数理解析研究所講究録 1394 巻 2004 年 1-14

球の詰め込み問題についての最近の進展 ,Cohn-Elkies-Kumar の仕事の紹介を中心にして$\mathrm{I}$

坂内英一 (Eiichi Bannai)
九大1$\circ$

数理 (Faculty of Mathematics, Graduate School, Kyushu University)

Introduction

この原稿は上記タイトルて行った 2004 年 3 月の数理研研究集会 「代数的組合せ論」 (代表者平木彰) の講演内容 (OHP による) をかなり忠実に再現したものです, OHP は英
語で書きましたが, この報告集ての原稿はそれを 本語に直したものてす- 講演の元々のプログラムでは Sphere packings についての最近の進展の紹介 : Oleg Musin の 4 次元
kissing number の決定と Cohn-Elkies-Kumar による 24 次元の lattice packing における$\mathrm{B}$$\lceil$Leech lattioe の optimality , IU という長い題で, 田上真君との共同発表になっていました. 私が I で話した部分がこの原稿てす.
の部分は田上君による講演て, それも [14]詳しくはそれを参照して下さい.
としてこの報告集に載っていますのて,$\mathrm{I}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$

この講演では I とを通じて次ぎの 2 っの問題について考えます.
(1) kissing number の問題. すなわち,
において, 与えられた 1 っの単位球に最大い
くつの単位球を接するようにかつお互いに重なり合わないように置けるか? という問題を考えますー この数をにおける kissing number と呼ひで表します- $\tau_{2}=6$ ですが,他の達はどうなるてしょうか ?
(2) 最も密な球の詰め込み問題. すなわち, 同じ大きさの (無限個の) 球をに詰め込
むとき, 球に入っている部分の割合が一番大きくなるのはいつか ? またその最大値はなにか ? という問題を考えます. この値をで表すことにします $\Delta_{2}=\pi/\sqrt{12}$ が知られていますが, 他の達はどうなるでしょうか ?
$\mathrm{I}\mathrm{I}$$R^{n}$$R^{n}$$\tau_{n}$$\tau_{n}$$R^{n}$$\Delta_{n}$$\Delta_{n}$これら 2 つの問題には, 特に球の置き方に条件を付けない一般的な場合の問題と, 球の中心が格子の頂点に位置していなければいけないと条件を付けた格子の場合の問題があります- 後てそれそれの場合をもう少し詳しく解説します.
この (1), (2) に関して最近の非常に大きな次の 2 っの進展がありました.

と$\mathrm{I}\mathrm{I}$

その紹介がこのの 2 つの講演の目的てす (それに先立つ比較的最近の進展についても少し触れます).

$\mathrm{I}$2(1) に関して Oleg R. Musin が $\tau_{4}=24$ を証明しました.
(後に歴史的なことも含めてもう少し解説しますが, 詳細は田上君のこの II の講演及び報告集の記事を見て下さい.)(2) に関しての最近の大きな進展は, Cohn, Elkies, Kumar のいくつかの論文の結果を合わせた結果で, 次の 2 つのことを証明しています.
の球面の詰め込みの (一般的な場合において) 最善の詰め込みと(a) Leech lattice は非常に近い (詳細は後述).
の球面の詰め込みの (格子の場合において) 最善な詰め込みを与(b) Leech lattice は$R^{24}$$R^{24}$

える.

先に述べた比較的最近の進展とは次のものを指します
が成り立つ ([3] 参照).
(i)(Hale-Ferguson1997 以来)
すなわち, Kepler 予想が証明された. この結果は J. of Computation Geometries を中心にいくつかのシリーズの論文として発表されて来ていて, 最後の部分がもうすく印刷されて完結する予定と聞いています. この結果は 4 色問題の時みたいにコンピューターを何百時
間もフルに使う証明とのことてすが, どの様にコンピューターを使ったかの記録が詳しく$\Delta_{3}=\pi/\sqrt{18}$残されているとのことてす. この証明は, 専門家達は正しいであろうと判断していると聞いています(ii) (W.-Y. Hsiang, 1993) 上の (i) の証明よりも前に Hsiang は Kepler 予想の証明を発表しています- ただし, その証明は難解てあるとのことて, 専門家を納得させることに成功していません. 詳細は 2001 年に新しく書き下した単行本 [4] としても発表されています 私は個人的にはこの Hsiang の仕事をもつと検証してみるべきと思っています- また Hsiang
は 1993 年に $\tau_{4}=24$ をアナウンスし, 現在約 100 ページのプレプリント [5] も存在します- 私は 2001 年に本人から直接それを貰いました. そこでは 4 次元の kissing number を与える球の配置の一意性も述べられています これは Musin の論文では示されていません. この事実は成り立つと思われますが, これも残念ながら検証はまだされているとは言えません. 私は個人的にはこの Hsiang の仕事を, とくに kissing number の部分をもつと本気て検証してみるべきと思っています. 私白身も少しは試みましたが, 一部分しか読み進むことは出来ませんでした. 九大の二田水裕介君の 2003 年の修士論文 (アドバイザー ;坂内悦子) もこのことを試みたものてす 興味のある方は参照して さい.
$\text{下}$(1)の kissing number の問題に関して歴史的なことを少し述べます-

