3 次元画像コンファレンス 2011 講演論文集, pp.66–69(2011.7.15)

全方向視差 CGH におけるポリゴン単位の高速隠面消去法
A novel method for hidden surface removal in full-parallax CGH
中村将樹 1

松島恭治 1

中原住雄 2

Masaki Nakamura1

Kyoji Matsushima1

Sumio Nakahara2

1

関西大学 システム理工学部 電気電子情報工学科

1

Department of Electrical and Electronic Engineering, Kansai University
2

関西大学 システム理工学部 機械工学科

2

Department of Mechanical Engineering, Kansai UniversityABSTRUCT
A novel method for hidden surface removal is proposed for creation of full parallax CGHs. The method applyes
light-shielding by silhouette masks to invidiual polygons. The conventional silhouette method is much time-consumingwhen the light-shielding is applied to individiual polyogn, because numerical propagation of the full wave-field must beperformed much many times. In fact, the number of times is the same as the number of polygons. This needs gigantic
computational effort. The proposed method eliminates propagation of the full wave-field and uses only propagation ofpartial wave fields. A polygon-based high-definition CGH computed by the proposed method is demonstrated.
Keywords : 計算機合成ホログラム，部分光波伝搬，シルエット法，Babinet の原理，隠面消去

1.

はじめに計算機合成ホログラム（以下 CGH）における代表的な光波数値合成法は点光源法とポリゴン法[1]があげられる．点光源法は実装が容易である反面，そのままでは全方向視差 CGH での隠面消去が難しい問題がある．一方，ポリゴン法はシルエット法[2]などの波動光学的隠面消去法とマッチングがよく，全方向視差での隠面消去を比較的容易に行える．シルエット法にはポリゴン単位のシルエット法と物体単位でのシルエット法がある．前者は自己オクルージ
ョンを処理できるが，ポリゴン数と同じ回数だけ光波伝搬計算が必要となり，計算時間が長時間化してしまう．一方，後者は物体モデルの個数だけ光波伝搬計算を行えばよいので，超高解像度 CGH においても実用的な時間内で計算可能である[3]．しかしこの手法は物体モデル自体の隠蔽関係である自己オクルージョンが生じる場合には，正しく隠面消去を施すことができない．
著者らは影伝搬法[4]と同様の Babinet の原理と部分光波伝搬を用いることで，多数の小型物体が存在
中村将樹
nakamura@laser.ee.kansai-u.ac.jp
関西大学システム理工学部電気電子情報工学科〒565-8680 大阪府吹田市山手町 3-3-35
TEL/FAX 06-6368-0933* 現在，(株)リコー勤務するようなスパースな 3D シーンを有する超高解像度 CGH において物体単位のシルエット法を高速に処理する方法を既に提案している[5, 6]．この手法は遮蔽物が小型であるほど有効であるという特徴がある．そこで本研究では，この手法を発展させたポリゴン単位のシルエット法を提案する．この手法により，従来は困難であった自己オクルージョンを有する物体モデルのホログラムを高速に数値合成できる．

2.

従来の手法

2.1 シルエット法を用いた光波遮蔽(従来法 1)[2]シルエット法は物体の後方から入射する光波を物体(遮蔽物)のシルエットをマスクとして遮蔽する手法である．物体と交差しホログラムと並行な平面 Vm
全体に背面より入射する光波（全光波）を Um=Um( i ) Vm

( ii ) VmVn

Vn

Bn

Bn
Sn

Bm
SmE

Bm

SmUnFig. 1 The technique for fast computing off-axis partial
wave-fields without using the off-axis numericalpropagation.

