はじめに人に教えられるくらいの本物の算数力を身につける！
⁃ ⁃ 算数の疑問を徹底的にわかりやすく解説

算数は、
「なぜ？」
「どうして？」「どうやって？」と疑問を持つことがとても大切な科目です。
かいきゅう「2020年度から小学校で習う『ドットプロット 』や『 階 級 』って何？」「どうして分数の割り算はひっくり返すの？」「円の面積は、 なぜ『半径 × 半径 × 3.14』で求められるの？」「なぜ、 筆算でかけ算や割り算の計算ができるの？」
このような疑問を持つことで、算数への興味がどんどん増していきます。本書は、これらの疑問に対して、徹底的にわかりやすく解説した本です。小学校６年間に習う算数の全範囲（全13章）にわたる疑問を解決していきます。小学１年生で習う「たし算と引き算」から、小学６
ひ れい

はん ぴ れい年生で習う「比例と反比例」まで、算数の全範囲を幅広くカバーしています。

ぞう ほ かい てい ばん

本書は、2016年に刊行されたロングセラーの増 補 改 訂 版 です。主な改訂ポイントは、次の４つです。
しん がくしゅう し どう ようりょう【ポイント１】2020年度からの新 学 習 指 導 要 領に対応！
【ポイント２】第 13章に『 データの調べ方 』を新設（新学習指導要領に準拠）！
【ポイント３】全12項目を新たに書き下ろして、 グレードアップ！
【ポイント４】『 文 系 の 親 御さんでもわか る！ 2020年 度から必 修
かん まつ ふ ろく

化の「プログラミング教育」とは？』を巻 末 付 録に新設！
003

【ポイント４】『 文系の親御さんでもわかる！

それぞれのポイントの具体的な内容は、次の通りです。

2020年度から必修
かん まつ ふ ろく

化の「プログラミング教育」とは？』を巻 末 付 録に新設！
しん がくしゅう し どう ようりょう【ポイント１】2020年度からの新 学 習 指 導 要 領 に対応！

2020年度から、小学校でプログラミング教育が必修となります。
お父さん、お母さんの中には、「プログラミング教育って何？」「子新しい学習指導要領では、例えば、『速さ』の単元を学ぶ学年がどもにプログラミングについて聞かれたら、 どう答えればいいの小6から小5に変更されました。本書では、このような一部単元 のだろう？」と不安に感じていらっしゃる方も多いのではないでしょ

学習内容の変更や、それを習う学年の変更に対応しています。

うか？

たん げん

そこで、プログラミング教育の内容や目的をざっくり理解していただけるよう、本書の巻末付録として、この項目を新設しました。
【ポイント２】第 13章に『 データの調べ方 』を新設（新学習指導要領に準拠）！

また、本書は、主に次の方を対象にしています。

今回の学習指導要領では、小学算数の範囲である『データの調●お子さんの算数の疑問を解決してあげたいお父さん、お母さん

べ 方 』の単元に、新たな用語が加わりました。例えば、ドットプ●お子さんに算数を上手に教えたいお父さん、お母さん

ロットという用語や、それまで中学数学の範囲だった代 表 値 、階 級

●算数をもっと深く理解したい小学生、中学生などの用語です。本書では、これらの新しく追加された内容につい●算数の学び直しや頭の体操をしたい大人の方ても徹底的にわかりやすく解説しています。

●小学校で習った算数をより深く理解したい大人の方

だい ひょう ち

かい きゅうほとんどの大人の方が「算数はかんたんだ」「算数の内容なんてすべてわかっている」と思っているでしょう。しかし一方で、「どうして分【ポイント３】全12項目を新たに書き下ろして、 グレードアップ！
き そん

数の割り算はひっくり返すの？」のような質問に、スムーズに答えられる方は多くはありません。

既存の第1章から第12章についても、さらに内容を充実させるべ
く、各章に1つずつ新しい項目を追加しました。算数の各単元に計算や筆算の仕方、公式などはわかっていても、「なぜこの方法で計ついて、より深く、楽しく理解していただけるよう、ボリューム算できるのか？」「なぜこの公式が成り立つのか？」というような根本アップ、パワーアップした内容になっています。

