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計測自動制御学会東北支部 第267回研究集会（2011．10．28）
資料番号267−11

柔軟マルチボディシステムに対するANCFに基づく数学モデルを用いた制御系設計法とパラメータに関する考察

AContro11erDesignMethod伽rFlexibleMultibodySystemWhichIsExpressedbyANCF
atldStudiesoncontro11erparameters
O菅原 佳城☆，小林 倍之★★

OYbshikiSugawara，NobuyukiKobayashi★秋田大学，柚青山学院大学★AbtaUniversity，＊＊AoyamaGakuinUniversity
キーワード：マルチボディダイナミクス（Multibodydynamics）絶対節点座標法（AbsoluteNodalCoordinate
Formulation），FL設計（FL−Synthesis），柔軟マルチボディシステム（Flexible Multibody System）
連絡先：〒010−8502秋田市手形学園町卜1秋田大学大学院工学資源学部機械工学専攻 菅原研究室

菅原佳城，TelO18−889−2346，FaxO18−837−0405（学科事務），ELmailysugawara＠mech．akita−u．aC．jp

1．緒言
近年，宇宙空間において巨大構造を実現するために極めて柔軟な材料を用いた展開機構が採用されることがある．2010年に打ち上げられソーラーセイル「ⅠⅨAROSl）」は対角線長さが20【m】で厚さが0．0075【mm】の正方形の膜構造を有しており，折り畳んだ状態
でロケットに搭載され，軌道上で展開された．
また、観測ロケット実験「S310・362）」では1

絶対節点座標法（ANCF法）3）は非増分型
非線形有限要素法の一種であり，大変形を有する柔軟マルチボディシステムの解析のために1990年代後半にShabanaらによって捷案されて以降，様々な研究がなされてきている．ANCF法では変形の座標と勾配が絶対座
標を用いて表現され，その結果従来の有限要素法に比べて剛体運動を正確に表現できるという特徴を持つ．また，得られた運動方程式において，質量行列は定数行列となり慣性辺が10【m】以上もある三角形状の網を直径

項は線形になるものの，剛性項は極めて強い

30【cm】程度のロケットフェアリングの中に非線形性を示すため，ANCF法は計算性が優搭載して打ち上げ，軌道上での展開実験に成功している．一般的に，このような極めて柔軟な巨大構造物の振動や姿勢などに関する挙動を地上の実証実験で確認することは非常に困難であり，数値解析が重要な手段として数多くの研究がなされている．また，柔軟な巨大構造物の振動や姿勢に関する解析に加えて，それらを制御することは実用上の観点から極めて重要であるが，大変形を有するような極めて柔軟な構造に対する制御系の設計手法は十分に確立されてはいない．

れているとは言えず，時刻歴応答の計算は容易ではない．それゆえ，ANCF法に基づくモ
デルで時刻歴応答を計算する際は注意を要する．

ANCF法に関する研究は非常に数多くなされてきている．例えば，3次元梁のANCF法に基づいた表現法に関する研究4），数値解

析結果と実験結果の比較によるANCF法の手法に関する妥当性の検証5），効率的な計算を目的としたモデルの低次元化に関する研究6）など様々である．しかしながら，ANCF法に関する研究のほぼすべては柔軟マルチ

ボディシステムの挙動解析の能力向上に関したものに集中しており，ANC下一法によって得られたモデルから制御系を設計するなどの研究は皆無であると言ってもよい．
本研究ではANCF法に基づいて導出されたモデルから極めて柔軟な構造物についての制御則を導出する手法の提案を行う．根元に制御トルクを印加することができる柔軟な梁を制御対象として，その位置と振動の制御を試みる．本研究では制御系設計のために
ANCF法の一種である連続体力学に基づく定式化手法7）に注目し，その手法によって得られる数学モデルに対して幾つかの仮定を設けた上で変形を施すと，ロバスト制御系設

御トルクはピン支持された一端の周りに印加される．制御目的は柔軟梁を任意の初期状計の一つである〟設計8）の枠組みに適した表適用し，いくつかの処理を適用することで〃現が容易に得られることを示す．
本論文は次のような構成である．まず第2章では制御対象を導入し，制御目的を定義す
る．さらに，制御系設計のための数学モデル
を導出し，そのモデルにいくつかの処理を施すことで〃設計に適した形にすることができることを示し，最終的に〃設計による制御則を導出する．第3章では提案する制御系設計法の有効性を示すために，第2章で導出した制御則に対し数値解析を行う．さらに第4章では，設計パラメータと制御性能に関する考察を行う．最後に，緒言と今後の課題を第5章において示す．

