こうすれば、第 1 章で扱ったような直角三角形の場合のサインとコサ

2-1 三角形から円運動へインの定義に合致している。これで、角度が 180°を超えても定義でき第ることになる。角度がマイナスでも定義できる。
cos θ も正の値である。

サインでは不便になることが多い。サインとコサインは物理や化学の分y ＝ sin θ ＞ 0野で、ときには経済学でもよく使われる。サインやコサインを音や電気一般の三角関数

三角形の角度は 0°から 180°までである。この範囲だけのサインやコx ＝ cos θ ＞ 0y

信号などいろいろな周期変動する波などの現象に応用するためには、角1.00
1.

度を 180°を超えて定義しておく必要がある。

Psin θ

そのためには、鈍角のコサインを考えたときに座標を考えたのと同様、0.5

半径が 1 の円（単位円という）上の点の動きを調べると便利である。

θ

点 P が、単位円の上を動いていくとき、動いていく半径 OP を動径と1.00
1.

0.5いう。単位円上の点の位置は、角度を決めると定まる。このとき、角度O0.5cos θ1.00
1.

x0.5θ のときの単位円上の点の y 座標を sin θ ，x 座標を cos θ と定めるのである。

1.00
1.

y

点 P が第 2 象限にあるときは、y ＝ sin θ は正の値であり、x ＝ cos θ

1.00
1.

P

sin θは負の値である。

0.5y ＝ sin θ ＞ 0
θ

1.00
1.

0.5O

0.5cos θ

1.00
1.

x ＝ cos θ ＜ 0x

0.5

1.00
1.

x ＝ cos θ
y ＝ sin θ44

三角形から円運動へ

2章

図で表してみると、点 P が第 1 象限にあるときは、y ＝ sin θ も x ＝45yyy1.0

P1.0sin θ1.0Psin θθcos θ0.5

1.00.5O0.5

1.00.51.0

θ

x−1.0

O2cos θ0.50.51.0x

一般の三角関数

1.0θ
O

章0.5

cos θ

第0.50.5x0.5

0.50.5sin θ−1.0

1.0

P1.0

点 P が第 3 象限にあるときは、y ＝ sin θ は負の値であり、x ＝ cos θも負の値である。

一般角y ＝ sin θ ＜ 0

円運動とサイン、コサインを考えていくと、動径と x 軸の正の方向

x ＝ cos θ ＜ 0とのなす角は 360°より大きくてもよいし、マイナスでもよいことになっy1.0yてくる。

1.0

このように考えた角度を一般角という。そして、1 回転以上して動径0.5が同じ位置に来たら、x 座標と y 座標は同じ値になる。このことを式で

θ

0.5

cos θ1.01.0θ

cos0.5θ
0.5O0.5O0.51.01.0xxθ ＝ t°＋ 360°× n ＝ s ＋ 2π × n0.50.5sin θPP1.0

sin θは正の値である。

cos（t°＋ 360°× n）＝ cos t°cos（s ＋ 2π × n）
＝ cos s
一般角のサインとコサインの値は、次の図から読み取れる。

y ＝ sin θ ＜ 0

三角形から円運動へ

sin（t°＋ 360°× n）＝ sin t°sin
（s ＋ 2π × n）
＝ sin s1.0

点 P が第 4 象限にあるときは、y ＝ sin θ は負の値であり、x ＝ cos θ46表すと次のようになる。t°＝ s ラジアン、n は整数とする。

x ＝ cos θ ＞ 047

10.80.60.40.200.20.40.60.8

sin θと cos θとの関係

10.80.60.6

0.4

0.4

0.2

0.200

サインとコサインの値の変化を見ていると、両者の間には一定の関係があることに気がつくだろう。例えば、sin 75°＝ 0.966 ＝ cos 15°となっている。一般に、sin θ ＝ cos（90°− θ ）となっているのだろうか？

