数理解析研究所講究録
第 1843 巻 2013 年 114-118

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Lauricella 超幾何微分方程式系のグレブナー基底について
中山洋将
NAKAYAMA HIROMASA神戸大学大学院理学研究科/JST CREST
DEPARTMENT OF MATHEMATICS, GRADUATE SCHOOL OF SCIENCE, KOBE UNIVERSITY* \dag er

1Introduction
LauriceHa 超幾何級数$F_{A},$ $F_{B},$ $F_{C}$

は$F_{A}(a,b_{1}, \ldots, b_{m}, c_{1}, \ldots,c_{m};x_{1}, \ldots,x_{m})=\sum_{n_{1\prime}\ldots,n_{n}\epsilon z_{\geq 0}}\frac{(a)_{n_{1}+\cdots+n_{m}}(b_{1})_{n_{1}}\cdots.(b_{m})_{n_{n}}}{(c_{1})_{n_{1}}\cdots(c_{m})_{n_{m}}(1)_{n_{1}}\cdot\cdot(1)_{n_{m}}}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{\mathfrak{n}_{m}}$$F_{B}(a_{1}, \ldots,a_{m},b_{1}, \ldots,b_{m},c;x_{1}, \ldots, x_{m})=\sum_{n_{1},\ldots,n_{m}\in Z_{\geq 0}}\frac{(a_{1})_{n_{1}}\cdots(.a_{m})_{n_{m}}(b_{1})_{n_{1}}.\cdots(b_{m})_{n_{m}}}{(c)_{n_{1}+\cdot\cdot+n_{m}}(1)_{n_{1}}\cdot\cdot(1)_{n_{m}}}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}$$F_{C}(a,b,c_{1}, \ldots,c_{m};x_{1}, \ldots,x_{m})=\sum_{n_{1},\ldots,n_{m}EZ_{\geq 0}}\frac{(a)_{n_{1}+\cdots+n_{m}}(b)_{n_{1}+\cdots+n_{m}}}{(c_{1})_{n_{1}}\cdots(c_{m})_{n_{m}}(1)_{n_{1}}\cdots(1)_{n_{m}}}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}$と定義される．ここで，$a,$ $b,$ $c$

これら$F_{A},$ $F_{B},$ $F_{C}$, 砺， $c_{i}(i=1, \ldots, m)$ は複素パラメータであり，$c,c_{1}\not\in Z_{\leq 0}$$b_{1},$を満たすとする．

が満たす微分方程式系として，次のものがそれぞれ知られている．

$\ell_{i}^{A}\cdot P_{A}=0, \ell_{1}^{A}=\theta_{i}(\theta_{i}+c_{\dot{\tau}}-1)-x_{i}(\theta_{1}+\cdots+\theta_{m}+a)(\theta_{i}+b_{i}) (i=1, \ldots,m)$$\ell_{1}^{B}.

$\ell_{i}^{C}=\theta_{i}(\theta_{i}+c_{i}-1)-x_{i}(\theta_{1}+\cdots+\theta_{m}+a)(\theta_{1}+\cdots+\theta_{m}+b)$$\ell_{i}^{C}\cdot F_{C}=0,$

ここで，$\partial_{i}=$F_{B}=0, \ell_{1}^{B}=\theta_{i}(\theta_{1}+\cdots+\theta_{m}+c-1)-x_{i}(\theta_{i}+a_{i})(\theta_{i}+b_{i}) (i=1,.\cdots,m)$

識は$|$$x_{i}$

こついての微分作用素，上で定義した微分作用素の生成する$\theta_{i}=x_{i}\partial_{1}$$D$は$x_{i}$$\hat{\mathcal{D}}$.

$(i=1, \ldots,m)$.

についての Euler 作用素である．

イデアル$I_{A}(m)=D\cdot\{\ell_{*}^{A}|i=1, \ldots, m\},$ $I_{B}(m)=D\cdot\{\ell_{1}^{B}|i=1, \ldots, m\},$と.

