrm{U}(\mathrm{g})\ni D\vdasharrow$$\mathrm{U}\{\mathfrak{g}$$\mathcal{B}(c_{\mathrm{p}_{\vee}}’:J_{F}(/\backslash ))=$の右辺に現れる左作用$B(G_{\mathrm{R}}..J\mathrm{t}\lambda F))$$f(g)\in \mathcal{B}(G_{\mathrm{R}}:J(\lambda F))|e(D)f\cdot=0$の像は$\mathcal{B}(G_{\mathrm{R}:^{J\backslash _{F}}}(/))$$V^{a}$

for any $D\in V^{a}$ }の特徴付けとなっていることが分かる.
に対する Poisson 変換が単写像である場合, Poisson 変換下の$B(c_{\mathrm{R}\prime}.J_{\mathcal{F}(_{/}}\backslash ))$こで特徴付けられる.

問題 11 の解 $V$ が存在するかどうかは自明ではない. 実際に [15] では,

各 $F$ に対してが存在するための$V$

しても generic な(1.2)

が, 表現空間としての作用に他ならないことを考慮すると, (1.2) は,の実現に依らない部分空間のことから, 例えば$.\mathcal{B}(G_{\mathrm{R}}\cdot..J_{F(\lambda))}$$\ell(\cdot)${$\lambda\in \mathfrak{h}_{F^{*}}$$\mathrm{g}=\mathrm{g}\mathrm{t}(n, \mathbb{C})$の場合にに関する必要十分条件が与えられている. 一般の$,\backslash \in \mathfrak{h}_{F^{*}}$

に対しては解の存在が保証されているが,$\mathrm{g}$に対それは次の [10] と [2] の結果による:

命題 12. 各$\nu\in \mathfrak{h}^{*}$$\ominus_{\nu}$に対して, 写像: {two sided ideal

を $Irightarrow I+J(\nu)$ により定める.

$I|I\supset \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}$

このとき,

$\nu$

$\mathrm{M}(\nu)$}が dominant,$\langle\nu+\rho, \mathit{0}^{\vee}.\rangle\not\in\{-1, -2, \ldots\}$であれば,は単写像であり, すべての$\ominus_{\nu}$$I${ $left$ ideal $J|J\supset J(\nu)$ }$arrow$

すなわち,

for anyに対して Ann(1.3)$\alpha\in\triangle^{+}$$\mathrm{U}(\mathrm{g})/\ominus_{\nu}(I)=I$が成り立つ. 更に,

$\nu$

が

regular, すなわち,$\langle\nu+\rho, \alpha^{\vee}\rangle\neq 0$であり, かつ dominant であれば,

従って,$F\subset\Pi$$\Theta_{\nu}$for anyは全写像である. ここで,を固定すると, generic な$\lambda\in \mathfrak{h}_{\mathcal{F}^{*}}$(1.4)$\alpha\in\triangle$に対して$\rho=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\in\Delta}!+\alpha$$\Theta_{\lambda\tau}$. とした.

が全写像となり, 問題 1.1 の解が存在する.
問題の応用 (4), (4’) について述べる. generic なが単写像となるが, そのような$\nu=/\backslash _{F},$$/\backslash$に対する問題 1.1 の解$I=\mathrm{U}(\mathrm{g})l\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{r}}+\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{M}(_{/}\backslash _{\tau)}$$\Theta_{\lambda_{\mathrm{j}}}\mathrm{r}(I)=\mathrm{U}\{\mathrm{g}$)$V+J(\lambda\tau)=J_{F}(/\backslash )$Annとすると, Ann生成される) に$\mathrm{U}(\mathrm{g})-$$l^{\gamma}$に対しては, 命題 12 によりがあるとする. このとき, 命題 12 で$\mathrm{M}(\lambda_{\mathcal{F}})=$$\mathrm{M}(_{/}\backslash _{\mathcal{F}})$の生成系 (

イデアルとしての生成系となることが分かる$\langle\cdot, \cdot\rangle$:Ann$\mathrm{U}(9)/J(\bigwedge_{F})\subset J(_{/}\backslash _{\mathcal{F}},)$

より,$\mathrm{U}(\mathrm{g})/J_{F}(_{/}\backslash )=\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{M}\tau(\lambda)=\mathrm{U}(\mathrm{g})\iota^{\gamma}.+\mathrm{A}_{\mathrm{I}}\mathrm{m}\mathrm{M}(/\backslash _{F})$$\mathrm{M}(\lambda_{\mathcal{F}})$の基となるような各要素を加えたものが, Ann

析的であるもの全体を$\ominus_{\lambda \mathrm{r}}$となり,が成り立つ. 従って, よく知られた Ann$l^{\gamma}$$\lambda\in \mathfrak{y}_{\tau^{*}}$$A(G^{1}\mathrm{r}\iota.‘:

J_{F}(_{/}\backslash ))$$((4’))$.-方,に対する無限小指標の kernel で$\mathrm{M}_{F}(\lambda)$$B(G_{\mathrm{R}}:の左 (あるいは右, 両側)

J\tau(_{/}\backslash ))$の要素で, G、上解とすると,$\mathrm{M}_{\mathcal{F}}(_{/}\backslash )\cross A(c^{l}\mathrm{P}_{\backslash }\cdot..J_{F}(\lambda))\ni(D, f.(g))rightarrow\uparrow\cdot(D\dot{)}f\cdot(_{\mathit{9})}|g=\mathrm{i}\mathrm{d}\in \mathbb{C}$77は非退化 bilinear fbrm を定め,

for any$\langle D_{1}D_{\text{、}}f(g)\rangle=\langle D, e(D1)af(g)\rangle$という不変性がある. これから容易に Annは$B(c_{\mathrm{B}}..JF(_{/}\backslash ,))$となる. 更に,Annが結論される$A(\zeta_{\tau^{l}\mathrm{p}.\vee:},J_{F}(_{/}\backslash ))=(\mathrm{A}_{1}\mathrm{m}\mathrm{M}\mathcal{F}1\lambda))^{a}$の中で稠密なので, Ann$\mathrm{U}(\mathrm{g})lfa+(\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{M}(\lambda_{F}))^{a}$$D_{1}\in \mathrm{U}(\mathrm{g})$が導かれるが, A 向:$B(G_{\mathrm{R}}:.Jf(\lambda).).=\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}$ $A(c_{\mathbb{R}:^{Jfi(}}/\backslash ))=(\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{M}F(_{/}\backslash ))^{a}\cdot=$$\mathrm{M}(_{/}\backslash _{\mathcal{F}},)$と$B(G_{\mathrm{P}_{\backslash }}’,:J(/\backslash _{F}))$の間にも同様の双対性があるので,$\mathcal{B}(C\tau_{\mathrm{R}}^{l}..J_{F}(/\backslash ))=\mathrm{U}(\mathrm{g})V^{a}+\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathcal{B}(G^{t}\mathrm{p}:J(_{/}\backslash _{F}))$.

$((4))$

以下では, 問題 1.1 を解くための–般論を述べる. 問題の解の候補となるような$\iota/’\subset \mathrm{U}(\mathrm{g})$$J_{F}(_{/}\backslash ))$$\mathrm{a}\mathrm{d}(9)-\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}|_{\mathrm{J}\mathrm{l}\mathrm{e}}$:が与えられたとき, 2 つの包含関係

な$J_{F}(_{/}\backslash )$$\supset$$\mathrm{U}(\mathrm{g}.)\mathrm{T}^{J}’+J(_{/}\backslash _{\mathcal{F}})$(15)$J_{F}(_{/}\backslash \mathfrak{j}$$\subset$$\mathrm{U}(\mathrm{g})V+J(/\backslash _{\mathcal{F}}\cdot)$(16)を判定することができればよいのだが, そのどちらも,$,\wedge:|$:$\mathrm{U}(9)=\mathrm{U}(1))\oplus(\overline{\mathfrak{n}}\mathrm{U}\mathrm{l}^{\mathrm{g})\mathrm{U}}+(_{9)\mathfrak{n})arrow}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{i}^{\mathrm{e}}\mathrm{c}\mathrm{t}:\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{U}(\int))=^{\mathrm{s}_{(}\mathfrak{y})}$で定まる Harish-Chandra 準同形

ず (15) は, Ann$\mathrm{h}^{:}‘ \mathrm{I}_{F}\mathrm{t}/\backslash ,\mathrm{I}=\sum${$\wedge i$によるS(り) のみを用いて判定可能である. まad(g)-stable} により,の像

$l^{\gamma}$$V\subset Jr(/\backslash )|$$l”\subset \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}$と同値である. これに関して次の命題がある
命題 1.3.

(i){$(1^{-}.|)$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{g})- Stab\iota e$

であれば, 各$\mathrm{i}\mathrm{i})\mathrm{h}\cdot\cdot \mathrm{f}_{F}(\lambda)$

ば,

(iii)

な

weight$D\in l^{\gamma}$(1.7)$\mathrm{M}_{\mathcal{F}}(_{/}\backslash )$

:

に対して

に対して

が既約のとき ( $ge7leric$ な$(1.\overline{\prime}.)$$\mathrm{L}:\mathrm{I}_{\mathcal{F}}(_{/}\backslash )$$l^{r}\subset \mathrm{U}(9)$$\wedge j(l’’)\subset$$\wedge j\{D.\mathrm{I}(_{/}\backslash \mathcal{F}.)=0$$/\backslash \in \mathfrak{h}_{F^{*}}$.

で既約), 各$D\in l^{\gamma}$に対して $\wedge:(|D)(\lambda F)=0$ であれが成立する.

が既約でない場合,$/\backslash _{F,0}\in \mathfrak{h}^{*}$$\mathrm{M}_{\mathcal{F}}(_{/}\backslash )$を highest weight とする既約 highest weight 加群と同形である.

用いると, 各 $D\in\iota./$’ に対して(iii) の条件は,は自明でない最小の U(g)-部分加群を持つが, これはある$\gamma(D\mathfrak{j}(/\backslash _{F},0.\mathrm{I}=0$であることと$(1.\overline{j})$この$\lambda_{\mathcal{F},0}$をが成立することは同値となる.

の特定が難しいので実際には使いにくい. これを避けるために, 実際に問題
1.1 を扱う場合はいつでも, 解 にもパラメータを入れて, 次のように問題を変形する :)$,\backslash \tau,0$$1’$

問題 14.
すなわち,$\mathfrak{h}_{\mathcal{F}}$のコピー$[\mathrm{g}, 1_{)_{F}};]=0$$A_{\lambda}$:$1_{1}\tau’$$,\backslash \in|$を用意し, 新しい Lie 環佳とする. 各)$/\backslash \in|$$\tau^{*}$$F^{*}$) $F$ ’ を考える.

$\phi|$

ここで,と ) ’ は無関係,$|$$\mathrm{g}$に対して, これはり〆上の–次形式でもあると考え,$\mathrm{U}(_{9\#}\mathrm{I}_{1F};)=\mathrm{U}(\S)\vdash.\cdot \mathrm{F}$という写像 (パラメータの$\sum_{\prime,H\in \mathrm{h}f}\mathrm{U}(\mathrm{g}\oplus \mathfrak{l})F)(H-/\backslash (H’))arrow^{\mathrm{C}}\mathrm{U}(\S \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$$/\backslash$$\mathcal{F}$への特訓) を定義する.

78
(i)

$\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{g})$’-stable な$l^{\gamma}\subset \mathrm{U}(\mathrm{g}\Phi^{1})\tau)$generic なで,)$/\backslash \in|$$J_{F}(\lambda.\cdot)=\mathrm{U}(\mathrm{g}.)\lrcorner 4\lambda$

(

に対して

$F^{*}$(1.8,)$v\text{科}+J(_{/}\backslash _{F})$を満たすものを具体的に構成せよ.

(ii) 上の ’ に対して (1.8) が成立するための)$,\backslash \in|$$l^{\text{ノ}}$命題$1.3(\mathrm{i})$$\mathcal{F}^{*}$の必要十分条件を求めよ.

