結晶成長の物理―方向性凝固での界面不安定性―
齋

藤幸夫

よる結晶成長です．そこでは，金属材料を坩堝の中にいれ，･ は じめに炉の中で溶解した後，炉または坩堝を移動することで試料の片側を冷却して，単結晶を成長させています．また，全体の前回は一様に過冷却された溶液から合金結晶が成長してくる場合を考えました．そして，濃度拡散に支配された成長では，やはり平坦な結晶界面が不安定で，融液成長の場合と同温度が下がるだけでも結晶は成長することができます．
さてこのときに，本当に平らな界面のまま結晶が成長できるかどうかを考えてみましょう．

じく樹枝状結晶になってしまうだろうと結論しました．

･ 温

しかし，溶液の中に温度勾配をつけて，高温側が溶液，低度勾配温側が結晶になるように設定しておけば，間の界面は平らになるのではないかと期待されます．例えば図･に示されて図･(a)の平衡相図を持つ二成分系で，濃度 C∞ の溶液かいるように，薄い容器(ヘリショー・セルと呼ばれます)のら合金結晶が成長することを考えます．溶液の z 方向に一定

左を低温，右を高温にしておきます．この容器を温度勾配のの温度勾配を設定して，正の z の方の温度を高くします．ま

中で低温側に移動させると，結晶を成長させられます．またた，x, y 方向には温度は一様だとします．すると高温側に溶移動速度を変えることで結晶成長速度も制御できます．この液が，低温側に結晶ができて，その間の界面は平坦になるでような結晶成長のさせ方を一方向凝固または方向性凝固と言しょう．ここで結晶を一定速度で低温側へ引っ張れば，結晶います．このとき，低温側で成長する結晶の一部が溶液側には引っ張り速度と同じ速度で成長していくでしょう．このよ

突き出しても，高温では溶けるため，界面不安定性が起きなうな結晶の成長のさせ方が，一方向凝固または方向性凝固でいのではないかと期待されます．こういった，温度勾配のあした．

る中で結晶の一方向凝固を行っている例はブリッヂマン法にさて，結晶の成長とともに発生する潜熱は冷えた結晶側に流れていくので，第 3 講3･6節で議論したように，熱伝導が支配的なら平らな界面は安定のはずです．しかも，一般に熱伝導は物質拡散に較べて十分に速いので発生した潜熱はすぐに除去され，温度分布は外から設定した一定勾配になっていると想定して構わないでしょう．更に，溶液と結晶とで熱伝導率が余り違わないので，溶液中と結晶中とで温度勾配は等しいと近似しましょう．つまり，温度分布は結晶化の程度に

図5･1

ヘリショー・セル中の溶液からの結晶の方向性凝固．液体の入ったセルを温度勾配の中で低温側に引っ張ると，結晶が一定速度で成長する．

依らず
T (z )＝T0＋GT z( 5･ 1)のように一定勾配 GT で決まっているとします．この仮定は

慶応義塾大学教授理工学部(〒2238522 横浜市港北区日吉 3141)
Physics of the Crystal Growth : Morphological Instability during Directional Solidification; Yukio Saito (Department of Physics, KeioUniversity, Yokohama)
Keywords: dilute solution, directional solidification, Hele-Shaw cell, constitutional supercooling, morphological instability, cell-dendrite transition, absolute stability
2009年10月26日受理



講義ノート

図 5･ 2(a) 希薄合金結晶の濃度－温度(z 座標)相図．破線は方向性凝固中の溶液内での濃度 C と温度 T の関係を表す．( b ) 溶液中の実際の温度分布 T ＝ T0 ＋ GT z と液相線の温度 TL ．温度勾配が臨界値 GT, c より緩やかだと，結晶前面 lT 程度の範囲に T が TL より低いという組成的過冷却が生じる．

温度分布が結晶の位置に依らないため問題を非常に簡単化し0 の方向に引っ張っても良いし，全体の温度を GT V0 の割合ます．なお， T0 は z 軸の原点での温度ですが，この選び方で下げても同じです．）すると，温度 T0 の所で速度 V0 で結は以下のようにします．