(x,y)とし，この光波を遮蔽する物体のシルエットマ
スクを Mm=Mm (x,y)，さらに Vm 平面上での物体光波を Dm=Dm (x,y)とすると，平面 Vm より射出し次の遮蔽物が存在する平面 Vm+1 に入射する全光波 Um+1 はU m1  Fm,m1M mU m  Dm (1)の形の漸 化式で 表わすことができ る[2] ．ここでFm,m+1{}は平面 Vm 上の全光波を Vm+1 に伝搬する演算を表わしている．(1)式の計算をホログラム平面まで繰り返すことにより 3D シーン全体の光波を求める
ことができる．以下これを従来法 1 とする．(1)式からわかるとおり，この手法では全光波の伝搬計算を遮蔽物の個数と同じ回数繰り返す必要があり，遮蔽物が多い場合には長時間を要する問題がある．
2.2 Babinet の原理と部分光波による手法(従来法 2)[5]シルエットマスクの代わりにそれを反転した開口Am = 1Mm を用いると数段階の計算を経て(1)式をm 1

U m   Fi , m Di  AUi i

(2)i 0と変形できる．さらに遮蔽物のシルエットが小さい場合には
m 1

Um 

W D  A S i ,mii i(3)i 0とすることができる[5, 6]．ここで，Si は開口 Ai 近傍に入射する部分光波であり，Wi,m{}は平面 Vi 上の部
分光波を平面 Vm 全体に伝搬する演算を表す．(3)式を用いて全光波 Um を得るためには，平面 V0…Vm−1上の部分光波 S0…Sm−1 を全て求めておく必要がある
が，これらは以下の漸化式で与えられる．
m 1Sm  P D  A S i ,mii i

(4)

i 0

ここで Pi,m{}は平面 Vi 上の部分光波を平面 Vm の一部分に伝搬する計算を表す．
この手法（以下，従来法 2）の大きな利点は部分光波の伝搬計算のみで物体光波が数値合成できることである．また遮蔽物が小型であるほど有効であるという特徴があるが，一方この従来法では遮蔽物の数が増加すると急激に計算量が増加する問題点があった．

3.

改善手法

従来法における遮蔽物をポリゴンとすることによりポリゴン単位の光波遮蔽が可能であり，自己オクルージョンを正しく処理した隠面消去ができるが，そのままでは長い計算時間を要する．そこで以下の改良を行った．
3.1 オフアクシス伝搬計算法の排除(2)式の演算 Wi,m{}は伝搬元と伝搬先のサンプリング窓が同軸上になく，またサンプリング数も異なった伝搬計算になるので，シフテッドフレネル法やシフテッド角スペクトル法[7]の様なオフアクシス伝搬計算法が必要となる．しかし一般に，オフアクシス伝搬計算法は多くの計算量を必要とする問題がある．しかしながら，ポリゴン法では従来よりポリゴン光波を物体平面上で求める際には次のような方法で角スペクトル法[8]を用いていた．
いま，Fig. 1 に示すようにサンプリング窓 Bm 上の部分光波 Sm を伝搬計算し，次の遮蔽物のサンプリン
グ窓 Bn 上の部分光波 Sn を求める場合を考える．オ
フアクシス伝搬計算法を用いずにこれを行うためには，まず，(i)に示すようにサンプリング窓 Bm 上の光波が平面 Vn 上に伝搬したときの最大回折範囲 E を求め，大きさが E 以上になるように Bm を拡張する．
そして(ii) に示すように拡張した Bm から平面 Vn 上
での Sm の伝搬光波を 4 倍拡張なしの角スペクトル法により求める．
この方法により求めた伝搬光波のうち伝搬先のサンプリング領域 Bn と重なる部分のみを切り取ることで，(3)式の Pi,m{}と等価な結果を得る．従って，オフアクシス伝搬計算を用いずに Sm を求めることが．これにより(3)式と(4)式の伝搬計算は統合され，m 1

U m  Wi , m Di  AQi i {U i }(5)i 0となる．ここで，演算記号 Qi{}はサンプリング窓 Biと重なる部分を切り取る演算を表している．
3.2 伝搬演算回数の削減
いま，遮蔽物の個数を N とすると従来法 2 における Wi,m{}の伝搬回数 T1(N) は，(3)式よりT1 ( N )  N ( N  1) / 2(6)となり， Nの2次関数として伝搬回数が急激に増加することがわかる．このため，部分光波伝搬を用いて伝搬計算の計算量を減少させても，遮蔽物の数が増加すると極端に計算量が増加してしまう．そこで
本研究では，伝搬演算回数を削減する手法を提案する．
いま，例としてN = 3としU3を求める場合を考える．
このとき各平面での全光波は(3)式より，

