令和４年３月２日
福岡県教育委員会教育長 殿
在籍校名
職・氏名
指導者名
研

福津市立福間東中学校
教諭 新本 秀樹
二串 英一

修 報 告 書

このたび、長期派遣研修員として、下記のとおり研修をしましたので報告いたします。
記
１ 研修種別Ｄ 福岡県教育センター研修員
２ 主題研修について
研究主題 「数学的な処理の仕方を理解する生徒を育てる中学校数学科学習指導－解決過程を比較する活動を通して－」(1) 研究のねらい
ア 課題の背景
数学科の学習においては、全国学力・学習状況調査で、事柄が成り立つ理由を数学的な表現を用いて説明することに課題があると指摘されている。この原因として、どの知識や技能を用いて説明をすればよいのかを見いだせていないことや、知識や技能を習得する際に、事実を暗記したり、機械的に処理したりしているだけで、成り立つ理由まで理解していないからではないかと考える。本研究の既習の知識や技能と関連付けて成り立つ理由まで考えることは、膨大な情報をそのまま信じるのではなく、自らの経験や獲得してきた知識や技能を基に、根拠のある意見をもつことにつながるのではないかと考える。
イ 研究の目的
中学校数学科の学習において、数学的な処理の仕方を理解する生徒を育てるために、解決過程を比較する活動が有効であるかを究明する。
ウ 研究の仮説
中学校数学科の学習において、解決過程を比較する活動を設定すれば、解決に至る着眼点を見付けることで見通しにつながり、さらに処理の仕方の根拠となる事柄を統合することができるので、数学的な処理の仕方を理解する生徒が育つであろう。
(2) 研究の構想
ア 主題の説明(ｱ) 主題について「数学的な処理の仕方」とは、数量や図形などについての形式的な手続きのことである。
「数学的な処理の仕方を理解する」とは、数量や図形などについての形式的な手続きを暗記しているだけではな
く、既習の知識や技能と関連付けて成り立つことの理由までわかることである。例えば、移項を利用して一元一次方程式の解を求めることができることに加えて、移項を等式の性質を利用して説明することができたり、角の二等分線を作図できることに加えて、図形の対称性を利用して説明することができたりすることである。知識や技能は、事実的知識の暗記や機械的技能の訓練などの記憶による習得ではなく、概念や原理・法則の理解に裏付けられた発展性のある知識や技能として理解する必要があると考える。以上を踏まえて、次の三つを本研究で目指す生徒の姿と捉える。
- 1 -○ 数学的な処理の仕方を、既習の知識や技能と関連付けて身に付けることができる生徒【知識・技能】○ 数学的な処理の仕方が成り立つ理由を、根拠を明らかにして説明することができる生徒【思考・判断・表現】○ 数学的な処理の仕方の正しさに疑問をもち、その成り立つ理由を考えようとする生徒【主体的に学習に取り組む態度】(ｲ) 副題について（図１）「解決過程を比較する活動」とは、
表１ 解決過程を比較する活動の目的・内容・対象解法を比べて共通点や相違点を見い
比較①
比較②だす活動である。ここでは、解決に至目
解決に至る着眼点を見付けるこ
処理の仕方の根拠となる事柄る着眼点を見付けることで見通しに的 とで見通しにつなげるを統合するつなげるための比較①と処理の仕方
内 解法の相違点や共通点を見いだ 根拠となる事柄の共通点を見の根拠となる事柄を統合するための
容 すいだす比較②を設定する(表１)。また、一単・基本問題と発展問題
対 ・正しい解法と正しくない解法
位時間は「課題設定」「見通し」「追究 象 ・既習の解法と既習の解法・既習の解法と本時の解法①」「追究②」「まとめ」の５つの学習過程で構成する(表２)。まず、「課題設定」では学習の目的を明確にし、「見通し」では解決に至る着眼点を見付けることで見通しをもつことができるように比較①を設定する。さらに、「追究①」では基本問題の正しい処理の仕方が成り立つ理由を考え、「追究②」では基本問題の条件を変えた発展問題を解決する。最後の「まとめ」では、処理の仕方の根拠となる事柄を統合することができるように比較②を設定
図１ 研究構想図する。このような学習過程を単元を通して繰り返していく。

