数理解析研究所講究録
第 1843 巻 2013 年 22-2722

次数 33 の可移置換群の分類について
宮本泉 *IZUMI MIYAMOTO

山梨大学
UNIVERSITY OF YAMANASHI1

置換群
群の計算は、数式処理ソフトウェアパッケージ GAP を使用
一部の計算で、京都大学 学術情報メディアセンタースーパーコンピュータシステムを使用$Sym(\Omega)/Sym$ metricGroup$(\Omega)$Sym(n)/SymmetricGroup(n) :群 $G$ は$\Omega$

上の置換群$\Leftrightarrow G$$g\in G$ の $i\in\Omega$ への作用

: 集合
$n$

$\Omega$上の対称群次対称群 $\Leftarrow\Omega=\{1,2, \cdots,n\}$

は $Sym(\Omega)$ の部分群

$g:iarrow i^{g}$$\Leftrightarrow\Omega=\{1^{g}|g\in G\}$$\Leftrightarrow$

任意の$i\in\Omega$に対して、 $i=1^{g}$ となる $g\in G$ が存在する。

GAP による置換群のデータ$n$

次の TransitiveGroup と PrimitiveGrou の同型類の個数 $(20\leq n\leq 32)$
$p$

NrPrimitivcGroups$(n)$

$20
1117
4$
$21 164 9$$n$

NrTransitiveGroups(n)

$2259
4$
$23
77$
$24
25000
5$
$25
211
28$
$26
96
7$
$27
2392
15$
$28 1854 14$

$29
88$
$30
5712
4$
$31 12 12$$32 2801324 7$

が $G$ の極大部分群固定部分群 $G_{i}=\{g\in G|i^{g}=i\}$ :可移な群で、 1 点固定部分群, Stabilizer( $G$ , i)
点 の固定部分群
可移な群の分類の現状 30 次以下 :10 年以上前、 確認に時間をかけている。 Hulpke

Primitive な群$i$$G_{1}$$\Leftrightarrow$$\subseteq G$.

$tmiymotooymana\mathfrak{g}hi$ ac.jp

23
32 次:Cannon-Holt 2008 年 12 月、確認 2011 年 (Magma のデータ)

32 次の個数が多すぎて、 Magma の通常の組込みデータにはできない。
それで、 分類はここで止まっている。
$33$
$34$
$35$ 次は、 これまでの方法で簡単であろう。
36 次は、 それなりに、、、。
、、分類に必要とされる関数は、 GAP システムに組込まれている。

(本研究集会 2008)
これらを使って、 分かり易く分類したい。 30 次以下の確認も含めて。

Primitive な群の分類 GAP のデータ 2499 次まで ver4.5.6
Magma のデータ 4095 次まで ver219-2
ブロックシステムをもつ
Primitive ではない群$\Rightarrow$$\Omega_{1} \Omega_{2} \Omega_{d}$$\Omega (|\Omega|=n=t\cross d)$$Sym(t)lSym(d)=$ WreathProduct $(Sym(t), Sym(d))$$\{\Omega_{1}, \Omega_{2}, \cdots\Omega_{d}\}$:$G$のブロックシステム$\Rightarrow G\subseteq W=Sym(\Omega_{1})tSym(d)$1 つのブロックを集合として固定する部分群 $K=\{k\in G|i^{k}\in\Omega_{1}$ for all$i\in\Omega_{1}\}$$\Rightarrow G_{1}\subsetneq K\subsetneq G$$\Rightarrow\{1^{k}|k\in K\}=\Omega_{1}$orbit$\{i^{k}|k\in K\}\subseteq\Omega$:$\Omega$の点$i$を含む $K$ の orbit(ブロックなどの) 集合の固定部分群$G_{\Delta}=\{g\in G|\Delta^{g}=\Delta\}$$G_{\{1,2\}},$の固定部分群 (as set)$\Delta(\subseteq\Omega)$$G_{\underline{\Delta}}=\{g\in G|\underline{\Delta}^{g}=\underline{\Delta}\}$【例】: 部分集合: 部分集合$\Delta(\subseteq\Omega)$の固定部分群 (pointwise)$G_{1,2}=G_{2,1},$Stabilizer $(G, [1, 2],$ OnSets) , Stabilizer( , [1, 2], OnTuples)$G$

