知って得する

身近な・Science

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知って得する

急がば曲がれ

工学博士

西尾宣明

元・東京ガス㈱ 基礎技術研究所

一番早く子供のところへ行くには…

息子が溺れてる ?!
大家もう学校の夏休みも終わりましたね。何か楽しいことはありましたか？
与太郎

楽しいことって言えば，久しぶりに海水浴にでももう走るなんてできませんから。
その時は休んでいたところから坊やのところまで真っ直ぐ走って行ったんでしょう？
与太郎

そうですよ。真っ直ぐ行くのが一番早く行けるんじゃないですか？

行きました。少し前にサメが出たなんて話があったせ

大いか，あんまり混んでいなくてとても良かったですよ。

た方が絶対に早いんですよ。それは覚えておいた方がでも，ちょっとヒヤッとすることもありました。
大家与太郎

ほう，どんなことですか？

家ところがそうじゃないんですよ。回り道をしいいですね。来年はきっと役に立ちますよ。
与太郎

砂浜で休んでいたら，いつの間にか坊主がい来年はそんな危ないことはさせませんよ。

でも回り道の方が早いっていうのは興味があります

ないんですよ。慌てて探したら波打際から 2，30 メーね。どんなカラクリですか？

トル沖の方に見覚えのある浮き輪と帽子の子がぷかぷ

大か浮かんでるじゃないですか。

数を使います。ごく簡単な，代数学の入り口ですがね。

大変なことになったと思いましたね。慌てて息子に家

カラクリと来ましたね。そのカラクリには代

与太郎

代数だなんて，分かるかどうか心配だなあ。

向かって走って行ったんだけど，砂浜から水に入ると

大

電気技術者の与太郎さんが代数を怖がってい途端に足が重くなってノロノロ歩くような感じで，気たのでは困りますね。代数とは読んで字のごとく実際は急くし，あんなに焦ったことはないですね。の数字の代わりにアルファベットなどの文字を使うと

大家

与太郎

家坊やは無事でしたか？

いうだけの話ですからね。

遠浅だったんで，深さはわたしの腰ぐらいも与太郎なかったけど，あと 10 メートルも先に行ったら息子

もっぱら現場の仕事ばっかりなんで，代数なんてすっかり忘れてますよ。の足も届かなくなって，どんどん沖に流されるところでしたよ。
大家

水の中で走るのは大変ですからね。膝ぐらいの深さ
70

最短時間を求めるにはとにかく無事で良かったですね。
大家

ともかく，浜辺の回り道の話を代数で調べて
No-Dig Today No.101（2017.10）

みましょう。
こういう図を描きますね。与太郎さんが A 点にいる時，B 点にいる坊やを見つけたわけです。そして，

形 AOD は直角三角形でしょう？
理っていうのを使うんでしょう？
そうすると a の二乗と x の二乗を足したのが，斜め与太郎さんは A 点から B 点に向かって真っ直ぐ点線のように走って行ったわけですね？

・・・・あっ，思い出した。ピタゴラスの定

与太郎の線の A から O までの距離の二乗に等しいっていう

与太郎

そうです。

ことでしたね。だから，その平方根を取ると距離になっ大

実際には A 点から B 点に行く方法は無数にあて，その距離を速さで割ると時間になるわけですね？

家

お見事，お見事。中学校で習ったピタゴラスります。その一つの例を「まず A から波打際 O に向大かい，そこから水中を B に向かって進む」として図のの定理がこんなに役に立つとは思わなかったでしょように表します。

う？

家

そうですね。中学で習ったことって結構大事

また，A 点から波打ち際に直角な線と B 点から波打

与太郎

ち際に平行な線を引いて，二つの線が交わるところをなんだ。

C, A から C に引いた線が波打ち際と交差する点を D大としておきます。

も，家はもちろんのこと，何事も基礎が一番大事です。

与太郎

家

それはともかく，与太郎さんが言った A から O ま

そんな風に A，B，C…と来るだけでなんか難しそうだと思っちゃうんですよ。

での距離を数式に表すとこうなります。

それに O 点ってどうやって決めるんですか？
大家a 2＋x 2

これからそれを決めるわけです。今は適当な位置に仮に置いただけです。

これを Va で割れば時間になります。
次に，O と B の間の距離は直角三角形 OBE の二辺 b

それから A，B…というのは代数でもなんでもなくて，地図の上に目印をつけただけなんです。目印がなとc -x を二乗して足し合わせ，平方根をとっていと色々なところの距離や寸法が測りにくいですから