晶化が進行します．このように，結晶の成長速度が外から制まず物質保存則を満たす為には，結晶中の濃度は溶液深く御できるわけです．実験室から見れば温度分布は式(5･1)のの濃度と等しくなければいけません．そこで，出来上がる結ままですが，溶液の入った坩堝は速度－ V0 で負の z 方向に晶の濃度は C∞ となるでしょう．もし結晶と溶液の間の界面動いているので，溶液の濃度変化は実験室系で見ればで原子の取り込みが非常に早く， Kc →∞ とみて良ければ，&C&C＝V0 ＋Dc ;2C＝0&t&z

界面での溶液側の濃度 Ci は平衡濃度に等しいでしょう．(こ( 5･ 5)

れを局所平衡といいます．）すると濃度 C∞ で平らな界面を持となります．最後の等式は，結晶が一定の成長速度 V0 で成つ合金結晶と共存する溶液は Ci＝C∞/k の濃度を持つはずで長していて，濃度場の時間変化がない定常状態なので成り立す．すると結晶と溶液とが熱平衡にあって共存する温度は，ちます．この定常的な拡散方程式(5･5)を解くと，平らな結式(4･29)や図5･2(a)から分かるように，晶界面の前面の溶液中の濃度分布がT 0＝ T A＋ m L

C∞＝T A ＋m S C ∞k(5･2)C(z )＝C∞＋(C∞/k－C∞ )e－V0 z/Dc＝C∞＋DCe－2z/lD(5･6)と求まります．ここで，結晶界面 z ＝ 0 での濃度が C∞ / k でとなります．ここで，純粋 A 物質(C＝0)のバルクの融点温あり，溶液の奥深く z→∞ での濃度が C∞ であるという境界度を TA としています．また，液相線や固相線の傾き mL,条件を用いています．また，

mS は図 5 ･ 2 ( a )の場合，負です．式( 5 ･ 1 )中の温度 T0 を式

l D ＝ 2 D c /V 0(5･2)のものに選べば，局所平衡を満たしながら定常成長すは濃度変化の起きている領域の幅を表す拡散長です．

る平らな結晶界面の位置が z 座標の原点 z ＝ 0 になります．

一方，温度分布は式(5･1)のように与えられているので，溶液中で温度 T の場所 z＝(T－ T0 )/GT での濃度は式(5･6)

そして，結晶界面では

DC＝( 5･ 7)( 1k －1)C∞(5･3)から
C＝C∞/k－DC(1－e－V0(T－T0 )/Dc GT )(5 ･ 8 )となります．この温度 T と濃度 C の関係式(5･8)を T C 相の濃度の跳びができます．
一方，決まった濃度の溶液がただ一つの相として可能な温図中に書き込むと，図 5 ･ 2 ( a )の破線のようになります．界度の最低値が液相線( 4 ･ 29 )でした．溶液濃度が C∞ のとき面から遠く離れた溶液深くの T →∞ では濃度は C∞ となっは，その温度は TA ＋ mL C∞ ＝ T0－ mLDC となります．設定ています．一方，結晶界面での温度は T ＝ T0 で，そこでのされている温度( 5･ 1 )がこの温度になる位置は， z が熱的長濃度が C∞ / k であることはすぐ分かるでしょう．さてここ

さで，界面近くの濃度と温度の関係には問題があります．といlT ＝| m L | DCGT

(5･4)だけ界面から離れたところです．(図 5 ･ 2 ( a )の右の軸を参照)．すると，界面から lT 以上離れると溶液の温度は十分高くて液相が安定だと言えます．でも次の節で調べるように，成長中の界面の近くでは不安定性が生じることがあります．

うのが，上の式を界面近く，温度が TT0，濃度が CC∞/k の近くで展開すると，
T－T0＝－

－Dc G T
ln
V0[1＋C－DCC /k]∞Dc G T(C－C∞/k)
V 0DC(5 ･ 9 )となります．一方，液相線は･ 組 成 過 冷 却

T ＝ T A＋ m L C ＝ T 0＋ m L ( C－ C ∞ / k )(5･10)という直線でした．ただし，図 5 ･ 2 ( a )の場合は液相線の傾さて，溶液と結晶の入った坩堝を一定速度 V0 で低温側(zき mL＝dT/dC は負です．そこで，＜0)の方向に引っ張りましょう．(または炉を速度 V0 で z＞

