ベルの定理60周年記念研究会
芝浦工業大学 豊洲キャンパス

2024年9月3日

ベルの不等式とその前後の歴史
谷村 省吾
TANIMURA Shogo
名古屋大学 情報学研究科

ベルの定理60周年おめでとうございますJohn Stewart Bell, On the Einstein Podolsky Rosen paradox, 1964

https://alshealth.wordpress.com/2018/03/28/quantum-gambling-and-the-nature-of-reality/

自己紹介• 谷村省吾（たにむら・しょうご）• 名古屋大学工学部応用物理学科を卒業，大学院理学研究科物理学専攻で博士取得．その後，東京大学
学振PD，京都大学，大阪市立大学などの職歴を経て，2011年に名古屋大学情報学研究科に着任．

• 量子力学の数学的基礎，量子情報，圏論・微分幾何の物理への応用などを研究．ＡＩの研究も．

ことのおこり：EPRパラドクス
Einstein, Podolsky, Rosen, Can quantum-mechanical descriptionof physical reality be considered complete? 1935

https://portafolioiifisicamoderna2015.weebly.com/reflexioacuten-sobre-la-paradoja-de-einstein--podolsky-y-rosen.html

EPRパラドクス• 実在の要素（element of reality）の十分条件：系を乱すことなく，ある物理量を測定するときの結果を100パーセント確
実に予測できるなら，測定する物理量に対応する「実在の要素」があると言ってよい．（主観者が手を加えて作った結果じゃないのだから客観的実在だろう）• 物理理論の完全性（complete）の必要条件：完全な物理理論は，すべての実在の要素をもれなく記述していなくてはならない．
• ある思考実験で実在の要素と認められるものを，量子力学は記述できていないことを指摘し，だから量子力学は不完全だ，と論じた．

EPRの思考実験と論法• ２つの粒子の位置と運動量：𝑿𝑿𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟏𝟏 , 𝑿𝑿𝟐𝟐 , 𝑷𝑷𝟐𝟐
• エンタングル状態（相対座標の固有状態かつ全運動量の固有状態）∞∞|𝚿𝚿⟩ = � |𝒙𝒙⟩⨂|𝒙𝒙 + 𝒂𝒂⟩𝒅𝒅𝒅𝒅 = � |𝒑𝒑⟩⨂|−𝒑𝒑⟩𝒅𝒅𝒑𝒑−∞−∞• 𝑿𝑿𝟏𝟏 の測定値が𝒙𝒙𝟏𝟏 ならば， 𝑿𝑿𝟐𝟐 の測定値は確実に𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂
• 𝑷𝑷𝟏𝟏 の測定値が𝒑𝒑𝟏𝟏 ならば， 𝑷𝑷𝟐𝟐 の測定値は確実に𝒑𝒑𝟐𝟐 = −𝒑𝒑𝟏𝟏• ２番の粒子に触れることなく１番の粒子の測定値から確実に𝑿𝑿𝟐𝟐 と𝑷𝑷𝟐𝟐 の測定結果を予測できるので， 𝑿𝑿𝟐𝟐 と𝑷𝑷𝟐𝟐 は実在！
• しかし量子力学では 𝑿𝑿𝟐𝟐 と𝑷𝑷𝟐𝟐 は不確定性関係にある．
• だから量子力学は不完全だ！

ボーアの反論
Bohr, Can quantum-mechanical description of physical reality beconsidered complete? 1935

https://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Bohrボーアの反論の骨子
EPRは𝑿𝑿𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 ならば， 確実に 𝑿𝑿𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂
𝑷𝑷𝟏𝟏 = 𝒑𝒑𝟏𝟏 ならば， 確実に 𝑷𝑷𝟐𝟐 = −𝒑𝒑𝟏𝟏と言っているが，𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒂𝒂という関係を保ちながら𝑿𝑿𝟏𝟏 を測るという状況設定が 𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 = 𝟎𝟎という関係を保つことを不可能にしている．この意味で，粒子１に対する測定条件が粒子２を乱している！
現代風に言うと，{𝑿𝑿𝟐𝟐 − 𝑿𝑿𝟏𝟏 , 𝑿𝑿𝟏𝟏 , 𝑿𝑿𝟐𝟐 }は同時実在可能な文脈を構成している． {𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝑷𝑷𝟐𝟐 , 𝑷𝑷𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟐𝟐 }も {𝑿𝑿𝟐𝟐 − 𝑿𝑿𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝑷𝑷𝟐𝟐 }も同時実在可能だが， {𝑿𝑿𝟐𝟐 − 𝑿𝑿𝟏𝟏 , 𝑿𝑿𝟏𝟏 , 𝑿𝑿𝟐𝟐 , 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝑷𝑷𝟐𝟐 , 𝑷𝑷𝟏𝟏 , 𝑷𝑷𝟐𝟐 }は同時実在不可能（文脈依存した実在）．

