数理解析研究所講究録 1354 巻 2004 年 74-82

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Quasicentral Approximate Units
andFinitely Generated Groups
類 (OKAYASU)
Osaka Kyoiku University

大阪教育大学岡安$\mathrm{R}\mathrm{u}\mathrm{i}$このノートは Voiculescu によるヒルベルト空間上作用素の摂動理論で定義された不変量と有限生成群との関係についてわかってぃることをまとめたものです [Oka3] と合わせて参照ください.

1

Voiculescu の不変量

ますは簡単に Voiculescu の摂動理論について復習する. 詳しく知りたい場合は, 一般のノルムイデアルは [GK], Voiculescu の摂動理論は [Voil],[VOi2], [VOi3] やそれらにでている参考文献を参照せよ. このノートでは,を可分無限次元ヒルベルト空間とし,をそれそれ有界線形作用素, コンパクト作用素, 有限階作用素全体とする.
$H$

定義 1.

$\mathrm{B}(H),$$T\in \mathrm{F}(H)$$||$の特異値を

T $||_{p}=\{$$(sj)j\in \mathrm{N}$$\mathrm{K}(H),$$\mathrm{F}(H)$とする. ます,$\sup_{j\in \mathrm{N}}s_{j}$lp$( \sum_{j\in \mathrm{N}}s_{j}^{\mathrm{p}})1$

if $p=\infty$
if $1\leq p<$ opと定義する. これらのノルムはそれそれノルムイデアルャッテンクラス) に対応している.
で次に, 数列$\mathrm{K}(H)$, Cp(H)(シ$\pi=(\pi j)j\in \mathrm{N}$$\pi_{1}=1\geq\pi_{2}\geq\pi_{3}\geq.$..

$\geq 0$を満たすちのを取ってきたとき,$||T||_{\pi}= \sum_{j\in \mathrm{N}}s_{Fi}$と定義して, このノルムに関して
く特に,$\mathrm{F}(H)$を完備化したものを $C_{\pi}(H)$ と書$(1<p\leq\infty)$としたとき,と書くことにする. $p=\infty$ のとき,はマサエフノルム (Macaev norm) と呼ばれ, 重要な性質を持ってぃる.
$(C_{p}^{-}(H), | ||||_{\mathrm{p}}^{-})$$C_{\infty}^{-}(H)$75
注意 2. 次のような包含関係が成立することを注意しておく.

(H)$(1\leq p<q<\infty)$$\mathrm{F}(H)\neq\subset C_{p}(H)\neq\subset C_{q}^{-}(H)\neq\subset C_{q}(H)\neq\subset C_{\infty}^{-}(H)\subset \mathrm{K}\neq$

定義 3. 作用素の組 $\tau=(T_{1}, \ldots, T_{N})\in \mathrm{B}(H)^{N}$ に対して,

A-A$T_{i}||_{\pi}$$k_{\pi}( \tau)=\lim_{A\in \mathrm{F}(H}\inf_{)_{1}^{+}}\max_{1\leq*\leq N}.||T_{i}$と定義する. 特に; ノルムと書くことにする.
に対してはについても同様にシャッテンノルムに対して定義する. 但し,$k_{p}(\tau)$$k_{p}^{-}(\tau)$$||\cdot||_{p}^{-}$$||(||_{p}$$\mathrm{F}(H)+_{=}1${$A\in \mathrm{F}$(H) $|0\leq A\leq I$ }である.

注意 4. $k_{\pi}(\tau)=0$ であることと擬中心的近似列 (quasicentral pproximateunit) が存在することは同値である. 即ち,$\mathrm{a}$$\exists A,$

2$\in \mathrm{F}(H)+1$,$A_{n}\nearrow$

I(SOT),$||T_{\dot{*}}$

AA-A l$n$$||_{\pi}arrow 0$$(narrow\infty)$.

有限生成群と成長度

ここに書いてあることは, 例えば [Har] に詳しく書いてあるので, 興味のある方はそちらの本を参照してください.
で書ぐ このとを有限生威群, をその有限生成系とし, 語長をき, 語長の長さが 以下の元の個数を\Gam a , $S)$ で書くことにする.
$S$$\Gamma$$|\rangle$$n$$\beta_{n}($$\beta_{n}$定義 5.

$\beta_{\mathrm{n}}(\Gamma, S)$$|_{s}$(r, ) $=\{g\in\Gamma||g|_{S}\leq n\}$ .
$S$の増大度により有限生成群$\Gamma$は次の 3 つのタイプに分類

でをる.

