確 率 数 理 工 学3
これまでの内容を逆にたどってみる.
o

分布関数F M : （で K は か な りEFA)（右連続）に）い ﬁa. F1川 FR)） 感がいい 感。死に1=が与えられたとする.
O

F に対応する(RAIN) 上の確率測度 P

臙：鬱；
！；
鱟"
.

まずp(cab ]）= F(b)-Fbi)

に対し、そのためには

l o lx a s E N
は吋測でなくてはいが一意に存在する.
eras

I tないで確率変数ea ] ） = FG) （とER) をみたすP が 存 在.
HE・，ほ）。

4簽ニ列）

ある確率変数xの定義(ab)埿代数なFlb)-FIG)

I品Fa ,晶補足資料① 8=1(a,b ] 1 - a E G E bE からは"集合半環となっている。などの集合族までに矛盾なく拡ら長できる？-1②b:]と互いに重なりのない区間 （た的に1.2.... ）に分割した時、a(G.b ] = 出Can.

（(ab]）=！Mai,b it)

Pは Pをみたすことが示せる（非自明）③ Hopfの拡張定理（の一般化）：
上の3つの性質をみたすS 上の集合関本文
P Siに 1 ] はS を含む最小の6- 加法族6(S) 上の確率測度へ一意に拡張される。

6（5）はを含む最小の6- 加法於̲A.

④ 6(S)= BCR) であることより.示したことが言えた.

確率数理工学3

1 / 15o

こうに拡張された
Pおよびその定義域であるBCR ）の性質を抜き出して書き下すと、.BR ）は6- 加法族（"'RE 「（2）AEた」AとF（F）|（3）A、.An...に1出た。F.

|Pは右隺辛測度f（1）HEF , O f PCA)ElCRB 側）の組を一般化して、に、F）汗測空間と書く.

Pに）=|

（2）

川 A nAr....GF （互いに排列H I An）=ERAu）（RBA ）.P ）の組を一般化してい、F.P ）と書き、石隺率空間と言う

68上の測度15）まで拡張する方法：たて1つを低熱集合上CIR に対し、外涅道がを

PTA ）：=Afin（HERR ）等の条件は課さない）

Bi

嶂無限個 R，132，...ESとおく.

こ こ で.

（PTAにi

館PCB ：

馿臖）:ES （有限側 化合）とするとな測度と呼ばれる
B i . . . i Bmday
i nf

ただしAc B.. は任意，ものになるが.これでは不十分である.

D：=｛DcR I P T D ) t PHD）

=1｝

とおくと.0 は6- 加法族になり、P*はD上の確率測度になる.（非自明、前回補足資料）

さらに、 SCO が容易に示せるので、 BCR ）=6（8）CDでもある。

Pの脈）への拡張をPCA ）=が（A） にAES ）も示せるので、他はDynkinの不入定理により保証される。
与えている。 拡張の一意性は確率数理工学3（前回の補足資料）

2 / 15をに、だけ測空間

X:n RがX'（（ex）=1WE r M o ) E x } E F をに扉な定義" 側に対しが EFPRjDFFPBM.
みたすとき、Xを石隺率変数と呼んだ.

Iなる事象は「1測であって欲しい：笘箆鬱鬱でiii.きないxME。｛ が1がの測なら.自動的に.UBE BAR ）にはし、これは次のような論理による.

ある集合族dにまで拡張される.というのは測度論で頻出の話| ある部分集合族1で成り立つ性質が&を含-む最小の6- 加法族|ーー

用いて確率数理工学33 / 15それを示す。 任意のKGB に対し、Bは開集合であることから、あるE>oが在在L.GE.HE)CB とできる。

すると、ある有理数8と有理数Doが存在し、出自蟵
兆 - >K （たとえばG (q-8 ，8t 0<8くもをIsとってきて、（）（S)C （）1-E,SHE)CB-8 ，とできる。

31+8）の中橋南 を数91つ取って来れば良い）をこのように、各Kごとに 8い.品を取ってきて.I」にしたが9っけ品）とおけば、BC 品。おである。一方. I n CB(he B）より品たCB なので. B；品局である。一方、Ex.Sn はともに有理数なので、品.Ixは高の「算1個の区間o n ， 機 が 、 y y o 。 ̲
このようにある距離空間は燗調が，の算な稠密部分集合をもつとき、「吩である」と言う何分な距離空間、「1分な位相空間）e。復習、ここまで

確率数理工学34 / 15

咀（多変量確率変数、多次元確率変数、確率がに、扑の測空間が（い.....Xn ）：r R" が多変量確率変数（確率ベクトル）⇐ >r

R が 確 率 変 数. i e , X i K a aD E F E a t

Myに". . n )別の安達

T:r 成が確率ベクトルかが（A)EF(TEB 側）.

