一般物理問題集
サベリエフ
目次
第１部 力学の物理基礎
１．１． 運動学
１．２． 質点の動力学と物体の前進運動。仕事と仕事率
１．３． エネルギー
１．４． 運動量
１．５． 運動量モーメント１．６． 非慣性の観察系
１．７． 剛体の力学。
１．８． 万有引力
１．９． 振動運動
１．１０． 相対論的力学
１．１１． 流体運動学
第２部 分子物理学と熱運動学
２．１． 分子運動論。熱力学の基礎
２．２． 理想気体
２．３． 運動エネルギー
２．４． 分配２．５． エントロピー
２．６． サイクル
２．７． ファンデアワールス方程式
２．８． 液体と結晶
２．９． 相平衡と相変化
２．１０．物理的動力学
第３部 電気学と磁気学
３．１． 真空中の電場
３．２． 誘電体中の電場
３．３． 電場中の導体。
３．４． 電場のエネルギー
３．５． 電流３．６． 真空中の磁場
３．７． 物質中の磁場
３．８． 電磁誘導
３．９． 電場及び磁場中における荷電粒子の運動３．１０． 電場の振動。
第４部 波
４．１． 弾性波
４．２． 音波
４．３． 電磁波
第５部 光学５．１． 幾何光学。測光学
５．２． 光の干渉
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５．３．
５．４．
５．５．
５．６．

光の回折
光の偏光
物質との光波の相互作用
動いている媒質の光学

第６部 原子物理学
６．１． 熱放射６．２． フォトン
６．３． ラザフォードの公式。ボーア原子
６．４． 原子と分子のスペクトル６．５． 量子力学
６．６． 原子の状態の量子力学的記述
６．７． 固体物理６．８． 原子核の結合エネルギー。放射能

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第１部
１．１．

力学の物理基礎運動学

１．１． 粒子が一定速度 v で運動する。式（ａ）ｖ（ｔ ２ －ｔ １ ）、（ｂ）ｖ（ｔ ２ －ｔ １ ）、（ｃ）ｖ
ｘ （ｔ ２ －ｔ １ ）、が意味するものは何か。
１．２． 粒子が一定加速度ｗで運動する。時間の最初、粒子は半径ベクトルがｒ ０ に有り、速度ベ
クトルｖ ０ を持っていた。以下の場合について式を記述せよ。（ａ）時間ｔの間における粒子の速度の増加量Δｖ。（ｂ）時刻ｔにおける、粒子の速度のｙ軸への投射。（ｃ）時間ｔの間における粒子の変位量Δｒ。（ｄ）時間ｔの間における粒子のｚ座標値の増加量。
１．３ ． ベ クトルａとｂが、ａ＝αｂの関係があるのはどのような場合か。ここで、αはスカラー。α＜０の場合、それらの単位ベクトルはどのような関係となっているか。
１．４ ． ベ クトルａの大きさの変化量Δａは、ベクトルａの変化量｜Δａ｜と等しくなることができるか。
１．５ ． ベ クトルａと、ベクトルΔａが正反対方向を向いているとすれば、ベクトルａの大きさの変化量Δａと、ベクトルａの変化量｜Δａ｜は、どのような関係にあるか。
１．６．

ベクトルａが、その向きを、逆向きとした。Δａ、｜Δａ｜、Δａを求めよ。

１ ． ７ ． ベ ク ト ル ａ が 、 長 さ を 一 定 に し な が ら 、 小 さ い 角 度 δ Φ だ け 回 転 し た 。（ ａ ） ｜ Δ ａ ｜を表わす近似式を記述せよ。（ｂ）Δａは幾らとなるか。
１．８． 速度の初期値が、ｖ １ ＝１ｅ ｘ ＋３ｅ ｙ ＋５ｅ ｚ （ｍ／ｓ）、終速度がｖ ２ ＝２ｅ ｘ ＋４ｅ ｙ ＋
６ｅ ｚ （ｍ／ｓ）。以下を求めよ。（ａ）速度の変化量Δｖ。（ｂ）速度の変化量の大きさ｜Δｖ｜。
（ｃ）速度の大きさの変化量Δｖ。
１．９． 成分（ａ ｘ 、ａ ｙ 、ａ ｘ ）、（ｂ ｘ 、ｂ ｙ 、ｂ ｚ ）を持つ２つのベクトルのなす角度αのコサインの式を記述せよ。
１．１０． １つのベクトルの成分が（１，３，５）、もう１つのベクトルの成分が（６，４，２）。
２つのベクトルのなす角度αを求めよ。
１．１ １． ベクトルａとｃは相互に垂直、ベクトルｂは、ベクトルａとｃが形成する平面の法線に対し て角度 αをなしている。式ａ［ｂｃ］をベクトルの大きさと角度αを含む形式に変換せよ。
１ ． １ ２ ． あ る 座 標 系 で 、 粒 子 の 速 度 ｖ が 、 関 数 ｖ ｘ （ ｔ）、 ｖ ｙ （ ｔ ）、 ｖ ｚ （ ｔ ） で 与 え ら れ て
い る 。 以 下 の 場 合 に お け る 式 を 記 述 せ よ 。（ ａ ） 時 間 ｔ １ か ら ｔ ２ の 時 間 幅 に お け る 粒 子 の 変 位 量 Δｒ。（ｂ）同じ時間幅における粒子の経由する経路長ｓ。（ｃ）同じ時間幅における、粒子のｘ座標の変化量Δｘ。（ｄ）同じ時間幅における粒子の加速度の平均値＜ｗ＞。
１．１３． 粒子１は速度ｖ １ ＝ａｅ ｘ で動き、粒子２は速度ｖ ２ ＝ｂｅ ｙ で動く。ａとｂは定数。粒子１に対する粒子２の速度ｖと、この速度の大きさｖを求めよ。
１．１４． 関数の平均値の定義を出発点にして、以下を証明せよ。
（ａ） 点の速 度の時間τ当たりの平均値＜ｖ＞は、この時間における点の変位量Δｒを時間τで割ったものに等しい。
（ｂ） 点の加 速度の時間τ当たりの平均値＜ｗ＞は、この時間における点の変位量Δｖを時間τで- 3-

割ったものに等しい。
１．１ ５． 粒子が、半径Ｒの円に沿って、時計回りに等速で運動している。時間τ当たりで１回転する 。円は ｘ、ｙ面内にあり、円の中心は座標の原点と一致している。時間ｔ＝０のとき、粒子
は 座 標 ｘ ＝ ０ 、 ｙ ＝ Ｒ の 位 置 に あ る 。 以 下 の 時 間 幅 に お け る 粒 子 の 位 置 の 平 均 値 を 求 め よ 。（ ａ ）０からτ／４まで。
（ｂ）０からτ／２まで。（ｃ）０から３τ／４まで。（ｄ）０からτまで。（ｅ）
τ／４から３τ／４まで。
１．１ ６． 粒子が、平均速度＜ｖ＞でもって、ある時間の間に、円周の３／４を動いた。この時間幅における、粒子の速度の平均値｜＜ｖ＞｜を求めよ。
１．１７． 最初、静止していた粒子が、時間τ＝１０．０ｓの間に、一定の接線加速度を持って、半径Ｒ＝５．００ｍの円の円周の１回と半分を動いた。この時間幅における、以下の値を計算せよ。
（ａ）速度の大きさの平均値＜ｖ＞。（ｂ）速度の平均の大きさ｜＜ｖ＞｜。（ｃ）加速度の平均の大きさ｜＜ｗ＞｜。
１．１ ８． 大きさが一定のベクトルａが、ｘ、ｙ平面内で、反時計回りに一様回転をしている。
このベ クトル が、ｘ軸の方向と一致した状態から、ｙ軸の方向に一致するまでに時間ｔかかっている。この時間間隔ｔ当りにおける、ベクトルａの平均値とこの平均値の大きさを求めよ。
１．１９． 質点の半径ベクトルｒが、（ａ）大きさだけが変化する。（ｂ）方向だけが変化する。
これらの場合において、質点の軌跡について説明せよ。
１．２０． 粒子の半径ベクトルが、式ｒ＝３ｔ ２ ｅ ｘ ＋４ｔ ２ ｅ ｙ ＋７ｅ ｚ （ｍ）で定義されている。
以下を計算せよ。
（ａ）運動の最初の１０秒間に粒子の経由する経路長ｓ。
（ｂ）この時間当たりにおいて、変位量の大きさ｜Δｒ｜。
（ｃ）得られた結果を説明せよ。
１．２１． 粒子の半径ベクトルが、時間と共に、式ｒ＝３ｔ ２ ｅ ｘ ＋２ｔｅ ｙ ＋１ｅ ｚ （ｍ）に従って変化する。以下を求めよ。
（ａ）粒子の速度ｖ、加速度ｗ。
（ｂ）時間ｔ＝１ｓにおける速度の大きさｖ。
（ｃ）運動の１１秒間における粒子の経由した経路長の近似値ｓ。
１．２２． 粒子が速度ｖ＝１ｅ ｘ ＋２ｔｅ ｙ ＋３ｔ ２ ｅ ｚ （ｍ）で動く。以下を求めよ。
（ａ）運動の最初の２秒間における粒子の変位Δｒ。
（ｂ）時刻ｔ＝２ｓにおける速度の大きさｖ。
１．２３． 粒子が速度ｖ＝ａｔ（２ｅ ｘ ＋３ｅ ｙ ＋４ｅ ｚ ） （ａ＝１．００ｍ／ｓ ２ ）で動く。以下を求めよ。
（ａ）時刻ｔ＝１．００における粒子の速度の大きさｖ。
（ｂ）粒子の加速度ｗとその大きさｗ。
（ｃ）時刻ｔ １ ＝２．００ｓからｔ ２ ＝３．００ｓの間に、粒子が経由した経路長ｓ。
（ｄ）粒子の運動はどのような特徴を持っているか。
１．２４． エレベーターが、加速度ｗ＝１．００ｍ／ｓ ２ で、上昇し始めた。時間ｔ＝１．００ｓ
後に、エレベータの室内の天井から、木ねじが剥がれ、落下し始めた。以下を求めよ。
（ａ）室内の床に衝突するまでの、木ねじの落下時間。
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（ｂ） 大地に 固定した観察系において、時間幅Δｔの間に、木ねじが経由する経路長ｓ。エレベー
タ室内の高さはｈ＝２．７５ｍ。
１．２ ５． 曲線軌道を動いている粒子の関数ｖ（ｔ）が既知である。粒子が時刻ｔで存在している点での軌道の曲率半径Ｒを与える式を記述せよ。
１．２ ６． 粒子が曲線軌道上を一様に運動している。その速度の大きさはｖ。粒子の加速度の大きさがｗである点における軌道の曲率半径を求めよ。
１．２７． 接線加速度ｗ τ ＝０、法線加速度ｗ ｎ ＝一定である場合、粒子はどのような軌道に沿って運動をしているか。
１．２８． ある時刻ｔにおいて、粒子の速度ｖの成分は、（１．００，２．００，－３．００）（ｍ／ｓ）の値を持っている。加速度ｗの成分は、（－３．００、２．００，１．００）（ｍ／ｓ２）の値を持っている。以下を求めよ。
（ａ）時刻ｔにおける式ｄｖ／ｄｔの値。
（ｂ）時刻ｔに粒子がいる点における軌道の曲率半径。
１．２ ９． 点がｘ軸に沿って動く。その際、ｘ座標は式ｘ＝ａ・ｃｏｓ（２π／Ｔ）ｔに従って変化する。以下を求めよ。
（ａ）点の速度ｖと加速度ｗの、ｘ軸への射影を与える式。
（ｂ）ｔ＝０からｔ＝Ｔ／８の時間間隔において、点が経由する経路長ｓ １ 。
（ｃ）ｔ＝Ｔ／８からｔ＝Ｔ／４の時間間隔において、点が経由する経路長ｓ ２ 。
（ｄ）ｔ＝０からｔ＝Ｔの時間間隔において、点が経由する経路長ｓ。
１．３０． 粒子の速度の成分が、時間と共に、式ｖ ｘ ＝ａ・ｃｏｓωｔ、ｖ ｙ ＝ａ・ｓｉｎωｔ、
ｖ ｚ ＝０に従って変化する。ここで、ａとωは定数。速度の大きさｖと加速度の大きさｗを求めよ。
ベクトルｖ、ｗのなす角度αも求めよ。結果から、粒子の運動の特徴についての結論をなせ。
１．３ １． 時間に対する粒子の座標依存性が、ｘ＝ａ・ｃｏｓωｔ、ｙ＝ａ・ｓｉｎωｔ、ｚ＝０の形をしている。ここで、ａとωは定数。
（ａ）粒子の半径ベクトルｒ、速度ｖ、加速度ｗを求めよ。又、それらの大きさも求めよ。
（ｂ）ベクトルｒとｖのスカラー積を計算せよ。得られた結果は何を物語っているか。
（ｃ）ベクトルｒとｗのスカラー積を計算せよ。得られた結果は何を物語っているか。
（ｄ）粒子の軌跡方程式を求めよ。
（ｅ）粒子は軌跡に沿ってどのような方向に動いているか。
（ｆ）粒子の運動の特徴は何か。
（ｇ）ｙに対する式においてその符号を反対にすると、粒子の運動はどのように変化をするか。
１．３２． 小さい物体（質点）が、水平と角度αをなして、初速度ｖ ０ でＯ点から投げ出された。
図１．１参照。空気の抵抗を無視して以下を求めよ。
（ａ）飛行時間τ。
（ｂ）飛行距離ｌ。
（ｃ）物体の最大上昇高さｈ。
（ｄ）座標（ｘ’、ｙ’）での物体の軌跡方程式。
（ｅ）軌跡の頂点における｜ｄｖ／ｄｔ｜とｄ｜ｖ｜／ｄｔの値。
（ｆ）Ｏ点とＯ’点における軌跡の曲率半径Ｒ。
投射点と落下点は同じ水準にあるとする。

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１．３３． 物体が水平と角度をなして、初速度ｖ ０ で投射された。空気抵抗を無視して、飛行の最初の時間間隔τ当たりの速度の平均値＜ｖ＞を求めよ。
１．３ ４． 距離ｌ＝１０．０ｋｍ先にある標的を破壊するためには、大砲の砲身を水平と幾らの角度αをなして設置するべきか。砲弾の初速度はｖ ０ ＝５００ｍ／ｓ、空気抵抗は無視する。
１．３５． 粒子が経由した経路長ｓに対する、導関数ｄｖ／ｄｔの依存性を決めている関数ｆ（ｓ）
が 既 知 と す る 。 経 路 の 初 期 で 粒 子 の 速 度 は ｖ ０。 経 路 長 ｓ を 進 む 粒 子 の 持 っ て い る 速 度 の 大 き さ ｖ（ｓ）を表わす式を求めよ。
１．３ ６． 粒子が経由した経路長ｓに対する、粒子の速度の大きさの依存性を決めている関数ｖ（ｓ）が与えられている経路長ｓを通過する時、粒子がかかる時間ｔに対する表記式を求めよ。
１．３ ７． 粒子が経由する経路長ｓに対する粒子の速度の大きさｖの依存性が、関数ｖ（ｓ）＝
ｖ ０ －ｂｓで定義されている。
（ａ）時間ｔに対するｓの依存性を求めよ。
（ｂ）ｔに対するｖの依存性を求めよ。
（ｃ）ｔ≪１／ｂの場合に正しい、ｓ（ｔ）とｖ（ｔ）に対する近似式を記述せよ。
１ ． ３ ８ ． 粒 子 の 速 度 の 大 き さ が、 時 間 と 共に 、 式 ｖ＝ ｖ ０ ｅ－ｂｔに 従 っ て 変 化 を す る。 定 数 ｂは ど の よ うな 物 理 的意 味 を 持 っているか。
１．３９． ボートが、水に対して一定で、川岸に垂直な速度
ｖ＝０．３００ｍ／ｓで、川を横断する。川幅はｂ＝６３．０ｍ。川の流れは、放物線の式に従って変化している。
ｕ＝ｕ ０ －４（ｕ ０ ／ｂ ２）（ｘ－ｂ／２） ２ 。
こ こ で 、 ｘ は 岸 か ら の 距 離 、 ｕ ０ は 定 数 で、 ５ ． ００ ｍ ／ ｓ 。
ボートが出発した地点から、対岸にたどり着いた地点までの、流れに沿って下流に流された距離ｓを求めよ。
１．４ ０． 図１．２中のｘ軸は、草地と砂地の境界を示している。歩行者はＡ点からＢ点にたどり着く必要がある。草地では歩行者は速度ｖ １ ＝５．００ｋｍ／時で歩き、砂地では、速度ｖ ２ ＝３
ｋｍ／ 時で歩 く。最短時間で歩ききるために、歩行者は折れ線ＡＯＢを選択する。Ａ点からＢ点への歩行者の移動時間が最短となるとき、角度α １ と角度 α ２ のコ サイン の間にはどのような関係があるか。
１．４１． 以下に、ｘ≪１の場合に正しいある関数の近似式がある。
（ａ）１／（１±ｘ）≈１∓ｘ。 （ｂ）（１±ｘ） １／２ ≈１±ｘ／２。 （ｃ）
ｅ ± ｘ ≈１ ± ｘ。（ｄ）ｌ ｎ（１ ±ｘ） ≈± ｘ。 （ｅ） ｓｉｎｘ ≈ｘ。 （ｆ）
ｃｏｓｘ≈１－ｘ ２ ／２
ｘ＝０．１として、近似式で得られる関数の値とｓｉｎの関数で得られる値の相対誤差を計算せよ。
１．４２． 図１．３参照。直線道路ＡＢに沿って、一定速度ｕ＝２０．０
ｍ／ｓで車が走っている。線分ＡＢから距離ｌ＝２０００ｍ離れているＣ点から、車とＣ点が、ＡＢに対して１つの垂線上に位置した瞬間、大砲を発射する。砲弾は一定速度ｖ＝２００ｍ／ｓで真っ直ぐ飛ぶものと見なし、以下を求めよ。
（ａ）車を撃破するために、砲身を向けなければならない角度α。
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（ｂ）砲弾の飛行時間ｔ。
（ｃ）時間ｔの間に車が進む距離ｓ。
１ ． ４ ３． 図 １ ．４ 参 照 。静 水 に 対 して 速 度 ｖ ＝５ ． ０ ０ｍ ／ ｓ で
走 る こ とが で き る ２台 の ボ ート が あ る 。水 は 川 幅 一杯 に 、 一定 の 速 度
ｕ ＝ ０ ．５ ０ ０ ｍ ／ｓ で 流 れて い る 。 川幅 は ｌ ＝ １． ０ ０ ０ｋ ｍ 。 川の 中 央 に、 川 幅 と 同じ 距 離 をな し て 、 ２本 の 杭 が 打ち 込 ま れて い る 。
１ 台 の ボー ト は 、 Ａ点 か ら Ｂ点 ま で 、 真っ 直 ぐ に 川を 横 断 し、 そ し て
Ｂ 点 か らＡ 点 へ 同 じく 戻 っ てく る 必 要 があ る 。 も う１ 台 の ボー ト は 、杭Ｃから杭Ｄの間を往復する必要がある。以下に答えよ。
（ａ）前者のボートが、直線ＡＢに沿って岸に相対的に移動するためには、水に対してどのように進む必要があるか。
（ｂ）前者のボートと、後者のボートが距離２ｌを移動するに要する時間
ｔ １ とｔ ２ を求めよ。
（ ｃ ） ｕ ≪ ｖ と し て 、 ｔ １と ｔ ２の 近 似 式 を 求 め よ 。 得 ら れ た 式 を 用 い て 、
ｔ １ とｔ ２ の値を求めよ。正確値とそれらの値を比較検討せよ。
１．４４． 図１．５参照。高度ｈ＝５０００ｍを、一定速度ｕ＝１００．
０ｍ／ｓで飛行機が水平に飛行している。飛行機が高射砲陣地上空を飛行し た瞬 間 に 、 射撃 を す る。 弾 丸の 初速度 はｖ ０ ＝ ５００． ０ｍ／ ｓ。空 気抵
抗を無視して以下を求めよ。
（ａ）弾丸と飛行機が、それらの軌跡の交点に、同時刻に達するためには、高射砲の砲身の水平となす角度αを幾らとしなければならないか。
（ｂ） 弾丸が 標的と出会ったときに爆発するためには、起爆装置を如何ほどの時間ｔとすべきか。
（ｃ）出会い点は、高射砲陣地から水平方向にいかほどの距離ｓ離れているか。
１．４ ５． 月は地球に同じ面を向けながら、地球の周りを２７．３昼夜で公転をしている。月自身の軸の周りの、月の回転角速度ω 月 を求めよ。得られた角速度を、地球の自転の角速度ω 地球 と比較せよ。
１．４６． 時計が、１昼夜で２分遅れる。分針の角速度βは幾らとなっているか。
１．４７． 大きさが一定のベクトルａが、一定の角速度ωで、ａベクトルに垂直な固定軸の周りに回転をしている。ベクトルａとベクトルωで、導関数ｄａ／ｄｔ、ｄ ２ ａ／ｄｔ ２ を表記せよ。
１．４８． 図１．６参照。円筒が滑ることなく速度ｖで転がっている。点１，２，３の速度を求めよ。それらを座標軸の単位ベクト
ルで表記せよ。
１ ．４ ９ ． 図１ ． ７ 参照 。 球 が 角速 度ω で、（ｘ、 ｙ）平 面内に ある軸の周りに回転をしている。この回転軸はｚ軸の周りの角速度ω
’ ＝ ω ’ｅ ｚ で 回っ て い る。 以 下 を 求め よ 。 最初 、 ベ ク トル ω は ｘ 軸方向を向いていたものとする。
（ａ）球の角速度Ωと角加速度β。これらのベクトルの大きさ。
（ｂ）ベクトルΩとωの間の角度α。
（ｃ）ベクトルβとΩの間の角度φ。

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１．５０． 物体が、角速度ω＝ａｔ ２ ｅ ｘ 、ω ２ ＝２ａｔ ２ ｅ ｙ の２つの回転を行っている。ここで、
ａ＝１．００ラジアン／ｓ ３ 。
（ａ）最初の３秒間に、物体は幾らの角度φ回るか。
（ｂ）この回転は、どのような軸の周りの回転となっているか。
１．５ １． 周波数ｎ＝５０／ｓで回転している電動機が、電流を切った後、一様に減速し、Ｎ＝
１６８０回転して停止した。電動機の角加速度βを求めよ。
１．５２． 車がブレーキをかけるまで、速度ｖ ０ ＝６０ｋｍ／時で走っていた。ブレーキをかけた
後、車 は不定 の加速度で直進しながら、ｔ＝３．００ｓ後に停車した。この間に車はｓ＝２０．０
ｍ進ん だ。ブ レーキをかけている間における、車の車輪の平均角速度＜ω＞と、平均角加速度＜β＞を求めよ。車輪の半径はＲ＝０．２３ｍ。
１．５ ３． 粒子が、速度ｖ＝３．００ｍ／ｓで、回転している円板の半径に沿って動く。最初、粒子は円板の中心にいる。円板の回転の角速度はω＝２０．０ラジアン／ｓ。時間ｔ １ ＝９．００ｓからｔ ２ ＝１０．００ｓの間に、不動の観察系で見た粒子の経由した経路長の近似値ｓを求めよ。

１．２．

質点の動力学と物体の前進運動。仕事と仕事率

１．５ ４． 記の表面の間の摩擦係数ｋを決めるために、木片を板の上に置き、板の一端を持ち上げていった。木片が滑り始めたのは角度がα＝１４°であった。ｋは幾らとなるか。
１．５ ５． ２個の木片が接触して、水平な机の上に置いてある。図１．９参照。木片は机の表面を摩擦無しで滑ることができる。木片の１つの質量はｍ １ ＝２．００ｋｇ、もう１つの質量はｍ ２ ＝
３．００ｋｇ。木片の１つを力Ｆ ０ ＝１０．０Ｎで水平に突く。
（１）ｍ １ の木片に、Ｆ ０ をａのように加えたら、木片同士は幾らの力Ｆで押し合うか。ｍ ２ の木片に、Ｆ ０ をｂのように加えたら、木片同士は幾らの力Ｆで押し合うか。
（２）得られた結果を説明せよ。
１ ． ５ ６ ． 問 題 １ ． ５ ５ を 、 木 片 １ と 机 の 間 の 摩 擦 係 数 が ｋ １＝
０ ． １ ０ ０ 、 木 片 ２ と 机 の 間 の 摩 擦 係 数 が ｋ ２＝ ０ ． ２ ０ ０ と 仮 定
して解け。
１ ． ５ ７． 問 題 １． ５ ６ をｋ １ ＝ ０． ２ ０ ０、 ｋ ２ ＝０ ． １ ００ と仮定して解け。得られた３つの問題の結果を比較せよ。
１．５８． 図１．１０参照。２つの木片が触れあいながら斜面を滑る。
最初の木片の質量はｍ １ ＝２．００ｋｇ、２番目の木片の質量はｍ ２ ＝３．
０ ０ ｋ ｇ 。 斜 面 と 木 片 １ と の 間 の 摩 擦 係 数 は ｋ １＝ ０ ． １ ０ ０ 、 斜 面 と木 片 ２ と の 間 の 摩 擦 係 数 は ｋ ２＝ ０ ． ２ ０ ０ 。 斜 面 の 傾 斜 角 度 は α ＝ ４５°。
（１）以下を求めよ。 （ａ）２つの木片の移動加速度ｗ。
（ｂ）板の間に作用している力Ｆ。
（２）ｋ １ ＞ｋ ２ の場合どのようなことが起るか。
１ ． ５ ９ ． 図 １ ． １ １ 参 照 。 水 平 な 机 の 上 に 、 各 々 質 量 Ｍ＝
１ ． ０ ０ ０ ｋ ｇ の ２ つ の 物 体 が 置 い て あ る 。 物 体 は 、 重 さ が無
く、伸びない糸で連結されている。同じ種類の糸が、物体２と、- 8-

質量ｍ ＝０． ５００ｋｇの錘を連結している。机の端に固定している曲がった溝を摩擦無しで糸は滑ることができる。机と物体１との間の摩擦係数はｋ １ ＝０．１００、物体２との間の摩擦係数はｋ２ ＝０．１５０。以下を求めよ。
（ａ）物体系の動く加速度。
（ｂ）物体１と２を連結している糸の張力Ｆ １２ 。
（ｃ）錘をぶら下げている糸の張力Ｆ。
１．６０． 道路を横断している跨線橋の曲率半径はＲ＝１０００ｍ。跨線橋の最上部の道路面に、跨線橋 にかか っている圧力を計測する検出器が設置されている。装置には１ｋｇ重（＝９．８Ｎ）
毎にメ モリが 刻まれている。質量ｍ＝１．０００ｔの車が、速度ｖ＝６０．０ｋｍ／時で、跨線橋を通過したとき、この検出器は幾らの圧力Ｆを指示するか。
１．６ １． 磁場中で動いている荷電粒子に、磁気力Ｆ＝ｑ［ｖＢ］が作用する。ここで、ｑは粒子の荷 電量、 ｖは粒子の速度、Ｂは磁場の磁束密度。最初、粒子の速度ベクトルｖは磁束密度Ｂに
垂直で あると して、一様な磁界中で、粒子の動く軌跡方程式を求めよ。磁気力以外の力はないものとする 。粒子 の質量ｍ、河川量ｑ、速度ｖ、磁束密度Ｂは既知とする。粒子は（ｘ、ｙ）平面内で動くものとする。
１．６ ２． 一端の固定されている長さｌ＝３．００ｍの糸に取り付けられている質量ｍ＝０．２
００ｋｇの球が、水平面で、半径Ｒ＝円を描く。以下を求めよ。（円錐振り子？）（ａ）１分間当たりの球の回転数ｎ。
（ｂ）糸の張力Ｆ。
１．６ ３． 水平に配置されている円板が、自身の中心を通る垂直軸の周りに、周波数ｎ＝１０．
０回転 ／分の 回転をする。円板の上に置いてある小さな物体は、円板の中心からいかほどの距離ｒまで滑らないでいられるか。円板と物体の間の摩擦係数はｋ＝０．２００。
１．６４． 小さい物体に運動量を与える。その結果、速度ｖ ０ ＝３．００ｍ／ｓでもって、斜面を摩擦無しで上方に登り始める。斜面は水平と角度α＝２０．０°をなしている。以下を求めよ。
（ａ）物体が上昇する高さｈ １ 。
（ｂ）停止するまで物体は如何ほどの時間ｔ １ 動くか。
（ｃ）物体が下に滑り、最初の位置に戻るまで、如何ほどの時間ｔ ２ を要するか。
（ｄ）最初の所位置に戻ってきたとき、物体は幾らの速度ｖを持っているか。
１．６５． 問題１．６４を、物体と斜面の間の摩擦係数がｋ＝０．１００、物体の質量がｍ＝１．
００ｋｇとして解け。更に以下の分問を付加する。
（ｅ）物体が往復する間に、摩擦力は如何ほどの仕事Ａをなすか。
この問題と問題１．６４の結果を比較検討せよ。
１．６ ６． 液体の入っている高い容器の中に、質量ｍの球を置き、突かないで、放つ。液体の密度は球 の密度 よりη倍小さい。球が運動するとき、媒質の抵抗力が発生し、その力は運動速度に比例する。Ｆ＝－ｋｖ。
（ａ）球の運動の特徴を記述せよ。
（ｂ）時間ｔに対する球の速度ｖの依存性を求めよ。
１．６ ７． 非常に小さい輪からできている細い鉄製の鎖の長さはｌ＝１．０００ｍ、で質量はｍ＝１０ ．０ｇ 。この鎖が水平な机の上に置いてある。机の端に垂直な直線のところに、鎖を引っ張り出し た。鎖 の端は、机の端からぶら下がる。ぶら下がる部分の長さが、鎖の全長のη＝０．２７
５とな ったと き、鎖は机から滑り始める。鎖は長さ方向に一様であると見なして、以下を求めよ。
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（ａ）鎖と机の間の摩擦係数ｋ。
（ｂ）鎖が滑っている間に、鎖の机に対する摩擦力の仕事Ａ。
（ｃ）滑りが完了したときの鎖の速度ｖ。
１．６ ８． 非常に小さい輪からできている細い鉄製の鎖が、下端を机に触れた状態で、垂直に吊されて いる。 鎖の質量はｍ、長さはｌ。時刻ｔ＝０のとき、鎖を放つ。鎖は長さ方向に一様であると見なして、以下を求めよ。
（ａ）鎖が机に及ぼす力の瞬間値Ｆ（ｔ）。
（ｂ）落下時間の間におけるこの力の平均値＜Ｆ＞。
１．６９． 粒子に作用している力が、Ｆ＝ａｅ ｘ （Ｈ）の形をしている。ここで、ａは定数。座標点（１ ｍ，２ ｍ，３ｍ）から座標点（７ｍ、８ｍ、９ｍ）までの経路において、この力が粒子にする仕事Ａを計算せよ。
１．７０． 粒子が円周を一様に運動をしている。
（ａ）１回転にわたって、粒子に作用している力のなす仕事を求めよ。
（ｂ）半回転にわたって、粒子に作用している力のなす仕事を求めよ。
（ｃ）４分の１回転にわたって、粒子に作用している力のなす仕事を求めよ。
１．７ １． 粒子が、中心力Ｆの作用のもとで、半径ｒの円周を移動する。円の中心は、中心力と一致している。経路長ｓの間に、力Ｆはいかほどの仕事Ａをなすか。
１．７２． ある曲線軌道に沿って動いている、質量ｍの粒子の接線加速度ｗ τ が、ある最初の粒子の 位 置 か ら 軌 道 に 沿 っ て 決 め ら れ る 経 由 し た 距 離 ｓ と 共 に 変 化 す る 。 ｗ τ ＝ ｗ τ （ ｓ）。 ｓ １ か ら ｓ ２まで、 軌道の 部分で、粒子に作用している力によって、粒子になされる仕事を与える式を求めよ。
１．７ ３． 質量ｍ＝１．００ｋｇの物体が高さｈ＝２０．０ｍから落下する。空気抵抗を無視して、以下を求めよ。
（ａ）経路長ｈで、重力のなす時間当たりの平均仕事率＜Ｐ＞。
（ｂ）高さｈ／２における瞬間的な仕事率Ｐ。
１．７ ４． 質量ｍの石が、高さｈにいる投射者の水準から上方に投げられる。軌道の最高点で、石の速度はｖ。投射点から軌道の最高点までに、空気の抵抗力が石のなした仕事はＡ 抵 抗 。石の投射になした仕事Ａは幾らか。
１．７５． 質量ｍの物体が、初速度ｖ ０ で水平と角度αをなして投げられた。空気抵抗を無視して、以下を求めよ。
（ａ）物体の飛行中に、舞台に作用している力のなしている瞬間仕事率＜Ｐ＞。
（ｂ）軌道の頂点における仕事率Ｐ。
（ｃ）物体が上昇中における平均仕事率＜Ｐ＞ 上昇 。
（ｄ）飛行の全時間における平均仕事率＜Ｐ＞ 飛行 。投射点と落下点は同じ水準にあるものとする。
１ ．７ ６ ． 質量 ｍ の 物体 が 、 力 Ｆ＝２ ｔｅ ｘ ＋３ ｔ ２ ｅ ｙ の作 用下で 動く。 時刻ｔに おいて 、力の な
す仕事率Ｐ（ｔ）を求めよ。

１．３．
１．７７．

エネルギー
以下の場合においてエネルギーの増加分ΔＥを求めよ。
- 10 -

（ａ）Ｅ １ ＝２Ｊ、Ｅ ２ ＝５Ｊ。
（ｂ）Ｅ １ ＝１０Ｊ、Ｅ ２ ＝８Ｊ。
１．７８． 問題１．７７で示されている初期エネルギーＥ １ と終エネルギーＥ ２ に対してエネルギ
ーの損失－ΔＥを求めよ。
１．７９． 力Ｆ＝１ｅ ｘ ＋２ｅ ｙ ＋３ｅ ｚ （Ｎ）の作用下で、最初静止していた粒子が、点（２ｍ、４ｍ、 ６ｍ） から点（３ｍ、６ｍ、９ｍ）まで移動した。終点における粒子の運動エネルギーを求めよ。
１．８０． 成分が（３Ｎ、１０Ｎ、８Ｎ）の一定の力の作用下にある粒子が、座標（１ｍ、２ｍ、３ｍ）の点１から座標（３ｍ、２ｍ、１ｍ）の点２に移動した。
（ａ）この時、如何ほどの仕事Ａがなされたか。
（ｂ）粒子の運動エネルギーは如何ほど変化したか。
１．８１． 以下の式を証明せよ。
Ｔ 実験室 ＝Ｔ 重心 ＋ｍＶ Ｃ ２ ／２
ここで、Ｔ 実験室 は、実験室系で決まる質点系の運動エネルギー。Ｔ 重心 は質量中心系で決まる運動エ
ネルギー。ｍは質点の総質量和。Ｖ Ｃ は実験室系における質量中心の速度。
１．８ ２． ある力の場中における粒子のポテンシャルエネルギーは式Ｕ＝１．００ｘ＋２．００
ｙ ２ ＋３．００ｚ ３ で定まる。Ｕの単位はＪ、座標の単位はｍ。質点が座標点（１．００，１．００，
１．０ ０）か ら座標点（２．００，２．００，２．００）までの移動において、場の力が粒子になす仕事Ａを求めよ。
１ ．８３ ． 粒 子のポテ ンシャ ルエネ ルギーが 式Ｕ＝ ａ（ｘ ２ ＋
ｙ ２ ＋ｚ ２）で定まる。ここで、ａは正の定数。粒子が座標点（３．
００ｍ、３．００ｍ、３．００ｍ）から動き始める。粒子が座標点（１．００ｍ、１．００ｍ、１．００ｍ）にある時の粒子の運動エネルギーを求めよ。
１．８４． 図１．１２参照。斜面１，２を２つの物体が、初速度なしで、摩擦無しで滑る。
（ａ）滑り終わったときの２つの速度ｖ １ ，ｖ ２ を比較せよ。
（ｂ）滑りの時間ｔ １ ，ｔ ２ は同じか。
１．８５． 図１．１３参照。半径Ｒの円の弦と一致している２つの斜面がある。各々から初速度なしで、摩擦無しで、物体が滑り出す。どちらの方が滑っている時間が長いか。
１．８ ６． 図１．１４参照。高さｈの斜面の頂点に、質量ｍの小さい物体を置き、物体に初速度ｖ０を 与える 。その結果、物体は下方に滑る。斜面の面は一様ではない、その為、物体の滑りの速度は適当に変化する。しかし、最下点での物体の速度は、初速度のｖ ０ に等しい。物体の滑りの時間の間に摩擦力は如何ほどの仕事Ａをしたか。
１．８ ７． 図１．１５参照。半径Ｒの球の表面の頂上から、小さい物体が摩擦無しで下に滑り始める。物体が球の表面を離れ、自由に飛んでいく、球の中心からいかほどの高さｈか。
１．８ ８．図 １．１６に示しているような形状の溝に沿って、高さｈから、摩擦無しで小さい物体- 11 -

が滑り始める。溝の水平部分は図に垂直な方向に少しずれている。
（ａ）高さｈの値が最低幾らのとき、物体が溝から離れずに、宙返りをするか。
（ｂ）ｈがいかほどの値の時、Ａ点で溝を押す物体の圧力がＦとなるか。

１．８ ９． ある点Ｐにおいて、スカラー関数φの勾配は、ベクトルｌの方向と一致するベクトルである 。この ベクトルｌに沿って、関数φは最大速度でもってＰ点で大きさで変化する。又、このベクトルの大きさはＰ点で、ｄφ／ｄｌに等しい。解析的にこれらのこことは∇φ＝（ｄφ／ｄｌ）ｅ ｌと記述できる。
（１）この定義を出発点にして、以下の式を求めよ。（ａ）∇ｒ、 （ｂ）∇（１／ｒ）、 （ｃ）∇ｆ（ｒ）。ここで、ｒはＰ点の半径ベクトルの大きさである。
（２）以下の式が成り立つことを検証せよ∇φ＝（∂φ／∂ｘ）ｅ ｘ ＋（∂φ／∂ｙ）ｅ ｙ ＋（∂φ／∂ｚ）ｅ ｚ 。
１．９０． 粒子のポテンシャルエネルギーが、（ａ）Ｕ＝α／ｒ、 （ｂ）Ｕ＝ｋｒ ２ ／２の形をし て い る 。 こ こ で 、 ｒ は 粒 子 の 半 径 ベ ク ト ル ｒ の 大 き さ 、 α と ｋ は 定 数 （ ｋ ＞ ０ ）。 粒 子 に 作 用 する力Ｆ 、粒子 が点（１，２，３）から点（２，３，４）に移動するとき、粒子に作用する仕事Ａを
求めよ。
１．９１．

粒子のポテンシャルエネルギーが次の形をしている。
Ｕ＝ａ（ｘ／ｙ－ｙ／ｚ）。
ここで、ａは定数。以下を求めよ。
（ａ）粒子に作用している力Ｆ。
（ｂ） 粒子が点（１，１，１）から点（２，２，３）に移動するとき、粒子に作用する仕事Ａを
求めよ。
１．９２．

中心対称力場中にある粒子のポテンシャルエネルギーが次の形をしている。
Ｕ＝ａ／ｒ ３ －ｂ／ｒ ２
ここで、ａとｂは正定数。
（ａ）動径方向への変位に関して、この粒子に安定平衡状態はあるか。
（ｂ）ｒに対するＵの依存性のグラフを概略で描け。
１．９ ３． 中心力場中で、粒子が円周を動く。力は力の中心からの距離の２乗に反比例する。この場合 におい て、粒子の運動エネルギーＴ、ポテンシャルエネルギーＵ、全エネルギーＥはどのよ
うな関係にあるか。
１．９４． Ｆ＝－（α／ｒ ２ ）ｅ ｒ の力場中に、質量ｍの粒子がある。ここで、αは正定数、ｒは粒子の半径ベクトルｒの大きさ、ｅ ｒ はこの半径ベクトルの単位ベクトル。粒子を半径ベクトルｒ ０の点に置き、ｒ ０ ベクトルに垂直な初速度ベクトルｖ ０ を粒子に与えた。粒子はどのような軌道に沿って動くか。
- 12 -

１．９５．

前問の粒子の軌道が円となるのは、どのような条件下でか。

１．９６． 図１．１７参照。重さが無く伸びない糸が曲がった溝を摩擦無しで滑ることができる。糸の両端には、質量ｍ １ ＝３．００ｋｇ、ｍ ２ ＝１．００
ｋｇの錘が固定されている。質量ｍ ２ の錘が床に接触するように、質量ｍ １ の錘を持ち上げ、そして放つ。高さｈ １ ＝１．００ｍ。質量ｍ １ の錘が床に衝突した
後、質量ｍ ２ の錘は床からいかほどの高さｈ ２ まで達するか。
１．９７． 質量ｍ＝１．００ｔの車が、水平な道路を時速ｖ＝８０ｋｍ／時で走った。水平と角度α＝１０．０度をなす上り坂に入ったとき、車速を以前通りに維持するために、アクセルをふかし、車輪に繋がる回転モーメントをη
＝６．２０倍大きくした。走行中における空気抵抗Ｆは、速度の２乗に比例する も の と 見 な し 、 式 Ｆ ＝ ｋ ｖ ２に お け る 係 数 ｋ を 求 め よ 。 車 輪 の 摩 擦 は 無 視 する。
１．９８． 図１．１８参照。腕木の一端に吊されたゴム紐に沿って、質量ｍ＝０．３００ｋｇのスリーブが、速度に依存しない摩擦で滑ることができる。
摩 擦 力 は Ｆ ＝ ０ ． ２ ９ ４ Ｎ 。 変 形 し て い な い と き の ゴ ム 紐 の 長 さ は ｌ ０＝ １ ．
００ｍ。弾性力とゴム紐の伸びの間の比例係数はｋ＝５６０Ｎ／ｍ。ゴム紐の下端には、支台がある。スリーブを最大高まで持ち上げてから、放つ。紐の内部摩擦、スリーブの大きさ、紐の質量、支台の質量を無視して、以下を求めよ。
（ａ）スリーブが支台に到達した瞬間における、ゴム紐の伸びの長さΔｌ。
（ｂ）この瞬間のスリーブの速度ｖ。
（ｃ）ゴム紐の最大伸張Δｌ 最大 。

１．４．

運動量

１．９ ９． 系が、質量０．１００ｇの粒子１，質量０．２００ｇの粒子２，質量０．３００ｇの粒子３ からで きている。粒子１は、座標（１．００ｍ，２．００ｍ，３．００ｍ）に、粒子２は座標（２ ．００ ｍ，３．００ｍ，１．００ｍ）に、粒子３は座標（３．００ｍ，１．００ｍ，２．００ｍ）に位置している。系の質量中心の動径ベクトルｒ 重心 とその大きさを求めよ。
１．１ ００． 天体観測より、地球－月の系の重心と呼ばれる質量中心は、地球の中心から、距離
ηＲ地 球の所 にあることがわかっている。ここでＲ地球は地球の半径。η＝０．７３０。地球の質量ｍ 地球 、地球の半径Ｒ 地球 、月の平均軌道半径Ｒが既知として、月の質量ｍ 月 を計算せよ。得られたデータを物理定数表と比較せよ。
１．１ ０１．
か。

一様な円錐の高さはｈ。頂点からいかほどの距離ｌの所に、円錐の質量中心がある

１．１０２．

粒子の系がある。その質量中心系において、粒子系の運動量ｐは幾らとなるか。

１．１０３．

粒子系の総運動量がゼロならば、質量中心はどのような運動をしているか。

１．１ ０４． 相互作用している物体系が、地球表面近傍の重力場中にある。系の質量中心はどのような運動をするか。空気抵抗は無視するものとする。

- 13 -

１．１０５． 質量ｍの物体を、初速度ｖ ０ で、水平と角度をなして投射した。時間τ後、物体は地面に落下した。空気抵抗を無視して以下を求めよ。
（ａ）飛行時間中における物体の運動量の増加分Δｐ。
（ｂ）時間τ当たりの運動量の平均値＜ｐ＞。
１ ． １ ０ ６ ． 質 量 ｍ の 粒 子 が 、 大 き さ が 一 定 の 力 Ｆ の 作 用 下 で 、（ ｘ 、 ｙ ） 平 面 内 を 運 動 す る 。
Ｆは、 この平 面内で、一定の角速度ωで、時計の針回りに回転をしている。時間の最初、力はｘ軸方向を向き、粒子の速度はｖ ０ 。時間ｔにおける粒子の運動量ｐを求めよ。
１．１ ０７． ２つの球が、それらの中心を結んでいる直線に沿って、向かい合って動いている。
最初の 球の質 量と速度は４．００ｋｇ、８．００ｍ／ｓ、２番目の球は６．００ｋｇ、２．００ｍ／ｓ。完全弾性衝突後、各々の球はどのように動くか。
１．１０８． ２つの球が、中心完全非弾性衝突をする。衝突まで、質量ｍ ２ の球は静止しており、
質量ｍ １ の球はある速度で動いていた。以下の場合、衝突により、最初の運動エネルギーの如何ほどの割合ηを失うか。（ａ）ｍ １ ＝ｍ ２ 。 （ｂ）ｍ １ ＝０．１ｍ ２ 。 （ｃ）ｍ １ ＝１０ｍ ２ 。
１．１０９． 質量ｍ １ の球が、静止している質量ｍ ２ の球と、中心完全弾性衝突をする。
（ａ）衝突後、最初の球が逆方向に動くのは、ｍ １ とｍ ２ の関係がどのようなときか。
（ｂ）球の質量が等しいならば、最初の球はどのような動きをするか。
（ｃ）ｍ１ｍ２ならば、最初の球にはどのようなことが起るか。
１．１１０． ２つの球がＸ軸に沿って、向かい合って動いている。最初の球の質量はｍ １ ＝０．２
００ｋｇ、２番目の球の質量はｍ ２ ＝０．３００ｋｇ。衝突をするまで、球のｘ軸への速度の射影は各々ｖ １ ０ ＝１．００ｍ／ｓ、ｖ ２ ０ ＝－１．００ｍ／ｓ。それらの中心完全弾性衝突後の、各々の球の速度の射影ｖ １ｘ 、ｖ ２ｘ を求めよ。
１ ． １ １ １ ． 速 度 ｖ ０ で 動 い て いる 質 量 ｍ １ の 球 が、 静 止 している質量ｍ ２ の球に衝突をする。完全弾性衝突後、２つの球は、
図１．１９での方向に、速度ｖ １ ，ｖ ２ を持って動いていく。
（ １ ） 以 下 の 場 合 に な る のは 、 質 量 ｍ １ と ｍ ２ の 間 にど の よ うな
関係があるときか。 （ａ）α＝π／２、 （ｂ）α＝β≠０、（ｃ）α＝β＝０、（ｄ）α＝π、β＝０。
（２）β＝π／２となることがあるか。
（３）α＝π／２のとき、βの限界角度は幾らとなるか。
（４） 以下の 場合、最初の球は、２番目の球に、自身の運動エネルギーを如何ほどの割合ηを与えるか。 （ａ）α＝π／２、 （ｂ）α＝β≠０、 （ｃ）α＝β＝０、（ｄ）α＝π、β＝０。
（５）（４）の（ａ）から（ｄ）の結果を検討せよ。
（６）（４）の（ｂ）の場合において、ηの限界値は幾らとなるか。
（７）ｍ １ ，ｍ ２ ，βが幾らのとき、最初の球は、衝突後、静止するか。
（８）以下の場合において、角度βを求めよ。 （ａ）α＝π／２、ｍ １ ＝０．９９ｍ ２ 、 （ｂ）
α＝β≠０、ｍ １ ＝ｍ ２ 。
（９）（８）の（ａ）と、（８）の（ｂ）の場合において、球の離れ角度（則ち、α＋β）を求めよ。
（１０）αが任意の値（０＜α＜π／２）の時、ｍ １ ＝ｍ ２ ならば、球の離れ角度はπ／２となることを証明せよ。
１．１ １２． ２つの動径の球が、中心衝突をする。衝突までに、２番目の球は静止しており、１番目の球は速度ｖ ０ で動いている。衝突をして、失ったエネルギーの割合がηであった。以下を求めよ。
- 14 -

（１）衝突後の球の速度ｖ １ ，ｖ ２ を求めよ。
（２）（ａ）η＝１、 （ｂ）η＝０、 の場合を考察せよ。
１．１ １３． 問題１．１１２において、ηを（ａ）０．１，
して、２つの球の速度を計算せよ。得られた結果を比較せよ。

（ｂ）０．５，（ｃ）０．９と１．１ １４． いたずら好きの子供が、脇を通過するトラックの後を追って、ボールを投げた。ト
ラックの速度はｕ＝７．０ｍ／ｓ、ボールの速度ｖ ０ は衝突直前で１５．０ｍ／ｓ。ボールは車体に垂直に 衝突す るものとする。衝突は完全弾性である。トラックの後部から、ボールは如何ほどの速度ｖで跳ね返されるか。
１．１１５． 陽子が、”無限遠から”、速度ｖ ０ ＝１．００×１０ ６ ｍ／ｓで、自由で静止している
α粒子に向かって進む。衝突は中心衝突と考え、陽子がα粒子に接近する最短距離ｒ 最 短 を求めよ。
問題 の解決 にあたっては以下を利用せよ。間隔がｒにある２つの点電荷の間の相互ポテンシャル
エネルギーはＵ＝ｋｑ １ ｑ ２ ／ｒ。ここで、ｋ＝１／（４πε ０ ）。お互いに引き合っている２つの質
点の相互作用ポテンシャルエネルギーはＵ＝－γｍ １ ｍ ２ ／ｒであることと比較できる。陽子の荷電量は＋ｅ、α粒子の荷電量は＋２ｅ。ここで、ｅは電気素量。陽子の質量はｍ 陽子 ＝１．６７×１０ －２７ｋｇ、α粒子の質量はｍ α ＝６．６４×１０ －２７ ｋｇ。
１．１ １６． ボートの高速噴水推進エンジンが、川からの水を、ボートの後方に、ボートに相対的に速 度ｕ＝ １０．０ｍ／ｓで排出する。ボートの質量はＭ＝１０００ｋｇ。毎秒放出される水の質量は一定であり、ｍ＝１０．０ｋｇ／ｓ。ボートの運動抵抗を無視して、以下を求めよ。
（ａ）動き始めてから、ｔ＝１．００分後におけるボートの速度ｖ。
（ｂ）ボートの達成できる限界速度ｖ最大。

１．５．

運動量モーメント

１．１１７． 成分が（３Ｎ、４Ｎ，５Ｎ）の力が、座標点（４ｍ、２ｍ、３ｍ）に作用している。
以下を求めよ。
（ａ）座標原点に対する力のモーメントＮ。
（ｂ）ｚ軸に関する力のモーメントＮ ｚ 。
１．１１８． 車では、エンジンの回転はクラッチを通じて伝達される。クラッチは必要に応じて、
エンジ ンの回 転を車輪から切離すことができる。クラッチは強力なバネの付いた２枚の同形の摩擦板でできている。ある車のクラッチ板は内直径ｄ １ ＝１４２ｍｍ、外直径ｄ ２ ＝２０３ｍｍの円形の形状を してい る。クラッチ板の摩擦係数はｋ＝０．３５。回転モーメントＮ＝１００Ｎ・ｍを伝達するために、クラッチ板に加えなければならない最小の力Ｆを求めよ。
１．１１９． 質量ｍ＝１．００ｋｇの物体が、座標点（０，２ｍ、０）から、初速度ｖ ０ ＝１０．
０ｍ／ ｓで、 垂直上方に投げられた。物体の全飛行時間（出発点に戻るまで）における、座標の原点に対する運動量モーメントの増加分ΔＭを求めよ。空気抵抗は無視する。
１．１２０． 質量ｍの物体が、水平と角度αをなして、初速度ｖ ０ で投げ出された。物体が運動する面と して、 上方にｙ軸を、運動方向にｘ軸の（ｘ、ｙ）平面を採用する。物体が軌道の最高点にある瞬 間にお いて、 投射点 に対する 物体の 運動量 モーメ ントベク トルＭを求めよ。空気抵抗は無視する。
１．１ ２１．

図１．２０参照。平行な直線軌道に沿って、２つの粒子が、反対方向に一様に動い- 15 -

ている。軌道の間隔はｌ。図中でベクトルｎは粒子が存在している紙面に垂直な向きを示している。以下を求めよ。
（ａ）粒子の総運動量ｐ。
（ ｂ ） 図 中 に 示 し て い る 点 Ｏ １、 Ｏ ２に 対 す る 粒 子 の 総 運 動 量 モ ー メ ン ト
Ｍ １ 、Ｍ ２ 。
２つ の 場 合を考 察せよ。（ １）粒 子の運動 量が大 きさで 異なっ ている。
（２）粒子の運動量の大きさは等しい。ｐ １ ＝ｐ ２ ＝ｐ。

１．１２２． ｎ個の相互作用する粒子からなる系は閉じている。粒子の間の 相互作 用の結 果、各 粒子の運動量ｐ １ ，ｐ ２ ，、、ｐ ｎ は時間の関数である。ｐ ｉ ＝ｐ ｉ （ｔ）。しかし系は閉じているので、Σｐ ｉ ＝一定。系の総運動量はゼロであり、系の運動量モーメントは選んだ点の選択に依存しないことを証明せよ。
１．１２３． 次の関係式を証明せよ。
Ｍ Ｏ ＝Ｍ Ｃ ＋［Ｒ Ｃ ｐ］
ここで、Ｍ Ｏ は実験室系の原点に対する質点系の運動量モーメント、Ｍ Ｃ は質量中心Ｃに対する運動量モーメント（固有運動量モーメント）、Ｒ Ｃ は実験室系における質量中心の半径ベクトル、ｐは実験室系で定義されている質点系の総運動量。
１．１２４． 図１．２１参照。質量ｍの小さい物体（質点）が、斜面の頂点から摩擦無しで滑り始める。文字ｎは紙面に垂直な法線ベクトルを示している。以下を求めよ。
（ａ）Ｏ点に対して、物体に作用している合力のモーメントＮを表記する式。
（ｂ）Ｏ点に対する物体の運動量モーメントＭ（ｔ）。
１．１２５． 図１．２２参照。質量ｍの質点が水平と角度αをなして、初速度ｖ ０ で投射された。質点の飛行経路は（ｘ、ｙ）平面内にある。ｚ軸は、読者の方を向いている。空気抵
抗を無視して時間に対する依存性を求めよ。
（ａ）質点に作用している力のモーメントＮ。
（ｂ）質点の運動量モーメントＭ。
両方のモーメントは、投射点に対してとるものとする。
１．１２６． 質量ｍ＝０．１００ｋｇの物体が、ある高さから、水平方向に初速度ｖ ０ ＝２０．０
ｍ／ｓ で投出 された。最小のτ＝５．００ｓ間における、投射点に対する運動量モーメントの増加
分の大きさ｜ΔＭ｜を求めよ。
１．１２７． 図１．２３参照。質量ｍ＝０．３００ｋｇの４つの同形の球が、長さｌ＝１．００ｍの重さのない棒で、２個ずつ結合し、２組のダンベルを形成している。球の大きさは棒の長さより十分に小さく、球は質点と見なせる。２組のダンベルは、同じ速度ｖ＝１．００ｍ／ｓ
で前進し、図のとうり、向かい合って進んでいる。急の衝突は、瞬間的で、かつ、完全弾性であると見なし、（ａ）衝突後のダンベルの運動の特徴を述べよ。
（ｂ）ダンベルの回転角速度ωを求めよ。
（ｃ）この回転が行われている時間間隔τを求めよ。
（ｄ）τ時間経過した後のダンベルの運動の特徴を述べよ。
- 16 -

１．１２８． 問題１．１２７を、衝突が完全非弾性であるとして、（ａ）衝突後のダンベルの運動の特徴を述べよ。
（ｂ）２つのダンベルの中心の運動速度ｖ Ｃ を求めよ。
（ｃ）ダンベルの回転角速度ωを求めよ。
（ｄ）系の力学的エネルギーはどのように変化をするか。
１．１２９． 問題１．１２７の類題である。図１．２４参照。最初、左側のダンベルは静止しており、右側のダンベルは速度２ｖで前進している。
問題１．１２７に記されている分問に答えよ。
１．１ ３０． 問題１．１２８の類題である。最初、左のダンベルは静止しており、右側のダンベ
ルは速度２ｖで前進している。問題１．１２８に記されている分問に答えよ。
１．１３１． 太陽から地球までの最大距離はＲ 最 大 ＝１．５２×１０ １ １ ｍ、最小距離はＲ 最小 ＝１．
４７×１０ １ １ ｍ、平均距離はＲ＝１．４９５×１０ １ １ ｍ。地球の公転軌道上の運動において、地球の平均速度＜ｖ＞、最大速度ｖ 最大 、最小速度ｖ 最小 を求めよ。得られるこれらの３つの値について、比較検討をせよ。
１．１３２．

同じ質量ｍの２つの粒子からなる系の換算質量μは幾らとなるか。

１．１ ３３．
めよ。

質量ｍ、Ｍの粒子からなる系の、ｍ≪Ｍの場合における、換算質量μの近似値を求

１．６．

非慣性の測定系

１．１３４． 角速度ω ０ で回転している水平に配置されている円板に相対的に、円盤上においてある物体が、円盤に対して静止している。物体の質量はｍで、回転軸からの距離はｒ。
（ａ）動いていない観測系において、物体にはどのような力が作用しているか。
（ｂ）どのような測定系で、先の力に、遠心力が加わるか。
（ｃ）コリオリの力はどのような測定系で現れるか。
１．１３５．

コリオリの力は如何ほどの仕事率Ｐをなすか。

１．１ ３６． 回転測定系に対して粒子を、点１から点２に移動させたとき、コリオリの力は粒子に如何ほどの仕事Ａをなすか。
１．１ ３７． 質量ｍ＝１０．０ｇの粒子の運動を、慣性系に対して、角速度ω＝１０．０ラジア
ン／ｓで回転している測定系で観察をする、回転軸から、距離Ｒ １ ＝１．００ｍ離れている点から、
距離Ｒ ２ ＝２．００ｍ離れている点へ粒子を移動させたとき、慣性力は粒子に如何ほどの仕事Ａをなすか。
１．１ ３８． 赤道上で、高度ｈ＝１０．０ｍから、小さい物体が初速度なしで落下する。落下時
間τの 間に、 物体は垂直線から、どちらの方向に、いかほどの距離ｘだけずれるか。空気抵抗は無視する 。得ら れた値ｘを経路長差Δｓと比較せよ。ここで、Δｓは、高度ｈにある点が、時間τの間に経由する距離と、地表面にある点が、時間τの間に経由する距離の差である。
１．１ ３９．

図１．２５参照。銃が水平に配置され、銃の口は円筒の垂直軸と一致している円筒- 17 -

の半径はＲで、角速度ωで回転している。
（ａ）銃から撃ち出された弾丸は、速度ｖで水平に飛ぶものと見なし、弾丸が命中する円筒の点Ｂの、Ａ点に対する変位量ｓを求めよ。ここで、Ａ点は、発射の瞬間に、銃口の向いている点である。２つの方法でこの問題を解け。不動の測定系において、円筒に固定された測定系において。
（ｂ）銃が円筒と共に回転している場合、動かない場合、において、結果は依存するか。
１．１４０． 緯度φ＝４５度で、子午線の面に水平に固定された銃から、銃口から距離ｌ＝１００．０ｍにある標的に向けて発砲した。標的の中心 は砲身 の軸上にある。弾丸は、一定の速度ｖ＝５００ｍ／ｓで水平に飛ぶものと見なし、射撃を、（ａ）北に向けた場合、（ｂ）南に向けたな場合、弾丸は標的の中心からどの方向にいかほどの距離ずれるか。
１．１ ４１． 質量ｍ＝１８４ｔの電気機関車が、緯度φ＝４５度で、速度ｖ＝７２ｋｍ／時で子午線に沿って走る。電気機関車がレールに及ぼす力Ｆの水平成分を求めよ。
１．１４２． 水平に置かれている円盤が、円板の中心を通る軸の周りに、角速度ωで回転をする。
円盤上を、粒子が軸からの距離を一定にして一様に運動をする。以下の瞬間値を求めよ。
（ａ）コリオリの力が遠心力と釣り合っているときにおける、円盤に対する粒子の速度ｖ’。 円板の中心から粒子に向かって引いた動径ベクトルｒの瞬間値でｖ’を表記せよ。
（ｂ）同じ条件下で、不動の測定系に対する粒子の速度ｖ。
１．１ ４３． 水平に置かれている棒が、棒の中心を通る垂直軸の回りに角速度ω＝１．００ラジ
アン／ ｓで回 転をする。軸から棒の両端までの距離はｌ＝１．００ｍ。棒に、質量ｍ＝０．１００
ｋｇの スリー ブを填めた。スリーブは、回転軸から距離ｌ０＝０．１０ｍになるように、糸でつながれて いる。 時刻ｔ＝０のとき、糸を焼き切ると、スリーブは軸を滑り始める。摩擦はないものとする。以下を求めよ。
（ａ）スリーブが棒から飛び去るまでの時間τ。
（ｂ）時刻τの時、スリーブに棒が及ぼしている力Ｆ。
（ｃ）不動の測定系において、時間τの間に、スリーブになされた仕事Ａ。
１．１ ４４． 水平に置かれている円盤が、角速度ωで、回転している。円板の半径に沿って、質量ｍの 粒子が 動く。円板の中心から粒子までの距離は、時間と共に、式ｒ＝ａｔに従って変化をする。こ こで、 ａは定数。円板に固定した観測系において粒子に作用している力の合成モーメントＮを求めよ。
１．１ ４５． 一定の角速度ωで、ｚ軸の周りに慣性系に相対的に回転している観測系がある。ｚ
軸上に あるＯ 点から、ｚ軸に垂直の方向に、速度ｖでもって、質量ｍの粒子が飛び出し、慣性系に対して 、真っ 直ぐに飛んでいく。回転観測系において観測される、Ｏ点に対する粒子の運動量モーメント Ｍ（ｔ ）を求めよ。Ｍ（Ｔ）の発生は、コリオリの力の作用によるものであることを示せ。

１．７．

剛体の力学

１．１ ４６． 任意形状の物体が、軸ＯＯの周りに角速度ωで回転をする。軸ＯＯに平行な任意の
他の回転軸Ｏ’Ｏ’の周りの舞台の回転の角速度は、ωに等しいことを示せ。
１．１４７．

角速度ωで回転している物体の点１が、ある時間に、速度ｖ １ を持っている。点１に- 18 -

対 し て 、変 位 量 ｒ １ ２ だけ ず れ て いる 点 ２ にお け る 、 同じ 時 間 での 速度ｖ ２ を求めよ。
１ ． １ ４ ８ ． ？ 物 体 が 、（ ｘ 、 ｙ ） 平 面 内 で 、 平 面 運 動 を し て
い る 。 物 体 の 質 量 中 心 Ｃ は 、 一 定 の 速 度 ｖ ０で 、 ｘ 軸 に 沿 っ て 移 動している。時刻ｔ＝０のとき、質量中心は、原点Ｏと一致していた。
同 時 に 、 物 体 は 図 １ ．２ ６ に 示 して い る よう に 、 角 速度 ω で 回転 をし て い る 。（ ｘ 、 ｙ ） 平 面 と 、 物 体 の 瞬 間 回 転 軸 （ ？ ） の 交 差
点の半径ベクトルｒの式を求めよ。
１．１４９． 図１．２７参照。質量ｍ＝３００ｋｇ、長さｌ＝８．００ｍの梁が、２つの支点で支えられている。量の両端か ら 支 点 ま で の 距 離 は 、 ｌ １＝ ２ ． ０ ０ ｍ 、 ｌ ２＝ １ ． ０ ０ ｍ 。
稜が各々の支点に及ぼしている力Ｆ １ ，Ｆ ２ を求めよ。
１．１ ５０． 図１．２８参照。質量ｍ＝１１．２ｋｇ、長さｌ＝５．００ｍの梯子が、床に角度
α＝７ ０°を なして、壁に寄り掛かっている。梯子と床の間の摩擦係数はｋ＝０．２９。以下を求めよ。
（ａ）梯子が壁に及ぼしている力Ｆ １ 。
（ｂ）梯子が滑り始める角度αの限界値α ０ 。
１．１ ５１． 任意の形状をしている長い物体が、水平とある角度をなして投射された。空気抵抗は無視する。物体の質量中心はどのような運動をするか。
１．１ ５２． 図１．２９参照。重さが無く伸びない糸が、摩擦無しで、壁に固定されている溝を滑る。糸の両端には質量ｍ １ ＝１．００ｋｇ、ｍ ２ ＝２．００ｋｇの錘が取り付けられている。２つの錘の質量中心は、如何ほどの加速度ｗ Ｃ で運動をするか。
１．１ ５３． 図１．３０参照。粒子１と２は、剛体棒で連結されている。粒子の速度は、図に示されて いる方 向を向くことができるか。２つの粒子と、それらの粒子の速度ベクトルは、同じ面内にあるとする。

１．１５４． 質量ｍ １ ，ｍ ２ の２つの粒子（質点と見なす）が、重さのない、長さｌの剛体棒で連結されている。質量中心を通り、棒に垂直な軸の周りの慣性モーメントＩを求めよ。
１．１５５．

質量ｍ、半径Ｒの一様な円柱で、円筒の軸に対する慣性モーメントＩを求めよ。

１．１ ５６． 長さｌ＝０．１００ｍ、半径Ｒ＝０．０５ｍの円柱の密度が、円柱の軸からの距離
で、ρ １ ＝５００ｋｇ／ｍ ３ から、ρ ２ ＝３ρ １ ＝１５００ｋｇ／ｍ ３ まで変化する。以下を求めよ。
- 19 -

（ａ）体積に関しての円柱の平均密度＜ρ＞ Ｖ 。得られた値を、半径に関する平均密度＜ρ＞ ｒ と比較せよ。
（ｂ） 軸に対 する円柱の慣性モーメントＩ。得られた値を、同じ質量で同じ大きさの一様な円柱の慣性モーメントＩ’と比較せよ。
１．１ ５７．
Ｉを求めよ。

関係Ｒ，質量ｍの球がある。球の中心を通る軸に関する、この球の慣性モーメント１．１５８．

質量ｍ、底面の半径Ｒの一様な円錐がある。軸の周りの慣性モーメントＩを求めよ。

１．１５９． 長さｌ、質量ｍの細い一様な棒がある。
（ａ）棒の重心を通り、棒に垂直な軸の周りの慣性モーメントを求めよ。
（ｂ）棒の端を通り、棒に垂直な軸の周りの慣性モーメントを求めよ。
１．１６０． 辺長がａ、ｂ、質量がｍの長方形板の、（ａ）板の中心を通過する軸、（ｂ）板の頂点の１ つを通 過する、回転軸の周りの慣性モーメントを求めよ。得られた結果を前問の答えと比較せよ。
１．１ ６１． 辺長がａ、の質量ｍの一様な立方体がある。対向している稜の中心を通過する軸の周りの慣性モーメントＩを求めよ。
１．１ ６２． 物体の質量中心を通過する任意の軸に対して計算される慣性モーメントＩは、主慣
性モーメントＩ ｘ ，Ｉ ｙ ，Ｉ ｚ とＩ＝Ｉ ｘ ｃｏｓ ２ α＋Ｉ ｙ ｃｏｓ ２ β＋Ｉ ｚ ｃｏｓ ２ γの関係があることを証明せよ。ここで、Ｉ ｘ ，Ｉ ｙ ，Ｉ ｚ はｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に関するこの物体の慣性
モーメ ントで ある。α、β、γは３つの主軸と、この任意の軸のなす角度である。これを基礎として、一 様な立 方体において、立方体の中心を通過する任意の軸に関する慣性モーメントは、同じである（球の場合と同じとなる）、ことを証明せよ。
１．１ ６３． 基底の中心と頂点を通る回転軸の周りの、一様なピラミッドの慣性モーメントを求めよ。その基底は辺長ａの正方形である。質量はｍ。
１．１６４． 慣性モーメントの比を求めよ。回転軸は対称軸とする。
（ａ）ピラミット（基面は正方形）と、同じ高さ、同じ密度、同じ質量を持った円錐。
（ｂ）同じ密度と同じ質量を持った、立方体と球。問題１．１６２参照。
１．１ ６５． 質量ｍ、半径Ｒの一様な薄い円板の主慣性モーメントを求めよ。計算は極座標ｒ、θを利用するのが便利である。
１．１ ６６． 一様な円柱の、円柱の対称軸に垂直で、円柱の中心を通過する軸に関する慣性モー
メント を計算 せよ。円柱の質量はｍ、半径はＲ、高さはｈ。得られた結果を、問題１．１５９，問
題１．１６５の結果と比較せよ。
１．１ ６７． 円柱がある。円柱の半径Ｒに対して、円柱の高さｈの比がどのような値の時、３つの主慣性モーメントは同じとなるか。
１．１ ６８． 正方形の切り抜きがある、円板の慣性モーメントを求めよ。切り抜きの頂点の１つは円板の中心と一致している。円板の半径はＲ＝２０．０ｃｍ、正方形の辺長はａ＝１０．０ｃｍ。
円板の質量はｍ＝５．００ｋｇ。回転軸は、円板の中心を通り、円板に垂直とする。
- 20 -

１．１ ６９． 任意形状の境界を持っている、一様な薄い板がある。板の１点から、相互に直交している３つの軸を決める。その内に２つは、ｘ軸とｙ軸で板面内とする。残りの１つはｚ軸とする。
いて面に垂直である。これらの軸に対する板の慣性モーメントＩ ｘ ，Ｉ ｙ ，Ｉ ｚ 間の関係を求めよ。
１．１ ７０． 円板の中心を通り、円板面内にある軸に対する、薄い一様な円板の慣性モーメント
Ｉを見 つける ために、前問の結果を利用せよ。円板の質量はｍ、半径はＲ。円板面に垂直な軸に関する慣性モーメントは既知とする。得られた結果を、問題１．１６５の結果と比較せよ。
１．１ ７１． 長さａ＝２０．０ｃｍ、幅ｂ＝１０．０ｃｍ、厚さｃ＝５．００ｃｍの一様な板がある。 板の質 量はｍ＝２．７０ｋｇ。座標の原点は、板の中心に置く。ｘ軸は辺ａに平行に、ｙ軸は辺ｂ に平行 に、ｚ軸は辺ｃに平行とする。この座標系に対する板の慣性テンソルの成分を求め、テンソルとして記述せよ。
１．１７２． ベクトルａは、成分ａ ｘ ＝１，ａ ｙ ＝２，ａ ｚ ＝３である。２階のテンソルＴの成分は全て同じでＴ ｉｋ ＝１。ベクトルａとテンソルＴを積の結果得られるベクトルｂの成分を求めよ。
１．１７３． 成分がａ ｘ 、ａ ｙ 、ａｚの任意のベクトルａと、以下の表で定義されている２階のテンソルＥがある。
１ ０ ０
Ｅ＝
０ １ ０
０ ０ １
この ような テンソルは、単位テンソルと呼ばれる。ベクトルａとテンソルＥの積（Ｅａ）の結果得られるベクトルｂを求めよ。
１．１ ７４． 半径Ｒ＝１０．０ｃｍ、質量ｍ＝２５．０ｋｇの一様な球において、座標の原点を球の中心においたとき、球の慣性テンソルの成分を計算し、テンソル自身を書け。
１．１ ７５．
合か。

回転する物体の運動量モーメントＭと、角速度ωが、共線となるのはどのような場

１．１ ７６．

回転している物体の運動方程式が、Ｉω＝Ｎで記述されるのはどのような場合か。

１．１７７．
場合か。

回転している物体の運動エネルギーが、Ｔ＝Ｉω ２ ／２で表記されるのはどのような

１．１ ７８． 問題１．１７１．での板が、板の中心を通っている軸の周りで回転をする。角速度の成分は、ω ｘ ＝ω ｙ ＝ω ｚ ＝１．００ラジアン／ｓ。以下を求めよ。
（ａ）板の運動量モーメントの大きさＭと、ベクトルωと、ベクトルＭの間の角度α。
（ｂ）板の運動エネルギーＴ。
１．１ ７９． 図１．３１参照。直径の両端に常に位置している同じ質量ｍの２つの粒子が、半径ｒの円周を、速度ｖ １，ｖ ２ で動いている。ｖ １ とｖ ２ の大きさは同じ。ｖ １（ｔ）＝ｖ ２（ｔ）＝ｖ（ｔ）。
（ａ） 任意の 点Ｏに対する、粒子の総運動量モーメントＭを求めよ。Ｏ点は必ずしも円の面内にはない。粒子を連結している直径が回転している角速度ω（ｔ）でＭを表記せよ。
（ｂ）点Ｏの選択位置に、Ｍは依存しているか。
１．１ ８０． 半径Ｒ，質量ｍの一様な球が、球の中心を通る軸の周りに、角速度ωで回転をしている。図１．３２参照。任意の点Ｏに関する球の運動量モーメントＭを求めよ。
- 21 -

１．１ ８１． 任意形状の物体が、一様な重力場の中で、回転をしながら落下をする。媒質の抵抗はない ものと する。物体の固有の運動量モーメントはどのように振る舞うか。問題１．１２３を参照せよ。
１．１ ８２． 質量ｍ、半径Ｒの一様な円柱が、滑ることなく、水平面上で転がっている。図１．
３３参照。円柱の中心の速度はｖ ０ 。点１，２，３に関する、円柱の運動量の大きさを求めよ。これらの点は、円柱の中心を通っていて、円柱に垂直な面内にある。

１．１８３． 地球が自身の軸の周りに回転をしているものとして、地球の運動量モーメントＭ ０ を計算せ よ。得 られた結果を、太陽の周りを地球は運動しているものとしたときの運動量モーメント
Ｍと比較せよ。地球は一様な球と見なし、地球の軌道は円とする。
１．１ ８４． ？ 水平に配置されている、半径Ｒの一様な円柱が、円柱の母線の１つに一致している軸の周りに摩擦無しで回転している。（状況が良く理解できない）（ａ）円柱の角加速度βの大きさが、最大と最小となる円柱の状態を示せ。
（ｂ）角加速度βの最大値と最少値を求めよ。
１．１ ８５． 図１．３４参照。水平な机の上に、２つの物体が置いてある。２つの物体は摩擦無しで机 面を滑 ることができる。２つの物体は重さが無く伸びない糸で連結されている。滑車に渡されてい る糸は 、質量ｍ＝０．５００ｋｇの錘と、物体２を連結している。滑車は、一様な厚さの円柱でできている。物体の質量と滑車の質量は同じで、Ｍ＝１．００ｋｇ。
（ａ）滑車は摩擦無しで回転し、糸は滑車を滑らないものと見な し 、 物体 の 加 速 度ｗ 、 ２ つの 物 体 を 連結 し て い る糸 の 張 力Ｆ １
２、 物 体 ２ か ら 滑 車 ま で の 部 分 の 糸 の 張 力 Ｆ ２、 滑 車 か ら 錘 ｍ ま
での部分の張力Ｆ ｍ 、を求めよ。
（ｂ）滑車は回転をせず、糸は滑車を摩擦無しで滑る、と仮定
して、同じ物理量を求めよ。
得られた２つの結果を比較せよ。
１．１ ８６． 地表近傍にある、任意形状の物体のポテンシャルエネルギーは、ｍｇｈであることを証明 せよ。 ここで、ｍは物体の質量、ｈはゼロポテンシャルとした準位からの、物体の質量中心の高さ。ｇは地表付近の重力加速度。
１．１８７． 長さｌ＝１．００ｍ、質量ｍ＝０．６ｋｇの細い棒が、棒に垂直な水平軸の周りに、摩擦無 しで回 転をすることができる。水平軸は棒の中心から距離ａ＝０．１ｍ離れている。棒を水平状態においてから、初速度ゼロで、突くこと無しに放つ。以下を求めよ。
（ａ）棒の角加速度β ０ と、時間の最初時に、棒に作用する力Ｆ ０ 。
（ｂ）棒が平衡状態を通過した瞬間における、角速度ωと、棒に作用している力Ｆ。

- 22 -

１．１ ８８． 質量ｍ＝０．２ｋｇ、長さｌ＝１．０ｍの細い棒が、垂直面内で、棒の端を通っている水 平軸の 周りを回転をする。軸の摩擦は、大きさ一定の回転モーメントＮを形成している。棒と垂直 線のな す角をφとし、棒が最上位に位置した位置から目盛りをとる座標系を採用する。この角度がφ ０ ＝１０．０°の時、棒が自由に回転をし始める。以下を求めよ。
（ａ）棒が最下点を通過したときにおける、棒の角速度ω。
（ｂ）この瞬間における、棒の運動量モーメントＭの大きさ。
１．１ ８９． 高さｈ＝３．０ｍ、質量ｍ＝５０．０ｋｇの柱が、垂直な状態から地面に倒れる。
支点に 対する 柱の運動量モーメントの大きさＭと、地面に衝突した瞬間時の、柱の上端の速度ｖを求めよ。
１．１９０． 質量ｍ＝０．１２ｋｇ、長さｌ＝１．００ｍの物
差しが、滑らかな机の面上においてある。図１．３５参照。物差
しの中心から距離ａ＝４０．０ｃｍ離れている点に、机の面に水平に打撃を与える。これにより、物差しには、運動量ｐ＝０．０
７５ｋｇ・ｍ／ｓが与えられる。打撃は瞬間的なもので、摩擦はないものとする。
（ ａ） 打 撃 を 「感 じ な い」 点 Ｏ の 位置 ま で の距 離 ｘ は 物差 しの中 心から幾らとなるか。
（ｂ）打撃後、物差しはどのように動くか。
１ ．１ ９ １ ． 図 １ ． ３６ 参 照 。 一様 な 球 が、 水 平 と 角度 α＝３ ０度をなしている面上にある。
（ １） 摩 擦 係 数ｋ が 幾 らの と き 、 球は 滑 る こと 無 し に 斜面 を転が るか。
（２）ｋ＝０．１と仮定して、（ａ）球の動きを述べよ。（ ｂ ） 球 が 動 き 始 め て か ら 、 時 刻 ｔ ＝ １ ． ０ ｓ 後 に お け る 、 球 の Ａ 点 、 Ｂ 点 、 Ｃ 点 の 速 度 を 求 めよ。
１．１９２． 一様な円柱に、初期運動量を与える。その結果、斜面上を上方に速度ｖ ０ ＝３．０ｍ／ｓで滑ること無しに転がり始める。斜面は水平と角度α＝２０度をなしている。
（ａ）円柱は停止するまでの時間ｔ １ は幾らか。
（ｂ）円柱はいかほどの高さｈまで登り上がるか。
（ｃ）円柱は出発の状態まで下に転がり落ちるために丘ほどの時間ｔ ２ を要するか。
（ｄ）出発位置までに達したときの円柱の速度ｖは幾らか。
得られた結果を、問題１．６４の結果と比較をせよ。
１．１ ９３． 問題１．１９２を、転がり摩擦の力のモーメントの大きさががＮ摩擦＝０．１Ｎ・
ｍとい う仮定 のもとで解け。円柱の質量はｍ＝１．０ｋｇ、半径はＲ＝０．１０ｍ。更に以下の問題も解け。
（ｅ）転がり摩擦力は、全行程（登りと下り）で如何ほどの仕事Ａをなすか。
１．１９４． 図１．３７参照。水平面上に、糸巻きが置いてある。その質量はｍ＝５０．０ｇ、軸に対する慣性モーメントは Ｉ＝ ５ ． ０ ×１ ０ － ６ ｋ ｇ ・ｍ ２ 。糸 巻 き に 重さ が 無 く伸 び ない
糸を巻き付ける。糸の巻部の半径はｒ＝２．０ｃｍ、糸巻きの外縁の半径はＲ＝３．０ｃｍ。糸巻きと平面の間の摩擦係数は
ｋ＝０．２。糸を力Ｆで引く。
（１）糸巻きが、滑らずに、面を転がるための力Ｆに対する条件を見いだせ。
- 23 -

