パラメータの変動する時変システムの同定
田中 秀樹

小林 康秀*

疋田 真一*

Identification of Time-Varying System with
F1uctuations for Parameters
Hideki TANAKA

Yasuhide KOBAYASHI

Shinichi HIKITA

Much continuance exists in most actual systems.It is useful to identify parameters ofcomposed systems for predictive control and diagosis of failure. Generally，because theseparameters vary with enviromental change and the aging， it is important to estimate theseparameters at the on-line system. In this study, the method which the neural networks wasused for the estimation of the time-varying parameters was proposed， and the method wasverified experimentally．
Keywords： System Identification, Time-varying System， Generalized Predictive，
Neural Networks
現実のシステムでは連続系が多く存在し、このシステムパラメータを同定することはシステ
ムの故障診断、予測制御に有用である。一般的にシステムパラメータは周囲の環境変化、システムの経年変化などに伴い変動するため、この時変パラメータをオンライン推定することは重要な課題である。そこで本研究では、未知変動する連続系パラメータの推定にニューラルネットワークを用い、この手法の実験的検証を行った。
キーワード：システム同定、時変システム、予測制御、ニューラルネットワーク

１

まえがき
ンドウ内のパラメータの変動を表現できる関数で近現実の制御においては、自動車、機械などに代表似する方法が提案されている(1),(2)。しかし、あらかされるように連続的なシステムが多く、システムのじめ定めた関数で周囲環境変化により未知変動するパラメータを同定することは故障診断、予測制御にパラメータを十分に近似できるとは限らない。

有用である。このようなシステムでは、実環境におそこで、本研究では適応、学習、汎化能力に優れいては周囲の環境変化、システムの経年変化などにたニューラルネットワーク(NN）を変動パラメータ伴い、時間とともにパラメータが変化することが多の推定に用いて、その理論的正当性を調べる。 ＮＮにい。そのため、時変システムのパラメータをオンラは３層のパックプロパゲーシヨン(BP)法を用い、変イン推定することは重要な課題である。

動パラメータを ＮＮ出力で表現し、出力誤差が最小

簡単な同定法は、ある時間幅のウィンドウを設け、となるように ＮＮの重み係数、しきい値の学習を行

そのウィンドウ内のパラメータを一定とみなしてパう。変動パラメータは時刻の非線形関数と見なすこラメータを推測することである。しかし、ウィンドウとができるため、 ＮＮの入力は時刻とする。

内の平均的な推定値が得られるため、推定値に時間そして、離散値で未知変動するパラメータを与え遅れが生じるという課題が残る。そこで、パラメーたときに、変動パラメータを推定するシミュレーショ

タ推定値の時間遅れを小さくする方法として、ウィンを行い、本手法の実験的検証を行う。

*広島市立大学情報科学部,広島市

２ 問題設定

変動パラメータ＾(k)を推定するためには、パラメーθ

対象とするシステムは、パラメータの未知変動すタの変動形態を特定の関数で表現することが必要でる線形離散値系であり、 k 時刻における入力、状態ある。しかし、パラメータは自家的に変動し、また値 、 出 力 を そ れ ぞ れ u(k),x(k),y(k） と す る と 次 式 で変動形態が未知であるため、変動形態を特定の関数表される。

で表現することは難しい。そこで、一般に広範な非線形特性を表現でき、適応、学習、汎化能力に優れた ＮＮで変動形態を表現する。
３．２

ＮＮの構成＾(k）を求めるために、ウインド
変動パラメータθ

ウ幅をＮ、現時刻を k とし、k−Ｎ ≦ k′≦ k の変動形態を 3 層の ＢＰＮＮで表現する。ここでは、次式に示す１入力多出力の ＮＮを用いる。

ここで、I(k),o(k)は k 時刻の ＮＮの入出力、q は中間層のニューロン数であり、重み係数 w1j,w2j お
よびしきい値 e jをベクトルγで表す。
＾ (k)は時間とともに未知変システムパラメータθ＾(k)は時刻 k の非動するため、モデルパラメータθ線形関数と見なすことができる。しかし、時刻 k が進むにつれて k′も増加するため、 ＮＮの収束が悪くなる｡そこで、図２のように入力信号 I(k)をある

時間間隔 Ｌごとに規格化する。

場合を考えた。

ただし、ウインドウ幅Ｎは、変動の複雑さ、ＳＮ比などに応じて設定する。また、Ｌは収束性および計算時間を考慮して、Ｎの数倍から十倍程度に選ぶ。
３．３ パラメータ推定
k ＝k−Ｎ時刻から現時刻 k ＝k までのθ(k'）

このとき、システムゲイン Ｋ(k）またはζ(k)のいを表す ＮＮのγを学習させることを考える。モデルずれかが変動する場合を考え、変動しない残りのパとシステムの時変パラメータが完全に一致する場合、ラメータは Ｋ＝５，ζ＝ 0.5 の一定値とした。

