1010円の性質の利用

円の性質の利用3章円５１ 円と相似
右の図のように，AD⫽BC である台形 ABCD が円に内接している。
点 A における円の接線と辺 CB の延長との交点を E とする。このとき，△AEB△ACD であることを証明せよ。
解△AEB と △ACD において，AE は円の接線だから，接弦定理により，∠EAB=∠ACB……①AD⫽BC より，平行線の錯角は等しいから，∠ACB=∠CAD①，②より，∠EAB=∠CAD……②……③四角形 ABCD は円に内接しているから，∠ABE=∠ADC……④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△AEB△ACD

終224 右の図のように，直径 BC を 1 辺とする △ABC が円 O に内接して■□いる。点 A における円 O の接線に C から垂線をひき，接線との交点をD，辺 BA の延長との交点を E とする。このとき，△ABC△DEA であることを証明せよ。

上右の図のように，円に内接する △ABC がある。∠ABC に対する AC 上に点 E を BD⫽EC となるようにとり，AE■□に点 D を，∠BAC に対する BC

225と BD の交点を F とする。このとき，△ABF△ACD であることを証明せよ。

226

右の図のように，円 O に内接する鋭角三角形 ABC があり，

点 A における接線 ℓ は辺 BC に平行である。点 B を通り辺 ACに垂直な直線と，辺 AC，接線 ℓ との交点をそれぞれ D，E とする。接線 ℓ 上にあり，DE=DF となる点で，E とは異なる点を Fとするとき，次の問いに答えよ。
□⑴△ABE△ADF であることを証明せよ。

□⑵∠ACB=63° のとき，∠BDF の大きさを求めよ。

227 右の図のように，2 つの円 O，O' があり，円 O は四角形 ABCD の外接□円で，円 O' は点 A において直線 BA に接している。円 O' が線分 AC，ADと交わる点をそれぞれ E，F とするとき，△AEF△BCD であることを証明せよ。

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3章

円

５２ 方べきの定理
円の 2 つの弦 AB，CD，またはそれらの延長が円周上にない点 P で交わるならば，
PA×PB=PC×PD〔証明〕

点 P が円の内部，外部のいずれにある場合も，同様に証明することができる。
△PAC と △PDB において，∠CAP=∠BDP，∠APC=∠DPB
2 組の角がそれぞれ等しいから，△PAC△PDB
よって，PA：PD=PC：PB
ゆえに，PA×PB=PC×PD

終228

円の外部の点 P からこの円にひいた接線の接点を T とする。P を通り，■この円と 2 点 A，B で交わる直線をひくと，□PT =PA×PBが成り立つことを証明せよ。(これも，方べきの定理である。
)

229

次の図で，x の値を求めよ。ただし，⑸，⑹で，PT は円の接線である。

□⑴
■■
□⑷

BA

□⑵

□⑶

□⑸

■
□⑹

CB

DA

230 右の図は，2 点で交わる 2 つの円の共通な弦 AB の延長線上に点 P■をとり，P からそれぞれの円に接線 PS，PT をひいたものである。この□とき，PS=PT であることを証明せよ。

― 72 ―

0054-0081_1_2021_数BEKI_幾何II_本冊３章.smd Page 1921/08/23 19:29 v3.4010円の性質の利用

５３ 方べきの定理の逆
2 つの線分 AB，CD，またはそれらの延長の交点を P とするとき，PA×PB=PC×PD ならば，4 点 A，B，C，D は同一円周上にある。
〔証明〕 △PAC と △PDB において，PA×PB=PC×PD より，PA：PD=PC：PB
また，∠APC=∠DPB
2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから，△PAC△PDB
よって，∠PAC=∠PDB より，4 点 A，B，C，D は同一円周上にある。 終231 一直線上にない 3 点 A，B，T があり，直線 AB の延長線上の点 P□■から直線 PT をひくとき，PT =PA×PB ならば，PT は 3 点 A，B，T を通る円の接線であることを証明せよ。(これも，方べきの定理の逆である。)

232 2 点 A，B で交わる 2 円がある。線分 AB 上に点 P をとり，点 P□■で交わる 2 円の弦をそれぞれ CD，EF とする。このとき，4 点 C，D，E，F は同一円周上にあることを証明せよ。

233 2 点 A，B で交わる 2 つの円 O，O' がある。線分 AB の延長線上□に点 P をとり，P から円 O に接線 PT をひき，円 O' と 2 点 C，D で交わる直線をひく。このとき，PT は 3 点 C，D，T を通る円の接線であることを証明せよ。