目的内容

課題設定
学習の目的を明確にする
新たな学習内容を確認する

表２ 一単位時間の学習過程における目的・内容
見通し
追究①
追究②
解決に至る着眼点を 基 本 問 題 の 処 理 の 発 展 問 題 の 処 理 の見付け、問題を解決 仕 方 が 成 り 立 つ 理 仕 方 が 成 り 立 つ 理するための見通しを 由を明らかにする
由を明らかにする
もつ解法の相違点や共通 根 拠 と な る 事 柄 を 根 拠 と な る 事 柄 を点を見いだす
見いだす
見いだす
＜比較①＞

まとめ
処理の仕方の根拠となる事柄を統合する根拠となる事柄の共通点を見いだす＜比較②＞

イ 研究の内容(ｱ) 比較①を行うための対象
比較①を行うための対象には、正しい解法と正しくない解法を対象とする場合と複数の正しい解法を対象とする場合がある。正しい解法と正しくない解法を対象とする場合は、相違点から解決に至る着眼点を見付けることができると考える。また、特定の条件の場合のみ正しくなる解法を用いた場合は、条件を変えると正しくならないということを経験するので、ある解法を見いだした際に、それがいつも成り立つかどうかを考えることにつながると考える。複数の正しい解法を対象とする場合は、共通点から解決に至る着眼点を見付けることができると考える。
(ｲ) 比較②を行うための対象
一単位時間内で学習した処理の仕方を統合する場合は、基本問題と発展問題の成り立つ根拠となる- 2 -事柄を対象とする。発展問題は、基本問題が成り立つ根拠では説明できないような条件が変わった問題を設定する。また、単元で学習した複数の処理の仕方を統合する場合は、既習の処理の仕方と本時に学習した処理の仕方の成り立つ根拠となる事柄を対象とする。
(ｳ) 考えを共有するためのタブレット端末の活用
比較する活動において共同編集ソフトを活用する。比較で共通点や相違点に気付けない場合に、友達の考えを参考にすることで解決に至る着眼点や統合する視点をもつことができると考える。また、自分の考え以外の考えを参考にして、よりよい解決に至る着眼点や統合する視点をもつことができると考える。
(3) 研究の実際
ア 実証授業の学年及び単元計画（全７時間）
Ａ市立Ｂ中学校第１学年Ｃ組 35 名
単元名 「移動と作図」

目標段階

導入

１２実
際
１３展
開４実
際
２５終

６末
７

○ 角の二等分線、線分の垂直二等分線、垂線などの基本的な作図の方法が成り立つ理由を理解し、作図することができる。
【知識・技能】○ 角の二等分線、線分の垂直二等分線、垂線などの基本的な作図の方法が成り立つ理由を図形の対称性や性質に基づいて説明することができる。
【思考・判断・表現】○ 作図方法の正しさに疑問をもち、角の二等分線、線分の垂直二等分線、垂線などの基本の作図が成り立つ理由を考えようとしている。
【主体的に学習に取り組む態度】
主眼
手立て
この単元で学習する角の二等分線、線分の垂直二等分線、角の二等分線、線分の垂直二等分線、垂線などの基本の作図を学習する目的をもつこ 垂線などの基本作図を利用しなければ、タイムカプセルが埋まっている場所を見付けることができない問題を設定する。とができる。
比較①
比較②角の二等分線の作図方法を見いだし、それが成り立つ理由を、図形の性質や対称性に基づいて説明することができる。
線分の垂直二等分線の作図方法を見いだ
し、それが成り立つ理由を、図形の性質や対称性に基づいて説明することができる。
既習の作図方法から図形の性質や対称性と関連付けて、直線上にない１点を通る垂線の作図方法を見いだすことができる。
既習の作図方法から図形の性質や対称性と関連付けて、直線上の１点を通る垂線の作図方法を見いだすことができる。
角の二等分線や線分の垂直二等分線の性質を利用して三角形の外心と内心を作図することができる。
基本作図と図形の性質を利用した 75°の角の作図方法を理解することができる。

