数理解析研究所講究録 1374 巻 2004 年 79-88

73

Segre-Thom 多項式について
亨鹿児島大学理学部 (Toru Ohmoto, Kagoshima Univ)

大本要旨 : 正則写像 $f$ : $Marrow N$ のある型の特異点集合 (例えばベクトル束の間の写像の r-th

degeneracy loci) の基本類を “写像の Chern 特性類” 果 (f) 果 $(f^{*}TN-TM)$ の “universal
な” 多項式で表す,- というのが (写像の特異点に対する) Thom 多項式です 1 一方, 基本類
だけでなく, 特異点集合の位相的な量として, たとえばその Euler 標数などいろいろ考$=$えられます「 これらと特性類 $c(f)$ とは関係はないでしょうか ?— これが今回の話題の内容です。 主定理の主張は標語的に述べれば次のようになります :「写像の特異点集合の “Segre 型特性類” は$c(f)$の普遍多項式 (Thom 多項式型表示) で表される.」とくに系として, 特異点集合の Euler 標数は,

$c(f)$のある普遍多項式 (に $c(TM)$ を掛けたものの degree) で表される一つまり Chern 特性類による普遍的な表示があるーことが分かります,この普遍多項式—

暫定的に “Segre-Thom 多項式” と呼ぶ類」 として定義されます.

これは, より一般論であるところのを許す) 代数多様体に対する $G$ -同変 Chern 類” (cf.

1

はある種の 「同変 Segre

—

“ $G$

-作用を伴う (特異点[7]) の一つの応用です

写像の特異点型に対する Thom 多項式

1J

Riemann-Hurwitz 公式: $Marrow N$ をコンパクト Riemann 面の間の全射正則写像とします $M$ の各点 $x\in M$
に対して分岐指数が定まります (つまり写像芽 : ( M, )( $N,$ (x)) が適当な座標
$f$

$f$

$e_{x}$

変換で$t\mapsto t^{e_{x}}$$x$$arrow$$f$と表される, あるいは $e_{x}=1+\mu(f, x)$ (ここで $\mu(f,$ $x)$ は Mflnor 数)$)$

Milnor 数 $\mu(f, x)=e_{x}-1$ を $M$ 上で “積分” すると,$\sum_{x\in M}$(e$x-1$ ) $(= \int_{M}\mu(f)d\chi)=\deg f\cdot\chi(N)-\chi(M)$が成り立つ, というのが Rimann-Hurwitz 公式でした. ここで,的写像度,$\chi(*)$

は Euler 標数です,$\deg f$(1)
は写像 $f$ の位相80$\mathrm{M}\downarrow$$\mathrm{N}$(1)$\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{m}=1$

case

さて, (1) の右辺は次のようにも表せます :$\deg f\cdot\chi(N)-\chi(M)=c_{1}(TN)\wedge f_{*}[M]-c_{1}(TM)\wedge[M]=c_{1}(f^{*}TN-TM)\wedge[M]$.

ここで, ベクトル束の $K$ -群の元 $E-F$ の Chern 類とは $c(E-F)=c(E)$$c(F)^{-1}=$$(1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdot)/(1+c_{1}(F)+c_{2}(F)+\cdot)$ のことです-source) が -特異点型の Thom 多項式$Tp(A_{1})$ と呼ばれるものです
とくにが generic– 退化特異点 ( -型) のみ有する)(つまり, 標準形がらば,-特異点の個数が位相的不変量 (virtual normal
bundle の Chem 特性数) で勘定できるわけです 1
実は (1) の右辺に相当する $c_{1}=c_{1}$ ($f$$t\mapsto t^{2}$

1.2$A_{1}$$f^{*}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}$$-f\mathrm{X}$$\ni \mathrm{f}$$A_{1}$$A_{1}$

カスプ公式: $Marrow N$ をコンパクト複素曲面の間の全射正則写像とします $(\dim M=\dim N =2)$
および A2-特異点型のみ有するものとします (上図右)の特異点の局所形として,それらの標準形は以下のものです :
$f$

$f$

$A_{1}$$A_{1}$: $(x, y)\mapsto(u,v)=(x^{2}, y)$ ,A2 : $(x, y)\mapsto(u, v)=(x^{3}+yx, y)$ .

