数理解析研究所講究録
1042 巻 1998 年 193-220$\mathbb{C}^{2}$193の複素力学系に関する Bedford-Smillieの最近の結果についてby石井豊 (Yutaka ISHII)*

Department of Mathematical Sciences
University of Tokyo

Abstract
I report some recent results on the dynamics of polynomial diffeomorphisms ofestablished by E. Bedford and J. Smillie. Relationships between the minimalityof the Lyapunov exponent, the connectivity of the Julia set, behavior of “dynamical
crtical points” et cetera are investigated. Key tools in their analysis (pluripotential
theory, Pesin theory and laminated spaces) are also explained.
$\mathbb{C}^{2}$

1

初めに1990 年代初頭から、 E. Bedford と J. Smillie (–部 M. Lyubich と共同) はPolynomial Diffeomorphisms of$\mathbb{C}^{2}$: I-VIIとタイトルされた–連の論文の中で、複素二次元空間における多項式自己同型写像の力学系について、幾つかの重要な結果を得ました。このうち、 前半の部分 (パート 1 からパー
ト 4 まで)は既に論文として出版されているので、本稿では現時点 (1997 年秋) でまだプレプリントの状態にある後半 (パート 5 から$\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash ^{\circ}-$ト.7) の内容について解説を試みます。ちなみに、 これらのプレプリントはインターネットを通して入手が可能です。詳しくはニューヨーク州立大学ズトーニー. ブルック校にある力学系のホームペ一ジ

http:$//\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}$. math. sunysb.

$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}/\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s}/\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}_{\mathrm{P}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{s}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}/\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}$. htmlにアクセスして下さい。

address: Graduate School of Mathematics, Kyushu University, Hakozaki,
Fukuoka 812, Japan. -mail: yutaka\copyright math. kyushu-u. . jp$*\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$$\mathrm{E}$$\mathrm{a}\mathrm{c}$194
以下では、 まず第二章において、 Friedland-Milnor の分類定理について述べた後、複素二次元におけるジュリア集合やグリーン関数を定義します。第三章では、 Bedford-Smillie
理論を理解する上でキーとなる三つの予備知識のうちの–つめ、「多重ポテンシャル理論) について説明します。続く第四章ではこの多重ポテンシャル理(pluripotential
論を先のグリーン関数に応用してある不変測度を定義し、 そのエルゴード論的性質につ$\rfloor$$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{y}$いて調べます。第五章では二つめの道具である$\text{「^{}\mathrm{p}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}\mathrm{i}\mathrm{n}}$理論」 を簡単に復習し、第六章ではそれを用いて、前々章で定義された不変測度の安定不安定多様体に付随した幾何学的性質を考察します。 また第七章では力学系的な “critical points” を考えている力学系 (しかしこれは微分同相写像である ) に対して定義し、 その分布を表す “critical measure”と力学系のリヤプノブ指数との間に成り立つある積分公式 (パート 5 の主定理). を紹介します。第八章で三つめの道具である 「space」の概念 (特に Riemann surface$!$$\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}$lamination) を導入し、最後の第九章で (ノ$\backslash ^{l}-$$\}\mathrm{c}6_{\text{、}}7$の) 主定理を述べ、 その証明の流れの–部について説明します。

,
尚、今回第九章で述べる証明の方法は、現在入手可能なパート 5 からパート 7
だけではなく、 その予稿であったプレプリント [BSO] にも –部依っています。
$[\mathrm{B}\mathrm{S}5$$\mathrm{B}\mathrm{S}6,$2$\mathrm{B}\mathrm{S}7]$

ジュリア集合とグリーン関数
以下、力学系としては$f=f_{p_{1},b_{1}}\mathrm{o}f_{p}2,b20$...

$\mathrm{o}fp_{k},b_{k}$の形の写像のみを考えることにします。 ここで、 各.

$f_{p:,b:}[]\mathrm{h}$–般エノン写像 (generalized

H\’enon mapping):$f_{p,b}$: $-(^{p(x)}.X^{-by})$なる特加な形をした族 [He] のことで、 $p(x)$ は複素係数–変数の (モニックな) 次数 2 以からそれ自身への多上の多項式、 はゼロでない複素パラメータとします。写像 $f$ が$\mathbb{C}^{2}$$b$のような写像のことを多項式自己同型と呼ぶ) ことは容易にチェックできます。 また、 $f$ のヤコビァン行列式は定からまでの次数の積を $d(\geq 2)$ で表になります。以後では、多項式数項式写像で、かつ逆写像も存在してそれもまた多項式になる$b\equiv b_{1}\cdots b_{k}$$(_{arrow}^{}$$p_{k}$$p_{1}$

して、 $f$ の次数と呼ぶことにします。
さて、 なぜ上のような特別な形をした写像 $f$ のみを考えるのかという理由は、次のFriedland-Milnor の結果によっています。いま、$\mathbb{C}^{2}$の多項式自己同型全体のなす群を$G$としたとき、Theorem 2.1 (Friedland-Milnor [FM])

$G$

の元

$g$

で ‘力学系的に非自明なもの” は、上のような形のある $f$ とアファイン写像で共役になる。

195
ここで “力学系的に自明な”り、各複素直線上で

$g$

$g$

とは、 その非遊走集合が–点または有限個の複素直線であの何回かの反復はその自己同型になるような写像のことです。ですから、力学系の観点からは、上のような形をした $f$ のみを考察すれば十分であることが結論されます。

の元のヤコビアン行列式は必ずゼロでない定数になることは容易にわかRemark 22
るが、逆に「C2 の多項式写像でそのヤコビアン行列式がゼロでない定数ならそれは実は多項式自己同型か ? という問題をヤコビアン予想と言う。また、先の Friedland と Milnorの結果は、 Jung の定理「G はアファイン写像と初等写像
. を
. に写
$G$

$\text{」}$$(_{y\mathrm{s}}=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}$$y=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{t}’$す) で生成される」 に基づいている。

では、上のような力学系 $f$ に対し、 Hubbard と Oberste-Vorth [HO] に従って以下のような不変集合を考えましょう。
$U^{\pm}\equiv\{\in \mathbb{C}^{2}|||f^{\pm n}||arrow+\infty(narrow+\infty)\}$$K\text{士}\equiv \mathbb{C}^{2}\backslash U^{\pm}$

ここで、$J^{\pm}$は$\{f^{\pm n}\}_{n\geq 0}$,$J^{\pm}\equiv\partial I\{\pm$,.

が正規族にならないような初期点全体としても特徴付けられます。更に $f$ のジュリア集合 (Julia set) を$J\equiv J^{+}\cap J^{-}$,

で定義します (図 1)。
これらの集合を解析するために、次の様なグリーン関数 (Green functions):$G^{\pm} \equiv\lim_{narrow\infty}\frac{1}{d^{n}}\log+||f^{\pm n}||.\cdot$を考えましょう。更に次の写像:$\varphi^{+}\equiv\lim_{narrow\infty}(\pi_{1}\mathrm{o}f^{n})^{1/d^{\mathfrak{n}}}$が以下では重要な役割を果たします。 ここで、$\pi_{1}$,は第–座標への射影を表し、 また根の分枝としては、 $||(x, y)||$ が無限遠に向かうとき、$\varphi^{+}$

が$\pi_{1}$乗にタンジェントするようなものを取ります。実際、十分大きな $R>0$ に対し、 この写像は$V^{+}\equiv\{\in \mathbb{C}^{2}||x|\geq|y|,$$d^{n}$$|x|\geq R\}$

196
で定義され、 そこで解析的になります。定義から直ちに

(1)
が

(

$G^{+}\mathrm{o}f=d\cdot G^{+}$$\mathbb{C}^{2}$$G^{-}$

全体で成立し、 $G^{+}(x, y)>0$ の必要十分条件が $(x, y)\in U^{+}$ であることも示せますについても同様)。 また$V^{+}$(2)上で$\varphi^{+}\mathrm{o}f=_{\mathrm{s}}(\varphi^{+})^{d}$

かつ $\log|\varphi^{+}(x,y)|=c+(x, y)$ も容易にわかります。 ところで、簡単な計算から、$U^{\pm}= \bigcup_{n\leq 0}f^{\pm}V^{\pm}$がわかりますが、実は上の等式 (2) を満たすようにきないことが知られています [HO]。そこで、 この$\varphi^{+}$$\varphi^{+}$を$\mathbb{C}^{2}$

全体には決して連続拡張でがいつ $J^{-}\cap U^{+}$ に沿って解析接続

出来るか、 を考察することが以後での鍵となります。

更に詳しいグリーン関数の性質として、以下がわかります。

Lemma 23$G^{\pm}$は$\mathbb{C}^{2}$

で連続かつ多重劣調和、

次章ではここに出てきた「多重劣調和$U^{\pm}$

で多重調和。

$\text{」_{、}}$$-(\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{C})$「多重調和 (pluriharmonic) 」

