No. 1

有限要素法による電磁界シミュレーション入門
第1回「導波路の解析」

東京工業大学 環境・社会理工学院
平野 拓一
E-mail: hirano.t.aa@m.titech.ac.jp
October 26, 2017

No. 2波動方程式(EまたはHのみの式)
E j0rH 0

E  jH 0

マクスウェルの方程式

E jH 0
H jE Jr



Hを消去してEの方程式を導く

0場所の関数 E  j0H 0
 r 
H を消去 E1 jE Jj0  r 

ヘルムホルツの波動方程式（有限要素法の基礎方程式）

 E 2k0 rE  jk00J r 同様に、Eを消去してHの方程式を導くこともできる
Tokyo Institute of Technology

T. Hirano

励振問題と非励振問題
励振波源あり 行列方程式 Ax b
励振波源なし E 2k0 rE  jk00J r 導波路, モードの解析

xAntenna #1yAntenna #22-Dl

Port 1

Ax  xzyC S t Et  2
t 
 k0 r  Et  0 r Port 2r

固有値問題

/ z    (  j)

zl

No. 3

x

2a2a共振器 E k02rE 0
 r 3-D

どの周波数でどのような形で共振するのか?
Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 4ポートとモード

No. 5ポート（導波路モード励振）n̂

導波路モード励振は境界にて行う。
導波路モード給電では、導波路部分は少なくとも1/2波長以上はモデル化する。（不連続部で発生した高次モードが十分減衰するように）単一モード条件であるかどうか確認する。多モードならば、それらも考慮して解析する。
開放型線路の場合には電磁界モードが端で十分減衰する程度に広い面積でポートを定義する。
OV

ポートy

1/2波長以上

E E1() BuEu()
uz

Mode1

Mode2

Mode3

Mode4

Sab

Tokyo Institute of TechnologyCSx
T. Hirano

導波路問題の波動方程式 (1)No. 6

 E 2k0 rE  jk00Jk  k0 rr
 r J 02
E k E  0
2A  A A
(x,y,z)座標ラプラシアン2A  xˆ2 Ax  yˆ2 Ay  zˆ2 Az

22  2  2  2  2z
x y
電荷なし  E  02t2E k2E  0
t2E 2Ek2E 0
t2E(k2  2)E 0
Tokyo Institute of Technology

固有値問題
T. Hirano

導波路問題の波動方程式 (2)H  E  E  Ej0rjjk

No. 7xˆyˆzˆ  0
 / z  / y Ax Ay   Az Ax   Ay Ax Az
A  curlA  rotA  xˆ    yˆ    zˆ     / x  / y  / z    / z
0  / xAy  y z   x z   x y  AAyAz  / y  / x
0 Az x  Ez Ey   Ez Ex   Ey Ex 1
H  xˆ    yˆ    zˆ  jk   y z   x z   x y   Ez
Ey Ex 1Ez
  xˆ Ey   yˆ Ex   zˆ  jk   y
  x y   x
  1 Ez
Ey Ex 
1
E1z
  xˆ Ey   yˆ
 Ex   zˆ   jk    y   x y    xjk
のときはEtのHtに対する比（特性インピーダンス）
Z0 Ez  0Ez  0 のときはHの波動方程式を使う
Tokyo Institute of Technologyc.f.) 付録参照,
電圧反射係数  ZL Z0
ZL  Z0T. Hirano

No. 8導波路問題の波動方程式 (3) Ek E 0 固有値問題
kc2 k2  2 カットオフ(遮断)波数k  22   j  kc  
kc2 固有値ベクトルの次元数（展開係数の数）
E 固有ベクトル だけある
2t2c 基本モード (dominant mode): カットオフ波数最小のモード。通常、基本モードだけ、つまり単一モード (single mode)で用いる。
 高次モード (higher-order mode): 基本モード以外のよりカットオフ波数が高いモード。
 縮退モード (degenerate mode): カットオフ波数が同じの異なるモード。
 多重モード (degenerate mode): 単一モード以外、複数のモードが伝搬可能な状態。
 伝搬モード (propagating mode): 位相定数が0でなく、減衰定数が小さく、伝搬可能なモード。
 カットオフ (cutoff): 位相定数は0で周波数がカットオフ周波数未満のモード。エバネッセントモードとも呼ばれる。減衰モードと違って、エネルギーは全反射する。
Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 9伝搬定数（減衰定数、位相定数）±z方向に進むモードuの正規化電界モード関数

