通信工学概論
Introduction to Communication Engineering

第１回講義資料
Lecture notes 1

物理層の概観Overview of Physical Layer

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1信号伝送の簡単な例(Toy example for signal transmission)0または1を取る二つのデジタル信号𝑋𝑋1 と𝑋𝑋2 を誤りが生じないように伝送したい。
Realize error-free transmission of two digital signals 𝑋𝑋1 and 𝑋𝑋2 that take 0 or 1.

例１.１

二つの信号𝑋𝑋1 と𝑋𝑋2 を同時に伝送する。

Example 1.1

Transmit the two signals 𝑋𝑋1 and 𝑋𝑋2 simultaneously.

𝑌𝑌 = 𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2

受信者は実信号𝑌𝑌を受け取る。(The receiver receives the real signal 𝑌𝑌.)
𝑋𝑋1𝑋𝑋2𝑌𝑌000101011112

𝑌𝑌 = 1を受け取った場合、受信者は 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 = (0, 1)が送られたのか
𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 = (1, 0)が送られたのかを区別できない。

For 𝑌𝑌 = 1, the receiver cannot distinguish whether 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 = 0, 1 or 𝑋𝑋2 , 𝑋𝑋1 = (1,0) was sent.

信号間干渉のため、誤りなしの伝送は不可能

Error-free transmission is impossible because of interference between signals.
2時分割多重 (Time-division multiplexing)
例１.２

時点𝑛𝑛 = 1に信号𝑋𝑋1 を送り、時点𝑛𝑛 = 2に信号𝑋𝑋2 を送る。

Example 1.2

Send the signal 𝑋𝑋1 at time 𝑛𝑛 = 1 and 𝑋𝑋2 at time 𝑛𝑛 = 2.

𝑌𝑌𝑛𝑛 = 𝑋𝑋𝑛𝑛 ,𝑛𝑛 = 1, 2

受信者は時点𝑛𝑛 = 1に信号𝑌𝑌1 を受け取り、時点𝑛𝑛 = 2に𝑌𝑌2 を受け取る。
The receiver gets the signals 𝑌𝑌1 and 𝑌𝑌2 at times 𝑛𝑛 = 1 and 𝑛𝑛 = 2, respectively.

𝑋𝑋100

11

𝑌𝑌20

10

1𝑋𝑋2
𝑌𝑌100

100
111

𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 = (𝑌𝑌1 , 𝑌𝑌2 )として誤りなしの受信が可能である。

欠点

Error-free reception is possible due to 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 = (𝑌𝑌1 , 𝑌𝑌2 ).

Disadvantage

伝送に時間がかかる。（Transmission requires more time.）3周波数分割多重 (Frequency-division multiplexing)
例１.３
Example 1.3

周波数の異なる二つの余弦波を使って、𝑋𝑋1 と𝑋𝑋2 を同時に送る。
Send 𝑋𝑋1 and 𝑋𝑋2 simultaneously using two sinusoids with different frequencies.

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑋𝑋1 cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) + 𝑋𝑋2 cos(3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)

整合フィルタによる受信(Reception via matched filter)
1𝑓𝑓

1𝑓𝑓

1𝑓𝑓

1𝑓𝑓

1𝑓𝑓

𝑋𝑋1
� 𝑦𝑦 𝑡𝑡 cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑋𝑋1 � cos (2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑋𝑋2 � cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 cos(3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =2𝑓𝑓
00021𝑓𝑓

𝑋𝑋2
� 𝑦𝑦 𝑡𝑡 cos(3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑋𝑋1 � cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 cos(3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑋𝑋2 � cos (3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =2𝑓𝑓
0002

最後の等号は、次ページの補題を参照（See a lemma in the next paper for the last equalities.）

利点
Advantage

誤りなしの同時伝送が可能（Simultaneous and error-free transmission is possible.）
積分区間は高周波数ほど狭くなる。
The integral interval becomes narrower as the frequency increases.
4余弦波の直交性(Orthogonality between sinusoids)
補題１.1(Lemma 1.1)
�1/𝑓𝑓

0�

01/𝑓𝑓

12,cos (𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =2𝑓𝑓

証明(Proof)

1/𝑓𝑓

任意の自然数𝑘𝑘に対して、(For any natural number 𝑘𝑘)
�0cos 3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0.

