G Model

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Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2012;xxx(xx):xxx–xxx

Revista Internacional de Métodos Numéricos para
Cálculo y Diseño en Ingeniería
www.elsevier.es/rimni

Validación numérica del comportamiento cíclico de conexiones interiores
en estructuras con forjados reticulares
J. Donaire-Ávila y A. Benavent-Climent ∗Departamento de Mecánica de Estructuras e Ingeniería Hidráulica, Universidad de Granada, Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Granada, Españainformación del artículo

r e s u m e nHistoria del artículo:
Recibido el 10 de noviembre de 2010
Aceptado el 10 de octubre de 2011
On-line el xxx

En este artículo se analizan distintas alternativas para modelar conexiones interiores forjado reticularpilar de hormigón armado y se propone una solución que con un coste computacional razonableproporcione resultados muy próximos a los experimentales. El modelo propuesto se valida numéricamente con los resultados obtenidos previamente de un ensayo de laboratorio realizado sobre unespécimen a escala 3/5 de la misma tipología estructural, sometido a ensayo cuasi-estático hasta elcolapso. Para tal ﬁn, se aplica la teoría avanzada de mecánica no lineal de hormigón armado sobre un
modelo tridimensional de elementos ﬁnitos en análisis no-lineal: elementos tipo ﬁbra para componentes unidimensionales y tipo capa para los bidimensionales. Los resultados principales de la simulación
fueron: a) la obtención de la curva de capacidad mediante un análisis de empuje incremental (push-over)con control de desplazamientos; b) las curvas histeréticas en la losa, y c) los patrones de ﬁsuras, logrando
una concordancia revelada con los resultados experimentales.
© 2010 CIMNE (Universitat Politècnica de Catalunya). Publicado por Elsevier España, S.L. Todos losderechos reservados.

Palabras clave:
Forjado reticular
Ensayo de laboratorio
Fisuración distribuida del hormigón
Leyes constitutivas en
tensiones-deformaciones medias
Elementos tipo ﬁbra
Elementos tipo capa

Numeric validation of the cyclic behaviour of interior connections
in wafﬂe-ﬂat-plate structuresa b s t r a c t
Keywords:
Wafﬂe-ﬂat-plate
Laboratory test
Smeared cracks
Average strain-stress constitutive models
Fiber elements
Layer elements

Several approaches are investigated to model interior reinforced concrete wafﬂe-ﬂat-plate-column connections. A model is proposed that provides very good results with reasonable low computational cost.
The proposed model is validated with the experimental results obtained on a 3/5 scale specimen, subjected to quasi-static in cyclic loads up to collapse. To this end, the non-linear advanced theory of reinforced
concrete is applied on a three-dimensional ﬁnite element model and non-linear analysis are conducted.
Both ﬁber and layer elements are used for the one-dimensional and bi-dimensional components respectively. The main results of the simulation were: (i) the capacity curve obtained through out a push-overanalysis with displacement control, (ii) the hysteretic curves of the slab, and (iii) the crack patterns. A
very good agreement is found between numerical and experimental results.
© 2010 CIMNE (Universitat Politècnica de Catalunya). Published by Elsevier España, S.L. All rights
reserved.

1. Introducción
El empleo de estructuras con forjado reticular (EFR) fue notableen las últimas décadas del siglo xx en zonas de sismicidad moderada del sur de Europa, como España, Portugal e Italia, tanto para uso
residencial como para uso administrativo. En la mayoría de estos
casos las estructuras fueron diseñadas siguiendo las incipientes∗ Autor para correspondencia.
Correo electrónico: benavent@ugr.es (A. Benavent-Climent).

normas sismorresistentes (en España la PDS-74) con baja resistencia lateral y sin disposición alguna sobre detalles constructivos paraalcanzar un determinado nivel de ductilidad. Hoy día, las EFR siguen
siendo un sistema constructivo ampliamente usado en España, yaunque las normas sismorresistentes han experimentado una evolución notable, se siguen construyendo EFR como sistema principal
resistente ante cargas laterales. De esta forma, siguen estando presentes los problemas tanto de baja rigidez torsional que implican
niveles elevados de desplazamientos relativos entre plantas comode baja capacidad de disipar energía.
Los terremotos sufridos en zonas donde este sistema constructivo estaba ampliamente implantado, como en México [1], han

0213-1315/$ – see front matter © 2010 CIMNE (Universitat Politècnica de Catalunya). Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados.
http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2012.08.003

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en estructuras con forjados reticulares, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2012. http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2012.08.003

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puesto de maniﬁesto la elevada preocupación que existe sobre
su comportamiento sísmico, sobre todo en estructuras antiguas
diseñadas con las primeras normas sismorresistentes en las que
los modos de fallo frágiles a nivel local o global podrían darse
de manera prioritaria. Dado que la investigación existente sobre
este tipo de estructuras es escasa, se realizaron varios estudios
experimentales sobre estructuras con forjados reticulares apoyados por el Ministerio de Fomento del gobierno de España, dentrodel «Programa Nacional de Construcción 2004-2007», uno de loscuales se basó en las uniones interiores [2].
Para ello, se calculó un prototipo de estructura con 6 plantas,
distribución de pilares ortogonal con 3 vanos en cada dirección yforjados reticulares de 30 cm de espesor, localizado en la región demayor sismicidad de España (Granada). Se siguieron las prácticas
constructivas y la norma sismorresistente en vigor en las décadasde los setenta, ochenta y noventa: sin vigas ni capiteles, ábacos de2,80 m de ancho con armadura de punzonamiento consistente en
estribos cerrados sobre vigas-crucetas centradas en el pilar, retícula
de nervios de 70 × 70 cm y capa de compresión de 5 cm. De la planta
tercera se tomó una conexión interior para construir un espécimenen laboratorio a escala 3/5, entre los puntos medios de los pilaresde las plantas superior e inferior, así como entre los puntos medios
entre vanos adyacentes a la conexión, como se aprecia en la ﬁgura 1;
en ambos casos se considera que para cargas sísmicas los momentos
ﬂectores en dichos puntos son nulos.
El espécimen se sometió a un ensayo cuasi-estático medianteactuador incidiendo sobre la parte superior del pilar, siguiendo laley cíclica creciente de desplazamientos impuestos que se muestra
en la ﬁgura 2, con objeto de obtener el comportamiento cíclico entérminos de carga vs desplazamiento lateral, Q-␦, de la unión cuyos
resultados se muestran en la ﬁgura 3.
En este artículo se estudian diferentes alternativas para modelizar uniones interiores forjado reticular-pilar mediante el programade elementos ﬁnitos Engineer’s Studio [3]. La simulación numérica se valida con los resultados experimentales, al igual que en

27
Sección B-B (Zona nervada:armadura continuación ábaco) C

Sección C-C'C'

Armadura transversal
punzonamiento

Pilar
A

B

9

E

E'

18

145

174

18

27

Viga o cruceta
transversal

18

Aligeramiento

4,5

A'

B'

D'

18

Viga o cruceta longitudinal

27

18

D

174

27

Sección D-D'

Sección A-A' (Zona maciza oábaco)

Dirección actuador

174
Sección E-E' (Zona maciza oábaco)(dimensiones en cms)(a)Dirección actuador(b)

Figura 1. Geometría del espécimen conexión interior: a) alzado; b) planta.

Deriva planta (%)

6
4
2
0

Pseud-t–2–4–6
Figura 2. Historia de carga del ensayo.