フォンノイマンのNo-Go theorem
von Neumann「量子力学の数学的基礎」（ドイツ語版 1932）
IV.2節 定理「量子力学の結果を隠れたパラメータで再現することはできない」

https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumannフォンノイマンの論の骨子

隠れた変数（hidden variables）𝝀𝝀 = (𝝀𝝀𝟏𝟏 , 𝝀𝝀𝟐𝟐 , ⋯ )隠れた変数理論：物理量は隠れた変数の関数である：𝑨𝑨(𝝀𝝀)．
隠れた変数の値さえ確定すればすべての物理量の値も確定．
隠れた変数が確率分布 𝝆𝝆(𝝀𝝀) を持つ，とする考え方．
フォンノイマンは，物理量演算子に対する期待値汎関数は密度行列で書かれることを示し，一様（純粋）状態は凸分解不可能な密度行列であると定義し，凸分解不可能な密度行列はランク１であることを示し，ランク１の密度行列は必ずしも任意の物理量演算子の固有ベクトル射影演算子にはなっていないので，物理量の値が確定していない．よって，任意の量子状態を物理値確定状態の確率混合で表すことはできない．

グレーテ・ヘルマンによる批判
Grete Hermann（1935）ゲッチンゲン大学で数学とカント哲学を研究．ネーターの学生だった．フォンノイマンの定理を批判．

https://en.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermannベルによる批判
Bell, On the problem of hidden variables in quantum mechanics,
1966
非可換な物理量に対して期待値の加法性は成り立つ
𝑨𝑨 + 𝑩𝑩 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩が，固有値の加法性は成り立たない：
𝝈𝝈𝒙𝒙 , 𝝈𝝈𝒚𝒚 , 𝝈𝝈𝒛𝒛 の固有値は ±𝟏𝟏 だが， 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝝈𝝈𝒙𝒙 + 𝒄𝒄𝒚𝒚 𝝈𝝈𝒚𝒚 + 𝒄𝒄𝒛𝒛 𝝈𝝈𝒛𝒛 の固有値
は (±𝒄𝒄𝒙𝒙 ±𝒄𝒄𝒚𝒚 ±𝒄𝒄𝒛𝒛 ) ではなく，± 𝒄𝒄𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒄𝒄𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝒄𝒄𝟐𝟐𝒛𝒛

量子力学の物理量を純粋状態上の関数で表すという仮定は強すぎる，というか，それでは量子力学にならない．

ボームのアイデア
D. Bohm, Quantum Theory, 1951

位置と運動量ではなくスピンでEPRの問題を再考．
スピン・シングレット状態（規格化可能）
𝟏𝟏|𝚿𝚿⟩ =|↑⟩⨂|↓⟩ − |↓⟩⨂|↑⟩𝟐𝟐https://www.thefamouspeople.com/profiles/david-bohm-6313.php
https://www.nobelprize.org/uploads/2023/10/advanced-physicsprize2022-4.pdf

ボームとアハラノフ
D. Bohm and Y. Aharonov; Discussion of experimental proof forthe paradox of Einstein, Rosen, and Podolsky, 1957
（なぜか EPR が ERP に）

スピンの相関量の不等式を書いている．
|𝚿𝚿⟩ =𝟏𝟏𝟐𝟐|↑⟩⨂|↓⟩ − |↓⟩⨂|↑⟩

https://quantumtorah.com/a-curious-case-of-retrocausality-dead-inheriting-from-the-living/ベルの不等式，登場！
Bell, On the Einstein Podolsky Rosen paradox, 1964
𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟐𝟐 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏 + 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐

添字１が付いているのは粒子１の物理量，添字２が付いているのは粒子２の物理量．𝑨𝑨, 𝑩𝑩, 𝑪𝑪の区別は単位ベクトル𝒂𝒂, 𝒃𝒃, 𝒄𝒄の方向のスピン成分：
𝑨𝑨 = 𝒂𝒂 ⋅ 𝝈𝝈,
𝑩𝑩 = 𝒃𝒃 ⋅ 𝝈𝝈,
𝑪𝑪 = 𝒄𝒄 ⋅ 𝝈𝝈

局所実在論と完全逆相関を仮定して証明される．

本当はフォンノイマン定理を批判した論文の方を先に投稿して，その後で不等式の論文を投稿したのだが，掲載順序が逆転してしまった．

ベルの不等式の証明

スピンの測定値はどれも ±𝟏𝟏．
粒子１と粒子２の同じ向きのスピン成分は完全逆相関：
𝑨𝑨𝟐𝟐 = −𝑨𝑨𝟏𝟏 ,𝑩𝑩𝟐𝟐 = −𝑩𝑩𝟏𝟏 ,𝑪𝑪𝟐𝟐 = −𝑪𝑪𝟏𝟏
そうすると，
𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟐𝟐 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 = −𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 （∵ 逆相関）
= −𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 （∵ 𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝟏𝟏）= −𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 (𝟏𝟏 − 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 )= −𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 (𝟏𝟏 + 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 ) （∵ 逆相関）

𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟐𝟐 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟏𝟏 (𝟏𝟏 + 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 ) ≤ 𝟏𝟏 + 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐量子力学ではベルの不等式は破れる

スピン・シングレット状態では，
𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟐𝟐 = −𝒂𝒂 � 𝒃𝒃 = − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜽𝜽𝒂𝒂𝒂𝒂
測定軸をこう選ぶと，𝟏𝟏𝟏𝟏𝒄𝒄,𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟐𝟐 = −𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,
𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 = −𝒃𝒃𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏= 𝟎𝟎. 𝟕𝟕
𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟐𝟐 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 =𝒂𝒂
𝟐𝟐𝟏𝟏= 𝟎𝟎. 𝟑𝟑
𝟏𝟏 + 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 −𝟐𝟐
ベルの不等式（ 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑩𝑩𝟐𝟐 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏 + 𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 ）は不成立．

ベルの議論の長所と短所

長所：EPRの元の議論にかなり忠実．エンタグル状態を使って，粒子１に対する測定だけで，粒子２の状態を乱すことな
く粒子２のスピン測定値を確実に予測できる（完全逆相関）という状況になっている．測定していない物理量にも±𝟏𝟏の値が実在しているという仮定から導かれる．
短所：スピン・シングレット状態が大前提．任意の状態では不等式成立の保証がない．実験で不等式の破れが観測されたとしても「シングレット状態の生成に失敗しただけだろ」と言われたらおしまい．

CHSH，登場John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony, Richard Holt

シモニーはカルナップのもとで哲学の博士学位を取ったあと，ワイトマン，ウィグナーのもとで物理学の学位を取ろうとしていた．1969年論文発表時，シモニーは就職，他３人は大学院生

John Clauser

Abner Shimony

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/clauser/photo-gallery/?gallery_style=page
https://www.bu.edu/cphs/about/abner-shimony/

CHSHの不等式
Clauser, Horne, Shimony, Holt; Proposed experiment to test local
hidden-variable theories, 1969−𝟐𝟐 ≤ 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑩𝑩𝑩𝑩 − 𝑩𝑩𝑩𝑩 ≤ 𝟐𝟐

𝑨𝑨または𝑩𝑩を測る
𝑨𝑨 = 𝒂𝒂 ⋅ 𝝈𝝈,

𝑩𝑩 = 𝒃𝒃 ⋅ 𝝈𝝈

𝑼𝑼または𝑽𝑽を測る

𝑼𝑼 = 𝒖𝒖 ⋅ 𝝈𝝈,

𝑽𝑽 = 𝒗𝒗 ⋅ 𝝈𝝈

CHSH不等式の証明
𝑺𝑺 ≔ 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑩𝑩𝑩𝑩 − 𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝑨𝑨(𝑼𝑼 + 𝑽𝑽) + 𝑩𝑩(𝑼𝑼 − 𝑽𝑽)
𝑨𝑨, 𝑩𝑩, 𝑼𝑼, 𝑽𝑽 の値はどれも ±𝟏𝟏.
𝑼𝑼 + 𝑽𝑽 = +𝟐𝟐, 𝟎𝟎, 𝟎𝟎, −𝟐𝟐
𝑼𝑼 − 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎, +𝟐𝟐, −𝟐𝟐, 𝟎𝟎
どの場合でも 𝑺𝑺 の値は ±𝟐𝟐 のいずれか．
ゆえに 𝑺𝑺 の期待値は −𝟐𝟐 ≤ 𝑺𝑺 ≤ +𝟐𝟐 （証明終了）

