数理解析研究所講究録 1394 巻 2004 年 15-27

15Oleg Musin の論文 「The kissing number in four
dimensions」 の紹介
九州大学・数理学府

田上真 (Makoto Tagami)

Graduate School of Mathematics,
Kyushu University

1

Introduction

kissing number 問題とは一つの固定した球に同じ半径の球達を境界以外は交わらないよ
うに接触させていき, 一体いくつまで接触させることができるかという問題である (各次元に対するこの接触球の最大数をその次元における kissing number という). この問題は有名な 1694 年の Newton と Gregory の論争
球問題」 にまで遡る. この問題は非常に難しく.’ 3 次元においてすら長い間未解決のままであったが, 問題が提起されて以来約 250 午
経ってはじめて 3 次元の kissing number が 12 であることが Schiitte と van der Waerden[14] により完全に証明された (1956 年の Leech[10] による別証明もある). しかしこれら[10],[14] の証明は初等的ではあるが, 簡明であるとはいい難い.
1 次元, 2 次元の kissing number 問題は自明なので, 次は 4 次元である. 4 次元においては原点に半径 1 の球を固定し, $(\pm\sqrt{2}, \pm\sqrt{2},0,0)$ の士との位置を任意に取って得られる 24 個の点に半径 1 の球の中心をおくことで, 24 個の球を接触球が境界以外交わらない$\lceil 13$$\sqrt{2}$ように固定球に接触させることができる. よって$\tau_{4}$であることはすぐに解る (ここでは 4 次元の kissing number を表している, 以下で表す).
次元の kissing number を
一般的な次元に対する kissing number の upper bound が Coxeter[5] により与えられた.
$\tau_{4}\geq 24$$n$$\tau_{n}$この bound を 8 次元まで書いてみると次のようになる.
$\tau_{4}\leq 26,$$\tau_{5}\leq 48,$$\tau_{6}\leq 85,$$\tau_{7}\leq 146,$$\tau_{8}\leq 244$

しかし Coxeter bound は kissing number 問題を解く程には良い bound ではなかった.

一方 Delsarte [6] はある条件を満たす多項式を一つ与えると kissing number の upperbound が一つ得られるという, 所謂 Delsarte method を導入した. OdlyzkO-Sloane [13] は
この方法を 24 次元までの kissing number に適用し, Coxeter bound を改善した. 8 次元まで書いてみると,$\tau_{4}\leq 25,$$\tau_{5}\leq 46,$$\tau_{6}\leq 82,$$\tau_{7}\leq 140,$$\tau_{8}\leq 240$

16となる. 特に OdlyzkO-Sloane[13] と Levenshtein[ll] はこの方法を用いて, $\tau_{8}=240,$$\tau_{24}=$型ルート系や Leech
196560 を独立に示した. これらの kissing number はそれぞれLattice の nonzero 最小ノルムベクトルにより与えられる (また 8 次元と 24 次元の kissing$\mathrm{E}_{8}$number を与える配置の一意性も坂内-S10ane[4] により証明されている). しかし, 4 次元のkissing number に対しては Delsarte method を適用できるどんな多項式をもってしても,25 よりも小さい upper bound は得られないことが Arestov-Babenko[l] によって示された(3 次元の場合も同様).
また Hsiang による 4 次元の kissing number が 24 であることを証明したという論文 [9]があるが, この論文はまだ正しいかどうか解っていない.
これらのことから 4 次元の kissing number 問題は解く手がかりすら得られていなかったのであるが, ごく最近 Oleg Musin[12] は Delsarte method を少し改良することにより 25より小さい upper bound を求めることができることを示した. またこの方法を 3 次元に適用し, 13 球問題に対する別証明も与えている (この証明は代数的組合せ論の観点からすると [10], [14] のものよりも簡明である). この報告の目的は Oleg Musin の論文 [12] を紹介することである.

2

Gegenbauer polynomials and Delsarte method

この節で Delsarte method の解説をする. Delsarte method は球面上の調和解析と密接な関係がある.

を実数体,
する.
[
$\mathbb{R}$を実係数 変数多項式環,
を Laplacian と.
n] は $\Delta f=0$ である時に調和多項式という. 次の空間を考える.

