格子QCDに基づくチャーモニウム-核子間相互作用の研究
河内 太一
共同研究者：佐々木勝一

2010.12.02 研究会『ストレンジネス核物理2010』

なぜ チャーモニューム-核子間相互作用をやるのか？
✦ 陽子(uud)とチャーモニューム(ccbar)は共通のフレーバーは持たない。

1) クォーク交換力を含まない。
2) 多重グルーオン交換が支配的。
相互作用が陽にQCDに依っている。
→ カラーファンデルワールス力の問題 (引力的？長距離力？)
H. Fujii and D. Kharzeev PRD60, 114039 (1999)✦ ηc 粒子(JP = 0- )、Ｊ/Ψ粒子 (JP = 1- ) は比較的長寿命。

(DDbarに崩壊しない)
原子核内においてチャーモニュームはパウリの排他律起源の斥力や原子核吸収など、複雑な多体効果は無視できる。

じめになぜ チャーモニューム-核子間相互作用をやるのか？
チック原子核”の世界

Σ,Λ,Ξ粒子＋原子核）✦ チャーモニュームと核子間相互作用が引力的でありさえすれば、核子数Aを増やせばいつか原子核に束縛する可能性がある。

核束縛状態● 現象論モデルでは、

roduction • A≥3の原子核に対してチャーモニュームは束縛する。
中間子原子核
モニューム原子核

原子核•核物質中におけるチャーモニュームの束縛エネルギーがO(10)MeV
Brodsky, Schmidt, de Teramond, PRL 64 (1990) 1011
D. A. Wasson, PRL 67 (1991) 2237の示唆に仮定。
ム(ccbar)原子核、、、、

V. B Belyaev et al, NPA 780 (2006) 100実現する可能性が可能性?

Brodsky et al.,

✦チャーモニューム-核子間の2体相互作用がチャーモニューム原子核PRL 64 (1990) 1011
形成の直接的なカギとなる。

ポテンシャルを精密に決める必要がある。

ューム核子相互作用

なにを 計算するか？

チャーモニューム-核子ポテンシャル
V(r)チャーモニュームと小数核子の多体問題

現在NN wa1.00.4

0.5

0.2

-2

0.0
0.0

-1
x[fm]00.5

1

1.0r [fm]

-1

2 -2

1.5

2
10 y[fm]

2.0

repulsive core at r & 0:5 fm with the height of about afew hundred MeV. Also, they have an attraction of about!#20–30$ MeV at the distance 0:5 & r & 1:0 fm. The
solid lines in Fig. 3 show the one-pion exchange contribution to the central potential calculated from!
"g2 ##~ & #~ $#$~ & $~ 2 $ m" 2 e!m" r;(5)
VC" #r$ " "N 1 2 1
34"2mNrどのように ポテンシャルを計算するか？
FIG. 2 (color online). The lattice QCD result of the radial
dependence of the NN wave function at t ! t0 " 6 in the 1 S0
and 3 S1 channels. Inset shows the two-dimensional view in thex ! y plane.

beyond which we plot only the data locating on the coordinate axes and their nearest neighbors. As is clear fromFig. 2, the wave function is suppressed at short distanceand has a slight enhancement at medium distance, whichsuggests that the NN system has a repulsion (attraction) atshort (medium) distance.
Figure 3 shows the central (effective central) NN potential in the 1 S0 (3 S1 ) channel at t ! t0 " 6. As for r2 in
Eq. (2), we take the discrete form of the Laplacian with thenearest-neighbor points. E is obtained from the Green’s
function G#r~; E$ which is a solution of the Helmholtz
equation on the lattice [9]. By fitting the wave function!#~r$ at the points r~ " #10–16; 0; 0$ and #10–16; 1; 0$ by
G#~r; E$, we obtain E#1 S0 $ " !0:49#15$ MeV and E#3 S1 $ "where we have used m" ’ 0:53 GeV and mN ’ 1:34 GeV
to be consistent with our data, while the physical value ofthe "N coupling constant is used, g2"N =#4"$ ’ 14:0. Evenin the quenched approximation, the one-pion exchange ispossible as the connected quark exchange between the twonucleons. In addition, there is in principle a quenched
artifact to the NN potential from the flavor-singlet hairpin
diagram (the ghost exchange) between the nucleons [13].
Its contribution to the central potential reads [14]: VC% #r$ "格子QCDシミュレーションによりg2%N $~ 1 &$~ 2 m" 2 1m20!m" r . Here g%N4"
3 #2mN $ #r ! 2m" $eand m0 are the%N coupling constant and a mass parameter of the ghost,respectively. The ghost potential has an exponential tailwhich dominates over the Yukawa potential at large distances. Its significance can be estimated by comparing thesign and the magnitude of em" r VC #r$ and em" r VCeff #r$ atlarge distances, because VC% #r$ has an opposite sign between 1 S0 and 3 S1 . Our present data show no evidence ofthe ghost at large distances within errors, which may
indicate g%N ' g"N .
Several comments are in order here. (1) The asymptotic
wave function at low energy (E ! 0) is approximated asN.
ishii0 #k$*et!al.,r)a0 PRL 90, 022001 (2007)!asy #r$" sin(kr)&r , where &0 #k$ (a0 ) is the s-wavekr

