エミッタンス測定

KEK 福田 将史

2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定1

エミッタンス(Emittance)
エミッタンスはビームの品質を表す値。
ビームは、たくさんの粒子がまとまってある方向に進んでいくもので、各粒子の位置、方向にはバラつきがある。
エミッタンスの良い(小さい)ビーム
位置、方向のばらつきが小さいもの。

2020/09/09

OHO20

エミッタンスの悪い(大きい)ビーム
位置、方向のばらつきが大きいもの。

7. エミッタンス測定2

エミッタンス(Emittance)x’

位相空間(Phase space)分布：
横軸にビーム位置X、縦軸にビームの進む角度X’をとり、各粒子のX,X’をプロットしたもの。
x

エミッタンス(Emittance) ε：
ビームの粒子が位相空間(Phase space)を占める面積をπで割ったもの
ε = 1/π ∫∫dxdx’
分布している粒子の平均を< >であらわすとX : 粒子の位置
X’: 粒子の進む角度 X’=Px/Pz(Yについても同様)
2020/09/09

𝜀𝜀 =OHO20𝑥𝑥 2 𝑥𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 27. エミッタンス測定

3エミッタンス (Emittance)

σ11
Beam matrix: Σ = 𝜎𝜎21𝛽𝛽 −𝛼𝛼Σ𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑥𝑥−𝛼𝛼 𝛾𝛾𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2=𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥

𝜎𝜎12𝜎𝜎22𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥′2 − 𝑥𝑥′ 2β、α、γは Twiss parameter. 以下の関係がある
1 + 𝛼𝛼 21𝛾𝛾 =𝛼𝛼 = − 𝛽𝛽′𝛽𝛽2𝑥𝑥 と 𝑥𝑥𝑥 を原点にとると、
Σ𝑥𝑥 =𝑥𝑥 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥 2𝜀𝜀 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜎𝜎 =𝑥𝑥𝑥2rmsエミッタンス：
1σの楕円の面積/πX’
Beam divergence (1σ)
𝜀𝜀𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥′22𝜎𝜎11 𝜎𝜎22 − 𝜎𝜎12−𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2

ビームサイズ𝜎𝜎𝑥𝑥 2 =𝛽𝛽𝑥𝑥 𝜀𝜀7. エミッタンス測定
𝑥𝑥 とすると、𝜎𝜎𝑥𝑥 = OHO20
2020/09/09

𝛾𝛾𝛾𝛾
X𝛽𝛽𝛽𝛽
Beam size(1σ)
𝜀𝜀𝛾𝛾𝛼𝛼 > 0: 収束𝛼𝛼 = 0: 極小or極大𝛼𝛼 < 0: 発散 4

転送行列(Transfer matrix)
ある地点12に行く場合、その2点でのx, x’の関係は、その間の光学要素の作用を表した転送行列を使って以下のように書ける。
𝑥𝑥2𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑥𝑥1=𝑥𝑥1
𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑥𝑥𝑥1𝑥𝑥𝑥2𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥1𝑥𝑥𝑥2
自由空間(Drift space)
1 𝐿𝐿
𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 =0 1

四極電磁石(Quadrupole magnet)
𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 =Thin lens 近似𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 =2020/09/09

cos( 𝑘𝑘𝑙𝑙)− 𝑘𝑘 sin( 𝑘𝑘𝑙𝑙)

1−𝐾𝐾011𝐿𝐿sin( 𝑘𝑘𝑙𝑙)
𝑘𝑘cos( 𝑘𝑘𝑙𝑙)(𝑘𝑘 = 𝐵𝐵′ /𝐵𝐵𝜌𝜌)

OHO20
7. エミッタンス測定(𝐾𝐾 = 𝑘𝑘𝑘𝑘)

𝑥𝑥1
𝑥𝑥𝑥1
𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥2
𝐿𝐿

5

転送行列(Transfer matrix)
四極電磁石
𝑥𝑥1
𝑥𝑥𝑥1

𝐿𝐿1𝑙𝑙

𝐿𝐿2𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥2

例えば図のように 12へと行く場合、前後のx,x’との関係は転送行列を使って以下のようにあらわせる。
𝑥𝑥2
1=𝑥𝑥𝑥202020/09/09

𝐿𝐿2
1cos( 𝑘𝑘𝑙𝑙)− 𝑘𝑘 sin( 𝑘𝑘𝑙𝑙)
OHO20

1sin(𝑘𝑘𝑘𝑘𝑙𝑙)

cos( 𝑘𝑘𝑙𝑙)