（ ２ ） 力 Ｆ と 、 角 度 α が 、（ ａ ） Ｆ ＝ ０ ． １ ２ ８ Ｎ 、 α ＝ ３ ０ ． ０ 度 、 （ ｂ ） Ｆ ＝ ０ ． １ ０ Ｎ 、
α＝４８．２度、 （ｃ）Ｆ＝０．１０Ｎ、α＝３０．０度、 （ｄ）Ｆ＝０．１０Ｎ、α＝６０．
０度、 の場合 、糸巻きはどのように動くか。全ての場合に於いて、糸巻きの軸の加速度のｘ軸への射影ｗ ｘ を求めよ。
１．１９５． 図１．３８参照。質量ｍ＝１．０ｋｇの一様な円柱が、円柱に巻かれた重さのない糸で、２箇所で水平に吊されている。円柱を突くこと無しに放つ。
（ａ）円柱が高さｈ＝５０．０ｃｍ落下するまでの時間ｔはいくらか。
（ｂ）円柱を落下させたとき、糸の各々は、如何ほどの張力Ｆを受けるか。
１．１９６． 図１．３９参照。半径Ｒの滑車は、摩擦を受けながら自身の軸の周りに回転をすることができる。この摩擦力は滑車の回線速度に依存しな いで 回 転 モ ーメ ントＮ 摩 擦 で表せ る。重 さの無く 伸びな い糸の 一端を 、滑車に固定して、糸を滑車に巻き付け、糸の他端に、質量ｍの錘をぶら下げる。
錘と突くことなく放つ。錘は落下し始め、滑車は回り始める。滑車の運動開
始から、時間ｔの経過後、滑車の軸に対する、この物体系の運動量モーメン
トＭ（ｔ）を求めよ。
１．１９７． 前問に引続く。質量ｍの錘の速度がｖとなったとき、滑車の軸に対する系の運動量モーメントと、系の運動エネルギーＴを求めよ。滑車の慣性モーメントはＩとする。
１．１ ９８． ２枚の同形の円板がある。その内の１枚は、自身の中心を通っている垂直に固定されている軸の周りに摩擦無しで回転をする。この円板は最初は回転をしていない。２つめの円板は、
角速度ω ０ で回転をさせる。前者の円板の上に、後者の円板を水平状態で落とす。その時、円板の各々の端 が、他 方の円板の中心と一致するように落とす。２つの円盤が接触した瞬間、円板同士は密着する。以下を求めよ。
（ａ）形成された系の回転の角速度ω。
（ｂ）２つの円板系の運動エネルギーはどのように変化をしたか。
１．１ ９９． 質量ｍ＝０．８ｋｇ、長さｌ＝１．８０ｍの水平に置かれている木製の棒が、棒の中心を 通って いる垂直軸の周りに、回転をすることができる。回転軸と、棒に垂直に飛んできた速度ｖ＝ ５０． ０ｍ／ｓ、質量ｍ’＝３．０ｇの弾丸が、棒の端に命中し、棒にめり込む。棒の回転をし始めるときの角速度ωを求めよ。
１．２ ００． 同じ質量と同じ速度を持ったプラスチック弾として、問題１．１９９を解く。衝突は完全弾性とする。以下を求めよ。
（ａ）棒の角速度ω。
（ｂ）衝突後のプラスチック弾の速度ｖ’。
両方の結果を比較せよ。
１．２ ０１． 質量ｍ、半径Ｒの水平に置かれた円盤は、自身の中心を通っている垂直軸の周りに回転することができる。円盤の端に、質量ｍ’の人が立っている。最初、円板と人は静止している。
そして、使途が円盤の端に沿って、円板に相対的に速度ｖ’で歩き始める。不動の観測系に対して、円板は幾らの角速度ωで回転をするか。円板の半径Ｒに対して、人の大きさは無視できる。
１．２ ０２． 物体が角速度ω＝ω（ｔ）で、ｚ軸の周りに回転をしている。物体に、力のモーメ
ントＮ ｚ ＝Ｎ ｚ （ｔ）を作用させる。時間ｔ １ からｔ ２ の間に、力によって物体に付与された仕事を表- 24 -

記する式を求めよ。
１．２ ０３． 質量ｍ＝１０．０ｋｇの一様な円柱が、水平に配置され、軽くて伸びない糸が巻かれてい る。糸 の端には質量ｍ’＝１．０ｋｇの錘が付いている。この錘により、円柱が摩擦無しで自身の 軸の周 りに回転をする。運動開始後、時間ｔ＝３．５３ｓ後における系の運動エネルギーを求めよ。
１．２ ０４． 緯度から引き上げた水の入ったバケツを落とした。巻き上げ機を回し、バケツは落下 し た 。 巻 き 上 げ 機 の 支 点 で の 摩 擦 は 一 定 の 回 転 モ ー メ ン ト Ｎ ＝ ０ ． １ ７ ０ Ｎ ・ ｍ で あ る 。、 水 の入っているバケツの質量は１３．２ｋｇ。 巻き上げ機の質量はｍ’＝４３．１ｋｇ、半径はｒ＝１２．８ｃｍ。井桁から井戸内部の水面までの距離はｈ＝７．０ｍ。以下を求めよ。
（ａ）巻き上げ機の回転角速度ωは時間と共にどのように変化するか。
（ｂ）バケツが落下したときの糸の張力Ｆ。
（ｃ）井戸内の水にバケツが触れるまでの時間ｔ。
（ｄ）落下の最終時におけるバケツの速度ｖ。
（ｅ）バケツの落下中に於いて、摩擦のなした仕事Ａ。
１．２０５． 図１．４０参照。水平に配置された半径Ｒの一様な円柱
が、自身の幾何学軸と一致する回転軸の周りに回転をする。軸の摩擦は、回転速度に依存しない力のモーメントＮ摩擦で決まる。円柱に、質量ｍ’の質点を固定する。質点を軸と同じ水準としてから、突くことなく放つ。以下を求めよ。
（ａ）円柱が回転をするときのｍ’の値。 （ ？ 回転をするのであろうか）（ｂ）円柱が１／４だけ回転し、停止するときのｍ’の値。
１．２ ０６． 質量ｍ、半径Ｒの円板が、最初、自身の軸の周りに、角速度ωで回転している。外力の作用で、円盤が停止する。外力のなした仕事Ａは如何ほどか。
１．２ ０７． 質量ｍ、半径Ｒの一様な円柱が、自身の軸の周りに回転をしている。円柱の角速度は、時間ｔの間に、ω １ からω ２ に変わる。円柱に作用した力は、いかほどの平均仕事率＜Ｐ＞を出しているか。
１．２ ０８． ある装置の回転子部に、円盤形ブレーキが備わっている。このブレーキは、半径Ｒ＝１５ ０ｍｍ の２つの円板からできている。その１つは、回転子の端に固定されている。もう１つは、回 転を奪 うものであり、力Ｆ＝１００Ｎで、前者の円板に押しつけることができる。回転子が速度ω ＝５０ ．０ラジアン／ｓで慣性で回転しているとき、ブレーキをかける。支点部の摩擦は無視でき る。回 転子と、それに固定されている円板を含んだ慣性モーメントは、Ｉ＝０．６２８ｋｇ・ｍ２ 。円板 の表面の間の摩擦係数は相対速度に依存せず、ｋ＝０．２５。力Ｆは円板面に一様に作用するものと見なし、何回転Ｎで回転子が停止するは、求めよ。
１．２ ０９． 半径Ｒ＝８．０ｃｍの円板でできているジャイロスコープが、角速度ω＝３００ラ
ジアン ／ｓで 、自身の軸の周りで回転をしている。ジャイロスコープの才差の角速度はω’＝１．
０ラジ アン／ ｓ。ジャイロスコープの支点から質量中心までの距離ｌを求めよ。ジャイロスコープの軸の慣性モーメントは無視する。
１．２１０． 慣性モーメントがＩ＝４．９０５×１０ －３ ｋｇ・ｍ ２ である質量ｍ＝１．０００ｋｇのジャ イロス コープが、角速度ω＝１００．０ラジアン／ｓで回転をしている。支点から質量中心までの距離はｌ＝５．００ｃｍ。垂直線とジャイロ軸の間の角度はα＝３０．０°。以下を求めよ。
（ａ）才差の角速度ω’の大きさ。
（ｂ）ジャイロスコープの角加速度βの大きさ。
- 25 -

１．２１１． ジャイロスコープの支点に座標の原点を置き、垂直上方に、ｚ軸を向ける。
（ａ） 前問で 、ジャイロスコープの角加速度βを求めよ。最初の瞬間時、ジャイロスコープの軸は（ｘ、ｚ）平面内にあるものとする。
（ｂ）スカラー積ωβを計算し、ベクトルβの方向を定めよ。
１．２ １２． 角速度ω＝１００ラジアン／ｓで、対称軸の周りに回転をしているジャイロスコー
プが、 地球の 引力場中で、角速度ω’＝１．００ラジアン／ｓの才差運動をする。垂直線とジャイ
ロ軸の 間の角 度はα＝３０．０°。対称軸とジャイロスコープの角速度Ωの方向の間の角度φを求めよ。 問題１ ．４９参照。ゼロ近似に於いて、φを０に等しいと見なす、漸近近似方で、この問題
を解け。

１．８．

万有引力

１．２１３． １７９８年に、キャベンデッシュは以下と同じような方法で、重力定数γを定めた。
小さい 鉛球の 質量はｍ＝０．７２９ｋｇ、大きい鉛球の質量はＭ＝１５８ｋｇ。小さい球は、鉄線で吊さ れた軽 い天秤棒に固定された。その長さは、球の中心間で測ってｌ＝２１６ｃｍ。鉄線の直径は、 ０．６ ｍｍ、長さは約１ｍ。小さい球の中心と、大きい球の中心間の距離ｒが３００ｍｍの等しく なった とき、鉄線は角度α＝３９．６”捻れた。鉄線の捻れ角度と、加えた回転モーメントの間の比例係数ｋは、実験で定められ、１．０４×１０ ３ ラジアン／（Ｎ・ｍ）。γ値を求めよ。
１．２ １４． 質量ｍ＝１．００ｋｇの２個の同形の球は、それらの中心の距離がｒ＝１．００ｍのとき、お互いに如何ほどの力Ｆで引き合うか。
１．２ １５． ２つの同形の球が接触をして、お互いに力Ｆで引き合っている。両方の質量をｎ倍大きくすると、引き合う力はどのように変化するか。球は同じ材料で作られているものとする。
１．２ １６． 長さｌ、質量Ｍの非常に細い直線棒がある。棒の軸に垂直で、棒の中心を通る直線
上、距離ｂの所に、質量ｍの粒子がある。
（ａ）ｂ＝ｌ＝２ａとする。棒が粒子に及ぼしている力Ｆを求めよ。
（ｂ）ｂ≫ｌの場合を考察せよ。
（ｃ） お互い に距離ｂ＝２ａ離れている２つの質点Ｍ，ｍが相互作用する力Ｆ’と、先きのＦを比較せよ。
１．２１７．
を解け。

粒子が、棒の軸上、棒の中心から距離ｂ＝ｌ＝２ａにあるとして、問題１．２１６．

１．２ １８． 質量Ｍ、半径Ｒの非常に細いリングがある。リングの面に垂直で、リングの中心を通っている直線上に、リングの中心から距離ｘの所に、質量ｍの粒子がある。以下を求めよ。
（ａ）粒子とリングの相互作用ポテンシャルエネルギーＵ（ｘ）。
（ｂ）リングから粒子に作用している力Ｆ ｘ 。以下の２つの方法で、力を計算せよ。（１）基本力の経路積分。（２）Ｕ（ｘ）の式の利用。
（ｃ）ｘ≫Ｒの場合を考察せよ。
１．２ １９． 半径Ｒの非常に薄い円板がある。円板の面密度はρ。円板の面に垂直で、円板の中心をとっている直線上に、円板からの距離ｂの位置に、質量ｍの粒子がある。以下を求めよ。
（ａ）円板から粒子に作用している力Ｆ。
（ｂ）どのような場合に、力Ｆは、Ｒ→∞として得られる自身の限界値Ｆ ∞ と、１％以下だけ異なる- 26 -

か。
１．２ ２０． 面密度σの、非常に薄くて無限大の板がある。板から距離ｂの所に質量ｍの粒子がある。
（ａ）板が粒子に及ぼしている力Ｆの大きさを求めよ。
（ｂ）Ｆを表記している式にはどのような特徴があるか。
（ｃ）厚さが無視できるこの板を、体積密度ρの物質で作られた厚さｄの無限の板で置き換えると、結果はどのように変わるか。
１．２２１． 厚さがｄ＝０．１０ｍ、密度がρ＝１０．０ｇ／ｃｍ ３ の無限で一様な板がある。この板の近傍に存在する質量ｍ＝１．０ｋｇの物体に、この板は如何ほどの力Ｆを及ぼすか。
１．２２２． 密度がρ＝１０．０ｇ／ｃｍ ３ 、厚さがｄ＝０．１０ｍの２つの同形の無限の一様平板同士は、単位面積当たり如何ほどの力Ｆで引き合うか。
１．２ ２３． 線密度がλである非常に細い一様直線棒がある。この棒から距離ｂの所に、質量ｍの粒子がある。
（ａ）棒が粒子に及ぼしている力Ｆの大きさを求めよ。
（ｂ）質量ｍの粒子から、距離ｂにある粒子の質量Ｍが幾らならば、それに同じ力を及ぼすか。
１．２ ２４． 立体角ｄΩと、半径Ｒの球上に、それで切り出される面素ｄＳには、どのような関係があるか。ただし、球の中心と立体角の頂点は一致するものとする。
１．２ ２５． 球面座標で、半径Ｒの球面の面素ｄＳを表記せよ。球の中心は座標の原点と一致しているとする。
１．２２６．

球面座標で、立体角ｄΩを表記せよ。立体角の頂点は座標の原点とする。

１．２２７．

一様な球殻の内部にある質点が受ける重力Ｆを求めよ。

１．２ ２８． 一様な球殻内部に、小さい大きさの球殻がある。２つの球殻の中心は一致していな
い。球殻の間の相互作用力Ｆは幾らとなるか。
１．２ ２９． 非常に薄い層からできている半径Ｒ、質量Ｍの半球がある。半球の中心に、質量ｍの粒子がある。半球が粒子に及ぼしている力Ｆを求めよ。
１．２ ３０． 非常に薄い球殻と、質量ｍで、球殻の中心から距離ｒの所にある粒子の相互作用ポ
テンシャルエネルギーＵ（ｒ）をもとめよ。球の質量はＭ、半径はＲ。以下の場合を考察せよ。
（ａ）
ｒ＜Ｒ。 （ｂ）ｒ＞Ｒ。
１．２ ３１． 前問の結果を利用し、熱い球殻と、球殻の中心から距離ｒの所にある質量ｍの間の相互作用ポテンシャルエネルギーＵ（ｒ）を求めよ。球殻の質量はＭ、内半径はＲ １ 、外半径はＲ ２。
（１）以下の場合を考察せよ。（ａ）ｒ＜Ｒ １ 。 （ｂ）ｒ＞Ｒ ２ 。
（ ２ ） 球 殻 側 か ら 粒 子 に 作 用 し て い る 力 Ｆ に つ い て 、（ １ ） ａ の 答 え の 基 礎 に 、 ど の よ う な 結 論 をなすことができるか。
１．２３２．

どのようなデータで、（ａ）地球、（ｂ）太陽、

１．２３３．

天 文 学 の デ ー タ 、 物 理 定 数 を 利 用 し て 、（ ａ ） 地 球 、- 27 -の質量を決められるか。
（ｂ）太陽、の質量ｍと平均密度＜ρ＞を求めよ。
１ ． ２ ３ ４ ． 以 下 の 組 で 、 お 互 い に 引 き 合 っ て い る 力 Ｆ を 求 め よ 。（ ａ ） 地 球 と 太 陽 、月と地球。これらの力を比較せよ。

（ｂ）

１．２ ３５． 地球は円軌道を動いていると見なし、太陽によって地球に与えられている加速度ｗを求めよ。ｗとｇを比較せよ。
１．２３６． 地球における第一宇宙速度ｖ １ 、則ち、地球の衛星となるために物体に与えなければならない速度、を求めよ。
１．２３７． 地球における第二宇宙速度ｖ ２ 、則ち、物体が地球の引力に打ち勝ち、地球を永遠に放棄できるために、物体に与えなければならない速度、を求めよ。ｖ ２ とｖ １ を比較せよ。
１ ． ２ ３ ８ ． 地 球 か ら 遠 方 の 距 離 へ 、 物 体 が 遠 ざ か る の は ど の よ う な 場 合 か 。（ ａ ） 速 度 １ ０ ｋ
ｍ／ｓ で垂直 上方に打ち上げたとき。 （ｂ）速度２ｋｍ／ｓで、水平と角度５°をなして、打ち上げたとき。空気抵抗は無視する。
１．２ ３９． 軌道半径Ｒが幾らのとき、衛星が、赤道面上で動き、全時間、地表面上空の１点にいられるか。得られたＲの値と、地球の半径Ｒ 地球 を比較せよ。
１．２ ４０． 太陽の周りを回る惑星の軌道半径Ｒと軌道周期Ｔの関係を求めよ。惑星は円軌道上を動くものとする。
１．２４１． 地球の軌道半径はＲ 地球 ＝１４９．６×１０ ６ ｋｍ、火星の軌道半径はＲ 火星 ＝２２７．
８×１０ ６ ｋｍ。太陽を回る火星の回転周期Ｔ 火星 を、地球年の単位で求めよ。
１．２４２． 地球を一様な球と見なし、地球の自転は無視して、以下を求めよ。
（ａ）地球表面からの高さｈの関数として、自由落下の加速度ｇ（ｈ）。
（ｂ） ｈが、 １００ｋｍ、１０００ｋｍ、１００００ｋｍの点におけるｇ（ｈ）の値。得られた値を地表近傍の重力加速度ｇで表記せよ。
１．２４３．
（ａ） 地表か ら高さｈにある、質量ｍの物体のポテンシャルエネルギーＵを求めよ。高さｈ＝０におけるポテンシャルエネルギーはゼロとする。
（ｂ）ｈ≪Ｒ地球半径において正しい、Ｕに対する近似式を求めよ。
１．２４４． 速度ｖ ０ ＝５．２０×１０ ３ ｍ／ｓで、水平と角度α＝４５．０°をなし、地表から物体を発射する。空気抵抗と地球の自転を無視して、以下を求めよ。
（ａ）物体が到達する地表からの高さｈ。
（ｂ）軌道の最高点における物体の速さｖ。
（ｃ）軌道の頂点における曲率半径Ｒ。
１．２ ４５． 地球を一様な球と見なし、空気抵抗は無視する。小さい物体を地軸に沿って穿った
小さな溝に落とす。小さい物体はどのように運動をするか。
１．２４６． 前問の条件下で、以下を求めよ。
（ａ）地球の中心からの距離ｒの関数として、物体の加速度ｗ（ｒ）の大きさ。
（ｂ）ｒの関数として物体の速度ｖ（ｒ）の大きさ。
- 28 -

（ｃ）地球の中心に達した瞬間における物体の速度ｖ（０）。ｖ（０）を第一宇宙速度ｖ １（問罪１．
２３６参照）と比較せよ。
（ｄ） 物体が 入口まで戻ってくるまでの時間τ。このτを、第一宇宙速度で地球を１周する物体の要する時間ｔ １ と比較せよ。
（ｅ）物体の時間平均速度＜ｖ＞ 。この値をｖ（０）と比較せよ。
１．２４７． 問題１．２４５の物体に関して、以下を求めよ。
（ ａ ） 地 球 の 中 心 か ら の 距 離 ｒ の 関 数 と し て の ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー Ｕ （ ｒ ）。 地 球 か ら 無 限 遠の箇所で、ポテンシャルエネルギーはゼロと定義する。
（ｂ）地球の中心で物体が持つポテンシャルエネルギーＵ（０）。Ｕ（０）と、地表近傍でのＵ（Ｒ）
を比較せよ。
１．２４８． 太陽の中心を通り、地球の軌道面に垂直な軸を持つ回転観測系を適用しよう。系は、
地球の回転速度より２倍大きい角速度で、地球と同じ方向に回転をする。
（ａ） 太陽に 対する地球の運動を、この系で考察するに於いて、どのような力を考慮する必要があるか。
（ｂ）これらの力の大きさを計算し、向きを示せ。それらを、太陽に対する地球の引力Ｆ ｇ と比較せよ。
１．２ ４９． 赤道に於いて、地表近傍にある質量ｍの小さい物体が、地球を自分自身へ引きつけている力Ｆを求めよ。赤道における自由落下の加速度は既知であり、ｇ 赤道 とする。

１．９．

振動運動

１．２ ５０． 粒子がｘ軸に沿って、式ｘ＝ａ・ｃｏｓΩｔに従って振動をする。グラフを描け。
（ａ）時間ｔに依存したｘ、ｄｘ／ｄｔ、ｄ ２ ｘ／ｄｔ ２ 。
（ｂ）ｘに依存したｄｘ／ｄｔ、ｄ ２ ｘ／ｄｔ ２ 。
１．２５１． 振幅ａ、周期Ｔの調和振動を粒子が行う。以下を求めよ。
（ａ）粒子の変位が、０からａ／２まで変化するにかかる時間ｔ １ 。
（ｂ）粒子の変位が、ａ／２からａまでに変化するに要する時間ｔ ２ 。
１ ． ２ ５ ２ ． 粒 子 が 、 ｘ 軸 に 沿 っ て 、 式 ｘ ＝ ０ ． １ ・ ｓ ｉ ｎ （ ６ ． ２ ８ ｔ ）（ ｍ ） に 従 っ て 振 動を し て い る 。 以 下 の 場 合 に つ い て 、 粒 子 の 速 度 の 大 き さ の 平 均 値 ＜ ｖ ＞ を 求 め よ 。（ ａ ） 振 動 の 周
期Ｔについて。（ｂ）最小のＴ／８について。（ｃ）２番目のＴ／８について。得られた値を比較せよ。
１．２ ５３． 問題１．２５２の粒子について、以下の場合について、速度ベクトルの平均値＜ｖ＞ を 求 め よ 。（ ａ ） 振 動 周 期 Ｔ に つ い て。（ ｂ ） 最 初 の Ｔ ／ ４ に つ い て。（ ｃ ） ２ 番 目 の Ｔ ／ ４ に ついて。
１．２５４．
よ。

調和振動の変位の振幅ａと速度の振幅ｖ ｍ が既知とする。この振動の周波数ωを求め１．２５５． 調和振動の速度の振幅ｖ ｍ と加速度の振幅ｗ ｍ が既知とする。この振動の振幅ａと周波数ωを求めよ。
１．２ ５６．

水平基台が、垂直方向に、調和振動ｘ＝ａ・ｃｏｓωｔを行う。基台の上に、完全- 29 -

非弾性物質でできているパットを置く。
（ａ）どのような条件下で、パットは基台から離れるか。
（ｂ） 基台か らパットが離れた瞬間において、基台はどのような状態にあり、どのような方向に動いているか。
（ｃ） ａ＝２ ０．０ｃｍ、ω＝１０．０／ｓとする。パットは、基台の平均位置から測って、いかほどの高さｈまで上昇するか。
１．２５７． αからα＋ｎπの間に於いて、ｓｉｎ ２ ｘとｃｏｓ ２ ｘの平均値を求めよ。ここで、αは任意の角度、ｎは整数。
１．２ ５８．
なるか。

調和振動に於いて、振動周期に等しい時間の間における準弾性力の仕事Ａは幾らと

１．２５９．
（ａ）一様な調和振動子の座標値ｘと、運動量ｐ ｘ ＝ｍｘを結びつける式を求めよ。振動子の質量はｍ、周波数はω、振動振幅はａ。
（ｂ）これらの式で記述される曲線を描け。
（ｃ）この曲線で内の面積Ｓと振動子のエネルギーＥの関係を述べよ。
１．２ ６０． 問題１．９２．において、粒子を安定状態から動径方向に変位させたとき生ずる、粒子の微小振動の周期ωを求めよ。粒子の質量はｍとする。
１．２６１．
（ａ）数学振り子の振動周期が１秒となるのは、長さｌが幾らの時か。
（ｂ）長さｌの数学振り子の周期Ｔは幾らとなるか。
１．２６２．棒の１端で吊された細い棒が、物理振子である。
（ａ）この振り子の振動周期が、１秒となるのは棒の長さが幾らのときか。
（ｂ）棒の長さが１ｍの時、振動周期Ｔは幾らとなるか。
１．２６３． 長さｌの細い棒の物理振り子がある。この振り子が最大周波数で振動するためには、中心から幾らの距離ｘの所で吊す必要があるか。この周波数ω最大は幾らとなるか。
１．２６４． 振動φ＝φ ｍ ｃｏｓωｔをなす数学振り子の糸の張力Ｆは、時間に関してどのような式に従って変化をするか。
１．２ ６５． 動いていないエレベータ室内で、振り子が振動をする。ロープが切断した結果、エレベータは加速度ｇで落下をし始める。ロープが切断した瞬間に、エレベータ内の振り子が、（ａ）
最 上 位 端 に あ っ た と き 、（ ｂ ） 平 衡 状 態 を 通 過 通 で あ る と き 、 振 り 子 は エ レ ベ ー タ 内 で ど の よ う な
動きをするか。
１．２ ６６． エレベータ室内に、振り子が吊されている。その振動周期は、エレベータが停止しているときにはＴ ０ 。
（ａ）エレベータが加速度３ｇ／４で降下するとき、振り子の振動周期Ｔは幾らとなるか。
（ｂ）振り子の振動周期がＴ ０ ／２となるためには、エレベータは如何ほどの加速度ｗで上昇する必要があるか。
１．２６７． 飛行機の室内に、振り子が吊されている。飛行機が加速度無しに飛行しているとき、振り子は周波数ω ０ で振れている。
- 30 -

（ａ） 飛行機 が加速度ｗで飛行し、その飛行方向が、垂直線から下方に角度αをなしているとき、振り子の周波数ωは幾らとなるか。
（ｂ）ｗ＝ｇ、α＝π／２として、ωを求めよ。
１．２ ６８． 腕の長さｌが地球の半径Ｒと等しい、数学振り子の振動周波数Ｔを求めよ。得られた結果を、問題１．２４６の答えと比較せよ。
１．２ ６９． 質量中心が、支点の上にあるように、物理振り子が配置してある。この状態から、初速度 ゼロで 、摩擦無しで、振り子は運動をし始める。最下点を通過したときの振り子の角速度はφ最大となる。この振り子の微小振動の固有周波数ω ０ を求めよ。
１．２ ７０． 質量ｍ＝５０．０ｇの球が、弾性係数ｋ＝４９．３Ｎ／ｍのバネに吊されている。
バネが 伸びて いない状態まで球を持ち上げ、突くことなく放つ。摩擦及びバネの質量は無視する。
（ａ）発生する振動の周期Ｔと振幅ａを求めよ。
（ｂ） 下方向 にｘ軸を取り、球の初期状態にｘ＝０の点を配置する。球の運動方程式を記述せよ。
１．２ ７１． 図１．４１参照。摩擦を無視して、Ｕ字管に注がれている水銀の微小振動の周波数
ωを求めよ。Ｕ字管の内断面積はＳ＝０．５０ｃｍ ２ 。水銀の質量はｍ＝１３６ｇ。
１．２ ７２． 図１．４２参照。木槌が、半径Ｒ＝４．０ｃｍの頭部と、長さｌ＝９０．０ｃｍの握りからできている。頭部の質量はｍ １ ＝０．８０ｋｇ、握り部の質量はｍ ２ ＝０．６０ｋｇ。この
木槌を、２つの平行な角材の上に置く。この系の微小振動の周期Ｔを求めよ。
１．２ ７３． 図１．４３参照。質量Ｍ＝２０．０ｋｇの丸太を、各々長さｌ＝１．０ｍの２本の紐で吊す。速度ｖ＝５００ｍ／ｓで飛んできた質量ｍ＝１０．０ｇの弾丸が、丸太の端に衝突する。
この系に発生する振動の振幅φ ｍ と周期Ｔを求めよ。摩擦は無視する。

１．２ ７４． 質量ｍ＝２．０ｋｇの球が、２個の直列に接続されたバネに吊されている。図１．４
４参照。バネの弾性係数は各々ｋ １ ＝１０００Ｎ／ｍ、ｋ ２ ＝３０００Ｎ／ｍ。バネの質量と摩擦を無視する。以下を求めよ。
（ａ）球の微小振動周波数ω。
（ｂ） 両方の バネが伸びていない準位に球を保持し、そして突くことなく放ったとき、発生する振動の振幅ａ。
１．２ ７５． 図１．４５参照。一様円柱の滑車は摩擦無しで軸の周りに回転をする。滑車の質量はＭ＝ ５．０ ｋｇ。バネの弾性係数はｋ＝１０００Ｎ／ｍ。バネの質量戸、滑車に渡された紐の質
量は無 視でき る。紐に吊されている錘の質量はｍ＝１．０ｋｇ。紐は滑車を滑らないものとして、以下を求めよ。
- 31 -

（ａ）装置の微小振動の周波数ω。
（ｂ）振動の振幅がａ＝５．０ｍｍとなったとき、滑車から受ける左側の紐の最大張力Ｆ １ｍ 、及び右側の紐の最大張力Ｆ ２ｍ 。
１．２７６． 図１．４６参照。質量ｍ １ ，ｍ ２ の２つの球が、細い水平な棒に沿って、摩擦無しで滑るこ とがで きる。球同士は、弾性係数ｋの重さのないバネで連結されている。球同士を反対方向に変位させてから、突くこと無しに放つ。以下を求めよ。
（ａ）系の質量中心の運動はどのようなものか。
（ｂ）球同士の初期の相対変位量がａの場合、球同士の相対速度の最大値ｖ 最大 。

１．２７７． 図１．４６参照。質量ｍ １ ，ｍ ２ の２つの球が、長いピンと張った水平な導線に沿って摩擦無しで滑ることができる。球同士は、弾性係数ｋの重さのないバネで連結されている。最初、球は動いていないで、バネは伸びていない。１番目の球に運動量ｐ ０ ＝ｍ １ ｖ ０ を与える。以下を求めよ。
（ａ）系の質量中心の速度ｖ 中心 。
（ｂ）系の並進運動のエネルギーＥ 並進 と、系の振動エネルギーＥ 振動 。
（ｃ）振動の周波数ωと振幅ａ。
１．２ ７８． 図１．４７参照。質量ｍ＝３．０ｋｇ、半径Ｒ＝２０．０ｃｍの一様円板が、細い棒に固 定され 、棒の他端は不動点で固定されている。棒の捻り係数（捻り角度に対する付加した回
転モーメントの比）はｋ＝６．０Ｎ・ｍ／ラジアン。以下を求めよ。
（ａ）円板の微小捻り振動の周波数ω。
（ｂ）？ 初期モーメントがφ＝０．０６ラジアンの時、振動の振幅φ ｍ と初期位相α。
１．２ ７９． ２つの円板が、水平軸の周りに、摩擦無しで回転をすることができる。２つの円板の半径は同じで、Ｒ＝０．５０ｍ。円板の質量はｍ １ ＝２．０ｋｇ、ｍ ２ ＝３．０ｋｇ。円板をバネで連結する。バネの捻り係数はｋ＝５．９１Ｎ・ｍ／ラジアン。円板を逆方向に回し、そして放つ。
円板の捻り振動の周期Ｔは幾らか。軸の直径は無視する。
１ ．２ ８ ０ ． 図 １ ． ４８ 参 照 。 水平 円 板 の直 径 に 沿 って 軸があ り、この 軸の 方 向 に 、質 量 ｍ ＝０ ． １ ０ ｋｇ の 小 さい ス リ ー ブが 、摩擦 無しで
滑 るこ と が で きる 。 ス リー ブ は 弾 性係 数 ｋ ＝１ ０ ． ０ Ｎ／ ｍの重 さのな
い バネ で 、 軸 の一 端 に 固定 さ れ て いる 。 円 板は 回 転 す るこ とがで きる。
バ ネが 伸 び て いな い と き、 ス リ ー ブは 円 板 の中 心 に 位 置し ている 。円板
が 自身 の 軸 の 周り に 、 角速 度 φ で 回転 す る とき 、 ス リ ーブ の微小 振動の
周波数 ωを求 めよ。（ａ ）φ＝ ６．００ ラジア ン／ｓ、（ｂ）φ＝１０．
１ラジアン／ｓ。の場合を求めよ。

- 32 -

１．２８１． ホールの丸天井に、質量ｍ＝５．０ｋｇの球が、軽くて伸びない紐で吊されている。
紐の長 さはｌ ＝９．８１ｍ。球を、ｘ軸として決めた方向に、ａ＝３０．０ｃｍだけ移動させ、ｘ軸に垂 直な方 向のｙ軸方向に、ｐ＝２．０ｋｇ・ｍ／ｓの運動量を与えた。摩擦を無視し、球の中心が動く軌跡の方程式を求めよ。
１．２ ８２． 自由振動の振幅が、１０秒間で、１０倍小さくなる。１００倍小さくなるのは、如何ほどの時間τか。
１．２８３． 自由振動の振幅が、１．０秒間で、２倍小さくなる。振幅が１０倍小さくなるのは、
いかほどの時間幅τか。
１．２８４． 時間ｔ＝１６．１秒の間に、振動の振幅が、η＝５．０倍小さくなる。
（ａ）振動の減衰係数βを求めよ。
（ｂ）いかほどの時間幅τで、振幅がｅ倍だけ小さくなるか。
１．２ ８５． １００秒間で、系は１００回の振動を行う。この時間の間に、振動振幅は２７１８倍小さくなる。以下を求めよ。
（ａ）振動の減衰係数β。
（ｂ）対数減衰率λ。
（ｃ）回路のＱ値。
（ｄ）振動周期当たりの系の相対エネルギー損失－ΔＥ／Ｅ。
１．２ ８６． 系がＮ＝１００回の振動を行っている間に、振幅がη＝５．０倍小さくなる。系のＱ値を求めよ。
１．２ ８７． ある振動系のＱ値が、Ｑ＝２．０。振動周波数はω＝１００／ｓ。系の固有振動周
波数ω０を求めよ。
１．２８８． 粒子の減衰振動が、平衡位置から、粒子を距離ａ ０ ＝１．０ｃｍだけ変位させて開始させる 。対数 減衰率はλ＝０．０１０。減衰は弱いので、十分な精度で、平衡状態からの最大変位はｔ ｎ ＝（Ｔ／２） ｎ 毎に達せられる、とみなす。この近似に於いて、完全に停止するまでに、粒子が経由する経路長ｓを求めよ。
１．２８９． ある系の自由振動の周波数が、ω＝１００．０／ｓ。究明周波数がω 共鳴 ＝９９．０／ｓ。この系のＱ値を求めよ。
１．２９０． バネに吊された鉄棒が、平衡状態から、周波数ω’＝２０．０／ｓの自由振動を行う。図１．４９参照。その際、振動振幅は時間幅τ＝１．
１１秒で、η＝２倍小さくなる。鉄棒の下端近傍に、交流電流の流れているコ
イルを置く。電流の周波数がω＝１１．０／ｓの時、鉄棒のは振幅ａ＝１．５０ｍｍで振動する。
（ａ）電流の周波数ω共鳴が幾らの時、鉄棒の振動が最大となるか。
（ｂ）この周波数の時、振動の振幅ａ共鳴はどうなるか。強制力の振幅は不変であると仮定せよ。強制力の周波数は、コイル中の電流の変化周波数の２倍に等しいとする。
１．２９１． 強制力Ｆ ｘ ＝Ｆ ｍ ｃｏｓωｔの作用のもとで、系は、関数ｘ＝ａ・ｃｏｓ（ωｔ－φ）の安定した振動を行っている。
（ａ）１周期当たりに、強制力がなす仕事Ａ 強制 を求めよ。
（ｂ）１周期当たりに摩擦のなす仕事Ａ 摩擦 ＝－Ａ 強制 であることを示せ。
- 33 -

１．２９２． 強制力の振幅が同じであるとき、周波数ω １ ＝１００／ｓとω ２ ＝３００／ｓの時における強制振動の振幅が同じである。共鳴周波数ω 共鳴 を求めよ。
１．２９３． 強制力の振幅が同じであるとき、周波数ω １ ＝１００／ｓとω ２ ＝３００／ｓの時における速度の大きさが同じである。速度の大きさが最大となるときの、周波数ω’ 共鳴 を求めよ。

１．１０．

相対論的力学

１．２９４． 角速度ω＝３．３０×１０ ８ ラジアン／ｓで自身の軸の周りに回転している半径Ｒ＝１．０ｍの球形の物体に、特殊相対論の原理は適用できるか。
１．２９５． 電子のように、質量ｍ＝０．９１１×１０ －３０ ｋｇ（電子の質量）、半径Ｒ＝２．８
２×１０ － １５ ｍ（電子の古典的半径）、固有運動量モーメントＭ＝０．９１３×１０ －３４ ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ（電 子に関 しての量子力学と、実験値よりの裏付け）からの、自身の軸の周りに回転している一様な球について、特殊相対論の原理は適用できるか。
１．２ ９６． Ｋ系に於いて、ある事象が時刻ｔ＝１．００ｓに、座標点（１．００ｍ，１．００ｍ，１ ．００ ｍ）で起った。別のＫ’系がある。Ｋ系とＫ’系はｘ軸、ｘ’軸を一致させ、Ｋ’系
はＫ系に対して速度ｖ ０ ＝０．８０ｃで動いている。このＫ’系に於いて、この事象の座標と時間を求めよ。
１．２９７． ２本の同形の棒がある。棒１は観測系Ｋ １ で静止している。棒２は観測系Ｋ ２ で静止してい る。２ つの観測系はｘ軸を一致させ、ｘ軸方向にお互いに動いている。２つの棒は共に、ｘ軸に平行に配置されている。（ａ）Ｋ １ 系では、どちらの棒が短いか。（ｂ）Ｋ ２ 系では、どちらの棒が短いか。
１．２ ９８． 棒の長さが、棒が静止しているときの長さの半分となるためには、棒に如何ほどの
縦の速度ｖを与える必要があるか。
１．２ ９９． （ａ）静止している時の棒の軸と角度αをなす方向に、棒に速度ｖ＝０．１ｃを与えると、棒の相対変化量Δｌ／ｌは幾らとなるか。
（ｂ）αが、０°、４５°、９０°の時における、Δｌ／ｌ ０ を計算せよ。
１．３００．

問題１．２９９．をｖ＝０．９ｃとして解け。

１．３ ０１． 棒が相対的に静止しているＫ’系で、棒の長さはｌ’＝１．０ｍ、棒はｘ’軸と角度α’＝４５°をなしている。Ｋ’系に相対的にｖ ０ ＝０．５ｃの速度で動いているＫ系がある。ｘ軸を一致させている。Ｋ系における棒の長さｌと、ｘ軸とのなす角度αを求めよ。
１．３０２． 任意形状をしている静止している物体の体積がＶ ０ 。この物体が速度ｖ＝０．８６６ｃで動いたならば、物体の体積Ｖは幾らとなるか。
１．３０３． 立方体形状をした静止している物体の全表面積はＳ ０ 。この物体が、速度ｖ＝０．９６８ｃで、自身の辺の方向に運動をすると、この物体の全表面積Ｓは幾らとなるか。
１．３ ０４． ２つの観測系Ｋ，Ｋ’がある。それらの相対速度は未知である。Ｋ’系に対して速度ｖ ｘ ’＝０．１０ｃで動いているｘ’軸に平行な棒は、この系で長さがｌ’＝１．１０ｍである。
- 34 -

Ｋ系ではこの棒の長さはｌ＝１．０ｍ。Ｋ系における棒の速度ｖ ｘ と、２つの系間の相対速度ｖ ０ を求めよ。
１．３０５． ２つの同じ型の時計がある。時計１は観測系Ｋ １ に静止している。時計２は観測系Ｋに静止している。Ｋ １ とＫ ２ は相対的に動いている。
（ａ）Ｋ １ 系で見た場合、どちらの時計が速く進むか。
（２）Ｋ ２ 系で見た場合、どちらの時計が速く進むか。
２

１．３０６． ２つの同型の時計が同期され、固有長ｌ ０ の棒の両端に固定されている。棒に平行に
速度ｖ ０ ＝０．６０ｃで動く観測者によってきめられる２つの時計の指示値の差Δｔ’は、ｌ ０ の値がどのような値の時、（ａ）１．０００μｓ、（ｂ）１．０００ｓ、と等しくなるか。
１．３０７．

前問をｖ ０ ＝０．９９９ｃとして解け。

１．３０８． 図１．５０参照。各々固有長ｌ ０ ＝１０．０ｍの２本の棒の両端に、同型の時計が固定されている。２つの棒は、相対速度ｖ ０ ＝ｃ／２で動いている。時計１と時計１’が対面したとき、両方の時計の針は０時を指示している。以下を求めよ。
（ａ）時計１と時計２’が対面した瞬間、時計１の指示時間τ １ 、時計２’の指示時間τ ２’。
（ｂ）時計２と時計１’が、対面した瞬間、時計２の指示時間τ ２ 、時計１’の指示時間τ １’。
（ｃ）時計２と時計２’が、対面した瞬間、時計２の指示時間τ ２ 、時計２’の指示時間τ ２’。

１．３０９． ある粒子の固有寿命がτ＝１．００×１０ － ６ ｓ。この粒子が生成し、崩壊するまでの間に、いかほどの距離Δｓ進めるか。
１．３ １０． 粒子の固有時間幅Δτが、Ｋ系の時計で観測した時間幅Δｔより１０倍小さくなる
ためには、観測系Ｋに対して、粒子はいかほどの速さｖを持って飛行しなければならないか。
１．３ １１． 圧観測系Ｋの時計で計数した時間間隔Δｔ＝１．０ｓの間に、等速直線運動をしてきた粒子が、Ｋ系の原点から座標ｘ＝ｙ＝ｚ＝１．５０×１０ ８ ｍの点に移動した。この変位が起った、粒子の固有時間幅Δτを求めよ。
１．３ １２． 不安定な素粒子の固有寿命がτ。この素粒子は等速直線運動をするものと見なし、この素 粒子の 寿命がｔと観測される観測的に於いて、この素粒子が崩壊するまでに経由する距離ｌを求めよ。
１．３ １３． ミューオンと呼ばれる不安定素粒子の固有寿命はτ＝２．２μｓ。ミューオンが崩壊する までに 、経路長ｌ＝３０ｋｍを経由する観測系におけるミューオンの寿命ｔを求めよ。ミューオンの運動は等速直線運動を見なす。ミューオンの速度ｖも求めよ。

- 35 -

１．３１４． 観測系Ｋ’は観測系Ｋに相対的に速度ｖ ０ ＝０．５ｃで動いている。Ｋ’系で、ある粒子の速度はｖ’＝０．１７３２ｃ（ｅ ｘ ’＋ｅ ｙ ’＋ｅ ｚ’）。以下を求めよ。
（ａ）速度ベクトルｖ’の大きさであるｖ’と、ｘ’軸と速度ベクトルｖ’のなす角度α’。
（ｂ） Ｋ系に おける粒子の速度ベクトルｖとその大きさｖ、ｘ軸と速度ベクトルｖのなす角度α。
（ｃ）ベクトルｖとベクトルｖ’の大きさに比ｖ／ｖ’。
１．３１５． ２つの同形の粒子が、Ｋ観測系で、同じ速さｖで、向かい合って運動している。
（１）粒子のうちの１つが、他の粒子に相対的に運動している速度ｖ’を求めよ。
（２）（ａ）ｖ＝０．１ｃ、（ｂ）ｖ＝０．５ｃ、の場合に於いて、ｖ’を計算せよ。
１．３ １６． 問題１．３１５．を、Ｋ系に於いて、２つの粒子がお互いに垂直な方向に運動している場合について解け。
１．３ １７． ニュートンの公式に従った運動量ｐ＝ｍｖの計算に於いて、ｖの値が幾らのとき、誤差が１％を超えないか。
１．３１８． 速度が、（ａ）０．１ｃ、（ｂ）０．５ｃ、の場合に於いて、相対論的運動量とニュートン的運動量の比を求めよ。
１．３１９． 質量ｍ＝０．９１１×１０ －３ ０ ｋｇ（電子の質量）、その運動量がｐ＝１．５８×１
０ －２２ ｋｇ・ｍ／ｓである相対論的粒子の速度ｖを求めよ。
１．３２０． 静止している粒子のエネルギーがＥ ０ 。この粒子の運動量がｐである観測系に於いて、この粒子の全エネルギーは幾らとなるか。
１．３２１．

質量ｍの物体の運動量がｐ＝ｍｃ。この物体の運動エネルギーＴは幾らか。

１．３ ２２．
は幾らか。

粒子の運動エネルギーが、この粒子の静止エネルギーと等しい。この粒子の速度ｖ

１．３２３．

質量ｍ、運動エネルギーがＴである相対論的粒子の運動量ｐを求めよ。

１．３ ２４． 問題１．３２３．の結果を利用し、質量ｍ、運動エネルギーＴが粒子の静止エネル
ギーｍｃ２に等しい相対論的粒子の運動量ｐを求めよ。
１．３２５． 粒子の速度がｖ ０ のとき、粒子の運動量がｐ０である。
（ａ）粒子の運動量を２倍大きくするためには、粒子の速度を何倍ηしなければならない。
（ｂ）ｖ ０ ／ｃが、０．１、０．５、０．９、０．９９、の場合に於いて、ηの値を求めよ。
（ｃ）ｃに近いｖ ０ の値の時における、ηの近似式を求めよ。
１．３２６．

粒子の全エネルギーが１０ｍｃ ２ 。この粒子の速度ｖは幾らか。

１．３２７． 質量ｍ＝１．０×１０ －２０ ｋｇの粒子が、Ｋ系で、運動エネルギーＴ＝２．２５×１
０ －４ Ｊを持っている。Ｋ系に対して、Ｋ系の粒子の速度に対して垂直な向きの速さｖ ０ ＝０．８ｃで動いているＫ’系から見た粒子の持っている運動エネルギーＴ’を求めよ。
１．３ ２８． 各々質量ｍの２つの粒子がある。これらは同じ速さで向かい合って動いている。衝突後、２つの粒子は合体し、１つとなる。
（１）形成された粒子の質量Ｍは幾らか。
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（２）ｖが、（ａ）０．１ｃ、（ｂ）０．５ｃ、（ｃ）０．９９９ｃ、の場合について、Ｍを求めよ。
１．３ ２９． 質量Ｍの動いていない粒子が、各々質量ｍ＝０．４Ｍの２つの同形の粒子に崩壊する。これら２つの粒子の運動速度ｖを求めよ。
１ ． ３ ３ ０ ． β ＝ ｖ ／ ｃ が、（ ａ ） ０ ． ９、（ ｂ ） ０ ． １、（ ｃ ） ０ ． ０ １ ， の 場 合 に お け る 、 粒子の静止エネルギーＥ ０ に対する運動エネルギーＴの比を求めよ。
βとβ ２ でＴ／Ｅ ０ を表記せよ。β→１，β→０の場合を考察せよ。
１．３３１． 電子に速度、（ａ）０．５ｃ、（ｂ）０．９９９ｃ、を与えるためには、如何ほどの仕事Ａを電子に与えなければならないか。電子の静止質量はＥ ０ ＝０．８２×１０ －１ ３ Ｊ（＝０．５
１ＭｅＶ）。
１．３３２． 最初、静止している陽子に、電場でもって、仕事Ａ＝１．０×１０ －１０ Ｊの仕事を与えた。この陽子が獲得した運動量ｐと速度ｖを求めよ。
１．３ ３３． 質量ｍの粒子が、一定の力Ｆの作用のもとで動き始める。この粒子の運動量ｐと速度ｖの時間依存性を示せ。
１．３３４． 最初、ｖ １ ＝０．１０ｃで動いている、質量ｍ＝０．９１１×１０ －３０ ｋｇの粒子に、
仕事Ａ＝８．２４×１０ －１４ Ｊをした。この結果として、速度、運動量、運動エネルギーの変化量を求めよ。
１．３３５． ２つの観測系Ｋ，Ｋ’の相対速度は、ｖ ０ ＝０．８ｃ。Ｋ’系で、粒子の運動量はｐ’＝α（ｅ’ ｘ ＋ｅ’ ｙ ＋ｅ’ ｚ ）。エネルギーはＥ’＝１．５０×１０ －９ Ｊ。ここで、α＝２．３０
×１０ －１８ ｋｇ・ｍ／ｓ。Ｋ系におけるこの粒子の運動量ｐとエネルギーＥを求めよ。
１．３３６． 観測系Ｋ’は、観測系Ｋに対して、速度ｖ ０ ＝０．５ｃで動いている。Ｋ’系で、陽子の運動量はｐ’＝ａ １ ｅ’ ｘ ＋ａ ２ ｅ’ ｙ ＋ａ ３ ｅ’ ｚ 。ここで、ａ １ ＝０．７７４α、ａ ２ ＝１．５４
８α、ａ ３ ＝２．３２２α、α＝１０ －１９ ｋｇ・ｍ／ｓ。以下を求めよ。
（ａ）Ｋ’系に於いて、陽子のエネルギーＥ’、陽子の速度の大きさｖ’。
（ｂ）Ｋ系に於いて、陽子の運動量ｐ、エネルギーＥ、速度の大きさｖ。
１．３ ３７． Ｋ系で、各々エネルギーＥ＝５０ＧｅＶを持っている２つの陽子が、お互いに向き合って 運動を し、正面衝突をする。この過程を、陽子の片方に固定されているＫ’系で観察をし、他方の陽子のエネルギーＥ’を求めよ。静止陽子のエネルギーはＥ ０ ＝９３８ＭｅＶ。得られた結果
からどのような結論を出せるか。

１．１１．

流体運動学

１．３ ３８． 机の上に、高さＨの円筒容器が立っている。水で上端まで一杯である。水の粘性を無視す る。側 壁に小さな穴を開ける。この穴からの流水が容器から最も離れた机の上に落下するた
めには、穴の高さｈを幾らとするべきか。
１．３ ３９． 高さｈ＝０．５ｍ、半径Ｒ＝１０．０ｃｍの円筒容器が、上端まで水で満たされている。容器の底に半径ｒ＝１．０ｍｍの穴を開ける。水の粘性を無視して、以下を求めよ。
（ａ）全ての水が容器から流れ出るまでの時間τ。
（ｂ）時間に対する依存性として、容器中の水面の変位速度ｖ。

- 37 -

１．３ ４０． 車の連結部への潤滑剤の給油に用いられる押し出し器を、線上のために石油で満たした。 押しだ し器のピストンの半径はＲ＝２．０ｃｍ、ピストンの行程長はｌ＝２５．０ｃｍ。石
油の粘 性と、 ピストンの壁との間の摩擦を無視する。石油が押田式から流れきるまでの時間τを求めよ。ピストンには一定の力Ｆ＝５．０Ｎがかかる。石油の密度はρ＝０．８０ｇ／ｃｍ ３ 。
１．３４１． 図１．５１参照。流れのある川に、細くて曲がっているパ
イプを沈める。開口口は、流れに対向している。パイプ中で水は、川の水面から高さｈだけ上昇する。川の流れの速度ｖを求めよ。
１．３４２． 図１．５２参照。ピトー管は、２本の同軸の細いパイプからできている。内側のパイプは、下端が開いており、外側のパイプは、側面に穴を持っている。両方のパイプの上端は差動圧力計に接続されている。
差動圧力計は圧力差Δｐを指示する。これを使用すれば、液体（及び気体）の 速 度 を 測 る こ と が で き る 。 そ の 為 に は 、 こ れ を 、 液 体 中 に沈 め 、 開放 端を 流 れ に 対 向 し て 配 置 す る 。 そ し て 、 Δ ｐ を 計 測 す る 。 密 度ρ ＝ １ １０ ０ｋｇ／ｍ ３ の液体の流れの中に、このピトー管を沈めると、Δｐ＝４９５０
Ｐａであった。液体の流速ｖを求めよ。
１ ． ３ ４ ３ ． 半 径 Ｒ ＝ １ ２ ． ５ ｍ ｍ の 水 平 の パ イ プ 中 を 、水 が 流 れる 。
パイプの断面積を通過する水の量は、Ｑ＝３．０×１０ －５ ｍ ３ ／ｓ。以下を求めよ。水の粘性はη＝０．００１Ｐａ・ｓ。
（ａ）流れの特性。（Ｒｅを求めよ）（ｂ）パイプの単位長当たりの圧力降下ｄｐ／ｄｌ。
１ ． ３ ４ ４ ． 図 １ ． ５ ３ 参 照 。 ２ つ の 同 形 の 円 筒 タ ン ク が、 中 間 に栓 の付いた細いパイプで連結されている。タンクの半径はＲ＝２０．０ｃ
ｍ、パイプの半径はｒ＝１．０ｍｍ、長さは１．０ｍｍ（ ？ ）。栓の穴はパイプの断面積と一致している。片方のタンクに、水を高さｈ＝５０．０ｃｍまで入れる。他方のタンクは始めは空である。時刻ｔ＝０のとき、栓を開く。以下を求めよ。
（ａ）最初時におけるパイプ中の水の流れの特性。
（ｂ）タンクの水の高さの差が、ｅ倍まで小さくなるまでの時間τ。
水の粘性はη＝０．００１Ｐａ・ｓ。
１．３ ４５． 地表の暖かい部分の上に、空気の定常流ができた。その方向は垂直上方であり、速度はｕ＝２０．０ｃｍ／ｓ。空気流の中に、球状塵が入っており、その速度はｖ＝４．０ｃｍ／ｓ。
塵の密度はρ＝５０００ｋｇ／ｍ ３ 、空気の密度はρ ０ ＝１．２９ｋｇ／ｍ ３ 。空気の粘度はη＝１．
７２×１０ －５ Ｐａ・ｓ。
（ａ）塵の半径ｒを求めよ。
（ｂ）空気による塵の搬送はラミナー特性を持っていることを確認せよ。
１．３４６． 高くて大きい容器中に、グリセリンを注ぐ。グリセリンの密度はρ ０ ＝１２１０ｋｇ／ｍ ３ 、粘度はη＝０．３５０Ｐａ・ｓ。容器の縁から離れて、半径ｒ＝１．００ｍｍの球を、グリ
セリン中に沈め、突くことなく離す。球の密度はρ＝１００００ｋｇ／ｍ ３ 。球の最初の高さは、容器の底から、ｈ＝０．５０ｍ。
（ａ）球の運動に対する抵抗力をストークスの公式で計算できるか、考察せよ。
（ｂ）時間ｔに対する、球が経由する経路長ｓの依存性を求めよ。
（ｃ）球の落下速度ｖが、最終速度ｖ ０ と、１％以上違わなくなるまでの時間ｔを求めよ。

- 38 -

第２部

分子物理学と熱運動学

２．１．

分子運動論。熱力学の基礎

２．１．

コップ１杯の水には、いかほどの分子が含有されているか。

２．２． アボガドロ定数を利用して、以下の質量を求めよ。
（ａ）水素原子。
（ｂ）酸素分子。
（ｃ）
ウラン原子。
２．３．

１モルの電子の質量Ｍを求めよ。

２．４．

アボガドロ定数を利用して、原子質量単位（ａ．ｅ．ｍ．）を求めよ。

２．５．

水銀原子の直径を求めよ。

２．６ ． ヘ リウム、水素、窒素、酸素などの気体１モルは、定常条件（ｔ＝０℃、ｐ＝１０１３ｈＰａ）下で、２２．４リットルの体積を占める。以下を求めよ。
（ａ）単位体積当たりの分子数ｎ。
（ｂ）平均分子間隔＜ａ＞。得られた結果を分子の直径ｄと比較せよ。
２．７．

密度ρとモル質量Ｍが既知である。この物質の単位体積当たりの分子数ｎを求めよ。

２．８． 金属の中で、比ρ／Ａ ｒ の値が最大なものはベリリウム、最小なものはカリウムである。
これらの金属について、単位体積当たりの原子数を求めよ。Ａ ｒ は相対原子質量。
２．９． 速度ｖで飛行する質量ｍの分子流がある。流中の分子密度はｎ。以下を求めよ。
（ａ）分子流の方向と角度θをなしている平面の表面に、１秒間当たりに衝突をする分子数ν。
（ｂ） 面に対 する分子流の圧力ｐ。分子は、面によって鏡のように反射され、エネルギーの損失はないものとする。
２．１０． 同一の条件下で、気体が、１回目は素早く体積Ｖ １ から体積Ｖ ２ まで膨張する。２度目
は、ゆっくりと膨張する。気体によってなされる仕事はどちらの方が大きいか。
２．１１． 同一の条件下で、気体が、１回目は素早く体積Ｖ １ から体積Ｖ ２ まで圧縮する。２度目
は、ゆっくりと圧縮する。気体によってなされる仕事はどちらの方が大きいか。
２．１２． ｐ＝３．０×１０ ５ Ｐａの圧力一定下で、（ａ）気体が体積Ｖ １ ＝２．０ＬからＶ ２ ＝４．０Ｌまで膨張する。
（ｂ）気体が体積Ｖ １ ＝８．０ＬからＶ ２ ＝５．０Ｌまで圧縮する。
気体によってなされる仕事Ａと、気体にされる仕事Ａ’を求めよ。
２ ． １ ３ ． 或 る 気 体 が 、 そ の 圧 力 ｐ が 体 積 Ｖ と 共 に 、 式 ｐ ＝ Ｐ ０ ｅ ｘ ｐ （ － α （ Ｖ － Ｖ ０ ）） に 従って変化をする、サイクルを行う。ここで、ｐ ０ ＝６．０×１０ ５ Ｐａ、α＝０．２０／ｍ ３ 、Ｖ ０ ＝２．０ｍ ３ 。Ｖ １ ＝３．０ｍ ３ からＶ ２ ＝４．０ｍ ３ までの膨張に於いて、気体によってなされる仕事Ａを求めよ。
２．１４． 温度に依存しない熱容量Ｃ＝２０．０Ｊ／Ｋを持つ物体が、ｔ １ ＝１００℃からｔ ２ ＝２０℃まで冷却される。物体によって得られた熱量Ｑを求めよ。

- 39 -

２．１５． 考察する温度範囲に於いて、或る物体の熱量量は関数Ｃ＝１０．０＋０．０２Ｔ＋３．
０×１０ －５ Ｔ ２ （Ｊ／Ｋ）で決まる。Ｔ １ ＝３００ＫからＴ ２ ＝４００Ｋまでの加熱に於いて、物体によって得られた熱量Ｑを求めよ。
２．１６． 図２．１参照。或る物体が、状態１から状態３へ、１回、１→２→３を経て遷移する。
もう１ 回は、 １→４→３を経て遷移する。図に示されているデータを利用し、両方の過程に於いて物質によって得られる熱量差Ｑ １２３ －Ｑ １４３ を求めよ。
２．１ ７． 図２．２参照。ｐ－Ｖ図における円形過程は、楕円を示している。図に記されている
データを利用し、１サイクルに於いて作業物質によって得られる熱量を求めよ。

２．１８． 或る仮想気体の内部エネルギーが式Ｕ＝ａ・ｌｎ（Ｔ／Ｔ ０ ）＋ｂ・ｌｎ（ｐ／ｐ ０ ）で決まっている。ここで、ａ＝３．０ｋＪ、ｂ＝７．０ｋＪ、Ｔ ０ ＝２００Ｋ、ｐ ０ ＝１０．０ｋＰ
ａ。一定の圧力ｐ＝１．０×１０ ５ Ｐａ下で、気体に、熱量Ｑ＝５００Ｊを与える。その結果、気体の体積はΔＶ＝０．５０Ｌだけ増加する。気体の温度は何倍となったか。
２．１９． 前問の気体が、温度Ｔ １ ＝２５０ＫからＴ ２ ＝５００Ｋまで加熱される。加熱過程で、気体は 熱量Ｑ ＝１４．３３ｋＪを獲得し、仕事Ａ＝４．５６ｋＪをなす。気体の圧力は何倍となったか。
２．２０． 或る仮想気体の内部エネルギーが式Ｕ＝ａ・ｌｎ（Ｔ／Ｔ ０ ）＋ｂ・ｌｎ（Ｖ／Ｖ ０ ）で決まっている。ここで、ａ＝４．０ｋＪ、ｂ＝５．０ｋＪ、Ｔ ０ 、Ｖ ０ は定数。最初、気体はＶ １ ＝２０．０Ｌ、ｐ １ ＝１．０×１０ ５ Ｐａ、Ｔ １ ＝３００Ｋにある。その午後、気体は等圧過程で、体積
Ｖ ２ ＝３０．０Ｌまで膨張する。膨張過程に於いて、気体は熱量Ｑ＝４．０ｋＪを得る。気体の最終温度Ｔ ２ を求めよ。

２．２．

理想気体

２．２１． 温度０℃、圧力１．０１３×１０ ５ Ｐａ（１気圧）下にある、単位体積当たりの空気中の分子数ｎを求めよ。
２．２２． 温度０℃、圧力１．０１３×１０ ５ Ｐａ（１気圧）下にある空気に於いて（ａ）１立方ｍ当たりの質量を求めよ。
（ａ）１Ｌ当たりの質量を求めよ。
２．２ ３． 地表近傍に於いては、空気分子の７８．０８％は窒素分子が占め、２０．９５％は酸素分子が占め、０．９３％はアルゴンが占め、０．０４％は他の気体が占めている。
（ａ）空気の圧力を１．０１３×１０ ５ Ｐａと仮定して、窒素、酸素、アルゴンの分圧を求めよ。
- 40 -

（ｂ）空気の平均分子量Ｍ ｒ を求めよ。
２．２ ４． 回転ポンプが、１回転で気体の体積ｖを取り込み、それを大気中に放出する。体積Ｖの容器中の空気の圧力を、ｐ ０ からｐまで低下させるためには、ポンプを何回転させる必要があるか。
２．２ ５． 体積Ｖの容器に接続されている補助ポンプは、時間ｄｔの間に、容器から、気体の体積ｄＶ ＝Ｃｄ ｔを吐き出す。ここで、Ｃは排気速度定数。排気中に於いて、容器内の各点の圧力は常に一 様であ り、ポンプと容器を接続しているパイプなどにおける圧力の低下を無視し、容器中の圧力の変化を与える式ｐ（ｔ）を求めよ。初期圧力をｐ ０ 。気体は理想気体である。
２．２ ６． 前問の結果を応用し、排気速度定数Ｃ＝１．０Ｌ／ｓであるポンプを使用して、体積
Ｖ＝１０．０Ｌの容器内の圧力を、ｐ ０ ＝１．０×１０ ５ Ｐａからｐ＝０．３０Ｐａまで低下させる
ためには、如何ほどの時間τが必要か、求めよ。
２．２７． 理想気体における、等積過程、等圧過程、等温過程、断熱過程を、（ａ）ｐ－Ｖ図、（ｂ）
Ｔ － Ｖ 図 、（ ｃ ） Ｔ － ｐ 図 、 中 に 概 略 グ ラ フ と し て 描 け 。 グ ラ フ は 共 通 の １ 点 を 通 過 す る よ う に 描
くこと。
２．２ ８． 図２．３に、理想気体の同じ質量に対する２つの等温曲線が描かれている。どちらの温度が高いか。
２．２ ９． 図２．４に、理想気体で起っている５つの過程があがかれている。各過程に於いて、気体の内部エネルギーはどのように振る舞うか。

２．３０． 理想気体について、概略グラフを描け。
（ａ）Ｕ－Ｔ図で、等積過程、等圧過程、断熱過程。
（ｂ） Ｕを縦 軸としたＵ－Ｖ図、Ｕ－ｐ図で、等積過程、等圧過程、等温過程、断熱過程。全てのグラフを通る共通点を採用すること。
２．３ １． 比熱比がγである理想気体１モルの温度が、等圧過程、等積過程、断熱過程で、ΔＴだけ上昇した。各々の場合に於いて、気体の内部エネルギーの増加分を求めよ。
２．３２． 以下の過程で、理想気体の熱容量は幾らとなるか。
（ａ）等温過程。
（ｂ）断熱過程。
２．３３． （硬い ？ ）３原子分子からなる理想気体の或る量が、断熱過程で、温度Ｔ １ ＝２８０Ｋの状態から、Ｔ ２ ＝３２０Ｋ、ｐ ２ ＝２．０×１０ ５ Ｐａ、Ｖ ２ ＝５０．０Ｌの状態に変移した。
- 41 -

この過程で、気体は如何ほどの仕事Ａをなしたか。
２．３４． 気体のある量が、Ｕ １ ＝６００ｋＪの状態から、Ｕ ２ ＝２００ｋＪの状態に、仕事Ａ＝
３００ｋＪをなして、変移した。この過程が、（ａ）可逆の場合、（ｂ）不可逆の場合、の各々ならば、気体はいかほどの熱量Ｑを獲得したか。
２．３５． １原子理想気体のある量を、断熱過程で、圧力が初期の圧力ｐ １ の１０倍を超えないまで、圧縮する。その後、気体は等温過程で、最初の体積まで膨張する。気体の最終圧力ｐ ２ は、初期
圧力ｐ １ の何倍となっているか。
２．３６． 最初ｔ １ ＝０℃にあったγ＝１．４０の理想気体が、圧縮を受け、以下の結果となった。
（ａ）気体の体積が１０倍小さくななった。
（ｂ）気体の圧力が１０倍大きくなった。
圧縮を断熱過程であると見なし、圧縮の結果、気体は何度ｔ ２ まで加熱されたか。
２ ． ３ ７ ． 図 ２ ． ５ 参 照 。 ２ 原 子 理 想 気 体 の 、状 態 １ か ら状 態 ２
へ の 可 逆 過 程 が 示 さ れ て い る 。 遷 移 過 程 は 、 １ －３ の 部 分 は等 温 過程、３－２の部分は断熱過程である。初期体積はＶ １ ＝１．０×１０－３ｍ ３ 、初期圧力はｐ １ ＝３．０×１０ －５ Ｐａ、終状態で、Ｖ ２ ＝２．
０ ×１ ０ － ３ ｍ ３ 、 ｐ ２ ＝１ ． ３ ３× １ ０ － ５ Ｐ ａ。 過 程 １ －３ － ２ におい て 、 気 体 の な し た 仕 事 Ａ を 計 算 せ よ 。 気 体 分 子の 振 動 は 励起 さ れていないものとする。
２．３８． 体積Ｖの室内の温度が、Ｔ １ からＴ ２ まで上昇した。室内の空気の内部エネルギーはどのように変化をしたか。室内の気圧は変化しないものとする。
２．３９． 気圧が、ｐ １ ＝９８３ＧＰａからｐ ２ ＝１００３ＧＰａまで変化した。体積Ｖ＝５０．
０ｍ３ の室内 の空気の内部エネルギーは如何ほどの増加分ΔＵを獲得したか。室内の温度は不変とする。
２．４ ０． 閉じているシリンダーが、半径ｒ＝１０．０ｃｍ、質量ｍ＝１．０ｋｇのピストンで
２つに 区分さ れている。ピストンは摩擦無しで動くことができる。ピストンを中間位置に置き、シリンダの両方の部分を、同じ圧力ｐ ０ ＝１．０×１０ ５ Ｐａまで、気体を充填する。各部分の気体の体積はＶ ０ ＝５．０Ｌ。気体はγ＝１．４０で、理想気体とする。シリンダの壁、及びピストンを通じての 熱交換 は無視して、ピストンを中央位置から少しだけ変移させたとき、発生するピストンの振動周波数νを求めよ。
２．４ １． １原子分子でできている理想気体のある量が、ｐ＝１．０×１０５Ｐａ下で、可逆断
熱過程を行った。この過程で気体の体積は、Ｖ １ ＝１０．０ＬからＶ ２ ＝２０．０Ｌまで変化した。
以下を求めよ。
（ａ）気体の内部エネルギーの増加分ΔＵ。
（ｂ）気体のなした仕事Ａ。
（ｃ）気体が得た熱量Ｑ。
２．４２． γ＝１．４０の理想気体が、体積Ｖ １ ＝０．１０ｍ ３ からＶ ２ ＝０．３０ｍ ３ まで、等温膨張をする。気体の最終圧力はｐ ２ ＝２．０×１０ ５ Ｐａ。以下を求めよ。
（ａ）気体の内部エネルギーの増加分ΔＵ。
（ｂ）気体のなした仕事Ａ。
- 42 -

（ｃ）気体の獲得した熱量Ｑ。
２．４３． １モルの理想気体の、０℃から１００℃までの等圧加熱に於いて。気体は熱量Ｑ＝３．
３５ｋＪを吸収する。以下を求めよ。
（ａ）γの値。
（ｂ）気体の内部エネルギーの増加分ΔＵ。
（ｃ）気体のなした仕事Ａ。
２．４４． 初期温度がＴ １ ＝２９０である１モルの理想気体が、その体積が２倍を超えない所まで、等圧膨張をする。その後、気体は、最初の温度まで、等積で冷却をする。以下を求めよ。
（ａ）気体の内部エネルギーの増加分ΔＵ。
（ｂ）気体のなした仕事Ａ。
（ｃ）気体の獲得した熱量Ｑ。
２．４５． 図２．６に、理想気体のある量が、状態１から状態２へ遷移する様子が描かれている。
この過程で気体は熱量を得るかそれとも放出するか。
２．４ ６． 図２．７参照。理想気体のある量が、状態１から状態２へ、経路Ⅰで、遷移する場合と、経路Ⅱで、遷移する場合が描かれている。気体の得る熱量が大きい方はどちらか。
２．４ ７． 図２．８参照。理想気体のある量が、状態１から状態２へ、経路Ⅰで、遷移する場合と、経路Ⅱで、遷移する場合が描かれている。
（ａ）各々の経路で、気体のなす仕事Ａ Ⅰ 、Ａ Ⅱ は正負、どちらの符号を持つか。
（ｂ）気体の得る熱量が大きい方はどちらか。

２．４８． 最初、１．０ｋｇの窒素気体が、圧力ｐ １ ＝５．０×１０ ５ Ｐａ下で、体積Ｖ １ ＝０．３
０ｍ ３ に閉じこめられてた。その後、気体は膨張し、その結果、気体の体積はＶ ２ ＝１．０ｍ ３ 、圧力はｐ ２ ＝１．０×１０ ５ Ｐａとなる。
（ａ）気体の内部エネルギーの増加分ΔＵを求めよ。
（ｂ）膨張時、気体のなした仕事を計算することができるか。
２．４ ９． 温度Ｔ＝３００Ｋにおいて、５３１ｇの窒素気体の可逆等温膨張の結果、気体の圧力は、ｐ １ ＝２０．０×１０ ５ Ｐａからｐ ２ ＝２．００×１０ ５ Ｐａまで低下する。以下を求めよ。
（ａ）膨張に於いて、気体のなした仕事Ａ。
（ｂ）気体が獲得した熱量Ｑ。
２．５ ０． １．００ｋｇの窒素気体の可逆断熱膨張の結果、気体の温度は２０．０Ｋだけ低下した。膨張に於いて、気体のなした仕事Ａを求めよ。分子の振動準位の励起はないものとする。
２．５１．

最初、温度ｔ＝２０℃、圧力ｐ １ ＝１．００×１０ ５ Ｐａにある質量ｍ＝３２１ｇのヘ- 43 -

リウムを、圧力ｐ ２ ＝１．００×１０ ７ Ｐａまで、断熱圧縮をする。可逆過程と見なして、以下を求めよ。
（ａ）圧縮の最終段における気体の温度Ｔ ２ 。
（ｂ）気体のなした仕事Ａ。
（ｃ）気体の体積は何倍減少するか。
２．５ ２． １原子理想気体が、気体のモル比熱が一定値の（５／２）Ｒである過程を行う。この過程のポリトロープ指数ｎは幾らか。
２．５３． 或るポリトロープ過程に於いて、理想気体の熱容量が、Ｃ＝Ｃ Ｖ ＋０．１Ｒに等しい。
この過程のポリプロープ指数ｎを求めよ。
２．５ ４． γ＝１．４０の理想気体のモル熱容量が、或る過程に於いて、式Ｃ＝２０．００＋５００／Ｔ（Ｊ／（モル・Ｋ））に従って変化をする。
（ａ）この過程はポリトロープ過程か。
（ｂ）Ｔ １ ＝２００ＫからＴ ２ ＝５４４Ｋまでの加熱に於いて、１モルの気体のなす仕事Ａを求めよ。
２．５ ５． 理想気体が、圧力ｐが体積Ｖに比例しながら増大する過程を行う。この過程は、ポリトロープ過程か。
２．５６． 問題２．５５の過程に於いて、（ａ）ポリトロープ係数ｎを求めよ。
（ｂ）モル熱容量Ｃを求めよ。
２．５７． νモルの理想気体が、ポリトロープ過程を行う。気体のなす仕事Ａ １２ を、初期温度Ｔ １と終温度Ｔ ２ で表記せよ。
２．５８．
（ａ）理想気体が、式ｐＶ ２ ＝一定 の式に従って膨張するならば、この理想気体は加熱されているか、、それとも冷却されているか。
（ｂ）この過程における気体のモル熱容量Ｃは幾らか。
２．５ ９． ポリトロープ過程における、理想気体のモル熱容量Ｃを、ポリトロープ係数ｎと熱容量比νで表記せよ。
２．６ ０． 前問の結果を利用して、ポリトロープ過程に於いて、ポリトロープ係数ｎがどのような値の時、理想気体の熱容量が、（ａ）正、（ｂ）負、（ｃ）ゼロ、（ｄ）無限大、となるか。
２．６１． 或るポリトロープ過程に於いて、γ＝１．４０の理想気体が、体積Ｖ １ ＝１０．０ＬからＶ ２ ＝５．００Ｌまで圧縮された。この過程で、気体の圧力は、ｐ １ ＝１０００ＧＰａからｐ ２ ＝５０００ＧＰａまで増大した。以下を求めよ。
（ａ）ポリトロープ係数ｎ。
（ｂ）考察している過程における気体のモル熱容量Ｃ。
２．６２． ポリトロープ係数が、（ａ）ｎ＝０．９、（ｂ）ｎ＝０．９９、（ｃ）ｎ＝０．９９９、（ｄ）ｎ＝１．１、 であるポリトロープ過程における、γ＝１．４０の理想気体のモル熱容量を、Ｒを用いて求めよ。
２．６ ３．

γ＝１．４０の理想気体に於いて、ポリトロープ係数ｎを持ったポリトロープ過程に- 44 -

おけるモル熱量量Ｃの依存性を概略図に描け。
２．６ ４． 理想気体が、ポリトロープ過程で、膨張をする。ポリトロープ係数ｎがどのような値の時、（ａ）気体は増大するか、（ｂ）気体は小さくなるか、（ｃ）気体は一定に止まるか。
２．６５． γ＝１．４０の理想気体のある量が、Ｖ １ ＝２０．０ＬからＶ ２ ＝５０．０Ｌまで膨張をする。ｐ－Ｖ図で、その過程は直線である。出発時の圧力はｐ １ ＝１０００ＧＰａ、最終時の圧力はｐ ２ ＝２０００ＧＰａ。
（ａ）過程はポリトロープ過程か。
（ｂ）膨張過程で、気体によって吸収された熱量を求めよ。

２．３．

運動エネルギー２ ． ６ ６ ． 容 器 中 に 、 圧 力 １ ０ １ ３ Ｇ Ｐ ａ （ １ 気 圧 ）、 温 度 ２ ０ ℃ の 窒 素 気 体 が 入 っ て い る 。 容器の壁１ｍ ２ に、１秒間当たり、何個νの分子が衝突をするか。
２．６７． 内半径ｒ＝５．０ｃｍの球状容器内に、温度Ｔ＝３００Ｋ、圧力ｐ＝１．００×１０ ５Ｐａの水素が入っている。容器の壁に、１秒間当たり、何個νの分子が衝突をするか。
２．６８． γ値が、（ａ）１．６７、（ｂ）１．４０、（ｃ）１．３３、（ｄ）１．２９、（ｅ）１．
１７、である気体分子の自由度と、その種類を求めよ。
２．６９． 以下の理想気体分子について、モル熱容量Ｃ Ｖ 、Ｃ ｐ （Ｒで表現）を計算し、これらの比γを求めよ。（ａ）１原子分子、（ｂ）硬い２原子分子、（ｃ）柔らかい２原子分子、（ｄ）硬い３原子分子（原子は一直線上にはない）。
２．７ ０． 自由度の振動準位が「凍結」として、γが１．２０倍増大するならば、この気体の分子は幾つの原子から成り立っているか。
２．７ １． Ｔ＝１０００Ｋのとき、４原子分子からなる或る理想気体が、全ての自由度を励起している（振動準位を含んで）。この気体の１モル当たりの内部エネルギーＵ モル を求めよ。
２．７ ２． 容器がアルゴンで満たされている。気体の温度は０℃。最初、容器が速度ｖ＝１００ｍ／ｓ で動き 、その後、急停止する。気体と容器の壁の間の熱交換を無視して、容器の停止後の、気体の温度を求めよ。
２．７３． １原子理想気体の分子の平均エネルギーは＜ε＞＝６．０×１０ －２１ Ｊ。気体の圧力は
ｐ＝２．０×１０ ５ Ｐａ。単位体積当たりの気体分子数ｎを求めよ。

２．４．

分配

２．７ ４． ｆ（ｘ）は、大きさｘの確率分配関数である。大きさｘの値がａとｂの間にある確率Ｐ（ａ≦ｘ≦ｂ）の式を記述せよ。
２．７５． ｆ １ （ｘ）、ｆ ２ （ｙ）は、統計的に依存性のない大きさｘとｙの確率分配関数である。
大きさｘの値がａ １ とａ ２ の間に、かつ、大きさｙの値がｂ １ とｂ ２ の間にある確率Ｐ（ａ １ ≦ｘ≦ａ ２；ｂ １ ≦ｙ≦ｂ ２ ）の式を記述せよ。
- 45 -

２．７ ６． 図２．９に、或る量ｘの値の確率分布関数のグラフが４つ示されている。グラフの各々について、関数の規格化定数Ａを求めよ。その後、ｘとｘ ２ の平均値を計算せよ。ａの場合について、同じく＜｜ｘ｜＞を計算せよ。

２．７７． 大きさｘの確率分布関数が、ｆ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（－αｘ ２）の形をしている。ここで、Ａとα は定数 。ｘの値が、７．９９９９から８．０００１の範囲にある確率Ｐを与える近似式を記述せよ。
２．７ ８． 調和振動子が、振幅ａの振動を行う。振動子の質量はｍ、固有周波数はω。以下を求めよ。
（ａ）振動子の座標ｘの値の確率分布ｆ（ｘ）＝ｄＰｘ／ｄｘ。
（ｂ）座標の平均値＜ｘ＞。
（ｃ）座標の大きさの平均値＜｜ｘ｜＞。
（ｄ）座標の２乗の平均値＜ｘ ２ ＞。
（ｅ）振動子のポテンシャルエネルギーの平均値＜Ｕ＞。
２．７ ９．
めよ。

窒素分子の平均２乗速度が、平均速度より５０．０ｍ／ｓだけ大きくなる温度Ｔを求２．８ ０． 空気の温度Ｔが幾らの時、窒素分子の平均速度と、酸素分子の平均速度が、３０．０
ｍ／ｓだけ異なるか。
２．８１． 変数ｖを、変数ｕ＝ｖ／ｖ 確 率 に変換して、マックスウエルの分布関数を変換せよ。ここで、ｖ 確率 は分子の最大確率速度。
２．８ ２． ガラス製密閉容器内に、温度Ｔ＝２９３Ｋの理想気体が閉じこめられている。気体分子の平均速度が、１％だけ増大するためには、気体にいかほどの熱量Ｑを与える必要があるか。
２．８３．

２０℃における酸素分子の最大確率速度、平均速度、平均２乗速度を計算せよ。

２．８４． 温度Ｔ＝３００Ｋで、１モルの窒素が平衡状態にある。以下の値を求めよ。
（ａ）全分子の速度のｘ成分の総和Σｖ ｘ 。
（ｂ）全分子の速度ベクトルの総和Σｖ。
（ｃ）全分子の速度ベクトルの２乗の総和Σｖ ２ 。
（ｄ）全分子の速度の大きさの総和Σｖ。
２．８５．

温度Ｔで平衡状態にある気体分子の速度のｘ成分の平均値を求めよ。分子の質量はｍ。

２．８６．

温度２０℃で、１モルの窒素中にある分子の運動量の大きさの総和を求めよ。
- 46 -

２．８７． 古典表示で、Ｔ＝３００Ｋにおける窒素分子の回転の平均２乗角速度（＜ω ２ ＞） １／２
を求めよ。核間距離としてｌ＝３．７×１０ －１０ ｍを採用せよ。
２．８ ８． 或る気体が平衡状態にある。気体分子の何％が、最大確率速度から１％以内の速度を有しているか。
２．８９．