先す次ぎの表 1 を見て下さい. これは Conway-Sloane [9] を再録したものてす-3
表 1. (これは一般の場合および格子の場合に kissing mumber について何が知られていて何が知られていないかを纏めた表です OHP ではこの表を書きましたが, 上の ConwaySloane [9] の本 12 ページの Table 1.1 と 23 ページの Table 1.5 を合わせたものと本質的に同じですので, そちら見ていただくことにしてここでは略します.)
この表からも分かるように, (一般の場合に)kissing number$\tau_{n}$が決定されているのは$n=1,2,3,8,24$に限られていました (一方, 格子の場合に限れば $n\leq 8$ の場合に答えが知られています)

なお一般の場合の漸近的な評価としては次が知られているベストな結果てす.

(Kabatiansky-Levenshtein, 1979) $\tau_{n}\leq 2^{0,401n(1+o(1))}$ .

Oleg Musin の論文 [12] についての覚え書き.
2003 年 6 月: 私 (坂内) が Musin 本人から論文の原稿を雑誌への投稿前に非公式にチェックして欲しいとの要請とともに受け取った (他にも何名かの本に送ったとのことて$\bullet$ある)$\mathrm{O}$だ.

2003 年 8 月 -9 月: 田上君を含め数名で非公式なセミナーを持ちこの論文を詳しく読ん
Lemma 1 に関して間違っていると思われるところをいくつか指摘したものを Musinに送った.
$\mathrm{O}$2003 年 9 月 26 日: Musin は論文 [12] をプレプリントサーバー arXiv に正式に投稿.

(これて論文をオープンに議論して良いと判断した. ただし我々の指摘した問題の箇所のいくつかはこの論文では直っていなかった. その意味で最終的な結果の正しさはまだはつきりしていなかった.)$\bullet 2003$

年 12 月:Musin は Berkley MSRI などて講演. (講演の中て坂内のグループが論文の正しいことを完全に検証したと発言したらしく, 他の人からその正否について質問を受ける. 全体の証明の感触は正しいと思われるが完全に正しいか否かは分からないし保証出来ないと返答.)$\mathrm{O}$$\mathrm{o}$2003 年 12 月 -2004 年 1 月: 田上君とともに本気てこの論文の問題の箇所を検証した.
2004 年 2 月: Lemma 1 の証明が必要な $n=3$ およひ $n=4,$ \leq 5 の場合 (かつ$m$に対して) に成り立つことを最終的に確認し正確には以後の議論で必要とされるあるた. (約 4 ページの詳しい原稿を送り, 必要ならそれを利用してくれと伝えた. Musin から
感謝と, このことを最終原稿で acknowledge するとの返事を貰う. ) この部分の解決により, Musin の仕事は正しいことがほぼ検証されたと我々は考えている (後半の関数の評価の計算部分は我々はチェックしていないが)$t_{0}$

2

Musin の証明の概略

田上君が次の講演でより詳しく説明してくれると思いますが, Musin の証明の概略は以下の通りです. Delsarte 理論というか, 代数的組合せ論の方法が大本にあるので, 全体の方
針ははっきりしていて面白いと思います また他の色々な状況にもこの方法が拡張されるのではないかと予想されます.

先す, OdlyzkO-Sloane [13] (1979), Levenshtein [10] (1979) による $n=8$ およぴ $n=24$の決定の復習をします. この時, 次の補題が基本的てすの場合の$\tau_{n}$

