広島工業大学紀要教育編
第 8 巻（2009）pp.7-11

論文

工学部基礎教育における解析学教育の目的と内容について小山

哲也＊（平成 20 年 10 月 27 日受理）

On the Aims of the Education of Mathematical Analysis in the Faculty of Engineering
Tetsuya KOYAMA（Received Oct. 27, 2008）

Abstract
The aims of education of mathematical analysis are discussed as a fundamental
education for engineers. In this viewpoint, the contents of the subject are examined.

Key words: education of mathematical analysis, education for engineers.

ちんと学習するための準備をする。

1 序

2. 物事を原理的に理解しようと努力し，複雑な計算を近年大学入学者の学力低下，理系離れが言われている。

きちんと遂行する態度，力量を涵養する。

また，本学のような地方大学にあっては学力と学習意欲の工学部各学科は 1，2 年次に各分野の理論的基礎に当た格差の増大も大きな問題である。この状況の中で，工学教る上述の科目を置いているが，これらの学科担当者と数学，育の目指す目標，また目標実現の方策は何かということが物理担当者の連携がうまくなされているとは言い難く，学早晩改めて問われる事になると考える。単に伝統的な学科習者はかなりの困難を抱えているように見受けられる。工目の内容を検討することにとどまらず，「ものを消費する学部の基礎教育としての解析学教育に在ってはまずこれら生き方からものを作り出す生き方への切り替え」「技術者の科目の学習を支援することを目標とすべきである。数学に求められる責任感，勤勉さの養成」といった大きな方針

固有の価値観，問題意識があるとする考え方もあるが，解から考えなおさなくてはならないのであろうが，本稿にお析学はその成立時，他の自然科学と渾然一体であったのでいては問題を限定して「工学部の基礎教育としての解析学あり，そのころの素朴な問題意識から出発するのが初学者

教育が目標とすべきもの，そのための教育方法」について，のためである。数学教育学会会長の藤田宏教授はその講演

現在のところの筆者の考えをまとめておこうと思う。筆者［1］は長く電気系の学科にいたので考えが電気に偏るかもしれ数学の知識と応用力を育てるための営み」であり，したがないが，読者の批判を仰ぎたい。って「実学である」としておられる。の中で，「学校における数学教育は学習者が必要とする具体的に述べよう。上述の諸応用力学の基礎には古典力

2 本学工学部基礎教育に於ける解析学教育の目標学があり，古典力学の中心概念である運動方程式は表題の目標として，筆者はまず次の点を挙げるべきであると考える。

Maxwll 方程式，Navier-Stokes 方程式等の基礎的な方程式を導き出す根拠となっている。このような事情を理解さ

1. 力学および電磁気学や，構造力学などの応用力学のせるためには微分法と微分方程式の理解と習熟が不可欠でような，工学諸分野の理論的な基礎となる科目をきある。また，力学や交流回路理論等に現れる具体的な微分* 広島工業大学工学部電気デジタルシステム工学科

―7―

小山哲也

方程式を解くためには初等関数の知識と微積分の計算能力

強の遅い）学生のために詳しい解説を付けた方がよい。でが必要である。また，点や剛体の運動を表現するためにはきれば応用のある問題が望ましい。

座標と曲線のパラメータ表示が必要であるし，場の解析の以下，具体的な内容とその狙いを述べる。

ためには曲面，領域等の対象を表現し，その上で微積分をすることが必要となる。

3.1. 等式と不等式の性質

微積分の知識は工学部にあってはまずこのような意味で＝，≦の性質を整理し，方程式，不等式が確実に解ける

力学，工学の基礎として大切なのであるから，学生指導にようにする。式の変形，特に≦の処理が覚束ない学生が存当たってはこれらの科目との関連を強調するべきであると在するので対策が必要である。