234 円 O の外部の点 P からこの円に接線 PS，PT をひき，弦 ST と□線分 PO の交点を Q とする。また，点 Q を通る弦 AB をひく。
このとき，4 点 A，B，O，P は同一円周上にあることを証明せよ。

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3章

円５４ いろいろな問題
右の図のように，点 O を中心とする半円に長方形 ABCD が内接している。
点 A における半円 O の接線を AT，線分 AO，BD の交点を P とする。
AT⫽BD のとき，AB：AD を求めよ。
解△ABO と △DAB において，∠ABO=∠DAB=90°……①AT⫽BD より，∠APB=∠PAT=90° だから，
∠BAO=90°−∠ABD，∠ADB=90°−∠ABD より，∠BAO=∠ADB ……②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ABO△DAB
よって，AB：DA=BO：AB
ここで，△ABO≡△DCO より，BO=CO なので，
AB=a，BO=b とすると，DA=BC=2b より，a：2b=b：a，a=2b ，a= 2 b
ゆえに，AB：AD=a：2b= 2 b：2b= 2 ：2=1： 2235

AB=7，BC=5，CA=3，∠ACB=120° の △ABC が円に内接している。∠ACB の二等分線と辺 AB，円との交点をそれぞれ D，E とし，直線 EA と直線 BC の交点を F とする。
□⑴■

線分 AD の長さを求めよ。

□⑵■

AF：BF を求めよ。

□⑶■

CD×DE を求めよ。

□⑷■

線分 AF の長さを求めよ。

236

右の図のように，点 P は円 O の平行な 2 つの接線 AB，CD の間にあり，円 O の外部にある。P から円 O にひいた 2 つの接線と AB，CDとの交点をそれぞれ Q，R とする。
□⑴

∠AQP+∠QPR+∠PRC は何度か。

□⑵

PO =PQ×PR であることを証明せよ。

237

右の図のように，四角形 ABCD が 1 つの円に内接し，同時に他の円に点 E，F，G，H で外接している。
■□⑴∠EFH と大きさが等しい角を 3 つ書け。

■□⑵

∠BAD=x とするとき，∠EFH を x を用いて表せ。

■□⑶∠BCD=y とするとき，∠FEG を y を用いて表せ。

■□⑷

EG と FH の交点を P とするとき，∠EPH の大きさを求めよ。

238 2 つの角の和が 180° になるとき，その 2 つの角は補角をなすと□いう。右の図のように，点 T で外接する 2 円と T を通らない直線との 4 つの交点を A，B，C，D とする。このとき，∠ATD と ∠BTCは補角をなすことを証明せよ。

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10239円の性質の利用

右の図において，四角形 ABCD は AB>AD の長方形である。辺 AD上に点 O を OA>OD となるようにとる。OA を半径とする円 O をかき，円 O と CD との交点を E，円 O と対角線 AC との交点を F とする。また，
EO の延長と円 O との交点を G，OA と FG との交点を H とする。
□⑴
■
□⑵
■

△CEF△GHA であることを証明せよ。
：FE∠CEF=84°，AF=3：2 のとき，∠ECF の大きさを求めよ。

240

右の図のように，円 O 外の点 A を通る直線と円 O の交点を B，Cとし，点 A から円 O にひいた 2 本の接線の接点をそれぞれ D，E とする。BC と DE の交点を F とし，弦 BC の中点を M とする。
□⑴

5 点 O，D，A，E，M は同一円周上にあることを証明せよ。

□⑵△AFD△ADM であることを証明せよ。

241 右の図のように，AB=5，BC=12，CA=11 の △ABC におい□て，辺 BC の中点を M，∠BAC の二等分線と辺 BC の交点を D，3■点 A，D，M を通る円と辺 AC の交点を E とする。このとき，円の弦 AE の長さを求めよ。

242 右の図のように，円 O の外部の点 P からこの円に 2 点 A，B□で交わる直線と，点 T で接する接線をひく。また，T から直線 POに垂線をひき，PO との交点を H とする。このとき，4 点 A，H，O，B は同一円周上にあることを証明せよ。

243

右の図のように，1 辺の長さが 2 の正方形 ABCD がある。その対角線AC 上に点 G をとる。G を中心として A を通る円が，AB と交わる点を P，AD と交わる点を Q，QC と交わる点を R とする。
□⑴

