計測自動制御学会産業論文集
Vol.10, No.15, 132/139（ 2011 ）外乱オブザーバを用いた Predictive Functional Control の追従性能改善佐藤俊之∗・金子高太郎∗・齋藤直樹∗
Improvement of Tracking Performance in Predictive Functional Control Using Disturbance Observer
Toshiyuki S∗ , Kotaro K∗ and Naoki S∗A disturbance observer-based approach for improving tracking performance in predictive functional control (PFC) is proposed. The role of the disturbance observer is to nominalize the actual plant by canceling unknown disturbances and reduce
the predicted output error in the PFC algorithm. The proposed control scheme is experimentally validated on a single axis
table drive system and is compared with the standard PFC and the auto-compensation mechanism. The experimental results
prove the eﬀectiveness of the proposed disturbance observer-based PFC scheme.
Key Words: Predictive Functional Control, Disturbance Observer, Model Predictive Control, One-Axis Table Drive System

フセットなく目標値に一致するものの ，ノミナルモデルに対す

1. は じ め にるモデル化誤差が大きい圧力範囲では過渡特性が劣化する現象

モデル予測制御は 1970 年代に実用化されて以来，主に石油化が見られた．そこで著者らは ，外乱オブザーバ 8)〜11) を用いるこ

学産業を中心に適用されてきた 1)が ，近年はこうしたプロセス産とにより PFC の追従性能を改善する方法を検討した 7) ．ただし業以外の分野にも適用範囲が広がりつつある ．

そこでは外乱オブザーバを併用する利点が明確にされていない．

モデル予測制御の特徴として ，多入出力系を扱えることのほ

制御系に加わる外乱を 1/sk 型（ k  1 ）と仮定するとき，PFC

かに，アクチュエータや操作量，状態変数などに関する制約を考では ，定位性（非積分性）制御対象に対しては ，実制御対象とモ慮できること，制約領域の境界付近での運転が可能であること ，デルとの間にゲ インのミスマッチが存在したり ，制御対象入力

高いロバスト性を有すること ，コントローラのチューニングが側にステップ 状外乱（ k = 1 ）が加わったりしても，一定の目標

比較的容易であること，などが挙げられる．

値に対しては定常状態において制御量が目標値に一致するとい

一般に ，多変数系の制約付きモデル予測制御では ，サンプリンう『オフセット・フリー特性』を有することが知られている 4), 5) ．

グ周期ごとに 2 次計画問題と呼ばれる非線形最適化問題を解く

しかし ，k = 2（ランプ状）以上の外乱（ s の次数が k  2 とな必要がある．石油化学プラントなど ，サンプ リング周期の長いる外乱を，以下では『高次外乱』と呼ぶ）に対しては ，オフセッ

制御対象においては最適化を実行するのに十分な時間を確保す

ト・フリー特性を持たない．なお，ランプ状外乱の例としては ，ることができる．しかし ，サンプリング周期が数 ms 以下である

メカトロ制御系において一定加速度で加減速する際の粘性摩擦ことが多いメカトロサーボ系では ，サンプ リング周期間に最適

力や，石油化学プラントにおける油流量変化などがあり，こうし化計算を完了することが難しい場合が多い．

た外乱による追従性能の劣化を防ぐ 方策が必要である．

Richalet らによって開発された Predictive Functional Control

上記の問題をふまえ本稿では ，PFC において ，モデル化誤差

は基本的に 1 入出力系を対象とし ，操作量を基本関や高次外乱に起因する追従性能の劣化を抑制する手段として外数の線形結合で表現することにより，オンラインでの非線形最適

乱オブザーバを併用する方法を提案する．さらに ，1 軸テーブル化をおこなわないモデル予測制御手法である．したがって，操作

駆動系の位置制御問題に適用することで ，提案手法の有効性を量計算に伴う計算負荷が小さく ，サンプ リング周期が短い制御

実験的に検証する．

(PFC)

2)〜5)

系に対しても適用可能である．加えて ，PFC の設計パラメータは基本的に希望閉ループ応答時間と呼ばれる値のみであるため ，
チューニングの容易さにおいても魅力的な制御手法である．

PFC の追従性能はモデルの予測精度に依存するため ，予測誤差が顕著であれば追従性能は劣化し ，設計通りの応答が得られな
い ．たとえば ，空気圧人工筋の制御に PFC を適用した事例 6), 7)
では ，動作圧力範囲に応じて制御対象の動特性がわずかに変動するため ，いずれの圧力範囲においても定常状態においてはオ∗∗

秋田県立大学システム科学技術学部
Faculty of Systems Science and Technology, Akita Prefectural University, 84-4 Aza Ebinokuchi, Tsuchiya, Yurihonjo, Akita（ Received April 6, 2011 ）c 2011 SICE
TRIA 015/11/1015 

Fig. 1 Concept of the predictive functional control

なお，著者らとほぼ同時期に，丹下ら 12)〜14) は Dynamic Matrix

u (k) = k0 {c (k + d) − yP (k)} −Control (DMC) と呼ばれる多変数モデル予測制御に外乱オブザーde

km em (k + d)

m=1

バを適用し ，その有効性をシミュレーションにより検討してい+ ν̃Tx xM (k) + ν̃Txd xM (k − d) .