$\mathbb{R}[x_{1}, x_{2}, \ldots,x_{n}]$$f\in \mathbb{R}$ $x_{1},$$\ldots,$$x$$H^{(k)}:=$$H^{(k)}${$n$$f\in \mathbb{R}[x_{1},$$\ldots,$$x_{n}]|$$\Delta:=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x}.F$

D は次数 の同次調和多項式}.
$k$には次のように非退化な内積が定義される: $f,$ $g\in H^{(}$ k) に対して,$<f$ , g>:= $\int$$f(w)g(w)d\mu(w)$ .

s、-l

ここで $S^{n-1}$ は $n-1$ 次元球面,$\mu$

は $S^{n-1}$ 上の確率$\mathrm{O}(n)$-不変測度を表している (不変測度については $[3],[8]$ を参照).

定義 2.1(再帰核 [15]). $H$ を集合 $E$ 上の実数値関数族からなる Hilbert 空間とする. 内積
を $(f,g)$ と書くことにする. $E\cross E$ 上の関数 $K$ ( x, ) が再帰核であるとは次が成り立っときをいう :
$y$

(i)

$y$

を固定したとき, $K($.,$y)\in H$(ii) 任意の $f(x)\in H$ に対して $(f(.), K(., y))=f$ (\emptyset が成り立つ.

17
特に有限次元の場合, 再帰核$\Phi$

は空間の正規直交基底$\Phi$となる.

$H^{(k)}$$\{e_{i}\}$を用いて,(x, ) $= \sum_{i}e_{i}(x)e_{i}(y)$$y$の再帰核は次の Gegenbauer polynomial で与えられることがよく知られている.

定義 2.2 (Gegenbauer polynomial[3], [16]).
$G_{k}^{(n)}:=$$\sum_{j=0,j\equiv k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)}^{k}c_{k-j}t^{j}(1-t^{2})$ここで$c_{i}$

達は次の漸化式で定義される定数である.

$c_{0}=N_{k}=\dim H^{(k)},$$G_{k}^{(n)}$早:$c_{k-j}(k-j)(k-j+n-3)+c_{k-j-2}(j+1)(j+2)=0$ .

は [-1,1] 上重み関数 $(1-t^{2})^{\frac{n-3}{2}}$ に対する直交多項式系になっている. 特に $n=3$の時は Legendre 球多項式, $n=4$ の時は第 2 種 Chebyshev 多項式である.

次の補題は球面上の代数的組合せ論の基本定理であり, 加法公式と呼ばれている.
補題 2.1(加法公式 [3]).
成り立つ :$\Phi_{k}$を$H^{(k)}$の再帰核とする. この時, $x,$ $y\in S^{n-1}$ に対して次が$\Phi_{k}(x, y)=G_{k}^{(n)}(x\cdot y)$,

ここて $x\cdot y$ はユークリッド内積を表す-

補題 2.1 の証明は [3] を参照のこと.
Delsarte method は次の spherical -code の言葉で述べるのが便利である.
$z$上の有限部分集合とし, $z\in[-1,1]$ を固定す
-code). $X$ を$y\in X,$
る. この時, $X$ が spherical -code であるとは, 任意の\neq y に対して $x\cdot y\leq z$が成り立つことと定義する.

定義 2.3(spherical$S^{n-1}$

$z$

$x,$

$z$

例えぱ $z=1/2$ とすると, $x\cdot y\leq z$ はベクトノレ $x,$

$y$

$x$

が 60 度以上離れていることを意味す

るのて, spherical -code の最大頂点数が kissing number を与える.
Musin こよる Delsarte method の拡張を述べるのに Delsarte method の証明が重要なので, 次の命題は証明も述べることにする.
$z$

命題 2.1 (Delsarte method [6]). $z\in[-1,1]$ を固定し, $X$ を $S^{n-1}$ 上の sphe 何 $cal$ z-code
また次とする. また $a_{0}>0,$ $a_{k}\geq 0$ $(k=1, \ldots, d)$ に対して $f(t)= \sum_{k=0}^{d}a_{k}G_{k}^{(n)}$ とおを仮定する :$\langle$

1$f(t)\leq 0(t\in[-1, z])$

. この時, $|X|\leq f(1)/a_{0}$ が成り立つ.

