3章

１次関数

4 グラフと図形学習の基本問題▼チェック問題 扌 P 84，85

三角形の面積の２等分⑴1右の図で，頂点Aを通り，〜頂点を通る直線〜ABC の面積を2等分する直線yの式を求めよ。
解A(3, 6)

右の図のように，三角形の1つの頂点を通り，向かい合う辺の中点を通る直線は，三角形の面積は等しい

面積を2等分するから，A（3，6）を通り，線B(-3, 0) O

分 BC の中点を通る直線の式を求めればよい。

x中点

 −3＋5 0＋0 
線分 BC の中点は，より（1，0）
，
 2
2 

2点（a，b），（c，d）
を結ぶ
線分の中点の座標は，だから，2 点A（3，6），（1，0）を通る直線の a＋c b＋d  2 ， 2 式を求めればよい。
答C(5, 0)y＝3x−3➡底辺の長さと高さが等しい2つの三角形は，面積が等しい。

1 次の図で，線分 AB の中点の座標を求めよ。
⑴□⑵

yA(-2, 0)

B(6, 0)O⑶yA(1, 9)x

B(7, 1)Oy
B(5, 7)xA(-7, -1)

Ox

2 次の図で，頂点Aを通り， ABC の面積を2等分する直線の式を求めよ。
⑴

□⑵

⑶

yA(2, 3)B(-3, 2)

xO
C(1, -4)3 右の図のように，2 直線 y＝−2x＋6 ……①，y＝ 12 x−4 ……②がある。y 軸と直線①，直線②との交点をそれぞれ A ，B ，直線①と②の交点をCとする。このとき，次の問いに答えよ。
⑴

点Cの座標を求めよ。

⑵

点Bを通り，ABC の面積を2等分する直線の式を求めよ。

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4

学習の基本★

三角形の面積の２等分⑵2グラフと図形〜辺上の点を通る直線〜右の図で，2 直線 ¬，m は，それぞれ関数 y＝x＋4，問題

y＝−x＋8 のグラフである。点Aは¬とmの交点で，2 点 B ，C はそれぞれx軸と ¬，m との交点である。このとき，原点Oを通り，ABC の面積を2等分する直線nの式を求めよ。

y＝x＋4

解

y＝−x＋8を解いて，A（2，6） また，B（−4，0），

C（8，0）となるから，

1
ABC の面積は， ×｛8−（−4）｝×6＝362

直線mとnの交点をDとし，点Dのy座標をtとすると，1119だから， ×8×t＝36× ，t＝2222点Dのx座標は，79979D ， より，直線nの傾きは， ÷ ＝
22227答

y＝

DOC の面積はABC の面積の97＝−x＋8，x＝22

よって，直線nの式は，y＝9x79x7➡点の座標を未知数とし，三角形の面積についての方程式をつくる。

★

4 右の図で，2 直線 ¬，m は，それぞれ関数 y＝− 12 x＋10，y＝x−2 のグラフである。点Aは¬とmの交点で，2 点 B ，C はそれぞれy軸と ¬，m との交点である。次の問いに答えよ。
⑴

ABC の面積を求めよ。

⑵

原点Oを通り，ABC の面積を2等分する直線をnとし，直線¬とnの交点をDとする。このとき，次の①，②を求めよ。
①★

点Dのx座標②直線nの式5 右の図のように，4 点 O（0，0），A（4，2），B（4，5），C（0，6）
を頂点とする台形 OABC がある。次の問いに答えよ。

□⑴

台形 OABC の面積を求めよ。

⑵

点Aを通る直線¬が台形 OABC の面積を2等分するとき，次の①，②を求めよ。

□①★

直線¬とy軸の交点Dの座標

□②

¬

直線¬の式

6 上の 5 の図において，点 E（0，2）を通る直線mと辺 AB の交点をFとすると，台形 OAFE□の面積は台形 OABC の面積の1になる。このとき，直線mの式を求めよ。
3
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3章

１次関数

学習の基本問題3

平行四辺形の面積の２等分

右の図で，直線 ¬：y＝ax−2 が平行四辺形 OABC の面積を2等分するとき，a の値を求めよ。
解平行四辺形は対角線の交点（対角線の中点）を通る直線で，面積が2等分される。

¬ : y=ax-2yC(2, 4)

B(6, 4)

面積は等しいよって，直線¬が線分 OB の中点O 0＋6 0＋4 
より（3，2）を通ればよいか 2 ， 2 x

A(4, 0)

対角線の中点ら，y＝ax−2 に，x＝3，y＝2 を代入して，
2＝3a−2，a＝
答

a＝4
343➡平行四辺形は対角線の交点を通る直線によって，合同な2つの図形に分けられる。

7 次の図で，直線¬が平行四辺形の面積を2等分するとき，a やbの値を求めよ。
⑴□⑵¬ : y=ax-3yC(3, 6)

