数理解析研究所講究録
第 1685 巻 2010 年 231-236$w$231-distance を用いた共通不動点定理とその応用

島根大学大学院総合理工学研究科 小濱倫明 (Tomoaki Obama)
Interdisciplinary Graduate School of Science and Engineering, Shimane
University
島根大学大学院総合理工学研究科 白石侑也 (Yuya Shiraishi)Interdisciplinary Graduate School of Science and Engineering, Shimane
University
島根大学総合理工学部 黒岩大史 (Daishi Kuroiwa)
Interdisciplinary Faculty of Science and Engineering, Shimane University
概要

Caristi[5] が 1976 年に発表した不動点定理を基盤として, Bhakta-Basu[2]が共通不動点定理を発表した. また, 1996 年に加田-鈴木-高橋が w-distanceという尺度の新しい概念を導入した [7]. 本論文では, [2] の結果を w-distanceを用いた考察, 及び応用について述べる.

1準備をある集合, $T$ を $X$ から $X$ への写像とするとき, $Tx_{0}=x_{0}$ となる点を $T$の不動点という. 不動点の存在は, 写像 $T$ の持つ性質と作用する空間 $X$ の性質によって決まり, 距離空間においてはこれまでに Caristi, 縮小写像, 非拡大写像の不動点定理などが示されてきた. 本論文では, 1976 年に Caristi[5] が発表した次の不動点定理について考察を行っていく.
$X$$x_{0}$定理 1.1. (X, d) を完備距離空間, $S$ を $X$ から $X$ への写像とし,$d(x, Sx)\leq\varphi(x)-\varphi(Sx)$ とするとき,
下半連続 st.

$\exists_{\varphi}$: $Xarrow[0$ , oo ,$)$$\forall_{X}\in X,$$\exists_{\overline{X}}\in X$

st$\overline{x}=S\overline{x}$.

次は, Caristi の不動点定理を基にして, 1980 年に Bhakta-Basu[2] が証明した定理である.

定理 1.2. $(X, d)$ を完備距離空間, $S$ を $X$ から $X$ への orbitally continuous 写像とし,$\exists_{\varphi}$: $Xarrow[0, \infty)$ st.

$\forall_{X\in}X,$$d(x, Sx)\leq\varphi(x)-\varphi(Sx)$$\exists_{\overline{X}}\in X$

s.t.

$\overline{x}=S\overline{x}$とするとき,.

が orbitally continuous 写像とは, $x\in X,$ $x_{0}\in X,$ $x_{0}= \lim_{narrow\infty}S^{n_{X}}$ な
ただし,らば, $Sx_{0}= \lim_{narrow\infty}S^{n+1_{X}}$ が成り立つときをいう.
$S$

定理 1.1 と定理 12 はトレードオフの関係になっていて, 定理 1.1 は写像 が無条件で写像 が下半連続であり, 定理 12 は写像 が連続で写像 が無条件である.
$S$$\varphi$$S$

さらに Bhakta-Basu[2] は, 次の共通不動点定理を示した.

$\varphi$232

定理 1.3. (X, d) を完備距離空間, $S,$ $T$ を $X$ から $X$ への orbitally continuous とし,: $Xarrow[0, \infty)st$ . $\forall_{x,y\in X},$ $d(Sx, Ty)\leq\varphi(x)-\varphi(Sx)+\psi(y)-\psi(Ty)$ とするとき,s.t.
.
$\exists_{\varphi,\psi}$$\exists_{1}\overline{x}\in X$$\overline{x}=S\overline{x}=T\overline{x}$系 1.1. (X, d) を完備距離空間, $S$ を $\{S|S$ を $X$ から $X$ への orbitally continuousの部分集合とし, $\exists\{\varphi s:Xarrow[0, \infty)|S\in S\}$ st.

$\}$$d(Sx, Ty)\leq\varphi s(x)-\varphi s(Sx)+\varphi\tau(y)-\varphi\tau(Ty)$

ヨ 1 $\overline{X}\in X$

S$t$$\forall s,$$\tau\in S,$$\forall_{X,y}\in X$,とするとき,$\forall_{S}\in s,\overline{X}=S\overline{x}$.

本論文では, これらの結果を w-distance を用いて拡張し, また応用について述べる. 第 2 章では 1996 年に加田-鈴木 高橋によって導入された w-distance およびその性質について述べ, 第 3 章では主結果を述べる. 第 4 章では第 3 章で示した定理を応用し, 共通均衡点定理について考察する.
$\sim$

2w-distance

ここでは, 1996 年に加田-鈴木-高橋 [7] によって導入された距離空間上の新しい尺度の概念 “w-distance” について紹介する.

