東急建設技術研究所報 No. 44

U.D.C 624.01/.04 : 531.2

Boussinesq の解を応用した直接基礎の即時沈下量算定法
靖＊

古垣内

要

約：

川崎健二郎 ＊

葛西勇紀 ＊

一般に，直接基礎の即時沈下量の算定では，Steinbrenner の近似解を多層地盤および長方形分割法にて拡張する方法が用いられる。この算定法は基礎を長方形にモデル化する必要があるが，基礎形状は必ずしも整形な平面形状でないため，基礎を長方形にモデル化する際に適切な判断が求められていた。一方，筆者らは直接基礎の水平変位の算定において，他の基礎の荷重による影響を集中荷重とすることで群基礎効果を考慮した水平変位の算定方法を提案した。本報では，この水平変位の算定方法を即時沈下量の算定に応用し，円形荷重と集中荷重（Boussinesq の解）を用いることで，複雑な形状の基礎でも容易に即時沈下量が精度よく算定する方法を提案する。また，弾性理論解や三次元有限要素法解析と比較しその妥当性を確認した。
キーワード：

即時沈下量，Steinbrenner の近似解，Boussinesq の解，多層地盤，弾性理論

目

1．はじめに4．本算定法の検証

2．円形荷重と集中荷重による即時沈下量算定法

5．まとめ

次：

3．基礎の剛性を考慮した即時沈下量算定法
1．はじめにまた，基礎の剛性を考慮した即時沈下量は，基礎の剛性

直接基礎の即時沈下量の算定として Steinbrenner の近マトリックスに，荷重と沈下の関係から得られる地盤の柔似解がある。この近似解は，有限深さの弾性体に長方形等性マトリックスの逆マトリックスを組み込むことにより算分布荷重が作用した場合の荷重面隅角部の沈下量を示す解定されるが，このような算定方法による柔性マトリックスである。実務設計においては，多層地盤における重ね合わは何れも非対称マトリックスとなり，計算上非効率な状況

せ理論や長方形分割法を用いることで多様な地盤構成や基となっていた 3)。

1)

礎形状の沈下量算定に用いられている 。ただし，Stein-

一方，直接基礎の水平地盤ばねの算定において，筆者らbrenner の近似解は，長方形等分布荷重を対象としているは他の基礎の荷重による影響を集中荷重に置き換えても誤ため，長方形の集合で表現しきれない基礎形状には対応で差が小さいことを確かめている 4)。その考え方を沈下量のきないという課題があった。そこで，筆者らは，直角三角算定方法に応用することで，複雑な基礎形状を単純化し，形等分布荷重の頂点の沈下解に基づく任意形状の沈下量算

柔性マトリックスを対称マトリックスとすることにより，定方法 2)を提案したが，この算定法は，直角三角形等分布計算上の煩雑性の解消と演算の効率性を有した算定方法を荷重の頂点沈下解を 6 回加減する必要があり煩雑な計算と提案する。

なっていた（図 1）。
2．円形分布荷重と集中荷重による即時沈下量算定法
図 2 に沈下量算定の概念図を示す。沈下量を求める基礎を 基礎とし他の基礎を 基礎と定義し， 基礎に作用する鉛直荷重を考慮した 基礎の沈下量を以下のように求める。
①

基礎に作用する鉛直荷重による沈下量⇒等価な円形分布荷重として求める。

②

基礎に作用する鉛直荷重による 基礎の沈下量⇒等価な集中荷重（Boussinesq の解）として算定する。

図1＊技術研究所

既往の沈下量算定法

図2

基礎・構造グループ

61

他の基礎の影響を考慮した沈下量算定モデル

東急建設技術研究所報 No. 44

2.1

Boussinesq の解を円形に積分した弾性理論解

図 3()に計算モデル図を示す。式()は，均一な半無限地盤の表面（ =0）に鉛直集中荷重をさせた場合の鉛直変位解（Boussinesq の解）を円形に積分し，等分布荷重（柔な基礎）が作用した場合（式()‑Ⅰ），および面内の変位が等しくなるような分布荷重（以下，等変位分布荷重（剛な基礎））が作用した場合（式()‑Ⅱ）における任意深度の円中心の沈下量  s の算出式である。
式()の係数  I (ν, ζ) を使用し，図 3()は，式()に示すモデル図のように Steinbrenner の近似解と同様の方