U1  W0,1{D0  A0Q0 {U 0 }}U 2  W0,2 {D0  A0Q0 {U 0 }}  W1,2 {D1  A1Q0 {U1}}U 3  W0,3 {D0  A0Q0 {U 0 }}  W1,3{D1  A1Q0 {U1}}(7)

W2,3 {D2  A2 Q2 {U 2 }}と表せる．この式には，Wi,jの形で表される伝搬計算が合計6種類現れている．ここでWi, j{} = Wk, j{Wi,k{}}の関係を利用して(7)式をU1  W3,1{W0,3 {D0  A0 Q0 {U 0 }}U 2  W3,2 {W0,3 {D0  A0Q0 {U 0 }}  W1,3 {D1  A1Q0 {U1}}U 3  W3,3 {W0,3 {D0  A0Q0 {U 0 }}  W1,3 {D1  A1Q0 {U1}}(8)

W2,3{D2  A2 Q2 {U 2 }}4.と書き直す．このように書き直すと，(8)式中にはWi,3の形の伝搬計算とW3,iの形の伝搬計算がやはり6 種類現れているが，W3,3の伝搬計算は無意味であるので，合計5種類となり，(8)式に比べて，1回だけ計算回数が減少していることがわかる．
同様に，ポリゴン数(遮蔽物体数)をNとして，

ui  Wi , N Di  AQi i {U i }(9)と表すと，一般的に m 1 U m  WN , m  ui  i 0 (10)と表わすことができ，UNは N 1  N 1U N  WN , N  ui    ui
 i 0  i 0(11)となる．つまり，(9)式と(10)式を順次用いることでu0からuN−1を求め，最後に(11)式によりそれらを加算することで，N個のポリゴンからの光波を平面VNで求めることができる．従って，(9)式の伝搬計算をN回，(10)式の伝搬計算をN1回実行する必要があることから，提案法における部分光波伝搬回数T2(N) はT2 ( N )  2 N  1(i)V0V1(12)

V2V3u0B0P0B1B1z

P1D0P2S1( ii )V0

V1V2V3u0P0u1

B1
P1

B2

B2S2V0V1V2V3U3=u0+u1+u2u0u1P0
P1u2 z

B2P2
D2-A2S2

Fig. 2 An example of the procedure for the proposedmethod.

提案法による隠面消去手順(スイッチバック法)

提案手法では(9)式の順方向伝搬計算と(10)式の逆方向伝搬計算を交互に繰り返すことから，これを以下スイッチバック法と呼ぶ．Fig. 2 に示すようにポリゴン数 N = 3 の場合について，平面 V3 上での全光波 U3 を求める手順を述べる．
まず (i)に示すように， ポリゴン P0 の光波 D0 を含むようにサンプリング窓 B0 を配置し，光波 D0 がV3 上に伝搬した時に回折する範囲までサンプリング窓を広げ，(9)式に従い角スペクトル法により伝搬
光波 u0 を得る．
次にこの光波を(10)式に従って V1 上に逆伝搬するが，このときポリゴン光波 D1 を含むように伝搬先サンプリング窓 B1 を，また V3 上の同じ位置に B1 を配置する．このとき，あらかじめ D1 の光が V3 上で回折する範囲を考慮して B1 と B1 の位置と大きさを決定する．そして平面 V3 上の光波分布 u0 のうち， B1の領域の光波分布のみを V1 上へ逆伝搬計算して B1の領域の光波を求める．
次に(ii)に示すように，B1 上で P1 の開口関数 A1 を乗算し，ポリゴン光波 D1 を加算したあと V3 上に前方伝搬計算することで u1 を得る．そして(i)と同様に
平面 V2 上にサンプリング窓 B2 を，V3 上に B2 を配置し，V3 上の光波分布 u0+ u1 のうち B2 の領域の光波分布のみを V2 上に逆方向伝搬計算して B2 の領域に入射する光波を求める．最後に(iii)に示すように
B2 上で開口関数 A2 を乗算し，ポリゴン光波 D2 を加算したあと V3 上に伝搬計算することで U3 = u0 + u1 +u2 が求まる．
このように本手法では，物体光波を得たい平面(物体平面)とポリゴン平面との間で交互にスイッチバックしながら伝搬計算を行う．なお，物体平面(ここでは V3)は，物体の前方にある必要はなく，計算時間短縮のために物体を横切るような位置に配置することが望ましい．