考える。またこのことは学生の学習意欲を高めるのにも寄与すると信じる。

3.2. 実数と関数の連続性

また工学を本格的に学ぼうとすれば，物事を分かろうと実数を用いてすべての物の長さが測れることを述べる。

努力する姿勢，きちんと計算しようとする姿勢を身につけ（実数の連続性。
）言い換えると「どんな（無限）小数にもねばならない。これは学科の知識修得以前に，まっとうなそれを表す実数がある」ので，測定を極限にまで精密にし社会人，技術者として必要な資質であろう。そのためには，ていくことによりどんな長さも実数で表せるということで一方通行になりがちな講義のみでなく課題を与えて自発的ある。このことが微積分の実世界での有効性を保証するのに，且つある程度の量を解かせることが必要である。但しであるから一言述べるに値すると考える。また，物事の変このための題材は何でもよいわけではない。学科，コース化は多くの場合連続的なものであり，我々が対象とする関に応じて教える意味のあるものを厳選すべきである。また数も多くは連続なものである。中間値定理と最大値定理はその際，常に目的意識，問題意識を強調すべきである。上理論上しばしば本質的な役割を果たすので重要である。理に挙げた題材はそのためのよい材料になりうると思う。

論の建設に力を割くことはできないが「大事だ」と言うこ

3 内容と方法
前節の目標を達成するためにふさわしい教材とその教授とは一度は述べて印象に残しておくに値すると考える。

3.3. 円関数
等比数列 a n は，常に一定倍率で変化する変化の様子を方法について考える。
まず内容を精選するべきである。高等学校で学ぶべき知表現したものである。この「定倍率変化」という法則を識が十分身に付いていない学生が増える中，題材を少数に制限することはやむを得ないことである。この際「初等的な解析の教育において守るべき水準とは何か」を考えてお変化率るf (t + dt)
は時刻 t によらず経過時間 dt のみできま
f (t)
（1）

くのは今後の教育計画を戦略的に立てていくために必須でのように一般化して等比数列を補間したものが有理数べきあろう。[1]で藤田教授は「とくに充実してほしいと願い，であり実数べきである。このような変化は生物個体群の増かつ，その効果を期待している」数学リテラシー教育とし殖や放射性物質の崩壊など自然界において頻繁に現れるのてで，それを表現する関数として指数関数は重要なのである。
●

指数関数リテラシー●

微分（微小量）解析リテラシーと運動学リテラシー●

統計リテラシーを挙げておられる。本稿もこのうち前 2 者に従うものであまた，（1）は指数法則

f (t) f (s) = f (t + s)と同等であり，さらに極限操作により重要な関係式る。

f ' (t) = const. f (t)次に，概念の勘どころを理解させるために説明を工夫する。論理的正確さを追及するのは時間的にも学生の能力のが導かれる。特に底を e に取るとこの定数が 1 になる。こ点から見ても無理である。形式的な煩雑さを避けつつポイのことから底が e の指数関数は微分方程式の解法で重要とントを突くことを目指すべきである。典型例の例示で済まなる。底が e 以外の場合は重要視する必要はない。
三角関数は，特に電気系にあっては三角形を解くためとせる場合があってもよい。図を用いることは，陥穽もあるが一般に有益であろう。

いうより回転や振動を表す関数として重要である。従って演習問題は典型的な例を用いるべきである。計算のため導関数の性質が大事なので初めから弧度法で定義するべきの計算は意味がない。また，必要な知識の定着の劣る（勉である。加法定理から派生する諸公式はそれほど重視する―8―

工学部基礎教育における解析学教育の目的と内容について

gf (n) (a) = P (n) (a)必要はないと考える。
三角関数と指数関数は複素数を仲立ちにしていわゆるオを満たす多項式 P (x)を作るとイラーの公式

x ] a & f (x) ] P (x)iie = cos i + i sin iであることととらえるのが適当であると考える。これが本により結びついている。このことを利用して複素指数関数

来の目的意識であろうし，学生にとっても分かりやすく，をかつ応用に結びつきやすい。説明は a = 0 の場合（マクローリンの定理）で十分であろう。この近似がうまく行って

e z = e Re z ( cos Im z + i sin Im z)

