計測自動制御学会東北支部第230回研究集会（2006．7．21）
資料番号230−14

耐故障性を考慮した構造系と制御系の統合化設計
AfaulttolerantintegrateddesignofstructuralandcontroI
SyStemSO稲吉 裕紀＊，平元 和彦＊HironoriInayosi＊，KazuhikoHiramoto＊＊秋田大学＊AkitaUniversity
キqワード：線形行列不等式（LinearMatrixInequality（LMI）），多項式行列（Polynomialmatrix），D一安定（か−Stability）7

統合化設計（SimultaneousdesignofstruCturalandcontllOIsystemS）
連絡先：〒qlO−8502秋田市手形学園町1番1号 秋田大学工学資源学部機械工学科平元研究室，
Tel∴（018）889−2972，Fax∴（018）837−0405，E−mail：OgaQmecム．aklta−u．aC．jp

耐故障性を考慮した制御系設計を行う．この手法

1．緒言は，制御対象およびコントローラからなる閉ルー近年技術の発展に伴い，制御性能向上のため多プ系の多項式行列（制御対象の動的振舞いを微分入力多出力化の傾向が高くなってきている．しか方程式で表し，それをラプラス変換したもの）をし多入力多出力の閉ループ系では，正常時に系全基に，閉ループ極を任意の安定領域内の部分領域体の安定性が保証されていてもセンサおよびアクに配置するものである・特徴としては（1）不確かさ

チュエータの一部が故障した場合に不安定となるを含む制御対象であっても適用が容易（2）システム可能性がある．そのため，センサおよびアクチュの極を任意の領域に配置可能（3）設計段階でコントエータの一部が故障した場合においても系の安定ローラの次数が設定可能，ということが挙げられ性などの制御性能が保証される耐故障性が重要とる．この手法を用いることにより，先の問題を解なってくる．この間題に対し「部分インテグリティ」

消し，かつ効率的に適切なコントローラを設計での提案1），「摘β分インテグリティ」の提案2）などにきるものと思われる．また，制御系設計と同時によって耐故障性に関する性能は向上してきた．し構造系設計を行う統合化設計問題も取り扱う．統かし，不確かさを含む制御対象に対して適用させ合化設計を行うことにより，より優れた耐故障性るのが困難であったり，アクチュエータ・センサが能を達成できるものと思われる．

故障した場合，望まれる安定余裕を満たすことが以下，β，Jm，㊤，花mXmおよびgmをそれぞれラプ困難になるなどの問題がある．

ラス演算子，m次単位行列，行列のKronecker横，そこで本論文では，Henrionらによる多項式行列

mxれ実行列およびm次実対称行列の集合とする．

アプローチに基づく制御系設計手法3）を用いて，−1−また，ル1†トdetA，AγおよびA＊をそれぞれ行列Aの

ここでガ11，ガ12，ガ22は，それぞれβ領域を規定す最大特異値，行列式，転置および共役転置とする．

るためのスカラーである．★は共役転置を表す．例

えばガ11＝0，ガ12＝1，ガ22＝0とした場合，β領

1．1 多項式行列アプローチ

域は複素平面上左半平面（β＝（β‥月e（5）＜0））となる・また，ガ11＝−1，ガ12＝0，ガ22＝1とした

本論文では制御対象として次式で与えられるよ

場合，β領域は単位円内部となる・以降式（3）の閉うな機械システムについて考える．

ループ極が全てβ領域内に存在する場合，式（3）は（〟β2＋ββ＋∬）ヴ（β）＝仇（β）

β安定であるということにする，（1）

式（3）の閉ループ系をβ安定とするため，Henrion［瑠＝［紬）

らによる多項式行列アプローチに基づく制御系設

式（1）は，多項式行列表現と呼ばれるものであり，多計手法を用いる．文献3）より閉ループ系がβ安定自由度の機械システムの運動方程式をラプラス変となるための必要十分条件i・ま，以下の行列不等式を換したものである．また，行列〟，ムしだ∈月mXれは，満足するような定数行列P∈52れとか安定な多項式それぞれ質量，減衰，剛性行列である．一また，9（β）

