数理解析研究所講究録 1394 巻 2004 年 97-108

87

Combinatorics coming from hyperplanearrangements and the Orlik-Solomon algebra

東京都立大学・理学研究科

川原行人 (Yukihito Kawahara)

Department of Mathematics,
Tokyo Metropolitan University
超平面配置の補集合上のコホモロジーの代数構造は純組合せ論的に決定される. こ
こては反対に、 コホモロジー代数によって超平面配置の組合せが決定されるか、 という問題についてマトロイドとその Orlik-Solomon 代数という枠組みで考察する. 現在、一般的な取り扱いとしては Falk [Fa] や Yuzvinsky] のサーベイを参照されたい. こ
こでは [Ka] において導入した擬マトロイド (quasi-matroid) を用いて述べることにす
る. 擬マトロイドはアファイン超平面配置の組合せの直接的な抽象化であり、通常のマトロイドの一般化にもなっている. また、超平面配置については幾何学的考察も重要で$\mathrm{u}$あり、 興味深いのであるがそれはまたの機会にすることにする.

第 1,2 節は入門的な内容で、超平面配置の枠組みて考察し、 出発点となる事柄を述べる ([OT] を参照). 第 3 節で擬マトロイドに関する定義と基本的性質について述べ、 第4 節でマトロイドの Orlik-Solomon 代数について述べる ([Ka] を参照). 第 5 節において [EF, Fa] などて述べられている予想を紹介する.

超平面配置 (Arrangement of hyperplanes)1

線形空間や射影空間などにおいて、超平面の有限集合を超平面配置と呼ぶ. 本稿で内の超平面配置 $A$ を扱う. 超平面配置 $A$ の組合せとは、簡単のため複素線形空間
は半 I 頃序
して $L:= \{\cap B=\bigcap_{H\in B}H:B\subset A, \cap B\neq\emptyset\}$ を考えることが多い.
をと定義することにより半順序集合となり、 $A$ の Intersection poset と呼ばれる. 本稿てはの情報をさらに 2 つに分けて考える:$\mathbb{C}^{\ell}$$L$$\mathrm{Y}\leqq X$$\mathrm{Y}\supseteq X$$L$$\bullet \mathcal{E}=\mathcal{E}(A)=\{B\subseteq A : \cap B\neq\emptyset\}$$T\in \mathcal{E}$$\bullet$$T\subset S\in \mathcal{E}\Rightarrow$が戒立する) てある.

$\mathrm{I}=\mathrm{I}(A)=\{B\in \mathcal{E} :あり

は (抽象的) 単体的複体 (すなわち$\mathrm{I}\subset \mathcal{E}$\mathrm{r}(\mathcal{B})=|B|\}$

を満たす-

(ここで

$\mathrm{r}(\mathcal{B})=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim(\cap B.)$

) は単体的複体て

88(注意)は階数関数 (rank function) と呼ばれ、 マトロイド理論によると単体的複体
I を与えることと階数関数 を与えることは同等である.
一般の超平面配置は平行であるものも許し、 それを強調するときにはアファイン(mlfine) 超平面配置という. 超平面配置 $A$ が寡 A\neq \emptyset \approx E $=2^{E}$ を満たすとき中心的 (central) であるという.
超平面配置の基本操作として、アファイン超平面配置から中心的超平面配置を構成する coning と、 逆に、 中心的超平面配置からアファイン超平面配置を構戒する deconingという操作がある. $A$ をアファイン超平面配置としての座標をとす
る. 超平面 $H\in A$ が勾で定義されてぃるとすると(x0,$x_{\mathit{0}}+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{\ell}x\ell=0$) の内の原点を通る超平面:勾が考えられる. また、内の超平面 $B$ : $x_{0}=0$ が取れる. そこで内の超平面配置$\mathrm{r}$$\mathrm{r}$$(x_{1}, \ldots , x_{\ell})$$\mathbb{C}^{\ell}$$+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{\ell}x_{\ell}=0(\mathrm{q}\in \mathbb{C})$$\mathbb{C}^{l+1}$$x_{1},$$\mathrm{c}H$$x_{l}$$\ldots,$$\mathbb{C}^{\ell+1}$$\mathbb{C}^{t+1}$$cA=\{cH: H\in A\}\cup\{B\}$ を $A$ の cone という.

cone のすべての超平面は原点を通るので cone は中心的である. 逆に中心的超平面配置に対して 1 っの超平面 $B$ を選択することによって、 逆の操作によりアファイン超平面配置 $dC$ が作られ の deconeという (図 1, 2). ちなみに、 アファイン超平面配置 $A$ を射影空間内の超平面配置とし
$C$

$C$

て考えたとき$B$$\backslash -$は無限遠超平面とみなすことができる.

