計測自動制御学会東北支部 第161回研究集会（1996．6．三郎
資料番号161−9

マルチレート鮎ディジタルフィルタに関する基割勺鮒AStudyonNuLtirate軸tiveDigitalFitter○工藤憲昌●，田所義昭＝○恥rita8a Eudob●，

YosbiakiT乱dokoro＝●■豊橋技術科学大学■八戸高専＋HachizlOhe NatiozlalCollege of Tech‥ HToyoha5hiUniver8ity of Tech．
キーワード：適応ディジタルフィルタ（a血ptive digitalfilter），マルチレート（皿ulti柑te〕，不等間隔サンプ1）ング（no皿一unifopnly s姐p】ing），メーヒューズ関数川古山s f甘n亡tio皿），スペクトル平坦度（Spectr且1Flaレ
nes畠正e乱Sure），

連絡先：〒039−11八戸市田面木上野平16−1八戸高専 電気工学科
tel：01†8−27L7281，fax：0178−27−93T9．e一皿ail：hdohk−e触achinohe−Ct．＆C．jp

本稿では、時間的に不等間隔にサンプリングさ1．はじめにマルチレート倍号処理では、演算且削減のためれたデータ系列を、複数の等間隔サンプリングのデータ系列の和に近似し、各等間鴨サンプリングにマルチレートする場合と、もともとの倍号がマルチレートになっている（或いはマルチレート化系列に対して適応フィルタを構成することに関して基礎的な検討を行ったので報告する。尚、近似した方が信号の性質を良く表現する）場合の2つは各等間隔サンプリング系列のスペクトルの平坦のケースがある。前者の例としては、帯域分割型のエコーキヤンセラ‖がある。拡声通話系のため塵を用いて行う。

同定する音響反射路が長く適応フィルタの次数が2．準備非常に高くなり、その結果として、適応パラメータ算出の澗算量、回路規模が増加してしまう。複固1に本稿の適用対象のシステムを示す。入力Ⅹ（t）、未知系の出力d（t）、推定系の出力y（t）、誤数のサブバンドに分割しサブバンド毎に適応処理を行うことで、この間親を低減化する研究封が報告きれている。

後者は、時間的に不等間肺でサンプリングした信号を取り扱う場合であり、その例としては、コンピュータ・トモグラフィ等の画像再構成、パルス位置変調信号、無禄通信環境における多種路からの反射凍などがあげられる。従来から（1）何らかの内挿関数を用いて等間隔サンプリングのデータ系列に変換した後処理壱行うき〉、（2）不等間隔のデータ系列を直接取り扱う4）、の2つのアプローチが試みられているが、主として周波数解析に連用しており適応フィルタに関する検討は少ない。

図1．検討対象のシステム
ー 1 −差e（t）とする。時刻tkでサンプリングしたこれら算出する障の時刻のサンプリング値Ⅹ（tl−tn）が必の倍号を、それぞれ、Ⅹ（tk），d（th）．y（tk）．e（tk）とする。ここで、不等間隔サンプリングであるため、ずしも存在するとは限らないので、等間隔の場合
ヒ同様の定式化ができない。このため、文献4）にサンプリング点の間隔（tk＋l−tk）はkに関して一定あるように、サンプリング時刻tkをkT＋△T（△ではではない。この条件下で、e（t牡）＝d（tkトy（tk）を小確率変数）で表すと、きくするように推定系のパラメータを適応的に調Jnin（血T）＝E［d望（tk）トeJtT（tk）h叫．（4）整することが目的である。
間隔Tで等間隔にサンプリングしたデータ系列の場合、このパラメータ推定は（1）式に示す誤差侶
号の電力Jを最小化する問鹿となる。ここで、となると考えられる。（4）式より誤差電力の最小値がサンプリング時効tkの系列に依存することが分

