最適な解決方法を見いだす児童を育てる算数科学習指導－判断と表現が連続する場を通して－
教育指導部教科教育班

長期派遣研修員（中間市立中間東小学校教諭）

白尾 昇太

１ 研究主題についての説明(1) 研究主題の意味
ア 主題について「最適な解決方法」とは、複数の問題解決を通して、複数の解決方法の中から簡潔・明瞭・的確等の観点で、事象の状況に応じて着眼点、知識、技能、考えの進め方を納得して
図１ 最適な解決方法を見いだす過程の種類選んだり、組み合わせたりした解決の仕方である。「最適な解決方法を見いだす」とは、他者と解決方法を比較し、付加（解決方法のよさに気付き、よりよくすること）・修正（解決方法の不十分さに気付き、よりよくすること）を繰り返しながら、自分の解決方法の妥当性や客観性を高めていくことである（図１）。「最適な解決方法を見いだ
す児童を育てる算数科学習指導」とは、「複数の事象の解決」「解決方法の比較」「解決方法に対する納得の度合いの振り返り」を条件として、「児童が解決意欲をもつこと」「必要に応じて他者と協働して、解決方法をつくること」「自分の解決方法に納得すること」といった姿を目指した児童主体の学びである。このことは、児童の学習目的が解を求めるだけに留まらず解決過程に着目したものとなり、児童自ら学びをつくる上で意義深い。本研究で目指す児童は、次の三つである。
○ 解決方法の適用範囲を広げて、解決方法に含まれる知識及び技能を確かにする児童【知識・技能】○ 解決方法を共通点で統合したり、事象の状況に応じて発展させたりする児童【思考・判断・表現】○ 他者との協働を通して、納得するまで解決方法をつくろうとする児童【主体的に学習に取り組む態度】
イ 副題について「判断」とは、事象の状況に応じて解決に必要な着眼点、知識、技能、考えの進め方（類推・帰納・演繹）を選び、言語化することである。「表現」とは、判断したことを組み合わせて、数、式、図、表、グラフ等の数学的な表現を用いて解決の過程や結果を表したり他者に伝えたりすることである。「判断と表現が連続する」とは、児童自らが付加・修正を繰り返しながら、解決方法
図２ 判断と表現の連続の妥当性や客観性に着目して、納得するまで解決方法をつくることである。「判断と表現が連続する場」とは、解決方法の妥当性や客観性を高めることを目的とした事象設定及び集団解決である（図２）。事象設定においては、一単位時間の導入・展開・発展段階において、「解決方法を比較したいという欲求（比較欲求）を促す事象」「解決方法を他の事象にも試したいという欲求（挑戦欲求）を促す事象」といった条件を満たすものを設定することが重要である。集団解決においては、比較欲求や挑戦欲求に支えられて簡潔・明瞭・的確等の観点で複数の解決方法を比較すること、解決方法に対する納得の度合いを振り返ることが重要である。解決方法の納得度の振り返りは、解決に必要な着眼点、知識、技能、考えの進め方の自覚を期待することができる。この自覚は、次の事象の解決意欲へのつながりを期待することができる。そして、事象の解決と- 1 -解決方法の振り返りの繰り返しは、数学的な見方・考え方を働かせて解決することの大切さ、楽しさを実感することが期待できる。
(2) 主題設定の理由
21 世紀を迎え、社会構造が大きく変化し、予測が困難な時代となってきている。また、知識基盤社会の到来により知識の更新のスピードが増し、新しい知識・情報・技術及びそれらの組合せが、各領域で重要性を増してきている。このような社会を生きる児童には、問題に直面したときに主体的に必要な情報や知識を入手し、他者と知恵を出し合って、互いの考えや自身の考えを統合・発展させながら納得のいく解（納得解）や最適な解（最適解）を見いだす力が求められている。つまり、知識の量ではなく質が問われる時代となってきており、教育界においても内容重視から資質・能力重視へと舵を切ってきている。これらのことを踏まえ、小学校段階から、問題に直面したときに必要な情報に着目し、他者と協働しながら解決方法をつくり出していく児童を目指す本研究は大変意義深い。
２ 研究の目標
小学校算数科において、最適な解決方法を見いだす児童を育むために、一単位時間において判断と表現が連続する場の在り方を明らかにする。
３ 研究の仮説
一単位時間において、判断と表現が連続する場を設定することで、児童は常に解決方法を吟味し、最適な解決方法を見いだすことができるであろう。
４ 研究の具体的構想（図３）
図３ 研究構想図(1) 事象の段階的な設定（表１）
表１ 各事象における目的・条件等
一単位時間において、導入前半段階に基本事象、導入後半段階から展開段階にかけて挑戦事象、発展段階に発展事象を位置付ける。基本事象は児童が解決意欲及び学習の見通しをもつこと、挑戦事象は解決方法の妥当性や客観性を高めること、発展事象は解決方法を確かなものにすることを目的とする。この目的に伴った各事象の条件、手立て等は表１の通りである。
表２ 納得シート(2) 納得シートによる各事象の振り返り（表２）
各事象の解決後、解決方法の納得度を簡潔・明瞭・的確の観点で四段階（とても・まあまあ・あまり・全然）で自己評価し、その理由を記述する。
５ 研究の実際(1) 実証授業の学年及び単元
Ａ市立Ｂ小学校第５学年Ｃ組 30 名 「面積」
(2) 単元目標及び単元計画
単元目標
知識・技能