$\mathbb{C}$l$\mathbb{C}$2$B$

図 1: coning と deconing

アファイン超平面配置による単体的複体 を図 2 で定義されるアファイン超平
面配置 $A=$ {1,2, 3, 4} で考察する. $X:=$てあり $\mathrm{r}(X)=2$ である. また、であるので、 (Y) は定義されていない. これを $A$ の cone $cA=$
において考える. $cX=$ cl,{c3, $c4$ } として例$\mathcal{E}$$\{1,2\}\in \mathcal{E}$$\mathrm{Y}:=$$\{3,4\}\not\in \mathcal{E}$$\{\mathrm{c}1, c2,c.3, \mathrm{c}4, B\}$$\mathrm{r}$$\{$$\mathrm{r}(cX\cup\{B\})=3_{\text{、}}\mathrm{r}(c\mathrm{Y})=2_{\text{、}}\mathrm{r}(\mathrm{c}\mathrm{Y}\cup\{B\})=2$$X\in \mathcal{E}\Leftrightarrow$という関係で$\mathcal{E}$

r $(\mathrm{c}X\cup\{B\})=\mathrm{r}(cX)+1$ ,が特徴付けることができる.

$\mathrm{r}(cX)=2_{\text{、}}$$\mathrm{c}2\}_{\text{、}}\mathrm{c}\mathrm{Y}=$てある. したがって$Y\not\in \mathcal{E}\Leftrightarrow$r$(c\mathrm{Y}\cup\{B\})=\mathrm{r}(c\mathrm{Y})$88$\mathbb{C}$2

図 2: coming と deconing

2

コホモロジーと Orlik-Solomon 代数

上のラームコホモロジー . (U) は各
超平面配置 $A$ の補集合
超平面に対する対数的微分形式で生威される [Br, Brieskorn(1973)]. たとえば、 ( x, )内の $x=0,$ =0, $x=y,x+y=1$ で定義される超平面による配置について、は $\omega_{1}=dx/x,$ $\omega_{2}=dy/y,$ $\omega_{3}=d(x-y)/x-y,$ $\omega_{4}=d(x+y-1)/x+y-1$ て生或さがあることがわれる. ただし、簡単な計算で、 関係式 (かる. この関係式は 3 本の直線が 1 点て交わるという、超平面配置の組合せの情報により得ることがてきる.
$U= \mathbb{C}^{\ell}\backslash \bigcup_{H\in A}H$$\text{ト^{}\theta}\circ$$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}$$\mathbb{C}^{2}$$y$$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}.(U)$$y$$v_{1}\Lambda\omega_{2}+\omega_{2}\Lambda\omega_{3}+\omega_{3}\Lambda\omega_{1}=0$

$y=0$

$x=y$

$x=0$

$x+y=1$

組合せによりコホモロジーと同形な Orlik-Solomon 代数を構或する. $E$ (=A) を有限集合とし、 $K$ を 1 をもつ可換環とする. $E$ を生或元とする $K$ 上の外積代
数を $\wedge(E)$ とする $(\wedge^{0}(E)=K, \wedge^{1}(E)=\oplus_{e\in E}K$e).
$(\mathbb{C}, \mathbb{R}, \mathbb{Z})$

定義 2.1.

$\Lambda$(E) 上の $K$ 線形微分作用素,$:\wedge^{\mathrm{p}}(E)arrow\wedge^{p-1}(E)$を次に定義する :$(e\in E)$$\bullet$$\partial_{E}1=0$$\bullet$$\partial_{E}(e_{1}\Lambda...\Lambda e_{\mathrm{p}})=\sum_{k=1}^{p}(-1)^{k-1}e_{1}\wedge\cdot$$\partial_{E}e=1$$=\partial_{E}$..

$\Lambda\hat{e_{k}}\wedge\cdot$..

$\wedge e_{p}$$(p\geq 2, e_{j}\in E)$

100$S=$ ($e_{1},$

補題 2.2.