(1)

18
[証明]
$X=\{x1, .

.

.

, x_{M}\}$を spherical. を$z- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e},\{e_{i}\}_{i=1..N_{k}}$$H^{(k)}$の正規直交基底とする. またj とおく$t_{ij}:=x_{i}\cdot x$

この時, 行を $X$ , 列を$\{e_{i}\}_{i=1..N_{k}}$で添え字付けされた行列$T_{k}$

を次のように定義する :$T_{k}:=(\begin{array}{lll}e_{1}(x_{1}) e_{N_{k}}(x_{1})\vdots \ddots \vdots e_{1}(x_{M}) e_{N_{k}}(x_{M})\end{array})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

を第

$k$

特性行列と言う.

$T_{k}$に\右側から
$T_{k}^{t}$zr${}^{t}T_{k}$をかけて$k=( \sum_{l=1}^{N_{k}}e_{l}(x:)e_{l}(x_{j}))$

ただしカッコ内は (i, 力成分を表す 右辺は再帰核$G_{k}^{(n)}(t_{ij})$$\Phi_{k}$( x|.,) であるので, 加 公式によって$\dot{\text{法}}\backslash$$x_{j}$に等しい. よって $T_{k}{}^{t}T_{k}=(G_{k}^{(n)}(t_{1j}.))$ が成り立つ. これから実対称行

は半正定値であることが解る. 特に全ての成分が 1 のベクトル を行列$\mathrm{j}$$\dot{F}\mathrm{I}\mathrm{J}(G_{k}^{(n)}(t_{\dot{\iota}j}))$$(G_{k}^{(n)}(t_{ij}))$に左右から掛けて,(2)${}^{t}\mathrm{j}(G_{k}^{(n)}(t_{ij})) \mathrm{j}=\sum_{i,j}G_{k}^{(n)}(t_{\dot{\iota}j})\geq 0$が成り立つ.

$\sum_{:,j}G_{k}^{(n)}(t_{1j}.)$に$a_{k}$

を掛けて全て足し合わせると(3)$\sum_{k}a_{k}\sum_{i,j}G_{k}^{(n)}(t_{ij})=\sum_{i_{\dot{d}}}\sum_{k}a_{k}G_{k}^{(n)}(t_{1j}.)=\sum_{i,j}f(t_{1j}.)$となるが, (2) は任意の
い. $G_{0}^{(n)}=1$ より,$k$

について成り立つので, 和 (3) は $k=0$ だけを足したほうが小さ(4)$\sum_{i,j}f(t_{ij})\geq a_{0}M^{2}$

また条件 (1) と,$i_{\overline{\Gamma}}\angle j$の時 $t_{ij}\in[-1, z]$ であることから, 和 (3) は $i=j$ の$\#.\doteqdot$

だけを足したほうが大きい. よって,$Mf(1) \geq\sum_{i,j}f(t_{ij})\geq a_{0}M^{2}$.

これから欲しかった不等式が得られる.

[証明終]An extension of Delsarte method3

この節で Musin による Delsarte method の拡張を紹介する. Delsarte method では多項式に -1, $z]$ 上では負の値をとるように条件をつけていたが, 拡張ではこの条件をはすし,$[$その代わりに幾何的考察を行っている.

18
命題 2.1 の条件及びその証明の中の記法をそのまま用いることにするが, 多項式 (t) には条件 (1) は仮定しない.
$f$$A=[-1, z]\cup\{1\},$ $A_{+}:=\{t|t\in A, f(t)>0\}$とする. この時,$\sum_{i,j}f(t_{ij})\geq a_{0}M^{2}$の証明には条件 (1 戸ま使っていないのでそのまま戒り立つ. それそれの に対して,$i$$F_{i}(X):=$$\sum$$f(t_{ij})$

j:tij\epsilon A 十と置くと,$f(t_{\dot{l}j})$の正のものだけ足しているので明らかに$\sum_{i,j}f(t_{ij})\leq\sum_{i=1}^{M}F_{i}(X)$(X) を評価することを考える.
定義 3.1([12]). $m$ を自然数とし, $Y=\{y0, . . . , y_{m}\}\subset S^{n-1}$ は次の条件を満たすとする :が成り立つ. 以下それぞれの$F_{i}$$y_{i}\cdot y_{j}\leq z(\forall i, j, i\overline{7}- j\angle)$,(5)$f(y_{0}\cdot y_{i})>0(1\leq i\leq m)$

この時,$h(Y):=f(1)+f(y_{0}\cdot y_{1})+\cdots+f(y_{0}\cdot y_{m})$ ,$\max$$h_{m}:=$$h(Y)$.

