情報通信システム(特)論II
Information and Communication Systems II

第３回講義資料
Lecture notes 3

無線通信路と統計モデル１
Wireless Channels and Statistical Modeling 1

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1

目標(Goal)
物理層における無線通信システムのほとんどは、物理法則に基づいて以下のシステムでモデル化できることを学ぶ。
Learn that almost all wireless communication systems in the physical layer can be modeled withthe following system based on physical laws.

無線通信路の離散時間統計モデル(Discrete-time statistical model of wireless channels)𝒚 = 𝑯𝒙 + 𝒘,𝒘 ∼ 𝒞𝒩(𝟎, 𝜎 2 𝑰𝑀 )𝒙 ∈ ℂ𝑁 ：送信ベクトル(Transmitted vector)𝑦 ∈ ℂ𝑀 ：受信ベクトル(Received vector)

𝑯 ∈ ℂ𝑀×𝑁 ：通信路行列(Channel matrix)𝒘 ∼ 𝒞𝒩(𝟎, 𝜎 2 𝑰𝑀 )：加法的白色ガウス雑音(AWGN)ベクトル
Additive white Gaussian noise (AWGN) vector

統計的仮定(Statistical assumptions)•

送信ベクトル𝒙は平均𝟎である。(The transmitted vector 𝒙 is zero mean.)•

確率変数𝑯、𝒙、𝒘は独立である。(𝑯, 𝒙, and 𝒘 are independent random variables.)2

無線通信システムの概要 (Overview of wireless communication systems)
データシンボル

ベースバンド信号

帯域制限

Data symbols

Baseband signals

Band limitation

{𝑥𝑛 }

帯域幅

アップコンバート
Up-conversion𝑥b (𝑡)

搬送波周波数𝑊Bandwidth

白色ガウス雑音White Gaussian noise

Carrier frequency

高周波信号𝑤(𝑡)

無線通信路High frequency signals

𝑓c𝑥(𝑡)

Wireless channel

受信器(Receiver)ℎ(𝜏, 𝑡)

送信器(Transmitter)𝑦(𝑡)ベースバンド受信信号
ダウンコンバート
Down-conversion

Baseband received signals𝑦b (𝑡)

サンプリングSampling

周期

受信シンボル
Received symbols{𝑦𝑛 }Period𝑇 = 1/𝑊3

フーリエ変換の性質(Properties of the Fourier transform)
フーリエ変換(Fourier transform)∞

𝑓 = න 𝑥 𝑡 𝑒 −2𝜋j𝑓𝑡 𝑑𝑡 ,𝑋 𝑓 =ℱ 𝑥 𝑡−∞
逆フーリエ変換(Inverse Fourier transform)∞

𝑥 𝑡 = ℱ −1 𝑋 𝑓𝑡 = න 𝑋 𝑓 𝑒 2𝜋j𝑓𝑡 𝑑𝑓 .
−∞性質１(Property 1)

性質２(Property 2)ℱ −1 𝑋 𝑓 − 𝑎𝑡 = 𝑒 2𝜋j𝑎𝑡 𝑥 𝑡 .
∞ℱ −1 𝑋 𝑓 𝑌 𝑓𝑡 = න 𝑥 𝜏 𝑦 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 .
−∞デルタ関数(Delta function)∞

න 𝑓 𝑥 𝛿 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 .
−∞性質３(Property 3)

∞

ℱ𝛿 𝑡

𝑓 = 1,

න 𝑒 2𝜋j𝑓𝑡 𝑑𝑓 = 𝛿(𝑡).
−∞4離散時間ベースバンド表現(Discrete-time baseband representation)
時間領域(Time domain)

周波数領域(Frequency domain)𝑥b 𝑡 = ෍ 𝑥𝑛 𝑝(𝑡 − 𝑛𝑇) ,𝑋b 𝑓 = ෍ 𝑥𝑛 𝑒 −2𝜋j𝑛𝑓𝑇 𝑃(𝑓)𝑛𝑥𝑛 ：無相関複素データシンボル
Uncorrelated complex data symbol𝑛𝑇：シンボル周期(Symbol period)