∠PRC の大きさを求めよ。

□⑵∠BRC=∠DQC であることを証明せよ。

□⑶

G が A を出発して AC の中点まで動くとき，R はある曲線をえがく。
その曲線の長さを求めよ。

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3章

円３章のハイレベル問題①
★

244

★

245

右の図で，直線 ST は点 A で大きい円と小さい円に接し，大きい円の弦□BC は点 D で小さい円に接している。∠x，∠y の大きさを求めよ。

右の図のように，円に内接する四角形 ABCD の辺 AB，BC，CD の中点□をそれぞれ E，F，G とし，直線 AB と GF の交点を P，直線 DC と EF の交点を Q とする。このとき，4 点 E，P，Q，G は同一円周上にあることを証明せよ。

★

246

右の図のように，四角形 ABCD が円に内接している。このとき，□ AB×CD+AD×BC=AC×BD

ADであることを証明せよ。(トレミーの定理)
B

★

247

C

右の図のように，2 直線 PA，PB が点 A，B で円 O に接している。線分 PA の中点を M とし，線分 BM と円 O との交点を Cとする。また，直線 PC と円 O との交点のうち，C 以外の点を Dとする。

★
★

□⑴

直線 AP は 3 点 P，C，B を通る円に接することを証明せよ。

□⑵

PA⫽BD であることを証明せよ。

248

右の図で，点 O は円の中心，2 点 A，B は O に関して対称な位置にある円□O の内部の定点である。円周上の任意の点を P とし，直線 PA，PB と円 O との交点のうち，P 以外の点をそれぞれ Q，R とする。
このとき，AP×AQ=BP×BR であることを証明せよ。

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3章

円３章のハイレベル問題②
★
★

249

右の図のように，円の周上に 5 点 A，N，B，C，M がこの順にあり，AN

BM，CN はそれぞれ ∠ABC，∠BCA の二等分線である。

P

Q

BM と CN の交点を I，MN と AB，AC の交点をそれぞれ P，Q とす
Iるとき，次を証明せよ。

★
★

□⑴

AP=AQ

□⑶

NP×MQ=IP □⑵

B△ANM≡△INM

C250 右の図のように，△ABC の 3 辺の中点を L，M，N，3 頂点か□ら対辺に下ろした垂線との交点をそれぞれ P，Q，R，3 頂点と垂心A
R

H を結ぶ線分の中点をそれぞれ D，E，F とする。これら 9 個の点Nは同一円周上にあることを証明せよ。(この円を 9 点円という。
)

251

DH

E
B

★
★

M

LQ
M
FCP

右の図のように，円に内接する四角形 ABCD の辺 AB，BC，CD，DAまたはその延長上に，円周上の点 P から，それぞれ垂線 PQ，PR，PS，PTをひく。
□⑴△PQR△PTS であることを証明せよ。

□⑵

BD が円の直径で，PR：RC=3：1，BR：RC=4：3 のとき，△TDC の面積は △QBR の面積の何倍か。

★
★

252

右の図のように，円に内接する四角形 ABCD の辺 BA，E

□CD の延長が点 E で交わり，辺 AD，BC の延長が点 F で交わっAている。このとき，次の等式を証明せよ。

D

EA×EB+FB×FC=EF 
B

★
★

FC

253

左の図のように，△ABC の 3 つの傍接円 O ，O ，O  と辺□BC，CA，AB との接点をそれぞれ D，E，F とする。このとき，3 直線 AD，BE，CF は 1 点で交わることを証明せよ。

AO3O2FBEDC

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3章

円問題１

次の図の ABC において，内心（内接円の中心）を I，辺 BC，CA，AB と内接円との接点をそれぞれ D，E，F とする。また，⑶で頂点 A から辺 BC にひいた垂線と辺 BC との交点を H とする。 ABC の内接円の半径を r cm とするとき，r の値をそれぞれ求めよ。
A⑴
10 cm F

6 cmE

IB

8 cmかA⑵
BI

13 cm DCD

15 cm
E12 cm13 cm
F10 cm
EI12 cm

A⑶

13 cm FBCHDC

14 cm

い：⑴で内心 I と接点 D，Eを結ぶと，ID＝IE で，接点Aを通る円の半径は接線に垂直だから，四角形 IDCEはアFになり，CD＝CE＝r cm と表せるね。

Er
D r C

I

あなた：円外の1点から円にひいた接線の長さは等しいから，
AF＝AE＝（）cm，BF＝BD＝（イAF＋BF＝AB だから，（先イ）＋（B）cmウ）＝10 より，r＝ウだよ。

