数理解析研究所講究録 1394 巻 2004 年 61-76

61

局所有限トポス上の離散数学の構築を目指してー Burnside 環
Toward Discrete Mathematics on a locally finite topos–

Burnside rings

吉田知行 (YOSHIDA, Tomoyuki)(北海道大学理学#p$\beta$1$\vdash$Hokkaiido University)

ポス

トポスとは何か ? Johnstone の”Sketches of an elephant” によると 13 もの見方があるという たとえば次のようなものである :$|$(1) サイ. } 上の層のカテゴリ –.
(2) 有限極限とベキ対象を持つカテゴリー.
(3) 直観主義高階論理の具体化.
$\backslash$

局所有限トポス (-set が有限なトポス) に対する見方は次である :$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$

局所有限トポス =離散数学を構築するための土台

トポス理論で「有限な対象」 をどう定義するかは重要な問題であり, い
くつかの定義が知られている. 意外なこ ‘とに, カテゴリー論において局
所有限トポスはあまり注目されていないようだ. もしかしたら, 我々の理論も, 局所有限トポスのかわりに, 一般のトポスにおける 「有限な対象のなす部分カテゴリー」 を使うべきかもしれない.
それはさておきトポスの定義と例をいくつかあげておこう,

定義. 次の条件を満たすカテゴリー$\mathcal{E}$をトポスという :82(T1) 有限極限 (終対象 1, 直積
ファイバー積など) を持つ.
(Tl’) 有限余極限 (始対象 , 直和
, 余等化など) を持つ.
は右随伴関手 $(-)^{A}$ を持つ :(T2) 各直積関手 $A\cross(-)$ :$X\cross \mathrm{Y},\cdot$$X+\mathrm{Y}$$\emptyset$$\mathcal{E}arrow \mathcal{E}$,$A\cross(-)\dashv(-)^{A}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A\cross X, \mathrm{Y})\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X, \mathrm{Y}^{A})$.

(T3) 部分対象分類子 (subobject classffier) $t:1arrow\Omega$ を持つ :Sub(X)
各 $f$ : $Xarrow\Omega$ には,$f$$\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X, \Omega);A(\subseteq X)\mapsto\chi_{A}$と$t$のファイバー積によって.

$A\subseteq X$が定まる.

トポスの例.

(1) Set : 集合と写像のカテゴリー. この場合($X$ からへの写像全体の集合) であり, 部分対象分類子は $\Omega:=2:=$ {0,1}である.
: $1=\{1\}arrow 2$ は包含写像である. 実際 $X$ の部分集合と写像$Xarrow 2$ の対応はよく知られている :Sub(X).
(2) :=Setcop: 小さなカテゴリー 上の集合の前層 (すなわち から
Set への反変関手) のカテゴリー. 各 $c\in C$ に対し, 反変 Hom-functor
をとするとき,
やは Yoneda’s lemma を使って-,$\mathrm{Y}^{X}:=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X, \mathrm{Y})$$\mathrm{Y}$$t$$\cong 2^{X}$$\hat{C}$$C$$\mathrm{Y}^{X}$$c)$$H_{c}:=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}($$C$$\Omega$構成できる .

$\sim$$\mathrm{Y}^{X}(c)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(H_{c}\cross X, \mathrm{Y})$

(3) 群

に対し,

$G$

$G$

,

$\Omega(c)=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(H_{c})$-集合と $G$-写像のなすカテゴリー.

.

$\mathrm{Y}^{X}$と$\Omega$は Set

Map(X, Y) と 2 である.
(4) Shv(X) : 位相空間 $X$ 上の集合の層のカテゴリー.
と同じ$\langle$,

局所有限トポスの例.

(1)
(2)

$\mathrm{S}$

etf: 有限集合と写像のカテゴリ –.
: 有限 -集合と-写像のカテゴリー. ここで $G$ は有限または無限群.
( $X$ , Y) で, 作用は $gf$ : $xarrow gf(g^{-1}x)$ . $\Omega=2=$ {0,1}で, 作用は自明なもの.
$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{G}$

$G$

$G$

$\mathrm{Y}^{X}=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}$(3)$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{S}$: 有限 -集合と$S$-写像のカテゴリー ($S$$\mathrm{Y}^{X}:=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}_{S}(S\cross X, \mathrm{Y}):=${ :$\Omega:=\{J\subseteq S|JS=J\}$は単位的有限半群).

$S\cross Xarrow \mathrm{Y}|\lambda$$\lambda$$u_{\lambda:(s,x)\vdasharrow u\lambda(su,x)}$$S$.

(左イデアノレの集合).

(us, $ux)=u\lambda(s,$ $x)$ }83(4) Map, Surj : 有限集合同士の写像 $Xarrow X’$ を対象とし, 射 $(Xarrow$$X’)arrow(\mathrm{Y}arrow Y’)$ を可換図式で定義して得られるカテゴリー Map.
同様に有限集合同士の全射を対象とするカテゴリー Surj. ベキ等写像付きの有限集合 : $Xarrow X$ ,のカテゴリーは, Macp に同値である.
(5) RForest : 高さが 以下の根付き森のカテゴリー.
(6): 有限カテゴリー 上の有限前層 (すなわち から Setf
への反変関手) のカテゴリー.
(7) Shv(C, ) : 有限カテゴリー 上の Grothendieck topology に関す$\epsilon^{2}=\epsilon$$\epsilon$$h$$\leq h$$C$

$C$$\hat{C}:=\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$

$J$

$J$

$C$

る層のカテゴリー. 生或素の有限集合を持つ局所有限トポスは必ずカテゴリーに同値である (Giraud の定理の局所有限トポス版).