$\ldots,$$e$p); $e_{j}\in E$ に対しては次の性質をもつ$\partial_{E}$$e_{S}:=e_{1}\Lambda$...

$\Lambda e_{\mathrm{p}}$とかくことにする.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

1.

$\partial_{E}^{2}=0$,2.

$a\in\wedge^{p}$(E) と $b\in\wedge(E)$ に対して$\partial_{E}$(a)$\Lambda b$$=(\partial_{E}a)\wedge b+(-1)^{p}a\Lambda(\partial_{E}b)$

で生或され
定義 2.3. 超平面配置 $A(=E)$ に対して、のイデアルを (A) とし、 商 $A(A):=\wedge(E)/I$ ( A) を $A$ の Orlik-Solomon
るだけで生成され代数という, 特に、 $A$ が中心的てあるときは (A) はるイデアルである.
$\{e_{S} :S\not\in \mathcal{E}\}\cup\{\partial es :S\in \mathcal{E}\backslash \mathrm{I}\}$$I$$\wedge(E)$$I$$\{\partial e_{S} :S\not\in \mathrm{I}\}$

当然、 Orlk-Solomon 代数は次数つきの非可換な代数てある.

定理 2.4([0S, Orlik-Solomon(1980)]).

$H^{p}$( U, )$\mathbb{C}$$\simeq$司$\mathrm{R}(U)\simeq A^{p}(A)$

これは、超平面配置の組合せだけによってコホモロジーが定まることを意味する. 逆(もしくはの主題である. しかし、 次の例が知られている.
に、 代数 $A(A)$ から $A$ の組合せ

Rose-Terao の例

$A,$

$B$

$(\mathcal{E},\mathrm{I})$を図 3 て定義される$\mathbb{C}^{3}$$L$) が決まるか? という問題が本稿内の中心的超平面配置とする.

$A$

$B$

図 3:

$\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{s}\triangleright \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{o}$の例

超平面 1 の上には、 3 重点が $A$ ては 2 つ、 には 1 つある. つまり、 $A$ と $B$ の組
合せが異なっている (正確には が同形でない). しかし、 Orlk-Solomon 代数は同形となることを見よう. 区別するために $E(A)=\{e,, . . ., e_{6}\}$ , $E(\mathcal{B})=\{f1, . .., f_{6}\}$ とすである. 今、線形写像 $\phi:\wedge(E(A))arrow$
る. $I(A)=\langle$
e145 ,$B$$L$$\partial e_{123},$$\partial$$\rangle$$I(\mathcal{B})=\langle\partial f123, \partial f_{456}\rangle$

101$\wedge$( $E$ (B)) を$\phi(e_{i})=f_{i}$; =1,2, 3, 6, $\phi(e_{4})=f_{5}-f_{4}+f_{1},$ $\phi(e_{5})=f_{6}-f_{5}+f_{1}$ で定義$i$する. すると$\phi$( e123)$=\phi$(e23-e13 $+e12$ )$\phi$( e145)$=\phi$(e45-e15$\partial$$\partial$$=(f_{5}-f_{4}$十五)$\Lambda$$+e\mathrm{l}4$$=$\sim 23-f13 $+f12=\partial f123$)( $f_{6}-$ f5 $+f_{1}$ )$-f_{1}\Lambda($h$-f_{5}$十五)$+f_{1}\Lambda$( f5 $-f_{4}$ 十五)$=(f_{5}-f_{4})\Lambda(f_{6}-f_{5})=f_{5}\wedge f_{6}-f_{4}\Lambda f_{6}+f_{4}\Lambda f_{5}=\partial f_{456}$となり、 $I(A)\simeq I$ (B) であるから $A(A)\simeq A(\mathcal{B})$ となる. これは Orlik-Solomon 代数は同形てあり組合せが異なる例を与えている.

3

擬マトロイド$(\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{i}-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{d})$超平面配置 $A$ に対するを組合せ的に抽象化したものとしてマトロイドというものがある. 通常、 有限集合を大文字 $A,$ $B,$
, その要素を小文字$a,$でかき、 $S\cup e=S\cup\{e\}$ などの記号法を用いる. 一般のマトロイド理論 [こついては [Ox, We, Wh] を参照されたい.
$E$ を有限集合(超平面配置において $A$ にあたる) とする.
$\mathrm{I}=\{S\in \mathcal{E} :\mathrm{r}(S)=|5|\}$$\ldots$$b,$$\ldots$

定義 3.1,(I)$\mathrm{I}(\neq\emptyset)$$I_{1},$ $I_{2}\in \mathrm{I}$は単体的複体 (すなわちかつ $|I_{1}|<|I_{2}|$ に対して、.

