計測自動制御学会東北支部第175回研究集会（199乳6．19）
質料番号175−1j≧IntegralTrans鮎r皿畠andCo皿PuterAlgebra（積分変換と計算機代数）

ShgeruOHKURO（大黒茂）
HachinoheInstituteofTbclm0logy
八戸工業大学
キーワード：積分変換（Integraltranshrm），計算機代数（ComputeralgetIra〕，ラプラス変換〔Laplacetransform），Mapleソフト（Maplesoftware），数式処理（Forml11amanipulation），数理科字数育（Educationofmathernatical別壷Tlee＄）
連絡先：〒031−8501八戸「打妙字人間呂日−1八戸工業大学情報システム丁半研究所
大黒茂，恥1．：（017呂）25一別4ココFax：（017呂〕25−1朗l，仁一1nail：−】hkⅥr川祖hl一帖dL肌jp

1．はじめに，及び展望

inttraTtS［imY［aI）1乱Ce］もある．コ これらのコ
マンドの機能がどの位のものかを調べ

最近の数式処：哩用パニノコンソフトの進た亡，変数田変域が票数全体でない場合な歩には目覚しいものがある。グラフィッ
クヤアニメーションは勿論であるが，計算結果の数式の出力表示にも工夫が加えられて，川力がそ〝〕ままで数式としてぴ〕意味が分かるようになってきた ．このことは，数年前には数式処理用パソコンソフトには望み得ないことであった。最近
では，数式の中の変数の定義域が，実数全体でないような場合でも，これを表示出来るようになっている。
ここでは，数式処理用パソコンソフトとして最近急速に評価の高ま′1てきたカ
ナダの Mapt亡V＿ソフトウェアー

どげ〕ように条件が付いている時には，且SSumeコマンドが使える〔（Rel亡aSe4〕t）を用いた例を紹介する、＿．今
回は積分変換の一つ￠〕例としてラプラス

つある「ノ つまり，高度の数式が専門家以

数学公式集5）を題材に用いて，ラプラス型積分をパいソナルコンビニL」一夕」「で求め，数学公式集と比較する方法をとった。結果を見れば，数学公式集には符号などいくつかの誤り，またはミスプリ，と思われるも田があり，今後は，吟味なしに数学公式集をそのまま使うのは危険であるり

計算機代数（Computeralgebra）には．
数理科学び〕教育面で，非常に重要な側面があることが最近次第に明らかになりつ変換を取り上げる。有理関数を係数とす外でも比較的容易に，時間をかけずに取り扱え，計算結果が得られる。

る2階線形同次常微分方程式を以前扱っ

数学・自然科学離れが問題とされていたが，＝）榊ラプラス変換にはまたそれなる教育現場における上記の重要性は改めて述べなくとも明らかであろう。今後，りの計算機代数としての注意が必要である辛が分かる。
M叩Ieにはラプラス債分変換のコマンド
inttmASLlaI）laceJが組み込まれている。またラプラス逆積分変換のコマンド

社会人再教育等にまで，専門家以外の数理科学教育に計算機代数が，盛んに導入され，各方面で成果げ〕上がることが期待できるuAppendix
以下は，Laplace変換のMapleに上る実験数学としてのintcractivcsessionの様子であるc
まず初めに、Laplace変換を、MapIcの積分コマンドTntで定義しよう。

s〉0を仮定する。
＞粥＄ume匝＞0）；＞Ljnttl：＝lnt（exp（−S＊x），X＝0 infinity）；
幻⊥血相ノ：＝

血fモト5〜 ￣■58

以下でこの右辺の意味を少し説明しましょう。まず次の有限区間での積分を考えます。
＞Linttdefliml：＝ht（exp（−S＊x），X＝0 alpha）；
モトβ〃J）血⊥血相由伽J：＝＞Linttdefl：＝］imil（ ，alpha＝infinitY）；
e（一言〜∫）⊥斤丁托血f7：＝∵lim．J、や11・う・仁q

血0

Mapleではこれを次のl＿一al］1aceの積分変換（integraltransfbrm）コマンドで表すことができます。
＞Lintl：＝inttrans［laplace）（l，X，S）；
1⊥血打：＝−「こざ任意のs〉0に対して、この式が使えるようにするには、次のようにして関数Lintlt（s）を定義してやります。
＞Lintlf：＝＄−ケ1J＄；
1