る．彼らの研究では ，用いている予測制御手法の違いのほかに ，(5)

ここで ，de ∈ Z と em ∈ Z はそれぞれ ，将来の予測誤差を多項式近似する際の多項式次数と未知係数をあらわし ，k0 ∈ R ，km ∈ R ，ν̃x ∈ Rn および ν̃xd ∈ Rn はそれぞれ以下のように与えられる．

外乱オブ ザーバの構成が本稿と異なっている ．また ，外乱オブ
ザーバではなく，もう一つ別の PFC を用いることにより外乱を推定して補償する方法が野口ら 15) により開発されている．


 1 − αh1 


h
2
 1 − α 
T 

 ,
k0 = ν 
..


.


hn h 
1−α2. Predictive Functional Control
Fig. 1 に PFC の概念図を示す．現在のサンプル時刻を k と仮定する．まず ，制御対象出力 yP が追従すべき指令信号として ， m h1  hm  2 
km = νT  .  , . .
 m hnh

設定値軌道 c を定義する．また ，現在の制御対象出力 yP (k) を起点とし ，設定値軌道への理想的な近づき方をあらわす曲線として参照軌道 yR を定義する．また，参照軌道上に一致点と呼ばれる複数個の点を設定する．Fig. 1 では ，例として三つの一致点

 T 
 C M AhM1 − αh1 I    




h

 C M A M2 − αh2 I  


 



.
ν̃ x = − 
ν,


 

..







 h
 


C A nh − αhnh I  



M

M




T
 h


1

 α − 1 C M 





  h2 α − 1 C M 










ν.
ν̃ xd = − 

.





..










hn h

α − 1 CM(6)(6) において ，ν ∈ Rhnh は次式で与えられる．

が示されている．つぎに ，一致点において ，制御対象出力の予測
値と参照軌道の値との差を最小化するように最適な操作量軌道u (k + j) ( j = 0, 1, . . .) を計算する．そして，操作量軌道の最初のν = y B (h1 )要素 u (k) のみを制御対象に加える．つぎ のサンプル時刻 k + 1

···


−1
nh
 T    T y B hnh y B h j y B h j  U B (0) .
j=1

(7)

においては ，設定値軌道の定義から操作量の適用までの一連の 
ここで y B h j ∈ Rhnh ×nB と U B (0) ∈ ZnB はそれぞれ下記で与えらサイクルを繰り返す．

れる行列とベクトルである．

つぎに PFC の操作量計算の概要を示す．詳細は文献 7), 16) を参    
 T 
y B h j = y B1 h j· · · y BnB h j ,




T




U B (0) = 1 0 · · · 0 .

照されたい ．以下では ，実数および 整数からなるすべての n 次元ベクトルの集合をそれぞれ Rn と Zn であらわし ，サンプ リン
グ周期を T s であらわす．制御対象は安定と仮定し ，入力のむだ(8)

時間 d を除いたモデルを下記の離散時間 SISO 状態空間モデル(5) 式で与えられる最適操作量を計算するにあたり，k0 ，km ，ν̃x ，であらわす．

ν̃xd は事前にオフラインで計算できる．また ，むだ時間のない制 xM (k + 1) = A M xM (k) + B M u (k) ,y M (k) = C M xM (k) .

御対象においては d = 0 とおく．
未知係数 em (k + d) (m = 1, 2, . . . , m) は以下のように求められる．まず ，近似多項式の次数 de と ，近似に用いるステップ 数
hc を指定する．つぎに下記のベクトル ϕ ∈ Rhc ，θ ∈ Rde と行列
H ∈ Zhc ×de を定義する．

(1)

ただし ，xM ∈ Rn は状態変数ベクトル , u ∈ R は操作量，y M ∈ R




 
e (k + d) − e (k + d − hc ) e1 (k + d)  







 


 e2 (k + d)   e (k + d − 1) − e (k + d − hc ) 










,
θ
:=
,
ϕ := 




.
.







 
..
..





 




e (k + d − hc + 1) − e (k + d − hc )ede (k + d) 






de

2

hc
···
hc
 hc







2
de 



· · · (hc − 1) hc − 1 (hc − 1)







 .

H :=  .
.
.

.

 .


.
.
.


.

.
.
 .





1
1
···
1
(9)

はモデル出力をあらわす．このとき，参照軌道 yR を次式で定義
する．

yR (k + d + i) := c (k + d + i)
− αi (c (k + d) − ŷP (k + d)) , i = 0, 1, . . .

(2)

ただし ，α = e−3T s /T CLRT であり ，T CLRT ∈ R は希望閉ループ 応答
時間と呼ばれる定数である ．一致点における参照軌道の値と予測出力との差に基づき，つぎの評価関数を定義する．

J (k) :=

nh

 


2
ŷP k + d + h j − yR k + d + h j .

