物理１班

カールじいさんの世界と現実齊藤優太 木内桃矢 斉藤芽依 畠山玲奈 渡辺紗弥

１, 研究動機・目的「カールじいさんの空飛ぶ家」という映画は、とある老人が家に風船を取り付けて飛行し、３日間でパラダイスフォールという目的地に向かう物語だが、作中では最終的に目的に到着したものの、それが本当に現実世界においても可能なのかと疑問に思った。また、そのことについて調べていたところ、National Geographic という番組で実際に映画を再現しているのを見つけた。しかしその番組では、軽く作った家を飛ばしただけだったため、実際の重さではどうなのか、どれだけ遠くまで飛ばすことができるのかが私たちは気になった。
以上のことから本研究は、「カールじいさんの空飛ぶ家」がパラダイスフォールまでの距離 6125km を、風船だけでたどり着くことは可能なのか検証することを目的として行った。
２,仮説
映画のように、風船のみで家ごと目的地にたどり着くことはできないと考える。その理由は次の２点である。第一に、ヘリウムの分子がとても小さく風船から抜けるはやさが空気よりもはやいため、浮力が小さくなり、３日間も家を浮かせることはできないのではないかと考えたからである。第二に、自然に発生する風の力だけでは、6125km 先の目的地にたどり着くのにそもそも３日以上かかってしまうと考えたからである。以上の仮説について、実験を通して検証した。
３, 研究方法(１)ヘリウムを封入した風船が３日間でどれだけしぼむのかを調べる
使用した風船 材質：ラテックス

質量：25g

厚さ 0.7mm

大きさ：縦 32cm 横 22cm
測定方法：上記の風船１つをヘリウムガスで膨らませ、糸をつけて水の入ったペットボトルにくくり付け固定した。そして、由利高校物理室にて３日間、午後６時に風船を観察し、定点からの撮影及び風船の縦横の長さの測定を行った。風船の体積の記録については、風船の形を球とみなして風船の縦と横の直径をそれぞれ測定して、それらの平均した値の半分を風船の半径 r とし、その値をもとに風船のおおよその体積 V = 4/3 πr2 を求めた。
また、理論上は、１ℓのヘリウムで１ｇのおもりを浮かせることができるため、浮力の大きさから風船の体積を逆算することも可能だが、実際には風船中のヘリウムがだんだん空気と混合してしまう。そこで、空気とヘリウムが混合した風船ではどの程度の浮力が得られるのかという点についての参考にするため、風船に重りをつけ、何ｇまで浮かせることができるのかも併せて記録した。
(２)気温や湿度で、ヘリウムが封入された風船のしぼむ早さは変わるのか調べる
使用した風船 材質：ラテックス

質量：2ｇ

厚さ：0.3mm

大きさ：縦 11cm 横 6cm
測定方法：２つの風船をヘリウムで同じ大きさに膨らませ、(１)と同様に糸を用いてペットボトルに固定し、車庫及び室内の窓の開け閉めがないところにそれぞれ放置した。その際、同じ大きさの風船２組をピンク２つ及び白２つで用意した。車庫及び室内にはそれぞれ、ピンクと白の風船を１つずつ放置し、２時間後に、風船の縦・横の長さと、車庫及び室内の気温を記録した。
(３)ある高さを保ったまま、風船は風の力でどの程度の速さで進むのか調べる
使った風船 (１)（２）で使ったものと同じ風船を各２個ずつ用意した。
条件：ピンク：縦 13cm 横 14cm
青：縦 43cm 横 42cm

白（サイズ小）：縦 26cm 横 23cm
白（サイズ大）：縦 56cm 横 51cm

扇風機の風速[m/s]：弱 2.443 中 3.271 強 4.041※扇風機の風速はデジタル風速計を用いて計測した。

測定の仕方：床にメジャーを貼り付け、1m の地点に目印をつけた。0m のところに風船を置き、横から弱中強の順番に風をあてると同時に、ストップウォッチで風船が１m 地点を通過するのにかかった時間を測定する。ここで使用した風船は、上記の仕様の風船を呼気で膨らませたものである。
本来はヘリウムガスで風船を膨らませて実験を行いたかったが、風船が浮かんで上空に行ってしまうため、風船を一定方向の風にあて続け計測するというのが再現できなかった。そこで、呼気を封入し、地表での風船の運動を調べることで置き換えようと考えた。このとき、床と風船が接することにより、瞬間的には摩擦力が生じているが、常に接地して運動するわけではなかったため、摩擦による大きな影響はないものとみなした。