行列β（β）＝β1＋β2β＋β3β2（βいか2，β3∈月nXn），祝（β）はそれぞれ変位および操作量であり，恥（．9）

が存在することである．

，yd（β）はそれぞれセンサで得られる速度，変位出がⅣ＋Ⅳrβ一方（P）ト0，P＝P7 （5）力である，そして行列Gむβ∈月町JXれ，Gd∈月れdXn
β＝［∂1β2 上）3］ Ⅳ＝［Ⅳ1∧ち 〃3］

は速度，変位センサそれぞれの配置に依存して定ガ（P）＝nr但⑳P）n，
札坑★l﹁つ﹂︼

1ニ〃

10﹁■■L0ナノり一〃2〃

n00

つコントローラで用いて制御を行うと仮定する．

00

対して次式のような比例微分（PD）が他の構造を持ん∴んの影響係数行列である．また，本論文では式（1）に0ん0まる定数行列である．行列且∈月mXれ‖は入力祝（β）

ここで口は大きさ471×3γtの射影行列であり仁Aト0㍑（β）＝一凡仇（β）一鳥肌（β）（2）と表記した場合の行列Aは正定である・またβ（．9）

ここで，行列凡∈尺恥×mⅧ，為∈月れ〕×叫まそれぞは一般に中心多項式行列と呼ばれるものである．

れ速度および変位フィードバックゲインである．ま

この中心多項式行列β（β）の選択は設計プロセス上た，閉ループ系は次のようになる．

において非常に重要な問題であり，式（5）においてβ安定になるLMIの解が求められるかどうかは，中Ⅳ（5）q（β）＝（Ⅳ1＋Ⅳ衰＋Ⅳ3β2）q（5）（3）心多項式行列β（β）の選択に強く依存する・本論文

Ⅳ1＝（〟＋且為Gd），∧ち＝（か＋且凡Ct†），∧㌔＝〟

では，∂（β）を文献5）の方法を用いて導出する■
また，式（5）は〃（5）の中にコントローラのパラ本研究では，フィードバック制御を行うことにより閉ループ極（det∧r（β）＝0の解）を安定領域内のメータが線形に入っているため，中心多項式行列部分領域（以下β領域と呼ぶ）に配置することを考

β（β）を固定することによってコントローラパラえる．複素平面中の∂領域は以下のように定義さメータに関するLMIとなる．LMIは，連立させてれる．

解くことによって複数の拘束条件を考慮した解を（存在するならば）求めることが可能である■ 本論

か：＝iβ：耳11＋ガ125＋ガご2β＊＋ガ225β＊＜0）（4）

文では拘束条件に想定する故障状態を表す全ての一2閉ループ系に関する式（5）のLMI条件を連立するこ

メータを変化させることでアクチュエータおよびとによって，耐故障性を持たせる．

センサの有無を任意に設定することが可能となる．

パラメータはアクチュエータ，変位センサおよび速度センサが稼動している状態を1，故障状態を02．故障を考慮した制御系設計と表す・こうすることで離散的に各部の状態を表
耐故障性を確保した制御系設計を行うためには，現することが可能となる．

あらかじめ故障状態を想定しておく必要がある．

また本論文では，先に述べた離散的に起こるも本論文ではこ特にアクチュエータやセンサの故障のだけではなく，モデル化誤差や対象の長期的運用について考える．に伴う物理パラメータの構造的な不確定性も考慮

今回考慮するアクチュエータやセンサの状態は，する・先に述べたようにHenrionらの制御手法は，正常に稼動している状態（正常状態）もしくはなん対象に不確かさを含む場合でも容易に適用できるらかの原因によってまったく機能していない状態