このとき二乗誤差 E (θ) := (ϕ − Hθ)T (ϕ − Hθ) を最小化する未知(3)

係数ベクトル θ は θ = (H T H)−1 H T ϕ で与えられる．なお，このj=1

ここで h j ∈ Z ( j = 0, 1, . . . , h) と nh ∈ Z はそれぞれ一致点のサン
プル時刻と一致点の数をあらわす．本稿では，Dieulot ら

16)

ようにして得られた未知係数を用い，過去の予測誤差を将来の予測区間に渡って外挿することで外乱を補償するメカニズムはが用「多項式型の自動補償器」と呼ばれ 5) ，(5) 式右辺の第 2 項がそれいている下記の三点を一致点として用いる．


h1

h2


 T CLRT

=
h3
3T s


T CLRT
2T s


T CLRT  .
Tsに該当する．

(4)

3. 外乱オブザーバによる追従性能の改善

このとき，(3) の評価関数 J (k) を最小化する最適操作量はつぎ

3. 1 外乱オブザーバのように与えられる．

外乱オブザーバは Fig. 2 に示す構造を持つ ．ここで P (s) は133

Fig. 3 Single axis table drive system
Fig. 2 Structure of the disturbance observer

実制御対象の伝達関数 ，Pn (s) は制御対象のノミナルモデル ，Q (s) ∈ RH ∞ は以下に述べる性質を有するフィルタをあらわす．
ここで ，RH ∞ は安定かつプロパな有理関数からなる集合をあらFig. 4 Schematic diagram of experimental setup

わす．また ， 本稿では Pn (s) は最小位相系と仮定する．外乱オ
ブザーバは制御系に加わる外乱，モデル化誤差および 非線形性

御対象 P (s) とモデル Pn (s) がともに 1 次遅れ系と仮定し ，それなどを制御対象入力側に加わる外乱 d とみなし ，その推定値をぞれの伝達関数が操作量から減ずることで外乱 d の影響を抑制する．
外乱オブザーバの設計パラメータである Q (s) に関しては以下

P (s) =のことが知られている．

k
,
s+ p

Pn (s) =

kn
s+ p

(10)

• Q (s) の相対次数は ，Q (s) P−1
n (s) がプロパとなるように選ばであらわされるとする．ただし ，k > 0 および kn > 0 とする．もなければならない．

し 両者のゲ インにミスマッチが存在し ，k < kn ならば ，PFC に• 外乱 d の影響を抑圧するために ，外乱の成分が多い低周波

よる制御時の応答は ，期待される応答よりも遅いものとなる．こ領域において |Q ( jω)|  1 でなければならない．また，積分特のような場合でも外乱オブ ザーバを用いることで実制御対象の性を付加することにより 1/sk 型の外乱を漸近的に除去するに挙動がモデルの挙動に近づき， PFC 内部における予測精度が実は ，Q (s) の DC ゲ インは 1 でなければならない．

際の応答に近いものとなる．その結果，PFC の追従性能の改善• ノイズ n の影響を低減するために ，ノイズの成分が多い高が期待できる．外乱オブザーバによる予測精度の改善効果につ周波領域において |Q ( jω)|  0 でなければならない．

いては ，第 4 章で具体例を示す．

• 入力 u から出力 y までの伝達関数を Gyu (s) とすれば ，適第二に ，外乱オブザーバを併用することにより，ランプ状やパ切に 設計され た Q (s) を用いるとき ，低周波領域に おいてラボラ状といった高次外乱をも補償できることである．前述のGyu (s)  Pn (s) となる．

通り，PFC では定位性プロセスに対してはオフセット・フリー• P (s) = Pn (s) のときは ，Q (s) が外乱オブザーバの相補感度特性により，制御対象入力側に加わるステップ状外乱による定常関数をあらわし ，1 − Q (s) が感度関数をあらわす．

偏差は漸近的に零となることが知られている ．しかし ，高次外

実際に Q (s) を実現するには ，Butterworth フィルタや二項フィ

乱に対してはこの特性は成立しない．さらに ，非定位性プロセ

ルタなど の ，既存のアナログ 低域通過フィルタのプロトタイプ

スでは ，ステップ状外乱に対するオフセット・フリー特性も成立を利用することができる．

しない．よって ，これらの場合には基本的な PFC アルゴ リズム

3. 2 提案する制御系の構造とその利点

のみでは対処できないことになる．nI 個の積分特性を一巡伝達

本稿で提案する制御系全体の構成は ，外乱オブ ザーバからな関数に付与できる外乱オブ ザーバを用いることにより ，定位性

るインナ・ループと，PFC コントローラからなるアウタ・ループ

プロセスの場合には ，PFC が元々有するオフセット・フリー特により構成される．ここで PFC の内部モデルは ，外乱オブザー

性と合わせて合計 nI + 1 個の積分特性が制御系に付与されるこバで用いているノミナルモデル Pn (s) である ．このような構造とになる．したがって ，たとえば nI = 1 のとき，定位性プロセを有する制御系の利点は以下の二点である．