定義 2.1. (X, d) を距離空間, を $X\cross X$ から $[0, \infty)$ への写像とする. 次の 3 条件(1), (2), (3) が成り立つとき, は $X$ 上の w-distance であるという.
$\rho$$\rho$(1) $\forall_{x,y,z\in X,\rho(x,y)}\leq\rho(x, z)+\rho(z, y)$ ,(2)$\forall_{X}\in X,$(3)$\forall_{\epsilon}>0,$$\rho(x, \cdot)$: 下半連続,$\exists\delta>0s.t$. $\forall_{x,y,z}\in X,$$\rho(z, x)\leq\delta,$$\rho(z, y)\leq\delta\Rightarrow d(x, y)\leq\epsilon$.

w-distance にはいくつかの特性があり, 次の補題は w-distance に関する定理において, 最も重要であり, 役立つものである.
補題 2.1. (X, d) を距離空間, を $X$ 上の w-distance, $x,$ $y,$ $z\in X,$
を $X$$\beta_{n}arrow 0(narrow\infty)$ とするとを $[0, \infty)$ の部分集合,の部分集合,き, 次が成り立つ.
$\{x_{n}\},$$\rho$$\{\alpha_{n}\},$(1)$\alpha_{n}arrow 0,$$\{\beta_{n}\}$$\forall_{n\in \mathbb{N},\rho(x_{n},y)}\leq\alpha_{n},$$\rho(x_{n}, z)\leq\beta_{n}\Rightarrow y=z$,

特に, $\rho(x, y)=0,$ $\rho(x, z)=0\Rightarrow y=z$ ,(2)$\forall_{n\in \mathbb{N},\rho(x_{n},y_{n})}\leq\alpha_{n},$(3)$\forall_{n,m}\in \mathbb{N}$(4)$\forall_{n\in \mathbb{N},\rho(y,x_{n})}\leq\alpha_{n}\Rightarrow\{x_{n}\}$with $n<m,$$\rho(x_{n}, z)\leq\beta_{n}\Rightarrow y_{n}arrow z$,$\rho(x_{n}, x_{m})\leq\alpha_{n}\Rightarrow\{x_{n}\}$: Cauchy: Cauchy 列.

$F|\rfloor$,$\{y_{n}\}$

233

3

主結果

この章では先ほど紹介した w-distance を用いた共通不動点定理についての結果を紹介する. まず, 次の定理は定理 12 を w-distance を用いて拡張したものである.
定理 3.1. (X, d) を完備距離空間,写像とし,: $Xarrow[0$ , oo s.t.
$\exists_{\varphi}$$\rho$

を $X$ 上の w-distance, $S$ を $X$ から $X$ への連続$\forall_{X}\in X,$$)$$\rho(x, Sx)\leq\varphi(x)-\varphi(Sx)$$\exists_{\overline{X}\in Xs.t}.\overline{x}=S\overline{x}$とするとき,.

次の定理は定理 13 を w-distance を用いて拡張したものである.
定理 3.2. (X, d) を完備距離空間,連続写像とし,$\exists_{\varphi},$$\psi$$\rho$

を $X$ 上の w-distance, $S,$ $T$ を $X$ から $X$ への: $Xarrow[0, \infty)$ s.t.

$\varphi(x)-\varphi(Sx)+\psi(y)-\psi(Ty)$$\forall_{x,y}\in X,$$\max\{\rho(Sx, Ty), \rho(Ty, Sx)\}\leq$とするとき,$\exists_{1}\overline{x}\in X$

s.t.

$\overline{x}=S\overline{x}=T\overline{x}$.

系 1.1 を w-distance を用いて拡張すると, 次の系が得られた.
系 3.1. $(X, d)$ を完備距離空間,を $X$ 上の w-distance, $S$ を $\{S|S$ を $X$ から $X$$\rho$への連続写像} の部分集合とし, $\exists\{\varphi_{S}:Xarrow[0, \infty)|S\in S\}$ s.t.
$\forall_{x,y\in X},$$\forall s,$$\tau\in S$,$\max\{\rho(Sx, Ty), \rho(Ty, Sx)\}\leq\varphi_{S}(x)-\varphi_{S}(Sx)+\varphi_{T}(y)-\varphi_{T}(Ty)$ とするとき,$\exists_{1}\overline{x}\in X$s.t.

