成蹊大学工学研究報告
J. Fac. Eng., Seikei Univ.
Vol.41 No.2 (2004) pp.21-35

等方性および 1 軸性電気光学結晶の
電気光学効果と逆圧電効果の解析
滝沢

國治＊

Analysis of electro-optic and inverse-piezoelectric effects in isotropic and uniaxial electro-optic
crystals
Kuniharu TAKIZAWA＊
ABSTRACT：Conventional electro-optic (EO) devices have been designed based on only the EO effect, andthe inverse-piezoelectric (IP) effect has been ignored. In the case of bulk EO devices that control theretardation between the ordinary ray and the extraordinary ray, there is hardly any problem in defiance of theIP effect. However, for waveguide devices which control only the ordinary or extraordinary ray, thelongitudinal IP effect that changes the optical path length in the EO crystal is important as well as the EO
effect. In this paper, electro-optically induced phase shifts of light propagating in isotropic and uniaxial EO
crystals are analyzed in consideration of both of the EO and IP effects. Various crystal configurations are
summarized with particular attention to optical communication and optical image processing applications.
KEYWORDS：Electro-optic effect, Pockels effect, Piezoelectric effect, Electro-optic crystal, Isotropic
crystal, Uniaxial crystal(Received September 6, 2004)

１．まえがき象性の無い結晶では，Pockels 効果だけに着目すれば十分である。この論文では光エレクトロニクス応用

電気光学効果は，結晶の屈折率が印加電界によって変化する現象であり，直流からマイクロ波周波数で重要である，半像対称性を欠く電気光学結晶に限定して，議論を進めることとする。

まで応答するため，光変調器や光偏向器などによく光エレクトロニクスで用いられる各種の電気光学用いられている。電気光学効果には，屈折率が印加

デバイスは印加電界による光の位相変化を干渉を利電界に比例する 1 次の効果（Pockels 効果）と，印用して光の強度変化に変える，あるいはこの位相変加電界の 2 乗に比例する 2 次の効果（Kerr 効果）が化により光の伝搬方向を変化させるなどの原理に基ある。Kerr 効果は全ての材料に存在するのに対し，づいているが，素子構成によっては屈折率変化のみ

Pockels 効果は反像対象性（結晶中のある点から rの位置の原子を-r に移すと元の結晶構造と一致する性質）を欠く結晶にのみ存在する。一般的に Kerr 効
果は Pockels 効果よりも格段に小さいため，反像対

ならず光路長変化が位相変化に影響を与える場合が
1-7

ある。

すなわち，電気光学結晶は圧電性を有する

ため，結晶に電界を加えると電界の大きさに比例して結晶中に伸びおよび縮みなどの歪が生じる。これは圧電効果（固体に力を加えると電荷が生じる）の* 物理情報工学科教授 (takizawa@apm.seikei.ac.jp)
Professor, Department of Applied Physics

逆の現象であり，逆圧電効果と呼ばれる。この効果と類似の現象に電歪（固体の形状の変化が電界の 2−21−

乗に比例する）があるが，その大きさは逆圧電効果

び一軸性結晶の幾つかの点群において，光デバイスに比べて一般に非常に小さいため，ここでは省略すへの応用上重要と思われる素子構成とそこを伝播する。逆圧電効果により生じた歪は光弾性効果によりる光の位相変化の関係を明らかにする。

屈折率に影響を与えるほか，光路長も変化させる。
従来，この逆圧電効果に基づく光路長変化にはほ３．屈折率楕円体の係数と印加電界の関係

とんど注意が払われていなかった。たとえばMichelson 干渉計や Mach-Zehnder 干渉計などを用

結晶に電界を加えると電気光学効果および光弾性

いて光の位相変化の計測から結晶の電気光学係数を効果により屈折率および主軸方向が変化する。結晶

評価する場合，これまでは逆圧電効果に基づく位相中での光の伝搬特性は屈折率楕円体により完全に記変化を電気光学効果に基づく位相変化に含めて低周

述することができるから，電界を印加したときの屈8, 9

波領域の電気光学係数を求めていた。

電気光学

効果の機構を考察する場合，あるいは実際の素子設

折率楕円体の係数の変化を求めれば，屈折率変化を明らかにすることができる。

計においてもこのような取扱いは問題である。特に

等軸性および一軸性結晶の結晶軸Χm (m=1, 2, 3)

薄膜光導波形デバイスでは光の位相変化を直接利用にそって電界Εm を印加すると，屈折楕円体は一般にしている場合が多く，逆圧電効果に基づく光路長変化の考慮は素子設計上必要である。
この論文では，等軸性および一軸性結晶の電気光学効果に基づく屈折率変化および逆電圧効果に基づ
く歪テンソルの変化を解析する。この中でも光デバ
イスへの応用上特に重要と考えられる幾つかの点群に属する結晶について，印加電界方向と光の位相変 1 2  1 2

 n 2 + r1 m E m  X 1 +  n 2 + r2 m E m  X 2
 1

 2

 1

+  2 + r3 m E m  X 32 + 2 r4 m E m X 2 X 3
 n3
+ 2 r5 m E m X 1 X 3 + 2 r6 m E m X 1 X 2 =1 .