7. エミッタンス測定

10

𝐿𝐿1
1𝑥𝑥1
𝑥𝑥𝑥16位相空間分布
Beam waist
X’X’

X

収束(α>0)X’X’

焦点(α=0)XXX

発散(α<0)

ドリフトスペース (Drift space)：x1 = x0 + Lx’ , x’1 = x’0 x軸の上にいるものは右に、下は左に動く
四極電磁石(Quadrupole magnet)：
x1 = x0, x’1 = -Kx’0  縦軸がK倍して符号が反転。上下の倍率が変わり上下反転
2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定

7規格化エミッタンス(Normalized emittance)
ライナックなどで加速されエネルギーが高くなるとエミッタンスは小さくなる。
𝑃𝑃𝑥𝑥
X’𝑥𝑥 ′ =𝑃𝑃𝑧𝑧
Px
Px
𝑃𝑃1𝑧𝑧

Pz

加速

加速されると Pzが増えて、X’は小さくなる。
断熱減衰(Adiabatic damping)𝑃𝑃2𝑧𝑧

XPz

X’が小さくなりエミッタンスも減少。

規格化エミッタンス(Normalized emittance)：𝜀𝜀𝑛𝑛 = 𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝑣𝑣
こちらはエネルギーに依らず一定。β、γは相対論のもの、𝛽𝛽 = , 𝛾𝛾 = 1/ 1 − 𝛽𝛽 2𝑐𝑐

規格化エミッタンスεnと区別する場合には、規格化前のエミッタンスεを幾何学的エミッタンス(Geometric emittance)と呼ぶ。
2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定8

エミッタンス測定
エミッタンスは、加速器の性能を表すための重要なパラメーターの一つ。
ビームサイズは、𝜎𝜎 = 𝛽𝛽𝛽𝛽なので、エミッタンスが悪いと、ビームサイズが大きくなり、ビームパイプなどにあたりビームロスが発生する。
エミッタンスは、ビームを衝突させて物理実験を行うコライダーのルミノシティー、放射光の輝度などにとっても重要なパラメーターとなる。
エミッタンス測定方法としては、以下のものがある。
• 測定したビームサイズとビーム光学系から計算する方法• Q-scan、Phase plot• ある位置xのビームを切り出し、その発散角x’を測定、x, x’から算出する方法。
• Slit scan、Pepperpot
これらについて説明していく。
2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定9エミッタンス測定(Q-scan)
Q-scan法は、エミッタンス測定の方法として、良く使われる。
四極電磁石
𝑥𝑥1𝑥𝑥𝑥1𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥2σ𝜎𝜎 =𝑎𝑎 𝐾𝐾 − 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐

K𝑎𝑎𝑎𝑎
𝜀𝜀 = 2𝐿𝐿

𝐿𝐿

四極電磁石(厚さ𝑙𝑙)から距離 𝐿𝐿だけ離れた場所にビームサイズモニタを設置し、四極電磁石の磁場強度を変えながら、ビームサイズの変化を測定する。
測定点をプロットし、関係式でフィットするとエミッタンスが求まる。
2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定10

Q-scan
ある地点12に行く場合、その2点でのx, x’の関係は、その間の光学要素の作用を表した転送行列を使って以下のように書ける。
𝑥𝑥2𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑥𝑥1=𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑥𝑥𝑥1𝑥𝑥𝑥2

ドリフトスペース、四極電磁石(Thin lens)の転送行列は以下となる。
1 0 (𝐾𝐾 = 𝑘𝑘𝑘𝑘)
1 𝐿𝐿
𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 =𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 =−𝐾𝐾 10 1

また、Twiss パラメータは、12で、以下のように変化する。
2𝑚𝑚11𝛽𝛽2
𝛼𝛼2 = −𝑚𝑚11 𝑚𝑚212𝛾𝛾2𝑚𝑚21−2𝑚𝑚11 𝑚𝑚12𝑚𝑚11 𝑚𝑚22 + 𝑚𝑚12 𝑚𝑚21−2𝑚𝑚21 𝑚𝑚222𝑚𝑚12−𝑚𝑚12 𝑚𝑚222𝑚𝑚22𝛽𝛽1
𝛼𝛼1
𝛾𝛾1

