2024 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 1/5

生体システム工学 I
次の [I - 1]～[I - 3] の 3 題を，それぞれ別の解答用紙に答えよ．

[I - 1]

図 1: 半球面 S と微小面素ベクトル dS(問 1)

図 1 は，原点 O を中心とする半径 1 の半球面を表す．半球面上の領域を S ，S と xy 平面が接する円周をC とする．ベクトル場−2x−y
F (x, y, z) =  z −2x 

y2の C に対する線積分および S に対する面積分を考える．

(ア) 媒介変数 t が 0 から 2π まで変化するとき C 上を移動する点を表す位置ベクトルcos tr(t) =  sin t 0(0 ≤ t ≤ 2π)を考える．r(t) に沿った F の線積分

ZF (x, y, z) · dr
Cを計算せよ．

(イ) 極座標 φ，θ を媒介変数として S 上の任意の点を表す位置ベクトル q(φ, θ) を考える．q(φ, θ) の x，y ，z 成分を φ，θ を用いて表わせ．

(ウ) 図 1 に示すように，φ，θ の微小変化 dφ，dθ に対応する S 上の微小面素を考える．この微小面素の面積と同じ大きさであり，点 q(φ, θ) における S の法線ベクトルと同じ方向のベクトル dS は，面素ベクトルと呼ばれる．dS の x，y ，z 成分を φ，θ ，dφ，dθ を用いて表わせ．

(エ) S 上で ∇ × F を面積分し，(ア) の積分結果と一致することを示せ．
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(問 2)

ベルヌーイ (Bernoulli) の微分方程式

dx= P (t)x + Q(t)xndtについて考える．ここで x，n は実数であり，P (t)，Q(t) は t の関数である．

(ア) y = x1−n と置換するとき，y の微分方程式を求めよ．
(イ) 次の微分方程式を解け．
2dx= −6t−1 x + 3et x 3dt(問 3)

次の方程式で表される楕円について考える．

5x2 + 4xy + 2y 2 = 1(ア) この楕円の概形を図示せよ．ただし，各軸との交点座標も記せ．
(イ) 対称行列 A を用いて上の方程式をxyAxy=1と表すことを考える．A の要素を記せ．

(ウ) A を対角化せよ．
(エ) この楕円の長軸と短軸の方向を表すベクトルをそれぞれ求めよ．
(オ) この楕円の面積を求めよ．

生体システム工学 I − 2/52024 年度 大阪大学大学院基礎工学研究科博士前期課程 (一般) 入学試験

生体システム工学 I − 3/5[I - 2]デオキシリボ核酸 (DNA) のような高分子の構造を，単純化された 1 次元のセグメント連結モデルを用いて考える．
ここでは，高分子の構造を図 1 のような長さ a の硬い棒状のセグメントと，長さが無視できる柔らかい継ぎ手の連結で近似的に表す．セグメントは，x 軸と平行な配置のみをとり，x 軸と直交する方向の厚み，および，継ぎ手の長さは無視できるものとする．隣り合うセグメントのなす角は 180◦ (隣り合うセグメントがまっすぐの状態)，あるいは，0◦(隣り合うセグメントが折り返された状態) のいずれかであり，セグメントの向きはセグメントごとに確率1で独立2に決まる．セグメントの総数 N は偶数であるとする．このモデルの固定端の位置を原点 O にとり，固定されていな

い移動端の位置を確率変数 X で表す．以下では，大文字の X は確率変数，小文字の x はその実現値を表す．移動端の位置 x の定義域は [−aN, aN ] である．また，µ を X の期待値，σ を X の標準偏差とする．以下の問に答えよ．

‫ݽ‬ఈ୼aҢಊ୼‫͙ܩ‬घιήϟϱφ

--2a4aO6ax

図 1: N = 6 のセグメント連結モデルの概略図．セグメント配置の組み合わせが異なる 3 つの例を示した．

(問 1)

N = 6 のとき，X = 2a となる確率を求めよ．

(問 2)

