横手高校前の渋滞をなくすには

横手高校理数科２年 令和元年度 数学１班
メンバー 高橋 慶 神原悠靖
海野智也 戸嶋将幹
指導者

武塙 章太先生

1 はじめにある先生が「朝の生徒の送迎で、本校の駐車場が渋滞し、よく苦情がきて困っている」と仰っていた．そこで私たちは、数学と物理をベースとする渋滞学からヒントを得て、「駐車場の渋滞の解消」を最終的な目的として研究を始めた．

２ 研究目標並びに研究方針

図１

本研究では主にロータリー内の渋滞の改善を目標として、エクセル上で作成した車の動作プログラムを用いて研究する．
プログラムは次ページで説明する一次元セルオートマトン法を基盤とし、そこに我々が条件を加えたものとする．
ロータリーとは本校駐車場にある、生徒を降ろすために設置された図１のような道路のことを指す．
車の進行方向は矢印の一方通行であり、図中の赤枠内でのみ生徒を降ろすことが認められている．
この場所を本実験では「停車スペース」と呼ぶ．

３ セルオートマトン法（ルール１８４）について
セルオートマトン法（ルール１８４）の基本ルール
車がない状態を０、ある状態を１とする．
（ただし本実験プログラムでは車に識別番号をつけたため、車が存在していればその車の識別番号をセルに表示する．）
前に車が存在しているとき、１つ単位時間進んでもその車はその場に留まる．
前に車が存在していないとき、１単位時間進むとその車は１セル前進する．

図２ ルール１８４の実行例

進行方向→t時
間0の311121241212
1
経 56 321過↓ 7 3218934

1034

11122021222388783

51234531234512456124672461357246135724613572461357246135172461351924613516183514124131522341123121このルールの例を４ページに示す．
ただし図３および図４中の車の進行方向は右向き、単位時間の経過は縦方向とする．
ここで図４のように「単位時間 0 のときの停車スペース」、「単位時間０のときの停車スペースの両隣」、「単位時間ｔのときの停車スペース」を組み合わせたＴ字を「基本型」とする．

図３-2t-t

図４0ｔ

基本型

４ プログラムのルール
本実験に用いるプログラムは前ページで説明した、セルオートマトン法に加え、下記のルールを追加する．
・進行方向は右向き．
・停車スペースで車は３単位時間停止．
・区別するために各車に識別番号をつける．
・停車スペース前で２台以上車がつながった状態を「渋滞」と定義．

５ 条件の追加
５‐１ 停車スペースについて

図５

ルールより、過去２単位時間分の停車スペースの状況を表すセルを確認する必要がある．これと基本形を組み合わせる．ただし最終的に黄セル内の数字の並びになればよく A～F は実験対象外なため省略した．
色部分の数字の配置パターンは 2 の 5乗で 32 通りだが、除外するものが出てくる．その例としては、図６のようなものがある．

図６

この図の丸からは停車スペースで車が三単位時間停車するというルールが無視されていることが分かる．
このようなものを除外していくと考えるべきパターンは全 22 通り．

５‐２ 停車スペースの両隣の列について
ここで、停車スペースに特殊なプログラムを組み込んだため、この列の両隣の列について再検討する必要が出てきた． 停車スペースの左隣の列については、この列は停車スペースで車が止まっていても、その影響を受けないので、この列はルール 184 をそのまま使用することができる．

図７・８ 停車スペースの右隣の列のプログラムの検討
図７

図８

前ページ図７および図８は、観測地点が停車スペースの右隣りの列のときを表す．
図のような状況が発生したとする．設定上のルールによってｔでは車が動かず、赤丸のセルは空白でなければならない（図７）．
しかし、この列にルール 184 のままプログラムを実行すると（図８）、灰色の車は１マス進み、赤丸のセルに灰色の車が来てしまう． このとき、車が停車スペースで 3 単位時間とどまっているかを確認する必要があり、基本型に加え、 -2t 及び -t における停車スペースの状態を表す赤枠のセルを考慮したプログラムを作成した．
停車スペースのプログラムと同様にプログラムを検討すると、考えるべきパターンは全 24 通り．
以上をもってプログラムは完成したものとする．

