IMES DISCUSSION PAPER SERIES

高頻度データによるボラティリティの推定：
Realized Volatilityのサーベイと日本の株価指数
および株価指数先物の実証分析
し ば た

まい

柴田 舞
Discussion Paper No. 2007-J-14

INSTITUTE FOR MONETARY AND ECONOMIC STUDIESBANK OF JAPAN
日本銀行金融研究所〒103-8660 日本橋郵便局私書箱 30 号

日本銀行金融研究所が刊行している論文等はホームページからダウンロードできます。

http://www.imes.boj.or.jp
無断での転載・複製はご遠慮下さい備考： 日本銀行金融研究所ディスカッション・ペーパー・シ
リーズは、金融研究所スタッフおよび外部研究者による研究成果をとりまとめたもので、学界、研究機関等、関連する方々から幅広くコメントを頂戴することを意図している。ただし、ディスカッション・ペーパーの内容や意見は、執筆者個人に属し、日本銀行あるいは金融研究
所の公式見解を示すものではない。

IMES Discussion Paper Series 2007-J-14
2007 年 5 月

高頻度データによるボラティリティの推定：
Realized Volatilityのサーベイと日本の株価指数
および株価指数先物の実証分析
しばた

まい

柴田 舞*
要

旨

Realized Volatility（RV）は日中に高頻度で観測されたリターンの 2 乗値の和として計算され、ボラティリティの推定値として近年注目を集めている。RV に関する研究は欧米を中心に数多く行われているが、日本のデータによる実証分析は今のところ少ない。本稿では、RV に関する研究について各種理論モデルや実証分析のサーベイを行うとともに、日本の株価指数および株価指数先物データによる実証分析を行うことで、欧米市場データを用いた先行研究との比較を試みた。その結果、RV は将来のボラティリティを予測するうえで有益な情報を有していること、
RV には長期記憶性が存在していること、高頻度データでみてもリター
ンの分布の裾が厚く、ジャンプ拡散過程などを前提としたボラティリテ
ィ推定が必要なこと、ボラティリティの変動には価格の変化方向に関して非対称性が存在していることなどが判明した。こうした実証結果は、欧米の先行研究と概ね一致するものであった。
キーワード：高頻度データ、Realized Volatility、長期記憶性、ジャンプ
拡散過程
JEL classification: C52,C53* 日本銀行金融研究所リサーチアソシエイト（現

首都大学東京都市教養学部、

E-mail: mai@center.tmu.ac.jp）
本稿は、筆者が日本銀行金融研究所リサーチアソシエイトの期間に行った研究をまとめたものである。本稿で利用したティックデータは東京都立大学（あるいは首都大学東京）に帰属する。本稿の作成にあたっては、渡部敏明教授（一橋大学）、大森裕浩
助教授（東京大学）、および金融研究所スタッフから有益なコメントを頂いた。ここに記して感謝したい。ただし、本稿に示されている意見は、筆者個人に属し、日本銀行の公式見解を示すものではない。また、ありうべき誤りはすべて筆者個人に属する。

目次
1

はじめに

1

2

RV を用いた研究のサーベイ

2

2.1

RV の理論的背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2

RV および RV で基準化した日次リターンの正規性 . . . . . . . . . .

4

2.3

RV を用いたボラティリティ変動モデル . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.1

RV 時系列モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.2

GARCH+RV モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 ボラティリティの予測力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1

σi2 予測力の比較方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.2

RV を用いたボラティリティ変動モデルの予測力比較 . . . . 17

2.4.3

ボラティリティ予測に有用な RV 以外の変数 . . . . . . . . . 18

2.5 多変量 Realized Volatility への拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 ジャンプ拡散過程への RV の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

実証分析上のデータの問題

24

4

実証分析

26

4.1 データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 各モデルの推定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 ボラティリティ予測力のモデル間比較. . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 多変量 RV の推定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 ジャンプモデルの推定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5

まとめと今後の研究課題

36

補論 A

ARFIMA モデル推定法

54

補論 B

UC モデル推定法

55

1

はじめに
リスク管理あるいは派生商品の価格付けにおいて、ボラティリティは欠かせな

い変数である。ボラティリティとは、資産価格の変化率であるリターンの変動の大きさを表わし、その値は日々変化すると考えられる。こうしたボラティリティの時
間変化を表現するモデルとして Engle(1982) の ARCH(Autoregressive Conditional

Heteroskedasticity) モデルや Bollerslev(1986) の GARCH(Generalized ARCH) モ
デルをはじめ多様なモデルが考案されてきた。これらのモデルで想定されるボラ
ティリティは、リターンの時系列データを用いてモデルが推定されて初めて、推定値として観測可能となる。そのため、どのモデルや推定法を用いるかによって、同じリターンのデータに対して推定されるボラティリティが異なることがある。
これに対し、理論モデルに依存しないボラティリティとして Andersen and Boller-slev(1998) により RV(Realized Volatility) が提唱された。RV は 1 日といったある
特定の期間内の高頻度データから計算されるリターンの 2 乗値を合計して得られるボラティリティの推定値である。RV の研究が数多く行われている背景には、RVの推定方法が容易であることだけでなく、RV がボラティリティの推定値と考えられる理論的裏づけが存在すること、また、高頻度データの入手が容易になったことが挙げられる。

RV の推定においては、あらゆる時間帯においてリターンが観測されることが望ましいため、取引頻度が高く、かつ市場がクローズすることがない為替レートのボラティリティに関する研究から始められた。その一例として Andersen and

Bollerslev(1998) を始め、Martens(2001)、Andersen et al.(2003)、Corsi(2004) などが挙げられる。その後、株価指数の分析（Blair, Poon and Taylor(2001)、Ghysels,

Santa-Clara and Valkanov(2006)、Koopman, Jungbacker and Hol(2005)）や、先物取引の分析（Martens(2002)、Thomakos and Wang(2003)）など、取引時間が限定されており、終値から翌始値にかけて高頻度リターンが観察できない資産についても、応用分析が進められた。
日本の市場データを用いた RV の実証分析は、今のところ、渡部・佐々木 (2006)など一部の研究に限られている。本稿では、RV を用いた研究のサーベイを行った
上で、日経平均株価指数、東証株価指数（TOPIX）、さらに日経平均先物価格といった、日本の株式市場データに対し、RV の応用分析を行うことを目的とする。

RV 以前のボラティリティを潜在変数とした時系列モデルは、ARCH モデルをはじめ、ボラティリティ変動の特性を拡張していったモデル群によるものが主流で1あった（Bollerslev, Engle and Nelson(1994)、Ghysels, Harvey and Renault(1996)を参照）。これらはボラティリティ変動モデルと総称される。ボラティリティ変動モデルと RV についての研究は、いずれも以下の 2 つに大別される。(1) ボラティ
リティの予測およびそのパフォーマンスのモデル間比較といったボラティリティ推定に関する基礎研究、(2) リスク管理、あるいは派生商品の価格付けといったボラ
ティリティを用いた応用研究である。後者の応用研究においては、リターンの分布あるいはその確率過程を特定化する必要があり、そのためにボラティリティが必要とされる。RV はボラティリティ変動モデルの拡張ではなく、ボラティリティの推定に関する新しい方法であるため、まず、上記 (1) に該当する基礎研究が必要とされる。そこで、本稿では、RV の特性分析および RV を用いたモデルのボラ
ティリティ予測力に焦点を当てた。
本稿の構成は以下のとおりである。第 2 節では、RV を用いた先行研究をサーベイする。はじめに RV がボラティリティの推定値となりうる理論的背景を説明した後、RV を用いたモデルをサーベイする。その際、モデルの推定法やボラティリ
ティ予測力の評価法を解説する。さらに拡張モデルとして、多変量 RV とジャンプモデルを紹介する。第 3 節では、高頻度データを扱う際の問題とその対処法について解説する。第 4 節では、本邦株式市場データに対し、様々な RV モデルを適用した実証分析の結果を示す。第 5 節では、まとめと今後の研究課題を述べる。

2

RV を用いた研究のサーベイ

2.1

RV の理論的背景

はじめに RV について解説する1 。以下では、第 i 日の日次リターンを、対数価
格 p∗ (t), 0 ≤ t ≤ T を用いて

ri = p∗ (i) − p∗ (i − 1),

i = 1, 2, . . . , T(1)と表わし、さらに第 i 日内の観測時点 j におけるリターン（日中リターンと呼ぶ）をrj,i = p∗ (i − 1 + j/M ) − p∗ (i − 1 + (j − 1)/M ),j = 1, 2, . . . , M(2)と表わす2 。ここで M は日中リターンの 1 日あたりの観測回数である。
1

より詳細な解説は Andersen et al.(2003)、Barndorﬀ-Nielsen and Shephard(2004b) を参照。
本稿では高頻度データから計算されるリターンを日中リターンと呼び、日中リターンから求めた RVi を日次ボラティリティと呼ぶ。なお、日次リターンは終値から求めたリターンであり、日次ボラティリティとは元データの観察頻度が異なる。
22

第 i 日の RV（RVi と表わす）は、日中に観測されるリターンの 2 乗値を 1 日にわたって観測回数分足し合わせたもの、すなわち、

RVi ≡

M
∑

2
rj,i

(3)

j=1

で定義される3 、4 。

RV は一見すると単純なボラティリティ推定手法であるが、理論的な裏付けが存在する。ファイナンス理論モデルで用いられる確率過程では、その連続時間表現
において、ボラティリティを瞬間的ボラティリティとして与える。このもとで、ある一定の期間のボラティリティは瞬間的ボラティリティの「累積値」として与えられる。RV は観測回数を高頻度にしていくと累積ボラティリティに確率収束するという優れた性質を持つ。以下では、対数価格 p∗ がセミ・マルチンゲールであるという一般的な仮定のもとで、RV のこうした性質を説明する。
まず上記仮定のもとで、p∗ (t) は、有界変分を持つ α∗ (t) とマルチンゲール m∗ (t)の和で表わされる。また、2 次変分 [p∗ ](t) は、M → ∞ とすると supj {tj −tj−1 } → 0となる t0 = 0 < t1 < t2 < . . . < tM = t に対して、[p∗ ](t) = plimM∑

M →∞ j=1{p∗ (tj ) − p∗ (tj−1 )}2(4)として定義される。このとき、[p∗ ](t) = [m∗ ](t) となる。[m∗ ](t) はマルチンゲール
成分の 2 次変分を表わす。
こうした p∗ のセミ・マルチンゲール性の仮定のもとで M → ∞ とするとき、RVは以下のように確率収束する。
M
∑

p

2
rj,i
→ [p∗ ](i) − [p∗ ](i − 1)

(5)

j=1

次に、p∗ の確率過程をより特定化して伊藤過程

dp∗ (t) = µ(t)dt + σ(t)dW (t)3(6)

Realized Volatility を提唱した Andersen and Bollerslev(1998) とは別に、(3) 式を Realized
Variance と呼ぶ研究もある。例えば Bandorﬀ-Nielsen and Shephard(2004b)。本稿では提唱者の呼称に従う。
4
多くの実証分析は日次ボラティリティの分析に RV を用いるが、週次や月次などのボラティリ
ティ分析に RV を用いることも可能である。詳しくは Barndorﬀ-Nielsen and Shephard(2004b) を参照。

3に従うと仮定する。ここで、σ 2 (t) は瞬間的ボラティリティ5 、µ(t) はドリフト、dW (t)はブラウン運動を表わす。また、

σ (t) ≡2∗∫ t

σ 2 (u)du(7)

0

として、瞬間的ボラティリティσ 2 (t) の累積ボラティリティを定義する（ここですべての t < ∞ に対して σ 2∗ (t) < ∞ が成り立つとする）。伊藤過程のもとでは、(4)式で定義された 2 次変分は累積ボラティリティとなる。すなわち、[p∗ ](t) = σ 2∗ (t)(8)

が成立する。さらに、(8) 式を (5) 式に代入すると、RV が第 i 日までの累積ボラ
ティリティと第 i − 1 日までの累積ボラティリティの階差で表わされた i 日中の累
積ボラティリティσi2 に確率収束することがわかる。すなわち、
M
∑

p

2
rj,i
→ σi2 ,

σi2 = σ 2∗ (i) − σ 2∗ (i − 1)

(9)

j=1

として、RV が累積ボラティリティの一致推定量となることが示される。

2.2

RV および RV で基準化した日次リターンの正規性

Andersen et al.(2001a,b) や Thomakos and Wang(2003) は、RV、lnRV、およびRV により基準化された日次リターンの無条件分布を分析して、以下の 2 点を指摘している。

√
第 1 点は、RV（もしくは RV）は正規分布には従わず、一方、lnRV（もしく√は ln RV）は正規分布に従う点であり、この結果に基づいて、実証分析ではしば
しば lnRV が使用されている。これは、次節で紹介するようにボラティリティ変動
モデルの撹乱項に正規分布を仮定するものが多く、モデル設定において RV の非正規性を表現できない場合にモデルが正しく推定できなくなることを避けるためである。
第 2 点は、RV により基準化された日次リターン√

ri / RVi ,i = 1, 2, . . . , T,

5

確率過程の表現上は σ(t) が瞬間的ボラティリティに相当するが、以下では表記を容易にする
ため σ 2 (t) をそう呼ぶ。

4

が正規分布に従う点である。日次リターンが正規分布よりも裾の厚い分布に従っていることは、Mandelbrot(1963) や Fama(1965) の指摘により、早くから広く知られていた。これに対し、Clark(1973) は以下のような仮説を考えている。日次リ
ターン ri は平均 0 で自己相関がないものと仮定すると、日々変動するボラティリ
ティσi2 と、平均 0、分散 1 の過去と独立な確率変数 zi によって、日次リターンを

ri = σi zi(10)と表わすことができる。Clark(1973) は、zi の分布は標準正規分布に従うが、ボラ
ティリティσi2 が日々変動するため、ri が裾の厚い分布になると考えた6 。この仮定のもとでは、ri の分布は i 日毎に分散が異なる正規分布の混合分布になることから、上記仮説は「分布混合仮説」と呼ばれており、ボラティリティ変動モデルで広く活用されている。分布混合仮説では zi が標準正規分布に従うことが仮定されているものの、σi2 を GARCH モデルや SV(Stochastic Volatility) モデルで推定した実証分析では、σi2 を可変としてもなお zi が正規分布よりも裾の厚い分布に従っているという結果が得られることが多かった7 。このように、GARCH モデルや SV
モデルにおいて分布混合仮説が成立しないことは、これらモデルの定式化に何らかの問題がある可能性を示唆している。一方、前述のように、σi2 の推定値に RVi√を用いて ẑi = ri / RV i と基準化して得られる zi の推定値については、正規性の仮説が棄却されないという結果が得られている。これは Clark(1973) の分布混合仮説を支持するものである。
正規性の検定には、尖度と歪度を用いた Jarque-Bera 検定（以下 JB 検定）が使われることが多いが、Thomakos and Wang(2003) は RV の実証分析に同検定を用いる場合、次のような問題があることを指摘している。すなわち、RV もしくはlnRV は長期記憶過程（次節参照）に従い、自己相関を有する傾向が強いため、JB検定およびその他の正規性の検定方法8 では正規性の仮説を棄却しすぎること、な
かでも JB 検定はその程度が大きいことを、シミュレーションによって示している9 。したがって、JB 検定の解釈は慎重に行う必要がある。
6

証明は、渡部 (2000) の第 1.4 節や和合編著 (2005) の第 9 章を参照。
SV モデル（確率的ボラティリティ変動モデル）は、ボラティリティを潜在変数とする時系列
モデルの一つであり、GARCH モデルと並んで多くの実証分析に用いられている。GARCH モデ
ルでは t − 1 期までの情報を所与とした t 期のボラティリティは確定的になる一方、SV モデルでは確率変数として与えられる。SV モデルの詳細は、渡部 (2000) の第 3 節を参照。また、zi の分
布については、渡部 (2000) の第 2.4.2 節や和合編著 (2005) の第 9 章を参照。
8
具体的には、Anderson-Darling 検定、Crámer-Von Misses 検定、QQ 検定、KolmogorovSmirnov 検定。
9Jarque and Bera(1980) が提案した JB 検定は、変数に系列相関がないこと (I)、分散が均一で
7