最大確率速度より大きい速度を持つ、気体分子の相対割合を与える式を記述せよ。

２．９０． ヘリウム分子の平均エネルギーは＜ε＞＝３．９２×１０ －２１ Ｊ。この条件下に於いて、ヘリウム分子の平均速度＜ｖ＞を求めよ。
２．９１． Ｔ＝４２１Ｋで、窒素が平衡状態にある。
（１）分子の最大確率速度ｖ 確率 を求めよ。
（２）速度が次の範囲内にある分子の相対数ΔＮ／Ｎを求めよ。（ａ）
４ ９ ９ ． ９ ｍ ／ ｓ か ら ５ ０ ０ ． １ ｍ ／ ｓ 、（ ｂ ） ２ ４ ９ ． ９ ｍ ／ ｓ から２５０．１ｍ／ｓ、（ｃ）７４９．９ｍ／ｓから７５０．１ｍ／ｓ、（ｄ）９９９．９ｍ／ｓから１００１．１ｍ／ｓ。
２．９ ２．図 ２．１０に、地表からの高さｈに対する、空気分子の密度ｎの依存性がグラフで示されている。線形を付けた部分はどのような意味を持っているか。
２．９ ３． 理想気体の分子が、中心対称力場中で、平衡状態にある。個々の分子のポテンシャル
エネルギーはε ｐ ＝ε ｐ （ｒ）の形をしている。力の中心からの距離がｒからｒ＋ｄｒの間にある分子数ｄＮ ｒ を表わす式を求めよ。距離ｒ １ における分子の密度はｎ １ であるとする。
２．９４． アボガドロ数Ｎ Ａ を直接決定したペレンの実験では、水中の樹脂の粒（密度ρ＝１．２
５４ｇ／ｃｍ ３ ）の懸濁液を利用した。懸濁液の温度は２０℃。粒の半径はｒ＝０．２１２μｍ。顕微鏡の 鏡胴の Δｈ＝３０μｍの移動に伴い、顕微鏡で観測される粒の数は２．１倍だけ減少した。
これらのデータから、Ｎ Ａ を求めよ。
２ ． ９ ５ ． 大 気 は 等 温 で あ り 、 自 由 落 下 の 加 速 度 は 高 さ に 依 存 し な い も の と し て 、（ ａ ） 高 度 ５ｋｍ、（ｂ）高度１０ｋｍ、（ｃ）地下２ｋｍ、での気圧を計算せよ。計算はＴ＝２９３Ｋとして行え。海水面での気圧はｐ ０ とする。
２．９６． 地表近傍で、空気中の酸素と窒素の体積濃度比は、η ０ ＝２０．９５／７８．０８＝０．
２６８ 。大気 の温度は高度に依存しないで、０℃に等しいと仮定して、高度ｈ＝１０ｋｍにおけるこの比ηを求めよ。
２．９ ７． 両端が閉じられ、垂直に配置されているパイプが、気体の酸素で満たされている。パ
イプの高さはｈ＝２００ｍ、体積はＶ＝２００Ｌ。パイプの器壁は、全箇所で同じでＴ＝２９３Ｋ。
パイプ内部の圧力は、基底近傍でｐ ０ ＝１．０×１０ ５ Ｐａ。以下を求めよ。
（ａ）パイプの上端近傍における圧力ｐ。
（ｂ）パイプ内の酸素分子の個数Ｎ。
２．９８．
（１） 空気の 温度、自由落下の加速度ｇは、高度ｈに依存しないものと仮定する。空気の密度が、海水面での空気の密度の、（ａ）２倍小さくなる、（ｂ）ｅ倍小さくなる、のは、海水面から如何ほどの高度ｈにおいてか。
- 47 -

（２） 得られ た結果を基にして、ｈに対するｇの不依存性の妥当性を確認せよ。この際、考察中の高度に おける 重力加速度が、海水面での重力加速度と如何ほど異なっているか、問題１．２４２で得られた式ももちいて評価せよ。
２．９ ９． 一端が閉じられているながさｌ＝１．０ｍのパイプがある。パイプを水平にし、パイプの開 放端を 通過する垂直な軸の周りに、角速度ω＝６２．８ラジアン／ｓで回転をさせる。周りの空気の圧力はｐ ０ ＝１．０×１０ ５ Ｐａ、温度はｔ＝２０℃。パイプの閉端近傍における空気の圧力を求めよ。
２．１００． エネルギーが、Ｅ １ ，Ｅ ２ の２つの値だけをとる粒子がＮ個ある。粒子群は温度Ｔで平衡状態にある。この状態で、全粒子の総和したエネルギーＥは幾らとなるか。

２．５．

エントロピー

２．１０１． 容器中に、５個の分子が入っている。
（ａ）容器の左半分と右半分に、これらの分子が配分される場合の数はいくらか。
（ｂ） 全ての ５個の分子が容器の右半分に存在する場合の数Ω（０，５）は幾らかこのような状態の確率Ｐ（０，５）は幾らか。
（ｃ）容器の左半分に１個の分子、右半分に４個の分子が存在する場合の数Ω（１．４）は幾らか。
このような状態の確率Ｐ（１．４）は幾らか。
（ｄ）Ω（２．３）は幾らか。Ｐ（２，３）は幾らか。
２．１ ０２．
うか。

可逆断熱過程に於いて、ある熱力学系の状態の統計学的重さΩはどのように振る舞

２．１ ０３． ある熱力学系が、状態１から状態２へ変移した。状態２の統計学的重さは、状態１の統計学的重さを、η＝２倍だけ優った。系のエントロピーの増加分ΔＳ １２ は幾らか。
２．１０４． ある質量の状態の統計的重みがΩ １ 。この気体の質量より、η倍大きい状態の統計学
的重みΩ ２ を求めよ。両方の場合に於いて、気体の温度と圧力は同じとする。
２．１０５． 熱力学系のある状態の統計的重みΩが、（ａ）１．０×１０＾１０＾２０、（ｂ）５．
０ × １ ０ ＾ １ ０ ＾ ２ ０ 、 で あ る 。 こ の 状 態 に 於 い て 、 系 の エ ン ト ロ ピ ー は 幾 ら か 。（ ａ ） と （ ｂ ）の場合に於いて、エントロピーの相対差の大きさΔＳ／Ｓの大きさはどの程度か。
２．１０６． Ｎ！の自然対数は、スターリングの近似公式で計算できる。
ｌｎＮ！＝Ｎ・ｌｎＮ－Ｎ＋（１／２）ｌｎ（２πＮ）。
この公式での相対誤差は、Ｎの大きさと共に減少する。（ａ）Ｎ＝５、（ｂ）Ｎ＝１０、の場合に於いて、スターリングの公式で計算される値と、ｌｎＮ！の正確な値とを比較せよ。
２．１ ０７． 統計物理学に於いては、スターリングの公式で、第３項を無視し、ｌｎＮ！≒Ｎ・
ｌ ｎ Ｎ － Ｎ と 見 な す。（ ａ ） Ｎ ＝ ５，（ ｂ ） Ｎ ＝１ ０、（ ｃ ）Ｎ ＝ ２ ０、（ｄ ） Ｎ ＝ ３０、（ ｅ ） Ｎ＝１０ ０、 の場合について、この式で得られる相対誤差を求めよ。Ｎ≧２０の場合に於いては、ｌｎＮ ！の正 確な値を得るために、問題２．１０６で示しているスターリングの公式の第３項を計算した値を採用せよ。
２．１０８． 定常条件（ｐ＝１．０１３×１０ ５ Ｐａ、Ｔ＝２７３Ｋ）にある気体について、分子数ΔＮが存在する体積ΔＶ＝ｌ ３ のｌの値を求めよ。
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２．１０９． 温度２５℃、圧力１．０１３×１０ ５ Ｐａにある水素１モルのエントロピーは、Ｓモ
ル＝１３０Ｊ／（モル・Ｋ）である。以下の統計的重みΩを求めよ。
（ａ）１モル。
（ｂ）示している条件下での水素２モル。
２．１ １０．
倍となるか。

１００℃で１モルの水が、１００℃の水蒸気に変移するとき、統計学的重みΩは何２．１１１．

断熱過程に於いて、熱力学系のエントロピーはどのように振る舞うか。

２．１１２． 系が、外界に熱を放出する過程で、系の系のエントロピーを増大させることができるか。
２．１１３． 或る気体が、可逆断熱過程で、直接に状態１から状態２に変移する。この気体は不可逆断熱過程で、直接状態１から状態２へ変移することができるか。
２．１１４． 図２．１１に、理想気体の同じ量に於いて、２つの等エン
トロープ過程が示されている。どちらのエントロピーが大きいか。
２．１１５．

Ｕ－Ｓ図で、理想気体の等温過程と断熱過程のグラフを描け。

２．１１６． （ａ）Ｔ－Ｓ図、（ｂ）Ｖ－Ｓ図、（ｃ）ｐ－Ｓ図で、理想気体の、等温過程、等積
過程、等圧過程、断熱過程のグラフを描け。グラフは、それらの共通点を通過するように描け。
２ ． １ １ ７ ． 図 ２ ． ４ （ 問 題 ２ ． ２ ９ ．） に 描 か れ て い る 各 過 程 に 於 い て 、 エ ン ト ロ ピ ー は ど のように変化するか。
２．１１８． （ａ）Ｓ－Ｔ図、（ｂ）Ｓ－Ｖ図、（ｃ）Ｓ，ｐ図、で、理想気体の等積過程、等圧
過程、等温過程、断熱過程の概略図を描け。エントロピーＳを縦軸とせよ。全てのグラフに於いて、始点を共通とせよ。
２．１１９． 気体のある量が、平衡状態１から平衡状態２へ、（ａ）可逆断熱過程で、（ｂ）ある不可逆過程で、直接変移する。両方の場合に於いて、気体の初期状態と終状態は同じである。
（１）両方の場合に於いて、気体のエントロピーの増加分ΔＳは幾らか。
（２）２番目の過程は、断熱的と見なせるか。
２．１ ２０． 図２．１２に、ある量の理想気体が行った過程が図で示されている。過程１→２でのエントロピーの増加分ΔＳ １２ は、過程２→３でのエントロピーの増加分ΔＳ ２ ３ と、符号だけ異なっている。状態１、状態３について何が言えるか。
２．１ ２１． 図２．１３に、理想気体が、状態１から状態３へ変位する過程１→２→３が示されている 。過程 １→２は可逆、過程２→３は不可逆である。状態１と状態３は同じ断熱線上にある。
過程１→２は等温過程であり、温度Ｔ＝３００Ｋで行われる。気体によってなされる仕事Ａ １２ ＝３００Ｊを伴う。過程２→３において、エントロピーの増加分Ｓ ２３ は幾らか。
２．１ ２２． ある温度領域に於いて、系の熱力学エントロピーが、温度と共に、式Ｓ＝ａ＋ｂＴに従って変化する。ここで、ａは定数、ｂ＝５．０Ｊ／Ｋ ２ 。この領域に於いて、ｔ １ ＝２９０Ｋか- 49 -

らＴ ２ ＝３１０Ｋまで、可逆加熱をしたとき、系はいかほどの熱量Ｑを獲得するか。

２．１２３． １モルの１原子理想気体が、Ｔ １ ＝３００ＫからＴ ２ ＝４００Ｋまで、可逆加熱をされる。加熱の過程で、気体の圧力は、温度と共に、式ｐ＝ｐ ０ ｅｘｐ（αＴ）に従って変化をする。
ここで、α＝０．００１／Ｋ。加熱過程で、気体の獲得する熱量Ｑを求めよ。
２．１ ２４． 図２．１４に、Ｔ－Ｓ図で、１周過程が楕円で示されている。図中のデータを利用して、サイクルの間に、作業物質によってなされる仕事Ａを求めよ。
２．１２５． 温度２５℃、圧力１．０×１０ ５ Ｐａで、１ｇの窒素のエントロピーはＳ １ ＝６．８
４ Ｊ ／ （ ｇ ・ Ｋ ）。 温 度 １ ０ ０ ℃ 、 圧 力 ２ ． ０ × １ ０ ５ Ｐ ａ に お け る ２ ｇ の 窒 素 の エ ン ト ロ ピ ー Ｓ ２
を求めよ。
２．１２６． 温度２５℃、圧力１．０×１０ ５ Ｐａで、１モルの酸素のエントロピーはＳ １ ＝２０
４ ． ８ Ｊ ／ （ モ ル ・ Ｋ ）。 等 温 膨 張 の 結 果 、 気 体 の 占 め て い る 体 積 は 、 ２ 倍 大 き く な っ た 。 最 終 状
態における酸素のエントロピーＳ ２ を求めよ。

２．１２７． １モルの１原子理想気体を、（ａ）定積で、（ｂ）定圧で、０℃から２７３℃まで加熱したとき、気体のエントロピーの増加量ΔＳモルを求めよ。
２．１ ２８． 等温（Ｔ＝４００Ｋ）膨張をする理想気体が、仕事Ａ＝８００Ｊをなす。この気体のエントロピーはどうなるか。
２．１ ２９． 温度Ｔ＝３５０Ｋで行われる、可逆等温過程に於いて、物体は仕事Ａ＝８０Ｊの仕事をし 、物体 の内部エネルギーの増加量はΔＵ＝７．５Ｊ。物体のエントロピーの変化はどうか。
２．１ ３０．

図２．１５参照。温度Ｔで等温膨張をする理想気体が、状態１から状態２へ変位す- 50 -

る。状態１はエントロピーＳ １ で特記される断熱線上にあり、状態２はエントロピーＳ ２ で特記される断熱線上にある。過程に於いて、気体は幾らの仕事Ａをなすか。
２．１３１． 温度ｔ １ ＝－１０．７℃にある質量ｍ＝２００ｇの氷が、ｔ ２ ＝０℃の水に転移する
とき、 エント ロピーの増加量ΔＳを求めよ。氷の熱容量は温度に依存しないものとする。融解温度は２７３Ｋとする。
２．１３２． 温度ｔ １ ＝１００℃にある、質量ｍ＝１．０ｋｇの水蒸気の、水への凝縮と、それから、温度ｔ ２ ＝２０℃までの冷却におけるエントロピーの増加量ΔＳを求めよ。水の熱容量は温度に依存しないものとする。凝縮は１気圧下で行われる。
２．１ ３３． ある物質のエントロピーの増加量が、温度間隔幅に比例する。ΔＳ＝αΔＴ。同じ
温度間隔で、物質の熱容量の、温度依存性はどうなるか。
２．１３４． 単純結晶格子である物体の熱容量が、絶対零度近傍で、式Ｃ＝ａＴ ３ に従って変化する。個々で、ａは定数。この条件下における、物体のエントロピーＳを求めよ。
２．１３５． １モルの理想気体のエントロピーＳの体積Ｖモルに対する依存性を求めよ。ただし、気体の圧力は気体の体積に比例するものとする。比熱比はγ。
２．１ ３６． １モルの理想気体（γ＝１．４０）が、可逆過程を行い、その過程で、気体のエントロピーは熱力学的温度に比例をして変化する。過程の結果、気体の内部エネルギーは、Ｕ １ ＝６．
０ｋＪ／モルからＵ ２ ＝７．０ｋＪ／モルまで変化する。初期状態でのエントロピーはＳ １ ＝２００Ｊ／（モル・Ｋ）。この過程で気体のなした仕事Ａを求めよ。
２．１３７． １．０ｋｇの酸素が、最初、圧力ｐ １ ＝５００Ｐａ下で、体積Ｖ １ ＝０．２０Ｌに閉じこめられていた。その後、気体は膨張し、その結果、気体の体積はＶ ２ ＝０．５０Ｌとなった。圧力はｐ ２ ＝２００Ｐａ。気体を理想気体と見なし、以下を求めよ。
（ａ）気体のエントロピーの増加量ΔＳ。
（ｂ）気体の内部エネルギーの増加量ΔＵ。
２．１ ３８． 容器が隔壁で２つに等分割されている。隔壁は、栓で閉じられた穴がある。容器の片半分 に、１ モルの理想気体が入っている。他方の半分は真空である。栓を取り去ると、気体は容器一杯に拡散する。過程を断熱的と見なし、以下を求めよ。
（ａ）気体の内部エネルギーの増加量ΔＵモル。
（ｂ）気体のエントロピーの増加量ΔＳモル。
２．１ ３９． ２種の理想気体の混合気体の内部エネルギーＵ、エントロピーＳ，自由エネルギー
Ｆは、 混合気 体の各成分の自前の大きさの和である、ことを証明せよ。この目的のために、成分１をν １ モル、成分２をν ２ モル含有する混合気体の分離の過程を考察せよ。図２．１６参照。同じ体積であ る２つ の容器が、お互いに挿入できるような容器に、混合気体を入れる。容器１の底は、分子２は自由に通過できるが、分子１は通過できない。容器２の天上は分子１は自由に通過できるが、分子２ は通過 できない。最初、容器はお互いに完全に差し込まれており、共通の体積Ｖ中に混合気
体が入 ってい る。容器の壁は熱を伝えない。容器１から、容器２をゆっくりと引き出し、成分の分離を、 可逆断 熱過程で実現する。この過程で、系のＵ，Ｓ，Ｆは変化しないことを証明する必要がある。このようにして、最初の述べた主張を証明できるであろう。
２．１４０． 隔壁で２つの部分に分割されている容器がある。片方には、ν １ モルのある気体が入っており、他方にはν ２ の他の気体が入っている。両方の気体とも理想気体である。両方の気体の温- 51 -

度と圧 力は同 じ。隔壁を取り払うと、気体同士は完全に混合する。前問の結果を利用し、エントロ
ピーの増加量ΔＳを求めよ。

２．１ ４１． 図２．１７参照。問題２．１４０を、以下のようにして解け。２つの隔壁の直接の変位に よって 、混合気体の分離の等温過程を考察する。隔壁の１つは、分子１を自由に通し、分子２は通 さない 。もう１つの隔壁は、分子２を通し、分子１を通さない。最初、前者の隔壁は、容器の左端 にあり 、後者の隔壁は容器の右端にある。その後、容器の両方の部分で、圧力が同じ状態に保ちながら、順に隔壁を移動させる。
２．１４２． ｔ＝２５℃、ｐ＝１０１３ＧＰａ下で、窒素１モルのエントロピーは１９２Ｊ／（モル・Ｋ）、酸素１モルは２０５Ｊ／（モル・Ｋ）。空気中には、酸素分子１つ当たり、窒素分子は４個あり、空気中のその他の分子の存在は無視すると仮定し、以下を求めよ。
（ａ）２５℃における空気１モルのエントロピーＳ モル 。
（ｂ）空気が理想気体と見なせる温度範囲における、温度Ｔに対するＳ モル の依存性。
両方の場合に於いて、ｐ＝１０１３ＧＰａとする。
２．１４３． 体積Ｖ＝５０．０ｍ ３ の室内の温度が、１５．０℃から２０．０℃に上昇した。前問の結果 を利用 して、室内の空気のエントロピーの増加量ΔＳを求めよ。大気圧は不変で、ｐ＝１０
１３ＧＰａとする。
２．１ ４４． ある理想気体が、温度Ｔ＝３００Ｋ下で、可逆等温過程を行う。その過程で、気体に仕事 Ａ’＝ －９００Ｊがなされる。気体のエントロピーの増加量ΔＳと、自由エネルギーの増加
量ΔＦを求めよ。
２．１ ４５． ある熱力学系の平衡状態１から、平衡状態２への変位が、熱量Ｑの獲得と、自由エ
ネルギーΔ F の増加量の獲得を伴っている。温度とエントロピーは、Ｔ １ 、Ｓ １ の値からＴ ２ ，Ｓ ２ の値に変化する。この過程において、系は如何ほどの仕事 A をなすか。
２．１ ４６． 可逆断熱膨張の結果、１モル１原子理想気体の温度がΔＴ＝１０．０Ｋだけ低下する 。 期 待 の エ ン ト ロ ピ ー は Ｓ モ ル ＝ ２ ０ ． ０ Ｊ ／ （ モ ル ・ Ｋ ）。 気 体 の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 増 加 量 Δ Ｆを求めよ。
２．１ ４７． 問題２．１３０で記述されている過程１→２において、期待の自由エネルギーの増加量ΔＦを求めよ。

２．６．

サイクル

２．１４８． 図２．１８参照。理想気体が、２つの等温と、２つの等積からなるサイクルを行う。
（１）サイクルの各部分で、（ａ）内部エネルギー、（ｂ）エントロピーはどのように振る舞うか。
- 52 -

（２）各部分で、（ａ）気体によってなされる仕事Ａ、（ｂ）気体によって獲得される熱量Ｑ、は正か、負か、それともゼロか。
２．１４９． 図２．１９参照。理想気体が、２つの断熱と、２つの等圧からなるサイクルを行う。
（１）サイクルの各部分で、（ａ）内部エネルギー、（ｂ）エントロピーはどのように振る舞うか。
（２）各部分で、（ａ）気体によってなされる仕事Ａ、（ｂ）気体によって獲得される熱量Ｑ、は正か、負か、それともゼロか。
２ ． １ ５ ０ ． （ ａ ） ２ つ の 等 温 と 、 ２ つ の 等 圧 、（ ｂ ） ２ つ の 等 圧 と 、 ２ つ の 等 積 、 か ら な る 理
想気体によってなされるサイクルをＴ－Ｖ図に描け。

２ ． １ ５ １ ． （ ａ ） ２ つ の 等 温 と 、 ２ つ の 等 圧 、（ ｂ ） ２ つ の 等 圧 と 、 ２ つ の 等 積 、 か ら な る 理
想気体によってなされるサイクルをＴ－ｐ図に描け。
２．１ ５２．
図に描け。

２つの等圧と、２つの等積、からなる理想気体によってなされるサイクルをＴ－Ｓ

２．１ ５３． 図２．２０参照。サイクル過程は、等温、断熱、２つの等積からなっている。この過程を、Ｔ－Ｓ図中に描け。
２．１５４． カルノーサイクルに於いて、作業物質は、高熱源より、熱量Ｑ １ ＝３００ｋＪを得る。
高熱源と低熱源の温度は、各々、Ｔ １ ＝４５０Ｋ、Ｔ ２ ＝２８０Ｋ。１サイクルで、作業物質によってなされる仕事Ａを求めよ。
２．１ ５５． 図２．２１に、理想気体のカルノーサイクルのｐ－Ｖ図が描かれている。網線の箇所のＩとⅡのどちらが大きいか。
２．１ ５６． 図２．２２に、カルノーサイクルが描かれている。２原子理想気体が作業物質である。状態１，状態２における気体の体積は、各々、Ｖ １ ＝０．０１ｍ ３ 、Ｖ ２ ＝０．０２ｍ ３ 。１サイ
クルになされる仕事はＡ＝７．２ｋＪ。過程４→１において、気体によってなされる仕事Ａ ４１ を計算せよ。分子の振動の自由度は励起されないものとする。
２．１ ５７． 理想気体（比熱比はγ）が、２回の等温過程と、２回の等積過程よりなるサイクルを行う。等温過程は、温度Ｔ １ ，Ｔ ２ （Ｔ １ ＞Ｔ ２ ）で行われ、等積過程は体積Ｖ １ ，Ｖ ２ （Ｖ ２ はＶ １ よりｅ倍大きい）で行われる。このサイクルの効率ηを求めよ。
２．１ ５８． 理想気体（比熱比はγ）が、２回の等温過程と、２回の等圧過程よりなるサイクルを行う。等温過程は、温度Ｔ １ ，Ｔ ２ （Ｔ １ ＞Ｔ ２ ）で行われ、等圧過程は体積ｐ １ ，ｐ ２ （ｐ ２ はｐ １ よりｅ倍大きい）で行われる。このサイクルの効率ηを求めよ。

- 53 -

２．１５９． 作業物質として、理想気体（γ＝１．４０）を採用し、温度をＴ １ ＝５００Ｋ、Ｔ ２＝３００Ｋとして以下の場合における効率ηを求めよ。
（ａ）カルノー機関。
（ｂ）問題２．１５７で考察した機関。
（ｃ）問題２．１５８で考察した機関。
２ ． １ ６ ０ ． 温 度 範 囲 Ｔ １か ら Ｔ ２の 間 で 動 作 す る 任 意 の 可 逆 サ イ ク
ルの効率は、対応するカルノーサイクルの効率より小さい、ことを証明せよ。
２．１６１． 図２．２３参照。ある熱力学系によってなされる可逆サイクルを、Ｔ－Ｓ図で示している。このサイクルの効率ηを求めよ。

２．７．

ファンデアワールス方程式

２．１６２． １モルの窒素が、－１００度まで冷やされた。気体によって占められている体積が、（ ａ ） １ ． ０ Ｌ 、（ ｂ ） ０ ． １ ０ Ｌ 、 で あ る と き 、 容 器 の 壁 を 気 体 が 押 す 圧 力 ｐ を 求 め よ 。 窒 素 を理想気体として見なしたときの圧力ｐ 理想 と、得られたｐとを比較せよ。
２．１ ６３．
比較せよ。

前問を、同じ条件の下で２モルの窒素として解け。得られた結果を、前問の結果と２．１６４． ファンデアワールス定数の決定のために、Ｔ １ ＝３００Ｋ、ｐ １ ＝１．０×１０ ７ Ｐａ、Ｖ １ ＝６．７９×１０ － ４ ｍ ３ の理想気体が、体積Ｖ ２ ＝４．０×１０ － ４ ｍ ３ まで、等温過程で圧縮された。その結果、気体の圧力はｐ ２ ＝１．６５×１０ ７ Ｐａまで増大した。その後、等積過程で温度Ｔ ２＝２００Ｋまで冷却した。これにより、気体の圧力はｐ ２ ＝０．８１９×１０ ７ Ｐａまで低下した。
これらのデータを利用し、この気体１モルの定数ａとｂを計算せよ。
２．１６５． １モルの窒素が、真空中に、断熱膨張し、体積がＶ １ ＝１．０ＬからＶ ２ ＝１０．０
Ｌまで膨張する。気体の温度の変化量ΔＴを求めよ。
２．１６６． ２モルの水素が、真空中に膨張し、その結果、体積がＶ １ ＝２．０ＬからＶ ２ ＝１０．
０Ｌに 増大す る。この過程で、気体の温度を不変とするためには、気体にいかほどの熱量Ｑを与え- 54 -

る必要があるか。
２．１６７． 体積がＶ １ からＶ ２ への等温膨張で、１モルのファンデアワールス気体によってなされる仕 事Ａを 与える式を求めよ。気体の温度はＴ、ファンデアワールス定数はａ、ｂ。得られた式
を、理想気体の場合の対応している式と比較せよ。
２．１６８． 最初、温度－１００℃で、体積Ｖ １ ＝１．０Ｌを占めていた１モルの酸素が、体積Ｖ＝１０．０Ｌまで、等温膨張をした。以下を求めよ。
（ａ）気体の内部エネルギーの増加量ΔＵ モル 。
（ｂ）気体のなした仕事Ａ。（理想気体の公式を用いて計算される仕事Ａ 理想 と、このＡを比較せよ）（ｃ）気体によって得られた熱量Ｑ。
２

２．１ ６９． ファンデアワールス気体について、変数Ｖ，Ｔで、断熱方程式を求めよ。又、Ｖとｐでも表記せよ。得られた式を、理想気体の場合の式と比較せよ。
２．１７０． （ａ）ファンデアワールス気体について、モル比熱差Ｃ ｐ －Ｃ Ｖ を求めよ。
（ｂ） 温度ｔ ＝－１００℃において、体積Ｖ＝１．０Ｌの窒素について、この差を、Ｒだけ用いて計算せよ。
２．１７１． 問題２．１７０．で得られた公式を用いて、圧力ｐ＝５．０×１０ ７ Ｐａ、温度Ｔ＝２７３Ｋにおける酸素について、差Ｃ ｐ －Ｃ Ｖ を計算せよ。この条件下での酸素の体積はＶ＝０．５
６４×１０ －４ ｍ ３ である。
２．１７２． 熱絶縁パイプ中に置かれた、多孔質隔壁を気体を通過させ、ジュールとトムソンは、
理 想 気 体 か ら ず れ た 状 態 に 或 る 気 体 の 温 度 変 化 を 観 測 し た 。 こ の 現 象 は、「 ジ ュ ー ル － ト ム ソ ン 効果」と呼ばれている。
隔壁通過前の気体の状態は、モル体積Ｖ １ ，温度Ｔ １ 。隔壁通過後の気体の温度はＴ ２ とする。過程は断熱 的であ り、隔壁を通過する気体に対して熱力学の第１法則が適用できるものと見なし、気体の温度差ΔＴ＝Ｔ ２ －Ｔ １ を求めよ。ΔＴをＶ １ ，とＴ １ で表記せよ。拡散前は、気体はファンデアワ
ールス気体であり、拡散後は、気体は理想気体と見なす。
２．１７３． 問題２．１７２．参照。もしＴ １ ＞２ａ／ｂＲならば、ジュール－トムソン効果の結果、気体には何が起るか。
２．１７４． 圧力がｐ １ ＝１０．０×１０ ５ Ｐａの水素気体がある。温度Ｔ １ が、（ａ）２７３Ｋ、（ ｂ ） ２ １ ０ ． ５ Ｋ 、（ ｃ ） １ ７ ３ Ｋ の と き 、 ジ ュ ー ル － ト ム ソ ン 効 果 に よ る 、 水 素 の 温 度 の 増 加
量ΔＴを計算せよ。
２．１７５． 圧力がｐ １ ＝１０．０×１０ ５ Ｐａの窒素気体がある。温度Ｔ １ が、（ａ）０℃、（ｂ）
１００℃、のとき、ジュール－トムソン効果による、水素の温度の増加量ΔＴを計算せよ。Ｖ １ の値
は、理想気体の状態方程式に従って決定できるものとする。
２．１ ７６． １モルのファンデアワールス気体のエントロピーに関する式（ＴとＶの依存性）を求めよ。得られた結果を、理想気体の式と比較せよ。
２．１ ７７． 体積Ｖの容器が、穴を栓で閉じた隔壁で、２つの同じ大きさの部分に分割されている。容 器の片 方の部分には、温度Ｔの１モルのファンデアワールス気体が閉じこめられている。栓を抜くと、気体は容器全体に拡散する。拡散過程を断熱的と見なし、以下を求めよ。
（ａ）気体の内部エネルギーの増加量ΔＵ モル 。
- 55 -

（ｂ）気体の温度の増加量ΔＴ。
（ｃ）分子間引力の仕事Ａ分子。
（ｄ）気体のエントロピーの増加量ΔＳ モル 。
２．１７８． 図２．２４参照。ファンデアワールスの等温曲線部分と、実際の等温直線部分１－２で囲まれている面積ⅠとⅡは等しいことを証明せよ。

２．８．

液体と結晶

２ ． １ ７ ９ ． （ ａ ） 不 均 一 な 物 体 は 、 等 方 的 で あ る と 言 え る か 。（ ｂ ） 均 一 な 物 体 は 非 等 方 的 と言えるか。 （解答が ？）２．１ ８０． ＣｓＣｌ結晶は、体心立方格子を持つ。辺長０．４１ｎｍの格子の頂点に塩素イオンがあり、格子の中心にセシウムイオンがある。結晶のモル体積Ｖ モル と、密度ρを求めよ。
２．１ ８１． デュ ロン－ プティの 法則を利用し、（ａ）銅、（ｂ）アルミ
ニューム、の比熱ｃを求めよ。
２ ． １ ８ ２ ． 水 銀 の 球 状 液 滴 が 、（ ａ ） １ ０ 個 ，（ ｂ ） １ ０ ０ 個 ，（ ｃ ）１０００個、の同形の液滴に分裂した。液滴内部の毛管圧はどのように変化をしたか。
２．１８３． 図２．２５参照。Ｕ字管容器が、幅の広いパイプと、幅の狭いパイプからできている。容器内に水を注ぐと、２つのパイプ間の水面の差がｈ＝８．０ｃｍとなる。広いパイプのない半径はｒ １ ＝５．０ｍｍ。
濡れは完全であると見なして、細いパイプのない半径ｒ ２ を求めよ。
２．１８４． 内半径ｄ １ ＝２０．０ｍｍのガラス管内に、直径ｄ ２ ＝１９．０ｍｍの同軸のガラス棒を差 し入れ た。濡れは完全であると見なし、管と棒の間のリング状の隙間で、水の毛細管現象による上昇量ｈを求めよ。
２ ． １ ８ ５ ． 体 積 Ｖ ＝ ２ ２ ． ５ ｍ ｍ ３の 水 銀 液 滴 が 、 水 平に配置されているガラス板の間に入っている。板の間隙幅を
ａ＝３．０μｍと保持するためには、ガラス板を如何ほどの力Ｆで押しつける必要があるか。
２．１ ８６． 図２．２６参照。円形のガラス板の１つの縁には、高さｈ＝２．０μｍのリング状突起がある。ガラス板の間に、体積Ｖ＝１５．０ｍｍ ３ の水滴を入れ、その後、板をお互いに押しつける。 水の濡 れは完全とする。板を引き離すためには板に如何ほどの力Ｆを加える必要があるか。
２．１ ８７． ２枚の平行ガラス板が、垂直に配置され、一部分が水中に入っている。ガラス板の間隔は ａ＝０ ．５０ｍｍ。水平方向の板の長さはｌ＝１０．０ｃｍ。濡れは完全として、以下を求めよ。
（ａ）間隙を水が上昇する高さｈ。
（ｂ）ガラス板がお互いに引き合う力Ｆ。
２．１８８．

２枚のガラス板が、それらの間隙が、楔型を形成するように垂直に配置されている。
- 56 -

頭部の 角度φ は十分に小さい。板を部分的に密度ρの液体に沈める。濡れは完全として、間隙の中で、液 体の表 面とガラス板の各々が交差している曲線の方程式を求めよ。ｙ軸は、楔の稜に沿って上方に 向いて おり、ｘ軸はガラス板の内側表面に沿って水平に伸びているものとする。これらの軸を、楔の外の液体の水面と一致させる。液体の表面張力はα。
２．１ ８９． パラフィンの層でコーチングをした後、格子の穴の半径がｒ＝１．５０ｍｍとなった。水 とパラ フィンはなじまないものとする。水が穴から流れでないで、格子に張り付いていられる、水の層の高さｈを求めよ。
２．１ ９０． 水中の気体の泡の浮上時、泡の半径がη＝１．１０倍大きくなった。水面上で泡の半径は ｒ＝１ ．０μｍである。この泡は、如何ほどの深さｈで形成されたか。大気圧はｐ＝１．０
×１０ ５ Ｐａ。泡の気体の温度は、浮上中不変であると見なす。

２．９．

相平衡と相変化

２．１９１．

大気圧下で、固相から気相への転移が、液相を通過するのは、どのような物質でか。

２．１ ９２． 飽和蒸気の比体積と比較して、液体の比体積を無視できる温度領域に於いて、温度Ｔに対する飽和蒸気圧ｐ 飽和蒸気 の依存性を求めよ。気化比熱ｑは温度に依存しないものと見なす。
２．１ ９３． 図２．２７にある物質の等温線が描かれている。等温線の水平部分は、２相の状態「液体＋飽和蒸気」に対応している。温度Ｔ、この温度における飽和蒸気圧ｐ 飽和蒸気、物質の質量ｍ、蒸発比熱ｑ １２ 、液体の比体積Ｖ １ ’、飽和蒸気の比体積Ｖ ２ ’は既知とする。以下を求めよ。
（ａ）状態１から状態２の変移で、物質によってなされる仕事Ａ １２ 。
（ｂ）この変移で得られる熱量Ｑ １２ 。
（ｃ）内部エネルギーの増加量Ｕ ２ －Ｕ １ 。
（ｄ）エントロピーの増加量Ｓ ２ －Ｓ １ 。
（ｅ）自由エネルギーの増加量Ｆ ２ －Ｆ １ 。
２ ．１ ９ ４ ． 図 ２ ． ２８ 参 照 。 ある 物 質 の飽 和 蒸 気 の弾 性曲線 上に、点Ａが示されている。ｐ－Ｖ図では、この点は何に対応しているか。
２ ．１ ９ ５ ． 図 ２ ． ２９ に 、 あ る物 質 の 、結 晶 状 態 から 液体状 態への変移に対応する等温線が描かれている。ｐ－Ｔ図では、この部分は何に対応しているか。

２．１９６． 図２．３０に、３つの等温曲線と、１つの等圧曲線が描かれている。
（ａ）図２．３０ｂに描かれているｐ－Ｔ図中に、これらの曲線を描け。
- 57 -

（ｂ）図２．３０ａ中の釣鐘型の曲線の下の領域はｐ－Ｔ図では何に対応しているのか。

２．１０．物理的動力学
２．１ ９７． ２つの非常に長い同軸の円筒の表面の間の間隙に、一様で等方的な物質が詰まっている。表面の半径は、ｒ １ ＝５．０ｃｍ、ｒ ２ ＝７．０ｃｍ。内側表面の温度はＴ １ ＝２９０Ｋ、外側表面の温度はＴ ２ ＝３２０Ｋに保持されている。対称軸からの距離がｒである箇所の温度Ｔの依存性を求めよ。
２．１９８． ２つの同心球の間隙に、一様で等方的物質が詰まっている。球の半径はｒ １ ＝１０．
０ｃｍ、ｒ ２ ＝２０．０ｃｍ。内側表面の温度はＴ １ ＝４００Ｋ、外側表面の温度はＴ ２ ＝３００Ｋに保持さ れてい る。これらの条件の下で、内球から外球へ一定の熱流ｑ＝１．０ｋＷが流れる。間隙の間の物質の熱伝導率κが温度に依存しないものとする。以下を求めよ。
（ａ）κの値。
（ｂ）球の中心からの距離がｒである箇所の温度Ｔ（ｒ）。
２．１９９． 図２．３１参照。熱容量が共にＣ＝５００
Ｊ ／ Ｋ で あ る ２ つ の 物 体 が 、 断 面 積 Ｓ ＝ ３ ． ０ ｃ ｍ ２、 長
さｌ＝４０．０ｃｍの棒で連結されている。棒の熱伝導率
は 温 度 に 依 存 し な い で 、 κ ＝ ２ ０ ． ０ Ｗ ／ （ ｍ ・ Ｋ ）。 物
体と棒は、熱絶縁のシステムを形成している。最初、物体の温度は異なっている。物体の温度差が、
η＝２倍小さくなるまでの時間τを求めよ。棒の熱容量、物体の温度の不均一さは無視する。
２．２００． 酸素が、圧力ｐ＝１．０×１０ ５ Ｐａ下で、温度Ｔ＝３００Ｋにある。以下を求めよ。
（ａ）分子の平均自由行程長λ。
（ｂ） 分子の 自由行程の平均時間τ。分子間の平均距離＜ａ＞（問題２．６参照）と、λを比較せよ。
２．２０１． 圧力ｐ＝１．０×１０ ５ Ｐａ、温度Ｔ＝３００Ｋの窒素１ｍ ３ の体積中の窒素分子が、１秒間に衝突をする回数νを求めよ。
２．２ ０２． ｔ＝０℃、ｐ＝１０１３ＧＰａ下にあるヘリウムの熱伝導率は、κ＝０．１４３Ｗ／ （ ｍ ・ Ｋ ）。 Ｄ 、 κ 、 η の た め の 式 中 の 数 値 係 数 を １ ／ ３ と 見 な し 、 こ れ ら の 条 件 下 で の ヘ リ ウ
ムの拡散係数、粘性率ηを評価せよ。得られた値を、巻末添付の表の値と比較せよ。
２．２０３． ｔ＝０℃、ｐ＝１０１３ＧＰａにおける酸素の拡散係数はＤ＝１．８×１０ －５ ｍ ２ ／ｓ。こ の条件 下における酸素分子の自由行程の平均長λを求めよ。このλを、分子間の平均距離＜ａ＞と比較せよ。問題２．６参照。
- 58 -

２．２０４． 温度Ｔ＝３００Ｋ、圧力ｐ＝１．０×１０ ５ Ｐａにおける水素と窒素の相度拡散係数
Ｄ１２を計算せよ。
２．２ ０５． 間隙がａ＝１．０ｃｍである、２枚の平行で平らな大きい平板の間に、アルゴンが充填されている。板の間の温度差はΔＴ＝１．００Ｋ（Ｔ １ ＝２９９．５Ｋ、Ｔ ２ ＝３００．５Ｋ）に保持されている。アルゴンの気圧が、（ａ）１．０×１０ ５ Ｐａ、（ｂ）１．０×１０ ４ Ｐａ、（ｃ）
０．１Ｐａ、（ｄ）０．０１Ｐａ、のとき、熱流密度ｑ／Ｓを評価せよ。
２．２ ０６． 魔法瓶に、質量ｍ＝１．０ｋｇの水を注いだ。魔法瓶の内側の容器の表面積はＳ＝７００ｃｍ ２ 。内側と外側の容器の間の間隙はａ＝５．０ｍｍ。間隙内の圧力はｐ＝０．１Ｐａ。魔法瓶か らの熱 の漏れは、間隙内の気体の熱伝導だけによるものと仮定して、水温が９０℃から８０℃まで低下するに要する時間τを見積もれ。魔法瓶の外部の温度は２０℃とする。
２．２ ０７． ？ 半径Ｒ＝０．２ｍの水平に置かれた円盤が、細い弾性糸で、垂直軸に固定されている同じ形の円板の上に吊されている。糸の捻り係数はχ＝３．６２×１０ －４ Ｎ・ｍ／ラジアン。
円板の 間隔は ａ＝５．０ｍｍ。下の円板が角速度ω＝２０．０ラジアン／ｓで回転をするならば、糸を角度αだけ捩る必要があるか。
２．２０８． 図２．３２参照。気体の粘性測定法の１つとして、固定してある円板の上で、細い弾性糸で吊された同形の水平円板の捻り振動の減衰速度の観測がある。円板の間に或る気体の粘性ηを、円板の質量ｍ、円板の半径Ｒ、円板の間隙ａ、振動の減衰係数βと結びつける公式を導け。
始点の摩擦は無いものと見なす。
２．２０９． 容器を２つの分割している薄い隔壁に、半径ｒ＝１．０ｍｍの円形の穴がある。容器には圧力ｐ＝１．００Ｐａのヘリウムが入っている。 容器の 壁は、温度Ｔ＝３００Ｋに保たれている。単位時間当たりに、両側から、穴を通り抜
ける分子数νを求めよ。
２．２ １０． 体積Ｖ中に閉じこめられている気体が、穴から真空中に漏れだしている。穴の直径は、気 体分子 の自由行程長より十分に小さい。穴の面積はＳ。過程は温度Ｔ下で、等温的に行われる。容器内の気体の圧力が、η倍小さくなるまでの時間τを求めよ。気体のモル質量はＭ。
２．２ １１． ２つの容器が、熱を伝えない薄いパッキングで分離されている。容器１の壁の温度
はＴ １ ＝３００Ｋ、容器２の壁の温度はＴ ２ ＝５００Ｋ。容器同士を穴で連結する。穴の大きさは、容器を満たしている気体分子の平均自由行程長より１５倍小さい。容器１中の気体の圧力はｐ １ ＝０．
１Ｐａ。容器２中の気体の圧力ｐ ２ は幾らとなるか。

- 59 -

第３部

電気学と磁気学

３．１．

真空中の電場

３．１． 荷電量の離散的性質を観察するためには、１０ － ９ Ｃオーダーの荷電量を、如何ほどの相対誤差δで測定する必要があるか。
３．２． ある荷電量が、Ｋ観測系に於いて、大きさｑを有している。Ｋ系に対して、速度ｖ ０ で運動しているＫ’観測系に於いて、この荷電量の大きさｑ’は幾らとなるか。
３．３．

１モルの電子の相荷電量ｑは幾らか。

３．４．

１ｃｍ ３ に包含されている銅の原子核の相荷電量ｑを求めよ。

３．５．

２つの電子がある。これらの重力相互作用力Ｆ ｇ と、クーロン相互作用力Ｆ ｅ を比較せよ。

３．６ ． ２ つの電子がある。間隔はｒ＝１．０ｍｍ。１つの電子が，もう１つの電子に与える加速度ｗを求めよ。
３．７ ． ２ 個の陽子間の電気斥力が、２個の陽子間の重力と釣り合うためには、陽子はいかほどの質量ｍｐ’を持っていなければならないか。
３．８ ． 太 陽と地球がある。この２個の天体間のクーロン相互作用力が、この２個の天体間の重力と同じ大きさとなるためには、太陽と地球に如何ほどの荷電量ｑ 太陽、ｑ 地球 を与える必要があるか。
各々の荷電量は、各々の質量に比例させるものとする。
３．９ ． 太 陽と地球に於いて、どのような同じ比荷電ｑ／ｍのとき、２つの天体のクーロン相互作用力が、２つの間の万有引力と等しくなるか。得られたｑ／ｍの値と、電子の比荷電ｅ／ｍ ｅ とを比較せよ。
３．１０． 半径ベクトルｒ １ ，ｒ ２ ，、、ｒ ｉ 、、、ｒ Ｎ１ と、ｒ １ ’、ｒ ２ ’、、、ｒ ｋ ’、、ｒ Ｎ２ の点に固定された点荷電ｑ １ ，ｑ ２ ，、、ｑ ｉ，、、ｑ Ｎ１ と、ｑ １ ’，ｑ ２ ’，、、ｑ ｋ’，、、ｑ Ｎ２ の２つの系がある。ｑ ｋ ’荷
電系が、ｑ ｉ 荷電系に及ぼす力Ｆを求めよ。
３．１１． 体積Ｖの物体に、荷電ｑが、密度ρ＝ρ（ｒ）で分布している。体積Ｖ’の物体には、
他 の 荷 電 ｑ ’ が 密 度 ρ ＝ ρ （ ｒ ’） で 分 布 し て い る 。 荷 電 ｑ ’ が 荷 電 ｑ に 及 ぼ し て い る 力 Ｆ に 対 する式を求めよ。
３．１ ２． １辺長ａの正六角形の頂点に、同じ大きさｑの点電荷が配置されている。以下の条件の場合に於いて、六角形の中心における電位φと電界強度Ｅを求めよ。
（ａ）全ての電荷の符号が同じ場合。
（ｂ）隣り合う荷電の符号が異なる場合。
３．１３． Ｎ個の点電荷、ｑ １，ｑ ２，、、、ｑ ｉ，、、、ｑ Ｎ が、真空中で、動径ベクトル、ｒ １，ｒ ２，、、、、
ｒ ｉ 、、、ｒ Ｎ の箇所に配置されている。動径ベクトルｒで決まる点におけるポテンシャルφと、電界強度Ｅを表わす式を記述せよ。
３．１ ４． 領域Ｖに、密度ρ＝ρ（ｒ）の荷電が配置されている。動径ベクトルｒ’で決まる点におけるポテンシャルφと、電界強度Ｅを表わす式を記述せよ。
- 60 -

３．１ ５． 荷電が表面密度σで一様に帯電している半径Ｒの球の中心における、ポテンシャルφと、電界強度Ｅを求めよ。
３．１ ６． 荷電ｑ＝２．０μＣが、半径Ｒ＝４０．０ｍｍの球の体積にわたって分布している。
球の中心におけるポテンシャルφと電界強度Ｅを求めよ。
３．１ ７． 表面密度σで一様に帯電している半径Ｒの半球の中心におけるポテンシャルφと、電界強度の大きさＥを求めよ。
３．１ ８． 座標の原点に中心を持っている半径Ｒの球殻が、表面密度σ＝ｋｚで帯電している。
ここで、ｋは定数、ｚは球殻の対応している点の座標。球の中心に関して以下を求めよ。
（ａ）ポテンシャルφと電界強度Ｅ。
（ｂ）微分∂φ／∂ｘ、∂φ／∂ｙ、∂φ／∂ｚの値。
３．１９．

一様な電場の等価ポテンシャル面とは何か。

３．２０． 或る場の電界強度が、Ｅ＝Ｅｅ ｘ の形をしている。ここで、Ｅは定数。場のポテンシャ
ルφの式を記せ。
３．２１． 静電場が、Ｅ＝Ｅ １ ｅ ｘ ＋Ｅ ２ ｅ ｙ ＋Ｅ ３ ｅ ｚ の形をしている。ここで、Ｅ １ ，Ｅ ２ ，Ｅ ３ は定数。
（ａ）この場は一様か。
（ｂ）ポテンシャルφの式を記せ。
３．２２． 或る静電場の電界強度が式、Ｅ＝（ａ／ｒ ３／ ２ ）ｅ ｒ で与えられている。ここで、ａは定数。
（ａ）この場は一様か。
（ｂ）この場のポテンシャルφ（ｒ）を求めよ。
３．２３． 或る静電場のポテンシャルが、φ＝φ（ｘ ２ ＋ｙ ２ ＋ｚ ２ ）の形をしている。
（ａ）この場の特徴について述べよ。
（ｂ）点（ｘ、ｙ、ｚ）における電界強度の大きさＥを求めよ。
３．２ ４． 或る静電場のポテンシャルが、φ＝φ（ｒ、θ）の形をしている。ここで、ｒは原点からの距離、θは極角。
（ａ）この場の特徴について述べよ。
（ｂ）点（ｒ、θ）における電界強度の大きさＥを求めよ。
３．２５． 或る荷電系から作られる場のポテンシャルが、φ＝ａ（ｘ ２ ＋ｙ ２ ）＋ｂｚ ２ている。ここで、ａとｂは正定数。
（ａ）電界強度Ｅとその大きさＥを求めよ。
（ｂ）等価ポテンシャル面は、どのような形状をしているか。
（ｃ）Ｅ＝一定である面は、どのような形状をしているか。

の形をし

３．２６． 或る荷電系から作られる場のポテンシャルが、φ＝ａ（ｘ ２ ＋ｙ ２ ）－ｂｚ ２ている。ここで、ａとｂは正定数。問題３．２５．の分問と同じ問題に答えよ。

の形をし

３．２７．

真空中にある、非常の細くて長さ２ａの直線棒が、線密度λで一様に耐電をしている。
- 61 -

棒の軸 に垂直 で、棒の中心を通る直線上にある点において、棒の中心からの距離ｒの関数として、
電界強度の大きさＥを求めよ。
３．２ ８． 問題３．２７の棒について、棒の外で、棒の軸上にあり、棒の中心から距離ｒにある点に於いて、電界強度の大きさＥをｒの関数として求めよ。
３．２ ９． 問題３．２７の結果を利用して、線密度λで一様に帯電している無限直線糸の電界強度の大きさＥ（ｒ）を求めよ。ｒは糸の軸からの距離。
３．３ ０． 半径ｒ＝６０．０ｍｍの細い導体性リングに沿って、荷電ｑ＝２０．０ｎＣが、一様に分布している。
（ａ）ｘ軸として、リングの軸を採用し、リングの軸上におけるポテンシャルφと、電界強度Ｅを、ｘの関数として求めよ。ｘ座標の原点はリングの中心点に置く。
（ｂ）以下の場合を考察せよ。ｘ＝０と、ｘ≫ｒ。
（ｃ）電界強度の大きさの最大値Ｅ 最大 と、その位置座標値ｘ 最大 を求めよ。
（ｄ）関数φ（ｘ）とＥ ｘ （ｘ）のグラフを描け。曲線φ（ｘ）において、点ｘ 最大 はとの位置になるのか説明を加えよ。
３．３ １． 半径ｒ＝０．１０ｍの薄い円板に、荷電ｑ＝１．０μＣが一様に分布している。ｘ軸として板の軸を採用し、（ ａ ） 軸 上 に あ る 点 に お け る φ と Ｅ ｘを 、 ｘ の 関 数 と し て 求 め よ 。 得 ら れ た 式
を、｜ｘ｜≫ｒの場合について、考察せよ。
（ｂ）ｘ＝１００ｍｍの点で、φとＥ ｘ を計算せよ。
３．３ ２． 内半径 ａ、外 半径ｂのリング形状をしている薄い板がある。板には一様 に荷電 ｑが分 布して いる。板の軸をｘ軸として採用し、板の軸上におけるφとＥ ｘ を、ｘの関数として求めよ。｜ｘ｜≫ｂの場合を考察せよ。
３．３ ３． 問題３ ．３１ の結果を利用して、密度σで一様に帯電している無限平板の電場のＥ ｘ を与える式を求めよ。ｘ軸は面に垂直とする。
３．３４． 無限で一様に帯電している板によって作られる電界強度は、Ｅ＝σ／（２ε ０ ）図３．
１参照 。板か ら距離ｂにある点Ｐを考える。Ｐ点から平板に降ろした垂線の基点の周りに、半径ａの円を 描く。 円の内側に分布している荷電により、Ｐ点に形成される電界強度が、全電界強度の半分になる、ａの値を求めよ。その時のｒ、θの値も求めよ。
３ ． ３ ５ ． 半 径 ｒ の 円 板 か ら な る 平 板 コ ン デ ン サ が あ る 。 円 板 の 間 隔 は ２ ａ （ ａ ≪ ｒ）。 円 板 に異なっ た荷電 を同じ大きさだけ帯電させる。円板の中心を通る軸を、ｘ軸とする。座標の原点は、
コンデ ンサの 中心とする。荷電は円板に一様に、密度＋σ、－σで帯電するものとして、ｘ軸上の点における電界強度Ｅを求める。このために以下を求めよ。板の厚さは無視する。
（ａ）ｘの関数としてＥ ｘ 。
（ｂ）Ｅ ｘ （０）則ち、コンデンサの中心におけるＥｘ。
（ｃ）Ｅ ｘ （ａ－０）、則ち、座標ｘ＝ａ－δ（δ→０）の点におけるＥ ｘ 。
（ｄ）Ｅ ｘ （ａ＋０）、則ち、座標ｘ＝ａ＋δ（δ→０）の点におけるＥ ｘ 。
（ｅ）｜ｘ｜≫ｒである点において、ｘの関数としてのＥ ｘ 。
３．３６． ｒとθの関数として、ダイポールのポテンシャルφと、電界強度の大きさＥを求めよ。
ｒはダ イポー ルの中心からの距離、θはダイポールの軸と、ダイポールの中心からその点の方向のなす角度。ダイポールの電気モーメントはｐ。
- 62 -

３．３ ７．

荷電量が中性である系のダイポールモーメントｐはどのような性質を持っているか。

３．３ ８． モーメントｐを持つダイポールが、場Ｅに沿った位置から、場の逆方向に向きを変えるために、如何ほどの仕事Ａをする必要があるか。
３．３９．

（ａ）４極子の双極子モーメントｐは幾らとなるか。（ｂ）８極子ではどうか。

３．４０． 間隔ｌ＝１．０×１０ －８ ｍ離れている２つの水分子の相互作用力Ｆを求めよ。水分子の双極子モーメントはｐ＝０．６２×１０ －２９ Ｃ・ｍ。分子の双極子モーメントは、分子を結んでいる直線に沿って配位しているものと見なす。
３．４１． 図３．２参照。２個の同じ荷電＋ｑが、座標（＋ａ、０）、（－ａ、０）の点に位置している。座標，（ａ）（－ａ、０）、（ｂ）（＋ａ、０）、（ｃ）（０，０）、（ｄ）（０，＋ａ）、の点に対する、この系の双極子モーメントｐを求めよ。
３．４２．

問題３．４１．を、点（－ａ、０）にある荷電＋ｑを、－ｑに置き換えて解け。

３．４３． 図３．３に、荷電系が描かれている。
（１）このような系は何と呼ばれるか。
（２）この荷電系の双極子モーメントｐは幾らか。
（ ３） 座 標点、（ ａ）（ｒ、 ０）、（ ｂ）（ ｒ、ｒ）、（ｃ）（ ０，ｒ）、 におけ る、ポテ ンシャ ルφの 近似値を求めよ。全ての場合に於いて、ｒ≫ａ。

３．４４． 図３．４に、（ｘ、ｙ）平面内にあり、１辺長ａ＝１０．０ｍｍの正六角形の頂点に、
荷電±ｑ（ｑ＝１．０μＣ）が配置された荷電系が描かれている。
（１）系の双極子モーメントｐ、とその大きさｐを求めよ。
（２）座標点（ｘ １ ，ｙ １ ）＝１．０ｍ、１．０ｍ）に、系が作るポテンシャルφの近似値を求めよ。
（３）系の中心から、距離ｒ＝１．０ｍの所におけるポテンシャル値の最大値φ 最大 と、最小値φ 最小を求めよ。
３．４５． 図３．５参照。長さ２ａの細い棒が、軸に沿って、線密度λで、一様に帯電している。
（ａ）左端、（ｂ）中心、（ｃ）右端、に対する棒の双極子モーメントｐを求めよ。
３．４ ６． 問題３．４５．を、荷電の線形密度が、λ＝ｋｘの式に従って変化する場合として解け。ここで、ｋは定数、座標の原点は棒の中心とする。
３．４ ７．

半径Ｒの細いリングに沿って、荷電－ｑが一様に分布している。リングの中心に、荷- 63 -

電＋ｑを置く。
（１）この荷電系の双極子モーメントｐは幾らか。
（ ２ ）（ ａ ） リ ン グ の 軸 に ｘ 軸 を 取 り 、 座 標 軸 の 原 点 は リ ン グ の 中 心 と す る 。 リ ン グ の 半 径 Ｒ よ り
十分に 大きい 値の座標値ｘ（｜ｘ｜≫Ｒ）の点における、ポテンシャルφと電界強度Ｅを求めよ。
（ｂ）どのような多重極によってこの電場は形成されているか。
３．４８．

問題３．１８．における球の双極子モーメントｐを求めよ。

３．４ ９． 問題３．４８の結果を利用して、問題３．１８．の球によって作られる場の、球の中心から距離ｒの点におけるポテンシャルφを求めよ。ｒ≫Ｒとする。
３．５０． 図３．６に描かれている荷電系で、ｅは電基礎量、ａ＝０．１ｎｍ。
（ａ）系の双極子モーメントｐを求めよ。
（ｂ） 系の軸 上にあり、系の中心から距離ｒ＝１０．０ｎｍにある点の、ポテンシャルφの近似値と、電界強度の大きさＥを求めよ。
（ｃ）φとＥはどのような多重極がもたらすか。
（ｄ） ？ 得られたφとＥの値を、同じ距離ｒにおける、点電荷－ｅの場のφ’とＥ’の値と比較をせよ。

３．５ １． 荷電＋ｅの周りを、荷電－ｅが、半径ａ＝０．１０ｎｍの円周軌道を、一様に運動をしている。軌道の中心は荷電＋ｅと一致している。以下を求めよ。
（ａ）この系の双極子モーメントの平均値＜ｐ＞。
（ｂ） 軌道の 面内にあり、荷電＋ｅから距離ｒ＝１０．０ｎｍにある点におけるポテンシャルの平均値＜φ＞と、電界強度の大きさ＜Ｅ＞。得られた結果を、問題３．５０．の結果と比較せよ。
３．５２． 体積Ｖに対して、その表面を突き抜ける流量Φ ａ の比の極限として、ベクトルａの発散が定義される。∇ａ＝ Ｖ→０ ｌｉｍ（Φ ａ ／Ｖ）。以下のベクトル場の発散を求めよ。
（ａ）ａ＝ｆ（ｘ）ｅ ｘ 。ここで、ｆ（ｘ）はデカルト座標ｘのある関数。
（ｂ）ａ＝ｒ。ここで、ｒは発散を定義する点の半径ベクトル。
（ｃ）ａ＝ｅ ｒ 。ここで、ｅ ｒ は発散を定義する単位半径ベクトル。
（ｄ）ａ＝ｆ（ｒ）ｅ ｒ 。ここで、ｆ（ｒ）は半径ベクトルの大きさのある関数。
３．５３． 或るベクトルａの一様な場がある。以下を求めよ。
（ａ）この場の発散∇ａ。
（ｂ）任意の閉曲面を通過するベクトルａの流量Φ ａ 。
３．５ ４．一 様なベクトル場は、源泉を持っていない、ことを利用し、任意の閉曲面に於いて、∫
ｄＳ＝０であることを示せ。
３．５５． 座標の原点に中心を持つ、半径Ｒの球を通過する半径ベクトルｒの流れΦ ｒ を計算せよ。
３．５６． 積分 Ｓ ∫ｒｄＳは幾らか。ここで、ｒは、面素ｄＳの位置の半径ベクトル。Ｓは、体積Ｖで制限されている任意の閉曲面。
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３ ． ５ ７ ． 関 数 ｆ （ ｒ ） は ａ の ベ ク ト ル 場 の 発 散 で あ る 。 ∇ ａ ＝ ｆ （ ｒ ）。 座 標 の 原 点 に 中 心 を持つ半径Ｒの球を突き抜けるベクトルａの流れΦ ａ に対する式を記述せよ。
３．５ ８． ベクトル場ａの領域内に、仮想の閉曲面Ｓを作る。その内部では、至る所で、∇ａ＝０。Ｓを２つの部分Ｓ １ ，Ｓ ２ に分割する。Ｓ １ とＳ ２ を突き抜けるベクトルａの流れΦ １ ，Φ ２ は、どのような関係にあるか。
３．５９． 真空中で、細くて無限に長い一様に帯電している糸で作られている、軸対称場がある。
荷電の線密度はλ。糸に中心を持つ半径Ｒの球表面を仮想する。以下を求めよ。
（ａ）電界強度の表面の法線に対する射影Ｅ ｎ 。
（ｂ）表面を突き抜けるベクトルＥの流れΦ Ｅ 。
３．６０． デカルト座標系で、電界強度が、関数Ｅ＝１ｘｅ ｘ ＋２ｙ ２ ｅ ｙ ＋３ｚ ３ ｅ ｚ で記述されるとき、デカルト座標（ｘ、ｙ、ｚ）に対する、荷電密度ρの依存性を求めよ。
３．６１． 電界強度が、関数Ｅ＝Ａｅｘｐ（－αｒ）ｅ ｒ で記述される場がある。ここで、Ａとαは定数。半径ベクトルの大きさｒに対する、荷電密度ρの依存性を求めよ。
３．６ ２． どのような荷電系が、真空中で、電界強がＥ＝αｒを持つ場を作ることができるか。
ここで、αは定数、ｒは半径ベクトル。
３．６３． ループで限定されている表面Ｓに対する、方向ｎに垂直な面内にあるループに沿った、
循環Ｃ ａ の比として定義される、ｎ方向へのベクトルａの回転の射影は、［ａ］ 射影ｎ ＝ Ｓ→０ ｌｉｍ（Ｃａ ／Ｓ）。以下のベクトル場の回転を求めよ。
（ａ）ａ＝ｆ（ｘ）ｅ ｘ 。ここで、ｆ（ｘ）はデカルト座標の或る関数。
（ｂ）ａ＝ｒ。ここで、ｒは回転が定義されている点の動径ベクトル。
（ｃ）ａ＝ｅ ｒ 。ここで、ｅ ｒ は回転が定義されている点の単位動径ベクトル。
（ｄ）ａ＝ｆ（ｒ）ｅ ｒ 。ここで、ｆ（ｒ）は半径ベクトルの大きさのある関数。
３．６ ４． 任意の閉ループに沿ってとった∫ｄｌは、ゼロである、ことを利用し、一様なベクトル場は、渦無し場であることを示せ。
３．６５．

電場は、Ｅ＝ａ（ｙｅ ｘ －ｘｅ ｙ ）の形をとることができるか。

３．６６． 場Ｅ＝－ａ（ｙｅ ｘ －ｘｅ ｙ ）について、以下を求めよ。
（ａ）座標点（ｘ、ｙ、ｚ）における回転。
（ ｂ ）（ ｘ 、 ｙ ） 平 面 内 の 半 径 ｂ の 円 に 沿 っ た 循 環 Ｃ 。 中 心 は 任 意 の 点 。 巡 回 方 向 は 、 ｚ 軸 に 対 して、右回り系とする。
３．６ ７． 密度σで、一様に帯電している無限平面がある。Ｘ軸は面に垂直。ｘ軸の原点は、軸と面との交点にある。
（ａ）ガウスの定理を利用して、座標ｘの点におけるＥ ｘ を求めよ。得られた結果を、問題３．３３．
の結果と比較せよ。
（ｂ）ｘに対するφの依存性を求めよ。
（ｃ）φが、無限遠で、ゼロになるように、φに対する式を基準化することができるか。
３．６ ８． 外表面が、異極荷電で一様に帯電している無限平板の場は、ゼロと異なっていることができるか。
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３．６９． ２枚の平行無限平板が帯電している。１つは密度σ １ ＝＋４．４２×１０ －１０ Ｃ／ｍ ２ 、
もう１つはσ ２ ＝－８．８４×１０ －１０ Ｃ／ｍ ２ 。図３．７参照。領域Ａ，Ｂ，Ｃにおける電界強度Ｅを求めよ。
３．７ ０． 図３．８参照。２枚の平行無限平板が、密度の大きさが異なる異極荷電で帯電している。密度は各々＋σ １ 、－σ ２ 。図中の点のｘの座標は、ｘ １ ＝－３．０ｍ、ｘ ２ ＝－１．０ｍ、ｘ ３ ＝＋２．０ｍ、ｘ ４ ＝＋３．０ｍ。点２と点１の間のポテンシャル差はφ ２ －φ １ ＝４００Ｖ。
（ａ）密度のうちどちらの方が大きさが大きいか。
（ｂ）ポテンシャル差φ ４ －φ ３ は幾らとなるか。

３．７１． 無限の非常に細い糸が、線密度λで一様に帯電をしている。ガウスの定理を利用して、糸から の距離 ｒの関数として、電界強度の大きさＥを求めよ。得られた結果を、問題３．３９．の答えと比較をせよ。
３．７２． 無限の非常に細い糸が、線密度λ＝２．０μＣ／ｍで一様に帯電をしている。
（ａ）糸からの距離ｒの関数として、Ｅとφを求めよ。距離ｒ ０ ＝１ｍでのポテンシャルをゼロとする。
（ｂ）ｒ＝１０．０ｍにおけるＥとφを計算せよ。
（ｃ）ポテンシャルが無限遠でゼロとなるように、ポテンシャルを基準化できるか。
３．７ ３． ２極真空管の電極カソードは、半径ａ＝０．１０ｍｍの糸の形状をしており、それに同軸の 半径ｂ ＝２．７２ｍｍの円筒がアノードとなっている。電極間に電圧Ｕ＝１００Ｖを印加する。電子が受ける力の大きさＦ ｅ と求めよ。カソードの軸から距離ｒ＝１．０ｍｍの所に位置している水分子の受ける力Ｆ 分子 の力を求めよ。水分子の双極子モーメントはｐ＝０．６２×１０ －２９ Ｃ・ｍ。
３．７ ４． ２本の無限に長い平行な糸が、同種の荷電で、同じ電荷密度λ＝３．０μＣ／ｍで帯電し、 間隔ｂ ＝２０．０ｍｍ離れている。これらの糸は、単位長さ当たり、如何ほどの力Ｆで反発するか 。２本 の糸を、ａ＝１０．０ｍｍまで近接させるためには、糸に単位長さ当たり如何ほどの仕事Ａをなす必要があるか。
３．７５． 表面密度σで帯電している、半径Ｒの球殻がある。
（ａ）球の中心から距離ｒ（＜Ｒ）にある点における電界強度Ｅを求めよ。
（ｂ）（ａ）の結果から何が言えるか。
（ｃ）球殻内部のポテンシャルφは幾らか。
３．７ ６． 帯電している球状の層で形成された空胱中にある電子にどのような力が作用するか。
層中の荷電の体積密度は層の中心までの距離ｒにだけ依存しているものとする。
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３．７ ７． 半径Ｒの球が、体積密度σで、一様に帯電している。喜友名異の点における電界強度
Ｅとポテンシャルφを求めよ。
３．７ ８． 体積密度σで一様に帯電している球の内部に、荷電のない球形の空胱がある。球の中心に対 する、 空胱の中心の変位をベクトルａで定義する。空胱内部の電界強度Ｅを求めよ。ａ＝０の場合を考察せよ。
３．７ ９． １９０３年に、トムソンが、水素原子は、荷電＋ｅが一様に満ちている半径Ｒの球であり、 その内 部に、電子がある、と言うモデルを提案した。摩擦はないものと仮定し、電子の運動の特徴を述べよ。
３．８０． 問題３．７９．で記述した原子のモデルから、正に帯電している球の半径Ｒを求めよ。
電子の振動周波数は、記号Ｈ α で記される水素原子のスペクトル線の周波数と一致しているものとす
る。こ の線の 波長はλ＝６５６．３ｎｍ。得られたＲの値を、気体の運動論から得られる原子の大きさと比較せよ。
３．８１． 荷電ｑ＝１．０ｎＣが、球の中心からの距離ｒに比例する体積密度で、半径Ｒ＝１０．
０ｃｍの球に分布している。以下を求めよ。
（ａ）球の中心におけるポテンシャルφ ０ 。
（ｂ）ｒの関数として、球内部のポテンシャルφ（ｒ）。
（ｃ）球の中心から、球の表面までの距離の半分における電界強度の大きさＥ（Ｒ／２）。
３．８２． 空間が、式ρ＝ρ ０ ／ｒに従って変化している密度の荷電で充填されている。ここで、
ρ ０ は定数、ｒは座標原点からの距離。動径ベクトルｒの関数として、電界強度Ｅを求めよ。電気力線の特徴を調べよ。座標原点近傍領域は考察から除外せよ。
３．８３．空間が、密度ρ＝ρ ０ ｅｘｐ（－αｒ ３ ）の荷電で満たされている。ここで、ρ ０ とαは定数。ｒの関数としてＥを求めよ。ｒが大きい（αｒ ３ ≫１）場合と、小さい場合（αｒ ３ ≪１）について、場の特徴を考察せよ。

３．２．

誘電体中の電場

３．８４． 誘電体が、体積密度ρ ０ ＝１．０μＣ／ｍ ３ で一様に帯電している。物体を速度ｖ＝０．５ｃで動かしたならば、体積密度ρは幾らとなるか。
３．８５． 立方体形状をしている誘電体が、表面密度σ ０ ＝１．０μＣ／ｍ ２ で一様に帯電をしている。 この物 体を辺の１つの方向に沿って、速度ｖ＝０．５ｃで動かすと、表面電荷密度σは幾らとなるか。
３．８６． 細い誘電体棒が、線密度λ ０ ＝１．０μＣ／ｍで、一様に帯電している。棒の方向と角度α＝ ３０度 をなす方向に、速度ｖ＝０．５ｃで、棒を動かすと、荷電の線密度λはどうなるか。
３．８ ７． 誘電率εを持つ、等方的誘電体中のある点において、電気変位がＤである。この点における、分極率Ｐは幾らか。
３．８ ８．２ 枚の無限平行平板が、密度＋σ、－σで帯電している。最初、２枚の板は真空中にある。その後、板の間の間隙を、誘電率εの一様で等方的誘電体で満たす。以下を求めよ。
- 67 -

（ａ）間隙間の場の電界強度Ｅ。
（ｂ）電気変位Ｄ。
（ｃ）板の間のポテンシャル差Ｕ。
３．８９． 電界強度Ｅ ０ ＝１００Ｂ／ｍの一様な電場中に、誘電率がε＝２．０の一様で等方的な誘電体でできている無限平行平板を置く。板はＥ ０ に垂直に配置されている。以下を求めよ。
（ａ）板の内部の電界強度Ｅと電気変位Ｄ。
（ｂ）誘電体の分極率Ｐ。
（ｃ）束縛電荷の表面密度σ’。
３．９０． 等方誘電体でできている厚さａの無限平板が、板の１つの境界面近傍で、分極率がＰ １＝Ｐ １ ｎ、他の境界面近傍で、Ｐ ２ ＝Ｐ ２ ｎ、のように分極している。ここで、ｎは単位ベクトルであり、板 に垂直 で、最初の境界面から後の境界面に向かっている。板の体積にわたっての束縛荷電の体積密度＜ρ’＞を求めよ。
３．９１． 図３．９参照。等方誘電体でできている無限平板が、電界強度Ｅ ０ の一様な外部電場中に置かれている。板の厚さはａ、誘電率は、左の境界面でのε １ から、右の境界面でのε ２ まで、線形的に変化している。板の外部の誘電率はε。以下を求めよ。
（ａ）ｘの関数として、板の内部の∇Ｅ。
（ｂ）ｘ軸に平行で、円柱の基底がｘ １ ＝－ａ／２の点と、ｘ ２ ＝＋ａ／２の点にあり、基底の面積がＳである仮想の円柱の表面を突き抜けるベクトルＥの流量Φ Ｅ 。
（ｃ）ｘの関数として、束縛荷電の体積密度σ’。
３．９２． 問題３．９１に於いて、ε １ ＝２．０、ε ２ ＝４．０、ａ＝１．０ｃｍ、Ｅ ０ ＝３．０ｋ
Ｖ／ｍとする。板の中間におけるρ’を求めよ。
３．９３． 図３．１０参照。厚さａの無限誘電体平板が、電界強度Ｅ ０ の外部電場中に置かれている。板はＥ ０ に垂直である。板の誘電率は、或る式ε（ｘ）（ε（０）＝ε１）に従って変化している。束縛電荷の密度が、式ρ’＝ρ’ １ ／（１＋αｘ）に従って変化をするためには、関数ε（ｘ）はどのような形をしていなければならないか。ここで、ρ’ １ とαは定数。板の外部で、ε＝１。

３．９４． 誘電率ε ２ のガラス板が、電界強度Ｅ １ ＝１０．０Ｖ／ｍの一様電界中に入っている。
板の法線と外場の方向の間の角度α １ は３０°。ガラス板中の電界強度Ｅ ２ 、板の法線となすこの場の角度α ２ 、板の表面に生起する束縛荷電の密度σ’を求めよ。板の外部の媒質の誘電率はε １ ＝１と見なす。
３．９ ５． 図３．１１参照。異種に帯電している板の間隙に、帯電していない誘電体の板を差し入れる 。図中 に描いてある破線は、仮想の閉曲面を示しており、一部分は誘電体内部を、一部分は- 68 -

その外部分を通過している。この表面と通過するベクトル流Ｄは幾らか。
３．９ ６． 図３．１２参照。仮想の閉曲面Ｓは、一部分で、等方誘電体からできている板の外部を、一 部分で 板の内部を通過している。この表面を通過するベクトル流Ｄはゼロであり、ベクトル
流Ｅはゼロより大きい。この結論から何が言えるか。

３．９ ７． 誘電率εの誘電体からできている無限の板が、体積密度ρで一様に帯電をしている。
板の厚 さは２ ａ。板の外部はε＝１。板に垂直にｘ軸をとる。座標の原点は、板の中間にとる。ｘの関数 として 、板の内外におけるφとＥｘを求めよ。板の中間でのポテンシャルをゼロとする。φとＥ ｘ のグラフも描け。
３．９８． 問題３．９７．中の板についいて、以下を求めよ。
（ａ）ｘの関数として、誘電体の分極率Ｐ（ｂ）板の左端（ｘ＝－ａ）と、板の右端（ｘ＝＋ａ）における、束縛荷電の表面密度σ’。
（ｃ）束縛荷電の体積密度ρ’。
３．９９． 問題３．３９で板が、密度ρ＝ρ ０ ｅｘｐ（－α｜ｘ｜）で帯電している。ここで、ρ
０ とαは定数。以下を求めよ。
（ａ）ｘ軸上への場の電界強度の射影。
（ｂ）ｘの関数としての、束縛電荷の体積密度。
３．１００． 或る媒質の分極率Ｐが、式ｅ ｒ ／ｒ ２ に比例する。ここで、ｅ ｒ は単位ベクトル、ｒは
動径ベクトルの大きさ。束縛荷電の体積密度ρ’は幾らとなるか。
３．１ ０１． ε＝５．０である一様で等方の誘電体でできている球の内部に、電界強度Ｅ＝１００Ｖ／ｍの一様電場が形成されている。束縛電荷の最大表面電荷密度σ’ 最大 と、片方の符号を持つ
束縛電荷の平均値σ’を求めよ。
３．１０２． 残留分極率Ｐ ｒ を持つ強誘電体でできている棒が或る。分極は棒の軸方向を向いている。こ の棒を 、細い非弾性の糸で、中央で水平に吊す。棒が電界強度Ｅの水平電場中で微小振動をする。 この微 小振動の周波数ωを求めよ。電場は弱く、棒の分極に本質的な影響を与えないものとする。棒の長さはｌ、密度はδ。

３．３．

電場中の導体。

３．１０３． 接地されている平板金属壁から、距離ａ＝５０．０ｍｍの真空中に点電荷ｑ＝２０．
０ｎＣがある。金属壁が点電荷を引き寄せる力Ｆを求めよ。

- 69 -

３．１ ０４． 接地した平板金属壁の近傍に、壁からの距離がａの所に、点電荷ｑがある。壁に誘起され る荷電 の表面密度σを、荷電から壁に降ろした垂線の基点からの距離ｘの関数として、求めよ。壁の大きさは無限であると見なし、誘導荷電の総量ｑ 誘導 を求めよ。
３．１ ０５． ？ 半径ｒ＝１ｃｍの金属球が、ポテンシャルφ＝１Ｖまで帯電している。球から１００個の電子が飛び去ったとしたら、球の荷電量ｑはどう変わるか。
３．１０６． 最初、平板コンデンサの電極間の空間は、真空である。この時、間隙の電界強度はＥ、電気変位はＤ。その後、図３．１３に示しているように、間隙の半分を、誘電率がεの、一様で等方な誘電体で満たす。この後、生起した
間 隙 １ の 部 分 に お け る Ｅ １， Ｄ １、 間 隙 ２ の 部 分 に お け る Ｅ ２， Ｄ ２を 求 め よ 。 ２ つの場合について考察せよ。
（ａ）電極間の電圧を以前の通り保つ。
（ｂ）電極の荷電量は不変に保つ。
間隙中のＥ線、Ｄ線の概略図を示せ。
３ ． １ ０ ７ ． 問 題 ３ ． １ ０ ６ ． の 類 題 を 解け 。 図 ３ ． １ ４ に 示 さ れ て い る よ うに、間隙を誘電体で半分充足する。
３．１０８． 平板コンデンサの各電極の面積がＳ＝１．０ｍ ２ 。電極間隔はｄ＝５．０ｍｍ。電極間隙は２層の誘電体で充填されている。最初の層の誘電率と厚さは、ε １ ＝２．０、ｄ １ ＝３．０ｍｍ、２番目の層のそれらは、ε ２ ＝３．０、ｄ２ ＝２．０ｍｍ。コンデンサの容量Ｃを求めよ。
３．１０９． 平板コンデンサの各電極の面積がＳ＝１．０ｍ ２ 。電極間隔はｄ＝５．０ｍｍ。電極間隙は、誘電体で充填されている。誘電体の誘電率は、極板に垂直な方向に、片方の極板でε １ ＝２．００から他方の極板でε ２ ＝５．４４まで、線形的に変化している。このコンデンサの容量Ｃを求めよ。
３．１ １０． 極板端における場の散乱を無視して、円筒コンデンサの容量Ｃを求めよ。電極の半径はｒ １ とｒ ２ 。ｒ １ ＜ｒ ２ 。電極の長さはｌ。電極間隙は誘電率εの誘電体で充填されている。
３．１１１． 素粒子の気体放電計数器が、半径ｒ ２ ＝１０．０ｍｍのパイプと、パイプの軸に張られた半径ｒ １ ＝５０μｍの糸からできている。計数器の長さは、ｌ＝１５０ｍｍ。ε＝１として、電極間の容量Ｃを求めよ。
３．１１２． 球形コンデンサの容量Ｃを与える式を求めよ。電極の半径はｒ １ ，ｒ ２ 。ｒ １ ＜ｒ ２ 。
電極間隙は、誘電率εの誘電体で充填されているとする。
３．１１３． 球形コンデンサの電極の半径が、ｒ １ ＝９．０ｃｍ、ｒ ２ ＝１１．０ｃｍ。電極間隙
は、誘 電体で 充填されているが、誘電体の誘電率は、コンデンサの中心からの距離ｒに依存して、
式ε＝ε １ （ｒ １ ／ｒ）で変化している。ここで、ε １ ＝２．０。コンデンサの容量Ｃを求めよ。
（ａ）
３．１１４． Ｎ個のコンデンサがある。各々の容量はＣ １ ，Ｃ ２ ，，，，Ｃ Ｎ 。コンデンサ全てを、並列接続、（ｂ）直列列接、したときの系の容量Ｃを与える式を求めよ。
３．１ １５． 各々の容量が１００ｐＦである同形の１０個のコンデンサを、直接接続する。その合成容量Ｃは幾らとなるか。