置換の集合や順序対への作用
部分集合$\Delta=\{i_{1},i_{2}, \cdots, i_{r}\}\subseteq\Omega$

順序対
$G$

$\underline{\Delta}=(i_{1},i_{2}, \cdots,i_{r}),$に対して$(i_{j}\in\Omega)$のブロツクシステム上への作用$\Delta^{g}=\{i_{1}^{g},i_{2}^{g}, \cdots,i_{r}^{g}\}$に対して$\underline{\Delta}^{g}=(i_{1}^{g},i_{2}^{g}, \cdots,i_{r}^{g})$$\overline{G}$$hom:=$ ActionHomomorphism $(G, [\Omega_{1}, \Omega_{2}, \cdots, \Omega_{d}],$ OnSets)$\Rightarrow\overline{G}=$lmage $(hom)\subseteq Sym(d)1$ つのブロック上への作用

Restricted Perm$(g, \Delta)$$\Delta^{H}=\Delta\Leftrightarrow\Delta^{h}=\Delta$$\Delta=\Omega_{1、}H=G_{\Delta}$

for all $h\in H$ のときは、$H^{\Delta}$とすると、$(|\Delta|=t, |\Omega|/|\triangle|=d)\Rightarrow H^{\Delta}\subseteq Sym(t),\overline{G}\subseteq Sym(d)$$\Rightarrow$

置換の作用範囲の制限$\Delta^{g}=\Delta$のとき、

24$G\subseteq$

WreathProduct$(H^{\Delta}, G^{-})\subseteq$

WreathP roduct $(Sym(t), Sym(d))$

固定部分群たちの関係 (共役)$i^{g}=j\Rightarrow G_{1}^{g}=\{g^{-1}kg|k\in G_{i}\}=G_{j}$$\Omega_{i}^{g}=\Omega_{j}\Rightarrow G_{\Omega_{i}}^{g}=\{g^{-1}kg|k\in G_{\Omega_{\backslash }}\}=G_{\Omega_{j}}$2置換群の同型類
置換群の同型類 $=Sym(n)$ において共役な群の類$g\in G$ による共役( niugate)$\omega$$h^{g}=g^{-1}hg$$H^{g}=g^{-1}Hg=\{h^{g}|h\in H\}$$G,$ $H$: $Sym(n)$ の部分群が、置換群として同型$\Leftrightarrow G$と $H$ は $Sym(n)$ で共役$\Leftrightarrow G^{k}=H$となる $k\in Sym(n)$ が存在する。 $arrow$ 本砺究集会 2009 他

lsConjugate(Sym(n), $G,H$ ), RepresentativeAction(Sym(n), $G,$ $H$ )正規部分群
すべての $g\in G$ に対して、 $N^{g}=N$ が成立するか？

$\Rightarrow$IsNormal $(G, N)$

もし、群 $N\subseteq G\Rightarrow N$ は $G$ の正規部分群

正規化群

Normalizer$(G,H)=\{g\in G|H^{g}=H\}\subseteq Garrow$ 本研究集会 2011 他
Magma2011 年末、 v2-18 で、 正規化群と部分群の共役計算は、飛躍的に高速化された。

GAP
2012 年、 ver4.5 にバージョンアップしたが、 正規化群および部分群の共役計算に関しては、微妙。
次数 30 程度では、 Magma ならスムースに計算、 GAP では、 時間のかかる場合も存在。
$\Rightarrow$

置換群の計算GAP では、置換群の分類に使う関数がそろっている。
Magma では、 素材となる関数から作る必要がある。 (素材となる関数がなかなか見つからない。)

