原子物理学と核物理学の問題集
イロドフ

目次
１．電磁放射の量子的性質
１．１．熱放射１．２．電磁放射の粒子的性質
２．ラザフォード−ボーアの原子モデル
２．１．粒子の散乱。ラザフォードの公式
２．２．水素似系
３．粒子の波としての性質
３．１．ドブロイ波。不確定性関係
３．２．シュレジンガー方程式。障壁を通過する粒子
４．量子力学の基礎
４．１．量子力学演算子
４．２．平均値と確率
４．３．状態の時間変化と力学的量
４．４．中心対称場。水素原子５．スペクトル。原子における電子雲
５．１．原子中の電子の状態
５．２．スペクトル線の強度と幅５．３．特性Ｘ線スペクトル６．磁界中の原子６．１．原子の時期的性質。ゼーマン効果
６．２．反磁性と常磁性
７．２原子分子７．１．回転状態と振動状態
７．２．分子スペクトル。ラマン散乱（連携散乱）８．結晶
８．１．結晶構造。Ｘ線回折
８．２．結晶の結合エネルギーと熱容量
９．金属と半導体
９．１．金属及び半導体中の自由電子
９．２．金属及び半導体の性質
１０．原子核の基本的特性
１０．１．原子核の半径、質量、結合エネルギー
１０．２．原子核のスピンと磁気モーメント
１１．放射能１１．１．放射崩壊の法則
１１．２．α崩壊、β崩壊
１１．３．γ線、内部転換、メスバウワ効果
１１．４．原子核放射の記録法。計数器
１２．放射と物質との相互作用
１２．１．荷電粒子の物質通過
１２．２．γ線の物質通過
１２．３．線量測定
１３．核反応１３．１．核反応における保存則
１３．２．原子核の準位。核反応の断面積と収率
１４．中性子の物理学
１４．１．中性子分光学
１４．２．中性子と原子核の相互作用
１４．３．中性子の物質通過
１４．４．中性子の減速と拡散
１５．核エネルギーの物理的基礎
１５．１．核分裂。連鎖反応
１５．２．熱核反応
１５．３．プラズマ物理
１６．素粒子１６．１．相対論的粒子の相互作用
１６．２．粒子の崩壊-1-１６．３．素粒子の性質
１７．外場中における荷電粒子の運動１７．１．運動の法則。検出器
１７．２．荷電粒子の加速器
ｈ

＝ｈ／２π

解答

-2-

１．電磁放射の量子的性質
１．１．熱放射１．１． ウイーンの公式を利用して、以下を示せ。
（ａ）熱放射の最大確率周波数ω最大∽Ｔ。
（ｂ）エネルギー発散度Ｍ∽Ｔ４ （ステファン−ボルツマンの法則）。
１．２． ウイーンの公式を用いて、波長に関する、熱放射の分配スペクトルに於いて、以下を示せ。
（ａ）最大確率波長λ最大∽１／Ｔ。
（ｂ）エネルギーの最大スペクトル密度ｕλ最大∽Ｔ５。
１．３． 熱放射の初期温度がＴ＝２０００Ｋ。この熱放射スペクトルにおける最大確率波長がΔλ＝０．２５μｍだけ大きくなったとすれば、この温度は何ケルビンだけ変化するか。
１．４． エネルギー発散度Ｍ＝５．７Ｗ／ｃｍ ２を有している熱放射スペクトルにおける最大確率波長を求めよ。
１．５． 太陽光スペクトルは、最大確率波長λ 最大＝０．４８μｍの完全黒体スペクトルに近似できる。太陽の熱放射仕事率Ｐを求めよ。太陽の質量が、１％だけ減少する（熱放射の結果として）までの時間τを求めよ。太陽の質量は２．０×１０３０ｋｇ、太陽の半径はＲ＝７．０×１０ ８ｍ。
１．６． ２つの空洞１，２が有り、共に半径ｒ＝５．０ｍｍの穴が有り、外壁は完全反射面である。
２つの空洞は、穴で対面しており、これら穴の距離はｌ＝１００ｍｍ。空洞１を温度Ｔ １＝１２５０
Ｋに保持する。空洞２での温度Ｔ２を求めよ。完全黒体は余弦放射型（？）とする。
１．７． 熱放射の圧力が、ｐ＝ｕ／３。ここで、ｕは放射エネルギー密度。以下を求めよ。
（ａ）温度がＴ＝１．６×１０７Ｋである太陽内部の熱放射圧力。
（ｂ）密度ρ＝０．１０ｇ／ｃｍ ３の完全にイオン化した水素プラズマの温度。放射圧力はプラズマ粒子の運動圧力に等しいとする。高温に於いては、物質は理想気体の状態方程式に従うと見なせる。
１．８． 完全黒体表面を持っている半径ｒ＝１０．０ｍｍの銅球が、排気されている容器中に置かれている。容器の壁の温度は、絶対零度近くに保たれている。銅球の初期温度はＴ ０＝３００Ｋ。銅
球の温度がｎ＝１．５倍だけ低下するまでには、如何ほどの時間τがかかるか。銅の比熱はｃ＝０．
３８Ｊ／（ｇ・Ｋ）。
１．９． 熱放射スペクトルに於けるエネルギー分配に関して、ウイーンは次の式を提案した。
ｕω＝Ａω３ｅ−ａω／Ｔ、ここで、ａ＝７．６４×１０ −１２Ｋ・ｓ。
温度Ｔ＝２０００Ｋにおいて、この式を用いて以下を求めよ。
（ａ）放射の最大確率周波数（ｂ）放射の平均周波数。
１．１０． 前問の条件を利用して、以下を求めよ。
（ａ）放射の最大確率波長。
（ｂ）放射の平均周波数。
１．１１． 周波数間隔（ω、ω＋ｄω）内における、長さｌの弦の固有横振動数を求めよ。振動伝
搬速度はｖとする。振動は１つの平面内で行われるとする。
１．１２． 周波数間隔（ω、ω＋ｄω）内における、面積Ｓの正方形膜の固有横振動数を求めよ。
振動伝搬速度はｖとする。
１．１３． 完全反射壁を有している体積Ｖの平行六面体形状の空洞内に於いて、周波数間隔（ω、ω＋ｄω）内における、電磁波の固有振動数はｄＺω＝（Ｖ／π２ｃ３）ω２ｄω
であることを示せ。
１．１４． ある空洞を満たしている熱放射が、異なった周波数の固有振動を有する振動子の集団であるとする。各々の振動子のエネルギーεが、（ａ）任意の値（連続スペクトル）をとる、（ｂ）離散値ｎℏωだけをとる、ここで、ｎは整数値、の場合として、温度Ｔにおいて、周波数ωを持った振動子の平均エネルギーと、周波数間隔（ω、ω＋ｄω）内のエネルギー密度を求めよ。
エネルギーに関する振動子の分配はボルツマンの法則 Ｎ（ε）∽ｅ −ε／ｋＴ に従うものとする。
周波数に関する振動子の分配は、前問の公式に従うものとする。
-3-

１．１５．

ℏω≪ｋＴ、ℏω≫ｋＴの場合におけるプランクの公式の近似式を求めよ。

１．１６． プランクの公式を、（ａ）周波数に関する、（ｂ）波長に関する、分配関数の形に変換せよ。
１．１７． プランクの公式を用いて、温度がＴ１＝２０００ＫからＴ２＝２３００Ｋまで上昇した
とき、波長λ＝０．６０μｍの放射のスペクトル強度が、何倍になるか求めよ。
１．１８． プランクの公式を用いて温度Ｔ＝２０００Ｋにおいて、最大確率波長からη＝５０％だ
け小さい波長領域における完全黒体の単位面積当たりの放射強度を求めよ。
１．１９．

プランクの公式を用いて、ステファン−ボルツマン定数の数値を求めよ。

１．２０． プランクの公式を用いて、温度Ｔ＝２０００Ｋにおける、熱放射スペクトルに於いて、振動数ωの平均値を求めよ。
１．２１． プランクの公式を用いて、熱放射の平均波長が＜λ＞＝２．６７μｍである熱放射の温度を求めよ。
１．２．電磁放射の粒子的性質
１．２２． プランクの公式を利用して以下を求めよ。
（ａ）スペクトル間隔（ω、ω＋ｄω）、（λ、λ＋ｄλ）の間にあり、体積１ｃｍ ３中の光子数。
（ｂ）温度Ｔ＝３００Ｋにおける体積１ｃｍ３中の全光子数。
１．２３． 温度Ｔ＝１０００Ｋにおいて、プランクの公式を用いて以下を計算せよ。
（ａ）光子の最大確率エネルギー。
（ｂ）光子の平均エネルギー。
１．２４． 空洞の単位面積当たりの壁に、単位時間当たりに衝突をする熱放射の光子数は、ｎｃ／４に等しい、ことを証明せよ。ここで、ｃは光速度、ｎは単位体積当たりの光子数。この量と光子の平均エネルギーとの積は、エネルギー発散度Ｍに等しい、ことを確認せよ。
１．２５． 以下の光源に於いて、光度Ｐ＝１．０Ｗの点光源から、距離ｒ＝１．０ｍにおける光子流密度を求めよ。
（ａ）波長λ＝０．５０μｍの単色光。
（ｂ）波長λ １＝０．７０μｍ、λ ２＝０．４０μｍの２つのスペクトル線を持つ光源。各々の強度比は１：２。
１．２６． 光子の波長が、０．５０μｍ、０．２５ｎｍ、２．０ｐｍである。各々の運動量を、ｅＶ／ｃの単位で求めよ。ここで、ｃは光速度。
１．２７． 光子の運動量が、運動エネルギーＴ＝０．３０ＭｅＶを持つ電子の運動量に等しい光子の波長を求めよ。
１．２８． 光の粒子説を使い、強度Ｐの電磁放射の平面流によって、単位時間に運ばれる運動量は、
この放射のスペクトル成分に依存しないことを証明せよ。その値は幾らとなるか。
１．２９． レーザーが、エネルギーＥ＝１０Ｊの細い光束を、パルス長τ＝０．１３ｍｓだけ放射する。時間τ当りにおける、この光束の平均圧力を求めよ。光束は、光束流に垂直に位置している面上で、直径ｄ＝１０μｍの斑点に集光されるものとする。面の反射率はρ＝０．５０。
１．３０． エネルギーＥ＝７．５Ｊの短い光パルスが、反射率ρ＝０．６０のガラス板に細束として入射する。入射角度はθ＝３０°。ガラス板に伝わる運動量をを求めよ。
１．３１． 光の粒子説を用いて、平面鏡の表面に、強度Ｉ＝１．０Ｗ／ｃｍ ２を持つ平面光束が与える光圧を求めよ。光束の入射角度はθ＝３０°、ガラス表面の照射面積はＳ＝１０ｃｍ２。
１．３２． 強度Ｉ（単位 Ｗ／ｃｍ ２）の平面光束が鏡表面を有している球の片半面を照射する。
球の半径はＲ。光の粒子説を用いて、球が受ける光圧を求めよ。
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１．３３． 強度Ｉ（単位 Ｗ／ｃｍ ２）の光束が、平らで完全に無光沢の表面に垂直に入射する。
照射面積はＳ、反射係数は１。光の粒子説から、光圧を求めよ。
１．３４． 半径Ｒの円形で、完全鏡面の板の中心の上方に、光度Ｐの点光源が置いてある。点光源と板の距離はｌ。光の粒子説を用いて、板が受ける光圧を求めよ。Ｒ≪ｌとＲ≫ｌの場合について考察せよ。
１．３５． 質量Ｍ、半径Ｒの恒星の表面から、光子が放出される。光子は恒星に固有の重力の性質を持った質量を有しているものと見なし、恒星から遠方の距離に於いて、光子のエネルギーの相対的減少量Δλ／Δを求めよ。以下の星の表面から放出される放射の波長の重力による変位量Δλ／Δを計算せよ。（ａ）太陽。質量Ｍ＝２．０×１０３０ｋｇ、半径Ｒ＝７．０×１０８。
（ｂ）中性子星。質量は太陽と同じ、が、平均密度は太陽より１．０×１０１４倍大きい。
１．３６． 連続Ｘ線スペクトルにおける、短波長限界の波長を求めよ。Ｘ線管に印加している電圧を、η＝２．０倍大きくすると、この波長限界はΔλ＝５０ｐｍだけ変化するもｔのとする。
１．３７． ＮａＣｌの単結晶におけるＸ線の細いビームの鏡面反射は、入射角度を減少していくと
時、角度α＝４．１°まで、行われる。対応している結晶面の間隔はｄ＝２８１ｐｍ。これらより、
このＸ線管にかかっている電圧を求めよ。
１．３８． 連続Ｘ線スペクトルの短波長限界はλ最小＝１５７ｐｍである。このＸ線管のアノードに飛んでいく電子の速度を求めよ。
１．３９． 放射のスペクトル分布 Ｉ ω＝Ａ（ω 最大−ω）である減速Ｘ線放射における最大確率波
長を求めよ。ここで、Ａは定数、ω最大はスペクトルの限界周波数。Ｘ線管電圧はＶ＝３１ｋＶ。
１．４０． 付録の表を使用して以下を計算せよ。
（ａ）ＣｓとＰｔにおける光電効果で、赤外限界波長。
（ｂ）波長０．２７０μｍの光で照射された亜鉛、銀、ニッケルの表面から飛び出す電子の最大速度。
１．４１． 波長λ １＝０．３５μｍとλ２＝０．５４μｍの電磁波で照射された時、光電子の最大速度にη＝２．０倍の差があった。この金属の表面からの脱出仕事を求めよ。
１．４２． 他の物体から遠方に置かれている銅球を、波長λ＝０．２００μｍの電磁波で照射する。
銅球は最大何ボルトまで帯電するか。
１．４３． 波長λ ０の電磁放射で照射しているリチウム金属の表面からの光電子流が、印加している電位差がある値になったとき、停止した。照射の波長をｎ＝１．５倍に変化すると、光電子流を停止させるためには、印加電圧をη＝２．０倍だけ大きくする必要があった。λ ０を求めよ。
１．４４． 電磁放射により、リチウム表面から飛び出す光電子の最大運動エネルギーを求めよ。電磁波の電界成分の電界強度は、Ｅ＝ａ（１＋ｃｏｓωｔ）ｃｏｓω ０ｔ）の式に従って変化するものとする。ここで、ａは定数、ω＝６．０×１０１４／ｓ、ω ０＝３．６０×１０１５／ｓ。
１．４５． セシウムと銅でできている光電素子の電極同士が、外部で短絡してある。セシウムの電極を単一エネルギーの電磁放射で照射する。以下を求めよ。
（ａ）光電流が発現する放射の波長。
（ｂ）照射の波長が０．２２０μｍの時として、銅電極に到達するときの光電子の最大速度。
１．４６． 波長０．２６２μｍの電磁波で、光電素子の亜鉛電極を照射すると発生する回路電流が、外部から印加した電圧がＶ印加＝１．５
Ｖの値になったとき、流れなくなった。この光電素子の外部接触電圧差と極性を求めよ。
１．４７． 球状光電素子の内部電極であるニッケル球を、異なった波長（図１．１の１~３）の単一エネルギーの電磁波で照射する。 印加
電圧Ｖに対する光電流の依存性の得られたグラフが、図１．１に示されている。このグラフから、各々対応する波長を求めよ。
１．４８． 波長λ＝１７．０ｐｍの光子が、静止している原子から、電子を飛び出させる。電子の結合エネルギーはＥ＝６９．３ｋｅＶ。この過程で原子に与えられた運動量を求めよ。電子は飛んできた光子の方向に対して、直角の方向に飛び出すものとする。
１．４９．

保存則を利用して、自由電子は光子を吸収することができないことを証明せよ。
-5-１．５０． コンプトン効果の、以下の特性を説明せよ。
（ａ）コンプトン変位の公式を確証するためには、十分に波長の短いＸ線を利用する必要がある。
（ｂ）コンプトン変位量は、物質の種類に依存しない。
（ｃ）散乱放射線中に変位の無いコンプトン線が存在する。
（ｄ）物質の原子番号の減少と共に、また、散乱角度の増大と共に、散乱線中の変位したコンプトン
線強度の増大する。
（ｅ）散乱線中における、両方のコンプトン線の線幅の拡張。
１．５１． 波長λの細いＸ線束が、散乱物質に入射する。角度θ １＝６０、θ２＝１２０°方向に散乱されたＸ線の変位波長量が、お互いにη＝２．０倍異なっている。波長λを求めよ。
１．５２． 波長λ＝３．６４ｐｍの光子が、静止している自由電子で散乱された。反跳電子の運動
エネルギーはやってきた光子のエネルギーのη＝２５％となった。以下を求めよ。
（ａ）散乱された光子の波長のコンプトン変位量。
（ｂ）光子の散乱角度θ。
１．５３． エネルギーℏωを有している光子が、静止している自由電子で、角度θ方向に散乱された。反跳電子が飛んでいく方向の、電子が飛んできた方向に対する角度φを求めよ。
１．５４． エネルギーℏω＝０．４６ＭｅＶを有している光子が、静止している電子で、角度θ＝１２０°方向に散乱された。以下を求めよ。
（ａ）散乱された光子のエネルギー。
（ｂ）電子に伝わったエネルギー。
１．５５． 運動量ｐ＝６０ｋｅＶ／ｃ（ｃは光速度）を有している光子が、静止している自由電子
で、角度θ＝１２０°方向にコンプトン散乱され、その後、モリブデン原子から結合エネルギーがＥ
結合＝２０．０ｋｅＶの電子を叩き出した。この光電子の運動エネルギーを求めよ。
１．５６． 波長λのＸ線で物質を照射すると、コンプトン電子の最大運動エネルギーがＴ最大＝０．
４４ＭｅＶであった。波長λを求めよ。
１．５７． 光子が静止している電子で散乱される。散乱された光子のエネルギーが、反跳電子の運動エネルギーと等しい。光子と電子の飛んでいった方向のなす角度は９０°。飛んできた光子の運動量を求めよ。
１．５８． 静止している電子と光子との衝突の結果、光子が散乱された角度と、反跳電子が飛び去った角度が、同じであり、それらの運動方向の間の角度はθ＝１００°。衝突前に置ける光子の波長を求めよ。
１．５９． 光子が飛んできて、静止している自由電子で、角度θ方向に散乱された。電子は運動エ
ネルギーＴ＝０．４５０ＭｅＶを獲得した。飛んできた光子のエネルギーを求めよ。
１．６０． エネルギーℏωを有する光子が、静止している自由電子で散乱された。散乱された光子の波長はη＝２５％だけ減少した。反跳電子の運動エネルギーを求めよ。
１．６１． 静止している電子のエネルギーよりη＝１．５倍大きいエネルギーを有している光子が、一様磁場中にある、静止している自由電子と正面衝突をした。その結果、反跳電子は半径Ｒ＝２．９ｃｍの円軌道を動くようになった。磁場の磁束密度Ｂを求めよ。
１．６２． ℏωを有している光子が、光子に真正面に向かってきている電子と、衝突をした。衝突の結果、光子の運動方向は正反対の方向となり、光子のエネルギーは以前のままであった。衝突前の電子の速度ｖ、衝突後の電子の速度ｖ を求めよ。
１．６３． 相対論的電子との衝突において、光子は角度θ＝６０°方向に散乱された。電子は静止した。以下を求めよ。
（ａ）散乱された光子のコンプトン変位量。
（ｂ）飛んできた光子のエネルギーは、静止している電子のエネルギーよりη＝１．０倍であるとして、衝突前の電子の運動エネルギー。

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２．ラザフォード−ボーアの原子モデル
２．１．粒子の散乱。ラザフォードの公式
２．１． 原子のトムソンモデルを用いて、以下を求めよ。
（ａ）イオン化エネルギーが１３．６ｅＶである水素原子の半径。
（ｂ）水素原子半径がｒであるとして、水素原子中の電子の振動周波数。このｒの値が幾らのとき、放出される光の波長が０．６μｍとなるか。
２．２． 運動エネルギーＴ＝４０ｋｅＶを有しているα粒子は、（ａ）静止している鉛原子核、（ｂ）
静止している ７Ｌｉ原子核、へ真正面から衝突していくと、最小いかほどの距離まで近接できるか。
２．３． 不動の原子核のクーロン場によって散乱される荷電粒子の散乱角度θは、公式 ｔａｎ（θ／２）＝ｑ１ｑ２／（２ｂＴ） で与えられる。ここで、ｑ １，ｑ ２は相互作用する粒子の荷電量、Ｔは飛んでくる粒子の運動エネルギー、ｂは照準パラメータ。この公式を、エネルギー保存法則と、運動量保存法則を使用して導出せよ。
２．４． 運動量５３ＭｅＶ／ｃ（ｃは光速度）を有しているα粒子が、不動のウランの原子核のクーロン場で、角度θ＝６０°だけ散乱された。照準パラメータを求めよ。
２．５． 運動エネルギーＴを有しているα粒子が、照準パラメータが０．９０×１０ −１１ｃｍで、静止している鉛の原子核に飛んでくる。以下を求めよ。
（ａ）Ｔ＝２．３ＭｅＶとして、散乱されたα粒子の運動量ベクトルの増加分の大きさ。
（ｂ）散乱されたα粒子の運動量ベクトルの増加分の大きさは、同じ照準パラメータとして、Ｔが幾つの値ならば最大となるか。この時の散乱角度は幾らとなるか。
２．６． 運動エネルギーＴ＝０．８７ＭｅＶを有している陽子が、静止しているＨｇ原子核に、接近し、角度θ＝π／２の方向に散乱されるとき、最小距離を求めよ。この距離を、対応する照準パラ
メータの値と比較せよ。
２．７． 質量ｍ、運動エネルギーＴの非相対論的粒子が、最初は静止している質量Ｍの原子核で、弾性散乱された。質量中心系において、各粒子の運動量と、これらの総和の運動エネルギーを求めよ。
２．８． 質量ｍ１、運動エネルギーＴの非相対論的粒子が、最初は静止している質量ｍ２の粒子と正面衝突をした。衝突後、飛んできた粒子の運動エネルギーを求めよ。
２．９．

最初静止している重水素で、α粒子が散乱される。散乱角度の最大値を求めよ。

２．１０． 非相対論的重水素が、最初静止している ４Ｈｅの原子核で、角度θだけ散乱された。重心系においては対応する角度はθ ＝４５°であった。θの値を求めよ。
２．１１． 静止している ４Ｈｅの原子核のクーロン場において、運動エネルギーＴ＝１３．０ｋｅ
Ｖを有している陽子の弾性散乱の結果、４Ｈｅ原子核は、飛んできた陽子の方向に対して角度θ ＝６０°の方向に反跳を受けた。照準パラメータを求めよ。
２．１２． 運動エネルギーＴ＝５．０ｋｅＶを有しているα粒子が、静止している重水素のクーロン場中で、弾性散乱を受けた。実験系において、α粒子の可能な最大散乱角度に対応する照準パラメータを求めよ。
２．１３． 静止している ６Ｌｉ原子核のクーロン場中での、運動エネルギーＴ＝２９ｋｅＶを有しているα粒子の散乱において、 ６Ｌｉ原子核は、飛んできた粒子の運動方向に対して、角度θ＝４５
どの方向に、反跳を受けた。相互作用の過程において、２つの粒子は最小いかほどの距離まで近接したか。
２．１４． 半径Ｒの不動の球を、半径ｒの粒子の平行ビームで照射する。球間の衝突は完全弾性であると見なし、以下を求めよ。
（ａ）照準パラメータｂを用いて、粒子の偏向角θ。
（ｂ）θからθ＋ｄθの角度間隔への、散乱粒子の相対比率。前半球中（θ＜π／２）への粒子の散乱確率。
２．１５． 問題２．１．の公式より、角度幅（θ、θ＋ｄθ）内に散乱されるα粒子の相対数を表わす式と、対応する核断面積を示す式を求めよ。
２．１６． 運動エネルギー１００ｋｅＶを有する陽子の細いビームが、厚さ１．０ｍｇ／ｃｍ ２の金箔に垂直に入射する。角度６０°方向に散乱された陽子を計測器で記録する。計測器は断面積１．
-7-０ｃｍ ２の円形の穴を持っている。計測器は金箔より距離１０ｃｍの所に位置し、計測器に入射する
陽子群に垂直な方向を向いている。計測器の穴に、散乱陽子の内の何割が入射するか。
２．１７． 角度幅がθ＝π／３からπまでの間に、運動エネルギーＴ＝１．２０ＭｅＶを有する陽子の散乱に対応している、金の原子核の断面積を計算せよ。
２．１８． 運動エネルギーがＴ＝１．７０ＭｅＶを有するα粒子が、鉛の原子核によるクーロン場
で散乱される。角度θ＝π／２への散乱に対応する、この原子核の微分断面積ｄσ／ｄθ、ｄσ／ｄΩを求めよ。
２．１９． 不動の原子核のクーロン場によるα粒子の微分断面積は、角度θ ０＝３０°で、ｄσ／ｄΩ＝７．０×１０ −２２ｃｍ ２／ステラジアン。角度範囲θ＞θ ０におけるα粒子の散乱断面積を計算せよ。
２．２０． 運動エネルギーＴ＝３．０ＭｅＶのエネルギーを有するα粒子が、厚さｄ＝１．５μｍの鉛箔を通過するとき、以下の角度幅内に散乱される確率を求めよ。（ａ）５９°〜６１°。（ｂ）
６０°〜９０°。
２．２１． 運動エネルギーＴ＝１．００ＭｅＶを有しているα粒子のビームが、厚さｄ＝１．０μｍの金箔に垂直に入射する。α粒子の流れの量はＩ＝３．６×１０ ４個／ｓ。以下の角度内に、時間
τ＝１０分間に、金箔で散乱されるα粒子の数を求めよ。（ａ）５９°〜６１°。（ｂ）θ ０＝６０°以上。（ｃ）θ０＝１０°以下。ラザフォードの公式は成り立つと見なす。
２．２２． 運動エネルギーＴ＝１．０ＭｅＶを有する陽子の粒子ビームが、厚さρｄ＝１．５ｍｇ／ｃｍ２の真鍮箔に垂直に入射する。角度θ０＝３０°以上に散乱される陽子の割合を求めよ。箔中の銅と亜鉛の質量比は、各々７：３とする。
２．２３． 単一エネルギーのα粒子の細いビームが、厚さ２．２ｍｇ／ｃｍ ２の鉛箔に垂直に入射する。この時、ビームの内、割合η＝０．００１６が、角度θ＞２０°に散乱された。散乱角θ ０＝６０°に対応する鉛の原子核の微分断面積ｄσ／ｄΩを求めよ。
２．２．水素似系
２．２４． 水素原子核の周りを、半径０．５×１０−８ｃｍの軌道に沿って動いている電子は、如何ほどの時間で原子核に落ち込むか。この時間を算出せよ。電子は古典論に従って、エネルギーを失うものとする。ｄＥ／ｄｔ＝−（２ｅ ２／３ｃ ３）ａ ２。ここで、ａは電子の加速度。ベクトルａは全時間において、原子の中心を向いているものと見なす。
２．２５． 質量ｍの粒子が、中心対象場Ｕ＝κｒ ２／２下で、円軌道を動く。ボーアの量子条件を用いて、許容される粒子の軌道半径と、粒子のエネルギー準位を求めよ。
２．２６． 原子核は静止しているものと見なし、水素原子、Ｈｅ ＋イオン、Ｌｉ ＋＋イオンについて、以下を計算せよ。
（ａ）最初の２つのボーア軌道の半径と、それらの軌道における電子の速度。
（ｂ）基底状態における電子の運動エネルギーと、電子の結合エネルギー。
（ｃ）第一励起ポテンシャルと、共鳴線の波長。
２．２７． 水素様イオンの隣り合う軌道間の電子の遷移に対応する光子の振動数ωは、不等式 ωｎ＞ω＞ω ｎ＋１ を満たしていることを示せ。ここで、ω ｎ、ω ｎ＋１はこれら軌道の電子の回転周波数である。ω→ωｎの時、ω→∞であることを示せ。
２．２８． ある水素様イオンのスペクトルにおいて、同じシリーズに属している３本の波長がわかっているものとする。それらは９９．２ｎｍ、１０８．５ｎｍ、１２１．５ｎｍである。更に、どのようなスペクトル線を予見できるか。
２．２９． 原子状水素において、以下を計算せよ。
（ａ）バルマー系列における最初の３つのスペクトル線の波長。
（ｂ）バルマー系列の最初のＮ＝２０本のスペクトルが分解できる、分光器の最小分解能δλ／λ。
２．３０． 原子状水素の放射スペクトル中に、バルマー系列に、２本のスペクトル線が知られている。４１０．２ｎｍと４８６．１ｎｍ。これら２本のスペクトル線の波数差に等しい波数を有するス
ペクトル線は、どの系列に属するか。その波長は幾らか。
２．３１．

原子状水素を、ｎ番目の準位に励起する。以下を求めよ。
-8-

（ａ）ｎ＝４として、放射スペクトル線の波長。このスペクトル線はどの系列に属するか。
（ｂ）ｎ＝１０ならば、水素は幾本のスペクトル線を放出するか。
２．３２． 波長９４．５ｎｍから１３０．０ｎｍの帯域で、原子状水素の吸収スペクトルはどのような線を含んでいるか。
２．３３． 水素原子が基底状態への遷移において、（ａ）波長λ＝９７．２５ｎｍの光子を放出する。
（ｂ）波長λ１＝６５６．３ｎｍ、λ２＝１２１．６ｎｍの２つの光子を放出する。
各々の場合において、水素原子の励起状態における量子数ｎを求めよ。
２．３４． どの水素様イオンにおいて、バルマー系列の筆頭スペクトル線と、ライマン系列の筆頭
スペクトル線の波長差が、５９．３ｎｍとなるか。
２．３５． ある水素様イオンにおいて、バルマー系列の３番目のスペクトル線の波長が１０８．５ｎｍ。このイオンの基底状態における電子の結合エネルギーを求めよ。
２．３６． ヘリウム原子中の電子の結合エネルギーはＥ０＝２４．６ｅＶ。この原子から、２つの電子を続けて引き離すためのエネルギーを求めよ。
２．３７． 基底状態にあるＨｅ＋イオンから、波長λ＝１８．０ｎｍの電磁波で引き離される電子の速度を計算せよ。
２．３８． Ｈｅ＋イオンで、第１励起状態から基底状態への遷移で放出されたが、基底状態にある
水素原子をイオン化する。光電子の速度を求めよ。
２．３９． 水素原子が、他の静止している水素原子と非弾性正面衝突の結果、どちらかの水素が光子を放出するためには、水素原子は、最小幾らの速度で動かなければならないか。衝突まで、２つの原子は基底状態にあったとする。
２．４０． 速度ｖ０＝３．２６ｍ／ｓで動いている水素原子が、第１励起状態から基底状態への遷移に伴い、光子を放出した。原子の運動エネルギーは前のままであるとして、光子の飛行方向と、原子の最初の運動方向とのなす角度φを求めよ。
２．４１． 静止している水素原子が、第１励起状態から基底状態への遷移に伴う光子の照射の結果、獲得する速度を求めよ。この遷移のエネルギーに対して放出されるエネルギーは何％の相違があるか。
２．４２． 励起状態の水素原子からの光放射を、原子の進行方向に対して角度θ＝４５°で観測す
ると、共鳴線の波長はΔλ＝０．２０ｎｍだけ変位していた。水素原子の速度を求めよ。
２．４３． バルマー家入れるのスペクトル線の先頭にある、Ｈｅ＋イオンから放出される光子が、基底状態にある水素原子を励起するためには、Ｈｅ＋イオンと水素原子は、最小如何ほどの速度で接近する必要があるか。
２．４４． 水素原子核の運動と、ボーアの量子条件を考慮して、以下を求めよ。
（ａ）電子と原子核の可能な距離。
（ｂ）電子の結合エネルギー。
（ｃ）原子核の動きを考慮しないで得られた結合エネルギーとリードベルグ定数は、これらの正確な値と、どれほど違っているか。
２．４５． 重水素と軽水素のリードベルグ定数の比はη＝１．０００２７２、原子核の質量比はｎ＝２．００である。電子の質量に対する陽子の質量の比を求めよ。
２．４６． 軽水素と重水素について以下の差を求めよ。
（ａ）基底状態にある電子の結合エネルギー。
（ｂ）第１励起ポテンシャル。
（ｃ）共鳴線の波長。
２．４７． 水素の準原子（電子の代りに同じ電荷であるが、質量が２０７倍大きい中間子を持つ水素）において、以下を求めよ。
（ａ）基底状態における中間子と原子核の距離。
（ｂ）共鳴線の波長。
（ｃ）基底状態の結合エネルギー。原子核が重水素の場合の基底状態の結合エネルギー。
２．４８．

ポジトロニウム（電子と陽電子から、慣性中心の周りに回転している系）の場合につい-9-

て、以下を求めよ。
（ａ）基底状態における粒子間距離。
（ｂ）イオン化ポテンシャルと、第１励起ポテンシャル。
（ｃ）リードベルグ定数と、共鳴線波長。

- 10 -

３．粒子の波としての性質
３．１．ドブロイ波。不確定性関係
３．１． 運動エネルギー１．００ｋｅＶで運動している電子と陽子のドブロイ波長を計算せよ。運動エネルギーが幾らの値の時、これらの波長は１００ｐｍと等しくなるか。
３．２． 電子のエネルギーを、２００ｅＶだけ増大させると、ドブロイ波長が２倍変化した。電子の最初の波長を求めよ。
３．３．

温度０℃において、最大確率速度で動いている水素分子の波長を求めよ。

３．４． Ｂρ＝２５ｋＧ・ｃｍを持つα粒子のドブロイ波長を同じ長さを持つ陽子の運動エネルギ
ーを求めよ。ここで、Ｂは磁束密度、ρは軌道の曲率半径。
３．５． 運動量が１５．０ｋｅＶ／ｃ（ｃは光速度）を持っている電子のドブロイ波長が５０ｐｍとなるためには、電子に付加するべきエネルギーは幾らか。
３．６． 波長λ＝１．７ｐｍの陽子が、静止している粒子に弾性散乱を受け、角度９０℃方向に散乱された。静止していた粒子の質量は陽子の質量よりｎ＝４倍大きい。散乱された陽子の波長を求めよ。
３．７． 運動エネルギーＴ＝０．２５ｅＶを有している中性子が、最初静止していた ４Ｈｅ原子核と弾性衝突をした。重心系において、衝突前後の両方の粒子のドブロイ波長を求めよ。
３．８． ２つの原子、１Ｈ、４Ｈｅが、各々がλ＝６０ｐｍのドブロイ波長を持って、同じ方向に動く。重心系における両方の粒子のドブロイ波長を求めよ。
３．９． 静止質量ｍの相対論的粒子が、運動エネルギーＴを持っている。以下を求めよ。
（ａ）この粒子のドブロイ波長。
（ｂ）非相対論的公式で決まるドブロイ波長における誤差が、電子と陽子に対して１．０％を超えな
い値Ｔ。
３．１０． 電子のドブロイ波長が、電子のコンプトンは長に等しい時の、運動エネルギーを求めよ。
３．１１． Ｘ線管の反カソードに到達した相対論的電子のドブロイ波長を計算せよ。連続Ｘ線スペ
クトルの短波長限界が１０．０ｐｍとする。
３．１２． マックスウエル分布関数を用いて、気体分子のドブロイ波長に関する分布を求めよ。温度Ｔ＝３００Ｋにおける水素分子の最大確率波長を求めよ。
３．１３． 速度に関するビーム中の原子の分布関数は、ｆ（ｕ）∽ｕ ３ｅｘｐ（−ｕ ２）。ここで、ｕは、線源における最大確率速度ｖ最大に対するビーム中の原子の速度の比。ｖ最大＝（２ｋＴ／ｍ）
１／２。ドブロイ波長に関する分布関数を求めよ。線源の温度がＴ＝３００Ｋにおいて、ヘリウムの原子ビームにおける最大確率波長を計算せよ。
３．１４． 単一エネルギーの電子ビームが、幅ｂ＝２．０μｍのスリットを持っている膜に垂直に入射する。スリットから距離ｌ＝５０ｃｍにあるスクリーン上に、中心部の最大回折の幅がΔｘ＝０．
３６ｍｍであるとき、電子の速度を求めよ。
３．１５． 電子が、２つの狭いスリットを持っている膜に垂直に入射する。スリット間隔はｄ＝２５μｍ。膜から距離ｌ＝７５ｃｍ離れているスクリーン上に、隣り合う回折の最大間の距離がΔｘ＝７．５μｍである。電子の運動エネルギーを求めよ。
３．１６． 単色の電子の細いビームが、傾斜角度θ＝３０°で、単結晶アルミニュームの面に入射する。単結晶のこの面に平行な、隣り合う結晶面間の距離はｄ＝０．２０ｎｍ。ある加速電圧Ｖ０のとき、鏡面反射の最大が観察された。鏡面反射の次の最大は、加速電圧Ｖ ０をη＝２．２５倍大きくしたとき起こった。Ｖ０を求めよ。
３．１７． 運動エネルギーＴ＝１８０ｅＶを持っている電子束が、単結晶ニッケル表面に垂直に入射する。表面の法線と角度α＝４５°をなす方向に、４次の反射極大が観察された。この反射に対応
する結晶面間距離を求めよ。
３．１８． 運動エネルギーＴ＝１０ｅＶを持つ電子束が、薄い単結晶薄膜を通過し、薄膜から距離
ｌ＝１０．０ｃｍの所にあるスクリーン上に、回折環を形成する。３次の反射極大が、半径ｒ＝１．
- 11 -

６ｃｍのリングに対応している。この反射に対応する結晶面間距離を求めよ。
３．１９． 電位差Ｖで加速された電子束が、ニッケル表面に入射する。ニッケルの内部電位はＶ ｉ＝１４Ｖ。以下を計算せよ。
（ａ）Ｖ＝１５０Ｖにおけるニッケルの屈折率。
（ｂ）屈折率が、１と、たかだか１．０％異なるときの比Ｖ／Ｖｉ。
３．２０． 質量ｍの粒子が、無限に高い壁を持つ、一様な直角のポテンシャル穴中を動く。穴の幅はｌ。穴の中では、ドブロイ波の半波長の整数倍の状態だけが許容されるものとして、粒子のエネル
ギー値を求めよ。
３．２１． ボーアの量子条件を、波動論を基礎に解釈し、ドブロイ波の整数倍が、定常ボーア軌道に対応していることを示せ。ｎ次軌道における電子の波長を求めよ。
３．２２． 幅ｂの狭いスリットを用いての粒子のｘ座標値の測定の不確
定性は、粒子の運動量の不確定性Δｐ ｘと、Δｘ・Δｐ ｘ≧ℏの関係があることを示せ。
３．２３． 図３．１を用いて、顕微鏡を用いた粒子のｘ座標の測定の不確定性は、粒子の運動量の不確定性Δｐｘと、Δｘ・Δｐ ｘ≧ℏの関係がある、ことを確認せよ。顕微鏡の分解能はｄ＝λ／ｓｉｎθ。ここで、λは使用している光の波長。
３．２４． 図３．２参照。粒子の平面束が、２個の狭いスリットのある膜に、垂直に入射し、回折図をスクリーン上に形成する。どの粒子が、どちらのスリットを通過したかを決定する試みは、回折図形の崩壊に繋がる。この事を説明せよ。
３．２５． １μｍの領域内に、局在している電子、陽子、ウラン
原子の速度の最小誤差を評価せよ。
３．２６．
評価せよ。

原子の大きさを１０−８ｃｍオーダーと仮定して、水素原子中の電子の速度の不確定性を

３．２７．

大きさｌ＝０．１０ｎｍの領域に局在している電子の最小運動エネルギーを評価せよ。

３．２８． 運動エネルギーＴ＝１０ｅＶと持っている電子が、大きさｌ＝１．０μｍの領域に局在している。電子の速度の相対的不確定性を評価せよ。
３．２９． 無限に高い壁を持った大きさｌの一様ポテンシャル穴中に、粒子が入っている。粒子のエネルギーが可能な最小値Ｅ 最小のとき、穴の壁に及ぼす粒子の圧力を求めよ。
３．３０． 質量 m の粒子が、一様なポテンシャル場 Ｕ（ｘ）＝κｘ２／２中にある。振動数ω（κ／ｍ）１／２の調和振動。この粒子の可能な最小エネルギーを求めよ。
３．３１． 不確定性関係から、水素原子の基底状態にある電子の結合エネルギーと、原子核からの電子の距離を評価せよ。
３．３２．
よ。

Ｈｅ原子中における電子の可能な最小エネルギーと、原子核からの電子の距離を評価せ３．３３． 自由に動いている非相対論的粒子が、オーダーが１．６×１０−４の運動エネルギーの相対的不確定性を有している。この粒子の座標の不確定性は、この粒子のドブロイ波長より、何倍大き
いか評価せよ。
３．３４． 最初、自由電子が、大きさｌ＝１０−８ｃｍの領域に局在していた。対応する波束の幅が、
η＝１００倍大きくなる時間間隔を求めよ。
３．３５． 速度ｖ＝１．２ｋｍ／ｓの水素原子の平行束が、狭いスリットを持っている膜に垂直に衝突する。膜から距離ｌ＝１．０ｍの所にスクリーンがおいてある。スクリーン上の像の有効幅が最小となるとき、不確定性関係から、スリットの幅を評価せよ。
３．２．シュレジンガー方程式。障壁を通過する粒子- 12 -

３．３６． 時間依存のシュレジンガー方程式のどのような解が、定常と呼べるのか。ポテンシャル
Ｕが時間にあからさまに依存しないとき、どのような解が得られるか。
３．３７． ポテンシャルエネルギーの基準点が、僅かな大きさΔＵだけ変化したとき、定常状態を記述する全波動関数Φ（ｘ、ｔ）はどのように変化するか。
３．３８．
求めよ。

運動量ｐでｘ軸の正方向に動く自由粒子における時間依存シュレジンガー方程式の解を３．３９．

自由に動く粒子のエネルギーは、任意の値をとることを示せ。

３．４０． 質量ｍの粒子が、無限に高い壁を持った、一様な直角のポテンシャル井戸中にある。粒子のｘ座標は領域（０，ｌ）で変化できる。ここで、ｌは井戸の幅。粒子のエネルギー固有値と、粒子の規格化された固有関数は、次の式で与えられることを示せ。
Ｅｎ＝π２ℏ２／（２ｍｌ２））ｎ２、
φｎ（ｘ）＝（２／ｌ）１／２ｓｉｎ（πｎｘ／ｌ）
ここで、ｎ＝１，２，・・・。
３．４１． 前問の条件を利用して、以下を求めよ。
（ａ）領域ｌ／３＜ｘ＜２ｌ／３に、最小エネルギーを持って粒子が存在する確率。
（ｂ）井戸内のエネルギー準位が十分に密であるとして、エネルギー間隔（Ｅ，Ｅ＋ｄＥ）内のエネ
ルギー準位数ｄＮ。
３．４２． 質量ｍの粒子が、無限に高い壁を持った、一様な直角のポテンシャル井戸中にある。粒子の座標ｘ、ｙは領域０＜ｘ＜ａ、０＜ｙ＜ｂ内で変化する。ここで、ａとｂは井戸の両辺長。以下を求めよ。
（ａ）粒子のエネルギー固有値と、規格化固有関数。
（ｂ）領域０＜ｘ＜ａ／３、０＜ｙ＜ｂ／３内に、最小エネルギーで粒子が存在する確率。
（ｃ）井戸の辺長が共にｌであるとして、最初の４つの準位での粒子のエネルギー値。
３．４３． 前問の条件と解を利用し、エネルギー間隔（Ｅ，Ｅ＋ｄＥ）の間に存在する粒子の状態数を求めよ。井戸の大きさはａ、ｂ。エネルギー状態は十分に密とする。
３．４４． 質量ｍの粒子が、完全に不透明壁からできている立方体の３次元ポテンシャル井戸中にある。井戸の１つの頂点に座標の原点を取り、以下を求めよ。
（ａ）井戸の辺長をａ，ｂ、ｃとして、粒子のエネルギー固有値。
（ｂ）３番目の準位と４番目の準位のエネルギー差。
（ｃ）井戸を立方体として、６番目の準位に対応する状態数。
３．４５． 前問の条件と、問題３．４４（ａ）の結果を用いて、準位密度ｄＮ／ｄＥ、則ち、単位
エネルギー間隔に存在する状態数を、Ｅに対する依存の式で求めよ。
３．４６． 粒子のポテンシャルエネルギーＵ（ｘ）が、有限差を持つとき、波動関数は滑らか、則ち、座標に関する１次微分は連続である。ことを証明せよ。
３．４７． 図３．３に示している一様なポテンシャル場Ｕ（ｘ）中に、質量ｍの粒子が存在している。ここで、Ｕ（０）＝∞。以下を求めよ。
（ａ）領域Ｅ＜Ｕ ０において、粒子の可能なエネルギー値を決める式。その式は、以下の形になることを導け。
ｓｉｎ（ｋｌ）＝±ｋｌ（ℏ２／（２ｍｌ２Ｕ ０））１／２、
ここで、ｋ＝（２ｍＥ）１／２／（ℏ）。
この式のグラフ解より、粒子の可能なエネルギー値は、離散スペクトルとなることを示せ。
（ｂ）最初とｎ次の離散準位にお蹴る、大きさｌ ２ Ｕ ０の最小値。ｌ ２ Ｕ ０＝７５（ℏ） ２ ／ｍであるとき、井戸には何個の準位が存在するか。
３．４８． 前問において、固有準位のエネルギーがＥ＝Ｕ０／２。この（？）問題の解を利用して、以下を求めよ。
（ａ）このような井戸におけるｌ２Ｕ０の値。
（ｂ）粒子の座標の最大確率値を、ψ２（ｘ）の依存性の概略で示せ。
（ｃ）領域ｘ＞ｌに、粒子が存在する確率。
３．４９． 質量ｍの粒子が、図３．４に示している一様な対称ポテンシャル場中にある。領域Ｅ＜
Ｕ０において、粒子の可能なエネルギー値を定める式を求めよ。その式は以下の形になることを導け。
ｋｌ＝ｎπ−２・ａｓｉｎ（ℏｋ／（２ｍＵ ０）１／２）、- 13 -

ここで、ｋ＝（２ｍＥ）１／２／ℏ、ｎは整数。
この方程式のグラフ解より、粒子の可能なエネルギー値は、離散スペクトルとなることを示せ。

３．５０． 前問の解を利用して、以下の場合において、ｌ２Ｕ ０の値を求めよ。
（ａ）粒子の基底状態でのエネルギーがＥ＝Ｕ０／２。
（ｂ）２番目の準位、ｎ番目の準位が出現する。ｌ ２ Ｕ ０＝７５ℏ ２／ｍのとき、井戸には幾つの準位があるか。
３．５１． 質量ｍの粒子が、ある一様なポテンシャル場Ｕ（ｘ）中で、定常状態にある。その波動関数は ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（−αｘ ２）。ここで、Ａとαは定数。ｘ＝０のときＵ（ｘ）＝０として、Ｕ（ｘ）と粒子のエネルギーＥを求めよ。
３．５２． 前問と同じであるが、ｘ＞０のとき、ψ（ｘ）＝Ａｘｅ −αｘ。ｘ＜０のとき、ψ＝０。
ｘ→∞のとき、Ｕ（ｘ）→０。Ｕ（ｘ）と粒子のエネルギーＥを求めよ。
３．５３． シュレジンガー方程式を用いて、振動数ωの調和振動のエネルギーを、定常状態（ａ）ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（−ａ２ｘ２）、（ｂ）ψ（ｘ）＝Ｂｅｘｐ（−ａ２ｘ２）について求めよ。ここで、Ａ，Ｂ、ａは定数。
３．５４． 振動数ωの調和振動のためのシュレジンガー方程式は、 ψ ξ＋（λ−ξ ２）ψ＝０の型にに変形できる。ここで、ξ＝αｘ、αは定数、λはパラメータ。λの固有値は２ｎ＋１。ここで、ｎ＝０，１，・・・。振動子の固有エネルギー値を求めよ。
３．５５． この章の最初に導出した公式を利用して、質量ｍ、振動数ωの振動子の、最初の３つの準位について以下を求めよ。
（ａ）固有関数と、その規格化係数。
（ｂ）振動座標ｘの最大確率値。これらの準位において、ｘの各値における確率密度分布の大凡のグラフを描け。
３．５６． 一様なポテンシャル場Ｕ（ｘ）∽ｘ ２中で、粒子が基底状態にある。場の古典的境界外に、粒子の存在する確率はいかほどか。
３．５７． 調和振動子の固有関数と、固有値を既知として、一様なポテンシャル場、ｘ＞０で、Ｕ（ｘ）＝κｘ ２／２、ｘ＜０でＵ＝∞ 中を動く質量ｍの粒子のエネルギー固有値を求めよ。
３．５８． 質量ｍの粒子が、３次元ポテンシャル場 Ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（κ／２）（ｘ ２＋ｙ ２＋ｚ２） 中で動く。ここで、κは準弾性力の係数。以下を求めよ。
（ａ）粒子の固有エネルギー値。
（ｂ）ｎ番目のエネルギー準位の縮重度。
３．５９． 質量ｍ、エネルギーＥの粒子が、直角のエネルギー障壁に、左から衝突をする。図３．
５参照。以下を求めよ。
（ａ）Ｅ＞Ｕ ０の場合として、この障壁の反射係数Ｒと透過係数Ｄ。これらの計数値は衝突する粒子の方向には依存しないことを確認せよ。
（ｂ）Ｅ＜Ｕ ０の場合として、反射係数Ｒ。この場合において、障壁への粒子の浸透の実効深さｘ 実効を求めよ。 ｘ実効とは、障壁の境界から、粒子の存在確率密度がｅ倍だけ小さくなる点までの距離。
電子の場合として、Ｕ０−Ｅ＝１．０ｅＶとして、ｘ実効を計算せよ。
３．６０． 質量ｍ、エネルギーＥの粒子が、直角のポテンシャル井戸に入射する。図３．６参照。
以下を求めよ。
（ａ）透過率Ｄと、反射率Ｒ。
（ｂ）この井戸を、障害無く通り抜ける粒子のエネルギーＥ。これは、条件ｌ＝ｎλ／２のとき満たされることを確認せよ。ここで、λは井戸内部における粒子の波長。ｎ＝０，１，２，・・・。
- 14 -

３．６１． 質量ｍ、エネルギーＥの粒子が、直角のポテンシャル障壁に衝突する。図３．７参照。
以下を求めよ。
（ａ）Ｅ＞Ｕ ０の場合において、透過率Ｄと、反射率Ｒ。得られた式は、Ｕ０の所の符号を変更することで、前の問題の対応する式と一致することを確認せよ。Ｅ→Ｕ０のときのＤを求めよ。
（ｂ）Ｕ ０＝１０．０ｅＶ、ｌ＝０．５０ｎｍとする。電子が、この障壁を障害無く通過する場合において、最初の３つのエネルギー値Ｅ。
（ｃ）Ｅ＜Ｕ ０の場合において、透過率Ｄ。Ｄ≪１の場合について、得られた式を簡単にせよ。
（ｄ）Ｕ ０＝１０．０ｅＶ、ｌ＝０．１０ｎｍとする。この障壁を通り抜けた、Ｅ＝５．０ｅＶを有する電子と陽子の存在確率。
３．６２． 公式 Ｄ≒ｅｘｐ（−２／ℏ） ｘ１∫ ｘ２（２ｍ（Ｕ−Ｅ）） １／２ｄｘ を使用して、図３．
８に示しているポテンシャル障壁を、質量ｍでエネルギーＥの粒子が、通り抜ける存在確率を求めよ。
３．６３． 前問と同様である。が、ポテンシャルの形状は図３．９に示している。Ｕ（ｘ）＝Ｕ０（１−ｘ２／ｌ２）。

- 15 -

４．量子力学の基礎
４．１．量子力学演算子
４．１． 以下の演算等式を調べよ。
（ａ）（ｄ／ｄｘ）ｘ＝１＋ｘ（ｄ／ｄｘ）（ｂ）ｘ２（ｄ／ｄｘ）（１／ｘ）＝ｘ（ｄ／ｄｘ）−１（ｃ）（１＋（ｄ／ｄｘ））２＝１＋２（ｄ／ｄｘ）＋（ｄ２／ｄｘ ２）（ｄ）（ｘ＋（ｄ／ｄｘ））２＝１＋ｘ２＋２ｘ（ｄ／ｄｘ）＋（ｄ ２／ｄｘ２）（ｅ）（１／ｘ）（ｄ／ｄｘ）ｘ）２＝（ｄ２／ｄｘ２）＋（２／ｘ）（ｄ／ｄｘ）（ｆ）（∂／∂ｘ＋∂／∂ｙ）２＝∂２／∂ｘ２＋∂２／∂ｘ∂ｙ＋∂ ２／∂ｙ２
４．２． 関数 （ａ）ｃｏｓｘ、（ｂ）ｅ ｘを作用させた結果を求めよ。

に、演算子（ｄ ２ ／ｄｘ ２）ｘ ２、（（ｄ／ｄｘ）ｘ） ２

４．３． 固有関数ψＡに属する演算子Â の固有値を求めよ。
（ａ）Â＝−（ｄ２／ｄｘ２）、ψＡ＝ｓｉｎ２ｘ。
（ｂ）Â＝−（ｄ２／ｄｘ２）＋ｘ ２、ψ Ａ＝ｅｘｐ（−ｘ２／２）。
（ｃ）Â＝（ｄ２／ｄｘ２）＋（２／ｘ）（ｄ／ｄｘ）、ψＡ＝（ｓｉｎαｘ）／ｘ
４．４． 次の演算子の固有関数ψと固有値を求めよ。
（ａ）−ｉ（ｄ／ｄｘ）。ただし、ψ（ｘ）＝ψ（ｘ＋ａ）、ここで、ａは定数。
（ｂ）−（ｄ ２／ｄｘ２）。ただし、ｘ＝０，ｘ＝ｌで、ψ＝０。
４．５． 演算子Ａ，Ｂがﾞ線形ならば、演算子Ａ＋Ｂ、ＡＢも線形であることを示せ。
４．６． 以下の交換関係を証明せよ。
（ａ）［Ａ，∑Ｂｉ］＝∑［Ａ、Ｂ ｉ］。
（ｂ）［Ａ，ＢＣ］＝［Ａ，Ｂ］Ｃ＋Ｂ［Ａ，Ｃ］。
４．７． 演算子Ａ，Ｂは交換可である。以下を証明せよ。
（ａ）（Ａ＋Ｂ）２＝Ａ２＋２ＡＢ＋Ｂ ２。
（ｂ）（Ａ＋Ｂ）（Ａ−Ｂ）＝Ａ２−Ｂ２。
（ｃ）［（Ａ＋Ｂ），（Ａ−Ｂ）］＝０。
４．８． 演算子Ａ ２＝∑Ａ ｉ２。演算子Ａ ｉが演算子Ｂと交換可ならば、Ａ ２はＢと交換可であることを証明せよ。
４．９． 交換関係［Ａ，Ｂ］＝１のとき、以下を証明せよ。
（ａ）［Ａ，Ｂ２］＝２Ｂ。
（ｂ）［Ａ，Ｂ３］＝３Ｂ ２。
（ｃ）［Ａ２，Ｂ ２］＝２［ＡＢ＋ＢＡ］。
４．１０． 以下の等式を調べよ。
（ａ）［ｘ、ｐｘ］＝ｉℏ、［ｘ、ｐｙ］＝０、［ｐｘ、ｐｙ］＝０。 ℏ＝ℏ（ｂ）［ｆ（ｘ）、ｐ ｘ］＝ｉℏ∂ｆ／∂ｘ、［ｆ（ｘ）、ｐｘ２］＝２ｉℏ（∂ｆ／∂ｘ）ｐ ｘ＋ℏ２（∂ ２ｆ／∂ｘ２）。
（ｃ）［ｘ２，［ｘ、ｐｘ２］］＝−４ℏ２ｘ。
ここで、ｆ（ｘ）は座標の任意の関数。
４．１１． ポテンシャル場Ｕ（ｘ）中のハミルトニアンＨに関する以下の交換則を検証せよ。
（ａ）［Ｈ，ｘ］＝−（ｉℏ／ｍ）ｐ ｘ。
（ｂ）［Ｈ，ｐｘ］＝ｉℏ∂Ｕ／∂ｘ。
（ｃ）［Ｈ，ｐｘ２］＝２ｉℏ（∂Ｕ／∂ｘ）ｐ ｘ＋ℏ２（∂ ２Ｕ／∂ｘ２）。
４．１２．
か。