により, 問題 14 の解 ’ について generic な$\iota/$$/\backslash$及び各$D\in l^{\gamma}$

に対して

(1.9)

$\wedge:|(_{z}4_{\lambda}(D))(J\backslash _{F})=0$にはパラメータが多項式変数のように入っているので, (.1.9) はすべてなについて成り立つ. 逆に, 各 及び各 $D\in V$ に対して (1.9) が成り立つような
ところが,が成り立つ.
の$/\backslash$$D$$/\backslash$$\mathrm{a}\mathrm{d}(9)_{\mathrm{S}}- \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$があるとき, 命題$\mathrm{f}^{\gamma}.\subset \mathrm{U}(9\oplus \mathfrak{h}_{F}’)$$A_{\lambda}(V)\subset \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}$$\mathrm{M}_{F}(\lambda)$により,$1.3(\mathrm{i}\mathrm{i})$が既約であるような generic な$\mathrm{M}_{F}(_{/}\backslash \dot{)}$に対して, あるいはこれと同値である(1.10)$A_{\lambda}(l^{f})\subset J_{F}(_{/}\backslash )$が成り立つ.

$/\backslash$ところが, 上と同じ理由から (1.10) はすべての$,\backslash$で成立してしまう. 故に, 問題 14 に関して次の命題を得た :命題 15.

な$\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{g})-s’ table$

り立つことと, 各$/\backslash \in|$)$V\subset \mathrm{U}(9\oplus \mathfrak{h}_{F}’)$に対して, 各$\mathrm{L}\cdot\cdot\iota_{(}\nu$),$\iota \mathrm{t}^{:}.\mathrm{I}(\mu)$の間に,$\mathrm{M}_{F}(_{/}\backslash )$と書くことにする.

ごとに部分加群る$\mathrm{t}^{f}\iota_{\mathrm{e}\backslash ,\nu}^{\tau},.r1$

自明でない準同形とに定まる部分加群

kernel は

さて, 各$\mathrm{M}(_{/}\backslash _{F}-a\cdot)$

群の部分群,に対して (1.9) が成の構造について少し調べる. 一般に 2 つの$\mathrm{L}^{:}.\iota_{(l^{l}}$)であり, 定数倍を除いて–意的である. 従って以下では,$\mathrm{I}\iota:\mathrm{I}(\mu)$$D\in \mathrm{f}^{\gamma}$に対して (1.10) が成り立つことは同値である.

$F^{*}$

逆方向の包含関係 (16) について論じる前に,Verma 加群

及び各$/\backslash \in \mathfrak{l})_{\mathcal{F}^{*}}$)$\lambda\in|$$F^{*}$$\mathrm{M}(l^{l})$に対して定まるを含む. より詳しくは,$\iota,7\cdot\vee(F)$$\rho(\mathcal{F})=\frac{1}{2}\sum\{\alpha|\alpha\in\triangle^{+}/\cap \mathbb{Z}\mathcal{F}\}$$\mathrm{M}(_{/}\backslash \tau+u)\rho(F)-rJ(\mathcal{F}))$$\sum_{\alpha\in F}\mathrm{M}(\lambda_{F}-\alpha)$$arrow \mathrm{M}(\nu.)$の$\backslash \cdot\cdot \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}$)があるとき, この写像は単写像$\mathrm{M}(\iota \text{ノ})$$\mathrm{a}$における単射準同形の像も加群$\mathrm{h}:\mathrm{I}(_{/}\backslash _{\mathcal{F}})$は常に, 各 $\alpha\in F$

を $F$ の各要素に対応する鏡影で生成されとすると,$\mathrm{M}(_{/}\backslash _{F})$は常に, 各を含む. ここで, 自然な全準同形$u$)$\in W(\mathcal{F}\dot{)}$$\mathrm{M}(_{/}\backslash _{F}.)arrow \mathrm{h}^{:}.\mathrm{I}_{F}(_{/}\backslash )$ごのに等しくなっており,$\mathrm{M}_{F}(\lambda)\cong 1\forall-\cdot \mathrm{I}(./\backslash _{F}.)/\alpha\sum_{\in\tau}\mathrm{M}(_{/}\backslash _{f}-0)$が成り立つ.

(1.6) を判定するためには, 次の命題がある :命題 16.

$l^{\gamma}\subset$

Ann$\mathrm{h}^{:}.\mathrm{I}_{F}(\lambda)$

を$\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{g})$-stable な$\mathrm{U}(\mathrm{B})$の部分空間とする.

$\iota\cdot\prime\prime=\oplus_{\mu}\mathrm{T}_{\mu}^{\gamma}$

する weight 分解とすると, 以下の 6 つの条件はすべて同値となる.

(a)
(b)

(c)

.

$J_{F}(_{/}\backslash )=\mathrm{U}(\mathrm{g}.)\mathrm{I}’\prime J+(_{/}\backslash F)$$\mathrm{I}^{\gamma}.\mathrm{M}(\bigwedge_{F})=\sum_{\alpha}\in F:\mathrm{h}\mathrm{I}(_{/}\backslash \mathcal{F}-\Omega^{\cdot})$.

$1^{\text{ノ}}’ \sum_{\alpha\in}F(\mathrm{M}\lambda F-\alpha)=\sum\alpha\in \mathcal{F}\mathrm{M}(/\backslash \tau-0^{\cdot})$(d) 各 $a\cdot\in F$ に対して,(e) 各$\alpha\in \mathcal{F}$

に対して,

. で

$D\in l_{-0}’’$$D\in l^{\gamma}0$.

$D\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} J(\lambda_{F})\neq 0$

で $\wedge,:(D)(\lambda F-\mathrm{Q})\neq 0$を満たすものが存在する.
を満たすものが存在する.

をそのりに関79$(\mathrm{f}\cdot)$

各$w\in W(\mathcal{F})\backslash \{1\}$

に対して,

で

$D\in l^{i}’ 0$$\wedge\prime 1D$)$1\lambda \mathcal{F}+w\rho(F)-\rho(\mathcal{F})\mathfrak{j}\neq 0$

する.

を満たすものが存在.

注意 1.7. $\mu\neq 0$ であればとなるので,$\gamma(\mathrm{I}_{\mu}^{;})=0$$(\epsilon.’),$

$(f)$

における

.

$\iota_{0}^{\gamma}$

を$\mathrm{T}^{\gamma}$と置き換えてもよい.

以下の節では, すべてこの命題の $(C.)\Rightarrow(a)$ を用いて (1.6) を判定する.
次に, 後の節でも用いる partial Harish-Chandra 準同形の概念を導入する.

定義 18.

(i)のもと,$\mathcal{F}$を$\mathrm{U}(\mathrm{g})\backslash$と記す.

$\wedge:(F$(ii) 更に, 各

$\Pi$

の

の任意の部分集合とする. 直和分解$\mathrm{U}(|)f\oplus \mathfrak{m}(\mathcal{F}))$$F=\emptyset$$l\text{ノ}\in \mathfrak{h}^{*}$$\mathrm{U}(\mathrm{g})=\mathrm{U}(1)_{F}\oplus$$\mathfrak{m}(F))\oplus 1\overline{\mathfrak{n}}_{F}\mathrm{U}(\mathrm{g}\grave{)}+\mathrm{U}1ff)\mathfrak{n}_{F})$.

への射影を $F$ に関する partial Harish-Chandra 準同形と呼び,のときは, 物は通常の Harish-Chandra 準同形に対して, 写像$\Gamma_{\mathcal{F}}^{\nu}$.

$\Gamma_{F}^{\nu}(D)-\wedge jF(D)\in\sum_{H\in \mathfrak{h}_{F}}$:$\wedge j$と –致する.

を,$\mathrm{U}(\mathrm{g})arrow \mathrm{U}(\mathfrak{m}(\mathcal{F}))$$\mathrm{U}(\mathfrak{h}F\oplus \mathfrak{m}(F))(H-\nu.

となるように定める. ここで, 以下の直和分解を用いた

for any(H))$$D\in \mathrm{U}(\mathrm{g})$:.

$\mathrm{U}(\mathfrak{h}_{F}\oplus \mathfrak{m}(F))=\mathrm{U}(\mathfrak{m}(\mathcal{F}))\oplus\sum_{\in H\mathfrak{h}_{\mathcal{F}}}\mathrm{U}(\mathrm{t})\tau.\oplus \mathfrak{m}\mathrm{t}..F))(H..-.\cdot.\cdot\nu(H):.\cdot)$$\wedge:/F$及び珍には, 以下の性質がある :補題 1.9.

を$\mathrm{U}(\S)=\oplus_{\mu\mu}\mathrm{U}(9)$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\dagger)_{F})$:

すことにすると, 以下が成り立つ(i)$\wedge:/F$に関する weight 分解とする.

$\mathrm{U}(\S)0\text{を}\mathrm{U}(9)\mathfrak{h}x$

とも記及び r 多はともに ad [ y\oplus m(F) -加群の準同形である.
$($(ii) 任意の

$)$

$)$

に対して,

$D\in\oplus_{\mu\neq 0^{\mathrm{U}(\mathrm{g})}}\mu$$\wedge jF(D)=0$.

(iii) 任意の$D\in \mathrm{U}(9)^{\mathfrak{h}_{f}}$(iv) 任意の$D_{1}\in \mathrm{U}(9)^{\mathfrak{b}\tau}$$(\iota^{r}\mathrm{i})l\text{ノ}|_{\mathfrak{h}}(\mathcal{F})$

で

の

$\nu$

$\mathfrak{h}(F)$$\mathrm{U}(\mathfrak{h}(F.))=\mathrm{s}_{(\mathfrak{h}}(\mathcal{F},))$$w\in\iota,\mathrm{T}^{arrow}\ovalbox{\tt\small REJECT}(\mathcal{F})$.
$\mathrm{J}$に対して,$D-\wedge jF(D)\in \mathrm{U}(\mathrm{g})\mathfrak{n}_{F}\cap\overline{\mathfrak{n}}_{F}\mathrm{U}(9)$及び任意の$D_{-},\in \mathrm{U}(\mathrm{g})$$=$$\wedge jF(D_{1})\wedge:_{F}(/D2)$,$\wedge jF(D_{2}D_{1})$$=$$\wedge:F(|D_{2})\wedge.\cdot(fFD1)$.

$\wedge f\tau_{1}0\wedge jF_{2}=\wedge jF_{1}$への制限を表すことにすると, 任意のは$\gamma(\Gamma_{\mathcal{F}}^{\prime \text{ノ}}(D))(\nu|_{\mathfrak{h}(F}))=\wedge j(D)(U)$に対して,$\Gamma_{FF}^{\nu}=\mathrm{r}^{w}(\nu+\rho)-\rho$

.

に対して,

$\wedge jF(D_{1}D_{\underline{9}})$という包含関係があるとき,$(\backslash ^{r})F_{1}\subset \mathcal{F}_{2}\subset\Pi$(vii) 各$\text{また},$.
$D\in \mathrm{U}(\mathrm{g})$に対して,$\wedge((\mathrm{r}_{F}^{\nu}.(D))\in$

を満たす.

$-$

.

この節の最後に, 問題 1.1 をいろいろな放物型部分環の半単純部分に制限することを考察する.
れは, どのようなに対して問題 1.1 の解)が存在するかを調べるときに有益である.
$/\backslash \in \mathfrak{j}$を$\mathcal{F}$

とは別の

$\Pi$

$\overline{\mathfrak{n}}\tau|_{--}-=\overline{\mathfrak{n}}(\text{三})\mathrm{n}\overline{\mathfrak{n}}F$

後に,$\mathrm{U}(\mathfrak{m}(_{-}^{-}-))$$F^{*}$$\iota\nearrow$の部分集合として,と置く. 各)$/\backslash \in|$$\mathcal{F}^{*}$

三口$\mathcal{F}|_{\overline{=}}=$

に対して,$\mathcal{F},$$t_{)_{F}}|_{--}\neg=$h(三) 寡り三 nF, n 到三

に関して, 以下の 2 つの左イデアルと 2 つの商加群を定義する$J(\lambda_{F},)|_{\overline{=}}$$=$$\sum$$H\in \mathfrak{h}$$J_{F}(\lambda)|_{\overline{=}}$$\mathrm{U}$.