$S’\subset S\in \mathrm{I}\Rightarrow S’\in \mathrm{I}$$e\in I_{2}\backslash I_{1}$でが成立する) であり、

$I_{1}\cup e\in \mathrm{I}$となるものが存在する.

を満たすとき、 ペア $M=$
をマトロイド (matroid) という、
トロイド複体, 独立集合族などと呼ばれる.
$(E,\mathrm{I})$はマ$\mathrm{I}=\mathrm{I}(M)$

したがって、 中心的超平面配置の組合せはマトロイドで表現されるといえる. アファ
イン超平面配置 $A=E$ の組合せはのマトロイド $M\cdot=$と付加した$\infty \mathrm{n}\mathrm{e}cA$$(E\cup b,\mathrm{I})$超平面 によって記述される. マトロイド $M$ と基点
イド (pointed matroid) と呼ばれる.
$b$

定義 3.2.

(Q)$\mathrm{I}$$X\in \mathcal{E}$$b$との組 $(M, b)$ は点っきマトロ

をマトロイド複体とし、 I を含む単体的複体と $X$ に含まれる I の極大元を満たすとき. 複体のペア $Q=$$(\mathcal{E},\mathrm{I})$

$I$

に対して、

$\mathcal{E}$(I$\subset \mathcal{E}$) が$I\cup e\in \mathcal{E}\Rightarrow X\cup e\in \mathcal{E}$.

を擬マトロイドと呼ぶことにする.

もし、であるとき $Q$ はマトロイドと考えることができ、擬マトロイドはマ
トロイドの拡張 (–ffi 化) となる. マトロイド同様、 以下の言葉が定義できる.
$\mathcal{E}=2^{E}$$\bullet$I のメンバーを独立集合 (independent set) という.

102$\bullet$$\mathcal{E}\backslash \mathrm{I}$のメンバーを従属集合 (dependent set) という.

・極大な独立集合を基底 (base) という

1・マトロイドの性質から基底のサイズ (要素数) はすべて同じになる. これを $Q$ の
階数 (rank) といい、 (Q) とかく$\mathrm{r}$$|$・極小の従属集合をサーキット (circuit) という.
さらに$\bullet$$\bullet$$X\in \mathcal{E}$

に対して

$X$

に含まれる極大の独立集合を $X$ の基底 (base) という.

$X$の基底のサイズを $X$ の階数 (rank) といい、 ( X) とかく$\mathrm{r}$・階数を変えす $X$ を含む最大の$\mathcal{E}$のメンバーを $X$ の閉包 (closure) という:$\mathrm{d}(X)=\cup\{\mathrm{Y}\in \mathcal{E} :\mathrm{Y}\supset X,\mathrm{r}(\mathrm{Y})=\mathrm{r}(X)\}$(注意: 条件 (Q) によって閉包の定義が$\bullet$$\mathrm{c}1(X)=X$となる$X\in \mathcal{E}$.

-define となる)$\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{U}$を閉集合 (fiat) という.

・閉集合全体の集合 $L(Q)$ は poeet(半順序集合) になる.
例1

超平面配置 $A$ に対して、第 1 節で定義したは擬マトロイドになる: 実際、を $X=$ 為に含まれる極大な部分集合 (基底) とすると、$(\mathcal{E},\mathrm{I})$$I=B_{1}\in \mathrm{I}$であり$\mathrm{c}\mathrm{o}\dim(\cap B_{1})=|B_{1}|$$I\cup\{H\}\in \mathcal{E}\Rightarrow$

となり

例2

$\cap B_{1}=\cap B_{2}\neq\emptyset$$\in \mathcal{E}$$Q(A)=(\mathcal{E},\mathrm{I})$てあるから$(\cap B_{1})\cap H$$\neq\emptyset\Rightarrow$$(\cap B_{2})\cap H$$\neq\emptyset\Rightarrow X$$\cup\{H\}\in \mathcal{E}$は擬マトロイドである.