2b 2＋（c −x ）ね。ただそれだけのことですよ。

b メートル，c メー
その目印の間の距離をa メートル，これを Vb で割れば O と B の間の時間になります。

トルのように測るわけです。これは代数です。

これらの二つの時間を足し合わせればそして，O 点をどこに決めると一番短い時間で B 点に着くか，つまり D 点から測った O 点までの距離x をt＝どれだけにするのが良いか，というのがこの場合の問題なわけです。
与太郎

そうか，ただの目印か。そう考えれば別に難しくはないですね。
大家

そうでしょう。そこで，次に必要なことは Aそれが基礎ですからね。スポーツでも学問でa 2＋x 2＋Va2
b 2＋（c −x ）Vbとなります。この式のx の値を色々に変えた時に，時間 t が一番小さくなるような x が探し出せれば，それが O 点をどこに選べば一番早く B 点まで行けるかの答えになります。
どうです？与太郎さん。

から O，O から B の間を走るのに何秒かかるかというなんか，マジックを見てるような気がしないことです。それが分かるには砂地を走る時の速さと水与太郎の中を走る速さが分からないといけません。ここではでもないけど，理屈どおりに式を組み立てれば答えがそれぞれVa とVb と仮定します。単位は〔メートル/秒〕出せるという感じが分かったような気がしますね。としておきましょう。

大与太郎さん，A 点から O 点までの距離を速さ Va で家

そう思ってくれれば嬉しいですね。解説のし甲斐があったというものです。

走ると時間は何秒かかりますか？
与太郎

えーと。あれ？ A から O の距離がわからな最短時間を求める例いですね。
大家

距離は分かっているようなものですよ。三角

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与太郎

でも，これから一番早く着く時間を求めるの71

知って得する

身近な・Scienceは難しそうですね。
大というものが出てきます。これは後で説明しますが，与太郎さんにも難しそうなのがわかりますか。

家

実際，この式を数学的に解くのはとても難しいこと

実は屈折率に相当するものです。屈折率は一般にn という記号で表すので，それを使ったわけです。

です。一般にはこの時間の式をx で微分して得られた

与太郎

式をゼロと置いて，その根になるx の値を求めるといたんですか？

う手続きになるんですが，元の式に平方根の項がある

大ために，四次方程式の根を求めなければなりません。

ましょうね。

その手続きが複雑で，私にはとても代数式のままで大家さんでもそんなことがあるんですか？

私の頭の中はスッチャカメッチャカですがね。
大大有り（尾張）名古屋の金の鯱鉾ですよ。代家

数式のままで簡単に計算できるような都合の良い場合与太郎さんと坊やの事件の現場の具体的な数字などての計算になります。
ここでは a も b も c の 2 分の 1 ということにします。
また，水の中よりも砂浜の方が 3 倍早く走れると仮定します。つまりn ＝ 3 ということですね
そうすると，さっきの式は次のように簡単になります。

はむしろ希と言ったほうがいいですね。
最近では元の式のままコンピューターに乗っけて，コンピューターの力技で解いてしまう方法があります
が，私のようなガラパゴス人間，つまり，大学でコンピューターを習ったことがない者にはそれも難しいこ