的な質問にスムーズに答えられる人は意外に少ないものです。このような根本的な疑問に答えられてこそ、「本物の算数力」が身についている004

はじめに005

のだと言えます。
お父さん、お母さんなら、お子さんに算数の質問をされたときに、できるだけわかりやすく答えてあげたいでしょう。
また、算数の学び直しをしたい方なら、表面的にわかるだけでなく、算数をできるだけ深く理解しながらおさらいすることに興味があるでしょう。
本書は、そのような方にむけて、算数の「なぜ？」「どうして？」「どうやって？」などの質問を徹底的にかみくだいて、わかりやすく解説していきます。そして、最終的には読者の方自身が、「人に教えられるくらいの本物の算数力を身につける」ことを目指します。
算数では、 用語の意味をきちんと理解することも大切です。なぜな
ひあたい

ら、算数の学習は、「最小公倍数」「円周率」「比の値」などの算数用語の意味を、確実に理解するところからスタートすると言っても過言ではないからです。
そのため、この本ではそれぞれの用語の意味を丁寧に解説しています。
さくいん

また、いつでも調べられるように、巻末に索引をつけています。
私自身の20年以上の指導経験や、算数関連の著書の執筆経験のなかで追求してきた「一番わかりやすい教え方」を、本書にすべてつめこむことができました。その点で、他にはない１冊にすることができたと自負しています。この本によって、本物の算数の力を身につけていただければ幸いです。
006

小杉 拓也

はじめに007本書を読んでいただく前にだけでなく、あらゆる科目で疑問を持つことは素晴らしいことです）。
それによって、子供は算数について、積極的にいろいろな疑問を持つようになります。疑問を持つ子は算数の力が伸びていきます。

ここから、お父さん、お母さんに向けてと、算数の学び直しをしたい

そして、最大限にほめた後は、子供の質問に対して、できるだけわか方に向けてのメッセージをそれぞれ続けてお伝えします。まずは、お父りやすく解説しましょう。お父さん、お母さんがすべて一方的に解説すさん、お母さんに伝えたいメッセージです。

るのではなく、「子供にできるだけ考えてもらいながら解説する」ようにするのが望ましいです。具体的には、「A だから B になる」と解説するところを、「A だから、次はどうなると思う？」というように、質問⁃ ⁃ 疑問を一緒に解決して、子供の思考力を伸ばそう！⁃（お父さん、お母さんに向けて①）することによって、 子供にも考えてもらいながら解説することをおすすめします。
子供が納得するまで親身に解説して、一緒に疑問を解決していきま

子供が算数の質問をしたとき、あなたはスムーズに答えることができるでしょうか？

質問をされることを、やっかいに思っていませんか？

しょう。自分で疑問を持ち、 それを解決していく過程で、 子供は考える力をさらに深めます。 そして、算数に面白さを感じ、算数が好きになります。

子供の質問に対して、「そんなのわからないよ。学校の先生に聞いてきなさい」や「そんな質問より、宿題はやったの？」のように言って、子供の思考力をぐんぐん伸ばすために、「疑問を持つ→疑問を解決→他人まかせにしたり、話をそらしたりするのは望ましくありません。

思考力が伸びる→さらに疑問を持つ→…」という好循環を作ってあげることが大切です。

では、「どうして分数の割り算はひっくり返すの？」などの難しい質問を子供がしてきたら、どう答えればよいのでしょうか？

疑問を持つ

そんなときは、子供の質問に対して、まず最大限にほめてあげてください。「よくそんな質問を思いついたね！

すごいね！」「なかなか他の人は気付かない疑問に気付いてえらいね！

どうして気付いたの？」というように、ほめてあげましょう。
最大限にほめることによって、「算数で疑問を持つことは素晴らしいことなんだ」ということを子供に実感してもらうことができます（算数008