エ生：円の接線の性質を上手に利用できていますね！ ⑵はどうですか？
ABE で考えます。

まどか：⑵は線対称な図形だから，A135

内心 I は ∠A の二等分線上にあるから角の二等分線の定理より，BI：IE＝AB：
IE＝r cm だから，（かカオBが成り立つわ。

）：r＝13：5 より，r＝キね。

い：角の二等分線の定理より，内心 I は線分 BE を 13：5 に内分するから，比例式をつくらずに，r＝ク13＋5BE＝

ク18×12＝キと求めてもいいね。

ところで，⑵は相似な三角形を見つけても解けるんじゃないかな。
あなた：内心 I と接点 F を結ぶと，

先EI r12ABE∽ケとなるから，AB：

コ＝AE：IF だね。IF＝IE＝r cm だから，13：（サ）＝5：r より，r＝キだね。

A13 F
B12r5I rE

生：対称性に着目して，もとの図形の半分の形で考えるアイデアはいいですね！
線対称な図形では，そのような発想が役に立つことも多いですよ。

かい：⑶は直角三角形じゃないから⑴の方法はダメ，二等辺三角形でもないから⑵の方法も無理だね。垂線 AH が内心 I を通らないと，⑵のようには解けないし。

先生：少し難しいのでヒントです。 ABC の面積を r の式で表してみましょう。

まどか：右の図のように内心 I と頂点 A，B，C，接点 D，E，F をそれぞれ結ぶと，

A

IBC の面積は，

1
1×BC×ID＝ ×14×r＝22と表せるわ。

シ13Fr（cm2）r
Br
Ir
D

15E

14C

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3章

ICA＝

あなた：同様に考えると，

ABC＝ IBC＋＝一方，ソr＝r cm ，IAB＝セ円

2r cm となるから，

ICA＋ IAB

r＋ABC の面積は，れるから，かシス

2ス

r＋セr＝r（cm2）ソ

1
1×BC×AH＝ ×14×12＝22タより，r＝2タ （cm ）と求めら

チい：なるほど。この解法なら直角三角形や二等辺三角形でない三角形についても，面積さえわかれば内接円の半径が求められるんだね。

先生：4章で三平方の定理を学べば，三角形の3辺の長さから高さと面積が求められるので，どんな三角形でも内接円の半径が求められるようになりますよ。

問題２

BC＝a，CA＝b，AB＝c である ABC の面積を S とするとき， ABC の内接円の半径 r を，S，a，b，c を用いて表せ。
A

まどか：こういう問題がいきなり出てきたら難しいと思うけど，問題１ ⑶のあとなら考えやすいわ。
かcい：さっきの図で，14 cm が a ，15 cm が b ，13 cm が c のr
Irr場合だから，右のような図で考えればいいね。
あなた： 問題１ ⑶と同じように考えると， ABC の面積は，BbCa

説明の続きを書こう！❶

この等式を r について解くと，r＝
先ツ生：このように具体的な数でわかったことを文字に置き換えてみると，自分で公式を作ることができますし，公式を忘れても自力でいつでも導けますね。

問題３

右の図のように，円 O がABC の辺 AB，AC の延長線
Eと 2 点 D，E で，辺 BC と点 F で接している。
C

AB＝7 cm，BC＝5 cm，CA＝6 cm のとき，次の問いに答えよ。
⑴
⑵

O6 cm

線分 AD の長さを求めよ。
ABC の面積が 6㲋 6 cm2 になることを利用して，円 OFA

7 cm

5 cm
B Dの半径を求めよ。
先生：円 O をぼう せつぼう しん

ABC の傍 接 円といい，その中心 O を傍 心 といいます。重心，垂心，ご しん

内心，外心，傍心の5つを三角形の五心といったりしますよ。
かい：まずは⑴から。円外の1点から円にひいた接線の長さは等しいことから，
AD＝AE，BD＝BF，CE＝テとなることはすぐわかるんだけど…。

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3章

円

まどか：BD＝BF，CE＝テ

より，次のようになるわ。

AD＝AB＋BD＝AB＋BF
AE＝AC＋CE＝AC＋

あなた：㋐＋㋑より，AD＋AE＝AB＋（BF＋トC……㋑テ＝AB＋E……㋐テ）
＋AC
A＋CAO

Bとなるから，AD＝AE＝x cm とすると，
x＋x＝7＋5＋6 より，x＝ナR cmFDと求められるよ。

かい：すごい。AD，AE の長さの和が ABC の先生：⑵はちょっと難しいのでヒントです。円 O の半径を R cm として，二に等しくなるんだね。
ABC の面積を R の式で表してみましょう。
かい： 問題１ ⑶に似たヒントですね。これも， ABC の3辺をそれぞれ底辺として，円 O の半径 R を高さとする三角形の面積を考えたらいいのかな？

