数理解析研究所講究録 1374 巻 2004 年 126-140

128

インスタントン分布の理論と 3-接触構造への一般化
待田芳徳(沼津高専)

Yoshinori MACHIDA (Numazu College of Technology)
1

はじめに

R.Montgomery A tour of subriemannian geometries, their geodesics andの中の 6.10, 7.12 において, 非退化なタイプ $(4, 7)$ 分布 $(M, D)$ は,(i) 楕円型, 双曲型に対応して, 階数 4 の分布 上に共形 $(4, 0)$ 型構造, 共形 $(2, 2)$ 型構造を$\lceil$$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\rfloor([\mathrm{M}])$

$D$

定める,

(ii) 自己同型群は有限次元で, 楕円型の場合に最大次元をとるのは, 4 元型 Hopf 束上の基本インスタントン分布の $Sp(2,1)$ である,
ことを示している. ここでは, これらのタイプ $(4, 7)$ 分布の議論を換骨奪胎して, 自分なりに整理,再構築して発展, 応用させることを目的とする. さらに一般化, 高次元化したタイプ $(4n, 4n+3)$分布を考え, 3-接触構造なる概念を定式化することを試みる.
を $n$ 次元多様体とする.

を $M$ 上の階数 の分布, 即ち, 接束 $TM$ の階数
する. $(M, D)$ がタイプ $(k, n)$ の (次数 2 の非ホロノー ) 分布とは,
$M$

$D$

$k$

$k$

の部分束と

$\Delta$$TM=D+[D,$$D$

であるときをいう. ただし, $D$ の切断の芽の層に同じ記号 $D$ を用いた. 非可積分分布のため,$k\geq 2$

像$\Phi$に注意する.

2 つの分布 $(M, D),$ ( M’, $D’$ ) が同型であるとは, $\Phi_{*}D=D$ ’ なる微分同相写: $Marrow M’$ が存在するときをいう.

最も次元の小さいものは, タイプ $(2, 3)$ 分布, 即ち, 3 次元接触構造である. 基本的な性質として, (1) 無限型, (2) 標準形 (Darbou 型), (3) 安定性 (Gray 型) をもつ. 典型的な例
として, (複素型)Hopf 束がある.
自然な一般化, 高次元化は, 一般奇数次元の接触構造のタイプ $(2n, 2n+1)$ 分布であり, 上記の性質や例をもつ.
ここでは, 接触構造の考え方をとり入れた別の一般化として, タイプ $(4, 7)$ 分布を議論し,上記の (1) (2) (3) はもはや成立しないことをみる. 典型的な例である 4 元型 Hopf 束$S^{3}arrow S^{7}arrow S^{4}$ は,標準的な $SU$ (2) 接続によるタイプ $(4, 7)$ 分布をもつ. これを, インスタントン分布といおう. さらに, 高次元化であるタイプ $(4n, 4n+3)$ 分布の有限型, 無限型の幾何構造を, 上記の性質を意識しながら考えていく.
他に, 同じ余階数 3 のタイプ $(2n, 2n+3),$ (3n, $3n+3$ ) 分布などがあるが, ここでは割愛する.
また, 階数 2 の分布としての一般化である Cartan 分布, Goursat 分布も割愛する.

127

2(

タイプ $(4, 7)$ 分布

2.1. 構造
2.LL 平坦モデル
タイプ $(4, 7)$ 分布の平坦モデルである$(x, y, z, w;r, s, t)$ として, 3 つの 1-形式を$\omega_{1}$$\{$ $\omega_{2}$$\omega_{3}$と定義する.

は次のようである.

$(\mathbb{R}^{7}, D0)$$=$$\mathbb{R}^{7}$の局所座標系を

dr-ydx-wdz,$=ds-zdx\mp ydw$ ,$=$dt-wdx-zdy,

4 つのベクトル場

$XYZ$

$\{$

$W$

= —\partil\partil\partil\partil\partil\partilxyz+w-\partil\partil\partil-\partil\partil\partil r’+z-\partil\partils+‘り-\partil\partil’$= \frac{\partial}{\partial w}\pm y\frac{\partial}{\partial s}$,で張られる分布$D_{0}=\{\omega_{1}=(v2=\omega 3=0\}=<X,$ $Y,$ $Z,$ $W>$

は,$[X, Y]=[Z, W]=- \frac{\partial}{\partial r}$,$[X, Z]= \pm[W, Y]=-\frac{\partial}{\partial s}$,$[X, W]=[Y, Z]=- \frac{\partial}{\partial t}$だから, タイプ $(4, 7)$ 分布である. これを 3-接触構造という. 定義は III. 冒頭で述べる.
ににに$-tdr,$$-rds$ の項を付け加えることにより, 3 つの接触構造となることに注意
23$\omega_{1}$$-sdt,$$\omega$する.
分布$\omega$$D_{0}$

上では, 3 つのシンプレクティック形式 (超シンプレクティック構造となる)$\Omega_{1}$$=d\omega_{1}=dx\Lambda dy+dz\Lambda dw$,$\{$ $\Omega_{2}$$=d\omega_{2}=dx\Lambda dz\pm dw\Lambda dy$,$\Omega_{3}$$=d\omega_{3}=dx\Lambda dw+dy\wedge dz$

は,,$\Omega_{1}\Lambda\Omega_{1}=\pm\Omega_{2}\Lambda\Omega_{2}=\Omega_{3}\Lambda\Omega_{3}(\neq 0)$$\Omega_{1}\Lambda\Omega_{2}=\Omega_{2}\Lambda\Omega_{3}=\Omega_{3}\Lambda\Omega 1=0$となる. 向きづけと標準的計量の Hodge 作用素のもとで, 自己双対 (反自己双対)2-形式である.

128

2.1.2. 非退化性, 楕円・双曲型
一般に, 分布 の曲率とは, 線形束写像
$D$

$F$

:

$\Lambda^{2}Darrow$$F(X, Y)=[X, Y]$

TM/D,$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} D$,$X,$ $Y\in D$

をいい, その双対曲率とは, 線形束写像$F^{*}:$$D^{[perp]}(\subset T^{*}M)$$F^{*}(\lambda_{x})(X, Y)=\lambda$.

$arrow\Lambda^{2}D^{*}-$

x([X) $Y])=-d\lambda_{x}(X, Y)$をいう.

タイプ $(4, 7)$ 分布 $(M, D)$ に対して, $F$ は全射であり, よって Fl は単射である. 各 $x\in M$ に対して, 次の写像を考える :,$D^{[perp]}arrow\Lambda^{2}D^{*}arrow\Lambda^{4}D^{*}$な 2 次形式 $Q$であり, 第 2 の写像はここで, 第 1 の写像は単射である双対曲率
$D$
$D$
上の
2形式の空間内積を与えるとする.
\Lambda2Dゝを, 自己双である.
上に向きづけと (共形)に直和分解する :.
と反自己双対な 3 次元部分空間
対な 3 次元部分空間とは反対符号のため, $Q$ は符号が $(3, 3)$ 型の 2 次形式である.
そのとき$\alpha\mapsto\alpha\Lambda\alpha$$F^{*}$$\Lambda^{2}D^{*}=\Lambda_{+}^{2}\oplus\Lambda_{-}^{2}$$\Lambda_{-}^{2}$$\Lambda_{+}^{2}$$Q(\Lambda_{+}^{2})$

合成写像
において,

$Q(\Lambda_{-}^{2})$$Q\circ F^{*}$

が非退化なとき) 分布 $D$ は非退化という. 以後, 仮定する. 3 次元部分空間$F^{*}(D^{[perp]})$

(1)
(2)

$Q$
$Q$

で $(3, 0)$ 型のとき, $D$ は楕円型, あるいは 4 元型というで $(2, 1)$ 型のとき, $D$ は双曲型, あるいは分離 4 元型という.

