数理解析研究所講究録 1394 巻 2004 年 138-151

138

3 次元ユークリツド空間における isosceles 8-point set の分類
九州大学大学院数理学府

城戸浩章 ( Hi oaki Kido)$\mathrm{r}$Graduate School of Mathematics,
Kvushu Universitv

1

導入$\mathbb{R}^{k}$

$x$

を

$k$

次元ユークリッド空間とする。

, y\in Rゞを$x=(..x_{1}, x_{2}^{\backslash }, \cdots, \cdot x_{k}),$.

$\sqrt{\sum_{i_{-}^{-}1}^{k}(x_{i}-y_{i})^{2}}.$

$y$

=(y1,

$y_{2},$$\cdots,$ $y$k) とするとき、

.と

$.x$

$y$

の距離を $cl(x, y)=$で定める。

Definition
有限集合 X\subset Rゞに対して、.’(.’)とお$=${ $d(.x,$$\mathrm{y})$$|$x, $y\in X,$ $x\neq y$ }$\text{く}$。

このとき、 $|_{-}.\cdot 4(X)|=s$ であるならば、 Y をにおける -clistance set と呼ぶ。
また、 2 つのset が互いに相似である場合は同型であるということにする。
$\mathbb{R}^{k}$$\cdot$$\Leftarrow \mathrm{q}$-$\sim^{\mathrm{Q}}$-distance set の点の個数の最大値は、の場合に知らKelly
れていた。 さらに、
\leq 8 の場合は[9] によって与えられ、 次のページの表 1のような結果が得られている。 (坂内-坂内 [1] より抜粋)
また、 $|X|\geq k+2$ であるならば、にお}} る 2-distance set となるは有限個で る
ことが Einhorn-Schoenberg[5] により示された。
しかし、 一般の -distance set については、 E.Bannai-E Bannai-D Stanton [2] や.
におという上限や、 $|X|\geq 5$ ならぱ、
ABlokhuis [3] によって与えられたける .3-市 stance set $X$ は有限個で、における 3-distanoe set の点の個数の最大値は て$\underline{.)}$$\mathbb{R}^{k},$$k$$\mathbb{R}_{\text{、}^{}1}\mathbb{R}^{2}($$[\overline{/}])_{\text{、}}\mathbb{R}^{3}(.\cdot \mathrm{c}_{1}^{\mathrm{t}}1^{\cdot}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t} [4])$$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\check{\mathrm{e}}\mathrm{k}.$$\mathbb{R}^{k}$$\dot{\text{あ}}$$-\cdot\cdot 1^{r}$$s$$\mathbb{R}^{2}$$|_{-}.\cdot 1’|\leq(\begin{array}{l}k+ss\end{array})$$\mathbb{R}^{2}$$\overline{/}$あるということが知られているが、 それ以外のことはほとんど知られてにおける 3-distanoe set の個数が (同型を除いて) 有限個になるのは点のいないので、個数がいくつのときか? という問題や、における -clistance set の点の個数の最大値はいくつになるのか ? という問題について考えたい。
$(.\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{a}1^{\sim}\mathrm{a} [10])$$\mathbb{R}^{3}$$\mathbb{R}^{3}$$.3$

前者の問題について、、 その答えを とすると、 はの範囲にあることが知られている。 また、 後者の問題については、 その答えを とすると、 はの範囲にあることが知られている。 本講究録では、 前者の問題の答えの範囲を狭める足がかりとして,, また、における 8 点からなる -distance set を分類$a$$c\iota$$7\leq a\leq(\begin{array}{l}.3+33\end{array})=20$$b$$12\leq b\leq(\begin{array}{l}3+.33\end{array})=20$$\mathbb{R}^{3}$

$.3$

$b$

138
(〒)

$k$

set の最大値を与える点の個数の最大値
set の個数13–.
1◇$\underline{.})_{-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}}$$\underline{.})_{-}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$

13
26
310
415
521
628
36
8 45
$\overline{/}$

66
1
1
1
1

10
16
27
29
45

$\geq$

l

表 1: 2-市 stance set の点の個数の最大値するための足がかりとして、 さらに強い条件をつけた isosceles 8-point 3-distance set について述べる。

2

定義と知られている事実について$\underline{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\text{科}\mathrm{n}}$個の点からなる集合を考える。
この集合の任意の 3 点が 2 等辺 3 角形をなしているとき ( 一直線上の 3 点も許す)、 この集合は-set てあるという Q
さらに、 この集合が -市 stance set であるときは、 isosceles -point -distance set と呼ぶことにする。
$\mathbb{R}^{k}$

において、

$.n$

$\Pi\overline{\mathrm{p}}$$\mathrm{P}(n.)$

$n$

$s$

$s$

-set や 2-distance set について知られていることをまとめておく。
distance set については、 表 1 の $k=.3$ の部分を抜粋したものである。 )次}$arrow-$、$\mathbb{R}^{3}$$\bullet$’$\bullet$2$\mathbb{R}^{-}$$\mathbb{R}^{2}$$\mathrm{o}\mathbb{R}^{3}$

この

にお}

る

$\mathrm{P}(9)$における$\mathrm{P}(7)$$\mathrm{e}$における$\mathrm{P}(.6^{\cdot})$-set は存在しない。 (Croft [4])-set は存在しな$\mathrm{A}\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$(Kelly [7])-set は、正 5 角形とその中心の 6 点からなる集合に限る。 (Kelly [7])における 7 点からなる .-,-clistance set は存在しない。