設計法に対して適した形の数学モデルを導2．制御系設計
2．1制御対象と制御目的
Fig．1に示すように，本研究における制御
対象は一様な柔軟梁から構成され，一矧まピン支持，もう一端は自由端となっている．制

態から希望の位置まで動かし，残留振動を抑制することである．
2．2 制御系設計のための数学モデル・以降ではFig．1に示す柔軟梁を斤要素に分割し，それぞれの要素にLl・T17）モデルを出する．
Fig．2は∫番目（∫＝1，2，…好）の要素に対する節点座標の定義を表しており，節点座標は両節点の絶対座標における変位と勾配から構成されている．ここでiは制御系設計のための数学モデルに関する記号であることを示しており，後述の数値解析のためのモデルと区別するために導入していることに注意されたい．また，以降では便宜上，最初に第1要素以外の要素の運動方程式を導出し，その後に第1要素の運動方程式の導出を行う．
亘バブ＝2，…斤，ノ＝l，・‥8）をTargelpo＄州on

百‖＝船首湖ご0

海イs州On有軋，百一5＝〝′l挿百′8＝rl扁，＿ ∂れ J・、L言とし，節点ベクトルをト

D扉0rmさd、ムt

盲ノ＝【盲ニ′吾；′】r，
細盲∫′＝【言‖言．3言′，言′7】r，盲r′＝［言′2言′。言′8百j81r．Undeform8dとすると，第J要素上の任意の点について絶対座標で表現した位置ベクトルはFig．2Thei−thelementofmathematicalexpressionforcontro11erdesign

ち＝S′盲′（1）ここで，一般に制御対象の軸変形は曲げ変形に対して十分に小さいと考えることができ，百′（ち）は次の範囲となる．ただし，ろを第′要素の無変形時の長さとして貢＝草／ろを導入すると宮′は−β′≦∂ノ（盲J≦β′

Sガ′＝Sr′＝［ト3ぎア＋2ぎ7 ろ（ぎ′−2㌘＋ぎ7）
3ぎト2ぎア キ（㌘−㌘）］と表される．このとき，運動エネルギ，ポテ

ンシャルエネルギおよび外力による仮想仕事を式（1）を用いて導出すると，第J要素（6）で変動するパラメータとみなすことができる．ただし，夙は第／要素の軸歪みの変化の上限値と下限値を同じ値に設定した際の値（変動幅）であり，設計者が決定できるパラメータである．このとき，式（6）を（∫＝2，3，…庫）に対するLl・Tlモデルによる運
（7）

動方程式が

M′盲′＋KT・′盲．＋∂′（盲′）Kい盲′＝0（2）と変形できることを考慮すると，式（2）は次の形で表現される．

として与えられる7）．ただし，両′は第J要素の慣性行列であり定数行列，豆r′は曲げ変形

Mノ言′＋Kr∫否′十△′β′Kい盲ノ＝0 （8）に関する剛性行列であり定数行列，百′（り豆いは軸変形に対する剛性行列であり，百′（ち）は

ただし，云．＝香（盲′）／夙であり式（7）から明軸歪みで節点座標の関数，更いは定数行列とらかにl云′l＜lを満足する．さらに，式（3），（4）および（5）から明らかなように，式（8）は次のようにズ方向とγ方向の二つの表現に分解することが可能である．

なっている．このとき両′，豆r′，豆エ′は次の形で表現される．
Mf＝blockdiag（M〝ノ，Mr′）M〝′吾′＋Km阜＋A′β′K⊥．r′盲′＝0 （9）K7・′＝blockdiag（Km・′，K7γ′）
叫・ノ盲′＋更汀′言′＋△′β′K肌盲′＝0（10）K山＝bloekdiag（Kム〟′，Kムr′）
前述の′＝2，3，…，斤に対する運動方程式の

ただし，亘は梁の変形時の中心線の長さであり，両∫′，両r′，豆m▼′，豆7，り豆㍑メおよび豆肌の詳細ついては紙面の制限から省略する．また，Berzeriらの提案したLl・Tlモデル7）では，軸歪みは要素内において一定であるとの仮定のもとネ＝

