漢字の複雑さ
由利高等学校数学班
石川裕真 児玉将大
齋藤陸安保裕太要約
この研究は漢字の複雑さを数値化するために行われた。漢字の要素を調べたり、次元や、相関係数などの考え方を用いて、漢字の複雑さに対する感覚と矛盾しないように式を立てる。これを繰り返してより正確な数値を出すことが目標となる。

１

研究動機と目的

研究のきっかけは班員の小さな疑問で「学年で一番名前の漢字が複雑なのは誰なのか」という疑問から、それを数学を使って解決することはできないだろうかと考えた。
目的は、漢字の複雑さを求める定義式を作りその定義を用いて漢字の複雑さを数値化し比較できるようにすることである。

２

漢字の要素と次元

最初に漢字の複雑さに関わる要素を挙げた。画数、線の長さ、線の密度、同じ部分の繰り返し、対称性などがあげられた。さらに数学の世界では次元が高いほど複雑であるという考え方があり、これを前の要素とあわせて考えていくことにした。

３次元とは次元という考え方を取り入れるにあたって次元の考え方について調べた。まず次元には位相次元、相似次元、フラクタル次元 という ように 次 元といっ ても様 々あり 、 それらの 違いと は、次元の解釈の広さである。位相次元とは普段私たちが一次元は線、二次元は平面、三次元は立体という考え方のことである。相似次元とは位相次元を大きく解釈したもので、例えばある図形を l 等分したときにできる元の図形と相似な図形の個数を N とする。その数値を N=lୈ の定義式に代入し得られた D の値が次元という考え方である。例えば正方形に含まれる線分を二等分するとできる
相似な図形は４つでありこれを三等分、四等分したときも２２４＝２ 、９＝３ 、１６＝４２というように正方形は２次元であることがわかる。そしてこの考え方は位相次元では求められない。図形の次元を表すことにも使うことができる。その例としてコッホ曲線があり、この図形は線分を三等分したときに真ん中を底辺とした正三角形を作り最後に底辺を消し、この作業をできた線分に対して無限回繰り返す。このコッホ曲線は長さが無限であると考えられるので位相次元の考え方ではどの次元にも存在しないことになる。そこで相似次元の考え方を用いて前述した定義式に代入する。
分割数は 3、相似な図形は 4 つということから

4＝3ୈ
D=log4log3

D≅ 1.26．．．と求めることができる。下の図がコッホ曲線の 5 回試行までのものである。

このように複雑な図形の場合、直線で構成されているが、１次元とはならず、非整数の次元となる。線で構成される漢字も様 々な角 度によ る 交差、様 々な変 化率の 曲 線を含む ことか ら、漢字それぞれに特有の次元があるという解釈のもとに、次元を広くとらえた考え方を用いて複雑さを数値化できるはずだと思った。

４

漢字の次元

漢字の次元を求めて複雑さを比較するために、フラクタル次元の求め方の一つであるボックスカウント法という手法を使う。これは次元を求めたい図形をマスの中に納めて、そのマスをさらに小さなマスで分割したときにどれくらいの数のマスに図形が触れているのかを順次調べ、次元を求めるものだ。Ｎを接しているマスの数、εを一マスの大きさとすると
Ｎ= μεିＤで次元Ｄを定義する。μは誤差調整の役割を果たしているが今回の研究では使わない。この式が成り立っているとき、式変形によって
Ｎ= μεିＤlog Ｎ = log μεିＤlog Ｎ = log μ + log ߝ ିＤlog Ｎ = −Ｄ log ߝ + log ߤとなりlog Ｎと log ߝは傾き－Ｄの直線であらわされる。つまりボックスカウント法を使って数値を算出すると、その数値を通るグラフの傾きから次元を比較できる。またμが関わる値はこの式において切片になるので次元の値には影響しない。次に具体的な漢字の次元を調べた。