スの場合にはランプ 状外乱までであれば漸近的に除去されることになる．以上のことから PFC の外乱抑圧特性が外乱オブザー

まず第一に ，外乱オブ ザーバによる局所フィード バック補償

バにより強化され ，上記の問題が緩和されることになる．

を施すことにより，低周波数領域においては Gyu (s)  Pn (s) となるため ，PFC アルゴ リズム内での予測精度の向上が期待でき

4. 実験による提案手法の検証ることである．現実の制御系においては ，実制御対象とモデルとの間にはゲ インのミスマッチやモデル化誤差が多少なりとも

4. 1 実験装置の概要

存在する．この場合，PFC 内部での出力予測値は制御対象出力

本章では提案する制御手法を 1 軸テーブル駆動系の位置制御と異なるものとなるが ，PFC はこうした不確定性に対する頑健問題に適用し ，その妥当性を検証する．Fig. 3 に実験で用いる 1性をある程度有しており，制御系が安定であれば 一定目標値に

軸テーブル駆動系の外観図を示す ．また ，Fig. 4 は実験装置の対する定常偏差は零となる．一方で ，立上がり時間や整定時間構成を示す概略図である．実験装置の主要部分は 1 軸リニア・などの過渡応答性能は劣化する可能性がある ．たとえば ，実制

アクチュエータ（ NSK 社製モノキャリア MCM08050H10K ）と134

Table 1 Specifications of linear actuator (left) and DC motor (right)
Valueball screw lead
10 mmstroke500 mmrail length
670 mmmaximum rotational speed 500 mm/s

Description

Value

nominal voltage
rated current
rated torquerated speed

24 V
2.96 A
0.28 Nm
1810 r/min

0.08

identified GK model
measurement data

0.06
0.04

Friction Torque (N⋅ m)

Description

1000 p/r の分解能を有する光学エンコーダを装備した 80 W の

0.02
0
−0.02

DC モータ（ マクソン社製 F2260.885 ）からなる．DC モータは

−0.04

サーボ・アンプ（マクソン社製 ADS 50/5 ）を用いて電流制御モー−0.06

ドにより駆動される．リニア・アクチュエータと DC モータの仕

−0.08

−30

−20

−10
0
10
Angular Velocity (rad/s)

様を Table 1 に示す．エンコーダ・パルスは 24 ビットのカウン
タ・ボード（ インターフェース社製 PCI-6204 ）により 4 逓倍でカ20

30Fig. 5 Measured friction data and identified GK friction model

ウントされ ，PC からのサーボ・アンプへの指示電圧は 12 ビットの D/A コンバータから出力され ，サーボ・アンプからの電流モ態，経年変化などにより毎回，摩擦トルクの値が変動するため ，ニタ信号は 12 ビットの A/D コンバータを介して PC に入力され上記のパラメータを一意に決定することは難しい．特に，低速度

る．D/A と A/D コンバータは一枚のアナログ入出力ボード（ イン

領域での摩擦トルクを高精度に測定することは困難である ．そターフェース社製 PCI-3521 ）を用いている．制御系のサンプ リ

こで ，これらの摩擦トルク成分を未知外乱として取り扱う．

ング周期は 1 ms とし ，制御用コンピュータにはクロック周波数が状態変数ベクトルを (x1 x2 )T := (θ θ̇)T で ，出力変数を y := θ

1.7 GHz の Xeon プロセッサを 2 基搭載した PC を用いる．PFC

で定義する．このとき，1 軸テーブル駆動系の状態空間表現はつコントローラを含む制御用ソフトウェアは MATLAB/Simulink

ぎのように与えられる．


 

 ẋ1 (t) 0 = 





 0


 ẋ2 (t)










y (t) = 1

（ MathWorks 社製）により構築されている．Fig. 4 からもわかる
ように，本実験装置はセミ・クローズド・ループ制御により制御される．

4. 2 制御対象モデル
テーブル駆動系が 1 慣性系として近似できると仮定すれば ，そ





 
 0 
1   x1 (t)  0  T f (t) , 
 ea (t) + 
 + −D/J x (t)K /J−1/J 
2S
  x1 (t)

 .

0 
x (t)
2(13)の運動方程式は以下のようになる．

ここで ，T f は粘性摩擦を除く摩擦トルクをあらわす．なお，本J θ̈ (t) = KS ea (t) − T d (t) .

(11)

実験装置ではむだ時間を無視できる．

4. 3 外乱オブザーバの設計

ここで J は慣性モーメント ，θ はモータ軸の回転角，ea はサー

ここでは ，速度ループ 内に外乱オブザーバを組む．指示電圧

ボ・アンプへの指示電圧，KS は指示電圧からモータトルクへの

ea から角速度 θ̇ までのノミナル伝達関数は ，(13) よりつぎのよ

換算係数，T d は非線形摩擦トルクをあらわす．本実験装置におうに与えられる．

いては ，KS = 0.0801 Nm/V である．また ，慣性モーメント J は−4

実験的に J = 1.6928 × 10

2

kg m と同定された．

Pn (s) =本実験装置の非線形摩擦トルク T d は ，以下に示す一般動摩擦KS
Js + D=473.2
s + 3.32.

(14)（ general kinetic friction ）モデル 17)（以下，GK モデル）で近似さPn (s) の相対次数は ρ p = 1 であるから ，外乱オブザーバの相対れるような特性を有している．

次数は ρq  1 でなければならない．そこで ，ここでは ρq = 1 に


2 






− θ̇(t)  





T c + (T s − T c ) e θ̇str 
sgn θ̇ (t) + Dθ̇ (t) , if θ̇  0,











(12)
T d (t) = T e (t) , if θ̇ = 0 and |T e | < T s ,







T s sgn T e (t) , if θ̇ = 0 and |T e | > T s .

