Optics Japan 2002 講演予稿集, pp.196〜197, 東京 (2002.11.3)

表面モデル 3 次元物体の計算機合成ホログラム

A Computer-Generated Hologram synthesizedfor Surface-Model Three-Dimensional Objects
松島恭治

近藤暁靖

Kyoji Matsushima and Akinobu Kondoh
関西大学工学部電気工学科

Department of Electrical Engineering, Kansai University
E-mail : matsu@kansai-u.ac.jp
ABSTRACT
Brightness of optically reconstructed surfaces of a computer-generated display hologram, digitally synthesized for a three-dimensional object in surface model, is investigated. Photometricalanalysis on brightness of a tilted surface plane, represented by a surface property function, shows
the brightness changes dependently on the viewing angle.
1y q

はじめにディスプレイ用のコンピュータ合成ホログラム (以zqb q

下 CGH) において物体光波を合成するための物体モデルとして，点光源モデル [1] や，最近提案されていa qる体積モデル [2]，断層モデルなどがある．現在主流の点光源モデルは単純で表現力に富む反面，全方向視x q

差 CGH では膨大な演算時間を必要とする問題点があり，漸化式を用いた数値計算法 [3] を用いても，数平方センチ程度のホログラムで半日程度の演算時間が必要である [4]．
著者らは，このような点光源モデルとは異なり，物体を CG と同様に平面で構成し，それらの平面からFig. 1 Coordinate system and geometry for synthesis ofobject waves.の回折光波を波動光学的に計算することにより物体光波を数値合成する表面モデル光波回折法を提案していここで，aq (xq , yq ) は平面 q の振幅分布を表す実関数

る [5, 6]．本稿では表面モデル光波回折法で合成したであり，平面形状の情報とテクスチャを含んでいる．

CGH の再生像で観察される輝度について報告する．
2

一方，物体モデルと表面特性関数

pq (xq , yq ) = exp[ik(cos αq xq + sin βq yq )]Fig. 1 は座標系と物体のモデルを示している．物体を構成している q 番目の平面を，(xq , yq , 0) 平面内に(2)は，ホログラム面に垂直に入射する平面波であり，含むローカル座標系 (xq , yq , zq ) を定義し，この平面

cos αq と cos βq はホログラムに垂直な単位ベクトル内で表面特性関数 sq (xq , yq ) を定義する．この関数は，の xq ，yq 方向に対する方向余弦である．さらに，平平面の形状，明るさ，散乱性，質感，テクスチャなど面から放出される光に拡散性を与えるため，スペックの情報を含む複素関数である．この平面からの回折光ルフリーでスペクトルが帯域制限された Bräuer の拡波を波面展開してフーリエ領域で座標回転し [5]，ホ散性位相 [7]，φd (xq , yq ) をログラム面上で重畳することにより物体光波を合成

Ψ(xq , yq ) = exp[ikφd (xq , yq )]する．
本研究では，表面特性関数を次式で構成している．

sq (xq , yq ) = aq (xq , yq )pq (xq , yq )Ψ(xq , yq )として重畳している．

(1)

1

(3)

Optics Japan 2002 講演予稿集, pp.196〜197, 東京 (2002.11.3)

Table I Parameters used for synthesizing an object waveand fabricating a hologram.
Dimension of object
z-Position of object

6 × 6 × 6 mm3100 mm

Number of sampling per plane
Sampling pitches

8192 × 4096
2 µm × 4 µm

Pixels of hologram

8192 × 4096

Pixel sizes of hologram
Reconstruction wavelength

2 µm × 4 µm
632.8 nm(a )S u rfa c e o fo b je c tqd A

rj dd Wd A

AFig. 3 A photometric model for analyzing brightness ofa plane surface represented by a surface property function.

(b )S 3角 ϕd で拡散し，表面から距離 r 伝播した位置で面S 2S 1

N o rm a lv e c to r

積 A = π(r tan ϕd )2 に光束が均一に広がっていると仮定して，距離 r の位置にある微小面 dA での光束密度を dΦ/dA  Φ/A と近似する．この時，立体角dΩ = dA/r2 に対して放射強度は，Fig. 2 A cube composed of plane surfaces (a) and a photograph of an optically reconstructed image of its hologram (b).

3I=ΦdΦ=dΩ
π tan2 ϕd(6)となり，角度 θ の方向で観測される輝度は3 次元物体の光学再生像

Fig. 2(a) に示した 3 枚の平面 S1−3 からなる立方体のホログラムを本手法を用いて作成し，それを光学再L=σa20I=cos θδAπ tan2 ϕd cos θ(7)生した結果を (b) に示す．また，この時に用いたパラとなる．この結果から，再生像の輝度は面を見る方向メータを Table I に示す．に依存して変化することがわかる．

Fig. 2(b) から，再生像には陰影が付いて見えることがわかる．しかしながら，物体光波の合成時には各面5まとめの表面特性関数の振幅を同一としており，特にシェー物体を構成する面からの光波回折を計算することにディングを施していない．この原因を調べるため輝度より 3 次元物体の物体光波を合成しディスプレイホロの解析を行った．

グラムを作成することができる．しかしながら，その再生像の面の輝度は観測する方向に依存して変化する

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再生像の輝度解析ことがわかった．

点光源モデル光線追跡法でも，点光源を充填して形参考文献成した平面の輝度が観測方向によって変化することが[1] A. D. Stein, Z. Wang and Jr. J. S. Leigh: Computersin Physics 6, 389–392(1992).
[2] 坂本, 金澤, 青木: 3 次元画像コンファレンス 2002, 209–212(2002).
[3] K. Matsushima and M. Takai: Appl. Opt. 39, 6587–6594(2000).
[4] 近藤, 松島: 3 次元画像コンファレンス 2002, 113–116(2002).
[5] K. Matsushima, H. Schimmel and F. Wyrowski:
SPIE Proc. Practical Holography XVI and Holographic Materials VIII #4659, 53–60(2002).
[6] 松島, 近藤: 3 次元画像コンファレンス 2002, 213–216(2002).
[7] R. Bräuer, F. Wyrowski and O. Bryngdahl: J. Opt.
Soc. Am. A8, 572(1991).
[8] 松 島, 本 荘: 映 像 情 報 メ ディア 学 会 誌 56, 986–992(2002).

知られており [8]，これも同様の現象ではないかと推測した．そこで，Fig. 3 に示したモデルにより表面特性関数 (1) で表現した傾いた平面の輝度を解析した．
今，表面特性関数の振幅が a(x, y) ≡ a0 で一定とし，|s(x, y)|2 = a20 が光強度に一致するような次元をa0 に与えるものとする．このとき，物体表面の微小領域 δA からの光束 Φ は，Φ =|s(x, y)|2 dxdy(4)δA= δAσa20(5)で与えられる．式 (5) では表面特性関数が離散化していることを考慮しており，σ は標本化密度である．
微小領域 δA からの光束が散乱性位相により発散2