補題

(

$r$

次の) 多項式 $f$ ( x) があって, それが$f(x)=. \sum_{1=0}^{r}a:Q_{i}(x)$と表されているとする. ここで $Q_{i}(x)=Q_{i}^{(n)}(x)$ は 次の Gegenbauer 多項式を表す(Gegenbauer 多項式 $Q_{:}(x)=Q!^{n)}.(x)$ は区間 [-1,1] 上の重さ関数 $(1-x^{2})$ 甲の直交多項が成り式である.) 今, $a_{0}>0,$ $a_{i}\geq 0(i=1,2, \cdot. .)$ が成り立ち, 更に $f(x)\leq 0,$. $\text{ }$ ,$i$$\forall x\in[-1, \frac{1}{2}]$$\text{立^{}\prime}D\text{と}9^{-}\text{る}$の時$\tau_{n}\leq\frac{f(1)}{a_{0}}$が成り立つ.
$f(x)=(x+1)(x+ \frac{1}{2})^{2}x^{2}(x-\frac{1}{2})$,,$f(x)=(x+1)(x+ \frac{1}{2})^{2}(x+\frac{1}{4})^{2}x^{2}(x-\frac{1}{4})^{2}(x-\frac{1}{2})$は $n=8$ 及ひ $n=24$ の場合, 上の補題の条件を全て満たし, 従つて$\tau_{8}\leq 240,$が得られます$E_{8}$$\tau_{2}4\leq$196560型ルート系の 240 個のルート, Leech lattice の 196560 個の最小ベクトルの集合の存在が逆の不等式を導くのて,$\tau_{8}=240,$$\tau_{2}4=$

196560を得ます(t) が全ての -1, て非
さて, Musin のアイデアは次の通りです 上の補題において,てのみ非正として, 替わりにに対して,正」 の条件をゆるめて, ある -1 に近い
幾何学的な考察を加えて上からの bound を得ようという考えてす. 詳細は原論文 [12] お
よひ田上君の講演およひ報告集の原稿 [14] を参照して下さい.
$\lceil f$$\sim$$\mathrm{t}_{0}$$[t_{0}, \frac{1}{2}]$$[$$\frac{1}{2}]$3Cohn-Elkies-Kumar の仕事の概略

この講演の私の部分の主目的は (2) の Cohn-Elkies-Kumar の仕事の紹介です. これは次の 3 つの論文に基づいています 最初の 2 つ [7], [6] は既に発表されています 最後の論
文 [8] はまだプレプリントですが, 2003 年 11 月の段階で本人の非公式な web site に, また 2004 年 3 月 16 田こ arXiv で正式に公表しているので, その詳細を公に議論しても構わないと判断します(A) Henry Cohn and Naom Elkies: New upper bounds on sphere packings , Annals of
Math. 157 (2003), 689- 714.
(B) Henry Cohn: New upper bounds on sphere packings , Geom. Topol. 6 (2002),$\mathrm{I}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$329-353.
(C) Henry Cohn and Abhinav Kumar: Optimality and uniqueness of the Leech lattice,preprint.(():math.
$\mathrm{M}\mathrm{G}/0403263$$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{X}\mathrm{i}\mathrm{v}$4
A を格子についての準備$R^{n}$

における格子 (lattice) とします

を双対格子, すなわち, $\Lambda^{*}=\{x\in R^{n}|(x, y)\in Z,\forall y\in\Lambda\}$ と定義します.
と定義します. これは格子 A の基本領域の体積てもありますー こが成り立ちますの時,$r= \min(\Lambda)={\rm Min}\{||x|||x\in\Lambda, x \neq 0\}$ を最小距離とします
この時, 格子 A に付随した (すなわ球の中心が格子 A の点に対応する) 球の詰め込みの密度は,$\Lambda^{*}$$|\Lambda|=\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(R^{n}/\Lambda)=\sqrt{\Lambda}$$|\Lambda||\Lambda^{*}|=$$1$$\Delta=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{(\frac{n}{2})!}\cdot(\frac{r}{2})^{n}\cdot\frac{1}{|\Lambda|}$て与えられます.
は半径 1 の球の体積を表します- また,
ここで,$\frac{\pi\S}{(\frac{n}{2})!}$$\sqrt{\pi},$$\Gamma(m+\frac{1}{2})=$$\frac{\ -\gamma}{2^{m}}\psi$$( \frac{n}{2})!=\Gamma(\frac{n}{2}+1).,$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),$$\Gamma(\mathrm{D}=$なども注意して下さい. なお, 後の半分を$\delta=(\frac{\prime r}{2})^{n}\cdot\frac{1}{|\Lambda|}$と定義し, 格子 A の中心密度 (central density) と呼ひます これは 1 単位体積あたり単位球の中心がどれだけの密度 (頻度) で表れるかを表す量で, 通常の密度より表し方が簡単ということもあり以下て良く用います 例えば, Leech lattice に対しては $\delta=1$ となります次の表 2 も Conway-Sloane を再録したものてすが, これは知られている最善の一般の場

合の中心密度$\delta$と, また, 格子の場合にどうなるかを表しています8
表 2. (OHP ではこの表も示しましたが, これも Conway-Sloane [$9_{j}$

3rd ed.