$\lambda|_{-}--\in \mathfrak{h}_{F}|---*\text{を}\mathfrak{h}_{\mathcal{F}}\models-arrow \mathfrak{h}.arrow \mathbb{C}\lambda\tau$:$\cdot$(m(三)) $(H-\lambda_{F}(H))+\mathrm{U}$ (m(三))n(三),.

$H \in \mathfrak{h}\tau|\sum_{\text{三}}.\mathrm{U}(\mathfrak{m}(\text{三}))(.H-’\backslash |---(H))+$$\mathrm{M}(_{/}\backslash _{F})|_{--}-$$=$$\mathrm{U}(\mathrm{m}(\text{三_{}\grave{l}})/\mathrm{J}(\lambda_{\mathcal{F}}.)|_{--}-$$\mathrm{M}_{F}(_{/}\backslash )|---$$=$$\mathrm{U}(\mathrm{m}(\text{三}\dot{j})/J_{\mathcal{F}}(\lambda\dot{)}|_{-}--$

.

,

三

n(三)\cap nF,
で定義する. 最
$=$

(三)

$=$

こ

$\mathrm{U},(\mathfrak{m}(\text{三}))(\mathfrak{m}(F|_{-}--)\oplus \mathfrak{n}\tau|_{-}--)$

,

80
及び

$\mathrm{M}(_{/}\backslash _{F})|---$

自然に$\mathrm{h}:\mathrm{I}_{\mathcal{F}}(_{/}\backslash )|_{--}-$

及び$\mathrm{L}^{:},\mathrm{I}(\lambda_{F})$はそれぞれ U(m(三)) の:命題 110.

(Ann

{

. が

$\mathrm{i}\mathrm{i})l^{\gamma}$$\mathrm{i})$各三$(\mathfrak{g}_{\text{、}}\mathcal{F}, /\backslash )$$\backslash \cdot\cdot \mathrm{e}1^{\backslash }\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}$加群であり, それぞれに埋め込まれる. これら 2 つの商加冠の highest weight はともに$\mathrm{M}_{F}(,\backslash )$である. 以上の準備のもと, 次が成り立つ{

加群及び–般$\backslash ^{\vee}.\cdot \mathrm{e}1^{\backslash }\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}$に対して,$\subset\Pi$$\mathrm{r}_{-}^{\underline{\underline{\lambda}}\tau}$)$\mathrm{L}:\mathrm{I}_{\mathcal{F}(_{/}}\backslash$$)\subset \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{h}:\mathrm{I}_{F}(\lambda)|_{-}--$に対する問題 1.1 の解であるとき, 両三

に対して,

$\Pi$

$\subset$.

に対する問題 1.1 の解となる. すなわち,$J_{F(_{/}}\backslash )|---=\mathrm{U}(\mathfrak{m}(\text{三}))\mathrm{r}_{\frac{\lambda}{--}}F(V)+J(_{/}\backslash \tau)|---$$/\backslash _{f}|\mathfrak{h}(\Xi)$.

$\Gamma_{\underline{=}}^{\lambda_{F}}(l^{r}..)$は$(\mathfrak{m}(\text{三}),..\mathcal{F}|.---, /\backslash |_{--}-)$.

この命題の系として, 次が得られる :系 111. 各
こで,

に対して,

$D\in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{M}_{f}(,\backslash )$$W(\Pi\backslash \mathcal{F})$は$\Pi\backslash \mathcal{F}$$\wedge j(D)$は$\{w(_{/}\backslash \tau+\rho)-\rho|w\in W\langle \mathrm{I}\mathrm{I}\backslash \mathcal{F})\}$

上で消える.

この各要素に対応する鏡影で生成される Weyl 群の部分群である.

Clifford 代数と直交 Lie 環

2次元ベクトル空間とする. そのテンソル代数
内に $\{e_{\mu}e_{\nu}+, e_{\nu}e_{\mu}|\mu\neq\nu\}$ 及び $\{e_{\nu}\underline’+1|\nu=1, \ldots, n\}$ が生成する両側イデアルを考えると, 商環 $C.l(n)=\mathrm{T}(E_{n}.)/R_{n}$ は . 上の Cliffbrd 代数と呼ばれる (Cliflbrd 代数について基本的を抽象的な基底 $\{e_{1}, \ldots, e_{n}\}$ が$E_{n}$$\mathbb{C}$

上生成する

$n$

’

$\mathrm{T}(E_{n})$$R_{n}$$E_{n}$

なことはまず,$e_{\nu}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{d}R_{n}$

各 $\nu=1,$$0$などを参照).

$[6, 3, 16_{\text{、}}1]$$\ldots,$

$n$

を簡単に

$e_{\nu}$.

と表すと $\mu\neq\nu$ なる添字に対して $e_{\nu}2=-1$ が成り立つ.

or 1for $\nu=1,$$\ldots,$$n$}が$\mathbb{C}$$\cdot$$Cl.(n)$$\nu$$\mu,$は$2^{n}$に対して \sim e\nu =-e。駄が成り立ち,

次元 e 線形環で {$e_{1}j_{1}\ldots e_{n^{in}}|$上の基底となる. 重複した要素を持たない添字の列

九$=$$I=\{\nu_{1}, \ldots, \nu_{\lambda}.\}$に対してという表記を用い, $Cl^{(k)}.(n)= \sum_{\# I=k}\mathbb{C}e_{I}(k=0$ , L. . . ,と置くと, 直和分解 $Cl(n)=\oplus_{k=0^{C^{1}}}^{n(}\iota)k(n)$ が得られる. この和を以下のように偶の部分と奇の部分とに分ける$e_{I}=e_{\nu_{1}}\cdots e_{\nu_{k}}$$n\dot{)}$:.

$1 \frac{n}{2}]$$1_{\overline{\mathrm{E}}^{-\mathrm{P}}}^{l}-,]$$Cl.(n)_{1}:.$$Cl.(n)_{0}=\oplus cl(2\dot{k})(n)$
$k=0$

すると,

.

$=\oplus Cl^{(1}2k+)(rl)$
$k=0$

は,

$Cl.(n)=^{c\iota.n)}’(0\oplus C\prime l(n)_{1}$$\mathbb{Z}_{2}$-次数環としての分解を与えるので,$C’ l.(n)0$は$c^{1}\iota_{(}n\dot{)}$の部分環となっている.

e 線形環一般の場合に通常行う方法で $C’ l.(n)$ 及びの部分 Lie 環であり, $n\geq 2$ のとき複素直交 Lie 環

を Lie 環とみなすと,$c\iota_{(n})_{0}$$c\iota^{(2)_{()}},1-\underline{\sim}_{s\mathit{0}}(n, \mathbb{C})$と置き,ここで, 後の節でも用いる) あるいは$\backslash$$c^{1}\iota 1n$$\mathrm{g}$$C^{\mathrm{t}}l.(’ 7)0$

部分環

の実部

に関するいくつかの設定を行う. 以降では,る$\triangle/,$$\triangle^{+},$の基底となっているので, これを用いて$\Pi_{\text{、}}\mathrm{g}_{\alpha},$$\mathfrak{n},$$\ldots$$\{\sqrt{-1}F_{1,2}, \ldots, \sqrt{-1}F_{2n\iota-1^{\wedge},2m}\}$:$\mathfrak{h}_{\mathrm{R}^{*}}$

は–意的に定まる. 各 $\nu=1,$$\nu$$\mu,$$\ldots$に対して,とし, 整数$\mathrm{g}=$,$\mathfrak{n}\mathrm{z}$に対して$\mathrm{A}_{\nu}\in \mathfrak{h}^{*}$の双対基底となるように定める. 各 $\nu=1,$
士を$\ldots rn$$\gamma\gamma$?

をと置く. Cartanに辞書式順序を導入する. すると,$[\sqrt{-1}F_{2\nu-1,\overline{2}\nu}, (_{C_{2\nu-}}1\pm\sqrt{-1}e2\nu).]arrow-$$\mathrm{g}$

はり

に対す

$\{\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{||)}\}$

が

に対して,

$(_{C_{2}\nu-1}\pm\sqrt{-1}\epsilon.\cdot 9\text{ノ})\sim l$$\mathfrak{n}$が五の基底を与える.

$n>\underline{9}$$F_{\mu,\nu}= \frac{e_{\mu}e_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}{9,arrow}$$\{\sqrt{-1}F_{1,\underline{9}}, \ldots, \sqrt{-1}F_{2n1-1,2}\}\mathfrak{n}\}$が容易に確かめられるので, $\{(e_{2\mu-1}+\sqrt{-1}e2\mu\grave{)}\epsilon_{\nu}|2\mu<\nu\}$ が の基底,$\nu\}$$C’ l(’ \mathrm{z},)0$を自然な方法で g-加州とみなす.

を $\{F_{1,2}, \ldots‘, F_{2,n-1,2\dot{m}}\}$ で張られるものとすると,$\mathfrak{h}_{\mathrm{R}}$はと同形になっている. そこで,$\epsilon \mathrm{o}(n, \mathbb{C})$$!?=2m.+1$ または $2m$ となるよう定める. $\mu\neq\nu$ である添字$\mathfrak{h}$$c\iota^{\mathrm{t}2)}.(’ 1.)$..

$\{(e.\underline’-1-\mu\sqrt{-1}e.2\mu)e.:\ovalbox{\tt\small REJECT}|2_{\{l}<$

81
(a) ,

. $+1$ の場合、$\mathrm{r}=2m$$\square =\mathrm{f}^{\Lambda_{1^{-}}\Lambda_{2}},$$\Lambda_{2}-$$\Lambda_{1}-\Lambda_{2}$

で 9 は $(B_{n},)$ 型.

$\Lambda,\Lambda,1l’\Lambda\eta l\}$$\ldots,$

A3$\Lambda_{m-1}-\Lambda_{nt}$$\Lambda_{?ll}$(b) $n=2\gamma 7?$. の場合,$\Pi=\{\Lambda_{1}-\Lambda_{2}\text{、}.

.

.

, \Lambda_{m-1}-\Lambda_{m}, \Lambda_{m-1}+\Lambda_{m}\}$Cliflord 代数の話に戻る.

で$\mathfrak{g}$は { $D_{nl})$ 型.

) の “ 最高次 の要素 $e.\{1, \ldots, n\}=e1\ldots e_{n}$ をは .
ると,に自明に作用するので, 写像):の自己同形を与える. この自己同形に関して次が成り立つ :$\mathrm{g}$”$c^{1}\iota \mathrm{t}n$$*\cdot e_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}$$e_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}$命題 21. 各 $k=0,$$\ldots,$$c’\iota \mathrm{t}n$$\mathrm{e}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}$$\ni a\mapsto+a\cdot e_{\mathrm{t}\mathrm{p}}\circ\in Cl.(n)$と表すことにすは$\mathrm{g}$-加群 $Cl.(n)$に対して$[ \frac{n-1}{2}]$$Cl^{(k)}.(n)\cong C\iota(\mathcal{R}-k)(?1)$

であり, これらは highest weight. の場合は,.

$n=^{\underline{\eta}_{7?}}’$

で,$\vee\succ=\pm\sim 1$$*\cdot e_{\mathrm{t}\mathrm{o}_{\mathrm{P}}}$

に対して,

が

$Cl^{(r?}l,\vee$$\Lambda_{1}+\cdots+\Lambda_{k}$$c^{l}\iota^{(}nl$)$P(2,\eta.)$)$(_{-\gamma}"?.)$の既約 g-加群である.

の自己同形を与えるが, この作用は自明ではない. そこを$\{e_{\{\sigma^{-1}(1}), \ldots, \sigma-\perp(m)\}-\sim(c\sqrt{-1})^{n\iota^{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)e_{\mathrm{t}\sigma^{-}(1}1),$$\sigma-\perp n\iota+(2m)\}|\sigma\in\ominus_{2n\iota}\}$$\ldots,$で張られる

命題 22.