なる用語等を解説しましょう。

3

多重ポテンシャル理論とカレント
本章では、空間の次元を二次元に制限せず、一般的に詳細は Klimek のテキスト [$\mathrm{K}1|$$\mathbb{C}^{n}$

の開集合

$U$

の上で考えます。

を参照して下さい。

Definition 31 上半連続関数:$u$: $Uarrow[-\infty, +\infty)$(但し、 $U$ の如何なる連結成分上でも$u\not\equiv-\infty$とする) が全ての複素直線上で (–次元の意味で) 劣調和あるいは恒等的に $-\infty$ のとき、

$u$は多重劣調和 (plu 加 subham onic) であると言う。

多重劣調和関数はいわゆる「最大値の原理」を満たします。また、多重劣調和関数 と正則関数 との合成
はまた多重劣調和になります。特に、ある holomorphic dynamicsの安定 (不安定) 多様体に多重劣調和関数を制限すると、 (安定多様体上の座標に関して)
$u$

$h$

$h\mathrm{o}u$

また多重劣調和になることがわかります。続いて、

197
Definition 3.2$u,$ $-u$がともに多重劣調和であるとき、

$u$

は多重調和

$(plu\dot{\mathcal{H}}hamoni_{C})$であるという。
$C^{2}$

級関数

$u$

に対して、
$dd^{\mathrm{C}}u \equiv 2i\sum_{j,k}\frac{\partial^{2}u}{\partial z_{j}\partial\overline{Z}_{k}}dZ_{j}\wedge d\overline{Z}k$と定義します。 この時、$C^{2}$級関数$u$

か $dd^{\mathrm{c}}u=0$ であることと多重調和であることは同値になります (実は、後に述べるカレントの意味で考えれば、.
落としても構いませ)。
.

$C^{2}$

級であるという仮定は続いてカレントについて説明しましょう。いま、二種類のフォ $-$ ムの空間を考えます :,$D_{p,q}(U) \equiv\{_{|I|\mathrm{I}\mathrm{I}=}=p|i_{\mathrm{p}}\sum_{qJ}\emptyset I,Jdz_{i_{1}}\wedge\cdots\wedge d_{Z}\wedge d\overline{z}_{j}\wedge\cdots\wedge d1\overline{Z}_{j_{q}}|\emptyset I,J\in C_{0}^{\infty}(U)\}$$C_{\mathrm{p},q}(U) \equiv\{_{|I|}=p||j|=i_{p}\sum_{q}\emptyset I,Jd_{Z_{i_{1}}}\wedge\cdots\wedge dz\wedge d\overline{z}_{j_{1}}\wedge\cdots\wedge d\overline{z}_{\mathrm{j}_{q}}|\phi_{I,j}\in C_{0}0(U)\mathrm{I}$

ここで $I=(i_{1}, \cdots, i_{p})$ や $J=(j_{1}, \cdots,j_{q})$.

はマルチインデックスです。それぞれの空間での位相は通常の超関数論と同様のものを考えて下さい。 $D_{p,q}(U)$ をテストフォーム(test form) の空間と呼びます。

Definition 3.3 $D_{n-p,n}-q(U)$ 上の連続線形汎関数のことを ( , q)-カレントと呼ぶ。
$p$

カレントの重要な例を–つ考えましょう。 いま、 $M$ を$\mathbb{C}^{n}$の複素あって、局所有限な実 $2k$ 次元体積を持つものとします。 この時、$k$次元部分多様体で$\varphi\in D_{\dot{k},k}(\mathbb{C}^{\dot{n}})$に対して$[M]( \varphi)\equiv\int_{M}\varphi|_{M}$とおくと $[M]$ は $(n-k, n-k)-$ カレントとなります。 ここで例珂とは、 $M$ の$\mathbb{C}^{n}$への包含写像から微分形式の空間に誘導される自然な写像による\mbox{\boldmath $\varphi$} の引き戻しです。このようなカレント $[M]$ のことを、 $M$ の積分カレント (current of integration) と呼びます。
以後では次の事実が重要となります。

Proposition 3.4 ([K1], Proposition 335)$u$が多重劣調和の時、$dd^{\mathrm{c}}u$は $c_{n-1,n-1}(U)$上の連続線形汎関数に拡張される。
これは、 -変数関数論において、劣調和関数にラプラシアンを施したものは正値超関数、

すなわち測度になる、 という事実の拡張です。
さて、 一般に超関数同士の (あるいはカレント同士の) 積は定義できませんが、上のProposition にあるようなカレントに対しては、次のように積がうまく定義できます。

198
Definition 3.5 連続な多重劣調和関数$u_{1},$

に対して、 その積 $dd^{c}u_{1}\wedge dd^{C}u2$ を$u_{2}$$(dd^{c}u_{1}\wedge dd^{\mathrm{c}}u_{2,x\rangle}\equiv(dd^{c}u_{1}, u_{2}dd^{c}\chi)$,$\chi\in D_{n-2,n-}2(U)$で定める。
ここで、前の Proposition より、
さい。 また、上式の両辺は各できます。更に、
レント$u_{i}$$dd^{c}u_{1}\wedge dd^{c}u_{2}$$u_{i}$$dd^{\mathrm{c}}u_{1}$は $u_{2}dd^{c}\chi$ に対して値を持つことに注意してくだが可微分な時には微分形式として等しいことがチェ
ック.

を上から滑らかな多重劣調和関数で近似することにより、 $(2, 2)-$ カ
も $C_{n-2,n-2}(U)$ 上の連続線形汎関数に拡張されることが示されます([K1], page 113) 。特に、 $n=2$ の時、$dd^{c}u_{1}\wedge dd^{\mathrm{C}}u2.$.

は正値測度になることが結論されます。

4

最大エントロピー測度の構成とその性質

この章では、前章で解説した多重ポテンシャル理論を今考えている力学系に適用してみまはで局所可積分だから、 $(1, 1)-$ カレント
しょう。まず、グリーン関数$G^{\pm}$を. 1$—-\cdot\perp$$\mathbb{C}^{2}$.

$\mu^{\pm}\equiv\frac{1}{2\pi}dd^{\mathrm{C}}G^{\pm}$. 1$-\cdot\perp$$(_{\overline{2\pi}}dd^{c}G1\pm, \chi)\equiv\langle_{\overline{2\pi}}G^{\pm}\mathrm{A},$$—$.

$ddc\chi)$,$\chi\in D_{1,1}(\mathbb{C}^{2})$で定義できます。 この時、以下がわかります。

Proposition 4.1$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu^{\pm}=J^{\pm}$.Proof. Lemma 23 よりる。 よって$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu^{+}\subset J^{+}$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu^{+}\cap W$

かつ$\mathbb{C}^{2}$となで多重調和なので、 カレントの意味で\mu +が言える。逆に、 ある点 $x\in J^{+}$ とその近傍 $W$ が存在して、$G^{+}$

は$U^{\dotplus}$$\equiv 0$が空だったとする。 このとき $W$ 上$dd^{\mathrm{C}}G^{+}.\equiv 0$となる。 $W\cap K^{+}$ 上 $G^{+}\equiv 0$

上 $G^{+}\geq 0$ だから最小値原理より W 全体で $G^{+}\equiv 0$ 。これは $W\cap U^{+}$ 上 $G^{+}>0$

であることに反する。 (証明おわり)

カレントの引き戻し $f^{*}ddcG^{\pm}\equiv ddc(c\pm \mathrm{o}f)$ に関して、(3)$f^{*}\mu^{+}=d\mu^{+}$,$f^{*} \mu^{-}=\frac{1}{d}\mu-$(1) から直ちにわかります。
は多重劣調和だったことから、 Definition 3.5 より、$.\text{が成立することは_{、}等式}$

また各$G^{\pm}$$( \mu^{+}\wedge\mu^{-}, \chi)=(\frac{1}{2\pi}dd^{C}G_{+}, \frac{1}{2\pi}G-dd\mathrm{c}x)$で定めることが出来、 この

$\mu$

,

は測度になります。更に、$\mu\equiv\mu^{+}..\wedge$$\chi\in D_{0,0}(\mathrm{c}^{2})$\mu - を

199
Proposition 42$\mu$

は $f$ -不変な確率測度になり、が確率測度になることは、 がmeasure) になることから導かれます ($\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu\subset J$を満たす。

の複素平衡測度 (complex $equilib\dot{\eta}um$
Theorem 421)。その他の主張は等式 (3) か$K\equiv K^{+}\cap I\zeta^{-}$

$\mu$

$\mu$

$.[.\cdot \mathrm{N}\mathrm{i}].’$.