$Y\mathrm{I}\mathrm{Z}(5)\ \hslash t.\dagger|Y|=m+1$

とする.

$\mu$

を (5) を満たす $Y$ が存在するような $m$ の最大値とし,hm。$:= \max\{h_{0}, \ldots, h_{\mu}\}$と定義する.

この時明らかに全ての$F_{i}$(X) は hm。以下であるので,$a_{0}M^{2} \leq F(X)\leq\sum_{i=1}^{M}F_{i}(X)\leq Mh_{\max}$.

が成り立つ. 以上から次の Delsarte method の拡張が得られる.

命題 3.1(An extension of Delsarte method [12]). $z\in[-1,1]$ , $X\subset S^{n-1}$ を spherical -code とする. また $a_{0}>0,$ $a_{k}\geq 0$ $(k=1, \ldots, d)$ {こ対して $f(t)= \sum_{k=0}^{d}$ akGrゝとおく この時, |X|\leq hm。/a0$z$

注意 1. 実際命題 3.1 は Delsarte method の拡張になっている. もし条件 (1) が成り立っているとすると, $\mu=0$ となり, $h_{\max}=h_{0}=f$ (y となるからである. 命題 3.1 においては
良い upper bound を求める為に探す多項式の条件が命題 2.1 よりも弱くなって るので,Delsarte のものよりも良い upper bound が得られる可能性がある. 実際に $n=3,$ =4$\mathrm{A}\backslash$$n$に対しては改善に成功している.

20
Aclass of for an extension of Delsarte method4$\mathrm{f}$命題 3.1 の任意の $f$ に対して,hm。を求めるのは非常に難しいので, 探す $f$ の類を少し限定する.

この時 f&b 次の条件を満たすとする.

$t_{0}<-z\leq 0$ を一つ固定する.

$f(t)\leq 0(t\in[t_{0}, z])$$Y=\{y0, y_{1}, \ldots, y_{m}\}\subset S^{n-1}$$Q_{m}:=\{y1, .

.

.

( t) は -1, 0 上単調減少関数
$[$

$t$

$y_{0}^{*}$

(6)

$]$

$\phi_{ij}$$:=\arccos(y\dot{.} .

y_{j}),$$\psi:=\arccos(z),$$\phi_{0}$$:=\arccos(-t_{0})$) $>0(1\leq i\leq m)$とすると, $f(t)\leq 0(t\in[t_{0}, z])$ と ( y0から
を中心とする半球面上以内の距離にある. 特に Q。は, y_{m}\}$より, Q。の点は全てにある.
$C\subset S^{n-1}$$f$

は (5) を満たすとし, $Y$ の幾 (可を考える.

$y_{0}^{*}:=-y0,$ $\phi_{i}:=\arccos$ $(y_{0}^{*}. y_{i}),$

とおく

,

$f$

$\phi_{0}$$y_{\dot{\iota}}$$y_{0}^{*}$が convex であるとは $C$ の任意の 2 頂点 $x,$$y(x\overline{\tau}^{\leq}\pm y)$に対して, $x,$

$y$

を端点と

に含まれる時をいう.
半球面に含まれているの部分集合 $Z$ に対して, $Z$ を含む最小の convex 集合が考とする.
えられるが, それを Conv(Z) で表す

する球面弧 arc(x, ) が
$y$

$C$

$S^{n-1}$$\Delta_{m}=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Q_{m})$定義 4.1(optimal). $Y=\{y0, y_{1}, \ldots, y_{m}\}\subset S^{n-1}$ は (5) を満たすとする. この時, $Y$ がが になるような $(i,j)$ のoptimal であると {は, h(Y)=h。でかつそのような $Y$ の中でpair の個数が最大であるときに言う.
$\phi_{ij}$$\psi$

注意 2. optimal オ $Y$ が必す存在することは位相空間論を考えれば明らかてある. 従って
我々は h。を求めるときは常に optimal 集合だけを考えればいいことになる.

