パーシステントホモロジーの基礎と材料工学への適用例
平.

岡裕章 大林一平


デ ー タ の 形

膨大な実験画像データ， Protein Data Bank ，大規模シミュレーションで再現される原子配置データ等々，現在の諸科学・産業の現場ではデータが溢れている．このようなデータ群から考察対象に対して新たな発見や理解を深めることを可能にするデータ科学が昨今人気である．このようなデータ駆図 1 「穴」の構造を持つデータ( a )とそれを球体で膨らませたモデル(b), (c)．

動型の問題では「データが多い」ことよりもむしろ「データが複雑」であることが問題である場合が多い．その場合一見複雑な構造に見えるデータを何らかの形で変換し低次元化でジーと呼ばれる概念がその役割を担ってきた．実際，図 1

きれば，よりデータ構造の本質に迫ることが可能になるであのようなデータに対しては，各点を適当に膨らませた球で置ろう．複雑なデータに対して適切な記述子を開発することはき換えることで，1 次ホモロジーを用いてデータに内在する

現在のデータ科学における重要な課題となっている．

穴を検出することができる†．さらにホモロジーの概念を拡

例えば N 次元ユークリッド空間の有限個の点の集まり張したパーシステントホモロジーを用いることで，穴の存在

P＝{xi∈RN|i＝1, …, m}

だけでなくその形や大きさなどのより詳細な幾何情報も得る(1)からなるデータを考える．簡単な状況として P が周期的にことができ，「データの形」を調べることが可能になる．

配置された点の集まりの場合は，フーリエ解析が代表的な記

本稿では大学 1 年生程度の基本的な線形代数の知識のみ述子を与える．また P が幾つかのクラスターの集まりで構を仮定して，パーシステントホモロジーについての解説を試成されているときは，各クラスターを記述子としデータを表みる．その後，著者らが近年取り組んでいるシリカガラスへ現することも可能であろう．周期系 P では点たちの周期的の応用や機械学習との融合についても紹介する．なお，ここなつながり，クラスター系では点たちの近さに関するつながで取り扱う内容のより詳細については参考文献(1)(3) を参照

りといったように，点たちのつながり具合を特徴付けることされたい．また，我々のグループではここで紹介するパーシでデータの構造は表現できる．しかしながら，後述するガラステントホモロジーの計算ソフトウェア「HomCloud」も開スの原子配置などからも明らかなように，現在のデータ科学発している(4)．このソフトウェアはトポロジーの予備知識をが直面している諸問題に対してこれらの古典的な解析手法は仮定しない素人でも，パーシステントホモロジーを用いて材役不足であり，より詳細な構造を表現できる記述子の開発が料の構造解析までを楽しめる．本解説記事とあわせて Hom-望まれている．

Cloud を実際に計算させることで，より理解が深まると思わ例えば図( a )で与えられる平面上のデータを考えて見る．この場合クラスターとしての特徴づけではなく，「穴」れる．なお，本記事の前半は参考文献(3)をもとに構成している．の存在としてデータのつながりを特徴づける方が自然に見える．このような図形のつながり具合を大雑把に調べること

.

幾 何 モ デ ルは，現代数学の一分野であるトポロジーが得意とするところである．特に，穴の存在に着目した特徴抽出は，従来ホモロ

点列データ(1)に対して適当なデータ処理を施しその形を京都大学高等研究院教授，理化学研究所革新知能統合研究センターチームリーダー(〒6068501 京都市左京区吉田牛ノ宮町)
理化学研究所革新知能統合研究センター研究員
Persistent Homology and Its Applications to Materials Science; Yasuaki Hiraokaand Ippei Obayashi(KUIAS, Kyoto University andAIP, RIKEN., Kyoto. AIP, RIKEN., Sendai)
Keywords: topology, homology, persistent homology, persistence diagram, machine learning, silica glass† クラスター解析は 0 次ホモロジーに対応する．
2018年 8 月21日受理[doi:10.2320/materia.58.17]

ま て り あ 第58巻 第 1 号(2019)
Materia Japan 穴の抽出が可能，
 計算機での処調べていこう．その際，

実際の数値計算では，ここで紹介した Cech複体と同じ性½理が可能，の 2 点を満たす数学的概念に Cech複体とよばれ½質を持ちかつ計算効率の良いアルファ複体(1)がよく用いられる単体複体(多面体)がある．

