成蹊大学理工学研究報告
J. Fac. Sci. Tech., Seikei Univ.
Vol.43 No.2 (2006) pp.125-132（特別研究費に係る論文）

LiNbO3 結晶の電気光学係数の測定精度と感度の改善
滝沢

國治*1，米倉和也*2，金蓮花*3High accuracy and high sensitivity measurements of the electrooptic effect in undoped andMgO-doped LiNbO3 crystals
Kuniharu TAKIZAWA*1, Kazuya YONEKURA*2, Lianhua JIN*3
ABSTRACT：Accurate measurements of the compound electrooptic (EO) coefficients rc of non-doped
and MgO-doped LiNbO3 (LN) were made by detecting the fundamental and third harmonic components
which were included in the sinusoidally modulated optical signal. The analysis of frequency spectrum of
the multiple reflection beams in the EO crystal indicates that anti-reflection films must be coated on the
input and output surfaces of the crystal for accurate measurements. Measured values of rc of non-doped
and MgO-doped LN crystals at a wavelength of 632.8 nm were 19.8 pm/V and 19.2 pm/V, respectively.
Keywords ： Electrooptic effect, Electrooptic coefficient, LiNbO3, Converse piezoelectric effect,
Piezoelectric constant(Received September 15, 2006)
1.

係数測定法が望まれている。

まえがき

小さな EO 係数を測定するよく知られた方法は，クロ電気光学（EO）結晶の EO 効果（ポッケルス効果）は，

スニコル光学系にサンプル結晶と 1/4 波長板を挿入する

光通信，光計測，光情報処理などの分野で幅広く利用さ

Senarmont 補償法である 15),16)。この方法では，半波長電れている。しかし，高精度で測定された EO 係数は，

圧（リタデイションがπになる最小電圧）の 5～15％程(NH4)H2PO4 結晶の r41，r63，KH2PO4 結晶の r63，LiNbO3度の印加電圧で EO 係数を測定できるという利点をもつ結晶(LN 結晶)および LiTaO3 結晶の r33 など，大きな EOが，初期位相をπ/2 に正確に定めることが容易でないこ係数をもついくつかの大型結晶に限られている 1)。光通とと，測定値が温度変化に依存しやすいという欠点をも信，光情報処理分野で光変調器，光スイッチ，光偏向器

つ。

などに応用されている LN 結晶でも，r33 以外の EO 係数
1)の測定値の有効桁数は，1 ～ 2 桁に留まっている 。しなリファレンス結晶を置き，他方の光路にサンプル結晶，偏光無依存形を置く測定法も低電圧測定が可能である 17)。しかし，サ光スイッチ 6)，偏波無依存形変調器 7),8)，TE/TM モード

ンプル結晶の測定精度が，リファレンス結晶に依存する

かし，LN 結晶を用いて縦形光変調器
変換器

9)-11)

変位センサ，偏光制御器
14)

12)

2)-5)

Mach-Zehnder 干渉計の一方の光路に EO 係数が明らか，レーザドップラ速度計

13)，，などを設計する場合，r33 よりも値の小さという問題を抱えている。また，Senarmont 法と同じく測定システムを一定の温度に保つ必要がある。

な EO 係数が必要となる。そこで高感度で高精度な EO*1：物質生命理工学科教授 (Professor, Dept. of Materials andLife Science) takizawa@st.seikei.ac.jp*2：物理情報工学専攻大学院生 (Graduate student, Dept. ofApplied Phisics)*3： 物 質 生 命 理 工 学 科 助 手 (Research Associate, Dept. ofMaterials and Life Science)

これらの既存の測定法の課題を克服するため，この論文では，EO 係数測定システムの光変調信号に含まれる基本波成分と第 3 高調波成分の比 J1(x)/J3(x)から，温度変化に依存せずに EO 係数を高精度でかつ低電圧で求める方法を提案する。J1(x)，J3(x)は第 1 種のベッセル関数であり，ｘは EO 結晶を伝播する光の位相やリタデイショ－125－

ンに依存する変数である。
変調信号をフーリエ級数に展開し，ベッセル関数を用いてその周波数スペクトラムを分析する方法は，FM な
どの通信方式ではよく知られた技術である 18）。この技術を応用した幾つかの光計測技術が既に提案されている。
たとえば，Denton らは光変調信号に含まれる J1(x)およびJ3(x)成分から LiTaO3 結晶を用いた光変調器の温度依存性を明らかにした 19）。著者の一人は，J1(x)=0 を満足する

ｘから EO 係数を求める方法を提案した

図 1

20）

Parallel Nicol polarization system for measuringcomposite EO coefficient rc of LN crystals.