Qスキャンでは、12で四極電磁石と長さLの自由空間があるので、
𝛽𝛽2
10 0 𝛽𝛽1
1 −2𝐿𝐿 𝐿𝐿2𝛼𝛼2 = 0𝐾𝐾
1 0 𝛼𝛼1
1−𝐿𝐿𝛾𝛾2
𝐾𝐾 2 2𝐾𝐾 1 𝛾𝛾1001OHO20 7. エミッタンス測定
2020/09/09
自由空間
四極電磁石

11Q-scan
ここからβ2を計算すると、
𝛽𝛽2 = 1 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝐾𝐾 2 𝐿𝐿2 𝛽𝛽1 + −2𝐿𝐿 + 2𝐾𝐾𝐿𝐿2 𝛼𝛼1 + 𝐿𝐿2 𝛾𝛾12= 𝐿𝐿 𝛽𝛽11 𝛼𝛼1
𝐾𝐾 −−
𝐿𝐿 𝛽𝛽12

𝐿𝐿2+𝛽𝛽11 + 𝛼𝛼 2𝛾𝛾 =𝛽𝛽となる。ビームサイズ𝜎𝜎、エミッタンス𝜀𝜀の関係は、𝜎𝜎 2 = 𝛽𝛽𝛽𝛽なので、
1 𝛼𝛼1−
𝜎𝜎22 = 𝛽𝛽2 𝜀𝜀 = 𝐿𝐿2 𝛽𝛽1 𝜀𝜀 𝐾𝐾 −𝐿𝐿 𝛽𝛽1と書ける。よって、
𝜎𝜎2 =𝐿𝐿2 𝜎𝜎121 𝛼𝛼1
𝐾𝐾 −−
𝐿𝐿 𝛽𝛽122

𝐿𝐿2 𝜀𝜀1 𝛼𝛼1+= 𝐿𝐿2 𝜎𝜎12 𝐾𝐾 −−𝛽𝛽1
𝐿𝐿 𝛽𝛽12𝐿𝐿2 𝜀𝜀 2+ 2𝜎𝜎1

𝐿𝐿2 𝜀𝜀 2+ 2𝜎𝜎1となり、測定するビームサイズσ2と四極電磁石のKの値との関係が求まる。
2020/09/09

OHO207. エミッタンス測定

12Q-scanでの測定方法
四極電磁石の磁場強度を変えて、ビームサイズを測定する。
(フィットするパラメータとしてε、α、βの3つがあるので、3点以上必要)
そして、縦軸をビームサイズσ、横軸を四極電磁石のK値にしてプロットし、
𝜎𝜎 =𝑎𝑎 𝐾𝐾 − 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐で、フィットする。この式と、前のページの式と比較すると、
𝑎𝑎 = 𝐿𝐿2 𝜎𝜎12 ,1 𝛼𝛼1𝑏𝑏 = − ,𝐿𝐿 𝛽𝛽1𝐿𝐿2 𝜀𝜀 2𝑐𝑐 = 2𝜎𝜎1となっているので、エミッタンスε、および規格化エミッタンスεnは、
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝜀𝜀 = 2 ,𝜀𝜀𝑛𝑛 = 𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛾𝛾𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 2
𝐿𝐿𝐿𝐿𝑣𝑣2となる。(𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 , 𝛾𝛾𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 は相対論のもの、𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = , 𝛾𝛾𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1/ 1 − 𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)
𝑐𝑐

また、β1, α1は以下となる。
𝛽𝛽1 =2020/09/09

𝑎𝑎,𝑐𝑐

𝛼𝛼1 =𝑎𝑎 1− 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝐿𝐿
OHO20

7. エミッタンス測定13

Q-scan による測定について• 四極電磁石の設定値を変更するため、下流のビーム光学系が変わるため、ビームロスを引き起こす。ビームカレントや、ビームエネルギーが高い場合には注意が必要。
• 測定点での 分散関数(Dispersion function)を調べておく。これは運動量のずれにΔ𝑃𝑃よる位置の変化を表したもので、𝑥𝑥 = 𝜂𝜂 の関係となっている。分散関数を考𝑃𝑃慮したビームサイズは以下のようになる。
𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝜂𝜂2Δ𝑃𝑃𝑃𝑃2