ら明らかでしょう。

Remark 43

$f$

$-$

(hyperbolic) なとき、単にが $J$ 上で双曲的あると言う。 Bedford–Smillie により、示されている [BS1]

$f$

$f$

が双曲的なときにはが双曲的 (hyperbolic) で$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu=J$であることが(但し、 一般の場合は未解決)。

さて、第三章で説明した積分カレント $[M]$ を用いて、 Bedford と Smillie は以下の重要な事実を示しました。

Theorem 44(Bedford-Smillie . [BS2]) $M$ を$J^{-}$

内の局所閉–次元部分多様体とする。 この時、 ある $c>0$ が存在して、$\lim_{narrow+\infty}\frac{1}{d^{n}}[f\dot{n}_{M}]=c\mu^{-}$

が成立する。

この事実がパート 1 からパート 3 までにおける彼らの研究の最大の武器となっており、で稠密になること、 $f$ の安
例えば、任意のサドル周期点に対してその不安定多様体が$J_{-}$

定周期軌道 (が二つ以上ある時) の吸引領域として現れる Fatou-Bieberbach 領域の境界は決して位相多様体にならないこと等 [BS2] が示されます。上記の Theorem 44 の証明及び周辺の結果については、西村先生による日本語で書かれた大変詳し炉解説 [Ni] がありますので、 そちらを参照して下さい。

本章の最後に、 この不変測度

$\mu$

.

の力学系的性質をもう少し詳しく見てみましょう。 まず、変分原理的特徴付けとして、

Theorem 4.5 (Friedland-Milnor [FM], Bedford-Smillie [BS3], Smillie [Sm],[BLS]$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}-\mathrm{L}\mathrm{y}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{i}_{\mathbb{C}\mathrm{h}}-\mathrm{s}_{\mathrm{m}\mathrm{i}}11\mathrm{i}\mathrm{e}$$)$$\mu[]\mathrm{h}$$h_{\mu}(f)=\dot{h}(f)=\log d$ .

を満たす。更に上式を満たすような
すなわち

$\mu$

$f$

-不変確率測度は

$\mu$

のみ。

は–意的な最大エントロピー測度 (maximal $ent$ -roPy measure) として特徴付けられます。 さて、 一般の $f$ はもちろん双曲冠ではありませんが、常に次の意味での“弱い双曲性” を持ちます。

Theorem 46 (Bedford-Smillie [BS3]). 双曲的測度 (hyperbolic measure)。
$\text{の})$$\mu$は混合的 (mixing) かつ (サドルタイプ

200
はエルゴ-. ト\tilde 的 (ergodic) となります。 ここで言う 「測度の双曲性」の概念は以後話を進める上で大変重要で、次章で詳しく説明します。 ちなみに、が双曲的測度になるという事実は、 ([BS3] では具体的にリアプノブ指数の評価をしてい前半の事実から、特に

$\mu$

$\mu$

ますが) 実は $h_{\mu}(f)>0$ であることと Margulis-Ruelle の不等式 (例えば$[\mathrm{P}\mathrm{o}]\rangle$

から直ちに導かれます。

5

Pesin 理論

本章では、 Bedford-Smillie の仕事を理解する上で必要なふたつめの道具である Pesin 理
上の力学系 $f$ に絞って簡単に復習します。 Pbllicott
論を、 (議論を見通し良くする為に)$\mathbb{C}^{2}$の本 [Po] 1 よ (間違いが多いですが) この方面の内容についてコンパクトにまとめられたテキストです。

まず、以下の事実は多重エルゴード定理としてよく知られています。

Theorem 5.1 (Oseledec) もし が -不変なエルゴード的確率測度なら、
とんど全ての で Dfp ー不変な直和分解 :
$\nu$

$f$

$\nu$

に関しほ

$P$

$T_{p}\mathbb{C}^{2}=E_{p}^{1}\oplus E^{2}\mathrm{P}$と$\lambda_{1}\geq\lambda_{2}$$Df_{p}(E_{p}^{i})=E_{J}\dot{*}\mathrm{t}p)$’が存在し、全てのゼロでないベクトル$v\in E_{p}^{:}$

に対して、$\lim_{narrow\infty}\frac{1}{n}\log||(Df^{n})pv||=\lambda.\cdot$が成立する。

上の定理にあるの最大のものを$\lambda_{1}\geq\lambda_{2}$を $f$ の特性指数 (characteristic exponents) と呼び、特にそ$\Lambda_{\nu}(f)\equiv\lambda_{1}$と書いて、 $f$ のりヤプノブ指数 (Lyapunov exponent) といいます。 さて、前章で出た「測度の双曲性」の定義は、以下のようなものです。

を満たすとき、
Definition 5.2
erbolic measure) であると言う。

$\dot{\nu}$$\lambda_{1}>0>\lambda_{2}$は (サドルタイプの) 双曲的測度(hyP-

このような双曲的測度を持つ力学系に対して安定不安定多様体定理を与えたのが Pesinです。 この定理を述べる為に次のような集合列を考えましょう。

Definition 53 サドルタイプの双曲的測度満たす$\epsilon>0$を固定する。 このとき各$k\in \mathrm{N}$There exists a splitting
so that, for all $n\geq 1,$

$\nu$

に対して、

について、

$T_{x}\mathbb{C}^{2}=E_{x}^{u}\oplus E_{x}^{S}$$m\in \mathbb{Z}$$\Lambda_{k}\equiv|$$x\in \mathbb{C}^{2}$

(i)
(ii)
(iii)

$\lambda_{1}\gg\epsilon>0_{\text{、}}-\lambda_{2}\gg\epsilon>0$of the tangent, we have$||Df^{n}|D!m(E_{x}^{s})||\leq eek(e\lambda 2+\epsilon)ne^{1}m|$,$||Df^{-}n|_{Df^{m}}(E_{x}u)||\leq e^{\epsilon k}e^{-(\lambda}-\epsilon)ne1\mathfrak{l}^{m}\mathrm{I}$$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\}$,$\tan\angle(Dfm(E_{x}S), Dfm(E_{x}^{u}))\geq e^{-\epsilon k}e^{-}\epsilon|m\mathrm{I}$

.

を

201
と定める。

このとき、各$\Lambda_{k}$は閉集合であって、$\Lambda_{k}\subset\Lambda_{k+1}$

であり、$E_{x}^{i}$の方向は各$\Lambda_{k}$上連続になることが知られています。但し、一般には各飯は f-不変にならないことに注意して下さい。

Definition 5.4 集合$\mathcal{R}\equiv\bigcup_{k}\Lambda_{k}$を $f$ の Pesin 集合 (Pesin set あるいは regular set) と呼ぶ。

Theorem 55(Oseledec)$\nu(\mathcal{R})=1$.

以上の設定のもと、 Pesin の定理は以下のように表現されます。

Theorem S.6 (Pesin) ある免 $>0$ が存在し、各
(i) 点

$x$

$x\in\Lambda_{k}$に対して$r\equiv\epsilon_{0^{e^{-ek}}}$とおくと、での局所不安定多様体 :$.W_{l_{\mathit{0}}}^{u_{\mathrm{C}}}(x)\equiv\{y\in \mathbb{C}^{2}|d(f^{n}(x), fn(y))<r,$$d(f^{n}\{X),f^{n}(y))<e1^{\lambda_{1}-e})n$$(n\leq 0)\}$が存在し(ii) しかもはある正則関数$W_{\iota\circ c}^{u}(X)$$h$:: $D^{u}(r)\equiv\{y\in E_{x}^{u}|||y||<r\}arrow E_{x}^{S}$のグラフとして表わされ、(iii)$T_{x}W_{\iota_{\mathit{0}}^{u_{\mathrm{C}}}}(X)=E_{x}^{u}$を満たす o