2.1.3. 有限型, 実型(4 次元)
タイプ $(4, 7)$ 分布 $(M, D)$ に対し, $D_{x}\subset T_{x}M(x\in M)$ において,$\mathfrak{g}_{-2}(x)=T_{x}M/D_{x}$ (3 次元) とおを, $(M, D)$ のシンボル代数.
$9-1($x)] である.
代数となる
.
x),
という. Lie ブラケットを積として Lie[
複素 Lie 群 $G=Sp(3, \mathbb{C})$ の Lie 代数は,$\mathfrak{g}_{-1}(x)=D_{x}$$\text{く}$$\mathfrak{m}(x)=\mathfrak{g}_{-2}(x)\oplus \mathfrak{g}_{-1}(x)\cong T_{x}M$$\mathfrak{g}_{-2}(x)=$$\mathrm{g}_{-1}($$\mathfrak{g}=\epsilon \mathfrak{p}(3, \mathbb{C})=\{X\in \mathfrak{g}((6, \mathbb{C})|{}^{t}XJ+JX=O\}$,$J=(\begin{array}{llllll} 1 O 1 1 -1 -1 -1 O \end{array})$である.

$X=(\begin{array}{ll}A BC -A’\end{array})$

: (

$A’$

は $A$ の逆対角成分での転置行列), の形て, $B=B’,$ $C$ =C’ は逆

128

対角成分のもとで対称である.

$\mathfrak{g}$は, 第 2 種単純階別垣 代数の構造をもつ :$\mathrm{e}$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{-2}\oplus \mathrm{g}_{-1}\oplus \mathfrak{g}_{0}\oplus \mathrm{g}_{1}\oplus \mathrm{g}_{2}$$\mathrm{m}=\mathrm{g}_{-}2$

$=\{$

,

[佳 , 9j]\subset gi+カ$i$$\oplus \mathfrak{g}_{-}1$

(

$000$

) ( )

$000\}\oplus\{$$0a000d000bd0000c-a-b0000000000$$f0000e000000$$00\}$ ,$0000000000000000$$00g0$$[a, c]=g(=-2ac),$ $[b, d]=f(=-2bd)$ ,$[a, d]=[b, \mathrm{c}]=e(=-ad=-bc).$

ここで, 式は行列と思っている.

複素カテゴリーのもとで, 非退化なタイプ $(4, 7)$ 分布 $(M, D)$ のシンポル代数$\mathrm{m}(x)(x\in M)$ の複素化
に対して,
命題 1.

$\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(x)$$m_{\mathbb{C}}(x)\cong \mathrm{m}$である.

(cf. [Y]) 逆に, 上の

命題 2.

$\mathrm{m}$の延長は, 有限型で, 単純階別 Lie 代数卯$(3, \mathbb{C})$である.

実型として, コンパクト型 $Sp(3)$ の他に, 非コンパクト型である $G=Sp(2,1)$ と分離 $Sp(2,1)’$を考える.
に作用する $90$ の Lie 群をとして, その随伴表現の像を調べることにより, 次が$G_{0}$$\mathrm{m}$わかる.

(1) $G=Sp(2,1)$ の場合, $G_{0}=CO$ (4) であり, $D$ 上に共形 $(4, 0)$ 型構造を定め, $D$
は楕円型, 4 元型である,(2) 分離 $G=Sp(2,1)$ ’ の場合, $G_{0}=CO(2,2)$ であり, $D$ 上に共形 $(2, 2)$ 型構造を定め, $D$ は双曲型, 分離 4 元型である.
命題 3.

2.1.4. 正規 Cartan 接続, 基本不変量
が一般に, 田中理論 ([T]) とは次のようなものである. 単純階別 Lie 代数(1)
が 9-1 によって生成(2)は(cf.(m, )) の延長
ぞれ Lie 群)の.
であるならば) によって幾何構造 : $M_{0}=G/G’$ ( G, $G’$ はと 9-1 から誘導される微分式系が定まる. そのとき, 一般の $(M, D)$ と平坦モデルの $(M_{0}, D_{0})$のシンボル代数が同型であるならば, $M$ の主 $G’$ 束 上に $G/G’$ 型の正規 Cartan 接続 が一意$\mathrm{g}=\oplus_{p=-\mu}^{\mu}\mathfrak{g}_{p}$$\mathrm{m}=\oplus_{p<0}\mathfrak{g}_{p}$$\mathfrak{g}$$\mathrm{m}$$\emptyset 0$$\mathrm{g},$$\mathfrak{g}$$\mathrm{g}’=\oplus_{p>0}\mathrm{g}_{p}$$\mathrm{e}\text{れ}$$D_{0}$$P$$\omega$に存在する.
ここで, $M$ の $G/G$ ’ 型の主 $G’$ 束 $P$ 上の正規 Cartan 接続 について述べる. Cartan 接続
である $P$ 上の g-値 1-形式であって, $\omega(A^{*})=A(A\in \mathfrak{g}’),$とは, 線形同型 :$Ad(a^{-1})\omega(a\in G’)$ をみたすものである.
の曲率 とは, $\Omega=d\omega$ 十 \mbox{\boldmath $\omega$}, である $P$ 上の g-値
に対しはの2-形式をいう.
(
成分) からの曲率関数 $K$ :$\omega$$\omega$$\omega$$R_{a}^{*}\omega=$$T_{\mathrm{p}}Parrow \mathrm{g}$$\Omega$$\omega$$\Omega=\frac{1}{2}K(\omega_{-}\Lambda\omega_{-})$て, 正規性 (田中の条件)$\omega_{-}$$\omega$$\mathrm{m}$$\frac{1}{2}[$$\omega]$$Parrow \mathfrak{g}\otimes\Lambda^{2}$

130(ii) $\partial^{*}K^{p}=0(p\geq 0)$(i) $K^{p}=0(p<0)$

は の階別からの分解である.
をみたす Cartan 接続 を正規 Cartan 接続という. ここで,$ParrowH^{2}$
が基本不変量である. 即ち,曲率関数 $K$ の調和部分への射影 $HK$ :
K=0\Leftrightarrow HK=0\Leftrightarrow モデル空間 $G/G’$ に局所同型である.
$K^{p}$$\omega$$\mathfrak{g}$命題 4. 非退化なタイプ $(4, 7)$ 分布 $(M, D)$ に対して, $G=Sp(2,1)$ , $Sp(2,1)’$ として, $G/G$
型の正規 Cartan 接続 が, $M$ の主 $G$ ’ 束 $P$ 上に一意に存在する.

’$\omega$

は, 2 つの基本不変量をもつ :(捩率部分一右曲率) , $90$ -加群としての生成元(曲率部分一左曲率) , $90$ -加群としての生成元

上の Cartan 接続

命題 5.

(i)
(ii) $HK^{1}$$\omega$$K^{0}=HK^{0}$

ここで,$\in 9-2\otimes\Lambda_{-3)}^{2}$$\in 90\otimes\Lambda_{-2}^{2}$$\Lambda_{-3}^{2}=\mathfrak{g}_{-2}^{*}\Lambda \mathfrak{g}_{-1}^{*},$$\Lambda_{-2}^{2}=\mathrm{g}_{-1}^{*}\Lambda \mathfrak{g}_{-1}^{*}$

.

である.