Vact＝

14＋xc2＋314＋ 1−x2c

この式のx /c の値を色々に変えて式の値を計算して，x /c との関係をグラフに書くとこんな風になります。とです。
与太郎

そうですね。じゃあ，計算の例を見せてあげは分からないので，さっきのc に対する比率を仮定し根を求める気力はありません。
与太郎

家

そうですか。それで計算はどんな具合になっパソコンでも「エクセル」などのソフトを使えば割と簡単にいろんな計算ができますよね。
大家

私にはもっと簡単な式の場合でないと手間ばかりかかって，疲れてしまうんですよ。
そこで，今度の場合も，私は手の平サイズの関数電卓で直接計算して見ました。
計算を簡単にするためにさっきの式の両辺に Va を掛け，c で除してこんな風にしました。
Vact＝

ac2＋xc2b＋nc2＋ 1−xc

なんか，前よりも複雑になったように見える与太郎

海に入る位置x と到着時間t の関係けど…。
大家

書かれた文字の数が増えただけで，実際にはうんと簡略化されているんですよ。
ほら，a もb もx も全部c に対する比率で表されていこのグラフで t が一番小さくなる時の x /c の値はほとんど正確にx /c ＝ 0 . 85 になることがわかります。

るから，応用範囲が広くなると思います。実際にかかx がc の 85 % になるような位置に O を決めて，つまり，る時間を知りたければ，c を掛けて Va で割ればいいん

そこに向かって砂浜を走り，そこからは B に向かってです。

まっすぐ坊やのところに向かうのが一番早く行けると与太郎

この式にn って書いてあるのはなんですか？

いうことです。

大

ああ，その説明を忘れていましたね。

与太郎

家

それは最初のt の式に Va を掛けると，右辺の第 2 項には砂浜を走る速さと水中を走る速さの比の Va / Vb
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へえー…，そうなんだ。こんな風にグラフになってると分かりやすいですね。
そうすると，息子に向かってまっすぐ行った時は，
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2

a とb がおんなじだから，x はc の半分ですね。そうす
ると x /c は 0 . 5 で，時間の式は 2 . 83 ですか？そして，一番時間が短い時の 2 . 55 に比べると 1 割以上長くかかるんですね。
大家

そうですね。普通だったら 1 割ぐらいの違いはどうでもいいことが多いでしょうが，1 秒でも早くと焦っている時には結構大きな違いですね。
与太郎

そうですとも !

大

実際にはx をc のぴったり85%にしなくても，家屈折の原理は同じ？

70 % から 100 % の間なら時間は 2 . 62 以下だから（破線参照），まあ，大雑把にその辺を狙って走れば十分でnab ＝しょうね。
水の中を走る速さが砂の上の場合の3分の1よりもっと遅いとすれば，最適なx はもっと c に近づけた方が有利になりますね。
与太郎

あ，分かった。これが本当の「急がば廻れ」っていうことですね。
大家

うまいうまい。与太郎さん。座布団 1 枚上げましょう。

sinθasinθb=

VaVbという，とても簡単な関係で表されます。
これは「スネルの法則」と呼ばれています。
媒体のa とb っていうのは，例えば空気と水っ与太郎ていうことで，Va と Vb は空気中と水中の光の速さっていうことですか？ それから，この記号（θa ）は「シータ・エー」って読めばいいんですね？
大

そうです，そうです。

家

空気中の光の速さは真空中に比べて 0 . 03 % ぐらい

屈折率とフェルマーの原理
大家

今日のお話は来年の夏休みには多分役に立たないと思いますが，私はこの計算をして見てとても面白いことを発見しました。
与太郎

そうですか。大家さんは転んでもただでは起遅いだけですが，水の中の速さは約 75 % とかなり遅くなります。そして，屈折率は光の波長によって少しずつ変わりますが，平均して 1 . 33 前後になります。
屈折率の式を証明するのは光を波動と考えればとても簡単なんです。ここでは説明は省きますがね。
ところで，さっきの浜辺の問題ではきないからなあ。今日の話では別に転んだわけじゃないけれども，砂浜から何か拾い物をしたんですか？
大家の屈折と全く同じだということを発見したんです。
与太郎