導出過程を，境界条件を考慮しながら′＝lについて適用すると，第1要素に対する運動方
程式を次のように得る．
Ml百．＋Kr，盲．＋△−βtKい盲．＝q−（11）（百′5一言ハ）2＋（百′る−百．2）2を用いてろ（吾′）＝（亮一わ／ろとして定義しているが，本研究では言′（盲′）が非線形になることによる取り扱いの難しさを回避するために，以降において言′（も）自体を変動パラメータと置くため，

ただし，■

吾．＝［盲；l盲プ，］7

盲．ー．＝【百．3百．5百−7】γ，否y．＝【百．4百，6百，8］γ■∂′（盲′）で表現される軸歪みについては

B即次点らとは異なる取り扱いをしていることに注意されたい．

M．＝blockdiag（Mズ＝M‖），

ここで，一般に制御対象の軸変形は曲げ変形に対して十分に小さいと考えることができ，房ノ（りは次の範囲となる．ただし，ろを第′要素の無変形時の長さとして貢＝諷／ろを導入すると宮′は−β′≦∂′（ち）≦β′Sズ′＝Sy′＝［1−3ぎ7＋2ど7 ろ（ぎ′−2ぎ．戸＋ぎア）
研一密7 ろ（ぎトぎ′Z）】と表される．このとき，運動エネルギ，ポテ

ンシャルエネルギおよび外力による仮想仕事を式（1）を用いて導出すると，第／要素（6）で変動するパラメータとみなすことができる．ただし，夙は第′要素の軸歪みの変化の上限値と下限値を同じ値に設定した際の値（変動幅）であり，設計者が決定できるパラメータである．このとき，式（6）を

竺i
＿l≦≦l

（〜＝2，3，…斤）に対するLl・Tlモデルによる運

（7）

β′

動方程式が

M′吾．＋Kr′盲′＋∂′（りKい吾′＝0（2）と変形できることを考慮すると，式・（2）は次の形で表現される．

として与えられる7）．ただし，両′は第／要素の慣性行列であり定数行列，豆7−′は曲げ変形

M声′＋Kr一言′＋△′β′Kい盲′＝0 （8）に関する剛性行列であり定数行列，百′（り更エノ
は軸変形に対する剛性行列であり，肴（りは軸歪みで節点座標の関数，蔽いは定数行列となっている．このとき両り 豆7・′，貢いは次の形で表現される．

ただし，△′＝∂′（り／夙であり式（7）から明らかにl云′」＜1を満足する．さらに，式（3），（4）および（5）から明らかなように，式（8）は次のようにズ方向とγ方向の二つの表現に分解することが可能である．

M′＝blockdiag（M∫′，Mr′）M〝′盲ノ＋K7汀′盲′＋△ノβ′K⊥．r′盲′＝0 （9）Kr，＝b10tkdiag（Km′′，K7γ′）
叫■′盲ノ＋K汀′盲′＋云′秀面上y′盲′＝0（10）K⊥ノ＝b10tkdiag（KLY′，K⊥r′）
ただし，吊は梁の変形時の中心線の長さであり，両∬′，両rい豆Ⅸ′，豆7γ′，豆は′および豆仰の
詳細ついては紙面の制限から省略する．また，前述の′＝2，3，‥・，斤に対する運動方程式の導出過程を，境界条件を考慮しながら∫＝lについて適用すると，第1要素に対する運動方
程式を次のように得る．

Berzeriらの提案したLl・Tlモデル7）では，

M−百，＋Kr，盲．＋A、βtKい盲−＝q．（ll）

軸歪みは要素内において一定であるとの仮定のもと玩＝（百′5一言ノ．）2＋（百′8一言f2）2を用いて言′（盲′）＝（亮一ろ）／ろとして定義しているが，本研究ではろ（盲′）が非線形になることによる取り扱いの難しさを回避するために，以降において百′（ち）自体を変動パラメータと置くため，

ただし，●

吾．＝搬謁．］7

盲Å′，＝【百−3百．，百。】丁＼吾ン・．＝【百，4百．b吉相】r百′（ち）で表現される軸歪みについてはBerzeriらとは異なる取り扱いをしていることに注意されたい．