いることを説得する最良の方法はグラフを書いてみせるこで定めると，指数法則（3）の他にとである。できればグラフ描画ソフトを使用した演習を考えたい。

d e zt = ze zt
dt

ロピタルの定理は強力ではあるがやや煩瑣なラグランジが成り立つので微積分の計算が大変見通しよくなる。この

ュの定理を準備せねばならず，割愛するのもよいと思う。

ことは交流理論で盛んに利用されるので，電気系において重要と思われるのはは早い時期に習熟させるべきである。また，2 年次の微分x a " 0, log x " 0 (x " 3)exxa

方程式の理論でも大切である。

だけであり，これらはテイラーの定理から導くことも可能
3.4. 極限と微分法である。収束べき級数の理論は 1 年次でキチンとやること

極限の概念の理解は素朴なもので十分と思う。極限概念は無理であり，必要ならば 2 年次の微分方程式でやるべきを使用する目的は「連続関数の定義」「 ! 3 での挙動の解である。いくつかのテイラー級数が収束することを注意す析」「微分係数，導関数の定義」であろうが，最後のものるにとどめるべきである。

が最重要である。
微分係数は運動する物体の瞬間の速度を表現するものと3.7. 関数の増減の評価と極値問題して考え出されたものであり，最重要の応用もここにある関数の値の挙動の評価，極値の特定は微分法の大きな任のだからこのことは一言触れるべきであると考える。数学

務である。また，興味ある応用問題もあり重視したい教材の授業以外で使えるようになるし，目的意識を述べるのはである。
原理は関数 f (x)がある区間 I でモチベーションを高めると考えるからである。
微分法の諸公式は，演習の中で理解させるのが適当であf ' (x) F 0 + 単調増加

る。特に，合成関数の微分法が最も重要であるが，これは適当な例題を繰り返し計算させるのがよいと思う。逆関数ということに尽きる。このことは受け入れるのにさほどのの微分法，パラメータ表示された関数の微分法は結局合成困難はないと考える。しかし，実際計算にあっては微分計関数の微分法の系であり，軽く説明をしておいて，実際に算の他に導関数の零点の特定，符号の決定を行わねばなら使う場面で本格的な説明をすればよいであろう。

ず，計算に習熟していない学生には若干の困難があるので，注意が必要である。また，最終的にグラフを書いてみせる

3.5. 対数関数

ことは教育的効果が大きいと思う。

対数関数は指数関数的変化を線型変化に，等比数列を等差数列に直す関数であるから，応用上重要である。対数目

3.8. 積分法

盛りについても触れたい。対数微分は限界伸び率である。

定積分と不定積分と，どちらから入るかという問題があ伸び率一定の関数が指数関数に他ならない。適当な例題をる。理論的には定積分が先であろうが，今回は触れないこ作りたい。とにする。
目標は「積分概念の理解」と「置換積分法，部分積分法，3.6. テイラーの定理

部分分数分解を用いたやや複雑な積分計算の運用」である。

テイラーの定理は関数の多項式近似の理論，つまり一般の関数 f (x)に対して積分概念は「速度の定積分が道のりになる」ことから微分法の逆演算であることを説明するのが一番素朴で分かり

f (a) = P (a)， f ' (a) = P' (a)， f '' (a) = P'' (a)，やすいと思う。区分求積法で図形の面積，体積を求めるこ―9―

小山哲也とも本質を突いており有効であろう。ただし，区分求積法があると思う。の議論を経るべきであり，定積分を天下りに微分法の逆と3.11. 重積分法して定めるのは人工的である。
置換積分法，部分積分法と部分分数分解は微分方程式の2 重積分の概念が定積分の概念の 2 次元版であることを求積において本質的に大切なものであるから，ある程度習理解し，正しく計算できるようにする。また，極座標変換熟させたい。

を確実に実行できるようにする。概念を理解させるために，初等関数の原始関数は網羅的にとりあげて説明する必要はない。

x a , e x , sin x, cos x, tan x,

積分領域は長方形，三角形，円，半円くらいで十分と考える。

1 ,x + a22

重積分の大きな目的は空間の領域の体積を求めること，

1x + a22さらに密度を積分することによって質量を求めることであ程度で十分である。もし公式集として使用したいのであれろう。これは多くの分野で理論構成のためにも実際計算のば，巻末などにまとめて掲載した方が便利である。

