3 次元画像コンファレンス 2013 講演論文集, 4-3 61-64(2013.7.5).

厳密な光波遮蔽法の高解像度計算機合成ホログラムへの適用
Rigorous Light-Shieldingfor High-Definition Computer Holography
増田幸勇 1

松島恭治 1

中原住雄 2

Sachio Masuda1

Kyoji Matsushima 1

Sumio Nakahara2

1

関西大学 システム理工学部 電気電子情報工学科

1

Department of Electrical and Electronic Engineering, Kansai University
2

関西大学 システム理工学部 機械工学科

2

Department of Mechanical Engineering, Kansai University

ABSTRACTIn high-definition (HD) computer holography, the silhouette method plays an important role to shield light behindobjects and prevent the objects from being reconstructed as see-through images. Furthermore, the switch-back method
has been proposed to speed-up the silhouette light-shielding polygon by polygon. However, since HD-CGHs has very
high physical resolution and thus large diffraction angles, off-axis light is sometimes not shielded by the silhouettemasks and causes leakage light and occlusion errors. To remove the leakage light generally caused in the silhouettemethod, another technique has been already proposed for more rigorous light-shielding. However, this rigorous
technique has never been applied to HD-CGHs, because the rotational transform required in the rigorous technique isvery time-consuming in HD computer holography. In this paper, a new technique is proposed for applying the rigorous
light-shielding to HD computer holography and verified by simulated reconstruction of the object field calculated by theproposed technique.
Keywords: computer holography, computer-generated hologram, hidden-surface removal

1. はじめに
近年のアルゴリズム，コンピュータ，微細加工技術の発展により，光波の回折と干渉をシミュレートしてホログラムの干渉縞パターンを数値的に求め，描画することが可能となった．この技術はコンピュータホログラフィと呼ばれ[1]，次世代のデジタル3D 技術として注目されている．この技術により作成されたホログラムは計算機合成ホログラム(Computer-Generated Hologram：CGH)と呼ばれ，レーザーリソグラフィ技術とポリゴン法[2]に基づく高解像度 CGH では古典的なホログラムに匹敵するほどの美しい空間像が再生できる[3, 4]．
現状の高解像度コンピュータホログラフィでは，後方からの光波が前方の物体に透けないようにする光波遮蔽処理として，シルエット法が用いられている[5, 6]．シルエット法とは，物体のシルエットをホ増田幸勇<masuda@laser.ee.kansai-u.ac.jp>
関西大学システム理工学部電気電子情報工学科〒564-8680 大阪府吹田市山手町3-3-35
TEL 06-6368-1121(内線 5722)

ログラムと平行な平面に投影したマスクを用いて光波を遮蔽する近似的手法である．シルエット法をポリゴン単位で用いた場合は，自己オクルージョンを処理できるため，バビネの原理と部分光波伝搬を用いてポリゴン単位シルエット法を高速に処理できるスイッチバック法が提案されている[7]．しかし高解像度 CGH では，最大回折角が大きいため，シルエットマスク間を通り抜ける軸はずれ光波が生じ，オクルージョンエラーが生じる問題があった[6, 8]．
一方，このような軸外れ光波も除去できる厳密な光波遮蔽法も提案されている[9]．この手法では，ポリゴンと同一平面上での光波分布を回転変換[10,11]を用いて計算し，ポリゴン形状のマスクで遮蔽する．そのため原理的に光波の漏れは発生しない．しかし高解像度 CGH においては光波全体の回転変換の計算コストが非常に高いため，高解像度 CGH に対してこの手法が用いられたことはなかった．
そこで本研究では，厳密な光波遮蔽を高解像度CGH に適用しスイッチバック法によって隠面消去するための手法を提案する．

3 次元画像コンファレンス 2013 講演論文集, 4-3 61-64(2013.7.5).

2.