本書を読んでいただく前に思考力が伸びる

解決
する

算数で思考力を伸ばす好循環009本書で扱っている算数の疑問は、大きく３つに分けることができます。
それは、⁃ ⁃ エジソンを大発明家に導いた親の力⁃（お父さん、お母さんに向けて②）「Why（なぜ？）」「How（どうやって？）」「What（～って何？）」
ここで、白熱電球などの発明で知られる、発明王エジソンの話をしまです。この３つの疑問を解決していく過程で、 本当の算数力が身につす。エジソンが小学生のとき、学校の先生が「１＋１＝２」の解説をしき、 思考力を伸ばすことができるのです。

ました。そのとき、エジソンは、「なぜ『１＋１＝２』なの？

１つの粘土と１つの粘土を合わせたら、大きな１つの粘土のかたまりになる
一方、子供の質問に対して、他人まかせにしたり、話をそらしたりすよ。
」と先生に聞いて困らせたそうです。

ると、この好循環を断ち切ってしまうことがあります。このようなことを繰り返していると、子供が「質問しちゃだめなんだ」「疑問を持つのはいけないことなんだ」のように考えてしまうおそれもあります。

これだけでなく、いつも教師に「Why ？（なぜ？）」と聞き続けて、教師を困らせたあげく、エジソンは退学処分になってしまいました。学校を退学になった後、誰もフォローしなければ、エジソンは大発明家に子供がこのような思いこみを持ってしまうと、疑問を解決する楽しさなることはなかったでしょう。

を実感できないので、思考力を伸ばすことができません。公式の成り立
つ理由がわからず、ただ公式だけを覚えるようになるので、考える力がしかし、母親のナンシーが、エジソンを見放しませんでした。退学後、育たないのです。また、疑問が解決されないまま、算数の面白さを実感

ナンシーがエジソンの個人教師となり、エジソンが納得するまで何でもできず、算数が嫌いになってしまうことさえあります。そうならないよ教え続けたのです。そして、エジソンが興味を持ったことは、できるだ

うに、子供の質問に対して、 親身になって一緒に解決する姿勢を持っけ実行させる環境を作りました。例えば、自宅の地下室を実験室としてていきましょう。

使うことを許したのも、母親のナンシーでした。

ところで、算数の質問をあまりしてくれない子供もいます。そんな子

その結果、エジソンは21歳で初めて特許をとり、生涯に1300もの発

供には、お父さん、お母さんから、「どうして分数の割り算はひっくり明をする大発明家へと成長していったのです。後にエジソンは次のよう返すと思う？」のように聞いてあげましょう。そのように、親御さんかに述べています。

ら質問して一緒に考えることによって、子供の思考力を伸ばしていくことができるのです。

「今日の私があるのは母のおかげです。母はとても誠実で、私を信頼してくれていましたから、私はこの人のために生きようと思いました。
この人だけはがっかりさせるわけにはいかないと思ったのです。
」（ニール・ボールドウィン著・椿正晴訳『エジソン』三田出版会）

010

本書を読んでいただく前に

011

日本には、エジソン、スティーブ・ジョブズ、ビル・ゲイツのような天才がなかなか出てきません。しかし、エジソンの母親のように、子供の「なぜ？」を大切にして一緒に解決しようとする親が増えれば、エジ⁃ ⁃ 算数の本当の理解＝それを人に教えられること⁃（学び直しや頭の体操をしたい方に向けて）ソン級の天才が日本で登場する可能性も出てくるのではないでしょうか。
ここからは、自らのために算数を学びたい方に向けてのメッセージとここまで、子供の質問に親身になって解決する大切さについてお話ししてきました。とはいうものの、公式が成り立つ理由などの質問に対しなります。もちろん、お子さんに算数を教えたい親御さんも読んでいただければと思います。て、答えるのを難しく感じる方は多いのではないでしょうか。
あなたは算数を本当の意味で理解できているでしょうか。本当の意「わかりやすく説明する」のは、 実は最も難しいことです。なぜなら、味で理解するということは、「人に教えられるくらいになる」というこ頭の中でわかっていても、それを言語化し、さらに小学生でもわかるよとです。もっと言うと、「小学生に説明してもわかってもらえるくらいうに教えることは至難の業だからです。ですから、親御さんが子供にど理解する」ことだとも言えます。