点つきマトロイド $(M, b)(M= (E\cup b,\mathrm{I}))$ に対して$\mathcal{E}:=\{X\subseteq E|b\not\in \mathrm{c}1(X)\}=\{X\subseteq E|\mathrm{r}(X\cup b)=\mathrm{r}(X)+1\}$と定義すると (f’) が擬マトロイドになる. これは、超平面配置でいう deconing に対応している.
から $(M, b)$ を構或することがてきる (すなわち、超平面配置の coning
逆に、は純組合せ的にすることがてきる)$\mathrm{I}’’=\mathcal{E}\cap \mathrm{I}=\{I|I\cup b\in \mathrm{I}\}$$\mathcal{E},\mathrm{I}$$(\mathcal{E},\mathrm{I}\prime\prime)$

定理 3.3 ([Ka]). 擬マトロイドに対して、 点つきマトロイド $(M, b)$ が一
意に構或てきる. ( $M=Q*b$ とかくことにする).
$Q=(\mathcal{E},\mathrm{I}\prime\prime)$

103
証明の概要.
$\mathrm{I}:=\{I\cup e|I\in \mathrm{I}^{\prime/}, e\in E, I\cup e\not\in \mathcal{E}\}$$\mathrm{I}’’*b$$:=\{I\cup b|I\in \mathrm{I}’’\}$$\mathrm{I}:=\mathrm{I}’’\cup$$\mathrm{I}’:=\mathrm{I}’’\cup$

I $\cup X’*b$

Iとすると, I が (I) を満たすことをチェックする. すると $M=(E\cup b,\mathrm{I})$ がマトロ
イドとなり、 点つきマトロイド $(M, b)$ に対する擬マトロイドが $Q$ になる.
口$\mathrm{I}^{\gamma}$

したがって、擬マトロイドと点つきマトロイドは同等なものである. そこで乱暴であるが $Q=$ $(M, b)$ とかくことを許すことにする. また、 マトロイド $M$ の poset $L(M)$は幾何的束 (geometric lattice) であるが、 ( Q) は幾何的半束 (geometric semi-lattice[ 梱) となる.
$L$

定義 3.4. 2 つの擬マトロイド$Q_{1}=(\mathcal{E}_{1},\mathrm{I}_{1})$$\mathcal{E}=\{X_{1}\cup X_{2}|X_{1}\in \mathcal{E}_{1}, X_{2}\in\ \}$

とすると
にする.

$(\mathcal{E},\mathrm{I})$は擬マトロイドとなり、$Q_{1}$, Q2=(^, 為) に対して、,$\mathrm{I}=$と$Q_{2}${$I_{1}\cup I_{2}$$|I_{1}\in \mathrm{I}_{1}$の直和と呼ひ、, $I2\in$ 為}$Q_{1}\oplus Q_{2}$とかくこと-方、 点つきマトロイドの圏は [Bry, T. Brylawski(1971)] によって構戒されている.
その中ては、 点つきマトロイドの直和を parallel connection という構成法て定義される: 点つきマトロイドとを同一視して得られるマト( M2, ) に対してロイドをの parallel connection と ‘い、 $P(M_{1}, M_{2;}b_{1}=b_{2})$ とと$(M_{1}, b_{1}),$$(M_{1}, b_{1})$か$b_{2}$$b_{1}$$b_{2}$$(M_{2}, b_{2})$$\mathrm{A}$$\text{く_{}1}$

補題 3.5. $(Q_{1}\oplus Q_{2})*b=P(Q_{1}*b_{1}, Q_{2}*b_{2;}b_{1}=b_{2})$$\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{s}\triangleright \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{o}$4の例は組合せ的には parallel connection によって得られるのである.

Orlik-Solomon 代数

有限集合 $E$ 上て考える. 擬マトロイド $Q=$
に対して Orlik-Solomon 代数$A(Q)$ は超平面配置と同様に定義できる:( Q) を {es :}で生成されるイデアノレとして、 $A(Q)=\wedge(E)/I$ ( Q) を $Q$ の Orlik-Solomon 代数という. 特に、 マトロイド $M=$
に対する Orlik-Solomon 代数 $A(M)$ は、 $I(M)$をで生戒されるイデアルとして $A(M)=\wedge(E)/I$ ( M) て定義される.
$A(M)$ はよい性質をもつ.
$(\mathcal{E},\mathrm{I}\prime\prime)$$I$$(E,\mathrm{I})$$\{\partial es :S\not\in \mathrm{I}\}$

補題 4.1. $\partial_{E}I(M)\subseteq I(M)$$S\not\in \mathcal{E}$$\cup\{\partial es :S\in \mathcal{E}, S\not\in \mathrm{I}’’\}$

104
証明.