厳密な光波遮蔽法[9]この手法では，ポリゴンが存在する平面上で背景光波をポリゴン自身で遮蔽するため，原理的にオクルージョンエラーは起こらない．この処理を実現するには，ホログラムと平行な平面上での光波分布である背景光波を回転変換し，傾いたポリゴン平面上での背景光波を求める必要がある．以下，回転変換の手順を要約する．
2.1 光波の回転変換
座標系 ( xˆ , yˆ , ˆz ) の平面 ( xˆ , yˆ , ˆz  0) で与えられる光波を hˆ( xˆ, yˆ ) とし，この座標系と原点を共有する傾いた 座 標 系 ( x , y , z )の 平 面 ( x , y , z 0 )で の 光 波 はh( x, y) で表されるとする．以下では， ( xˆ, yˆ , zˆ  0) を平行平面， ( x, y, z  0) を傾いた平面と呼ぶ．このとき回転変換は，


h( x, y )  Rot hˆ( xˆ, yˆ ) F 1 R F{hˆ( xˆ, yˆ )}と表される．ここで F{ }はフーリエ変換であり，
Hˆ (uˆ, vˆ)  F{hˆ( xˆ, yˆ )} とする．ここで， (uˆ, vˆ) と (u, v) はそれぞれ平行平面と傾いた平面での空間周波数である．二つの座標系の間の回転変換行列を， xˆ  x
 a1
 ˆ  y   T y ,T   a 4
 zˆ za   7a2
a5
a8a3 
a6 a 9 

とすると，フーリエ空間での座標回転演算 R{ }は，
R{Hˆ  uˆ, vˆ } Hˆ (a1u  a2 v  a3 w(u, v), a4u  a5v  a6 w(u , v))  H (u, v)と表される．ここで w  u, v    2  u 2  v2 は傾いた平面に垂直な z 方向の空間周波数であり，H (u, v) は傾いた平面上での光波スペクトルである．最終的に傾いた平面上の光波分布は逆フーリエ変換を用いて，
h( x, y)  F 1{H (u, v)} で与えられる．
2.2 傾いた平面での遮蔽処理
Fig.1 にポリゴンによる背景光波の遮蔽手順を示す．光波遮蔽のためのマスク関数は，ポリゴンの存在する傾いた平面上で乗算する必要がある．そのため，上述の光波 hˆ( xˆ, yˆ ) を背景光波とし，(a)に示すよ
うに，回転変換により傾いた平面上での背景光波を計算する．従って，ポリゴン形状マスクによる遮蔽処理は，h( x, y)  Rot{hˆ( xˆ, yˆ )} m( x, y) 

Rotationaltransform

InverserotationaltransformBackground field

Shielded field

Mask

Polygon(a)(b)(c)Figure 1. The procedure for rigorous light-sheilding.と表される．ここでマスク関数 m( x, y) は傾いた平面上での 2 値関数であり，
1 inside polygonm( x, y )  otherwise
0と定義する．(c)に示すように，平行平面における遮蔽された背景光波は逆回転変換によって求められる．
hˆ( xˆ, yˆ )  Rot 1{h( x, y)} Rot 1 Rot{hˆ( xˆ, yˆ )}  m( x, y)





3. 厳密な遮蔽処理の高解像度 CGH への適用
以上のように，厳密な光波遮蔽は 2 回の回転変換を必要とするため，数億のサンプリング点を持つ高解像度 CGH では計算コストが非常に大きくなる．
本研究では，その計算コストを削減するために以下に示す手法を用いている．
3.1 背景光波のクリッピング
一般にポリゴンは背景光波よりもはるかに小さい
ため，ポリゴンによって遮蔽される部分は背景光波のほんの一部である．従って，背景光波全体ではなく，必要な範囲のみクリッピングして回転変換を行うことで，計算コストの削減が可能となる．
ここで，背景光波の必要な範囲とは，ポリゴンに入射し光波遮蔽によって影響を受ける部分である．本研究ではFig.2 に示すように，この範囲をポリゴンからの光波の最大回折範囲としている．最大回折範囲はポリゴンの頂点座標と，背景光波のサンプリング間隔で決まる最大回折角θmax で決定される範囲である[3]．
xPolygonz

Clipped area
Background field
Maximum diffraction angle

Figure 2. Clipping area of the background field.