5

2.3

RV を用いたボラティリティ変動モデル

本節では、RV を用いた様々なモデルを紹介する。大別すると、(1) RV を被説明変数としてモデル化した RV 時系列モデル、(2) GARCH などのボラティリティ
変動モデルに新たな説明変数として RV を組み入れた GARCH+RV モデル、という 2 タイプに分類できる。前者はボラティリティ推定値としての RV の変動過程を直接モデル化するという観点に、後者は GARCH 等のモデル内で想定されたボラ
ティリティの推定式において RV が有益な付加情報を持つという観点に立ったものである。前者の RV モデルでは、RV が「長期記憶性」と呼ばれる時系列特性を有している点を考慮したモデル化がなされている。以下では、RV 時系列モデル、

GARCH+RV モデルについて、順に紹介する。

2.3.1

RV 時系列モデル

自己相関を持つ時系列は多くあるが、なかには自己相関が極めて緩やかにしか減衰せず、非常に長く離れた期にも自己相関が残る系列がある。このようなデータの特性は長期記憶性と呼称される。RV は長期記憶性を持つことが指摘されているため、RV を被説明変数とするモデルではこれを考慮に入れたモデル化が行なわれる。
定常過程には長期記憶過程と短期記憶過程がある。ある定常な時系列 Xi , i =1, 2, . . . について、h 次の自己相関関数 ρ(h) = Cov(Xi , Xi+h )/V ar(Xi ) を計測した
場合、∞∑|ρ(h)| < ∞

(11)

h=0

を満たすものは短期記憶定常過程であり、∞∑|ρ(h)| = ∞

(12)

h=0

を満たすものは長期記憶定常過程である（詳しくは矢島 (2003) を参照）。
あること (H)、変数が正規分布に従うこと (N) を同時にラグランジェ乗数検定する方法である。この正規性検定は、(I)(H)(N) が全て満たされることを帰無仮説として、(I) および (H) は満たされるが (N) のみが満たされないことを対立仮説として行われる検定であるため、(I) と (H) の一方あるいは両方が満たされない場合に JB 検定を行うことは不適切である。JB 検定の条件を緩めた拡張として、(H) が満たされるものの (I) が満たされない場合の正規性の検定法を考案した Bai andNg(2005) がある。なお、不均一分散の場合において、GARCH-M モデルに限っては JB 検定を行えることを Fiorentini, Sentana and Calzolari(2004) が示している。

6

こうした長期記憶性を表現するモデルの一つに ARFIMA(Autoregressive Frac-tionally Integrated Moving Average) モデルがあり、RV の推定にしばしば用いられる。また、ボラティリティ変動には非対称性が存在することが指摘されているが（後述）、これを表現するために ARFIMA モデルを拡張した ARFIMAX モデルが用いられることがある。この他、短期記憶過程ではあるが、パラメータ次第では自己相関が長期にわたりゼロになりにくいモデルとして、HAR(Heterogeneous

Autoregressive) モデルや UC(Unobserved Component) モデルがあり、これらも RVの推定に用いられる。また、長いラグを伴う説明変数を取り込む MIDAS(Mixed

Data Sampling) モデルが RV の推定に使用されることもある。以下では、これらのモデルを順に解説する。

ARFIMA モデル
RV に ARFIMA モデルを適用した分析では Giot and Laurent(2004) が ARFIMA(0,d,1) モデルを、Koopman, Jungbacker and Hol(2005) が ARFIMA(1,d,0) モデル
を用いている。4.2 節で後述する実証分析では、情報量基準 SIC により AR タームのない ARFIMA(0,d,1) モデルが選択された。このため、本節においてもこのモデルを示す10 。

(1 − L)d (ln RVi − µ) = (1 + θL)ϵi(13)

ただし d, µ, θ はパラメータであり、ϵi は撹乱項、L はラグ・オペレータである11 。

d = 0 ならば ARMA(0,1) モデルとなるので、lnRVi は短期記憶過程に従う。0 <d < 0.5 ならば長期記憶定常過程であり、d ≥ 0.5 ならば長期記憶非定常過程である。ARFIMA モデルにおいて d = 0.5 が定常過程と非定常過程の境界点となることは次にようにして示される。
一般に、長期記憶過程のパラメトリック・モデルにおける h 次の自己相関関数

ρ(h) は (12) 式を満たし、かつρ(h) ∼ h−α ,

h→∞

10

(14)

ARFIMA モデルは長期記憶モデルであるのに対して、FI 項を含まない ARMA モデルは短期記憶モデルである。しかし、ARMA モデルに従う短期記憶過程であっても、パラメータの設定次第では、自己相関係数が長い期間にわたってゼロになりにくい性質をもつことがある。このため、実証分析では、AR 項か MA 項のどちらかをゼロとして推定されることが多い（詳しくは Bos,
Franses and Ooms(2002) を参照）。
11
モデルを推定する際には、ϵi は平均 0、分散 σϵ2 の正規分布に従うことを仮定する。ラグ・オ
ペレータは、Lk ln RVi = ln RVi−k のように時刻を遅らせるオペレータである。また、反転可能性
条件 |θ| < 1 が課される。

7

を満たす 0 < α < 1 が存在することが知られている。ARFIMA モデルの自己相関関数はρ(h) ∼ h2d−1 , h → ∞(15)と表わされることから、0 < d < 0.5 のときに長期記憶定常過程となることがわかる12 。
ところで、−0.5 < d ≤ 0 のとき、ARFIMA モデルはもはや長期記憶性を持たないものの、|θ| < 1 が満たされているのであれば MA 部分が反転可能であり、モデル推定が可能となる。したがって、−0.5 < d < 0.5 という制約のもとで推定される。推定には最尤法が用いられる。詳しくは補論 A を参照。

ARFIMAX モデル
ARFIMAX モデルは、ボラティリティ変動の非対称性を扱うモデルである。ボ
ラティリティ変動の非対称性とは、価格が上昇した日の翌日より下落した日の翌日のほうがボラティリティが高くなる傾向があることを指す。こうした価格の変化方向に関するボラティリティ変動の非対称性については ARFIMAX モデル以前に様々なボラティリティ変動モデルを用いた分析が数多く行われているが、同モ
デルは外生変数 ri−1 を用いた点が特徴となっている。

ARFIMAX(0,d,1) モデルは以下のとおりである。
(1 − L)d (ln RVi − µ0 − µ1 ri−1 − µ2 Di−1 ri−1 ) = (1 + θL)ϵi(16)

ただし d, µ0 , µ1 , µ2 , θ はパラメータであり、ϵi は撹乱項である。また、Di−1 はリ
ターン ri−1 が負値、すなわち価格が直前に下落していれば 1、そうでなければゼロとなるダミー変数である。今期 RV の期待値 µ0 + µ1 ri−1 + µ2 Di−1 ri−1 は、

ri−1 ≥ 0 ならば µ0 + µ1 |ri−1 |ri−1 < 0 ならば µ0 − µ1 |ri−1 | − µ2 |ri−1 |であるため、後者が前者より大きい、すなわち 2µ1 + µ2 < 0 であれば、ボラティ
リティ変動の非対称性と整合的な結果である13 。
(14) 式と (15) 式は、h を ∞ に近づけたときに、左辺と右辺の比が 0 ではない有限の確定値に収束することを示している。
13
Giot and Laurent(2004) は、µ2 の推定値が負値であり、統計的に有意であることから、ボラティリティ変動の非対称性が存在すると指摘している。
128

HAR モデル
HAR(Heterogeneous Autoregressive) モデルは、不均一市場仮説 (HeterogeneousMarket Hypothesis) を基にして ARCH モデルを拡張させた HARCH モデル (Heterogeneous interval ARCH、Müller et al.(1997)、Dacorogna et al.(1998)) を RVのモデルへと拡張したものである。この仮説は、市場参加者は市場の先行きに対する予測や、情報入手の程度など、様々な面において異なっているという仮説である。Corsi(2004) は、投資する期間の長さが異なれば、それに比例して情報に反応を示す時間の長さも異なることを仮定し、HAR モデルを考案した。

HAR モデルは、将来の一定期間の日次 RV の平均値を、過去の日次 RV、1 週間の日次 RV の平均値、そして 1ヵ月間の 日次 RV の平均値の 3 本の短期記憶過程
が組み合わされたモデルで捉えようとするものである。このように複数の短期記憶モデルが組み合わされたモデルは、変数の自己相関が長い期間にわたってゼロになりにくい性質を有している14 。

Corsi(2004) が考案した HAR モデルは
ln RVi,i+h = β0 + βD ln RVi + βW ln RVi−5,i + βM ln RVi−22,i + ϵi(17)で与えられる。ただし、β0 , βD , βW , βM はそれぞれパラメータであり、ϵi は撹乱項である。説明変数は i − h + 1 日から i 日までの h 日間の日次 RV の平均値が使われる。h = 5 とすると、RVi−5,i = 15 (RVi−4 +RVi−3 + . . . +RVi ) は営業日でみたときの過去 1 週間の日次 RV の平均値となる。同様に h = 22 とすると、RVi−22,i は過去

1ヵ月間の日次 RV の平均値となる。被説明変数は i + 1 日から先行き h 日間にわたる日次 RV の平均値であり、翌日の日次 RVi (h=1) や先行き 1 週間の 日次 RV の平均値、先行き 1ヵ月間の日次 RV の平均値などが用いられる。Andersen, Bollerslev√
and Diebold(2005) は、RV、lnRV または RV の HAR モデルを決定係数により比較したところ、lnRV を用いたモデルの決定係数が最も高いことを示している。

HAR モデルは最小 2 乗法で推定可能であるが、推定値の標準誤差を計算する際には注意が必要である。被説明変数に日次 RV の平均値が用いられるため、(17)式において、撹乱項に h − 1 次までの自己相関が存在する可能性がある。この問題に対し、Andersen, Bollerslev and Diebold(2005) は、Newey-West による標準誤差を用いており、その際、ラグの長さは 5(h=1),10(h=5),44(h=22) としている。
14

Granger(1980) は、短期記憶過程が組み合わされたものが、長期記憶性を表わすことがあることを示している。

9UC モデルUC(Unobserved Component) モデルは、ARMA(1,1) 過程に従う複数の観測不能な要素 τik , (k = 1, 2, . . . , K) の和で RV を表現したものである。すなわち、RV を

RVi =

K
∑

τik + ui ,

τik ∼ ARMA(1, 1),E[ui ] = 0,Var[ui ] = σu2

(18)

k=1

とモデル化する。RV の推定誤差 ui は平均がゼロ、分散 σu2 と仮定する15 。

UC モデルは、HAR モデルと同様に、K 個の短期記憶過程 τik を組み合わせることで RV の自己相関がゼロに減衰しにくい特性を表わしている。ただし、HAR モ
デルは市場参加者の不均一性という経済学的な背景があったのに対し、UC モデル
は OU(Ornstein-Uhlenbeck) 過程16 に従う短期記憶モデルの組み合わせという連続時間モデル上での工学的工夫から考案された。

UC モデルは以下のように導出される17 。まず、
RVi = σi2 + ui

(19)として、RV の観測頻度を表わす M が有限であるときには RVi と σi2 の間に誤差ui が生じるとする。RVi は観測頻度 M → ∞ のときに σi2 に確率収束することが示されているものの ((5) 式および (9) 式を参照)、実際に観測される RVi は M を有限としているため σi2 に収束せず、このため誤差 ui が必要となる。UC モデルでは、RV に観察される複雑な自己相関の変動を表わすため、OU 過程に従う複数のτ k (t) の和として、瞬間的ボラティリティσ 2 (t) を表わす。すなわち、
σ 2 (t) =K∑dτ k (t) = −λk τ k (t)dt + dzk (λk t)

τ k (t),

(20)

k=1

と仮定する。z(t) は非負の増分を持つレヴィ過程である。ここで τ k (t) についてE[τ k (t)] = wk ξ,を仮定する。ただし wk ≥ 0,

Var[τ k (t)] = wk ω 2

(21)

∑K

k=1 wk = 1 である。これらの仮定のもとで、連続時間で表現された τ k (t) の積分によって i 期の τik を次のように定義する。

τik =

∫ i

τ k (u)du

(22)

i−1

15

必ずしも正規分布である必要はない、後述の推定方法を参照。
OU 過程の他に Constant Elasticity of Variance(CEV) 過程を用いることも可能である。
17
本節の内容は Barndorﬀ-Nielsen and Shephard(2001,2002)、Koopman, Jungbacker andHol(2005)、Meddahi(2003) を参考にしており、詳細はこれらの論文を参照。
16

10この仮定のもとでは、τik の自己相関関数がkcorr(τik , τi+n)=

(1 − e−λk )2e−λk (n−1) ,2(e−λk − 1 + λk )n = 1, 2, . . .

(23)

であることが示される。

(23) 式の自己相関関数から、τik が ARMA(1,1) モデルで表わされることがわかる。すなわち、n = 1 の場合、kcorr(τik , τi+1)=

(1 − e−λk )22(e−λk − 1 + λk )(24)となることを用いて、(23) 式をkkcorr(τik , τi+n
) = corr(τik , τi+1
) × e−λk (n−1) ,n = 1, 2, . . . ,(25)と書き換える。一般に、ARMA(1,1) モデル yi = µ + ϕ(yi−1 − µ) + θui−1 + ui の n
次の自己相関関数 corr(yi , yi+n ) は18

corr(yi , yi+n ) = corr(yi , yi+1 ) × ϕ(n−1) ,n = 1, 2, . . . ,(26)と表わされるため（山本 (1988) の第 3.2 節を参照）、(25) 式と (26) 式を比較するとexp(−λk ) を AR パートの係数とする ARMA(1,1) モデルで τik が表現できることがわかる。これを、kk
τik = wk ξ + ϕk (τi−1− wk ξ) + θk ηi−1
+ ηik ,

E[ηik ] = 0,Var[ηik ] = ση2k(27)kで与える。ここで、Cov[ηik , ηi+n
] = 0, (n ̸= 0) とする。このモデルのパラメータは、

ϕk = e−λk
θk =

1−

√

1 − 4ϑ2k

2ϑkk) − ϕkcorr(τik , τi+1
ϑk =2k
(1 + ϕk ) − 2ϕk corr(τik , τi+1)kk
2
, τik )
(1 + ϕk )Var(τi ) − 2ϕk Cov(τi+1
ση2k =
1 + θk2(28)

として、τik (t) に関する連続時間モデルのパラメータの関数として表わすことがで
(
)
−λk 2
2
きる。ただし、Var(τ k ) = 2 wk ω e−λk − 1 + λ 、Cov(τ k , τ k ) = w ω 2 (1−e )
i

k

λ2k

i

i+1

k

λ2k

である。
ここで、yi , i = 1, 2, . . . , T であり、パラメータ ϕ, θ について |ϕ| < 1, |θ| < 1 が満たされるとする。また、µ はパラメータ、ui は攪乱項とする。
18

11

また、(18) 式の推定誤差の分散 σu2 は、(ξ
σu2 = 2M 
M

)2

+

K
∑
2wk ω 2
k=1

λ2k

(

)

λk 
e−λk /M − 1 +M(29)と表わされる。M は各 i 日に観測されるリターンの個数を表わす。

√
Barndorﬀ-Nielsen and Shephard(2002) によると、M → ∞ とすると Var[ui M ]は 2(ω 2 + ξ 2 ) へ収束することが示されている。このことから、σu2 は、M → ∞ とすると 0 に近づいていくこと、すなわち価格の観測頻度を高めることで RV の推定
誤差が減少していくことがわかる。

UC モデルに含まれる複数のパラメータのうち、ξ, ω, λk ,wk が推定すべきパラメータである。ϕk , θk , σu2 , ση2k は、(28) 式と (29) 式のように ξ, ω, λk ,wk の関数として表わせる。UC モデルは状態空間モデルとして表現され、カルマン・フィルターを用いた擬似最尤法で推定可能である。詳しくは補論 B を参照。

