計測自動制御学会東北支部第 201 回研究集会(2002.5.22)
資料番号 201-3

Ｘ線フラットパネルセンサを用いる
産業用３次元ＣＴ実験システムの構成
Constitution of Three-dimensional CT Experimental
System using X-ray Flat Panel Senser○中嶋 賢市郎, 佐藤 譲, 栗田 宏明, 杜 海清, 田山 典男○Kenichiro Nakajima, Yuzuru Sato, Hiroaki Kurita, Haiqing Du, Norio Tayama
岩手大学
Iwate University
キーワード：画像再構成(Image Reconstruction), ＣＴ(Computed Tomography),標本化モデル(Sampling Model), ウェーブレット(Wavelet)
連絡先：〒020-8551 岩手県盛岡市上田 3-3-5 岩手大学工学部電気電子工学科 田山研究室
田山 典男 TEL/FAX：(019)621-6382 E-mail：tayama@pipe.elc.iwate-u.ac.jp

1.はじめにデータにより，ある程度良好な画像を高速に得ることが要求されている．

医学分野に革命をもたらしたＸ線ＣＴ装置

本研究室では，産業分野向きのＸ線ＣＴ装

1～3)

は，「２次元あるいは３次元の物体は，そ置の実現を目標とした研究を行っており，対の投影データの無限の集合から一意的に再現象空間に標本化モデルを設定し特異値分解法できる」という原理に基づいている．医学分と組合わせる画像再構成手法として「ＦＭＲ野では，高品質な画像を得ることに最大限の法(Fast Model Reconstruction)」を研究して努力が払われており，投影方向数が 400～

きた 5～10)．しかしながら，この手法による再1000 と非常に多い．そのため，装置は大変複構成では，未知数である画素値の数が多すぎ雑で高価になり，画像を再現するまでの時間ると，特異値分解の限界を超えてランク落ちも長い．

が多くなり，良好な再構成画像が得られない

一方，産業分野

4)という問題があった．

では，ベルトコンベアの流れ工程で電子部品や自動車部品等の内部不そこで本研究では，画像再構成手法として良を検出するために，極少数方向からの投影「ＷＰＲ法(Wavelet Part Reconstruction)」1を新たに提案する．この手法では，対象空間

Shannon の Sinc 標本化関数 S (x) を図 2.1に多重ウェーブレットによる標本化モデルをに，Meyer のウェーブレット標本化関数 W (x)設定し，Ｘ線投影ビームを一様に透過させるを図 2.2 に示す．以下では，このウェーブレ円弧スキャン方式を導入して，各部分領域毎ット標本化関数を用いて，標本化定理を近似に特異値分解を行うことによって，大型画像的に満たすウェーブレット標本化モデル物体を部分的に再構成するものである 11～15)．

を設定し，特異値分解に基づく画像再構成の手順を示す．

本研究では，ベルトコンベア上を流れる自動車部品にＸ線ビームを投射して，その投影データからＷＰＲ法により部品断面画像の系列を再構成する方法について計算機上でシミュレーションを行った後，３次元Ｘ線ＣＴ実
験システムの構成について検討する．
2.ウェーブレットによる画像再構成

図 2.1 Sinc 標本化関数
2.1 ウェーブレット標本化関数

Fig.2.1 Sinc sampling function

本研究室では，対象空間に対して，Shannonの Sinc 標本化関数を用いて標本化定理の成立する標本化モデル物体を使用してきた．しかし，Shannon の Sinc 標本化関数は，座標軸上で局在化しておらず，無限の広い領域まで影響している．実際に適用する場合には，有限の領域で近似を行うことになり，画像再構

図 2.2 ウェーブレット標本化関数

成の計算に誤差が生じる．もしも領域を狭め

Fig.2.2 Wavelet sampling function

ることができるならば，さらに投影ビーム数を減らせるので，再構成の計算量を削減でき，2.2 標本化モデルの導入画像再構成の時間を大幅に短縮できる可能性がある．しかし，Shannon の Sinc 標本化関数

