信号解析論
Signal Processing

第１４回講義資料
Lecture notes 14

デジタルフィルタの設計１
Design of digital filters 1

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi1理想的低域通過フィルタの設計(Design of ideal low-pass filter)
今日の目標(Today’s goal)
以下の周波数特性を持つ理想的低域通過フィルタを設計する。
Design a digital filter that has the following ideal low-pass frequency response:

𝐻𝐻 𝑒𝑒

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1=�0for 𝑓𝑓 ≤ 𝑓𝑓c
for 𝑓𝑓 ∈ (𝑓𝑓c , 1/2]

𝑓𝑓c ∈ (0, 1/2]：遮断周波数(Cutoff frequency)

設計要求(Design requirements)•因果性(Causal)•BIBO安定性(BIBO stability)•

線形位相特性(Linear phase response)•通過/阻止帯域リップル

𝐻𝐻(𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )1 −𝑓𝑓c−21O𝑓𝑓c

12𝑓𝑓

FIRフィルタで設計する。
Use an FIR filter.

Passband/Stopband ripples
2FIRフィルタ(FIR filter)
否因果的FIRフィルタ(Non-causal FIR filter)
𝑁𝑁

𝐻𝐻𝑁𝑁non 𝑧𝑧 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 ,ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ

𝑛𝑛=−𝑁𝑁

因果性を満たすように、時間シフトする。(Shift the time indices to satisfy the causality.)
因果的FIRフィルタ(Causal FIR filter)
2𝑁𝑁注意(Remarks)

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑧𝑧 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 ,𝑛𝑛=0ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ

因果的FIRフィルタ𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑧𝑧)は、定理１０.２からBIBO安定である。
The causal FIR filter 𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑧𝑧) is BIBO-stable from Theorem 10.2.

線形位相特性と通過/阻止帯域リップを考慮すればよい。
Sufficient to take linear phase response and passband/stopband ripples into account.

3群遅延と線形位相特性の復習(Review of the group delay and linear phase response)
群遅延の定義(Definition of the group delay)
𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0を満たす𝑓𝑓に対して、𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓) |𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 |と表現したとき、以下で定義される𝜏𝜏g (𝑓𝑓)を群遅延と呼ぶ。

For a frequency response 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓) |𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 |, the function 𝐹𝐹 𝑓𝑓 is called group delay.

𝑑𝑑 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑𝑑𝑑=−
𝜏𝜏g 𝑓𝑓 = −𝑑𝑑 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑𝑑𝑑※通常の群遅延は、𝑓𝑓ではなく、𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋の関数として定義される。
The group delay is usually defined as a function of 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋, rather than 𝑓𝑓.

線形位相特性(Linear phase response)

群遅延𝜏𝜏g (𝑓𝑓)が定数のとき、 𝐻𝐻(𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )は線形位相特性を持つと言う。
We say that 𝐻𝐻(𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ) has a linear phase response if the group delay 𝜏𝜏g (𝑓𝑓) is constant.

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0を満たす𝑓𝑓に対して、(For 𝑓𝑓 satisfying 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0,)
𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ,𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ※通常の線形位相特性は、𝐴𝐴(𝑓𝑓)を実関数として、𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝐴𝐴(𝑓𝑓)として定義される。
The linear phase response is usually defined via 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝐴𝐴(𝑓𝑓) for a real function 𝐴𝐴(𝑓𝑓).

4線形位相特性(Linear phase response)
定理１４.１(Theorem 14.1)
𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 が線形位相特性を持つための必要十分条件は、ℎ 𝑛𝑛 =ℎ[2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛]である。特に、 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0を満たす𝑓𝑓に対して、

𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ) has a linear phase response if and only if ℎ 𝑛𝑛 = ℎ 2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 holds. In particular,
for 𝑓𝑓 satisfying 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑁𝑁𝑁𝑁+𝑘𝑘/2) 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ,証明(Proof)

一般に(In general)𝑘𝑘 ∈ ℤ𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋フィルタタップℎ[𝑛𝑛]は実数なので、𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )が成立する。
Since the filter tap ℎ[𝑛𝑛] is real, we have 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ).