2.2. 楕円型

2.2.1. 境界としての例$(B_{\mathrm{I}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}}^{2}, h_{0})$を双曲空間$H_{\mathbb{H}}^{2}$の球モデルである双曲球とする :$B_{\mathbb{H}}^{2}=${ $q=(q_{1},$$q_{2})\in \mathbb{H}^{2}||$q$|^{2}=\overline{q}1q1+\overline{q}2q2<1$}$,$$h_{0}= \frac{1}{1-|q|^{2}}(d\overline{q}_{1}dq_{1}+d\overline{q}_{2}dq_{2}+\frac{1}{1-|q|^{2}}(d\overline{q}_{1}q_{1}+d\overline{q}_{2}q_{2})(\overline{q}_{1}dq_{1}+\overline{q}_{2}dq_{2}))$等長変換群は $G=Isom^{+}(B_{\mathbb{H}}^{2}, h_{0})=Sp(2,1)$ である. 原点
ト部分群で, $K=Sp(2)\cross Sp$ ( である.

$\mathit{0}$y$B_{\mathbb{H}}^{2}=G/K=Sp(2,1)$/Sp(2)

での等方部分群 $K$ は極大コンパク$\cross$となり, Riemann 対称空間である.
の無限遠境界 (半測地線の漸近同値類全体の集合) はれる. $H$ を等方部分群として, $S^{7}=Sp(2,1)/H$ と表される.
$B_{\mathrm{H}}^{2}$

.

Sp(y

$G$

不変で, 単位球面$S^{7}$$q\in S^{7}=\partial B_{\mathbb{H}}^{2},\overline{q}q=1$$D_{q}=\{p=(p_{1},p_{2})\in \mathbb{H}^{2}|\overline{p}q=\overline{p}1q1+\overline{p}2q_{2}=0\}$と同一視さ, として,,$D_{0}=\cup D_{q}q\in S^{7}$とお<. そのとき,$D_{0}$

は $TS^{7}$ の余次元 3 の $G$ 不変な部分束, 分布となる. タイプ $(4, 7)$ 分布であ構造をもつ.
り, 4 元上の Euclid 内積の制限 $g_{0}(X, Y)=Re(\overline{X}Y),$ $X$ , $Y\in D_{q}$ , を考えると,
上に
分布
の共形構造
は $K$ 不変であるが, $G$ 不変ではない. しかし,にサブ Riemann 計量を定める.
は共形変換群 $Sp(2,1)$ をもつ.
は $G$ 不変である. 即ち,$\mathrm{C}\mathrm{R}$$D_{0}$$D_{0}$$\mathbb{H}^{2}$$g_{0}$$g_{0}$$(D_{0}, g_{0})$$[g_{0}]$2.2.2. 束としての例
4 元型 Hopf 束$S^{3}arrow S^{7}arrow S^{4}$の一般化として, 4 次元多様体 $N$ 上の (非自明な) 主 $SU(2)$ 束 $M$ と $SU(2)$ 接続による分布 $D$ からなる $(M, D)$ をとれば, タイプ $(4, 7)$ 分布である.

131(平坦でない)4 次元 Riemann 多様体 $N$ 上の単位接束 $\Lambda l=T_{1}N$ と Levi-Civita 接続による水平リフトによる分布 からなるをとれば, タイプ $(4, 7)$ 分布である.
$D$$(\lambda/I, D)$

2.2.3. インスタントン

タイプ $(4, 7)$ 分布 $(M, D)$ として, 次をとる :(i) $M$ として, 向きづけられた (共形)Riemann 計量をもつ 4 次元多様体 $N$ 上の (非自明な) 主$SU(2)$ 束,(ii) $D$ として, $N$ 上の $SU(2)$ ゲージ場 (接続)\mbox{\boldmath $\theta$}.
そして, 分布 $D$ 上に, $N$ 上の (共形) Riemann 計量をリフトして, (共形) サブ Riemann 計量を与えておく

定理 1.
する.

$N$

上のインスタントン$\theta$と, $M$ 上の右半平坦な楕円型分布 $D$ とは 1 対 1 に対応

インスタントンとは, ここでは自己双対接続, 即ち, 接続の曲率が自己双対 2-形式のことをいう.

右半平坦とは, $M$ の主 $H$ 束 $P$ 上の $Sp(2,1)/H$ 型の正規 Cartan 接続の右曲率 $K^{0}=HK^{0}$ が0 であるときをいう.
も 0 となる平坦な分布 $(Sp(2,1)/H,$ 0) に対応するのは, 基本インスタントン
左曲率の Levi-Civita 接続から誘導されるものである.
といわれる
この命題は, 最近の超弦理論. 理論でいう (7 次元) 重力場と (4 次元) ゲージ場の双対性の$HK^{1}$$D$$(S^{4}, g_{0})$$\mathrm{M}$

一般化と思える. 幾何構造 ( $G$ -構造) での積分可能性の程度を, 付随する接続の曲率で測る議論
は, 計量構造での重力場の理論を一般化していると思えるからである.

2.3. 双曲型

2.3.1. ツイスター理論
分離 $Sp(2,1)’$ はに同型であることに注意する. $(V^{2n}, \Omega)(n\geq 3)$ を $2n$ 次元実シンプ
を 次元イソトロピック部分空間とする. これらの自己同
レクティック・ベクトル空間とし,型群はシンプレクティック群 $Sp$ (n, ) である. 1 次元 (イソトロピック) 部分空間全体である射影空間 $P^{2n-1}$ と, 2 次元イソトロピック部分空間全体である $IG_{2,2n}$ の間のダブル・ファイバリン
$Sp(3, \mathbb{R})$$V_{k}$$k$$\mathbb{R}$グを考える :$P^{2n-3}$$arrow$$F_{12}=\{V_{1}\subset V_{2}\}$$arrow$$\swarrow$$[searrow]$$P^{2n-1}=\{V_{1}\}$$IG_{2,2n}=\{V_{2}\}$$P^{1}$の $4n-5=4(n-2)+3$ 次元
は射影接触構造をもつ. $IG_{2,2n}$ は Grassmann 多様体1)(即ち, 余次元
部分多様体で, 分離 4 元型, Grassmann 型 3-接触構造をもつ. インシデンス空は $4n-4$ 次元旗多様体であり, ファイバー $P^{2n-3}$ は接触構造をもつ.
間$P^{2n-1}$ のLegendre 直線 全体の空間が $IG_{2,2n}$ である. シンプレクティック形式 が
$V$
となる
の座標系
をとると, $IG_{2,2n}\subset G_{2,2n}$ は非同次座標系$P^{2n-1}$$G_{2,2n}$$F_{12}$$P^{1}$$dy_{i}$$\Omega$$(x_{i}, y_{i})$$(_{0}^{1}01$$d_{3}c_{3}$$d_{n}c_{n}$$a_{1}b_{1}$$a_{2}b_{2}$.

$a_{3}b_{3}\cdot.\cdot\cdot.|$$a_{n)}b_{n}$$\sum_{i=1}^{n}dx_{i}\Lambda$

132から, 1 つの関係式 $b_{1}=a_{2}+ \sum_{i=3}^{n}a$ i$P^{1}$

2ci がある. $IG_{2,2n}$ は $P^{2n-1}$ の Legendre 測地線のパラメーター空間である : $x_{1}=t,$ $x_{2}=1$ として, ジエネリックに,$d_{i}- \sum_{i=3}^{n}b$

$(3$

$i$

$n)$

$xi$

$=$

$y1$

$=$ $a1$ $t$ $+$ $a2$ $+$ $\sum i=3n$ $aid_{i}$$y_{2}$$=$$a_{2}t$$+$$b_{2}$$=$$a_{i}$$t$$+$$b_{i}$$c_{i}t$$+$$d_{i}$$\leq$$\leq$$\}$–$\sum i=n3$$b_{i}$$c_{i}$

,

$\{$

$yi$

,
$(3$

$\leq$$i$$\leq$$n)$と表示できる.
せて, 次元は $4n-5=4(n-2)+3$ がわかる.
さらに,$(a_{1}, a_{2}, a_{32}\cdot\cdot 1, a_{n};b_{2}, b3, \cdot.