ま て り あ 第49巻 第11号(2010)Materia Japan

|mL|＞

D c GT,V 0D C

つまりlT ＞lD
2(5･11)の場合には，溶液中の濃度 C が図 5･ 2( a )に示されているよ
うに，二相共存領域の中に入り込んでしまいます．ここで，上の条件式の二つ目は，式( 5 ･ 4)と式( 5 ･ 7)とを用いて最初の条件式を書き換えています．濃度の空間変化の起きる長さの目安としての拡散長 lD が液体が安定となる最小の長さ lTより小さくなると，溶液の濃度が共存領域に入ってしまうのです．ところが共存領域内に入った濃度を持つ溶液の部分は，液相線で決まる平衡温度より低い温度になっています．
つまり，過冷却されていることになるため，この現象は組成

図 5･3的過冷却と呼ばれています．二相共存領域内では，一様な溶正弦的に変調した結晶界面とその前面の溶液中の等濃度線の概略．

液でいることは不安定なので，何らかの不安定性が起きると予想されます．次の節では，結晶界面に界面不安定性が起きて凸凹になることを見て行きます．

･ 界面の形態安定性

我々が外から制御できるのは，温度勾配 GT と引っ張り速度 V0 です．温度勾配が緩くて GT が小さいと上の条件が成り立ち，結晶界面は不安定になりやすいことが分かります．

界面が平らなまま結晶が z＝ 0 の位置より前に出れば界面GT ＝ 0 の極限は温度勾配のない均一な場合で，前回みたよの温度が T0 より高くなるため，濃度 C∞ の結晶は溶けてしうに結晶界面は不安定でした．また，引っ張り速度を上げてまうでしょう．逆に界面が平らなまま後ろに後退すれば，界いくと，やはり不安定条件式( 5 ･ 11 )を満たしてしまいま

面付近の溶液の温度は T0 より下がるので，そこが結晶化しす．だから，きれいで平らな界面を維持するためには，なるてしまうでしょう．このように温度勾配がついているためべくゆっくりと結晶を成長させなければいけないことが分かに，界面が平らならば，その位置は z＝0 で安定です．

ります．

しかし界面の平均の位置は z＝ 0 のままですが，その周りさて，組成的過冷却度が最も大きくなるのは結晶界面からで凸凹して揺らいだときに，平らな界面に戻っていけるのかどのくらい離れた所でしょうか．ある場所の溶液の濃度 Cどうか，この安定性を調べてみましょう．例えば図･のよが分かれば，その場所が一様な液体状態でいられる最低の温うに，x 方向に波長 l を持つ正弦的な界面変調度が液相線上の温度です．そこで，濃度が式(5･6)のようにz＝z(t, x )＝A(t)cos(qx)A－

空間変化しているならば，液相でいられる最低温度はTL(z )＝TA＋mL (C∞＋DCe－2z/lD )＝ T 0 － m L D C ( 1 － e － 2 z /l D )1Aq 2 x 22(5･14)が生じたときの，振幅 A の時間変化を考えましょう．ここ(5･12)で波数 q は波長 l と q ＝ 2p / l の関係にあります．また，式となります．これを図示すれば，図 5 ･ 2 ( b )の太線で示され( 5 ･ 14 )の最後の近似式は，変形した界面の先端( x, z )＝( 0,た曲線のようになります．界面 z＝0 近くでは TL(z )T0＋A)付近で qx が小さなところの様子を展開したものです．こ( 2 | mL | DC / lD ) z と近似できますので，傾きが| mL | V0DC /の近似式を放物面体の式(3･31)と比較してみれば，先端 x＝Dc となります．一方，実際の温度分布は式(5･1)の様に一定0 の曲率半径が値 GT の温度勾配を持ちます．そこで，式(5･11)が成り立つ