長に砅であるてきた！た碆いた？！！！！：

石は連続関数なので「1測。叶測関数の合成は「1測なので、Xkもの測じたい.....h ）.

「（上の下）：

d=｛I,x...x In41で （Ie CanbeT. a t ） ｝とすると.A=I，がIn
あとは、Etに対し.が（A）=ただ（Ia)EF である。

GA）=B（1が） と が（6（t））=6ばば）に気をつければ.
が（BAR" ））=が16（か）=6（MAI）を得る.
。

TTQF なのでC Fで集合族が対で（第鼺）が（tにした（A)IAEA ｝と書く.

/

直積6- 加シ學： （ m Fa）（た1.....n ）を可測空間とする.

斎.si
r.x.in上の6加法族たがな
1 A , x x A nl A nET らを含む最山の6加えた̲
賑を怍
これを.直積6- 加法族と呼ぶ.

実は、BC）が 1皦る奴）
確率数理工学3である。（演習問題）

5 / 15甠（同時分布関数）

灬がで、|FGにFN......In)t Pl釧 をEh）
鬱：：：：..it |に，FP）：確率空間*九二（1.... ，Ku)ER" について、F(K. ）に）としたとき、 Fをした（K.....Xu ）の同時分布関委父 と言う（joint distribution function）

特にFa....、川=！！...f ﬂu......an)du....dun（ルベーグ積分）に？：：：鬱鬱.：：：：：..と言う.
fを同時確率密度関数
時'！：：：：：：：：：：：襲
下がルベーグ測度にいてE（同時分布関数の性質）
I .

a Ease,2 .

bint.at 。
ル、b,EhFいい）に） =Flab）

ル、
いbt o

3.

Flab.）E Fla，に）にい）に（単調性）（右連続性）ない）に）=0=1，ﬀg: F""" に0.ﬁ
名 ̲。

）

確率の連続性より極限の取り方によらない
ftp.3についても同様の性質
yが成り立つ.に 上 1次元の場合と同様にして.性質1.23を満たすFがよえられれば、（R".B 側）の確率測度が一意に決まる. （た入定理、㗅の確率数理工学3

拡張定砂t
前回補足資料を組 6 / 15

DI（周辺分布）

F（川）= FN、，to）=P(KEK ）にPM E X n k Ea））

周辺分布関数という.
（marginal distribution fund）

を、と のた（k）= P(Xz E N ） も 同様

より一般に Fhいた）= P（たかた） をXaの周辺分布関数と言う

Fellaにﬁfthと非負に1測）関数会を用いて書ける時.

for を 周辺確率密度関数という同時分布が絶対連続なら. 周辺密度は.

yfe Pla）=ﬀﬀﬂu......Um ，た，hi.....Un)dui dueで与えられる.

確率数理工学3

これだけ固定d e a du n7 / 15咀（確率変数の独立性）
X.. . . . s k i n . が独立t

FM.... ，xn）= FCK ）-̲- た（xn）にいい.... が）ER" ）/と分解できる.

同値な定義がいくつかある。以下の定義はその中でもわかりやすい定義である.

凹 .

X.....X:r.v. が独立もP MEA..... ，KEAn） にP自信熊川=脈が""？※！
脈制韓！
！

姃咖
下の定義が上の定義を与えることはすぐわかる。

！箔

逆を示したu、そのためにた入定ーー理を用いる。（前回補足資料参照）|

oたシステムi集合族PがたシステムもA.BE PならAnB E P
o入システム：集合族Lが入・システム⇐） a ) r e L

A,BEL,ACB

EL

（2）

（3 ）

正（Dynkinの不入定理）

Bite

A,CA,CA,c-E= ，eA n dL

注：6- 加法族はたシステムでも入・システムでもある。

あるがシステムLが、あるなシステムPを含む（PCL ）なら、6 （DCLである.

//が証明は多変数の場合は同様に帰納法で示せる

2変数で示すA ， = 1 f a n ] l KER ｝， d =K AGA ， 「BE A

また、
確率数理工学3

1人が23|KER ｝とする，前回の補足資料を参照のこと.

に対し.PIKEA、KGB に脈EA）脈EB ）で、6（A）=BCR ）、6（d）=BCR ） であることにも注意する.
8 / 15

今. A zE d を1つ固定して.とする.に LAE R R ) I P(KEA n K E Az)= P (KEA) PazEADY
Lsd. であることは独立性の定義から従う

人が入システムであることが示せればな入定理より. old, ）=BCR) はが言える.

(a) n=R E L . なぜなら P M E R , たEA)= PCX2 EA)=PG,E n ) PCX2 EA)-(b) A . B E L かつA C Bとする、

このとき.