。この方法はandBPF3f,

高精度であるが，半波長電圧よりも大きな印加電圧を必BPF1f

要とするという問題を抱えていた。さらに，Oakberg はMulti-meter.

band

pass

filters;MM,

光弾性変調器の出力信号に含まれる J1(x)と J2(x)成分から，光学媒質の圧電効果を高感度で測定した 21）。しかし，を no，異常光屈折率を ne，結晶長を L，波長をλとする

光変調信号のスペクトル分析から EO 係数を高精度かつと，Γ1, Γ2 は以下の式で与えられる。

低電圧で測定する研究はまだない。
本論文は，本章を含め 5 章から構成される。第 2 章では，J1(x)/J3(x)を用いた EO 係数測定法の測定系と測定原理を述べる。第 3 章では EO 結晶の入出力端面での多重反射光と測定精度の関係を明らかにする。第 4 章では，

Γ1 =
Γ2 =

2π

λ
2π

λ

(n e + ∆ n e )(L + ∆ L )(1)(n o + n o )(L + ∆ L )(2)

ノンドープ LN 結晶および MgO ドープ LN 結晶の複合的
電気光学係数 rc を測定した結果を示す。第 5 章は結論で

ここで，Δne，Δno は電気光学効果によって生じた異常ある。

光屈折率および常光屈折率の変化であり，それぞれ次式で表される。

２．測定原理前章に述べたように，この測定方法の特徴は，光変調∆ne = −

V1
3
n e r13 0 sin ω t
2
D

(3)

∆ no = −1
V3n o r13 0 sin ω t
2
D

(4)

信号に含まれる基本波成分と第 3 高調波成分の比からEO 係数を求めることである。したがって，クロスあるいは平行ニコル光学系，Mach-Zehnder 干渉計および

r33 は LN 結晶の電気光学係数，Ｄは結晶のMichelson 干渉計など従来の EO 係数測定方法で採用され

ただし，r13,てきたほとんどの光学システムにこの方法を適用するこ厚さである。式(1)，(2)のΔL は，逆圧電効果によって生とが出来る。

じる結晶長変化であり，次式で与えられる。

ここでは，LN 結晶の複合的電気光学係数 rc を測定す
る平行ニコル光学システム（図１）にこの方法を適用して，測定原理を述べる。平行ニコル光学系では，直線偏∆ L = d 31 L

V0
sin ω tD

(5)

光したレーザ光は LN 結晶の X 軸方向および Z 軸（ｃ）
軸方向と 45 度の方向に振動している。結晶の Z 軸方向

ここで，d31 は LN 結晶の圧電ｄ定数である。

に正弦波電圧 V0sinωt を加える。このとき，結晶中を Y
軸方向に進むレーザ光の Z 軸方向の振動成分と X 軸方向式(2) ～ (5)を用いると，リタデイション⊿Γは式(6)で表される。

の振動成分は異なる屈折率を感じるため，Z 軸成分光の位相Γ1 と X 軸成分光の位相Γ2 の間に位相差(リタデイ
ション) ⊿Γ ＝Γ1-Γ2 が生じる。LN 結晶の常光屈折率∆Γ = Γ1 − Γ2 =

≈

－126－

2π

λ

2π

λ

L (no − ne ) +(L + ∆ L )(n o − n e + ∆ n o − ∆ n e )2π

λL (∆ no − ∆ ne ) +2π

λ∆ L (no − ne )=2π

L (no − ne )λn (n − n )d 
πn 3 LV + e o  r33 −  o  r13 + 2 o 3e 31  sin ω t
λD 
ne

 ne 
3



=

2π



L (n e − n o ) + Θ rc sin ω t = φ + Θ rc sin ω t

λ

(6)
ただし，

φ =
Θ =

2π

λ

L (n o − n e )π n e3 LV o
λD

3

 n 
(n o − n e )d 31 
r c =  r33 −  o  r13 + 2
n e3


 ne 

(7)(8)

Dependence of J1(x)/J3(x)on x where x= Θ rc.
Because α is provided from measured values I1f
and I3f, the composite EO coefficient rc isdefined as rc = α/Θ.