(2)化の関係を明らかにする。さらに，印加電界による屈折で与えられる。ただし，三方晶系および六方晶系は率変化と光路長変化から求められる実効的電気光学係数

斜方晶系で表されるものとする。ｎ1，ｎ2，ｎ3 は印を示すとともに，素子設計および電気光学係数の測定に加電界が 0 のときの結晶軸Χ1，Χ2，Χ3 方向の屈折

おいて従来見落とされていた幾つかの問題点を指摘する。

率である。r1m〜r6m は応力一定の状態にある結晶の電気光学係数であり，歪一定の状態にある結晶の電気光学係数に圧電定数と光弾性定数の積を加えた定２．結晶透過光の印加電界による位相変化
電気光学結晶に電界を加えると，電気光学効果によりその屈折率が変化すると共に，逆圧電効果によ数である。
また， rim E m は Einstein summation convention に従っており，以下の式と同等である。

り結晶長が変化する。従って，応力一定の状態にある結晶に電界を印加する場合，透過光の印加電界による位相変化θは，
22
θ= π[( n + ∆ n )( l + ∆ l ) − nl ] ≅ π( ∆ nl + n ∆l )
λ
λ

(1)

 r11
r
 21
r
rim E m = 31
 r41
 r51
r
 61

r12
r22
r32
r42
r52
r62

r13 
r23 
 E
r33   1 E
r43   2 E
r53   3 

r63 

(3)

で与えられる。ただしλは真空中の光の波長，ｎお式(2)を下式に示すような形に主軸変換すると，電界を印加したときの結晶の屈折率 n1′，n′2，n3′ およよび l は電界を加えないときの結晶の屈折率およびび主軸方向Χ’1，Χ’2，Χ’3 を求めることができる。

光路長である。Δｎは電気光学効果に基づく屈折率変化であり，Δ l は逆圧電効果に基づく光路長変化

X 1' 2

X 2'2

X 3'2

である。ｎ，ΔｎおよびΔ l は結晶の対称性，印加

n1

n2

n3'2

+
'2

+
'2

=1

(4)

電界方向および光の伝搬方向に依存する。
以下では，はじめに結晶に電界を加えたときの屈式(2)から式(4)に厳密に変換できる場合は少ない

折率楕円体と歪の一般式を求める。次に等軸性およが，多くの場合，結晶中の光の伝搬方向を選択する−22−

ことにより，式(4)の座標軸の一つを 0 にした楕円の結晶の屈折率は光の伝搬方向と光電界の振動方向式に変換して屈折率を求めることが可能である。例に依存するため，任意の方向の屈折率を求めるため

えば，Χ3 を光軸とする一軸性結晶の結晶軸Χm に平には式(5)に示すη，ξ，Ψで表される 3 個の独立な行に電界を加え，光の進行方向をΧi (i=1, 2)に平行

回転角度が必要である。式 (5)を式(2)に代入して交にすると，電気光学係数 rim で表される屈折率変化

差項を消去できる角度を求めれば，電界を印加したを容易に求めることができる。しかし，r4m，r5m，ときの結晶の屈折率を導出することができる。

r6m 等の係数で表される屈折率変化を知るためには，
式(2)で表される屈折率楕円体を座標変換し，Χ’2Χ’3，
Χ’1Χ’3，Χ’1Χ’2 などの交差項を消去できる新しい座標軸Χ’1，Χ’2，Χ’3 を求めなければならない。ここで新座標軸を用いて式(2)の屈折率楕円体を

は直交座標軸Χ1，Χ2，Χ3 をその原点のまわりに任A1 X1'2 + A2 X 2'2 + A3 X 3'2 + A4 X 2' X 3' + A5 X1' X 3' + A6 X1' X 2' = 1 (6)と書き改めると，係数 Ái は次式で与えられる。

意の角度に回転して得られる新座標軸Χ’1，Χ’2，Χ’3を用いて屈折率楕円体を表し，その交差項成分が 0になる回転角度，あるいはその成分を無視できる角度を求めることにより，等軸性および一軸性結晶の印加電界による屈折率変化を解析する。
初めに直交座標系の変換を次のように行う。
まず，
図 1(a)に示すようにΧ3 を軸として角度ΨだけΧ3 に垂直な面を回転すると，別の座標軸 x1，x2，Χ3 が得られる。

 cos 2 ψ cos 2 ψ  sin 2 ξ+
A1 = cos 2 ξ +2
n 22 
n 32
 n1+ [cos 2 ξ ( r1 m cos 2 ψ + r2 m sin 2 ψ + r6 m sin 2 ψ )(7a)+ r3 m sin 2 ξ − sin 2 ξ ( r4 m sin ψ + r5 m cos ψ )] E m ,1
1
A2 = 2  cos2ηsin 2ψ +sin 2η sin 2ξ cos2ψ − sin 2ηsinξ sin 2ψ 
2

n1 
1
1
+ 2  cos2η cos2ψ +sin 2η sin 2ξ sin 2ψ + sin 2ηsinξ sin 2ψ 
2

n2 

[ (

1
+ 2 sin 2η cos2ξ + r1m cos2ηsin 2ψ +sin 2η sin 2ξ cos2ψ
n3

(7b)
1
− sin 2ηsinξ sin 2ψ )+ r2 m cos 2η cos2ψ +sin 2ηsin 2ξ sin 2ψ
2
1− sin 2ηsinξ sin 2ψ )+ r3m sin 2η cos2η +r4m (sin 2ηsin 2ξ sinψ2(+sin 2η cosξ cosψ )+r5m (sin 2ηsin 2ξ cosψ −sin 2ηcosξ sinψ )図１ 直交座標変換+r6m (sin 2ηsin 2ξ sin 2ψ +sin 2ηsinξ cos2ψ −cos2η sin 2ψ )]Em ,次に同図(b)に示すように x2 を軸として，x2 に垂直な面を角度ξだけ回転すると，さらに別の座標軸Χ’1，

1
1
A3 = 2  sin 2ηsin 2ψ +cos2ηsin 2ξ cos2ψ + sin2ηsinξ sin2ψ 
2

n1 

x2，x3 が得られる。さらに，同図(c)に示すようにΧ’1を軸としてΧ’1 に垂直な面を角度ηだけ回転すると，
原点 0 のまわりに任意の角度に回転した新しい座標
Χ’1，Χ’2，Χ’3 が得られる。新座標軸と旧座標軸Χ1，
Χ2，Χ3 との間には次の関係が成立する。
 X1' 00  cosξ 0 −sinξ   1
 X 2' =0 cosη sinη   0 1
0 
 '  0 −sinη cosη   sinξ 0 cosξ  X 3  cosψ sinψ 0  X1 ・ −sinψ cosψ 0  X 2  0
0 1  X 3 cosξccosψ
cosξ sinψ= −cosηsinψ +sinηsinξ cosψ
cosηcosψ +sinηsinξ sinψ sinηsinψ +cosηsinξ cosψ−sinηcosψ +cosηsinξ sinψ−sinξ   X1 
sinηcosξ   X 2 cosηcosξ   X 3  .