固定端から連結されたセグメントを順にたどるとき，x 軸の正方向を向いたセグメントの総数を k とする．

N ，a，および，k を用いて，移動端の位置 x (k, N ) を表せ．さらに，X = x (k, N ) となる確率 P (k, N ) を求めよ．
(問 3)(問 2) で求めた P (k, N ) について
NX

P (k, N ) = 1

k=0が成り立つことを示せ．

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生体システム工学 I − 4/5(問 4)

X の期待値 µ，および，分散 σ 2 を求めよ．
X −µ(問 5) Z =と置く．ここでは，N → ∞ の極限において，Z が従う確率密度関数 g(z) を求める．正方向をσ向いたセグメントの総数が従う確率密度関数を f (k) とすれば，対応する区間の確率が保存するのでf (k)∆k = g(z)∆z2aである (移動端位置は a の偶数倍の値をとることに注意)．また，N が有σ限のとき，P (k, N ) = f (k)∆k が成り立ち，N → ∞ の極限において，∆z → 0 となる．
が成り立つ．ここで，∆k = 1，∆z =g(z + ∆z)
を z ，および，∆z を用いた式で表せ．
g(z)g(z + ∆z) − g(z)(イ)を z ，∆z ，および，g(z) を用いた式で表せ．さらに，∆z → 0 の極限をとることにより，∆z(ア)dg(z)= −zg(z)dzが成り立つことを示せ．
Z∞(ウ)g(z) dz = 1 を満たす，g(z) を求めよ．
−∞

(問 6)

ここでは，系の自由エネルギー G が与えられた場合のエントロピー的な力について考える．以下では，G に対するエンタルピーの寄与を無視し，G の減少 (あるいは増加) は，エントロピーの増加 (あるいは減少) のみを考えることで記述できるとする．すなわち，セグメント連結モデルにおいて，G は次の式で与えられるとする．

G(x) = −kB T ln W (x, N )ここで，kB はボルツマン定数，T は系の絶対温度，W (x, N ) は移動端位置が x となるセグメント配置の数 (セグメント配置の組み合わせが異なる場合の数) である．セグメント連結モデルの移動端に弱い力を加えて，移動端位置が非常にゆっくりと変化する場合，移動端に働く応力 F はF =−∂G∂xで与えられる．

(ア) W (x, N ) を a, x，および，N の関数として表せ．
(イ) N が非常に大きく，W (x, N ) は x の連続関数として近似できるとする ((問 5) (ウ) の結果を参考にせよ)．セ
グメント連結モデルの移動端に弱い力を加えて，移動端位置が非常にゆっくりと変化するとき，応力 F を求めよ．

(ウ) セグメント連結モデルの移動端に働く応力の特徴を説明せよ．特に，エントロピーとの関係について説明する
こと．

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生体システム工学 I − 5/5[I - 3]
図 1 は，抵抗 R，インダクタ L，コンデンサ C 等から構成される回路である．出力インピーダンスが 0 である電源から入力電圧 vi (t) が印加され，入力インピーダンスが無限大である素子で出力電圧 vo (t) が観察されるとする．t は時間である．以下の問に答えよ．

Rvi (t)LCvo (t)図1

Vi exp(jωt) を入力すると，Vo exp(jωt) が出力された．j は虚数単位，ω は角周波数である．
(問 1)

点線で囲まれた LC 並列接続の合成インピーダンスを求めよ．

Vo
1
Voの周波数特性を R，L，C ，ω 等を用いて表せ．また，ω = √の時のの値を求めよ．
ViViLC1
11(問 3) ω < √では R  ωL が，ω > √では R の関係が成り立つとする．
ωCLCLCVo
このような場合のの周波数特性の概観を図示せよ．
Vi
(問 2)

vi (t) = δ(t) の場合を考える．δ(t) はディラックのデルタ関数で表されるインパルス信号である．
(問 4)

δ(t) をフーリエ変換せよ．

(問 5)

δ(t) 入力における vo (t) のフーリエ変換を求めよ．

周波数依存性が皆無である白色雑音を vi (t) として印加する場合を考える．

(問 6)(問 3) の関係が成り立つ場合，何が出力されるかを答えよ．