計測自動制御学会東北支部 第 229 回研究集会 (2006.6.9)
資料番号 229-9

線形離散時間システムのグラミアンを保存する周波数変換
Gramian-Preserving Frequency Transformation for LinearDiscrete-Time Systems○越田俊介，阿部正英，川又政征○ Shunsuke Koshita, Masahide Abe, Masayuki Kawamata
東北大学大学院工学研究科

Graduate School of Engineering, Tohoku University
キーワード : 可制御性グ ラミアン (controllability Gramian)，可観測性グ ラミアン (observability Gramian)，周波数変換 (frequency transformation)，全域通過関数 (allpass function)，平衡形 (balanced form)

連絡先 : 〒 980-8579

仙台市青葉区荒巻字青葉 6-6-05 東北大学大学院工学研究科 電子工学専攻 川又研究室

越田俊介，Tel.: (022)795-7095，Fax.: (022)263-9169，E-mail: kosita@mk.ecei.tohoku.ac.jp1.

はじめにいてよく知られており，ある与えられた低域通過フィルタから別の特性を有するフィルタを簡易的線形システムの可制御性グ ラミアンおよび 可観に設計するために用いられ る．

測性グ ラミアンは，線形システム理論において基礎的かつ重要な役割を担っており，伝達関数による記述では表現できないようなシステム内部の構造を詳し く解析するために用いられ る 1) ．これらのグラミアンを用いた実用的な理論は，制御理論・信号処理理論・回路理論など 工学の幅広い分野において数多く確立されており，たとえば モデル低次数化とよばれる線形システムの近似理論 2, 3) や，高精度デ ィジタルフィルタの実現理論 4, 5, 6, 7) な
ど が 知られている．

著者らはこれ まで ，周波数変換によって生成されるさまざ まな線形システムを状態空間表現に基づいて解析し ，システムの実現や動的な性質に関する数多くの重要な 知見を 得ている 9, 10, 11) ．本稿では ，線形離散時間シ ステムを対象とし て，これまで用いられてきた状態空間表現に基づく周波数変換の記述法 12) を修正し ，その結果として，システムの可制御性・可観測性グ ラミアンが 保存されるような新しい周波数変換の記述法を導出する．
また，この記述法に基づいて生成されるさまざ ま

周波数変換は ，線形システムの伝達関数における変数を別の関数で置き換えることによって，さまざ まな特性のシステムを生成する手法である．線形離散時間システムの周波数変換は，システムの遅延素子を全域通過関数で置き換えることによって実現され る 8) ．この手法は信号処理の分野におなシステムが ，グ ラミアンの観点から同一の構造を有するという興味深い性質を示す．さらに ，この記述法が 信号処理理論にもたらす重要な知見とし て，平衡形や丸め誤差最小構造といった実用上有益なデ ィジタルフィルタの構造が ，変換の前後–1–

x(n+1)z-1INと変換したとき，新し い状態 x (n)を有するシステx(n)ム (A , B  , C  , D  ) = (T −1 AT , T −1 B, CT , D) もまた伝達関数行列 H(z)を満足する．このように ，状態空間表現の係数すなわちシステムの構造が T に

A B
y(n)

C D

よって変化しても伝達関数は変化しないので，(4)u(n)式の変換は等価変換とよばれる．システム H(z)がディジタルフィルタを表すとき，上述の議論より，同一の伝達関数をもつフィルタ構造は無限に存在

Fig. 1線形離散時間シ ステムの状態空間表現

するといえる．

で保存され るという性質を示す．

2.

2.2

シ ステム (A, B, C, D)に 対し て次のリアプ ノフ

線形離散時間シ ステムの状態方程式の解 K と W は 可制御性グ ラミアン および空間表現とグラミアン
2.1

可制御性・可観測性グラミアン

可観測性グ ラミアンとよばれ る．

状態空間表現

N 次の m 入力 p 出力の安定な伝達関数行列 H(z)をもつ線形離散時間システムの次の状態空間表現を考える．

K = AKAt + BB t

(5)

W = At W A + C t C(6)

H(z)が 安定で (A, B, C, D)が 最小実現で あれば ，x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n)(1)y(n) = Cx(n) + Du(n)(2)