(Croft$\bullet.\mathbb{R}^{3}$$(\underline{.)}_{-}$$\mathrm{P}(.n)$$\lfloor’\mathrm{r}_{4]}$, Einhorn-Schoenberg [6])における 6 点からなる

Schoenberg [6]$)$$\underline{.})_{-}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$set で非同型なものは 6 つし力 1 な$\mathrm{A}$$\mathrm{a}_{\text{。}}$(Einhorn-

140-set の存在について述べる。
-set については、 下の図 1 で示されたもの (中心から各頂点までの長さが である正 5

本講究録では、$\mathrm{P}(8)$$\mathbb{R}^{3}$における$\mathrm{P}(.8)$$a$角形を底面とする、高さが の正 5 角錐を 2 つ用意し、正 5 角形の面で 2 つをくっつけると 7 点からなる立体になり、 この 7 点に、 くつつけた正 5 角形の中心を加えた 8 点。 これ
これ以外には. -distance set になっている。) の存在は知られているのであるが-setは存在するのか ?” という問題や、 図 1 で示されたもの以外に-set が存在した場合に”は、 さらに、 3-distance set となっているもの (つまり、 isosceles 8-point.3-distance set)$a$”$\mathrm{P}(8)$$’\supset$$\text{、}$$\mathrm{P}(8^{\cdot})$は存在するのか$?$”という問題が現れてくる。

本講究録において示したいことは次の定理である。

Theorem I$\mathbb{R}^{3}$における$\mathrm{P}(8)$-set は、 図 1 で表された 8 点からなる集合以外に存在しない。

これが示されると、 次のことも分かる。
$\frac{\mathrm{C}\text{科}\mathrm{r}\text{科}\mathrm{I}1\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}1}{\mathbb{R}^{3}1^{\vee}-\mathrm{k}^{\backslash }\}\}\text{る}\mathrm{i}\mathrm{s}}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{e}1\mathrm{e}\mathrm{s}$$8$-point3-distance set は存在しない。

この Theorem 1 の証明を Croft [4] の手法を用いて

.:

.:

.:

$’.\prime\prime\prime...\cdot-.---:-.-\backslash \cdot$.

$\cdot$$.,...\cdot-j$

図 1$\backslash$.

\S 4 以降で述べる。

141
3

表記について次の 3 つの言葉を導入する。 (apex についてはこの section で、 tetrad、$1\supset \mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{l}$については \S 6 で触れる。 )tetrad : 半球面における 4 点からなる集合
pentad : 半球面における 5 点からなる集合: 3 点以上からなる集合において、 残りすべての点から等距離の位置にある点$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{x}\overline{.}$

また、 Lemma 18 でにおける
-set の 8 点を配置することは不可能、 もしくは4 点が同一円周上にある時に限り可能である ” ことが分かる。
”
後者を conclusion (X) ” と呼ぶことにする。
”$\mathbb{R}^{3}$$\mathrm{P}(8^{\cdot})$$\text{、}$

さらに、$P_{1},$

このとき、 点$\cdots,$$P_{n}$

が$\mathrm{P}(.n.)$-set てあるとする。

の” vertex-number”

を、$V(P_{i}):=(P_{i}$ を含む 3 点からなる部分集合をすべて考え、 そのうち、が apex となっているものの数)$=$ (i を頂角とする 2 等辺 3 角形の個数)で定義する。
$P_{i}$$\mathrm{V}(P_{i})$$P_{i}$$\angle P$

注意 :

...

. が正 3 角形の場合は、$\triangle P_{j}P{}_{jk}P$$+V(P_{n})>(\begin{array}{l}.|?.3\end{array})$$P_{i}$,$P_{j}$,のいすれも apex であるから、$P_{k}$

が成り立つ。

したがって、 一般に、$|/’(P_{1})+\cdots+\mathrm{V}’.(.\cdot P,)\geq(\begin{array}{l}n..3\end{array})$

また、 点から残りの点との距離を考える。 距離, .
.
個、 、 距離 となる点が. 個あったとき ($..a,$とする。 また、 $r+s+\cdots+u=.n$ -y、点はにする。

が威り立つ。

$P_{i}$

$l$

$s$

$u$

$b_{J}\cdot$

となる点が

$a$

$l$

(
$,$

$r$

個、距離

$b$

となる点が

は互いに異なり、 $r\geq s\geq,$ . .
の点であると ゝうこと$\geq n$$\mathrm{t}\}^{r}\mathrm{p}\mathrm{e}(r, s, \cdot.

$P_{i}$

4$1,.\cdot.(P_{1})+$

.

, u)$

$\mathrm{A}$

基本となる補題

Lemma 1$\mathrm{P}(8)$-set の配置は次の 3 つのいずれかになる。

つの同心球面があって、 そのうちの 1 つの球面上に 4 点配置され、 もう 1 つの球面上に 2 点もしくは 3 点配置されている。 同心球面の中心も-set の 1 点。
$(\mathrm{i}.)2$$\mathrm{P}(8^{\cdot})$

つの球面上に 5 点もしくは 6 点配置されている。 球面の中心も(iii) 1 つの球面上に 点配置され、 残りの 1 点は球面の中心。
以後 (i) は 4-2, 4-3(iii) は(ii) は 5-,表す。

$\mathrm{P}(8)$$(.\mathrm{i}\mathrm{i})1$-set の 1 点。

$\overline{/}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{g}\iota 11^{\backslash }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}_{\text{、}}$$6- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\Leftrightarrow}\sigma\iota\iota 1^{\backslash }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}_{\text{、}}$$\overline{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{g}\iota\iota 1^{\backslash }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