\iota, b_{n};c_{3}, \cdot\cdot \mathrm{t}, c_{n};d_{3}, \cdots, d_{n})$が $IG_{2,2n}$ の座標系とみな$A_{i}= \frac{\partial}{\partial a_{i}}-d_{i}\frac{\partial}{\partial a_{2}}-c_{i^{\frac{\partial}{\partial a_{1}}}}$,$D_{i}.= \frac{\partial}{\partial d_{i}}+b_{i}\frac{\partial}{\partial b_{2}}$,$0= \frac{\partial}{\partial c_{i}}+b_{i}\frac{\partial}{\partial a_{2}}+a_{i^{\frac{\partial}{\partial a_{1}}}}$,$B_{i}= \frac{\partial}{\partial b_{i}}-d_{i}\frac{\partial}{\partial b_{2}}$,, その他は 0,[Bi, ][Bi, ][Ai, ]
とおくと,をみたす $IG_{2,2n}$ 上の余次元 3 の分布 $D=D^{4(n-2)}$ を定め, タイプ $(4(n-2), 4(n-2)+3)$ 分布
で分離 4 元型の 3-接触構造を定義する. 特に, $n=3$ の場合, 双曲型分布の平坦モデルである.
$(3\leq i\leq n)$$[A_{i}, C_{i}]=2 \frac{\partial}{\partial a_{1}},$$D_{i}$$= \frac{\partial}{\partial a_{2}},$$C_{i}$$= \frac{\partial}{\partial a_{2}},$$D_{i}$$=2 \frac{\partial}{\partial b_{2}}$2.3.2. Legendre 測地線
射影幾何とは, 直線の幾何で, 不変にする群は $PSL$ (n, ) であるのに対応して, 射影接触幾$\mathbb{R}$

何とは, Legendre 直線の幾何で, 不変にする群は $PSp(n, \mathbb{R})$ であるといえる. 簡単に低次元でみてみる. アフィン・チャートの非同次座標系をとる.

.

: (x, $y,$ ) において, 接触形式を $\omega=dy-zdx$ とする.

$\mathbb{R}^{3}$

$z$

$x$

をパラメーターとして, Legendre

直線は$(x,$ $\frac{1}{2}ax^{2}+bx+c,$ $ax+b)$と表されて, $(a, b, c)$ が Legendae 直線全体の 3 次元空間のパラメーターとなる. 独立変数する微分方程式として, $z”=0$ をみたす $y”’=0$ は前式からでてくる.

) において, 接触形式を $\omega=dz-udx-vdy$ とする.
: (x,して, Legendre 直線は$\urcorner \mathbb{R}^{5}$$y,$ $z,$ $u,$ $v$

$x$

$x$

に関

をパラメーターと$(x,$ $cx+d,$ $\frac{1}{2}(a+ce)x^{2}+(b+cf)x+g,$ $ax+b,$ $ex+f)$と表されて? $(a, b, c, d, e, f, g)$ が Legendre 直線全体の 7 次元空間のパラメーターとなる. 微分方
程式として, $y”=0,$ $v”=0$ をみたす $z’”=0,$ $u”=0$ は前式からでてくる.
射影接触構造と Legendre 測地線の概念を定義する.

射影接触構造の平坦モデルは, $P^{2n-1}=Sp(n, \mathbb{R})/H$ である. 射影構造とみた場合は, $P^{2n-1}=$$H=\tilde{H}\cap$$SL$ (2n,Sp(n, ) である. $n(2n+1)=2n^{2}+n$ 次元である $Sp$ ( n, ) の Lie 代数)$\mathbb{R}$$/\overline{H},$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$133$\mathfrak{g}=$卵$(n, \mathbb{R})$は, 第 2 種単純階別 Lie 代数の構造をもつ :$\mathfrak{g}=\mathrm{g}_{-2}\oplus \mathfrak{g}_{-1}\oplus \mathrm{g}_{0}\oplus$$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}0\oplus \mathrm{g}1\oplus \mathfrak{g}$$\dim \mathrm{g}_{-2}=\dim \mathfrak{g}_{2}=1,$

佳$1\oplus\emptyset 2$,2,$\dim \mathfrak{g}_{-1}=\dim \mathfrak{g}_{1}=2n-2$.

での線形枠の群 $G^{1}(2n-1)=GL(2n-1, \mathbb{R})$ に対して, 2-枠 (2- ジェット) の群を$G^{2}(2n-1)$ と表す 次をもつ :$0\in \mathbb{R}^{2n-1}$$arrow\rho G^{1}(2n-1)=GL(2n-1, \mathbb{R})$ ,$G^{2}(2n-1)$$arrow\rho$$SL(n, \mathbb{R})\supset H$$\rho$$\rho(H)=SC(2n-1)$ ,$Sp(n, \mathbb{R})\supset Harrow\rho$

ここで, 左側は $G^{2}(2n-1)$ :)$\tilde{H}\supset H$

(H),

, 右側は

$G^{1}(2n-1)=\rho(\tilde{H})\supset\rho(H)=SC(2n-1)=\{$$A\in GL(2n-2, \mathbb{R})$

$\}$

.

一般の接触構造 $D$ をもつ $2n-1$ 次元多様体に対して, それぞれ構造群 $G^{1}(2n-1),$ $G^{2}(2n-1)$$P^{2}(M)$
をもつ枠束
次をもつ
を考えると,(M),:$\mathrm{J}/I$$P^{1}$$G^{2}(2n-1)\cap P^{2}(M)-^{\overline{\rho}}$$Hr\backslash P(\Lambda I)$$P^{1}$$arrow\overline{\rho}SP$

,

( M)

$G^{1}(2n-1)$(M)$SC(2n-1)$ ,$\downarrow$$\downarrow$

$M$

$M$

—-

,

ここで, 左側は $P^{2}(M)\supset P$ (M), 右側は $P^{1}(M)\supset SP$ ( M) である.
$P^{2}(M)$$P$の $H$ 簡約 $P$ (M) を, $M$ 上の射影接触構造という.

(M) 上に $Sp(n, \mathbb{R})/H$ 型の正規 Cartan 接続$\xi=$(\mbox{\boldmath $\xi$}1,$\xi^{2},$$\omega_{+}(B(\xi))=0$$\cdot\cdot(, \xi^{2n-1})\in \mathbb{R}^{2n-1}=$となるような$P$が存在することがわかる (cf.[S-Y]).

$\omega$

佳-2 $\oplus 9-1$ に対して,( M) 上に基底ベクトル場$B$$\omega_{-}(B($\mbox{\boldmath$\xi$}) $)=\xi,$$\omega_{0}(B($\mbox{\boldmath$\xi$}) $)=0$ ,(\mbox{\boldmath $\xi$}) が一意に存在する. 射影を

$\pi$

:

$P(M)arrow M$ として,
$x_{t}=\pi$を射影接触構造の測地線という.
Legendre 測地線という.

(( $\exp tB$ (\mbox{\boldmath $\xi$}))u0),

特に, $\xi=$ 0,
$($

$\xi$

$u_{0}\in P$

2, . . ,$\cdot$( M),$\xi^{2n-1})$とした$x_{t}$を, 射影接触構造の2.3.3. 微分方程式
Legendre 測地線の微分方程式をどう特徴づけるかという問題を考える. 常微分方程式をODE, 偏微分方程式を PDE と略すことにする.

