教授 望月 新一 （ 数論幾何の研究）
数体や局所体あ る いは有限体の上で定義さ れた 楕円曲線は数論幾何の中でも 中心的な 研究対象の一つであ り ， そ の研究は 20 世紀初頭ま で遡る 。 特に そのよ う な 楕円曲線の等分点へのガロ ア 群の作用や楕円曲線の上で定義さ れる
テータ 関数は楕円曲線の数論幾何の研究では重要な テーマ である 。 一方， 種数が 2 以上の代数曲線を はじ めと する 双曲的な 代数曲線の数論幾何は比較的最近
ま で余り 熱心に研究さ れて こ な かっ た。 双曲的代数曲線の場合， 非アーベルな基本群への基礎体の絶対ガロ ア群の外作用は楕円曲線の等分点へのガロ ア群の作用の「 双曲的な 類似物」 と 見る こ と ができ ， 双曲的代数曲線の数論幾何の自然な 出発点と な る が， そ の研究は 1980 年代後半の伊原康隆の仕事以降， 日本の数論幾何において ， 取り 分け 数理解析研究所を 中心に重要な 研究テーマ の一
つと な っ た 。 1990 年代半ばに 得ら れた 遠ア ーベル幾何の様々 な 結果も こ の文脈の中で興っ た も のであ る 。 ま た 1990 年代の後半以降， 一点抜き 楕円曲線の上で定義さ れたテータ 関数を 従来の「 アーベル系」 の視点と は決定的に異な る「 遠ア ーベル的」 な 視点で扱う ホッ ジ・ ア ラ ケ ロ フ 理論の研究も 大き く 進展して いる 。
1990 年代の望月の研究の殆ど は，(a) p 進タ イ ヒ ミ ュ ーラ ー理論 ([3])(b) p 進遠ア ーベル幾何 ([1], [2])(c) 楕円曲線のホッ ジ・ ア ラ ケ ロ フ 理論 ([4])と いう 三つの大き な テ ーマ に 分類する こ と ができ る が， 2000 年以降の研究では，(d) 絶対 p 進遠ア ーベル幾何 ([5], [10]) と(e) 組合せ論的遠ア ーベル幾何 ([8])
を 中心に， 上の三つのテーマ の「 相互作用」 や「 融合」 に関心の対象が移っ た。
特に 有限体上の双曲的曲線と 数体の間の古典的な 類似の延長線上に あ る も のと し て ， (a) に ヒ ン ト を 得た形で，（ (b) の延長線上に ある ） (d) と (e) を 用いて ，(c) を ス キ ーム 論の枠組みに 収ま ら な い幾何 ([6], [7]) の下で再定式化する こ とに よ り ， 「 宇宙際タ イ ヒ ミ ュ ーラ ー理論」 （ ＝「 数体に 対する 一種の数論的なタ イ ヒ ミ ュ ーラ ー理論」） を 構築する こ と が大き な 目標と な っ た。
「 宇宙際タ イ ヒ ミ ュ ーラ ー理論」 に関する 4 篇から な る 連続論文は 2012 年 8月， プレ プリ ン ト と し て 公開し た（ 理論の要約に ついて は [9] を 参照）。 4 篇で500 頁に も 上る 連続論文の内容を 一言で総括する と ， 数体上の楕円曲線に 付随する テータ 関数の値やその周辺にある 数論的次数の理論を ， 絶対遠アーベル幾何等を 用いて（ 比較的軽微な 不定性を 除いて ） 「 異なる 環論」 に も 通用する よう な 形で記述する こ と によ っ て ディ オフ ァ ン ト ス幾何的な 不等式を 帰結する という 内容である 。
一方， 星裕一郎講師と 共同で「 節点非退化外部表現」 の理論を 構築し ， 長年未解決問題であっ た基礎体の絶対ガロ ア群の外部表現の単射性に関する 定理を証明し たり ([8])， ま たその延長線上にある 「 組合せ論的遠アーベル幾何」 に関する ， 4〜 5 篇から な る 連続共著論文の執筆に 2010 年度から 取り 組んでいる 。
第一論文は 2010 年度に 完成し 既に 出版さ れて おり ， 第二・ 第三・ 第四論文はプレ プリ ン ト と し て 公開済みである 。 2010 年度から 2011 年度に 掛け て ， 特に双曲的曲線に付随する 配置空間の副有限基本群の惰性群の群論的特徴付け の理論やアン ド レ 氏によ る 「 緩和基本群」 の理論への応用において 大き な 進展があり ， それによ っ て 得ら れた結果は第二およ び第三論文に収録済みである 。 第四論文では、 組合せ論的セク ショ ン 予想や理論の副有限版と 離散版の間の比較が主な テーマ と な っ て いる 。

[1] S. Mochizuki, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local
fields, The International Journal of Math. 8 (1997), pp. 499-506.
[2] S. Mochizuki, The local pro-p anabelian geometry of curves, Invent.
Math. 138 (1999), pp. 319-423.
[3] S. Mochizuki, An introduction to p-adic Teichmüller theory, Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques I, Astérisque 278 (2002), pp.
1-49.
[4] S. Mochizuki, A survey of the Hodge-Arakelov theory of elliptic curves
I, Arithmetic Fundamental Groups and Noncommutative Algebra, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 70, American MathematicalSociety (2002), pp. 533-569.
[5] S. Mochizuki, The absolute anabelian geometry of canonical curves, Kazuya
Kato’s fiftieth birthday, Doc. Math. 2003, Extra Vol., pp. 609-640.
[6] S. Mochizuki, Semi-graphs of anabelioids, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42(2006), pp. 221-322.
[7] S. Mochizuki, The Étale Theta Function and its Frobenioid-theoreticManifestations, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45 (2009), pp. 227-349.

[8] Y. Hoshi, S. Mochizuki, On the Combinatorial Anabelian Geometry ofNodally Nondegenerate Outer Representations, Hiroshima Math. J. 41(2011), pp. 275-342.
[9] S. Mochizuki, A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmüller Theory, Algebraic number theory and related topics 2012, RIMS Kōkyūroku
Bessatsu B51, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto (2014), pp. 301-345.
[10] S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry III: Global Reconstruction Algorithms, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 22 (2015), pp. 939-1156.