チャーモニューム-核子ポテンシャルを求める
ハドロン間のBethe-Salpeter振幅からポテンシャルを導出する定式化

4003001S0S1OPEP
350

VC(r) [MeV]

VC(r) [MeV]

500

100

0200
1000.51.01.5r=0.00fm

500

r=0.14fm

400

r=0.19fm

3000.51.0

1.52.0r [fm]345678782.000.0600

2-500.0

VC(r) [MeV]600

200-20-40

r=1.37fm
r=2.19fm
r=0.69fm

23456FIG. 3 (color online). The lattice QCD result of the central
相対論的重クォーク作用の定式化(RHQ作用)A. X. El-Khadra
et al., PRD 55 (1997) 3933
[V #r$] in the(effective central) part of the NN potential V #r$t-t [lattice unit]
S ( S ) channel for m =m " 0:595. The inset shows its
enlargement. The solid lines correspond to the one-pion exFIG. 4 (color online). t ! t dependence of V #r$ in the S
チャームクォークの扱い。
channel for several different values of the distance r.
change potential (OPEP) given in Eq. (5).
103

C

1"eff
C0'0

022001-3

C

10どのように ポテンシャルを計算するか？
１粒子の計算（２点関数）30=

�0|φ(�x, t)φ̄(0, t0 )|0�∞
��0|φ(�x)|n�e−En (t-t0 ) �n|φ̄(0)|0�

n=0∞
�

第4章

格子 QCD によるチャーモニューム-核子間ポテAn �0|φ(�x)|En �e−En (t-t0 )=4.2.2 interpolating
n=0operatorst�t0−−−→ A0 �0|φ(�)|En �e(4.1.1) に挿入されている
ηc xと核子の結合演算子は、アップ、ダウンクォーク場の演算子−m(t−t0 )チャームクォーク、 反クォーク場の演算子 c(x), c̄(x) によって構成され、 ここでは虚時間遠方の振る舞いから基底状態を取り出す。

Operator

N (y) = "abc (ua (y)Cγ5 db (y))uc (y)ηc (x) = c̄a (x)γ5 ca (x)とする。 C は荷電共役行列である。ここでは、 核子の演算子については 3 つのクォー点上に置く。そこではまず ダイクォークを組み、残りのクォークに核子の持つスピノ

どのように ポテンシャルを計算するか？
２粒子の計算（４点関数から次のようにBS波動関数を定義する。）==�0|φ(�x, �y, t)φ̄(0, 0, t0 )|0�∞�
�0|φ(�x, �y)|n�e−En (t-t0 ) �n|φ̄(0, 0)|0�n=0∞
�n=0t�t0−−−→An �0|φ(�x, �y )|En �e−En (t-t0 )A0 φηc -N (�x, �y )e−E0 (t−t0 )BS波動関数M. Luscher, Nucl. Phys. B 354 (1991) 531
N. Ishii et al., PRL, 99 (2007) 022001
S. Aoki et al., PTP, 123 (2010) 89

格子 QCD によるチャーモニューム-核子間ポテンシャルの計算

どのように ポテンシャルを計算するか？
N. Ishii et al., PRL, 99 (2007) 022001

N. Ishii et al., PRL, 99 (2007) 022001
Aokial.,123 (2010) 89S.S.
Aoki
et al.,etPTP,123PTP,(2010) 89

φηc -N がSchrödinger 方程式
BS振幅(波動関数)が定常Schrödinger方程式を満足するとすると
Eφηc -N ("r) +を満たす。

∇22mredφηc -N ("r ) = V ("r )φηc -N ("r !)Input; E, mred, ΦηcN(r)Output; V(r)φηc -N⇒ 4 点関数E⇒ 4 点関数mred⇒ 2 点関数

計算結果● クエンチ近似(クォークの真空偏極を無視)の結果● 2+1フレーバー フルQCDシミュレーションの結果

of Tokyo, JP

クエンチ近似の下での計算結果

0 (Tues.), 2010, Izu, Japan
セットアップ(クエンチ近似)