演算子Ａは演算子Ｂ、Ｃと可換である。これより、演算子ＢとＣは可換であると言える

４．１３． 以下の定理を証明せよ。
（ａ）演算子Ａ，Ｂが、共通の固有関数を持っているならば、この２つの演算子は可換である。
（ｂ）演算子Ａ，Ｂが可換ならば、これら２つの演算子は共通の固有関数を持つ。（縮重がない場合について証明を行え）
４．１４． 以下の演算子の共通の固有関数を求めよ。
（ａ）ｘとｐ ｙ。（ｂ）ｐ ｘ、ｐｙとｐｚ。（ｃ）ｐｘとｐｘ２。
- 16 -

４．１５． ある状態ψ Ａにおいて、系は一定の力学量Ａの値をとる。この状態において、大きさＢの一定値を、系はもてるか。ただし、各々に対応する演算子Ａ ，Ｂ は可換とする。
４．１６．

演算子Ａ

がエルミートならば、その固有値は実数であることを証明せよ。

４．１７． 次の演算子はエルミート性を持つことを証明せよ。
（ａ）ｐｘ。
（ｂ）ｘｐｘ。
（ｃ）ｐｘ２。
（ｄ）Ｈ。
４．１８．

次の演算子と供役な演算子を求めよ。（ａ）ｘｐｘ。（ｂ）ｉｐｘ。

４．１９．
証明せよ。

演算子ＡとＢがエルミートで、交換可能ならば、演算子ＡＢはエルミートであることを

４．２０． 演算子Ａがエルミートならば、演算子Ａｎもエルミートであることを証明せよ。ここで、ｎは正の整数。
４．２１． 演算子Ａ，Ｂがエルミートならば、演算子Ａ＋Ｂ、ＡＢ＋ＢＡもエルミートであることを証明せよ。
４．２２． 演算子Ａ，Ｂがエルミートで、非可換ならば、（ａ）［Ａ，Ｂ］は非エルミート、（ｂ）
ｉ［Ａ，Ｂ］はエルミート、であることを証明せよ。
４．２３．

以下の演算子の固有値と、規格化固有関数を求めよ。（ａ）Ｌ ｚ、（ｂ）Ｌｚ２。

４．２４． 固有関数 Ｙ（θ、φ）＝Ａ（ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθｃｏｓφ）に対応している、演算子Ｌ２の固有値を求めよ。
４．２５． 演算子Ｌ ｚ はエルミートであることを証明せよ。証明は以下のように行え。（ａ）極座標系で、（ｂ）デカルト座標系で。
４．２６． 演算子Ｌｘ，Ｌｙ，Ｌｚがエルミートである。これよりできている演算子Ｌ２のエルミート性を証明せよ。
４．２７． 以下の交換関係を調べよ。
（ａ）［ｘ、Ｌｘ］＝０。（ｂ）［ｙ、Ｌ ｘ］＝ｉℏｚ。（ｃ）［ｚ、Ｌｘ］＝ｉℏｙ。
４．２８．
以下の交換関係を調べよ。
（ａ）［Ｌｘ，ｐ ｘ］＝０。（ｂ）［Ｌｘ，ｐｙ］＝ｉℏｐｚ。（ｃ）［Ｌｘ，ｐｚ］＝−ｉℏｐｙ。
４．２９． 前問の交換関係法則を利用して、以下を示せ。
（ａ）［Ｌｘ，ｐ ｘ２］＝０。（ｂ）［Ｌｘ，ｐ２］＝０。（ｃ）［Ｌｘ２，ｐ２］＝０。
４．３０．

演算子Ｌ２は、運動エネルギー演算子Ｔと可換であることを証明せよ。

４．３１． 以下の交換法則を確認せよ。
（ａ）［Ｌｘ，Ｌ ｙ］＝ｉℏＬ ｘ。（ｂ）［Ｌｙ，Ｌｘ］＝ｉℏＬｘ。（ｃ）［Ｌｘ，Ｌｘ］＝ｉℏＬｙ。
４．３２． 前問の交換法則を使用して。以下を示せ。
（ａ）演算子Ｌ２は演算子Ｌｘ，Ｌｙ、Ｌｚと可換である。
（ｂ）［Ｌ＋，Ｌ −］＝２ℏＬ ｚ。ここで、Ｌ＋＝Ｌｘ＋ｉＬｙ、Ｌ−＝Ｌｘ−ｉＬ ｙ。
４．３３． 質量μの粒子が、全時間において、中心から距離ｒ０の所を運動する。演算子Ｌ２の固有値は既知であるとして、このような回転子の固有エネルギーを求めよ。
４．２．平均値と確率
４．３４． 物理量Ａがエルミート演算子Ａ で記述されるとき、以下を証明せよ。
（ａ）その平均値は実数である。
（ｂ）この量の２乗の平均値は、＜Ａ２＞＝∫｜Ａ ψ｜２ｄｘ。
４．３５．

１次元の場合において、＜ｐｘ＞＝（ｉℏ／２）∫（ψｄψ＊／ｄｘ−ψ＊ｄψ／ｄｘ）ｄｘであることを証明せよ。
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４．３６．
示せ。

離散スペクトルの定常状態において、粒子の運動量の投射の平均値はゼロであることを

４．３７． 完全に不透過の壁を持つ、１次元の直角井戸内にある粒子の平均運動エネルギーを求めよ。井戸の幅は０＜ｘ＜ｌ。粒子の波動関数は、以下の場合とする。
（ａ）ψ（ｘ）＝Ａｓｉｎ２（πｘ／ｌ）、（ｂ）ψ（ｘ）＝Ａｘ（ｌ−ｘ）。
４．３８． 基底状態ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（−α ２ｘ２）にある振動数ωの振動子の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの平均値を求めよ。ここで、α ２＝κ／（２ℏω）、κは準弾性力係数で、Ｕ＝κｘ２／２。
４．３９． 以下の場合における平均値＜（Δｘ）２＞、平均値＜（Δｐ ｘ）２＞を計算せよ。
（ａ）完全不透過の壁を持つ１次元の直角ポテンシャル井戸中で、ｎ次準位にある粒子に関して。０＜ｘ＜ｌ。
（ｂ）調和振動子の基底状態ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（−Α２ｘ２）において。
（ｃ）状態ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（ｉｋｘ−α２ｘ２）にある粒子に対して。
４．４０． 状態ψ（φ）＝Ａｓｉｎ ２φにある、演算子Ｌｚ２で記述される力学量の平均値を求めよ。
４．４１． 状態ψ（φ）＝Ａｓｉｎφにある系において、平均値＜（Δφ）２＞、平均値＜（ΔＬ ｚ）＞、を計算せよ。

２

４．４２． 演算子Ｌ ｚが一定の固有値を持っている状態ψで、平均値＜Ｌ ｘ＞、＜Ｌ ｙ＞がゼロであることを証明せよ。
４．４３．

状態ψ（θ、φ）＝Ａｓｉｎθｃｏｓφにおいて、運動量の２乗平均値を計算せよ。

４．４４． 任意の軸への運動量の投射の可能値はｍℏに等しい。ここで、ｍ＝ｌ、ｌ−１，・・・、−ｌ。これらの投射は等確率であり、軸は等価である。以下を証明せよ。一定値ｌを有する状態において、角運動量の２乗の平均値は＜Ｌ２＞＝ℏ２ｌ（ｌ＋１）。
４．４５． 離散スペクトルの異なった固有値Ａ １，Ａ ２に属するエルミート演算子Ａ１、φ ２は、直交していることを証明せよ。

の固有関数φ４．４６． 固有関数の直交性を、直接の計算によって、以下について確認せよ。
（ａ）完全不透過の壁を持つ直角の１次元ポテンシャル井戸中の粒子に対する演算子ℏ。
（ｂ）演算子Ｌｚ。
４．４７． 正規波動関数ψ（ｘ）で記述される状態に、系がある。この関数は、エルミート演算子
Ａ の固有関数群に分解できる。則ち、ψ（ｘ）＝∑ｃ ｋψ ｋ （ｘ）。関数ψ ｋは１に正規化されているものと見なし、以下に答えよ。
（ａ）係数ｃ ｋを決める式を求めよ。
（ｂ）力学的物理量の平均値は、＜Ａ＞＝∑Ａｋ｜ｃｋ｜２であることを示せ。ここで、Ａｋは演算子の固有値。｜ｃ ｋ｜ ２の物理的意味を述べよ。
４．４８． 絶対不透過の壁を持つ１次元直角ポテンシャル井戸中（０＜ｘ＜ｌ）に、状態ψ（ｘ）
で、粒子が存在している。以下の場合における粒子の存在確率を求めよ。
（ａ）ψ（ｘ）＝Ａｓｉｎ２（πｘ／ｌ）の基底状態にある場合。
（ｂ）ψ（ｘ）＝Ａｘ（ｌ−ｘ）のｎ次準位の場合。最初の３つの準位について確率を計算せよ。
４．４９． （ａ）ψ（ｘ）＝Ａｓｉｎ２φ、（ｂ）ψ（ｘ）＝Ａ（１＋ｃｏｓφ） ２ 、の状態にある系において、演算子Ｌ ｚの可能な固有値と、その確率を求めよ。
４．５０． 波数演算子ｋ （ｋ ＝ｐ ／ℏ）の固有関数はψｋ（ｘ）＝（２π）−１／２ｅ ｉｋｘとして、波数ｋの異なる値の確率分布を求めよ。
（ａ）完全不透過な壁を持つ１次元直角ポテンシャル井戸中で、ｎ次の準位にある粒子について。
（ｂ）状態ψ（ｘ）＝Ａｅｘｐ（−α２ｘ２）にある振動子について。
４．３．状態の時間変化と力学的量
４．５１． 定常状態の波動関数の重ね合わせでできている波動関数は、時間依存定常シュレジンガ
ー方程式の解であることを説明せよ。
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４．５２． 絶対不透過の壁を持つ幅ｌの１次元直角ポテンシャル井戸中に、粒子が存在している。
時刻ｔにおける粒子の波動関数を求めよ。初期状態で波動関数は Ψ（ｘ、０）＝Ａｘ（ｌ−ｘ）の形をしているものとする。
４．５３． 自身の慣性中心の周りの平面内で回転している２つの強く連結している粒子からなる系
は、平面回転子と呼ばれる。そのような回転子のエネルギー演算子の形は、ℏ＝（ℏ ２／２Ｉ）∂ ２／∂φ ２。ここで、Ｉは系の慣性モーメント。最初、回転子の波動関数が、Φ（φ、０）＝Ａｃｏｓ２φの形をしていたと仮定し、時刻ｔにおける波動関数を求めよ。
４．５４． 時間依存シュレジンガー方程式を使い、演算子Ａ 、及びＡ
Ａの平均値の、時間微分導関数を計算し、以下となることを示せ。
（ａ）ｄＡ ／ｄｔ＝∂Ａ ／∂ｔ＋（ｉ／ℏ）（ℏＡ −Ａ ℏ）。
（ｂ）ｄ＜Ａ＞／ｄｔ＝＜ｄＡ／ｄｔ＞。
４．５５． 以下の演算等式を証明せよ。
（ａ）ｄ（Ａ ＋Ｂ ）／ｄｔ＝ｄＡ ／ｄｔ＋ｄＢ ／ｄｔ。
（ｂ）ｄ（Ａ Ｂ ）／ｄｔ＝（ｄＡ ／ｄｔ）Ｂ ＋Ａ（ｄＢで表記されるある力学量／ｄｔ）。

４．５６． 演算子形式で表記されている次の運動方程式の妥当性を証明せよ。
（ａ）ｄｘ／ｄｔ＝ｐｘ ／ｍ。
（ｂ）ｄｐｘ ／ｄｔ＝−∂Ｕ／∂ｘ。
４．５７． 力学的物理量の平均値は、古典力学の法則に従う、というエーレンフェストの定理は妥当とする。ポテンシャル場Ｕ（ｘ）下における粒子の運動において、（ａ）＜ｄｘ／ｄｔ＞＝＜ｐ ｘ＞／ｍ、（ｂ）＜ｄｐｘ／ｄｔ＞＝−＜∂Ｕ／∂ｘ＞、を示せ。
４．５８． ポテンシャル場Ｕ（ｘ）中で運動をする粒子について、以下の演算等式が満たされることを証明せよ。
（ａ）（ｄｘ２／ｄｔ）＝（１／ｍ）（ｐ ｘ ＋ｐｘ ｘ）。
（ｂ）ｄ（ｘｐｘ ）／ｄｔ＝ｐｘ ２／ｍ−ｘ∂Ｕ／∂ｘ。
（ｃ）ｄ（ｐ ｘ ２）＝−（ｐ ｘ ∂Ｕ／∂ｘ＋（∂Ｕ／∂ｘ）ｐ ｘ ）。
４．５９． 演算子Ｌｘ の時間微分は、外力のモーメントの投射演算子に等しいことを示せ。則ち、ｄ（Ｌｘ ）／ｄｔ＝Ｍ ｘ ＝−（ｙ∂Ｕ／∂ｚ−ｚ∂Ｕ／∂ｙ）。
４．６０． 演算子Ａ の固有関数ψで記述される状態に、粒子がいる。演算子Ａ は時間に依存しない。演算子Ａ がハミルトニアンℏと交換可ならば、この演算子の対応する固有値Ａは、時間に関して保存される、ことを証明せよ。
４．６１． 以下のような条件の下で、力学的量の内のどれ（エネルギーＥ、運動量の投射、角運動量モーメントの投射と２乗）が、粒子の運動において保存されるか。
（ａ）場がない場合（自由運動）。
（ｂ）一様なポテンシャル場Ｕ（ｚ）＝ａｚの場合。ここで、ａは定数。
（ｃ）中心対称ポテンシャル場Ｕ（ｒ）の場合。
（ｄ）一様な交流ポテンシャル場Ｕ（ｚ、ｔ）＝ａ（ｔ）ｚ。
４．６２． 粒子がある状態Ψ（ｘ、ｔ）にある。Ψ（ｘ、ｔ）は演算子Ａ の固有関数ではない。
演算子Ａ は時間に依存しないで、かつ、ハミルトニアンℏと交換可である。以下を証明せよ。
（ａ）力学量Ａの平均値は保存される。
（ｂ）力学量Ａの確定値の確率は時間に依存しない。
４．４．中心対称場。水素原子
４．６３． 中心対称ポテンシャル場Ｕ（ｒ）中で、粒子における全エネルギー演算子は、次の形態をとっている。
ℏ＝Ｔ ｒ ＋Ｌ ２／（２ｍｒ２）＋Ｕ（ｒ）。
演算子Ｔｒ はどのような形をしているか。
４．６４． 質量μの粒子が、中心対称場Ｕ（ｒ）中を動く。以下を求めよ。
（ａ）極座標表示で、粒子の波動関数をψ（ｒ、θ、φ）＝Ｒ（ｒ）・Ｙ（θ、φ）と表記するためのシュレジンガー方程式。演算子Ｌ ２の固有値は既知とし、変数分離された、関数Ｒ（ｒ）のためのシュレジンガー方程式を導け。
（ｂ）方位角度φに対する波動関数の依存性。
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４．６５． 粒子が、中心対称ポテンシャル場中で、状態 ψ（ｒ、θ、φ）＝Ｒｌ（ｒ）・Ｙｌｍ（θ、φ）にある。関数｜Ｙ ｌｍ｜ ２の物理的意味は何か。表を用いて、以下の関数の規格化係数を求めよ。
（ａ）Ｙ１，０。（ｂ）Ｙ２，１。
４．６６． 質量ｍの粒子が、球状対称ポテンシャル井戸にある。ここで、ｒ＜ｒ０のとき、Ｕ（ｒ）＝０、ｒ＞ｒ ０のとき、Ｕ＝∞。ｒ ０は井戸の半径。以下を求めよ。
（ａ）ｓ状態（ｌ＝０）にある粒子のエネルギー値と、規格化固有関数。ここで、ψ関数はｒだけに依存している。シュレジンガー方程式を解くとき、ψ＝χ／ｒの置換を利用せよ。
（ｂ）基底状態において、最大確率値ｒ 確率と、ｒ＜ｒ確率の領域に、粒子が存在する確率確率ｗ。
４．６７． 前問の解を利用して、量子準位ｎｓ（ここで、ｎは主量子数、ｓはｌ＝０）に存在している粒子について、平均値＜ｒ＞、＜ｒ ２＞、平均２乗偏差値＜（ｒ−＜ｒ＞）２＞を求めよ。
４．６８． 質量ｍの粒子が、球状対称ポテンシャル井戸にある。ここで、ｒ＜ｒ０のとき、Ｕ（ｒ）＝０、ｒ＞ｒ ０のとき、Ｕ＝∞。ｒ ０は井戸の半径。問題４．６６の解を利用して、以下を求めよ。
（ａ）粒子のｐ状態（ｌ＝１）を記述する波動関数ψの動径部分Ｒ １ （ｒ）。このためには、ｓ状態のＲ ０（ｒ）関数を決める動径関数に関するシュレジンガー方程式を微分し、得られた式をＲ１（ｒ）
関数を決める方程式と比較せよ。
（ｂ）最初のｐ準位のエネルギー。このエネルギーを基底状態のエネルギーと比較せよ。
４．６９． 質量ｍの粒子が、球状対称ポテンシャル井戸にある。ここで、ｒ＜ｒ０のとき、Ｕ（ｒ）＝０、ｒ＞ｒ ０のとき、Ｕ（ｒ）＝Ｕ０。ｒ０は井戸の半径。以下を求めよ。
（ａ）Ｅ＜Ｕ ０の領域で、ｓ状態（ｌ＝０）にある粒子のエネルギー固有値を決める式を、置換ψ（ｒ）＝χ（ｒ）／ｒを使い、求めよ。得られた式を、次の形に導け。
ｓｉｎ（ｋｒ０）＝±ｋｒ０（ℏ２／（２ｍｒ０２Ｕ０））１／２、
ここで、ｋ＝（２ｍＥ）１／２／ℏ。
（ｂ）この穴は、離散準位を決して持たない（連続準位を持つ）ことを確認せよ。１個のｓ準位だけが存在するときの、ｒ０２Ｕ０の値を求めよ。
（ｃ）ｒ ０ ２Ｕ ０ ＝８π ２ ℏ ２／（２７ｍ）と仮定して、ｓ状態にある粒子において、最大確率値ｒ 確率を求めよ。また、領域ｒ＞ｒ０に粒子が存在する確率も求めよ。
４．７０． 荷電量Ｚの原子核のクーロン場中における、電子の波動関数の動径部分を決める方程式
を、無次元形式で導出せよ。測定単位として、原子単位長（第一ボーア半径）、原子エネルギー単位（水素原子における電子の結合エネルギー）を採用せよ。
４．７１． 置換Ｒ（ｒ）＝χ（ｒ）／ｒを用いて、原子核のクーロン場中にある電子の波動関数の動径部分Ｒ（ｒ）の漸近解を、以下の場合について求めよ。
（ａ）原子核の遠方で。
（ｂ）原子核の近傍で。
４．７２． 水素原子中の電子が、球対称波動関数ψ（ｒ）＝Ａ（１＋ａｒ）ｅαｒで記述される定常状態にある。ここで、Ａ、ａ、αは定数。以下を求めよ。
（ａ）定数ａ、αと、電子のエネルギー（シュレジンガー方程式を利用せよ）。
（ｂ）規格化係数Ａ。
４．７３． 水素原子の１ｓ電子について以下を求めよ。
（ａ）原子核からの最大確立距離ｒ確立と、領域ｒ＜ｒ確立に、電子が存在する確立。
（ｂ）場の古典的限界外に、電子が存在する確立。
４．７４． 水素原子の１ｓ電子について、以下の平均値を求めよ。
（ａ）原子核からの平均距離＜ｒ＞、＜ｒ２＞、＜（ｒ−＜ｒ２＞） ２＞。
（ｂ）運動エネルギーと、平均２乗速度。
４．７５． 表４．２の中の式を利用し、水素原子の２ｐ電子、３ｓ電子について、以下を求めよ。
（ａ）原子核からの最大確立距離。
（ｂ）平均２乗偏差＜（ｒ−＜ｒ２＞）２＞ 。
４．７６．

水素原子の中心に、１ｓ電子によって作られる平均静電ポテンシャルを求めよ。

４．７７．

基底状態にある水素原子の原子核から距離ｒにおける平均静電ポテンシャルを求めよ。

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５．スペクトル。原子における電子雲
５．１．原子中の電子の状態
５．１． Ｎａ原子のイオン化ポテンシャルと、第一励起ポテンシャルを求めよ。ナトリウムにおける、基底項３Ｓと３Ｐの量子欠陥は各々１．３７，０．８８である。
５．２． Ｌｉ原子の項Ｓ，Ｐ，Ｄの量子欠陥を求めよ。基底状態にある価電子の結合エネルギーは
５．３９ｅＶ、第一励起ポテンシャルは１．８４ｅＶ、鈍系列の先頭スペクトル線の波長は０．６１０μｍである。どの分光学項が水素に一番似ているか。その判断基準は何か。
５．３． Ｌｉ原子の基底状態にある価電子の結合エネルギーを求めよ。鋭系列の先頭スペクトル線の波長は０．８１３μｍ、この系列の短波長限界は０．３４９μｍである。
５．４． 基底状態にあるリチウム原子の、以下の項への遷移により、選択則で許される幾つのスペクトル線が生じるか。
（ａ）４Ｓ。（ｂ）４Ｐ。
５．５． Ｂｅ ＋イオンにおいて、Ｓ項とＰ項の量子欠陥と、鋭系列の先頭スペクトルの波長を計算せよ。主系列の先頭スペクトル線の波長は３２１．０ｎｍ、その短波長限界は６８．８ｎｍである。
５．６． 同じ価電子を持つ原子とイオンの項は、Ｔ＝Ｒ（Ｚ−ａ）２／ｎ２の形に表記できる。ここ
で、Ｚは原子核の荷電量（単位はｅ）、ａは遮蔽補正項、ｎは価電子の主量子数。この公式を用いて、Ｌｉ原子において、基底状態にある価電子の補正項ａと量子数ｎを計算せよ。ＬｉとＢｅ ＋のイオン
化ポテンシャルは、各々、５．３９Ｖ、１７．０Ｖ。両方で補正項ａは同じである。
５．７． カリウムＫ原子において、共鳴線の２重項の成分の波長は、７６９ｎｍ、８９８ｎｍと、７６６ｎｍ、４９１ｎｍである。４Ｐ準位の分裂を求めよ。得られた値を共鳴遷移エネルギーと比較せよ。
５．８． 原子状セシウムの鋭系列の先頭スペクトル線は、波長１４６９．５ｎｍ、１３５８．８ｎｍのダブレットである。この系列の次のスペクトル線の成分間の間隔をｃｍ−１で求めよ。
５．９． 水素原子において、主量子数ｎ＝３の場合における電子の分光学項を求めよ。主量子数ｎをもつ水素原子の準位は幾つの微細構造を持つか。
５．１０． Ｈｅ ＋ イオンにおいて、（ａ）ｎ＝２，３，４をもつ準位の微細構造の端の成分間の間隔、（ｂ）ｎ＝３を持つ準位の微細構造内の隣り合う成分の間隔、をｃｍ−１で求めよ。
５．１１．
求めよ。

水素原子とＨｅ ＋イオンにおいて、２Ｐ−１Ｓスペクトルのダブレット成分の波長差を５．１２． ライマンシリーズの先頭スペクトル線のダブレットは、その波数差が２９．６ｃｍ −１であるとき、どのような水素様イオンに属するか。
５．１３． Ｈｅ ＋イオンにおいて、微細構造成分の数と、以下のスペクトルシリーズの先頭スペク
トルの端の成分間の間隔をｃｍ−１と波長で求めよ。
（ａ）バルマー。（ｂ）パッシェン。
５．１４． 如何ほどの分解能の装置ならば、原子状水素のバルマー系列の先頭スペクトルの微細構造を観察することができるか。
５．１５．

状態４Ｐと５Ｄにある原子の電子雲の全力学運動量の可能な値を求めよ。

５．１６． 充足電子殻以外に、以下の電子を持つ原子の可能な項を求めよ。
（ａ）２個の電子、ｓとｐ。
（ｂ）２個の電子、ｓとｄ。
（ｃ）３個の電子、ｓ、ｐとｄ。
５．１７．

ｄ電子とｆ電子からなる２電子系において、項の差は幾つか。

５．１８． 充足電子殻以外に、主量子数の異なっている２個のｐ電子を持っている原子の可能な項を記述せよ。
５．１９．

可能な多重度を求めよ。
- 21 -

（ａ）Ｄ３／２。
（ｂ）閉じていない外殻電子を励起したとき、原子Ｌｉ，Ｂｅ，Ｂ、Ｃの項。
５．２０． Ｆ状態にある原子の電子殻の可能な最大力学モーメントを求めよ。ただし、多重度１の５個の項からこの状態はできており、量子数Ｊは異なっている物とする。
５．２１． ２つの異なった原子のＰ状態とＤ状態において、可能な量子数Ｊの数値は、同じで３に等しい。これらの状態における原子のスピンモーメントを求めよ。
５．２２． 以下の場合において、原子のベクトルモデルにおいて、スピンモーメントと全モーメン
トの間の角度を求めよ。
（ａ）全モーメントの最大値を持った状態３Ｄにある。
（ｂ）充足電子殻以外に、３つの電子（ｐ、ｄ、ｆ）を持ち、この配置において、最大全力学モーメ
ントを持っている。
５．２３． 原子は状態 ４Ｆに有り、最大全モーメントを持っている。Ｊに関する縮重度を求めよ。
得られた値はどのような物理的意味を持っているか。
５．２４． 多重度が５，Ｊに関する縮重度が７である、原子の最大軌道モーメントを求めよ。この状態の分光学項を記せ。
５．２５． 原子のベクトルモデルで、多重度が３で、Ｊに関する縮重度が５である原子のスピンモーメントと全モーメントななす最大角度を求めよ。
５．２６． 可能な状態数を求めよ。
（ａ）量子数Ｌ，Ｓを持つ原子。
（ｂ）ｐ電子とｄ電子からなる２電子系。
（ｃ）電子配位ｎｄ ３。
５．２７． 以下のように電子が充填されている原子の電子数を求めよ。
（ａ）Ｋ殻、Ｌ殻は充填。３ｐ副殻は充填、３ｐ副殻は５０％充填。
（ｂ）Ｋ殻、Ｌ殻、Ｍ殻は充填。４ｓ副殻、４ｐ副殻は充填。
５．２８．

以下の量子数で決まる原子中の電子の最大数を求めよ。（ａ）ｎ，ｌ。（ｂ）ｎ。

５．２９． 以下の原子の電子配位と、フントの規則を利用して、原子の基本項を求めよ。（ａ）ＣとＮ、（ｂ）ＳとＣｌ。
５．３０． フントの規則を利用して、以下のような未充填電子殻を持つ原子の基本項を求めよ。
（ａ）
ｎｄ ２、（ｂ）ｎｄ３。
５．３１．
よ。

５個の電子でちょうど半分満たされている、不完全殻を有している原子の基本項を求め

５．３２．

電子がｎｄ６の不完全殻の配位にある原子の基底状態の多重度を求めよ。

５．３３． 電子が不完全殻、（ａ）ｎｐ ２ 、（ｂ）ｎｐ ３、（ｃ）ｎｄ ２ 、の配位にあるとき、可能な原子項を求めよ。
５．３４． 殻を充足するためには補償関係にある以下の例、（ａ）ｐ１とｐ５、（ｂ）ｐ２とｐ４、（ｃ）ｄ１とｄ９、で、２つの電子配位は、同じ原子項となることを調べよこの事実を説明せよ。
５．３５． 次の電子配位において、可能な原子項を記述せよ。
（ａ）ｎｓ１、ｎ ｐ２、（ｂ）ｎｐ１、ｎ ｐ２。
ここで、ｎ≠ｎ 。
５．２．スペクトル線の強度と幅
５．３６． 温度Ｔ＝３０００Ｋの気体リチウムにおいて、基底状態にある原子数に対する、状態２
Ｐにある原子数の比を求めよ。共鳴線（２Ｐ−２Ｓ）の波長はλ＝６７０．８ｎｍである。
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５．３７．
めよ。

温度Ｔ＝３０００Ｋにおいて、主量子数がｎ＝２である状態にある水素原子の割合を求

５．３８． ある準位に励起されている原子数は、式Ｎ＝Ｎ ０ｅ −ｔ／τに従って時間と共に減少する、ことを示せ。ここで、τはこの準位の平均寿命時間。
５．３９． 速度ｖ＝２．０ｋｍ／ｓで動いている原子ビームに沿って、距離ｌ＝１０ｍｍで、共鳴線の強度は、η＝６５倍減少する。共鳴励起状態にある原子の平均寿命τを計算せよ。準位の幅を評価せよ。
５．４０．基底状態にある水銀原子からなる希薄蒸気を、水銀灯の共鳴線（λ＝２５３．６５ｎｍ）で照射する。この時、水銀蒸気によるこのスペクトル線の放出強度はＩ＝３５ｍＷであることが観察された。共鳴励起状態の原子数を求めよ。この励起状態の平均寿命はτ＝０．１５μｓである。
５．４１． 原子数Ｎ＝３．０×１０ １６個を持っているリチウム気体が、温度Ｔ＝１５００Ｋにある。
共鳴（２Ｐ−２Ｓ）線λ＝６７０．８ｎｍの放射強度はＩ＝０．２５Ｗ。共鳴励起状態にあるリチウ
ム原子の平均寿命を求めよ。
５．４２． 放射を伴っている原子系が、温度Ｔで熱平衡状態にある。統計的重みｇ１，ｇ ２を持った原子の２つのエネルギー準位Ｅ１，Ｅ２間の遷移は、振動数ω、アインシュタイン係数はＡ２１，Ｂ ２１，
Ｂ１２と対応しているものとする。系の平衡状態においては、正方向遷移と逆方向遷移（Ｅ１⇔Ｅ２）は
単位時間当たり同じとし、体積当たりの熱放射エネルギースペクトル密度の式を、以下の場合について求めよ。
（ａ）誘導放射を考慮に入れる。その場合におけるアインシュタイン係数の関係を求めよ。
（ｂ）誘導放射を無視する。（どのような場合にこの無視は可能か。）
５．４３． 原子状水素が、自身の放射と熱平衡状態にある。以下を計算せよ。
（ａ）温度Ｔ＝３０００Ｋにおいて、準位２Ｐからの誘導放射の確率と、自然放射の確率の比。
（ｂ）誘導放射と自発放射の確率が同じとなる温度。
５．４４． 温度Ｔの気体中を、振動数ωの光束が通過する。このωは気体原子の共鳴遷移周波数と等しい（ℏω≫ｋＴ）。誘導放射を考慮し、気体の吸収係数は
κ（Ｔ）＝κ ０（１−ｅｘｐ（−ℏω／ｋＴ））
であることを示せ。ここで、κ０はＴ＝０Ｋでの吸収係数。
５．４５． 物質中を通過する電磁放射は、どのような条件下で、強められるか。気体原子の、準位
Ｄ２と１Ｐ１（ＥＤ＞ＥＰ）の密度比を求めよ。この気体をこれら２つの準位の遷移周波数と等しい周波数の単色電磁放射が通過するものとする。気体中渦中は放射は弱まらないと見なす。

１

５．４６． 図５．３参照。量子系において、準位２へのポンピングが行われる。その際、逆遷移は準位１を経由してのみが可能とする。この場合において、振動数ω ２１の光の増幅は、条件がｇ １Ａ １０＞ｇ ２Ａ ２１のときに可能であることを示せ。ここで、ｇ １，ｇ ２は準位１，準位２の統計的重み。Ａ １０とＡ ２１は対応する遷移のアインシュタイン係数。
５．４７． 図５．３参照。単位時間に、準位２へ原子数をｑとする。ポンピ
ング開始後、時間幅ｔの間に、準位１にある原子数を求めよ。アインシュタイ
ン係数Ａ２０，Ａ２１、Ａ１０は既知とする。誘導遷移は無視する。
５．４８． スペクトル線λ＝５３２．０ｎｍが、原子の２つの励起状態間の遷移で発生する。これら２つの励起状態の平均寿命は１２ｎｓ、２０ｎｓ。このスペクトル線の固有線幅を評価せよ。
５．４９． 固有線幅を持つスペクトル線の領域における放射の強度分布は
Ｊω＝Ｊ ０（γ／２） ２／（（ω−ω ０）２＋（γ／２） ２）で与えられる。ここで、Ｊ０はスペクトル線中心（ω＝ω０）での強度、γは各スペクトル線（励起状
態から直接に基底状態への遷移によるスものと条件付けられるペクトル線、γ＝１／τ。 τは励起状態の平均寿命）に特徴の定数。この公式を用いて以下を求めよ。
（ａ）γを既知として、スペクトル線の固有線幅δω。
（ｂ）状態６ １Ｐにある水銀原子の平均寿命。基底状態への遷移において、固有線幅δλ＝１．５×
１０ −５ｎｍのスペクトル線λ＝１８５．０ｎｍを放射するものとする。
５．５０． 前問の公式を思い出して、以下に答えよ。
（ａ）スペクトル線の幅の領域に、則ち、高さの半分におけるその幅に、スペクトル線の全強度の半分が包含される。ことを示せ。
- 23 -

（ｂ）スペクトル線の全強度、その固有幅δω、その中心におけるスペクトル強度Ｊ ０、を求めよ。
５．５１． ドップラー幅を有するスペクトル線における放射の強度分布が、次の形をしている。
Ｊω＝Ｊ０（−ａ（ω−ω０） ２／ω ０２）、ａ＝ｍｃ２／（２ｋＴ）。
ここで、Ｊ ０はスペクトル線中心のスペクトル線強度（ω＝ω ０のとき）、ｍは原子の質量、Ｔは気体の温度。以下に答えよ。
（ａ）マックスウエル分布を適用して、この式を求めよ。
（ｂ）スペクトル線λ０のドップラー幅、則ち、スペクトル線の高さの半分における輪郭の幅は
δλドップラー＝２λ０（ｌｎ２／ａ）１／２であることを示せ。
５．５２． 水銀の共鳴線の波長はλ＝２５３．６５ｎｍ。共鳴準位の平均寿命はτ＝０．１５μｓ。
温度Ｔ＝３００Ｋにおける、このスペクトル線のドップラー拡張幅の、固有幅に対する比を求めよ。
５．５３． 原子状水素の２ ２Ｐ→１２Ｓスペクトル線のダブレットの各々のスペクトル成分のドップ
ラー拡張は、どのような温度の時、これらスペクトル成分間の間隔と等しくなるか。
５．５４． ドップラー拡張のないスペクトル線を得るためには、細く弱い励起原子束を利用し、原子束に垂直な方から観察をする。λ＝５８９．６ｎｍの共鳴線のドップラー拡張が、その固有幅より小さいオーダーにあるときの、ナトリウム原子束の開き角度を求めよ。ナトリウム原子の速度はｖ＝１０００ｍ／ｓ、共鳴励起状態における平均寿命はτ＝１６ｎｓとする。
５．３．特性Ｘ線スペクトル５．５５． モーズリの法則を利用して、アルミニュームとコバルトのＫ α線に対応する、光子の波長とエネルギーを計算せよ。
５．５６．

特性Ｘ線放射のＬシリーズが始まる、周期表中の原子のＫα線の波長を求めよ。

５．５７． モーズリの法則における補正項σを１と見なして、以下を求めよ。
（ａ）波長１９３．５ｐｍ、１７８．７ｐｍ、１６５．６ｐｍ、１４３．４ｐｍのＫα線はどの元素に属するか。この列に属しているもう一つの元素のＫα線の波長は幾らか。
（ｂ）Ｋα線の波長が２．５０ｐｍ、１．７９ｐｍである元素の間には幾つの元素があるか。
５．５８． 周期表の最後の方の元素においては、モーズリの法則における補正項は１から大分ずれている。錫、セシウム、タングステンにおいてこの事を確認せよ。各々のＫ α線の波長は、４９．２
ｐｍ、４０．２ｐｍ、２１．０ｐｍである。
５．５９． Ｋα線と、連続Ｘ線スペクトルの短波長限界との差が、８４ｐｍである。ニッケルの反カソードを有している、このＸ線管にかける電圧を求めよ。
５．６０． Ｘ線管の加電圧を、１０ｋＶから２０ｋＶに上昇させたとき、Ｋ α線の波長と、連続Ｘ
線スペクトル線の短波長限界との差が、３倍大きくなった。反カソードの材料として、どのような元素が使われているか。
５．６１． Ｘ線管の加電圧を、徐々に増大していくと、Ｘ線放射スペクトルにどのような変化が起こるか。付録の物理表を使用して、バナジウムとタングステンからできている反カソードを持ったＸ
線管において、これらの元素のＫα線が放射さ始める最小電圧を計算せよ。
５．６２．
ずるか。

銀のＫ α線によって、モリブデンと銀において、どのような系列の特性スペクトルが生

５．６３． 図５．４に、Ｘ線放射の級数のＫバンドの短波長短と、放射Ｋα線とＫ β線が、示されている。
（ａ）吸収が不連続であることを説明せよ。
（ｂ）λ Ｋα＝２７５ｐｍ、λ Ｋβ＝２５１ｐｍ、λ Ｋ＝２４９ｐｍとして、原子のＫ準位、Ｌ準位、Ｍ準位を図解せよ。原子は何か。この原子の放出Ｋ αスペクトルの波長は幾らか。
５．６４． バナジウムのＫ系列、Ｌ系列の吸収短波長限界波長が既知であるとして、以下を計算せよ。微細構造は考慮しない。
（ａ）Ｋ電子、Ｌ電子の結合エネルギー。
（ｂ）バナジウムのＫα線の波長。
- 24 -

５．６５． チタンのＫ系列の先頭スペクトル線と、短波長限界の波長差がΔλ＝２６ｐｍである。
チタンのＬ電子の結合エネルギーを求めよ。
５．６６． 第一近似において、レントゲン項は、Ｔ＝Ｒ（Ｚ−ａ）２／ｎ２の形で表記される。ここ
で、Ｒはリードベルグ定数、Ｚは原子の原子番号、ａは遮蔽補正数、ｎは引き離される電子の主量子数。チタンのＫ項、Ｌ項の補正数ａを計算せよ。チタンのＫバンドの吸収端の波長はλ Ｋ＝２４９ｐ
ｍである。
５．６７．

銀のＫ α線によって、モリブデンのＫ殻から飛び出す電子の運動エネルギーを求めよ。

５．６８． アルミニュームのＫ α線による炭素の照射において、若干の単色エネルギー群を含む光電子が発生する。運動エネルギーが１．２１ｋｅＶを持って飛び出した炭素のこれらの電子の結合エネルギーを求めよ。
５．６９． 波長λのＸ線による、クリプトン原子の照射において、原子から２系統の電子が飛び出すことが観察された。Ｋ殻から解放された光電子と、Ｌ殻とのオージェ効果によって開放された電子である。Ｋ殻電子、Ｌ殻電子の結合エネルギーは、各々、１４．４ｋｅＶ、２．０ｋｅＶである。以下を計算せよ。
（ａ）λ＝６５ｐｍとして、両方の電子の運動エネルギー。
（ｂ）両方の電子のエネルギーが同じとなるときのＸ線の波長λ。
５．７０． （ａ）特性Ｘ線スペクトルはダブレットであることを示せ。（ｂ）Ｘ線吸収スペクトルにおいて。Ｋバンド端は１重、Ｌバンド端は３重、Ｍバンド端は５重であるのは何故か。
５．７１． （ａ）量子数ｌ＝１、ｊ＝３／２の電子を、閉殻の１つから引き離すとき、原子のＸ線
項のスペクトル記号を記せ。（ｂ）Ｌ殻から１個の電子を取り去るとき、原子の可能なＸ線項のスペ
クトル記号を記せ。Ｍ殻についても記せ。
５．７２． Ｋ殻とＬ殻の間の遷移によるスペクトル線の数を記せ。Ｋ殻とＭ殻、Ｌ殻とＭ殻の場合についても記せ。
５．７３． 付録の表を用いて、以下を計算せよ。
（ａ）タングステンのＫα線のダブレットの波長。
（ｂ）鉛のＫ α線のダブレットの波長差。
５．７４． 付録の表を用いて、ウラン原子の１ｓ、２ｓ、２ｐ１／２、２ｐ３／２電子の結合エネルギーを計算せよ。

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６．磁界中の原子６．１．原子の磁性。ゼーマン効果
６．１． 原子磁気モーメントは
μ＝ｇ（Ｊ（Ｊ＋１））１／２μＢ、
ここで、ｇ＝３／２＋（Ｓ（Ｓ＋１）−Ｌ（Ｌ＋１））／（２Ｊ（Ｊ＋１））。
ここで、μＢはボーア磁子、ｇはランデ因子。ベクトルモデルでこの式を求めよ。
６．２． 以下の場合におけるランデ因子を計算せよ。
（ａ）状態Ｓ，Ｐ，Ｄに、１価の電子がある場合。
（ｂ）状態３Ｐにある場合。
（ｃ）Ｓ状態にある場合。
（ｄ）シングレット状態にある場合。
６．３． 以下の量子状態の分光学項を記述せよ。
（ａ）Ｓ＝１／２，Ｊ＝５／２，ｇ＝６／７。
（ｂ）Ｓ＝１，Ｌ＝２，ｇ＝４／３。
６．４． 以下の状態における、磁気モーメントμを原子のボーア磁子μＢの単位で求めよ。
（ａ）１Ｆ。
（ｂ）２Ｄ３／２。
６．５． 状態Ｄ ２にある原子の磁気モーメントの最大値は、ボーア磁子の４倍に等しい。この項の多重度を求めよ。
６．６．

状態４Ｐにある原子の磁気モーメントを求めよ。

６．７．

基底状態にある水素原子の磁気モーメントを計算せよ。

６．８． 状態４Ｄ１／２，６Ｇ３／２にある原子の磁気モーメントは零であることを調べよ。この事実を、原子のベクトルモデルで、解釈せよ。
６．９． 状態５Ｆ、７Ｈにある原子の力学モーメントを求めよ。これらの状態において、磁気モーメ
ントは零であるとする。
６．１０． フントの規則を用いて、電子配位が、（ａ）ｎｐ ５、（ｂ）ｎｄ ３である、不完全殻を持った原子の基底状態の磁気モーメントを計算せよ。
６．１１． ベクトルモデルと、関係式ｄＪ／ｄｔ＝Ｍ、ここで、Ｊは原子の角運動量、Ｍは外力の力学モーメント、を用いて、磁場Ｂ中において、ベクトルＪの才差の角速度はω＝ｇμ Ｂ Ｂ／ℏであることを示せ。
６．１２． 原子が以下の状態の場合において、磁場Ｂ＝１０００Ｇ中における原子の力学モーメン
トの才差の角速度を求めよ（ａ）状態１Ｐ， ２Ｐ ３／２、 ５Ｆ １。
（ｂ）基底状態で、不完全殻ｎｐ４の電子配置にある原子。（フントの規則を利用せよ）。
６．１３． 状態３Ｆにある原子の力学モーメントが、磁場Ｂ＝５００Ｇ中で、角速度ω＝５．５×
１０ ９ラジアン／ｓの才差運動をしている。原子の力学モーメントと、磁気モーメントを求めよ。
６．１４． 状態６Ｆ１／２にある原子の力学モーメントは、磁場Ｂ中で、角速度ωで才差運動をし、そのベクトルはベクトルＢと反対方向を向いているのか、ベクトルモデルで説明をせよ。
６．１５． 状態２Ｐ１／２にある原子が、電流Ｉ＝１０．０Ａの流れている円形回路の軸上にある。原
子と回路の中心間の距離は、ｚ＝５．０ｃｍ。回路の半径はＲ＝５．０ｃｍ。原子と電流間に作用する相互作用力の最大値を計算せよ。
６．１６． シュテルン・ゲルラッハの実験において、銀の細い原子ビームが、狭くて不均一な磁場中を垂直に通り抜ける。そしてスクリーン上に入射する。図６．１参照。ａ＝１０ｃｍ、ｂ＝２０ｃｍ、原子の速度ｖ＝３００ｍ／ｓ、スクリーン上でのビー
ムの分裂幅δ＝２．０ｍｍ。磁束密度Ｂの勾配∂Ｂ／∂ｚの値は幾らか。
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６．１７． 細い原子ビームを、狭い不均一磁場中を、シュテルン・ゲルラッハ方で通過させる。以下を求めよ。
（ａ）状態 ４Ｆ， ６Ｓ、 ５Ｄにある原子の磁気モーメントの最大値。ビームは各々４，６，９成分に分離することがわかっているものとする。
（ｂ）状態３Ｄ２，５Ｆ１にある原子ビームは幾つの成分に分離するか。
６．１８． シュテルン・ゲルラッハ法における細い原子ビームの分裂に関する実験の１つで、基底状態 ４Ｆ ３／２にあるバナジウム原子を使用した。スクリーン上（図６．１参照）におけるビームの両端成分間の距離を求めよ。なを、ａ＝１０ｃｍ、ｂ＝２０ｃｍ、∂Ｂ／∂ｚ＝２３ｋＧ／ｃｍ、原子の運動エネルギーはＴ＝０．０４０ｅＶとする。
６．１９． 原子が磁場Ｂ＝３．００ｋＧ中にある。以下を求めよ。
（ａ）分光学項１Ｄの分裂全幅をｃｍ−１単位で。
（ｂ）全分裂幅が０．８４ｃｍ−１である分光学項に記号。
６．２０． 磁場中において、以下の状態間の遷移について図解せよ。
（ａ）１Ｄ→１Ｐ。
（ｂ）１Ｆ→１Ｄ。
これらの遷移の各々に対応するスペクトル線には幾つの成分が含まれているか。
６．２１． 波長λ＝０．６１２μｍのスペクトル線は、原子の２つのシングレット項間の遷移で生ずる。磁場Ｂ＝１０．０ｋＧ中で、このスペクトル線の両端成分間の間隔Δλを求めよ。
６．２２． 正常ゼーマン効果で観察される、λ＝５２５．０ｎｍのスペクトル線の両端の成分の間隔はΔλ＝２２ｐｍ。対応する項のゼーマン分裂の隣り合う副準位の間隔をｅＶ単位で求めよ。
６．２３． 原子の２つのシングレット項間の遷移によるスペクトル線λ＝５３６．０ｎｍの成分を分光するためには、分解能がλ／δλ＝１．０×１０ ５ を持つ分光器が必要である。観測を、（ａ）
磁場に平行、（ｂ）磁場に垂直、で行う場合、磁場の磁界強度の最小値を求めよ。
６．２４． 異常ゼーマン効果において、項の磁場分裂が、固有の多重分裂より十分に小さい場合、磁場は弱いと見なせる。以下を説明せよ。
（ａ）ナトリウムのダブレットの共鳴線の波長が、５８９．５９３ｎｍ（ ２Ｐ １／２→２Ｓ１／２）と５８８．
９９６ｎｍ（ ２Ｐ ３／２→２Ｓ １／２）のとき、ナトリウムの３２Ｐ１／２と３ ２Ｐ３／２項の隣り合う成分間の間隔
が、３２Ｐ状態の固有分裂の１／１０となるのは、磁界強度が幾らのときか。
（ｂ）固有分裂は微細構造のドップラーの公式で説明される、というモデルを適用し、水素原子の項
２
Ｐ１／２、２Ｐ２／３と２ ２Ｐ状態について同様に考察せよ。
（ｃ）Ｈｅ＋イオンの２Ｐ１／２，２Ｐ３／２と２２Ｐ状態についても同様に考察せよ。結果を水素原子の場合と比較検討をせよ。
６．２５． 原子の磁気モーメントの式を利用して、弱い磁場中における異常ゼーマン効果のスペク
トル線分裂を与える公式を求めよ。
６．２６． 弱い磁場中で、以下のスペクトル線は、正常ゼーマン効果或は異常ゼーマン効果を示す
か。
（ａ）１Ｐ→１Ｓ、２Ｄ５／２→２Ｐ２／３、３Ｄ１→３Ｐ ０、 ５Ｉ５→５Ｈ４。
（ｂ）原子Ｈ，Ｈｅ、Ｌｉ、Ｂｅ、Ｂ、Ｃ。
６．２７． 弱い磁場中で、 ２Ｐ３／２と２Ｓ１／２の間の遷移を図解せよ。各々のスペクトル線に対して、以下を計算せよ。
（ａ）単位μ ＢＢ／ℏで、ゼーマン成分の変位量。
（ｂ）Ｂ＝５．００ｋＧとして、成分両端間の間隔をｃｍ −１単位で。
６．２８． 磁場Ｂ＝２．０ｋＧ中で、ナトリウムのスペクトル線（２Ｐ ３／２→ ２Ｓ１／２）のゼーマン構
造を分解できる、分光器の最小分解能λ／δλを求めよ。
６．２９． 弱い磁場中における、以下の遷移を図解せよ。又、スペクトル線のゼーマン成分の変位量を、単位μ ＢＢ／ℏで、計算せよ。
（ｂ）２Ｄ５／２→２Ｐ３／２。
（ａ）２Ｄ３／２→２Ｐ３／２。
６．３０． 以下のスペクトル線のゼーマンπ成分の、弱い磁場中における変位量を単位μ Ｂ Ｂ／ℏ
で計算せよ。
（ｂ）３Ｄ ２→３Ｐ２。
（ａ）３Ｐ３→ ３Ｐ ２。
６．３１．

ベクトルモデルで、弱い磁場中において、Ｌ−Ｓ結合が完全に破れたとき、原子の磁気- 27 -

相互作用エネルギーはΔＥ 相互＝（ｍ Ｌ＋２ｍ Ｓ）μ ＢＢである、ことを示せ。これは正常ゼーマン効果
で起こることを示せ。
６．３２． リチウムの共鳴線のσ成分間の間隔が、このスペクトル線の固有分裂幅をｎ＝１０倍超えるようになるのは、磁界の磁束密度が幾らのときか。このスペクトル線のダブレットの波長は、６７０．７９５ｎｍと６７０．７８０ｎｍである。
６．３３． 項のゼーマン分裂の隣り合う副準位間の遷移周波数は、磁場中における原子の力学モー
メントの才差周波数に一致する、ことを示せ。
６．３４． 磁気共鳴の試験のために、固有磁気モーメントを持っている原子からできている物質を、２つの磁場の同時の作用下に置く。一定磁場Ｂと、この磁場に垂直で、弱い交流磁場Ｂνである。この試験において、交流磁場の周波数がω＝ｇμ Ｂ Ｂ／ℏのとき、エネルギーの最大吸収が起こることを示せ。
６．３５． 状態２Ｄ ３／２にある原子気体に、一定磁場Ｂと、それに垂直で周波数２．８ＧＨｚの交流磁場Ｂνを照射する。エネルギーの共鳴吸収はＢの値が幾らの所で生じるか。
６．３６． Ｎｉ原子（ ３Ｆ状態にある）に、同時に、一定磁場Ｂ＝２．００ｋＧと、それに垂直に
周波数ν＝３．５０ＧＨｚの交流磁場Ｂνを照射する、Ｎｉの磁気モーメントを求めよ。
６．２．反磁性と常磁性
６．３７． 磁場Ｂ＝１０．０ｋＧ中における、Ｈｅ原子とＸｅ原子の磁気モーメントを計算せよ。
各々の反磁性帯磁率は−１．９０×１０ −６ｃｍ３／モル、−４３．０×１０−６ｃｍ３／モル。
６．３８． 反磁性の小さい球を、磁場のない領域から、電流の流れているコイル中に、軸に沿って、磁束密度Ｂの点まで、ゆっくりと入れた。この過程でなされた仕事はＡ＝−χＶＢ ２／２であることを示せ。ここで、χは磁性体の単位体積当たりの磁気感受率、Ｖは球の体積。
６．３９． 電流Ｉ＝１０Ａ、半径Ｒ＝５．０ｃｍの円形回路は、回路の軸上、回路の中心から距離
ｚ＝５．０ｃｍにあるＮｅ原子に幾らの力を及ぼすか。ネオンの反磁性帯磁率はχ＝−７．２×１０−６
ｃｍ３／モル。
６．４０． 才差のラーマー振動数に対する式を使用して、原子状気体の反磁性帯磁率は
χ≒−Ｚｅ２Ｎ＜ｒ２＞／（６ｍｃ２）であることを示せ。ここで、Ｚは原子の周期律番号、Ｎは原子数、＜ｒ ２＞は原子核からの電子の平均２乗距離。
６．４１． 基底状態にある水素原子のモル半磁性帯磁率を計算せよ。水素原子の波動関数は＝（πｒ１３） −１／２ｅｘｐ（−ｒ／ｒ１）。ここで、ｒ１は第一ボーア半径。

ψ（ｒ）

６．４２． 反磁性に対する基本的な寄与は原子の外殻電子が持っている（何故か）、というモデル
で、Ｈｅ、Ｎａ＋、Ｃｌ−の外殻電子殻の半径を見積もれ。各々の反磁性帯磁率は、−１．９×１０−６
ｃｍ ３／モル、−６．１×１０−６ｃｍ３／モル、−２４．２×１０−６ｃｍ３／モル。
６．４３． ？ 球対称分布をしている荷電を持っている原子を、磁場Ｂ中においた。原子の中心において電子雲によって形成されている電位ポテンシャルＶ ０を経て、電子雲の才差運動による原子の中心における磁界の磁束密度Ｂを求めよ。
６．４４． 常磁性体が、磁界Ｂ中で、温度Ｔに有り、空間の量子化がない場合、分子の磁気モーメ
ント成分の平均値は＜μ＞＝μＬ（ａ）＝μ（ｈｃｏｔａ−１／ａ）、ａ＝μＢ／ｋＴ。
っこで、μは分子の磁気モーメント。Ｌ（ａ）はランジュバン関数。以下に答えよ。
（ａ）ボルツマン分布を使用して、この式を求めよ。Ｌ（ａ）のグラフを描け。
（ｂ）磁場が弱い場合（ａ≪１）と強い場合（ａ≫１）についてこの式を簡約化せよ。
６．４５． 弱い磁場Ｂ＝１００Ｇ中で、温度Ｔ＝３００Ｋにおけるある常磁性体気体の場の磁気モーメントは、０．１５０ｅｒｇ／（Ｇ・モル）である。気体の１モル当たりのキューリー定数、各々の分子の磁気モーメントを求めよ。
６．４６． 弱い磁場中で、磁気モーメント２．８μＢを持っているＯ２分子でできている気体の１ｃｍ３当たりの常磁性帯磁率を求めよ。気体は通常条件下にあるものとする。
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６．４７． 状態２Ｓ１／２にある原子からできている常磁性気体が、磁場Ｂ＝２５ｋＧ、温度Ｔ＝３００Ｋにある。比η＝ΔＮ／Ｎを計算せよ。ここで、ΔＮは場の方向への磁気モーメントの射影成分の正である原子数と、負である原子数の差である。Ｎは全原子数。計算は以下の場合で行え。
（ａ）空間量子化を考慮して。
（ｂ）古典的に。空間量子化を無視する。
６．４８．温度Ｔ、磁場Ｂ中で、状態２Ｓ１／２にあるＮ個の原子からできている磁性気体の磁気モーメントを求めよ。得られた式は、μＢｋＴの場合にはどう簡約化されるか。
６．４９． 常磁性気体が、温度Ｔ＝３００Ｋで、磁場Ｂ＝２０．０ｋＧ中にある。空間量子化を考慮し、比η＝ΔＮ／Ｎを計算せよ。問罪６．４７参照。計算は、原子が以下の状態にある場合について行え。（ａ）１Ｐ、（ｂ）２Ｐ３／２。
６．５０． 弱い磁場中で、原子の磁気モーメントの平均射影は、空間量子化を考慮して、＜μ Ｂ＞＝μ ２Ｂ／３ｋＴであることを示せ。ここで、μ＝ｇ（Ｊ（Ｊ＋１））１／２μＢ。
６．５１． 常磁性気体が、基底状態にあるリチウム原子からできている。以下を計算せよ。
（ａ）この気体の１モル当たりのキューリー定数。
（ｂ）磁界Ｂ＝１．００Ｇ中で、温度Ｔ＝３００Ｋにおけるこの気体の１ｇ当たりの磁気モーメント。
６．５２． 温度１６００Ｋで、弱い磁場中における酸素原子１ｇの常磁性感受率を求めよ。原子は基底状態３Ｐ２にあるものとする。