Especimen

Q (kN)
80
60
40
20
0
–100 –80–60–40 –20

0

20

40

60

–20

80

100
δ (mm)–40–60–80
Figura 3. Curva histerética del espécimen.

los estudios realizados sobre otros elementos de hormigón armado[4,5].
Como se puede observar en la ﬁgura 3, el comportamientode la conexión es eminentemente no-lineal; por lo tanto, enla simulación se utilizaron elementos de hormigón armado conleyes constitutivas bien deﬁnidas dentro del campo plástico. Asimismo, el método de cálculo incluyó algoritmos no-lineales deresolución paso a paso, para poder simular las no-linealidades
derivadas de la geometría y/o los materiales constituyentes. El
empleo del método de elementos ﬁnitos (MEF) permite discretizar el dominio de tal forma que en cada volumen ﬁnito se puede
estudiar el comportamiento elastoplástico del hormigón, en especial el cambio de comportamiento debido a la aparición de ﬁsuras[6–8].
Dentro del campo plástico, existen varios métodos para considerar la no-linealidad en los elementos tipo barra (ETB) delespécimen, como el pilar y los nervios. En primer lugar están losmétodos de plasticidad concentrada en los extremos de la barra
formando rótulas plásticas, dado que en estas zonas se van a
producir los mayores esfuerzos frente a acciones laterales. Este
método tiene varios inconvenientes: a) hay que deﬁnir una longitud determinada de rótula plástica, debiéndose estimar en función
de las dimensiones del elemento o acudir a la literatura especializada que proporciona métodos aproximados; b) hay que establecer
una ley de comportamiento momento-giro (M-) para la rótula
plástica que deﬁna el comportamiento post-elástico. En ambos
casos, habría que establecer hipótesis previas, debiendo ajustarlas con los resultados de la simulación en un proceso sucesivo
de ensayo-error. Para evitar este inconveniente se puede utilizar el método de plasticidad distribuida: los elementos tipo ﬁbra(ETF). En este caso se trata de discretizar la sección transversal delos ETF en celdas, asociando a cada una de ellas las leyes constitutivas de los materiales que las componen: hormigón u acero.
Considerando un estado desacoplado entre tensiones normales
y tangenciales (es decir, no existe interacción entre dichas tensiones), el estado de tensiones normales en un punto se reduce
a considerar las ortogonales a la sección transversal de los ETB;
por lo tanto, serán aplicables leyes constitutivas procedentes deensayos uniaxiales realizados sobre hormigón, acero y barras dehormigón armado. En este último caso se obtiene la ley tensióndeformación media tanto en el hormigón como en el acero en
función de la distancia de ﬁsuras, aplicable tanto al acero como
al hormigón, ambos traccionados. De esta forma no es necesario
estimar con carácter previo el comportamiento de la sección, sino

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que se pueden utilizar datos de ensayos para deﬁnirlo. En cuantoa la longitud del elemento, únicamente hay que tener en cuenta
ciertas limitaciones en cuanto al tamaño de los ETF para facilitar la convergencia del cálculo. Debido a estas razones, se decidió
emplear los ETF para simular el comportamiento no-lineal de los
ETB.
Para los elementos bidimensionales tipo lámina (ETL) el comportamiento elastoplástico es más complejo de simular. Debido
a la imposibilidad de establecer modelos de plasticidad concentrada, como en los ETB, en este estudio se plantea directamente laextensión del concepto de ﬁbra al espacio bidimensional; es decir,
modelos de plasticidad distribuida en capas o elementos tipo capa
(ETC). Cada ETC se divide en ﬁbras bidimensionales o capas a lolargo del canto, incluyendo en cada una la cuantía de armadura yel tipo de hormigón. Por lo tanto, el comportamiento global de los
ETC será función del que muestre cada capa a lo largo del canto. Asípues, hay que conocer previamente el comportamiento elastoplástico de cada capa, para posteriormente establecer el del elemento
completo.
El hecho de que se produzcan ﬁsuras implica un cambio importante en el comportamiento del elemento. Antes de que estas
aparezcan, los materiales (hormigón y acero) se pueden simular con unas leyes constitutivas válidas en todo el elemento; sinembargo, cuando surgen ﬁsuras, el comportamiento en el entornode estas respecto de otro punto del elemento no ﬁsurado es distinto,
siendo imposible establecer unas leyes concretas para un volumen
ﬁnito. Surge pues la necesidad de establecer de alguna manera unas
leyes válidas en todo el elemento. Esto se hace con el concepto deﬁsura distribuida o «difuminada» (FD), en el cual se establecen leyes
constitutivas en el espacio de las tensiones-deformaciones medias
aplicables en todo el elemento ﬁnito, asimilándolo a un medio continuo; el acero, por ejemplo, tendrá una ley tensión-deformación
media entre el comportamiento que maniﬁesta en una ﬁsura yel que tiene en el hormigón embebido sin ﬁsurar, aplicable encualquier punto del elemento (aplicación de la ﬁsura distribuida).
También es posible contemplar unas leyes constitutivas determinadas para el acero y el hormigón sin tener en cuenta la diferencia
de comportamiento provocado por las ﬁsuras; no obstante, conesta opción se pierde precisión, sobre todo en secciones con bajas
cuantías de armadura. En este estudio se optó por utilizar el concepto de ﬁsura distribuida en el espacio de las tensiones medias
para lograr una mayor aproximación al comportamiento real delespécimen.
Dentro de la teoría de FD es posible encontrar al menos 2 aproximaciones: ﬁsura ﬁja distribuida (FFD) y ﬁsura distribuida rotacional(FDR). En el primer caso, se considera que una vez que aparece
una ﬁsura, esta queda ﬁjada y se establece un sistema de referencia centrado en dicha ﬁsura. De esta forma, el comportamiento delelemento ﬁnito pasa a tener un marcado carácter anisótropo conforme se avanza en el grado de deformación, siendo tanto la tensión
normal como la cortante de transferencia en la ﬁsura modeladasde manera independiente. En ese caso, la dirección principal detensión no tiene por qué coincidir con la de deformación, de una
forma muy parecida a la real. En modelos multiﬁsurados se establecen criterios para deﬁnir la ﬁsura ﬁjada. En el segundo caso,
se mantiene en todo momento la coincidencia de las direcciones
principales de tensión y deformación, siendo innecesario deﬁnir
un modelo de comportamiento ante las tensiones tangenciales desarrolladas por la ﬁsura. Aunque por una parte esto último produce
modelos más simples con menores tiempos de computación, porotra se incrementan al tener que ﬁjar en cada paso un nuevo sistemade referencia en la nueva ﬁsura producida. Así pues, los modeloscon FFD representan con mayor aproximación el comportamiento
real del hormigón ante una variación importante en la direcciónde las tensiones principales en la secuencia de carga, de tal forma
que fueron estos modelos multiﬁsurados FFD por capas los que se3

seleccionaron para realizar la simulación del ábaco en el modelo
numérico.
Para validar el modelo numérico entre los propuestos, se realiza
un análisis de empuje incremental (AEI) para obtener la envolventea la curva experimental.
La curva experimental obtenida en el ensayo de laboratorio
presentaba una caída de resistencia en los estados avanzados dedeformación (ﬁg. 3) atribuible al fallo de adherencia de la armadura longitudinal inferior del ábaco y a la degradación en latensión tangencial entre ﬁsuras de torsión de la viga transversal. La
modelización de esta viga transversal, se puede realizar de varias
formas, dando origen a las diferentes propuestas: a) modelando
con ETB la zona viga transversal-ábaco a modo de emparrillado,
quedando todas las uniones conectadas con muelles rotacionales
que permitían simular el decaimiento de resistencia para un nivel
determinado de deformación, y b) empleando únicamente ETC con
armadura tanto en la dirección longitudinal como transversal. Estaúltima opción fue la que menos iteraciones por paso requirió enla secuencia de cálculo y, por tanto, la elegida para modelizar laviga transversal. Sin embargo, se diﬁculta la simulación del fallo deadherencia, pues con los elementos tipo ETC no se pueden colocar
muelles. Por tanto, para simular el fallo de adherencia se optó por
un camino indirecto, consistente en reducir la pendiente de la relación tensión-deformación media del acero en la zona plástica. De
esta manera se limita la tensión media que puede alcanzar el aceroen la zona de endurecimiento por deformación.
El modelo de capas seleccionado fue sometido a la historia decargas de la ﬁgura 2 para analizar el comportamiento cíclico dela conexión, obteniéndose la curva histerética del modelo muy
próxima a la experimental en los primeros estados de carga, distanciándose en el efecto de pinzamiento con el aumento de los ciclos
donde se intensiﬁca la degradación en la adherencia y en la tensión
tangencial de las ﬁsuras a torsión. Finalmente, se obtuvo un modelo
de ﬁsuras bastante ajustado al experimental, con el cual se pueden
analizar los ﬂujos de tracciones-compresiones del ábaco en torno
al pilar según el grado de deformación lateral de la conexión.
Este artículo consta de las siguientes secciones: modelo constitutivo empleado para el hormigón armado, cargas aplicadas yproceso de cálculo, comparación entre la predicción de los modelos
numéricos frente a los resultados experimentales y, ﬁnalmente, lasconclusiones del trabajo realizado.
2. Modelo constitutivo del hormigón armado
El hormigón armado es un material que se caracteriza por lapresencia de ﬁsuras cuando se supera la resistencia a tracción delhormigón. La ﬁsuración produce un cambio drástico en el comportamiento del material que se debe tener en cuenta en las relaciones
tenso-deformacionales. Por tanto, es necesario establecer modelosconstitutivos antes y después de la ﬁsuración de manera diferenciada.
2.1. Modelo elastoplástico de fractura continua en el hormigón
armado antes de ﬁsurar
El modelo elastoplástico de fractura (EPAF) se usa para describir el comportamiento del hormigón armado antes de ﬁsurar.
Idealiza el hormigón sin ﬁsurar, como una combinación entre fractura continua y plasticidad, las cuales representan la pérdida en lacapacidad de absorber energía elástica y deformación permanente,respectivamente. El hormigón es idealizado como un conjunto decomponentes inﬁnitesimales elastoplásticos: elasticidad y plasticidad en serie (ﬁg. 4). Si dichos componentes no resultaran dañados
durante la carga, se tendría un estado elastoplástico perfecto,
es decir, todos los elementos estarían activos y en tensión. Sin