局所安定多様体についても上の (i) から (iii) と同様の事実が成立する (図 2)。
すなわち、

動は

6

$x$

$\mathcal{R}$

の属する

の各点
$\Lambda_{k}$$.x$で局所安定不安定多様体が存在し、 しかもその局所多様体の挙

の番号

$k$

でコントロールされることを、上の定理は示しています。

最大エントロピー測度の幾何学的構造

Pesin 理論を組み合わせて、最大エントロピの構造をより詳細に解析します。そのために、 まず局所平安定多様体の族をさて、 いよいよ多重ポテンシャル理論と

一測度

$\mu$

$\lambda$

202“foliation” として捉えることから出発します。いま、の$\delta$-近傍 (但し、$0<\delta\ll\epsilon_{0}$賑を固定し、 $F$ を $x0$ の飯で
e-\epsilon り とします。局所不安定多様体の族による “foliation” :$x_{0}\in$$F_{F}^{u}\equiv\{W_{l_{o\mathrm{C}}}^{u}(X)|x\in F\}$とその和集合:$W_{lo\mathrm{C}}^{u}(F)\equiv\cup y\in FWu(l_{\mathit{0}}Cy)$に Cl-位相で十分近いものを考え、 乃の tranversals $D_{:}(i=1,2)$ であって、-位相で十分近いとは、 (Theorem 55
を二つとります。但しここで二つの部分多様体が$W_{l_{\mathit{0}}}^{s}\mathrm{c}(x_{0})$$C^{1}$に於ける$C^{1}$のように) それぞれの多様体をそのグラフとして表現するような関数同士が$h$-位相で十分近いことを意味します (図 3) 。この時、 foliation に沿つた holonomy map.
$\chi=\chi(D_{1}, D_{2},F_{F}u).:D_{1}\cap W_{\iota_{\mathit{0}}\mathrm{c}}^{u}(F)arrow D_{2}\cap W_{lo}^{u_{\mathrm{C}}}(F)$が矛盾なく定義され、 この$D_{2}\cap W_{\iota}u(\circ cF)$$\chi$

は($\Lambda_{k}$上のの傾きの連続性から)$E_{x}^{u}$$D_{1}\cap W_{\iota_{\mathit{0}}^{u}\mathrm{c}}(F)$との問の同相写像を与えます。よって、$e^{u}/SW_{\iota_{\mathit{0}}}^{u}/S(F)\text{、}P^{u}/\equiv S\equiv s\mathrm{c}\circ C(u/S\cap W_{\iota}^{s/}uXo)$とした時、 $B\equiv B^{u}\cap B^{s}$ は直積集合

Definition 61 上の$B$$P^{u}\cross P^{s}$

を Pesin box$.\text{、}B^{\mathrm{s}}$.

と同相になります。

(resp.

$B^{u}$’.

) を安定 (resp. 不安定) Pesin boxという。

各面はコンパクトなので、 Pesin 集合$\prime \mathcal{R}$は可算個の Pesin box で覆われることに注意して下さい。
さて、 ある $D$ と $D$ 上のテスト関数$\phi$に対し、$\mu^{-}|_{D}(\emptyset)\equiv\frac{1}{2\pi}\int G^{-}|_{D}dd\mathrm{C}|_{D}\phi$

は $D$ 上の測度 (slice measure と言う) になります。 この時、 以下のよと置くと、$\mu^{-}|_{D}$うには holonomy map$\mu^{-}|_{D}$$\chi$

に関して不変になります。

Theorem 6.2 (Bedf.o rd-Lyubich-Smillie [BLS]).

$(\chi)_{*}(\mu^{-}|D^{\mathrm{L}(D_{1^{\cap}}}1u_{\mathrm{C}}W_{lo}(F)))=\mu^{-}|_{D_{2}}\mathrm{L}(D_{2\mathit{0}}\cap W_{l}u_{\mathrm{C}}(p))$

ここで$\mu^{-}|_{D\llcorner}A$は測度$\mu^{-}|_{D}$の集合 $A$ への制限を表す。

をある Pesin box $B$ に制限したものは、$B$の直積構造に付随した、直積測度の構造を持つことがわかります。より詳しく言うと、$B$を–つの Pesin box とした

この事実から、とき、$\prime p^{u/s}$

$\mu$

上の測度

:

$\lambda^{u/s}\equiv\mu^{+/}-|_{W_{\mathrm{t}}}\vee\cdot \mathrm{o}\mathrm{c}/u(x\mathrm{o})\llcorner \mathcal{P}^{u}/S$を考えると、$P^{u}\cross P^{\mathrm{s}}$ることが示されます。

上の直積測度$\lambda^{u}\otimes\lambda^{s}$

を $B$ への同相写像で送ったものが\mu \llcorner B にな

203
力学系的 critical points と critical measure7

この章では、 まず複素–変数多項式 P. の critical points のポテンシャル論的位置と のリヤプノブ指数との関係を与える Manning-Przytycki の定理を紹介することから始めま
$P$

す。
を

$J_{p}$$\sqrt P$

を -変数多項式$P$のジュリア集合 (定義は、例えば [Mi] を参照して下さい)1の調和測度 (Brolin measure とも呼ばれる) としましょう。

$\nu$

に付随した

$P$

$\nu$

のりャ

プノブ指数は$\lambda_{\nu}(p)\equiv\lim_{narrow\infty}\frac{1}{n}\int\log|Dp^{n}(X)|d\nu(x)$で定義されます。 このとき、Theorem 7.1 (Manning [Ma], Przytycki [Pr]) -変数多項式$P$(次数は $d\geq 2$ とする) に対して$\lambda_{\nu}(p)=\log d+\sum c(_{C}i)i$となる。 ここで、$\{c.\cdot\}$

は

$P$

の

critical points で、$G$は$J_{p}$のグリーン関数。

の多本章の目標は、上述の定理の類似である積分公式 (上式の和が積分に変わる) を
項式自己同型に対して示すことです。ところが、いま我々の考えている力学系月よ微分同相
写像なので、普通の意味での critical point を持ちません。そこで Bedford と Smillie [BS5]やの外側で定義しました。
は以下のようにして の力学系的 “critical points” を$\mathbb{C}^{2}$$I\zeta+$$f$$I\acute{\mathrm{t}}^{-}$

まず、$’\tilde{\mathcal{R}}\equiv\{x\in \mathcal{R}|$

There exist$k$and infinitely many $n_{j}<0$ so that$f^{n_{j}}.x\in\Lambda_{k}\}$とおきます。

Definition 72 上述の定義のもと、$C^{u}\equiv\cup \mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}p\in\tilde{\mathcal{R}}\mathrm{t}(G^{+}|wu\mathrm{t}p)\backslash K+)$

とおいて、 この集合の元をCrit $(g)$ は

$g$

$f$

の

(unstable) dynamical$c\dot{n}ti_{C}al$point と呼ぶ。 ここで、(通常の意味での) critical points の集合を表す。

の.

$\cdot$

わす測度,critical measure
するために、兎の性質について少し考察してみます。
次に、 この dynamical critical points の分布をあProposition 73 以下の事実が成立する。

.

$(.i)\mu(\tilde{\mathcal{R}})=1$,$.\text{ら}$$\mu_{c}^{-}$

を定義

204
(ii) $x\in$ 兎なら$x$における不安定多様体 $W^{u}(x)$ は$\mathbb{C}$と等角同値で、 しかも$W^{u}(x) \subset\bigcup_{0n\geq}f^{n}(\bigcup_{j}B_{j}u)$(iii) 全てのサドル周期点はProof.

$k$$\tilde{R}$,に含まれる。

が十分大きければ $\mu(\Lambda_{k})>0$ となる。よって、 Poincar\’e の再帰性定理より (i) が従う。いま適当に番号をつけかえて、 $|n_{j1^{-n|}}+jarrow+\infty$ としてよい。
から$E_{J^{n_{j}}}^{u}\langle x$) への射影とし、正則単射写像$\psi_{j}\equiv$$x_{j1^{\mathrm{O}}}+f^{n_{j+1^{-n_{j}}}}\mathrm{o}\chi j-1.$を考える (図 4) 。まず不安定多様体の定義から$\Lambda_{k}(7)$

定義から、

を

$W_{\iota_{\mathrm{o}\mathrm{C}}^{u}}(fn_{j}(x))$:.

れる。 -方、集合$\chi_{j}$: $D_{j}arrow D_{j+1}$$\bigcup_{j>0}f-n\mathrm{j}\mathrm{O}x_{j+}-1(1D_{j+}1)$$|\psi_{j}’(0)|=||Dfn_{\mathrm{j}+1^{-n_{j}}}|E^{3}Jn_{j_{(x)}}||$

は $W^{u}(x)$ に含まは+分小さい。 これより$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (f^{-}n_{j}\mathrm{o}x_{j}^{-}+1(1Dj+1)\backslash f-nj-10\chi_{j}^{-1}(D_{j}))>2$が従い (Koebe の定理)1 $\bigcup_{j>0}f-nj\mathrm{o}x^{-}j+1(1D_{j}+1)$ は$\mathbb{C}$と等角同値になる。 よって$\bigcup_{n\geq 0}f^{n}(\bigcup_{j}\beta_{j}^{u})\supset\cup \mathrm{f}-\text{町}0\chi_{j}-(D_{j+}j>01+11)=W^{u}(_{X})$となり、 (ii) が証明できた。 (iii) は Pesin 集合の定義からあきらか。 (証明おわり)
ではまず、 -つの不安定 Pesin box