R＝場合には，図 5 ･ 2 ( b )のように結晶前面の溶液の温度がある

1l2＝ 22Aq 4 p A(5･15)

範囲内で対応する液相線の温度より低くなって，過冷却状態であり，それは変形の振幅 A に反比例していることが分かになるのです．熱平衡温度 TL(z )と実際の溶液の温度 T (z )ります．もっと一般的な界面上の場所でも内接円の半径としとの差である過冷却温度 TL(z )－T(z )が最大になるのはて曲率半径が定義できて，その逆数を曲率と呼び，k と書き

zm＝lD 2lT
ln2lD(5･13)のところです． lD/ 2 が lT より小さくて不安定性の起きるとます．
さて，温度勾配がついているため，変形した結晶界面 z＝z での温度 Ti は式(5･1)にしたがって，
T i＝T 0 ＋G T z

きには， zm が正の値をとるようになります．次の節では，(5･16)

二相共存領域内では過冷却のため，界面の形態不安定性が生のように T0 からはずれます．この温度 Ti で，曲率 k を持じることを示します．もちろん不安定性の可能性はこれだけつ界面と熱平衡にある溶液の濃度 Ci は式(4･39)を満たしまではなくて，過冷却の大きな zm あたりで結晶の核形成が起す．

きるかもしれません．

T i ＝ T A＋ m L C i －2a3gk
TADhA(5･17)

ただし，球の半径 R の代わりにその逆数でもっと一般的な

講義ノート

曲率 k を使っています．式( 5･16)と式( 5･17)から界面での(5･25)に代入して，先端 x＝0 で A に比例する項を取り出す

溶液の濃度 Ci はと，

Ci＝C∞
z－DC －DCdckklT

(5･18)

D c－1と定まります．ここで，式( 5 ･ 2 )から TA － T0 ＝| mL | C∞ / k(A_2＝ L－AlD≡であることを用い，lT は式(5･4)で定義された熱的長さ，dc)(l2 －l1 －d q )－2l k(l1 ＋d q )
cD

T2cDv
Dc2T(5･26)となります．最後の等式で v を定義すると，界面変調の振は式(4･42)で定義された化学的毛管長です．
さて，式(5･18)で求めた界面での溶液側の濃度 Ci は溶液

幅 A は時間 t とともにA(t )＝A(0)e vt

深くの濃度 C∞ より高いので，濃度は空間変化しています．

(5･27)

その変化は定常状態の拡散方程式(5･5)によって決まっていのように指数関数的に変化することが分かります．そして，ます．界面が平らな時には，濃度分布は式( 5･ 6 )のように zv は振幅の増幅率になっています．式( 5 ･ 26 )は，増幅率 v方向にだけ変化して，拡散長 lD の長さににわたって減衰しと波数 q の間の分散関係を表しています．これを図示すればていました．ここで更に界面が式( 5 ･ 14 )のように x 方向に

図･(a)の様になります．

変調を受けると，濃度も同じような x 方向の変調を持った成
C＝C∞＋DCe－2z/lD＋Bz(x)e－Lz

式( 5 ･ 27 )から，平らな界面の安定性には振幅の増幅率 vの正負が非常に大切なことがわかります．もし v が負なら分が加わるでしょう．
(5･19)

時間がたてば変調振幅 A はどんどん小さくなり，界面は平ここで， B はこれから決めるべき比例係数で， L は波長 lらに戻っていきます．逆にもし v が正なら時間とともに変で x 方向に変調する濃度変化が及んでいる z 方向の範囲の逆調振幅 A はどんどん大きくなり，平らな界面は不安定で，数を表しています．この濃度分布は準定常近似の拡散方程式凸凹になってしまうでしょう．そこで， v の正負について( 5･ 5)を満たさなくてはいけません．そこで濃度分布式( 5 ･考察しましょう．

