14確率学習のねらい
●樹形図や表をかいて，場合の数をもれなく求めることができるようにする。
●起こりうる場合をかき出して数え，確率を求められるようにする。

要点のまとめ

1 場合の数

樹形図 起こりうるすべての場合を，枝分かれ2 確率

確率 あることがらが起こると期待される割合。
確率の求め方するように，かき表した図。
1，2，3の 3 枚の例

1

カードを並べるとき，起こりうるすべての場2合を樹形図にかき表すと，右のようになる。

並べ方

数字を並べて整3数をつくるときのように，

233213311221

起こりうるすべての場合が n 通りあり，どれが起こることも同様に確からしいとする。
このうち，A の起こる場合が a 通りあるとき，その確率 p は，A の起こる確率
例

順序〔A，B〕と〔B，A〕を別べつに数える場合。

組み合わせ方5 人の中から 2 人を選ぶとき

231，312，321 の 4 通りだから，AⒶBⒹ それぞれの線←が組み合わせを表す。

Ⓑ

例

42
求める確率は，p＝ ＝63

A B C D

試合の組み合わせ

Ⓒ

確率の性質… A の起こる確率の範囲は，○ ○ ○○ ○○C

1，2，3の 3 枚のカードを並べて，上になる確率は，200 以上になる数が 213，

｛ A，B ｝は 1 通りとして数える場合。
4 チームのサッカーのa ← A の起こる場合の数
n ←すべての場合の数3 けたの整数をつくる。その数が 200 以の組み合わせのように，順序は考えないで，
例

p＝0≦p≦1
p＝0 …決して起こらないときの確率D

p＝1 …かならず起こるときの確率

題

57 場合の数 〈並べ方〉

キーポイント57

A ，B ，C ，D の 4 人の中から 3 人を選んで，リレーの走る順序を決めるとき，走る順序は何通りあるか求めなさい。

▶
〔A，B〕と〔B，A〕の並べ方を区別して数える。
練考え方

樹形図に表すとわかりやすい。

解き方

・ 1 番目が A の場合，2 番目は，B ，C ，D のうちの 1 人。
・ 2 番目を B とすると，3 番目は，C か D 。

習

A ，B ，C ，D の 4 枚のカードを横一列に並べるとき，カードの並べ方は，全部で何通りあるか求・ 2 番目を C とすると，3 番目は，B か D 。

めなさい。

・ 2 番目を D とすると，3 番目は， B か C 。
同様に，1 番目が B ，C ，D の場合を考える。走る順序は，
B
A

C
DC
D
B
D
B
C

A
Bの24通りある。

CDC
DA
DA
CA
CB
DB
DA
DA
B

A
DB
C
答B
CA
CA
B

24通り〔〕680040-0087̲1̲要点と対策̲数学̲InD20.indd 68

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例

題

58 場合の数 〈組み合わせ方〉

キーポイント58

A ，B ，C ，D の 4 人の中から，2 人の図書委員を選ぶとき，選び方は何通りあるか求めなさい。

数える。

｛ A，B ｝と｛ B，A ｝は，同じ組み合わせだから，選び方の場合の数は，1 通りと数える。

解き方

組み合わせと考え，1 通りとから，2 人の掃除当番を決めると｛ A，B ｝，｛ A，C ｝，BC

き，選び方は何通りあるか求めな｛ A，D ｝，
｛ B，C ｝，D

｛ B，D ｝，｛ C，D ｝の 6 通り

さい。

ある。

〕

題

59 確率の求め方 〈表の利用〉

キーポイント59▶ 2 つのさいころの目の出方は，

A ，B 2 つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和

6×6＝36（通り）が 7 となる確率を求めなさい。
考え方

出る目の数の和が 7 となる場合を書き出す。

解き方

A の目の出方 6 通りのそれぞれについて，B の目の出方も 6 通りあるから，さいころの目の出方は，n＝6×6＝36（通り）
このうち，目の数の和が 7 となるのは，右の表より，
よって，確率は，p＝A

