1微分と偏微分

基礎事項~ 1.1 微 分

変数(あるいは物理量)x の無限小の変化分 dxを微分 (differential)とよぶ. xの関数 y(x)が定義されているとき，

盛L‑ 1;~ J
L(x+L1X) ‑ y(X)dx ;;"~/oL
1x(1.
1)

を Z における Uの微分係数(微係数，微分商)といい，y'，ダ(x)，Dy(x)とも表す.このようによぶ理由は， (1.1)が ぬ と 命 の 比 に ほ か な ら な い からである . dy/命 を Z の関数として見るときには，これを導関数 (deriva‑tive)とよ ぶ.dy/dxの導関数を d2y/命 2，y"(X)のように書く . n階の導関(n)(x) と書く.
数は dny/命 n あるいは yy(x)からぬ/ゐを得る操作を微分 (di任erentiation)という.このように，日本語の術語では，微小増分という意味の微分"と操作としての微分"が同一になっている.
微分とは微小増分のことであるから，単にある量が微小であるというだけで微分とよぶことはできない.たとえば，わずかの仕事

aW=ρ
dVは， W という量(あるいは関数)があってそれがわずかに変化したのではな『基礎演習シリーズ物理のための応用数学~(小野寺嘉孝著/裳華房)

2

1 微分と偏微分い.仕事そのものの大きさが微小であるに過ぎない.このような場合，微分でないことを明示するには aWあるいは d'Wと書く.

~ 1.2 偏 微 分

以下， 2変数 x，y，または 3変数 x，y，zの関数 f(x，y，z)について式を示す. 4変数以上でも同様である.
U と zを一定に保って f(x，y，z)を Z について微分した結果。
1/̲ 1 : ̲ f(x+L1x，y，z) ‑ f(x，y，z)ax，;司0'L1x(1.2)

を，fの Z に関する偏微分係数という.その記号としては

ん，

立ι
ax'

若(tz'ん ( 川。
x'

31/(x，y，z)(1.3)が使われる.初めの 2つが標準的であるが，熱力学では 3番目の形がよく使われる . うしろの 2つは ，長いけれどもあいまいさがない.偏微分係数を引zの関数として見たときには偏導関数 (partialderivative) とよ ぶ.
数 民 y，f(x，y，z)から afjむを得る操作を偏微分 (partialdifferentiation) とい う.

partialdifferentiaI)とい う術語もなお ，上に述べた微分に対応して偏微分 (ある.その定義は下に述べる.
偏微分をとるときには，何を一定にしているか注意をはらう必要がある.
たとえば，電位併を Z について偏微分して電場ベクトルの Z 成分 Exを求めるときにはEr=一挙dXと書く.ここでは U と zを一定にした偏微分であることが自明である.したがって，わざわざ努(tzEx=‑と書く必要はない.熱力学が右下添字にうるさいのは，これが自明でない方

伊j7

題x(+げ=急 (;)x勺T(1.27)に現れるのが， 2項係数(;)三 r!(flr)!

(1.28)

n!=ηX (n‑ 1) X ・ X 2X 1(1.
29)

O!=1(1.30)

1(1.31)である.階乗の記号はで定義され，と約束する.負の整数についても1ててす了ーで士五了一と約束しておくと便利である.こうすると， (1.27)で rはすべての整数について加えることができるから，和の上限と下限を示す必要がなくなる.
ライプニッツの微分公式

iL(h)=ま(n)~~ヱ~I ‑ #0¥r
Jd
xn‑T 4(132)ωは，積の形で与えられた関数の高階導関数を求めるときに使われる.

例 題[1] 2次 元 で 電 位 制 r)と電場 E =(E，r:Ey)のあいだにはゆが成り立つ.このとき‑ E.dr=‑Er:dx‑ Eydy。

'Er:̲ 8E
且8yを示せ.

8x81 微分と偏微分[解] 問題に与えられた全微分の式から
E:r;= 一学， EY =‑dEIaxayが得られる . (1.5) によって~(雲)=jE(if)であるから，これを使って証明が終りとなる .この結果は， (rotE)
z= 0とも 書ける.

[2] 熱力学でよく使われる式

dU=TdS‑ρdVから(1.5) によ ってどのような関係式が得られるか.

[解] ここでは U =U(5，V) と考えている. (1.6) と見比べれば

T=(努)
v'ーρ
=(努s)

であり， (1.5) からは会(~~) = a~ (努)したカまって，(jF)s=‑(33)vが得られる.このような類の式を熱力学ではマクスウェルの関係式という.ここでは，偏微分の際に何を一定にするかを明示しないと，式そのものが無意味になってしまう.

[3] 半径 αの 球 に 内 接 す る 円 錐 の 体 積 の 最 大 値を求めよ(1‑1図).

