アステロイド曲線を発展させる
Asteroid Curve

髙橋真広 松村慶⽃ 細⾕倫隆 ⽔⾕隼⼈
指導教員 千葉将仁

1.はじめにアステロイド曲線とは、半径aの⼤きさの円の内部を、その1/4の⼤きさの円が滑ることなく転がったときの⼀点の軌跡のことで、媒介変数表⽰をすると、
𝑥2/3+𝑦2/3という式で表される。また、座標平⾯上に表すと、= 𝑎 となる。
2/3

アステロ イド曲線

このアステロイド曲線は、サイクロイドの⼀種であり、⾝近な使⽤例としては、旧式のエンジンの設計に使われている。

我々はこのアステロイド曲線に興味を持ち、式①の指数を有理数pとおいた、𝑥 + 𝑦 = 𝑎 という式を主題式と設定した。また、主題式は、フェルマーの最終定理の𝑥 + 𝑦 = 𝑧 という式と似ているため、フェルマーの最終定理を図形的に考察できるのではと考えた。フェルマーの最終定理とは、nが３以上の⾃然数のとき、𝑥 + 𝑦 = 𝑧 を満たす⾃然数の組x、y、zは存在しないというもので、１９９９年にイギリスの⼤学教授アンドリュー‧ワイルズにより証明されている。私達は、主題式のｐの値を変化させたり、格⼦点を調べたりすることで、フェルマーの最終定理を図形的に証明することなどに役⽴つのではないかと考え、研究を始めた。
𝑝𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛2.研究の⽬的
前述の通り、この研究を進めることにより、フェルマーの最終定理を図形的に考察∕理解することに役⽴てられると考えている。フェルマーの最終定理は通常⾮常に複雑でかつ⻑い証明を要し、フェルマーの最終定理を証明したアンドリュー‧ワ
イルズが作成した論⽂は１００ページにも渡る。我々⾼校⽣など数学を専⾨的に研究していない⼈々にとっては、それらの証明を理解するのは難解なことである。そういったときに、この研究を通してフェルマーの最終定理の理解を⼿助けするような考察を⽣み出すことを考えている。

3.実験⽅法
実験や研究において、⼤量の試⾏を⾏う際などは「Google Colabratory」でPythonを⽤いたコードを作成し、実際にGoogleのサーバーで実⾏した。ほかに、具体的な数値を代⼊したときのグラフのサンプルを得る際には「GeoGebra」及び「desmos」、「Mathway」を使⽤した。あとに研究でこのサービスを使⽤する⽣徒に向けて、利点や注意点を記載する。
「Google Colabratory」
利点: Pythonを⽤いたコードの実⾏が可能で、⼤量な試⾏の結果などを数分〜数時間で出すことができる。
注意点: ⼀定時間操作をしなかった場合にコードの実⾏が中断される（途中から再開するのは難しい）「desmos」
利点: Chromebook上でも動作が軽い、作ったグラフの共有が可能
注意点: 指数の値が少数になると、数学的に正しくない結果を⽰す場合があった「Mathway」
利点: チャット形式、⽇本語に対応している、⼀つの⼊⼒から様々な選択肢を取れる
注意点: 広告が多い「GeoGebra」
利点: 3次元のグラフのプロットが⾏える、作ったグラフの共有が可能
注意点: 動作が若⼲重い
なお、基本的にこれらのサービスでは、以下の⼊⼒⽅法が⼀般的である:
𝑥 (xの3乗) … x^3 ※「^」…通称キャレット、べき乗を表す
応⽤: (2/3 ) … カッコ 3のab乗 分の2 カッコ閉じ c乗
3𝑎𝑏 𝑐3.ｐの値による分類
我々は主題式が描くグラフについて詳しく調べるため、指数ｐに⾊々な値を代⼊した。
I. ｐが正の偶数のときｐ＝２のときは我々がよく知る円を⽰す式になる。その上に、ｐ＝４、６、８…と値を増加させていくと、だんだん円が⾓張ったような形になり、⾯積ａ＾２の正⽅形に近づく。