で

142
Pr 科科
$\mathrm{P}(.8)$$\mathrm{f}$-set の 8 点を Pl‘. . .

8 点集合にはとする。

個の 3 角形があるので、 \S .3 の注意より、 1, $(.P)\geq 7$ となる点$(\begin{array}{l}(\backslash ^{\urcorner}-..3\end{array})=56$存在する。 この $P$ が,$P_{\mathrm{b}}$

、

$P$

が

であるとする。
また、 $T(|7l)$ を $T(m)= \frac{1}{2}m(m-1.)$ で定義する。
$P_{1}$(T(1)=O、$T(2^{\cdot}.)=1,$ $T(3)=.3,$ $T(4)=6,,$ $\cdot T(5)=10,$
点$\cdots$)から残りの点との距離を考え、 距離 となる点が 個、 距離 となる点力 個、距離 となる点が 個あったとき ( $a,$は互いに異なり、 $r\geq s\geq\cdots\geq u$ とすはる。 .)、 つまり、 点の点てあるならば、$P_{1}$

$a$

.

$l$

$|\cdots$

$b,$

$u$

$P_{1}$$\mathrm{t}.\mathrm{v}\cdot \mathrm{p}\mathrm{e}(.\cdot r, s, \cdot.

$V(P_{1})=T(\cdot \mathrm{r})+\cdot T(.\mathrm{s}.)+\cdots+\cdot T(\cdot u.)$

.

$r$

$b$

$\grave{\grave{1}}$$s$$\cdots\backslash l$, u.)$

が成り立つ。

となる 2 等辺 3 角形の個数(なせならば、 $T(r)$ は、 2 辺が長さ で、 そのはさむ角がとなる 2 等辺 3 角形の個数、’. . 、.$T(u)$ は(.s) は、 2 辺が長さ で、 そのはさむ角がとなる 2 等辺 3 角形の個数となるのて、 これらをて、 そのはさむ角が-. 2 辺が長さ$\angle P_{1}$

$a$

$b$

$\backslash T$$\angle P_{1}$$l$$\angle P_{1}$加えたものは $V(P_{1})$ に一致しなけれぱならない。)
したがって、$T(r)+T(.s)+\cdots+T(u)\geq 7$(1)$r+s+\cdots+u$ $=7$(.-,)

が成り立ち、 また、も戒り立つ。
(.m) の値を考えると、

$T$

(i)

$P_{1}$は$(.\mathrm{i}\mathrm{i})P_{1}$$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}.)P_{1}$この$(.1),(_{\sim}^{)}.)$を同時に満たすのは、 次の場合に限られる。

もしくは type(4,3 )。
$\circ$$\mathrm{t}\mathrm{v}\cdot \mathrm{p}\vee \mathrm{e}.(4,2,1)$は type $(5,2)$ , t.vpe(.5,1,1), もしくは type(’6,1)。
は t\psi e(7)。

$(.\mathrm{i})\sim(.\cdot \mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$は Lemma 1 の$(\mathrm{i})\sim(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$-set の 7 点からなる部分集合がの Lemma を述べておく。
$\mathrm{P}(8)$に対応している。
$\mathrm{P}(\overline{t})$$\blacksquare$-set であることに注目することがあるので、次Lemma 2
-set の配置は次の 5 つのいすれかになる。
(i) 2 つの同心球面に 3 点すつ配置され、 残りの 1 点は同心球面の中心。
(ii.) 2 つの同心球面があって,, そのうちの 1 っの球面上に 4 点配置され、 もう 1 っの球面
上に 2 点配置されている。 残りの 1 点は同心球面の中心。
(iii) 1 つの球面上に 4 点配置されている。 球面の中心も-set の 1 点。 但し、 (ii) は満$\mathrm{P}(7)$$\mathrm{P}(7)$たさない。
(..iv) 1 つの球面上に 5 点配置されている。 球面の中心も-set の 1 点。
(v) 1 つの球面上に 6 点配置され、 残りの 1 点は球面の中心。
$\mathrm{P}(7)$

143
Proof
Lemma 1 と同じようにして示せるので省略する。

$\blacksquare$

また、 3 点が同一直線上に並ぶ場合についての考察もしておく。 (証明は、$\mathrm{C}_{1^{\backslash }}’.\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}$[4] のLemma 6 と同じであるので省略する。 )Lemma 3$(\mathrm{C}\mathrm{r}\text{科}\mathrm{f}\mathrm{t})$-set の 3 点, P.2、 . がこの順に同一直線上にあるならぱ、残りの 5 点はすべての垂直二等分線が作る平面上の 1 つの円 (. 正確に言うと、 . を中心とする、 半径円) の円周上にある。 したがって、、 conclusion (X) が戒り立つ。
$\mathrm{P}(8)$$P_{1}$$P_{3}$$P_{1}P_{3}$. の$P_{1}P_{2}$$P_{2}$$\blacksquare$

4-2, 4-3 configurations の場合

5

この section では、 Lemma 1 の (i) を満たす$\mathrm{P}(8)$-set の点$P_{1},$$\cdots,$$P_{8}$の配置について考える。
この section において、$P_{2},$

上には
があり、
を
の半径、
を
$\llcorner \mathrm{q}_{2}$$P_{\dot{\mathrm{Q}}}$$\cdot\cdot\iota,$

また、$R_{1}$

は 2 つの同心球面$P_{1}$$R_{2}$$|5_{1}^{\gamma}$$P_{6},$$\llcorner \mathrm{t}_{2}^{\neg}$

