数理解析研究所講究録 1212 巻 2001 年 133-143

133

Milnor algebra に付随した Holonomic 系について
田島慎一 新潟大学工学部情報工学科(Shinichi TAJIIMA, Niigata University)
中村弥生 お茶の水女子大学大学院(Yayoi NAKAMURA, Ochanomizu University)

1

序
を,

次元アフィン空間の原点 $O=(0, \ldots, 0)$ の開近傍とする. $X$ 上の正則関数 $f(z)=$$f(z_{1}, \ldots, z_{n})$が, 原点 $O=(0, \ldots, 0)$ に孤立特異点を持っとする.
にょる $f$ の導関数
を, 変数
$X$

$n$

$\mathrm{c}^{n}$$f_{\dot{l}}$$z_{\dot{l}}$$f_{i}=\partial f/\partial z_{i}$とし, $f1,$$\ldots,$$f_{n}$

が $O_{X,O}$ 上で生成するイデアルを $Io$ と置く:
$I_{O}=O_{X,O}$$\langle f_{1}, \ldots, f_{n}\rangle_{\mathit{0}}$.

原点 $O$ に台を持つ代数的局所コホモロジー類 $\eta\in?t_{[O]}^{n}(O_{X})$ であり, イデアル $Io$ にょり annihilate されるもの全体を$\Sigma=\{\eta\in H_{[O]}^{n}(O_{X})|g\eta=0,\forall g\in I_{O}\}$と置く. ここで, 層は,と同型である. 今,
一視すれば, Grothendieck local residue が定める pairing$\Sigma$$\mathcal{E}xt_{\mathcal{O}_{X,O}}^{n}(Ox,\mathit{0}/Io, Ox,\mathit{0})$$\Omega x,\mathit{0}/Io\Omega x,\mathit{0}$と OX,o/I。を同$\Omega_{X,O}/I_{O}\Omega_{X,O}\mathrm{x}\mathcal{E}xt_{\mathcal{O}_{X,O}}^{n}(O_{X,O}/I_{O}, O_{X,O})arrow \mathrm{C}$が非退化であることから,$\Sigma$は, Gorenstein Artin 環$\mathit{0}_{X,O}/Io$のベクトル空間としての双対空間とみなすことができる.
の
本稿では,上の生成元となる代数的局所コホモロジー類 に対し,
1 階の微分作用素によって与えられる holonomic 系の解空間につぃて調べる.
$\Sigma$2$\Sigma$$Ox,\mathit{0}$$\sigma$$\sigma$を annihilate する貰々上に作用する微分作用素の性質

代数的局所コホモロジー類のなす集合 $\Sigma=\{\eta\in H_{[O]}^{n}(O_{X})|g\eta=0,\forall g\in Io\}$ は, 適当な代数的局所コホモロジー類を選ぶことにより,と表すことができる. このような をーっ取り, をannihilate する 1 階の線形偏微分作用素を $P$ と置く. このとき, 微分作用素 $P$ は, 次の性質を満たす.
$\sigma\in\Sigma$

補題 1$\sigma$$\Sigma=Ox,\mathit{0}\sigma$

を annihdate する 1 階の微分作用素 $P$ は,$\sigma$$\Sigma$$\sigma$上に作用する. っまり, $P\sigma=0$ ならば,$P(\Sigma)\subseteq\Sigma$が成り立つ.

証明代数的局所コホモロジー類$h\in Ox,\mathit{0}$$\sigma$は$\Sigma$の $O_{X,O}$ 上の生成元であるがら, 任意の $\eta\in\Sigma$ は, 適当な関数を用いて $\eta=h\sigma$ と表すことができる.

$\sigma$のannihilator$P= \sum_{j=1}^{n}a_{j\tau_{z_{j}}^{\partial_{-}}}+a_{0}$の 1 階部分を

134$P^{(1)}= \sum_{j=1}^{n}a_{j^{\frac{\partial}{\theta z_{j}}}}$

とおく. 今, $P$ を代数的局所コホモロジー類$P(\eta)$となり,$P(\Sigma)\subseteq\Sigma$

を得る.

$P(h\sigma)$$=$$(Ph-hP)\sigma+hP\sigma$$=$$P^{(1)}(h)\sigma\in\Sigma$

口のみで決まる. このことに注目して,$D\mathrm{z}$

に施すと,

$=$

に作用する条件は, その 1 階の部分上に作用する 1 階の微分作用素で 0 階項がないもの全体のなす集補題の証明からも明らかなように, 1 階の微分作用素 $R$ が合を$\eta$$\Sigma$$R^{(1)}$$\Sigma$

とおく. D。は明らかに$D \mathrm{z}=\{v=\sum_{j=1}^{n}aj\partial/\partial zj|v(g)\in Io,g\forall\in Io\}$と表すことができる. また,$D\mathrm{z}$に属する作用素$\overline{v}$$v$

は, $Ox,\mathit{0}/Io$ 上の線形作用素: $O_{X,O}/I_{O}arrow O_{X,O}/I_{O}$を誘導する. 混乱の恐れがないと思うので, 以下, この$\overline{v}$も$v$で表すことにする. さて,$D\mathrm{z}$に対し, 次が成

り立つ.

