数理解析研究所講究録 1269 巻 2002 年 63-73

63

Rigidity of quadratic polynomials
Mitsuhiro Shishikura (Kyoto University)

1English Summery
Let $f_{c}(z)=z^{2}+c$ be the family of quadratic polynomials in the standard form. The filled
Julia set is defined as$K_{c}=${$z\in \mathbb{C}|\{f_{c}^{n}(z)\}_{n=0}^{\infty}$

is bounded}and the Mandelbrot set is$M=${$c\in \mathbb{C}|K_{c}$is connected}$=${$c\in \mathbb{C}|\{f_{c}^{n}(0)\}_{n=0}^{\infty}$:
For $c\not\in M$ , there exists B\"ottcher function
conjugates to . The external ray of angle is$\mathbb{C}\backslash K_{c}arrow \mathbb{C}\backslash \overline{\mathrm{D}}$$\varphi_{c}$$f_{c}$

is bounded}.

which is conformal and$\theta$$f_{0}$$\mathcal{R}(\theta)=\mathcal{R}_{f_{\mathrm{c}}}(\theta)=\varphi_{c}^{-1}(\{re^{2\pi i\theta}|r>1\})$and the equipotential curve of level $\eta>1$ is$\varphi_{c}^{-1}(\{\eta e^{2\pi i\theta}|\theta\in \mathbb{R}\})$.

, the external ray
It is known that for every rational angle
inwhich is either periodic or preperiodic. The landing relationinduced by is defined to be$\theta\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$\partial K_{c}$$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$lands at apoint
on rational angles$\mathcal{R}(\theta)$$\sim_{c}$$f_{c}$$\theta\sim_{c}\theta’$

if and only if$\mathcal{R}_{f_{\mathrm{c}}}(\theta)$

and$\mathcal{R}_{f_{\mathrm{c}}}(\theta’)$lands at the same point.

We say that two quadratic polynomial and $f_{d}(c, d\in M)$ are combinatorially equivalent
if they define the same landing relation and the multiplier of the non-repelling periodic
orbits coincide. We are concerned with the following.
$f_{c}$

Question (Rigidity). If two quadratic polynomials?
ally equivalent, then are they equal, i.e.,$f_{c}$

and $f_{d}(c, d\in M)$ combinatori-$\mathrm{c}=\mathrm{c}’$The positive answer was given in many cases: postcritically finite case by Thurston,
the case with non-repelling periodic orbit by Douady and Hubbard, non-renormalizable
case (or not infinitely renormalizable case) by Yoccoz. For the question restricted to real
, it was proved by Sullivan for infinitely renormalizable maps of bouded type, and by
Lyubich, Graczyk-Swiatek for unbounded type.
There are several consequences or equivalent statements.
$c’ \mathrm{s}$64Theorem (Yoccoz). $M$ is locally connected at $c\in M$ that are not infinitely renormalizable.

Theorem (Lyubich, Graczyk-Swiatek). Hyperbolic maps are dense among real quadro
polynomials.
The question remains open for infinitely renormalzable maps which are not real. By awell-known argument due to Sullvan, it is enough to show that andare quasiconformally conjugate in the conclusion of the question.
In this talk, we propose anew proof of the rigidity in the case of non iffinitely renormalizable maps and real infinitely renormalzable maps. The method will be explained
first for non renormalizable maps (Yoccoz case) and then we will explain how to modify
the proof in infinitely renormalzable case.
$f_{d}$$f_{c}$

Step 1. Define the Yoccoz puzzle partition and make aquasiconfomal map between
corresponding pieces at the first level. The map on the boundary of the pieces is canonically given by the construction. The dilatation is uniformly bounded by aconstant which
depends only on basic combinatorics.

Step 2.

-back the quasiconformal mapping to higher level pieces in order to get
arefinement of the previous correspondence (which are approximation for the desired
conjugacy). The-back through the critical piece deteriorates the dilatation.
$\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{U}$$\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{U}$Step 3. It crucial to extend the boundary correspondence of the critical piece to aquasiconformal map with abounded dilatation. Let $f$ andbe two polynomials inquestion. Choose appropriate level of Yoccoz puzzle partition, which can be arbitarily
large. Letandbe the critical puzzle piece of level for $f$ and . There is agiven
correspondence:, and it extends to aquasiconformal mapping. At this
$g$