𝜂𝜂: Dispersion function,

Δ𝑃𝑃: Momentum spread𝑃𝑃

分散関数による寄与が無視できない場合、その影響を挿し引きする必要がある。
エミッタンスを計算するには、 𝛽𝛽𝛽𝛽 の値がほしいので、
𝜎𝜎 =とする。
2020/09/09

𝛽𝛽𝛽𝛽 =

2𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝜂𝜂 2Δ𝑃𝑃𝑃𝑃

OHO2027. エミッタンス測定14

Q-scan による測定について• ビームを小さく絞って測定するため、ビームのエネルギーが低く、バンチの電荷密度が高い時には、空間電荷効果の影響を受ける。つまり、粒子間に働くクーロン力の影響により、ビームサイズが大きめに出る。
σ
焦点で電荷密度が上がり影響を受けるので、焦点付近より先でビームサイズが大きめに出る。

K
空間電荷効果の影響については、エンベロープ方程式を使って評価できる。
𝜎𝜎′′𝑥𝑥 =𝐼𝐼𝐼𝐼0 𝛾𝛾 3 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦2𝜀𝜀𝑛𝑛,𝑥𝑥+ 2 3𝛾𝛾 𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎′′𝑦𝑦 =𝐼𝐼𝐼𝐼0 𝛾𝛾 3 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦2𝜀𝜀𝑛𝑛,𝑦𝑦+ 2 3𝛾𝛾 𝜎𝜎𝑦𝑦

また、Slit scanの方法を使うと、この問題を回避できる。
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OHO20

7. エミッタンス測定

4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑚𝑚𝑐𝑐 2𝐼𝐼0 =𝑒𝑒
15

Q-scanでのEmittance測定の例
四極電磁石の磁場(具体的には電流値)を変えながら、サイズを測定。
22MeV, 0.5nC/bunchのビームのエミッタンスを測定したときのもの

OTR Screen monitorで測定した
OHO20
2020/09/09
ビームプロファイル

KEK小型電子加速器(LUCX)で測定されたもの

7. エミッタンス測定16

Screen monitor
ビームが衝突すると発光するスクリーンをビームラインに挿入して、ビームのTransverseの位置分布(ビームサイズ)、位置、強度を測定する。
スクリーンには蛍光板、シンチレーター、金属箔などを用いる。
蛍光板やシンチレータの板

金属箔

1𝛾𝛾

CameraCameraOTR(Optical Transition Radiation)は1/γの角度で放射されるCrをドープしたアルミナ蛍光板や
Ce:YAGが使われる。
OHO20 7. エミッタンス測定
2020/09/0917

Screen monitor• アルミナ蛍光板• Cr2O3をドープ(0.5%)したAl2O3の板。よくデマルケストと呼ばれる。
• ビームが当たると赤く光る(中心波長693nm)。ビームカレントが低くても見える。
• 板の内部で光が散乱されるので、滲んでサイズが実際より大きく見える。
影響を減らすため100um厚など薄い板にして使用する。
• Ce:YAG• Ce:YAGシンチレータの黄色透明なセラミック。薄い板(100umなど)にして使用。
• 可視域の蛍光。最大発光波長 525nm.
• 発光減衰時間は70nsとアルミナ蛍光板より短い。
• アルミナ蛍光板と比較して、内部での散乱は少なく、滲みは小さい。
• OTR(Optical Transition Radiation)• 金属箔にビームを当てる。KEKのcERLでは70um厚のSi板にAl蒸着したものを使用している。
• 1/γで光が放射されるため、低エネルギーではカメラへ入る光量が低くなり暗くなる。
• 散乱による滲みはない。
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OHO20

7. エミッタンス測定

18

Wire scanner
ワイヤー位置をスキャンし、衝突したビームからのガンマ線信号の強度変化を測定。
スキャンしつつ信号を測定するので複数ショットのビームが必要。
10umなど小さいビームサイズを測定するために使われる。
WireBending
ATFではAir Chevenkov
BeamscannerCounterを用いている。
magnetDetector 低エネルギーのBeam
バックグラウンド信号をγ-ray
45度方向にスキャン避けるため。