対象とする２次元領域の空間周波数が遮断を使用する場合には，領域を狭めると，画像空間周波数Wm よりも高い成分を含まないと再構成の計算誤差が極端に大きくなってしま仮定して，標本化定理を満たす濃度分布モデうという問題があった．

ルを導入する．

そこで，影響領域を局在化する新たな標本

このような標本化定理の条件を満たす対象化関数を見出すならば，領域を狭めても，画領域の連続空間においては，任意の点での濃像再構成の誤差が増えずに，投影ビーム数を度値 f ( x, y ) は T = 1 / 2Wmの間隔で標本化さ減らせるので，計算時間を大幅短縮でき，画れた各標本点での濃度値 f ( xi , y j ) と前述の像再構成の高速化を図ることが出来るだろう

ウェーブレット標本化関数 W (x) を用いて，と考えた．このような考えから，影響範囲を完全に表現できる．これは次式で表される．

局在化する関数として Meyer のウェーブレッf ( x, y ) = ∑ ∑ f ( xi , y j ) ⋅ W ( x − xi ) ⋅ W ( y − y j )∞ト 16) 標本化関数を画像再構成へ導入するこ∞i = −∞ j = −∞(2.1)とにした．
2ウェーブレット標本化関数 W (x) は 1 / t で減と表される．この Cijは，投影線上の濃度値積衰するので，式(2.1)の無限領域を実際の有限分値に対して，各標本点 (i, j ) での濃度値がど

物体領域 ( n × n) で近似すると，上式は次のよの程度影響を与えるかを表しており，これをうに表される．

線積分影響係数と呼ぶ．ここで留意すべきこn −1 n −1とは，Cij が投影線の方程式にのみ依存しておi =0 j =0

り，標本点の濃度値には無関係なことである．

f ( x, y ) = ∑ ∑ f ( x i , y j ) ⋅ W ( x − x i ) ⋅ W ( y − y j )(2.2)

従って，様々な投影線に対するCij を予め計算

これは，任意点における濃度値 f ( x, y ) が，して蓄えておくことができる．

対象領域の各標本点での濃度値 f ( xi , y j ) の2.3 特異値分解による再構成法影響を受けており，それら標本点濃度値を用いることで内捜できることを表している．こ次に，各投影線毎に投影値に対する方程式の性質を濃度値影響関係という．

を立てると，次のような線形連立方程式が得

この濃度値影響関係から，透過線の投影値と各標本点との関係式を求める．透過ビームられる．の単位方向ベクトルを ( a x , a y ) ，計測画像領

p m = ∑ C mn ⋅ f n + em

N域への突入点や脱出点を (b x , b y ) ，(e x , e y )とm = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, M n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, N
ここで， M を投影線の総数， N を標本点の総数とする．pm は m 番目の投影線の投影値
C mn は mであり，f n は n 番目の標本点濃度値，番目の投影線に対して n 番目の標本点濃度値

し，突入点から脱出点までの長さを L とすると，透過線分の方程式は l をパラメータとして次のように表される．

x = bx + a x l
y = by + a yl

(0 ≤ l ≤ L )

(2.6)

n =1

(2.3)

が与える影響の程度を示す線積分影響係数でL = (b x − e x ) 2 + ( b y − e y ) 2ある．em は m 番目の投影線に関する誤差で投影値 p は，対象領域の f ( x, y ) を，ビームあり，投影値の測定誤差やモデルに当てはめに沿って線積分した値に相当するので，次のるときの偏差を含む．

ようになる．

方程式(2.6)を行列で表すと次式のようにLなる．

p = ∫ f ( x, y )dl

p =C⋅ f +e0

ここで式(2.2)を代入すると， p は次のよう p1   C11
 p  C
 2   21
 M = M   M   M
 p M  C M 1になる．
L n −1 n −1

p = ∫ ∑ ∑ f ( x i , y j ) ⋅ W ( x − x i ) ⋅ W ( y − y j )dl
0 i =0 j =0n −1 n −1

Li =0 j =00= ∑ ∑ f ( x i , y j ) ⋅∫ W ( x − x i ) ⋅ W ( y − y j ) dl(2.7)