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７．２原子分子
７．１．回転状態と振動状態
７．１． 水素分子と、ＮＯ分子に関する付録の表を用いて、以下を求めよ。
（ａ）分子を第１回転準位（Ｊ＝１）に励起するのに必要なエネルギー。
（ｂ）Ｊ＝１を持つ状態での回転角速度。
７．２． ＨＣｌ分子において、２つの隣り合う回転準位のエネルギー差が７．８６ｍｅＶである量子数Ｊを求めよ。
７．３．

回転エネルギーが２．１６ｍｅＶの状態にある酸素分子の運動量を求めよ。

７．４． Ｈ ２分子と、Ｎ ２分子の並進運動の平均運動エネルギーが、量子数Ｊ＝１の状態におけるそ
れらの回転エネルギーに等しい。その時の温度Ｔを求めよ。
７．５． 回転準位の縮重度ｇ（＝２Ｊ＋１）を考慮して、温度Ｔ＝３００Ｋの水素分子において、回転状態がＪ＝１の分子の個数と、Ｊ＝２の分子の個数の比を求めよ。
７．６． 回転準位の縮重度がｇ＝２Ｊ＋１で表せるとして、温度Ｔ＝３００Ｋにおける、Ｏ ２分子の最も縮重度が高い回転準位の回転量子数Ｊ ｍを求めよ。この温度において、Ｊに対する回転準位の密度ＮＪ／Ｎ０の依存性の概略図を描け。
７．７．

Ｈ ２分子と、ＣＯ分子の準弾性力係数κを求めよ。

７．８． ２原子分子において、原子の相互作用のポテンシャルエネルギーは、次の式で近似できる。
Ｕ（ρ）＝Ｕ０（１−ｅ −ａρ）２， ρ＝（ｒ−ｒ０）／ｒ ０。
ここで、ｒ０は平衡状態での原子間距離、Ｕ０はポテンシャル井戸の深さ、ａは各分子毎の特性定数。
水素分子に関して、Ｕ０とａの値を計算せよ。
７．９． 水素分子Ｈ ２を、基底状態から第１振動準位（ｖ−１）まで励起するために必要なエネル
ギーを求めよ。このエネルギーは、この分子を第１回転準位へ励起するために必要なエネルギーの何倍か。
７．１０． Ｃｌ ２分子において、分子の並進運動の平均運動エネルギーが、基底状態から第一振動準位（ｖ＝１）への励起に必要なエネルギーに等しくなるのは、幾らの温度でか。
７．１１． ＯＨ分子において、量子数ｖ
ー差を求めよ。
７．１２．

＝１、Ｊ

＝０と、ｖ＝０、Ｊ＝５の状態間のエネルギ

ＨＦ分子において、基底準位と、第１励起振動準位の間にある回転準位数を計算せよ。

７．１３． ２原子分子がある。その固有振動数はω、非調和係数はｘ。この分子の、最大の可能な振動量子数、対応する振動エネルギー、解離エネルギー、を求めよ。Ｈ ２分子についてこれらの量を
計算せよ。
７．１４．
とする。

Ｃｌ ２分子の非調和係数を計算せよ。分子の振動周波数ωと、解離エネルギーＤは既知

７．１５． 重水素Ｄ ２、軽水素Ｈ ２からなる分子の解離エネルギーの差を求めよ。水素分子Ｈ ２の振動周波数は既知とする。
７．１６． 温度Ｔ＝９１０Ｋで、量子数ｖ＝２、ｖ＝１の振動状態にある（回転は無し）ＨＢｒ分子数の比を求めよ。この比が、１：１０になるのは、幾らの温度でか。
７．１７． 温度Ｔ＝１５００Ｋで、量子数ｖ ＝１，Ｊ ＝０と、ｖ＝０、Ｊ＝５にある水素分子数の比を、回転準位の縮重度を考慮して、求めよ。問題７．５を参照。
７．１８． 量子調和振動子の平均エネルギーを与えている公式を導出せよ。
＜Ｅ＞＝ℏω／２＋ℏω／（ｅｘｐ（ℏω／ｋＴ）−１）
７．１９． 問題７．１８の公式を用いて、以下の場合の温度を計算せよ。
（ａ）Ｃｌ２分子の平均振動エネルギーが、この分子の零振動エネルギーの２倍になる温度。
（ｂ）Ｏ ２分子の平均振動エネルギーに対応する準位が、この分子の第５回転準位（ｖ＝０，Ｊ＝５）と一致する温度。
- 30 -

７．２０． 問題７．１８の公式から、一定体積下における、２原子気体のモル振動熱容量に対する式を導け。得られた式から低温の場合（ｋＴ≪ℏω）と、高温の場合（ｋＴ≫ℏω）における近似式を求めよ。
７．２１． 問題７．１８の公式を利用して、Ｃｌ ２分子からできている一定体積の気体のモル振動
熱容量を、温度が１５０Ｋ，３００Ｋ、４５０Ｋにおいて、計算せよ。Ｃ振動（Ｔ）の概略グラフを描け。
７．２．分子スペクトル。ラマン散乱（連携散乱）７．２２． ＣＨ分子の慣性モーメント、２つの原子間隔を求めよ。これら分子の回転スペクトル間の隣り合うスペクトル線間隔は、Δν＝２９．０ｃｍ−１である。
７．２３． ＨＣｌ分子の回転スペクトルの隣り合う２つのスペクトルの波長は、１１７μｍ、１５６μｍ。以下に答えよ。
（ａ）回転定数Ｂ をｃｍ−１で。この分子の慣性モーメント。
（ｂ）これらのスペクトル線に対応している遷移が起こる準位の回転量子数。
７．２４． 回転スペクトルに属している波長λ＝１．２９ｍｍのスペクトルを放射したとき、ＣＯ分子の運動量は何倍変化するか。
７．２５．

ＯＨ分子の回転スペクトルに幾つのスペクトル線が含まれているか。

７．２６． ＨＢｒ分子の振動・回転吸収スペクトルにおいて、基底状態と最近接励起振動状態（ｖ＝０とｖ ＝１，２）間の禁止遷移（ΔＪ＝０）に対応しているゼロスペクトルの波数は２５５９．
３ｃｍ−１、５０２８．２ｃｍ −１。この分子の振動周波数と、非調和係数を求めよ。
７．２７． 選択則ΔＪ＝±１が正しいとして、２原子分子の回転振動スペクトルバンドを考察する。
遷移が起こる状態において回転定数が同じならば、バンドのスペクトル線の周波数はｋ＝１，２，３，・・・
ω＝ω０±２Ｂｋ、に等しいことを示せ。ここで、ω ０は、Ｊ選択則で禁止されているゼロスペクトル線の周波数、Ｂは回転定数。
７．２８． ＨＦ分子の慣性モーメントと非調和係数を求めよ。振動スペクトルの回転構造バンドの４本の連続するスペクトル線の波数は、３８７４ｃｍ−１、３９１６ｃｍ−１、４０００ｃｍ−１、４０４
２ｃｍ−１。これらのスペクトル線は、遷移ΔＪ＝±１と、ｖ ＝１→ｖ＝０に対応していることがわ
かっているとする。分子の振動周波数は、波数ν＝４１３８．５ｃｍ−１に対応している。全ての準位において、回転定数は同じとする。
７．２９． Ｈ３５Ｃｌ分子とＨ３７Ｃｌ分子の混合体がある。その回転スペクトル線の相対的同位体変
位量Δλ／λを求めよ。
７．３０． Ｃ０分子において、ｖ ＝１，ｊ ＝０→ｖ＝０、Ｊ＝１への遷移によるスペクトル線を考察する。振動スペクトルと回転スペクトルの同位体変位量Δν 振動、Δν回転をｃｍ−１単位で計算せよ。 １２Ｃ１６Ｏと１２Ｃ １７Ｏの混合体に対して、それらの比を計算せよ。
７．３１． Ｓ ２分子の振動周波数と、準弾性力係数を求めよ。なを、光のラマン散乱の振動スペク
トル中に、不動のスペクトル線の近傍にある赤と紫のサテライトスペクトルの波長は、３４６．６ｎｍ、３３０．０ｎｍである。スペクトルの非調和性は無視する。
７．３２． ？ ＨＦ分子の振動周波数を求めよ。ラマン散乱の振動スペクトル中で、不動スペクト
ル線に対する赤と紫のサテライト線の波長はλ ０＝１５４．０ｎｍ。分子の非調和性はΔｘ＝０．０
２１８。
７．３３． 温度Ｔ＝３００Ｋで、Ｃｌ ２分子のラマン散乱の振動スペクトル中で、不動線近傍の紫と赤のサテライト線の強度比を求めよ。温度を２倍上昇させると、この比は何倍変化するか。
７．３４． 回転量子数の選択則がΔＪ＝±１である分子において、ラマン散乱の回転スペクトル中
では、ΔＪ＝０，±２の選択則が成り立つ、ことを示せ。
７．３５． ラマン散乱の回転スペクトル中で、２原子分子の変移成分（赤と紫のサテライト）の周
波数は、選択則がΔＪ＝０，±２の場合、次の公式で与えられる。
ｋ＝１，２，３，・・・。
ω＝ω ０±２Ｂ（２ｋ＋１）、- 31 -

ここで、ω０は不動スペクトルの周波数。Ｂは回転定数。
（ａ）この式を求めよ。
（ｂ）Ｏ２分子の慣性モーメントと、原子間距離を求めよ。隣り合う赤のサテライト線の波数差は５．
８ｃｍ−１である。
７．３６． Ｎ２分子において、波長λ０＝５４６．１ｎｍを用いたラマンサンサンの回転スペクトル中において、不動スペクトル線最近傍の赤と紫のサテライト線の波長差が、Δλ＝０．７２ｎｍ。選択則ΔＪ＝０，±２を用いて、回転定数Ｂ をｃｍ−１単位で求めよ。分子の慣性モーメントも求めよ。

- 32 -

８．結晶
８．１．結晶構造。Ｘ線回折
８．１．

ナトリウムと銅の密度と結晶系が既知とする。これらの結晶の格子定数を求めよ。

８．２． 結晶ＮａＣｌ、結晶ＣｓＣｌの結晶構造及び結晶定数が既知として、これらの結晶の密度を求めよ。
８．３． 単純立方格子における結晶間距離ｄがｄｈｋｌ＝ａ／（ｈ２＋ｋ ２＋ｌ ２）１／２で与えられることを証明せよ。ここで、ａは格子定数。ｈ、ｋ、ｌはミラー指数。
８．４． 格子定数ａが既知として、（ａ）単純立方格子、（ｂ）体心立方格子、（ｃ）面心立方格子、について、格子間距離ｄ１００，ｄ１１０、ｄ １１１、及びそれらの比、を計算せよ。
８．５． ＡｇＢｒの結晶は、ＮａＣｌ型立方構造である。密度は６．５ｇ／ｃｍ ３。この結晶格子の［１１１］と［０１１］線分に沿った同一性の周期を計算せよ。
８．６． 単純立方格子、体心立方格子、面心立方格子において、［１００］、［１１０］、［１１１］
方向に沿った同一性の周期の比を求めよ。
８．７． ４次の対称軸を持っている立方晶系に属する結晶の単位格子の構造を求めよ。面（１００）間の間隔はｄ １＝１５８ｐｍ、面（１１０）間の間隔はｄ２＝２２３ｐｍ、結晶密度は１９．３ｇ／ｃ
ｍ３は既知とする。
８．８． 波長λの平行Ｘ線束が、周期ａとｂの単純正方格子に、任意の角度で入射する。格子に平行に配置しているスクリーン上に、どのような模様が観察されるか。回折の最大値の方向を見いだせ。
８．９． 周期ａ，ｂ、ｃの立方体正方格子に、単色Ｘ線放射が入射する。入射Ｘ線の方向が基本格子の稜ａに平行の場合、回折最大の方向を求めよ。どのような波長で、最大値が観測されるか。
８．１０． 格子定数ａの単純立方格子に、単色Ｘ線が、任意の方向から入射する。回折最大はどのような波長の時に可能か。
８．１１． 単純立方格子を例にして、ブラックの反射公式
条件 ｓ−ｓ ０＝ｈλ の結果である、ことを示せ。

２ｄ・ｓｉｎθ＝ｎλは、ラウエの８．１２． ＡｇＢｒ（ＮａＣｌ型結晶格子）の格子定数を求めよ。バナジウムのＫ α線が、入射角度θ＝２５．９度で、（１００）面系で、１次の反射を受けるものとする。
８．１３． ＮａＣｌ結晶（図８．１参照）の（１００）面系で、角度θ＝２５．０°で、１次の反射を受ける。この時のＸ線の波長を求めよ。この面系で、最大次数の反射を受けるときの、Ｘ線の入射角度を求めよ。
８．１４． ＮａＣｌ単結晶を、４回転軸（ｚ軸）に沿ってラウエ法で、結晶から距離Ｌ＝５０ｍｍ
離れているフィルムに、Ｘ線回折像を撮影する。面（０３１）、面（２２１）での反射に対応する最大値を得るため、以下を見いだせ。
（ａ）結晶からラウエ写真の中心までの距離（ｂ）Ｘ線の波長。
８．１５． 波長λのＸ線束が、ＮａＣｌ結晶（図８．１参照）に入射する。結晶は４次回転対称軸の周りに回転をし、入射Ｘ線の向きは、回転軸に垂直である。（１００）面系での２次と３次の最大の方向のなす角度がα＝６０°である。波長λを求めよ。

- 33 -

８．１６． 波長λ＝７１ｐｍのＸ線が、立方格子を有し、回転している金属結晶に入射する。結晶は、半径５７．３ｍｍの円柱型カメラの軸上に配置されている。入射Ｘ線の方向は、回転軸（カメラの軸と一致）に垂直である。得られたＸ線写真は、図８．２に示している幾つかの層線に並んでいる最大値からできている。方向［１１０］と方向［１１１］の周りに回転したとき、ｎ＝２とｎ＝−２の層線の間隔が、各々、６５．０ｍｍ、２３．５ｍｍである。この金属の結晶型は、体心かそれとも面心か。格子定数ａは幾らか。
８．１７． 単純立方格子から、体心立方格子、面心立方格子に移ったとき、単色Ｘ線の何次の反射が、消えるか。これら３つの格子の格子定数は同じとする。面（１００）、面（１１０）、面（１１１）での反射について考察せよ。
８．１８． 面心立方格子と体心立方格子において、デバイ写真中の最初の５つの線を与える面のミラー指数ｈ、ｋ、ｌを求めよ。
８．１９． 以下の結晶において、デバイ写真中の最初の５つの線を与える回折各２θを計算せよ。
Ｘ線の波長はλ＝１５４ｐｍ。（ａ）アルミニューム。（ｂ）バナジウム。
８．２０． アルミニュームのデバイ写真中で、３つの回折線に対する、反射指数ｈ＊、ｋ＊、ｌ ＊と、それに対応している面間距離を求めよ。Ｘ線の波長はλ＝７１ｐｍで、回折角は２θ＝１７°３０ 、
３３°５０ 、５４°２０ 。
８．２１． エネルギー２５ｋｅＶを持っている細い電子ビームが、薄い多結晶膜を通過し、膜から距離Ｌ＝２０．０ｃｍの所に位置している平板スクリーン上に、回折リングを形成する。１番目のリングの直径はＤ＝１３．１ｍｍ。多結晶は体心立方格子であることはわかっている。多結晶の格子定数を計算せよ。
８．２２． 立方格子結晶系を持っている多結晶膜でのデバイ型電子回折像で、最初の２つの回折リングの直径の比が、１：１．４。これらリングの直径は薄膜とスクリーンの間の距離と比較して、極めて小さいと見なす。結晶系は体心立方かそれとも面心立方か。
８．２．結晶の結合エネルギーと熱容量
８．２３． １次元結晶（荷電の符号が交互に変わっているイオンの鎖）のマーデリングエネルギーを計算せよ。計算においては、ｌｎ（１＋ｘ）を級数に分解せよ。
８．２４． ブラックの公式 ２ｄ・ｓｉｎθ＝ｎλ を使用して以下を求めよ。
（ａ）平衡状態にあるイオン結晶の結合エネルギーに関する式。
（ｂ）結晶ＮａＣｌ，結晶ＣｓＣｌ（図８．１参照）の屈折率、それらの平衡状態での結晶の結合エネルギーが７６５ｋＪ／モル、６２７ｋＪ／モル。
８．２５． 圧縮率Ｋ＝３．４７×１０ −１１／ＰａのＮａＣｌ結晶が全面から圧縮を受けた。その結果、体積が１．０％減少した。以下を求めよ。
（ａ）結晶の受けた圧力。
（ｂ）結晶の結合エネルギーの体積密度当たりの増加分。
８．２６． 平衡状態において、ＮａＣｌ結晶の圧縮率は、Ｋ＝３．４７×１０ −１１／Ｐａ。ボルン・ランデの公式
U=−αｑ２／ｒ＋β／ｒｎ
ここで、αはマーデリング定数で、ＮａＣｌ型結晶で、α＝１．７４８。ＣｓＣｌ型結晶で、α＝１．
７６３。β、ｎは定数（ ？ ）。ｑはイオンの荷電量、ｒは最近接原子間距離、を用いて、以下を計算せよ。
（ａ）屈折率ｎ。
（ｂ）平衡状態における結晶のモル当たりの結合エネルギー。
８．２７．
解け。

前問を、圧縮率がＫ＝５．０２７×１０ −１１／ＰａであるＣｓＣｌ結晶の場合について

８．２８． 平衡状態での圧縮率がＫ＝３．４７×１０ −１１／ＰａであるＮａＣｌ単結晶を、全方向から引っ張った。問題８．２６の公式を用いて、イオン間の距離が何倍になったか求めよ。結晶は強度の理論限界（この時、負圧は最大となる。 ？ ）まで引っ張られたとする。この時の圧力は幾ら
か。
８．２９．

問題８．２６の公式と並んで、イオン結晶の結合エネルギーを与える他の式- 34 -

Ｕ＝−（αｑ２）／ｒ＋Ａｅ−ｒ／ρが利用される。ここで、αとｑは前と同じ量。Ａとρはある新しい定数である。この公式を利用して、以下を求めよ。
（ａ）平衡状態にあるイオン結晶の結合エネルギーのための式。ＮａＣｌ結晶における定数ρを計算せよ。この結晶の平衡状態における結合エネルギーは７６５ｋＪ／モルである。
（ｂ）平衡状態において、ＮａＣｌ型結晶格子を持っている結晶の圧縮率を与える式。
８．３０． 温度Ｔにある結晶の振動エネルギーと熱容量を求めよ。格子中の各原子を量子調和振動子と見なし、結晶はＮこの同じ原子から出来ているものとする。原子は各々独立に同じ振動数ωで振動しているものとする。熱容量に対して得られた式を、ｋＴ≫ℏωと、ｋＴ≪ℏωの場合に、簡単化してみよ。
８．３１． Ｎ個の同じ原子からできている１次元鎖の結晶モデルについて考察する。鎖の両端は不動とする。鎖の周期はａ、原子の質量はｍ、準弾性力係数はκ。隣同士の原子間の相互作用だけを考慮する。以下を求めよ。
（ａ）この鎖の振動方程式と、波数ｋの固有値スペクトル。
（ｂ）波数に対する鎖の振動周波数依存性。可能な全振動数。最大振動数と、それに対応している波長を求めよ。
（ｃ）波数に対する位相速度の依存性と、最長波長波と最短波長波に対応している位相速度の比。
（ｄ）周波数領域（ω、ω＋ｄω）における鎖の固有振動数。
８．３２． 振動の伝搬速度が周波数に依存しないでｖであるとして、Ｎ個の同じ原子からできており、長さＬの１次元結晶について以下を求めよ。
（ａ）周波数間隔（ω、ω＋ｄω）における縦振動周波数。
（ｂ）特性温度θ。
（ｃ）温度Ｔにおけるモル振動エネルギーと、モル熱容量。熱容量に関して得られた式をＴ≫θ、Ｔ≪θの場合に簡単化せよ。
８．３３． ２次元結晶において、周波数間隔（ω、ω＋ｄω）における１つの偏向の基本振動の数は式ｄＺω＝（Ｓ／（２πｖ２））ωｄω
で与えられる。ここで、Ｓは結晶の面積、ｖは振動の伝搬速度。ｖはωに依存しないものと見なして、同じ原子からできている正方形格子において、以下を求めよ。なを、単位面積当たりにｎ ０個の原子があるものとする。
（ａ）特性温度θ。
（ｂ）温度Ｔにおけるモル振動エネルギーと、モル熱容量。熱容量に関して得られた式をＴ≫θ、Ｔ≪θの場合に簡単化せよ。
８．３４． 前問と同類である。が、３次元立方格子結晶を取り扱う。単位体積当たり同じ原子がｎ個入っている。周波数間隔（ω、ω＋ｄω）における１つの偏向の基本振動の数は式ｄＺω＝（Ｖ／（２π２ｖ３））ω２ｄω
で与えられる。ここで、Ｖは体積。以下を求めよ。
（ａ）特性温度θ。
（ｂ）温度Ｔにおけるモル振動エネルギーと、モル熱容量。熱容量に関して得られた式をＴ≫θ、Ｔ≪θの場合に簡単化せよ。
０８．３５． 縦振動と横振動の伝搬速度が周波数に依存しないで、各々ｖｌ、ｖｔであると見なし、以下の場合において、周波数間隔（ω、ω＋ｄω）における振動数ｄＺと、特性温度θを求めよ。
（ａ）２次元結晶。Ｎ個の同じ原子からできている正方格子で、面積はＳ。
（ｂ）３次元格子。Ｎ個の同じ原子からできている立方格子で、体積はＶ。
８．３６． 鉄の特性温度を計算せよ。鉄における、縦振動と横振動の伝搬速度は各々５．８５ｋｍ／ｓ、３．２３ｋｍ／ｓである。
８．３７． デバイの公式を用いて計算をせよ。
（ａ）比ΔＥ／Ｅ。ここで、ΔＥは０Ｋからθまで加熱するときに、結晶に与えなければならないエ
ネルギー、Ｅ ０は零振動エネルギー。
（ｂ）アルミニューム結晶において、温度をθ／２からθまで加熱するために、結晶に与えなければならないエネルギー。
８．３８． デバイの公式を利用して、温度θ／２と温度θにおける、結晶格子のモル熱容量を計算
せよ温度θにおける熱容量は、古典計算と何％の違いがあるか。
８．３９． 銀の零振動の特性温度とエネルギー（Ｊ／モル）を計算せよ。温度１６Ｋと２０Ｋにおいて、銀の熱容量は各々０．８７Ｊ／（Ｋ／モル）、１．７０Ｊ／（Ｋ／モル）であることがわかっ- 35 -

ている。
８．４０． 図８．３に、温度（デバイ単位で）に対する結晶の熱容量依存性がグラフで描かれている。ここで、Ｃ結晶は古典的熱容量、θは特性温度。このグラフを用いて以下を求めよ。
（ａ）銀に対する特性温度。Ｔ＝６５Ｋのとき、銀のモル比熱は１５Ｊ／（Ｋ・モル）である。
（ｂ）温度Ｔ＝１００Ｋにおけるアルミニュームのモル熱容量。Ｔ＝２８０Ｋにおいて、アルミニュームのモル熱容量は２２．５Ｊ／（Ｋ・モル）である。
（ｃ）銅の最大振動周波数ω最大。Ｔ＝１２５Ｋのとき、銅の熱容量は古典値と２５％異なっている。

８．４１．

アルミニュームにおける音響フォノンの最大エネルギー値と、運動量を求めよ。

８．４２． 温度Ｔにおいて、同じ原子のＮ個からなる結晶において、周波数間隔（ω、ω＋ｄω）の領域に存在するフォノンの個数はｎ（ω）ｄω＝９Ｎ（ℏ／（ｋθ））３ω２ｄω／（ｅｘｐ（ℏω／ｋＴ）−１）。
ここで、θは結晶の特性温度。
（ａ）問題８．３４のｄＺωに対する公式を利用して、この公式を導出せよ。
（ｂ）温度Ｔは既知として、フォノンの最大確率周波数が、フォノンの最大周波数と同じになり始める温度を求めよ。
（ｃ）Ｔ≪θ、Ｔ≫θのとき、温度Ｔに対する、結晶中のフォノンの全個数の依存特性を見いだせ。
８．４３． ？ 透明な物体による光の散乱は、フォノンでのフォトンの散乱過程の結果と見なすことができる。この時、物質中のフォトンは運動量ℏω／ｃ を持っているものと見なす。ここで、ｃは媒質中での光速度。エネルギー保存則と、運動量保存則を利用して、角度θで散乱する光は、不変成分以外に、２つの変量を持ち、それらの相対変位量はΔω／ω＝２（ｖ／ｃ ）ｓｉｎ（θ／２）
であることを示せ。ここで、ωは入射光の振動数、ｖは媒質中での音速。
８．４４． ？ ある物質（例えば、常磁性塩）は、極低温下で、格子熱容量Ｃ格子より桁違いに大きい熱容量Ｃｉを有する。熱容量Ｃｉは内部自由度、特に、内部結晶場中のスピン相互作用によることがわかった。各原子は、他の原子に関わりなく、ある方向に対して、自身のスピンを平行に、或は反平行にそろえる事ができ、かつ、これらの状態における原子のエネルギー差はΔＥに等しい、と仮定し、以下を求めよ。
（ａ）温度Ｔに対するＣｉの依存性。
（ｂ）Ｃｉが最大の時における、比ｋＴ／ΔＥ。
（ｃ）Ｃｉ最大が温度Ｔ＝θ／１００に対応している場合における、比Ｃ ｉ最大／Ｃ格子。ここで、θは特性温度。

- 36 -

９．金属と半導体
９．１．金属及び半導体中の自由電子
９．１． 不確定性関係を用いて、温度０Ｋの金属中で、間隔（Ｔ，Ｔ＋ｄＴ）の運動エネルギーを持つ自由電子の個数を求めよ。金属は体積Ｖで、直角平行六面体とする。量子状態数を定める時、電子の運動量成分は少なくとも、Δｐ ｘ ＝２πℏ／ｌｘを下回らない状態だけが物理的に異なっている物と見なす。ここで、ｌｘは六面体の稜の長さ。Δｐｙ、Δｐｚについても同様とする。
９．２． エネルギー間隔（Ｅ，Ｅ＋ｄＥ）の間にある自由電子の濃度はｎ（Ｅ）ｄＥ＝ｆ（Ｅ）ｇ（Ｅ）ｄＥ＝（（２ｍ３） １／２／（π２ℏ３））Ｅ１／２ｄＥ／（１＋ｅｘｐ（Ｅ−Ｅ ｆ）／ｋＴ）、ここでｆ（Ｅ）はフェルミ関数、ｇ（Ｅ）は状態密度、Ｅｆはフェルミ準位。
この公式から、０Ｋにある金属中で、自由電子の最大運動エネルギーＴ最大に対する式を得よ。電子
濃度はｎとする。銀におけるＴ最大を計算せよ。銀の原子の各々は１個の自由電子を持つものとする。
９．３． 問題９．２の公式を使い、以下を求めよ。
（ａ）金属中の自由電子の平均運動エネルギー。電子の最大運動エネルギーＴ 最大が既知とする。
（ｂ）金１ｃｍ３中の自由電子の全運動エネルギー。各原子は１個の自由電子を持つとする。
９．４． 温度０Ｋの金属中において、自由電子の運動エネルギーが最大値の半分より大きい自由電子の割合を求めよ。
９．５． 理想気体がある。その粒子の平均運動エネルギーは、温度０Ｋにおける銅の自由電子の平均運動エネルギーに等しい。この理想気体の温度を計算せよ。各々の原子は１個の自由電子を持つとする。
９．６． 温度０Ｋで、金属の体積はＶ＝１．００ｃｍ ３、自由電子濃度はｎ＝２．０×１０ ２２／ｃｍ３。この金属のフェルミ準位近傍における自由電子の隣り合う準位間の間隔をｅＶで求めよ。
９．７．フェルミ準位Ｅ Ｆ、０Ｋにおけるフェルミ準位Ｅ Ｆ０の値の違いは、計算時しばしば無視される。融点近傍における温度において、Ｅ Ｆ０に対してＥＦは何％の違いがあるか評価せよ。各原子には２個の自由電子がある物とする。
９．８． 自由電子の最大速度がｖ最大である０Ｋの金属において、以下の平均値を求めよ。
（ａ）自由電子の速度ｖ。
（ｂ）その逆速度１／ｖ。
９．９ ０Ｋの銅において、自由電子の最大確率速度と平均速度を計算せよ。自由電子濃度は８．５
×１０２２／ｃｍ３は既知とする。
９．１０． 原子当たり１個の自由電子を持っている単純立方格子を例にして、自由電子の最小ドブ
ロイ波長は、おおよそ隣接している原子間距離の２倍に等しい、事を示せ。
９．１１． 温度０Ｋにある金属において、ドブロイ波長に関する自由電子の分布関数を求めよ。関数をグラフに描け。
９．１２． 温度Ｔにある金属において、自由電子の平均エネルギーは＜Ｅ＞＝（３／５）Ｅｆ０（１＋（５π２／１２）（ｋＴ／Ｅｆ０）２）。
自由電子濃度が６．０×１０２２／ｃｍ ３の銀に対して、この式を用いて、以下を求めよ。
（ａ）温度Ｔ＝３００Ｋにおいて、電子気体の熱容量と、結晶格子の熱容量の比。
（ｂ）電子気体の熱容量と、結晶格子の熱容量が等しくなる温度。
９．１３． 金属ナトリウム中の自由電子の濃度はｎ＝２．５×１０ ２２／ｃｍ ３。電子気体の圧力ｐを求めよ。ｐ＝（２／３）Ｅであることを示せ。ここで、Ｅは電子気体の運動エネルギーの体積密度。
９．１４． 金属において、速度間隔（ｖ、ｖ＋ｄｖ）中の自由電子濃度は
ｎ（ｖ）ｄｖ＝２（ｍ／（２πℏ）） ３（１／（１＋ｅｘｐ（（Ｅ−Ｅ ｆ）／ｋＴ））ｄｖ、 ｄｖ＝ｄｖｘｄｖｙｄｖ ｚ。
（ａ）問題９．２の公式よりこの式を求めよ。
（ｂ）０Ｋにおいて、間隔（ｖ ｘ、ｖ ｘ＋ｄｖ ｘ）に速度の成分を持つ電子濃度を求めよ。自由電子の最大速度はｖ 最大とする。
９．１５． 前問の公式を使用して、２つの異なる金属を接触させたとき、それらのフェルミ準位が同じ高さになることを示せ。
- 37 -

９．１６． 問題９．１３の公式を用いて、速度間隔（ｖ、ｖ＋ｄｖ）の速度を持って、金属の単位面積から、単位時間当たりに飛び出す熱電子の個数は、
ν（ｖ）ｄｖ＝２π（ｍ／（２πℏ））３ｅｘｐ（−（Ａ＋Ｔ ｅ）／ｋＴ）ｖ ３ｄｖに等しい、事を示せ。ここで、Ｔ ｅは熱電子の運動エネルギー。Ａは脱出仕事。Ａ≫ｋＴと見なしている。
９．１７． 前問の公式を使い、以下を求めよ。
（ａ）熱電子の平均運動エネルギー。
（ｂ）金属表面からの熱電子放射の電流密度。
（ｃ）脱出仕事。温度を１５００Ｋから２０００Ｋに上昇したとき、熱電子放射電流の増加が５０００倍大きくなったとする。
９．１８． 自由電子濃度と、ホール濃度を定め、十分な低温において、真性半導体において、フェルミ準位は禁制帯の中間に位置することを示せ。
９．１９． 十分な低温では、ｎ型半導体中の自由電子濃度は、
ｎｅ＝（２ｎ ０） １／２（ｍｋＴ／（２πℏ２））３／４ｅ−ΔＥ／２ｋＴ、に等しい。ここで、ｎ０はドナー原子濃度、ΔＥはドナー原子の活性エネルギー。
（ａ）フェルミ分布関数から、この式を求めよ。
（ｂ）フェルミ準位の位置を求めよ。
９．２．金属及び半導体の性質
９．２０． 金属の伝導率がσ＝ｎｅ ２τ／ｍ。ここで、ｎは自由電子濃度、ｅとｍは電子の荷電量と質量、τは、電子の平均自由行程長と＜λ＞＝τ＜ｖ＞の関係がある緩和時間、＜ｖ＞は電子の平均速度。ｎ＝８．５×１０ ２２／ｃｍ ３、銅の抵抗率がρ＝１．６０×１０ −６Ω・ｃｍとして、τ、＜λ＞、電子の移動度を求めよ。
９．２１． 運動エネルギーＴ＝１３５ｅＶを持っている電子に対する、金属ナトリウムの屈折率を計算せよ。各原子は１個の自由電子を持っているものと見なす。
９．２２． ある原理の作用のもとで、自由電子が、金属の平らな表面に垂直に、距離ｘだけ移動したとする。その結果、表面荷電と、対応する復元力が生成し、いわゆるプラズマ振動の励起を引き起こす。銅におけるこの振動の周期を求めよ。銅における自由電子濃度はｎ＝８．５×１０ ２２／ｃｍ ３。
道中のプラズマ波のエネルギーはどうなるか。
９．２３． アルカリ金属（リチウム、ナトリウム、カリウムなど）は紫、外線に透明であることを、実験が示している。金属ナトリウムで、この現象が始まる光の限界波長を自由電子モデルから求めよ。
ナトリウムの自由電子濃度はｎ＝２．５×１０２２／ｃｍ３。
９．２４． アルカリ金属は温度に依存しない常磁性体である。それは以下のように説明される。外部磁場Ｂを印加したとき、ベクトルＢに反平行を向いているスピンを持っている自由電子がＢに沿って回転をし始めるが、パウリの原理に従って、より高い非占有準位へそれらは遷移する。この過程は、電子の磁気エネルギーの減少が、それらの運動エネルギーの増大と同程度にならない間行われる。これより、弱い磁界中における体積１ｃｍ ３当たりの金属の常磁性透磁率を求めよ。自由電子濃度はｎ＝２．０×１０２２／ｃｍ３とする。
９．２５． 極低温において、純粋なゲルマニュームの光導電の赤色限界は、λ ０≒１．７μｍ。Ｔ＝３００Ｋにおけるこの半導体の抵抗の温度係数を計算せよ。
９．２６． 温度０Ｋにおいて、純粋なテルルにおいて、電子・正孔対の生成に必要な最小エネルギーを求めよ。テルルは温度Ｔ １＝３００ＫからＴ２＝４００Ｋまでの温度上昇で、導電率はη＝２．
５倍増大することがわかっているものとする。
９．２７． 図９．１に、ホウ素の不純物を持ったシリコン（ｎ型半導体 ？ ）において、温度の逆数に対する伝導率の対数値のグラフが描かれている。このグラフの特徴を述べよ。このグラフより、シリコンの禁制帯幅と、ホウ素原子の活性エネルギーを求めよ。
９．２８． 禁制帯幅が０．７２ｅＶ、電子と正孔の移動度が３６００ｃｍ ２／（Ｖ・ｓ）、１８０
０ｃｍ ２／（Ｖ・ｓ）である純粋なゲルマニュームでできている試料が、温度３００Ｋで、電磁放射場中にある。この時、資料の比抵抗率は４３Ω・ｍ。試料導電率の如何ほどの割合が、光導電による- 38 -

ものか、求めよ。
指針 問題９．１８の解答を参照せよ。
９．２９． 室温において、純粋なゲルマニュームの比抵抗率はρ＝５０Ω・ｃｍ。光を照射すると、比抵抗率はρ １＝４０Ω・ｃｍとなった。ｔ＝８ｍｓ後に、光照射を止めると、比抵抗率はρ２＝４５
Ω・ｃｍとなった。電子と正孔の平均寿命を求めよ。
９．３０． 問題９．１９で用いている公式を利用して、ｎ型半導体におけるドナー原子の活性エネ
ルギーを計算せよ。電子の移動度は５００ｃｍ ２ ／（Ｖ・ｓ）、ドナー原子濃度は５．０×１０ １７／
ｃｍ ３、５０Ｋにおける比抵抗率は１．５Ω・ｃｍは既知とする。
９．３１． 温度Ｔ＝３００Ｋにおいて、ｎ型ゲルマニュームのある試料が、比抵抗率ρ＝１．７０
Ω・ｃｍ、ホール係数Ｒ＝７．０×１０ −１７ｃｇｓ単位を有している。以下を求めよ。
（ａ）伝導電子の濃度と移動度。
（ｂ）電子の平均自由行程長。
９．３２． 幅ｄ＝１．０ｃｍ、長さｌ＝５．０ｃｍのｐ型半導体からできている板を、Ｂ＝５．０
ｋＧの磁界中に置いた。板の両端に、一定電圧Ｕ＝１０．０Ｖを印加した。この時、ホール電位差がＶ Ｈ＝０．０５０Ｖ、比抵抗率はρ＝２．５Ω・ｃｍであった。ホール係数、正孔の濃度と移動度を求めよ。
９．３３． 外部磁場内で、電流の流れている半導体中の電子と正孔の運動特性を考察しながら、電流のキャリアの濃度と移動度に対するホール係数の依存性を見いだせ。
９．３４． 純粋なゲルマニューム中の電子と正孔の移動度の差を計算せよ。Ｂ＝３．０ｋＧの磁場中で、縦電界強度Ｅに対する横電界強度Ｅ垂直の比が０．０６０であるとする。
９．３５． 電子の移動度が、正孔の移動度の２．１倍大きいあるゲルマニュームの試料において、ホール効果が観測されない。この試料に関して以下を求めよ。
（ａ）伝導電子の濃度と正孔濃度の比。
（ｂ）電気伝導の幾らの割合が電子によるものか。

- 39 -

１０．原子核の基本的特性
１０．１．原子核の半径、質量、結合エネルギー
１０．１．

原子核の密度、原子核の核子の濃度、原子核の電気量密度を求めよ。

１０．２． ？ 薄い鉛箔により陽子の散乱は、陽子のＢρ（？）値が４５０ｋＧ・ｃｍを超えない
とき、ラザフォードの公式に合致する。これより、鉛の原子核半径を評価せよ。
１０．３． 原子核による高速電子の散乱に関する実験結果は、原子核の荷電の体積分布がρ（ｒ）∽（１＋ｅ（ｒ−ｒ ０）／δ）−１と十分良く一致する。ここで、ｒ０＝１．０９Ａ １／３ｆｍ、δ＝０．
５４５ｆｍ。Ａｇ原子核の荷電分布の最大確率半径を求めよ。得られた結果を、この原子核の半径と比較せよ。
１０．４． 新しい原子の質量単位系は、原子１２Ｃの質量の１／１２を、１ａｍｕとしている。古い
質量単位系では、原子１６Ｏの１／１６を１ＭＥとしていた。ａｍｕ単位とＭＥ単位の間の関係を求めよ。古い単位系から、新しい単位系へ移行すると、原子の質量数はどのように変わるか。
１０．５． 同位元素１２Ｃと １３Ｃからできている自然炭素における同位元素１３Ｃの含有率を、原子数と質量の両方で求めよ。自然炭素の原子量と、両方の同位元素の原子量は既知とする。
１０．６． １Ｈ，２Ｈ、１６Ｏの核子の質量を求めよ。以下の質量差が既知とする。２× １Ｈ− ２Ｈ＝０．
００１５４８ａｅｍ、３× ２Ｈ−０．５× １２Ｃ＝０．０４２３０６ａｅｍ、（ １２Ｃ＋４× １Ｈ）− １６Ｏ＝０．０３６３８６ａｅｍ。
１０．７．

原子核の結合エネルギーを与える公式は質量単位系でＥ 結合＝ＺｍＨ＋（Ａ−Ｚ）ｍｎ−Ｍ
ここで、Ｚは原子番号、Ａは質量数、ｍ Ｈは水素原子の質量、ｍ ｎは中性子の質量、Ｍは対応している
原子核の質量。この公式を用いて、以下を求めよ。
（ａ）陽子数と中性子数が同じであるが、核半径が原子核 ２７Ａｌより１．５倍小さい原子核の結合エネルギー。
付記 原子核の半径を与える公式 Ｒ＝１．４Ａ１／３。ここで、Ａは質量数。
（ｂ）原子核 ６Ｌｉ，４０Ａｒ、１０７Ａｇ、 ２０８Ｐｂの核子１個あたりの結合エネルギー。
１０．８． 核子の質量表を使用して以下を求めよ。
（ａ）２１Ｎｅ中における中性子の結合エネルギーとα粒子の結合エネルギー。
（ｂ）原子核 １６Ｏを４つの同形の粒子に分裂させるに必要なエネルギー。
１０．９． 原子核 ２０６Ｐｂが中性子を捕獲して生ずる原子核２０７Ｐｂの励起エネルギーを求めよ。中性子の運動エネルギーは無視できるものとする。
１０．１０． 原子核１４Ｎにおける中性子の結合エネルギーを計算せよ。原子核１４Ｎと １３Ｎの結合エネルギーは１０４．６６ＭｅＶ、９４．１０ＭｅＶであることが既知とする。
１０．１１． １６Ｏをα粒子と １２Ｃに分裂するために必要なエネルギーを求めよ。 １６Ｏ、 １２Ｃ、 ４Ｈｅの結合エネルギーは１２７．６２ＭｅＶ、９２．１６ＭｅＶ、２８．３０ＭｅＶである。
１０．１２． ２Ｈと６Ｌｉの原子核の融合で２個のα粒子が形成されるとき放出されるエネルギーを求めよ。 ２Ｈ、 ４Ｈｅ、 ６Ｌｉの核子１個あたりの結合エネルギーは各々、１．１１ＭｅＶ、７．０８
ＭｅＶ、５．３３ＭｅＶである。
１０．１３． 荷電が原子核内で一様に分布しているとすれば、陽子のクーロン斥力のエネルギーはＵクーロン＝０．６Ｚ２ｅ２／Ｒであることを示せ。ここで、ＺとＲは原子核の荷電量と半径である。
１０．１４． 鏡映核３３Ｓと ３３Ｃｌの結合エネルギー差を計算せよ。３３Ｓの質量は、３３Ｃｌの質量より０．００５９９ａｍｕだけ小さい事を既知とする。得られた結果を、これらの原子核内の陽子のクーロン斥力エネルギー差と比較せよ。使用する公式は問題１０．１３を参照せよ。結果の一致の理由を説明せよ。
１０．１５． 鏡映核２３Ｎａと２３Ｍｇの結合エネルギーの差は、これらの原子核内のクーロン斥力エ
ネルギーだけの差で決まると見なし、これらの原子核の半径を求めよ。得られた結果を、核半径の公式で計算される値と比較せよ。
１０．１６． 半経験公式を利用して以下を計算せよ。
（ａ）４０Ｃａと１０７Ａｇの結合エネルギー。
- 40 -

（ｂ）５０Ｖと ２００Ｈｇ中の核子１個あたりの結合エネルギー。
（ｃ）４５Ｓｃと７０Ｚｎの質量。
原子核の結合エネルギーの半経験公式
Ｅ＝１４．０Ａ−１３．０Ａ２／３−０．５８４Ｚ２／Ａ１／３−１９．３（Ａ−２Ｚ） ２／Ａ＋３３．５
δ／ Ａ３／４。
δ＝＋１ ＡとＺが偶数の時＝０Ａが奇数の時。Ｚは任意。
＝−１ Ａが偶数、Ｚが奇数の時
１０．１７． 前問の公式（略注 Ｅ∽Ｍ）を用いて、質量数Ａの同じ奇数値を持っている原子核の中で最大の質量を持つ原子核の荷電量を定めよ。得られた公式を用いて、以下のβ活性原子核の活性特性（電子活性かそれとも陽電子活性か）を判断せよ。１０３Ａｇ、１２７Ｓｎ，１４１Ｃｓ。
１０．２．原子核のスピンと磁気モーメント１０．１８． 以下の原子の基本項の超微細構造は幾つの成分を持っているか。 ３ Ｈ（２Ｓ １／２ ）， ６
Ｌｉ（ ２Ｓ １／２）， ９Ｂｅ（ １Ｓ ０）、 １５Ｎ（ ４Ｓ ３／２）， ３５Ｃｌ（ ２Ｐ １／２）。括弧内に、原子の電子殻の基本項が示されている。
１０．１９． 原子核５９Ｃｏのスピンを求めよ。この原子の基本項は４Ｆ ９／２で、超微細構造は８個の成分を持っている。
１０．２０． 原子 ３９Ｋにおける２Ｐ１／２→２Ｓ １／２と２Ｐ ３／２→２Ｓ １／２のスペクトル線の超微細構造分離の成分数を求めよ。核のスピンは既知とする。
１０．２１． ？ 同じ原子の２つの項が、異なった量子数Ｊ（Ｊ １とＪ ２）を持っている。両方の項において成分数が、（ａ）同じ（Ｎ １＝Ｎ ２）、（ｂ）異なる（Ｎ １≠Ｎ ２）時、各々の項の超微細構造分裂の成分数Ｎに関して、どのような量子数（Ｊ又はＩ）を定義できるか。
１０．２２． ナトリウムの ２Ｐ１／２→２Ｓ１／２の超微細構造分裂も成分の強度比が、約１０：６に等しい。超微細構造が、項２Ｓ １／２の分裂（項 ２Ｐ１／２の分裂は無視できるほど小さいとする）で生ずるとして、原子核２３Ｎａのスピンを求めよ。
１０．２３． 原子の電子雲は、原子核に位置に磁場Ｂ ０を形成する。その向きは電子雲の力学モー
メントＪの向きと一致する。この磁場と原子核の磁気モーメントの相互作用による余分エネルギーは
ＪとＩの方向に依存し、それは空間量子化の法則に従う。この考えから、量子数Ｆ、Ｆ＋１，Ｆ＋２、
・・・・、で特徴付けられる隣り合う副準位間の間隔は、（Ｆ＋１）：（Ｆ＋２）：．．．の様な関係となることを示せ。
１０．２４． 原子 ２０９Ｂｉの項 ２Ｄ ３／２は４つの超微細構造分裂成分を持っている。隣り合う成分間の間隔の比は４：５：６。原子核スピンの間隔法則（前問参照）を使用して、 ２Ｓ１／２→ ２Ｄ ３／２の超微細構造分裂線の成分の個数を求めよ。
１０．２５． 弱い磁場中にある、原子 ３５Ｃｌの項２Ｐ ３／２の超微細構造の副準位のゼーマン分裂の全成分数を求めよ。
１０．２６． 強い磁場中において、原子４６Ｋと ８５Ｒｂの項２Ｓ １／２の副準位からなる各々が５つの成分と６つの成分に分裂している。これら原子の原子核のスピンを求めよ。
１０．２７．

磁場Ｂ＝１．００ｋＧ中にある電子、陽子、中性子の才差の角速度を求めよ。

１０．２８． 基底状態２Ｓ０にある原子 ２５Ｍｇの磁気特性を磁気共鳴法の実験で調べると、一定磁場
Ｂ＝５．４ｋＧ、交流変動磁場の周波数ν０＝１．４０ＭＨｚで、エネルギー共鳴吸収が観測された。
原子核のスピンと磁気モーメントを既知として、ジャイロ磁気因子を求めよ。
１０．２９． 磁気共鳴法で、分子７Ｌｉ１９ F の磁性を調べた。これらでは電子雲の運動量モーメン
トは零である。一定磁場 B=５．００ｋ G 下で、交流磁場の周波数がν１＝８．３０ MH ｚとν２＝２．
００ MH ｚで、２本の共鳴線が観測された。各々は、リチウム原子核とフッ素原子核に対応している事がわかった。これらの原子核の磁気モーメントを求めよ。スピンは既知とする。
１０．３０．原子核の気相モデルでは、核子は原子核の体積を充満する気体を形成し、フェルミ分布に従っている。これらの提言から、原子核中における核子の最大運動エネルギーを評価せよ。気体は完全縮退をしているものと見なす。評価のために、原子核中の陽子数は中性子数と同じであるとせよ。
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１０．３１． 原子核の殻モデルを用いて、原子核７Ｌｉ，１３Ｃ、２５Ｍｇの基底状態の配位を求めよ。
１０．３２． 原子核の殻モデルを用いて、原子核１３Ｃと １３Ｎの基底状態のスピンと偶奇性を求めよ。
１０．３３． 原子核の殻モデルを用いて、以下の原子核の基底状態のスピンと偶奇性を求めよ。
（ａ）
Ｈ、（ｂ）３Ｈｅ、（ｃ）１５Ｎと１５Ｏ。

３

１０．３４． 原子核の殻モデルを用いて、原子核１７Ｏ、 ２９Ｓｉ、 ３９Ｋ、４５Ｓｃ、６３Ｃｕの基底状態のスピンと偶奇性を求めよ。
１０．３５． ベクトルモデルを用いて、状態ｌ、ｊにある核子のジャイロ磁気多重度は
ｇｉ＝ｇｌ±（ｇ ｓ−ｇ ｌ）／（２ｌ＋１）であることを証明せよ。ここで、ｊ＝ｌ＋１／２に対して＋符号を、ｊ＝ｌ−１／２に対して−符号をとる。ｇｓとｇ ｌはスピンジャイロ磁気多重度と軌道ジャイロ磁気多重度である。
１０．３６． 前問の公式を利用して、以下の核子が、状態ｓ １／２，ｐ １／２、ｐ ３／２にあるときの磁気モーメントを計算せよ。（ａ）中性子（ｇｌ＝０）。（ｂ）陽子（ｇｌ＝１）。
１０．３７． 問題１０．３５の公式を用いて、ｆ状態にある陽子の量子数ｊを求めよ。この状態における陽子の磁気モーメントはμ＝５．７９μ核で既知とする。ここで、μ核は核磁子。
１０．３８． 原子核の殻モデルを用いて、基底状態にある以下の原子核の磁気モーメントを求めよ。
（ａ）３Ｈと３Ｈｅ。（ｂ）１７Ｏと３９Ｋ。
１０．３９． 原子核１９Ｆのスピンは、原子核の殻の一様な充填からの予想にもかかわらず、５／２
ではなく、１／２である。この原子核の磁気モーメントが、不対陽子で決まる２．６３μ 核に等しいと見なして、この陽子が存在している準位を求めよ。陽子のジャイロ磁気多重度はｇ ｓ＝５．５８とｇｌ＝１である。

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１１．放射能１１．１．放射崩壊の法則
１１．１．

時間間隔Ｔの間に、放射性原子核が崩壊する確率を求めよ。原子核の崩壊係数はλ。

１１．２．
数。

放射性原子核の平均寿命がτ＝１／λであることを示せ。ここで、λは原子核の崩壊定

１１．３． 原子核 ９０Ｓｒの最初の量の如何ほどが、以下の時間で残っているか。
（ａ）１０年後、１００年後。
原子核９０Ｓｒの最初の量は次の時間幅で、どれだけの割合が崩壊するか。
（ｂ）１昼夜、１５年。
１１．４． 運動エネルギーが０．０２５ｅＶを持つ中性子束がある。長さ２ｍの束中で、中性子の如何ほどの割合が崩壊するか。
１１．５． 放射性核の崩壊定数、平均寿命、半減期を計算せよ。核の活性度は、１００昼夜で１．
０７倍小さくなる。
１１．６． 古代の木の試料の年齢を定めよ。なを、この木の１４Ｃの比放射能は、この木が倒れた時点における１４Ｃの比放射能の３／５だけとなっている。
１１．７． できたての試料が１．４μｇの放射性２４Ｎａを含有している。１昼夜で、試料の放射能はどれくらいとなるか。
１１．８． １昼夜後、８２Ｂｒの活性度は７．４×１０ ９ベクレル（０．２０Ｃｉ）となったとする。
最初時の８２Ｂｒの試料中の放射性原子核の個数を求めよ。
１１．９．

