第3回

拘束条件とラグランジュの未定乗数法
理学部

物理科学科

齊藤 国靖

2024 年 5 月 10 日
伸び縮みしない糸や棒でつながれた単振り子や，斜面や曲面に沿って運動する質点など，運動の軌跡が著しく制限される場合がある．この様な制限は質点の運動方程式と同時に考えなければならず，問題を解くうえで重要な条件でもある．第 3 回の目的は，運動が制限される場合のラグランジュ方程式を最小作用の原理から導出し，これを具体的な問題に適用することである．

1 拘束条件以前の例題で扱った単振り子は２次元平面内の運動であるから，支点と重りの間の距離 r と鉛直な軸に対する角度 φ の様に，本来２つの一般化座標で記述されるべきである．しかし，支点と重りをつなぐ糸が伸び縮みしないという条件を暗に用いたため，１つの角度
φ だけで振り子:::::::::::::::::::::::::::::::::の運動を記述することができた．これは，糸の長さを l として r = l という条件，つまりf (r) ≡ r − l = 0という関係式を運動方程式に連立させて解いたことに相当する．f (r) = 0 という条件は一般化座
標 r に対する関係式であるが，一般に一般化座標とその時間微分に関する関係式

fα (q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , q̇n , t) = 0 ,(α = 1, . . . , m)のことを拘束条件という．添え字 α で示す様に拘束条件は複数あってもよいし，時間 t を陽に含んでいてもよい．さらに，fα ≥ 0 の様に不等式の場合もある．
問題に応じて様々な拘束条件が考えられるが，特に fα が一般化座標と時間だけを含む場合を
ホロノームな拘束条件fα (q1 , . . . , qn , t) = 0 ,(α = 1, . . . , m)(1)

という．一方，fα が速度 q̇i を含んでいたり，等式ではなく不等式の場合など，式 (1) のように表せない拘束条件のことを非ホロノームな拘束条件という．

1

2 ラグランジュの未定乗数法

22 ラグランジュの未定乗数法
拘束条件を伴う運動では，作用 S は拘束条件を満たしたうえで最小でなければならない．これは条件付き極値問題であり，これを解くための処方箋としてラグランジュの未定乗数法がある．ここでは簡単のため，ホロノームな拘束条件の場合について考える．
式 (1) より fα はゼロなので，これに適当な関数 λα をかけたものを作用に加える．

∫ b(S=L+am∑)
λα f αdt(2)α=1

右辺の fα は一般化座標の関数なので，積分の中の第２項の変分は

δ (λα fα ) = λα δfα + fα δλαn∑∂fα=λαδqi∂qii=1(3)となる．但し，式 (1) より fα = 0 なので，fα δλα = 0 とした．従って，作用の変分は

δS ={∫ b∑na i=1∂Ld−∂qidt(∂L∂ q̇i)m∑∂fα+λα∂qiα=1}
δqi dt(4)となる．右辺の δqi は任意にとれるので，最小作用の原理 δS = 0 を満たすには，積分の中身が常にゼロでなければならない．従って，


ホロノームな拘束条件付きのラグランジュ方程式
ddt(∂L∂ q̇i)−m∑∂L∂fαλα=∂qi∂qiα=1(i = 1, . . . , n)(5)

が成り立つ．ここで，右辺のQi ≡m∑α=1λα∂fα∂qi(6)は拘束力を表し，式 (5) はラグランジュ方程式に拘束力を加えたものと考えてよい．なお，関数 λαのことを未定乗数という．

3 例題：半球上の質点の運動
3.1 ラグランジアンと拘束条件
図 1 の様に，半球の中心から質点までの距離を r ，鉛直な軸から質点までの角度を θ とする．この問題では，r と θ を一般化座標とする．質点は半球に沿って円運動するため，その速度は r θ̇ で

3 例題：半球上の質点の運動3あり，質点の運動エネルギーはT =m ( )2rθ̇2である．一方，質点の高さは r cos θ なので，質点の位置エネルギーはU = mgr cos θである．従って，質点のラグランジアンは

L=T −Um ( )2=rθ̇ − mgr cos θ2(7)となる．
ところで，質点は半球に沿って運動するので，距離r は半球の半径 a に等しい．これを拘束条件:::::::::::
として表せばf (r) ≡ r − a = 0となり，r だけに依存するホロノームな拘束条件である．以下，ラグランジュの未定乗数 λ を導入して質点の運動を調べてみよう．

図13.2 r に対するラグランジュ方程式
式 (5) より，距離 r に対するラグランジュ方程式はddt(∂L∂ ṙ)−∂f∂L=λ∂r∂rである．式 (7) のラグランジアンに ṙ は含まれていないので，∂L=0∂ ṙとなる．一方，ラグランジアンは r を含むので，

∂L
∂
=∂r
∂r

{m ( )2rθ̇ − mgr cos θ2= mrθ̇2 − mg cos θ}3 例題：半球上の質点の運動4である。さらに，f (r) に対しては∂f∂=(r − a) = 1∂r∂rなので，ラグランジュ方程式はmg cos θ − maθ̇2 = λ(8)となる．但し，最後の式で r = a を代入した．