[解] 円錐の高さを h，底面の半径を r とすれば，内接するという条件から2(h‑a)2+r2=aでなければならない.この条件の下で体積
1‑1図11演習問題dTg -L~k 一 一 k !

dxT

dxT

晶

一~k-T(kー γ)!占を使ってnk I 、
1，'n‑γr
会す (W)=2Lじ)
1
王子万了 X 為法，l局局

k T‑，.
J演習問題[1] 理想気体のひとつの基本的性質を記述する簡潔な式として(多)T=。というのがある .この式の意味をことばで表現噛よ.また，熱力学のジュールの実
験を思い出して，どのような実験をすればこの式が確かめられるかを考えよ .

[2] 1モルの理想気体について，状態方程式

ρV=RTから温度 T の微分 dTを全微分の形に表した式をつくれ.

[3] 理想気体の等温圧縮率
T

三一七(~~ )Tと定圧熱膨張率三七(芽)ρ3を求めよ .

[4] ag==2e‑Ydx‑ xe‑Ydyは. (1.
6)のような全微分の形に表すことができるか.

[5] 1モルの理想気体について

aQ三 CvdT+pdVが(1.
6)のような全微分に表せるかどうかを調べよ . もし表せないならば，適当な量を掛けることによって全微分の形に表すことを試みよ .簡単のため Cvは定数とする .

362 変 分 法問 題 解 答[1] はじめに，境界条件を満たす最も簡単な関数として ，y(x) = 0としてみると 1=0である .し たがって ，1の最小値は負のはずである.また ，y =0から上に'2のたわむか下にたわむかどちらであるかを考えてみよう.どちらに曲がっても ，y積分は増加する

12xyの積分からは ，y>Oの方が Iは小さくなることがわかる.

2.
2)は以上の予想を立てた上でオイラ 一方程式を解く . (2y"+12x = 0となるから+ax+by = ‑ X3，b=0が決まるこのとき I=‑tであり，がその解である .境界条件から a=1確かに負になっている.

[2] 彰 = ダ で あ る か ら ，y'= 0という境界条件も許されるオイラー方程式， b= 0となる.したがって，解はは前問と同じであり，境界条件から α =3y = ‑ x3+3xであり，そのとき 1= ‑ 24/5である.前問に比べて ，x= 1での関数値が Oに制限されていないから ，x =lの付近での y(x)を大きくすることによって Iが小さくなった.

[3] 試しに，境界条件を満たす 1次式

u=1+?zを用いてこの積分を計算してみると

̲JI3f1 f:ですで
7 ALl+jfzdz
二2J13((5¥3/2~Vn. oJ

9 ¥¥2J((;:)¥‑1)= 2.
3659.
Jとなる. 1の最小値は，これより小さいはずである.
オイラ 一方程式からは， (2.
5) の形により (2.6)が使えて，!yJ1+y'2が出る.

〆=±fdコ吉693直交 多項式

基礎事項

エルミート多項式
母関数による定義

与n!

g(t， X)三 ezut2=2Hn(z)n=O(5.1)

母関数を使うと定義が比較的簡単で済み， またこれを使って多項式の種々の性質が導き出せるので， この章では一貫して母関数による定義を出発点とする. ここでは，左辺の母関数を tのベキ級数にテイラー展開したときの係数としてエルミート多項式 Hn(X)を定義している.
多項式の形

州
(一.
1)Sn!
.
，(2x)
会b¥ ，.
. s!(n‑2s)!

Hn(z)=[山(5.
2)Ho(x) =1
H1(x) =2xH2(X) =4X2‑ 2H3(x) =8X3 ‑ 12x6x
4‑ 48x2+12H4(x) =1
偶奇性Hn(‑X) = (‑1)nHn(x)(5.
3)

705. 直交多項式ロドリグの公式

ω =( 一 げ す e‑X2)

Hn

(5.
4)

このように高階導関数によって直交多項式を表現した式をロドリグの公式という .
漸化式
Hn+l(X) =2xHn(X) ‑ 2nHn‑l(X)(5.
5)jtιω)二 川 バ X)

(5.
6)

(1x‑刈ι句)=‑ H， (X)

(5.
7)

川

これらの漸化式は，母関数あるいはロドリグ公式から導かれる .漸化式にはいろいろの形がありうるが，この章では一貫して上記のような 3種類だけを5.
5) は導関数を含まず，相隣る 3個の多項式のあいだの関係を与え示す. (る 3項漸化式である. (5.
6)と (5.
7) では，左辺の演算子が Hnの次数を下げたり 上げたりする役目をも っ.このよ うな演算子を一般に下降演算子， 上昇演算子(まとめて昇降演算子)という . この 3つの漸化式は独立ではな く，どれか 2つから残りの 1つが得られる.
(5.
5)のような漸化式は ，Ho(x) =1から 出発して Hn(X)のあらわな式を作るのに使える . また ，Hn(x)の数値を計算する目的にも使 える .
(5.
6)，(5.
7)のような漸化式からは， 2階の常微分方程式を作ることができる.