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desviador. De (2) se puede deﬁnir la tensión interna efectiva que
actúa en el hormigón no dañado:

Tensión total

DañadosJ2i =

K = exp −0, 73

Tensión interna
I
Figura 4. Modelo matemático elastoplástico de fractura (EPAF).

embargo, el daño de fractura, que es distinto del que aparece cuando
se supera la resistencia a tracción en el hormigón, se origina bajo
la acción de la carga debido a microﬁsuras y otros defectos; esto se
representa en el modelo matemático mediante la rotura de algunos
elementos y, por tanto, su pérdida de capacidad resistente.
Surge por ello el parámetro de fractura, K, que representa el ratiode muelles no dañados respecto al total inicial. De los ensayos realizados [9], se puede observar que la tensión interna en un elementode hormigón no dañado es directamente proporcional a la deformación elástica; por tanto, se usará esta tensión para representar laintensidad de la tensión, aplicada en la parte no dañada del hormigón. Este es el parámetro clave que gobierna la evolución del daño yla plasticidad; es decir, pueden ser obtenidos si conocemos el valor
de tensión interna.

2.1.1. Modelo elástico del hormigón
El estado tensional elástico se puede descomponer en los estados esférico y desviador, tanto para las tensiones como para las
deformaciones.
En el estado volumétrico se ha comprobado experimentalmente[9] que la relación entre tensión y deformación expresada a travésdel primer invariante, I1 e I1e , respectivamente, es lineal y se puede
asumir independiente del grado de conﬁnamiento. Consecuentemente, la energía almacenada y la liberada coinciden y se puede
escribir:(1)E0
donde K0 = 3(1−2es la constante elástica volumétrica, siendo E0)0el módulo de deformación inicial del hormigón, 0 el coeﬁciente dePoisson inicial del hormigón, e I1e = 13 εeii es la deﬁnición del primer
invariante de deformación en el estado esférico, siendo ␧eij el tensor
de deformación elástico.
En el estado desviador se ha comprobado [9] que la relación
entre los invariantes de tensión, J2 , y deformación, J2e , no es lineal yes dependiente del grado de conﬁnamiento. Por tanto, hay una partede energía que se consume en el proceso de fractura continua. La
relación entre ambos invariantes está inﬂuenciada por el parámetrode fractura, K, mediante la expresión:
J2 = 2G0 KJ2e
E

ε
εc





1 − exp −1, 25

ε
εc



(4)

donde εc es la deformación correspondiente a la resistencia delhormigón a compresión obtenida mediante ensayo a compresión
uniaxial y ε es la deformación en un instante determinado. Para un
estado tensional general, se obtienen expresiones parecidas a (4),empleando expresiones equivalentes de ε para tener en cuenta elresto de componentes de la deformación [10].
Como se puede comprobar, J2i es directamente proporcional a J2e . Por tanto, esta última variable será la utilizada para
controlar la evolución de la fractura, jugando un papel muy
importante en la deformación del hormigón. Expresando (2) enforma tensorial resulta:
sij = 2G0 Kij eeij

(5)

donde sij es el tensor de estado elástico desviador.
Maekawa y Li [11] demostraron que para estados de carga biaxiales compresión-tracción la degradación por fractura continua esisótropa y, por tanto, Kij = K.
Sumando los estados volumétrico y desviador, se obtiene tantola expresión del tensor de tensión,  ij (6) como la incremental, d ij(7), del modelo constitutivo del hormigón en la parte elástica:
ij = 3K0 I1e ıij + 2G0 Keij

(6)dij = 3K0 d εell /3 ıij + 2G0 Kdeij + 2G0 eij dK = Mijkl dεekl

(7)





2.1.2. Modelo plástico del hormigón
Al igual que en el campo elástico, se pueden analizar los estados
desviador y esférico para obtener el modelo constitutivo plástico.
Respecto a la plasticidad en el estado desviador, el ﬂujo plástico
es un proceso irreversible dependiente del proceso de cargadescarga seguido por los componentes no dañados del hormigón,
J2i , según el modelo matemático establecido en la ﬁgura 4. Esto signiﬁca, que para obtener la energía disipada debido a la plasticidad
por corte en el estado desviador, Wps , hay que sumar el trabajo
especíﬁco por unidad de volumen realizado por los componentes
no dañados a lo largo de la secuencia de carga:



Wps =

dWps

(8)

Dado que la deformación elástica representa el estado de tensión
interna según (3), el integrando de (8) se puede expresar como:
dWps = 2G0 eeij depij





(9)

donde depij = dεpij − d εpkk /3 ıij es la expresión incremental deltensor de deformación plástico en el estado desviador y εpij es eltensor de deformación plástico. Para expresar el nivel de deformación plástica en el estado desviador, se introduce el invariante J2p
dependiente de la historia de carga. La expresión incremental es lasiguiente:
dJ2p =

(2)0
donde G0 = 2(1+es el módulo de rigidez transversal y J2e =
)



(3)

Experimentalmente, K se puede aproximar para estados unitensionales mediante la siguiente expresión:K

I1 = 3K0 I1e

J2= 2G0 J2eK

J2p =eeij depij
dWps=
2 (2G0 J2e )
2J2e

(10)

dJ2p

(11)

0

1
e e es el segundo invariante del estado desviador de defor2 eij eij
mación, siendo eeij el tensor de deformación elástico del estado

Se asume que la tensión interna, que es proporcional a la deformación elástica, J2e , gobernará la evolución de la plasticidad. Por

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tanto, el modelo constitutivo relacionará J2p con J2e mediante la
función H, denominada función de endurecimiento plástico:

Sustituyendo (20) en (19), se obtiene la deformación plástica
total en función de la deformación elástica:

J2p = H (J2e )dεpij = Lijkl dεekl(12)

Se puede comprobar [9] que H es independiente del grado deconﬁnamiento del hormigón, y por tanto de I1e .
Otra propiedad interesante en relación con depij es lacoincidencia de la dirección principal del incremento de deformación plástica con el estado de tensión, o como se deduce de (3),de la deformación elástica del estado desviador, para un instante
determinado [11], denominada «regla de ﬂujo»:
depeij = eeij dg(13)

donde dg es un coeﬁciente proporcional. Esta propiedad se cumplirá siempre que el conﬁnamiento del hormigón sea isotrópico. Si
se aplica esta expresión en (10) resulta:
eeij depij

dJ2p =

2J2e=

eeij eeij
2J2edg = J2e dg(14)

En cuanto a la plasticidad en el estado volumétrico, se ha comprobado experimentalmente que está asociada a la plasticidad delestado desviador. De la misma forma que en (9), se puede calcularel trabajo neto por unidad de volumen en el estado volumétrico,Wpv , que se deﬁne como sigue en su expresión incremental:
dWpv = 3K0 I1e d

ε

pkk


(15)