ためにも重要なことである。従って概念の理解にとどまら求積可能な初等関数の積分は，限界を追求する必要はない。有理関数の積分が求積可能であることをどこかで述べ2ず具体的な例の計算も取り上げ，計算力をつけるべきである。

2

れば十分であろう。ただ，極座標表示との関連で a - x ，2立体図形 D の体積の計算の基本的な考え方は

2a + x の有理関数の積分が必要になるので，計算例を挙

1. limさ ) dxdy

げるべきである。

2. lim

Laplace 変換，無限遠点を基準とした電位の計算などで現れるから広義積分を述べる事は必要である。

(z 軸方向の直線で貫いたときの共通部分の長(x, y 方向の平面で切ったときの断面積 ) dzの 2 つである。 dx ， dy ， dz の意味がおろそかにならないように注意したい。また，次元の感覚も身に付けて欲しい。

3.9. 多変数関数の微分法

構造力学で重要な重心，モーメントの積分も触れたい。

偏微分法は本質的に 1 変数関数の微分と同じことであるから徒らに難しく考えさせてはいけない。大事なのは複数

3.12. ベクトル関数の変数を同じ資格で扱う全微分法，及びその後に来る変数ベクトルの演算を理解させる。特にベクトルの外積は重変換の考え方である。必然的に幾何的な直感を動員しなく要なので適当な例題を計算する。ベクトル関数の微積分はてはいけなくなる。全微分は一次関数による近似であり，深入りしない。内積，外積の微分法も軽く触れるにとどめ

それによってグラフの接平面が得られることを理解させた

る。

い。さらに電気系にあっては，方向微分および変数変換，特に極座標への変数変換に伴う導関数の置き換えを理解さ

3.13. 曲線と線積分曲線のパラメータ表示はそれ自体幾何学的に興味のあるせたい。
2 変数の Taylor の定理は 2 階までで十分である。多変ものであるが，点の運動を解析するための道具でもあり力数関数の極値問題は，2 階の Taylor 近似を利用して必要学的にも重要である。速度ベクトルの概念を確実に理解さ十分条件を与えることは出来るが，定理の証明には深入りせたい。適当な例題が必要である。線積分による仕事の計せずその内容を多項式関数を用いて直感的に理解させれば算も述べたい。

十分であると思う。
陰関数の微分法は「関数が明示的でない場合にも微分計3.14. 曲面と面積分算を実行できる」ことであり，その結果は微分方程式をあ曲面上のスカラー場，ベクトル場の面積分は電磁気学，たえる。習熟すれば微分計算の考え方の自由度を大幅に上流体力学などで重要である。これを球面とクーロン場を例げる事になり，陰関数の極値問題への応用など大きな利益にとって説明する。

がある。適当な例題でこのことを説得したい。
3.15. 場の解析と積分定理
3.10. 平面，空間領域の表示

スカラー場の勾配とベクトル場の発散は電磁気学の基本

平面，空間の領域を不等式を用いて表示することは数学的な概念であるので，ぜひ時間内に触れておきたい。演習に限らず各分野で基本的に重要であり，その習熟を求めらは典型的な例のみで十分である。Gauss の積分定理は時間れている事柄であると考える。講義 2 回程度を費やす価値的に無理であろうが読めば分かるように書いておきたい。
―10―

工学部基礎教育における解析学教育の目的と内容について

ベクトル場の回転と Stokes の定理は時間的に苦しいとこ

参考文献

ろであるが，書いておいたほうがよいであろう。
［1］藤田宏

4 結語

数学教育の致命的な歪を直視しようとくに中等教育と（大学での）教養・実学教育について以上，工学部基礎教育としての解析学教育の望ましいあり方を再検討し，現行の教育内容に即して私見を述べた。
今後の授業計画，教材作成等に生かしていきたいと考えている。

―11―

学教育学会 2007 年度年会総合講演

数