机・］は期待値演算子を示す。

かる。

3．データ系列の分解

J＝E［e2（nT）】＝E［d（nT）］L2E［d（nT）y（nT）］十E［y2（nT）］（1）

文献5），郎では、メーヒューズ関数〟を用い、不推定系を係数h（nT）（n＝0‥N−1）のFIR型で構成等間隔のサンプリング系列を複数の等間隔サンプ

すると、最適ベクトルh。．tは（2）式で求められる。

リング系列の和に置き換え、少ない演算土で周波数分析を行うことを提案している。等間碍サンプh。．t＝0．，￣1β．，

リングで提案されている壊れた適応アルゴリズム（2）を用いることができるようにデータ系列の分解をここで、OhT虫よぴβnTは、それぞれ、入力悟号行う。

Ⅹ（nT）の自己相関行列、未知系の出力系列d（nT）とメーヒューズ関数〟〔n）は以下のように定義きれⅩ（nt）の相互相関ベクトルであり、0．Tは正定値と仮定している。この時の誤差電力Jmlnはる。

n＝1

J。In＝E［d2（nT）トβ nTh。，tnが1個（n≧1）の異なった素 （5）（3）数の頼で表される
nが素数のぺき真の因数を持つとなる。 は転置を示す。
不等間瞞でサンプリングする場合は、推定系は囲2のように構成される。 ここで、Zk￣1は〟（n）を用いることにより、サンプリング時刻の集（tk−tト1）に相当する遅延を示す。推定系の出力合Tk（0，‥，tk−1，tk，tk．1，‥‡を以下のように表y（tk）＝∑n＝ロ．・・．（N−‖（h（th）x（tk−th）Iを現する。尚、加算および減算は、それぞれ、同一の値を持つ集合の要素を加える或いは削除することを示し、丁は隣合ったサンプリング時刻聞の差の最小値、qは正整数を示す。
仁亡）

h（tト…）

Tk＝一己F｛（n）（‥，n（q−1）丁，nqf，rl（q十1）で，‥I（6） 一声空
n＝2，3，㍉6，10，15の場合の例を図3に示す。回申、上向きの矢印は該当する系列の加算を示し、下向きの朱印は減算を示す。不等聞礪のサンプリング系列が複数の等間隔のサンプリング系列に分解できていることが分かる。
囲2．推定系の構成（不等間隔サンプリング）− 2 −り返し歪みを発生させないためには、元々由不等間隔サンプリングに対してオーバーサンプリングを要求することになる。

（2）適応フィルタの数が増加し、回臍規・模が増える。
そこで、どの程度までデータ系列を分解すれば良いか考えてみる。者達応
フィルタでは過去のサンプル値から未知系の出力を適切に予測することで誤差を小さくすることができる。逆に、適切な予測

図3．データ系列の分解の例ができないならば、囲4の全体の誤差e（tk）の低減

4．適応フィルタの構成に責献しないため、該当するデータ系列の適応フィルタを設ける意義がなくなってくる。

固4に3．で述べた分解を行ったデータ系列に対し適応動作を行う構成を示す。↓nは1／nの予測の可能性を示す予測ゲインG。はスペクトルダウンサンプリング、十nはn倍のアップサンプの平坦度γ2の逆数で与えられるT】。γ量は対象とリングである。分割した各データ系列は等間隔サする信号のパワースペクトルS（ej山）の全周波数帯ンプリングであるため、LMSや学習同定法等の域にわたる算術平均と幾何平均の比であり、（7）式

サンプル値毎に適応動作する簡易なアルゴリズムのようになる。

を使用することができ、また、各適応フィルタ叩†エ1nS（e山）血1（ADF）は独立であるため、商連動作を目的にγ宣＝して並列に動作させることが可能である。

（7）

平均の対象となるデータが全て等しい場合に算術平均と幾何平均の比は1になる。白色雑音のように、パワースペクトルの分布が一様であればγ2は1になり、全く予測の効果がないことになり、逆に、γ丑が1より小さくなると予測の効果がでることになる。

