大学院前期 (修士) 課程（ 物理学専攻、宇宙地球科学専攻）入試問題

物理学B（ 平成 13 年 8 月）
B1 から B6 までの 6 問の中から 3 問を選択し解答せよ。ただし理論の志望者は B1，B2，B3 から 2 問以上選択することが必要である。解答用紙の問題番号の欄に選択した問題の番号を書くこと。

B1 (量子力学)
二本の棒が点 O のまわりに平面内で回転する系を量子力学的に考察する。二本の棒の一端は Oに固定されており、棒の O のまわりの慣性モーメントを I 、回転角を 1 ; 2 とするとき、系のエネルギーは

12H = I (_12 + _22) k cos(1 2 )で与えられる。ここで _1 = d1 =dt である。また、k > 0 であり、二本の棒はお互いに引き合う。
1 ; 2 に対して共役な運動量は p1 = I _1 ; p2 = I _2 である。

12θ1θ2O(1) 量子力学では、[1 ; p1 ] = [2 ; p2 ] = ih である。この系の波動関数(1 ; 2 ) に対する Schrodinger

方程式を書き下せ。
(2)(1 ; 2 ) は 1 ; 2 の周期関数、つまり、 (1 + 2; 2 ) = (1 ; 2 + 2) = (1 ; 2 ) である。
k = 0 のときのエネルギー準位を求めよ。基底状態、第１励起状態、第２励起状態の縮退度（ 多重度）も求めよ。
以下では、k(3) k h2 =I のときと、k  h2=I のときを別々に考える。

 h2=I のとき、ポテンシャルエネルギーは運動エネルギーに比べて支配的になり、基底状態の波動関数は、ポテンシャルエネルギーを最小にする所に鋭いピークをもつ。このことを考慮して、基底状態のエネルギーを近似的に求めよ。
(4) k h2=I のとき、ポテンシャルエネルギーは運動エネルギーに比べて小さい。

(4-1) 基底状態のエネルギーを、k について１次の摂動で求めよ。
(4-2) k = 0 のとき第１励起状態は縮退している。この縮退が k について１次の摂動でとけるか
ど うかを考察する。 エネルギー固有値、および固有波動関数を求めよ（ k = 0 のときの第１励起状態に対してのみでよい）。

1B2 (統計力学)
温度 T の熱平衡状態にある 3 次元理想フェルミ気体がある。化学ポテンシャル  、体積 V 、粒子質量 m 、ボルツマン定数 k 、プラン ク定数 h(= 2 h) として、以下の設問に答えよ。ただし 、結果だけでなく計算の過程も記せ。スピン自由度などの内部自由度は 考えない。また、全粒子数を N とする。
(1) この系の 1 粒子量子状態 j のエネルギーを j とする。T と  とが与えられているとき、粒子数表示

fnj g を用いて、この系の大分配関数 (T; ) を導出せよ。

h i(2) 設問 (1) の (T; ) を用いて、1 粒子量子状態 j を占める粒子数 nj の平均値 nj を求めよ。
(3) フェルミエネルギー F を数密度Nの関数として求めよ。
V以下では、体積 V は十分に大きく、エネルギーが連続変数とみなせる場合を考えて計算してもよい。

h i(4) 絶対零度 T = 0 での 1 粒子あたりのエネルギー e0 の平均値 e0 と F との比he0 i を求めよ。
F(5) フェルミ縮退が強い場合、定積熱容量 Cv は温度 T に比例する。この物理的理由を説明せよ。
(6) 古典理想気体の定積熱容量を Cvcl とすると、任意の温度に対して Cv < Cvcl である。この物理的理由を説明せよ。

2

B3 (物理数学)(1) 1 辺が長さ L の立方体に閉じ込められた輻射エネルギーに対するプランクの公式

8L3 2hU ( )d = h=kT de1 c3を考える。h 0 の場合、エネルギー密度が温度に比例する古典電磁気学のレーリー-ジーンズの公式に帰着することを示せ。
(2) 振動数が大きいときは 、指数関数を含むウィーンの公式になることを示せ。
(3) プランクの公式を振動数  について積分して全輻射エネルギーを求めると、 を T によらない係数としてE = T 4 (シュテファン -ボルツマンの法則)となることを示せ。
(4) 以下  を求めることを考えよう。

(4-1) まずZznezを図に示した経路で積分し 、A1dz (n は正の奇数)! 1 とすることにより

Z1
Z 1 xn(i)n+1dx+F(x)dx+=02(n + 1)00 ex 1なる式が成り立つことを示し 、この表式の第 2 項の被積分関数 F (x) を求めよ。

Im zi

0(4-2) 次に6?