ワイヤーには直径10umのタングステンワイヤーや7umのカーボンワイヤーなどを用いる。
垂直方向のサイズσyを測定

水平方向のサイズσxを測定

ビーム軸は紙面垂直方向

2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定

ScanBeam

γ-rayワイヤー位置をスキャン。
段々ビームにあたり信号が強くなっていき中心から外れてくると弱くなっていく信号強度の変化が得られる。 19

Wire scanner
スキャンして得られた強度分布をガウシアンフィットしてビームサイズを得る。
ScanBeam

γ-ray

𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 2
𝐼𝐼 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 −22𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

ワイヤーを動かすムーバーは、斜め45度に動いているので、ワイヤーの位置 𝑥𝑥 は、𝑝𝑝
ムーバー位置pとすると、𝑥𝑥 = となる。
2𝑑𝑑

また、ビームサイズ𝜎𝜎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 は、直径𝑑𝑑のワイヤーのrmsである𝜎𝜎𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 = を引いたも4のになる。
𝜎𝜎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 =222𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝜎𝜎𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤= 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝑑𝑑/42020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定

20

Wire scanner
KEKのATFに導入されている Wire scannerH.2020/09/09
Hayano, “Wire scanners for Small Emittance Beam
Measurement
In ATF”, Proc of 20th International Linac Conference, MOC01
OHO20
7. エミッタンス測定21

エミッタンス測定(Phase plot)
𝑠𝑠1

𝑠𝑠2

𝑠𝑠3

異なる3か所以上でビームのサイズを測定すると、そのビームサイズとビーム光学系からエミッタンスが求まる。
四極電磁石の磁場を変えなくてよいので、下流のビームロスは起きにくい。

2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定22

エミッタンス計算(Phase plot)
𝛽𝛽0 𝑠𝑠0𝛼𝛼0
𝛾𝛾0𝑅𝑅 (1)2𝑚𝑚11
𝛽𝛽2
𝛼𝛼2 = −𝑚𝑚11 𝑚𝑚212
𝛾𝛾2𝑚𝑚21

𝑠𝑠3

𝑠𝑠2

𝑠𝑠1
𝑅𝑅 (2)−2𝑚𝑚11 𝑚𝑚12𝑚𝑚11 𝑚𝑚22 + 𝑚𝑚12 𝑚𝑚21−2𝑚𝑚21 𝑚𝑚22

𝑅𝑅 (3)

2𝑚𝑚12−𝑚𝑚12 𝑚𝑚222𝑚𝑚22間にQ-magnetがあっても良い。
𝛽𝛽1𝛼𝛼1𝛾𝛾1

𝜎𝜎 2 = 𝛽𝛽𝛽𝛽

各測定点のビームサイズとS0でのε、Twissパラメータとの関係は以下となる。
(1) 2(1) 2(1) (1)(1) 2𝜎𝜎𝑥𝑥= 𝑅𝑅11 𝛽𝛽0 𝜀𝜀 − 2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12 𝛼𝛼0 𝜀𝜀 + 𝑅𝑅12 𝛾𝛾0 𝜀𝜀(2) 2𝜎𝜎𝑥𝑥=(𝑛𝑛) 2𝜎𝜎𝑥𝑥=(2) 2(2) (2)
𝑅𝑅11 𝛽𝛽0 𝜀𝜀 − 2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12 𝛼𝛼0 𝜖𝜖 +(𝑛𝑛) 2(𝑛𝑛) (𝑛𝑛)
𝑅𝑅11 𝛽𝛽0 𝜀𝜀 − 2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12 𝛼𝛼0 𝜀𝜀 +(2) 2𝑅𝑅12 𝛾𝛾0 𝜀𝜀(𝑛𝑛) 2
𝑅𝑅12 𝛾𝛾0 𝜀𝜀MichikoG. Minty, Frank Zimmermann, “Measurementand Controlof Charged Particle Beams,” Springer, Chapter 4.1 Beam
OHO20
7. エミッタンス測定
2020/09/09
Emittance Measurements, (2003)

