ヘルスサイエンス・ヘルスケア

Volume 4，No.1（2004）

歯科疫学統計
−第2報 一般化線形モデルの意義と潮流−
瀧 口徹

A review of oral epidemiological statistics− Part II: New trends in statistical methods-the Generalized Linear Models (GLIM) −Toru Takiguchi

要旨：第 2 報では 1989 年に開発されて普及してきた正規分布のみを前提とせず最適のモデルを選択する優れた手法である一般化線形モデルの意義と潮流について概説した。細目は 1．GLIM ：一般化線形モ
デル利用の時代変遷、2．GLM ：一般線形モデルと GLIM ：一般化線形モデルの違い、3．モデル選択の原則論、4．GLIM 法利用に当たってのキーワード、および 5．GLIM 解析の例題、である。
キーワード：最尤法、一般線形モデル、一般化線形モデル、AIC 基準、デビアンス

はじめにれた。第 1 報の表 5,6 と同様の PubMed 検索による第 1 報で各種統計分布の特徴と利用に際しての方法で GLIM 法利用の時代変遷を調べ表 1 を得た。

注意点について概説し、各種多変量モデル利用の1989 年の開発以来増加してきているが、その絶対時代変遷を解説した。第 2 報においてはより厳格

数は 2004 年 9 月 30 日までの総数で 126 と決して多な統計分布への適合を統一的に行う一般化線形モ

くない。歯科保健・医療に関しては本検索ではイデル： GLIM の概念と実例を通して利用の要点にンプラントに関してわずか 2 例 2，3） あるだけでついて概説する。

あった。この理由については特段解説しているものは見あたらないが、著者の推定としては下記と1．GLIM ：一般化線形モデル利用の時代変遷
表1

GLIM ： Generalized Linear Models に よ る 解 析 使
用頻度の時代変化

GLIM ：一般化線形モデル 1)（以下、GLIM）は1989 年に P.McCullagh（シカゴ大学）と J.A.

− 1970 年 1 月１日〜 2000 年 9 月 30 日−−メディカル・データベース Pub Med による−

Nelder（英国王立科学技術大学）によって開発さ【著者連絡先】〒 341-0003 埼玉県三郷市彦成3-86
深井保健科学研究所
主席研究員 瀧口 徹
TEL&FAX：048-957-3315
E-mail： taki8020@mth.biglobe.ne.jp― 29 ―

歯科疫学統計−第 2 報

一般化線形モデルの意義と潮流−

表2 General Linear ModelからGeneralized Linear Modelsへ思われる。
①GLIM 法の手順は容易であるが意義と結果の解釈が難解であること②GLIM 法の Family が binomial で Link が logit の組み合わせ、すなわちロジィスティック回帰分析モデルのコンピュータ統計ソフトが世界的に普及しているが、それ以外の組み合わせのソフトの普及が極めて遅いため多くの研究がロジィスティック回帰分析モデルで行われていること③研究者が最適統計分布選択の曖昧さが引き起かということはこれからのレディメードの保健・こす問題点に寛容であること医療の重要なテーマであろう。

ここで最も重要なことは③である。例えば第 1報で解説したように正規分布の近似式としてのロ

2．GLM ：一般線形モデルと GLIM ：一般化線形

ジスティック分布はあくまでも左右対称型でありモデルの違い歪度は 0 である。しかし二項分布、ポアソン分布の歪度は 0 ではない（n が極大になるなど条件に

表 2 に従来型の GLM ：一般線形モデルの代表的よっては 0 に近似するが）。すなわち左右対称型でなものの分類を示した。分散分析、重回帰分析、ない。このことを解析上どう考えるかということ