５

具体的な漢字で検証

ここでは「引」「創」「龍」「一」の四つの漢字について調べた。この四つにした理由は、複「一」の四つの漢字について調べ た。この四つにした理由は、複雑さにどのような要素が大きく関係する のか後で調べるために、できるだけ特徴に違いのある雑さにどのような要素が大きく関係するのか後で調べるために、できるだけ特徴に違いのあるものを選んだ。そして人の感覚では「。そして人の感覚では「龍」龍」「創」「引」「一」の順に複雑だと感じるとして検証に移った。
ボックスカウント法を用いて検証した
結果が右の表になる。基盤となる正方形。基盤となる正方形の大きさを 1024×1024 として、左から順に16×16 のマスで一辺を 64 分割、32×32分割、のマスで一辺を 32 分割、64×6464 のマスで一辺を 16 分割、128×128 のマスで一辺を 8分割したものだ。そして表の数値を対数を表の数値を対数を利用して 縦軸、、 横軸 に 表 し グ ラ フ に し た 。
ここで対数を利用したのはそのままの値のままの値をとってグラフを作っても差が大きく表れなかったからだ。次にグラフからそれぞれの漢字の次元（傾き）を最小２乗法を用いて最小２乗法を用いて算出した。すると
「龍」…

1.670

「創」…

1.631

「引」…

1.589

「一」…

1.534となった。しかし、数値にはっ。しかし、数値にはっきりとした違いが見受けられないので、差を明確にする必要がある。そこで相関係数を用いて数値を調整しようと考えた。相関係
た。相関係数が１もしくは－１に近いほど数値が正確であり信頼できるといえる
正確であり信頼できるといえる。それぞれの漢字の相関係数を求めてみると「龍」…

0.99967「創」…

0.99748「引」…

0.99034「一」…

0.98465となった。このまま相関係数を使って調た。このまま相関係数を使って調整しようとしてもまだ差が出ないので、すべてに共通する小数第一位の「 9」を省いたもの、整しようとしてもまだ差が出ないので、すべてに共通する小数第一位の「9つまり 0.9abcd を 0.abcd という形に変えて使った。という形
これを求めた漢字の次元にかけると右のようになった。こうして出た値を「信頼次元」と呼ぶことにした。この時た。この時
点では人がこの四つの漢字に対して感じる複雑さの順と全く同じといえるのの順と全く同じといえるので、ほかの要素を含む漢字の信頼次元を信頼次元を新たに調べることにした。

６次元に大きく影響する要素複雑さに大きく関係するだろうと予測した要素は、曲線、同じ部分の繰り返し、対称性、画数の四つだ。新たに調べた漢字は新たに調べた漢字は「然」「森」「座」「火」「八」「二」の６つの６つである。
これらの信頼次元は次の図のようにのようになった。調べた結果からわかったことは、。調べた結果からわかったことは、曲線が多いと次元が大きくなるというなるということだ。表から読み取ることもできるだ。表から読み取ることもできるが、これにはそうなる理由があった。ボック
た。ボック
スカウント法を利用した際の直線と曲線を例にあげてみると、粗く数えられているときはどちらも触れているマスのるマスの数が同じように扱われていても数が同じように扱われていても、分割数が増えたとき、曲線はより多くのマスが増えたとき、曲線はより多くのマスに触れる場合があるため数値の差が大きくなっている(下図参照)。これが原因で曲線を含む漢字の信頼次元は大これが原因で曲線を含む漢字の信頼次元は大きくなるといえるきくなるといえる。また、急な曲線と緩い曲線の違いを考えてみると急な曲線と緩い曲線の違いを考えてみると、理由は自明だが急な曲線よりも緩い曲線のほが急な曲線よりも緩い曲線のほうが直線に近いため次元の増え方が小さい。つまりは 曲線が急であればあるほど次元が大きくうが直線に近いため次元の増え方が小さい。つまりは曲線が急であればあるほど次元が大きくなるといえることがわかる。繰り返しと対称性については曲線のように顕著に差がみられなか。繰り返しと対称性については曲線のように顕著に差がみられなかったのでそこまで大きく影響し影響して いない ように 思 われた。 また、 画数も ア バウトで はある が、多いほど複雑さが増しているよう多いほど複雑さが増しているようだった。

