電顕のためのシミュレーションの基礎

多変量統計解析を利用したスペクトル・イメージの解析：
利点と問題点Application of Multivariate Statistical Analysis to Spectrum-Imaging Datasets:
Benefits and Disadvantages
渡辺万三志ａ，石塚和夫ｂ

Masashi Watanabe and Kazuo IshizukaａDepartment of Materials Science and Engineering, Lehigh Universityｂ

HREM Research Inc.

要旨

多変量統計解析（MSA: multivariate statistical analysis）は，最近の分析電子顕微鏡（AEM: analytical electron microscope）で測定可能となった巨大なスペクトルイメージ（SI: spectrum imaging）を効率よく解析する上で必須の解析法の一つである．本稿では，
まず，
MSA 法の中で最も一般的な主成分解析（PCA: principal component analysis）をベースに，その原理と利点を解説する．次に，PCA法を用いることで導入される恐れがあるアーティファクトについて言及する．最後に，PCA 法によって導入されるアーティファクトを抑えるために，筆者らが開発した LocalPCA 法を紹介する．

キーワード：スペクトル・イメージング法，多変量統計解析法，主成分解析法，検出限界

1.

い場合，スペクトル処理にって不本意なアーティファクトをはじめに導入してしまう危険性すらある．材料評価において，より多近年のハード・ソフト両方面における飛躍的な発展により，くの情報を得ることは望ましいことではあるが，その取扱い

電子顕微鏡による材料評価において，莫大な量のデータを比は決して容易になったとは言えない．筆者らは，統計学の分較的短時間で測定できるようになった 1）．特に，電子エネル野で利用されている多変量統計解析法（Multivariate statisti-

ギー損失分光（EELS）やエネルギー分散型 X 線分光（XEDS）

cal analysis: MSA）を SI データの解析に応用することで，統といった分光法では，1 秒当たり数千スペクトルを計測でき計的に顕著な特徴を自動的に抽出し，測定時のランダムノイる状況になっており，完全なスペクトルを 2 次元の各点におズを除去したデータを再構成する手法を開発した 4）．本特集

いて記録するスペクトル・イメージング（Spectrum Imaging:は，解析の補助となるシミュレーションが主題であるが，本SI）法もより一般的に適用できるようになった．この SI 法は，稿では，解析補助としての一つとして，MSA 法の原理とそ測定領域の情報だけでなく，エネルギー方向の情報も有しての適用例を紹介し，MSA 法適用時の注意点を言及する．最いるので，（1）元素の情報も測定後に解析でき，取りこぼし後に，MSA 適用によって起こり得るアーティファクトを最が少なくなる，（2）複数の異なるデータ処理を適用すること小限に抑えるために，最近，筆者らが開発した LocalPCA 法ができ，その比較も可能である，（3）通常のスペクトル処理も紹介する．の適用も可能といった利点がある 2,3）．
一方で，SI 法によって得られる情報量は非常に多く，（た2. 多変量統計解析（multivariate statistical analysis: MSA）
法の原理

とえば，128 × 128 画素で 1024 チャンネルの SI データを測定した場合，1024 枚の像あるいは 16,384 本のスペクトルが多変量統計解析（MSA）法とは，内在している変数が未含まれる），注意深くデータを調べたとしても，重要な情報知で，比較的大きなデータを統計的に取り扱う一連の手法をを見過ごしかねない．また，完全なスペクトルを保存するた

指 し， 中 で も 主 成 分 解 析（Principal Component Analysis:め，原理的にはバックグラウンド削除やピーク分離等の通常PCA）法は最も一般的で，より高度な MSA 法の第 1 ステッのスペクトル処理が可能であるが，測定ノイズの寄与が著しプとしても利用される 5,6）．PCA 法の基本概念は，データかａ

5. E. Packer Ave., Bethlehem, PA18015, USA.
E-mail: masashi.watanabe@lehigh.edu
2015 年 2 月 10 日受付

特集

ら抽出した最小限の変数で，もともとのデータを表現することである．抽出した最小限の変数こそが，データ中で繰り返し現れる主な情報，すなわち主成分である．図 1（a）に PCA