単元導入の問題を振り返り、三角形の外心を使って、タイムカプセルが埋まっている場所を見付ける課題を設定する。
様々な 75°の角の作図方法をタブレット端末で共有し、作図方法から 75°になる理由を考える活動を設定する。

イ 実証授業の実際と考察(ｱ) 抽出生徒
以下で述べる生徒ａは、計算などの処理はできるが、それが成り立つ理由の理解に課題がある生徒である。生徒ｂは、計算などの処理とそれが成り立つ理由の理解の両方に課題がある生徒である。
タイムカプセルを埋める場所(ｲ) 導入段階（第１時）①∠ABC を二等分する直線と点第１時は、４種類の作図を学習するという目的を設定することをね H から CD にひいた垂線の交点 J
FG の垂直二等分線と点らいとした。そのために、それらの作図を利用しなければ解決できない ②線分
I を通る線分 DE の垂線の交点 K問題（資料１）を設定した。生徒ａと生徒ｂは友達と相談しながら作図 ③J と K と A を通る円の中心方法を考えたが、見いだすことができなかった。４種類の作図を解決することができなかったことが、展開段階で解決したいという学習の目的につながったと考える。
資料１ 単元導入の問題- 3 -(ｳ) 展開段階（第２時）
第２時は、角の二等分線の作図方法をひし形や線対称な図形の性質と関連付けて理解できることをねらいとした。そのために、比較①、比較②を設定した。
①線分 OX の長さを測り、端点 X を中心として、半径 OX の円をかく。
まず、角の二等分線の作図方法（基本問題）を見いだす活動を ②線分
OY についても同様な円をかき、その交点を R とする。
設定した。その際、第１時で５割の生徒が作図した、条件が変わ③半直線 OR をひく。
ると二等分にならない作図方法（資料２）を用いて、角を二等分
この解法では角をつくる線分(OX,OY)
する場合と二等分しない場合の相違点を見いだす比較①を設定の長さが等しくなければ角の二等分線にはならないした。生徒ａと生徒ｂは、角をつくる線分の長さを等しくすればOX=OY のときOX≠OY のときよいということに気付き、正しい作図方法を見いだした。これは、比較①を行うことで線分の長さの違いに着目できたからだと考える。この時、生徒たちは、角を二等分していたのに条件が変わると二等分にならないことから、見いだした作図方法が正しいこ
資料２ 条件が変わると二等分にならとを説明する必要性に気付いた。
ない作図方法次に、いつでも角を二等分するのかという視点から、見いだし見いだした作図方法と資料２の誤答のた作図方法が正しいことを説明する活動を設定した。その際、解 作図されている図形の相違点を見いだ
す活動
決に至る着眼点を見付けるために、正しい作図方法と正しくない作図方法の相違点を見いだす比較①（資料３）を行い、共同編集ソフトで共有した。生徒ａは、比較①において、共同編集ソフトに「正しい方はひし形になっている」と気付きを記述し、「ひし形の対角線は角を二等分する」ことを利用して説明できた（資料
正しい作図方法はひし形を作図していることに気付き、ひし形の性質を４）。これは、比較①でひし形が作図されていることに着目し、使って説明するという見通しをもつ見通しをもつことができたからだと考える。生徒ｂは、比較①に資料３ 比較①
おいて、共同編集ソフトには無回答で、説明するこ生とはできなかったが、ひし形の性質を複数記述す 徒性質を利用ることはできた（資料４）。これは、比較①で共同 ａ
編集ソフトで共有した友達の着眼点を参考にし生て、ひし形の性質を利用することに気付いたから 徒ｂだと考える。
ひし形の性質を複数記述
最後に、根拠がひし形ではない作図方法（発展問資料４ 生徒ａと生徒ｂの説明の記述題）が正しいことを説明する活動を設定した。生徒ａと生徒ｂは、線対称な図形の性質を根拠として説明することが 基本問題と発展問題の根拠となる事柄できた。その後、基本問題の根拠を線対称な図形の性質で統合す の共通点を見いだす活動るための比較②を行った（資料５）。生徒ａと生徒ｂは、共同編集ソフトに共通点として「どっちも線対称（生徒ａ）」「ひし形も線対称（生徒ｂ）」と気付きを記述し、振り返りの記述で、角のひし形も線対称な図形であることに二等分線の作図方法が成り立つ根拠にひし形ではなく線対称な気付き、作図方法を線対称な図形で統合する図形の性質を用いた（資料６）。これは、比較②で基本問題と発資料５ 比較②
展問題は共に線対称な図形の性質を根拠としていることに気付き、角の二等分線の作図方法を図形の対称性で統合す 生
徒ることができたからだと考える。
対称性で統合ａ以上のことから、角の二等分線の作図方法を図形の対称性と関連付けて理解するために比較①と比較② 生対称性では有効に働いたと考える。これは、事後アンケートに、 徒ｂ
統合
生徒ａと生徒ｂが、比較①を行うことで成り立つ理由
資料６ 振り返りの記述の見通しをもちやすくなった趣旨の記述をしている- 4 -比較①に関する回答