C12C13C 22C 23MMMMCM 2CM 3

f 
L L C1N   1   e1 f2
L L C 2 N     e2  f3 M   +  M  M
 M    M 
 M 
L L C MN    eM  f N 

この Cij は，透過線ビームの方程式(2.3)を用

C は M × N の長方行列であり，その m 行 n列要素が線積分影響係数 C mn である．これを物体投影モデル行列と呼ぶ．この長方行列 Cを，式(2.8)のように M × M 直行行列 U ，いて

M × N 対角行列 Λ ，N × N 直行行列 V t の積n −1 n −1= ∑ ∑ f ( x i , y j ) ⋅ C ij
i =0 j =0(2.4)

Lの型に分解して表す．これを特異値分解といC ij = ∫ W (b x + a x l − x i ) ⋅ W (b y + a y l − y j ) dl

う．

0(2.5)
3

C = UΛV t

知数の数を大幅に削減して，特異値分解でう(2.8)

まく解けるようにする考え方である．
ウェーブレットでは，レベルによりウェーブレットのサイズを相似的に拡大できるという特色を持っている．また，そのウェーブレットの位置も任意に移動できる．このレベルによる拡大と，位置移動の性質を用いて，対象画素を中心として近くの画素には，サイズ式(2.7)で表される再構成問題において，最がいちばん小さいレベル 0 のウェーブレット小二乗解を求める問題は，誤差ベクトルを割当て配置し，段階的に遠くなるにつれて

e = p − C ⋅ f の二乗和|| e || を最小にする解f を求める問題に帰着する．
従って，物体投影モデル行列 C がフルランクならば，濃度ベクトル f は次式のように求サイズの大きなウェーブレットを割当て配置められる．のサイズが 1 倍，2 倍，4 倍，8 倍，･･･と大2

f = VΛ−U t p = C − p

する．割当て配置の一例を図 3.1 に示す．図では，中心からレベルが段階的に0,1,2,3,･･･と変化しており，ウェーブレットきくなっている．このようにサイズが異なる(2.9)

ウェーブレットを割当て配置する方法をとると，注目する画素について正確にモデル表現

C がランク落ちしているならば，最小二乗解は一意ではなく， f は以下のようになる．

f = VΛ+U t p = C + p

することができ，しかも，未知数である画素値の数を大幅に削減することができる．この(2.10)

方法は，多数のサイズが異なるウェーブレッ

即ち，濃度ベクトル f は，あらかじめ物体投トを割当て配置するので，「多重ウェーブレッ

影モデル行列 C について特異値分解を行っト標本化」と呼ぶ．

−−て算出しておいた C ( = VΛ U ) またはtC + ( = VΛ+U t ) と，計測された投影値ベクトル p との行列演算だけで再構成できることになる．
3.ウェーブレット部分再構成ＷＰＲ法
3.1 多重ウェーブレット標本化
図 3.1 多重ウェーブレット標本点
画像サイズが大きくなると，未知数である

Fig.3.1 Multiple wavelet sampling points

画素値の数が膨大となるので，特異値分解でうまく解くことが難しくなる．つまり新たな3.2 円弧スキャン方式

課題として，未知数の数が膨大にならないようにする工夫が必要になる．

Ｘ線の投影方法として，図 3.2 に示すようそこで，多重ウェーブレット標本化と呼ぶに，Ｘ線源を円弧状に移動させながら，平行概念を導入する．これは，ウェーブレットモビームを対象物体に照射し，固定のラインセデルをサイズが異なる多重ウェーブレットモンサーで投影データを計測する投影スキャンデルで近似的に置き換えることによって，未方式を提案する．
4

一連の各ビームに関する再構成係数値の並びが同じになるということである．従って，一組の再構成係数値の並びだけで，その層の全画素値が計算できることになる．
3.3 部分再構成
１つの画素に注目してその部分領域で特異値分解を行う「部分再構成」の概念を提案す
る．それは，１つの画素に注目して，その画
図 3.2 円弧スキャンによるＸ線投影