補題 2

$\Sigma$上に作用する微分作用素$v\in D\mathrm{z}$に対し, 適当な $a0\in Ox,\mathit{0}\subset D_{X}$ を取ると, ( 十勾)\sigma $=0$ が
$v$

成り立つ.
証明

$v\in D\mathrm{z}$より,$v\sigma\in\Sigma$である. 従って, 適当な正則関数 $h\in Ox,\mathit{0}$ を用いて, $v\sigma=h\sigma$ と表すことができる. よって, $a_{0}=-h$ とおけば, $(v+ao)\sigma=0$ が成り立つ. 口が同次微分方程式 $P(\eta)=0$ の解となる条件について考次に, の 1 階の annihilator $P$ に対し,を $\eta=h\sigma$ と表すと, 微分方程式
える. 今,$\eta\in\Sigma$$\sigma$$\eta\in\Sigma$$P(h\sigma)=0$$1\mathrm{h}$,$(Ph-hP)\sigma=0$の 1と同等である. よって, $\eta=h\sigma$ が $P(\eta)=0$ を満たす条件として, $Ph-hP\in Io$ を得る. つまり,
$P$$+$の 1 階の階の annihilator $P= \sum_{j=1}^{n}$ aj\partial / zj 勾に対して, $P\eta=0$ が成り立つ条件は, 微分作用素$\sigma$部分が定める微分作用素 $P^{(1)}= \sum_{j=1}^{n}$ a:\partial / zj に対して,$P^{(1)}h= \sum_{j=1}^{n}a_{1}.\frac{\partial h}{\partial z_{j}}\in I_{O}$が成り立つことである. ここで, $h\in Io$ ならば, $h\sigma=0$ であるから, コホモロジー類 $\eta=h\sigma$ を表す
でを考えれば十分である. 今,としては, $Io$ で剰余を取った$P^{(1)}\in D_{\Sigma}$$h\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Io\in Ox,\mathit{0}/I_{0}$$h\in Ox,\mathit{0}$あるので, $P^{(1)}=v$ と表す. ここで,$H\mathrm{z}=$とおく. $Ann^{(1)}$ を,$\sigma${ $h\in Ox,\mathit{0}/Io|vh=0$ (i.e., $vh\in Io$ ),の高々 1 階の annihilator から生成される$D_{X}$$\forall v\in D\mathrm{z}$}上のイデアルとする:$Ann^{(1)}=\langle R\in D_{X}|R\sigma=0,\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(R)\leq 1\rangle$.

このとき, $Ann^{(1)}$ によって決まる holonomic 系の解空間に対し, 次の定理を得る.

135.

$Hom_{D_{X}}(D_{X}/Ann^{(1)}, H_{[O]}^{n}(O_{X}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{h\sigma|h\in H\mathrm{z}\}$

この主張に用いられる$H_{\Sigma}$は,$\Sigma$の$Ox,\mathit{0}$例 1 関数 $f=x^{3}+y^{7}+cxy^{5}$ は, 原点を上の生成元$\sigma$の取り方によらないことに注意しておく.

型孤立特異点に持つ. ( は, パラメタである) つまり, $f$ の$E_{12}$$c$

原点に重複度 12に関する偏導関数 $f_{x}=3x^{2}+$ ♂と, $f$ の$O$$Io$に局所化したのイデアル$x\succ y$ を用
全次数辞書式順序$Ox$を原点の共通零点を持つ.
は,$x$に関する偏導関数 $f_{y}=7y^{6}+5cxy^{4}$ は,$y$$\langle f_{x}, f_{y}\rangle$$x^{4},3x^{2}+$ ♂, $21yx^{2}-5c^{2}y^{4}x\rangle$ と表すことができる. 今, I。でいて計算すると, $Io=\langle$ $5cx^{3}+7y^{2}x^{2},$ann 伍 ilate される代数的局所コホモロジー類全体を計算すると,上の基底として, 次のに対し,14 個の作用素を得ることができる. 但し, 右側の単項式はそれぞれの作用素 に関し, $vh=0$ を満たす
$yx^{3},$$\Sigma$$\mathrm{C}$$D\mathrm{z}$$v$

関数 $h\in Ox,\mathit{0}/Io$ である.

1,$(84yx+5c^{2}y^{4})\partial_{x}+42y^{2}\partial_{y}$$(-252yx+35c^{2}y^{4})\partial_{x}+30cx\partial_{y}$,() $x^{2}+$ ♂

$-\neg 1,$$x^{3}$$\frac{5}{84}$仮$-5=\mathrm{c}21$$x$\frac{5}{49,X}c^{2}x^{2}+\frac{10}{X^{2}21}w^{2}xy^{4},(-\frac{5}{\frac{8410}{7}}cy_{25\mathrm{c}}^{126}-\neg)x^{2}+y^{3}x^{2}+x$$1,-, $x_{6}^{3}\frac{12-}{25\mathrm{c}}I+y^{3},y,x^{3},\frac{25+}{49}c^{2}x^{2}+cy^{2}x+y_{25\mathrm{c}}^{463},$$-25cx^{2}\partial_{x}+14y^{3}\partial_{y}$1,1,$(5cx^{2}+7y^{2}x)\partial_{x}$$5x^{2}\partial_{x}+2yx\partial_{y}$$y,$$y^{2},$ $x^{2},$ $y^{3},$$\frac{9}{14}cx^{2}+y^{2}x,$ $yx^{2},$$x^{324},$$-_{5}=_{\mathrm{c}}yx+y^{4},$ $y^{3}x$$y^{3}1,$$x,x^{2}, \frac{15}{X^{2}7}wx+y^{3},$1, $x,$
1, $y,$
1, $x,$
1, $x,$ $yx,$
1, $x,$ $yx,$
1, $y,$$yx,$
1, $x,$$yx,$$x^{2},$$y^{2}x\partial_{y}$$x^{2},$$x^{2}\partial_{y}$$x^{3}\partial_{x}$$x^{3}\partial_{y}$$\sigma$の$Ox,\mathit{0}$$y^{3}x$$y^{2}x,$ $yx^{2},x^{3},$ $y^{4},$ $y^{3}x$$x^{2},$ $y^{3},$$y^{2}x,$ $yx^{2},$ $x^{3},$ $y^{4},$ $y^{3}x$$y^{2},$$x^{2},$ $y^{3},$$y^{2}x,$ $yx^{2},$ $x^{3},$ $y^{4},$ $y^{3}x$$Homv_{\mathrm{x}}(Dx/Ann^{(1)},H_{[O]}^{n}(O_{X}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma, x^{3}\sigma\}$

を導くことができる.

$Ox,\mathit{0}/Io=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1, y, y^{2},x, y^{3}, yx, y^{4}, y^{2}x, x^{2}, y^{3}x, yx^{2}, x^{3}\}$の計算には, 全次数辞書式順序 $x\succ y$ を用いた. ここで,ることに注意しておく.