多変量統計解析を利用したスペクトル・イメージの解析：利点と問題点

23【著作権者：公益社団法人 日本顕微鏡学会】

図 2 Ni 基超耐熱合金粒界近傍で測定した X 線 SI データに，PCA 法を適用した例．（a）PCA 法で得られた loading スペクト
ルの一つ，（b）対応する Score 像．Zr と Nb の粒界共偏析を示している 9）（Cambridge Journals の再掲載許可を得た）．

トル成分の空間に対する増幅の情報を有している．
一例として，収差補正 STEM によって，Ni 基超耐熱合金の X 線マッピングを行い，上述の PCA 法により解析を行った結果を図 2 に示す 9）．図 2（a）は，得られた loading スペク
トルの一つで，Zr や Nb からの特性 X 線が正に，母相を構成する Ni，Cr および Ti は負に偏帰している．正あるいは負に偏帰した情報は，それらの信号が増幅あるいは減少したことを表しており，それが顕著に現れているのが図 2（b）の明るい部分である．この位置には結晶粒界が存在するため，図 2
図 1 PCA 法の適用（a）および PCA 法によるデータ再構成（b）の概念図．

が示しているのは，結晶粒界における Zr と Nb の共偏析である．なお，本材料では，Zr の公称組成は，わずかに 0.04wt%であり，通常であれば，定量分析はおろか検出すら試みられ法によるデータ処理を模式的に示す．ライン分析あるいはない量である．Ni 基超耐熱合金における Zr 粒界偏析の報告

SI 法によって得られるデータは，1 次元あるいは 2 次元の空は皆無であるが，収差補正 STEM を用いて SI データを測定間の各測定点におけるスペクトルの集合である．このデータし，MSA 法を適用することで，その粒界偏析が明らかになっは，位置（x, y）とエネルギーチャンネル（E）のデータ行た．定量解析の結果，Zr の偏析量は約 2–3 atoms/nm2 である

列 D((x,y), E) に展開でき，3 次元のデータキューブであってもことが分かった．これは 0.12–0.17 単原子層に相当する量でいわゆる 2way 問題として取り扱うことができる．このデーある．このように，従来の処理では見逃してしまう可能性がタ行列 D((x,y), E) に，前処理としてデータ測定時の計測ノイズ高いような着目していない情報も，MSA 法を用いれば自動を示す Poisson 分布による“重み”をかける（weighting あ的に抽出できるのである．

7）

るいは scaling ）．この Poisson-scaling 処理を行わなければ，
以 降 の PCA 処 理 の 際 に， 強 度 が 高 い 特 性 X 線 ピ ー ク や

3.

MSA 法を利用した微弱信号の検出EELS 低エネルギー損失側のバックグラウンドでのわずかな上述のように，データ行列の分解によって，特徴的な成分変動を示す情報が主要な成分として表れ，本来，データを表を抽出できる．解析的には，データ行列の分解は，行列の階現するはずの主成分が隠蔽される危険性がある．Poisson-数 n まで行われるため，n 種類の成分が得られることになる

scaling に関しては，Keenan と Kotula による論文 8）を参照さが，PCA 法では，最小限の成分数で元のデータ行列を表現れたい．前処理の後，データ行列 D((x,y), E) は，固有値分解あするため，成分数の確定は極めて重要である．データの表現るいは特異値分解によって，以下の行列に分解できる．に必要な最小限の主成分（principal component）とそれ以外D((x,y), E) = S((x,y), n) × LT(E, n)の成分とに分離するには，データ行列 D((x,y), E) の固有値を対応する成分に対してプロットした，いわゆる Scree プロット

ここで，L(E, n) および S((x,y), n) は，それぞれ loading 行列およびを用いるのが一般的である．scree プロットとは，各成分がscore 行列と呼ばれ，上付き文字 T は，loading 行列 L(E, n) がデータ中で繰り返される頻度を示すヒストグラムと考えてよ転置行列であることを示している．PCA 法では顕著な特徴