底辺と高さの関係は垂直であることに着目し、既習の図形に直して、計算によって求積することができる。

思考・判断・表現

求積に必要な個所、底辺と高さが垂直であることを捉え、簡潔・明瞭・的確等の観点で求積方法を高めることができる。

主体的に学習に取り組む態度

求積公式を見いだす過程や求積公式の意味、求積公式の使い方に納得しながら、いろいろな図形を求積しようとする。

- 2 -

段階

配時

各段階のねらい気付
く１２

長方形を基にして三角形を求積することを通して、三角形の求積公式を見いだし、底辺と高さの関係を捉える。

【事象】不等辺三角形、二等辺三角形、直角三角形を提示し、操作や計算で面積を求積する。

既習の求積可能な図形を基に基本図形を求積することを通して、求積公式を見いだし、図形の状況に応じて求積公式を使う。

【基本事象】二つの平行四辺形を提示し、平行四辺形の求積公式を見いだす。

３４つなぐ

５６７８９

【事象】求積した三角形を提示し、長方形に帰着し、三角形の求積公式を見いだす。
【事象１】情報過多の三角形を提示し、求積するために必要な辺を選び、求積する。
【事象２】情報不足の三角形を提示し、求積するために必要な辺を選び、求積する。
【事象１】三つの高さが入った三角形を提示し、求積に必要な高さを選び、求積する。
【事象２】平行な二直線に挟まれた底辺と高さの長さが等しい三角形を三つ提示し、面積を比べる。
【挑戦事象】情報過多の平行四辺形を提示し、求積するために必要な辺を選び、求積する。
【発展事象】四つの高さが入った平行四辺形を提示し、求積に必要な高さを選び、求積する。
【事象１】高さが図形の外にある平行四辺形を提示し、求積に必要な高さを選び、求積する。
【事象２】平行な二直線に挟まれた底辺と高さの長さが等しい平行四辺形を二つ提示し、面積を比べる。
【基本事象】ひし形の求積公式と図を提示し、求積公式と図をつないで説明する。
【挑戦事象】情報過多のひし形を提示し、求積するために必要な辺を選び、求積する。
【発展事象】情報不足のひし形を提示し、求積するために必要な辺を選び、求積する。

１０１１広げる

提示する事象及び学習活動【基本事象】台形の求積公式と図を提示し、求積公式と図をつないで説明する。
【挑戦事象】情報過多の台形を提示し、求積するために必要な辺を選び、求積する。
【発展事象】情報不足の台形を提示し、求積するために必要な辺を選び、求積する。

１２

分割や補完を使って求積可能な図形にする
ことを通して、多角形を計算で求積する。

１３【基本事象】五角形（分割優位）を提示し、分割及び補完から解決方法を選び、求積する。
【挑戦事象】五角形（補完優位）を提示し、分割及び補完から解決方法を選び、求積する。
【発展事象】四角形を提示し、分割及び補完から解決方法を選び、求積する。
【事象１】複数の平行四辺形を提示し、32 ㎠の平行四辺形を探す。
【事象２】32 ㎠の三角形・平行四辺形・ひし形・台形等を作図する。