134; ( x, $y,$ )まず 2 階微分方程式をみておく. 単独 2 階 ODE: $y”=f$ (x, $y,$ ) に対して,
R,
解曲線を解曲線にうつすものの微分同相の延長の接触微分同相のもとで
,
)
(x,
:
において,
上に主 $K$を同値としての局所同値問題を考える. そのとき, $PT^{*}P^{2}=SL(3, \mathbb{R})/K$ として,$B$
束 $Q$ とその上に $SL(3, \mathbb{R})/K$ 型の正規 Cartan 接続 が存在して, 2 つの曲率 $A,$ が不変量となる (Tresse, Cartan). $A=B=0$ の場合 $y”=0$ と同値である.
一般化として,R,
において, 射影構造の測地線の微分方程式を特徴(1) 連立 2 階 ODE 系 (Tanaka) :づけるにおける横断的な Lagrange(2) 連立 (1 未知関数)2 階 PDE 系: ホロノミック系で,対である Legendre 2-ウェブとして拡張するの 2 つの違う立場があり, 統括する群は $SL$ (n, ) $(n\geq 4)$ である.
:
さて, 3 階微分方程式をみてみよう. 単独 3 階 ODE : $y”’=f$ (x, $y,$ $y’,$ $y”$ ) に対して,$(x, y, y’, y”)$ において,: ( x, $y,$ ) の接触微分同相の延長のもとで, 解曲線を解曲線にうつすもの Legendreのを同 (直としての局所同値問題を考える. そのとき, $LP^{3}=Sp(2, \mathbb{R})/K$ ( LP3 は上に主 $K$ 束 $Q$ とその上に $Sp(2, \mathbb{R})/K$ 型の正規 Cartan 接続 が存在して,直線束) として,
2 つの曲率 $A,$ $B$ が不変量となる (Chern, SatO-Yoshikawa[S-Y]). $A=B=0$ の場合, $y”’=0$ と同値である.
$y’$$J^{0}$$J^{1}($$\mathbb{R})$

$y’$

$y$

$J^{1}$$\eta$)$J^{1}($$\mathbb{R}^{n-2})$$J^{1}(\mathbb{R}^{n-2}, \mathbb{R})$$\mathbb{R}$$J^{2}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$$J^{1}$$y’$$P^{3}$$J^{2}$$\eta$

一般化として,において Lagrange-Grassmann(2)’ 連立 (1 未知関数)3 階 PDE 系: ホロノミック系で,構造と関係づけて拡張するの立場があり, 統括する群は $Sp(n, \mathbb{R})(n\geq 3)$ であるが, 安易に (1)’ 連立 3 階 ODE 系を考えた
場合, 統括する群は単純 Lie 群にならないことが知られている. ここでは, 接触空間上の連立 2
階 ODE 系を考えて, 射影接触構造の Legendre 測地線の微分方程式を特徴づけて, 統括する群が$Sp$ (n,) $(n\geq 3)$ であることをみてみる.
$J^{2}(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R})$$\mathbb{R}$$n=3$ の場合,(の接触分布)$D$$\mathbb{R}^{5}$: (x,$y,$ $z,$ $u,$ $v$) において, 接触形式を $\omega=dz-udx-vdy$ とする. 接触構造

は,$D=< \frac{\partial}{\partial x}+u\frac{\partial}{\partial z},$$\frac{\partial}{\partial y}+v\frac{\partial}{\partial z},$$\frac{\partial}{\partial u},$$\frac{\partial}{\partial v}$

ゝ,$x-C^{\backslash } \backslash \text{ある}\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}\text{直^{}\sqrt}\text{線束}L\text{の}\ni \mathrm{E}\overline{\mathrm{p}}\Pi^{\backslash }R\text{座}\mathrm{z}\mathrm{P}\kappa^{7^{\wedge}}\neq_{\backslash }\text{を},\frac{\partial}{\partial x,;}+u\frac{\partial}{\partial z,\backslash }+p(\frac{\partial}{\partial y}+v\frac{\partial}{rd\partial z})+q\frac{\partial}{\partial u,\not\supset}+r\frac{\partial}{\partial v,\vee}\text{として}$$(x, y,z,u,v,\cdot p, q, r)\text{をとる}.\text{各ファイ}\mathit{1}\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}-\#^{\mathrm{r}}.\mathrm{F}\mathrm{X}\not\equiv \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{t}\S.\text{造}\omega_{1}=dq-p\mathrm{B}\backslash ^{\backslash }(\backslash 1\backslash 0\text{され}\mathrm{C}\mathrm{A}\backslash \text{る}$.
をパラメーターとして, 連立 1 階常微分方程式系 (ここでは,$\mathbb{R}^{8}\cdot$$\mathbb{R}^{8}$

上のベクトル場)$z’=u/+vp,$ $u’=q,$ $v’=r$ ,$x’$$=1,$ $y=p,$$p’$$=f(x, y, z, u, v,p, q, r),$ $q’=rf,$ $r’=g(x, y, z, u, v,p, q, r)$

$\{$

.

を考える. 主要部は, 接触空間$\mathbb{R}^{5}$

上の連立 2 階常微分方程式系$\prime y’$’$=f(x, y, z, u, v, y’, u’, v’)$ ,

$\{$

$v’$’

$=g(x, y, z, u, v, y’, u’, v’)$

=0 の場合は,測地線で述べた例にほかならない.
連立微分方程式系に対して,: ( x, $y,$ $u,$ $v;p,$ \rightar ow において,: $(x, y, z, u, v)$ の接触微分
解曲線を解曲線にうつすものを同値としての局所同値問題を考える.
同相の延長のもとで,と思うことができる. $f=0,$$g$$2.\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}$$\mathbb{R}^{8}$$z,$$\mathbb{R}^{5}$$q,$$\mathbb{R}^{8}$135での随伴した余枠から, 不変な自己同型群がわかり, $G$ 構造が決まる. 平坦モデルと正規 Cartan
接続から, 曲率の不変量, そしてツイスター ダイアグラムより次がわかる.
の Legendre
定理 2. 上の連立 1 階常微分方程式系に対して, $LP^{5}=Sp(3, \mathbb{R})/K$ ( LP5 は$K$$Q$$Sp(3,\mathbb{R})/K$
上に主型の正規 Cartan 接続 が存在とその上に束
直線束) として, 上の$P^{5}$$\mathbb{R}^{8}$$\eta$

して, 2 つの曲率 $A,$ $B$ が不変量となる.
(i) $B=0$ ならば, 解曲線は, 射影接触構造から定まる Legendre 測地線の測地流の軌道である.
(ii) $A=0$ ならば, 解曲線全体の空間に右半平坦な双曲型のタイプ $(4, 7)$ 分布の構造がはいる.
(iii) $A=B=0$ ならば, $f=0,$ =0 の場合に同値である.
$g$$Sp(3, \mathbb{R})$の Lie 代数卵$(3, \mathbb{R})$は, 第 4 種単純階別 Lie 代数の構造をもち,$\dim \mathfrak{g}_{-4}=1,$である. 曲率 $A$ の $90$ 加群としての生成元は,$2=3,$$B$
率 の $90$ 加群としての生成元は,の元である.
$1,$$\dim \mathrm{g}$$\dim \mathfrak{g}_{-1}=3$$9-2\otimes\Lambda_{-3}^{2}$$\dim \mathrm{g}_{-\mathrm{s}}=$の元で, 曲$\mathrm{g}_{0}\otimes\Lambda_{-3}^{2}$

一般の $n\geq 4$ の場合も同様に成立する.
において, 接触形式を $\omega=$:$dz- \sum_{i=1}^{n-1}u$とする.
$4n-4=4(n-1)$ 次元である Legendre 直線束 の非同次座標系
idxi
を $(x_{i}, z, u_{i}; p_{j}, q_{k})(1\leq i\leq n-1,2\leq j\leq n-1,1\leq k\leq n-1)$ とする.
をパラメーターとし上の $2(n-2)$ 個の連立 2 階常微て, での連立 1 階常微分方程式系の主要部は, 接触空間
分方程式系$\mathbb{R}^{2n-1}$$(x_{i}, z, u_{i})$