次の補題は optimal 集合の形がかなり限定されることを言っている.

補題 4.1. $Y=\{y0, y_{1}, \ldots, y_{m}\}\subset S^{n-1}$ を optimal 集合であるとする.

この時次が成り立つ.

(i)$y_{0}^{*}\in\Delta_{m}$である. また$Q_{m}$の任意の点は(ii) $m\leq n$ の時,\Delta 。は辺の長さ(iii) $m>n$ の時,$Q_{m}$$\psi$$\Delta_{m}$の頂点になっている.

の正則 $(m-1)-$ 単体になっている.

の任意の点から距離$\psi$に少なくとも $n-1$ 個の $Q_{m}$ の点が存在する.

注意 3. 補題 4.1 は Musin の現在の preprint の中の Lemma 1 であるが, Lemma 1 の(ii), (iii) に対する証明は厳密とは言いがたいと思われる. しかし我々は$\tau_{3}$$=12,$ $\tau_{4}=24$の証明に必要となる特別な場合にだけは厳密な証明を与えることができた. すなわち次の場合には補題 4.1 の (ii), (iii) は正しい

(1) $n=3,$ $z=1/2,$$t_{0}\leq$-0.5907(2) $n=4,$ $z=1/2,$$t_{0}\leq$-0.6058, $m\leq 5$

21
しかし特別な場合は示すことができたが, 補題 4.1 は Musin の方法の応用に重要な役割を果たすので, 一般的に正しいかどうかは重要な問題になってくる.
以下, 補題 4.1 が成り立つものとして話を進める.
補題 4.1 により, optimal 集合 $Y$ に対しては形が大体決まることが解るので, $Y$ ををのどこにおけば与えてから h。を求めるのではなく, 逆にの形を与えてから(Y) が最大になるかを考える. そこで $\Delta_{m}=\{y_{1}, \ldots , y_{m}\}$ の形を与えた時に,$\Delta_{m}$$\Delta_{m}$$y_{0}^{*}$$\Delta_{m}$$h$$\Lambda_{m}(y):=\{y\in\Delta_{m}|y\cdot y_{k}\leq-t0, 1\leq k\leq m\}$とし,$\Lambda_{m}$上の関数を次のように定義する :$H_{m}(y):=f(1)+f(-y\cdot y_{1})+\cdots+f$ ( $-y\cdot$ y。)

明らかに,$h_{m}= \max_{y\in\Lambda_{m}}H_{m}(y)$が戒り立つ.

How to find

5

$\mu$

この節で 3 節で紹介した$X=\{x1, .

.

.

の求め方を紹介する.

$\mu$, x_{m}\}\subset S^{n-1}$に対して,\phi ij $=\arccos$ (xi.

$x_{j}$),$\varphi(X):=\min\{\phi_{ij}|i_{\overline{7}}\underline{\angle}j\}$とする. また自然数 $M$ に対して$\varphi_{n}$と定義する.

(M) $:= \max$ { $\varphi(X)||$ X $|=M,$ $X\subset S^{n-1}$ }(M) は球面上のコード理論において研究されている値である. $\varphi_{2}(M)=$は簡単にわかるが, 3 次元になるともうすでに難しくなる. 3 次元も $M\leq 12$ と$M=24$ の場合は知られている [7]. 例えぱ, 7 頂点まで書くと,$\varphi_{n}$$360^{\mathrm{O}}/M$$\varphi$

3 $(5)=\varphi$ 3 $(6)=90^{\mathrm{o}},$$\varphi$

3 $(7)=\cot(40^{\mathrm{o}})\cot(80^{\mathrm{o}})=77.86954\cdots\circ$となる.
$\rho(z, \phi_{0}):=\arccos(\frac{z-\cos(\phi_{0})}{\sin(\phi_{0})})$とお$\text{く_{}(}$

この時次が成り立つ.