B

練12123434 56○○

習

1 つのさいころを続けて 2 回投げるとき，出る目の数の和が 3 以下となる確率を求めなさい。

○○○

56 ○a＝6（通り）a6
1＝ ＝n 36 6答例〔6 通り答例

習A ，B ，C ，D ，E の 5 人の中重なりのないように調べる。選び方は，
A

練２年

考え方

▶
｛ A，B ｝と
｛ B，A ｝は，同じ

16〔〕

題60 確率の求め方 〈同じものをふくむとき〉

キーポイント60▶同じものも番号をつけて区別

赤玉が 2 個，白玉が 3 個入った袋の中から，同時に 2 個取りする。

出すとき，2 個とも白玉である確率を求めなさい。
考え方

赤玉を①，②，白玉を③，④，⑤として考える。

解き方

玉の取り出し方は，下の図より，n＝10（通り）
①②③④⑤

②③④⑤

練

赤玉が 2 個，白玉が 3 個入った

注意 ①−②と②−①
③

④◀
⑤◀

は同じ！

④習⑤◀

袋の中から，同時に 2 個取り出す
とき，赤玉と白玉である確率を求めなさい。

2個とも白玉であるのは◀印で，a＝3（通り）a3
よって，確率は，p＝ ＝
n 10

答

310〔〕

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確認問題

1

得点／ 100

場合の数〈並べ方〉

次の問いに答えなさい。
⑴

ナビゲータ

1，2，3，4 の 4 つの数字から 3 つ使って 3 けたの整数をつくる。
（各 8 点）

百の位の数字が 1 の整数は何通りですか。
〔⑵

A ，B ，C ，D ，E の 5 人の中から委員を 2 人選ぶとき，次の問い（各 8 点）〔〕〔〕

キーポイント58⑴

A 以外の 1 人の選び方⑵ ｛ A，B ｝と｛ B，A ｝は同じ組と考える。

キーポイント59

積が 1，2，3，4 となる目（16点）の数の組をそれぞれ調べる。

〕

4

確率の求め方〈樹形図の利用〉

1 枚の硬貨を続けて 3 回投げたとき，表が 2 回，裏が 1 回出る確率
（16点）

〔

キーポイント57・60

表を○，裏を×として樹形図をかいてみる。

〕
キーポイント57・60

確率の求め方〈樹形図の利用〉5

1 から 5 までの数字を書いたカードが 1 枚ずつある。このカードを樹形図をかくとき，⑴と次のように取り出すときの確率を求めなさい。

（各10点）

1 枚ひき，それをもとにもどす。これを 2 回くり返すとき，2 回とも同じカードである確率。
〔〕

1 枚ずつ続けて 2 回ひき，1 枚目を十の位，2 枚目を一の位とする数をつくるとき，その数が奇数となる確率。
〔

62

2 つのさいころ A ，B を同時に投げるとき，出る目の数の積が 4 以を求めなさい。

⑵

各場合がある。

3〔⑴

合のほかに，2，3，4 の確率の求め方〈表の利用〉下となる確率を求めなさい。

5

百の位の数字が 1 の場を求める。

選び方は全部で何通りですか。

4の選び方を樹形図で表す。

〕

A が選ばれる場合は何通りですか。

3

十の位，一の位の数字場合の数〈組み合わせ方〉に答えなさい。

⑵

⑴
⑵

〔⑴

キーポイント57〕

3 けたの整数は全部で何通りですか。

21⑵のちがいに注意する。
⑴は 2 回目も 1 から 5 までの数字が考えられる。
⑵は 1 回目にひいたカー
ドは 2 回目にひくことはない。

〕
キーポイント60

確率の求め方〈同じものをふくむとき〉

6

袋の中に赤玉 3 個，白玉 2 個，黒玉 1 個が入っている。この袋から赤玉を 1，2，3
白玉を 4，5同時に 2 個の玉を取り出すとき，1 個が黒玉である確率を求めなさい。
（16点）

〔〕

黒玉を 6として区別する。

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実戦問題
樹形図の利用1⑴

得点／ 100➡例題57

次の問いに答えなさい。

（各11点）

0，1，2，3 の数字を書いたカードが 1 枚ず

樹形図の利用4⑴➡例題60

次の問いに答えなさい。

よく出る（各11点）

袋の中に，白球 2 個と赤球 3 個が入っている。

つある。この 4 枚のカードから 2 枚のカードをこの袋の中から，同時に 2 個の球を取り出すと取り出して並べるとき，つくることのできる 2き，2 個とも白球である確率を求めなさい。

けたの整数は全部で何通りあるか。

〈兵庫〉

〔
〔⑵〕

⑵

5 本のうち 2 本の当たりくじが入っているくじを，まず A が 1 本ひき，続いて B が 1 本ひく。

5 人の生徒が，校舎を背景に横一列に並んでひいたくじはもどさないとして，A がはずれて記念撮影をする。5 人のうち，A さんと B さん

B が当たる確率を求めなさい。

は必ず両端に並ぶものとする。このとき，5 人の並び方は全部で何通りあるか。

〔表の利用➡例題59〈広島〉〕〕〔5〈富山〉〕

樹形図の利用袋の中に 1 から 5 までの数字が 1 つずつよく出る書かれた 5 個の玉が入っている。この袋の中から（各11点）

玉を同時に 2 個取り出すとき，取り出した 2 個の大小 2 つのさいころを同時に投げるとき，出玉に書かれた数の積が，袋の中に残った 3 個の玉る目の数の積が 6 の倍数になる確率を求めなさに書かれた数の和より大きくなる確率を求めなさ

い。

い。

2⑴

次の問いに答えなさい。

〈北海道〉（11点） 〈千葉〉〔〔〕〕1 から 6 までの目がある 2 つのさいころ A ，⑵

B を同時に投げ，さいころ A の出た目を a ，さいころ B の出た目を b とする。このとき，a−36

図形・座標との融合問題

1 から 6 までの目が出る大小 2 つのさいと b−4 の 積（a−3）（b−4）が 正 の 数 と な る 確

ころを同時に投げるとき，大きいさいころの出る率を求めなさい。

目の数を m ，小さいさいころの出る目の数を n と〈福島〉し，（m，n）を座標とする点を P とする。たとえば，下の図の点 P は，大きいさいころが 4 の目，小さ〔〕

いさいころが 1 の目のときを表したものである。
点 A ，B ，C の座標が，それぞれ（6，0），
（6，6）
，3

樹形図の利用よく出る

3 枚の硬貨を同時に投げるとき，それぞ（0，6）
であるとき， CAP の面積が 6 となる確率を求めなさい。

れの硬貨について，表が出れば 2 点，裏が出れば1 点とし，3 枚の硬貨の点数の合計を得点とする。

（12点） 〈鳥取〉yBC

3 枚の硬貨を同時に投げるとき，得点が 5 点となる確率を求めなさい。

（11点） 〈愛媛〉
P〔〕

OAx〔〕
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