$e_{T}\partial e_{s}\in I$(M) として(eT\partial es)$=(\partial e\tau)(\partial es)\pm e_{T}(\partial^{2}es)=(\partial e\tau)(\partial es)\in I$

( M).
口

したがって

$\partial_{E}$は$\partial_{M}$:$A^{\mathrm{p}}(M)arrow A^{p-1}(M)$を誘導し、 次の性質をもつ

1.

$\partial_{M}^{2}=0$2.

$a\in A^{p}$$3$,. ( (M),$A$と $b\in A$ に対して$\partial_{M}$M(a\wedge b)=( Ma)$\Lambda b+(-1)^{\mathrm{p}}a\Lambda(\partial_{M}b)$) は枢了 clic てある:($\partial_{M}(A^{\mathrm{p}+1}(M)):=m(aM : A^{p+1}(M)arrow A^{\mathrm{p}}(M))=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}$ $\partial_{M}$:$A^{p}(M)arrow A\mathrm{p}-$1(M))

これはマトロイドの場合だけ考えられことてある. 一般の擬マトロイド $Q$ では補題
は存在しない.
4.1 は成立せす、$\partial_{Q}$定理 4.2. $Q$ を擬マトロイド、 $M=Q*b$ $(Q= (M, b))$ とするとき、 同型$A(Q)=\partial_{M}(A(M))$

が存在する.
証明の概要. $(A(M), \partial_{M})$ が acyclic であることから、 短完全系列$0arrow\partial(A)arrow Aarrow\partial(A)i\partialarrow 0$が存在する. また、$\partial(\omega)=1$となる$\omega\in A^{1}$に対して、線形写像t。: $\partial(A)arrow A$ :が定義でき、$t_{\mathrm{t}d}$は寮效

$(\partial t_{\omega}=1)$t、(d)$=\omega\Lambda d$となる. よって短完全系列は分裂する:$0arrow\partial(A)arrow^{t_{\omega}}As$

与$(A)arrow 0$.

ここで、 s。は$s_{\omega}$て与えられる.

:$Aarrow\partial(A)$

:

s。(a)

$=\partial(\omega\wedge a)$.

105
一方、 マトロイド $M$ は $E=$ {Q,$e_{1},$$\ldots,$

トロイド $(M, e_{0})$ によるものだとして、 $Q$
で、 射$\psi_{0}$$:\wedge(E_{0})arrow\wedge(E)$} 上にあり、. 擬マトロイド を点っきマがn} 上にあるとする。 ここ{$Q$$e_{n}$$E_{0}=$$e_{1},$$\ldots,$$e$

を $\psi_{0}(e_{i})=e_{i}-e_{0}$ で定義する. ここで、

$0arrow A^{\cdot}(Q)arrow A^{\cdot}(M)\prec\partial\tilde{\psi}_{\mathrm{O}}\partial$

(

(M))

$A^{\cdot}$$\psi_{0}$は短完全系列$arrow 0$を誘導することをチェックすることができる. したがって、 可換図式
$0arrow$$A$. $(Q)$$arrow\overline{\psi}_{0}A.(M)-^{\partial}\partial(A.(M))arrow 0$$\pi 0\downarrow$(A.(M))\rightarrow :0\rightarrowがてきる. ここて、$||$$\pi_{0}=s_{\mathrm{e}_{0}}\tilde{\psi}_{0}$$||$$arrow A.(M)-^{\partial}\partial$である. したがつ. て、(A.(M))–0,$\pi_{0}$は同型となる.

$\pi_{0}$を具体的に与えておくと\pi 0(q.)=\partial (へ. $-$ へ))$\wedge(\mathrm{q}$

$=$

果一

$e_{0}$て定義される.

