通信工学概論
Introduction to Communication Engineering

第２回講義資料
Lecture notes 2

アナログ変調Analog modulation

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1アナログ変調の目的 (Purpose of analog modulation)
二つの連続時間アナログ信号𝑥𝑥1 (𝑡𝑡)と𝑥𝑥2 (𝑡𝑡)を干渉なしで伝送したい。

Transmit two continuous-time analog signals 𝑥𝑥1 𝑡𝑡 and 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡) without interference.

送信者１(Sender 1)
𝑥𝑥1 𝑡𝑡 =受信者(Receiver)

送信者2(Sender 2)
𝑥𝑥2 𝑡𝑡 =二人の送信者が、同一通信路を使って同時伝送すると、干渉が生じる。
Interference occurs when two signals are sent over the same channel at the same time.

信号間の干渉を防ぐ目的で、変調を行う。
Modulation is used to circumvent the interference between the signals.
2複素数の復習 (Review of complex numbers)
𝑗𝑗 2 = −1

虚数単位𝑗𝑗(Imaginary unit)
複素数(Complex number)

𝑥𝑥と𝑦𝑦を実数として、𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗を複素数と呼ぶ。

𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 is called a complex number for real numbers 𝑥𝑥 and 𝑦𝑦.

演算規則(Arithmetic operations)

二つの複素数𝑧𝑧1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 と𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦2 に対して、
For two complex numbers 𝑧𝑧1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 and 𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦2 ,𝑧𝑧1 ± 𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥1 ± 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗(𝑦𝑦1 ± 𝑦𝑦2 )𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 + 𝑗𝑗 2 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2= 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2 + 𝑗𝑗(𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 )複素共役(Complex conjugate)
絶対値(Absolute value)∵ 𝑗𝑗 2 = −1𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑥𝑥 − 𝑗𝑗𝑗𝑗

𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑧𝑧̅ 1/2 =𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑥𝑥 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 =𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 23

割り算と有理化(Division and rationalization)
二つの複素数𝑧𝑧1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 と𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦2 に対して、For two complex numbers 𝑧𝑧1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 and 𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦2 ,𝑧𝑧1 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 (𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑦𝑦1 )(𝑥𝑥2 − 𝑗𝑗𝑦𝑦2 ) 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2 + 𝑗𝑗(𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 )===𝑧𝑧2 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦2 (𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑦𝑦2 )(𝑥𝑥2 − 𝑗𝑗𝑦𝑦2 )𝑥𝑥22 + 𝑦𝑦22𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2
𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 − 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2=+ 𝑗𝑗
𝑥𝑥22 + 𝑦𝑦22𝑥𝑥22 + 𝑦𝑦22

注意１(Remark 1)

𝑧𝑧2 ≠ 0ならば、割り算は定義できる。
The division is well defined for 𝑧𝑧2 ≠ 0.

注意２(Remark 2)

分母の複素共役を分母と分子にかけて、分母から𝑗𝑗を取り除く操作を有理化と呼ぶ。（赤色の等号参照）
Rationalization means operations to eliminate 𝑗𝑗 in the denominator via the multiplication of bothdenominator and numerator by the complex conjugate of the denominator (See the red equality).
4

オイラーの公式と複素平面(Euler’s formula and complex plane)
オイラーの公式(Euler’s formula)
複素数𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗に対して、(For a complex number 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗,)
𝑦𝑦tan 𝜃𝜃 =𝑥𝑥

𝑗𝑗𝑗𝑗

𝑧𝑧 = |𝑧𝑧|(cos 𝜃𝜃 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃) ≡ 𝑧𝑧 𝑒𝑒 ,複素平面(Complex plane)Im[𝑧𝑧]

𝑦𝑦O𝑧𝑧|𝑧𝑧|𝜃𝜃𝑥𝑥

Re[𝑧𝑧]

𝑧𝑧の実部𝑥𝑥と虚部𝑦𝑦をそれぞれRe[𝑧𝑧]とIm[𝑧𝑧]と書く。

The real and imaginary parts of 𝑧𝑧 are denoted by Re[𝑧𝑧] and Im[𝑧𝑧], respectively.

5

三角関数の別表現(Another representation of Trigonometric functions)

証明(Proof)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗,cos 𝜃𝜃 =2

𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗sin 𝜃𝜃 =.
𝑗𝑗𝑗

𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 = cos 𝜃𝜃 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃 ,𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 = cos(−𝜃𝜃) + 𝑗𝑗 sin(−𝜃𝜃) = cos 𝜃𝜃 − 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃 .

