計測自動制御学会東北支部第 247 回研究集会(2008.12.19)
資料番号2４7-5

道路交通流の物理的性質(II)―t-s ダイヤグラムによる交通流の表示―
Physical Properties of Road Traffic Flow (II)―Descriptions of Traffic Flow by Means of t-s Diagram―
高木相

東北大学名誉教授
Tasuku Takagi
Professor Emeritus, Tohoku University
キーワード： 交通流（traffic flow）、t-s ダイヤグラム
連絡先：〒981-0952 仙台市青葉区中山５−２−２０
E-mail：tasuku@sirius.ocn.ne.jp

1. はじめに本シリーズ「道路交通流の物理的性質」は筆者が点発進特性、加速特性、車頭（車間）時間）とそれに1990 年から在勤した日本大学、東北文化学園大学から関連した交差点スループット等の考察を述べた１）。こ

今日に至るまで行なった研究結果を系統的に整理するの中で、車両群の動きは t-s ダイヤグラム

ことを目的に執筆するものである。当時、まだ十分な（t-s(Time-Space)Diagram）によってグラフ上に記述説明ができる知見が得られていなかった部分についてすることにより、視覚的に全体像が見えることを述べは新しく得た知見を加えながら解説することとする。

た。本文では、いろいろな交通流についてのt-s ダイヤ

前報告では、道路交通流の研究を始めることになっグラムの形を示して、これが交通流の解析に極めて有効であることを示す。

た経緯を含めて、車の動きについての測定結果（交差距離（1区間約１２ｍ）

東2番町（SS30）(県庁方面から五橋方向(上））10-1200-2-3-4-5-6-7-8-9220

240260

280

300

320
340
時間（ｓ）

360

図 2.1 実際の t-s ダイヤグラムの例
1380400420440

図 2.2 のように、線形化すれば、モデル化と解析は２．t-s ダイヤグラムの実例と線形化モデル
2.1 t-s ダイヤグラムの実例楽になる。

図2.1 は実際に測定して得たt-s ダイヤグラムである。 2.3 t-s ダイヤグラムのパラメータとモデル
これは、仙台市東2 番町通りの高層ビル、SS30 から以上のことから、t-s ダイヤグラムは以下のようにモ撮ったビデオ映像（東北文化学園大学科学技術学部鈴デル化することができる。先ず、t-s ダイヤグラムを規木祥介准教授による）を解析したものである。ドット制するパラメータについて考える。
パラメータ T と Vが測定点、実線が測定点を結んだもので、一本の線が１）一台の車の走行軌跡である。このような図をTime-

図2.1,2.2 において、測定値の点（ドット）は車があSpace Diagram(t-s ダイヤグラム)と称する。交通流のる一定の場所（縦軸）を次々に通過するタイミングを物理的性質は続編で明らかになるように、このt-s ダイ表している。ドットとドットの間の時間を車頭時間

ヤグラムを解析することによってほとんど全ての性質（Time-Headway）という。
ここではこれをT とする。

が導出できる。

異なる位置での対応する車の測定値（ドット）を結ぶ

2.2 線形化t-s ダイヤグラム

線の傾きはその車の速度を表す。ここではこれを V と

図2.1は交差点の赤信号の前後のt-sダイヤグラムでする。速度V は一般の道路交通では1 時間当たりの距ある。赤信号時間内には車は停止しているので平坦な離を単位（km/h）で示されるが、筆者のこのシリーズ直線が続く。そして、青信号点灯時に発進するときは、では全て単位は国際単位系SI を用いる。つまり、それある加速度で加速しながら定常速度に達する。この一ぞれは,連の測定と解析については前編で詳しく解説した 。

時間T の単位：秒（ｓ）、一般に、走行する自動車の軌跡は曲線を描く。しかし、速度V の単位：メートル毎秒（m/s）

１）

車群の挙動の解析に、停止から定常速度までの軌跡をとする。毎時間当たりの速度は正確に取り入れる意味はほとんどないといってよい。

km/h=3.6×V(m/s)

とくに、停止に向かう減速度の軌跡は全く意味をもたによって換算される。
ここで、T と V がt-s ダイヤグラムを特性づける２１）ない。前編 でも減速時のデータは省いている。この意味から、t-s ダイヤグラムは適当な折れ線近似で解析つのパラメータであることが分かる。