-A + i6 - Re zA

 Z 1 xn
Z 1 xn1dx = 1 ndx
2 0 ex 10 ex + 1が成り立つことを示せ。

(4-3) 以上の結果から  を求めよ。

3B4 (原子核実験)
以下の設問に答えよ。計算にあたっては、有効数字 1 ケタ程度の精度を目標に、必要に応じてテーラー展開等の近似を行うこと。
(1) タイプの異なる放射線検出器を 3 種あげよ。
(2) これらの放射線検出器の内から 1 つを選び 、その検出器の構造と動作原理を簡潔に説明せよ。
(3) 物質の厚さを変えながら、この物質を透過してくる放射線の個数（カウント数）を測定する。

単一エネルギーの 線、 線、 線について、透過してくる放射線のカウント数と厚さの関係を示すグラフの概略をそれぞれ図示せよ。また、相互作用の違いや質量の違いに留意し 、そのようなグラフになる理由を簡潔に説明せよ。
(4) 1.0 MeV の線を鉛ブロックでシールドしたい。透過してくる 線の個数を 9/10 及び 1/100に減衰させるために必要な、およその厚さ x[cm] をそれぞれ見積もれ。また、計算の過程も示せ。ただし 、鉛による 1.0 MeV の 線の吸収係数を  = 0.8 cm 1 とせよ。計算にあたっては、(0:9)7 0:5 、23 < 10 < 24 、26 < 100 < 27 、log10 2 0:30 、log10 3 0:48 、自然対数の底は 2:7 などの近似値を適宜用いて工夫してもよい。







(5) ラザフォード は史上初めて原子核反応を観測し た。この時の反応は 14 N +!17 O + p

1:2[MeV] で、静止した薄い 14 N（ 原子番号 Z = 7 ）標的にエネルギーの高い 線（ Z =2 ）を衝突させた。さて、現実にこの吸熱反応を観測するには、上記反応式中の 1.2 MeV よりもかなり高い 線エネルギーが必要になる。この理由として考えられる 2 つの主な要因を簡潔に説明せよ。

(6) これらの要因を考慮して、上記の反応の観測におよそ何 MeV の線エネルギーが必要か求めよ。考え方も示せ。ただし 、質量数 A の原子核の核半径を R = 1:4 A1=3 [fm] とせよ。また必要なら、e2 =(40 ) = 1.4 MeV fm（ e : 素電荷、 0 : 真空の誘電率）の数値を用いて計算してもよい。

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B5 (物性実験)
物質の磁性を調べるため 2 種類の方法で磁化率の測定を計画した。第一の方法はコイルを含んだ交流回路のインピーダンスを測定し 、コイルの透磁率から磁化率を求める方法である。第二の方法は磁気モーメントの大きさを直接測定し 、磁化率を求めるものである。以下この 2 つの方法について考察する。
(1) 交流回路のインピーダンス測定(1-1) 長さ l 、 断面積 S 、単位長さあたりの巻数 n の十分に長いコイルの自己インダクタンス L0を求めよ。ただし真空の透磁率を 0 とせよ。
(1-2) このコイルと抵抗 R 、定電流発振器 I = I0 ei!t を用い図 1 のような交流回路を組んだ。コ
イル中に試料が無い場合と、コイルに試料を満たした場合のこの回路のインピーダンスの差を考える。試料の複素交流磁化率を  = 0 i00 とすると、試料を入れたことによるこの回路のインダ クタンス、抵抗の変化分を 0 、00 を用いて求めよ。