(8) 体の有限次分離的可換代数とその多元環準同型のなすカテゴリーの双対カテゴリー. ガロア理論により, このカテゴリーは,
の分離閉包
のガロア群
に対する有限 -集合のカテゴリーに同値である
$k$

$k$

$G$

$G$

(局所有限) トポス$\mathrm{o}$1の基本的性質 :$\mathcal{E}$

分配法則, 指数法則
$X\cross(Y+Z)\cong X\cross Y+X\cross Z,$(YZ)X\cong YX$\cross$$\cross$

ZX プ$1^{X}\cong 1$$Z^{X+Y}\cong Z^{X}\cross Z^{Y},$ $Z^{\emptyset}\cong 1$

これらは,$X\cross\emptyset\cong\emptyset$

,

,

.

が $(-)^{X}$ の左随伴であることによる.

$X\cross(-)$

への射を対象とし, 可換三角形によって $f$ : $(Aarrow X)arrow(Barrow X)$ を定義するものである. トポスのコンマカ
テゴリーはトポスである, 集合のカテゴリーの場合, $X$ 上のコンマカテ
ゴリーの対象は, $X$ で番号付けられた集合と同一視できる.
1$f$
各 $f$ : $Xarrow Y$ に対し, 関手.
が存在して,
で,$|)$コンマカテゴリー$\mathcal{E}/X$

とは,

$X$

$(A_{x})_{x\in X}$$\circ$$\sigma_{f},$$\Pi_{f}\wedge\cdot \mathcal{E}/Xarrow \mathcal{E}/Y,$$\vee$$\mathcal{E}/Yarrow \mathcal{E}/X$$\Sigma_{f}\dashv f^{*}\dashv\Pi_{f}$$\Sigma$f$f^{*}$:$(Aarrow X)-+(Aarrow Xarrow Y)$ ,:$(Barrow Y)\vdash+(A\mathrm{x}_{Y}Xarrow X)$.

集合のカテゴリーの場合, これらは,$\Sigma_{f}$$f^{*}$$\Pi_{f}$:$(Aarrow^{\alpha}X)-(Aarrow Xarrow \mathrm{Y})$:$(B sY)\mapsto(B\cross_{Y}X\mathrm{p}arrow X)\mathrm{r}$:$(Aarrow^{\alpha}X)\mapsto\{(y, \sigma)|y\in Y, \sigma :,,f^{-1}(y)arrow A, \alpha\sigma=\mathrm{i}\mathrm{d}\}$.

64
コンマカテゴリーの対象を indexed object と満たによって与えられる.

すなら,これらのファンクターは,$\Sigma$f$f^{*}$$\Pi_{f}$:$(A_{x})_{x\in X} \mapsto(\prod_{x\in f^{-1}(y)}A_{x})_{y\in Y}$:$(B_{y})_{y\in Y}-$:$(A_{x})_{x\in X} \mapsto(\prod_{x\in f^{-1}(y)}A_{x})_{y\in Y}$,(Bf(x))x\epsilon X フ.

で与えられる.
$\circ f$$\circ$: $X$.

$arrow \mathrm{Y}\mathfrak{l}\mathrm{h}-,\mathfrak{F}\mathrm{u}$部分対象分類子

的に全単射分解される : $f=i\circ e$ : $Xarrow{\rm Im}(.f)\mapsto Y-$
は内部的 Heyting 代数である. すなわち$\Omega$$\vee,$$\Lambda$:$\Omega\cross\Omegaarrow\Omega$,$\neg$が存在して Heyting 代数の公理を満たす-:$\Omegaarrow\Omega$

ここで Heyting 代数とは,$y^{x}:= \sup\{a|a\vee x\leq y\}$がつねに存在する半順序集合である.
は Heyting 代数である :これより, 部分対象の集合 Sub(X)すなわち分配束で, $\neg A=\max\{A’\subset X|A\Lambda A’=\emptyset\}$ がつねに存在する.
とくに, 局所有限トポスの場合は, 単に分配束であることを意味する, 集
合のカテゴリーの場合, $A\subset X$ に対し, $\neg A=A^{c}$ (補集合) である.
$\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,$$\Omega$: $Xarrow Y$ に対し,
: Sub(X)\rightarrow Sub(Y) と: Sub(Y)\rightarrow
ここで束 Sub(X) をカテゴリー
Sub(X) が存在して,限集合のカテゴリーの場合,と見なしている.
$\exists f,$$\circ f$$f^{\langle-1\}}$$\forall f$$\exists f\dashv f^{\langle-1\rangle}\dashv\forall f$.

$\text{有}\backslash$$\exists$f:$A$}$arrow f(A),$$f^{(-1\rangle}$: $B\vdash+f^{=1}(B),$ $\forall f(A)=f(A^{c})^{c}$となづている.

は狭義 Krull-Sch 而 dt カテゴリーである. すなわち,
局所有限トポス
Con(E) を連結 (つまり直既約) な対象のなす部分カテゴリーとすれば, 任$\circ$$\mathcal{E}$

意の対象 $X$ はunion として一意的に分解される. とくに,
和分解によらない.