するのが最も効果的であると考えられる。

２）t-s ダイヤグラムのモデル

図2.2 は図2.1 の350 秒から400 秒の間を直線で描

図2.2のように線形化したt-sダイヤグラムをモデル
的に T,V との関係を入れて一般的に描けば図2.3 のよいたt-s ダイヤグラムである。

うになる。図中の記号の意味を下記に示す。

TR：赤信号時間（ｓ）

t-sダイ ヤグラ ムの実例(線形化）

TG：青信号時間（ｓ）

1（黄信号時間は無視、または赤信号時間に加える）

0位置(1区間１２ｍ）

-1

3 50

35 536 0365

37 037 53 80

3 85

39 0

3 95

4 00

Vj ,Tj：j 車の速度（m/s）と車頭時間（ｓ）-2

Ti：i 車の交差点前での車頭時間（ｓ）-3-4

T０i：i 車の交差点発進後の車頭時間（ｓ）-5-6

L０i：i 車の停止時の道路占有距離（ｍ）-7

図2.3 は速度V、車頭時間T、停止時占有距離L０が-8時間（ｓ）それぞれ異なる場合を模擬して線形化した t-s ダイヤ
グラムを示している。図中赤信号で出来る停止線を繋

図 2.2 線形化した t-s ダイヤグラム

ぐ点線はいわゆるショックウエーブと呼ばれるところ2である。前車の影響が最も強く影響するところで、時もっとも高い密度での自動車流となるということであ間とともに、前車が停止したことによって起こるショる。

ックが後車に次々に影響するという現象である。

TGTRTGTRｄV=△ｄ/△T△ｄｄ

Vj=△ｄj/△Tj

T0△T△ｄjT0i△TjｔL0０ｔ０L0iTPTi

図 2.4 図 2.3 を平均化線形 t-s ダイヤグラム
図中 P 点はショックウエーブ（６．参照）が消滅す

図 2.3 線形化した t-s ダイヤグラム

るポイントである。どの時点で消滅するかは 4 個のパ（交差点の例）

ラメータ（T0、V, L0、T など）から計算出来る。これは続編の課題である。

３）平均化線形t-s ダイヤグラム（実用的モデル）

３．実データから見る交通流と t-s ダイヤグラ
ムの関係
3.1 速度-車頭時間（V-T）関係から見る交通流の３

Vj、Ti、 T０i、L０iなどのパラメータが異なる一般的な状況を取り入れての解析は、図2.3 のt-s ダイヤグラムのように線形化しただけでは複雑である。しかし、われわれが交通流について、実用的に知りたいことは、

つの領域

当該道路の、現状況についての情報と、その状況がどV-Time Headway（TH)のように変化しているのか（渋滞に向かっているのか、

file:No.1,No.レーンの特性（県庁方向）解消に向かっているのか）を知りたいということであ12る。そうすれば、ある適当な時間（例えば信号 1 周期
10Time Headway（TH）(s)程度の時間）で平均化してその間は上記のパラメータは変化しないとして扱うのが合理的である。また、通常の道路の利用形態は大体決まっており、大型車の混入率、速度などはあらかじめ調査して置けば、T 以外の他のパラメータは一定として扱ってよいであろう。

8642

図2.4 は図2.3 をこの意味で平均化した図である。以0後の議論では T、V 以外のパラメータは同じ道路なら02468101214161820V(m/s)

大きい変動はないであろうということで進める。
交差点で出来た車列が青信号で解消していく過程で

図 3.1 速度 V と車頭時間 T の関係（測定例）のT0は最短車頭時間となるということである。
つまり、
3図3.1 は前編（I）１）でも記載したものであるが、こT在することが明らかになる。

自由領域

よそ 3 つの領域（Phase（相）と云ってもよい）が存

準拘束領域

拘束領域のデータから交通流には速度をパラメータにして、おVM

図3.1の太い点線(水平)はT の実測値の最小値をなぞったものである。これが水平である範囲はT がV に依存しない領域である。この領域から V が段々小さくなってくると、T は V に拘束される領域となる。図 3.1
で V が小さくなると、T は1/V に比例して大きくなる

T の最小値（続編で明らかになる）。これは渋滞の領域である。
渋滞の状態では前の車が動かないため、強制的に速度Vを落とさざるを得ず、このため車頭時間が大きくなる。
つまりこの領域は拘束領域である。図 3.1 ではデータ