333 次の置換群のブロック構造

25
33 次の置換群のブロック構造$\Omega_{1} \Omega_{2} \Omega_{3}$
場合分け$G$の 1 つのブロックを固定する部分群のブロック内での作用が可解 (Solvable)

ブロックサイズが 3
ブロックサイズが $11$、

かつ$\backslash$TansitiveGroup $(ll, k)$ , $(1\leq k\leq 4)$

非可解ブロックサイズが $11$

3.1、かつ、 TansitiveGroup $(ll, k)$ , $(5\leq k\leq 8)$

ブロック内での作用が可解な場合

G WreathProduct(Sym(3), TransitiveGroup(ll, )) とする。
$\subseteq$$\ell$

部分群 $K\subseteq G$ で、 次の条件を満たすものすべてを求める。
$\overline{K}=\overline{G}=$$\Rightarrow G$$\Rightarrow G$

TransitiveGroup $(11, \ell)$ ,$K_{\Omega_{1}}^{\Omega_{1}}=G_{\Omega_{1}}^{\Omega_{1}}=Sym(3)|Cyclic(3)$は $Sym(3)^{11}$ に作用する $(G\subseteq Norm$ alizer $(Sym(33),$ $Sym(3)^{11}))$は $Eleme\mathfrak{n}taryAbelianserieS(Sym(3))’=[\mathfrak{B}, 3,1]$ の NormalClosure $(G, -)$ に作用する。 $(2=Cydic(2),$$3=Sym(3))$$\Rightarrow G$

は $2^{11}3^{11}/3^{11}\cong 2^{11},$まず、$3^{11}$に作用する。

への作用の不変部分群を求める。
TransitiveGroup(ll, ),, を満たす $H$ では、 Intersection
は、 上で求めた不変部分群の 1 っ$\Rightarrow$$G$$\Rightarrow H\subseteq G$の $2^{11}\cong 2^{11}3^{11}/3^{11}$で、$\overline{H}$$=$$\ell$$H_{\Omega_{1}}^{\Omega_{1}}=G_{\Omega_{1}}^{\Omega_{1}}$$\langle H,$$Sym(3)^{11})$。

$\Rightarrow$

次に、 $H$ の$\Rightarrow K\subseteq H$$3^{11}$への作用の不変部分群を求める。

で、 $K=$ TransitiveGroup(ll,$\ell$),$K_{\Omega_{1}}=Sym(3)|Cydic(3)$, ならば、 Intersection $(K, Sym(3)^{11})$は、 上で求めた不変部分群の 1 つ。

GAP の関数 (2008 年、本研究集会) $hom:=NaturalHomomorphismByNormalSubgroup(G, 3^{11})$ ;

$2$

26
Image $(hmn, Sym(3)^{11})\cong 2^{11}$conj : List $(GeneratorOfGroup(Image(hom, G)$ ), $u->$), );Conjugator morph ism
Invaria $ntSu$ bgrou psEIementaryAbelianGrou $p(Image(hom,Sym(3)^{11}),cmj)$ ;Com plementclasses $(lmage(h\sigma m\backslash ,G)/inv$,Image $(h\sigma m, Sym(3)^{11})/inv)$$\Rightarrow$$=$$(\ovalbox{\tt\small REJECT} magc(ham, Sym(3)^{11}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\infty$$u$$\Rightarrow H\cap Sym(3)^{11}=inv3^{11}\subset 2^{11}3^{11}$

計算が困難な場合.
.
.
.