この K と W は対称正定行列となる．
システムの可制御性グ ラミアンおよび 可観測性
グラミアンは，係数行列(A, B, C, D)と同様に，与ここで ，u(n) ∈ m と y(n) ∈ p はそれぞれシ ス

えられた伝達関数行列H(z)に対して一意に定まらテムの入力と出力であり，x(n) ∈ N はシ ステムず無限に存在する．すなわち，(4) 式の等価変換にの遅延素子の出力を表す状態ベクトルである．ま対し て，K と W は次式のように変化する．

た，A, B, C, D は適当なサ イズの実係数行列である．ここで ，シ ステム (A, B, C, D)は 最小実現であるとする．係数行列と伝達関数行列はH(z) = D + C(zI N − A)−1 B

K  = T −1 KT −t(7)

W  = T tW T

(8)

信号処理の分野では ，可制御性グ ラミアンと可(3)観測性グ ラミアンはデ ィジタルフィルタの構造のの関係にある．ただし ，I N は N × N の単位行列を特徴を表す行列とし て知られており，高精度デ ィ表す．このシ ステムのブ ロック図を図 1に示す．

ジタルフィルタの実現問題を考える上で ，非常に与えられた伝達関数行列H(z)を満足する状態空重要な役割を担っている．具体的には ，有限語長間表現の係数は無限に存在する．すなわち，シ ス

デ ィジタルフィルタの量子化誤差の解析および 最テム (A, B, C, D)において，任意の N × N の正則小化の問題において，可制御性グ ラミアンと可観行列 T を用いて状態ベクトル x(n)を測性グ ラミアンが 用いられ る 4, 5, 6, 7) ．詳し い説x (n) = T −1 x(n)(4)

明は省略するが ，量子化誤差の大きさはフィルタ–2–

Magnitude

Magnitude

Magnitude

010−2100.5
1
Normalized frequency

LP to BP

Fig. 20.5
Normalized frequency

00

LP to LP

−400.5

0.5
00101

1

Magnitude

IdealDirect form
Balanced form

10.5
001

Fig. 3

有限語長ディジタルフィルタの特性の比較

0.5
1
Normalized frequency

0.51Normalized frequency

周波数変換の例の構造と密接に関係し ており，量子化誤差の小されるシステムの状態空間表現における係数と可制

い高精度なデ ィジタルフィルタを実現するために御性・可観測性グ ラミアンに関する補題および 定は，システムの可制御性グラミアン K と可観測性理を導入する．

グ ラミアン W を適切な形に選ぶ必要がある．
高精度デ ィジタルフィルタ構造とし て ，たとえ3.1ばグラミアンが 次式で与えられるような構造が 知られている 6) ．

周波数変換

線形離散時間システムの周波数変換は ，与えられた N 次のシ ステム H(z)に 対し て z −1 ← 1/F (z)K=W =Θ

(9)

この構造は平衡形 2, 3) とよばれ，2つのグラミアンが 等し くつり合っている構造である．ここで ，Θの変数変換を適用することにより，新しいシステムH(F (z))を得る手法である．ここで，1/F (z)は次式で与えられ る M 次の全域通過関数 1, 12) である．
M1z −1 − p∗i=±,F (z)1 − pi z −1i=1は対角行列であり，その各要素は行列積 KW の固有値の正の平方根 (Hankel 特異値あるいは 2 次モー|pi | < 1(10)この変換は ，デ ィジタルフィルタの簡易設計法とド とよばれ る)とし て与えられ る．
有限語長ディジタルフィルタの実現例を図 2に示す．ここで用いられているフィルタは 5 次のチェビシェフ型低域通過フィルタであり，係数の語長を小数点以下 8ビットに量子化している．この図に示して知られており，図 3に示されるように，遮断周波数が 既知の低域通過フィルタから任意の遮断周波数を有する各種のフィルタに変換することができる．
デ ィジタルフィルタの設計においてよく用いらされるように，伝達関数表現に基づいて実現された「 直接形」とよばれ る構造では量子化誤差による特性劣化が 非常に大きくなっているが ，平衡形
では劣化が 非常に小さく，理論上の振幅特性に非れ る周波数変換とし て，低域–低域変換・低域–高域変換・低域–帯域変換・低域–帯域阻止変換において用いられ る関数 1/F (z) を表 1に 示す．表 1において ，ωc , ωo , ∆は 変換後のシ ステム H(F (z)) の常に近い特性が 得られている．

遮断周波数，中心周波数，帯域幅をそれぞれ 決定3.