図９ 特殊プログラム実行例

進行方向→停車スペース

t時
間の0経過5↓1112312461223733888678910678968323237

111234354354567124579262768254579467234512357224612357246135724613520246135192435612417213514124161241318241115131012128912223454654653334

６ 仮説・実験仮説
ロータリーの入口を設定し、一定期間で車をロータリーに入れたとき、入り口と停車スペースの距離を伸ばすほど、渋滞ができにくくなるのではないか．
◎実験方法
入り口と停車スペースの距離を、プログラムの左端から停車スペースのセル数とする．左端のセルには一定間隔で車を流入できるプログラムを施した．例えば、この図では２単位時間ごとに一台車が入るようになっている．停車スペースの前で渋滞が生じた場合、そのまま時間を経過させると最終的にはロータリーに入った車が、入口ですぐに渋滞に巻き込まれる．このときロータリーに入った車の識別番号を「限界台数」とし、入口と停車スペースの距離を変えたときの限界台数を求めた．（下図１０参照）

図１０

◎結果

図１１ 停車時間、流入間隔がともに 3 単位時間の場合
入口との間隔234 56789101112131415

限界台数

246 810121416182022242628

図１１は車の停車時間と車の流入間隔を 3 単位時間と固定して駐車場の位置を変えた時の結果である．予想通り停車スペースを入口から離すほど限界台数が増加していることがわかる．私たちは、限界台数の増加割合が一定であることに気づき、これらを式として表してみた．その結果は下の通り．
入口と停車スペースとの間隔をｘ（セル）、限界台数をｙ（台）とおくと、y=2x-2となり、私たちが計測した範囲では一次式に表すことができた．

さらに、停車時間および車の流入間隔を変えても関係を式化できると考え、それぞれを 2～４単位時間に変更して検証を行った．その結果が図１２である．これらを式化してみたところ、下の表のようになった．渋滞が発生した場合では、一つはガウス記号を使った式になったものの、すべて一次式で表すことができた．

図１２ 停車時間、流入時間を変えた時
入口との間隔

流入間隔‐停車時間

2345678

9 10 11 12 13 14 15

2-22345678

9 10 11 12 13 14 15

2-32345678

9 10 11 12 13 14 15

2-42345678

9 10 11 12 13 14 15

3-2

発生せず

3-32468 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

3-4235689 11 12 14 15 17 18 20 214-2

発生せず

4-3発生せず

4-425811 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41

図１３ 式で表した結果※入口との間隔をｘ(セル)、限界台数をｙ(台)とする
停車時間 ×t2
流入間隔 ×t

34

2 y=x

y=x

y=x

3 発生せずy=2x-2y=[3/2x-1]

4 発生せず

発生せず

y=3x-4※ガウス記号［］は、括弧の中身を超えない最大の整数を表す

７ 考察
６の仮説・検証でわかったことは次の通り．
〇予想通り、入り口と停車スペースを離すと限界台数が増加する〇計測した範囲では１次式による表現が可能
・停車時間を変更しても、流入間隔が 2ｔのときは式が一定である．
・流入間隔と車の停車時間が等しいとき、ｘの係数がt の係数マイナス１である・流入間隔が停車時間よりも長くなると渋滞が発生しない

今回の研究を通してロータリーにおける降車場所は入口に遠いほうが、渋滞ができにくいということがわかったが、これはあくまで理論値であり、駐車場の入り口付近のすれ違いなどについても考慮する必要もあると思った．また、計測した範囲で、渋滞を式で表すことができたので、高校前の車の実際の通過台数のデータをとることができれば、様々な条件に応じたシミュレーションを作ることができるのではないかと思う．

８ 写真提供
表紙写真

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学校ロータリー

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９ 謝辞
私たちの研究の指導・助言をしてくださった、武塙 章太先生にこの場をお借りしてお礼を申し上げます．ありがとうございました．