取る．
外乱オブ ザーバにより導入すべき積分動作の個数は外乱の性質に依存する．一定外乱を補償するには一つの積分動作で十分である ．しかし ，本実験装置の摩擦トルクは Fig. 5 に示すような角速度依存性を有しているため ，一つの積分動作で十分な補ここで θ̇ str はストライベック速度，T c はクーロン摩擦レベル ，T s

償ができるかを事前に判断することは難しい．そこで ，以下のはスティクション（ breakaway ）トルク，D は粘性摩擦係数，T e は異なる積分動作数を持つ二種類の外乱オブザーバを設計し ，実駆動モータにより発生される外部トルクをあらわす．実験より，

験的に外乱抑圧特性を比較することとする．

これらのパラメータのノミナル値はそれぞれ θ̇ str = 0.2830 rad/s ，（ a ） 相対次数 ρq = 1 ，積分動作数 nI = 1 ．

−4

T c = 0.0330 Nm ，T s = 0.05877 Nm ，D = 5.6201×10（ b ） 相対次数 ρq = 1 ，積分動作数 nI = 2 ．

Nm/(rad/s)と同定された．Fig. 5 に測定された摩擦トルクと同定された GK

なお，入力電圧 ea から角度 θ までの伝達関数 Pn (s) /s は積分器

モデルを示す．ただし ，Fig. 5 に示す測定データは複数回の測定が一つ含まれた非定位性プロセスのため ，(a) の外乱オブザーバの平均値である．測定時における気温や湿度，グ リスの潤滑状

ではステップ状外乱まで ，(b) の外乱オブザーバではランプ状外

135

10
0
−10

Q1(s)

1−Q (s)1Gain (dB)−20−30

Fig. 7 Structure of the control system for the single axis table drive system

Q2(s)

−40

1−Q2(s)−50

位置制御ループで用いられる．制御対象のむだ時間は無視でき−60

るので ，(5) に与えられる制御則と (9) の計算において d = 0 と

−70 0
10

1

2

10

3

10
10
Frequency (rad/s)

410おく．また ，操作量の基底関数の次数を nB = 2 と選ぶ．閉ルー

510

プ 系の安定性と目標値追従性のバラン スを考慮し ，希望閉ルー

Fig. 6 Frequency characteristics of Qi (s) and 1 − Qi (s) (i = 1, 2)

プ応答時間を T CLRT = 0.02 s に取る．すると ，(2) の参照軌道 yRを定義するパラメータ α は 0.8607 となる．また ，(4) で定義さ乱までが漸近的に除去される．フィルタ Q (s) ∈ RH ∞ の次数 nqれる一致点は (h1 h2 h3 ) = (6 10 20) となる．

は nq = nI + ρq − 1 により決定される．したがって ，(a) の外乱オ

実験では比較のため，多項式型の自動補償器を用いた PFC に

ブザーバでは nq = 1 となり，(b) の外乱オブ ザーバでは nq = 2

よる制御もおこなう．そこでは 1 次の多項式を用いる．よって ，(9) において de = 1 に取る．多項式近似に用いる過去のステッとなる．
まず ，1 次のフィルタ Q1 (s) をアナログ Butterworth ロー・パ

プ数 hc を小さく取るほど 追従性能は改善される．反面，hc を小ス・フィルタとして設計する．カットオフ周波数を ωc = 45 Hz

さく取りすぎ ると操作量が大きくなり，飽和する危険性がある．

に選ぶと ，Q1 (s) はつぎのようになる．

そこで追従性能と操作量の大きさとのバランスを取り，ここでQ1 (s) =282.74s + 282.74

は (9) において hc = 10 に取る．

.

(15)

4. 5 実験結果

つぎに 2 次のフィルタ Q2 (s) を設計する．ここでは ，次式で各制御系の性能を検証するために ，変形台形曲線を複数個接続与えられる二項フィルタのプロトタイプを用いる．

Q (s) =

1+

nq −ρq

して生成される滑らかな目標値入力を用いて実験をおこなった ．

mam sτnqm .
nq
1 + m=1 am sτnq
m=1

変形台形曲線には加速度が一定となる区間が存在する．そのよ(16)

うな区間において制御系がこの目標値に追従しているときには ，
その速度はほぼランプ 状に変化するため ，粘性摩擦トルクがラ

ここで am は二項係数 ，すなわち am = nq !/m!(nq − m)! (m =ンプ状外乱として制御系に作用することになる．

1, 2, . . . , nq ) であり，τnq は決定すべき未知係数である．Q2 (s) のFig. 8 は目標値と，各制御系により得られたテーブル変位をあ場合，二項係数 a1 と a2 はともに a1 = 2 および a2 = 1 で与えららわす．図中の凡例において，‘PFC’ は通常の PFC ，‘PFC+AC’