判別分析、主成分分析等はいずれも（多変量）正である。極めて多くの事象が概ね釣り鐘状の分布

規分布および均質な分散を前提としている。対数をするから正規分布を前提として分析を行うとい利用による線形化は計算のし易さ、結果の理解しうことの汎用性は高い。しかしながら第 1 報で例易さのためであり、従来型の最も大きな特徴は前示した企業メールの分布、台風の本土上陸数の分提として分布を固定して考えている点である。な布の場合は正規分布と考えると確率予測に大きなお、この表には記載されていないが t 検定、χ 2 検狂いを生じる恐れがある。特に実際の分布の両裾定等も広義では従来型のモデル解析である。
これに対して GLIM 法 1）は従来の線形モデルにで平均値から離れた位置にある事象をどう考えるおける実際値とモデル式との間のズレ、すなわち誤差項（the sum-of-squares discrepancy）に仮定されていた正規分布の枠組みを外し、様々な分布をす※一般線形モデルと一般線形化モデルの略語につる確率変数に対しても統一的な線形推測が可能といてなるようにしたものである。

一般線形化モデル(Generalized Linear Models)は開発者の教科書

1）において GLMs と略されている。

しかし統計ソフト SPSS においては GLM モデルと3．モデル選択の原則論

は一般線形モデル（General Linear Model）を指し、P.McCullagh と J.A.Nelder はその著書 1)の中でモ

一方統計ソフト STATA においては一般線形化モ

デル解析に際しての次の 3 つの原則を提示していデルを GLM と GLIM の両方で表している。このよる。

うに両者は非常に紛らわしいので後者を GLZ と略することもある。本総説では一般線形化モデル

第1の原則：（極論すれば）全てのモデルは間違（Generalized Linear Models）の略語は SPSS 辞典 4）

いとも言えるが、より有用なモデルで紹介している GLIM を用いた。

を探すことこそが重要である。同時― 30 ―

ヘルスサイエンス・ヘルスケア

Volume 4，No.1（2004）も概ね合致しているといえるだろう。に永遠の真実は我々の手中に無いことを認識しなければならない。

4．GLIM 法利用に当たってのキーワード

第2 の原則：（芸術家にも当てはまるが）唯一の1）Family とLink

モ デ ル に 固 執 （ fall in love with one

表 3 に GLIM 法の適用分布の選択手順に欠かせmodel）して他の方法を除外してはなない Family と Link の関係を示す。ここで Family はらない。
第3 の原則：例えば分布中心からかなり離れた位

正規分布、二項分布、ポアソン分布等の母数（母置にある観測値に対して残差を調べ、集団の平均値、標準偏差、歪度、尖度等）の違いかつ別の統計手法による統計量の適のため名称を異にする分布の種類を、一方 Link は合度を調べる等の方法で、ある 1 つlog 変換、logit 変換（log(p/(1-p))）等、線形式にすのモデルのデータ適合度を厳密に検るための（母数の性格を異にしない）変換法の種証することが推奨される。

類を指す。例えば対数正規分布の場合は Family は

上記のような診断手順はいまだ完璧には公式化

正規分布（normal dist=Gaussian）、Link は log となされていないし、恐らくこれからもされないである。次に図 1 に実際の Family,Link の適用画面の例

ろう。非常に重要かつ非常に疑わしいモデルの外（統計解析ソフト

観を決定するためにはある種の想像力もしくは内示す。この画面で binomial（二項分布）の Link は省（introspection）が必要である。

目的変数が 2値（0,1 等）の場合のみに適用される。

STATA

8.2

Texas 大学）をFamily が Gaussian で Link が identitiy(基本分布)の場
第 1 報の台風の本土上陸数分布の例でいえば、合、係数等計算結果は従来の（線形）MRA:重回正規分布だけをあるいは二項分布やポアソン分布帰分析に一致する。また Link の選択肢 power はベだけを単独適用すればいずれも差が有意でなくそキ乗を含む多項式モデルであり、2,3 等の乗数値れぞれの分布が「その分布ではない」と言えないを指定する。

ことになる。しかし 3 つの分布を比較することに

2）尤度と最尤法(Likelihood, MLE:Maximum Likeli-

よって正規分布は相対的に適合が悪いことが判明

hood Estimate)した。また、分布の端の観測値である上陸数 0 は

尤とは「尤もらしい」、最尤とは「最も尤もらポアソン分布あるいは二項分布では確率的によくしい」という意味である。GLIM 法においても極説明がつくが 2004 年の 10 回本土上陸はいずれのめて重要な統計確率の概念である尤度（likelihood）分布でも全く説明がつかないことが判明した。こは分散分析法(ANOVA)開発者で有名な R.A.Fisher

れら一連の分析結果と解釈は上記の原則に奇しくによって研究開発された。この尤度もまた事象のもっと

表3

さい ゆう

Generalized Linear Models とは？

図1― 31 ―

Generalized Linear Models とは?