$X=I_{1}+|1\mathrm{I}+I_{r}(Ij\in \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathcal{E}))$と部分対象の市 sjoint$n_{I}.:=\#\{Ij\cong I\}$

は,

$X$

の直

トポスは集合のカテゴリーによく似ているが違いもある. 部分対象のなす順序集合 Sub(X) は, Heyting 代数だが一 には Boole 代数でない.
すなわち補集合の補集合が一 にはもとに戻らない $:\neg\neg A\neq A$ . 終対象のSub(l) も Boole 代数とは限らない.
$\text{般}\backslash$$\text{般_{}1}$

85

2

トポスの Burnisde 環

はつねに小さな骨格を持つ, すなわち同型類の以下局所有限トポス
クラス
が集合をなすと仮定する. またとする. この場合,は直和と直積に関して可換半環をなすので, そのGrothendieck 環 $B$ (E) を考えることができる. これを Burnside 環と呼んでも良いであろう,$\mathcal{E}$$\mathcal{E}/\cong$$\mathrm{I}:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathcal{E})$$B^{+}(\mathcal{E}):=\mathcal{E}/\cong$$I$が連結な対象の場合$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I,X+Y)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I, X)+\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I, Y)$,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I, \emptyset)=\emptyset$

なので, 環準同型写像$\varphi$I:$B(\mathcal{E})arrow \mathbb{Z};,$$[X]-|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I,X)|$

したがって Burnside 準同型を得る.

$\varphi:=(\varphi_{I})$を得る. ここで$\psi_{I}$:$B( \mathcal{E})arrow\overline{B}(\mathcal{E}):=\prod_{\underline{\simeq}I\in \mathrm{I}/}\mathbb{Z}$$\mathrm{I}:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathcal{E})$

Cauchy-Probenius map

Obs

:

とおいた.

$\psi=(\psi_{I})$を$(\mathcal{E})$$:= \prod_{I\in \mathrm{I}/^{\underline{\simeq}}}(\mathbb{Z}/|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(I)|\mathbb{Z})$/ Aut$\overline{B}(\mathcal{E})arrow \mathbb{Z}$

ここで $I/\alpha$ は 1,$\alpha$

Obstruction の群 Obs(E) と,(I/ ) mod Aut $(I)|$ .

$|$$\alpha$$|$$(I)| \mathbb{Z};\chi\vdash+\sum_{\alpha\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(I)}\chi$: $Iarrow I$ の余等化 (coequmlizer).

基本定理.
$\mathrm{O}arrow B(\mathcal{E})-^{\varphi}\tilde{B}(\mathcal{E})arrow\psi$Obs$(\mathcal{E})$(exact),系. 局所有限トポスにおいて$X\in Y\Leftrightarrow|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I,X)|=|$

Hom(L $Y$ )$|\forall I\in$Con$(\mathcal{E})$

米田のレンマによると,したがって, この系は米田よりもっと強い結果を与えている.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-, X)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-, Y)\Leftrightarrow X\cong Y$

である.

86
局所有限トポスの Burnside 環で困るのが, 加法群として無限生或なこと, すなわち$|\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathcal{E})/\cong|=\infty$

局所有限トポスは, ある有限群 (となることである.

の基本群)
ことが知られている. 対策はふたつある.
$\mathcal{E}$

$G$

$B$

(E) が有限生或なに対する$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{G}$と同値な(i) 射有限群の Burnside 環の場合でやった完備化 ( E) を考える方法.
に関する相対 Burnside 環 $B($ E, $J)$(ii) 有限個の連結成分の集合$\hat{B}$$J\subseteq \mathrm{I}/\cong$

を考える方法.

ここでは一般性の高い後者の方法について説明する. 有限集合を取り,$:=\mathbb{Z}$$B(\mathcal{E}, J)$J,$\tilde{B}(\mathcal{E}, J):=\mathbb{Z}$$J\subseteq \mathrm{I}/\cong$J,$\mathrm{O}\mathrm{b}\bm{\mathrm{s}}(\mathcal{E}, J)$$:= \prod_{J\in J}(\mathbb{Z}/|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(J)|\mathbb{Z})$と量$\langle($を, 商対象 (余等化でよい) に関して閉じた有限集合と定理.
する このとき次が戒り立つ.
$J\subseteq \mathrm{I}/\cong$

1(1) 次は完全系列である ($\varphi,$$\psi$の定義は上と同じ) :$\mathrm{O}arrow B(\mathcal{E}, J)-^{\varphi}\tilde{B}(\mathcal{E}, J)-^{\psi}$(2) $B($ E, $J)$ は$\varphi$Obs$(\mathcal{E}, J)arrow 0$(exact),を環準同型にするような環構造をただひとつ持つ.

この定理の (2) の環 $B($ E, $J)$ を $J$ に関する相対 Burnside 環という$\mathrm{r}$にも依存するように書いたが, 実際は部分カテゴリー $J$ だ
けで構造が決まる.
この環は,$\mathcal{E}$系. 全射環準同型 $B(\mathcal{E})arrow B($E, $J)$ が存在する.
注.

