計測自動制御学会東北支部第163回研究集会（19弧10．1呂）
資料番号1G3−1

内部モデルレス・サーボ系の設計
ADesignofInternalModelLessServo ControISystems○石川孝律義，渡部慶二★，山田功七，斎藤周次■
OT．Ishikawa＊，K．Ⅵhtanabe＋，K．Y如Tlada＊，S．Saitoh象＊山形大学工学部＊Yama・gataUniversity
キMワHド：内部モデルの原理（illterLlallnOdelpLLillCiple），最終値0）定理（LiLlalvaユucthe【】rem），ロバス
ト安定（robuststability），感度関数（sensitivityfunctioll），相補感度関数（e（・｝1npleLnelltarySenSitivity

hnctioIl）
連絡先：〒992 米沢市城南4−3−16山形大学工学部電子情報工学科渡部研究室
石川草津，恥1・‥（D23畔狼3326，臨Ⅹ∴（0238）24−2752，E−mail＝i6bika伯鮎血y・yZ・y弧唱ata−u．at∴jp1． はじめにqを付け加えた一般化安定化器を利用した内部モデルレス・サーボ系の設計法を捏＿案する。

時間で変化する目標値に精度良く追従させるフィードバック制御系をサーボ系という。位2．内部モデルレス・サーボ系

置制御を行うサーボ系として、内部モデルの本研究で用いる一般化安定化器を利用した原理より積分著書を直列補償器としたサーボ系

内部モデルレス■サーボ系をFig．1に示す。

りが知られている。しかし、このサーボ系では、例えば実際に台車を動かした場合、摩擦により台車が静止してしまい、その誤差を積Q＋＋＋ t亡 占

つl＋分することになってしまう。その結果、台車が静止するときに間欠的に左右に動いてしまうという問題がある。また、制御系を設計する
際、制御対象を数値モデル化した公称数式モデルをもとに設計するが、制御対象と公称数
Fig▲1内部モデルレス・サーボ系式モデルを一致させることは困難であり、一般に誤差が生じてしまう問題がある。上記のここで、∬∈甜lはオブザーバのゲイン、問題を解決するため、本研究では、オブザーF∈月1加は状態フィードバック係数、r∈月バを併用した状態フィードバックにパラメータは目標値、甘∈月は制御畳、u・∈月は操作量で−1−を満たすように決める．＝．この時、ある。また、制御対象C（占）の状態方程式を叫）＝Aこ訂（り＋占l項）⊃ ∀山≧0 （8）け1（ノ山）lく

y（f）＝亡ご（りつまり、ユ車）∈月代，A∈月和親，b∈月れ，C∈月1x佗

lけVr帖くlとする。ここで、月i叫ま実数からなるixJ行（9）を満たす場合、この系は【りミスト安定となる。

列の集合である。

4．制御対象が安定な場合の設計

この内部モデルレス・サーボ系で、T−（ざ）からy（β）までの伝達関数、感度関数∫（占）（＝法e（占）／r（β 及び相補感度関数r（β）（＝1−β（可）制御対象の公称数式モデルG（占）がた個のは安定な雫点トキ，…：−ヱ古）と順の不安定な型坦

零点（z∴・‥，ヱ「）を持つとする。

＝柑c（ざトA＋∬亡〕］1br（占）た＋F（占トA＋∬亡）［1Jrc（占トA）旬）J口（占−ト打）口（占一寸）

・【1＋F（βトA）「叫1〔3）G（占）＝拉t＝1

Jr＝1det・（占J−．4）

叫）＝（1−（Qc−F）（占トA＋打c）￣1叫・【1＋F（βトA）￣1占】￣1（10）

いま、C（β）が安定であるので、打＝0とする。
（4）

この時の相補感度関数T （占）は式（10）より、
r（占）＝柑亡（古トA＋打亡）1ゎ

Qc（占ト．4）￣1む＋F（占丁−A＋打c）rl∬亡（占トA）【1叫・tl＋F（占トA）￣1占「1r（書）＝1＋ダ（占J−ノl）−1bea・dj（βJ一月）占（5）・−・りd叫声一月＋hF〕
上となる。