- 70 -

３．１１６． ３個のコンデンサがある。Ｃ １ ＝２ｐＦ、Ｃ ２ ＝４ｐＦ、Ｃ ３ ＝６ｐＦ。容量Ｃ＝３ｐＦを得るためには、どのように接続をすればよいか。
３．１１７． 容量Ｃ １ ＝１００ｐＦ、Ｃ ２ ＝２００ｐＦの２つのコンデンサを直列接続をし、一定
電圧Ｕ＝３００Ｖを印加した。各コンデンサにかかっている電圧Ｕ １ ，Ｕ ２ 、コンデンサの電極の荷電量ｑを求めよ。この系の容量Ｃは幾らとなるか。
３．１１８． 図３．１５参照。Ｅ＝１００Ｖ、Ｃ １ ＝１．０μＦ、Ｃ ２ ＝２．０μＦ、Ｃ ３ ＝３．０μＦ。最初、スイッチＫ １ を閉じる。その後、Ｋ １ を開き、スイッチＫ ２ を閉じる。断面１，２，３を、矢印で示している方向に、流れる荷電量ｑ １ ，ｑ ２ ，ｑ ３ は幾らとなるか。
３．１１９． 図３．１６参照。容量Ｃ １ ＝２．０μＦ、Ｃ ２ ＝３．０μＦのコンデンサが、直列接
続をし 、起電 圧Ｅ＝１２０Ｖの電源に接続されている。電源の中点は接地されている。コンデンサを接続 してい る導線は、スイッチＫで、接地することができる。スイッチを閉じた後に、断面１，２，３を図に示した矢印の方向に流れる電気量ｑ １ ，ｑ ２ ，ｑ ３ を求めよ。
３．１ ２０． 半径ａ＝１．０ｍｍの２本の長い導線が、空中に、平行に配置されている。導線の間隔はｂ＝２００ｍｍ。この導線組の単位長さ当たりの相互容量Ｃを求めよ。
３．１ ２１． 誘電率εの誘電体媒質中にある半径ａの２つの同形の球で形成されるコンデンサの
容量Ｃ を求め よ。球の中心間隔はｂ。ｂ≫ａ。ａ＝１０．０ｍｍ、ε＝１．０の場合として、Ｃを
計算せよ。

３．４．

電場のエネルギー

３．１ ２２．
せよ。

距離ｒ＝１．０ｍｍ離れている２つの電子のクーロン相互作用エネルギーＷを計算

３．１ ２３． 水素原子中の、原子核から電子までの距離の逆数の大きさの平均値＜１／ｒ＞＝１／ｒ ０ 。ここで、ｒ ０ ＝０．０５２９ｎｍであり、ボーア半径と呼ばれている。以下を求めよ。
（ａ）電子と原子核の間のクーロン相互作用エネルギーの平均値＜Ｗ＞。
（ｂ）１モルの原子状水素における電子と原子核のクーロン相互作用の総エネルギーＷ。
３．１ ２４． 図３．１７に示している点電荷系の各々について、相互ポテンシャルエネルギーＷを求めよ。全ての荷電は、荷電量の大きさは同じで、辺長ａの正方形の頂点に位置している。
３．１２５． Ｎ個の点電荷ｑ １ ，ｑ ２ ，、、、ｑ ｉ 、、、ｑ Ｎ が、真空中で、半径ベクトルｒ １ ，ｒ ２ ，、、，
ｒ ｉ 、、、ｒ Ｎ の点に位置している。この系の相互ポテンシャルエネルギーＷを求めよ。
３．１ ２６．

体積Ｖの物体に，密度ρ＝ρ（ｒ）で電荷が分布している。この物体のエネルギー- 71 -

Ｗを与える式を求めよ。物体の内外の誘電率はε＝１と仮定する。

３．１２７． 荷電ｑ＝１．０×１０ －１０ Ｃが、半径ｒ＝１．０ｃｍの球の表面に一様に分布している。球を囲んでいる媒質の誘電率はε＝１。
（ａ）球に束縛されている場のエネルギーＷを求めよ。
（ｂ） このエ ネルギーの如何ほどの部分ηが、球と同心球を作る、半径Ｒ＝１．０ｍの仮想した球殻との間に含有されるか。
（ｃ）エネルギーの半分が含有される、球殻の半径Ｒは幾らか。
３．１２８． 荷電ｑ＝１．０×１０ －１０ Ｃが、半径ｒ＝１．０ｃｍの球の体積に一様に分布している。以下を求めよ。
（ａ）球に束縛された場のエネルギーＷ。
（ｂ）喜友名異に含有されているエネルギーＷ １ 。
（ｃ）球を囲んでいる空間中に含有されているエネルギーＷ ２ 。
３．１２９． 最初、荷電ｑ＝１．０×１０ －１０ Ｃが、半径ｒ＝１．０ｃｍの球の体積全体に一様に分布し ている 。その後，相互の斥力の結果，荷電は球の表面に移動する。この際，電気力は，荷電に如何ほどの仕事Ａをなすか。ε＝１とする。
３．１３０． 以下の考えに従って，電子のいわゆる古典的半径ｒ 古 典 を求めよ。古典物理学では，
電子は 帯電し ている球と見なされている。電子の静止エネルギーは，電子と結びついた電場のエネ
ルギー と同一 している。場のエネルギーを与える式に於いて、球の体積にわたっての荷電の分布について の仮定 をしないためには，数値係数１／２（問題３．１２７．では，表面荷電を仮定していた）、或は３／５（問題３．１２８．では、体積荷電を仮定していた）の代りに，１をとる。
３．１ ３１． 点電荷ｑ＝３．０μＣが、誘電率ε＝３．０の一様で等方の誘電体でできている球形層の 中心に 置かれている。層のない半径はａ＝２５０ｍｍ、外半径はｂ＝５００ｍｍ。誘電体領
域内に含有されているエネルギーＷを求めよ。
３．１ ３２． 球形コンデンサの外側電極は、球形状を維持し、内側の形状の変化しない電極と同心を保ちながら、縮むことができる。
（ａ） 両方の 電極に、符号は異なるが、大きさｑ＝２．０μＣの電荷を与えると、外側電極は、電気力の 作用に より、縮む。その結果、外側電極の半径は、ａ＝１００．０ｍｍからｂ＝９５．０ｍ
ｍまで小さくなる。電気力のなした仕事Ａを求めよ。電極間の媒質の誘電率はε＝１とする。
（ｂ）公式 ａ ∫ ｂ （－ｑ ２ ／（４πε ０ ｒ ２ ））ｄｒ を用いた仕事の計算は、正しくない結果をなるのか。
３．１ ３３．

平板コンデンサの極板の距離ｘをΔｘ＝０．２０ｍｍだけ広げるために必要な仕事- 72 -

Ａを求 めよ。 極板は異種の荷電量ｑ＝０．２０μＣで充電していたとする。極板の各々の面積はＳ＝４００ｃｍ ２ 。極板の間の間隙には空気が存在している。
３．１ ３４． 帯電している平板コンデンサがある。極板の間隙は、誘電率εの誘電体で充填されている。コンデンサを、（ａ）電圧源と接続したとき、（ｂ）電圧源から切離したとき、間隙中のエ
ネルギー密度ωはどうなるか。

３．５．

電流

３ ． １ ３ ５ ． Ｎ 個 の 抵 抗 Ｒ １ ， Ｒ ２ ，，， Ｒ Ｎ が 或 る。（ ａ ） 並 列 接 続 、（ ｂ ） 直列 接 続 、を し た と きの合成抵抗Ｒを与える式を求めよ。
３．１３６． Ｒ １ ＝２Ω、Ｒ ２ ＝３Ω、Ｒ ３ ＝６Ωがある。合成抵抗をＲ＝４Ωとするためには、どのように接続をすればよいか。
３．１３７． 図３．１８に、Ｒ １ ＝２ΩとＲ ２ ＝４Ωを、１組としてできている無限抵抗回路がある。この回路の合成抵抗Ｒを求めよ。
３．１ ３８． 図３．１９参照。比抵抗率ρの材料でできている回転物体が示されている。物体の断面積は、式Ｓ（ｘ）に従って、ｘに依存している。この部分の抵抗Ｒを与える式を求めよ。

３．１ ３９． 電力０．５０ｋＷのフィラメント型電熱器を準備する。使用電圧は２２０Ｖ。このために は、直 径０．４ｍｍのニクロム線が如何ほどの長さ必要となるか。加熱状態で、ニクロム線の比抵抗値は、１．０５μΩ・ｍ。
３．１４０． 比抵抗率ρの材料から、厚さｄの平らなリングを準備する。リングの半径はａとｂ。
ａ＜ｂ 。リン グの外側円柱表面と内側円柱表面の間に、或る電位差を印加する。これらの条件下での抵抗Ｒを求めよ。
３．１ ４１． 半径ａの金属球が、球と同心の半径ｂの金属殻で囲まれている。これら２つの金属の間の空間は、比抵抗率ρの一様な等方導電媒質で満たされている。金属管の電気抵抗Ｒを求めよ。
ｂ→∞の場合を考察せよ。
３．１ ４２． 仮想の閉曲面の表面を通って、一定電流Ｉが流れる。時間幅Δｔの間に、表面を通過する電気変位流Φ Ｄ が、Φ １ からΦ ２ （Φ １ ＜Φ ２ ）に増大するとすれば、電流は幾らで、どの方向に流れているか。
３．１ ４３．

辺長ａ＝３００ｍｍの２枚の正方形板が、間隔ｄ＝３．０ｍｍな離れて固定され、- 73 -

平板コ ンデン サを形成している。電圧Ｕ＝２５０Ｖが印加されている。垂直に置かれた板を、速度ｖ＝５ ．０ｍ ｍ／ｓで、灯油（ε＝２．０）の入っている容器中に沈める。この時、結線導線中を流れる電流Ｉを求めよ。
３．１４４． 容量Ｃ＝３００ｐＦのコンデンサに、抵抗Ｒ＝５００Ωを接続して、電圧Ｕ ０ の電源に接続する。コンデンサの電圧がＵ＝０．９９０Ｕ ０ になるまでの時間ｔを求めよ。
３．１４５． 容量Ｃ＝２．０μＦのコンデンサの電極に、±の荷電ｑ ０ ＝１．０ｍＣを与える。その後、電極を抵抗Ｒ＝５ｋΩで短絡する。以下を求めよ。
（ａ）抵抗を流れる電流の変化式。
（ｂ）時間τ＝２．０ｍｓの間に、抵抗を流れる電気量ｑ。
（ｃ）この時間に、抵抗で発生する熱量Ｑ。
３．１４６． 容量Ｃのコンデンサを、電圧Ｕまで充電し、その後、抵抗Ｒで短絡する。コンデンサが放電している間に、抵抗ではいかほ
どの熱量Ｑが放出されるか。
３．１４７． 図３．２０参照。容量Ｃ＝５．０μＦのコンデンサを、
電圧Ｕ ＝２０ ０Ｖの電源に接続する。その後、切替スイッチを接点１から接点２に切り替える。抵抗Ｒ １ ＝５００Ωで発生する熱量を求めよ。抵抗Ｒ ２ ＝３００Ω。配線の抵抗は無視する。
３．１ ４８． 起電圧Ｅ＝１．０Ｖ、内部抵抗Ｒ０＝０．２０Ωの電源が、Ｎ個ある。これらのうち、ｎ 個を直 列接続をする。Ｎはｎで割り切れる用にする。できた直列部分を、並列接続して、電源系を 作る。 これに、抵抗Ｒ＝０．３０Ωを有している装置を接続する。ｎが幾らの時、装置で消費される電力Ｐが最大となるか。最大値のＰは幾らとなるか。
３．１ ４９． 平板コンデンサの電極間に、電極に平行に、銅板を入れる。銅板の厚さは、電極間隔の１ ／３で ある。銅板が入っていないときのコンデンサの容量は、Ｃ＝０．０２５０μＦ。コン
デンサを電源に接続し、電圧Ｕ＝１００．０Ｖまで充電する。以下を求めよ。
（ａ）コンデンサから、銅板を引き抜くためにしなければならない仕事Ａ １ 。
（ｂ）この時、電源のなす仕事Ａ ２ 。
銅板の加熱は無視する。
３ ． １ ５ ０ ． 問 題 ３ ． １ ４ ９ の 類 題 で あ る 。銅 板 の 代り に 、 誘 電率ε＝３．０の誘電体板を使用する場合について解け。
３ ． １ ５ １ ． 紙 コ ン デ ン サ が 時 間 τ ＝ ５ ． ０分 間 に 、与 え た 荷 電量の 半 分 を 失 う 。 荷 電 の 漏 れ は 、 誘 電 体 と し て 使用 し て いる 紙 の み を通じて失われるものとして、紙の比抵抗率ρを計算せよ。
３．１ ５２． 平板コンデンサの電極間隙が、誘電体で充填されている。誘電体の比導電率は、電極に垂直な方向に、σ １ ＝１．０×１０ －１ ２ ／（Ω・ｍ）からσ ２ ＝１．０×１０ －１１ ／（Ω・ｍ）まで、線 形的に 変化をしている。極板間に電圧Ｕ＝３００Ｖを印加したとき、コンデンサを流れる漏れ電流Ｉを求めよ。極板の各々の面積はＳ＝１００ｃｍ ２ 、極板間隔はｄ＝２．０ｍｍ。
３．１ ５３． 図３．２１参照。平板コンデンサの誘電体部分が２つの層からできている。それらの誘電率はε １ ＝２．０、ε ２ ＝３．０、比抵抗率はρ １ ＝１０．０ＧΩ・ｍ、ρ ２ ＝２０．０ＧΩ・ｍ。層の厚さはｄ １ ＝２．０ｍｍ、ｄ ２ ＝１．０ｍｍ。コンデンサに電圧Ｕ＝１００Ｖを印加する。
左側の電極に＋、右側に－。
- 74 -

（１）以下を求めよ。
（ａ）両方の層における、電界強度Ｅ １ ，Ｅ ２ 。電気変位Ｄ １ 、Ｄ ２ 。
（ｂ）左側の電極の面荷電の密度σ １ 、右側の電極の面荷電の密度σ ２ ，層境界における面荷電の密度σ。
（ｃ）左側の電極近傍における束縛荷電密度σ’右側の電極近傍における束縛荷電密度σ ２ ’、層境界近傍における束縛荷電密度σ’。
（ｄ）コンデンサを流れる電流密度ｊ。
（２）ρ １ ＝無限大として、（１）を再計算せよ。
３．１ ５４． 平板コンデンサの電極間隙が、誘電率ε＝７．０で、比抵抗率ρ＝１００ＧΩ・ｍの物質 で満た されている。コンデンサの容量はＣ＝３０００ｐＦ。コンデンサに電圧Ｕ＝２０００
Ｖを印加したとき、コンデンサの漏れ電流Ｉを求めよ。
３．１ ５５． 任意形状のコンデンサの電極が、誘電率ε、比抵抗率ρの弱い導電性媒質で分離されてい る。コ ンデンサの容量はＣ。このコンデンサに、電圧Ｕを印加したとき、コンデンサを流れる漏れ電流Ｉを求めよ。
３．１５６． 半径ａの金属球の２つの電極が、比抵抗率ρ
の媒質中にある。球の中心間の距離はｂ（≫ａ）。電極間の抵抗Ｒを求めよ。
３．１５７． 球形コンデンサの電極の半径がａとｂ（＞ａ）。
電極間隙は、誘電率ε、比導電率σの物質で満たされている。
最初、コンデンサは帯電していない。その後、内側の電極に、荷電ｑ ０ を与える。以下を求めよ。
（ａ）内側の電極にある荷電量ｑの変化式。
（ｂ）荷電の飛散により放出される熱量Ｑ。Ｑを、コンデンサの電気エネルギーの変化量と比較せよ。
３．１５８． 抵抗Ｒの部分の回路に沿って、一定電流Ｉが流れる。
この時、回路の両端間のポテンシャル差はゼロとなれるか。
３．１５９． 図３．２２に、３つの電源と、３つの抵抗が、直列に接続している回路を示している。点１と点２の間のポテンシャル
差φ １ －φ ２ を求めよ。電源及び、結線導線の抵抗は無視する。
３．１ ６０． 図３．２３参照。起電圧Ｅ、内部抵抗ＲのＮ個の電源と、Ｎ個の抵抗Ｒが、図のよ
うに、 Ｎ組連 続して閉会路を形成している。回路をｎ組と、Ｎ組に分割する点Ａと点Ｂの間のポテンシャル差を求めよ。

３．１６１．

図３．２４に示している回路で、Ｅ＝５．０Ｖ、Ｒ １ ＝１．０Ω、Ｒ ２ ＝２．０Ω、- 75 -

Ｒ ３ ＝３．０Ω。電源の抵抗はＲ ０ ＝０．１０Ω。電流Ｉ １ ，Ｉ ２ を求めよ。
３．１６２． 図３．２５に示している回路で、Ｅ １ ＝１０．０Ｖ、Ｅ ２ ＝２０．０Ｖ、Ｅ ３ ＝３０．
０Ｖ、Ｒ １ ＝１．０Ω、Ｒ ２ ＝２．０Ω、Ｒ ３ ＝３．０Ω、Ｒ ４ ＝４．０Ω、Ｒ ５ ＝５．０Ω、Ｒ ６ ＝６．
０Ω、Ｒ ７ ＝７．０Ω。電源の内部抵抗は無視できるほど小さい。電流Ｉ １ ，Ｉ ２ ，Ｉ ３ を求めよ。
３．１ ６３． 図３．２６のａ、ｂに、定電流の２つの分岐回路が示されている。両方の場合に於いて、 各抵抗 を流れる電流を求めよ。電源の抵抗及び配線の抵抗は無視する。点Ａと点Ｂで導線を切断すると電流はどのように変化をするか。

３．１６４． 図３．２７に示している回路の各素子の値は、Ｅ １ ＝１．０Ｖ、Ｅ ２ ＝２．０Ｖ、Ｅ ３＝３．０Ｖ、Ｒ １ ＝１００Ω、Ｒ ２ ＝２００Ω、Ｒ ３ ＝３００Ω、Ｒ ４ ＝４００Ω。各抵抗を流れる電流Ｉ １ ，Ｉ ２ ，Ｉ ３ ，Ｉ ４ を求めよ。電源の内部抵抗は無視する。
３．１ ６５． 図３．２８に、ポテンショメータの回路が示されている。このメータを使用することにより、抵抗Ｒを有している装置にかかっている電圧Ｕを、０からＵ ０ までの範囲で、記録することができる。ここで、Ｕ ０ は定電流電源の電圧。簡単なポテンショメータでは、抵抗Ｒ ０ は一様な銅線を巻いて作られている。この銅線に沿って、滑り棒が動く。銅線Ｒ ０ の端からの、滑り棒の位置ｘの関数として、ポテンショメータで測る、装置Ｒにかかっている電圧Ｕを求めよ。Ｒ≫Ｒ ０ の場合を
考察せよ。

３．６．

真空中の磁場

３．１６６． 電子が直線上を、速度ｖ＝３．０×１０ ５ ｍ／ｓで、一様に動く。電子によって生起される場の、電子から距離ｒ＝１．０×１０ － ９ ｍ（＝１０Å）で、速度ｖに関して垂直線上にある- 76 -

点における磁束密度Ｂを求めよ。
３．１６７． 無限直線電流から距離ｂ＝１．０ｍの距離で、場の磁束密度Ｂが４．８×１０ － ３ テ
スラである。この電流の大きさＩを求めよ。
３．１６８． ２つの電子が、真空中で、同じ速度ｖ＝３．０×１０ ５ ｍ／ｓで、平行直線に沿って、隣り合って動いている。電子間の距離はａ＝１．０ｍｍ。電子間の磁気相互作用力Ｆ 磁 気 を求めよ。
Ｆ 磁気 を、電子間のクーロン相互作用力Ｆ 電気 と比較せよ。
３．１ ６９． 半径ｒ＝１００ｍｍの円形コイルに沿って、電流Ｉ＝１．０Ａが循環している。以下の所での磁束密度Ｂを求めよ。
（ａ）コイルの中心。
（ｂ）コイルの中心から距離ｂ＝１００ｍｍのコイルの軸上。
３．１ ７０． 図３．２９参照。定電流の閉回路に於いて、直線導線が、直角に曲がっている箇所がある 。直線 導線部分は十分に長く、回路の他の部分の、直角部分に対する影響は無視できる。図中に示している、角から距離ｂ離れている点Ａにおける磁束密度Ｂを求めよ。
３．１ ７１． 図３．３０に示している平面回路に沿って、電流Ｉ＝１．０Ａが流れる。回路の直線部分の間の角度は直角である。半径はｒ １ ＝１０．０ｃｍ、ｒ ２ ＝２０．０ｃｍ。点Ｃにおける磁束密度Ｂを求めよ。

３．１ ７２． 図３．３１参照。定電流回路が、一様なリングと、それに接続している２本の非常に長い 動径導 線からできている。リング領域内の場に、目立つ影響がないように、２つの導線を閉じる回 路部分 （電源も含んで）を十分遠方に置く。とすると、リングの中心での磁束密度は幾らとなるか。
３．１ ７３． 電流Ｉの流れている閉回路が、長さ２ａの直線部分を含んでいる。点Ａは、この部分から 距離ｂ の所にあり、直線部分の中心を通る垂線上にある。直線部分がＡ点の所に作る磁束密度Ｂを求めよ。ａ→∞の場合を考察せよ。

- 77 -

３．１ ７４． 半径ｒの円に内接させた、正ｎ角形の形状に曲がっている導線に沿って、電流Ｉを流す。 この多 角形の中心での磁束密度Ｂを求めよ。得られた式を、ｎ→∞の場合について、考察せよ。
３．１ ７５． 図３．３２に示している等脚台形の回路を、電流Ｉ＝１．０Ａが循環している。台形の基 底の比 はη＝２．０。台形の面内にある点Ａにおける磁束密度Ｂを求めよ台形の短い方の基底の長さはｌ＝１００ｍｍ、距離ｂ＝５０ｍｍ。
３．１ ７６． 半径ｒ、長さｌのソレノイドが、単位長さ当たり、ｎ巻である。ソレノイドに電流Ｉを流 す。ソ レノイドの中心から距離ｘにあり、ソレノイドの軸上にある点における、磁界強度Ｈを、ｘの関数として求めよ。以下の場合を考察せよ。
（ａ）ｘが有限で、ｌ→∞。
（ｂ）ｘ＝ｌ／２で、ｌ→∞。
３．１ ７７． ？ １巻から次の一巻きへの移行が、ソレノイドの軸方向に沿っての移動を伴う事
情下で は、ソ レノイドの場にどのような影響が現れるか。 （ピッチが徐々に伸びているコイルのことか）
３．１７８． 半径Ｒの円形直線導体に沿って、断面積に一様に、電流密度ｊの電流が流れている。
導体の 軸に対 して垂直の半径ベクトルｒで定義される点における磁界強度Ｈを与える式を導け。点が導体の内外にある場合を考察せよ。
３．１ ７９． 円形断面積の直線導体の内部に、円筒空洞がある。空洞の軸は、導体の軸に平行である。 導体の 軸に対する、空洞の軸の変位量はベクトルａで決まっている。導体に沿って、断面積に一様 に、電 流密度ｊの電流が流れている。空洞内部の磁界強度Ｈを求めよ。ａ＝０の場合を考察せよ。
３．１８０． 半径Ｒ＝５０．０ｃｍのエボナイト製球が、面密度σ＝１０．０μＣ／ｍ ２ の表面荷電で、 一様に 帯電をしている。球が、角速度ω＝１００ラジアン／ｓで、球の軸の周りに回転をする。球の中心における磁束密度Ｂを求めよ。
３．１ ８１． 問題３．１０１．の球が、自身の軸の周りでに回転をする。回転軸は球内部のベク
トルＥに平行である。球の中心における磁束密度Ｂは幾らとなるか。
３．１ ８２． 質量ｍ、半径Ｒの一様な球の体積にわたって、荷電ｑが一様に分布している。球は
角速度 ωで自 身の軸の周りに回転をしている。回転の結果、生起する運動量モーメント（力学モーメント）Ｍと、磁気モーメントｐ ｍ を求めよ。比ｐ ｍ ／Ｍは幾らとなるか。
３．１８３． 電流の流れている円形回路の磁気モーメントが、ｐ ｍ ＝１．０Ａ・ｍ ２ 。回路の半径はＲ＝１０．０ｃｍ。回路の中心における磁束密度Ｂを求めよ。
３．１８４． 絶縁線が巻かれた平面コイルがある。巻数はＮ＝１００。コイルの内半径はＲ １ ＝１０．０ｍｍ、外半径はＲ ２ ＝４０．０ｍｍ。このコイルに電流Ｉ＝１０．０Ａを流すと、コイルの磁
気モーメントｐ ｍ は幾らとなるか。この場合、コイルの中心での磁界強度Ｈは幾らとなるか。
３．１８５． 小さい磁針が、地球の磁場中で、周期Ｔ １ ＝８．９２ｓの微小振動をする。電流の流れているソレノイド中にこの磁針を入れると、磁針は周期Ｔ ２ ＝０．６８ｓで振動をする。ソレノイ
ド内部の場の磁束密度Ｂ ２ を求めよ。地球磁場の磁束密度の水平成分はＢ １ ＝１８．０μＴ。磁針の振動の減衰は無視する。
- 78 -

３．１ ８６． ２個の小さい同型のコイルが、それらコイルの軸が、一直線上にあるように配置している 。コイ ルの間隔はｌ＝２．０ｍであり、コイルの大きさより十分に長い。各々のコイルの巻数はＮ＝１５０巻、コイルの半径はｒ＝５０ｍｍ。両方のコイルの同じ電流Ｉ＝１．０Ａを流すと、コイルは如何ほどの力Ｆで相互作用し合うか。
３．１８７． 電流Ｉ １ ＝１０．０Ａが流れている長い直線導体に並んで、電流Ｉ ２ ＝１．０Ａの流れてい る正方 形枠がある。枠と導線は同じ面内にある。対向する辺の中心を通る枠の軸は、導線に平行で あり、 導線から距離ｂ＝１００ｍｍ離れている。枠の辺長はａ＝８０ｍｍ。枠に作用する力
Ｆ、枠が自身の軸の周りに１８０°回転するためにする必要のある仕事Ａを求めよ。
３．１ ８８． ？ （大雑把にはわかるが、装置の解説図が欲しい） 検流計の鏡の枠が、糸で吊されて いる。 糸の捻り係数（捻り角度に対する、加えた回転モーメントの比）はｋ＝１０．０μＮ
・ｍ／ ラジア ン。枠は細い導線が、Ｎ＝１００回巻かれた長方形をしている。枠の大きさは５０ｍ
ｍ×３ ０ｍｍ 。枠は磁極の間の間隙で回転をすることができる。磁極には円筒形状の凹みがある。
間隙の 軸に沿 って、枠の内側に鉄製の円筒が置かれている。これにより、磁極と鉄円筒の間の間隙
中の場 は軸対 称となっている。枠の１つの辺がある、間隙のその部分では、場は軸の方向を向いており、 もう一 方の辺がある間隙のその部分では、枠の軸から離れた向きをしている。間隙内の場の磁界強度は一様であり、Ｈ＝１００ｋＡ／ｍ。鏡から距離ｌ １ ＝１２００ｍｍの所に、長さｌ ２ ＝８００ｍ ｍの物 差しの付いたスケールが置いてある。電流が流れていないとき、鏡から反射された光斑は、スケールの中心に当る。
この装置で、最大如何ほどの電流Ｉ 最大 を測定できるか。
３．１ ８９． 図３．３３参照。単位長さ当たりの巻数がｎ＝５０００／ｍの長いソレノイドの中央に、 天秤の 竿の端に固定されている巻数Ｎ＝２００回の小さなコイルが置かれている。コイルの軸は、ソレノイドの軸に垂直である。コイルの直径はｄ＝２０．０ｍｍ。点ピン棒の長さはｌ＝１．
０ｍ。 コイル は、天秤皿に置いた錘と釣り合っている。ソレノイドとコイルに電流を流すと、天秤棒の釣 り合い が壊れる。ソレノイドとコイルに同じ電流Ｉ＝１．０Ａを流し、釣り合いを復帰させるためには、天秤皿に置いてある錘を如何ほどの大きさΔＰに変更すべきか。

３．１ ９０． 電流Ｉ＝１．０Ａが流れているコイルが、一様な磁場中に置かれている。コイルの軸は場 の方向 と一致している。コイルの巻線は、直径ｄ＝１．０ｍｍの銅線で出来ている。コイルの半径 は１０ ０ｍｍ。外場の磁束密度Ｂが幾らの時、コイルの巻線は破断するか。銅の破断強度は
σ 破断 ＝２３０ＭＰａ。
３ ． １ ９ １ ． 以 下 の こ と が 既 知 で あ る 。（ １ ） 定 常 電 流 の 密 度 ｊ が 、 ｚ 軸 に 平 行 で 、 こ の 軸 ま での 距 離 ｒ に だ け 依 存 し 、（ ２ ） ｚ 軸 上 に 中 心 を 持 つ 半 径 ｒ の 、 ｚ 軸 に 垂 直 な 平 面 回 路 に 沿 っ て の ベ
クトルＨの循環Ｃは、ｒの３乗に比例する。Ｃ＝αｒ ３ 。
関数ｊ（ｒ）の形を求めよ。
３．１ ９２． ２枚の平行な円板の間隙が、一様で弱い導電性の媒質で満たされている。媒質の比抵抗率 はσ、 誘電率はε、磁気透磁率はμ＝１。間隙幅ｄは円板の半径Ｒより十分に小さい。式Ｕ＝Ｕ ｍ ｃｏｓωｔに従って変化する電圧を円板間に印加する。準定常条件を満たすために、ωは十分- 79 -

に小さいものとする。円板の軸からの距離ｒの点における間隙内の磁界強度Ｈを与える式を求めよ。
ｒはＲより十分に小さいものとする。
３．１ ９３． 問題３．１５７での球状コンデンサにおいて、動径方向に流れる電流があるにもかかわらず、間隙における磁界強度Ｈはゼロである、ことを証明せよ。

３．７．

物質中の磁場

３．１ ９４． 無限長ソレノイドの内部を、透磁率μの磁性体で充填すると、場の磁束密度と磁界強度はどう変化するか。
３．１９５． 長さｌの導線で取り囲まれている任意の閉回路に於
いて、 磁場の 磁界強 度の接 線成分の大きさの平均値＜Ｈ ｌ ＞は幾らとなるか。閉回路には電流Ｉが流れているものとする。
３．１ ９６． 磁束 密度Ｂ ０ の一様場中に、無限で平行平板が置かれている 。平板 は透磁 率μの 磁性体でできている。平板はＢ ０ の磁束線に垂直に置かれている。磁性体中の磁束密度Ｂと、磁界強度Ｈを求めよ。
３ ．１ ９ ７ ． 図 ３ ． ３４ 参 照 。 透磁 率 μ １ ，μ ２ の ２枚の 磁性体 板が、一 体 に な り 、 磁 束 密 度 Ｂ ０の 磁 場 中 に 、 磁 場 に 垂 直 に 置 か れ て い る 。 破
線 は 、 Ｂ ０に 平 行 に 配 置 し た 、 仮 想 の 円 柱 表 面 を 示 し て い る 。 円 柱 の 底
面 積 は Ｓ で 、 Ｂ ０に 垂 直 で あ る 。 こ の 表 面 を 通 り 抜 け る ベ ク ト ル Ｂ の 磁
束流Φ Ｂ 、ベクトルＨの磁界流Φ Ｈ は幾らとなるか。
３ ． １ ９ ８ ． 図 。 ３ ． ３ ５ 参 照 。 無 限 の 磁 性 体 板 が 、 磁 束 密 度 Ｂ ０の
外 場 中 に 、 外 場 に 垂 直 に 置 か れ て い る 。 板 の 透 磁 率 は 、 左 端 で μ １の 値
から、右端でμ ２ の値まで、線形的に変化をしている。以下を求めよ。
（ａ）ｘの関数として、板中の∇Ｈ。
（ ｂ） ｘ 軸 に 平行 に 仮 想し た 円 柱 の表 面 を 通過 す る ベ クト ルＨの 磁界量Φ Ｈ。 円 柱 の 基 底 は 座 標 ｘ １＝ ａ ／ ２ 、 ｘ ２＝ ３ ａ ／ ２ の 点 に あ る 。 各 々の基底の面積はＳ。
３ ． １ ９ ９ ． 磁 束 密 度 Ｂ ０の 一 様 磁 界 中 に 、 透 磁 率 μ の 一 様 等 方 磁 性体でできている球が置いてある。
（ａ）球中の磁界強度Ｈと磁束密度Ｂを求めよ。
（ｂ）μ≫１の場合について、Ｂの近似式を記せ。
３．２００． 図３．３６に示している鉄芯が、コイルを巻かれている。
コ イル に は 一 定電 流 が 流れ る 。 そ の結 果 、 鉄芯 に 磁 束 密度 Ｂの磁 界が発生 する 。 鉄 の 透磁 率 は μ。 鉄 芯 の 断面 積 は Ｓ。 鉄 芯 の 端子 の一方 が、仮想の閉曲面Ｓ’内にある。この表面において、ベクトルＢの流量Φ Ｂ と、ベクトルＨの流量Φ Ｈ を求めよ。
３．２ ０１． 直径ｄ＝５００ｍｍのトーラス形状をした鉄芯に、巻数Ｎ＝１０００のコイルが巻かれて いる。 鉄芯には、幅ｂ＝１．００ｍｍの空気横断隙間がある。コイルに電流Ｉ＝０．８５Ａを流す と、間 隙の磁界強度はＨ＝６００ｋＡ／ｍ。これらの条件下で、鉄の透磁率μを求めよ。間- 80 -

隙の端での場の拡散は無視する。
３．２ ０２． 図３．３７に、実験で得られた純鉄の磁化曲線が描かれている。このグラフを利用し、磁界強度Ｈに対する、透磁率μの依存曲線を作成せよ。透磁率の最大値μ 最大 と、その時の磁界強度Ｈを求めよ。
３．２ ０３． 正方形断面をしている鉄リングがある。リングの平均直径はｄ＝３００ｍｍ、断面積はＳ＝５００ｍｍ ２ 。リングには巻数Ｎ＝８００回のコイルが巻いてある。コイルの電流Ｉ＝３．
０Ａを 流す。 リングには幅ｂ＝２．０ｍｍの空気間隙がある。間隙の端での場の拡散は無視する。
以下を求めよ。
（ａ）これらの条件下での、鉄の透磁率μ。
（ｂ）リングの断面積を通過する磁束Φ。
（ｃ）鉄内部のエネルギーＷ １ 、空気間隙中のエネルギーＷ ２ 、場の全エネルギーＷ。

３．８．

電磁誘導

３．２ ０４． 図３．３８に、磁束密度Ｂの一様磁界中に置かれている。円形平面導体回路が示さ
れ て い る 。 磁 場 は 紙 面 の 向 こ う 側 を 向 い て い る 。（ ａ ） Ｂ が 増 大 す る 、（ ｂ ） Ｂ を 取 り 去 る 、（ ｃ ）回路を拡大する。（ｄ）回路を縮める。の各場合に於いて、回路に発生する電流の方向を示せ。
３．２ ０５． 図３．３９参照。抵抗Ｒを持つ、半径ａの円形導体平面回路がある。最初、回路には電流 は流れ ていない。その後、回路の面に垂直な磁束密度Ｂの磁場をかける。磁場の向きは、図に示している。
（ａ）発生する電流の向きは、どの向きに流れるか。
（ｂ）回路を流れる荷電量ｑは幾らか。
- 81 -

３．２ ０６． 図３．４０参照。Ｕ字型の導体に沿って、力Ｆの作用のもと、一定速度ｖで、回路を閉じ ている 導体棒が動く。回路は、回路の面に垂直にかかっている磁界中にある。回路で、１秒
間毎に、熱量Ｑが発生するならば、力Ｆはいくらとなるか。

３．２ ０７． 長さｌ＝１．２ｍの細い金属棒が、棒に垂直で、棒の端の片方から距離ｌ１＝０．
２５ｍ 離れて いる軸の周りに、一様磁界中で、周波数ｎ＝１２０／分の回転をする。ベクトルＢは回転軸と平行でありその大きさはＢ＝１．０ｍＴ。棒の両端間に発生する電位差Ｕを求めよ。
３．２ ０８． 孤立した、半径ａ＝０．２５ｍの金属円板が、周波数ｎ＝１０００・分で回転をする。以下の場合に於いて、板の中心と端の間の電位差Ｕを求めよ。
（ａ）磁場がないとき。
（ｂ）板に垂直に、磁束密度Ｂ＝１０．０ｍＴがある場合。
３．２ ０９． 電磁石の磁極の間に、小さいコイルを置く。コイルの軸と磁極の軸とは一致している。コイルの断面積はＳ＝３．０ｍｍ ２ 、巻数はＮ＝６０。コイルを１８０°回転すると、コイルに接続し ている 検流計に、荷電ｑ＝４．５μＣが流れる。磁極間の磁界強度Ｈを求めよ。コイル、検流計、導線の総抵抗はＲ＝４０．０Ω。
３．２ １０． 直径ｄ＝１２０ｍｍの円筒形の骨組みに、導線が、１層でＮ＝１００回巻かれている。巻長はｌ＝６０ｍｍ。このコイルのインダクタンスＬを求めよ。コイル心の透磁率は１とする。
３．２ １１． 半径ａ＝１．０ｍｍの導線から、１辺長ｌ＝１０．０ｍの長方形の枠を作る。幅は
ｂ＝０．１ｍであり、ｂ≪ｌ。この枠のインダクタンスＬを求めよ。媒質の透磁率は１とする。
３．２１２． 問題３．１２０の導線系について、単位長さ当たりのインダクタンスＬ １ を求めよ。
導線及び周りの媒質の透磁率は１とする。
３．２ １３． 同軸ケーブルは、誘電体の層で分離された、２本の同軸の導体でできている。内部
導体の 半径が ａ＝１．５ｍｍ、外部導体の半径がｂ＝５．４ｍｍ、誘電体はε＝２．３のポリスチレン。このケーブルの単位長さ当たりの容量Ｃ １ と、インダクタンスＬ １ を求めよ。高周波電送（同軸ケー ブルは このために用いられる）に於いて、交流は導体の表面を流れる、と言うことを考慮せよ。
３．２ １４． 問題３．２０３のコイルのインダクタンスＬを求めよ。Ｌを２つの方法で計算することを 薦める 。ベクトル流Ｂに対する式を用いる。場のエネルギーに対する式を用いる。得られた結果を比較せよ。
３．２ １５． ２個の導体コイルが、隣り合っている。１つのコイルに電流Ｉ＝１０．０Ａが流れている 。もう １つのコイルには、検流計を接続する。２番目の回路の全抵抗はＲ＝５．０Ω。電流- 82 -

Ｉを遮断したとき、検流計に荷電ｑ＝１．０×１０ －８ Ｃが流れた。コイル間の相互インダクタンス
Ｌ １２ は幾らか。
３．２ １６． 単位長さ当たりｎ巻で、断面積Ｓの無限長のソレノイドコイルに、Ｎ巻のコイルが巻かれている。ソレノイドコイルとコイルの間の相互インダクタンスＬ １ ２ を求めよ。ソレノイドに充填されている媒質の透磁率はμ。
３．２ １７． トロイダルコイルとその軸に沿って貫通している無限直線導体の間の相互インダク
タンスＬ １２ を求めよ。トロイダルコイルは、幅ａの長方形形状をしている。トロイダルの内半径は
ｒ １ ，外半径はｒ ２ 。トロイダルのコイルの巻数はＮ。トロイダルと導体は、透磁率μの媒質中に浸かっている。
３．２ １８． 図３．４１参照。単位長当たり抵抗がＲである直線導体が、角度２αで曲がっている。同 じ導体 でできている棒が、各２αの２等分線に直角に配置し、曲げられた導体と一緒になって、三 角形の 閉回路を形成している。この回路を、磁束密度Ｂの一様磁界中に、三角形の面と磁場方向が 垂直に なるように配置する。棒が速度ｖで移動するとき、回路に流れる電流Ｉの方向と大きさを求めよ。点１，２における接触抵抗は無視する。
３．２１９． 電流Ｉ ０ が流れている無限直線導体がある。図３．４２参照。導体から距離ａとｂの所に、 導体に 平行な２本の導体が配置されている。この２本の導体の端は、抵抗Ｒで連結されている。全 ての３ 本の導体は、同じ平面上にある。２本の導体を短絡させながら、導体棒３－４が図のように速度ｖで、滑る。以下を求めよ。
（ａ）回路１－２－３－４を流れる電流Ｉとその方向。
（ｂ）棒３－４を一定の速度で動かすために必要な力Ｆ。Ｉ ０ の流れている導体から、この力を加えるべき棒３－４上の点までの距離ｘ。
（ｃ）棒を移動するに要する仕事率Ｐ。
導体、棒、接触等の抵抗は無視する。

３．２ ２０． 図３．４３参照。水平と角度αをなしておかれている２本の銅の母線に沿って、質量ｍの 重い銅 ブロックが滑り落ちる。磁束密度Ｂの磁界が、母線の周りの空間中にある。磁束密度の方向 は、ブ ロックの移動面に垂直である。母線の上端部を、抵抗Ｒで短絡する。母線とブロックの 間 の 摩 擦 係 数 は ｋ （ ｋ ＜ ｔ ａ ｎ α ）。 母 線 の 間 隔 は ｌ 。 ブ ロ ッ ク の 最 終 速 度 ｖ を 求 め よ 。 母 線 の抵抗、ブロックの抵抗、接触抵抗などは無視する。
３．２ ２１． 考察した問題３．２２０と、異なっているのは、抵抗Ｒの代りに、この箇所に容量Ｃのコ ンデン サを取り付けた点である。ブロックを母線の上に置き、放つ。回路の電気抵抗はゼロであるとして、ブロックの運動特性を予想してみよ。
３．２ ２２． 図３．４４参照。質量ｍの金属棒が、Ｏ点の周りに、振り子のように振動することができ る。棒 の下端は、半径ｂの曲がった弧となっている導体１－２に触れている。この導体の中
心は、 抵抗Ｒ を介して、支点Ｏと接続している。装置全体は磁束密度Ｂの磁界中にある。磁界の向- 83 -

きは、 振動面 に垂直である。支点から、棒の質量中心Ｃまでの距離はａ。Ｃ点を通過する軸に対す
る棒の慣性モーメントはＩ ０ 。摩擦、棒の抵抗、導体１－２の抵抗、接点の抵抗を無視する。棒を角度α ０ だけ傾けてから、初速度ゼロで放つ。その後の棒の運動の特徴を述べよ。

３．２２３． 考察した問題３．２２２と、異なっているのは、抵抗Ｒの代りに、この箇所に容量Ｃのコンデンサを取り付けた点である。回路の抵抗をゼロと見なし、棒を小さい角度α ０ だけ傾けてから、初速度なしで放つ。
その後の棒の運動の特徴を述べよ。
３．２２４． 図３．４５参照。質量ｍの棒が、軸Ｏも周りを摩擦無しで回転できる。同時に、垂直面内に配置されている半径ｂのリング状導体に沿って滑る。装置全ては、磁束密度Ｂの磁界中にあり、磁界の方向はリング面に垂直である。軸とリングは、電源端子に接続されている。以下を求めよ。
（ａ） 棒が一 定角速度ωで回転するためには、棒に流れる電流はどのような式に従って変化をする
必要が あるか 。棒が、右側の水平状態にある時を時間の開始とする。電流は、回転軸からリングに向かって流れる時を、正方向とする。
（ｂ）要求される電流を維持するために必要な電源電圧は幾らとなるか。
回路の全抵抗は一定であり、Ｒとする。回路のインダクタンスは無視する。
３．２ ２５． インダクタンスＬ＝２５０ｍＨ、抵抗Ｒ＝０．３０Ωのコイルが、定電圧源に接続
さ れ る 。 コ イ ル を 流 れ る 電 流 が 、 最 終 値 の （ ａ ） ５ ０ ％ 、（ ｂ ） ７ ５ ％ 、 と な る の は 、 如 何 ほ ど の時間τ後か。両方のτを比較せよ。
３．２２６． 図３．４６参照。ンダクタンスＬ＝２．０μＨ、抵抗Ｒ＝１．０Ωのコイルが、電圧Ｅ＝３．０Ｖの定電圧源に接続される。孤立に並列に抵抗Ｒ＝２．０Ωを接続する。コイルを流れる電流が安定値に達した後、スイッチで電源を切離す。回路の切断後、抵抗Ｒで発生する熱量Ｑを求めよ。電源、接続線の抵抗は無視する。
３．２２７． 正方形の断面を持ち、リング環状の鉄芯が、巻数Ｎ＝１０
００回 のコイ ルを持っている。リングの内半径はａ＝０．２０ｍ、外半径はｂ＝０．２５ｍ。コイルの電 流Ｉ＝ １．２６Ａを流したとき、鉄芯に蓄えられるエネルギーＷを求めよ。鉄芯の全断面積に於いて、磁界強度は一様であり、断面積の中心の値Ｈに等しいとする。
３．２２８． 問題３．２２７のリングに、更に、コイルをＮ １ ＝２０回巻き付ける。このコイルは検流計 に接続 する。追加コイルの抵抗、検流計の抵抗、これらの接続線の抵抗は、全体でＲ＝３１
Ω。先 のコイ ルを流れている電流を切ったとき、検流計を如何ほどの荷電ｑが流れるか。鉄芯の残- 84 -

留磁化は無視する。

３．９．

電場及び磁場中における荷電粒子の運動３．２２９．
計算せよ。

電位差Ｕが、（ａ）１００Ｖ、（ｂ）１００ｋＶを通過する電子が獲得する速度ｖを

３．２３０． 前問の（ｂ）の場合に於いて、古典公式と、相対論公式で得られる速度の値ｖ 古 典 、ｖ 相対 の値を比較せよ。
３．２３１． 最初、電子は速度ｖ ０ で自由に動いている。時刻ｔ＝０のとき、方向ｖ ０ と角度αをなしている、電界強度Ｅの一様電界中に電子は入る。
（ａ）電界中で、電子はどのような軌跡を運動するか。
（ｂ）電子の速度が最小となる点で、軌跡の曲率半径Ｒは幾らとなるか。
（ｃ）時間τの間における、電子の運動量の増加分Δｐは幾らか。
（ｄ） 電子が 電場に入った点から見て、時間と共に、電子の運動量の大きさＭは、どのように変化をするか。
３．２ ３２． 極板間隔がｄ＝１０．０ｍｍの水平に配置されたコンデンサに、質量ｍ＝６．４０
×１０ － １ ６ ｋｇの帯電液滴がある。電極間に電圧がないとき、液滴は一定速度ｖ １ ＝０．０７８ｍｍ／ｓで落下する。コンデンサに、電圧Ｕ＝９５．０Ｖを印加すると、液滴は上方向に、速度ｖ ２ ＝０．
０１６ｍ／ｓで一様に動く。液滴の荷電量ｑ’を求めよ。
３．２ ３３． 電子が、ソレノイドの端の近傍で、ソレノイドの軸に直角に横切るとき、電子に作用する 力Ｆを 求めよ。ソレノイドを流れる電流はＩ＝２．０Ａ、ソレノイドの単位長当たりの巻数はｎ＝３０００／ｍ。電子の速度はｖ＝３．０×１０ ７ ｍ／ｓ。媒質の透磁率は１。
３．２３４． 最初、α粒子が、速度ｖ＝０．３５０×１０ ７ ｍ／ｓで自由に運動している。ある瞬間、磁束密度Ｂ＝１．０Ｔの一様磁場が、電子の速度に垂直にかかる。以下を求めよ。
（ａ）α粒子の軌跡の半径ｒ。
（ｂ）α粒子の磁気モーメントｐ ｍ の大きさと方向。
（ｃ）α粒子の力学モーメントに対するα粒子の磁気モーメントｐ ｍ の比。
α粒子の荷電量はｅ’＝２ｅ、質量ｍ＝６．６５×１０ －２７ ｋｇ。
３．２ ３５． 一様な磁場中で、電子が螺旋に沿って運動する。螺旋の直径はｄ＝８０ｍｍ、ピッチはｌ＝２００ｍｍ。場の磁束密度はＢ＝５．０ｍＴ。電子の速度ｖを求めよ。
３．２ ３６． ｘ軸に沿って磁束密度Ｂ＝１０．０ｍＴの一様磁界がある。ある点Ｏから、ｘ軸方向に、少し拡散した単一エネルギーの電子束が、速度ｖ＝６．０×１０ ６ ｍ／ｓで飛び出す。Ｏ点から、総 ての電 子の軌道が交差する近傍点までの距離ｌを求めよ。この点は電子束が収束する点である。
３．２ ３７． ＥとＢの一様な交差場がある。Ｅ≪ｃＢ。ｙ軸をベクトルＥの方向に、ｚ軸をベク
トルＢ の方向 になるように座標系をとる。座標の原点に質量ｍ、荷電量ｑ’の粒子を置き、初速度ゼロで粒子を放つ。
（ａ）粒子はどのように運動するか。
（ｂ）粒子の速度ｖは、時間と共にどのような式に従って変化するか。

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３．２ ３８． 図３．４７に似た装置で、トムソンは、電子の質量に対する電子の荷電量の比を定めた。 図の装 置で、電子束は、垂直方向の電場、或は、水平方向の磁場、で垂直方向に曲がる。両方の場は、長さｌ １ ＝５０ｍｍで作用する。変更システムから蛍光板までの距離はｌ ２ ＝１７５ｍｍ。
電子束 は、カ ソードＫとアノードＡの間に印加されている電圧Ｕ＝５００Ｖで加速される。圧電場
で、電 子束の 光斑は、ｂ＝５０ｍｍだけ変位する。磁束密度Ｂ＝３７０μＴの磁場をかけると、光斑は、元の位置に戻る。これらのデータから、電子の比電荷を定めよ。
３．２ ３９． 図３．４８に示している質量分析器に於いて、速度選択器の出口スリットと、イオンの検 出器の 入口スリットの間の距離はｌ＝４００ｍｍ。磁場の磁束密度はＢ’＝Ｂ＝５０．０ｍ
Ｔ。選択器の電界強度を滑らかに変化させていくと、Ｅ １ ＝１２０Ｖ／ｃｍ、とＥ ２ ＝１６０Ｂ／ｃｍの所で、検出器にイオン流のピークが観察される。対応するイオン流の原子量Ａｒ １ とＡｒ ２ を求めよ。ただし、イオン流は１価に帯電しているものと見なす。このイオンを断定せよ。

３．２４０． サイクロトロンの電極の内半径がｄ＝１．０ｍ。磁場の磁束密度はＢ＝１．２０Ｔ。
加速電圧はＵ＝１００ｋＶ。以下を求めよ。
（ａ）このサイクロトロンで陽子を加速できる最高エネルギー。陽子の獲得する最終速度ｖ。
（ｂ）加速時間長τ。
（ｃ）この時間の間に陽子が経由する経路長の近似値ｓ。
３．２ ４１． ベータトロンの磁石によって作られる場の磁束密度の平均値＜Ｂ＞は、近似で線形的に変化し、時間τ＝１．０ｍｓの間に、ゼロからＢ １ ＝２００ｍＴまで増大する。電子の軌道半径はｒ＝３００ｍｍ。以下を求めよ。
（ａ）エネルギーＷ＝５０ＭｅＶまでの加速時間に於いて、電子の経由する経路長ｓ。
（ｂ）そのエネルギーまで加速された電子の速度ｖ。

３．１０．

電場の振動。

３．２４２． 容量Ｃのコンデンサを、電圧Ｕまで充電し、インダクタンスＬのコイルと接続する。
この振動回路に於いて、電流の振幅Ｉ 最大 は幾らとなるか。抵抗は無視する。
３．２４３． 面積Ｓ＝６０．０ｃｍ ２ の枠形状をしている閉回路が、磁束密度Ｂ＝２０．０ｍＴの一様磁 界中で 、周波数ｎ＝２０．０／ｓの一様回転をする。回転軸と、場の方向は、相互に垂直である。回路に生起する起電圧の最大値Ｅ 最大 と実効値Ｅを求めよ。
３．２ ４４． 抵抗Ｒ＝８００Ω、インダクタンスＬ＝１．２７Ｈ、容量Ｃ＝１．５９μＦが直列接続し て、交 流回路が形成されている。回路の端子間に、実効電圧Ｕ＝１２７Ｖ、５０Ｈｚを印加する。以下を求めよ。
（ａ）回路の実効電流値Ｉ。
（ｂ）電流と電圧間の位相差φ。
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（ｃ）回路の各素子の両端における実効電圧値Ｕ Ｒ ，Ｕ Ｌ 、Ｕ Ｃ 。
（ｄ）回路で消費される電力Ｐ。
３．２ ４５． 実効電圧値Ｕ＝２２０Ｖ、周波数ν＝５０Ｈｚの交流電圧が、インダクタンスＬ＝
３１．８ｍＨ、実効抵抗Ｒ＝１０．０Ωのコアのないコイルに印加される。
（ａ）１秒間当たりに、コイルで放出される熱量Ｑを求めよ。
（ｂ）コイルに、容量Ｃ＝３１９μＦのコイルを直列に接続すると、Ｑはどのように変化をするか。
３．２ ４６． 図３．４９に示されている回路の端子に、実効電圧Ｕ＝２２０Ｖ、周波数５０Ｈｚの交流 電圧を 印加する。Ｒ＝２２Ω、Ｌ＝３１８ｍＨ。コイルの並列に接続した電圧計の指示値が最小となるように、回路のＣを設定する。これらの条件下に於いて、電圧計の指示値Ｕ １ と電流計の指示値Ｉを求めよ。
３．２ ４７． 図３．５０に示している回路図中の点ＡとＢに、実効値Ｕ＝２２０Ｖの交流電源を接続す る。回 路の容量はＣ＝１．０μＦ、インダクタンスはＬ＝１．０ｍＨ、抵抗はＲ＝１００ｍ
Ω。
（ａ）周波数ωが、いくらの時、断面１を流れる電流が最大となるか。
（ｂ）この周波数の時、断面１，２，３を流れる実効電流Ｉ １ ，Ｉ ２ ，Ｉ ３ は幾らとなるか。

３．２４８． ラジオ受信器の振動回路が、インダクタンスＬ＝１．０ｍＨのコイルと、容量が９．
７ｐＦ から９ ２ｐＦまで変化する可変コンデンサからできている。この受信器は如何ほどの帯域の電波を受信できるか。
３．２４９． 振動回路の抵抗がＲ＝０．３３Ω。この回路で、電流振幅がＩ 最大 ＝３０ｍＡの非減衰振動を維持するとき、この回路は如何ほどの電力Ｐを消費するか。
３．２ ５０． 振動回路のパラメータが、Ｃ＝１．０ｎＦ、Ｌ＝６．０μＨ、Ｒ＝０．５０Ω。コンデン サにお ける電圧振幅Ｕ最大＝１０．０Ｖを維持させ、非減衰振動を続けるためには、回路に如何ほどの電力Ｐを供給する必要があるか。
３．２５１． 振動回路のパラメータが、Ｃ＝４．０μＦ、Ｌ＝０．１０μｍ、Ｒ＝１．０Ω。
（ａ）回路のＱ値は幾らか。
（ｂ）近似公式Ｑ＝（Ｌ／Ｃ） １／２ ／Ｒで、Ｑ値を計算すると、相対誤差はいかほどとなるか。
３．２ ５２． 振動回路のＱ値がＱ＝１０．０。自由振動の周波数ωが、回路の固有振動の周波数
ω０と、何％異なっているか。（（ω ０ －ω）／ωを求めよ。）
３．２５３．

回路の固有振動周波数がν ０ ＝８．０ｋＨｚ、Ｑ値がＱ＝７２。回路に、減衰振動を- 87 -

起こす。
（ａ）時間ｔで、回路に蓄えられているエネルギーＷが減少する式を求めよ。
（ｂ）時間τ＝１．０ｍｓの経過後、最初のエネルギーＷ ０ のうち如何ほどが、回路に残っているか。
３．２ ５４． 電流の共鳴が起る周波数が、電圧の共鳴が起る周波数から、１％以上にならないた
めには、回路のＱ値を幾らにしなければならないか。
３．２５５． 図３．５１に示している回路の容量はＣ＝１０００ｐＦ、インダクタンスはＬ＝１．
０ｍＨ。点ＡとＢに、同時に、同じ振幅電圧であるが、周波数の異なる２つの交流電圧を印加する。
１つの電圧の周波数は、回路の固有周波数と一致（ω １ ＝ω ０ ）する、２つめの電圧は、固有周波数
よ り １ ０ ％ 周 波 数 が 高 い （ ω ２ ＝ １ ． １ ０ × ω ０ ）。 回 路 の Ｑ 値 を、（ ａ ） １ ０ ０，（ ｂ ） １ ０ 、 と した場合に於いて、両方の電圧によって回路に生起される電流振幅の比Ｉ １ ／Ｉ ２ を求めよ。
３．２ ５６． 図３．５２に示している振動回路は、容量Ｃ＝１．０ｎＦ、インダクタンスはＬ＝１０． ０μＨ である。回路に抵抗Ｒ’＝１０．０Ωを直列に接続し、周波数は異なるが、電圧振幅が同じ 交流電 圧Ｕ１，Ｕ２を印加する。電圧源の各々の各々の振幅は共に１０．０Ｖ。前者の電圧
周波数は、回路の共鳴周波数と一致（ω １ ＝ω 共鳴 ）し、後者の電圧周波数は、共鳴周波数より１０％大きい（ω ２ ＝１．１０×ω 共鳴 ）。回路のＱ値が、（ａ）２００、（ｂ）２０、の場合について、抵抗Ｒ’で測定される電圧振幅Ｕ １’、Ｕ ２ ’を求めよ。

- 88 -

第４部

波

４．１．

弾性波

４．１．

式

ξ＝ａ・ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）は縦波それとも横波を記述しているか。

４．２． 弾性波が、位相速度がｖである媒質から、位相速度が２倍速い媒質に伝搬する。この時、波の周波数ωと、波の波長λはどうなるか。
４．３． ｘ軸に沿って、波長λの平面波が伝搬する。振動が、逆位相にある２つの点間の最小距離Δｘは幾らとなるか。
４ ． ４ ． 図 ４ ． １ に 、 ｘ 軸 に 沿 っ て 弾 性 波 が 伝 搬 す る 媒 質中の 粒 子 の 変 位 ξ の 様 子 が 示 さ れ て い る 。 以 下 の 場 合 に つ い て、
点Ａ，Ｂ，Ｃにおける粒子の速度の方向を示せ。
（ａ）縦波。
（ｂ）図の面内で振動が行われる横波。
４．５ ． 式 ξ＝ａ・ｅｘｐ（－γｘ）×ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）で記述される平面弾性波が、一様媒質中を伝搬する。λ＝１．０ｍ、γ＝０．１０／ｍと仮定して、媒質の粒子の変位の比がη＝１．
０１である２点の位相差δφを求めよ。
４．６．

複素振幅Âにはどのような情報が含まれているか。

４．７．同じ方向の２つの干渉性振動が、複素振幅Â １ ＝５ｅｘｐ（ｉπ／６）とÂ ２ ＝６ｅｘｐ（ｉπ／３）で特徴付けられる。合成振動の複素振幅Âを求めよ。
４．８．

無限直線糸の形態の源から放射される円柱調和振動の式を記述せよ。

４．９．

ある物理長の研究から、その物理量は以下の式を満たしていることがわかった。
∂ ２ ｆ／∂ｘ ２ ＝（１／α）∂ ２ ｆ／∂ｔ ２ 。
ここで、αは定数で、１．４４×１０ ８ 。
（ａ）式から、αの次元を求めよ。
（ｂ）量ｆについて何が言えるか。
４．１ ０． 式ξ＝ｆ（ωｔ－ｋｘ）は何を記述しているのか。ここで、ｆはある関数、ωとｋは定数。量ω／ｋはどのような意味を持っているか。
４．１１．

銅棒中の縦弾性波の速度ｖを求めよ。ヤング率はＥ＝１．１２×１０ １ １ Ｐａとする。

４．１２． 図４．２に、進行波中における粒子の瞬間変位が描かれている。
（１）媒質の変形が、（ａ）無い、（ｂ）最大、である点を示せ。
（２）（ａ）ＡとＣ，（ｂ）ＢとＤ、の各点で、運動エネルギー密度、ポテンシャルエネルギー密度、
全エネルギー密度は幾ら（ゼロ、ゼロではない、最大）となるか。
４．１ ３． 弾性媒質に於いて、縦平面波ξ＝ａ・ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）が伝搬する。ｔ＝０として、こ のグラ フの下に、ｘに関する変位ξの依存性のグラフと、ｘに関する媒質密度ρのグラフを描け。

- 89 -

４．１ ４． 図４．３に、ある時刻ｔにおける、進行波の変位ξのグラフが描かれているこのグラ
フの下に、同じ時間におけるエネルギー密度ｗのグラフを描け。

４．１５． 密度ρの弾性媒質中を、ｘ軸に沿って、波ξ＝ａ・ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ＋α）が走る。
エネルギー流密度ベクトル（ウモフのベクトル）ｊの式を記述せよ。
４．１６．

ある表面Ｓを通過するウモフのベクトル流とは何か。

４．１ ７． 断面積Ｓのパイプに沿って、平面減衰波が伝搬をする。波の振幅は、式ｅｘｐ（－γｘ）に従って減衰をする。座標値ｘ １ の所の断面に於いて、ウモフベクトルの大きさの平均（時間で）値がｊ １ に等しい。波の周期より十分に長い時間ｔ当たりで、座標値ｘ １ とｘ ２ の断面の間に挟まれている体積中で、如何ほどのエネルギーＷが吸収されるか。
４ ． １ ８ ． （ ａ ） 減 衰 す る 球 面 波 、（ ｂ ） 減 衰 す る 円 筒 波 、の強度は、源からの距離ｒにおいて、どのような式で衰えるか。
４ ． １ ９ ． ２ つ の 可 干 渉性 点 源 か ら、 水 面 に沿 っ て ２ 個の 波が 伝 搬 を す る 。 振 動 振 幅 が最 大 に な る線 は 、 どの よ う な 形状 を持っているか。
４．２ ０． 図４．４に、変位が最大となったときにおける、時刻ｔでの、定在波の変位の図が示されている。
（ １ ） 面 １ ， ２ ， ３ ，、、、 ９ の 各 々 を 通 過 す る エ ネ ル ギ ー 流 の 瞬 間 値 は 、 以 下 の 場 合 に 於 い て 、 幾ら（ゼロ、それともゼロではない）か。（ａ）時刻ｔで、（ｂ）時刻ｔを過ぎた時刻で。
（２）同上の面を通過するエネルギー流の時間平均値は幾らか。
（３） 面２， ４，６，８において、時刻ｔ後の４分の１周期における、ウモフのベクトルｊはどの向きか。
（４）続く４分の１周期ではどうか。
４．２ １． ２つの平面横波が、１つの波はｘ軸の沿って、もう１つの波はｙ軸に沿って、伝搬す
る弾性媒質の粒子の運動はどのようなものか。両方の波の振動はｚ軸に沿って行われるものとする。
両方の波の波長と振幅は同じで、λとａ。波の初期位相差はα。
４．２２．

４．２．
４．２ ３．

問題４．２１．を、横波を縦波に変更して解け。

音波
長さｌ＝１．０ｍのピンと張っている弦で、弦の基本音の周波数が、ν＝１０００Ｈ- 90 -

ｚである。基本音の伝搬速度ｖは幾らか。
４．２４． 以下の場合、弦の基本音の周波数はどのように変化をするか。
（ａ）弦の中心を指で押さえる。
（ｂ）弦の張力を変え、波の伝搬速度を３倍大きくする。
４．２５． 質量ｍの弦があり、基本音の角周波数はω １ 。弦に、ｎ次の倍音を励起する（基本音はｎ＝１に対応する）。振動の１周期当たりの弦の平均運動エネルギーが＜Ｅ Ｋ ＞ならば、弦の波腹における振幅ａ ｎ は幾らとなるか。
４．２６． 弦を伝搬する波の速度が、式ｖ＝（Ｆ／ρ ｌ ） １ ／２ で与えられている。ここで、Ｆは弦の張力、ρ ｌ は弦の線密度。直径ｄ＝０．５０ｍｍ、長さｌ＝０．５０ｍの鉄弦の基本音がν＝４４０Ｈｚとなるための、弦の張力を求めよ。鉄の密度はρ＝７．８０ｇ／ｃｍ ３ 。
４．２ ７． 歌手の出せる声の最高周波数は２．３５ｋＨｚ。前問の弦で、これと同じ周波数の基本音を得るためには、弦を如何ほどの張力Ｆで引っ張る必要があるか。
４．２ ８． 弦の線密度を２倍大きくすると、弦の基本音の周波数はどのように変化するか。弦の張力は不変であるとする。
４．２９． 長さｌ＝１．０ｍの鉄棒が、中間で固定されている。ヤング率は２．０×１０ １１ Ｐａとして、棒の固有縦振動の周波数ν 縦 を求めよ。鉄の密度はρ＝７．８ｇ／ｃｍ ３ 。
４．３０． 長さｌ＝１．０ｍのパイプの片方の端を閉じておく。音速度ｖ＝３４０ｍ／ｓとして、パイプ中の空気の固有振動数ν 縦 を求めよ。
４．３ １． 鍵の側面にある穴の深さは、ｌ＝１７ｍｍ。穴の軸に垂直な方向に、木口近傍で息を吹くと、穴に入っている空気柱内で、音の振動が発生する。この振動の基本周波数νは幾らか。
４．３２． 振幅が同じで、周波数が、（ａ）５００Ｈｚと５５０Ｈｚ、（ｂ）５０Ｈｚと５１Ｈｚ、（ｃ）１０Ｈｚと１１Ｈｚの２つの音を、人の耳が同時に聞くと、どのように聞こえるか。
４．３３． 長さ１ｍが質量ρ＝１．０ｇである導線から、２本の弦を準備する。１本の長さはｌ １＝５１ｃｍ、もう１本の長さはｌ ２ ＝４９ｃｍ。２本の弦を同じ力Ｆ＝２００Ｎで引っ張る。２本の弦に同時に振動を生起すると、発生するうなり音の周波数Δνは幾らとなるか。
４．３ ４．
か。

窒素と二酸化炭素で、同じ温度では、どちらの気体の方の音速が大きいか。何倍違う

４．３５．
めよ。

温 度 が 、（ ａ ） － ４ ０ ℃ 、（ ｂ ） ０ ℃、（ ｃ ） ４ ０ ℃ 、 に お け る 、 空 気 中 で の 音 速 を 求

４．３６． 空気の温度は、高度と共に線形的に変化をし、ｈ １ ＝０でＴ １ ＝３００Ｋ、ｈ ２ ＝１０．
０ｋｍでＴ ２ ＝２５０Ｋとする。高度ｈ ２ で発生した音波は、地表に達するまで、如何ほどの時間ｔかかるか。
４．３ ７．
るか。

ある経路での減衰が３０デシベルであるとき、波の強度は、この経路で何倍小さくな- 91 -

４．３８． 空気中で、ｘ軸に沿って、平面音波が伝搬する。音の吸収係数はκ＝２．０７×１０ －３／ｍ。ｘ＝０の面で、音の強度はＬ ０ ＝１００デシベル。ｘが、（ａ）２．０ｋｍ、（ｂ）４．０ｋｍ、（ｃ）６．０ｋｍ、（ｄ）８．０ｋｍ、の所における強度Ｌを求めよ。
４．３９． 空気中で、等方音源から、球面音波が伝搬する。音源から距離ｒ ０ ＝１００ｍで、音の強度はＬ ０ ＝１００デシベル。空気中における音の吸収はないものと見なし、以下の距離、（ａ）２．
０ｋｍ、（ｂ）４．０ｋｍ、（ｃ）６．０ｋｍ、（ｄ）８．０ｋｍ、（ｅ）１０．０ｋｍ、の所における音の強度を求めよ。
４．４０． 等方音源が、周波数３ｋＨｚの球状音波を空気中に励起する。音源から距離ｒ １ ＝１００ｍの所で、音の強度はＬ １ ＝６０デシベル。以下の場合について、距離ｒ ２ ＝２００ｍの所における 音 の 強 度 Ｌ ２ と 、 音 が 聞 こ え な く な る 距 離 ｒ ０ を 求 め よ 。（ ａ ） 空 気 中 に お け る 音 の 吸 収 係 数 が κ＝２．４２×１０ －３ ／ｍの時、（ｂ）吸収が無視できるとき。両方の結果を比較せよ。
４．４１． ある気体中で、２つの音波が、強度Ｌ １２ ＝２０．０デシベルだけ異なっている。これ
らの音波について、圧力の振動振幅（Δｐ） ｍ の比を求めよ。
４．４２． 周波数３ｋＨｚの音波に於いて、（ａ）可聴限界、（ｂ）強度Ｌ＝１００デシベル、に対応した、空気の振動圧力の振幅（Δｐ） ｍ を求めよ。Ｔ＝２９３Ｋ、ｐ＝１０００ＧＰａとする。
４．４３． 式 ξ＝１．０×１０ －４ ｍ・ｃｏｓ（６２８０／ s ×ｔ－１８．５／ｍ×ｘ）
記される音波がある。以下を求めよ。
（ａ）媒質の粒子の速度の振幅ｖ ｍ 。
（ｂ）波長λに対する媒質の粒子の変位の振幅ａの比。
（ｃ）波の伝搬速度ｖに対する粒子の速度の振幅ｖ ｍ の比。

で表

４．４ ４． 静止している音源が、波長λの音波を全方向に放射している。この音源が、音速の半分の速度で動くとすれば、波長はどのように変化をするか。
４．４５． 軽自動車が、速度ｖ １ ＝６０ｋｍ／時で直線道路を走っている。この車を、振動数ν ０＝１．０ｋＨｚの音信号を出しながら、他の車が速度ｖ ２ ＝９０ｋｍ／時で追いかける。軽自動車に乗っている人は、いかほどの周波数νの音を聞くか。音速はｖ＝３４０ｍ／ｓとする。
４．４ ６． ２台の電車が、同じ速度ｖ＝５０ｋｍ／時で、直線の複線の線路を、向い合わせに進行して いる。 電車が隣り合ったとき、運転手達は、長い警笛を鳴らして挨拶をする。両方の警笛の周波数は同じでν ０ ＝２００Ｈｚ。２台の電車が出会った場所から、少し離れた線路の所にいる鉄道
作業員はどのような音を聞くか。空気の温度は－１０℃。
４．４ ７． ２台の電車が、同じ速度ｖ＝９０ｋｍ／時で、間隔ｌ＝２．０ｋｍ離れて、直線線路を同じ 方向に 走っている。図４．５参照。線路から距離ｂ＝１．０ｋｍ離れている点Ａに対して、２台の電車が対称的な位置となったとき、２台の電車は、同じ周波数ν ０ ＝５００Ｈｚの警笛を短時間鳴ら す。警 笛で生起された振動がＡ点に達したとき、Ａ点で聞く音の特徴はどのようなものか。
音速はｕ＝３５０ｍ／ｓとする。
４．４ ８． 直線道路を２台の車が、同じ方向に、同じ速度９０ｋｍ／時で走っている。１台は先頭を、 ２台目 は後方を。遠方に、速度７２ｋｍ／時で走ってくる３台目の車を見つけたとき、２台目の車 が、周 波数７００Ｈｚの警笛を鳴らした。２台目及び３台目の車に乗っている人は、幾らの周波数の音を聞くか。空気の温度は３０℃。

- 92 -

４．４９． 図４．６参照。不動の壁の近傍に、直列に受信器Π １ 、Π ２ 、そして、周波数ν ０ ＝１０
００Ｈ ｚの音 を発生する音源（И）を置く。受信器は動かず、音源が速度ｕ＝８．５ｍ／ｓで、壁に向かって動く。音速はｖ＝３４０ｍ／ｓ。
（ａ）うなり音を聞くのはどちらの受信器か。
（ｂ）そのうなり音の周波数は幾らか。

４．３．

電磁波

４．５０． 座標軸の１つに沿って、真空中で、平面電磁波が伝搬をする。
（ａ）ベクトルＥが単位ベクトルｅ ｙ と共線であり、波の周波数はω、（ｂ）ベクトルＨが単位ベクトルｅ ｚ に共線であり、波の波長がλ、の場合 に於い て、波数ベクトルをｋに関する可能な式（波のパラメータと、単位ベクトルの組み合わせで）を記述せよ。
４．５ １． ε＝３．０、μ＝１．０の一様で等方的媒質中を、平面電磁波が伝搬をする。波の電場の電界強度の振幅はＥ ｍ ＝１０．０Ｖ／ｍ。以下を求めよ。
（ａ）波の磁界の磁界強度の振幅Ｈ ｍ 。
（ｂ）波の位相速度ｖ。
４．５２． 真空中を伝搬している平面電磁波が、
Ｅ＝Ｅ ｍ ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）、 Ｈ＝Ｈ ｍ ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）の式で 記述さ れる。この電磁波が、ｘ軸に垂直な平面で、強度を損失することなく反射をする。反射波の式を記述せよ。
４．５３． ｘ軸に沿って、反対方向に伝搬する２つの平面電磁波の重ね合わせについて考察する。
以下を求めよ。
（１）定在波の重ね合わせの結果できる、（ａ）電場ベクトルＥ、（ｂ）磁場ベクトルＨ、に対する腹の位置ｘ 腹 の座標と、節の位置ｘ 節 の座標。式の簡単化のために、前進波と後進波の式において、初期位相αはゼロとする。得られた結果を比較せよ。
（２）ベクトルＥと、ベクトルＨの振動位相はどのような関係にあるか。
４．５４． ある媒質中を、周波数ωの電磁波が伝搬をする。周波数ωで、媒質の誘電率はε＝２．
０、透磁率はμ＝１。電界ベクトルが、Ｅ＝１０．０ｃｏｓ（ωｔ＋α）ｅ ｚ （Ｖ／ｍ）で変化する
点におけるポインチングベクトルＳを求めよ。ベクトルＨの振幅はＨ ｍ ｅ ｘ の形をしている。
４．５５． 真空中を、ωが１０ １０ ／ｓ台の平面電磁波が伝搬をする。波の電場ベクトルの振幅は
Ｅ ｍ ＝０．７７５Ｖ／ｍ。波の伝搬経路上に、波を吸収する面がおいてある。面の形状は、半径ｒ＝０．６ ３２ｍ の半球状である。この半球は、波の伝搬側に半球の頂点を向けている。この面は、時間τ＝１．０ｓ間に、如何ほどのエネルギーＷを吸収するか。
４．５ ６．

円板形状の平面コンデンサが、時間τで、電圧Ｕまで、定電流で充電される。電極間- 93 -

隔はｄ 。極板 間に、極板と同軸をなすように、仮想の円柱表面を作る。円柱の半径はｒで、極板の半径より十分に小さい。以下を求めよ。
（ａ）表面の点におけるポインチングベクトルの大きさと方向。
（ｂ） 時間τ 当たりに、表面を通過するエネルギー量Ｗ。充電終了後に、体積Ｖの境界表面内に保持されている電場のエネルギーと、このＷを比較せよ。
４．５ ７． 非常に長いソレノイドの電流が、時間τで、ゼロからＩまで一様に増大する。ソレノ
イドの 単位長 さ当たりの巻数はｎ。ソレノイドの中央内部にソレノイドを取込んで長さｌ、半径ｒの同軸の仮想閉曲面をとる。以下を求めよ。
（ａ）表面の点におけるポインチングベクトルの大きさと方向。
（ｂ） 時間τ で、表面を通過するエネルギー量Ｗ。電流がＩとなった後、体積Ｖの境界表面内に蓄えられる磁場のエネルギーと、このＷを比較せよ。
４．５ ８． 真空中を、ｘ軸に沿って、平面電磁波が伝搬をする。電磁波の磁界の磁界強度の振幅
はＨ ｍ ＝０．０５０Ａ／ｍ。以下を求めよ。
（ａ）電場の電界強度の振幅Ｅ ｍ 。
（ｂ）電磁波の強度Ｉ。
（ｃ）電磁波の時間平均の運動量密度＜Ｋ＞。
４．５ ９． 問題４．５８に記述されている電磁波が、物体の表面に、垂直に入射する。表面は完
全に電磁波を吸収する。電磁波が物体に及ぼす圧力ｐは幾らとなるか。
４．６０． 強誘電体棒が自身の軸に沿った方向に、ｐ＝０．０５０Ｃ／ｍ ２ の分極を有している。
棒の直径はｄ＝５．０ｍｍ、長さはｌ＝２００ｍｍ。棒の軸に垂直で、棒の中心を通る軸の周りに、
角速度 φ＝３ １４ラジアン／ｓ（３０００回転／分）棒を回転をする。棒から放射される電磁波の波長λと、電力Ｐを求めよ。
４．６ １． 基本ダイポールから放射される電磁波が、真空中を伝搬する。ダイポールの軸に垂直で、ダイポールから距離ｒ＝１．０ｍの点で、電磁波の電界強度の振幅はＥ ｍ ＝１．０ｍＶ／ｍ。ダ
イポー ルの放 射電力Ｐ（則ち、単位時間当たりに、全方向にダイポールが放射するエネルギー）を計算せよ。
４．６ ２． ダイポールの放射の全エネルギーの如何ほどの割合ηが、角度θ＝７０°からθ＝１１０°の角度間隔内にあるか。θはダイポールの軸からの角度。
４．６ ３． ベータトロン中で、電子の円軌道半径はｒ＝１５．０ｃｍ。加速の最終サイクルで、電子の速度はｖ＝０．９９９９５ｃまでに達する。この速度下における電子の放射電力Ｐを求めよ。
４．６４． 電子が一様磁場中を、ベクトルＨに垂直な面内で運動をする。場の磁束密度はＢ＝１．
０Ｔ、電子の速度はｖ＝１．０×１０ ７ ｍ／ｓ。以下を求めよ。
（ａ）１回転で、電子は放射に、磁針の運動エネルギーの何割ηほどを失うか。
（ｂ）電子の運動エネルギーが１％だけ小さくなる時間τは如何ほどか。
（ｃ）時間τ当たりで、電子は何回転Ｎをするか。
４．６５．

問題４．６４を、電子を陽子に変えて解け。

- 94 -

第５部
５．１．

光学
幾何光学。測光学

５．１． （ａ）太陽から地球までの平均距離、（ｂ）地球から月までの平均距離、（ｃ）太陽の直径、（ｄ）地球の直径、に等しい距離を伝搬するためには、光波は如何ほどの時間を必要とするか。
５．２ ． 空 気中を伝搬する光の波長が６６５ｎｍ、水中では、５００ｎｍ。肉眼で、空気中と、水中で、この光の色は異なって見えるか。
５．３． 平行透明平板の屈折率が、ある波長に対して、片面での値ｎ １ ＝１．４０から、他面での値ｎ ２ ＝１．６０まで変化する。板の厚さはｄ＝１０．０ｍｍ。
（ａ）板に垂直な方向への光の通過において、光は如何ほどの時間ｔかかるか。
（ｂ）板の中を光は、いかほどの平均速度＜ｖ＞で、伝搬するか。ｃを用いて表記せよ。
５．４ ． 時 間の１秒は、セシウム１３３原子の、基底状態の２つの超微細準位間の遷移に対応した放射 の９１ ９２６３１７７０周期の総和に等しい、として定義される。この放射は幾らの波長λに等しいか。
５．５． ホイエンスの原理を利用して、２つの媒質の屈折率の比は、これら２つの媒質の光速度の比の逆数の比に等しい、ｎ １ ／ｎ ２ ＝ｖ ２ ／ｖ １ 、であることを証明せよ。
５ ． ６ ． ２ つ の 媒 質 の 境 界 面 にお い て 、光 線 の 入 射角 度 が 、幾 ら のとき、反射光と屈折光が角度π／２となるか。
５ ． ７ ． （ ａ ） 図 ５ ． １ 参 照 プリ ズ ム によ る 光 線 の偏 向 角 φを 与 え
る 式 を 求 め よ 。 プ リ ズ ム の 屈 折 角θ ≪ １ ラジ ア ン で 十分 に 小 さく 。 同
じ く角 度 α １ ， α ２ 、 α ３ 、α ４ も十 分 に 小 さい と 見 なす 。 則 ち、ｓ ｉｎθ ≒ θ 、ｓ ｉ ｎ α ｉ ≒ α ｉ 。 プ リ ズム の 屈 折率 は ｎ 、 周り の 媒 質の 屈 折
率はｎ ０ 。入射光は、プリズムの主断面に、則ち、屈折する稜に垂直な面に、垂直であるとする。
（ｂ）得られた結果の特徴は何か。
５．８． レンズの後方の焦点距離が、（ａ）２００ｍｍ、（ｂ）－４００ｍｍのとき、レンズの光
学力Φは幾らか。
５．９ ．
合か。