れる．一方，未知パラメータ τnq を決定するために以下の数値最は自動補償器を用いる PFC ，‘PFC+DOB1’ は フィルタ Q1 (s) に適化問題を解く．

よる外乱オブザーバを用いる PFC ，‘PFC+DOB2’ は フィルタ

N 

2
  
min
Qd (ωi ) − Q2 jωi , τnq  .
τ nq

Q2 (s) による外乱オブザーバを用いる PFC をそれぞれあらわす．

(17)

Fig. 8 の上図より ，通常の PFC は外乱の影響により目標値に対

i=1



ここで Qd (ω) は ，周波数範囲が 0 rad/s からカットオフ周波数

して顕著なオフセットが生じており，追従性能が劣ることがわかる．それ以外の制御系による実験結果ではいずれも目標値に追ωc までの値が 1 で ，ωc 以上の周波数範囲で 0 となる理想フィル

従しているように見え ，上図では互いに区別することは困難であタのゲインをあらわす．また，ωi (i = 1, 2, . . . , N) は 10−1 rad/s かる．そこで ，加速度がほぼ一定で加速し ，粘性摩擦トルクがランら 104 rad/s の周波数範囲を対数軸上で N 等分した点をあらわす．

プ状外乱として作用する時間区間のうち，時刻 0.695 秒付近の詳

N = 3000 に取り上記の最適化問題を解いた結果，τnq = 0.0133

細図を Fig. 8 の中段に ，目標値の方向が反転する時間区間のうが得られた ．このとき，2 次のフィルタはつぎのようになる．

Q2 (s) =150.38 (s + 37.59)(s + 75.19)2.

ち，時刻 2 秒付近の詳細図を Fig. 8 の下段にそれぞれ示す．加速度がほぼ一定で加速する区間では，いずれの制御系もほぼ同様な(18)

追従性能を示しており，外乱オブザーバを併用する PFC 制御系

Fig. 6 に Qi (s) と 1 − Qi (s) (i = 1, 2) のゲインを示す．なお，実がわずかながら優れるという結果となった．一方，PFC+DOB1

際の制御系においては ，外乱オブザーバは離散時間系として実と PFC+DOB2 の追従性能にはほとんど差が見られない．この区間は粘性摩擦トルクがランプ状外乱として作用する区間であり，現される．

4. 4 PFC パラメータの選定

PFC+DOB1 ではステップ状外乱までしか漸近的に除去できない

1 軸テーブル駆動系に対する制御系の構造は Fig. 7 のようにため，ランプ状外乱まで漸近的に除去できる PFC+DOB2 よりもなる．図に示すように ，本実験装置では ，PFC コントローラは追従性能は劣るはずであるが ，結果に大きな違いはなかった．こ136

数領域での外乱抑圧特性が優れているため ，PFC+DOB2 の方がplant output

高い追従性を示したと考えられる．また，PFC+AC は ，外乱オ

referencePFC
PFC+ACPFC+DOB1PFC+DOB2

50

ブザーバのように積極的な外乱推定をおこなわないシンプルな方法ながら ，通常の PFC 制御系よりもはるかに良好な追従性能

−5
−10
0

を達成していることがわかる．しかし 本実験においては弊害も
1

2

3

4

5

6

7

8

生じている ．方向反転時での追従誤差が外乱オブ ザーバを用い1.85

る場合に比べて大きいことが ，Fig. 9 下図の 2 秒および 6 秒付近

reference

1.8の挙動よりわかる．これは ，自動補償器は過去の予測誤差を将PFC+DOB2

1.75
1.7
0.69

Position (mm)Position (mm)Position (mm)

10

0.692

来時刻に渡って外挿するという方法に基づいているため，方向PFC+DOB1PFC+AC
0.694
0.696

0.698

反転後，数サンプルの間は ，以前と同じ方向に外挿してしまうか

0.7

らである．

8

PFC+DOB1PFC+ACPFC+DOB2

7.9 reference
7.8

Fig. 10 に各制御系の操作量を示す．いずれの制御系においても ，操作量の振幅は ±1 V 程度であり大きな差は見られない ．

7.7
7.6
1.6

Fig. 10 下図に 2 秒付近の拡大図を示す．この図より，外乱オブ
1.7

1.8

1.9

2
2.1
Time (s)

2.2

2.3

2.4

2.5

ザーバを用いる場合には，目標値の方向が反転する際，操作量が摩擦による外乱トルクを打ち消すために ，PFC や PFC+AC に比べて早く応答していることがわかる．このことが 2.1 秒から 2.5

Fig. 8 Comparison of control performances (top graph) and its closeups(middle and bottom graphs)

秒付近の追従誤差の減少につながっている．

Position (mm)tracking error
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0

Fig. 11 は PFC に基づく各制御系において ，実際の制御対象

PFC
PFC+ACPFC+DOB1PFC+DOB2

出力と内部モデルによる予測出力を示したものである．予測誤差が存在することが直ちに制御の失敗を意味するものではないが ，予測誤差が小さいほど 過渡応答を含め，設計に近い追従性

1

2

3

4

5

6

7

8

能を達成できる ．Fig. 11 において ，PFC と PFC+AC では予測

Position (mm)