特徴がある・具体的には文献4）で行列叫β，Ⅳが（故障状態）のどちらかに属するものとする．ここ

構造的な不確かさをもつ場合に閉ループ系がβ安で言うアクチュエータおよびセンサの故障状態は，定になるような条件が導出されている．

あるフィードバックループが完全に切断されるこ

np

れpmp

〟＝∑α壱佑 β＝∑両石 〝＝∑ヰ㈲とに相当する・そのため制御対象（閉ループ系）が正l＝1常状態から故障状態へ変動する場合には，閉ルー

壱＝1

五＝1

mp

∑α壱＝1，αi≧0，盲＝1，2，‥・プ系に離散的な変動が起こる．この離散的な故障

五＝1に対して・本論文では正常な状態に対する式（5）のLMI条件と故障した状態に対するLⅣⅠⅠ条件を連立

この状態での全ての閉ループ系は以下のように表させて解くことにより耐故障性を得るものとする．

される．

LれⅠⅠは連立させることによって，複数の拘束条件
Ⅳα（β）ヴ（β）＝ⅣF＋∧甘β＋埠β2を満足させることが可能となる・そのため，式（5）

（7）

JII−

叩＝∑本（∬壱＋珊Cd）

によって正常状態のLMI条件と故障状態のLMI条

（8）

五＝1

件を表現し，連立させることによって，どちらの場

花戸

Ⅳ㌻＝∑α刷＋珊Cu）合でβ安定化することが可能となる．また，故障

（9）

壱＝1

れp状態を複数想定して拘束条件に加えることによっ

噂＝∑本郷て，各故障状態のいずれに陥った場合でも閉ルー（10）盲＝1

この場合，Ⅳα（β）は与えられた多項式行列がもつ不プ系をβ安定とすることが可能となる．

確かさの端点を示している．これより，不確かさを故障状態は，アクチュエータおよびセンサがまったく動作しないものとして，それぞれの故障状態含む閉ループ系Ⅳα（β）の全てがβ安定となる必要十に相当する閉ループ系の多項式行列によって表現

分条件は，以下の行列不等式を満足するような定される・そのために，行列且，Gd，G℃を適切に設定

数行列Pf∈52乃（宜＝1，‥・，㍑p）とβ安定な多項式するすることによって各故障状態の表現を行う．行

行列β（β）＝β1＋かが＋β3β2（βト刀2，β3∈月れ×m）

列且，Gd，Gγは前章でも述べたようにそれぞれ入力が存在することである．

祝（β），変位センサ 速度センサの配置によって形が〃α＋（Ⅳαドβ一頃P）ト0，P＝Pr（11）が決まってくる・そのため行列且，Gd，Cγの各パラ

β＝［β1上）2 ヱ）3】 Ⅳ＝＝澤 j愕．昭］

岬3−−

そして，不確かさの端点であるⅣαの数だけ式（11）は故障による制御対象の離散的変動を陽に扱うこを用いてLMI条件を設定し，連立させて解くこととが可能であると同時に，各制御対象の物理変数によって，不確かさを表す超直方体中の全ての点の構造的な不確定性も考慮に入れることができる．

で，対象が安定となるように極の配置を行うといまた，提案する設計アルゴリズムは，最適化されうことになる．このことより，不確かさを含むシる指標が設計変数のLMI（例：フィードバックゲイステムであっても，不確かさの範囲が分かれば，容ン行列の最大特異値や構造の総質量等）で表され易にβ安定とすることが可能であるとわかる．ていれば，極配置制約の下でのこれら指標の局所以上のことより，式（11）によって制御対象に構的最適解への収束性も保証される．

造的な不確かさが存在する場合の∂安定を保証することができる．さらに，離散的な故障を同時に3．設計例考慮するために，離散的な故障の各状態を適用し，LMI条件で表す・これは式（8），（9）に含まれる行列且，Gd，Gγを変化させることで表現することが可能となる．そして，その全てのLMI条件を連立させて解くことにより，全故障状態および制御対象に構造的な不確かさが存在する場合に対して望まれる安定余裕を満たすことが可能となる．
さらに，本論文では先に述べた制御系設計に加え，構造系設計を同時に行う統合化設計を取り扱
う．統合化設計とは、構造系を設計してから制御

