The Dual Superconductor Picture ofColor Confinement in Gluodynamics
石黒克也（高知大学総合情報センター＆理研）
共同研究者
鈴木恒雄、関戸暢、長谷川将康（金沢大学＆理研）

駒佳明（沼津高専）

２００８年１２月２６日 九大若手研究会「量子色力学の相構造研究の現状と展望」

Color confinement mechanism in QCD
 30年以上未解決の重要問題
 Ｃｌａｙ数学研究所ミレニアム賞問題の一つ
 ＱＣＤの持つ非摂動性のため、解析的理解が困難
 一つの有望なシナリオがＱＣＤ真空の双対超伝導体描像
 格子ＱＣＤを用いて、上記描像を検証

‘t Hooft, Mandelstam (’76)
 クォーク閉じ込め機構の双対超伝導体描像
通常の超伝導体

双対超伝導体Ｃｏｏｐｅｒ対（電子対）が凝縮↓

磁気単極子（モノポール）が凝縮↓

磁束が絞られる（Ｍｅｉｓｓｎｅｒ効果）

電場が絞られる（双対Ｍｅｉｓｓｎｅｒ効果）↓クォーク閉じ込め

Abelian projection
 Monopoleはどこにあるのか？
 ’t Hooftのアイデア（‘81）

Monopoles appear as a topological object when we
perform a partial gauge-fixing keeping maximal
Abelian torus group. （Abelian projection) If
monopoles condense, confinement is explained.
 部分的ゲージ固定
 SU(N) ⇒ [U(1)]N （最大可換部分群）
 SU(3) ⇒ U(1) X U(1)
 SU(2) ⇒ U(1)
 非可換理論⇒ 可換理論 ＋ monopole

Lattice QCD
 ＱＣＤを第一原理として、数値的に計算
 非摂動効果を取り入れることが可能
 計算機の高速化 → より精密な計算が可能に
 研究目的 双対超伝導体描像の確認

 赤外有効理論の構築
 QCDの非摂動的性質の理解
 有限温度相転移機構について

quenched SU(2) QCD (SU(2) gluodynamics)
 Wilson action: Plaquette Vacuum ensembles

より生成: SU(2) matrix

をモンテ・カルロ法にGauge-fixing and Abelian Projection
 ゲージ固定 Operator

 Abelian成分の分離

Abelian component

を対角化

Definition of monopole 格子上のmonopoleの定義
 DeGrand-Toussaint monopole
Abelian field strength

再定義
Dirac string
Monopole current（’80）

Wilson loop and Polyakov loop
 閉じ込めに関連する代表的な演算子
 Wilson loop
 クォーク・反クォーク対が静的に時間発展 閉じ込め相で面積則を示す
 線形ポテンシャル

 String tension

 Polyakov loop
 単体のクォークが静的に時間発展し、周期境界条件によりループをなしたもの
 有限温度系における閉じ込め・非閉じ込め相転移のオーダーパラメータ
これらの演算子からAbelian成分およびmonopole成分を抜き出す

Gauge-fixing (MA gauge)
 Maximally Abelian gauge[ Kronfeld et. al. ’87 ]次の量を最大化次の量を対角化することと同等行列の対角成分を最大化することを意味する

このゲージを用いた多くの数値シミュレーションが双対超伝導体描像を支持(’87 Kronfeld et al, ’90 Suzuki et al, ’03 Koma et al. and references, ’05 Di
Giacomo and ref. therein.)Abelian dominance and monopole dominance Ezawa-Iwazaki (’82)
 QCDの赤外領域ではAbelian成分が重要と仮定

 Suzuki-Yotsuyanagi (’90)
 string tensionに対するAbelian dominanceを格子QCDを用いて確認 (MA gauge)
 Shiba-Suzuki (’94)
 string tensionに対するmonopole dominanceを

確認 (MA gauge)

Dual Meissner picture
Electric field flux tube (MA gauge)