上記の両辺を足す。(Add both sides above.)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 = 2 cos 𝜃𝜃 .

前者の式から後者の式を引く。

𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗∴ cos 𝜃𝜃 =.
2

Subtract the latter equation from the former equation.

𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑗𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃 .

∴𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗.
sin 𝜃𝜃 =𝑗𝑗𝑗∎6

指数法則(Exponents rules)𝑧𝑧1 = |𝑧𝑧1 |(cos 𝜃𝜃1 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃1 )と𝑧𝑧2 = |𝑧𝑧2 |(cos 𝜃𝜃2 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃2 )に対して、
For 𝑧𝑧1 = |𝑧𝑧1 |(cos 𝜃𝜃1 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃1 ) and 𝑧𝑧2 = |𝑧𝑧2 |(cos 𝜃𝜃2 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃2 ),証明(Proof)

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 = 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜃𝜃1 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜃𝜃2 = |𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 |𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜃𝜃1 +𝜃𝜃2 )𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 = |𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 |は自明なので、 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 = 1を仮定する。

Assume 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 = 1 since 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 = |𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 | is trivial.

複素指数関数を以下で定義する。(Define the complex exponential function as follows:)∞𝑧𝑧 𝑛𝑛exp 𝑧𝑧 = � .
𝑛𝑛!
𝑛𝑛=0

複素指数関数は指数法則exp 𝑧𝑧1 exp(𝑧𝑧2 ) = exp 𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 を満たすので、
The complex exponential function satisfies the exponent rule exp 𝑧𝑧1 exp(𝑧𝑧2 ) = exp 𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 . Thus,

exp 𝑗𝑗𝜃𝜃1 exp(𝑗𝑗𝜃𝜃2 ) = exp 𝑗𝑗 𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2.

exp(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 を確認すればよい。(It is sufficient to confirm exp(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 .)7

証明(Proof)
𝑗𝑗𝑗𝑗 2𝑘𝑘 = −1 𝑘𝑘 𝜃𝜃 2𝑘𝑘 と 𝑗𝑗𝑗𝑗 2𝑘𝑘+1 = 𝑗𝑗 −1 𝑘𝑘 𝜃𝜃 2𝑘𝑘+1 から、

From 𝑗𝑗𝑗𝑗 2𝑘𝑘 = −1 𝑘𝑘 𝜃𝜃 2𝑘𝑘 and 𝑗𝑗𝑗𝑗 2𝑘𝑘+1 = 𝑗𝑗 −1 𝑘𝑘 𝜃𝜃 2𝑘𝑘+1 ,

∞

𝑛𝑛

∞

𝑘𝑘 2𝑘𝑘(𝑗𝑗𝑗𝑗)−1 𝜃𝜃=�exp 𝑗𝑗𝑗𝑗 = �𝑛𝑛!
2𝑘𝑘 !
𝑛𝑛=0

𝑘𝑘=0= 𝐶𝐶(𝜃𝜃)∞−1 𝑘𝑘 𝜃𝜃 2𝑘𝑘+1+ 𝑗𝑗 �.
2𝑘𝑘 + 1 !
𝑘𝑘=0= 𝑆𝑆(𝜃𝜃)𝐶𝐶 𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃と𝑆𝑆 𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃を確かめる。(Confirm 𝐶𝐶 𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃 and 𝑆𝑆 𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃.)∞𝑘𝑘

2𝑘𝑘+1 ′

−1 𝜃𝜃′𝑆𝑆 𝜃𝜃 = �
2𝑘𝑘 + 1 !
𝑘𝑘=0∞∞

−1 𝑘𝑘 𝜃𝜃 2𝑘𝑘=�
= 𝐶𝐶 𝜃𝜃 ,
2𝑘𝑘 !
∞

𝑘𝑘=0

𝑘𝑘 2𝑘𝑘−1
𝑘𝑘+1 2𝑘𝑘+1−1
𝜃𝜃
−1𝜃𝜃
′=�
= −𝑆𝑆 𝜃𝜃 ,𝐶𝐶 𝜃𝜃 = �
2𝑘𝑘 − 1 !
2𝑘𝑘 + 1 !
𝑘𝑘=1

𝑘𝑘=0

𝑆𝑆 0 = 0

𝐶𝐶 0 = 1sin′ 𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃、sin 0 = 0、cos ′ 𝜃𝜃 = − sin 𝜃𝜃、cos 0 = 1なので、微分方程式の解の一意性から、𝐶𝐶 𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃と𝑆𝑆 𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃を得る。

Since sin′ 𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃, sin 0 = 0, cos′ 𝜃𝜃 = − sin 𝜃𝜃, and cos 0 = 1 hold, the uniqueness of the solution todifferential equations implies 𝐶𝐶 𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃 and 𝑆𝑆 𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃.