補題 5.1([12]). $Y=\{y0, y_{1}, \ldots, y_{m}\}\subset S^{n-1}$ [ま $\phi ij\geq\psi(i\neq j),$を満たすとする. この時, もし( M) ならぱ $m<M$ が成り立つ,$\phi_{i}\leq\phi \mathrm{o}(1\leq i\leq m)$$\rho(z, \phi_{0})>\varphi_{n-1}$$n=3,$ $n$ =4 に対して補題 5.1 を適用して次の系が得られる.

系 5.1. $n=4,$ $z=1/2,$$t\circ\leq$-0.6058 に対して,$\mu\leq 6$.

系 5.2. $n=3,$ $z=1/2,$$t_{0}\leq$-0.5907 に対して,$\mu\leq 4$

.

22
6

and anew proof for $\tau_{3}=12$$\tau 4=24$

この節で $\tau_{3}=12$ の新しい証明をのべ, また $\tau_{4}=24$ を証明する. まず $\tau_{3}=12$ を証明
する.
定理 6.1. $\tau_{3}=12$[証明]$z=1/2,$ $t_{0}=$ -0.5907 とする.
$f(t)$

とおく$=$$\frac{2431}{80}t^{9}-\frac{1287}{20}t^{7}+\frac{18333}{400}t^{5}+\frac{343}{40}t^{4}-\frac{83}{10}t^{3}-\frac{213}{100}t^{2}\frac{1}{10}t-\frac{1}{200}$$=$$P_{0}+1.6P_{\mathrm{I}}+3.48P_{2}+\mathrm{I}.65P_{3}+1.96P_{4}+0.1P_{5}+0.32P_{9}$

ここで $P_{k}=G_{k}^{(3)}$ である.

この時 (t) は -1, 0 上単調減少で,
$f$

$t$

$[$

$]$

$[t_{0}, z]$

上非正に

なる.
を求めればよい.
系 5.2 より,m以下の$m=0$ の時は簡単で $h_{0}=f(\mathrm{D}=10.11$ となる.
$m=1$ の時は $f$ が -1, 0 上で単調減少なので, $y=y_{1}$ の時に$\leq 4$$h_{m}$

$[$

$t$

$]$

て $h_{1}=f(1)+f(-1)=12.88$$m=2$ の時は$\Delta_{2}$は弧長$\psi$$H_{1}$(y) は最大になる. よっ.

の弧になる. 以下, 図は点の距離が$\psi$の時に辺で結んでいる.

の各点に実際に座標を置き, $H_{2}(y)$ を最大にする の位置を調べると, T 度弧の中心で最大になることがわかる. よって $h_{2}=f(1)+2f(-\cos(30^{\mathrm{o}}))=12.8749$ .

$Q_{2}$$y$$m=3$ の時は補題 4.1 により球面上の正三角形になる.

これも実際$Q_{3}$の各点に座標を置いて考えて, $h_{3}=12.8721$ が求まる.

23$\mathrm{O}$$m=4$ の時は補題 4.1 により$\Delta_{m}$は右の図のようになり,$\alpha$

この図に対して, $H_{4}(y)=H_{4}(\alpha, y)$ が最大になるように,の最大問題を解いて, $h_{4}=12.4849$ が得られる. 従って,が動く.と$\alpha$$h_{\max}= \max\{h_{0}, h_{1}, \ldots, h_{4}\}=h_{1}=$となり, 今 $a_{0}=1$ であるから, 命題 3.1 より$\tau_{3}\leq 12$$y$についての自由度 3 の関数

12.88
[証明終]

がわかる.

定理 6.2. $\tau_{4}=24$[証明] $z=1/2,$ $t_{0}=$ -0.60794 とする.
$f(t)$

$=$

$=$

とお

$\text{く}$.

$53.76t^{9}-107.52t^{7}+70.56t^{5}+16.384t^{4}-9.832t^{3}-4.128t^{2}-0.43.4t$ -0.016$U_{0}+2U1$ $+$ここで$U_{k}$

6.12U$2+$ 3.484U$3+$ 5.12U$4+$ 1.05U9$=G_{k}^{(4)}$である.

