数学を用いて６面を完成させる
２年 D 組佐藤 誠司 齋藤 俊 佐々木真希
佐藤 海生 佐藤 渡理
長谷山奈歩 真坂さくら

１．要約
ルービックキューブを数学の情報だけを頼りにそろえる方法について調べた。ルービッ
クキューブが揃えられるためには、それぞれの回転数が崩し方と一致すると考えた。そこ
で、実験１として完全一面体を作る過程で、三人それぞれの回転数が一致するのかを調べた。実験１の課題をもとに、実験２として６面体を揃える過程で三人それぞれの回転数が一致するのかを調べた。

２．研究動機家にあるルービックキューブを揃えるときに、ある解法を用いて揃えていたところ、何か数学的な法則があると考えた。そのため、私たちはルービックキューブの揃え方を数学的な情報だけを頼りに説明したいと考えた。

３．用語の説明
まず図１のように、キューブの名称を定義した。
キューブの１面に色がついている箇所を一面体、キューブの２面に色がついている箇所を二面体、キューブの３面に色がついている箇所を三面体と定義した。
図１ キューブの名称
面を表す記号を図２のように定義した。上面を T、下面を B、左面を S、右面を N、前面を E、後面を W とした。またこの記号は、時計回りに９０度回転した記号としても用いることとした。

図２ 面を表す記号

この記号を使って、式の表し方を意義付けた。上面 T を時計回りに９０度回転することを T、１８０度回転することを T²、２７０度回転することを T³とあらわす。このとき、指数は９０度の何倍であるかを表す。また T⁻＝T³、T⁻²＝T²である。
この定義したことをもとに次に式を示す。
例えば、右面Ｅを時計回り９０度回転させ、次に下面Ｂを反時計回り９０度回転させ、最後に左面Ｗを時計回り１８０度回転させた場合は、「Ｅ→Ｂ⁻→Ｗ²」で表すことにする。

４．調査・研究の方法
研究するにあたり、まず、グループの７人全員がルービックキューブの６面を揃える練習をして、５人ができるようになった。それぞれ、各自の６面の揃え方は異なるが、基本的な流れは一緒だった。
〈基本的な流れ〉
①

完全一面

②

二段目までの側面③①の対になる面④③の側面Ｔ
図３ ①を表すルービックキューブ

以下では、①から④について詳しく述べる。
①については、右上の図３で示す。

Ｔ

私たちは初めに上面Ｔを揃えることとした。
上面Ｔと２段目の一面体が揃っている状態をつくる。
②については、右上の図４で示す。
上面Ｔと２段目の一面体を揃えた状態から、２段目の二面体が揃っている状態をつくる。

Ｂ③については、右の図５で示す。
上面Ｔのついになる面の下面Ｂ、１面を揃える。
このとき下面Ｂの側面の色の配置は気にしない。

図５ ③を表すルービックキューブ④については、右の図６で示す。
下面Ｂの１面を揃えた状態から、その側面を揃える。
①～④を連続で行うことによって、6 面体の完成ができる。
図６ ④を表すルービックキューブ④５．実験１
完全一面に着目し、一度６面にした状態で同様に崩した状態からスタートし、３人がどのような過程で完全一面を揃えるかを検討した。
（１） 一回目の実験の結果
俊

Ｔ⁻→Ｅ²→Ｓ⁻→Ｎ²→Ｂ²→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｗ⁻→Ｂ²→Ｗ→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｂ→Ｗ→Ｅ→Ｂ²→Ｅ→Ｗ⁻→Ｅ⁻→Ｂ²→Ｗ→Ｅ→Ｗ⁻→Ｂ→Ｗ→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ

海生 Ｔ→Ｎ→Ｔ²→Ｎ→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ
奈歩 Ｔ⁻→Ｅ²→Ｓ⁻→Ｎ²→Ｂ⁻→Ｎ→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｂ²→Ｅ→Ｂ→Ｅ⁻→Ｂ→E→B⁻→E⁻→Ｂ²→Ｓ→Ｂ→Ｓ⁻
ＴＮ