証明の仮定： 𝑨𝑨, 𝑩𝑩, 𝑼𝑼, 𝑽𝑽 の ±𝟏𝟏の値の出現に関する非負結合確率が存在することを仮定した．

量子力学の場合|𝚿𝚿⟩ =𝟏𝟏|↑⟩⨂|↓⟩ − |↓⟩⨂|↑⟩

𝟐𝟐
𝑨𝑨 = 𝝈𝝈𝒙𝒙 ⊗ 𝟏𝟏,
𝑩𝑩 = 𝝈𝝈𝒚𝒚 ⊗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 ⊗𝝈𝝈𝒙𝒙 + 𝝈𝝈𝒚𝒚 ,𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 ⊗𝝈𝝈𝒙𝒙 − 𝝈𝝈𝒚𝒚𝟐𝟐𝟐𝟐のとき，maximal violation:
𝑺𝑺 = −𝟐𝟐 𝟐𝟐
𝑩𝑩

1

𝑨𝑨

Generator of photon pair

2𝑼𝑼𝑽𝑽

フリードマンとクラウザーの実験
Freedman（大学院生） and Clauser（ポスドク）; Experimental test of
local hidden-variable theories, 1972
Stuart Freedman

CHSH不等式を少しmodifyした不等式の破れを確認．
しかし，「局所性の抜け穴」があった．
https://www.universityofcalifornia.edu/news/physics-nobel-recognizes-uc-berkeley-experiment-spooky-action-distance抜け穴１time• 局所性の抜け穴：Locality loophole
space（communication loophole）
光子対が発生する前に測定器の設定されていたなら，それに応じて光子の隠れた変数の値
𝑨𝑨 or 𝑩𝑩が変動し，CHSH不等式が破れたかもしれない．
• この抜け穴をふさぐためには，光子対の発生点の因果的光錐の外で測定器の設定を決めなくてはならない．測定点同士もspace-likeに離さなくてはならない．
𝑩𝑩1
𝑨𝑨𝜆𝜆

2𝑼𝑼
𝑽𝑽

𝑨𝑨 or 𝑩𝑩𝜆𝜆𝑼𝑼 or 𝑽𝑽𝜆𝜆𝑼𝑼 or 𝑽𝑽

抜け穴２

• 検出の偏りの抜け穴：Detector loophole（fair-sampling loophole）
現実の測定器はすべての光子を検出できるわけではない．母集団ではCHSH不等式が成り立っているのに，偏った標本を見ているせいでCHSH不等式が破れているように見えたのかもしれない．
• CHSH不等式の忠実な検証のためには 82.8％以上の検出確率が必要（Eberhard, 1993）．
母集団

𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , 𝜆𝜆3 , 𝜆𝜆4 , 𝜆𝜆5 , 𝜆𝜆6 , 𝜆𝜆7 , 𝜆𝜆8 , 𝜆𝜆9 , 𝜆𝜆10 ,𝒂𝒂

𝜆𝜆11 , 𝜆𝜆12 , 𝜆𝜆13 , 𝜆𝜆14 , 𝜆𝜆15 , 𝜆𝜆16 , 𝜆𝜆17 , 𝜆𝜆18 , 𝜆𝜆19 , 𝜆𝜆20 ,1𝒃𝒃

𝜆𝜆21 , 𝜆𝜆22 , 𝜆𝜆23 , 𝜆𝜆24 , ⋯2𝒖𝒖𝒗𝒗

抜け穴３• 超光速の抜け穴：superluminous loophole
測定器同士，あるいは測定器と光子対発生装置の間で「超光速の連絡通路」があって，光子の隠れた変数の値が変動し，CHSH不等式が破れたかもしれない．
• 「超光速の後出しじゃんけん」をやっていいなら，何でもあり．超光速の連絡はないと信じる．

