球面上の行列式点過程とその周辺
平尾 将剛（愛県大・情報）
2021 年 8 月 19 日
九州大学 IMI 共同利用研究・ワークショップ「実社会に見られる複雑なネットワークと無限粒子系の交差点 II」∗ 本研究は JSPS 科研費 20K03736 の助成を受けています.

1. 球面デザインと QMC デザイン
2. 球面上の行列式点過程と QMC デザイン
3. 球面上の行列式点過程とタイト・フレーム

球面デザインSd = {x ∈ Rd+1 | kxk = 1}, σ: (正規化された) Sd 上の一様測度.
Def.
(Delsarte et al., 1977)
A set XN = {x1, . . . , xN } ⊂ Sd
(N < ∞) is called a spherical t-design of Sd, if the following eq. holdsZNX1f (xi) =f (x) dσ(x), ∀f ∈ Pt(Rd+1).
Nx∈Sdi=1∗ 坂内-坂内 (’09), Seidel(2001) などでは他の球面デザインの定義も紹介されている.

Ex. 単位円に内接する正多面体の頂点配置は t-design of S2 をなす．

t=2t=3t=3t=5t=5球面デザインの研究課題• 点数の下界（非存在問題）: Delsarte et al. (1977), Yudin(1997)• 存在問題: Tchakaloﬀ(1957), Seymour-Zaslavsky(1984),
Bondarenko et al(2013)↑ 近年の球面デザインの研究におけるブレイクスルー• 構成問題: （特に小さい t に対して）代数的/解析的方法が多数知られている• 応用研究: - QMC デザイン (Brauchart et al., 2014)- Banach 空間への等長埋め込み ⇝ ﬁnite frames (H., 2021a, b)- 統計的実験計画法 (Sawa et al., 2019)- カーネル法における特徴写像の近似 (Dao-De Sa-Ré, 2017)- Wiener 空間上の cubature 公式 (Lyons-Victoir, 2004) など
Rem. 近年，Cohn-Kumar(2006) による universally optimality を持つ
球面点配置の分類など，離散ポテンシャル・エネルギーの観点からの研究が盛ん．
∗ Brauchart-Grabner(2015), Bilyk et al (2019), ...

球面デザインの存在問題
Thm. (Seymour-Zaslavsky, 1984).
自然数のペア (d, t) を固定する．点数が十分大ならば，t-design of Sd はいつでも存在する．
Thm. (Bondarenko et al, 2013). 自然数 d ≥ 2 を固定する．このとき，任意の N ≥ cdtd に対して，N 点での t-design of Sd が存在する．
∗ Korevaar-Meyers (1993) の予想:「t-design of Sd で点数が N  td のものが常に存在する」を解決．
(an  bn ⇔ ∃c1 , c2 > 0, s.t., c1 an ≤ c2 an , ∀n)∗ Bondarenko et al. (2015): “well-separated” spherical design について同様の事実を証明．
∗ Etayo et al. (2016): コンパクト代数多様体上の積分に対して拡張.

彼らの主張は，構成法については何ら述べていない．

Prob. t-design of Sd で点数が N = O(td) (t → ∞) の構成法を与えよ．

QMC デザイン• 先の要請を満たす design of Sd を代数的/解析的な構成法は未解決．
そこで正確値から近似値に変更し，良い性質を持つ XN ⊂ Sd を見つけたい．
ZNX
1f (xi) ≈f (x) dσ(x).
Nx∈Sdi=1⇒ Hs(Sd) に対する QMC デザイン系列: Brauchart et al. (2014)⋆ Wps (Sd ): Brauchart et al. (2015), H(s,γ) (Sd ): Grabner-Stepaniuk(2019)
Rem. 数値的に design of S2 を探索する研究は数多くある: Hardin-Sloane (1996) 予想.
22「t-design of S2 で点数が N ≥ 1
2 t + o(t ) (t → ∞) となるものが常に存在する」∗ Chen-Womersley (2006): t ≤ 100 に対し，数値実験により，(t + 1)2 点での t-design．
- Chen et al. (2011): 存在性の証明. t ≥ 101 に関しては未解決．
2∗ Sloan-Womersley (2009): 数値実験により，H.-S. の予想の正しさを述べている．実際には N ≥ 12 (t + 1) ?
∗ Gräf-Potts (2011, 2013): t ≤ 1000 に対し，数値実験により，t-design を求める (高速フーリエ変換の手法).
しかしながら，(私の知る限り) d ≥ 4 以上の計算結果は小さい t の場合を除き知られていない．