∴ 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋= 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋= 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )から(From 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ))𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 −𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓

5

定理１４.１の証明(Proof of Theorem 14.1)
𝐻𝐻𝑁𝑁 (𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )の定義を使うと、(Use the definition of 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .)𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑁𝑁= 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛𝑛𝑛−𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓
𝑛𝑛=0𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 −𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 から(From 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 −𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 )𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑁𝑁

2𝑁𝑁2𝑁𝑁′= � ℎ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛𝑛𝑛−𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 = � ℎ 2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛′ 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋{ 2𝑁𝑁−𝑛𝑛 𝑓𝑓−𝐹𝐹𝑁𝑁 (𝑓𝑓)}𝑛𝑛′ =0𝑛𝑛=0= 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 を使うと、(Use 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋� ℎ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 − ℎ 2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 2𝑁𝑁𝑁𝑁−𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓

𝑛𝑛=0十分性(Sufficiency)= 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .)𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 0ℎ 𝑛𝑛 = ℎ[2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛]を仮定する。(Assume ℎ 𝑛𝑛 = ℎ[2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛].)𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 2𝑁𝑁𝑁𝑁−𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓

2𝑁𝑁� ℎ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 0𝑛𝑛=06

定理１４.１の証明(Proof of Theorem 14.1)
𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0を満たす𝑓𝑓に対して、(For 𝑓𝑓 satisfying 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0,)𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 2𝑁𝑁𝑁𝑁−𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓

よって(Thus)

𝑘𝑘
𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 + ,2

必要性(Necessity)

𝑘𝑘 ∈ ℤ𝑘𝑘 ∈ ℤに対して𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑘𝑘/2を仮定する。(Assume 𝐹𝐹𝑁𝑁 𝑓𝑓 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑘𝑘/2 for 𝑘𝑘 ∈ ℤ.)2𝑁𝑁

𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 0
𝑛𝑛=0𝑚𝑚 = 0, … , 2𝑁𝑁に対して𝑓𝑓 = 𝑚𝑚/(2𝑁𝑁 + 1)に注目すると、上は{𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 −𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 }の離散フーリエ変換が0であることを示している。離散フーリエ変換の可逆性から、

Focus on 𝑓𝑓 = 𝑚𝑚/(2𝑁𝑁 + 1) for 𝑚𝑚 = 0, … , 2𝑁𝑁. This equation implies that the discrete Fouriertransform of {𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 } vanishes. From the invertibility of the discrete Fouriertransform,−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒ℎ 2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 = ℎ[2𝑁𝑁 − 𝑛𝑛]∎7素朴な設計方針(Naïve design criterion)
平均２乗誤差(Mean-square error, MSE)
𝐽𝐽 = �

1/2

−1/2

𝐻𝐻 𝑒𝑒

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋− 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑑𝑑𝑑𝑑※線形位相特性を満たすための因子(Factor for the linear phase response)
MSE𝐽𝐽が最小となるように、フィルタタップ ℎ 𝑛𝑛
Design the filter taps ℎ 𝑛𝑛定理１４.２(Theorem 14.2)

2𝑁𝑁
𝑛𝑛=0 so as to minimize the MSE 𝐽𝐽.

2𝑁𝑁
𝑛𝑛=0 を設計する。

[−1/2, 1/2]上で２乗可積分な𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 に対して、すべての𝑛𝑛 = 0, … , 2𝑁𝑁について
𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ[𝑛𝑛]を𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 の複素フーリエ係数𝑐𝑐[𝑛𝑛]に選ぶとき、𝐽𝐽は最小化される。
For any square-integrable 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 on the interval [−1/2, 1/2], the MSE 𝐽𝐽 is minimized when 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ[𝑛𝑛] is
set to the Fourier coefficient 𝑐𝑐[𝑛𝑛] for all 𝑛𝑛 = 0, … , 2𝑁𝑁.
1/22𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

𝐽𝐽 ≥ �

1/2−1/2

𝑐𝑐 𝑛𝑛 = �

𝐻𝐻 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2−1/22𝑁𝑁

𝐻𝐻 𝑒𝑒𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑐𝑐 𝑛𝑛𝑛𝑛=02𝑒𝑒𝑑𝑑𝑑𝑑

等号成立はℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑐𝑐[𝑛𝑛]The equality holds for ℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑐𝑐[𝑛𝑛].

8定理１４.２の証明(Proof of Theorem 14.2)
𝐽𝐽に𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 の定義を代入すると、(Substitute the definition of 𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 into 𝐽𝐽.)

