数理解析研究所講究録
第 1843 巻 2013 年 155-162

155

シュタイナー環におけるデカルトの円定理の拡張について(Extended Abstract) *森継修一
SHUICHI MORITSUGU\dagger

筑波大学図書館情報メディア系
FACULTY OF LIBRARY, INFORMATION AND MEDIA SCIENCE, UNIVERSITY OF TSUKUBA

1

はじめに

本稿は，国際会議 $ADG$ 2012 で発表した論文 [9] における主要な結果を要約し，以後の進展を加筆したものである．省略された詳細等は: 上記論文を参照されたい．

が与えられているとする．これら 2 円 $O(R)$ と $I(r)$ との間に，半個の円が互いに接するように描かれているとき，この図形をシュタイナー環 (Steiner

半径 $R$ の円 $O$ の内部に，半径径$r_{1},r_{2},$ $\ldots,r_{n}$

の $n$

の円

$r$

$I$

chain, Steiner n-cycle) と呼ぶ．図 1 は，
$n=4$ の場合のシュタイナー環の例である．
$n=3$ のとき半径 $R,r,$$r_{1},$ $r_{2},r_{3}$の間に成り立つ関係式は，「デヵルトの円定理$(1643)_{\lrcorner}$としてよく知られている．本研究の目的は，これを $n\geq 4$ の場合に拡張し，次の問題を解くことにある．
問題 1

半径

$r_{1},$$\ldots,$$r_{n}$の $n$個の環円からなるシュタイナー環が与えられたとき，$R,$ $r,$ $r_{i}$の関係を表す式を求めよ．

シュタイナー環に対して古典的な幾何で知られている結果は，円の反転を利用して 「 $O(R)$ と $I(r)$ が同心
円で が等半径」 になるような図形に変換して求められている [2][3][4]. これに対し本研究では，座標の関$r_{i}$

係式からグレプナー基底計算または終結式計算にょり，半径の間の関係式を直接導くことを試みた．その結の定義多項式
を $n=4,5,6$ に対して計算することに成功し，それぞれ次数が 4, 24, 48となる結果を得た．これらは，以前に計算・公刊されたことのない未知の関係式であると考えている．

果，半径

$R$

$\varphi_{n}(R, r_{i})$

2

既知の結果

2.1

デカルトの円定理

問題 1 における $n=3$ の場合の解であるデカルトの円定理は，一般に吹の式で表される．
$2 ( \frac{1}{R^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{3}^{2}})=(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}-\frac{1}{R})^{2}$$2 ( \frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{3}^{2}})=(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}+\frac{1}{r})^{2}$r 本研究は科研費 (22500004) の助成を受けたものである．

\dagger moritsug@slis.tsukuba.ac.jp

(1)
(2)

156

図 1: $n=4$ の場合のシュタイナー環の例

これらの式において，各円の半径の逆数 (曲率) を $K=1/R,$ $\kappa=1/r,$$\kappa_{1}=1/r_{1},$$\kappa_{2}=1/r_{2},$$\kappa_{3}=1/r_{3}$とおくと，次のような多項式表現に書き改めることができる．
$K^{2}+2(\kappa_{1}+\kappa_{2}+\kappa_{3})K+\kappa_{1}^{2}+\kappa_{2}^{2}+\kappa_{3}^{2}-2(\kappa_{1}\kappa_{2}+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1})=0$$\kappa^{2}-2(\kappa_{1}+\kappa_{2}+\kappa_{3})\kappa+\kappa_{1}^{2}+\kappa_{2}^{2}+\kappa_{3}^{2}-2(\kappa_{1}$

本稿の設定では，$\kappa_{1},$$\kappa_{2},$$\kappa_{3}$

勘 $+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1})=0$

(3)
(4)

$K,$
が既知，
が未知のため，各 2 次方程式を解いて正の実数解を選ぶと，$\kappa$$K=-(\kappa_{1}+\kappa_{2}+\kappa_{3})+2\sqrt{\kappa_{1}\kappa_{2}+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1}}$(5)$\kappa=(\kappa_{1}+\kappa_{2}+\kappa_{3})+2\sqrt{\kappa_{1}\kappa_{2}+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1}}$(6)と表されるので，これをシュタイナーの公式と呼ぶことがある．ここから直ちに，$\kappa-K=2(\kappa_{1}+\kappa_{2}+\kappa_{3})$が得られ，半径の関係に戻せぱ次が成り立つ．
$\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})$$K,$についての方程式 (3)(4) を一方，$\kappa$