純粋な ２３９Ｐｕの比放射能を計算せよ。

１１．１０． β活性８９Ｓｒは何ｍｇ、１ｍｇの非活性のストロンチューム中に入っているか。資料の比放射能は５．０６×１０ １３ベクレル／ｇ（１３７０Ｃｉ／ｇ）とする。
１１．１１． 人体の血に、活性度Ａ＝２１００ベクレルの２４Ｎａを含んでいる若干の溶液を注入した。ｔ＝５時間経過した後、血液１ｃｍ ３中の活性度はａ＝０．２８ベクレル／ｃｍ ３であった。この人の血液の量を求めよ。
１１．１２． 試料が、半減期の異なっている２種のβ活性成分を含んでいる。測定は、時間ｔに対する次のようなカウント数Ｎを示した。
ｔ（時間）
０
１
２
３
５
１０
２０
３０
Ｎ（／ｓ） ６０．０ ３４．３ ２１．１ １４．４ ８．６５ ５．００ ２．４８ １．２５
両方の成分の半減期と、時刻ｔ＝０におけるこれら成分の放射性原子核の量の比を求めよ。
１１．１３． 核種Ａ１の放射崩壊で、放射性核種Ａ２が生成される。各々の崩壊定数はλ１，λ２。最初、試料は核種Ａ１だけを量Ｎ１０だけであったとして、以下を求めよ。
（ａ）時間ｔ後における核種Ａ２の量。
（ｂ）核種Ａ ２の量が、最大となるまでの時間。
（ｃ）両方の核種の量の比が、一定となるのは、どのような条件下でか。その比は幾らとなるか。
１１．１４． ２３８Ｕの崩壊の生成物である２２６Ｒａは、ウラン原子が２．８０×１０６毎に、１個生成する。 ２３８Ｕの半減期を求めよ。ウランの半減期はラドンの半減期より十分に大きいとする。ラドンの半減期は１６２９年。
１１．１５． １１２Ｐｄのβ崩壊において、β活性の核種１１２Ａｇが生まれる。それらの半減期は各々２１時間と３．２時間。最初、試料は核種 １１２Ｐｄだけであるとする。試料の最初における活性度に対する、核種 １１２Ａｇの最大活性度の比を求めよ。
１１．１６． 放射性核種１１８Ｃｄは、以下のような崩壊系列を行う。
１１８
Ｃｄ → １１８Ｉｎ → １１８Ｓｎ（安定）３０分
４．５分
時刻ｔ＝０で、試料はＣｄだけを含んでいたとする。以下を求めよ。
（ａ）６０分間で、原子核のいかほどの量が、安定核となるか。
（ｂ）６０分後に、試料の活性度は何倍弱くなるか。
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１１．１７． 放射性核種Ａ１が、以下の崩壊系列を行う。
Ａ１ → Ａ２ → Ａ３ → ・・・・
λ２
λ３
λ１
最初、試料は核種Ａ １を量Ｎ１０だけを含んでいたとする。核種Ａ ３の蓄積量を表示する式を求めよ。
１１．１８． 地球の年齢に等しい期間内に、 ２３８Ｕから生成される鉛の質量を求めよ。地球の年齢は２．５×１０９年。
１１．１９． 試料が１０μｇの ２２６Ｒａと、その崩壊生成物からできている。ラジウムは過渡平衡状態にある。付録の表を用いて、以下を求めよ。
（ａ）この試料の２２２Ｒｎのα活性度と、２１０Ｐｂのβ活性度。
（ｂ）試料の総α活性度。
１１．２０． 放射性核種２７ Mg が、一定の速度ｑ＝５．０×１０１０核種／ｓで生成されている。以下の時間幅において、試料中に蓄積する原子核２７Ｍｇの量を求めよ。
（ａ）この原子核の半減期より極めて大きい時間幅。
（ｂ）この原子核の半減期に等しい時間幅。
１１．２１． 放射性核種１２４Ｓｂが、一定の速度ｑ＝１．０×１０９核種／ｓで生成されている。半
減期Ｔ＝６０昼夜で、この原子核は安定核種１２４Ｔｅに変換する。以下を求めよ。
（ａ）如何ほどの時間後、１２４Ｓｂの活性度は、Ａ＝３．７×１０８ベクレル（１０ｍＣｉ）となるか。
（ｂ）４ヶ月間で、試料中に、いかほどの質量の核種１２４Ｔｅが蓄積するか。
１１．２２． 一定の速度ｑ核子／ｓで生成されている放射性核種Ａ １が、以下の崩壊系列を行う。
Ａ １ → Ａ２ → Ａ３（安定）λ１
λ２
時間の経過に従って、原子核Ａ １，Ａ ２、Ａ ３の蓄積する法則を見いだせ。時間の最初には、試料にはこれらの核種は存在していないものとする。
１１．２３． 一定速度ｑ＝１．０×１０ １０核子／ｓで生成される放射性核種 １３８Ｘｅが以下の崩壊系列を行う。
１３８
Ｘｅ → １３８Ｃｓ → １３８Ｂａ（安定）１７分
３２分
蓄積開始から６０分後におけるこの試料の総活性度を計算せよ。
１１．２４． 半減期６７時間の放射性核種９９Ｍｏが、β崩壊で、安定核種９９Ｔｃに変換する。この時、β変換の７５％が異性体状態９９Ｔｍのを経由する。この異性体の半減期は６．０４時間。以下を求めよ。
（ａ）５．０時間後における試料中の安定核の相対数。初期時には、試料は９９Ｍｏだけであるとする。
（ｂ）蓄積開始から、２０時間後における試料中の安定核 ９９Ｔｃの個数。９９Ｍｏは一定速度１．０×
１０ １０核子／ｓで生成されるとする。
１１．２．α崩壊、β崩壊
１１．２５． 静止している原子核２１３Ｐｏが、運動エネルギーＴα＝８．３４ＭｅＶのα粒子を放出した。この時、娘核は直接、基底状態となった。この過程で開放された全エネルギーを求めよ。娘核の運動エネルギーは、全エネルギーの内のいかほどの量か。娘核の反跳速度はいかほどか。
１１．２６． 原子核 ２１０Ｐｏが運動エネルギーＴ＝５．３０ＭｅＶのα粒子を放出する。この際、実質的に、全ての娘核は直接、基底状態となる。以下を求めよ。
（ａ）２１０Ｐｏ原子核の平均寿命に等しい時間内に、試料１０ｍｇが表出する熱量。
（ｂ）試料 ２１０Ｐｏの最所時の活性度。その半減期に等しい時間内に、試料は２．２ｋＪの熱量を放出したものとする。
１１．２７． 原子核 ２１０Ｐｏの崩壊は、基底状態から発生し、２つのグループのα粒子の放出を伴う。強度から比較して、エネルギー５．３０ＭｅＶを持ったα粒子が殆どで、エネルギー４．５０Ｍ
ｅＶを持ったα粒子が若干である。この原子核のα崩壊のエネルギー、娘核が表出するγ量子のエネ
ルギーを求めよ。
１１．２８． 原子核 ２２６Ｔｈの崩壊は、基底状態で行われ、エネルギーが６．３３ＭｅＶ、６．２
３ＭｅＶ、６．１０ＭｅＶ、６．０３ＭｅＶのα粒子の放出を伴う。娘核のエネルギー準位を求めよ。
１１．２９． 崩壊において、原子核２１２Ｐｏは４つのグループのα粒子を放出する。エネルギー８．
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７８０ＭｅＶを持ったα粒子が主で、エネルギー９．４９２ＭｅＶ、１０．４２２ＭｅＶ、１０．５
４２ＭｅＶの長飛程のα粒子。全ての場合において、娘核は直接、基底状態で生じるものとして、２１
２
Ｐｏのエネルギー準位を求めよ。
１１．３０． 原子核 ２２２Ｒｎによって放出されるα粒子に対するクーロン障壁の高さを求めよ。障壁の膨らみの高さは無視する。運動エネルギー５．５ＭｅＶを持って飛び出すα粒子において、障壁の幅（トンネル距離）はいかほどか。
１１．３１． 軌道運動量ｌ＝２を持つ原子核 ２０９Ｐｏから放出されるα粒子において、クーロン障
壁に対する遠心障壁の比を求めよ。障壁の膨らみの高さは無視する。
１１．３２． 原子核から放出されたα粒子において、その運動エネルギーＴがクーロン障壁の高さ
より極めて小さいとき、障壁の透過係数は、
Ｄ＝ｅｘｐ（−κ／Ｔ １／２）、κ＝２πＺｅ２（２ｍ）１／２／ℏ。
ここで、Ｚｅは娘核の荷電量、ｍはα粒子の質量。
（ａ）Ｄ（３．５）に関する一般式（下式）から、この公式を得よ。
ポテンシャル障壁の透過係数Ｕ（ｘ）
Ｄ≒ ｅｘｐ（（−２／ℏ）ｘ１∫ ｘ２（２ｍ（Ｕ−Ｅ））１／２ｄｘ）
ここでｘ１，ｘ２はＵ＞Ｅである領域の両端の座標点。
（ｂ）エネルギー６．３３ＭｅＶ、６．２２ＭｅＶを持って ２２６Ｔｈから放出されるα粒子に対する透過率の比を計算せよ。
１１．３３． 第１励起準位にある原子核２１２Ｐｏは、α崩壊において、２つの競合する過程を示す。
１つは、直接のα粒子（長飛程グループ）の放出、もう１つは、励起原子核の基底状態への遷移後のα粒子（α粒子の主グループ）の放出。この際、主グループのα粒子の１．０×１０ ６個ごとに、３５個の長飛程グループの放出がある。この準位の平均寿命がτ＝１．９ｐｓであるとして、長飛程α粒子の放出対する、励起状態の崩壊定数を求めよ。
１１．３４． ？ γ量子の放出に伴って、原子核 ２１４Ｐｏの第一励起状態の幅を求めよ。この準位から主グループのα粒子の崩壊には４．３×１０ ５／ｓかかる。
１１．３５．

静止している中性子のβ崩壊において生成する粒子の総運動エネルギーを計算せよ。

１１．３６． β−崩壊、β＋崩壊、Ｋ捕獲において放出されるエネルギーはどのようにして決められるか。母核の質量と、娘核の質量、電子の質量は既知とする。
１１．３７． 娘核の質量と、β崩壊のエネルギー Q が既知として、核種の質量を求めよ。
（ａ）β−崩壊をし、Ｑ＝３．５０ＭｅＶの６Ｈｅ。
（ｂ）β＋崩壊をし、Ｑ＝１．８３ＭｅＶの２２Ｎａ。
１１．３８． 以下の過程が可能か調べよ。
（ａ）原子核 ５１Ｖのβ−崩壊（−０．０５６０２）。
（ｂ）原子核 ３９Ｃａのβ＋崩壊（−０．０２９２９）。
（ｃ）核種６３ＺｎへのＫ捕獲（−０．０６６７９）。
括弧内の数値は核種の質量過剰Ｍ−Ａをａｍｕ単位で記述している。
１１．３９． 原子核３２Ｐがβ崩壊をする。その結果、娘核は直接、基底状態にある。β粒子の最大運動エネルギーと、娘核の対応する運動エネルギーを求めよ。
１１．４０． 原子核１０Ｂｅによって放出される電子の最大運動量の値を計算せよ。娘核は直接、基底状態にあるとする。
１１．４１． 原子核１１Ｃが陽電子崩壊を行い、その結果として、娘核は直接基底状態にあるとする。
以下を計算せよ。
（ａ）陽電子の最大運動エネルギーと、娘核の対応する運動エネルギー。
（ｂ）娘核が反跳をしないときの、陽電子とニュートリノのエネルギー値。
１１．４２． 原子核６Ｈｅがβ−崩壊を行い、その結果、娘核は直接、基底状態となった。崩壊エネ
ルギーはＱ＝３．５０ＭｅＶ。電子の飛行方向に対して、如何ほどの角度で、反ニュートリノは飛び出したか。運動エネルギーＴ＝０．６０ＭｅＶを持った電子は原子核の反跳運動の方向に対して直角方向に飛び出したとする。
１１．４３．

図１１．１参照。原子核 ２８Ａｌのβ−崩壊に伴うγ量子のエネルギーを計算せよ。

１１．４４．

図１１．２参照。原子核 ３８Ｃｌの１回のβ −崩壊で放出されるγ量子の個数を計算せ- 45 -

よ。なを、β粒子の部分スペクトルを持っているβ崩壊の相対数は、３１％（β１）、１６％（β２）、５３％（β３）である。

１１．４５． 基底状態からの原子核５６Ｍｎのβ崩壊において、β粒子の３つの部分スペクトルが放出される。各々の最大運動エネルギーは、０．７２ＭｅＶ、１．０５ＭｅＶ、２．８６ＭｅＶ。崩壊に伴うγ量子は、エネルギー０．８４ＭｅＶ、０．８１ＭｅＶ、２．１４ＭｅＶ、２．６５ＭｅＶ、
２．９８ＭｅＶを持っている。娘核のエネルギー準位を求めよ。
１１．４６． 原子核３７Ａｒが、Ｋ−捕獲を行う。その結果、娘核は直接、基底状態になる。Ｋ−電子の結合エネルギーを無視して、娘殻の運動エネルギーと速度を求めよ。
１１．４７． １３１Ｃｓ原子において、Ｋ−捕獲におけるニュートリノのエネルギーを求めよ。この過程で放出される全エネルギーは３５５ｋｅＶ、娘核におけるＫ−電子結合エネルギーは３５ｋｅＶとする。その際、娘核は直接、基底状態にあるものとする。
１１．４８． 原子 ７ＢｅにおけるＫ−捕獲は、娘核の励起状態を経由して、部分的に行われる。この時、娘核はエネルギー４７９ｋｅＶのγ量子を放出する。γ量子の放出後の娘核の運動エネルギーを求めよ。ニュートリノと反跳原子核の運動方向のなす角度は９０°とする。娘核が直接基底状態に現れる場合、このエネルギーは幾らとなるか。
１１．３．γ線、内部転換、メスバウワ効果
１１．４９． 励起エネルギー１０３ｋｅＶを持っている異性原子核８１Ｓｅ ｍが、（ａ）γ量子を放出して基底状態に戻る場合。
（ｂ）原子のＫ殻から、転換電子を放出する場合。Ｋ電子の結合エネルギーは１２．７ｋｅＶ。
両方の場合において、反跳原子核の速度を求めよ。
１１．５０． 異性原子核１０９Ａｇ ｍが、基底状態に遷移しながら、エネルギー８７ｋｅＶのγ量子を放出する場合と、Ｂρ＝８６０Ｇ・ｃｍのＫ転換電子を放出する場合がある。Ｋ電子の結合エネルギ
ーを求めよ。
１１．５１． 原子 ２０３Ｈｇのβ崩壊の結果生成した原子２０３Ｔｌは、運動エネルギーが２６６．３ｋ
ｅＶ、２６４．２ｋｅＶ、２６３．６ｋｅＶ、１９３．３ｋｅＶをもつ転換電子の４つのグループを送出する。Ｔｌのどの電子殻−Ｋ，Ｌ １，Ｌ ２，Ｌ ３−が各々のグループに対応しているか。これらの電子殻の電子の結合エネルギーは、各々、８７．７ｋｅＶ、１５．４ｋｅＶ、１４．８ｋｅＶ、１２．
７ｋｅＶ。崩壊に伴っているγ量子のエネルギーも計算せよ。
１１．５２． 原子核１４１Ｃｅのβ崩壊で生成する励起原子核１４１Ｐｒは、
γ量子か、転換電子を放出して、基底状態に移行する。励起原子核 １４１Ｐ
ｒのエネルギーを求めよ。転換Ｋ電子はＢρ＝１１３５Ｇ・ｃｍを持ち、Ｋ電子の結合エネルギーは４２ｋｅＶである。
１１．５３． １１７ Ｉｎのβ崩壊で生成した励起原子核 １１７ Ｓｎは、引き続いて２個のγ量子を放出して、基底状態に遷移する。この過程は、転換Ｋ電子の放出を伴う。Ｋ電子のＢρは３０５０Ｇ・ｃｍと、１３００
Ｇ・ｃｍ。Ｋ電子の結合エネルギーは２９ｋｅＶ 。２個のγ量子のエ
ネルギーを求めよ。
１１．５４． 活性度３．７×１０ ７ベクレル（１．０ｍＣｉ）の ５９Ｆｅ試料から、１秒間に放出される転換電子の個数を求めよ。図１１．３に、原子核５９Ｆｅのβ崩壊図が示されている。γ量子の内部転換係数は１．８×１０ −４ （γ １）、１．４×１０ −４（γ ２）、７×１０ −３（γ ３）。γ 量子、γ ２とγ ３の放出確率は各々１：１５。
- 46 -

補足

γ量子の放出確率に対する転換電子の放出確率の比が、内部転換係数と呼ばれている。

１１．５５．励起エネルギーＥ＝１２９ｋｅＶを持っている自由な原子核 １９１Ｉｒが、γ量子を放出
し、基底状態に遷移した。原子核の反跳によって生じた、このγ量子のエネルギーの相対変化量を求めよ。
１１．５６． 励起エネルギーＥ＝２３．８ｋｅＶを持っている自由な原子核 １１９Ｓｎが、γ量子を放出して、基底状態に移る．その準位の幅はΓ＝２．４×１０−８ｅＶ。最初両方の原子核が静止しているならば、基底状態にある他の自由な原子核 １１９Ｓｎによって、そのγ量子の共鳴吸収は可能か．
１１．５７． エネルギー１２９ｋｅＶを持つγ量子の最大吸収が観察されるためには、自由な原子
核１９１Ｉｒからできている吸収体と線源は、如何ほどの速度で接近しなければならないか。
１１．５８． 励起原子核から放射され、固体に入射した、γ量子のスペクトル中において、各γ線は２つの成分を持っている。１つの成分は、原子核内の遷移エネルギーに等しい非常にエネルギー的に狭い線。２つめの成分は、１つめと比較すると非常に幅が広く、大きな変位をしている線。エネル
ギー１４．４ｋｅＶを持っている５７Ｆｅのγ線において、変移成分の相対変位量はΔλ／λ＝１．３
５×１０−７。この成分は、γ量子の放出における原子核の反跳効果によるものであること、を確認せよ。
１１．５９． 図１１．４に、線源と吸収体（ １９１Ｉｒ）の相対速度ｖに対する、エネルギー１２９ｋｅＶ を持つメスバウワーγ線の吸収依存性が示されている。このγ線の放出は、励起原子核から基底状態への直接の遷移によるものと見なし、対応している励起準位の幅と寿命を求めよ。
１１．６０． γ量子の線源が、吸収体上方、距離２０．０ｍの所に位置している。吸収体の位置において、地球の重力場による、γ量子の重力変化を完全に補償するためには、線源を上方に幾らの速度で移動させる必要があるか。
１１．６１． ５７Ｆｅと ６７Ｚｎにおけるメスバウワのγ線幅の相対値は、各々、３．０×１０ −１３、５．０×１０ −１６。地表での記録において、メスバウワ線の重力変位量が、これらのγ線の線幅を超えるためには、地表からいかほどの高さで、５７Ｆｅ及び６７Ｚｎの線源を持ち上げる必要があるか。
１１．６２． メスバウワ線に対応しているγ量子の放出において、反跳運動量が全結晶に、全体に伝達される。これ故、放射した原子の運動量は不変である。このような原子の平均運動量は、放射による、その質量の若干の減少の結果、大きくなる。このことは、メスバウワ線の周波数が、遷移周波数ω ０ より小さくなることを示している。則ち、ω＝ω ０ （１−＜ｖ＞ ２／２ｃ ２ ）。ここで、＜ｖ＞ ２は原子の速度の平均２乗である。
（ａ）エネルギーを考慮して、この式を導け。
（ｂ）５７Ｆｅのメスバウワγ線の温度変位量が、重力による変位量を完全に補填するためには、線源の温度を、吸収体の温度より、何度大きくしなければならないか。線源は吸収体の上方ｌ＝２０ｍに位置しているものとする。結晶中の原子の平均運動エネルギーは（３／２）ｋＴに等しいものと見なす。
１１．６３． ？ エネルギーℏω＝１４．４ｋｅＶを持つγ量子の放出線が分裂していない（線源Ｃｏが非磁性鉄中に入れられている）で、鉄の固有同位体成分からできている板が吸収体である場合について、図１１．５に、メスバウワ効果の吸収速度スペクトルが示されている。速度の正値は吸収体方向への線源の移動に対応している。準位図を利用して、このスペクトルの解釈から、原子核５７
Ｆｅの励起状態の磁気モーメントと、鉄中の原子核に作用している磁界の磁束密度を求めよ。原子核
５７
Ｆｅの基底状態の磁気モーメントはμ＝０．０９０μ核磁子。
５７１１．４．原子核放射の記録法。計数器
１１．６４． ある試料の活性度の測定において、計数器が平均で、６パルス／分を記録する。ポアッソン分布公式- 47 -

ｐ（ｎ）＝（＜ｎ＞ ｎ／ｎ！）ｅ −＜ｎ＞、ここで、ｐ（ｎ）は、ある時間間隔においてｎ回の偶然事象の実現確率、その事象の平均数は＜ｎ＞。
を用いて、計数器の速度が、９パルス／分と１１パルス／分の間に値を持つ確率を求めよ。
１１．６５． 同じ時間間隔において、試料の活性度の測定を２０００回行ったとする。各々の測定に時間において、平均パルス数は１０．０。全ての測定を行った時間は、検査中の放射核種の半減期と比較して小さいとして、２０００回の測定において、正確に１０パルス、５パルスが期待される測定回数を求めよ。
１１．６６． 検査中の、長い半減期を持っている放射性核種で、計数器の平均係数速度が、１００．
０パルス／分。計数器が１０５．０パルス／分となる確率を求めよ。平均値からのずれが５．０パル
ス／分以上となる確率を求めよ。
１１．６７．
率を求めよ。

σは平均２乗誤差である。（ａ）σ、（ｂ）２σ、を超える測定の全体誤差を得る確

１１．６８． 検査している放射場中にある計数器が、１０分間に、３６００パルスを記録した。以下を求めよ。
（ａ）計数速度における平均２乗誤差をパルス／分の単位で。
（ｂ）測定器の誤差１．００％内で治まる測定時間の長さ。
１１．６９． 検査している放射の強度測定（バックグランドも一緒）において、計数器が、１０．
０分間に１７００パルスを記録した。バックグラウンドの個別の測定では、１５．０分間に１８００パルスが得られた。被検体試料だけによる計数速度（パルス／分）と、その平均２乗誤差を求めよ。
１１．７０． その強度が、検査する放射の強度と等しいようなバックグラウンドがあるとき、検査する放射の測定精度を保証するためには、バックグラウンドがないときのパルス数より６倍以上計測する必要がある、ということを説明せよ。
１１．７１． バックグラウンドの計数速度はｎ バック＝１５パルス／分、バックグラウンド存在下での検査試料の計数速度はｎ検査＋バック＝６０パルス／分。ここで、ｔバックはバックグラウンドの測定時間、
ｔ 検査＋バックは試料とバックグラウンドの測定時間。 ｔ バック＋ｔ 検査＋バックの測定時間で、試料に対する計数速度の確定精度が最大となる、比ｔバック／ｔ 検査＋バックを求めよ。
１１．７２． 前問のデータを利用し、試料に対する計数速度の相対誤差が、η＝０．０５０となるの最小値を求めよ。
時の、 ｔバックとｔ検査＋バック
１１．７３． 時間分解能がτ＝０．２０ｍｓであるガイガーミュラー計数器が、ｎ＝３．０×１０
パルス／分を記録した。１分間に計数器を通過した粒子の真の個数Ｎを求めよ。

４

１１．７４． 時間分解能がτ＝１．０μｓである計数器を通過する粒子の如何ほどの割合が、計数
速度が（ａ）ｎ＝１００パルス／ｓの時、（ｂ）１．０×１０５パルス／ｓの時、記録されないか。
１１．７５． 時間分解能０．２０ｍｓのガイガーミュラー計数器を使用して、ある試料の活性度の測定において、１０００カウント／ｓが記録された。バックグラウンドを独立に測定すると、この計数器は６００カウント／ｓを与えた。１ｓ間に、計数器を通過した検査試料からの粒子数を求めよ。
１１．７６． ２つの放射源を、計の計数速度を示した。両方を同時に計測すると、ｎ １２の計数速度を示した。この計数器の時間分解能を求めよ。
１１．７７． 単位時間当たりに、計数器を通過する粒子の個数はＮ。計数器の時間分解能はτ １、記録装置の時間分解能はτ ２であることを既知として、この計数器の記録装置の出口における単位時
間当たりのカウント数を求めよ。以下の場合に分けて考察せよ。（ａ）τ１＞τ２、（ｂ）τ１＜τ２。
１１．７８． ？ 光電子倍増管を持っているシンチレーションカウンタにおいて、シンチレータの発光時間はτ １＝６ｎｓ、光電子倍増管の時間分解能はτ２＝３０ｎｓ。光電子倍増管の出口でのカウント数がｎ＝５．０×１０ ６カウント／ｓである。１秒間にシンチレータに入射する電子（？）数を求めよ。
１１．７９． ？ 時間分解能がτである電磁計数器（ ？ ）が、計数回路を適用しないで、計測装置の増幅器の出口部分に直接接続されている。単位時間当たりに、ガイガーミュラー計数器を通過する粒子数の平均数Ｎに対する、単位時間当たりに計数されるパルス数ｎの依存性を見いだせ。
１１．８０． ？ ガイガーミュラー計数器でのパルスが、増幅後、直接、電磁計数器（ ？ ）に入射する。ガイガーミュラー計数器の近傍に放射活性試料があったとき、記録されるパルス数は、最- 48 -

大値がｎ最大＝４６パルス／ｓであることを既知として、において電磁計数器の時間分解能を求めよ。
１１．８１． 同時回路で作動する２つの同形の計数器を、宇宙線の場中に置いた。同時回路の入口に、宇宙線が単位時間に飛込む時、１つの計数器のカウント数がｎ １、もう１つの計数器のカウント
数がｎ２であるとき、偶然の一致の回数Δｎを求めよ。計数器の時間分解能はτとする。
１１．８２． 放射性試料を、同時回路結線をさせてある、２つの同形の計数器の前に対称に置いた。
回路の分解能はτ＝０．１０μｓ。各計数器の記録計数は２５％。各計数器に、１秒間に飛込む粒子数を求めよ。同時回路の計数速度はΔｎ＝２０００カウント／ｓとする。
１１．８３． 図１１．６参照。放射活性試料Ａを、２つの同形の計数器Ｓ１，Ｓ２の前方においた。
２つの計数器は、時間分解能τ＝１．０×１０−８ｓであり、同時回路に接続されている。試料の活性度を確定するために、バックグラウンドの計数速度と、バックグラウンド存在下での試料の計数速度を測定する。両方の測定は、同じ時間間隔ｔの間行う。各計数器が与えるカウント数はバックグラウ
ンドの場合では１．００×１０ ５カウント／ｓ、試料の場合には１００パルス／ｓである。ｔがどのような値の時、試料に対する計数速度は、誤差５％で決められるか。
１１．８４． 同時回路に接続された２つの同型のγ量子計数器の間に、原子核がβ崩壊をする放射性試料をおいた。β崩壊において、２つの量子γ １、γ ２の放出を伴っている。実験条件下で、各々の計数器がγ量子を記録する確率は、η１＝５×１０−４、η２＝７×１０−４。γ１量子とγ２量子の飛行方向に関する相関は無視できるものとして、同時回路における計測数（２つのうちの１つの計数器によって同じ時間に記録されるカウント数の比で）を求めよ。

- 49 -

１２．放射と物質との相互作用
１２．１．荷電粒子の物質通過
１２．１．

静止している自由電子と衝突したとき、α粒子が偏向する最大角度を求めよ。

１２．２． 運動エネルギーＴ α＝２５ＭｅＶを持つα粒子が、衝突パラメーターｂ＝２０ｐｍで、静止している自由電子の傍を通過する。α粒子の軌道は直線であり、α粒子の通過中電子は静止しているものと見なす。反跳電子の最大運動エネルギーを求めよ。
１２．３． 打ち出されたα粒子が、電子濃度ｎの媒質中を速度ｖで運動する。衝突パラメーターが（ｂ、ｂ＋ｄｂ）の間にある電子との相互作用の結果、単位長当たりにα粒子が失うエネルギーを求めよ。計算においては、前問の結果を利用せよ。
１２．４． 定常条件下で、窒素気体中を、運動エネルギー４．０ＭｅＶで動く重水素の、単位距離におけるエネルギー損失を求めよ。
１２．５． エネルギー損失の比を求めよ。
（ａ）ネオン中を、運動エネルギー５．０ＭｅＶで動くα粒子と陽子。
（ｂ）銅とアルミニューム中を、運動エネルギー１０．０ＭｅＶを持って動くα粒子。
１２．６． 半径１４０ｍｍの球形のイオン化室内に、運動エネルギーが５．３ＭｅＶを持つα粒子の点源がある。室内の空気の圧力が幾らのとき、飽和電流は圧力に依存しなくなるか。
１２．７． 粒子の物質中の平均飛行距離を与える経験公式を用いて以下を求めよ。
（ａ）ネオン気体中での、運動エネルギー５．０ＭｅＶを持ったα粒子、および陽子の飛行。
（ｂ）エネルギー１０．０ＭｅＶを持つα粒子の銅、及びアルミニューム中での飛行。
１２．８． 運動エネルギー５．５めＶのα粒子を放出する放射性試料 ２３８Ｐｕが、電気分解で、厚い金属基板に沈殿する。沈殿層の厚さが最小如何ほどの時、 ２３８Ｐｕの更なる層の追加が、α粒子束の強度の増加とならないか。
１２．９．

鉄中における平均走向長が１１．０μｍとなるα粒子の運動エネルギーを求めよ。

１２．１０． 鉛中におけるα粒子の走向長を求めよ。この時のα粒子のエネルギーはアルミニュー
ムにおいて、１７μｍの走向長に相当している。
１２．１１． アルミニューム薄膜に、運動エネルギー１３．７ＭｅＶのα粒子が垂直に入射する。
アルミ箔の厚さが幾らのとき、通過した粒子の運動エネルギーが７．０ＭｅＶとなるか。
１２．１２． 運動エネルギー９．０ＭｅＶを持つα粒子を放出する放射性試料から、距離５．０ｃｍの所に、アルミ箔を置く。全てのα粒子を遮断するためには、アルミ箔の厚さは最小幾らとする必要があるか。周りの媒質は空気である。
１２．１３． 物質中における荷電粒子のエネルギー損失の公式を用いて、媒質中における、同じ速度を持つ陽子と重水素の走向長間の依存性を求めよ。得られた依存性と粒子の走向長を与える経験式
を用いて、運動エネルギーＴ＝２．０ＭｅＶを持つ重水素の空気中における走向長を計算せよ。
１２．１４．

鉛中における、運動エネルギー３．０ＭｅＶを持つ陽子の平均走向長を求めよ。

１２．１５． 荷電量ｑ、速度ｖを持っている射出された重い荷電粒子が、電子濃度ｎの媒質中で動き、自身の経路上に、δ電子を形成する。この形成過程は、媒質中の自由電子と、重い荷電粒子との弾性散乱の結果であると見なし、以下を求めよ。
（ａ）間隔（Ｔ，Ｔ＋ＴｄＴ）に運動エネルギーを持つδ電子の形成断面積ｄσ。
（ｂ）荷電粒子によって、その経路上に、単位長さ当たりに形成されるδ電子の全個数。運動エネル
ギーの最小値Ｔ限界は既知と仮定する。ここで、Ｔ限界は視認できる痕跡を形成するために電子が持っていなければならない運動エネルギーである。
１２．１６．
電子を高速で重い荷電粒子が、光学感光剤を通過したとき、その軌道の単位長当たりに、δ

Ｎδ＝（２πｎｑ２ｅ２／（ｍｅｖ２））（１／Ｔ 限界−１／（２ｍｅｖ２））個を形成する。ここで、ｎは電子濃度、ｑとｖは最初の粒子の荷電量と速度、Ｔ限界は感光剤中に視認できる跡を形成するために必要な電子の運動エネルギーの閾値、ｍ ｅは電子の質量。この式を用いて以下を求めよ。
（ａ）感光剤中にδ電子を形成するための、α粒子の最小エネルギー。ここで、Ｔ限界＝１１．０ｋｅ- 50 -

Ｖとする。
（ｂ）ｎ＝６．０×１０ ２３／ｃｍ ３、Ｔ 閾値＝１７．５ｋｅＶの感光剤中で、軌道の単位長当たりで、
δ電子の最大数が形成されるときのα粒子のエネルギー。α粒子の軌道の長さ０．１ｍｍにおけるδ電子の最大数を計算せよ。
（ｃ） ？ 最初の粒子の荷電量。この粒子によって形成されるδ電子の最大密度が、α粒子に対するδ電子の最大密度より４倍小さいとする。
１２．１７． アルミニューム中を、単位長さ当たり進む運動エネルギー２０ＭｅＶを持つ電子の放射エネルギー損失を計算せよ。鉛中を進むときには、アルミニュームの場合より、エネルギー損失は何倍大きくなるか。
１２．１８． 放射エネルギー損失と、イオン化損失エネルギーが、同じとなる電子の運動エネルギ
ーを評価せよ。定常条件下の窒素、アルミニューム、鉛で求めよ。
１２．１９． アルミニューム中における放射損失エネルギーが、全エネルギーの１／４となるときの電子の運動エネルギーを評価せよ。
１２．２０． アルミニューム中で、単位経路長当たりで、運動エネルギー２５ＭｅＶを持った電子の全損失エネルギーを評価せよ。
１２．２１． 原子番号Ｚの物質に対する電子の放射長ｌ放射の依存性を求めよ。窒素（定常条件下の）、アルミニューム、鉛において、電子のｌ 放射を計算せよ。
１２．２２． ？ 厚さ０，４０ｃｍのある物質の層を通過するとき、高速電子のエネルギーが、平均して２５％だけ小さくなった。電子の放射長を求めよ。基本放射（？）における電子のエネルギー損失は既知とする。
１２．２３． 厚さ５．０ｍｍの鉛板を通過後、電子のエネルギーは平均で４２ＭｅＶとなる。電子の最初のエネルギーを求めよ。
１２．２４． 原子核の場中で、十分に大きなエネルギーを持っている電子の減速において、減速放射の最大周波数の近傍において、周波数間隔（ω、ω＋ｄω）にγ量子が放射される断面積は、公式
ｄσ＝（１／（ｎｌ放射））ｄω／ω で与えられる。ここで、ｎは単位体積当たりの原子核の個数。
厚さｌ＝１．０ｍｍの鉛板を通過し多時、電子が自身の初期エネルギーの９０％以上を失う確率を求めよ。
１２．２５． 電子の運動エネルギーに関する経験公式を用いて、アルミニューム中における電子の
平均走向長が１００ｍｇ／ｃｍ２であることを計算せよ。
１２．２６．

Ｂρ＝５．０ｋＧ・ｃｍである相対論的電子の平均走向長を、グラフで見いだせ。

１２．２７． 運動エネルギー０．５０ＭｅＶを持つ電子ビームが、厚さ５０ｍｇ／ｃｍ ２のアルミ
ニューム薄膜に垂直に入射する。経験公式を用いて、薄膜を通過した電子の、空気中における平均走向長を求めよ。
１２．２８． β活性 ２０４Ｔｌの試料から放射されるβ線ビームの強度が、この試料の厚さが更に厚くなっても、超えることがなくなる、β活性２０４Ｔｌの最小の質量厚を求めよ。
１２．２９． ３２Ｐから放射されるβ粒子の内の何割が、厚さ２０ｍｇ／ｃｍ ２のアルミニューム
で吸収されるか。
１２．３０． ガイガーミューラー計数器の窓の厚さを、６０ｍｇ／ｃｍ ２だけ厚くしたとき、β粒子の計数速度が、２倍小さくなった。検査している放射源のβ粒子の最大エネルギーは幾らか。
１２．３１． 空気、アルミニューム、鉛の場合において、放射活性試料３２Ｐによって放射されるβ粒子の半減吸収の層の厚さを求めよ。
１２．３２． 屈折率ｎの媒質中を一様に運動する荷電粒子は、その速度ｖがこの媒質中での光の位
相速度ｃ を超えるならば、光を放射する。チェレンコフ効果。エネルギーと運動量の保存則を使用
して、光の放射が行われる角度は、式 ｃｏｓθ＝ｃ ／ｖで定まることを証明せよ。媒質中での光子の運動量はℏω／ｃ である。
１２．３３． 屈折率ｎ＝１．６０である媒質中で、チェレンコフ放射が起こる、電子と陽子の限界
運動エネルギーを計算せよ。この媒質中で、限界運動エネルギーが２９．６ＭｅＶである粒子は何か。
- 51 -

１２．３４． 屈折率ｎ＝１．５０を持つ媒質中を通過し、自身の運動方向に対して角度θ＝３０°に光を放射する電子の運動エネルギーを求めよ。
１２．２．γ線の物質通過
１２．３５． 鉛板の厚さを２．０ｍｍだけ増やしたとき、それを通過する単色レントゲン線の強度が８．４倍弱まった。付録の表を用いて光子のエネルギーを求めよ。
１２．３６． 幾らの厚さのアルミニューム板を用いれば、厚さ１．０ｍｍの鉛板と同じく、アルミ
ニューム板がエネルギー２００けＶのレントゲン線を弱められるか。
１２．３７． 鉛板を通過すると、２００ｋｅＶと４００ｋｅＶのエネルギーを持った細いＸ線ビー
ムの減衰程度が４倍異なる。鉛板の厚さと、２００ｋｅＶのＸ線ビームの減衰程度を求めよ。
１２．３８．
よ。

鉛、水、空気の場合について、波長６．２ｐｍのＸ線ビームの半減層の厚さを計算せ

１２．３９．

単色Ｘ線を１０００倍弱める板の半減厚は幾らか。

１２．４０． 銅に関する以下のデータ表を用いて、Ｘ線の波長に対する（μρ） １／３の依存性をグ
ラフとせよ。
λ（ｐｍ）
４０
８０
１２０
１６０
２００
２４０
２８０
７８．０ １１．０ ３．３４ １２．７ ７．２１ ４．５５ ３．００
ｄ１／２（μｍ）
ここで、ｄ１／２は半減幅厚。
１２．４１． 付録の表を用いて、以下の金属のＫα線を通過させ、Ｋβ線を極めて弱くしてくれる金属薄膜を選び出せ。
（ａ）コバルト（λＫα＝１７９ｐｍ、λＫβ＝１６２ｐｍ）。
（ｂ）ニッケル（λＫα＝１６６ｐｍ、λＫβ＝１５０ｐｍ）。
１２．４２． 亜鉛のＫ β線（λＫβ＝１２９ｐｍ）の減衰が、Ｋ α線（λＫα＝１４３ｐｍ）の減衰より、１０倍大きくなる銅箔の厚さを計算せよ。問題１２．４０の解で求めたグラフを利用せよ。
１２．４３．波長の長いＸ線の、自由電子における光子散乱の回折面積は
ｄσ／ｄΩ＝（１／２）ｒ ｅ２（１＋ｃｏｓ２θ）。
ここで、ｒｅは電子の古典半径、θは光子の散乱角度。この公式を用いて以下を求めよ。
（ａ）散乱全断面積。
（ｂ）角度θ＜６０°に散乱される光子の相対数。
（ｃ）角度４０°から９０°の間隔内に飛び出す反跳電子の相対数。
１２．４４． ？ 定常条件にあるネオンと酸素に対する低エネルギーＸ線の質量散乱係数と線形散乱係数を計算せよ。原子散乱計数は、以下のトムソンの公式で決まる。
σ ａ＝（８／３）πＺｅ４／（ｍ ２ｃ４） 単位はｃｍ２／原子１２．４５． 波長λ＝２０．９ｐｍのＸ線の鉄に対する質量吸収係数は１．２６ｃｍ ２／ｇ。対応する原子吸収係数を計算せよ。
１２．４６． λ＜λ Ｋのとき、原子吸収係数は τ ａ＝ＣＺ ４λ ３である。ここで、λ ＫはＫ殻吸収端の波長、Ｃは全ての物質で同じ値の定数。以下を求めよ。
（ａ）波長λ＝１００ｐｍのＸ線に対するバナジウムの質量吸収係数τ／ρ。λ＝１４４ｐｍのとき、
アルミニュームではτ／ρ＝４０ｃｍ２／ｇであることを用いよ。
（ｂ）人体の骨と組織におけるＸ線の質量吸収係数の比。骨の材料はＣａ ３（ＰＯ ４） ２であり、組織の吸収は、その内部にある水によるものとする。
１２．４７． 単一エネルギーのγ量子が、厚さ２．９ｃｍのアルミニューム板を通過すると、２．
６倍弱まる。付録の表を用いて、質量散乱係数を求めよ。
１２．４８． エネルギー０．８０ＭｅＶを持っているγ量子の点源が、鉛の球殻内の中心に置かれている。球の半径はｒ＝５．０ｃｍ、殻の厚さはΔｒ＝３．０ｃｍ。線源の活性度はＡ＝３．７０×
１０ ７ベクレル、１回の崩壊毎に１個の量子を放出するものとする。この鉛の外殻表面おいて、散乱されていないγ量子束の密度を求めよ。
１２．４９． エネルギー０．４０ＭｅＶ、０．６０ＭｅＶの量子を同じ量含有しているγ量子の細束が、厚さ１．００ｃｍの鉛板に垂直に入射する。この板の通過後における、細束中の両方の成分の- 52 -

強度比を求めよ。
１２．５０． 間隔０．６０ＭｅＶ〜０．８０ＭｅＶの間の全てのエネルギー量子を包含しているγ放射の細束が、厚さ２．０ｃｍのアルミニューム板に入射する。このエネルギー間隔において、減衰
係数は量子エネルギーに線形的に依存し、入射放射線のスペクトル強度は周波数に依存しないものとする。放射線が板を通過した後、細束の強度の減衰程度を求めよ。
１２．５１． 付録の表を用いて、アルミニューム中における、エネルギー１．００ＭｅＶのγ量子の相互作用断面積を求めよ。
１２．５２． エネルギー０．１５ＭｅＶのγ量子の細束が、厚さ２．０ｍｍの銀板を通過すると、４倍減衰する。銀中におけるこのγ量子細束の相互作用断面積を求めよ。
１２．５３． 空気中、水中、アルミニューム中において、エネルギー１．００ＭｅＶを持つγ量子の平均自由行程長を、付録の表を使用して計算せよ。
１２．５４．

半減層厚が４．５０ｃｍである媒質中におけるγ量子の平均自由行程長を求めよ。

１２．５５． 付録のグラフを用いて、鉛中におけるエネルギー２．０ＭｅＶを持つγ量子の平均自由行程長、コンプトン散乱、光電効果、電子・陽電子対の形成、におけるこの量子の平均行程長を求めよ。
１２．５６． 付録のグラフを利用して、厚さ２．０ｍｍの鉛板において、エネルギー２．０ＭｅＶを持つγ量子の光吸収の確率を求めよ。
１２．５７． 単一エネルギーのγ線束が、厚さ３．２ｃｍの鉛板を通過して、６倍減衰する。付録のグラフを用いて、鉛中におけるこの放射線のコンプトン散乱の質量係数を求めよ。
１２．５８． 自由電子におけるγ量子のコンプトン散乱の全断面積は次の公式で記述される。
σ 全＝（３／４）σＴ（（（ε２−２ε−２）／２ε３））ｌｎ（１＋２ε）＋（ε３＋９ε ２＋８ε＋２）／（ε２（１＋２ε）２））。
ここで、ε＝ℏω／ｍｃ ２で、静止電子のエネルギー単位でのγ量子のエネルギー、σ Ｔはトムソン散
乱断面積。
（ａ）この公式を、ε≪１とε≫１の場合について簡約化せよ。
（ｂ）ベリリウムにおいて、エネルギーε＝３．０を持つγ量子のコンプトン散乱の線形係数を計算せよ。
（ｃ）軽い物質の場合において、エネルギーε＝２．０を持つγ量子のコンプトン散乱の質量係数を求めよ。
１２．５９． 付録のグラフを使用して、鉛板中で、エネルギー６．０ＭｅＶのγ量子による電子・陽電子対の生成断面積を計算せよ。鉛板の厚さは半減層厚とする。
１２．６０． 鉛板中で、エネルギー７．０ＭｅＶのγ量子による電子・陽電子対生成の確率が０．
１０となるのは、鉛板の厚さが幾らのときか。
１２．６１． ウイルソン箱中で、エネルギー３．０ＭｅＶのγ量子で、薄い鉛板を照射した。この
時、電子の飛跡が陽電子の飛跡よりη＝３．７倍大きかった。この実験における他の過程の全確率に対する、電子・陽電子対生成確率の比を求めよ。
１２．６２．
よ。

質量Ｍの原子核の場中で、対生成のためのγ量子の閾値エネルギーを定める式を求め

１２．６３． たとえ対生成過程がエネルギー的に可能であっても、γ量子は原子核の場の外では、対生成をすることができないことを示せ。
１２．６４． 静止している陽子の場中で、閾値エネルギーを持っているγ量子が生成する電子・陽電子対の総和運動エネルギーを求めよ。
１２．６５． 静止している重い原子核の場中で、電子・陽電子対を生成するγ量子のエネルギーを計算せよ。対の各々の粒子においてＢρ＝３．０ｋＧ・ｃｍとする。
１２．３．線量測定
１２．６６．

一様なγ線内に置かれているイオン化室において、飽和強度はＩ＝０．３２μＡ。室- 53 -

の体積はＶ＝５．０リットル、室内は圧力ｐ＝２５０ｋＰａの空気で満たされている。温度はＴ＝３００Ｋ。γ線の照射線量を求めよ。
１２．６７． エネルギーＥ＝２．００ＭｅＶを持つγ線の流れ密度がＪ＝１．３０×１０ ４／（ｃｍ２・ｓ）である所において、空気と水の場合について吸収線量を求めよ。
１２．６８． 半減期がＴ＝２６時間であるγ線源からある距離離れて所で、最初の照射線量はＰ ０＝７２ｎＣ／（ｋｇ・ｓ）（＝１．０レントゲン／ｓ）である。以下を求めよ。
（ａ）τ＝６，０時間にわたる照射線量（単位μＣ／ｋｇ）。
（ｂ）空気中で、Ｄ＝１５０ｍＧｙの吸収線量となる時間長。
１２．６９． 活性度（線源の強さ）Ａ＝３．１０×１０ ９Ｂｑである点源が、エネルギーＥ＝１．
００ＭｅＶのγ量子を放出する。１回の崩壊におけるγ量子の放出効率はη＝０．５０。空気中における吸収は無視して、点源から距離ｒ＝２００ｃｍの所における照射線量（単位Ｃ／（ｋｇ・ｓ））
を求めよ。
１２．７０． 活性度（線源の強さ）Ａ＝０．６７×１０ ９Ｂｑの放射性点源が、各崩壊毎に、エネ
ルギー０．８０ＭｅＶ、１．００ＭｅＶの２個のγ量子を放出する。空気中における吸収を無視し、
週３６時間労働をするものとして、照射線量が我慢値に達するこの点源からの距離を求めよ。
１２．７１． 活性度Ａ＝３．７０×１０ ７Ｂｑのγ線の点源から、距離ｒ＝１００ｃｍの所における照射線量Ｐ（単位ｎＣ／（ｋｇ・ｓ））を求めよ。線源は放射性核子、（ａ） ２４Ｎａ、（ｂ） ４２Ｋ、
（ｃ）３８Ｃｌの場合とする。これらの放射性核子の崩壊図は図２１．１に示している。

１２．７２． エネルギーＥ＝１．００ＭｅＶを持つγ量子源が、長さｌ＝１００ｍｍの線分の隙間に沿って一様に配置されている。１秒間に、線源から放出される光子数は、Ｊ＝４．００×１０ ６個／ｓ。線源からＲ＝５０ｃｍの距離で、線源の中心を通過する垂線上にある点における照射線量を求めよ。
１２．７３． エネルギーＥ＝２．００ＭｅＶを持つγ量子源が、半径Ｒ＝３．０ｃｍの円板表面に一様に分布している。線源の活性度はＡ＝３．７０×１０ ９Ｂｑ／ｃｍ２。１回の崩壊で１個のγ量子が放出される。、円板の軸上、円板の中心から距離ｈ＝６．０ｃｍの所における照射線量を求めよ。
１２．７４． エネルギー１．００ＭｅＶのγ線細束が通過するあるＯ点で、照射線量がＰ＝０．９８ｎＣ／（ｋｇ・ｓ）である。このＯ点における照射線量が、週３６時間労働にたいして、我慢値Ｐ我慢となるためには、γ線細束上に如何ほどの厚さの鉛板を置く必要があるか。
１２．７５． 活性度Ａ＝３．７０×１０ ６Ｂｑのγ線源が、外半径がｒ＝１０．０ｃｍの球形の鉛製収納容器内に入っている。外部における照射線量が０．２０ｎＣ／（ｋｇ・ｓ）を超えないための、容器の最小の厚さを求めよ。γ量子のエネルギーはＥ＝２．００ＭｅＶ、その放出効率、則ち、１回の崩壊での量子数は、η＝０．６０とする。
１２．７６． エネルギー２．０ＭｅＶのγ線の細束が、厚さｌ＝５．０ｃｍの鉛板に垂直に入射する。板から細束が出る付近における鉛中の吸収線量（単位 Ｇｙ／ｓ）を求めよ。板への細束の入射位置での照射線量はＰ＝０．２３ｍＣ／（ｋｇ・ｓ）とする。
１２．７７． 強度４．０×１０−７／ｓの高速中性子の同位体点源から、いかほどの距離で、中性子照射の程度が、週に１８時間労働の場合において、我慢値に達するか。
１２．７８． 運動エネルギーＥ＝０．３３ＭｅＶ、密度Ｊ＝１．４×１０５／（ｃｍ２・ｓ）を持つ
中性子流が、薄いグラファイト板を貫通する。ｔ＝６０分間に、グラファイトが吸収する線量を求めよ。炭素の原子核において中性子の弾性散乱断面積はσ＝４．８×１０−２４ｃｍ２。衝突時に、質量数- 54 -

Ａの原子核に中性子が与えるエネルギーの平均割合は、ｆ＝２Ａ／（１＋Ａ） ２で与えられるものとする。
１２．７９． 質量ｍ＝１．００ｇの生体組織で吸収される、運動エネルギーＥ＝４．９ＭｅＶのα粒子の幾つが、線量等量Ｄ＝０．５０ｅＶの相当するか。生体に対するα粒子のダメージ係数（生物学的相対有効度）はＫ＝２０である。
１２．８０．面積Ｓ＝２．０ｃｍ２の皮膚の上に、運動エネルギーＥ＝５．１ＭｅＶを持つα粒子が、垂直に、Ｎ＝３．２×１０ ４個入射する。生体におけるα粒子の浸透距離の箇所における、平均吸収線量（単位 ｍＧｙ）と、線量等量（単位 ｍｅＶ）を求めよ。生体において、α粒子の経路長は空気中での経路長より、８１５倍短い。生体に対するα粒子のダメージ係数（生物学的相対有効度）はＫ＝２０である。
１２．８１． 放射線源９０Ｓｒからのβ粒子線束が、水面に垂直に入射する。粒子線束の密度はＪ＝５．０×１０ ４／（ｃｍ ２・ｓ）。時間ｔ＝６０分間における、水面近傍における水中での吸収線量を求めよ。β粒子の平均運動エネルギー＜Ｅ＞を、Ｅβ最大／３に等しいと見なす。

- 55 -

１３．核反応
１３．１．核反応における保存則
１３．１． 運動エネルギーＴ０＝１．０ＭｅＶを持っているα粒子が静止している原子核 ６Ｌｉと弾性散乱をした。α粒子の最初の運動方向と角度θ＝３０°をなす方向に飛び去った反跳原子核 ６Ｌｉの運動エネルギーを求めよ。
１３．２． 飛んできたα粒子が重水素と弾性散乱した結果、（ａ）各粒子のＢρが６０ｋＧ・ｃｍのとき。
（ｂ）両方の粒子の飛び去った方向の間の角度がθ＝１２０°で、重水素が得たエネルギーがＴ ｄ＝０．４０ＭｅＶのとき。
各々の場合について、飛んできたα粒子の運動エネルギーを求めよ。
１３．３． 非相対論的重水素が、静止している原子核と弾性衝突し、角度３０°散乱された。反跳
原子核は、飛んできた重水素の運動方向に対して幾らの角度方向に飛び出したか。この原子核は何か。
１３．４． 静止している原子核、（ａ） ６ Ｌｉ、（ｂ） ４Ｈｅ、（ｃ） ２ Ｈ、と非相対論的α粒子との弾性散乱について運動量のベクトル図を描け。重心系におけるα粒子の散乱角度は６０°とする。これらの内、どの場合、散乱されたα粒子のエネルギーと、その散乱角度の間は複雑か。
１３．５． 静止している原子核１２Ｃと弾性散乱をし、重心系で角度θ＝６０°方向に散乱する非相対論的α粒子は、如何ほどの運動エネルギーを失うか。
１３．６． エネルギー０．９０ＭｅＶを持つ陽子が、静止している重水素と正面弾性衝突をした。
衝突後の陽子の運動エネルギーを求めよ。
１３．７． 静止している原子核４Ｈｅと、非相対論的中性子が弾性衝突をし、角度θｎ方向に散乱された。その結果、 ４Ｈｅは、飛んできた中性子の運動方向に対して、角度６０°をなす方向に飛び去った。角度θ ｎを求めよ。
１３．８． 非相対論的α粒子が、原子核 ６Ｌｉで弾性散乱された。以下の場合について、α粒子の散乱角度を求めよ。
（ａ）重心系でθα＝３０°ならば、実験室系では幾らとなるか。
（ｂ）実験室系でθ α＝４５°ならば、重心系では幾らとなるか。
１３．９． 運動エネルギー０．３０ＭｅＶを持つ重水素が、陽子と弾性散乱をする。実験室系において、可能な最大角度に散乱された重水素の運動エネルギーを求めよ。この角度は幾らとなるか。
１３．１０． ７Ｌｅ＋ｐ→α＋４Ｈｅ の反応エネルギーを求めよ。原子核７Ｌｉ、 ４Ｈｅ中の１個の核子の平均結合エネルギーは各々５．６０ＭｅＶ、７．０６ＭｅＶであることを既知とする。
１３．１１． 以下の反応エネルギーを求めよ。
（ａ）３Ｈ＋ｐ→ ４Ｈｅ＋γ。
（ｂ）１４Ｎ＋α→１６Ｏ＋ｄ。
（ｃ）１２Ｃ＋α→１４Ｎ＋ｄ。
（ｄ）６Ｌｉ＋ｄ→３Ｈｅ＋ｎ＋α。
１３．１２．付録の表を用いて、１７Ｎ原子の質量を計算せよ。１７Ｏ＋ｎ→１７Ｎ＋ｐの反応エネルギーはＱ＝−７．８９ＭｅＶであることを既知とする。
１３．１３． 静止しているホウ素の原子核と、中性子の相互作用による結果起こる核反応２０Ｂ＋ｎ→７Ｌｉ＋αの生成物の速度を求めよ。中性子の運動エネルギーは無視できるほど小さいとする。
１３．１４． ベリリウムの光壊変反応 ９Ｂｅ＋γ→ ８Ｂｅ＋ｎにおいて生成する中性子のエネルギ
ーを求めよ。ここで、反応エネルギーはｑ＝−１．６５ＭｅＶ、γ量子のエネルギーはℏω＝１．７
８ＭｅＶである。
１３．１５． ？ エネルギー２．５２ＭｅＶのγ線で、重水素の標的を照射したとき、光陽子（？）
が放出される。そのＢρは６３．７ｋＧ・ｃｍ。中性子と陽子の質量差を無視して、重水素の結合エネルギーを求めよ。
１３．１６． 以下の反応のエネルギーを計算せよ。
（ａ） ２Ｈ＋ｄ→ ３Ｈ＋ｐ。飛んでくる重水素のエネルギーはＴ ｄ＝１．２０ＭｅＶ、重水素の運動方向に対して直角方向に飛び去る陽子のエネルギーはＴｐ＝３．３０ＭｅＶとする。
- 56 -

（ｂ） １４Ｎ＋α→ １７Ｏ＋ｐ。飛んでくるα粒子のエネルギーはＴ α＝４．００ＭｅＶ、α粒子の運動方向に対して角度θ＝６０°方向に飛び去る陽子のエネルギーはＴ ｐ＝２．０８ＭｅＶとする。
１３．１７． 反応 ９Ｂｅ＋ｐ→ ６Ｌｉ＋α＋２．１３ＭｅＶ を引き起こす陽子の運動エネルギーを求めよ。陽子の運動方向に対して直角の方向に飛び去るα粒子の経路長は、定常条件下の空気中で、２．５ｃｍであることが既知である。
１３．１８． 運動エネルギーＴ ｄ＝１０．０ＭｅＶを持つ重水素が、炭素原子核と相互作用し、反応 １３Ｃ＋ｄ→１１Ｂ＋α＋５．１６ＭｅＶ を引き起こす。以下の場合として、反応生成物の飛び去る方向のなす角度を求めよ。
（ａ）生成した原子核は対称に飛び去る。
（ｂ）α粒子は重水素束に対して直角方向に飛び去る。
１３．１９． 実験室系において、吸エネルギー核反応が起こる場合の飛んでくる粒子の閾値運動エ
ネルギーは、公式
Ｔ閾値＝（（ｍ＋Ｍ）／Ｍ）｜Ｑ｜
で与えられる。ここで、ｍは飛んでくる粒子の質量、Ｍは標的の原子核。Ｑは反応エネルギー。この式を導出せよ。
１３．２０． 以下の反応において、α粒子と中性子の閾値エネルギーを計算せよ。
（ａ）α＋７Ｌｉ→１０Ｂ＋ｎ。
（ｂ）α＋１２Ｃ→１４Ｎ＋ｄ。
（ｃ）ｎ＋１２Ｃ→９Ｂｅ＋α。
（ｄ）ｎ＋１７Ｏ→１４Ｃ＋α。
１３．２１． 反応 ｐ＋３Ｈ→３Ｈｅ＋ｎ において、（ａ）飛んでくる粒子が陽子の場合、（ｂ）飛んでくる粒子が３重水素の場合、において、飛んでくる粒子の閾値運動エネルギーを計算せよ。
１３．２２． 以下の反応で生起される原子核 ７Ｂｅ、原子核 １５Ｏの運動エネルギーを求めよ。陽子のエネルギーと中性子のエネルギーは閾値であるとする。
（ａ）ｐ＋７Ｌｉ→７Ｂｅ＋ｎ、 Ｑ＝−１．６４ＭｅＶ。
（ｂ）ｎ＋１９Ｆｅ→ １５Ｏ＋ｐ＋４ｎ、 Ｑ＝−３５．８ＭｅＶ。
１３．２３． リチウムの標的を、閾値より１．５倍高い運動エネルギーを持った陽子で照射する。
反応 ７Ｌｉ＋ｐ→７Ｂｅ＋ｎ により、陽子束の方向に対して角度９０°方向に飛び出す中性子のエネルギーを求めよ。
１３．２４． 原子核 ７Ｌｉのクーロンポテンシャル障壁下で、通過に必要な、飛込むα粒子の最低運動エネルギーを求めよ。そのようなエネルギーを持つα粒子は、反応 ７Ｌｉ＋α→ １０Ｂ＋ｎ を生起するか。
１３．２５． 運動エネルギーＴ＝１０．０ＭｅＶを持つ中性子が、反応 １０Ｂ＋ｎ→ ９Ｂｅ＋ｄを生起する。その為の閾値はＴ閾値＝４．８ＭｅＶ。逆反応を考える。重心系において、相互作用する粒子の全エネルギーは両方の過程において同じとする、逆反応において、飛んでくる重水素の必要な運動エネルギーを求めよ。
１３．２６． 重心系において、反応 Ｍ＋ｍ→Ｍ ＋ｍ＋Ｑ の結果生成する粒子の運動量ｐに対する式を求めよ。飛んでくる粒子の運動エネルギーは実験室系で、Ｔｍとする。
１３．２７． 反応 １４Ｎ＋ｐ→１４Ｏ＋ｎ−５．９ＭｅＶ の結果生成する酸素の原子核の運動エネ
ルギーを求めよ。飛んでくる陽子の運動エネルギーは１０．０ＭｅＶで。酸素は、飛んでくる陽子の方向に対して角度３０°の方向に飛び出すものとする。運動量のベクトル図を利用して結果を得よ。
１３．２８． 反応 １６Ｏ＋ｄ→１４Ｎ＋α＋３．１ＭｅＶ において生成するα粒子の最大運動エネ
ルギーを求めよ。爆撃する重水素のエネルギーは２．０ＭｅＶとする。
１３．２９． 反応 １１Ｂ＋α→１４Ｎ＋ｎ＋０．３０ＭｅＶ において生成する中性子のエネルギー
スペクトル幅を求めよ。爆撃するα粒子のエネルギーは５．０ＭｅＶとする。
１３．３０． リチウムの標的を、運動エネルギーＴαのα粒子で照射する。核反応 ７Ｌｉ＋α→１０
Ｂ＋ｎ−２．７９ＭｅＶ の結果、標的から中性子が飛び出す。以下を求めよ。
（ａ）Ｔ α＝１０．０ＭｅＶのとき、爆撃するα粒子の運動方向に対して、０°、９０°、１８０°の角度方向に飛び出す中性子の運動エネルギー。
- 57 -