パルス𝑝(𝑡)の自己相関関数(Autocorrelation function of the pulse 𝑝(𝑡))∞𝑔 𝑡 ≝ න 𝑝 𝜏 𝑝 𝜏 + 𝑡 𝑑𝜏−∞実パルス𝑝(𝑡)が満たすべき条件(Conditions required for the real pulse 𝑝(𝑡))𝑃 𝑓 = 𝑃 −𝑓 = 𝑃∗ (𝑓)𝑝 −𝑡 = 𝑝(𝑡)対称性(Symmetry)
帯域制限(Band limitation) 𝑃 𝑓 = 0 for 𝑓 ∉ [−𝑊/2, 𝑊/2]
ナイキスト基準(Nyquist criterion)
𝑔 𝑛𝑇 = ቊ

1 for 𝑛 = 00 for any non-zero integer 𝑛

これらの条件を満たすパルスを𝑇-直交パルスと呼ぶ。
A pulse satisfying these conditions is called 𝑇-orthogonal pulse.
5ナイキスト基準の意義(Significance of the Nyquist criterion)
整合フィルタ(Matched filter)∞∞𝑠 𝑡 = න 𝑝 𝜏 𝑥b (𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏 = ෍ 𝑥𝑛 න 𝑝 𝜏 𝑝 𝑡 − 𝜏 − 𝑛𝑇 𝑑𝜏−∞𝑛−∞= ෍ 𝑥𝑛 𝑔(𝑡 − 𝑛𝑇)𝑛

最後の等号は、𝑝(𝑡)と𝑔(𝑡)が偶関数であることから従う。
The last equality follows from the fact that 𝑝(𝑡) and 𝑔 𝑡 are even.

サンプリング(Sampling)
ナイキスト基準を使って、(Using the Nyquist criterion yields)𝑠𝑚 ≝ 𝑠 𝑚𝑇 = ෍ 𝑥𝑛 𝑔 𝑚 − 𝑛 𝑇 = 𝑥𝑚 .
𝑛

元のデータシンボルが得られる。(The original data symbol is obtained.)6𝑇-直交パルスの例(Examples of 𝑇-orthogonal pulses)
Sincパルス(Sinc pulse) 𝑝 𝑡 = sinc 𝑡 = sin 𝜋𝑡/𝑇 .
𝑇𝜋𝑡/𝑇
𝑇 = 1/𝑊：標本化定理(Sampling theorem)
RRCパルス(Root-raised cosine (RRC) pulse)
𝑃 𝑓 = 𝑆(𝑓)1𝑆 𝑓 =ቐ 0𝑠(𝑓)𝑠 𝑓 =for 𝑓 ≤ (1 − 𝛼)/(2𝑇)for 𝑓 > (1 + 𝛼)/(2𝑇)otherwise,1𝜋𝑇
1 + cos
2𝛼𝑓 −𝑆(𝑓)1−𝛼2𝑇𝛼 ∈ [0, 1]：ロールオフ因子(Roll-off factor)
𝑇 = 1/{𝑊(1 + 𝛼)}𝑝(𝑡)は省略。(𝑝(𝑡) is omitted.)

𝑊−2𝑊2

自己相関関数𝑔(𝑡)のフーリエ変換が、電力スペクトル𝑆(𝑓)に等しい。
The Fourier transform of the autocorrelation function 𝑔(𝑡) is equal to the power spectrum 𝑆(𝑓).
7ベースバンド信号(Baseband signals)
時間領域(Time domain)𝑥b (𝑡)

周波数領域(Frequency domain)𝑋b 𝑓 = 0 for 𝑓 ∉ [−𝑊/2, 𝑊/2]

どちらも複素関数である。(Both signals are complex functions.)
アップコンバート(Up-conversion)𝑥b (𝑡)を[𝑓c − 𝑊/2, 𝑓c + 𝑊/2]に制限された実信号𝑥(𝑡)に変換する。
Transform the baseband signal to a [𝑓c − 𝑊/2, 𝑓c + 𝑊/2]-limited real signal.