MIDAS モデル
MIDAS(Mixed Data Sampling) モデルは Ghysels, Santa-Clara and Valkanov(2004,
2006) によって考案された。これは、ボラティリティの予測にどのような変数が有効か、どのような頻度で観測された変数が有効か（高頻度データが優れているのか）を比較検証するために考えられたモデルである。予測対象であるボラティリ
ティを h 期間の RV（もしくは対数 RV）の和 Vi,i+h = RVi+1 + RVi+2 + . . . + RVi+hとし19 、その推定式をVi,i+h = φ0 + φ1maxk∑bH (k, ξ1 , ξ2 )Xi−k+1 + ϵi

(30)

k=1

で与える。 φ0 , φ1 , ξ1 , ξ2 はパラメータであり、ϵt は撹乱項である。Xi−k は、説明力を比較する変数であり、Ghysels, Santa-Clara and Valkanov(2006) では日次リター
ンの 2 乗、同絶対値、日次 RV、日次 Realized Power （高頻度データによる日中
絶対リターンの和）、日中高値安値のレンジ幅、あるいはこれらの対数値を用いている。MIDAS モデルは、上記のような説明変数のタイプのみならず、どのような観測頻度で説明変数を計測した場合に予測力が向上するかを検証する目的にも使用できる。また、被説明変数と説明変数の観測頻度が異なる場合にも適用可能と
19

これは、結局 h 期間中の高頻度で観測した日中リターン全ての二乗和になる。こうしたモデル
設定の背景には、ボラティリティの変化が必ずしも日次単位でないとすれば、RV の計測にも様々なタイムホライズンがありうるという考えがあることが指摘できる。

12

いう特徴もある。この他、RV に様々なタイムホライズン h が想定されており、タイムホライズン別に説明変数の予測力を比較検証することも意図されている。このような多様な設定が可能な MIDAS モデルであるが、本稿の実証分析では、他のRV 時系列モデルと比較するため、被説明変数には日次 RV を、説明変数には日次
RV のラグ値を用いた。
ラグ係数に相当する bH (k; ξ1 , ξ2 ) については、f(bH (k; ξ1 , ξ2 ) = ∑kmax

k
kmax

j=1 f

(

, ξ1 , ξ2
j

kmax

)

, ξ1 , ξ2)として与えられており、データに最もよく当てはまるよう、ラグ構造を決める 3
つのパラメータが推定される。ここで、f (z, a, b) はベータ分布の密度関数であり、

f (z, a, b) = z a−1 (1 − z)b−1 /β(a, b) で与えられる。β(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b) であり、Γ(·) はガンマ関数とする。Ghysels, Santa-Clara and Valkanov(2006) では、

ξ1 = 1, ξ2 > 0, k max = 50 の制約が課されている。ξ1 = 1 は、説明変数とのラグが短いほど係数の値が高く、長いほど係数の値が低くなることを仮定したものであり、RV の自己相関がこうした傾向をもつことに基づいたものである。なお、ξ2 > 0はガンマ関数の引数として必要な仮定である。上記研究の推定結果によると、25
日から 30 日ほどでラグ係数 bH はほぼゼロとなっている。なお、MIDAS モデルは非線形最小 2 乗法、最尤法、一般化積率法により推定可能である20 。

2.3.2

GARCH+RV モデル

GARCH モデルのボラティリティの説明変数に RV を含めたものを GARCH+RV
モデルと呼ぶ。先行研究では GARCH(1,1)+RV モデルと GARCH(2,2)+RV モデルが検証されている。これら 2 つのモデルが選択された理由を示すため、ボラティ
リティ変動モデルのうち最も基本的な ARCH モデルの説明から始める。
まず、第 i 日の日次リターン ri が、第 i − 1 日における期待値 Ei−1 [ri ] と予期されない変動 ϵi に分けられるとする。 ARCH モデルでは、確率変数 ϵi を時期によって変動するボラティリティσi2 の平方根と標準正規分布に従う確率変数 zi の積で与え、このうち σi2 を ϵ2i のラグ値で説明する。p 次のラグを持つ ARCH(p) モデルは、

ri = Ei−1 [ri ] + ϵi ,20

推定方法の詳細は Ghysels, Santa-Clara and Valkanov(2004) を参照。実証分析（第４節）では、ξ1 = 1, ξ2 > 0, k max = 50 の制約の下でモデルを推定した。

13

ϵi = σi zi , (σi > 0),p∑σi2 = α0 +αip ϵ2i−ip , ip = 1, 2, . . . , p,

(31)

ip =1

と表わせる。α0 , αip はボラティリティの変動を表わす式のパラメータである。σi2の非負性を保証するため、パラメータには制約が課される。こうしたモデル化により、多くの資産価格のリターンで観測される、いったんボラティリティが上昇（安定）すると、高い（低い）状態が連続して起こりやすいという「ボラティリティ・
クラスタリング」と呼ばれる現象を表現している。

ARCH モデルのボラティリティの説明変数は ϵ2i のラグ値だけであったが、GARCH
モデルの説明変数にはさらに σi2 ラグ値が加わる。GARCH(p, q) モデルは、

ri = Ei−1 [ri ] + ϵi ,ϵi = σi zi , (σi > 0),σi2 = α0 +

p
∑
ip =1

αip ϵ2i−ip +q∑2
βiq σi−i, ip = 1, 2, . . . , p, iq = 1, 2, . . . , q (32)
q

iq =1

によって与えられる。ただし、α0 , αip , βiq はボラティリティの変動を表わす式のパラメータである。ボラティリティが非負の値をとるために、パラメータに非負制約が課される。
ラグ・オペレータ L を用いて GARCH(1,1) モデルのボラティリティの式を書き換えると、β1 < 1 であるならば、
2
σi2 = α0 + α1 ϵ2i−1 + β1 σi−1
α0=
+ (1 + β1 L + β12 L2 + . . .)α1 ϵ2i−1
1 − β1(33)となり、これは ARCH(∞) モデルに相当する。一般に ARCH モデルの推定においては次数 p は高次になりやすく、また次数決定にも何らかの判断基準が必要となるため、多くの実証分析において GARCH(1,1) モデルが用いられている。
この GARCH(1,1) モデルについて、Martens(2002)、Koopman, Jungbacker andHol(2005) は説明変数に RV を含めたモデル
ri = Ei−1 [ri ] + ϵi ,ϵi = σi zi , (σi > 0),2+ γRVi−1
σi2 = α0 + α1 ϵ2i−1 + β1 σi−1

を考えた。

14

(34)

これは、RV がボラティリティ推定において有益な情報を持つという考えに基づ
くものである。こうした GARCH(1,1)+RV モデルは、最尤法で推定される。
これに対し、Blair, Poon and Taylor (2001) は別のモデル

ri = Ei−1 [ri ] + ϵi ,ϵi = σi zi , (σi > 0)
α0 + α1 ϵ2i−1
γRVi−1+σi2 =1 − β1 L
1 − β2 L

(35)

を考えた。
両モデルを比較するため、(34) 式をラグオペレータを用いて表現すると、

σi2 =

α0
+ (1 + β1 L + β12 L2 + . . .)(α1 ϵ2i−1 + γRVi−1 )1 − β1(36)となり、{ϵ2i−l } と {RVi−l } のパラメータが同じ割合 β1 で減衰していくことを示している。一方 (35) 式は、

σi2 =

α0
+ (1 + β1 L + β12 L2 + . . .)α1 ϵ2i−1
1 − β1+ (1 + β2 L + β22 L2 + . . .)γRVi−1(37)であり、{ϵ2i−l } と {RVi−l } の係数の減衰が異なることを許す定式化となっていることがわかる。
このように (35) 式は (34) 式よりも表現力が高いが、(35) 式の両辺に (1−β1 L)(1−β2 L) を乗じて整理すると、以下のとおり、GARCH(2,2) モデルの右辺に RV が追加されたモデルとなっていることがわかる。

ri = Ei−1 [ri ] + ϵi ,ϵi = σi zi , (σi > 0),σi2 = α∗ + α1 ϵ2i−1 − β2 α1 ϵ2i−222+ γRVi−1 − γβ1 RVi−2− β1 β2 σi−2+(β1 + β2 )σi−1(38)

ただし α∗ = (1 − β2 ) α0 である。このため、GARCH+RV モデルでは GARCH(1,1)
か GARCH(2,2) が推定モデルとして選択されることが多い。いずれのモデルも最尤法で推定される。

15

2.4

ボラティリティの予測力

2.4.1

σi2 予測力の比較方法

前節でサーベイされたモデルを用いて、ボラティリティの予測力を比較する。まず各モデルのパラメータを推定し、次にパラメータの推定値を用いて σi2 の予測値

σ̂i2 を得る。最後に、σ̂i2 の σi2 に対する精度を比較することで、各モデルのボラティ
リティ予測力を測る。
ただし、σi2 は未知であるため、その代わりの変数に対する予測力の分析を行う。
かつては ri2 を σi2 の代理変数としたが（(Pagan and Schwert (1990)、West and Cho(1995)）、前述したように Andersen and Bollerslev(1998) が M → ∞ とするとき
RVi が σi2 へ確率収束することを示して以来、RVi を σi2 の代理変数として用いるようになった。Hansen and Lunde(2006) は、ボラティリティの代理変数として様々な候補を採り上げ、ARCH モデルや ARCH モデルから派生したモデル群のボラ
ティリティ予測力を比較した。その結果、RV を σi2 の代理変数とした場合、モデ
ルごとの予測パフォーマンスのばらつきが最も小さくなったことから、RV を σi2として用いるほうがモデルリスクに対してより頑健であると評価している。なお、

RV を σi2 の代理変数とする妥当性に関連した他の先行研究としては Andersen and
Bollerslev(1998)、Andersen, Bollerslev and Lange(1999)、Koopman, Jungbacker
and Hol(2005)、Martens(2002) が挙げられる。本稿でも、真のボラティリティの代理変数として RV を用いることとする。
将来の RV に対する予測力をモデル間で比較するには、予測誤差と Mincer-Zarnowitz
回帰が用いられている。予測誤差は、MSE(Mean Squared Error、平均平方誤差)、

HMSE(Heteroskedastic MSE、不均一分散平均平方誤差)、MAE(Mean Absolute
Error、平均絶対値誤差)、HMAE(Heteroskedastic MAE、不均一分散平均絶対値誤差) で測られ、これらは以下のように与えられる。
T (
)2
1∑
RVi − σ̂i2
M SE ≡
T i=1

(

T
1∑
σ̂ 2
HM SE ≡
1− i
T i=1
RVi

M AE ≡

)2

T ¯
¯
1∑
¯
¯
¯RVi − σ̂i2 ¯
T i=1

¯

¯

T ¯
1∑
σ̂i2 ¯¯¯HM AE ≡
¯1 −¯
T i=1 ¯
RVi ¯16MSE と MAE には RV が高い日の予測誤差の影響が大きく現れやすい一方、HMSEと HMAE ではこうした影響が弱められる。バリューアットリスクの推定などリス
ク計測に応用する場合には、ボラティリティの低い時期よりも高い時期について精度の高い予測が必要とされるため、MSE あるいは MAE が適している。なお、lnRVのモデルで推定されるのはボラティリティの対数値の期待値であるため、モデルの2

撹乱項の分散を σ 2 と表わすと、正規性の仮定のもとで E[σ̂i2 ] = exp(E[ln σ̂i2 ] + σ2 )が成立することから、E[ln σ̂i2 ] を E[σ̂i2 ] へ変換したうえで予測値や予測誤差を求める。

Mincer-Zarnowitz 回帰では、RV を定数項および各モデルで推定された σ̂i2 へ回帰する。

RVi = βmz,0 + βmz,1 σ̂i2 + ϵmz,i(39)

ただし、βmz,0 , βmz,1 はパラメータ、ϵmz,i は撹乱項である。(39) 式の回帰を各モデル毎に行い、その決定係数によって各モデルのボラティリティの予測力を比較することができる。

Mincer-Zarnowitz 回帰の推定値を用いると、各モデルで推定されたボラティリ
ティにバイアスが含まれないことを検定することができる。バイアスがないときには E[σ̂i2 ] が RV に等しくなること、(39) 式の両辺の期待値をとると E[RVi ] =βmz,0 + βmz,1 E[σ̂i2 ] であることから、推定されたボラティリティにバイアスが含まれないための条件は βmz,0 = 0 かつ βmz,1 = 1 であることがわかる。そこで、これを帰無仮説とした F 検定を行えばよい。

2.4.2

RV を用いたボラティリティ変動モデルの予測力比較

Koopman, Jungbacker and Hol(2005) は S&P500 のデータを用いて、ARFIMA
モデル、UC モデル、GARCH+RV モデルによる一日先のボラティリティ予測力
が、GARCH モデルよりも高いことを示した21 、22 。
21

この他に SV モデルとの比較も行われている。SV モデルおよび SV+RV モデルは、予測誤差、
Mincer-Zarnowitz 回帰の決定係数のどちらで比較しても、UC モデルや ARFIMA モデルよりも予測力が劣っていた。
22
GARCH モデルよりさらに複雑な ARCH 型モデルとの比較も行われている。Giot and Laurent(2004) は Ding, Granger and Engle(1993) の APARCH モデルと RV の ARFIMA モデルを比較した。APARCH モデルは ARCH 型モデルの Box-Cox 変換を行ったものであり、ARCH モデルや
GARCH モデルをはじめとして 7 種類の ARCH 型モデルを内包している。Giot and Laurent(2004)
は、バリュー・アット・リスクのバックテストの精度で比較したところ、両モデルの精度はほぼ同等であり、RV を用いなくとも ARCH 型モデルを発展させることでボラティリティの分布の裾の精度を高められることを示している。なお、GARCH モデルや APARCH モデルはいずれも長期記

17

もっとも、モデル間の予測力順位では、比較方法によって異なる結果が得られている。予測誤差を用いると ARFIMA モデルと UC モデル (K = 2) の予測力が高
く、Mincer-Zarnowitz 回帰の決定係数を用いると GARCH+RV モデルの予測力が最も高くなった。このように結果が異なる理由としては、Mincer-Zarnowitz 回帰
では回帰式中の定数項によって σ̂i2 の推定バイアスが調整されるため、予測値と実現値の間に平均的にみて水準のズレがあったとしても、両者の変動が似通っていると高い決定係数が得られることが指摘されている。したがって、RV モデルで推定されたボラティリティは、GARCH+RV モデルに比べて推定バイアスは小さい
ものの、その変動をうまく捉えていないという可能性も考えられる。
この他、Martens(2002) は GARCH(1,1)+RV モデルを、Blair, Poon and Taylor(2001) は GARCH(2,2)+RV モデルを GARCH モデルと比較し、RV を追加したモデルのボラティリティ予測力が高いことを示している。これらの推定結果では、RV2の係数 γ が有意であると同時に σi−1の係数 β1 も有意となっている。これは、(36)、(37) 式が示すように、{RVi−l } のラグ値がモデルに含まれていることを示しており、RV の長期記憶性と整合的な結果になっている。

2.4.3

ボラティリティ予測に有用な RV 以外の変数

RV のラグ値以外にも σi2 の予測に有用な変数は存在する。両者の比較を行った
実証研究を紹介する。
代表的なものとして、インプライド・ボラティリティと RV の比較がある。Blair,

Poon and Taylor(2001) は GARCH+RV モデルのボラティリテイ推定式の説明変数に VIX（権利行使価格が異なるオプションのインプライド・ボラティリティを合成した指数）を追加したモデルで σi2 の予測力の比較を行い、VIX に含まれる情報の他に

RV に含まれる追加的な情報はほとんどないことを示した。Martens and Zein(2004)
は、RV を被説明変数とした場合、ARFIMAX モデルや GARCH モデルによるボラ
ティリティ予測値と VIX の説明力を比較した。その結果、GARCH モデルの予測値が VIX に比べて低い説明力しかなかったのに対し、ARFIMAX モデルの予測値
は VIX に劣らない説明力を有していることがわかった。Ghysels, Santa-Clara and