$\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{x}$ページのTable 1,1(a) と 12 ページの Table 1.1 を合わせたもの] と本質的に同じですので, そちらを見ていただくことにして, ここでは省略します.)
一般の次元

$n$

に対しては, Levenshtein (1979) にょり,$\Delta\leq\frac{(j_{\frac{n}{2}})^{n}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)^{2}\cdot 4^{n}}$が知られています- ここて,は次の Bessel 関数てあり, j。はその最小な正の零点を表しています この漸近的な評価としては,$J_{\alpha}$$\alpha$$\frac{1}{n}\log\Delta\leq-$になります

0.5573

漸近的なベストな評価としては,(Kabatiansky-Levenshtein, 1979)$\frac{1}{n}\log\Delta\leq-$

0.5990が知られています-

5Cohn-Elkies[7] の主結果$f$(x): $R^{n}arrow R$ ( $f(x)\in L^{1}($ Rn)) に対して, その Fourier 変換$\hat{f}(t)$: $R^{n}arrow R$ が$\hat{f}(t)=\int_{R^{n}}f(x)e^{2\pi i(x,t)}dx$で定義されます^$\mathrm{O}f$(x): $R^{n}arrow R$ が admissible てあるとは,$|f(x)|,$ $|\hat{f}(x)|<C(1+|x|)^{-n-\delta}$$f$が admissible てあれば,$f,\hat{f}$$\exists\delta>0,$$\exists C\in R$

such thatてあることと定義する.
はともに$R^{n}$

が成り立つことが知られています (ここて$v$

上の連続関数てあり, 次の Poisson の和公式
はの任意の元てす).
$R^{n}$( ,0$v$$\sum_{x\in\Lambda}f(x+v)$$= \frac{1}{|\Lambda|}\sum_{t\in\Lambda^{*}}e^{-2\pi i}$

さらにこの時, 両辺は絶対収束することも知られてぃます$\hat{f}$(t).

さて, Cohn-Elkies の論文 (A) の主定理は次のように表されます.
定理 3.1(定理の番号は Cohn-Elkies の論文 (A) の番号とする.)(ただし$f$ : $R^{n}arrow R$
は恒等的に 0 ではないとする) を admissible とし,$f$

1. $f(x)\leq 0,$ x, with $|x|\geq 1$ ,,2.
$\forall$$\hat{f}(t)\geq 0,\forall t\in R^{n}$が成り立っているならば,$R^{n}$の(一般的な場合の) 球の詰め込みの中心密度$\delta$に対して,$\delta\leq\frac{f(0)}{2^{n}\cdot\hat{f}(0)}$が成り立つ.

本質的に同値な言い換えになりますが, 次のようにも表されます
定理 3.2(定理の番号は Cohn-Elkies の論文 (A) の番号とする.)$f$ : $R^{n}arrow R$ が admissible であるとき,
1. $f(0)=\hat{f}(0)>0$ ,2. $f(x)\leq 0,\forall x$ , with $|x|\geq r$ , (for some ),,3.
の (一般的な場合の) 球の詰め込みの中心密度に対して,が成り立っているならば,$r$$\hat{f}(t)\geq 0,$ $\forall t\in R^{n}$$R^{n}$$\delta\leq(\frac{r}{2})_{:}^{n}$が成り立つ.

これらの結果の証明の概略は次のように或されます-

球の頂点がある格子のいくつかの剰余類の和集合になっているような球の詰め込みを周期的 (periodic) な詰め込みと呼ぶ, もちろん格子的な場合はその特別な場合であるが, 一般の場合よりは制限されている. 先す初めに Poisson の和公式を用いて, 周期的 (periodic)
な詰め込みに対しては定理 3.2 が成り立つことを示す- 次に任意の一般的な詰め込みに対して, それに密度がいくらても近くなる周期的 (periodic) な詰め込みの存在をトポロジー
的に証明する. (いすれの部分もきれいな証明である. 詳細は原論文参照.)
次にこの定理の応用を述べます (論文 (A), 命題 6.1 参照.)
例 1.
$f(x)= \frac{J_{\frac{\mathfrak{n}}{2}}(j_{\frac{n}{2}}|x|)^{2}}{(1-|x|^{2})|x|^{n}}$8$x\in R^{n}$とおくと, D は定理 3.1 の条件を全て満たし, 従って$\Delta_{n}\leq\frac{(j_{\frac{n}{2}})^{n}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)\cdot 4^{n}}$が戒り立ちます. これは先に述べた Levenshtein (1979) のきれいな再証明を与えてぃます
この方向でそれより良い知られている最善の先に述べた Kabatiansky-Levenshtein(1979)が証明できれば面白いのてすが、 現在の所まだ未解決とのことてす
例 2. ( $n=8,$ =24 の場合)
定理 3.2 における適当な関数 $f$ を見出すことにより次が示されます ここて $m=11$ とし$n$て得られています$m$の意味については後述します$\frac{\Delta_{8}}{\Delta(E_{8})}(=\frac{\delta_{8}}{\delta(E_{8})})\leq 1.000001$が得られます, ここて$\delta(E_{8})=\frac{1}{16}$です.