図 3.2V-T 特性の 3 つの領域はないが、V が大きいところでは車は自由に走行可能な自由領域である。この領域ではT は大きくなる。

である。そして、図 3.2 に示すようにこの曲線は、あ以上のことから、V-T 特性について概念的に図示するV の範囲（準拘束領域）でT は最小値を辿る。このると図 3.2 のように描くことができる。この図に示す領域では走行する車の頻度が最も高くなるということように、V-T 特性には次のような3 つの領域が存在すである。本研究では、流量(q で表す)を（続編で述べるることが分かる。すなわち、ことになるが）１/T (s-1)で定義している。この定義によa) 自由領域：V とT が無関係（独立）な領域（車れば、準拘束領域での流量が最も大きくなる。通常、流がまばらで T は大きくなる）。

流量q にはV が影響すると考えられるがV がほとんどV の平均最高速度を VMとすると、影響しない領域を準拘束領域と定義している。

V-T 曲線（点線）はVMに近づく）

図3.3 は縦軸に流量ｑ（＝１/T）をとり、速度 V とb) 準拘束領域：V とT が無関係から相関を持ちの関係を推察したものである。ｑ＝0 となる点は V=0始める領域（車流密度により、V がと V=VMの2 点である。すなわちこの2 点では T＝∞小さくなるにつれて V-T 曲線は最小となるということである。最大流量は準拘束郎域にあ値に近づき、さらに V が小さくなるる。似た関係として、A. D. May の本には速度と1 時と、今度はこの線から離れる。離れ間当たりの通過台数（流量）との関係が測定例としてる程度が大きくなるにつれて V と T紹介されており、図3.2 と同じ傾向を示している２）。
図3.3 の q-V カーブはｑの上限値の包絡線であるかの独立性が失われていく）
c) 拘束領域：V とT の独立性がなくなる領域

ら、実際の流量はこれ以下の値になる。実用的見地か（渋滞で V が小さくなるにつれて Tら、実際の流量を予測するためには、時々刻々の短時が大きくなる。V-T 曲線はV＝０に間平均流量を予測する必要がある。この議論は、今後接近する）纏める予定の続編における重要なポイントであること

以上がV-T 特性の定性的・概念的解釈である。包連を付記する。

3.2 V-T 特性カーブと交通流量の関係

3.３ 3 領域に対応するt-s ダイヤグラムの形

図3.2 の V-T 曲線は、図3.1 で示しているように、平均化線形t-sダイヤグラム(図2.4)を図3.2(図3.3)V に対応して分布するT の最小値をなぞった下限絡線に対応して描くと図3.4 のようになる。

4

自由領域

拘束領域

準拘束領域

最大流量

（B）では、最もT が小さく、直線の傾きは（A）と比最大速度（VM）流量（ｑ）(ｓ-１）

度は小さく、従って車頭時間 T は大きい。準拘束領域
べてやや小さくなる。T が小さいということは密度が高いことを意味する。実測例(図 3.1)で見るように、Tの平均値は最頻時には約 2 秒である（図 3.1 の細い点線）。よって、（B）における車頭時間 T は2 秒あたりに値をとる。拘束領域（C）では車は身動きが困難な状況である。速度は極端に小さく（傾斜が極めて緩やか）になり、従って、やむを得ず T は大きくならざる速度（V）を得ない。流量は速度の下降とともに急速に小さくなる。渋滞状態はこの領域である。

図 3.3 速度と流量の関係（最大値包４．交差点でのt-s ダイヤグラム

絡線）

交通流に最も大きい影響を与えるのは交差点である。
ここで交差点に入る車の車頭時間に着目して、そこにできるショックウエーブの形について述べることとす

ｄ （A）

る。
4.1 交差点における車列の変化と t-s ダイヤグラムの

ｔT

原型モデル
交差点を含む道路交通流の図を図4.1 に示す。この

T（B）

ｄ

上流

下流

t0ｔ
時間経過

t1ｄ（C）
t2ｔT

図 4.1 交差点発進時の車列の時間変化（t-s ダイヤグラムの原型モデル）

図 3.4 各領域の t-s ダイヤグラム(A)自由領域、（B）準拘束領域、

図は信号(赤)で停止している車列(t0 の時点)が青信号で（C）拘束領域発進する様子を示している。時間の経過を縦軸にとり、3 領域に対応する平均化線形 t-s ダイヤグラムは図

距離を横軸（道路）にとっている。各時間(t1,t2) にお

3.4 に示すように、（A）の自由領域では速度の制約がけるそれぞれの車の位置を細い線で示している。この無いため、一般に高速度である。このことは直線の傾線群で横軸を時間、縦軸を距離とすれば、これがすなきが急であることを意味する。この領域では、車の密わちt-s ダイヤグラムに他ならない。これがt-s ダイヤ
5グラムの原型である。次にこれを平均化線形t-s ダイヤある。時刻t１の時点では発進車は先頭車のみ、ｔ2の時グラムに書き換えてみよう。