$n$

$U^{f}$$U^{g}$$n$$g$$\partial U^{f}arrow\partial U^{g}$$\varphi_{0}$point, the dilatation ofis uncontrolled and it can be very large. We want to know how
the dilatation can be if we change
keeping the boundary value.
$\varphi_{0}$$\varphi_{0}$Step 4. We formulate the problem in terms of the universal Teichm\"uuer space. Sinc
is aJordan domain, it is conformally equivalent to D. The universal Teichmiiller space isdefined to be$\mathrm{e}$$\mathcal{T}(U^{f})=${ $(U’,$$\varphi)|U’$$U^{f}$

is aJordan domain and $\varphi:U^{f}arrow U’$ is quasiconformal}/\approx ,where $(U’, \varphi)\approx(U’’, \psi)$ if and only if: $U’arrow U”$ is isotopic to aconformal
map and the isotopy is through homeomorphisms having the same boundary value. The
Teichm\"uUer distmce is$\psi\circ\varphi^{-1}${$d([(U’, \varphi)], [(U’’,\psi)])=\inf$ $\log K|$

there exists a $K$-qc map isotopic to$\psi\circ\varphi^{-1}$}.

Then the question in the previous step is to give auniform bound on$d(\cdot[(U^{g}, \varphi_{0})], O)$

where $O=[(U^{f}, id)]$ is the base point.

Step 5. Define amap
dynamics. We prove:$\sigma$:$\mathcal{T}(U^{f})arrow \mathcal{T}(U^{f})$via pull-back of conformal structure by the

65
Theorem. There are constants
is fixed point of .
(i)(ii) $d(\sigma(O), O)\leq C$ .
(iii) $d(\sigma(x), \sigma(y))\leq\lambda d(x, y)$$C>\mathrm{O}$$[(U^{g}, \varphi_{0})]$$a$and $0<\lambda<1$ tnith uniform bound such that$\sigma$$(\forall x, y\in \mathcal{T}(U^{f}))$This w 垣垣

2$\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

to an estimate we are looking for.

はじめに

複素力学系の研究では, 有理関数の反復合或 (iteration) による軌道の様子や不変集合の構造,
そして, パラメータを変化させたときのこれらの変化を研究する。最近の複素力学系の研究の重要な或果や中心的な未解決問題は, これら力学系の剛性の問題ととらえることができ, さらにこの剛性問題はある種のリーマン面 (あるいはそれに類するもの) のタイヒミュラー空間上の自己写像の問題と密接に関係している。 この講演では, この見方を中心にいくつかの結果 (特に 2 次多項式について) について解説し, 剛性を引き起こすメカニズムについて見ていきたい。
ここでは, 「剛性」 という言葉を, 「ある同値関係が自動的により強い同値関係を導いてしまう現象」 という意味で使う。いろいろな同値関係の組み合わせでこの言葉を使うので, (弱い同値関係,
強い同値関係) 剛性という言い方をすることにする。例えば, 複素 1 次元トーラス (楕円曲線) はすべて微分同相であるが, 一般には互いに解析的同型にはならない。すなわち, (微分同相, 解析的同型) 剛性は成立しない。実際, 一つのトーラスから解析構造あるいは等角構造を変形して別の解
析的に同型でないトーラスを作ることができるし, このような変形ですべてのトーラスを得ることができる。 (このような変形全体の空間を考えるのが後述するタイヒミュラー空間である。) 一方,
Mostow の剛性定理によれば, 二つのコンパクト 3 次元双曲的多様体が同相なら, それらは等長である。すなわち, コンパクト 3 次元双曲的多様体については, (同相, 等長) 剛性が成立する。

3複素力学系, ジュリア集合, ファトウー集合

をリーマン球面とし, $f$ :表す。 $f$ のファトウー集合$\hat{\mathbb{C}}$$F_{f}$$F_{f}=\{z\in\hat{\mathbb{C}}|z$$\hat{\mathbb{C}}arrow\hat{\mathbb{C}}$を次数が 2 以上の有理関数とする。 $f$ の $n$ 回合或を

$f^{n}$

でをのある近傍 $U$ で$\{f^{n}\}_{n=0}^{\infty}$

が同等連続 (あるいは正規族)$\}$

をジュリア集合と呼ぶ。 ジュリア集合、 あるいは複素力学系ので定義し, その補集合
一般的な解説としては [B], [UTM] を参照。 ファ \mapsto 一集合は開集合, ジュリア集合は閉集合で,ともに $f$ に関して不変な集合となる。 $f$ が多項式のときには, 充填ジュリア集合を$J_{f}=\hat{\mathbb{C}}\backslash F_{f}$$K_{f}=${

が有界}$z\in \mathbb{C}|\{f^{n}(z)\}_{n=0}^{\infty}$|よ軌道がとなる。充填ジュリア集合の補集合
収束するような点からなる。
Sullivan の定理 ([Sul], [MS]) によると, ファ \mapsto 一集合の各連結或分 (ファトウー或分)と定義すれば,$A(\infty)=\mathbb{C}\backslash K_{f}$$J_{f}=\partial K_{f}$$\infty$には $f$