$I_{C}(m)=D\cdot\{\ell_{1}^{C}|i=1, \ldots, m\},$イデアル$\hat{I_{A}}(m)=\prime\hat{D}\cdot\{\ell_{1}^{A}|i=1, \ldots, m\}, \hat{I_{C}}(m)=\hat{\mathcal{D}}\cdot\{\ell_{1}^{C}|i=1, \ldots,m\}.$を考える．ここで$D=\mathbb{C}[x_{1}, \ldots, x_{m}]\langle\partial_{?},$$\partial_{m}\rangle$$\ldots,$は多項式係数微分作用素環，$\hat{\mathcal{D}}=\mathbb{C}[[x_{1}, \ldots, x_{m}]]\langle\partial_{1},$$\partial_{m}\rangle$$\ldots,$は形式べき級数を係数に持つ微分作用素環である．この各イデアルについて，ある単項式順序，項順序につの各微分方程式系の特異点いて，グレブナー基底がわかる．得られたグレブナー基底を使うと，の場合の特異点集合の計算について述べる．
集合を計算することができる．ここでは$F_{A},$ $F_{B},$ $F_{C}$$F_{B}$’nakayamaOmath.kob Ou. ac.jp
本研究は科研費 (課題番号 24740064) および JST CREST ” 数学と請分野の愉働によるプレークスルーの探黎の助成を受けた$\uparrow$ものである。

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2

Lauricella 超幾何微分方程式系についてのグレブナー基底
まず$F_{B}$の微分方程式系に対応する $D$ イデアル $I_{B}(m)$ について，グレブナー基底を導く．

定理 1( $I_{B}(m)$ のグレブナー基底)
上の項順序 $<(O,1)$ を次のように定義する．ここで， は$D$$\xi_{i}$に対応する可換な変数とする．

$\partial_{i}$$x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{m}^{\alpha_{n}}\xi_{1}^{\beta_{1}}\cdots\xi^{\beta}<\cdots x_{m}^{\alpha_{m}’}\xi_{1}^{\beta_{1}’}\cdots\xi_{m^{m}}^{\beta’}$を下のいつれかが成り立つ時と定義する．
1. $\beta_{1}+\cdots+\beta_{m}<\beta_{1}’+\cdots+\beta_{m}’$2.

3.

$\beta_{1}+\cdots+\beta_{m}=\beta_{1}’+\cdots+\beta_{m}’$かつ $\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{m}<\alpha_{1}’+\cdots+\alpha_{m}’$$\beta_{1}+\cdots+\beta_{m^{\overline{\wedge}}}\beta_{1}’+\cdots+\beta_{m}’$かつ $\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{m}=\alpha_{1}’+\cdots+\alpha_{m}’$ かつ$x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{m}^{\alpha_{m}}\xi_{1}^{\beta_{1}}\cdots\xi_{m^{m}}^{\beta}<’x_{1}^{\alpha_{1}’}\cdots x_{m}^{\alpha_{m}’}\xi_{1}^{\beta_{1}’}\cdots\xi_{m^{m}}^{\beta’}$. ここで$<’$はあらかじめ設定した適当な項順序，例えば辞書式順序などである．

この時， イデアル$D$$I_{B}(m)$の $<(0,1)$についてのグレブナー基底は，$\{\ell_{1}^{B}, \ldots,\ell_{m}^{B}\}$である．

これを示すには，Buchberger の判定法を用いて，各ペアの 式について に簡約できることを示す必要がある．これを簡単に言うため，次の補題を用いる．この補題は多項式環ではよく知られた補題の微分作用素$S$$0$環版である．

補題 2(Buchberger の省ける $S$ 式の判定法 (微分作用素環版))
微分作用棄 $P,$ $Q\in D,$ $D$ 上の項順序を $<$ とする．先頭項 $in<(P),in<(Q)$ が互いに素の時，$P$ と $Q$ の $S$ 式
は交換子 $-[P, Q]$ まで簡約できる．

$S_{<}(P, Q)$

証明 簡単のため $P,$の先頭項の係数を 1 と仮定しておく．先頭項 in $<(P)$ , in $<(Q)$ が互いに素より，$Q$$S_{<}(P, Q)=(Q-$ rest $<(Q))P-(P-$ rest $<(P))Q$$=-rest_{<}(Q)P+$ rest $<(P)Q+QP-PQ$$=-rest_{<}(Q)P+$ rest $<(P)Q-[P, Q]$

