TGSW2015, TSUKUBA
筑波大学礒田正美研究室
9月29日
大阪教育大学
城地 茂

筑波大学本『算学啓蒙』
 朝鮮銅活字本＜ 木版本多数

世界唯一？の銅活字本

『算学啓蒙』の出版
 1299年 （元）朱世傑、『算学啓蒙』出版（現存せず）
 1430年頃『新編算学啓蒙』（国初印本）（筑波大学本）

李氏朝鮮の算科教科書 『算学啓蒙』『楊輝算法』『詳明算法』『五曹算経』『地算』（1592-1598年 豊臣秀吉朝鮮出兵）
 1658年 （日本）久田玄哲 訓点本（国初印本に訓点）
 1660年 （朝鮮）金始振 重刊本（現存せず）
 1834年 （清）羅士琳 重刊本（金始振本を校正）（中国国家
図書館）
『算学啓蒙』の重要性
 天元術（中国式代数学）の入門書立てた高次方程式の解き方は『楊輝算法』（楊輝、1275年）『数書九章』（秦九韶、1247年）などに記述
 鶴亀算の初出？？？
 掛け算九九を「一一如一」⇒「九九八十一」の順に記述した初出『楊輝算法』の目次には九九を「一一如一」～
13世紀算書群は「算木数学の完成形」⇒「近世」の開闢九九の順序
 『算学啓蒙』（1299年）



『楊輝算法』（1275年）

里耶九九木牘 湖南省龍山県里耶鎮

 秦簡、BCE.222年-208年
 2002年6月発掘
 2012年切手発売

『孫子算経』の鶴亀算？
 『孫子算経』（著者不詳、400年頃）巻下第31題「雉兎同籠」問題。
 今有雉兎同籠、上有三十五頭下有九十四足。
問雉兎各幾何。
答曰。雉二十三、兎一十二。
 （中略）又術曰。上置頭、下置足。半其足、以頭除足、以足除頭、即得。

『孫子算経』の鶴亀算？
 雉と兎が同じ籠に入っているとする。上には35の頭が、下には94の足がある。雉と兎はそれぞれ幾らになるか。
答。雉23羽、兎12羽。
 （中略）もう一つの術。上に頭、下に足の数をならべる。足の数を半分にする。これから頭の数を引いて（、兎の数）、頭から足を引くと（雉の）答えになる。

代数（「方程」）的解法
 雉をx、兎をyとすると、
x + y = 35
 2x + 4y = 94
 2x + 2y = 70
 2x + 4y = 94

4x + 4y = 140
2x + 4y = 94

2y = 24

2x= 46

鶴亀算による解法
 全部を雉と仮定すると、足は70
 ところが実際には足は、
94
 差は、24
 1羽につき、4-2違ってくるから、24÷2= 12（兎） 全部を兎と仮定すると、足は140
 ところが実際には足は、94 差は、46
 1羽につき、4-2違ってくるから、46÷2= 23（雉）『算学啓蒙』巻中「求差分和門」
 今有雉兎一百、共足二百七十二隻。只云、雉足二、兎足四。問雉兎各幾何。
答曰、雉六十四隻。兎三十六隻。
 術曰、列一百、以兎足乗之、得数、内減共足、余一百二十八、為実。列雉・兎足、以少減多、余二、為法。
而一得雉。反減一百、即兎、合問。
 又術曰、倍一百、以減共足、余半之、即兎也。

『算学啓蒙』巻中「求差分和門」
 雉と兎100羽があり、足は272本だとする。只、雉の足は2本、兎の足は４本である。雉と兎は、各幾何になるかを問う。
答に曰う、雉64羽、兎36羽。
 術に曰う、100をならべ、兎の足（4）をかけて、得た数（400）から合計の足の数（272）を引き、余は128になり、これを「実」（被除数）とする。雉と兎の足（の数）をならべ、多い方から少ない方を引き、余が2となり、これを「法」（除数）とする。割り算をすると雉（64）が得られる。反対に100から引くと、即ち兎（36）となり、題意に合う。
 又術に曰う、100を倍にして、合計の足の数（272）から引き、之（72）を半分にする（36）と、即ち兎である。