ＥＳＷ

Ｂ

俊

-1＝32

2-1＝300

海生

32

20

-1＝3-3＝1

奈歩

-1＝32

2

-1＝30

0

（２）一回目の考察
俊と奈歩の回転数の数値は一致したが、二人と海生との数値が一致しなかった。
そのため、もう一度６面にしてから一回目とは違う崩しを行ってから、３人が完全一面をつくった。
（３） 二回目の実験
俊

Ｗ²→Ｔ→Ｂ²→Ｓ⁻→Ｔ⁻→Ｅ→Ｎ⁻→Ｔ→Ｅ⁻→Ｗ→Ｂ⁻²→Ｗ⁻→Ｂ→Ｗ→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻²→Ｂ→Ｅ→Ｗ→Ｂ²→Ｗ⁻

海生 Ｗ²⁻→Ｎ→Ｅ⁻→Ｔ⁻→Ｗ→Ｂ→Ｅ→Ｔ→Ｓ⁻→Ｂ→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｅ→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ→Ｎ⁻→Ｂ⁻→Ｎ→Ｎ→Ｂ→Ｎ⁻→Ｂ⁻→Ｎ→Ｂ→Ｎ⁻→Ｔ
奈歩 Ｂ⁻→Ｎ²→Ｂ→Ｓ→Ｎ⁻→Ｗ⁻→Ｓ⁻→Ｎ→Ｂ→Ｅ⁻²→Ｓ²→Ｂ²→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｂ²→Ｓ→Ｂ→Ｓ⁻→Ｂ→Ｎ→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｗ→Ｂ⁻→Ｗ⁻

ＴＮＥ

ＳＷ

Ｂ

俊

1-1＝30-1＝333

海生

110-1＝3-1＝3-1＝3奈歩

0222-1＝30(４) 二回目の考察
これらの二つの実験をもとに完全一面体が揃えられても、それら以外の二面体や三面体の配置がそれぞれ違うので、３人の数値が一致するとは限らないと考えた。
そこで、全部の配置がそろっている完全６面体なら数値が一致するのではないかと考えた。また、その数値は崩した手順の数値と等しくなるのではないかと考えた。

６．実験２
全員のキューブを揃えた後で同様に崩していった後で、６面に揃えなおす実験を行った。
(１) 実験結果俊

Ｓ⁻→Ｔ⁻→Ｗ²→Ｎ²→Ｂ²→Ｓ⁻→Ｔ⁻→Ｅ→Ｔ²→Ｓ→Ｂ²→Ｓ⁻→Ｗ⁻→Ｂ²→Ｗ→Ｂ→Ｗ→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｅ→Ｂ²→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｂ→Ｎ→Ｂ→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｂ²→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｂ→Ｎ→Ｂ→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｓ→Ｂ²→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｓ→Ｂ²→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｎ→Ｂ²→Ｎ⁻→Ｂ⁻→Ｎ→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｗ→Ｂ²→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｅ→Ｂ²→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｅ→Ｓ⁻→Ｅ→Ｎ²→Ｅ⁻→Ｓ→Ｅ→Ｎ²→Ｅ²→Ｂ→Ｅ²→Ｂ→Ｅ→Ｂ→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｂ→Ｅ⁻→Ｗ²→Ｂ→Ｗ→Ｂ→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｂ→Ｗ⁻→Ｗ²→Ｂ→Ｗ→Ｂ→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｂ→Ｗ