山佃げ：＝g−→−ざ＞Lint川＄）；
1

古＞Lintl伽）；
1β＞Lintl仰．靴
2．000000000
T−intlf（s）は確かに関数の働きを保持し、変数sに代入操作が可能となっていますね。
Laplacc逆変換についても考えてみまし土う。

＞httran＄［invlaplace］（Lintl，S，X）；
1

さて、次に進みましょう。

＞8S与ume（s＋1＞咄
＞Lintt2：＝lnt（exp（一昔＊x）＊exp（−X），X＝0 infinity）；⊥ノわffg：＝′、 e〔−ぎ〜∫）モト∫〕
血前と同様に考えていきまし⊥う。まず、ラプラス変換で表します。
＞Lint2：＝jnttran与【l叩Iace］（exp（・X），X，S）；
1⊥血亡g：＝
吉ん＋1

且

＞Lint2t：＝Sヰ1／（s＋1I；
1血鱈：＝∫→＞Lht2晦）；丘〜十1＞Lint2伽I；
1p＋1
ゝLint2fト2ゎ
ー1＞？？？

＊＊この上うに、条件つき変数に定義域外の値を代入してもの 果 結 ま 部 場 の 能 可 算 計 に 的 式 形式を返してきますので注意が必要です。
＞inttrans［invlaF）lace］（Lint2，＄，X）；
eト∫）＞a皇＄ume（与トa）；＞Ljntt3：＝Int（exp（LS＊x）＊exp（−a＊x），X＝0 infinitY）；．− e⊥血相プ：＝

卜占〜∬〕eト∂｝∫）血＞Lint3：＝inttrans［laplace］（exp（−a＊x），X，S）；
1／わfJ：＝｛■■

ざ ＋∂＞Lint3t：＝S・＞1／（与＋a）；
山血訂：＝古−ナ＞inttrans［invlaF）lace］（Lint3，S，X）；
色（∂∬）＞8SSume（s＞咄

：己言張盟だ認識州。ha画‖in．in柚
1J扉甜：＝eト古Yよ）㌦㍉血｝I丁、＞Lint4：＝inttran＄［lap［ace］（x＾aIpha，X，S）；
1￣ （αY〕α〜
1加古イ：＝ヤ古¶一ゴ＞Lint4f：＝＄・＞GAMMA（alF）ha）＊alpha／（s＾alF）ha＊s）；
r（α〕α

1加古ヰr：＝ざ→よ1吉＞inttrans［invlaplace］（Lint4，S，X）；
山r（α〜）α〜∫廿・古Laplace逆変換は計算してくれない。

＞Lintt5：＝］nt（exF）（−S＊x）＊x＾（1／2），X＝0‖infinity）；

ヨf■e（叫血拙か＞Lint5：＝inttrans［［aplace］（x＾（112），X，S）；

臓＝＞Lint5t：＝S・サ1／2／s∧（封封★P汁（1／祉⊥血恥→＞inttrans［invlaplace］（Lint5，S，X）；

卜JD√＞Lintt6：＝lnt（exF）（−S＊x）＊x＾（−112），X＝0．．infinity）；

1Jわ什β：＝＞Lint6：＝inttrans［laF）lace］（x＾（・112），X，S）；

他＞Lint6t：＝S・＞1／＄彗1／2rPi∧川2）；⊥加古肝：＝古−」．

＞inttrans［invlap］ace］（Lint6，S，X）；√＞Lintt7：＝lnt（exp（−S＊x）＊（1・eXP（・X））／x，X＝D infinity）；
e（っ〜∫）（1−eト∬）〕
1血打7：＝∬＞Lint7：＝inttrans［laplace］（（1・eXP（・X））lx，X，S）；⊥／加7：＝Ⅶln（古「＋ln（ざ〝＋1）＞LintTI：＝S−＞−1∩（s）吊n（与＋1I；
1加〝：＝∫→−ln（∫）十In（∫＋1）＞inttr8nS［invJaplace）（Lint7，S，X）；
1eト∫）
∬

∫

＞Lintt8：＝Lnt（exp（・S＊x）＊xI（1−eXP（・X）），X＝0 infinity）；
e卜占叶∬）

1J如上β：＝＞Lint8：＝inttrans［laplace］（xl（l−eXP（−X）），X，＄）；⊥加β：＝W（1．￡「＞Lint8t：＝SヰP舗（1，＄）；牛∬⊥加肝：＝∫→LtJ（1，∫）