$\forall s\in S,\overline{x}=S\overline{x}$.

次の定理は定理 3.1 を集合値写像に拡張したものである.
定理 3.3. (X, d) を完備距離空間,合値上半連続写像,$\forall_{x,y\in}x,$$\forall_{u\in Sx},$$\forall_{v}\in Ty,$を $X$ 上の w-distance, $S,$ $T$ を $X$ から $X$ への集$\rho$$\forall_{X\in X,Sx,Tx}$

を空でない閉集合とし,$\exists_{\varphi,\psi}$: $Xarrow[0, \infty)$ st.

$\max\{\rho(u, v), \rho(v, u)\}\leq\varphi(x)-\varphi(u)+\psi(y)-\psi(v)$とするとき,$\exists_{1}\overline{x}\in X$

4s.t.

$\overline{x}\in S\overline{x}\cap T\overline{x}$.

共通均衡問題への応用

この章では, 前章で述べた共通不動点定理を用いて共通均衡問題を考える. まずは均衡問題について見ていく.
$H$ を Hilbert 空間, $X$ を $H$の空でない閉凸部分集合, $f$ を $X\cross X$ から への関数とする. このとき$\mathbb{R}$$f(\overline{x}, y)\geq 0$$(^{\forall}y\in X)$

234

を均衡問題の解という. 均衡問題は, 変分不等式を抽象化した問題であり, 最適化問題, Nash 均衡問題, 鞍点問題, 不動点問題などと深い関係がある. このことについて, いくつか例をあげる
をみたす$\overline{x}\in X$を求める問題を均衡問題という. また$\overline{x}$(詳しくは [4, 6]).
例 4.1.
$X_{1}\cross X_{2}$(鞍点問題)
が$g$$g$

を $X_{1}\cross X_{2}$ から$\mathbb{R}$への関数とする.

このとき,$(\overline{x}_{1}, x_{2}^{-})\in$の鞍点であるとは,$g(y_{1},\overline{x}_{2})\leq g(x_{1}^{-},\overline{x}_{2})\leq g(x_{1}^{-}, y_{2}),$$\forall(y_{1}, y_{2})\in X_{1}\cross X_{2}$が成り立つときをいう. ここで, $X=X_{1}\cross X_{2}$ とし, $(a, b),$ $(x, y)\in X\cross X$ に対して,$f((a, b), (x, y))=g(a, y)-g(x, b)$と $f$ を定義すると,$(\overline{x}_{1} ,\overline{x}_{2})$例 42. (不動点問題)
に対して,$S$が$g$の鞍点$\Leftrightarrow(\overline{x}_{1},\overline{x}_{2})$が $f$ の均衡点である.

を $X$ から $X$ への写像とする. このとき, $(x, y)\in X\cross X$$f(x, y)=$ {x--Sx, $y-x\rangle$と $f$ を定義すると,$\overline{x}$が $S$ の不動点$\Leftrightarrow\overline{x}$が $f$ の均衡点である.

さて, 本題の共通均衡点問題について見ていこう. $H$ を Hilbert 空間, $X$ を $H$ の空でない閉凸部分集合, $f,$ を $X\cross X$ から への関数とするとき,$g$$f(\overline{x}, y)\geq 0$

をみたす$\overline{x}\in X$$\mathbb{R}$かつ $g(\overline{x}, y)\geq 0$$(^{\forall}y\in X)$を求める問題を共通均衡問題という. またこの$\overline{x}$を共通均衡問題の解という.
この共通均衡問題を解く際に, 本論文では次の対応$Sx=\{y\in X|^{\forall}z\in X, f(y, z)+\langle x-y, y-z\}\geq 0\}$を用いることで, 前章で示した共通不動点定理を使うことが可能となる. 実際, この対応においては, が $S$ の不動点であることと, が $f$ の均衡点であることが同値となる.
前章の共通不動点定理を用いるには, まず上の対応となる 2 つの集合値写像 $S,$ $T$$\max\{\rho(u, v), \rho(v, u)\}\leq$が上半連続であること, そして $\forall_{x,y\in x,\forall_{u\in}}s_{X},$の存在$\varphi(x)-\varphi(u)+\psi(y)-\psi(v)$ が成り立つような $X$ から $[0, \infty)$ への関数$\overline{X}$$\overline{x}$$\forall_{v}\in Ty,$$\varphi,$$\psi$性が必要となる. しかしながら, $S,$ $T$ が下半連続の場合でも以下の定理 4.1 を用いることで, 前章の不動点定理を用いることが可能となる.
定理 4.1. (cf. [9]) (X, d) を距離空間, $Y$ を Banach 空間, $X$ から $Y$ への集合値写$Sx$ を空でない閉集合とする. このとき,
像 $S$ を下半連続とし,$\forall_{X\in X},$

235$\exists_{h}$: $Xarrow Y$ , 連続 st.