ここで，rest $<(P)$ は$-[P, Q]$$P$の先頭項以外の部分を表す．よって， 式 $S_{<}(P, Q)$ は$S$$P,$ $Q$を使い簡約すれば，まで簡約できる，

1証明 (定理 1 の証明) 元 $\ell_{i}^{B},\ell_{j}^{B}(1\leq i<j\leq m)$ について，$S$ 式がに簡約できることを示せばよい．先頭項は in,lnで，互いに素であるから補題 を使うことができる．交換$0$$<(\circ.1)(\ell_{1}^{B})=x_{*}^{3}\xi_{i}^{2}$

2$<(O.1)(\ell_{j}^{B})=x_{j}^{3}\xi_{j}^{2}$子を計算すると，$[\ell_{i}^{B},\ell_{;}^{B}]=\ell_{i}^{B}\ell_{j}^{B}-\ell_{j}^{B}\ell_{i}^{B}$$=x_{i}(\theta_{i}+h)(\theta_{i}+b_{i})\theta_{j}-x_{j}(\theta_{j}+a_{j})(\theta_{j}+b_{j})\theta_{i}$$\vec{l^{B^{*}},,\ell_{j}^{B}}\theta_{i}(\theta_{1}+\cdots+\theta_{m}+c-1)\theta_{j}-\theta_{j}(\theta_{1}+\cdots+\theta_{m}+c-1)\theta_{i}=0$

ここで，より， 式$S$

は，$\ell_{i}^{B},\ell_{j}^{B}$$\vec{\ell^{B^{*}},\ell_{\dot{f}}^{B}}$$S_{<}(O,1)(\ell_{i}^{B},\ell_{j}^{B})$グレブナー基底である．
次に$\hat{\mathcal{D}}$イデアル$\hat{I_{A}}(m)$を使って簡約することを表す記号である．交換子は に簡約できるので，補題 2$0$は$0$に簡約できる．Buchberger の判定法より，$\{l_{1}^{B}, \ldots,\ell_{m}^{B}\}$

は $<(0,1)$ について

1について，グレブナー基底を導く．

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定理 3(
$\hat{\mathcal{D}}$$\hat{I_{A}}(m)$のグレブナー基底)上の単項式順序 $<(O,1)’$ を次のように定義する．
$x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{m}^{\alpha_{m}}\xi_{1}^{\beta_{1}}\cdots\xi^{\beta}<x_{1}^{\alpha_{1}’}\cdots x_{m^{m}}^{\alpha’}\xi_{1}^{\beta_{1}’}\cdots\xi_{m^{m}}^{\beta’}$を下のいつれかが成り立つ時と定義する．

1. $\beta_{1}+\cdots+\beta_{m}<\beta_{1}’+\cdots+\beta_{m}’$2. $\beta_{1}+\cdots+\beta_{m}=\beta i+\cdots+\beta_{m}’$ かつ3.

$\alpha_{l}+\cdots+\alpha_{m}>\alpha_{1}’+\cdots+\alpha_{m}’$かつ $\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{m}=\alpha_{1}’+\cdots+\alpha_{m}’$ かつ$\beta_{1}+\cdots+\beta_{m}=\beta_{1}’+\cdots+\beta_{m}’$. ここで$x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{m}^{\alpha_{m}}\xi_{1}^{\beta_{1}}\cdots\xi_{m^{n}}^{\beta}<’x_{1}^{\alpha_{1}’}\cdots x_{m^{m}}^{\alpha’}\xi_{1}^{\beta_{1}’}\cdots\xi_{m^{m}}^{\beta’}$$<’$はあらかじめ設定した適当な項順序，例

えば辞書式順序などである．
$\hat{\mathcal{D}}$イデアル$\hat{I_{A}}(m)$の $<(0,1)’$についてのグレブナー基底は，$\{\ell_{1}^{A}, \ldots,\ell_{m}^{A}\}$である．