$\mathbb{C}-$:

線形空間とすると, 次が成り立つ) $=C^{1}l^{()l,+}|$ )$Cl^{(m)_{(^{\underline{9}\gamma}\gamma?}}...$$(2,\gamma\overline{\iota}.)\oplus C’ l^{(?t,-)}.|(\underline{9}n?.)$であり,$c’ l^{(m,)}\veearrow(2_{l}\gamma l)$は highest weight$\Lambda_{1}+$, の既約 g-加群である.

$+\Lambda_{1’\iota-1}-\in\Lambda_{l)}$

次に,

写像

$c’\iota_{(\mathrm{t}},)_{0}$と$\mathrm{U}(\mathrm{g})=\mathrm{U}(\epsilon \mathrm{o}(n, \mathbb{C}))$の間の関係について考察する.

$\mathfrak{g}=5\mathit{0}(n, \mathbb{C})=C’l(2)(’)\mathrm{c}_{arrow C’\iota_{(}n})_{0}$に拡張される.

$C’l^{(2)}(n\dot{l}$逆となるような写像$\gamma_{1}$:の普遍性により, 包含

は e 線形環としての準同形 $.-”$ : $\mathrm{U}(\S)arrow C’l.(n)_{0}$は $C’ l.(n.)_{0}$ 全体を$Cl.(n)0arrow \mathrm{U}(\mathrm{g}\mathfrak{j}$$\mathrm{U}(\S)$に–意的-線形環として生成するので, ” は全写像である.
$\cdot-$$\mathbb{C}$を以下のように構成する: 各 $k=1,$$\ldots$,

この[引及び重複のな

い添字の列 $I=\{\nu_{1}, \ldots, \nu_{2k}\}$ に対して$, \}(e_{I})=\frac{\underline{?}^{k}}{(^{\underline{9}}k.\cdot.)}.$$\sum_{\sigma\in(\tilde{5}2k}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma.)F_{\nu_{\sigma^{-}}}1$とする. また,$C’ l^{(0)}(\uparrow\tau,)$

上は

it$C’l(0)(\uparrow\tau)\ni 1\vdasharrow 1\in \mathrm{U}(\mathrm{g},)$定めることはすぐ分かるが, 実は次が成り立つ:$-1_{(2)}^{\cdot}$..

$F_{\nu_{\sigma^{-1_{(}}}2k-\perp)},$$\nu\sigma-1\mathrm{t}2k$

)

(2.1)

とする. これが C[形写像を well-defined に82
命題 23.

を随伴作用により$\mathrm{U}(\mathrm{g})$$\mathfrak{g}$-加群とみなすと, ,7 :].affian の形をしているので, 17 の像を(2.1) の右辺は$\mathrm{P}\mathrm{f}$命題により, 各 $k=0,1,$$\ldots,$. に対して,$\mathfrak{g}$-準同形であり,.affian 型の作用素と呼ぶことにする. このは-stable な部分空間となる. ま$\mathrm{P}\mathrm{f}$$\eta(C’ l^{(2})(’\iota)k,$ $)\subset \mathrm{U}(9)$$’ 7l$の場合は, etop $\in C’ l(n.10$ なので, 任意のstable である. 更に, $n=2,7?$. で,7? が偶のときは,$n=2r7\iota$$\tau\in \mathbb{C}$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\S)$

に対して ,7$C^{\mathrm{t}}l^{(\cdot)}?\iota(’ 1)\subset C$’$((e_{\mathrm{t}\mathrm{o}_{\mathrm{P}}}-\tau)c1\iota(2k),l())$$l.(|\tau)0$$\cdot$であるから,-stable な)-stable である. これらの .aifian 型の作用素が作るて問題 1.1 の解を構成しようというのが, 以下の節の主題である.
この節の最後に .affian 型の作用素に関する簡単な公式を挙げる :もはが成り立つ.

$\overline{."}0\eta=\mathrm{i}\mathrm{d}_{C\iota}\mathrm{o}(n)$た,$\backslash$$C’ l.(’\tau)0arrow \mathrm{U}(\mathrm{g}.$$\mathrm{P}\mathrm{f}$$\mathrm{a}\mathrm{d}(9)-$$r7(Cl^{(n?}.’)n\pm().)$の部分空間を用い$\mathrm{U}(9)$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{g}.)$$\mathrm{a}\mathfrak{c}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{g}$も$\mathrm{P}\mathrm{f}$補題 24. 各ん $=1,$$\ldots,$$[ \frac{n}{2}]$及び重複のない添字の列$I=\{\nu_{1}, \ldots, \iota \text{ノ_{}2k}\}$

に対して,

(i)
$\mu\dot{.}’ \mathfrak{j}(e\{\nu_{2},\ldots,\nu_{i}^{\wedge},\ldots ,\nu_{-k}\neg\})$$\gamma 7(\epsilon_{\mathrm{t}^{\nu_{1},\ldots,\nu_{2k}}}.\cdot\})=\frac{\underline{\supset}}{2k-1}.\sum_{i=2}^{2k}(-1)iF\nu 1,$.

(ii)$\sum_{i<j}(-1.\mathrm{I}^{i+}j+\perp,.’)F_{\nu i}, \nu j7(\epsilon_{\mathrm{t}^{\nu}}\wedge\wedge\}=1,\ldots,\nu i,\ldots,\nu_{\mathrm{j}},\ldots,\nu_{2k}’\frac{k(_{-k-}1)}{\underline{9}},7(e_{I})$.

が成り立つ.

Pfaffian 型の作用素

3

この節では $n\geq 5$ を仮定し, 前の節での$\mathrm{g}$の設定を踏襲する. まず$\Pi$のいくつかの部分集合の定義から始める.
定義 31. 整数ん $=1,$$\ldots,$$r7?-1$ に対して,の場合は, F 因$=\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash \{\Lambda_{k}-\Lambda_{k+1}\}$用いる.

. の場合は,$\mathcal{F}^{[k]}$$|\tau=\underline{9}r\tau?$に関する partial

命題 32. 各 $e=0,1,$$\mathcal{F}^{1^{nl-}}1$

]

とする.

$’ 7?\cdot-k^{\wedge}$$\mathcal{F}^{[k]}\subset\Pi$$\uparrow\tau=2_{7?},$:を以下のように定める $k=1,$. $+1$ の場合は,$F^{1^{nl}-}1$$=\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash \{\Lambda_{n\iota-1}-\Lambda_{\eta l}, \Lambda m-1+\Lambda_{t?l}\}$$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{h}-\mathrm{C}1_{1}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}$$\ldots,$

有限集合

及び

に対しても同じ定義をとする.

準同形について, 以下が成り立つ$2k<\iota \text{ノ_{}1}<\cdots<\iota \text{ノ_{}2l}\leq|\tau$]$n\mathrm{z}-?arrow$$\ldots,$:であるような各$I=\{\nu_{1}, \ldots, \nu\underline’\ell\}$について,$\wedge;.F^{\iota k}\mathrm{l}(\eta(e_{2}k-1e2ke_{I}.))=\frac{1}{2\ell+1}(\frac{2}{\sqrt{-1}})(\sqrt{-1}F_{2k-}1,2k+\oint)\eta(e_{I}.)$.

affian 型の作用素を用いて問題 1.1 を解く際に鍵となるものである. また, 直交 Lie環の行列式型の作用素は .affian 型の作用素の 2 乗となっているのだが ([9] の結果), 行列式型の作用素を用いて, 問題 1.1 の解を構成する場合にも非常に重要な役割を果たす. 証明の前に次を準備
この式は,$\mathrm{P}\mathrm{f}$$\mathrm{P}\mathrm{f}$する:

補題 33. $k=$ L. . .

とし,$\uparrow 7?\cdot-1$
$,$

このとき,

(i)

$F_{\alpha}$,$\beta\in \mathfrak{y}_{\mathcal{F}^{\mathfrak{l}k}\mathrm{l}\oplus}\mathfrak{m}(\mathcal{F}^{[k}])$.

$\{\alpha, \beta\}$

を $2k<\alpha,$$,!\mathit{3}\leq n,$$\alpha\neq \mathcal{B}$であるような添字の組とする.

83$( \mathrm{i}\mathrm{i}.)\gamma_{F1^{k}\mathrm{j}}(F_{2}k-1, \alpha F2k, \beta)=\frac{\sqrt{-1}}{2}F_{\mathrm{o}\cdot,\beta}$.

$-$(ii) の証明. $H\text{因}=\sqrt{-1}F_{1,2}+\cdots+\sqrt{-1}F_{2k-1,2k}$ はり F[’1 に属する. $2k<\xi\leq n$ であるような添$(e_{2k-1}+\sqrt{-1}e_{2\lambda}.)\epsilon_{\xi}.|=(C_{2k-1}+\sqrt{-1}e_{2k}.)e_{\xi}$ であるから,字 に対して, [$\xi$$H^{[k]},$が分かる. 従って, (ii) は以下のように計算される$F_{2k-1,\alpha}F_{2}k,\beta$’$\in\overline{\mathfrak{n}}_{F}\in \mathfrak{n}_{F}|_{k}^{k}\mathrm{J}\mathrm{J}$:$(. \frac{F_{2k-1,\alpha}+\sqrt{-1}F2k,\alpha}{2}+\frac{F_{2k-1,\alpha}-\sqrt{-1}F2k,\alpha}{2})$

$=$

.

.

$( \frac{F_{2k-1,\beta}+\sqrt{-1}F2k,\beta}{2\sqrt{-1}}-\frac{F_{2k-1,\beta}-\sqrt{-1}F2k,\beta}{2\sqrt{-1}})$$-( \frac{F_{2k-1,\alpha}+\sqrt{-1}F2k,\alpha}{2})(\frac{F_{2k-1,\beta}-\sqrt{-1}F2k,\beta}{2\sqrt{-1}})$$\equiv$

mod$\overline{\mathfrak{n}}_{F^{[k]}}\mathrm{U}(\S)+\mathrm{U}(9)\mathfrak{n}_{F[]}k$$\frac{\sqrt{-1}}{4}[F_{2k-}1, \alpha+\sqrt{-1}F_{2}k, \alpha’ F_{2k-}1,\beta-\sqrt{-1}F_{2k,\beta}]$$\equiv$$\frac{\sqrt{-1}}{2}F_{\mathrm{o}\cdot,\beta}$

$=$

.
口

命題 32 の証明. 補題 24(i) により,$\uparrow l(e_{2k1}-e_{2k}e_{I})$$=$$\frac{2}{2l+1}F_{2k-1,2k}\eta(e_{I})$$\nu\cdot\eta(|)2te_{2}ke_{\{\nu_{1},\ldots,\nu_{i},\ldots,\nu_{2}\ell\}}\wedge$$+ \frac{2}{2e+1}\sum(-1)^{i}F2k-1,$

.

(3.1)

$i=1$

再び補題 24(i) を適用して,$\sum_{i=1}^{2l}(-1)iF2k-1,$ $\nu_{i}l\uparrow(e2ke_{\{}\wedge\})\nu 1,\ldots,\nu;,\ldots,\nu_{2}p$$\nu_{\mathrm{j}}\eta(e\{\nu_{\perp},\ldots,\nu_{j},\ldots,\nu i,\ldots,\nu 2t\})l-1\wedge\wedge$$\frac{2}{2e-1}\sum_{i=1j}\underline’\sum_{=1}^{i}(-1)i+j+1F_{2}k-1,$ $\nu_{i}F2k,$$=$$- \frac{\underline{?}}{2\ell-1}\sum_{1i==}^{2\ell}\sum_{ji+1}(2f-1,\mathrm{I}i+j+1F_{2}k-1,$ $\nu iF_{2k,\nu}j\eta(e\mathrm{t}\nu_{1},\ldots,\nu i,\ldots,\nu j\nu_{2l}\}\wedge\wedge,\ldots,)$$=-, \frac{9}{arrow\ell-1}arrow\sum_{i<j}(-1)^{ij1}++(F_{2}k-1, \nu;^{F_{2}}k, \nu_{j}-F_{2k-1,2k,\nu_{i}}\nu jF)$.
ここで, 補題 33($\mathrm{i}^{\backslash },|$

により$\eta(e_{\{\nu,\ldots,\nu^{\wedge}}1i,\ldots,\nu^{\wedge}j,\ldots,\nu 2f\})$.

