数理解析研究所講究録 1394 巻 2004 年 152-157

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2-距離集合に関する Larman-Rogers-SeideI の定理についての考察
坂内悦子 (Etsuko Bannai)
九州大学 (Kyushu University)
この講演ては次の二つのテーマについて述べた.
I. 双曲空間の 2 距離集合について.
垣. 連結な強正則グラフ,すなわち対称かっ原始的なクラス 2 のアソシェーションスキーム,をユークリッド空間に埋め込むことによって得られる 2 距離集合につぃて.

垣の仕事は坂内英一との共同研究である.
ます, なせ Larman-Rogers-Seidel の定理を問題にしたかと言うことにつぃて少し述べる.
ここ 2 年ほど坂内英一と共同てユークリッドデザインにつぃて研究して来た. 私達の望む方
向は tight なユークリッディアン 2e-デザインを分類すると言うことなのてあるがこれは非常に難しい問題てある. しかしながら最近少してはあるが進展が得られた.
tight なユークリッディアン 2e-デザインは原点を中心としたいくっがの同心球面上にのっているのてあるが, 同心球面のそれそれに制限して考えるとウェイトが一定になっており,かつ高々 -距離集合になっていることが解る. さらにウェイトがデザイン全体で一定になっている場合は同心球の個数は, 少し細かい場合分けがあるが, 上から 又は $e+1$ ておさえられることがわかる. 特に tight なユークリッディアン 4-デザインの場合は原点を中心とした 2 個の同心球面 (原点のみの場合も半径 0 の球面と考える) 上になければならないことが解る. さらに半径が 0 でない球面上ては高々 2-距離集合になってぃる. そこて下記に述べる 2-距離集合に関する Larman-Rogers-Seidel の定理が有効に働いたのてある.
$e$

$e$

$\frac{}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}-\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}-\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}1\text{の定理}([5],1977)}{X\text{を}\mathrm{R}^{\mathrm{n}}\text{の}2-\text{距}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{集^{}\mathrm{A}_{\mathrm{I}}}\subset \text{とする}.X\text{の},\Xi_{\backslash }r;\dot{\text{る}}$2 点間の距離を $a,$ $b,$ $b>a>0$ としておく.
この時 $|X|>2n+3$ が成り立っならば次の条件を満たす整数 が存在する.
$k$$( \frac{a}{b})^{2}=\frac{k-1}{k}$,$2 \leq k\leq\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{n}{2}}$.

ウェイトが一定な tight なユークリディアン 4- デザインの存在を仮定すると原点中心の 2個の同心球面上にあることが解る. そして多くの場合は, いすれがの球面上には $2n+3$ 個以上の点が乗っていなければならないことが解がる (すなゎち 2-距離集合になってぃる) 。その

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時に 4-デザインてあると言う条件が距離の 2 乗の比を決定してしかも Larman-Rogers-Seidelの定理に言う整数比をとらないことがわかり非存在を示すことができるのである. 次元の小さいところては細かい議論も必要になるのであるが Larman-Rogers-Seidel の定理が有効にかつ働いて定数ウェイトの tight なユークリディアン \downarrow デザイン $X$ が存在するのは$X-\{0\}$ が球面上の tight オ \downarrow デザインになっている場合に限ることが証明てきる ([2])
そこで次のステップである tight なユークリディアン 6-デザインについて考える時に 3距離集合について何か-Seidel の定理に類することが言えないかと考えるのである. そこでもう一度 Larman-Rogerg-Seidel の定理がどの様に証明されたか振り返ってみた. 目的とする 3-距離についての良い考えが見つかったわけてはないが. 双曲空間の 2$\mathrm{O}\in X$$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}-\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}_{\downarrow}\mathrm{r}\mathrm{s}$

距離集 について Larman-Rogers-Seidel 型の定理がなりたつことが同様な方法で示すこどが出来た. 彼等の方法を復習する意味て双曲空間の場合の定理 ついて述べる.
$\mathrm{A}_{\mathrm{D}}$$J$

I. 双曲空間の 2 距離集合について.
次元実ベクトル空間て表す 1を考えたものを$\mathrm{R}^{n}=\{\mathrm{x}|\mathrm{x}= (x_{1}, x2,3 \cdot\cdot, x_{n}), x_{i}\in \mathrm{R}\}$$n$に次の内積 $<-,$ $->$$\mathrm{R}^{1,n-1}$

$<$

x,

$\mathrm{y}>=x_{1}y_{1}-\sum_{\dot{\iota}=2}^{n}x_{i}y_{i}$.