する変数である．

周波数変換

ここでは ，線形離散時間シ ステムの周波数変換について述べる．また，周波数変換によって得ら–3–

Table 1

周波数変換
z −1 −ωc1−ωc z −1z −1 +ωc− 1+ω
−1czo ∆ −1 + ∆−1z −2 − 2ω
∆+1 z
∆+1

低域–低域変換低域–高域変換⎡α⎢⎣γ− ∆−1 z−2 − 2ωo ∆ z−1 +1低域–帯域変換∆+1∆+12ωo −1z −2 − 1+∆
z + 1−∆
1+∆

低域–帯域阻止変換

3.2

z –1 IN

関数 1/F (z)周波数変換β⎤δ ⎥⎦2ωo −1
1−∆ −2− 1+∆
z +11+∆ z

A B

周波数変換によって得られる線形離散時間システムの状態空間表現

C D

ここでは ，周波数変換によって得られ るシ ステ
ムH(F (z))の状態空間表現の係数および 可制御性・Fig. 4

可観測性グ ラミアンの記述 12) について概説する．
なお，文献12) では 1入力 1出力のシステムのみを対象とし ているが ，多入力多出力システムに対し ても 1 入力 1 出力の場合と全く同じ 結果が成立することを容易に示せるので，本稿では多入力多出力シシ ステム H(F (z))の状態空間表現で定義され る．
⎛x11 Y⎜⎜ x21 Y
X ⊗Y =⎜..
⎜⎝.

xm1 Yステムに対する表記を用いる．

x12 Y···

x1n Y

x22 Y..
.
xm2 Y···..
.

x2n Y..
.
xmn Y···⎞⎟⎟⎟(16)⎟⎠2

まず，H(F (z)) の状態空間表現の係数に 関する

図4に示されるように，H(F (z))のブロック図は，次の補題を導入する．
補題 1 N 次の安定なシ ステム H(z) および M 次の全域通過関数 1/F (z)の状態空間表現の係数をそれH(z)の遅延素子を全域通過システム1/F (z)で置き換えたものとし て表現され る．
次に，システム(A, B, C, D)の可制御性・可観測

ぞれ (A, B, C, D) および (α, β, γ, δ) とする．このとき，周波数変換 z −1 ← 1/F (z)によって得られる性グ ラミアンについての補題を導入する．
補題 2 H(F (z))の状態空間表現の係数が (12)–(15)シ ステム H(F (z))はH(F (z)) = D + C(zI M N − A)−1 B

式で与えられるとき，このシステムの可制御性グ(11)と表され，(A, B, C, D)は H(z)および 1/F (z)の係

ラミアン K と可観測性グラミアン W は次のように表され る．

数を用いて次式で与えられ る．

A = I N ⊗ α + [A(I N − δA)−1 ] ⊗ (βγ) (12)B = [(I N − δA)−1 B] ⊗ β−1

C = [C(I N − δA)]⊗γ−1

D = D + δC(I N − δA)

B

K = K ⊗Q(17)W = W ⊗ Q−1(18)(13)

ここで，K と W はシステム (A, B, C, D)の可制御(14)性・可観測性グ ラミアンであり，Qとその逆行列(15)

Q−1 は全域通過関数 1/F (z)の可制御性・可観測性

ここで ，⊗は 行列のクロネッカー積を表し ，次式

グ ラミアンである．すなわち，Qと Q−1 はそれぞれ 次のリアプ ノフ方程式の解とし て得られ る．

Q = αQαt + ββ t–4–(19)Q−1 = αt Q−1 α + γ t γ(20)れ る．

K = Q ⊗ K,24.

W = Q−1 ⊗ W(26)
2

線形離散時間シ ステムのグ ラ
ミアンを保存する周波数変換

補題 3の証明は ，補題 1 および 2の証明 12) と同様の方法により容易に導けるので，ここでは省略する．

本章では ，前章で導入し た補題を利用し て，線補題3より，グラミアンを保存する周波数変換を形離散時間システムの可制御性グラミアンと可観導出するために重要となる次の定理が 直ちに導か測性グラミアンを保存する周波数変換の記述法をれ る．

導出する．すなわち，システム H(z)と H(F (z))の状態空間表現が 同一のグラミアンを有するような周波数変換の記述法を導出する．また，導出し た
記述法の応用とし て，高精度デ ィジタルフィルタの実現問題においてもたらされる重要な知見につ B,
定理 1 周波数変換によって得られるシステム(A, D)
 の可制御性・可観測性グラミアンの式(26)にC,おいて ，Q = I M が 成立するならば ，次式が 成立する．

⎛いても述べる．

4.1⎜
K = IM ⊗ K = ⎜⎝⎛システムのグラミアンを保存する周波数変換の導出⎜
W = IM ⊗ W = ⎜⎝

K.

