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身近な・Science

知って得するウルトラマンの相似則

工学博士

西尾宣明

元・東京ガス㈱ 基礎技術研究所

メタボ指数と幾何学的相似のこと

与太郎

やっぱりね。

ところで，体重って背が高いほど大きくなる傾向が与太郎さんは BMI いくつぐらいですか？

ありますよね。そうすると背が高いほどメタボ指数も

与太郎

ええ？

大きくならないですか？

大

いやあ。薮から棒の質問でごめん，ごめん。

大家
家

BMI って何ですか？

大

BMI というのは Body Mass Index と言って，日本家良いところに気がつきましたね。

ただ，これを議論するには「幾何学的に相似」と言では肥満度指数とか，俗にはメタボ指数などと言われうような枠をはめることが必要でしょうね。ています。25 以上がメタボだそうです。

与太郎

それはどういうことですか？

大一番簡単な例としてサイコロのような立方体

与太郎

ああ。メタボ指数っていうのは聞いたことありますよ。去年の健康診断で測ったら 20 いくつで，大丈夫って言われましたね。
大家

家を考えますね。
これの「身長」は一辺の長さということになります。

与太郎さんの体型ならそうでしょう。

念のために，BMI は体重を身長の 2 乗で割って求められます。こんな式ですね。

その「身長」が違うサイコロを考えても，どれも立方体なことに変わりはないですね。
そのように「身長」つまりサイズが違っても幾何学

2

BMI ＝〔体重（kg）〕÷〔身長（m）〕的な「形」が同じ物同士を「幾何学的に相似」と言い与太郎さんの体重と身長はいくつですか？

ます。

与太郎

体重が 72 キロで身長が 175 センチですね。

大

そうすると─（電卓で計算する）─メタボ指家

数は 23 . 5 です。メタボじゃないですね。
与太郎

でも，ちょっと危ないな。体重が 1 割増えると 25 になっちゃいますよね。気をつけなくちゃ。
その点，大家さんは全然大丈夫ですよね。
大家

そうですね。体重が 62 キロぐらいで身長 168センチですから，BMI は 22 ちょうどです。
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No-Dig Today No.88（2014.7）

与太郎

なあるほど。そこでサイコロのメタボ指数を計算すれば良いんですね。
大家

身長に比例した大きさになることに変りはありません。つまり，脚の断面積は身長の 2 乗に比例します。

その通りです。大きさは違ってもサイコロの与太郎

ああ，そうか。それに脚の長さを掛ければ脚材料が同じならば，「体重」は体積，つまり身長の 3の体積になるけど，それはやっぱり身長の 3 乗に比例乗に比例することは分かりますね。

するわけだ。

あ！

与太郎分かった。その体重を身長の 2 乗で割れば，答には身長が残って，身長が大きいほどメタボ

大家の 3 乗に比例することが分かりますね。

指数が大きくなるわけだ。と言うことは，体全体の体積も身長の 3 乗に比例す

人間も幾何学的に相似っていうんですか，体型がおんなじだと背が高いほどメタボになるって言うことか。
大家お見事！

同じように考えれば胴体も腕も頭も全部身長正解です。人間のようにずっと複ると言うことです。
与太郎

そうか，それを身長の 2 乗に比例する脚の断面積で割ると，身長に比例することになって，結局雑な形をしていても，幾何学的に相似だったら同じこBMI って言うんですか？とが言えるというのは分かりますね？とになるんだ。形は複雑でもみんなサイコロとおんな

与太郎

分かるような気もするけど，自信ないなあ。

じなんだ。

大

幾何学的に相似ならば，身長が 2 倍になれば

大家

胸の幅も厚さも胴の長さも，脚の太さも長さも全部 2家

メタボ指数とおんなじこ

良いところに気がつきましたね。

サイコロの場合も下の方が脚で上の方が胴や頭など倍になることは分かりますね。と考えれば，底面の面積で体重を支える─つまり脚与太郎

そうですね。の単位断面積当りの体重の負荷は BMI の値に比例す

大

そうすると，体の体積─例えば胴体の体積ることになりますね。

家は幅 × 厚さ × 胴の長さとして 2 × 2 × 2 ＝ 2 の 3 乗で，与太郎8 倍ということになります。重さも当然 8 倍です。

れて四つの脚を作ると象のような四つ足の動物になる

あ，そうか。サイコロの下の方に切れ目を入体の他の部分も同じことです。

んだ。動物のメタボ指数か。面白いなあ。

その 8 倍の体重を 2 倍になった身長の 2 乗で割れば，

大8 ÷ 4 で，BMI は 2 倍になります。サイコロの場合と何も変わりません。
与太郎

家

それは面白い見方ですね。

二本足の人間と四つ足の象は幾何学的に相似ではないので，BMI の値を比べるだけでは脚の負荷を比較ああ。そうなんだ。

することはできませんが，式の形は同じになるのが面白いですね。

BMI は脚への負荷の指標と同じ？
大家

ウルトラマンの BMI

ところで，ちょっと面白いことに気がついた人間の場合だったらメタボ指数から脚への負んですが，BMI というのは脚にかかる負担の大きさ与太郎を表していることにもなるんですね。