23エミッタンス計算(Phase plot)
まとめて書くと(1) 2𝜎𝜎𝑥𝑥(2) 2𝜎𝜎𝑥𝑥…

(𝑛𝑛) 2𝜎𝜎𝑥𝑥

=

𝚺𝚺𝒙𝒙

(1) 2
𝑅𝑅11(2) 2

𝑅𝑅11…

(𝑛𝑛) 2
𝑅𝑅11(1) (1)
2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12(2) (2)2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12…

(𝑛𝑛) (𝑛𝑛)
2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12𝐁𝐁

よって、

(1) 2
𝑅𝑅12(1) 2

𝑅𝑅12…

(1) 2
𝑅𝑅12𝛽𝛽0 𝜀𝜀−𝛼𝛼0 𝜀𝜀𝛾𝛾0 𝜀𝜀𝐨𝐨𝛴𝛴𝑥𝑥 = 𝐁𝐁 � 𝐨𝐨

Oは、最小二乗法によって求める。𝜒𝜒 2 は、以下のようになる。
𝑛𝑛𝜒𝜒 2 = �

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1

𝜎𝜎 2(𝑙𝑙)
𝑙𝑙=1 Σ𝑥𝑥(𝑙𝑙)3Σ𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖
𝑖𝑖=1OHO202(𝑙𝑙)ここで、𝜎𝜎Σ(𝑙𝑙) は、Σ𝑥𝑥 =7. エミッタンス測定

𝑥𝑥

𝑙𝑙
𝜎𝜎𝑥𝑥

2の誤差
24

エミッタンス計算(Phase plot)
以下のように規格化すると、以下のように書き直せる。
(𝑙𝑙)Σ� 𝑥𝑥 =(𝑙𝑙)Σ𝑥𝑥𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝜎𝜎Σ(𝑙𝑙)𝑥𝑥

𝐵𝐵𝑙𝑙𝑙𝑙𝜎𝜎Σ(𝑙𝑙)𝑛𝑛3

𝑙𝑙=1𝑖𝑖=1(𝑙𝑙)𝜒𝜒 2 = � Σ� 𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖𝑥𝑥2

これを最小にするパラメータを求めるため、極値条件を計算。
𝑛𝑛3

𝑙𝑙=1𝑖𝑖=1𝜕𝜕(𝑙𝑙)� Σ� 𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖
𝜕𝜕𝑜𝑜1𝑛𝑛3

𝜕𝜕(𝑙𝑙)� Σ� 𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖
𝜕𝜕𝑜𝑜2
𝑙𝑙=1
𝑛𝑛

𝑖𝑖=13

𝜕𝜕(𝑙𝑙)� Σ� 𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖
𝜕𝜕𝑜𝑜3

2020/09/09

𝑙𝑙=1

𝑖𝑖=1

2

2

𝑛𝑛

3

𝑙𝑙=1

𝑖𝑖=1

𝑙𝑙=1

𝑖𝑖=1

𝑙𝑙=1

𝑖𝑖=1=0(𝑙𝑙)� 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙 Σ� 𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖=0=0(𝑙𝑙)� 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙 Σ� 𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖=0(𝑙𝑙)
� 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙 Σ� 𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖

=02

𝑛𝑛=0

OHO20

𝑛𝑛

7. エミッタンス測定

3325エミッタンス計算(Phase plot)
まとめて書くと、� 𝑡𝑡 Σ� 𝑥𝑥 − 𝐁𝐁� � 𝐨𝐨 = 0𝐁𝐁となる。これから、oは、以下のようになる。
� 𝐭𝐭 𝐁𝐁� −𝟏𝟏 𝐁𝐁� 𝐭𝐭 𝛴𝛴�𝑥𝑥 = 𝐓𝐓 � 𝐁𝐁
� 𝑡𝑡 � 𝛴𝛴�𝑥𝑥
𝐨𝐨 = 𝐁𝐁