11

+ 2  sin 2ηcos2ψ +cos2ηsin 2ξ sin 2ψ − sin2ηsinξ sin2ψ 
2

n2 

[ (

1
+ 2 cos2ηcos2ξ + r1m sin 2ηsin 2ψ +cos2ηsin 2ξ cos2ψ
n3
1+ sin2ηsinξ sin2ψ )+r2m (sin 2ηcos2ψ +cos2ηsin 2ξ sin 2ψ
2
1− sin 2ηsinξ sin 2ψ )+r3mcos2ηcos2ξ +r4m (cos2ηsin2ξ sinψ2
−sin2ηcosξ cosψ )+r5m (cos2ηsin2ξ cosψ +sin 2ηcosξ sinψ )+r6m (cos2ηsin 2ξ sin 2ψ −sin 2ηsin 2ψ −sin 2ηsinξ cos2ψ )]Em ,

(5)

−23−

(7c)

という簡略した表記法で表すことができる。この簡

1
A4 = 2 (sin2ηsin2ξ cos2ψ −sin2ηsin2ψ −cos2ηsinξ sin2ψ )n1

略した添字ｋと式(8)の完全な表記法の ij の間には，
表 1 の関係が成立する。

1+ 2 (sin2ηsin2ξ sin2ψ +cos2ηsinξsin2ψ −sin2ηcos2ψ )n2
1+ 2 sin2ηcos2ξ +[r1m (sin2ηsin2ξ cos2ψ −sin2ηsin2ψ
n3

表１

(7d)

−cos2ηsinξ sin2ψ +r2m (sin2ηsin2ξ sin2ψ −sin2ηcos2ψ
+cos2ηsinξsin2ψ )+r3msin2ηcos2ξ +r4m (sin2ηsin2ξ sinψ

完全表記法と簡略表記法の関係

完全表記法

ij

11 22 33 23 32 31 13 12 21

簡略表記法

k

1

2

3

4

4

5

5

6

6

+2cos2ηcosξ cosψ )+r5m (sin2ηsin2ξ cosψ −2cos2ηcosξsinψ )+r6m (sin2ηsin2ψ +sin2ηsin2ξsin2ψ +2cos2ηsinξ cos2ψ )]Em,

既に登場した電気光学係数 rij は簡略表記法に従って記述されている。歪および圧電定数はしばらく

1
1
A5 = 2 (sinηcosξsin2ψ +cosηsin2ξ cos2ψ )+ 2 (cosηsin2ξ sin2ψn1n2の間完全表記法に従って記述し，電気光学効果と合わせて光の位相変化を記述する際に，簡略表記法で1−sinηcosξ sin2ψ )− 2 cosηsin2ξ +[r1m (sinηcosξsin2ψ
n3+cosηsin2ξ cos2ψ )+r2m (cosηsin2ξ sin2ψ −sinηcosξ sin2ψ )(7e)+2r5m (cosηcos2ξ cosψ −sinηsinξsinψ )+r6m (cosηsin2ξsin2ψ
−2sinηcosξ cos2ψ )]Em,

+

1
n12

図 1(a)に示す座標変換を結晶に施すと，S ij は次式に示す S ij′ に変換される。

−r3mcosηsin2ξ +2r4m (sinηsinξ cosψ +cosηcos2ξsinψ )A6 =統一することとする。

(sin η sin 2ξ cos 2ψ −cosη cosξ sin 2ψ )1(cosη cosξ sin 2ψ +sinη sin 2ξ sin 2ψ )2n2

1
− 2 sin η sin 2ξ +[ r1m (sin η sin 2ξ cos 2ψ −cosη cosξ sin 2ψ )(7f)
n3

'
'
'
  cosϕ sinψ 0S11 S12 S13 
 S11
S12
S13

 '
'
'  

S
S
S
 21 22 23 = − sinψ cosψ 0S21 S22 S23S ' S ' S '   001S31 S32 S33  31 32 33
cosψ − sinψ 0
・ sinψ cosψ 0


0
1 .
 0

+ r2 m (cosη cosξ sin 2ψ +sinη sin 2ξ sin 2ψ )−r3 m sin η sin 2ξ

(10)

式(10)の右辺を演算すると歪の各成分は次のよう+ 2 r4 m (sin η cos 2ξ sinψ −cosη sin ξ cosψ )になる。

+ 2 r5 m (cosη sin ξ sinψ +sin η cos 2ξ cosψ )+ r6 m ( 2cosη cosξ cos 2ψ +sin η sin 2ξ sin 2ψ )] E m .

'S11= S11 cos2 ψ + S22 sin2 ψ + S12 sin 2ψ ,
1
'
'
S12
= S21
= S12 cos 2ψ + (S22 − S11) sin 2ψ ,
2
'
'
S13
= S31
= S13 cosψ + S23 sinψ ,４．結晶の歪変化と印加電界の関係
圧電性結晶に電界を印加すると歪が発生する。結晶が応力一定の状態にあるとき，結晶軸Ｘ ｍと平行に電界Ｅｍを加えると，歪テンソルS ij はS ij = d mij E m(8)で与えられる。ここで d mij は圧電定数である。歪S ij
は対称 2 階テンソル,圧電定数 d mij は対称 3 階テン
ソルであるから，

S k = d mk E m'
S22= S11 sin2 ψ + S22 cos2 ψ − S12 sin 2ψ ,
'
'
S23
= S32
= S23 cosψ − S13 sinψ ,'S33 = S33 .