$\forall_{X\in}X,$$h(x)\in Sx$ .

この定理 4.1 と定理 33 を用いて, 次の結果を得る.
定理 4.2. $H$ を Hilbert 空間, $X$ を $H$ の空でない閉部分集合,$f,$$g$

を $X\cross X$ から$\mathbb{R}$$\rho$

を $X$ 上の w-distance,への関数とし, $X$ から $X$ への集合値写像 $S,$ $T$ を, $x\in X$ に対して,$Sx=\{y\in X|^{\forall}z\in X, f(y, z)+\langle x-y, y-z\}\geq 0\}$ ,$Tx=\{y\in X|^{\forall}z\in X, g(y, z)+\langle x-y, y-z\rangle\geq 0\}$ ,で定義し, さらに$\forall_{x,y}\in x,$$\forall_{X\in X},$$\forall_{u}\in s_{x},$を空でない閉集合とし,$Sx,$ $Tx$$\forall_{v}\in Ty$$\exists_{\varphi,\psi}$: $Xarrow[0, \infty)$ st.

,$\max\{\rho(u, v), \rho(v, u)\}\leq\varphi(x)-\varphi(u)+\psi(y)-\psi(v)$が成り立つとする. このとき, 「 $S$ が上半連続または下半連続」 かつ 「 $T$ が上半連続または下半連続」 ならば,$\exists_{\overline{X}}\in Xs.t$.

$\forall_{Z}\in X,$$f(\overline{x},$次に, $f$ にどのような仮定があればずは次の結果を紹介する.

$S$$z)\geq 0$

かつ$g(\overline{x},$$z)\geq 0$.

が上半連続になるかについて考察する. ま補題 41. ([6]) $H$ を Hilbert 空間, $X$ を $H$ の空でない閉凸部分集合, $f$ を $X\cross X$からへの関数とし, 以下の条件をみたすとする:$\mathbb{R}$(1)$\forall_{X\in X},$$f(x, x)=0$ ,(2) $\forall_{x,y\in}X,$ $f(x, y)+f(y, x)\leq 0$ ,(3) $\forall_{x,y,z}\in X,$ $\lim_{t\downarrow 0}f(tz+(1-t)x, y)\leq f(x, y)$ ,(4)$\forall_{X}\in X,$$f(x, \cdot)$: 凸, 下半連続.

また, $X$ から $X$ への集合値写像 $S$ を, $x\in X$ に対して,$Sx=\{y\in X|^{\forall_{Z}}\in X, f(y, z)+\langle x-y, y-z\rangle\geq 0\}$ で定義する. このとき,$s$: Single-Valued かつ firmly nOneXpanSiVe.

補題 4.1 から $S$ は firmly nonexpansive となるので, $S$ は連続となる. このことから次の結果を得る.
定理 4.3.

$H$を Hilbert 空間,

を $H$ の空でない閉凸部分集合,$X$$\rho$を $X$ 上の w-への関数とし, 補題 4. 1 の (1) $\sim(4)$ の条件をみたすとする. また, $X$ から $X$ への集合値写像 $S,$ $T$ を, $x\in X$ に対して,distance, $f,$$g$を $X\cross X$ から$\mathbb{R}$$Sx=\{y\in X|^{\forall}z\in X, f(y, z)+\langle x-y, y-z\rangle\geq 0\}$ ,$Tx=\{y\in X|^{\forall}z\in X, g(y, z)+\langle x-y, y-z\rangle\geq 0\}$ ,で定義し,$\exists_{\varphi},$$\psi:Xarrow[0, \infty)s.t$.

$\forall_{x,y\in X}$,

236$\max\{\rho(Sx, Ty), \rho(Ty, Sx)\}\leq\varphi(x)-\varphi(Sx)+\psi(y)-\psi(Ty)$が成り立つとする. このとき,$\exists_{\overline{X}}\in X$

S.

$t$

.

$\forall_{Z}\in X,$$f(\overline{x},$$z)\geq 0h^{a}$ つ$g(\overline{x},$$z)\geq 0$.

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