Dual Meissner picture
Monopole current distribution

Finite temperature

有限温度系でのAbelian dominance , monopole dominance String tension
 Spatial string tension
 Critical exponents
 Polyakov Loop

Gauge-dependence problem
 ゲージ依存性の問題
 １９９０年のAbelian dominance発見以来、悩まされてきた大問題。
 なぜMA gaugeを除く他のゲージ条件でAbeliandominanceやmonopole dominanceが観測出来ないのか？（ゲージ固定の方法は無限に存在）
 物理量であるならば、ゲージに依存しないのではないのか？
 双対超伝導体描像は万人を納得させる閉じ込め機構になり得ないのか？

Polyakov-Loop (PL) gauge
 ゲージ固定 Operatorを対角化

 PL gauge

 Singular pointが時間方向のみに沿って現れる。(’03Chernodub)
 時間方向のmonopoleのみが出現し、これはdualMeissner effectに寄与しない。
PL gauge problem

The dual Meissner effect in PL gauge[ Koma, Mori, Sekido, Suzuki and K.I. ‘07 ]これまでにない大規模な計算を実行

The dual Meissner effect in PL gauge
Electric field

Solenoidal monopole currents

 Solenoidal monopole currentがelectric fieldを絞っている。
 Lattice monopoleは連続極限で’t Hooftの定義とは一致しない可能性。

Other (local) unitary gauges[ Koma, Mori, Sekido, Suzuki and K.I. ‘07 ]The Dual Meissner effect in F123

Solenoidal monopole currents squeeze the electric fileds as inMA. The dual Meissner effect due to monopoles is observed
clearly.

How about Abelian and monopole
dominances in other unitary gauges?
The expectation value of Abelian Wilson loop isvery small and hence the static potential could
not be derived reliably enough in F12 gauge.
(’89 Suzuki-Yotsuyanagi)

There are so many lattice-artifact monopoles andto show importance of monopoles was not easy.
（’02 Ito et al.)Highly precise numerical simulations
are necessary.

Numerical parameters
Parameters[ Koma, Mori, Sekido, Suzuki and K.I. ‘07 ]Machine
RIKEN-SX7
RCNP-SX8

Parameters for multi level method (Luscher and Weisz, ‘01)

Operator
Abelian Polyakov loop correlation function

Abelian static potential and force
Static potentialForce

Local unitary gaugeにおいてもAbelian dominanceが観測された！

Gauge-independence of Abelian confinement picture Abelian confinement pictureはMA gaugeのようなnon-local gaugeの場合でも、PL gaugeやF12gaugeのようなlocal gaugeの場合にも成立している。
 しかし、gauge固定の仕方は無限に存在。

 Color confinementはgaugeの選び方に依存すべきではない。
 Abelian confinement pictureがgauge不変であることを見るため、gauge固定しない場合について考える。

Abelian dominance without gauge-fixing[ Koma, Mori, Sekido, Suzuki and K.I. ‘08 ]Abelian static potential and force without gauge-fixing
Static potentialForce

Gauge-fixingしない場合にもAbelian dominanceが観測された！

Monopole dominance

Coulomb propagatorはnon-localなので、multi-level法を適用出来ない→random gauge transformationの方法を採用

Abelian, monopole andphoton static potentials

6000 thermalized conf. を使い、各conf. に対して1000 randomgauge transformation を実行。

Forces

String tensions

Gauge-fixingしない場合にもAbelian dominance同様にMonopole dominance が観測された！

Summary and Outlooks
 格子ＱＣＤを用いて、双対超伝導体描像に基づく閉じ込め機構の検証を行なった。
 ゲージ依存性問題に焦点を当て、これまで見ることが出来なかったlocal unitary gaugeの場合やgauge固定無しの場合にも双対超伝導体描像が成立することを確認（連続極限を見る必要あり）。
 今後は
 より定量的な研究、および解析的に制御可能な赤外有効理論の構築 カイラル対称性の自発的破れと閉じ込めの関係について
 有限温度相転移（高温相でのmonopoleの役割）について