0.1
0.05

出力が非常に大きくなったため ，これらに関しては実際の予測

PFC+ACPFC+DOB1PFC+DOB2

PFC+DOB2

出力を 1/30 にしたものを描画している．Fig. 11 より，明らかに

0
−0.05
−0.1
0

PFC+DOB1 と PFC+DOB2 の予測誤差が小さく，外乱オブザー

PFC+DOB1PFC+AC1

2

バによる予測精度の改善効果が現れていることがわかる．なお，
3

4Time (s)

5

6

7

8

PFC+AC においてモデル出力が実制御対象出力と大きく異なる
ことから ，自動補償器が外乱オブザーバのような予測精度改善

Fig. 9 Comparison of tracking errors (top graph) and its closeup (bottom
graph)

効果を有しないことがわかる．
最後に，制御性能を定量的に評価するため，追従誤差と操作量に関して，Table. 2 に時間範囲 t ∈ [0, 8] における二乗積分平方根値

れは ，粘性摩擦トルクが両者の差が顕著に現れるほど 大きくなを示す．追従誤差に関しては PFC+DOB1 および PFC+DOB2 がかったためと予想される．また，方向反転時の各制御系の追従性

他の制御法よりも小さく，外乱オブザーバを用いることの有効性

能は反転直後に違いが見られ ，PFC+DOB2 が最も速やかに目標がわかる．一方，操作量の二乗積分平方根値を見ると，PFC+AC ，値に追従し ，ついで PFC+DOB1 ，PFC+AC の順となっている．

PFC+DOB1 ，PFC+DOB2 の値はいずれも通常の PFC の値よりも方向反転時における摩擦トルクは速度変化に応じて非線形に変大きくなっており，これらのうち PFC+DOB2 の値が最大となって化するため ，その Taylor 展開を考えると ，非常に高次の外乱といる．しかしこれらの値の大きさはほぼ同様であり，PFC+DOB1

して作用すると考えられる．また，摩擦トルクの値も大きい．そと PFC+DOB2 が操作エネルギをあまり増加させずに追従性能をのため ，中段に示した加速区間よりも外乱オブ ザーバの違いに改善していることがわかる．

よる性能差が顕著に現れたと考える．

5. お わ り にFig. 9 にそれぞれの制御系の追従誤差を示す ．Fig. 9 上図より，通常の PFC 制御系の最大追従誤差は ±1.5 mm 程度となる．

本論文では ，外乱オブザーバにもとづく Predictive Functional

PFC+DOB1 ，PFC+DOB2 および PFC+AC はいずれも追従誤差

Control （ PFC ）の追従性能の改善を提案した ．本方法におけるが ±0.1 mm 未満であるため，Fig. 9 下図に拡大図を示す．外乱

外乱オブ ザーバの役割は ，制御対象とモデル間のゲ イン・ミス

オブザーバを用いる PFC 同士を比較すると ，方向反転時以外のマッチや ，制御対象の非線形性などの未知外乱の影響を低減す

追従性能はほぼ同程度であることがわかる．PFC+DOB1 は方向ることである．これにより， PFC アルゴ リズムにおいて，モデ

反転時に目標値を超える量が PFC+DOB2 よりも大きく，追従性

ルによる出力予測精度が向上し ，その結果として追従性能の向能がやや劣化している．この差はフィルタ Q (s) のゲインの差に上が期待できる ．提案手法を 1 軸テーブル駆動系の位置制御系起因すると考える．Q2 (s) を用いる外乱オブザーバの方が低周波設計に適用し ，その有効性を実験的に検証した ．次数の異なる

137

謝辞

control effort
Voltage (V)10.5

本研究の一部は日本学術振興会 科学研究費補助金（ 基

盤研究 (C) ，課題番号 21560247 ）の助成を受けたものである．

PFC
PFC+ACPFC+DOB1PFC+DOB2

参考文献

0
−0.5
−1
0

1

2

3

4

5

6

7

1 ）J. M. Maciejowski: Predictive Control with Constraints, 1/26

8

Pearson Education, England (2002)
12 ）J. Richalet, S. Abu el Ata-Doss, C. Arber, H.B. Kuntze, A.

Voltage (V)PFC+AC
0.5

PFC

−1
1.9

Jacubasch and W. Schill: Predictive functional control: appli-

PFC+DOB10−0.5

cation to fast and accurate robot, Proc. of IFAC 10th WorldPFC+DOB2
2

2.1

2.2

2.3
2.4
Time (s)

2.5

2.6

2.7

Congress, 251/258 (1987)

2.8

3 ）J. Richalet: Industrial applications of model based predictive
control, Automatica, 29-5, 1251/1274 (1993)

Fig. 10 Comparison of control inputs (top graph) and its closeup (bottom
graph)

4 ）J. Richalet and D. O’Donovan: Predictive Functional Control:
Principles and Industrial Applications, 1/133, Springer-Verlag,

Position (mm)PFC

England (2009)10
plant output
predicted output (1/30)

05 ）ジャック・リシャレ ，江口 元: モデル予測制御− PFC (Predictive Functional Control) の原理と応用−（ 小崎 恭寿男監

