称号及び氏名

博士（理学）

学位授与の日付

2022 年 3 月 31 日

論

One-Dimensional Quantum Transport Theory in Terms of the Complex

文名

中出捷

Spectral Analysis of Liouvillian（リウビリアンの複素固有値問題に基づく一次元量子輸送理論）

論文審査委員

主査
副査
副査
副査

神吉 一樹
田中 智
溝口 幸司
会沢 成彦

論文要旨
One-Dimensional Quantum Transport Theoryin Terms of the Complex Spectral Analysis of Liouvillian（リウビリアンの複素固有値問題に基づく一次元量子輸送理論）
大阪府立大学大学院 理学系研究科
物理科学専攻中出 捷

⼀次元量⼦系における⾮平衡量⼦輸送現象を，微視的な⼒学原理であるリウビル-フォン・ノイマン⽅程式の複素スペクトル表⽰に基づいて研究した成果を報告する．
不可逆な現象はこの世界のあらゆる場所に溢れているが，それらを可逆な⼒学原理から説明することは，現在でも物理学の基本的問題として議論されている．不可逆な現象を取り扱う従来の⽅法として，Boltzmann ⽅程式に代表される運動論的⽅程式による解析がある．しかし，これらの運動論的⽅程式は粗視化を含む現象論的な近似を経て導出されたものであり，Boltzmann 以降，不可逆性が現れる根拠が，巨視的な⾃由度や情報を処理できない⼈間の不完全さにあるという主張がなされてきた．それに対して，IlyaPrigogine による散逸構造理論では，⾼度で複雑な構造が物理学の法則に従いながら⾃発的に創出されるためには，熱⼒学第⼆法則，すなわち不可逆性の存在が必要条件として不可⽋であり，⼈間の不完全さが原因で⽣まれるものではないとした．
そして，運動論に対する微視的⼒学原理からの基礎づけが，近年，Tomio Petrosky，Ilya Prigogine らによって開発されたリウビリアンの複素スペクトル表⽰による⾮平衡統計⼒学の新しい定式化によって与えられた．この⽅法では連続スペクトルを持つ環境系も含めた無限⾃由度の全系の密度演算⼦の時間発展を司るリウビリアンの固有値問
題を⾮エルミート空間に拡張して，その複素固有値問題として考える．この定式化により，不可逆性が現れるために本質的である共鳴特異性の寄与を明確にしながら，可逆な⼒学原理に無⽭盾に不可逆な現象を定量的に分析することができる．
リウビリアンの複素固有値問題による定式化は，様々な物理系に対して適⽤され，⼤きな成果を上げてきた．本研究は，この理論を⽤いて⼀次元量⼦分⼦鎖における⾮平衡輸送現象を微視的視点から解析したものである．リウビリアンの複素固有値の虚部から，拡散係数などの輸送係数を計算することができる．⼀次元系における不可逆な輸送特性