𝐽𝐽 = �2𝑁𝑁

1/2

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 � ℎ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋−1/2=�

1/2−1/22𝑁𝑁

𝐻𝐻 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋−𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 � ℎ 𝑛𝑛 �𝑛𝑛=0=�

1/2−1/22𝑁𝑁

21/2−1/2

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑛𝑛=0𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑒𝑒

� ℎ 𝑛𝑛 �1/2−1/2

𝑛𝑛=02𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � ℎ 𝑛𝑛 ℎ 𝑛𝑛𝑛 �2𝑛𝑛,𝑛𝑛′ =02𝑁𝑁

1/2−1/2′𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛−𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 − � (𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑛𝑛 + 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑛𝑛 )+ � ℎ 𝑛𝑛 ℎ 𝑛𝑛𝑛 �𝑛𝑛,𝑛𝑛′ =02𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑁𝑁21/2−1/2𝑛𝑛=0′

𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛−𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑

∵ 𝑐𝑐[𝑛𝑛]の定義より

Due to the definition of 𝑐𝑐[𝑛𝑛]9定理１４.２の証明(Proof of Theorem 14.2)
𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛に対して
For 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛,𝑛𝑛 ≠ 𝑛𝑛𝑛に対して
For 𝑛𝑛 ≠ 𝑛𝑛𝑛,

よって(Thus,)
𝐽𝐽 = �

1/2−1/22𝑁𝑁�

1/2−1/2

�1/2−1/2𝑒𝑒𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛−𝑛𝑛′ 𝑓𝑓−2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑛𝑛−𝑛𝑛′ 𝑓𝑓

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2≥�1/2−1/2

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋−1/2𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 �sin 2𝜋𝜋 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛′ 𝑓𝑓=𝜋𝜋 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛′2𝑁𝑁

𝑓𝑓=1/2

𝑓𝑓=0𝑑𝑑𝑑𝑑 = 11/2

0cos{2𝜋𝜋 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛′ 𝑓𝑓} 𝑑𝑑𝑑𝑑

=0𝑑𝑑𝑑𝑑 + � ( ℎ 𝑛𝑛 2 − 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑛𝑛 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑛𝑛 )= � 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 − 𝑐𝑐 𝑛𝑛
𝑛𝑛=0𝑑𝑑𝑑𝑑 = �1/22𝑛𝑛=02+�2𝑁𝑁

1/2−1/2

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋22𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑐𝑐 𝑛𝑛 2𝑛𝑛=02𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ 𝑛𝑛 = 𝑐𝑐[𝑛𝑛]𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑐𝑐 𝑛𝑛 2 等号成立は𝑒𝑒
𝑛𝑛=0The equality holds for 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ℎ 𝑛𝑛 = 𝑐𝑐[𝑛𝑛].

∎10素朴な設計(Naïve design)
理想的な低域通過フィルタ𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 の場合(Case of the ideal low-pass filter)ℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑐𝑐 𝑛𝑛 = �

𝑛𝑛 = 𝑁𝑁に対して
For 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁,𝑛𝑛 ≠ 𝑁𝑁に対して
For 𝑛𝑛 ≠ 𝑁𝑁,

1/2−1/2

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑛𝑛−𝑁𝑁)𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑛𝑛−𝑁𝑁)𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓c−𝑓𝑓c

𝑓𝑓=𝑓𝑓𝑓𝑓ccsin{2𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝑁𝑁)𝑓𝑓}ℎ 𝑛𝑛 = 2 � cos{2𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝑁𝑁)𝑓𝑓} 𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝑁𝑁)0
𝑓𝑓=0

sin{2𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝑁𝑁)𝑓𝑓c }=𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝑁𝑁)ℎ 𝑛𝑛 = 2𝑓𝑓c sinc{2𝑓𝑓c (𝑛𝑛 − 𝑁𝑁)}
𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒−𝑓𝑓cℎ 𝑁𝑁 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑓𝑓c

設計結果(Design results)

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c= 2𝑓𝑓c 𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑁𝑁� sinc(2𝑓𝑓c 𝑛𝑛) 𝑒𝑒

𝑛𝑛=−𝑁𝑁sin 𝜋𝜋𝜋𝜋
for 𝑥𝑥 ≠ 0
sinc 𝑥𝑥 =𝜋𝜋𝜋𝜋−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋sinc 0 = 111

𝑓𝑓c = 0.2に対するリップル(Ripples for 𝑓𝑓c = 0.2)

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

通過域(Passband)

遷移域
Transition band

阻止域
Stopband

𝑓𝑓12

用語の定義(Terminology)
通過域

信号が所望利得以上で通過できる周波数帯域

PassbandFrequency band in which signals pass under gain requirements.