く，データ中に現れる頻度が高ければその成分はデータを表は成分（component）と呼ばれ，この分解によって，loading現するのに必要な主成分であり，逆に頻度が低ければ，その行列 L の各列には，データ中に含まれる特徴的なスペクト成分は繰り返し表れない情報，すなわちランダムノイズ成分ル成分が格納される．また，score 行列は，対応するスペクとして主成分から分離できる．図 3（a）に，Scree プロットの24

顕微鏡 Vol. 50, No. 1（2015）【著作権者：公益社団法人 日本顕微鏡学会】

図 3 （a）PCA 法によって得られた Scree プロットの 1 例．（b,c）PCA 法によってノイズ除去を行った例．

一例を示す．本例では，第 3 成分までが主成分と判断できる．
ただし，Scree プロットによる判別は，あくまでも目安として使用すべきであり，最終的な判断は，各成分の loading とscore を吟味しなければならない．なお，通常の SI データでは，主成分数 a は n よりも十分に小さい（a << n）．
主成分数 a が決まれば，図 1（b）に示すように，ランダムノイズ成分を分離した主成分のみで新たなデータ行列を最構成し，ランダムノイズを軽減することができる．図 3（b）および（c）は，Ni 基超耐熱合金中の母相 / 析出相の界面近傍でEELS によって測定した原子カラム Ti マップであり，（b）はオリジナル，（c）は PCA によってノイズ軽減したものである．
ランダムノイズが効果的に軽減されていることが分かる．各測定点での計測時間が限られている SI データであっても，PCA 法ではデータ全体をまとめて評価するため，ノイズ軽減は非常に有効である．特に，ランダムノイズに隠蔽されがちな微弱な信号は，ノイズ軽減処理によって明らかにできる場合もある．また，データビニング（binning）によって信号の計測強度を改善する方法とは異なり，データの空間分解

図 4 （a）シミュレーションで得られた Cu-10wt%Mn の X 線スペクトル．実線のスペクトルは，Poisson ノイズを付加したもの．（b）シミュレーションで得られた X 線スペクトルを元に構築した SI データの模式図．

能やエネルギー分解能を損なうこともない．ただし，主成分数の評価が不十分だと，データの再構成に主成分までも削除築した．この際，図 4（b）に示すように，1 点だけ，Mn の組してしまいかねないため，主成分とランダムノイズ成分の判成を 2，5，10 および 20wt% と変え，残りの 99 ピクセルは別は，慎重に行わなければならない．

純 Cu とした．これは，100 ピクセルから成る SI において，4.

PCA 法の適用限界

1 点のわずかな組成の変動を PCA 法で検出できるかどうかを確認するための非常に厳しい設定であり，SI 中の変数は，PCA 法を初めとする MSA による SI データの解析は，非原理的には母相と組成変動箇所の二つとなる．なお，Mn の常に有効である．一方で，ノイズが非常に高い場合には，組成が 10wt% 以上であれば，Mn Ka ピークは，ノイズの変MSA によってアーティファクトが導入される危険性がある

動よりも大きく，2wt% ではノイズ変動よりも小さい．5wt%という指摘もある 10）．ここでは，PCA 法が安全に適用できの場合，Mn Ka ピークの大きさは，ノイズ変動と同レベルるノイズレベルに関して，シミュレートした SI データを用である．

いて調べ，適用限界の指標を検討する．

シミュレートした SI データに PCA 法を適用した結果，薄膜試料からの X 線スペクトルは，NIST Desktop Spec-

100 ピクセル中の 1 点の組成変動であっても，信号の大きさtrum Analyzer（DTSA）を用いてシミュレートした．この際，がノイズレベルを上回っている 10 および 20wt% の場合，試料は，膜厚 40 nm の Cu-Mn 合金とし，装置および実験条Mn 組成変動を示す二つ目の成分を検出できた．しかし，Mn件は，加速電圧 200 kV，ビーム電流 0.2 nA，取り込み立体Ka ピーク変動がノイズレベルかそれ以下の場合，PCA を適角 0.5 sr，および測定時間 0.2 s とした．この実験条件は，用しても検出はできなかった．PCA 法は，統計的見地から，AEM における典型的な SI 取り込み条件である．シミュレー