QMC design for Hs(Sd)(⊂ L2(Sd)){Yl,k : k = 1, . . . , Z(d, l)}: spherical harmonics of deg. l,(s)(s){αl } with αl (1 + l)2s,Z(d, l) := dim Harml (Sd)- For f ∈ Hs(Sd) (s > d/2),Z(d,l)∞XX(s)
kf kHs :=αl|fbl,k |2 < ∞,l=0

k=1fbl,k =Zx∈Sdf (x)Yl,k (x) dσ(x)P∞ PZ(d,l) (s)(s)- K (x, y) := l=0 k=1 αl Yl,k (x)Yl,k (y).
Thm. (General distance kernel, Brauchart et al., 2014)
For d/2 < s < d/2 + 1,K (s)(x, y) := 2Vd−2s(Sd) − |x − y|2s−d,where Vd−2s (Sd ) :=RR

Sd ×Sd |x − y|x, y ∈ Sd2s−d dσ(x)dσ(y)⋆ See also Brauchart-Wormersly (preprint): 一般の s についても扱っている．(後述)P
1
Q[XN ](f ) := N x∈XN f (x),RI(f ) := Sd f (x) dσ(x).

wce(Q[XN ]; Hs(Sd)) := supf ∈Hs(Sd) Q[XN ](f ) − I(f )kf kH≤1⋆ Koksma-Hlawka 型不等式: for any f ∈ Hs (Sd ),Q[XN ](f ) − I(f ) ≤ wce(Q[XN ; Hs (Sd )])kf kH .
⋆ 後述するが，wce(Q[XN ; Hs (Sd )]) は再生核 K (s) (x, y) を用いて具体的に表される．

Def. (Brauchart et al., ’14). Given s > d/2, a sequence (XN ) of N point conﬁgurations on Sd with N → ∞ is said to be a QMC design
sequence for Hs(Sd) if there exists c(s, d) > 0, independent of N , s.t.,c(s, d)sdwce(Q[XN ]; H (S )) ≤.
s/dNThm. (Brauchart et al, ’14)

For N = 1, 2, . . ., there exist N -point spherical t-designs YN of Sdwith t  N 1/d . These form a sequence of “generic” QMC designs.

Brauchart et al. (’14):

1 PN f (x ) ≈ R f (x) dσ(x)ii=1S2
N

222(9x−2)
9y+1
9x+1
9z+1- Franke1 function: f (x, y, z) = 3− (9y−2)− (9z−2)} +34 exp{−444
4 exp{− 49 − 10 − 10 }2222

1 exp{− (9x−7) − (9y−3) − (9z−5) } + 1 exp{−(9x − 4)2 − (9y − 7)2 − (9z−5) }.
+24410510Jittered sampling PPdDef. DN := {Di,N }N
i=1: an equal area partition of S into N pairwise
distinct subsets. Namely,σ(Dj,N ∩ Dk,N ) = 0,∀j, k = 1, . . . , N with j 6= k,σ(Dj,N ) = 1/N,diamDj,N ≤ c/N 1/d.
Let xi = xi,N be a point selected randomly from Di,N w.r.t. uniform
meas. on Di,N . Then, XN = {xi}Ni=1 is called a jittered sampling PP.
• The jittered sampling PP は DPP(Brauchart et al., ’20).
⋆ K(x, y) = N

PN

i=1 1Di,N (x)1Di,N (y).

• Leopardi(’09): 分割 DN の存在性を保証⋆ Brandolini et al.(2014): コンパクト多様体上の jittered sampling PP.

Fauchereau et al. (’08) より.

Thm. (Brauchart et al. ’14). If XN denotes an N -point jitteredsampling PP on Sd, it holds that, for d/2 < s < d/2 + 1,hi1/2
β0β≤ E wce(Q[XN ]; Hs(Sd))2≤N s/dN s/dRem. (Brauchart et al. ’14). Given s > d/2,
hi1/2
b(s, d)sd2
E wce(Q[XN ]; H (S ))=N 1/2for some b(s, d) > 0, where x1 , . . . , xN are indep. and uniformly dist. on Sd .