る．その説明には幾つか準備が必要なためここでは割愛する

ここで有限集合 V 上の単体複体 X とは，V の部分集合のが，ソフトウェアとしては CGAL(5) が公開されている．ま 全ての点 a∈V について{a }∈X， s ∈ X, t ⊂集まりで，た本稿では式( 1 )の形の入力データのみ扱うが，その他のs ⇒ t ∈ X ，を満たすもので与えられる． X の要素 s で点の重要な幾何モデルとして方体複体が挙げられる．方体複体に個数が|s |＝ k＋ 1 個となるものを k 単体といい， k を単体 s対しても次節以降の話題は適用でき，それらは画像解析などの次元という(| s | は s の点の個数)．単体複体 X の次元への応用が強く期待されている．方体複体の詳細については

dim X を， X に含まれる単体の次元の最大値で定め，また文献(6)を挙げておく．

記号 Xk で X の k 単体の集まりを表すことにする．

.

複体 ( P, r )とは P 上の単体複体であり，このとき Cech½

ホ モ ロ ジ ー

その単体はk{xi0, …, xik}∈ (P, r) ⇔ ∩ Br(xia)≠0/a＝ 0で割り当てられる．ここで Br(xi)＝{x∈RN|∥x－x∥i  r }は点ホモロジーとは，単体複体の中に存在する穴を代数的に抽出する道具である．ここでは，説明の簡略化と次節以降の話題を考慮して，ベクトル空間としてホモロジーを導入する．

/ は空集合を表す．つまxi を中心とする半径 r の球を，記号 0単体複体 X の頂点集合を V ＝{1, … , n }としよう．ここでり半径 r の球の交わりを調べることで単体を構成していくの単体 s の頂点を順序付きで並べたものを〈 s 〉＝〈 v0… vk 〉と書である．

くことにする．つまり v0 ＜…＜ vk であり不等号は V ＝{ 1,

図は，パラメータ r を変化させた際の， Cech複体の変½化を表示している．ここで，各半径 r ごとに上段の球の和集複体は，互いに連続変形で移り合えること
合と下段の Cech½に気がつく．これは脈体定理と呼ばれるトポロジーの基本定理からの帰結であり，∪mi＝1Br ( xi) と ( P, r ) は切り張りしな…, n}上に定まる通常のものを用いる．
まず単体の次元 k ごとに， k 単体を基底として持つ体 K上のベクトル空間†
Ck(X )＝{ ∑ a〈s〉|a ∈K}, 0kdim Xsss∈Xk

い連続変形で移り合える†ことが保証されている．よって特を導入する．ここで k ＜ 0, k ＞ dim X では Ck ( X )＝ 0 としてに穴の情報は保存される．

おく．ホモロジーの考え方では，穴を抽出する為にまずは境

このように Cech
複体はデータ P とパラメータ r により定½まる．パラメータ r が十分小さいとき， Cech複体は P と同½
じ離散的なデータ構造を与える．一方，r が徐々に大きくなると，データ間のつながりが生まれ始め，十分大きくすると全てが完全につながった状態になる．このように，r はデータのつながり具合を操る解像度とみなすことができる．
また，パラメータの増大列 r1＜…＜ rn に応じて， Cech複½界を特徴づける．そこで，境界作用素と呼ばれる線形写像&k: Ck(X )→Ck－1(X )を
ki v … âv …v 〉＝∑ (－1)〈&〈
k v 0… v k 〉
0ik ,i＝ 0)＝∑as&〈&k(∑a〈s s〉
k s〉
で導入する．ここで〈 v0 … âvi … vk 〉は vi を除くことを意味する．また 2 番目の式は 1 番目の式の線形拡張である．

体の増大列 (P, r1)⊂…⊂ ( P, rn)が得られることにも注意

定義に従って計算をすると， &k &k＋1＝ 0 を確認でき，こする．このような単体複体の増大列のことをフィルトレーシ

れより im &k＋1⊂ker &k が従う††．このとき，単体複体 X の kョンと呼ぶ．

次ホモロジーは，商ベクトル空間
Hk(X )＝ker &k/im &k＋1＝{[c]|c∈ker &k}

で定められる．ここで [c ]＝c ＋ im &k＋1 は同値類を表す記号である．また Hk ( X )のベクトル空間としての次元を bk ( X )と書き k 次ベッチ数と呼ぶ．次の例で確かめるが， Hk ( X )は X に存在する k 次元の穴をベクトル空間として表現し，またベッチ数 bk(X )は k 次元の穴の数を表すことになる．
Example 3.1.