2これが一般に成り立つことは、次の図を見れば理解できるだろう。
1.0

一般の三角関数

0.8QS0.80.20.20.40.40.60.60.80.8

0.6

0.4

10.2

110.8

0.6

0.4

0.2

00.2

0.4

0.6

0.8

1θ

角度が 180°から 270°の間にあるときは、次のようになる。
t°

O180° 190° 200° 210° 220° 230° 240° 250° 260° 270°

sin t° 0-0.17 -0.34

cos t° -1-0.98 -0.94 -0.87 -0.77 -0.64-0.5-0.64 -0.77 -0.87 -0.94 -0.98
-0.5

P

90°

θ

-0.34 -0.17-1
0

角度が 270°から 360°の間にあるときは、次のようになる。
t° 270° 280° 290° 300° 310° 320° 330° 340° 350° 360°
sin t° -1 -0.98 -0.94 -0.87 -0.77 -0.64 -0.5 -0.34 -0.170
cos t° 00.17 0.34 0.5 0.64 0.77 0.87 0.94 0.981
また、sin（− θ ）＝− sin θ 、cos（− θ ）＝ cos θ もわかるだろう。

0.20.40.60.8T 1.0

この図は次のように描かれている。直角三角形 POT と合同な三角形
QOS を描く。OS ＝ OT、∠ QOS ＝∠ POT、QO ＝ PO ＝ 1 などとなっている。また、Q が x 軸の正の方向となす角度は、90°− θ である。
Q の高さつまり Q の y 座標は、OS と等しいので、sin（90°− θ）＝ OS＝ OT ＝ cos θ となる。
同様に、Q の x 座標は QS と等しいので、cos（90°− θ ）＝ QS ＝ PT＝ sin θ となる。
以上をまとめると次のようになる。

48三角形から円運動へ

π− θ ＝ cos θ2sin（90°− θ）
＝ cos θ弧度法で表すと sincos（90°− θ）
＝ sin θπ− θ ＝ sin θ
弧度法で表すと cos
2

章

1

第1（2.1）49

π（s）の余角」
t°（弧度法で s）に対して、90°− t°（弧度法で − s）を、「t°2というが、この用語を使うと次のようにも表せる。のときの高さ（y 座標）と底辺の長さ（x 座標）であったから、一般の三平方の定理において、a ＝ sin θ 、b ＝ cos θ 、c ＝ 1 とすればよい。
第1sin（s の余角）＝ cos s2sin θ

一般の三角関数cos（t°の余角）＝ sin t°章sin（t°の余角）＝ cos t°θcos（s の余角）＝ sin scos θ

実は、sin θ と cos θ の間には、もう一つ重要な関係が成り立っている。

22（sin θ ）＋（cos θ ）
＝1

それは、

sin2 θ ＋ cos2 θ ＝ 1
sin2 θ ＋ cos2 θ ＝ 1

ここで、三角関数の 2 乗や 3 乗は、（sin θ ）2 ＝ sin2 θ 、（cos θ ）2 ＝ cos2 θや、（sin θ ）3 ＝ sin3θ 、（cos θ ）3 ＝ cos3θ と表すのが普通であることに注である。
この関係式が成り立つことは、直角三角形に関する三平方の定理から容易に導ける。三平方の定理とは、直角三角形の 3 つの辺の長さを a、b、2意しておこう。sin2θ を（sin θ ）と表しても間違いではないし、まったく問題がないことも覚えておこう。好きなほうを使ってよい。
sin θ と cos θ の関係を次のように変形すると、sin θ は cos θ で表せ、（c 斜辺）とすると、cos θ は sin θ で表せるので、一方の値がわかれば他方の値も求められる。

a ＋b ＝c222が成り立つことである。

sin2 θ ＝ 1 − cos2 θsin θ ＝± 1 − cos2 θcos2 θ ＝ 1 − sin2 θcos θ ＝± 1 − sin2 θ±は、一般には両方ありうるが、θ が第何象限の角度かが決まればどcaちらかに定まる。
例えば、θ が第 3 象限の角度で、cos ＝− 0.3 のときは、y ＝ sin θ ＜0 なので、sin θ は次のように求められる。