以上、
（１）
（２）（３）の方法で検証するにあたっての、その他の条件設定については以下のように定めた。
・３日間快晴・カラスや飛行機などの障害がない・向かい風がない
・風速は変化しない・ジェット気流は発生しないものとする
・高度は１０００ｍとする（目的地であるパラダイスフォールの高さが９９８ｍ）
・実験で扱う風速は日本の気象庁風力階級の中の軟風 疾風 強風 とする
４, 実験に必要な数値
風船内のヘリウムの体積＝4/3×3.14×36.75＝2.07797.54625 [cm3]=0.2078 [㎥]↓207.8[L]風船 1 個が受ける浮力・・・・・大気の密度ρ：1.293[kg/㎥]
重力加速度ｇ：9.8[m/s2]
風船１個に働く浮力 F=ρVｇ＝1.293×0.2078×9.8≒2.6「N」
風船すべての浮力(1 万 297 個)＝2.6×10297＝26772.2[N]
高度１０００ｍでの風船が受ける浮力＝ρVｇ＝1.2×0.2×9.8≒2.4[N]
５, 実験１の結果及び考察

図１

風船の大きさについての定点記録

入れた日の風船の体積

１日目の風船の体積

4/3×3.14×36.83＝207797.54625[cm3]

4/3×3.14×34.03＝164552.74666[cm3]＝0.207797[m3]=0.16455274666[m3]=207.797[Ｌ]=164.552[Ｌ]≒2.08×10５[Ｌ]≒1.64×105[Ｌ]

２日目の風船の体積

３日目の風船の体積

4/3×3.14×30.0３=113040[cm３]

4/3×3.14×23.03＝50939.17333[cm3]=0.113040[m3]＝0.050939[m3]=113.040[Ｌ]＝50.939[Ｌ]≒1.13×10５[Ｌ]＝5.09×10４[Ｌ]以上の結果から、風船の体積と経過した日数との関係については、図２のようになった。

図２ 時間経過に伴う風船の体積の変化
考察１
図２のグラフから、日数が経過するごとに、風船の体積が減少する速度は徐々に小さくなっていくことが確認された。このことから、特に１日目の時点で風船の浮力はぐっと小さくなると考えられる。また、１日経過した時点で１個当たり 62g を浮かすことができたため、１万２９７個の風船では 638kg まで浮かせることが可能である。以上のことから、家屋を風船で飛ばす際の目安として、浮力を維持できる１日間のうちにカールじいさんは目的地を目指さなければならないといえる。
なお、この結果はガス透過の理論とも一致するものであった。ヘリウムは空気よりも分子が小さいため、空気が風船内に入る速度よりも外に出る速度が大きい。そのため、始めはヘリウムで満たされているから体積が急激に減少するものの、次第に抜けた風船内のヘリウムの部分に周りの空気が侵入し、風船内のヘリウムが空気によって希釈され分圧差が小さくなるため、体積減少のグラフは緩やかになる。これと同様の結果が、実験１からも得ることができた。
６, 実験２の結果及び考察
表１ 車庫及び室内での風船のしぼみ方の違い
ピンク

部屋27℃

車庫15℃

白部屋27℃

車庫15℃

縦22cm

22cm

縦26cm

26cm

横19cm

19cm

横21cm

21cm

↓2時間後

↓２時間後
ピンク

部屋27℃

車庫15℃

白部屋27℃

車庫15℃

縦18.5cm

18cm

縦22cm

22cm

横18cm

17.5cm

横20cm

20cm

考察
地表と比べて上空は気温が小さくなるため、実験２の結果を、その影響について考える参考にしたい。温度差が 10℃以上あったが寒い場所と温かい場所では差があまりなかった。
このことから、今回の実験からは温度による影響はあまりないと考えられる。そのため、
実験１で考察した、１日間が飛行の目安になるということについても影響がないといえるだろう。しかし、この実験は通常の大きさの風船で行ったため、もう少し大きい風船で長時間おいていたら、より差が大きくなっていたかもしれない。
７, 実験３の結果及び考察
表２ 風を受けた風船の進む速度
風船の扇風機の種類

風力ピンク

白小青

白大

1 回目

2 回目

３回目

平均

風船の秒速（平均）時速[km/h]

[m/s]

弱

2.91

2.93

2.97

2.94

0.340522134

1.22588

中

1.97

1.34

1.31

1.31

0.649350649

2.337662

強

1.22

1.37

1.06

1.06

0.821917808

2.958904

弱

1.66

1.94

2.12

2.12

0.524475524

1.888112

中

1.94

1.37

1.56

1.56

0.616016427

2.217659

強1.22

1.13

1.34

1.34

0.81300613

2.926829

弱

4.78

3.19

3.93

3.97

0.25210084

0.907563

中

1.78

1.63

2.09

1.83

0.545454545

1.963636

強1.93

2.41

1.56

1.97

0.508474576

1.830508

弱

3.91

4.72

3.71

4.11

0.243111831

0.875203

中2.38

2.96

3.00

2.78

0.875203

1.294964

強2.18

2.06

2.25

2.16

0.462249615

1.664099

ピンク、白小、青、白大の４つの風船でそれぞれ調べた結果、風を強くすると風船の速度が上がった。風船の大きさは大きくするほど速度が下がった。
しかし、ピンクと白小は家をつるすには体積が小さすぎ、青は計測した数値がこれまでの傾向から誤差が生じていたため、白大で回数を増やし精密な数値をだすことにした
表３ 風船（白大）の進む速度
回数[回]1m 進むのに要した時間[s]
扇風機 弱

