す うが くせ

コンパスと定規で描ける図形の世界
じょう

か い

数学 の 世界 をかず

ず けいしらがく もんり ゆう

つつかん たんげん り

うなるのかという理由をとことん突き詰め、簡単な原理からすべてのこせつ めい

しょう めいよちゅうさん

え

こたかいり ようこん せき

てん

ねん い じょうむかし

こ だいのこり ゆうつつ

こん せき

算して得た答えを利用した痕跡は残っていても、理由を突き詰めた痕跡

い ぜん

スペイン

のこり ゆうつつ

かん たんげん りしょう めいは残っていません。理由を突き詰め、簡単な原理からすべてを証明する
こ だい

地中海

こ だい

しゃ かい せい かつ

ひつ ようかずけい さん

そく りょうけん ちくアルジェリア

おこな

ながず けいこ だいせいげん ろんろん

ず けい ぶ ぶん

すう がく けん きゅう

しゅう たいげんとおちょく せんひきかか

ちゅう しんあた

かながたがひとさん かく けいかくたがひと

ちゅう い

〈注意〉

ず けい

ず けい

えん

かさよ

きかてん

り重なる（３つの角も互いに等しい）。

ユークリッドじいっ しょじょう ぎ

めもちょく せん・定 規 は目 盛 りがないものとします。直 線 を
ひい がい

つか引くこと以外には使えません。

しらかせん ぶんちゅう てんか

じつし かく けいたい かく せん

たがちゅう てんまじ

せい しつさん ぺん

ながたがひとさん かく けいかさこん ぽん げん り

しょう めいちゅう てん

かがた

し へん

ながさい しょ

かがた

かか

すう がく

なん

へん

あいだ

かくかくひとます。
さん かく けいかさこん ぽん げん り

しょう めい実は、このとき２つの三角形はぴったり重なることが、根本原理から証明り ゆう

最初に書いたように、数学は、どうしてそうなるかという理由、すなわち、
こん ぽん げん り

くみCEとCEの２組 の辺 とその間 にある角 アと角 イが等 しくなっているとわかりじつきることなのでしょうか？
こん ぽん げん りしょう めい

根本原理が何なのか、根本原理から証明できることなのかということに、としょう めい

しょう めいがたできるのです（このことが証明できれば、AE=BEが証明できるので、ひし形
たい かく せん

ちゅう てんまじしょう めいの対角線が中点で交わることも証明できますね）。
こん かい

ことんこだわっていくのです。

もん だい

がん ばかんがということで、今 回 のチャレンジ問 題 です。頑 張 って考 えてみてくださいね。

もん だい

じょう ぎ

がたがたかかかた

いかせん ぶん

れいかた

てん

かえん

ちゅう しんえん

はんえん

こう てん

CDB
し かく けいひとし かく けい

たがせん ぶんちゅう てん

ちゅう てん

かまじ

ひし形の対角線は互いの中点で交わるからです。
Aせん ぶんD

たいがた

ひちゅう てんが中点、すなわち、AE=BEがわかっていなくてはいけません。
かさちゅう てんかさしょう めい

しょう めいちゅう てん

しょう めいしょう めい

これでは、どうどうめぐりになってしまい証明になりません。では、どうすさん ぺん

こう てん

たがひとかさしいので、ぴったり重 なります。したがって、かくかく

ひとかく

ひとさん かく けい

ひとかく図 の角 アと角 イは等 しくなります（角 ア＝角イ）。すると、△ACEと△BCEでは、ACとBC、さん ぺん

たがひと

かさのこアイ

ひとへんさん かく けい

かさこん ぽん げん り

つかしょう めいさん かく けい

２つの三 角 形 を△ABCと△PQRとかくA

かくし、AB=PQ、BC= QR、角ア=角イ
みぎず（右の図）とします。
さん ぺん

たがひとさん

このとき、「三 辺 が互 いに等 しい三かさB

ア

Cつか角形はぴったり重なる」ことを使っXP

かさて、△ABCと△PQR がぴったり重しょう めいなることを証明したいわけです。
さん ぺん

たがひと

そこで、△ABCと三 辺 が互 いに等Q

へん

し い △XQRを、 一 辺 が △PQRの 辺
かさC

たがいっ ぺんA

まず、△ACDと△BCDは、三 辺 が互 いに等ず

たが

かく けい

ぴったり重なることから、中点であることが証明できる。でも、ぴったりか対 角 線CDを引くと、ABとCDの交 点がABの中点になる。

B

さきればよいのでしょう？

線 分ABに対し、ひし形ACBDを描き、たい かく せん

Cかさ重なることを証明するには、中点であることが証明できていないといけない。

さて、ひし形を利用すると、線分の中点を描くことができます。なぜなら、たい かく せん

B

ひとかた

考え方さん かく けい

たがかくる（３つの角も互いに等しい）」という根本原理を使って証明してください。
かんがちゅう てんがたの四辺の長さは等しいので、四角形ACBDはひし形です。
り ようD