Mt＝blockdiag（Mれ，Mr．），

Kr】＝b】ockdiag（K7m，Kn′l），

Kェ】＝blockdi昭（Kんrl，Kんγt）

初期状態から目標位置に柔軟梁が近づくとき，根元の勾配も目標位置での勾配に近づく
その結果，次の仮定−∂（盲，） △−＝，専一＝凧t盲r・γ 】r■r，

B〝l可000］7■（14）Br−可100】r

（15）

r

−

であり，丁は柔軟梁の根元周りに印加される制御入力である．また，式（9）および（10）と同様に式（11）はズ方向とy方向の二つのを設けることが可能である．式（9），（10），（12），（13），（14）および（15）を考慮す
ると，目標状態付近では制御入力がズ方向の挙動に影響を及ぼさないとみなすことが可能であり，制御系設計はy方向の挙動に関する運動方程式に対してのみ適用する．式（15）および隣り合う要素の間の節点についての以下の関係表現に分割することができ，次のように表現

e′6＝e仰される．

メ＝l，2，…，〃−le／8＝e伸ノ4M∬l盲，＋K汀．盲．＋△，β．Kんrl盲、＝8〝，丁（12）M‖盲．＋K汀1盲，＋云lβ一定抑盲．＝豆，・1r（13）

展開する．
e

硫em

h

〃

8
S︑︑

a T

y▲

l而tiaIstate︾驚茸

ここで，目標位置を正側のズ軸上に重なる
位置と仮定すると，制御目的は任意の初期状
態にある柔軟梁を残留振動を抑制させながら正側のズ軸上で安定化することになる．この仮定は柔軟梁の制御において一般性を失うことはない．なぜならば，座標変換によって様々な初期位置と目標位置の制御目的を上述の制御目的に帰着させることが可能だからである．以降ではFig．3に示すような正側のズ軸上での安定化問題を前提に議論をを考慮して式（10）および（13）で表される運動方程式を重ね合わせることにより，r方向についての全システムの数学モデルを次のように得る．
万

両y盲γ・豆。盲r・∑言′豆β′盲r＝面rr（16）
J＝l

ただし，
百r＝【百，4百22百2。百32百34e（和，2e（斥＿り。百斥2転4転6百斤8】7Mr・＝blockdiag（Mr】，02（斤＿りx2（好一り）
貯・‡blockdiag（0（2瑚2トユ），両r′，02両2（好一。）
J

即Fig．3Con鎖gurationofinitialandtargetstateforcontrollerdesign

K月＝blockdiag（Krγ−，02（斤＿り相好＿．））斤十‡bIockdiag（0（2朝刊京汀′，02（れ）姉。）
J

KB一＝blockdiag（KLy 0，（斤＿．）x2（W＿り），

Fig．4におけるPは式（17）および（18）で表されるモデルから，不確かさを取り除いたモデK侶，02（紆＿り×2（斤−／））♪r′＝2，3，…庫ルである．さらに，制御性能を考慮するために新たに入出九石，諒t，盲2＝【ち，ち2…言2椚】r，
8r＝［10，×2紆】r諒2＝【諒2，諒22…諒2椚】γ■およびそれらの入出力に

Kβノ＝blockdiag（0（2ト3）×（2岬β′関連して重み関数密′‖，畝′．‖，W，，2，軋，′．2もである．このとき，式（16）は状態空間表現

導入することで，Fig．5のように拡大したモデルを導入する叫Fig．5のようなブロック

で次のように表される．

線図で表されるモデルに対しては，

N̲̲

古＝（云。＋∑云′太′）可・盲r

（17）

l＝】

r

百＝【吉子軌，

Ao

0（2柚（2加）Ⅰ（2斉川

一軒定。0（2恥（2好＋りMATI．ABで提供されている制御系設計のツールボックスを用いることで，〃設計法に基づく制御則を効率よく導出することが可能である．本研究では〃設計法に関しては特別な処理を施しておらず，一般的な手法を適用しているため，紙面の制限の都合からも制御系設計の詳細については割愛する．

0（2加）×（2斤＋l）0（2和）x（2斤＋1）導出過程からも明らかなように，ANCF法の一種であるLl・Tlモデルから〝設計法に適した形の数学モデルを得ることは容易であり，ANCF法は〃設計法を含むロバスト制御
系設計法の枠組みに相性の良い定式化手法