$\mathrm{M}$$\mathrm{N}\downarrow$(2) $\dim=2$ case$f$の$A_{1}$-型の特異点集合の閉包をの特異点集合の閉包を$\overline{A}_{2}(f)$$\overline{A}_{1}$(f) とし (今の場合,$M$とします ( $M$ 上の有限個の点)上の非特異曲線) , A2-型
$i:\overline{A}_{i}(f)arrow M$

を自然な

81
このとき,

入射とします$c_{i}=c_{i}(f^{*}TN-TM)$$i_{*}[\overline{A}_{1}(f)]=c_{1}\wedge[M]$が成り立ちます (R. Thom, 1955),と略記して,

前者の$c_{1}$

は前出の $Tp(A_{1})$ そのものであり, 後者の$c_{1}^{2}+c_{2}$は A2-特異点型の Thom 多項式 $Tp(A_{2})$ です

1.3

Thom-Porteous 公式” 特異点型” として 1-ジエット$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$($\mathrm{C}^{n}.,$$\mathrm{C}$点集合) を考えましょう. つまり, 標準形
$f$

(2)

$i_{*}[\overline{A}_{2}(f)]=(c_{1}^{2}+c_{\nearrow 2})\wedge[M]$p) の軌道$\Sigma^{i}$(1 次 Thom-Boardman 特異$\{\begin{array}{ll}E_{n-i} O_{\mathrm{n}-i,i}O O\end{array}\}$の(左右) 軌道が$\Sigma^{i}$です: $M^{n}arrow N^{p}$ に対して, \Sigma i-型の特異点集合は$\Sigma^{i}(f)=\{x\in M|\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}df_{x}=i\}$です- 多様体間の正則写像でなくとも, ベクトル束の間の写像 $h:Earrow F$ を考えても同様

1-ジェットの階数 で表せば,$=n-r$ に注意しておきます、 $f$ が適当な意味で generic であれば, [(f)] の $M$ における Poincare’ 双対は, Thom-Porteousです$i=\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}$$r$$\overline{\Sigma}^{n-r}.$公式と呼ばれる次の形の Schur 多項式 $((i,j)$ 成分が %-r-i+j(f) で与えられる $(n-r)$ 次正方行列の行列式で与えられます :$(\Delta_{(p-r)^{(n-r)}})$$Dual\circ i_{*}$ $[1^{\cdot}n-r(f)]=\triangle-r)(n-r\rangle=(p\det\{\begin{array}{llll}\phi-r \%-r+1 \%+n-2r-1\%-r-1 \%-r \mathrm{q}_{-n+2r-2}\vdots \vdots \ddots \vdots\%-n+1 \%-.n+1 \%-r\end{array}\}$特異点型$\overline{\mathit{5}_{\lrcorner}}^{\neg\cdot n-r}$(C$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{C}^{n},$$\mathrm{C}^{p})$) に対する Thom 多項式 $Tp(\Sigma^{n-r})$ とはこの Schur 多項式を指します,1.4

Thom 多項式

いろいろと例を挙けてみましたが, ここで Thom 多項式の定義 (存在定理) を述べておきます, ここで,ホモロジー 1に対して,$M$がコンパクトでなければ, 考えるホモロジー群 $H_{*}(M)$ は Borel-Moore.

(局所有限無限チェイン群のホモロジー) を用います 写像 $f$ : $M^{n}arrow N^{n+k}$$k\in \mathrm{Z}$を $f$ の map-codimension と呼ぶことにします

写像の特異点に関する用語の説明は定理のあとに補足しておきます
1 局所コンパクトな $M$ に対しては,もよい.