データ系列を分解していくに従い等価的なサンプリング周波数が低くなるため、パワースペクトルが平坦にな

囲4．適応フィルタの構成っていく。よって、γ量を算出することにより効果的な分割数の概数の決定を試みる。

5．各データ系列の予測ゲイン

8．シミュレーション

分解を細かく行うに従って、つまりnを大きくするに従って、以下に示すような問題が生じる。
（1）この分解は帯域制限を行わないでダウンサンブ未知系システムを兢格化周波数で0．025に遮断周．リングを行っている。分割したデータ系列に折波数をもつ4次のチェビシェフ型のフィルタヒし、3

人力Ⅹ（t）を白色雑音として、シミュレーションを行った。ダウンサブリングおよぴアップサンプリ

イルタの構成の基礎検討を行った。また、スペクングの比nは、2．3，5，6，10，15であり、未知系の出決定する方法を示した。元々のサンプリングがオ力系列をこれらの値でダウンサンプリングし、求ーバーサンプリングとなるため、今後は、木方式めた個々の系列のγ且を表1に示す。尚、γ之はについて、内挿関数との組合せ、固定の帯域制御

512点のFFTを行って8周波数成分にブロック化しフィルタとの組合せを検討していく予定である。

トルの平坦度を用いることにより分割数の概数をたパワースペクトルSiを求め、（8）式のように近似して求めた。
偵
仰衷1．スペクトルの平坦度∈RLE幅b価ロ∩5323510150．014526

Gp1487．3

68．80．716289■h︶0．0006T2つ︻γ2︻U62900．72n15036．1 9573．丁5Gp︻凸且叫痘山γ王 0．000067 0．000104 0．00（】3453∩︸

n1．41︵U（注）ブロック数は321■−︶

5亡巾

1000
卜b．oIb価on1∈氾0（8）

囲5．適応フィルタの特性
義1よりnが10，15の系列は他に比べ予測ゲイン

参考文献：が著しく小さく省略が可能であることが分かる。

囲5に、予測ゲインが高い系列のみ（n＝2，3，5，6）

1）古川，安川：帯域分割型エコーキヤンセラの一軒を用いて適応フィルタを構成した特性を示す。図示しないが、n＝10，15の系列を加えてもほぼ同等の

析，悟学静B Vol．J70一丑仙．12，1鵬9／1500（19さ7）2）貴家，山崎，芦原：有理数間引きをもつオーバーサ特性となるため、この例では、n＝10，15の処理を省略可能である。尚、各適応フィルタの次数は16、パラメータ更新アルゴリズムは学習同定法（ステンプリングサブバンド適応フィルタ，博学論A
Vol．J7T一九No．8，1129／1136（1994）
3）木田，赤川：内拝聞赦のスペクトルが連続で帯域

ップサイズ：0．1）とし、ERLEは未知系の出力と誤差制限された不等間隔標本化定理，停学論Aセol．
J71−AⅣ0．3，686／695（1988）の電力の比を対数表示したものである。
n＝18．15による系列を省略したことにより、nが4）阿恥田所：ランダムサンプリングデータに対す2と5の闇で、また、nか3と5の間でサンプルる離散フーリエ変換の検討，信学技報CAS錮−点が重なる場合、サンプル間隔が小さい方がより143（1990−3）

良く予卸しているとして、シミュレーションでは、

5）工藤，田所：マルチレート離散ハートレ一変換nが大きい系列の予卸値を廃棄している。

（肌−DHT），電気学会全国大会予稿集3−1胡（1995−3）

7．まとめ6）工藤，田所：基底関数のピーク位相標本化による正弦的ユニタリ変換の特性と一応用，SICE東北支

不等間隔にサンプリングされたデータ系列を、部研究集会資料158−13（1995−12）

複数の等間隔サンプリングのデータ系列の和に近7）N・S．Jayant，P．Ⅳo11：DigitalCoding of YaYe−

似し、各等間隔サンプリング系列に対する適応フ

forlS，ヱ53／260，Prentice−Hall（1984）

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