$\frac{\Delta_{24}}{\Delta(\Lambda_{24})}(=\frac{\delta_{24}}{\delta(\Lambda_{24})})\leq 1.0007071$が得られます ここて$\delta(\Lambda_{24})=1$てす-

予想 (Cohn-Elkies(A)Conjecture 8.1)
$n\in$ {2,8,24} に対して, 定理 3.2 の条件を全て満たす関数 $f$ で,が$R^{n}$$\Lambda_{n}$, すなわち,$A_{2}$,$E_{8},\Lambda_{24}$における (一般の場合の) ベストな球の詰め込みであることを証明するものを見っけることが出来ると予想する.
この形て $f$ を具体的に見つける証明が得られたらすぱらしいてあろうし, 少なくともこ

れらの次元では問題を完全に解決します. 私も多分このような関数は見っかると思います
し, それを見つける方向が最善の方法てはないかと思います ただし現在の時点ては, こ
れは未解決問題として残されています その代わりに少し弱い形で Cohn-Kumar(C) は次の形の定理を証明します. 一般の一番望ましい形より弱いとはいえ, 今までのことを考えればこれは大定理です.

主定理 (Cohn-Kumar (C), Theorem 9.3.)

Leech lattice A24 は$R^{24}$の格子の場合の球の詰め込みの中てベストてあり, かっ唯一のベストのものてある.

既に知られている結果てはありますが,証明もこの論文は与えています$E_{8}$

格子が$R^{8}$の中で同様な性質を持っことの別

8
もう少し詳しく彼らの結果をみますとまず, 先の (A) を改良した結果を定理 3.2 を用いて証明します すなわち,
命題
Radial な関数 $f$ (x) で, すなわち値が原点からの距離のみで決まる関数で, 定理
3.2. の全ての条件を$r\leq 2(1+6.851\cross 10^{-32})$に対して満たす関数が具体的に求められる. 従って,$\frac{\Delta_{24}}{\Delta(\Lambda_{24})}$が得られる. ここて$f$$\delta(\Lambda_{24})=1$$(= \frac{\delta_{24}}{\delta(\Lambda_{24})})\leq 1$$+1.65$ $\cross 10^{-30}$

てある.

の構成法.
以下,
803
$f_{0}(z)= \sum$ 果 $i!\cdot L_{i}^{11}(z)/10^{3500}$$|.--0$$f(x)=f_{0}(2\pi|x|^{2})\cdot e^{-\pi|x|^{2}}$という関数の中に求める関数を見つけ出そうとします. (論文では具体的に係数果達を整数として与えようとしてます- その部分は私にはコンピューターファイルを読み取れないので具体的には分かりません. また, なせ $m=803$ なのかは大幅に計算の都合と思われます- 大きくすればする程良いと思います.)は Laguerre 多項式と呼ばれる直交多項式です- すなわち, 区間 $[0, \infty)$ におげる重さ関数に関する直交多項式です ここで重要なことは次のことてす$L_{i}^{\alpha}(x)$$e^{-x}x^{\alpha}$$g_{i}(x):=L^{\frac{\mathfrak{n}}{i2}-1}(2\pi|x|^{2})e^{-\pi|x|}$

2

とおくと,
$\bullet${g0$g_{2},$ $g_{4},$$\rangle$$\cdots$} は radial な admissible な関数の空間に対する Fourier 変換の固有値 1

対する固有空間の基底になり,$\{g_{1}, g_{3}, g_{5}, \cdots\}$

は Fourier 変換の固有値 -1に対する固有空間の基底になることが知られている.
を次の 2 条件を満たすようにとります
さて, 今 $m$ を固定して,また $g(0)=0$ であり, かつ$g_{4m+3}$ の一次結合てある.
(1) はて 2 重根を持っている.
(2) の符号を変える最小の正の元 はなるべく小さくなる.
$z_{1},$ $z_{2},$

$g$

$g$

$g_{1},$ $g_{3},$ $g_{5},$$\cdots,$ $z_{m}$$\cdots,$$z_{0}$$z_{1},$ $z_{2},$$\cdots,$ $z_{m}$

10
この時,

一方,
(1)

$g(x)\geq 0\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}|x|\geq r,\hat{g}=-g$

であり:

$g$

は実数倍を除いて一意的に決まります

を次のようにして決めます$g_{4m+2}$ の一次結合である.
0,
で二重の零点を持ち, は(2) $g+h$ は$h$$h1\mathrm{h}g$$g_{2},$$\cdots,$$g_{4},$$h$$z_{0}$

このような

は

$h$

$g$

$z_{1},$ $z_{2},$$\cdots,$ $z_{m}$でも二重の零点を持つとする.