光 線が、自身の進行方向を変えずに、薄いレンズの中心を通過できるのはどのような場

５．１０． レンズの両側の媒質が同じものの時、薄いレンズの結節点Ｎ，Ｎ’は何処に位置するか。
５．１１． 図５．２において、薄いレンズの光路を書き入れよ。レンズの両側における媒質
屈折率は同じである。
５ ． １ ２ ． 図 ５ ． ３ に 、 薄 い 集 光 レ ン ズ が 示 さ れ て い る 。 レ ン ズ の 焦 点 は Ｆ ， Ｆ ’、 対 応 す る 結
節点はＮ．Ｎ’。レンズの後に、光線１の経路を作図せよ。
- 95 -

５ ． １ ３ ． 図 ５ ． ４ に 、 薄 い 集 光 レ ン ズ が 示 さ れ て い る 。 レ ン ズ の 光 学 軸 は Ｏ Ｏ ’、 １ と １ ’ は共 役 光 線 。 光 線 ２ の 共 役 光 線 ２ ’ を 作 図 せ よ 。 ｎ ＝ ｎ ’（ レ ン ズ の 両 側 に お け る 媒 質 屈 折 率 は 同 じである）。

５．１ ４． 図５．５参照。薄い集光レンズの後の焦点面上に、鏡がおいてある。レンズと鏡の間の空間 中に、 光線１の経路を作図せよ。その後、レンズから左へ進んでいく光線の方向と、光線１の方向とは、どのような関係にあるか調べよ。
５．１５． 図５．６参照。集光レンズ１と拡散レンズ２が、２つのレンズの後の焦点Ｆ １ ’とＦ ２’が一 致する ように配置されている。レンズの間の媒質、レンズの両側の媒質は同じものである。
レンズ１の前方の焦点面に、物体Ｐを置く。物体の像を作図し、以下に答えよ。
（１）増は何処に位置するか。
（２）像は、（ａ）実像か、それとも、虚像か、（ｂ）正置像か、それとも、転置像か。
（３）どのような場合、像の大きさは物体の大きさと一致するか。

５．１６． 図５．７に、中心光学系の、軸ＯＯ’、主面（ＨとＨ’）、焦点面（ＦとＦ’）、物体Ｐ、が示されている。主面ＨとＨ’は系の外側にある。
（ａ）物体Ｐの像Ｐ’を作図せよ。
（ｂ） 主面の 性質を根拠として、面Ｈに対して物体Ｈを移動したとき、像Ｐ’に何が起るか、答えよ。

- 96 -

５．１７． 図５．８参照。中心光学系の軸がＯＯ’、主面がＨ，Ｈ’、前方の焦点がＦ、光線が１。
周りの媒質は総て同じである。光線１の共役光線１’を作図せよ。
５．１８． 平らな面に、その法線に沿って、波長λ＝５１０ｎｍの単色光が入射する。波の強度はＩ＝０．３
２ Ｗ ／ ｍ ２。 図 ５ ． ９ に 示 さ れ て い る 、 眼 の 相 対 ス ペ ク ト
ル感度のグラフを利用し、面の照度Ｅを求めよ。λ＝５５５ｎｍのとき、０．００１６０Ｗのエネルギー束が、１ルーメンの光束に一致する。量Ａ＝０．００１６０Ｗ／ルーメンは、力学的等価光と呼ばれる。

５．１ ９． ０．００１６０Ｗに等しいエネルギー束は、λ＝５５５ｎｍの放射で作られる光束１
ルーメ ンに一 致している。眼の相対スペクトル感度がＶ＝０．７６２の放射で作られる、光束１００ルーメンに一致するエネルギー束はいくらか。
５．２０． どのような光束が、眼の相対スペクトル感度がＶ＝０．３４２の放射で作られる、１．００Ｗのエネルギー束に一致しているか。
５．２１． 光波と関連したエネルギー束が、波長に関して一様な分布をしている。則ち、ｄΦ／ｄλ＝一定。この場合、波長に関する光束の分布曲線はどのような形をしているか。
５．２ ２． 図５．１０参照。光束ｄΦ／ｄλが、間隔４００ｎｍから７６０ｎｍまで、波長に関して一様に分布しいているとする。
（ａ） この場 合、波長に関する光のエネルギーの分布関数のグラフはどのような形をしているか。
（ｂ）そのような分布は可能か。
５．２ ３． 波長λ＝５１０ｎｍの単色光が、ある平面に垂直に入射し、照度Ｅ＝１００ルックス
るを作っている。入射光の半分が反射されるものとして、この面に光が及ぼす圧力ｐを求めよ。
５．２４． 単色光の強度（光束の平均密度）がＩ＝１００ルーメン／ｍ ２ である。波の振動数はω
＝３．６９×１０ １５ ／ｓ。波が伝搬する媒質の屈折率はｎ＝１．５０、透磁率はμ＝１。この波の、電場の電界強度Ｅ ｍ と、磁場の磁界強度Ｈ ｍ を求めよ。
- 97 -

５．２ ５． 点光源が、全方向に、光束Φ＝１２５７ルーメンを放射する。この光源の光力（単位
カンデラ）Ｉは幾らか。
５．２６． 光束の一様な密度ｊ＝２００ルーメン／ｍ ２ である平行光線が、平らな表面に入射する。
面の外部の法線は、光線の方向とα＝１２０°をなしている。この表面の照度Ｅは幾らか。
５．２ ７． 床から高さｈ＝３．０ｍの所に、軸対称の光を出す点光源が吊されている。その光力は、０≦θ≦π／２の領域で、関数Ｉ（θ）＝Ｉ ０ ｃｏｓ ２ θ、θ＞π／２の領域ではゼロ、で記述される。ここで、Ｉ ０ は定数、θは垂線から光線を見た角度。光源下の床の照度はＥ＝１００ルック
ス。光源が放射している光束（単位ルーメン）Φを求めよ。
５．２ ８． 点光源が、円形テーブルの中心上空においてある。光源の光力はＩ＝５０．０カンデラ、テ ーブル の半径はＲ＝０．５０ｍ、テーブルから光源までの高さはｈ＝１．０ｍ。以下を求めよ。
（１）テーブルの中心から距離ｒの点におけるテーブルの照度Ｅの、ｒ依存性。
（２）（ａ）テーブルの中心、（ｂ）テーブルの端、での照度。
（３）テーブルに入射する光束Φ。
（４）光源が放射する全光束の何割ηが、テーブルに入射するか。
５．２ ９． 前問において、机の面に入射する光束Φ＝３３ルーメン（前問の分問（３）を参照）
が、机 の表面 に一様に分布するためには、前問における光源の光力Ｉ（θ）は、光線の方向と垂線の間の 角度θ に対して、どのように依存させなければならないか。この時、机の照度Ｅは幾らとなるか。得られたＥの値を、前問の（２）の（ａ）、（ｂ）の結果と比較せよ。
５．３ ０． 一様に光っている平の表面の光度が、関数Ｌ（θ、φ）で記述される。ここで、θは表面の法線とのなす角度、φは方位角。この表面の光束発散度Ｍを与える式を求めよ。
５．３１． 半径Ｒ＝１０．０ｃｍの一様に光る円板がある。その光度はＬ＝Ｌ ０ ｃｏｓθ。Ｌ ０ ＝
定数＝１０００カンデラ／ｍ ２、θは表面の法線に対する角度。円板の放射している光束Φを求めよ。

５．２．

光の干渉

５．３ ２． おなじ振幅ａで、同じ方向に振動しているＮ個の振動の重ねあわせで生ずる振動の振幅Ａは幾らとなるか。
５．３ ３． ２つの光波が、空間のある点で、同じ方向の振動をしており、関数Ａ・ｃｏｓωｔ、と Ａ ・ ｃ ｏ ｓ （（ ω ＋ Δ ω ） ｔ ） で 記 述 さ れ る 。 こ こ で 、 Δ ω ＝ ０ ． ６ ２ ８ ／ ｓ 。 こ の 点 で 、 光 の強度はどのように振る舞うか。
５．３ ４． 相互に直交している方向に偏向している、２つの干渉性光波の重ね合わせで形成される波の強度Ｉを求めよ。これら２つの波の強度はＩ １ ，Ｉ ２ とする。
５．３５． ある点を、次の式で表記される、お互いに平行な光の振動が通過する。
（ｍ＝１，２，、、Ｎ）。
Ｅ ｍ ＝ａ・ｃｏｓ（ωｔ＋（ｍ－１）δ）、振動のグラフ加算法を用いて、合成振動の振幅Ａを求めよ。
５．３ ６．

直径ｄ＝３０．０ｃｍの光源が、観察者の場所から距離ｌ＝２００ｍ離れている。光
- 98 -

源の放射には、波長４９０ｎｍから５１０ｎｍまでの波長が包含されている。以下を求めよ。
（ａ）可干渉時間ｔ 可干 。
（ｂ）可干渉長ｌ 可干 。
（ｃ）可干渉半径ρ 可干 。
（ｄ）可干渉体積Ｖ 可干 。
５．３７．太陽から木星へ進む光の可干渉性半径ρ 木星 を求めよ。得られた値を、太陽から地球へ進む光の可干渉性半径ρ 地球 と比較せよ。 光の波長は５００ｎｍとせよ。
５．３ ８． 恒星ベテルギウスの角半径は、０．０４７秒である。この星から地球に進んでくる光の可干渉性半径ρ 可干 は幾らか。
５．３９． おなじ強度を持っている２つの平面可干渉性波の、波数ベクトルｋ １ ，ｋ ２ が、１より十分に小さい角度φをなしている。ベクトルｋ １ ，ｋ ２ が、スクリーン上に、スクリーンの法線に対称的になるように、スクリーンに入射をする。スクリーン上で観察される干渉縞の幅Δｘを求めよ。
５ ． ４ ０ ． ？ 干 渉 す る 光 波 （ そ れ ら の 経 路 差 が Δ （ δ ＝ ２ π Δ ／ λ）） の 位 相 差 δ に 関 す る 式
において、波長λは、真空中を伝搬する波の波長、それとも媒質中を伝搬する波の波長のどちらに該当するか。
５．４１． 図５．１１に、２つの同形の光学スリットを持った干渉図が示されている。対応するスリットの点からの振動は可干渉であり、スリットの端からの距離が異なる
点からの振動は非干渉性である。
（ ａ ） 媒 質 の 屈 折 率 は １ で あ る と し て 、 δ Δ ＝ Δ 上－ Δ 下を
求 め よ 。 こ こ で 、 Δ 上は 、 第 １ と 第 ２ の ス リ ッ ト の 上 端 か らスクリーン上のＰ点までの光学経路差、Δ 下 は、第１と第２のスリットの下端からスクリーン上のＰ
点までの光学経路差。
（ｂ）干渉縞が、まだ十分明瞭に識別できる、スリットの最大幅ｂ 最大 を求めよ。
５．４ ２． ある干渉装置において、白色光の経路上に、最初、赤色フィルターを置き、次に、緑
色フィ ルター を置く。両方の光学フィルターにおいて、通過波長幅Δλは同じである。明瞭に区別できる干渉縞の数が多いのはどちらか。
５．４ ３． 干渉縞の１つの中心から、他の縞の中心に移動するとき、干渉光線の光学経路差はい
かほどの量ａだけ変化するか。
５．４４． 波長λ ０ ＝６３２．８ｎｍのレーザー光線が、２つの狭いスリットから、障害物の法線に沿っ て入射 する。障害物の後ろに置かれたスクリーンにで、干渉縞が観測される。スリットのうちの１ つを、 厚さａ＝１０．０μｍの透明板で隠すと、干渉図は、どちらの方向に、如何ほどの帯数だけ移動するか。板の屈折率はｎ＝１．６３３。
５．４ ５． 光フィルターと、不透明な障壁のスリットを通過し、２つの狭いスリットを持った２角の障 壁に太 陽光が入射する、という実験で、ヤングが始めて光の波長を決めた。２つの障壁の間隔はｄ ＝１． ０ｍ。障壁の後の距離ｌ＝１．０ｍの所に、スクリーンがあり、スクリーン上で、干渉縞が観察された。縞の幅Δｘが、（ａ）赤線の場合、０．６５ｍｍ、（ｂ）青色の場合、０．４５ｍｍ、であった。光の波長λ ０ は幾らか。
５．４ ６．

図５．１２参照。スリット光源Ｓから直接、スクリーンに入射する光波は、鏡で反射- 99 -

された光波と、干渉をする。スリットから平面鏡までの距離をｈ＝１．０ｍｍ、スリットからスクリーンまで の 距 離 を ｌ ＝ １ ． ０ ｍ 、 光 波 の 波 長 を λ ０＝ ５ ０ ０ｎｍ、とする。干渉縞の幅Δｘを求めよ。
５．４７． 図５．１３に示されているフレネルの２枚鏡の装置で、Ｓは図の面に垂直なスリットの形をした光源、右の直線はスクリーンである。ｒ＝０．１０ｍ、ｂ＝１．０ｍ。以下を求めよ。
（ａ）λ＝５００ｎｍの光において、スクリーン上の干渉縞の幅がΔｘ＝１．０ｍｍとなる場合における、角度φ。
（ｂ）この場合において、観測できる縞の最大個数Ｎ。
５．４８． 図５．１４に描かれている、フレネルのバイプ
リズム干渉図で、スリット光源Ｓからバイプリズムまでの距
離はａ＝０．３０ｍ、バイプリズムからスクリーンまでの距
離 は ｂ ＝ ０ ． ７ ０ ｍ 。プ リ ズ ム の屈 折 率 はｎ ＝ １ ． ５０ 。 λ ０＝５００ｎｍと仮定して、以下を求めよ。
（ａ） スクリ ーンで観察される干渉縞の幅Δｘが、０．４０ｍｍとなるのは、間隔プリズムの屈折
角θが幾らのときか。
（ｂ）この時、観察される干渉縞の最大数Ｎは幾らか。
５．４ ９． 図５．１５参照。光力Φ＝＋２．０ジオプトリの薄いレンズから、直径に沿って、幅
ｈ＝１ ．０ｍ ｍの帯で切断した。その後、両側のレンズを寄せて一体とした。できたバイレンズの焦点面 上に、 スリット光源であるＳを、切断面に平行においた。光源の波長はλ＝５００ｎｍ。バ
イレンズの後に、バイレンズから距離ｂ＝１．０ｍの所にスクリーンをおいた。以下を求めよ。
（ａ）干渉縞の幅Δｘ。
（ｂ）観察できる干渉縞の最大数Ｎ。

５．５０． 真空中で、波長λ ０ の平面光波が、屈折率ｎの透明板に、板の法線に沿って入射する。
反射波が、（ａ）最大強度、（ｂ）最小強度、となるのは、板の厚さｂが幾らの時か。
５．５１． 波長が同じで、強度もＩ ０ ＝１００ルーメン／ｍ ２ で同じな２つの光束がある。１つの光束は レーザ ーから放射されている、もう１つの光束は、ガス放電灯から放射されている。屈折率
ｎ ＝ １ ． ６ ０ の 板 で 、 厚 さ が 約 １ ｍ ｍ で あ る が 、（ ａ ） 厚 さ が Ｎ λ の 場 合、（ ｂ）（ Ｎ ＋ １ ／ ４ ） λの場合 、この 板を通過した後の、各光束の強度Ｉを求めよ。ここで、Ｎは整数、λは板の中での光の波長。板による光の吸収は無視する。
５．５ ２． 図５．１６参照。３つの透明な媒質の境界面は、お互いに平行な平面境界となっている。ある光の波長に対して、１番目の媒質の屈折率はｎ １ ＝１．２０，３番目の媒質の屈折率はｎ ３＝１．４０。
- 100 -

（ａ）２番目の媒質の屈折率ｎ ２ が幾らの値の時、両方の表面における反射光の割合が同じとなるか。
（ｂ）得られたｎ ２ の値の時、光線の逆経路（３番目の媒質から１番目の媒質に光線が向かう）において、両方の表面での反射光の割合は同じとなるか。
５．５ ３． 図５．１７参照。ガラス板の両面を、透明な物質の膜で覆う。真空中において、波長λ ０ ＝４８０ｎｍの光に対して、ガラス板の屈折率はｎ＝１．４４、膜の屈折率はｎ’＝１．２０。
空気の屈折率ｎ ０ は１と見なす。膜の厚さａが最小幾らのとき、λ ０ の光は、反射で損失することな
く、ガラス板を通過するか。

５．５ ４． 図５．１８において、文字Ｓは波長λ＝６００ｎｍの光を放射する点光源である。ハーフミ ラーに 入射した光束の半分はお互いに平行に配置されている２枚のガラス板の方向へ反射される。 マイク ロネジを回転して、下のガラス板を、ガラス板の間隙ｂを変えながら、移動させることがで きる。 ガラス板で反射された光束の半分は、ハーフミーラーを通過し、望遠鏡に入射する。
ガラス板の間隙幅ｂ＝０．５ｍｍ、光の単色性の程度λ／Δλが、（ａ）５００，（ｂ）５０００、の場合、望遠鏡の視野内にどのような図が観察されるか。

５．５ ５． 問題５．５４の（ｂ）の場合において、マイクロネジを滑らかに回転し、ガラス板の間隙幅を，（ａ）大きくする、（ｂ）小さくする、としたら、望遠鏡の視野内の図にどのようなことが起るか。
５．５ ６． 図５．１９に示されている装置で、λ＝６００ｎｍの平面光波が、ハーフミラーに入射する 。光束 の半分は、お互いに小さな角度をなしているガラス板の方に反射される。マイクロネ
ジを回転しながら、ガラス板の両端間の間隔ｂ １ ，ｂ ２ を 、同じ大きさで変化させながら、下のガラス板 を移動 させることができる。ガラス板で反射された光束の半分は、ハーフミラーを通過し、望 遠 鏡 に 入 射 す る 。 ｂ １ ＝ ４ ９ ７ μ ｍ 、 ｂ ２ ＝ ５ ０ ３ μ ｍ で 、 光 の 単 色 性 の 程 度 λ ／ Δ λ が 、（ ａ ）５００，（ｂ）５０００，（ｃ）２５００、としたら、望遠鏡の視野内にどのような図が観察されるか。
５．５ ７．

問題５．５６の（ｂ）の場合において、もし、マイクロネジを滑らかに回転し、ガラ- 101 -

ス板の間隙幅を，（ａ）大きくする、（ｂ）小さくする、としたら、望遠鏡の視野内の図にどのようなことが起るか。
５．５ ８． 厚さｂ＝３６７ｎｍの膜に、角度θで、白色平行光束が入射する。膜の屈折率はｎ＝１．４０。ｎの、λに対する依存性は限界で０．０１以内である。もし、θが、（ａ）３０°、（ｂ）
６０°、ならば、膜によって反射される光の色は何色となるか。
５．５９． 幅ａ＝１００．０ｍｍのくさび形板がある。１つの端の厚さはｂ １ ＝０．３５８ｍｍ、他の端の厚さはｂ ２ ＝０．３８１ｍｍ。板の屈折率はｎ＝１．５０。板の法線に角度θ＝３０°で、平行光線が入射する。入射光の波長はλ＝６５５ｎｍ（赤色）。板の単色度λ／Δλが、（ａ）５００ ０ ，（ ｂ ） ５ ０ ０ 、 の 場 合 に お い て 、 反 射 光 で 観 察 さ れ る 、 板 の 表 面 で 測 っ た 干 渉 縞 の 幅 Δ ｘ を求めよ。
５．６０． 垂直に配置されている導線枠に石けん膜が張られている。波長λ ０ ＝５３０ｎｍ、単色
度λ／ Δλ＝ ４０の緑色の光で、膜の上部分を照射すると、厚さに等しい干渉縞が観察される。膜の厚さｂを求めよ。
５．６１． くさび型の透明板を、緑色（λ ０ ＝５５０ｎｍ）の光で照射すると、板のある部分に、厚さに 等しい 間隔の３６本の干渉縞が観察される。板の残りの部分は、一様に光っている。緑色の光の代りに、赤色の光（λ ０ ＝６６０ｎｍ）で、かる、単色度λ／Δλが緑色の光より１．５倍小さ
い光で、板を照射すると、何個Ｎの縞が観察されるか。
５ ． ６ ２ ． 透 明 な く さ び 形 の 板 の 面 の 間 の 角 度 は 、 α ＝ １ ． ０ ３ ’。 板 の 平 均 厚 さ は ｂ ＝ ３ ． ０ｍｍ、板の長さはｌ＝１００ｍｍ。板への、波長λ １ ＝４００．０ｎｍの光の垂直入射で、板の長さの半分で、厚さに等しい干渉縞が観察される。波長λ ２ ＝４０１．０ｎｍ、単色度λ／Δλが最初の光と同じとすれば、板のどれだけの部分ｘに干渉縞が観察されるか。
５．６ ３． ガラス板上に、平凸レンズが、凸部を当てておかれている。レンズの平板側への波長λ ０ ＝６１０ｎｍの赤い光線の垂直入射で、ニュートンリングの５次の明半径が、ｒ ５ ＝５．０ｍｍである。以下を求めよ。
（ａ）レンズの凸面の曲率半径Ｒ。
（ｂ）レンズの光力Φ（レンズの屈折率はｎ＝１．５０、レンズは薄いものと見なす）。
（ｃ）３次の明リングの半径ｒ ３ 。
５．６４． 光の波長を１．５倍長くすると、ｍ次のニュートンリ
ングの半径は何倍となるか。
５．６ ５． 図５．２０参照。平凸レンズの凸部を下にして固定する。レンズの下近傍に、ガラス板を置 く。ガ ラス板は、ネジＢを回転することにより、垂直方向に移動させることができる。ネジのピッチはｈ＝１００．０μｍ。上方から、レンズを、波長λ ０ ＝５８０ｎｍの光で照射し、反射光
で、ニュートンリングを観察する。
（１）ネジを回転し、レンズと板の間の間隔を、（ａ）大きくする、（ｂ）小さくする、と、干渉図はどのように変化をするか。
（２）ネジを１回転すると、何個Ｎの新しいリングは生成する（もとのリングは消えるが）か。

５．３．

光の回折

（この節は、訳者の知見不足が否めない）- 102 -

５．６ ６． 波長λ＝５００ｎｍの点光源が、半径ｒ＝０．５０ｍｍの穴の開いている不透明障壁の前方、距離ａ＝０．５０ｍの所においてある。この穴によってできるフレネルゾーンの個数ｍが、（ａ）１個，（ｂ）５個，（ｃ）１０個、となる点の障壁からの距離ｂを求めよ。
５．６ ７． 波長λ＝５５０ｎｍの点光源が、半径ｒ＝２．０ｍｍの穴の開いている不透明障壁の
前方、距離ａ＝１．５ｍの所においてある。
（ａ）これらの条件下で、最小幾つｍ 最小 のフレネルゾーンが観察されるか。
（ｂ） 最小で 、可能なゾーン数が観察されるのは、障壁から観察点までの距離ｂの値が幾らのときか。
（ｃ）中心の１個のフレネルゾーンだけが観察されるのは、穴の半径ｒが幾らの時か。
５．６ ８． 不透明障壁に円形の穴が開いている。この穴に平面光波が入射する。穴の後ろにスクリーン が置い てある。スクリーンを障壁から遠ざけていくと、スクリーン上で観察される回折図の中心の強度はどう変化するか。
５．６ ９． ？ フレネルゾーンの定義から出発して、半径ｒの穴の中心から距離ｂの所の点に対して、穴が作るフレネルゾーンの個数ｍを求めよ。穴には平面波が入射するものとする。
５．７ ０． 半径ｒ＝１．０ｍｍの穴の開いている不透明な障壁に、平面単色光が入射する。障壁から、その後ろに置いたスクリーンまでの距離がｂ １ ＝０．５７５ｍのとき、回折図の中心に、最大強度が観察される。ｂ ２ ＝０．８６２ｍまで、距離を伸すと、強度の最大は、最小となる。光の波長を求めよ。
５．７１． 以下の等式を証明せよ。
（ａ）∑ａ ｋ ｃｏｓ（ω ｋ ＋α ｋ ）＝Ｒｅ（∑ａ ｋ ｅｘｐ（ｉ（ω ｋ ＋α ｋ ）））。
（ｂ）ｄ（ａ・ｃｏｓ（ωｔ＋α））／ｄｔ＝Ｒｅ（ｄ（ａ・ｅｘｐ（ｉ（ωｔ＋α）））／ｄｔ）。
（ｃ）∫ａ・ｃｏｓ（ωｔ＋α）ｄｔ＝Ｒｅ（∫ａ・ｅｘｐ（ｉ（ωｔ＋α）ｄｔ）。
（ｄ）ｄ（ａ １ ｃｏｓ（ω １ ｔ＋α １））／ｄｔ＋∫ａ ２ ｃｏｓ（ω ２ ｔ＋α ２ ）ｄｔ＝Ｒｅ（ｄａ １ ｅｘｐ（ｉ（ω １ ｔ＋α １ ）））＋∫ａ ２ ｅｘｐ（ｉ（ω ２ ｔ＋α ２ ））ｄｔ）。
（ｅ）ｄ∑ａ ｋ ｃｏｓ（ω ｋ ＋α ｋ ）／ｄｔ＝Ｒｅ（ｄ∑ａ ｋ ｅｘｐ（ｉ（ω ｋ ｔ＋α ｋ ））／ｄｔ）。
（ｆ）∑∫ａ ｋ ｃｏｓ（ω ｋ ＋α ｋ ）ｄｔ＝Ｒｅ（∑∫ａ ｋ ｅｘｐ（ｉ（ω ｋ ＋α ｋ ））ｄｔ）。
５．７ ２． ？ 円形穴での回折図の中心に、ｍ次のフレネルゾーンで作られる振動が、以下の形をしているとする。
Ｅ ｍ ＝Ａ １ ρ ｍ－１ ｅｘｐ（ｉ（ωｔ＋（ｍ－１）π）。
ここで、Ａ １ は１次のフレネルゾーンで作られる振動振幅、ρは１より小さい数。この式の実数部分を取り出す必要がある。Ｎ個のフレネルゾーンで作られる振動の合成振幅を求めよ。
５．７３． ある単色光波によって、障壁がないときの、スクリーン上に作られる強度がＩ ０ に等しい。光波の経路上に、（ａ）１次のフレネルゾーンを開けておく、（ｂ）１次のフレネルゾーンの半分だけを開けておく、（ｃ）１次のフレネルゾーンの１．５倍を開けておく、（ｄ）１次のフレネル
ゾーン の３分 の１を開けておく、という円形の穴を持った障壁を置くと、回折図の中心の強度Ｉは幾らとなるか。
５．７ ４． 前問の条件下で、穴の半分を、半平面で隠すと、穴の中心に対向している点の強度はどのように変化をするか。
５．７５． ？ 波長λ ０ ＝５００ｎｍの光の経路上に、大きな透明な板がある。板の面には、ある観測点 に対応 した、１．５倍のフレネルゾーンが円形で円柱の切り欠きで作られている。切り描き- 103 -

は 波 の 伝 搬 方 向 を 向 い て い る 。 板 の 屈 折 率 は ｎ ＝ １ ． ５ ０ 。 観 察 点 に お け る 強 度 が 、（ ａ ） 最 大 となる、（ｂ）最小となる、（ｃ）入射光の強度と等しくなる、のは、切り描きの深さが最小如何ほどの時か。
５．７ ６． 円形穴の回折によるスクリーン上の照度（ルックス）が、関数Ｅ＝Ｅ（ｒ）で記述される。ここで、ｒは回折図の中心からの距離。穴を通過する光束Φに対する式を記述せよ。
５．７７． 板に作られている透明と不透明の円形リングの半径は、ｒ ｍ ＝α ｍ １／２ 。ここで、α＝１．
００ｍｍ、ｍ＝１，２，３，、、。光の波長が、（ａ）４００ｎｍ、（ｂ）５８０ｎｍ、（ｃ）７６０ｎｍ、に 対する 板ゾーンの基本焦点距離ｂを求めよ。平面光波が板に垂直に入射したとき、板の軸上で、強 度が最 大を観察できる点の、板点までの距離を、板ゾーンの焦点距離と呼んでいる。強度において 、最も 大きい最大値に対応する焦点距離を基本と呼んでいる。非基本最大値は、フレネルの第１ゾーンに、フレネルの第３，５，７，、ゾーンが収まるならば、得られる。
５．７８． 問題５．７２で述べた条件下で、ρ＝０．９５として、フレ
ネルゾーンの偶数ゾーンを隠した、ゾーン板の焦点における強度Ｉを評価せよ。障壁がない場合の強度Ｉ ０ を用いてＩを表記せよ。
５．７９． 問題５．７８を、位相ゾーン板の場合として解け。得られた結果を、問題５．７８の結果と比較せよ。
５．８０． 屈折率ｎ＝１．５０の材料から、位相ゾーン板が作られている。波 長λ ０ ＝ ５８０ ｎｍの 波に対 して、板 の偶数（或は奇数）板のゾーンに、最小いかほどの高さｈの張り出しとしなければならないか。
５．８１． ？ 図５．２１参照。波長λの平面光波の経路中に、不透明
平板（ 障壁） がおいてある。障壁には、幅ａの非常に長いスリットがある。障壁の後方、距離ｂの所にスクリーンがある。スクリーン上に観測点Ｐをとり、
５．８ ２． 問題５．８１で、λ＝５００ｎｍ、ａ＝３．１６２ｍｍ、ｂ＝１．０ｍとして、以下を計算せよ。
（ １ ） ス リ ッ ト の 、（ ａ ） 中 間 、（ ｂ ） 左 端、（ ｃ ） 右 端 、 に 対 向 し て 位 置 し て い る 点 Ｐ に 対 す る 数
値ｍ、ｍ’。
（２）フレネルゾーンの最初の５つ（？）の右の境界の座標値ｘ ｍ 。
５．８ ３． ？ 図５．２２に、コルニュの渦線が与えられている。図５．２３参照。この図は、振動の ベクト ル加算法により、Ｐ点から距離ｂ離れている所にある波面の各部分の参加により、観察点Ｐ に生起 される光振動の振幅を求めることができる。波面は、ＯＰを通るｘ軸に垂直で無限に長い幅 ｄｘの ゾーンの要素ｄＳに分けられる。ゾーンｄＳが受ける振幅ｄＡを、コルニュの渦線の線素ｄ ｌで決 める。座標原点から、この要素の曲線距離に沿っての目盛りの読み取りは、無次元のパラメ ータｖ で特徴される。曲線上に書いてある数値はこのｖの値である。値ｖ（コルニュ渦線上
で点の 位置を 決める）と座標ｘ（点Ｐに関して、ゾーンｄＳの位置を決める）の間の相関は、平面波の場合では、次の関係となる。ｖ＝ｘ（２／ｂλ） １／２ 。ここで、λは波長。
ｖ＝１，３，５，、、の点におけるコルニュ曲線の接線は、η軸に平行。ｖ＝２，４，６，、、の点におけるコルニュ曲線の接線は、ξ軸に平行。
（１）コルニュ曲線のどの点が、フレネルゾーン間の境界に対応しているか。
（２） ？ パ ラメータｖのどの値が、２次フレネルゾーンと３次フレネルゾーンの間の境界に対応しているか。

- 104 -

５．８４． 問題５．８１の結果と、前問の条件に導入した公式を利用して、（ａ）ｍ次フレネルゾーンの内部境界に対応するパラメーター値ｖを求めよ。
（ｂ）ｍ＝１，２，３，４，５の場合について、ｖの値を計算せよ。
５．８５． ？ 障壁がないとき、スクリーンに垂直に入射する平面光波が形成する強度はＩ ０ 。コルニュ曲線を用いて、スクリーン上のＰ点における強度Ｉを求めよ。
５．８ ６． 半平面により、スクリーン上に投射された影の境界に、回折縞が形成される。波長λ＝５８０ｎｍ、半平面とスクリーンの距離ｂ＝２０．０ｃｍ、入射波の強度Ｉ ０ ＝１００ルーメン／
ｍ ２ として、以下を求めよ。
（ａ）１次回折最大の強度Ｉ 最大 。
（ｂ）それに引続く１次の最小の強度Ｉ 最小 。
（ｃ）比Ｉ 最大 ／Ｉ 最小 。
（ｄ） １次最 大の平均と、１次最小の平均に対して、幾何学的影の端から計算した座標ｘの大凡の値。
５．８ ７． ？ 図５．２４に、フレネル回折において、半平面の端に対する光の強度のグラフが描かれている。 異なった斜線でハッチングしている２つの総面積はどのような関係にあるか。 （図５．２２と同じく、図が不明瞭）
５．８ ８． スクリーンから距離ｂ＝２．０ｍの所にある、幅ａ＝２．０ｍｍのスリットに、波長λ＝５００ｎｍの平面光波が、垂直に入射する。障壁がないときには、波はスクリーン上に照度Ｅ ０＝１００．０ルックスを与える。（ａ）スリットの中央に対応している、（ｂ）スリットの端に対応している、スクリーン上の点Ｐの照度を求めよ。
５．８９．

？

５．９ ０．

スクリーンに入射する、波長λ＝６００ｎｍの平面光波の経路上に、非常に長くて不- 105 -

透明な 、幅ａ ＝１．９０ｍｍの板を、スクリーンからの距離がｂ＝１．５０ｍの所においた。板がな い と き 、 ス ク リ ー ン の 照 度 は Ｅ ０ ＝ ３ ０ ０ ル ッ ク ス 。（ ａ ） 板 の 中 心 に 対 応 し て い る、（ ｂ ） 板 の端に対応している、スクリーン上の点Ｐにおける照度を求めよ。

５．９ １． 図５．２５に、スリットによる、フランフォーファー回折の場合における、光の強度曲線が示されている。
（１）曲線で囲まれている面積は、どのような意味を持っているか。
（ ２ ） ス リ ッ ト の 幅 を ２ 倍 大 き く し た と き、（ ａ ） 回 折 最 大 の 高 さ、（ ｂ ） 最 大 値 の 幅、（ ｃ ） 最 小
値の位置、（ｄ）観測される最小値の数、（ｅ）曲線で囲まれている面積、は、どのように変化するか。
５．９ ２． 幅ｂ＝０．１０ｍｍのスリットに、白色光が垂直に入射をする。スリットの後には、
レンズ があり 、このレンズの焦点面にスクリーンを置く。レンズの光学力はΦ＝＋５．０ジオプト
リ。以下を求めよ。
（ａ）スクリーン上で観察される中央の回折最大の境界における虹の縁の幅ａ。
（ｂ）中央の最大の平均幅＜Δｘ＞に対する、縁の幅ａの比。
５．９ ３． 不透明な平面障壁に、平面光波が垂直に入射をする。障壁には、幅ｂ＝０．２０ｍｍのスリ ットが ある。障壁の後に、スクリーンを置く。波面、障壁、スクリーンはお互いに平行である。障 壁とス クリーンの間隔はｌ＝１．０ｍ。波長はλ＝５００ｎｍ。媒質の屈折率は１。可干渉性の条件を守る。以下を求めよ。
（ａ）この場合、どのような回折模様が観察されるか。
（ｂ）中央の回折最大の幅ａ ０ 。
（ｃ）１番目と２番目の回折最大の中心間の距離ａ １２ 。
５．９ ４． 問題５．９３の条件下で、スリットの幅を、１．０ｍｍまで大きくしたならば、どのような回折図が観察されるか。
５．９５． 回折が、（ａ）レンズを使って、（ｂ）レンズ無しで、観察されたとすれば、自身に平行にス リット を移動したとき、スリットからの回折図は、スクリーンに沿って移動するか。光はス
リットに垂直に入射するものとする。
５．９６．

（ ａ ） フ レ ネ ル 回 折 の 場 合 、（ ｂ ） フ ラ ン フ ォ ー フ ァ ー 回 折 の 場 合 、 ス リ ッ ト の 幅 を- 106 -

大きくすると、スリットからの回折図の中心で、光の強度はどうなるか。
５．９ ７． 溝の数がＮ＝５，スリットの幅に対する格子の周期の比がｄ／ｂ＝２である、回折格子のｓｉｎφに対する強度Ｉの依存性の大凡のグラフを描け。
５．９ ８． 図５．２６に、溝の数を多数を持っている回折格子で得られる、主最大強度が描かれている。
（１）最大強度の総面積にはどのような意味があるか。
（２） 格子の 隣り合う溝の間に、更に溝を付ける。このようにすると以下の項目はどのように変化をするか。（ａ）最大強度の位置。（ｂ）中央の最大強度の高さ。（ｃ）最大強度の幅。（ｄ）最大強度の総面積。

５．９９．

回折格子のスリットを１本おきに隠すと、回折図にどのようなことが起るか。

５．１ ００． 回折格子の半分を、不透明な障壁で、一方の端から覆う。その結果、格子の溝の数が半分となる。以下の項はどのように変化をするか。
（ａ）回折最大強度の位置。
（ｂ）中央の最大強度の高さ。
（ｃ）最大強度の幅。
（ｄ）最大強度の総面積。
回折格子に入射する光の可干渉性半径は、格子の長さより十分に大きいものとする。
５．１ ０１． 問題５．１００を、格子に入射する光の可干渉性半径が、格子の長さより十分に小さい場合として解け。
５．１０２．
（１）比ｘ＝ｂ／ｄがどのような値の時、ｍ次の回折ピークが、（ａ）最大強度を持つ、（ｂ）０の強度を 持つ、 かを求めよ。ここで、ｂはスリット幅、ｄは回折格子の周期。格子に入射する光の強度と、格子の周期ｄは既知とする。
（ ２ ） 強 度 の 最 大 を 与 え る 、（ ａ ） １ 次、（ ｂ ） ２ 次、（ ｃ ） ３ 次 、 の ピ ー ク に 対 す る ｘ の 値 を 求 めよ。
（３）（ａ）１次、（ｂ）２次、（ｃ）３次、のピークに対して、強度が０を与えるｘの値を求めよ。
５．１０３．

周期ｄ＝２３００ｎｍの回折格子が与えるスペクトル中に、λ＝５００ｎｍのとき、- 107 -

２つのピークが見える（中央のピーク以外に）。この回折格子のスリット幅ｂは幾らか。
５．１０４． 回折格子への、光の垂直入射に限定し、格子の可能な最大角度分散値Ｄを評価せよ。
λ １ ＝５５０ｎｍの場合において、最大値の１つは、λ ２ ＝６６０ｎｍにおける最大値の１つに属しているものとする。１次のスペクトルの分散について考えるものとする。
５．１０５． ある回折格子の、角度分散の最小値が、Ｄ＝１．２６６×１０ －３ ラジアン／ｎｍ。
この格子で与えられる、λ １ ＝４８０ｎｍのスペクトル線と、λ ２ ＝６８０ｎｍのスペクトル線の間の角距離Δφを求めよ。光は格子に垂直に入射するものとする。
５．１０６． 回折格子に垂直に入射する光が、波長λ １ ＝４９０ｎｍ（青色）と、λ ２ ＝６００ｎｍ（オレンジ色）の２本の狭いスペクトル線からなっている。λ １ に対する最初の回折ピークは、角度φ １ ＝１０．０°に配位している。２次のスペクトルで、スペクトル線間の角度距離Δφを求めよ。
５．１０７． Ｎ＝１００本の溝のある回折格子で、（ａ）１次のスペクトル、（ｂ）２次のスペク
トルで、λ １ ＝５９８ｎｍとλ ２ ＝６０２ｎｍのスペクトル線の分解はできるか。
５．１ ０８． ナトリウムの黄色のダブレット線を、１次のスペクトルで分離するためには、回折
格子は 幾らＮ の溝を持っている必要があるか。各々のスペクトル線の波長は、５８９．０ｎｍ、５８９．６ｎｍ。
５．１ ０９． （１）光が回折格子に垂直に入射するものとして、λに依存する形で、格子の角度
分散Ｄに対する正確な式を得よ。
（２）上で求めた公式に従って、格子周期をｄ＝１０００ｎｍとして、（ａ）４００ｎｍ、（ｂ）５８０ｎｍ、（ｃ）７６０ｎｍ、付近における１次スペクトルでの角分散値を計算せよ。
（３） 得られ た結果を、近似公式Ｄ≒ｍ／ｄで計算されるＤ値と比較せよ。ここで、ｍはスペクトルの次数。
５．１ １０． （１）光が回折格子に垂直に入射するものとして、λに依存した形で、格子の線形
分散Ｄ 線形 の正確な式を得よ。
（２） 格子の 周期ｄ＝１０００ｎｍ、レンズの焦点距離ｆ＝１．０ｍと仮定し、得られた式を用いて 、 波 長 が 、（ ａ ） ４ ０ ０ ｎ ｍ 、（ ｂ ） ５ ８ ０ ｎ ｍ、（ ｃ ） ７ ６ ０ ｎ ｍ 、 付 近 に お け る 、 １ 次 ス ペ ク
トルにおける線形分散を計算せよ。
５．１ １１． 分光器において、入射光束に垂直に、回折格子が配置されている。格子の周期はｄ＝１０００ｎｍ、機能部分の長さはｌ＝１００．０ｍｍ。分光器の対物レンズの焦点距離はｆ＝１．
０ｍ。
（１） 対物レ ンズの焦点距離の所に配置したフィルムで得られる、可視スペクトルの長さΔｘを求めよ。
（２）以下を見積もれ。（ａ）線形分散Ｄ 線形 。（ｂ）分光器の解像度Ｒ。
５．１１２． 光束が垂直に入射している回折格子がある。
（１） 回折ピ ークの次数を定める数ｍが、連続して変化するものと仮定し、δφ／δｍのｍに対する依存式を求めよ。この式は、この式にｍ＝ｋ＋１／２を代入すると、ｋ次のピークと、（ｋ＋１）
次のピークの間の角距離の近似値を与える。
（２）λ／ｄ＝０．３として、（ａ）１次ピークと２次ピーク、（ｂ）２次ピークと３次ピーク、の
間 の 、 角 距 離 Δ φ の 正 確 値 を 計 算 せ よ 。 得 ら れ た 結 果 を 、（ １ ） で 得 ら れ た 公 式 か ら 得 ら れ る 近 似
値と比較せよ。

- 108 -

５．１ １３． 透明な回折格子の周期ｄは、波長λと同じ程度でなければならないのは何故か。例
えば、ｄ＝１ｍｍとすることができないのは何故か。
５．１１４． 周期ｄ＝２５００ｎｍの回折格子に、波長λ＝６００ｎｍの光が、法線に角度φ ０ ＝
２０．０°をなして入射する。法線から、反時計回りに角度を正とし、時計回りを負とする。φ ０ は正である。
（１）主ピークの角度φを決める式を求めよ。
（２）以下を求めよ。
（ａ）中央（ゼロ）ピークを与える角度φ。
（ｂ）正ピークを与える角度φ ＋ と、負ピークが観察される角度φ － 。
（ｃ）観察される正ピークの数ｍ ＋ と、観察される負ピークの数ｍ － 。
５．１１５． 周期ｄの反射型回折格子に、 波長λの光が、斜角度θ ０ で入射する。斜角度は入射角度の補角である。
（１）主回折ピークが得られる傾斜角度θを定める式を求めよ。
（２）（ａ）１次の、（ｂ）２次の、（ｃ）５次の、回折ピークを生起する角度θを定めよ。ｄ＝１．
０ｍｍ、λ＝５００ｎｍ、θ０＝１．００°とする。
５．１１６． （１）回折格子に法線と角度φ ０ をなして光が入射する場合における、回折格子の角度分散 Ｄ＝ｄ φ／ｄλの式を導け。得られた結果を、問題５．１０９の分問（１）の答えと比較せよ。
５．１ １７． 距離２ｋｍの所にあり、お互いに１ｍ離れている２本の柱を、肉眼で分離識別できるか。瞳の直径は４ｍｍとする。
５．１ １８． 望遠鏡で、月の表面を見る。望遠鏡の対物レンズの直径はｄ＝４．０ｃｍ。２つのクレーターが、最小いかほどの距離ａ 最小 にあるとき、これらのクレーターを識別できるか。光の波
長は６００ｎｍとする。
５ ． １ １ ９ ． ラ ス タ ー 絵 で は 、 異 な っ た 濃 度 （ 則 ち 、 異 な っ た 「 太 さ」） の 点 群 で 、 像 が 描 写 されている。点の数が１ｃｍ ２ 当たり、２５００個。図からいかほどの距離ｌで、個々の点の識別ができなくなるか。眼の瞳の直径は４．０ｍｍ、波長は６００ｎｍとする。
５．１２０． 岩塩（ＮａＣｌ）の密度はρ＝２．１６３ｇ／ｃｍ ３ 。岩塩の結晶格子は立方体形状
であり 、その 頂点に、ナトリウムイオンと塩素イオン交互に配置している。固有結晶面に平行になっている、原子面の間隔ｄを求めよ。
５．１ ２１． アメリカ人物理学者であるブラック父子が、１９１３年に、レントゲン線の波長を始めて測 定した 。岩塩は立方晶型に属していることが、結晶学者により確定されていたことを基礎とし、父子は、結晶面に平行である原子面の間隔ｄを計算した。（問題５．１２０を参照） その語、
これら の面で の反射による回折ピークを生起する角度を測定し、父子が使用しているレントゲン線の波長λを求めた。特に、パラジウムの反カソードが放射する単色放射（パラジウムのＫ α 線）において、強度のピークは、斜入射角度が、５°５９’、１２°３’、１８°１４’で得られた。この放射の波長λを求めよ。
５．１２２． 銅のポリ結晶試料に、λ＝０．０２１４ｎｍ（タングステンのＫ α 線）のレントゲン
放射の細い線束が入射する。試料の後、試料から距離ｌ＝１００．０ｍｍの所に、フィルムを置く。
結晶格 子の平 行面からなる原子面による反射で生起される、１次と２次の回折ピークによって、フィルム上に作られるリングの半径Ｒ １ ，Ｒ ２ を求めよ。銅の格子は面心立方格子である。
- 109 -

５．４．

光の偏光

５．１ ２３．
振る舞うか。

楕円偏光波の場合において、空間の固定点において、光のベクトルＥはどのように

５．１ ２４． 平面偏光波を混合している自然光の偏光度Ｐは幾らとなるか。自然光の強度に対す
る、偏向光の強度の比が、（ａ）１，（ｂ）１０，とする。
５．１２５． 強度Ｉ ０ ＝１００ルーメン／ｍ ２ の平面偏光波が、２枚の偏光板を順に通過する。偏光板の面は、入射光における振動面と、角度α １ ＝２０．０°、α ２ ＝５０．０°をなしている。光線に沿 って見 たとき、角度は振動面から時計回りの方向にとる。２番目の偏光板を通過した後における、光の強度Ｉを求めよ。
５．１２６．

４分の１波長板について説明をせよ。

５．１２７．

円偏光はどのようにして得られるか。

５．１２８．

４分の１波長板より「厚い」板を使用して、円偏向を得ることができるか。

５．１２９． 平面波の光ベクトルＥが、式Ｅ＝Ｅ ０ ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）に従って変化をする。ベクトルＥ ０ は、ｙ軸とｚ軸に、各々角度αと（π／２－α）をなしている。ｙ軸とｚ軸に沿ったベク
トルＥの成分を表記する式を書け。
５．１ ３０． 前問で、光波の経路中に、一様であるが非等方の誘電体でできている平板平行層が置かれている。その誘電体内で、成分Ｅ ｙ とＥ ｚ は等しくない速度で伝搬をする。この誘電体層から出たときにおける、これらの成分Ｅ’ ｙ ，Ｅ’ ｚ に対する式を記述せよ。
５ ． １ ３ １ ． 問 題 ５ ． １ ２ ９ と 問 題 ５ ． １ ３ ０ 参 照 。（ ａ ） α ＝ ０ ，（ ｂ ） α ＝ ９ ０ °、（ ｃ ） α＝ ３ ０ ° 、 δ ＝ π 、（ ｄ ） α ＝ ３ ０ ° 、 δ ＝ π ／ ６ 、（ ｅ ） α ＝ ４ ５ ° 、 δ ＝ π ／ ６ 、（ ｆ ） α ＝ ３
０ ° 、 δ ＝ π ／ ４ 、（ Ｇ ） α ＝ ４ ５ 祖 、 δ π ／ ４ 、 な ら ば 、 成 分 が Ｅ ’ ｙ と Ｅ ’ ｚ か ら 合 成 さ れ る 光
ベクトルＥはどのようなものか。
５．１ ３２． 平面偏向で単色光の経路上に、４分の１波長板がおいてある。光の進行方向の周りに、板を回転すると、板を出た光は、どのような変更を受けるであろうか。
５．１３３．
Ｉは幾らか。

偏光器に、円偏向の光が入射する。その強度はＩ ０ 。偏光器を通過した後の光の強度

５．１ ３４． ２枚の交差した偏光器の間に、４分の１波長板がおいてある。前者の偏光器に強度Ｉ自然 の自然 光が入射をする。光の進行方向の周りに波長板を回転をすると後者の偏光器から出てくる光の強度はどのように変化をするか。
５．１ ３５． ２枚の偏光器の間に、半は超結晶板が置かれている。光の経路に沿っての、先の偏光器に 、半波 長板に対応している波長の、強度Ｉの自然単色光が入射する。半波長板の光学軸は垂直と角 度α＝ ３０°をなしている。先の偏光器は、その面が垂直となるようには位置されている。
跡の偏光器は、回転することができる。偏光器の面が、（ａ）平行、（ｂ）相互に垂直、のとき、後の偏光器を出た光の強度Ｉを求めよ。
- 110 -

５．１３６． 図５．２７参照。強度Ｉ 自 然 の自然光が、偏光器Π １ 、半波長結晶板、偏光器Π ２ を連続して通過する。結晶板の軸は垂直である。偏光器Π １ の軸は、垂直と角度α１をなし、偏光器Π ２の軸は、α ２ をなしている。光に沿って見たとき、角度は垂直から時計回りにとるものとする。結晶板は光を吸収せず、偏向は完全であると見なして、以下を求めよ。
（ａ）点Ａ，Ｂ，Ｃにおける光の特徴。
（ｂ）点Ａ，Ｂにおける光の強度Ｉ Ａ ，Ｉ Ｂ 。
（ｃ）α １ ＝３０°で、α ２ ＝６０°、１５０°のとき、点Ｃにおける光の強度Ｉ Ｃ 。
（ｄ）任意のα １ 、α ２ のとき、点Ｃにおける光の強度Ｉ Ｃ 。
５．１３７． 図５．２７に示しているのと似た光学系がある。半波長板の変りに、３／８長板がおいてある。以下を求めよ。
（ａ）点Ｂ，Ｃにおける光の特徴。
（ｂ）点Ｂにおける光の強度Ｉ Ｂ 。
（ｃ）点Ｃにおける光の強度Ｉ Ｃ がゼロとなるのは、１０°≦α １ ≦８０°、０°≦α ２ ≦９０°の範囲内において、α １ ，α ２ がどのような値の時か。
（ｄ）Ｉ Ｃ はＩ 自然 ／２となることができるか。
５．１３８． 不完全な偏光器がある。この偏光器は、自身の面では、対応する振動強度のα １ ＝０．
９０を通過させる。垂直面では、対応する振動強度のα ２ ＝０．１０を通過させる。この偏光器に自然光が入射したとき、光の偏光度Ｐを求めよ。
５．１３９． ２つの不完全な偏光器がある。各々の偏光度は共にＰ １ ＝０．８０。偏向面が、（ａ）
平 行 、（ ｂ ） お 互 い に 垂 直 、 と し た と き 、 ２ つ の 偏 光 器 を 連 続 し て 通 過 し た 光 の 偏 光 度 は 幾 ら と なるか。
５．１ ４０． ２個の同型の不完全な偏光器を、自然光が通過をする。各々の偏光器は、自身の面で、対応する振動強度のα １ ＝０．９５の部分を通過させ、偏光度はＰ＝０．９０である。偏光器の面が相互に垂直である場合、この系を通過する光の強度は最初の光の強度の何割ほどとなるか。
５．１ ４１． 自然光が２つの同形の不完全な偏光器を、順に通過をする。偏光器の面が平行の時の、この系を通過した光の強度（Ｉ ∥ ）は、偏光器の面が垂直の時の通過光の強度（Ｉ ⊥ ）のη＝９．
５３倍大きい。以下を求めよ。
（ａ）１個だけの偏光器を通過した光の偏光度Ｐ １ 。
（ｂ）偏光器の面が平行であるという条件下での、偏光度Ｐ ∥ 。
５．１ ４２． 平面偏向単色光の経路上に、複屈折の楔型板が置いてある。板の光学軸は楔の稜に平行で ある。 軸は、入射光線中の振動面と角度４５°をなしている。板を通過した光の特徴はいかに。
５．１ ４３． （１）前問の楔型板において、偏光器を通して、背面から楔を観察すると、楔の表面はどのように見えるか。偏光器の面は、（ａ）楔の軸に平行、（ｂ）入射光の振動面に平行、（ｃ）
入射光の振動面に垂直、の場合について考察をせよ。
５．１ ４４． ２枚の交差した偏光器の間に、氷州石（方解石の１つ）から切り出した楔型板がある 。 楔 板 の 光 学 軸 は 楔 の 稜 に 平 行 で あ る 。 楔 の 頂 点 の 角 度 は θ ＝ ４ ． ７ ２ ’。 楔 の 軸 は 偏 光 器 の 面と角度 ４５° をなしている。波長λ＝４８６ｎｍの光が系を通過するとき、２番目の偏光器の後で観察さ れる明 帯の中心間の距離Δｘを求めよ。この波長に於いて、常光線と異常光線に対する氷州- 111 -

石の屈折率はｎ ０ ＝１．６６８とｎ ｅ ＝１．４９１。
５．１ ４５． 図５．２８参照。ニトロベンゼンで満たされた容器がある。容器の中に、平面コン
デンサ の電極 が置かれている。このような装置はカーセルと呼ばれている。コンデンサに電圧を印加する と、光 学軸を持った複屈折の結晶の性質が優るようになる。光学軸はコンデンサ中の電界強度と平 行であ る。異常光線と常光線の屈折率の差は、場の電界強度Ｅの２乗に比例する。これ故、
セルを 光るが 通過すると、場に平行な光のベクトル成分と、場に垂直な光の成分の間に、位相差δが生起する。δは、Ｅ ２ に比例し、光の経路長となるコンデンサの長さｌに比例する。次のように記述できる。δ＝２πＢｌＥ ２ 。個々で、Ｂはカー定数と呼ばれている物質の物性量。この定数は、光の波長 に依存 し、又、温度にも依存する。λ＝６００ｎｍ、室温において、ニトロベンゾールに於いて、カー定数はＢ＝２．２×１０ －１２ ｍ／Ｖ ２ 。
カーセルを、交差した偏光器の間に置く。セルの光学軸（則ち、セル中における電場の方向）は、偏光器の面と角度４５°をなすように配置する。ｌ＝１０．０ｃｍとして、以下を求めよ。
（ ａ） 系 に 入 射す る 光 の最 大 量 を 通過 さ せ る電 界 強 度の最 小値Ｅ 最小。
（ｂ）電界強度が０から３．３８×１０ ６ Ｖ／ｍまで増加する間に、セルは何回明るくなったり暗くなったりするか。
５．１４６． カーセルと、２つの交差した偏光器からできている、前問で記述した系に於いて、周波数ν＝５０Ｈｚの交流電圧を与える。この時生起した電界強度の振幅の値は、Ｅ ｍ ＝３．３８×１０ ６ Ｖ／ｍ。
（ａ）この光シャッターは、１秒間の間に、光を遮断するか。
（ｂ）遮断の間の時間間隔が同じなるか。
５．１４７． ？ 垂 直面内に偏向されている白色光が、光学軸ＯＯ’に垂直に切断された、厚さａ＝３．０ｍｍの右旋性石英板を通過する。
石英板の後には、ポラロイド（偏光子）が置いてある。図５．２９参照。
５００ｎｍから６５０ｎｍまでの波長間隔に於いて、
５．１４８． 図５．３０参照。石英から切り出したプリズムがある。光学軸ＯＯ’は面ＡＢに垂直である。プリズムの屈折角はθ＝３０°。波長λ＝５９０ｎｍの平面偏向平行束が、プリズム内で、光が光学軸に平行になるような角度で、プリズムに入射する。ポラ
ロイド（Π）を通して、プリズムの後側から見ると、プリズムの稜に平行に、交互の明暗の縞を観察できる。明帯の中心間の距離はΔ
ｘ＝１５．０ｍｍ。以下を求めよ。
（ａ）考察中の波長における石英の定常回転（？）α。
（ｂ）ポラロイド後の光の強度の、ｘに対する依存性を記述する関数Ｉ（ｘ）。

５．５．

物質との光波の相互作用

５．１ ４９． 群速度に対する公式ｕ＝ｖ－λ（ｄｖ／ｄλ）において、どのような波長が暗黙に了解されているのか。真空中の波か、それとも、光速度がｖである媒質中の波か。
５ ． １ ５ ０ ． （ １ ） あ る 媒 質 中 で 、 光 の 位 相 速 度 が 、（ ａ ） 光 の 振 動 数 ω に 依 存 し 、 式 ｖ ＝ α ωｑ で 変 化 す る 、（ ｂ ） そ の 媒 質 中 で の 波 長 λ に 依 存 し 、 式 ｖ ＝ β λ ｐ で 変 化 す る 。 個 々 で 、 ｑ と ｐ- 112 -

は１より小さい数、αとβは定数。各々の場合における群速度ｕを求めよ。
（２）（ａ）ｑ＝－１、（ｂ）ｐ＝－１、の場合について、ｕを計算せよ。
５．１５１． 多くの透明で無色の物質に於いて、真空中での波長λ ０ に対する屈折率の依存性は、近似的に、ｎ＝ａ＋ｂ／λ ２ で記述できる。個々で、ａとｂは定数。以下にあるガラスにおける実験
データを示している。
７５９．０
５８９．３
４８６．０
３９７．０
λ ０ （単位 ｎｍ）
ｎ
１．５１０
１．５１５
１．５２１
１．５３１
（１）ｎの最大値と最少値から、このガラスのａとｂを求めよ。
（２） 得られ たａとｂの値を利用し、上の公式に従って、表に示している残りの波長における屈折率を求めよ。結果を表の値と比較せよ。
５．１５２． 真空中で波長がλ ０ の波に於いて、ある媒質中で、屈折率ｎの依存性が、式ｎ＝ａ＋ｂ／λ ０ ２ で決まる。個々で、ａとｂは定数。
（ａ）この媒質中における光の群速度ｕを表記する式を、λ ０ を使って求めよ。
（ｂ） 問題５ ．１５１に示している波長に対して、群速度ｕの値を、ｃを用いて計算せよ。それらを、位相速度ｖの値と比較せよ。
５．１５３． 自由電子が、真空中を満たしている単色光波の場中にある。波長はλ＝６００ｎｍ、強度はＩ＝３７５ルーメン／ｍ ２ 。
（ａ） 第一近 似で、波の場の磁場成分の電子への作用を無視して、電子の振動振幅ａと電子の速度の振幅ｖ ｍ を求めよ。
（ｂ）得られた結果を利用して、電子に作用している、磁場の振幅Ｆ Ｂｍ と電場の振幅Ｆ Ｅｍ の比を求めよ。それを、速度の振幅と光速度ｃで表記せよ。
５．１ ５４． 濃度がｎの自由電子のプラズマがある。振動数ωの電磁波のプラズマの通過を考察し、ω に対す る依存性で、誘電率εの式を求めよ。プラズマイオンと電磁波の相互作用、電磁波の磁場成分の電子への影響は無視する。前問を参照。
５．１ ５５． ある物質を、経路長ｌの通過に於いて、光の強度が２倍弱くなる。経路長３ｌを通過するとき、Ｉは何倍弱くなるか。
５．１５６． ある媒質中を、平面単色光波が伝搬する。その波長での媒質の吸収係数は、κ＝１．
０／ｍ（この程度の吸収係数はガラスが持っている）。波の経路長が、（ａ）５．０ｍｍ（窓ガラス）、（ ｂ ） １ ０ ． ０ ｍ ｍ （ 鏡 の ガ ラ ス ）、（ ｃ ） １ ． ０ ｍ、（ ｄ ） ４ ． ６ ０ ｍ 、 の と き 、 光 の 強 度 は 何 ％弱くなるか。
５．１ ５７． 厚さａ＝１０．０ｃｍの透明板がある。ある波長λに対して、板の吸収率は、片面でのκ １ ＝０．８０／ｍから、他面でのκ ２ ＝１．２０／ｍまで線形的に変化をする。単色光が板を通過したとき、その単色光の強度の減衰を％で求めよ。
５．１５８． ガラス製の平行平板に、面の法線に沿って、強度Ｉ ０ ＝１００．０ルーメン／ｍ ２ の
平面単 色光波 が入射をする。この波長での板の屈折率は、ｎ＝１．５０、吸収係数はκ＝１．０／ｍ 。 板 の 厚 さ は ａ ＝ １ ０ ． ０ ｃ ｍ 。 光 波 の 可 干 渉 長 は ａ よ り 十 分 に 小 さ い 。 多 次 反 射 を、（ ａ ） 考
慮しない場合、（ｂ）考慮に入れる場合、について、板を通過した光の強度を求めよ。
５．１ ５９． 問題５．１５８を、板の吸収がないものとして解け。得られた結果を、問題５．１
５８の答えと比較せよ。

- 113 -

５．１６０． （１）（ａ）吸収を考慮する場合、（ｂ）反射を考慮する場合、厚さａ＝４．０ｍｍの窓ガ ラスの 光の通過で、光の強度は、何％弱くなるか。ガラスの吸収係数はκ＝１．２３／ｍ、屈折率はｎ＝１．５２とする。
（２）反射を考慮した強度の減少量は、吸収を考慮した強度の減少量を、何倍うわまるか。
（３）光の全減衰量（吸収と反射の両方を考慮する）は何％となるか。
５．１６１． 実験室で、あるガラス材料から、厚さがａ １ ＝２．１６ｍｍ、ａ ２ ＝３６．８２ｍｍの板を 作る。 ガラス板による光の反射率を用いずに、ある波長λの光に対するこのガラス材料の吸収係数κを決定する方法を提案せよ。対応する計算式を求めよ。
５．１ ６２． 前問 で記述 している 1 枚 目の板は 、それ に入射 した光 の９２． ５％を 通過さ せ、2番目の板は。８８．２５を通過させるものとする。ガラスによる光の吸収係数を求めよ。
５．１ ６３． 青色（波長λ＝４６０ｎｍ）の分子散乱強度は、赤色（波長λ＝６５０ｎｍ）の分子散乱強度より何倍大きいか。の

５．６．

動いている媒質の光学５．１ ６４． フィゾーは、光を、水中で経路２ｌ＝２．０ｍを伝搬させ、水に対するエーテルの随伴係数を求めた、実験と似たような実験を行う。光の波長はλ ０ ＝６００ｎｍ。水が、速度ｕ＝６．
０ｍ／ｓで動くと、干渉図中の縞は如何の数ΔＮ移動するか。水の屈折率はｎ＝１．３３。
５．１６５． 飛行機がレーダーに向かって飛行している。レーダーの波長は、λ＝２０．０ｃｍ。
レーダ ーが送 信した信号と、飛行機で反射された信号の間のビート信号の周波数が、Δν＝２７７
８Ｈｚ出会った。飛行機の速度ｖを求めよ。
５．１６６． 地球の条件下で、原子状水素の放出するスペクトル線Ｈ α の波長はλ＝６５６ｎｍ。
太陽円 板の直 径の対向する両端から放出されてくる、このスペクトル線を地球で測定すると、Δλ＝０．００８８ｎｍの差を見いだした。このデータを利用し、太陽の自転周期Ｔを求めよ。
５．１６７． 原子が、速度ｖで、（ａ）分光器に接近しているとき、（ｂ）分光器から遠ざかって
いると き、原 子から放出された光波の周波数の相対変化Δω／ωは幾らと観測されるか。この速度ｖは、温度Ｔにおける原子の熱運動の平均速度に等しいとする。原子の質量はｍ。
５．１ ６８． お互いの相互作用をしない理想原子（例えば、理想気体に近い原子気体）が、周波数 ω １ ， ω ２ 、、、、 の 狭 い ス ペ ク ト ル 線 の 集 合 線 を 放 射 す る 。 無 秩 序 な 熱 運 動 は 、 ド ッ プ ラ ー 効 果 の結果により、分光器は、周波数ω ｉ の代りに、ω ｉ の周りの幅δω ｉ 内に、連続したスペクトル線束を観察する。このようにして生起されるスペクトル線の拡張は、ドップラー拡張と呼ばれ、δ ωＤ （或は、δ λＤ ）で記される。原子の殆どは熱運動の平均速度＜ｖ＞に近い速度で運動をする。これ故、δ ωＤ の計算に於いては、全ての原子は速度＜ｖ＞で運動していると仮定する。
（ａ）スペクトル線の相対ドップラー拡張δ ωＤ ／ωの式を、平均速度＜ｖ＞を使って記述せよ。
（ｂ） 温度Ｔ ＝２０００Ｋにある、水素原子の放出する波長λ＝６５６ｎｍのスペクトル線のドッ
プラー拡張δ λＤ を計算せよ。
５．１ ６９． 加熱したアルゴン気体から放出される放射光の観察で、スペクトル線のドップラー
幅が決まった。その相対値はδ ωＤ ／ω＝４．９×１０ －６ 。気体の温度Ｔを求めよ。
５．１ ７０．

ガス放電管で、正イオン束によって放射される放射線を観察する。イオンの方向に- 114 -

対して垂直な方から観察を行った。スペクトル線の相対変移が、低周波数側に大きさΔω／Ω＝１．
３×１０ －５ として、観察された。イオン束中のイオンの速度ｖを求めよ。
５．１ ７１． 光学の発展に大きな寄与をした、著名なアメリカ人の物理学者、ロペルト・ブット
は、ウエットに富んだ人物であった。ブットには沢山の逸話がある。その内の 1 つである。ある時、ブット は自動 車を運転していて、赤信号を無視してしまった。警察官が車を停車させた。ドップラ
ー効果 のため に、赤色が緑色に見えた、とブットは過失を説明した。警察官もウエットに富んでいた。そ れ故、 警察官は、ブットの言い分に理解を示した。しかし、速度超過のために、ブットに罰金を科 した。 ６９０ｎｍの赤色の光が、運転手にとって、波長５３０ｎｍの緑色となる自動車の速度ｖを求めよ。

- 115 -

第６部

原子物理学

６．１．

熱放射

６．１．

理想的な反射表面の放射率ｒ（ω、Ｔ）は幾らか。

６．２． 放射と平衡状態にある吸収率ａ＝０．５の表面に、エネルギーΦ 入射 の放射束が入射をする。立 体角２ πの領域内の全方向に、表面から如何ほどのエネルギー束Φが伝搬するか。このエネ
ルギー束は何によって形成されているか。
６．３． 温度Ｔが、（ａ）３Ｋ、（ｂ）３００Ｋ、（ｃ）３０００Ｋ、（ｄ）５０００Ｋ、のとき、完全黒体の放射率の最大値に対応する波長λ 最 大 を求めよ。得られた波長は、どのようなスペクトル領域に相当するか。
６．４． 温度Ｔ １ から温度Ｔ ２ への転移で、波長に関しての平衡放射のエネルギー密度分布関数のグラフ で制限 されている面積が、１６倍増大する。この時、絶対黒体の放射率の最大値がある波長λ 最大 はどのように変化するか。
６．５． 絶対黒体の放射発散度はＲ ＊ ＝２５０ｋＷ／ｍ ２ 。
長λ 最大 にあるか。
６．６．

この物体の放射率の最大値はどの波

温度Ｔにおける量子振動子の平均エネルギー＜ε＞を求めよ。

６．７． 門だ６．６参照。温度Ｔにおいて、（ａ）条件ｈ’ω １ ＝ｋＴに対応する周波数ω １、（ｂ）
周 波 数 ω ２ ＝ ０ ． １ ω １ 、（ ｃ ） 周 波 数 ω ３ ＝ １ ０ ω １ 、 に 対 し て 、 量 子 振 動 子 の 平 均 エ ネ ル ギ ー ＜ ε＞ 量子 を計算せよ。得られた結果を、古典振動子の平均エネルギー＜ε＞ 古典 と比較せよ。
６．８． 温度Ｔで、波長λが、（ａ）５００μｍ、（ｂ）５μｍ、（ｃ）０．５μｍ（可視領域）、のとき におけ る電磁振動の平均エネルギー＜ε＞をｅＶ単位で求めよ。得られた結果を、値ｋＴと比較せよ。
６．９． 以下を求めよ。
（ａ）絶対黒体の放射率で決まる関数ｆ（ω、Ｔ）の最大値がある、周波数ω 最大 の温度依存性。
（ｂ）積λ 最 大 ω 最 大 の値。個々で、λ 最 大 は関数φ（λ、Ｔ）の最大値に対応する波長である。この値を、２πｃと比較せよ。
６．１０． 太陽の表面は、その性質上、完全黒体に近似できる。放射発散度の最大値は、λ＝０．
５ ０ μ ｍ の 所 に あ る 。（ 大 気 を 通 過 し 、 地 球 表 面 に 達 す る 太 陽 放 射 は 、 λ ＝ ０ ． ５ ５ μ ｍ に 最 大 値を持つ。）以下を求めよ。
（ａ）太陽表面の温度Ｔ。
（ｂ）太陽が１秒間当りに、電磁波として放射するエネルギーＥ。
（ｃ）放射の結果、１秒間当たりに太陽が失う質量ｍ。
（ｄ） 太陽の 温度は一定に保たれると仮定して、放射の結果、太陽の質量が、１％減少するまでの大凡の時間τ。
６．１ １． 太陽は完全黒体であると仮定して、地球大気の限界近傍における、太陽放射の強度Ｉを求めよ。（この強度は太陽定数と呼ばれている。）太陽の表面温度はＴ＝５７８５Ｋとする。
６．１ ２．

太陽によって放射される可視光の放射強度は、地球の大気上層部で、Ｉ＝０．６０ｋ- 116 -

Ｗ／ｍ ２ 。可視領域に於いて、放射エネルギーは、波長に関して一様に分布していると仮定し、図５．
９で示している人間の眼の相対スペクトル感度曲線を利用し、以下を定めよ。
（ａ） 太陽放 射によって、地球の大気上層部限界に作られている、光線の進行方向に垂直な面における輝度Ｅ（単位 ルックス）。
（ｂ）太陽の光力Ｉ（単位 カンデラ）。
光の力学等量はＡ＝０．００１６Ｗ／ルーメン。
６．１３． 完全黒体の放射エネルギー強度Ｌは、温度にどのように依存をするか。
６．１４． ？ 薄い器壁の閉じた殻に、殻の大きさより十分に小さい穴が開いている。殻の壁は温度Ｔ＝３００Ｋに保持されている。完
全黒体はランバート源（ ？ ）であるとして、穴の放射エネルギー
強度Ｌを求めよ。
６．１ ５． 直径３０ｃｍの球状殻が、直径ｄ＝４．０ｍｍの穴を持っている。穴の中心から、距
離ｌ＝ ５００ ｍｍの所に、半径ｒ＝３．０ｍｍで面積Ｓの円形板を置く。図６．１参照。穴の中心から板 の中心 まで引いた直線は、穴の法線に対して、角度θをなす。円板の面はこの直線に垂直である。 空胱の 壁は温度Ｔ＝２０００Ｋに保持されている。穴から放射された放射線のうち、板に入射するエネルギー束Φを求めよ。
６．１ ６． 太陽の周りを円軌道で飛行している宇宙船に、完全黒体をモデルできる装置を搭載する。宇 宙船の 円軌道の半径Ｒは、地球から太陽までの平均距離に等しい。この装置の殻の外部表面は理想 的な反 射体である。殻にある穴は、常に太陽に向いている。宇宙船と装置の間の固定装置の熱容量 は無視 するものとして、装置内部の確立する平衡温度Ｔを求めよ。太陽表面の温度Ｔ太陽は５８００Ｋとする。

６．２．
６．１７．

フォトン
スペクトルの可視領域に対応する格子のエネルギーの限界値をｅＶ単位で求めよ。

６．１ ８． ある表面に、波長λ＝５５５ｎｍの単色光が入射し、照度Ｅ＝１００ルックスを作っている。１秒間当たり、面積Ｓ＝１ｃｍ ２ に、何個の光子が入射しているか。光の力学等量はＡ＝０．
００１６Ｗ／ルーメン。
６．１９． 以下の場合について、波長λの光子のエネルギー（単位ｅＶ）、運動量ｐを求めよ。
（ａ）
５ ５ ５ ｎ ｍ （ 可 視 光）、（ ｂ ） ０ ． １ ｎ ｍ （ Ｘ 線）、（ ｃ ） ０ ． ０ ０１ ｎ ｍ （γ 線）。 得 られ た エ ネ ル
ギーε を、静 止している電子のエネルギーと比較せよ。得られた運動量ｐを、速度ｖ＝１０００ｍ／ｓで動いている電子の運動量と比較せよ。
６．２ ０． 波長λ＝０．００１ｎｍの光子の運動量の大きさと、同じ運動量ｐを持つ電子の速度ｖは幾らか。
６．２１． 強度Ｉ＝１．３７ｋＷ／ｍ ２ の平行光線束が、理想的な滑らかの表面を持っている半径
ｒ＝１．０ｃｍの球に入射をする。球の表面が、（ａ）吸収係数が１に等しい場合、（ｂ）反射係数が１に等しい場合、において球の受ける力Ｆを、光の粒子説から求めよ。
- 117 -

６．２２． 太陽定数はＩ＝１．３７ｋＷ／ｍ ２ 。このエネルギー流の約４０％が、可視領域のスペクトルである。このエネルギーは周波数に関して一様に分布しているものと見なし、（ａ）周波数に関しての、光子流の密度分布関数φ（ω）。
（ｂ）大気の外部境界に入射する「可視部分」の光子流量密度ｊ 光子 。
６．２ ３． Ｘ線間に電圧Ｕ＝５０ｋＶを印加したとき、Ｘ線スペクトルの短波長限界に対応する
波長λ 最小 を求めよ。
６．２ ４． Ｘ線管への電圧をη＝２倍に増大すると、Ｘ線スペクトルの短波長限界に対応している波長が、Δλ＝０．０２５ｎｍだけの変化を伴う。Ｘ線管に印加した最初の電圧Ｕを求めよ。
６．２ ５． １９１６年、ミリケンは、ナトリウム表面からの光電効果の研究に於いて、以下のよ
うなデータを得た。
ν（×１０ １４ ／ｓ）
５．４９ ６．９２ ７．４１ ８．２２ ９．６０ １１．８３Ｕ（単位 Ｖ）
０．４７ １．０２ １．２０ １．６０ ２．１３
３．０２
ここで、νは光の振動数、Ｕは阻止電圧。これらのデータを利用して、以下を求めよ。
（ａ）プランク定数ℏの値。
（ｂ）ナトリウムにおける電子の脱出仕事Ａ。
６．２ ６． ニッケルに於いて、電子の脱出仕事はＡ＝４．８４ｅＶ。光電効果の、赤側の限界波
長λ ０ を求めよ。
６．２７． アルミニュームに於いて、光電効果の赤側の限界波長はλ ０ ＝３３２ｎｍ。以下を求めよ。
（ａ）この金属における電子の脱出仕事Ａ。
（ｂ）阻止電圧がＵ＝１．０Ｖとなる、光の波長λ。
６．２８． 他の物体から離れている、亜鉛の球を、波長λ＝２００ｎｍの紫外線で照射するとき、如何ほどの電位φまで帯電させることができるか。
６．２ ９． 真空２極管のカソードが、波長λ＝４５０ｎｍの単色光で一様に照射される。カソードの面積はＳ＝１．０ｃｍ ２ 、照度はＥ＝１００ルックス。２極管を流れる飽和電流Ｉ 飽和 を求めよ。
指示し ている 波長に於いて、０．０４０Ｗ当たりのエネルギー束は、光束１ルーメン当たりに相当している。光電効果の量子効率Ｊ（則ち、１個の入射光子で生ずる光電子数）は０．０５０とする。
６．３ ０． 波長λ＝７００ｎｍの光子が、静止している自由電子で、角度θ＝π／２の方向に散乱される。以下を求めよ。
（ａ）この時、光子は最初に持っていたエネルギーの如何ほどを失うか。
（ｂ）電子は如何ほどの速度ｖを獲得するか。
６．３１．

前問の類題として、λ＝０．１０ｎｍとして、問題を解け。

６．３ ２． （ａ）最初静止していた質量ｍの粒子に、エネルギーεを持っている光子があたり、光子は角度θ方向に散乱される。電子が獲得する運動エネルギーＥ Ｋ を求めよ。
（ｂ）ε≪ｍｃ ２ のとき、得られた式を確かめよ。
６．３ ３． 静止している自由陽子で、エネルギーε＝１．０ＭｅＶのγ量子が、角度θ＝９０°
だけ散乱される。以下を求めよ。
- 118 -

（ａ）γ量子は、陽子に、如何ほどの運動エネルギーＥ Ｋ を与えるか。
（ｂ）衝突後、陽子は如何ほどの速度ｖで動くか。
６．３４． ？ 波長λ＝０．０７１４ｎｍ（モリブデンのＫ α 線）のＸ線の、グラファイトにおけるθ＝ ９０° の散乱の結果生起する放射の研究で、１次の回折最大は、Ｘ線分光器の結晶への斜入
射角度 φ＝３ ０．０どの入射で得られた。不偏成分の最大が、偏向成分の最大と入れ替わるためには、結晶を如何ほどの角度δφだけ回転をする必要があるか。
６．３５． プランク定数ℏ、真空中の光速度ｃ、粒子の質量ｍを用いて、長さの次元を持つ量を与える式を記述せよ。これは何か。

６．３．

ラザフォードの公式。ボーア原子

６．３ ６． 静止している金の原子核に、α粒子は、正面衝突をする向きで向かって、いかほどの距離ｒ 最小 まで近づけるか。α粒子が原子核の遠方にあるときの速度はｖ＝３．０×１０ ７ ｍ／ｓとする。
６．３ ７． 銀の原子核により、角度θ＝π／２だけα粒子が散乱されるとき、衝突パラメータｂを求めよ。α粒子の速度はｖ＝１．０×１０ ７ ｍ／ｓ。
６．３ ８．
せよ。

原子番号がＺである物質による、陽子の散乱についての、ラザフォードの公式を記述

６．３９． ラザフォードの実験において、２．７０×１０ ５ 粒子／ｓのα粒子束が、厚さａ＝４．
０μｍの金箔で散乱される。粒子の運動エネルギーはＥ Ｋ ＝８．３０ＭｅＶ。散乱された粒子は、円形のスクリーン上においた面積Ｓ＝１．０ｃｍ ２ のシンチレータで記録される。金箔とα粒子束の交差点か らスク リーンまでの距離はｌ＝０．２０ｍ。入射粒子の方向に対するシンチレータの位置角度 θ が 、（ ａ ） ３ ０ °、（ ｂ ） ６ ０ °、（ ｃ ） ９ ０ °、（ ｄ ） １ ２ ０°、（ ｅ ） １５ ０ ° 、に お い て 、
時間Δｔ＝１．０分あたりに、観測されるシンチレータのカウント数を求めよ。
６．４ ０． 問題６．３９に記述した実験で、α粒子が、後の半球内、則ち、θ≧π／２、に散乱される確率Ｐを求めよ。
６．４１． α粒子における、後の半球へのラザフォード散乱の確率（Ｐ α）は、陽子粒子における、後の半球へのラザフォード散乱の確率（Ｐ ｐ ）は、どのような関係にあるか。ただし、同じ条件下とする。つまり、ｖ、Ｚ，ｎ、ａは同じとする。
６．４ ２． 水銀蒸気を用いた、フランク・ヘルツの実験において、電位差Ｕが４．９Ｖと９．８
Ｖで、 電流の ピークが観察された。水銀蒸気圧を下げると、Ｕ＝６．７Ｖで、補足のピークが現れた。これらの結果をどのように解釈するべきか。
６．４３．