.

$\gamma l(e_{\{\nu_{1,\ldots,?}}.\wedge \text{の},\ldots,\nu 2\ell\})\nu,\ldots,\in \mathrm{U}(()_{F^{\mathrm{r}}}k\mathrm{l}\oplus \mathfrak{m}(\mathcal{F}^{1^{k}}],))$

である. 補題 19(iv) 及び

84
補題 33

$\langle$$\mathrm{i}\mathrm{i})$によって,$\wedge j_{F}\iota k\mathrm{J}(_{i}\sum_{=1}^{2\ell}(-1)iF2k-1,$$\nu.\cdot\eta(e2ke\{\nu_{1},\ldots,\nu\wedge\dot{.},\ldots,\}\nu_{2}\mathit{1}))$$=- \frac{2}{2\ell-1}\sum_{i<j}(-1)^{i}+j+1k\wedge i\tau t\mathrm{l}\{F2k-1,$.

$\nu_{i}F2k,$$\nu j-F_{2k-1},$ $\nu_{j}F_{2k},$$\nu.\cdot)$.

,$\eta(e_{\{\}}\nu_{2}f)\nu_{1},\ldots,\nu^{\wedge}i,\ldots,\nu_{\mathrm{j}}^{\wedge},\ldots$,$=$$-. \frac{2}{2\ell-1}\sum_{i<j}(-1)i+j+11\frac{\sqrt{-1}}{2}F_{\nu.\nu_{\mathrm{j}}}.,-\frac{\sqrt{-1}}{2}F_{\nu_{j},\nu}.\cdot)\eta(e\mathrm{t}\nu 1,\ldots,\nu;,\ldots,\nu \mathrm{j}\nu 2f\})\wedge\wedge,\ldots$$=$$- \frac{2\sqrt{-1}}{2l-1}\sum_{i<j}(-1)i+j+1F\nu.,$$\nu j\eta(e_{\{.\nu,\ldots,\nu_{2}\}}\nu_{1},\ldots,\nu\wedge,\ldots,\wedge j\iota)$(補題 2.4$- \frac{2\sqrt{-1}}{2l-1}\frac{p(2\ell-1)}{2}\eta(e_{I})$$=$$(\mathrm{i}\mathrm{i})$)$-\sqrt{-1}\ell^{-}.\eta(e_{I}).-$$=$(3.1) の第–項はすでに$\mathrm{U}(\mathfrak{h}F1k\mathrm{J}\oplus \mathfrak{m}(\mathcal{F}^{1^{k}]}))$$\wedge j_{F^{[k]}}(\eta(e_{2}k-1e_{2k}e_{I}))$$=$に属しているので,$\frac{2}{2p+1}F_{2k-1,2k\eta}(e_{I})$$+ \frac{2}{2p+1},(-\sqrt{-1}p\eta(e_{I}))$$=$$\frac{1}{2l+1}(\frac{2}{\sqrt{-1}})(^{\sqrt{-1}+p)}F_{2}k-1,2k’ l(e_{I})$$\square$を得る.

Pfaffian 型の作用素の Harish-Chandra 準同形による像を求める.
定義 3.4.

$6_{n}$の特別な要素

を

$P$

$\{$

$p(2k-1)=2k$

for . $=1,$$\ldots,$$p(2k)=2k-1$

for . $=1,$$\ldots,$$p(n)=n$

if $n=2m+1$で定める. また, 非負整数 $P=0,1,$
定理 35.
$1,$$\ldots,$(i) $p=1,$
$2P$

. とし,

$\ldots,$ $m$に対して$\ldots$$p(\nu_{i})\not\in I$

$k$

$k$

に対して,

$C^{(\ell)}= \frac{f^{1}}{(2)!}i$$I=\{\nu_{1}, \ldots, \nu_{-}’\ell\}$

$n$

?

,

$77?\cdot$,$( \frac{4}{\sqrt{-1}})^{\ell}$という定数を定める.

を重複のない添字の列とする. ある $i=$

であれば,$\gamma(\eta(e_{I}))=0$(ii) $p=$ L. . . ,$l7?\cdot$.

とし $J=\{\nu_{1}, \ldots, \nu_{t}\}$ を $1\leq\nu_{1}<\cdots<\nu\ell\leq 77?$. なる整数列とする. $I=$$\{2\nu_{1}-1,2\nu 1,2\nu\underline’-1,2\nu_{2}, \cdots, 2\nu_{l}-1,2\nu_{\ell}\}$

と置くと,

オ
$\wedge’(|\eta(e_{I\grave{\mathrm{I}})}=C^{(f)}\prod_{i=1}(^{\sqrt{-1})}F2\nu_{i}-1,2\nu_{i}+(\ell^{C}-i)$が成り立つ.

85
証明. (i).

は $2,7?+1$ とはなり得ない.

$|\text{ノ_{}i}$$F_{\nu_{\dot{f}},p}(\nu_{i})\in$

りに注意すると,$e_{\mathrm{t}^{\nu_{\perp},\ldots,\nu}}i-1 \}^{(}.\frac{e_{\nu_{i}}+\sqrt{-1}e_{p(\nu)}i}{2})e_{\{}\}l\text{ノ}i+1,\ldots,\nu 2I$$=$$e_{I}$

また,$\nu_{i\perp}-\}(\frac{e_{\nu_{i}}-\sqrt{-1}e_{p()}\nu_{i}}{2}.)e\{\nu.\cdot+1, \ldots, \nu 2t\}$$+\epsilon_{\mathrm{f}^{\nu}\perp}.\cdot,$,$\ldots,$であるから,

は 2 つの$\eta(e_{I})$$0$

でない固有値を持つ乃,,$\mathrm{p}(\nu_{i})^{-}$

固有ベクトルの和である. 従って補題

19(ii) により, : の像は消える.
’ に関する帰納法で示される. まず $e=1$ のとき (ii) は明らかである. 次に $t:>1$ と仮定して,(ii)$\wedge,$$\mathfrak{l}3\mathrm{i}\not\in$$\wedge|^{:(.)}\eta(e_{I^{\backslash }})$$=$$\wedge:(_{l}|’(e_{2}\nu 1^{-1}e2\nu_{1}e\{2\nu_{2^{-}}1,2\nu 2,\cdots,2\nu_{t}-1,2\nu_{l}\}))$$=$$\wedge j\mathrm{O}^{\wedge}j_{F\mathrm{J}}\iota\nu_{1}(\gamma l(\epsilon_{2\nu}.’2\nu_{1}6\mathrm{t}^{2\nu}2^{-}1,2\nu 2,\cdots,2\nu_{t}-1,2\nu_{l}\})1^{-16})$(補題 1.9$=$)$(\backslash ^{r})\backslash$$\gamma(\frac{\perp}{\underline{9}\ell-1}(_{\overline{\sqrt{-1}}}.)\mathrm{t}\sqrt{-1}F_{2\nu-1,2}\nu_{\perp}+(1e\underline{\text{ノ}})-1)$.,$l(e_{\{,\nu\}}.2\nu_{2}-1,2\nu 2,\cdots,2\nu_{l}-1_{-}’ t))$.

(命題 3.2)$= \underline,\beta(2\mathrm{f}‘\overline{-1)}|(\frac{4}{\sqrt{-1}})(\sqrt{-1}F_{2\nu_{1}- 1,2\nu_{1^{+}}}(\theta-1))\cdot$.

$\wedge.(_{\mathit{7}|}’(e\{2\nu 2^{-1},2\nu 2,\cdots,2\nu e-1,2\nu e\}))$.

(補題 1.9$(\mathrm{i}\mathrm{v})$

従って, 各垣こ対して (ii) を得た.
さて,

)
口

この講演の主結果として,$(B_{n\mathrm{z}})$型$(D_{\mathfrak{n}\iota})$

型共通の場合について, 問題 1.1 の解を構成する. 後で, 他に場合にも Piaffian 型の作用素を用いて問題 1.1 の解を構成するが,ここに述べるものがいろいろな意味で–番強いものとなっている.

. .

定義 36. $k\cdot=1$ .

$,$, $l7?-2$ に対して,$F_{\{k\}}=\Pi\backslash \{\Lambda_{1}-\Lambda_{2}, \ldots, \Lambda_{k}-\Lambda_{k+1}\}$と置く. また, $n=2n¿+1$} に対しても同じ定義をする. この定義は, 次の Dynkin 図式で視覚化される.
黒丸が退化しているルートであるの場合には,$\tau_{\mathrm{t}’ 11-}1$:$F_{\{\mathit{1}\cdot 1}$:$k=1,$ $\ldots,$$lB_{1},,.1$$\Lambda_{1}-\Lambda_{2}$$U$$$ の疋義 )$\uparrow 7?-1$$\Lambda_{k+1^{-}}\Lambda_{k+2}$$\mathrm{b}$.

$\Lambda_{\eta\iota-1}-\Lambda n$$\Lambda_{tll}$と,$|)_{F_{\{\}}}k=\{\sqrt{-1}F_{1,2}, \ldots, \sqrt{-1}F_{2k-1,2k}\}$ ,$1)(\mathcal{F}\{k\}.)=\{\sqrt{-1}F_{2k1,2\lambda 2}+\cdot+, \ldots, \sqrt{-1}F_{2\eta\iota-}1,2nt\}$に注意する.

86
定理 37. $n=-,,7?+1$ の場合は $k=1,$$\ldots,$$’ 7?\cdot-1,$の場合はゐ$’\iota=\underline{9},v\iota$$=\mathrm{L}\ldots,$$’$) $\overline{l}-2$

とする.

ま

た, 多項式ゐ$\Psi_{\mathrm{t}^{k}\}}=i=1\square (\sqrt{-1}F2i-1,2i+k-i+11\in \mathrm{U}(\mathfrak{l})F;k\})’=\mathrm{s}(|)F_{\dagger}k1)$:を定めると以下が成り立つ(i).

$q(C’ l^{(2}(k+1))(n))\subset \mathrm{U}(\mathrm{g}.)(\mathfrak{m}(\mathcal{F}_{\{}k\}.)\oplus \mathfrak{n}F_{\{}k\})$(ii) イデアル$\mathcal{I}\subset \mathrm{S}(\mathfrak{h}_{F_{\{k}}\})$

に対して$\mathrm{U}(\mathrm{g})’ 7(c’ l^{(2}.(k+1))(\prime l))+\mathrm{U}(_{9)}(\mathcal{I}t..*\mathfrak{n}\tau_{\mathrm{t}k\}})$.

が成り立つためには,(iii)$/\backslash \in|)\tau_{\{k}\}*$$\mathcal{I}+\mathrm{s}_{(}1_{1F}\{k\})\Psi_{\{k\}}=\mathrm{S}(|)_{\mathcal{F}}\{k\}.)$$\supset \mathfrak{m}1F_{\mathrm{t}^{k}}\})$

が必要十分である.

に対して.

$J_{F_{\{k\}}}(_{/}\backslash )=\mathrm{U}(ff)$$’ 7(c|l(2(k+1)\mathfrak{l}(’ 1.))+J(_{/}\backslash _{F}\}\{k)$が成立するためには

for $i=1,$$/\backslash (\sqrt{-1}F2i-1,2i)\neq-(k-i+1)$$\ldots,$$k$が必要十分である.
注意 3.8. (i), (ii) により, (ii) の条件を満たすイデアルは,$\mathcal{I}\subset \mathrm{S}(|)F\{k\})$.