1 点コンパクト化の相対ホモロジー$H_{*}$( $M\cup\{pt\},$ {pt}) と言って

82
Theorem 1J (R.

$Thom_{f}$cf. Feh\’er-Rim\’anyi [2], Kazarian[4p$l\eta$を map-cod

異点型とするとき, つぎの普遍性を有する重み付き同次多項式 $Tp$ (\eta )(c1が唯一つ存在する:任意の $ma’ pping$-codimension( $M,$ $N$ は複素多様体) に対して, 次が成り立つ :$=2\prime i)$

$k$

$M$

とは,

$Tp(\eta)(c(f))$に$Tp(\eta)$$\mathrm{c}_{i}=$$\cdots$

)(

の K-特

$c_{i}$の重みの generic 写像 2 $f$ : $M^{m}arrow N^{m+k}$$i_{*}[\eta(f)]=Tp(\eta)(c(f))\wedge[M]$ここで,$c_{2},$$\rangle$

$k$

.

(3)

果 (f) $=$ 果 $(f^{*}TN-TM)$ を代入して得られるのコホモロジー類を指す(1) 写像の特異点論から少し.

(0) に写す正則同型(0) を・写像芽 $f,$ : \sigma , $0)arrow(\mathrm{C}^{n+k}, 0)$ が K-同値であるとは,
の
は
ただし
(
正確には
$f^{*}m_{n}=\varphi^{*}g"
m,$
,
があるとき
芽 :(Cn, )を満たす座標変換とが A-同値であるとは,極大イデアル) にいいます、があるときにいいます。 と が A-同値てあれば K-同値でもあります、$0$$\varphi$$\varphi,$$\mathrm{r}$$f^{-1}$$g^{-1}$$($$g$$arrow(\mathrm{C}^{n}, 0)$$O\mathrm{c}^{n},0$$m_{n}$$g=\tau \mathrm{o}f\mathrm{o}\varphi$

$f$

$g$

$f$

$g$

$\tau$と行列値正則写像-同値であるとは, 「正則同型芽: (Cn, )芽 $A$ :
( $GL$ (n, ), $A($ 0)) があって, $g(x)=A$ ( x). $f$ (\mbox{\boldmath $\varphi$}(x) が成り立つ」 とも言い全体からなる群を換えられることが分かります. そこで, 写像芽の組
の
で表します
r
l-ジェット全体のなす群をで表します
写像芽 $f$ と$g$が$\varphi$$(\mathrm{C}^{n}, 0)arrow$$arrow(\mathrm{C}^{n}, 0)$$0$$\mathcal{K}$$\mathrm{C}$$\mathcal{K}(=\mathcal{K}n,n+k)$$(\varphi, A)$$\mathcal{K}^{l}$$\mathcal{K}$が K-特異点型というのは, あるジエット空間) の中にある K\subsetneq , ユヤ’-不変代数(Cn,
的閉集合 (たとえば として
n+k-軌道の閉包あるいは軌道の族 (モジュライ) の閉包)$\mathrm{C}^{n+k}$$J^{l}$$\bullet$$’\eta$K.ln,$\eta$を意味することとします。
$\bullet$$\mathrm{r}_{n}\leq m$$\cdot$$.\eta(\subset J^{l}(\mathrm{C}^{n}, \mathrm{C}^{n+k}))$のとき, 自然な入射$J^{l}$(Cn,$\mathrm{C}^{\mathrm{n}+k}$)$arrow J^{l}$(Cm,$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}’\eta$$\mathrm{C}^{m+k}$で表します.

) は任意の Km,m+k-軌道に横断的」 であることが分かります. そこて $\eta(m):=\mathcal{K}_{m,m+k}.\eta$ として, $\{\eta(m)\}_{m>n}$ を総称しので表します- とくに,) の中ての余次元は $m$て, 単に -特異点型(Cm,です,に依らす一定$\eta(\prime m)$$\mathcal{K}$$|\eta$.