比較②に関する回答

ことや比較②を行うことで線対称な図形で統合しやすくなった趣旨 生徒ａの記述をしていることからもわか 生徒ｂる（資料７）。
資料７ 事後アンケートの回答
前時の比較②で統合した角の二等分線(ｴ) 展開段階（第４時）と垂直二等分線の作図方法で利用した
第４時は、直線上にない１点を通る垂線の作図方法をひし形や 図形の性質の共通点を見いだす活動
線対称な図形の性質と関連付けて理解できることをねらいとした。そのために、比較①、比較②を設定した。
まず、垂線の作図方法を見いだす活動を設定した。その際、解決に必要なことに気付くために、前時までに学習した角の二等分線と線分の垂直二等分線の作図方法の共通点を見いだす比較① 両方ともひし形の性質を利用していることに気付き、垂線もひし形の性を行った（資料８）。生徒ａも生徒ｂも、比較①において、共通点 質を利用して作図する見通しをもつの図形の対称性に気付き、作図しやすいひし形を利用することを資料８ 比較①
選択して、これから作図するひし形をフリーハンドでかくこと
生徒ａ
生徒ｂができた（資料９）。そして、垂線を作図することができた。これは、比較①で共通の成り立つ根拠のひし形に着目し、見通しをもつことができたからだと考える。さらに、前時の比較②で、資料９ 見通しのひし形
角の二等分線と線分の垂直二等分線の作図方法を図形の対称性今までの作図の根拠となる事柄の共通で統合したことが、比較①で共通点を見いだしやすくなっている 点を見いだす活動
すべての作図方法は線対称な図形のと考える。
性質を利用していることに気付き、次に、見いだした方法が正しいことを説明する活動を設定し 作図方法を図形の対称性で統合するた。生徒ａと生徒ｂは、ひし形を根拠として説明することができた。その後、前時までの作図方法と本時の作図方法の根拠を統合するための比較②を行った（資料 10）。生徒ａと生徒ｂは、共同
編集ソフトに「ひし形と線対称な図形を使う（生徒ａ）」「ひし形・線対称の性質を利用する（生徒ｂ）」と気付きを記述し、振り返りの記述は、今までに学習した作図方法と本時の作図方法を関連付けていた（資料 11）。これは、比較②で垂線の作図と既習の作図の根拠となる事柄の共通点を考えることで、図形の対称性で統合することができたからだと考える。
資料 10 比較②以上のことから、直線上にない１点を通る垂線を図形の対称性と関連付けて理解するために比較①と比較②は有効に働いたと考える。
生
徒ａ