この系から,

とくに単射環準同型写像$B( \mathcal{E})\succarrow\hat{B}(\mathcal{E}):=\lim_{\mathrm{I}}B(arrow \mathcal{E},\mathrm{I})$の存在が言える. この写像は一般には全射でない. 右辺の(E) が完備
Burnside 環で, 位相環 (E)=ZI/-\simeq (ここで I) におけるの像の閉包に同型である.
$\hat{B}$$\tilde{B}$$:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(\mathcal{E})$$\varphi$87
例.
を, 同型類の集合
アーベル群とする -.
$G_{0}(\mathcal{E})$$[X\cup Y]+[X\cap Y]=[X]+[Y]$ .

$[\emptyset]=0,$$G_{0}$

で生成され, 次の定義関係式を持つ$\mathcal{E}/\cong$(E) も直積によって環になっている$\mathrm{I}$の対象 $X$ が既約とは, $X=A\cup B\Rightarrow A=X$ または $B=X$ をいう$J$ として, 既約な対象の同型類を取ると, 環同型 $B($ E,がある.
$\mathcal{E}$3\downarow$J)\cong G_{0}(\mathcal{E})$$\mathrm{r}\mathrm{r}(\mathcal{E})$ベキ等元公式を局所有限トポス,

を Con(E)/\cong の有限部分集合で, 商対象に関して閉じているとする ( $J$ の間の射の像と, 白己同型と恒等射と$\mathcal{E}$$J$${\rm Im}(f)$の余等化に関して閉じていればよい). 以下では, $J$ を の充満部
分カテゴリーと見なす $I\cong J\Rightarrow I=J$ である.
まず有理数係数相対 Bumside 環
E, $J)$ (以下, テンソル積の記号は省略) の原始ベキ等元の公式を求めよう
なの
E,
:
で,
E, $J)$ は各 $J\in J$ ; に対応した原始ベキ等を持っ :$J/\alpha$$\mathcal{E}$$\mathbb{Q}B($$\mathbb{Q}B($$\otimes \mathrm{z}$$\mathrm{c}\varphi$$\mathbb{Q}B($$e_{J}$$\varphi$$J\cross J$$J)\cong \mathbb{Q}^{J}$$(I, J\in J)$

K $(e_{J})=\delta_{J}$,K型の正方行列 $H:=$$(|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I, J)$.

|) の逆行列を$H’=(h\prime_{J},)$とす

れば$e_{J}= \sum_{I}h_{I,J}’[I]$であることは容易に確かめられる. したがって,
E, $J)$ の原始ベキ等元を求めるには-set 行列 $H:=$|) の逆行列を求めればよ$\mathbb{Q}B($$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$$(|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(I, J)$

逆行列を求めるには, $H$ の三角行列の積に分解し, それぞれの三角行列の逆行列を求めればよい. 有限群の Burnside 環の場合と同様, メビ
ウス関数を使った公式が得られるが, やや複雑なので, 詳しいことは別の機会にしたい.
い.

次の記号を使う :Mon(I, )$J$$\mathrm{E}\mathrm{p}\mathrm{i}(I, J)$

Sub $(I, J)$
Quot(I, )
$J$

$:=$

( I から$J$への単射の集合),$:=$( I から$J$への全射の集合),$:=$( I に同型な$J$の部分対象の集合),$:=$(J に同型な$I$の商対象の集合).

99
単射と全射の定義から

Sub $(I, J)|$

$=$

$|$

Quot $(I, J)|$

$=$

$|$

$|$

$|$

lVIonII, )$J$

EpiII, )$J$$|/|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(I)|$$|/|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(J)|$,.

次のような $J\cross J$ 型行列を考える :$D:=(|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(I, J)|\delta_{IJ}),$$L:=(|\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{t}(I, J)|),$$U:=(|\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(I, J)|)$.

このとき次が成り立つ :$\mathrm{o}H=LDU$

ある置換行列 $P$ があって, $P^{-1}LP$ は上三角ベキ単行列, $P^{-1}UP$ は
下三角ベキ単行列になる.
したがって $H=LDU$ は行列 $H$ のいわゆる LDU-分解である.
$\mathrm{r}|$$\circ$

とくに $H$ は正則行列で,$\circ$$L$$H^{-1}=U^{-1}D^{-1}L^{-1}$と $U$ の逆行列を求めるために, 部分群束に相当する順序集合を作る必要がある.

とする :

$S$

を,

のどの対象も部分対象として含むような. このとき集合$J$$\mathrm{I}\subseteq \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(\mathrm{S})$$\tilde{J}:=$

{(

$I,$

$\alpha$) $|I\in J,$$(I, \alpha)\leq(J,\beta)$

であることを,るとして定義する.

これによっては,.

$\lambda$$\overline{J}$$\alpha\in$の対象$\mathcal{E}$

Mon(I, $S)$ }: $Iarrow J$ が存在して$\beta\circ\lambda=\alpha$は有限順序集合になる.

$M$

であ

と $F$ を

次のような行列とする :$M_{(I,\alpha),(J,\beta)}:=\{01$$((I,\alpha)\leq(J,\beta(\mathrm{e}1\mathrm{s}\mathrm{e}),))$$F_{I,(J,\beta)}:=\{\begin{array}{l}\mathrm{l}(\mathrm{I}=\mathrm{J})0(\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e})\end{array}$は順序集合の結合行列であり,. その逆行列はメビウス関数表される : $M^{-1}=(\mu_{m}$ ( $(L\alpha),$ J, ).
$M$$\tilde{J}_{m}$$($$\beta)$$FZ=DUF$ところで, 各 $I\in J$ に単射$\lambda_{I}$火 \rightarrow S をひとつ定めておき,$(I=J, \alpha=\lambda_{I})$$F_{(I,\alpha),J}’.=\{01$(e 石 e).