(9)J1(x)/J3(x)と x の関係を図 2 に示す。図 2 は，0 ＜ x ＜図２

6.38 の範囲では，J1(x)/J3(x)は周期性を持たない単調な関数であることを示している。したがって，この範囲の振である。ｒc は LN 結晶の複数の電気光学係数 r13，r33 と

幅 V0 をもつ交流電圧を LN 結晶に加えたときの I1f と I3f

圧電定数ｄ31 を含んでおり，この論文では複合的電気光を測定すれば，両者の比 I1f/I3f から定まる横軸の値αから，学係数と呼ぶことにする。

次式のようにｒｃを求めることが出来る。

式(6)を用いると，図１の測定システムの規格化された
光検出信号 I0 は

1
[1 + cos (φ + Θ rc sin ω t )]
2

I0 =

rc =
(10)

α
Θ

=α

λD
π n e3 LV 0(13)

式(13)は静的位相を含まないため，温度に影響されずに

ｒc を測定することが出来る。また，印加電圧の振幅は任となる。式(10)の交流成分を取り出して，ベッセル関数

意の値でよいため，低電圧測定が可能である。

を用いて展開すると，以下の式を得る。
∞
cos(φ + Θrc sinωt ) = cosφ  J 0 (Θrc ) + 2∑ J 2i (Θrc ) cos 2iωt 
i =1


∞


− 2 sinφ ∑ J 2i +1 (Θrc )sin(2i + 1)ωt 
 i =0(11)
図 1 の 2 つのバンドパスフィルタ BPF1f および BPF3fの中心周波数をω/2πおよび 3ω/2πとすると，BPF1f お
よび BPF3f の出力の比 I1f/I3f は，次式で表される。

I1 f
I3f

=

J 1 (x )J 3 (x )(12)

Relationship between Jg(x)/Jh(x) on x where g

図３= 1―2, h = 3―6.

x = Θ rc－127－

J1(x)/J3(x)のみならず，J1(x)/J5(x)，J1(x)/J7(x)･･･あるいは，J2(x)/J4(x)，J2(x)/J6(x)･･･でも可能であるが，図 3 に

θ1 =
πne3 LV 0 2
r − 2 d 31 
λ D  33
ne


θ2 =


π n o3 LV 0 2
 r13 − 2 d 31 
λ D 
no

(15)

示すようにいずれも J1(x)/J3(x)と比較すると感度が低い。
J0(x)を含む直流成分と，J2(x)を含む第 2 高調波成分との比は，[1+cosφJ0(x)]/cosφJ2(x) と表されるため，温度変(16)動に敏感で未知の静的位相φを排除することが出来ない。
したがって，J1(x)/J3(x)が低電圧および高精度測定に最もφ１およびφ２は Z 軸およびＸ軸方向に振動する直線偏適した組み合わせである。

光の静的位相である。

ｍが大きくなると，式(14)はよく知られた Fabry-Perot
エタロンの式になる 22)。しかし，バルク結晶内での多重３．反射光の影響

反射回数は，一般に小さな数値になる。図 1 に示すようこれまでは，LN 結晶内での多重反射光がない理想的な長さＬ，幅Ｄの直方体の EO 結晶の Y 軸方向にガウスな状態を解析した。実際には，LN 結晶は大きな屈折率

ビームが伝搬する場合，ビームが結晶側面で反射せずにを有するため，X 軸方向，Z 軸方向に振動する直線偏光

直進できる条件は，は，図 4 に示すようにそれぞれ EO 結晶内で繰り返し反射する。光が結晶に垂直入射したときの X，Z 軸方向の

D2
4λ
= S2
L
nπ

直線偏光に対するパワー反射率を R1,R2 とすると，結晶(17)