3.3 θ に対するラグランジュ方程式
式 (5) より，角度 θ に対するラグランジュ方程式はddt(∂L∂ θ̇)−∂L∂f=λ∂θ∂θである．式 (7) のラグランジアンを用いると∂L= mr2 θ̇∂ θ̇
∂L= mgr sin θ∂θとなる．最初の式に r = a を代入し，時間で微分すると

ddt(∂L∂ θ̇)=d ( 2 )ma θ̇dt= ma2 θ̈となる．一方，f (r) は θ を含まないので，∂f=0∂θである．従って，ラグランジュ方程式はma2 θ̈ − mga sin θ = 0(9)となる．但し，最後の式で r = a を代入した．
式 (9) を θ̈ について解くとθ̈ =gsin θaθ̇θ̈ =gθ̇ sin θaである．この両辺に θ̇ を掛けて変形するとd∴dt(θ̇22)=)d ( g− cos θdta(10)4 例題：斜面上の輪の運動

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よって，式 (10) を時間 t で積分して

θ̇2 = −2gcos θ + caが得られる．但し，c は積分定数である．t = 0 で質点の初速度がゼロであったとすると，θ = 0 のとき θ̇ = 0 ということなので，積分定数は c = 2g/a である．従って，

θ̇2 =2g(1 − cos θ)a(11)となる．

3.4 質点が半球を離れる条件
式 (11) を (8) に代入すると，

λ = mg cos θ − 2mg (1 − cos θ)= mg (3 cos θ − 2)
これを拘束力の表式 (6) に代入すると，質点を半球上に留めておくための拘束力は∂f∂r= mg (3 cos θ − 2)

Q=λで与えられる．Q = 0 になると，質点を半球上に留めておくことはできない．従って，

mg (3 cos θ − 2) = 0( )2−1∴ θ = cos
3の角度になったとき，質点は半球を離れて落下する．

4 例題：斜面上の輪の運動
4.1 ラグランジアンと拘束条件
図 2 の様に，斜面に沿って x 軸をとり，時刻 t = 0 での輪と斜面の接点を x = 0 とする．また，輪は斜面上を滑ることなく転がるとして，t = 0 での接点が斜面に垂直な軸となす角を θ とする．
この問題では，x と θ を一般化座標とする．輪の重心は斜面に沿って速度 ẋ で進むものとし，輪の半径を a として，輪自体は速度 aθ̇ で回転する．従って，輪の運動エネルギーは重心の運動エネル
ギーと回転の運動エネルギーの和で与えられ，T =m 2 m ( )2aθ̇ẋ +224 例題：斜面上の輪の運動6となる．一方，斜面の全長を l とすると，輪の位置エネルギーはU = mg(l − x) sin ϕである．よって，輪のラグランジアンは

L=T −Umm ( )2= ẋ2 +aθ̇ − mg(l − x) sin ϕ22(12)となる．
ところで，輪は斜面上を滑ることなく転がるので，斜面に沿った距離 x と円弧の長さ aθ は等しい．これを拘束条件として表せば

f (x, θ) ≡ aθ − x = 0となり，一般座標にのみ依存するホロノームな拘束条件である．再び，ラグランジュの未定乗数 λを導入して輪の運動を調べよう．

図24.2 x に対するラグランジュ方程式
式 (5) より，距離 x に対するラグランジュ方程式はddt(∂L∂ ẋ)−∂L∂f=λ∂x∂xである．式 (12) のラグランジアンを用いると∂L= mẋ∂ ẋ
∂L= mg sin ϕ∂x(13)4 例題：斜面上の輪の運動

7となる．よって，最初の式を時間で微分して(ddt∂L∂ ẋ)= mẍとなる．一方，f (x, θ) に対しては∂f∂=(aθ − x) = −1∂x∂xなので，ラグランジュ方程式 (13) はmẍ − mg sin ϕ = −λ(14)となる．

4.3 θ に対するラグランジュ方程式
式 (5) より，角度 θ に対するラグランジュ方程式はddt(∂L∂ θ̇)−∂L∂f=λ∂θ∂θ(15)である．式 (12) のラグランジアンを用いると∂L= ma2 θ̇∂ θ̇∂L=0∂θとなる．よって，最初の式を時間で微分してddt(∂L∂ ẋ)= ma2 θ̈となる．一方，f (x, θ) に対しては∂f∂=(aθ − x) = a∂θ∂θなので，ラグランジュ方程式 (15) は

ma2 θ̈ = λa(16)となる．

4.4 輪の運動とラグランジュの未定乗数
拘束条件 aθ = x を時間で２回微分するとaθ̈ = ẍ

(17)

4 例題：斜面上の輪の運動8である．これを式 (16) に代入してmaẍ = λa∴ λ = mẍ

(18)

式 (14) に (18) を代入すると

mẍ − mg sin ϕ = −mẍ∴ ẍ =となり，式 (17) に代入してgsin ϕ2θ̈ =gsin ϕ2agsin ϕ ,2θ̈ =が得られる．以上，まとめると

ẍ =gsin ϕ2aであり，右辺はともに定数であるから，これらを時間で積分して輪の運動が求まる．