確率数理要論い）
講義頲
l.
2 .

3.

4.

5.

6.
7.

確率空間

確率変数と期待値 1単調収束定理法たの補題便収束定理）
独立性と大数の法則

確率変数の弱収束

特性関数と中心極限定理
条件付き期待値
Poisson過程

10.

t.ee展開、再生核ヒルベルト

Gauss過程と機械学習応用 （Kahuna

確率積分（伊藤積分）

空間）

マルチンゲール

11.

伊藤の公式
確率微分方程式

12.
B.

鋳造・。
。

舟木直久「確率論」

佐 藤 坦 「測度から確率」

伊 藤 清 「確率論」
Pa r r e t t「Probability,TheoryoResnick「A Probability Path」のDudley「Real Analysis and Probability」。

確率数理要論1（Gamma.Levy,Dirichlet過程）

Brown運動8.

9.

しPortmanteauの定理）

and Exchanged

1 / 11I.
確
率 ' 學が標本空間（空間）籮き簽澍..籮選
要素wedで実際に何が起きたかを表現
・

A c r t c
.一定期間に届くメールの件数： r=10.1.2，3....｝

Exams.

無ア良回のコインな足げir=｛w=（Wi,Wz,us....）IW i E｛0/1｝｝

これから事象の"確率を定めてゆく.

D I

16-加法族、完全加法族）
rの部分集合を要素とする集合族Fが次をみたすとき、Fを6-加法族（完全加法族）と呼ぶ.

） A|（l)

YET

（2）

E F

A C E F13）16が遡An E F（には、...）

扉算糸籌2までは要求しない）

YA : E F/

任意の集合ACR上に確率を定めようとすると、矛盾が生じることがあるb（ルベーグ非可測集合i

矛盾が生じない範囲に限定して確率を定める。

P(EtAn）=1.P(An）=0でKYT）キERAn）となる）

確率が矛盾なく定まっている事象の集りを用意する、それが6-加法族.
確率数理要論1

飋ジ"
2 / 11

Iと下の糸且（IF）を叮測字興と言う.
F の 元

可測ーー集合 と言う.

を6-加法族の中でも特に重要なのが一次のBe集合族.
（Borel集合族l）Sの開集合を全て含む最期後が位相空間）

越えBorel集學と言う
B(S）と書く.

Borel集合族の元をBorel集合と言う.

咀（確率測度）には）：可測空間
集 合 関 数 P F→Rが以下をみたすとき、Pを確率の學と言う.

|い）

PCA)ElP(r）=|O E（2）b)( K A E F）

A i . A n As-_をみたすなら.

EFがAuntief（有限と無限を矛盾なくつなぐのにHEY A i ） = IP(An）（うな）［6-加計画P h iA：）が定義される 必要.e.g.、積分、極限）
ためにはYi EFが必要（下の6・加法性）
Pがい.下）上の確率測度のとき、（n.F.P）を右庫率ーー空間と言う
確率数理要論13 / 11珏サイコロr =1 1 . 2 . . . . . 6｝

（1）P（1w｝）=
JP（1WE31WEr3）=

P（1に、31）（p(WE3） とも書く） =P(En）+p（12］）+P（｛3｝）=（2）

10，1，2，3，

I L =

Ac-_｝

-に対し、

I

主E n 噐どのは 確 率 測 度 （Poisson分布）
PCA）=※ 一 般 に T 算集合r のとき、 0 E h ( w ) E l か ？
品た（w）= 1 である h : R → R に対し、
PCA）=臿た（w） は 確 率 測 度

Cor-（R.I.P）：確率空間.
以下が成り立つ：（1）（2）

P（0）= 0

（有限加法性）A : E F （に1，2，-_-，n)
A i n A j = 中 にもう）P(I.A..）（う）（4）
確率数理要論1=PCA'）= 1-PCA）
ACB

EP(Ai）

PCA) E P ( B ）（単調性）
4 / 1115）

A .C AaC-_-p(YA i）（6）=JP(An）

A、>A2つ-_-P(GA：）=確率の連続性JP(An）（今後色々な定理の証明で用いる）（7）

At,Az....EF,A n n A j = 中 にもう）とは限らない-

P(YT) E I PA ）_-/

（証明は省略、 自分で和7）o''最小の6-加法族"について.と（た）u e u ：品た=F1型（1）EuE U（2）

（3）

A E F

（非可算濃度も好す）

6-加法族の族

もまた6-加法族に つ い て R E Fuなので、KUENでAE F u

REFでもある.

t uEUでACE Fu

ACE F
A i E F（ない.2....）

h e E ひ で A i E F u した）

VuFa
EUでYA （な加法性）

YA i e F
確率数理要論1

yi E

x5 / 11

あるrの部分集合族dに対し、dを含む最小の6-加法族
一一が定義できる：
6（d）

A F
FAを含む6加法族

例： Borel集合族は、全2の開集合を集めたAに対し、BIS）=6（d）で与えられる。

これ以降 には、P）は与えられているみのとする。

（構成のしかたは考えない）
しかし、 以下のようにして構成することができる.

tl集合半代数）
集合族Sが集合半代数や（l) t . I E S
f（2）SA.BE|13）

A n B E S（たシステム）

AESなら、ACは互いに排反な有限個の集合
B i . . . . . B n ESに分割される：

例： r = R .

Aに！B：（ B i E S , B i n Bj=中になっ）y

S=1（a.b］1-as a（半開区間）

E b

E e ） は集合半代老久で"'''もったいな"'''T
確率数理要論1「（正確にはb=のときはcab））

6 / 11亟（Hopfの拡張定を里（の一般化））

集合半代数S上の6-加法的な集合関数P'S→的でPls）=1 をみたすものは 6（S）上の確率測度へ一意に拡張できる.

y※ PがSEE加法的：なら、E S（には、..-）が自生［fAj=中にな）なるAnAin

H E An）=EP.（時.
-な例： E R ，

後述の分布関数を用い2P（（ab））=F(b）-F(a）とすれば.

S=1（a.b］1-集合間考えが得られる.
さらに、RR）も成り立つ

よって. P は

確率数理要論1=6（s)Ea E b E｝ 上の6-加法的なt

Erチェックせよ.

RR）上の確率測度に一意に拡張されるi.

7 / 11o

実数軸上の確率測度
n = R（R上のBorel集合族）

F=RR）

P：（rt）上の確率測度（以後、R上の6-加法族はBorel集合族を考える）

咀（累積分布関数）FM）=

くW E N D

P（たかい）=P（｛WER1-（）（ER）

を （累積）分布関数と呼ぶ。

竺（分布関数の性質）

Fは単調非減少（2） F は 右 連 糸 売 ：（ F M E F は ） for）（Eま）

（l)

ffg
（3）

F（川=yFは）（逆は成り立たない、無切Fa，=，ftp.FGI）=0、nな形キFM)x（証明は確率の連続性からすぐに示せる）
逆 に （り〜（3）の性質をもつR上の関数Fが与えられれば対応するかわ上の確率測度が一意に定まる.

p

← >

F

（一対一対応）とHopfの拡張定理

確率数理要論1

8 / 11

ピ仰キ0と同値しbin FG）くFla)m（チェックせよ）

aTipKai）

が成り立つとき、 「点aでジャンプがある」と言うジャンプがある点は高々7算個である.

x(Pr..f)

Na）=N{al） とする.

A = 1 a E R I h la）>o｝ とする.

A n = 1 a ER1ha）る方）とすると、
A=に？An である。
ここで1 At Enはすぐにわかるので、 Aは高々可算.

（：I ED I𦥯悊

IAn1一方 でHnl E n )x？

F）（ERに対し、F（川=Hof M d tなるf:R→Rが存在するとき、f を 下の確率密度関数と言う

このとき、

匤

Fは絶対連ーー糸売であると言う

g

正規分布、一様分布、ガンマ分布、 指数分布
（ポアソン分布、二項分布 は絶対連続ではない）

Radon-Ni Kodym の 定 理※

ルベーグ測度Nに対し、 ME）=0をみたす任意のE EBR）についてPCE）=0 となるなら、 Pに対応するF）は絶対連缶売.

確率数理要論1

9 / 11

多次元空間上の確率測度o「上の確率測度Pに対し（11で、B1が1）

P（にかい）x to、名］×-.-x（一 ，灯）F（っしい）に，-.-，）（n）：=P （｛WEがI W i E） （ i に1.....n）｝）=gP（（a、，hi］×

P （（a..h)=恋-（-_-bz］×-_-x（一・.bn））

F(h.bz.....In）=.

（同時確率）分布関数 と言う.

をx-F(a,b2，....bn）(az.bD x - _ - x (an,bn］）-_-，）（man）
F(Kim，金... 嚞（-1）"""

Hi.。 =

ただし.

bri, I n ， = G iiとする.

La（分布関数の性質）（I) F は 単調非減少

Fは右上連糸売

（2）

すなわち

x i

F(x） →（ろ）binY-） -o

確率数理要論1

Yi（かるん した=1....n）=） F M E Fly））に1.....h） なら

F（ま）

FG.....が...kn）=0，（がfix Hj））

binF 川がGo，...、十=）1/
10 / 11!
「k い い . . . . x い E が に対して、下にし......が）=fが-_-fEHt......た）dt . r . d kが成り立ったが→Rが存在する時、f を 下の 同 時 確 率 密 度 関 数 と 言 う .

確率数理要論1"

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