3$y^{4},$$y^{2},$

を得,上の任意の 4 庚 -であり,$H_{\Sigma}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1, x^{3}\}$は$y^{2}x,$ $yx^{2},$ $x^{3},$$y^{2}x,$ $yx^{2},$ $x^{3},$ $y^{4},$ $y^{3}x$$x^{2},$ $y^{3},$$yx^{2}\partial_{y}$$- \frac{8}{5c}\tau yx+y^{4},$ $y^{3}x$$x^{34},$$\frac{15}{7}cyx+y^{3},$ $y^{2}x,$ $yx^{2},$ $x^{3},$ $y^{4},$ $y^{3}x$$x^{2},$$y^{3}x\partial_{y}$但し,$y^{2}x,$ $yx^{2},$$y^{2},$ $x^{2},$ $y^{3},$$yx^{2}\partial_{x}$$\Sigma$$y^{3}x$$x^{3}, \frac{10}{X7}cy^{2}x+y^{4},$$1,y,y^{2},,y^{3},$ $yx^{2},$ $x^{3},$ $y^{4},$$y^{3}x\partial_{x}$

よって,

$x$

$yx^{2},$ $x^{3},$ $y^{4}$$yx^{2},$$y^{4}\partial_{y}$♂

$H_{\Sigma}$に属する関数一は,$x^{3}\equiv f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Io$

であ

擬斉次孤立特異点の場合$\sigma$を,$\Sigma$の$O\mathrm{x},\mathit{0}$上の生成元であるとする.

置く. このとき, $Ann$ は simple$\gamma \mathrm{J}$$\sigma$の $D_{X}$ 上の annihilator 全体のなす左イデアルを $Ann$ とholonomic 系であるので, 次が成り立つことが容易に分かる.

命題 1

.

$\circ \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(D\mathrm{x}/Ann)=T_{\{O\}}^{*}X$.

.

$Hom_{D_{X}}(Dx/Ann, H_{[O]}^{n}(Ox))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma\}$

この結果を用いることにより, $Ann^{(1)}$ について, 次の定理を導くことができる.

136
定理 2

$\Sigma$の生成元$\sigma$のannihilating ideal $Ann$ が, $Ann^{(1)}=Ann$ を満たす必要十分条件は,$O_{X,O}\langle f, f_{1}, \cdots, f_{n}\rangle=O_{X,O}\langle f_{1}, \cdots, f_{n}\rangle$となることである.

証明 $f\in Ox,\mathit{0}$ に対し,を満たす正則関数$a_{1},$$Ox,\mathit{0}\langle f, f_{1}, \cdots, f_{n}\rangle=Ox,\mathit{0}\langle f_{1}, \cdots, f_{n}\rangle$$\ldots,$$a_{n}\in Ox,\mathit{0}$$f$

さて, 代数的局所コホモロジー類ができる. 微分作用素$\sigma$が存在するとする;$a_{1}f_{1}+\cdots+a_{n}f_{n}$$=$$a_{1} \frac{\partial f}{\partial z_{1}}+\cdots+a_{n}\frac{\partial f}{\partial z_{n}}$$=$$(a_{1} \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+a_{n}\frac{\partial}{\partial z_{n}})f$

は,$Ox,\mathit{0}$上の適当な関数をを用いて, $\sigma=[h/f_{1}\cdots f_{n}]$ と表すことに作用させると,(2)$(a_{1} \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+a_{n}\frac{\partial}{\partial z_{n}})[\frac{h}{f_{1}\cdots f_{n}}]$$=$$\sum_{j=1}^{n}a_{j}([\frac{h_{j}}{f_{1}\cdots f_{n}}]-h([\frac{-f_{1j}}{f_{1}^{2}f_{1}\cdots f_{n}}]+\cdots+[\frac{-f_{k\dot{g}}}{f_{1}\cdots f_{k}^{2}\cdots f_{n}}]+\cdots+[\frac{-f_{nj}}{f_{1}\cdots f_{n}^{2}}]))$$=$$[ \frac{a_{1}h_{1}+\cdots+a_{n}h_{n}}{f_{1}\cdots f_{n}}]-h(-[\frac{a_{1}f_{11}+\cdots+a_{n}f_{1n}}{f_{1}^{2}f_{2}\cdots f_{n}}]-\cdots-[\frac{a_{1}f_{n1}+\cdots+a_{n}f_{nn}}{f_{1}\cdots f_{n}^{2}}])$$f_{kj}$=\partial fk/ zj, hj=\partial h/ zj と置いた.

$f_{j}=(a_{1j}f_{1}+\cdots+a_{nj}f_{n})+(a_{1}f_{1j}+\cdots+a_{n}f_{nj})$$v\sigma$$\sigma$

$h$

.

$=$

但し,

となる.

(1)

$=$

$v=a_{1}\partial^{\frac{\partial}{z_{1}}}+\cdots+a_{n\tau_{z_{n}}^{\partial_{-}}}$$v\sigma$が成り立つとする. つまり, $f$ に対し, 次

ここで,$a_{kj}$(3)=\partial ak/ zj と置く. (1) より,であるから,$=$$[ \frac{a_{1}h_{1}+\cdots+a_{n}h_{n}}{f_{1}\cdots f_{n}}]-h([\frac{f_{1}-(a_{11}f_{1}+\cdots+a_{n1}f_{n})}{f_{1}^{2}f_{2}\cdots f_{n}}]+\cdots+[\frac{f_{n}-(a_{n1}f_{1}+\cdots+a_{nn}f_{n}}{f_{1}\cdots f_{n}^{2}})]$$=$$[ \frac{a_{1}h_{1}+\cdots+a_{n}h_{n}}{f_{1}\cdots f_{n}}]-(n-\sum_{j=1}^{n}a_{jj})\sigma$となる. 今, $[(a_{1}h_{1}+\cdots+a_{n}h_{n})/f_{1}\cdots f_{n}]\in\Sigma$ であり, 適当な$\overline{u}\in Ox,\mathit{0}/Io$を用いて$[ \frac{a_{1}h_{1}+\cdots+a_{n}h_{n}}{f_{1}\cdots f_{n}}]=\overline{u}\sigma$と表すことができる. よって, $v\sigma=(\overline{u}-n+(a_{11}+\cdots+a_{nn}))\sigma$ を得る. つまり, $P=v-\overline{u}+n-(a_{11}+\cdots+a_{nn})$と置くと, 微分作用素 $P$ は, 代数的局所コホモロジー類 の annihilator となる. 斎藤恭司氏により, にが成り立つことが示されている ([6]). よって, 命題 1 により, ホロ
対し, (,a\tilde / \Leftarrow l, ... , )は simple である. 今,
ノミツク系$\sigma$$\partial$$a_{1},$ $\ldots$$z_{n}$$\neq 0$