Eu() (r)  eu (x, y)exp(u z)exp(z)  exp((  j)z) exp(z)exp( jz)

伝搬定数:   j
減衰定数

位相定数

瞬時値表現

Re[exp(z)exp( jz)exp(jt)] Re[exp(z)exp( j(z t))] Re[exp(z)cos(z t)  j sin(z t)]exp(z) exp(z)cos(z t)cos(z t)
exp(z)

Tokyo Institute of Technologyz

T. HiranoTEM波, TE波, TM波の分類
Ez

Hz000

Exist

TEM(Transverse electric andmagnetic)波TE(Transverse electric)波, H波Exist0TM(Transverse megnatic)波, E波

Exist

Exist

Tokyo Institute of Technology

No. 10ハイブリッド波

T. HiranoNo. 11モード関数の表現
導波路内の電磁界はモードの和で表現できるH A H  B H E  A E  B Euu()u u()u u()u()uuu

モード関数

モード分布

伝搬定数

Eu() (r)  eu (x, y)exp( u z)
Hu() (r)  hu (x, y)exp( u z)

u: モードの番号(TEM, TEmn, TMmn)
モード関数は導波路問題の固有値問題を解いて得られる。つまり、非励振の問題の解である。
モード解析によって、モードの分布とそのモードの伝搬定数が得られる。

 E H dS e E H dS e

モード関数の直交性

S()u()v

S()u()vuvuv(u v )z(u v )zuv 1(u v),0(u  v)

Tokyo Institute of TechnologyxCSzyT. Hirano速度（位相速度と群速度）
位相速度

vpu   uNo. 12k2 kcu2

エネルギー伝送速度

W  1 V  Eu 2 dv 1 V Hu 2 dv
22veu  PW
群速度vg     vpvg  c2
Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 13

伝送電力
電力



1
*P  Re[ S EH  dS]2

1* () ()  P  Re[ S AuEtu Au Htu  dS]
2 u
  u

12 Au [W]2u

直交性

各モードは独立な情報を伝送できる。

Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 14

様々な伝送線路
PEC(金属)波数ベクトルk

PECEPEC

HPEC(a) 自由空間(b) 平行二本線路（レッヘル線路）(c) 同軸線路

PECPEC(e) 円形導波管(f) マイクロストリップ線路

スロットPEC

誘電体

誘電体

誘電体PEC(d) 方形導波管

PEC

誘電体

(g) ストリップ線路（トリプレート線路）
誘電体2誘電体1(h) スロット線路
Tokyo Institute of Technology(i) コプレナガイド(j) 光ファイバ
T. Hirano方形導波管の断面内のモード関数分布No. 15(実線: 電気力線, 点線: 磁力線)

TEmnモード

TMmnモードTokyo Institute of Technology

T. Hirano方形導波管の管軸方向界分布No. 16アンテナ・無線ハンドブック, オーム社, pp.17-41 （I編-3章）, 2006年10月.

Tokyo Institute of TechnologyT. Hirano方形導波管のTEモードのFEM解析
カットオフ周波数fcu (GHz)

Analytic

Mode1

Mode2

Mode3

Mode4

No. 17FEM(1,0): 2.58 Mode1: 2.58(0,1): 5.15 Mode2: 5.13(2,0): 5.16 Mode3: 5.30(1,1): 5.76 Mode4: 5.92zO

CSabyx高次モードではより多くのメッシュ分割が必要

標準方形導波管: WRJ-4 (58.1 mm x 29.1 mm)
Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 18方形導波管のカットオフ波数
TEmn, TMmnモードのカットオフ波数mnk      a bc   kckfc  c2 2c22mn  0TMモードmn 0TEモード

標準方形導波管: WRJ-4 (58.1 mm x 29.1 mm)

ｆcu (GHz)
mn012340
0.00E+00
2.58E+00
5.16E+00
7.74E+00
1.03E+01

15.15E+00
5.76E+00
7.29E+00
9.30E+00
1.15E+01

2
1.03E+01
1.06E+01
1.15E+01
1.29E+01
1.46E+01

3
1.55E+01
1.57E+01
1.63E+01
1.73E+01
1.86E+01

4
2.06E+01
2.08E+01
2.12E+01
2.20E+01
2.30E+01

 中島将光：マイクロ波工学 基礎と原理, 森北出版, 1975.
 アンテナ・無線ハンドブック, オーム社, pp.17-41 （I編-3章）, 2006年10月.
Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 19