19)を拡散方程式(5･5)に代入し，cos(qx )に比例する係数をまず，長波長の極限， l →∞ つまり q → 0 の場合の分散関係( 5 ･ 26 )を見てみます．すると L ＝ 2 / lD なので，最初の項まとめると，－(2L/lD )－q 2＋L2＝0(5･20)は消えてしまいます．残りは－2k/lD lT なので，v は必ず負となります．この，L に関する二次方程式を解けば，であることが分かります．つまり，温度勾配 GT が付いていL＝l D－1＋ l D－2＋q 2るため lT は有限で，結晶界面は平らになろうとしているわ(5･21)と定まります．また式(5･19)から，界面 z＝z での濃度 Ci を界面変調 z の一次までの範囲で展開すると，けです．
しかし波長が短くなって，波数 q が拡散長の逆数 1 / lD よ(5･22)1り十分大きくなったらどうでしょう．この q ≫ l －D のときにとなります．これと局所平衡の境界条件式( 5 ･ 18 )とは等しは，q に対し l D－1 は無視してよく， Lq≫ l D－1 となります．

いはずなので，先端 x ＝ 0 で z ＝ A に比例する項を比較しま

つまり，界面の変調している波長 l ＝ 2p / q は物質の拡散にす．このとき，先端曲率は式(5･15)から k＝1/R＝Aq 2 だとよる空間変化の起きる長さ l D より短く，またこの界面変調

Ci＝C∞＋DC(1－2z/lD )＋Bzに伴う z 方向の濃度変化は波長程度の深さ 1/L～l までにしいうことを用いると，B が12B ＝ D C ( 2l －T － dc q )(5･23)

か及ばない状況です．このときの分散関係はと定まります．これで溶液内の濃度分布( 5 ･ 19 )が分かりました．
つぎに結晶側の濃度 Ci, S ですが，界面で局所平衡が成り立つと仮定すれば，溶液側の濃度 Ci との比が平衡の分配係数 k で決まっているので，Ci, S＝kCi(5･24)となります．すると，結晶の成長に伴って排出される単位時間単位面積当たりの B 成分の発生量( Ci － Ci, S ) Vn ＝( 1 － k )Ci Vn を物質拡散による流れ－Dc(n・;)C で逃がすという，界面での物質保存則が(1－k)Ci Vn＝－Dc(n・;)C(5･25)とまとめられます．
一般に，結晶の z 方向への成長速度は V ＋ _z で与えられますが，先端 x ＝ 0 付近では z 方向はほとんど界面の法線方向と同じです．つまり，先端付近では Vn ＝ V ＋ A_ として良いのです．一方，物質の拡散流ですが，溶液内の濃度分布(5･19)を微分して得られます．その結果を物質保存の境界条件

ま て り あ 第49巻 第11号(2010)Materia Japan

図 5･ 4(a) 界面揺らぎの振幅増幅率 v の波数 q 依存性．( b ) 引っ張り速度 V0 を変えたときの，平らな界面の不安定領域の両対数プロット．速度Vc を越えると界面張力による安定化が足らなくなって，長波長の界面変調が不安定になる．しかし絶対安定化の速度 Va を越えてしまうと，最も不安定な波長での揺らぎが界面張力で抑えられるようになり，平らな界面が安定となる．



()

v2k2 1
－＋－q－ d c q 3DclD lT
lD l T(5･28)

更に引っ張り速度を増やすと，図 5･4(a)の中で V ＞ Vc により示されているように臨界波数 qc の近くのいろいろな波と近似できます．q に比例する項の係数は 2/lD＞1/lT ならば数を持つ界面揺らぎも不安定となります．また，揺らぎの振正です．これは引っ張り速度 V0 に直すと， V0＞ Dc / lT の場

幅が大きくなると，色々な波数を持つモードの間で非線形の合にあたります．そこで，引っ張り速度，つまり結晶の成長結合が起きます．その様子は数値シミュレーションによって速度 V0 を大きくしていけば，必ず q の一次の係数が正とな解析されています．その結果は，図･のように，初めはセります．このとき小さな波数 q では増幅率 v は大きくなりル状の周期構造，やがて周期的樹枝状構造となります．このます．しかし q 3 の項は係数が負なので，非常に大きな q で結果は図･に示されている実験(2)と良く合っています．