(2) 振動法による磁化測定(2-1) 図 2 のように座標系をとり、x 軸に平行にかけた磁場 H により誘起された磁気モーメントm = (m; 0; 0) が原点にあるとする。この場合、磁化率は M=H と求まる。ただし M は磁気モーメントの大きさ m より求めた磁化の値である。原点にある m が点 A(X ,Y ,0) につくる磁束密度の z 成分 Bz を求めよ。
(2-2) 点 A に 、巻数 N 、断面積 S の検出コイルを z 軸に平行に置く。磁気モーメント m が z軸方向に振幅 a 、角振動数 ! で単振動している時の検出コイルの起電力を求めよ。ただしpr  X 2 + Y 2  a とし 、検出コイルの直径は r に比べて十分小さいとする。

(3) 高純度な銅 (抵抗率 2 10 8 m) の磁化率を測定する場合、上記 2 つの方法のどちらが適当か。方法とその方法を選んだ理由を答えよ。

HRzyA(X,Y,0)

LI e iω t0xamm

図2

図１5B6 (宇宙地球実験)
以下の設問（ 1 ）から（ 3 ）のうち、2 問を選択し 、解答せよ。
(1) 図にはシリカ（ SiO2 ）系の相図、また表には様々なシリカ相の結晶構造・密度などのデータが示されている。次の設問に答えよ。なお -quartz と -quartz 間の相転移は変移型である。
(1-1) 表の (A)-(C) に適切な語句あるいは数字を入れよ。
(1-2) 表の (a), (b) の欄に入るものを次の（ イ）（ロ）から選べ。
（ イ）P31 21, P32 21 （ロ）P62 22, P64 22(1-3) 表の (c)-(h) の欄に入る数字を次のものから選べ。
2.53, 2.65, 4.29, 14.0, 22.7, 23.7
(1-4) -quartz や -quartz の空間群は２通りのものがあるが 、これは何故か、簡潔に述べよ。
(1-5) ギブスの自由エネルギー G は、内部エネルギーを E 、温度を T 、エントロピーを S 、圧力を P 、体積を V とすると、次のように表わされる。

G = E TS + PV

-quartz 、HP-trydimite 、準安定な MC-trydimite について、１気圧における G T 図を模式的に示せ。

シリカ相-quartz-quartz
MC-trydimite
HP-trydimite-cristobalite-cristobalite
coesitestishovite
silica glass

結晶系

(A)
(B)

単斜
六方正方等軸
単斜
正方

空間群

(a)
(b)
Cc
P63 /mmc
P41 21 2
Fd3m
C2/c
P42 /mnm

密度 [g/cm3 ]

(c)
(d)
2.26
2.18
2.33
2.212.91(e)
(C)

非晶質

6

モル体積 [cm3 /mol]

(f)
(g)
26.5
27.525.727.220.6(h)
27.3

備考

準安定相
準安定相

準安定相

(2) 放射性同位体は年代測定に利用される。図は Rb-Sr 法を用いたコンド ライト隕石によるアイソクロン（等時線）が示されている。なお、87 Rb は壊変（崩壊）定数 1:4 10 11 yr 1 で 87 Srに壊変（ 崩壊）する。
(2-1) 放射性核種の量 N の時間 t による変化（ 壊変速度）は、N に比例する。壊変定数を  として、放射壊変の式

N = N0 exp( t)を導出せよ。なお、N0 は N の初期値である。
(2-2) 図では、様々なコンドライト隕石の全岩がひとつのアイソクロンにのっている。設問 (2-1) の式より Rb-Sr 法についてアイソクロンを与える式を導出するとともに、この年代を求めよ。
(2-3) 図の各々のコンド ライトについて、その隕石を構成する個々の鉱物も、ほぼ同じアイソク
ロンにのり、誤差の範囲で同じ 87 Sr/86 Sr 初生比をもっている。これらのことは、何を意味していると考えられるか、簡潔に述べよ。

(3) 次の用語から５つを選び 、各々２〜３行程度で説明せよ。

プリュームテクトニクス
火星隕石と生命の火星起源仮説
地震波の走時モホロビチッチ不連続面（モホ面）
MORB とその地球科学的意義
接触変成作用礫
不整合結晶の格子欠陥

スノーボールアース仮説

CAI

地殻熱流量とその地球科学的意義
マグマの分化火山フロントとマグマ発生
逆断層
河岸（河成）段丘とその成因
バイオマット
固溶体7