II. ｐが正の奇数のとき右画像のようなグラフが得られ、これを微分するなど調べると以下のことがわかった。
𝑦': グラフ上の点における接線の傾き
常に負 ⇔ 常に減少関数
𝑦'':接線の傾きの増減の様⼦ ⇔ グラフの凹凸
0 < 𝑥 < 1 において負 ⇔ 上に凸𝑥 < 0, 1 < 𝑥 において正、下に凸
つまり、このときのグラフに直線部分は存在しない（僅かに下に凸である）。
III. ｐが負の奇数のとき
𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑎 の２本の漸近線が得られる。𝑥 = 𝑎 の右側極限は∞、左側極限は− ∞ である。

IV. ｐが負の偶数の時
𝑥 = ±𝑎 , 𝑦 = ±𝑎の４本の漸近線が得られる。

いずれの場合も、ｐが⾮整数である値のときは、定義域の関係で第⼀象限にのみしかグラフが現れない。

4.規則性の検証
指数pの⼤きさを⼤きくしていくと、グラフの第⼀象限の部分の形が徐々に正⽅形の⼀部のような形に限りなく近づく。私達はこのことから、グラフの第⼀象限の内側の部分の⾯積をDとしたとき、指数pと⾯積Dの変化の仕⽅に何らかの規則性が⾒いだせるのではないかと考え、検証を⾏った。
その結果は、次に⽰すグラフのようになった。
pの値が⼤きくなるに伴って、Dの値は1に限りなく近づいて増える事がわかる。しかし、私達はこの結果を⼀般化することができず、具体的な規則性を⾒出すことは難しいと考えた。
（縦軸…ｐの値；横軸…Dの⾯積）

この検証にはPythonで作成したコードを使⽤している。若⼲⻑めのコードである
ため、本レポート内に記⼊することはできないが、本研究レポート最終ページの最下部にコメントを付したGoogle ColabratoryのリンクとQRコードを記載してあるた
め、今後の研究の参考になれば幸いだ。

5.図形を⽤いた考察
フェルマーの最終定理というのは前述のとおりである。私たちが今回着⽬したアステロイド曲線の式を変形した主題式と、フェルマーの最終定理の式はよく似た形をとる。したがって、主題式を図形的に調べることでフェルマーの最終定理の図形的な考察ができるのではないかと考えた。
図形的にフェルマーの最終定理を⾔い換えると、「zが⾃然数ならば主題式の描く曲線が格⼦点（x座標とy座標がともに整数である点）を通らない」とすることができる。
実際にPythonを⽤いて主題式の描く曲線が格⼦点を通るか、検証してみた。
その時に使⽤したコードが別紙の資料1である。
これを実⾏した結果、指数nが3でzが1000以下の⾃然数のとき、いかなる格⼦点も通らない事がわかった。
よって図形的に考えると、数の範囲は限られてくるがフェルマーの最終定理が成り⽴つことが確認できた。

６.謝辞
秋⽥県⽴⼤学 廣⽥ 千明先⽣
横⼿⾼等学校 千葉 将仁先⽣
瀬々 将史先⽣
本研究を⾏うにあたり丁寧なご指導をありがとうございました。

7.参考⽂献1.アステロイド(曲線) - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/アステロイド_(曲線)2.アステロイド曲線 | ⼤学⼊試数学の考え⽅と解法
https://methodology.site/asteroid/資料１ 使⽤したプログラム（Python）
import math指数
rep=10 #繰り返し回数(yをどの値まで調べるか)
n=3 #回だけ以下の動作を繰り返す
for y in range(1,x+1): #xの値の回数だけ以下の動作を繰り返す#zの候補を2つ求める#⼩数部分を切り捨てたもの

for x in range(1,rep+1): #rep

z1=int(math.floor((x**n+y**n)**(1/n)))

⼩数部分を切り上げた もの#

z2=z1+1

候補が主題式を満たし ているか判定#

diff1=z1**n-(x**n+y**n)diff2=z2**n-(x**n+y**n)
print(x,y,"diff1=",diff1," diff2=",diff2)

やdiff2が⼩さいものは格⼦点の近くを通っている
print("−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−") #区切り線の追加#diff1

上記コード及び規則性の検証＋第⼀象限でのグラフの描写、⾯積の導出をするプログラムなどがあるGoogle
ColabratoryのページのQRコード及びリンク:
https://x.gd/gENi5

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