漢字を使った代数的解法
 漢字は記号 1雉+ 1兎 = 35
 2雉+4兎= 94
 2雉+2兎= 70
 2雉+4兎= 942兎= 24

4雉+4兎= 140
2雉+4兎= 942雉

= 46

『孫子算経』の演算
 頭 35

 足 94
 「上に頭、下に足の数をならべる」

算木で、数値を並べる。

『孫子算経』の演算
 頭 35

 足 94 → 47
 94÷２＝47「足の数（94）を半分にする。」（47）

『孫子算経』の解法
 頭 35

 足 94 → 47 → 12
 47－35＝12

 「これ（47）から頭の数（35）を引いて、これ（12）が（、兎の数）になる。」

『孫子算経』の解法
 頭 35→ 23

 足 94 → 47 → 12
 35－12＝23

 「足（12）を頭（35）から引くと、（雉の）答え（23）になる。

『孫子算経』題の解釈
 雉をx、兎をyとすると、
 x + y = 35
 2x + 4y = 94

頭の数
足の数




x + y = 35
x + 2y = 47

足の数を半分にする。




x= 23
y = 12

足から頭を引いて、雉の数。
これから頭の数を引いて、兎の数、

『九章算術』の「方程」
 『九章算術』（著者不詳、50年頃）巻８第１題。

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，実三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，実三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，実二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。

方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，実三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。
又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。
左方下禾不尽者，上為法，下為実。実即下禾之実。求中禾，以法乘中行下実，而除下禾之実。餘如中禾秉数而一，即中禾
之実。求上禾亦以法乘右行下実，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉数而一，即上禾之実。実皆如法，各得一斗。


『九章算術』の「方程」

左行 上禾
1
 中禾2

 下禾実326

中行 右行2331342139

 3x + 2y + z = 39 （右行）
 2x + 3y + z = 34 （中行）
 x + 2y + 3z = 26 （左行）

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
1
 中禾
2

 下禾
実

326

中行 右行
63

93102

2139

 3x + 2y + z = 39 （右行）
 6x + 9y +3z = 34 （中行）以右行上禾遍乗中行
 x + 2y + 3z = 26 （左行）

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
1
 中禾
2

 下禾
実

326

中行 右行
0351242139

 3x + 2y + z = 39 （右行）

5y + z = 24 （中行）而以直除。2’-2×1
 x + 2y + 3z = 26 （左行）

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
3
 中禾
6

 下禾
実

978

中行 右行
0
351242139

 3x + 2y + z = 39 （右行）

5y + z = 24 （中行）
 3x + 6y + 9z =78 （左行）又乗其次、３×3式

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
0
 中禾
4

 下禾
実

839

中行 右行
0
351
242139

 3x + 2y + z = 39 （右行）
5y + z = 24 （中行）
4y +8z = 39 （左行）亦以直除。3’式-1式

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
0
 中禾
0

 下禾
実

3699

中行 右行
0
351242139

 3x + 2y + z = 39 （右行）

5y + z = 24 （中行）
36z = 99 （左行）而以直除。3”-4×2’

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
0
 中禾
0

 下禾
実

3699

中行 右行
0
3

180
36864

2139

 3x + 2y + z = 39 （右行）
 180y +36z =864 （中行）
36z = 99 （左行）左方下禾不尽者，
上為法(分母)，下為実（分子）実即下禾之実。

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
0
 中禾
0

 下禾
実

3699中行 右行
03

180368642139

 3x + 2y + z = 39 （右行）
 180y +36z =864 （中行）求中禾，以法乗中行下実，
36z = 99 （左行）

『九章算術』の「方程」

左行
 上禾
0
 中禾0

 下禾
実

3699

中行 右行
0
31800
765

2139

 3x + 2y + z = 39 （右行）
 180y=765 （中行）而除下禾之実。
36z = 99 （左行）

『九章算術』の「方程」
 餘如中禾秉数而一，即中禾之実。求上禾亦以法

乘右行下実，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉
数而一，即上禾之実。実皆如法，各得一斗。

面積図を使った解釈
 『算学啓蒙諺解大成』（建部賢弘、1690年）が初出


全部を亀と仮定和算（江戸時代）での活用 『因帰算歌』（今村知商、1640年)

 『算学啓蒙』類似問題

 『算法点竄指南録』 (坂部広眸、 1815年）

雉や鶏などの鳥類
 ウサギなどの動物




鶴
亀

鶴は千年
亀は万年目出度い動物に変更
教育的見地

算木（さんぎ）←籌（ちゅう） 珠算以前の計算道具（元代（14c）まで）

日本では算盤（さんばん）に ならべる


算木


陝西省

陝西省安康市
旬陽県出土
漢代 象牙製

まとめ 紀元前後に「方程」が成立、その捷法（早い方法）として鶴亀算が13世紀に出現
 和算（日本数学）では、教育的見地から動物を、鶴亀に変更。
 13世紀には、商業活動を維持するための速算へと変貌
 13世紀東アジア数学は「近世」の開始