E

なることを証明するには、三辺が互いに等しくなくてはいけないので、先にE図の描き方から、AC=AD=AB=BC=BDとなり、四角形ACBDがたC

かんがさん ぺん

たがかく

かさ

しょう めいがた

ながかく

なわち、EがABの中点といえます。
しょう めいあいだ角も互いに等しい）」ことを、「三辺が互いに等しい三角形はぴったり重なとを証明しようと考えてみます。ところが、この２つの三角形がぴったり重し形になります。
し へんに へんA

そこで、△ACEと△BCEがぴったり重なるこます。すると、四角形ACBDがひかたもん だいチャレンジ問題「二辺とその間の角が互いに等しい三角形はぴったり重なる（残りの辺とちゅう てん

し かく けいかしょう めいがたと△BCEもぴったり重 なるなら、AE=BE、す

その2つの円 の交 点 をC、Dとしず

たい

かさか径ABの 円 を 描 き ま す。 そ し て、

まじとCDの交点をEとおきましょう。もしも△ACEA

し半 径ABの円 とBを中 心 とし半けい

ちゅう てんこう てん

ちゅう しん

まず2点A、Bを描き、Aを中心とはん けい

たが線 分ABに対 するひし形ACBDにおいて、ABいろいろな描き方があるので、以下は１つの例です。
描き方

たい かく せん

ひし形の対角線が互いの中点で交わることの証明

コンパスと定規で、ひし形を描いてみましょう。

がたてんさん ぺん問題

証明

ちゅう い・三 辺 の長 さが互 いに等 しい三 角 形 はぴったの長さが互いに等しい三角形はぴったり重なる」という根本原理から証明でかんがしょう めい

か

かく にん

はん けい

では、この「ひし形の対角線が互いの中点で交わる」という性質は、「三辺かき方から考えることにしましょう。

かずえられた半径の円が描ける。

ほん

じょう ぎがすべて等しい四角形のことです）が描ければよいので、まずはひし形の描かた

げん り

なければいけないことを確認しておきましょう。

あたうなものがあるかが調べられています。この記事でも、みなさんと一緒

くかについて考 えます。線 分 の中 点 を描 くには、実 は、ひし形（四 辺 の長 さひと

こん ぽん てき・コンパスで、与 えられた点 を中 心 とし、与じん

じょう ぎ

今回は、コンパスと定規で図形を描くときに、線分の中点をどうやって描
せん ぶんしゅ やくす）では、コンパスと定 規 で描 ける図 形 にはどのよ＝線分の中点をどう描こう？
かんがもっとに、コンパスと定規で描ける図形について調べていきます。

ちゅう てん

じょう ぎじその古代ギリシャ人のユークリッドです。

がたこん かいきしらけい

ぶんか論 』の図 形 部 分（ユークリッド幾 何 と呼 ばれていまc+き成 し、『原 論 』という本 にまとめました。その『原a2 + b2 = c2

しかし、これらの文 明 では、計せん

しょう めいこん ぽん げん り

こ だい

もとの三辺の長さは求めていました。
ぶん めい

さい しょ〈根本原理〉

ユークリッドは、古 代 ギリシャの数 学 研 究 を集 大エジプトbaちょっ かく さん かく けい

垂 直 を決 めるために直 角 三 角 形さん ぺん

トルコ

ひつ ようきめいじん

この「コンパスと定 規 の幾 何 」の記 事 の主 役 は、イスラエルリビア

われ、測 量 や建 築 で必 要 になる
すい ちょくじょう ぎ

ちちゅうかい社 会 生 活 で必 要 な数 の計 算 が行

かい・定規で、２点を通る直線が引ける。

ブルガリア
ギリシャ

こ だいたちでした。それ以 前 の古 代 バビロニアや古 代 エジプトでも、かいまず最初に、証明のための最も根本的な原理と図を描くときに注意し

じょう ぎ

イタリア

じん

せことをはじめた人たちこそが、古代ギリシャ人たちだったのです。ここフランス

2000年以上昔の古代ギリシャ人

せけい

しょう

すう がく

しょう めいかかから数学がはじまりました。
そ の 証 明 を は じ め た の が、ず中点が描けることって、どう証明するの？

第3回
だいひととを説明していきます（証明と呼ばれています）。

か〜ユークリッド幾 何 の世 界 〜

執筆 ・編集 ： 佐藤 太郎
数学は、数や図形について調べていく学問です。そして、どうしてそぎ

きの ぞいて み よう！
すう がくhttp://www.seg.co.jp/

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てん

ちょく せんたいてん

おなイRがわ

QRと重なり、点X が直線QRに対して点Pと同じ側にあるように
E
B

Dか描いてみると……。
チャレンジ問題の解答は、4面をご覧ください。

このコーナーは原則として、毎月第3週の木曜日に掲載します。