^
モデル出力 x(k）とシステム出力x(k)は一致する。

４．２ 初期値の設定法しかし、(2)式のようにシステム出力 x(k)は得られず、観測値 y(k)が得られる。そこで学習のための誤差評価関数Ｅ(γ)は次式で与えられる。

(4)式,(5)式の次数 ｒ＝２，n＝２とし、規格化間隔 Ｌ＝1000, ＮＮの中間層のユニット数 ｊ＝２と2して与えた。システムへの入力は正規乱数 Ｎ(0, 1 ）で与え、１０％の観測雑音を考えた。ウィンドウ幅の大きさによってパラメータの推定値の時間遅れも大きくなるが、ウィンドウ幅におよぼす推定誤差の影＾
ＮＮの学習は（10）式をθおよびγについての最小化問題となる。ただし、γは非線形関数であるため、響について調べるため、Ｎ＝50,100,200 とする。
＾ は次式で与える。
変動パラメータの推定誤差 Jθ

本報告では Davidon Fletcher Powell 法(3)で非線形最適化を行う。最小化には(10)式の偏微分が必要であり、これは次式で与えられる。

なお、最適化パラメータが極小値に陥らないように、
θは零、γは一様乱数で与える。
（10）式を最小にする γを学習させると、ＮＮの出力 o(k)は k' ＝ k− N から現時刻 k までの変動形態を近似していると考えられる。したがって、現時刻ｋでの ＮＮの出力値をパラメータ推定値θ(k)とする。
４ 数値例
２次連続系でゲイン K もしくは減衰率 ζ が未知変動する離散値系についてシミュレーションを行い、提案した推定法の理論的正当性を検証する。
４．１ シミュレーションの概要
ゲイン Ｋ(k)または減衰率ζ(k)を変動パラメータとする次式で表される正弦波の和が未知変動する

４．３ ゲイン Ｋの変動する場合
ウィンドウ幅を変えてシミュレーションした結果、＾を表１に示す。
得られたパラメータの推定誤差 Ｊθ
結果から推定誤差はウィンドウ幅の大きさに比例して増加している。一般的にウィンドウ幅が小さいと

５ むすびシステムパラメータは時間とともに変化し変動形態も未知であるため、関数で表現することは難しい。
そこで、未知変動するシステムのパラメータをオンライン推定する手法に ＮＮを用い、その理論的正当性を調べるためシミュレーションを行った。本手法により、未知変動形態をもつパラメータを数％の誤差でオンライン推定できることを確認した。
今後は最適化パラメータγの初期設定値を効率的に与える方法を検討して、計算時間の短縮を行う。
さらに、パラメータ推定の誤差を低減する ＮＮの中間層の大きさについて検討する。
謝 辞 本研究は、広島市立大学情報工学部の協力
推定値に時間遅れが生じるが、正弦波状に変動する研究員として行った。研究の機会を与えてくださっ

離散値系において本手法ではウィンドウ幅が小さい

た関係各位に記して感謝の意を表する。

ほうが推定誤差が小さいという結果を得た。
ウィンドウ幅をＮ＝100 として与え、シミュレー＾(k)をションした結果、得られたパラメータ推定値θ

参考文献(１)Donald M. Wiberg，et al， An on‑line pa‑

図 3 に示す。図より実パラメータとパラメータ推定

rameter estimator for quick convergence and

値とには大きな誤差のある時刻が見られる。これは、time‑varying linear system, IEEE，vol.45‑10,雑音を 10％としたことに原因があり、そのため推pp.1854‑1863,2000.

定が正しく行われなかったと考えられる。

(２)森本滋郎,山本由和,小林郁典,田淵敏明,古本

４．４ 減衰率 ζ の変動する場合

奈奈代, 時変パラメータ追跡のための一適応アウィンドウ幅を変えてシミュレーションした結果＾得られたパラメータの推定誤差 J θを表２に示す。

ルゴリズム, 計測自動制御学会論文集, vol.33,

結果から推定誤差はウィンドウ幅の大きさに比例し(３)清水清孝,システム制御と数理計画法,コロナ社，て増加している。ゲインＫの変動する場合と同様

pp.1108‑1110,1997.
1980.に、ウィンドウ幅が小さいほうが推定誤差が小さい

付録という結果を得た。

１

ウィンドウ幅をＮ ＝ 100 として与えシミュレー＾ションした結果、得られたパラメータ推定値θ
(k)を２次連続系をサンプリング間隔Ｔで離散化したと

図 4 に示す。図よりパラメータをほぼ正しく推定していることが確認できる。
以上の結果から、推定誤差が小さく、変動するパラメータをオンライン推定できることを確認した。
したがって、本手法は時変システムの未知変動パラメータをオンライン推定するのに有効であると考えられる。

２次連続系の離散化パラメータ

き、パラメータθ(k)は次のように与えられる。
まず、次のようにおく。