同軸ケーブル(TEMモード)
Cの計算

D dS dVS

V

ガウスの法則rEr  2r Qa

Er  Q2r, b
V  a Erdr Q logrba  Q logb
2
2 a

C  Q  2b
V log
a
Lの計算

b-Q
dD dS
H
dl

i

dS

C
S S dt アンペアの法則 JH  2r  I H  I-I2
r
  bH dr I logb a  2 a 特性インピーダンスblog
L     logb
LaI 2 aZ
Tokyo Institute of TechnologyQC 2b
HIaE

T. HiranoNo. 20

5D-2V同軸ケーブル解析例
COMSOL
In[1]:=In[5]:=

ab

1.4 2
10 3 ;
a 1.7 10 3 ;r 2.2;
r 1.;
00

8.85418782 10 12 ;1.25663706 10 6 ;
r0;
r0;
2cap
Log

babindLog

対数 a2

indZ0capTokyo Institute of Technology

Out[9]=9.93322 10 11Out[10]=2.46429 10 7Out[11]=49.8082

T. HiranoNo. 21

マイクロストリップ線路の設計

g  0 / reff  2 / g

http://www.takuichi.net/hobby/edu/em/mw_circuit/transmission_lines/
Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 22

線路に近接する構造の影響ついてS21

MSL

入力電力:

1出力電力:

S11 2  S21 2

損失電力:

1 S11  S21

Tokyo Institute of Technology

22S111T. Hirano線路に近接する構造の影響ついて

No. 23結合してしまう

結合線路

Tokyo Institute of Technology

T. Hirano線路のコーナーの影響について

No. 24

MSL

S21

入力電力:

1出力電力:

S11  S21

損失電力:

1 S11 2  S21 2R

2Tokyo Institute of Technology

2S111T. Hirano線路のコーナーの影響について

No. 25

漏れてしまうTokyo Institute of Technology

T. Hirano

COMSOLでの解析例

No. 26

http://www.takuichi.net/em_analysis/canonical/index_j.html
Tokyo Institute of Technology

T. Hirano

導波路モードの考え方

回路線路

No. 27

回路
アンテナ等

線路は各ブロックの信号伝送に用いられる。
不連続部では電磁界の境界条件を満たすように高次モードが発生する。減衰モードはその場所を離れると指数関数的に減衰する。
線路は普通、シングルモード（単一モード）で用いる。同軸ケーブルも高周波になるほど細くなるのはこのため。マルチモード（多重モード）では線路の曲げ方等によって特性は大きく変化するので安定動作しない。
線路は断面形状が無限に続くものとしてモードを計算しているので、不連続部やコーナー部では予期しない放射などが生じ得る。
線路の断面は理想的には2次元の無限に広い面を必要とするので（導波管のような閉構造は別）、線路を近づけると予期しない線路間の結合が起こる。

Tokyo Institute of Technology

T. Hirano

有限要素法でのポートの組み込み (1/2)

EP  E  BE()1()1No. 28E()

反射係数4635324112E()E ajEj  E  BENj1

Tokyo Institute of Technology()1()1
T. Hirano

有限要素法でのポートの組み込み (2/2)

No. 29

 K11 K12  K1N * a1   F1 
K K  K *a   F 2N
 21 22
 2   2     *      
K K  K *a  F NN
 N1 N2
 N   N 
 ** * * * B   * 
この方程式を生成するためには、モード関数との内積を取る

e()Tokyo Institute of Technology

T. HiranoNo. 30

付録： 厳密なTE, TMモードの導出

導波路問題(2次元問題, TE波, TM波) (1/3)

No. 31(A)(B)
マクスウェルの方程式

VA  V AVAABC  ACBA BCxCzy

Tokyo Institute of Technology

S(C)(A)の下(B)の下(一様媒質でしか下の変形は通用しない）

T. Hirano

導波路問題(2次元問題, TE波, TM波) (2/3)

No. 32 AB  BAABz^.(A)の下z^.(B)の下カットオフ(遮断)波数
222ck k (k  )Ez, Hzは独立にヘルムホルツの方程式を満たす

ABC  ACBA BC(C)(C)を使うTokyo Institute of Technology

T. Hirano

導波路問題(2次元問題, TE波, TM波) (3/3)

Tokyo Institute of Technology

No. 33

T. Hirano