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3.2 スイッチバック法で必要なサンプリング範囲
Fig.3 に示すように，傾いた平面でのサンプリング範囲はクリッピングした部分の背景光波が回折する範囲を全て含んでいる必要がある．これはクリップした光波の情報喪失を防ぐためであるが，ポリゴンが平行平面に対して大きな傾きを持つ場合では，このサンプリング範囲は非常に大きくなり，無限大になる場合もある．しかし本研究では，遮蔽処理手順としてスイッチバック法を用いているため，この問題が生じない[7]．
これは，スイッチバック法では Babinet の原理に基づいて遮蔽処理を行うため，Fig.4 に示すように，光波遮蔽を(a)に示すマスクではなく，(b)に示す開口を用いて行うためである．これにより傾いた平面で必要な光波は開口に入射する部分のみに限定されるため，回折光波全体を計算する必要がなくなる．
3.3 逆回転処理の最適化
Fig.5 は回転変換によるフーリエ空間でのサンプリング領域の推移を示す．(a)に示すように，FFT を用いるためフーリエ空間でのサンプリング領域の形状は矩形となる．しかしながら，(b)に示すように，(4)式の座標回転演算 R{ }によりこのサンプリング領域は歪み，スペクトル H (u, v) は大きくシフトする．
これをそのまま逆 FFT するのは効率が悪いため，回転変換ではシフト座標系，
(u, v)  (u  u0 , v  v0 ) Whole
wave-field

Mask

Partialwave-field
Aperture(a)(b)

Figure 4. Light-shielding by the mask (a) and aperture (b).
These can be equivalent to each other by using
Babinet’s principle and a partial field propgation[12]h( x, y)  F 1{H (u, v)} m( x, y) として遮蔽処理する．省略した平面波因子は逆回転変換のフーリエ変換で復活し，
F{h '( x, y)}  F{h( x, y) exp[i 2 (u0 x  v0 y)]} H (u  u0 , v  v0 ),とする．ここで， H (u, v)  F{h( x, y)} である．これにより高周波のキャリア成分を直接扱うことなく，シフト処理のみで計算ができる．(e)のシフトしたス

を導入している．ここで， (u0 , v0 )  (a7 / , a8 /  ) である．従って，傾いた平面での光波は次のように表される[10]．
h( x, y)  F 1{H (u, v)}exp[i 2 (u0 x  v0 y)]  (a)その結果，(c)に示すようにスペクトル H (u, v ) は原点付近に位置するが，光波 h( x, y) にはキャリア成分である平面波因子が生じ，これを含めて処理しなければならない．しかしこの平面波因子は非常に高い空間周波数となる問題点がある．そこで，本研究ではスペクトル H (u, v ) の逆フーリエ変換 F 1{H (u, v)}について，Tilted plane

(d)
Shift

Coordinate rotation

(b)

(e)

Clipping area

InverseCoordinate rotation

Shift

Sampling window
Diffracted
field

Background field(c)Figure 3. The sampling window required for avoiding
information loss in the the tilted plane.

(f)Figure 5. Transition of sampling area in Fourier apace.

3 次元画像コンファレンス 2013 講演論文集, 4-3 61-64(2013.7.5).