3

Al igual que en el estado desviador, se deﬁne el invariante de
deformación plástica volumétrica, I1p , como sigue:
dWpv
=d
dIp =
3K0 I1e

I1p =dI1p =

ε

pkk



1
ε
3 pkk

(17)

∂I1p

(18)

∂J2p

La dilatancia, D, depende del grado de conﬁnamiento, I1e , y delparámetro de fractura, K, como se comprueba en Maekawa et al.
[9].
Una vez analizados los estados esférico y desviador en el campo
plástico, se puede obtener la deformación plástica total aplicando(12), (13), (14) y (18):dJ2p+ ıij D dJ2p
J2e
e

dH
eij
=
+ ıij D (I1e , K)
Up dJ2eJ2edJ2edεpij = depij + ıij dI1p = eeij

eij

J2e

+ Dıij  dH  U e

p ekl

dJ2e

(21)

2J2e

2.1.3. Modelo elastoplástico y de fractura tridimensional para elhormigón
A partir de los modelos elásticos y plásticos del hormigón, sepuede obtener una ley constitutiva que analice el comportamiento
real del hormigón. Para ello se considera que el comportamiento deeste material es una combinación de elasticidad, fractura y plasticidad, y dicha combinación produce el daño continuo en el hormigón.
Es decir, no hay una diferenciación clara de los tramos elástico yplástico, sino que ambos se desarrollan de manera conjunta. Su
desarrollo en ambos casos depende únicamente de la deformación
elástica, εeij , y del parámetro de fractura, K. La expresión incremental de la deformación total en un instante determinado se puede
expresar como sigue:dεij = dεeij + dεpij(22)

Aplicando (21) en (22), se obtiene:d␧e = ([I] + [L])−1 d␧(23)donde ␧e es el tensor de deformación elástico y ␧ es el tensor dedeformación total, indicando en negrita los vectores y matrices.
Finalmente, si se sustituye (23) en (7), se obtiene la ley constitutiva total del hormigón antes de ﬁsurar en el marco del dañocontinuo:d␴ = [M] ([I] + [L])−1 dε

(24)



2.2. Modelo elastoplástico del hormigón después de ﬁsurar
Cuando se produce la ﬁsuración del hormigón, su comportamiento pasa a tener un marcado carácter anisótropo en la direcciónde la ﬁsura. En este punto de la secuencia de cálculo se produce uncambio en las leyes constitutivas del hormigón armado que hay
que tener en cuenta en el método de cálculo por elementos ﬁnitos.
Estas nuevas leyes se formulan en el espacio de las tensionesdeformaciones medias y serán dependientes de la historia de carga.
El criterio de ﬁsuración se hace depender del parámetro de fractura, K, pues se ha comprobado [10] que la tensión de tracción
se reduce con la fractura continua de la carga a compresión que
previamente se haya producido en la historia de carga, resultando:
Rf · ft(19) 1  + 0.26 2 /1 = 1 (estado bitensional tracció n − tracció n)(25)

Rf · ft

Up = 0 en otro caso
Teniendo en cuenta la deﬁnición de J2e , para el estado desviador
elástico se obtiene:
eekl deekl
e1= ekl d εekl − ıkl εemm
2J2e
2J2e
3

2.1.4. Modelo constitutivo del acero en el hormigón antes
de ﬁsurar
Para modelar el comportamiento del acero adherido al hormigón antes de que este ﬁsure, se ha utilizado la clásica ley constitutiva
bilineal junto al criterio de plastiﬁcación de Von Mises, con un
tramo de endurecimiento por deformación en la zona plástica.
Incluye el efecto Bauschinger en el modelo de histéresis.

 1  = 1 (estado bitensional compresió n − tracció n)

Up = 1 cuando dJ2e > 0 yJ2e = J2e max

dJ2e =

e

(16)

3

Si se analiza la relación entre I1p y J2p obtenida experimentalmente en varios ensayos [9], se observa que depende del grado deconﬁnamiento del hormigón, que está relacionado directamente
con I1e . Si en dicha relación se analiza la variación de I1p respecto a
J2p , es decir el cambio de volumen asociado con la plasticidad por
corte, se obtiene la dilatancia, D:
D=

con Lijkl ==eekl dεekl
2J2e

(20)

siendo Rf el factor de reducción de la tensión de tracción que sepuede aproximar a K3 según [9],  1 y  2 las tensiones principalesconsiderando  1 >  2 y las tracciones positivas y ft la resistencia a
tracción del hormigón.
El modelo a compresión del hormigón ﬁsurado sigue los mismos preceptos que el modelo EPAF establecido en (24), salvo

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en estructuras con forjados reticulares, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2012. http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2012.08.003

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2 diferencias. La primera es que la tensión de compresión paralela a la ﬁsura se considera uniaxial debido a la ausencia de tensión
en la dirección ortogonal; la segunda diferencia es que la tensión detracción que actúa en la dirección ortogonal a la ﬁsura produce una
alteración en la capacidad resistente y la rigidez de la zona de compresiones [12]. Esta alteración de la resistencia a compresión simple
se obtiene aplicando un coeﬁciente reductor, ␻, que depende delnivel de deformación de tracción, ␧tmax , pudiendo llegar a reducciones del 60% para una ␧tmax del 0,5%. Con estas consideraciones,
se obtiene ﬁnalmente el modelo constitutivo para las fases de carga
y descarga que se puede consultar en Maekawa et al. [9].
Para modelizar las tracciones en el hormigón ﬁsurado hay que
tener en cuenta que hay 2 posibilidades: que exista o no armaduraen la dirección en la que se está analizando la tensión. En el primer
caso se tiene un estado de tracción con rigidización, en el cual elhormigón soporta parte de las tensiones de tracción en las zonas
entre ﬁsuras debido a la adherencia con la armadura. El modelo
adoptado en este caso es el propuesto por Shima y Okamura [13]:c = ft · εtu /ε(26)donde c es el parámetro de rigidización (0,4 para armadura en
redondos y 0,2 en mallazos soldados), ft es la resistencia uniaxial a
tracción del hormigón y εtu es la deformación correspondiente al
instante en que el hormigón ﬁsura.
En caso de que no exista armadura en la dirección de tracción
se produce una reducción brusca en el valor de la misma al ﬁsurar. El cálculo de la ley ␴-␧ del hormigón sin armaduras se obtienede una expresión similar a (26) con un valor distinto del parámetro, c, que resulta de realizar planteamientos energéticos entre la
deformación y la fractura [9].
Otro aspecto importante es la modelización de la transferencia
de tensiones tangenciales a través de las ﬁsuras en el espacio delas tensiones-deformaciones medias. Cuando la ﬁsura se genera, la
dirección de la misma es ortogonal a la tensión principal de tracción, siendo nulas las tensiones tangenciales a lo largo de la ﬁsura.
Sin embargo, durante el proceso de carga las direcciones principales
de tensión y deformación van cambiando, desarrollándose tensiones tangenciales en las ﬁsuras existentes. Así pues, en un elemento
ﬁnito con ﬁsura se tendrán deformaciones tangenciales, tanto delhormigón entre ﬁsuras, ␥c , como las provocadas por las ﬁsuras, ␥cr ;por tanto, hay que deﬁnir un módulo de deformación transversal
equivalente teniendo en cuenta que la tensión tangencial es única:G=