口

この定理から、 点つきマトロイドの Orlik-Solomon 代数はその基点の取り方によらないことがわかる. また、 超平面配置ては無限遠超平面を特別視しないで補集合上のコホモロジーを記述していることになる.
今、$Q_{1},$$Q_{2}$$Q_{1}=(M_{1}, \mathrm{h}),$を擬マトロイドとし $M_{1}=Q_{1}*b1,$ $M_{2}=Q_{2}*b2$ としよう. つまり、
$Q_{2}=(\mathrm{A}\mathrm{f}_{2}, \mathrm{h})$となっている. ます、 次がすくに示せる :命題 4.3.
$A(Q_{1}\oplus Q_{2})=A(Q_{1})\otimes A(Q_{2})$証明. 一般に擬マトロイド $Q=$

{ :{$e_{S}$$\cup$$S$は$\mathcal{E}$$\partial es:S\in \mathcal{E}$$(\mathcal{E},\mathrm{I})$.

に対して (Q) は$I$に属さない極小の部分集合}
かつ $S$ は I に属さない極小の部分集合 (サーキット)}て生威されることがわかる. この生或系を用いると $I(Q_{1}\oplus Q_{2})$ の生威系は ( Q1) と
$I$

$I$

(Q2) の生成系の和になることが確認できる.

口

次に、マトロイドを擬マトロイドとしてみると $M_{1}*c=M_{1}\oplus c$ てある. すなわち、点つきマトロイド $(M_{1}\oplus c, c)$ の擬マトロイドがと考えられる:.
となる.
一方、 基点を変えて $(M_{1}\oplus c, b1)$ の擬マトロイドは$M_{1}$$M_{1}$$Q_{1}\oplus c$$M_{1}=(M_{1}\oplus \mathrm{c}, \mathrm{c})$106
よって Orlik-Solomon 代数は基点の取り方によらないので$A(M_{1})=A(Q_{1}\oplus c)$

とオる.
さらに

$M_{1}\oplus Q_{2}$を考える:$(M_{1}\oplus Q2)$$*b$ $=M_{1}\oplus(Q_{2}*b)=M_{1}\oplus M_{2}$となっている. つまり、 $(M_{1}\oplus M_{2}, \mathrm{h})=M_{1}\oplus Q_{2}$ ということてある. これらを用いて次の同型がある:( b2 を基点とした)A(Ml\oplus M2) $=A(M_{1}\oplus Q_{2})$(命題 4.3)$=A(M_{1})\otimes A(Q_{2})$(上述の基点の取り替え)$=A(Q_{1}\oplus c)\otimes A(Q_{2})$$=A(Q_{1}\oplus c\oplus Q_{2})$(命題 4.3)$=A([Q_{1}\oplus Q_{2}]\oplus c)$(並ひ替え)$=\partial A$( $P$ (M1,

$M_{2})\oplus c$(補題 3.5 と定理 4.2))

( c を基点とした)$=A$ ( $P$ (M1, $M_{2}$ ))

結果をまとめると定理 4.4. マトロイドが存在する:$\partial$$M_{1},$

2 の parallel comection $P$ (M|1,$M$

A(M$1\oplus M2$ ) $\simeq A(P(M_{1}, M_{2}))$ ,$M_{2}$) に対して、 次の同型

$A(M_{1}\oplus M2)\simeq A(P(M_{1},M_{2})\oplus c)$

したがって、 マトロイドが同型てなく Orlik-Solomon 代数が同型である例を parallel
nnection によって構成することがてきる.

5

問題と予想
定理 4.4 によると Orlik-Solomon 代数が同型てあるが、 マトロイドが同型でないものが parallel connection で構威てきる. そこで次の問題と予想が考えられる :問題

parallel comection とならないマトロイドてマトロイドが同型てなく、Orlik-Solomon 代数が同型となるものを見つけよ.
予想

parallel connection とならないマトロイドては、Orlik-Solomon 代数が同型$\Leftrightarrow$

マトロイドが同型直和に分解されない擬マトロイドを既約と呼べば、擬マトロイドの言葉で言い直すと

107
予想

既約な擬マトロイドにおいて、基点の変換で移り合う
Orlik-Solomon 代数が同型$\Leftrightarrow$という予想が立てられる. しかし、 実はマトロイドにおける truncation という操作
について、においても、 Orlik-Solomon 代数の同型が保たれる: マトロイド$T$$A(M_{1})\simeq A(M_{2})$ ならば $A(T(M_{1}))\simeq A$ ( $T($ M2)) となる.
ここで( M) はマトロ
イド $M$ の truncation である. そして parallel connection の truncation は paxallel$M_{1},$$M_{2}$

comection とはなっていないので、 最終的には次の予想になる:
parallel予想

truncation とならないマトロイドにおいて.