bsin θ と cos θ は、直角三角形において、斜辺が 1（半径が 1 の円周上）50三角形から円運動へ

51

sin θ ＝− 1 −（− 0.3）2 ＝−91≒− 0.953939
102章

cos θ の値は次のように求められる。

23

第θ が第 2 象限の角度で、sin θ ＝ 0.7 のときは x ＝ cos θ ＜ 0 なので、

225°
151
cos θ ＝− 1 − 0.7 ＝−≒− 0.714143
101

上の計算では、小数の値はいずれも小数第 7 位を四捨五入してある。

sin 120°＝ sin

2π3＝32

cos 120°＝ cos

2π1＝−23

例題 2-1
次の値を求めよ。

cos 120°
＝ cos

2π3

sin 225°
＝ sin

5π4解答
2π2π
sin 120°は、 は第 2 象限の角度なので、sin 120°＞ 0、＝ sin
33
cos 120°＜ 0 となる。

2120°

22π
sin 120°＝ sin3一般の三角関数1

演習問題 2-1次の値を求めよ。
sin 225°
＝ sin

5π4

cos 225°
＝ cos

5π4

sin 330°
＝ sin

11π6

cos 330°＝ cos

11π6（答えは 241 ページ）

このことに注意すれば、あとは図から求められる。

52

三角形から円運動へ

53

例題 2-2
sin 48°＝ 0.743145 を使って、cos 42°と cos 48°の値を求めよ。

2-2 三角関数のグラフ
第解答

章

2＝ cos（90°− 48°）＝ sin 48°
＝ 0.743145

y ＝ x という関数については、そのグラフが放物線であり、このことが、面積の問題や、落体の運動など力学の問題、その他、物理や化学

cos 48°＝ 1 − sin248°＝ 0.447736 ≒ 0.669131
演習問題 2-2の問題を考えるのに役に立った。同じように、今度は、サインやコサインの関数のグラフを調べてみよう。はじめに、関数のグラフはどのようにつくられるか、関数 y ＝ （x）
f＝ x2 で思い出しておこう。

cos 13°＝ 0.97437 を使って、sin 77°と sin 13°の値を求めよ。
（答えは 242 ページ）動く x の値を、x 軸上にとる。0 ≦ x ≦ 2 の範囲のグラフを描いてみよう。x 軸上の点（x，0）
において、高さが y ＝ x2 の棒を立てる。このよ
うな棒を、x ＝ 0 から x ＝ 2 まで、x の値を 0.05 刻みにとったのが次の図（左）である。ここで刻み幅をどんどん小さくしていくと、棒の間隔が小さくなり密集してくる。刻み幅を 0.02 にした場合が中央の図である。
ここで、棒の先端の点を結ぶと、次第に滑らかな曲線になっていく。
この曲線が関数 y ＝ x2 のグラフ
（右側の図）であった。
44433322211100.054

三角形から円運動へ

0.5

1.0

1.50
2.0 0.0

0.5

1.0

1.50
2.0 0.0

0.5

1.0

1.52.055

一般の三角関数cos 42°＞ 0 であり、cos 48°＞ 0 であるから、cos 42°2y ＝ sin t のグラフ
関数＝ sin t のグラフを描くときも同じ作業をすればよい。各 t の値第じ高さを角 t の値のところに棒を立てればよい。0°≦ t ≦ 90°の範囲で2章に対して、y ＝ sin t は、単位円における動径の高さであった。この同うなグラフになる。
00