$D_{X}/\langle f_{1}, \ldots, f_{n}, P\rangle$$D_{X}(f_{1},$ $\ldots,f_{n},P\rangle\subseteq Ann^{(1)}\subseteq Ann$であるが, ホロノミック系 $D_{X}/Ann$ は simple であることから,$D_{X}(f_{1},$ $\ldots,f_{n},$$P\rangle=Ann^{(1)}=Ann$

$v$

137
次に,
素

$f\not\in \mathcal{O}x,o(f_{\mathrm{h}},$aj\partial /f\leftarrow D えと置くと,$P \ovalbox{\tt\small REJECT}\sum \mathit{3}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1$$F\ovalbox{\tt\small REJECT}$とする. このとき, 明らかに, $f\sigma\neq 0$ が成り立つ. ここで, 1 階の微分作用$\ovalbox{\tt\small REJECT}\rangle$$\ldots,$$+a_{0}$が,$\sigma$をするとする. 関数 $f$ 倍で定義される 0 階の微分作用素を$\mathrm{a}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{i}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}$$P(f\sigma)$$=$$PF\sigma$$=$$(PF-FP)\sigma+FP\sigma$$=$$\sum_{j=1}^{n}a_{j}\frac{\partial f}{\partial z_{j}}\sigma+FP\sigma$$=$$\sum_{j=1}^{n}a_{j}f_{j}\sigma$となる. $\sum_{j=1}^{n}a_{j}f_{j}\in\langle f1, \ldots, f_{n}\rangle$ であるから,$P(f\sigma)=0$を得る. よって,$Hom_{D_{X}}(Dx/Ann^{(1)}, \mathcal{H}^{n_{O]}}(1O_{X}))$には,$\sigma,$$f\sigma$という二つの元が存在することが分かるが,$\sigma$と$f\sigma$

が一次独立であることから,$\dim Homv_{X}(D_{X}/Ann^{(1)}, H_{[O]}^{n}(O_{X}))\geq 2$であることが分かる. よって, holonomic 系 $D_{X}/Ann^{(1)}$ は simple でないことが分かり,$Ann^{(1)}\neq Ann$を得る. 口今, 原点に孤立特異点を持つ関数 $f$ について,$O_{X,O}\langle f, f_{1}, \cdots, f_{n}\rangle=O_{X,O}\langle f_{1}, \cdots, f_{n}\rangle$が成り立つとする. このとき, $f$ を擬斉次多項式とするような正則な座標変換が存在する (斎藤恭司 [6]).

このことと定理を組み合わせると,$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(D_{X}/Ann^{(1)})=T_{\{O\}}^{*}X$が成り立つ必要十分条件は,
このとき,

$f$

が, 原点に擬斉次な孤立特異点を持つことであると言い換えることができる.
$Hom_{D_{X}}(D_{X}/Ann^{(1)}, H_{[O]}^{n}(O_{X}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma\}$が成り立つので, 擬斉次孤立特異点に付随する代数的局所コホモロジー類は, 高々 1 階の微分方程式系の解として特徴付けることが可能である.
例 2 関数 $f(x, y)=x^{4}+y^{4}+cx^{2}y^{2}$ は, 原点にに関する偏導関数 $f1=4x^{3}+2cxy^{2}$
れる代数的局所コホモロジー類全体と,$\Sigma$

$f$

の $y$

$X_{9}$型の孤立特異点を持つ擬斉次多項式である.

に関する偏導関数 $f_{2}=4y^{3}+2cx^{2}y$は, 9 次元のベクトル空間をなす.

により

$f$

の $x$

annihdate さ

138
この

$\Sigma$に関する D。を計算すると, 下表左側の 11 個の微分作用素を得る. 下表右側の単項式は, それぞれの作用素$v$に関し,$vh\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$を満たす関数$h\epsilon$

Ox,o/んを表している.
1
1,
1,
1,

x\partial x+y y$yx\partial_{x}+y^{2}\partial_{y}$4 仮 y2\partial x+(C2--l2)yx\partial y$(c^{4}-24c^{2}+144)yx\partial_{x}+(4c^{3}-48c)x^{2}\partial_{y}$$y^{2}x,$$y^{4}$$x^{24\mathrm{c}}-T^{i_{-12}}y^{2},$ $y^{3},y^{4}$$x^{2}+(- \frac{1}{4}c+\frac{3}{\mathrm{c}})y^{2},$ $y^{2}x$,$y^{4}$$1,y,y^{2},y^{3},$ $y^{4}$$((c^{2}-12)x^{2}-4cy^{2})\partial_{x}$1, $x,yx,$
1, $y,y^{2},x^{2},$1, $x,y^{2},x^{2},$1, $y,y^{2},yx,$
1, $x,y^{2},yx,x^{2},$1, $y,y^{2},yx,$$x^{2},$ $y^{3},$ $y^{2}x,$$y^{3}\partial_{y}$$y^{4}$$y^{3},y^{2}x,$ $y^{4}$$y^{3}\partial_{x}$$y^{3},y^{2}x,$ $y^{4}$$y^{2}x\partial_{y}$$y^{3},y^{2}x,$ $y^{4}$$y^{2}x\partial_{x}$y4 y$y^{4}\partial_{x}$(ここで,この計算から,$x^{2}+ \frac{2}{c}y^{2},$$Ox,\mathit{0}/Io=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1$, $y,x,$$H_{\Sigma}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1\}$$y^{2},$$yx,$ $x^{2},$ $y^{3},y^{2}x,$ $y^{4}\}$$y^{3},y^{2}x,$$y^{4}$$x^{2},y^{3},y^{2}x,$$y^{4}$である)であることが分かる. よって,$\Sigma$の$Ox,\mathit{0}$上の任意の生成元$\sigma$に関し,$Hm\mathrm{o}_{X}(Dx/Ann^{(1)},?l_{[O]}^{n}(O_{X}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma\}$