図3弾性理論のモデル図

図4

η〜 / の関係図

図5

地表面沈下分布図法で近似した多層地盤における沈下量  S の算出式である。
s=  IPEaI (ν, ζ)= 

S=ζ
1+ν
ζ− +2(1−ν)( ζ +1 −ζ)π ζ +1――――(Ⅰ)等分布荷重1+νζπζ −1+(1−ν) −sin  2π ζ +12
ζ +1





――――(Ⅱ)等変位荷重

P   I (ν, ζ)−  I (ν, ζ)∑a E()()

ここに，  s：半無限地盤における即時沈下量（m），：基礎に作用する鉛直荷重（kN），：等価円の半径（m），
ζ= / , ：即時沈下量算定深度（m），：地盤の変形係数（kN/m 2），
ν：地盤のポアソン比

S：多層地盤における即時沈下量（m），：地層の総数，

ζ= / ，：第層下端深度（m）ただし：第層の変形係数（kN/m 2），

ν ：第2.2

層のポアソン比

等価円の半径等価円の半径=0.0 m，0の評価方法および適用範囲

表面沈下量

は，長方形基礎の面積 ・ （ ：短辺，：長辺）と等しくなるように式()で設定する。

a= B⋅Lπ
図 4 に，長方形分布荷重での地表面沈下量を比較した。円形等分布荷重および円形等変位分布荷重の等価円の半径は式()で設定した。

図 5 に，半無限地盤において，集中荷重および両円形分()布荷重を作用させたときの地表面沈下量を円形分からの水平距離と荷重中心点の関係を示す。同図の縦軸は式(布荷重での地表面沈下量  s で除した η と長方形の辺長(Ⅱ)による地表面沈下量  s で正規化し，横軸は比び/の関係を示す。ここで地盤は，半無限地盤としで正規化している。集中荷重による)‑

およは Boussinesq

ν=0.3 としている。 / ≦3/2 の範囲であれば，等分布荷の解および FEM 解析で求め，円形等分布および円形等変重（弾性理論解），等変位分布荷重（FEM）ともに η の変位分布荷重による化は小さい。よって，この範囲内に基礎をモデル化すれ件および FEM 解析モデルは参考文献 4)を参照されたい。

ば， を補正せずに検討しても良いと考える。
2.3

は FEM 解析で求めた。なお，地盤条同図より，荷重作用位置中心近傍では，荷重条件（集中他の基礎（ 基礎）のモデル化の検証

荷重，等分布荷重，党変位荷重）による違い明確に表れる

ここでは， 基礎に作用する鉛直荷重について，基礎形が，荷重作用位置中心より 2 以上，つまり基礎幅分離れ状を無視した等価な集中荷重（Boussinesq の解）としてた位置では荷重条件による大きな差異がないことがわかモデル化することの適用性を検証する。

る。このことから， 基礎中央から 基礎中央の距離が基基礎幅を 2 とした正方形基礎として，等価な集中荷重，礎幅分以上離れていれば， 基礎に作用する鉛直荷重は，円形等分布荷重および円形等変位分布荷重を作用させて地長方形の分布荷重としてモデル化せずに集中荷重