し なん

わざのように説明していいか迷ってしまうのは当然です。そこで、そのように困ってしまう親御さんのために本書を執筆しました。

ほとんどの大人の方は、「なんとなく」のレベルでなら、算数を理解しているでしょう。しかし、「どうして筆算で計算できるのか？」「どう本書では、算数の「なぜ？」「どうやって？」「〜って何？」などの質問に対して、他のどの本にもないくらいに、丁寧かつわかりやすく解説して公式が成り立つのか？」などの疑問に対して、人に説明できるくらいに理解している人は少ないのではないでしょうか。

することを心がけました。お子さんに算数の質問をされたときに、本書が手助けになれば幸いです。

算数を「なんとなくわかっている状態」から、「本当に理解している状態」に引き上げることも、 本書の目的です。

算数は、「数学の入り口」とも言える科目です。算数が得意である生徒は、 そのまま数学が得意になる傾向が強いです。中学、高校で数学せっかく算数の学び直しをするなら、表面的なおさらいだけでなく、を得意教科にするためにも、算数を好きになり、得意にしていくことに人に説明できるくらいに深く理解をしたいものです。本当の意味で理解大きな意味があります。算数が得意になり、スムーズに数学の学習に移してこそ、「ああ、こういうことだったのか」と、算数の面白さを実感行できるよう導いてあげましょう。

することができます。
算数を表面的におさらいできる本はこれまでにもありましたが、真の意味で算数を理解できる本はほとんどありません。その意味で、本書はこれまでにない内容の濃い１冊になったと思っています。

012

本書を読んでいただく前に013

この本を読み終わったときに「算数が本当に理解できた！」「算数ってこんなに面白かったのか！」というような感想を持っていただけたな
ら幸いです。本書によって、算数が好きになる人が１人でも増えることCONTENTSを願っています。今まで知らなかった算数の世界をお楽しみください。
それでは、さっそくはじめましょう！

はじめに･･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 003
本書を読んでいただく前に･･････････････････････････････････････････････････････ 008

1第章

１年生～

7 +5は、どうやって計算するの？･･･････････････････････ 024

１年生～

15 -8は、どうやって計算するの？･････････････････････ 029

２年生～

どうして筆算でたし算の計算ができるの？･･････････ 032

２年生～

どうして筆算で引き算の計算ができるの？･･････････ 036

２年生～

交 換 法 則と結 合 法 則って何？･･･････････････････････････ 044

こう かん ほう そく

さんすうコラム014

本書を読んでいただく前にたし算と引き算の⁃「？」を解決する

けつ ごう ほう そく		 天才少年ガウスが一瞬で答えた計算問題 ･････････ 048015

この 3 ステップで、「 7 + 5 = 12 」と解くのが、さくらんぼ計算です。
小学生にとっては、さくらんぼを描いて楽しみながらできる方法でもあります。
「こんな方法、習わなかった」という方もいると思いますが、「 7 + 5 は、どうやって計算するの？」

現在、多くの小学校の教科書で、この方法が採用されています。
さくらんぼ計算で小学生がつまずくのは、①の「 5 を 3 と 2 に分け繰り上がりのあるたし算の計算法について、子供にこう聞かれたら、「 7 と何をたしたる」ところでしょう。5 を 3 と 2 に分けるためには、ら 10 になるか」をまず考える必要があります。

あなたはどのように教えますか？
おはじきを使う、指を曲げたり開いたりして教える、図に描いて教え繰り上がりのあるたし算を得意になるためには、この「たして 10 にる、などのさまざまな教え方があります。どの教え方が良い悪いというなる数」をスムーズに言えるようになる必要があります。 つまり、次のはないのですが、最終的には「 7 + 5 = 12 」の計算を頭の中で計算の□にあてはまる数をスラスラと言えるようになることが大切です。