憶性を持たないため、長期記憶性を持つ RV をボラティリティの代理変数とした予測力比較では、
RV 時系列モデルに比べて不利になりかねない。こうした問題への対応としては、ARCH 型モデル
で長期記憶性を含む FIEGARCH モデル（Bollerslev and Mikkelson(1996)）を用いた比較が考え
られよう。

18

Valkanov(2006) では、
RPi ≡

M
∑

|rj,i |

(40)

j=1で定義される RP(Realized Power) が、σi2 の予測に RV のラグ値よりも適切である
可能性が示されている。すなわち、MIDAS モデルの被説明変数を RV とし、説明変数として RV や RP、日次リターンの 2 乗、インプライド・ボラティリティのラグ値を用いた結果、RP を用いたときに最も予測誤差が小さくなることが示されて
いる。

2.5

多変量 Realized Volatility への拡張

前節までは単変量の RV を紹介したが、多変量に拡張した RV モデルも考案されている。多変量 RV では RC(Realized Correlation) という概念を考慮する必要がある。
まず、N 個の金融資産について、第 i 日の観測頻度 M で測られたリターン rj,iから成る N × 1 ベクトル rj,i を考える。このとき、多変量 RV は

RVi ≡

M
∑

rj,i r′j,i

(41)

j=1

として計算される N × N 行列で定義される。この行列の対角要素は各資産の単変
量 RV であり、非対角要素は Realized Covariance と呼ばれる。RVi の第 n 対角要22
22
素を vi,n(n = 1, 2, . . . , N ) と表わすとき、Vi = diag(vi,1, vi,2, . . . , vi,N
) とすると、

RC(Realized Correlation) は−1/2

RCi = Vi

−1/2

RVi Vi(42)

として得られる。
多変量 RV は、GARCH+RV のような潜在変数モデルとの組み合わせでなく、RV を直接、多変量時系列モデル化する方向に発展している。例えば、Andersen
et al.(2003) は長期記憶性を取り入れたベクトル自己回帰モデル VAR-RV モデル
を用いて実証分析を行っている。Barndorﬀ-Nielsen and Shephard (2004a) は、2.1節で紹介した単変量 RV の特性検証のように、Realized Covariance が真の累積コ

19

バリアンス（累積ボラティリティ）に確率収束すること23 や、RC が漸近的に正規分布に従うことを示した。また、第 i 日の高頻度リターン 2 変数を使うと第 i 日の回帰係数を求めることができるが、このように各 i 日毎に日々変化する回帰係数
は Realized Covariance を使って表わされること、さらにその漸近分布を Realized

Covariance で表現できることを示した24 。そのうえで、日次で変動する真のパラメータに基づいて発生させた高頻度シミュレーションデータから、多変量 RV や

RC、回帰係数を日次で計算し、漸近理論に基づいて求めた特性が得られること、
すなわち真のパラメータと多変量 RV 等との乖離が正規分布に従い、その分散も一定の信頼区間内に収まっていることを示した。

Thomakos and Wang(2003) は、CME、CBOT で取引されているユーロ、マルク、S&P500 、T-bond の先物取引価格について 4 変量 RV の実証分析を行っており、推定された RC 各々の系列について、自己相関が長期にわたって存在し、個別に推定した FI 項の係数 d も長期記憶性の存在を示唆することを示している。また、
ボラティリティ変動の非対称性と同様、RC の変動にも非対称性が存在すること、いずれの RC の分布も歪んでおり正規分布と異なっていることを検証している。

対数価格 p∗ (t) ベクトルについて、ある一般的なセミ・マルチンゲール過程（瞬間 co-volatility
行列と多変量ブラウン運動で表わされた多変量 SV でマルチンゲール部分が与えられたもの）を考え、そのもとで多変量 RV が累積コバリアンス行列に確率収束することを示している。なお、瞬間
co-volatility の 2 乗が瞬間コバリアンスであり、これを第 i 日の区間で積分したものが累積コバリ
アンスとなる。
24
高頻度リターン 2 変数間の単回帰から回帰係数を求める推計法を Realized Regression と呼んでいる。一般的に、第 i 日の第 j 番目に観測される 2 個の金融資産の日中リターンを yi,j と xi,j で表わす。ここで、
23yj,i = βi xj,i + uj,iという単回帰モデルを考える。βi はパラメータ、uj,i は平均 0、分散一定、自己共分散 0 とする。
∑∑
βi の最小 2 乗推定量は β̂i ≡ j=1 xj,i yj,i / j=1 x2j,i と表わされることがわかる。これは、xj,i とyj,i の RV である、

RVi =

M (
∑
j=1

x2j,i
xj,i yj,ixj,i yj,i
2
yj,i

)

で表されることがわかる。なお、個別資産の高頻度リターンとマーケットポートフォリオの高頻度
リターンの回帰係数を求めると、ボラティリティが日次可変な場合の CAPM のベータが得られる。
このように、Realized Regression については様々な用途が考えられる。

20

2.6

ジャンプ拡散過程への RV の応用

資産収益率の変動分析では、p∗ の確率過程にジャンプ項が含まれたジャンプ拡散過程

dp∗ (t) = µ(t)dt + σ(t)dW (t) + κ(t)dq(t),

0≤t≤T

(43)

を用いた分析もしばしば行われている。ここで、ジャンプが生じるときには dq(t) =1、ジャンプが生じないときには dq(t) = 0 であり、κ(t) はジャンプの大きさを表わしている。GARCH モデルや SV モデル25 をジャンプ拡散過程のもとで考案した先行研究に対し、Andersen, Bollerslev and Diebold(2005) や Barndorﬀ-Nielsen andShephard(2004b) は、同過程のもとでの RV モデルを提案し、ジャンプの検証法や発生頻度の推定法を示した。以下ではその方法を紹介する。

(43) 式のもと、p∗ の 2 次変分は26∑[p∗ ](t) = σ 2∗ (t) +κ2 (u)

0<u≤tとなり、したがって、
M
∑

∑

p

2
rj,i
→ σi2 +j=1

κ2 (u)(44)i−1<u≤iとなる。すなわち、ジャンプ拡散過程のもとでは、日中リターンの 2 乗和を計算す∑

ると、σi2 に加え、

22
i−1<u≤i κ (u) が含まれてしまう。そのため、RV が σi の一致推

定量とならない。こうした問題に対処し、σi2 だけを正しく推定するために Bipower

Variation（以下 BV）
」t/δ
」−1
∑
{p∗ }[r,s] (t) = plim δ 1−(r+s)/2|p∗ (jδ) − p∗ ((j − 1)δ)|r |p∗ ((j + 1)δ) − p∗ (jδ)|s , r, s ≥ 0
δ↓0

j=1

(45)
が用いられる。p∗ (jδ) は δ 間隔で観測される対数価格であり、」t/δ 」は t/δ 未満の最大の整数を表わす。

BV は、µ、σ と W が独立であるとき、max(r, s) < 2 の条件を満たすならば、∗ [r,s]
−1
(t) =
µ−1
r µs {p }∫ t25

σ r+s (u)du,

(46)

0

ジャンプ拡散過程のもとで SV モデルを考えたものには、Berg, Meyer and Yu(2004) や Chib,
Nardari and Shephard(2002)、Eraker(2004) がある。これらのモデルでは、通常の SV モデル以上にコンピュータ・インテンシブな推定方法が必要となっているが、RV を用いると簡単かつ計算負荷が少なくモデル推定できる。
26 2∗
σ (t) は (7) 式で定義された累積ボラティリティを表わす。

21

という関係を満たすことが示されている。ただし、µr ≡ 2r/2

Γ( 21 (r+1))
Γ( 21 )

である27 。ここで、r = s = 1 とすると、

µ−2
1

M
−1
∑

p

|rj,i | |rj+1,i | → σi2

(47)

j=1

のように、σi2 に確率収束する統計量が定義できる。以下ではこれを BVi と表わす。
これらの結果から、日中リターンの 2 乗和から BVi を引いたものについて、
M
∑

2
rj,i
− µ−2
1

j=1

M
−1
∑

p

|rj,i | |rj+1,i | →j=1∑

κ2 (u)(48)

i−1<u≤iであることが導かれることが示されている。

Andersen, Bollerslev and Diebold(2005) の実証分析では、(48) 式から、二次変分のうちジャンプに起因する部分をJi ≡ RVi − BVi(49)

で与えている。ただし、同項の非負性から Ji = max[RVi − BVi , 0] と非負制約を課している。Andersen, Bollerslev and Diebold(2005) は、Ji を HAR モデルの説明
変数に含めた HAR-RV-J モデルを、

ln RVi,t+h = β0 + βD ln RVi + βW ln RVi−5,i + βM ln RVi−22,i + βJ ln(1 + Ji ) + ϵi(50)と定式化した。β0 , βD , βW , βM , βJ はパラメータ、ϵi は撹乱項である。h = 1, 5, 22（それぞれ日次、週次、月次を表わす）の 3 通りの推定を行っており、ジャンプ項の係数 βJ の推定値はいずれのケースでも負値で有意であった28 。
ジャンプの存在の検証は、(50) 式の推定に基づくジャンプ項の有意性検証以外にも、BV を用いた統計量で検定可能なことを Barndorﬀ-Nielsen and Shephard(2004b,

2006) が示している。ジャンプが生じないという仮定のもとでは、Zi ≡ln RVi − ln BVi
−2
−4
1/2
[(µ1 + 2µ−2
1 − 5)TQi BVi /M ](51)とすると、Zi が漸近的に標準正規分布に従うことがわかっている。統計量 Zi の中の TQi は Realized Tri-power Quarticity の略称であり、TQi = M µ−3
4/3

M
∑

|rj,i |4/3 |rj−1,i |4/3 |rj−2,i |4/3

(52)

j=3
27

詳細は Barndorﬀ-Nielsen
and Shephard(2004b) を参照。
√
lnRV の他、RV、 RV についても推定を試みており、lnRV のモデルの決定係数が最も高いという結果を得ている。
28

22

によって得られる29 。ここで、µ4/3 = 22/3 Γ(7/6)Γ(1/2)−1 である。Zi を用いると、有意水準 1 − α のもとで、RVi − BVi = 0 を帰無仮説、RVi − BVi > 0 を対立仮説とした検定を行うことができる。このために、Ji,α をJi,α ≡ I[Zi > Φ−1 (α)] · [RVi − BVi ](53)と定義する。

Ji,α は、帰無仮説が棄却されれば Ji となり、棄却されなければ 0 となる変数である。ただし I[·] は指示関数であり、[·] の条件を満たすときに 1、そうではないときに 0 を返す。また、Φ−1 (α) は標準正規分布の分布関数の値が α となる分位点を返す。有意水準である α の値を大きくすると、Ji,α は小さくなり、ジャンプが有意に発生していると判断される日が少なくなる。Andersen, Bollerslev and Diebold(2005)の実証分析では、α = 0.95, 0.99, 0.999, 0.9999 と複数の有意水準のもとで、ジャンプが有意に生じたと判断された日の割合を求めている30 。また、いずれの有意水準についても、Ji,α に正の自己相関が存在すること、および Ji,α からゼロを除いた系列にも自己相関が存在すること、すなわち、サイズの大きい（小さい）ジャンプにはサイズの大きい （小さい）ジャンプが続くことを指摘し、ボラティリティの推定においてもジャンプの可能性を考慮に入れたモデルへ拡張する必要性を示唆している。また、Andersen, Bollerslev and Diebold(2005) は

Ci,α ≡ I[Zi ≤ Φ−1 (α)]RVi + I[Zi > Φ−1 (α)]BVi(54)という変数を考案している。この変数は、ジャンプが生じたときにはジャンプを含まない BV を返し、ジャンプが生じないときには RV を返すため、ジャンプ拡散
過程からジャンプ項に起因する部分を取り除いたボラティリティを測るものである。Ci,α と Ji,α を前出の HAR-RV モデルに応用した HAR-RV-CJ モデルは

ln RVi,i+h = β0 + βCD ln Ci,α + βCW ln Ci−5,i,α + βCM ln Ci−22,i,α+ βJD ln(Ji,α + 1) + βJW ln(Ji−5,i,α + 1)
+ βJM ln(Ji−22,i,α + 1) + ϵi
29

(55)

これは、Barndorﬀ-Nielsen and Shephard (2004b, 2006) が考案した TQi を Andersen, Bollerslev and Diebold(2005) が更に改善したものであり、価格系列にジャンプが含まれる場合において、∫iσ 4 (u)du に対して一致性を持つという優れた特性を持つ。したがって、本稿でも Andersen,
i−1
Bollerslev and Diebold(2005) が示した TQi を用いた
30
α = 0.5 とすると、Zi が (51) 式で与えられることから、Ji,α は前述の Ji = max[RVi − BVi , 0]と漸近的に一致する。従って、α = 0.5 としたときの結果を参照することで、ジャンプの検定を行
わずに Ji を求めた場合と、検定を行ったうえで Ji,α を求めた場合の比較が可能となる。本稿の実証分析でも、先行研究と同様に α = 0.5 とした場合の結果を示している。

23

で与えられる。ただし β0 , βCD , βCW , βCM , βJD , βJW , βJM はパラメータであり、ϵi は撹乱項である。被説明変数と同様、Ci,α についても過去の h 期間で測った Ci−h,i,α =1(Ci−h+1,α +Ci−h+2,α +. . .+Ci,α ) を説明変数に用いる。α = 0.999 とした Andersen,hBollerslev and Diebold(2005) では、Ji,α の係数には有意ではないものが多いことから、RV の予測には過去の RV そのものではなく、ジャンプの影響を取り除いた
ボラティリティである Cα が重要であることが示されている。

3

実証分析上のデータの問題
RV は観測頻度 M → ∞ のもとで σi2 へ確率収束することから、時間間隔を可能な限り短くして取得される日中リターンから計算されることが望ましい。しかし、実際には以下 3 点の問題が存在するため、ある程度の時間間隔をおいて取得された日中リターンが分析に用いられる。(1) リターンには市場制度に起因する様々なノイズ（以下ではマーケット・マイクロストラクチャーによるノイズと呼ぶ）が含まれる。(2) 高頻度で計測された日中リターンには自己相関が存在する。(3) 取
引が夜間や昼休みに中断するような場合、リターン計測間隔が伸びる。以下ではこれらの問題を考慮した先行研究を紹介する。
第 1 点目について、Aı̈t-Sahalia, Mykland and Zhang (2005) は次のように説明している。観測される対数価格 p∗ を、マーケット・マイクロストラクチャーによるノイズ u∗ と、仮にノイズが存在しない状況で実現したであろう効率的価格 p̃∗ の和として捉える。一般に、RV の計測間隔を短くすると、p̃∗ のボラティリティに関する情報は減少する（仮に p∗ がブラウン運動に従うなら時間比例的に減少する）のに比べ、ノイズ u∗ は減少しにくく、RV のノイズ・シグナル比率が劣化すると考えられる。一方、継続間隔を長くし過ぎると、高頻度データの情報量を十分に活用できなくなる。したがって、最適な計測間隔が資産市場ごとに存在するはずである。こうした最適な計測間隔を推定する方法が近年、考案されつつある。

Aı̈t-Sahalia, Mykland and Zhang(2005) は、ノイズ u∗ が正規分布に従うと仮定
したもとで、ノイズを含むリターン p∗ の尤度関数を考えることで最適な時間間隔を推定する方法を示した。Bandi and Russell(2005) は、RV の σi2 に対する平均平方誤差を計測間隔の関数として定式化し、この平均平方誤差を最小化させることで最適な計測間隔を推定する方法を提案した。
第 2 点目は日中リターンに自己相関が存在する問題である。市場全体に影響を及ぼすニュースがもたらされたとき、すぐに価格に反映される銘柄もあれば、価24