62東急建設技術研究所報 No. 44⫶

提案する簡易算定式=S

2.2〜2.3 の結果より， 基礎の沈下量（ ）は， 基礎の鉛直荷重による沈下量 (  S) に， 基礎の鉛直荷重による沈下量  S を加算し，式( S

じさせないことが確認された。
2.4

F F ⋯ F ⋯ F P

S（Boussinesq の解）としてモデル化しても大きな誤差を生)で表すことができる。なお，F F ⋯ F ⋯⫶⫶⫶⫶ ⋱ ⫶F F ⋯ F ⋯ F⫶⫶ ⋱SF ⋯ ⋯ F ⋯ F P

{S}=[F ]{P}

る。

)()

ここで，[F ] は他の基礎荷重の影響を考慮した連成ば

S=  S+ ∑S( P   I (ν, ζ)−  I (ν, ζ)∑
 S =
Ea I (ν, z)−  I  (ν, z) S=P ∑E 

(⫶⫶⇒{P}=[F ]{S}I (ν, ζ)=⫶⫶

連続した基礎形状でも分割して離散化することで適用でき  ⫶

つまり，

本提案式は独立基礎だけではなく，べた基礎や布基礎など

⫶Pζ1+νζ− +2(1−ν)( ζ +1 −ζ)π ζ+1――――(Ⅰ)等分布荷重
ζ −11+ν ζ
π+(1−ν) −sin  
2π ζ +12ζ+1――――(Ⅱ)等変位荷重

1+ν z I  (ν, z)=
 +2(1−ν)
2πR Ra= BLπ








R= Δ +Δ +z

Δ=− Δ= − )

ねに相当する。

一方，基礎全体の荷重と変位との関係はP  P=K  K  S (K  K  S)であり，基礎の剛性を考慮した沈下量は，基礎の全体剛性マトリックス（式()）の沈下の関する成分 [K ] に式() の地盤の柔性マトリックスの逆マトリックス [F ] を組み込むことで算定できる（式(P  P

=K +FK )）。

K  S (K  S)

ここに，{S}：基礎の沈下量（m）{S}：基礎の変形角（rad）{P}：基礎に作用する鉛直荷重（kN）

ここに，{P}：基礎に作用する曲げモーメント（kNm）

P： 基礎の鉛直荷重（kN）
P： 基礎（その他の基礎）に作用する鉛直荷重（kN）

Steinbrenner の近似解および長方形分割法や直角三角形 3)により求められるこれまでの地盤の柔性マトリックス

S： S を考慮した 基礎の即時沈下量（m）
S： 基礎の鉛直荷重による 基礎の即時沈下量（m）[F ] は，分布荷重による任意の変位解で，非対称マトリッ

S： 基礎の鉛直荷重による 基礎の即時沈下量（m）

クスとなる。そのため，その逆マトリックス [F ] も同様

B： 基礎の短辺（m），L： 基礎の長辺（m）に非対称マトリックスであり，この [F ] が組み込まれたa： 基礎の等価円の半径（m）

全体剛性マトリックスも非対称マトリックスとなる。その

m：分割した基礎の総数

ため，これまで一般的に用いられている対称性を考慮した

R： 基礎中央と 基礎中央との相対距離（m）

解法を用いることができず，計算が非効率な状況となって（, ）： 基礎中央の座標（m）いた。



一方，2 章で提案した沈下算定方法による柔性マトリッ（, ）： 基礎中央の座標（m）
その他の記号は()(

クスは，式()式と同様である。

)より対角成分で1 I  (ν, ζ)−  I  (ν, ζ)∑a EF=
3．基礎の剛性を考慮した即時沈下量算定方法

して，格子梁モデルにウインクラーばねを配したモデルがF= ∑示されているが，他の基礎の影響を受けない地盤ばねになF=F 

そこで，繰り返し計算を必要とせず，1 回の計算で即時)の  I  と R は，(10)スであることが示された。つまり，集中荷重（Boussinesq

まず，基礎の剛性を有しない場合の沈下量と鉛直荷重とを)となり，本提案式の柔性マトリックスは対称マトリック

沈下量が求まる，連成ばねの導入について述べる。に(と を入れ換えても式が同一となることから，評価するために，繰り返しの収斂計算が必要となる 1)。

をI (ν, z)−  I  (ν, z)E となる。非対称成分の F は式(り，基礎の剛性によって再配分された荷重で地盤ばねを再)より，)