を得る.
では,

$\sigma$として, Gmthendieck oesidue symbol

1によって決まる代数的局所コホモロジー類$[]$$[1/f_{1}f_{2}]$$f_{1}f_{2}$を取り, 具体的に計算してみよう. 今,$\sigma$は$\sigma=[\frac{1}{24}\frac{-cx^{4}+2x^{2}y^{2}-cy^{4}}{cx^{5}y^{8}}]$と表すことができる. また, 9 次元ベクトル空間としての$[ \frac{1}{xy}],$$[ \frac{1}{x^{2}y}]$$[ \frac{-2y^{2}x^{3}+cy^{4}x}{cx^{5}y^{5}}],$

これらのコホモロジー類は,$[ \frac{1}{xy}]=-24y^{4}\sigma$$\sigma$,$[ \frac{1}{xy^{3}}]=(\frac{-24c^{2}}{c^{2}-4}y^{2}+\frac{-48c}{c^{2}-4}x^{2})\sigma$,

今,$\sigma$$[ \frac{1}{xy^{2}}],$$[ \frac{1}{xy^{3}}],$の基底は, 次のように表すことができる.

$[ \frac{1}{x^{2}y^{2}}],$$[ \frac{-1/2cyx^{4}+y^{3}x^{2}}{x^{5}y^{5}}],$$[ \frac{1}{x^{3}y}]$,$[ \frac{cx^{4}-2y^{2}x^{2}+cy^{4}}{cx^{5}y^{6}}]$.

を用いて, それぞれ次のように表すことができる.

,$[ \frac{-2x^{3}y^{2}+cxy^{4}}{cx^{6}y^{5}}]=-24x\sigma$,$\Sigma$$[ \frac{1}{x^{2}y}]=12cxy^{2}\sigma$,$[ \frac{1}{xy^{2}}]=-24y^{3}\sigma$$[ \frac{1}{x^{2}y^{2}}]=12cxy\sigma$,$[ \frac{1}{x^{3}y}]=(\frac{-48c}{c^{2}-4}y^{2}+\frac{-24c^{2}}{c^{2}-4}x^{2})\sigma$,,$[ \frac{-1/2cx^{4}y+x^{2}y^{3}}{x^{5}y^{5}}]=12cy\sigma$の高々 1 階の annihdator のなすイデア$\mathrm{K}\mathrm{s}$,.

$[ \frac{cx^{4}-2x^{2}y^{2}+cy^{4}}{cx^{5}y^{5}}]=-24\sigma$は,$Ann^{(1)}=(cx^{2}y+2y^{3},2x^{3}+cxy^{2},$ $-xy^{3},$ $-y^{6},x\partial_{x}+y\partial_{y}+6\rangle$

で与えられる ([9] 参照). 作用素の形からであることが分かり, $Ann=Ann^{(1)}$が成り立つことが分かる. ここで, $P=x\partial_{x}+y\partial_{y}+6$ と置く. 関数 $h\in Ox,\mathit{0}/Io$ を取り, コホモロジー$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(D_{X}/Ann^{(1)})=T_{\{O\}}^{*}X$139
類$h\sigma$に $P$ を施すと,$P(h\sigma)$となる. よって,

$h$

として

$=$

$(x \frac{\partial h}{\partial x}+y\frac{\partial h}{\partial y})\sigma+hP\sigma$$=$$(x \frac{\partial h}{\partial x}+y\frac{\partial h}{\partial y})\sigma$の単項基底 1, $y,$ $x,$$O\mathrm{x},\mathit{0}/Io$$y^{2},$$yx,$ $x^{2},y^{3},$ $y^{2}x,$ $y^{4}$を取り,$Ph\sigma$を計算すると,それぞれ

0,$y\sigma,$ $x\sigma,$となる. このことからも, Homっ$X$

$2y^{2}\sigma,$$2yx\sigma,$$2x^{2}\sigma,$$3y^{3}\sigma,$$3y^{2}x\sigma,4y^{4}\sigma$が確かめられる.

$(Dx/Ann^{(1)}, H_{[O]}^{n}(O_{X}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma\}$

例 3 関数 $f=x^{3}+xy^{4}+y^{7}$ は, 原点に重複度 10 の孤立特異点を持っ. 関数 $f$ は, この関数そのものは

擬斉次多項式ではないが, 正則な座標変換を施すことにより, 擬斉次多項式となることが知られてぃる ([6]に関する偏導関数
参照). $f$ の局所化することにより得られる$x$$f_{x}$と$Ox,\mathit{0}$$y$に関する偏導関数$f_{y}$の生成する $Ox$ 上のイデアルを原点 $O$ に上のイデアノレを $Io$ と置く. $Io$ により annihdate される代数的局所に対し, D。は,, 次の表の左側に与える 12 個の微分作用素を上の基底に持っ. 表の右側の単項式は, それぞれの作用素 に関し, $vh=0$ を満たす関数 $h\in Ox,\mathit{0}/Io$ の上の基底を表す.
コホモロジー類$\Sigma$$\mathrm{C}$$v$$\mathrm{C}$$((147y^{2}+32)x-28y^{3})\partial_{x}+16y\partial_{y}$2yx\partial x+y2