は v は小さくなっていきます．つまり v には途中で最大としかし，更に引っ張り速度を大きくしていくと，拡散長な る q があ るということで す．この v の最大値 が正なら

lD ＝ 2Dc / V0 が短くなって，やがて毛管長 dc 程度になりまば，平らな界面は不安定です．最大値を与える波数 qm の逆す．すると，表面張力に依る界面安定化の効果が強く効いて数に比例する波長 lm ＝ 2p / qm を持った周期構造に対して不きます．lD～dc≪lT のとき，L2l D－1＋q 2 lD/2 と近似される安定となります．それでは，不安定性が起きる最小の速さので，分散関係はVc とそのときの波数 qc はいくつでしょう．それは，図 5 ･ 4()v
2k2kdc 2 dc lD 4
－＋ 1－q－ql D lTDclD
2(a)から分かるように，v の最大値がゼロとなるときです．

(5･30)

そこで v(qc )＝&v(qc )/&q＝0 の条件から，臨界の波数 qc ととなります．v が q に係わらずにいつでも負となる条件

臨界速度 Vc に対応する臨界拡散長 l D, c＝Vc/2Dc がは，上の式を q 2 に対する二次方程式と見て，その判別式が1/3(d lk l ) ,V
21＝ ＝ ＋3(ld kl )D ll

負となる条件なので，

qc ＝

(21＞
1－lD kdcc T D

2cc

D, cTc2 2
D T

1/3(5･29))

4kdc,lT(5･31)

です．これから，引っ張り速度が絶対安定化の速度と求められます．ここで求められた臨界速度 Vc 又は lD, c はV a＝表面張力の効果を無視すれば前節で述べた組成過冷却の条件(Dc1－kdc)

4kdc,lT(5･32)と同じです．しかし，組成過冷却の議論ではどんな不安定性より大きいと，表面張力の効果が強くて界面が不安定になれが生じるのか，そして界面変調が生じてもその波長はどんなず，界面は平らなまま成長するはずです．そこでこれを絶対値になるのかなどの，具体的な界面不安定性の議論ができま安定性と呼びます．また，速度 Va で実現する波数 qa はせんでした．ここでの解析により，最初に不安定になる波長

qa＝lc が決められました．しかもそれが毛管長 dc ，拡散長 lD ，熱的長さ lT の三つの相乗平均になっています．三つの効果どれもが同じように重要だということでしょう．

(1/44k(kd 3c lT )－1/4dc l 2D lT)(5･33)です．
結局，引っ張り速度を変えていったときに平らな界面が不安定である領域は，図5･4(b)で示されている q－V 空間の中で閉じた部分を作ります．それは引っ張り速度でいえば臨界速度 Vc から絶対安定速度 Va までの範囲に限られています．
(次回講は最終回「共晶中の構造」）

文
図 5･ 5合金の方向性凝固で見られる界面不安定性のシミュレーション．( a ) 臨界速度近くの正弦的変調．(b) セル状周期構造．(c) 樹枝状周期構
造 ( 1 )．

献( 1 ) Y. Saito: Statistical Physics of Crystal Growth, World Scientific, Singapore, (1996).
( 2 ) R. Trivedi: Metall. Trans., 15A(1984), 977982.
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図 5･6

合金の方向性凝固で見られる界面不安定性の実験(2)．サクシノニトリルのアセトン溶液からの成長．( a ) 臨界速度近くの正弦的変調．( b ) セル状周期構造．(c) 樹枝状周期構造．

齋藤幸夫
1976年 東京大学大学院理学研究科博士課程修了．理学博士
1977年 ドイツ，ユーリッヒ原子核研究所固体物理部門研究員
1983年 慶應義塾大学理工学部物理学科専任講師
1987年 同上 准教授
1998年 同上 教授
専門分野結晶成長理論，表面物理理論，非平衡統計力学◎非平衡の系が示す動的な不安定性の理論的研究を進めている．対象は結晶成長にみられる樹枝状結晶はじめ様々な構造や，結晶微斜面上のステップの蛇行や束ね合いといった不安定性などである．

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講義ノート