格に反映されるまでに数分かかる銘柄も存在するため、ニュースが株価指数のリターンに自己相関を生じさせることが指摘されている。この問題への対処法として Oomen(2001) は以下の方法を考えた。日中リターン rj,i に自己相関が存在する
とき、日次リターンの 2 乗和は、


ri2 = M∑

2

rj,i  =

j=1

M
∑

2
rj,i
+2

j=1

M
−1
∑

M
∑

rk,i rj,i(56)

j=1 k=j+1と表わされる。自己相関が比較的速く減衰していく場合、リターンが計算される∑M

時間間隔を長くすることで (56) 式の右辺第 2 項がゼロとなり、E[22
j=1 rj,i ] = E[ri ]が満たされる。これを基準に、Oomen(2001) は FTSE100 指数の場合、25 分間隔で測った RV が望ましいとした。しかし、仮に日経平均株価指数や TOPIX について 25 分刻みにリターンを取得すると、1 営業日あたり取得される日中リターンは14 個しか存在しなくなる。また、上述したように、高頻度データの情報を相当量、捨てていることにもなる。したがって、自己相関への対応と情報量確保のバランスを上手く取ることが求められる。
そこで、株価指数および株価指数先物を用いた代表的な先行研究について、日中リターンの観測頻度、自己相関の除去の有無を表 1 にまとめて比較した。上記(1)、(2) の問題に対して、多くの論文では 5 分間隔でリターンを計測するという選択が採られている。本稿の実証分析でも、先行研究との比較可能性を考慮して 5 分間隔を採用することとした。
第 3 点目は、夜間や昼休みの取引中断の問題である。夜間に取引が中断する市場では、r1,i = p(i−1+1/M )−p(i−1) は第 i 日の最初の観測価格 p(i−1+1/M ) と第 i−1
日の終値 p(i − 1) から計算されるリターンであるため、日中の rj,i , j = 2, 3, . . . , Mに比べ計測間隔が長い。(6) 式や (43) 式のような連続時間の価格過程を前提とした
とき、こうした計測間隔の長いリターンは、短い時間間隔で観測されるリターンと比べて、dW (t) の累積影響が大きいため、日中リターンと同じウェイトで RV 算
出に用いるのは適切ではないと考えられる。
2と、夜間リターンを含まHansen and Lunde(2005) は、夜間リターンの 2 乗 r1,iの加重和として RV を計算する方法をずに日中リターンのみから計算した RVintrai
考案した。この方法によって計算される RV は、
intra
2
RVHL
, λ ≡ (λ1 , λ2 )′i (λ) = λ1 r1,i + λ2 RVi(57)

2と表わされ、パラメータ λ∗1 , λ∗2 は、RVHLi (λ) の σi に対する平均平方誤差を最小に25するものとして求められる。これらのパラメータは、µσ2µσ2, λ∗2 = φ
µr 2
µRV
2
2
µ η 2 − µr2 µRV ηr2 ,RV
φ = 2 2 RV r2 2
µRV ηr2 + µr2 ηRV − 2µr2 µRV ηr2 ,RV
λ∗1 = (1 − φ)(58)

によって与えられる。ここで、
2], µRV ≡ E[RVintra]µσ2 ≡ E[σi2 ], µr2 ≡ E[r1,i
i

(

)

(

)

(

2
2
2
≡ var RVintra, RVintraηr22 ≡ var ri,1
, ηRV
, ηr2 ,RV ≡ cov ri,1
i
i

)

(59)

である。このようにして求められた λ∗1 , λ∗2 は、RV の σi2 に対する不偏性を満たしている。
これらの期待値、分散共分散は観測データから得られるが、µσ2 は何らかの推定法が必要となる。Hansen and Lunde(2005) では 30 分間隔で観測される日中リ(30m.)

ターン rj,i∑µσ2 ≡ n1 ni=1

intra,(30m.)から計算した RV である RVi(

intra,(30m.)
r1,i + RVi)と夜間リターン r1,i を用い、として求めている31 。また、RVintraを求める際
iには、日中リターン 2 乗の系列相関を考慮し、Newey-West 法を用いている。

実証分析

4

本節では、これまでサーベイしてきた各種の RV モデルを、本邦市場データに適用した実証分析結果を示す。以下では、各モデルの推定結果、標本期間内における 1 期先 σi2 の予測力比較、多変量 RV の推定、ジャンプ拡散過程のもとでの RV
推定を順に紹介していく。

4.1

データ

本稿では日経平均株価指数、日経平均先物価格、東証株価指数（TOPIX）を分析対象とした。取引は前場と後場に分かれ、前場が 9 時から 11 時まで、後場が 12時半から 15 時（日経平均先物は 15 時 10 分）までである32 。分析期間は 2000 年 1
31 2
σi の期待値 µ2σ の推定値には、σi2 に対して不偏性を満たすものを使えばよいが、高頻度リター
ンには自己相関が存在するため、期待値の推定にはむしろ望ましくない。そこで、µ2σ を推定する(30m.)
目的のみのために、比較的低頻度のリターン rj,iが用いられている。
32

データセットには、11 時から 12 時半まで、および 15 時（日経平均先物は 15 時 10 分） 以降のデータが散見されたが、これらはすべて対象から除外した。

26

月 5 日から 2003 年 12 月 29 日までであるが、大発会と大納会には後場の取引が行われないため、これらの日は推定対象から除外した。また、対象期間初日の 2000
年 1 月 5 日のデータは 15 時（日経平均先物の場合、15 時 10 分）の価格のみを使用し、2000 年 1 月 6 日以降について RV および日次リターンを計算した。日次リ
ターンには、各営業日の 15 時 （同 15 時 10 分）時点の価格を用いた。
日経平均先物は、大阪証券取引所で取引されており、3 月、6 月、9 月および 12
月の第 2 金曜日の前営業日が各限月の最終取引日である。最も取引量が多い中心
限月の交代は当月初前後となる場合が多い。そこで、価格系列は、各限月に入る
前までは期近限月の価格を、限月には次に限月が近い取引の価格を用いた。

TOPIX は東京証券取引所 1 部上場全銘柄を対象とした時価総額による加重平均であるのに対して、日経平均株価指数は 1 部上場銘柄のうちの 225 銘柄による単純平均である。これらの 2 系列の価格変動は類似しているが、高頻度データによる RV では異なった変動特性を有している可能性があること、また、2000 年 4 月

24 日に日経平均株価指数の構成銘柄が大幅に入れ替えられたことの影響も考えられるため、両系列を分析対象として比較を行う。

RV の計算においては、5 分間隔で観測される対数価格差を用いた。このとき、
M = 54（日経平均株価指数、TOPIX）、M = 56（日経平均先物）、T = 977 である。本稿で使用したデータセットでは、日経平均株価指数および TOPIX の場合、最短で 1 分間隔、日経平均先物では更に短い時間間隔で観測される価格が利用可
能であるが、第 3 節で述べたように、過度に高頻度なデータを用いることには問題がある。本稿では、欧米市場と対象とした先行研究との比較が可能になるよう、多くの実証研究と同様に 5 分間隔で観測されるリターンを用いた。
図 1 は RV および lnRV のグラフである。標本期間内に数回にわたり、非常に高い値の RV が観測されるが、これは以下のような事情によるものと考えられる。

• 2000 年 4 月 17 日：前週末のアメリカ株式相場の影響を受け、東証 1 部上場銘柄のうち 1236 銘柄が下落し、日経平均株価は過去 5 番目の下げ幅を記録したため、ボラティリティが大きく上昇した（日本経済新聞 2000 年 4 月 18
日朝刊）。

• 2000 年 4 月 21 日、24 日：日経平均株価指数に採用されている銘柄のうち 30
銘柄の入れ替えに伴い、入れ替え対象銘柄を中心に売買が活発になった。新
しい銘柄による指数の算出は 4 月 24 日（月曜日）から開始されたため、前週の 4 月 21 日（金曜日）にも大幅なボラティリティの上昇が観察されている。

27

• 2001 年 9 月 12 日：9 月 11 日に発生したアメリカ同時多発テロの影響によりボラティリティが大きく上昇した。
本稿では、これらも全て分析対象とした。
次に、lnRV と RV で基準化されたリターンの分布を正規分布と比較する。RV の分布は正規分布とは全く異なっており、本稿の分析は lnRV と RV で基準化されたリターンについて行っている。図 2 は lnRV、および RV により基準化された日次
リターンの推定された密度関数を、正規分布の密度関数とともに示している。図

3 は図 2 と同じ変数の QQ プロットである33 。密度関数は、正規分布と概ね一致しているが、QQ プロットをみると、分布の両裾において正規分布との乖離が確認さ
れる。

4.2

各モデルの推定結果

まず、第 2 節においてサーベイされた各モデルの推定を試みる。分析対象とするモデルは、RV 時系列モデルとして ARFIMA モデル (13) 式、ARFIMAX モデ
ル (16) 式、HAR モデル (17) 式、UC モデル (18) 式、MIDAS モデル (30) 式を、

GARCH+RV モデルとして GARCH(1,1)+RV モデル (34) 式、GARCH(2,2)+RV
モデル (38) 式を取り上げた。なお、MIDAS の推定では 50 日の初期値が必要とされる。ここでは全てのモデルで、i = 1, 2, . . . , 50 の観測値を推定に必要なラグ項の初期値に用い、i = 51, 52, . . . , T について推定を行っている。
表 2〜表 4 には、ARFIMA モデル、ARFIMAX モデル、HAR モデル、UC モデ
ル、GARCH(1,1)+RV モデル、GARCH(2,2)+RV モデルの推定結果を、それぞれ
日経平均株価指数、日経平均先物および TOPIX の順にまとめた34 。MIDAS モデ
ルの推定結果は、ラグ係数の推定値を 図 4 に示した。以下、各モデルの推定結果を順に述べる。まず、ARFIMA モデルでは、いずれのデータセットにおいても d33

図 2、3 および本稿の全ての図はプログラミングソフトの Ox を用いて作成された。図 2 は、
実データのヒストグラムを Ox の平滑化サブルーティンを用いて滑らかな分布関数として示したものである。
34
表には各モデルの推定値と推定値の標準誤差、対数尤度（HAR モデルについては決定係数）がまとめられている。GARCH(2,2)+RV モデルにおいて β2 = β1 とすると GARCH(1,1)+RV モ
デルが導かれるため、この制約を帰無仮説とした尤度比検定に対数尤度を用いることができる。また、ARFIMAX(0, d, 1) モデルにおいて µ1 = 0, µ2 = 0 と制約を課すと ARFIMA(0, d, 1) モデルが導かれるため、両モデルの対数尤度を用いて尤度比検定を行うことができる。なお、この他のモデルの組み合わせでは、尤度を比較することはできない。

28

が有意にゼロと異なり、lnRV が長期記憶性を持つことがわかった35 。定常性を検定するために、d = 0.5 を帰無仮説、d < 0.5 を対立仮説として仮説検定を行うと、TOPIX を用いた場合のみ帰無仮説が棄却された。したがって、TOPIX の lnRV は
長期記憶定常過程であり、他のデータセットの lnRV は長期記憶非定常過程であると判断される。なお、ARFIMA(0, d, 1) モデルと ARFIMA(1, d, 0) モデルを SIC により比較した結果、全てのデータセットにおいて ARFIMA(0, d, 1) モデルが選択された。
次に、ボラティリティ変動の非対称性を考慮して、ARFIMAX(0, d, 1) モデルを推定した。ボラティリティ変動の非対称性を表わすパラメータ条件は 2µ1 + µ2 < 0
であり、日経平均株価指数、日経平均先物、TOPIX の 2µ1 + µ2 の推定値（およびデルタ法による標準誤差）は、順に、−6.373 (1.761)、−4.100 (2.101)、−5.589(2.429) であった。2µ1 + µ2 = 0 を帰無仮説、2µ1 + µ2 < 0 を対立仮説として仮説検定を行うと、いずれのデータセットにおいても帰無仮説は棄却された。これより、

lnRV にはボラティリティ変動の非対称性が存在すると考えられる。ARFIMAX モ
デルで d について検定を行うと、全ての系列が長期記憶非定常過程であるという結果が得られた36 。そこで、こうした長期記憶性の発生要因を考察するため、HAR
モデルの推定を試みた。同モデルは、RV を複数の周期が異なる短期記憶過程の合成過程として捉え、これが RV の自己相関が長期にわたってゼロになりにくい性質をもたらしていると考えたものである。推定では、すべての係数が有意になっており、日次ボラティリティは過去の日次ボラティリティだけではなく、過去 1 週間
や過去 1ヵ月間の平均値でみたボラティリティにも依存していることがわかった。
この結果は、lnRV が長期記憶性を持ち得る理由のひとつとして、不均一市場仮説が成立している可能性を示唆している。
同様の発想で複数の OU 過程の合成過程として RV の変動を捉えようとした UC
モデルは、直接観察不能な OU 過程をそれぞれ ARMA(1,1) モデルで表現するものであった。すべてのデータセットについて、SIC 規準により K = 2、すなわち 2
つの OU 過程の合成モデルが選択された。推定の結果、すべてのデータセットにおいて、AR パートのパラメータ ϕ1 の推定値が 0.9 を超える値をとっている一方、

ϕ2 の推定値はほぼゼロであった。また、MA パートの係数 θ1 , θ2 はともに有意な

35

有意水準を 5% とした。以下でパラメータの有意性について言及するときはすべて、有意水準
を 5% としている。
36
ARFIMAX モデルにおいても、0 < d < 0.5 の場合に長期記憶定常過程となる。

29

値となった37 。このように、RV は異なるパラメータを持つ ARMA 過程が合成されたものと解釈することも可能であることがわかった。
図 4 には MIDAS モデルの bH (k; ξ1 , ξ2 ), k = 1, . . . , 50 の推定値が示されている。

MIDAS モデルは長期記憶性を表わすモデルではないが、ある程度の長い期間にわたるラグ値を説明変数に含めているため、RV の変動を表わすのに適しているとされる。図によると、全ての系列において、係数がゼロとなるのに約 15 日ほどを要しており、日次の lnRV が過去の長いラグに影響されていることがわかる。
次に GARCH+RV モデルの推定結果を示す。SIC 基準によるモデル選択の結果、(34) 式の ri = Ei−1 [ri ] + ϵi は、日経平均株価指数と日経平均先物では ri = µr + ϵi 、TOPIX では ri = µr + βr ri−1 + ϵi とした38 。GARCH(2,2)+RV モデルにおいても同様である。RVi−1 の係数 γ の推定値は、0.187（日経平均株価）、0.124（日経平均先物）、0.321（TOPIX）であり、β1 は 0.822（日経平均株価）、0.807（日経平2均先物）、0.787（TOPIX）である。これらの係数は全て有意であるため、σi−1のみならず RVi−1 が σi2 の予測に役立つことがわかる。また、表には記載していない
が、RVi−1 を含めない GARCH(1,1) モデル39 の β1 の推定値はそれぞれ 0.906（日経平均株価）、0.882（日経平均先物）、0.880（TOPIX）であり、全ての系列において、GARCH モデルに RVi−1 を追加することで β1 の値が低下している。これらは先行研究と一致する結果であり、ボラティリティ予測における RV の有用性を示唆している。GARCH(2,2)+RV モデルの推定結果によると、(37) 式で RVi−1 の係数を構成する β2 と γ は、全ての系列において有意であった。これらのパラメータは、(36) 式で表わされる GARCH(1,1)+RV モデルにおける β1 と γ に該当する。そこ
で、GARCH(1,1)+RV モデルの γ および β1 を、GARCH(2,2)+RV モデルの γ お
よび β2 の推定値を比較してみたところ、すべての系列においてほぼ同じであった。

GARCH+RV モデルの推定結果は、以下の 2 点にまとめられる。(1) RVi−1 は σi2に対して予測力を持つ。(2) α1 はほぼゼロであることから、例えば GARCH(1,1)+RV
モデルは、

σi2 =

)
(
α0
+ 1 + β1 L + β12 L2 + . . . γRVi−1
1 − β1(60)と表現できる（GARCH(2,2)+RV モデルも同様）。これは σi2 が長いラグを持つ RV
により表わされることを示しており、RV の長期記憶性と整合的な結果となってい37

TOPIX に限り、θ2 がゼロと有意に異ならないという結果を得ている。
GARCH(1,1)+RV モ デ ル お よ び GARCH(2,2)+RV モ デ ル を 推 定 す る 際 に は 、
α0 , α1 , β1 , α∗ , β2 , γ に非負制約を課した。
39
推定モデルは (32) 式で、p = 1, q = 1 としたものである。
38