をきめると実数倍を除いて一意的に決まります

ここて, $f=-g+h$ とおくと, $\hat{f}=g+h$ てあり, 定理 3.2 の条件が (この場合には都合の良いことに) 全て成り立ち, 命題が成り立つことが示されるということのようてす (計算はコンピューターに物凄く依存してます また, 正確には具体的に論文て与えられている関数 1 ま係数を整数に取るのて, 実際の求める性質を持った関数に非常に近いてすが完$f$

全には一致しない関数です.)

Cohn-Kumar [8] の主定理の証明の概略

6

が定理 3.2 のすべての条件を, $r\leq 2(1+$以下の議論において, 前節て述べた関数$6.851$に対して満たすことが非常に重要な出発点です- 以下関数 D は断らなけれ$f$$\cross 10^{-32}$

ば, この関数を表します以下$\mathrm{A}\subset R^{24}$$|\Lambda|=1$を$\delta(\Lambda)\geq\delta(\Lambda_{24})=1$を満たす任意の格子とします- 一般性を失わすに,と仮定します (A が Leech lattice$\Lambda_{24}$と一致することが以下の証明の目的てす.)

いくつかのステップを考察します●\neq 0 ならば $||x||\geq 2$ が成り立っ.
なので矛盾.)(そうでなけれぱ,$x\in\Lambda,$ $x$$\delta(\Lambda)=(\frac{r}{2})^{n}\cdot\frac{1}{|\Lambda|}<1$(定義)$\bullet$

6.733$\bullet$$u$$x\in \mathrm{A}$$\cross 10^{-27}$

が$\Lambda$の nearly $\min$. ベクトノレであるとは,$2\leq||x||\leq 2(1+\epsilon),$=であることと定義する.

$u,$ $v$

が共に nearly $\min$ . ベクトノレならば, $\cos\varphi\leq 1-2(1\neg+\epsilon)1$ が成り立つ. ここてとの間の角度を表す$v$$\epsilon$$\varphi$は●関数$f_{\epsilon}=(x+1)(x+ \frac{1}{2})^{2}(x+\frac{1}{4})^{2}x^{2}(x-\frac{1}{4})^{2}(x-(1-\frac{1}{2(1+\epsilon)^{2}}))$

を考えることにより, A の nearly $\min$ . ベクトルの個数は 196561 より小さい. 従って
く 196560 を得る.

11
( $\tau_{24}\geq 196560$ の証明とほぼ同様.)
●任意の
$||$

$u\in \mathrm{A}$に対して,

u $||\in[2,2(1+\epsilon))\cup(\sqrt{6}(1-\mu), \sqrt{6}(1+\mu))\cup$ $(\sqrt{8}(1-\nu), \sqrt{8}(1+\nu))\cup$$(\sqrt{10}(1-\omega), \infty)$が成り立つ.

ここて $\epsilon=6.733$ $\cross 10^{-27},$ $\mu=3.981$ $\cross 10^{-13},$ $\nu=3.219$ $\cross 10^{-12},$

1.703

てある.

$\cross 10^{-11}$$\omega$=(証明は $f$ をテスト関数として A に関する Poisson 和公式を $f$ の具体的な詳しい性質と共に用いる.)(2\pi |x|2))e-’ 国’ を用いて, また●一方, テスト関数としてある $g(x)=$ (Poisson 和公式を用いて, A の nearly $\min$ . ベクトルの個数は 196559 より大きいことを得の nearly $\min$ . ベクトルの個数は T 度 $=196560$ を得る. (Step 1
る. 以上を合わせて,完了.)$1+ \sum_{i=1}^{37}a_{i}L_{i}^{11}$$\Lambda$$\mathrm{O}X:=C_{\mathrm{A}}:=${$\frac{u}{||u||}|u=\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}1\mathrm{y}$$\min$. vector in } と置$\Lambda$$\text{く_{}0}$

この時,$X=C_{\Lambda}\subset S^{23}(\subset R^{24})$てあり, $|X|=196560$ てある.
この集合 $X$ がクラス 6 のアソシエーションスキームの構造を持つことを示すことが次の目標である.
のいすれかと非常に近いことを示す. 具体
ならば, $(x, y)$ はにが 2,
的にはテスト関数 と の性質, およひ
に対して
8 または
非常に近いか, それよりすっと大きくなることを用いて, 先す, 差が $\pm 6,411\cross 10^{-9}$ て押えられることをしめす さらに差が $\pm 6,41801$
で押えられることも言える. (最終的には 0 となることを示したい訳てある.)$\mathrm{O}x,$$y\in X$$\{0, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{2}, \pm 1\}$$f$$u\in \mathrm{A}$$f$$||u||$$\sqrt{6},$$\sqrt$$\sqrt{10}$$\cross 10^{-12}$$\mathrm{O}X=C_{\Lambda}\subset S^{23}$(nearly 11-デザイン) になる.
上の多項式 (z) に対して,は nearly 10-デザイン