$\mu_{m}$

で

88
とする

1

このとき $FF’=I$ (単位行列) である、 したがって,$U^{-1}=FZ^{-1}F’D$

である.

これより

UI-,Jl=\mbox{\boldmath $\alpha$}\Sigma . I\mapsto \mu へ( I, ),$\alpha$4$(J,$ $\mu_{J})$)$|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(J)|$

.

今後の課題
今後の指針となる様な B

nside 環周辺の問題をいくつかあけておく

1. 有限群以外の群への拡張(a) 射有限群の完備 Burnside 環. 指数有限の正規開部分群 $M\leq N\leq G$があれば, 自然な環準同型 $B(G/M)arrow B(G/N)$ があり, 射影的極

限 $\hat{B}(G):=\lim B(G/N)$ が考えられる. これについては有限群のした議論が可能である (Dress-Siebeneicher 1988).
は,とその完備化. 完備 Burnside 環, Rota のネックレス環 Nr(Z), 普遍ラWitt ベクトルの環’
ムダ環 A などに同型である (Dress-Siebeneicher 1986. ). 当然群の Burnside 環の見地から, Witt ベクトルに関係した体論, ネッ
クレス環に関係した数え上げの組合せ論, 普遍ラムダ環に関係した代数的位相幾何や可換環論を見直すことができるかもしれない.
(c) コンパクトリー群. $B$ ( G) $:=$ {コンパクト $G$-集合}/\sim によってコンパクトリー群の Burnside 環を定義する (tom Diedc 1979). こ

場合とほぼ(b) 無限巡回群$\mathrm{f}\backslash ,arrow’\acute{\overline{\mathrm{r}}}$$\hat{C}_{\infty}$$C_{\infty}$$\hat{B}(\hat{C}_{\infty})$$W(\mathbb{Z})$こで$X\sim Y\Leftrightarrow\chi(X^{H})=\chi$

(Y )
$H$

$\forall H\leq G$.

オイラー標数 -1 のコンパクト空間が存在するので, Grothendieck
群を取る必要はない.
2. 高次 Burnside カ\Pi 群. カ D 法的カテゴリー (いわゆる exact category) の
代数的 -理論はかなりの程度完或していると言える. Burnside 環の理論は, 非加法的カテゴリー (有限 $G$-集合のカテゴリー, カテゴリー$\mathrm{K}$としての有限順序集合, 局所有限トポス, さらには一意的全単射分解のできるカテゴリー) に対する代数的 K-理論にまで拡張できる可能性を示唆している.

70(a) 有限群のできる(G). この群は, exact caiegory の
すなわち,-集合 $X$ とその自己同型$B_{1}$$G$$|$$\{[X.\sigma]|X\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{(_{J}^{\gamma}}, \sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(X)\}$と同様に定義$K_{1}$との対の集合を生戒系とし, 次の関係式を満$\sigma$

たす加法群とすれば良い :.
:(i)(ii) $[X, \sigma]+[X, \tau]=[X, \sigma 0\tau]$ ,(ffi) $[X, \sigma]+$ $[Y, \tau]=[X+Y, \sigma+\tau]$ .
$\exists\lambda$$X\cong Y\mathrm{s}.\mathrm{t}$$\tau\circ\lambda=\lambda\circ\sigma\Rightarrow[X\mathrm{J}\sigma]=[Y, \tau]$,

容易に分かるように$B_{1}(G)\cong((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\otimes B(G))\oplus\oplus(WH)_{\mathrm{a}\mathrm{b}}(H)\in C(G)$である.

ここで $WH:=N_{G}(H)/H$ で,は群 $X$ のアーベルについても, やはり基本基本定理がある.
化.
加群(E). 相対
E, $J)$ が $B($ E, $J)$ の(b) 局所有限トポスの場合と同様に定義され,$X_{\mathrm{a}\mathrm{b}}$$B_{1}$$B_{1}$$B_{1}$$B_{1}($$B_{1}(\mathcal{E}, J)\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\otimes B(\mathcal{E}, J)\oplus\oplus(\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(I))_{\mathrm{a}\mathrm{b}}I\in J$となる. 完備 Burnside 加群(E) の定義もできる. 実用的には,の方が使いやすそうだ.
( G),
(E) や
(c) 高次 Burnside 加群(E). 高次 Burnside 加群
E, $I)$ のうまい定義があるかどうかは分からない. Q 伍垣 en に$\hat{B}_{1}$$G_{1}(\mathcal{E})\cong B_{1}(\mathcal{E}, \mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{r}(\mathcal{E})/.\cong)$$B_{n}$$B_{n}$$B_{n}$$B_{n}($

よる高次 $K$-群の定義が, 一意的$\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{i}$-mono 分解カテゴリーに拡張できるかが問題である (可能と思う).
3. B nside 環は 「整数環」 の資格を持つか ? 定 からは確かにそうだが, 当然持ってほしいいくつかの性質が成り立たない. うまい解釈をすれば成り立つのかもしれない.
(a) 単項イデアル整域でない. 自明な場合を除けば, 単項イデアル性も駄目だし整域にもならない. 要するに初等整数論ができない. 剰余環が Tambara functor になるようなイデアノレ (lVIackey fimctor としての) の単項性も一般には駄目である.
何らかの意味で 「単項イデアル環」 もどきになるなら, その 「表$\dot{\text{義}}$現」 は制御できるはずである. しかし, 可換環としての普通の表
現や, Mackey functor を「表現」 としても直既約表現が多すぎる.