(11b)
(11c)
(11d)
(11e)
(11f)

次に図 1(b)に示す座標変換を結晶に施すと，歪テンソル成分 Sij′′ は次式で与えられる。
''
'
'
'
S 11
= S 11cos 2 ξ + S 33
sin 2 ξ − S 13
sin 2ξ ,
''
S 12

''
'
= S 21= S 12' cos ξ − S 23
sin ξ ,''''S 13
= S 31= S 13' cos 2ξ +

(9)

(11a)

(12a)
(12b)

1 '
'
( S 11 − S 33
) sin 2ξ , (12c)
2

''
'
S 22
= S 22
,

(12d)

''
''
'
'
S 23
= S 32= S 12sin ξ + S 23
cos ξ ,'''
2'
2
S 33 = S 11 sin ξ + S 33 cos ξ + S 13' sin 2ξ .

(12e)
(12f)

−24−

さらに図 1(c)に示す座標変換を結晶に施すと，歪テンソル成分 S ij′′′ は次式で与えられる。
''
S11''' = S11

(13a)
(13b)

'''
''
''
cos η + S13
sin η ,
= S 12
S12''' = S 21
'''
'''
''
''
S13 = S 31 = S 13 cos η − S12 sin η ,
'''
''
''
''
cos 2 η + S 33
sin 2 η + S 23
sin 2η ,S 22= S 22

(13c)
(13d)

1 ''
''
( S 33 − S 22
) sin 2η , (13e)
2
'''
''
''
''
(13f)
cos 2 η + S 22
sin 2 η − S 23
sin 2η .
= S 33
S 33
'''
'''
''
cos 2η += S 32= S 23
S 23

式 (8) ， 式 (11) ， 式 (12) お よ び 式 (13) を 用 い
れ ば X ′i ( i=1, 2, 3) 方 向 の 単 位 長 あ た り の 結
晶 長 変 化 S ij′′′ を 求 め る こ と が で き る か ら ，∆ l = S ij′′′l sin 2 η sin 2ξ sin ψ



+
η
ξ
ψ
sin
2
cos
cos


 + sin 2 η sin 2ξ cos ψ 1n 2' = n 0 − n 03 E m r41  − sin 2η cos ξ sin ψ  (16b)2
 + sin 2 η sin 2 ξ sin 2ψ  + sin 2η sin ξ cos 2ψ  − cos 2 η sin 2ψ cos 2 η sin 2ξ sin ψ



−
sin
2
η
cos
ξ
cos
ψ


 + cos 2 η sin 2ξ cos ψ 1
n 3' = n 0 − n 03 E m r41  + sin 2η cos ξ sin ψ . (16c)2 + sin 2 η sin 2 ξ sin 2ψ  − sin 2 η sin 2ψ − sin 2η sin ξ cos 2ψ 

(14)

印加電界の大きさおよび方向は自由に選ぶことができるが，光デバイスへの応用上次の 3 つのケース

より逆圧電効果に基づく光路長変化を導くことが出が特に重要である。

来る。ただし， l は光の進行方向の電界を印加しな
5．1

いときの結晶長である。

５．等軸性結晶を透過する光の印加電界による位相変化

1 つの結晶軸に平行に電界を加える場合

ここでは，Ｅ1＝Ｅ2＝0，Ｅ3＝Ｅについて検討す
る。検討する結晶が等方性であるから，Ｅ2＝Ｅ3＝0，

前節までの解析で結晶に電界を印加したときの屈Ｅ1＝ＥあるいはＥ１＝Ｅ3＝0，Ｅ2＝Ｅでも結果は同じである。このケースでは，光デバイスとして後段

折率変化および歪テンソルの変化の一般式を導出しに掲示する表 2 の図(d)，(e)の 2 つの構成が有望でた。ここでは 5 種類の等軸性結晶（対称性：23, 432,ある。
いずれの構成もη= 0，
ξ= 0，
Ψ = -45°であり，

m3, 43m , m3m）の中で電気光学効果（Pockels 効果）を有する立方晶系（対称性：23, 43m ）に電界を

これらを式(16)に代入すると，下式の屈折率を得る。

印加したとき，結晶透過光の位相変化を明らかにする。
立方晶系結晶の屈折率は，n1＝n2＝n3＝n0（n0 は常光線屈折率）であり，その電気光学係数 rij は，
 0
 0
 0
rij =  r
 41
 0
 0


0
0
0
0
r41
0

0 
0 
0 
0 
0 
r41 

1
n o 3 r 41 E
2

(17a)

1 3
no r41 E
2(17b)n 1′ = n o +n ′2 = no −n1′ = n o(17c)

次に逆圧電効果が与える光路長変化を求める。立(15)

方晶系の圧電定数 dji はである。従って，式(15)を式(7)に代入し，交差項係
数 Á4，Á5，Á6 が 0 になるように回転角度η，ξ，

0d ji =  0
0


0 0
0 0
0 0

0
0
d14

0
d14
0

d14 
0 
0 

(18)

Ψを設定すれば，次の立方晶系結晶の屈折率を得る。
で与えられるから，式(18)，式(11)および式(8)を用()

1n1' =n0 + n03 Em r41 sin2ξ sinψ +sin2ξ cosψ −cos 2ξ sin2ψ , (16a)2いると，表 2 の図(d)，(e)の光進行方向の歪 S3 および S2′ は以下の式で与えられる。

−25−│r41│≫│ｄ14│となるような結晶では逆圧電効果に基

S3 =0
S 2′ = S 12 =S6 1
= d 14 E22(19)

づく光路長変化の影響は無視できるが，│ｄ14│≧│r41│の結晶ではその影響は大きい。たとえば GaAs 結晶の圧電定数ｄ14 は 2.60 pC/N であり，電気光学係

式(17)と式(19)を式(1)に代入すると，表 2 の図(d)のＸ3 方向に伝播し，Ｘ1 方向あるいはＸ2 方向に振数ｒ41 (1.1pm/V)の約 2.4 倍にもなるため，そのデバ
イス設計には特に注意が必要である。10動する直線偏光の位相変化θ ′X 1 ，θ ′X 2 は，それぞれ
5．2