すなわち, 任意の 10 次以下の$R^{n}$$g$$| \sum_{z\in X}g(z)-\frac{196560}{|S^{23}|}\int_{S^{23}}g(z)dz|\leq 2.50193\cross 10^{-5}|g|_{2}$が成り立つ. ここて$|g|_{2}$は$S^{23}$

上の$L^{2}$(もちろん $X=C_{\Lambda_{24}}$ の時は, =0

ノルムてある.

となる.)の時は, $X$ は内積に関してクラス 6 のアソシエーションスキームになり,かつ 11-デザインになったことに注意されたい. $l=11,$ =6, $t=2s-1\geq 2s-2$ なのて,$X$ は-polynomial スキームにもなったことを思い出して欲しい.

ヰ意.

$X=C_{\Lambda_{24}}$$s$$\mathrm{Q}$12●次に 6 つの自明でない関係を, 内積が$\{0, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{2}, \pm 1\}$に非常に近いという条件を用いて入れると,が定義されるが, 実はこの値はの内積のみにより決まり,の取り方に依存せす, この intersection numbers はの作るアソシェーションス
キームの intersection numbers と完全に一致することが示される.
$(x, \cdot y)$$p_{\alpha,\beta}^{\gamma}(x, \cdot y)$$x,$ $y$$X=C_{\Lambda_{24}}$(の時すべてのパラメターが一意的に決まるということと本質的には同じ議論$X=C_{\Lambda_{24}}$である.)●このクラス 6 のアソシエーションスキームがパラメター達て一意的に特徴付けられるというのは, Conway-Sloane[9, 14 章]を再録て本質的に既に示されている. 従って, 格子 A に付随した $X=C_{\Lambda}$ にアソシェーションスキームとして, 一意的な構造が入ることが示された. ( Step 2 完了.)$=\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{i}- \mathrm{S}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}[2]$が nearly $\min$ . ベクトノレならば, $(u, v)$ と $0,$て押えられる. (Step 3 完了.)$\mathrm{O}u,$ $v\in \mathrm{A}$$( \frac{\mathrm{u}}{||\mathrm{u}||}, \frac{v}{||||})$

は$\{0, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{2}, \pm 1\}$$\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 4$のどれかとの差は$75\epsilon$のいすれかと非常に近いことを用いる.

A は nearly $\min$ . ベクトルからなる基底を持っ. (Step 4 完了.)
次の 3 つの事実を繋ぎあわせて示される.
(i) A は 196560 個の nearly $\min$ . ベクトル全体て生或される.
$\mathrm{O}$(この証明に $\tau_{24}\leq 196560$ てあるということを用いる.)(ii) Leech lattice A24 は 24 個の nearly $\min$ . ベクトル達からなる基底を持っ.
(iii) アソシエーションスキームとしてを生威する 24 個の nearly
を用いて,$\min$ . ベクトル達に対応するの 24 個の nearly $\min$ . ベクトル達が A を生成すること$C_{\Lambda}\cong C_{\Lambda_{24}}$$\Lambda_{24}$$C_{\Lambda}$が示される.

(良く知られた結果, [11] 参照) Leech latticeは strongly locally optimal であることが知られている. 別の言葉で言えば, extreme lattice てあるということになる.
すなわち, 少しすらすと (合同変換および全体をスカラー倍する拡大変換を除くと) 密度が実際に下がるということを意味する.
このことは, Voronoi の古い有名な結果 :かつ eutactic オ lattice は extremeJ(Voronoi)を用いても示されるし, Venkov の比較的最近の結果 :(Venkov)
perfect オ lattice は」ということからも直ぐにわかる. ([15] 参照.) . ここて strongly perfect というのは最小ベ$\bullet$$\Lambda_{24}$$\lceil \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}$$\lceil \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{y}$$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}$クトルの集合が 5 デザインを作るということてあり, A24 のそれは 11-デザインになるので, もちろん成り立つ.
次に具体的に$\Lambda$が$\Lambda_{24}$にどれくらい近くなれば$\Lambda_{24}$の密度が最大になるかを定量的13に決める必要がある. 我々の考えている$\Lambda$