頂点集合 V＝{1, 2, 3}上の単体複体

X＝{{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}}図2

上段は球の増大列．下段は対応する Cech
複体の½増大列．

† ホモトピー同値．

のホモロジーを計算してみる．境界作用素は &k＝0(k≠1)と† K は実数体 R や有理数体 Q と思って良い．
†† im, ker は線形写像の像と核を表す．

ミ ニ 特 集ると仮定する．また，単体 s∈X n の発生時刻を ts＝min{t|s〈12〉〈13〉〈23〉┐┌〈 1〉－1－10│&1＝│││ 0－〈01
│ 2〉
││ 0
〈 3〉
11│
┘└で与えられる．よって，1 次ホモロジーは∈X t}で定める．このときパーシステントホモロジー Hk( )は，各 Xi でのホモロジー Hk(Xi)とその間に誘導される線形写像の列
Hk( ) : Hk(X1)→…→Hk(Xi)→…→Hk(Xn)(2)

H1(X )＝ker &1＝span{〈12〉－〈13〉＋〈23〉}Kとして定められる．線形写像が包含関係から誘導されているとなり， 1 次元の穴(リング)〈 12 〉－〈 13 〉＋〈 23 〉から生成さことから，直感的には k 次元の穴がフィルトレーション内でれる．同様に計算をしてみると，0 次ホモロジーも 1 次元ベどの程度存続しているかが記録されているであろう．実際，

クトル空間 H0 ( X ) K となり， 0 次元の穴(連結成分)が 1

パーシステントホモロジー Hk( )に対して bi, di∈{1, … , n}つ存在する事を示している．

(bibi)および非負整数k が一意に定まり包含関係にある単体複体の組 X ⊂ Y には，それぞれホモkHk( )＋◯ I [bi, di]

ロジーが定まるが，さらに線形写像

(3)

i＝ 1

Hk(X )∋[c] |→[c]∈Hk(Y )の形に分解できることが知られている．ここで区間 I [ b, d ]が誘導される．ここで定義域の[c]は Hk(X )での同値類を，は 0 および 1 次元ベクトル空間 K の n 個の列とそれらの間値域の[c]は Hk(Y )での同値類をそれぞれ示している．の線形写像としてExample 3.2.

X を例3.1と同じ単体複体とし， Y＝ X ∪{1,2, 3}とする．単体複体 Y では，im &2＝ker &1＝span{〈12〉－I [b, d ] : 0→…→K→…→K→…→0

で与えられ，左端の K は b 番目，右端の K は b 番目に位置〈13〉＋〈23〉}より，H1(Y )＝0 である．よって，誘導されるしている．ここで中央に連続して現れる K → K は恒等写像

線形写像 H1( X )→ H1( Y )は零写像となる．これは，包含写で与えられる．そのトポロジカルな意味は，Xb で発生し Xd

像 X → Y で穴 が消滅し ているこ とを示して いる．一 方，まで存続しその後消滅する k 次元の穴を表している．

＝X∪{4}∪{1, 4}としておくと，誘導される線形写像 H1Y′

一意な分解式( 3 )より，発生と消滅の組(bi, di)を指定する(X )→H1(Y ′)は同型写像となる．これは包含写像 X→Y ′でことでパーシステントホモロジーは同型の差を除いて決まの穴の存続を意味する．

る．そこでこの組を平面上の多重集合
Dk( )＝{(bi, di)|i＝1, …,k}

複体 (P, r)のホモロジーを計算することで，データ
Cech½
P に内在する穴の情報が取り出せることになる．例えば図 1のデータについては，(a), (b), (c)の 3 つの半径パラメータの k 次パーシステント図と呼ぶ．

定義より，パーシステント図の点は全て対角線より上側に位置する．対角線付近の点(bi, di)は存続時間i＝ di－bi が短r1＜r2＜r3 ごとに，1 次ホモロジーはH1( (P, r1))＝0,として表示したものを，

H1( (P, ri))K(i＝2, 3)

く，一方で，対角線から離れた点は存続時間が長い穴に対応で与えられる．ここで r2 では右下の方に存在する小さな穴，する．このように，パーシステント図を描かせることで，視r3 ではデータ全体で構成されている大きな穴が，1 次元のベ覚的に穴の存続性を理解することができる．例えば，図 1クトル空間として表現されている．しかしながら，これらののデータから Cech複体のフィルトレーションを構成し，そ½