２倍角の公式cos(2𝛼𝛼) = 2 cos 2 𝛼𝛼 − 1を使うと、Using the double-angle formula cos(2𝛼𝛼) = 2 cos 2 𝛼𝛼 − 1, we obtain2cos (𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �

1/𝑓𝑓

01/𝑓𝑓

1 + cos(2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝑡𝑡 sin(2𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝑑𝑑𝑑𝑑 = +2
24𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
0

積和公式2 cos 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 = cos 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + cos(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)を使うと、

1.
=2𝑓𝑓

Using the product-to-sum formula 2 cos 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 = cos 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + cos(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) yields

�1/𝑓𝑓

0cos(3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �

1/𝑓𝑓

01/𝑓𝑓
cos(5𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)cos(𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)𝑑𝑑𝑑𝑑 + �
𝑑𝑑𝑑𝑑
220sin 5𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋=
10𝜋𝜋𝜋𝜋1/𝑓𝑓
01/𝑓𝑓sin(𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋)+2𝜋𝜋𝜋𝜋 0= 0.

∎5帯域制限通信システム (Band-limited communication systems)
周波数分割多重は、干渉のない信号受信を実現できる。
Frequency-division multiplexing realizes interference-free signal reception.

帯域制限システム（Band-limited systems）
使用する周波数帯域を分割することで、異なる通信システム間の干渉を防ぐ。
Circumvent interference between different communication systems via frequency-division multiplexing.

帯域幅(Bandwidth)
連続的に割り当てられた周波数区間の幅
Width of a consecutively assigned frequency interval.

中心周波数（Center frequency）
使用する周波数区間の中心
Center of the used frequency interval

𝑓𝑓6帯域制限信号(Band-limited signals)
中心周波数𝑓𝑓c 、帯域幅𝑊𝑊の帯域制限信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)Band-limited signal 𝑥𝑥(𝑡𝑡) with center frequency 𝑓𝑓c and bandwidth 𝑊𝑊𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡) ,sinc(𝑡𝑡) =sin(𝜋𝜋𝜋𝜋),𝜋𝜋𝜋𝜋

𝑁𝑁−1𝑥𝑥b 𝑡𝑡 = � 𝑋𝑋𝑛𝑛 sinc 𝑊𝑊𝑡𝑡 − 𝑛𝑛 ,sinc 0 = 1

𝑛𝑛=0𝑋𝑋𝑛𝑛 は複素数だが、簡単化のために実数と仮定した。

𝑋𝑋𝑛𝑛 has been assumed to be real for simplicity while it should be a complex number.

注意(Remark)

この信号表現の導出は第３週と第４週の講義で行う。より厳密な導出については、信号解析論、情報通信システム（特）論II等で学ぶ。
This signal representation is derived in lecture notes 3 and 4. Learn Signal Processing andInformation and Communication Systems 2 for more rigorous derivation.
7

用語のまとめ (Terminology)
ベースバンド信号
Baseband signal𝑥𝑥b (𝑡𝑡)のこと。𝑥𝑥b (𝑡𝑡)の中心周波数が0のため。
Means 𝑥𝑥b (𝑡𝑡), because 𝑥𝑥b (𝑡𝑡) has zero center frequency.

Carrier wavecos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡)のこと。そのため、𝑓𝑓c は搬送波周波数とも呼ばれる。

変調

送りたいメッセージを物理信号に変換する操作

Modulation

To transform messages into physical signals.

搬送波

Means cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡), so that 𝑓𝑓c is also called carrier frequency.

𝑋𝑋𝑛𝑛 , 𝑥𝑥b (𝑡𝑡), 𝑥𝑥(𝑡𝑡)を生成する操作をすべて変調と呼ぶ。
Modulation may indicate operations to generate 𝑋𝑋𝑛𝑛 , 𝑥𝑥b (𝑡𝑡), or 𝑥𝑥(𝑡𝑡).

復調

物理信号を元のメッセージに変換する操作

Demodulation

To transform the physical signals into the original messages.

𝑥𝑥(𝑡𝑡)や𝑥𝑥b (𝑡𝑡)等からメッセージを推定する操作をすべて復調と呼ぶ。
Demodulation may imply operations to estimate the messages from 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑥𝑥b (𝑡𝑡), or etc.

8

帯域制限信号の例(Example of band-limited signals)𝑥𝑥b (𝑡𝑡)𝑥𝑥(𝑡𝑡)

𝑋𝑋0 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊)

𝑋𝑋2 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊 − 2)𝑋𝑋1 sinc(𝑊𝑊𝑊𝑊 − 1)

𝑁𝑁 = 3, 𝑋𝑋0 = 1, 𝑋𝑋1 = −1, 𝑋𝑋2 = 1, 𝑓𝑓c = 10𝑊𝑊の場合

9

復調(Demodulation)
帯域制限信号の性質(Properties of the band-limited signal)
1.
2.