微分方程式

y=Hn(x)はエ /レミ ート の微分方程式y"‑ 2xy'+2ny=0の解である . (5.
8) は，いわゆるシュツルム

rLfdxγn‑x2に変形できる .

リウビル型(自己随伴型)

dyi.
.
J.
.
. ')~n-x2 制dx} Il.
JT
f"t::.

(5.
8)

ny ‑ v(5.
9)

825. 直交多項式

伊j題﹃EEEJrEEL‑エルミート多項式の母関数 (5.
1) を用いて，漸化式 (5.
6) を証明せよ
5.1)の両辺を Z について偏微分すると[解] (if=Mおよび

ι与=
2
ι'
(x)n!
α'X
n=Oが得られる .上式の右辺に (5.1) の級数を使えば。
n+ln21:
H.(x)ム
7 ニ
1:
H.'
(x)
‑=‑
了
n=
On!
n=
On!
.
l.

.
Lとなる .両辺の tのベキが異なるので，左辺の nを n→ n ‑1として

孟与=孟 Hn'(x)云2 Hバ x)を得る.この式が任意の tについて成り立つのだから，両辺の f の係数が等しい:
2nH
ト，l(X) = H.'(x)可EEEdrEEE﹄

内︐︐.

5.
4) を用いて直交性
エルミート多項式に対してロドリグの公式 ((5.
10) を証明せよ.

[解] (5.
10)の左辺で m 孟 nと仮定しでも一般性は失われない.ここで Hm(x)はそのままにしておいて ，H.(x)にロドリ グ公式を使い，n回部分積分する.微分演算子を D で表せば，1:

品 位 ) 品 (x)e切 =(‑1)'1:Hm(x)D'(eーが)命=(-υnゴ~ DHm(x)・D'‑l(戸 ) 命=

0 0 0= 1:DnH..(x)oe‑X2命

もしも m < nならば，D'H..(x) =0だからこの積分は消える. m =η ならば

日一2n予n2日JXn+て5. 直交多項式

84=1の付近では

1‑X ， (n‑)η (n+1)(n+2)(I‑x VPn(X) = 1‑ n(n+1)一一一一+ ¥'" 1.J.. l n'\;~ 1 ~2 .J.. /\ 'twl ( ~ )
I(2!
)
z

¥

2 /となっている .

演

問

習題a
﹃ EEJ

1[エルミート多項式母関数を用いて偶奇性 (5.
3) を示せ.

可EEJn[︐cosh(2U)=et2pn(副 長 了 を示せ.

‑EJ1EJ勾 uan‑Y[[

ロ ドリグの公式を用いて漸化式 (5.5) を導け.

o~玉 p 三三 η のときJρ。
ρ.
.1，去 pHn(X) =(ず(nf‑訂p)!HJρ(X)
トを示せ.
‑EEJ

F句dw

rEEt﹄

(5.
11)で定義される Un(X)に対して次の漸化式が成り立つことを示せ.

(fx+市n= .f[iiUn‑l(委ーが 一四 百Rhw

‑EJ1EJ[ [︐守Un(X)が満たす微分方程式を求めよ .

1:

UmXUndr=を示せ.

Un+lJ
平

m=n+lのときJ子

m=η ‑ 1のとき。

その他のとき

115

問

題

金E

解Eヨ]
‑[(7.
8) に x= 1/2+iyを代入する.このとき7r(わり=cosr
7iy= coshsin勾となる .

国引][︐内(nr(nB(f，τ)
=rl

﹁ ﹂

内 叫rllL

積分変数を

x=a+(b‑a)tとおきかえると，求める積分はlj(b‑b1'訂 コ 万 dtx)(x‑ a) dx= (b‑ a)2?~ f 33¥= (b‑ a)2
B( ~. ~ )¥2' 2}=す (b‑ a)2[4] 前問と同じ変数変換により

日 弓 dx 一 仙 年
=(bdt

﹁﹄E J

F﹃叫内hu寸llJ‑‑十す)= ;(b‑ a)=(b‑ a)B(πx2 = tとおいて1:
X 切=小2nenetj長][︐司♀詳、，当 =(nf7r=r""+2} 2 n!'¥'<ne をぺキ級数に展開して積分する.奇数次の項は奇関数なので消える.
21>
r1:
e‑(∞

ここで前問の結果を使う.

舗 側 2n roo