このような単項式順序 $<(O,1)’$ であっても，補題 2 と同様のことが成り立つ．このことを使い，定理を証明する．元 $l_{1}^{A},\ell_{j}^{A}(1\leq i<j\leq m)$ について，$S$ 式が に簡約できることを示せばよい．先頭項は証明$0$in $<(0.1)’.(O,1)’$子を計算すれば$[\ell_{i}^{A},\ell_{j}^{A}]=0$で，互いに素であるから補題 2 の類似を使うことができる．交換はとなる．よって， 式に簡約できる． の $<(0,1)’$ につい$S$ての Buchberger の判定法 ([1], [5])$\hat{\mathcal{D}}$

イデアル

定理 4(
$\hat{\mathcal{D}}$$\hat{I_{C}}(m)$$\hat{I_{C}}(m)$イデアル$S_{<}($より，$.1)’(\ell_{1}^{A},\ell_{j}^{A})$$\{\ell_{1}^{A}, \ldots,\ell_{m}^{A}\}$の場合も，$\hat{I_{A}}(m)$$\hat{D}$$0$。

はグレブナー基底である$\iota$と同様の手順でグレブナー基底がわかる．のグレブナー基底)$\hat{I_{C}}(m)$の $<(0,1)’$についてのグレブナー基底は，$\{\ell_{1}^{C}, \ldots,\ell_{m}^{c}\}$である．

注意 1
$D$

イデアル $I_{A}(m),$ $I_{C}(m)$ , また$F_{D}$の満たす微分方程式系に対応する $D$ イデアルについて，項順序 $<(0,1)$に関するグレブナー基底は複雑であり，どうなるかはわかつていない．

3

Lauricella 超幾何関数[3] では，Lauricella 超幾何関数$F_{C}$$F_{B}$の特異点集合の計算について特異点集合を計算している．その計算に倣い，今得られたグレブナー基底を使っての特異点集合を計算する．定理 1 より，$I_{B}(m)$ の $<(O,1)\}^{\vee}$. ついてのグレブナー
基底はであった．ここで，重みベクトル $(0,1)=(0, \ldots,0,1, \ldots, 1)\in \mathbb{Z}^{2m}$ とおく．すなわち，$F_{B}$$\{\ell_{1}^{B}, \ldots, \ell_{m}^{B}\}$の重みを 1 とおいたものである．微分作用素$(0,1)$
イニシャルフォームとは，全表象$x_{i}$の重みを $0,$$\xi_{i}$$P(x, \xi)=\sum_{a.\beta\in(Z_{\geq。})}{}_{m}C_{a,\beta}x^{\alpha}\xi^{\beta}\in \mathbb{C}[x,\xi]$

いて最大のものたちの和$in_{(0,1)}(P)= \sum c_{\alpha,\beta}x^{\alpha}\xi^{\beta}$$(O,1)\cdot(\alpha.\beta)$である． イデアル$D$$I$について，の項で $(0,1)$ 重みにつ$P= \sum_{\alpha,\beta\in(Z_{\geq 0})}{}_{m}C_{\alpha,\beta}X^{\alpha ffl\in D}$

が $P(x,\xi)$ 中で最大について，(0,1) イニシャルフォームイデアルとは，$in_{(O,1)}(I)=\langle in_{(O,1)}(P)|P\in I\rangle$

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なる

$\mathbb{C}[x,\xi]$のイデアルである．グレプナー基底の-4 論から，$(0,1)$ イニシャルフォームイデアル in$\Re$の生成元として，$in_{(O,1)}(\ell_{1}^{B}),$$\ldots,$inである．これを$in_{(O,1)}(\ell_{m}^{B})$が得られる．ここで，$\ell_{\dot{\iota}}^{B}$$(O,1)(I_{B}(m))$の $(0,1)$ イニシャルフォームは，$( O,1)(\ell_{i}^{B})=x_{i}\xi_{i}(x_{i}(1-x_{i})\xi_{i}+\sum_{1\leq j\leq m,j\neq i}x_{j}\xi_{i})$

とおいておく．これより次のことがゎかる．

$L_{i}^{B}$

命題 5( $I_{B}(m)$ の特性多様体)$D$イデアル $I_{B}(m)$ の特性多様体は Ch $(I_{B}(m))=V(L_{1}^{B}, \ldots, L_{m}^{B})$ である．