−10
0

1

2

3

4

5

6

7

8

修），1/109 ，日本工業出版 (2007)

Position (mm)PFC+AC6 ）渡部 良尋，佐藤 俊之，嵯峨 宣彦，齊藤 直樹: 空気圧人工筋

10
plant output
predicted output (1/30)

0

アームのモデル予測制御，日本機械学会ロボティクス・メカ
トロニクス講演会講演論文集，2P1-A16 (2009)

−10
0

1

2

3

4

5

6

7

7 ）T. Satoh, N. Saito and N. Saga: Predictive functional control

8with disturbance observer for pneumatic artificial muscle ac-

Position (mm)PFC+DOB1

10
plant output
predicted output

0
−10
0

tuator, Proc. of the 1st International Conference on Applied
Bionics and Biomechanics (2010)

1

2

3

4

5

6

7

8 ）K. Ohishi, M. Nakao, K. Ohnishi and K. Miyachi:

8

Microprocessor-controlled DC motor for load-insensitive posi-

Position (mm)PFC+DOB2

10
0
−10
0

tion servosystem, IEEE Trans. on Industrial Electronics, 34-1,

plant output
predicted output

1

2

3

4
Time (s)567

44/49 (1987)
9 ）T. Murakami and K. Ohnishi: Advanced motion control in

8mechatronics – A tutorial, Proc. of the IEEE International
Workshop on Intelligent Control, 1, SL9/SL17 (1990)
10 ）T. Umeno and Y. Hori: Robust speed control of DC servomot-

Fig. 11 Comparison of prediction accuracy

ers using modern two-degrees-of-freedom controller design,IEEE Trans. on Industrial Electronics, 38-5, 363/368 (1991)

Table 2 Root integrated squared values
Control Scheme

Tracking Error

Control Input

PFC
PFC+ACPFC+DOB1PFC+DOB2

3.707
0.169
0.150
0.144

1.630
1.714
1.738
1.747

11 ）T. Umeno, T. Kaneko and Y. Hori: Robust survosystem design
with two degrees of freedom and its application to novel motion control of robot manipulators, IEEE Trans. on IndustiralElectronics, 40-5, 473/485 (1993)12 ）丹下 吉雄，中澤 親志，松井 哲郎，松本 宏治，西田 英幸: 多変数外乱オブザーバを用いたモデル予測制御，第 9 回計測
自動制御学会制御部門大会 (2009)

ロー・パス・フィルタを用いて二種類の外乱オブザーバを設計して実装し ，制御実験をおこなった ．その結果，通常の PFC 制御

13 ）Y. Tange, C. Nakazawa and T. Matsui: A multi-variable dis-

系に比べて予測誤差が大幅に減少し ，追従性能が改善されるこ

turbance observer for model predictive control, Proc. of 17thとが確かめられた．また ，多項式型の自動補償器を用いる PFC

Mediterranean Conference on Control & Automation, 856/861

制御系との比較もおこない，提案手法がこれらに比べて良好な(2009)

追従性能を達成するという結果が得られた ．なお，本論文で提14 ）丹下 吉雄，松井 哲郎，松本 宏治，西田 英幸: 多変数外乱オ

案した方法の適用範囲はテーブル駆動系の制御など といったメ

ブザーバによるモデル予測制御の外乱抑制，計測自動制御
学会論文集，46-8 ，448/455 (2010)

カトロニクス分野に限定されるものではなく，プロセス制御などほかの制御問題にも適用可能である．

15 ）野口 芳和，小針 昌則，橋本 芳宏: 第一原理モデルに基づく

138

モデル予測制御によるバッチプロセスの制御，システム/制御/情報，52-8, 285/290 (2008)16 ）J.Y. Dieulot, T. Benhammi, F. Colas and P.J. Barre: Composite predictive functional control strategies, application to positioning axes, Int. J. of Computers, Communications & Control,
III-1, 41/50 (2008)17 ）E. G. Papadopoulos and G. C. Chasparis: Analysis and modelbased control of servomechanisms with friction, ASME J. of
Dynamic Systems, Measurement, and Control, 126, 911/915(2004)

［著
佐

藤 俊

者 紹

介］

之（ 正会員）1996 年東北大学大学院工学研究科博士後期課程修了．1999 年秋田県立大学システム科学技術学部
機械知能システム学科講師，2006 年同大学システ
ム科学技術学部機械知能システム学科准教授．博士（工学）．制御系設計，メカトロニクスなどの研究に従事．日本機械学会，IEEE 等の会員．

金

子 高太郎
2010 年秋田県立大学システム科学技術学部機械知能システム学科卒業．2010 年秋田県立大学大学
院システム科学技術研究科機械知能システム学専
攻入学，現在に至る．制御系設計および摩擦補償など の研究に従事．日本機械学会の学生員．

齋

藤 直

樹
1998 年秋田大学大学院鉱山学研究科博士前期課
程修了．1999 年秋田県立大学システム科学技術学
部機械知能システム学科助手，2008 年同大学シス
テム科学技術学部機械知能システム学科准教授 ．
博士（工学）．センサ開発，メカトロニクスなどの研究に従事．日本機械学会，日本ロボット学会等の会員．

139