(1) 指数的$(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}1)\Leftrightarrow\beta_{\mathrm{n}}(\Gamma, S)>Cv^{n}$(2) 多項式的\Gam a , $S)\leq Cv^{d}$$(\mathrm{p}\mathrm{o}1\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{a}1)\Leftrightarrow\beta_{n}($$(C>0, v >1)$ ,$(C>0, d \geq 1)$,(3) 中間的 (intermmliate)\Leftarrow \rightarrow 指数的でも多項式的でもない.
注意 6. 上の定義は有限生成系$S$の選ひ方に依らない.

注意 7. 中間的或長度をちつ有限生或群が存在する. (Grigorchuk 群)

78
定義 8. 次を成長度エントロピー (growth entropy) と呼ぶことにする.

.

$\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)=\lim_{narrow\infty}\frac{\log\beta_{n}(\Gamma,S)}{n}$

注意 9.

ならば,

$\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)=0$

定瑠 10. 有限生成群$\exists d\in \mathrm{N},$$\Gamma$$\Gamma$は指数的成長度をもたない.

が多項式的成長度を持つとき,$C_{1}n^{d}\leq\beta_{n}$が成立する. この自然数

$d$

(I, )
$S$

$\leq C_{2}$n$d$$(C_{1}, C_{2}>0)$を多項式的成長度の次数 (degree) と呼ぶ.

Voiculescu の不変量と有限生成群

3

有限生成群 の左正則表現を とするとき, 有限生或系 をひとつ決めができる. ます, マサエフノル
れば, ユニタリー作用素の組ムに対する Voiculescu の不変量について考えると次が成立する.
$\Gamma$$S$$\lambda$$\lambda_{S}=(\lambda_{\epsilon})_{sES}$$k_{\infty}^{-}(\lambda s)$

命題 1L([Oka1])$k_{\infty}^{-}(\lambda_{\mathrm{S}})\leq \mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)$.

この命題から次のような問題が思いつく.

(1) いつ等号が成立するか
であ(もし有限生成群が指数的成長度をもたなければるから上の命題より常に等号が成立し, 値はゼロである. よって意味があるのは有限生成群が指数的成長度をもつときである.)$\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)=0$(2)の値を決定する.となるから(有限生成群が指数的成長度をもたなければ擬中心的近似列がマサエフイデアルに関して存在する. よって, イデアルを小さ <(p を小さ ) していけば, いつか擬中心的近似列が存在しないイデアルに到達する.)$k_{\mathrm{p}S}^{-(\lambda)}\neq 0$となる$p$$k_{\infty}^{-}(\lambda s)=0$$\langle$

それそれの問題について各セクションに分けて考えよう.

3.1$\Gamma$

Voiculescu の不変量と成長度エントロピー
を自由群$\mathrm{F}_{N},$$S$を標準的な生成系としたとき,$k_{\infty}^{-}(\lambda s)=\log(2N-1)=\mathrm{g}\mathrm{r}(\mathrm{F}_{N}, S)$が威立することがわかっていた ([Okal]). 自由群は Gromov によって定義された双曲群 ([Gr02]) の典型例である. そこで双曲群について等号が成立するかを考える, ます次の結果を紹介する.

77定理 12. ([CP])(1) $X$ を -双曲的な固有測地空間とし, $X$ 上の “コサイクル” 全体の空間を とおく このとき, から無限遠境界 $X$ への全射連続写像が存在する.
$\delta$$\Phi$$\Phi$$\pi$のケーリーグラフのとき, 整数値コサイクル全体へからをとおけば, (1) で得られた写像の制限 はの全射連続写像かつ uniformly finite to one である.

(2) 特に $X$ が双曲群$\Gamma$$\Phi_{0}\subset\Phi$$\pi_{0}$$\Gamma$$\Phi_{0}$上の連続写像 が存在し, 力学系(3) 更に整数値コサイクルの空間と位相共役である.
はある shift of finite type$\Phi_{0}$$\alpha$$\Sigma(\infty)$$(\Phi_{0}, \alpha)$

詳しい定義なとは省略するが, 重要なことは何か力学系 \Sigma ( ) があって,を “表現” しているということである. ここ
それがうまく無限遠境界での下かで構成された力学系の位相的エントロピーらの評価が与えられる.
$\Gamma$$h_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}(\Sigma(\infty))$

定理 13. ([Oka2])$\Gamma$$k_{\infty}^{-}(\lambda s)$を双曲群とするとき,。p$(\Sigma(\infty))\leq k_{\infty}^{-}(\lambda_{S})\leq \mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)$が成立する.