７曲線が与える影響の処理
影響の処理

まず曲線について考えてみた。曲線があると人はた。曲線があると人はその図形を複雑に感じるのかといわれると図形を複雑に感じるのかといわれるとそう思わないことが多いため、次元を求めないことが多いため、次元を求めたときに曲線が次元を大きくしている分を取り除かたときに曲線が次元を大きくしている分を取り除かなければならない。そこで「八」と「二」。そこで「八」と「二」の、曲線以外条件がほぼ同じ二つの漢字を使ってそがほぼ同じ二つの漢字を使ってそれができないかという仮説を立てた。「八」の曲線は緩い曲線という扱いですすめる。そして「八」の 線は緩い曲線という扱いですすめる。そして次のような式で出した値にたどり着い
次のような式で出した値にたどり着いた。
「八」の信頼次元÷「二」の信頼次元＝「八」の信頼次元÷「二」の信頼次元＝1.0393
これを式変形して、実際に漢字の複雑さに反映させるときの形にすると･･･「八」の信頼次元÷
「八」の信頼次元÷1.0393＝「二」の信頼次元
簡単に説明すると、1.0393 という値で「八」を割ることによって、「八」の曲線が与えた影響を無視した次元、つまり「二」とほぼ同じ次元で扱うことができるということだで扱うことができるということだ。
次に急な曲線について考えてみてみた。ここでの急な曲線は漢字を四分割したときに、マスを一つしか使わ四分割したときに、マスを一つしか使わない曲線であり、緩い曲
線は漢字を四分割したときにマスを２マス以上使う曲線とする
四分割したときにマスを２マス以上使う曲線とする。
そして右の図のように漢字を縮小することで緩い曲線になる
図のように漢字を縮小することで緩い曲線になる。急な曲線は、緩い曲線よりも狭い範囲にあるので、な曲線は、緩い曲線よりも狭い範囲にあるので、粗くカウントされていると考えることができカウントされていると考えることができる。つまり、右図のように急な曲線のように急な曲線≅縮小され粗くカウントされた緩い曲線ということになる
縮小され粗くカウントされた緩い曲線ということになる。
これから一番細かい一マス１６ピクセルの数値を抜いた「八」と「二」の信頼次元
これから一番細かい一マス１６ピクセルの数値を抜いた「八」と「二」の信頼次元を使って緩い曲線のときの同様に操作をして急な曲線の数値を出した。それが次の式だ
い曲線のときの同様に操作をして急な曲線の数値を出した。それが次の式だ。
１６ピクセルなし「八」の信頼次元÷１６ピクセルなし「二」の信頼次元＝
１６ピクセルなし「八」の信頼次元÷１６ピクセルなし「二」の信頼次元＝1.0846
今までの作業で得られた数値をそれぞれ今までの作業で得られた数値をそれぞれｃ（緩）、ｄ（急）としてできるだけ正確（急）としてできるだけ正確に反映するために、ある漢字において、緩い曲線の画ある漢字において、緩い曲線の画数を s 1 、急な曲線を含む画数を数を s 2 、直線の画数をs ３ として次のような式を立てた
た。
信頼次元÷