以下の式で与えられる。

２つの結晶軸に平行に同じ大きさの電界を加

える場合

π 3
n r lE
λ o 41π
θ X′ 2 = − n o3 r41 l E
λθ X′ 1 =(20)

このケースの典型例として，Ｅ1＝Ｅ2＝Ｅ／ 2 ，E3＝0 を検討する。幾何学的構成を表 2 の図(a), (b)に示す。この構成ではη= 45°，ξ= 0，Ψ = 45°である。5.1 小節と同じ段取りで，これらの回転角度を式(16)に代入して屈折率を求める。また，式(11)，

また表 2 の図(e)の X 2′ 方向に伝播し，X 3 方向ある式(12)，式(13)および式(8)を用いて歪を計算する。

いは X 2′ 方向に振動する直線偏光の位相変化θ ′X 1 ，それらの結果を式(1)に代入すると，表 2 の図(a)，(b)は，θ ′X 3 それぞれ以下の式で与えられる。

における 4 つの位相変化を得る。

d 
π 3 
n o l E  r41 + 142 
λ
no 

π
θ X′ 3 = n o d 14 l E
λθ X′ 1 =

(21)

−26−

表２

5．3

点群 43m および 23 の結晶類における印加電界方向と透過光の位相変化の関係

３つの結晶軸に平行に同じ大きさの電界を加える場合きないが，角度ηの値に拘わらずＡ4＝Ａ5＝Ａ6＝0

ここでは，Ｅ1＝Ｅ2＝Ｅ3＝Ｅ／ 3 について検討する。この印加電界を式(7d)，(7e)，(7f)に代入するの式(23)が導出され，ξおよびΨが決定される。すと，交差項係数Ａ4，Ａ5，Ａ6 はそれぞれ次式で与え式(22a)よりが成立するという条件を仮定すると，式(22)から次
なわち，

られる。
A4 =r41E(sin2ηsin2ξ sinψ +2cos2ηcosξ cosψ+sin2ηsin2ξ cosψ −2cos2ηcosξ sinψ +sin2ηsin2ψ

sin 2 ξ sin ψ + sin 2 ξ cos ψ + sin 2ψ
+ sin 2 ξ sin 2ψ = 0 ,(23a)cos ξ cos ψ − cos ξ sin ψ+ sin ξ cos 2ψ = 0 ,

(23b)

(22a)

+sin2ηsin2ξ sin2ψ +2cos2ηsinξ cos2ψ )/ 3,
A5 =2r41E(sinηsinξ cosψ +cosηcos2ξ sinψ+cosηcos2ξ cosψ −sinηsinξ sinψ +cosηsin2ξ sin2ψ /2 (22b)式(22b)より−sinηcosξ cos2ψ )/ 3,
A6 =2r41E(sinηcos2ξ sinψ −cosηsinξ cosψ
+cosηsinξ sinψ +sinηcos2ξ cosψ +cosηcosξ cos2ψ

sin ξ cos ψ − sin ξ sin ψ− cos ξ cos 2ψ = 0 ,(23c)

2 cos 2 ξ sin ψ + 2 cos 2 ξ cos ψ+ sin 2 ξ sin 2ψ = 0 ,

(23d)

(22c)

+sinηsin2ξ sin2ψ /2)/ 3.

式(22)からη，ξ，Ψを一義的に決めることはで−27−

また，式(22c)より
2 cos 2ξ sin ψ + 2 cos 2ξ cos ψ + sin 2ξ sin 2ψ = 0 , (23e)sin ξ sin ψ − sin ξ cos ψ + cos ξ cos 2ψ = 0 .


2 π 3 dn 0 lE  γ 41 − 142 
,
3 λ
2
n

0 

(27a)

θ x' 2 = −


1 π 3
d
n 0 lE  γ 41 − 142
3 λ
n0


(27b)

(23f)






６．一軸性結晶を透過する光の印加電界による位相変化

式(23)をすべて満足する回転角度は
ξ = −sin −1 (1/ 3 ),
ψ =π/4

θ x' 1 = −(24)

一軸性結晶の印加電界による屈折率変化は，ｎ1＝ｎ2＝ｎ0 とｎ3＝ｎe（ｎe は異常光線屈折率）を式(7)に代入すれば得られるが，その交差項係数Α4，Α5，である。すなわち，印加電界方向とＸ 1 軸を結晶の[111]方向にすると，Ｘ 2，Ｘ’3 軸を(111)面内で任意’の方向に設定でき，同面内において光の入射方向を自由に選択することが可能になる。
Ｘ 1，Ｘ’2，Ｘ’3 方向の屈折率 n1′，n′2，n3′ は式(24)’を式(7)に代入し，Ｅ1＝Ｅ2＝Ｅ3＝Ｅ／ 3 を適用す
れば，次式を得る。
1n1' = n 0 −3

n 03 γ 41 E ,n 2' = n 3' = n 0 +1
2 3

n 03 γ 41 E .

(25a)

Α6 は，等軸性結晶と異なり次式に示すように印加電界に依存しない項 a 4 , a5 , a6 をそれぞれ持つ。

a 4 = sin 2η cos 2 ξ  12 − 12 nn 0  ,
 e

(28a)



a 5 = cos η sin 2ξ  12 − 12 nn e  ,
 0

(28b)



a 6 = sin η sin 2 ξ  12 − 12 
n e  .
 n0

(28c)

(25b)
従ってη≠0およびξ≠0の場合には, a 4 , a5 , a6

一方, Ｘ’1, Ｘ’2, Ｘ’3 方向の歪テンソルS11′′′，S 22′′′ ， S 33′′′

は無視できない大きさを持つため，r4m，r5m，r6m等のは，式(24)および式(18)を式(11)，(12)，(13)，に代

電気光学係数で表される屈折率変化を求めることは入し，Ｅ1＝Ｅ2＝Ｅ3＝Ｅ／ 3 を適用すると困難である。しかし，ηおよびξのうち少なくとも1
つを0にすると, a 4 , a5 , a6 のうち少なくとも2つが