荷っていうのがわかるんですか？
BMI から脚への負荷を求めるのには，脚の与太郎

へえー，そうなんですか。

大大脚にかかる負荷の大きさは脚の単位断面積に太さが身長の何 % だとかいう細かい数字も決めない

家といけませんが，ここではそこまでは立ち入らないで，加わる体重の大きさで表されます。
幾何学的相似ならば，脚の太さ─脚を円柱と考えればその直径ということになりますが─それも身長に比例します。
2

えーと，円の面積は πr だっけ？

r は半径ですね。
大家

直接脚への負荷を考えたいと思います。と言うのも，この頃やたらにテレビで流されるスマートフォンのゲームソフトの CM，それだけじゃな

その脚の断面積はどんな大きさになりますか？
与太郎

家く，アメリカあたりのホラー映画とも SF 映画ともつかない映画のコマーシャル──ああいうのを見ていつも思うんですが，少しだけでもよいから Science に気そうです。その半径は直径の 2 分の 1 ですが，No-Dig Today No.88（2014.7）を配って欲しいと思うからです。
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知って得する

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ゲームを面白がるだけでなく，少しでもサイエンスそうなんだ。でも，ウルトラマンの体は我々

与太郎の匂いを付けてやれば，ただの時間つぶしでなく，教の体と違う物質でできてるんじゃないですか？

育上の効果も期待できると思うんですよ。

大与太郎

何だか難しそうな話ですね。

大与太郎さんはスマートフォンを使っています

家よね。ゲームもやっていますか？
いやあ。ああいうゲームはほとんどしないで与太郎すね。子供にもあんまりやって欲しくないですね。
大それを聞いて安心しました。

家

BMI を比較するわけにはいきません。
ところが，別な面から考えると違う物質という考えがどうもおかしいということになるんです。
んじゃないでしょうね。
大

私と幾何学的に相似だとしますね。

これは身長だけでなく，体のどの部分を取ってもウわたしもいろいろ観ていたけど，ほんとに楽しかったですよね。
家

そうすると身長の比率─相似比とも呼ばれますが─それは 40 ÷ 1 . 68 ＝ 23 . 8 ということになります。

ですね。

大

ルトラマンは私の 23 . 8 倍の大きさだということです。
その彼の体が私たちと同じく，密度が約 1 ton/m 3

ただ，ちょっとだけ不満なことがありましたね。それは幾何学的相似ということと関係があるんでの物質でできているものとします。
そうすると，体重は体積に比例するだけですから，すよ。
与太郎

どういうことですか？

大与太郎さんはウルトラマンの身長や体重を覚家相似比の 3 乗に比例することになります。つまり，ウルトラマンの体重は23 . 83 × 62 ＝約 835 , 000 kgえていますか？
与太郎

ええっ ?!

大

それは仕方ないですね。

家

いやいや，とても簡単なことです。

家

仮にウルトラマンの体が身長 1 . 68 m，体重 62 kg のていたものですが，他愛ないけれども結構楽しかった
与太郎

そうなんですか。何か，難しいことを考える

与太郎

実を言えば，昔は私も子供と一緒に鉄腕アトムとかウルトラマンとか，そんな空想ものをテレビでよく観確かにそうですね。それを考えると単純に家＝約 835 ton

そんなの覚えてないですよ。ということになります。
ところが，彼の公称体重は 4 万 5 , 000 ton ですから，実はウルトラマンは M 78 星雲の光の国出身です。
それは知っていますね？

その 54 倍もあるわけです。このことは彼の体が私た

与太郎

光の国っていうのは覚えてますけど。

ちの体を作っている物質より 54 倍もの密度の物質で大ちょっと頼りないですね。

できていることを意味します。こんなに重い物質は地家

公式発表によれば，初代のウルトラマンの身長は球上に安定して存在しません。太陽のように核反応し40 メートル，体重は 4 万 5 , 000 トンということです。ている星の中にもしあったとしても，核分裂を起こし与太郎