Definition 7.4
measure$T$

を Pesin box$B^{u}$$B^{u}$

上でを定義します。

$\mu_{c}^{-}$の transversal とする。$X\subset B^{u}$に対して、$f$ の critical$\text{を}$$\mu_{c^{\llcorner}}^{-e^{u}}(x)\equiv\int_{t\in T}\#\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}(c+|_{(}\Gamma t\backslash K+)\cap x)d\mu-|_{T}(t)$で定める。 ここで、$\# A$は$B^{u}$を構成する局所不安定多様体のなかで$t$を含む連結成分、

は $A$ の重複度込みの濃度をあらわす (図 5)。

但し$c_{+}$$i(G^{+})^{*}$$\}$$\Gamma_{t}$の重複度とは、$(G^{+})^{*}$を$G^{+}$の局所的な共役調和関数とした時、正則関数 $G^{+}\pm$の重複度として定義します。 まず、前に述べた holonomy 不変性から、上の定義

よ tansversal $T$ の取り方には依りません。 また、二つの不安定 Pesin box が共通部分を持つ時、 そこで critical measure の定義は–致します。 よって、ことになります。 では任意の Borel 集合$A\subset \mathbb{C}^{2}$に対して$\mu_{\mathrm{c}}^{-}(A)$$A_{n}\equiv(f^{n}(\cup B_{j}^{u})\backslash fn-1(\cup\beta u)j)\mathrm{n}A$. が定義きれたを定めましょう。

$\cup B_{j}^{u}$で$\mu_{c}^{-}$

205とおくと、先の Proposition 73 (ii) より$f^{-n}(A_{n})\subset\cup B_{j}^{u}$なので$\mu_{c}^{-}(A_{n})\equiv\frac{1}{d^{n}}\mu \mathrm{C}(-f-n(A_{n}.))$が定義されます。 $\mathrm{U}A_{n}=A$ より、この式が矛盾無く定が f-不変であることもわかります。
義されていることは簡単にチェックでき、 また
さて、 上述の Manning-Przytycki の公式のアナロジーとして、 Bedford-Smillie は以下$\mu_{C}^{-}(A)\equiv \mathrm{s}\sum\mu c(-A_{n})\text{とおきます}$ 。

$G^{+_{\mu_{\mathrm{c}}^{-}}}$を望ました。

Theorem 7.5 (Bedford-Smillie [BS5]) 任意の $t>0$ に対し、$\Lambda_{\mu}(f)=\log d+\int_{t\leq Gtd}+<\mu_{\mathrm{C}}^{-}c+_{d}$$\Lambda_{\dot{\mu}}(f^{-1}.)$.

についても同様の等式が成り立つ。

よって特に、 $f$ のりヤプノブ指数は下から $\log d$ で評価されます。

Definition 7.6$f$

のりヤプノブ指数が\Lambda \mu (f) $=\log d$ をみたす時、$f$はソレノイダル(solenoidal) であるという。

第九章では、 $f$ がソレノイダルであることと他の概念 (ジュリア集合の連結性、dynamical

critical point の非存在、$\varphi^{+}$の拡張可能性など) との関係を考察します。

8Laminated spaces &Riemann surface laminations
通常の「多様体」 とは局所的にユークリッド空間でモデル化される位相空間のことですが、力学系の不変集合として出てくる位相空間は大抵の場合多様体にはなりません。例えばよく知られたエノンアトラクター [He] は、局所的にはあたかも滑らかな曲線とカントール集合との直積のように見えます。そこでこの章では、滑らかな多様体を重ね合わせた空間によって局所的にモデルされるようなオブジェクト$\mathrm{r}_{\mathrm{l}\mathrm{a}\min \mathrm{a}\mathrm{t}}\mathrm{e}\mathrm{d}_{\mathrm{S}}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$」 を考えることにしましよう。
. まず例から始めます。

Example 1.
$\Sigma_{+}\equiv\varliminf_{\backslash }(\mathbb{C}\backslash \overline{\Delta}, z\mapsto p_{0}(_{Z})=z)d$$\equiv\{(\cdots,$ $z_{-2,1}z_{-},$とおきます。固定されたれの逆像$z_{-2}$も$d$$z_{0}$$z_{0)}|z_{n}\in \mathbb{C}\backslash \overline{\Delta},$に対してその逆像$z_{-1}$は$P\mathrm{o}(z_{i-1})=Z_{i}(i\leq 0)\}$$d$

通りあり、各$z_{-1}$.

に対してそれぞ

通りあります。 よって固定された z。に対してその逆軌道全体はカント

206-) 集合をなすことがわかり、$\Sigma_{+}$

そのものは局所的に複素平面内の開集合とカントール

集合の直積でモデルされることがわかります。 これを複素ソレノイド (complex solenoid)といいます。 この空間の上には $p\mathrm{o}(z)=z^{d}$ の自然な持ち上げ:$\hat{p}_{0}(\cdots, z-2, z-1, z\mathrm{o})\equiv(\cdots, z_{-}3, z_{-}2, z-1)$.

が定義されます。 (Example 1 おわり)

Example 2.

.
$\Sigma.\equiv\varliminf_{\backslash }(|_{Z}|=1, zrightarrow p_{0}(z)=Z)d$$\equiv\{(\cdots, z_{-2}, Z_{-1}, Z\mathrm{o})|z_{n}\in|z|=1,$$p\mathrm{o}(Z:_{-}1)=z_{i}(i\leq 0)\}$.

は局所的には滑らかな弧とカントール集合の直積でモデルされ、この空間の上にも $p_{0}(z)=$が定義されます。これを (ユニット) ソレノイド ( $(unit)$ solenoid)の自然な持ち上げ$z^{d}$$\hat{P}0$と呼びます。

$\Sigma$は$\Sigma_{+}$の “境界” に対応していることに注意して下さい。 (Example 2 お

わり)

では上のようなオブジェクトに対する厳密な数学的定式化を与えましょう。

Definition 8.1 位相空間(i)$\mathcal{L}=\{L_{\lambda}\}_{\lambda}$

tf

$Z$

$Z$

が (Cr-級の)laminated space の構造$\mathcal{L}$をもつとは、の開被覆であり、(ii) 各 $L\in L$ に対して、 ある開集合$X_{L}\subset \mathbb{R}^{m}$とある完全不連結な位相空間$\mathrm{Y}_{L}$

と同相

写像.
$\rho_{L}$:$Larrow X_{L}\cross Y_{L}$が存在し、(iii) $L,$

$L’\in \mathcal{L}$が共通部分を持つ時、$\rho_{L}0\rho_{L’}^{-}1$: $\rho_{L’}(L\cap L’)arrow\rho_{L}(L\cap L^{J})$は $\rho_{L}0\rho_{L’}-1(x, y)=(g(x, y),$ $h(y))$$x\mapsto g(x, y)$という形に書け、 $g,$$h$は連続で、各$y$に対しては Cr-級 (図 6)。

$\text{ここで}\rho^{-1}L(xL\cross\{y\})$のかたちの集合のことを plaque という。写像$\rho_{L}0$\rho かによって

plaque は plaque に写されるので、互いに写り合う

plaque 同士の和集合は多様体の構造を持つ。これを leaf という。上の定義において特に$X_{L}$

正則写像のとき、$\mathcal{L}$が$\mathbb{C}$の開集合で $xrightarrow g(x, y)$ がを Riemann surface lamination とよぶ。 Riemann surface laminationの各 leaf はリーマン面になる。

207
あきらかに上述の複素ソレノイドは Riemann surface lamination の構造を持ちます。
を参照して下さい。
Riemann surface lamination の詳しい議論については、論文をに沿って解析接続できるかどうかを考えで定義された以後では、$[\mathrm{c}_{\mathrm{a}}]$$V^{+}$$J^{-}\backslash IC^{+}$$\varphi^{+}$のリフトの問題として捉え直すのですが、一般にます。我々はこの拡張可能性問題をは局所弧状連結ではないので、基本群を用いた–般的な議論 (例えば E. Spainer,
Algebmic Topology, McGraw-Hill (1966) の page 76) に訴えることができません。 そこで$\varphi^{+}$$\sqrt{}^{-}\backslash I\mathrm{f}^{+}$

次のような補題を準備します。
を:Lemma 82
レトラクト変形とする。いまが–意的に存在し $\psi’|A=\psi_{1}$$\tilde{Y}arrow \mathrm{Y}$$\pi$$covering_{\text{、}}\psi$$\psi|_{A}$$\psi’$: $Xarrow Y$ を連続写像とし、のリフト$\psi_{1}$:$Aarrow\tilde{Y}$$A\subset X$があったとすると、は $X$ の強$\psi$のリフト。