歯科疫学統計−第 2 報

一般化線形モデルの意義と潮流−発生する確率（probability）である。ならばなぜ確

黒玉の比率の平均値が実際には 0.3 だったとした率といわないか。「雨が降る確率が高い」あるいらその倍の比率（0.6）で抽出される確率はいくら

は「雪が降る確率が高い」と「雨になるだろう」、か」という母数既知の問題設定の場合と「この出「雪になるだろう」という和文を英訳すると前者玉で推定される母集団の黒玉比率は幾つが最も尤には probability が後者には likelihood が向いているもらしいか」という母数未知の問題設定の違いがであろう。文章としての意味からは likelihood の語

確率予測と最尤法予測の違いである。

感は曖昧さを否めない。しかし Fisher の定義はそ

表 4 にはこの最尤法を用いた最尤推定値： MLEの意味ではなく、予め統計分布が決められていて、の求め方の例および表 5 には一般化した方法、す諸条件を代入して計算されるのが確率であるが、なわち母数を変数とし観測値を定数として対数変尤度は分布の母数を観測値から推定し、推定され換後偏微分する方法を解説してある。多くの場合

た統計分布（いつでも正規分布とは限らない）か両辺を対数変換してから微分する方が計算が容易

ら確率計算する方法である。予測精度は観測精度である。この例の MLE（母集団の平均値の推定値）次第であり 10 年間の観測値から母数を推定する場は 0.6 となる。実際の計算では関数は複雑で簡単

合と、ここ 1 週間の天気から推定する場合では確に公式を用いた微分ができないためテーラー展開率が全く違ってくる。よっていい加減かというと等を繰り返し使用して近似値を求める手法をとそうではない。例えば砂漠地帯と熱帯雨林地帯にる。後述する Newton-Raphson 法は GLIM 法におい我が国の気象の分布を機械的に当てはめて確率計て基本的な近似値計算法になっている。

算するとどういうことになるかを想像していただ

3）AIC ： Akaike's Information Criterion

ければ見るも無惨に予測がはずれることは請け合いである。
上記のことを数学的に説明するために図 2「最表4

母数のうち平均値の最尤法による推定： Maximum Likelihood Estimate ： MLE

尤法を理解するための思考実験」を示す。図の詳しい解説は省略するが、母数は一般に不明であるということが重要である。従って母数不明の場合確率であろうと尤度であろうと観測値から計算する以外に母数を推定する方法はない。しかし最尤法は母数を固定しないで変数扱いする点が確率予測と全く違う点である。図 2 において「母集団の表5

図2

最尤法を理解するための思考実験

Unknown の壺から玉を繰り返して取り出す場合― 32 ―

対 数 尤 度 関 数 ： The logarithm of the LikelihoodFunction

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Volume 4，No.1（2004）

赤池の情報量規準、略して AIC 基準 5，6，7）とい複数の説明変数の合成変量を考える。複数の説明う。線形、非線形統計モデル開発において変数選変量は目的変数と単相関係数の絶対値が大きく、択の適否を判断する基準となる。回帰分析の変数

しかも説明変量間では出来るだけ相関が低い（独選択のように変数の個数が増えるほど当てはまり立性が高い）ものがいいが、このような複数の変の指標である残差平方和は小さくなる。このため、数を最初から設定するのは至難の業である。また変数の個数が異なるモデル間でのモデルの良し悪仮に少数の互いに独立性の高い変数を設定でき、しを比較するためには残差平方和は不適である。