𝜆𝜆𝑨𝑨 or 𝑩𝑩timespace

𝑼𝑼 or 𝑽𝑽抜け穴４

• 自由意思の抜け穴：Freedom-of-choiceloophole
二つの測定器の設定の選択と隠れた変数状態の生成が相関を持っているかもしれない．
（全宇宙規模の陰謀説！）• この抜け穴（というよりも，いちゃもん）をふさぐことは原理的に不可能（悪魔の証明）．
できるだけ二つの測定器の連絡を絶って，光子対と測定器の状態準備に関わる共通原因とおぼしき事象をなくし，二つの測定器を独立に制御する方法を用意する．

𝑨𝑨 or 𝑩𝑩共通原因

𝜆𝜆

𝑼𝑼 or 𝑽𝑽

アスペたちの実験
A. Aspect, J. Dalibard and G. Roger; Experimental test of Bell'sinequalities using time-varying analyzers, 1982

２つの測定器間の距離は40ナノ光秒．測定軸の切り替えは10ナノ秒．
𝑺𝑺 = 𝟐𝟐. 𝟒𝟒 で，CHSH不等式の破れを確認．
しかし，切り替えは「周期的」だった．

https://en.wikipedia.org/wiki/Alain_Aspectツァイリンガーたちの実験
G. Weihs, T. Jennewein, C. Simon, H. Weinfurter and A. Zeilinger;
Violation of Bell's inequality under strict Einstein locality
conditions, 1988

２つの測定器のそばに乱数発生器を置いて，光子が飛んでいる間に測定軸の切り替えを行った． 𝑺𝑺 = 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕

https://medienportal.univie.ac.at/en/media/recent-press-releases/detailansicht-en/artikel/physiknobelpreis-fuer-anton-zeilinger-1/

その後の「ダメ押し」実験• オランダ・デルフト大学 R. Hansonら：
Loophole-free Bell inequality violation using electron spinsseparated by 1.3 kilometres

Nature, Received 19 August; accepted 28 September 2015; Published online 21October 2015

• ウィーン・ホーフブルク宮殿 A. Zeilingerら：
Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled
Photons
Phys Rev Lett, Received 10 November 2015; published 16 December 2015

• アメリカ国立標準技術研究所 K. Shalmら：
Strong Loophole-Free Test of Local Realism

Phys Rev Lett, Received 10 November 2015; published 16 December 2015

2022年のノーベル物理学賞

量子もつれ光子を用いたベルの不等式の破れの検証実験と量子情報科学の先駆的実験
For experiments with entangled photons, establishing the violation of Bell inequalities andpioneering quantum information science
アラン・アスペ（仏），ジョン・クラウザー（米），アントン・ツァイリンガー（オーストリア）

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/summary/

CHSH不等式の破れの解釈

量子力学から言えること：
𝑨𝑨と𝑩𝑩，𝑼𝑼と𝑽𝑽 は非可換．同時固有状態が存在しない．

𝑺𝑺 = 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑨𝑨𝑽𝑽 + 𝑩𝑩𝑼𝑼 − 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑨𝑨と𝑼𝑼を測っているときは𝑩𝑩, 𝑽𝑽の値が実在していると思ってはいけない．また， 𝑨𝑨と𝑼𝑼を測って得られた𝑨𝑨の値と，もし仮に𝑨𝑨と𝑽𝑽を測ったとしたら得られたであろう𝑨𝑨の値とが等しいことを量子力学は保証しない．にもかかわらず， 𝑨𝑨, 𝑩𝑩, 𝑼𝑼, 𝑽𝑽全部が±𝟏𝟏の値を持っていると仮定して𝑺𝑺 = ±𝟐𝟐と推論したことが誤り．ただし，𝑨𝑨と𝑼𝑼, 𝑨𝑨と𝑽𝑽, 𝑩𝑩と𝑼𝑼, 𝑩𝑩と𝑽𝑽は可換であることは相対論的因果律を尊重している．

アインシュタインの信念「空を見上げたときにだけ月はあると君は信ずるのか？」
Do you really believe that themoon exists only when you lookat it ?
（アインシュタインがパイスと散歩しているときに言った言葉）

