信号解析論
Signal Processing

第１１回講義資料
Lecture notes 11

離散時間線形時不変システム２
Discrete-time and linear time-invariant systems 2

豊橋技術科学大学
Toyohashi University of Technology

電気・電子情報工学系
Department of Electrical and Electronic Information Engineering

准教授 竹内啓悟
Associate Professor

Keigo Takeuchi
1先週の復習(Review of the last week)
離散時間線形時不変システム(Discrete-time linear time-invariant systems)∞

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]
入力信号(Input signals)
𝑥𝑥 𝑛𝑛

∞
𝑛𝑛=−∞

𝑚𝑚=−∞

インパルス応答

伝達関数(Transfer function)𝑥𝑥 𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=−∞ 、 𝑦𝑦 𝑛𝑛

出力信号(Output signals)

Impulse response∞
𝑛𝑛=−∞ 、 ℎ 𝑛𝑛ℎ 𝑛𝑛

∞
𝑛𝑛=−∞

∞
𝑛𝑛=−∞

∞
𝑛𝑛=−∞ のZ変換を𝑋𝑋(𝑧𝑧)、𝑌𝑌(𝑧𝑧)、𝐻𝐻(𝑧𝑧)とする。

Let 𝑋𝑋(𝑧𝑧), 𝑌𝑌(𝑧𝑧), and 𝐻𝐻(𝑧𝑧) denote the Z-transforms of 𝑥𝑥 𝑛𝑛

𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑦𝑦 𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=−∞ ,

𝑦𝑦 𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=−∞ , and∵ 定理９.２(Theorem 9.2)

ℎ 𝑛𝑛∞𝑛𝑛=−∞ , respectively.

インパルス応答のZ変換𝐻𝐻(𝑧𝑧)を伝達関数と呼ぶ。
The Z-transform 𝐻𝐻(𝑧𝑧) of the impulse response is called transfer function.

2周波数特性(Frequency response)
正弦波入力(Sinusoidal input)
出力(Output)∞𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋∞𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚] = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 � ℎ 𝑚𝑚 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑚𝑚=−∞

𝑚𝑚=−∞

= 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑥𝑥[𝑛𝑛]正弦波入力に𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 が乗算される。
The sinusoidal input is multiplied by 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .

周波数特性(Frequency response)

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 を周波数特性と呼ぶ。(𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 is called frequency response.)

特に、𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐴𝐴 𝑓𝑓 exp 2𝜋𝜋𝑗𝑗𝐹𝐹 𝑓𝑓 と表現したとき、 𝐴𝐴 𝑓𝑓 ≥ 0と2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑓𝑓 ∈ ℝをそれぞれ周波数振幅特性と周波数位相特性と呼ぶ。

In particular, 𝐴𝐴 𝑓𝑓 ≥ 0 and 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑓𝑓 ∈ ℝ are called amplitude and phase responses, respectively, for
𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐴𝐴 𝑓𝑓 exp 2𝜋𝜋𝑗𝑗𝐹𝐹 𝑓𝑓 .
3

周波数特性の対称性(Symmetries of the frequency response)
性質１１.１
Property 11.1∵{ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ}を実インパルス応答とする。

Suppose that an impulse response {ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ} is real.

𝐻𝐻 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
∞

∞

𝑛𝑛=−∞

𝑛𝑛=−∞

𝐻𝐻 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑛𝑛 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

性質１１.２
Property 11.2{ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ}を実インパルス応答とする。

Suppose that an impulse response {ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ} is real.

𝐴𝐴 −𝑓𝑓 = 𝐴𝐴(𝑓𝑓)∵ 𝐴𝐴 −𝑓𝑓 = 𝐻𝐻 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

性質１１.３
Property 11.3∎

= 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋= 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋= 𝐴𝐴(𝑓𝑓)∎𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(−𝑓𝑓) = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓)∎{ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ}を実インパルス応答とする。

Suppose that an impulse response {ℎ 𝑛𝑛 ∈ ℝ} is real.