J帥n（り打）ロ（且一寸）
J＝1

上＝1

乱 ロバスト安定d叫声−A＋んF）（11）となる（．また、制御対象が尤Jロト＋打）n（占一寸）
Gp〔占）＝C（占）（1＋△（可）

（6）

1＝1

J＝1

テ（β）＝

det（占J−．4＋hF）のように変動したとする。ここで、△（可はモとおき、r（占）＝砂毎・和9）とする。

デル誤差であり、G（占）、Gp（占）の不安定極の重み関数lV（可のゲイン線図が掴Bと交わ数は変わらないものとする。また、G（占）は制る角周波数を山。とする（Fig．牲

御対象の公称数式モデルであり、可制御、可観測1）とする。
いま、重み関数Ⅳ（占）を

l△（本川くl叫J刷，克≧0（7）

T2（12）

となることから、

田．ナ山）l＝〔18）〔￡2−ト2〔叫占」一山孟）「■あるいは、l7てj可l二（・与2＋2く叫．月＋山孟）「」（占「ト叫l）（19）となる。

ここで、げ（ル）lを0≦山く叫lで平坦にす
Fig．2 重み関数Ⅳ（月）のゲイン農園

るため、亡＝0／7とすると、仔（j山）lとlⅣ1（J山）lのゲイン緑園はFig．3のようになる。

山几≦叫＝とおき、
det（占J−A＋hF）＝（占2＋2拉，lβ＋山王）T
たJ・口（β＋打）H（占＋す）（13〕
J＝1

宣＝1

†l−（た＋J）

陀：偶数，T＝

あるいは、次数を合わせるため、
det（点上−A＋むダ）

F主g．3＝（占2＋2〔叫1占一十山王）7（占＋叫）
入、仔（J山〕」とlⅣ⊥1け亘＝のゲイン轟囲

J・H（りオ）押占＋寸）

次に、ステップ入力（†車）＝1／占＝こ対し、定（14）

J＝1

i＝1

Tl：奇数，7＝常偏差なく制御量が追従するようにパラメー

和一1−（た＋j）

タQを決める。
まず、偏差e（占）は、感度関数叫号）と目標とすると、テ（占）は、入力Tt（占〕との積で表される。
テ（占）＝（β2＋2亡叫．β＋山王）7e〔β）＝∫（β）丁車）

H与＝1（占一寸）（15）．ヽ・ト．：

n与＝1（占＋寸）（20）

占あるいは、また、最終値の定理1）より、

テ（￡）＝（占2＋2亡叫l占＋山孟）7（占＋山門）

1inle（り＝ま空も可占）用＝1（貞一ギ）
（1G）

＝空坤）

n与＝1（ 寸）月＝錘）となる。また、β＝j山とおいたときのlテ（J山）lはn与＝l（J山一寸）

Ⅰ→L）：，となる。したがって、11Ill量→皿e（り＝0となるた＝1（17）めには感度関数∫（￡〕が原点に一つの零点を持口与＝1（j山＋ヱナ）［3（21）

5．制御対象が不安定な場合の設つ必要がある。言い換えれば、感度関数∫（占）の分子に占＝0を代入したとき、その分子が計法0になればいい。

前節の制御対象が安定な場合は、打＝0といま、∬＝0とした感度関数∫（占）の分子をしたが、制御対象が不安定であるので、オブ
Ⅳ〔占）＝1−（Q仁一F）（占トA）￣1む （22）