の余次元を$J^{l}$$\mathrm{C}^{m+k}$$(=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim\eta)$$\mathcal{K}$-特異点型$\eta$(in$’\eta$とおきます.
$(s=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim\eta)$$J^{l}$(Cn,$\mathrm{C}^{n+k}$)) と(f) $:=$ { $x\in M|$$\eta(f)$J$f$: $M^{m}arrow N^{m+k}(m\geq n)$ に対して,(using coordinate systems)}$f_{x}\in\eta(m)$は $M$ の解析的閉集合となるのてホモロジー基本類 $[\overline{\eta}(f)]\in H_{m-s}(M)$を持ちます.

(2) 定理の証明 (要点だけ列挙) :・多様体間の写像$f$: $Marrow N$ が $N$ の余次元$s$の閉部分多様体 $W$ (あるいは既約解析的閉

集合) に横断的であれば,Dual $[f^{-1}(W)]=f^{*}[W]\in H^{s}(M)$ .

2 写像 $f:Marrow N$ が generic とは, 十分高い l- ジエット拡大
各 strata) に横断的てあることを指す.

$j^{t}f$:$Marrow J^{l}$(TM, $TN$ ) が$\overline{\eta}(M, N)$(の83が自明になるような ( 次元) 概複素ベクトル束を取ってくる:(TM, $TN$ ) の代わりに, $J^{l}(TM\oplus\tau, TN\oplus\tau)$ を考え, -ジエット拡大$\circ TM\oplus\tau$$J^{l}$$TM\oplus\tau\simeq\epsilon^{n+s}$

$s$

$l$

$j^{l}(f\cross id)$$j^{l}f$

.

の代わりに

を考える.

・以下の可換図式. ここで,$G=\mathcal{K}^{l},$( $EGarrow BG$ は $G$ の普遍主束)$V=J^{l}(n+s, n+s+k),$ $B$ v $:=V\cross_{G}E$ G,$J(\epsilon^{n+s}, T|N\oplus\tau)$$B_{\eta}:=\eta \mathrm{x}cEG$$arrow\overline{\rho}$$B_{V}$$\supset$$B_{\eta}$$\sim$$BU(n+s)\mathrm{x}BU(n+s+k)$$j(f\cross id)\nearrow$$\downarrow$$\downarrow$$1\cross f$$M$$arrow$

特にこのとき,2$-^{\rho}$$M\mathrm{x}N$$\eta(f)=(\overline{\rho}\mathrm{o}j(f\cross id))^{-1}B_{\eta}$$B_{G}$.

Segre 型特性類

特異多様体 $V$ には一般に Poincare’ 双対が成り立ちません. 特異点を有する $V$ の特性を調べるのには, blowing-up や smoothing などの操作で $V$ を適当に “ 良い空間” に置き換えて, そこでの情報を $V$ に還元する,というのが一般的な処方箋だと言えます. 矢印の向きを見れば, pull back でな <pushforward, specialization...etc を考えたくなるのが自然であって, そのため, 特異多様体 $V$ の “特性類” は, コホモロジーではなく, ホモロ
ジー (あるいはチャウ群) の中に与えます$\mathrm{X}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} k\mathit{0})$blowing-up$\downarrow$$\mathrm{X}-\mathrm{X}_{\mathrm{t}}$一例として: ある “特定の種類の blowing-up”$p$specialization,
localizafion ...etc: $V’arrow V$ を考えて, $V’$ のある種のコホモロ