周波数領域(Frequency domain)𝑋 𝑓 = 𝑋b 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑋b∗ (−𝑓 − 𝑓c )∴ 𝑋 −𝑓 = 𝑋 ∗ (𝑓)

時間領域(Time domain)𝑥 𝑡 = 𝑒 2𝜋j𝑓c 𝑡 𝑥b 𝑡 + 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝑡 𝑥b∗ (𝑡) = 2ℜ 𝑒 2𝜋j𝑓c𝑡 𝑥b 𝑡

8

ベースバンド表現(Baseband representation)
ダウンコンバート(Down-conversion)
受信信号𝑦(𝑡)をベースバンド信号𝑦b (𝑡)に変換する。

バンドパスフィルタ(Bandpass filter)

𝑃 𝑓 =0Transform the received signal 𝑦(𝑡) to a baseband signal 𝑦b (𝑡).

周波数領域(Frequency domain)

時間領域(Time domain)for 𝑓 ∉ [−𝑊/2, 𝑊/2]∞

𝑌b 𝑓, 𝑡 = 𝑃 𝑓 𝑌(𝑓 + 𝑓𝑐 , 𝑡)

𝑦𝑏 𝑡 = න 𝑝 𝑡 − 𝜏 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝜏 𝑦 𝜏 𝑑𝜏

ベースバンド表現(Baseband representation)−∞

通信路の周波数領域表現𝑌 𝑓, 𝑡 = 𝐻 𝑓, 𝑡 𝑋(𝑓)と𝑋(𝑓)の定義を代入すると、Substituting the frequency-domain representation of the channel and the definition of 𝑋(𝑓) yields

𝑌b 𝑓, 𝑡 = 𝑃 𝑓 𝐻 𝑓 + 𝑓c , 𝑡 𝑋b 𝑓 + 𝑋b∗ −𝑓 − 2𝑓c= 𝐻 𝑓 + 𝑓c , 𝑡 𝑃 𝑓 𝑋b (𝑓)

最後の等号は、𝑓 ∉ [−𝑊/2, 𝑊/2]に対して𝑃 𝑓 = 0から従う。
The last equality follows from 𝑃 𝑓 = 0 for 𝑓 ∉ [−𝑊/2, 𝑊/2].

∞∞𝑦b 𝑡 = න 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝜏 ℎ 𝜏, 𝑡 𝑠(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 ,−∞𝑠(𝑡) ≝ ℱ −1 𝑃 𝑓 𝑋b 𝑓

𝐻 𝑓, 𝑡 = න ℎ 𝜏, 𝑡 𝑒 −2𝜋j𝑓𝜏 𝑑𝜏 ,∞−∞𝑡 = න 𝑝 𝜏 𝑥b (𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏.
−∞9離散時間ベースバンド表現(Discrete-time baseband representation)
以下の２式から、離散時間ベースバンド表現を導出する。
We shall derive a discrete-time baseband representation from the following two equations:∞𝑦b 𝑡 = න 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝜏 ℎ 𝜏, 𝑡 𝑠(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 ,𝑠 𝑡 = ෍ 𝑥𝑛 𝑔(𝑡 − 𝑛𝑇) .
−∞𝑛

離散時間受信シンボル(Discrete-time received symbol)∞

𝑦𝑚 = 𝑦b 𝑚𝑇 = ෍ 𝑥𝑛 න 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝜏 ℎ 𝜏, 𝑚𝑇 𝑔 𝑚𝑇 − 𝜏 − 𝑛𝑇 𝑑𝜏𝑛−∞= ෍ ℎ𝑚,𝑚−𝑛 𝑥𝑛𝑛

通信路の離散時間インパルス応答(Discrete-time channel impulse response)∞ℎ𝑚,𝑛 = න ℎ 𝜏, 𝑚𝑇 𝑔 𝑛𝑇 − 𝜏 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝜏 𝑑𝜏−∞

一般に、𝑛 < 0に対してℎ𝑚,𝑛 ≠ 0 (In general, ℎ𝑚,𝑛 ≠ 0 for 𝑛 < 0.)
行列表示すると、(In a matrix form,)𝒚 = 𝑯𝒙.
10加法的白色ガウス雑音(Additive white Gaussian noise (AWGN))
受信回路で発生する熱雑音は、AWGN𝑤(𝑡)としてモデル化される。
Thermal noise in receive circuits is modeled as AWGN 𝑤(𝑡).