（暗算）できるようになることが目標となります。
その目標に到達するためのステップとして、おすすめするのが「さく1 + □ = 102 + □ = 103 + □ = 104 + □ = 105 + □ = 106 + □ = 107 + □ = 108 + □ = 10らんぼ計算」という方法です。どんな方法か説明しましょう。

9 + □ = 10（例1） 7 ＋ 5 ＝

実際、小学 1 年生の教科書では、この「たして 10 になる数」を練習してから、繰り上がりのあるたし算の計算に進む構成になっています。

→

7＋5 = 127と3 を →たして103２そして、繰り上がりのあるたし算を苦手にしている子供は、この「たして 10 になる数」の練習が不十分である場合があります。その場合は、まず「たして 10 になる数」の練習をしっかりするようにしましょう。
ところで、「 7 + 5 は、どうやって計算するの？」と子供に尋ねられて、さくらんぼ計算ではなく、いきなり暗算のしかたを教えようとする① 5 の下にさくらんぼを描き、5 を 3 と 2 に分けて、中に書きます。と、うまくいかないことが多いものです。7 + 5 の計算をいきなり暗算② 7 と 3 をたして 10するのは、子供にとってハードルが高いからです。

③ 10 とさくらんぼの残りの 2 をたして、答えは 12 となります。
いきなり難しい方法を教えるのではなく、段階を踏んで徐々に教えて
024

7＋5は、どうやって計算するの？

025

たし 算と 引 き 算の「 ？ 」を 解 決 する

１年生～

第 １章

7＋5は、⁃
どうやって計算するの？

いくことを、専門用語で「スモールステップ法」と言います。スモール（例2） 79 ＋ 4 ＝のです。

→中に何段か入れてあげることで、のぼりやすい階段になります。

79と1 を →たして80

これならのぼれる！

1

3① 4 の下にさくらんぼを描き、4 を 1 と 3 に分けて、中に書きます。

←

一段が高い

② 79 と 1 をたして 80⇒③ 80 とさくらんぼの残りの 3 をたして、答えは 83 となります。

←小さい段（スモールステップ）をつける
さくらんぼ計算は、繰り上がりのあるたし算の暗算ができるようにな

このように、2 ケタ+1 ケタ（または 1 ケタ+2 ケタ）にも、さくらんぼ計算の考え方が応用できます。次に、2 ケタ+2 ケタについて、次の例をみてください。
（例3） 25 ＋ 36 ＝るための効果的なスモールステップだと言えます。この例に限らず、お子さんに教えるとき、急に難しいことを教えるのではなく、段階を踏ん

25＋36 = 61→

で徐々に発展的な内容を教えていくことをおすすめします。

25と5 をたして 30 →話をもとに戻しましょう。さくらんぼ計算を頭の中でできるようになれば、1 ケタ+1 ケタの繰り上がりのあるたし算の暗算ができるようになります。

531① 36 の下にさくらんぼを描き、36 を 5 と 31 に分けて、中に書きます。

また、さくらんぼ計算の考え方を使うことで、2 ケタ+1 ケタや 2 ケタ+2 ケタのたし算もできます。まず、2 ケタ+1 ケタについて、次の② 25 と 5 をたして 30③ 30 とさくらんぼの残りの 31 をたして、答えは 61 となります。

例をみてください。
026

7＋5は、どうやって計算するの？

027

たし 算と 引 き 算の「 ？ 」を 解 決 する

79＋4 = 83

階段に例えると、一段が高い階段をのぼるのは大変です。しかし、途のぼりにくいよ〜

第 １章

ステップ法で教えることにより、教えられる側の理解がスムーズに進むせます。一方、75 円は 10 円玉 7 枚と 1 円玉 5 枚で表せます。そして、硬貨を使って、「 56 + 75 」の筆算を表すと、次のようになります。