30

る（(36)、(37) 式を参照）。
次に、推定された各モデルの残差を用いて、モデルの診断を行う。例えば、ARFIMA
モデル (13) 式の推定においては、ϵi が互いに独立な正規分布に従うことを仮定し、最尤推定法を用いている40 。推定パラメータに基づいて得られる ϵi の推定値 ϵ̂i の系列が自己相関を伴わずに正規分布に従うのであれば、モデル推定上の仮定は満たされていることになる。また、ARFIMA モデルの残差を分析することで、lnRVから ARFIMA モデルで表わされる長期記憶性を取り除いた系列が正規分布に従うかどうかを検定することができるため、2.2 節で指摘した、lnRV には系列相関が存在するために JB 検定を行うことが適切ではないという問題に対する、ひとつの対処法になる。ARFIMAX モデル、HAR モデル、UC モデルおよび MIDAS モデ
ルについても、同様に ϵ̂i の正規性検定、自己相関検定により、モデルの診断を行うことができる。GARCH+RV モデルでは (34) 式（あるいは (35) 式）の zi について正規性を仮定しているため、その推定値 ẑi の検定を行う。
モデル診断は、残差に 10 次までの自己相関が存在しないことを帰無仮説とした

Ljung-Box 検定（以下、LB 検定、統計量を LB(10) と表わす）と、残差が正規分
布に従っていることを帰無仮説とした Jurque-Bera 検定（以下、JB 検定）を行った41 。これらの検定結果は、表 5 にまとめた。
検定の結果、残差に自己相関が存在するモデルは、日経平均先物あるいは TOPIXを使った場合の HAR モデルのみであった。HAR モデルと同様に短期記憶モデル
を組み合わせた UC モデルの残差に自己相関がないと判断されたことに鑑みれば、
日次、週次、月次といった HAR モデルの説明変数の周期性の選択がアド・ホック
であった可能性も考えられる。
正規性の検定結果によると、すべてのモデルについて、残差が正規分布に従うという帰無仮説が棄却されている。このため、RV あるいは lnRV のモデルを推定する際には、正規分布ではなく他の分布を仮定する必要がある。これは今後の課題とされる。なお、GARCH モデルでは残差が正規分布に従わないという実証研
究が多く報告されている42 。GARCH モデルでは σi2 の式に撹乱項が含まれないため、σi2 が柔軟に変動しないことが原因と考えられる。GARCH+RV モデルの残差40

詳しくは補論 A を参照。
LB 検定の統計量は自由度 10 のカイ 2 乗分布に従う。JB 検定の統計量は自由度 2 のカイ 2 乗
分布に従う。lnRV の自己相関がモデルで表現されず、残差に含まれている場合、JB 検定は正規性の帰無仮説を棄却し過ぎるため、自己相関の検定結果の解釈から行うほうが望ましい（2.2 節を参照）。
42
詳しくは渡部 (2000) を参照。
41

31

が正規分布に従わないのも同様の原因によるものと推察される。

4.3

ボラティリティ予測力のモデル間比較

次に、推定された各モデルについて標本内の 1 期先予測力を比較する。比較には 4 つの予測誤差（MSE, HMSE, MAE, HMAE）と Mincer-Zarnowitz 回帰の決定係数を用いた。
表 6 の予測誤差からは、以下の点が確認できる。(1) GARCH+RV モデルは、RV 時系列モデルと比較して、予測力が明らかに低い。(2) ARFIMA、HAR、UC、MIDAS の各モデルの予測誤差には大きな差はない。(3) GARCH(1,1) モデルよりも GARCH+RV モデルの予測力が高く、RVi−1 が σi2 の予測に有益である（ただしTOPIX を用いた推定結果においては、GARCH(1,1) の MSE が GARCH(1,1)+RV
あるいは GARCH(2,2)+RV の MSE よりも低かった）。
表 7 の Mincer-Zarnowitz 回帰の決定係数 R2 による予測力比較においても、RV
時系列モデルが GARCH+RV モデルよりも全体的に優れていた。もっとも、TOPIXを用いた推定結果では、RV 時系列モデルの優位性はさほど明確ではなくなっている。2.4 節で述べたように、GARCH+RV モデルで予測されたボラティリティには、RV 時系列モデルよりも推定バイアスが多く含まれている可能性があるものの、ボ
ラティリティの変動をよく捉えることができているため、R2 で比較したときに、

GARCH+RV モデルの順位が高くなったと考えられる。同様の結果が Koopman,
Jungbacker and Hol(2005) でも得られている。
以上はモデル別の予測力比較であったが、株価指数別に予測パフォーマンスをみてみる。まず、表 6 の予測誤差をみると、いずれのモデルにおいても日経平均
先物の MSE、MAE が大きく、とりわけ MSE にその傾向が顕著である。また、表7 の決定係数についても、日経平均先物が最も低い。後述するようにジャンプに関する実証分析では、ジャンプが発生していると判断された日の割合は日経平均先物が突出して高かった。同指数にはこのような不連続な変動がより多く含まれるために、リターンにジャンプを想定しない確率過程に基づくボラティリティ変動モデルの当てはまりが悪くなっていることが考えられる43 。なお、各 RV の標本標43

HMAE および HMAE で評価すると日経平均先物は概ね他と同じ水準になっている。これは予測誤差の計算方法に原因があると考えられる。MSE および MAE は、モデルで推定されたボラティ
リティと RVi との差を評価しているため、ボラティリティが高い値をとる日にはその差も大きくなりやすく、その影響が予測誤差に大きく現れる。一方、HMSE および HMAE は RV に対する比率で評価しているため、仮に差の絶対水準が大きかったとしても強く影響を及ぼすとは限らない。

32

準偏差をみると、1.23 × 10−4（日経平均株価指数）、4.34 × 10−4（日経平均先物）、

0.738 × 10−4 （TOPIX）と日経平均先物の RV のばらつきが大きいことが確認できる。
表 7 の F 検定をみると、GARCH+RV モデルや GARCH モデルで推定された

TOPIX および日経平均株価指数は、帰無仮説 βmz,0 = 0 かつ βmz,1 = 1 が有意に棄却されている。両指数の Mincer-Zarnowitz 回帰結果の個別項をみると、GARCH+RV
モデルでは βmz,0 = 0 は棄却されていないものの、βmz,1 が 1 より有意に小さくなっており、このため F 検定の仮説が棄却されたものと考えられる。したがって、TOPIX
や日経平均株価指数の GARCH+RV モデルによるボラティリティ推定値には、RV（真のボラティリティの代理変数）に対して下方バイアスが存在していることがわ
かる（ただし、回帰係数が低いためバイアスの出方は大まかな傾向程度のものである）。これに対し、GARCH モデルでは βmz,0 が有意に負となる傾向がある一方、

βmz,1 が TOPIX を除き有意に 1 より大きくなっているため、ボラティリティが小さい（大きい）ときにはバイアスが低め（高め）に出る傾向があると考えられる。
次に、ARFIMA モデルと ARFIMAX モデルの予測力を比較する。ARFIMAX
モデルの外生変数には ri−1 に 0、1 ダミーを乗じたものを用い、価格が下落した
ときにボラティリティが増大しやすいという非対称性を考慮している。表 8 と表9 の予測力の比較結果によると、ARFIMA モデルよりも ARFIMAX モデルの予測力が高い。4.2 節のモデル推定と同様、予測力比較の結果もボラティリティ変動の非対称性を加味したモデル化の必要性を示唆している。
最後に、MIDAS モデルで、RV のラグ値の代わりに RP のラグ値あるいは日次リ
ターン 2 乗のラグ値を用いた場合の予測力を分析する。Ghysels, Santa-Clara andValkanov(2006) と同様に、被説明変数を lnRVi 、説明変数を lnRVi−50 , . . . , lnRVi−1 、または lnRPi−50 , . . . , lnRPi−1 、または ln(ri−50 − µ)2 , . . . , ln(ri−1 − µ)2 として、3本のモデルを i = 51, . . . , T について推定し、各モデルの予測力比較を行った。ただし、µ は ri の標本平均とする。ln(ri−50 − µ)2 は、日次リターンと高頻度データで推定したボラティリティの説明力を比較するために取り上げている。
表 10、11 に予測誤差と Mincer-Zarnowitz 回帰の結果をまとめた。全てのデー
タセットについて、ln(ri − µ)2 の予測力はやはり最も低いこと、RP はデータによっては RV 以上の予測力を有していることがわかった。Ghysels, Santa-Clara andValkanov(2006) も RP の有用性を支持する推定結果を示しており、本稿の分析でも同じことが確認された。

33

4.4

多変量 RV の推定結果

本節では、3 つの変数から 2 つを取り上げ、多変量 RV モデルを推定した結果を示す。日経平均株価指数と TOPIX の組み合わせをモデル A、日経平均株価指数と日経平均先物の組み合わせをモデル B と呼ぶ。図 5 はモデル A、B の RC である。
モデル A では対象銘柄と指数作成方法が異なるが、同一市場の指数であるため、指数の水準のみならず RV でみても両指数の相関は高いと考えられる。実際、モデル A の RC は 1 に近い。もっとも、詳細にみると、2000 年 1 − 3 月期には他の期間と比較して RC の水準が低くなっている。2000 年 4 月には日経平均株価指数の構成銘柄の大幅な入れ替えが行われており、その後の RC が昇しているため、同年の銘柄入れ替えが両指数の変動の類似性を高めたものと考えられる。一方、モデル B の RC はゼロ近くまで低下する日もあり、変動幅もモデル A に比べて格段に大きい。これは、高頻度データでみると現物と先物の価格変動は必ずしも同調的ではないことを示唆している。

4.5

ジャンプモデルの推定結果

表 12 は (50) 式の HAR-RV-J モデルの推定結果である。日経平均株価指数および TOPIX では、h = 1, 5 のとき、ジャンプの係数が負値で有意となっている。これは、Andersen, Bollerslev and Diebold(2005) と同様な結果であり、ボラティリ
ティ変動モデルの設定においては価格変動にジャンプが含まれる可能性を考慮すべきことを示している。一方、日経平均株価指数では、ジャンプの係数は h = 1, 5, 22の全ての場合において有意ではなく、この場合、前出のジャンプを含まないモデ
ル群が適用可能である。
次に (53) 式を用いて、ジャンプ項の有意性を検証する。ここでは 上記研究と同様に有意水準を α = 0.5, 0.95, 0.99, 0.999, 0.9999 と設定した。表 13 が統計量 Ji,αによる分析結果である。上記研究と比較すると、本稿の分析ではジャンプが生じる
確率が高く推定されている。たとえば α = 0.95 としたとき、いずれの株価指数においても、少なくとも約 2 日に 1 日の割合でジャンプが生じている。α = 0.9999 としたとき、ジャンプが生じる割合は、日経平均株価指数、日経平均先物、TOPIX の順に 0.185、0.408、0.251 であり、上記研究のうち S&P500 を推定した場合の 0.054と比較して、ジャンプが生じる割合が高く推定されている。
次に、ジャンプ系列、およびジャンプ系列からゼロを除いた系列について、自己34

相関の検定を行った。ジャンプ系列は、(49) 式で定義される Ji を i = 1 から T ま
で並べたものであり、ジャンプが発生した日には Ji が、ジャンプが発生しなかった日には 0 が含まれる系列である。この系列に自己相関が存在すると、いったんジャンプが発生すると翌期にもジャンプが発生しやすいことになる。また、0 を除
いた系列に自己相関が存在するのであれば、大きな（小さな）ジャンプが発生す
ると、大きな （小さな）ジャンプが続いて発生しやすい傾向があることになる。

10 次までの全ての自己相関係数がゼロであることを帰無仮説として、LB 検定を行った。検定の結果を表 13 の LB(10) および LB(10)J>0 の列に示した。前者が 0を含む Ji 系列に対する、後者が 0 を除いた Ji 系列に対する統計量である。まず、LB(10) 統計量によると、日経平均株価指数および TOPIX については、先行研究と同様にジャンプ系列の自己相関が確認された。次に、LB(10)J>0 統計量の結果をみると、ジャンプ系列からゼロを除いた系列についても自己相関が存在することがわかった44 。この結果は、サイズの大きい（小さい）ジャンプにはサイズの大きい（小さい）ジャンプが続くことを示唆しており、Andersen, Bollerslev andDiebold(2005) の先行研究と同様の結果となった。したがって、Andersen, Bollerslev
and Diebold(2005) が指摘するように、ジャンプの自己相関に対応したモデルへの拡張が今後、求められよう。
ただし、日経平均先物については、ジャンプ系列に自己相関が存在しない。日
経平均先物は、日経平均株価指数および TOPIX と比較して、ジャンプが生じる割合が高いことが示されていたことを考慮すると、ジャンプの割合が実際よりも高く推定されている可能性も考えられる。すなわち、ジャンプ系列として分析した
対象には、本来ならばジャンプとされないものも含まれてた可能性があり、その結果として、ジャンプ系列の分析結果が他の系列と異なるものになったとも考えられる。
最後に、(54) 式のもとでジャンプ拡散過程の RV からジャンプの影響を取り除いた Ci,α を求め、これとジャンプ項に起因する変数 Ji に RV を回帰した。上記先行研究と同様に α = 0.999 として Ji,i+h,α と Ci,i+h,α を回帰分析に用いている。表 14をみると、日経平均株価指数あるいは TOPIX を用いた場合、日次や週次のジャンプ項の係数 βJD , βJW は有意ではないものがほとんどである。しかし βJM は有意であるものが多い。この結果は、1 日や 1 週間という比較的短い直前の期間のジャ44

このうち日経平均株価指数については、α = 0.5、すなわちジャンプの有無の検定を行わないで Ji を定義した場合のみ、Ljung-Box 検定の有意水準を 5% とすると自己相関は存在しないが、有意水準を 10% とすると自己相関が存在するという結果になった。

35

ンプよりも、過去 1ヵ月間の平均的なジャンプの発生状況が RV に対してより強く影響するものと解釈される。
一方、日経平均先物を用いた場合、βJW や一部の βJD が有意となっている。この様に日経平均株価指数あるいは TOPIX と推定結果が異なる理由としては、日経
平均先物についてはジャンプの発生頻度が高く、このため日次平均や週次平均という直近のジャンプの発生が RV に影響していることが考えられる。

5

まとめと今後の研究課題
本稿では、RV モデルのサーベイと本邦の株価指数による実証分析を行った。実

証分析によると、RV の統計的性質やモデル推定、予測パフォーマンスのモデル間比較などは、概ね欧米の先行研究と一致するものであったが、ジャンプモデルの実証研究などでは、先行研究と異なる結果が得られた。実証分析の主な結果は以下のとおりである。(1) RV を用いることで、既存のモデルと比較して、より精度の高いボラティリティの予測が可能となる。(2) 本稿の対象データでは、GARCH+RVモデルよりも RV 時系列モデルの予測力が高かった。(3) RV の他に RP もボラティ
リティの予測に有益である。(4) RV には長期記憶性が存在する。(5) ボラティリ
ティの変動には価格の変化方向に関して非対称性が存在している。(6) 株価指数のリターンは裾が厚い分布となっており、その原因として、リターンの変動には非連
続的なジャンプが存在している可能性が指摘されたが、そもそも正規分布に基づくブラウン運動では表現できないような変動に従っている可能性も残されている。
最後に、本稿のサーベイおよび実証分析を通して得られた今後の研究課題についてまとめる。(1) RV が長期記憶性を持つことを考慮に入れて、RV あるいは RV により基準化された日次リターンの正規性の検定を行う。(2) GARCH+RV モデルの予測力は、Mincer-Zernowitz 回帰の決定係数では RV 時系列モデルと比較して大きく劣るものではないため、予測値のバイアスを何かしらの方法で修正することができれば、GARCH+RV モデルの予測力が高まる可能性が残されている。(3) RV 時
系列モデルでは長期記憶性を表わすようにモデルが考案されている一方で、比較対象とした GARCH モデルでは長期記憶性を表わすことができない。ARCH 型の長期記憶モデル（たとえば Bollerslev and Mikkelsen(1996) が提案した FIEGARCHモデル）を用いた実証分析も重要であろう。(4) ジャンプモデルでは、正規分布で説明されないリターンの大きな変化をジャンプとして捉えることを仮定した。分36