$yx^{2},$ $y^{3}x$$x^{2},$ $y^{2}x- \frac{8}{63}y^{3},$$x^{2}\partial_{x}$$y^{2},$ $y^{3},$ $x^{2},$$yx^{2},$ $y^{3}x$$yx- \frac{2}{21}y^{2},$ $y^{3},x^{2},$ $y^{2}x,$$y^{2}x\partial_{y}$$x^{2},$$x^{2}\partial_{y}$$y^{3}x\partial_{x}$$y^{2},$$yx^{2}\partial_{x}$$y^{2},$$y^{2},$$y^{3}x\partial_{y}$$y^{2}x,$ $yx^{2},$ $y^{3}x$$y^{3},$ $x^{2},$$y^{2}x,$ $yx^{2},$ $y^{3}x$$y^{3},x^{2},$ $y^{2}x,$$y^{2}x,$$y^{3},x^{2},$ $y^{2}x,$ $yx^{2},$ $y^{3}x$$y$$H_{\Sigma}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1\}$$yx^{2},$ $y^{3}x$$x^{2}- \frac{16}{63}yx,$ $y^{2}x,$$2y^{2}x\partial_{x}+y^{3}\partial_{y}$

この計算から,$yx^{2}- \frac{5}{21}y^{2}x,$ $y^{3}x$1,
1, $x,$$yx^{2},y^{3}x$1,
1, $y,$$yx^{2},y^{3}x$
1, $x,$
1, $x,$ $yx,$
1, $y,$$yx,$$yx^{2},y^{3}x$1, $y,$$yx,y^{3},x^{2},$$yx^{2},y^{3}x$
1, $x,$
1, $x,$ $yx,$.

$(-35y^{2}x+4y^{3})\partial_{x}+4x\partial_{y}$$yx\partial_{y}$

yx2

1

y1,

$($

であることが分かり,$Hom_{D_{X}}(D_{X}/Ann(1), H_{[O]}^{n}(O_{X}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma\}$

を得る.
さて,

$\Sigma$の生成元として, $\sigma=[1/f_{x}f_{y}]$ を取る.

$\sigma$は, 次のように表すことができる.

$\sigma=[\frac{3176523}{16384}\frac{1}{xy}-\frac{21609}{1024}\frac{1}{xy^{3}}+\frac{147}{64}\frac{1}{xy^{5}}-\frac{1}{4}\frac{1}{xy^{7}}-\frac{1029}{256}\frac{1}{x^{2}y^{2}}\dagger\frac{7}{16}\frac{1}{x^{2}y^{4}}-\frac{49}{64}\frac{1}{x^{3}y}+\frac{1}{12}\frac{1}{x^{3}y^{3}}]$

この$\sigma$.

に対する貰々 1 階の annihdator の生成するイデアノレ $Ann^{(1)}$ は,$Ann^{(1)}=\langle x^{3},3x^{2}+y^{4},21y^{2}x^{2}-4y^{3}x, (16x+28y^{3})\partial_{x}+(42x+147y^{3}+8y)\partial_{y}+882y^{2}+72\rangle$

で与えられる.

1 階の微分作用素 $(16x+28y^{3})\partial_{x}+(42x+147y^{3}+8y)\partial_{y}+882y^{2}+72$ の形がらも,$Ann=Ann^{(1)}$であることが確かめられる.

ここで, $Ann=Ann^{(1)}$ が成り立たない例として, 前節の例 1 に挙げた, 半擬斉次である $E_{12}$ 型孤立特

異点を, パラメタ$c$を 1 として, 再ひ取り上げる.

140
例 4([3]) 関数 $f=x^{3}+xy^{5}+y^{7}$ は原点を生成元$\sigma$として Grothendieck oesidue symbol型孤立特異点に持つ関数であった. 今,$E_{12}$$\Sigma$の$O_{X}$

上の1で与えられる代数的局所コホモロジー類$[]$$f_{x}f_{y}$$\sigma=$[$\frac{5^{15}}{3^{8}7^{16}5}\frac{1}{xy}-\frac{5^{13}}{3^{7}7^{14}5}\frac{1}{xy^{2}}+\frac{5^{11}}{3^{6}7^{12}5^{8}}\frac{1}{xy^{3}}-\frac{5^{9}}{3^{5}7^{10}5^{6}}\frac{1}{xy^{4}}+\frac{5^{7}}{3^{4}7^{8}}\frac{1}{xy^{5},4}-\frac{5^{5}}{3^{3}7^{6}}\frac{1}{5xy^{6}}+\frac{5^{3}}{3^{2}7^{4}}\frac{1}{xy^{7},1}110111511$

1$–+-+-+\overline{3\cdot 7^{2}}\overline{xy^{8}}\overline{3^{6}7^{11}}\overline{x^{2}y}\overline{3^{5}7^{9}}\overline{x^{2}y^{2}}\overline{3^{4}7^{7}}\overline{x^{2}y^{3}}\overline{3^{3}7^{5}}\overline{x^{2}y^{4}}\overline{3^{2}7^{3}}\overline{x^{2}y^{5}}\overline{3\cdot 7}\overline{x^{2}y^{6}}$$5^{5}$

1$5^{3}$

5

1

1

1

1
$]$

$+-+-\overline{3^{5}7^{6}}\overline{x^{3}y}\overline{3^{4}7^{4}}\overline{x^{3}y^{2}}\overline{3^{3}7^{2}}\overline{x^{3}y^{3}}\overline{3^{2}7}\overline{x^{4}y}$を取る. 今,$\sigma$の高々 1 階の annihdator の生成する$D_{X}$.
上のイデアノレ $Ann^{(1)}$ は, イデアノレ

$I$

で定義さ

れる 0 階の微分作用素と, 2 個の 1 階の微分作用素$P_{1}=$(5yx+7♂)y+20x+42y2$P_{2}=$$470880590578020yx\partial_{x}+(-16817163949215x+164808206702307y^{2})\partial_{y}$$-9765625000x^{3}+(-80390625000y+236348437500)x^{2}$$+(56273437500y^{3}-330887812500y^{2}+1945620337500y-11440247584500)x$$+463242937500y^{4}-2723868472500y^{3}+16016346618300y^{2}+1930610421369882y$

で, 生成することができる. この 2 個の作用素の 1 階部分をそれぞれ
は上 D。を生成することが分かり,とき,$H\text{。}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1, x^{3}\}$$Ox,\mathit{0}$$v_{1},v_{2}$$v_{1},$$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(D_{X}/Ann^{(1)})=2\cdot T_{\{O\}}^{*}X$$v_{2}$と置くことにする.