量子もつれ実証アインシュタインの夢 ついえる―
測っていない値は実在しない．日経サイエンス2019年2月号

まとめ• アインシュタイン：客観的実在＝観測していないときも観測したときと同じように（物理量の値は）実在しているという信念．

• ベル（CHSH）の不等式：超光速の影響は存在しないと仮定し，測定していない物理量の値も（正の確率で）実在していると仮定すると，成立すべき不等式．
• 量子力学はベルの不等式の破れを予言する．破れぐあいも予言するし，破れる理由も説明する．
• 実験ではベルの不等式の破れが確認され，量子力学の予測と一致することが確認された．

ちなみに• ベル自身は，CHSH不等式の破れは，実在性の破れではなく，局所性の破れに起因していると考えていたらしい．
• つまり，ベルはアインシュタインに対してシンパシー．

今回，触れなかった話題• Kochen-Speckerの定理• Conway-Kochenの自由意思定理• Merminの魔法陣• Merminの装置• GHZ（Greenberger-Horne-Zeilinger）状態• Leggett-Garg不等式• Fineの定理• 弱値解釈ジョン・スチュアート・ベル（1928-1990）
CERNにて．加速器設計の仕事のかたわら，量子力学・場の量子論も研究

https://www.thefamouspeople.com/profiles/john-stewart-bell-1960.php

ベルの経歴• 北アイルランドのベルファストで労働者階級の家に生まれた．4人兄弟の中で高校に行ったのはジョンだけ．高校を卒業してクィーンズ大学ベルファスト校の物理学科の実験助手になり，才能が認められ，大学に入学・卒業した．
• イギリスの原子力研究所に就職．在職中パイエルスのもとで博士号取得．
CPT定理を証明したが，パウリとリューダースが一足先に証明していた．
• CERNの加速器設計部門に転職．サバティカル休暇中に，いわゆるベルの不等式を発見．
• ジャッキーフとの共同研究で場の量子論のカイラル・アノマリーを発見．
• ランダウ・リフシッツの本を英訳（力学，量子力学，物質中の電磁場，量子電磁力学の巻）．
• J.J.サクライのModern Quantum Mechanicsの遺稿収集に協力．ベルの不等式についての解説の部分をベルが補足．1964年のオリジナルのベルの不等式をちょっと書き換えたものが書かれている．
• CERN在職中に亡くなった．

ベルの２つの論文• ベルはCERNの所員としてサバティカル休暇でSLACに滞在しているときに２つ論文を書いた．
• １つ目はフォンノイマンの「隠れた変数理論はダメ」定理を批判的に分析した論文．Reviews of Modern Physics に投稿．
• ２つ目がオリジナルのベルの不等式の論文．Physics-Physique-Fizika誌に投稿．
物理学の総合誌とすることを目指してアンダーソンとマティアスが1964年に創刊した学術誌．
• 結果的には，投稿順とは逆順に掲載された．

• SLACに客員として訪問滞在中だったベルは無料で投稿できるから PhysicsPhysique-Fizikaに投稿したらしい（じつは著者に掲載料が支払われる） ．
• Physics-Physique-Fizika誌は 1968年に予告なしに廃刊になった．

• 今ではAPSが電子化して公開しているが，長年，図書館蔵の紙冊子でしか読めなかった．

参考文献• 2022年ノーベル物理学賞解説（Scientific Background）• アダム・ベッカー「実在とは何か：量子力学に残された究極の問い」筑摩書房• 谷村「量子の地平線：揺らぐ境界 ー 非実在が動かす実在」 日経サイエンス2013年7月号（ウェブ付録あり）• 谷村「アインシュタインの夢 ついえる：測っていない値は実在しない」 日経サイエンス2019年2月号（ウェブ付録あり）• T. Isobe and S. Tanimura; A method for systematic construction of Belllike inequalities and a proposal of a new type of test, Progress ofTheoretical Physics, 2010
• 野神亮介，李宰河「量子論と局所実在論の Fourier空間における境界の擬確率分布に基づく解析」日本物理学会 2024年9月18日 18aN304-10

あらためて，ベルの定理６０周年
おめでとうございます
さらに物理学の研究と理解を掘り下げ，展開できることを祈っています