ジー特性類 (便貴上これを $cl$ (V’) と記す) を取り, それを $V’$ の基本類とカップリングして$V’$のホモロジー類に置き換えて $V$ へ pushforward したもの $d_{*}(V):=p_{*}(cl^{*}(V’)\cap[V’])\in$$H_{*}(V)$を “ $V$ の $d$ 特性類” と見なすの “接束のようなもの” をどのように設定するか」 によって, 様々なホモロジー特性類 $d_{*}(V)$ が現れることになります,
つまり, 「特異点の何を見るか」 あるいは
以下で,$\lceil V$

3 種類の Chern ホモロジー特性類,
加 lton 標準類$c^{J}$(V), Chern-Mather 類$C^{M}$( V),

Chern-Schwartz-MacPherson 類 $C^{SM}(V)$84を与えます (3 つとも Fulton [3] に載っている)はすべて一致します型) 特性類

また, おのおのに自然な形で対応する Segre-型 (“$|$( V, $M$ ),$s^{F}$

これらは非特異既約多様体 $V$ に対して$s^{M}$( V, $M$ ),$s^{SM}$$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$inverse”( V, $M$ ) を考えます 1

ベクトル束の Chern class と Segre class2.1

階数 の複素ベクトル束 $Earrow X$ に対して, その射影化を $p:P(E)arrow X$ とし, その全空間上の標準 line bundle $O_{P(E)}(1)$ (toutological line bundle $O_{P(E)}(-1)$ の双対) と完$n$

全系列$0arrow Karrow|p^{*}Earrow O_{P(E)}(1)arrow 0$を考えます.

$t=c_{1}$(OP(E)(l))(Eder 類) とおくと,$t^{n}.+p’ c1(E)t^{n-1}.+\cdots+p$で与えられるものです

$|$

$E$

の Chem 類果 $(E)\in H^{2i}(X)$ とは,”cn(E) $=0$$\in H^{2n}(X)$

全 Chern 類とは $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots+$ ら (E) のことでした.

ベクトル束 $E$ の Segre 類とは,
$s_{i}(E)=$ 果 $(-E)\in H^{\mathit{2}:}(X)$

で与えられます (つまり, 全 Segre 類 $s(E)=1+s_{1}(E)+\cdot$ . が $c(E)s(E)=1$ で与えら
れる)

これは,
$s_{i}(E)\cap[X]=p_{*}(t^{n-1+i}.\cap[P(E)])\in H_{2(n-i)}(X)$を満たします (代数的なカテゴリーで話しを進めるのなら, ホモロジー. コホモロジーを
ホ
チャウ群 $A_{*}(X)$ , (operational) チャウ環 $A^{*}(X)$ , に置き換える. 以降も, 単にモロジーで記してお <. Segre 類の定義には $c(E^{*})^{-1}$ で与える流儀もあるが, Pulton 等$|$$(\text{コ})$に従い上記の形とした.)

2.2
$X$

Segre covariant class & Fulton’s canonical class
を $n$ 次元の既約代数多様体 (irred. quasi-projective scheme).

$I(\subset \mathcal{O}_{X})$で与えられる部分多様体 (closed scheme) とします,$V$$V(\subset X)$

を idealの法錐の射影化を$D=$ Proj $(O_{X}/I\oplus I/I^{2}\oplus I^{2}/I^{8}\oplus\cdots)$とおきます。 つまり $V$ に沿った (
$D$

による)

blowing-up $X’arrow X$ の例外因子が ですriant 類とは,の 次 Segre coの既約因子の次元は $n-1$ です ( $X$ の中の)
$I$

$D$

$V$

$i$

$s:(V, X)=|p_{*}(c_{1}(\mathcal{O}_{D}(1))^{n-1-i}\cap[D])\in H_{2:}(V)$85
で与えられます全 Segre covariant 類は$s$(V, $X$ )$=\Sigma s_{i}$( V, $X$ ) です、

ambinent spac.e $X$ が非特異の場合を考え, $M$ で記すことにします この場合,
便宜上, Segre covariallt 類を(V, $M$ ) $:=s$ ( V, $M$ ) と書くことにします. 特異多様体の Fulton の標準類 (canonical class) $F$ ( V) とは, Segre covariant 類に $TM$ の Chern 類
以降,$\mathrm{t}$$s^{F}$$V$を掛けたものとして定義します :$c_{*}^{F}(V):=c(TM|_{V})\wedge s(V, M)\in H_{*}(V)$$c^{F}$(V) は埋め込み $Varrow M$ に依らないことが証明できます (cf. [3] page 77)