を得ることである. そのためにいが成立するかを考えよう. そのために次の我々の目標は等号
つ等号
Stallings の定理を使う.

$k_{\infty}^{-}(\lambda s)=\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)$$h_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}(\Sigma(\infty))=\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)$

定理 14. ([Sta]) 有限生成群$\Gamma$が無限個の end を持つとき, 次のいすれかに分解できる:(1) $\Gamma=G1*G_{0}G2$ (融合積),(2) $\Gamma=G*G_{0}\theta$ ($\mathrm{H}\mathrm{N}\mathrm{N}$$H\subset G_{1},$ $G$-拡大),$G_{0},$ $\theta(G_{0})\subset G$

但し, HNN-拡大の定義は群-部分群が与えられたとき,$G*G_{0}\theta:=\langle$

2 は有限部分群,$G\supset G_{0}$は有限部分群.と別の埋め込み

G, $x|hx=x\theta(h),$$\theta$: $G_{0}arrow G$$h\in H\rangle$で定義される群である.
定義 15. 双曲群
呼ぶ.

$\Gamma$に対して,$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\partial\Gamma<\infty$のとき, 初等的 (elementary) と78

注意 16. 双曲群

が初等的ならば, は指数的成長度をもたないので,が成立する. よって我々の目的のためには双曲群が初等的でないと仮定してよい, このとき, の end の個数も無限個ある, したがって, Stallings の定理を適用できるので, 始めから双曲群 は融合積または HNN-拡大に分解されていると仮定する.
$\Gamma$$\Gamma$$k_{\infty}^{-}(\lambda s)=\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)=0$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

定理 17. ([Oka2]) を初等的でない双曲群であり, 定理 14 のように分解されていたと仮定する.のもし, (1) $\Gamma=G_{1}*c_{0}G$ 2 かつ がを含むような有限生成系の和集合で与えられているか, または (2) $\Gamma=G*G_{0}\theta$ かっ$S=S_{0}\cup\{x, x- 1\}$ では $G$ の有限生成系でを満たすな$\Gamma$$S$$S_{1},$$G_{1},$ $G_{2}$$G_{0}$$S_{2}$$S_{0}$$G_{0},$ $\theta(G_{0})\subset S_{0}$らば,。p(\Sigma (\infty ))$=\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma,S)$が成立する. 特に$k_{\infty}^{-}(\lambda_{S})=\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)$を得る.
注意 18. Stallings の分解定理の部分群が有限であることから, 上の定理の仮定を満たすような有限生成系 は必す存在する, よって上の定理
は任意の双曲群 に対して, 等号が成立するような有限生成系 が必す 1 つは存在するという弱い結果だけしか示していない.
$G_{0}$$S$$\Gamma$$k_{\infty}^{-}(\lambda_{S})=\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)$$S$

もう少し弱い形で等号が成立するだろうか? つまり,

$k_{\infty}^{-}( \Gamma)\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma)==\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}k_{\infty}^{-}(\lambda_{S})\inf_{s}\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma,S)s$と定義したとき, もちろんするだろうか ? 簡単にが成立することがわかる.

$k_{\infty}^{-}(\Gamma)\leq \mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma)$$\Gamma=\mathrm{F}_{N}$

3.2のとき,であるが, この場合等号が成立$k_{\infty}^{-}(\mathrm{F}_{N})=\mathrm{g}\mathrm{r}(\mathrm{F}_{N})=\log(2N-1)$

oiculescu の不変量と成長度$\mathrm{V}$

問題 (2) については次のような結果が予想される:
予想 19. 有限生成群(1) 指数的$\Gamma$$\Rightarrow k_{\infty}^{-}(\lambda s)\neq 0$(2) 次数 の多項式的$d$に対して,?

$\Rightarrow h_{d}^{-}(\lambda s)\neq 0$?