で何回かうつせぼ, 最終的には (集合として) 周期的になる。 さらに, 周期的なファトウー或分
上では, 軌道は吸引的または放物型の周期点に収束する力 , 円盤または円環上の無理数回転に共役になる。周期的なファ \mapsto 一或分は, $f$ の特異点と密接に関連している。 ここで特異点とは,$\mathrm{a}$

66
$f$

が局所的に 1 対 1 でなくなる点$(z\neq\infty, f(z)\neq\infty$

なら $f’(z)=0$ であることと同値) のことである。例えぼ, 吸引的周期点の吸引領域にはかならず 1 個の特異点があることが知られている。
Douady と Hubbard[DH2] は, リーマン球面全体で定義された有理関数や多項式の研究をするためにも, 次のような擬多項式写像を研究する必要があることを提唱した。 $U,$ $U’$ を複素平面内の単連結領域で, $U$ が $U’$ 内で相対コンパクトであるものとし, $g:Uarrow U’$ を正則な proper な 対 1写像とするとき, $g:Uarrow U’$ は 次擬多項式写像であるという。 $d=2$ のときは擬 2 次式写像という。多項式は適当な領域に制限すれば, 同じ次数の擬多項式写像になる。充填ジュリア集合は
$d$

$d$

$K_{g}=${$z\in U|\{f^{n}(z)\}_{n=0}^{\infty}$が定義でき,$U$に属する}で定義される。
は基本円環と呼ばれる。 DouadyHubbard の straightening theorem によれば, 擬多項式写像は同じ次数のある多項式写像と位相共役であり, この共役写像は擬等角で, 充填ジュリア集合上ほとんど到るところ等角となるようにとれる。
で,ジュリア集合は4

いろいろな同値関係$4=\partial K_{g}$$U’\backslash U$

この節では後で議論の対象となるいろいろな同値関係を定義する。 $f,$式) とする。

$g$を有理関数 (または多項定義. ある写像があって, $g=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$ となるとき, $f$ とは共役であるという。
:
共役写像
が等角写像, 擬等角写像 (後述), 向きを保つ同相写像であるとき, それぞれ, 等角共役, 擬等角共役, 位相共役であるという。
$\hat{\mathbb{C}}arrow\hat{\mathbb{C}}$$g$$\varphi$$\varphi$: C^\rightarrow むが等角写像なら, それははメビウス変換 (1 次分数変換) になるので, 等角共役のを 2 次多項式とするとき, ある
かわりにメビウス共役といってもよい。
があって,$\varphi$$f$$c\in \mathbb{C}$とは等角共役 (実際にはアファイン写像で共役) になる。 $f(z)=z^{2}+c_{1},$ $g(z)=z^{2}+c_{2}$のとき, $f$ とが等角共役なら $c_{1}=c_{2}$ となる。すなわち, 族 $\{z^{2}+c\}$ は 2 次多項式の等角共役類の代表系となる。
$z^{2}+c$

$f$

$g$

を
定義.
の開集合とする。 $h:\Omegaarrow\Omega’$ が擬等角写像であるとは,が向きを保っ同相であり, 超関数の意味の 1 階偏微分が L 沖 (\Omega ) に属し, ある定数 $0\leq k<1$ が存在して$\Omega,$$\Omega’$$h$$\mathbb{C}$$| \frac{h_{\overline{z}}}{h_{z}}|\leq k$

をみたすことである。 ここに,$h$$h_{z},$$h_{\overline{z}}$(a$.\mathrm{e}.$)は複素の意味での偏微分である。 また, $K=$ 月

$kk$

を用いて

は $K$-擬等角であるともいう。リーマン面上の擬等角写像も座標を用いて定義できる。擬等角写像については [A] 参照。
$f,$

$g$

が 2 次多項式のときに, 組み合わせ同値を定義しておこう。その準備として,定理 (Douady-Hubbard [D], [DH1]). $f.(z)=z^{2}+c$ とし, その充填ジュリア集合は連結で(ただし,あるとする。このとき, 等角写像 :: $|z|<1\}$ )$z\mapsto z^{2}$であって, $f$ との共役になる ( $i.e$ . $z\in A(\infty)$ に対し $\varphi(f(z))=\varphi(z)^{2}$) となるものが$A(\infty)=\hat{\mathbb{C}}\backslash K_{f}arrow\hat{\mathbb{C}}\backslash \mathrm{D}$$\mathrm{D}=\{z\in \mathbb{C}$$\varphi$の utemal my, $\eta>1$ に対し,をポテンシャ
が分母が奇数の有理数の equipotential cune と呼ぶの extemal my $11K_{f}$ 上の反発的または放物型周期点に到達する。逆に反発的まのとき, 角度
たは放物型周期点 (固有値が 1 のべき根になる周期点) には上のような extemal ray が到達する。