かつ生物学的な妥当性が高いと考えられる場合でモデル選択の基準として赤池の提案した AIC 規も、背景に交絡因子（confounding factor）がある

準では AIC=-2 log（最大尤度）+2（説明変数のとモデルの要素として設定した変数のみでは予測数＋ 1）が最小になるモデルを最適とするものでや要因分析結果に看過出来ない歪みが生じる。例

あり、新たな変数を加えたとき AIC 値が小さくなえば食事の品目と疾患との関係では多くの交絡がれば「従属変数の推定のための関数に導入する変生じることが知られている。ある研究で牛乳摂取数のノイズ情報と比べてプラスの情報が多い」とが特定の疾患発生を抑制するようにみえても食品判断する。重回帰分析の場合は変数選択基準にはその組み合わせに補完と競合関係があり、時Fin=Fout=2.0 で AIC が最も小さくなる。現在モデに交絡因子として作用し結果を事実以上に強調しルの適否判断において国際的に最も標準的に使わたり、逆に弱めたりする。すなわち牛乳、パン、れている。

バター、ジャム、ソースの組み合わせは互いに補4）デビアンス（deviance）

完関係があり、また米飯、みそ汁、漬け物、海苔、Deviance（差）：デビアンスはもともと逸脱と醤油の組み合わせも同様であるが、例えば牛乳とか乖離、偏差値を表す言葉であるが、P.McCullagh

漬け物、牛乳とみそ汁、牛乳と海苔、牛乳と醤油

1）と J.A. Nelder によって提案されたモデル適合度は競合関係がある。こうした場合、初めから牛乳を評価する指標である。仮定したモデルと完全なを単独で疾病抑制因子としてモデル化するのは危モデルとの最大対数尤度の差の-2 倍で定義される険である。そこで何らかの方法で事前に探索的な尤度比検定統計量である。デビアンスは、実測値解析を行う必要がある。探索的な解析は記述疫学とモデルとの誤差が必ずしも正規分布ではない場の目的と同じで仮説を作るためと交絡因子を予め合に、誤差平方和（残差平方和）の代わりに用い検出しておくためである。本稿では既に著者らがるモデル選択の指標となる。疫学調査等で「ネス発表 10，11）している成人の咀嚼機能阻害要因分析

ト化した影響評価モデル」の中から、データに、を例題として取り上げることにする。咀嚼機能正より適合するモデルを選ぶためのモデル選択指標

常群と障害群に係わる要因分析で加齢と冷水敏がとして利用されている。ネストモデルの変数の出大きいことが示された研究であるが、ここでは新し入れはデビアンス差がχ 2 分布することを利用たに相加効果（冷水敏＋歯牙動揺＋食物圧入）おして決める。正規分布を画一的な前提とせず、例よび相乗効果（冷水敏×歯牙動揺×食物圧入）のえば大気汚染と死亡率との関係の分布に適合する有意性を検証することを例題としての目的とし分布モデルを探す研究 8）において、また医療用放た。その他、変数項目、対象等は表 6 および文献

9）

射線の影響に関する研究 等に広範囲に使用されを参照されたい。その結果表 7 に示すように 21 変ている。

数を用いた変数増減法（Stepwise method）による
MRA ：重回帰分析を行い、通法である係数の有5．GLIM 解析の例題

意性の基準 Fin=Fout=2.0 の条件下で 6 変数が選択された。GLIM 法で扱う非線形変数増減法 12）も研

1）統計モデル解析の前にGLIM 法を行うために仮説モデル：目的変数＝究されてきているが、まだ一般的でない。また― 33 ―

歯科疫学統計−第 2 報

一般化線形モデルの意義と潮流−

stepwise 法によって変数を減らし情報圧縮（parsi-法の適用を示す。目的変数は咀嚼機能障害の有無mony）することそのものに否定的な見解 13）も以で 2 値（0,1）のため Family は binomial ：二項分布4）前からある。さらに本稿 デビアンスの項で解説である。前述の統計解析ソフト stata を用いて Link