Prob. Jittered sampling PP の他に，QMC design を生成する確率点過程はあるか?
Brauchart et al. (’14): “For ﬁxed s > d/2, there exist many sequences of QMC designs for H s (Sd )that are not composed of spherical designs.“

2. 球面上の行列式点過程と QMC デザイン
• Macchi(1974, 1975)• Kulesza-Taskar(2012):§2.5.4 Quasirandom processes ← MC・QMC との関連を指摘• Sd 上の DPP:
• spherical ensemble of S2: Krishnapur(’09), Alishahi-Zamani(’15)• harmonic ensemble of Sd: Beltrán et al.(’16)• generalized spherical ensemble of S2d: Beltrán and Etayo(’18)(• projection ensemble of S2d+1: Beltrán and Etayo(’17))• jittered sampling on Sd: Brauchart et al.(’20)

Sd 上の行列式点過程 (DPP)• K : Sd × Sd → C: カーネル関数
Def. A simple point process on Sd is called a determinantal
point process (DPP) with kernel K if its k-point joint intensityfunctions ρk : (Sd)k → R≥0 (w.r.t. the measure σ) are given byρk (x1, . . . , xk ) = det(K(xi, xj ))1≤i,j≤k ,∀k ≥ 1.

• XN = {x1, . . . , xN } が Sd 上の N -point DPP ならば，Z Z
XE
f (xi, xj ) =ρ2(x, y)f (x, y) dσ(x)dσ(y)
i6=j

Z=Sd

Sd SdZSd

K(x, x)K(y, y) − |K(x, y)|2

特に今日扱う DPPs については，ZXEf (xi ) =if (x, y) dσ(x)dσ(y)ZSdρ1 (x, x)f (x) dσ(x) =SdK(x, x)f (x) dσ(x) = N.

Spherical & harmonic ensembles
spherical ensemble• K(x, y) =• well-known ensemble on S2
N (1 + g(x)g(y))N −1(1 + g(x))(N −1)/2(1 + g(y))(N −1)/2(e.g., Krishnapur(’06)),√
x1 + −1x2
ただし，g(x1 , x2 , x3 ) =for (x1 , x2 , x3 ) ∈ S2 : S2 を北極から C にステレオ射影する写像．
1 − x3

2• ρ2(x, y) = N 1 −kx − yk2 N −14(Alishahi-Zamani, ’14).

Harmonic ensemble• K(x, y) = RL(hx, yi): 多項式空間 PL(Sd) の再生核，d+L−1
(2L + d)(d/2,d/2−1)
LP
RL(x) =(x) (scaled Jacobi 多項式)LL+d/2dL• ρ2(x, y) = RL(1)2 − RL(hx, yi)2.
• 点の数は (確率 1 で) N = dim(PL(Sd)) = R

L(1) =d+L
d+L−1
+.
dd

最悪誤差の評価Thm. (H., ’18: (i), (ii)-(2), Marzo ’18+: (ii)-(1)) (i) Let d = 2 and XN be an N -pointspherical ensemble. For 1 < s < 2,hi
Γ(s)s22E wce(Q[XN ]; H (S )) = 22s−2 B(s, N ) (∼ 22s−2 s )Nwhere B(s, N ) is the beta function.
(ii) Let XN be an N -point Harmonic ensemble on Sd , with N = dim(PL (Sd )) points.
(1) For d/2 < s < d/2 + 1/2, there exists c1 (s, d) > 0, s.t.,c (s, d)E[{wce(Q[XN ]; Hs (Sd ))}2 ]1/2 ≤ 1.
N s/d(2) For d/2 + 1/2 < s < d/2 + 1, there exists c2 (s, d) > 0, s.t.,c2 (s, d)E[{wce(Q[XN ]; Hs (Sd ))}2 ]1/2 ≤.
N 1/2+1/(4d)追記• (Brauchart et al., 2014, Brauchart-Womersly, preprint).
For d/2 + L < s < d/2 + L + 1 with L is a positive integer,

(s)
L+1
K (x, y) := 1 − (−1)
Vd−2s (Sd ) + QL (x · y) + (−1)L+1 |x − y|2s−d ,where
QL (x · y) :=L X



(s)
(d)
(−1)L+1−l − 1 αl Z(d, l)Pl (x · y).

l=1wce(Q[XN ]; Hs (Sd ))2Riesz (2s − d)-energy

1= (−1)L+1 2Nz X1≤i,j≤N

L-th polynomial energy}|{z X
12s−d|xj − xi |+ 2N}|
{QL (xj · xi ) − (−1)L+1 Vd−2s (Sd ).