については，その数学的な単純さ故に⾼度に複雑な事象を解析的に論じる可能性を与えてくれている．さらに，低次元であることに起因する特異性から以下に論じるように，⼀次元特有な興味ある現象が⾒られる．また，近年の実験技術の進展により低次元系の輸送現象の観測が可能になり，単なる数学的な興味とされていた⼀次元系の物理的な振る舞いの分析の重要性も増している．
本研究では，⼀次元量⼦系の具体例として，Davydov の⼀次元タンパク質分⼦鎖モデルを扱った．このモデルは，⼀次元量⼦分⼦鎖上で熱浴としてのフォノンと弱結合した励起⼦伝播を扱うモデルである．タンパク質上の励起⼦伝播は実験で観測されており，それもこのモデルを選んだ理由の⼀つである． このモデルは励起⼦に対する⼀次元タイトバインディングモデルに熱浴としてのフォノン系が弱結合した単純なモデルとなっているため，このモデルの解析により，⽣体系に限らず物性論で論じられている⼀次元量⼦系の輸送現象のユニバーサルな性質も明らかになる．
本論⽂の構成と各章の内容の要約を以下にまとめる．本論⽂は 5 章からなる．
第 1 章はイントロダクションであり，本研究の背景，主要な成果，構成について述べる．
第２章では，⼀次元量⼦分⼦鎖モデルとして Davydov モデルを導⼊する．フォノン系は熱平衡状態であるとして，全系の密度演算⼦が従う⼒学原理であるリウビル-フォンノイマン⽅程式から出発して不可逆な Boltzmann ⽅程式を導出する．そのために，リウビリアンの複素固有値問題を考える．リウビル空間におけるウィグナー基底を⽤いた表現形式を導⼊し， Brillouin-Wigner-Feshbach の射影演算⼦法を使って，有効リウビリアンを導出する．有効リウビリアンの固有値は全系のリウビリアンの固有値に⼀致する．弱結合の状況においては，この有効リウビリアンが，流れ項と衝突項からなるBoltzmann の衝突演算⼦に⼀致する．本論⽂では，リウビリアンの複素固有値問題から導出された Boltzmann の衝突演算⼦を解析することで，励起⼦の輸送現象を解析していく．
第３章では，流体⼒学的領域において局所平衡下で出現する⼀次元量⼦系に特有な輸送モードについて述べる．励起⼦は衝突演算⼦で表されるフォノンとの共鳴条件を満たす状態のみに遷移先が制限されるので，⼀次元量⼦系では，その⼀次元性のために励起⼦の運動量が互いに素な部分空間に分離する．そのため，衝突演算⼦の固有値は各部分空間毎に存在し，固有値から定義される励起⼦伝播の輸送係数は運動量依存性を持つ．
その結果，輸送現象に位相混合による効果が現れる．この位相混合の効果はよく知られているように各⾃由度の分散公式が⾮線形なことによって引き起こされる．実際，我々の取り扱う系においても励起⼦の分散公式は運動量依存性に関して⾮線形性が仮定されている．
励起⼦の空間的不均⼀性を表す波数 k がゼロの場合の衝突演算⼦の固有値問題を解くことで，励起⼦の運動量分布の時間発展が解析できる．固有値問題を解いた結果，純虚数の値を持つ離散的な固有値スペクトラムが得られた．また，ゼロ固有値と⾮ゼロの固有値の間に縮退がないことがわかった．波数 k は連続変数でいくらでも⼩さな値をとることができるため，流体⼒学的領域を満たす⼗分⼩さな波数 k では，運動量の緩和時間が，空間分布の不均⼀性が均される時間に⽐べて充分に短く，局所平衡が成⽴する．
次に，波数 k が⾮ゼロの場合，すなわち，空間的な不均⼀性が存在する場合の衝突演算⼦の固有値問題を考えた．ただし，波数 k が⼗分⼩さく，時間対称性を破る衝突項に対し，時間対称な流れ項が⼗分⼩さく摂動とみなせる流体⼒学的領域を考えた．摂動の⼀次の効果までを取り⼊れると，局所平衡下で，励起⼦のウィグナー分布関数が線形波動⽅程式に従う流体⼒学的⾳波が現れる．このことは量⼦系であるにも関わらず，確率振幅ではなく確率そのものが線形波動⽅程式に従うという意味で驚くべきことである．
そして⼀次元の線形波動⽅程式に従うということは，波束は形を変えず安定的に伝播していく．ただし，輸送係数である流体⼒学的⾳波の伝播速度（⾳速）が運動量依存性を持つため，⾮線形性に起因した位相混合の効果で波束は拡がっていく．
流体⼒学的な⾳波は，散逸がないときに最も安定化するフォノンの⾳波とは決定的に異なり，時間対称性を破る衝突項が本質的となる状況，すなわち散逸が本質的となる状
況で出現する．このことは，通常，系を不安定化させるはずの散逸効果のおかげで，安定な⾳波的伝播が出現するという逆説的な結果を意味している．
ここまでの結果は先⾏研究として既に得られていた結果である．本論⽂では，散逸に基づいた安定化では，その⾳波を完全に安定させることは原理的に不可能であることに着⽬し．摂動の⼆次の効果に起因した拡散現象まで考慮した励起⼦の輸送モードを論じる．拡散効果まで考慮した輸送モードは移流拡散⽅程式に従い，⾳波は徐々に減衰していく．また，本論⽂では，輸送係数である⾳速と拡散係数の解析を⾏い，⾳速については楕円テータ関数を⽤いた解析関数として表現することに成功している．これによって，⾳速の運動量依存性，温度依存性が明らかになった．
さらに，本研究の新たな寄与は，⼀次元量⼦系における流体⼒学的⾳波の出現メカニズムが，古典ガス系でよく知られている従来の流体⼒学的⾳波の出現メカニズムとは全く異なる新しいメカニズムであることを明らかにしたことである．古典ガス系では，衝突演算⼦のゼロ固有値の縮退が解けることによって⾳波モードが現れるが，⼀次元量⼦分⼦鎖の衝突演算⼦には，古典ガス系の意味でのゼロ固有値の縮退は存在しない．それにも関わらず，⼀次元量⼦系で⾳波が現れるのは，⼀次元性のため運動量空間が互いに素な部分空間に分かれた結果，各部分空間内で運動量の反転対称性が破れているからである．⼆次元以上の系では，全ての運動量が結合して熱平衡状態に達するため，運動量空間内で運動量の反転対称性は保たれ，⾳波は現れない．
第 4 章では，⼀次元量⼦輸送現象に現れるいくつもの⾮⾃明で特異な性質を⽰す．まず，この系の輸送現象では，励起⼦の変位の分散の時間微分で定義した現象論的な拡散係数が時間に線形に増⼤し，⻑時間極限で発散してしまうという意味で異常拡散が起きていることを⽰す．異常拡散の原因は，輸送係数である⾳速が運動量依存性を持つため，拡散効果に加えて位相混合の効果によって波束が拡がるためである．輸送係数である⾳速と拡散係数が運動量に依存しない通常の移流拡散⽅程式の場合であれば，現象論的拡散係数は移流拡散⽅程式の輸送係数としての拡散係数に⼀致する．
初期分布に最⼩不確定波束を与えた場合は，現象論的な拡散係数は時間線形な位相混合項と定数項である拡散項だけを持つ．拡散項は必ず正の値を持ち，現象論的な拡散係数は常に正の値をとっている．しかし，初期分布を⼀般化した場合には現象論的拡散係数には，最⼩波束の場合にはなかった新たな定数項が現れ，拡散効果と位相混合効果が競合している状況では，この新たな定数項が⼤きな負の値を持ち，現象論的な拡散係数が負の値となって，⾒かけ上の負の拡散が起こる場合があることを⽰す．ただし，⾒かけ上の負の拡散が起こる状況でも H 定理は成⽴しており，この系で熱⼒学第⼆法則が破れていないことを⽰した．すなわち．ミクロな理論から導出される拡散係数は熱⼒学第⼆法則と⽭盾することなく，常に正であるが，現象論的に導かれた拡散係数は位相混合という⾮線形性の効果により，負の値も取り得ることになり，⾒かけ上熱⼒学第⼆法則に⽭盾した振る舞いをしているに過ぎないのである．
第 5 章は以上で述べた結果を整理しまとめた．