71(b) なぜラムダ環にならないのか ? 整数環$\lambda_{k}(x):=(\begin{array}{l}xk\end{array})$

によっていわゆる$\lambda$$\mathbb{Z}$は, k=0.1 ク 2 フ$C$)-ring になる. しかし非巡回群の Burnside 環は([X]) として -集合 $X$ の 点部
分集合のなす -集合を取れば, pre -ring にはなる,
無限巡回群の完備 Burnside 環 (C;) は普遍 Aring に同型であり,Witt ベクトルの環にも同型になる. いくつかあるシローの定理の証明のうち, Wielandt による置換表現を使ったものや Brauer に$\lambda$-ring にならない. ただし,$G$$\lambda_{k}$

$G$

$k$

$\lambda$$\hat{B}$よる指標理論を使ったものを読み直すと, その背景には巡回群のBurnside 環が -ring になるという性質が潜んでいる.. さらに深く$\lambda$

追求することによって, 「奇妙な環準同型写像」$\omega$: $B(C_{|G|})-B(G)$の存在が示され, それから逆にシローの定理やフロベニウスの定理の簡単な証明が得られる. Dress-Siebeneicher-Yoshida 1993 参
照. このような巡回群の際だった性質は, (無限) 巡回群が群のカテゴリーの生成素であることの反映であると思われる.
(c) $kG$-加群の「同変次元」 を定義できないか ?

$B^{+}(G):=\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{G}/\cong$$\{0,1, 2, (\cdot|\}$ の同変版であると述べた.
そ
自然数の集合は $B^{+}(G)$ に属
れなら,-加群 $M$ に対し, その 「次元」
するべきでなかろうか. つまり指標環からの環準同型写像 D 血 :$R(G)arrow B$ (.G) があるのではないか. たとえば置換加群の次元は:=X とするのである. きわめて残念なことに,$\mathbb{C}Y\Rightarrow X\cong Y$ は一般には戒り立たないので,
置換加群に限っは,$\mathrm{N}=$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}M$$\mathbb{C}G$$\mathbb{C}X\cong$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathbb{C}X$ても上のような 「次元」 を定義することはできない. それでも対策はいくつか考えられるので, その中に何かうまい定義があるかもしれない.

4. 具体的な局所有限トポスの Burnside 環無限巡回群の完備 Burnside
環は, ネックレス環や不変ラムダ環といったものに同型である. 有限集合間の全射のなすカテゴリーの Burnside 環は, Dirichlet 多項式の環に同型である, このように他の分野で現れる環が, 何かの局所有限トポスの Burnside 環になることはないのだろうか. た
とえば Bouc が指摘しているよう {ニ, 有限 -群の endO-permutation
module のなす Dade 群 $D$ (P) は Burnside 環に似た基本定理を持つ.
$\sum_{n\geq 1}a$

nns

$p$

72
重要な問題として,トポスの B

nside 環はいつラムダ環になるのだ

ラムダ作用素のうまい定義は難しい. 有限群の Burnside 環に関する奇妙な環準同型 : $B(\mathbb{C}|G|)arrow B$ (G) に相当する環準同型写
像はトポスの場合に存在するのだろうか. もし存在するなら, 局所
ろう$\omega$

有限トポスに関するシローの定理が得られるだろう、
5. Mackey functor としての Burnside 環. $H\leq K\leq G$ のとき, induc$\cdot$

tion と restriction がある :$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}$: $B(H)-B(K)$ ,s: $B(K)arrow B(H)$ .

$\mathrm{r}\mathrm{e}$

したがって $H\mapsto B$ (H) はいわゆる $G$-functor(

functor)になる. これを Burnside functor という. $B$ は Tambara functor でもある. 乗法的 induction: $B(H)arrow B$ ( K) は, $H$-集合 $X$ に
対しては,( K, $X$ )( K は左からの積で H-集合と見る) で定義すればよい. この写像は多項式写像なので, $B$ ( H) に一意$=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}$$\mathrm{j}\mathrm{n}\mathrm{d}$$\mathrm{j}\mathrm{n}\mathrm{d}([X])=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}_{H}$

的に拡張できる。

(a) Burnside functor の Mackey functor への作用. 標準的作用 $[G/H]$ .
によって Mackey functor の -成分 $M$ (G) は B(G)-加群
Hになる. これによって.B
nside 環の性質から, たとえば Brauer のinduction 定理の一歩手前の hyper-elementary induction theoremが得られる. ベキ等元公式を使えば induction theorem の explicit
form も得られる. これは Burnside 環のもっとも役立つ応用である.
(b) 単数群の作用. Burnside 環の単数群 $B$ ( G)x は, たとえば指標環のなす Mackey functor $R$ : $H$ }$arrow R(H)$ の白己同型として作用す
る. 白己同型群 Aut(R) のどの程度がから来ているのだろう, そもそも指標群からできる Mackey functor $R$ の自己同型群
Aut(R) がよく分からない.
$G$$\chi:=\chi_{\downarrow}^{\uparrow G}$.