遮断周波数
Cutoff frequency

振幅が通過域における振幅の1/ 2倍になる周波数

阻止域

信号の利得が所望値以下になる周波数帯域

StopbandFrequency at which the amplitude is 1/ 2 times the amplitude in passband.
Frequency band in which the gain of signals below a desired value.

阻止域端周波数

阻止域の端点における周波数

Stopband edge frequency

Frequency of edges in stopband

遷移域

通過域でも阻止域でもない周波数帯域

Transition band

Frequency band that is neither passband nor stopband.

13窓関数法による設計(Design by windowing)
素朴な設計の問題点(Problem in the naïve design)
𝑁𝑁を大きくしても、リップルがなくならない。(The ripples do no vanish as 𝑁𝑁 increases.)

解釈(Interpretation)

素朴な設計は時間領域で矩形窓を使用している。
The naïve design uses the rectangular window in time domain.

𝐻𝐻 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋≈ 2𝑓𝑓c 𝑒𝑒∞

𝑤𝑤(𝑡𝑡) = �

10for 𝑡𝑡 ≤ 1otherwise

𝑡𝑡 + 𝑁𝑁
sinc 2𝑓𝑓c 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑,
𝑤𝑤2𝑁𝑁−∞−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 �

周波数領域では2𝑁𝑁 sinc(2𝑁𝑁𝑁𝑁)と𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 との畳み込みになる。
Becomes the convolution of 2𝑁𝑁 sinc(2𝑁𝑁𝑁𝑁) and 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 in frequency domain.

窓関数法による設計(Design by windowing)𝑤𝑤(𝑡𝑡)を区間[0, 1]上の時間窓として、(For a window function 𝑤𝑤(𝑡𝑡) on the time interval [0, 1],)ℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑛𝑛 ,𝑛𝑛 + 𝑁𝑁
𝑤𝑤 𝑛𝑛 = 𝑤𝑤2𝑁𝑁

14

窓関数法の解釈(Interpretation of windowing)̃
周波数窓𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 に対して、ℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑤𝑤[𝑛𝑛]𝑐𝑐 𝑛𝑛 は以下の𝐽𝐽を最小化する。
̃For a window function 𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 in frequency domain, ℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑤𝑤[𝑛𝑛]𝑐𝑐 𝑛𝑛 minimizes the following 𝐽𝐽:𝐽𝐽̃ = �∞−∞� 𝑓𝑓 − 𝑒𝑒
𝐻𝐻2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋∞

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2∞′′�𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝐻𝐻(𝑓𝑓)= � 𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑓𝑓−𝑓𝑓

𝑤𝑤 𝑛𝑛 = � 𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �1/2−∞−1/2−∞−1/2∞

𝑐𝑐 𝑛𝑛 = � 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �1/2−∞

𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑

̃証明(Proof) 定理１４.２から、以下のフィルタタップは𝐽𝐽を最小化する。
𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋̃Theorem 14.2 implies that the following filter tap minimizes 𝐽𝐽.

∞

� 𝑓𝑓 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑
ℎ 𝑛𝑛 = � 𝐻𝐻−∞
∞

=�

−∞

∞′̃′

̃

𝑑𝑑 𝑓𝑓̃ � 𝑑𝑑𝑓𝑓 ′ 𝑊𝑊 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑓𝑓 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓 +𝑓𝑓) = 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑐𝑐[𝑛𝑛] ∎−∞15

𝐻𝐻𝑁𝑁 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c = 0.2に対するリップル(Ripples for 𝑓𝑓c = 0.2)

𝑓𝑓

ハミング窓(Hamming window)𝑤𝑤(𝑡𝑡) = 0.54 − 0.46 cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋)

16

演習(Exercises)
矩形窓を用いて、以下の周波数特性を持つFIRフィルタを設計せよ。
Design an FIR filter with the following frequency response by using the rectangular window.

𝐻𝐻 𝑒𝑒

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1= 1 − 2 𝑓𝑓 for 𝑓𝑓 ≤217