数理解析研究所講究録
1042 巻 1998 年 191-192191

位相的な Julia 集合と pinched circle model について
大阪市大理

吉田雅通 (Masamichi Yoshida)からそれ自身への連続で有限対 1 の開写像とし、 さらにその degree は 2 以上とする。
.
上の球面距離をあらわすことにする。 の Fatou 集合
を
$T$

を

$S^{2}$$T$$d$

で$S^{2}$$F_{T}$.

$F_{T}=int${$x\in S^{2}|\{T^{n}\}n\geq 1$と定義し、 Julia 集合をが$x$において同程度連続} (の補集合と定義する。従って、$F_{T}$$F_{T}$$\text{ただし}\backslash \text{、}$int は$(s^{2},d)\ovalbox{\tt\small REJECT}$

での内部)は $T$ の下で完全不変となる。 さらに、 $T$ の除外点集合 $Exc(\tau)$ を$Exc(\tau)=\{x\in S^{2}|\#(\cup\tau n\geq 0-n(x))<\infty\}$で定義すれば、 Riemann-Hurwitz の公式より、 $\# ExC(\tau)\leq 2$ となる。 まず、 次の仮定をおく。
仮定 1。

$\emptyset\neq J_{T}\subset S^{2}\backslash Exc(\tau)$

かつ、 $T$ は位相的な多項式である。

ここで位相的な多項式とは、 $T^{-1}(x_{\infty})=\{x_{\infty}\}$ をみたす上の点 x\infty 。があることとする。従って x。。は$X$の点となり、 さらに x 。を含むの連結成分をとすると $X\text{は}.T$ の下で完全不変となる。 さらに、.
$S^{2}$$F_{T}$$F\tau$

次の仮定をおく。
仮定 2。

$\forall x\in S^{2}\backslash Exc(\tau),$$cl( \bigcup_{n\geq 0}\tau^{-n}(x))\supset J_{T}$(ただし、 $cl$ は$(S^{2},$ $d)$での閉包)。

この仮定の下で、 $\partial X=J_{T}$ がいえる。
ここで、 $X$ 上に relative metric $dx$ を導入する。網点 $x,$ $y\in X$ に対して、$d_{X}(x, y)= \inf$

ただし、 diam $C$ は $C$ の{ $diamc|\{x,$$y\}\subset C\subset X$の下での直径とする。すると、$d$$d_{X}$

かつ $C$ は連結}は $X$ 上の新しい距離となり、 明らかに、をみたす。従って、 自然な埋め込み $ix$ : $(X, dx)\epsilon_{-\succ}(X\cup J_{T}d))$ は–様連続となるの(ただし、で、 その連続拡張は (X,の完備化) が–意的に定ま:$d(x, y)\leq dx(x, y)$$(\overline{X},\overline{d_{X}})arrow(X\cup J_{T}, d)$$w_{X}$る。 さらに、張$s_{x}$: (X,も (X,$T$$\overline{d_{X}}$)$d_{X}$$(\overline{X},\overline{d_{X}})$$d_{X})$) からそれ自身への写像として–様連続であることが示されるので、 その連続拡が–意的に定まる。明らかに $wx\circ Sx=T\circ wx$ をみたすので、$arrow(\overline{X},\overline{d_{X}})$$(*)$となる。 $X$ は自然に$\overline{X}$$\forall\overline{x}\in\overline{X},$$w_{X}^{-1}WX(S^{-}1\overline{x}X)\subset s^{-}1(\mathrm{x}xw_{X}-1W(\overline{x}))$の部分集合とみなせるので、$\overline{X}\backslash X$

を万 X とかけば、 力学系$(\overline{\partial}X, S_{X})$

は$(J_{\mathcal{T}},\tau)$の canonical extension といえる。

Whyburn の結果 ([1] Chapt 8, theorem 9.1) により、し、$w_{X}^{-1}w_{X()}\overline{X}$$w_{X}\text{は}.\overline{X}$上で light (つまり、は完全不連結) となる。従って、 $T$ が有限対 1 であることから、$s_{x}$:$\overline{X}$上の各点$\overline{X}arrow\overline{X}$$\overline{x}$に対も light となる。 さらに、 次の仮定をおく。
仮定 3。

$J_{T}$

は連結かつ局所連結である。

この仮定により、:
より; (X,) は単位閉円板$w_{X}$$\overline{d_{X}}$写像\psi :$\overline{X}arrow\overline{\mathrm{D}}$.

$\overline{\partial}Xarrow J_{T}$がある)。

$\overline{\mathrm{D}}$は全射となる。 さらに、 Whyburn の定理 ([1] Chapt .8, theorem 9.8) にと同相になる (より正確に、 $\psi(X)=\mathrm{D}$ かつをみたす同相

さらに、$\psi(\overline{\partial}X)=S^{1}$$s_{x}$の lightness を用いることで、

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補題 1。

$s_{x}$:$\overline{X}arrow\overline{X}$は開写像となり、 さらに$s_{x}$:$\overline{\partial}Xarrow\overline{\partial}X$は$k$

対 1 の写像となる ($k$はある自然数) 。

が示される。 さらに、 Whyburn の結果 ([1] Chapt .8, theorem 9.8) より、(つまり、, に対して、連結成分に含まれる) である。最後に、 次の仮定をおく (See $(*)$ )$w_{X}(\overline{x})\neq wx(\overline{y})$をみたす$\overline{\partial}X$上の点$\overline{x}$$\overline{y}$$w_{X}^{-1}wx(\overline{y})$$w_{X}$

は$\overline{\partial}X$

上で non-alternatlng

はすを含む$\overline{\partial}X\backslash w_{X}^{-1}wx(\overline{X})$の。

仮定 4。
$\forall\overline{x}\in\overline{\partial}X,$

今までの仮定および定理 1。 $T$ を$S^{2}$$w_{X}$$w_{x}^{-11-}wx(s_{x}^{-}\overline{x})\supset s1(Xw_{X}^{-}1w_{X}(\overline{x}).)$の non-alternating property を用いて、 次の結果を得る。

からそれ自身への連続で有限対 1 の開写像とし、 さらにその degree は 2 以上で仮定 1から 4 をみたすものとする。 もしnon-aliernating かつ全射な写像$S_{X}$$\Phi$::が不動点を 1 つしかもたないとすると、ある連続.
が存在して、次をみたす。.

$\overline{\partial}Xarrow\overline{.\partial}X$$S^{1}arrow J_{T}$$\forall z\in S^{1},$$light_{\text{、}}$$\Phi(z^{2})=T\circ\Phi(Z)$最後に、 補足として、 上の $(*)$ は Thurston の invariant lamination でいうところの forward invariance に対応し、 仮定 4 は backward invariance に対応している。

参考文献[1] G. T. Whyburn. Analytic topology. Amer. Math. Soc. Colloq. Pub., Vol. 28. 1942