また、oの誤差は𝜎𝜎𝑜𝑜𝑖𝑖 =𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 となる。

� −1 で共分散行列
� 𝑡𝑡 � 𝑩𝑩
ここで 𝐓𝐓 = 𝐁𝐁

そして、エミッタンスεやTwissパラメータα、βは、𝑜𝑜1𝑜𝑜2𝜀𝜀 = 𝑜𝑜1 𝑜𝑜3 − 𝑜𝑜22
𝛽𝛽 =𝛼𝛼 = −𝜀𝜀𝜀𝜀となる。

2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定

26

Phase plotでの測定例
KEKのATFでは4台のOTRモニタを使用してエミッタンスを測定している。

2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定

27

ATF groupより提供頂いたエミッタンス測定(Phase plot)
S1,S2,S3でビームサイズを測定し、それをS0まで戻すと左のようになり最低3つのデータがあれば楕円が決まる。つまり、S0でのε、α、βが分かる。
4点以上あれば、誤差が求まる。
また、測定点が近いとサイズ測定のバラつきに敏感になるので、離して測定する。測定点数が𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 の場合、測定点間の Phase advanceΔ𝜇𝜇 = 90∘ /𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 の位置に検出器を設置するとよい。
21 2𝛼𝛼𝑋𝑋 2 + 𝑃𝑃2 = 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝛽𝛽 𝑥𝑥 ′ + 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴2𝛽𝛽𝛽𝛽x’
P
P
S0まで𝑋𝑋 = 𝑥𝑥/ 𝛽𝛽戻す
P= 𝛽𝛽𝑥𝑥 ′ + 𝛼𝛼𝑥𝑥/ 𝛽𝛽
Xx

ある測定点
2020/09/09

ある測定点

OHO20

7. エミッタンス測定

S028X

エミッタンス測定(Slit scan) Screen
Slitmonitor

Beam

ビームの一部を切り出し、ドリフトスペースを飛ばす。
Divergenceを持っているので、切り出されたビーム片は広がっていく。
広がったところで、このプロファイルを測定すると、角度分布が得られる。
X’X’

X

X
角度方向の分布が位置分布に置き換わる。

2020/09/09

OHO20

7. エミッタンス測定

29

Slit scanでの測定
SlitBeamX

位置をスキャン
𝐿𝐿

スリットの位置𝑥𝑥𝑖𝑖 をスキャンし、その位置毎のプロファイルを測定。
それを位相空間上にプロットすると、位相空間上の𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗 に対して、強度 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗 が得られる。
X’𝑥𝑥 ′ = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 /𝐿𝐿

Gaussian フィットするとで各𝑥𝑥𝑖𝑖 での強度分布が得られる。

𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗

𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗−1 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗+1

2020/09/09

OHO20

22 𝜎𝜎 2 − 𝜎𝜎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

7. エミッタンス測定

2…. ….

𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 −𝐿𝐿𝑥𝑥 ′ − 𝑏𝑏 − 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2…. 𝑥𝑥𝑖𝑖 ….

X𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗𝑥𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥130

エミッタンスの計算(Slit scan)
エミッタンスは以下の式で計算。
𝑥𝑥 2 𝑥𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝜀𝜀 =各点の強度の情報から以下を計算する。
𝑥𝑥 =𝑥𝑥2∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗=∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 =
2020/09/09∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗,

2𝑥𝑥𝑥 =𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗
2𝑥𝑥𝑥

𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑥 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗=∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑥

2𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗,∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗

OHO20

7. エミッタンス測定

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Slit scanでの測定について• ビームをスリットで切り出す必要があるので、低エネルギーで使われる。
• 低エネルギービームでは、空間電荷効果の影響を受けやすい。 Q-scan法ではこの影響が大きい場合、こちらの方法を使う。ビームの一部を切り出し電荷量が減るので、この影響を受けずにエミッタンス測定ができる。
• ビーム片の空間電荷効果の影響については、エンベロープ方程式を使って評価できる。
22𝜀𝜀𝑛𝑛,𝑦𝑦𝐼𝐼𝐼𝐼𝜀𝜀𝑛𝑛,𝑥𝑥4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑚𝑚𝑐𝑐 2𝜎𝜎′′𝑦𝑦 =+ 2 3𝜎𝜎′′𝑥𝑥 =+ 2 3𝐼𝐼0 =3 𝜎𝜎 + 𝜎𝜎3𝛾𝛾 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐼𝐼𝛾𝛾𝛾𝛾
𝜎𝜎𝐼𝐼0 𝛾𝛾 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑒𝑒0𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥• モニタ上でのビームサイズがスリット幅に比べて十分大きい必要がある。
100~30𝜇𝜇𝑚𝑚で、モニタ上のサイズは、例えばスリット幅100umなら、このrmsは12
これより十分大きい必要がある。