そうですか。よく覚えていますね。て短時間で消滅するような物質の筈です。

大

いや，本当はすっかり忘れていたんですが，与太郎

家

インターネットで調べたらすぐ分かりました。

ふうーん。そうなんですか。でも，それだけ重いとでっかい怪獣とぶつかってもびくともしないで本当に便利な世の中になりましたね。

すよね。

ところで，ウルトラマンは我々中肉中背の人間と幾

大家

まあ，それは良いとしても，ウルトラマンは何学的に全く相似な体型ですが，彼の BMI を計算す

横浜，東京，千葉と言った東京湾岸の地盤が軟らかいると大変なことになるんですよ。

地域ではとても活動なんかできない筈です。

与太郎

そんなことまで計算したんですか？

与太郎

へえー。どうしてですか？

大

面白半分ですがね。

大私の脚のふくらはぎの直径を 12 cm とした場

家

家

体重をキログラムに直すと，何と 45 , 000 , 000（4 千合，体重 62 kg の私の脚は単位断面積 1 cm 2 当り 0 . 27 kg500 万 kg）です。それを身長 40 メートルの 2 乗で割るの荷重を支えれば良いのに対して，ウルトラマンの脚と約28,000になります。BMIが我々の1,000倍以上です。には何と，その1,300倍の351kg/cm 2 もの負荷がかかっウルトラマンは超メタボなんですね。
54ていることになります。歩く時は片足ずつで立ちます
No-Dig Today No.88（2014.7）

からその倍の 700 kg/cm 2 です。

与太郎

与太郎

へえー。そんなに違うんですか。

大これがなぜ驚きかと言えば，関東地方のロー家大家さんと幾何学的相似っていうんですか？

そのとき体重が 800 何トンとか言ってましたね。
2

標準体重とは全然違うじゃないですか。

ム層などの地盤は圧縮強さがせいぜい1kg/cm のオー

大ダーで，岩盤でも東京湾を囲んでいる地域の軟らかいを絵に描いたらこんな感じになりますかね。

家

そうですね。そんな標準体重のウルトラマン

2

ものは 200 kg/cm に満たないものです。
そのような地盤の上ではウルトラマンの脚は地面にめり込んで，立っていることさえ難しいかも知れません。
まして，跳んだり跳ねたりすれば，脚には瞬間的にその 5 倍から 10 倍ぐらいの負荷はかかると考えられますから，地盤は大きく破壊されて，周囲には地震と同じような振動が振りまかれることでしょうね。
与太郎

そうなんだ。

標準体重のウルトラマンは？
大家

与太郎さんは人間の「身長と標準体重の関係」を表すこんな式を知っていますか？
標準体重（kg）＝〔身長（cm）− 100〕× 0 . 9
与太郎

なんか，見たことがあるような気はするけど。

大

この式で私の身長 168 cm に対する標準体重

家を計算すると 61 . 2 kg になります。
私は今大体 62 キロ弱と言ったところですから，ほぼ標準体重に近いと言えますね。
与太郎

わたしはどうですか？

大

175 センチの与太郎さんは 67 . 5 キロですね。

家

与太郎

あれ !?

大

与太郎さんがもし標準体重だとしたら，BMI家ちょっと体重オーバーなんだ。

もし 3 . 5 トンのウルトラマンを円筒で近似すると直径は約 33 センチになってしまって絵にも描けないので，その 10 倍以上に太く描いていますがね。
ところがそんなウルトラマンにも問題があって，その細い脚で3.5トンを支えるのはとても無理な話です。
与太郎

やっぱり地球上にはないような物で体ができは 22 になります。BMI の正常値は 18 から 25 とされてていないと駄目なんですね。

いますから，その中央値が 21 . 5 です。標準体重から大割り出した値とほとんど同じですね。

すね。

与太郎

そうなんだ。標準体重の式とメタボ指数は関係があるんだ。
やっぱり体重を増やさないように注意しなくっ家

与太郎

それはどういうことですか？

大ウルトラマンを東京タワーのような形にする家んですよ。

ちゃ。
大家

あるいは幾何学的相似の条件を諦めることで頭は小さく，下に行くほど体の幅や厚さが大きくそれほど心配する必要はないですよ。

なって，その下で太い脚が支えるような──。

心配なのはウルトラマンです。ウルトラマンの標準与太郎

体重を計算すると 3 , 510 キロです。象よりも軽い，たっか？

たの 3 . 5 トンですよ。でも，このとき BMI はぴったり大22 になっています。
標準体重と肥満度指数とは大いに関係があるんすね。

No-Dig Today No.88（2014.7）

家

あ，それってゴジラみたいな形じゃないです
そう言えばそうですね。

でも，ウルトラマンは我々と幾何学的に相似でないと面白くないですね。

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