1 次元ベクトル空間を個別に調べるだけでは，それぞれの穴の 1 次パーシステント図を描かせると，中央の図に存在すの大きさや， r2 での穴が消滅し r3 で新たな穴が発生している右下の小さい穴は対角線付近に現れ，一方で右図にある大るといった存続性を調べることはできない．

きな穴は対角線から離れたところに位置することになる(図このような穴の性質を調べるには，例 3.2のように，包含参照)．パーシステント図に現れる発生・消滅対(b, d )(も関係が誘導する線形写像 H1( (P, r2))→H1( (P, r3))を調べ

しくは式( 3 )に現れる I [b, d ])をパーシステント図の生成元ればよい．この場合の線形写像は零写像で与えられ，穴の消ともいう．

滅と発生がきちんと記録されていることに注意されたい．

パーシステントホモロジーには幾つかの導入の仕方がある

このように，ホモロジーと包含写像が誘導する線形写像をが，前節と同様に境界作用素を用いた定義や，行列の基本変うまく組み合わせることで，データに存在する穴とその幾何学的な情報を抽出することが可能になる．次に説明するパー
システントホモロジーは，この考え方をさらに発展させた道具である．

.

パーシステントホモロジー

前節のホモロジーは単体複体に対して定められたが，パーシステントホモロジーは単体複体のフィルトレーション:

X 1⊂…⊂ X t ⊂…に対して定義される．ここでフィルトレーション

は，あるパラメータ n 以降では X t＝X n(tn)であ

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図3

図 1 の 1 次パーシステント図．

図4

シリカの 1 次パーシステント図((a)結晶，(b)ガラス，(c)液体)．色付けは対数重複度を用いている．
(b)にはそれぞれの領域で特徴的な原子リング構造を示している(赤球酸素原子，青球ケイ素原子)．(オンラインカラー)

形を用いた表示式( 3 )の導出については，例えば拙著(2) も元についての逆問題とみなすことができ，これによりパーシ

しくは解説記事(7)を参照されたい．

ステント図の中で興味ある特徴(例えば曲線など)が得られた際に，具体的にその特徴を生み出す原子配置を特定すること.

シリカガラスの構造解析が可能になる．ここで生成元は商ベクトル空間の元を用いて記述されていることから，一般には指定された生成元を与え

この節では著者らが最近出版した論文(8)で議論した，パーる点データは複数存在するが，適切な最適化問題の設定を導システントホモロジーを用いたガラスの構造解析に関する成入することで逆を一意に定めることが可能となる．詳細は論果を部分的に紹介する．

文(9)を参照されたい．

よく知られているようにガラス状態の原子配置は一見無秩

次にガラスのパーシステント図に現れる曲線の意味を考え序に配置されているように見える．しかしながら動径分布関てみる．まずこれらの曲線は，シミュレーションのパラメー数や散乱パターンをみると，液体状態とは近距離や中距離オタを保ったまま時間発展させた場合，その形状は不変に保たーダーで違いが見られる．このようなガラスの幾何構造を明れる．つまり熱的なゆらぎのもとでパーシステント図の生成

確に特徴付ける新たな記述子の開発は科学・産業の両側面か

元は曲線の接線方向には動けるが，曲線の法線方向には動くら強く期待されている．

ことができないことが観測される．ここでパーシステント図

そこでガラスの原子配置を空間点データ( 1 )とみなしパの生成元は原子配置のリング構造から定められていることをーシステント図を描かせてみよう．図は分子動力学シミュ思い出そう．よってここで観察される法線方向に動けないとレーションで計算したシリカの結晶，ガラス，液体状態の原いう制約条件は，熱ゆらぎのもとでの原子のリング構造の幾子配置に対して 1 次パーシステント図を計算したものであ何学的な制約に他ならない．また同様に接線方向はリング形る(シミュレーションを含む計算の詳細は原論文(8)を参照さ状の許容される変形を示していることになる．つまりガラスれたい)． 1 次のパーシステント図ということでリング構造の硬さに関係する制約条件がパーシステント図に埋め込まれに着目していることに注意しておく．ているとも思える．実際に，論文(8)では加圧シミュレーショまず結晶状態(a)では実現できるリングの形が限られていることから，パーシステント図は幾つかの孤立島から構成さンのもとでガラスのパーシステント図に現れている曲線が不変であることが示されている．

れている(完全結晶の場合は 0 次元的な点の集まりに収束す

本稿では紙面の都合でシリカガラスの構造解析のみ取り扱る)．また液体状態ではリング形状をある程度自由に変形でったが，その他の材料科学への適用例は論文(10)(12) などをきることが反映されて，パーシステント図が 2 次元的に散挙げておく．

布されている．一方で，ガラスのパーシステント図にのみ曲.