水素原子に於いて、第１ボーア軌道を運動する電子の速度ｖ １ を求めよ。

６．４ ４． 水素の原子核（陽子）と、ミューオンからできている系がある。ミューオンは電子と同じ荷 電を持 ち、質量は電子の２０７倍大きい。このような系は、メゾアトムとか、ミューオン原子と呼ばれている。ボーアの理論を用いて、以下を求めよ。
（ａ）ミューオンの第１ボーア軌道半径ｒ １ 。結果をボーア半径ｒ ０ と比較せよ。
（ｂ）基底状態に於いて、陽子とミューオンの結合エネルギーＥ 結合 （単位 ｅＶ）。
- 119 -

（ｃ）第１軌道におけるミューオンの速度ｖ １ 。問題６．４３．の結果と比較せよ。
（ｄ） ミュー オン自身が崩壊するまでに、ミューオンは軌道を何回転するか。ミューオンの平均寿命はτ ＝２． ２μｓ。この時間がたつと、ミューオンは電子とニュートリノと反ニュートリノに崩壊する。
６．４５． ボーアの理論で、以下を求めよ。
（ａ）水素原子に於いて基底状態にある電子の原子核との結合エネルギーＥ 結合 を、原子核の動きも考慮した式。
（ｂ）原子核の動きも考慮して得られた結合エネルギーに関する補正の、相対的大きさδ。
６．４ ６． ミューオン原子（問題６．４４参照）において、補正の相対的な大きさδ（問題６．
４５の（ｂ）参照）は幾らとなるか。
６．４７． プランク定数ℏ、電子の質量ｍｅ、電子の荷電量ｅを用いて、長さの次元を持つ量を与える式を求めよ。この量は何か。
６．４８． プランク定数ℏ、電子の質量ｍｅ、電子の荷電量ｅを用いて、エネルギーの次元を持つ量を与える式を求めよ。この量は何か。
６．４９． 水素原子の第１ボーア軌道にいる電子の磁気モーメントμ １ を求めよ。得られた結果を
ボーア磁子μ Ｂ と比較せよ。
６．５０． ミューオン原子の第１ボーア軌道にいるミューオンの磁気モーメントμ １ ’を求めよ。
得られた結果を、問題６．４９で得られたμ １ と比較せよ。
６．５１． 水素原子に於いて、第ｎボーア軌道にある電子について、力学モーメントＭ ｎ に対する
磁気モーメントμ ｎ の比を求めよ。得られた結果を、問題３．１６５の結果と比較をせよ。
６．５ ２． 質量ｍの粒子が、中心対称力場Ｆ（ｒ）＝－ｋｒの中で運動をする。ここで、ｋは正定数。 粒子の 運動量モーメントは、ｈ’の倍数の値しかとれない（ボーア原理論から）と仮定し、以下を求めよ。
（ａ）粒子の円形軌道の取り得る半径ｒ ｎ 。
（ｂ）粒子の全エネルギーの取り得る値Ｅ ｎ 。
力Ｆ（ｒ）の作用下で、粒子が振動している周波数ωで、Ｅ ｎ を記述せよ。

６．４．

原子と分子のスペクトル

６．５ ３． （ａ）リードベルグ定数Ｒを用いて、水素原子のｍ次のスペクトル系列の先頭線の周
波数ω ｍ を表記せよ。
（ｂ）バルマー系列の先頭線の周波数ω ２ を単位に採用して、最初から４番目の系列の先頭線の周波数の関係。
６．５４． 水素原子のイオン化ポテンシャルは、φ ｉ ＝１３．６Ｖ。これより、リードベルグ定数の値を計算せよ。
６．５５． 水素原子のイオン化エネルギーがＥ ｉ ＝１３．６ｅＶであることから、この原子の第１励起ポテンシャルφ １ を求めよ。

- 120 -

６．５６． 水素原子の第１位励起ポテンシャルが、φ １ ＝１０．２Ｖ出ることを基礎に、バルマー
系列の最初のスペクトル線に対応する光子のエネルギーε（単位 ｅＶ）を求めよ。
６．５７． 水素原子のイオン化エネルギーはＥ ｉ ＝１３．６ｅＶ。これより、バルマー系列の２番目のスペクトル線に対応する光子のエネルギーεをｅＶ単位で求めよ。
６ ． ５ ８ ． 水 素 原 子 の イ オ ン 化 ポ テ ン シ ャ ル が １ ３ ． ６ Ｖ で あ る こ と を 基 礎 に 、（ ａ ） ラ イ マ ン
系 列、（ ｂ ） バ ル マ ー 系 列 、（ ｃ ） パ ッ シ ェ ン 系 列 、 に お け る 、 第 １ ス ペ ク ト ル 線 の 波 長 λ １ と 、 系
列の限界波長λ ∞ を求めよ。
６．５９．
求めよ。

スペクトル線の波長Ｈ β が４８６．１ｎｍであることから、リードベルグ定数Ｒの値を６．６０． 水素原子の第１励起ポテンシャルがφ １ ＝１０．２Ｖであることから、以下の波長を求めよ。
（ａ）Ｈ α スペクトル線。（ｂ）バルマー系列の限界波長Ｈ ∞ 。
６．６ １． 水素原子のイオン化ポテンシャルは１３．６Ｖ。これから、バルマー系列では、可視領域に、何本のスペクトル線があるか、求めよ。
６．６２．

水素原子が３Ｄ状態に遷移したとすれば、如何ほどの波長のスペクトル線を生ずるか。

６．６ ３． エネルギー１５．０ｅＶのエネルギーを持つ光子が、基底状態にあり、静止している
水素原子から、電子を叩き出した。この電子の速度ｖは、原子核の遠方で幾らとなるか。
６．６４． 基底状態にある価電子のエネルギーがＥ １ ＝－３．８ｅＶ。この原子のイオン化ポテン
シャルφ ｉ は幾らか。
６．６ ５． ある原子の主系列の限界（則ち、最小エネルギーを持った状態への遷移で生じるスペ
クトル線）が、波長λ ∞ ＝２５０ｎｍに対応している。この原子のイオン化ポテンシャルφ ｉ を求めよ。
６．６ ６． ナトリウム原子の基底状態は３Ｓ。Ｓ項に対するリードベルグ補正は－１．３５。これらのデータから、ナトリウム原子のイオン化エネルギーＥ ｉ （単位 ｅＶ）を計算せよ。
６．６ ７． 状態３Ｓが、ナトリウム原子の基底状態である。Ｐ項に対するリードベルグ補正がｐ＝－０．８７。共鳴線（３Ｐ→３Ｓの遷移に対応）の波長はλ＝５９０ｎｍ。これらのデータから、ナトリウム原子のイオン化ポテンシャルφ ｉ を求めよ。
６．６ ８． 状態３Ｓが、ナトリウム原子の基底状態である。Ｐ項に対するリードベルグ補正は負であり 、｜ｓ ｜＞｜ｐ｜＞｜ｄ｜の関係にある。準位ｎＰは準位（ｎ＋１）Ｓの下にあり、準位ｎ
Ｄは準 位（ｎ ＋１）Ｐの下にある。これらのデータから、ナトリウム原子が励起状態５Ｓから基底状態に直接遷移する、可能な系列の遷移を列挙せよ。
６．６９． ナトリウムの黄色のダブレットの波長はλ １ ＝５８９．００ｎｍ、λ ２ ＝５８９．５９ｎｍ。このデータから、狭い系列のダブレットの周波数差Δωを求めよ。
６．７ ０． 問題６．６９での波長から、ナトリウム原子の準位３Ｐに対して、スピン－軌道相互作用によるエネルギーの拡張値ΔＥ（単位ｅＶ）を求めよ。
- 121 -

６．７ １． ナトリウム原子のＦ項の水素様に注意を払って、基本系列の第１スペクトル線と第２スペクトル線の間の周波数差Δωを求めよ。
６．７２． リチウム原子のイオン化ポテンシャルはφ ｉ ＝５．３９Ｖで、第１励起ポテンシャルは
φ １ ＝１．８５Ｖ。これらのデータから、リチウムにおける、ｓとｐのリードベルグ補正を求めよ。
６．７ ３． 問題６．７２で得られた結果を用いて、リチウム原子に於いて、状態３Ｓから状態２Ｓへの遷移に於いて生ずる、スペクトル線の波長を求めよ。
６．７４． セシウムのイオン化ポテンシャルはφ ｉ ＝３．８９Ｖ。基底状態は６Ｓ。これらのデー
タから、セシウムのＳ項におけるリードベルグ補正を求めよ。
６．７５． 制している水素原子がある。（ａ）ライマン系列、（ｂ）バルマー系列、の先頭のスペクトルに対応する光子を放出すると、水素原子は如何ほどの速度ｖを獲得するか。
６．７ ６． 静止しているナトリウム原子がある。状態３Ｐ→状態３Ｓへの遷移でナトリウム原子から光 子が放 出される。ナトリウムが獲得する反跳エネルギーＥと速度ｖを求めよ。光子のエネル
ギーℏωのうちの如何ほどの割合が反跳エネルギーＥとなるか。
６．７ ７． 静止している水銀原子がある。原子が、共鳴周波数の光子を吸収する。原子の獲得する速度ｖを求めよ。ここでの共鳴周波数は、第１励起準位に原子が遷移をする周波数のことである。
水銀の第１励起ポテンシャルは４．９Ｖ。
６．７８． 最初静止していたナトリウム原子が、光子を放出する。
（ａ）放射時、原子が受けた反跳の結果生ずる、光子の波長の変化量Δλは幾らか。
（ｂ）得られた結果は何処に特徴があるか。
６．７９． 静止しているリチウム原子が、周波数ω＝２．８１×１０ １ ５ ／ｓの光子を吸収した。
その結 果、第 １励起準位に遷移をし、ある速度で動き始めた。その後、新しい光子を、原子の運動方向に対して垂直の方向に放出し、基底状態に戻った。個の後、原子はどのような速度ｖで動くか。
６．８ ０． エネルギーε＝５．４８５２ｅＶを持っている光子が、静止しているリチウム原子から、価 電子を 叩き出す。光子が飛んできた方向に対して、直角の方向に電子は飛び去る。イオン化
した原子は、如何ほどの速度ｖで、どの方向に飛んでいくか。
６．８１． バナジウム（Ｚ＝２３）のＫ α の波長はλ Ｖ ＝０．２５０７３ｎｍ、銅（Ｚ＝２９）のＫ α 線の波長はλ Ｃｕ ＝０．１５４４３ｎｍ。
（ａ）これらのデータから、モーズリーの法則の式、ω １／ ２ ＝Ｃ（Ｚ－σ）、中の定数Ｃとσを求めよ。得られたＣの値を、量（３Ｒ／４） １／２ と比較せよ。ここで、Ｒはリードベルグ定数。
（ｂ）Ｋα線の波長がλ＝０．１９３９９ｎｍとなる元素の原子番号を求めよ。この元素名は何か。
６．８２． タングステン（Ｚ＝７４）のＫ α の波長はλ Ｗ ＝０．０２１３８１ｎｍ、銀（Ｚ＝４７）のＫ α 線の波長はλ Ａｇ ＝０．０５６３７８ｎｍ。これらのデータから、モーズリーの法則の式中の定数Ｃと σを求 めよ。問題６．８１参照。得られた結果を、問題６．８１の結果と比較せよ。得られた不一致について説明をせよ。
６．８３． タングステン（Ｚ＝７４）のＬ α の波長はλ Ｗ ＝０．１４７６３５ｎｍ、鉛（Ｚ＝８２）のＬ α 線の波長はλ Ｐｂ ＝０．１１７５０４ｎｍ。
- 122 -

（ａ）これらのデータから、モーズリーの法則の式、ω １／ ２ ＝Ｃ（Ｚ－σ）、中の定数Ｃとσを求めよ。得られたＣの値を、量（５Ｒ／３６） １／２ と比較せよ。ここで、Ｒはリードベルグ定数。
（ｂ）Ｌ α 線の波長がλ＝０．１３１２９８ｎｍとなる元素の原子番号を求めよ。この元素名は何か。
６．８４． 鉄（Ｚ＝２６）のＬ α の波長はλ Ｆ ｅ ＝１．７６０２ｎｍ、亜鉛（Ｚ＝３０）のＬ α 線の波長はλ Ｚｎ ＝１．２２８２ｎｍ。これらのデータから、モーズリーの法則の式中の定数Ｃとσを求めよ。問題６．８３参照。得られた結果を、問題６．８３の結果と比較せよ。
６．８５． 銅と銀の原子のどちらの方が、ある物質でコンプトン散乱を行ったとき、Ｋ α 線の周波数の相対変移Δω／ωが大きいか。それは何倍か。
６．８ ６． ＣＯ分子に於いて、電子殻の第１励起ポテンシャルは６．０Ｖ。電子が基底状態にあるとき、固有振動周波数はω 振動 ＝４．０９×１０ １４ ／ｓ。以下を求めよ。
（ａ）基底電子準位と、第１励起電子準位の間にある、振動準位の個数Ｎ。
（ｂ） 第１励 起振動準位へ分子を遷移させるに必要なエネルギーΔＥ振動に対する、第１励起電子準位へ分子を遷移させるに必要なエネルギーΔＥ 電子 の比。
６．８７．ＣＯ分子の基底振動状態に於いて、固有振動周波数はω 振 動 ＝４．０９×１０ １４ ／ｓ。原子間の平衡距離はｒ ０ ＝０．１１２ｎｍ。以下を求めよ。
（ａ）基底振動準位と、第１励起振動準位の間の、回転準位の個数Ｎ。
（ｂ）第１励起回転準位へ分子を遷移させるに必要なエネルギーΔＥ 回 転 に対する、第１励起振動準位へ分子を遷移させるに必要なエネルギーΔＥ 振動 の比。得られた結果を、問題６．８６の結果と比較をせよ。
６．８８． ＣＮ分子の回転バンドのスペクトル間の間隔が、Δω＝７．１９×１０ １ １ ／ｓ。分子の原子核間の平衡距離ｒ ０ を求めよ。
６．８ ９． ２原子分子があり、その慣性モーメントはＩ。回転量子数Ｊの状態にある分子の回転
角速度ω 回転 を求めよ。第Ｊ番目の回転準位から、第（Ｊ－１）番目の準位への遷移に於いて生ずる
スペクトル線の周波数ωと、得られたω 回転 を比較せよ。
６．９０． ＨＣｌ分子の原子核間距離はｒ ０ ＝０．１２７ｎｍ。分子が、第１励起回転準位にある
ときの、分子の回転角速度ω 回転 を求めよ。
６．９ １． ＣＮ分子からなる気体が、温度Ｔ＝４００Ｋで、熱平衡状態にある。ＣＮ分子の固有振動周波数は、ω＝３．９０×１０ １４ ／ｓ。第ｉ番目の振動準位にある分子数Ｎ ｉ に対する、第（ｉ＋１）番目の振動準位にある分子数Ｎ ｉ ＋１の比を求めよ。

６．５．

量子力学

６．９２． （ａ）粒子の速度ｖで、（ｂ）粒子の運動エネルギーＥ Ｋ で、質量ｍの相対論的粒子のドブロイ波長λの式を記述せよ。
６．９ ３． 微粒子のドブロイ波長が、微粒子のコンプトン波長と等しくなるのは、微粒子の速度ｖが幾らの時か。
６ ． ９ ４ ． 電 子 の ド ブ ロ イ 波 長 が 、（ ａ ） ５ ０ ０ ｎ ｍ （ 電 磁 波 の 波 長 は 可 視 領 域）、（ ｂ ） ０ ． １ｎｍ（電磁波の波長はＸ線領域）、に等しくなるのは、電子の速度ｖが幾らのときか。
- 123 -

（ａ）
６．９５． ｘ軸に沿っての運動に於いて、速度は、精度Δｖ ｘ ＝１ｃｍ／ｓで決まっている。
－１３
電 子 の 場 合 、（ ｂ ） 質 量 ｍ ≒ １ ０
ｇ の ブ ラ ウ ン 粒 子 、（ ｃ ） 質 量 ｍ ≒ ０ ． １ ｇ の 霞 弾 、 の 各 々 について、座標の不確定性Δｘを求めよ。
６．９６． 速度ｖ＝１．０×１０ ５ ｍ／ｓで平行に飛行している電子束が、幅ｂ＝０．０１０ｍｍのスリットを通過する。スリットから距離ｌ＝１．０ｍ離れている所に立っているスクリーン上で、観察される中心の回折最大の幅δｘを求めよ。
６．９７． 電子の細い平行束が、速度ｖ＝１．０×１０ ７ ｍ／ｓで飛行し、ポリ結晶であるニッケ
ル薄膜 を通過 し、薄膜の後、距離ｌ＝１０．０ｃｍの所にあるスクリーンに当る。お互いに距離ｄ＝０． ２１５ ｎｍ離れている結晶面からの電子の反射により、スクリーン上に形成される最初の２つの回折リングの半径を求めよ。
６．９ ８． 不確定性関係を利用し、幅ａの無限に深い１次元ポテンシャル中にある、質量ｍの粒子の持っているエネルギーの最小値Ｅ１を求めよ。
６．９９． 不確定性関係を用いて、１次元調和振動子の最低エネルギーＥ ０ を求めよ。振動子の質
量はｍ、固有周波数はω。
６．１ ００． 原子の半径ｒは、０．１ｎｍのオーダーの大きさであるということから、水素原子中における電子の速度ｖを求めよ。
６．１ ０１． 粒子の波動関数Ψ（ｘ、ｙ、ｚ）が与えられている。粒子が、体積Ｖの領域に存在する確率を表わす式を記述せよ。
６．１ ０２． 幅ａ（０≦ｘ≦ａ）の１次元の無限に深いポテンシャル穴中にある、質量ｍの粒子の波動 関数と エネルギー値を求めよ。無限に深い井戸とは、井戸の内部ではポテンシャルはゼロであり、井戸の外ではポテンシャルが無限大である、ような井戸のことである。最小エネルギーＥ １ に対する結果を、問題６．９８の結果と比較をせよ。
６．１０３． 問題６．１０２中の粒子が、基底状態にある。則ち、最小エネルギーの状態にある。
粒子の 座標ｘ が、ηａから（１－η）ａの範囲に存在する確率Ｐを求めよ。ここで、η＝０．３６
７６。
６．１ ０４． 幅ａ＝１．０ｃｍの１次元無限井戸型ポテンシャル中に、電子が入っている。以下を求めよ。
（ａ）電子のエネルギー準位密度ｄｎ／ｄＥ。則ち、単位エネルギー間隔あたりに存在する準位数。
（ｂ）ｎ＝１０ １０ の個数を持つ準位付近におけるこの密度の数値。
（ｃ）最初のＮ＝１０ １０ 個の準位の平均エネルギー値＜Ｅ ｎ ＞。
６．１ ０５． ｘ軸方向の幅がａ、ｙ軸方向の幅がｂである、２次元無限井戸型ポテンシャル中にある、 質量ｍ の波動関数と、エネルギー値を求めよ。０≦ｘ≦ａ、０≦ｙ≦ｂ、とする。問題６．
１０２参照。
６．１０６． 問題６．１０５の粒子について、ｍ＝０．９１１×１０ －３０ ｋｇ（電子の質量）、ａ＝ｂ＝１．０ｎｍとして、下の３つの準位のエネルギー値（単位ｅＶ）を求めよ。
６．１ ０７． ｘ軸方向の幅がａ、ｙ軸方向の幅がｂ、ｚ軸方向の幅がｃ、である、３次元無限井
戸型ポ テンシ ャル中にある、質量ｍの波動関数と、エネルギー値を求めよ。０≦ｘ≦ａ、０≦ｙ≦- 124 -

ｂ、０≦ｚ≦ｃ、とする。問題６．１０２参照。
６．１ ０８． 質量ｍの粒子が、半径Ｒの無限に深い球形ポテンシャル井戸中に入っている。以下を求めよ。
（ａ）ｒだけに依存する状態に対応する波動関数。計算を行うためには、波動関数をΨ ｎ （ｒ）＝φｎ （ｒ）／ｒの形に表現すること。
（ｂ）Ψ ｎ （ｒ）で記述される状態にある粒子のエネルギー値Ｅ ｎ 。
６．１０９． ある粒子の波動関数が、Ψ＝Ａ・ｅｘｐ（－ｒ／ａ）／ｒの形をしている。ここで、ｒは力の中心からの距離、ａは定数。以下を求めよ。
（ａ）定数Ａの値。
（ｂ）中心からの粒子の平均距離＜ｒ＞。
６．１１０． ある粒子の波動関数が、
Ψ ＝ （（ π α （ ２ π ） １ ／ ２ ） １ ／ ２ ） － １ ・ ｅ ｘ ｐ （ － ｒ ２ ／ ａ ２ ） ／ ｒ の 形 を し て い る 。 こ こ で 、 ｒ は力の中心からの距離、ａは定数。中心からの粒子の平均距離＜ｒ＞を求めよ。
６．１１１． ある粒子の波動関数が、Ψ＝Ａ・ｅｘｐ（－ｒ ２ ／２ａ ２）の形をしている。ここで、ｒは力の中心からの距離。ａは定数。以下を求めよ。
（ａ）係数Ａの値。
（ｂ）最大確率ｒ 確率 と、中心からの粒子の平均距離＜ｒ＞。
６．１１２． （ａ）自然界に於いて、ゼロではない最小の運動量モーメントＭ 最小 は幾らか。
（ｂ）そのような運動量を持っている「対象物」を列記せよ。
６．１ １３． 問題１．１８３で、地球の地軸の周りの回転の運動量モーメントを計算した。このモーメントをℏの単位で計算せよ。
６．１１４． 調和振動子の基底状態の波動関数が、次の形をしている。
Ψ ０ （ｘ）＝（α／π １／２ ） １／２ ・ｅｘｐ（－α ２ ｘ ２ ／２）。
こ こ で 、 α ＝ （ ｍ ω ／ ℏ）（ ｍ は 質 量 、 ω は 振 動 子 の 固 有 周 波 数 ）。 こ の 状 態 に あ る 振 動 子 の エ ネ
ルギーはＥ ０ ＝（１／２）ℏω。以下を求めよ。
（ ａ ） 座 標 の 大 き さ の 平 均 値 ＜ ｜ ｘ ｜ ＞ 。 ＜ ｜ ｘ ｜ ＞ を 古 典 的 振 幅 ａ で 表 記 せ よ。（ Ｅ ＝ ｍ ａ ２ ω ２／２で ある。 古典的振動子の＜｜ｘ｜＞について、問題２．７８で得られた式と、ここで得られた式を比較せよ。）（ｂ）振動子のポテンシャルエネルギーの平均値＜Ｕ＞。
６．１１５． 振り子の質量はｍ＝１０．０ｍｇ、長さはｌ＝１．０ｃｍ。以下を求めよ。
（ａ）この振り子のゼロ振動エネルギーＥ ０ 。
（ｂ）エネルギーＥ ０ に対応する、振り子の古典的振幅ａ。
６ ． １ １ ６ ． 水 素 原 子 の 基 底 状 態 の 波 動 関 数 は 、 Ψ ＝ Ａ ・ ｅ ｘ ｐ （ － ｒ ／ ｒ ０ ）。 こ こ で 、 ｒ ０ は
ボーア半径（則ち、第１ボーア軌道の半径）。以下を求めよ。
（ａ）定数Ａの値。
（ｂ）電子が、原子核から距離ｒに存在する確率密度ｄＰ／ｄｒ。
（ｃ）原子核からの電子の最大確率距離ｒ 確率 。
（ｄ）原子核からの電子の平均距離＜ｒ＞。
（ｅ）電子のポテンシャルエネルギーの平均値＜Ｕ＞。
（ｆ）電子が、原子核からの距離が、ηｒ ０ を超える所に存在する確率Ｐη。ここで、ηはある数。
- 125 -

６．１ １７． 問題６．１１６の（ｆ）の結果を利用し、水素原子の基底状態にある電子が、原子核からの距離が、（ａ）ｒ ０ 、（ｂ）１．５ｒ ０ 、（ｃ）２ｒ ０ ，（ｄ）５ｒ ０ 、（ｅ）１０ｒ ０ 、を超える所に位置している確率を求めよ。
６．１ １８． 原子状水素のある量が、温度Ｔ＝３０００Ｋで熱平衡状態にある。第１励起状態にある原 子１個 に付き、基底状態にある原子は何個Ｎか。エネルギーＥを持つ状態なる確率は、ボル
ツマン 因数以 外に、そのエネルギー準位の縮退度ｇ（別な言い方をすれば、統計的重み）に比例す
る、ことを考慮せよ。

６．６．

原子の状態の量子力学的記述

６．１１９．
つとなるか。

状 態 、（ ａ ） ２ ｐ 、（ ｂ ） ４ ｆ 、 に あ る 電 子 の 軌 道 運 動 量 モ ー メ ン ト の ２ 乗 Ｍ ２ は 幾

６．１２０． 原子の状態が量子数ＬとＳで記述できる。ＬとＳが、（ａ）２と２、（ｂ）３と２，（ｃ）２と３、（ｄ）１と３／２、に等しいとき、量子数Ｊの可能な値を記述せよ。
６．１２１． 以下の項で、正しい表記でないものはどれか。（１） ２ Ｓ １ 、（２） ２ Ｐ １ 、（３） ３ Ｐ １／
２、（４） ３ Ｐ ３、（５） ５ Ｄ ０ 、（６） １ Ｆ ０、（７） ８ Ｆ １３／２ 。
６．１２２．

Ｆ状態の多重度が５。この状態に属する項を記述せよ。

６．１２３． 以下の項は、幾つの成分からなっているか。（ａ） １ Ｓ、（ｂ） ２ Ｓ、（ｃ） ２ Ｐ、（ｄ）
３
Ｐ、（ｅ） ４ Ｐ、（ｆ） ５ Ｄ。
６．１２４．

Ｄ項が、５つの成分からできている。この項の多重度は幾らか。

６．１ ２５． 状態Ｐと状態Ｄの各々が、３つの成分を持っている。これらの状態のスピン量子数
Ｓの可能な値は幾らか。
６．１２６． 以下の項の多重度＊の可能な値を求めよ。
（ａ）＊ Ｓ ０ 、（ｂ）＊ Ｐ ２、（ｃ）＊ Ｄ ３／２、（ｄ）＊
Ｆ １／２ 。
６．１２７．
可能か。

電 子 配 位 が 、（ ａ ） ２ ｓ ２ 、（ ｂ ） ２ ｐ ３ ｓ、（ ｃ ） ３ ｐ ２ 、 の 場 合 、 ど の よ う な 項 が

６．１２８． 原子の電子殻が、ｓ電子、ｐ電子、ｄ電子からできている。この配位に於いて、（ａ）
最大、（ｂ）最小、の全力学モーメントを持つ状態に対する項の記号を記述せよ。
６．１２９． ２個の価電子のｄ電子からなる系に於いて、全力学モーメントＭ Ｊ の値が、（最大値、
（ｂ）最小値、の状態に対する項の記号（分光学項）を記述せよ。これらの値は幾らとなるか。
６ ． １ ３ ０ ． 原 子 の 力 学 モ ー メ ン ト が Ｍ Ｊ＝ ℏ ・ ２ １／２、 磁 気 モ ー メ ン ト が ゼ ロ 、 ス ピ ン 量 子 数 がＳ＝２、である状態に対応する分光学項（項の記号）を記述せよ。
６．１３１． 多重度が４の状態にある原子が、力学モーメントＭ Ｊ ＝（ℏ／２）・６３ １／２ 。を持っている。この状態の量子数Ｌは幾らの値を持つか。
- 126 -

６．１ ３２． その磁気モーメントはゼロであり、軌道量子数がＬ＝２，スピン量子数がＳ＝３／２である原子がある。この原子の全力学モーメントＭ Ｊ は幾らとなるか。
６．１ ３３．
か。

価電子が、状態ｎ＝２にあるリチウム原子の最大で可能な全力学モーメントは幾ら

６．１３４．

価電子が、ｎ＝４にあるナトリウム原子の最大で可能な全力学モーメントは幾らか。

６．１３５． ４個の等価なｐ電子の場合に於いて、項 １ Ｓ ０ 、 ３ Ｐ ２ ， ３ Ｐ １ ， ３ Ｐ ０ 、 １ Ｄ ２ は、パウリの原理に矛盾しない。これらの項のどれが基底状態か。
６．１ ３６． 満たされた主殻と副殻以外に、原子は５個の等価なｐ電子を持っている。この原子の基底項を求めよ。
６．１ ３７． 満たされた主殻と副殻以外に、原子は３個の等価なｐ電子を持っている。パウリの原理に合致するように、この原子の項を求めよ。基底項はどれか。
６ ． １ ３ ８ ． 以 下 の う ち の ど の 遷 移 が 、 選 択 律 で 禁 止 さ れ る か。（ １ ） ２ Ｓ １ ／ ２ → ２ Ｐ ３ ／ ２ 、（ ２） ２
Ｓ １／２ → ２ Ｄ ３／２ 、（３） ２ Ｐ １／２ → ２ Ｓ １／２ 、（４） ２ Ｄ ５／２ → ２ Ｐ １／２ 、（５） ２ Ｆ ７／２ → ２ Ｄ ３／２ 、（６） ２ Ｄ ３／
２
２ → Ｆ ５／２ 、（７） ２ Ｆ ５／２ → ２ Ｐ ３／２ 。
６．１ ３９． ナトリウム原子の価電子が、ｎ＝４の状態にある。電子の残りの量子数の値は、原子が可能な最も大きい力学モーメントＭ Ｊ を持つようになっている。この状態における原子の磁気モーメントμを求めよ。
６．１４０． 電子配位が１ｓ ２ ２ｓ ２ ２ｐ３ｄを持つ炭素原子は、そのような配位に於いて、可能な最大 の力学 モーメントを持っている。この状態に於いて、原子の磁気モーメントμはボーア磁子を用いて幾らとなるか。
６．１４１．ランゲ因子がｇ＝０である３つの最も簡単な項を見いだせ。
６．１４２． 状態、（ａ） ３ Ｓ １ ，（ｂ） １ Ｐ ０ 、（ｃ） １ Ｐ １ 、（ｄ） ４ Ｄ １／２ ，（ｅ） ５ Ｆ １ 、（ｆ） ７ Ｈ ２ 、における原子の磁気モーメントμをボーア磁子を用いて表記せよ。
６．１４３．
２Ｄ ５／２ 。

以下の項は、磁場中で幾つに分裂をするか。
（ａ）１Ｓ、（ｂ）１Ｐ、（ｃ）１Ｄ、（ｄ）

６ ． １ ４ ４ ． 状 態、（ ａ ） ２ Ｐ ３ ／ ２ 、（ ｂ ） ３ Ｄ １ 、（ ｃ ） ３ Ｆ ４ 、 に ある 原 子 束 では 、 シ ュテ ル ン ・ ゲ
ルラッハの実験では、幾つの成分に分裂をするか。
６．１４５． 状態、（ａ） １ Ｓ ０ 、（ｂ） ４ Ｄ １／ ２ 、にある原子束では、シュテルン・ゲルラッハの実
験では、幾つの成分に分裂をするか。
６．１４６． シュテルン・ゲルラッハの実験に於いて、状態 ２ Ｐ ３／ ２ にある原子束が、ｄＢ／ｄｘ＝１００テスラ／ｍの不均一磁場中を通過する。この磁場の領域の長さはｌ １ ＝４０．０ｍｍ。磁場の境界から距離ｌ ２ ＝１００ｍｍの所にスクリーンがある。磁場の出口における原子の速度はｖ＝６００ｍ ／ｓ。 入射束が磁場を通過して分離してできる、スクリーン上で隣り合っている斑点間の距
離ａを求めよ。
- 127 -

６．１ ４７． 原子が、磁束密度Ｂ＝１．０テスラの磁場中にある。以下の項の全分裂幅ΔＥ（単位ｅＶ）を求めよ。（ａ） １ Ｓ，（ｂ） １ Ｐ、（ｃ） １ Ｄ、（ｄ） ２ Ｄ ５／２ 。
６．１４８． Ｂ＝１．０テスラに対応する、正常（ローレンツ）変位Δω ０ （単純ゼーマン効果におけるスペクトル線の成分の変位量）の数値を求めよ。
６．１４９． 研究中の原子が、磁束密度Ｂ＝１．０テスラの磁場中にある。以下の遷移における、
隣り合っているゼーマン成分間の間隔Δωを求めよ。（ａ） １ Ｐ １ → １ Ｓ ０ 、（ｂ） １ Ｄ ２ → １ Ｐ １ 、（ｃ） ２
Ｐ １／２ → ２ Ｓ １／２、（ｄ） ２ Ｐ ３／２ → ２ Ｓ １／２ 、（ｅ） ２ Ｄ １ → ２ Ｐ ０ 。
６．１ ５０． ナトリウムの黄色のダブレット線（問題６．６９参照）の間隔Δωと、Ｂ＝１．０
テスラ 下で、 ダブレット線が分離してできるゼーマン成分間の間隔Δω’を比較せよ。ダブレット
線は、遷移 ２ Ｐ １／２ → ２ Ｓ １／２ 、と ２ Ｐ ３／２ → ２ Ｓ １／２ に対応している。問題６．１４９参照。
６．１ ５１． ナトリウムの黄色のダブレット線が、Ｂ＝１．０テスラ下で分離して得られるゼーマン成 分を分 離するためには、回折格子の溝の数Ｎは幾らである必要があるか。問題６．１５０参照。スペクトル線の波長は５８９．０ｎｍと５８９．６ｎｍ。

６．７．

固体物理

６．１５２． 立方結晶の格子の稜の長さがａ。以下のインデックスを持つ点間の距離ｌを求めよ。
（ ａ ）［ １ ／ ２ ０ １ ／ ２ ］ と ［ １ ／ ２ １ １ ／ ２ ］、（ ｂ）［０ ０ ０ ］ と ［ １ １ １］、（ｃ）［１ ０ １／２］と［１／２ １ １／２］。
６．１ ５３．
よ。

立方結晶に於いて、方位［２６．１５４．

立方結晶に於いて、面（１

３

２

６］と［３

３）と（３

２

２

１］の間のなす角度αを求め１）のなす角度αを求めよ。

６．１ ５５． 長さｌの弦があり、所定の面内で横振動を行う。振動の伝搬速度ｖは幾らか。間隔
ωとω＋ｄωの間に周波数を持つ弦の基準振動の数ｄＮ ω を求めよ。
６．１ ５６． 面積Ｓの長方形の膜がある。膜における横振動の伝搬速度ｖは幾らか。間隔ωとω
＋ｄωの間に周波数を持つ膜の基準振動の数ｄＮ ω を求めよ。結果を、問題６．１５５の結果と比較をせよ。
６．１ ５７． 体積Ｖの弾性体が直角平行六面体形状をしている。物体の横波の伝搬速度はｖ。間隔ωとω＋ｄωの間に周波数を持つ物体の基準振動の数ｄＮ ω を求めよ。結果を、問題６．１５５、問題６．１５６、の結果と比較をせよ。
６．１ ５８． 同じ原子が直線上に連結している結晶がある。原子の配位方向に振動を行う。この結晶のデバイ温度θを求めよ。原子濃度はｎ＝５．０×１０ ９ ／ｍ。結晶中の波の伝搬速度はｖ＝３０００ｍ／ｓ。
６．１ ５９． 同種の原子からできている、２次元結晶のデバイ温度θを求めよ。原子は、原子が配位し ている 面内で振動をするものとする。原子の平衡状態は、直角結晶格子の頂点にある。原子の濃度はｎ＝２．５０×１０ １９ ／ｍ ２ 。結晶中における横波と縦波の伝搬速度は同じでｖ＝３０００- 128 -

ｍ／ｓとする。
６．１ ６０． 同種の原子からできている、３次元結晶のデバイ温度θを求めよ。原子は、原子が配位し ている 面内で振動をするものとする。原子の平衡状態は、直角結晶格子の頂点にある。原子の濃度はｎ＝１．２５×１０ ２９ ／ｍ ３ 。結晶中における横波と縦波の伝搬速度は同じでｖ＝３０００
ｍ／ｓとする。得られた結果を、問題６．１５８と６．１５９の結果と比較せよ。
６．１６１． 以下の分問に於いて、基準振動の平均周波数値＜ω＞を求めよ。
（ａ）問題６．１５８における１次元結晶の場合。
（ｂ）問題６．１５９における２次元結晶の場合。
（ｃ）問題６．１６０における３次元結晶の場合。
６．１６２． 下の表に、（ａ）ベリリウム、（ｂ）銀、（ｃ）鉛、中における横波の速度ｖ ⊥ 、縦波の速度ｖ ∥ 、原子の濃度ｎが表示されている。これらの金属におけるデバイ温度θを求めよ。
金属
ベリリウム
銀
鉛

ｖ ⊥ （ｍ／ｓ）
８８３０
１５９０
７００

ｖ ∥ （ｍ／ｓ）
１２５５０
３６００
２１６０

ｎ（×１０ ２９ ／ｍ ３ ）
１．２３
０．５８６
０．３２８

６．１６３． アルミニューム中に於いて、横弾性波の速度はｖ ⊥ ＝３１３０ｍ／ｓ、縦弾性波の速度はｖ ∥ ＝６４００ｍ／ｓ。アルミニュームのデバイ温度θを求めよ。
６．１６４． 凝固するまで冷却された１モルのアルゴンのゼロ振動エネルギーＵ ０ を求めよ。アルゴンのデバイ温度はθ＝９２Ｋ。
６．１ ６５． 圧力ｐ＝１０１３ＧＰａの時、温度Ｔ＝８４Ｋで、アルゴンは凝固する。アルゴンのデバイ温度はθ＝９２Ｋ。Ｔ １ ＝４．０Ｋで、アルゴンのモル熱量量はＣ １ ＝０．１７４Ｊ／（モル・Ｋ）であることが実験からわかっている。Ｔ ２ ＝２．０Ｋにおける、アルゴンのモル熱容量Ｃ ２を求めよ。
６．１６６． 熱容量に関するデバイの式に入っている積分 ０ ∫ ｘｍ （（ｅ ｘ ｘ ４ ）／（ｅ ｘ －１） ２ ）ｄｘ は、ｘ ｍ →∞のとき、４π ４ ／１５に等しい。これを使って、アルゴン（θ＝９２Ｋ）のモル熱
容量の 大凡の 値を求めよ。得られた結果を、問題６．１６５に記されている実験値と比較をせよ。
６．１ ６７． デバイ温度がθ＝３００Ｋである結晶中で励起される、フォトン（？ フォノン）の最大エネルギーε 最大 を求めよ。同じようなエネルギーは、波長λが幾らのフォトンが持っているか。
６．１ ６８． 問題６．１６２のデータとその解答を利用して、銀中におけるフォノンの運動量の最大値ｐ 最大 を求めよ。如何ほどの波長λのフォトンが同じ運動量を持っているか。
６．１６９． 銀の原子量はＡ＝１０７．９、密度はρ＝１０．５ｇ／ｃｍ ３ 。これらのデータから、銀中におけるフォノンの運動量の最大値ｐ 最 大 を求めよ。得られた結果を、問題６．１６８の結果と比較せよ。
６．１ ７０． 結晶の体積を２倍大きくすると、フォノンのエネルギースペクトルにはどのような変化が起るか。原子濃度は不変とする。

- 129 -

６．１７１． ある結晶において、ある温度で励起される、特定周波数ω ｉ のフォノンの平均数＜ｎ＞は、この結晶の原子数に依存をするか。

ｉ

６．１ ７２． ある結晶試料において、与えられた温度で励起される、ωからω＋ｄωの周波数を持つフォノンの個数ｄｎは、試料中の原子数Ｎにどのように依存をするか。
６．１ ７３． ある結晶試料において、与えられた温度で励起される、全周波数のフォノンの全数
ｎは、試料中の原子数Ｎにどのように依存をするか。
６．１ ７４． デバイ温度がθ＝２００Ｋである結晶において、Ｔ＝４００Ｋのとき、励起される
最大周波数のフォノンの個数＜ｎ 最大 ＞は平均で幾らか。
６．１ ７５． 銀に対して、デバイ温度θ＝２０８Ｋ（問題６．１６２の（ｂ）の答えを参照）の値を採用して、以下を求めよ。
（ａ）フォノンのエネルギー最大ε 最大 。
（ｂ）温度Ｔ＝３００Ｋにおいて、エネルギーε最大を持っているフォノンの平均個数＜ｎ 最大 ＞。
６．１ ７６． 図６．２参照。図中のコイルの直径はｄ＝５００ｍｍ、巻数はＮ＝４００回。コイ
ルの材質は銅線。スケールの中心がゼロである衝撃検流計が、コイルの接触端子に接続されている。
コイル 、検流 計、接続導線全体の抵抗はＲ＝５０．０Ω。図中で矢印で示している方向に、周波数ｎ＝１ ００／ ｓでコイルを一様に回転をする。その後、急減速させる。これにより、指針は左側に傾斜し 、検流 計を荷電量ｑ＝１１．０ｎＣが流れる。銅中を流れるキャリアの符号と比電荷を求めよ。
６．１ ７７． 図６．３参照。長さｌ＝６０．０ｍｍ、幅ｂ＝２０．０ｍｍ、厚さａ＝１．０ｍｍの銅板がある。点１と点２の間に、電流Ｉ＝１０．０Ａを流すと、電位差Ｕ １２ ＝０．５１ｍＶが観察され、点３と点４の間の電位差はゼロである。電流を切らないで、板に垂直に、磁束密度Ｂ＝０．
１０テスラの磁場をかけると、点３と点４の間に電位差Ｕ ３ ４ ＝５５ｎＶが発生する。これらのデー
タを利用して、銅における、自由電子濃度ｎと、自由電子の移動度ｕ ０ を求めよ。

６．１ ７８．
するか。

結晶を形成している原子数に、結晶中の自由電子の平均エネルギー＜ε＞は依存を

６．１７９． 結晶を形成している原子の個数 N を、η倍大きくすると、自由電子のエネルギース
ペクトルにどのような変化が起きるか。
６．１ ８０．

金属の体積を３倍大きくすると、金属中の自由電子のエネルギーの隣り合う準位間- 130 -

の間隔Δεにはどのような変化が起きるか。
６．１ ８１． 結晶試料が、ある単純な物質を０．１７モル含有している。エネルギーの許容帯幅
はΔ E=１０ｅＶ。隣り合うエネルギー準位間の間隔の平均値は幾らとなるか。
６．１ ８２． 金属中における、自由電子のエネルギー準位の、隣り合う準位の間隔Δεを与える
式を記述せよ。
６．１８３． 金属試料の体積がＶ＝１ｃｍ ３ として、問題６．１８２で得られた式を用いて、エネ
ルギーＥが、（ａ）０．１ｅＶ、（ｂ）１ｅＶ、（ｃ）３ｅＶ、（ｄ）５ｅＶ、の場合について、隣り合う準位の間隔Δε（単位ｅＶ）を計算せよ。
６．１８４． 銅の原子の各々が、１個の自由電子を持つものとして、以下を求めよ。
（ａ）銅における、絶対零度でのフェルミ準位Ｅ Ｆ （０）。
（ｂ）絶対零度における、自由電子の平均運動エネルギー＜Ｅ＞。
（ｃ） 古典的 電子気体の電子の平均運動エネルギーが、Ｔ＝０下における道中の自由電子の平均エネルギーに等しい時の温度Ｔ。
６．１８５． 絶対零度におけるフェルミ準位がＥ Ｆ （０）＝５ｅＶであるとして、Ｔ＝３００Ｋにおけるフェルミ準位Ｅ Ｆ （Ｔ）を求めよ。Ｅ Ｆ （Ｔ）をＥ Ｆ （０）で表記せよ。
６．１ ８６． 絶対零度において、金属中の自由電子の如何ほどの割合ηが、最大値の半分を超える運動エネルギーを持っているか。
６．１ ８７． 絶対零度において、金属中の自由電子の如何ほどの割合ηが、平均エネルギーを超える運動エネルギーを持っているか。
６．１８８． 自由電子が、フェルミエネルギーＥ Ｆ に等しいエネルギーを持っている状態にある確
率Ｐは幾らか。
６．１８９． フェルミエネルギーＥＦに等しいエネルギーの準位にある、自由電子の平均の数＜ｎ＞は幾らか。
６．１９０． ？ 電流のキャリアの荷電量が、電気素量の２倍に等しいとして、磁束量子Φ ０ を計算せよ。
６．１９１． 図６．４に、熱陸学的温度
Ｔの逆数の大きさに対する、シリコンの導電率σの依存性が示されている。シリコンの禁制帯幅ΔＥを求めよ。
６ ． １ ９ ２ ． （ ａ ） 金 属 の 場 合 、（ ｂ ） 禁 制 帯 幅 Δ Ｅ ＝ ０ ． ３ ０ ｅ Ｖ の 固 有 半 導 体 の 場 合 、 に お
いて、 温度が ３００Ｋから３１０Ｋまで上昇すると、導電率は何倍変化するか。両方の場合において、変化の特徴は何か。
６．１ ９３． 金属の温度を、Ｔ＝２０００ＫからΔＴ＝０．０１０Ｋだけの温度の上昇は、熱電子放出の飽和電流を０．０１０％だけ増加させる。金属からの電子の脱出仕事 A はいくらか。

- 131 -

６．１９４． 平板コンデンサの電極間隙幅が、ｄ＝１．０ｍｍ。電極の一枚は白金製、もう 1 枚
はアル ミニュ ーム製。白金における電子の脱出仕事は５．２９ｅＶ、アルミニュームにおける電子の脱出 仕事は ３．７４ｅＶ。２枚の板を銅の導線で短絡する。電極間中の電場の電界強度Ｅは幾らとなるか。電場の向きはどうなっているか。
６．１ ９５． ２極管の電極間に、起電圧Ｅ＝１０．０Ｖの電池を接続する。カソード電極の材質
はタングステン（脱出仕事Ａ Ｗ ＝４．５０ｅＶ）、アノード電極の材質はニッケル（脱出仕事Ａ Ｎｉ ＝
４．８ ４ｅＶ ）カソードからアノードの経路中で、電子は如何ほどのエネルギーを獲得するか。カ
ソードから電子が飛び出すときの速度は無視する。
６．１９６． 自由電子濃度が、ｎ １ ＝１．０×１０ ２８ ／ｃｍ ３ 、ｎ ２ ＝１．０×１０ ２９ ／ｃｍ ３ の２つの金属がある。これらの金属を接触させたときに生起する内部接触電位差Ｕ 内部 を求めよ。

６．８．

原子核の結合エネルギー。放射能

６．１９７． 以下の原子核において、１つの核子あたりの結合エネルギーＥ 結合 ／Ａ（単位 ＭｅＶ）を求めよ。
（ａ）１１ Ｂ ５，（ｂ）２９ Ｎｅ １０，（ｃ）２８ Ｓｉ １４、（ｄ）５６ Ｆｅ ２６ ，（ｅ）６８ Ｚｎ ３０ ，
（ｆ）
１３８
２０７
２３５
Ｂ ａ ５ ６ 、（ ｇ ）Ｐ ｂ ８ ２ 、（ ｈ ）Ｕ ９ ２ 。 質 量 数Ａ に 対 す るＥ 結 合 ／ Ａ の 依存 性 の グラ フ を 方 眼紙に描け。
６．１９８． 自由に静止しているラジウム ２２ ６ Ｒａ ８ ８ の原子核が、α崩壊をする。 ２２６ Ｒａ ８８ の原子核の結合エネルギーは１７３１．６ＭｅＶ、 ２２２ Ｒｎ ８６ の原子核の結合エネルギーは１７０８．２
ＭｅＶ、α粒子の結合エネルギーは２８．３ＭｅＶ。ラドン ２２６ Ｒａ ８８ の部済め殻は非励起状態にあると見なし、以下を求めよ。
（ａ）生成されたα粒子の速度ｖ α 。
（ｂ）娘核の速度ｖ。
６．１９９． 放射崩壊の法則から、以下を求めよ。
（ａ）放射性原子核の半減期Ｔ。
（ｂ）原子核の平均寿命τ。
（ｃ）Ｔとτの間の関係。
６．２ ００．

放射性原子核の平均寿命τと、半減期Ｔのどちらの方が大きいか。それは何倍か。

６．２ ０１． 放射性物質の原子の平均寿命がτ。この物質の原子の如何ほどの部分ηが、τの３倍の時間ｔの間に、崩壊しないで残っているか。
６．２ ０２． 半減期がＴである放射性物質の原子の、如何ほどの部分ηが、Ｔの３倍の時間ｔの間に崩壊をするか。
６．２０３．

半減期Ｔに等しい時間ｔの間に、放射性原子が崩壊する確率は幾らか。

６．２０４． ある放射性物質の平均寿命がτ＝１．０ｓ。時間幅ｔが、（ａ）１．０ｓ、（ｂ）１０．０ｓ、（ｃ）０．１０ｓ、において、原子核が崩壊する確率Ｐを求めよ。
６．２ ０５． 放射系列に属する物質がある。母物質は大きな半減期を持っており、娘物質の形成は、一定速度ｂ＝１．０×１０ ５ 原子核／ｓで行われるものと見なせる。娘物質は半減期Ｔ＝１０．
０昼夜を持っている。時刻ｔ＝０には、母親物質だけが存在したものとして、以下を求めよ。
- 132 -

（ａ）時間ｔに対する、試料中に包含されている娘物質の原子核数Ｎの依存性。
（ｂ）この物質原子核の半減期に等しい時間が流れた時点における、娘物質の原子数Ｎ。
（ｃ）この物質の半減期を十分に過ぎ去った時点における、娘物質の原子核数Ｎ。
６．２０６． 崩壊定数λ １ を持つ放射性原子核Ｘが、崩壊定数λ ２ を持つ放射性原子核Ｙに変換をする。時刻ｔ＝０のとき、原子核ＸだけがＮ Ｘ０ だけあったとして、以下を求めよ。
（ａ）時間ｔに対する、原子核Ｙの個数Ｎ Ｙ の依存性。
（ｂ）Ｎ Ｙ が最大値に達するまでの時間の流れｔ 最大 。
（ｃ）λ １ ≪λ ２ 、λ １ ｔ≪１。の場合を考察せよ。Ｎ Ｙ に対して得られた結果を、問題６．２０５の結果と比較をせよ。
６．２ ０７． エジプトのピラミット内で発見された古い布の年齢を求めるために、布中の放射性炭素 １４ Ｃ原子の濃度を求めた。 １ ４ Ｃは、炭素１ｇ当たり、１分間に、９．２回崩壊をする。生きている植物中の １４ Ｃの濃度は、１ｇの炭素あたり、１分間に１４．０回崩壊をする。 １ ４ Ｃの半減期は５７３０年。これらのデータから布の年齢ｔを求めよ。

- 133 -

解答
１．１．
１．２．（ａ）Δｖ＝ｗｔ。（ｂ）ｖ ｙ ＝ｖ ０ｙ ＋ｗ ｙ ｔ。（ｃ）Δｒ＝ｖ ０ ｔ＋ｗｔ ２ ／２。（ｄ）Δｚ＝
ｖ ０ｚ ＋ｗ ｚ ｔ ２ ／２。
１．３．ａとｂが共線ベクトルならば。ｅ ａ ＝－ｅ ｂ 。
１．４． 是。
１．５． Δａ＝－｜Δａ｜１．６． Δａ＝－２ａ、｜Δａ｜＝２ａ、Δａ＝０１．７． （ａ）｜Δａ｜≒ａδφ、（ｂ）Δａ＝０１．８． （ａ）Δｖ＝１ｅ ｘ ＋１ｅ ｙ ＋１ｅ ｚ 、（ｂ）｜Δｖ｜＝１．７３ｍ／ｓ、（ｃ）Δｖ＝１．
５７ｍ／ｓ。
１．９． ｃｏｓα＝（ａ ｘ ｂ ｘ ＋ａ ｙ ｂ ｙ ＋ａ ｚ ｂ ｚ ）／（（ａ ｘ ２ ＋ａ ｙ ２ ＋ａ ｚ ２ ）（ｂ ｘ ２ ＋ｂ ｙ ２ ＋ｂ ｚ ２））
１／２

１．１０． α＝５０．８°
１．１１． ａ［ｂｃ］＝ｂ［ｃａ］＝ａｂｃ・ｃｏｓα
１ ． １ ２ ． （ ａ ） Δ ｒ ＝ ｔ １ ∫ ｔ ２ （ ｖ ｘ （ ｔ ） ｅ ｘ ＋ ｖ ｙ （ ｔ ） ｅ ｙ ＋ ｖ ｚ （ ｔ ） ｅ ｚ ） ｄ ｔ、（ ｂ ） ｓ＝ ｔ１ ∫ ｔ２ （（ｖ ｘ （ｔ）） ２ ＋（ｖ ｙ （ｔ）） ２ ＋（ｖ ｚ （ｔ）） ２ ） １／２ ｄｔ、（ｃ）Δｘ＝ ｔ１ ∫ ｔ２ ｖ ｘ （ｔ）
ｄｔ、（ｄ）＜ｗ＞＝（１／（ｔ ２ －ｔ １ ）） ｔ１ ∫ ｔ ２ （（ｄｖ ｘ （ｔ）／ｄｔ）ｅ ｘ ＋（ｄｖ ｙ （ｔ）／ｄｔ）ｅ ｙ ＋（ｄｖ ｚ （ｔ）／ｄｔ）ｅ ｚ ） ２ ｄｔ
１．１３． ｖ＝ｂｅ ｙ －ａｅ ｘ 、ｖ＝（ａ ２ ＋ｂ ２ ） １／２
１．１４．
１．１５． （ａ）＜ｖ＞＝（４／τ）Ｒ（ｅ ｘ －ｅ ｙ ）、（ｂ）＜ｖ＞＝－（４／τ）Ｒｅ ｙ 、（ｃ）
＜ｖ＞＝－（４／３τ）Ｒ（ｅ ｘ ＋ｅ ｙ）、（ｄ）＜ｖ＞＝０，（ｅ）＜ｖ＞＝－（４／τ）Ｒｅ ｘ
１．１６． ｜＜ｖ＞｜＝（２・２ １／２ ／３π）＜ｖ＞＝０．３０＜ｖ＞
１ ． １ ７ ． （ ａ ） ＜ ｖ ＞ ＝ ３ π Ｒ ／ τ ＝ ４ ． ７ ｍ ／ ｓ 、（ ｂ ） ｜ ＜ ｖ ＞ ｜ ＝ ２ Ｒ ／ τ ＝ １ ． ０ ｍ／ｓ、（ｃ）｜＜ｗ＞｜＝６πＲ／τ ２ ＝０．９４ｍ／ｓ ２
１．１８． ＜ａ＞＝（２ａ／π）（ｅ ｘ ＋ｅ ｙ）、｜＜ａ＞｜＝（２・２ １／２ ／π）ａ＝０．９０ａ
１．１９．
１．２０． （ａ）ｓ＝５００ｍ、（ｂ）｜Δｒ｜＝５００ｍ
１ ． ２ １ ． （ ａ ） ｖ ＝ ６ ｔ ｅ ｘ ＋ ２ ｅ ｙ （ ｍ ／ ｓ）、 ｗ ＝ ６ ｅ ｘ （ ｍ ／ ｓ ２ ）、（ ｃ ） ｖ ＝ ６ ． ３ ｍ ／ｓ、（ｃ）ｓ≒６３ｍ
１．２２． （ａ）Δｒ＝２ｅ ｘ ＋４ｅ ｙ ＋８ｅ ｚ （ｍ）、（ｂ）ｖ＝１３ｍ／ｓ
１ ． ２ ３ ． （ ａ ） ｖ ＝ ５ ． ４ ｍ ／ ｓ 、（ ｂ ） ｗ ＝ ａ （ ２ ｅ ｘ ＋ ３ ｅ ｙ ＋ ４ ｅ ｚ ）、 ｗ ＝ ５ ． ４ ｍ ／ ｓ
２、（ｃ）ｓ＝１３．５ｍ、（ｄ）直線上での等加速度運動
１．２４． （ａ）Δｔ＝（２ｈ／（ｇ＋ｗ）） １／２ ＝０．７１ｓ、（ｂ）ｓ＝１．９ｍ
１．２５． Ｒ＝（ｖ（ｔ）） ２ ／（（ｄｖ（ｔ）／ｄｔ） ２ －（ｄｖ（ｔ）／ｄｔ） ２ ） １／２
１．２６． Ｒ＝ｖ ２ ／ｗ
１．２７． 円、又は螺旋
１．２８． （ａ）ｄｖ／ｄｔ＝－０．５３ｍ／ｓ ２、（ｂ）Ｒ＝３．８ｍ
１．２９． （ａ）ｖ ｘ ＝－（２π／Ｔ）ａ・ｓｉｎ（２π／Ｔ）ｔ、ｗ ｘ ＝－（２π／Ｔ） ２ ａ・ｃｏｓ（２π／Ｔ）ｔ、（ｂ）ｓ １ ＝０．２９３ａ、（ｃ）ｓ ２ ＝０．７０７ａ、（ｄ）ｓ＝４ａ１．３０． ｖ＝ａ、ｗ＝ａｗ、α＝π／２、半径Ｒ＝ａ／ｗの円上を一様に運動
１ ． ３ １ ． （ ａ ） ｒ ＝ ａ （ ｃ ｏ ｓ ω ｔ ・ ｅ ｘ ＋ ｓ ｉ ｎ ω ｔ ・ｅ ｙ ）、ｖ ＝ ａ ω（ － ｓ ｉｎ ω ｔ ・ ｅ ｘ ＋
ｃ ｏｓ ω ｔ・ ｅ ｙ ）、 ｗ＝－ ａω ２ （ ｃｏｓ ωｔ・ ｅ ｘ ＋ｓｉ ｎωｔ ・ｅ ｙ ）＝ －ω ２ ｒ、 ｒ＝ａ 、ｖ＝ ａ
ω、ｗ＝ａω ２、（ｂ）ｒｖ＝０、（ｃ）ｒｗ＝－ｒｗ、（ｄ）ｘ ２ ＋ｙ ２ ＝ａ ２、（ｅ）反時計回り、
１ ． ３ ２ ． （ ａ ） τ ＝ ２ ｖ ０ ｓ ｉ ｎ α ／ ｇ、（ ｂ ） ｌ ＝ ｖ ０ ２ ｓ ｉ ｎ ２ α ／ ｇ、（ ｃ ） ｈ ＝ ｖ ０ ２ ｓ ｉｎ ２ α／２ｇ、（ｄ）ｙ’＝－（ｇ／（２ｖ ０ ２ ｃｏｓ ２ α））ｘ’ ２ 、（ｅ）｜ｄｖ／ｄｔ｜＝ｇ、ｄ｜ｖ｜／ｄｔ＝０、（ｆ）Ｒ Ｏ ＝ｖ ０ ２ ／（ｇ・ｃｏｓα）、Ｒ ０’ ＝ｖ ０ ２ ｃｏｓ ２ α／ｇ- 134 -

１．３３． ＜ｖ＞＝ｖ ０ ＋ｇτ／２
１．３４． α＝１１．５°、又は、７８．５°
１．３５． ｖ（ｓ）＝（ｖ ０ ２ ＋２ ０ ∫ ｓ ｆ（ｓ）ｄｓ） １／２
１．３６． ｔ＝ ０ ∫ ｓ （１／ｖ（ｓ））ｄｓ
１．３７． （ａ）ｓ＝（ｖ ０ ／ｂ）（１－ｅ －ｂｔ ）、（ｂ）ｖ＝ｖ ０ ｅ －ｂｔ 、（ｃ）ｓ≒ｖ ０ ｔ、ｖ≒ｖ ０（１－ｂｔ）
１．３８．
１．３９． ｓ＝２ｕ ０ ｂ／（３ｖ）＝７００ｍ
１．４０． ｓｉｎα １ ／ｓｉｎα ２ ＝ｖ １ ／ｖ ２ ＝１．６７
１．４１． （ａ）０．０１，（ｂ）０．００１，（ｃ）０．００５、（ｄ）０．０５、（ｅ）０．０
０２，（ｆ）４×１０ －６
１ ． ４ ２ ． （ ａ ） α ＝ ５ ． ７ ° 、（ ｂ ） ｔ ＝ ｌ ／ （ ｖ ２ － ｕ ２ ） １ ／ ２ ＝ １ ０ ． １ ｓ 、（ ｃ ） ｓ ＝ ２ ０１ｍ
１．４３． （ａ）直線ＡＢに対して、角度のサインがｕ／ｖに等しい角度で、（ｂ）ｔ １ ＝２ｌ／（ｖ ２ －ｕ ２ ） １／２ ＝４０２ｓ、ｔ ２ ＝２ｌｖ／（ｖ ２ －ｕ ２ ）＝４０４ｓ、（ｃ）ｔ １ ＝（２ｌ／ｖ）（１＋（１／２）ｕ ２ ／ｖ ２ ）＝４０２ｓ、ｔ ２ ＝（２ｌ／ｖ）（１＋ｕ ２ ／ｖ ２ ）＝４０４ｓ
１．４４．（ａ）ａｃｏｓ（ｕ／ｖ ０ ）＝７８．５°、（ｂ）ｔ＝（ｖ ０ ／ｇ）（（１－ｕ ２ ／ｖ ０ ２ ） １／２－（１－（ｕ ２ ＋２ｇｈ）／ｖ ０ ２ ） １／２ ）＝１１．５ｓ、（ｃ）ｓ＝ｕｔ＝１．１５ｋｍ
１．４５． ω 月 ＝２．６６×１０ －６ ラジアン／ｓ＝０．０３７ω 地球
１．４６． β＝０１．４７． ｄａ／ｄｔ＝［ωａ］、ｄ ２ ａ／ｄｔ ２ ＝－ω ２ ａ
１．４８． ｖ １ ＝ｖ（ｅ ｘ ＋ｅ ｙ）、ｖ ２ ＝２ｖｅ ｘ 、ｖ ３ ＝ｖ（ｅ ｘ －ｅ ｙ ）１．４９． （ａ）Ω＝ωｃｏｓω’ｔ・ｅ ｘ ＋ωｓｉｎω’ｔ・ｅ ｙ ＋ω’ｅ ｚ 、β＝ωω’（ｃｏｓω ’ ｔ ・ ｅ ｙ － ｓ ｉ ｎ ω ’ ｔ ・ ｅ ｘ ）、 Ω ＝ （ ω ２ ＋ ω ’ ２ ） １ ／ ２ 、 β ＝ ω ω’、（ ｂ ） α ＝ ａｔ ａ ｎ （ ω’／ω）、（ｃ）φ＝π／２
１ ． ５ ０ ． （ ａ ） φ ＝ ２ ０ ラ ジ ア ン 、（ ｘ 、 ｙ ） 平 面 内 に あ り 、 ｘ 軸 と 角 度 ６ ３ ° を な し て い る
軸の周り。
１．５１． β＝４．７ラジアン／ｓ ２ 。
１．５２． ＜ω＞＝ｓ／ｔＲ＝２９ラジアン／ｓ、＜β＞＝ｖ ０ ／ｔＲ＝２４ラジアン／ｓ ２ 。
１．５３． ｓ≒ｖω（ｔ ２ ２ －ｔ １ ２ ）／２＝５７０ｍ
１．５４． ｋ＝０．２５。
１．５５． （１）（ａ）Ｆ＝６．０Ｎ、（ｂ）Ｆ＝４．０Ｎ、（２）。
１．５６． （ａ）Ｆ＝［Ｆ ０ ｍ ２ －ｍ １ ｍ ２ ｇ（ｋ １ －ｋ ２ ）］／（ｍ １ ＋ｍ ２ ）＝７．２Ｎ、（ｂ）Ｆ＝２．８Ｎ。
１．５７． （ａ）Ｆ＝４．８Ｎ、（ｂ）５．２Ｎ。
１．５８． （１）（ａ）ｗ＝５．８ｍ／ｓ ２、（ｂ）Ｆ＝０．８３Ｎ、（２）。
１．５９． （ａ）ｗ＝０．９８ｍ／ｓ ２ 、（ｂ）Ｆ １２ ＝２．０Ｎ、（ｃ）Ｆ＝４．４Ｎ。
１．６０． Ｆ＝９５３５．３Ｎ。
１．６１． ｘ ２ ＋ｙ ２ ＝（ｍｖ／ｑＢ） ２ 。
１．６２． （ａ）ｎ＝１７．８／分、（ｂ）Ｆ＝２．１Ｎ。
１．６３． ｒ≦１．８ｍ。
１．６４． （ａ）ｈ＝０．４６ｍ、（ｂ）ｔ １ ＝０．８９ｓ、（ｃ）ｔ ２ ＝ｔ １ ＝０．８９ｓ、（ｄ）
ｖ＝ｖ ０ ＝３．０ｍ／ｓ。
１ ． ６ ５ ． （ ａ ） ｈ ＝ ０ ． ３ ６ ｍ 、（ ｂ ） ｔ １ ＝ ０ ． ７ ０ ｓ、（ ｃ ） ｔ ２ ＝ ０ ． ９ ３ ｓ、（ ｄ ） ｖ ＝２．３ｍ／ｓ、（ｅ）Ａ＝－１．９Ｊ。
１．６６． （ｂ）ｖ＝（ｍｇ／ｋ）（１－１／η）［１－ｅｘｐ（－ｋｔ／ｍ）］。
１．６７． （ａ）ｋ＝０．３８、（ｂ）Ａ＝－９．８ｍＪ、（ｃ）ｖ＝２．６７ｍ／ｓ。
１．６８． Ｆ（ｔ）＝３ｍｇ（ｌ－ｈ）／ｌ、（ｂ）＜Ｆ＞＝ｍｇ
１．６９． Ａ＝６ａＪ。
- 135 -

１．７０． （ａ）Ａ＝０、（ｂ）Ａ＝０、（ｃ）Ａ＝０。
１．７１． Ａ＝０．
１．７２． Ａ＝ ｓ１ ∫ ｓ２ ｍｗ τ （ｓ）ｄｓ。
１．７３． （ａ）＜Ｐ＞＝９７Ｗ、（ｂ）Ｐ＝１３７Ｗ。
１．７４． Ａ＝ｍｖ ２ ／２＋ｍｇｈ－Ａ 抵抗 。
１．７５． （ａ）Ｐ（ｔ）＝ｍｇ（ｇｔ－ｖ ０ ｓｉｎα）、（ｂ）Ｐ＝０、（ｃ）＜Ｐ＞ 上昇 ＝－（１／２）ｍｇｖ ０ ｓｉｎα、（ｄ）＜Ｐ＞ 飛行 ＝０。
１．７６． Ｐ（ｔ）＝（１／ｍ）（２ｔ ３ ＋３ｔ ５）。
１．７７． （ａ）ΔＥ＝３Ｊ、（ｂ）ΔＥ＝－２Ｊ。
１．７８． （ａ）－ΔＥ＝－３Ｊ、（ｂ）－ΔＥ＝２Ｊ。
１．７９． Ｔ＝１４Ｊ。
１．８０． （ａ）Ａ＝－１０Ｊ、（ｂ）ΔＴ＝－１０Ｊ。
１．８１．
１．８２． Ａ＝－２８Ｊ。
１．８３． Ｔ＝２４ａ。
１．８４． （ａ）ｖ １ ＝ｖ ２、（ｂ）ｔ １ ＞ｔ ２ 。
１．８５． 同じ。
１．８６． Ａ＝－ｍｇｈ。
１．８７． ｈ＝（２／３）Ｒ。
１．８８． （ａ）ｈ＝（５／２）Ｒ、（ｂ）Ｆ＝０。
１．８９． （１）（ａ）∇ｒ＝ｅ ｒ 、（ｂ）∇（１／ｒ）＝－（１／ｒ２）ｅ ｒ 、（ｃ）∇ｆ（ｒ）＝(ｄｆ／ｄｒ）ｅ ｒ 。
１．９０． （ａ）（α／ｒ ２ ）ｅ ｒ 、Ａ＝０．０８２α、（ｂ）Ｆ＝－ｋｒ、Ａ＝－７．５ｋ。
１．９１． （ａ）Ｆ＝ａ（－ｅ ｘ ／ｙ＋（ｘ／ｙ ２ ＋１／ｚ）ｅ ｙ －ｙｅ ｚ ／ｚ ２ ）、（ｂ）Ａ＝Ｕ １ －Ｕ
２ ＝－ａ／３。
１．９２． （ａ）是、ｒ＝３ａ／２ｂの時、（ｂ）図１参照。
１．９３． Ｕ＝－２Ｔ、Ｅ＝－Ｔ、Ｅ＝Ｕ／２。
１．９４． ｖ ０ ＞（２α／ｍｒ ０） １／２ のとき、双曲線、ｖ ０ ＝（２α／ｍｒ ０） １／２ のとき、放物線、
ｖ ０ ＜（２α／ｍｒ ０ ） １／２ のとき、楕円。
１．９５． ｖ ０ ＝（α／ｍｒ ０ ） １／２ のとき。
１．９６． ｈ ２ ＝１．５０ｍ。
１．９７． ｋ＝０．６６。
１．９８． （ａ）Δｌ＝０．５３ｍｍ、（ｂ）ｖ＝４．２ｍ／ｓ、（ｃ）Δｌ 最大 ＝１０３ｍｍ。
１．９９． ｒ 重心 ＝０．２３ｅ ｘ ＋０．１８ｅ ｙ ＋０．１８ｅ ｚ 、｜ｒ 重心 ｜＝０．３４ｍｍ。
１．１００． ｍ 月 ＝７．３×１０ ２２ ｋｇ。
１．１０１． ｌ＝（３／４）ｈ。
１．１０２． ｐ＝０。
１．１０３． 質量中心は不動。
１．１０４． 加速度ｇで運動をする。
１．１０５． （ａ）Δｐ＝ｍｇτ、（ｂ）＜ｐ＞＝ｍｖ ０ ＋ｍｇτ／２＝ｐ ０ ＋Δｐ／２。
１．１０６． ｐ＝ｍｖ ０ ＋（Ｆ／ω）（ｅ ｘ ｓｉｎωｔ－ｅ ｙ （１－ｃｏｓωｔ））。
１．１ ０７． 両方の球とも速さは２．０ｍ／ｓ、方向は衝突までに、１番目の球の動いてきた方向。
１．１０８． （ａ）η＝１／２、（ｂ）η＝０．９１、（ｃ）η＝０．０９１。
１．１０９． （ａ）ｍ １ ＜ｍ ２ 、（ｂ）球は停止する、（ｃ）衝突までに持っていた速さで、逆方向に運動をする。
１．１１０． ｖ １ｘ ＝－１．４０ｍ／ｓ、ｖ ２ｘ ＝０．６０ｍ／ｓ。
１．１１１． （１）（ａ）ｍ １ ＜ｍ ２，（ｂ）ｍ １ ＜３ｍ ２、（ｃ）ｍ １ ＞ｍ ２、（ｄ）ｍ １ ＜ｍ ２ ，（２）否、- 136 -

（３）β＜４５°。
（ ４）（ａ ） η ＝２ ｍ １ ／（ ｍ １ ＋ ｍ ２ ）、（ ｂ） η ＝ ｍ １ ／ （ ｍ １ ＋ ｍ ２ ）、（ ｃ）と （ｄ） η＝４ ｍ １ ｍ ２／（ｍ １ ＋ｍ ２ ） ２ 。
（５）（６）η＜３／４。
（７）ｍ １ ＝ｍ ２ ，β＝０。
（８）（ａ）β＝４°、（ｂ）β＝４５°。
１．１１２． （１）ｖ １ ＝（ｖ ０ ／２）（１－（１－η） １／２ ）、ｖ ２ ＝（ｖ ０ ／２）（１＋（１－η）
１／２）。
（２）（ａ）速度は同じ、（ｂ）ｖ １ ＝０，ｖ ２ ＝ｖ ０ 。
１．１１３． （ａ）ｖ １ ＝０．０２６ｖ ０ 、ｖ ２ ＝０．９７４ｖ ０ 、（ｂ）ｖ １ ＝０．１４６ｖ ０ 、ｖ ２
＝０．８５４ｖ ０ 、（ｃ）ｖ １ ＝０．３４２ｖ ０ 、ｖ ２ ＝０．６５８ｖ ０ 。
１．１１４． ｖ＝１．０ｍ／ｓ。
１．１１５． ｒ 最小 ＝０．６９×１０ －１２ ｍ。
１．１１６． （ａ）ｖ＝ｕ（１－ｅｘｐ（－ｍｔ／Ｍ））＝４．５ｍ／ｓ、（ｂ）ｖ 最大 ＝ｕ＝１０．
０ｍ／ｓ。
１ ．１ １ ７ ． （ ａ ） Ｎ＝ － ２ ｅ ｘ － １１ ｅ ｙ ＋ １ ０ ｅ ｚ （Ｎ・ ｍ）、（ ｂ）Ｎ＝ １５Ｎ ・ｍ、（ｃ ）Ｎ ｚ
＝１０Ｎ・ｍ。
１．１１８． Ｆ＝３．３ｋＮ。
１．１１９． ΔＭ＝－４０ｅ ｘ （ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ）。
１．１２０． Ｍ＝－（ｍｖ ０ ３ ｓｉｎ ２ αｃｏｓα／２ｇ）ｅ ｘ 。
１．１２１． （ａ）ｐ＝ｐ １ ＋ｐ ２ ≠０、（ｂ）Ｍ １ ＝（ｌｐ ２ ＋ｂ １ （ｐ ２ －ｐ １ ））ｎ、Ｍ ２ ＝（ｌｐ １ ＋
ｂ ２ （ｐ １ －ｐ ２））ｎ、Ｍ １ ≠Ｍ ２ 。
１．１２２． （ａ）ｐ＝０、（ｂ）Ｍ １ ＝Ｍ ２ ＝ｌｐｎ
１．１２３．
１．１２４． （ａ）Ｎ＝（１／２）ｍｇｈｓｉｎ２α・ｎ、（ｂ）Ｍ＝（１／２）ｍｇｈｓｉｎ２
α・ｔｎ。
１ ． １ ２ ５ ． （ ａ ） Ｎ ＝ － ｍ ｇ ｖ ０ ｃ ｏ ｓ α ・ ｔ ｅ ｚ 、（ ｂ ） Ｍ＝ － （ １ ／ ２ ） ｍ ｇ ｖ ０ ｃ ｏ ｓ α ・ｔ ２ｅ ｚ。
１．１２６． ｜ΔＭ｜＝（１／２）ｍｇｖ ０ τ ２ ＝２５０ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ
１．１２７． （ａ）、（ｂ）ω＝２．０ラジアン／ｓ、（ｃ）τ＝１．５７ｓ、（ｄ）
１ ． １ ２ ８ ． （ ａ）、（ ｂ ） ｖ Ｃ ＝ ０ ． ５ ０ ｍ ／ ｓ 、（ ｃ ） ω ＝ １ ． ０ ラ ジ ア ン ／ ｓ 、（ ｄ ） ２ 倍 弱まる。
１．１２９． （ａ）、（ｂ）ω＝２．０ラジアン／ｓ、（ｃ）τ＝１．５７ｓ、（ｄ）。
１．１３０． （ａ）、（ｂ）左はｖ Ｃ ’＝０．５０ｍ／ｓ、右はｖ Ｃ ’’＝１．５０ｍ／ｓ、（ｃ）ω
＝１．０ラジアン／ｓ、（ｄ）４／３倍弱まる。
１．１３１． ＜ｖ＞＝３０ｋｍ／ｓ、ｖ 最大 ＝３．０３×１０ ４ ｍ／ｓ、ｖ 最 小 ＝２．９３×１０ ４ ｍ／ｓ。
１．１３２． μ＝ｍ／２。
１．１３３． μ＝ｍ（１－ｍ／Ｍ）。
１．１３４．
１．１３５． Ｐ＝０。
１．１３６． Ａ＝０。
１．１３７． Ａ＝１．５Ｊ。
１．１３８． ｘ＝０．６９ｍｍ、Δｓ＝（３／２）ｘ。
１．１３９． （ａ）ｓ＝ωＲ ２ ／ｖ、（ｂ）依存しない。
１．１４０． （ａ）１．０３ｍｍ右へ（東に）、（ｂ）１．０３ｍｍ右へ（西に）。
１．１４１． Ｆ＝０．３８ｋＮ。
１．１４２． （ａ）ｖ’＝（１／２）［ｒω］、（ｂ）ｖ＝（１／２）［ωｒ］。
- 137 -

１．１４３． （ａ）τ＝３．０ｓ、（ｂ）Ｆ＝１．０Ｎ、（ｃ）Ａ＝０．１０Ｊ。
１．１４４． Ｎ＝－２ｍａ ２ ｔω。
１．１４５． Ｍ（ｔ）＝－ｍｖ ２ ｔ ２ ω。
１．１４６．
１．１４７． ｖ ２ ＝ｖ １ ＋［ωｒ １２］。
１．１４８． ｒ＝ｖ ０ ｔ＋［ωｖ ０ ］／ω ２ ＝ｖ ０ ｔｅ ｘ －（ｖ ０ ／ω）ｅ ｙ 。
１．１４９． Ｆ １ ＝１７６０Ｎ、Ｆ ２ ＝１１８０Ｎ。
１．１５０． （ａ）Ｆ １ ＝－２０ｅ ｘ （Ｎ）、（ｂ）α ０ ≧６０°。
１．１５１． 加速度ｇで、放物運動。
１．１５２． ｗ Ｃ ＝０／１１ｇ（ ？ ）１．１５３． できない。
１．１５４． Ｉ＝（ｍ １ ｍ ２ ／（ｍ １ ＋ｍ ２））ｌ ２ 。
１．１５５． Ｉ＝（１／２）ｍＲ ２ 。
１．１５６． （ａ）＜ρ＞ Ｖ ＝１１７０ｋｇ／ｍ ３ 、＜ρ＞ ｒ ＝２ρ １ ，＜ρ＞ Ｖ ＝（７／６）＜ρ＞
ｒ、（ｂ）Ｉ＝１．３×１０ －３ ｋｇ・ｍ ２ 、Ｉ＝（３９／３５）Ｉ’。
１．１５７． Ｉ＝（２／５）ｍＲ ２ 。
１．１５８． Ｉ＝（３／１０）ｍＲ ２ 。
１．１５９． （ａ）Ｉ Ｃ ＝（１／１２）ｍｌ ２、（ｂ）Ｉ＝（１／３）ｍｌ ２ 。
１．１６０． （ａ）Ｉ Ｃ ＝（１／１２）ｍ（ａ ２ ＋ｂ ２ ）、（ｂ）Ｉ＝（１／３）ｍ（ａ ２ ＋ｂ ２ ）。
１．１６１． Ｉ＝（１／６）ｍａ ２ 。
１．１６２．
１．１６３． Ｉ＝（１／１０）ｍａ ２ 。
１．１６４． （ａ）Ｉ ピラミッ ド ／Ｉ 円 錐 ＝π／３＝１．０４７、（ｂ）Ｉ 立 方体 ／Ｉ 球 ＝１３／１２＝１．
０８３。
１．１６５． Ｉ １ ＝Ｉ ２ ＝（１／４）ｍＲ ２ 、Ｉ ３ ＝（１／２）ｍＲ ２ 。
１．１６６． Ｉ＝ｍ（（１／４）Ｒ ２ ＋（１／１２）ｈ ２ ）。
１．１６７． ｈ＝Ｒ・３ １／２ 。
１．１６８． Ｉ＝０．１０６ｋｇ・ｍ ２ 。
１．１６９． Ｉ ｘ ＋Ｉ ｙ ＝Ｉ ｚ 。
１．１７０． Ｉ＝ｍＲ ２ ／４。
１．１７１．
０．２８
０
０
－２
Ｉ＝１０
０
０．９６
０
（ｋｇ・ｍ ２ ）０
０
１．１３
１．１７２．
１．１７３．
１．１７４．
Ｉ＝

ｂ ｘ ＝ｂ ｙ ＝ｂ ｚ ＝６。
ｂ＝ａ。
０．１０
０
０
０．１０
０
０

０
０
０．１０

＝０．１０Ｅ（ｋｇ・ｍ ２）。

１．１７５． 自身の主慣性軸の一つの周りを回っている場合
１ ． １ ７ ６ ． （ ａ ） 物 体 が 球 状 独 楽 の 場 合 、（ ｂ ） ベ ク ト ル ω と Ｎ が 物 体 の 主 慣 性 軸 の 一 つ と 方向が一致する場合。
１．１７７． 自身の主慣性軸の一つの周りを回っている場合。
１．１７８． （ａ）Ｍ＝０．０１５ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ、α＝２４°、（ｂ）Ｔ＝０．０１２Ｊ。
１．１７９． （ａ）Ｍ（ｔ）＝２ｍｒ ２ ω（ｔ）、（ｂ）依存せず。
１．１８０． Ｍ＝（２／５）ｍＲ ２ ω。
- 138 -