析結果によるとジャンプが発生していると判断される日の割合が非常に高かったが、リターンが t 分布などのように裾の厚い分布に従っている可能性もあり、これに対応したモデルによる検証も求められる。(5) 本稿や先行研究では RV 計測を 5分間隔のリターンで行っているが、日中リターンの自己相関性に対応するといった計量分析上の理由以外にも、各市場の価格変動の相違やその背景となっている
市場参加者、制度等の相違という観点からみても、ボラティリティの適切な計測
頻度の選択は興味深い論点である。(6) ARFIMAX の推定結果によると、ボラティ
リティ変動の非対称性を含めることで、ボラティリティの予測力が高くなる。この様なモデルの拡張は、ARFIMA モデルに限らず、今回、分析対象としたモデルについても行っていく余地がある。

37

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41表 1: 日中リターンの観測頻度と自己相関の除去
論文
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Koopman, Jungbacker and Hol (2005)
Martens (2002)
Thomakos and Wang (2003)
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Oomen (2001)

データ
S&P 100
ダウ工業株価指数
S&P 100
S&P 500 先物
為替、T-bond、S&P500 先物
個別株
FTSE100

間隔
5分
5分
5分
5分
5分
5分
25 分

自己相関除去

MA(1)
MA(1)

注：MA(1) は次数 1 の移動平均モデルによって自己相関が除去されたリターンを用いた分析であることを表わす。

表 2: 日経平均株価指数の推定結果

対数尤度-586.062

ARFIMAd
0.439(0.043)θ-0.135(0.056)µ-8.826(0.444)

ARFIMAXd
0.447(0.042)θ-0.165(0.057)µ0-8.859(0.479)µ1-0.702(1.685)HAR

β0-1.822(0.390)βD
0.227(0.045)βW
0.406(0.081)βM
0.164(0.071)

UC

ϕ1
0.913
(0.030)ϕ2
0.000(0.000)θ1
0.268(0.000‡ )

θ2†
1.021
(0.329)GARCH(1,1)
+RV

α0†
0.102
(0.085)α1
0.000(0.000)β1
0.822(0.043)GARCH(2,2)
+RV

α∗,†
0.032
(0.043)α1
0.000(0.000)β1
0.701(0.197)β2
0.817(0.046)

対数尤度-577.651µ2-4.969(2.745)

決定係数
0.322

σu†
0.644
(0.061)

ση† 1
0.534
(0.045)

ση† 2
0.779
(0.055)γ
0.187(0.055)µ†r-7.970(4.996)対数尤度2545.116γ
0.192(0.058)µ†r-7.875(5.011)

対数尤度2545.246

対数尤度7188.174

注: 肩に † が記載されているパラメータの推定値と標準誤差については、次の通りに定数倍された値を報告している。
α0 , α∗ , µr , σu の推定値と標準誤差は 104 倍された値、θ2 , ση1 , ση2 の推定値と標準誤差は 102 倍された値である。UC モデ
ルのパラメータ θ1 の標準誤差は 0.932 × 10−4 である。各モデルの上段が推定値、下段の ( ) 内が標準誤差である。UC モデ
ルについては、推定されたパラメータをモデル解釈上重要となるパラメーター群に計算し直したものを示した。詳細は 2.3 節の UC モデルの説明を参照。GARCH(2,2)+RV モデルにおいて β2 = β1 の制約を課すと GARCH(1,1)+RV モデルになる
ため、これを帰無仮説として尤度比検定を行うことが可能である。また、ARFIMAX(0, d, 1) モデルにおいて µ1 = 0, µ2 = 0の制約を課すと ARFIMA(0, d, 1) モデルになるため、これを帰無仮説として尤度比検定を行うことが可能である。この他の組み合わせで尤度を比較することはできない。

42

表 3: 日経平均先物の推定結果

対数尤度-791.091

ARFIMAd
0.433(0.048)θ-0.214(0.064)µ-8.578(0.459)

ARFIMAXd
0.446(0.046)θ-0.265(0.064)µ0-8.628(0.519)µ1
1.604(2.078)HAR

β0-2.623(0.389)βD
0.132(0.045)βW
0.410(0.077)βM
0.158(0.065)

UC

ϕ1
0.911
(0.025)

ϕ2
0.000(0.000)θ1
0.268(0.000‡ )

θ2†
0.013
(0.004)GARCH(1,1)
+RV

α0†
0.224
(0.124)α1
0.000(0.000)β1
0.807(0.046)GARCH(2,2)
+RV

α∗,†
0.224
(0.126)α1
0.000(0.000)β1
0.000(0.000)β2
0.807(0.046)

対数尤度-786.981µ2-7.306(3.363)

決定係数
0.248

σu†
3.275
(1.265)

ση† 1
0.794
(0.183)

ση† 2
1.513
(0.295)γ
0.124(0.050)µ†r-8.873(5.299)対数尤度2488.250γ
0.124(0.050)µ†r-8.873(5.300)対数尤度2488.250

対数尤度5878.318

注: 肩に † が記載されているパラメータの推定値と標準誤差については、次の通りに定数倍された値を報告している。
α0 , α∗ , µr , σu の推定値と標準誤差は 104 倍された値、θ2 , ση1 , ση2 の推定値と標準誤差は 102 倍された値である。UC モデ
ルのパラメータ θ1 の標準誤差は 0.802 × 10−4 である。各モデルの上段が推定値、下段の ( ) 内が標準誤差である。UC モデ
ルについては、推定されたパラメータをモデル解釈上重要となるパラメーター群に計算し直したものを示した。詳細は 2.3 節の UC モデルの説明を参照。GARCH(2,2)+RV モデルにおいて β2 = β1 の制約を課すと GARCH(1,1)+RV モデルになる
ため、これを帰無仮説として尤度比検定を行うことが可能である。また、ARFIMAX(0, d, 1) モデルにおいて µ1 = 0, µ2 = 0の制約を課すと ARFIMA(0, d, 1) モデルになるため、これを帰無仮説として尤度比検定を行うことが可能である。この他の組み合わせで尤度を比較することはできない。

43

表 4: TOPIX の推定結果

対数尤度-723.742

ARFIMAd
0.410(0.046)θ-0.155(0.058)µ-9.412(0.349)

ARFIMAXd
0.432(0.046)θ-0.240(0.063)µ0-9.496(0.405)µ1
4.878(2.384)HAR

β0-2.257(0.411)

βD
0.188(0.045)βW
0.366(0.081)βM
0.212(0.076)

UC

ϕ1
0.928
(0.022)

ϕ2
0.000(0.003)

θ1
0.268(0.000)θ2†
7.341(8.736)GARCH(1,1)
+RV

α0†
0.066
(0.053)α1
0.000(0.000)β1
0.787(0.043)GARCH(2,2)
+RV

α∗,†
0.035
(0.040)α1
0.000(0.000)β1
0.488(0.394)β2
0.782(0.044)対数尤度-714.693µ2-15.344(3.911)

決定係数
0.255

σu†
0.298
(0.060)

ση† 1
0.360
(0.042)

ση† 2
0.723
(0.039)対数尤度7603.409γ
0.321(0.079)µ†r-7.374(4.237)βr
0.122(0.032)対数尤度2696.027

γ
0.328(0.085)µ†r-7.353(4.237)βr
0.123(0.031)対数尤度2696.097

注: 肩に † が記載されているパラメータの推定値と標準誤差については、次の通りに定数倍された値を報告している。
α0 , α∗ , µr , σu の推定値と標準誤差は 104 倍された値、θ2 , ση1 , ση2 の推定値と標準誤差は 102 倍された値である。各モデルの上段が推定値、下段の ( ) 内が標準誤差である。UC モデルについては、推定されたパラメータをモデル解釈上重要となるパラメーター群に計算し直したものを示した。詳細は 2.3 節の UC モデルの説明を参照。GARCH(2,2)+RV モデルにおいて β2 = β1 の制約を課すと GARCH(1,1)+RV モデルになるため、これを帰無仮説として尤度比検定を行うことが可能である。また、ARFIMAX(0, d, 1) モデルにおいて µ1 = 0, µ2 = 0 の制約を課すと ARFIMA(0, d, 1) モデルになるため、これを帰無仮説として尤度比検定を行うことが可能である。この他の組み合わせで尤度を比較することはできない。

表 5: 残差系列によるモデル診断

LB(10)JB

ARFIMA

ARFIMAX

HAR

UC

MIDAS

8.623
18.8438.064
24.198日経平均株価指数
15.3173.880
8.496
12.22768188
11.407GARCH(1,1)+RV

GARCH(2,2)
+RV

4.382
49.1624.397
49.926

日経平均先物

LB(10)JB

LB(10)
JB

12.879322.260

15.361
9.783

10.174366.800

15.57810.72318.424329.9679.568
1.258 ×107

9.520
308.398

10.000128.717

10.174366.800

25.034
9.652

TOPIX
9.546
30260

16.1758.351

9.175
18.3439.235
18.120

注: LB(10) は自由度 10 のカイ 2 乗分布に、JB は自由度 2 のカイ 2 乗分布にそれぞれ従う。

44

表 6: 1 期先予測力の比較結果（予測誤差）
HMSE MSE
日経平均株価指数
GARCH
1.507
1.713
GARCH(1,1)+RV 1.171
1.609
GARCH(2,2)+RV 1.169
1.609
ARFIMA
0.364
1.099
HAR
0.380
1.091
UC
0.388
1.077
MIDAS
0.380
1.080

HMAE

MAE

0.878
0.777
0.777
0.432
0.438
0.440
0.438

1.051
0.978
0.978
0.673
0.674
0.672
0.673

日経平均先物GARCH
GARCH(1,1)+RV
GARCH(2,2)+RV
ARFIMA
HAR
UC
MIDAS

1.136
1.073
1.073
0.658
0.722
0.870
0.690

18.47918.231
18.231
18.11318.10218.17718.049

0.757
0.722
0.722
0.567
0.582
0.647
0.575

1.477
1.438
1.438
1.315
1.313
1.361
1.308

GARCH
GARCH(1,1)+RV
GARCH(2,2)+RV
ARFIMA
HAR
UC
MIDAS

TOPIX
4.151
1.169
3.577
1.235
3.580
1.237
0.581
0.444
0.597
0.444
0.615
0.440
0.583
0.441

1.516
1.419
1.418
0.542
0.544
0.551
0.540

0.940
0.932
0.932
0.439
0.436
0.436
0.436

注: MSE は 108 倍、MAE は 104 倍された値を示した。GARCH
は説明変数に RV を含まない GARCH(1,1) モデルを表わす。

45

表 7: 1 期先予測力の比較結果（Mincer-Zarnowitz 回帰）

GARCH
GARCH(1,1)+RV
GARCH(2,2)+RV
ARFIMA
HAR
UC
MIDAS

βmz,0 × 104
βmz,1
日経平均株価指数-2.141 ( 0.255 ) 1.583 ( 0.100 )-0.160 ( 0.112 ) 0.795 ( 0.042 )-0.158 ( 0.112 ) 0.793 ( 0.042 )-0.051 ( 0.104 ) 1.036 ( 0.053 )-0.090 ( 0.104 ) 1.054 ( 0.053 )0.003 ( 0.098 ) 1.000 ( 0.050 )-0.101 ( 0.103 ) 1.060 ( 0.053 )F

R2

188.055
201.481203.741
0.344
0.552
0.004
0.698

0.213
0.276
0.278
0.290
0.296
0.304
0.303

日経平均先物GARCH
GARCH(1,1)+RV
GARCH(2,2)+RV
ARFIMA
HAR
UC
MIDAS

-1.3750.077
0.077-0.430-0.2220.001-0.523( 0.520 )( 0.334 )( 0.334 )( 0.370 )( 0.352 )( 0.342 )( 0.372 )

1.421
0.906
0.906
1.238
1.141
1.002
1.262

( 0.175 )( 0.105 )( 0.105 )( 0.136 )( 0.127 )( 0.116 )( 0.135 )

3.626
1.367
1.367
2.267
1.101
0.001
2.410

0.067
0.075
0.075
0.082
0.081
0.075
0.086

GARCH
GARCH(1,1)+RV
GARCH(2,2)+RV
ARFIMA
HAR
UC
MIDAS

-0.163
0.093
0.096
0.026
0.010
-0.0020.010

TOPIX( 0.088 ) 0.641( 0.064 ) 0.502( 0.064 ) 0.500( 0.069 ) 0.978( 0.070 ) 0.996( 0.070 ) 1.003( 0.069 ) 0.997( 0.046 )( 0.033 )( 0.033 )( 0.065 )( 0.066 )( 0.065 )( 0.065 )716.699829.161
832.584
0.073
0.037
0.001
0.046

0.172
0.201
0.202
0.198
0.197
0.206
0.203

注:βmz,0 は 104 倍された値を示した。各推定値の ( ) 内の数値は標準誤差である。R2 は MincerZarnowitz 回帰の決定係数である。GARCH は、説明変数に RV を含まない GARCH(1,1) モデルを表わす。F は βmz,0 = 0, βmz,1 = 1 を帰無仮説、そうではないことを対立仮説とした F 検定統計量の値である。有意水準 5% の臨界値は 3.005 である。

表 8: 1 期先予測力の比較結果（予測誤差、ARFIMAX モデル）

日経平均株価指数
日経平均先物
TOPIX

HMSE
0.351
0.635
0.566

MSE
1.095
18.119
0.437

HMAE
0.425
0.562
0.533

注:MSE は 108 倍、MAE は 104 倍された値を示した。

46

MAE
0.665
1.305
0.431

表 9: 標本内予測力の比較結果（Mincer-Zarnowitz 回帰、ARFIMAX モデル）

日経平均株価指数
日経平均先物
TOPIX

βmz,0 × 104-0.020 ( 0.101 )-0.334 ( 0.362 )0.034 ( 0.066 )βmz,11.020 ( 0.052 )1.201 ( 0.133 )0.971 ( 0.062 )

F
0.205
1.905
0.129

R2
0.293
0.081
0.211

注:βmz,0 は 104 倍された値を示した。各推定値の ( ) 内の数値は標準誤差である。R2 は MincerZarnowitz 回帰の決定係数である。GARCH は、説明変数に RV を含まない GARCH(1,1) モデルを表わす。F は βmz,0 = 0, βmz,1 = 1 を帰無仮説、そうではないことを対立仮説とした F 検定統計量の値である。有意水準 5% の臨界値は 3.005 である。

表 10: MIDAS モデルの予測誤差
説明変数

MSE
1.080
1.056
1.421

HMAE
0.438
0.429
0.527

MAE
0.673
0.665
0.772

日経平均株価指数

lnRVi
lnRPi
ln(ri − µ)2

HSME
0.380
0.354
0.588

日経平均先物lnRVilnRPi
ln(ri − µ)2

0.690
0.608
0.872

18.04918.18019.080

0.575
0.566
0.661

1.308
1.316
1.438

TOPIX

lnRVi
lnRPi
ln(ri − µ)2

0.583
0.537
0.810

0.441
0.431
0.488

0.540
0.523
0.614

0.436
0.426
0.468

注: MSE は 108 倍、MAE は 104 倍された値を示した。

表 11: MIDAS モデルの予測誤差（Mincer-Zarnowitz 回帰）

日経平均株価指数lnRVlnRP
ln(r − µ)2

βmz,0 × 104-0.101 ( 0.103 )-0.113 ( 0.100 )-0.089 ( 0.216 )日経平均先物lnRVlnRPln(r − µ)2-0.523-0.694-0.929( 0.372 )( 0.401 )( 0.661 )

1.262
1.334
1.430

( 0.135 )( 0.148 )( 0.255 )

2.410
3.137
2.037

0.086
0.081
0.033

TOPIX

lnRV
lnRP
ln(r − µ)2

0.010
0.018
-0.111( 0.069 )( 0.065 )( 0.103 )