B(8, 6)yD(0, 8)C(6, 8)¬ : y=OA(5, 0)xA(-2, 0) O

1x+b2xB(4, 0)8 次の図で，四角形 ABCD は平行四辺形である。点Pを通り，平行四辺形 ABCD の面積を2等分する直線の式を求めよ。
⑴□⑵

yA(2, 5)yD
P(0, 6)

B(0, 1)O

C(4, 1)x
P(2, 0)A(2, 6)OB

9 右の図で，四角形 OABC は平行四辺形で，点 A，C の座標はそD

C(7, 0)xy

れぞれ（9，0），（3，8）である。

C⑴

点Bの座標を求めよ。

⑵

線分 AC と線分 OB の交点の座標を求めよ。

⑶

点P（3，0）を通り，平行四辺形 OABC の面積を2等分する直線の式を求めよ。

OB

Ax

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研究セミナー★

問題

グラフと図形

最短距離

右の図のように，2 点 A(−1，3)，B(4，2) がある。x 軸上に点Pをとり，AP＋PB の長さが最短になるようにしたときの点Pの座標を求めよ。
解

点Aとx軸について対称な点を A' とすると，AP＝A'P だから，AP＋PB＝A' P＋PB となる。よって，A' PB が一直線になるとき，AP＋PB の長さは最短になる。
'直線 A' B の式を y＝ax＋b とすると，A（−1，−3），B（4，2）を通ることより，−3＝−a＋b

これを解いて，a＝1，b＝−2 より，y＝x−2

2＝4a＋b

点Pのy座標は0だから，x 座標は，0＝x−2 より，x＝2 よって，P（2，0）
答 （2，0）➡x軸に対称な点はy座標の正負が逆，y 軸に対称な点はx座標の正負が逆。
★

問題１ 右の図のように，2 点 A（2，8），B（8，4）がある。
□
x 軸上に点Pをとり，AP＋PB の長さが最短になるよ

うにしたときの点Pの座標を求めよ。

★

問題２ 右の図のように，2 点 A（4，6），B（8，−2）がある。
□
y 軸上に点Pをとり，AP＋PB の長さが最短になるようにしたときの点Pの座標を求めよ。

★
★

問題３ 右の図の台形 ABCD で，A（−3，4），B（−5，0），□C（2，0），D（2，4）で あ る。 辺 CD 上 に 点Pを と り，

AP＋PB の長さが最短になるようにしたときの点Pの座標を求めよ。

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3章

１次関数

チェック問題 14グラフと図形

レベル１

学 1

1 右の図のように，3 直線 y＝2x ……①，y＝ 12 x ……②，y＝−1x＋10 ……③ がある。直線①と③の交点を A ，直線②と2③の交点をBとするとき，次の問いに答えよ。

学 2⑴

点 A ，B の座標をそれぞれ求めよ。

⑵

点Bを通り，OAB の面積を2等分する直線の式を求めよ。

2 右の図で，直線¬は A（−4，0）を通り傾きが 32 ，直線mは B（8，0）
を通り，¬ とmは点Cで交わっている。次の問いに答えよ。
□⑴

直線¬の式を求めよ。

□⑵

点Cのx座標が4のとき，原点Oを通り，ABC の面積を2等分する直線の式を求めよ。

学 33

右の図のように，平行四辺形 OABC があり，点 A，C の座標はyそれぞれ（7，0），（1，6）である。対角線 AC と OB の交点をDとす

CBるとき，次の問いに答えよ。
⑴

点Bの座標を求めよ。

DO

Ax⑵

点Dの座標を求めよ。

⑶

直線 y＝x＋b が平行四辺形 OABC の面積を2等分するとき，b の値を求めよ。

⑷

点（6，0）を通る直線¬が平行四辺形 OABC の面積を2等分するとき，¬ の式を求めよ。
レベル２

★

4□

右の図のように，3 点 A（−1，4），B（−4，0），C（5，0）を頂点とする

ABC がある。原点Oを通り，yABC の面積を2A等分する直線の式を求めよ。

BO

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4チェック問題 24グラフと図形グラフと図形

レベル１
学 4

1 右の図で，直線¬は関数 y＝−3x＋15 のグラフで，A（2，p）は直線¬m¬ 上にある。原点Oと点Aを通る直線をmとするとき，次の問いに答えよ。
⑴

交点Aのy座標pと，直線mの式をそれぞれ求めよ。

⑵

直線 y＝k と2直線 m ，¬ との交点をそれぞれ B ，C とする。
BC＝10 となるkの値を求めよ。ただし，k＜0 とする。

★

2 右の図で，直線 ¬，m はそれぞれ関数 y＝x＋4，y＝−2x＋16

学 5のグラフであり，点Aは¬とmの交点，点Bは¬とy軸との交点，点Cはmとx軸との交点である。点 P ，Q をそれぞれ線分AB，AC 上，点 R ，S をx軸上に，四角形 PRSQ が長方形になるようにとる。次の問いに答えよ。
⑴