１．１８１． 一定値で残る。
１．１８２． Ｍ １ ＝ｍｖ ０ Ｒ，Ｍ ２ ＝（１／２）ｍｖ ０ Ｒ，Ｍ ３ ＝０。
１．１８３． Ｍ ０ ＝７．０×１０ ３３ ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ、Ｍ＝２．７×１０ ４０ ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ＝３．９×
１０ ６ Ｍ ０ 。
１．１８４．（ａ）、（ｂ）β 最大 ＝２ｇ／３Ｒ、β 最小 ＝０．
１．１８５． （ａ）ｗ＝１．６ｍ／ｓ ２ 、Ｆ １２ ＝１．６Ｎ、Ｆ ２ ＝３．２Ｎ、Ｆ ｍ ＝４．１Ｎ、（ｂ）
ｗ＝２．０ｍ／ｓ ２ 、Ｆ １２ ＝２．０Ｎ、Ｆ ２ ＝Ｆ ｍ ＝４．０Ｎ。
１．１８６．
１．１８７． （ａ）β ０ ＝１１ラジアン／ｓ ２ 、Ｆ ０ ＝５．３Ｎ＝０．８９ｍｇ、（ｂ）ω＝４．６
ラジアン／ｓ、Ｆ＝７．１Ｎ＝１．２１ｍｇ。
１．１８８． （ａ）ω＝６．６ラジアン／ｓ、（ｂ）Ｍ＝０．４４ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ。
１．１８９． Ｍ＝４７０ｋｇ・ｍ ２ ／ｓ、ｖ＝９．５ｍ／ｓ。
１．１９０． （ａ）ｘ＝２０．８ｃｍ、（ｂ）ω＝３．０ラジアン／ｓ。
１．１９１． （１）ｋ＞（２／７）ｔａｎα＝０．１６５。
（２） （ａ）回転しながら面を滑り落ちる、（ｂ）ｖ Ａ ＝１．９ｍ／ｓ、ｖ Ｂ ＝６．２ｍ／ｓ、ｖ Ｃ＝４．１ｍ／ｓ。
１．１９２． （ａ）ｔ １ ＝１．３４ｓ、（ｂ）ｈ＝０．６９ｍ、（ｃ）ｔ ２ ＝ｔ １ ＝１．３４ｓ、（ｄ）
ｖ＝ｖ ０ ＝３．０ｍ／ｓ。
１ ． １ ９ ３ ． （ ａ ） ｔ １ ＝ １ ． ０ ３ ｓ、（ ｂ ） ｈ ＝ ０ ． ５ ３ ｍ、（ ｃ ） ｔ ２ ＝ １ ． ４ １ ｓ、（ ｄ ） ｖ＝２．２ｍ／ｓ、（ｅ）Ａ＝－３．１Ｊ。
１．１９４． （１）Ｆ＜ｋｍｇ（Ｉ＋ｍＲ ２ ）／（ｍＲｒ＋Ｉｃｏｓα＋ｋｓｉｎα（Ｉ＋ｍＲ ２））、（２） （ａ）回転しないで、面を滑る、ｗ ｘ ＝０．５１ｍ／ｓ ２ 、（ｂ）不動、（ｃ）滑らないで右へ転がる、ｗ ｘ ＝０．３６ｍ／ｓ ２、（ｄ）滑らないで左に転がる、ｗ ｘ ＝－０．３０ｍ／ｓ ２ 。
１．１９５． （ａ）ｔ＝０．３９ｓ、（ｂ）Ｆ＝１６４Ｎ。
１．１９６． Ｍ（ｔ）＝（ｍｇＲ－Ｎ 摩擦 ）ｔ。
１．１９７． Ｍ＝（Ｉ／Ｒ ２ ＋ｍ）ｖＲ、Ｔ＝（Ｉ／Ｒ ２ ＋ｍ）ｖ ２ ／２。
１．１９８． （ａ）ω＝ω ０ ／４，（ｂ）４ｌ倍減少。
１．１９９． ω＝６ｍ’ｖ／（ｍ＋３ｍ’）＝０．６２ラジアン／ｓ。
１．２００． （ａ）ω＝１．２４ラジアン／ｓ、（ｂ）ｖ’＝－４８．９ｍ／ｓ。
１．２０１． ω＝（２ｍ’（２ｍ’＋ｍ））ｖ’／Ｒ。
１．２０２． Ａ＝ ｔ１ ∫ ｔ２ Ｎ ｚ （ｔ）ω（ｔ）ｄｔ。
１．２０３． Ｔ＝ｇ ２ ｔ ２ ｍ’（２ｍ’＋ｍ）＝１００Ｊ。
（ｂ）
１．２０４． （ａ）ω＝（２（ｍｇｒ－Ｎ）／（２ｍ＋ｍ’）ｒ ２ ）ｔ＝２９ｔラジアン／ｓ、Ｆ＝ｍｇ（ｍ’ｒ＋２Ｎ／ｇ）／（（２ｍ＋ｍ’）ｒ）＝８１Ｎ、（ｃ）τ＝１．９ｓ、（ｄ）ｖ＝７．
２ｍ／ｓ、（ｅ）Ａ＝－９．３Ｊ。
１．２０５． （ａ）ｍ’＞Ｎ 摩擦 ／ｇＲ、（ｂ）ｍ’＝（π／２）Ｎ 摩擦 ／ｇＲ。
１．２０６． Ａ＝－ｍＲ ２ ω ２ ／４。
１．２０７． ＜Ｐ＞＝ｍＲ ２ （ω ２ ２ －ω １ ２ ）／４ｔ。
１．２０８． Ｎ＝５０回転。
１．２０９． ｌ＝９．８ｃｍ。
１．２１０． （ａ）ω’＝１．０ラジアン／ｓ、（ｂ）β＝５０ラジアン／ｓ ２ 。
１．２１１． （ａ）β＝ｍｇｌｓｉｎα／Ｉ）（ｃｏｓω’ｔ・ｅ ｙ －ｓｉｎω’ｔ・ｅ ｘ ）、（ｂ）
ベクトルωに垂直で、ｚ軸に垂直な平面内。
１．２１２． φ＝１７．０４’。
１．２１３． γ＝６．７×１０ －１１ Ｎ・ｍ ２ ／ｋｇ ２ 。
１．２１４． Ｆ＝６．７×１０ －１１ Ｎ。
１．２１５． 力はｎ ４／３ 倍大きくなる。
１．２１６． （ａ）Ｆ＝γｍＭ／ａ ２ ・２５ １／ ２ 、（ｂ）Ｆ＝γｍＭ／ｂ ２ 、（ｃ）Ｆ＝Ｆ’・２／５
１／２＝０．８９４Ｆ’。
- 139 -

１．２１７． （ａ）Ｆ＝γｍＭ／３ａ ２ 、（ｂ）Ｆ＝γｍＭ／ｂ ２ 、（ｃ）Ｆ＝（４／３）Ｆ’。
１．２１８． （ａ）Ｕ＝－γｍＭ／（Ｒ ２ ＋ｘ ２ ） １／２、（ｂ）Ｆ ｘ ＝－γｍＭｘ／（Ｒ ２ ＋ｘ ２） ３／２ 、（ｃ）Ｕ＝－γｍＭ／ｘ、Ｆ ｘ ＝－γｍＭ／ｘ ２ 。
１．２１９。 （ａ）Ｆ＝２πγｍσ（１－ｂ／（ｂ ２ ＋Ｒ ２ ） １／ ２ ）、（ｂ）ｂ／Ｒ ２ ＜１００の時、
１．２２０． （ａ）Ｆ＝２πγｍσ、（ｂ）Ｆはｂに依存せず、（ｃ）Ｆ＝２πγｍρｄ。
１．２２１． Ｆ＝０．４２μＮ。
１．２２２． Ｆ＝０．４２ｍＮ。
１．２２３． （ａ）Ｆ＝２γｍλ／ｂ、（ｂ）Ｍ＝２ｂλ。
１．２２４． ｄＳ＝Ｒ ２ ｄΩ。
１．２２５． ｄＳ＝Ｒ ２ ｓｉｎθｄθｄφ。
１．２２６． ｄΩ＝ｓｉｎθｄθｄφ。
１．２２７． Ｆ＝０。
１．２２８． Ｆ＝０。
１．２２９． Ｆ＝γｍＭ／２Ｒ ２ 。
１．２３０． （ａ）Ｕ＝－γｍＭ／Ｒ＝一定、（ｂ）Ｕ（ｒ）＝－γｍＭ／ｒ。
１．２３１． （１）（ａ）Ｕ（ｒ）＝－（３／２）（γｍＭ（Ｒ １ ＋Ｒ ２）／（Ｒ １ ２ ＋Ｒ １ Ｒ ２ ＋Ｒ ２ ２）
＝一定、（ｂ）Ｕ（ｒ）＝－γｍＭ／ｒ。
（２）
１ ． ２ ３ ２ ． （ ａ ） ｇ 、 γ 、 地 球 の 半 径 、（ ｂ ） γ 、 地 球 の 質 量 、 地 球 の 軌 道 半 径 、 地 軸 の 周 りの地球の回転周期。
１ ． ２ ３ ３ ． （ ａ ） ｍ 地 球 ＝ ５ ． ９ ７ × １ ０ ２ ４ ｋ ｇ 、 ＜ ρ ＞ 地 球 ＝ ５ ． ５ × １ ０ ３ ｋ ｇ ／ ｍ ３ 、（ ｂ ）ｍ 太陽 ＝１．９８×１０ ３０ ｋｇ、＜ρ＞ 太陽 ＝１．４０×１０ ３ ｋｇ／ｍ ３ 。
１．２３４． （ａ）Ｆ 太陽－ 地球 ＝３．５×１０ ２２ Ｎ、（ｂ）Ｆ 月－地 球 ＝１．９２×１０ ２０ Ｎ＝（１／１８２）Ｆ 太陽－地球 。
１．２３５． ｗ＝６．０×１０ －４ ｇ＝６ｍｍ／ｓ ２ 。
１．２３６． ｖ １ ＝（ｇＲ 地球 ） １／２ ＝７．９ｍ／ｓ。
１．２３７． ｖ ２ ＝１１．２ｋｍ／ｓ。
１．２３８． （ｂ）の場合。
１．２３９． Ｒ＝４．２２×１０ ７ ｍ＝６．６Ｒ 地球 。
１．２４０． Ｒ ３ ＝αＴ ２ 。
１．２４１． Ｔ 火星 ＝１．８８年。
１ ． ２ ４ ２ ． （ ａ ） ｇ （ ｈ ） ＝ ｇ （ Ｒ 地 球 ／ （ Ｒ 地 球 ＋ ｈ）） ２ 、（ ｂ ） ｇ （ １ ０ ０ ｋ ｍ ） ＝ ０ ． ９ ７
ｇ、ｇ（１０００ｋｍ）＝０．７５ｇ、ｇ（１００００ｋｍ）＝０．１５１ｇ。
１．２４３． （ａ）Ｕ＝ｍｇＲ 地球 ｈ／（Ｒ 地球 ＋ｈ）、（ｂ）Ｕ≒ｍｇｈ。
１ ． ２ ４ ４ ． （ ａ ） ｈ ＝ １ ． ０ × １ ０ ６ ｍ 、（ ｂ ） ｖ ＝ ３ ２ ０ ０ ｍ ／ ｓ 、（ ｃ ） Ｒ 曲 率 ＝ １ ． ３ ８ ×
１０ ６ ｍ。
１．２４５．
１．２４６． （ａ）ｗ（ｒ）＝ｇｒ／Ｒ 地球 、（ｂ）ｖ（ｒ）＝（ｇ（Ｒ 地球 ２ －ｒ ２ ）／Ｒ 地球 ） １／２ 、（ｃ）ｖ（０）＝７．９ｋｍ／ｓ＝ｖ １ 、（ｄ）τ＝８４．４分＝ｔ １ 、（ｅ）＜ｖ＞＝（２／π）ｖ（０）。
１．２４７． （ａ）ｒ＜Ｒのとき、Ｕ（ｒ）＝ｍｇ（ｒ ２ －３Ｒ ２）／２Ｒ、ｒ＞Ｒのとき、Ｕ（ｒ）＝－ｍｇＲ ２ ／ｒ、（ｂ）Ｕ（０）＝－（３／２）ｍｇＲ＝（３／２）Ｕ（Ｒ）。
１ ． ２ ４ ８ ． 慣 性 の 遠 心 力 Ｆ 遠 心 と コ リ オ リ 力 Ｆ コ リ オ リ 、（ ｂ ） Ｆ 遠 心 ＝ Ｆ コ リ オ リ ＝ ４ Ｆ ｇ ＝ １ ． ４ １ ×
１０ ２３ Ｎ。
１．２４９． Ｆ＝ｍ（ｇ 赤道 ＋ω 地球 ２ Ｒ 地球 ）。
１．２５０．
１．２５１．（ａ）ｔ １ ＝Ｔ／１２、（ｂ）ｔ ２ ＝Ｔ／６。
１．２５２． （ａ）＜ｖ＞＝０．４ｍ／ｓ、（ｂ）＜ｖ＞＝０．５７ｍ／ｓ、（ｃ）＜ｖ＞＝０．
- 140 -

２３ｍ／ｓ。
１．２５３． （ａ）＜ｖ＞＝０，（ｂ）＜ｖ＞＝０．４０ｅ ｘ （ｍ／ｓ）、（ｃ）＜ｖ＞＝－０．４０
ｅ ｘ （ｍ／ｓ）。
１．２５４． ω＝ｖ ｍ ／ａ。
１．２５５． ａ＝ｖ ｍ ２ ／ｗ ｍ 、ω＝ｗ ｍ ／ｖ ｍ 。
１．２５６． （ａ）ａω ２ ＞ｇ、（ｂ）、（ｃ）ｈ＝２５ｃｍ。
１．２５７． ＜ｓｉｎ ２ ｘ＞＝＜ｃｏｓ ２ ｘ＞＝１／２。
１．２５８． Ａ＝０。
１．２５９． （ａ）ｘ ２ ／ａ ２ ＋ｐ ｘ ２ ／ｍ ２ ａ ２ ω ２ ＝１、（ｂ）、（ｃ）Ｓ＝（２π／ω）＝Ｅ。
１．２６０． ω＝（１／ｒ ０ ２ ）（２ｂ／ｍ） １／２ 。
１．２６１． （ａ）ｌ＝０．２４８ｍ、（ｂ）Ｔ＝２．００６ｓ。
１．２６２． （ａ）ｌ＝０．３７３ｍ、（ｂ）Ｔ＝１．６４ｓ。
１．２６３． ｘ＝（ｌ／２）３ １／２ 、ω 最大 ＝（（ｇ／ｌ）３ １／２ ） １／２ 。
１．２６４． Ｆ＝ｍｇｃｏｓ（φ ｍ ｃｏｓωｔ）＋ｍｌω ２ φ ｍ ２ ｓｉｎ ２ ωｔ。
１．２６５．
１．２６６． （ａ）Ｔ＝２Ｔ ０ 、（ｂ）ｗ＝３ｇ。
１．２６７． （ａ）ω＝ω ０（（ｇ ２ －２ｇｗｃｏｓα＋ｗ ２ ）／ｇ ２） １／４ 、（ｂ）ω＝１．１９ω ０。
１．２６８． Ｔ＝８４．４分。
１．２６９． ω ０ ＝（１／２）φ 最大 。
１ ． ２ ７ ０ ． （ ａ ） Ｔ ＝ ０ ． ２ ０ ｓ 、 ａ ＝ ０ ． ０ １ ０ ｍ 、（ ｂ ） ｘ ＝ ０ ． ０ １ ０ （ １ － ｃ ｏ ｓ １０πｔ）。
１．２７１． ω＝９．９／ｓ。
１．２７２． Ｔ＝１．５ｓ。
１．２７３． φ ｍ ＝４．６°、Ｔ＝２．０ｓ。
１．２７４． （ａ）ω＝１９．４／ｓ、（ｂ）ａ＝２６ｍｍ。
１．２７５． （ａ）ω＝１６．９／ｓ、Ｆ １ｍ ＝１４．８Ｎ、Ｆ ２ｍ ＝１１．２Ｎ。
１．２７６． （ａ）、（ｂ）ω＝（ｋ（ｍ １ ＋ｍ ２ ）／ｍ １ ｍ ２ ） １／２、（ｃ）ｖ 最大 ＝ａω。
１．２７７． （ａ）ｖ Ｃ ＝ｍ １ ｖ ０ ／（ｍ １ ＋ｍ ２）、（ｂ）Ｅ 並進 ＝（ｍ １ ｖ ０ ２ ／２）ｍ １ ／（ｍ １ ＋ｍ ２）、
Ｅ 振動 ＝（ｍ １ ｖ ０ ２ ／２）ｍ ２ ／（ｍ １ ＋ｍ ２ ）、（ｃ）ω＝（ｋ（ｍ １ ＋ｍ ２ ）／ｍ １ ｍ ２ ） １／２ 、ａ＝ｖ ０ ／ω。
１．２７８． （ａ）ω＝１０．０／ｓ、（ｂ）φ ｍ ＝０．１０ラジアン、α＝－０．９３ラジアン。
１．２７９． Ｔ＝１．０ｓ。
１．２８０． （ａ）ω＝８．０／ｓ、（ｂ）（ｄφ／ｄｔ） ２ ＞ｋ／ｍなので振動せず。
１．２８１． ｘ ２ ／９００＋ｙ ２ ／１６００＝１。
１．２８２． τ＝２０ｓ。
１．２８３． τ＝３．３ｓ。
１．２８４． （ａ）β＝０．１０／ｓ、（ｂ）τ＝１０．０ｓ。
１ ． ２ ８ ５ ． （ ａ ） β ＝ ０ ． ０ １ ／ ｓ 、（ ｂ ） λ ＝ ０ ． ０ １、（ ｃ ） Ｑ ＝ ３ １ ４ 、（ ｄ ） － Δ Ｅ ／Ｅ＝０．０２。
１．２８６． Ｑ＝１９５。
１．２８７． ω ０ ＝ω（１＋（１／４）Ｑ ２ ） １／２ ＝１０３／ｓ。
１．２８８． ｓ＝ａ ０ （１＋ｅ －λ／２ ）／（１－ｅ －λ／２ ）＝４．０ｍ。
１．２８９． Ｑ＝４。
１．２９０． （ａ）ω 共振 ＝１０．０／ｓ、（ｂ）ａ 共振 ＝５ｍｍ。
１．２９１． （ａ）Ａ 強制 ＝πａＦ ｍ ｓｉｎφ。
１．２９２． ω 共振 ＝２２４／ｓ。
１．２９３． ω’ 共振 ＝１７３／ｓ。
１．２９４．
１．２９５．
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１．２９６． ｘ’＝－４．０×１０ ８ ｍ、ｙ’＝ｚ’＝１．０ｍ、ｔ’＝１．６６ｓ。
１．２９７． （ａ）棒２、（ｂ）棒１。
１．２９８． ｖ＝０．８６６ｃ。
１．２９９． （ａ）、（ｂ）－０．００５，－０．００２５、０。
１ ． ３ ０ ０ ． （ ａ ） Δ ｌ ／ ｌ ＝ （ １ － ｃ ｏ ｓ ２ α ・ ｖ ２ ／ ｃ ２ ） １ ／ ２ － １ 、（ ｂ ） － ０ ． ５ ６ ４ ， －０．２２９、０。
１．３０１． ｌ＝ｌ’（ｓｉｎ ２ α＋（１－ｖ ０ ２ ／ｃ ２ ）ｃｏｓ ２ α’） １／２ ＝０．９４ｍ、α＝ａｔａｎ（ｔａｎα’／（１－ｖ ０ ２ ／ｃ ２ ） １／２ ）＝４９．１°。
１．３０２． Ｖ＝０．５０Ｖ ０ 。
１．３０３． Ｓ＝０．５０Ｓ ０ 。
１．３０４． ｖ ｘ ＝ｃ（１－（ｌ／ｌ’） ２ （１－ｖ’ ｘ ２ ／ｃ ２ ）） １ ／２ ＝０．４３ｃ、ｖ ０ ＝（ｖ ｘ －ｖ’ ｘ ）／（１－ｖ ｘ ｖ’ ｘ ／ｃ ２ ）＝０．３４ｃ。
１．３０５． （ａ）時計１、（ｂ）時計２。
１．３０６． ｌ ０ ＝（ｃ ２ Δｔ’／ｖ ０ ）（１－ｖ ０ ２ ／ｃ ２ ） １／２ 、（ａ）ｌ ０ ＝４００ｍ、（ｂ）ｌ ０ ＝
４００×１０ ６ ｍ。
１．３０７． （ａ）ｌ ０ ＝１３．４ｍ、（ｂ）ｌ ０ ＝１．３４×１０ ７ ｍ。
１．３０８． （ａ）τ １ ＝（ｌ ０ ／ｖ ０ ）（１－ｖ ０ ２ ／ｃ ２ ） １／２ ＝５．７７×１０ －８ ｓ、τ ２ ’＝ｌ ０／ｖ ０ ＝６．６６×１０ －８ ｓ、（ｂ）τ ２ ＝ｌ ０ ／ｖ ０ ＝６．６６×１０ －８ ｓ、τ １ ’＝（ｌ ０ ／ｖ ０）（１－ｖ ０ ２ ／ｃ ２ ） １／２ ＝５．７７×１０ －８ ｓ、（ｃ）τ ２ ＝τ ２ ’＝（ｌ ０ ／ｖ ０）（１＋（１－ｖ ０ ２ ／ｃ ２ ）１／２）＝１２．４３×１０ －８ ｓ。
１．３０９． Δｓ＝ｃτ＝３００ｍ。
１．３１０． ｖ＝０．９９５ｃ。
１．３１１． Δτ＝（Δｔ ２ －（ｘ ２ ＋ｙ ２ ＋ｚ ２ ）／ｃ ２ ） １／２ ＝０．５０ｃ。
１．３１２． ｌ＝ｃ（（ｔ ２ －τ ２ ） １／２ 。
１．３１３． ｔ＝（τ ２ ＋ｌ ２ ／ｃ ２） １／２ ＝１００μｓ、ｖ＝ｃ／（１＋（ｃτ／ｌ） ２） １／２ ＝０．
９９９７６ｃ。
１ ． ３ １ ４ ． （ ａ ） ｖ ’ ＝ ０ ． ３ ０ ｃ 、 α ’ ＝ ５ ５ ° 、（ ｂ ） ｖ ＝ ｃ （ ０ ． ６ ２ ０ ｅ ｘ ＋ ０ ． １ ３８ｅ ｙ ＋０．１３８ｅ ｚ）、ｖ＝０．６５０ｃ、α＝１７．５°、（ｃ）ｖ／ｖ’＝２／１７。
１．３１５． （１）ｖ’＝２ｖ／（１＋ｖ ２ ／ｃ ２ ）、（２）（ａ）０．１９８ｃ、（ｂ）０．８ｃ、（ｃ）０．９９９９５ｃ。
１．３１６． （１）ｖ’＝ｖ（２－ｖ ２ ／ｃ ２ ） １／２ 、（２）（ａ）０．１４１ｃ、（ｂ）０．６６１
ｃ、（ｃ）０．９９９８０ｃ。
１．３１７． ｖ＜０．１４ｃ。
１．３１８． （ａ）１．００５、（ｂ）１．１５５、（ｃ）２２．４。
１．３１９． ｖ＝ｃｐ（ｐ ２ ＋ｍ ２ ｃ ２ ） １／２ ＝０．５０ｃ。
１．３２０． Ｅ＝（Ｅ ０ ２ ＋ｐ ２ ｃ ２ ） １／２ 。
１．３２１． Ｔ＝０．４１４ｍｃ ２ 。
１．３２２． ｖ＝０．８６６ｃ。
１．３２３． ｐ＝（Ｔ／ｃ）（１＋２ｍｃ ２ ／Ｔ） １／２ 。
１．３２４． ｐ＝ｍｃ・３ １／２ 。
１ ． ３ ２ ５ ． （ ａ ） η ＝ ２ ／ （ １ ＋ ３ ｖ ０ ２ ／ ｃ ２ ） １ ／ ２ 、（ ｂ ） １ ． ９ ７ １ ， １ ． ５ １ ２ ， １ ． ０
８０，１．００７５、（ｃ）η≒１＋（３／８）（１－ｖ ０ ２ ／ｃ ２ ）。
１．３２６． ｖ＝０．９９５ｃ。
１ ． ３ ２ ７ ． Ｔ ’ ＝ Ｅ ０ （ １ ／ （ １ － （ １ － Ｅ ０ ／ Ｅ ） ２ ）（ １ － ｖ ０ ２ ／ ｃ ２ ）） １ ／ ２ － １ ） ＝ ０ ． ６
５×１０ －４ Ｊ，ここで、Ｅ ０ ＝ｍｃ ２ ，Ｅ＝Ｅ ０ ＋Ｔ。
１．３２８． （１）Ｍ＝２ｍ／（１－ｖ ２ ／ｃ ２） １／２、（２）（ａ）２．０１ｍ、（ｂ）２．３１ｍ、（ｃ）４４．７ｍ。
１．３２９． ｖ＝０．６ｃ。
１．３３０． （ａ）１．２９＝１．４４β＝１．６０β ２ 、（ｂ）０．００５０４＝０．０５０４- 142 -

β ２ 、（ｃ）０．００００５００＝０．００５００β＝０．５００β ２、β→１のとき、Ｔ／Ｅ ０ →∞、β→０のとき、Ｔ／Ｅ ０ →（１／２）β ２ 。
１ ． ３ ３ １ ． Ａ ＝ Ｅ ０ （ １ ／ （ １ － ｖ ２ ／ ｃ ２ ） １ ／ ２ － １）、（ ａ ） Ａ ＝ ０ ． １ ５ ５ Ｅ ０ ＝ １ ． ３ × １
０ －１４ Ｊ＝０．０８ＭｅＶ、（ｂ）Ａ＝２１Ｅ ０ ＝１．８×１０ －１２ Ｊ＝１１ｍｅＶ。
１．３３２． ｐ＝（１／ｃ）（Ａ（Ａ＋２Ｅ ０ ）） １／２ ＝０．６７×１０ －１８ ｋｇ・ｍ／ｓ、ｖ＝０．
８ｃ。
１．３３３． ｐ＝Ｆｔ、ｖ＝ｃＦｔ／（ｍ ２ ｃ ２ ＋Ｆ ２ ｔ ２ ） １／２ 。
１．３３４． Δｖ＝ｃ（１－１／α ２ ） １／２ －ｖ １ ＝０．７７ｓ、Δｐ＝ｍｃ（（α ２ －１） １／２ －β１／２
２
１ ／（１－β １ ））＝４．５×１０ －２２ ｋｇ・ｍ／ｓ、ΔＴ＝Ａ＝８．２４×１０ －１４ Ｊ、ここで、
α＝１／（１－β １ ２ ） １／２ ＋Ａ／ｍｃ ２ 、β １ ＝ｖ １ ／ｃ。
１．３３５． ｐ＝１０ － １８ （１０．５ｅ ｘ ＋２．３０ｅ ｙ ＋２．３０ｅ ｚ ）（ｋｇ・ｍ／ｓ）、Ｅ＝３．
４×１０ －９ Ｊ。
１．３３６． （ａ）Ｅ’＝１．１５Ｅ ０ ＝１．７４×１０ －１０ Ｊ、ｖ’＝０．５０ｃ、（ｂ）ｐ＝１
０ － １ ９ （ ４ ． ２４ ｅ ｘ ＋ １ ． ５４８ ｅ ｙ ＋２． ３２２ ｅ ｚ ）（ ｋｇ・ ｍ／ｓ）、Ｅ ＝１． ４２Ｅ ０ ＝２． １
４×１０ －１０ Ｊ、ｖ＝０．７１ｃ。
１．３３７． Ｅ’＝２Ｅ ２ ／Ｅ ０ －Ｅ ０ ＝５３００ＧｅＶ。
１．３３８． ｈ＝Ｈ／２。
１．３３９． （ａ）τ＝５３分、（ｂ）ｖ＝（ｒ／Ｒ） ４ ｇ（τ－ｔ）。
１．３４０． τ＝７．９ｓ。
１．３４１． ｖ＝１．７２ｍ／ｓ。
１．３４２． ｖ＝３．０ｍ／ｓ。
１．３４３． （ａ）Ｒｅ＝７６４、（ｂ）３．１Ｐａ／ｍ。
１．３４４． （ａ）Ｒｅ＝６００、（ｂ）τ＝４．５時間。
１．３４５． （ａ）ｒ＝１．５９×１０ －２ ｍｍ、（ｂ）Ｒｅ＝０．１９。
１ ． ３ ４ ６ ． （ ａ ） Ｒ ｅ ＝ ０ ． １ ９、（ ｂ ） ｓ ＝ （ ｂ ／ ａ ） ｔ － （ ｂ ／ ａ ２ ）（ １ － ｅ － ａ ｔ ）、 こ こ
で、ａ＝９η／２ρｒ ２ ，ｂ＝ｇ（ρ－ρ ０ ）／ρ ０ 、（ｃ）τ＝９．１ｓ、（ｄ）ｔ＝０．０２９ｓ。

２．１． 約６×１０ ２４ 分子。
２．２． （ａ）１．６７×１０ －２ ７ ｋｇ、（ｂ）５．３１×１０ －２６ ｋｇ、（ｃ）３．９６×１０ －２
５ｋｇ。
２．３． Ｍ＝５．４９×１０ －７ ｋｇ。
２．４． １ａ．ｅ．ｍ．＝１．６６×１０ －２７ ｋｇ。
２．５． ｄ＝３．６×１０ －１０ ｍ。
２．６． （ａ）ｎ＝２．６９×１０ ２５ ／ｍ ３ 、（ｂ）＜ａ＞＝１０ｄ。
２．７． ｎ＝ρＮ Ａ ／Ｍ。
２．８． ｎ Ｂｅ ＝１．２×１０ ２０ ／ｍ ３ 、ｎ Ｋ ＝１．３×１０ ２８ ／ｍ ３ 。
２．９． （ａ）ν＝ｎｖｃｏｓθ、（ｂ）ｐ＝２ｎｍｖ ２ ｃｏｓ ２ θ。
２．１０． ゆっくり膨張時。
２．１１． 早い圧縮時。
２ ． １ ２ ． （ ａ ） Ａ ＝ ０ ． ６ ｋ Ｊ 、 Ａ ’ ＝ － ０ ． ６ ｋ Ｊ 、（ ｂ ） Ａ ＝ － ０ ． ９ ｋ Ｊ 、 Ａ ’ ＝ ０ ．
９ｋＪ。
２．１３． Ａ＝４５×１０ ４ Ｊ。
２．１４． Ｑ＝－１．６ｋＪ。
２．１５． Ｑ＝２．１ｋＪ。
２．１６． Ｑ １２３ －Ｑ １４３ ＝２．０ｋＪ。
２．１７． Ｑ＝－９４Ｊ。
２．１８． １．１６倍増大。
２．１９． ３．０倍増大。
- 143 -

２．２０． Ｔ ２ ＝３８０Ｋ。
２．２１． ｎ＝２．６９×１０ ２５ ／ｍ ３ 。
２．２２． （ａ）１．２９ｋｇ／ｍ ３、（ｂ）１．２９ｇ／リットル。
２ ． ２ ３ ． （ ａ ） ｐ Ｎ ２ ＝ ０ ． ７ ９ １ × １ ０ ５ Ｐ ａ 、（ ｂ ） ｐ Ｏ ２ ＝ ０ ． ２ １ ２ × １ ０ ５ Ｐ ａ 、 ｐ Ａ ｒ ＝０．００９×１０ ５ Ｐａ、（ｂ）Ｍ ｒ ＝２８．９。
２．２４． ｎ＝ｌｎ（ｐ ０ ／ｐ）／ｌｎ（１＋ｖ／Ｖ）。
２．２５． ｐ（ｔ）＝ｐ ０ ｅｘｐ（－Ｃｔ／Ｖ）。
２．２６． τ＝１２７ｓ。
２．２７． 図２参照。

２．２８．
２．２９．
２．３０．

Ｔ ２ ＞Ｔ １
１と２は増加、３は一定、４と５は減少。
図３参照。

２．３１．
２．３２．
２．３３．
２．３４．
２．３５．
２．３６．
２．３７．
２．３８．
２．３９．
２．４０．
２．４１．
２．４２．
２．４３．
２．４４．
２．４５．
２．４６．
２．４７．
２．４８．

全てで、ΔＵ＝（Ｒ／（γ－１））ΔＴ。
（ａ）Ｃ＝∞、（ｂ）Ｃ＝０。
Ａ＝－３．８ｋＪ。
（ａ）と（ｂ）で、Ｑ＝－１．０×１０ ５ Ｊ。
２．５１倍。
（ａ）ｔ ２ ＝４１３℃、（ｂ）ｔ ２ ＝２４５℃。
Ａ＝０．２０ｋＪ。
ΔＵ＝０。
ΔＵ＝０．２５ＭＪ。
ν＝３７Ｈｚ。
（ａ）ΔＵ＝１．５ｋＪ、（ｂ）Ａ＝１．０ｋＪ、（ｃ）Ｑ＝２．５ｋＪ。
（ａ）ΔＵ＝０、（ｂ）Ａ＝６６ｋＪ、（ｃ）Ｑ＝６６ｋＪ。
（ａ）γ＝１．３３、（ｂ）ΔＵ＝２．５ｋＪ、（ｃ）Ａ＝０．８３ｋＪ。
（ａ）ΔＵ＝０，（ｂ）Ａ＝２．４１ｋＪ、（ｃ）Ｑ＝２．４１ｋＪ。
放出。
Ｑ Ⅰ ＞Ｑ Ⅱ 。
（ａ）Ａ Ⅰ ＞０、Ａ Ⅱ ＜０、（ｂ）Ｑ Ⅰ ＞Ｑ Ⅱ 。
（ａ）ΔＵ＝－０．１３ＭＪ、（ｂ）否。
- 144 -

２．４９． （ａ）Ａ＝１０９ｋＪ、（ｂ）Ｑ＝１０９ｋＪ。
２．５０． Ａ＝１４．８ｋＪ。
２．５１． （ａ）Ｔ ２ ＝Ｔ １ （ｐ ２ ／ｐ １ ）（γ－１） ／γ ＝１８５０Ｋ、（ｂ）Ａ＝－１．５６ＭＪ、（ｃ）１６倍。
２．５２． ｎ＝０。
２．５３． ｎ＝－９。
２．５４． （ａ）否、（ｂ）Ａ＝０．２３ｋＪ。
２．５５． 是。
２．５６． （ａ）ｎ＝－１、（ｂ）Ｃ＝（１／２）（Ｃ Ｖ ＋Ｃ ｐ）。
２．５７． Ａ １２ ＝ｖＲ（Ｔ １ －Ｔ ２ ）／（ｎ－１）。
２．５８． （ａ）膨張時、冷却される、（ｂ）Ｃ＝Ｃ Ｖ －Ｒ。
２．５９． Ｃ＝Ｒ（ｎ－γ）／（γ－１）（ｎ－１）。
２．６０． （ａ）ｎ＜１とｎ＞γ、（ｂ）１＜ｎ＜γ、（ｃ）ｎ＝γ、（ｄ）ｎ＝１。
２．６１． （ａ）ｎ＝２．３、（ｂ）Ｃ＝１４Ｊ／（モル・Ｋ）。
２ ． ６ ２ ． （ ａ ） Ｃ ＝ １ ２ ． ５ Ｒ 、（ ｂ ） Ｃ ＝ １ ０ ２ ． ５ Ｒ、（ ｃ ） Ｃ ＝ １ ０ ０ ２ ． ５ Ｒ 、（ ｄ ）Ｃ＝－７．５Ｒ。
２．６３． 図４参照。
２．６４． （ａ）ｎ＜１の時、（ｂ）ｎ＞１の時、（ｃ）ｎ＝１の時。
２．６５． （ａ）否、（ｂ）Ｑ＝２５ｋＪ。
２．６６． ν＝２．９５×１０ ２７ ／（ｓ・ｍ ２）。
２．６７． ν＝３．４×１０ ２６ ／ｓ。
２．６８． （ａ）並進３、（ｂ）並進３、回転２、（ｃ）並進３、回転３、（ｄ）並進３、回転２、振動１、（ｅ）並進３、回転３，振動３。
２．６９． （ａ）Ｃ Ｖ ＝（３／２）Ｒ、Ｃ ｐ ＝（５／２）Ｒ、γ＝１．６７、（ｂ）Ｃ Ｖ ＝（５／２）
Ｒ、Ｃ ｐ ＝（７／２）Ｒ、γ＝１．４、（ｃ）Ｃ Ｖ ＝（７／２）Ｒ，Ｃ ｐ ＝（９／２）Ｒ，γ＝１．２
９，（ｄ）Ｃ Ｖ ＝３Ｒ，Ｃ ｐ ＝４Ｒ、γ＝１．３３。
２．７０． ４個。
２．７１． Ｕ モル ＝７５ｋＪ／モル。
２．７２． ｔ＝１６℃。
２．７３． ｎ＝５．０×１０ ２５ ／ｍ ３ 。
２．７４． Ｐ（ａ≦ｘ≦ｂ）＝ ａ ∫ ｂ ｆ（ｘ）ｄｘ。
２．７５． Ｐ（ａ １ ≦ｘ≦ａ ２ 、ｂ １ ≦ｙ≦ｂ ２ ）＝ ａ１ ∫ ａ２ ｂ１ ∫ ｂ２ ｆ １ （ｘ）ｆ ２ （ｙ）ｄｘｄｙ。
２．７６． （ａ）Ａ＝１／２ａ、＜ｘ＞＝０，＜ｘ ２ ＞＝ａ ２ ／３、＜｜ｘ｜＞＝ａ／２、（ｂ）、
Ａ ＝ １ ／ ２ ａ 、 ＜ ｘ ＞ ＝ ａ 、 ＜ ｘ ２ ＞ ＝ ４ ａ ２ ／ ３ 、（ ｃ ） Ａ ＝ １ ／ ａ 、 ＜ ｘ ＞ ＝ ０ ， ＜ ｘ ２ ＞ ＝ ａ ２／６、（ｄ）Ａ＝１／ａ、＜ｘ＞＝ａ、＜ｘ ２ ＞＝７ａ ２ ／６。
２．７７． Ｐ＝－０．１６Ａ・ｅｘｐ（－６４α）。
２ ． ７ ８ ． （ ａ ） ｆ （ ｘ ） ＝ １ ／ （ ａ ２ － ｘ ２ ） １ ／ ２ 、（ ｂ ） ＜ ｘ ＞ ＝ ０ ，（ ｃ ） ＜ ｜ ｘ ｜ ＞ ＝ ０ ．
６３７ａ、（ｄ）＜ｘ ２ ＞＝ａ ２ ／２、（ｅ）＜Ｕ＞＝（１／２）Ｅ。
２．７９． Ｔ＝４５４Ｋ。
２．８０． Ｔ＝２８８Ｋ。
２．８１． ｄＮ ｕ ＝Ｎ（４／π １／２ ）ｅｘｐ（－ｕ ２ ）ｕ ２ ｄｕ。
２．８２． Ｑ＝（３／２）Ｒ（１．０１ ２ －１）Ｔ＝７３Ｊ。
２．８３． ｖ 確率 ＝３９０ｍ／ｓ、＜ｖ＞＝４４０ｍ／ｓ、ｖ 平均２乗 ＝４７８ｍ／ｓ。
２ ． ８ ４ ． （ ａ ） Σ ｖ ｘ ＝ ０、（ ｂ ） Σ ｖ ＝ ０ 、（ ｃ ） Σ ｖ ２ ＝ １ ． ６ １ × １ ０ ２ ９ ｍ ２ ／ ｓ ２ 、（ ｄ ）Σｖ＝２．８７×１０ ２６ ｍ／ｓ。
２．８５． ＜｜ｖ ｘ ｜＞＝（２ｋＴ／πｍ） １／２ 。
２．８６． Σｍｖ＝１３．２ｋｇ・ｍ／ｓ。
２．８７． （＜ω ２ ＞） １／２ ＝２．３×１０ １２ ラジアン／ｓ。
- 145 -

２．８８． １．６６％。
２．８９． η＝（４／π １／２ ） １ ∫ ∞ ｅｘｐ（－ｕ ２ ）ｕ ２ ｄｕ。
２．９０． ＜ｖ＞＝１．０ｋｍ／ｓ。
２．９１． （１）ｖ 確率 ＝５００ｍ／ｓ、（２）（ａ）３．３２×１０ －４，（ｂ）１．７６×１０ －４ 、（ｃ）２．１４×１０ －４、（ｄ）０．６６×１０ －４ 。
２．９２．
２．９３． ｄＮ ｒ ＝ｎ １ ｅｘｐ（－（ε ｐ （ｒ）－ε ｐ （ｒ １ ））／ｋＴ）４πｒ ２ ｄｒ。
２．９４． Ｎ Ａ ＝６×１０ ２３ ／モル。
２．９５． （ａ）ｐ＝０．５６ｐ ０ 、（ｂ）ｐ＝０．３１ｐ ０ 、（ｃ）ｐ＝１．２６ｐ ０ 。
２．９６． η＝η ０ ｅｘｐ（（Ｍ Ｎ２ －Ｍ Ｏ２ ）ｇｈ／ＲＴ）＝０．２２６。
２．９７． （ａ）ｐ＝０．９７ｐ ０ 、（ｂ）Ｎ＝４．９×１０ ２４ 。
２ ． ９ ８ ． （ １）（ ａ ） ｈ ＝ ５ ． ５ ｋ ｍ、（ ｂ ） ｈ ＝ ８ ． ０ ｋ ｍ、（ ２）（ａ ） ０ ． １７ ％、（ ｂ ）０．２５％。
２．９９． ｐ＝１．０２ｐ ０ 。
２ ． １ ０ ０ ． Ｅ ＝ Ｎ （ Ｅ １ ｅ ｘ ｐ （ － Ｅ １ ／ ｋ Ｔ ） ＋ Ｅ ２ ｅ ｘ ｐ （ － Ｅ ２ ／ ｋ Ｔ ）） ／ （ ｅ ｘ ｐ （ －Ｅ １ ）／ｋＴ＋ｅｘｐ（－Ｅ ２ ／ｋＴ））。
２．１０１． （ａ）２ ５ ＝３２、（ｂ）Ω（０，５）＝１，Ｐ（０，５）＝１／３２，（ｃ）Ω（１，４）＝５，Ｐ（１，４）＝５／３２、（ｄ）Ω（２，３）＝１０，Ｐ（２，３）＝５／１６。
２．１０２． Ωは一定。
２．１０３． ΔＳ １２ ＝０．９６×１０ －２３ Ｊ／Ｋ。
２．１０４． Ω ２ ＝Ω １ η 。
２．１０５． （ａ）と（ｂ）で、Ｓ＝３．１８×１０ －３ Ｊ／Ｋ、ΔＳ／Ｓ≒１０ －２０ 。
２．１０６． （ａ）４．７８７５と４．７７０９（－０．３５％）、（ｂ）１５．１０４４と１５．
０９６１（－０．０５％）。
２．１０７． （ａ）－３６％、（ｂ）－１４％、（ｃ）－６％、（ｄ）－３．５％、（ｅ）－０．９％。
２．１０８． ｌ≒３×１０ －８ ｍ。
２．１ ０９． （ａ ）Ω＝ １０＾（ ４．１ ×１０ ２ ４ ）、（ｂ）Ω＝１０＾（８．２×１０ ２４ ）２．１１０． １０＾（３．２４×１０ ２４ ）倍。
２．１１１．
２．１１２． 是。
２．１１３． 否。
２．１１４． Ｓ ２ ＞Ｓ １ 。
２．１１５． 図５参照。

２．１１６．
２．１１７．
２．１１８．

図６参照。
１，２，３は増大、４は一定、５は減少。
図７参照。
- 146 -

２．１１９． （１）両方の場合において、ΔＳ＝０．２、（２）否。
２．１２０． 状態１と３は、同じ断熱線上にある。
２．１２１． ΔＳ ２３ ＝－０．０１Ｊ／Ｋ。
２，１２２， Ｑ＝ｂ（Ｔ ２ ２ －Ｔ １ ２ ）／２＝３０ｋＪ。
２．１２３． Ｑ＝１．８ｋＪ。
２．１２４． Ａ＝４７ｋＪ。
２．１２５． Ｓ ２ ＝１３．７３Ｊ／ｋ。
２．１２６． Ｓ ２ ＝２１０．６Ｊ／（モル・Ｋ）。
２．１２７． （ａ）ΔＳ モル ＝８．６Ｊ／（モル・Ｋ），（ｂ）ΔＳ モル ＝１４．４Ｊ／（モル・Ｋ）。
２．１２８． ΔＳ＝２．０Ｊ／Ｋだけ増加。
２．１２９． ΔＳ＝０．２５Ｊ／Ｋだけ増加。
２．１３０． Ａ＝Ｔ（Ｓ ２ －Ｓ １）。
２．１３１． ΔＳ＝２６１Ｊ／Ｋ。
２．１３２． ΔＳ＝－７．０Ｊ／Ｋ。
２．１３３． Ｃ＝αＴ。
２．１３４． Ｓ＝Ｃ／３。
２．１３５． Ｓ Ｍ ＝（（γ＋１）／（γ－１））Ｒ・ｌｎＶ Ｍ ＋定数。
２．１３６． Ａ＝９．４ｋＪ。
２．１３７． （ａ）ΔＳ＝０．２４Ｊ／Ｋ、（ｂ）ΔＵ＝０．
２．１３８． （ａ）ΔＵ Ｍ ＝０，（ｂ）ΔＳ Ｍ ＝Ｒ・ｌｎ２。
２．１３９．
２．１４０． ΔＳ＝Ｒ（ν １ ・ｌｎ（（ν １ ＋ν ２ ）／ν １ ）＋ν ２ ・ｌｎ（（ν １ ＋ν ２ ）／ν ２ ））。
２．１４１．
２．１４２． （ａ）ΔＳ Ｍ ＝１９９Ｊ／（モル・Ｋ）、（ｂ）Ｓ Ｍ ＝（１９９＋２９．１）・ｌｎ（Ｔ／Ｔ ０））（Ｊ／（モル・Ｋ））、ここで、Ｔ ０ ＝２９８Ｋ。
２．１４３． ΔＳ＝－６．１ｋＪ／Ｋ。
２．１４４． ΔＳ＝３．０Ｊ／Ｋ、ΔＦ＝－９００Ｊ。
２．１４５． Ａ＝Ｑ－ΔＦ－（Ｔ ２ Ｓ ２ －Ｔ １ Ｓ １）。
２．１４６． ΔＦ Ｍ ＝７５Ｊ／モル。
２．１４７． ΔＦ＝Ｔ（Ｓ １ －Ｓ ２ ）。
２．１４８． （１）（ａ）１－２と３－４は一定、２－３は減少、４－１は増加、（ｂ）１－２と４－１は増加、２－３と３－４は減少、（２）（ａ）１－２：Ａ＞０、３－４：Ａ＜０，２－３と４－１：Ａ＝０、（ｂ）１－２と４－１：Ｑ＞０、２－３と３－４：Ｑ＜０。
２．１４９． （１）（ａ）１－２と４－１は増加、２－３と３－４は減少、（ｂ）２－３と４－１
は一定、１－２は増加、３－４は減少、（２）（ａ）１－２と２－３：Ａ＞０、３－４と４－１：Ａ＜０、（ｂ）１－２：Ｑ＞０、４－３：Ｑ＜０、２－３と４－１：Ｑ＝０。

２．１５０．
２．１５１．
２．１５２．

図８参照。
図９参照。
図１０参照。
- 147 -

２．１５３．

図１１参照。

２．１５４． Ａ＝１１３ｋＪ。
２．１５５． 同じ。
２．１５６． Ａ ４１ ＝－２８ｋＪ。
２．１５７． η＝（Ｔ １ －Ｔ ２ ）／（Ｔ １ ＋（Ｔ １ －Ｔ ２ ）／（γ－１））＜（Ｔ １ －Ｔ ２ ）／Ｔ １ 。
２ ． １ ５ ８ ． η ＝ （ Ｔ １ － Ｔ ２ ） ／ （ Ｔ １ ＋ γ （ Ｔ １ － Ｔ ２ ） ／ （ γ － １）） ＜ （ Ｔ １ － Ｔ ２ ） ／ （ Ｔ １＋（Ｔ １ －Ｔ ２ ）／（γ－１））。
２．１５９． （ａ）η＝２／５，（ｂ）η＝１／５，（ｃ）η＝１／６。
２．１６０． 図１２参照。
２．１６１． η＝１－（Ｔ ３ ＋Ｔ ４ ）／（Ｔ １ ＋Ｔ ２）。
２ ． １ ６ ２ ． （ ａ ） ｐ ＝ １ ． ３ ６ × １ ０ ６ Ｐ ａ ＝ ０ ． ９ ５ ｐ 理 想 、（ ｂ ） Ｐ ＝ １ ． ０ × １ ０ ７ Ｐ ａ ＝０．７０ｐ 理想 。
２ ． １ ６ ３ ． （ ａ ） ｐ ＝ ２ ． ６ × １ ０ ６ Ｐ ａ ＝ ０ ． ９ ０ ｐ 理 想 、（ ｂ ） ｐ ＝ ８ × １ ０ ７ Ｐ ａ ＝ ２ ． ７
ｐ 理想 。
２．１６４． ａ＝０．１５０Ｐａ・ｍ ６ ／モル ２ ，ｂ＝３．３×１０ －５ ｍ ３ ／モル。
２．１６５． ΔＴ＝－５．８Ｋ。
２．１６６． Ｑ＝３８Ｊ。
２．１６７． Ａ＝ＲＴ・ｌｎ（（Ｖ ２ －ｂ）／（Ｖ １ －ｂ））＋ａ（１／Ｖ ２ －１／Ｖ １）。
２．１６８． （ａ）ΔＵ モ ル ＝１２２Ｊ、（ｂ）Ａ＝３．２３ｋＪ＝０．９８Ａ 理 想 、（ｃ）Ｑ＝３．
３５ｋＪ。
２ ． １ ６ ９ ． Ｔ （ Ｖ － ｂ ） ＾ （ Ｒ ／ Ｃ Ｖ ） ＝ 一 定、（ ｐ ＋ ａ ／ Ｖ ２ ）（ Ｖ － ｂ ） ＾ （ Ｒ ／ Ｃ Ｖ ＋ １ ）＝一定。
２．１７０． （ａ）Ｃ ｐ －Ｃ Ｖ ＝Ｒ／（１－２ａ（Ｖ－ｂ）２ ／ＲＴＶ ３ ）≒Ｒ（１＋２ａ／ＲＴＶ）、（ｂ）Ｃ ｐ －Ｃ Ｖ ＝１．２１Ｒ。
２．１７１． Ｃ ｐ －Ｃ Ｖ ＝１．６６Ｒ。
２．１７２． ΔＴ＝Ｔ ２ －Ｔ １ ＝（１／（Ｃ Ｖ ＋Ｒ））（ＲＴ １ ｂ／（Ｖ １ －ｂ）－２ａ／Ｖ １）。
２．１７３． 加熱される。
２．１７４． （ａ）ΔＴ＝０．２１Ｋ、（ｂ）ΔＴ＝０，（ｃ）ΔＴ＝－０．２０Ｋ。
２．１７５． （ａ）ΔＴ＝－２．７Ｋ、（ｂ）ΔＴ＝－１．６Ｋ。
２．１７６． Ｓ＝Ｃ Ｖ ・ｌｎＴ＋Ｒ・ｌｎ（Ｖ－ｂ）＋定数。
２ ． １ ７ ７ ． Δ Ｕ モ ル ＝ ０ 、（ ｂ ） Δ Ｔ ＝ － ａ／ Ｖ Ｃ Ｖ 、（ ｃ ） Ａ モ ル ＝－ ａ ／ Ｖ、（ｄ ） Δ Ｓ モ ル ≒Ｃ Ｖ
・ｌｎ（１－ａ／ＶＴＣ Ｖ ）＋Ｒ・ｌｎ２（１＋ｂ／Ｖ）≒Ｒ（ｌｎ２＋ｂ／Ｖ）－ａ／ＶＴ。
２．１７８． 図１３参照。
２．１７９． （ａ）是、（ｂ）是。
２．１８０． Ｖ モル ＝４２ｃｍ ３ 、ρ＝４．１ｇ／ｃｍ ３ 。
２．１８１． （ａ）ｃ＝３９０Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）、（ｂ）ｃ＝９２０Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）。
２．１８２． （ａ）２．１５倍に増大、（ｂ）４．６４倍に増大、（ｃ）１０倍に増大。
２．１８３． ｒ ２ ＝２αｒ １ ／（２α＋ρｇｈｒ １ ）＝０．１８ｍｍ。
- 148 -

２．１８４． ｈ＝３．０ｃｍ。
２．１８５． Ｆ＝２．４ｋＮ。
２．１８６． Ｆ＝０．５５ｋＮ。
２．１８７． （ａ）ｈ＝３．０ｃｍ、（ｂ）Ｆ＝０．４３Ｎ。
２．１８８． ｘｙ＝２α／ρｇφ。
２．１８９． ｈ＝１．０ｃｍ。
２．１９０． ｈ＝７ｍ。
２．１９１．
２．１９２． ｐ 飽和蒸気 ＝Ｃ・ｅｘｐ（－ｑＭ／ＲＴ）。
２．１９３． （ａ）Ａ １２ ＝ｐ 飽和蒸気 ｍ（Ｖ ２ ’－Ｖ １ ’）、（ｂ）Ｑ １２ ＝ｍｑ １２ ，（ｃ）Ｕ ２ －Ｕ １ ＝ｍｑ
１ ２ － ｐ 飽 和 蒸 気 ｍ（ Ｖ ２ ’－ Ｖ １ ’）、（ ｄ） Ｓ ２ －Ｓ １ ＝ｍ ｑ １ ２ ／Ｔ、（ ｅ）Ｆ ２ －Ｆ １ ＝ －ｐ 飽 和 蒸 気 ｍ（Ｖ ２ ’－Ｖ １’）。
２．１９４．
２．１９５． 融解曲線上の点。
２．１９６． （ａ）図１４参照、（ｂ）
２．１９７． Ｔ＝Ｔ １ ＋（Ｔ ２ －Ｔ １ ）ｌｎ（ｒ／ｒ １ ）／ｌｎ（ｒ ２ ／ｒ １ ）。
２．１９８． （ａ）κ＝４．０Ｗ／（ｍ・Ｋ）、（ｂ）Ｔ＝（Ｔ １ －Ｔ ２）ｒ １ ｒ ２ ／（ｒ（ｒ ２ －ｒ １ ））＋（ｒ ２ Ｔ ２ －ｒ １ Ｔ １ ）／（ｒ ２ －ｒ １ ）。
２．１９９． τ＝１．１６×１０ ４ ｓ。
２．２００． （ａ）λ＝０．７６×１０ －７ ｍ＝２０＜ａ＞、（ｂ）τ＝１．７１×１０ －１０ ｓ。
２．２０１． ν＝８．４×１０ ３４ ／（ｍ ３ ・ｓ）。
２．２０２． Ｄ＝２．６×１０ －４ ｍ ２ ／ｓ、η＝４．６×１０ －５ Ｐａ・ｓ。
２．２０３． λ＝１．３×１０ －７ ｍ＝３８＜ａ＞。
２．２０４． Ｄ １２ ＝０．７０×１０ －４ ｍ ２ ／ｓ。
２．２０５． （ａ）と（ｂ）０．５Ｗ／ｍ ２ 、（ｃ）０．０３Ｗ／ｍ ２ 、（ｄ）０．００３Ｗ／ｍ ２ 。
２．２０６． τ＝４０時間。
２．２０７． α＝０．４８ラジアン。
２．２０８． η＝２βｍａ／πＲ ２ 。
２．２０９． ν＝２．４×１０ １７ ／（ｍ ２ ・ｓ）。
２．２１０． τ＝（４Ｖ／Ｓ）ｌｎη（πＭ／８ＲＴ） １／２ 。
２．２１１． ｐ ２ ＝０．１２９Ｐａ。

３．１． δ＝１０ －１１ 。
３．２． ｑ’＝ｑ。
３．３． ｑ＝－９．６５×１０ ４ Ｃ／モル。
３．４． ｑ＝３．９×１０ ５ Ｃ。
３．５． Ｆ ｅ ／Ｆ ｇ ＝４．２×１０ ４２ 。
３．６． ｗ＝２．５×１０ ８ ｍ／ｓ ２ 。
３．７． ｍ ｐ ’＝１．８６×１０ －９ ｋｇ＝１０ １８ ｍ ｐ 。
３．８． ｑ 太陽 ＝１．７０×１０ ２０ Ｃ、ｑ 地球 ＝５．１３×１０ １４ Ｃ。
３．９． ｑ／ｍ＝０．８６×１０ －１０ Ｃ／ｋｇ＝４．９×１０ －２２ ｅ／ｍ ｅ 。
３．１０． Ｆ＝（１／４πε ０ ） ｉ＝１ Σ Ｎ１ ｋ＝１ Σ Ｎ２ ｑ ｉ ｑ’ ｋ （ｒ ｉ －ｒ’ ｋ ）／｜ｒ ｉ －ｒ’ ｋ ｜ ３ 。
３ ．１ １ ． Ｆ＝（ １／４π ε ０ ） Ｖ ∫ Ｖ ’ ∫（ ρ（ｒ） ρ（ｒ’）（ｒ－ｒ’） ／｜ｒ－ ｒ’｜ ３ ） ｄＶｄ Ｖ’。
３．１２． （ａ）φ＝（１／４πε ０）（６ｑ／ａ）、Ｅ＝０，（ｂ）φ＝０、Ｅ＝０。
３．１３． φ＝（１／４πε ０ ）ｉ＝１ Σ Ｎ ｑ ｉ ／｜ｒ－ｒ ｉ ｜、Ｅ＝（１／４πε ０ ）ｉ＝１ Σ Ｎ ｑ ｉ（ｒ－ｒ ｉ ）／｜ｒ－ｒ ｉ ｜ ３ 。
３．１４． φ＝（１／４πε ０） Ｖ ∫（ρ（ｒ）／｜ｒ’－ｒ｜）ｄＶ、Ｅ＝（１／４πε ０） Ｖ ∫（ρ- 149 -

（ｒ）（ｒ’－ｒ）／｜ｒ’－ｒ｜ ３ ）ｄＶ。
３．１５． φ＝Ｒσ／ε ０ ，Ｅ＝０。
３．１６． φ＝（１／４πε ０ ）（３ｑ／２Ｒ）＝６．８×１０ ５ Ｖ、Ｅ＝０。
３．１７． φ＝Ｒσ／２ε ０ 、Ｅ＝σ／４ε ０ 。
３．１８． （ａ）φ＝０、Ｅ＝－（ｋＲ／３ε ０ ）ｅ ｚ 、（ｂ）∂φ／∂ｘ＝∂φ／∂ｙ＝０，∂φ／∂ｚ＝ｋＲ／３ε ０ 。
３．１９．
３．２０． φ＝－Ｅｘ＋定数。
３．２１． （ａ）是、（ｂ）φ＝－Ｅ １ ｘ－Ｅ ２ ｙ－Ｅ ３ ｚ＋定数。
３．２２． （ａ）否、（ｂ）φ（ｒ’）＝ａ／２ｒ ２ 。
３．２３． （ａ）中心対称、（ｂ）Ｅ＝２｜φ’｜（ｘ ２ ＋ｙ ２ ＋ｚ ２ ） １／２ 。
３．２４． （ａ）軸対称、（ｂ）Ｅ＝（（∂φ／∂ｒ） ２ ＋（１／ｒ ２）（∂φ／∂θ）） １／２ 。
３．２５． （ａ）Ｅ＝－２（ａｘｅ ｘ ＋ａｙｅ ｙ ＋ｂｚｅ ｚ ）、Ｅ＝２（ａ ２ （ｘ ２ ＋ｙ ２ ）＋ｂ ２ ｚ ２ ） １／２、（ｂ）楕円体、（ｃ）楕円体。
３．２６． （ａ）Ｅ＝－２（ａｘｅ ｘ ＋ａｙｅ ｙ －ｂｚｅ ｚ ）、Ｅ＝２（ａ ２ （ｘ ２ ＋ｙ ２ ）＋ｂ ２ ｚ ２ ） １／２、（ｂ）φ＞０の時、双曲面、φ＝０のとき、円錐、φ＜０の時、双曲面、（ｃ）楕円体。
３．２７． Ｅ＝λａ／（２πε ０ ｒ（ａ ２ ＋ｒ ２ ） １／２）。
３．２８． φ＝（λ／４πε ０ ）ｌｎ（（ｒ＋ａ）／（ｒ－ａ））、Ｅ＝（１／４πε ０ ）（２ａλ／（ｒ ２ －ａ ２））。
３．２９． Ｅ＝λ／２πε ０ ｒ。
３．３０． （ａ）φ＝（１／４πε ０ ）ｑ／（ｒ ２ ＋ｘ ２ ） １／２ 、Ｅ＝（１／４πε ０ ）ｑｘｅ ｘ ／（ｒ２＋ｘ ２）３／２ 、（ｂ）ｘ＝０では、φ＝（１／４πε ０）ｑ／ｒ、Ｅ＝０、｜ｘ｜≫ｒでは、 φ≒（１
／ ４ π ε ０ ） ｑ ／ ｜ｘ ｜ 、 Ｅ＝ （ １／ ４ π ε ０ ）（ ｑ ／ ｘ ２ ）（ ｘ ／｜ ｘ ｜ ） ｅ ｘ 、（ ｃ） Ｅ ｍ ＝ （ １ ／ ４
πε ０）・２ｑ／（３ｒ ２ ・３ １／２ ）＝１．９２×１０ ４ Ｖ／ｍ、ｘ ｍ ＝±４２．４ｍｍ、（ｄ）。
（（ｒ ２ ＋ｘ ２）１／２ －ｘ）、Ｅ ｘ ＝（ｑ／（２ε ０ πｒ ２））
３．３１． （ａ）φ＝（ｑ／（２ε ０ πｒ ２ ））（１－ｘ／（ｒ ２ ＋ｘ ２ ） １ ／ ２ ）、｜ｘ｜≫ｒの時、φ＝（１／４πε ０ ）ｑ／｜ｘ｜、Ｅ ｘ ＝（１／４πε ０）（ｑ／ｘ ２ ）ｘ／｜ｘ｜、（ｂ）φ＝７５ｋＶ、Ｅ ｘ ＝０．５３ＭＶ／ｍ。
３．３２． φ＝（ｑ／（２ε ０ π（ｂ ２ －ａ ２）））（（ｂ ２ ＋ｘ ２） １／２ －（ａ ２ ＋ｘ ２） １／２）、Ｅ ｘ ＝（ｑｘ ／（ ２ ε ０ π （ ｂ ２ － ａ ２ ）））（ １／ （ ａ ２ ＋ ｘ ２ ） １ ／ ２ － １／ （ ｂ ２ ＋ ｘ ２ ） １ ／ ２ ）、 ｜ｘ ｜ ≫ ｂ の時 、
点電荷場。
３．３３． Ｅ ｘ ＝（σ／２ε ０ ）ｘ／｜ｘ｜。
３．３４． ａ＝ｂ・３ １／２ 、ｒ＝２ｂ、θ＝６０°。
３．３５． （ａ）Ｅ ｘ ＝（σ／２ε ０ ）（（ｘ＋ａ）／（（ ｘ ２ ＋ａ ２ ） ２ ） １／２ －（ｘ＋ａ）／（ｒ ２ ＋（ｘ＋ａ）２ ）１／２ －（ｘ－ａ）／（（ｘ－ａ）２）１／２ ＋（ｘ－ａ）／（ｒ ２ ＋（ｘ－ａ）２）１／２ ）、（ｂ）
Ｅ ｘ （ ０ ） ＝ （ σ ／ ε ０ ）（ １ － ａ／ （ ｒ ２ ＋ ａ ２ ） １ ／ ２ ） ≒（ σ ／ ε ０ ）（ １ － ａ／ ｒ）、（ ｃ ） Ｅ ｘ （ ａ－ ０） ＝ （ σ ／ε ０ ）（ １－ ａ ／ （ｒ ２ ＋ ４ａ ２ ） １ ／ ２ ） ≒ （σ ／ ε ０ ）（ １ － ａ ／ｒ）、（ ｄ）（ Ｅ ｘ （ ａ＋ ０ ） ＝ － （ σ ／ ε ０ ） ａ ／ （ ｒ ２ ＋ ４ ａ ２ ） １ ／ ２ ） ＝ － （ σ ／ ε ０ ） ａ ／ ｒ 、（ ｅ ） Ｅ ｘ ＝ （ － １ ／ ４
πε ０）・２（２ａｑ）／ｘ ３ 、ここで、ｑ＝πｒ ２ σ。
３．３６． φ＝（１／４πε ０ ）ｐ・ｃｏｓθ／ｒ ２ 、Ｅ＝（１／４πε ０ ）（ｐ／ｒ ３ ）（１＋３ｃｏｓ ２ θ） １／２ 。
３．３７．
３．３８． Ａ＝２ｐＥ。
３．３９． (a)と（ｂ）で、ｐ＝０。
３．４０． Ｆ＝（１／４πε ０ ）６ｐ ２ ／ｌ ４ ＝２．１×１０ －１６ Ｎ。
３．４１． （ａ）ｐ＝２ａｑｅ ｘ、（ｂ）ｐ＝－２ａｑｅ ｘ、（ｃ）ｐ＝０．（ｄ）ｐ＝－２ａｑｅ ｙ
３．４２． （ａ），（ｂ），（ｃ）、（ｄ）、ｐ＝２ａｑｅ ｘ 。
３．４３． （１）４重極、（２）ｐ＝０、（３）（ａ）φ＝（１／４πε ０ ）３ｑａ ２ ／ｒ ３ ，（ｂ）φ＝０、（ｃ）φ＝－（１／４πε ０ ）３ｑａ ２ ／ｒ ３，（４）φ＝（３ａ／２ｒ）φ’。
３．４４．（１）ｐ＝２ａｑ（ｅ ｘ ３ １／２ ＋ｅ ｙ ）、ｐ＝４ａｑ＝４．０×１０ －８ Ｃ・ｍ、（２）φ＝１７- 150 -

４Ｖ、（３）φ 最大 ＝（１／４πε ０ ）ｐ／ｒ ２ ＝３６０Ｖ、φ 最小 ＝０。
３．４５． （ａ）ｐ＝２λａ ２ ｅ ｘ 、（ｂ）ｐ＝０、（ｃ）ｐ＝－２λａ ２ ｅ ｘ 。
３．４６． （ａ）、（ｂ）、（ｃ）、ｐ＝（２ｋａ ３ ／３）ｅ ｘ 。
３．４７． （１）ｐ＝０、（２）（ａ）φ＝（１／４πε ０ ）ｑＲ ２ ／２｜ｘ｜ ３ ，Ｅ＝（１／４πε０）（３ｑＲ ２ ）／２ｘ ４）（ｘ／｜ｘ｜）ｅ ｘ、（ｂ）４重極。
３．４８． ｐ＝（４π／３）ｋＲ ４ ｅ ｚ 。
３．４９． φ＝ｋＲ ４ ｃｏｓθ／３ε ０ ｒ ２ 。
３．５０． （ａ）ｐ＝０，（ｂ）φ＝－２９μＶ、Ｅ＝８．６ｋＶ／ｍ、（ｃ）４重極、（ｄ）φ＝２×１０ －４ φ’、Ｅ＝６×１０ －４ Ｅ’。
３．５１． （ａ）＜ｐ＞＝０、（ｂ）＜φ＞＝－３．６μＶ、＜Ｅ＞＝１．１ｋＶ／ｍ。
３ ． ５ ２ ． （ ａ ） ∇ （ｆ （ ｘ ）ｅ ｘ ）＝ ｄ ｆ ／ｄ ｘ、（ ｂ ）∇ ｒ ＝ ３、（ｃ ） ∇ ｅ ｒ ＝ ２／ ｒ、（ ｄ ）∇（ｆ（ｒ）ｅ ｒ ）＝２ｆ（ｒ）／ｒ＋ｄｆ（ｒ）／ｄｒ。
３．５３． （ａ）∇ａ＝０、（ｂ）Φ ａ ＝０。
３．５４．
３．５５． Φ ｒ ＝４πＲ ３ 。
３．５６． ３Ｖ。
３．５７． Φ ａ ＝ ０ ∫ Ｒ ｆ（ｒ）・４πｒ ２ ｄｒ。
３．５８． Φ １ ＝－Φ ２ 。
３．５９． （ａ）Ｅ ｎ ＝λ／２πε ０ Ｒ、（ｂ）Φ Ｅ ＝２λＲ／ε ０ 。
３．６０． ρ＝ε ０ （１＋４ｙ＋９ｚ ２ ）。
３．６１． ρ＝ε ０ Ａ（２／ｒ－α）ｅｘｐ（－αｒ）。
３．６２． （１）、（２）Φ Ｅ ＝３αＶ。
３．６３． （ａ）－（ｄ）[∇ａ]＝０。
３．６４．
３．６５． 否。
３．６６． （ａ）［∇Ｅ］＝２ａｅ ｚ、（ｂ）Ｃ＝２ａπｂ ２ 。
３．６７． （ａ）Ｅ ｘ ＝（σ／２ε ０）ｘ／｜ｘ｜、（ｂ）φ＝－（σ／２ε ０）｜ｘ｜＋定数、（ｃ）
否。
３．６８． 是。
（ｂ）Ｅ Ｂ ＝７５ｅ ｘ（Ｖ／ｍ）、（ｃ）Ｅ Ｃ ＝－２５ｅ ｘ（Ｖ／ｍ）。
３．６９． Ｅ Ａ ＝２５ｅ ｘ（Ｖ／ｍ）、
３．７０． （ａ）σ １ ＞σ ２、（ｂ）φ ４ －φ ３ ＝－２００Ｖ。
３．７１． Ｅ＝λ／２πε ０ ｒ。
３ ． ７ ２ ． （ ａ ） Ｅ ＝ （ １ ／ ２ π ε ０ ） λ ／ ｒ 、 φ ＝ － （ λ ／ ２ π ε ０ ） ｌ ｎ （ ｒ ／ ｒ ０ ）、（ ｂ ）Ｅ＝３．６ｋＶ／ｍ、φ＝－８３ｋＶ、（ｃ）否。
３．７３． Ｆ ｅ ＝４．９×１０ －１５ Ｎ、Ｆ Ｍ ＝１．９×１０ －２２ Ｎ。
３．７４． Ｆ＝８．１Ｎ／ｍ、Ａ＝０．１１Ｊ／ｍ。
３．７５． （ａ）Ｅ＝０、（ｂ）φ＝Ｒσ／ε ０ 。
３．７６． Ｆ＝０。
３．７７． Ｅ＝ρｒ／３ε ０ 、φ＝（ρ／２ε ０ ）（Ｒ ２ －ｒ ２ ／３）。
３．７８． Ｅ＝（ρ／３ε ０ ）ａ。
３．７９． ω＝（ｅ ２ ／４πε ０ ｍ ｅ Ｒ ３ ） １／２ 。
３．８０． Ｒ＝（（ｅλ／２πｃ） ２ ／４πε ０ ｍ ｅ ） １／３ ＝０．３１ｎｍ。
（ｂ）φ＝（１／４πε ０ ）（ｑ／３Ｒ）（４－（ｒ／Ｒ）３）、（ｃ）
３．８１． （ａ）φ ０ ＝１２０Ｖ、Ｅ（Ｒ／２）＝２２５Ｖ／ｍ。
３．８２． Ｅ＝（ρ ０ ／２ε ０ ）ｒ／ｒ。
３．８３． Ｅ＝（ρ ０ ｒ／３ε ０ αｒ ３ ）（１－ｅｘｐ（－αｒ ３ ））、ｒが大の時、Ｅ＝（ρ ０ ｒ／３ε３０ αｒ ）、ｒが小の時、Ｅ＝ρ ０ ｒ／３ε ０ 。
３．８４． ρ＝１．１５μＣ／ｍ ３ 。
３．８５． 速度に垂直な面で、σ＝１．０μＣ／ｍ ２ 、その他の面で、σ＝１．１５μＣ／ｍ ３ 。
- 151 -

３．８６．λ＝１．１１μＣ／ｍ。
３．８７． Ｐ＝（１－１／ε）Ｄ。
３．８８． （ａ）Ｅはε倍減少、（ｂ）Ｄは不変、（ｃ）Ｕはε倍減少。
３．８９． （ａ）Ｅ＝５０Ｖ／ｍ、Ｄ＝０．８８ｎＣ／ｍ ２、（ｂ）Ｐ＝０．４４ｎＣ／ｍ ２ 、（ｃ）
σ’＝±０．４４ｎＣ／ｍ ２ 。
３．９０． ＜ρ’＞＝（Ｐ １ －Ｐ ２ ）／ａ。
３ ． ９ １ ． （ ａ ） ∇ Ｅ ＝ － Ｅ ０ ｋ （ ε １ ＋ ｋ ｘ ） ２ ， こ こ で 、 ｋ ＝ （ ε ２ － ε １ ） ／ ａ、（ ｂ ） φ Ｅ ＝
ＳＥ ０ （２／（ε １ ＋ε ２ ）－１）、（ｃ）ρ’＝－ε ０ Ｅｋ／（ε １ ＋ｋｘ） ２ 。
３．９２． ρ’＝－（４ε ０ Ｅ ０ ／ａ）（ε ２ －ε １）（ε １ ＋ε ２ ） ２ ＝－０．５９μＣ／ｍ ２ 。
３．９３． ε（ｘ）＝αε １ ε ０ Ｅ ０ （ε １ ρ １ ’ｌｎ（１＋αｘ）＋αε ０ Ｅ ０）。
３．９４． Ｅ ２ ＝５．２Ｖ／ｍ、α ２ ＝７４°、σ’＝６４ｐＣ／ｍ ２ 。
３．９５． ゼロに。
３．９６．
３．９７． ｜ｘ｜＜ａのとき、φ＝－ρｘ ２ ／２εε ０ ，Ｅ ｘ ＝ρｘ／εε ０ 、｜ｘ｜＞ａの時、φ＝ － （ ρ ａ ／ ε ０ ） ｜ ｘ ｜ ＋ （ ρ ａ ２ ／ ε ０ ）（ １ － １ ／ ２ ε）、 Ｅ ｘ ＝ （ ρ ａ ／ε ０ ）（ ｘ／ ｜ ｘ ｜）。
３．９８． （ａ）Ｐ＝（１－１／ε）ρｘｅ ｘ 、（ｂ）σ’＝（１－１／ε）ρａ、（ｃ）ρ’＝－（１－１／ε）ρ。
３．９９． （ａ）Ｅ ｘ ＝（ｘ／｜ｘ｜）（ρ ０ ／αεε ０ ）（１－ｅｘｐ（－α｜ｘ｜））、（ｂ）ρ’＝－（１－１／ε）ρ ０ ・ｅｘｐ（－α｜ｘ｜）。
３．１００． ρ’＝０。
３．１０１． σ’ 最大 ＝３．５ｎＣ／ｍ ２ 、σ’＝１．７５ｎＣ／ｍ ２ 。
３．１０２． ω＝２（３Ｐ ｒ Ｅ／ｌ ２ δ） １／２ 。
３．１０３． Ｆ＝０．３６ｍＮ。
３．１０４． σ＝－ｑａ／２π（ａ ２ ＋ｘ ２ ） ３／２ 、ｑ 誘導 ＝－ｑ。
３．１０５． ？
３．１０６． （ａ）Ｅ １ ＝Ｅ ２ ＝Ｅ，Ｄ １ ＝Ｄ，Ｄ ２ ＝εＤ、（ｂ）Ｅ １ ＝Ｅ ２ ＝２Ｅ／（１＋ε）、Ｄ
１ ＝２Ｄ／（１＋ε）
、Ｄ ２ ＝２εＤ／（１＋ε）。
３．１０７． （ａ）Ｅ １ ＝２εＥ／（１＋ε）、Ｅ ２ ＝２Ｅ／（１＋ε）、Ｄ １ ＝Ｄ ２ ＝２εＤ／（１＋ε）、（ｂ）Ｅ １ ＝Ｅ，Ｅ ２ ＝Ｅ／ε、Ｄ １ ＝Ｄ ２ ＝Ｄ。
３．１０８． Ｃ＝ε ０ ε １ ε ２ Ｓ／（ε １ ｄ ２ ＋ε ２ ｄ １ ）＝４．１ｎＦ。
３．１０９． Ｃ＝６．１ｎＦ。
３．１１０． Ｃ＝２πεε ０ ｌ／ｌｎ（ｒ ２ ／ｒ １ ）。
３．１１１． Ｃ＝１．６ｐＦ。
３．１１２． Ｃ＝４πεε ０ ｒ １ ｒ ２ ／（ｒ ２ －ｒ １ ）。
３．１１３． Ｃ＝４πε ０ ε １ ｒ １ ／ｌｎ（ｒ ２ ／ｒ １ ）＝１００ｐＦ。
３．１１４． （ａ）Ｃ＝ ｋ＝１ Σ Ｎ Ｃ ｋ ，（ｂ）Ｃ＝１／（ ｋ＝１ Σ Ｎ Ｃ ｋ －１）。
３．１１５． Ｃ＝１０ｐＦ。
３．１１６．
３．１１７． Ｕ １ ＝２００Ｖ，Ｕ ２ ＝１００Ｖ，ｑ＝２０ｎＣ、Ｃ＝６７ｐＦ、
３．１１８． ｑ １ ＝ｑ ２ ＝ｑ ３ ＝５５μＣ。
３．１１９． ｑ １ ＝－２４μＣ，ｑ ２ ＝－３６μＣ、ｑ ３ ＝６０μＣ。
３．１２０． Ｃ＝５．２ｐＦ／ｍ。
３．１２１． Ｃ＝０．５６ｐＦ。
３．１２２． Ｗ＝２．３×１０ －２５ Ｊ。
３．１２３． （ａ）＜Ｗ＞＝－４．４×１０ －１８ Ｊ，（ｂ）Ｗ＝－２．６×１０ ６ Ｊ。
３．１２４． （ａ）Ｗ＝（１／４πε ０）（ｑ ２ ／ａ）（２ １／２ ＋４）、（ｂ）Ｗ＝（１／４πε ０）（ｑ２／ａ）（２ １／２ －４）、（ｃ）Ｗ＝－（１／４πε ０）（ｑ ２ ／ａ）２ １／２ 。
３．１２５． Ｗ＝（１／２） ｉ，ｋ＝１ Σ Ｎ （１／４πε ０ ）ｑ ｉ ｑ ｋ ／｜ｒ ｉ －ｒ ｋ ｜。
３．１２６． Ｗ＝（１／８πε ０ ） Ｖ ∫ρ（ｒ’）ｄＶ’ Ｖ ∫（ρ（ｒ）／｜ｒ－ｒ’｜）ｄＶ。
- 152 -