𝐹𝐹 −𝑓𝑓 = −𝐹𝐹 𝑓𝑓 + 𝑘𝑘 for all 𝑘𝑘 ∈ ℤ∵ 𝐻𝐻 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝐻𝐻(𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ), 𝐴𝐴 −𝑓𝑓 = 𝐴𝐴(𝑓𝑓)4群遅延と線形位相特性(Group delay and linear phase response)
定義１１.１(Definition 11.1)
𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0を満たす𝑓𝑓に対して、𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓) |𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 |と表現したとき、以下で定義される𝜏𝜏g (𝑓𝑓)を群遅延と呼ぶ。

Let 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓) |𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 | denote a frequency response for 𝑓𝑓 satisfying 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0,the function 𝜏𝜏g (𝑓𝑓) is called group delay.

𝜏𝜏g 𝑓𝑓 = −𝑑𝑑 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑𝑑𝑑=−𝑑𝑑 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑𝑑𝑑※通常の群遅延は、𝑓𝑓ではなく、𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋の関数として定義される。
The group delay is usually defined as a function of 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋, rather than 𝑓𝑓.

定義１１.２(Definition 11.2)

群遅延𝜏𝜏g (𝑓𝑓)が定数のとき、 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 は線形位相特性を持つと言う。
We say that 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 has a linear phase response if the group delay 𝜏𝜏g (𝑓𝑓) is constant.

線形位相特性(Linear phase response)

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0を満たす𝑓𝑓に対して、(For 𝑓𝑓 satisfying 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0,)
𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ,𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ※通常の線形位相特性は、𝐴𝐴(𝑓𝑓)を実関数として、𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝐴𝐴(𝑓𝑓)として定義される。
The linear phase response is usually defined via 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝐴𝐴(𝑓𝑓) for a real function 𝐴𝐴(𝑓𝑓).

5位相遅延(Phase delay)
定義１１.３(Definition 11.3)
𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0を満たす𝑓𝑓に対して、𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓) |𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 |と表現したとき、以下で定義される𝜏𝜏p (𝑓𝑓)を位相遅延と呼ぶ。

Let 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓) |𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 | denote a frequency response for 𝑓𝑓 satisfying 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ≠ 0,the function 𝜏𝜏p (𝑓𝑓) is called phase delay.

例１１.１
Example 11.1

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐹𝐹=−𝜏𝜏p 𝑓𝑓 = −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓
以下の時間遅延フィルタの位相遅延を評価せよ。

Evaluate the phase delay of the following time-delay filter:∞ℎ 𝑛𝑛 = 𝛿𝛿𝑛𝑛,𝑛𝑛0 ,𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � 𝛿𝛿𝑚𝑚,𝑛𝑛0 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 = 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]𝑚𝑚=−∞

周波数特性𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 を求めると、Evaluate the frequency response 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .

∴ 𝐹𝐹 𝑓𝑓 = −𝑓𝑓𝑛𝑛0 ,∞𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = � 𝛿𝛿𝑛𝑛,𝑛𝑛0 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑛𝑛0
𝑛𝑛=−∞

𝐹𝐹 𝑓𝑓= 𝑛𝑛0
𝜏𝜏p 𝑓𝑓 = −𝑓𝑓

位相遅延は時間遅延𝑛𝑛0 に等しい。(The phase delay is equal to the time delay 𝑛𝑛0.)6群遅延の意義(Significance of group delay)
例１１.２
Example 11.2

振幅変調信号𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎[𝑛𝑛]𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑛𝑛 を以下のフィルタに入力する。
位相遅延と群遅延を求めよ。
Input an amplitude modulation signal 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑛𝑛 to the following filter:∞ℎ 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓c 𝑛𝑛−𝜏𝜏0 ) 𝛿𝛿𝑛𝑛,𝑛𝑛0 ,∞𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑚𝑚 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]𝑚𝑚=−∞

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓c 𝑚𝑚−𝜏𝜏0 ) 𝛿𝛿𝑚𝑚,𝑛𝑛0 𝑎𝑎[𝑛𝑛 − 𝑚𝑚]𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c (𝑛𝑛−𝑚𝑚)
𝑚𝑚=−∞= 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜏𝜏0 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑓𝑓c 𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0