11
まどか： OAB＝ ×AB×OD＝ ×7×R＝22
考えると，

OBC＝

ネ

R cm2，ヌR（cm2）と表せるから，同じように

OCA＝ノR cm2 になるわね。

あなた： ABC＝ OAB＋ OCA− OBC より，説明の続きを書こう！❷となって，R の値が求められました。
先生：よくできました！

一見違う問題に見えても，すでに解いた問題の解法を真似したり発展させたりすることで解けることもあります。このことを見ぬく力が応用力というやつですね。

考えてみよう！ 会話を読んで，次の問いに答えよう。
①②③ア〜

ノにあてはまる言葉や数，式，三角形，線分などを答えよう。

❶，❷に続きを書いて，説明を完成させよう。

問題３ で，BC＝a，CA＝b，AB＝c， ABC の面積を S とします。AD の長さを x，円 Oの半径を R とするとき，x，R をそれぞれ a，b，c，S を使って表してみよう。

＜たすく先生の数学力向上ポイント＞
・線対称な図形では，対称性に着目すると見通しがよくなることがある。
・具体的な数で行っていた作業を文字に置き換えると，自分で公式を導ける。また，公式を忘れてもその場で作ることができる。
・未知の問題であっても，似たような問題の解法を真似したり発展させたりすると解決できることがある。これが応用力の養成につながる。

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3章円◆どこからシュートを打つ？
D

正面が長方形のゴール ABCD から 7.2 m 離れ問題

ゴールN

C

た直線 ¬ 上で，かいさんがボールを蹴ろうとしてAいる。M，N はそれぞれ辺 AB，CD の中点，3 点 P，かいさん

Q，R は直線 ¬ 上の点，点 S は線分 QM 上の点で，QM⊥AB である。ボールの大きさやゴール枠の太S
P

Qさは考えないものとして，次の問いに答えよ。

a°

M
2a°
7.2 mRB¬

点 Q からまっすぐにボールを蹴るとき，蹴る角度が a° 未満であればボールはゴールに⑴入る。また，点 Q から 4.0 m ゴールに近づいて，点 S からまっすぐにボールを蹴るとき，蹴る角度が 2a° 未満であればボールはゴールに入る。ゴールの高さ MN を求めよ。
直線 ¬ 上からボールを蹴るとき，点 P や点 R ではなく，点 Q から蹴った方がボールが⑵ゴールに入りやすい。この理由を説明せよ。ただし，ボールを蹴る地点とゴールの両端のA，B をそれぞれ結んでできる角度が大きいほどゴールに入りやすいものとする。
⑴

図

ゴールを真横から見た，右の図 1 で考えます。

ゴール
N∠SNQ＝2a°−a°＝a° より，SQ＝SN となるから，2点 Q，N は点 S を中心とする半径m の円周上にアあります。この円周と QS の延長線との交点を T とすると，MT＝ST−SM＝
また，∠QNM＝（QMN∽

オイ （m）です。
ウa°
4.0 m

S2a°
3.2 m

MTエ°となり，）°，QT は直径だから，∠MNT＝∠QNT−∠QNM＝がいえるので，QM：NM＝MN：MT が成り立ちます。

よって，7.2：NM＝MN：⑵

Qイ

これを解くと，MN＞0 より，MN＝m です。

カ図

ゴールを上空から見た，右の図 2 で考えます。
∠APB＝b°，∠AQB＝c°，∠ARB＝d° とし，2 点 A，B を通り直線ゴール
AMBb°c°d°PQR¬ に接する円をかくと，直線 ¬ は点 Q でこの円に接します。
点 Q はこの円の円周上，点 P は円外にあるので，c＞

キ

点 R も円外にあるので，c＞

クとなり，点 Q からボールを蹴るときの角度 c° が最も大きくなるので，¬

ゴールに最も入りやすいといえるのです。

考えてみよう！ 上の説明を読んで，次の問いに答えよう。
①ア〜

クにあてはまるものを答えよう。

② 右の図 3 で，AB＝7.2 m，BE＝2.4 m，m⊥AE

図2.4 mゴール
A7.2 mBEです。直線 m 上からボールを蹴るとき，ボールがゴールに最も入りやすい点を F とします。
EF の長さを求めてみよう。

m― 81 ―0054-0081_1_2021_数BEKI_幾何II_本冊３章.smd Page 28

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