∎8三角関数の公式(Trigonometric identities)
ピタゴラスの定理(Pythagorean theorem)cos 2 𝜃𝜃 + sin2 𝜃𝜃 = 1∵ 𝑓𝑓 𝜃𝜃 = cos 2 𝜃𝜃 + sin2 𝜃𝜃とおく。(Let 𝑓𝑓 𝜃𝜃 = cos2 𝜃𝜃 + sin2 𝜃𝜃.)𝑓𝑓 ′ 𝜃𝜃 = 2 cos 𝜃𝜃 − sin 𝜃𝜃 + 2 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 = 0,和積公式(Sum-to-product formulas)

𝑓𝑓 0 = 1.

∎cos(𝜃𝜃1 ± 𝜃𝜃2 ) = cos 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 ∓ sin 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2 ,sin(𝜃𝜃1 ± 𝜃𝜃2 ) = sin 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 ± cos 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2 .

∵ 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜃𝜃1 ±𝜃𝜃2 ) = 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜃𝜃1 𝑒𝑒 ±𝑗𝑗𝜃𝜃2 の両辺を評価せよ。(Evaluate both sides on 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜃𝜃1±𝜃𝜃2) = 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜃𝜃1 𝑒𝑒 ±𝑗𝑗𝜃𝜃2 .)左辺(Left-hand side)

右辺(Right-hand side)

𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜃𝜃1 +𝜃𝜃2 ) = cos(𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 ) + 𝑗𝑗 sin(𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 ) .

𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜃𝜃1 𝑒𝑒 ±𝑗𝑗𝜃𝜃2 = cos 𝜃𝜃1 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 ± 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃2= cos 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 ∓ sin 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2 + 𝑗𝑗 sin 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 ± cos 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2 . ∎9三角関数の公式(Trigonometric identities)
積和公式
Product-to-sum formulas∵

和積公式より、

cos(𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 ) + cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2 ),cos 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 =2− cos 𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 + cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2 ),sin 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2 =2sin(𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 ) + sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2 ).
sin 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 =2cos(𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 ) + cos(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2 ) = 2 cos 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 .

From the sum-to-product formulas, cos 𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2２倍角の公式
Double-angle formulas− cos 𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2 = −2 sin 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2 .

sin 𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 + sin(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2 ) = 2 sin 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 . ∎cos(2𝜃𝜃) = 2 cos 2 𝜃𝜃 − 1,sin(2𝜃𝜃) = 2 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 .

∵ 和積公式で𝜃𝜃1 = 𝜃𝜃2 = 𝜃𝜃とすると、(Let 𝜃𝜃1 = 𝜃𝜃2 = 𝜃𝜃 in the sum-to-product formulas.)cos(2𝜃𝜃) = cos 2 𝜃𝜃 − sin2 𝜃𝜃 = 2 cos 2 𝜃𝜃 − 1.

最後の等号の導出で、cos 2 𝜃𝜃 + sin2 𝜃𝜃 = 1を使った。

In the derivation of the last equality, we have used cos2 𝜃𝜃 + sin2 𝜃𝜃 = 1.

sin 2𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 + cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 = 2 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 .

∎10

三角関数の直交性 (Orthogonality between trigonometric functions)
直交性(Orthogonality)
区間[𝑎𝑎, 𝑏𝑏]上の関数𝑓𝑓と𝑔𝑔に対して、以下が成立するとき、𝑓𝑓と𝑔𝑔は直交すると言う。
Two functions 𝑓𝑓 and 𝑔𝑔 on the interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] are said to be orthogonal if the following is satisfied:𝑏𝑏

補題２.1(Lemma 2.1)