1
1/Gc + 1/Gcr(27)

siendo Gc y Gcr los módulos de deformación transversal del hormigón sin ﬁsurar y en la ﬁsura, respectivamente.
En la implementación del modelo planteado se desprecia la␥c por ser muy inferior a ␥cr . A partir de este planteamiento se
obtienen las leyes constitutivas para las tensiones tangenciales
correspondientes a las fases de carga, descarga y recarga que sepuede consultar en Maekawa et al. [9], incluyendo la pérdida deresistencia en la tensión tangencial entre ﬁsuras para valores elevados de deformación [14].
Finalmente, se plantea la ecuación constitutiva del acero embebido en el hormigón ﬁsurado. Para elementos con geometría lineal,en los cuales solo se consideren las ﬁsuras ortogonales a la armadura, la tensión de ﬂuencia media, fy0 , se obtiene por equilibrio
entre ﬁsuras de la siguiente expresión:
fy0 +

x
= fy
eff

Es es el módulo de deformación inicial del acero, εs es la deformación media del acero y eff es la cuantía geométrica efectiva deacero referida al área de hormigón que interactúa con la armaduradebido a la adherencia entre ambos [15]. No obstante, a efectos deprogramación se utiliza una expresión explícita parecida para fy0 ,obtenida mediante un estudio paramétrico [15]:fy0 = fy −

ft
2eff

(29)

donde ft es la resistencia a tracción del hormigón.
En el caso de que se analicen elementos bi o tridimensionales,
las ﬁsuras no tienen por qué tener una dirección ortogonal a laarmadura; en este caso, se utiliza una expresión que tiene en cuenta
este aspecto (fy,eff ):fy,eff = fy − fy − fy0 · cos2 ϑ(30)

donde ␪ es el ángulo que forman las ﬁsuras con las barras de aceroy fy0 es la deﬁnida en (29).
Para obtener la relación completa de tensión-deformación
media en el acero embebido en el hormigón se emplea el modelo
multilineal en el espacio de las tensiones medias [9] para aceroembebido en hormigón, que incorpora el fenómeno de adherencia.
A partir del punto (εy0 ,fy0 ) que determina el ﬁn del tramo elástico,
se deﬁne una curva trilineal para el tramo plástico hasta llegar al
punto de rotura (εyu ,fyu ) en valores medios, estando deﬁnido cadatramo mediante expresiones matemáticas obtenidas de estudios
paramétricos, que pueden ser consultadas en Maekawa et al. [9] yen Salem y Maekawa [15]. Como modelo de histéresis, se adopta
el de multicapa [16], en el que el acero es representado por un
conjunto de elementos microscópicos en paralelo formados cadauno de ellos por un muelle y una deslizadera, conectados ambos enserie. La zona de carga sigue una ley elastoplástica y en la descarga
se tiene en cuenta el efecto Bauschinger, dando diferentes valores
de tensión de ﬂuencia a compresión en cada deslizadera.
3. Diferentes modelos estudiados para representar laconexión interior
La conexión interior forjado reticular-pilar de hormigón armado
objeto de estudio cuenta con los siguientes componentes, que seilustran en la ﬁgura 1: a) pilares superior e inferior al forjado;b) zona nervada del forjado; c) zona maciza o ábaco, incluyendovigas longitudinal y transversal de punzonamiento en torno al pilar(crucetas de punzonamiento), y d) unión pilar-ábaco.
Para analizar la conexión se han estudiado diferentes modelos
numéricos. Todos ellos tienen en común el empleo de elementos ETF para los pilares y zonas nervadas. La diferencia entre cadamodelo reside en la forma de modelizar la zona maciza o ábaco;en esta zona es donde se produce el mecanismo de transición demomento de los pilares a la losa por ﬂexión constante y cortanteexcéntrico que gobierna el comportamiento global de la conexión.
Se utilizó el programa Engineer’s Studio [3] basado en el MEF nolineal que implementa los modelos constitutivos analizados en elapartado 2. Se trata de un software novedoso incorporado muyrecientemente al mercado que incorpora componentes basados
en la teoría avanzada de mecánica no-lineal de hormigón armado
desarrollada por el profesor K. Maekawa [9]. Se describe a continuación la modelización realizada para cada componente.
3.1. Pilares superior e inferior al forjado(28)

fy0 = Es · εs
donde fy es la tensión de ﬂuencia de las barras de acero no embebidas,  x es la tensión media de tracción del hormigón según (26),

Los pilares se modelizan con elementos tipo ETF isoparamétricos de 3 nodos, al objeto de poder contar con 2 puntos de Gausspara analizar los esfuerzos y/o tensiones del elemento. La sección
en ambos pilares era cuadrada de 0,27 × 0,27 m, con el detalle deCómo citar este artículo: J. Donaire-Ávila, A. Benavent-Climent, Validación numérica del comportamiento cíclico de conexiones interiores
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armado que aparece en la ﬁgura 1. La longitud del elemento ETF
fue de 0,30 m, situándose dentro del intervalo 0,5d < L < 2d, con d elcanto de la pieza, tal y como se recomienda en Engineer’s Studio [3]para los ETF. La sección se discretizó en 10 × 10 ﬁbras.
El acero que se utilizó era del tipo B400, con un límite elástico de 400 N/mm2 que, unido a un módulo de deformación de
200.000 N/mm2 deﬁnen el tramo elástico. La carga de rotura que seconsideró fue de 405 N/mm2 y se tomó intencionadamente un valor
cercano al límite de ﬂuencia, fy , para tener en cuenta la degradaciónde adherencia acero-hormigón debido a las cargas cíclicas. Esta leybilineal así deﬁnida para una barra de acero aislada se empleó en
el modelo multilineal deﬁnido en el apartado 2.2 para obtener laley constitutiva del acero embebido en hormigón en el espacio delas tensiones-deformaciones medias, adoptando para el pilar inferior una cuantía geométrica de armadura de un 4%, y un 2% parael superior. El coeﬁciente de Poisson fue de 0,30 y el módulo derigidez transversal correspondiente, de 76.923 N/mm2 .
La resistencia a compresión adoptada para el hormigón fue de
19,00 N/mm2 y para la tracción, de 1,64 N/mm2 . El módulo de deformación adoptado fue de 27.000 N/mm2 y el coeﬁciente de Poisson,
de 0,167, resultando un módulo de rigidez transversal inicial de
11.568 N/mm2 . Estos valores sirven para deﬁnir los modelos EPAF
y el modelo elastoplástico del hormigón después de ﬁsurar (EPDF)
deﬁnidos en los apartados 2.1 y 2.2, respectivamente. No obstante,para los ETF estos modelos se pueden simpliﬁcar, puesto que solo
existen tensiones normales en la dirección perpendicular a la sección ortogonal al eje del elemento lineal, y estas a su vez están
desacopladas con las tensiones tangenciales; de esta forma, sepueden deﬁnir leyes constitutivas muy parecidas a las obtenidas
experimentalmente en los ensayos uniaxiales.

7

Empuje10 kN

Unión rígida ábaco-pilar
Cruceta transversal

10 kN

Resto ábaco
(sin armadura transv)
10 kN

Zona
nervada10 kN

Cruceta longitudinal
ETF 3 nodos
ETC 4 nodos
Zona nervada

Figura 5. Modelo de elementos ﬁnitos de la conexión interior forjado reticular-pilar.

10 kN

Empuje

10 kN

10 kN

10 kN

ETF 3 nodos
ETC 8 nodos
Muelle torsión

3.2. Zona nervada del forjado
Esta zona del forjado, se caracteriza por estar constituida por
una retícula de nervios de 0,42 m de intereje con 0,06 m de anchode nervio y un canto total de 0,18 m, perteneciendo los últimos
0,036 m a la capa de compresión.
En aras de conseguir el modelo más sencillo posible, se decidió
no modelizar la capa de compresión en la zona de los nervios puesto
que no es una zona crítica.
Para modelizar los nervios, se utilizan los mismos elementos
que en los pilares, es decir, elementos isoparamétricos de 3 nodos
con modelo de ﬁbras con las mismas leyes constitutivas. La única
diferencia en la deﬁnición de la sección estriba en la discretizaciónpara el modelo de ﬁbras, que en este caso es de 5 × 5 y en la cuantíade acero con un valor de un 3%.
3.3. Zona maciza o ábaco en torno al pilar con crucetasde punzonamiento
La zona del ábaco está constituida por una losa de hormigónde 0,18 m de espesor y unas dimensiones de 1,74 × 1,74 m2 , queconecta con el pilar en el centro geométrico y en los extremos conlas zonas nervadas del forjado reticular. La peculiaridad a la horade modelar esta zona es que el armado de la misma no es uniforme debido a la presencia de las crucetas de punzonamiento. A
diferencia del resto del ábaco donde solo hay armadura longitudinal, en la zona de las crucetas existe también armadura transversal
vertical. Por esta razón, en la modelización, se distinguieron lassiguientes zonas que se aprecian en la ﬁgura 5: a) cruceta longitudinal; b) cruceta transversal; c) resto ábaco, con la zona macizano ocupada por las crucetas longitudinal y transversal, y d) uniónábaco-pilar, que conforma la intersección del pilar con el ábaco.
En los modelos planteados se utilizarán ETF y ETC. Los ETF
tienen las mismas características que los utilizados en los pilares y en la zona nervada. Para los ETC, se emplearán elementos