で非対角成分で基礎の剛性を考慮した即時沈下量の代表的な算定方法との関係は，式((の解）を用いることで，Maxwell‑Betti の相反定理が成立と表記し直し柔性マトリックスが対称マトリックスになる。これよすと，以下のように示せる。

り，基礎の剛性を含めた全体剛性マトリックスは対称マトリックスとなり，現在一般的に用いられる対称性を考慮し63東急建設技術研究所報 No. 44

た解法を用いることができる。
4．本算定方法の検証
4.1

矩形基礎の弾性理論解との比較

ここでは，同一面積のべた基礎の辺長比 L' B' をパラメータにして，式()の結果と弾性理論解である山原の5)

解 や FEM 解析の結果を比較した。べた基礎は短辺 B' を3 分割と一定として，長辺 L' を辺長比/ ≦3/2 となるように基礎を分割し，分割された中央の基礎を 基礎として， 基礎中央の沈下量

図6を算出している。

矩形基礎の即時沈下量の比較

図 6 に， 基礎の正規化した沈下量 S  s と L' B' の関係を示す。なお， s は a= B' ⋅L' π として式()‑(Ⅱ)より求めた地表面沈下量である。また，ここで示す等変位分布とは，べた基礎全体の沈下量が同一であるということを示す。両分布荷重の場合においても，式()より求めた沈下量は弾性理論解および FEM 解析の結果と概ね一致しており，式(4.2)の妥当性が確認された。

基礎の剛性を考慮した即時沈下量の算定例

図 7 に検討モデルの平面図を示す。本モデルは独立基礎とべた基礎が混在し，くの字状に平面形状が折れた不整形なプランとした。べた基礎部分は厚さを 300 mm 横 10 m×縦 14 m とし，1 m オフセットした周囲と縦スパン中央に対して梁（B=800 mm，H=1500 mm）を配置し，同図図7に示す 9 つの独立基礎部を同様な梁で接合したモデルとし検討モデル図た。建物に作用する鉛直荷重は，独立基礎およびべた基礎ともに平均荷重度が 100 kN/m 2 に相当する荷重を同図に示す通り柱位置に集中荷重で作用させた。地盤は，変形係数=60 MN/m 2，ポアソン比 ν=0.3 とし層厚 300 m の一層地盤とした。
図 8 に本提案式（()式）によるモデル化図を示す。独立基礎部分は等価な面積の剛な円形基礎にモデル化し，独立基礎間を梁要素で結合した。べた基礎部分は同図のように分割・離散化し，独立基礎同様に剛な円形基礎にモデル化し，相互に耐圧版と同じ断面を有する梁で接合することとした。柱間は耐圧版を考慮した地中梁で同様に接合することとした。なお，べた基礎の右上を原点と設定し，横方向の通りを同図のように A‑Aʼ，B‑Bʼ，C‑Cʼ 断面とした。
本提案式の検証を目的に，三次元 FEM 解析を行った。

図8検討モデル図（本算定モデル）

図 9 に FEM モデル図を示す。FEM 解析は汎用解析コードの Nastran を使用した。地盤は 20 節点六面体要素とし，300 m の立方体としてモデル化した。梁は 3 節点梁要素とし，Bernoulli‑Euler 梁とした。板要素は 8 節点シェル要素とした。境界条件は全周ローラーとし，荷重条件は剛梁要素により基礎部分の変形を拘束し，基礎の中心部に設けた主点に対し作用させた。なお，剛梁要素と主点は z方向の自由度のみ連動する。
図 10 に本計算法による沈下分布図を，図 11 に FEM 解析による沈下分布を示す。なお，図 10 においては，基礎のない部分の沈下傾向を把握するため，荷重をもたない仮想基礎を設定し沈下量を算定している。
図9