上にはの中心であるとする。
(
configuration のときは も) があるものとし.
の半径とする。
$P\overline,$or 4-3-set の 点$\overline{l}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{g}\iota\iota 1^{\backslash }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{P}(.8^{\cdot})$$\llcorner \mathrm{s}_{2}^{\neg}$$\llcorner\backslash _{1}^{\gamma}$、$..arrow 3$$P_{\mathrm{b}}\neg$Lemma 4$.\not\subset’\underline{.7}$$\sim^{5_{1}’}$$P_{1},$$\cdot$. , P,- I こついて、次のいずれかが成り立つ。

(i) conclusion(X) が成り立つ。
$R$ , 以外のものが存在する。
上の 4 点における異なる 2 点間の距離に、
(ii)
もしくは
である。
(iii) 任意の 2 点間の距離が$R_{1},$$.\mathrm{S}_{1}’$$R_{1}$

Pr 科科$R_{2}$$\mathrm{f}$(i) も (iii) も成り立たなければ (i) が成り立つことを示せばよい。
の 2 点間の距離に(iii) が成り立たないとすると、, R。以外のものが存在す
上の 4 点における。 これを とする。 さらに、 (ii) も威り立たないときは、 この は、る異なる 2 点間の距離にはならない。
$P_{1},$$R_{1}$$P\overline,$$\cdot\cdot\downarrow,$

$c$

$c$

or R。 $(.i=2, \cdots, 7)$ であるから、$P_{1}P_{i}.=R_{1}$$P_{1}$$\llcorner\hat{\mathrm{b}}_{1}’$を除く 6 点のうちの 2 点間の距離に$c$となるものが存在する。
$P_{2}.P_{6}=c$

ならぱ、

6 の 3 つの辺の長さが$\triangle P_{1}P_{-}.,P$$R_{1}$

, R。,

$c$

となるので、 2 等辺 3 角形ではない。
したがって、 次のことが分かる。
$5_{1}’$

また、 距離$c$上にある点と S, 上にある点との距離は、$R_{1}$

もしくは R2 である。

は、 $S,$’ 上の 2 点間の距離として存在することから、$P_{\grave{\mathrm{b}}}P\overline,$(3)$=c$ としてよい。

を考えると., (.3) より..
はもしくは R。であるから、6,とならなけれぱならない。
2 等辺 3 角形となるためには、

このとき、$\cdot$$\triangle P_{2}P_{6}P_{\overline{l}}$$P_{9,\sim}P$$P_{-}.,P_{6}$$=P_{2}.P\overline,$$P\overline{.}P\overline,$$R_{1}$

144
同様に、

6

$\triangle P_{3}P_{6}P,-,$ $\triangle P_{4}P$$\triangle$$P\overline,$$,$

P.5P6P,- を考えると、 . $P_{6}=P_{3}P,-,$$P_{3}$.

$P_{4}$ $P_{6}=P_{4}P\overline,$が成り立たなければならない。
はの垂直二等分線の作る平面にあり、 かつゆえに、
この 4 点は同一円周上にある。
したがって、. conclusion(X) が成り立つ。

,$P_{\acute{\mathrm{D}}}P_{6}=$$P_{5}P\overline,$$P_{2},$$P_{\overline{-}},$$P_{\grave{\mathrm{b}}}P_{\overline{l}}$$P_{\overline{\mathrm{i})}}$$\cdot\cdot|,$$S_{1}$

上にあるので、$P_{\dot{\mathrm{D}}}$$\cdots,$$\blacksquare$

Lemma 5
Lemma 4 の (iii) を満たすようなPr 科科 fLemma 4 のset である$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}.)$を満たすとき、$\mathrm{P}(8)$$P_{1},$-set は存在しない。

$\cdots,$$P\tilde,$からなる集合は、 isosceles 7-point2-distance$\circ$

でも挙けたが、 7 点からなる-set l ま存在しない(ffi) を満たすようなしかし、$\S^{\underline{\eta}}$$\underline{.}?_{-}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{P}(8)$set は存在しないのて、 Lemma 4 の$\blacksquare$$\circ$

したがって、 Lelnma 4 は次のように書き換えられる。

Lemma 64-2or4-.3 onfiguration$\cdot$$\mathrm{c}$

(i)
(ii)

$\mathrm{P}(8)$-set の 7 点$P_{1},$$\cdot\cdot \mathrm{t}$, P7 について、次のいすれかが戒り立っ。

nclusion (X) が成り立つ。
’$S_{1}$

上の 4 点における異なる 2 点間の距離に、$R_{1},$ $R_{2}$以外のものが存在する。

$\blacksquare$

Lemm 下 7

Lemma 4 の (ii) を満たす 4-2 or 4-3 configuration-set を考える。
上の 4 点においては、 異なる 2 点の組はこのとき、組存在するが、 6 組のうちと R。以外の距離が 2 組
高々4 組に入っている距離がもしくは , ならば (つまり、以上に入っているならば) conclusion(X) が戒り立つ。
$\mathrm{P}(8)$$S_{1}$$(\begin{array}{l}42\end{array})=6$$R_{1}$$R_{1}$$R_{\sim}$$\text{、}$Pr 科科$\mathrm{f}$$P_{2}P_{3}=c,$ $P_{4}P_{\overline{\mathrm{a}}}=d$

もよ$\mathrm{A}_{\text{。}^{}\backslash }$とする。 ( $c\neq R_{1},$ \neq R2, $d\neq R_{1},$
$c$