$L$

$x$

$L$

$\mathbb{R}^{2n-1}$$x_{i}’’$$=f_{i}(x_{j}, z,\grave{u}_{j}, x_{j}’, u_{j}’)$

,

$\{$

”
$q_{i}$$=g_{i}$(xj,$z,$ $u_{j},$$x_{j}’,$$u_{j}’$)$(2\leq i\leq n-1)$と思うことができる.
3(

3-接触構造非退化なタイプ $(4, 7)$ 分布は, 接触構造と違って有限型であることがわかった. では, 高次元化の非退化なタイプ $(4n, 4n+3)$ 分布 $(n\geq 2)$ ではどうであろうか.
非退化なタイプ $(2n, 2n+1)$ 分布である接触構造の分布は, シンプレクティック構造をもつ.
また, シンプレクティック化や (必ずしも存在するわけではないけれども) 接触化など, 接触構造とシンプレクティック構造はお互いに密接に関係している. $4n$ 次元で 3- シンプレクティック構
造なる概念を定義しておけば, $4n+3$ 次元で 3-接触構造の概念の定義はしやすいであろう.
3 次元多様体上で, 2 つの横断的な接触平面場をもつ双接触構造 ( -contact structure) なる概念がある. 素朴にそれにならって, $4n+3$ 次元多様体上で, 3 つの横断的な接触分布をもつ
ものを鼎接触構造 ( -contact structure), (言葉をやさしくして)3-接触構造をもつといってよいが, 少し条件を付加する. $4n$ 次元多様体上で, 3-シンプレクティック構造とは, 3 つのシンプレ
クティック形式が, 各点で 2-形式のベクトル空間として 1 次独立であるときをいう. 3-接触構造とは, 3 つの接触分布の共通部分をとることにより, 非退化なタイプ $(4n, 4n+3)$ 分布となり, 階数 $4n$ の分布上に 3-シンプレクティック構造をもつときをいう.
3-接触構造と 3-シンプレクティック構造は, あまりに一般的な概念すぎて, 幾何構造として捉えられないので, 条件をおいてみる :(1) 今まで議論してきた 4 元構造をそのまま受け継いだ拡張をする. これは, よく調べられている部分もあるが, 2.1. の立場で述べていく.
(2) 射影余接束の接触構造, Legendre 特異点論の議論 ([I-I]) を, 3-接触構造の立場でどれだけ拡張できて, さらに興味あるものがでてくるかをみていく$\mathrm{b}\mathrm{i}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}$

$|$

138

3.1. 4 元構造に関する 3-接触構造
よく知られているように, $2n$ 次元において, シンプレクティック構造は, 複素構造と, K\"ahler
計量 (大事なクラスとして, Calabi-Yau 計量) を介して結ばれている (cf. ミラー対称性):
シンプレクティック構造 \leftarrow K\"ahler 計量 \rightarrow 複素構造.
$2n+1$ 次元においては, 接触構造は, CR 構造と, Sasaki 計量 (大事なクラスとして,Einstein-Sasaki

計量) を介して結ばれている:
接触構造 \leftarrow Sasaki 計量 \rightarrow CR 構造.
さて, $4n$ 次元において, 超シンプレクティック構造は, 超複素構造 (4 元構造) と, 超 K\"ahler平坦) を介して結ばれているが, お互いに他を規定するほどに強い:

計量 ($\Rightarrow \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{i}$超シンプレクティック構造 \leftarrow 超 K\"ahler 計量 \rightarrow 超複素構造.
厳密には, 超複素構造と 4 元構造は区別されて, (機) 超複素構造は $GL$ ( n, ) 構造で超 K&ler 計‘構造で 4 元 K\"ahler 計量 $(Sp(n)Sp(1))$ と関係
量 $(Sp(n))$ と関係し, (概) 4 元構造は $GI$
構造 (4 元構造), 通常 3-Sasaki 計量とする. $4n+3$ 次元においては, 超接触構造は, 超よばれる超 Sasaki 計量 (\Rightarrow 正の Einstein) を介して結ばれている:$\mathbb{H}$$(n, \mathbb{H})\mathbb{H}$」$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$

超接触構造 \leftarrow 超 Sasaki 計量 \rightarrow 超$\mathrm{C}\mathrm{R}$構造.

次元多様体 $M$ 上の超シンプレクティック構造とは, 3 つのシンプレクテイック形式: $TMarrow T^{*}M$ として,が存在して, . の定める線形同型束写像を
2$J_{1}^{2}=J_{2}^{2}=J_{3}^{2}=J_{1}J_{2}J_{3}=-1$
をみたすときをいう. そのとは, 4 元関係式 :による線形同型束写像 : $TMarrow T^{*}M$き, 計量 は,によって定まる. $4n+3$ 次元多様体 $M$ 上の 4 元型の 3-接触構造である超接触構造とは, 3 つの横断的な接触構造が存在して, 共通部分の階数 $4n$ の分布 $D= \bigcap_{i=1,2,3}D$i に超シンプ
レクティック構造が存在するときをいう. われわれの立場で, 以下みていこう.
$4n$$\Omega_{1},$$\Omega_{3}$

$J$

$=$

$J_{1}=\varphi_{3}^{-1}\varphi_{2},$$\Omega_{i}$$\varphi_{1}^{-1}\varphi_{3},$$\Omega_{2},$$\varphi_{i}$$J_{3}=\varphi_{2}-1\varphi_{1}$$g$$\phi=\varphi_{1}\varphi_{2}^{-1}\varphi_{3}(=\varphi_{3}\varphi_{1}^{-1}\varphi_{2}=\varphi_{2}\varphi_{3}^{-1}\varphi_{1})$$D_{1},$$\phi$$D_{2},$ $D_{3}$非退化なタイプ $(4, 7)$ 分布の 2. での議論をそのまま拡張したものが, (分離) 4 元型の 3-接触構造である非退化なタイプ $(4n, 4n+3)$ 分布 $(M, D)$ である.
...
), が・非退化 : 合成写像
(第 2 の写像は非退化のときをいう.
の局所座標系を・定義と平坦モデル :つの1-形式として, 3$\alpha\mapsto\alpha^{2n}=\alpha\Lambda$$D^{[perp]}arrow\Lambda^{2}D^{*}arrow\Lambda^{4n}D_{:}^{*}$$\mathbb{R}^{4n+3}$$(x_{i}, y_{i}, z_{i}, w_{i;}r, s, t)$$\omega_{1}$$\{$ $\omega_{2}$$\omega_{3}$$=dr- \sum_{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}-\sum_{i=1}^{n}w_{i}dz_{i}$,,$=dt- \sum_{i=1}^{n}w_{i}dx_{i}-\sum_{i=1}^{n}z_{i}dy_{i}$ ,$=ds- \sum_{i=1}^{n}z_{i}dx_{i}\mp\sum_{i=1}^{n}y_{i}dw_{i}$を零化する $4n$ 個のベクトル場$+w_{i} \frac{\partial}{\partial t}$$X_{i}Y_{i}$$= \frac{\partial}{\frac{\partial x\partial}{\theta y}}\dot{.}.\cdot+y_{i}.+z_{1}.\frac{\partial}{\partial\epsilon}=+z_{1}\frac{\frac{\partial}{\partial r\partial}}{\partial t}$,$\{$$Z_{\dot{\iota}}$$W_{\dot{\iota}}$$= \frac{\partial}{\partial z}.\cdot+w_{i}$,$= \frac{\partial}{\partial w_{i}}\pm y_{i^{\frac{\partial}{\theta s}}}$ラ,$\Lambda\alpha$137で張られる分布$D_{0}=\{\omega_{1}=\omega 2=\omega 3=0\}=<Xi,$ $Yi$,

$Z_{i},$$(i=1, \cdots, n)>$$W_{i}$

は,$[X_{i}, Y_{i}]=[Z_{i}, W_{i}]=- \frac{\partial}{\partial r}$,$[X_{i}, Z_{i}]= \pm[W_{i}, Y_{i}]=-\frac{\partial}{\partial s}$$[X_{i}, W_{i}]=[Y_{i}, Z_{i}]=- \frac{\partial}{\partial t}$,,