点で 2 台が発進している（図中

4.2 車の動きと t-s ダイヤグラムー図 4.1 に対応した点の車の位置を示す）。以下このような対応で図 4.2

平均化線形モデルでの表現―

点でそれぞれの時は描いてある。ｔ-s ダイヤグラムの平均化線形モデル

図 4.1 は実際の道路上での車列の動きである。これでは動いている車の車間時間 T（従って車頭時間あるを図2.4にモデルとして示した平均化線形t-sダイヤグ

いは車間距離）をある時間間隔で平均しているので、ラムで描いてみる。 図4.2 がその図である。

交差点に向かう入力車の間隔は一定である。
交差点を出る車の平均間隔 T0 は平均約 2 秒である。

t-s ダイヤグラムでは、横軸は時間（ｔ）、縦軸は距離（ｄ）である。

実線がt-s ダイヤグラムである。これが図2.4 のモデルに対応する。

図4.1に対応して車の動きを図4.2によって見てみよｌはある時刻での車列長である。初めの車列長 L がう。鎖線は車の進行方向を示す。

時間と共に減少する場合が描かれているが、これにつt0t1

t2

いては５章で、またショックウエーブ（SWf, SWt）にT0ｄ信号ついては6 章で述べる。

５．渋滞の発生と解消の定量化の基礎考察

車列(長さ L)ｔ

交通問題で最も重要なことは、交通流の現状の定量的把握と渋滞の発生・解消の予測技術の開発である。

SWf

詳細な議論は続編にゆずることとするが、ここでは原理的な事項を述べる。この原理の理解が次章で述べる

ｌショックウエーブ論の理解の助けになるためである。
ここでは図 4.2 をもとに定性的な基礎的事項を述べSWt

Pる。先ず初めに、交差点では・T・渋滞は上流において発生する・赤信号で車列が出来たとき、待ち時間が最大赤信号時間 TR を越えないときは渋滞とは云わな
い待ち時間ということを理解しておこう。つまり、図 4.2(図 2.4)

：t1,t2 の時点の車（先頭車の P 点を通過する車がその信号周期内の現在青信号時と 2 番）の位置：t-s ダイヤグラム：車の動く方向間内に交差点を通過できるときは、その待ち行列(長さｌ：車列長を図4.2 のｌで示す)は渋滞待ち行列とは云わないとい

ｌ：車列長うことである。渋滞とは、従って、P 点を通過する車が現在の青信号で通過できず、次回以降の青信号時間

SWf：ショックウエーブ（波頭）まで待たなければならないときからである。P 点は T

SWt：ショックウエーブ (波尾)に依存して動く。これについては次章で述べる。
図 4.2 青信号発進時の車列の動きと t-sダイヤグラム(平均化線形モデル)

６．交通流におけるショックウエーブ（SW）
ショックウエーブ（shockwave）は衝撃波といわれ

図4.1 で、時刻 t0の時点で停止車6 台後続車2 台でる音響物理現象のひとつであるが、交通流では、前車6の動きに後続車が追従しながら走行するとき、前車の速度変化が後続車に次々と伝搬する現象を波動現象として表現したものである。図 2.4 と図 4..2 に交差点で生じる典型的なショックウエーブの形が示されている。
続編で詳しく述べるが、交通流の解析にショックウエーブ論は有用である。しかしこれまで、交通流の解

T0TRTRTGｄｔ(A)T

析にショックウエーブ論を積極的に活用した例はあまTりないようである。
ショックウエーブは交差点に限らず、交通渋滞の発(A)SW は発生しない

生・解消の過程で見られる現象であるが、ここでは最T0も典型的なショックウエーブを発生させる交差点に着TGTR目してその性質の概要を述べることとする。

TRｄ

図 4.3 は通流量の違いがショックウエーブの出(B)来方、形にどう影響するかを示したものである。
（A)、

SWtT

SWf（B),（C), (D) の４つの場合を示している。（A）かｔP

ら順にみてみよう。注目点は交差点に入力する車の頻(B)短い SW が発生する度（車頭時間T の大きさ）の影響である。

T0（A） ショックウエーブ（SW）が発生しない時：

TR

T が大きく（車がまばらで）赤信号時間TR とTG

TRｄ

同程度になるとSW の発生はない。
車の待ち時間は高々TR である。

(C)（B） SW の発生

ｔ
T

交通流が大きくなり、T が TR より小さくなPるとSW の発生が見られるようになる。しか(C)SW が長くなる

し、P 点を通過する車は現在の青信号で通過T0している。（SWf：SW の波頭、SWt：波尾）TR

車の待ち時間は高々TR である。

TGｄ

渋滞はない。
（C） SW が長くなる場合

TRｔ

(D)