0.2
0.2

0.4
0.4

0.6
0.6

0.8
0.8

110°10°
20°
30°
40°
60°
80°
0°10°
20°
30°
40°50°
50°
60°70°
70°
80°90°
90°

さらに 90°まででなく、1 回転して 360°まで動かしてみると次のようなグラフになる。

180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

00

0.2
0.2

0.4
0.4

0.6
0.6

0.8
0.8

110°10°70°
80°
90°
0°10°20°20°30°
30°40°
40°50°
50°60°
60°
70°
80°
90°

2°
刻みに点をとると次のようなグラフになる。

11000.20.20.4
0.40.60.60.80.8

110° 10°20°30°40°50°60°70°80°90°
0° 10°20°30°40°50°60°70°80°90°

棒の先端を結んで滑らかな曲線にすると次のようになる。

0.50.5000.50.5

11

180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

例題 2-3（1） 関数 y ＝ 3sin t のグラフを描け。
（2） 関数 y ＝ sin t ＋ 2 のグラフを描け。

56

三角関数のグラフ57

一般の三角関数

この作業を行なうと、次の図のようになる。5°刻みに点をとると次のよ解答（1）y 方向に上下 3 倍に伸びたグラフになる。
7π7π225π5π222π2π2π2π3π3π223π3π22ππ22ππ220000ππ22ππ22ππππ3π3π223π3π222π2π2π2π5π5π225π5π223π3π3π3π7π7π227π7π224π
4 π5544332211001122334454π 54π2004π54 π5443322110011223344554 π4π7π7π223π3π3π3π5π5π225π5π222π2π2π2π3π3π223π3π22ππ22ππ220000ππ22ππ22ππππ3π3π223π3π222π2π2π2π5π5π225π5π223π3π3π3π7π7π227π7π224π4 π5544332211001122334454π 54π

0.4
0.4

0.60.60.80.8

11001010202030304040505060607070808090902702702702703003003303303603600°≦ t ≦ 360°の範囲では次のようになる。

（2） 全体として y 方向へ 2 だけ平行移動したグラフになる。
7π
7π220.20.2

一般の三角関数

3π
3π5π5π22章

7π
7π223π3π

第4π
54 π5443322110011223344554 π
4π110.50.50.
0.

0.50.511003030909090906060120120150150180180210210240240

棒の先端を結んで滑らかな曲線にすると次のようになる。

110.50.5000.50.5

110020 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

演習問題 2-3（1） 関数 y ＝ 2sin t のグラフを描け。
（2） 関数 y ＝ sin t ＋ 1 のグラフを描け。

（答えは 242 ページ）

一般角のグラフ
角度の範囲を一般角として、− 360°≦ t°≦ 720°の範囲で y ＝ sin t°

x ＝ cos t のグラフ
（2.1）
式から、cos t°の値を求めるには、sin（90°− t°）の値を取ればよい。例えば、cos 10°の高さに、sin 80°の高さを取ればよい。次のようのグラフを描くと次のようになる。
1.01.00.50.50.0 360
360
0.00.50.5
1.01.027027018018090900055909018018000270270360360

450450540
540556306307207201010なグラフになる。

58

三角関数のグラフ

1.01.00.50.50.00.00.50.51.059ππ2200ππ22ππ

3π
3π222π2π

5π
5π223π
3π

7π
7π22

4π
4π

1.00.5
1.03600.00.527018090090180270360

450540630

720

0.50.0 360
1.00.5270

18090090180270360

450540630

720

1.050510角度の範囲を一般角として、弧度法で− π ≦ t ≦ 4π の範囲で y ＝505sin t のグラフを描くと次のようになる。

このような p の中で正の最小の数値を「周期」と呼ぶのである。

π0.50.0π25π2π32π2π27π3π52π

72π

3π22051005104π
4π1.5角度の範囲を一般角として、− 360°≦ t°≦ 720°の範囲で y ＝ cos t°のグラフを描くと次のようになる。
1.00.51.0360
0.00.527018090090180270360

450540630

7200.50.0 360
1.00.5270

18090090180270360

450540630

720

1.05051050510cos t のグラフを描くと次のようになる。

0.0π20ππ20.53π2π25π27π3π220π2π3π22π21.510.50.5000.50.5112π3ππ220π2π3π2π1.52の 周 期 は、x ＝ 2π が 周 期 で あ る か ら、sin x は、x ＝ x ＋ 2π の と き
4π1.00π2

周期が π になっていることがわかる。これを式の上で考えれば、sin x1.00.53π11.5角度の範囲を一般角として、弧度法で− π ≦ t ≦ 4π の範囲で y ＝2π一般の三角関数