ザーバ（．4一打亡〕により、安定化する際、なるべく小さいオブザーバのゲインIl打‖で安定化とおき、この式〔22）に占二＝0を代入すると、することを考え、

Ⅳ（0）＝1＋Qc．4￣lムーFA■1占 （23）′＼困刃A−∬c］＝となる。Ⅳ（0）＝0を満たすパラメータqは、

一月叫−0．01＋叫叫

Q＝ダA−1古山1cA−1bとなるようにオブザーバのゲイン耳を計算す（24）る。ここで、刃・】ほ固有値を示す。となる。

状態フィーードバック係数〃は、安定な場合∫（占）＋r（占）＝1，∫（0）＝0の関係から、と同様に求める。

r（0）＝1となることから、パラメータ鋸土、感度関数叫）の分子が山計 柁＝偶数q人・JJ−‡

山計＋1m：奇数（25）

一となり、IT（j山）lは、となり、この式（22）に．号二二0を代入すると、
叫0）＝1−q亡（肌一ノ1）￣1占＋ダ（∬仁一A）1白⊥−ま1−lr（ゴ山〕f＝（占2＋2亡妬β＋山孟）7（26）（29〕あるいは、となるので、f︵止計トtIr（J山 ＝1＋F（打仁一ノ1）l占（J・（占2＋2亡山れ占＋山孟）T（占＋叫1）e（打c−A）【1むとなる〔．となる。Fig−3にIr（j山）l＝憧（ブ山）毎テ（本川の相補感度関数r（占ぃ乃ゲイン繰回はオブザゲイン線図を付け加えるとFig．4のようになーバゲイン打≠0の景三響でFig．5のようになる。したがって、叫l≦叫＝でロバスト安定とるので、叫王を小さくすることでロバスト安定なる。となる。

Fig．4lr（J山）lとlⅣ￣1（J山）lのゲイン繰回

Fig・5lr（J山）lと田′」1（J可lのゲイン繰回−4−（3叫5．1 設計手順
St月pl＝制御対象Cp（占）、モデルG（占）から摂動l△（Ju）lを見積もり、重み関数Ⅳ（占）を求める。また、重み関数Ⅳ（β）のゲイン緑園がOdI〕と交わる角周波数を山。とする。
St．ep2：オブザーバのゲイン∬を計算する。

Step3：叫l＝叫とし、状態フィードバック係数Fを求める。
Step4ニパラメータq（占）を求める。
1001011♂

10】

叫隠咽

Step5＝相補感度関数r（占）と重み関数の逆数Ⅳ￣1（β）のゲイン凝固を描き、Ir（J山）lがlⅣ￣1（Fig・6 △（占〕とⅣ何のゲイン繰回J山）lの下側となっていることを確認する。
下側になっていない場合は、叫．を小さく

Step2：オブザーバのゲイン打変え、Step3．以降を繰り返す。

jr＝−0．0518−0，0007

6．数値例

Step3＝妬二1叫ad／s】，状態フィードバック係数

台車系の制御対象Gp（占）とモデルC（占）iま／F
1760
Gp（占）＝β（占2＋60β＋9帥0）

ダ＝ト114・紺317・52］（叫27
G（占）＝
占（占＋140）

Step41：パラメータqである。
q二11t7268

Stepl：モデル誤差△（β〕から重み関数Ⅳ（β）を（占＋7）2ll一巨）

350

Step5＝相補感度関数r（占）と重み関数一打￣1（占）（33）のゲイン線図をFigてに示す。設計仕様とし、△（占）とⅣ（β）のゲイン緑園をFig．6を満たしている．、に示す。

−5−（36）

とを示した。

参考文献

1）中野道艶美多勉＝制御基礎理論，193／212，
昭晃堂（1993）

100

181

1♂

1ロー叫l由咽Fig．7 相補感度関数r（占）と重み関数Ⅳ￣1（占）のゲイン線図
シミュレーション結果をF主g割こ示す。

8．2

0．4

ロ．6

0．8

1

¶n疇5年】

Fig．8 シミュレーション結果

7．おわりに
本研究では、オブザーパを併用した状態フィードバックにパラメータqを付け加えた内部モデルレス・サーボ系の設計法を示した。

また、数値例から、モデル誤差のもとで目標値に追従し、台車の位置制御に有効であるこ−6