ここでPsi（1，arg正1］〕は1）01yCamma関数です：〕＞inttrans［invlaplace］（Lint8，S，X）；
inv】aplace（サ（1，ざ「，古て∬）ntn■■li＞Lintt9：＝lnt（e叩（−S＊x）I（x＋b），X＝0〜

占ビ⊥ふ丁拝タ：＝

ヽ■′∬′．

油卜J︒

I．aplaLU逆変換を計算してくれない。
＞a玉名um￠仙＞0）；血∬＋ム〟＞Lint9：＝inttrans［laplace］（1／（x＋b），X，SI；⊥血甜：＝lapla亡母〔∴萬占〕

これは「梅〕は積分指数関数です。
＞Lint9f：＝（＄，b）L＞eXP（s＊b）＊Ei（1，S＊b）；⊥血卯：＝（耳ム）→e〔5鋸Ei（1，∫郎岩波の数学公式と符号が違っているようだ。？？？

＞inttrans［invl叩Iace］（Lint9，S，X）；
1∬＋ム∫

ゼ一

1ノe

ムー√l〜∫ヽ．／e⊥血相Jβ：＝

〟吉√

卜一lJ︒

＞Lhtt10：＝lnt（exF）（dS＊x）＊exF）（−b∧2lx）／sqrt（x），X＝0‖infinity）；＞Lint10：＝inttrans［laplace）（exF）（・b＾2／x）lsqrl（x），X，S）；⊥血一丁β：＝責……＿＿＿イテ（色相イ詩〕2

岩波の数学公式と符号が違っているよケだ。？？？

＞LintflO：＝t与，bト＞Pi∧（¶2）／与九日／引／e叩（bts∧川封）几2；⊥血f〃♂：＝（島ム）−→古．．
√（e（占可＞LinttlO（3，1）；1鎚
3（eh何）2】血tnO（s＝3，b＝1）をちやんと計算してくれます。

＞inttrans［invlaplace］（LintlO，S，X）；
〔一旦ニ〕
モJ；
＞Linttll：＝lnt（exF）（・S＊x）＊（1／（1−eXPトx））−1lx）．x＝0‖infinitY）；∫∫■■−一ノ︑√ト．．

〝S∴ビトJO⊥ふ丁托J7：＝1−e（∫）＞Lintll：＝inttrans［laplace］（1I（l−eXF）（・X））−1lx，X，S）；⊥血ナノ：＝−Y（古1−lapl自Ge

ゝLintfll：＝S−＞・P与i（由・lapla揺（車Ⅹ，Ⅹ，S）；⊥J加〝J：＝∫→一瞥（古〕−】aplaGe

ゝLhtIll川；†−1aptace

ここで定数脚mmaはH111erの定数です。ここで第2項を考えてみます。
＞a僅SUmu（臣巾；assumu（0くC）＞int（合印仁山／Ⅹ，Ⅹ＝亡‖intinity）；
Ei（1．c）＞Ei（1，巾；Error，（inEi）sinEuhrityencounter巳d＞limittEi什吐亡＝￠，right）；
00＞Limjt（Ei（l，C），C＝0，right）；
lim Ei（1．亡）亡IO＋＞limit（Ei（1，吐亡＝＋巾；（1〕＞Lim叫Ei（1，亡），C＝＋0）；
lim Ei（1．仁）亡・十0

この極限は発散のようです（岩波の公式集にはこの注意がないようです。〕
逆変換を実行すると＞inttrarl＄［invlaplace］（Lintll，S，X）；
1−invlaplace（Ⅴ（∫「，ごて∫ト山∬＞Lhtt12：＝］nt（exF）（・S＊x）＊10g（x），X＝0 infinity）；⊥血相ノブ：＝

eト5〜∫）ln（∬〕血．Jy、＞Lint12：＝inttrans［laplace］（10g（x），X，S）；
ln（古「†1前古ノブ：＝−J■■

ざ古＞Lintf12：＝S・＞・1ls＊ln（s）−1ls＊gamma；ln（吉〕†

1血打アブ：＝∫→一ざざ＞inttrans【invlaplace］（Lint12，S，X）；
ln（∫）＞Lintt13：＝lnt（exp（−S＊x）＊x＾（alpha−1）＊10g（x），X＝0 infinity）；