素に影響を及ぼす範囲として局所領域を設定

Fig.3.2 X-ray projection using a circular

し，その部分領域を透過するビームに関してarc scanner

2.2 で述べた方程式を立てて，特異値分解を行ってその画素値を計算するという考え方でこのような「円弧スキャン方式」を用いるある．この部分再構成の概念に基づいて，予場合には，次に述べるように一様透過の性質

め各層において再構成係数値の並びを算出しが保持されることになる．Ｘ線源からラインてそれらを記憶しておけば，投影ビーム値をセンサーの各素子へ向かう平行ビームについ計測した時点で，即座に全画素を再構成できて，各ビームの透過状態を考える．画素サイることになる．

ズをラインセンサーの素子間隔とすると，ラなお，各層での再構成係数値の並びを算出

インセンサーに平行な画像の水平な層では，するために特異値分解を行う画素としては，各画素において，その画素領域を透過するビ画像の中心線上に位置する画素を想定する．

ームの入り方は同一となる．どの水平層の，これらの画素について，上述の部分領域を設

どの画素においても，この一様透過の性質が定して特異値分解を行う．3.2 で述べた円弧保持されている．

スキャン方式を用いていれば一組の再構成係

また，投影の方向が変わっても，一様透過数値の並びだけで，その層の全画素が計算での性質は保持される．複数の方向から順に透きるので，特異値分解の回数は層の数となる．

過する場合には，画素領域に入射した全てのまた，部分再構成については，図 2.2 よりビームに関わる透過状態を考えると，画素の影響する範囲は両側に４程度なので，中心画水平層毎に，各画素領域において，全く同じ素を含めて９画素領域でよい．部分再構成で透過状態となっていることがわかる．そこで使用する画素の数については，3.1 で述べた

この性質を「一様透過性」と呼ぶ．

多重ウェーブレット標本化を用いて未知数である画素値の数が増大しないようにし，特異

前述したように，画像再構成における画素値分解でうまく解けるように工夫する．

値の計算方法は，その画素を中心とした再構
成の影響領域を透過するビームに関して，ビ4.画像再構成のシミュレーション実験ームの投影値とそのビームに関する再構成係数の積和演算を行うものである．
従って，一様透過性が保持されているなら新たに提案した「ウェーブレット部分再構

ば，各層では，どの画素においても，各ビー成ＷＰＲ法」をまとめると次のようになる．

ムに関する再構成係数値も同じになるはずですなわち，対象空間に多重ウェーブレットにある．つまり，各層毎にどの画素においても，よる標本化モデルを設定し，Ｘ線投影ビーム5を一様に透過させる円弧スキャン方式を導入

象物体がベルトコンベア上で絶えず移動してして，各部分領域毎に特異値分解を行うこといるということである．ある角度で投影値をによって，大型画像を部分的に再構成するも取り込んでから，次の角度で投影値を取り込のである．

むまでの間に，対象となる物体が移動してし以下では，ベルトコンベア上を流れる自動まう．そのため，断面を再構成するのに必要車部品にＸ線ビームを投射して，その投影デな 11 方向からの投影値を集める工夫が必要

ータからＷＰＲ法により部品断面画像の系列になってくる．
そこで本研究では，投影値を取り込むライを再構成する方法についてのシミュレーションセンサーに幅を持たせることを考えた．こン実験を行う．

こでは，次の２条件を満たしていることが必要となる．

4.1 対象物体と投影方法① Ｘ線源が１方向分回転移動する時間と，対象物体が１センサー素子幅だけ移動す断面画像の系列を再構成する対象物体としる時間が同じであること．て図 4.1 のようなゴム製自動車部品の３次元② センサー素子数と投影の方向数が、整数データを用いた．またＸ線の投影方法として倍の関係にあること．

は，一様透過の性質を保持するために，図 4.2

これらを満たす図 4.3 のような条件の下で，に示すような傾斜スキャン方式を用いる．

投影データを取り込み，再構成したい断面がセンサー部を通り過ぎた後に，各方向毎の必要な投影データのみを選び出して，ＷＰＲ法により断面画像の再構成を行った．

図 4.1 対象物体
Fig.4.1 Target body

一定時間経過後図 4.2 傾斜スキャン方式
Fig.4.2 Slant scan system
4.2 対象物体の移動に対する工夫
対象物体に対して仰角 15 度より 165 度まで，