がその値よりも$\Lambda_{24}$に近いから一致しなければいけないという具合にして全体の証明が完結する訳である.
この部分は論文では次の様に議論する.
と対をの基底とする. $s_{i,j}=$ (●今,j) とおき,称行列 (2 次形式に対応する) を考える.
を少し動かし, 対称行列 $S+\rho T$ に変える. ここで は小さいスカラー値とする. に対応する 2 次形式を $Q,$ $D=\det(Q),$ $M$ =Q の最小非零ベクトルのノルムとお . 同様に,$\{b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\}$$\Lambda$$b_{i},$$S$$b$$S=(s_{i_{\dot{\theta}}})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$$S$$\rho$$\langle$に対応する 2 次形式を

$S+\rho T$

ムとおく$\Lambda$$Q_{\rho},$,を$D_{\rho}=\det(Q_{\rho}),$ $M$

が strongly perfect であることは,$T$$Q_{\rho}$の最小非零ベクトルのノル

が $S$ のスカラー倍でなければ,$\frac{M_{\rho}}{(D_{\rho})^{\frac{1}{n}}}<\frac{M}{D^{\frac{1}{n}}}$が小さければ成り立つことを意味する.
, を仮定してよい (ここて今, 一般性を失うことなく
s\tilde l., ん =0,の余因子行列の $(i,j)$ 成分を表している). この条件のもとて,が$\rho$${\rm Max}|t_{i_{\dot{\beta}}}|=1$$\sum_{i_{\dot{\theta}}}$$\bullet$$\Lambda_{24}$において, $0<\rho<10^{-20}$ であれば,$\frac{M}{(D_{\rho})}\mathrm{r}n<\neg D\overline{n}M$$\tilde{s}_{i_{\dot{\beta}}}$は $S$が威り立つことが示される.

との近さを評価すると, $0<\rho<10^{-20}$ が計算てきる.
●一方, 我々の A に対して,はの中ての最も密度が高い
以上から Cohn-Kumar の主定理 :lattice(唯一の)lattice てある」 の証明が完結した.
$\Lambda_{24}$$\lceil \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$$\Lambda_{24}$$R^{24}$次元) て似たような結果が得られないかと思
他の次元, 例えぱ 23 次元 (あるいはうが, 今後の興味ある課題 (研究目標) である.
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References
1. 坂内英一, 坂内悦子, 球面上の代数的組合せ理論, シュプリンガー東京, 1999.

2. E. Bannai and N. J. A. Sloane, Uniqueness of certain spherical codes, Can. J. Math.
33 (1981) 437-449.

3. T. C. Hale, A computer verification of the Kepler conjecture, Proceedings of Inter.
III, 795-804.
Congree of Math. (Beijing 2002), Higher Ed. Press.
$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$4. W.-Y. Hsiang, Least action principle of crystal formation of dense packing type andKepler’s conjecture. World Scientific Publishing Co., 2001.

14
5. W.-Y. Hsiang, On the kissing number of sphere packings intheorem, preprint 2001.

6. (B) Henry Cohn, New upper bounds on sphere packings
329-353.

$E^{4}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$a d a strong uniqueness$\mathrm{n}$, Geom. Topol. 6 (2002),

7. (A) Henry Cohn and Naom Elkies, New upper bounds on sphere packings , Annals of
Math. 157 (2003), 689- 714.
$\mathrm{I}$8. (C) Henry Cohn and Abhinav Kumar, Optimality and uniqueness of the Leech lattice,).
preprint,(arXiv: math.
$\mathrm{M}\mathrm{G}/0403263$

9. J. H. Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, lattices and Groups, 3rd. ed
Springer-Verlag, 1999.
10. V. I. Levenshtein, On bounds for packings in -dimension euclidean space, Soviet
Math. Doklady 20 (1979), 417-421.
$\mathrm{n}$11. J. Martinez, Les r\’eseaux parfaits des espaces euclidiens, Masson, Pris, 1996. (English
translation, Springer-Verlag, 200?).

12. 0. R. Musin, The kissing number in four dimensions, preprint,$(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{X}\mathrm{i}\mathrm{v}:\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}.\mathrm{M}\mathrm{G}/0309430)$

13. A. Odlyzko, N. J. A. Sloane, New bounds on the number of unit spheres that cantouch a sphere in dimensions, J. Comb. Thery (A), 26 (1976), 210-214.
$\mathrm{n}$14. M. Tagami, Oleg Musin の論文$\lceil \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}$kissing number in four dimensionsJ の紹介.

aux euclidiens designs sph\’eriques
15. B. Venkov,
aux et designs sph\’eriques, inet formes modulaires, ed. J. Martinet, ’enseignement math.(2001), 10-86.
$\acute{}$$\acute{}$$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}$$\mathrm{R}\mathrm{e}\prime \mathrm{s}$$\mathrm{L}$