周波数特性𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 を求めると、(Evaluate the frequency response 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .)∞𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜏𝜏0 � 𝛿𝛿𝑛𝑛,𝑛𝑛0 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑓𝑓−𝑓𝑓c 𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋{𝜏𝜏0 + 𝑓𝑓−𝑓𝑓c 𝑛𝑛0 }位相遅延(Phase delay)𝜏𝜏p 𝑓𝑓 =𝑛𝑛=−∞𝜏𝜏0 + 𝑓𝑓 − 𝑓𝑓c 𝑛𝑛0𝑓𝑓

群遅延(Group delay)
𝜏𝜏g 𝑓𝑓 = 𝑛𝑛0

包絡線波形𝑎𝑎[𝑛𝑛]の遅延(Delay of the envelope 𝑎𝑎[𝑛𝑛])7FIRシステムの例(Example of an FIR system)
例１１.３
Example 11.3以下のインパルス応答を持つシステムの周波数特性、位相遅延、群遅延を評価せよ。
Evaluate the frequency response, phase delay, and group delay of a system withthe following impulse response:

周波数特性𝐻𝐻 𝑒𝑒2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋−12ℎ 𝑛𝑛 = �0を求めると、Evaluate the frequency response 𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .

𝐻𝐻 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

for 𝑛𝑛 = 0, 1,otherwise
11 −𝑛𝑛 1 1 − 𝑧𝑧 −2
𝐻𝐻 𝑧𝑧 = � 𝑧𝑧 =22 1 − 𝑧𝑧 −1𝑛𝑛=0

1 1 − 𝑒𝑒 −4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
sin 2𝜋𝜋𝜋𝜋−𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋=𝑒𝑒==
2 1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2 sin 𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 (𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 )

振幅特性(Amplitude response)sin 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐴𝐴 𝑓𝑓 =2 sin 𝜋𝜋𝜋𝜋

位相遅延と群遅延(Phase delay and group delay)

位相特性(Phase response)
2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑓𝑓 = −𝜋𝜋𝜋𝜋1𝜏𝜏p 𝑓𝑓 = 𝜏𝜏g 𝑓𝑓 =28

𝐴𝐴2 𝑓𝑓

dB = 20 log10 𝐴𝐴(𝑓𝑓)

振幅特性(Amplitude response)𝑓𝑓

9IIRシステムの例(Example of an IIR system)
例１１.４

以下のシステムの周波数特性を評価せよ。

Example 11.4

Evaluate the frequency response of the following system:

1𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 1 ,2𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 < 0

性質９.４を使って両辺のZ変換を計算すると、Use Property 9.4 to compute the Z-transforms of both sides.

𝑌𝑌 𝑧𝑧
2=
𝐻𝐻 𝑧𝑧 =𝑋𝑋(𝑧𝑧) 2 − 𝑧𝑧 −1

振幅特性

Amplitude response

位相特性
Phase response

𝐴𝐴 𝑓𝑓 =∴ 𝐻𝐻 𝑒𝑒

2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1 −1𝑌𝑌(𝑧𝑧) = 𝑋𝑋(𝑧𝑧) + 𝑧𝑧 𝑌𝑌(𝑧𝑧)222==2 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 2 − cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋 + 𝑗𝑗 sin 2𝜋𝜋𝜋𝜋22 − cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋 2 + sin2 2𝜋𝜋𝜋𝜋=sin 2𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓) = − tan
2 − cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋IIRシステムは線形位相特性を持たない。
−125 − 4 cos 2𝜋𝜋𝜋𝜋The IIR system does not linear phase response.

10

𝐴𝐴2 𝑓𝑓

2𝜋𝜋𝜋𝜋(𝑓𝑓)dB = 20 log10 𝐴𝐴(𝑓𝑓)

振幅・位相特性(Amplitude and phase responses)

𝑓𝑓11

演習(Exercises)
次のIIRシステムの周波数特性を評価せよ。
Evaluate the frequency response of the following IIR system:

𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 1 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 1 ,𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 0 for 𝑛𝑛 < 012