Figura 6. Modelo 1 con cruceta transversal modelizada con elementos tipo ﬁbra(ETF) y muelles de torsión.

isoparamétricos rectangulares de 4 y 8 nodos. Cada uno de ellos
se divide en 10 capas de espesor constante (0,018 m). Cada capa sedeﬁne con hormigón cuya resistencia es de 19 N/mm2 , con un comportamiento no lineal en cada una de ellas, con objeto de obtener elmayor grado de aproximación posible. Se ﬁja como coeﬁciente deendurecimiento del hormigón en tracción c = 0,40, al estar constituida la armadura por barras simples. Asimismo, se establecen las
capas que contienen armadura, deﬁniéndose la misma por cuantías (metros cuadrados de acero/metros lineales de elemento) en
ambas direcciones.
En cuanto a las características de los materiales, el hormigón
tiene las mismas que el empleado para los ETF. Asimismo, se utilizan como modelos de comportamiento los EPAF y EPDF en toda
su extensión. Las barras de acero que constituyen la armadura dela placa son B400, teniendo igualmente las mismas características que el utilizado en los ETF. El modelo constitutivo utilizado
será el multilineal deﬁnido en el apartado 2.2, con la particularidad de emplear la expresión (30) para calcular la tensión media deﬂuencia en función de la orientación de las ﬁsuras que se puedan
producir.
Teniendo en cuenta las diferentes modelizaciones en las diferentes zonas del ábaco, se plantearon los modelos siguientes:
3.3.1. Modelo 1
En este modelo se representaron tanto el resto de ábaco comola cruceta longitudinal con ETC rectangulares de 8 nodos, con unas
dimensiones de 0,36 × 0,36 m y 0,27 × 0,36 m, respectivamente.
La cruceta transversal se modelizó con ETF isoparamétricos de
3 nodos, como se aprecia en la ﬁgura 6; estos ETF incluían rótulas plásticas a torsión en la unión de cada elemento ﬁnito de lacruceta, para simular la posible rotura a torsión que se pudiera pro-

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ducir fuera del plano del forjado. Esta rotura no se puede reproducir
con ETC, ya que con estos elementos solo se modeliza la ﬁsuración
en el plano del elemento.
De esta forma, la zona maciza quedó dividida en 2 semiplanos unidos con ETF isoparamétricos de 3 nodos para transmitir losesfuerzos de ﬂexión y cortante, quedando constituido un emparrillado en la zona de la cruceta transversal. La unión del pilar con
el forjado se realizó con ETL rígidos, siendo el área ocupada de lamisma dimensión que la sección del pilar.
3.3.2. Modelo 2
En este modelo se utiliza la misma disposición para el restode ábaco y cruceta longitudinal. Esta última se modelizó con ETC de
8 nodos con unas dimensiones de 0,36 × 0,27 m, de tal forma quela conexión con el pilar se realizaba a través de un solo elemento.
La unión pilar-forjado se realizó con 4 ETC de 4 nodos de 0,135 ×
0,135 m, teniendo en cuenta la armadura tanto de la cruceta transversal como de la longitudinal que intersectan en esta zona. De
esta forma, la conexión del pilar con el ábaco se realizó de manera
puntual a través de un solo nudo.
3.3.3. Modelo 3
Se utiliza el modelo 2, con la diferencia de que en este caso la
unión pilar-ábaco se hizo rigidizando los 4 ETL de la zona de uniónábaco-pilar.

a paso, realizando iteraciones en cada uno de ellos hasta alcanzar el equilibrio según el criterio de convergencia establecido, con
un error máximo relativo del 3% y un error absoluto en fuerzas ymomentos de 3 kN y 3 kN m, respectivamente. En el inicio de lasecuencia de cálculo y en cada punto de Gauss se aplican las leyes
constitutivas correspondientes al modelo EPAF; en el momento
que se produce una ﬁsura hay un cambio a EPDF. Dependiendodel número de ﬁsuras que aparecen, se establecen distintas formas de seleccionar la ﬁsura activa en la que se establece el sistemade referencia local para aplicar el modelo EPDF.
4.3. Secuencia de cálculo en los elementos tipo ﬁbra
En los ETF, la ﬁsuración se considera ortogonal a la directriz y, portanto, el sistema de referencia local permanece invariable durante
toda la secuencia de carga en cada uno de los pasos. La fase decálculo se realizará teniendo en cuenta que las integrales de superﬁcie sobre la sección del ETF para obtener los esfuerzos en cadapaso necesarios para la ejecución del MEF se calcularán de manera
discreta sumando los esfuerzos generados por cada ﬁbra de la sección. Finalmente, la submatriz de rigidez del ETF se calculará por
el método de integración numérica de Gauss-Legendre con 2 puntos de Gauss, siendo estos últimos los puntos óptimos de consultatanto de tensiones como de esfuerzos.
4.4. Secuencia de cálculo en los elementos tipo capa

3.3.4. Modelo 4
En este modelo se utilizan ETF isoparamétricos de 4 nodos(ﬁgura 5), con un tamaño de retícula menor con objeto de simpliﬁcar el MEF de cara a mejorar el tiempo de cálculo y la convergencia.
El tamaño de malla elegido fue de 0,135 × 0,135 m en las crucetas y de 0,184 × 0,184 m en el resto de ábaco. De esta forma se
garantizaba la unión de 2 elementos ETC de la cruceta transversal
al pilar, mejorando la modelización de los esfuerzos de torsión que
se generan en esta zona. Asimismo, se estableció la misma tipología
y el mismo tamaño de elemento ﬁnito para el ábaco, estando por
tanto el entorno del pilar mas discretizado y con un elemento ﬁnito
mas sencillo.
4. Cargas aplicadas y proceso de cálculo
4.1. Cargas aplicadas
Las cargas aplicadas a los modelos se dividen en gravitatorias ycíclicas, aunque el estudio que nos ocupa está centrado en la respuesta frente a las segundas. Las cargas gravitatorias consideradas
son las siguientes: a) peso propio de los elementos (24,5 kN/m3 parael hormigón y 77 kN/m3 para el acero); b) carga puntual centrada
según el eje del pilar de 335 kN, que simula el axil del resto deplantas superiores, y c) sobrecarga de uso, representada por 4 cargas puntuales de 10 kN cada una aplicadas en los puntos del forjado
que se indican en la ﬁgura 5.
Para analizar la capacidad frente a cargas laterales de la conexión interior objeto de estudio, se realizó un AEI en los diferentes
modelos planteados. Para ello se estableció un desplazamiento
objetivo de 100 mm a realizar en 333 pasos (0,3 mm/paso) tras
haber aplicado las cargas gravitatorias. Una vez seleccionado uno
de los modelos de cálculo, se sometió a la carga cíclica indicada
en la ﬁgura 2, con el mismo ratio de desplazamiento impuesto por
paso que en el AEI, para analizar el comportamiento histerético dela conexión.
4.2. Proceso de cálculo
El cálculo se realiza por el MEF en análisis no-lineal utilizando el
programa Engineer’s Studio [3], estableciendo una secuencia paso