ではいよいよ次節で Bedford-Smillie の主定理を述べましょう。

9

主定理とその証明の概略
前節までで Bedford-Smillie の主結果を述べるための準備が終りました。実際には、彼の中で数多くの事実を示しているめですが、 ここではそれらを以下のような形に主定理としてまとめました。
らは–連の論文$[\mathrm{B}\mathrm{S}5, \mathrm{B}\mathrm{S}6, \mathrm{B}\mathrm{S}7]$’

Theorem 9.1 (Bedford-Smillie [BS5,
(i)
(ii)
(iii)

$f$

$\mathrm{B}\mathrm{S}7]$$\mathrm{B}\mathrm{S}6,$) $f$ に対して以下の条件は同値。

はソレノイダル (すなわち $\Lambda_{\mu}(f)=\log d$ ) 。

$C^{u}=\emptyset_{0}$$\varphi^{+}$

は関数方程式\mbox{\boldmath $\varphi$}+o $f(z)=(\varphi^{+}(Z))^{d}$ を満たすように$J^{-}\backslash IC^{+}$

全体へ連続に拡張

される。

(iv)

$J^{-}\backslash IC^{+}$

の

て

:

$\varphi^{+}|_{M}$が存在し、各 leaf
Riemann surface lamination
は holomorphic covering。
$M_{-}$$Marrow \mathbb{C}\backslash \overline{\Delta}$$M\in \mathcal{M}_{-}$

に対し:

更に $f\text{が双曲的であり、上の条件の中の}.-\text{つを満たすと仮定すると_{、}以下のそれぞれ}$が従う。
$.(.a)f$ と$(b)$$\hat{p}_{0}$の間の位相共役写像\Phi$:.J^{-}.\backslash I\mathrm{f}^{+}arrow\Sigma_{+}$$M\in \mathcal{M}_{-}$

上で正則。

上の

の–意的な連続拡張\Phi -1 :,$\Psi^{-1}$を与える。すなわち、力学系として連結。

.

$\Sigmaarrow J$$J$は$\Sigma$が存在し.1が存在し、$\hat{p}_{0}$$\Psi$とは$f$$J^{-},\cdot\backslash I\mathrm{f}^{+}$の各 leafの semi-conjugacyの商空間として表される。特に

$J$

は

208
Remark 9.2$([\mathrm{B}\mathrm{S}6])$$J$が連結である事と、 $f$ 或いは$f^{-1}$

がソレノイダルである事は同値になる。

以上を合わせると、各命題同士の間には図 7 の中に示したような関係が成立していることがわかります (図 7 )$\cdot$。

また、 主定理の証明からわかる系として、

Corollary 93 以下の条件は同値。
(i)

$f$

はソレノイダル。

(ii) すべてのサドル周期点(iii) あるサドル周期点

$P$

に対し、

に対し、

$P$

$W^{u}(p)\backslash I\iota^{\nearrow+}$$W^{u}(p)\backslash IC^{+}$

即ち、勝手な不安定多様体による$IC^{+}$のすべての成分は単連結。

のある成分は単連結。

のスライス (これはしばしばコンピュータシュ

ミレーションによって描かれている) を見るだけで、 $f$ がソレノイダルであるかどうかを “視覚的に” 判定できるわけです。
では以下では Theorem 91 の証明の–部のあらすじを見ていきましょう。まず、Theorem

91(i) と Theorem 9.1 (ii) が同値なのは、 critical measure の定義と積分公式 Theorem 75.
を用います。続く流れとしては、 Theorem 9.1$(\mathrm{i}\mathrm{i})\Rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$Theorem 9.1$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$$\Rightarrow \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$Sketch of the Proof. まず

Crit

(4)

$9.1$

$(\mathrm{i}\mathrm{v})\Rightarrow \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$$C^{u}=\emptyset$$(\mathrm{i}\mathrm{i})$$\Rightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$$\Rightarrow$の順で証明します。

を仮定する。 Proposition 7.3 (i) より、$(G^{+}|_{W^{u}}\mathrm{t}x)\backslash K+)=\emptyset$

よって critical measure の定義により$9.1$$(\mathrm{i}\mathrm{i})$for$\mu- \mathrm{a}.\mathrm{e}$.

$x\in \mathcal{R}$.

がソレノイダルにな
Theorem 75 よりがソレノイダルなら再び積分公式より (4) か従う (これから更ることは明らか。逆ににを結論する部分は [BS6] Theorem 73 参照のこと)。
に対し
仮定 $C^{u}=\phi$ のもと、 Proposition 73(iii) より特に全てのサドル周期点$f$$\mu_{\mathrm{c}}^{-}=0_{0}$$f$$C^{u}=\emptyset$$p\in \mathcal{R}$て Crit$(G^{+}|_{W^{u}}\mathrm{t}p)\backslash K^{+})=\emptyset$となる。

Claim 1. $W^{u}(p)$ の位相でProof. $g=(g_{1}, g_{2})$ :$g(\lambda z)$$W^{u}(p)\cap I\mathrm{f}^{+}$$\mathbb{C}arrow \mathbb{C}^{2}$

かつ $g(0).=p$ 。もしは非有界 (ここでは上の仮定は用いない)。

を $W^{u}(p)$ の uniformization とする。すなわち$W^{u}(p)\mathrm{n}I\mathrm{f}+$集合の外側で正かつ調和。 よってグリ一がコンパクトとすると、$\sqrt[\backslash ]{}$

$G^{+}\mathrm{o}g$は$\mathbb{C}$$f\mathrm{o}\tilde{g}(z)=$のある有界関数の定義から、 ある $c>0$ が存在して、$G^{+}\mathrm{o}g(z)=c\log|_{Z}|+h(Z)$

.

209
ここで
$+\infty$は$h$$\infty$$\uparrow j$$\pi_{1}$$\mathcal{O}$$cz^{kd^{\mathfrak{n}}}$と$\lambda^{nk}z^{k}$$\mathcal{O}$$\mathcal{O}$の普遍被覆面は開単位円があって int$\sigma\subset \mathcal{O}$ととすると、両$k$となり矛盾。 よって Claim 1 が証明された。

を $W^{u}(p)\backslash K^{+}$ の連結成分としたとき、Proof. まず、 Claim 1 より

$d$$g_{1}$、

いとすると、単純閉曲線$\mathrm{o}f^{n}\mathrm{o}g(Z)=g1(\lambda nz)$$n$$g_{1}$

一ディングタームはClaim 2.

上 $G^{+}(x, y)\leq\log|x|+C$ が成り立つから $\log|g_{1}(Z)|arrow$$V^{+}$

は多項式。 -方、すべての に対して\mbox{\boldmath $\pi$}iは第–座標への射影) $f$ との次数をそれぞれ(z\rightarrow \infty )。すなわちだから (但し

辺の

で調和。

は単連結。
$\Delta$になる。いまが単連結でな$\mathcal{O}$となる。 $m \equiv\min_{z\in\sigma}G+(Z)$ とおき、$\sigma\not\subset \mathcal{O}$$\mathcal{O}(s)\equiv\{z\in \mathcal{O}|G^{+}(_{Z})\leq s\}$.

を考える (以後、任意の集合 $E$ に対して同様の表記 $E(s)$ を用いる)。 $0<s_{0}<m$ を固
定すると、
さて、

$\mathcal{O}(s_{0})\cap \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\sigma\neq\emptyset$

かつ

であって、

$\sigma\subset \mathcal{O}’\subset \mathcal{O}$あるようなものが取れる。更に含まれである。 ここで、$\mathcal{O}_{A}’(s)$(resp.

$A\cap \mathcal{O}(s_{0})\neq\emptyset$(resp.

$\partial \mathcal{O}’$$\partial \mathcal{O}’$$G^{+}|_{\partial \mathcal{O}’}$が$G^{+}|_{\partial \mathcal{O}’}$(resp.

$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\sigma$) に(resp. $B$ ) と共通部分を持つものをの連結成分でその閉包が) とする (図 8)。明らかに、 $s_{0}<s<m$ ならば、

$s$

$A$

.

を増やしたときも、上式が成立し続けることを証明しよう。 が増えるとき、 (仮定により$s$$\sigma$は非退化で) となるものが存在する。特に $A\cap B=\emptyset$$\mathcal{O}_{A}’(s)\cap \mathcal{O}_{B(S)\emptyset}^{J}=$

次に $m$ を越えての critical pointの連結成分 $A$ (resp. $B$ ) で int$\mathcal{O}’(.s)$$\mathcal{O}_{B}’(s)$。

が滑らかかつ$B\cap \mathcal{O}(s_{0})\neq\phi$

(5)

るのは

$\mathcal{O}(s_{0})\cap \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\sigma\neq\emptyset$$s$$\mathcal{O}’$で critical point を持たないから)$\mathcal{O}’(s)$の critical value になるときのみ。 このとき、の topology が変化す$\mathcal{O}’(s)$の、 i) 新しい連結成分が発生する、 または ii) 連結成分が消滅する、 または iii) 二つの成分が合体する、 ま
たは iv) 二つの成分が分離する、 の何れかが起きる。 しかし $A\cap B=\emptyset$ であるから、 も) の連結成(或いはし二つの成分が合体したとしたら、その二つは両方とも) は (5) に影響を与えない。 よって全ての分でなければならない。他のケース$\mathcal{O}_{B}’(s)$$\mathcal{O}_{A}’(s)$$\mathrm{i})_{\text{、}}\mathrm{i}\mathrm{i})_{\text{、}}\mathrm{i}.\mathrm{v}$$s>s_{0}$.