データを表現する主成分かどうかを判別するため，真の信号トした X 線スペクトルは，図 4（a）に示すように，ランダム変動がノイズ程度であれば，それはランダムノイズと見なさな Poisson ノイズを加え，10 × 10 ピクセルの SI データを構れてしまうのである．

特集

多変量統計解析を利用したスペクトル・イメージの解析：利点と問題点

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図 5 （a）Cu-10wt%Mn からの X 線スペクトルを比較したもの
で，上からノイズを含まないもの，Poisson ノイズを付加したもの，Poisson ノイズを付加したのち，PCA 法によって再構成した SI データから抽出したものを示す．（b）各組成を有する
SI データにおいて，PCA 法による再構成後の Mn Ka 線の強度と元の強度との比較．

図 5（a）は，Cu-10wt%Mn からの X 線スペクトルを比較したもので，上からノイズを含まないもの，Poisson ノイズを付加したもの，Poisson ノイズを付加したのち，PCA 法によって再構成した SI データから抽出したものである．PCA 法によっ

図 6 Cu-5wt%Mn からのスペクトルを比較したもので，上から，（a）Poisson ノイズを付加したもの，（b）元および（c）分割した SI データに PCA 法を適用し再構成した SI データから抽出したものを示す．て明確に検出できる場合，ノイズ軽減を行い，再構築したデー
タであっても，ピーク強度に変化は見られない．図 5（b）は，善することで，本質的にランダムノイズを低減することがで各組成を有する SI データにおいて，PCA 法による再構成後きる．この場合，実験条件の変更が必須であり，再度データの Mn Ka 線の強度を元のスペクトルの強度と比較したものを測定しなければならない．後者の方法としては，より小さである．なお，再構成は，成分数 2 で行った．PCA で信号なセグメントに分割した SI データに PCA を適用し，微弱な強度の変動が確認できた 10wt% 以上の場合，Mn Ka 線の強信号変動を検出する方法が考えられる．

度は，元のデータでの強度と一致している．しかし，信号の上述のシミュレート実験では，100 ピクセル中の 1 点だけ変動が，ノイズレベルになれば，再構成後に明確な強度低下の信号変動という非常に厳しい条件であったが，例えばこれがみられる．すなわち，PCA による再構築で，真の信号強度が 10 ピクセル中の 1 点の信号変動であれば，相対的に信号の一部もノイズとともに除去されてしまったのである．

変動が起きているデータ点が増加することになり，変動その以上のように，SI 中での信号の変動がランダムノイズレものを強調できる場合もある．上述の例で検出できなかった

ベルあるいはそれ以下であれば，PCA による検出が難しい

5wt%Mn からのスペクトルを含む SI データを 4 分割して，どころか，ノイズを低減した再構成時に信号強度も損なわれ25 ピクセルの SI データとし，PCA 法を適用すると，信号変る可能性がある．特に，信号強度の低下は，定量分析を行う

動がランダムノイズとほぼ同程度であった信号変動が検出で上で，致命的なアーティファクトである．したがって，PCAきるようになった．

によるノイズ軽減を行った SI を元に定量分析を行う場合，

図 6 は，Cu-5wt%Mn からのスペクトルを比較したもので着目している成分がランダムノイズに近いものは，PCA にあり，上から Poisson ノイズを付加したもの，元および分割よるノイズ軽減によって，信号強度も損なわれることもある

した SI データに PCA 法を適用し再構成した SI データからということを理解しておくべきである．

抽出したものを示している．元のデータに PCA を適用する

5.

PCA 法の適用限界を改善するにはと，Mn Ka 線の強度は低下するが，分割したデータの場合，Mn Ka 線の強度変化はほとんど確認できない．実際，分割し，PCA 法の検出感度には限界があり，アーティファクト導PCA によって再構築したデータから Mn Ka 線の強度を測定入の危険性もある．PCA 法の検出感度を改善するには，（1）すると，15.7 ± 4.0 カウントとなり，ノイズ軽減する前の強元の SI データにおいて，ランダムノイズ成分を低減する，度である 16.0 ± 4.0 カウントと一致することが分かった．な