このを得ることができる. よって,が成り立ち, さらに,$H \sigma mD_{X}(Dx/Ann^{(1)}, H_{[O]}^{n}(Ox,\mathit{0}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma, -\frac{1}{3^{2}7}[\frac{1}{xy}]\}$から来ているの非自明な関数を得る. ここで,は,意しておく. なお, 微分作用素
等の具体的計算法については, [4] を参照されたい.
$x^{3}$$H\mathrm{z}$$P_{1},$

4$(i.e., x^{3}/7\equiv f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{0})$$f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{0}$

ことを注$P_{2}$

特性多様体 $Char(Dx/Ann^{(1)})$ の璽複度についての重複度に注目し, いくつかの場合に具体的な計
この節では, 擬斉次でない場合の$X$$O$に関する偏導関数を上の関数 $f$ に対し, 変数と表に孤立特異点を持つ算をしてみる. 原点$f$$\tau=\dim Ox,\mathit{0}/(f,$ $f1,$
これらはそれぞれと置く.
す. 今, $\mu=$ 山 m
,
と置き
,
.
l?..
型孤立特異点においては, $\mu=12$ であり,Milnor 数, Tjurina 数と呼ばれる. 前節最後の例で扱った$\tau=11$ である. さて,型特異点に関する例において,$\mathrm{C}\mathrm{h}ar(D_{X}/Ann^{(1)})$$f_{j}$$z_{j}$$Ox,\mathit{0}/\langle$$f_{n}\rangle$$f_{n}\rangle$$\ldots,$$\mathit{0}$$\mathit{0}$$E_{12}$$E_{12}$$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(Dx/Ann^{(1)})=2\cdot T_{O}^{*}X$という関係を見ることができた. この関係を,

$\mu$

と

$\tau$

を用いて表すと,$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(D_{X}/Ann^{(1)})=(\mu-\tau+1)\cdot T_{\{O\}}^{*}X$となる. 我々はこの結果が一般の場合にも成り立つと予想する (cf. [5]).

予想 $Char(Dx/Ann^{(1)})=(\mu-\tau+1)\cdot T_{\{O\rangle}^{*}X$ .

この予想を裏付ける例として, 次の二つの例を見よう.
例 5($E_{18}$型孤立特異点 $x^{3}+y^{10}+axy^{7}+bxy^{8}$ )の各変数 $x,$$y$に関する偏導関数$f_{x},$$f_{y}$$E_{18}$の生成する型孤立特異点 $x^{3}+y^{10}+axy^{7}+bxy^{8}$ に関して, $f$
上のイデアル $Io$ は, 全次数辞書式順序 $x\succ y$$Ox,\mathit{0}$によるグレプナ基底の計算により, $Io=(x^{4}$ , (8 皓 +7a)x3+l0♂x2,$y^{2}x^{3},$$(3b^{4}y+21ab^{3})x^{3}+(30ab^{2}y^{2}-$141と表すことができる.
に作用する
上, 次の表左側に挙げる 21 個の作用素により生成される. 各作用素の右下ま1 階の微分作用素 D ゆは,
たは右側には, それぞれの作用素 に対し, 同時方程式 $vh=0$ を満たす関数$30a^{2}by+30a^{3})x^{2}+10a^{4}y^{7},$ $(-21b^{2}y+45ab)x^{3}+30ay^{2}x^{2}-7a^{3}y^{6}x\rangle$$\Sigma$$\mathrm{C}$$v$$h\in O_{X,O}/Io=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}$

{ ,
$1$

$y,y^{2},$ $y^{3},$ $x,$ $y^{4},$ $yx,$ $y^{5},$ $y^{2}x,$ $y^{6}$

,♂ ,
$x$

$x^{2},y^{4}x,$ $yx^{2},$ $y^{5}x,$ $y^{2}x^{2},$ $x^{3},$ $yx^{3}$を与えた.