この時 (t) は –1, 0 上単調減少で,
$f$

$[$

$t$

$]$

$[t_{0}, z]$

上非正に

なる.

以 T の h。を求めればよい.
系 5.1 より,mは正則 $(m-1)$ 単体であるので, 定理 6.1 の証明の $m\leq 3$ の時と$m\leq n=4$ の時は$\leq 6$$\Delta_{m}$が求められる. 計算すると $h_{0}=18.774$ , $h_{1}=24.48,$ $h_{2}=24.8644,$ $h_{3}=$24.8345, $h_{4}=24.8180$ となる.
同様にして

$h_{m}$$m=5$ の時は補題 4.1 により図は各頂点から少なくとも 3 本の辺が出ていることになる.

しかし頂点数は 5 と奇数なので, ある頂点からは 4 本の辺がでている. このことを考慮す

ると, 図は下の図のようになり, が動く$\alpha$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

24
この図に対して, $H_{5}(\emptyset=H_{5}($ \mbox{\boldmath $\alpha$}, $y)$ が最大になるように,の最大問題を解いて: $h_{5}=24.6856$ が得られる.

$\alpha$と$y$についての自由度 4 の関数$m=6$ の時は下の補題 6.1 より,h2 $>h_{6}$ が解るので考える必要はない. 従って,
$h_{\max}= \max\{h_{0}, h_{1}, \ldots, h_{6}\}=h_{2}=$となり, 今 $a_{0}=1$ であるから, 命題 3.1 より$\tau_{4}\leq 24$

24.8644
[証明終]

がわかる.

補題 6.1([12]). $h_{6}<h_{2}$ .

[証明] 背理法で示す ある $Y_{6}=\{y0, y_{1}, \ldots, y_{6}\}$ が存在し, $h(Y_{6})\geq h_{2}$ を満たすと仮定する.
としてよい.
y
箸, 一般性を失うことなくとおぐ この時,$\phi_{i}:=\arccos(y_{0}^{*}\cdot$$\phi_{1}\leq\phi_{2}\leq\cdots\leq\phi 6$$Y_{5}:=\{y\mathrm{o}, y_{1}, \ldots, y_{5}\}$$f(-\cos\phi 6)\geq h_{2}-h(Y_{5})\leq h_{2}-h_{5}$であるので,$\phi_{6}\leq\alpha_{0}=\arccos(-f^{-1}(0.1788))=48.3787^{\mathrm{o}}$となる. 特に,$\forall\phi_{k}\leq\alpha_{0}$が成り立つ.

一方,$\varphi_{3}(6)=90^{\mathrm{o}},$であるので, 補題 5.1 より$\phi_{6}\geq 45^{\mathrm{o}}$$\rho(\frac{1}{2},45^{\mathrm{o}})=90^{\mathrm{Q}}$となる. よって,$h(Y_{6})\leq h(Y_{5})+f(-\cos(45^{\mathrm{o}}))\leq 23.5389+0.4533<h_{2}$

ここで 2 番目の不等式は $h$ (b) をは矛盾である.

$t_{0}$

を$\alpha_{0}$に変えて$h_{5}$を計算し評価している. しかしこれ[証明終]定理 6.1, 定理 6.2 の証明の中でいくつか最大問題を解くとだけ言ってその詳細を書いていないが, Musin の論文で非常に巧妙にこの問題を解いているので, 原論文を読んでいた
だきたい.

7

Applications of Musin method

最後に定理の証明で用いた多項式をどのように求めたのかの説明と Musin の方法の応用について述べる.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

25

$n,$

$d,$

$z,$

$t_{0},$$N$が与えられているとする.

$f=1+ \sum_{k=1}^{d}c_{k}G_{k}^{(n)}(t)$とおき, $c_{k}(1\leq k\leq d)$ は変数とする. 各係数 は非負であり, D は -1, 0 以下単調減少
達の不等式が得られる :であり, $f(t)\leq 0(t\in[t_{0}, z])$ より,
$t$

$[$

$c_{k}$$]$$\{c_{k}\}$$c_{k}\leq 0(1\leq k\leq d)$(7)$f(a)>f(b)(-1\leq a<b\leq t_{0})$(8)$f(t)\leq 0(t_{0}\leq t\leq z)$(9)

但し不等式 (8), (9) については区間を $N$ 等分しその等分点のみで不等式を考え, 有限個の不等式にする.
$m\leq n$

時, y。とに対して$\triangle_{m}$を正則 $(m-1)$ 単体として$\Delta_{m}$の各頂点との内積は全て$\sqrt{\frac{1+m-1z}{m}}$$y_{c}$

としてその中心点を表すとする.