線(CP, CT, CO)が現れていることに注意する．いささか乱暴

パーシステント図の機械学習に要約すると，パーシステント図のサポートの次元が 0, 1,2 に応じて結晶，ガラス，液体の 3 状態が識別されているこ

上の節のようにパーシステント図を直接目で比較してデーとになる．つまりパーシステント図のサポート次元はガラスタの特徴的パターンを発見できるというのは幸運な場合で，転移を幾何学的に説明する「秩序変数」として振る舞ってい実際にはそれではよくわからない場合が多い．そこでどうするようにも見える†．

るかというと，多くのパーシステント図を用意してそれを統さてここまでは与えられた原子配置に対してパーシステン計的に処理することで何らかの特徴的パターンを発見するのト図を求めたが，得られたパーシステント図の生成元を指定である．この節では文献(13) で導入された手法について解説

した際，その生成元を構成している原子の集まりを再現するする．

ことが可能である．これはパーシステントホモロジーの生成

ここで紹介する機械学習の手法の全体像は図で示されたものである．一般的な機械学習の手法では，個々の入力デー† この考察を正当化することは興味深い課題であると思われる．

タをデータの特徴を抽出したようなベクトルに変換し，そのミ ニ 特 集

図5

パーシステントホモロジーを機械学習を組み合わせた手法の概要．(オンラインカラー)

ベクトルに対して解析をする(このベクトルは特徴量と呼ば影響を取り除いた f を見つけることが機械学習の鍵となる．

れる)．パーシステント図をうまくベクトルに変換すること

線形モデルというのは f に
f (x)＝a･x＋b＋(noise)で，入力データの特徴的な幾何パターンを取り出すことがで(5)きる．パーシステント図の変換手法は様々な手法が提案されという形を仮定し， a と b をデータからうまく調整する(こているが，ここでは Persistence Image (PI)と呼ばれるシン

れが「学習」である)ことで適切な f を見いだす．

プルな手法を利用する．また，機械学習の手法としては単純

この 2 つのアイデアを組み合わせるために， x ∈ RN としな(一般化)線形モデルと呼ばれる手法を用いる． PI と線形て PI で得られたベクトルを利用する．パーシステント図がモデルの組み合わせは，そのシンプルさゆえに図 5 のよう抽出した幾何的特徴をベクトルに符号化して機械学習と組合な逆解析を利用した手法と相性が良く，学習結果を理解するせることで，幾何構造と y のと関連を見出すのである．( 4 )のに有効である．と( 5 )を組み合わせると，( 5 )に現れる a をパーシステン

まずは PI について解説する． PI は論文(14) で導入された手法で，基本的なアイデアとしてはパーシステント図のヒストグラムの各ビンの頻度数をベクトルの各要素とみなす，というものである．ただ，このような安直な方法だと入力への微小なノイズに対してベクトルが大きく変化してしまうといト図の平面上の符号付き分布と見なすことで，y とパーシス
テント図の関係は近似的に
y＝fa(x, y)w(bi, di)exp (－∑(b , d )∈D ( )iik(x－bi)2＋( y－di)22s×dxdy＋b＋(noise))(6)

う欠陥がある．またパーシステント図の上の各点の重要度と表されることがわかる．ここで a(x, y)はベクトル a を PI(対角線から離れるほど重要度が高い)が反映されないというの離散化のルールを逆に考えて平面上の分布とみなしたもの欠点もある．これらの問題を解決するため， PI では次のよである．この式のうな平面上の分布関数 r をヒストグラムのかわりに考える．

fr(x, y)＝∑w(bi, di)exp(bi, di)∈Dk( )(－w(b, d )＝arctan(C(d－b)p)(x－bi)2＋( y－di)22s)( (x－b ) 2＋(s y－d ) )dxdy

a(x, y)w(bi, di)exp －i2i2の部分がパーシステント図の各点 (bi, di ) がどの程度 y の値(4)に貢献しているかを表しており，a(x, y)の正負や大小によっ

ここで s, C, p はパラメータで，データに合わせて適当に事てその貢献度が変化するのがわかる．これによって y の値に前に決める必要がある．これは Dk ( )の各点に w の重みの対する貢献度が大きい(bi, di)を特定することができる．bi, di2 次元ガウス分布を置いて足し合わせたものである．w は対の各値はその幾何構造の特徴的空間スケールに対応している