存在する。

$\theta\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$$\{\varphi^{-1}(\eta e^{2\pi\dot{\iota}\theta})|\theta\in \mathbb{R}\}$に対し,$\{\varphi^{-1}(re^{2\pi 1\theta}.)|r>1\}$を角度$\theta$$\theta$$J\triangleright\eta$$\text{。}$$\theta$67
もし複数の external rays が同じ点に到達しているとすれば, それらの和集合は複素平面を分割し,「組み合わせ的構造」 を創り出す。
定義. $f(z)=z^{2}+c_{1},$ $g(z)=z^{2}+c_{2}$ のとし, ともに充填ジュリア集合は連結であるとする。
とが組み合わせ同値であるとは,が分母が奇数の有理数でこれらの角度に対する $f$ に関する external rays が同じ周期点(i) とに到達するならば,に関する external rays が同じ周期点に到達し, 逆も成立し,もそうで, その固有値 (微分) が一致$f$が中立的周期点あるいは超安定周期点をもてぼ
,
(ii)

$f$

$g$

$\theta$$\theta’$

$g$

$g$

し, 逆も成立することをいう。

以上の同値関係の間には自明な強弱関係がある。すなわち,
等角共役 \Rightarrow 擬等角共役 \Rightarrow 位相共役 \Rightarrow 組み合わせ同値である。 したがって, ここで問題にするのは, (組み合わせ同値, 位相共役) 剛性, (位相共役, 擬等角共役) 剛性, (擬等角共役, 等角共役) 剛性などである。

タイヒミュラー空間と Thurston の剛性

5

ここで、 後で必要となるタイヒミュラー空間 (詳しくは$[\mathrm{A}],[\mathrm{I}\mathrm{T}]$参照) を定義しておこう。

をリーマン面とし、 $(S, h)$ を $S$ を別のリーマン面と擬等角写像 $h:S_{0}arrow S$ の組とする。
定義.
同様な組 $(S’, h’)$ をもう一つとるとき、 同値関係 $(S, h)\approx(S’, h’)$ を「写像 $h’\circ h^{-1}$ : $Sarrow S’$ がある等角写像にアイソトピック」 で定義する。 タイヒミュラー空間を$S_{0}$$\mathcal{T}(S_{0})=${$(S,$ $h)|S$はリーマン面、$h$: $S_{0}arrow S$ は擬等角写像}$/\approx$

で、 その上のタイヒミュラー距離を$d([S, \dot{h}], [S’, h’])=\inf\{\log K|$$K-\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{等角写}(\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{B}^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}\text{存}\dagger\pm^{-}(K\geq 1)h’\circ h-1\#-arrow \text{ア}\triangleleft’y\text{、トヒ^{}\mathrm{o}}\backslash \backslash y\text{ク}\gamma_{J}\}$

は複素多様体の構造をもち、 $S$ が有限型なら有限次元である。擬等角写で定義する。一般にの上に誘導するが、 それは (一般には)
像 $h:S_{0}arrow S$ は、引き戻しによって、 $S$ の等角構造を\searrow 上もともとあった等角構造とは異なるものである。従って、 タイヒミュラー空間は、 上定義
はしうる等角構造の全体をイソトピーで分類する空間とも思える。 $S=\mathrm{D}$ ととったときは、$\mathcal{T}(S)$$S_{0}$$S_{0}$$\mathcal{T}(\mathrm{D})$

一点となってしまう。 しかし、 の定義を境界を動かさないアイソトピーに変えることにすれぼ、は無限次元となり、 普遍タイヒミュラー空間と呼ぼれる。
$\approx$$\mathcal{T}(\mathrm{D})$タイヒミュラー空間の理論を応用して、 次の定理が示される。

をそのすべての特異点が有限な軌道をもつ有理関数 (特定理 (Thurston の剛性 [DH3]). $f,$が位異有限型と呼ぶ) とする。非常に特殊な例外 (簡単に特徴付け可能) を除けば、 もし $f$ と相共役なら、 それらは等角共役である。 すなわち、 このクラスでは、 (位相共役、等角共役) 剛性が
成立する。
$g$