$B(G)^{\mathrm{x}}$6. ベキ等元公式の周辺
ロック
(a)
(
$p-7^{\backslash }$$e_{Q}^{(p)}$$\mathbb{Z}(p)\otimes B($

G)).

原始ベキ等元 $e(p)_{Q}$ ( Q は$\mathbb{Z}(\mathrm{p})B(G)$

$p$

のブロン久

-完全部分群) に対応するブロックは環としては局所環である. この局所環の構造と $G$の部分群束の構造との関連を知りたい. transfer 定理によると,$e_{Q}^{(p)}\mathbb{Z}(p)B(G)\cong e_{1}^{(p)}\mathbb{Z}(p)B(N_{G}(Q)/Q)$ なので,単位部分群に対応$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{)}\mathbb{Z}(\mathrm{p})B(G)$するブロック(G) を考えるだけでよい.
(b) $B$ ( G) のブロック(G). $e_{Q}B(G)\cong e_{1}B(N_{G}(Q)/Q)$ ( Q は完
全部分群) の構造と $G$ の部分群束の構造との関係もまだ未解明の$e_{1}^{(\mathrm{p})}\mathbb{Z}_{(p)}B$$e_{Q}^{(1)}B$

73
ところが多い. とくに $Q=1$ のとき, $e_{1}B$ (G) のアーベル群としての階数は, $G$ の可解部分群の共役類の個数に等しい.

(c) 有限単純群の部分群束に関する可補予想 (ごく最近解決) : 有限単純群 $G$ とその任意の $H\leq G$ に対して, ある $K\leq G$ が存在して$H\cap K=1,$ $\langle H, K\rangle=G$.

Burnside 環のベキ等元公式に関連して, メビウス関数 $\mu(D, G)$ ,とくに $\mu(1.G)$ の値に興味がある.

一般に $\mu(D, G)\neq 0$ なら, 部
分束 $\{H\leq G|D\underline{<}H\}$ はやはり可補である. すなわち, 任意の$D\leq H\leq G$ なら, ある $K\leq G$ があって, $H\cap K=D,$ H,$=G$$\langle$$K\rangle$となる. したがってそのような群 $G$ が正規部分群 $N$ を持てば, $G$
は半直積 $G=HN$ に分解される. $\mu(1, G)\neq 0$ となる群は珍しいよ
うにも思える (たとえばアーベル U 群の場合は基本アーベル U 群の場合だけ). したがってすべての有限単純群 に対して $\mu(1, G)\neq 0$
かどうかにも興味がある. 可補予想の場合と同様に, 有限単純群
$G$

の分類定理

7. Burnside 環の一般化(a)$-\text{’ 般}$

Burnside 環. まず,$x$

関して閉じているとする.

を有限群 $G$ の部分群の族で, 共役に
さらに$H\in X,g\in N_{G}(_{\backslash }H)\Rightarrow\cap\{K\in \mathrm{f}|\langle g\rangle H\leq K\}\in X$とする. このとき $\{[G/H]|H\in X\}$ で生戒される $B$ (G) の部分群

(G, ) は環構造を持つ. これを一般 Burnside 環という. 奇妙なことに, この環は必ずしも Burnside 環の部分環ではない. $G=S_{n}$を対称群,をヤング部分群の族とすれば,
は
の指

$B$

$X$

$B(S_{n}, \mathfrak{Y})$$\mathfrak{Y}$$S_{n}$

標環に同型である.

(b) crossed Burnside 環.

を有限群 $G$ が作用するような単位的半群とする. 斜 $G$-集合 $X$ とは, 重み写像という G-写像
$S$$||||$: $Xarrow S;x\mapsto||x||$を持つ有限 $G$-集合 $X$ のことである 斜 G-集合のカテゴリーは,有限直和を持ち, さらにテンソル積
によってモノイダルカ
テゴリーになる. ただし:=||x|I|y|| とする. このモノイ
ダノレカテゴリーの Grothendieck 環が crossed Burnside 環である.
$\mathrm{r}$$X\otimes \mathrm{Y}$$||x\otimes y|$

これについても基本定理などが戒り立っ.
8. Burnside 環に関係した環74(G). 指標環は Burnside 環によく似ている, 実際, 置換指標を対応させることにより, 指標環への自然な環準同型写像 :$B(G)arrow R$ (G) があるし, 指標環にも素イデアルやベキ等元公式がある. また
元 に対応するブロック
(O は完
の構造と
備 進整数環) は局所環であり, その構造はやはり群(a) 指標環

$R$

$\pi$

$p’$

$e_{t}^{(p)}(\mathcal{O}\otimes R(G))$

$t$

$G$

$p$

深い関係がある. 当然ながら, 指標環にも B nside 環の理論と平行した理論があると期待するのは当然だろう. しかし指標環における基本定理は, やっかいである. 対称群などでは, ghost ring として類関数の環を取れるが, 一般にはそうはいかない. これについては別のところで話したい. 通常の指標環の他に, Brauer 指標の環も考えられる(b) 単項表現の環. 部分群 $H\leq G$ とその 1 次の指標
を生或系とし, 関係式
対1$\lambda$:$Harrow \mathbb{C}^{*}$の$[H, \lambda]$$[H, \lambda]=$[$H^{g},$$\lambda$