• 位置分解能はスリット幅に依存。また、角度分解能はモニタの分解能とスリットとモニタの距離に依存。

• スリット幅を狭くし、ステップ幅を小さくとれば位置の分解能は上がるが、OHO20 7. エミッタンス測定
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測定に時間がかかる。ショット毎のビーム安定性が良くないと誤差が増える。

Slit scanの装置
KEKの cERLで使用されている Slit scanの装置

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KEK本田洋介氏より提供頂いたSlit scan の測定例
位相空間分布

スキャン時のプロファイル

規格化エミッタンス：0.210±0.004um
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KEK本田洋介氏より提供頂いたPepperpot
Beam

スリットの代わりに、小さい穴を使う。
X, Y両方向にメッシュ状に穴の開いた板にビームを当てて、ビームを切り出し各々の穴のビームプロファイルから、その点(x,y)での (x’,y’)が求まるので、スリットスキャンと同じようにエミッタンスを測定できる。
X,Yの両方のエミッタンスを1ショットで測定できる。
全ての穴からのビーム片のプロファイルを同時に測定するため、プロファイルがオーバーラップしないようにしなければならない。
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まとめ

• Q-scan• 四極電磁石の磁場強度を変更したときの下流でのビームサイズの変化からエミッタンスを計算。
• 四極電磁石とスクリーモニタがあればよいので、測定しやすい。
• 下流でロスが出やすい。高エネルギー、高カレントビームPhase plot
• 低エネルギーで高電荷密度だと空間電荷効果の影響が出るSlit scan
• Phase plot
• 異なる3点以上の場所で測定したビームサイズからエミッタンスを計算。
• 四極電磁石の磁場は変えないので、Q-scanよりロスしにくく、高エネルギーや高カレントのビームでも測定しやすい。
• Slit scan
• スリットでビームの一部を切り出し、自由空間を挟むことで発散角x’を位置xに置き換え測定、x, x’から算出する方法。
• 切り出したビームは電荷量が下がるので、空間電荷効果の影響を受けずに測定可能。ただ、それ以外をスリットで止める必要があるので、低エネルギービームで使用される。
• Pepperpot• スリットスキャンと原理は同じ。
• X,Y同時に1ショットでエミッタンスが測定できる。
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参考文献
エミッタンス測定について説明は、過去のOHOの各テーマ内で取り上げられている。
今回の発表資料を作るにあたり、以下のOHOや文献を参考にさせて頂いた。
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榎本収志, 「3 .電子リニアックのビーム・モニタ」, OHO86
小林仁, 「4. 電子線形加速器」, OHO88
森義治, 「1 .イオン源 」, OHO89
阪井寛志, 「8 .ビーム計測」, OHO02
佐藤康太郎, 「1．ビーム輸送の物理」, OHO07
西森信行, 「6．ERL電子銃」, OHO08
佐藤健一郎, 「6．ビームモニター 2 : ビームプロファイルモニタ」, OHO10
池上雅紀, 「12ライナックとRFQの物理 1 :ライナックのビーム物理」, OHO10
渡川和晃, 「5．低エミッタンス熱電子銃」, OHO13
前坂 比呂和, 「10．高精度ビーム診断」, OHO13
宮島 司, 「4. ERLのビーム力学」, OHO15
高井 良太, 「9. ERLを支えるビームモニター 」, OHO15
久保木 浩功, 「7. 陽子ビームモニタ」, OHO18
夏井 拓也, 「 3. 入射器の概略・全体(１)(２) 」, OHO19
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参考文献
• Michiko G. Minty, Frank Zimmermann, “Measurement and Control of Charged
Particle Beams,” Springer, Chapter 4.1 Beam Emittance Measurements, (2003)• Uli Raich, “Emittance measurements”, U.S. Particle Accelerator School(https://uspas.fnal.gov/), Accelerator and Beam Diagnostics (2009)• 細野米市, et.al., 「アルミナ蛍光板の発光特性」、第27回 リニアック技術研究会, 8P-26• H. Hayano, “Wire scanners for Small Emittance Beam Measurement In ATF”,
Proc of 20th International Linac Conference, MOC01

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