$g$

この定理は、 球面の特異有限型の分岐被覆に関する定理の特殊な場合である。証明には、 リーマ
ン面 $S$ として、 むから $f$ のすべての特異点の前軌道を除いたものを考え、 分岐被覆 $f$ による等に誘導し、 その弱縮小性から不動点の唯一性を導き、 それが上述
角構造の引き戻し写像をの弱縮小性は、:の剛性に対応するという事実を使う。実際、 引き戻し写像$\mathcal{T}(S)$$\sigma_{f}$$\mathcal{T}(S)$$\mathcal{T}(S)arrow \mathcal{T}(S)$の余接空間である可積分正則 2 次微分の空間への作用を見ることによって得られる。

68
6双曲型写像と擬等角変形

定義. 有理関数 $f$ :呼ばれる。

$\hat{\mathbb{C}}arrow\hat{\mathbb{C}}$は、各特異点の軌道がある吸引的周期軌道に収束するとき、双曲型と双曲型写像は、複素力学系の中でも ともよくわか ているクラスである。例えば、少し写像を変化させても、 ジュリア集合はほとんど変化しないし、 もとの写像と、非常に弱い条件の下で共役になる。 (構造安定性) また、記号力学系による表現も可能で、 ジュリア集合のハウスドルフ測度などについても詳しい結果が分か ている。 このような写像は複素力学系の中で「沢山」あると予想$\text{っ}$$’\supset$$\text{っ}$されている。

予想 (双曲型の稠密性). 双曲型写像は、次数 $d\geq 2$ の有理関数全体 (あるいは多項式全体) の中で稠密である。
この予想は、次数 2 の多項式に限っても未解決である。次数 2 の多項式の場合には、 $f_{\mathrm{c}}(z)=z^{2}+c$が稠密であることを示せぼよい。 この予想は、以下に述べる MLC 予が双曲型となるような想と密接に関連している。
$c\in \mathbb{C}$

定義.

2 次多項式 $f_{c}(z)=z^{2}+c$ のジュリア集合は、 その特異点 $z=0$ の軌道が無限大に発散す

るか有界にとどまるかに応じて、完全不連結な集合となったり、連結な集合となったりする。マンデルブロート集合を$M=${$c\in \mathbb{C}|J_{f_{\mathrm{c}}}$

が連結}

$=$

{

$c\in \mathbb{C}|\{f_{c}^{n}(0)\}_{n=0}^{\infty}$が有界}と定義する。
予想 (MLC、 マンデルブロート集合の局所連結性). マンデルブロート集合 $M$ は局所速結である。
定理 (Douady-Hubbard [DH1]). もし、 MLC 予想が正しければ、 2 次多項式の中で双曲型のものは稠密である。

この定理の証明はマンデルブロート集合の組み合わせ構造に関する Douady-Hubbard の理論から内の連結コンパクト集合であるマンデルブロート集合についても、証明される。 この理論では、
cur
擦鯆蟲舛掘 これらの組み合わせ的構造と、対応するジュリア集
external ray や equipotential$\mathbb{C}$合のそれとの対応関係を記述するものである。 また非双曲型 2 次多項式の組み合わせ同値による分類
は、 $M$ の external rays による分割に対応している。上の二つの予想は次のように言い換えられる。
定理. 2 次多項式の中で双曲型の稠密性は、非双曲型 2 次多項式の組み合わせ同値類が内点をもたないことと同値である。
MLC 予想は、非双曲型 2 次多項式の組み合わせ同値類が 1 点であることと同値である。
従って、 MLC 予想を示すには、非双曲型 2 次多項式について (組み合わせ同値, 等角共役) 剛性がいえれば、 MLC 予想が示されることになる。実はさらに、定理. 非双曲型 2 次多項式について (組み合わせ同値, 擬等角共役) 剛性がいえれば、 MLC 予想が成立する。 [Su2]69
これは次のように擬等角変形を用いた Sullivan の論法により示される。 まず、二つの相異なる 2 次
多項式 $f(z)$ $=z^{2}+c_{1},$ $g(z)=z^{2}+c_{2}$ が擬等角共役であるとする 共役写像を $w=\varphi(z)$ とする)(ただし、と、標準的計量の引き戻しは、
で、と等角同値になり、 $||\mu(z)||_{\infty}<1$ となる。 $f\neq g$ より $\mu(z)=0$ $a.e$ . となり得ない。
$\text{。}$$|dw|^{2}=|\varphi_{z}dz+\varphi_{\overline{z}}d\overline{z}|^{2}\sim|dz+\mu(z)d\overline{z}|^{2}$$\mu(z)=\mu_{\overline{z}}\varphi_{z}$$\lambda\in \mathbb{C}$$||\lambda\mu(z)||_{\infty}<1$となるものをとると、 $|dz+\lambda\mu(z)d\overline{z}|^{2}$ も $f$ で不変な可測計量を定義するが、 可を付与したものもリーマン球面と等角同型と測リーマン写像定理によれば、 になり、 $f$ はその上の正則写像を誘導する。 これは、 2 次多項式の形をしていると考えてよいから、この操作により、 $f$ と擬等角共役な多項式 $z^{2}+c(\lambda)$ が得られたことになる。 これを $f$ の擬等角変は解析的であり定数でないので、 それによる形という。特に $c(0)=c_{1},$ $c(1)=c_{2}$ である。
$\{|\lambda|<1/||\mu(z)||_{\infty}\}$ の像は開集合である。 ここから、$\hat{\mathbb{C}}$$|dz+\lambda\mu(z)d\overline{z}|^{2}$$c(\lambda)$