（ｂ）Ｔαが幾らの値の時、中性子は前方の半球方向（θ＜９０°）にだけ放射されるか。
１３．３１． 反応器の中で、強力な高速中性子束を得るために、重水素化リチウムＬｉＤを置く。
反応容器内では、低速中性子が 反応 ６Ｌｉ＋ｎ→３Ｈ＋α＋４．８０ＭｅＶ を生起する。生成したトリチウム原子核（３Ｈ＝Ｔ）は、引き続いて以下の反応を生起する。
（ａ）Ｄ＋Ｔ→ ４Ｈｅ＋α＋１７．６ＭｅＶ、（ｂ）７Ｌｉ＋Ｔ→９Ｂｅ＋ｎ＋１０．４ＭｅＶ。
これらの過程が、高速中性子源となる。得られる中性子の最大エネルギーを求めよ。
１３．３２． 運動エネルギー１．５０ＭｅＶの中性子が、核子６Ｌｉと ２Ｈを含有している標的を爆撃する。運動量のベクトル図を用いて、次の連続する反応の結果生成する中性子のエネルギースペク
トルの幅を求めよ。
３
Ｈ＋ ２Ｈ→ ４Ｈｅ＋ｎ。
ｎ＋６Ｌｉ→４Ｈｅ＋３Ｈ、
１３．３３． 以下の反応において、生成物の可能な最大飛行角度（実験室系で）を求めよ。
（ａ）９Ｂｅ＋ｐ→９Ｂ＋ｎ−１．８４ＭｅＶ。ただし、Ｔ ｐ＝４．００ＭｅＶ。
（ｂ）４Ｈｅ＋ｎ→３Ｈ＋ｄ−１７．５ＭｅＶ。ただし、Ｔ ｎ＝２４．０ＭｅＶ。
１３．３４． 運動エネルギー７．５ＭｅＶの中性子線束が、炭素標的内で、反応 １２Ｃ＋ｎ→ ９Ｂ
ｅ＋α を惹起する。以下を求めよ。
（ａ）前面の半球（θ α＜９０°）の内に飛び出すα粒子の相対数。重心系で、反応の生成物の角度分布は等方的であると見なす。
（ｂ）実験室系でα粒子が飛び出す角度がθ α＝３０のとき、重心系で、このα粒子が飛び出す角度。
１３．３５． 質量Ｍの静止している原子核の光壊変の吸熱反応が可能となる、γ量子の閾値エネル
ギーを求めよ。反応エネルギーはＱとする。
１３．３６． 以下の光壊変反応において、γ量子のエネルギーが閾値であるとき、中性子の運動エ
ネルギーを計算せよ。
（ａ）γ＋ｄ→ｎ＋ｐ。
（ｂ）γ＋７Ｌｉ→ｎ＋６Ｌｉ。
１３．３７． 原子核の光壊変反応 γ＋Ｍ→ｍ １＋ｍ ２ において、反応生成物が非相対論できの場合、重心系における生成した粒子の運動量は公式 ｐ＝（２μ （Ｑ＋ℏω）） １／２ で与えられることを示せ。ここで、μ は生成した粒子の換算質量、Ｑは反応エネルギー、ℏωはγ量子のエネルギー。
１３．３８． エネルギー６．４０ＭｅＶを持つγ量子が、トリチウムの原子核と相互作用をし、反応 ３Ｈ＋γ→２Ｈ＋ｎ を生起する。重心系において、中性子の分布は等方的であるとし、実験室系において、前方の半球内に重水素が飛び去る確率を求めよ。
１３．３９． ベリリウムの標的を、エネルギーＴ ｄ＝１９０ＭｅＶの重水素の細束で照射した。標的の向こう側の細束の方向で、角度幅Δθ＝１６°を持つ中性子束が観測された。ストリッピング反応機構に関する仮定を利用して、エネルギーに関してのバラツキを求めよ。
１３．４０． 原子核１６Ｏと重水素との相互作用で、ストリッピング反応で生起した原子核１７Ｏの基底状態における可能なスピン値を求めよ。捕獲された中性子の軌道モーメントはｌ ｎ＝２とする。結果を、原子核の殻モデルに基づくスピンの値と比較せよ。
中間原子核８Ｂｅ＊を経由する、次の２つの系列の反応を考察しよう。
↗→２４Ｈｅ７８＊ｐ＋ Ｌｉ→ Ｂｅ↘→ ８Ｂｅ＋γ７８
原子核 Ｌｉと Ｂｅのスピンと偶奇性は、各々、３／２−と０＋。陽子の内部偶奇性を正と見なし、α粒子のスピンは０。陽子の軌道角運動量ｌが０と１の場合において、運動量と偶奇性の保存則使用
し、以下に答えよ。
（ａ）中間原子核の可能なスピン値Ｉと偶奇性Ｐ。
（ｂ）２つの反応系列の各々に対応する中間原子核の状態（スピンと偶奇性）。
１３．４１．

１３．２．原子核の準位。核反応の断面積と収率
１３．４２． 質量Ｍの静止している原子核が、エネルギーℏωのγ量子を捕獲した。この励起原子
核のエネルギーを求めよ。
- 58 -

１３．４３． 静止している原子核 ３Ｈによって、運動エネルギー２．０ＭｅＶの陽子が捕獲され、生成した原子核４Ｈｅの励起エネルギーを求めよ。
１３．４４． 中性子が原子核 ９Ｂｅと非弾性散乱の結果、Ｂｅに励起エネルギー２．４０ＭｅＶを与えるためには、中性子に必要な最小運動エネルギーは幾らとする必要があるか。
１３．４５． 標的 ７Ｌｉを、運動エネルギーＴ０＝１．００ＭｅＶの中性子束で爆撃する。中性子の非弾性散乱の結果、生起する原子核の励起エネルギーを求めよ。入射束に対して直角方向に非弾性散乱される中性子のエネルギーはＴ＝０．３３ＭｅＶであるとする。
１３．４６． 静止している原子核２０Ｎｅで、直角方向に非弾性散乱される陽子の運動エネルギーを計算せよ。原子核２０Ｎｅの下位の準位は、励起エネルギー１．５ＭｅＶ、２．２ＭｅＶ、４．２Ｍｅ
Ｖに対応しているのを既知とする。爆撃用陽子の運動エネルギーはＴ０＝４．３ＭｅＶ。
１３．４７． 原子核１６Ｏとの相互作用断面積が最大となる、陽子の運動エネルギーを求めよ。中間状態の原子核の下位の準位は、励起エネルギー０．８７ＭｅＶ、３．００ＭｅＶ、３．８０ＭｅＶ、
４．５４ＭｅＶ、５．０７ＭｅＶ、５．３６ＭｅＶに対応しているものとする。
１３．４８． 重水素で、炭素の標的を爆撃したとき、核反応 １３Ｃ＋ｄ→１４Ｎ＋ｎ が生起された。
その収量は、重水素の運動エネルギーが０．６０ＭｅＶ、０．９０ＭｅＶ、１．５５ＭｅＶ、１．８
０ＭｅＶで最大となった。この反応が経由する中間原子核の、対応する準位を求めよ。
１３．４９． ホウ素の標的を、運動エネルギー１．５０ＭｅＶの重水素束で照射する。原子核 １０Ｂ
における（ｄ、ｐ）反応で、標的から重水素束の方向に対して直角の方向に、運動エネルギー７．７
４ＭｅＶ、５．５１ＭｅＶ、４．９８ＭｅＶの陽子が放出される。これらのエネルギー値に対応する
励起原子核１１Ｂの準位を求めよ。
１３．５０． 原子核２７Ａｌによって、入射束に対して直角方向に非弾性散乱される中性子の単一エ
ネルギー群の強度比を求めよ。なを、２７Ａｌの下位準位は各々励起エネルギー０．８４ｍｅＶ、１．
０２ＭｅＶ、１．８５ｍｅＶに対応している。爆撃をする中性子の運動エネルギーは１．４０ＭｅＶ。
閾値近傍での中性子の非弾性散乱断面積は、非弾性散乱される中性子の速度に比例するものとする。
１３．５１． ？ Ａ＋ａ→Ｂ＋ｂの反応断面積を導出せよ。中間原子核の生成断面積σ ａ、準位の全幅Γ、粒子ｂの放出に対応している部分幅Γｂ、は既知とする。（？ 本文中代名詞が多すぎる）
１３．５２． 原子核 ６Ｌｉによる、エネルギー２５０ｋｅＶを持つ中性子の捕獲により生起する励
起原子核の平均寿命を求めよ。この原子核が、中性子を放射するときの平均寿命はτ ｎ＝１．１×１
０ −２０ｓ、α粒子を放射するときの平均寿命はτ α＝２．２×１０ −２０ｓであることを既知とする。他の過程はないとする。
１３．５３． 原子核反応の速度は、この原子核が反応に入る瞬間までの、当該原子核の爆弾の、平均継続時間τで特徴付けられる。α粒子束がＪ＝１６μＡ／ｃｍ ２の密度であるとき、反応 ６０Ｎｉ
＋α→６３Ｚｎ＋ｎ におけるτを求めよ。反応断面積はσ＝０．５×１０−２４ｃｍ２とする。
１３．５４． 核反応 ９Ｂｅ＋α→１２Ｃ＋ｎ の生成効率が０．８×１０−４であるとき、 ２１０Ｐｏを０．６３×１０１０ベクレル含有している小さなＰｏ−Ｂｅ線源から距離１０ｃｍ離れている箇所における中性子束の密度を求めよ。
１３．５５． エネルギー１０ＭｅＶまで加速された重水素で、ベリリウム標的を照射すると、強力な中性子発生源となる。核反応 ９Ｂｅ＋ｄ→ １０Ｂ＋ｎの反応効率は５×１０ −３。重水素束が１００μＡのとき、１秒間に放射される中性子数を求めよ。
Ｒａ−Ｂｅ線源が同じ強度を持っているためには、Ｒａ−Ｂｅ線源は如何ほどのラジウムを含有していなければならないか。この線源の生成効率は１ｇＲａ当たり、２．０×１０ ７中性子／秒であるとする。
１３．５６． 定常条件下で、体積Ｖ＝１０ｃｍの気体のＢＦ ３を、流量密度Ｊ＝１．０×１０ １０／（ｓ・ｃｍ２）の熱中性子で照射する。以下を求めよ。
（ａ）ホウ素が中性子を取込み、α粒子を放射する１秒間当たりの核反応数。
（ｂ）ホウ素が中性子を取込み、α粒子を放射する核反応において、この体積で放出される熱出力。
１３．５７． 重水でできている氷の薄い標的を、エネルギー１ＭｅＶの重水素で照射すると、核反
応 ２Ｈ＋ｄ→３Ｈｅ＋ｎ の生成効率は０．８×１０−５、反応断面積は０．０２０×１０−２４ｃｍ２。
２ＭｅＶの運動エネルギーを持つ重水素の場合において、この反応の断面積を求めよ。このエネルギ
ーのときの生成効率は４．０×１０−５とする。
- 59 -

１３．５８． エネルギー１７ｍｅＶのγ量子による、厚さｄ＝１．０ｍｍの銅板の照射による、核反応（γ、ｎ）の生成効率はｗ＝４．２×１０−４。この反応の断面積を求めよ。
１３．５９． 定常条件下にある窒素気体に入っている容器中を、単一エネルギー０．０２５ｅＶの細い中性子束が通過する。中性子の流量は２．０×１０ ８／ｓ。５．０ｍｓ間に、長さ１．０ｃｍの細束当たり、９５個の陽子が生成する。反応（ｎ，ｐ）の断面積を求めよ。
１３．６０． 流れ密度１．０×１０１２／（ｓ・ｃｍ２）の熱中性子で、 １１３Ｃｄの薄板を照射する。
６昼夜における照射で、１１３Ｃｄの同位元素の原子核の含有量は、１．０％だけ減少する。反応（ｎ，γ）の断面積を求めよ。
１３．６１． １年間にわたり、Ｊ＝２．００×１０１２／ｓの熱中性子線束で、天然の同位体成分からなっているホウ素の薄板を照射する。その結果原子核１０Ｂの含有量は１６．４％となった。この反応の断面積を求めよ。
１３．６２． 天然の同位体成分からできているリチウムの厚さ０．５０ｃｍの標的を、熱中性子束で照射したとき、反応（ｎ、α）の生成効率を求めよ。
１３．６３． エネルギー２２ＭｅＶの陽子線束で、鉄の標的を照射する。核反応（ｐ，ｎ）の結果、半減期が７７．２昼夜の放射性核子５６Ｃｏが生成される。核反応の生成効率はｗ＝１．２×１０ −３。
陽子の電流をＪ＝２１μＡとしたとき、照射の開始後、τ＝２．５時間経過したときにおける標的の活性度を求めよ。
１３．６４． ナトリウム金属製の標的を、電流１０μＡ、エネルギー１４ＭｅＶの重水素束で長時間照射した。その結果、放射性核子２４Ｎａが生成される反応（ｄ、ｐ）の生成効率を求めよ。照射終了後１０時間経過したとき、標的の放射能は５．９×１０ １０ベクレルとなっている。
１３．６５． 厚さ１．０ｇ／ｃｍ ３のリンの薄膜を、τ＝４．０時間の間、運動エネルギー２．０
ＭｅＶの中性子束で照射した。線束の量は２．０×１０１０／ｓ。照射後、ｔ＝１．０時間経過後、板の放射能は３．９×１０ ６ベクレルであった。放射能は核子 ３１Ｓｉによるものであり、この核子は反応（ｎ，ｐ）の結果、生成する。この反応の断面積を求めよ。
１３．６６． エネルギー７．０ＭｅＶのα粒子束で、厚いアルムニューム標的を照射すると、殻反応（α、ｎ）の結果、１．６０×１０ ９／ｓの中性子束が放射される。α粒子束電流は５０μＡ。この反応の生成効率と断面積を求めよ。
１３．６７． 厚いベリリウム標的を、運動エネルギー７．０ＭｅＶのα粒子で爆撃をする。核反応（α、ｎ）の生成効率は２．５０×１０ −４である。この反応の平均断面積を求めよ。
１３．６８． 核子 ７Ｌｉ製の厚い標的を、運動エネルギー７．０ＭｅＶのα粒子で爆撃をする。核反応 ７Ｌｉ＋α→ １０Ｂ＋ｎ の断面積を求めよ。この核反応の生成効率はｗ＝２．８×１０ −５である。
１３．６９． 定常条件下で空気の満たされている容器に、運動エネルギー７．８ＭｅＶのα粒子束を入射する。線束に沿った容器の長さは、このエネルギーのα粒子の自由行程長より長い。核反応
１４Ｎ＋α→１７Ｏ＋ｐ−１２．０ＭｅＶ の平均断面積を求めよ。この反応の生成効率は２．０×１０−６、空気中の窒素の含有率は体積で７８％である。
１３．７０． ベリリウム板を、運動エネルギー１４ｍｅＶの中性子線束で、板の面に垂直に照射する。核反応（ｎ、２ｎ）により中性子の１０％だけの再生産に必要な板の厚さを定めよ。反応断面積
はσ＝０．５０×１０−２４ｃｍ２。他の核反応はなく、板中で中性子は吸収されないものとする。
１３．７１． 原子核密度がｎ ０である厚い標的を、重い荷電粒子で照射する。爆撃する修理の運動
エネルギーＴに対する生起する学反応の断面積の依存性を定めよ。粒子のエネルギーに対する反応の生成効率ｗと、これらの粒子のイオン化損失に関する式ｄＴ／ｄｘ＝ｆ（Ｔ）は既知とする。
１３．７２． 重水素の標的に対する、重水素の照射で、反応 ｄ＋ｄ→ ３Ｈｅ＋ｎ、Ｑ＝＋３．２
６ＭｅＶが進行する。詳細均衡の原理を利用して、 ３Ｈｅのスピンを求めよ。中性子のエネルギーがＴ＝１０．０ＭｅＶのとき、この過程の断面積はσ １に等しく、相当するエネルギーを持つ爆撃する
中性子の時、逆過程の断面積はσ２＝１．８σ １に等しいものとする。中性子と重水をのスピンは既知とする。
１３．７３． 詳細平衡の原理を使い、爆撃するα粒子のエネルギーがＴ＝３．７０ＭｅＶのとき、
反応 α＋ ６Ｌｉ→ ９Ｂｅ＋ｐ−２．１３ＭｅＶ の断面積σ １を求めよ。相当するエネルギーを持った陽子での逆反応の断面積はσ２＝０．０５０×１０−２７ｍ ２である。
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１３．７４． 詳細平衡の原理を使い、エネルギーＴ ｐを持つ陽子による標的の照射において生起する Ａ＋ｐ→Ｂ＋ｎ の形の吸エネルギー核反応の断面積は、閾値の近くでは、（Ｔ ｐ−Ｔ ｐ閾値 ） １／２に比例する、ことを証明せよ。ただし、熱中性子においては、逆反応の断面積は１／ｖ ｎに比例するものとする。ここで、ｖｎは中性子の速度。
１３．７５． ？ 重水素の光崩壊 γ＋ｄ→ｎ＋ｐ、Ｑ＝−２．２２ＭｅＶ の反応断面積は、γ
量子のエネルギーがℏω＝２．７０ＭｅＶのとき、σ １＝０．１５０×１０ −２７ ｃｍ ２に等しい。詳細
平衡の原理を使用して、爆撃する中性子が相当するエネルギーを持つ、逆過程の断面積σ２を求めよ。
Ｔｎの値を計算せよ。

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１４．中性子の物理学
１４．１．中性子分光学
１４．１． 中性子の初期の選別器の構造の１つに、回転速度ｎ（単位 回転／ｓ）で回転する１つの軸に固定された２つの円板からなるものがある。円板の間隔はＬ。各々の円板には、１本の動径に沿った隙間が空いている。この２つの隙間の交差角度はα。ｎ＝１００回転／ｓ、Ｌ＝５４ｃｍ、α＝８°のとき、この選別器を通り抜ける中性子のエネルギーを求めよ。
１４．２．

？

１４．３． 中性子選別器の飛行時間に関する分解能はΔτ／Ｌ（単位μｓ／ｍ）。中性子のエネル
ギーＴ（単位ｅＶ）に対するこの選別器のエネルギー関する分解性能の依存性（ΔＴ／Ｔ）を求めよ。
Δτ／Ｌ＝１．０μｓ／ｍと仮定し、Ｔ＝５．０ｅＶに対するΔＴ／Ｔを求めよ。ΔＴ／Ｔが１０％
より悪くならない最大のＴの値を求めよ。
１４．４． 銀の共振曲線の形状研究に、半値幅０．２０ｅＶ、エネルギー５．０ｅＶで、飛行時間
０．５０μｓ／ｍの分解能を持っている中性子選別器は役に立つか。
１４．５． パルスシンクロトロン装置において、中性子パルスと時間分析器のチャンネルの総幅は１．０μｓ。エネルギー５０ｅＶ近傍における間隔０．５０ｅＶの２つの共振の分解に必要な、減速材から時間分析器までの距離を求めよ。
１４．６． 格子定数ｄ＝３２５ｐｍのＮａＣｌ結晶表面で、斜入射角度４．０°で反射される中性子のエネルギーを計算せよ。３．０ｅＶ以下のエネルギーを持つ中性子が、入射中性子束にあるものとする。
１４．７． ベリリウム結晶を用いた分光器では、格子定数ｄ＝７５ｐｍの面からの１次の中性子の反射を利用している。Ｔ＝０．３０ｅＶ近傍にエネルギーを持つ中性子において、エネルギーΔＴ／
Ｔに関する、この分光器の分解能を評価せよ。入射束はΔθ＝０．５°までコリメートされているものとする。
１４．８． 格子定数ｄ＝２３２ｐｍの面での中性子の１次反射を利用しているＬｉＦ単結晶分光器
で、運動エネルギーが０．４９ｅＶ、０．５１ｅＶの２つの共鳴中性子群を分離する必要がある。入
射中性子束の発散角度が幾らのとき、これが実現できるか。
１４．９． 突き固めた結晶粉の厚い層を熱中性子が通過するとき、十分に長い波長を持つ中性子は、結晶面での反射を受けることなく、通過する。グラファイトの厚いブロックを通過する中性子の運動
エネルギーを求めよ。グラファイトの最大面間距離はｄ＝３３５ｐｍ。
１４．１０． 図１４．２に、高速中性子のシンチレーションスペクトルメータが示されている。検査をする中性子束はスチルベン（シンチレーション用発光芳香属有機体）付きシンチレーションカウ
ンタＡに入射する。スチルベン中の陽子との弾性衝突の結果、角度θ方向に散乱された中性子は、光電管Ｂで記録される。反跳した陽子は光電管Ａで記録される。両方の光電管のパルスは、一致回路に入る。光電管Ａからのパルスは、散乱中性子による距離
Ｌの飛行時間だけ遅延させて、一致回路に入る。以下を求めよ。
（ａ）最大数観測された遅延時間が２２．０ｎｓ。Ｌ＝５０ｃｍ、θ＝４５°として、最初の中性子の運動エネ
ルギー。
（ｂ）光電管Ｂに取り付いているスチルベン結晶の直径が３．０ｃｍであるとして、中性子の確定エネルギーの相対誤差。
１４．２．中性子と原子核の相互作用
１４．１１． 準古典論で、爆撃をする中性子の衝突パラメータｂに対する式を求めよ。運動エネル
ギー１．００ＭｅＶを持つ中性子に対する最初の３つの可能なｂ値を計算せよ。
１４．１２． 原子核Ａｇと、運動エネルギー５．０ＭｅＶを持つ中性子の相互作用における衝突パ
ラメータの最大値を求めよ。
１４．１３． 波長λを持つ中性子において、原子核の幾何断面積は Ｓ≒π（Ｒ＋λ） ２ であることを示せ。ここで、Ｒは原子核半径。この値を、原子核Ａｕに向かって飛んでいく、運動エネルギ- 62 -

ー１０ｍｅＶを持つ中性子に対して評価せよ。
１４．１４． 運動エネルギー７．０ＭｅＶを持つ中性子が、原子核Ｓｎと相互作用をするとき、遠心障壁の最大高を評価せよ。
１４．１５． 鉛原子核で、弾性回折散乱を受けた中性子が、飛んでいく限界角度θを評価せよ。中性子のエネルギーは５０ＭｅＶ。
１４．１６． 原子核（スピンＩ＝１）と遅速中性子（ｌ＝０）との相互作用の結果、中間原子核がスピンＪ＝３／２を持つ状態となる確率を求めよ。中性子のスピンと原子核のスピンは、あらゆる相互方位を採れるものと見なす。
１４．１７． 構成原子核の生成断面積σαに関するブレイト−ビグネールの公式を手がかりに、弾性散乱過程の断面積のための式と、中性子の放射線捕獲の断面積のための式を導け。
１４．１８． ブレイト−ビグネールの公式を用いて、中性子の運動エネルギーに対する、中性子の放射線捕獲断面積を表記せよ。Ｔ＝Ｔ ０におけるこの過程の断面積σ ０、Ｔ ０の値、Γ（中性子の準位幅）は既知とする。
１４．１９． 中性子のエネルギーが０．５０ｅＶのときにおける反応 １１５Ｉｎ＋ｎ→１１６Ｉｎ＋γの断面積を計算せよ。なを、共鳴における断面積はσ０＝２６．６×１０−２４ｃｍ２、Ｔ０＝１．４４
ｅＶ、Γ＝０．０８５ｅＶとする。また、中性子幅Γｎは放射幅Γγより十分に小さいものとする。
１４．２０． ？ エネルギー０．０２５ｅＶを持っている熱中性子と、 １１３Ｃｄ原子核との相互作用において、散乱断面積は放射捕獲断面積の０．２２％であることがわかった。中性子の共鳴エネル
ギー値がＴ ０＝０．１７８ｅＶの時のγ量子放出確率に対する、中性子の放出を伴う構成原子核の崩壊確率の比を求めよ。
１４．２１． ブレイト−ビグネールの公式を利用して以下を求めよ。
（ａ）放射捕獲断面積σｎγが、最大値と最少値を持つときにおける、中性子の運動エネルギー値（Ｔ
最大とＴ 最小）。Ｔ０とΓは既知とする。Ｔ最大≒Ｔ０の場合を考察せよ。
（ｂ）Ｔ＝Ｔ ０のとき、反応過程（ｎ、γ）の断面積σ ０は、この過程の共鳴値σ最大と何％異なるか。
Γ＝Ｔ０とする。
（ｃ）中性子の放射捕獲の選択が存在しないときにおける、比Γ／Ｔ０。
１４．２２． 中性子の放射捕獲断面積に関するブレイト−ビグネールの公式を利用して、比σ 最小／
σ ０を求めよ。ここで、σ 最小はＴ＜Ｔ ０領域における核反応過程（ｎ、γ）の最小断面積、σ ０はΓ≪Ｔ０ならば、Ｔ＝Ｔ０のときのこの反応過程の断面積。
１４．２３． ブレイト−ビグネールの公式を利用して、 １１３Ｃｄ原子核による中性子捕獲で生起する中間原子核のΓ準位幅を求めよ。なを、中性子のエネルギーがＴ＝Ｔ ０のときにおける放射捕獲断面積は、Ｔ＝Ｔ０のときのこの過程の断面積より１５倍小さいものとする。ここで、Ｔ０＝０．１７８
ｅＶ。Γは中性子のエネルギーに依存しないものと見なす。
１４．２４． ブレイト−ビグネールの公式を利用して、σｎγ（Ｔ）曲線の共鳴最大の幅ΔＴが、その高さの半分で小さい（ΔＴ≪Ｔ０）ならば、ΔＴ≒Γである、ことを証明せよ。
１４．２５． ５９Ｃｏ原子核と相互作用をする中性子の共鳴エネルギーは、中性子幅Γ ｎ０＝０．９Γ
に対応して（この際Γ≪Ｔ ０）、Ｔ ０＝１３２ｅＶ。ブレイト−ビグネールの公式を利用して、以下を求めよ。
（ａ）中性子の弾性散乱の共鳴断面積。
（ｂ）反応過程が経由する中間原子核の状態のスピン。全共鳴断面積はσ ０＝１０×１０ −２４ｃｍ ２とする。
１４．２６． ５５Ｍｎ原子核による中性子の弾性散乱の共鳴断面積の、この原子核の幾何学的断面積に対する比を求めよ。なを、Ｔ０＝３３７ｅＶ、Γｎ０≒Γ≪Ｔ０、この過程における原子核の中間状態のスピンはＪ＝２とする。
１４．２７． １４９Ｓｍ原子核による中性子の放射捕獲断面積は、共鳴（Ｔ０＝０．０９７ｅＶ）において、σ０＝１．２×１０ ５×１０−２４ｃｍ２。中性子の共鳴エネルギーにおける、中性子幅Γｎ０を求めよ。なを、Γ ｎ０≪Γ＝０．０６４ｅＶ、 １４９Ｓｍ原子核のスピンはＩ＝７／２とする。
１４．２８． １０３Ｒｈ原子核による中止し捕獲において生起する中間原子核の寿命を評価せよ。なを、中性子の共鳴エネルギーＴ０＝１．２６ｅＶで、反応過程（ｎ、Γ）の断面積はσ０＝２７００×
１０ −２４ｃｍ２、Γγ≫Γｎ０＝７．８×１０−４ｅＶ、ｇ＝１／４とする。
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１４．２９． ブレイト−ビグネールの公式を利用して、遅速中性子の運動エネルギーに対する、遅速中性子の放射捕獲断面積依存性を求めよ。ただし、中間状態の原子核がエネルギーの「負」の準位、
Ｔ０＜０（図 14．1 のＥ１の準位），を持っている場合とする。T ≪｜ T ０｜と T ≫｜ T ０|のとき、T に対するσｎγの依存性の特徴を調べよ。
１４．３０． ブレイト−ビグネールの公式を利用して、中性子の放射捕獲断面積が、１／ｖの法則に従うことを説明せよ。
１４．３１． マグネシューム標的をエネルギー２．５ MeV の中性子で照射すると、弾性散乱された中性子以外に、非弾性散乱された中性子群があることがわかった。そのエネルギーは中間状態にある原子核の一定の励起準位（１．３ＭｅＶ）と対応している。非弾性散乱におけるこの準位の相対的幅を求めよ。ここで、過程の全断面積はσ 全 ＝２．２×
１０ −２４ｃｍ ２、弾性散乱の断面積はσ弾性＝１．６×１０ −２４ｃｍ ２であり、その内の４４％はポテンシャル散乱である。
１４．３．中性子の物質通過
１４．３２． カドミニューム板を通過する熱中性子流量が、１００倍減少するためには、カドミニ
ューム板の厚さを幾らにしなければならないか。
１４．３３．

厚さ１．０ｃｍの重水の層を通過したとき、細い熱中性子束は何倍弱まるか。

１４．３４． 運動エネルギー１０ＭｅＶを持つ細い高速中性子束が、厚さ４．０ｃｍの鉛板を通過するとと、何倍弱まるか評価せよ。原子核の有効断面積はσ＝２π（Ｒ＋λ） ２とする。ここで、Ｒは原子核半径、λは中性子の波長。
１４．３５． 内半径ｒ１＝１．０ｃｍ、外半径ｒ２＝１０．０ｃｍの球殻状グラファイトの中心に、運動エネルギー２．０ＭｅＶを持つ中性子の点源がある。線源の強度はＩ０＝２．０×１０ ４／ｓ。このエネルギーを持つ中性子の炭素原子核との相互作用断面積はσ＝１．６×１０−２４ｃｍ２。衝突することなく、この殻を通り抜け、グラファイトの外表面に出てくる中性子の流量密度を求めよ。
１４．３６． 単一エネルギーの細い中性子束の強度が、ホウ素の自然同位元素成分の板を通過すると２０倍弱くなる。板の質量厚さは１ｇ／ｃｍ ２。この場合において、１／ｖの法則は成り立つもの
として、中性子のエネルギーを求めよ。
１４．３７． 運動エネルギー１０．０ｅＶを持つ細い中性子束が、計測器の軸に沿って距離ｌ＝１
５．０ｃｍ通過する。計測器内は定常条件下で、気体のＢＦ ３（ホウ素は天然同位元素成分）が充填されている。核反応（ｎ，α）の断面積が１／ｖの法則に従うとして、計数器の効率を評価せよ。
１４．３８． ＬｉＩ結晶（Ｌｉは天然同位元素成分）が感受要素である中性子計数器では、 ６Ｌｉ
原子核における（ｎ、α）反応を利用している。熱中性子に対する、このような計数器の効率を評価せよ。なを、結晶の厚さは２．０ｃｍ、結晶の密度は４．０ｇ／ｃｍ ３とする。中性子の散乱は無視する。
１４．３９． 密度Ｊ＝１．００×１０ １３／（ｃｍ ２・ｓ）の熱中性子束で、１週間にわたり照射した、 １０Ｂの薄い層でできている中性子検出器の減衰係数を、％で求めよ。
１４．４０． エネルギーが一様でない遅速中性子束が、厚い標的に入射し、断面積σが１／ｖに比
例する核反応を生起する。この場合において、反応の平均断面積（中性子の全ての速度に関しての平均）は＜σ（ｖ）＞＝σ（＜ｖ＞）であることを示せ。
１４．４１． 核反応（ｎ，α）の断面積が１／ｖに比例する領域内のエネルギーを持っている中性子束が、厚さ１０ｍｇ／ｃｍ ２の ６Ｌｉ薄膜を通過する。（ｎ、α）核反応の効率が０．４０ならば、中性子の平均速度は幾らとなるか。
１４．４２． 定常条件で気相のＢＦ ３（ホウ素は天然同位元素成分）が充填されている体積１００ｃｍ ３の中性子検出器が、熱中性子の一様な場中に置かれている。核反応断面積σ ｎαが１／ｖに比例するものとして、以下を定めよ。
（ａ）検出器中で、１秒間に１．０×１０１２回の核反応が起こるときの、中性子の体積密度。
（ｂ）中性子密度Φ＝１．１×１０ １０ ／（ｃｍ ２・ｓ）、中性子温度が３００Ｋのとき、１秒間当たりに、検出器で起こる核反応数。
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１４．４３． 一様な中性子場中で、薄い標的を照射すると、反応進行速度は、同じエネルギーを持
つ中性子の平行束で照射したときより、２倍大きい、ことを示せ。なを、両方の場合において、単位時間に標的に入射する中性子数は同じとする。後者の場合においては、中性子束は標的の表面に垂直に入射するものとする。
１４．４４． 濃度ｎ＝４．０×１０８／ｃｍ ３の熱中性子場中で、 １０Ｂ原子核の量が半分となるためには、核子１０Ｂの薄い層を照射するにおいて如何ほどの時間が必要となるか。なを、反応断面積σｎαは１／ｖに従うものとする。
１４．４５． 質量０．４０ｇの金属ナトリウムの薄い試料が、流量Φ＝１．０×１０ １０／（ｃｍ・ｓ）の熱中性子の一様な場中においてある。放射核子２４Ｎａの生成速度は一定であると見なして、以下を求めよ。
（ａ）飽和したときの試料の放射能と、この状態に蓄積した２４Ｎａ原子核の相対比率。
（ｂ）試料の放射能が、飽和時の放射能の７５％に等しくなるまでの放射の時間間隔。
１４．４６． あらかじめ、中性子で放射能化された金箔の比放射能は、Ａ＝１．１×１０ ８ベクレ
ル／ｇ。この薄膜の放射能をη＝１０倍大きくしたい。Φ＝１．０×１０ １０／（ｃｍ ２・ｓ）の流量の熱中性子場中で、この薄膜を、更に如何ほどの時間照射する必要があるか。
１４．４７． 銅の薄い板を、Φ＝０．９×１０ １２／（ｃｍ ２・ｓ）の熱中性子の一様場中で照射する。照射開始してから、ｔ＝２．０時間経過した時点における、板の比放射能を求めよ。
１４．４８． 質量０．２０ｇのインジウム １１５Ｉｎの薄膜を、等方的な熱中性子束で、τ＝２．０
時間、照射した。照射終了後、ｔ＝０．５０時間経過後、薄膜の放射能はＡ＝２．６×１０ ６ベクレ
ル。中性子の流量密度Φを求めよ。
１４．４９． 質量０．５０ｇのバナジウム５１Ｖの小さい試料を、熱中性子場中で、飽和するまで放射能を持たせる。照射終了直後、計数効率β＝０．０１０の計数器で、時間τ＝５．０分間で、Ｎ＝０．８×１０ ９パルスが記録された。放射線下の断面積が式１／ｖに従うものと見なし、中性子の濃度を求めよ。
１４．５０． 両面を薄いカドミニュームの層でコーチングした、インジウム １１５Ｉｎの薄膜を、中性子の等方的場中で照射した。熱中性子の領域内で、インジウムの放射線下の断面積が式１／ｖに従うものと見なし、熱中性子濃度はｎ＝３．１×１０４／ｃｍ３、カドミニューム比はＲＣｄ＝２０とし、飽和時における薄膜の比放射能を定めよ。計算において、カドミニュームは全ての熱中性子を吸収し、全ての熱外中性子は通過させるものとする。
注釈：ＲＣｄは薄膜をコーチングしていない時の薄膜の飽和時の放射能と、カドミニュームでコーチングしたときの薄膜の放射能の比である。
１４．４．中性子の減速と拡散
１４．５１． 以下の場合において、中性子は如何ほどの運動エネルギーを失うか。
（ａ）最初静止している原子核２Ｈ、１２Ｃ、２３８Ｕとの正面弾性衝突する。
（ｂ）最初静止している重水素で、角度θ方向に弾性散乱される。ただし、θの値が３０°、９０°、
１５０°の場合。
１４．５２． 運動エネルギーＴ ０を持っている中性子が、質量数Ａの原子核で、弾性散乱される。
以下を求めよ。
（ａ）重心系において、角度θ方向に散乱された中性子のエネルギー。
（ｂ）散乱された結果、そのエネルギーがエネルギー間隔（Ｔ，Ｔ＋ｄＴ）に存在する中性子の相対数。ただし、重心系における散乱は等方的であるとする。エネルギーに関して散乱された中性子の分配関数のグラフを描け。
１４．５３． 運動エネルギーＴ０＝１．００ｍｅＶを持つ中性子が、最初静止していた４Ｈｅ原子核
で、弾性散乱される。重心系で散乱は等方的であると見なし、散乱された中性子の平均エネルギー値を求めよ。
１４．５４． 重水素における、中性子の弾性散乱の結果、中性子のエネルギーが最初のエネルギーの半分以下である確率を求めよ。散乱は重心系で等方的であるとする。
１４．５５． 最初静止している陽子で、中性子が散乱する。この散乱を、重心系で等方的と見なし、運動量のベクトル図を使用して、以下を求めよ。
（ａ）角度間隔（θ、θ＋ｄθ）内に散乱される中性子の確率。
（ｂ）角度θ＞６０°に散乱される中性子の割合。
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（ｃ）実験室系で、中性子の散乱角度の平均値。
１４．５６． 中性子が、質量数Ａの原子核で弾性散乱されるとき、中性子の散乱角度は式
ｃｏｓθ＝（１＋Ａｃｏｓθ）（１＋Ａ２＋２Ａｃｏｓθ） １／２、で表記される。ここで、θは重心系における散乱角度。
（ａ）この式を求めよ。
（ｂ）９Ｂｅ原子核との弾性散乱の結果、θ＞θ１＝９０°の角度に散乱される中性子の割合を求めよ。
散乱は重心系で等方的とする。
（ｃ）重心系で、等方的散乱において、コサインの平均値は＜ｃｏｓθ＞＝（２／３）Ａであることを示せ。
１４．５７． 酸化ベリリウムで弾性散乱された中性子に対して＜ｃｏｓθ＞を計算せよ。ただし、重心系で散乱は等方的であるとする。
１４．５８． 原子核における中性子散乱が、重心系で等方的であると仮定し、（ａ） ？ 原子核との弾性衝突を受けた中性子のエネルギーの平均対数（？）損失は
ξ＝１＋（α／（１−α））ｌｎα、 α＝（（Ａ−１）／（Ａ＋１））２
ここで、Ａは散乱する原子核の質量数。
を導け。Ａが十分に大きな値の場合について、この公式のグラフを描け。
（ｂ）グラファイト、及び重水中での中性子についてξを計算せよ。
１４．５９． ウラン中、グラファイト中、重水中で、エネルギー２．００ＭｅＶから０．０２５ｅ
Ｖまでの中性子の減速において、中性子の弾性衝突の平均回数を求めよ。
１４．６０． ベリリウム中において、エネルギーＴ０＝２．０ＭｅＶからＴＴ＝０．０２５ｅＶまで
中性子が減速する平均時間を求めよ。２回の衝突の間の平均自由行程長はエネルギーに依存せず、λ＝１．１５ｃｍと見なす。
１４．６１． 運動エネルギー２．０ｍｅＶを有する中性子が、グラファイト中で、熱エネルギー０．
０２５ｅＶまで減速される。熱中性子のその間の時間（年齢）と、減速長Ｌを求めよ。
１４．６２． 高速単一エネルギーの中性子の点源において、減速密度ｑＥを与える式を用いて、減速により、エネルギーＥまで中性子が経由する平均２乗距離は＜ｒ ２＞＝６τであることを示せ。ここで、τはこの中性子の年齢。
１４．６３． 中性子の年齢を定めるために、高速中性子の点源を、大きな減速剤の容器中に置く。
点源から異なった距離で、カドミニュームで覆ったインジウム薄板を放射能化させる。ここで、インジウムの放射能は、主に、約１．５ｅＶのエネルギーを持ったインジウムの共鳴準位によるものとする。グラファイト中のインジウムの共鳴中性子の年齢を求めよ、なを、点源からの距離ｒが５０ｍｍ、１００ｍｍ、１５０ｍｍのとき、薄膜の放射能Ａは相対強度で、各々、１００，９４、８５である。
１４．６４． ？ 吸収断面積が式１／ｖに従う原子核において、カドミニューム以上（？）の中性子（そのエネルギーは０．４０ｅＶ以上）に対する共鳴積分はσ ０／２に等しい、ことを示せ。ここで、σ０は中性子のエネルギーが０．０２５ｅＶの時の吸収断面積。
１４．６５．熱中性子が一様な媒質中で拡散する。媒質の巨視的散乱断面積はΣ Ｓ、吸収断面積は無視できるほど小さい。以下を求めよ。
（ａ）この媒質中で、中性子が、距離ｘからｘ＋ｄｘの間に衝突をすることなく進む確率。又、２回の連続する衝突の間に進む平均行程長λ Ｓ。
（ｂ）グラファイト中における中性子の自由行程長の平均２乗値＜ｘ２＞。
１４．６６． エネルギー０．０２５ｅＶの熱中性子が、グラファイト中で、拡散をする。この中性子の平均拡散時間と、その時間の間における平均衝突回数を求めよ。
１４．６７． 吸収断面積が無視できる媒質中で、中性子が拡散をする。実験室系で、中性子は等方的に散乱するものと見なし、以下を求めよ。
（ａ）１ｃｍ ２の面積を１秒間当たりに突き抜ける中性子数。中性子の流量密度は媒質中の全ての点において同じであり、Φとする。
（ｂ）∇Φに垂直な面を通過する中性子流量密度。ただし、Φ＝Φ ０＋（ｄΦ／ｄｎ）０ｘとする。ここで、添え字０を持った量は考察中の面積中の点（ｘ＝０）であることを意味している。
１４．６８． 熱中性子源が、無限で一様で増殖しない（？）媒質中にある。この媒質の巨視的吸収
断面積はΣ ａ、拡散係数はＤ。実験系において、中性子の拡散は等方的であると見なし、媒質中における中性子の流量密度Φの定常分布を与える式を、中性子源が以下の場合において、導け。
（ａ）中性子源は無限の平面であり、単位面積当たり、単位時間に、ｎ個の中性子を放出する。
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（ｂ）単位時間に、ｎ個の中性子を放出する点源。
（ｃ）単位時間当たり、単位面積に付き、ｎ個の中性子を放出する半径Ｒの球。その際、球内部に飛ぶ全ての中性子は吸収されるものとする。
１４．６９． 熱中性子の点源が、大容量の重水で囲まれている。点源から距離ｒ１＝１５ｃｍ、ｒ ２＝３０ｃｍにおける中性子の流量密度の比はΦ１／Φ２＝２．２である。この媒質中における中性子の拡散距離を計算せよ。
１４．７０． 媒質中で、中性子が熱中性子になった点から、吸収点までの平均２乗変移量は、拡散長と関係して、＜ｒ ２＞＝６Ｌ拡散２である、ことを示せ。
１４．７１． ？ 反射係数がβである媒質中で、中性子が拡散をする。媒質中で、或る仮想面を中性子がｎ回横切る確率と、中性子によって横切られる面の平均個数を求めよ。
１４．７２． インジウム薄膜を、水の入ったプール内で飽和するまで放射能化させる。プール内には熱中性子場がある。薄膜の放射能は、片面をカドミニュームで覆った薄膜の放射能より、６倍大きい、ことを示せ。水中における熱中性子の反射係数を求めよ。
１４．７３． 熱中性子を生成している媒質が、以下の場合として、問題１４．６７の結果を利用し、反射体の反射係数を求めよ。
（ａ）媒質は、無限の反射体（グラファイト）と平面境界で分離されている。グラファイト中における中性子の流量密度分布はΦ＝Φ０ｅ−ｘ／Ｌ。ここで、ｘは分離境界からの距離。Ｌは拡散長。
（ｂ）媒質は、半径Ｒの球状をしている。球は無限の反射体で囲まれている。拡散係数Ｄ、拡散長Ｌ、反射体中における中性子の流量密度Φ∽（１／ｒ）ｅ−ｒ／Ｌは既知とする。ここで、ｒは球の中心からの距離。

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１５．核エネルギーの物理的基礎
１５．１．核分裂。連鎖反応
１５．１． 以下を求めよ。
（ａ）１．０ｋｇの ２３５Ｕが燃焼したときに放出されるエネルギー。熱量４２ｋＪ／ｇの石油のいかほどの量が、これだけのエネルギーを放出するか。
（ｂ）２３５Ｕの分裂が１年間に、１９２ｋｇで、効率が３０％である原子力発電所の電力。
（ｃ）
１５．２． ？ ＴＮＴ火薬３０ｋｇ（？単位が違うのではないか）に相当する原子爆弾の爆発で、分裂をする核子２３５Ｕの質量。ＴＮＴ火薬の熱量は４．１ｋＪ／ｇとする。
１５．３． 熱出力２０ＭＷの反応炉からのニュートリノ全量と、このニュートリノで運ばれる電力分を求めよ。各核分裂において、５回の残留核子によるβ崩壊が行われ、これらの過程で、ニュート
リノの総和エネルギーは約１１ＭｅＶであるとする。
１５．４． ？ 表面エネルギーに対して静電エネルギーの比が２に等しいならば、原子核は完全に不安定で、２つの同じ核に分裂をする。原子核の結合エネルギーの公式を使用して、このような原子
核のＺ２／Ａ値を求めよ。元素の周期法の最後にある原子核のＺ ２／Ａの値と比較せよ。これらの原子
核の分裂の原因を説明せよ。
１５．５． 自発分裂における２３８Ｕの半減期を求めよ。なを、純粋２３８Ｕの１ｇ当たり、そのような崩壊数は、１時間で２５回である。この試料において、１時間当たり、何回のα崩壊が起こるか。
１５．６． ？ 原子核 ２３５Ｕが熱中性子を捕獲した。生成した原子核の分裂の結果、３個の中性子と、２つの放射性破片を生成した。２つの破片は、安定原子核 ８９Ｙと １４４Ｎｄになる。以下の場合が既知として、解放されるエネルギーを求めよ。
（ａ）中性子の質量超過（？）（ｂ）原子核 ２３５Ｕ、８９Ｙ、１４４Ｎｄにおける１個の核子当たりの結合エネルギーは、７．５９ＭｅＶ、
８．７１ＭｅＶ、８．３２ＭｅＶ。２３６Ｕ中での中性子の結合エネルギーは６．４０ＭｅＶ。
１５．７． 原子核 ２３８Ｕが、運動エネルギーが１．４ＭｅＶ以下の中性子を捕獲した時、生成した原子核は分裂をする。分裂する原子核の活性化エネルギーを求めよ。
１５．８． ２３５Ｕ分裂の中性子の最大確率と平均運動エネルギーを求めよ。そのエネルギースペク
トルは、ｎ（Ｔ）∽Ｔ １／２ｅｘｐ（−０７７Ｔ）に従うものとする。ここで、Ｔは中性子の運動エネ
ルギーで、単位はＭｅＶ。
１５．９．

自然界の同位元素であるウラン原子核の、熱中性子に対する分裂断面積を求めよ。

１５．１０．
めよ。

原子核 ２３３Ｕ、 ２３５Ｕ、 ２３９Ｐｕに捕獲されたうちで、分裂を伴う熱中性子の割合を求

１５．１１． ２３３Ｕ， ２３５Ｕ、 ２３９Ｐｕに１個の中性子が吸収されたとき、分裂で生成する中性子の平均数を求めよ。
１５．１２． ？ 天然物でかつ ２３５Ｕが１．５％である富裕鉱において１個の中性子が吸収され多時、分裂で生成する中性子の平均数を比較せよ。（？ 何と）１５．１３． ２３５Ｕでできている板を、板の表面に垂直に入射する熱中性子で照射する。板の厚さが幾らのとき、入射する熱中性子毎に、平均で１個の分裂中性子が生成するか。
１５．１４． 密度Ｊ０＝１．２×１０１０／（ｃｍ２・ｓ）の熱中性子の平行束が、天然ウランでできている板に垂直に入射する。板の厚さはｄ＝８．０ｇ／ｃｍ ２。１ｃｍ ２当たりの ２３５Ｕの核分裂で放出されるエネルギーを求めよ。
１５．１５． 一定出力で運転をする原子炉に、ｍ１＝０．９０ｇの２３９Ｐｕを入れた。原子炉の出力を変えないようにするため、質量ｍ ２＝０．０６０ｇの天然ホウ素を入れた。プルトニュームとホウ素の吸収断面積は既知として、熱中性子を１個吸収したときにおける ２３９Ｐｕの分裂中性子の平均個数を求めよ。
１５．１６． ２３５Ｕが分裂核子である反応炉が、一定出力で稼働する。反応炉の活性領域から出る
中性子の割合を求めよ。なを、分裂中性子の半分はウランの原子核と、引き続く分裂をしない混入物の原子核で捕獲されるものとする。
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１５．１７． 倍増率ｋの物理的意味は何か。核分裂過程が、１０００個の中性子で始まり、ｋ＝１．
０５ならば、百世代では中性子の個数は幾らとなるか。
１５．１８． ２３５Ｕの無限の媒質中において、１．０ｋｇの物質の核分裂のために必要な時間間隔は幾らか。分裂の中性子の平均エネルギーは１．６ＭｅＶ、この中性子のエネルギーで、原子核 ２３５Ｕの核分裂断面積は２×１０ −２４ｃｍ２、倍増率はｋ＝１．２とする。最初、１個の原子核が分裂をするものとする。ｋ＝１．０１０とすると、結果はどのように変わるか。
１５．１９． 原子核２３８Ｕのどのような分裂の時、平均２．８個の中性子が発生するか。 ２３８Ｕの分
裂断面積は０．５×１０ −２４ｃｍ ２のオーダー（分裂スペクトルの中性子に対して）、非弾性散乱断面積は数バーン（１バーン＝１．０×１０ −２４ｃｍ２）とする。少なくとも、生成した中性子の半分は２３８Ｕの核分裂の閾値より小さいエネルギーを持つとして、この原子核からできている媒質中では連鎖反応は維持できないことを示せ。
１５．２０．