に対して (5) の成立が示された。

$\mathcal{O}_{A}’(s)$の点と$\mathcal{O}_{B}’(s)$.

の点を path でつなぎ、 その上での$s>M$ ととると、 この path は$\mathcal{O}_{A}’(s)$にもる。 よって Claim 2 (すなわち Corollary 93$\mathcal{O}_{B}’(s)$$(\mathrm{i}\mathrm{i})$$G^{+}$の最大値を $M$ とする。

にも入る。 これは上の事実に矛盾す) が証明された。
$c$

ここで条件を弱めて Corollary 93(iii) の方を仮定する。特に被覆写像 :は正値調和関数で critical point を持たない。続いてこの単葉になり、$\iota$$h\equiv G^{+}\mathrm{o}\iota$

質について調べよう。

$\Deltaarrow \mathcal{O}$

$h$

は

の性

210
Claim 3. $c>0$ と$\theta_{0}\in-[0,2\pi]$が存在して、$h(z)=cP_{\theta_{\mathrm{O}}}(z)_{\circ}$

ここで、$P_{\theta}(z) \equiv{\rm Re}(\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z})$はに極を持つポアソン核 (Poisson kemel)$e^{i\theta}\in\partial\triangle$。

Proof Nevanlinna の定理 ( , Nevanlinna, Analytic Functions, Die Grundlehren dermathematischen Wissenschaften, Band 162, Springer 1970, page 204, $209$ ) よりルベーグ$\mathrm{R}$測度に関して殆ど全ての\theta \in $[0, 2\pi]$ に対し、だから、 殆ど全ての $\theta\in[0,2\pi]$ に対し、 $\lim_{r\nearrow 1}h(re^{i\theta})=0$$q\equiv \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\nearrow 1\iota(re^{i})\theta$$h$は$\triangle$

上で正値調和だから、$\partial\triangle$

上の正値測度$\nu$が存在する。

$q\in\partial \mathcal{O}\subset I\mathrm{f}^{+}$

。

が存在して

$h(z)= \int P_{\theta}(z)d\nu(Z)$となる (Herglotz 表現) 。この測度を分解して、 $d \nu=\frac{1}{2\pi}gd\theta+d\lambda$ とできる。 ここで、上のルベーグ測度に対して特異。この時、が殆ど全ての $\theta\in[0,2\pi]$ に対して成立する (M. Tsuji, Potential Theory in Modem$g\in L^{1}[0,2\pi)\text{、}g\geq 0_{\text{、}}\lambda$$g(\theta)$

は$\lim_{r\nearrow 1}h(re)i\theta=$$\partial\Delta$

Function Theory, Theorem IV.14. 参照) ので、 上述の事実と合わせると

$\nu$

が

$\partial\triangle$

上のノレベーグ測度に対して特異であることがわかる。
が異なる二点が–点のみから成ることを示す。 いま、上の順序を つ固定して)むとする。再び Claim 3 より、 (次に$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\nu$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\nu$$\lim_{r\nearrow R}1,re:\thetaarrow,sh(re^{i})\theta$

をとり、その上での$P_{\text{、}^{}\prime}Q’$$h$となるような

上の二点$R_{\text{、}}S$の最大値を $M$ とする。 -方、が取れる。 $R$ と.S を結ぶ線分$P_{\text{、}}Q$は$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\nu$に入っているから、をそれぞれ $P$ と $Q$ に十分近く取れば $h(P’)>2M$ かつ $h(Q’)>2M$を結ぶ線分をとり、 その上でのの二点$\partial\Delta$$R_{\text{、}^{}\prime}S’$

.

$h$

を含

$P<R<Q<S$ かつ–$\partial\triangle$$P_{\text{、}}Q$の最小値を $m$ とする。すると、 $R$ と

$S$

。

$P’$

と

$Q’$

を結ぶ線分上をそれぞれ $R$ と $S$ に十分近く取れば $h(R’)<m$ かつ $h(S’)<m$ とできる。あとは Claim 2 と同様の議論をすることにより、$\Delta$

内に critical point の存在することが示され矛盾。 これで Claim 3 が証明できた。
これより先、集合 $E$ に対し、
$E[s]\equiv\{z\in E|G^{+}(z)>\log s\}$と書くことにする。

Claim 4.
.
$\varphi^{+}|_{0[\rho]}:$は$\rho$$\mathcal{O}[\rho]arrow\{|z|>\rho\}$が十分大きいとき被覆写像になる。

Proof. 上半平面$\mathbb{H}$から\Delta への同型であって。を$e^{i\theta}$に写す写像をとおく。 Claim 3 より、 $G^{+}(\alpha(z))=cP_{\theta_{0}}(u(Z))$ に注意。

$\mathbb{H}$

$u$

とし、

上のポアソン核で$\alpha\equiv u\mathrm{o}\iota$$\infty$に極を211持つものは $x+iyrightarrow x$ なので、 $G^{+}\mathrm{o}\alpha(x+iy)=cX$ となる。 ここで $c=1$ ととれる。

$|x|$が十分大の時、 $G^{+}\mathrm{o}\alpha(X+iy)=\log|\varphi^{+}0\alpha(x+iy)|$ かつ $\log|e^{x+iy}|=x$ だから、$| \frac{\varphi^{+}.0\alpha(X+iy)}{e^{x+\cdot y}}.|=1$上成立する。 よって上式の絶対値の中身は定数で、 $\varphi^{+}0\alpha(z)=Ce^{z}$ 。ここで\rho が十だ
ではは定義されている。
なので、分大きいならが$\mathbb{H}$$\varphi^{+}=c\cdot\exp \mathrm{o}\alpha^{-1}$$\varphi^{+}$$\mathcal{O}[\rho]$$\mathcal{O}[\rho]\subset V^{+}$

から結論を得る,。
$R>0$ を十分大きくとれば、$s\equiv\varphi^{+}$とおくと $(s, y)$ はの座標系になる。

$V^{+}$

Claim 5. 有界単連結領域 $G\subset\{|z|>R\}$ と –点 $s_{0}\in G$ を固定する。 この時、連続写像 :
:

$H$

が存在し、

$\varphi^{+_{\mathrm{o}H}}(s, t)=S$$G\mathrm{x}(\varphi^{+})^{-}1(s\mathrm{o})arrow J^{-}\cap(\varphi^{+})^{-1}G$を満たし、各$t$

ごとに $H(\cdot, t)$ は解析的。

に対して holomorphic disk
Proof. 先のサドル周期点
る
Theorem 44 より、 $c>0$ が存在して$D^{u}\subset W^{u}(p)_{\text{、}}P\in D^{u}$$p\in \mathcal{R}$をと$\mathrm{o}$$\lim_{narrow+\infty}\frac{1}{d^{n}}[fnD^{u_{\cap(}}\varphi^{+})^{-}1G]=C\cdot\mu^{-}\llcorner(\varphi)+-1c$を得る。更に Proposition 4.1 から$W^{u}(p)\cap(\varphi^{+})^{-1}G$$M$

は $J^{-}\cap(\varphi^{+})^{-1}G$ の稠密な部分集合になる。

を $W^{u}(p)\cap(\varphi^{+})^{-1}G$ の連結成分とすると、 Claim 4 より像。 よって各$t\in W^{u}(p)\cap(\varphi^{+})^{-1}(s_{\mathit{0})}$のグラフとして表せる (図 9)。

$V^{-}$

ごとに解析的写像:$g_{t}$$\sqrt{}^{-}\cap(\varphi^{+})^{-1}G\subset V^{-}$$\varphi^{+}|_{M}$$Garrow \mathbb{C}$が従うから、.

: $Marrow G$ は被覆写があって、 $M$ は$g_{t}$

では$0<k< \frac{|\varphi^{+}(x,y)|}{|y|}<IC<+\infty$

であって

.

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}(\mu^{-_{\mathrm{L}}}(\varphi^{+}.)^{-1}G)=J^{-}\cap(\varphi^{+})^{-1}G$.