𝑓𝑓, 𝑔𝑔 ≡ � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0.
𝑎𝑎

非負の整数𝑘𝑘と𝑘𝑘 ′ に対して、以下の直交性が成立する。
For non-negative integers 𝑘𝑘 and 𝑘𝑘 ′ , the following orthogonality holds:′𝑇𝑇for𝑘𝑘=𝑘𝑘= 0,2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
2𝑘𝑘 𝜋𝜋𝜋𝜋�cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝑇𝑇/2 for 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ′ ≠ 0,cos
𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇/20 for 𝑘𝑘 ≠ 𝑘𝑘 ′ ,𝑇𝑇/2′𝑇𝑇/22𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
2𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑇𝑇/2 for 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ′ ≠ 0,
�sin
𝑑𝑑𝑑𝑑 = �sin
0 otherwise,
𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇/2𝑇𝑇/22𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
2𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋�cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 .
sin𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇/211

補題２.１の証明 (Proof of Lemma 2.1)
表記の簡単化のため、𝑇𝑇 ′ = 𝑇𝑇/2とおき、𝑇𝑇𝑇を𝑇𝑇と書く。
For notational simplicity, we let 𝑇𝑇 ′ = 𝑇𝑇/2 and rewrite 𝑇𝑇 ′ as 𝑇𝑇.

𝑘𝑘 = 0の場合、
For 𝑘𝑘 = 0,

𝑇𝑇𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
� sin 0 sin
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0,𝑇𝑇−𝑇𝑇

さらに𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ′ = 0の場合、Furthermore, for 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ′ = 0𝑇𝑇𝑇𝑇𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
� sin 0 cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0.
𝑇𝑇−𝑇𝑇� cos 2 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑡𝑡 𝑇𝑇−𝑇𝑇 = 2𝑇𝑇.
−𝑇𝑇𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ′ ≠ 0の場合、２倍角の公式を使って、For 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ′ ≠ 0, using the double-angle formula yields

𝑇𝑇� cos 2−𝑇𝑇𝑇𝑇� sin2−𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
cos 2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇 + 1𝑇𝑇
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝑑𝑑𝑑𝑑 =sin+= 𝑇𝑇.
𝑇𝑇
24𝑘𝑘𝑘𝑘𝑇𝑇
2−𝑇𝑇−𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡2𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 1 − cos
𝑇𝑇
𝑇𝑇−𝑇𝑇

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑇𝑇 − 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇.

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1 𝑇𝑇
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑇𝑇
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
� sincos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � sin
𝑑𝑑𝑑𝑑 = −cos𝑇𝑇𝑇𝑇2𝑇𝑇4𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑇𝑇−𝑇𝑇−𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇= 0.

12

補題２.１の証明 (Proof of Lemma 2.1)
𝑘𝑘 ≠ 𝑘𝑘 ′ の場合、積和公式を使って、 (For 𝑘𝑘 ≠ 𝑘𝑘 ′, using the product-to-sum formula yields)
𝑇𝑇𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
1 𝑇𝑇
� cos
cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � cos
𝑇𝑇𝑇𝑇2 −𝑇𝑇−𝑇𝑇𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋+ cos
𝑇𝑇𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑇𝑇1𝑇𝑇sin=′2 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 𝜋𝜋𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑇𝑇

1𝑇𝑇sin+′2 𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 𝜋𝜋−𝑇𝑇𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
𝑇𝑇1𝑇𝑇sin=′2 𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 𝜋𝜋𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋1 𝑇𝑇
� sin
sin
𝑑𝑑𝑡𝑡 = � cos
𝑇𝑇𝑇𝑇2 𝑇𝑇−𝑇𝑇𝑇𝑇

1𝑇𝑇sin−′2 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 𝜋𝜋−𝑇𝑇𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋1 𝑇𝑇
� sin
cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � sin
𝑇𝑇𝑇𝑇2 −𝑇𝑇−𝑇𝑇1𝑇𝑇cos=−
2 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋− cos
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋+ sin
𝑇𝑇1𝑇𝑇cos−′ 𝜋𝜋2𝑘𝑘−
𝑘𝑘−𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇′= 0.

𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇𝑑𝑑𝑑𝑑= 0.

𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑇𝑇𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝑡𝑡
𝑇𝑇𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇−𝑇𝑇𝑑𝑑𝑑𝑑= 0.

∎13一般化フーリエ級数(Generalized Fourier series)
直交基底関数(Orthogonal basis function)∞
区間[𝑎𝑎, 𝑏𝑏]上の任意の関数𝑔𝑔が、直交関数 𝜙𝜙𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑘𝑘=1の線形結合で表現で∞きるとき、 𝜙𝜙𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑘𝑘=1は直交基底関数と呼ばれる。
Orthogonal functions 𝜙𝜙𝑘𝑘 𝑡𝑡 ∞𝑘𝑘=1 are said to be orthogonal basis functions if any function 𝑔𝑔 on theinterval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] is represented as a linear combination of the functions 𝜙𝜙𝑘𝑘 𝑡𝑡 ∞𝑘𝑘=1 .