天然ウランでできている媒質中では、連鎖反応が持続しないのは何故か説明をせよ。

１５．２１． ウラン１モル当たりに、炭素ｚ＝１００モルが入っている均質媒質がある。以下を計算せよ。
（ａ）ウランが天然物であるときの熱中性子利用係数ｆ。
（ｂ）ｆ＝０．９５となる、 ２３５Ｕの含有率。
１５．２２． ウラン・炭素の均一な混合物において、共鳴捕獲を回避する確率は
ｐ＝ｅｘｐ（−２４．７（Ｎａ／Σｓ）０．５８５）である。ここでＮａは１ｃｍ３当たりの２３８Ｕ原子数、Σ Ｓは媒質の巨視的散乱断面積。天然ウラン１モ
ル当たり、４００モルの炭素を含有している混合物のｐ値を計算せよ。
１５．２３． 前問の公式を利用して、増倍率ε＝１と仮定し、天然ウラン１モル当たりｚ＝４００モルの炭素を含有している一様な混合物における増倍率ｋ∞を計算せよ。
１５．２４． 熱中性子で作動する非均質炉の活性領域は、減速剤の入ったタンクである。タンク中に、天然ウランでできた２００本の棒が納められている。各棒の長さは１．５０ｍ、直径は２．０ｃｍ。ウランにおける中性子の自己吸収は無視して、熱中性子の平均流量密度Φと濃度を計算せよ。なを、原子炉の発電量は０．６０ＭＷとする。
１５．２５． 質量０．１０ｇの ２３３Ｕの薄膜を、時間τ＝６０秒間、面に垂直な方から熱中性子で照射した。流量密度はＩ＝１．１×１０ １０／（ｃｍ ２ ・ｓ）。照射終了後、ｔ＝１０秒してから、半減期が５５秒である遅発中性子のグループの内の１つの放射能は、Ａ＝４．０×１０ ５ベクレルであった。１回の分裂における、このグループの遅発中性子の収率を求めよ。
１５．２６． 天然ウラン１モル当たり１００モルのグラファイトの入っている一様媒質中において、分裂中性子の１世代の平均寿命を計算せよ。熱エネルギーまでの中性子の減速時間は、拡散時間より十分に短いものとする。
１５．２７． 熱中性子下での２３５Ｕの分裂において、遅速中性子の６つノブループが生成する。
Ｔ ｉ（ｓ）
５５．７
２２．７
６．２０
２．３０
０．６１
０．２３
３．４６
３．１０
６．２４
１．８２
０．６６
ｗ ｉ（１０−３） ０．５２
ここで、Ｔｉは遅速中性子のｉ番目を放出する破片の半減期、ｗ ｉは１回の分裂におけるこれら中性子の収率。遅速中性子のおかげで、減速剤を持つ ２３５Ｕの媒質中における１世代の中性子の平均有効寿命は何倍大きくなるか見いだせ。分裂中性子の１世代の平均寿命はｔ≒１ｍｓは既知とする。
１５．２８． 反応炉の出力がｅ倍大きくなるまでの周期が反応炉の周期Ｔと呼ばれる。倍増率がｋ＝１．０１０、中性子の平均寿命がτ＝０．１０ｓである反応炉のＴを求めよ。
１５．２．熱核反応
１５．２９． 以下の熱核反応において、１ｇの核燃料当たり、如何ほどのエネルギーが放出されるか。（ａ）ｄｔ、（ｂ）ｄｄ、（ｃ） ６Ｌｉ＋ｄ→ ４Ｈｅ＋α。
得られた結果を、ウラン１ｇの燃焼により放出されるエネルギーと比較せよ。
１５．３０． 海水中に含有されている１％の重水素を使用したｄｄ熱核反応から、エネルギーを取り出すとすれば、資源として何年間持つか。ただし、海水の体積は１０ １８ｍ ３、１年間のエネルギー
使用量は１０ １９ｋＪとする。
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１５．３１． ベーテが提案した恒星における熱核反応のサイクルは以下の変換から成り立っている。
ｐ＋ １２Ｃ→ １３Ｎ＋γ
１３
Ｎ→ １３Ｃ＋ｅ＋＋ν
１３
ｐ＋ Ｃ→ １４Ｎ＋γ
ｐ＋ １４Ｎ→ １５Ｏ＋γ
１５Ｏ→ １５Ｎ＋ｅ＋＋ν
１５
ｐ＋ Ｎ→ １２Ｃ＋４Ｈｅ
このサイクルで、ヘリウム１モルを生成する時、放出されるエネルギーを計算せよ。
１５．３２． 以下の反応において、熱核反応炉から、中性子は如何ほどの割合のエネルギーを持ち出すか。
（ａ）ｄｔ。
（ｂ）ｄｄ。
１５．３３． 以下のような方法で、熱核反応ｄｔで生成した中性子のエネルギーを利用することができる。反応炉の周りを６Ｌｉ殻で囲む。６Ｌｉ＋ｎ→ｔ＋α の反応で、熱エネルギーを取り出す。
このようなリチウム殻を利用することで、利用できるエネルギーは何倍となるか。
１５．３４． 相対運動の最大確率速度を持った重水素が、クーロン障壁を乗り越えることができる、
重水素プラズマの最小温度を評価せよ。重水素の半径はＲ≒２．０ｆｍ。
１５．３５． その相対運動の運動エネルギーＴはクーロン障壁の高さより極めて小さい荷電粒子において、障壁透過係数はＤ≒ｅｘｐ（−α／Ｔ１／２）、 α＝πｑ１ｑ ２（２μ）１／２／（ℏ）、ここで、ｑ１，ｑ ２は粒子の荷電量、μは換算質量。以下を求めよ。
（ａ）この公式を求めよ。
（ｂ）温度１．０ｋｅＶ、１０．０ｋｅＶを持つプラズマの重視その相対運動の最大確率速度を持っている重水素に対してＤ値を計算せよ。
１５．３６． 温度１．０ｋｅＶ、１０．０ｋｅＶであるプラズマの重水素の相対運動の最大確率速度の場合において、ｄｄ反応の断面積を計算せよ。
１５．３７． 原子核濃度ｎ＝１．０×１０ １５／ｃｍ ３である重水素プラズマ中で、重水素は周波数
ｆ＝０．００１／ｓで反応する。開放される熱核エネルギーの体積密度と、プラズマ温度θを求めよ。
１５．３８． 温度θ＝２．０ｋｅＶの重水素プラズマ中において、ｄｄ反応の最大速度に対応する重水素の相対運動の運動エネルギーを求めよ。
１５．３９． 原子核濃度ｎ＝１．０×１０５／ｃｍ３の重水素プラズマが、温度θにある。θ＝１．
０ｋｅＶ、１０ｋｅＶの場合において、以下を求めよ。
（ａ）ｄｄ反応に関しての重水素の平均寿命。
（ｂ）１秒間で、１ｃｍ３内で行われるｄｄ反応の個数と、放出される仕事率の体積密度。
１５．４０． 温度θ、原子核濃度ｎ＝１．００×１０ １５／ｃｍ ３、３重水素の濃度がｎ／１００であるの重水素−３重水素プラズマにおいて、θ＝１．００ｋｅＶ、１０．０ｋｅＶの場合について以下を求めよ。
（ａ）１秒間に、１ｃｍ３中で行われる（ｄｄ＋ｄｔ）熱核反応の個数。
（ｂ）放出される仕事率の体積密度。
１５．４１． 原子核密度がｎ＝１．００×１０ １５／ｃｍ ３の重水素−３重水素のプラズマの温度はθ。θ＝１．００ｋｅＶと、１０．０ｋｅＶにおいて、放出される熱核エネルギーの仕事率が最大となる３重水素と重水素の原子核濃度の比と、各々の場合の単位体積当たりの仕事率（単位 Ｗ／ｃｍ
３）を求めよ。これらの条件下で、開放される仕事率において、ｄｄ反応とｄｔ反応の相対的寄与について何を言うことができるか。
１５．４２． 原子核濃度がｎ＝１．０×１０ １５／ｃｍ ３（ｎｄ＝ｎｔ）である重水素−３重水素のプラズマの温度θを求めよ。ただし、放出される仕事率の体積密度はｗ＝１．０Ｗ／ｃｍ ３とする。
この仕事率はｄｔ反応の結果放出されるものと見なす。
１５．４３． 濃度がｎ、温度がθの重水素プラズマが充填されている球状熱核反応炉の半径は幾らとなるか。ただし、活性領域からの熱放出は、ステファン−ボルツマンの法則に従った熱放射をする
ものとする。反応炉の半径が最小の場合のθ 最小を計算せよ。ｎ＝１．０×１０ ２０／ｃｍ ３ならば、それは幾らとなるか。得られた結果を吟味せよ。
１５．４４． 重水素プラズマの温度θを求めよ。ただし、熱核反応で放出される仕事率は電子の減速放射の仕事率と等しいとする。
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１５．４５． 温度が１０．０ｋｅＶ、重水素濃度が、外部源の結果ｎｄ＝１．００×１０ １５／ｃｍ ３の一定濃度に維持されている重水素−３重水素プラズマがある。外部源は重水素の注入速度をｑ（単位 ／（ｓ・ｃｍ３））に保っているものとする。以下を求めよ。
（ａ）３重水素の平衡濃度と、ｑの値。
（ｂ）放出される仕事率の体積密度ｗ。ｎの値が幾らのとき、ｗｄの値が１００Ｗ／ｃｍ３となるか。
１５．３．プラズマ物理
１５．４６． プラズマは平行平板層の形態をとり、そして、ある原因により、全ての電子はイオンに対して、層の表面に垂直な方向にｘだけ変位している、ものとする。このモデルを使って、生起する電子振動の周波数を求めよ。
１５．４７． 電場Ｅ＝Ｅ ０ｃｏｓωｔの中にあるプラズマの誘電率は、粒子の衝突と、イオンの動きを無視した条件のとき、ε（ω）＝１−（ω ０／ω） ２である。ここで、ω ０は電子のラングミュア
振動数。以下に答えよ。
（ａ）この式を求めよ。
（ｂ）周波数ω＜ω ０の電磁波は、プラズマ中で全反射を受けることを示せ。
（ｃ）波長λ ０＝１．７ｃｍより長い波長を持った電磁放射束の閉じこめが観察される、プラズマ中の電子濃度を計算せよ。
１５．４８． 温度θ＝１０．０ｋｅＶにある、体積Ｖ＝１．０リットルの重水素プラズマからの熱
各中性子流を計算せよ。ただし、波長λ ０＝５．０ｍｍ以上の長い波長を持った電磁放射の閉じこめが観察されることを、既知とする。
１５．４９． ポアソン方程式を利用して、水素プラズマのイオン近傍の電場の平均ポテンシャルは
φ∽（１／ｒ）ｅ −ｒ／ｄ であることを示せ。ここで、ｒはイオンまでの距離、ｄは遮蔽のデバイ半径。ｄに対する式を求めよ。ただし、電子（とイオン）濃度はｎ、プラズマ温度はθ（θｅ＝θｉ）とする。粒子の空間分布はボルツマンの法則に従い、更に、｜ｅφ｜≪θとする。
１５．５０． 原子核濃度がｎ＝１．０×１０ １５／ｃｍ ３の水素プラズマが、温度θ＝１０ｋｅＶ下にある。デバイ半径と、この半径を持った球の領域内の原子核数を計算せよ。
１５．５１． 水素プラズマのイオンとの衝突において、角度θ＞９０°に、運動エネルギーＴ＝１．
００ｋｅＶを持っている電子の散乱に対応する断面積を計算せよ。
１５．５２．
原子核濃度がｎ＝１．０×１０ １５／ｃｍ ３の水素プラズマが、温度θ＝１．０ｋｅ
Ｖ下にある。原子核で、最大確率速度を持っている電子が散乱される最小角度θ最小を評価せよ。及び、
ｌｎ（２／θ 最小）の値を求めよ。原子核のクーロン場は、デバイ半径まで広がっており、その後、急激に途切れているものと見なす。
１５．５３． プラズマのイオンで散乱されるとき、電子の運動量の伝達の有効断面積は、σ＝∫（１−ｃｏｓθ）σ（θ）ｄθの式で表記される。ここで、ラザフォードの公式で定義されている尾軍団
面積であり、σ（θ）＝ｄσ／ｄθ。温度θ＝１．０ｋｅＶ、原子核濃度ｎ＝１．０×１０１５／ｃｍ
３の水素プラズマ中で、最大確率速度を持った電子に対して、この公式を用いて、以下に答えよ。
（ａ）有効断面積自身。
（ｂ）自由行程の平均長、衝突間の平均時間長、１秒間当たりの衝突数。
電子の散乱は、原子核のクーロン場で起こり、原子核のクーロン場は、デバイ半径まで広がっており、その後、急激に途切れているものと見なす。
１５．５４． 水素プラズマ中の電子が、仕事率δｗ＝４．５×１０ −３１ｎ ｉＴ １／２を放射する。ここで、ｎｉは原子核濃度（単位 ／ｃｍ ３）、Ｔは電子の運動エネルギー（単位 ｋｅＶ）。水素プラズ
マ中の電子の減速放射の仕事率体積密度を求めよ。電子の温度はθ（単位 ｋｅＶ）、電子の濃度はｎｅ（単位 ／ｃｍ３）とする。
１５．５５． 重水素プラズマの単位体積にイオンに電子によって伝達される仕事率は、単位Ｗ／ｃ
ｍ３で、
ｗｅｉ＝１．７×１０−２８ｎ２（θｅ−θｉ）θｅ−３／２。
ここで、ｎは電子（イオン）濃度（単位 ／ｃｍ ３）、θ ｅ とθ ｉは電子温度とイオン温度（単位 ｋｅＶ）。ｎ＝１．０×１０ １５／ｃｍ ３の重水素プラズマに対してこの式を使い、θ ｉが（２／３）θｅに等しくなるまでの時間間隔を求めよ。ただし、イオンの初期温度は無視できるほど小さく、電子温
度は、（ａ）θ ｅ＝１．０ｋｅＶの準位に一定に保たれる場合と、（ｂ）初期にはθ ｅ０＝１．０ｋｅＶに等しく、周りの媒質との熱交換は存在しない場合、とする。
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１５．５６． 半径ｒ０の円柱状で撚り紐状のプラズマの薄い表皮に沿って、電流Ｉ ０が流れる。プラ
ズマの表面の単位面積当たりに作用する磁気圧ｐ、則ち、ローレンツ力を求めよ。ｐ＝Ｂ０２／（８π）
であることを示せ。ここで、Ｂ０はプラズマの表面における磁界の磁束密度である。
１５．５７． 温度θ＝１０．０ｋｅＶで、重水素プラズマの気体運動の圧力ｐは、磁束密度Ｂ＝５０ｋＧの磁場の圧力と平衡となると仮定しよう。重水素濃度、圧力ｐ、熱核反応ｄｄの進行の結果放出される仕事率の体積密度を計算せよ。
１５．５８． 半径ｒ１の水素プラズマの一様な円柱の表面層に沿って電流が流れる。半径ｒ２の同軸の外側の円柱に沿って、逆方向に流れる。プラズマの気体運動エネルギーに対する磁場の比を求めよ。
プラズマは完全にイオン化しているものと見なす。
１５．５９． プラズマは薄い円柱層形状をしており、それに沿って電流Ｉ １が流れる。この層の軸に沿って、逆方向に、電流Ｉ ２が流れている導線を配置する。プラズマ中の磁場を無視して、以下に答えよ。
（ａ）プラズマ層が、平衡状態にあるときの比Ｉ １／Ｉ ２。
（ｂ）この系において、プラズマ温度がθ＝１．００ｋｅＶであるときのＩ １の値。ただし、プラズ
マ層の平衡半径はｒ ０＝６．０ｃｍ、原子核濃度はｎ＝１．００×１０１５／ｃｍ３とする。
１５．６０． 平衡半径ｒ０で、円柱形状の重水素プラズマに沿って電流Ｉ０が流れる。外部の気体運
動圧力を無視して以下を定めよ。
（ａ）プラズマ中の気体運動圧力の平均値。
（ｂ）Ｉ ０＝３００ｋＡ、円柱の単位長さ当たりの原子核数がＮ＝０．７×１０ １７／ｃｍとして、プラズマ温度。
１５．６１． 完全にイオン化している円柱形状の水素プラズマに沿って、電流Ｉが流れる。プラズ
マ中の単位長さ当たりの電子数はＮ。プラズマの温度と、電流密度は断面積に沿って一定であると見なす。
（ａ）断面積に沿っての電子の濃度分布は ｎ（ｒ）＝（２Ｎ／πｒ ０ ２）（１−ｒ ２ ／ｒ ０２ ）である
ことを示せ。ここで、ｒ０は円柱プラズマの平衡半径。ｎ２（ｒ）の断面に沿っての平均値。
（ｂ）ジュール熱の形で放出される仕事率が、プラズマの減速放射の仕事率と平衡となっているときの電流。この時、Ｎ＝５×１０１７／ｃｍならば、プラズマの温度は幾らとなるか。
１５．６２． 半径ｒ ０＝２．５ｃｍのガラス管が、モル濃度ｎ ０＝４．０×１０ １４／ｃｍ ３の重水素で満たされ、平板の銅輪で作られている、長さｌ＝１０ｃｍの１巻のコイル内に配置されている。重
水素の事前のイオン下後に、コイルを通じて、コンデンサの電気量を放電する。電流の流れるコイルの磁場は、形成されるプラズマ束を半径ｒ＝０．５０ｃｍまで圧縮する。この時、コイルを流れる電流はＩ＝１．０×１０ ６Ａまで達する。プラズマ内部の磁場を無視して、プラズマの温度を求めよ。
この過程における、プラズマ圧縮の機構を説明せよ。
１５．６３． 電流をＩ ０＝５０ｋＡまで急激に増加させた結果、完全にイオン化している円柱状の
水素プラズマの半径がｒ ０＝１．０ｃｍまで圧縮された。この時、増加の過程で電流は薄い表面層を流れた。プラズマ束の断面に沿った磁場の確立時間とを求めよ。単位長さ当たりのプラズマ束中の原子核数はＮ＝１．００×１０ １６／ｃｍとする。
１５．６４． ？ 半径２．５ｃｍのガラス管を満たしている、原子核密度２．０×１０ １０／ｃｍ ３の水素プラズマが、外部縦磁場Ｂ ｚ０＝４．０ｋＧ中においてある。このプラズマに、電流Ｉ ｚ＝５．
０×１０５Ａを薄い表面層に沿って流すと、自信ないに閉じこめられた磁場Ｂｚ（？）を運び去りながら、プラズマは半径０．５０ｃｍまで圧縮した。プラズマ中における磁場の「凍結」時間を評価せよ。
１５．６５． 電流Ｉの流れているプラズマ束の安定性の条件は、プラズマ中に、「凍結」縦磁場Ｂの存在における引き込みに関係しており、Ｂ Ｉ＜２１／２Ｂｚである、ことを証明せよ。
ここで、ＢＩは電流Ｉによる磁場。電流Ｉは薄い表面層を流れるものと見なす。Ｂ ｚがどのような値の時、電流Ｉ＝１００ｋＡ、半径ｒ＝１．０ｃｍのプラズマ束の引き込みがないか。
ｚ１５．６６． トロイダルソレノイドで作られている外部リング磁場Ｂ φ中の、トロイダルプラズマ
束は、コイルに電流があるかないかにかかわらず、平衡状態にいられない、事を確認せよ。
１５．６７． ？ 電流Ｉ＝１０ｋＡ、原子核濃度ｎ＝１．０×１０ １５／ｃｍ ３のリング状水素プラ
ズマ束が、縦断面積の半径がａ＝５．０ｃｍ、大きい方の平均半径がＲ＝５０ｃｍであるトロイダル状石英容器内で形成されている。最初、プラズマ束の平均最大半径はＲに等しいとする。プラズマ束が、容器の壁に当るまでの時間を求めよ。プラズマ束の拡大過程で、その最小半径はｒ＝１．０ｃｍ、
電流はＩは変わらず、プラズマ束の気体運動圧力は電流Ｉの磁気圧力と釣り合うものと見なす。又、
電流Ｉはプラズマ束の表面に沿って流れ、プラズマ束のインダクタンスはＬ＝４πＲ（ｌｎ（８Ｒ／ｒ）−２）とする。
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１５．６８． 電流Ｉ＝１０ｋＡのプラズマ束が、プラズマ束に垂直な向きとなっている一様な外部磁界Ｂ ｚ中にある。電流はプラズマ束の表面に沿って流れるものと見なし、プラズマ束が平衡状態にあるときのＢ ｚの値を求めよ。プラズマ束の最大半径はＲ＝５０ｃｍ、最小半径はｒ＝１．０ｃｍとする。プラズマ束のインダクタンスの公式は、前問を参照せよ。
１５．６９． ？ リング状プラズマ流が、トロイダル容器内で形成されている。容器には縦磁場Ｂφを形成するようにコイルが巻かれている。プラズマ流に沿って電流Ｉが流れ、これらの条件下で、磁気力線がスパイラル形状を持つならば、プラズマ流は不安定となり、その時、プラズマの煽動はス
パイラル形状となる。プラズマ流の長さが、その表面における力線のスパイラルの１ピッチ長より短ければ、そのような不安定性は生じない。Ｂ φ＝２０ｋＧ、プラズマ流の最大半径はＲ＝５０ｃｍ、最小半径はｒ＝１．０ｃｍとして、電流Ｉの限界値を求めよ。

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１６．素粒子
１６．１．相対論的粒子の相互作用
１６．１． 運動エネルギーが１．０ＧｅＶである陽子、ミューオン、電子の運動量を、ＧｅＶ／ｓの単位で計算せよ。
１６．２． 質量ｍ、運動量Ｔの相対論的粒子が、同じ質量を持っている静止している粒子に飛んでくる。これらの相対運動の運動エネルギー、質量中心系における各粒子の運動量と、この系における速度を求めよ。
１６．３． 静止している陽子に飛んでくる陽子がある。それらの相対運動の運動エネルギーが、運動エネルギーＴ＝３０ＧｅＶを持ってお互いに面して運動している２個の陽子の衝突における場合と同じとするために、如何ほどのエネルギーを与える必要があるか。
１６．４． 質量ｍ １、運動量Ｔの相対論的粒子が、質量ｍ２を持っている静止している粒子に飛んでくる。以下を求めよ。
（ａ）それらの相対運動の運動エネルギー。
（ｂ）重心系における各粒子の運動量と全エネルギー。
１６．５． 重心系で、質量ｍ１，ｍ２を持つ粒子の運動エネルギーを求めよ。なを、それらの相対運動の運動エネルギーはＴであるとする。
１６．６． 系の粒子の内の１つが、運動量ｐ、全エネルギーＥで、重心系の速度ベクトルβＣに対して角度θ（実験室系で）をなして動く。このθに対応する、重心系における角度θ を求めよ。
１６．７． 運動エネルギーＴを持っている相対論的陽子が、静止している水素の原子核で、角度θ
１方向に散乱された。この時、原子核は、角度θ ２方向に、反跳した。
（ａ）ｃｏｔθ１・ｃｏｔθ２＝１＋Ｔ／２ｍであることを示せ。
（ｂ）両方の粒子の離れていく方向のなす角度の可能な最小角度を計算せよ。
（ｃ）θ１＝３０°、θ２＝４５°として、Ｔと、衝突後の両方の粒子の運動エネルギーを計算せよ。
１６．８． 質量ｍ １の相対論的粒子の、静止している質量ｍ ２（＜ｍ １）との弾性散乱において、飛んできた粒子の最大散乱角度は、ｓｉｎθ最大＝ｍ ２／ｍ １ で表記されることを証明せよ。
１６．９． 運動エネルギーＴ＝１００ＭｅＶの−荷電を持つミューオンが、静止している電子と、
弾性正面衝突をする。反跳電子の運動エネルギーを求めよ。
１６．１０． 運動エネルギーＴを持つ相対論的陽子が、水素原子の原子核で弾性散乱を受ける。θ
を、実験室系での散乱角度θに対応する、重心系における陽子の散乱角度とする。以下を示せ。
（ａ）ｔａｎ（θ ／２）＝（１＋Ｔ／２ｍ）１／２ｔａｎθ。ここで、ｍは陽子の質量。
（ｂ）重心系と実験室系におけるこの過程の微分断面積には次の関係がある。
σ （θ ）＝σ（θ）（１＋ａ・ｓｉｎ２θ）２／（４（１＋α）ｃｏｓθ）、
ここで、α＝Ｔ／２ｍ。
（ｃ）角度θ １＝１５°、θ２＝３０°に対応する微分断面積σ１、σ２が、Ｔ＝５９０ＭｅＶで、各々２６．８×１０−２７ｃｍ２／ステラジアン、１２．５×１０ −２７ｃｍ２／ステラジアンに等しいならば、重心系における散乱は等方的ではない。
１６．１１． 運動エネルギーＴを持つ相対論的陽子が、水素原子の原子核と、弾性散乱をする。
（ａ）？ 実験室系において、散乱される陽子の運動エネルギーＴに対応する微分断面積σ（Ｔ）（単
位 ｃｍ２／ＭｅＶ）は以下の式で表記されることを証明せよ。
Ｔ０ ？
σ（Ｔ）＝（４π／Ｔ０）σ （θ ）。
ここで、σ （θ ）は重心系ける微分断面積。重心系で、運動エネルギーＴは角度θ に対応している。
（ｂ）実験室系において、散乱される陽子のエネルギー依存分布を求めよ。重心系において、陽子の角度分布は等方的であるとする。
１６．１２． 自身の静止エネルギーに等しい運動エネルギーを持っている陽電子は、静止している
自由電子と対消滅をする。その結果、２つのγ量子が生成する。それらの内の１つγ量子のエネルギ
ーは、もう１つのγ量子のエネルギーよりｎ＝２倍大きい。２つのγ量子の飛び去る方向の間の角度を求めよ。
１６．１３． 運動量ｐを持つ相対論的陽電子が、自由電子で対消滅するとき、エネルギーＥγを持
つγ量子の生成微分断面積は、陽電子の運動量に逆比例することを証明せよ。ただし、重心系で、γ
量子の角度分布は等方的であるとする。
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１６．１４． 静止している陽子の場中で、π＋π−の対生成のために必要なγ量子の閾値エネルギ
ーを計算せよ。
１６．１５． 静止している質量Ｍの粒子に、質量ｍ飛んで来て、Ｍ＋ｍ→Σｍ ｉの反応が起こる粒
子ｍの閾値運動エネルギーはＴｍ閾値＝（（Σｍｉ）２−（ｍ＋Ｍ）２）／２Ｍ
であることを導け。
１６．１６． 以下の反応において、爆撃する粒子の閾値運動エネルギーを求めよ。右端の粒子が飛んでくる粒子。
（ａ）ｐ＋２Ｈ→ ３Ｈｅ＋π０（ｂ）ｐ＋１０Ｂ→１１Ｂ＋π＋（ｃ）ｐ＋ｐ→Λ ＋Λ（ｄ）π−＋ｐ→Σ−＋Ｋ＋（ｅ）π−＋ｐ→ｎ＋Ｋ０＋Ｋ ０（ｆ）ｐ ＋ｐ→ｐ＋Σ ０＋Ｋ ＋（ｇ）ｐ＋ｐ→ｐ＋ｐ＋ｐ＋ｐ（ｈ）ｐ＋ｐ→ｐ＋ｐ＋Σ−＋Σ −１６．１７． 水素の標的中に生成した中間子の運動エネルギーを求めよ。飛んできた粒子のエネル
ギーは閾値を持っているものとする。
（ａ）γ＋ｐ→ｎ＋π＋（ｂ）ｐ＋ｐ→ｐ＋Σ０＋Ｋ＋
１６．１８． 順過程において、相対論的粒子が、静止している粒子Ａに飛んでくる。逆過程では、静止している粒子Ｂに、相対論的粒子ｂが飛んでくるとする。ａ＋Ａ⇔Ｂ＋ｂ。両方の過程において、重心系では、相互作用をする粒子の全エネルギーは同じと見なす。則ち、Ｅａ＋ＥＡ＝Ｅ ｂ＋ＥＢ。以下を求めよ。
（ａ）粒子Ａと粒子Ｂの質量が既知であり、粒子ａの閾値運動エネルギーも既知とする。順過程と逆過程において、実験室系における、飛んできた粒子の運動エネルギーＴａとＴｂの間の関係。
（ｂ）反応γ＋ｐ⇔ｎ＋π ＋ において、逆過程でのπ中間子の運動エネルギー。なを、順過程におけるγ量子のエネルギーはℏω＝２００ＭｅＶであり、陽子と中性子の質量は同じと見なす。
１６．１９． 運動エネルギーＴ＝５００ＭｅＶを持つ陽子が、水素原子の標的を爆撃し、反応ｐ＋ｐ→ｄ＋π＋を引き起こす。重水素の飛び去る可能な最大角度を求めよ。
１６．２０． 陽子の標的とπ ＋中間子の相互作用断面積の、中間子の運動エネルギーに対する依存性の研究で、１９８ＭｅＶ、６００ＭｅＶ、９００ＭｅＶのとき、断面積の最大を観測した。これらの最大値は、不安定な粒子−共鳴に−に対応している。これらの粒子の静止質量を定めよ。
１６．２．粒子の崩壊
１６．２１．
量を求めよ。

止まったΣ −粒子が、中性子とπ中間子に崩壊した。中性子の運動エネルギーと運動

１６．２２．
計算せよ。

止まったミューオンの崩壊時に生成する、電子の運動エネルギーと運動量の最大値を

１６．２３． ハイパー原子核５ＨｅΛが、５ＨｅΛ→４Ｈｅ＋ｐ＋π− の崩壊をする。ハイパー原子核の崩壊エネルギーはＱ＝３４．９ＭｅＶである。ハイパー原子核中におけるΛハイペロンの結合エネルギーを計算せよ。
１６．２４． 運動エネルギーＴ π＝５０ＭｅＶを持つπメゾンが飛行中に、ミューオンとニュート
リノに崩壊する。ニュートリノの飛び出す方向は９０°である。ミューオンはどのような角度方向に飛んでいくか。
１６．２５． 自身の静止エネルギーと等しい運動エネルギーを持っているπ０メゾンが、飛行中に、２個のγ量子に崩壊する。以下を求めよ。
（ａ）γ量子の飛び出す方向のなす角度の最小値。
（ｂ）各々のγ量子のエネルギーはどのような限界領域にあるか。
１６．２６． 運動エネルギーＴを持つ相対論的Ｋ０メゾンが、飛行中に、２つのπ ０メゾンに崩壊する。以下を求めよ。
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（ａ）Ｔの値が幾らのとき、生成したπメゾンの内の１つが、静止状態にあることができるか。
（ｂ）Ｔ＝１００ＭｅＶとする。対称的に飛び去る２つのπメゾンの方向のなす角度。
１６．２７． 運動量ｐΣ＝９００ＭｅＶ／ｓを持つΣ ＋ハイペロンが、飛行中に、＋のπメゾンと、中性粒子に崩壊をする。メゾンは、ハイペロンの運動の最初の方向にたいして、角度θ＝６０°の方向に、運動量ｐπ＝２００ＭｅＶ／ｓで飛び去る。中性粒子の質量と、その崩壊エネルギーを求めよ。
１６．２８． ある中性粒子の崩壊の結果、プロトンとπ−メゾンが観察された。それらの飛び去った方向のなす角度はθ＝６０°。観測された粒子の運動量は各々４５０ＭｅＶ／ｓ、１３５ＭｅＶ／ｓ。他の生成物はないものと仮定して、崩壊した粒子の質量を求めよ。
１６．２９． 質量Ｍを持つ粒子の２つの粒子への崩壊において、生成した粒子の運動量は重心系で、
ｐ＝（１／２Ｍ）（（Ｍ２−（ｍ１＋ｍ２）２）（Ｍ２−（ｍ１−ｍ２）２））１／２。
ここで、ｍ１，ｍ ２は静止した粒子の質量。この式を導出せよ。
１６．３０． 相対論的粒子の２個の粒子への崩壊
において、運動量のベクトル図を構築せよ。図１６．
２参照。
１６．３１． 以下の場合について、運動量楕円のパラメータを計算し、かつ対応するベクトル図を作図せよ。
（ａ）Ｔ＝ｍ π を持つπ ０ メゾンが、π ０→２γに従って崩壊する。
（ｂ）Ｔ＝ｍ π ／２を持つπ ＋ メゾンが、π→μ＋ｖに従って崩壊する。
（ｃ）Ｔ＝ｍ ｐを持つプロトンが、プロトンで弾性散乱される。
（ｄ）Ｔ＝ｍ ｄ／２を持つデュートロンがプロトンで弾性散乱される。
（ｅ）Ｔ＝ｍ ｐを持つプロトンが、ｐ＋ｐ→π ＋＋ｄの反応を励起する。
ここで、Ｔは運動エネルギー。
１６．３２． 運動エネルギーＴを持つπ ＋メゾンが、飛行中に、ミューオンとニュートリノに崩壊する。実験室系で以下を求めよ。
（ａ）Ｔ＝５０ＭｅＶとして、ミューオンの飛び出しの可能な最大角度。
（ｂ）ミューオン放出の限界角度に対応する限界エネルギーＴ。
１６．３３． 速度β＝ｖ／ｃを持つ相対論的πメゾンが、飛行中に、ミューオンとニュートリノに崩壊する。
（ａ）ニュートリノにおいて、重心系における飛び去る角度θ と、実験室系における飛び去る角度
θの間に以下の関係があることを示せ。
ｃｏｓθ ＝（ｃｏｓθ−β）／（１−βｃｏｓθ）。
（ｂ）重心系において、生成物は角度で等方的に分散される、と見なし、実験室系で、角度θにニュートリノが飛び去っていくのに対応する崩壊微分断面積は、以下で与えられることを示せ。
σ（θ）∽（１−β２）／（１−βｃｏｓθ）２。
（ｃ）πメゾンの運動エネルギーＴ＝ｍ π、重心系で、ニュートリノの角度分布は等方的であるとして、実験室系で前方半球中（θｖ＜π／２）にニュートリノが放出される確率を計算せよ。
標的の水素原子核と、遅速π−メゾンとの相互作用で、次の反応が観察された。
↗ → ｎ＋γπ−＋ｐ→↘ → ｎ＋π０、π ０→２γ
生成したγ量子のエネルギースペクトルは、図１６．３に示されている。ここで、Ｅ １＝５４ＭｅＶ、Ｅ ２＝８４ＭｅＶ、Ｅ ３＝１３０ＭｅＶ。
（ａ）各々の最大は、どちらの反応に属するか。
（ｂ）プロトンとニュートロンの質量は既知として、π −メゾンの質量を決めよ。
（ｃ）π０メゾンの質量を求めよ。
１６．３４．

１６．３５． プロトンと高速πメゾンの相互作用反応の放射で、不安定な準粒子ρが発見された。
この粒子は十分長い寿命を持ち、その生成と崩壊は実質的に１点で起こる。この反応を頻繁に観察できるので、過程π −＋ｐ→π −＋π ＋＋ｎは部分的に、束縛状態（π −π ＋）、則ち、π −＋ｐ→ρ＋ｎ、
ρ→π−＋π＋を経由する、と言えるか。なを、その場合において、生成したπメゾンの全エネルギー
Ｅｉと全運動量ｐ ｉは実験室系において既知と前提する。
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１６．３６． 運動エネルギーＴＫ＝７９０ＭｅＶを持つＫメゾンの作用下で、反応Ｋ＋＋ｐ→Λ＋π＋π−の放射で、この反応は部分的に束縛状態（π−Λ）を介して、２つの経路（Ｋ−＋ｐ→（π −Λ）＋π ＋、（π −Λ）→π −＋Λ）を進む事が観察された。この際、生成したπ ＋メゾンは重心系で運動エ
ネルギーＴ π＝３００ＭｅＶを持っている。（π −Λ）共鳴の静止質量とその崩壊エネルギーを計算せよ。

＋

１６．３．素粒子の性質
１６．３７． 固有平均寿命を求めよ。
（ａ）運動エネルギーがＴ＝７ｍμのとき、その平均寿命がτ＝１７．６μｓであるミューオン。
（ｂ）運動量ｐ＝５５ＭｅＶ／ｓを持つとき、崩壊まで、平均距離ｌ＝３．０ｍ飛行するπ＋メゾン。
１６．３８． π ＋メゾンが生まれてから標的まで（距離６．００ｍ）の飛行中に崩壊する確率を求めよ。このメゾンの運動エネルギーが１００ＭｅＶ。
１６．３９． プロトンが、ある時間は、磁気モーメントμを持った「理想的なプロトン」の状態にあり、残りの所時間には、「理想的なニュートロン（μ＝０）」＋πメゾンの状態にあると仮定しよう。プロトンが、「理想的なプロトン」状態にある時間の割合はいかほどか。
１６．４０． 反応ｐ＋ｐ→ｄ＋π＋において、順過程の全断面積σｐｐは、運動エネルギーＴｐ＝５０
０ＭｅＶを持つプロトンに対して、対応するエネルギーにおいて逆過程の全断面積σπｄより、９倍小
さい、ことがわかっている。又、プロトンとデュートロンのスピンもわかっている。これらを前提として、詳細釣り合いの原理を利用して、π＋メゾンのスピンを定めよ。
１６．４１． 水素標的とγ量子の相互作用で、反応γ＋ｐ→π ０＋ｐが起る。γ量子のエネルギーがＥ γ＝２５０ＭｅＶのとき、この反応の全断面積はσ γｐ＝０．２０×１０ −２７ｃｍ ２。詳細釣り合いの原理を利用して、メゾンが対応する運動エネルギーを持っている逆過程（π ０メゾンが水素標的を爆撃する）の断面積を求めよ。このエネルギーを求めよ。
１６．４２． レプトン荷電とバリオン荷電の保存則を用いて、以下の過程が可能かどうか説明せよ。
（ａ）ｎ→ｐ＋ｅ−＋νｅ。
（ｂ）ν μ＋ｐ→ｎ＋μ ＋。
（ｃ）μ＋→ｅ＋＋ν ｅ＋νμ。
（ｄ）Ｋ＋→μ＋＋ν μ＋π ０。
（ｅ）π−＋ｎ→Ｋ−＋Ｋ０。
（ｆ）Ｋ−＋ｐ→Σ＋＋π−。
１６．４３． 以下に記述している反応過程のどれが、ストレンジネス保存則で禁止されているか。
（ａ）π−＋ｐ→Λ＋Ｋ０。
（ｂ）π−＋ｐ→Ｋ−＋Σ＋。
（ｃ）ｐ ＋ｐ→Σ ０＋Ｋ ０＋ｎ。
（ｄ）ｐ ＋ｎ→Λ＋Σ ＋。
（ｅ）Σ−＋ｐ→Λ＋ｎ。
（ｆ）π−＋ｎ→Ξ−＋Ｋ＋＋Ｋ−。
１６．４４．

Ｋ＋メゾンの崩壊反応、μ＋＋ｖｍｕと、π＋＋π０は、弱い相互作用反応であるか。

１６．４５． 以下に表記している反応の内どれが、何故に禁止されるか。
↗ →ｎ＋π−−（ａ）Σ →↘ →Λ＋π−↗→ｎ＋２π−−（ｂ）Ξ →↘→Λ＋π−、

Λ→ｐ＋π −

１６．４６． 以下の系について、アイソスピンＴの可能値と、その射影鋭Ｔ ｚを求めよ。
（ａ）ニュークロン−ニュークロン
（ｂ）πメゾン−ニュークロン
１６．４７． パウリの原理を用いて、系のアイソスピンＴを求めよ。
（ａ）状態３Ｐと ３Ｄにあるｎｐ（ｂ）状態１Ｐと １Ｄにあるπ＋π０（ｃ）状態１Ｐと １Ｄにあるπ＋π−- 77 -

１６．４８． ？ シュムシュケビッチ方を用いて、同位体不変性は、全断面積σの間、及び過程の確立ｗの間において、以下の関係が成り立つことを確認せよ。
（ａ）Ｎ ＋Ｎ→π＋π（Ｎは核子）反応型｜
ｐ ＋ｐ＋π＋＋π−（σ １）｜２σ １＝４σ２＋σ３
ｐ ＋ｐ→π０＋π０（σ ２）ｐ ＋ｎ→π−＋π０（σ３）｜（ｂ）π＋Ｎ→Λ＋Ｋ 反応型｜
π＋＋ｎ→Λ＋Ｋ＋（σ１）｜ σ１＝２σ ２π０＋ｐ→Λ＋Ｋ＋（σ２）（ｃ）π＋Ｎ→Σ＋Ｋ 反応型
π＋＋ｐ→Σ ＋＋Ｋ＋（σ１） ｜π０＋ｐ→Σ ０＋Ｋ＋（σ２） ｜σ３＝σ５、σ１＋σ ４＝２σ２＋σ３
π０＋ｐ→Σ ＋＋Ｋ０（σ３） ｜π−＋ｐ→Σ −＋Ｋ＋（σ４） ｜π−＋ｐ→Σ ０＋Ｋ０（σ５） ｜（ｄ）τ粒子（τ＋、τ０、τ −）の３つの型のπメゾンへの崩壊
τ＋→π＋＋π０＋π０（ｗ １） ｜ｗ２＝ｗ１＋ｗ３
τ−→π−＋π＋＋π−（ｗ ２） ｜τ０→π０＋π０＋π０（ｗ ３） ｜（ｅ）ω０粒子の３つのπメゾンへの崩壊において。ω ０→３π０の崩壊は不可能（ω ０は同位体のシングレット）
１６．４９． 以下の反応において、アイソスピンＴの変化量と、その投射Ｔ ｚを求めよ。
（ａ）π−＋ｐ→Ｋ＋＋Σ−（ｂ）π−＋ｐ→Ｋ＋＋Ｋ０＋Ξ−（ｃ）Ｋ＋→π０＋π ＋（ｄ）Ｋ０Ｓ→２π０
１６．５０． メゾン−核子共鳴において、アイソスピンＴ，ストレンジネスＳ、バリオン荷電Ｂ、を求めよ。相対軌道モーメントがｌ＝１のときとして、全角運動量Ｉ、偶奇性Ｐも求めよ。
１６．５１． 重水素標的を、遅速（ｌ＝０）π−メゾンで照射したとき、反応π −＋ｄ→２ｎが起る。ジュウトロンの偶奇性は正であるとして、運動量と、偶奇性の保存法則から、π −メゾンは負の偶奇性を持つことを示せ。
１６．５２． ２つのπメゾンの束縛状態であるρ粒子のアイソスピンは１に等しい、ことが実験で確立された。
（ａ）崩壊ρ→２πが、強い相互作用に関係しているという立場で、運動量保存則を用いて、ρ粒子のスピンと偶奇性を予言してみよ。２つのπメゾンの内部偶奇性は同じとする。
（ｂ）ρ＋、ρ０、ρ −粒子の、２つのπメゾンへの可能な崩壊過程を記述せよ。
１６．５３． クオークの量子数を既知として、（ａ）３個のクオークから、以下のバリをンを構築せよ。
ｐ，ｎ、Σ ＋、Σ−、Ξ０、Ξ−（ｂ）クオークと反クオークから以下のメゾンを構築せよ。
π＋、π−、Ｋ＋、Ｋ−、Ｋ ０
１６．５４． クオークの磁気モーメントはクオークの荷電量に比例するものと見なし、ニュートロンとプロトンの磁気モーメントの比を求めよ。なを、３個のクオークから形成されている粒子において、２つの同じくオークのスピンが平衡である状態の確率は、２つの同じくオークのスピンが半へ以降である状態の確率、より２倍大きい。
１６．５５． クオークの表を利用して、（ａ）？ クオークと反クオークから、チャーム量子数Ｃ＝＋１と−１をもつメゾンを構築せよ。
（ｂ）？ ３つのクオークからできていて、かつ、チャームクオーク１つ，２つ，３つを持つバリオンを構築せよ。

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１７．外場中における荷電粒子の運動１７．１．運動の法則。検出器
１７．１． 電子が、一様電場中で運動をする。電場の電界強度は、一定速度と共に、Ｅ＝２０ＭＶ／（ｃｍ・ｓ）で増大する。最初、電子の速度はゼロである。電子が距離ｌ＝１０．０ｃｍ進んだとき、電子は幾らのエネルギーを獲得しているか。
１７．２． 一様な電場Ｅ＝１０ｋＶ／ｃｍ下で、電子が運動を開始する。運動開始からτ＝１００ｎｓ経過した時点で、電子が獲得したエネルギーと、電子が経由した距離を求めよ。
１７．３． 図１７．１参照。運動エネルギーＴ＝６．０ｋｅ
Ｖを持って、Ｏ点を飛び出したプロトンが、電界強度Ｅの一様電場下で、座標点ｘ＝１０．０ｃｍ、ｙ＝７．５ｃｍのＡ点に到達する。以下を求めよ。
（ａ）α０＝６０として、電界強度Ｅ。
（ｂ）Ａ点におけるプロトンの速度ベクトルが、ベクトルＥと角度α＝３０°をなすとして、α ０とＥの値。
（ｃ）Ｅ＝１．００ｋＶ／ｃｍとして、Ａ点までのプロトンの運動時間。
１７．４． 図１７．２参照。運動エネルギーＴを持つ電子が、一様な縦電場中を飛行し、その後、
スクリーンに衝突をする。以下の場合において、電子の偏向角度αと、スクリーン上での変位量δを求めよ。
（ａ）Ｅ＝２０Ｖ／ｃｍ、Ｔ＝１．００ｋｅＶ。
（ｂ）Ｅは一定速度Ｅ＝１．００ＭＶ／（ｃｍ・ｓ）で増大する。かつ、Ｅ＝０のときに、運動量Ｔ＝４０ｅＶを持つ電子が、この場中に入射する。
（ｃ）Ｅは、周波数ν＝１０．０ＭＨｚ、振幅Ｅ ０＝５．０Ｖ／ｃｍの調和振動を行う。かつ、Ｅ＝０のとき、Ｔ＝１００ｅＶを持つ電子がこの場に入射する。
１７．５． ポテンシャル差Ｖ＝１．０ｋＶで加速された電子束が、２つの小さいコンデンサの間を通過する。コンデンサの間隔はｌ＝２０ｃｍ。両方にコンデンサには、１つの電源から同相で交流電場が励起されている。電子束がこの系を偏向することなく通過するように、発振器の周波数を変更させる。この条件を満足する連続した２つの周波数は１４１ＭＨｚ、１８８ＭＨｚであった。電子の比
電荷ｅ／ｍを求めよ。
１７．６． Ｂρ＝５．０ｋＧ・ｃｍとして、陽子の運動エネルギーと相対論的電子の運動エネルギ
ーを求めよ。ここでＢは磁界の磁束密度、ρは軌跡の曲率半径。
１７．７． 図１７．３参照。ここで、ａ＝１０ｃｍ、ｂ＝２０ｃｍ。運動エネルギーＴ＝５０ｋｅＶを持つプロトンが、磁束密度Ｂ＝４００Ｇの一様磁界中を通過し、スクリーンに衝突をする。プロトンの偏向角度αと、スクリー
ン上での変位量δを求めよ。
１７．８． 直線ソレノイドの軸上にある点Ａから、運動エネルギー５００ｅＶを持っている電子が、軸に対して角度α＝３０°で飛び出す。磁場の磁束密度はＢ＝５０Ｇ。
以下を計算せよ。
（ａ）電子の螺旋軌道のピッチ。
（ｂ）Ａ点から距離ｌ＝２０ｃｍの所にあり、軸に垂直に配置されているスクリーンに電子が衝突する点までの軸からの距離。
１７．９． 電位差Ｖ＝５００Ｖで加速された少し分散気味の電子束が、直線ソレノイドの軸上のある点から飛び出し、連続する磁束密度Ｂ＝１５８．０ＧとＢ＝１８９．６Ｇのとき、距離ｌ＝１５．
０ｃｍの所で焦点を結ぶ。以下を求めよ。
（ａ）電子の比電荷。
（ｂ）この距離で、焦点を結ぶことができる最小の磁束密度。
１７．１０． 単一エネルギーのβ粒子線源が、ソレノイドの軸上にある。ソレノイドの軸に対して
角度α＝３０°で飛び出したβ粒子は、線源から距離ｌ＝５０ｃｍの点に焦点を結ぶことがわかっている。その時の磁束密度はＢ＝２００Ｇである。粒子の運動エネルギーを求めよ。
１７．１１． 直線ソレノイドの軸上のＯ点に、β粒子線源があり、点Ｏ には、計数器の穴がある。
ＯＯ の距離はｌ＝５０ｃｍ。点Ｏと点Ｏ の中間には、半径Ｒ＝７．５ｃｍの円形穴の開いている隔壁がある。以下を求めよ。
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（ａ）最小である磁束密度がＢ＝２５０Ｇのとき、点Ｏ に焦点を結ぶβ粒子の運動エネルギー。
（ｂ）自身の静止エネルギーに等しい運動エネルギーを持ったβ粒子が、点Ｏ に焦点を結ぶとき、最初の２つの磁束密度。線源からのそのようなβ粒子の対応する飛び出し角度αを求めよ。
１７．１２． 一様な磁場中で、半円の集束装置を持った質量スペクトロメーターで、線源と焦点の距離がｘ＝４０．０ｃｍ。以下を求めよ。
（ａ）ウランの単一エネルギーイオンにおいて、質量に関する装置の分散δｘ／δＡ。
（ｂ）運動エネルギーがＴ＝１．０ＭｅＶ近傍を持つβ粒子において、
エネルギーに関する装置の分散δｘ／δＴ。
１７．１３． 単一エネルギーイオンの細い束が、図１７．４に示しているように、一様磁場中を通過する。入射ビーム、及び出射ビームは磁場の境界に垂直である。装置の質量に対する角度分散δα／δＡを求めよ。角度φ＝６０°のとき、Ａｒのアイソトープでは幾らとなるか。
１７．１４． 図１７．５参照。少し拡散気味の平面イオン束が、円筒
コンデンサの電場中にＡ点で入射する。コンデンサの電極間の電位差は、粒子が半径ｒ ０の円周に沿って運動するように調整してある。Ａ点での粒子の速度ベクトルは、その点での半径ベクトルに垂直である。以下を示
せ。
（ａ）粒子束が集束する角度はΨ＝π／２１／２。
（ｂ）焦点位置における速度に関する装置の分散はΔｒ／Δｖ＝２ｒ ０／ｖ。
１７．１５． 図１７．５参照。少し分散気味のイオン束が、軸対称磁場中に入射する。磁場は式ｒ−ｎに従って周辺に向かって弱くなっている。
磁場の磁束密度は、イオンが半径ｒ ０の円周に沿って運動するように調整してある。イオンの速度ベ
クトルは、Ａ点で、半径ベクトルに垂直である。以下を示せ。
（ａ）水平面内で、イオン束が集束する角度はΨ＝π／（１−ｎ） １／２。
（ｂ）ｎ＝１／２の時、２重の集束点を有する。（水平方向と垂直方向で共に）（ｃ）ｎ＝１／２の時、集束点における速度に関する分散はΔｒ／Δｖ＝４ｒ ０／ｖ。
１７．１６． 重水素束が、同じ空間領域中にできている相互に垂直な電場と磁場を通過する。電界
強度がＥ＝１．００ｋＶ／ｃｍ、磁束密度がＢ＝５００Ｇのとき、重水素束の軌道は直線となる。この時の重水素の運動エネルギーを求めよ。
１７．１７． 図１７．６に示している装置を使えば、荷電粒子の比電荷ｅ／ｍと速度が同時に決定できることを示せ。
（ａ）装置Ⅰにおいて、粒子は、順に、円筒コンデンサの電場Ｅと、磁場Ｂを通過する。コンデンサの電極間電位差Ｖ、電極半径Ｒ１，Ｒ ２、磁場の磁束密度Ｂ、粒子の軌跡の半径ｒ１，ｒ２は既知とする。
（ｂ）装置Ⅱで、粒子は平面コンデンサを通過し、スクリーンに衝突する。全ての装置は一様な磁場中にある。コンデンサも。Ｂ⊥Ｅである。電場の電界強度Ｅ、磁場の磁束密度Ｂは既知である。粒子のコンデンサ内での軌跡は直線であり、距離ｌと変位量δも既知である。

１７．１８． マグネトロンの円筒状のカソードとアノードの半径は、各々、ｒ １＝１．００ｍｍ、
ｒ ２＝２０ｃｍ。Ｖ＝２００Ｖ。熱電子の初期速度は無視して、アノード電流が停止するときの、マグネトロン中の一様縦磁場の磁束密度の限界値を求めよ。
１７．１９． 円筒型２極管が、加熱用の長い直線ヒーター、同軸のカソードとアノードからできている。カソードの半径は０．１０ｃｍ、アノードの半径は１．０ｃｍ。ヒーターに流した１４．５Ａの電流が周りの空間に磁場を生成する。熱電子の初速度は無視して、アノード電流が停止する、アノードとカソード間の限界電位差を求めよ。
- 80 -

１７．２０． 図１７．７参照。電界強度Ｅの電場と、磁束密度Ｂの磁界が平行にかかっている空間のＯ点から、プロトンが初速度ｖで、ｘ軸方向に飛び出す。プロトンの軌跡方程式ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）、ｚ（ｔ）を求めよ。
軌跡はどのような形状をしているか。
１７．２１． 図１７．７参照。いろいろな速度を持つ同じイオンの細束が、電界強度Ｅの電場と、磁束密度Ｂの磁界が平行にかかっている空間領域に入射する。入射点における細束の方向はｘ軸と一致している。Ｏ点から距離ｌの所に、ｘ軸に垂直なスクリーンがおいてある。スクリーン上におけるイオンの痕跡の式を求めよ。ｚ≪ｌの場合、この式は放物線となることを示せ。
１７．２２． 図１７．８参照。電界強度Ｅの電場と、磁束密度Ｂの磁界が相互に垂直に平行にかかっている空間領域で、荷電粒子が運動をする。
粒子は初速度なしで、Ｏ点から動き出すものとする。以下を求めよ。
（ａ）粒子の軌跡方程式ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）。
（ｂ）粒子の速度がゼロとなる２点間の軌跡の長さ。
（ｃ）ｘ軸方向における粒子の平均速度。
１７．２３． 電界強度Ｅの電場と、磁束密度Ｂの磁場が相互に垂直な空
間中で、荷電粒子が動く。図１７．８参照。粒子は点Ｏから、初速度を持って出るとする。初速度のベクトルは、ｘ−ｙ平面内で、成分（ｄｘ／ｄｔ） ０、（ｄｙ／ｄｔ） ０を持っている。これら２つの成分が以下の場合について、粒子の軌跡方程式ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）を求めよ。又、軌跡の形状を図で示せ。
（ａ）（ｄｘ／ｄｔ）０＝ｖ／２、（ｄｙ／ｄｔ）０ ＝０（ｂ）（ｄｘ／ｄｔ）０＝−ｖ、（ｄｙ／ｄｔ）０ ＝０（ｃ）ｄｘ／ｄｔ） ０＝０、（ｄｙ／ｄｔ） ０ ＝ｖ（ｄ）ｄｘ／ｄｔ） ０＝ｖ、（ｄｙ／ｄｔ） ０ ＝ｖ
ここで、ｖ＝ｃＥ／Ｂ。
１７．２４． 前問の条件下で、ｅ／ｍが同じ値を持つ全ての粒子は、初期速度の大きさと方向に依存せず、ｘ軸上の座標ｘ１＝２πｍｃ２Ｅ／（ｅＢ ２）の点に達することを、証明せよ。
１７．２５． 電場と磁場が相互に垂直な領域内でプロトンが動き始める。磁界の磁束密度は一定値
でＢ、が、電界強度は式Ｅ＝Ｅ０ｃｏｓωｔで変化する。振動数ω＝ｅＢ／ｍｃ。時間始め（ｔ＝０）のとき、プロトンは図１７．８のＯ点にいた。その後のプロトンの軌跡方程式ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）を求めよ。
１７．２．荷電粒子の加速器
１７．２６． 磁束密度Ｂ＝１０．０ｋＧの一様磁界中で、円に沿って運動している電子とプロトンについて、以下を求めよ。
（ａ）粒子の運動エネルギーはＴ＝１０．０ＭｅＶとして、回転周期と軌道半径。
（ｂ）それらの軌道半径をｒ＝１０．０ｃｍとして、運動エネルギー。
１７．２７． ベータトロンにおいて、半径ｒ＝２５．０ｃｍの一定の平衡軌道内部の磁束が、ゼロから一定速度で、Φ＝５０Ｗｂ／ｓまで増大する。以下を求めよ。
（ａ）軌道上における渦電場の電界強度と、５．０×１０ ５回の回転で電子が獲得したエネルギー。
（ｂ）時間τ＝３．００ｍｓの間に電子が経由したき距離と、この時間の間に電子が得たエネルギー。
１７．２８． ベータトロンにおいて、半径ｒ＝１００ｃｍの平衡軌道における磁界の磁束密度は、ゼロから式Ｂ＝Ｂｍｓｉｎωｔに従って、Ｂｍ＝５．０ｋＧまで変化する。ここで振動数はν＝５０Ｈｚ。以下を求めよ。
（ａ）加速サイクルの最終における電子の運動エネルギー。
（ｂ）電子の初速度はゼロと仮定して、全加速サイクルにおける電子の経由した経路長と、回転数。
１７．２９． ベータトロン条件 Ｂ回転＝＜Ｂ＞／２ の妥当性を証明せよ。ここでＢ回転は円軌道
上の磁束密度、＜Ｂ＞は軌道内部の平均磁束密度である。
１７．３０． ベータトロン条件を用いて、ベータトロンにおいて、渦電場の電界強度は平衡軌道において最小値を持つ、ことを証明せよ。平衡軌道近傍において、磁場の低下率はｎ＝−（ｒ／Ｂ）（∂
Ｂ／∂ｒ）＜１であることを用いよ。
１７．３１．