この時$\mathrm{H}^{n-1}=\{\mathrm{x}\in \mathrm{R}^{1,n-1}| <\mathrm{X}, \mathrm{x}>=1, x_{1}>0\}$と定義する.

$\mathrm{y}\in \mathrm{H}^{n-1}$$\mathrm{x},$に対して$d(\mathrm{x}, \mathrm{x}.|)$$=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}$cosh$(<\mathrm{x}, \mathrm{y}>)$と定義する. すなわち$. \cdot\cdot\frac{e^{d(\mathrm{x},\mathrm{y})}+e^{-d(\mathrm{x},\mathrm{y})}}{2}=<\mathrm{x},$$\mathrm{y}>$この時 $(\mathrm{H}^{n-1}, d(-, -))$ は非ユークリッド距離空間になっており双曲空間と呼ばれる.の時に対して次の条件が成り立つ.
$\mathrm{x},$(1)こ$\mathrm{y}\in \mathrm{H}^{n-1}$$d(\mathrm{x}, \mathrm{y})\geq 0$$(2)<\mathrm{x},$かつ等号は$\mathrm{y}>\geq 1$$(3)<\mathrm{x}-\mathrm{y},$かつ等号は$\mathrm{x}-\mathrm{y}>\leq 0$

従って $X$ をなる. そこて$\mathrm{x}=\mathrm{y}$$\mathrm{H}^{n-1}$.

$\mathrm{x}=\mathrm{y}$

.

かつ等号は

$\mathrm{x}=\mathrm{y}$.の 2-距離集合とした時に距離のかわりに内積を考えても良いことに$A(X)=\{<\mathrm{x}-\mathrm{y}, \mathrm{x}-\mathrm{y}>|\mathrm{x}, \mathrm{y}\in X, \mathrm{x}\neq \mathrm{y}\}$,$A’(X)=\{<\mathrm{x}, \mathrm{y}>|\mathrm{x}, \mathrm{y}\in X, \mathrm{x}\neq \mathrm{y}\}$と定義すると $\alpha<\beta<0$ を満たす実数がなりたつ.

$\{1-\frac{\alpha}{2},1 -,\}$$\alpha$$\alpha’=1-\frac{\alpha}{2},$と$\beta$およびが存在して $A(X)=$ \mbox{\boldmath $\alpha$},と置く この時次の定理が成り立つ.
$\{$$\beta’=1-2\mathrm{g}$$\mathrm{c}$$\beta\}$$A’(X)\overline{arrow}$

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定理. ([1])の 2-距離集合とする. さらに $|X|>2n+2$ が成り立つなを双曲空間
らば次の条件を満たす整数 が存在する.
$X$$\mathrm{H}^{n-1}$$k$,$\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\beta’-1}{\alpha’-1}=\frac{k-1}{k}$$2\leq k$

く$\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{n}{2}}$.

以下に上記の定理の証明を与える. 次の良く知られた補題が使われる.
補題$M$と $M’$ をそれぞれ $m$ 次およひ $m-1$ 次の実対称行列とする.

$M=(M’*$とし $M$ の固有値を$\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\cdots\geq\lambda m’$$M’$$**$)の固有値を$\lambda 1\geq\mu 1\geq\lambda 2\geq\mu_{2}\geq...\geq\lambda_{m-}1$$\mu_{1}\geq\mu_{2}\geq|\cdot\cdot\geq\mu_{mrightarrow 1}$$\geq\mu_{m-}1$とすると$\geq\lambda_{m}$が成り立つ.