'''
S 11
=

1
3

d 14 E ,
1

'''
S 22
=−

2
2

d 14 E ,(26b)

d 14 E

(26c)

3
1

'''
S 33
=−

3

(26a)

0になるため，この場合，電界による屈折率変化を容易に知ることができる。すなわち，Χ3を光軸（Z軸）とする一軸性結晶では，Χ3を軸としてΧ3に垂直な面を回転する場合（Ψは任意の角度，η＝ξ＝０）とΧ3を含む面を回転する場合（例えばηは任意の角度，
ξ＝Ψ＝0）の屈折率変化は容易に求めることができる。この2つのケースは一軸性結晶の電気光学効果をとなる。
ここで，光の電界がＸ’1 あるいはＸ’2 方向に振動す考察するのに有効であり，かつ，光デバイスに利用る直線偏光がＸ’3 方向にそって結晶中を進むとき，らのいずれかに属するものが多い。

される光の伝搬方向と印加電界方向の関係は，これ

Ｘ’1 方向に印加された電界による光の位相変化は，

ここでは，光軸Χ3を軸としてΧ3に垂直な面を任式(25a)，(25b)から得られる屈折率変化と式(26c)で意の角度Ψだけ回転する場合の屈折率を導出する。結表されるＸ’3 方向の単位長あたりの結晶長変化を式

晶中の光の伝搬方向をΧ’2に平行にすると，式(6)は(1)に代入することにより，それぞれ次式のように与えられる。
A1 X 1'2 + A3 X 3'2 + A5 X 1' X 3' = 1

−28−

(29)

で与えられる。ここで係数Α1，Α3，Α5 は，η＝ξ
＝0 を式(7a)，(7c)，(7e)に代入することにより，それぞれ次式で与えられる。

A1 =

A3 =

1

+ ( r1m cos 2ψ + r2 m sin 2ψ + r6 m sin 2ψ ) E m ,
2

n0
1

n e2

により，それぞれ次式で表される。
A2 =

1
n 02

+ ( r1 m sin 2ψ + r2 m cos 2ψ − r6 m sin 2ψ ) E m , (35a)A 6 = [( r2 m − r1 m )sin 2ψ + 2 r6 m cos 2ψ ]E m .

(35b)

(30a)
式(34)の固有値ｋは+ r3 m E m ,(30b)

A5 = 2 ( r4 m sinψ + r5 m cosψ ) E m .

(30c)

式(29)を交差項を持たない式に変換することは，21 2
k =  2 + ( r1 m + r2 m ) E m ± E m
2  n 0

( r1 m − r2 m ) 2 + 4 r6 m 2  (36)

次曲線の主軸変換であり，式(29)の固有値導出問題

であたえられるため，Ｘ’1，Ｘ’2 方向の屈折率n1′ ，n′2はに帰着する。その固有値ｋはそれぞれ次式で表される。

k=

A1 + A3 ± ( A 1 − A3 ) 2 + A52

(31)

2

1
n1' = n 0 − n 03 E m  r1 m + r2 m + (r1 m − r2 m )2 + 4 r62m  , (37a)


4
1
n 2' = n 0 − n 03 E m  r1m + r2 m − ( r1 m − r2 m )2 + 4 r62m . (37b)
4で与えられる。ここで式(30)より得られる関係（Ａ1−Ａ3）2≫Ａ25 を式(31)に適用すると，固有値ｋは次光軸を含む面を回転させる場合も同様にして屈折率変化を求めることができるが，ここでは省略する。

式で与えられる。

′ ， S 33′
Ｘ’1，Ｘ’2 ，Ｘ’3 方向の歪テンソル成分S 11′ ， S 22
k ≅ A1 , A 3 .

(32)

従ってＸ’1 およびＸ’3 方向の屈折率 n1′ および n3′ は，それぞれ次式で表される。
1n1' = n 0 − n 03 ( r1m cos 2ψ + r2 m sin 2ψ + r6 m sin 2ψ ) E m , (33a)21n3' = n e − ne3 r3 m E m .
2

は，式(11)にη＝ξ＝0 を代入し，式(8)を用いると，次式で表される。
1′ = S1′ =  d m1 cos 2ψ + d m 2 sin 2ψ + d m 6 sin 2ψ  E m ,
S11
2



(38a)

1
′ = S 2′ = d m1 sin 2ψ + d m 2 cos 2ψ − d m 6 sin 2ψ  E m , (38b)
S 22
2


′ = S 3′ = d m 3 E m .
S 33

(38c)

(33b)
従って，光の電界がＸ’1 あるいはＸ’3 方向に振動す

折率変化も同様にして求めることができ，その値はる直線偏光がＸ’2 方向にそって結晶中を伝搬するとき，電界Ｅm による光の位相変化θ ′X 3およびθ X′ 1 は，式(33a)の r の添字の 1 と 2 を交換し，r6m の符号を式(33a)，(33b)および式(38b)を式(1)に代入すること変えた式で表される。

により，それぞれ次式で与えられる。

光がＸ’1 方向に平行に伝搬する場合のＸ’2 方向の屈

また，光の進行方向がＸ’３に平行な場合は，式(6)はA1 X 1'2 + A2 X 2' 2 + A6 X 1' X 2' = 1 .

[

(34)

π
θ x' 1 = − n 03 lE m r1m cos 2ψ + r2 m sin 2ψ + r6 m sin 2ψ
λ
(39a)
2 
1
− 2  d m1 sin 2ψ + d m 2 cos 2ψ − d m 6 sin 2ψ ) ]
,
2
n0 

となる。ここでＡ1 は式(30a)で与えられ，Ａ2 およびＡ6 はη＝ξ＝0 を式(7b)および(7f)に代入すること

−29−

π
θ x' 3 = − n 03 lE m
λ

2 
1
  (39b)22
 r3 m − 2  d m1 sin ψ + d m 2 cos ψ − d m 6 sin 2ψ   .
2


ne


 0 0 0 
 0 0 0 
 0 0 0 ,
rij =  r
 41 0 0 
 0 r41 0 
 0 0 r 

63 

0 
 0 0 0 d 14 0
d ji =  0 0 0 0 d 14 0  .