既習と本時を統合

生徒ｂ

資料 11 振り返りの記述

既習と本時を統合(4) 全体考察
資料 12 は展開段階で比較①の後に処理の仕方とひし形の性質を関連付けた説明・表現をすることができた人数を集計したものである。第２時からできなかった
欠席
できた
第５時にかけて関連付けた説明・表現をするこ
第２時
角の二等分線
17 生徒ａ 15 生徒ｂ 3とができた生徒が増加していることがわかる。
第３時
垂直二等分線
21 生徒ａ 12 生徒ｂ 2
これは、比較①において解決に至る着眼点を見直線上にない6付け、見通しをもてたことが有効に働いたから 第４時 １点を通る垂線 23 ａ,ｂ 6
直線上のだと考える。解決に至る着眼点を見付けること 第５時
28 ａ,ｂ 4
3
１点を通る垂線ができなかった生徒も、共同編集ソフトの友達
資料 12 思考・判断・表現の評価の考えを参考にして見通しをもち、図形の性質- 5 -一覧表を用いて作図方法と図形の性質をつなごうとする姿が見られた。しかし、ひし形や線対称な図形が作図されているかに気付いたが、説明はできなかった生徒もいた。これは、共同編集ソフトで共有した際に、友達の考えをそのまま使って考えることなく進めたことや、利用する図形の性質の理解が不十分だったからだと考える。
資料 13 は、単元導入と単元展開と事後テストにおいて、直線上
N=33
垂線①
垂線②にない１点を通る垂線（垂線①）と直線上の１点を通る垂線（垂 単元導入 46線②）の基本作図ができた人数を集計したものである。資料 13 か 単元展開 23 生徒ａ,ｂ 19 生徒ａ,ｂ事後
30 生徒ａ,ｂ 25 生徒ａ,ｂらは、単元導入に作図ができた人数から単元展開に作図ができた
資料 13 知識・技能の評価人数が増加していることがわかる。授業中に自分で作図できた生徒は全員、比較①において、今までの作図方法は図形の対称性を成り立つ根拠にしていたという共通点から、作図するひし形の見通しをもつことができていた。このことから、垂線の作図方法をひし形の性質と関連付けることができたと考えた。これは、比較①において、前時の比較②で統合した今までの作図方法の共通点から図形の対称性に着目し、解決の見通しをもつことが有効に働いたからだと考える。また、単元展開に作図できた人数から事後テストで作図できた人数も増加している。単元展開にできなかったが、事後テストでできた生徒の振り返りには「今日の授業と前の授業はつながっていると思った」と記述があり、比較②において、すべての作図方法を図形の対称性で統合したことが有効に働いたと考える。
資料 14 は、数学的な処理の仕方を学習するときに成り立つ理由まで理解しようとした生徒の人数を集計したものである。
87％の生徒が肯定的な回答（当てはまる・どちらかといえば当てはまる）をしていることから、処理の仕方が成り立つ理由を考えようとしていることがわかる。肯定的な回答をしている生資料 14
徒は、「作図ができる理由までわかるとよいことがあると思いますか」の問いに対して「思う」と答え、「新しい作図をするときに使えたから」と記述（資料 15）があった。これは、比較②において前時までの作図方法を図形の対称性で統合すること
資料 15 生徒の記述で、新たな作図方法を見いだす際に活用することができたことが有効に働いたからだと考える。また、「なぜこのような作図をするとかけるのかと疑問に思っていたから」の記述（資料 15）から、数学的な処理の仕方の正しさに疑問をもって、成り立つ理由を考えようとしていることがわかる。これは、比較①における、特定の条件の場合のみ正しくなる解法の設定が有効に働いたからだと考える。
(5) 研究の成果と今後の課題
ア 研究の成果○ 比較①を行ったことは、解決に至る着眼点を明確にした。このことは、生徒たちが自分の力で問題解決の見通しを立て、自力解決を可能にし、数学的な処理の仕方を理解することにつながった。
○ 比較②を行ったことは、既習の知識や技能の統合を促した。このことは、処理の仕方の理解をさらに深めることにつながった。これは、次時の比較①の効果を高めることにもつながった。
イ 今後の課題○ 処理の仕方が正しいことを説明できなかった生徒に対しては、処理の仕方と既習の知識や技能を関連付ける手立てが必要である。具体的には、共同編集ソフトで共有した解決に至る着眼点を基に見通しを自分の言葉で表現する活動や、既習の知識や技能を言葉と図や式で整理する活動などを考えている。
＜参考文献＞
・ R.R.スケンプ(1992) 『新しい学習理論にもとづく算数教育-小学校の数学-』 東洋館出版社
・片桐 重男(2017) 『数学的な考え方の具体化』 明治図書- 6 -