したように重回帰分析の stepwise 法は残差平方和

は identity ：通常の二項分布、log、logit、probit、c-の正規分布を前提としているので本例題では正規log-log および 2 乗式： power の 6 種を比較した。そ分布の硬い枠を外すため、stepwise 法で選択されの結果を表 9 に示す。logit の AIC の値が最小になた変数をあくまでも咀嚼機能阻害要因モデルの要り選択される。但し本番の解析では丹後ら 7）の提因候補あるいは交絡因子候補として扱うこととし唱する「機械的選択を避ける」配慮が必要となる。

た。検証すべき相乗効果を加え、また多くの分析

表 10、表 11 は Link が identity と logit の場合のアウで交絡因子になる性を加えた 8 要因で一般化線形トプットを示す。表 11 の結果表にある deviance 差モデル： GLIM を構築した。表 8 に本題の GLIMを用いて表 12 に示すネスティド・モデルの変数選択を行った。その結果は年齢（p=0.0000）が最大要因、次いで冷水敏の有無（p=0.0000）、DMFT 指表6 探索的方法による分析 方法数（p=0.0004）、相加平均（0.0096）で統計学的に高度に有意であった。飲酒量と体重はいずれもp>0.05 でモデルから外された。相乗効果および性も p が 0.58-0.76 と大きくモデルから外された。以上、結論として成人の咀嚼機能障害モデルは 4 要
表9 二項分布：binomial分布における最適LIN Kの選択

表7 探索的方法による分析 結果

表 9 の注釈

表8 モデルによる分析 方法― 34 ―

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表10 GLIMの結果 その１

Volume 4，No.1（2004）

表 12 GLIM 法を用いた Deviance によるモデル選択
その１−咀嚼機能モデルの変数の選択−

表12の注釈表11 GLIMの結果 その２

表 13 GLIM 法を用いた Deviance によるモデル選択
その３−相加効果か相乗効果かの判定

誤った手法例−

因による logit 変換した二項分布（=logisitic）が最尤モデルである。口腔に関連した不定愁訴の相加効果と相乗効果は前者が有意に存在することが判明した。なお、モデルの選択に関して変数増加法

おわりに（forward）を行う際は特に注意を要することを表21 世紀は 100 の症例を､ごく少数の類型に大別13 に示した。この場合、相加効果ではなく相乗効診断して治療する医療から社会学、心理学を加味果がモデルの要素に選択されてしまっている。こした個別医療の動きへとニーズが医療側と住民側の理由は相加効果を変数としてモデルに挿入するの両再度から高まってきている。従来保健・医療前に相乗効果を挿入し、その上で相加効果の出しにおける統計分布解析は正規分布の頑健性を頼り入れを deviance 差で判定したためである。こうしに平均値からの差を最重視し診断の物差しとしてた誤りを避けるために（重回帰分析以外の非線形きた。しかし従来の分布解析の視点から脱却してでは stepwsise 法が用意されていない場合が多いの分布中心（注意すれば病気にならない人）から相で）変数減少法（backward）を選択し、係数の有当離れたケース、すなわち注意しなくても病気に意水準が小さい変数から逐次除外していくことにならない人、注意しても病気になる人の科学的峻よって回避される。

別等、分布の中心付近から両端にも視野を広げていく必要がある。そのために第 1 報で解説した各― 35 ―

歯科疫学統計−第 2 報

一般化線形モデルの意義と潮流−

種統計分布の相互関係と利用の潮流、第 2 報で解説した一般化線形モデルの意義と潮流が参考になれば幸いである。
謝辞：本総説を執筆するにあたりご指導いただいた歯科疫学研究会の顧問である重松逸造、蓑輪眞澄、高江洲義矩、境 脩、伊藤学而、佐々木英忠の各先生に深謝申し上げます。さらに貴重なご助言をいただいた深井穫博同研究会会長をはじめとする幹事の方々ならびに国立保健医療科学院の花田信弘部長、安藤雄一室長、東京医科歯科大学大学院植松 宏、川口陽子両教授に感謝申し上げます。