2 次多項式 $f(z)=z^{2}+c$ の中で、 各擬等角共役同値類は 1 点かまたは開集合である。
[Su2], [MS]

命題.

一方 ‘
補題. 非双曲型 2 次多項式の組み合わせ同値類は閉集合である。
ここから、 上記定理が示される。
以後は、 非双曲型 2 次多項式 f(z) $=z^{2}+c$ について、 どのような条件のもとで擬等角共役が得られるかを見ていこう。 写像が双曲的な場合や特異有限な場合、 放物型不動点をもつ場合、(組み合わせ同値, 擬等角共役) 剛性については、 Douady-Hubbard 等により早くから知られていた。 問題になるのはそれ以外の場合である。

7Suffivan のくりこみ理論のとき、 2 次多項式 $f(x)=x^{2}+c$ は実軸からそれ自身の写像を定義する。 $f$ が定義.
が存在して、
くりこみ可能とは、 自然数 $k\geq 2$ と、 特異点 $x=0$ を内部に含む閉区間をく$f^{k}(I)\subset I$ かつ $I,$ $f(I),$ $\cdots,$ $f^{k-1}(I)$ が端点以外で交わらないようにできることをいう。
りこみの周期: $Iarrow I$ をくりこみという。
に対してくりこみ可能の時、無限回くりこみ可能であ$k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{n}<\ldots$
無限個の周期を $f$ のすべてのくりこみの周期とし、 $k_{n+1}/k_{n}$ が有界なら有界るという。 さらにこのとき、$c\in \mathbb{R}$$I\subset \mathbb{R}$$k$$\text{、}.f^{k}|_{I}$$\{k_{n}\}$型であるという。
定理 (Sulli$\mathrm{n}$$[\mathrm{S}\mathrm{u}2]$). 有界型の無限回くりこみ可能な実 2 次多項式については、 (組み合わせ

同値、等角共役) 剛性が成立する。

前節で述べたようにここでは擬等角共役まで示せば十分である。 さらに、 実 2 次多項式 $f,g$ につが存在して、$.h$ が $f$ ,が組み合わせ同値のときに、 ある擬対称写像
いては、 もし $f,$(
引き戻しの方法) ここで、の特異点の前軌道上での共役を与えることのみを示せば十分である。
$h:\mathbb{R}arrow \mathbb{R}$

$g$

$g$

定義. 向きを保つ同相写像$h:\mathbb{R}arrow \mathbb{R}$が擬対称とは、 ある $M\geq 1$ があって、$\frac{1}{M}\leq\frac{h(x+t)-h(x)}{h(x)-h(x-t)}\leq M$

がすべての$x\in \mathbb{R}$と $t>0$ について成立することをいう。 また、 この条件は、 $h$ が、自身への擬等角写像に拡張できることと同値であることが知られている。 [A]$\mathbb{C}$

からそれ

70
$f^{k_{n}-1}(I_{n})$とその像たち特異点の前軌道上での共役を作ることは、 くりこみに現れる区間
は入れ子になった区間の族を作るが、 それが各ステップごとに一様有界な比率をもつことを用いて構或される。 (実アプリオリ評価)
Sullivan[Su2] はさらにここから進んで、「複素アプリオリ評価」 を示し、 リーマン面族からなる
ある種の lamination を考え、 それにたいするタイヒミュラー空間を定義し、 くりこみが誘導するタ
イヒミュラー空間の自己写像の縮小性からくりこみの収束に関する結果を導いている。
$I_{n}$$I_{n},$$\ldots,$

8Yoccoz の局所連結性に関する結果
一方、無限回くりこみ不可能な写像については、 Yoccoz ([Y], [Hu]) による画期的な結果がある。
定義. 複素 2 次多項式 $f(z)=z^{2}+c$ がくりこみ可能とは、 自然数 $k\geq 2$ と、特異点 $z=0$ を含
む領域 $U\subset U’$ が存在して、の制限: $Uarrow U’$ が擬 2 次式写像になり、 しかも充填ジュ
リア集合が連結になることをいう。周期や無限回くりこみ可能性については、実の場合と同様に定義できる。
$f^{k}$$f^{k}|_{U}$$K_{(f^{k}1_{U})}$定理 (Yoccoz [Y]). $f(z)=z^{2}+c$ は連結なジュリア集合をもち $(c\in M)$ 、すべての周期点(\otimes 以外) は反発的で、 無限回くりこみ可能ではないとする。 このとき、は局所連結である。
(a)(b) $M$ は で局所連結である。
$J_{f}$$c$