Fig. 1 3dof system

系を設計するという2ステップの設計を行う従来の手法ではなく，制御系設計の中でコントローラだ

設計例としてFig．1のような3自由度の構造物にけでなく制御対象（構造系）自体も設計の対象と考対し，前章に述べた方法を用いてアクチュエータ

え，制御対象中の設計変数と，制御を行うコント

およびセンサが故障した場合でも∂安定性を保証

ローラの設計を統合し，高い制御性能を達成するための設計方法である・するコントローラゲイン穐，凡を設計する．また今

今回は式（3）の閉ループ系

回は各階についているアクチュエータ，センサを一に含まれるコントローラゲイン鳥，凡および各階体型とし，故障した場合はアクチュエ・一夕とセンの質量mj，減衰琉，剛性たfを同時に調整することサが同時に使えなくなるものとする．つまり且＝により，制約に対してよりタイトな解が得られる
Gd＝Gγとなるようにする．各階に作用する操作量ものと思われる．

をそれぞれ1階から祝1，祝2，u3とし，変位ベクトル

注意＝ 大瀬ら6）により，ディスクリブタシステ

q＝［酌 q2 q3］T，操作羞血＝【机 u2・u3］Tムで表される閉ループ系に対して（Chilaliら7）のとした場合，式（1）の係数行列および行列且＝Cd＝

手法を拡張した）閉ループ極に関する制約条件を

Gγはそれぞれ式（12），（13），（14），（15）のように与え満足する統合化設計手法が提案されている．文献られる・またm盲，みたまはそれぞれ壱階（宜＝1，2，3）の6）では，単独の制御対象を検討しており，BMIに質量，減衰，剛性である．これらの各パラメータ帰着される問題に対して繰り返し設計アルゴリズ
ムを用いて解を求めている．一方，本報告の手法−4−

は以下のような集合に属しているとする．

ある．

m：＝（mi：竺乙≦m五≦而了）β1＝d：＝（め‥塾≦琉≦石）

5．2000e十003

ー2．6000e＋003−1．5407e−002−2．6000e＋003

5．2000e＋003−2．6000e十003−1．4963e−002−2．6000e十003

2．6000e十003

5．2946e＋000−4．4132e・−001

4．5303e−002

6．3151e−001

5．8764e＋000−3．4137e−001

ここでm壱＝2 雨音＝5（プ壱＝0 琉＝0．5 たゴ＝−3．4069e−001

2．0314e−001

5．3753e＋0000 石＝3000とする．

3．9902e十000

1．1579e−005−1．2879e−003−3．7675e−003

3．2424e＋000−4．5585e−003−1．7324e−003−2．1560ピー003

4．1732e＋000

た：＝（たi：生≦た宣≦石）
か2＝

β3＝3O00mO︒︒m〟＝

さらに，本論文では閉ループ系の刀安定性を満た（12）

すだけでなく，評価指標として式（16）を用いて最2壷り︼−α 2︑〃u＋0

大特異値F＝［鳥 ＿町のノルムを最小化し，より少ないエネルギで制御を行うこととする．

3（13）［ヱ‡‡］＞0た1＋た2 −た2 0人′＝

−た2 た2＋た3 −た30

且＝Gd＝Gu＝（14）（16）

本対象に対して前章で述べた手法を用い，離散的−た3 毎

el O OO e2 00 0 e3な故障を考慮した構造系と制御系の同時設計および連続時間系および離散的な故障を考慮した構造（15）系と制御系の同時設計を行う．

全てのアクチュエータおよびセンサが稼動してい3．1 離散的な故障を考慮に入れた統合化

る状態を正常状態とした場合，行列且，CdおよびGγ

設計の各パラメータはel＝e2＝e3＝1となる．また，仮に一階に設置されているアクチュエータ，変位セ

ここではアクチュエータおよびセンサが故障しンサおよび速度センサが故障した場乱行列且，Gdた場合でも，閉ループ極β1，…75れに関してβ領域およびGγの各パラメータはel＝0，e2＝e3＝1と月e（β）＜−0．05を満足するように各階の質量，減なる．今回はアクチュエータおよびセンサの状態