【添付資料】○ 第２時の比較①、比較②における共同編集ソフトへの記述
比較① 「正しい作図方法と正しくない作図方法の相違点」
123456789101112131415161718欠席
正しい方法は、すべての辺の長さが等しい
正しい作図方法ではひし形が作図されており、ひし形は向かい合う角欠席
正しい方法
正しい方 向かい合う角が等しい
作られている図形はひし形
正しいほうはひし形で正しくない方はなんか変な感じ
点 p と点 Q と点 R を結ぶ

比較② 「基本問題と発展問題の根拠となる事柄の共通点」

ひし形も線対称だから欠席どちらも線対称なところ２つとも線対称な図形ということ。
欠席どちらも線対称だからひし形も線対称だからどちらも線対称どちらも線対称な図形だから。
ひし形も線対称

向かい合う角が等しいか等しくないか

正しい方はひし形になっていて正しくない方は台形になっている。

どちらも線対称
どちらも線対称
どっちも線対称
どっちも線対称だから。合同な図形。
どっちも線対称

1920212223242526272829303132333435

正しい方は、ひし形になっているが間違っている方は台形になっている
欠席欠席線対称。 ひし形は正しい方は、ひし形も線対称になるから。
正しい作図方法ではひし形ひし形も線対称になっているからどちらも線対称
どちらも線対称
正しい作図法はひし形も線対称になるから正しい方は、ひし形になっていて、正しくな ２つの図形どちらも線対称な図形になってい方はいる。
長さが等しいひし形も線対称だから！！
角の長さが違うときは、正しいひし形になっ ２つの 図形はどちらも線対称になっていていない。角の長さが同じ時は、正しいひし るから形になっている。
対角線が等しい、ひし形
線対称で、折り曲げるとごう
２つの図形はどちらも線対称になっているから- 7 -○ 展開段階（第２時から第５時）における基本問題と発展問題が成り立つ理由

第２時（角の二等分線）

第３時（線分の垂直二等分線）

基本問題（ひし形の性質を根拠）

発展問題（線対称な図形の性質を根拠）

四角形 OQRP はひし形である。
ひし形の対角線は角を二等分するので、直線OR は∠XOY の二等分線になる。

四角形 OPRQ は、直線 OR を対称の軸とする線対称な図形である。
線対称な図形は、対称の軸を折り目として折ると折り目の両側がぴったり重なるので、直線 OR は∠XOY の二等分線になる。

四角形 APBQ はひし形である。
ひし形の対角線は中点で垂直に交わるので、直線 PQ は線分 AB の垂直二等分線になる。

図形 AQBP は、直線 PQ を対称の軸とする線対称な図形である。
線対称な図形の対称の軸は、対応する２点を結んだ線分を垂直に二等分するので、直線 PQは線分 AB の垂直二等分線になる。

四角形 PCQD はひし形である。

四角形 APBQ は、直線 AB を対称の軸とする線ひし形の対角線は垂直に交わるので、直線 PQ対称な図形である。

は直線 AB の垂線になる。

線対称な図形の対称の軸は、対応する２点を第４時（直線上にない１点を通る垂線結んだ線分と垂直に交わるので、直線 PQ は直）線 AB の垂線になる。

第５時（直線上の１点を通る垂線）

四角形 QCRD はひし形である。
ひし形の対角線は垂直に交わるので、直線 QRは直線 AB の垂線になる。

- 8 -

三角形 CQD は、直線 PQ を対称の軸とする線対称な図形である。
線対称な図形の対称の軸は、対応する２点を結んだ線分と垂直に交わるので、直線 PQ は直線 AB の垂線になる。