$R$

と

$r$

(7)

についての多項式表現に直せば，$(r_{1}^{2}r_{2}^{2}+r_{2}^{2}r_{3}^{2}+r_{3}^{2}r_{1}^{2}-2r_{1}r_{2}r_{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3}))R^{2}$$+2r_{1}r_{2}r_{3}(r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{1})R+r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}=0$(S)$(r_{1}^{2}r_{2}^{2}+r_{2}^{2}r_{3}^{2}+r_{3}^{2}\gamma_{1}^{2}-2r_{1}r_{2}r_{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3}))r^{2}$$-2r_{1}r_{2}r_{3}(r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+t_{3}r_{1})r+r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}=0$

(9)

157
となる．以後，方程式 (3)(4)(8)(9) の左辺の多項式をそれぞれ，およびで表すこととする．ここで，これらの多項式は，たしていることに注意する．したがって，本稿の目的は， の場合に対して，定義多項式$\Phi_{3}(K, \kappa_{i}),$$\Psi_{3}(\kappa, \kappa_{i})=\Phi_{3}(-\kappa, \kappa_{i})$$\Psi_{3}(\kappa, \kappa_{i}),$$\varphi_{3}(R, r_{i}),$$n\geq 4$

よび

2.2$\Phi_{n}(K, \kappa_{i})$$\psi_{3}(r, r_{i})$$\psi_{3}(r, r_{i})=\varphi_{3}(-r, r_{i})$をみ$\varphi_{n}(R, r_{1})$

おを各円の半径と中心座標の関係式から計算で求め，その性質を解明することにある．

シュタイナーの系 (porism)

外円 $O(R)$ と内円 $I(r)$ の中心間の距離をとするとき， 個の円にょるシュタイナー環が構成できるための必要十分条件は次の式で表され，さらに，この関係をみたせば，最初の円を任意の位置にとっても環円は閉じることが知られていて，これはシュタイナーの系と呼ばれる．
$d$

$n$

(10)

$(R-r)^{2}-4Rr \tan^{2}\frac{\pi}{n}=d^{2}$$n=4$ に対しては，デカルトの円定理 (1)(2) のような簡明な関係式は知られていないようである．代わりに，

.

(11)

$\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{3}}=\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{4}}=\frac{1}{r}-\frac{1}{R}$が成り立つことは広く知られている．この関係は，一般の偶数 $n(=2k)$ の場合に拡張できて，$\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{k+1}}=\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{k+2}}=.$と表現される．一方で，式 (7) が一般の奇数3

グレブナー基底による計算

3.1

定式化

$n(\geq 5)$..

$= \frac{1}{r_{k}}+\frac{1}{r_{2k}}=\frac{4(R-r)}{(R-r)^{2}-d^{2}}$(12)の場合に拡張可能かどうかは未知と思ゎれる．

円の方程式と接触条件の多項式表現 [1] を基に，グレブナー基底計算で前節に挙げた関係式を求める．まず，外円 $O(R)$ : $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ および内円 $I(r)$ : $x^{2}+(y-d)^{2}=r^{2}$ が与えられているとする．次に，環円$x_{i}^{2}+y_{\dot{t}}^{2}=r_{i}^{2}(i=1, \ldots, n)$を互いに接するように順次描く．外接および内接の条件は，2 円の中心間の距$i=1,$ $\ldots,nI’$. 対して
離で表して，$f_{i}:=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}-(R-r_{i})^{2}$(13)$g_{i}:=x_{i}^{2}+(y_{i}-d)^{2}-(r+r_{i})^{2}$(14)$h_{i}:=(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}-(r_{i+1}+r_{i})^{2}$(15)となる．ただし，馬においては，$x_{n+1}=x_{1},$ $y_{n+1}=y_{1},$ $r_{n+1}=r_{1}$ と読み替えるものとする．これらの多項式表現では，外接と内接を区別できないので，両方の条件を含んでいることに注意する．
3.2$n=3$ に対する計算イデアル $(f_{i},g_{i}, h_{i})$ に対するグレブナー基底を Maple14 を用いて計算した．変数が適切な順序で消去されるよう，グループ順序の “lexdeg” を使用している．デカルトの円定理における式 (1) と式 (2) とは独立に計算されることに注意し，以下それぞれのイデアルと変数順序を考え$\epsilon^{-}.$