衰，剛性およびコントローラゲイン瑞，軋を設計を，正常時，1階故障時，2階故障時，3階故障時おする．またアクチュエータおよびセンサの全状態

よび172階故障時，1，3階故障時，2，3階故障時，全のうち，全階故障時（開ループ状態）を除く7パター

階故障時（開ループ状態）の8パターンを想定する・

ンをβ安定とするように極配置を行う・式（5）およ文献5）の結果を用いて設計した今回使用する中び式（16）を用いて設計した構造の各パラメータをTablelに示す．またその際のコントローラゲイン

心多項式β（β）のパラメータは以下のようなもので為，凡は次のようになった．

為＝

6．9065×10￣5 4．6427×10￣7 3．0198×10−7
5．4103×10￣4
1．7967×10￣2 −5．1862×10￣3−5．3050×10￣62．5823×10￣4 −1．7615×10−31．5300

凡＝−5一−8．7410×10￣5 1．3554×10〜5

1．3407×10￣4

1．4378−1．1967×10−2【2．1006×10￣7

1．1041×10￣2

1．4866

れる．
23

m盲［kg］ 2．3315 2．0001 2．3891
d壱［Nβ／呵 0．49986 0．49990 0．49959
た言［N／m］ 1532．1 1535て 1491．5

X・・・・・・○

lTablel Optimizeddesignparameters

X…‥ †○×…‥

・○

×・・・・・・○

また，正常状態のみを考慮した制御を行った場
合の極配置図をFig．2に，故障状態を考慮した制御

・08 ・0．7 −06 ・05 ・0．4 ・03 ・0．2 ・8．1 0P凸／ぐ＼を行った場合の極配置図をFig．3に示す・Fig．2よFig・3 Poledistributionoffaulttolerantdesign

り正常状態のみを考慮した制御を行った場合，アクチュエータおよびセンサが正常時（×）にはシス

テムをか安定とすることができたが，一箇所でも一一方，Fig．3の（×）は正常時，（・）は一部故障吼（。）は全故障時（開ループ系）の極であるが，全故障時（開ループ系）を除き．全ての極がβ領域内に存在することが分かる．このことから，故障を考慮し6びセンサが故障しない限り，一部が故障してもβ4た制御を行った場合，全てのアクチュエータおよ2﹇∈﹈﹂00こ∴芯﹂こー○︸u2宍眉ds石

故障した場合（・）にはβ安定を保証できなくなる．

051015202530十；M ）「ご ゝr「安定を保証できることが分かる．
Fig．4impulseresponse（normal）

・0 4−0．3﹇丘L8一−︸SLこー○︸u聖宍至ds石・05

t⁝≡≡r⁝㌣．⁝⁝：※●−02
RR「宍1Fig．2 Poledistributionofnofaulttolerantdesign

十㌦帽「⊂lゝ′1

次に，正常状態のみを考慮した制御を行った場

Fig・5impulseresponse（actuatorandsensorare
OutOforderin2，3floor）

合の正常状態の一階の変位のインパルス応答をFig，4に，二，三階故障状態の一階のインパルス応答をFig．5に示す・正常状態では，短い時間で振動がまた，故障状態を考慮した制御を行った場合の収束しているのに対し，二三階故障状態では振動正常状態の一階の変位のインパルス応答をFig．6が収束するまで非常に時間がかかることが見て取に，二，三階故障状態の一階のインパルス応答をFig−6−．7に示す．正常状態のみを考慮した制御を行った﹇∈﹈L0〇 一 − ︸ S ﹂ こ ち ︸ u 賀 む 0 空 d s 竃

場合の二言階故障状態の一階の変位（Fig，5）にに比べ，故障状態を考慮した制御を行った場合の二，三階故障状態の一階の変位（Fig．7）のほうがより早く収束しているのが分かる．また，故障状態を考慮した制御を行った場合，共に振動が収束していくが，正常状態に比べ二，三階故障状態のほうが振動が収束するまで，時間がかかるのが見て取れ

051D

15202530⊥；．＿〈「（〈〈「る．そのため，安定余裕を確保することは可能でFig．7impulseresponse（actuatorand sensorare
OutOforderin2，3noor）あるが，性能自体は低下しているものと思われる．