𝑓𝑓c ≫ 𝑊𝑊の場合に、𝑥𝑥(𝑡𝑡)は𝑥𝑥b (𝑡𝑡)よりも遥かに速く変動する。
For 𝑓𝑓c ≫ 𝑊𝑊, 𝑥𝑥(𝑡𝑡) changes much faster than 𝑥𝑥b (𝑡𝑡).

整数𝑛𝑛 ≠ 0に対して、sinc( 𝑛𝑛) = 0が成立する。
sinc 𝑛𝑛 = 0 holds for any integer 𝑛𝑛 ≠ 0.

性質１から区間[𝑡𝑡, 𝑡𝑡 + 𝑓𝑓c−1 ]で𝑥𝑥b (𝑡𝑡 ′ )が変化しないと近似すると、

𝑥𝑥b (𝑡𝑡)の再構成

Reconstruction of 𝑥𝑥b (𝑡𝑡) Assuming that 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 ′ is approximately fixed in [𝑡𝑡, 𝑡𝑡 + 𝑓𝑓c−1 ], from Property 1, we have�
𝑡𝑡

𝑡𝑡+𝑓𝑓c−1′

𝑥𝑥 𝑡𝑡 cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 𝑥𝑥b 𝑡𝑡 �𝑡𝑡

𝑡𝑡+𝑓𝑓c−1

𝑥𝑥b 𝑡𝑡cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 =2𝑓𝑓c2′′

最後の等号は補題１.1から従う。(The last equality follows from Lemma 1.1.)

積分により、𝑥𝑥b (𝑡𝑡)を再構成できる。(𝑥𝑥b (𝑡𝑡) can be reconstructed via the integration.)10

復調(Demodulation)
性質２から、𝑥𝑥b (𝑡𝑡)のサンプリングにより𝑋𝑋𝑛𝑛 を再構成できる。
Property 2 implies that 𝑋𝑋𝑛𝑛 can be reconstructed via sampling of 𝑥𝑥b (𝑡𝑡).

𝑥𝑥b

𝑁𝑁−1

𝑛𝑛= � 𝑋𝑋𝑛𝑛′ sinc(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛′ ) = 𝑋𝑋𝑛𝑛 sinc(0) = 𝑋𝑋𝑛𝑛 ,𝑊𝑊′𝑛𝑛 = 0, … , 𝑁𝑁 − 1

𝑛𝑛 =0

実際のシステムでは、別の方法で再構成される。

Another method is used for the reconstruction in practical systems.

𝑋𝑋𝑛𝑛

デジタル
信号処理
Digital𝑥𝑥b (𝑡𝑡)

Signal Process.

アナログ
信号処理
AnalogSignal Process.

𝑥𝑥(𝑡𝑡)

アナログ
信号処理
Analog𝑥𝑥b (𝑡𝑡)

Signal Process.

変調

デジタル
信号処理
Digital𝑋𝑋𝑛𝑛

Signal Process.

復調

ノイズなしの通信路(Noiseless Channel)
11デジタルとは何か？(What is digital?)
離散時間(Discrete time)
信号𝑋𝑋𝑛𝑛 の添え字𝑛𝑛は、整数値のみを取る。
The index 𝑛𝑛 in the signal 𝑋𝑋𝑛𝑛 only takes integers.

時間を離散化したことによる性能劣化は理論上ない。
Time discretization does not degrade theoretical performance.

離散信号(Discrete signal)
信号𝑋𝑋𝑛𝑛 は離散的な値のみを取る。
A signal 𝑋𝑋𝑛𝑛 only takes discrete values.

物理層の中心的話題
The main topic in the physical layer

12デジタル信号の例 (Digital signal examples)
２位相偏移変調(Binary phase-shift keying, BPSK)
12𝑋𝑋𝑛𝑛O４パルス振幅変調(4-level pulse-amplitude modulation, 4 PAM)
1324𝑋𝑋𝑛𝑛O

３２パルス振幅変調(32-level pulse-amplitude modulation, 32 PAM)
32

1・・・・・・・・・

O・・・・・・・・・

𝑋𝑋𝑛𝑛

13

なぜデジタル信号を使っても良いのか？(Why are we allowed to use digital signals?)
払うべき代償(Price to pay)
本講義は、どの程度の性能劣化を許容すれば、デジタル信号を使用することができるのかを明らかにする。
This lecture reveals how much degradation has to be tolerated to use digital signals.

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