定義からあたりまえですが,$s^{F}(V, M)=c(TM|_{V})-1\wedge c_{*}^{p}(V)$であることに注意しておきます

とくに,

$V$

も非特異であれば, $\nu(=TM|_{V}-TV)$ を法束として,$c(\nu)s$2.3$n$

F $(V, M)=[V]$$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}- \mathrm{E}^{1\int}$

,

つまり,

$s^{F}$( V, $M$ ) $=c(-\nu)\cap[V](=s(\nu)\cap[V])$ .

Chern-Mather class次元非特異代数多様体 $M$ の $m$ 次元既約部分 (特異) 多様体 $V$ を考えます 接空間$TM$ の $m$-次元線形空間全体がなすグラスマン多様体を $G_{m}$ (TM)全体

$V_{reg}$は, このグラスマン多様体の中への embeddingを持ちます

その closure を$\hat{V}=\overline{\phi(V)}$

$V$

の非特異点

: $V_{Reg}\mathit{3}X\mapsto TV_{x}\in G_{m}(TM_{x})$とおくと, 図式$\hat{V}$$\subset$$p\downarrow$$V$$\varphi$

とおくと,$G_{m}(TM)$$\downarrow$$\subset$$M$の Nash blowing up と呼びますを:(TM) 上には $m$ 次元とおtoutological vector bundle があるので, これを 上に制限したものをき, Nash tangent bundle と呼びます, あとはお決まりの手順で,を得ます$\hat{V}arrow V$

$p$

$V$

$G_{m}$$\hat{V}$$\overline{TV}:=\xi|_{\hat{V}}$$\xi$$C_{i}^{M}(V):=p_{*}(u_{-i}(TV)\wedge[\hat{V}])\in H_{2i}(V)$により,次 Chern-Mather 類が定義されます( V) とおきます、(V) は非特異多様体 $M$ への $V$ の埋め込み $Varrow M$ に依らないことが証明できます(cf. [3], page 79)の Segre-type Mather 類を次で定義します :
便貴的に,
$V$

の

$i$

$C^{M}(V)=\Sigma C_{i}^{M}$$C^{M}$$V$$s^{M}(V, M):=c(TM|_{V})^{-1}\wedge C^{M}(V)\in H_{*}(V)$86(V} $M$ ) との関係は, Fulton 標準類と Segre cOvariant 類の関係との類似であることに注意しておきます 3

Chern-Mather 類とここで定義したSegre-型 Schwartz-MacPherson class

2.4
$V$

$s^{M}$の各点 $x\in V$ に対して, ある局所不変量 $Eu_{V}(x)\in \mathrm{Z}$ を対応させる関数が local

でです (cf. [5])の有限個の既約部分代数多様体
Euler obstruction $Euv$ :の Whitney stratification $V=\cup S_{reg}$ を与えるものが取れ, $1_{V}=\Sigma_{S}n$sEus と一意的$V$

$Varrow \mathrm{Z}$$S_{i}$$V$に表されることが知られています そこで,
$C^{SM}(V):=C^{M}(V)+ \sum_{S}n_{S}C^{M}(S)$により, $V$ の Chern-Schwartz-MacPherson 類を定義します (cf. Schwartz [9], MacPherson[5], [1]$)$. Mather 類が埋め込みに依らぬであることより$C^{SM}$( V) は $V$ の埋め込み $Varrow M$の取り方に依りません.
とくに,$\mathcal{F}(X)$を代数多様体 $X$ 上の構成的関数全体がなすアーベル群とすると,既約部分多様体 $V$ (自然な入射を$i_{*}C^{SM}(V.)\in H_{*}(X)$$i$: $Varrow X$ ) 上の定数関数を対応させることで,$1_{V}$に対して,Chern-MacPherson 変換$C_{*}:$$X$の$C_{*}(1_{V})$:=$\mathcal{F}(X)arrow H_{*}(X)$