中を m（≧１）回多重反射した光を含む規格化された光で与えられる 23)。ただし，n は結晶の屈折率である。Ｓ

検出信号Ｉは，次式で表される。

は安全係数と呼ばれ，ビームが僅かな回折損失だけで伝播すると仮定すると，Ｓ ＞ 3 の条件が必要になる。ビ2T
1 m 2 iI=∑∑ R p sin{ω0t + (2i + 1)(θ p sin ωt + φ p )} dt∫
2T 0  i =0 p =1
ームがｍ回往復する場合には，結晶長は(2m+1)L と見做せるため，これを式(17)に代入すると，

(14)

m =

ここで，T は 2π/ω0（<< 2π/ω）で表されるタイムスロ
1  nπD 2− 1 
2
2  4 λ LS(18)ットである。ω0 は光の角周波数，ｍは光が EO 結晶内を往復する回数である。θ１およびθ２はＺ軸およびＸ軸方を得る。
4 章の実験とほぼ同一条件である，n = 2.2，D = 1 mm，向に振動する直線偏光の EO 効果による位相変化であり，

L = 20 ｍｍ，λ= 632.8 nm および S = 3 を上式に代入すそれぞれ次の式で表される。

ると， m ≈ 7 を得る。この程度の値では Fabry-Perot の式を用いることは適当でないため，式(14)を級数で表すことにする。式(14)において，m = 0 の無反射光からｍ回
往復光から得られる多重干渉信号に含まれる h 次の高調波信号成分(h=1,3,5,7・・・)を Imh とすると，Imh は次の式で与えられる。
m

Imh = ∑(R1R2 ) sin{(2i +1)(φ2 −φ1 )}Jh {(2i +1)(θ2 −θ1 )}
i

i =0

図４

Multiple reflections in EO crystal at normal
incidence where p = 1 or 2. The figure is drawn
schematically in order to show each ray.


 2 i+l∑Rp sin{2(i − l)φp }Jh {2(i − l)θ p }
p=1
m−1 m + ∑∑+ R1i R2l sin{(2i +1)φ1 − (2l +1)φ2}Jh {(2i +1)θ1 − (2l +1)θ2}

l=0 i =l+1
+ R1l R2i sin{(2i +1)φ2 − (2l +1)φ1}Jh {(2i +1)θ2 − (2l +1)θ1}
(h = 1,3,5,7 ⋅⋅⋅⋅⋅)
(19)

－128－

４. 実験と結果

ただし Jh(θ)はｈ次のベッセル関数である。

ｍ ＝ 0 の場合は，以下の簡単な式で表される。
ノンドープ LN 結晶および MgO を 5%ドープした LN

I 0 h = sin (φ 2 − φ 1 )J h (θ 2 − θ 1 ) = sin φ J h (Θ rc )結晶を用いて測定した。複合的 EO 係数 rc の測定に先立(20)

ち，2 つの結晶から頂角 30.23 度のプリズムを作り，プ
リズム分光計でそれらの常光屈折率 no および異常光屈

結晶の光吸収特性が無視できない場合には，式(19)の折率 ne を測定した。波長 632.8nm の測定結果を表 1 に示

パワー反射率 R1，R2 を次式の R1’,R2’に置き換えればよい。

す。ニコン製画像計測システム NEXIV VM-150M で測定した両結晶のサイズを表 2 に示す。多重反射光の影響をR1′ = R1 exp( − 2 aL )(21)

避けるために，2 つの試料結晶の入出力端面に反射防止

R 2′ = R 2 exp( − 2 aL )(22)用誘電体多層膜を蒸着した。この多層膜の反射特性を図6 に示す。λ＝ 632.8 nm の反射率は 0.05％以下であり，