3．2 離散的な故障および制御対象に構造的な不確かさが存在する場合を考慮した統合化設計
鳥＝

次に離散的な故障に加え，制御対象に構造的な不確かさが存在する場合を考慮に入れた制御を考える．今回は1，2階の減衰dトd2が土20％変動するとF；・＝

8．3016×10￣51．2436×10￣38．2654×10−5−7．3804×10￣6 6．1092×10−61．7923
3．4738×10￣4

一3．2483×10￣4 1．2938×10「4−1．1541．×10￣4し，さらにアクチュエータおよびセンサが離散的な2．0412×10￣2 −6．1777×10−33．1793×10￣4 −1．2383×10￣31．7603
1．9743×10￣2−1．9864×10￣21．7650

故障した場合でもシステムがβ領域月e（占）＜−0．05を満足するように各階の質量，減衰，剛性および2

3

mi［kg】 2．3419 2．0001 2．4003
d言［Nβ／m］ 0．49981 0．49988 0．49959
た壱［N／m］ 1536．9 1540．0 1498．5

コントローラゲイン為，凡を設計する．故障状態は先と同じパターンを想定し，それを不確かさの超直方体の各端点ごとに適用，極配置を行う．式

Table2 0ptimizeddesignparameters（11）および式（16）を用いて設計した構造の各パラメータをTable2に示す．またその際のコントロー

ラゲイン為，凡は次のようになった・

また，制御を行った際の極配置図をFig．引こ示し，（×）は正常時，（・）は一部故障時，（。）は全故障時（開ループ系）の極とする．Fig．8より構造に不確かさ﹇∈﹈J0〇一−霊ここ山ち︸u賀8空ds石を含み，かつ故障した場合でも全故障時（開ループ系）を除き，β安定を保証できたことが分かる．

051015202530＋．；【．〈「（〈｛「Fig．6impulseresponse（normal）−7一2）濱田吾郎，新誠一，瀬部昇，耐故障性を有する多変数制御系の一設計法，計測自動学会※−…＝●●−0

論文集，Vol．34，No．9，1184／1190（1998）
lX…＝ ■（⊃3）D．Henrion，M．Sebek and V．Kucera，Robust
x● ●●●● Jo

POle placement for second−Order systems：

X■■●●●●●●■■●●■0an LMIapproach，LAAS−CNRS Research

Repo叶No．02324（2002）−0．9 −0．8・0．7・0．6 −0．5 −0．4 −0．3・0．2・0．1 0
Re（s）

4）D．Henrion，M．Sebek and V．Kucera，PositiveFig．8 Poledistribution

Polynomialand Robust Stabilization with
Fixed−Order Controllers，Vol．48，No．7っpp．
なお，4．1および4．2節で得られるゲイン行列に

1178−1186，November26（2002）

は，その構造に特別な制約は入れていないにも関
5）平元和彦，多項式行列手法による機械システ

わらず，得られるフィードバックゲイン行列は対角成分が大きく優勢となっており，結果的にコンムの制御系設計への統一的アプローチ，計測

トローラは分散制御型の構造を持っていることが自動制御学会第5回制御部門大会資料（2005）．

わかる．一般に分散制御の優位な点として，耐故223−226．

障性や故障に対する対応の容易さが挙げられるこ

6）大瀬長門・森田 亮・柳沢 宗，極の額域指とが多いが，本設計例で得られた結果は，それを定による構造系と制御系の同時設計問題，機ある意味で裏付けており，興味深い．

論，67−55，C（2001），697−703．

7）Chilali，M．andGahinet，P．，H∞Designwith

4．結言

Pole Placement Constraint：An LMIAp−多項式行列アプローチに基づく制御系設計手法

proach，7月且且升αmβ．A祝わmαま．Coれれ，41−3を用いて，耐故障性を考慮した構造系および制御（1996），358−367．

系の統合化設計を行った．本手法を用いることで従来の耐故障性設計は困難であった，不確かさを含む構造に対しての対故障設計および故障時にも安定余裕を保証する事が容易に可能となった．

文 献
参考文献
1）藤臥示村，特定の操作端に関するIntegrityを考慮した状態フィードバック系の設計，計測自動制御学会論文集，22−1，23／29（1986）

一8−