たし 算と 引 き 算の「 ？ 」を 解 決 する

２年生～

「 56 円+75 円 = 」と考えると、56 円は 10 円玉 5 枚と 1 円玉 6 枚で表初めて筆算を習うときに、小学校の先生から「なぜ筆算で計算ができるのか」を教わるはずです。しかし、時間がたつと、筆算のやり方はわかっても、筆算で計算ができる理由を忘れてしまったり、わからなくなってしまったりすることがあります。
そこで、筆算で計算ができる理由、まずは、たし算ができる理由につ56 ⇒＋ 75 ＋いて、おさらいしましょう。
まず、1 円玉（一の位）からみていきましょう。1 円玉の 6 枚と 5 枚（例） 56 ＋ 75 ＝をたすと、11 枚になります。1 円玉 11 枚のうち、10 枚を集めて、10この計算を筆算で解くと、次のようになります。

円玉 1 枚に交換します。この 10 円玉 1 枚が十の位に繰り上がります。
このように、1 円玉 10 枚を 10 円玉 1 枚と交換することが「繰り上156＋ 75131
では、この筆算で「 56 + 75 = 131 」が求められる理由について解説していきます。ここでは、「繰り上がるとはどういうことか」を理解することがポイントとなります。

032

どうして筆算でたし算の計算ができるの？

第 １章

どうして筆算で⁃たし算の計算ができるの？

それを理解するために、10 円玉と 1 円玉を使って説明しましょう。

がり」です。残った 1 円玉 1 枚は、そのまま答えの一の位になります。
図で表すと、次のようになります。
1 円玉 10 枚を 10 円玉 1 枚に交換り上がり＋033硬貨で例えるなら、1 円玉 10 枚を 10 円玉 1 枚と交換したり、10 円10 円玉 1 枚と 5 枚と 7 枚をたすと、13 枚になります。10 円玉 13 枚の玉 10 枚を 100 円玉 1 枚と交換したりすることが繰り上がりです。お子

うち、10 枚を集めて、100 円玉 1 枚に交換します。この 100 円玉 1 枚さんに説明するときは、実際の硬貨を使いながら、先ほどの筆算の説明が百の位に繰り上がります。このように、10 円玉 10 枚を 100 円玉をすると伝わりやすいでしょう。のまま答えの十の位になり、繰り上がった 100 円玉 1 枚は、そのまま

では、この項目で習った「 56 + 75 = 131 」の筆算について、次の穴埋め問題を解いて復習してみましょう。

答えの百の位になります。図で表すと、次のようになります。
練習問題

次の筆算について、ア～エのかっこにあてはまる言葉や数を答えましょう。

56＋7 5131

10 円玉 10 枚を100 円玉 1 枚に交換り上がり•十の位を 10 円玉、一の位を 1 円玉で表す。
•筆 算では、まず一の位に注目する。1 円玉 6 枚と 5 枚をたすと、11＋枚になる。
•１ 円玉 11 枚のうちの（ア ）枚が、10 円玉 1 枚になって繰り上がる。

131•次に、十の位に注目する。繰り上がった 10 円玉 1 枚と 5 枚と 7 枚をたすと、13 枚になる。
•十円玉 13 枚のうちの（イ ）枚が、100 円玉 1 枚になって繰り上がる。
これで、「 56 + 75 = 131 」と求めることができました。このように、硬貨を使って説明することによって、筆算でたし算の計算ができる理由や仕組みがわかります。
ところで、繰り上がりの正式な意味は、「ある位の数をたして 2 ケタになったとき、ひとつ上の位に数が移ること」です。
034

どうして筆算でたし算の計算ができるの？

•だから、答えは（ウ）になる。

•こ のように、1 円玉 10 枚を 10 円玉 1 枚と交換したり、10 円玉 10枚を 100 円玉 1 枚と交換したりすることが、（エ）である。

（答え）（ア）10、（イ）10、（ウ）131、（エ）繰り上がり
035

たし 算と 引 き 算の「 ？ 」を 解 決 する1 枚と交換することも「繰り上がり」です。残った 10 円玉 3 枚は、そ第 １章

次に、10 円玉（十の位）についてみていきましょう。繰り上がった