卜占〟J）ノはん−1）⊥血相rJ二＝ー−、 e1n（∫）血＞a与Sume（atph帥0）；＞Lint13：＝inttrans［］ap］ace］（x＾（alpha・l）★10g（x），X，S）；
h〔古「「（α叫〕Ⅴ（α〜〕I「（α〜）1／加JJ：＝−ざ¶−ざ↑ト＞Lhtt13：＝（s，alph8ト＞−1／（s＾aIpha）＊ln（s）＊GAMMA（alpha）＋1／（s＾aJpha）＊Psi（aLpha）彙GAMMA（alphal；ln（ざ）r（α〕 γ（α）「（α）⊥血〝∫：＝（昂α）一ナー㌔よ1＞LintI13（4，1／2）；
一三両4）市＋‡挿（1−2・n（2）〕市ちゃんとl．intn13（s＝4，α＝1／2）を計算します（ニゝLinttl剖1，alpha）；
甘〔α〜）1「〔α〟）＞inttrans【invl叩Iace）（Lint13，＄，X）；−rl（α〜〕im厄place・司＋鮎）「（州画e〔吉▼古て∫〕∫¶血逆変換は計算しない。
＞b：＝ b ；ム：＝占＞aSSUme（酔b＞0）；
SyntaxerrDr．、〉、un8XPeCted＞きSSume（s＞bカ＞0）；＞Lintt14：＝lnt（exp（−S＊x）＊sinh（b＊x），X＝0．．infinity）；
e（っ〜∫）sinh（血〜∫）血1血拝／ヰ：＝」 ♪
0＞Lint14：＝inttrans［］ap］ace］（sinh（b＊x），X，＄）；ム〜⊥加古Jヰ：＝∫乍−ム乍＞Lintf14：＝（s，b）・＞bl（＄＾2・b＾2）；⊥血げ柑：＝（ざ．ム）−ナ㌔一座＞inttrans【invIapJace］（Lint14，S，X）；
e（ム〟J）1eトムY∬）

ム、二、三占〜 2 ム〜

＞Simplify（inttrans［invlaplace］（Lint14，S，X））；
1（e紺上1）eげ∬）＞Lintt15：＝lnt（exp（−S★x）＊亡0＄h（b★x），X＝0 infinitY）；⊥血相J∫：＝．−≡；一台、 一占〜∬）G。Sh（ム〜∫〕血＞Lint15：＝inttrans［laplace］（cosh（b＊x），X，S）；

ア⊥血亡JJ：＝

ゴヤ一ム乍

ーLintf15：＝（s，bト＞＄／（＄∧2・b∧拙
山加〝古：＝（昂ム〕→㌔［♂

＞jnttrans［invlaplace］（Lint15，S，X）；

e（m＋e肌1＞＄implify（inttrans［invlap［ace］（Lint15，S，X））；
1（eほ占㌦1〕eげ∫）＞Lintt16：＝lnt（exp（・S＊x）＊tanh（x）lx，X＝0 infinity）；
eトぎ〜∫）tanh（∬）
1血ffJβ：＝＞Lint16：＝inttran＄［l叩Iace］（tanh（x）／x，X，S）；⊥血亡Jβ：＝、J：二Iaplace（tanh（x）．xl＿ul〕ヰul

Map】eはこれ以上積分してくれません。実際には積分は「関数を用いて表されるのですが【＿〕＞inttrans【invlaF）lace］（Lint16晶Xl；tanh（∬）．r，Lintt17：＝lnt（exp（−S★x）＋（1−SeCh（x））lx，X＝0‖infinityI；
e卜5〜∫）（1−SeCh（∫H

1J加亡J7：＝∬＞Lint17：＝inttrans［laF）lace］（（1・SeCh（x））lx，X，＄）；＋lapla亡e（sech〔∬）仁ぺ＿〟り互〟J

ニ＋一ニー＞inttrans［hvLaplace］（Lint17，5，X）；

1 sech（∬〕．r∬＞b：＝ b ；ム：＝ム＞Lintt18：＝lnt（exp（・＄＊x）＊与in（b＊x7，X＝0‖infinitY）；
上血＃Jβ：＝fe（−ざ〝J）sin（占∫）血＞Lint18：＝inttrans［laplace］（＄in（L）＊x），X，＄）；
上血rJβ：＝