$\oplus \mathfrak{n}F_{\{k\}}\mathrm{U}(_{9\dot{J}7()}tC|l^{\langle}2(\lambda.+1))(’ \mathrm{t})+\mathrm{U}(9.\cdot)(\mathcal{I}\oplus \mathfrak{n}F_{\{k\}})$$\mathrm{U}(\mathfrak{g})(\mathcal{I}\oplus \mathfrak{m}(\mathcal{F}\mathrm{t}k\mathrm{I}^{))=}$

を満たす. 問題 1.1 !礼 主系列, 退化主系列に関連した 2 つの左イデアルの差を求めよというものであったが, このことは,がより -般化された 2 つの左イデアルの差にもなっている$\eta(C^{\cdot}l^{(2(k+}1))(’ 1))$

ことを示す.

定理 3.7 の証明. 退化の仕方から, 各$\lambda_{k}\Lambda_{k}+0\Lambda_{k+1}+\cdots+0\Lambda_{t7l}$) $F;_{k\}}*$ は,$\lambda\in|$と表せる. 以下ではこのようなと記すことにする. まず定理 35 によって, 各ることがすぐ分かる.

複素数

この, $?(C’ l^{(2}(k+1))(’ l))$. とみなすと, 任意の$\mathrm{U}(9\oplus|)_{F})’$$,\backslash \in$あるから, 命題 15 によって, 各}

for $i=1,$$\ldots$、んであるから,$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{l}_{1}$$\lambda_{F_{\{k\}}}\in \mathrm{I})^{*}$$\epsilon_{I}.\in c^{1}\iota(2(k+1))(’?.)$$)_{F_{\{\}}}k*$

に対して
に対し

を用いて,

を簡単に

に対して

$,\backslash _{\mathcal{F}_{\{k_{/}^{\mathrm{t}}}}=/\backslash _{1}\Lambda_{1}+\cdots+$$(_{/}\backslash _{1}, \ldots, /\backslash _{k}, 0, \ldots, 0.)$$\wedge,.(|l(e_{I}.))(_{/}\backslash _{F_{\{k\}}})=0$

で$A_{\lambda}(\eta(cl^{(}.2(k+1))(’\not\supset.))\ovalbox{\tt\small REJECT})=\eta(c|\iota^{(2}(k+1))(’ x.))$

となる.

-

方,

より (i) を得る.

に対して, $e_{\{1,\ldots,2k\}}e$$e_{\beta}\in c^{t}\iota(2(k+1))(’ t)$

.。

である.

$F^{[i]}\supset F_{\{k\}}$-Chandra 準同形の計算のときと同様に命題 32 から帰納的に$\wedge:/F\dagger k\}(,7(e_{\{1,\ldots,2k}.\}e\mathrm{O}.e_{\beta}))=\sqrt{-1}F_{\alpha},{}_{\beta}Cr(k+1)\Psi_{\{\}}k$

を得る.
更に,

とな

$(C|l^{(}2(k+1))(\uparrow\tau))\subset \mathrm{U}(\mathrm{B})\subset$$\text{て}\uparrow \mathfrak{j}(c’\iota^{((}2k+1))(n))\subset J_{F_{\{k\}}}(_{/}\backslash )$$\cap\{J_{F_{\mathrm{f}k\}}}(_{/}\backslash )\backslash |\lambda\in|)_{F_{\{\}}}k*\}=\mathrm{U}(\mathrm{g})(\mathfrak{m}(\mathcal{F}_{\mathrm{t}^{k}}\})\oplus \mathfrak{n}\tau_{\{k\}})$$2k<\alpha<d\leq n$ なる添字の組$\ldots,$に命題 15 を用いるために, ,7$\lambda\in \mathfrak{h}\tau_{\{k\}}*$$(\alpha, .\mathcal{B},)$$\lambda_{k}$$,\backslash _{1},$$7t(e_{\{2k\}}1, \ldots,e_{\alpha}e_{\beta})\in \mathrm{U}(\mathrm{g})^{1_{7F}}\{k\}$であるから, 補題 19(iii) により,$\uparrow 7(e_{\mathrm{t}^{1,\ldots,2}}.k\}\epsilon.\alpha e_{!}\partial)\equiv\sqrt{-1}F_{\alpha},{}_{\beta}C^{(\cdot)}’ k+1\Psi_{\{\cdot\}}k$mod$\mathrm{U}(\mathrm{g}.)\mathfrak{n}\mathcal{F}_{\{}$

。

87
{

となる.

は

$\sqrt{-1}F_{\mathrm{o}\cdot,\beta}|2k<\alpha<.\sim j’\{\leq’ l\}$$\mathfrak{m}(\mathcal{F}_{\{\lambda\cdot\}},)\backslash$の基底となるので, イデアル$\mathcal{I}\subset \mathrm{S}(\mathfrak{h}_{F_{\{}}k$

}

$)$

が

を満たせば,$\mathcal{I}+\mathrm{S}(|)f\mathrm{f}k\})\Psi_{\{k\}}=\mathrm{S}(|)_{F_{\{\}}}k)\backslash$$\mathrm{U}(\mathrm{g})\eta(C^{\tau}l(2(k+1))(l\mathrm{z}))+\mathrm{U}(\mathrm{g})\mathrm{t}\mathcal{I}\oplus \mathfrak{n}_{F})\{k\}\supset \mathfrak{m}(F_{\mathrm{t}^{k}\}})$.

が成り立つ. 特に極大イデアル$\mathcal{I}=\langle(\sqrt{-1}F1,2-\lambda 1)\ldots., (\sqrt{-1}F_{2k-1,2k}-\lambda_{k})\rangle\subset \mathrm{S}(\mathfrak{h}r_{\{}k\})$を考えると, 各 $i=1,$$J(\lambda_{\mathcal{F}}\mathrm{t}k\})$識に対して $/\backslash _{i}\neq-(k-i+1)$ であれば,$\ldots$$J_{F_{\{k\}}}(_{/}\backslash )=\mathrm{U}(\mathrm{g})\eta(c’\iota.(2(k+1))(n))+$が成り立つ.

(iii) の必要性を示すために, ある $i=1,$$\ldots,$$k$に対して $,\backslash _{i}=-(k-i+1)$ であると仮定する.
または $k<m$. $-1$ の場合,$\Lambda_{k+1}-\Lambda_{k+2}$$n\neq 2r7l\cdot+1$$\Lambda_{n}$$n=2,7?\cdot+1$ で$\alpha=\{$. をとると,という単純ルート$(_{/}\backslash _{1}, \ldots, ’\backslash \iota., -1)$$\alpha\in F_{\{\lambda\}}$. $-1$ である場合,$k^{\wedge=}m$$\lambda\tau_{\{k\}}-\alpha=(_{J}\backslash _{1}, \ldots, /\backslash _{k}, -1,1,0, \ldots, 0)$となる. ここで, 定理 35 から, すべての)) k)$$e_{I}\in Cl^{(2(+1}.$$(|\nu$a)=0$ となることが容易に分かる. 従って命題 16(e) により,$J(_{/}\backslash _{\mathcal{F}}\mathrm{t}k\})$ると仮定する. このとき, 複素数が$\mathcal{I}+\mathrm{S}(\mathfrak{h}\mathcal{F}_{\{k\}})\Psi_{\{k\}}$$,\backslash _{1},$$/\backslash _{k}$$\ldots,$$\mathcal{I}\subset \mathrm{S}(\mathfrak{h}_{F}\{k\})$を極大イデアルを含むように取れる. すると,

ついて $\lambda_{i}+(k-i+1)=0$ となる.

$\gamma(\eta(e_{I}))1\lambda_{F_{\{k\}}}-$$J\tau_{\{k\}}(\lambda)\not\subset \mathrm{U}(\mathrm{g})\eta(cl^{((1}2k+))(n))+$である.

$\mathrm{U}(\mathrm{g}),l(Cl.(2(k+1))(n))+\mathrm{U}(\mathrm{g})(\mathcal{I}\oplus \mathfrak{n}_{F_{\{k\}}})\not\supset \mathfrak{m}(\mathcal{F}_{\{k\}})\backslash$$\eta(c\iota^{(2(}k+1))(’ 1\mathfrak{j})$解が存在する場合には, ,定理 3.9. $n\geq 6,$$\mathcal{I}+\mathrm{S}(\mathfrak{h}_{F_{\{}}k\})\Psi_{\{k\}}\subseteq \mathrm{S}(\mathfrak{h}_{F}ik\})$$\Psi_{\{k\}}$$t(C’\iota^{(}.2(k+1))(’\tau))$

とする.

このとき,

$\ldots,$$/\backslash \in \mathfrak{y}_{\tau_{\{\}}}k*$$k^{\wedge}$$\ldots,$にと置くと, (iii) より$J(_{/}\backslash _{F_{\{k\}}})\supset \mathrm{U}(\mathfrak{g})(\mathcal{I}\oplus \mathfrak{n}_{F_{\{k\}}})$

であるから,

が導かれる.

口$(\mathrm{g}, F_{\mathrm{t}^{k}\}}, \lambda)$に対する問題にがいつでも解の 1 つになっていることがある$,7?\cdot=3,4_{\text{、}}\ldots$

であ$(\sqrt{-1}F_{2k-1},2k-$の定義から, ある $i=1,$が非常に強いものであることを示すものに,$\mathrm{g}=\epsilon \mathit{0}(\uparrow\tau, \mathbb{C})$$k=1,$ $\ldots,$ $m-2$ とする.

が$\langle(\sqrt{-1}F1,2-/\backslash _{1}),$$\lambda_{F_{\{k\}}}=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}, 0, \ldots, 0)\in \mathfrak{y}_{F_{\{k\}}}*$$\mathrm{U}(\mathrm{g})’ 7(C|\iota^{((\dagger}2k1))(’ \mathrm{z}))+J(\lambda_{\mathcal{F}_{\{k\}}})\not\supset \mathfrak{m}(F_{\{k\}})$

この解

に対して

$/\backslash _{F_{\{k\}}}-\mathit{0}=$となって (iii) が得られた.

最後に, (ii) の必要性を示すために, イデアル$/\backslash _{k})\rangle$

あるいは

:

を $n=2,7\mathrm{t}+1$ または $2m$ となるようにとり,

に対して,

(3.2)

$J_{F_{\{k\}}}(/\backslash )=\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{M}_{F}\{k\}(\lambda)+J(\lambda_{F_{\{\}}}k)$となるためには,$/\backslash (\sqrt{-1}F2i-1,2i.)\neq-(k-i+1,)$

for $=L$\ldots$

.

(3.3)

$k$

が必要十分野ある.
証明. (.3.2) は問題 1.1 が解を持つための必要十分条件であることに注意する. 従って, 定理 37 により,

(3.3) であれば (3.2) が成り立つ. 必要性を示すために,と置く. すると, h 三 \oplus m(三)$\cong \mathfrak{g}1(’ 7l, \mathbb{C})$

三 $=\{\Lambda_{1}-\mathrm{A}_{2,2}\Lambda-\Lambda_{3}, \ldots, \mathrm{A}_{n\cdot-1^{-}}\Lambda_{nl}\}\subset\Pi$である. 命題 1.10 (ii) によると,もし (3.2) が満たされれば,の場合) とした問題 1.1 も解を持つ. [15] で与えられたにおける問題の解が存在するための必要十分条件によると, (h\equiv \oplus m(三),に対する問題1.1 が)口解を持つためには, (3..3) が必要十分である. こうして必要性も示された.
$(\mathrm{g}, F, \lambda)$\rightarrow (り\rightarrow =\oplus m(三),$F|_{\overline{=}},$$/\backslash$$\mathrm{g}=\mathrm{g}^{(}(\gamma n, \mathbb{C})$$F|_{--}-,$

注意 3.10. $,$$=_{-}’\uparrow 7?\cdot+1$

で $k=r7?\cdot-1$ の場合には,上の議論を適用できない.

$\lambda$

88. で,??. が偶であるような特別な場合について考察する. このとき,

この節の最後に,は可約であって,$n=^{\underline{\mathrm{Q}}}?$$Cl.(m)(21)=C|l(t|l,+)(2,)?.)\oplus c’\iota^{\mathrm{t}\mathrm{z}}’?,-)(2\uparrow 7?.)$である (命題 2.2).