158
(i)

,

$J_{R}=(f_{i}, f_{2}, f_{3}, h_{1}, h_{2}, h_{3})$$[x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},W,y_{3}|\succ[R_{\Gamma}1,r_{2},r_{3}]$このグレブナー基底には，式 (8) の左辺である(ii) $J_{r}=(g_{1},g_{2},g_{3}, h_{1}, h_{2}, h_{3})$ ,$\varphi_{3}(R,r_{1},r_{2},r_{3})$が含まれている．

$[x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3}, d]\succ[r, r_{1}, r_{2}, r_{3}]$が含まれている．
このグレブナー基底には，式 (9) の左辺である,
で基底多項式の 1 つは，式 (10) $n=3$ とおいた場合の $R^{2}-14Rr+r^{2}-d^{2}$ を因子にもつ．
$\psi_{3}(r, r_{1,2}f,r_{3})$$(\ddot{\dot{m}})J=(f_{1}, f_{2}, f_{3,g_{1},g_{2},g_{3}}, h_{1}, h_{2}, h_{3})$$[x_{1}, x_{2}, x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}, r_{1}, r_{2}, r_{3}]\succ[r, R, d]$

これらの結果から，$n=3$ に対するデカルトの円定理およびシュタイナーの系がグレブナー基底により確かめられたことになる．ここでは式 (13)$r’=-r$ という代入を行うと，式 (14)
明らかである．したがって，以後は，イデアル$\psi_{3}(r,r_{1})=\varphi_{3}(-r,r_{1})$$g_{1}$$f_{1}$であることに再度注意する．これは，$y_{1}’\cdot=y_{i}-d,$と同じ形になる (式 (15)$J_{R}=(f_{1}, h_{i})$

3.

$3$

を考えて

$\varphi_{n}(R,r_{1})$$h_{i}$

は変化しない) ことからだけを求めれば十分である．

$n=4$ に対する計算イデアル $J_{R}=\langle fi,$$f_{2},f_{3},$ $f_{4},$ $h_{1},$ $h_{2},$ $h_{3},$ $h_{4})$に対して，$[x_{1},x_{2},x_{3}, x_{4}, yl,$働 陶 $, y_{4}]\succ[R,r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}]$ と$,$$R^{2}(r_{2}-r_{4})(r_{1}-r_{3})x\varphi_{4}(R,r_{i})$ という多項式が基底に含まれ，いう順序でグレブナー基底を計算すると，$\varphi_{4}(R,r_{i}) = ((r_{1}r_{2}-r_{2}r_{3}+r_{3}r_{4}-r_{4}r_{1})^{2}-16r_{1}r_{2}r_{3}r_{4})R^{4}$$+16(r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4})r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}R^{3}$$-8(2r_{1}r_{3}+2r_{2}r_{4}+r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{4}+r_{4}r_{1})r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}R^{2}$(16)$+16r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}r_{4}^{2} =0$を表す．さらに$\psi_{4}(r,r_{i})=\varphi_{4}(-r,r_{i})$とおけば，これらの 4 次方程式$\varphi_{4}(R,r_{i})=0$

および $\psi_{4}(r, r_{i})=0$ は，$「_{}n=4$ の場合のデカルトの円定理」 とみな
式 (8)(9) における $\varphi_{3}(R,r_{i})=0$ および $\psi_{3}(r, r_{1})=0$ に相当し，について検討する．
せる．以下，
まず，半径で表された方程式$\varphi_{4}(R, r_{1}),$$\psi_{4}(r, r_{1})$$\varphi_{4}(R,r_{i})=0,$ $\psi_{4}(r, r_{1})=0$

入して，曲率 $K,$$\kappa,$$\kappa_{i}$$K=1/R,$ $\kappa=1/r,$に対して，$\kappa_{1}=1/r_{1}$を代の方程式に変換する．