ざ乍＋戌＞Lintt18：＝晦万ト＞b／（巷∧2＋b几2）；

官⊥血げ柑：＝（阜ム）→㌔＋戌＞inttrans［invlapFace）（Ljnt18，S．X）；
sin〔占∬）＞Lintt19：＝lnt（exp（・S★x）＊cos（b＊x），X＝0 jnfinity）；⊥正丁甜Jg二＝e（一言〜∫）亡OS（ム∬）血．1灯
0＞Lint19：＝inttrans［［aplace］（cos（b★x），X，SI；⊥血fJg：＝

ざ乍＋＃＞Lintt19：＝（与，bトゥs／（s几2＋b∧2k⊥加〃タ：＝（昂ム〕→㌔＋♂

＞inttrans［invIaF）lace］（Lint19晶X）；
GOS（ム∫〕

nを整数とします。
＞n：＝ n ；〃二＝〃＞aSSUmetn，in帖ger）；＞Lintt20：＝lnt（exp（・S＊x）＊sin（x）＾（2＊n），X＝0 infinity）；
一昔ヤ∫）sin（∬〕（2〃「上／わ古畑：＝血Jニ■e−＞Lint20：＝inttrans［laplace］（sin（x）＾（2＊n），X，＄）；

1′正却＝＝lapl8Ce（sin（∬）（2〃「．差ゴ「＞inttran＄［jnv［apLace］（Ljnt20，S，X）；
sin（∫〕（2〃1＞Lintt21：＝lnt（exp（−S＊x）＊sin（X）＾（2＊n＋1），X＝0 infinity）；⊥加古亡gJ：＝．、 eト∫V∬）sin（∬）（2〃り十＝血＞Lint21：＝inttrans［lapIace］（与in（x）＾（2＊n＋l），X，＄）；山咄封＝＝laplace（sin〔∬〕〔2〃〝十＝，常吉「＞inttrans［inv［aplace］（Lint2l，S，X）；
sin（∬）〔2〃〟川＞Lintt22：＝lnt（exp（−S＊x）＊sin（b★sqrt（xl），X＝0 infinity）；⊥血ば：＝fe卜占〟J）sin（巾血＞Lint22：＝inttrans［lapIace］（Sin（b＊sqrl（x）），X，古瑠ノ2＞Lintf22：＝（与，bトヰ1／2tb★Pi∧川2）／s∧（射2rexpト1／4★b∧2／＄）；

1⊥山上甜：＝（与ム）−I2㌔／2b〉0と仮定すると上の逆変換が分かりやすくなります＝⊃＞さ＄SUme（b＞0）；＞inttr22：＝inttran＄［invlaplace］（Ljnt22，＄，X）；〕…斤sin（巾占〜41ノ4
1

血相r且2：＝−2

昂二芹＞Simp暮ity（inttr2封；

si巾〜√）＞b：＝ b ；占：＝占＞Lint22：＝inttrans［laplace］（＄in（b★sqrt（x）），X，＄I；

J− 1旦左よ二埜

⊥ノわ亡ガ：＝∫瑠／2

2＞inttrans［invlaplace）（Lint22，S，X）；
l一っ﹂ム〔一4訂4Jぎsinh巾ホ）原芹h〉0を仮定するとこの結果を簡単化出来■ます。
＞a甲Ume（b叫；＞引mPlit州n肘ans【invlaplace】（Lint22，S，州；

si山〜√〕＞Quit；

瓜止＞・

本研究の一部は，平成9年度私立人草等経常費補助金「特別補助（地方の高等教育機関の活性化〕」対象事業としての援助を受けた。
参考文献
1）D，Redhrn：TheMapleHandbook：Maple V Release生Springer（1996）

2）大黒茂：ComputerAlgebraofOrdinaryDi脆rentiE11Equations，計測自動制御学会東北支部第1G8回研究集会資料168−9，（1997）3）S．Ohkuro：OrdinaryDi鮎rentialEquationsbyMaple，rmeBulletinofLaboratoryofIn鈷rmationandSystemEngineering，fJachinolleTnstituteofrTt！Chnol（）gy（八戸工業大半情報システム工学研究所紀要），10，25／29（199呂）4）尾崎康弘，成田小二郎，清野大樹，大西誠，大黒茂，佐野公朗，藤岡与周；マルチメディアを利用した理工系科目の教育方法の改革に関する研究（そm2），八戸工業大学紀要，17，213／224（1998）

5）森口繁一，宇田川賂久，一枚信＝数学公式Ⅰ，230／232・岩波書店（19叫lロ