注意 20. Voiculescu の不変量がゼロまたはゼロでないことは有限生成系の取り方に依らない.
$S$

78
既にわかっていることを表でまとめると次のようになる. これは有限生成群が各イデアルに対して擬中心的近似列の存在についての一覧表でのイデアルであある. コンパクト作用素全体は-環としてるから作用素環論の一般論により常に擬中心近似列が存在するので一番右側の列はすべて印になる. それそれの欄について注意をしておく.
$C^{*}$$\mathrm{K}(H)$$\mathrm{B}(H)$$\mathrm{O}$(注 1) ます Voiculescu が [VOi4] でランダムウォークエントロピーを示しているので, 特に従順群でなけれがゼロでなければ,がわかる. しカル, Rosenblatt によって, 指数的成長度をば,もつ可解群の存在が示され ([Ros]), この群の場合, とんな に対しても$h($ \Gam a , $\mu)=0$ であることもわかっている ([Kai]).
カルながら指数的成長度をもつ可解群はランク 2 の自由擬群を含むので, これも Voiculescu の結である ([Voi3]). よっ果から, ランク 2 の自由擬群を含む群は$h(\Gamma,\mu)$$k_{\infty}^{-}(\lambda s)\neq 0$$k_{\infty}^{-}(\lambda s)\neq 0$$\mu$$\text{し}$$k_{\infty}^{-}(\lambda_{S})\neq 0$て, 有限生成群が指数的成長度をもつこととランク 2 の自由擬群を含むことが同値であることを期待したいが, 残念ながらランク 2 の自由擬群を含まない指数的成長度をちつ有限生成群は存在するらしい. (例えば,Burnside 群.)(注 2) 既に注意してある. 有限生成群 が指数的成長度をもたなけれとなるから.
ば,の証明 ([VOi4]) を真(注 3) Voiculescu の $h(\Gamma,\mu)\neq 0$ ならば
似ると実は が多項式的成長度をもたなければ, 任意の $p<\infty$ に対して,$\Gamma$$\mathrm{g}\mathrm{r}(\Gamma, S)=0$$k_{\infty}^{-}(\lambda_{S})\neq 0$$\Gamma$が証明できる.
(注 4) ますが簡単にチェックできる. 後は Voiculescu の$k_{p}^{-}(\lambda_{S})\neq 0$$k_{d}(\lambda_{S})<\infty$

シャッテンノルムに関する不変量 の値は 0 または であるという結果([Voil]) を使えば良い.と離散ハイゼンベル(注 5) 2 つ注意がある. ひとつは がグ群 ([Ber]) に関しては既に予想が正しいことが示されていること. ふたであること. つまりつめは任意の $1\leq p<d$ に対して,よりち小さいイデアル (H) では確かに擬中心的近似列がとれないことが比較的簡単にチェックできるので, この 2 つの状況証拠から確かに予想$k_{d}$$\infty$$\Gamma$$\mathbb{Z}^{n}([\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{i}1])$$k_{\mathrm{p}}(\lambda_{S})\neq 0$$C_{p}$は正しそうである.

$C_{d}^{-}(H)$80
証明方法 ?

3.3

多項式的成長度をもつ有限生成群については Gromov の大定理がある.
定瑠 21. ([Grol]) 多項式的成長度をもつ有限生或群はベキ零群を有限位数の部分群として持つ.
この定理から多項式的成長度をもつ有限生威群について予想を証明す
るのにペキ零群で示せばよいことが簡単にわかる. 更に をベキ零群としたとき, 有限正規部分群 が存在して,がねじれのない群とできることから, をねじれのないベキ零群と仮定して示せば十分であること$\Gamma$$\Gamma/\Gamma_{0}$$\Gamma_{0}$$\Gamma$

もわかる.

3.4

Grigorchuk 群について

中間的或長度をちつ有限生成群として Grigorchuk 群が知られている.
Grigorchuk 群については [Har] に詳しく書いてある. Grigorchuk 群の成長度は\Gam a , $S)\sim\exp(n^{\theta})$ $(0.5157 \leq\theta\leq 0.7674)$$\beta_{n}($であるらしい. そこで更に問題として, 中間的成長度をもつ有限生成群に対応するノルムイデアルは何であるかということも当然気になってくる.
そこで新たに対称ノルムを数列 $\pi_{j\}}^{(p)}(0<p<\infty)$$\pi_{j}^{(}p)=\frac{1}{(\log 2)^{1/p}}$.

に対して定義し, 対応するイデアルを$\frac{(\log(j+1))^{1/p}}{j}$$C_{p}^{\log}(H)$と書くことにする.

注意 22. 任意の乃 $q<\infty$ に対して,である.

よって問題として例えば,なる の値を決定せよ.」 が考えられる.

$\lceil \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{k}$$p$群$\Gamma$に対して,$k_{p}^{\log}(\lambda_{S})\neq 0$と参考文献
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