List of publications
１． Anomalous diffusion of a quantum Brownian particle in a one-dimensional
molecular chain, S. Nakade, K. Kanki, S. Tanaka, and T. Petrosky, PhysicalReview E, 102, 032137-1--17 (2020).
２． Anomalous diffusion with an apparently negative diffusion coefficient in a onedimensional quantum molecular chain model, S. Nakade, K. Kanki, S. Tanaka, andT. Petrosky, Symmetry, 13(5), 506-1--11 (2021).

学位論文審査結果の要旨
学位論文題目

One-Dimensional Quantum Transport Theory in Terms ofthe Complex Spectral Analysis of Liouvillian(リ ウ ビ リ ア ン の 複 素 固 有 値 問 題 に 基 づ く 一 次 元 量 子 輸 送 理 論 )

提出者氏名

中出 捷

非平衡統計物理学の目的は、時間反転対称な微視的力学法則から巨視的な系に現れる不可逆な時間発展がどのように生じるのかを明らかにし、不可逆な時間発展を特徴づける輸送係数を導くことである。本学位論文ではこの立場から、力学の基本原理に基づいたリウビリアンの複素固有値解析の方法を用いて１次元量子系の輸送現象を分析した結果を報告している。
１ 次 元 量 子 系 と し て は 、 粒 子 が 音 響 フ ォ ノ ン と 結 合 し た Davydov模 型 を 取 り 扱 った。リウビリアンの複素固有値解析においては、射影演算子法を用いて導出される
有 効 リ ウ ビ リ ア ン が 、流 れ 項 と 衝 突 項 か ら な る ボ ル ツ マ ン の 衝 突 演 算 子 と 一 致 す る 。
運動量分布が先に熱平衡に達し、長い波長をもつ空間的不均一性が残っている流体力学領域においては、衝突項に対して流れ項を摂動として取り扱うことにより、流体力学モードが得られる。運動量分布の緩和過程においては、１次元性のために運動量状態が互いに素な部分集合に分離し、各部分集合の中でのみ状態間の遷移が起こる。そのため、衝突演算子の固有値は運動量の各部分集合ごとに存在し、固有値が与える輸送係数は運動量依存性をもつ。これは、散逸過程を現象論ではなく力学の原理に基づいて微視的に扱ってはじめて明らかになったことであり、量子１次元系において普遍的な現象である。
流体力学領域におけるリウビリアンの固有値の摂動計算を進めることにより、先行研究で見出されていた音波モードには減衰が加わり、減衰を特徴付ける量として拡散係数が定義できることを示した。さらに、この系では音波の伝播と拡散過程が共存し、音速が運動量依存性をもつことから、実空間における分布の幅の拡がりに拡散と位相混合という２つの機構があり、分布の幅が拡がる速さで定義される現象論的な拡散係数が時間に比例して発散していくことを発見した。さらに、拡散効果と位相混合効果の競合により、現象論的な拡散係数が負になる場合があることも見出した。これらの一見異常な拡散現象が現れる場合においても、真の拡散係数は常に 正 の 定 数 で あ り 、H定 理 が 成 立 し 、熱 力 学 第 二 法 則 は 破 れ て い な い こ と も 示 し た 。
以上のように、本研究は、非平衡輸送現象の力学原理に基づく定式化を行い、１次元量子系における新奇な現象を予言したものであり、意義のある研究である。本委員会は本論文を学位論文として十分な内容を有しているものと判断した。
委員長

神吉 一樹
田中 智溝口 幸司
会沢 成彦