(ブロック内への作用が solvable なとき)不変部分群が、 $|inv|=2^{6}$ or 26(次元が$2^{11}$の半分くらい) のときの、 Complementdaae$\cdots$

本質的に困難、 メモリ不足も。
不変部分群が $\backslash |inv|=2^{10}$ (次元が全体一 1) のときの、 Complementclassの処理が終わって、$2^{11}$$3^{11}$に進んだとき。

$NaturalHomomorphismByN\sigma malSubgroup$ は、 メモリを大量に使うときがある。なるべく、 Action-Homomorph $ism$ を使う。 $G/3^{11}=$ Action Homomorphism $(G,RightCosets(G, L)$ ,OnRight)$L=ClosureGroup(3^{11}, G\mathfrak{g}_{1})\Rightarrow G/L$は置換群になり、 次数 22

その後、 不変部分群 $inv\subset 2^{11}3^{11}/3^{11}$ で、 NaturalHomomorphismByNormalSubgroup $(*,inv)$ が必要

3.2

ブロック内での作用が非可解な場合

L TransitiveGroup $(ll, k)$ を の 1 つのプロック内での作用とする$L2$ $;=Su$ bd rectProducts $(L, L);$ ( $Sym(22)$ において、 共役群を除外する)$G$$=$$i$$L3$$:=List(L2,u->SubdirectProducts(u, L)$ )( $Sym(33)$ において、共役群を除外する)(以前の本研究集会では、可移な群の共役群計算)$N3$ $:=$

Lrist ( Concatenation $(L3),u->N\propto malizer(Sym(33),$ $u)$ )$arrow$

本研究集会 2011

正規化群が可移な場合のみ選択$Subdire\alpha$

Producg は、 前もって計算してファイルにしておく。

そのとき、 $L$ はパーフェクト ($\Leftrightarrow L=$

Derived $Subg$ roup $(L)$ ) のときのみを計算、 DerivedSubgrou $p(H)=L$となる $H$ は、 Normalizer 計算で処理

プロック内での作用が非可解$D:SubdirectProdu\alpha s$ で得られた群

Normalizcr $(Sym(33), D)$
adhom $:=$ Action Homomorphism
mage $(acth\sigma m)\subseteq Sym(3)$$N$ $:=$$(N, [\Omega_{1}, \Omega_{2},\Omega_{3}],$OnSets)$\Rightarrow I$$K:=Kernel(hm)\supseteq D$$\Rightarrow No/K=Sym(3)|Cydic(3)$ となる $N0\subseteq N$ を選択$h\sigma m$$:=$NaturalHomomorphismByNormalSubgroup$(N, D)$

27$\Rightarrow Image(h\sigma m, K)$$\Rightarrow K/D$

は Image $(h\sigma m)$ の可解な正規部分群は可解、 ただし、 $D=Kernel(h\sigma m)$ が成立

以上、 まとめて、$N/D$ と可解な $K/D$ に、 ブロック内での作用が可解な場合の方法を適用

4

アソシエーションスキームの分類の利用$A$: アソシエーションスキーム$Aut(A)$: その自己同型群

可移な群 $G$ の作るアソシエーションスキーム$\Rightarrow G$$Aut$の $\Omega^{2}=\{(i,j)|i,j\in\Omega\}$(A)$\Leftrightarrow$$=$への作用の orbit 全体

Orbits$(G, \Omega^{2}, 0$nTuples)

TwoClosure $(G)$The largest group $\subseteq Sym(n)$ which has the same orbits on$\Omega^{2}$

as$G$has.

アソシエーションスキームの分類

次数 30 までと、 $32$5、$33$ 、 $34$は分類済

計算結果
33 次

162 個

34 次

102 個

計算時間 25 分 最長計算時間 20 分
計算時間 3 分 最長計算時間 1.6 分

本報告作成時点で、 同じプログラムを、 $27$次で動かしているが、 メモリ容量オーバーで、 計算できない場合がある。 そのための改良を続けているが、 残念ながら、 バグが残ってぃる。 現時点で、 33 次、34 次で、 下表の個数の群が得られている。
、$28$ 、 $30$

$20
1117
4$
$21 164 9$$n$

NrTransitiveGroups(n)NrPrimitiveGroups(n)

$2259
4$
$23
77$
$24
25000
5$
$25
211
28$
$2696
7$
$27239215$$28 1854 14$

$29
88$
$30
5712
4$
$31 12 12$$32 2801324 7$$33 102162 2$
4$$34