𝔼𝑤 𝑡= 0,𝔼 𝑤 𝑡1 𝑤 𝑡2= 𝑁0 𝛿 𝑡1 − 𝑡2 .

ベースバンド表現(Baseband representation)𝑤(𝑡)を𝑤b (𝑡)に「ダウンコンバータ」する。(Down-convert 𝑤(𝑡) to 𝑤b (𝑡).)∞𝑤b 𝑡 = න 𝑝 𝑡 − 𝜏 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝜏 𝑤 𝜏 𝑑𝜏 ,−∞𝔼 𝑤b 𝑡= 0.

𝑤b (𝑡)は次の相関特性を持つ複素ガウス過程である。
𝑤b (𝑡) is a complex Gaussian process with the following correlation properties:

自己相関関数(Autocorrelation function)′𝔼 𝑤b 𝑡1 𝑤b∗ 𝑡2 = න 𝑝 𝑡1 − 𝜏 𝑝 𝑡2 − 𝜏 ′ 𝑒 −2𝜋j𝑓c 𝜏 𝑒 2𝜋j𝑓c 𝜏 𝑁0 𝛿 𝜏 − 𝜏 ′ 𝑑𝜏𝑑𝜏′ℝ2∞= 𝑁0 න 𝑝 𝑡1 − 𝜏 𝑝 𝑡2 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑁0 𝑔 𝑡1 − 𝑡2 .
−∞𝔼 𝑤b 𝑡1 𝑤b 𝑡2=0

次ページを見よ。(See the next page.)11加法的白色ガウス雑音(Additive white Gaussian noise (AWGN))
Proof of 𝔼 𝑤b 𝑡1 𝑤b 𝑡2= 0.
∞

𝔼 𝑤b 𝑡1 𝑤b 𝑡2= 𝑁0 න 𝑝 𝑡1 − 𝜏 𝑝 𝑡2 − 𝜏 𝑒 −4𝜋j𝑓c 𝜏 𝑑𝜏−∞𝑝 𝑡 = ∫ 𝑃 𝑓 𝑒 2𝜋j𝑓𝑡 𝑑𝑓を代入すると、(Substituting 𝑝 𝑡 = ∫ 𝑃 𝑓 𝑒 2𝜋j𝑓𝑡 𝑑𝑓 yields)
𝔼 𝑤b 𝑡1 𝑤b 𝑡2′= 𝑁0 න 𝑃 𝑓 𝑃 𝑓 ′ 𝑒 2𝜋j𝑓 𝑡1 −𝜏 +2𝜋j𝑓 𝑡2 −𝜏 −4𝜋j𝑓𝑐 𝜏 𝑑𝜏𝑑𝑓𝑑𝑓 ′ℝ3′

= 𝑁0 න 𝑃 𝑓 𝑃 𝑓 ′ 𝑒 2𝜋j(𝑓𝑡1 +𝑓 𝑡2) 𝛿(𝑓 + 𝑓 ′ + 2𝑓c ) 𝑑𝑓𝑑𝑓′ℝ2∞= 𝑁0 න 𝑃 𝑓 𝑃 −𝑓 − 2𝑓c 𝑒 2𝜋j{𝑓𝑡1 − 𝑓+𝑓c 𝑡2 } 𝑑𝑓 = 0.
−∞

離散時間表現(Discrete-time representation)
パルスのナイキスト基準から、(The Nyquist criterion for the pulse implies)
𝑤𝑚 ≝ 𝑤b 𝑚𝑇 ,𝑤𝑚 ∼ 𝒞𝒩(𝟎, 𝑁0 𝑰)
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