$d$

\neq R2 であるが、 $c=d$ であって

)

$P$
このとき、
はいすれも
4P6
6 が 2 等辺 3 角形となるためには、$P_{2}P_{6},$ $P_{3}P_{6},$$P_{5}P_{6}$$R_{1}$$\rangle$$\triangle P_{4}P_{5}P$$P_{2}P_{6}$であったから、 $\triangle 5P_{3}P$6,$=P_{3}P_{6}$ かつ $P_{4}P_{6}=P_{5}P$ が成り立たな
6
もしくは$R_{2}$

けれぱならない。
同様に、$P_{2}P\overline,$$=P_{\mathrm{S}}P_{7}$

かつ $P_{4}P_{7}=P_{5}P\overline,$ も成り立たなければならない。

P,- はの垂直二等分線の作る平面との垂直二等分線の作る平面の共有部分にある。
の垂直二等分線の作る平面と. の垂直二等分線の作る平面の共有部分については、 次の 2 つの場合がある。
(i) 2 つの平面が同一であるため、 共有部分は平面。
(ii) 1 本の直線。 ( はこの直線上にあることに注意しておく。 )このことから、$P_{6},$$P_{2}P_{3}$$P_{4}P_{\overline{\theta}}$$P_{4}P_{5}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} P_{3}$$P_{1}$

145$(.\mathrm{i})$

の場合、

と

$P_{-}.,P_{3}$ゆえに、 b、.

$P_{3\backslash }.P_{4\backslash }.P_{\overline{\supset}}$. は平行である。

$P_{4}P_{5}$を含む平面が存在する。

また、 b、 , . , . は, 上にもあるので、 この 4 点は同一円周上にある。
したがって、 conclusion(X) が戒り立つ。
との位置は決まる。
の交点は 2 点しかないので、(ii) の場合、 直線と4-3configurafion のときは、 が 上に取れず、、 不適。
$P$
はこの順
がこの直線上にあることから、のときは、
一方、 4-2
1、’$P_{3}$$P_{4}$$P_{\overline{\mathrm{D}}}$$\vee\overline{\mathrm{b}}_{1}$$P_{6}$$\llcorner \mathrm{S}_{\underline{9}}’$$P\overline,$’$P_{8}$$\llcorner \mathrm{q}_{2}$$P_{1}$$\mathrm{c}\mathrm{o}11\mathrm{f}\mathrm{i}.\mathrm{g}\iota\iota 1^{\backslash }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$P_{\mathrm{b}^{\backslash }},$

$P-|$に同一直線上にあることになる。
したがって、 Lennna 3 より、 conclusionも$(_{-\llcorner}^{\backslash ^{r}}.)$が戒り立つ(厳密に言うと. P.-,、4,$P_{3\backslash }P$$\text{。}$$P_{\overline{\mathrm{o}}}$, 上になければならなくなるので不適。 )$\llcorner \mathrm{h}_{\sim}\neg.$

また、 $P_{arrow)},P_{3}=c,$ . $P_{4}=cl$ としたときも、 同様の議論を繰り返せばよい。 (但し、 2 つの$P_{3}$

平面の共有部分についての場合分けの (i) の場合は現れない。 )$\blacksquare$

Lemma 8-set を考える。
configuration
Lemma 4 の (ii) を満たす 4-2or上の 4 点においては、 異なる 2 点の組は 6 組存在するが、 6 組のうち、このとき、と以外の距離が唯 1 組にだけ入っているならば、 conclusion (X) が威り立つ。
$4^{P}-.\cdot 3$$\mathrm{P}(.\llcorner\backslash \urcorner)$$6_{1}^{\neg}$$R_{1}$$R_{2}$

Pr 科科$\ovalbox{\tt\small REJECT} P_{3}$$\mathrm{f}$$=c$ としてよい。 $(c\neq R_{1}, c\neq R_{2})$. set になる。
6 点からなる集合はset で非同型なものは 6 つしか\S 2 でも述べたように、 上の 6 点からなる
ないことが知られている。 下の図 2 で示されているものがその 6 つで、 6 つのうちの 2 つは正方形の 4 点を含み、 残りの 4 つは正 5 角形の 4 点を含んでいる。 正方形の 4 点や正 5角形の 4 点は同一円周上にあるので、 conclusion(X) が戒り立つ。

このとき、$P_{1},$.

$P$$P_{3},$ $P_{4},$ $P_{5}$

$,$

6’

$\mathbb{R}^{3}$$P\overline,$の$..?_{-}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\underline{.})_{-\mathrm{c}1\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}11\mathrm{c}\mathrm{e}}$$\blacksquare$

図 2 (Einhorn-Schoenberg [61 より抜粋)

148
Lemmas 6-8 より、 次のことが戒り立つ。

Lemma 9
任意の 4-2 or 4-3 configuration に対して、 conclusion (X) が成り立つ。

$\blacksquare$5-, 6-configurations の場合

6[4] における .\S 6 での議1 つの球面上に 5 点もしくは 6 点配置されている場合は、論を直接適用することが出来る。 次の 4 つの]10-13 の証明は Croft [4] にあるの$\mathrm{C}_{1}^{\mathrm{I}}.\cdot \mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}$$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}$$\mathrm{m}\mathrm{a}s$で、 証明は省くことにする。