となるので,$H_{m}(y_{c})$このは$H_{m}(y_{c})=f(1)+mf$となる. 新しい変数$F_{0}$

を導入し,$f(1)+mf$
とおく

また $m=2n-2$ の時,$\Delta_{m}$にその中心を y。とする. この時,

$y_{c}$(10)$\leq F_{0}+f(1)$を $(n-1)$ 次元 regular spherical octahedron とし, 同様と \Delta 。の各頂点との内積は全て$\sqrt{z}$となるので,$H_{m}(y_{c})$

は

(11)

$H_{m}(y_{c})=f(1)+mf(-\sqrt{z})\leq F_{0}+f(1)$と置 .
変数$\text{く}$$\{c_{k}\},$$F\mathrm{Q}$についての不等式 $(7),(8),$ $(9),$ $(10),$ (n) の下, 一次式 $E=1+F_{0}+c_{1}$ 十(1) を最小にするという線形計画法を解いて出てきたのが定理の証明で用いられた多項式である.
定理 6.1, 定理 6.2 の証明では hm。の値が正則単体から出てきているので, 線形計画法で求めた一次式の最小値 $E$ がを与えているが, 一般には $E$ は hm。を与えないかもしれない. なぜなら補題 4.1 が一般的に成り立つかどうかまだ解らないし, $m\leq n$ に対して\Delta 。が正則単体になるかどうか解らない. また補題が威り立っていても(y) を最大にする が中心決になるとは限らないからである. しかし我々は $E$ が hm。に近い値を取るのではないかとは期待している.

$c_{2}+\cdots+c_{d}=F_{0}+f$$h_{\max}$$H_{m}$$y$28
Delsarte method では 9 次元と 11 次元の kissing number に対して,$306\leq\tau_{9}\leq 380$,

$500\leq\tau_{10}\leq 595$が得られている. しかし上の線形計画法を $n=9,$$n$=10 に対して解くと$n=9$ : $\deg f=11,$ $E=$ 367.8619, $to=-0.57$$n=10$ : $\deg f=11,$ $E=$ 570.5240, $t_{0}=$ -0.586となる. この結果は$\tau_{9},$$\tau_{10}$ている. しかし $n=5,6$ ,のupper bound が大幅に改善できる可能性があることを示しについてはそれは改善は難しいようである.
また球面上のコード理論への応用もある. 頂点数が $M$ の $S^{n-1}$ 上の spherical -code が存在する必要十分条件は $\varphi_{n}(M)\geq z$ である. よって $\tau_{3}=12$ はが解る. しかし $z=\cos(59.4^{\mathrm{o}})$ に Musin の方法を用いて, 詔頂点の spherical -code は存在しないことがわかる. よって $\varphi_{3}(13)<59.4^{\circ}$ と upper bound を改善てきる.
同様に ArestOv-BabenkO[2] によって求められたをまで,をまで改善できる. 実際 Musin の方法は種々の場合において Fejesbound や Coxeter bound よりもい bound を与える.
$7$

$z$

$\varphi_{3}(13)<60^{\mathrm{O}}$$z$$\varphi_{4}(24)<61.41^{\mathrm{o}}$$\varphi_{4}(25)<60.5^{\mathrm{O}}$$\varphi_{4}(24)<60.5^{\circ}$$\varphi_{4}(25)<59.81^{\mathrm{o}}$$\mathrm{T}6\mathrm{t}\mathrm{h}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$Acknowledgement. Musin のこの論文の存在を筆者に教えて下さり, また論文を紹介する場を与えてくださった坂内英一先生に感謝いたします また筆者はこの報告に用いた全ての図を作ってくれた徳永元康君にも感謝します

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