これは自然性 $C_{*}f_{*}=f_{*}C_{*}$ を有し, また $X=M$ (非特異多様体) の場合,
$C_{*}(1_{M})(=C^{SM}(M))=c(TM)\wedge[M]$ を満たすものですを得ます

さて, 著しい性質として,$C^{SM}$(V) の 0 次の項は$V$から一点への写像$\pi_{*}C*(1V)$

便貴的に,

$V$

の

$=$

$\pi$

:

$Marrow\{\prime pt\}$の Euler 標数を与えます

を取ると,\sim C,(1V) $=C_{*}( \pi_{*}1v)=\sim 1V(pt)=\int_{M}1Vd\chi=\chi$(V).

Segre-type:( V が既約 (連結) のとき)$\chi(V)=C_{0}^{SM}(V)\in H_{0}(V)\simeq \mathrm{Z}$

実際,

$V$

$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{z}_{-}^{-}$$\blacksquare$

MacPherson 類を次により定義します :$s^{SM}(V, M):=c(TM|_{V})^{-1}\wedge C^{SM}(V)\in H_{*}(V)$$V$

が既約 (reduced) で $m=\dim V$ あるとします、 上記の 3 種類の Segre-type class の

top dimensional part ( $m$-th part) は, 定義より

$V$の基本類に他なりません :$s_{m}^{M}(V, M)=s_{m}^{SM}(V, M)=s_{m}^{F}(V, M)=[V]$3 上記のの代わりに Segre 類を取った( V, $M$ )Chern-Mather 類の定義において, Chern 類
$M$
$M$
(勿論,
を Segre-Mather 類と言う場合があります. 一般に
てす
(
)
V,
( V, )$p_{*}(s(\overline{TV}*)\wedge[\hat{V}])$$V$.

が非特異てあれば同じ)$S^{M}$$c(\overline{TV})$$S^{M}$$\neq s^{M}$

$:—$

87
3

Segre 類に対する Thom 多項式定理
本講の主定理はつぎのものです 1

Theorem 3.1$l\eta$を map-codの$k$$\mathcal{K}$-特異点型とし,$s=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim\eta$とする. このとき,

つぎの普遍性を有する多項式の系列$s^{SM}( \eta)=\sum.s_{j}^{SM}(\eta)(c_{1}, c_{2}, \cdots)\infty$$j=s$

が唯一つ存在する : 任意の$‘ {}^{t}gene$ri

写像 $f$ : $M^{m}arrow N^{m+k}$$c^{\prime f}$( $M,$$N$

は複素多様体) に対して, 次が成り立つ :$i_{*}s^{SM}(\eta(f), M)=s^{SM}(\mathrm{y}\mathrm{y})(c(f))$$\wedge[M]$,Remark 32 (1) $(*)$ は次のように書き換えられます :$i_{*}CSM(\mathrm{y}\mathrm{y}(f))$(ここで,$s^{SM}$(\eta )(c(f)) とは,$=c(TM)s^{SM}(\eta)(c(f))\wedge[M]$ .

$s^{SM}$$s^{SM}$(\eta ) の最小次項は$s^{SM}(\eta)=s$j$.\eta$$M(\mathrm{y}\mathrm{y})$(\eta ) に $c_{i}=\mathrm{q}.(f)=c_{i}(f^{*}TN-TM)$ を代入して得ら$i:\eta(f)arrow M$ は自然な入射を表す.)