$S_{1}= \{\lambda=(,\backslash _{1}, \ldots, \lambda_{\frac{rrr}{2}-1})\in \mathfrak{h}_{F}\{\oplus-1\}*|\lambda_{i}\neq-(\frac{77?}{2}.

と置くと, 定理
ている.

$1,$

$\ldots,$

により,$\lambda\in S_{1}$のとき$C^{\mathrm{t}}l^{(m)}.(^{\underline{9}}r\}?.)$

このとき実は, 有限個の除外点を除いて,$c’\iota^{(_{l\mathrm{i}}t},\cdot$が),$\lambda_{\kappa}=(_{J}\backslash _{\kappa,1}, \ldots, \lambda_{\kappa,\frac{m}{2}-1})\in \mathfrak{y}_{F_{\{2^{-\text{、}}}}\}*$$\frac{nl}{2}-1)$$(2n?.)$$\cdot$に対する問題の解となっの既約成分である$(2\gamma??.)$)-i)\mathrm{f}_{\mathrm{o}1}\cdot i=1, \ldots, \frac{nl}{2}-1\}$$( \mathrm{g}, F_{\{\}}\frac{\Pi l}{2}-1, \lambda)$

が, それだけですでに問題の解となっている. 各$C’ l^{(m,-)},(2n?.)$対して,$3.7(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$$Cl^{(t?}.l$$Cl^{(m,+)}.(\underline’ l7?.)$や$\overline{\kappa}=( \kappa_{1}, \ldots, h-.\text{号}-1)\in\{0,1\}^{\frac{rrl}{2}-1}$

を $\lambda_{\kappa,i}=-(m-i-1)t\hat{\mathrm{b}}i-(-1)^{\kappa_{i}}\sum j>i\kappa_{i}$

に

$(i=$

により定義し,$s_{2}=\{/\backslash _{\kappa}\in \mathfrak{y}_{F}\mathrm{t}_{\tau_{-}}m-1\}*|\kappa\in\{0,1\}^{\frac{\tau\prime\prime}{\underline{9}}}-1\}$と置く. すると,

定理 311.

$S_{2}\subset S_{1}$$\sigma.=\pm 1$

であり,

として,

$\# S_{2}=2$ 号$*$$\lambda\in \mathfrak{h}\tau_{\{}\text{号}-1$

}

$-1$

であるが,

この

, がその除外点である :$S_{-}$

に対して,

(3.4)

$J_{F\underline{n}},,(\mathrm{t}--1\}\lambda)=\mathrm{U}(9)\eta(Cl^{(\eta,)}.\vee(2n?.))\epsilon\backslash \cdot(+J\lambda F\Leftrightarrow \mathrm{t}-1\})$であるためには,4$\lambda\in S_{1}\backslash S_{2}$が必要十分である.

(D) 型固有の解$(D_{m}).(m\geq 3)$ の場合には,$e_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}\in Cl.(n)_{0}$なので, 前節で扱った以外の$\mathcal{F}\subset\Pi$に対しても Pfaffiall型の作用素により問題 1.1 の解力醸成できる. 本節では, その結果を証明抜きで述べる. 実際の証明$\text{は}$前節の場合と向様に, 命題 15 と命題 $1.6(e)\Rightarrow(a)$ を用いてなされる.

,

前節以外に Pfaffian 型の線形結合により解が構成できる場合の定義 41. $’.=\pm$ に対して,
$1$

$\Pi$

の部分集合は以下の二つである$\tau_{(\vee)},=\Pi\backslash \{\Lambda_{m}-1+_{\mathrm{c}}C\Lambda_{m}\}=\{\Lambda_{1}-\Lambda_{2}, \ldots, \Lambda_{\eta l-2}-\Lambda_{nt}-1, \Lambda n\mathrm{l}-1-\vee\cdot-\Lambda nt\}$.

と置く.
$\mathcal{F}_{(+)}$:$\bullet----$$\Lambda_{1}-\Lambda_{2}$$\mathcal{F}_{(-)}$$\Lambda_{2}-\Lambda_{3}$:–$\Lambda_{1}-\Lambda_{2}$

:

–

–

–

$\Lambda_{2}-\Lambda_{3}$

この定義のもと,$H_{\epsilon,\vee}= \frac{\sqrt{-1}F_{1,2}+\cdots+\sqrt{-1}F_{2}l?l-3,2l\gamma l-2+-\sim\sqrt{-1}F_{21}\eta\iota-,2\prime 7l}{\gamma\gamma}7^{\cdot}..\in|)_{F_{\{)}}\underline{\epsilon}^{\backslash }$

89
と置くと,

[

であり,

,

$)F_{1)}\underline{-}=\mathbb{C}H$

mod$\sqrt{-1}F_{21,2\nu}\nu-\equiv H_{-}$,$1_{)(}F_{(c)}$)$\nu=\mathrm{L}$..

, $m-1$$\{$$\sqrt{-1}F_{2n\iota-}1,2t?t\equiv c.H\epsilon\vee$$\ldots,$$[ \frac{7?l}{2}]$とし,:とする. 複素パラメータ$\vee\mu\wedge=\pm 1$(4.1)$\mathrm{n})\mathrm{o}\mathrm{d}\mathfrak{h}(F_{(\vee)}\epsilon)$となることに注意. 解を構成するために以下を準備する
定義 4.2. $p=1,2,$.

$\tau$を用いて,$V( \tau,\succ.\wedge, \ell)=r7(\{(-1.1\ell_{\overline{C’(\Pi^{\vee})}}.-l-fe\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{P}-\frac{\tau}{C^{1(f)}}\}C’ l^{()}2\ell 2(m))$と置く, 更に,を変数とする多項式$x$$\Phi^{(l)}(x)$を. $-e-i))$$\Phi^{(l)}(x)=\prod_{i=1}^{\eta l}’(x--l+(n?$$\in \mathbb{C}[x]$で定義する.
$\ell\neq\frac{\mathfrak{n}l}{2}$の場合は, 命題 2.1 により,stable 部分空間であり,($1”(1, rightarrow c, \frac{?l}{2})=r_{1}$

に対して,
として

定理 4.3.

$cl(,?l^{\wedge)},\vee(2t\eta.))$$\iota^{\Gamma}\mathrm{t}\Phi^{(^{\ell}}$$[ \frac{tl}{2},]$

. が偶,

$l7?$

)

$(/\backslash (H_{\epsilon}-)),$$\lambda\in \mathfrak{y}_{\mathcal{F}_{(\grave{)}}}\underline{*}*$$\ell=\frac{1l}{2}$が$\mathrm{P}\mathrm{f}$$F_{(\epsilon)}$$(C’ l^{()}2l\gamma(^{\underline{9}}7?.)\oplus C^{r}l^{(}2(_{tn-}l))(2m.))$$\Phi^{(\frac{7’ l}{\underline{9}})}(x)=1$である. ここで,$\vee\cdot\ointarrow,)$

個の異なるものを

は,7
の場合は,

$l^{\gamma}(\tau\epsilon\text{、}’ e)$,$\oint j=1,2,$$\ldots,$であり,の定義により,を固定すると, generic なに対する問題 1.1 の解となる. このように,$\mathcal{F}_{(\epsilon)}$.affian 型の作用素を用いて構成できる :に対して,$J_{\mathrm{j}}\tau_{\mathrm{t}=)}(\lambda)=\mathrm{U}(_{9)}1’.’(\Phi^{(^{p})}(/\backslash (H,)\vee)$.
.

$[ \frac{i\cdot l}{2}]$の既約な ad(g)-’$c^{1}\iota^{(1l\mathrm{r},)}\vee(^{\underline{9}}r7?.)$.

巳 $\ell^{1)+J/}(\backslash _{Fe)})\mathrm{t}$であるためには,:$e=1$ のとき$/\backslash (H.\Leftarrow)\not\in\{-1, \ldots, -(?)?$$arrow\leq 9\ell\leq[’\frac{1l}{2}]$

のとき

.

,

$-9 arrow)\}\cup\{-\underline{\frac{1}{9}}.-\frac{3}{2}, \ldots, -([\frac{\mathit{7}7?\cdot-1}{2}]-\frac{1}{2})\}$:$/ \backslash (H_{\vee},)\not\in\{0, -1, \ldots, -(’ 7?\cdot-e-1)\}\cup\{-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, \ldots, -([\frac{n?.-1}{2}]-\underline{\frac{1}{9}})\}$

が必要十分である.

より詳しいイデアルの包含関係:$1”(\tau,- e_{)}\vee^{\wedge}’.\subset \mathrm{U}(_{9})\{\Phi^{(\beta})(H\vee\epsilon).

-\mathcal{T}\}+\mathrm{U}(\mathrm{g}).(\mathfrak{m}(\mathcal{F}_{()})\epsilon\oplus \mathfrak{n}\mathcal{F}_{\mathrm{t}_{-\grave{J}}}*)\backslash$等も示すことができる.

5

行列式型の作用素$,1\geq 3,$$’ l=\underline{?},)$?

または$F_{i,i}=0(i=1, \ldots, n)$$\underline{‘)}_{\uparrow)?}+1$とし,として前と同様に$x$$\mathrm{g}=\epsilon \mathrm{o}(n\text{、}\mathbb{C})$をパラメータとしてについて考察する.

$F_{i,j}(x)\in \mathfrak{c}^{-},’(\mathrm{g})\mathrm{t}-\cross.)\mathbb{C}:-:[x]$を$F_{i,j}(x)=F_{i,j}+X\overline{\delta}_{i,j}$

で定めておく. このとき, 直交 Lie 環における行列式型の作用素を, 以下で定める:$*$$/\backslash \in \mathfrak{y}_{F_{\mathrm{t}-}}.$

)

に対する解

90
定義 51. $k=0_{\text{、}}\ldots,$ ’ とし,$(1_{\text{、}}\ldots, ’ \mathrm{r})$の列とする.

この$I=\{i_{1}, \ldots, i_{k}\},$

$I,$

$J$

に対して,

$J=$

$\mathrm{U}(9)1..\wedge=|\mathbb{C}[X]${方、. . . ,$j_{\lambda}.$} をそれぞれ重複のない添字に値を取る列行列式 :(5.1)$D_{IJ}(x)= \sum_{\sigma\in(^{\sim}\supset k}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma.)Fi_{\sigma}1)’ j_{1}(\mathrm{t})XFi_{\sigma}2\backslash ,j2(\mathrm{t},,1I+.)\cdot F\backslash ..(_{X}i\backslash ,,j_{k}+k-1)\sigma(k_{\text{ノ}}$を直交 Lie 環の行列式型の作用素と呼ぶ. 但し, $k=0$ のときは,.

$D_{\emptyset\emptyset}(_{/}\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}\rangle$

$=1$

とする.

に属する要素として [8] で導入され, [9] で$I=J=$ {L. . , } のとき, $D(x)=D_{IJ}\mathrm{t}xj$ は,その性質が詳しく調べられた. そのほとんどの性質は, 一般の $D_{IJ}(X.)$ にそのまま拡張される :$\mathrm{Z}(9.)$$n$

命題 52([8]). 任意の$\sigma,$$\tau\in \mathfrak{S}_{k}$

に対して
(5.2)

$D_{\sigma(I)\mathcal{T}(}J)(x)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma.)\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau.)D_{IJ}.\langle_{X)}$が成り立つ.

命題 53([9]). $I,$ $J$ をそれぞれ重複を持たない$k$個の添字の列とすると,$D_{JI}(x,]=(-1)^{k}D_{I}J\{-x-k+1)$ .