この補題を使うことによって次の定理が証明てきる.
定理 (Blumenthml ([4], 1953))$\mathrm{p}_{1},$$\mathrm{p}_{2}$, . . .,$\mathrm{P}N\in \mathrm{H}^{n-1}$を含む$\mathrm{R}^{1,n-1}$の超平面が一つも存在しない$\text{と}$仮定する, この時$(\begin{array}{llllll}\langle \mathrm{p}_{1},\mathrm{p}_{1}\rangle(\mathrm{p}_{2},\mathrm{p}_{1}\rangle \langle \mathrm{p}_{1}\langle \mathrm{p}_{2}" \mathrm{p}_{2}\rangle \mathrm{p}_{2}\rangle \vdots \langle \mathrm{p}_{1},\mathrm{p}_{N}\rangle\langle \mathrm{p}_{2},\mathrm{p}_{N}\rangle 1\vdots \vdots \vdots \vdots 1\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots\mathrm{p}_{1}\rangle\langle \mathrm{p}_{2} \langle \mathrm{p}_{2} \mathrm{p}_{2}\rangle \vdots \langle \mathrm{p}_{2},\mathrm{p}_{N}\rangle \mathrm{l}1 1 1 1 0\end{array})$すなわち正の固有値が重複度も込めて 2 個, 負の固有値が重複度個, 固有値 0 の重複度が $N-n-1$ , てある.

は $(+)^{2}(-)^{n}(0)^{N-n-1}$ 型,も込めて $n$

この定理を
果,j

$=, \frac{1}{a-\beta},$$\mathrm{H}^{n-1}$$<\mathrm{p}_{\dot{\iota}},$の 2-距離集合 $X=$ {p1,$\mathrm{p}_{j}>,$$1$$\mathrm{p}_{2}$\leq i, $j\leq N$ と置く.

$(\begin{array}{llll}c_{1_{\prime}1} c_{1_{\prime}N} 1\vdots \mathrm{q}_{j}.

, ..,,$\mathrm{p}_{N}$} に適用する.

この時\vdots \vdots c_{N,1} c_{N,N} 11 1 0\end{array})$はやはり $(+)^{2}(-)^{n}$ (0) $N-n-1$ 型てある. 従って任意の実数$h$に対して$(\begin{array}{llll}c_{1,1}-h .\cdot \mathrm{I} c_{1,N}-h 1\vdots c_{i,j}-h \vdots \vdots c_{N,1}-h |\cdot\cdot c_{N,N}-h 11 |\cdot\cdot 1 0\end{array})$

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も $(+)^{2}(-)^{n}(0)^{N-n-1}$ 型てある.
$\cdot$$C(h)=(c_{N,1}.\cdot.-hc_{1,1}-h$

果,–.

$.\cdot$

$j$

.

$h$

$c_{N,N}.\cdot.-hc_{1,N}-h)$と置くと $C$ (h) は次の 4 つの型のいつれかてある (補題を使う)(1) $(+)^{2}(-)^{n}(0)^{N-n-2}$ ,(2) $(+)^{2}(-)^{\mathrm{n}-1}(0)^{N-n-1}$ ,(3) $\langle+)^{1}(-)^{n}(0)^{N-n-1}$ ,(4) $(+)^{1}(-)^{n-1}(0)^{N-n}$ .
$N\mathrm{x}N$

行列

$A$を
$A_{:\dot{o}}=\{$

0$(i=j\text{の時})$,$c_{1^{-}j},-\overline{\alpha’}E’-\overline{\beta’}$$(i\neq j\text{の時})$,, で $b$ り, $i\neq j$ てあれぱ
この時果,i$-1$ のいづれかが成り立っている事に注目すると, またけの成分は 0 または 1 のいすれかてある事が解る. 従ってと定義する.