ベータトロンの対称面中の磁界の磁束密度が、平衡軌道近傍で、式Ｂ∽１／ｒ ｎに従- 81 -

って変化する。ここで、ｎは低下率。電子の運動の安定性は以下の場合に保証されることを示せ。
（ａ）ｎ＜１の場合、動径方向で。
（ｂ）ｎ＞０の場合、垂直方向で。
１７．３２． ベータトロンの対称面内で、平衡軌道近傍における磁界の磁束密度が、Ｂ∽ｒ−ｎで変化する。ここで、ｎは低下率であり、０＜ｎ＜１。平衡軌道に沿っての電子の運動の各速度は、ω０に等しいとする。平衡軌道近傍で動いている電子において、動径方向の振動数と、軸方向の振動数を求めよ。
１７．３３． サイクロトロン加速器における荷電粒子のエネルギーの増大は、放射によるエネルギ
ーの損失という効果で、無限大とはならない。１回転で荷電粒子が失うエネルギーは、（４／３π）（Ｅ／ｍｃ２）４ｅ２／ｒに等しい。ここで、ｒは軌道半径、Ｅは粒子の全エネルギー、ｍは粒子の静止質量。ベータトロンで加速する電子の限界エネルギーを求めよ。平衡軌道の半径はｒ−１００ｃｍ、軌道上における磁界の磁束密度の増加速度はＢ＝１０００ｋＧ／ｓとする。
１７．３４． サイクロトロンで、曲率半径ρ＝５０ｃｍまで加速されたプロトン、重水素、α粒子について、以下を求めよ。
（ａ）磁束密度をＢ＝１０．０ｋＧとする。加速の最終における運動エネルギー。
（ｂ）運動エネルギーＴ＝２０ＭｅＶまでの加速を達成したときにおける、電源の最小周波数。
１７．３５． シンクロトロンの電源の周波数がν＝１０ＭＨｚ。曲率半径が約ρ＝５０ｃｍである
隣り合う重水素の軌道の間隔がΔρ＝１．０ｃｍである。サイクロトロンのＤ型電極間の有効加速電圧を求めよ。
１７．３６． 電源の周波数がν＝１０ＭＨｚであるサイクロトロンで、最大の曲率半径ρ＝５０ｃｍまでα粒子が加速される。Ｄ型電極間の有効電圧はＶ＝５０ｋＶ。Ｄ型電極の間隔を無視して、以下を求めよ。
（ａ）粒子の加速の全時間。
（ｂ）加速全時間に経由する粒子の全経路長。
１７．３７． 運動エネルギーがいかほどの値の時、一様な磁場中で、電子、陽子、α粒子の回転周期は、非相対論的速度において、１％だけ大きくなるか。
１７．３８． ？ サイクロトロンにおいて、電子の回転周期τが、エネルギーの増加と共に、急激に大きくなり、共振が崩れるような場合には、電子の加速には不向きであることがわかっている。しかし、後者は、電子の回転周期の変化量Δτが、加速場の周期τ０より短いならば、除去することができる。このような原理で動作する加速器は、ミクロトロンと呼ばれている。Δτ＝τ０，磁場の磁束密度Ｂ＝１．０７ｋＧ、加速場の周波数ｆ＝３０００ＭＨｚならば、エネルギーΔＥ＝４．６Ｍｅ
Ｖを電子が獲得するためには、ミクロトロンの加速間隔の間に、電子を何倍動かす必要があるか。
１７．３９． サイクロトロンにおいて、粒子のエネルギーが増大していくとき、粒子の回転周期の変化に関連して、粒子の加速過程に乱れが発生しないようにするために、加速場の周波数をゆっくり変化させる。このような加速器はシンクロトロン（或はファゾトロン）と呼ばれる。
（ａ）陽子とα粒子をエネルギーＴ＝５００ＭｅＶまで加速するためには、シンクロトロンの加速場の周波数を何％変化させるか。
（ｂ）シンクロトロンの加速場の周波数ω（ｔ）を、どのような式に従って変化させる必要があるか。
磁界の磁束密度はＢ、１回転当たりで粒子が獲得する平均エネルギーはεとする。
１７．４０． サイクロトロン型の加速器において、粒子の共鳴加速が実現されるために、ゆっくりと磁場を変化させる。このようにすることで、粒子の回転周波数が一定となり、加速場の周期と等しくなる。このような加速器は、シンクロトロンと呼ばれる。シンクロトロンの磁場は一様で、その磁束密度は式Ｂ＝Ｂ ｍｓｉｎωｔに従って変化し、加速場の周波数はω０に等しいとして、以下を求めよ。
（ａ）粒子の軌道半径ｒの時間依存の式。
（ｂ）ω０＝７．００×１０８／ｓ、ω＝３１４／ｓとして、２．０ＭｅＶから１００．０ＭｅＶまで加速される電子の軌道半径の変化する領域値を求めよ。
１７．４１． シンクロトロン加速器では、加速電場の周波数ω（ｔ）と、磁場Ｂ（ｔ）を同時に変化させる。ω（ｔ）とＢ（ｔ）の間の関係がどのようなときに、一定の軌道半径ｒに沿って、粒子の加速が行えるか。渦電場の影響は無視する。
１７．４２． ０．５００ＭｅＶから１０００ＭｅＶまで陽子を加速するリング型シンクロトロンのリング内で、軌道半径はｒ＝４．５０ｍ。加速過程における、磁場の磁束密度は一定速度ｄＢ／ｄｔ＝１５．０ｋＧ／ｓで増大すると見なし、以下を求めよ。
（ａ）加速電場の周波数の変化する両端の値と、加速の全時間。
- 82 -

（ｂ）１回転で陽子が獲得するエネルギー。
（ｃ）加速の全サイクルにおいて、陽子の経る経路長と回転数。
１７．４３． 原子核研究連合研究所のシンクロトロンで、陽子は９．０ＭｅＶから１００００Ｍｅ
Ｖまで加速される。直線部分まで考慮に入れると、平衡軌道の全長はＬ＝１０８ｍ。これらの軌道部
での磁界の磁束密度は、加速中、一定速度ｄＢ／ｄｔ＝４．００ｋＧ／ｓで増大する。前問と同じ質問に答えよ。
１７．４４． 図１７．９参照。直線加速器において、荷電粒子は、飛行パイプ管中を動く。パイプには、交互に高周波電源の端子が接続されている。粒子の加速はパイプ間の間隙の間で行われる。エ
ネルギーＴ ０＝２．０ＭｅＶを持ったプロトンが、加速器内部に入射するとする。そして、プロトン
をＴ＝２０ＭｅＶまで加速する。その際、間隙毎に粒子はエネルギーΔＥ＝０．５０ＭｅＶを獲得する。電源の周波数はｆ＝１００ＭＨｚ。パイプの間の間隙の大きさを無視して、以下の場合におけるパイプの長さを求めよ。
（ａ）パイプのｎ番目の長さ。特に最初のパイプと、最後のパイプの長さ。
（ｂ）全パイプ長（＝加速器の全長）。
１７．４５． 線形加速器中の飛行パイプ長が全て同じ長さで、Ｌ＝６．００ｃｍとする。プロトンと電子を、５．００ＭｅＶから５０．０ＭｅＶまで加速するためには、加速器の電源の周波数は、幾らから幾らまで変化させる必要があるか。
１７．４６． 進行波を持つ線形加速器は、円柱状の隔壁型導波管を持っている。導波管に沿って、軸成分Ｅｘを持つ電磁波が伝搬をする。穴の開いているリング状隔壁で、導波管に沿って、電磁波の位相速度の増大が達成される。この際、加速される粒子は、全時間、ほぼ何の同じ位相の所に存在する。以下を求めよ。
（ａ）導波管の長さはＬ＝６７．０ｍ。プロトンを４．０ＭｅＶから１０００ＭｅＶまで加速するために必要なＥ ｘの値。
（ｂ）導波管の入射穴までの距離に対する電磁波の位相速度の依存。プロトンの場合、波の位相速度を何倍変化させる必要があるか。電子を４．０ＭｅＶから１０００ＭｅＶまで加速するためには、何％変化させる必要があるか。
１７．４７． 衝突をする粒子のエネルギーを極めて大きくする可能性の１つは、これらの粒子を正面衝突をさせることである。慣性中心系において、粒子の総運動エネルギーが、お互いの運動エネル
ギーが５０ＧｅＶを持つ２つのプロトンの場合の正面衝突と同じとするためには、静止しているプロ
トンに、衝突をさせるプロトンに与えるべき運動エネルギーは如何ほどとなるか。
２０１１年１１月２６日- 83 -

解答
１．１．
１．２．
１．３． Δ T=３００ K。
１．４．λｍ＝２．９μｍ。
１．５．Ｐ＝４．６×１０２０ MW。１０ １１年。
１．６．Ｔ２＝２８０ K。
１．７．（ａ）ｐ＝１．６×１０４ＧＰａ。
（ｂ）Ｔ＝１．９×１０７Ｋ。
１．８． ｔ＝１．６Ｋ。
１．９．（ａ）ωｍ＝０．７８５×１０１５／ｓ。
（ｂ）＜ω＞＝１．０５×１０１５／ｓ。
１．１０．（ａ）λ ｍ＝１．４４μｍ。 （ｂ）＜λ＞＝２．４０μｍ。
１．１１．ｄ Z ＝（ｌ／πｖ）ｄω。
１．１２． ｄＺω＝（Ｓ／２πｖ ２）ωｄω。
１．１３．
１．１４． （ａ）＜ε＞＝ｋＴ、ｕωｄω＝（ｋＴ／π２ｃ３）ω２ｄω。
（ｂ）＜ε＞＝ℏω／（ｅ ℏω／ｋＴ−１）、ｕωｄω＝（ℏ／π２ｃ３）（ω３／（ｅℏω／ｋＴ−１））ｄω。
１．１５． ｕω＝（ｋＴ／π２ｃ３）ω２、ｕω＝（ℏω ３／π２ｃ３）ｅ−ℏω／ｋＴ。
１．１６． （ａ）ｕν＝（１６π ２ℏ／ｃ３）（ν３／（ｅ ２πℏν／ｋＴ−１））。
（ｂ）ｕλ＝１６π２ｃℏλ −５／（ｅ ２πℏｃ／ｋＴλ−１）
１．１７． Ｉ２／Ｉ１＝４．８。
１．１８． ΔＰ＝０．６０Ｗ／ｃｍ２。
１．１９． σ＝（π２／６０）ｋ４／ｃ２ℏ３。
１．２０． ＜ω＞＝１．００×１０１５／ｓ。
１．２１． Ｔ＝２０００Ｋ。
１．２２． （ａ）ｎωｄω＝（１／π ２ｃ３）（ω２ｄω／（ｅℏω／ｋＴ−１））、−４２πℏｃ／ｋＴλｎλｄλ＝８πλ ｄλ／（ｅ−１）。
（ｂ）ｎ＝５．５×１０８／ｃｍ３。
１．２３． （ａ）ℏω確立＝０．１４ｅＶ。
（ｂ）＜ℏω＞＝０．２３ｅＶ。
１．２４． 図１参照
１．２５． （ａ）ｊ＝２×１０１３／（ｃｍ２・ｓ）。
（ｂ）ｊ＝２×１０１３／（ｃｍ２・ｓ）。
１．２６． ２．５ｅＶ／ｓ、５ｋｅＶ／ｓ、０．６ＭｅＶ／ｓ。
１．２７． λ＝２．０×１０−１０ｃｍ。
１．２８． ｄｐ／ｄｔ＝Ｐ／ｃ．
１．２９． ＜ｐ＞＝５ＭＰａ≒５０気圧。
１．３０． ｐ＝３．５×１０−３ｇ／（ｃｍ・ｓ）。
１．３１． Ｆ＝５×１０−８Ｎ。
１．３２． 図２参照。Ｆ＝πＲ２Ｉ／ｃ。
１．３３． Ｆ＝（３／２）ＩＳ／ｃ。
１．３４． Ｆ＝Ｐ／（２ｃ（１＋ｌ２／Ｒ２））。
１．３５． （ａ）Δλ／λ＝２．１×１０−６。
（ｂ）Δλ／λ＝０．１０。
１．３６． λ＝Δλη／（η−１）＝０．１０ｎｍ。
１．３７． Ｖ＝３１ｋＶ。
１．３８． ｖ＝０．５０ｃ。
１．３９． λ最大＝６０ｐｍ。
１．４０． （ａ）０．６６μｍ、０．２３５μｍ。
（ｂ）Ｚｎ：５．５×１０ ５ｍ／ｓ、 Ａｇ：３．４×１０５ｍ／ｓ、 Ｎｉ：出ない。
１．４１． Ａ＝１．９ｅＶ。
１．４２． Ｖ＝１．７４Ｖ。
１．４３． λ０＝０．２６μｍ。
１．４４． Ｔ最大＝０．３８ｅＶ。
１．４５． 図３参照。
（ａ）０．２８μｍ。
（ｂ）６．４×１０ ５ｍ／ｓ。
１．４６． Ｖ接触＝−０．５Ｖ。
１．４７． ０．１９６μｍ、０．２１３μｍ、０．２２４μｍ。
１．４８． ｐ＝９６ｋｅＶ／ｓ
１．４９．
１．５０．
１．５１． λ＝１２ｐｍ。
１．５２． （ａ）Δλ＝１．２ｐｍ。 （ｂ）θ＝６０°。
- 84 -

１．５３．
１．５４．
ｅＶ。
１．５５．
１．５６．
１．５７．
１．５８．
１．５９．
１．６０．
１．６１．
１．６２．
１．６３．

図４参照。ｔａｎφ＝ｓｉｎθ／（λ／λ −ｃｏｓθ）（ａ）ℏω ＝０．２０ＭｅＶ。 （ｂ）Ｔ＝０．２６Ｍ
Ｔ＝３１ｋｅＶ。
λ＝２．０ｐｍ。
ｐ＝１．０２ＭｅＶ／ｓ。
λ＝３．０ｐｍ。
ℏω＝０．９３ＭｅＶ。
Ｔ＝０．２０ＭｅＶ。
Ｂ＝１．１ｋＧ。
ｖ＝ｖ ＝（ℏω／ｍｃ ２）／（１＋（ℏω／ｍｃ２） ２） １／２。
（ａ）Δλ＝１．２ｐｍ。 （ｂ）Ｔ＝０．１７ＭｅＶ。

２．１． （ａ）ｒ＝１．６×１０−８ｃｍ。
（ｂ）ω＝（ｅ２／ｍｒ ３） １／２、 ３×１０ −８ｃｍ。
２．２． （ａ）５．９×１０−１０ｃｍ。
（ｂ）ｒ最小＝３．４×１０ −１１ｃｍ。
２．３． 図５参照。
２．４． ｂ＝０．６ｐｍ。
２．５． Δｐ＝１３０ＭｅＶ／ｓ。
（ｂ）Ｔ＝１．３ＭｅＶ、 ９０°。
２．６． ｒ 最小＝０．１６ｐｍ、 ｒ最小／ｂ＝２．４。
２．７． ｐ ＝（２ｍＴ） １／２ｍ／（ｍ＋Ｍ）、 Ｔ ＝ＴＭ／（ｍ＋Ｍ）。
２．８． Ｔ ＝Ｔ（ｍ２−ｍ１）２／（ｍ１＋ｍ２）２。
２．９． θ 最大＝ａｓｉｎ（ｍ１／ｍ２）＝３０°。
２．１０． ｔａｎθ＝ｓｉｎθ ／（ｃｏｓθ＋ｍ１／ｍ２）、 θ＝３６°。
２．１１． ｂ＝０．２４ｐｍ。
２．１２． ｂ＝０．５ｐｍ。
２．１３． ｒ最小＝０．６ｐｍ。
２．１４． （ａ）ｃｏｓ（θ／２）＝ｂ／（Ｒ＋ｒ）。
（ｂ）ｄｗ＝（１／２）ｓｉｎθｄθ、 ｗ＝１／２。
２．１５． ｄＮ／Ｎ＝ｎｄσ、ここで、ｄσ＝（Ｚｅ ２／２Ｔ） ２２πｓｉｎθｄθ／ｓｉｎ ４（θ／２）。
２．１６． ΔＮ／Ｎ＝４×１０−４。
２．１７． Δσ＝２．１×１０−２２ｃｍ２。
２．１８． ｄσ／ｄθ＝３．０×１０ −２２ｃｍ２／ラジアン、ｄσ／ｄΩ＝４．８×１０−２３ｃｍ２／
ステラジアン。
２．１９． Δσ＝５．５×１０−２２ｃｍ２。
２．２０． （ａ）６×１０ −５。 （ｂ）ｗ＝５×１０−４。
２．２１． （ａ）ΔＮ＝１．３×１０ ４。
（ｂ）ΔＮ＝１．６×１０ ５。
（ｃ）ΔＮ＝１．５×１０ ７。
２．２２． ΔＮ／Ｎ＝２．７×１０−３。
２．２３． ｄσ／ｄΩ＝１．０×１０ −２３ｃｍ２／ステラジアン。
２．２４． τ＝１０−１１ｓ。
２．２５． ｒｎ＝（（ℏ／ｍω）ｎ）１／２、Ｅ ｎ＝ｎℏω、ここでω＝（ｋ／ｍ）１／２。
２．２６． 表１．

２．２７．
２．２８． １１６ｎｍ、５４０ｎｍ、１０１４ｎｍ。
２．２９． （ａ）０．６５７μｍ、０．４８７μｍ、０．４３４μｍ。
（ｂ）δλ／λ＝１５００。
２．３０． ブラケット系列、λ６→４＝２．６３μｍ。
２．３１． （ａ）０．１２２μｍ、０．１０３μｍ、０．０９７μｍ、ライマン系列。０．６５７μｍ、０．４８６μｍ、バルマー系列。１．８５７μｍ、パッシェン系列。
（ｂ）４５本。
２．３２． １２１．６ｎｍ、１０２．６ｎｍ、９７．３ｎｍ。
２．３３． （ａ）４． （ｂ）３。
- 85 -

２．３４． Ｚ＝３， Ｌ＋＋。
２．３５． Ｅ結合＝５４．５ｅＶ。
２．３６． Ｅ＝７９ｅＶ。
２．３７． ｖ＝２．３×１０６ｍ／ｓ。
２．３８． ｖ＝３．１×１０６ｍ／ｓ。
２．３９． ｖ最小＝６．２５×１０４ｍ／ｓ。
２．４０． φ＝６０°。
２．４１． ｖ＝３．２４ｍ／ｓ、ΔＥ／Ｅ＝５．５×１０−７％。
２．４２． ｖ＝７．０×１０５ｍ／ｓ。
２．４３． ｖ＝０．２９ｃ。
２．４４．（ａ）ｌ＝（ℏ２／μｅ２）ｎ２、μは換算質量。
（ｂ）Ｅ結合＝ℏＲ／ｎ２、ここで、Ｒ＝μｅ４／２ℏ３。
（ｃ）０．０５５％。
２．４５． ｍｐ／ｍｅ＝１８４０。
２．４６． （ａ）ＥＤ−ＥＨ＝３．７×１０−３ｅＶ。
（ｂ）ＶＤ−Ｖ Ｈ＝２．８ｍＶ。
（ｃ）λＨ−λ Ｄ＝３３ｐｍ。
２．４７． （ａ）２．８５×１０１１ｃｍ。 （ｂ）６５４ｐｍ。 （ｃ）２．５３ｋｅＶ、２．６
７ｋｅＶ。
２．４８． （ａ）１．０６×１０−８ｃｍ。 （ｂ）６．８Ｖ、５．１Ｖ。 （ｃ）１．０３×１０
１６／ｓ、０．２４３μｍ。
３．１． ３９ｐｍ、０．９１ｐｍ、０．１５ｋｅＶ、０．０８２ｅＶ。
３．２． λ＝０．１５ｎｍ。
３．３． λ＝１３２ｐｍ。
３．４． Ｔ＝０．１２ＭｅＶ。
３．５． ΔＥ＝０．３８ｋｅＶ。
３．６． λ ＝２．２ｐｍ。
３．７． λ ＝０．０７ｎｍ。
３．８． λ ＝０．１０ｎｍ。
３．９． （ａ）λ＝（２πℏ／（２ｍＴ） １／２ ）／（１＋Ｔ／２ｍｃ ２ ） １／２。
１０ｋｅＶ、プロトン：Ｔ＜３７ＭｅＶ。
３．１０．
３．１１．
３．１２．
３．１３．
３．１４．
３．１５．
３．１６．
３．１７．
３．１８．
３．１９．
３．２０．
３．２１．
３．２２．
３．２３．
３．２４．
３．２５．
３．２６．
３．２７．
３．２８．
３．２９．
３．３０．
３．３１．
３．３２．
３．３３．
３．３４．
３．３５．
３．３６．
３．３７．
３．３８．
３．３９．
３．４０．
３．４１．

（ｂ）電子：Ｔ＜

Ｔ＝０．２１ＭｅＶ。
λ＝３．３ｐｍ。
ｆ（λ）∽λ−４ｅｘｐ（−２λｍ２／λ２）、λｍ＝９０ｐｍ。
ｆ（λ）∽λ−５ｅｘｐ（−５λｍ２／２λ２）、λｍ＝５７ｐｍ。
ｖ＝１．０×１０６ｍ／ｓ。
Ｔ＝２４ｅＶ。
Ｖ０＝０．１５ｋＶ。
ｄ＝０．２１ｎｍ、ｋ＝４。
ｄ＝０．２３ｎｍ。
（ａ）ｎ＝１．０５。 （ｂ）Ｖ／Ｖｉ＞５。
Ｅｎ＝（π２ℏ２／２ｍｌ２）ｎ２。
λ＝２πｒ１ｎ。ここで、ｒ１は第１ボーア半径。

Δｘ＝０．５μｍとして、２×１０ ４ｃｍ／ｓ、１０ｃｍ／ｓ、０．０５ｃｍ／ｓ。
Δｖ≒１０６ｍ／ｓ、ｖ１＝２．２×１０ ６ｍ／ｓ。
Ｔ最小≒１５ｅＶ、ここで、Δｘ＝ｌ／２、ｐ≒Δｐ。
Δｖ／ｖ≒１．２×１０−４、ここで、Δｘ＝ｌ／２。
Ｆ＝２Ｅ最小／ｌ、ここで、Δｘ＝ｌ／２、ｐ≒Δｐ。
Ｅ最小≒ℏω。
Ｅ結合＝１３．６ｅＶ、ｒ＝０．５×１０−８ｃｍ。
Ｅ最小＝−８３ｅＶ、ｒ＝０．３×１０−８ｃｍ。
Δｘ／λ＝２０００。
Δｔ＝１０−１５ｓ。
ｂ＝１０−３ｃｍ。
Ψｎ（ｘ、ｔ）＝ψ（ｘ）ｅｘｐ（ｉωｎｔ）。
時間因数だけが変化する。
Ψ（ｘ、ｔ）＝Ａｅ−ｉ（ωｔ−ｋｘ）、ω＝Ｅ／ℏ、ｋ＝ｐ／ℏ。
（ａ）ｗ＝０．６１。

（ｂ）ｄＮ＝（ｌ／πℏ）（ｍ／２Ｅ）１／２ｄＥ。
- 86 -

３．４２． （ａ）Ｅ ｎ１ｎ２＝（π ２ℏ２／２ｍ）（ｎ １２／ａ ２＋ｎ ２２／ｂ ２）、Ψ ｎ２（ｘ、ｙ）＝（４／ａｂ） １／２ｓｉｎ（ｎ１πｘ／ａ）・ｓｉｎ（ｎ２πｙ／ｂ）。
（ｂ）ｗ＝０．０３８。 （ｃ）Ｅ＝９．９，２４．７，３９．５，４９．４、単位ℏ ２／ｍｌ ２。
３．４３． ｄＮ＝（ａｂｍ／（２πℏ２））ｄＥ。
３．４４． （ａ）Ｅｎ１ｎ２ｎ３＝（π ２ℏ２／２ｍ）（ｎ１２／ａ ２＋
ｎ２２／ｂ２＋ｎ３２／ｃ２）。
（ｂ）ΔＥ＝π２ℏ２／ｍｌ ２。
（ｃ）６．
３．４５． ｄＮ／ｄＥ＝（ａｂｃｍ３／２／（２１／２π ２ℏ３））
Ｅ１／２。
３．４６．
３．４７． 図６参照。 （ｂ）４。
３．４８． （ａ）（９／１６）π２ℏ２ｍ。 （ｂ）図７参照。 （ｃ）１４．９％。
３．４９． 図８参照。

３．５０． （ａ）π２ℏ２／４ｍ。 （ｂ）ｎ＝４。
３．５１． Ｕ（ｘ）＝２（α２ℏ２／ｍ）ｘ２、Ｅ＝αℏ２／ｍ。
３．５２． Ｕ（ｘ）＝−αℏ２／ｍｘ、Ｅ＝−α２ℏ２／２ｍ。
３．５３． （ａ）Ｅ＝ℏω／２。 （ｂ）Ｅ＝（３／２）ℏω。
３．５４． Ｅｎ＝ℏω（ｎ＋１／２）。
３．５５． （ａ）ψ ０＝（α ２／π） １／４ｅｘｐ（−ξ ２／２）、ψ
２
１／４
１ ＝（α ／４π）
２ξｅｘｐ（−ξ ２／２）、 ψ ２＝（α ２／６
１／４
２（４ξ −１）ｅｘｐ（−ξ２／２）。
４π）（ｂ）０，±１／α、±２．５／α。図９参照。
３．５６． ０．１５７。
３．５７． Ｅｎ ＝ℏω（２ｎ ＋３／２）。
３．５８． （ａ）Ｅ ｎ＝ℏω（ｎ＋３／２）。 （ｂ）Ｎ＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２。
３．５９． （ａ）Ｒ＝（ｋ １−ｋ ２）／（ｋ １＋ｋ ２）） ２、Ｄ＝１−Ｒ、ここで、ｋ １＝（２ｍＥ） １／
２／ℏ、ｋ２＝（２ｍ（Ｅ−Ｕ ０））１／２／ℏ。
（ｂ）Ｒ＝｜（ｋ−ｉκ）／（ｋ−ｉκ）｜＝１，ｋ＝（２ｍＥ）１／２／ℏ、κ＝（２ｍ（Ｕ ０−Ｅ））
１／２／ℏ。ｘ実行＝１／２κ。
３．６０． （ａ）Ｄ＝（１＋Ｕ ０２ｓｉｎ ２（ｋ ０ｌ）／（４Ｅ（Ｅ＋Ｕ ０）） −１、ここで、ｋ ０＝（２ｍ（Ｅ−Ｕ０））１／２／ℏ
Ｒ＝１−Ｄ。
（ｂ）ｋ０ｌ＝ｎπ、 Ｅ＝（π２ℏ２／２ｍｌ ２）ｎ ２−Ｕ０。
３．６１． （ａ）前問の（ａ）と同じ、Ｅ→Ｕ ０のとき、Ｄ→（１＋ｍｌ２Ｕ ０／２ℏ２）−１。
（ｂ）１１．５ｅＶ、１６．０ｅＶ、２３．５ｅＶ。
（ｃ）Ｄ＝（１＋Ｕ ０２ｓｈ ２κｌ／（４Ｅ（Ｕ ０ −Ｅ））） −１、 １６（Ｅ／Ｕ ０）（１−Ｅ／Ｕ ０）
ｅｘｐ（−２ｌ（２ｍ（Ｕ０−Ｅ））１／２／ℏ）。
（ｄ）電子：０．２７， 陽子：１０ −２７。
３．６２． Ｄ＝ｅｘｐ（−（８／３ｌ（２ｍ） １／２／ℏＵ０）（Ｕ０−Ｅ）３／２）。
３．６３． Ｄ＝ｅｘｐ（−（πｌ／ℏ）（２ｍ／Ｕ０）１／２（Ｕ０−Ｅ））。

４．１．
４．２． （ａ）（２−ｘ２）ｃｏｓｘ−４ｘｓｉｎｘ、 （１−ｘ２）ｃｏｓｘ−３ｘｓｉｎｘ。
（ｂ）（２＋４ｘ＋ｘ２）ｅｘ、（１＋３ｘ＋ｘ２）ｅｘ。
４．３． （ａ）Ａ＝４。 （ｂ）Ａ＝１。 （ｃ）Ａ＝−α２。
４．４． （ａ）ψ＝Ｃｅｉλｘ、 λ＝２πｎ／ａ。
（ｂ）ψ＝Ｃｓｉｎ（λ１／２ｘ）、 λ＝（ｎπ／ｌ）２。
４．５．
- 87 -

４．６．
４．７．
４．８．
４．９．
４．１０．
４．１１．
４．１２． 一般には言えない。
４．１３．
４．１４． （ａ）Ｆ（ｘ，ｚ）ｅｘｐ（ｉｋｙｙ）。
（ｂ）Ａｅｘｐ（ｉ（ｋｘｘ＋ｋ ｙｙ＋ｋｚｚ））。
（ｃ）ｆ（ｙ、ｚ）ｅｘｐ（±ｉｋｘｘ）。ここで、ｋν＝ｐν／ℏ、ν＝ｘ、ｙ、ｚ。
４．１５． 一般には言えない。
４．１６．
４．１７．
４．１８． （ａ）ｐ ｘｘ。 （ｂ）−ｉｐ ｘ。
４．１９．
４．２０．
４．２１．
４．２２．
４．２３． （ａ）ψｍ＝（２π） −１／２ｅｘｐ（ｉｍφ）。
（ｂ）ψｍ＝（２π）−１／２ｅｘｐ（ｉｍφ）。
４．２４． ２ℏ２。
４．２５．
４．２６．
４．２７．
４．２８．
４．２９．
４．３０．
４．３１．
４．３２．
４．３３． Ｅ＝ℏＬ（Ｌ＋１）／２μｒ０２。
４．３４．
４．３５．
４．３６．
４．３７． （ａ）Ａ２＝８／３Ｌ＜Ｔ＞＝（２π２／３）ℏ２／ｍＬ２。
（ｂ）Ａ２＝３０／Ｌ５、＜Ｔ＞＝５ℏ２／ｍＬ２。
４．３８． Ａ２＝α（２／π）１／２、＜Ｔ＞＝＜Ｕ＞＝ℏω／４。
４．３９． （ａ）＜（Δｘ） ２＞＝（１−６／（π ２ｎ ２））ｌ ２／１２、 ＜（Δｐ） ２＞＝（πℏ／ｌ） ２ｎ ２。
（ｂ）＜（Δｘ） ２＞＝１／４α ２、 ＜（Δｐ ｘ）２＞＝α２ℏ２。
（ｃ）＜（Δｘ） ２＞＝１／４α ２、 ＜（Δｐ ｘ）２＞＝α２ℏ２。
４．４０． Ａ２＝４／３π、 ＜Ｌｚ２＞＝４ℏ２／３。
４．４１． Ａ２＝１／π、 ＜（Δψ）２＞＝π ２／３−１／２、 ＜（ΔＬｚ）２＞＝ℏ２。
４．４２．
４．４３． ＜Ｌ２＞＝２ℏ２。
４．４４．
４．４５．
４．４６．
４．４７． （ａ）ｃｋ＝∫ψｋ＊ψｄｘ。
４．４８． （ａ）Ａ＝８／３ｌ、 ｗ １＝０．９６。
（ｂ）Ａ２＝３０／ｌ５、ｗ １＝０．９９９、ｗ２＝０，ｗ ３＝０．００１。
４．４９． （ａ）Ｌｚ＝０，＋２ℏ，−２ℏ、ｗ０＝２／３、ｗ＋２＝ｗ−２＝１／６。
（ｂ）Ｌ ｚ＝０，±ℏ、±２ℏ， ｗ０＝３６／７０，ｗ＋１＝ｗ −１＝１６／７０、ｗ ＋２＝ｗ −２＝１／７０。
４．５０． （ａ）ｎが奇数の時、ｗｋ＝（４πｌｎ２／（π ２ｎ２−ｋ ２ｌ２）２）ｃｏｓ２（ｋｌ／２）、ｎが偶数の時、ｗｋ＝（４πｌｎ２／（π２ｎ２−ｋ２ｌ２）２）ｓｉｎ ２（ｋｌ／２）。
（ｂ）Ａ２＝α（２／π）１／２、ｗｋ＝（１／α（２π）１／２）ｅｘｐ（−ｋ２／２α ２）。
４．５１．
４．５２． Ψ（ｘ、０）＝（８／π ３）（３０／ｌ） １／２ Σ（１／ｎ ３ ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｅｘｐ（−ｉωｎｔ）、ここで、ωｎ＝Ｅｎ／ℏ＝（π２ℏ／２ｍｌ２）、ｎ＝１，３，５，、。
４．５３． Ψ（φ、ｔ）＝（１／２）Ａ（１＋ｃｏｓ２φ・ｅｉ２ℏｔ／ｌ）。
４．５４．
４．５５．
４．５６．
４．５７．
- 88 -

４．５８．
４．５９．
４．６０．
４．６１． （ａ）全ての量。 （ｂ）Ｅ，ｐｘ、ｐｙ、Ｌｚ。 （ｃ）
Ｅ，Ｌｘ，Ｌｙ，Ｌｚ，Ｌ２。 （ｄ）ｐｘ、ｐｙ、Ｌ ｚ。
４．６２．
４．６３． Ｔ ｒ＝−（ℏ２／２ｍ）（∂ ２／∂ｒ ２＋（２／ｒ）∂／∂
ｒ））。
４．６４． （ａ）（Ｔ ｒ ＋ℏ ２ ｌ（ｌ＋１）／（２μｒ ２ ）＋Ｕ）Ｒ＝ＥＲ。
（ｂ）ψ＝Ｒ（ｒ）Θ（φ）ｅｉｍφ。
４．６５． （ａ）（３／４π）１／２。 （ｂ）（１５／８π）１／２。
４．６６． （ａ）Ｅ ｎｓ＝（π ２ℏ２／２ｍｒ ０２）ｎ ２、 ψ（ｒ）＝（２πｒ ０） −１／２（ｓｉｎｋｒ）／ｒ、 （ｂ）ｗ＝１／２。図１０参照。
４．６７． ＜ｒ＞＝ｒ０／２、 ＜ｒ２＞＝（１／３ｒ０２）（１−３／２π ２ｎ２）、＜（ｒ−＜ｒ＞）
２＞＝（ｒ０２／１２）（１−６／π２ｎ２）。
４．６８． （ａ）Ｒ１（ｒ）＝（Ａ／ｒ２）（ｋｒｃｏｓｋｒ−ｓｉｎｋｒ）。
（ｂ）Ｅ１ｐ＝１０ℏ２／ｍｒ ０２＝２Ｅ １ｓ。
４．６９． （ａ）ｒ＜ｒ０で、χ １＝Ａｓｉｎ（ｋｒ＋α）、 ｋ＝（２ｍＥ）１／２／ℏ、
ｒ＞ｒ０で、χ２＝Ｂｅκｒ＋Ｃｅ−κｒ、 κ＝（２ｍ（Ｕ−Ｅ））１／２／ℏ。
（ｂ）π２ℏ２／８ｍ＜ｒ０２Ｕ ０＜９π２ℏ２／８ｍ。
（ｃ）ｒ確率＝３／４ｒ０、 ３４％。
４．７０． ∂２Ｒ／∂ρ ２＋（２／ρ）∂Ｒ／∂ρ＋（ε＋２Ｚ／ρ−ｌ（ｌ １）／ρ２）Ｒ＝０，
ρ＝ｒ／ｒ１， ε＝Ｅ／Ｅ１。
４．７１． （ａ）シュレジンガー方程式 χ−κ２χ＝０、ここで、κ＝（２ｍＥ） １／２／ℏ。Ｒ−κｒ。
∽（１／ｒ）ｅ（ｂ）シュレジンガー方程式 χ−（ｌ（ｌ＋１）／ｒ２）χ＝０、Ｒ（ｒ）∽ｒｌ。
２
４．７２． （ａ）ａ＝α＝−ｍｅ ／２ℏ、Ｅ＝−ｍｅ４／８ℏ２。
（ｂ）Ａ＝（８πｒ１３）−１／２。ここでｒ１は第１ボーア半径。
（ｂ）２３．８％。
４．７３． （ａ）ｒ確率＝ｒ １、３２．３％。
４．７４． （ａ）＜ｒ＞＝３／２ｒ１、＜ｒ ２＞＝ｅｒ１２、＜（Δｒ）２＞＝３／４ｒ１２。
（ｂ）＜Ｆ＞＝２ｅ２／ｒ１２、 ＜Ｕ＞＝−ｅ２／ｒ１。
（ｃ）＜Ｔ＞＝ｍｅ４／２ℏ２、 ｖ平均２乗＝２．２×１０ ６ｍ／ｓ。
４．７５． （ａ）４ｒ １ ，９ｒ １ 。 （ｂ）５ｒ １ ２ 、１５．７５ｒ １ ２ 。
４．７６． φ０＝−ｅ／ｒ１。
４．７７． φ（ｒ）＝（ｅ／ｒ１＋ｅ／ｒ）ｅｘｐ（−２ｒ／ｒ１）。
５．１． ５．２４Ｖ、２．１Ｖ。
５．２． ０．４１，０．０４，０．００。
５．３． ５．４ｅＶ。
５．４． （ａ）６， （ｂ）１２。
５．５． ０．２７、０．０５，０．１７８μｍ。
５．６． ａ＝１．７４、 ｎ＝２。
５．７． ７．２ＭｅＶ、 １．６２ｅＶ。
５．８． ５５５ｃｍ−１。
５．９． ３ｓ１／２， ３ｐ１／２，３／２， ３ｄ３／２，５／２，ｎ成分。
５．１０． （ａ）ΔＴ＝α２Ｒ Ｚ ４（ｎ−１）／ｎ ４＝５．８５ｃｍ −１、 ２．３１ｃｍ −１、 １．
１０ｃｍ−１。
（ｂ）１．７３ｃｍ−１、 ０．５８ｃｍ−１。
５．１１． Δλ＝α２／９Ｒ ＝０．５４ｐｍ。
５．１２． Ｚ＝３，つまりＬｉ＋＋。
５．１３． （ａ）図１１参照。ν５１＝ν５−ν１＝７．５８ｃｍ−１、Δλ５１＝２０．４ｐｍ。
（ｂ）Δν＝２．４６ｃｍ −１、 Δλ＝５４ｐｍ。
５．１４． λ／Δλν／（ν３−ν２）＝４．２×１０５。図１１参照。
５．１５． ℏの単位で、（３５） １／２／２，（１５） １／２／２，３ １／２／２（４Ｐ）。２・５ １／２、２
１／２
１／２
１／２
・３
、６
、２
、０（５Ｄ）。
５．１６． （ａ） １Ｐ１，３Ｐ０，１，２。
（ｂ）１Ｐ１，１Ｄ２，１Ｆ ３， ３Ｐ０，１，２， ３Ｄ１，２，３、３Ｆ ２，３，４。
（ｃ）２Ｐ１／２，３／２、２Ｄ３／２，５／２、２Ｆ ５／２，７／２、４Ｐ１／２，３／２，５／１，４Ｄ１／２，３／２，５／２，７／２、４Ｆ３／２，５／２，
７／２，９／２。
５．１７． ２０（５つの１重項＋１５の３重項）。
５．１８． １Ｓ ０， １Ｐ１，１Ｄ２，３Ｓ１， ３Ｐ０，１，２，３Ｄ １，２，３。
５．１９． （ａ）２，４，６，８。 （ｂ）各々、２と１、３と２、４と１、３と５。
。
５．２０． （３０）１／２ℏ
５．２１． 各々、ｐＳ＞ℏ２１／２、ｐＳ＝ℏ２ １／２。
- 89 -

５．２２． （ａ）２５．２°。 （ｂ）３４．４°。
５．２３． １０。
５．２４． ℏ（３０）１／２。５Ｈ３。
５．２５． １２５°１５ 。
５．２６． （ａ）（２Ｓ＋１）（２Ｌ＋１）。
（ｂ）２（２ｌ１＋１）・２（２ｌ２＋１）＝６０。
（ｃ）１２０。
５．２７． （ａ）１５。 （ｂ）３６。
５．２８． （ａ）２（２ｌ＋１）。 （ｂ）２ｎ２。
５．２９． （ａ）Ｃ：１ｓ ２２ｓ ２２ｐ ２（ ３Ｐ ０）。Ｎ：１
ｓ２２ｓ ２２ｐ ３（ ４Ｓ ３／２）。
（ｂ）Ｓ：１ｓ ２２ｓ ２２ｐ ６３ｓ ２３ｐ ４（ ３Ｐ ２）。 Ｃｌ：１ｓ２２ｓ２２ｐ６３ｓ２３ｐ ５（２Ｐ３／１）。
５．３０． （ａ） ３Ｆ２。 （ｂ）４Ｆ３／２。
５．３１． ６Ｓ ５／２。
５．３２． ５Ｄ ４、２Ｊ＋１＝９。
５．３３． 表２、表３参照。（ａ） １Ｓ， １Ｄ， ３Ｐ。 （ｂ） ２Ｄ， ２Ｐ、 ４Ｓ。 （ｃ） １Ｓ， １Ｄ，
１
Ｇ，３Ｐ、３Ｆ。
５．３４． （ａ） ２Ｐ。 （ｂ） １Ｓ， １Ｄ， ３Ｐ。 （ｃ）２Ｄ。
５．３５． 表４参照。 （ａ） ２Ｄ， ２Ｐ， ２Ｓ， ４Ｐ。 （ｂ） ２Ｓ， ２Ｐ、 ２Ｄ， ２Ｆ， ４Ｓ， ４Ｐ， ４
Ｄ。

５．３６． ２．４×１０−３。
５．３７． ３×１０−１７。
５．３８．
５．３９． τ＝１．２μｓ。５．５×１０−１０ｅＶ。
５．４０． Ｎ＝７×１０９。
５．４１． τ＝０．０７μｓ。
５．４２． （ａ）ｕｗ＝Ａ２１／（（ｇ１／ｇ２）Ｂ１２ｅ ℏω／ｋＴ−Ｂ２１）（ｂ）ｕｗ＝（Ａ２１／Ｂ １２）（ｇ２／ｇ１）ｅ−ℏω／ｋＴ。
５．４３． （ａ）ｗ誘導／ｗ 自発＝１０−３４。Ｔ→∞の時、ｇ１Ｂ１２＝ｇ２Ｂ ２１。プランクの公式よりＢ ２２２３１＝（π ｃ ／ℏω ）Ａ ２１。
（ｂ）ｕｗ＝（Ａ２１／Ｂ １２）（ｇ２／ｇ１）ｅ−ℏω／ｋＴ、ウイーンの法則。
５．４４．
５．４５． ５：３。
５．４６．
５．４７． Ｎ １（ｔ）＝（ｑＡ ２１／（Ａ １０Ａ ２））（１−（Ａ ２ｅｘｐ（−Ａ １０ｔ）−Ａ １０ｅｘｐ（−
Ａ２ｔ）／（Ａ２−Ａ １０）。
５．４８． Δλ＝２０ｆｍ。
５．４９． （ａ）δω＝γ。 （ｂ）τ＝１．２ｎｓ。
５．５０． （ａ）。 （ｂ）Ｉ＝（１／２）πδωＪ０。
５．５１．
５．５２． δλドップラー／δλ固有＝１０００。
５．５３． Ｔ＝３９Ｋ。
５．５４． α＝２分。
５．５５． ８４５ｐｍ、１８０ｐｍ。１．４７ｋｅＶ、６．９ｋｅＶ。
５．５６． １．２２ｎｍ（Ｎａ）。
５．５７． （ａ）Ｆｅ，Ｃｏ，Ｎｉ，Ｚｎ。
（ｂ）３元素。
５．５８． ０．２５，０．０，−２．０。
５．５９． １５ｋＶ。
５．６０． Ｚ＝２９，Ｃｕ。
５．６１． ５．５ｋｅＶ、７０ｋｅＶ。
５．６２． モリブデンでは全てのシリーズ。 銀ではＫシリーズ以外の全て。
５．６３． （ｂ）Ｔｉ、２．９０ｎｍ。
- 90 -

５．６４．
５．６５．
５．６６．
５．６７．
５．６８．
５．６９．
５．７０．
５．７１．
５．７２．
５．７３．
５．７４．

（ａ）５．４７ｋｅＶ、０．５２ｋｅＶ。 （ｂ）０．２５ｎｍ。
ＥＬ＝０．５ｋｅＶ。
ａＫ＝２．８４、ａＬ＝１０。
１．５４ｋｅＶ。
０．２６ｋｅＶ。
（ａ）Ｔフォト＝４．７ｋｅＶ、Ｔ オージェ＝１０．４ｋｅＶ。 （ｂ）５０ｎｍ。
（ａ） ２Ｐ３／２。 （ｂ）２Ｓ１／２，２Ｐ３／２。２Ｓ１／２，２Ｐ３／２，１／２， ２Ｄ５／２，３／２。
Ｋ→Ｌ，Ｋ→Ｍでは２本。 Ｌ→Ｍでは７本。
（ａ）２１．５ｐｍ（Ｋα１）、２０．９ｐｍ（Ｋα２）。 （ｂ）０．４９ｐｍ。
１１５．５ｋｅＶ、２１．９ｋｅＶ、２１．０ｋｅＶ、１７．２ｋｅＶ。

６．１． 図１２参照。
６．２． （ａ）Ｓ：２。 Ｐ：２／３，４／３。 Ｄ：４／５，６／５。
（ｂ）３Ｐ０：０／０。 ３Ｐ１と３Ｐ２：３／２。
（ｃ）ｇ＝２。 （ｄ）ｇ＝１。
６．３． （ａ）２Ｆ５／２。 （ｂ）３Ｄ３。
６．４． （ａ）２（３）１／２μＢ。 （ｂ）２（３／５） １／２μ Ｂ。
６．５． Ｓ＝３。多重度＝７。
６．６． （４／３ １／２）μＢ、（１３／１５１／２）μＢ、４（７／５）１／２μＢ。
６．７． ３ １／２μＢ。
６．８．
６．９． ℏ２１／２、ℏ６１／２。
６．１０． （ａ）基底状態 ２Ｐ３／２，ｇ＝４／３、μ＝（３／５）μＢ。
（ｂ）基底状態４Ｆ３／２，ｇ＝２／５、μ＝（３／５）μ Ｂ。
６．１１．
６．１２． （ａ）０．８８×１０１０ラジアン／ｓ、１．１７×１０１０ラジアン／ｓ、０ラジアン／ｓ。
（ｂ）１．３２×１０１０ラジアン／ｓ（３Ｐ ２）。
６．１３． ２・５ １／２、５（５／４）１／２μＢ。
６．１４．
６．１５． Ｆ＝４．１×１０−２７Ｎ。
６．１６． ７ｋＧ／ｃｍ。
６．１７． ０．６μＢ、５μＢ、６μＢ。
（ｂ）５成分、分離しない。
６．１８． δ＝５ｍｍ。
６．１９． （ａ）Δν ＝０．５６／ｃｍ。 （ｂ）１Ｆ３。
６．２０． 両方において３成分。
６．２１． Δλ＝３５ｐｍ。
６．２２． ΔＥ＝５×１０ −５ｅＶ。
６．２３． （ａ）２ｋＧ。 （ｂ）４ｋＧ。
６．２４． （ａ）Ｐ３／２：Ｂ＝２８ｋＧ、 Ｐ１／２：Ｂ＝５５ｋＧ。
（ｂ）Ｐ ３／２ ：Ｂ＝０．５９ｋＧ、 Ｐ １／２ ：Ｂ＝１．１８ｋＧ。
（ｃ）Ｐ３／２：９．４ｋＧ、Ｐ１／２：１９ｋＧ。
６．２５．
６．２６． （ａ）正常、異常、正常、正常。
（ｂ）奇数電子を持つ原子では異常。他の原子では正常。
６．２７． 図１４参照。
（ｂ）０．７８／ｃｍ。
６．２８． λ／δλ＝２．７×１０５。
６．２９． （ａ）Δω＝±（４，８，１２，１６，２４）／１５。
（ｂ）Δω＝±（１，３，１５，１７，１９，２１）／１５。
６．３０． （ａ）Δω＝±（０，１，２）／６。 （ｂ）Δω＝±（１，２）／３。
６．３１．
６．３２． Ｂ＝３６Ｋｇ。
６．３４．
６．３５． Ｂ＝２．５Ｋｇ。
６．３６． μ＝５．６μＢ（Ｊ＝４）。
６．３７． ３．４×１０−６μＢ、７．７×１０−５μＢ。
６．３８．
６．３９． Ｆ＝７×１０−３６Ｎ。
６．４０．
６．４１． χ＝−２．３７×１０−６ｃｍ３／モル。
６．４２． ５８ｐｍ、５２ｐｍ、１０４ｐｍ。
- 91 -

６．４３． Ｂ０＝−ｅＢＶ０／３ｃ２。
６．４４． （ａ）（ｂ）μ２Ｂ／３ｋＴ、 μ。
３
６．４５． ０．４５ｃｍ ・Ｋ／モル、 １．９μＢ。
６．４６． １．６×１０−７。
６．４７． （ａ）η＝ｔｈ（ｍｇμＢ／ｋＴ）、η＝ａ＝０．００５６。
（ｂ）η＝ｃｔｈｂ−ｃｓｔｈｂ、ここで、ｂ＝ｇ（Ｈ（Ｊ＋１）） １／２μ ＢＢ／ｋＴ、η＝ｂ／２＝０．００４９。
６．４８． Ｉ＝ＮμＢｔａｎ（μ ＢＢ／ｋＴ）、 ａ≪１のとき、Ｉ＝Ｎμ Ｂ２Ｂ／ｋＴ。
６．４９． （ａ）η＝０．００３７。 （ｂ）η＝０．００６０。
６．５０．
６．５１． （ａ）０．３７５ｃｍ３・Ｋ／モル。 （ｂ）０．１８×１０−７Ｊ／Ｇ。
６．５２． ６．６×１０−５ｃｍ３／ｇ。
７．１． （ａ）１５ｍｅＶ、０．４２ＭｅＶ。 （ｂ）３．３×１０１３ラジアン／ｓ、６．４×１
０１１ラジアン／ｓ。
７．２． ２，３。
７．３． Ｍ＝３．４６ℏ 。
７．４． １１７Ｋ、３．８Ｋ。
７．５． Ｎ １／Ｎ２＝１．９。
７．６． Ｊ ｍ＝８。図１５参照。
７．７． ５．７Ｎ／ｃｍ、１９Ｎ／ｃｍ。
７．８． Ｕ ０＝４．７５ｅＶ、ａ＝１．４３。
７．９． ΔＥ＝０．５１４ｅＶ、３３．７倍。
７．１０． ５３４Ｋ。
７．１１． ΔＥ＝０．３７ｅＶ。
７．１２． １３準位。
７．１３． ｖ 最大＝１／２ｘ、Ｅ 最大＝ℏω／４ｘ、Ｄ＝ℏω（１−２ｘ）／４ｘ。ｖ 最大＝１７。Ｅ最大＝４．８ｅＶ、Ｄ＝４．５ｅＶ。
７．１４． ｘ＝０．００７。
７．１５． ＤＤ−ＤＨ＝０．０８０ｅＶ。
７．１６． Ｎ２／Ｎ１＝０．０２。１５４５Ｋ。
７．１７． Ｎ２／Ｎ１＝０．０１。
７．１８．
７．１９． （ａ）７４０Ｋ。 （ｂ）６３０Ｋ。
７．２０． Ｃ＝Ｒ（ℏω／ｋＴ）２ｅℏω／ｋＴ／（ｅ ℏω／ｋＴ−１）２。 Ｒ（ℏω／ｋＴ）２ｅ −ℏω／ｋＴ。
Ｒ。
７．２１． ０．１３４Ｒ，０．５６Ｒ，０．７７Ｒ。Ｒは気体定数。
７．２２． １．９３×１０ −４０ｇ／ｃｍ３。１１２ｐｍ。
７．２３． （ａ）Ｂ ＝１１／ｃｍ。２．６×１０−４０ｇ／ｃｍ２。
（ｂ）４→３、３→２。
７．２４． １．０ℏ倍減少する。
７．２５． １３本。
７．２６． ω＝５．０×１０１３／ｓ。ｘ＝０．０１７。
７．２７．
７．２８． Ｂ ＝２１／ｃｍ、Ｉ＝１．３３×１０−４０ｇ・ｃｍ２。
７．２９． Δλ／λ＝１．５×１０−３。
７．３０． Δν振動＝２８／ｃｍ。Δν 回転＝０．１０／ｃｍ。２８０。
７．３１． ω＝１．３７×１０１４／ｓ。５．０Ｎ／ｃｍ。
７．３２． ω＝７．８×１０１４／ｓ。
７．３３． Ｉ紫／Ｉ赤＝０．０７。３．８倍大きい。
７．３４．
７．３５．
７．３６．

（ａ）
（ｂ）１．９×１０−３９ｇ・ｃｍ２。０．１２ｎｍ。
Ｂ ＝２．０／ｃｍ。 １．４×１０−３９ｇ・ｃｍ ２。

８．１． ４２９ｐｍ、３６２ｐｍ。
８．２． ２．１７ｇ／ｃｍ ３、１．６５ｇ／ｃｍ３。
８．３．
８．４． （ａ）ａ，ａ／２ １／２，ａ／３１／２。
（ｂ）ａ／２，ａ／３１／２，ａ／（２・３１／２）。
（ｃ）ａ／２，ａ／（２・２１／２）、ａ／３１／２。
８．５． １．０ｎｍ、０．８ｎｍ。
８．６． 単純：１：２１／２：３１／２。 体心：１：２１／２：３１／２／２。
／２。
- 92 -

面心：１：２ １／２／２：３ １

８．７． 体心立方格子。
８．８． 回折最大は２つの双曲線の交点で見られる。
８．９． ａ（ｃｏｓα−１）＝ｋ１λ、ｂｃｏｓβ＝ｋ２λ、ｃ・ｃｏｓγ＝ｋ３λ。λ＝−２（ｋ １／ａ）／（（ｋ１／ａ）２＋（ｋ２／ｂ）２−（ｋ３／ｃ） ２）。
８．１０．
８．１１．
８．１２． ０．５８ｎｍ。
８．１３． １１９ｐｍ。５８°。
８．１４． （ａ）３７ｍｍ、４０ｍｍ。
（ｂ）（０３１）：５６．３／ｎ ｐｍ、 （２２１）：６２．６／ｎ ｐｍ。 ｎ＝１，２，、
８．１５． λ＝０．１７ｎｍ。
８．１６． 面心立方格子、ａ＝０．４１ｎｍ。
８．１７．
（１００）
（１１０）
（１１１）
体心立方
奇数
奇数
面心立方
奇数
奇数
８．１８． 面心立方：（１１１）、（１００）、（１１０）、（３１１）、（１１１）
体心立方：（１１０）、（１００）、（２１１）、（１１０）、（３１０）８．１９． （ａ）３８°、４５°、６３°、７８°、８２°。
（ｂ）４２°、６１°、７７°、９９°、１０７°。
８．２０． （１１１）、２３３ｐｍ。（３１１）、１２２ｐｍ。（５１１）、７８ｐｍ。（３３３）、２
３３ｐｍ。
８．２１． ａ＝０．４１ｐｍ。
８．２２． 体心立方。
８．２３． Ｕ＝（２・ｌｎ２）ｅ２／ａ。
８．２４． （ａ）Ｕ＝Ｎα（ｑ ２／ｒ ０）（１−１／ｎ）。ここで、Ｎは結晶中のイオンの組数、ｒ ０
はイオン間距離、α＝２・ｌｎ２。
（ｂ）８．８５、１１．４。
８．２５． （ａ）ｐ＝０．２９ＧＰａ＝３０００気圧。
（ｂ）１．４Ｊ／ｃｍ３。
８．２６． （ａ）ｎ＝９．１。 （ｂ）０．７７ＭＪ／モル。
８．２７． ｎ＝１１．９。Ｕ＝０．６３ＭＪ／モル。
８．２８． ４．１ＧＰａ。
８．２９． （ａ）Ｕ＝Ｎ（αｅ２／ｒ０）（１−ρ／ｒ０）、ρ＝３１．５ｐｍ。
（ｂ）Ｋ＝（９／４）ρａ ４／αｅ２（ａ−４ρ）。
８．３０． ３Ｎｋ、３Ｎｋ（ℏω／ｋＴ）２ｅ −ℏω／ｋＴ。
８．３１． （ａ）
（ｂ）ω最大＝２（κ／ｍ）１／２。λ 最小＝２ａ。 （ｃ）ｖ長／ｖ短＝π／２。
（ｄ）ｄＺ ω＝（２Ｎ／π（ω最大２−ω ２）１／２）ｄω。
８．３２． （ａ）ｄＺω＝（Ｌ／πｖ）ｄω。 （ｂ）Θ＝πℏＮｖ／ｋＬ。 （ｃ）
８．３３． （ａ）Θ＝（ℏ／ｋ）（４πｖ２ｎ０）１／２。
（ｂ）Ｅ＝２ ωｍ∫ ０＜ε＞ｄＺω＝４ＲΘ（１／６＋（Ｔ ３／Θ ３） Θ／Ｔ∫ ０（ｘ ２／（ｅｘ−１））ｄｘ。 Ｃ＝２Ｒ、２８．９ＲＴ２／Θ２。
８．３４． （ａ）Θ＝（ℏ／ｋ）（６π２ｖ ３ｎ ０）１／２。
（ｂ）Ｅ＝９ＲΘ（１／８＋（Ｔ ４ ／Θ ４ ） Θ／Ｔ∫ ０（ｘ ３ ／（ｅ ｘ −１））ｄｘ。 Ｃ＝３Ｒ，（１２／５）π２ＲＴ３／Θ ３。
８．３５． （ａ）ｄＺω＝（Ｓ／２π）（１／ｖｌ２＋１／ｖ ｔ２）ωｄω。
Θ＝（ℏ／ｋ）（８πＮ／（Ｓ（ｖｌ−２＋ｖｔ−２）））１／２。
（ｂ）ｄＺ ω＝（Ｓ／２π２）（１／ｖｌ３＋１／ｖｔ３）ω ２ｄω。
Θ＝（ℏ／ｋ）（１８πＮ／（Ｖ（ｖ ｌ−３＋２ｖｔ−３）））１／２。
８．３６． ４７０Ｋ。
８．３７． （ａ）１．８。 （ｂ）４．２３ｋＪ／モル。
８．３８． ２０．７Ｊ／（Ｋ・モル）、２３．８Ｊ／（Ｋ・モル）。５％少ない。
８．３９． Θ＝２１０Ｋ。 Ｅ０＝１．９ｋＪ／モル。
８．４０． （ａ）Θ＝２２０Ｋ。 （ｂ）Ｃ＝１３Ｊ／（Ｋ・モル）。 （ｃ）ω 最大＝４．１×１
０１３／ｓ。
８．４１． ℏω最大＝５．２×１０−２１Ｊ。 ｐ最大＝１０−１９ｇ／（ｃｍ・ｓ）。
８．４２． （ａ）
（ｂ）Ｔ＝０．６２５Θ。 （ｃ）ｎ∽Ｔ ３。 ｎ∽Ｔ。
８．４３．
８．４４． （ａ）Ｃｉ＝Ｎｋ（ΔＥ／ｋＴ）ｅΔＥ／ｋＴ／（１＋ｅΔＥ／ｋＴ） ２。
（ｂ）０．４２。 （ｃ）０．４４／２．３４×１０−４＝２０００。
９．１．
９．２．
９．３．
９．４．
９．５．