Lem a 10(Cr 科 ft)$\mathrm{m}$-set が次のように構或されているとする。
は球面 $S$ の中心。
$S$ 上にがある (少なくとも 3 点、 多くても 6 点)
は 3 上にない。
少なくとも 1 点
このとき、 $S$ 上にある点たちは、 $S$ のある半球面上によせ集められている。
$\mathrm{P}(8)$$\wedge P_{1}$$P_{2},$ $P_{3},$ $P_{4},$ $\cdots$。

$(P_{8})$$=$$\blacksquare$

Lemma 11(Cr 科 ft)$\mathrm{P}(8)$-set. の 5 点からなる部分集合が半球面 $H$ 上にあるとする (Lelllma 10 より、 そのように仮定することが出来る。 また、 この部分集合を pentad と呼ぶことにしていた。 )。 このとき. conclusion(X) が威り立つ、 もしくは次の 3 つが成り立つ。
(i) 5 点のうちの 2 点が、 残りの 3 点から等距離の位置にあるということはない。
(..ii).5 点のうちの 1 点が、 残りの 4 点から等距離の位置にあるということはない。
$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}.)$pentad のある部分集合 tetrad が 2-distance set ならば、 4 点のうちの 1 点は、 残りの3 点から等距離の位置にある。

$\blacksquare$$\underline{\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}2}(\mathrm{C}\mathrm{r}\text{科}\mathrm{f}\mathrm{l})$が半球面上にあり,, がっ、 -distance set $(.s>--3)$ ならば、
-set の 5 点
conclusion (X) が戒り立つ。
$P_{1},$$\mathrm{P}(.8)$$\cdots,$$P_{5}$$s$$\blacksquare$

Lemma 13 (Cr 科 )$\mathrm{f}\mathrm{t}$$\mathrm{P}(8)$-set の 5 点(X) が戒り立つ。

$P_{1},$$\cdots,$$P_{\overline{-}}$

が半球面上にあり、, かつ、$.\sim 7$-clistance set ならぱ、 conclusion$\blacksquare$

Lemmas 12,13 より、 次のことが威り立つ。

Lemma 14
任意の 5- or 6-configuration に対して,. conclusion (X) が成り立つ。

$\blacksquare$

147

7

7-configurafion の場合
この section では、 Lemma 1 の (iii) を満たす$\mathrm{P}(8.)$-set の点$P_{1}$、.

.. ,$P_{\mathrm{b}}\neg$の配置について考える。
$P$ は $S$ 上にある。
を球面 $S$ の中心とすると、
.
s
$P$ の
このとき $=P_{2},$点からなる集合が-set であることに注目すれば、 次のこ
78とが成り立つ。
$P.)_{\}\wedge$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\cdots,$$\mathrm{P}(.\cdot\overline{(.})$$\cdots,$

Lemma 15
$P_{2}.,$$\cdots,$$P_{\mathrm{S}}$が Lemma 2 の$(.\mathrm{i}\mathrm{i})\sim(\mathrm{b}^{=})$のいすれかを満たす$\mathrm{P}(..\overline{/})$-set の 7 点となっているとき、 conclusion(X) が成り立つ。

Pr 科科
, ..

$\mathrm{f}$が Lemma 2 の (.

$\cdot$$P_{8}$$\cdot$、\"u)\sim (.v.) のいすれかを満たしているとする。

にある球面の中心は . てあるとしてよい。
このとき、のうちの少なくとも 4 点は、 , を中心とする半径 の球面上か$P$ のうちの少なくとも 4 点は同一円周上にあること
つ球面 $S$ 上にある。 これは、8を示している。
したがって. conclusion(X) が戒り立つ。 I$P_{2}$$(\mathrm{i}\mathrm{i})\sim(\mathrm{v}.)$$P_{3},$$\cdots,$$a$$P_{-}$$P_{8}$$P_{3},$$\cdots,$

Lemma 16
$P_{9,\sim},$$\cdot\cdot \mathrm{r}$-set の 7 点にならない。

,$P_{8}$

は Lemma 2 の (i) を満たす,

$P_{8}$

が Lenma2 の (i) を満たしていると仮定する。

$\mathrm{P}(7)$$\underline{\mathrm{P}\mathrm{r}\text{科}\mathrm{o}\mathrm{f}}$$\ovalbox{\tt\small REJECT},$$\cdots$(i) にある球面の中心は
このとき、$P_{3}$,$P_{4},$$P_{2}$であるとしてよ. は、$P_{\dot{3}}$つの円周上) にあり、

$P_{6},$$1\backslash \mathrm{Q}$を中心とする半径 $a’$ の球面 $S’$ 上かつ球面 $S$ 上 (つまり、 1$a”$ の球面 $S”$ 上かつ球面 $S$ 上に$P$
8 は、 . を中心とする半径$P_{2}$$P_{2}$$P\overline,$$,$

ある。
$\mathbb{R}^{3}$

上の 7 点からなる$\underline{.)}_{-}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$set は存在しないので、 点$\overline{/}$$P_{2},$$\cdots,$$P_{\grave{\mathrm{b}}}$のうちの異なる

2 点間の距離に ( $c\neq a’,$ \neq a’’) となるものが存在する。
$P_{2}.P_{i}=a’$ orを除く 6 点のうちの 2 点間の距離にであるから、
$c$

$c$

$a”$

$(i=.\cdot 3, \cdot\cdot\tau, 8)$$P_{2}$

なるものが存在する。
$P_{3}P_{6}=c$ ならば、3P6 の 3 つの辺の長さが $a’,$ ”,
ない。
したがって、 次のことが分かる。
$\triangle 5P$

$a$

$c$

よい。

$c$

は、

$\Pi\overline{\mathrm{p}}$ととなるので、 2 等辺 3 角形ではS’ 上にある点と 15\acute ’’’ 上にある点との距離は、 a’ もしくは a//である。
また、 距離$c$一球面上の 2 点間の距離として存在することから、$P_{\grave{\mathrm{b}}}P,-=c$

(4)
として

148
このとき,.