g]$(g\in G)$で定義されたアーベル群 $A$ (G) を単項表現の環という (Dress 1971.).
積は$[H, \lambda]$

[K, ]
$\mu$

$:= \sum_{HgK\in H\backslash G/K}$[$H^{g}\cap K,$$\lambda_{1}^{g}$

Hg(”K$\mu_{1}$HgnK]で定義する. これも Burnside 環とよく似た性質を持つ.
かより一\Re に, Boltje は restriction functor $A$ (本質的には
ら環のカテゴリーへの反変関手) に対しても似た環 $A_{+}(G)$ を構成している. 彼はこの環を generalized Burnside ring と呼んで 1 る.
カテゴリー論的には,から集合のカテゴリーへの反変関手 $F$
から, 「元のカテゴリー」 Elem(G, $F$ ) を作る. このカテゴリーのGrothendieck 環が Boltje の一般 Burnside 環である. 上のような理由で, 一般 monomial ring と呼びたい.
$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{G}$$\mathrm{a}$$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{t}_{f}^{G}$$F(G/H)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,\mathbb{C}‘)$の場合に古典的な単項表現の環が得られる.
単項表現の環は自然に指標環への環準同型を持つ :$[H, \lambda]\mapsto \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{H}^{G}(\lambda)$.

これに類似した環として, trivial source module の Grothendieck 環

もある. trivial source module のカテゴリーは, Hecke カテゴリー(置換加群のカテゴリー) に森田同値だが, 両者の Grothendieck 環は一$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{x}^{\mathrm{J}}}^{\mathrm{n}}$には同型でない.

75(c) コホモロジー環. 有限群のコホモロジー環 $H^{**}(G, A)$ ( は環)も Burnside 環や指標環に f 以たところがある. induction(transfer),
restriction を持ち, Mackey functor になる, さらに乗法的 transferに関連したさまざまな加群 $(H^{*}(G, M)$ など, こも持っている. 群
こで $M$ は $AG$ -加群) に作用している. コホモロジー環に Burnside
$A$

$G$

環のような基本完全系列があるかどうか分からない.
そもそも有限群のコホモロジー群の間の transfer 写像がうまく定義できる訳は, カテゴリー論的には $H$-加群のカテゴリー$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}^{H}$

restriction functor
induction functorに対する左右の adjoint functor になっていることにある そのため半群のコホモロジーについてはうまい transfer 写像は定義できない. 一般のトポスでもコホモロジーが考えられるが, やはり$(H\leq G)\mathrm{B}\}\text{ら}\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}^{G}\text{へ}$(7)$\mathrm{B}\grave{\grave{\mathrm{a}}}$1transfer を持たない.

(d) 行列環, 多項式環. 同変理論における整数環が Burnside 環なら,行列環に相当する概念はなんだろう。
9. 応用. Burnside 環の応用についてはこれまでの述べてきた (induction
theorem, 部分群束のメビウス関数, シローの定理など). いくつか
追加しておく(a) 合同式. 有限群の Burnside 環を使って, Robenius の定理, シローの定理, Brown のホモロジー論的シローの定理が得られる. それらの拡張も同#寺に得られる (Wagner, Gluck, Yoshida など). B nside
環の新しい研究によれば, このような合同式は, ベキ等元公式と’.
-奇妙な準同型写像. $B(\mathbb{C}|G|)arrow B$ ( G) の存在から容易に得ら$\omega\vee$れる.

有限カテゴリーや局所有限トポスの Burnside 環からも,くつかの合同式が得られる. 残念なことに, 一般のカテゴリーでの存在が言えないため, 有限群論の 3 つは, 奇妙な準同型写像のの合同式に対応する十分な結果は得られていない. と に,存在がこの問題を考える上で重要と思われるが, すでに述べたよ
うに一般の局所有限トポスでは未解決である.
(b) Hom(A, ) の問題. フロベニウスの定理 :また,$\backslash$$\omega$$\langle$

$|$

$G$

$\omega$$|$$\#\{x\in G|x^{n}=1\}\equiv 0$

は Burnside 環を使って証明できる.

mod$\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}n,$$|$G

指標理論を使っても証明できる. それならフロベニウスの定理の拡張である次の定理 (Yoshida

781993) はどうだろう :
$|$

$A$

が巡回群

$C_{n}$$A$を有限アーベル群,

Hom(A, )$G$$|\equiv 0$

mod$\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}$$G$が有限群のとき( $|A|,$ G ).
$|$

$|$

のときがフロベニウスの定理である.

の証明には有限群論独特のテクニックの他に,$-\text{般}$この合同式
Burnside 環の理論から得られる部分群束の性質がごく一部で使われている. 証
明から Burnside 環関係の部分を完全に取り除きたいと長く考えてきた. しかし逆に, Burnside 環の理論や指標理論を使ってこの合同式のエレガントな証明を与えることは可能だろうか. フロベニ
ウスの定理の場合, 群指標は $G$ のすべての元での値で決まり, 各
元は巡回群を生成することが証明の根本にある. 上の合同式の表
現論的証明のために, 「多変数の群指標」(g1, $|11,$は互いに可換) の理論を考えたことがある. このような多変数の群指標の理論も大昔にはあった. たぶん, 多変数の指標理論よりは,$\chi(g_{1}, \cdot \mathrm{r} , g_{n})$$g_{n}$

何らかの Burnside 環を使った別証明の方に見込みがあると思う

参考文献
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$\mathrm{i}\mathrm{d}$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.766$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.1,2,3$