"IK E AI nKEN) ）KEADY
P( X E (BIA) ， h e A.）=PHXEB hP(KEB, X zE A2）-P(KEA, X GHz)
A . B E L より T o P ME B ) P M GA z ) - P (KEA). MEA. ）=よって.

BIA E L(C) ATC I C . . .

E L

2=(P(KER)-PC x EA) ）PCX2 GHz)=P (X 、ERIA) ・P H E Az)

Pl(Ifのとき.

PIXIE ET. X i Az)：=e rが(H)= Y が(An) より

MEI,D n IKEA. 刂K A I n IKEA. を）（1には、1） に確率の連続性
n(MENPﬁg

二稿P MEin).P a 姤）=よって.

以上より L
つまり、P M E Y In).P a t Az)

I InE L である.

6(A) はは A- システムなので.

/"もが言えた、

矬兜鋓も使う.

「AEBM 、 「BEA に対し. P (AEK, B E X2）=P(AE x ) . P(BEXz).

BCR) を固定して.dz の方に適用し.

.AEさらに. 同じ議論を

6 ( d ) = BCR) と 6(A)= BCR)

確率数理工学3と伝の翔性）

まで拡張すれば良い.

/ /9 / 15

（独立性について続き.）咀（事象の独立性）
任意の部分集合I d に.... の4に対し.
A nAz..... AnE F が 独 立 がP（品PLAN、 Ah)=葒
y

事象の独立性の言葉を用いると.
先のr . i r の独立性は、EBR)
X..... Xuが独立 Xi'(Ai)..... が(An)が任意A...... Anのに対して独立.

は加法族とは限らない）と言いかえられる.

咀（6- 加法族の独立性）

同様に集合族の....tng sの独立性も定義できるな 上 の n 個の6- 加法族の..... たが独立.

任意のA F F , Az EE.... ， AnE たが独立.

がD/ /（確率変数によって生成される6- 加法族）

x:(r,下） (R.BR) ）

に対し、

def

" "。杣、集合の逆像で（作られ36 加法族）

1MA)1AE B(Rt}
6 ( X ) = が(BRI)/と書く。こ れ を. X の生成する6- 加法族と言う=

すると.

6(x).... ，6(Xn) が独立

K . . . . . X u (ru)でもある。

実は、先のXの独立性の同値性と同じ議論により、一次のことも示せる.

T h i n （参考）-t i . . . . . d nを rが(l)ニ ）確率数理工学3における非空な集合族とする.
（た1.2..... n )d k はたシステム
d . . . . . . d n は 独 立.

G ( d ) ，. . . . G Hn)も独立.

/ /10 / 15

密度関数を持つ場合は.
f (K.... ，）(n)=f （か）... fnGln)と書けることが独立性の必要十分条件になる.

区（正規分布）が した] e が、で平均

E= [ 着 差 I ER" た分散共分散行列( a j =区[Him)(Xg m ) ] ）同時密度f （いに）=，奩 （̲Iex p、定州一型等）

周辺密度if、いいに化 が ど( x m )92= E n = 0K（参考）：実は.TNいた）が2変量正規分布⇐ >確率数理工学3を.. たE R に対し、a x t d たが正規分布

9"-2⑦ との〇分布

11 / 15

条件付き石隺率
D I （条件付き確率）@B: 身長が170c m 以 上

が年収が500 万以上

事象B が起こったもとでの事象
A が起きる確率(A.BEF)

は三〇囨"/ /P (AIB)竺 P A IPCB).

ただし、PCB) t o とする.

B:固定のもとで.AE F - P A 113）は(RA)上の確率測度になっていることはすぐに石隺認できる.

well-deﬁnedにできない、PCB)=0の場合はた上この定義だと.

に対し.13={4=31} とした時等にそのような状況は連続でr. l i X
そのような状況も扱える条件付き確率の定義は起きる。

後で述べる、

丘（条件付き確率の公式）

積の公式

い）

P (AnB ) = P(AIR) PCB)に） Bayes の公式

2TTTTY|確率を逆ば結果から原因の算できる。
H.deの原因から結果の確率が⑥ PCAI B ) = 1 ' 例 興PCB)

T

特 に An.... Anが互いに排反か）

YAi n ならPA 113）= 1つ

都

確率数理工学3est側脈興）12 / 15週

人口の0.1% がかかる病気がある.

ある検査では、 病気の患者の99% が陽性を示し、健常者の 10%が陽性を示す。

この検査を受けてみて陽性だった時、本当に病気である確率は？
PGA1B) =病気

陽性

1つり刂礐ニ 加 側 が-

̲--

̲-

P(BIANCA) tRNAりPa y=0.99 0.00/-0.99
1+0.1 0.999

0. 。。

三0.0098--11% にもみたなu)に と ベイズの定理はロボットの自己位置推定や天気予報等にも使われている.

確率数理工学3

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