∞

𝑔𝑔 𝑡𝑡 = � 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝜙𝜙𝑘𝑘 (𝑡𝑡) .
𝑘𝑘=1

一般化フーリエ係数(Generalized Fourier coefficients)∵𝑏𝑏𝑎𝑎𝑘𝑘 =⟨𝑔𝑔, 𝜙𝜙𝑘𝑘 ⟩.
⟨𝜙𝜙𝑘𝑘 , 𝜙𝜙𝑘𝑘 ⟩𝑏𝑏 ∞𝑔𝑔, 𝜙𝜙𝑘𝑘 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝜙𝜙𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � 𝑎𝑎𝑘𝑘 ′ 𝜙𝜙𝑘𝑘 ′ 𝑡𝑡 𝜙𝜙𝑘𝑘 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑∞

𝑎𝑎𝑎𝑎

= � 𝑎𝑎𝑘𝑘 ′ ⟨𝜙𝜙𝑘𝑘 ′ , 𝜙𝜙𝑘𝑘 ⟩ = 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝜙𝜙𝑘𝑘 , 𝜙𝜙𝑘𝑘𝑘𝑘 ′ =1𝑘𝑘 ′ =1

∵ 𝜙𝜙𝑘𝑘 ′ , 𝜙𝜙𝑘𝑘 = 0 for 𝑘𝑘 ≠ 𝑘𝑘𝑘.

∎14

フーリエ級数(Fourier series)
フーリエ基底(Fourier basis)
1, cos 2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇 , sin 2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇 ∞𝑘𝑘=1 は、区間[−𝑇𝑇/2, 𝑇𝑇/2]上の二乗可積分関数𝑔𝑔の空間に対する直交基底関数である。

1, cos 2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇 , sin 2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇 ∞𝑘𝑘=1 are orthogonal basis functions for the space of square-integrable
functions 𝑔𝑔 on the interval −𝑇𝑇/2, 𝑇𝑇/2 .
∞𝑎𝑎0
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡+ 𝑏𝑏𝑘𝑘 sin.
+ � 𝑎𝑎𝑘𝑘 cos
𝑔𝑔 𝑡𝑡 =

2𝑘𝑘=1

フーリエ係数(Fourier coefficients)𝑇𝑇𝑇𝑇

𝑎𝑎0 ⟨𝑔𝑔, 1⟩ 1 𝑇𝑇/2
= � 𝑔𝑔(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑,=⟨1, 1⟩ 𝑇𝑇 −𝑇𝑇/22⟨𝑔𝑔, cos(2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇)⟩
2 𝑇𝑇/2
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= �𝑑𝑑𝑑𝑑 ,𝑎𝑎𝑘𝑘 =𝑔𝑔 𝑡𝑡 cos⟨cos(2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡/𝑇𝑇) , cos(2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡/𝑇𝑇)⟩ 𝑇𝑇 −𝑇𝑇/2𝑇𝑇⟨𝑔𝑔, sin(2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇)⟩2 𝑇𝑇/22𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑 .
= �𝑏𝑏𝑘𝑘 =𝑔𝑔 𝑡𝑡 sin⟨sin 2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇 , sin(2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑇𝑇)⟩ 𝑇𝑇 −𝑇𝑇/2𝑇𝑇∵ 補題２.１(Lemma 2.1)15

アナログ振幅変調(Analog amplitude modulation)
仮定(Assumption)
搬送波cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑡𝑡)の周期𝑇𝑇𝑖𝑖 = 1/𝑓𝑓𝑖𝑖 は、送信信号𝑥𝑥1 (𝑡𝑡)と𝑥𝑥2 (𝑡𝑡)の時変動のスケールよりも、十分に短いと仮定する。

Suppose that the period 𝑇𝑇𝑖𝑖 = 1/𝑓𝑓𝑖𝑖 of a carrier wave cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑡𝑡) is much smaller than the time scale ofthe transmitted signals 𝑥𝑥1 (𝑡𝑡) and 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡).

振幅変調(Amplitude modulation: AM)
送信者𝑖𝑖は、𝑔𝑔𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑡𝑡 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑡𝑡)を送る。(Sender 𝑖𝑖 transmits 𝑔𝑔𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑡𝑡 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑡𝑡).)