0 d 36 
0 0 0 0(42)

Ｘ’2 方向に偏光しＸ’1 方向に伝搬する光の印加電界による位相変化も同様にして求めることができ，

点群 3m の電気光学係数 rij と圧電定数 dji

その値は式(39a)の r およびｄの添字 1 と 2 を交換し，代表的な結晶：LiNbO3 (LN), LiTaO3 (LT), Ag3AsS3

r6m とｄm6 の符号を変えた式で表される。
また，光の進行方向がＸ’3 に平行で，かつＸ’1 あ
るいは向にＸ’2 方向に直線偏光した光の位相変化θ X′ 1
およびθ X′ 2は，式(37a)，(37b)および式(38c)を式(1)に代入することにより，それぞれ次式で与えられる。

θ x' 1=−
4
π 3
n0 lEm  r1m +r2 m + ( r1m −r2 m )2 +4r62m − 2 dm3  (40a)
,
2λ
n0





4
π
θ x' 2 =− n03lEm r1m +r2 m − ( r1m −r2 m )2 +4r62m − 2 dm3  (40b)
.
2λ
n0



光軸Ｘ 3 を含む面を回転する場合も同様に電界による光の位相変化を明らかにすることができるが，ここでは省略する。

 0 −r22 r13 
 0 r r 
22 13 
0 0 0 d15 −2d22  0
00 r33 , d ji = −d 22 d22 0 d15 00 . (43)rij =

r51 0  00 
 d31 d31 d33 0 0
 r51
0 0

 −2r
 22 0 0 

点群 6 の電気光学係数 rij と圧電定数 dji
代表的な結晶：LiIO3
 0 0 r13 
 0 0 r 13 
0 0 r33 
rij =
, r41 r51 0  r51 −r42 0  0 0 0

 0 0 0 d14 d15 0 
d ji = 0 0 0 d15 −d14 0 .

0 0
 d 31 d 31 d 33 0(44)

次に応用上特に重要と考えられる結晶の属する点
群 4mm， 42m ，3m および 6 における結晶透過光の式(41)から式(44)までを式(39)，式(40)などに代入

印加電界による位相変化を明らかにする。これらのすれば，これらの点群における電界に誘起された光

点群の電気光学係数および圧電定数を以下に記す。

の位相変化を明らかにすることが出来る。その結果

点群 4mm の電気光学係数 rij と圧電定数 dji

を表 3 から表 6 にまとめて示す。表中の図に記され

代 表 的 な 結 晶 ： BaTiO3, KTaNb1-xO3 (KTN),

た S は光の進行方向を表す。光軸が結晶の入射端面に平行あるいは垂直でない場合には，光は結晶内でBa0.25Sr0.75Nb2O6

常光線と異常光線に分離して伝播する。光が結晶端
 0 0 r13 
 0 0 r 13 
0 0 r33 rij =, 0 r51 0  r51 0 0 
 0 0 0 


面に垂直入射する場合，その分離角φは，
000 d 15 0  00
0 d 15 0 0 . (41)d ji =  0
0 0 d 31 d 31 d 33 0

点群42m の電気光学係数 rij と圧電定数 dji( n e2 − n 02 )sin 2 ρ
φ = tan −1  2
2
22
 n 0 + n e + ( n e − n 0 )cos 2 ρ 

(45)

で与えられる。
（付録）ここでρは光軸と光の入射方*

代表的な結晶： KH2PO4 (KDP), KD2PO4 (KD P),

向とのなす角である。

(NH4)H2PO4 (ADP), (NH4)D2PO4,(AD*P), CsH2AsO4, AgGaS2−30−

表３ 点群 4mm の結晶類における印加電界方向と透過光の位相変化の関係

表４ 点群 42m の結晶類における印加電界方向と透過光の位相変化の関係−31−

表５ 点群 3m の結晶類における印加電界方向と透過光の位相変化の関係−32−

表６ 点群６の結晶類における印加電界方向と透過光の位相変化の関係

７．逆電圧効果が電気光学係数の測定および光デバイス設計に与える影響して測定することが困難な係数をはじめとして，様々な結晶の電気光学係数が位相検出法を用いて測定されている。これまでの解析で明らかなように，

電気光学係数の測定方法は Michelson 干渉法や逆圧電効果を無視できない低周波領域で測定された

Mach-Zehender 干渉法のように電界による光の位相変化を検出する位相検出法 8, 9, 11 と，Senarmont
法 12-15 のように互いに直交した 2 つの直線偏光の間

従来の係数の値は，応力一定の状態にある結晶の電の印加電界による位相差（リタデイション）を検出

および CdS など応用上重要な結晶の係数 r13，r33 のするリタデイション検出法とに大別される。初めに測定値も含まれている。多くの結晶の圧電定数は明位相検出法で電気光学係数を測定する場合についてらかになっているから，実効的電気光学係数が明らかで考察する。表 2 から表 6 の解析結果が示すように，
多くの場合光の位相変化は電気光学効果と共に逆圧あれば，応力一定の状態にある結晶の電気光学係数を求電効果の影響も受けるため，位相検出法を用いた低位相検出法を用いて応力一定の状態にある結晶の周波領域の測定では，応力一定の状態にある結晶の電気光学係数を求めるためには，さらにもうひとつ

電気光学係数と圧電定数からなる係数を直接求めるの条件である「実効的電気光学係数と圧電定数の相ことができる。この係数は光偏向器や分岐干渉型光対的符号関係」を知る必要がある。これまでに相対変調器のように光の位相変化を直接利用する素子の的符号関係が明らかになっているのは，点群 42m に設計に有用であり，本論文では実効的電気光学係数