$\Phi_{4}(K, \kappa_{i}) = 16K^{4}-8(2\kappa_{1}\kappa_{3}+2\kappa_{2}\kappa_{4}+\kappa_{1}\kappa_{2}+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{4}+\kappa_{4}\kappa_{1})K^{2}$$+16(\kappa_{1}\kappa g\kappa_{3}+\kappa_{1}\kappa_{2}\kappa_{4}+\kappa_{1}\kappa_{3}\kappa_{4}+\kappa_{2}\kappa_{3}\kappa_{4})K$$+(\kappa_{1}\kappa_{2}-\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{4}-\kappa_{4}\kappa_{1})^{2}-16\kappa_{1}\kappa_{2}\kappa_{3}\kappa_{4} = 0$

(17)$\Psi_{4}(\kappa,\kappa_{i}) = 16\kappa^{4}-8(2\kappa_{1}\kappa_{3}+2\kappa_{2}\kappa_{4}+\kappa_{1}\kappa_{2}+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{4}+\kappa_{4}\kappa_{1})\kappa^{2}$$-16(\kappa_{1}\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{1}\kappa_{2}\kappa_{4}+\kappa_{1}\kappa_{3}\kappa_{4}+\kappa_{2}\kappa_{3}\kappa_{4})\kappa$$+(\kappa_{1}\kappa_{2}-\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{4}-\kappa_{4}\kappa_{1})^{2}-16\kappa_{1}\kappa_{2}\kappa_{3}\kappa_{4} =0$

次に，式 (11) により，例えば$\kappa_{4}=\kappa_{1}+\kappa_{3}-\kappa_{2}$を代入して$\kappa_{4}$(18)を消去すれば

$(2K-(\kappa_{1}+\kappa_{3}))^{2}(4K^{2}+4(\kappa_{1}+\kappa_{3})K+\kappa 1+4\kappa_{2}^{2}+\kappa_{3}^{2}-2(2\kappa_{1}\kappa_{2}+2\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1}))=0$(19)$(2k+(\kappa_{1}+\kappa_{3}))^{2}(4k^{2}-4(\kappa_{1}+\kappa_{3})k+\kappa_{1}^{2}+4\kappa_{2}^{2}+\kappa_{3}^{2}-2(2\kappa_{1}\kappa_{2}+2\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1}))=0$(20)$\kappa=-(\kappa_{1}+\kappa_{3})/2(<0)$ は解として不適切なので，これらの方程式の本質的な部分は，を得る．

$4K^{2}+4(\kappa_{1}+\kappa_{3})K+\kappa_{1}^{2}+4\kappa_{2}^{2}+\kappa_{3}^{2}-2(2\kappa_{1}\kappa_{2}+2\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1})=0$

(21)

159
(22)

$4k^{2}-4(\kappa_{1}+\kappa_{3})k+\kappa_{1}^{2}+4\kappa_{2}^{2}+\kappa_{3}^{2}-2(2\kappa_{1}\kappa_{2}+2\kappa_{2}\kappa_{3}+\prime\sigma_{3}\kappa_{1})=0$という 2 次方程式になり，これが $n=3$ のときの方程式 (3)(4) に対応する．
最後に，これらの方程式 (21)(22) を $K,$ について解き，適切な方の解を選べば，$\kappa$(23)$K=- \frac{\kappa_{1}+\kappa_{3}}{2}+\sqrt{\kappa_{1}\kappa_{2}+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1}-\kappa_{2}^{2}}$(24)$k= \frac{\kappa_{1}+\kappa_{3}}{2}+\sqrt{\kappa_{1}\kappa_{2}+\kappa_{2}\kappa_{3}+\kappa_{3}\kappa_{1}-\kappa_{2}^{2}}$が式 (11) をみたしていることも確かめられる．これらの結果は大変簡明であるとなり，にも関わらず，これまで明示的に求められたことはなかったようである．したがって，$n=3$ に対する式(5)(6) と対応させて，これらの式 (23)(24) をに対するシュタイナーの公式」 と呼べると思われる．
$\kappa-K=\kappa_{1}+\kappa_{3}$$\ulcorner_{n=4}$例1$r_{1}=r_{2}=r_{3}=1$$\{1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}\}$$r_{4}=1$ となる．方程式 (21)(22) から得られる値を半径で表せば，
$R=$
とおくと，