ただし， a は結晶の光吸収係数である。

多重反射光を無視することが出来る。

ＬＮ結晶内の多重反射回数を m = 4 とする I41/I43 と印

図 1 の測定系を用いて LN 結晶の rc を測定した。実験

加電圧 V０の関係を計算した一例を図 5 に示す。ここでは，に使用した測定装置は以下のとおりである。He-Ne レー

no = 2.28653, ne = 2.20232, r33 = 30.8 pm/V, r13 = 9.6 pm/V,

ザ光源：メレスグリオ社 05-LHP-991 (波長λ＝632.8 nm

λ= 632.82 nm, L/Ｄ = 20, a = 0 とした。これ以上ｍを

出力 10 ｍW)，光検出器：浜松ホトニクス社 C-5460，

増やしても計算曲線はほとんど変化しない。図 5 は，パ信号発生器：アジレント社 33120A，バンドパスフィル

ワー反射率を R1 = R2 < 0.001 とすれば， R1 = R2 = 0 の理タ（BPF1f，BPF3f）：エヌエフ回路設計ブロック社（NF

想的な状態（点線）とほぼ一致することを示している。

Electronic

したがって，結晶の入出力端面のパワー反射率Ｒを大幅

タ：アジレント社に低下させれば，次の式から EO 係数を高い精度で求め波成分の振幅 J1(x)を抽出する BPF1f の周波数弁別特性はることが出来る。

48 dB/oct.である。一方，EO 結晶に加える電圧が小さい

Instruments）3628 および 3624，マルチメー
34401A。光検出信号に含まれる基本

ときは，第 3 高調波成分の振幅 J3(x)は J1(x)や第 2 高調波

I m1I
J (Θ rc )≈ 01 = 1
I m3
I 03
J 3 (Θ rc )(23)成分の振幅Ｊ2(x)に比べて遥かに小さい。そこで基本波および第 2 高調波成分が第 3 高調波成分に混入するのを防ぐため，J3(x)成分抽出用の BPF3f は 96 dB/oct.にセットした。

表１

Measured indexes of refraction of the undoped
and MgO-doped LN crystals at λ= 632.8 nm.

Undoped LN crystal
MgO-doped crystal

no2.28653
2.28115ne
2.20232
2.19136

表 ２ Crystal sizes and measured composite EO
coefficientsｒc of the undoped and MgO-doped
LN crystals at λ= 632.8 nm.

図５Relationship between I41/I43 and the amplitude
Vo of AC voltage applied to the LN crystal forseveral values of the power reflectances, R1
and R2.

－129－

Material
UndopedLN crystal
MgO-doped
LN crystal

D (mm)
0.998±0.0011.021±0.001

L (mm)
19.999±0.00119.987±0.001rc (pm/V)
19.8±0.1
19.2±0.1

ノンドープおよび MgO ドープ LN 結晶に 500 Hz の正弦波電圧を加え，J1(x)成分用および J3(x)成分用 BPF1f，
BPF3f の中心周波数を 500 Hz および 1500 Hz として測定した。BPF1f の出力信号 I1f，BPF3f の出力信号 I3f と印加電圧の振幅との関係を図 7(ノンドープ LN 結晶)および図 8（MgO ドープ LN 結晶）に示す。I1f はＬＮ結晶の印加電圧 V0sinωt と同一周波数の基本波成分であり，I3f は印加
電圧の第 3 高調波成分に相当する。両図の I1f，I3f がかな
り大きく変動しているのは，静的位相差φ1-φ2 の温度依存性に因るものである。これらの変動は両者の比 I1f/I3fをとることによりキャンセルされ，非常に安定した曲線
図６

Relationship between the measured reflectanceof the dielectric multilayer film mirror andthe wavelength.

を示す。これらの曲線が式(23)に近ければ近いほど，EO
係数の測定精度が向上する。そこで，rc を求める前に，実験曲線と計算曲線の比較してみよう。
LN 結晶の入出力端面には高精度の反射防止膜が蒸着されているため，m が 2 以上の多重反射の影響は無視して差し支えない。したがって，I1f/I3f と EO 効果で誘起されたリタデイション Θ rc の間には，式(12)が成立する。
ここで，Θ rc を新しいパラメータξ，V0 で置き換えると，式(12)を次のように書き改めることができる。

I1 f

=

I3 f

ξ =

図７

J1 (ξV0 )J 3 (ξV0 )π ne3 rc L
λD

(24)

(25)

Dependence of the output signals I1f and I3f of
BPF1f and BPF3f and the ratio I1f/I3f on theapplied voltage for the undoped LN crystal.