文 献01）P. McCullagh, J. A. Nelder： Generalized Linear Models．
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02） Richard S. Truhlar, Harold F. Moris, Shigeru Ochi： Stability of the Bone-Implant Complex. Results of Longitudinal
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04）小野寺孝義，山本嘉一郎編： SPSS 辞典− BASE

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第 1 刷，1983，134-136頁．
06）鈴木義一郎：現代統計学小辞典，講談社，東京，第1 刷，1998，12-13頁．
07）丹後俊郎，山岡和枝，高木晴良：ロジスティック回
帰分析 SASを利用した統計解析の実際−，朝倉書店，
東京，第 1 刷，1996，200-201 頁．
08）Klemm RJ, Lipfert FW, Wyzga RE, Gust C.Inhal： Dailymortality and air pollution in Atlanta: two years of data fromARIES. Toxico．16：131-141，2004．
09）Levegrun S, Hof H, Essig M, Schlegel W, Debus J： Radiation-induced changes of brain tissue after radiosurgery inpatients with arteriovenous malformations: correlation withdose distribution parameters.Int J Radiat Oncol Biol Phys．
59(3)：796-808，2004．
10）高徳幸男，瀧口 徹，小林清吾ほか：咀嚼機能に及ぼす加齢の影響について．日本咀嚼学会誌 4(1)： 4150，1995．
11）瀧口 徹： 8020地域歯科保健活動の現場から 第 6章 咀嚼機能減退のリスク要因を考える，日本歯科評論社，東京，第 1 刷，2001，186-192頁．
12） C. Huang, J. R. G. Townshend： A stepwise regression
tree for nonlinear approximatetion： applications to estimating subpixel land cover. Int. J. REMOTE SENSING．
24(1)： 75-90，2003．9）Paul Lewus, Roseanne M. Ford：
Temperature-Sensitive Motility of Sulfolobus acidocaldarius
Influences Population Distribution in Extreme Environments.
Journal of Bacteriology.. 181(13)： 4020-4025，1999．
13）重松逸造，柳川 洋，秋葉澄伯ほか：新しい疫学，（財）日本公衆衛生協会，東京，第 1 刷，1991，116頁．

ヘルスサイエンス・ヘルスケア

Volume 4，No.1（2004）

A review of oral epidemiological statistics−Part II: New trends in statistical methods-the Generalized Linear Models (GLIM) −Toru Takiguchi（Fukai Institute of Health Science）

Abstract: The Generalized Linear Models (GLIM) were developed by P. McCullagh and J.A. Nelder in 1989, and are
now widely accepted throughout the world as a sophisticated statistical method to get optimal goodness-of-fit for a distribution. The main purpose of GLIM is to counteract the uncritical and almost robotic application of normal distribution as theking of all distributions . To be sure, normal distribution is very useful for understanding almost all events in the fields ofmedicine and dentistry.
However, the thrust of both of medicine and dentistry will move dramatically fromorder-made medicine

ready-made medicine

towardin the near future-most likely within this century. In other words, far more attention will be given

to preventive and treatment methods for special cases, i.e. those that are far removed from the population mean.
In this context, strict analysis of statistical distributions is essential for establishing new disease classifications and new
preventive methods that are firmly grounded in evidence.
From this standpoint, important statistical concepts (e.g. maximum likelihood estimate, deviance, AIC-criterion, Family, and Link) and practical procedures using the statistical software "STATA" by Texas University are covered in Part 2 ofthis review.
Key words: the Maximum Likelihood Estimate, the General Linear Models, Generalized Linear Models, AIC-criterion,devianceReprint requests to T. TAKIGUCHI, Fukai Institute of Health Science, 3-86, Hikonari, Misato-shi, Saitama 341-0003,
Japan
TEL:048-957-3315/FAX:048-957-3315/E-mail:taki8020@mth.biglobe.ne.jp― 37 ―