および $r=\{-1-\sqrt{2},$ $-1+\sqrt{2}\}$である．ここから，$R=1+\sqrt{2}$ および $r=-1+\sqrt{2}$となり，4 個の等円からなるシュタイナー環 (各円の中心を辺長 2 の正方形の頂点に配置) が構成される．
例2$r_{4}=6/5$ を得る．方程式 (21)(22)が与えられたとする．このとき，式 (11) から，を解いて，各解の逆数をとれば，$R=\{-0.6524,5.0161\}$ および $r=\{-5.0161,0.6524\}$ を得る．したがっ$r_{1}=3,$ $r_{2}=2,$ $r_{3}=1$$R=5.0161,$ $r=0.6524$ である，て，求める解は，

注意 1

例 2 は，19 世紀の日本の数学者である法道寺善 [5] 何が解いた問題である．$r_{4}=1.2$ を得た後，法道寺は次の方程式を解いている．この解は $R=\{-0.6524,5.0161\}$ となるので，方程式 (21) に等しいことが分かるが，法道寺がどのようにして式 (25) を導いたか，詳細は解明されていない．
$\{(r_{4}-r_{2})^{2}r_{1^{2}}-4(r_{2}+r_{4})r_{1}r_{2}r_{4}+4r_{2^{2}}r4^{2}\}R^{2}$(25)$+4(r_{2}+r_{4})r_{1^{2}}r_{2}r_{4}R+4r_{1^{2}}r_{2^{2}}r_{4^{2}}=0$4

終結式による計算

4.1$n=5$ に対する計算$n\geq 5$

に対してグレプナー基底を直接計算することは，現在の環境 $(Maplel4/Win64, Xeon(2.93 GHz)\cross 2,$

96 $GB$ RAM) では困難である．なお，Maple15,16 は，問題にょってはかえって計算時間が長くかかる現象が見られたので， 以下に示すタイミングデータはすべて Maple14 にょるものである。
グレブナー基底によりイデアルそのものの構造を明らかにすることを断念する代ゎりに，終結式にょる$-$

特定の変数の消去に着目することは，計算幾何の問題においてしばしば有効である．以前の論文 [8][10] とから同様に，式 (13)(15) で構成される連立方程式.
$x_{1}=0,$$y_{1}=R-r_{1}$まず，一般性を失うことなく，と仮定し，以下，$\{fi, \ldots, f_{5}, h_{1}, \ldots, h_{5}\}$$x_{i}$, 跳を終結式により消去した．

を順次
消去 (終結式を計算する度に，因数分解を行って冗長な因子は除去) すると，最後に次の式が残る．
$y_{2},$$y_{6},$$x_{2},$$x_{3},$$x_{4},$$x_{5},$$\varphi_{8}(R,r_{i})=a_{24}(r_{i})R^{24}+\cdots+a_{1}(r_{i})R+a_{0}(r_{i})=0 (a_{j}(r_{i})\in Qh, \ldots,r_{5}])$$y_{3},$$y_{4}$(26)

160
同様の消去手順を $n=3$ および $n=4$ のときにも適用し，グレブナー基底から求めた$\varphi_{3}(R,r_{1}),$$\varphi_{4}(R,r_{i})$は $n=5$ のときのの定義多項式であるといえに一致することを確かめた．したがって，このが既約であることを確認してある．
る．ここまでの CPU 時間は約 17 秒，加えて(26)
前節での議論と同様に，式を曲率の関係式に変換すると以下の式を得るが，の間には，式(7)(11) に相当する関係式が存在しないため，をこれ以上解析することはできない．
$R$$\varphi_{5}(R, r_{i})$$\varphi_{5}(R, r_{1})$$\kappa_{1},$$\ldots,$$\kappa_{b}$$\Phi_{6}(K, \kappa_{i})$$\Phi_{5}(K,\kappa_{i})=\tilde{a}_{24}(\kappa_{i})K^{24}+\cdots+\tilde{a}_{1}(\kappa_{i})K+\tilde{a}_{0}(\kappa_{i})=0 (\tilde{a}_{j}(\kappa_{i})\in Q[\kappa_{1}, \ldots, \kappa_{\delta}])$

(27)