一面虎飢 0（2和（2斤十t，面＝【両㌻哀γ7■01メ（2犀川】r

さらに椚個の節点座標が計測可能とし，
言∈R研を観測出力ベクトル，モ∈R〝，X（2斤＋りび面∈R叫2斤＋りこれまでの前述の式（17）および（18）までのおよであると言える．

を観測可能な節点によって決まる定数行列とすると，システムに対する観測方程式は次式で与えられる．
言＝C百＋DT

本研究では観測出力として，柔軟梁のy軸方向に関する根元の勾配，中心点の変位および勾配，先端の変位および勾配の合計5個の出力を用いる．このとき百は要素数汗に応じて構造が決定し，面＝0である．式（17）は斥l＜1を満たす不確かさを含んだ線形の状態方程式とみなすことができ，次節において〃設計法を適用していく．

（l釦Fig．4Systemwithuncertainties

2．3 甘設計法の適用不確かさ云′に対する出力変数言′および入力変数可を導入すると，式（17）で表される状態方程式と式（18）で表される観測方程式を考慮したシステムはFig．4のブロック線図のような構造で表現され，〃設計法による制御系設計が適用可能9・10・11）となる．ここでFig．5Angmentedsystemfor
Pe血manceevaluation

3．数値解析

ThblelDimensionsandphysicalparameterS
oftheflexiblebeam

本章では数値解析によって提案する制御系

設計手法の有効性を示す．前述のように制御
目的は柔軟梁を初期状態から正側の∬軸上である目標位置まで動かし、同時に残留振動を抑制することである．つまり，観測出力である節点のy軸方向に関する座標と勾配を0にするように制御を行う．
3．1制御対象および制御系設計のためのパラメータ

Dimensionsandphysicalparameters Ⅵllue
Lenがh

1．0

「m］

Wjdth
ThicbleSS
Younglsmodulus
Massdensity

［ml

0．05

［m］

0．002

［Pa］

70e9

［kg／m3］

1400あることからも斤＝4で十分であることに注意されたい．

表1は柔軟梁の物理パラメータを示し，制御系のための設計パラメータである重み関

前述のパラメータを用いて制御則を導出す
ると数（呵′∫．，呵州，，㊥血2および軋．′2），数学モ
デルの要素数（斤）および軸歪みの変動幅に

X〟＝A〟Xだ＋B〟喜

関するパラメータ（秀）は以下の通りである．

一＝；C〟Ⅹだ＋D方言（19）W′，2＝diag（町′．2，呵′，2，町．，2，町′，2，町，，2）， を得る．・ただしⅩ〝∈R95であり，このときの〟は0．970であった．式（19）に現れる各行

1軋，′′2＝diag（軋′′2，呪′′′2，軋．′′ヱ，町州′2，軋′′′2）
町′‖＝町′，2＝町，ノ′′l＝軋，′′2＝0．Ol（∫＋250）

列の詳細は紙面の制限からここでは割愛する．

∫＋600096（如＋100）5（∫＋8000）

3000003．2 数値解析のための数学モデル
制御系設計に用いたLl・Tlモデルは精度の良い結果を得るためには非常に多くの要∫2＋2000∫＋30000

素を必要とするため7），Berzeriらによって提案されているL2−Tlモデル7）を用いて数値〃＝4，岳＝残＝喬＝夙＝0．8×10￣7

解析を行うためのモデルを導出した．これは，他のモデルに比べて比較的少ない要素数で上述の設計パラメータは数値解析を繰り返
しながら試行錯誤的に決定した．制御帯域ではない高い周波数成分の入力を小さくする
ために入力に関する重み関数は高い周波数で重みが大きくなるような関数にし，制御帯域である低い周波数の出力を十分に抑える
ために，出力に関する重み関数は低い周波数で重みが大きくなるような関数に設定して十分な精度が得られるからである．L2・Tlモ
デルによる数学モデルはいる．また，庫および房については制御性能

qは外力および剛性力から構成される項，Lへの影響が明確ではないため，第4章においてその影響を考察する．ここで，制御系設計のための数学モデルの要素数は多いとは言えないが，要素数が大きくなるにつれて制御則の次元も非常に大きくなることや，本研究では提案手法の可能性を探ることが目的ではラグランジュ定数，†はさ以外の拘束方程［㍗潤＝［冒］
で与えられ，eは節点座標ベクトル，Mは慣性行列，Ceは拘束方程式のeに関する微分，式の時間微分に関するベクトルである．式（20）の導出は本論文の主題ではないため，導出過程および各行列に現れるパラメータについては割愛する．式（20）の導出にあたり要素数〃は〃＝4としており，表1のパラ（20）