その他は 0, だから, (分離) 4 元型のタイプ $(4n, 4n+3)$ 分布である.
・有限型と実型 : 群 $G=Sp(n+2, \mathbb{C})$ の Lie 代数
は, 第 2 種単純階別 Lie 代とする :数の構造をもつ. 放物部分代数, べき零部分代数を, それぞれ
. (分離)$\mathfrak{g}=\epsilon \mathfrak{p}(n+2, \mathbb{C})$$\mathfrak{g}’,$$\mathfrak{g}=\mathrm{m}\oplus \mathfrak{g}’$$\mathrm{m}$4 元型のタイプ $(4n, 4n+3)$ 分布 $(M, D)$ のシンボル代数 $\mathrm{m}(x)(x\in M)$ に対して,$\mathrm{m}_{\mathbb{C}}(x)\cong \mathrm{m}$である. 一方,の延長は, 有限型で, 単純階別 Lie 代数卵 $(n+2, \mathbb{C})$ である. 実型の非コンパク
ト型において, $G=Sp(n+1,1)$ は 4 元型, $G=Sp(n+1,1)’\cong Sp(n+2, \mathbb{R})$ は分離 4 元型で$\mathrm{m}$ある.

・正規 Cartan 接続と基本不変量 :(分離) 4 元型のタイプ $(4n, 4n+3)$ 分布 $(M, D)$ に対して,$G=Sp(n+1,1)$ , $Sp(n+1,1)$ ’ として, $G/G’$ 型の正規 Cartan 接続 が, $M$ の主 $G’$ 束 $P$ 上に一意に存在する. そして, Cartan 接続 は, $n\geq 2$ に対して, ただ 1 つの基本不変量をもつ : $HK^{1}$(曲率部分) , $90$ -加群としての生成元は,の元である.
4 元型の $Sp(n+1,1)$ の典型的な例 :2.2. での 2.2.1. と 2.2.2. の議論が, 4 元型 Hopf 束$\omega$$\omega$$90\otimes\Lambda_{-2}^{2}$$\bullet$$S^{3}arrow S^{4n+3}arrow \mathbb{H}P^{n}$ての不での不変な接触構造をもつ Heisenberg 群, 代数に対応して,変な (分離) 4 元型の 3-接触構造をもつ 3-Heisenberg 群, 代数が定義できて, 行列で表現できるとしていえる.

$[\mathrm{A}1$$\mathbb{R}^{4n+3}$$\mathbb{R}^{2n+1}$.
・分離 4 元型の $Sp(n+1,1)’\cong Sp(n+2, \mathbb{R})$ に対して, 2.3. での 2.3.1. ツイスター理論と 2.3.3.

微分方程式が, まったく同様にいえる.
を, 微分形式で特徴づける問題を考える (cf. キャリブレーション). ベ
で不変な (結合的) 基本
クトル空間 $V$ でみてみる. 7 次元ベクトル空間
において,$n(7)$
で不変な(Cayley) 基本 4-形式と3-形式, そして, 8 次元ベクトル空間
において, S 声$V$
$2n$
いった例がある (Bryant). また,
次元ベクトル空間 において, Calabi-Yau 計量と関係する$SU$ (n) で不変なシンプレクティック形式と 2 つの -形式といった例もある (Hitchin).
同様にして, $4n$ 次元ベクトル空間 $V$ において, 超 K\"ahler 計量と関係する $Sp(n)$ て不変な 3
つのシンプレクティック形式の特徴づけ問題を考える. $n=1$ , 即ち, 4 次元の場合,
次独立なつの関係式で特徴づけられる
5
2.1.1. でみたように, 1:$G\subset SO$(n) である$G$$V={\rm Im} \mathbb{O}$$G_{2}$$V=\mathbb{O}$$n$$\Omega_{1\}}\Omega_{2},$$\Omega_{\dot{\iota}}\Lambda\Omega_{i}-\Omega$$\Omega_{3}$j $\Lambda\Omega j=0$ ,$\Omega_{i}\Lambda\Omega j=0$$(i\neq j).$

138

$n=2$ , 即ち, 8 次元の場合,

7 つの関係式で特徴づけられる :,$\Omega_{i}\Lambda(\Omega_{i}\Lambda\Omega_{i}-3\Omega_{j}\Lambda\Omega D=0$$\Omega_{i}\wedge\Omega_{j}\Lambda$(

j $\Lambda\Omega k=0$$(i\neq j\neq k)$.

9 つの関係式で特徴づけられる :$n=3$ , 即ち, 12 次元の場合,$\Omega_{i}\Lambda\Omega_{i}\Lambda\Omega_{i}\Lambda\Omega_{i}-3$$\Omega_{i}\Lambda\Omega$$\Omega_{i}\Lambda\Omega_{i}\Lambda\Omega_{j}\Lambda\Omega_{j}+\Omega_{i}\Lambda\Omega_{i}\Lambda\Omega$,k$\Lambda\Omega,$$-\Omega_{j}\Lambda\Omega_{j}\Lambda\Omega$$\Lambda\Omega_{k}$) $=0$ ,$(i\neq j\neq k).$$(\Omega_{i}.\Lambda\Omega_{i}- 3\Omega_{k}\Lambda\Omega_{k})=0$$(i=1,2,3)$ の $n+1$ 外積の $2n+3$ 個の関係式で特徴づけられる (今の一般の $4n$ 次元の場合,を作用してえられる $2n+3$
ところ, 必要条件のみ証明). 関係式は, $(\Omega_{1}+i\Omega 2)n+1=0$ にを作用させ
値 2-形式の空間の元とみて,個の式である. ただし,$(i=1,2,3)$ を$\Omega_{i}$$O(3, \mathbb{C})$る$O(3, \mathbb{C})$$\mathbb{C}^{3}$$\Omega_{i}$[A].

3.2. 射影余接束に関する 3-接触構造$M$を $n+1$ 次元多様体とすると, よく知られているように, $2n+1$ 次元の射影余接束 $PT^{*}M$上に標準的な接触構造をもつ. 複素 $n+1$ 次元 (実 $2n+2$ 次元)K\"ahler 多様体 $M$ の $4n+3$ 次元の実射影余接束 (あるいは, 単位接束) $PT^{*}M$ 上に自然な 3-接触構造をもつことをみる. 条件をゆるめて, 複素構造を概複素構造ではどうか, K\"ahler 計量を一般の線形接続ではどうかという問題は, ここでは省略する.
を複素 $2n+1$ 次元 (実 $4n+2$ 次元) の複素射影余接束とする. 次を考える :$PT_{\mathbb{C}}^{*}M$$\mathbb{R}$P $1arrow \mathbb{R}$P $2n+1$ $arrow PT^{*}M^{4n+3}$$\downarrow\pi$$\mathbb{C}$

P

2

O

$n$

$\downarrow\pi$$arrow PT_{\mathbb{C}}^{*}M4n+2$$M^{2n+2}\downarrow\pi_{1}$.