点Pのx座標をtとするとき，点Qのx座標をtを使って表せ。

⑵

四角形 PRSQ が正方形になるときの点Pの座標を求めよ。

レベル２★

3 右の図で，直線 ¬，m の式はそれぞれ y＝ 34 x＋1，1x−2 であり，点 P，Q は直線¬上の点である。点 P，Q2を通りy軸に平行な直線と直線 m，x 軸との交点をそれぞれ R，y＝−S とする。点Pのx座標が正で，点Qのx座標が点Pのx座標より6大きいとき，次の問いに答えよ。
□⑴

点Pのx座標をtとして，線分 PR の長さをtを使って表せ。

□⑵

四角形 PRSQ が平行四辺形となるとき，点Pの座標を求めよ。

□⑶⑵のとき，原点を通り，平行四辺形 PRSQ の面積を2等分する直線の式を求めよ。
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3章

１次関数

3章の確認
1１ 次関数下の⑴～⑷にあてはまるものを，次の式の中からそれぞれすべて選び，記号で答えよ。
アイ

y＝x＋6

y＝2x＋3ウy＝6x

エ y＝−3x＋6⑴ yはxの1次関数である。
⑵ xの値が増加するとき，それに対応するyの値も増加する。
⑶

グラフがy軸上の同じ点を通る。

⑷ xの変域が 0≦x≦2 のとき，y の変域は 0≦y≦6 である。

2⑴１ 次関数の求め方

次の問いに答えよ。

変化の割合が −2 で，x＝3 のとき y＝0 である1次関数の式を求めよ。

⑵ 2点（12，1），（3，−2）を通る直線の式を求めよ。

3１ 次関数と方程式

右の図について，次の問いに答えよ。

⑴①～④の直線の式を求めよ。

⑵

連立方程式

⑶

直線③と④の交点の座標を求めよ。

y＝x−3y＝−2x＋12の解を，右の図を利用して求めよ。

4 グラフと図形 右の図のように，3 点 O（0，0），A（4，2），
B（0，6）
を頂点とする

OAB と，点 P（0，4）がある。このとき，

次の問いに答えよ。
⑴

点Aを通り， OAB の面積を2等分する直線の式を求めよ。

⑵

点Pを通り， OAB の面積を2等分する直線の式を求めよ。

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3章

１次関数

3章の応用
1 兄と弟が9時ちょうどに家を出発し，同じ道を通って，家から11 km 離れた遊園地に向かった。兄は自転車に乗り時速 12 km で進み，弟は1km 離れたバス停まで時速3km で歩き，そこで13分間待ち，バスに15分間乗って遊園地に着いた。
右の図は，兄と弟が家を出発してから遊園地に着くまでの，時間と道のりの関係をグラフに表したものである。

★

⑴

弟が遊園地に到着したのは何時何分か。

⑵

弟の乗ったバスが兄の自転車に追いついたのは，家から何 km の地点か。

2 右の図で，直線①，②はそれぞれ関数 y＝−x＋12，y＝2x のグラフである。直線①と直線②，x 軸との交点をそれぞれA，B とする。x 軸上の点Pからy軸に平行な直線をひき，直線②，①との交点をそれぞれQ，R とする。また，図のように長方形 PTSQを作る。
このとき，次の問いに答えよ。
□⑴★
★

AOB の面積を求めよ。

□⑵

点Pのx座標が2のとき，長方形 PTSQ の面積を求めよ。

□⑶

点Qが線分 OA 上にあり，PQ＝QR となるときの点Pの座標を求めよ。

3 4点 A（0，6），O（0，0），B（12，0），C（6，6）を頂点とする
台形 AOBC がある。点 P ，Q はそれぞれ点 O ，C を同時に出発して，P は辺 OB 上をBまで秒速2cm で，Q は辺 CA 上をAまで秒速1cm で動く。2 点 P ，Q を通る直線を¬とするとき，次の問いに答えよ。ただし，座標軸の1目もりを1cm とする。
□⑴

点Pの座標が（3，0）のとき，直線¬の式を求めよ。

□⑵

出発してからt秒後（0≦t≦6）の台形 AOPQ の面積をScm2 として，S をtの式で表せ。

□⑶

台形 AOPQ の面積が台形 AOBC の面積の5倍になるのは，出発してから何秒後か。
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