「 $D(x)\in \mathrm{Z}(9)$ 」 は次のように拡張される
命題 54. 線形写像:

$c’ l^{(k)}.(n)\emptyset^{-}2arrow \mathrm{U}(\S)1^{\sim}..\cross..)\vee \mathbb{C}[x]$を$C’ l^{(k}.)(’ x)1\overline{-}" 2\ni e_{I^{\mathrm{t}_{\vee^{\cross}\vee}^{:\backslash }}}..)\epsilon_{J}’-DIJ(-.\cdot x.)\in \mathrm{U}(9)\mathrm{t}^{=}..\dot{\mathrm{x}}_{:}.)\mathbb{C}[_{I}]$で定めると, これは g-写像となる.

上の写像における .

$e$以下しばらく,“$\in c’ l^{(k)}(|7)^{\mathrm{t}\S 2}$対角

次の重要な結果がある

定理 55([9]).

$I$の像を $D(e.:x)$ と記す.

の場合, すなわち $I=J$ の場合を扱う , 対角の行列式型作用素に関しては,”:を重複を持たない $2k$ 個$(k=0, \ldots, m)$の添字の列とすると,$D_{II}(-k)=D_{I}I(-k+1)=, \frac{(-1)^{k}}{C^{(\lambda\cdot)^{2}}},7^{\mathrm{t}\overline{\backslash }\urcorner 2}\underline{.}.(eI^{\mathrm{t}\cross}.\cdot.,\}e_{I})$

ここで,

,

$\}^{\mathrm{t}\overline{\underline{\rangle}}.2}1$.

は$Cl.(rl)^{\overline{\infty}}..|\underline’\ni e.I^{\mathrm{t}_{\backslash }\dot{\mathrm{X}}_{=}}.\mathrm{t}eJ’rightarrow’ 7(e_{I}.),\}(_{6}J)\in \mathrm{U}(_{9})$で定まる g-写像とする.
この定理を用いると,

命題 56([9]).

$I$$D_{II}(x)$を Pfaffian のみを用いた式で表す次の展開公式が導かれるを重複を持たない 2 ん個$(k=0, \ldots, ’ n.)$の添字の列とすると,,$D_{II}(x-k)= \sum_{=\prime \text{ノ}0}k.($$\frac{(-1\mathfrak{j}^{k-\nu}}{c^{r(\lambda}-\nu)2}.\uparrow 7^{\otimes 2}(eJ^{\mathrm{t}}\cdot.\cross\cdot=..J:)e)\backslash \mathrm{I}^{(x-}\nu.)(x-l\text{ノ}+1.)\cdots(x+\mathcal{U}-1)$$\sum_{J\subset I}$$\# J=2k-2\nu$$I$を重複を持たない $2k+1$ 個$(k=0, \ldots, [\frac{\prime t-1}{2}])$の添字の列とすると,$k$$D_{II}(x-k)= \sum_{\nu=0}(\sum_{J\#=2k-2\nu}\frac{(-1)^{k-\nu}}{C’(\lambda-\nu)2}J\subset I^{\cdot}.\eta^{\mathrm{t}^{\backslash \wedge}1}/--..2(eJ\otimes eJ))$が成り立つ.

:(x–\nu )(x--\iota ノ $+1$ ) $\cdots(x+U.)$

91
この展開公式を手掛りに, 行列式型の作用素を更に拡張することを考える. そのために,$\mathfrak{g}$-加群:$Cl(_{l}’.)\mathrm{t}^{-}"_{-}\vee’\oplus=.cl^{(k})(n)\otimes cl(\ell)(\lambda,f=0’ 1)$

に関して少し準備をする. 上の直和分解の各成分であるが,$C^{\cdot}l^{\mathrm{t}+}k-1,\ell 1)(n)\oplus C’ l^{(p_{-}}k-1,1)(’ l)$$S_{1\text{。}\mathrm{f}\mathrm{t}(e}$),$.- \mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{o}\backslash \backslash \cdot \mathrm{n}(e)$$c^{\tau}\iota^{(k)}(n)\otimes$:$.\mathrm{s}_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}$$.3’ \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}(\epsilon.\grave{)}$この$\theta\cdot e$の $C’ l^{()}.k+1,\ell-1)(n, Cl^{(k-1}.’\ell_{-}1)1n)$ ” の射影をとして, 線形写像$s_{1\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}}$を定める.

-stable である. この)$(\ell|\gamma)\oplus Cl(k+1,p_{-}1)(n)\oplus$と置くと, 任意の $e\in$ Cl(k,’(’ のに対して $\theta\cdot e\in Cl^{(k+1}.’+1$$\theta=\sum_{i=1}^{n}e_{i}$それぞれ$\mathrm{g}$また, $k<0$ または $\ell<0$ のときには $Cl^{(k,\ell)}(n)=0$ と定めておく.

を $Cl^{(k,l)}.(’ l.)$ と書く.

$c’\iota^{(l)}(rlj$は$C’ l^{(\cdot)}.(n\lambda j’\mathrm{t}...\dot{\mathrm{x}}_{\wedge_{:}}^{\wedge}|c’\iota(l)(n)$$Cl^{(k,f)}(n,)arrow c\iota^{(k+)}1,\ell-1(n)$ ,)$k,arrow) Cl^{(-}k1,\ell-1$ ) $(n)$:$c^{1}\iota^{\mathrm{t}\ell}$$\mathrm{t}n$, Sdown $(e.)$ はともに -写像になっている. そこで,

$n\geq k\geq P\geq 0$$\mathfrak{g}$を満たす $(k$.

$l^{-)}’$

に対して,

C’
と置くと,

補題 57.

$c’\iota^{(k,p}$)(’$\iota.1_{\mathrm{P}^{\mathrm{r}}}$$C’ l^{(k,f)}.(|\mathrm{t}.1_{\mathrm{P}}\mathrm{r}$$\iota^{(k,\ell)}(n)\mathrm{p}\mathrm{r}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}$は$C’ l^{(\lambda,\ell}.\cdot$

)

$(n)$

:

$Cl^{(k,\ell}.$)$(n)arrow Cl^{(k+\mathit{1}}.1,-1)(n))$の g-部分加群である.

は$I\supset J$,$e_{I}\otimes e_{J}.\in c\iota^{(k)}(n)\mathrm{t}.\overline{\mathit{8}}c\iota^{(^{\ell)}}(n)=Cl^{(k,\ell})(n)$という形の要素で -加群として生成される. 特にん $=e$ のときは対角の要素によって生成される.
$\mathfrak{g}$各$\nu=0,1,2_{\text{、}}\ldots$

に対して,

$a,$

$x$

$\iota_{(a},$の多項式$\wedge \mathrm{r}(a.\nu_{:}x)$を$\nu:x)=\mu\prod_{=0}(x-(a+\mu-12)^{2})$で定める.

定義 58. (き$\overline{\kappa}=0,$$k^{4},$$k$$e_{)}$

は $n\geq k^{\wedge}\geq\ell\geq 0$ を満たすとする. 更に,が奇のとき $\kappa=1$ とする. 各$k$$e\in Cl^{(k,f)}.(\mathrm{t}l)\mathrm{p}\mathrm{r}$と$\mathcal{E}$の偶奇性は等しいとし,に対して,$l^{\otimes 2}$$S’ \mathrm{d}\circ \mathrm{w}\mathrm{n}$”’$C^{(\cdot)}$が偶のと$\mathfrak{D}(e..X)\in \mathrm{U}(\S)\otimes \mathbb{C}[x]$$\mathfrak{D}(e:x)=\frac{(-1)^{\frac{\ell-\kappa}{2}-\nu}\eta\{\underline{\rangle}^{\wedge}2(s_{\mathrm{d}}\mathrm{O}\backslash \backslash ’\mathrm{n}(2\nu+\kappa e))}{(^{\underline{9}}\nu+\prime_{\overline{\iota}})!c^{(\frac{k-\kappa}{2}}-\nu)C^{(\frac{\ell-\kappa}{2}-\nu})}P\Gamma\iota \text{ノ}=0\frac{p-\kappa}{\sum 2}(\frac{\mathcal{E}-k^{\triangleleft}+2\kappa}{4},$で定める. ここで,$k$を$\nu:x)$は定義 3.4 で定めた定数とする.

が g-写像であるため,$Cl^{(k,\ell}.)(’ \mathrm{t})\mathrm{p}\mathrm{r}\ni e-\mathfrak{D}(e..x)\in \mathrm{U}(\mathrm{g})\otimes \mathbb{C}[x]$も$\mathfrak{g}$-写像である.

$\mathfrak{D}(e:x)$がある意味で行列式型の作用素の拡張となっていることは, 補題 57 と命

題 56 より容易に導かれる次から分かる
命題 59. $k=0,$$\ldots,$$’ n$とすると, 各:$e\in Cl^{(\lambda)}.2k,2\cdot(’ \mathrm{t}.)\mathrm{P}^{\mathrm{r}}$

に対して,
,

$.. \frac{D(\epsilon..\backslash \iota-k)+D(\epsilon.\cdot-x-k)}{\underline{?}}.\cdot.=\mathfrak{D}(\epsilon.\cdot:x)$92$k=0_{\text{、}}\ldots,$$[ \frac{n-1}{2}]$とすると, 各 .

$\in Cl^{(\cdot++}.2\lambda 1,2k1$$\epsilon$)$(\uparrow 7)\mathrm{p}\mathrm{r}$に対して,$. \frac{D(e,x-k^{\wedge-}\frac{1}{2})-D(e.-x-k\cdot-\frac{1}{2})}{2x}.=\mathfrak{D}(e.\cdot.

x)$が成り立つ.

本稿の最後に, このの $(e:x)$ を用いて, Pfaffian 型では扱えなかった場合に, 問題 1.1 の解を構成する.
$Y=(m_{1}, m_{2}\text{、}m_{3}.)$$\}^{-}$

に対して,$2m.,$$\Pi$$m.\mathrm{a}=0$を $n?$. の分割 $(m$. $=’)?_{1}.+m_{2}.+r\gamma?_{3}$. で各の部分集合ろ\tildeのときは. は非負整数) とし, $n?_{2}.\geq 2$ とする. この$m_{i}$$=\{\Lambda_{\eta_{1}}+1-\Lambda m_{1}+2, \ldots, \Lambda_{m_{1}++}m_{2^{-1}}-\Lambda_{m}m_{2}\}1$を定める. また,$\uparrow l=$$F_{Y}^{-}=\{\Lambda_{m_{1}+1+2}-\Lambda_{n},1, \ldots, \Lambda_{\mathrm{n}l}\perp+m_{2}-2-\Lambda m_{1}+m_{2}-1 , \Lambda_{m_{1}+n_{2^{-1}}},+\Lambda_{nl_{1}+nl}2 \}$とする.

定理 510. $F=F_{Y}$ または空間とする$\mathcal{F}_{\mathrm{Y}^{-}}^{-}$:とし,$/\backslash \in \mathfrak{h}_{F^{*}}$

に対して,$l^{r_{\lambda}}.\subset \mathrm{U}(9)$を以下の要素で張られる線形$j\in\{n-m.\underline’+1, ...

$\mathfrak{D}(e../\backslash r(\sqrt{-1}F2m_{1}+1,2m_{1}+2)+\underline{j}-n?_{1}.-1-i)$for$i\in\{0$ ,... ,$k\geq P$ ,, n\}$$j-\{tl-\gamma\gamma \mathrm{z}.2+1)\}$$\frac{k+\mathit{1}}{2}=j$$e\in Cl^{(}k,\ell)(n)\mathrm{P}^{\mathrm{r}}$すると, generic な$/\backslash \in \mathfrak{y}_{\tau^{*}}$

に対して,$J_{F}(_{/}\backslash )=\mathrm{U}(_{9)+}\mathrm{b}rJ\lambda(/\backslash _{\mathcal{F}})$が成り立つ.

この定理は, Pfaffian 型のときの命題 32 のような partial Harish-Chandra 準同形に関する漸化式
をいろいろな$\mathfrak{D}(e..x)$に対して計算することにより得られる.

直交 Lie 環の場合のすべての$\mathcal{F}\subset\Pi$

この結果と, \S 3 の結果を合わせると,に対する問題 1.1 を generic パラメータに対して解くことがで

きる.

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