0.997
0.989
1.117

( 0.065 )( 0.061 )( 0.099 )

0.046
0.060
0.751

0.203
0.222
0.120

説明変数

βmz,1
1.060 ( 0.053 )1.067 ( 0.051 )1.057 ( 0.116 )

F
0.698
0.915
0.200

R2
0.303
0.319
0.082

注:βmz,0 は 104 倍された値を示した。各推定値の ( ) 内の数値は標準誤差である。R2 は Mincer-Zarnowitz
回帰の決定係数である。GARCH は、説明変数に RV を含まない GARCH(1,1) モデルを表わす。F は
βmz,0 = 0, βmz,1 = 1 を帰無仮説、そうではないことを対立仮説とした F 検定統計量の値である。有意水
準 5% の臨界値は 3.005 である。

47

表 12: HAR-RV-J モデル推定結果（lnRV）
β0
h=1
h=5
h=22

-1.267(0.396)-2.586(0.549)-6.033(0.763)

βD
βW
βM
日経平均株価指数
0.314
0.380
0.159
(0.050) (0.079) (0.067)
0.191
0.420
0.086
(0.040) (0.092) (0.084)
0.111
0.385
-0.198(0.026) (0.093) (0.122)

βJ

決定係数

-1530.3(328.4)-994.6(299.6)-388.8(348.1)

0.334
0.402
0.225

日経平均先物

h=1
h=5
h=22

h=1
h=5
h=22

-2.426(0.394)-3.093(0.611)-5.826(0.803)0.154(0.049)0.099(0.032)0.079(0.030)0.413(0.077)0.409(0.082)0.345(0.088)0.155(0.064)0.123(0.082)-0.129(0.096)-75.5(52.4)-16.9(28.4)-16.2(30.0)-1.328(0.421)-2.686(0.553)-6.054(0.750)0.321(0.053)0.176(0.036)0.104(0.032)

TOPIX
0.337
(0.078)0.405(0.081)
0.343(0.077)0.198(0.074)0.124(0.092)-0.106(0.142)-2933.2(578.3)-1703.0(490.7)-563.0(638.6)

注: 上段が推定値、下段の ( ) 内が標準誤差である。

48

0.249
0.334
0.175

0.272
0.367
0.221

表 13: ジャンプの検定：Ji 系列の統計量と正規性検定
α

割合

平均

標準偏差

0.50000.95000.99000.99900.9999

0.837
0.489
0.353
0.253
0.185

LB(10)
日経平均株価指数
0.382
0.479
53.61
0.330
0.498
57.81
0.276
0.500
56.90
0.227
0.489
58.71
0.183
0.469
49.34

0.50000.95000.99000.99900.9999

0.915
0.685
0.582
0.480
0.408

1.145
1.107
1.069
1.018
0.971

3.972
3.981
3.989
3.998
4.004

0.432
0.437
0.442
0.450
0.458

7.053
17.46
27.06
16.36
19.55

0.276
0.251
0.223
0.190
0.164

TOPIX
0.362
0.373
0.370
0.366
0.352

40.58
42.74
30.39
28.15
29.76

50.33
82.41
67.96
51.03
24.47

LB(10)J>0
16.87
43.19
35.76
44.35
22.59

日経平均先物

0.50000.95000.99000.99900.9999

0.840
0.528
0.414
0.315
0.251

注: 平均と標準偏差はそれぞれ検定統計量を 104 倍した値を示す。α は有意水準、「割合」は日中に有意にジャンプが生じたと判断された日の割合を示す。LB(10) および LB(10)J>0 は、いずれも自由度 10 のカイ 2 乗分布に従う。臨界値は 15.99 (有意水準 10%)、18.31 (同 5%)、23.21 (同 1%)
である。

49

表 14: HAR-RV-CJ モデル推定結果（lnRV）
β0

βCD

βCW

βCM

βJD

βJW

βJM

決定係数

414.7
(925.1)260.4(1049.6)
1427.3(749.6)3959.0(1506.2)
4604.6(1650.0)3514.1(2518.5)

0.338

日経平均株価指数h=1
h=5
h = 22-2.696(0.422)-3.956(0.583)-7.118(0.722)0.261(0.043)0.144(0.032)0.084(0.015)0.347(0.075)0.392(0.082)0.338(0.084)0.088(0.062)0.011(0.078)-0.237(0.100)230.2(295.4)201.5(211.8)103.0(91.9)

0.404
0.243

日経平均先物h=1
h=5
h = 22h=1
h=5
h = 22-2.062(0.641)-3.204(0.977)-6.220(1.345)0.211(0.057)0.134(0.035)0.064(0.023)0.348(0.099)0.262(0.116)0.326(0.107)0.177(0.097)0.199(0.127)-0.149(0.148)24.2(35.6)
31.8(21.7)
38.1(10.8)

395.2(121.8)494.1(119.5)258.7(74.0)

115.3(181.1)92.1(152.5)33.1(229.5)-3.274(0.442)-4.448(0.573)-7.377(0.715)0.252(0.046)0.126(0.025)0.095(0.014)0.313(0.072)0.389(0.074)0.287(0.081)

TOPIX
0.090
365.4
(0.065) (496.9)
0.008
187.8
(0.080) (267.7)-0.174203.7(0.118) (134.4)

497.5(1359.3)
692.5(1447.1)
1969.9(924.1)6114.8(1974.9)6478.6(2416.8)4448.8(3649.7)

注: 上段が推定値、下段の ( ) 内が標準誤差である。

50

0.270
0.324
0.160

0.272
0.366
0.234

ln RV (nk225)

−10.0
2002
date

2003

RV×10420
40

RV (nk225f)

10

2000
2001
TOPIX

2002
date

2003

RV×104
5

RV (TOPIX)

2001

2002
date

2000
2001
NK225f

2002
date

2000
2001
TOPIX

2003

2000

2003
ln RV (nk225f)

lnRV−10.0 −7.5 −5.0

2000
2001
NK225f

2000

NK225

lnRV
−7.5

RV×10410

RV (nk225)

−5.0

NK225

2002
date

2003
ln RV (TOPIX)

lnRV−10.0 −7.520

図 1: RV および lnRV

2001

2002
date

2003

注：上から順に日経平均株価指数、日経平均先物、TOPIX であり、左側が RV、右側が lnRV のグラフである。日経平均
先物の 2001 年 9 月 12 日の RV は 0.0119 であるが、グラフ表示上、切断している。

51

図 2: lnRV および RV で基準化した日次リターンの密度関数
1.0

NK225

NK225
ln RV(NK225)

N(s=0.557)

Standardized ReturnN(s=1.12)

0.4
0.5

1.0

0.2

−10
NK225f−9−8−7ln RV(NK225f)

−6

−4

−3 −2
NK225f−10

1

N(s=0.673)

2

3

4

Standardized ReturnN(s=1.02)

0.4
0.5

0.2

−11 −10
TOPIX
1.0

−9

−8

−7

−6

−5

ln RV(TOPIX)

−4

−3
−2
TOPIX

−1

0

1

N(s=0.612)

2

3Standardized Return4
N(s=1.29)

0.4
0.5

0.2

−11

−10

−9

−8

−7

−4

−2

0

2

4

注：上から順に日経平均株価指数、日経平均先物、TOPIX であり、左側が lnRV、右側が RV で基準化した日次リターンである

図 3: lnRV および RV で基準化した日次リターンの QQ プロット
−6

NK225

NK225

ln RV(NK225) × normal

−8

0.0

−10

−2.5
−10.5 −10.0 −9.5
NK225f−5.0

Standardized Return × normal

2.5

−9.0

−8.5

−8.0

−7.5

ln RV(NK225f) × normal

−7.0

−4

−3
NK225f

2.5

−7.5

−2

−1

0

1

2

1

2

3

Standardized Return × normal

0.0

−10.0

−2.5
−10
TOPIX

−9

−8

−7
5.0

ln RV(TOPIX) × normal

−8

−3
−2
TOPIX

−1

0

3

Standardized Return × normal

2.5
0.0

−10

−2.5
−11

−10

−9

−8

−4

−2

0

2

4

注：上から順に日経平均株価指数、日経平均先物、TOPIX であり、左側が lnRV、右側が RV で基準化した日次リターンである52

図 4: MIDAS モデルの係数推定値

0.3parameters
0.1 0.2 0.3

NK225
nk225

0
5
NK225f

10

15

20

25
lag

30

35

40

45

50

45

50

45

50

0.3

parameters
0.1
0.2

nk225f

0
TOPIX

5

10

15

20

25
lag

30

35

40

parameters
0.1
0.2

TOPIX

5

10

15

20

25
lag

30

35

40

注：上段より日経平均株価指数、日経平均先物、TOPIX である。

Realized Correlation
0.25
0.50
0.75

1.00

図 5: Realized Correlation
nk_TPX

1.00

2000
nk_nkf

2001

2002
date

2003

2001

2002
date

2003

Realized Correlation
0.25
0.50
0.75

0

2000

注：上段は日経平均株価指数と TOPIX、下段は日経平均株価指数と日経平均先物の RC。

53

補論 A

ARFIMA モデル推定法

本稿の ARFIMA モデルおよび ARFIMAX モデルの推定には、以下の最尤推定法を用いた。推定にはプログラミング・ソフト Ox (バージョン 4.00) の ARFIMA
パッケージ (バージョン 1.04、Doornik and Ooms(2006)) を用いている。

ln RVi , i = 1, 2, . . . , T の ARFIMA(0, d, 1) モデルは
(1 − L)d (ln RVi − µ) = (1 + θ)ϵt(61)と表わされる。θ, d, µ はパラメータである。
以下では yT = {ln RV1 , ln RV2 , . . . , ln RVT }′ として記述する。ϵi ∼ N (0, σϵ2 ) と仮定すると、yT ∼ N (ιµ, Σ) になる。なお、ι = (1, . . . , 1)′ として T 行のベクトルとする。Σ は




Σ=



c(0)
c(1)
..
.

c(1)
c(0)

c(2)
c(1)



. . . c(T − 1)
. . . c(T − 2) c(T − 1) c(T − 2) c(T − 3) . . .





(62)

c(0)

と表される。

ARFIMA(0, d, 1) モデルを最尤推定するためには、c(s), s = 0, 1, . . . , T − 1 が必要とされる。Sowell(1992) によると、

c(s) = σϵ2

1
∑
k=−1

ψk

Γ(1 − 2d)Γ(d + s − k)
Γ(1 − d − s + k)Γ(1 − d)Γ(d)(63)とすればよい。ただし、ψ−1 = θ, ψ0 = 1 + θ2 , ψ1 = θ であり、Γ(·) はガンマ関数を表わす。
ここで、z = yT − ιµ と表現すると、尤度関数は、

L=−

T
1
1
ln(2π) − ln |Σ| − z′ Σ−1 z
2
2
2

(64)

で与えられる。さらに、Σ = Rσϵ2 を使い、この尤度関数に含まれる µ, σϵ をそれ−1 ′ぞれ、µ̂ = (ι′ R−1 ι)ι R−1 yT 、σ̂ϵ2 = T −1 z′ R−1 z とすると、尤度関数は、

]
T
1
T [
L = − (1 + ln 2π) − ln |R| − ln T −1 ẑ′ R−1 ẑ
2
2
2

54

となる。ただし、ẑ = y − ιµ̂ である。推定すべきパラメータは θ, d である。プログ
ラミング・ソフト Ox（バージョン 4.00）の ARFIMA パッケージ（バージョン 1.04、Doornik and Ooms(2006)）では、d ≤ −0.5、d > 0.49999 を除外して、BFGS 法
を用いて尤度関数を最大化する。

補論 B

UC モデル推定法

以下では K = 2 の場合の UC モデルの推定方法を解説する。UC モデルを状態空間モデルとして表わし、カルマン・フィルターを用いた擬似最尤法によりパラメータを推定する。状態空間モデルの推定については Harvey(1981) を参照されたい。

4 行 1 列の状態空間ベクトル αi を用いて、UC モデルを状態空間モデルとして表現すると、

RVi = ξ +


ϕ
 1
 0

αi = 
 0

0

(

)

1 0 1 0
1 0
0 0
0 ϕ2
0 0



αi + ui




0
1 0


(
)
1



0 
 θ1 0  ηi
 αi−1 +  0 1  η2
1 
i



0
0 θ2

(65)

となる。ただし、αi の第 1、第 3 要素をそれぞれ τi1 −w1 ξ, τi2 −(1−w1 )ξ とする。こ1
こで第 2 要素を αi,2 とすると、(65) 式より τi1 − w1 ξ = ϕ1 (τi−1− w1 ξ) + αi−1,2 + ηi1
1と αi,2 = θ1 ηi1 が得られる。1 期ずらした αi−1,2 = θ1 ηi−1を前者の式に代入す

ると、τi1 − w1 ξ の ARMA(1,1) 表現が得られる。第 3 要素についても同様にして ARMA(1,1) 表現が得られる。なお、ηi1 ∼ N (0, ση21 )、ηi2 ∼ N (0, ση22 )、および

ui ∼ N (0, σu2 ) である。
以下では (65) 式を、観測方程式

RVi = ξ + Hαi + ui ,ui ∼ N (0, σu2 )
(66)

55

とし、状態変数の遷移を

αi = Gαi−1 + Rηi ,で表わす。ただし、

ηi ∼ N (0, Q),

i = 1, 2, . . . , T




1 0
ϕ 1 0 0

 1


 θ

 0 0 0 0 ()
 1 0 、、R = H = 1 0 1 0 、G = 
 0 1  0 0 ϕ2 1 




0 θ2
0 0 0 0()()ηi1
ση21 0
ηi =
、Q =
ηi2
0 ση22
˜ i−1 ≡ {RV1 , RV2 , . . . , RVi−1 }、ai|i−1 ≡ E[αi |RV
˜ i−1 ]、である。また、RV
˜ i−1 ]、ai|i ≡ E[αi |RV
˜ i ]、Pi|i ≡ Var[αi |RV
˜ t ] とする。尤度関数の計
Pi|i−1 ≡ Var[αi |RV
算においては、まず、a0|0 , P0|0 を初期値として与え、i = 1 として、予測方程式

ai|i−1 = Gai−1|i−1
Pi|i−1 = GPi−1|i−1 G′ + RQR′
から a1|0 , P1|0 を得る。次に、更新方程式

ai|i = ai|i−1 + Pi|i−1 H(RVi − ξ − Hai|i−1 )/fi
Pi|i = Pi|i−1 − Pi|i−1 H ′ HPi|i−1 /fi
fi = HPi|i−1 H + h(67)

から a1|1 , P1|1 , f1 を得る。これを所与とすると、同様にして、予測方程式から a2|1 , P2|1
を、更新方程式から a2|2 , P2|2 , f2 を得ることができる。
この一連の操作を i = 1, 2, . . . , T について繰り返して得られた ai|i−1 , fi を用い
ると、UC モデルの尤度関数はln L = −

T (
)
T
1∑
ln(2π) −ln fi + (RVi − ξ − Hai|i−1 )2 /fi2
2 i=1と表わされる。
なお、初期値 a0|0 , P0|0 は、

a0|0 = (0, 0, 0, 0)′ ,
56

(68)



2 wλω2

P0|0 = 




k

2

(

e−λk − 1 + λk
θ1 ση210)

θ1 ση2100θ12 ση21
0
0 

)
(

(1−w)ω 202 λ2
e−λk − 1 + λk θ2 ση22 
k

0



0

θ2 ση22θ22 ση22とした。

ϕ1 , ϕ2 , θ1 , θ2 , σu2 , ση21 , ση22 は、連続時間モデルのパラメータ λ1 , λ2 , ξ, ω, w によって与えられる。推定結果の解釈は、前者のパラメータを用いたほうが容易であるため、推定結果の表ではこれらを示した（詳細は 2.3 節の UC モデルを参照）。なお、
表に示した推定値の標準誤差はデルタ法を使って求めている。RV が正規分布に従うかどうかは不明であるため、推定値の標準誤差は Bollerslev and Wooldridge(1992)
による擬似最尤法の標準誤差を用いている。

57