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}_{\text{、}}$

Orlik-Solomon 代数が同型$\Leftrightarrow$

マトロイドが同型

ただし、 parallel comection による構戒が本質的であると思われるのて、 ここては truncation については [Ox], [Fa] を参照されたい. また、 マトロイド $N$ がマトロイド $M$の truncation となっているとき $(N=T(M))_{\text{、}}M$ は $N$ の erection と呼ばれている.
paraleltmncation とならない (erection を持たない) マトロイドは超平面$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}_{\text{、}}$

配置ていうと幾何的には考えやすいものになっているのてあるが、詳しくはまたの機会に紹介することにし、 Rose-Terao の例の構成法によって紹介する.
$\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}-\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{o}$の例

次の 3 つの超平面配置を用意する.

$A_{1}/\mathbb{C}^{1}$$4/\mathbb{C}^{2}$$A_{2}/\mathbb{C}^{2}$

4

4

5
5
は
の超平面配置である ([OT] を参照
ここて超平面配置の積を generic なの超平面配置が $dB$ である. 同様に、
で切った
のこと).
と
の補集合は一を generic なで切ったものが dA である. 当然、
致 (または同相) し、 $A$ との補集合は同相となる. したがって、 そのコホモロジー
は同型てある. そして、超平面配置の積が擬マトロイドの直積 (マトロイドの parallel
connection) に対応していて、 generic な空間て切ることが tnmcation に対応している.
$\mathbb{C}^{1}\mathrm{x}\mathbb{C}^{2}=\mathbb{C}^{3}$$A_{1}\mathrm{x}A_{2}$$A_{1}\cross A_{2}$$\mathbb{C}^{2}$$A_{1}\cross A_{3}$$\mathbb{C}^{2}$$A_{2}$$\mathbb{C}^{2}$$A_{8}$

$B$

最後に、
問題

parallel$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}_{\text{、}}$

truncation とならないマトロイドをもつ超平面配置において、 補集合が同相てあるなら、 マトロイドは同型てあるだろ$\dot{0}\mathrm{B}>$.

などが考えられて、 トポロジーと組合せに関しても興味深いものがある.

108
参考文献
[Br]

E. Brieskorn, Sur les groupes de tresses, S\’eminarire Bourbakiin Math. 317 Springer, (1973),.

Lecture Notes$21\ovalbox{\tt\small REJECT}$[Bry]

T. Brylawski, A combinatorial model for series-parallel networks, Trans. Amer.
Math. Soc. 154 (1971), 1-22.

[EF]

C. Eschenbrenner and M. Falk, Orlik-Solomon algebras and htte polynomials,
J. Algebraic Combinatorics 10 (1999) 189-199.

$\mathrm{F}\mathrm{a}]$M. Falk, Combinatorial and algebraic stmcture in Orlik-Solomon algebras, European J. of Combin. 22 (2001) 687-698.

[Ka]

Y. Kawahara, On matroids and Orlik-Solomon algebras, Annals of Combina
torics, to appear.

[OS]

P. Orlik and L. Solomon, Combinatorics and topology of complements of hyperplanes, Invent. Math. 56 (1980) 167-189.

[OT]

P. Orlik and H. Terao, Amngemenls of Hyperplanes, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 300, Springer-Verlag, (1992).

[Ox]

J. Oxley, Matrvyid Theory, Cambridge Univ. Press. Cambridge, (1993).

$W^{\mathrm{V}}1$

M. L.
367-385.

$\mathrm{W}\mathrm{a}\mathrm{d}_{1\mathrm{S}}$and J. W. Walker, On geometric semilattices, Order 2 (1986),[We]

D.J.A. Welsh, Matroid Theory , Academic Press. London, (1976).

[Wh]

N. White, editor,(1986).

$\mathrm{E}1$

Theory of Matmids, Cambridge Univ. Press. Cambridge,

S. Yuzvinsky, Orlik-Solomon algebras in algebra and topology, Uspehi Mat.
Nauk 56 (2001), 87-166 and Russian Math. Surveys 56 (2001).