0KW00

まず，H(F (z))の状態空間表現について，補題 1..

0..

.

⎞⎟
⎟
⎠

(27)

⎞⎟
⎟
⎠

(28)

W

および 2と等価の関係にある次の補題を導出する．

すなわち，K と W はそれぞれ K と W を対角ブロッ

補題 3 補題 1において得られ る H(F (z))の係数行クとする M N × M N のブ ロック対角行列となる．

列の式 (12)–(15)に対し て，クロネッカー積の順序2を逆にし てできる次の行列の組

定理1より，全域通過関数1/F (z)の係数(α, β, γ, δ) = α ⊗ I N + (βγ) ⊗ [A(I N − δA)−1 ] (21)A

が Q = I M の関係を満足するとき，周波数変換に

 B,
 C,
 D)
 のグ ラミア
よって得られ るシ ステム (A, = β ⊗ [(I N − δA)−1 B]B(22) = γ ⊗ [C(I N − δA)−1 ]C(23) = D + δC(I N − δA)−1 B
D(24)て，Q = I M の関係を満足するような全域通過関も H(F (z)) の係数行列となる．すなわち，次の関数の係数を用いて (21)–(24) 式の周波数変換を適用係が 成立する．

すると，変換の前後でグ ラミアンが 保存されるとンは ，もとのシ ステム (A, B, C, D)と同一のグ ラミアンによって構成されることがわかる．したがっいえる．

H(F (z)) = D + C(zI M N − A)−1 B
 + C(zI −1 B=D
M N − A)

ここで ，Qと Q−1 はそれぞれ 全域通過関数の可(25)

制御性・可観測性グラミアンであるから，Q = Q−1

 B, C,
 D)
 の可制御性・可観測
また ，シ ステム (A,が成り立つとき， すなわち平衡形を有する全域通性グ ラミアン K と W はそれぞれ 次のよ うに 表さ過関数の係数を用いて (21)–(24) 式の周波数変換を–5–適用し たときに ，グ ラミアンが 保存され ることが平衡形 (統計的係数感度最小構造) と丸め誤差最小わかる．

構造をとりあげ て議論する．

結果とし て，次の定理が 導かれ る．
定理 2 N 次の安定なシ ステム H(z) および M 次の4.2.1

平衡形 (統計的係数感度最小構造) の保存

全域通過関数 1/F (z)の状態空間表現の係数をそれ(9) 式で 述べた通り，平衡形は ，2 つのグ ラミア

ぞれ (A, B, C, D)および (α, β, γ, δ) とする．また，ンが 互いに等し い構造である．また，信号処理の(α, β, γ, δ)と等価な実現 (Λ−1 αΛ, Λ−1 β, γΛ, δ) を分野では ，平衡形はデ ィジタルフィルタの統計的考え，Λは ΛΛt = Qを満足する任意の正則行列で係数感度を最小とし ，係数量子化誤差による特性あるとする．この実現 (Λ−1 αΛ, Λ−1 β, γΛ, δ)は平劣化が 非常に小さい有益なフィルタ構造とし て知衡形を有するので，これを用いて得られる次式のられている 6) ．
いま，伝達関数 H(z)が 既知のシ ステムを考え ，記述は，グ ラミアンを保存する周波数変換の記述

その状態空間表現が 平衡形とし て与えられているとなる．とする．このシ ステムの可制御性・可観測性グ ラ = (Λ−1 αΛ) ⊗ I N
A−1+(Λ−1βγΛ) ⊗ [A(I N − δA)

ミアンを K B および W B とすると，K B と W B は対(29)角行列Θを用いて K B = W B = Θと表される．こ(30)のシステムに対し て定理 2の周波数変換を適用し ，