図 10 と図 11 を比較すると，沈下分布はよく対応してい64検討モデル（FEM モデル）

東急建設技術研究所報 No. 44

図 10

図 11計算結果（本算定モデル）

図 12

沈下分量布図表1

各基礎の沈下量計算結果（FEM モデル）ることがわかる。また，図 12 に A‑Aʼ〜C‑Cʼ 断面の沈下量分布図を示す。また，表 1 に各基礎位置の沈下量を比較して示す。

②

他の基礎（ 基礎）に作用する鉛直荷重による 基礎

図 10，図 11，図 12 より FEM 解析と本解析はよく対応の即時沈下量は， 基礎中央と 基礎中央の距離がしていることから，基礎の剛性を考慮した本算定方法の妥基礎の基礎幅分離れていれば，矩形の等分布荷重では当性が確認できた。

なく等価な集中荷重としてモデル化しても結果に大きな差異はない。

5．まとめ

③

基礎に作用する鉛直荷重による即時沈下量は円分布

本論文では，Boussinesq の解を応用した直接基礎の即荷重としてモデル化して求め， 基礎に作用する鉛直時沈下量の簡易算定方法を提案した。得られた知見を以下

力による 基礎の即時沈下量は集中荷重としてモデルに示す。

化する本提案式（(①変位を求める基礎（ 基礎）に作用する鉛直荷重によ)式）は，三次元 FEM 解析の結果と一致するため，妥当である。

る即時沈下量は，基礎の辺長比 / が / ≦3/2 で④あれば，矩形ではなく等価な円形分布荷重としてモデ

本提案式は，べた基礎だけではなく，独立基礎や布基礎，またこれらが混在した直接基礎でも適用できる。

ル化しても結果の差異は小さい。
参考文献
1) 日本建築学会：建築基礎構造設計指針，pp. 123‑130, 2001.10
2) 古垣内靖，板橋靖，沼上清：任意平面形状における直接基礎の沈下量算定方法，第 40 回地盤工学研究発表会講演集，pp. 1495‑1496, 2005.73) 古垣内靖，鈴木祐一：底版レベルの異なる直接基礎の沈下量算定方法：第 30 回土質工学研究発表会発表講演集，pp. 1605‑1606,1995.54) 古垣内靖，中沢風太，川崎健二郎：弾性理論解に基づく直接基礎の水平変位および水平地盤ばねの簡易算定法，日本建築学会
技術報告集，第 24 巻，第 57 号，pp. 587‑590, 2018.65) 山原浩：環境保全のための防振設計，pp. 119‑129，彰国社，1974.965東急建設技術研究所報 No. 44CALCULATION METHOD FOR THE PROMPT SETTLEMENTOF SPREAD FOUNDATION BASED ON SOLUTION OF BOUSSINESQ
Y. Furugaichi, K. Kawasaki, and Y. Kasai
Normally, the prompt settlement of the spread foundation is calculated by the extended method with layered ground andrectangular partitioning using the approximate solution of Steinbrenner. In case of using the extended method, it isnecessary to convert the size of the foundation to be rectangle. However, sizes of foundations are more than just planar
regular shapes. Therefore, appropriate determination needs to be considered to convert sizes of foundations. Concerning
the calculation of horizontal displacement associated with the spread foundation, we have proposed the horizontal
displacement calculation method with considering the influence of the pile group foundation due to concentrated load ofother loads. In this paper, seeing that the prompt settlement is calculated by using the horizontal displacement calculation
method and distrusted load is converted into the circular load and the concentrated load, we propose a precise andconvinced calculation method for the prompt settlement of complicated sizes of foundations. The validity of the calculation
method was confirmed by comparing calculated results against those of three‑dimensional finite element analysis andelastic theory.

66