３．１２７． Ｗ＝４．５ｎＪ、（ｂ）η＝０．９９，（ｃ）Ｒ＝２．０ｃｍ。
３．１２８． （ａ）Ｗ＝５．４ｎＪ、（ｂ）Ｗ １ ＝０．９ｎＪ、（ｃ）Ｗ ２ ＝４．５ｎＪ。
３．１２９． Ａ＝０．９ｎＪ。
３．１３０． ｒ 古典 ＝２．８２×１０ －１５ Ｊ。
３．１３１． Ｗ＝２７ｍＪ。
３．１３２． （ａ）Ａ＝９ｍＪ、（ｂ）
３．１３３． Ａ＝１１．３μＪ。
３．１３４． （ａ）ε倍増大、（ｂ）ε倍減少。
３．１３５． （ａ）Ｒ＝１／（ ｋ＝１ Σ Ｎ Ｒ ｋ －１ ）、（ｂ）Ｒ＝ ｋ＝１ Σ Ｎ Ｒ ｋ 。
３．１３６．
３．１３７． Ｒ＝４Ω。
３．１３８． Ｒ＝ρ ０ ∫ ｌ （１／Ｓ（ｘ））ｄｘ。
３．１３９． １２ｍ。
３．１４０． Ｒ＝（ρ／２πｄ）ｌｎ（ｂ／ａ）。
３．１４１． Ｒ＝（ρ／４π）（１／ａ－１／ｂ）、ｂ→∞の時、Ｒ→ρ／４πａ。
３．１４２． Ｉ＝（Φ ２ －Φ １ ）／Δｔ。
３．１４３． Ｉ＝１．１ｎＡ。
３．１４４． ｔ＝０．６９μｓ。
３．１４５． （ａ）ｉ＝（ｑ ０ ／ＲＣ）ｅｘｐ（－ｔ／ＲＣ）、（ｂ）ｑ＝０．１８ｍＣ、（ｃ）Ｑ＝８２ｍＪ。
３．１４６． Ｑ＝ＣＵ ２ ／２。
３．１４７． Ｑ＝６３ｍＪ。
３．１４８． ｎ＝６，Ｐ 最大 ＝３０Ｗ。
３．１４９． （ａ）Ａ １ ＝６３μＪ、（ｂ）Ａ ２ ＝－１２５μＪ。
３．１５０． （ａ）Ａ １ ＝３６μＪ、（ｂ）Ａ ２ ＝７２μＪ。
３．１５１． ρ＝２．３×１０ １３ Ω・ｍ。
３．１５２． Ｉ＝５．９ｎＡ。
３ ． １ ５ ３ ． （ １ ）（ ａ ） Ｅ １ ＝ ２ ５ ｋ Ｖ ／ ｍ 、 Ｅ ２ ＝ ５ ０ ｋ Ｖ ／ ｍ 、 Ｄ １ ＝ ０ ． ４ ４ μ Ｃ ／ ｍ ２ 、
Ｄ ２ ＝１．３３μＣ／ｍ ２ 、（ｂ）σ １ ＝Ｄ １ ＝０．４４μＶ／ｍ ２ 、σ ２ ＝－Ｄ ２ ＝－１．３３μＣ／ｍ
２、 σ ＝ ０ ． ８ ９ μ Ｃ ／ ｍ ２ 、（ ｃ ） σ １ ’ ＝ － ０ ． ２ ２ μ Ｃ ／ ｍ ２ 、 σ ２ ’ ＝ ０ ． ８ ８ μ Ｃ ／ ｍ ２ 、 σ’＝－０．６６μＣ／ｍ ２、（ｄ）ｊ＝２．５μＡ。
（２）Ｅ １ ＝５０ｋＶ／ｍ、Ｅ ２ ＝０、Ｄ １ ＝０．８８μＣ／ｍ ２ 、Ｄ ２ ＝０、（ｂ）σ １ ＝Ｄ １ ＝０．８
８ μ Ｃ ／ ｍ ２ 、 σ ２ ＝ ０ 、 σ ＝ － Ｄ １ ＝ － ０ ． ８ ８ μ Ｃ ／ ｍ ２ 、（ ｃ ） σ １ ’ ＝ － ０ ． ４ ４ μ Ｃ ／ ｍ ２ 、
σ ２ ’＝０、σ’＝－σ １ ’＝０．４４μＣ・ｍ ２、（ｄ）ｊ＝０。
３．１５４． Ｉ＝０．９７μＡ。
３．１５５． Ｉ＝ＵＣ／ρεε ０ 。
３．１５６． Ｒ＝ρ／２πａ＝２Ｒ’。
３．１５７． （ａ）ｑ＝ｑ ０ ｅｘｐ（－σｔ／εε ０ ）、（ｂ）Ｑ＝（ｑ ０ ２ ／８πεε ０ ）（１／ａ－１／ｂ）。
３．１５８． 是。
３．１５９． φ １ －φ ２ ＝－４．５Ｖ。
３．１６０． φ Ａ －φ Ｂ ＝０。
３．１６１． Ｉ １ ＝０．８７Ａ、Ｉ ２ ＝－１．３０Ａ。
３．１６２． Ｉ １ ＝０．６３Ａ、Ｉ ２ ＝－２．８６Ａ、Ｉ ３ ＝－２．２３Ａ。
３．１６３． （ａ）Ｉ １ ＝Ｉ ３ ＝１．０Ａ、Ｉ ２ ＝Ｉ ４ ＝－１．０Ａ、不変、（ｂ）Ｉ １ ＝－０．９２
Ａ、Ｉ ２ ＝０．０４Ａ、Ｉ ３ ＝０．３６Ａ、Ｉ ４ ＝０．５２Ａ。
３．１６４． Ｉ １ ＝－６．４ｍＡ、Ｉ ２ ＝１．８ｍＡ、Ｉ ３ ＝４．６ｍＡ、Ｉ ４ ＝０．
３．１６５． Ｕ＝Ｕ ０ Ｒｘ／（Ｒｌ＋Ｒ ０ （ｌ－ｘ）ｘ／ｌ）、Ｒ≫Ｒ ０ の時、Ｕ＝Ｕ ０ ｘ／ｌ。
３．１６６． Ｂ＝４．８ｍＴ。
- 153 -

３．１６７． Ｉ＝２４ｋＡ。
３．１６８． Ｆ 磁気 ＝２．３×１０ －２８ Ｎ＝１０ －６ ×Ｆ 電気 。
３．１６９． （ａ）Ｂ＝６．３μＴ、（ｂ）Ｂ＝２．２μＴ。
３．１７０． Ｂ＝（１／２）（μ ０ ／４π）・２Ｉ／ｂ。
３．１７１． Ｂ＝５．５μＴ。
３．１７２． Ｂ＝０。
３．１７３． Ｂ＝μ ０ Ｉ／２πｂ（１＋（ｂ／ａ） ２ ） １ ／２ 、ａ→∞のとき、Ｂ＝μ ０ Ｉ／２πｂ。
３ ． １ ７ ４ ． Ｂ ＝ （ μ ０ Ｉ ／ ２ ｒ ） ｔ ａ ｎ （ π ／ ｎ ） ／ （ π ／ ｎ）、 ｎ → ∞ の 時 、 Ｂ ＝ μ ０ （ Ｉ ／２ｒ）。
３ ． １ ７ ５ ． Ｂ ＝ （ μ ０ ／ ４ π ）・ ２ Ｉ ｌ （ １ － １ ／ η ） ／ （ ｂ （ ｌ ２ ＋ ４ ｂ ２ ） １ ／ ２ ） ＝ １ ． ４ μ
Ｔ。
３ ． １ ７ ６ ． Ｈ ＝ （ ｎ Ｉ ／ ２ ）（（ ｌ ／ ２ － ｘ ） ／ （ ｒ ２ ＋ （ ｌ ／ ２ － ｘ ） ２ ） １ ／ ２ ） ＋ （ ｌ ／ ２ ＋ｘ）／（ｒ ２ ＋（ｌ／２＋ｘ） ２ ） １／２ ）），（ａ）Ｈ＝ｎＩ、（ｂ）Ｈ＝ｎｌ／２。
３．１７７．
３．１ ７８． ｒ≪ Ｒのと き、Ｈ＝ （１／ ２）［ｊｒ］、ｒ≫Ｒのとき、Ｈ＝（１／２）（Ｒ ２ ／ｒ ２ ）［ｊｒ］。
３．１７９． Ｈ＝（１／２）［ｊａ］。
３．１８０． Ｂ＝４２ｐＴ。
３．１８１． Ｂ＝０．
３．１８２． Ｍ＝（２／５）ｍＲ ２ ω、ｐ ｍ ＝（１／５）ｑＲ ２ ω、ｐ ｍ ／Ｍ＝ｑ／２ｍ。
３．１８３． Ｂ＝０．２０ｍＴ。
３．１８４． ｐ ｍ ＝２．２ｍＡ・ｍ ２ 、Ｈ＝２３Ａ／ｍ。
３．１８５． Ｂ ２ ＝３．１ｍＴ。
３．１８６． Ｆ＝０．０５μＮ。
３．１８７． Ｆ＝１．５μＮ、Ａ＝０．２７μＪ。
３．１８８． Ｉ 最大 ＝０．０９ｍＡ。
３．１８９． ΔＰ＝０．３９ｍＮ。
３．１９０． Ｂ＝１．８ｋＴ。
３．１９１． ｊ（ｒ）＝（３α／２π）ｒｅ ｚ 。
３ ． １ ９ ２ ． Ｈ ＝ （ Ｕ ｍ ｒ ） ／ ２ ｄ ）（ σ ２ ＋ （ ε ε ０ ω ） ２ ） １ ／ ２ ｃ ｏ ｓ （ ω ｔ ＋ ａ ｔ ａ ｎ （ ε ε ０ω／σ））。
３．１９３．
３．１９４． Ｂはμ倍増大、Ｈは不変。
３．１９５． ＜Ｈ １ ＞＝Ｉ／ｌ。
３．１９６． Ｂ＝Ｂ ０ ，Ｈ＝Ｈ ０ ／μ。
３．１９７． Φ Ｂ ＝０、Φ Ｈ ＝（ＳＢ ０ ／μ ０）（１／μ ２ －１／μ １ ）。
３．１９８． （ａ）∇Ｈ＝－（Ｂ ０ ／μ ０ ）（ｋ／（μ １ ＋ｋｘ） ２ ）、ここで、ｋ＝（μ ２ －μ １ ）／ａ、（ｂ）Φ Ｈ ＝（ＳＢ ０ ／μ ０ ）（１－２／（μ １ ＋μ ２））。
３．１９９． （ａ）Ｈ＝（３／（２＋μ））Ｈ ０ ，Ｂ＝（３μ／（２＋μ））Ｂ ０、（ｂ）Ｂ＝３Ｂ ０ 。
３．２００． Φ Ｂ ＝０、Φ Ｈ ＝（ＳＢ／μ ０）（１－１／μ）。
３．２０１． μ＝３８０。
３．２０２． Ｈ＝６５Ａ／ｍのとき、μ 最大 ＝９８００。
３．２０３． （ａ）μ＝３０００，（ｂ）Φ＝０．７ｍＷｂ，（ｃ）Ｗ １ ＝０．１Ｊ、Ｗ ２ ＝０．７
Ｊ、Ｗ＝０．８Ｊ。
３．２０４． （ａ）と（ｂ）は反時計回り、（ｂ）と（ｄ）は時計回り。
３．２０５． （ａ）反時計回り、（ｂ）ｑ＝Ｂπａ ２ ／Ｒ。
３．２０６． Ｆ＝Ｑ／ｖ。
３．２０７． Ｕ＝５．３ｍＶ。
３．２０８． （ａ）Ｕ＝２．０ｎＶ、（ｂ）Ｕ＝－３３ｍＶ。
- 154 -

３．２０９． Ｈ＝４００ｋＡ／ｍ。
３．２１０． Ｌ＝１．３ｍＨ。
３．２１１． Ｌ＝１８μＨ。
３．２１２． Ｌ １ ＝１．４μＨ／ｍ。
３．２１３． Ｃ １ ＝１００ｐＦ／ｍ、Ｌ １ ＝０．２６μＨ／ｍ。
３．２１４． Ｌ＝０．２Ｈ。
３．２１５． Ｌ １２ ＝５．０ｎＨ。
３．２１６． Ｌ １２ ＝μμ ０ ｎＮＳ。
３．２１７． Ｌ １２ ＝（１／２π）μμ ０ Ｎａｌｎ（ｒ ２ ／ｒ １）。
３．２１８． Ｉ＝Ｂｖｓｉｎα／Ｒ １ （１＋ｓｉｎα）＝一定、反時計回り。
３ ． ２ １ ９ ． （ ａ ） Ｉ ＝ μ ０ ｖ Ｉ ０ ｌ ｎ （ ｂ ／ ａ ） ／ ２ π Ｒ 、 反 時 計 回 り 、（ ｂ ） Ｆ ＝ （ μ ０ Ｉ ０ ｌｎ（ｂ／ａ）／２π） ２ ｖ／Ｒ、ｘ＝（ｂ－ａ）／ｌｎ（ｂ／ａ）、（ｃ）Ｐ＝ＲＩ ２ 。
３．２２０． ｖ＝ｍｇＲ（ｓｉｎα－ｋｃｏｓα）／Ｂ ２ ｌ ２ 。
３．２２１． ｗ＝ｍｇ（ｓｉｎα－ｋｃｏｓα）／（ｍ＋ＣＢ ２ ｌ ２ ）＝一定。
３ ． ２ ２ ２ ． Ｂ ＜ Ｂ ０ （ Ｂ ０ ２ ＝ ８ Ｒ （ ｍ ｇ ａ （ Ｉ ０ ＋ ｍ ａ ２ ）） １ ／ ２ ／ ｂ ４ ） の 時 、 α ＝ （ α ０ ／ ｃ ｏｓγ）ｅ －β ｔ ｃｏｓ（ωｔ＋γ）、ここで、β＝Ｂ ２ ｂ ４ ／８Ｒ（Ｉ ０ ＋ｍａ ２ ）、ω＝（ｍｇａ／（Ｉ ０＋ ｍ ａ ２ ）） － Ｂ ４ ｂ ８ ／ ６ ４ Ｒ ２ （ Ｉ ０ ＋ ｍ ａ ２ ） ２ ） １ ／ ２ 、 γ ＝ ａ ｔ ａ ｎ （ － β ／ ω）、 Ｂ ＞ Ｂ ０ の 時 、平衡位置への非周期回帰。
３．２２３． α＝α ０ ｃｏｓωｔ、ここで、ω＝（４ｍｇａ／（４（Ｉ ０ ＋ｍａ ２ ）＋ＣＢ ２ ｂ ４ ））１／２。
３．２２４． （ａ）Ｉ＝（ｍｇ／Ｂｂ）ｃｏｓωｔ、（ｂ）Ｅ＝（１／２）Ｂｂ ２ ω＋（ｍｇＲ）
Ｂｂ）ｃｏｓωｔ。
３．２２５． τ＝（Ｌ／Ｒ）ｌｎ（ｉ ０ ／（ｉ ０ －ｉ））、（ａ）τ＝０．５８ｓ、（ｂ）τ＝１．１
６ｓ。
３．２２６． Ｑ＝６．０μＪ。
３．２２７． Ｗ＝０．７Ｊ。
３．２２８． ｑ＝２．４ｍＣ。
３．２２９． （ａ）ｖ＝５．９×１０ ６ ｍ／ｓ、（ｂ）ｖ＝１６４０ｍ／ｓ。
３．２３０． ｖ 古典 ＝１．８８×１０ ８ ｍ／ｓ、ｖ 相 対 ＝１．６４×１０ ８ ｍ／ｓ＝０．８７２ｖ 古典 。
３．２３１． （ａ）放物線に沿って、（ｂ）Ｒ＝ｍ ｅ ｖ ０ ２ ｓｉｎ ２ α／ｅＥ、（ｃ）Δｐ＝－ｅＥτ、（ｄ）Ｍ＝（１／２）ｔ ２ ｅＥｖ ０ ｓｉｎα。
３．２３２． ｅ’＝８．０×１０ －１９ Ｃ＝５ｅ。
３．２３３． Ｆ＝１．８×１０ －１４ Ｎ。
３ ． ２ ３ ４ ． （ ａ ） ｒ ＝ ７ ． ３ ｃ ｍ 、（ ｂ ） ｐ ｍ ＝ ４ ． １ × １ ０ － １ ４ Ｊ ／ Ｔ、（ ｃ ） ｐ ｍ ／ Ｍ ＝ ２ ．
４１×１０ ７ Ｃ／ｋｇ。
３．２３５． ｖ＝４．５×１０ ７ ｍ／ｓ。
３．２３６． ｌ＝２１ｍｍ。
３．２３７． （ａ）ｘ＝ｖ ０ ｔ－ａｓｉｎωｔ、ｙ＝ａ（１－ｃｏｓωｔ）、ｚ＝０、ここで、ｖ
２０＝ Ｅ ／ Ｂ 、 ａ ＝ ｍ Ｅ ／ ｅ ’ Ｂ ， ω ＝ （ ｅ ’ ／ ｍ ）） Ｂ 、 図 １ ５ 参 照、（ ｂ ） ｖ ＝ ｖ ０ （ ２ － ２ ｃ ｏ
１／２
ｓωｔ）
。

３．２３８．

－ｅ／ｍ ｅ ＝－１．８×１０ １１ Ｃ／ｋｇ。
- 155 -

３．２３９． Ａ ｒ ＝ｅｌＢＢ’Ｎ Ａ ／２Ｅ，Ａ ｒ１ ＝４．０、Ａ ｒ２ ＝３．０。
３ ． ２ ４ ０ ． （ ａ ） Ｗ ＝ １ ７ Ｍ ｅ Ｖ 、 ｖ ＝ ５ ． ８ × １ ０ ７ ｍ ／ ｓ 、（ ｂ ） τ ＝ ４ ． ７ μ ｓ 、（ ｃ ）ｓ＝１９８ｍ。
３．２４１． （ａ）ｓ＝１７００ｋｍ、（ｂ）ｖ＝０．９９９９５ｃ。
３．２４２． Ｉ ｍ ＝Ｕ ０ （Ｃ／Ｌ） １／２ 。
３．２４３． Ｅ ｍ ＝１５．１ｍＶ、Ｅ＝１０．７ｍＶ。
３ ． ２ ４ ４ ． （ ａ ） Ｉ ＝ ７ １ ｍ Ａ 、（ ｂ ） φ ＝ － ６ ３ ° 、（ ｃ ） Ｕ Ｒ ＝ ５ ７ Ｖ 、 Ｕ Ｌ ＝ ２ ８ Ｖ 、 Ｕ Ｃ＝１４２Ｖ、（ｄ）Ｐ＝４．０Ｗ。
３．２４５． （ａ）Ｑ＝２．４ｋＷ、（ｂ）２倍に増大。
３．２４６． Ｕ １ ＝１．０ｋＶ、Ｉ＝１０Ａ。
３．２４７． （ａ）ω＝３．１４×１０ ４ ／ｓ、（ｂ）Ｉ １ ＝２２ｍＡ、Ｉ ２ ＝７．０Ａ、Ｉ ３ ＝７．
０Ａ。
３．２４８． １８６ｍから５７０ｍまで。
３．２４９． Ｐ＝０．１５ｍＷ。
３．２５０． Ｐ＝４．２ｍＷ。
３．２５１． （ａ）Ｑ＝５．０、（ｂ）ΔＱ／Ｑ＝０．５％。
３．２５２． （ω ０ －ω）／ω ０ ＝１２％。
３．２５３． （ａ）Ｗ＝Ｗ ０ ｅｘｐ（－ω ０ ｔ／Ｑ）、（ｂ）５０％。
３．２５４． Ｑ＞５．０。
３．２５５． Ｉ １ ／Ｉ ２ ＝（１＋（１．１－１／１．１） ２ （Ｑ ２ ＋０．２５）） １／２ 、（ａ）Ｉ １ ／Ｉ
２ ＝１９，（ｂ）Ｉ １ ／Ｉ ２ ＝２．２。
３ ． ２ ５ ６ ． （ ａ ） Ｕ １ ’ ＝ ５ ｍ Ｖ 、 Ｕ ２ ’ ＝ １ ９ １ ｍ Ｖ 、（ ｂ ） Ｕ １ ’ ＝ ５ ０ ｍ Ｖ 、 Ｕ ２ ’ ＝ １ ９
５ｍＶ。

４．１．
４．２．
４．３． Δｘ＝λ／２。
４．４． 図１６参照。
４．５． δφ＝０．６３ラジアン。
４．６．
４．７． Â＝１０．６ｅｘｐ（ｉπ／３．９）。
４ ． ８ ． ξ ＝ （ ａ ／ ｒ １／２） ｃ ｏｓ（ωｔ－ｋｒ＋α）。
４．９．
４．１０．
４ ． １ １ ． ｖ ＝ （ Ｅ ／ ρ ） １／２＝
３．５ｋｍ／ｓ。
４ ． １ ２ ． （ １ ）（ ａ ） Ａ 点 、 Ｃ
点 、（ ｂ ） Ｂ 点 、 Ｄ 点 、（ ２ ）（ ａ ）ゼロ、（ｂ）最大。
４．１３． 図１７参照。
４．１４． 図１８参照。
４．１５． ｊ＝（ρａ ２ ω ２ ／ｋ）ｓｉｎ ２ （ωｔ－ｋｘ＋α）ｅ ｘ 。
４．１６．
４．１７． Ｗ＝Ｓｊ １ （１－ｅｘｐ（－２γ（ｘ ２ －ｘ １）））ｔ。
４．１８． （ａ）（１／ｒ ２ ）ｅｘｐ（－κｒ）、（ｂ）（１／ｒ）ｅｘｐ（－κｒ）。
４．１９．
- 156 -

４．２０． （１）（ａ）全てでゼロ、（ｂ）１，３，５，７，９でゼロ、（２）全てでゼロ、（３）２，６で、右へ、４，８で左へ、（４）２，６で左へ、４，８で、右へ。。
４．２１． 図１９参照。
４．２２． 図２０参照。

４．２３． ｖ＝２．０ｋｍ／ｓ。
４．２４． （ａ）２倍増大、（ｂ）３倍増大。
４．２５． ａ ｎ ＝（１／ｎω １ ）（８＜Ｅ ｋ ＞／ｍ） １／２ 。
４．２６． Ｆ＝０．３０ｋＮ。
４．２７． Ｆ＝８．４ｋＮ。
４．２８． ２ １／２ 倍減少。
４．２９． ν ｎ ＝２．５（２ｎ－１）ｋＨｚ，ここで、ｎ＝１，２，３，，。
４．３０． ν ｎ ＝８５（２ｎ－１）Ｈｚ，ここで、ｎ＝１，２，３，，。
４．３１． ν＝５ｋＨｚ。
４．３２． （ａ）５０Ｈｚの音，（ｂ）１秒ごとに強弱のある５０Ｈｚの音、（ｃ）聞こえず。
４．３３． Δν＝６Ｈｚ。
４．３４． 窒素の方で、１．３倍大きい。
４．３５． （１）（ａ）３０６ｍ／ｓ、（ｂ）３３１ｍ／ｓ、（ｃ）３５４ｍ／ｓ、（２）０．９２：１：１．０７。
４．３６． ｔ＝３０ｓ。
４．３７． １０００倍。
４．３８． （ａ）８２ｄＢ、（ｂ）６４ｄＢ、（ｃ）４６ｄＢ、（ｄ）２８ｄＢ、（ｅ）１０ｄＢ。
４．３９． （ａ）７４ｄＢ、（ｂ）６８ｄＢ、（ｃ）６４．５ｄＢ、（ｄ）６２ｄＢ、（ｅ）６０ｄ
Ｂ。
４．４０． （ａ）Ｌ ２ ＝５３ｄＢ、ｒ ０ ＝３．０ｋｍ、（ｂ）Ｌ ２ ＝５４ｄＢ、ｒ ０ ＝１００ｋｍ。
４．４１． （Δｐ） ｍ１ ／（Δｐ） ｍ２ ＝１０．
４．４２． （Δｐ） ｍ ＝（２ρｖＩ） １／２ ＝（２Ｉ ０ ・１０ Ｌ／１ ０ ｐ（γＭ／ＲＴ） １／２ ） １ ／２ 、Ｉ ０ ＝
１０ －１２ Ｗ／ｍ ２、（ａ）２．９×１０ －５ Ｐａ、（ｂ）２．９Ｐａ。
４．４３． （ａ）ｖ ｍ ＝０．６３ｍ／ｓ、（ｂ）ａ／λ＝２．９×１０ －４ 、（ｃ）ｖ ｍ ／ｖ＝１．９
×１０ －３ 。
４．４４．
４．４５． ν＝１．０３ｋＨｚ。
４．４６． Δν＝２ν ０ （ｖ／ｕ）＝１７Ｈｚのうなり音。
４．４７． Δν＝２ｕｖｃｏｓ（π／４）／（ｕ ２ －ｖ ２ ｃｏｓ ２ （π／４））＝５０Ｈｚのうなり音。
４．４８． ２番目では７００Ｈｚ、３番目では８００Ｈｚ。
４ ．４ ９ ． （ａ ） 受 信機 Π １ だけ、（ ｂ ） Δν ＝ ５ ０ Ｈｚ 。
４．５０． （ａ）ｋ＝±（ω／ｃ）ｅ ｘ 、ｋ＝±（ω／ｃ）ｅ ｚ 、（ｂ）ｋ＝±（２π／λ）ｅ ｘ 、ｋ＝- 157 -

±（２π／λ）ｅ ｙ 。
４．５１． （ａ）Ｈ ｍ ＝４６ｍＡ／ｍ、（ｂ）ｖ＝１．７×１０ ８ ｍ／ｓ。
４．５２． Ｅ＝Ｅ ｍ ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ＋α）、Ｈ＝Ｈ ｍ ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ＋α＋π）。
４ ． ５ ３ ． （ １ ）（ ａ ） ｘ 腹 ＝ ± ｎ λ ／ ２ 、 ｘ 節 ＝ ± （ ｎ ＋ １ ／ ２ ） λ ／ ２、（ ｂ ） ｘ 腹 ＝ ± （ ｎ ＋１／２）λ／２、ｘ 節 ＝±ｎλ／２、（２）４．５４． Ｓ＝０．３８ｃｏｓ ２ （ωｔ＋α）ｅ ｙ （Ｗ／ｍ ２）。
４．５５． Ｗ＝１．０ｍＪ。
４．５６． （ａ）Ｓ＝（ｒε ０ Ｕ ２ ／２τ ２ ｄ ２ ）ｔ、（ｂ）Ｗ＝ε ０ Ｕ ２ πｒ ２ ／２ｄ＝ｗＶ。
４．５７． 側面で、Ｓ＝（μ ０ ｎ ２ Ｉ ２ ｒ／２τ ２ ）ｔ、端面で、Ｓ＝０、（ｂ）Ｗ＝μ ０ ｎ ２ Ｉπｒ ２
ｌ／２＝ｗＶ。
４．５８． （ａ）Ｅ ｍ ＝１８．８Ｖ／ｍ、（ｂ）＜ｗ＞＝１．５７ｎＪ／ｍ ３ 、（ｃ）Ｉ＝０．４７
Ｗ／ｍ ２ 、（ｄ）＜Ｋ＞＝５．２×１０ －１８ ｅ ｘ （ｋｇ／（ｍ ２ ・ｓ））。
４．５９． ｐ＝＜ｗ＞＝１．５７ｎＰａ。
４．６０． λ＝６００×１０ ４ ｍ、Ｐ＝８．３×１０ －２０ Ｗ。
４．６１． Ｐ＝１１ｎＷ。
４．６２． η＝０．４９３。
４．６３． Ｐ＝２．０×１０ －１８ Ｗ。
４．６４． （ａ）η＝１．３８×１０ － １１ 、（ｂ）τ＝０．０２６ｓ、（ｃ）Ｎ＝０．７３×１０ ９
回転。
４．６５． （ａ）η＝４．１×１０ －１ ８ 、（ｂ）τ＝１．６×１０ ８ ｓ＝５年、（ｃ）Ｎ＝２．５×
１０ １５ 回転。

５．１． （ａ）８．３分、（ｂ）１．３ｓ、（ｃ）４．６ｓ、（ｄ）０．０４ｓ。
５．２． 否。
５．３． （ａ）ｔ＝０．５０×１０ －１０ ｓ、（ｂ）＜ｖ＞＝０．６７ｓ。
５．４． λ＝３２．６ｃｍ。
５．５．
５．６． θ＝ａｔａｎ（ｎ ２ ／ｎ １ ）。
５．７． （ａ）φ＝（ｎ／ｎ ０ －１）θ、（ｂ）。
５．８． （ａ）Φ＝５ジオプトリ、（ｂ）Φ＝－２．５ジオプトリ。
５．９．
５．１０． レンズの中心に。
５．１１．
５．１２． 図２１参照。
５．１３． 図２２参照。
５．１４．
５．１５．
５．１６．
５．１７． 図２３参照
５．１８． Ｅ＝１００ルックス。
５．１９． ０．２１Ｗ。
５．２０． ２１４ルーメン。
５．２１．
５．２２． （ａ）図２４参照、（ｂ）
否。
５．２３． ｐ＝３ＥＡ／２ｃＶ＝１．６ｎＰａ。
５．２４． Ｅ ｍ ＝１３Ｖ／ｍ、Ｈ ｍ ＝０．０５０Ａ／ｍ。
- 158 -

５．２５． Ｉ＝１００．０カンデラ。
５．２６． Ｅ＝１００ルックス。
５．２７． Φ＝（２π／３）Ｅｈ ２ ＝１９０ルーメン。
５．２８． （１）Ｅ＝Ｉｈ／（ｈ ２ ＋ｒ ２ ） ３／２ 、（２）（ａ）５０ルックス、（ｂ）２７ルックス、（３）Φ＝２πＩ（１－ｈ／（ｈ ２ ＋Ｒ ２ ） １／２ ）＝３３ルーメン、（４）η＝０．０５３。
５．２９． Ｉ（θ）＝Ｉ ０ ／ｃｏｓ ２ θ、ここで、Ｉ ０ ＝４２カンデラ、Ｅ＝４２ルックス。
５．３０． Ｍ＝ ０ ∫ ２π ｄφ ０ ∫ ２π Ｌ（θ、φ）ｃｏｓθｓｉｎθｄθ。
５．３１． Φ＝６６ルックス。
５．３２． Ａ＝ａ・Ｎ １／２ 。
５．３３． １０秒周期で強弱を示す。
５．３４． Ｉ＝Ｉ １ ＋Ｉ ２ 。
５．３５． Ａ＝ａ・ｓｉｎ（Ｎδ／２）／ｓｉｎ（δ／２）。
（ｂ）ｌ 可干 ＝０．０１ｍｍ、（ｃ）ρ 可干 ＝０．３ｍｍ、（ｄ）
５．３６． （ａ）ｔ 可干 ＝４×１０ －１４ ｓ、
３Ｖ 可干 ＝０．００３ｍｍ 。
５．３７． ρ 木星 ＝０．３ｍｍ＝５ρ 地球 。
５．３８． ρ 可干 ＝２．５ｍ。
５．３９． Δｘ＝λ／φ。
５．４０． 真空中の波長。
５．４１． （ａ）δΔ＝ｂｄ／ｌ、（ｂ）ｂ 最大 ＝ｌλ／４ｄ。
５．４２． 赤で。
５．４３． ａ＝λ ０ 。
５．４４． 閉じたスリット方向に、１０縞分。
５．４５． （ａ）λ ０ ＝６５０ｎｍ、（ｂ）λ ０ ＝４５０ｎｍ。
５．４６． Δｘ＝０．２５ｍｍ。
５．４７． （ａ）φ＝λ（ｒ＋ｂ）／２ｒΔｘ＝１０’、（ｂ）Ｎ＝５。
５．４８． （ａ）θ＝１４．３’、（ｂ）Ｎ＝７。
５．４９． （ａ）Δｘ＝０．２５ｍｍ、（ｂ）Ｎ＝７。
５．５０． （ａ）ｂ＝（λ ０ ／２π）（ｍ＋１／２）、（ｂ）ｂ＝（λ ０ ／２ｎ）ｍ。
５．５１． （ａ）Ｉ＝１００ルーメン／ｍ ２ 、（ｂ）Ｉ＝８０ルーメン／ｍ ２ 。
５．５２． （ａ）ｎ ２ ＝（ｎ １ ｎ ３ ） １／２ ＝１．３０、（ｂ）是。
５．５３． ａ＝λ ０ ／４ｎ’＝０．１０μｍ。
５．５４．
５．５５．
５．５６．
５．５７．
５．５８． （ａ）赤（λ＝６４０ｎｍ）、（ｂ）緑（λ＝５３８ｎｍ）。
５．５９． （ａ）Δｘ＝１．０ｍｍ、（ｂ）縞は観察されない。
５．６０． ｂ＝１０μｍ。
５．６１． Ｎ＝３０。
５．６２． ｘ＝３ｌ／４。
５．６３． （ａ）Ｒ＝９．１ｍ、（ｂ）Φ＝０．５５ジオプトリ、（ｃ）ｒ ３ ＝３．７ｍｍ。
５．６４． １．２２５倍。
５．６５． （１）、（２）Ｎ＝３４５．
５．６６． ｂ＝１／２（ｍ－１）、（ａ）ｂ＝∞、（ｂ）ｂ＝１２５ｍｍ、（ｃ）ｂ＝５６ｍｍ。
５．６７． （ａ）ｍ 最小 ＝８、（ｂ）ｂ＝１０ｍ、（ｃ）ｒ＜０．７４ｍｍ。
５．６８．
５．６９． ｍ＝ｒ ２ ／ｂλ。
５．７０． λ＝５８×１０ －８ ｍ。
５．７１．
- 159 -

５．７２． Ａ＝（Ａ １ －（－１） Ｎ ρＡ Ｎ ）／（１＋ρ）（Ａ １ －（－１） Ｎ Ａ Ｎ ／２．
５．７３． （ａ）Ｉ＝４Ｉ ０，（ｂ）と（ｃ）Ｉ＝２Ｉ ０ ，（ｄ）Ｉ＝Ｉ ０ 。
５．７４． ４倍減少。
５．７５． （ａ）３７５ｎｍ、（ｂ）８７５ｎｍ、（ｃ）７５０ｎｍ。
５．７６． Φ＝ ０ ∫ ∞ Ｅ（ｒ）・２πｒｄｒ。
５．７７． ｂ＝α ２ ／λ、（ａ）ｂ＝２．５０ｍ、（ｂ）ｂ＝１．７２ｍ、（ｃ）ｂ＝１．３２ｍ。
５．７８． Ｉ＝４Ｉ ０ ／（１－ρ ２ ） ２ ＝４２１Ｉ ０ 。
５．７９． Ｉ＝４Ｉ ０ ／（１－ρ） ２ ＝１６００Ｉ ０ 。
５．８０． ｈ＝０．５８ｐｍ。
５．８１． （１）（ａ）ｍ＝ｍ’＝ａ ２ ／４ｂλ、（ｂ）ｍ＝ａ ２ ／ｂλ、ｍ’＝０、（ｃ）ｍ＝０，
ｍ ’ ＝ ａ ２ ／ ｂ λ 。（ ２ ） ｘ ｍ ＝ （ ｍ ｂ λ ） １ ／ ２ 、（ ３ ） １ ： ０ ． ４ １ ４ ： ０ ． ３ １ ８ ： ０ ． ２ ６ ８ ：０．２３６。
５．８２． （１）（ａ）ｍ＝ｍ’＝５、（ｂ）ｍ＝２０，ｍ’＝０，（ｃ）ｍ＝０，ｍ’＝２０，（２）ｘ １ ＝０．７１ｍｍ、ｘ ２ ＝１．０ｍｍ、ｘ ３ ＝１．２２ｍｍ、ｘ ４ ＝１．４１ｍｍ、ｘ ５ ＝１．５８ｍ
ｍ。
５．８３． （１）ξ軸に平行な曲線に接する点、（２）（ａ）ｖ＝２，（ｂ）ｖ＝－２。
５．８４． （ａ）ｖ＝（２ｍ） １／２、（ｂ）１．４１；２．００；２．４５；２．８３；３．１６。
５．８５． （ａ）
（ａ）Ｉ＝０．２５Ｉ ０、（ｂ）Ｉ＝０．３８Ｉ ０ 、（ｃ）Ｉ＝０．０２５Ｉ ０、（ｄ）
Ｉ＝０．０７Ｉ ０ 、（ｅ）Ｉ＝０．１８Ｉ ０、（ｆ）Ｉ＝０．００４Ｉ ０ 。
５．８６． （ａ）Ｉ 最大 ＝１３７ルーメン／ｍ ２ 、（ｂ）Ｉ 最小 ＝７８ルーメン／ｍ ２ 、（ｃ）Ｉ 最大 ／Ｉ
最小 ＝１．７６、（ｄ）ｘ 最大 ＝０．３ｍｍ、ｘ 最小 ＝０．４５ｍｍ。
５．８７．
５．８８． （ａ）１５３ルックス、（ｂ）８０ルックス。
５．８９．
５．９０． （ａ）Ｅ＝３０ルックス、（ｂ）Ｅ＝９２ルックス。
５．９１．
５．９２． （ａ）ａ＝０．７ｍｍ、（ｂ）ａ／＜Δｘ＞＝０．３。
５．９３． （ａ）フランフォーファー回折、（ｂ）ａ ０ ＝５．０ｍｍ、（ｂ）ａ １２ ＝２．５ｍｍ。
５．９４． フレネル回折。
５．９５． （ａ）否、（ｂ）是。
５．９６．
５．９７．
５．９８．
５．９９．
５．１００．
５．１０１．
５．１０２． （１）（ａ）ｘ＝（２ｋ＋１）／２ｍ、（ｂ）ｘ＝ｋ／ｍ、（２）（ａ）ｘ＝１／２，（ｂ）ｘ＝１／４と３／４、（ｃ）ｘ＝１／６と３／６と５／６、（３）（ａ）、（ｂ）ｘ＝１／２、（ｃ）
ｘ＝１／３と２／３。
５．１０３． ｂ＝１１５０ｎｍ。
５．１０４． Ｄ＝３×１０ ５ ラジアン／ｍ。
５．１０５． Δφ＝２２．０°。
５．１０６． Δφ＝４．８°。
５．１０７． （ａ）できない、（ｂ）できる。
５．１０８． Ｎ＝約１０００本。
５ ． １ ０ ９ ． （ １ ） Ｄ ＝ （ ｍ ／ ｄ）（ １ － （ ｍ λ ／ ｄ ） ２ ） １ ／ ２ 、（ ２）（ ａ ） １ ． ０ ９ × １ ０ － ３ ラ
ジアン／ｎｍ、（ｂ）１．２３×１０ －３ ラジアン／ｎｍ、（ｃ）１．５４×１０ －３ ラジアン／ｎｍ。
５．１１０． （１）Ｄ 線形 ＝ｆｍ／ｄ（１－（ｍλ／ｄ ２ ）） ３／２、（２）（ａ）１．３０ｍｍ／ｎｍ、（ｂ）１．８５ｍｍ／ｎｍ、（ｃ）３．６４ｍｍ／ｎｍ。
- 160 -

５．１１１． （１）Δｘ＝７３３ｍｍ、（２）（ａ）Ｄ 線形 ＝１ｍｍ／ｎｍ、（ｂ）Ｒ＝１０ ５ 。
５ ． １ １ ２ ． （ １ ） δ φ ／ δ ｍ ＝ （ λ ／ ｄ ） ／ （ １ － （ ｍ λ ／ ｄ ） ２ ） １ ／ ２ 、（ ２ ） 正 確 値 （ ａ ）１９．４°、（ｂ）２７．３°、公式値（ａ）１９．２°、（ｂ）２５．９°。
５．１１３．
５ ． １ １ ４ ． （ １ ） ｄ （ ｓ ｉ ｎ φ － ｓ ｉ ｎ φ ０ ） ＝ ± ｍ λ、（ ２）（ ａ ） φ ＝ φ ０ ＝ ２ ０ ° 、（ ｂ ）φ ＋ ＝３５．６°、５５．３°；φ － ＝５．９°、－７．９°、－２２．２°、－３８．２°、－５
９．１°、（ｃ）ｍ ＋ ＝２，ｍ － ＝５，（３）５．１１５． （１）ｄ（ｓｉｎθ ０ －ｃｏｓθ）＝±ｍλ、（２）（ａ）２．０７°、（ｂ）２．７
５°、（ｃ）４．１７°。
５．１１６． （１）Ｄ＝｜ｍ｜／（１－（ｓｉｎφ ０ ＋ｍλ／ｄ） ２ ） １／２ 、ここで、－（ｄ／λ）（ １ ＋ ｓ ｉ ｎ φ ０ ） ＜ ｍ ＜ （ ｄ ／ λ ）（ １ － ｓ ｉ ｎφ ０ ）、（ ２）（ ａ） １ ． ６’ ／ ｎ ｍ、（ｂ ） ２ ． ２’／ｎｍ、（ｃ）１０’／ｎｍ、（ｄ）４３’／ｎｍ。
５．１１７． 是。
５．１１８． ａ 最小 ＝７．０ｋｍ。
５．１１９． ｌ＝１．１ｍ。
５．１２０． ｄ＝０．２８２ｎｍ。
５．１２１． λ＝０．０５８８ｎｍ。
５．１２２． Ｒ＝ｌ・ｔａｎ（２ａｓｉｎ（ｍλ／ａ））、Ｒ １ ＝１１．９ｍｍ、Ｒ ２ ＝２４．２ｍ
ｍ。
５．１２３．
５．１２４． （ａ）Ｐ＝０．５０，（ｂ）Ｐ＝０．９１。
５．１２５． Ｉ＝６６ルーメン／ｍ ２ 。
５．１２６．
５．１２７．
５．１２８． 否。
５ ．１ ２ ９ ． Ｅ ｙ ＝ Ｅ ０ ｃ ｏ ｓ αｅ ｙ ｃｏ ｓ （ ωｔ － ｋ ｘ）、Ｅ ｚ ＝ Ｅ ０ ｓ ｉ ｎ α ｅ ｚ ｃｏ ｓ （ ω ｔ－ ｋｘ）。
５．１３０． Ｅ’ｙ ＝Ｅ ０ ｃｏｓαｅ ｙ ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ＋δ １）、Ｅ’ｚ ＝Ｅ ０ ｓｉｎαｅ ｚ ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ＋δ ２）、δ １ ≠δ ２ 。
５．１３１．
５．１３２．
５．１３３． Ｉ＝Ｉ ０ ／２。
５．１３４．
５．１３５． （ａ）Ｉ 平行 ＝Ｉ 自然 ／８、（ｂ）Ｉ 垂直 ＝３Ｉ 自然 ／８。
５．１３６． （ａ）全ての点で、平面偏向波、（ｂ）Ｉ Ａ ＝Ｉ Ｂ ＝Ｉ 自然 ／２、（ｃ）Ｉ Ｃ ＝０，Ｉ Ｃ ＝
Ｉ 自然 ／２、（ｄ）Ｉ Ｃ ＝（Ｉ 自然 ／２）ｃｏｓ ２ （α １ ＋α ２）。
５．１３７． Ｂ点で、楕円偏向波、α １ ＝０，またはπ／２の時、平面偏向波；Ｃ点で、平面偏向
波、（ｂ）Ｉ Ｂ ＝Ｉ 自然 ／２、（ｃ）否、（ｄ）是、α １ ＝α ２ ＝０，π／２の時。
５．１３８． Ｐ＝０．８０。
５．１３９． （ａ）Ｐ 平行 ＝２Ｐ １ ／（１＋Ｐ １ ２ ）＝０．９７６、（ｂ）Ｐ 垂直 ＝０。
５．１４０． η＝０．０４８．
５．１４１． （ａ）Ｐ １ ＝０．９０、（ｂ）Ｐ 平行 ＝０．９９４．
５．１４２．
５．１４３．
５．１４４． Δｘ＝２．０ｍｍ。
５．１４５． （ａ）Ｅ 最小 ＝１．５１×１０ ６ Ｖ／ｍ、（ｂ）３回明るく、３回暗く。
５．１４６． （ａ）５００倍、（ｂ）否。
５．１４７． （ａ）赤、（ｂ）橙、（ｃ）黄、（ｄ）緑。
５．１４８． （ａ）α＝２１°／ｍｍ、（ｂ）Ｉ（ｘ）＝Ｉ ｍ ｃｏｓ ２ （πｘ／Δｘ）。
- 161 -

５．１４９． 高速度がｖである媒質中の波長。
５．１５０． （１）（ａ）ｕ＝ｖ／（１－ｑ）、（ｂ）ｕ＝（１－ｐ）ｖ、（２）（ａ）ｕ＝ｖ／２、（ｂ）ｕ＝２ｖ。
５．１５１． （１）ａ＝１．５０２，ｂ＝４５６０ｎｍ ２ 。
５．１５２． （ａ）ｕ＝ｃλ ０ ２ ／（ａλ ０ ２ ＋３ｂ）、（ｂ）
λ ０ （ｎｍ） ７５９．０
５８９．３
４８６．０
３９７．０
ｕ／ｃ
０．６５５
０．６４９
０．６４１
０．６２９
ｖ／ｃ
０．６６２
０．６６０
０．６５８
０．６５３
ｕ／ｖ
０．９９０
０．９８３
０．９７５
０．９６４
－１９
－３
５．１５３． （ａ）ａ＝４．９×１０
ｍ 、 ｖ ｍ ＝ １ ． ５ ３ × １ ０ ｍ ／ ｓ、（ ｂ ） Ｆ Ｂ ｍ ／ Ｆ Ｅ ｍ－１１＝ｖ ｍ ／２ｃ＝０．２６×１０。
５．１５４． ε（ω）＝１－ｎｅ ２ ／（ε ０ ｍ ｅ ω ２）。
５．１５５． ８倍。
５．１５６． （ａ）０．５０％、（ｂ）１．０％、（ｃ）６３％、（ｄ）９９．０％。
５．１５７． ９．５％。
５．１５８． （ａ）８３．４ルーメン／ｍ ２ 、（ｂ）８３．５ルーメン／ｍ ２ 。
５．１５９． （ａ）９２．２ルーメン／ｍ ２ 、（ｂ）９２．３ルーメン／ｍ ２ 。
５．１６０． （１）（ａ）０．４９％、（ｂ）８．３３％、（２）１７倍、（３）８．７８％。
５．１６１． κ＝ｌｎ（τ １ ／τ ２ ）／（ａ ２ －ａ １）。
５．１６２． κ＝１．３７／ｍ。
５．１６３． ４倍。
５．１６４． ΔＮ＝０．１０。
５．１６５． ｖ＝１０００ｋｍ／時。
５．１６６． Ｔ＝２５昼夜。
５．１６７． Δω／ω＝±（１／ｃ）（８ｋＴ／πｍ） １／２ ；（ａ）では＋、（ｂ）では－。
５．１６８． （ａ）δω Ｄ ／ω＝２＜ｖ＞／ｃ、（ｂ）δλ Ｄ ＝０．０２０ｎｍ。
５．１６９．Ｔ＝１０００Ｋ。
５．１７０． ｖ＝１．５×１０ ６ ｍ／ｓ。
５．１７１． ｖ＝０．２６ｃ＝７８０００ｋｍ／ｓ。

６．１． ｒ（ω、Ｔ）＝０。
６．２． Φ＝Φ 入射 。
６．３． （ａ）０．９７ｍｍ、（ｂ）９７００ｎｍ、（ｃ）９７０ｎｍ、（ｄ）５８０ｎｍ。
６．４． ２倍減少。
６．５． λ 最大 ＝２．０μｍ。
６．６． ＜ε＞＝ℏω／（ｅｘｐ（ℏω／ｋＴ）－１）。
６ ． ７ ． （ ａ ） ＜ ε ＞ 量 子 ＝ ０ ． ５ ８ ２ ｋ Ｔ ＝ ０ ． ５ ８ ２ ＜ ε ＞ 古 典 、（ ｂ ） ＜ ε ＞ 量 子 ＝ ０ ． ９ ５ ０
ｋＴ＝０．９５０＜ε＞ 古典 、（ｃ）＜ε＞ 量子 ＝０．０００４５４ｋＴ＝０．０００４５４＜ε＞ 古典 。
６．８． （ａ）＜ε＞＝０．２５７ｅＶ＝０．９９３ｋＴ、（ｂ）＜ε＞＝０．２４７ｅＶ＝０．
９５４ｋＴ、（ｃ）＜ε＞＝０．１５４ｅＶ＝０．６００ｋＴ、（ｄ）＜ε＞＝０．０１７８ｅＶ＝０．０００６８７ｋＴ。
６ ． ９ ． （ ａ ） ω ｍ ＝ ２ ． ８ ２ １ （ ｋ ／ ℏ ） Ｔ ＝ ３ ． ７ １ × １ ０ １ １ Ｔ 、（ ｂ ） λ ｍ ω ｍ ＝ １ ． ０ ８ ×
１０ ９ ｍ／ｓ＝０．５７×２πｃ。
６ ． １ ０ ． （ ａ ） Ｔ ＝ ５ ８ ０ ０ Ｋ 、（ ｂ ） Ｅ ＝ ３ ． ９ × １ ０ ２ ６ Ｗ、（ ｃ ） ｍ ＝ ４ ． ３ × １ ０ ９ ｋ ｇ／ｓ、（ｄ）τ＝１０ １１ 年。
６．１１． Ｉ＝σＴ ４ （ｒ／Ｒ） ２ ＝１．３７ｋＷ／ｍ ２ 。
６ ． １ ２ ． （ ａ ） Ｅ ＝ （ Ｉ 可 視 ／ （ Ａ （ λ ２ － λ １ ））） λ １ ∫ λ ２ Ｖ （ λ ） ｄ λ ＝ １ ． １ × １ ０ ５ ル ッ クス（正確値 １．３６×１０ ５ ルックス）、（ｂ）Ｉ＝ＥＲ ２ ＝２．５×１０ ２７ カンデラ（正確値 ３．
- 162 -

０×１０ ２７ カンデラ）。
６．１３． Ｌ＝Ｔ ４ 。
６．１４． Ｌ＝σＴ ４ ／π＝０．１５ｋＷ・ｍ ２ ／ステラジアン。
６．１５． Φ＝σＴ ４ πｄ ２ ｒ ２ ｃｏｓθ／４ｌ ２ ＝０．２９ｍＷ。
６．１６． Ｔ＝Ｔ 太陽 （ｒ／Ｒ） １／２ ＝３９５Ｋ。
６．１７． １．６ｅＶから３．１ｅＶまで。
６．１８． Ｎ＝ＡＥλ／２πℏｃ＝４．５×１０ １３ 光子／（ｃｍ ２ ・ｓ）。
６．１９． （ａ）ε＝２．２３ｅＶ＝４．４×１０ －６ ｍ ｅ ｃ ２ 、ｐ＝１．２×１０ －２７ ｋｇ・ｍ／ｓ＝ １ ． ３ ｍ ｅ ｖ 、（ ｂ ） ε ＝ １ ２ ． ３ ｋ ｅ Ｖ ＝ ２ ． ４ × １ ０ － ２ ｍ ｅ ｃ ２ 、 ｐ ＝ ０ ． ６ ６ × １ ０ － ２ ３ ｋ ｇ
・ｍ／ｓ＝０．７×１０ ４ ｍ ｅ ｖ、（ｃ）ε＝１．２３ｅＶ＝２．４ｍ ｅ ｃ ２ 、ｐ＝０．６６×１０ －２１
ｋｇ・ｍ／ｓ＝０．７×１０ ６ ｍ ｅ ｖ。
６．２０． ｖ＝０．９２ｃ。
６．２１． （ａ）と（ｂ）で、Ｆ＝πｒ ２ Ｉ／ｃ＝１．４３ｎＮ。
６．２２． （ａ）φ（ω）＝α／ω、ここで、α＝０．４０Ｉ／ℏ（ω ２ －ω １ ）＝２．３×１０ ２
１
光子／（ｍ ２ ・ｓ）、（ｂ）ｊ 光子 ＝αｌｎ（ω ２ ／ω １ ）＝１．５×１０ ２１ 光子／（ｍ ２ ・ｓ）。
６．２３． λ 最小 ＝２πℏｃ／ｅＵ＝０．０２５ｎｍ。
６．２４． Ｕ＝２πℏｃ（１－１／η）／（ｅΔλ）＝２５ｋＶ。
６．２５． （ａ）ℏ＝１．０４×１０ －３４ Ｊ・ｓ、（ｂ）Ａ＝１．８ｅＶ。
６．２６． λ ０ ＝２πℏｃ／Ａ＝２５６ｎｍ。
６．２７． （ａ）Ａ＝２πℏｃ／λ ０ ＝３．７４ｅＶ、（ｂ）λ＝λ ０ ／（１＋ｅＵλ ０ ／２πℏｃ））＝２６２ｎｍ。
６．２８． φ＝（２πℏｃ／λ－Ａ）／ｅ＝２．５Ｖ。
６．２９． Ｉ 飽和 ＝０．０４０ＥＳＪｅλ／２πℏｃ＝７μＡ。
６ ． ３ ０ ． （ ａ ） Δ Ｅ ／ Ｅ ＝ λ Ｃ ／ （ λ ＋ λ Ｃ ） ＝ ０ ． ３ ４ ７ × １ ０ － ５ 、（ ｂ ） ｖ ＝ ２ π ℏ２ １ ／ ２ ／λｍ ｅ ＝１．４７ｋｍ／ｓ。
６．３１． （ａ）ΔＥ／Ｅ＝０．０２４，（ｂ）ｖ＝１．０３×１０ ７ ｍ／ｓ＝０．０３４ｃ。
６ ． ３ ２ ． （ ａ ） Ｅ ｋ ＝ ε α ｓ ｉ ｎ ２ （ θ ／ ２ ） ／ （ １ ＋ α ｓ ｉ ｎ ２ （ θ ／ ２ ））、 こ こ で 、 α ＝ ２ε／ｍｃ ２、（ｂ）Ｅ ｋ ＝（ε ２ ／ｍｃ ２）（１－ｃｏｓθ）。
６．３３． （ａ）Ｅ ｋ ＝（ε ２ ／ｍ ｐ ｃ ２ ）（１－ｃｏｓθ）＝１．０７ｋｅＶ、（ｂ）ｖ＝ｃ（２Ｅ２１／２
ｋ ／ｍ ｐ ｃ ）＝４．５×１０ ５ ｍ／ｓ。
６．３４． δφ＝２πℏ（１－ｃｏｓθ）ｔａｎφ／ｍ ｅ ｃλ＝１．１°。
６．３５． λ Ｃ ＝ℏ／ｍｃ。
６．３６． ｒ 最小 ＝１．２×１０ －１４ ｍ。
６．３７． ｂ＝３．３×１０ －１４ ｍ。
６．３８． ｄＮ／Ｎ＝ｎａ（（１／４πε ０）（Ｚｅ ２ ／（２ｍ ｐ ｖ ２ ））） ２（１／ｓｉｎ ４（θ／２））ｄΩ。
６．３９． （ａ）１００，（ｂ）７．２，（ｃ）１．８，（ｄ）０．８，（ｅ）０．５。
６．４０． Ｐ＝πρＮ Ａ ａ（Ｚｅ ２ ／４πε ０ Ｅ Ｋ ） ２ ／Ｍ＝１．４×１０ －４ 。
６．４１． Ｐ ｐ ＝４Ｐα。
６．４２．
６．４３． ｖ １ ＝２．２×１０ ６ ｍ／ｓ。
６ ． ４ ４ ． （ ａ ） ｒ １ ＝ ２ ． ５ ６ × １ ０ － １ ３ ｍ 、（ ｂ ） Ｅ 結 合 ＝ ２ ． ８ ２ ｋ ｅ Ｖ、（ ｃ ） ｖ １ ＝ ２ ． ２
×１０ ６ ｍ／ｓ、（ｄ）ｖ １ τ／２πｒ １ ＝３．０×１０ １２ 回転。
６ ． ４ ５ ． （ ａ ） Ｅ 結 合 ＝ １ ３ ． ５ ９ ｅ Ｖ 、（ ｂ ） δ ＝ － １ ／ （ １ ＋ ｍ ｐ ／ ｍ ｅ ） ＝ － ０ ． ０ ０ ０ ５
４。
６．４６． δ＝－０．１０１。
６．４７． ｒ ０ ＝ℏ ２ ／ｍ ｅ ｅ ２ 。
６．４８． ｍ ｅ ｅ ４ ／ℏ ２ ＝－２Ｅ １ 。
６．４９． μ １ ＝ｅℏ／２ｍ ｅ ＝０．９２７×１０ －２３ Ｊ／Ｔ＝μ ボーア 。
- 163 -

６．５０． μ １ ’＝（１／２０７）μ １ 。
６．５１． μ ｎ ／Ｍ ｎ ＝ｅ／２ｍ ｅ 。
６．５２． （ａ）ｒ ｎ ＝（ｎℏ／ωｍ） １／２ 、（ｂ）Ｅ ｎ ＝ｎℏω。
６．５３． （ａ）ω ｍ ＝Ｒ（２ｍ＋１）／ｍ ２ （ｍ＋１） ２ 、（ｂ）ω １ ：ω ２ ：ω ３ ：ω ４ ＝５．４：
１：０．３５：０．１６。
６．５４． Ｒ＝ｅφ ｉ ／ℏ＝２．０７×１０ １６ ／ｓ。
６．５５． φ １ ＝３Ｅ ｉ ／４ｅ＝１０．２Ｖ。
６．５６． ε＝５ｅφ １ ／２７＝１．９ｅＶ。
６．５７． ε＝３Ｅ ｉ ／１６＝２．６ｅＶ。
６．５８． （ａ）λ １ ＝１２２ｎｍ、λ ∞ ＝９１ｎｍ、（ｂ）λ １ ＝６５７ｎｍ、λ ∞ ＝３６５ｎｍ、（ｃ）λ １ ＝１８７６ｎｍ、λ ∞ ＝８２１ｎｍ。
６．５９． Ｒ＝２．０６８×１０ １６ ／ｓ。
６．６０． （ａ）λ α ＝６００ｎｍ、（ｂ）λ ∞ ＝３７０ｎｍ。
６．６１． ４本。
６．６２． ６５７ｎｍと１２２ｎｍ。
６．６３． ｖ＝７．０×１０ ５ ｍ／ｓ。
６．６４． φ ｉ ＝３．８Ｖ。
６．６５． φ ｉ ＝２πℏｃ／λ ∞ ＝５．０Ｖ。
６．６６． Ｅ ｉ ＝５．０ｅＶ。
６．６７． φ ｉ ＝５．１Ｖ。
６．６８． （１）５Ｓ→４Ｐ→４Ｓ→３Ｐ→３Ｓ、（２）５Ｓ→４Ｐ→３Ｄ→３Ｐ→３Ｓ、（３）５Ｓ→４Ｐ→３Ｓ、（４）５Ｓ→３Ｐ→３Ｓ。
６．６９． Δω＝２πｃ（λ ２ －λ １ ）／λ ２ λ １ ＝３．２×１０ １２ ／ｓ。
６．７０． ΔＥ＝ℏΔω＝２．１ＭｅＶ。
６．７１． Δω＝Ｒ（１／４ ２ －１／５ ２ ）＝４．６５×１０ １４ ／ｓ。
６．７２． ｓ＝－０．４１，ｐ＝－０．０４。
６．７３． λ １ ＝８２０ｎｍ、λ ２ ＝６８０ｎｍ。
６．７４． ｓ＝－４．１３。
６．７５． （ａ）ｖ＝３ℏＲ／４ｍ Ｈ ｃ＝３．２５ｍ／ｓ、（ｂ）ｖ＝０．６０ｍ／ｓ。
６ ． ７ ６ ． Ｅ ＝ ２ （ π ℏ／ λ ） ２ ／ （ ｍ Ｎ ａ ） ＝ １ ． ６ ６ × １ ０ － ２ ９ Ｊ ＝ ０ ． ４９ × １ ０ － １ ０ ℏω 、 ｖ＝２πℏ／ｍ Ｎａ λ＝２．９５ｃｍ／ｓ。
６．７７． ｖ＝０．７９ｃｍ／ｓ。
６ ． ７ ８ ． （ ａ ） Δ λ ＝ π ℏ／ ｍ Ｎ ａ ｃ ＝ ２ ． ９ × １ ０ － １ ７ ｍ。（ ｂ ） 放 射 光 子 の エ ネ ル ギ ー に 依 存しない。
６．７９． ｖ＝ℏω・２ １／２ ／ｍ Ｌｉ ｃ＝０．１２ｍ／ｓ。
６．８０． ｖ＝（ε ２ ＋２ｍ ｅ ｃ ２ （ε－ｅφ ｉ ）） １ ／２ ／ｍ Ｌｉ ｃ＝１４．３ｍ／ｓ光子が飛んできた方向に対して、角度α＝ａｔａｎ（（２ｍ ｅ ｃ ２（ε－ｅφ ｉ））１／２ ／ε）＝８９．０°をなす方向へ。
６．８１． （ａ）Ｃ＝１．２５３×１０ ８ ｃ － １／ ２ ＝１．００６（３Ｒ／４） １／２ 、σ＝１．１２、（ｂ）Ｚ＝σ＋（２πｃ／λ） １／２ ／Ｃ＝２６、鉄。
６．８２． Ｃ＝１．３３６×１０ ８ ｃ －１／２ ＝１．０７（３Ｒ／４） １／２ 、σ＝３．７。
６．８３． （ａ）Ｃ＝５．３９８×１０ ７ ｃ － １／ ２ ＝１．００７（５Ｒ／３６） １／２ 、σ＝７．８，（ｂ）Ｚ＝７８，白金。
６．８４． Ｃ＝５．０９８×１０ －７ ｃ －１／２ ＝０．９５（５Ｒ／３６） １／２ ，σ＝５．７。
６．８５． 銀、（４６／２８） ２ ＝２．７倍。
６．８６． （ａ）Ｎ＝２２，（ｂ）ΔＥ ｅ ／ΔＥ ｖ ＝２２。
６．８７． （ａ）Ｎ＝３２，（ｂ）ΔＥ ｖ ／ΔＥ ｒ ＝５５３。
６．８８． ｒ ０ ＝０．１１８ｎｍ。
６．８９． ω ｒ ＝（ℏ／Ｉ）（Ｊ（Ｊ＋１）） １／２ ＝ω（（Ｊ＋１）／Ｊ） １／２ 。
６．９０． ω ｒ ＝５．８×１０ １２ ラジアン／ｓ。
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６．９１． Ｎ ｉ＋１ ／Ｎ ｉ ＝ｅｘｐ（－ℏω／ｋＴ）＝１／１７１６。
６．９２． （ａ）λ＝２πℏ（１－ｖ ２ ｃ ２ ） １／２ ／（ｍｖ）、（ｂ）λ＝２π／（２ｍＥ Ｋ （１＋Ｅ Ｋ／（２ｍｃ ２ ））） １／２ 。
６．９３． ｖ＝ｃ／２ １／２ ＝０．７０７ｃ。
６ ． ９ ４ ． （ ａ ） ｖ ＝ １ ． ４ ６ × １ ０ ３ ｍ ／ ｓ 、（ ｂ ） ｖ ＝ ０ ． ７ ３ × １ ０ ７ ｍ ／ ｓ ＝ ０ ． ０ ２ ４
ｃ。
６．９５． （ａ）Δｘ＝０．５ｃｍ、（ｂ）Δｘ＝１０ －１４ ｃｍ、（ｃ）Δｘ＝１０ －２７ ｃｍ。
６．９６． Δｘ＝４πℏｌ／ｂｍ ｅ ｖ＝１．５ｍｍ＝１５０ｂ。
６ ． ９ ７ ． ｒ ＝ ｌ ・ ｔ ａ ｎ （ ２ ａ ｓ ｉ ｎ （ ｋ π ℏ ／ ｍ ｅ ｖ ｄ））、 こ こ で ｋ は 輪 の 番 号 、 ｒ １ ＝ ３ ５ｍｍ、ｒ ２ ＝８３ｍｍ。
６．９８． Ｅ １ ＝ℏ ２ ／ｍａ ２ 。
６．９９． Ｅ ０ ＝ℏω。
６．１００． ｖ＝ℏ／ｍ ｅ ｒ＝１０ ６ ｍ／ｓ。
６．１０１． Ｐ＝ ｖ ∫｜Ψ（ｘ、ｙ、ｚ）｜ ２ ｄＶ。
６．１０２． Ψ ｎ ＝（２／ａ） １／２ ｓｉｎ（ｎπｘ／ａ）、Ｅ ｎ ＝（π ２ ℏ ２ ／２ｍａ ２ ）ｎ ２ 。
６．１０３． Ｐ＝０．５。
６．１０４． （ａ）ｄｎ／ｄＥ＝（ａ／πℏ）（ｍ ｅ ／２Ｅ） １／２ 、（ｂ）ｄｎ／ｄＥ＝ｍ ｅ ａ ２ ／π ２
ℏ ２ ｎ＝１．３３×１０ ４ ／ｅＶ、（ｃ）＜Ｅ ｎ ＞＝ ０ ∫ ＥＮ Ｅ（ｄｎ／ｄＥ）ｄＥ／ ０ ∫ ＥＮ （ｄｎ／ｄＥ）
ｄＥ＝（１／３）Ｅ Ｎ ＝０．１２ＭｅＶ。
６．１０５． 教科書参照。
６．１０６． Ｅ １１ ＝０．７５ｅＶ、Ｅ １２ ＝Ｅ ２１ ＝１．８９ｅＶ、Ｅ ２２ ＝３．０２ｅＶ。
６．１０７． 教科書参照。
６．１０８． （ａ）Ψ ｎ ＝（（１／２πＲ） １／２ ／ｒ）ｓｉｎ（ｎπｒ／Ｒ）、（ｂ）Ｅ ｎ ＝ｎ ２ π ２ ℏ ２／（２ｍＲ ２ ）。
６．１０９． （ａ）Ａ＝１／（２πａ） １／２ 、（ｂ）＜ｒ＞＝ａ／２。
６．１１０． ＜ｒ＞＝ａ／（２π） １／２ 。
６．１１１． （ａ）Ａ＝１／（πａ ３ π １／２ ） １／２ 、（ｂ）ｒ 確率 ＝ａ、＜ｒ＞＝２ａ／π １／２ 。
６ ． １ １ ２ ． （ ａ ） Ｍ 最 小 ＝ ℏ３ １ ／ ２ ／ ２ ＝ ０ ． ９ １ ３ × １ ０ － ３ ４ ｋ ｇ ・ ｍ ２ ／ ｓ、（ ｂ ）電 子 、 陽 子など。
６．１１３． Ｍ＝６．７×１０ ６７ ℏ。
６．１１４． （ａ）＜｜ｘ｜＞＝（ℏ／πｍω） １／２ ＝ａ／π １／２ ＝０．５６４ａ＝（π １／２ ／２）、
比１：０．８８６、（ｂ）＜Ｕ＞＝ℏω／４＝Ｅ ０ ／２。
６．１１５． Ｅ ０ ＝（ℏ／２）（ｇ／ｌ） １／２ ＝１．６５×１０ －３３ Ｊ、ａ＝（（ℏ／ｍ）（ｌ／ｇ） １／２） １／２ ＝０．５８×１０ －１５ ｍ。
６ ． １ １ ６ ． （ ａ ） Ａ ＝ １ ／ （ π ｒ ０ ３ ） １ ／ ２ 、（ ｂ ） ｄ Ｐ ／ ｄ ｒ ＝ （ ４ ｒ ２ ／ ｒ ０ ２ ） ｅ ｘ ｐ （ － ２
ｒ／ｒ ０ ）、（ｃ）ｒ 確率 ＝ｒ ０、（ｄ）＜ｒ＞＝３ｒ ０ ／２，（ｅ）＜Ｕ＞＝－ｅ ２ ／ｒ ０，（ｆ）Ｐ η ＝（２η ２ ＋２η＋１）ｅｘｐ（－２η）。
６．１１７． （ａ）Ｐ １ ＝０．６７７，（ｂ）Ｐ ３／ ２ ＝０．４２３，（ｃ）Ｐ ２ ＝０．２３８、（ｄ）
Ｐ ５ ＝０．００２７６、（ｅ）Ｐ １０ ＝４．４５×１０ －７ 。
６．１１８． Ｎ＝（ｇ １ ／ｇ ２ ）ｅｘｐ（ℏω／ｋＴ）＝３．５３×１０ １６ 。
６．１１９． （ａ）Ｍ ２ ＝２ℏ ２、（ｂ）Ｍ ２ ＝１２ℏ ２ 。
６．１２０． （ａ）０，１，２，３，４，（ｂ）と（ｃ）１，２，３，４，５，（ｄ）１／２，３／２，５／２。
６．１２１． １、２，３，４，６番目。
６．１２２． ５ Ｆ １ ， ５ Ｆ ２ ， ５ Ｆ ３ ， ５ Ｆ ４ ， ５ Ｆ ５ 。
６．１２３． （ａ）と（ｂ）は１つ、（ｃ）は２つ、（ｄ）と（ｅ）は３つ、（ｆ）は５つ。
６．１２４． ５，６，７，、、。
６．１２５． Ｐ状態では、Ｓ＝１，２，３，、、、；Ｄ状態では、Ｓ＝１。
６．１２６． （ａ）１，（ｂ）３，５，７、（ｃ）２，４，６，８、（ｄ）６，８。
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６．１２７． （ａ） １ Ｓ ０、（ｂ） １ Ｐ １， ３ Ｐ ２ 、 ３ Ｐ １， ３ Ｐ ０、（ｃ） １ Ｓ ０、 ３ Ｐ ２ 、 ３ Ｐ １ ， ３ Ｐ ０， １ Ｄ ２。
６．１２８． （ａ） ４ Ｆ ９／２、（ｂ） ２ Ｐ １／２ 。
６．１２９． （ａ） ３ Ｆ ４ と １ Ｇ ４ ；Ｍ Ｊ ＝ℏ（２０） １／２、（ｂ） １ Ｓ ０ と ３ Ｐ ０ ；Ｍ Ｊ ＝０。
６．１３０． ５ Ｆ １ 。
６．１３１． Ｌ＝３，３，４，５。
６．１３２． Ｍ Ｊ ＝ℏ（３／４） １／２ 。
６．１３３． Ｍ Ｊ ＝（ℏ／２）（３５） １／２ ， ２ Ｄ ５／２ 。
６．１３４． Ｍ Ｊ ＝（ℏ／２）（６３） １／２ ， ２ Ｆ ７／２ 。
６．１３５． ３ Ｐ ２ 。
６．１３６． ２ Ｐ ３／２ 。
６．１３７． ４ Ｓ ３／２ 、 ２ Ｐ ３／２ 、 ２ Ｐ １／２ 、 ２ Ｄ ５／２ 、 ２ Ｄ ３／２ 、基底項は ４ Ｓ ３／２ 。
６．１３８． （２）、（４）、（５）、（７）。
６．１３９． μ＝（４／７）μ ボーア ６３ １／２ 。
６．１４０． μ＝（μ ボーア ／２）１２５ １／２ 。
６．１４１． ４ Ｄ １／２ 、 ５ Ｆ １ ， ７ Ｈ ２ 。
６ ． １ ４ ２ ． （ ａ ） μ ＝ μ ボ ー ア ２ １ ／ ２ 、（ｂ ） μ ＝ ０、（ ｃ ） μ ＝μ ボ ー ア ２ ・２ １ ／ ２ 、（ ｄ） と （ ｅ ）と（ｆ）ではμ＝０。
６．１４３． （ａ）分裂せず、（ｂ）３つ、（ｃ）５つ、（ｄ）６つ。
６．１４４． （ａ）４つ、（ｂ）３つ、（ｃ）９つ。
６．１４５． （ａ）と（ｂ）は分裂せず。
６．１４６． ａ＝μ ボーア ｇ（ｄＢ／ｄｘ）（ｌ １ ／（ｍｖ ２））（ｌ １ ／２＋ｌ ２ ）＝０．２８ｍｍ。
６ ． １ ４ ７ ． （ ａ ） Δ Ｅ ＝ ０ ，（ ｂ ） Δ Ｅ ＝ １ １ ６ μ ｅ Ｖ 、（ ｃ ） Δ Ｅ ＝ ２ ３ ２ μ ｅ Ｖ、（ ｄ ） Δ
Ｅ＝３４８μｅＶ。
６．１４８． Δω ０ ＝０．８７９×１０ １１ ／ｓ。
６ ． １ ４ ９ ． （ ａ ） と （ ｂ ） で 、 Δ ω ＝ ０ ． ８ ８ × １ ０ １ １ ／ ｓ 、（ ｃ ） と （ ｄ ） で 、 Δ ω ＝ ０ ．
５９×１０ １１ ／ｓ、（ｅ）Δω＝０．４４×１０ １１ ／ｓ。
６．１５０． Δω＝５５Δω’。
６．１５１． Ｎ＝２πｃ／λΔω＝５×１０ ４ 本。
６．１５２． （ａ）ｌ＝ａ、（ｂ）ｌ＝ａ・３ １／２ 、（ｃ）ｌ＝ａ・（５／４） １／２ 。
６．１５３． α＝４６．６°。
６．１５４． α＝４４．４°。
６．１５５． ｄＮ ω ＝（ｌ／πｖ）ｄω。
６．１５６． ｄＮ ω ＝（Ｓ／２πｖ ２ ）ωｄω。
６．１５７． ｄＮ ω ＝（Ｖ／π ２ ｖ ２ ）ω ２ ｄω。
６．１５８． θ＝πℏｖｎ／ｋ＝３６０Ｋ。
６．１５９． θ＝（ℏ／ｋ）２ｖ（πｎ） １／２ ＝４０６Ｋ。
６．１６０． θ＝（ℏ／ｋ）ｖ（６π ２ ｎ） １／３ ＝４４７Ｋ。
６ ． １ ６ １ ． （ ａ ） ＜ ω ＞ ＝ （ １ ／ ２ ） ω ｍ ＝ ｋ θ ／ ２ ℏ＝ ２ ． ４ × １ ０ １ ３ ／ ｓ 、（ ｂ ） ＜ ω ＞ ＝（２／３）ω ｍ ＝２．７×１０ １３ ／ｓ、（ｃ）＜ω＞＝（３／４）ω ｍ ＝２．９×１０ １３ ／ｓ。
６．１６２． （ａ）１４２０Ｋ、（ｂ）２０８Ｋ、（ｃ）７６Ｋ。
６．１６３． θ＝（ℏ／ｋ）（１８π ２ Ｎ Ａ ρ／（Ｍ（１／ｖ ∥ ３ ＋２／ｖ ⊥ ３ ））） １／３ ＝４１０Ｋ。
６．１６４． Ｕ ０ ＝（９／８）Ｒθ＝８６０Ｊ。
６．１６５． Ｃ ２ ＝（Ｔ ２ ／Ｔ １ ） ３ Ｃ １ ＝０．０２２Ｊ／（モル・Ｋ）。
６．１６６． Ｃ＝２．４π ４ Ｒ（Ｔ／θ） ３ ＝０．１６Ｊ／（モル・Ｋ）。
６．１６７． ε ｍ ＝０．０２６ｅＶ、λ＝０．０４８ｎｍ。
６．１６８． ｐ ｍ ＝１０ －２４ ｋｇ・ｍ／ｓ、λ＝０．６６ｎｍ。
６．１６９． ｐ ｍ ＝πℏ（ρＮ Ａ ／Ｍ） １／３ ＝１．３×１０ －２４ ｋｇ・ｍ／ｓ。
６．１７０． エネルギー順位は２倍濃くなる。
６，１７１． 否。
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６．１７２． ｄｎ＝Ｎ。
６．１７３． ｎ＝Ｎ。
６．１７４． ＜ｎ ｍ ＞＝１／（ｅｘｐ（θ／Ｔ）－１）＝１．５４。
６．１７５． （ａ）ε ｍ ＝０．０１８ｅＶ、（ｂ）＜ｎ ｍ ＞＝１．０。
６．１７６． ｅ／ｍ＝－Ｎｎ（πｄ） ２ ／ｑＲ＝－１．８×１０ １１ Ｃ／ｋｇ。
６．１７７． ｎ＝ＩＢ／ｅａＵ ３ ４ ＝１．１×１０ ２ ９ ／ｍ ３ 、ｕ ０ ＝ｌＵ ２３ ／ｂＢＵ １２ ＝３．２×１
０ －３ ｍ ２ ／（Ｖ・ｓ）。
６．１７８． 否。
６．１７９． 準位密度ｄｎ／ｄＥが、η倍増大する。
６．１８０． Δεは３倍減少。
６．１８１． ＜Δε＞＝１．０×１０ －２２ ｅＶ。
６．１８２． Δε＝（２πℏ） ３ ／４πＶ（２ｍ） ３／２ Ｅ １／２ 。
６．１８３． （ａ）４．７×１０ －２２ ｅＶ、（ｂ）１．５×１０ －２２ ｅＶ、（ｃ）０．８５×１０ －２
２ｅＶ、（ｄ）０．６６×１０ －２２ ｅＶ。
６．１８４． （ａ）Ｅ Ｆ （０）＝（３π ２ Ｎ Ａ ρ／Ｍ） ２／３ ℏ ２ ／２ｍ ｅ ＝７．０４ｅＶ、（ｂ）＜Ｅ＞＝３Ｅ Ｆ （０）／５＝４．２３ｅＶ、（ｃ）Ｔ＝２＜Ｅ＞／３ｋ＝３．２７×１０ ４ Ｋ。
６．１８５． Ｅ Ｆ ＝Ｅ Ｆ （０）（１－（πｋＴ／Ｅ Ｆ （０）） ２ ／１２）＝Ｅ Ｆ （０）（１－２．２×１
０ －５）。
６．１８６． η＝１－（１／２） ３／２ ＝０．６５。
６．１８７． η＝１－（３／５） ３／２ ＝０．５４。
６．１８８． Ｐ＝０．５。
６．１８９． ＜ｎ＞＝１。
６．１９０． Φ ０ ＝πℏ／ｅ＝２．０７×１０ －１５ Ｗｂ。
６．１９１． ΔＥ＝１．１ｅＶ。
６ ． １ ９ ２ ． （ ａ ） σ ２ ／ σ １ ＝ Ｔ １ ／ Ｔ ２ ＝ １ ／ １ ． ０ ３ ３ ； １ ． ０ ３ ３ 倍 減 少、（ ｂ ） σ ２ ／ σ １＝１．２１；１．２１倍増大。
６．１９３． Ａ＝ｋＴ（ＴΔｊ／ｊΔＴ－２）＝３．１ｅＶ。
６．１９４． Ｅ＝１．５５ｋＶ／ｍ、アルミ→プラチナ。
６．１９５． ＫＥ＝ｅΕ＋Ａ Ｗ －Ａ Ｎｉ ＝９．７ｅＶ。
６．１９６． Ｕ 内部 ＝（ℏ ２ ／２ｍ ｅ ）（３π ２ ） ２／３ （ｎ ２ ２／３ －ｎ １ ２／３ ）＝６．２Ｖ。
６ ． １ ９ ７ ． （ ａ ） ６ ． ９ ３ Ｍ ｅ Ｖ ，（ ｂ ） ８ ． ０ ３ Ｍ ｅ Ｖ，（ ｃ ） ８ ． ４ ５ Ｍ ｅ Ｖ，（ ｄ ） ８ ．
７９ＭｅＶ，（ｅ）８．７６ＭｅＶ，（ｆ）８．３９ＭｅＶ，（ｇ）７．８７ＭｅＶ、（ｈ）７．５９
ＭｅＶ。
６．１９８． （ａ）ｖ α ＝（２（Ｅ ２ ＋Ｅ α －Ｅ １ ）Ｍ／ｍ（Ｍ＋ｍ）） １／２ ＝１．５×１０ ７ ｍ／ｓ、
（ｂ）ｖ＝（２（Ｅ ２ ＋Ｅ α －Ｅ １ ）ｍ／Ｍ（Ｍ＋ｍ）） １／２ ＝２．７×１０ ５ ｍ／ｓ。
６．１９９． （ａ）Ｔ＝ｌｎ２／λ、（ｂ）τ＝１／λ、（ｃ）Ｔ＝τｌｎ２。
６．２００． τはＴより、１．４４倍大きい。
６．２０１． η＝ｅｘｐ（－３）＝０．０５。
６．２０２． η＝０．８７５。
６．２０３． Ｐ＝１／２。
６．２０４． Ｐ＝１－ｅｘｐ（－ｔ／τ）、（ａ）Ｐ＝０．６３、（ｂ）Ｐ＝０．９９９９５５，（ｃ）
Ｐ＝０．０９５。
６．２０５． （ａ）Ｎ＝（ｂＴ／ｌｎ２）（１－ｅｘｐ（－ｔ・ｌｎ２／Ｔ））、（ｂ）Ｎ＝６．２
×１０ １０、（ｃ）Ｎ＝ｂＴ／ｌｎ２＝１．２５×１０ １１ 。
６．２０６． （ａ）Ｎ Ｙ ＝Ｎ Ｘ０ （λ １ ／（λ ２ －λ １ ））（ｅｘｐ（－λ １ ｔ）－ｅｘｐ（－λ ２ ｔ））、
（ｂ）ｔ ｍ ＝ｌｎ（λ １ ／λ ２ ）／（λ １ －λ ２）。
６．２０７． ｔ＝３５００年。
２０１２年４月１１日- 167 -