.

$\triangle P_{3}$$P_{\mathrm{b}^{\backslash }}P_{\overline{\mathrm{i}}}$を考えると,. (4) より、、 P3

等辺 3 角形となるためには、同様に、,
6$\triangle P_{4}P_{\mathrm{b}^{\neg}}h$$\triangle P_{\check{\mathrm{b}}}.P$$P_{3}P,-$$P_{b^{\neg}}$、

は $a’$ もしくは

$c\iota’’$とならなければならない。
を考えると、-’、であるから、 2$P_{3}P_{6}=P_{3}P\overline,$$P_{\overline{\mathrm{f}}}$$P_{4}P_{\grave{\mathrm{b}}}=P_{4}P$$P_{\supset}.\vee P_{6}=P_{\tilde{3}}.P_{l}-$が成り立たなけ

ればならない。
ゆえに、$P_{3},$$P_{4},$$P_{\overline{\mathrm{b}}}$は$P_{\mathrm{b}^{\neg}}P,-$の垂直二等分線の作る平面にあり、 かつ $S’$ 上かつ $S$ 上にあ

る。
しかし、

$P_{6}P\overline,$の垂直二等分線の作る平面と $S’$ と生じる。
したがって、$P_{2},$$\cdot\cdot(,$$P_{8}$$S$の交点は高々2 点しかないので矛盾がは Lemma 2 の (i) を満たす

-set の 点にならない。
$\overline{(}$$\mathrm{P}(.\cdot\overline{/})$$\blacksquare$

Lemmas 15, 16 より、 次のことが成り立つ。

Lemma 17
nfigurati0n に対して、 conclusion (X) が成り立つ。 I-$\overline{/\cdot}$Lemmas 1, 9, 14, 17 より、 次のことが成り立つ。

Lemma 18$\mathrm{P}(8)$-set が存在するならば、 conclusion (X) が成り立つ。

$\blacksquare$

これ以降の Lemmas についての証明は省略する。

conclusion (X) における 4 点の配置について

8

Lemma 18 より、$\mathrm{P}(8)$-set の 4 点$P_{1},$$\cdots,$$P_{4}$

は同一円周上にある。 この 4 点$P_{1},$$\cdot\cdot 1,$.

$P_{4}$の配置について、 次のことが威り立つ。

Lemma 19
$P_{1},$$P_{2}.,$$P_{3},$ $P_{4}$$(\mathrm{C}\mathrm{r}\text{科}\mathrm{f}\mathrm{t})$は正方形の 4 点、 もしくは正 5 角形の 4 点である。

正方形の 4 点を含む

9$\mathrm{P}(8)$$\blacksquare$-set の構成

Lemma 20(Cr 科 ft)$\mathrm{P}(8)$の-set の 4 点

4 点を $P_{1}=$$P_{1},$$P_{2}.,$$P_{3},$$(-\underline{.\frac{1}{\supset}}, -\underline{.\frac{1}{\supset}}, 0)$,$P_{4}$

は、 1 辺の長さが 1 の正方形をなしているものとする。 こ$P_{2}.=(.\underline{.\frac{1}{\supset}}, -\underline{.\frac{1}{\supset}},0)$,$P_{4}=(- \underline{.\frac{1}{)}},.\frac{1}{)}.’$P_{3}=(.\underline{.\frac{1}{)}},\underline{.\frac{1}{)}}, 0)$、

正方形の中心 (0,0,0) を O、 正方形を含む平面を 兇箸垢襦
このとき.. 残りの点は、 次の 2 つのいすれかにある。
(i) を通り、 兇某眥召閉樟 上のいすれか(ii) 次の$O$$L$$Q_{1},$$\cdot\cdot \mathrm{t},$$Q_{8}$$Q_{1}=(.0, - \underline{.\frac{1}{\supset}}’.\frac{\sqrt{3}}{\underline{)}}.\cdot.),$$Q_{2}=(.

\underline{\frac{1}{9}},0, \frac{\sqrt{3}}{\sim)}.\cdot.),$ $Q_{3}=(0, \underline{.\frac{1}{)}}, \frac{\sqrt{3}}{\underline{9}}.\cdot),$ $Q_{4}=(-.

\frac{1}{)}.\cdot’ 0, \frac{\sqrt{3}}{arrow?}.\cdot)$,0)$とし、 また、

148

Q. .\supset -=.

$=(.. \frac{1}{\supset}.’$-. \frac{1}{\sim)}:-\frac{\sqrt{3}}{\underline{)}}.\cdot.)_{\backslash }Q_{\overline{\mathrm{b}}}$

$(0$

、

0, -\frac{\sqrt{3}}{\underline{\supset}}.\cdot.),\wedge Q$-i=(O、$- \frac{\sqrt{\supset\urcorner}}{\underline{-}}.\cdot.$$. \frac{1}{arrow\supset},$(. 四角形 $Q-1Q_{2}Q_{3}Q$ 4 と四角形$\cdot$$Q_{\overline{\mathrm{b}}}.Q_{6}\ominus_{7}.Q$),

Qs=(–.-l)、$0_{\backslash }- \frac{\sqrt{3}}{\underline{)}}.\cdot.$

S ぱともに 1 辺の長さが$\frac{\sqrt{\underline{)}}}{\underline{)}}.\cdot$)の正方形。 )I

Lemma 21(Croft)
Lemma 20$\sigma 2Q_{1}$

.. ,

、.