海生 Ｅ²→Ｂ⁻→Ｅ→Ｎ²→Ｂ²→Ｓ⁻→Ｂ→Ｓ→Ｂ⁻→Ｓ²→Ｂ→Ｓ→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｂ→Ｓ²→Ｔ→Ｓ→Ｔ⁻→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ→Ｂ→Ｓ→Ｅ→Ｓ⁻→Ｅ⁻→Ｓ→Ｂ→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｗ⁻→Ｓ→Ｗ→Ｅ⁻→Ｓ→Ｅ→Ｓ→Ｔ→Ｓ⁻→Ｔ⁻→Ｓ→Ｔ⁻→Ｓ→Ｔ→Ｓ→Ｗ→Ｓ⁻→Ｗ⁻→Ｅ→Ｔ→Ｓ→Ｔ⁻→Ｓ⁻→Ｅ⁻→Ｗ→Ｓ²→Ｗ⁻→Ｓ⁻→Ｗ→Ｓ⁻→Ｗ⁻→Ｗ→Ｓ²→Ｗ⁻→Ｓ⁻→Ｗ→Ｓ⁻→Ｗ⁻→Ｅ→Ｓ²→Ｅ⁻→Ｓ⁻→Ｅ→Ｓ⁻→Ｅ⁻→Ｂ→Ｓ²→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｂ→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｔ→Ｓ²→Ｔ⁻→Ｓ⁻→Ｔ→Ｓ⁻→Ｔ⁻→Ｅ→Ｔ⁻→Ｅ→Ｂ²→Ｅ⁻→Ｔ→Ｅ→Ｂ²→Ｅ²→Ｂ→Ｅ⁻→Ｂ→Ｗ²→Ｂ⁻→Ｅ→Ｂ→Ｗ²→Ｂ²→Ｓ→Ｂ²→Ｓ→Ｂ→Ｓ→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ→Ｂ⁻→Ｗ²→Ｓ→Ｗ→Ｓ→Ｗ⁻→Ｓ⁻→Ｗ⁻→Ｓ⁻→Ｗ⁻→Ｓ→Ｗ-奈歩 Ｂ⁻→Ｎ²→Ｓ⁻→Ｅ²→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｓ→Ｗ⁻→Ｎ→Ｓ⁻→Ｎ→Ｂ→Ｎ⁻→Ｂ²→Ｗ→Ｂ→Ｗ⁻→Ｂ→Ｗ→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｅ→Ｂ→Ｅ⁻→Ｂ→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｂ→Ｎ→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｓ→Ｂ→Ｓ⁻→Ｂ→Ｓ→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｂ²→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｎ→Ｅ⁻→Ｎ⁻→Ｅ→Ｂ→Ｓ⁻→Ｂ→Ｓ→Ｗ⁻→Ｓ→Ｗ→Ｓ⁻→Ｂ²→Ｅ⁻→Ｂ→Ｅ→Ｓ⁻→Ｅ→Ｓ→Ｅ⁻→Ｓ→Ｗ→Ｂ→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｎ→Ｅ→Ｂ→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｅ→Ｂ→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｅ→Ｂ²→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｅ→Ｂ⁻→Ｂ²→Ｅ⁻→Ｂ⁻→Ｅ→Ｂ⁻→Ｅ⁻→Ｗ→Ｂ²→Ｗ⁻→Ｂ⁻→Ｗ→Ｂ⁻→Ｗ⁻→Ｓ→Ｂ²→Ｓ⁻→Ｂ⁻→Ｓ→Ｂ⁻→Ｓ⁻→Ｎ→Ｂ²→Ｎ⁻→Ｂ⁻→Ｎ→Ｂ⁻→Ｎ⁻→Ｎ²→Ｗ²→Ｎ⁻→Ｅ⁻→Ｎ→Ｗ²→Ｎ⁻→Ｅ→Ｎ⁻→Ｂ⁻→Ｗ²→Ｂ→Ｓ→Ｎ⁻→Ｗ²→Ｓ⁻→Ｎ→Ｂ→Ｗ²
ＴＮ

Ｅ

Ｓ

Ｗ

Ｂ

俊２００２０２

海生

０２１２０３奈歩

３２０２１２崩し

１０１２１２(２) 考察
類似点もあったが、相違点もあった。
私たちが定義した以外の規則や法則が、別の視点や演算、演算の可換についてあるのかもしれないと考えた。

７．今後の課題
自分たちの決めた視点や定義では、６面を揃えることは難しいと分かったが、私たちの研究の中にも規則性はあった。しかし説明は今の高校までの数学の知識だけでは、十分にできない。この説明をするには、大学で学ぶような知識が必要となるので、今習っている数学を応用的に勉強し、これから、新たな視点、演算、演算の可換について検討し、最小の手順についても模索したい。

８．引用・参考文献
島内剛一（2008）「ルービックキューブと数学パズル」日本評論社
水野貴裕（2016）「群論とルービックキューブ」東邦大学理学部情報科学科
http://rubikcube.jp/feature/six_field.html（6 月 30 日）