Los ETC son una extensión a 2 dimensiones de los ETF, con una
secuencia de cálculo parecida una vez que se establece el sistemade referencia local de cada elemento ﬁnito. Es decir, para obtener lasubmatriz de rigidez se sustituirán las integrales de superﬁcie porsumas discretas en cada capa, obteniendo los esfuerzos de sección
en el desarrollo del MEF. Se empleará el método de integración
numérica de Gauss-Legendre, con un esquema reducido completopasando de 3 × 3 a 2 × 2 puntos de Gauss para eliminar el bloqueo
por cortante y membrana en láminas de reducido espesor. En dichos puntos de cada capa se analizarán las tensiones dentro de cadaelemento ﬁnito para generar el mapa de ﬁsuras en el posproceso.
Sin embargo, debido al carácter bidimensional, las ﬁsuras que
se generen en cada capa de un elemento ﬁnito determinado pueden tener cualquier orientación en el plano. Dado que los modelos
EPDF dentro de la teoría FFD deﬁnen un sistema de referencia ligado
a la ﬁsura ﬁja activa, este será variable en función de la que seconsidere activa en cada paso. Surgen tres posibles rutinas de cálculo en función de la disposición de las ﬁsuras en cada punto deGauss del elemento: a) 2 direcciones ortogonales, b) 2 direcciones
cuasi-ortogonales, y c) 2 direcciones no ortogonales.
Si en el proceso de cálculo se produce una ﬁsura en una capa
determinada, se asigna a esta la coordenada X del sistema de referencia local que será ortogonal a la ﬁsura; si no existen más ﬁsuras,
esta será la activa, computándose en ella las tensiones del elemento
así como la actualización de los parámetros del modelo dependientes de la historia de deformaciones. Cuando aparecen 2 ﬁsuras
ortogonales en el elemento se asigna el eje Y a la segunda ﬁsura. El
cálculo de tensiones y la actualización de parámetros deben ser llevados a cabo respecto al eje de la ﬁsura activa; en este caso, la que
tenga una apertura superior será la activa y la otra será considerada como durmiente. Una vez obtenidas las tensiones medias delhormigón, se sumarán a las obtenidas para el acero calculadas enotra rutina diferente, obteniéndose la tensión media en el elemento
hormigón armado. Si las 2 ﬁsuras no son perfectamente ortogonales (ﬁgura 7) y, sin embargo, la desviación respecto al ángulo recto
es de ± 22,5◦ , se puede aplicar con suﬁciente precisión lo indicado
anteriormente para las ﬁsuras ortogonales [9].
Finalmente, si la desviación respecto al ángulo recto del ángulo
que forman 2 ﬁsuras es superior a 22,5◦ , el cálculo de tensiones yCómo citar este artículo: J. Donaire-Ávila, A. Benavent-Climent, Validación numérica del comportamiento cíclico de conexiones interiores
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Ajuste del sistema dereferencia a la fisura activa
Xc
Yc

Xc

Xc

Yc

SegundafisuraactivaPrimerafisuradurmiente(a)60

Q (kN)

Yc

40

(b)

Figura 7. Fisuras cuasi-ortogonales: a) una ﬁsura; b) 2 ﬁsuras cuasi-ortogonales.

Yc1

Xc1

Xc1 (Normal a C1)

Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
Espécimen

20

Yc1 (Normal a C2)
0
0

C2

C2
C1

C1

20

40

60

80

δ (mm)
Figura 9. Curvas de capacidad de los diferentes modelos.

(a)

(b)
Xc2 (Normal a C3)

Xc2

Yc2
C3

C4

C3

Yc2
(Normal a
C4)

C4

(c)

(d)

Figura 8. Disposición de 4 ﬁsuras en un elementos tipo capa (ETC) según el sistemade referencia (SR): a) SR1, ﬁsura activa C1; b) SR1, ﬁsura activa C2; c) SR2, ﬁsura
activa (C3); d) SR2, ﬁsura activa (C4).

la actualización de parámetros del modelo no representan correctamente las condiciones de tensión de la otra ﬁsura, consideradacomo durmiente. Se aplica entonces la tercera rutina de cálculo
para un máximo de 4 ﬁsuras. En este caso, se establece un nuevo
sistema de referencia, con una nueva coordenada X’ ortogonal a lanueva ﬁsura; en el caso completo se tendrán 2 parejas de ﬁsuras formando sistemas cuasi-ortogonales, como se aprecia en la ﬁgura 8.
De cada sistema, se seleccionará la ﬁsura activa local, siguiendo elcriterio de mayor apertura, y se calcularán las tensiones respecto
a la misma. Para determinar la ﬁsura activa global del elemento
se seleccionará entre las ﬁsuras activas locales la que tenga mayor
deformación normal a la ﬁsura; la de menor deformación será denominada ﬁsura durmiente global. Si durante la secuencia de cálculo
no hay cambios en la selección de las ﬁsuras activas locales, la ﬁsura
activa global del elemento permanecerá siempre que la deformación normal no sea inferior a 1,4 veces de la considerada durmiente.
Una vez que se deﬁne la ﬁsura activa junto con su cálculo de tensiones, se actualizan los parámetros del modelo que dependen de lahistoria de deformación y se suman las tensiones medias obtenidasdel hormigón ﬁsurado a las del acero, resultando la tensión media
en la capa de hormigón armado.
Por tanto, para establecer el cálculo de tensiones en un elemento ﬁnito de hormigón armado, se seguirá la siguiente secuencia
en cada punto de Gauss: antes de ﬁsurar el hormigón, sigue elmodelo establecido para hormigón armado sin ﬁsurar elastoplástico de fractura continua; una vez que se produce la primera ﬁsura,
se inicia la rutina de cálculo en hormigón ﬁsurado. En primer lugar,
se ﬁja el sistema de referencia con el eje X ortogonal a esa primera
ﬁsura y se calculan las tensiones medias según este sistema de coordenadas, de manera independiente para hormigón ﬁsurado y acero.

Finalmente, ambas se suman estableciendo la tensión media en elelemento hormigón armado. Si al calcular las tensiones en el hormigón, se produce una nueva ﬁsura, pueden ocurrir 2 casos: a) ﬁsura
ortogonal o cuasi-ortogonal, y b) ﬁsura no ortogonal. En función dela orientación de la ﬁsura, se activan las rutinas de cálculo correspondientes citadas anteriormente.
5. Comparación entre la predicción de los modelos
numéricos y los resultados experimentales
5.1. Comparación mediante análisis de empuje incremental
Los diferentes modelos realizados de la conexión interior sesometen a un AEI con control de desplazamientos para obtenerla curva de capacidad, obteniéndose las curvas que se representan en la ﬁgura 9. Se incluye asimismo la curva obtenida del ensayo
realizado al espécimen bajo carga cíclica correspondiente a los desplazamientos positivos del pistón, ı, en la que hay que resaltar ladegradación en la resistencia lateral y rigidez a partir de ı = 59 mm,
con un valor de desplazamiento relativo entre plantas, DR, de 3,2%.
A partir de este punto se observaron fallos de adherencia en la armadura longitudinal inferior del ábaco junto al pilar, así como grandes
ﬁsuras de torsión en la viga transversal fuera del plano del ábaco,como se aprecia en la ﬁgura 10. La capacidad última resistente delespécimen se considera que se alcanza cuando la resistencia lateral

Figura 10. Fallo de adherencia y rotura a torsión en espécimen.

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disminuye un 20% respecto a la máxima alcanzada, hecho que se
produjo para un ı = 79 mm con DR = 4,4%.
La curva de capacidad obtenida del AEI aplicado en cada modelo,Q-ı, constituye teóricamente la envolvente de la curva que resultadel ensayo realizado al espécimen. Analizando las distintas curvas de capacidad respecto a la del espécimen ensayado, se obtiene:a) el modelo 1 presenta una rigidez inicial ligeramente superior,así como una resistencia lateral ﬁnal menor en un 25%; asimismo,el desplazamiento último alcanzado se situó en ı = 70 mm y un
DR = 3,88%; b) el modelo 2 presentó una desviación notable encuanto a resistencia, rigidez inicial y desplazamiento último debido
fundamentalmente a la falta de rigidización en la unión de los pilares inferior y superior con el ábaco; c) en el modelo 3 se produjeron
fallos de convergencia antes de llegar al desplazamiento objetivo,
debido probablemente a la baja discretización realizada en torno
al pilar, y d) el modelo 4 fue el que mejor ajuste presentó sobre lacurva experimental hasta el punto de máxima resistencia lateral delespécimen (Q = 73 kN, DR = 3,2%), a partir del cual se producen losfenómenos de fallo de adherencia y ﬁsuras a torsión comentadas
anteriormente que no se tuvieron en cuenta de manera explícita
en el modelo sino de forma indirecta limitando en valor último
tanto la tensión como la deformación del acero. De esta forma,la rotura en el modelo se produce por fallo en la resistencia delacero para un desplazamiento último cercano al que tiene el espécimen para la capacidad última.
Así pues, se selecciona inicialmente el modelo 4 según el análisis
efectuado bajo cargas monotónicas mediante AEI, para representar numéricamente al espécimen. Será el modelo utilizado en lossiguientes apartados, para completar el estudio de la conexión interior.