図 4.3 ２つの条件を満たす投影11 方向からの投影データを用いて断面画像

Fig.4.3 Projection which satisfied twoの再構成を行う．ここで問題となるのは，対conditions
6図 4.4 対象物体の正しい断面画像
Fig.4.4 Right section image of a target body

図 4.5 再構成した断面画像
Fig.4.5 Section image which reconstructed
4.3 再構成シミュレーション結果
対 象 と な る ゴ ム 製 自 動 車 部 品 は 1024 ×1024×25 の３次元データとした．対象物体の一部分における正しい断面画像を図 4.4 に，それを再構成した断面画像を図 4.5 にそれぞれ示した．再構成誤差としての正規化誤差分
散値は平均で 0.232 程度であり，非常に良好な再構成結果が得られた．
5.３次元Ｘ線ＣＴ実験システムの構成

図 5.1 ３次元Ｘ線ＣＴシステムの構成
Fig.5.1 Constitution of three-dimensional

実験に用いるＸ線ＣＴシステムの構成を図

x-ray CT system

5.1 に示す．この装置は，垂直スキャン方式○で投影像および投影データを収集するもので

軟Ｘ線管

I-0602

ソフテックス社あり，それらを映像処理ボードを用いてコン・Ｘ線管電圧

0～50kV

ピュータに転送し保存する．各構成要素は次・Ｘ線管電流0～0.5mAの通りである．

・管球焦点

0.1×0.1mm○Ｘ線フラットパネルセンサC7942

7浜松ホトニクス社

○・画素サイズ

50μm

・解像度

8 ライン/mm・有効素子数

2240×2368

・出力

ディジタル 12bit

画像処理ボードIMAQ

National Instruments Corporation○

モータドライバ・ステッピングモータ
アブソデックス AX シリーズ[Htype]
CKD 社
・インターフェイス○

RS-232C

Fig.5.3 X-ray flat panel senser C7942

PC(AT 互換機)
・OS○

図 5.3 Ｘ線フラットパネルセンサ C7942

Windows98 SE

6.おわりに

計測制御プログラミングソフト
Microsoft Visual C++6.0

本研究では，ベルトコンベア上を流れる自Microsoft Corporation

動車部品にＸ線ビームを投射して，その投影データからＷＰＲ法により部品断面画像の系

今回の構成ではＸ線フラットパネルセンサ列を再構成する方法についてのシミュレーシ

C7942 を導入した．このセンサは，非破壊検ョン実験を行った．

査，バイオメディカル，Ｘ線顕微鏡などのキ新たに提案した画像再構成手法「ＷＰＲ法」

ーデバイスとして開発されたディジタルＸ線は，対象空間に多重ウェーブレットによる標イメージセンサであり，高分解能な 12 ビット本化モデルを設定し，Ｘ線投影ビームを一様のビデオ出力で，高品位な 2400×2400 のディに透過させる円弧スキャン方式を導入して，ジタル大型画像をリアルタイムで捕らえるこ

各部分領域毎に特異値分解を行うことによっとができる．さらに，雑音が少なく，小型軽て，大型画像を部分的に再構成するものであ量であり，高解像度で扱いやすいという利点る．

がある．

このシミュレーション実験により，ベルトコンベア上を流れる自動車部品にＸ線ビームを投射し，得られた多くの投影値の中から必要なデータのみを選び出し，11 方向からの投影データを用いて，ＷＰＲ法により目的とする大型断面画像を再構成できることを確認した．
今後の課題は，構成した３次元Ｘ線ＣＴ実験システムを用いて投影データを収集し，各種の前処理を行って再構成を確認し，評価することである．

図 5.2 ３次元Ｘ線ＣＴシステム
Fig.5.2 Three-dimensional x-ray CT
experimental system8参考文献1)

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2)

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9