セットアップ
ed lattice •QCD
クォークの真空偏極を無視
クエンチ近似sults can be•foundin
格子サイズ
格子サイズ333asaki, Phys. Rev３D82,091501(R)(2010)
L×T=32×48,16
33L ×T = 32 × 48 (~3fm )× 48
asaki, arXiv:1011.1322[hep-lat].
Plaquette 作用•Plaquette作用+3fm+
clover 作用 (light), RHQ 作用 (charm)
Clover作用(u,dクォーク)+ゲージ配位数 395
RHQ作用(charmクォーク)
ette action β = 6.0 (a = 0.093 fm or a−1 = 2.1GeV )クォーク質量602• 統計(ゲージ配位)

charm: κ =0.09495 mηc =3.47GeV• クォーク質量
erturbative O(a)improvement (CSW = 1.769)
light:
κ0.1342with one-loop PTcoefficients(Tsukubatype)0.1333
Charm; κ=0.10190mηc0.1339=2.92GeVmπ [GeV]
0.64
0.73
0.87
32 x48 (La ∼ 3fm)
Light; [GeV]mN
1.70
κud 1.43
0.1342 1.52
0.1339 0.1333
mπ [GeV] 0.64
0.72
0.87
le κc channel.河内 太一 (初田研究室)
修士論文発表会
mN [GeV]
1.43
1.52
1.70

omb gauge fixings each.

Mηc = 2.92GeV, MJ/ψ = 3.00GeV

0.093fm2010 年 1 月 27 日

12 / 35

結果; チャーモニューム-核子間ポテンシャル
T. Kawanai and S. Sasaki, Phys. Rev D82, 091501(R) (2010)
T. Kawanai and S. Sasaki, arXiv:1011.1322 [hep-lat].

(クエンチ近似)

ηc-Nの波動関数 (mπ=640MeV)
1.25
1.20q(r)

1.15
1.10
1.05
1.00
0.95
-1.0-0.5
0.0
x [fm]

0.5

1.0

1.0
0.5
0.0
y [fm]-0.5-1.0✦ 原点付近の値が大きい → 引力的✦ 遠方まで広がった波動関数 → 散乱状態。ccbar-Nでは束縛しない。

結果; チャーモニューム-核子間ポテンシャル(クエンチ近似)‣換算質量mredは2点関数から決める‣∇2 は離散化されたラプラシアン

1.25
1.20q(r)

1.15
1.10
1.05
1.00
0.95

Effective potential V(r) [MeV]-1.0-0.50.0
x [fm]

0.5

1.01.00.50.0
y [fm]-0.5-1.0

1 ∇2 φ(r)= V (r) − E2mred φ(r)100-10-20-30-40‣r > 1fm でV(r)=0 となることを利用して-50-6000.20.40.60.8
r [fm]

11.21.4

零点調整することでEも決まる。

結果; チャーモニューム-核子間ポテンシャル(クエンチ近似)
100V(r) [MeV]-10-20-30-40dc-NJ/s-N-50-600✦ 全領域で引力的0.20.40.60.8

11.21.4r [fm]✦ ハドロンのスケール(~1fm)で遮蔽される近距離力。
✦ 湯川型ポテンシャル(-γexp(-αr)/r)でフィットするとγ~0.1, α~0.6GeV

現象論的モデル(γ=0.6, α=0.6GeV)より弱いポテンシャル。
✦ J/ψ-N ポテンシャルの方が引力が強い。→ ハドロンのサイズに関係？

結果; チャーモニューム-核子間ポテンシャル

101000-10-10V(r) [MeV]

V(r) [MeV](クエンチ近似)-20-30-40-30-40

300.2

0.4

0.60.8

M/=640 MeV
M/=730 MeV
M/=870 MeV

3L xT=32 x48
33
L xT=16 x48-50-60-20

11.2-50

1.4-6000.2

0.4

0.60.811.2

r [fm]

r [fm]

体積依存なしクォーク質量依存なし

1.4

結果; チャーモニューム-核子間ポテンシャル(Nf2+1 フルQCD)
10‣PACS-CS Nf 2+1 ゲージ配位

preliminary0S.Aoki et al., PRD 79, 034503 (2009)‣ クォーク質量：V(r) [MeV]-10-20mπ＝0.41GeV (mN=1.2GeV)-30-40

Nf=0 M/=640 MeV dc-N
Nf=2+1 M/=410 MeV dc-N
Nf=2+1 M/=410 MeV J/q-N-50-60mJ/ψ = 3.10GeV, mηc = 2.99GeV‣ 格子サイズ;

00.2

0.4

0.6

0.8

11.21.4

L3 x T = 323 x 64 (La ≈ 3.0 fm)‣ 統計; 450r [fm]✦ クォークの真空偏極の効果は少ない。
✦ 現実のクォーク質量近傍では、核子の大きさが大きくなることにより、引力が強まる可能性がある。

Summary• 格子QCD計算によりチャーモニューム-核子ポテンシャルの導出に成功。

・全領域で引力的・1fm程度で遮蔽される近距離力• mπ ≧ 640MeV のクォーク質量ではチャーモニューム-核子ポテンシャルにクォーク質量依存性は確認されない。
• クォークの真空偏極の効果は少ない。

展望• より軽いクォーク質量での計算(mπ<400MeV)• 少数多体系の精密計算