受信信号(Received signal)

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥1 𝑡𝑡 cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓1 𝑡𝑡 + 𝑥𝑥2 𝑡𝑡 cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓2 𝑡𝑡 .

受信信号𝑦𝑦(𝑡𝑡)から、𝑥𝑥1 (𝑡𝑡)に関する情報だけを取り出したい。
Extract the information on 𝑥𝑥1 (𝑡𝑡) from the received signal 𝑦𝑦(𝑡𝑡).

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復調(Demodulation)
𝑓𝑓1 = 𝑘𝑘𝑓𝑓と𝑓𝑓2 = 𝑘𝑘 ′ 𝑓𝑓が基本周波数𝑓𝑓 = 1/𝑇𝑇の整数倍（𝑘𝑘 ≠ 𝑘𝑘 ′ ）かつ𝑓𝑓 ≫ 1の場合、When 𝑓𝑓1 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 and 𝑓𝑓2 = 𝑘𝑘 ′ 𝑓𝑓 are integer multiples (𝑘𝑘 ≠ 𝑘𝑘 ′ ) of a fundamental frequency 𝑓𝑓 = 1/𝑇𝑇 ≫ 1,

同期検波

Coherent reception

𝑇𝑇/2

𝑇𝑇/22𝑘𝑘𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
� 𝑦𝑦 𝑡𝑡 cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑡𝑡 cos 2𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇/2−𝑇𝑇/2𝑇𝑇/22𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘cos
𝑑𝑑𝑑𝑑+�
𝑥𝑥2 𝑡𝑡 cos
𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇/2𝑥𝑥𝑖𝑖 (𝑡𝑡)は、−𝑇𝑇/2 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇/2の場合に定数と近似すると、
Regard 𝑥𝑥𝑖𝑖 (𝑡𝑡) as a constant for −𝑇𝑇/2 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇/2 approximately.

所望信号

Desired signal

干渉信号Interference�𝑇𝑇/2−𝑇𝑇/2
𝑇𝑇/2𝑥𝑥1 𝑡𝑡 cos

2𝑇𝑇
22𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑇𝑇2𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 𝑥𝑥1 𝑡𝑡 � cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥1 𝑡𝑡 ,𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇
2−22𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
�cos
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑡𝑡 cos
𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇/2𝑇𝑇/22𝑘𝑘 ′ 𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
cos
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0.
≈ 𝑥𝑥2 𝑡𝑡 �cos
𝑇𝑇𝑇𝑇−𝑇𝑇/2∵ 補題２.１
Lemma 2.1

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演習(Exercise)
アナログ信号𝜔𝜔(𝑡𝑡)を搬送波cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡)の位相に変調して、送信する。

Transmit an analog signal 𝜔𝜔(𝑡𝑡) via modulation of 𝜔𝜔(𝑡𝑡) for the phase of the carrier wave cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡).

𝑥𝑥 𝑡𝑡 = cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡 + 𝜔𝜔 𝑡𝑡 ) .

1. 以下の𝑦𝑦(𝑡𝑡)を計算せよ。ただし、𝑓𝑓c ≫ 1を仮定して、𝑡𝑡 ≤ 𝜏𝜏 ≤ 𝑡𝑡 + 𝑓𝑓c−1 に対して𝜔𝜔 𝜏𝜏 ≈ 𝜔𝜔(𝑡𝑡)と近似せよ。
Compute the following 𝑦𝑦(𝑡𝑡) by using the approximation 𝜔𝜔 𝜏𝜏 = 𝜔𝜔(𝑡𝑡) for 𝑡𝑡 ≤ 𝜏𝜏 ≤ 𝑡𝑡 + 𝑓𝑓c−1
under the assumption 𝑓𝑓c ≫ 1.

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 2𝑓𝑓c �𝑡𝑡

𝑡𝑡+𝑓𝑓c−1𝑥𝑥 𝜏𝜏 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝑑𝑑 .

2. 信号𝑦𝑦(𝑡𝑡)から近似的に𝜔𝜔(𝑡𝑡)を一意に復調できるために、𝜔𝜔(𝑡𝑡)が取りうる値の条件を答えよ。
Answer conditions for the image of 𝜔𝜔(𝑡𝑡) to demodulate 𝜔𝜔(𝑡𝑡) from 𝑦𝑦(𝑡𝑡) approximately and uniquely.

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