へえー。なんかすごい発見のようですね。

大与太郎さんは光の屈折率というのを知っているでしょう？
与太郎

Vb

そう，思いがけない拾い物をしましたよ。

それはね，曲がった方が早く行けるということは光家

Van＝虹の話とかプリズムの話とか眼鏡のレンズの=3と仮定しましたね。
そこで思いついたのが，この場合でも光と同じくVaVb=sinθasinθb=3になっているかもしれないということです。

こととか，大雑把なことは知ってると思いますがね。

この右側の図には与太郎さんの最短時間の経路も描

光が空気などから水やガラスなどの違う媒体いておきました。光と同じになるように，砂浜と海の大家の中に進む時に屈折が起きるのは，光の進む速度がその媒体ごとに違うからなんですね。その屈折の様子はこの図のように表されます。
図は媒体 a から b に入射角 θa でぶつかって屈折角θb で進むことを表しています。その時の屈折率はNo-Dig Today No.101（2017.10）

位置を最初の図と逆にしてありますがね。
与太郎さん，この図から sinθa を計算するとどうなりますか？
与太郎

突然そんなことを言われたって・・・サイン

は斜めの辺で向こう側の辺を割って，コサインは斜め73知って得する

身近な・Scienceの辺で下側の辺を割るんだったかな？
じゃあ，大家さんの関数電卓貸してもらえますか？
大家

与太郎

与太郎

良いところだけを見たらそうなってるっていうことでいいですよ。使い方分かりますね。

すか。

二乗と平方根それに足し算と割り算だけです

大家よね。なんとかなるでしょう。
えーと，最初に AO の長さですね。
AO ＝ 0 . 52＋0 . 852 ＝ 0 . 986
sinθa ＝0.850.986= 0 . 862

フェルマーの原理っていうのは人間に都合の私も与太郎さんの考えに賛成ですね。

今度の例題でもう一つ面白いと思ったのは，光を粒子と考えていたニュートンがどうして光の屈折，つまりスネルの法則が，波ではない粒々の光にも当てはまることを知っていたのかということです。
もしかしたら，フェルマーの原理は浜辺の与太郎さんの例と同じく粒々の光にも当てはまると考えたのかもしれませんね。

次は OB を計算して sinθb ですね。
OB ＝
sinθb ＝

0 . 52＋0 . 152 ＝ 0 . 522
0.15
0.522

= 0 . 287

与太郎

それはすごいですね。ニュートンも大家さんもおんなじことを考えていたっていうことでしょう？
大家

それは褒めすぎですよ。私はニュートンの爪の垢を煎じて舐めた程度の人間ですから。
ただ，ニュートンの当時，光を波動と考えた方が色々便利なことが多くて，ニュートンの旗色が悪かっ

それで sinθa を sinθb で割ると，答えは 3 . 00348・・。

たんですが，プリズムや虹による分光の場合は色々なこれって最初に仮定したn ＝ 3 っていうのとほとん

色の光の粒があって，媒体の中での速度も違うとした

ど一緒じゃないですか？
大家

そうなんですよ。

ニュートンの考えの方が便利だったんですね。
その後，アインスタインが「光は波でもあり粒子で屈折といえば，大抵は光を波と考えて説明するのがもある」ということを発見して，両方丸くおさまるこ普通だけれども，驚いたことに，与太郎さんが波打ちとになったわけです。それが量子論の先駆けにもなっ際で走るという現象にも全く同じ法則が成り立っていたということですね。

るらしいんですね。「フェルマーの原理」とスネルの与太郎そうなんだ。そういう歴史も面白そうですね。

法則が・・・。
与太郎大フェルマーの原理ってなんですか？

家 「光が 2 点間を伝播する時，時間が最小になるような経路を取る」というものです。もっとも，与太郎さんは A から B にまっすぐ走りましたがね。
与太郎

わたしは光じゃありませんからね。

大いや。光だって最短時間になるように考えて家走るわけではないと思いますよ。もし A 点から放射

光は粒子である

光は波である状に無数の光線が出ているとすれば，たまたま B 点を通過する光線だけがフェルマーの原理に従っているよ
うにみえるだけで，他の光線は全部 B 点からはそっぽを向いているわけです。
光は波動でもあり粒子でもある

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