1, $y,$ $y^{2},y^{3},y^{4},y^{5},y^{6},x^{2},y^{4}x,$ $yx^{2},y^{5}x,$ $y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$,
1, $x,$$y^{5}x\partial_{x}$$y^{3}x\partial_{y}$,$(_{49aa}^{1125250} \neg by-\frac{1}{7}\urcorner y)x+y^{5},$$-_{7a}^{90}\neg y^{2}x+y^{6}$$y^{3}x,x^{2},y^{4}x,$ $yx^{2},y^{5}x,$ $y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$$y^{2}x^{2}\partial_{x}$$x^{2}\partial_{y}$,,$y^{4}x\partial_{y}$,$y^{4}x,$ $yx^{2},$,$y^{5}x\partial_{y}$$y^{6},$,$y^{2}x^{2}\partial_{y}$$yx^{3}\partial_{x}$$x^{3}\partial_{y}$,,$yx^{3}\partial_{y}$$y^{4},y^{5},y^{6},$ $y^{3}x,$$( \frac{8}{5}by^{2}+\frac{14}{5}ay)x+y^{4},y^{3}x,$$yx^{2}\partial_{y}$$x^{3}\partial_{x}$$x^{2},y^{4}x,yx^{2},y^{5}x,y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$
1, $y,y^{2},y^{3},$$\frac{7}{4}ay^{2}x+y^{5},y^{6},x^{2},y^{4}x,yx^{2},y^{5}x,$
1, $x,$$y^{5}x,y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$
1, $x,$ $-7a=yx150+y^{5},y^{2}x,$ $y^{6},x^{2},y^{3}x,$
1, $x,$ $\frac{14}{5}ayx+y^{4},y^{5},y^{2}x,y^{6},y^{3}x,x^{2},y^{4}x,yx^{2},y^{5}x,y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$$x^{2},y^{4}x,yx^{2},y^{5}x,y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$
1, $y,y^{2},y^{3},$ $y^{4},y^{5},y^{2}x,$$yx^{2},y^{5}x,$
1, $x,yx,$$yx^{2},y^{5}x,$
1, $x,y^{4},yx,y^{5},y^{2}x,$$y^{4}x,yx^{2},y^{5}x,$ $y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$
1, $y,y^{2},y^{3},y^{4},yx,$$y^{6},y^{3}x,x^{2},y^{4}x,yx^{2},y^{5}x,$
1, $y^{3},x,y^{4},yx,$$y^{2},y^{3},x,$$y^{3}x,x^{2},y^{4}x,$ $yx^{2},y^{5}x,y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$$yx,y^{5},y^{2}x,$1,$y^{6},$,$y^{2}x,$ $y^{6},y^{3}x,$$x^{2},$$y^{4}x,$$y^{6},y^{3}x,$ $x^{2},y^{4}x,$$y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$$y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$$y^{5},y^{2}x,$ $y^{6},$ $y^{3}x,x^{2},$$y^{5},$,$y^{3}x,$$y^{4},$$y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$$y^{2}x,$$y^{6},$$y^{2}x^{2},x^{3},yx^{3}$}142
右側の計算結果により,て,Span{f$x^{3},$ $yx^{3}\mathrm{C}$$3\cdot\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\}}^{X}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Io,$となる. 今,を得る. (ここで, H。の定数てない非自明な関数に関してあることを注意しておく) よって,}
であるから,となり, , は, 予想を満たしているこ$H_{\Sigma}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{S}\mathrm{p}\eta\{1, x^{3}, yx^{3}\}$$\mu^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}18,$$Char(D_{X}/Ann^{(\mathfrak{h}})\ovalbox{\tt\small REJECT}$$yf\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Io$$\tau\ovalbox{\tt\small REJECT} 16$$E_{8}$$\mu-\tau+1\ovalbox{\tt\small REJECT} 3$とが確かめられた.
例 6 関数 $f=x^{3}+y^{13}+axy^{9}+bxy^{10}+cxy^{11}$ は, 原点に型孤立特異点を持つ.
の各変数 $x,$ に関上のイデアル $Io$ は, 全次数辞書式順序 $x\succ y$ |こよるグレプナ基底の生成するする偏導関数$E_{24}$$f_{x},$$f$$y$$Ox,\mathit{0}$$f_{y}$の計算により, $Io=\{x^{4},$ $(11cy^{2}+10by+9a)x^{3}+13y^{4}x^{2},$$y^{3}x^{3},$$((-6a^{3}c^{3}+27a^{2}b^{2}c^{2}-18ab^{4}c+3b^{\mathit{6}})y^{2}+$$(51a^{3}bc^{2}-18a^{2}b^{3}c-3ab^{6})y-27a^{4}c^{2}+81a^{3}b^{2}c-27a^{2}b^{4})x^{3}+((78a^{3}bc-39a^{2}b^{3})y^{3}+(-39a^{4}c+39a^{3}b^{2})y^{2}-$$39a^{4}by+39a^{6})x^{2}+13a^{6}y^{9},$ $((18abc-9b^{3})y^{2}+(-20a^{2}c+9ab^{2})y-19a^{2}b)x^{3}-13a^{2}y^{3}x^{2}+3a^{4}y^{8}x\}$

すことができる. 任意の $g\in Io$ を ann 伍 ilator}こもつ代数的局所コホモロジー類全体

算すると,$\Sigma$上の基底として, 次の 28 個の微分作用素を取ることができる.

$\mathrm{C}$$(((14abc-8b^{3})y^{2}+(-38a^{2}b+8ab^{2})y-28a^{2}b)x^{2}+104a^{2}\text{♂}x+3a^{4}y^{8})\partial_{x}+26a^{2}y^{4}\partial_{y}$,,$(((81abc-42b^{3})y^{2}+(-127a^{2}c+42ab^{2})y-122a^{2}b)x^{2}-104a^{2}y^{3}x+15a^{4}\text{♂})\partial_{x}+u^{3}x\partial_{y}$$((-117ac-b^{2})y^{2}-99aby-81a^{2})x^{2}\partial_{l}+26ay^{6}\partial_{y}$$((2ae-b^{2})y^{2}+aby+9a^{2})x^{2}\partial_{l}+2a^{2}yx\partial_{\nu}$$((10by^{2}+9ay)x^{2}+13y^{6}x)\partial_{l}$$y^{8}$

７’$y^{2}x^{2}$$H\mathrm{g}$$y^{7}x\partial_{l)}$,$yx^{3}\partial_{\mathrm{g}}$$y^{4}x\partial\nu$,$y^{7}x\partial\nu$を求めると,,,,,$((11cy^{2}+10by+9a)x^{2}+13y^{4}x)\partial_{x}$$(-99by^{2}-81ay)x^{2}\partial_{l}+26y^{\mathit{6}}\partial_{y}$,$(by^{2}+9ay)x^{2}\partial_{l}+2ay^{2}x\partial_{y}$$-81ay^{2}x^{2}a\partial_{e}+26y^{7}\partial_{y}$これに対し,と表に対し, D。を計,$(9ay^{2}x^{2}+13y^{\mathit{6}}x)\partial_{l}$$y^{3}x^{2}\partial_{l\prime}$$y^{3}x^{2}$

７’

x2 ７’
$y^{2}x^{3}$$l$,y5x ７), x3 ,$\nu$$H\mathrm{z}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1, x^{3},yx^{3},y^{2}x^{3}\}$$9y^{2}x^{2}\partial_{x}+2y^{3}x\partial_{y}$$yx^{2}$$yx^{3}$

７ , x3,$l$$y^{2}x^{3}$$\nu$となる. ここで,

,

,

,

y6

,

,

$x$

y’

７.

の定数でない非自明な関であることを注意しておく.
$H\mathrm{z}$数に関して,
今, $\mu=24,$ $\tau=21$ であるから, $\mu-\tau+1=\dim H\mathrm{z}=4$ が成り立ち, よって, 予想を満たしていることが分かる.
$x^{3},yx^{3},$ $y^{2}x^{3}\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Io,yf\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Io, y^{2}f\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} Io\}$

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