 = (γΛ) ⊗ [C(I N − δA)−1 ]C(31)

結果とし て得られるシステム H(F (z))のグ ラミア

 = D + δC(I N − δA)−1 B
D(32)ンを K B および W B とする．このとき，定理1より

 = (ΛB−1−1β) ⊗ [(I N − δA)

B]]すなわち，(29)–(32) 式によって得られ るシステム

 B,
 C,
 D)
 の可制御性グ ラミアンと可観測性グ(A,ラミアンは，システム(A, B, C, D)の可制御性・可観測性グラミアンをブロック対角成分とするM N ×M N のブ ロック対角行列とし てそれぞれ 与えられる．

24.2

高精度ディジ タルフィルタの実現への応用

次の関係式が 容易に得られ る．
⎛Θ⎜..
KB = W B = ⎜.
⎝00⎞⎟⎟⎠(33)Θ

上式より，定理 2の周波数変換によって，変換前のシステムH(z)と同一の平衡形の構造を変換後のシステム H(F (z))にもたせることができるということがわかる．したがって，ディジタルフィルタの実

ここでは，定理2において与えたグラミアンを保存する周波数変換の記述が，高精度ディジタルフィ

現においては，図 5に示されるように，統計的係数感度最小という有益な性質を保ったままフィルタの特性を 自由に 変更することが ，定理 2 の記述法によって可能となる．

ルタの実現技術に対し てもたらす重要な知見について述べる．具体的には ，ある与えられたフィル

4.2.2

タが 精度の高い構造を有し ている場合，その高い精度を保ったまま別の特性のフィルタを生成することが，定理 2の記述法によって可能であることを示す．高精度フィルタ構造の例とし て，ここでは丸め誤差最小構造の保存

丸め誤差最小構造は ，デ ィジタルフィルタの乗算において発生する丸め演算による特性劣化を最小とするフィルタ構造である 4, 5) ．この構造を有するシ ステムの可制御性・可観測性グ ラミアンを–6–

Magnitude

Ideal−2Direct form

10−401010LP to LP

00.51

Balanced form

Normalized frequency−2100−41000.51

Normalized frequency
LP to BP

Magnitude

Magnitude

01010−210−41000.51

Normalized frequency
Fig. 5高精度なフィルタ構造を保存する周波数変換の実現 (係数 8ビット 量子化)それぞれ K R および W R とすると，K R と W R は次⎜KR = ⎜⎝∗1..

.

∗|H(F(ejω))|⎞⎟⎟⎠Magnitudeの関係式を満足する．
⎛jω|H(e )|(34)12W R = ρ KR(35)10.5

ここで，ρ2 はシステムの次数と Hankel 特異値とを000.5
1
Normalized frequency ω [rad/π]用いて記述され る定数である．
平衡形の場合と同様にし て，このシステムに対Fig. 6

して定理2の周波数変換を適用し ，結果として得ら

シ ステム H(z)と H(F (z))の振幅特性れるシステムのグ ラミアンを K R および W R とす

上に述べた 2 種類のフィルタ構造以外にも，定理る．このとき，定理 1 より，K R , W R , K R , W R の2の周波数変換のもとで保存される有益な構造は数間に次の関係式が 成立することが 容易にわかる．
⎞⎛0KR⎟⎜..
⎟KR = ⎜.
⎠⎝0KR⎛⎞1∗⎜⎟..
⎟=⎜(36).
⎝⎠∗1⎛⎞
WR0⎜⎟..
⎟ = ρ2 K R (37)WR = ⎜.
⎝⎠0WR
上式より，定理 2の周波数変換によって得られるさ多く存在する．たとえば ，リミットサイクルを発生し ない構造 13) や入力正規形・出力正規形といった構造は ，定理 2の周波数変換によって保存され る．

5.