メータを持つ対象を解析するためには十分な値であることを事前の数値解析から確認
している．

3．3 数値解析結果
式（20）のシステムに式（19）で示される制御則を適用することで数値解析を行った．
初期状態は正のガ軸から反時計方向に60度回転させた位置に静止しているものとし，制御性能を評価するために柔軟梁の先端および中点のy座標れ￠および㌦．。に注目した・
Fig・6に㌦および㌦′。の時刻歴応答を実線および点線で示す．また，Fig．7にその際の制御入力の時刻歴応答を示す．さらにFig．8に0．00［s】〜0．40【s】の過渡応答付近での変形形状を示す．Fig．8では分かりやすさのために，
左図に0．00【s】〜0．14【s】までの変形形状を0．01【s】ごとに示し，右図に0．16【s】〜0．40［s】
までの変形形状を0．02【s】ごとに示している．
Fig．6から明らかなように，制御開始直後か
ら梁の先端も中点も初期状態から目標状態である正のⅩ軸上に速やかに収束し始め
0．5【s】付近ではおおよその目標状態に収束しており，極めて速応性の良い応答が得られて0．5

1．O l．5
Time

2．0

2．5

3．O
lsl

Fig．6Displacementoftipandmidpointof
thenexiblebeaminthedirectionofY
lNlnl15一 一−−鴇−…∴

0．5

l．0

1．5
Tim￠

Fig．7Controlinput

いる．また，Fig．7から明らかなようにこれだけの速い応答を得るために，梁の寸法に比べると比較的大きな制御入力が印加されていることが分かる．さらに，Fig．7が示すよ
うに制御開始直後から0．20［s】付近までは約−10【N叫〜10【Nm】程度の大きな制御入力が印加されており，その時間帯の変形形状を
Fig．8から読み取ると，極めて大きな変形が発生していることがわかる．しかしながら，

このような大きな変形にも関わらず，0．5［s］
以降には残留振動も抑制され，制御目的も十分に達成されており，捷案する制御系設計手法が有効な方法であることが示されている．

FiE．8ShaDeOfdeformationattranSientstate
はあるものの，制御性能に与える影響はおおよそ予測することが可能である．一方，軸歪みの変動幅に関するパラメータ（秀）につい

4．設計パラメータに関する考察
4．1提案手法における設計パラメータ
重み関数（呵，‖，敢．′‖，㊥血2および㊥け．′′2）
は所望の制御性能を実現するために導入されるものであり，各重み関数の間でのトレードオフのために試行錯誤的に決定する必要ては本提案手法に固有のパラメータであり，設計性能に対する影響は明確ではない．また制御系設計のための数学モデルの要素数（斤）についてもLl−Tlモデルの解析モデル
としての精度の要素数への依存性7）を考慮す

ると，そのモデルを用いて導出した制御則の制御性能への影響は興味があるところである．Fig．9およびFig．10に房および斉を変化させた際の先端のγ座標れ中および制御入力〃＝4．爪・β，＝β，ユ八・0・師甘丁トrの時刻歴応答を示す．また，Fig．11にFig．9における定常状態である2．6【s】〜2．軸］付近−・−‥庫＝4，β・＝βさ＝β，；声・＝川×10￣ E…・・・〟三2，βl亡βlbβ−tβ●tO・8州￣†「】
旬の応答の拡大図を示す．Fig．9〜11における−

H●■一■ヽ●■■、」−−

数値解析では柔軟梁は第3章のものと同じ寸法にしており，実線の時刻歴応答に対応する
制御則は第3章のものと同じである．秀の制御性能への影響を評価するために，実線の場

0．5

合よりも小さな値の房（β−＝β2＝β3＝尻＝

1．0

1．5
TiI¶C

2．0

2．5

3．O
Is】

Fig．9ComparisonoftimehistoriesofY；4，

1．0×10￣11）を設定し，他のパラメータについbvthreekindsofcontrollersてはすべて同じ値に設定して導出した制御
則による応答を一点鎖線で示す．また，斤の制御性能への影響を評価するために，実線の場合に対して小さな値の斤（斤＝2）を設定