1≤i,j≤N• Brauchart et al. (’20): “hyperuniformity”による特徴付け．

1 . 球面デザインと QMC デザイン
2. 球面上の行列式点過程と QMC デザイン

3. 球面上の行列式点過程とタイト・フレーム

Frame potential• 球面デザインと p-frame potential の相互間研究．
Def. (p-frame potential). XN = {x1, . . . , xN } ⊂ Sd, 0 < p < ∞FPp(XN ) =N X
NX|hxi, xj i|pi=1 j=1

Prop. (Seidelnikov’s inequality).
(NNX XN 2PFP(p), p: evenphxi, xj i ≥0,p: odd
i=1 j=1
RR
where PFP(p) = Sd×Sd hx, yip dσ(x)dσ(y), andXN is t-design of Sd ⇔ “=” holds for any p = 1, . . . , t• Bilyk et al. (2020): p-frame potential の minimizer の分類.

Results of p-frame potentialThm. (H., 2021b). (i) Let XN be an N -point spherical ensemble (on S2 ). Then,N 2 {(−1)p+1 B(−1; p + 1, N ) + B(N, p + 1)}
2E(FPp (XN )) = N PFP(p) + N −,N2R z a−1b−1
dt is the incomplete beta function.
where B(z; a, b) = 0 t(1 − t) d+L−1.
(ii) Let XN be an N -point harmonic ensemble on Sd with N = dim(PL (Sd )) = d+L
dd +Then,E(FPp (XN )) = N 2 PFP(p) + o(N ) (N → ∞).
(iii) Let XN be an N -point jittered sampling PP +α. Then,
E(FPp (XN )) ≤ N 2 PFP(p) + N − N (1 −c2
2N 2/d)p/2 .

2-frame potential の応用XN = {x1, . . . , xN } ⊂ Sd, N < ∞Def. A ﬁnite set XN is called a ﬁnite unit norm tight frame (FUNTF)
for Rd+1, if there is a positive constant A satisfyingNX|hx, xii|2 = Akxk2,∀x ∈ Rd+1i=1∗ A spherical 2-design is also a FUNTF.

F : Rd+1 → RN , x 7→ (hx, xii)N
i=1: analysis op.
PN
∗
Nd+1
N
F :R →R, (ci)i=1 7→ i=1 cixi: adjoint op. of F
Prop. (Cf. Christensen, ’03).
1
1
XN is a FUNTF for Rd+1 ⇐⇒ F ∗F =Id+1
N
d+1Prob.

Find more applications of p-frames!

(Id+1: identity mat.)Thm. (Ehler, ’12). Let XN = {x1 , . . . , xN } ⊂ Sd be a set of random points, independently
distributed according to prob. unit norm tight frames{µk }Nk=1}, respectively. Then|{zEx. µk = the surface meas. σ on Sd

1 ∗
1
1 d
F F−
Id+1 k2)
=FN
d+1
Nd+1
where k · kF denotes the Frobenius norm.
E(kLem.

E(k1 ∗111F F−Id+1 k2− 2 E(FP2 (XN ))F) =Nd+1d+1 N

Cor. (H., 2021a). (i) If XN stands for the N -point spherical ensemble on S2 , then141E(k F ∗ F − I3 k2)=
FN
3(N + 1)(N + 2)(ii) If XN stands for the N -point harmonic ensemble on Sd with N = dim(PL (Sd )), then1
1− d+1d )E(k F ∗ F −Id+1 k2)=
O(N(N → ∞)FNd+1(iii) If XN stands for the N -point jittered sampling on Sd , then
1 ∗c2
12E(k F F −Id+1 kF ) ≤Nd+1
2N 1+2/d

最後に• Sd 上の DPP:

- spherical ensemble of S2 : Krishnapur(’09), Alishahi-Zamani(’15)- harmonic ensemble of Sd : Beltrán et al.(’16)- generalized spherical ensemble of S2d : Beltrán and Etayo(’18)(- projection ensemble of S2d+1 : Beltrán and Etayo(’17))- jittered sampling on Sd : Brauchart et al.(’20

Prob. Harmonic ensemble on Sd より，“より良い” Riesz energyを持つ確率点過程は何か？より効率的なシミュレーション方法は?
• 有限群，アソシエーションスキーム上での DPP
ご静聴ありがとうございました!
平尾 将剛 (愛知県立大学)
e-mail: hirao@ist.aichi-pu.ac.jp