謝辞
本研究は，日本学術支援振興会の科研費(24500133)，および平成 23 年度関西大学学術研究助成金(共同研究)の助成を受けたものである．

Sampling window

参考文献
K. Matsushima, H. Nishi, and S. Nakahara, “Simple wave-field
rendering for photorealistic reconstruction in polygon-based
high-definition computer holography, ” J. Electron. Imaging 21,023002 (2012).
[2] K.
Matsushima, “Computer-Generated Holograms for
Three-Dimensional Surface Objects with Shade and Texture,”
Appl. Opt. 44, 4607-4614(2005).
[3] K. Matsushima, and S. Nakahara, “Extremely High-Definition
Full-Parallax Computer-Generated Hologram Created by the
Polygon-Based Method,” Appl. Opt. 48, H54-H63 (2009).
[4] K. Matsushima, and S. Nakahara, “Stepping closer to the perfect
3D digital image,” SPIE Newsroom, (6 Nov. 2012).
DOI:10.1117/2.1201210.004526.
[5] K. Matsushima, and A. Kondoh, “A Wave Optical Algorithm for
Hidden-Surface Removal in Digitally Synthetic Full-Parallax
Holograms for Three-Dimensional Objects,” SPIE Proc. 5290,
90-97(2004).
[6] A. Kondoh, and K. Matsushima, “Hidden Surface Removal in
Full-Parallax CGHs by Using the Silhouette Approximation,” The
Institute of Electronics, Information and Communication
Enggineers J87-D-II, 1487-1494(2004).
[7] 中村将樹, 松島恭治, 中原住雄, “全方向視差 CGH におけるポリゴン単位の高速隠面消去法,” 3 次元画像コンファレンス, 66-69(2011).
[8] K. Matsushima, Y. Arima, and S. Nakahara, “Digitizedholography: modern holography for 3D imaging of virtual andreal objects,” Appl. Opt. 50, Iss 34, H278-H284 (2011).
[9] K. Matsushima, “Exact Hidden-Surface Removal in Digitally
Synthetic Full-Parallax Holograms,” SPIE Proc. 5742,25-32(2005).
[10] K. Matsushima, “Formulation of the Rotational Transformationof Wave Fields and Their Application to Digital Holography,”Appl. Opt. 47, D110-D116 (2008).
[11] K. Matsushima, H. Schimmel, and F. Wyrowski, “FastCalculation Method for Optical Diffraction on Tilted Planes
Using the Angular Spectrum of Plane Waves,” Journal of theOptical Soceity of America A20, 1755-1762 (2003).
[12] 中村将樹, 松島恭治, 中原住雄, “超高解像度 CGH におけるBabinet の原理と部分光波伝搬を用いた隠面消去法,” 映情学誌 66, 5, J136-J143 (2012).

Rotationaltransform(a)[1]Initial sampling area (b)Figure 6. Optimization of sampling window in Fourier space.

ペクトルは，実際には(f)に示すように，逆座標回転演算 R{}により 2 回目の FFT に適した矩形サンプ
リング領域に復元する．
また，Fig.6 に示すように，回転角が大きい場合，フーリエ空間におけるサンプリング範囲は大きく変形する．そこで本研究では，Fig.6(a)に示すように，FFT によって与えられる初期状態のサンプリング領域に 5050 の代表点を設定し，回転変換によるこれらの点群の位置を追跡し，全代表点を含む最小限の範囲をサンプリングする範囲としている．

4. 提案手法による光波遮蔽の効果
提案手法の有効性の確認するため，Fig.7 に示す
3D シーンの光波を計算した．物体は 140 ポリゴンの円環体である．光波は，サンプリング数 65,536 
65,536，サンプリング間隔 1 m である．従来のスイッチバック法と提案法で数値合成した光波の結像再生シミ
ュレーションを Fig.8 に示す．この結果より，提案法による漏れ光波の減少を確認できる．

5. まとめ
高解像度のコンピュータホログラフィにおいて厳密な光波遮蔽法を適用する手法を提案した．この手法を用いた場合，遮蔽漏れ光波やオクルージョンエラーを低減できることが確認できた．

Polygon modelyxo

40 [mm]Wall paperz200 [mm]Hologram

Figure 7. The 3D scene used for the examination of light-shielding.

(a) Conventional silhouette method(b) This work

Figure 8. Comparison of two light-shielding techniques.