上には標準的な複素接触構造 $D’$ をも: $PT^{*}M^{4n+3}arrow M^{2n+2}$ を自然な射影とする.
ち, 実余階数 2 である. それの標準的な局所的複素接触形式を \mbox{\boldmath $\omega$}。として,とおく. 束: $PT^{*}Marrow PT_{\mathbb{C}}^{*}M$ の各ファイバーは Hopf 束であるが, K\"ahler 計量を用いた$\mathbb{R}P^{1}=S^{1}=U$上の分布 $D’$ を水平リフトすれば, $PT^{*}M$ 上に余次元 3(1) 接続によって,の分布 $D$ が定義される. もう 1 つの 1-形式が存在して, 局所的に $D=\{\omega_{1}=\omega_{2}=\omega_{3}=0\}$となる. 分布 $(PT^{*}M, D)$ は, タイプ $(4n, 4n+3)$ 分布で 3-接触構造をもつ.
.. ,), $z_{i}=x_{i}+iy_{i}$ , でみてみる. 余接束
,
(
:
b.
$n+1$
T℃
の局所座標系は,idzi において,$PT_{\mathbb{C}}^{*}M$$\pi$$\omega_{1}={\rm Re}\omega_{\mathbb{C}},$ $\omega_{2}={\rm Im}\omega_{\mathbb{C}}$$\pi_{2}$$PT_{\mathbb{C}}^{*}M$$\omega_{3}$$\mathbb{C}^{n+1}$$(z_{1}, \cdot\cdot\tau, z_{n+1})=$$x_{1},$$\cdot\cdot 1$$x_{n+1},$ $y$$y_{n+1}$$\sum_{i=1}^{n+1}w$$(z_{1}, \cdot.

$=(x1, \cdot.

である. 射影余接束.

.

, z_{n+1}, w_{1}, \cdot.

.

, w_{n+1})$,$w_{i}=u_{i}+iv_{\dot{f}}$, x_{n+1}, y_{1}, \cdots, y_{n+1}, u_{1}, \cdots, u_{n+1}, v1, \cdot.

$PT^{*}\mathbb{C}^{n+1}$.

, v_{n+}1)$の非同次局所座標系として, $x_{n+1}=s,$ $y_{n+1}=r,$ $u_{n+1}=t,$ $v_{n+1}=1$

とおくと,$\omega_{1}$$\{$ $\omega_{2}$$\omega_{3}$idyi,$=ds+tdr+ \sum_{\dot{\tau}=1}^{n}vjdx_{i}+\sum_{i=1}^{n}u_{i}dy_{i}$ ,$=-dr$ $+tds$$+ \sum_{i=}^{n}1$$u_{i}dx_{i}- \sum_{i=1}^{n}v$

X$=-dt$ $- \frac{1}{2}(rds-sdr)-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}dx_{i}-x_{i}dy_{i})-\frac{1}{2}\sum$ $=1(v_{i}du_{i}-u_{i}dv_{i})$

139

がわかる.

$\omega_{1}$から $tds$ を除いて (-1) をかけたもの,$\omega_{2}$から $tdr$ を除いたもの,$\omega_{3}$から$\frac{1}{2}$(rds-sdr)とする. 分布を除いて (-1) をかけたものを, それぞれ改めて,に制限することによって, $(PT^{*}\mathbb{C}^{n+1}, D)$ は, 特にこの場合, 4 元型の 3-接触構造である. 一般の$M$ の場合. もちろん 4 元型ではない.
$\omega_{1},$$\omega_{2},$$D=\{\omega_{1}=\omega_{2}=\omega_{3}=0\}$$\omega_{3}$33. 3-Legendre 特異点論をめさしてよく知られているように, 接触構造に対して, Legendre の冠のつくはめこみ) ファイブレー
ション) リフト, 変換等という概念がある. 3-接触構造に対しても同様に, 3-Legendre はめこみ,ファイブレーション, リフト, 変換を定義する.
・複素 $n+1$ 次元 K\"ahler 多様体 $M$ の実 $4n+3$ 次元射影余接束 $PT^{*}M$ 上の上記の 3-接触構造$D$ が, 局所的 (あるいは, 芽のレベル) に $D=\{\omega_{1}=\omega_{2}=\omega_{3}=0\}$ である 3 つの 1-形式
で与えられているとする. $D$ に接する極大積分多様体の次元は であることがわかるから, $D$の 次元積分多様体を 3-Legendre 部分多様体という. 例として, 上記の 32. でのにおいて,$N=$ {(xi,) $|y_{i}=u_{i}=v_{i}=0,$ , $t=$ 定数}i;$\omega_{1},$$\omega_{2},$$\omega_{3}$$n$$(PT^{*}\mathbb{C}^{n+1}, D)$$n$$y_{i},$$r,$ $s,$$u_{\mathrm{b}}v$

$t$

$r$

$s,$

は, 3-Legendre 部分多様体である. 次元多様体 $N$ から $PT^{*}M$ へのはめこみ $f$ が 3-Legendre はのときをいう.
めこみであるとは,・束 : $PT^{*}Marrow M$ を, 3-Legendre ファイブレーションというならば, 各ファイバーは$2n+1$ 次元接触構造をもつから, 3-Legendre ファイブレーションは接触ファイブレーションで$n$$f^{*}\omega_{1}=f^{*}\omega_{2}=f^{*}\omega_{3}=0$

$\pi$

ある.

NI の 次元全実 (K\"ahler 形式に関して, イソトロピック) 部分多様体 $N$ の $PT^{*}M$ への
3-Legendre リフトを定義する. $N$ の複素化した多様体 N。は, $M$ の複素余 1 次元部分多様体でへの複素 Legendre リフトがある. それをさらに, 実射影余接あるから, 複素射影余接束
束 $PT^{*}M$ へ水平リフトしたを, 3-Legendre リフトという. そのとき, 3-Legendre リ
フト
は, $PT^{*}M$ の 3-Legendre 部分多様体である.
次元複素射影空間
に対して, インシデンス空間と双対複素射影空間‘と, さらに実インシデンス空間
を考えれば, において 3-Legendre 変換が定義される. アフィン・チャートの PT で $n+1$ で, 3Legendre 変換 を具体的にみてみる :$n$$\bullet$$PT_{\mathbb{C}}^{*}M$$N^{L}\subset N_{\mathbb{C}}^{L}$$N^{L}$$\mathbb{C}P^{n+1^{*}}$$\mathbb{C}P^{n+1}$$\text{・}n+1$$Q\cong PT^{*}\mathbb{C}P^{n+1}\cong PT^{*}\mathbb{C}P^{n+1^{*}}$$Q_{\mathbb{C}}\cong PT_{\mathbb{C}}^{*}\mathbb{C}P^{n+1}\cong PT_{\mathbb{C}}^{*}\mathbb{C}P^{n+1}$

$Q$

$L$

$L$

$L$

:

:

$PT^{*}\mathbb{C}^{n+1}arrow PT^{*}\mathbb{C}^{n+1}$.

$(x_{i}, y_{i}, u_{i}, v_{i}; r, s, t)\mapsto(X_{i}, Y_{i}, U_{i}, V_{\mathrm{i}};R, S, T)$$V_{i}=yi,$$X_{i}$$=u_{i},$ $Y_{i}=v_{i},$ $U_{i}=x_{i},$$R$$=E\mathit{7}=1$$S$$=- \sum_{i=1}^{n}(x_{i}v_{i}+y_{i}u_{i})-s$$T$$=- \sum_{i=1}^{n}(x_{i}y_{i}+u_{i}v_{i})-t$

$\{$

(

$x_{i}u_{i}-$!l l) $i)-r$ ,
$i$

,

.

これらの概念を手に入れることによって, 今, われわれは 3-Legendre 特異点論の緒に就いたわけである.

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謝辞

佐藤肇先生をはじめ, 阿賀岡芳夫さん, 石川剛郎さん, 高橋雅朋さんには, いろいろと議論にのってもらい多くのことを教えていただき, ここに改めて感謝をいたします 阿賀岡さんには, 一般$4n$ 次元での 3 つのシンプレクテイック形式を使った 4 元構造の特徴づけに関して, 表現論を使った膨大な計算をしていただきました. 石川さん, 高橋さんには, 従来の Legendre 特異点論から
3-接触構造の射影余接束, 3-Legendre 特異点論への拡張, 応用の是非などについて論じていただ
きました.

References[A]

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