あるいは（2）真の信号変動を強調するといった方法が考え

お，元のデータに通常の PCA によるノイズ軽減を行うとられる．前者のアプローチとしては，測定時間を延長するあ

Mn Ka 線の強度は，6.5 ± 2.5 カウントまで低下する（図 5b

るいは入射ビーム電流を増加することで測定する信号量を改参照）．データ中の真の信号変動がランダムノイズと同等で

26

顕微鏡 Vol. 50, No. 1（2015）【著作権者：公益社団法人 日本顕微鏡学会】

様に，効果が高いものは，使い方によっては，薬にも毒にもなりうるのである．本稿が，PCA 法使用時の一助となれば，開発者の一人として，幸いである．
なお，本稿で紹介した PCA および LocalPCA を含む MSA
プログラムは，Gatan Digital Micrograph 上のプラグインとして，現在，HREM Research より商品化されている．興味がある方は，HREM Research のウェブページ 11）も参照されたい．
図 7 LocalPCA 法の概念図．（a）位置分割（Spatial LocalPCA）
および（b）エネルギーチャンネル分割（Spectral LocalPCA）．

謝

辞

本研究の一部は，米国 National Science Foundation（DMRあれば，SI データをより小さなセグメントに分割し，相対0804528, DMR-1040229）の研究補助金を受けて実施したも的に信号変動のデータ点を増やすことで，PCA 法の適用限のである．なお，本稿中の図 2 は Cambridge Journals の再掲界を改善することができるのである．

載許可を得た．最後に，本研究を遂行するに当たり，David筆者らは，この概念を発展させ，PCA 法の適用限界を改善した LocalPCA 法を開発した．これは，元の SI データをWilliams 教授（現 Ohio State Univ.）および Christopher Kiely教授（Lehigh Univ.）の協力を得た．敬意を表する．

PCA 適用時に，より小さなセグメントに分割し，PCA の適文用感度を改善する方法である．分割は，位置（Spatial）あるいはエネルギーチャンネル（Spectral）で行うことができ，特にエネルギーチャンネルによる分割方法は，データ中での強度が極端に変動する EELS SI データに効果的である．
6.

終わりに

本稿では，今回の特集の一環として，PCA 法を主体とした MSA の原理と SI データへの応用を紹介させていただいた．
PCA 法を利用した SI データの解析は非常に有効であるが，理解が不十分なままでの適用は，思いもよらぬアーティファクトを導入してしまう危険性を伴っている．データを再構築する際には，各成分をきちんと吟味し，顕著な主成分を判別しなければならない．また，SI に含まれる本質的な特徴であっても，変動の振幅がライダムノイズのそれと同程度ならば，PCA では抽出できない場合もある．本稿では，従来のPCA 法の感度を改善するために，新たに開発した LocalPCA

献1）たとえば Watanabe, M.: Microscopy, 62, 217–241 (2013)2）Jeanguillaume, C. and Colliex, C.: Ultramicrosc., 28, 252–257 (1989)
3）Hunt, J.A. and Williams, D.B.: Ultramicrosc., 38, 47–73 (1991)
4）Watanabe, M., Okunishi, E. and Ishizuka, K.: Microscopy and Analysis, 23, Issue 7, 5–7 (2009)5）Jolliffe, I.T.: Principal Component Analysis, 2nd ed., Springer, NewYork (2002)
6）Malinowski, E.R.: Factor Analysis in Chemistry, 3rd ed., Wiley,New York (2002)
7）Cochran, R.N. and Home, F.H.: Anal. Chem., 49, 846–853 (1977)8）Keenan, M.R. and Kotula, P.G.: Surf. Interface Anal., 36, 203–212(2004)
9）Watanabe, M., Ackland, D.W., Burrows, A., Kiely, C.J., Williams,
D.B., Krivanek, O.L., Dellby, N., Murfitt, M.F. and Szilagyi, Z.:Microsc. Microanal., 12, 515–526 (2003)
10）Lichtert, S. and Verbeeck, J.: Ultramicrosc., 125, 35–42 (2013)11）http://www.hremresearch.com/Eng/plugin/MSAEng.html

についても言及した．他の効果的な手法やソフトウエアと同特集

多変量統計解析を利用したスペクトル・イメージの解析：利点と問題点

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