Optics Japan 2004 講演予稿集, pp.302〜303, 吹田 (2004.11.5)

ディスプレイ CGH における厳密な波動光学的隠面消去
A Rigorous Method for Hidden-Surface Removal
in Display CGHs
松島恭治

Kyoji Matsushima
関西大学工学部 先端情報電気工学科

Department of Electrical Engineering and Computer Science, Kansai University
E-mail : matsu@kansai-u.ac.jp
ABSTRACT
An rigorous method to calculate fields obstructed by a tilted plane is presented. In this method
the problem of leakage lights, yielded by the silhouette approximation, is not occurred. Opticalreconstruction of a CGH synthesized by using the proposed technique is demonstrated.
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はじめに

シルエット近似とその問題点
いま，座標系 (x̂, ŷ, ẑ) を考え，ホログラムが (x̂, ŷ, 0)

3 次元立体ディスプレイを目的とした CGH におい面上にあるとする．また，光軸は ẑ に沿って，ホログラて，観察者からは見えない部分の再生像を隠す隠面消ムと垂直に物体空間から観察空間に向かっているもの

去は重要な技術である．そのため，点光源法による物とする．この様な座標系で，物体空間に，Fig. 1(a) に体光波合成では，球面波の光線を追跡する際に前面に示したように，ホログラムに対して傾いた表面 (平面)ある他の物体との交差を幾何学的に判定する手法がいがあり，この平面が背後から入射する光波 ĥ(x̂, ŷ) を隠くつか提案されている [1]．しかしながら，これらは蔽しているとする．シルエット近似法では，Fig. 1(b)いずれも計算に長時間を要するため，縦方向視差を放の様に，この表面形状をホログラムに平行な平面へ棄した CGH にしか適用することができない．の投影して得られる 2 値のマスク関数 m̂(x̂, ŷ) で入射光波を遮蔽する．すなわち，この表面で遮蔽された光

そこで我々は，全方向視差ホログラムに適用可能な波を波動光学的隠面消去法としてシルエット近似法を提案している [2]．これは，表面モデルの物体で，表面を構ĥ (x̂, ŷ) = ĥ(x̂, ŷ)m̂(x̂, ŷ)成する各平面をホログラムと平行な平面に投影したシとする．これを，物体空間の奥からホログラムに向ルエットをマスクとして，光波の一部を遮蔽する手法

かって繰り返すことにより，隠面消去された物体光波である．この手法は，CGH の標本間隔が波長よりもを合成している．しかしながら，シルエット近似の問十分粗く，近軸近似が成立するような場合には十分有題点は，Fig. 2 に示す様に光軸に対して大きな角度を効である．しかし，高い解像度の CGH ではシルエッ有する光線がある場合，本来間隙がなく密着した表面トマスク間に生じる間隙を通り抜ける光線が生じ，隠の間を通過する漏れ光が生じることである．

(1)

面消去が完全でなくなるという問題点があった．

3
そこで本研究では，この様な遮蔽漏れが生じない厳厳密な波動光学的隠面消去
傾いた表面に対して厳密に隠面消去を行うために密な波動光学的隠面消去の手法を検討した．

は，光軸に沿って伝搬する光波の傾いた表面に沿ったh  ( x , y )(a )m  ( x , y ) h  ( x  , y )断面を求めなければならない．このためには，筆者ら(b )S u rfa c e(O b s ta c le )S u rfa c e

S ilh o u e tte m a s km  ( x , y )S ilh o u e tte
M a sk

Fig. 1 The silhouette approximation [2].

S u rfa c e

L e a k a g e lig h tFig. 2 Leakage lights in silhouette approximation.
1

Optics Japan 2004 講演予稿集, pp.302〜303, 吹田 (2004.11.5)(I)h  ( x  , y )h ( x , y )

(II)

(III)

h ¢( x , y )h  ¢ ( x  , y )P la n a r tria n g lem ( x , y )C h e c k p a tte rn
P la n a r tria n g le

Fig. 3 A procedure for rigorous calculation of obstruction by tilted a plane.
が提案した傾いた平面で回折光波を計算する回転変換

Fig. 4 An object model.の手法 [3] を用いることができる．この回転変換を用いると，表面 n の位置において光波が ĥn (x̂n , ŷn ) で(a )あるとき，傾いた平面上におけるその断面は，hn (xn , yn ) = F −1 R−1
ψn F {ĥn (x̂n , ŷn )}(2)と表わされる．ここで，F はフーリエ変換，Rψn は(b )フーリエ空間における座標回転演算を表わす．これにより，Fig. 3 のステップ (I) で示したように，傾いた平面に沿った複素振幅分布が求まる．次に，(II) に示すように傾いた平面上で表面の形状に応じたマスク関
数 mn (xn , yn ) を乗算して遮蔽された光波hn (xn , yn ) = hn (xn , yn )mn (xn , yn )Fig. 5 Optical reconstruction of the fabricated CGH.
(3)が得られ，1 面あたり 2 回の FFT で計算ができるこを求め，(III) の様に hn (xn , yn ) を逆回転することにとになる．N 枚の平面で構成される物体では最終的より，表面 n によって遮蔽された光波 ĥn (x̂n , ŷn ) がにホログラム面上での光波は，求まる．

hHologram (x̂, ŷ) = F −1 {ĤN +1 (û, v̂)}.

しかし，これだけでは表面 n 自体から放出された光波が含まれていない．光波そのものの合成に表面回折として求まる．

法 [4] を用いるとすると，表面 n 自体の発光も含め，次の面 n + 1 に到達する光波は，

4ĥn+1 (x̂, ŷ) = F −1 {Rψn F {hn (xn , yn ) + sn (xn , yn )}×P(dn − dn+1 )}.

(6)

実験結果とまとめ

Fig. 4 の物体の配置で，フリンジプリンタ [5] を用いてピクセル間隔 1.5×2µm2，ピクセル数 16384×4096(4)の CGH を作成し，再生した結果を Fig. 5 に示す．(a)となる．ここで sn (xn , yn ) は表面回折法において面 nと (b) は異なったアングルから撮影した写真であり，の形状等を定義する表面特性関数である．また P(d)正確に隠面消去がなされていることがわかる．

はフーリエ空間で距離 d の並進伝搬に相当する位相項参考文献である．

[1] 高瀬, 坂本, 青木: 映情学誌 57, 483–489(2003).
[2] 近藤, 松島: 電子情報通信学会論文誌 D-II J87-D-II,1487–1494(2004).
[3] K. Matsushima, H. Schimmel and F. Wyrowski: J.
Opt. Soc. Am. A20, 1755–1762(2003).
[4] K. Matsushima and A. Kondoh: SPIE Proc. Practical Holography XVII and Holographic Materials IX#5005, 190–197(2003).
[5] 宮内, 山中, 栗林, 松島: 3 次元画像コンファレンス 2004,89(2004).

式 (2) および (3) を式 (4) に代入することにより，隠面消去された光波を合成するための漸化式が得られる．しかしながら，このままでは一つの面を処理するのに 4 回の FFT が必要となる．そこで，式 (4) の両辺をフーリエ変換し，Ĥn (û, v̂) = F {ĥn (x̂, ŷ)} の伝搬として書き改めると，

Ĥn+1 (û, v̂) = Rψn F {F −1 R−1ψn {Ĥn (û, v̂)}mn (xn , yn )+sn (xn , yn )}P(dn − dn+1 ),(5)2