$= \frac{1}{d-\beta}$$c_{i,j}.=, \frac{\alpha’}{\alpha-\beta}$$=, \frac{\alpha’}{\alpha-\beta},$$c_{i_{\dot{O}}}=\overline{\alpha}’\underline{E}_{\frac{\prime}{\beta}},$$A$$c$, $( \frac{\beta’}{\alpha’-\beta’})=A-(,\frac{\beta’-1}{\alpha-\beta},)I$

は $A$ の固有値て重複度は少なくとも N-n-2が成り立つ. 従って
置くとある事が解る. $A$ の成分は 0 又は 1 なのて は代数的整数である. もし整数てないとする
ははとその共役と異なりしかも $A$ の固有値てなけれぱならない. そうすると$C$ ($C$のある固有値となる.
h) は(h) 0 と異りかつ重\sim 度が少なくとも N–n–2
上記の 4 つの型のいづれかであるから N–n–2 $\leq n$ てなければならない. 従ってもしと置く, は整数てなければならない.
$N>2n+2$ が成り立つならぱ’$\lambda=,\frac{\beta’-1}{\alpha-\beta},$$\lambda$$\xi$$\lambda$$\lambda’$$\lambda-\lambda’$$\lambda$$A_{\frac{-1}{-\beta}=k-1}’d$$\lambda=l_{-\beta}^{-1}$と$E=L’,- \alpha\alpha-\frac{1}{1,\prime}=\frac{k-1}{k}$を得る. 次に$C(_{\alpha}^{\mathit{4}}, \frac{\prime-2}{-\beta}, +\frac{1}{2})$を考えると,$2A-(J-I)=2C(, \frac{\beta’-2}{\alpha-\beta}, +\frac{1}{2})+$(2k-1)Iが成り立つ. ここは全ての成分が 1 てある行列てある. 従って $B=2A-(J-I)$ の固$1\leq i\leq N$ で $\mu_{i}\geq 2k-1$ を満たすものの個数は少なくとも $N-n$ てあることが有値解る. 一方 $B$ の対角成分は全て 0 てありそれ以外の成分は 1 または -1 のいつれかてある$\text{て}J$$\mu_{i},$のて$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(B)=0=.\sum_{1=1}^{N}\mu_{i}$,$N(N-1)= \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(^{t}BB)=\sum_{i=1}^{N}\mu_{i}^{2}$

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を得る.

これらの等式と $N>2n+2$ であることより$k< \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{n}{2}}$を得ることがてきる.のベクトル
次に $X$ がの超平面にのっている時超平面は用いて <a, $\mathrm{x}>=a$ と表すことがてきる. この時次のことが解る.
$\mathrm{R}^{1,n-1}$$\mathrm{R}^{1,\mathrm{n}-1}$の時は問題を合に帰着てきる.

$(1)<\mathrm{a},$$\mathrm{a}><0$(2)$\mathrm{a}>>0$$<\mathrm{a},$$\mathrm{H}^{n-2}$の 2-距離集合 $X_{i}’|X’$ 」 $=N,$の時は問題をユークリッド空間$\mathrm{R}^{n-1}$$\{||\mathrm{x}’-f||^{2}|\mathrm{x}’, \mathrm{y}’\in X’, \mathrm{x}’\neq\gamma\}=\{-\alpha, -\beta\}$$\mathrm{R}^{n-1}$$(3)<\mathrm{a},$の普通のノルムてある.
$\mathrm{a}>=0$の時は問題をユークリツド空間$\{||d-\mathrm{y}’\lfloor|^{2}|\mathrm{x}’, \mathrm{y}’\in X’, d\neq \mathrm{y}’\}=\{-\alpha, -\beta\}$$\mathrm{R}^{n-2}$$\mathrm{a}\in$$A(X’)=$$\{$と実数$a$\mbox{\boldmath $\alpha$},の場$\beta\}$をの球面上の 2-距離集合 X’, $|X|=N$ ,の場合に帰着てきる. ここて|は$|||$$\mathrm{R}^{n-2}$の 2-距離集合 $X’,$の場合に帰着てきる.