ୡ･ୱభ ＋ୢ･ୱమ ＋ୱయୱభ ାୱమ ାୱయ

この式になった理由としては、としては、漢字それ自体に曲線が含まれているかいないかで判断すると正ているかいないかで判断すると正確なものとは言い難いこと。数学的観点からみる
数学的観点からみると画数ではなく曲線の合計の長さで考えるべと画数ではなく曲線の合計の長さで考えるべきだったのかもしれないが、それを調べるには新たな定義が求められるそれを調べるには新たな定義が求められることに加えて、私たちことに加えて、私たちが漢字独特の要素をできるだけ反映したるだけ反映したいと思ったことなどがあげられる。そしてこの式を使。そしてこの式を使って得られる、曲線が与える影響を無視した信頼次元を準漢字次元とする
得られる、曲線が与える影響を無視した信頼次元を準漢字次元とする。
。この時点ですべての漢字の準漢字次元を調べてみたところ、まだ人の複雑さの感覚に近づいているようには思えなかったため、影響が少ないと思 われた 繰り返 し と対称性 につい ても考て も考 え てみるこ とにしとに た。

８

繰り返し、対称性が与える影響の処理

最初に繰り返しと対称性は共通している部分が多いという見解に至っ
初に繰り返しと対称性は共通している部分が多いという見解に至った。たとえば「林」のた。たとえば「林」のように繰り返しがあることによって、対称性がうまれる漢字が多くある
うに繰り返しがあることによって、対称性がうまれる漢字が多くある。このことから、この。このことから、この二つの要素は「似通ったパーツによって構成されている」という要素にまとめて考え通ったパーツによって構成されている」という要素にまとめて考え通ったパーツによって構成されている」という要素にまとめて考えることにした。また、３分割と２分割の漢字に分けて調べていくことにした
また、３分割と２分割の漢字に分けて調べていくことにした。４分割。４分割できる漢字は少なく、マイナーのものが多かったので調べなかった 。この要素を使った式をたてる際も曲線のとく、マイナーのものが多かったので調べなかった。この要素を使った式をたてる際も曲線のときとほぼ同じような考え方で進めた。そして次の式を出しな考え方で進めた。そして次の式を出した。
３分割･･･「森」の準漢字次元÷「創３分割･･･「森」の準漢字次元÷「創」の準漢字次元＝1.049
1.049
２分割･･･「林」の準漢字次元÷「創」の準漢字次元＝ 1.021
２分割･･･「林」の準漢字次元÷「創」の準漢字次元＝1.021
この値をそれぞれ e（3 分割）、f（2、分割）として3 分割できる漢字の準漢字次元÷e
分割できる漢字の準漢字次元÷

または

2 分割できる漢字の準漢字次元÷f
分割できる漢字の準漢字次元÷とすると繰り返しと対称性を無視した準漢字次元となる。これを漢字次元とするとすると繰り返しと対称性を無視した準漢字次元となる。これを漢字次元とする。

９

考察

今までに考えた式をまとめると･･･・相関係数×漢字の次元＝信頼次元
・信頼次元÷

ୡ・ୱభ ＋ୢ･ୱమ ＋ୱయୱభ ାୱమ ାୱయ＝ 準漢字次元・準漢字次元÷e＝漢字次元
または
準漢字次元÷f＝漢字次元
ここで今までに調べた漢字の漢字次元をここで今までに調べた漢字の漢字次元を求めた。

それが右の表になる。若干の誤差はあるが、ほとんど人が感じる複雑さの順になったのではな
いだろうか。この表からわかることは次のようなものだった。
・数学的な考え方を用いて漢字の複雑さを表すことはできる。
・式も複雑さを判断する分にはほぼ正確なものを作ることができた。
・画数を細かく考えたり、点を反映する必要があり、そのためには今までの式とは違う視点からのアプローチが必要であると考えられる。

１０

今後の課題

今後の課題は、ほかの複雑さに影響を与える要素を調べ、それも含めてより正確な漢字特有の次元を求めること。そして学年 で一番 難しい 名 前は誰な のかと いう疑 問 に取り組 むこと だ。
これからそのような時間が多くとれるかはわからないが、今までの研究で学んだことをこれからの学校生活に生かしていきたい。

１１

参考・引用文献

・フラクタル数学；石村貞夫・石村園子、東京図書、1990
・フラクタル；本田勝也、朝倉図書、2002
・「フラクタル wiki」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB