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"確率数理工学に）#"？！！.
𥓙：：：：な鬱※鼠憲疢！！！！
凞が？で咄確率変数）

いたが確率空間.

：：：：：：簽
鬱：.......：：：i「確率変数が1tape
関数X:s-Rが.なERでが（は、x］）：=1WE

r|X(w)ED
宏・ 米父（random V a rと呼ぶ。

（ru.ともく）

ACTに対し、でo f wer1×（w）が3のことを｛Xがらやハルに川と書く.

、

A測関数」
「町測関数」とも言う

o任意のボレル集合BEBCR）に対し.X'（DEFであることと、上記の定義は同値.

（証明は後で与える.）oより一般に、「1測空間に、F），（MF）に対し.
※ n → N が 、UAEなどが（A)EFをみたす時、Xを みた叮測関数と言う（このとき.X：（r.F）→（it'）と書いたりする）には）（t.FI熖一〇・が一〇べげExである確率ば測れて欲しい，TEACHER例）である石隺率は測れ型.he｛金銀、銅、はずれし たが（全部分集合）る」の確率変数

賞金X（金）=too.X（銀）=100，X（銅）=10，X（はずれに0P（金）=0.1，P（銀）=0.2，P（銅）=0.3，P（はずれに0.4
確率数理工学2 (2022)

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#-_-_me_。A：蕪：：：
I - _ - 一XIA)EF-E BAR）-

w1-）X(w)Te,！

が（1-a,a］）|：：超"= ｛ W E N X CW E a }E Fiii.
派"

幽州する確率崩/一人をたて）kw)
ランダムにw の

身長が（は、170］）=｛170cm以下の日本人と確率数理工学2 (2022)

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「長がN.や曜⇐B=（一、a］にかぎらない、←「BEBCR） に対し.が（13）はは自明。 なぜなら、「a E R で は、a]EBR）であるため、を示す（BoはBCR）の部分集合、これがB . = 1 B EBCR）|X'（B)ET｝ とおくBCR）と一致することを示したい）

確率変本文の定義より G a a ] E B 。 （IER） である。
しかも.Boが6-加法族であることもわかる。
い） が （ R ） = R E F （下の定義より）（2） A E B 。

T e n tX'（A)EFなの定義（3）

A..An... E B 。

なぜならなので.REB。 ！（チェックせ（MAI）にFよ）

が（パ）eFA c e B。

が （An)EF（h）

Yが（An)EFで下は6加法族）

y ( Y An)EFじ駅（An）=が信州恕囁問題I A nEB。

以上より B . は ｛E・.a］1GER｝を含む最小の6-加法族を含む
それは RIR）である （i次ページのLemより）。
つまり. B(R)CB。 となるので、

確率数理工学2 (2022)が示せた.

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部分集合族tに対し、tを含む最小の6-加法族をdid）と書く、

凸A = 11-a,a］1aERIに対し、 6（A）=BAR）

，

Prof

E t c BCR）はすぐわかる。 よって. 6（AKBCR）である。

逆の BCR)Cdt） を示す。 そのために、6（d）が任意の開集合を含むことを示せ

ば良い、

これは、任意の開集合Bは、可算無限個の開区間（a-Sats）の和集合として書けることが示されば十分である。
なぜなら、 開区間lab） はlife.beたハト・，a］ と書けることから.

6は）に入り、 6（かの元の可算無限和でBが表せるなら6-加法性よりB Edt）となるからである。
任意の）（EBに対し、 Bは開集合であることから あるE>0が存在して、C）
1 - E . t tE ) C Bとできる。

すると、ある有理数 9.5が存在し、-K G_-（9-8，9+8）C(KE.atE ) C Bとできる.
（たとえば、0〈S<E を1つとってきて、 （K-S.KtS）から1）9E良い.）

このように、各Rごとに.あるかEとおけば、BC品In，hEeを取って来ればが存在して、 Ix=（9x-Sx,atSc）

である。

一方 な G B で I nC B なので、 出なくB. よって、 B = 岩BI xである。

さらに、私Sxはともに有理数なので、 an※ は可算集，Do，ヨ）（GBでEh.にScであろU l（8-8.9+81/8，SE合

B=うと書けるので、 これは 区間の高行算和.
よって、「B：開集合 は BE6（t） である.

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o

X:resist'の部分集合
6（B'）をB'を含む最小の6-加法族とする
族B'に対し、F'=GCB）なら、「Xが計測 ← > U A E B' に対し. が（A)EF」
TF'ではない.

が成り立っ.

（B'はF'を"生成する.Xの71だけ測性を担保するには.B'における叮測性のみ調べれば十分）.

（演習問題参照）o※（R.F）-）に'.F'）， Xa：（でF'）-）に".F"）（の測関数に対し、

k=Xz。X、： W E Rいた（かい）Er" も F 1 だ け 測 .

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トキの下に（R.B（仏）のとき、X:I→Rが連続ならXは 叮 測が（（a.か）は開集合なので（Xの連続性より）.

（Proof）が（（aa））EBCR）であるよってX'（にでもある。

s1 /咀（分布関数）☆
重 〇X i ru.

DEADa］）=が（（ac r e s s・

要っrandom variableの略てFM）=P（｛werI X(w)Ex｝） （KER）とすると、Xの（累積）分布門學 と言う.

F を（Cumulative distributionfunction,C型

F（水）=p(XE）し）や.FM=N｛×（w）壬川）とも言こ
す，たが定義されるためには

先のくじびきの例：

䰗 jiが一.TL?
jYFa

ハ任っりが汗測である必要がある.
Xがt.irなら、2の叮測性が担保される.

i .iiii.s，

䰗（銅） （銀）型（分布関数の性質）い） っくくり（金）

下にEFは）

右連糸売（単調非減少）

（右連続）

（2）

感a。下川=Fla）（3）fine形に0， 感がルにI※ fyi。下川=Fk ） と は 限 型

しかいた極限は興

確率数理工学2 (2022)|，た「！"彧た極限祭金払）1想派）

6 / 12%(Proof）（I)

A=1w|X(w)Ex3，B=1w|X H E Y ｝ とおくと.
）（Ey より、 ACBである、確率の単調性よりPCA)E PCB）である。

（2））いった>-.->aで考える.

ffdn=Gである数列をJ1爍！=嶋基に注意すると.

［そのw
怠炎で？！iii.
は敗に任っり）

をつはすぐわかる

石隺率の連続性より.

h i Fが）=fig Pan）=PCA）=F(a）である.に入らない。

何 も同様/ /Remark （次回、より詳しく述べる）

金にしりいろ）をみたすFMRが存在したら、対応する CRB側）上の確率測度Qが一意に存在する、そのQはQ1（-a,a］）= F k） はER）.Q（（ab》=F（以下（a）

した<b)

をみたす.

QF-（分布）（測度）

Pを調べる代わりに.Fを調べた方が楽なことが多い。（弱収束など）
nR

p ×一つ下に爾が新定まる
Q""派一例でもあ
確率数理工学2 (2022)|でもがが外脈制Pの4によるpushy
これをツがタグ言う.

る、Q=X#Pとも書く.

-7 / 12!

I(rFiD-.-𤺋
！
@i-.f"㘅

I

州
しPIMA））=Q(A）

例：2=［0/1］たがい），には上の一様分布X(o）=Iなら、｛WENX(w)Ex｝ニ｛WEI I W E x）

=ftp.WEke？
い いPhotoF"）=|R(o（troExEI）：
（x>1）

※f豔

Eに1）=にa s い※-に移り！！鑵"瞬HI=F'（川=エ| （coast一作業𤄃！
）側が（は、別

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等しい
8 / 12&

確率分布の種類連 続-

絶対連続｛-特異連続-離 散-咀（連続分布）にしERにおいてFNが連糸売、つまりPCにつく）=0（しaR）と鬱鬱
𣷓....ii！灣
鼗に筮が濹=扉."1）（関係ないことに注意

Fが連糸売である非負関数fを用い（Borel、測）（絶対連続分布て一一反例を作ってみよ）

だい=fi f ( u ) d uと書けるとき、その分布は絶対連続であると言う.

fを右隺率密度関寿久（probability densi f function,pdf）と言う地（Radon-Nikodymの定理）

連続である.

！

ME）=0をみたす任意のEEBCR）について、PCE）=0である.

⇐Fは絶対連糸売/こちらを定義としても良い.

&（一様分布）区間［a.b］，で［9.b]i[a.6］上の一様分布"""に信！！？
［㷀鏜i j（otherwise）

adf.FM=（Ka)（xEca.D).

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@Ex.l正規分布）-ガウス分布」とも言う。

平均MER、分散63o
faに兗.aptly，，Er覚える

M f.........i

N(M62）で表すーーも分布と言う
N10.1） を標準正夫「adf.EC川=1でflu)du を誤差関数と言う.
咀（特異連続分布）<一（今は覚えないでも良い
Fは連糸売であり、かつあるEE BCR）に対してPAGE）=1かつ.ME）=0（ルベーグ測度）が！！！：：：.......！！
：ie..
：鮗：：
密度関数をもたない！

巫r=［0.1），たBUH）），Pをに川上の一様分布とする。

w=E岳なる2進数展開を用いてX(w）=E2台 とする。

io .が-_Ii燕：摩○KPack）=1

一方.

Mk） =0である。

（Kは非可算濃度だが.
ルベーグ測度=0）（Mk）=が知らx-_-.=o）（聖鬱𥶡：籮？籩饠
線分のまん中の領域を取り除くという確率数理工学2 (2022)）

10 / 12&DI（離散分布）Xの取りうる範囲が高々可算個。

つまり、あらたにいた，-.-｝CRが存在して、（有限個でも良い）

書PCX=m）=1が成り立つとき、 離散分布 と言う.

f(Va）=P（がた）のことを、確率質量関数と言う.
a bi l iG mass function，の（probで与えられる。

分布関数はF（川=Sex H a t
巫（Bernoulli分布）

Esteコイン投げ2回表 Iに｛0/1｝， O s o E lp .m f.

/ /f（り=0， HO）=1-0

一座に項分布）Ber心と記す

裛 O.

性には）は、，。，.az？こ
表が出た回数たのでは、の嶺が投げでに｛o.1.2.....n｝（nE N )n同

OEO E l .

B(n.0） と記す（Poisson分布に10.1.2....3，）

R > omsn.f.HR/=E

稀に起こる現象が一定期間内に起きる回数の分布：--

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工場で1日に生産される不良品の本文

宇宙線を1時間に観測する回数
11 / 12（補足）I（ルベーグの分解定理）（R.呦）上の確率測度Pは、絶対連続な分布R、特異連続な分布に、離散分布Bに分解できる。すなわち、

OEO..02，03=1，0/+02+03=1である 01，02，0，を用いて.に0，R+02B+0313と分解でき、さらにこの分解は一意である.

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