（B）の場合よりT がさらに小さくなると（流量が増えると）、SW は長くなる。
この図の場合、SW が収束する点P は、青信号時間内にあるが、T＝T0

P 点を通過する車は現在の青信号では通過出来ず赤信号時間にかかる。次の青信号まで待つ(D)SW は消滅しないことになる。

図4.2
4.3 T
SWの変化の変化
図T の変化によるの変化による SW渋滞の初期の現象である。
（D）SW が消滅しない場合

P 点が次の赤信号時間にかかるようになると、待なると、次の青信号まで待つことになる。さらに

ち時間がTR を越す車が出てくる。 この状態にT が短くなるとSW の収束点 P はさらに遠くな
7

り、信号待ちをくり返すことになる。（D）はそは出来ない。続編で議論すべきことは多いが、本文の極限の状態を示している。極限的渋滞の態ではから指摘される続編の課題には次のようなものであ

T=T0のとき起こる。このときはSWf とSWt はる。
i)

平行である。

測定法；車頭時間 T と速度 V をどのような手法で測定するか

ii)

７．おわりに測定データ（T とV）の平均の取り方；

本文ではシリーズの第2 編として、t-s ダイヤグラム

平均時間間隔、時間間隔単純平均、移による交通流の表示について述べた。以下にその要点動平均（この場合平均する個数）をどを述べる。

う選ぶかiii)

ショックウエーブの理論展開と応用

１）道路交通流の車頭時間T と速度V を道路に沿っ

iv)

渋滞発生・解消の理論と実際との対応て複数地点で測定し、そのデータからt-s ダイヤv)

道路交通の予測法の開発とシミュレーション

グラムを作成すれば交通流のマクロ的挙動を把謝辞

握することができる。すなわち、交通流の物理的性質のほとんどは、t-s ダイヤグラムの解析か第1 編でのべたように、本研究は日本大学工学部、ら明らかにすることができることを述べた。

東北文化学園大学を経て現在に至るまで多くの学生の２）平均均化線形 t-s ダイヤグラムモデルを導入し協力があった。t-s ダイヤグラムの形については、日大た。生データによるt-s ダイヤグラムは複雑でマ平成10 年度の学生（第1 編（I）の謝辞）のほか、東クロ的時間変化は把握困難であるが、ある時間

北文化学園大学平成14 年度の学生、大久保圭二、佐々間隔でT とV を平均化することにより、実用的

木貴広、杉山一代の3 君がt-s ダイヤグラムの研究に参解析が容易になることを示した。

加した。この結果が本文の一部となっている。ここに

３）交差点交通流を例に平均化線形 t-s ダイヤグラ深謝する。また図2.1 のt-s ダイヤグラムの実例は東北

ムを示し、その中でショックウエーブを示した。

文化学園大学鈴木祥介准教授が撮影したビデオをもと

４）ショックウエーブについて、これがどのようにに作成したものであるが、撮影に当たって、スミセイして生じるか、また形がどのように決定される

ビルマネージメント仙台支店長高橋秀一氏に便宜を図のかを、交通流（車頭時間）の違いによる図にっていただいた。厚く御礼申し上げる次第である。

よって明らかにした。

文献

５）渋滞に至る過程をショックウエーブの形の変化

１） 高木相：“道路交通流の物理的性質（I）（交通流の変化）から説明し、さらに、定量的―挙動の調査―”、計測自動制御学会東に求める手がかりを与えた。

北支部第 246 回研究集会（福島大）、資246-17 (2008.11.19)

以上の通りであるが、ここでの基本は１）で述べた

料番号

交通流の物理はすべて t-s ダイヤグラムの解析によ

２） A. D May：“Traffic Flow Fundamentals”, p.
Prentice-Hall (1990) ｐ. 291って明らかになる、ということである。以後本研究では平均化線形 t-s ダイヤグラムを解析モデルとする。さしあたりの問題は、平均化を如何に行なうかということである。交通流は時々刻々変動する。従来は習慣的に、5 分間、10 分間、1 時間などの通過台数をもって流量としている。しかし、これでは現状の交通状態が 5 分先にどうなるかを判断すること8