$|X’|=N$,|

ここて $|||$ はの普通のノルムてある.

以上, 双曲空間の \mbox{\boldmath $\nu$}距離集合に関する Larman-Rogers-Seidel 型定理の証明を彼等の方法と全く平行におここなうことによって証明てきた.

$\mathrm{I}\mathrm{I}$. 連結な強正則グラフの場合連結な強正則グラフすなわちクラス 2 の対称な原始的アソシエーションスキームを球面上に埋め込むことによって 2-距離集合を作ることがてきるが, この場合 は距離の 2 乗の比$|^{\dot{_{1}}}$がアソシエーションスキームの指標表から自然にすぐ得られることが解る.

をクラス 2 の対称な原始酌アソシェーションスキームとする.の$A_{2}>$ の原始ペキ等元による基, A2 としボーズメスナー代数 <A0,
底を {, E2} とする. さらに の第 1 固有行列 (指標表) を $P$ , 第 2 固有行列? とすとしを $X$ て添字付ておく. ここて $|X|=N$ てある.の階数をる.
をのの標準基底とする. この時 $X$ はにより次元部分空間に埋め込まれる.
すなわち $|\{E_{1}.\mathrm{e}_{x}|x\in X\}|=N$
を $X$ と同一視する事にする. この時 $X$の点の間の内積は $(x, y)\in R$. てあれば
$X=(X, \{R_{i}\}_{0\leq:\leq 2})$

隣接行列を
$E_{0},$$E_{1}$$A_{0},$$X$$A_{1}$$A_{1},$$X$$E_{1}$$Q$$\mathrm{R}^{N}$$\{\mathrm{e}_{x}|x\in X\}$$m_{1}$$\mathrm{R}^{N}$$E_{1}$.

$(E_{1}.て与えられる. 従って $X$ は$\mathrm{R}^{N}$$m_{1}$$\{E_{1}\mathrm{e}_{l}|x\in X\}$

\mathrm{e}_{x}, E_{1}\mathrm{e}_{y})=E_{1}(x, y)=\frac{1}{N}Q_{1}Q)$$R^{m_{1}}$の球面上の 2-距離集合となっている. 指標表は

$P=(\begin{array}{lll}1 k l1 \theta -\theta-11 e -e-1\end{array})$の形に表されるのであるが, この時次の定理が成り立っ.

157$\frac{\overline{\mathrm{g}}\text{理}(\mathrm{B}-\mathrm{B})[31}{X\text{の},\Xi_{\backslash }fs\text{る}2f_{4}\backslash \Xi}$

間の距離を $a,$$b,$$b>a>0$ とすると次が成り立つ.
$K=-e,$$K=e+1$ ,$( \frac{a}{b})^{2}=\frac{K-1}{K}$とおくと$e<0\text{の時}$$e>0\text{の時}$.てあれば は整数になることが知られている. したがっ注意上記定理においててその時は $K$ は整数てある. Larman-Rogers-Seidel の定理に言う距離の 2 乗の比は指標表の値て上記の様に記述することができる. これらの例の中には $N\leq 2m_{1}+3$ となる (すなわち Larman-Rogers-Seidel の定理の仮定を満たさないが比は整数比となる) ものも多数含$m_{1} \neq\frac{N-1}{2}$$e$

まれている.

References[1] Etsuko Bannai, On 2-distance sets in Hyperbolic space, preprint.
[2] E. Bannai and E. Bannai, On Euclidean tight 4-designs , preprint.
[3] E. Bannai aixd E. Bannai, A note on the spherical embeddings of stfongly regular graphs,preprint.
[4] L. M. Blumenthal, Theory and Applications of Distance Geometry (Oxford, 1953).

[5] D. G. Larman, C. A. Rogers and J. J. Seidel, On twO-distance sets in Euclidean space,Bull London Math. Soc. 9(1977) 261-267.