例3

$r_{1}=r_{2}=r=r=f=1$ とおいて，等円の場合を考える．方程式 $\varphi_{5}(R, r_{1})=0$ は(28)$(R-1)^{10}(R^{2}-2R- \frac{1}{3})^{5}(R^{4}-4R^{3}+2R^{2}+4R+\frac{1}{5}\rangle=0$と因数分解され，各因子から得られる解は以下の 4 種類の図形に対応している．
(i) $R=1,$ $r=-1$
すべての円が，同心で半径 1 の円に縮退して重なっている．
(ii) $R=1+2/\sqrt{3},$ $r=-1+2/\sqrt{3}$5 個の円が縮退して，3 個の等円からなるシュタイナー環を構成している．それぞれの円の中心は，辺長 2 の正三角形の各頂点に置かれた形になっている．
(m) $R=1+\sqrt{2+2/\sqrt{6}},$ $r=-1+\sqrt{2+2/\sqrt{5}}$5 個の等円からなる偵の) シュタイナー環を構成している．それぞれの円の中心は，辺長 2 の正五角形の各頂点に置かれた形になっている．

(iv) $R=1+\sqrt{2-2/\sqrt{5}},$ $r=-1+\sqrt{2-2/\sqrt{5}}$5 個の等円が，内円の周りを 2 周して最初の円に接するようなシュタイナー環を構成している．それ
ぞれの円の中心は，辺長 2 の星芒形の各頂点に置かれた形になっている．一般に， 個の円が $m$ 周後に最初の円に接する場合は，式 (1 のを拡張して，$n$$(R-r)^{2}-4Rr \tan^{2}\frac{m\pi}{n}=d^{2}$

,

(29)

$n=5,$ $m=2$ の場合に相当する．
という関係式をみたし，上記は，

4.2$n=6$ に対する計算

各円の座標の関係式 (13)(15) は一定の構造を持っているので，$n=6$ の場合に対しても，変数の消去順$R$ に関して 48 次式となる定義多項式の導出に成功した．
を見通すことが可能である．実際，$\varphi\iota(R, r_{i})$$\varphi_{6}(R,r_{i})=b_{4S}(r_{i})R^{48}+\cdots+b_{1}(r_{i})R+b(r_{i})=0 (b_{j}(r_{i})\in Q[r_{1}, \ldots,r_{6}])$(30)

このときの CPU 時間は約 7 時間 40 分 (マルチスレッド環境のため，経過時間としては約 1 時間 6 分) である．この多項式$\varphi_{6}(R,r_{1})$は因数分解可能で，以下のように 16 次と 32 次の式に分解される (CPU 時間

は 34 時間 27 分一経過時間で 22 時間 35 分–,$77GB$ のメモリを実際に使用).

$\varphi_{6}(R,r_{i})=\varphi_{6}^{(1)}(R,r_{i})\cdot\varphi_{6}^{(2)}(R,r_{i})$

(31)

161
を
曲率の関係式に変換するため，$K=1/R,$に，6 個の のうち 2 個は消去可能であり，例えば，式 (12) により$\kappa=1/r,$$\varphi_{6}^{(1)}(R, r_{i}),$$\kappa_{i}=1/r_{i}$$\kappa_{i}$に代入する．さら$\varphi_{6}^{(2)}(R,r_{i})$$\kappa_{6}=\kappa_{1}+\kappa_{4}-\kappa_{3},$$\kappa_{5}=\kappa_{1}+\kappa_{4}-\kappa_{2}$を代入することができる．この結果を整理すると，(32)$\{\begin{array}{l}(2K-(\kappa_{1}+\kappa_{4}))^{4}\cdot\Phi_{6}^{(1)}(K,\kappa_{i}) = 0\Phi_{6}^{(2)}(K, \kappa_{i}) = 0\end{array}$と表すごどができ， に関する
$K$$\Phi_{6}^{(1)}(K, \kappa_{i}),$$\Phi_{6}^{(2)}(K, \kappa_{i})$の次数は，それぞれ 12 と 32 である．

例4$\kappa_{1}=\kappa_{2}=\kappa_{3}=\kappa_{4}=1$

とおいて，等円の場合を調べる．方程式$\Phi_{6}^{(1)}(K, \kappa_{i})=0$

は$(3K-1)(K+1)(2K-1)^{4}(K-1)^{6}=0$(33)と因数分解される．$K=$ 1/3(すなわち $R=3$) の場合が，6 個の等円からなる (真の) シュタイナー環の場合に相当し，他の解 $R=\pm 1$ および $R=2$ は退化した場合に相当している．