れる $M$ のコホモロジー類を指し,
とくに,$(*’)$のTh $om$ 多項式に他ならない :$+\cdots=Tp(\eta)+\cdots$$(s=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim\eta)$.

(2) Segre-Mather 類 (Chern-Mather 類) あるいは Segre covariant 類 (Fulton 標準類) に対しても上記の定理と同様な結果が成り立つ.

Corollary 33 を map-cod の -特異点型とする. このとき, 任意の l‘generic” 写像の Euler 数は次の表示をもつ :型特異点集合: $M^{m}arrow N^{m+k}$ に対して,$k$$\eta$$f$$\mathcal{K}$$\eta(f)$$\eta$$\chi(\eta(f))$$= \int_{M}c(TM)$. $s^{SM}(\eta)(c(f))$

$m$

$=$

$Ec_{j}(TM)s_{m-j}^{SM}(\eta)(c(f))\wedge[M]$$j=$

Example 34
larity$\eta$

として 1-jet spaceo$J^{1}$(m, $m+k$ ) $=Ho$m(Cm,$\mathrm{C}^{m+k}$) の中の rank singu-$\Sigma^{i}-=\{h\in J^{1}(m,m+k)|\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}h\geq i\}$とします rank が $m,$ $m+k$ であるベクトル束 $Earrow M,$ $F$ \rightarrow M の間の束写像 $f$ : $Earrow F$の degeneracy loci
に対して,
$l$

$f$

$\Sigma^{t}(f)=\{x\in\#|\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_{x} :E_{x}arrow F_{x})\geq i\}$

88
Segre 類を底空間 $M$ のコホモロジー類とみなしたもの ( (f), $M$ ) は, ( に依存しない) ’universal な多項式(c(f)) で与えられる, というのが上の定理の主張です(最小次項は Thom-Porteous 公式そのもの)
Segre 型 Chem-Schwartz-MacPherson 類
で具体的に計算されています (各項は種々の Schurは, Pamsinski-Pragaczの$i_{*}s$$f$$\overline{\Sigma}^{i}$$s(\Sigma^{i}-)$$s^{SM}(\Sigma^{i})-$$f\mathit{8}q$多項式の和の形になっている)

定理の証明は, Thom 多項式の存在定理の証明をそのまま追うことになりますが, 前章の[7] であると考えます。

参考文献[1] J. P. Brasselet and M. H. Schwartz, Sur les classes de Cherntique complexe, Ast\’erisque vO182-83 (1981), 93-148.

$d$’une ensemble analy-[2] L. Feh\’er and R. Rim\’anyi, Calculation on Thom polynomials for group actions,preprint (2000) , arXiv:math.AG /0009085.
[3] W. Fulton, Intersection Theory, Springer-Verlag (1984)[4] M. E. Kazarian, Thom polynomials, Hokkaido Univ. Tech. Report Series in Math.
n0.78, September 2003 (The 12th MSJ-IRI “Singularity Theory and Its Applications”

Abstracts, 86-118.
[5] R. MacPherson, Chaxacteristic classes of singular algebraic varieties, Ann. of Math.
, vol. 100, n0.3 (1974), 421-432.
[6] T. Ohmoto, Thom polynomial expression for Segre classes of singularity loci of maps,
preprint (2004)[7] T. Ohmoto, Equivariant Chern classes of singular$G- var\mathrm{i}e\mathrm{t}ies_{f}$preprint (2004)[8] A. Parusinski and P. Pragacz, Chern-Schwartz-MacPherson classes and the Euler
characteristic of degeneracy foci and special divisors, J.-Amer.-Math.-Soc. [Journal-of-the-American-Mathematical-Society] 8 (1995), no. 4, 793-817.
[9] M. H. Schwartz, Classes caract\’eristiques d\’efinies par une stratification ’une vari\’et\’eanalytique complexe, C. R. Acad. Sci. Paris t.260 (1965), 3262-3264, 3535-3537$d$