(a)

(b)

(c)
5.2. Correspondencia bajo carga cíclica
Se pretende en esta sección analizar el comportamiento histerético de la conexión pilar-forjado reticular frente a cargas cíclicas
aplicadas sobre el modelo 4, seleccionado en el apartado anterior.
La historia de carga es la reﬂejada en la ﬁgura 2. El modelo sigue
la secuencia de cálculo paso a paso, teniendo en cuenta las leyes
histeréticas deﬁnidas para el hormigón y el acero en el espaciode las tensiones-deformaciones medias. Las curvas carga cíclica
lateral-desplazamiento sobre la coronación del pilar, Q-ı, según elgrado de desplazamiento máximo alcanzado en cada etapa, ␦max ,se muestran en la secuencia a-d de la ﬁgura 11.
En los primeros ciclos existe buena correlación tanto en la resistencia lateral, rigidez y efecto de pinzamiento. Sin embargo, para
desplazamientos cercanos a la capacidad máxima de la conexión,
DR = 3,8%, la correspondencia en el efecto de pinzamiento empeora.
Esto se debe a que las leyes histeréticas contempladas no tienen encuenta la degradación tanto en la adherencia hormigón-acero comoen la capacidad de transmitir tensiones tangenciales en las ﬁsuras
por desgaste del árido ante ﬁsuras a torsión fuera del plano de lacapa. Estos fenómenos se manifestaron a partir de ese valor de desplazamiento entre plantas, debido a la acumulación de ciclos de lahistoria de carga. No obstante, el modelo numérico capta muy bienlos valores de resistencia lateral máxima en cada etapa y pone demaniﬁesto el severo efecto de pinzamiento que se produce en laconexión interior de un forjado reticular, veriﬁcado por el experimento.
5.3. Fisuración forjado(d)Figura 11. Carga lateral vs desplazamiento en coronación del pilar:a) ␦max = 21 mm, DR = 1,16%); b) ␦max = 31 mm, DR = 1,72%; c) ␦max = 41 mm,
DR = 2,27%; d) ␦max = 61 mm, DR = 3,38%.

Del modelo 4 se obtiene el estado de ﬁsuración en cada capadel forjado y paso analizado. En cada punto de Gauss de los ETC seanaliza el estado tensional, representando en cada paso las ﬁsurasque se presentan, de las que solo una será la activa a efectos de cálculo. En general se puede aﬁrmar que existe una buena correlación

Cómo citar este artículo: J. Donaire-Ávila, A. Benavent-Climent, Validación numérica del comportamiento cíclico de conexiones interiores
en estructuras con forjados reticulares, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2012. http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2012.08.003

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(a)

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proximidades del pilar (líneas diagonales), reﬂejándose una buena
correspondencia entre el modelo y el espécimen. Las ﬁsuras detorsión marcan la dirección de las tensiones principales de compresión, pudiéndose intuir el ﬂujo del campo de compresiones de lasbielas comprimidas de hormigón dirigiéndose al entorno del pilar.
Asimismo, se observa tanto en la zona anterior como en la posterior
al pilar un estado multiﬁsurado que indica un cambio en las direcciones principales de tensión, con el incremento de desplazamientodel modelo.
6. Conclusiones(b)

Figura 12. Fisuras en capa superior del ábaco para ␦ = 60 mm: a) modelo 4;b) espécimen.

entre la ﬁsuración que predice el modelo numérico y la observada
experimentalmente, y esa es una de las principales razones por lasque tanto la curva envolvente como la obtenida bajo cargas cíclicas
se aproxima tanto a la experimental.
En las ﬁguras 12 y 13 se comparan el modelo y el espécimen
ﬁsurado en planta, tanto de la zona superior como inferior, para
un desplazamiento lateral de la coronación del pilar superior, ı,de 60 mm de izquierda a derecha. Se observan ﬁsuras tanto a ﬂexión a lo largo de todo el ancho del ábaco como por torsión en las

(a)

(b)

Figura 13. Fisuras en capa inferior del ábaco para ␦ = 60 mm; a) modelo 4;b) espécimen.

Se han presentado en este artículo diferentes modelos para
simular numérica el comportamiento sísmico de una conexión interior de estructuras con forjado reticular, basados en la mecánica nolineal de hormigón armado. En las leyes histeréticas del hormigón
armado se distinguen los estados antes y después de ﬁsurar, aplicados tanto en elementos tipo ﬁbra (ETF) como en elementos tipo
capa (ETC). Uno de los modelos es seleccionado para validar numéricamente el comportamiento cíclico de la conexión, siguiendo elcriterio de mayor aproximación de la curva de capacidad, obtenida
mediante análisis de empuje incremental, como envolvente a lacurva experimental obtenida del ensayo de un espécimen pilarforjado reticular de hormigón armado sometido a carga cíclica
pseudo-estática. Se elige el modelo 4 formado por ETF isoparamétricos de 3 nodos en pilares y nervios, ETC rectangulares de 4
nodos en el ábaco y elementos rígidos bidimensionales en la unión
pilar-ábaco. Sobre este modelo se aplica la historia de carga cíclicaque se utilizó en el ensayo del espécimen, comparándose la curva
carga cíclica lateral-desplazamiento así como el estado de ﬁsuración con los resultados experimentales obtenidos en el ensayo delespécimen.
Del estudio realizado, una vez seleccionado el modelo que valida
numéricamente la conexión, se extraen las siguientes conclusiones:
1. La elección de modelos de ﬁbras y de capas, para los elementos
lineales y bidimensionales, respectivamente, del modelo seleccionado ha sido idónea para poder simular de forma correcta elcomportamiento del hormigón ﬁsurado.
2. Es fundamental realizar una discretización lo más tupida posible en torno al pilar, sobre todo para reproducir el estado
de torsión de forma cercana a la realidad. El modelo seleccionado converge a la solución experimental a partir de una
discretización mínima de 2 elementos tipo lámina en el contacto
de la unión pilar-forjado con las vigas embebidas en el ábaco.
De esta forma se mejora el modelo para captar de manera adecuada los esfuerzos de torsión que se producen en la cruceta
transversal.
3. Los modelos constitutivos elegidos para simular el comportamiento de los materiales tanto para el AEI bajo carga monotónica
como para las cargas cíclicas se han basado en la teoría avanzada
de mecánica no-lineal del hormigón armado, dentro del espaciode las tensiones-deformaciones medias. Se han mostrado muy
eﬁcaces, según se desprende tanto del ajuste realizado a la curva
experimental, así como del estado de ﬁsuración obtenido en lazona macizada o ábaco en torno al pilar.
4. Se ha comprobado que es imprescindible realizar una modelización adecuada de la transición pilar-ábaco entre componentes
de distinta dimensión, con elementos bidimensionales rígidospara simular correctamente la transmisión de esfuerzos en todo
el perímetro de la sección del pilar al entorno del ábaco.
5. El modelo numérico predice de forma muy satisfactoria el comportamiento no lineal de la conexión hasta el punto de máxima
carga, a partir del cual existen fallos de adherencia en la armadura inferior longitudinal así como degradación de la resistencia

Cómo citar este artículo: J. Donaire-Ávila, A. Benavent-Climent, Validación numérica del comportamiento cíclico de conexiones interiores
en estructuras con forjados reticulares, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2012. http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2012.08.003

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en la tensión tangencial de las ﬁsuras a torsión, no recogidas en elmodelo numérico. Por esta razón se va produciendo un aumento
en el desfase del efecto de pinzamiento con el incremento de
ciclos en la historia de carga.
Agradecimientos
Este trabajo de investigación se ha realizado en el marco del Proyecto P07TEP2610 «Desarrollo e interpretación de la tecnología delos disipadores de energía aplicada al control del daño en construcciones sometidas a terremotos y su evaluación mediante técnicas
avanzadas de tratamiento de señales», subvencionado tanto por la
Junta de Andalucía como por Fondos FEDER de la UE.
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Cómo citar este artículo: J. Donaire-Ávila, A. Benavent-Climent, Validación numérica del comportamiento cíclico de conexiones interiores
en estructuras con forjados reticulares, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2012. http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2012.08.003