$Q_{8}l’-$

うことにする。 (例えば、おいと$Q_{1}$$\vee C\backslash$$Q_{i}.O.j= \frac{\sqrt{\underline{)}}}{\underline{)}}.\cdot$.

.

$Q_{2}$

な’ ば、$_{\sqrt}i$と $Qj$ }よ隣接

$Q_{j}$い。’ いは隣接している。 )このとき、 次のことが威り立つ。
とは隣接した-set の 2 点とはならない。
また、たちが含まれてはならない。
-set には、 3 点以上の
$Q_{i}$$\text{して}$$\mathrm{P}(8)$$\mathrm{P}(8)$$\blacksquare$$Q_{i}$

Lemma 22正方形の 4 点を含むような上に 2 点とている。

$Q_{i},$ $Q_{j}$( $i,j$ =1,$\mathrm{P}(8)$-set が存在するならば、 正方形の 4 点を除く 4 点は、. . ’8。 但し、$\cdot$$Q_{i}$と$L$は隣接していない) のような配置になっ$Q_{j}$$\blacksquare$

Lemma 23正方形の 4 点を含むような

10$\mathrm{P}(8)$-set は存在しない。

正 5 角形の 4 点を含む

-set の構成(Croft)$\underline{\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}24}$$\mathrm{P}(8)$$\mathrm{P}(8)$$\blacksquare$-set の 4 点 $P_{1},$ $P_{2},$

4 は正

$P$

$P_{3},$

5 角形の 4 点であるとする ($..P_{4}$と$P_{1}$

の間に

”

gap

”

が

あるものとする)。 また、 正 5 角形を含む平面を 兇箸垢襦
このとき、 残りの点は、 次のいすれかにある。
(i) 正 5 角形の残りの点$T$$(.\mathrm{i}\mathrm{i})\triangle QP_{4}P_{1}$と$\triangle Q$

P.2P3 をともに正 3 角形にする点(このような は 2 点あるので(iii) 正 5 角形の中心 を通り、
$Q$

$O$

Lemma 25
$P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$

但し、 $Q$ は,, Q。としておく)
兇某眥召閉樟

. 上嫁$L$$(\mathrm{C}\mathrm{r}\text{科}\mathrm{f}\mathrm{t})$-set の 6 点とはならない。

$T,$ $Q$

はとのいずれかを表しているものとする。

$P_{4},$$Q_{1}$$Q_{1}$$Q$$Q_{2}$$\mathrm{P}(8)$$\blacksquare$

Lem ma 26
図 1 で表された 8 点からなる集合以外に、 正 5 角形の 4 点を含むようなするならば、 正 5 角形の 4 点を除く 4 点は、いる。
$\blacksquare$

. 上に

$L$

2 点と

$Q_{-1},$$Q$--set が存在。のような配置になって$\mathrm{P}(8)$150
Lem 家 a 27
正 5 角形の 4 点を含むような$\mathrm{P}(.8)$-set は、 図 1 で表された 8 点からなる集合に限る。

$\blacksquare$

Theorem 1 の証明の完結

11のいずれかが戒り立つのだが、
まず、-set が存在するならぱ、 Lemma 1 のいずれの場合も、 Lenunas 9, 14, 17 より、 conclusion (X) (4 点が同一円周上にある) が或り立つことが分かった。
Lemma 19 より、. 一円周上の 4 点は、 正方形の 4 点もしくは正 5 角形の 4 点である。
正方形の 4 点の場合だと、 Lemma 23 より、-set は存在せす、 正 5 角形の 4 点の場合$\mathrm{P}(8)$$(\mathrm{i})\sim(.\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$$\Pi\overline{\mathrm{p}}$$\mathrm{P}(8)$だと、 Lemma 27 より、-set は図 1 で表された 8 点からなる集合に限るので、-set&ま図 1 で表された 8 点からなる集合以外に存在しない。
ける$\mathrm{P}(.8^{\cdot})$にお$\blacksquare$$\mathrm{P}(8)$12$\mathbb{R}^{3}$

今後の課題

今後の課題としては、 次のようなものが挙げられる。
における-set は、 3 ページの図 1 の部分集合や、 正 8 面体の 6 点に、 正 8 面体(i)$\mathbb{R}^{3}$$\mathrm{P}(7)$点からなる集合 $X$ 以外に存在するか ?
また、 isosceles -point3-市 stance set は、 上の集合 . 以外に存在するか ?
における 点からなる -distaaxce set で、 互いに同型でないものは有限個であるの(ii)か ?(もし無限個てあれば、 頂点数をどれくらい大きくすれぱ有限個になるのか ?)(iii)(ii) の課題を一般の次元 に拡張すれぱどうなるか ?
における -clistance set で、 頂点数をどれくらい大きくすれば互いに同型てな
つまり、の中心を加えた$\overline{/}$$-\mathrm{X}’$$\overline{/}$$\mathbb{R}^{3}$$..3$$\overline{/}$$k$$\mathbb{R}^{k}$$.\cdot 3$

いものは有限個になるのか ?
ページの表 1 の. -clistance set version を作成できないか ?
$3$$(\mathrm{i}\mathrm{v}.)2$-distance set の 3 つの距離の比はある程度定まるのか ?
(Larman-Rogers-Seidel[8] の拡張.)$(.\mathrm{v})3$

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