角線との距離によって決まり，対角線に近くなるほど点の重ため，その値から y と関連の深い重要な空間スケールを特定要度が低くなることを反映している．またガウス分布を使うすることができる．さらにこの重要度が高い(bi, di)を上で説ことで実用上はパーシステント図の 2 次元平面をグリッド明した逆問題の手法で入力データに戻すことで y の値に重要に切ってこの関数を有限次元に近似して利用する．このようなかたちを具体的に特定することもできるのである．材料のにすることでノイズの問題や重要度の問題に対応する．

問題にこの手法を適用する場合には y として注目している物

次に機械学習について解説しよう．機械学習，特にここで性値を使うのである．文献(12) では焼結鉱の X 線 CT 画像

紹介する教師あり機械学習の目的は(x1, y1), …, (xn, yn)∈RNにこの解析手法を適用していて，x として CT 画像の酸化鉄× R という n 個のデータからその背後に隠された x と y のやカルシウムフェライトの部分の形状から計算されたパーシ間の関係 y＝f (x)を発見することである．データにはノイズステント図をベクトル化したもの，y として画像から取り出やランダムネスが含まれているので，yi＝f (xi)を満たすようしたクラックの大きさを使うことで，クラックと相関の強いな f を見つければ良い，というわけではなく，ノイズなどのかたちを特定することに成功した．このかたちは焼結鉱のき

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Materia Japan

裂発生サイトと深い関係があると考えられる．
実際の問題に適用する際には，式( 6 )のような線形の関係が成立していると期待できない場合もある．そういった場合にもロジスティック回帰のような一般化線形モデルを利用することで問題を解決できる可能性がある．また主成分分析のような教師なし機械学習の利用も考えられる．文献(12) では主成分分析を使って焼結鉱の還元反応による変化の特徴付けも行われている．こういった手法や，機械学習をする場合の注意点などについては文献(13) を参照してほしい．正則化項による過学習の抑制，1 正則化項を使うことによるスパースな学習，ロジスティック回帰，パーシステント図の情報に＋a の情報を付け加えることによる性能の向上，といった問題について議論している．また，文献(15)ではパーシステント図に対してカーネル法を開発している．

文献( 1 ) H. Edelsbrunner and J. Harer: Computational Topology: AnIntroduction (AMS), (2010).
( 2 ) 平岡裕章タンパク質構造とトポロジーパーシステントホ
モロジー群入門，共立出版(2013)．
( 3 ) 平岡裕章，西浦廉政日本物理学会誌「交流」， 72 ( 2017 ) ,632640.
( 4 ) HomCloud. https: // www.wpi aimr.tohoku.ac.jp / hiraoka _labo/homcloud/( 5 ) CGAL. http://www.cgal.org( 6 ) T. Kaczynski, K. Mischaikow and M. Mrozek: ComputationalHomology. Springer, (2004).
( 7 ) 平岡裕章データに潜む幾何構造～パーシステントホモロジー～，数理科学2015年 6 月号，サイエンス社．
( 8 ) Y. Hiraoka, T. Nakamura, A. Hirata, E. G. Escolar, K. Matsueand Y. Nishiura: PNAS, 113(2016), 70357040.
( 9 ) E. G. Escolar and Y. Hiraoka: Optimization in the Real World―Towards Solving RealWorld Optimization Problems―,
Mathematics for Industry, Springer (2015), 7996.
(10) T. Ichinomiya, I. Obayashi and Y. Hiraoka: Phys. Rev. E, 95(2017), 012504.
(11) M. Saadatfar, et al.: Nature Communications., 8(2017), 15082.
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(12) M. Kimura, I. Obayashi, Y. Takeichi, R. Murao and Y. Hiraoka: Scientific Reports, 8(2018), 3553.
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Ziegelmeier: JIMR, 18(2017), 218252.
(15) G. Kusano, K. Fukumizu and Y. Hiraoka: Proceedings of the
33rd International Conference on Machine Learning, NewYork, NY, USA, (2016). JMLR: W&CP, 48(2016), 2004
2013.
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平岡裕章
2005年 大阪大学大学院基礎工学研究科博士課程修了
2011年 九州大学マスフォアインダストリ研究所・准教授
2016年 東北大学材料科学高等研究所・教授
2018年 4 月現職
専門分野応用トポロジー，トポロジカルデータ解析◎応用トポロジーの理論研究および材料科学や生命科学への応用研究に従事．

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平岡裕章

大林一平

ミ ニ 特 集