ｎ（Ｔ）ｄＴ＝（Ｖ（２ｍ３）１／２／（π２ℏ３））Ｔ１／２ｄＴ。
Ｔ 最大＝５．５ｅＶ。
（ａ）＜Ｔ＞＝（３／５）Ｔ 最大。 （ｂ）３１．２ｋＪ／ｃｍ３。
η＝０．６５。
Ｔ＝３０Ｋ。
- 93 -

９．６． ΔＥ＝１．８×１０−２２ｅＶ。
９．７． ０．１％だけ。
９．８． （ａ）＜ｖ＞＝（３／４）ｖ 最大。 （ｂ）＜１／ｖ＞＝（３／２）ｖ最大。
９．９． ｖ 確率＝ｖ 最大＝１．６×１０６ｍ／ｓ。 ＜ｖ＞＝１．２×１０ ６ｍ／ｓ。
９．１０．
９．１１． ｎ（λ）ｄλ＝８πλ−４ｄλ。
９．１２． （ａ）０．００７６。 （ｂ）Ｔ＝１．７Ｋ。
９．１３． ｐ＝５ＧＰａ。
９．１４． （ａ）
（ｂ）ｎ（ｖｘ）ｄｖ ｘ＝２π（ｍ／２π） ３（ｖ 最大２−ｖｘ２）ｄｖｘ。
９．１５．
９．１６．
９．１７． （ａ）２ｋＴ。 （ｂ）ｊ＝（ｅｍｋ２／２π２ℏ３）Ｔ２ｅ−Ａ／ｋＴ。 （ｃ）４．１ｅＶ。
９．１８．
９．１９． （ａ）
（ｂ）Ｅｆ＝（１／２）Ｅｇ−（ｋＴ／２）・ｌｎ（（２／ｎ ０）（ｍｋＴ／（２πℏ２））３／２）。
９．２０． ２．６×１０−１４ｓ。３．１×１０−６ｃｍ。４６ｃｍ２／（Ｖ・ｓ）。
９．２１． ｎ＝１．０２。
９．２２． ω＝１．１６×１０１６／ｓ。 ε＝１１ｅＶ。
９．２３． λ＝０．２１μｍ。
９．２４． χ＝６×１０−７。
９．２５． α＝−０．０４７／Ｋ。
９．２６． Ｅ＝０．３４ｅＶ。
９．２７． １．２ｅＶ、０．０６ｅＶ。
９．２８． Δσ／σ＝０．１５。
９．２９． τ＝１０ｍｓ。
９．３０． ０．１０ｅＶ。
９．３１． （ａ）１．０×１０１５／ｃｍ３。 ３７００ｃｍ２／（Ｖ・ｓ）。
（ｂ）＜λ＞＝０．２３μｍ。
９．３２． Ｒ＝１．４×１０−１７ｃｇｓ。５×１０１５／ｃｍ３。５００ｃｍ２／（ｖ・ｓ）。
９．３３．
９．３４． ２０００ｃｍ２／（Ｖ・ｓ）。
９．３５． （ａ）１：４、 ４。 （ｂ）０．３２。
１０．１．１．５×１０１４ｇ／ｃｍ３。 ８．７×１０ ３７／ｃｍ ３。 ７×１０ １８Ｃ／ｃｍ３。
１０．２． １．２×１０−１２ｃｍ。
１０．３． ４．５ｆｍ。
１０．４． １ａ．ｅ．ｍ．＝１．０００３２ＭＥ。 １．０００３２倍小さい。
１０．５． 原子数：１．１１％。 質量数：１．２％。
１０．６． １．００７８２５， ２．０１４１０２、 １５．９９４９１５ａ．ｅ．ｍ．。
１０．７． （ａ）８Ｂｅ、 Ｅ結合＝５６．５ＭｅＶ。
（ｂ）５．３３ＭｅＶ、８．６０ＭｅＶ、８．５５ＭｅＶ、７．８７ＭｅＶ。
１０．８． （ａ）６．７６ＭｅＶ、７．３４ＭｅＶ。 （ｂ）１４．４ＭｅＶ。
１０．９． ６．７３ＭｅＶ。
１０．１０． １０．５６ＭｅＶ。
１０．１１． ７．１６ＭｅＶ。
１０．１２． ２２．４４ＭｅＶ。
１０．１３．
１０．１４． ΔＥ 結合＝６．３６ＭｅＶ。 ΔＵ クーロン＝６．３４ＭｅＶ。
１０．１５． ４．１ｆｍ。
１０．１６． （ａ）３４１．８ＭｅＶ、 ９０４．５ＭｅＶ。
（ｂ）８．６５ＭｅＶ、 ７．８１ＭｅＶ。
（ｃ）４４．９５５ＭｅＶ、６９．９３２ＭｅＶ。
１０．１７． Ｚ ｍ＝Ａ／（１．９７＋０．０１４９Ａ ２／３）。 ４４．９、５４．１， ５９．５。
１０．１８． ２， ２， １， ２， ４。
１０．１９． ７／２。
１０．２０． ４。
１０．２１． （ａ）Ｎ＝２Ｉ＋１。 （ｂ）Ｎｉ＝２Ｊｉ＋１
１０．２２． Ｉ＝３／２。
１０．２３．
１０．２４． ６成分。
１０．２５． １６。
１０．２６． ２、 ５／２。
１０．２７． ω＝ｇｓｅＢ／２ｍｃ。ここで、ｇｓはジャイロ磁気因数。
１０．２８． ｇｓ＝２πν０／μ核Ｂ＝０．３４。 μ＝ｇｓＩμ核＝０．８５μ核。
１０．２９． μＬｉ＝３．２６μ核、 μＦ＝２．６２μ核。
- 94 -

１０．３０． Ｔ最大＝２５ｍｅＶ。
１０．３１． １ｓ ４１／２１ｐ ３３／２、 １ｓ ４１／２１ｐ ８３／２１ｐ １１／２、 １ｓ ４１８４
９／２１ｐ ３／２１ｐ １／２１ｄ ５／２。
１０．３２． （ａ）１／２ −。 図１０．１参照。
１０．３３． （ａ）１／２ ＋ （ｂ）１／２ ＋ （ｃ）１／２−。 図１０．
１参照。
１０．３４． ５／２ ＋ 、 １／２ ＋ 、 ３／２ ＋ 、 ７／２ − 、 ３／２ − 。
１０．３５．
１０．３６． 表参照。

１０．３７．
１０．３８．
１０．３９．

ｊ＝７／２。
（ａ）２．７９μ核、
２ｓ １／２。

−１．９１μ核。

（ｂ）−９．１μ核、０．１２６μ核。

１１．１． １−ｅｘｐ（−λｔ）。
１１．２．
１１．３． （ａ）０．７８、０．０８４。 （ｂ）６．８×１０ −５、０．３１．
１１．４． ９×１０−７。
１１．５． ０．８０×１０ −８／ｓ、４．０年、２．８年。
１１．６． ４１００年。
１１．７． １．５×１０１１ベクレル。
１１．８． ２×１０１５個数。
１１．９． ２．２×１０９ベクレル／年。
１１．１０． ０．０５ｍｇ。
１１．１１． Ｖ＝６リットル。
１１．１２． Ｔ１＝１０，Ｔ２＝１．０。２：１。
１１．１３． （ａ）Ｎ２＝Ｎ１０・λ１（ｅｘｐ（−λ１ｔ）−ｅｘｐ（−λ２ｔ））／（λ２−λ１）。
（ｂ）ｔ最大＝（ｌｎ（λ１／λ２））／（λ１−λ２）。
（ｃ）ｅｘｐ（−λ２ｔ）≪ｅｘｐ（−λ１ｔ）。
１１．１４． ５．５×１０ ９年。
１１．１５． Ａ２／Ａ１０＝０．７。
１１．１６． （ａ）０．７。 （ｂ）１．８倍。
１１．１７． Ｎ ３＝Ｎ １０λ １λ ２（ｅｘｐ（−λ １ｔ）／（（λ１−λ ２）（λ １−λ ３））＋ｅｘｐ（−λ２ｔ）／（（λ２−λ １）（λ２−λ３））＋ｅｘｐ（−λ３ｔ）／（（λ３−λ１）（λ３−λ２）））。
１１．１８． 約０．３ｋｇ。
１１．１９．（ａ）各々３．７×１０ ５ベクレル。 （ｂ）１．９×１０６ベクレル。
１１．２０． （ａ）４．１×１０１３。 （ｂ）２．０×１０１３。
１１．２１． （ａ）４０昼夜。 （ｂ）Ｍ＝１．０μｇ。
１１．２２．Ｎ１＝（ｑ／λ１）（１−ｅｘｐ（−λ１ｔ）。
Ｎ ２＝（ｑ／λ ２）（１＋（λ ２ ／（λ １ −λ ２））ｅｘｐ（−λ １ ｔ）＋（λ １ ／（λ ２ −λ １））ｅｘｐ（−λ２ｔ））。
Ｎ ３＝（ｔ＋（λ ２（１−ｅｘｐ（−λ １ｔ））／（λ １（λ １−λ ２ ））＋（λ １（１−ｅｘｐ（−λ ２ｔ））／（λ２（λ２−λ１））。
１１．２３． Ａ＝１．４×１０１０ベクレル（Ｂｑ）。
１１．２４． （ａ）１．６％。 （ｂ）４×１０１３。
１１．２５． Ｑ＝８．５ＭｅＶ
１１．２６． （ａ）Ｑ＝１６ＭＪ。 （ｂ）０．８ｍＣｉ。
１１．２７． ５．４０ＭｅＶ、 ０．８２ＭｅＶ。
１１．２８． ０ＭｅＶ、０．１１ＭｅＶ、０．２４ＭｅＶ、０．３１ＭｅＶ。
１１．２９． ０ＭｅＶ、０．７２６ＭｅＶ、１．６７３ＭｅＶ、１．７９７ＭｅＶ。
１１．３０． ２９ＭｅＶ、 ３．６×１０−１２ｃｍ。
１１．３１． Ｕ遠心／Ｕクーロン＝０．０１６。
１１．３２． （ａ）（ｂ）３．４：１。
１１．３３． λα＝２・１０７／ｓ。
１１．３４． Γγ＝０．９・１０ −４ｅＶ。
１１．３５． ０．７８ＭｅＶ。
１１．３６．
- 95 -

１１．３７．
１１．３８．
１１．３９．
１１．４０．
１１．４１．
１１．４２．
１１．４３．
１１．４４．
１１．４５．
１１．４６．
１１．４７．
１１．４８．
１１．４９．
１１．５０．
１１．５１．
１１．５２．
１１．５３．
１１．５４．
１１．５５．
１１．５６．
１１．５７．
１１．５８．
１１．５９．
１１．６０．
１１．６１．
１１．６２．
１１．６３．
１１．６４．
１１．６５．
１１．６６．
１１．６７．
１１．６８．
１１．６９．
１１．７０．
１１．７１．
１１．７２．
１１．７３．
１１．７４．
１１．７５．
１１．７６．
１１．７７．
１１．７８．
１１．７９．
１１．８０．
１１．８１．
１１．８２．
１１．８３．
１１．８４．

（ａ）６．０１８９ａ．ｅ．ｍ．。 （ｂ）２１．９９４４４４ａ．ｅ．ｍ．。
（ａ）否。 （ｂ）是。 （ｃ）是。
１．７１ＭｅＶ。Ｔ＝７８．５ｅＶ。
ｐ＝０．８４ＭｅＶ／ｓ。
（ａ）０．９７ＭｅＶ、９４ｅＶ。 （ｂ）０．３２ＭｅＶ、０．６５ＭｅＶ。
θ＝１１０°
１．７８ｍｅＶ。
０．７８。
０，０．８４ＭｅＶ、２．６５ＭｅＶ、２．９８ＭｅＶ。
Ｔ＝９．５ｅＶ。ｖ＝７．０ｋｍ／ｓ。
０．３２ＭｅＶ。
Ｔ＝６．６ｅＶ。５６ｅＶ。
０．４１ｋｍ／ｓ、１．２５ｋｍ／ｓ。
２５ｋｅＶ。
２７９ｋｅＶ。
１４５ｋｅＶ。
５６６ｋｅＶ、１６１ｋｅＶ。
１．２・１０ ５／ｓ。
ΔＥ＝３．６×１０−７。
可能性は極めてない。
ｖ相対＝０．２２ｋｍ／ｓ
Γ＝０．０１ＭｅＶ。τ＝０．０６ｎｓ。
ｖ＝６．５・１０−５ｃｍ／ｓ。
ｌＦｅ≧２．８ｋｍ。 ｌ Ｚｎ≧３．６ｍ。
（ａ）（ｂ）δＴ＝０．９Ｋ。
μ ＝−０．１５μ核。 Ｂ＝３．３×１０５Ｇ。
Δｐ＝０．０８。
２５０。 ８０。
ｐ（ε０）＝０．０３５。 ｐ（ε＞ε ０）＝０．６２。
（ａ）３２％。 （ｂ）４．６％。
（ａ）±６パルス／分。 （ｂ）２８分。
５０±５パルス／分。
１／２。
ｔバック＝７分。 ｔ 検査＋バック＝１４分。
Ｎ＝３．３×１０４／分。
０．０１％、９％。
Ｎ＝５７０／ｓ。
τ＝（ｎ１＋ｎ２−ｎ１２）／（２ｎ １ｎ２）。
（ａ）ｎ＝Ｎ／（１＋τＮ）。 （ｂ）ｎ ２＝Ｎ／（１＋（τ１＋τ２）Ｎ）。
Ｎ＝６×１０ ６／ｓ
ｎ＝Ｎｐ＝Ｎｅｘｐ（−Ｎτ）。
τ＝８ｍｓ。
Δｎ＝２τｎ １ｎ２。
Ｎ＝４×１０ ５。
ｔ＝２０ｓ。
ν＝０．０３％。

１２．１． θ最大＝０．５分。
１２．２． Ｔ＝６ｅＶ。
１２．３． ｄＥ／ｄｘ＝（４πｑ２ｅ２ｎ／（ｍｅｖ２））ｄｂ／ｂ。
１２．４． ０．１７ＭｅＶ／ｃｍ。
１２．５． （ａ）１１。 （ｂ）２．４。
１２．６． ｐ≧２７ｋＰａ。
１２．７． （ａ）２．８×１０４。 （ｂ）η＝０．３６。
１２．８． １４ｍｇ／ｃｍ ２。
１２．９． ５．５ＭｅＶ。
１２．１０． ８μｍ。
１２．１１． ７５μｍ。
１２．１２． ２４μｍ。
１２．１３． Ｒｄ＝４．６ｃｍ。
１２．１４． ４２μｍ。
１２．１５． （ａ）ｄσ＝（２πｑ２ｅ２）／（ｍｅｖ２））ｄＴ／Ｔ ２。
（ｂ）Ｎ＝（２πｑ２ｅ ２）／（ｍｅｖ ２））（１／Ｔ限界−１／Ｔ最大）。
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１２．１６． （ａ）Ｔ 最小 ＝２０ＭｅＶ。 （ｂ）Ｔ α ＝６４ＭｅＶ。 Ｎ 最大＝５．１。（ｃ）ｑ＝ｅ。
１２．１７． ２．０ＭｅＶ／ｃｍ。 １９倍．
１２．１８． １１４．６２ＭｅＶ。９．８ＭｅＶ。
１２．１９． ２０ＭｅＶ。
１２．２０． １０ＭｅＶ／ｃｍ。
１２．２１． ｌ 放射 ＝４．３１×１０ ２６ ／ｎＺ・ｌｎ（１８３／Ｚ １／３）。３６０ｍ、９．８ｃｍ、０．５２ｃｍ。
１２．２２． １４ｍｍ。
１２．２３． Ｔ０＝０．１１ＧｅＶ。
１２．２４． ｗ＝０．００６．
１２．２５． ０．３６ＭｅＶ。
１２．２６． ２．８ｍｍ。
１２．２７． ０．８ｍ。
１２．２８． ０．３ｇ／ｃｍ２。
１２．２９． ０．２。
１２．３０． １．６ＭｅＶ。
１２．３１． ５０ｃｍ、０．０２４ｃｍ、０．００５７ｃｍ。
１２．３２．
１２．３３． ０．１４ｍｅＶ、０．２６ＭｅＶ。ニューオン。
１２．３４． Ｔ＝０．２３ＭｅＶ。
１２．３５． ０．２ＭｅＶ。
１２．３６． ３．２ｃｍ。
１２．３７． １．７ｍｍ。６倍。
１２．３８． ０．０６５ｃｍ。４４００ｃｍ。
１２．３９． ｄ／ｄ１／２＝１０。
１２．４０． 図１７参照。ここで、λ ＫはＫバンド吸収帯限界。

１２．４１． （ａ）鉄。 （ｂ）コバルト。
１２．４２． 約１０μｍ。
１２．４３． （ａ）σ＝（８／３）πｒｅ２。 （ｂ）０．３。 （ｃ）ηｅ＝１／２。
１２．４４． １．８×１０ −４／ｃｍ、 ２．９×１０−４／ｃｍ。
１２．４５． １．１７×１０−２２ｃｍ２／原子。
１２．４６． （ａ）７０ｃｍ２／ｇ。 （ｂ）８．７：１。
１２．４７． ０．０９５ｃｍ２／ｇ。
１２．４８． Ｊ＝６０００／（ｃｍ２・ｓ）。
１２．４９． １：４．７。
１２．５０． Ｊ＝０．７。
１２．５１． ２．７５×１０−２４ｃｍ２／原子。
１２．５２． １．２×１０ −２２ｃｍ２／原子。
１２．５３． １．２×１０ ４ｃｍ、１４ｃｍ、６ｃｍ。
１２．５４． ｌ＝６．５ｃｍ。
１２．５５． ｌ 全＝１．９ｃｍ、ｌコンプトン＝１．５ｃｍ、ｌ光電＝１．５ｃｍ、ｌ対＝１．８ｃｍ。
１／ｌ全＝１／ｌ コンプトン＋１／ｌ光電＋１／ｌ対。
１２．５６． ｗ光電＝０．０１３。
１２．５７． １．５７ＭｅＶ：０．０３９ｃｍ２／ｇ。 １０．２５ＭｅＶ：０．０１２ｃｍ２／ｇ。
１２．５８． （ａ）σＴ（１−２ε）、 σＴ（３／８ε）（ｌｎ２ε＋１／２）。
（ｂ）０．０８４／ｃｍ．（ｃ）０．０６３ｃｍ２／ｇ。
１２．５９． ｗ対＝０．２８。
１２．６０． ３．５ｍｍ。
１２．６１． ｗ対／ｗ光電＋コンプトン＝０．３７。
- 97 -

１２．６２． ℏω 閾値＝２ｍｃ ２（１＋ｍ／Ｍ）。
１２．６３．
１２．６４． Ｔ＝０．６ｅＶ。
１２．６５． ℏω＝２．１ＭｅＶ。
１２．６６． Ｐ＝ＩＲＴ／Ｍｐ＝２２μＣ／（ｋｇ・ｓ）。
１２．６７． （ａ）Ｐ＝ＥＪτ／ρ、 空気：９８ｎＧｙ（ナノ・グレイ）／ｓ。 水：１０８ｎ
Ｇｙ／ｓ。
１２．６８． （ａ）Ｄ＝０．３３ｍＣ／ｋｇ。 （ｂ）ｔ＝２．４時間。
１２．６９． Ｐ＝０．４０ｎＣ／（ｋｇ・ｓ）。
１２．７０． ２．５ｍ。
１２．７１． （ａ）１３１ｐＣ／（ｋｇ・ｓ）。 （ｂ）９．５ｐＣ／（ｋｇ・ｓ）。 （ｃ）５０ｐＣ／（ｋｇ・ｓ）。
１２．７２． Ｐ＝１．３ｎＣ／（ｋｇ・ｓ）。
１２．７３． Ｐ＝４６Ｃ／（ｋｇ・ｓ）。
１２．７４． ｄ＝２．０ｃｍ。
１２．７５． Δｒ＝２．４ｃｍ。
１２．７６． Ｐ＝０．６ｍＧｙ／ｓ。
１２．７７． ２．０ｍ。
１２．７８． Ｄ＝０．９ｍＧｙ。
１２．７９． Ｎ＝３．９×１０７。
１２．８０． Ｄ＝３．０ｍＧｙ。
１２．８１． Ｄ＝０．２６Ｇｙ。
１３．１． Ｔ＝０．７ＭｅＶ。
１３．２． （ａ）Ｔα＝０．２６ＭｅＶ。 （ｂ）Ｔ α＝０．６ＭｅＶ。
１３．３． ｍ＝ｍｄ／２。 水素原子核。
１３．４． （ａ）と（ｂ）の場合、θ 最大＝π。（ｃ）の場合、θ 最大＝３０°。
１３．５． ΔＴ／Ｔ＝０．１９。
１３．６． ０．１０ＭｅＶ。
１３．７． ４９°。
１３．８． （ａ）θ＝１８°。 （ｂ）θ＝７３°。
１３．９． Ｔ ＝０．１０ＭｅＶ。 θ最大＝３０°。
１３．１０． Ｑ＝＋１７．３ＭｅＶ。
１３．１１． （ａ）＋１９．８ＭｅＶ。 （ｂ）−３．１ＭｅＶ。 （ｃ）−１３．５ＭｅＶ。
（ｄ）＋１．８ＭｅＶ。
１３．１２． １７．００８４５ａ．ｅ．ｍ．。
１３．１３． ｖα＝９．３×１０ ６ｍ／ｓ。 ｖ Ｌｉ＝５．３×１０ ６ｍ／ｓ。
１３．１４． Ｔ＝１１５ｋｅＶ。
１３．１５． Ｅ＝２．２３ＭｅＶ。
１３．１６． （ａ）Ｑ＝４．０ＭｅＶ。 （ｂ）Ｑ＝−１．２ＭｅＶ。
１３．１７． Ｔｐ＝５．５ＭｅＶ。
１３．１８． （ａ）１４１°。 （ｂ）１４５°。
１３．１９．
１３．２０． （ａ）４．４ＭｅＶ。 （ｂ）１８．１ＭｅＶ。 （ｃ）６．２ＭｅＶ。 （ｄ）０。
１３．２１． （ａ）１．０２ＭｅＶ。 （ｂ）３．０５ＭｅＶ。
１３．２２． （ａ）ＴＢｅ＝０．２１ＭｅＶ。 （ｂ）Ｔ Ｏ＝１．４１．ＭｅＶ。
１３．２３． ０．６８ＭｅＶ。
１３．２４． Ｔ最小＝２．８ＭｅＶ。生起できない。
１３．２５． Ｔｄ＝５．７ＭｅＶ。
１３．２６． ｐ＝（２μ （（μ／ｍ）Ｔｍ＋Ｑ））１／２。
１３．２７． ｐ＝０．５６６ｐｐ。 ０．１８ＭｅＶ、又は０．９ＭｅＶ。
１３．２８． Ｔα最大＝４．７ＭｅＶ。
１３．２９． Ｔｎ最大＝５．０ＭｅＶ。
１３．３０． （ａ）５．７ＭｅＶ、２．９ＭｅＶ、１．５ＭｅＶ。 （ｂ）Ｔα≧４．６５ＭｅＶ。
１３．３１． （ａ）Ｔｎ最大＝１９．８ＭｅＶ。 （ｂ）Ｔｎ最大＝１３．１ＭｅＶ。
１３．３２．
１３．３３． （ａ）θＢ最大＝４４．５°。 （ｂ）ｄ：４６．５°、３Ｈ：２９°。
１３．３４． （ａ）ｗ＝０．２７。 （ｂ）１３７°。
１３．３５． ω閾値＝（１＋Ｑ／（２Ｍｃ２））Ｑ。
１３．３６． （ａ）０．６８ｋｅＶ。 （ｂ）０．５８ｋｅＶ。
１３．３７．
１３．３８． ｗ＝０．３４。
１３．３９． ΔＴ ｎ＝±２７ＭｅＶ。
１３．４０． ５／２と３／２。一致し、Ｉ＝５／２。
１３．４１． 表参照- 98 -

１３．４２．
１３．４３．
１３．４４．
１３．４５．
１３．４６．
１３．４７．
１３．４８．
１３．４９．
１３．５０．
１３．５１．
１３．５２．
１３．５３．
１３．５４．
１３．５５．
１３．５６．
１３．５７．
１３．５８．
１３．５９．
１３．６０．
１３．６１．
１３．５２．
１３．６３．
１３．６４．
１３．６５．
１３．６６．
１３．６７．
１３．６８．
１３．６９．
１３．７０．
１３．７１．
１３．７２．
１３．７３．
１３．７４．
１３．７５．

Ｅ＝ℏω（１−ℏω／２Ｍｃ２）。
Ｅ＝２１．３ＭｅＶ。
Ｔ最小＝２．６７ＭｅＶ。
Ｅ生起＝０．４８ＭｅＶ。
Ｔｉ＝２．５ＭｅＶと１．３０ＭｅＶ。
Ｔｎ＝０．４２ＭｅＶ、０．９９ＭｅＶ、１．３０ＭｅＶ。
１６．６７ＭｅＶ、１６．９３ＭｅＶ、１７．４９ＭｅＶ，１７．７１ＭｅＶ。
２．１３ＭｅＶ，４．４５ＭｅＶ，５．０３ＭｅＶ。
Ｊ０．８４：Ｊ１．０２＝１：０．８。
σａｂ＝σａΓｂ／Γ。
τ＝０．７×１０−２０ｓ。
τ＝４×１０１０ｓ。
４００／（ｃｍ２・ｓ）。
３×１０１２／ｓ、 １５０ｋｇ。
（ａ）Ｒ＝２×１０９／ｓ。 （ｂ）０．９ＭＷ。
σ２＝１．０×１０−２５ｃｍ ２。
σ＝５．０×１０−２６ｃｍ２。
１．８×１０ −２４ｃｍ２。
２×１０−２０ｃｍ２。
σ＝３．９×１０−２１ｃｍ２。
ｗ＝０．８。
Ａ＝１．５×１０９ベクレル。
ｗ＝０．００１５。
σ＝２．０×１０−２６ｃｍ２。
ｗ＝１．０×１０−５。
５．４×１０ −２５ｃｍ２。
＜σ＞＝１．０×１０−２５ｃｍ ２。
７．５×１０ −２７ｃｍ２。
ｄ＝１．７ｃｍ。
σ（Ｔ）＝（１／ｎ０）ｆ（Ｔ）ｄｗ／ｄＴ。
ＩＨｅ＝１／２。
σ１＝２．０×１０ −３０ｃｍ２。
σ２＝３．６×１０ −３０ｃｍ２。

Ｔｎ＝０．９６ＭｅＶ。

１４．１． Ｔ＝０．０３ｅＶ。
１４．２． １６０回転／ｓ。 ０．０３ｍｓ。
１４．３． ΔＴ／Ｔ＝０．０６２。
１４．４． 役に立たず。
１４．５． ２０ｍ。
１４．６． ０．４ｅＶ．１．６ｅＶ。
１４．７． ΔＴ／Ｔ＝５％。
１４．８． Δθ＜０．１°。
１４．９． Ｔ＝１．８ＭｅＶ。
１４．１０． （ａ）５．４ＭｅＶ。 （ｂ）６％。
１４．１１． ０ｆｍ、６．４ｆｍ、１１．２ｆｍ。
１４．１２．
１４．１３． ＳＡｕ＝２．９×１０−２４ｃｍ２。
１４．１４．Ｂ＝５．３ＭｅＶ。
１４．１５． θ＝４．５°。
１４．１６． ｇ＝２／３。
１４．１７． σｎｎ＝σａΓｎ／Γ。 σ ｎγ＝σａΓγ／Γ。
１４．１８． σｎγ＝σ０（Ｔ０／Ｔ）１／２Γ２／（４（Ｔ−Ｔ０） ２＋Γ２）。
１４．１９． ９．６×２０ −２３ｃｍ２。
１４．２０． Γｎ０／Γγ＝０．００６。
- 99 -

１４．２１． （ａ）Ｔ＝Ｔ０（０．６±（０．１６−０．０５Γ２／Ｔ０２）１／２。Ｔ 最大＝Ｔ０。 （ｂ）
σ０＜σ 最大、８％。 （ｃ）Γ／Ｔ ０≧１．８。
１４．２２． σ最小／σ０＝０．８７Γ２／Ｔ０２。
１４．２３． ０．１２ｅＶ。
１４．２４．
１４．２５． （ａ）σｎｎ＝８×１０３（１±１／８）×１０−２４ｃｍ２。
（ｂ）Ｊ＝４。
１４．２６． σｎｎ／σ幾何＝３５００。
１４．２７． Γ＝０．５ＭｅＶ。
１４．２８． τ＝４．４×１０−１５。
１４．２９． σｎγ（Ｔ）＝（２π２ｇ／（ｍ（Ｔ・Ｔ０）１／２））Γｎ０Γγ／（４（Ｔ＋Ｔ０）２＋Γ ２）。
前者の場合、σｎγ∽Ｔ−１／２、後者の場合、σｎγ∽Ｔ−５／２。
１４．３０．
１４．３１． Γ ／Γ＝０．４。
１４．３２． ０．４０ｍｍ。
１４．３３． 約２倍。
１４．３４． ２．３倍。
１４．３５． Ｊ＝５／（ｃｍ２・ｓ）。
１４．３６． ５ｅＶ。
１４．３７． ｗ＝１．５％。
１４．３８． ｗ＝８６％。
１４．３９． Δｗ／ｗ＝Δｎ／ｎ＝２．３％。
１４．４０．
１４．４１． ＜ｖ＞＝５ｋｍ／ｓ。
１４．４２． （ａ）２×１０６／ｃｍ３。 （ｂ）Ｒ＝２×１０１０／ｓ。
１４．４３．
１４．４４． Τ＝２４昼夜。
１４．４５． （ａ）Ａ最大＝５．５×１０７ベクレル、Ｎ最大／Ｎ＝４×１０１０。 （ｂ）ｔ＝３０Ｋ。
１４．４６． Δｔ＝１．７昼夜。
１４．４７． Ａ＝０．８×１０１０ベクレル／ｇ。
１４．４８． Φ＝３×１０７／（ｃｍ ２・ｓ）。
１４．４９． ｎ＝０．７×１０５／ｃｍ３。
１４．５０． Ａ飽和＝８ｍＣｉ／ｇ。
１４．５１． （ａ）０．８９， ０．２８４， ０．０１６７。 （ｂ）０．１２７， ０．６７，
０．８７。
１４．５２． （ａ）Ｔ＝Ｔ ０＋（１＋Ａ２＋２Ａｃｏｓθ）／（１＋Ａ）２。
（ｂ）ｄη＝（（１＋Ａ）２／４ＡＴ０）ｄＴ。図１８参照、ここで、α＝（Ａ−１）２／（Ａ＋１）２。
１４．５３． ＜Ｔ＞＝０．６８ＭｅＶ。
１４．５４． η＝０．４４。
１４．５５． （ａ）ｄη＝ｓｉｎ２θｄθ。 （ｂ）Δη＝０．２
５。 （ｃ）＜θ＞＝４５°。
１４．５６． （ａ）（ｂ）η＝０．４５。 （ｃ）
１４．５７． ＜ｃｏｓθＢｅＯ＞＝０．０６。
１４．５８． （ａ）（ｂ）グラファイト：ξ＝０．１５８、
重水：＜ξ＞＝０．６。
１４．５９． ２２００， １２０， ３１。
１４．６０． ｔ＝５×１０ −５。
１４．６１． τ＝２６０ｃｍ２。 Ｌ＝１６ｃｍ。
１４．６２．
１４．６３． τ＝３１０ｃｍ２。
１４．６４．
１４．６５． ｄｗ＝Σ ｓｅｘｐ（−Σ ｓｘ）ｄｘ。 λ ｓ＝１／Σ ｓ。
（ｂ）＜ｘ２＞＝１３ｃｍ ２。
１４．６６． τ＝１５ｃｍ。 ｚ＝１３００。
１４．６７． （ａ）図１９参照。Ｊ＝Φ／４。 （ｂ）ｊ＝−（Σｓ／３）（∂Φ／∂ｎ）０（ｃ）
１４．６８． （ａ）Φ＝（ｎＬ／Ｄ）ｅ−ｘ／Ｌ。 （ｂ）Φ＝（ｎ／４πｒＤ）ｅ−ｒ／Ｌ。 （ｃ）Φ（ｒ＞Ｒ）＝（ｎＲ ２Ｌ／２Ｄ）（Ｒ＋Ｌ）ｅ−（ｒ−Ｒ）／Ｌ。
１４．６９． Ｌ＝１．６ｍ。
１４．７０
１４．７１． ｗｎ＝（１−β）β ｎ−１。＜ｎ＞＝１／（１−β）。
１４．７２． β＝０．８。
１４．７３ （ａ）β＝０．９３５。 （ｂ）β＝（１−α）／（１＋α）。ここで、α＝２Ｄ（１／Ｌ＋１／Ｒ）。
- 100 -

１５．１． （ａ）０．８×１０ １１ｋＪ。 ２×１０ ６ｋｇ。 （ｂ）１５０ＭＷ。 （ｃ）１．５
ｋｇ。
１５．２． ３×１０１８／ｓ。 １．１ＭＷ。
１５．３． Ｚ２／Ａ≧１５．７−３６７Ａ−１．４２。
１５．４． ４５．
１５．５． １×１６１６年。４．５×１０７回。
１５．６． （ａ）１９６ＭｅＶ。 （ｂ）１９５ＭｅＶ。
１５．７． Ｅ活性＝６．２ＭｅＶ。
１５．８． ０．６５ＭｅＶ。 ２．０ＭｅＶ。
１５．９． ４．１×１０−２４ｃｍ ２。
１５．１０． ９０％。 ８４％。 ７２％。
１５．１１． ２．２８， ２．０７， ２．０９。
１５．１２． １．３３， １．６５。
１５．１３． ｄ＝０．２０ｍｍ。
１５．１４． Ｗ＝０．０３Ｗ／ｃｍ２。
１５．１５． η＝２．１。
１５．１６． ９．５％。
１５．１７． Ｎ＝１．３×１０５。
１５．１８． ｔ＝０．３ｍｓ。 ｋ＝１．０１の時、ｔ＝０．０３ｍｓ。
１５．１９．
１５．２０．
１５．２１． （ａ）ｆ＝０．８０。 （ｂ）４．８％。
１５．２２． ０．７４。
１５．２３． ｋ＝０．８３。
１５．２４． １．０×１０ １２／（ｃｍ ２・ｓ）。 ４．６×１０６／ｃｍ３。
１５．２５． ｗ＝６×１０ −４。
１５．２６． τ＝０．７ｍｓ。
１５．２７． Δτ＝８３ｍｓ。
１５．２８． Ｔ＝１０ｓ。
１５．２９． （ａ）３．４×１０ ８ｋＪ。 （ｂ）０．９×１０ ８ｋＪ。 （ｃ）２．７×１０ ８ｋ
Ｊ。ウランでは、０．８×１０８ｋＪ。
１５．３０． １０ ６年オーダー。
１５．３１． ２．４×１０ ９ｋＪ／モル。
１５．３２． （ａ）Ｅｎ／Ｑ＝０．８。 （ｂ）Ｅｎ／（Ｑ１＋Ｑ２）＝０．３４。
１５．３３． η＝６．４。
１５．３４． θ＝０．７ＭｅＶ。
１５．３５． （ａ）（ｂ）各々、１０−１４、 ４×１０−５。
１５．３６． 各々、３×１０−３６ｃｍ２、 ６×１０−２８ｃｍ２。
１５．３７． ｗ＝０．３Ｗ／ｃｍ３。 θ＝１０ｋｅＶ。
１５．３８． Ｔ最大＝１０ｋｅＶ。
１５．３９． （ａ）６×１０６ｓ、 １０００ｓ。
（ｂ）０．８×１０ ８／ｃｍ ３、５×１０ １１／ｃｍ ３。 ５×１０ −５Ｗ／ｃｍ ３、０．３Ｗ／ｃｍ ３。
１５．４０． （ａ）１．５×１０８／（ｃｍ ３・ｓ）、 １．１×１０１２／（ｃｍ３・ｓ）。
（ｂ）２．２×１０−４Ｗ／ｃｍ３、 ２．０Ｗ／ｃｍ ３。
１５．４１． ４．５×１０ −３Ｗ／ｃｍ ３、 ４３Ｗ／ｃｍ３。
１５．４２． θ＝３ｋｅＶ。
１５．４３． ｒ＝６σＴ ４／ｎ ２＜σｖ＞ ｄｄＱ ｄｄ。θ 最小＝２．５ｋｅＶ。 ｒ 最小＝３×１０ ６ｋｍ。
１５．４４． ？ θ＝４０ｋｅＶ。
１５．４５． （ａ）ｎｔ＝４×１０１２／ｃｍ ３。 ｑ＝１×１０１２／（ｃｍ３・ｓ）。
（ｂ）ｗ＝２４Ｗ／ｃｍ３。 ｎ ｄ＝１．０×１０１６／ｃｍ３。
１５．４６． ω０＝（４πｎｅ２／ｍｅ）１／２。
１５．４７． （ａ）（ｂ）（ｃ）ｎｅ＝５×１０ １２／ｃｍ ３。
１５．４８． Ｎ＝５×１０ １１／ｓ。
１５．４９． ｄ＝（θ／８πｎｅ２）１／２。
１５．５０． １．７×１０ −３ｃｍ。 ２×１０ ７。
１５．５１． σ＝１．６×１０−２０ｃｍ２。
１５．５２． θ最小＝６×１０−３秒。 １５．８。
１５．５３． （ａ）σ＝１×１０−１８ｃｍ２。
（ｂ）ｌ＝１０ｍ。 τ＝０．５μｓ。 ν＝２×１０ ６／ｓ。
１５．５４． ｗ＝５×１０ −３１ｎ ｉｎｅ（θｅ）１／２Ｗ／ｃｍ３。
１５．５５． （ａ）ｔ＝１．６ｍｓ。 （ｂ）ｔ＝０．８ｍｓ。
１５．５６．
１５．５７． ３．１×１０ １５／ｃｍ３。 １０ＭＰａ。 ２．７Ｗ／ｃｍ３。
１５．５８． （４／３）ｌｎ（ｒ２／ｒ１）。
１５．５９． （ａ）Ｉ１／Ｉ２＝２。 （ｂ）Ｉ １＝５．４×１０５Ａ。
- 101 -

１５．６０．
１５．６１．
１５．６２．
１５．６３．
１５．６４．
１５．６５．
１５．６６．
１５．６７．
１５．６８．
１５．６９．

（ａ）＜ｐ＞＝Ｉ０２／２πｃ２ｒ０２。
（ａ）（ｂ）θ＝４ｋｅＶ。
θ＝１０ｋｅＶ。
ｔ＝１ｍｓ。
約０．８ｍｓ。
Ｂｚ＝１４ｋＧ。

（ｂ）θ＝２ｋｅＶ。

ｔ＝０．７μｓ。
Ｂｚ＝０．１１ｋＧ。
Ｉ≦２ｋＡ。

１６．１． １．７ＧｅＶ／ｓ、 １．１ＧｅＶ／ｓ、 １．０ＧｅＶ／ｓ。
１６．２． Ｔ ＝２ｍ（（１＋Ｔ／２ｍ）１／２−１）、 ｐ ＝（ｍＴ／２）１／２、 β ｃ＝（Ｔ／（Ｔ＋２ｍ））１／２。
１６．３． ２０００ＧｅＶ。
１６．４． （ａ）Ｔ ＝（（ｍ１＋ｍ２）２＋２ｍ２Ｔ）１／２−（ｍ１＋ｍ２）。
（ｂ）ｐ ＝（ｍ ２２Ｔ（Ｔ＋２ｍ１）／（（ｍ１＋ｍ２）２＋１ｍ２Ｔ））１／２、Ｅ１，２ ＝（ｐ ２＋ｍ１，
２
２ ）。
１６．５． Ｔ１，２＝（１／２）Ｔ（Ｔ＋２ｍ ２，１）／（ｍ １＋ｍ ２＋Ｔ）。
１６．６． 図１６．１参照。ｔａｎθ ＝（１−β２）１／２ｓｉｎθ／（ｃｏｓθ−（Ｅ／ｐ）β）。
１６．７． （ａ）
（ｂ）θ 最小＝５３°。 （ｃ）Ｔ＝１．３７ＧｅＶ、 Ｔ １＝０．８７Ｇ
ｅＶ、 Ｔ２＝０．５０ＧｅＶ。
１６．８．
１６．９． Ｔｅ＝２．８ＭｅＶ。
１６．１０．
１６．１１． （ａ）（ｂ）ｄｗ／ｄＴ＝（ｄｗ／ｄΩ ）／（ｄΩ ／ｄＴ）１／Ｔ０。
１６．１２． ｃｏｓθ＝１２０°。
１６．１３．
１６．１４． Ｅ閾値＝０．３２ＧｅＶ、問題１２．６２参照。
１６．１５．
１６．１６． （ａ）０．２０ＧｅＶ。 （ｂ）０．１４ＧｅＶ。 （ｃ）０．７８ＧｅＶ。 （ｄ）
０．９１ＧｅＶ。 （ｅ）１．３８ＧｅＶ。 （ｆ）１．８０ＧｅＶ。 （ｇ）５．６３ＧｅＶ。
（ｈ）７．８４ＧｅＶ。
１６．１７． （ａ）１．３６ＭｅＶ。 （ｂ）１９７ＭｅＶ。
１６．１８． （ａ）Ｔｂ＝（Ｔａ−Ｔａ閾値）ｍ Ａ／ｍＢ。
（ｂ）Ｔπ＝５０ＭｅＶ。
１６．１９． θ最大＝１０．５°。
１６．２０． １．２４ＧｅＶ、 １．５１ＧｅＶ、 １．６９ＧｅＶ。
１６．２１． １９．５ＭｅＶ、 １９３ＭｅＶ／ｓ。
１６．２２． ５２．４ＭｅＶ、 ５３ＭｅＶ／ｓ。
１６．２３． ＥΛ＝２．８ＭｅＶ。
１６．２４． θμ＝１０°。
１６．２５． （ａ）θ最小＝６０°。 （ｂ）Ｅ＝２５２ＭｅＶ、１８．１ＭｅＶ。
１６．２６． （ａ）Ｔ＝０．４２ＧｅＶ。 （ｂ）θ＝１０３°。
１６．２７． ｎ＝０．９４ＧｅＶ（中性子）。 Ｑ＝０．１１ＧｅＶ。
１６．２８． ｍ＝１１１５ＭｅＶ（Λ−ハイペロン）。
１６．２９．
１６．３０．
１６．３１． （ａ）ｐπ＝（３ｍ π）１／２、β＝（３／２）１／２、ｐ ＝ｍπ／２。ａ＝２ｂ＝ｐπ／３
１／２、α １＝α ２＝ｆ＝ｐπ／２。
（ｂ）ｐπ＝ｍπ５１／２／２、β＝５１／２／３、ｐ ＝（ｍπ２−ｍ μ２）／２ｍπ＝０．１９ｐπ。ｂ＝０．
１９ｐπ、ａ＝０．２９ｐ π、ｆ＝０．２１ｐπ、αν＝ｆ。
（ｃ）ｂ＝ｐｐ／６１／２、ａ＝ｐｐ／２、ｆ＝ｐｐ／（２・３１／２）、α １＝α ２＝ａ。
（ｄ）ｂ＝ｐｄ／１１１／２、ａ＝４ｐｄ／１１、ｆ＝ｐ ｄ５ １／２／１１、α ｐ＝ａ。
（ｅ）ｂ＝０．２２４ｐ ｐ、ａ＝０．２７５ｐ ｐ、ｆ＝０．２５８９ｐ ｐ、α π＝０．１６８５ｐ ｐ。
１６．３２． （ａ）約２０°。 （ｂ）Ｔπ閾値＝５．５ＭｅＶ。
１６．３３． （ａ）（ｂ）（ｃ）ｗ＝０．９３。
１６．３４． （ａ）狭い最大値はチャンネル（１）、広い最大値はチャンネル（２）。
（ｂ）ｍπ＝０．１３ＧｅＶ。
（ｃ）ｍπ＝１３５ＭｅＶ。
１６．３５．
１６．３６． １．３６ＧｅＶ、１２５ＭｅＶ。
１６．３７． （ａ）τ０＝２．２μｓ。 （ｂ）τ０＝２５ｎｓ。
１６．３８． ｗ＝０．４３。
１６．３９． α＝２／３。
- 102 -

１６．４０． ｓπ＝０。
１６．４１． σπｐ＝０．６×１０−２７ｃｍ２。
１６．４２． （ａ）、（ｃ）、（ｅ）、（ｆ）は禁止。
１６．４３． （ｂ）、（６）は禁止。
１６．４４． 是。
１６．４５． （ａ）エネルギーでチャンネル（２）。
（ｂ）スピンで、チャンネル（１）１６．４６． 表参照。

１６．４７． （ａ） ３Ｐ：Ｔ＝１、 ３Ｄ：Ｔ＝０。
Ｐ：Ｔ＝１、 １Ｄ：Ｔ＝２と０。
１６．４８． （ａ）表参照。

（ｂ）表参照（ｃ）表参照（ｄ）表参照（ｅ）表参照- 103 -（ｂ） １Ｐ：Ｔ＝１， １Ｄ：Ｔ＝２。

（ｃ） １

１６．４９． （ａ）と（ｂ） ΔＴｚ＝０、ΔＴ＝０。
（ｃ）ΔＴ＝３／２、ΔＴｚ＝１／２。
（ｄ）Ｔｚ＝０、ΔＴ＝１／２又は３／２。
１６．５０． Ｔ＝１／２と３／２，Ｓ＝０、Ｂ＝１、Ｉ＝１／２と３／２、Ｐ＝＋１。
１６．５１．
１６．５２． （ａ）Ｉρ＝１。
（ｂ）ρ＋→π ＋＋π０、 ρ０→π＋＋π−、 ρ−→π−＋π＋。
１６．５３． （ａ）（ｕｕｄ）、（ｕｄｄ）、（ｕｕｓ）、（ｄｄｓ）、（ｕｓｓ）、（ｄｓｓ）。
（ｂ）（ｕｄ ）、（ｕ ｄ）、（ｕｓ ）、（ｕ ｓ）、（ｄｓ ）。
１６．５４． μｎ／μｐ＝−２／３。
１６．５５． Ｃ＝＋１を持つメゾン：（ｃｓｄ） ０、（ｃｓｕ） ＋、（ｃｄｕ） ＋、（ｃｓｓ） ０、（ｃｄｄ） ０、（ｃｕｕ） ＋＋。 Ｃ＝２を持つバリオン：（ｃｃｓ） ＋、（ｃｃｄ） ＋、（ｃｃｕ） ＋＋。 Ｃ＝３を持つバリオン：（ｃｃｃ） ＋＋。
１７．１． Ｔ＝１８ｅＶ。
１７．２． Ｔ＝２．５ＭｅＶ。 ２．５ｍ。
１７．３． （ａ）Ｅ＝０．３１ｋＶ／ｃｍ。 （ｂ）α ０＝１０３°、Ｅ＝０．２２ｋＶ／ｃｍ。
（ｃ）ｔ＝０．２７μｓ、又は０．１０μｓ。
１７．４． （ａ）α＝６°、δ＝２．５ｃｍ。 （ｂ）α＝３°、δ＝１．２ｃｍ。 （ｃ）α＝７°、δ＝２．８ｃｍ。
１７．５． ｅ／ｍ＝５×１０１７ｅｓｕ／ｇ。
１７．６． Ｔｐ＝１．１ＭｅＶ。
１７．７． α＝７°、δ＝３ｃｍ。
１７．８． （ａ）Δｚ＝８ｃｍ。 （ｂ）ｒ＝１．５ｃｍ。
１７．９． （ａ）ｅ／ｍ＝５．３×１０１７ｅｓｕ／ｇ。 （ｂ）Ｂ最小＝３２Ｇ。
１７．１０． Ｔ＝０．２４ＭｅＶ。
１７．１１． （ａ）Ｔ＝０．３２ＭｅＶ。Ｂ＝３３５Ｇ（ｎ＝１の時）、６４２Ｇ（ｎ＝３の時）。
２５°、５５°。
１７．１２． （ａ）δｘ／δＡ＝０．８５ｍｍ／ａ．ｅ．ｍ．。
（ｂ）δｘ／δＴ＝０．３ｍｍ／ｋｅＶ。
１７．１３． δα／δＡ＝０．６２°／ａ．ｅ．ｍ．。
１７．１４．
１７．１５．
１７．１６． Ｔ＝４２ｋｅＶ。
１７．１７． （ａ）ｖ＝ｃ（Ｅ／Ｂ）（ｒ １／ｒ ２）、 ｅ／ｍ＝（ｃ ２Ｅ／Ｂ ２）（ｒ １／ｒ ２）、ここで、Ｅ＝（Ｖ／ｒ１）ｌｎ（Ｒ２／Ｒ１）。
（ｂ）ｖ＝ｃＥ／Ｂ、ｅ／ｍ＝２（ｃ ２Ｅ／Ｂ２）δ／（δ２＋ｌ２）。
１７．１８． Ｂ閾値＝４８Ｇ。
１７．１９． Ｖ閾値＝４Ｖ。
１７．２０． ｘ＝（ｖ／ω）ｓｉｎωｔ、ｙ＝ａｔ ２／２、 ｚ＝（ｖ／ω）（１−ｃｏｓωｔ）。
１７．２１． ｔａｎ（（ｅ／ｍ）（ｙ／Ａ）） １／２＝ｚ／ｌ。 ここで、Ａ＝２ｃ ２Ｅ／Ｂ ２。ｚ≪ｌのとき、ｙ＝Ａ（ｍ／ｅ）（ｚ／ｌ） ２。

１７．２２． 図２０参照。 （ａ）ｘ＝（ａ／ω ２）（ωｔ−ｓｉｎωｔ）、ｙ＝（ａ／ω ２）（１−ｃｏｓωｔ）。 （ｂ）ｌ＝８ａ／ω ２。 （ｃ）＜ｘ＞＝ａ／ω。
１７．２３． 図２１参照。 （ａ）ｘ＝（ａ／ω ２）（ωｔ−（１／２）ｓｉｎωｔ）、ｙ＝（ａ／ω２）（（１−ｃｏｓωｔ）。
（ｂ）ｘ＝（ａ／ω２）（ωｔ−２ｓｉｎωｔ）、ｙ＝２（ａ／ω２）（（１−ｃｏｓωｔ）。
（ｃ）ｘ＝（ａ／ω ２ ）（１＋ωｔ−ｓｉｎωｔ−ｃｏｓωｔ）、ｙ＝（ａ／ω ２）（（１＋ｓｉｎω
ｔ−ｃｏｓωｔ）。
（ｄ）ｘ＝（ａ／ω２）（１＋ωｔ−ｃｏｓωｔ）、ｙ＝（ａ／ω２）ｓｉｎωｔ。
１７．２４．
１７．２５． （ａ）ｘ＝（ａ／ω ２ ）（ｓｉｎωｔ−ωｔ・ｃｏｓωｔ）、ｙ＝（ａ／ω ２ ）ωｔ・ｓｉｎωｔ。ここで、ａ＝ｅＥ０／ｍ。
１７．２６． （ａ）τ＝２π（Ｔ＋ｍｃ２）／ｃｅＢ。 ７．３×１０ −１０ｓ。６．６×１０−８ｓ。
ｒ＝３．５ｃｍ、４６ｃｍ。
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（ｂ）Ｔ＝２．９ＭｅＶ、５．９ＭｅＶ。
１７．２７． （ａ）Ｅ＝０．３２Ｖ／ｃｍ、Ｔ＝２５ＭｅＶ。
（ｂ）ｌ＝９００ｋｍ、Ｔ＝２８ＭｅＶ。
１７．２８． （ａ）Ｔ＝０．１５ＧｅＶ。 （ｂ）Ｌ＝１５００ｋｍ、２．４×１０ ５回転。
１７．２９．
１７．３０．
１７．３１．
１７．３２． （ａ）ωｒ＝ω０（１−ｎ）１／２。 （ｂ）ωｚ＝ω０ｎ。 ここで、ω ０＝ｅＢ／ｍｃ。
１７．３３． Ｅ＝０．２９ＧｅＶ。
１７．３４． （ａ）Ｔ＝６．１２ＭｅＶ、１２ＭｅＶ。
（ｂ）ν＝２０ＭＨｚ、１４ＭＨｚ、１０ＭＨｚ。
１７．３５． Ｖ＝０．２ＭＶ。
１７．３６． （ａ）ｔ＝１０μｓ。 （ｂ）Ｌ＝０．２ｋｍ。
１７．３７． Ｔ＝５．１ｋｅＶ、９．４ＭｅＶ、３７ＭｅＶ。
１７．３８． ｎ＝９。
１７．３９． （ａ）各々、３５％、１２％。
（ｂ）ｄＥ／ｄｔ＝（ｃｅＢ／ω２）ｄω／ｄｔ。
１７．４０． （ａ）ｒ＝（ｃ／ω０）（１−（ｍｃω ０／ｅＢｍ） ３／ｓｉｎ２ωｔ）１／２。
（ｂ）４２．０ｃｍから４２．９ｃｍまで。 Ｌ＝１５００ｋｍ。
１７．４１． ω（ｔ）＝（ｃ／ｒ ０ ）（１＋Ａ２（ｔ）） １／２ 。ここで、Ａ＝ｍｃ ２／ｅｒＢ（ｔ）。
１７．４２． （ａ）０．３５ＭＨｚから１．９ＭＨｚまで。 ０．８２ｓ。
（ｂ）δＥ＝０．１９ｋｅＶ。
（ｃ）１．５×１０５ｋｍ。 ５．２×１０ ６回転。
１７．４３． （ａ）ν＝（ｃ／Π）／（１＋Ａ ２（ｔ）） １／２。ここで、Ａ＝ｍｃ ２／ｅｒＢ（ｔ）。
０．２０ＭＨｚから１．４４ＭＨｚまで。３．２ｓ。
（ｂ）δＥ＝２．３３ｋｅＶ。
（ｃ）９×１０５ｋｍ。 ４．３×１０６回転。
１７．４４． ｌｎ＝４．９（４＋ｎ） １／２ｃｍ。 ｎ＝３５。ｌ１＝１１ｃｍ、ｌ３５＝３１ｃｍ。
（ｂ）Ｌ＝７．５ｍ。
１７．４５． ２５８ＭＨｚから７９０ＭＨｚまで。２．４９ＧＨｚから２．５０ＧＨｚまで。
１７．４６． （ａ）Ｅｘ＝０．１５ＭＶ／ｃｍ。
（ｂ）ｖ＝ｃ（１−（ｍｃ ２／Ｅ（ｘ））２）１／２。ここで、Ｅ（ｘ）＝ｍｃ２＋Ｔ１＋ｅＥ ｘｘ。 ９．
５倍。０．６５％。
１７．４７． ５５００ＧｅＶ。
２０１１年１２月１５日- 105 -

一応終了