$D$

イデアル $I_{B}(m)$ について特異点集合とは，Sing $(I_{B}(m))=\pi(Ch(I_{B}(m))\backslash \{\xi_{1}=\cdots=\xi_{m}=0\})$であった．ここで，$\pi:\mathbb{C}^{2m}\ni(x_{1}, \ldots,x_{m},\xi_{1}, \ldots,\xi_{m})\mapsto(x_{1}, \ldots,x_{m})\in \mathbb{C}^{m}$

体 Ch $(I_{B}(m))=V(L_{1}^{B}, \ldots,L_{m}^{B})$ と具体的に分かっている．

なる射影である．今，特性多様$L_{1}^{B}=0, \ldots,L_{m}^{B}=0$

すなわち，$x_{i}\xi_{i}=0$or$x_{i}(1-x_{i}) \xi_{i}+\sum_{1\leq k\leq m,k\neq i}x_{k}\xi_{k}=0$の解 $(x_{1}, \ldots,x_{m},\xi_{1}, \ldots,\xi_{m})$ で $.(\xi_{1}, \ldots,\xi_{m})\neq(0, \ldots, 0)$ なるものを計算し，それをものが特異点集合になる．上の式 (1) を$\epsilon_{i}\in\{0,1\}$(1)$(i=1, \ldots, m)$$x$座標だけに射影したを使ってまとめて書けば，$x_{i}(1- \epsilon_{i}x_{i})\xi_{i}+\sum_{1\leq k\leq m,k\neq i}\epsilon_{i}x_{k}\xi_{k}=0 (i=1, \ldots,m, \epsilon_{i}\in\{0,1\})$$\epsilon=(\epsilon_{1}, \ldots,\epsilon_{m})\in\{0,1\}^{m}$(2)を一つ固定する．上の式 (2) を行列表示すれば，$(\begin{array}{llll}x_{l}(1-\epsilon_{1}x_{1}) e_{1}x_{2} \cdots \epsilon_{1}x_{m}\epsilon_{2}x_{1} x_{2}(1-\epsilon_{2}x_{2}) \cdots \epsilon_{2}x_{m}| |\epsilon_{m}x_{1} \epsilon_{m}x_{2} \cdots x_{m}(1-\epsilon_{m}x_{m})\end{array})(\begin{array}{l}\xi_{1}\xi_{2}|\xi_{m}\end{array})=(\begin{array}{l}00|0\end{array})$上の行列を A。とおく．式 (2) が $(\xi_{1}, \ldots,\xi_{m})\neq(0, \ldots, 0)$ なる解を持つための必要十分条件は，$\det(A_{\epsilon})=0$である．これは$\epsilon$を固定した時なので， を$\prod_{\epsilon\in\{0,1\}^{n}}\det(A_{\epsilon})$$\epsilon$$\{0,1\}^{m}$

全体を動かせば，特異点集合の定義方程式が出てくる．

を計算すれば，$\prod_{\epsilon\in\{0,1\}^{m}}\det(A_{\epsilon})=x_{1}^{2^{m}}\cdots x_{m}^{2^{m}}\prod_{1\leq i_{1}\leq m}(1-x_{i_{1}})\prod_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq m}(x_{j_{1}}x_{i_{2}}-x_{i_{1}}-x_{i_{2}}), ..$$(-1)^{m-1}(-x_{1}x_{2}\cdots x_{m}+x_{2}\cdots x_{m}+\cdots+x_{1}\cdots x_{m-1})$となる．

定理 6($F_{B}$$F_{B}$の特異点集合)の特異点集合は，
Sing$(I_{B}(m))= V(x_{1}\cdots x_{m}\prod_{1\leq i_{1}\leq m}(1-x_{i_{1}})\prod_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq m}(x_{i_{1}}x_{i_{2}}-x_{i_{1}}-x_{i_{2}})\cdots$$(x_{1}x_{2}\cdots x_{m}-x_{2}\cdots x_{m}-\cdots-x_{1}\cdots x_{m-1}))$で与えられる．

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参考文献
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$Hypefgeometr\dot{l}\mathcal{C}$

Differential Equa-