およひ $M$ を有理数の角度の external rays (およひ明 uipotential cur s)
その証明では、で分割し (この分割を Yoccoz puzzle という) 、その分割の各或分が分割を細かくするとともに$J_{c}$

実際に小さくなることを証明している。 ここから、 上記定理の条件を満たす写像のクラスでは、(組み合わせ同値、等角共役) 剛性が成立することがわかる。同じアイデアをさらに進めて、次を示すことができる。
定理 (Lyubich((a) のみ)[Ly], 宍倉 [Shl]). $f(z)=z^{2}+c$ は連結なジュリア集合をもち$(c\in M)$ 、すべての周期点 (\otimes 以外) は反発的で、無限回くりこみ可能ではないとする。 このとき、の 2 次元ルベーグ測度は 0 である。
(a)(b) 上記条件をみたす $c\in M$ の集合の 2 次元ルベーグ測度は 0 である。
$J_{f}$

Yoccoz の方法は 2 次多項式族 $z^{2}+c$ の代わりに高次の族 $z^{d}+c(d\geq 3)$ で置き換えると通用しなくなってしまう。

9Lyubich, Graczyk-Swiatek の結果
実の 2 次多項式についても双曲型の稠密性は昔からの未解決問題であった。これについて Lyubich[Ly],Graczyk-Swiatek[GS1] が最終的に解決した。
定理 (Lyubich, Graczyk-Swiatek). 実 2 次多項式 $f(x)=x^{2}+c(c\in \mathbb{R})$ の中で双曲型のものは稠密である。

この定理は、 6 節のときと同様に、次から従う

71
定理 (Lyubich, Graczyk-Swiatek の剛性定理). 実 2 次多項式 $f(x)=x^{2}+c_{1},$ $g(x)=x^{2}+c_{2}$が組み合わせ同値なら、 それらはが無限回くりこみ可能であるとする。 もし、 $f$ と$(c_{1}, c_{2}\in \mathbb{R})$$g$

擬対称共役である。
すなわち、無限回くりこみ可能な実 2 次多項式については、 (組み合わせ同値, 擬対称共役) 剛性が成立する。

Sullivan が既に、有界型については結果を出しているので、 問題は非有界型の場合である。 こが無限個でてに対し、 $k_{n+1}/k_{n}$ が非常に大きくなるようなのときは、 くりこみ周期の列$n$$\{k_{n}\}$と $I_{n+1}$ の比が非常に大きくなり、 その間での擬対くる。その際には、 くりこみに対応する区間
称共役の構或が問題となる。 Lyubich と Graczyk-Swiatek は、 Yoccoz puzzle の中心円環列に対するモデュラスの線型的増大を示すことによって、 この問題を回避した。
ただし、「中心円環列に対するモデュラスの線型的増大」 は、 族 $z^{2}+c$ を高次の族 $z^{d}+c$$I_{n}$

で置き換えたときには、成立しないことがわかの族については、 未解決である。
$(d\geq 3)$

10$’\supset$ている。そして、上の二つの定理は高次

普遍タイヒミュラー空間を用いる方法

前節の剛性定理は、 2 次多項式に対する一つの重要な到達点であるが、 その手法が高次の族に通用しないこと、 そして証明自身がかなり難解なこともあり、 その改良が期待されていた。本講演では、 普遍タイヒミュラー空間を用いて、 前節の剛性定理を証明する方法について述べたい。

まず、次のような複素アプリオリ評価が知られている。特に Sands の証明は簡便。
定理 (Levin-van Strien[LvS], [LY], [GS2], [Sa] ). 実 2 次多項式 $f(x)=.x^{2}+c(c\in \mathbb{R})$が無限回くりこみ可能であるとする。 その擬 2 次式としてのくりこみの列 $\{f^{k_{n}}|_{U_{n}} : U_{n}arrow U_{n}’\}$ にのモデュライは下から一様に評価できる。
ついて、 その基本円環$U_{n}’\backslash U_{n}$7 節の精神で擬対称共役を作ろうとすれば、 次を示せぼよいことがわかる。
定理 (一様評価付きの部分共役 [Sh2]). 擬 2 次式 $f$ : $Uarrow U’$ がくりこみ可能であるとし、$\{f^{k}|_{U_{1}} : U_{1}arrow U_{1}’\}$
をその最初のくりこみとする。 $g:Varrow V’$ も擬 2 次多項式で、 $f$ と組み合わ以外では $f$ からせ同値であるとする。 このとき、擬等角写像: $U’arrow V’$ が存在し、 は$\varphi$$\varphi$$U_{1}$$g$への共役である。 すなわち、$\varphi\circ f(z)=g\circ\varphi(z)$の擬等角歪率 $K$ は、 $f$ とくりこみの周期なとには依存しない。