z

P2

D1-A1S1( iii )と表わすことができ，Nの1次関数となることがわかる．このため，提案法はポリゴン数が多いほど従来法2に比べて少ない伝搬回数で計算できる．

5.

高解像度ホログラムの計算

自己オクルージョンを有する CGH “The Hands”を計算し，作製することで提案法の正当性を確認すると同時に，従来法 1，2，提案法による計算時間の比較を行った．Fig. 3 に The Hands の 3D シーンを示し，CGH のパラメータと用いた計算機のスペックをTable 1 に示す．このモデルでは二つの手が入り組んだ自己オクルージョンが生じていることがわかる．
三つの手法によるこのホログラムの計算時間を
Fig.4 に示す．従来法 1 を用いた場合の計算時間は 8時間 27 分，従来法 2 では 3 時間 19 分であったのに対し，提案法では 58 分であった．つまり，提案法は

yTable 1 Parameters used for creation of ‘‘The Hands’’.

3.2

Number of pixels
Pixel pitches
Reconstruction
wavelength
CPU
Number of CPUs
Memoryxz

3.2

ObjectFig. 3 The 3D scene of “The Hands”
従来法 1 の約 8 分の 1，従来法 2 の約 3 分の１の時間で計算できることがわかった．

6.

作成したホログラムの光学再生像提案法により計算した物体光波を超高解像度CGH として作成した．この The Hands の再生像を異なった方向から写真に撮った結果を Fig. 5 に示す．
この結果より，どの方向から見ても正しく光波遮蔽処理が施され，自己オクルージョンが正しく再生されていることが確認できる．

7.

まとめ

本研究では，全光波の伝搬計算を行うことなくポリゴン単位でシルエット遮蔽を行い高速かつ高精度に隠面消去を行う手法を提案した．提案法を用いることで従来は困難であった自己オクルージョンを有する物体モデルの超高解像度 CGH をポリゴン法によって実用的な時間内で計算できることがわかった．

本研究は日本学術振興会の科研費(21500114)の助成を受けたものである．
参考文献[1] K. Matsushima: “Computer-Generated Holograms forThree-Dimensional Surface Objects with Shade andTexture”, Appl. Opt. 44, 4607 (2005).
[2]近藤，松島: “シルエット近似を用いた全方向視差

Left632.8 nm
Xeon X5680 (3.33 GHz)×224144 GB10Hologram

Computation time [hour]

1032,768 ×32,768
1.0 μm × 1.0 μm

8648.452

3.32
0.970Method1Method2

This work

Fig. 4 Computation time of “The Hands”
CGH の 隠 面 消 去 ”, 信 学 論 D-II, J87-D-II, 1487(2004).
[3] K. Matsushima, S. Nakahara: “Extremely HighDefinition Full-Parallax Computer-Generated Hologram
Created by the Polygon-Based Method”, Appl. Opt. 48,H54 (2009).
[4] 坂本: “影伝搬法を用いた計算機合成ホログラムの隠面消去”, 信学論 J85-D-II, 1832 (2002).
[5] 中村, 松島, 中原: “スパースな 3D シーンを有する超高解像度 CGH における隠面消去の高速化”, 3 次
元画像コンファレンス 2009 講演論文集, 17 (2010).
[6] 中村, 松島, 中原: “全方向視差 CGH におけるBabinet の原理と部分光波伝搬を用いた隠面消去法”,
HODIC Circular 29, No. 3, 3(2009).
[7] K. Matsushima: “Shifted angular spectrum method
for off-axis numerical propagation”, Opt. Express 18,18453 (2010).

CenterRightFig. 5 Optical reconstruction of “The Hands”. Photographs are taken from different perspective.