同様に，方程式$\Phi_{6}^{(2)}(K, \kappa_{i})=0$

は$(K^{2}+6K-3)(K^{2}+2K-1)^{6}(K-1)^{18}=0$(34)$K=1$ 以外の解は，以下の場合に相当している．
と因数分解され，(i) $R=1+2/\sqrt{3},$ $r=-1+2/\sqrt{3}$$(K=-3\pm 2\sqrt{3})$3 個の等円からなるシュタイナー環 (各円の中心を辺長 2 の正三角形の頂点に配置) が構成される．
(ii) $R=1+\sqrt{2},$ $r=1-\sqrt{2}$ $(K=-1\pm\sqrt{2})$4 個の等円からなるシュタイナー環 (各円の中心を辺長 2 の正方形の頂点に配置) が構成される．

5

まとめと今後の課題

表 1:

$n$

円からなるシュタイナー環における半径$R$の定義多項式$\varphi_{n}(R,r_{i})$

本研究では，シュタイナー環に対する未知の公式を発見するごとを目標として，グレブナー基底および終結式を用いて，円の座標の関係式から消去計算を行った．
$n=3$ の場合には，デカルトの円定理をグレブナー基底計算で導くことができたので，反転法によらない
新たな証明のひとつを与えたといえる．
$n=4$ の場合には，2 つの 4 次方程式 (17)(18) を導き，これは $n=4$ の場合に拡張されたデカルトの円定

理とみなせるものである．しかしながら，$\kappa_{1}+\kappa_{3}=\kappa_{2}+\kappa_{4}$$K,$という関係を用いると，(23)(24) で表され，これが以前に指摘されていないとしたら意外に思われる．

$\kappa$はより簡単な式

162$n=5,$ $n=6$ に対しては，グレブナー基底の計算が困難だったので，終結式による変数消去を行い，関係式$\varphi_{5}(R,r\prime)=0$

および$\varphi_{0}^{(1)}(R, r_{i})\cdot\varphi_{6}^{(2)}(R, r_{i})=0$を得た．これらは，曲率の関係に変換して，$\Phi_{6}(K, 梅 )$とも表される．
に対する定義多項式$n=3,4,5,6$
表 1 には，$=0,$$\Phi_{6}^{(1)}(K,\kappa_{1})=0,$ $\Phi_{6}^{(2)}(K, \kappa_{i})=0$$\varphi_{n}(R, r_{i})$の形態を整理した．これらの公式を明示的に与えた報告はこれまでになかったように思われる．しかしながら，それぞれの計算例で調べた等円の場合以外に，式 (27)(32) がどのような幾何学的意味を持つのか，十分明らかになったとはいえない．したがって，以下のような問題と合わせて，一般のシュタイナー環における$\varphi_{5}(R,r_{1}),$$\varphi_{0}^{(1)}(R,r_{i}),$$\varphi_{6}^{(2)}(R,r_{1})$の性質をさらに解明する必要がある．
$n=7$ に対する記号的計算は極めて困難である．ただし，各パラメー(i) 明らかに，現在の計算環境では，
タにランダムな素数 を代入して計算することにより，
は $R$ に関して 160 次であると予$r_{1}$$\varphi_{7}(R, r_{i})$$p_{i}$

想される．この次数の列 2,4,24,48,160,$\cdots$が何らかの組み合わせの式で表されることが期待される．

(u) 18 世紀の和算家である安島直円は，「廉術変換
径に対する漸化式 [7] を導いている．

$(1784)_{\lrcorner}$において，シュタイナー環を構成する円の半(35)$\frac{1}{r_{n}}=\frac{1}{r_{n-1}}(\frac{16Rr}{(R+r)^{2}-d^{2}}-2)+\frac{8(R-r)}{(R+r)^{2}-d^{2}}-\frac{1}{r_{n-2}}$$R,r,r_{1},r_{2}$が与えられたとき，安島はこの式を用いて$r_{3},r_{4},$$\ldots$を順に計算し，最後に

$n$

個の環円が

閉じるとき，以下をみたさなければならないことを示した．
(36)$\frac{4Rr}{(R+r)^{2}-d^{2}}=coe^{2}\frac{\pi}{n}$これは，Jakob Steiner (1796-1863) が与えた式 (10) と同値である．この漸化式 (35) から一般項が導かれるか，また，その幾何学的意味を考察することも必要である．

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