さらに、$\varphi$

$g$

の基本円環

$(z\in U\backslash U_{1})$$U’\backslash U,$$V’\backslash V$のモデュラスにのみ依存し、ここで重要なのは擬等角歪率の一様評価で、無限回くりこみ可能な $f$ が与えられたとき、 そのくに対し、 この定理を適用して、 一様評価付きの部分共役を作り、りこみの列それを組み合わせて、特異点の前軌道上の擬対称共役を構或するのである。
$\{f^{k_{n}}|_{U_{n}} :U_{n}arrow U_{n}’\}$

最後の定理の証明には次のように普遍タイヒミュラー空間が利用できる。 $f$ と についてそれぞれ Yoccoz puzzle を構或する。 Puzzle の対応ピース同士の間には少なくとも境界上では自然な対応がある。問題はこれがピースの内部まで歪率の一様評価をもつ擬等角写像に拡張できるかどうか) は Yoccoz puzzle のピースであるとしてよ(そしてに関して対応するである。 まず、がその内部へ K-擬等角写像として拡張できるならい。 もしも、 自然な境界対応\mbox{\boldmath $\varphi$}0 :$g$$U^{f}$$U^{g}$$g$$\partial U^{f}arrow\partial U^{g}$(共役でなくてよい !), それをこのピースの逆像たちへ「引き戻して」 いくことにより、定理の主72張のような部分共役が作れ、 その歪率は $K$ のみに依存することがわかる。 したがって、以後は境界対応の拡張のみに注目する。 もちろん今の段階では $K$ については何の情報もない。
の任意の擬等角拡張は、
境界対応\mbox{\boldmath $\varphi$}0:の普遍タイヒミュラー空間$\partial U^{f}arrow\partial U^{g}$$\mathcal{T}(U^{f})=${ $(U’,$$\varphi)|U’$$U^{f}(\simeq \mathrm{D})$is aJordan domain and $\varphi:U^{f}arrow U’$ is quasiconformal}/\approx ,: $U’arrow U”$ 境界値を保つイソトピーで等角写(ただし、 同値関係 $(U’, \varphi)\approx(U", \psi)$ は、$\psi\circ\varphi^{-1}$

像まで変形できることとする。) の一つの元$[(U^{g}, \varphi_{0})]$を定義することに注意する。定理での一様評価を言うには、 この元と中心点 $O=[(U^{f}, id_{U_{1}})]$ とのタイヒミュラー距離 $d([(U^{g}, \varphi_{0})], O)$ の一様評価が得られればよいのである。 さて、普遍タイヒミュラー空間の元を今度は上の等角$f$$f$構造の集合と考えることにより、 による等角構造の引き戻しが定義できる。 が単葉になるピース
でのみ引き戻していくと、 それが再ひまで戻ってきて、の新しい等角構造を定義する。すなわち、 この引き戻しは普遍タイヒミュラー空間の自己写像を定義する。
:
については、 その構或からの不動点となる。 この写像について次の評価が得られる。
$\mathcal{T}(U^{f})$$U^{f}$$U^{f}$$\sigma$$[(U^{g}, \varphi_{0})]$

定理.

$f$

$U^{f}$$\mathcal{T}(U^{f})arrow \mathcal{T}(U^{f})$$\sigma$と $g$ の基本円環のモデュラスにのみ依存する定数 $C>0$ と $0<\lambda<1$ があって、

は
(i)
の不動点.
(ii) $d(\sigma(O), O)\leq C$ .
(iii) $d(\sigma(x), \sigma(y))\leq\lambda d(x, y)$$[(U^{g}, \varphi_{0})]$$\sigma$$(\forall x, y\in \mathcal{T}(U_{1}))$.

以上から容易に不動点までの距離 $d([(U^{g}, \varphi_{0})], O)$ の一様評価が得られることになる。
補題の証明は, (i) については、 の構或と、普遍タイヒミュラー空間の定義から従い、 (ii), (iii) については、 8 節での Yoccoz の組み合わせ評価を、 の余接写像に適用することによって得られる。
$\sigma$$\sigma$

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