し，他のパラメータについてはすべて同じ値にして導出した制御則による応答を点線で示す．それゆえ，以降ではFig．9〜11の結果をもとに秀および斤の制御性能への影響を
考察する．

0．5

仁0

1．5

2．0

2．5

Fig．10Comparisonoftimehistoriesof
bythreekindsofcontro11ers

4．2 房の制御性能への影響について

l叫 0．003．】 −−−‥……

−
0

0
0

き

ら明らかなように，属の値が大きい場合（実
ゝ

′ヂ■

⁚
ir

0
0

⁚∴■︻︳●◆●・・・・・

1に比べより速く目標状態への収束している．

−・−−−−…−−−…

20

刻歴応答に注目する．Fig．9およびFig．10か線）の方が秀の値が小さい場合（一点鎖線）−−− 「 一∩−房の制御性能への影響を評価するために，
Fig．9〜11における実線と一点鎖線による時

3．O
tSl

Tim￠

また，Fig．11から明らかなように，定常状態
では秀の値が小さい場合の方に残留振動が発生しており，緩やかな減衰は確認できるも

2．7
Time

のの，秀の値が大きい場合に比べるとより大きな振幅での振動となっている．これらの結Fig．11Magn浦ed爪gureofFigure9

果から，秀の値が 大きい場合の方がより速応性の優れた応答となることが分かる．より大きな値の房を設定するということは，制御対象に対してより大きな軸変形を許容するということに対応する．より速応性が優れた応

between2．6［s］and2．8［s］

り詳細は割愛するが，梁の寸法や秀以外の設計パラメータが異なる場合においても，房を大きくすることでより速応性の優れた応答を実現できることが確認されている．

答では梁が速い速度で回転を行うため，遠心力などに伴う軸方向への変形が大きくなる
可能性が生じる．それゆえ，より大きな秀を設定することによって，軸方向の変化に対してより大きな変形を許容するような制御則
が結果的に導出されるために，前述のような秀の大きさの差による応答の違いが発生したものと考えられる．また，紙面の都合によ

4．3 斤の制御性能への影響について
斤の制御性能への影響を評価するために，
Fig．9〜11における実線と点線による時刻歴応答に注目する．Fig．9およびFig．10から明らかなように，4要素および2要素で設計した両制御則ではその応答に大きな差異を確認することはできない．しかしながら，Fig．11

に示すように，定常状態では2要素で設計した制御則による応答の方に大きな残留振動を確認することができ，より要素数の多い4要素で設計した制御則の方がより優れた制御性能を示している．これは要素数が少なくなることで制御対象の表現の精度が低下するために，重み関数などの制御性能を与えるための設計パラメータが制御則に十分に反映されなかったことが考えられる．また，紙面の都合により詳細は割愛するが，異なる寸怯の柔軟梁などを用いた場合においても同様の現象が確認されている．

4章における斤の制御性能への影響についての考察と同様の原因と考えられる．より効率の良い制御系設計のためにも，より大きい要

素数のモデルによる制御系設計が必要であり，このような理由からも制御則の低次元化は極めて重要である．

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5． 緒言と今後の課題
5．1結首
本論文ではANCF法における連続体力学に基づく手法によって導出された数学モデ
ルが，〃設計法に適した形に容易に変形することができることを示し，さらにその数学モ
デルを用いて〝設計法によって制御則を導出し，数値解析によって有効性を示した．また，ANCF法によって導出した数学モデルに起因して発生する設計パラメータに対しての考察を行い，制御系設計の際の知見を示した．これまでに皆無に近かったANCF法による数学モデルを活用した制御系設計を実現したことで，柔軟構造物に対する制御系設計の新たな可能性と展開が期待できるものと考えられる．

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5．2 今後の課榎本研究の提案手法による制御則の次元は極めて大きく，要素数を増やすことでさらに次元が増加するため，実装の観点からも制御則の低次元化が必要である．また，提案手法では導出したすべての制御則で必ずしも制御
目的が達成できるというわけではなく，少ない要素数で制御則を導出した場合には，制御目的を達成できないものが頻出するという現象を確認している．その結果，導出した制御則が制御目的を達成可能かどうかを数値解析によって確認する作業が必要となり，制御系設計に時間を要する．このように全ての制御則が制御目的を達成できない原因は，第3）Shabana，A．A．，Hussien，H．A．and
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