属する KDP 結晶および ADP 結晶だけである。 実

r と呼ぶことにする。式(39a)を例にとると r は次用上有望な電気光学結晶の符号関係は，早急に明ら式で与えられる。

かにしなければならない。筆者はこの研究も進めて

気光学係数ではなく，実効的電気光学係数である場合が多い。これらのデータの中には LiNbO3，LiTaO3

めることが出来そうであるが，そうではない。

2

いるが，その報告は別の機会にしたい。
r ' = r1 m cos 2 ψ + r 2 m sin 2ψ + r6 m sin 2ψ −2
n 02

次にリタデイション検出法で電気光学係数を測定( d m 1 sin 2ψ

(46)

する場合について考察する。表 2 の図(c)に示すような印
加電界方向を持つ等軸性結晶においては，互いに直交す1+ d m 2 cos 2ψ − d m 6 sin 2ψ ).
2

る 2 つの直線偏光の間の印加電界による位相差Δθはこれまでに，点群 4，4mm，3，3m，6 および 6mmに属する結晶の電気光学係数 r13，r33 など，リタデ
イション検出法では電気光学係数と圧電定数を分離∆ θ = θ x' 1 − θ x' 2 =

−33−

3
λ

π n 03 r 41 lE(47)

で与えられる。また，表 5 の図(g)に示すような印加

的電気光学係数を求めるものである。点群４，電界方向を持つ一軸性結晶においては，2 つの直線

4mm，3，3m，6 および 6mm に属する結晶の電気光学係数 r13 および r33 は，主として位相検偏光の間の位相差Δθは出法により測定されているため，低周波領域に
3

 2
π
n 
∆ θ =θ x1 −θ x 3 = ne3lE  r33 − 0  r13  + π( n0 − ne ) d 31lE
λ

 λ
 ne 3πn ≅ ne3lE  r33 − 0  r13 λ ne 

おけるこれまでの測定値の多くは実効的電気光学係数である。

(48)(4) 2 つの直線偏光の間の印加電界による位相差を検出するリタデイション検出法は，応力一定の状態にある結晶の電気光学係数を直接求めるものである。一方，この電気光学係数を用いてで与えられる。ここで右辺の第 2 項は第 1 項に比べて光偏向器や分岐干渉型光変調器のように光の一般に非常に小さいためこれを省略することができる。

位相変化を直接利用するデバイスを設計する

以上の 2 例が示すようにリタデイション検出法を場合には，逆圧電効果に基づく光路長変化を考用いると，光路長変化の影響を考慮せずに応力一定

慮しなければならない。

の状態にある結晶の電気光学係数を直接求めることができる。しかし，リタデイション検出法で測定された低周波領域の電気光学係数を用いて光の位相変化を直接利用する素子を設計する場合には，逆圧電[付録]
一軸結晶中の常光線と異常光線の分離角の導出

効果に基づく光路長変化を考慮しなければならない。

正の一軸結晶の屈折率楕円体を異常光線の波面法線

本節ではこれら 2 つの測定法で求められる電気光

A と結晶の光軸 X 3とを含む平面で切断した状態を図A.1 に示す。光が結晶端面に垂直に入射する場合，A は常学係数の特徴と，その測定値を光デバイス設計に利用する場合の注意すべき点を示した。これまでに多くの結晶の低周波領域の電気光学係数が測定されて光線の波面法線とも一致する。従って，ポインティングベ
クトルを P とすると，図 A.1 に示すように ∠ P 'ON =φ

いるが，これらの係数を用いて光デバイスを設計すが結晶中の常光線と異常光線の分離角を表す。ここるには，そのデータがどちらの検出法（リタデイシ

で，光波の電界を E，電束密度を D とすると，E ⊥ P

ョン検出法あるいは位相検出法）によるものかを十および D ⊥ A の関係より，E と D のなす角が両光線

分チェックしておく必要がある。

の分離角に等しくなる。
従って波面法線 A と光軸 X 3 とのなす角を ρ とす

８．結論

ると，図 A.1 より次式を得る。

本論文で行った解析とその主な結果を取りまとめ
tan ρ =

ると次のようになる。

(1) 結晶透過光の印加電界による位相変化は，電気

DX3
D X1

=

2

n e2 E X 3

n =  e  tan ( ρ − φ )2
no E X 1  no 

(A・1)

光学効果に基づく屈折率変化と逆圧電効果に基づく光路長変化に依存することを明らかに

ただし，D X1 ,D X 3 は電束密度の X 1 およびX 3 方向

し，等軸性および一軸性結晶に電界を印加したの成分であり，E X1 ,E X 3 は光の電界の X 1および X 3 方

ときの屈折率変化および歪テンソルの変化を向の成分である。式 (A・1)をφについて解くと次式
を得る。

解析した。

(2) 光デバイスへの応用上重要な結晶類の属する点
群 43m ，23，4mm， 42m ，3m，および 6 における代表的な印加電界方向と光の位相変化の関係を明らかにした。

(

)



n e2 − n o2 sin 2 ρ
φ = tan − 1 
 2

2
2
2
 n o + n e + n e − n o cos 2 ρ (3) Michelson 干渉法や Mach-Zehnder 干渉法で代表される位相検出法は，応力一定の状態にある結晶の電気光学係数と圧電定数からなる実効

−34−

(

)

(A・2)

10. K. -H. Hellwege, Editor in chief, LANDOLTX3PBÖRNSTEIN,

P’
D

E

ρ

ρ

Elastic,noandFunctional

Group III: Crystal and Solid State Physics, Vol.11,

N

O

Data

Relationships in Science and Technology, New Series,

A

φ

φ

Numerical

Piezoelectric,

Pyroelectric,

Piezooptic,

Electrooptic Constants, and Nonlinear Dielectric
X1

Susceptibilities of Crystals (Springer-Verlag Berlin,
Heidelberg, New York 1979) pp.363,556.

ne

11. V. V. Spirin, C. Lee and K. No, “measurement of the
Pockels coefficient of lead zirconate titanate thin films
by a two-beam polarization interferometer with a
図 A.1 正の一軸結晶の屈折率楕円体の主断面

reflection configuration,” J. Opt. Soc. Am. 15,
1940-1946 (1998).
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