1.03πππ2021.00.5π0π2

章0.00.5

第ところで、y ＝ sin 2x のグラフは、次のようになる。

1.00.51.0（xf ＋ p）
＝ （x）
f10510sin x と同じになる。sin（x ＋ 2π ）＝ sin x。
よって、sin 2x の周期は、2x ＝ 2π となるときの x、すなわちx＝周期と振幅2π＝ π が周期となる。
2

一般には、y ＝ sin bx の周期は、bx ＝ 2π となるときの x、すなわち三角関数の周期y ＝ f（x）＝ sin x のグラフを見ると、x ＝ 2π 以降は、0 ≦ x ≦ 2π と同じグラフがあらわれてくる。式で表すと次のようになる。
（xf ＋ 2π ）＝ （x）
fx＝2πが周期となる。
b例えば、次の図のように、y ＝ sin 5x の周期は x ＝2πとなる。
5

このような性質がある関数を「周期関数」といい、三角関数の 2π のような数値を「周期」という。
すなわち、一般に、関数 y ＝ f（x）が周期関数であるとは、次の式が成り立つ p が存在するときである。

60三角関数のグラフ

61

1.51.599 ππ 88 ππ 77 ππ 66 ππ55 55 55

22 ππ 5544 ππ 33 ππ 22 ππ ππ55 55 55 55 00ππ 22 ππ 33 ππ 44 ππ55 55 55 55

ππ66 ππ 77 ππ 88 ππ 99 ππ55 55 55 55 22 ππ11 π 5 π 3 π 4 π 7 π0.50.50.50.500000.50.5111122 ππ 99ππ 88ππ 77ππ 66ππ5555555544 ππ 33 ππ 22 ππ ππ 0055 55 55 55

ππ 22 ππ 33 ππ 44 ππ55 55 55 55

ππ 66ππ 77ππ 88ππ 99ππ 22 ππ555555

365π 2π ππ6332π6 0πππ 2π 5π632367 π 4 π 3 π 5 π 11 π

π 63236 2π

32.521.510.500.511.522.531.51.532.521.510.500.511.522.532 π11 π 5 π 3 π 4 π 7 π55632365π 2π π

π2363π 06ππ632

一般の三角関数

0.50.52章113第111.51.52π 61.51.5π 2 π 5 π π 7 π 4 π 3 π 5 π 11 π 2 π23663236三角関数の振幅
y ＝ 3 sin x のグラフは次のようになる。比較しやすいように、y ＝ sin x

半径が A の円周上を等速で回転する点 P があるとしよう。点 P は最のグラフと両方描いてある。
3.53.533
2.52.5221.51.5
110.5
0.500
0.50.5
111.5
1.5
22
2.5
2.533
3.53.522 ππ

22 ππ

33 ππ2233 ππ22等速円運動と単振動ππ
22ππ
220000ππ22ππ22ππππ33 ππ2233 ππ2222 ππ22 ππ

初は角度 β の位置にいて、そこから毎秒回転する角度が一定でωとす
3.53.5332.52.5221.51.5
110.5
0.500
0.50.5
111.5
1.5
22
2.5
2.5
33
3.5
3.5

ると、t 秒後の角度は θ ＝ θ（t）
＝ β ＋ ω t である。
(0, A)

y＝3y＝3 sin
sin xxP

y＝sin
y＝sin xx

Py

ωt
β−AA

y ＝ 3 sin x は、y の値が取りうる範囲が− 3 ≦ y ≦ 3 で、y ＝ sin xの取りうる値の− 1 ≦ y ≦ 1 に対して、y 方向に 3 倍に伸びていることがわかる。この値を「三角関数の振幅」という。
一般に、y ＝ a sin x の振幅は a である。
2π、振幅は a である。
b2π
例えば、y ＝ 2 sin 3x の周期は 、振幅は 2 であり、グラフは次のよ3うになる。
周期と振幅を合わせて、y ＝ a sin bx の周期は62三角関数のグラフ−At 秒後の点 P の y 座標は y ＝ A sin（β ＋ ω t）と表せる。点 P を真横から y 軸上に影を落とした点 Py の y 座標とも考えられる。点 Py は、Aと− A の間を行ったり来たり規則的な移動をする。このような動きを

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