扇風機 中

扇風機 強

13.69

2.15

1.50

2

3.28

2.19

1.65

3

3.91

1.94

1.50

4

4.31

2.16

1.84

5

4.75

2.31

1.87

6

4.35

2.31

1.53

7

3.28

2.28

1.50

8

3.44

2.31

1.75

9

3.82

2.16

1.72

10

4.50

2.31

1.56

平均

3.933

2.212

1.642

風船の秒速（m/s）

0.254258835

0.452079566

0.609013398

時速（m/s）

0.915331806

1.627486438

2.192448233

この結果から、風船の速度と風速との関係についてのグラフは、図３のようになる。

風船の速度
風船の秒
速0.80.60.40.20y = 0.2222x - 0.2841

012

3

扇風機の風速図３ 風船の速度と扇風機の風速との関係

45図３のグラフから求められた式に風速を代入することで、３日間で進む距離を求められる。
表４ 各風速で３日間に進むことのできる距離
風速[m/s]

風船の速度[m/s]

風船の速度[km/h]

3 日間進む距離[km]

軟風 4.40.63958

2.496888

179.775936

疾風 9.35

1.793476.456492

464.867424

強風 15.5

3.16

11.376819.072

考察３
下記の計算から、目的地であるパラダイスフォールまでの距離 6125km を風船で移動するには、風速 1.06×102m/s が必要になると見当がつく。

パラダイスフォールまで３日間で移動するときの、空飛ぶ家に必要な速度は（目的地までの距離）÷（時間）＝6125km / 72h ＝85.0694444[km/s]

85 km/h = 85000m/h = 85000/3600 m/s = 23.63040123 m/s

図３より（風船の速度）＝０.２２２２ｘ＋０.２８４１
０. ２２２２ｘ＋０.２８４１≒85 [km/h]―①

これが①に等しいので、＝ 23.63040123

よって必要な風速 x＝ 106.315403 ≒ 1.1×102 m/s

このことから、気象庁風力階級による風力最大の１２階級で風力３２.７m/s であり、その風が３日間同じ向きにふき続けたとしても、風船が目的地にたどり着くために求められる風速はたどりつくことはできないだろう。

８,まとめ
劇中では、風船１万 297 個で家を浮かせているが実際には、1 日後には 638kg までしか浮かせることができないため厳しいとおもわれる。
風速はこの実験で 1.1×102 m/s 必要だということが分かったが、気象庁風力階級で記されている最大の１２階級の風力 32.7m/s を越えなければいけないため、同じく厳しいと思われる。
そこで、もし３日以内でたどりつくならば、地図１の円内、半径 388km 以内からスタートしたら可能かもしれない。なおかつ、家と人とを併せた質量が 26kg 以下の物体でなければならない。そのため、家だけをハリボテにして、かつ乗る人もごく軽量な幼児あるいは小人族なら可能なのかもしれない。
（赤い矢印の地点は、パラダイスフォールのモデルとなったエンジェルフォールの場所である）

図４ パラダイスフォールの周囲半径 388 ㎞以内の地域
９,今後の課題
風船からヘリウムが１日にぬける量が予想よりも大きく、パラダイスフォールにたどり着くまでに風船の浮力はもたないことがわかり、目標達成とは言い難い結果に終わった。
風船の数を増やしたり、風船につるす物体の重さを軽くしたりすることで、どのような条件だとたどり着けるのかを具体的に検証していきたい。
謝辞
研究に協力してくださった先生方、ありがとうございました。特に、秋田県立大学シス
テム科学技術学部機械知能システム学科の助教 Stephanie Nix（ニックス ステファニー）
先生には、実験に必要な機器を快く貸していただき、大変助かりました。ありがとうございました。
参考文献
風速の目安 GPV 気象予報（平成 29 年 11 月 12 日最終確認）
http://weather-gpv.info/gw.php
高度と気圧と温度の関係図表（平成 29 年 11 月 12 日最終確認）
http://www.bbweb-arena.com/users/et/kinabalu/kinabalu_005.htm
計算距離（平成 29 年 11 月 12 日最終確認）
http://www.kyori.info/
Wikipedia カールじいさんの空飛ぶ家（平成 29 年 11 月 12 日最終確認）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%98%E3%81%84%E3%81%95%E3%82%93%E3%81%AE%E7%A9%BA%E9%A3%9B%E3%81%B6%E5%AE%B6
MY

MODERN NET（平成 29 年 11 月 12 日最終確認）
http://mymodernmet.com/upinspired-floating-house-14