図９

Relationship between ⊿I and the applied voltage
for the ndoped and MgO-doped LN crystals.

式(24)に印加電圧 V0 とそのときの実験値 I1f/I3f を代入すれ
図８

Dependence of the output signals I1f and I3f ofば，ξを求めることが出来る。このξと先ほどの V0 と異なBPF1f and BPF3f and I1f/I3f on the applied voltage

る印加電圧を式(24)に次々に代入すれば，推定値(I1f/I3f)e を

for the MgO-doped LN crystal.

計算できる。推定値と区別するために実験値を(I1f/I3f)m とす－130－

５．結 論
EO 係数測定システムの光変調信号に含まれる基本波成分と第 3 高調波成分の比から，温度変化に依存せずにEO 係数を高精度かつ低電圧で求める方法を提案した。
ノンドープ LN 結晶あるいは 5%MgO ドープ LN 結晶を含む平行ニコル光学系を用いて，λ＝ 632.8 nm におけるこれら結晶の複合的電気光学係数ｒc を低電圧で測定し，この方法の有効性を実証した。
この測定法の精度は，結晶の反射率，光検出器の直線性，BPF の周波数選択特性などに依存している。測定感度をさらに改善するためには，①第 2 高調波を最小にする静的位相制御，②ロックインアンプを用いて微弱な図 10 Relationship between the measured values of thecomposite EO coefficients rc of the undoped andMgO-doped LN crystals and the amplitude of theapplied voltage.

J3(x)成分を検出する，などの方法を検討する必要がある。
LN 結晶のｒc は，式(9)に示されるように圧電ｄ定数 d31
を含む。ただし，LN 結晶の d31 は 0.86 pC/N と非常に小さく，かつ屈折率差と d31 の積で式(9)右辺の第２項が形ると，規格化された両者の差⊿I は，以下の式で与えら成されているため，LN 結晶の場合，式(9)右辺の第２項れる。

を省略しても問題ない。

(I1 f I 3 f )e − (I1 f I 3 f )m∆I =(I1 f I 3 f )m

この方法を用いて LN 結晶の r33, r13, r22, r51 を測定する(26)のが次のテーマである。r22 は今回と同じ平行ニコル光学系で測定することができるが，それ以外の EO 係数の測⊿I と印加電圧の関係を図 9 に示す。アンドープ LN 結

定には，Michelson や Mach-Zehnder などの干渉システム

晶の⊿I の平均値と標準偏差はそれぞれ 0.00633 およびを用いて位相変化を測定しなければならない。その場合，0.00786 である。また，MgO ドープ LN 結晶の平均値と式(1)，(2)に示すように EO 効果と逆圧電効果が同時に位標準偏差は，それぞれ-0.00283 および 0.00708 である。

相変化に寄与するため，EO 係数と圧電 d 定数を分離測

これらの値は，実験値と推定値がよく一致していること

定し，2 つの係数の間の相対的な符号を明らかにする新を示している。

たな計測方法が必要になる。

図 10 は，印加電圧の振幅を様々に変化させたときの複合的 EO 係数 rc の実測結果である。この図は，印加電

参考文献

圧の振幅が 9 V を超えると安定して EO 係数を測定できることを示している。測定結果の平均値はノンドープ LN

1. K. -H. Hellwege, Editor in chief, LANDOLT BÖRNSTEIN,

結晶で 19.8 pm/V，MgO ドープ LN 結晶で 19.2 pm/V でNumerical Data and Functional Relationships in Science

あった。標準偏差はノンドープ結晶で 0.084 pm/V，MgO

and Technology, New Series, Group III: Crystal and Solid

ドープ LN 結晶で 0.067 pm/V であった。MgO ドープ LN

State Physics, Vol.11, Elastic, Piezoelectric, Pyroelectric,

結晶の rc は，ノンドープ LN 結晶の rc よりも 3%小さい

Piezooptic,

ことが明らかになった。これらの実験結果は，この方法

Dielectric Susceptibilities of Crystals (Springer-Verlag

が低電圧かつ高精度に EO 係数を測定できることを示し

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Electrooptic

Constants,

andNonlinearている。2 つの LN 結晶の測定された複合的 EO 係数 rc

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