だから、族 {g 議は局所一様有界。 よってこれは正規族をなすから、それらの極限関数達もまた癬析的であり、前述の稠密性よりそれらのグラフによって $J^{-}\cap(\varphi^{+})^{-1}G$ は埋め尽くされる。

$H(S, t)\equiv gt(s:)$

ではいよいよ Theorem 9.1 (iii) を証明しよう。

.Claim 6.

$\varphi_{+}$

は関数方程式(6)を満たすように:$\varphi_{+}\mathrm{o}f(Z)=(\varphi+(Z))d$$J_{-}\backslash I\acute{\mathrm{t}}_{+}$

全体へ連続に拡張される。

とおくと結論が得られる。

212
Proof. $\rho>0$ が十分大きければ、て、この$\varphi^{+}$

をまで拡張できれば$J^{-}[\rho^{1/}]d$を $\pi(z)=z^{d}$ で定義して

る」事と

が

$J^{-}[\rho]$$f^{n}(\sqrt{}^{-}[\rho])=\sqrt{}^{-1\rho]}dn$

めから$\psi\equiv\varphi^{+}\mathrm{o}f$を満たす\psi ’ :$\mathrm{r}\pi 0\psi’=\psi$Lemma 82 から、$J^{-}.[\rho]\subset V^{-}$

で、$J^{-}\backslash I\acute{\mathrm{t}}^{+}$と書くと、$J^{-}[\rho]$$\varphi^{+}$

は定義される。 よっ
$\pi$

:

$\mathbb{C}\backslash \overline{\triangle}arrow \mathbb{C}\backslash \overline{\triangle}$] 上で (6) を満たす\mbox{\boldmath $\varphi$}+ を見つけを見つける」事は同値。 よって先の$\mathrm{r}_{J^{-}[\rho^{1}}/d$の強レトラクト変形になっていることを示せばよい。

は微分同相写像だから$J^{-}[\rho]$

は十分大としてよい。 そこで、単連結領域$\rho^{1/d}$

上で全体へ拡張される。

$J^{-}[\rho^{l}]/darrow \mathbb{C}\backslash \overline{\Delta}$$J^{-}[\rho^{1/d}]$$f^{n}$

なので$S\equiv\{z\in \mathbb{C}||z|\geq\rho^{1/d}$andはを考えると、 Claim 6 より
“半径方向への” 自然な強レトラクト変形を$J^{-\cap}(\varphi^{+})^{-1}(S)$:の位相は変えない。 よって初$\theta_{0}\leq\arg(z)\leq\theta_{1}\}$と同相。 そこで$S.\cross(\varphi^{+})^{-1}(s_{0})$$J^{-}\cap(\varphi^{+})^{-1}(s)$

$S$

上での

にリフトすると、求めたい強

レトラクト変形が得られる (図 10)。
続いて Theorem 9.1 (iv) を示す。

Claim 7.
$\text{いて_{}\varphi^{+}}|_{M}$Proof.

$J_{-}.\backslash Ic_{+}$:

は Riemann surface lamination の構造$Marrow \mathbb{C}\backslash \overline{\Delta}$$P\in\sqrt{}^{-}\backslash I\iota^{\nearrow+}$は被覆写像。

が $|\varphi^{+}(p)|.>2R$ を満たすときは、 Claim 6 より近傍における局所座標系が与えられる。一般のて $|\varphi^{+}\mathrm{o}f^{n}(P)|>2R$となる。

る (但し、 $(_{1}=\varphi^{+}(p))$ 。
$G_{1},$$\cdots,$$G_{d^{n}}$(但し、を持ち、各 leaf $M$ につ$\mathcal{M}^{-}$$\xi$$P\in J^{-}\backslash I\mathrm{t}^{\prime+}$$\xi\equiv\varphi^{+}\mathrm{o}f^{n}(P)$として$\zeta_{1},$$\cdots,$

$H$

によって

$P$

の

に対しては $n>0$ . があっ$\zeta_{d^{n}}$を $z^{d^{n}}=\xi$ の根とすを含む十分小さい近傍 $V$ をとり、 $\{z|z^{d^{n}}\in V\}$ の連結成分を$\zeta_{i}\in G_{i}$) とする。すると、か$f^{-n}(J^{-}\mathrm{n}(\varphi^{+})^{-}1V)=i=\mathrm{u}_{1}J-\cap(\varphi^{+})^{-}1c_{i}$と分解される。
$P_{i}\equiv\{z\in(\varphi^{+})^{-1}(\xi)|\varphi^{+}\mathrm{o}f^{-n}=\zeta i\}$とおくと、
$f^{n}(J^{-}\cap(\varphi+)^{-}1Gi)=H(P_{k}\cross V)$となる。すなわち $f^{-n}$ が局所座標系を定める。 これで Claim 7 が示された。
はに対してProposition 7.3 (ii) より、任意のと等角同値。 よっては laminationの leaf になる。更に Claim 7 より Critとなり Theorem 9.1 (ii) が示された。
、すなわち
.D.
$x\in\tilde{R}$$\mathcal{M}^{-}$$W^{u}(x)\backslash I\mathrm{f}^{+}$$C^{u}=\emptyset$$\nu V^{u}(x)$$\mathbb{C}$$(c+\mathrm{i}_{W^{u}}\mathrm{t}x)\backslash K+)=\emptyset$$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$

213
参考文献
[BLS] Bedford, E., Lyubich, M., Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms ofThemeasure of maximal entropy and laminar currents. Invent. Math. 112, pp. 77-125(1993).
$\mathbb{C}^{2}IV.\cdot$[BS1] Bedford, E., Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms of: Currents, equilibrium$\mathbb{C}^{2}$measure.and hyperbolicity. Invent. Math. 103, pp. 69-99 (1991).
[BS2] Bedford, E., Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms ofand recurrence. J. Amer. Math. Soc. 4, pp. 657-679 (1991).

$\mathbb{C}^{2}II.\cdot$

Stable manifolds[BS3] Bedford, E., Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms ofErgodicity, exponents and entropy of the equilibrium measure. Math. Ann. 294, pp. 395-420$\mathbb{C}^{2}III.\cdot$(1992).

[BSO] Bedford, E., Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms of
V. Critical points, Lyapunov exponents and solenoidal mappings. Preliminary version, Berkeley, May$\mathbb{C}^{2}$$\cdot$1995.
[BS5] Bedford, E. , Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms of
Lyapunov exponents. Preprint, 1997.

$\mathbb{C}^{2}$$\cdot$[BS6] Bedford, E., Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms ofPreprint, 1997.

[BS7] Bedford, E., Smillie, J. Polynomial diffeomorphisms ofexternal rays. Preprint.

V. Critical points and$\cdot$$\mathbb{C}^{2}VI.\cdot$$\mathbb{C}^{2}VII.\cdot$

Connectivity of .
$J$

Hyperbolicity and[Ca] Candel, A. Uniformization of surface $laminati_{onS,\wedge}$. Ann. Sci. \’Ecole Norm. Sup.
26, pp. 489-516 (1993).

[.F ] Friedland, S., Milnor, J. Dynamical properties of plane polynomial automorphisms.
$\mathrm{M}$

Ergodic Theory Dynamical Systems 9, pp. 67-99 (1989).
[He] Henon, M. A two-dimensional mappings with astrange attractor. Commun. Math.
.
Phys. 50, pp. 69-77 (1976).
‘[HO] Hubbard, J., Oberste-Vorth, R. H\’enon mappings in the complex domain : The
global topology of dynamical space. Publ. Math. IHES 79, pp. 5-46 (1995).
$I$

214
[K1] Klimek, M. Pluripotential theory. London Math. Soc. Monographs. New Series,
6. Oxford Science Publications. Oxford University Press, 1991.
[Ma] Manning, A. The dimension of the maximal measure for a polynomial map. Ann.
Math. 119, pp. 425-430 (1984).
[Mi] Milnor, J. Dynamics in one complex variable: Introductory lectures. Preprint
SUNY at Stony Brook #1990/5 (1990).

[Ni] Nishimura, Y. Lecture note. Topics in Complex Analysis (ed. M. Taniguchi), pp.
23-69 (1993).
[Po] Pollicott, M. Lectures on ergodic theory and Pesin theory on compact manifolds.
London Math. Soc. Lecture Note Series, 180. Cambridge University Press, Cam-bridge, 1993.
[Pr] Przytycki, F. Hausdorff dimension of harmonic measure on the boundary of an
attractive basin for a holomorphic map. Invent. Math. 80, pp. 161-179 (1985).

diffeomorphisms of[Snl] Smillie, J. The entropy of
Dynamical Systems 10, pp. 823-827 (1990).
$p_{\mathit{0}\iota_{ynom}ial}$$\mathbb{C}^{2}$. Ergodic Theory

215

216

$F_{F}^{\mathrm{u}}$$\chi$

厘] 3

図弓

217

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