計算例

伝達関数 H(z)が 次式で与えられ る 2 次の 1 入力 1
出力の線形離散時間シ ステムを考える．

H(z) =0.1311 + 0.2622z −1 + 0.1311z −2(38)1 − 0.7478z −1 + 0.2722z −2

このシ ステムは ，図 6 の実線で 示され る低域通過

まざ まなシステムが ，変換前と同一の丸め誤差最特性を有する．このシステムの状態空間表現の係小構造を有し ていることが 示され る．

–7–

数行列 (A, B, C, D) を次のように与える．

⎛ABC

D0.5840⎜= ⎝ 0.4202−0.6463−0.6463−0.4202⎞⎟0.2398 ⎠0.13110.1638−0.2398(39)
このとき，可制御性・可観測性グ ラミアン K, Wは次のように求まる．

表現の係数行列が 次のように求まる．
⎞⎛
0.0209 −0.6547 0.3208
0.2145⎟⎜⎜ 0.6547 −0.5622 −0.2145 −0.1435 ⎟

⎟
⎜
A=⎜
⎟
⎝ −0.3208 −0.2145 0.3418 −0.4402 ⎠0.2145
0.14350.4402 −0.7056

 =B−0.6022

 =C0.60220.4027
0.40270.15630.1563−0.10450.1045

 = 0.2066
DK = W = diag(0.6830, 0.1830)

t(44)

(40)
このシステムの可制御性グラミアンと可観測性グ

2 つのグ ラミアンが 互いに 等し くかつ対角である

ラミアンは次のように計算され る．

ので ，このシ ステム (A, B, C, D)は 平衡形実現を

K = W = diag(0.6830, 0.1830, 0.6830, 0.1830)

有する．

(45)

上述のシステムに対して，次の全域通過関数1/F (z)

 B,
 C,
 D)
 のグラ(40)式と (45)式より，システム (A,による周波数変換を適用することを考える．

0.1756 − 0.3149z −1 − z −2
1
=F (z)
1 + 0.3149z −1 − 0.1756z −2(41)ミアンは，システム(A, B, C, D)のグラミアンを対角ブロックとするブロック対角行列として表されてこの全域関数を用いた周波数変換によって得られるいることが確認される．すなわち，周波数変換の前システムの伝達関数 H(F (z))は次のように求まる．

 B,
 C,
 D)

後でグラミアンが保存され，システム(A,−2はシ ステム (A, B, C, D)と同一の平衡形実現を有−4+0.2066z
H(F (z)) = 1+0.9051z0.2066−0.4131z−1 +0.5979z −2 +0.2907z −3 +0.1958z −4(42)
このシ ステムは ，図 6 の破線で 示され る帯域通過し ているという性質が 確認され る．

6.

むすび特性を有する．
本稿では ，全域通過関数の平衡形を利用するこ(41) 式の全域通過関数の状態空間表現において，定理2によって得られる係数の組Λ−1 αΛ, Λ−1 β, γΛ, δ

ラミアンと可観測性グラミアンが 保存されるようは次のように得られ る．

な周波数変換の記述を導出し た．また，この方法

Λ−1 αΛ Λ−1 βγΛ
δ⎛0.4303 −0.3810⎜= ⎝ 0.3810 −0.7452−0.8183−0.5473とによって，線形離散時間シ ステムの可制御性グによって生成され るさまざ まなシ ステムが ，グ ラ⎞
0.8183⎟−0.5473 ⎠ (43)を示し た．さらに ，本稿で導出された周波数変換

0.1756の記述によって，平衡形や丸め誤差最小構造といっミアンの観点から同一の構造を有するという性質

数値計算により，この係数の組に対する可制御性た実用上有益なデ ィジタルフィルタの構造が ，変グラミアンと可観測性グラミアンは単位行列とし換の前後で保存されるという重要な性質を示した．て得られることが容易に確認される．し たがって，はじ めに述べた通り，線形シ ステムの可制御性
グ ラミアンと可観測性グ ラミアンは，信号処理理

この全域通過関数は平衡形を有する．

(39) 式と (43) 式を用いて定理 2の周波数変換を適論だけでなく制御理論や回路理論など 幅広い分野用すると ，(42) 式の伝達関数 H(F (z)) の状態空間において重要な役割を果たすものである．したがっ–8–

て，今後は ，本稿で導出し た周波数変換の記述法を信号処理以外の研究分野に応用することについて検討する予定である．

参考文献
1) 前田肇: 線形シ ステム, 朝倉書店 (2001)
2) B. C. Moore: Principal component analysis inlinear systems: Controllability, observability, andmodel reduction, IEEE Trans., Automatic Control, AC-26-1, 17/32 (1981)
3) L. Pernebo and L. M. Silverman: Model reduction via balanced state space representations, IEEE Trans. Automatic Control, AC-27-2,382/387 (1982)
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