(3) 抽出児Ａ児について
観点

実態

知識・技能

長方形の求積公式を使って求積することができる。
自ら知識・技能の適用範囲を広げていくことに困難さが見られる。

思考・判断・表現

自他の解決方法の差異点を見付けることができる。
自他の解決方法の共通点を見付けることに困難さが見られる。

主体的に学習に取り組む態度

他者と協働して解決することの価値を感じることができる。
自分の解決方法に自信をもつことに困難さが見られる。

(4) 指導の実際と考察
ア 気付く段階（１～４／13 時）
本段階は、長方形を基にして三角形を求積することを通して、求積可能な図形に直して求積すれば、いろいろな図形も求積できそうだといった単元の見通しをもつこと、三角形の求積公式を見いだし、底辺と高さの関係を捉えることをねらいとした。

資料１

第１・２時の事象

第１・２時では、直角三角形、二等辺三角形、不等辺三角形を同時に提示し、「どの三角形の面積が一番大きいかな」と問うた（資料１）。Ａ児は、二等辺三角形が一番大きいと予想し、長方形に等- 3 -積変形して求積した（資料２）。その後、集団解決において求積方法を比較し、①長方形をつくっている、②長方形の縦と横の長さをかけている、③長方形の面積を半分にしているという三つの共通点から、三角形の求積公式「底辺×高さ÷２」をつくった。
本段階において、三つの三角形をマス目がない状態で提示し、その後、１㎠のマス目シートで三角形を囲むように事象を提示
資料２ Ａ児の求積方法（等積変形）したことは有効であったと判断する。それは、資料２のように、長方形に直して二等辺三角形を求積することができたからである。解決方法を振り返る納得シートでも、「とても・まあまあ」を選択した児童が全体の８割を超えており、納得した理由として「解決方法が分かった」というものが多かったからである。これらのことから、長方形に直すことのよさを感じたり、求積可能な長方形に直せば新しく出てきた三角形も求積できるという見通しをもったりすることができたと判断する。
イ つなぐ段階（５～11／13 時）※第 10～11 時のみ記述
本段階は、既習の求積可能な図形に直して平行四辺形、台形、ひし形を求積することを通して、求積公式を見いだすこと、図形の状況に応じて求積公式が使えるように図形の中に底辺や高さ、底辺と高さの垂直関係を見付けることができることをねらいとした。第 10・11 時では、資料３のような基本事象、挑戦事象、発展事象を提示した（資料３）。
【基本事象】台形の面積は、「（上底＋下底）×高さ÷２」で求めることができます。台形の面積を求める公式を説明するとしたら、あなたにとって説明しやすい図はどれですか。

【挑戦事象】どこの長さを使って、面積を求めますか。

資料３【発展事象】どこの長さを使って、面積を求めますか。

第 10・11 時の段階的な事象

基本事象において、図①を選択した児童は 11 名、図②を選択した児童は 13 名、図③は６名だった。Ａ児は、図②を選択した児童４名で図②の説明をつくり上げた（資料４）。
その後の集団解決において、台形の求積公式と図①②③のつながりを確認したＡ児は、「平行四辺形の公式が使えるから」という理由を付け加えて、図②のよさを示した（次頁資料５）。挑戦事象では、「上底の長さが知りたい」という児童の反応があったため、上底の長さ（５cm）を提示した。児童は求積に必要な長さを選んで、計算で求積した。その後の集団解決において、①（９＋４）×３÷２、②（９＋５）×３÷２の式の違いを比べた。①については、「上底と下底は平行」「上底と高さは垂- 4 -直」ということから、上底の捉えが違うことに気付いた。A 児は、納得シートに、「公式があれば、すぐに面積がわかった」と記述し、台形の求積公式を使って求積できたことを公式のよさとして表した。発展事象では、Ａ児は台形の公式を使わずに三角形と長方形に
資料５ Ａ児が図②を選択した理由分割して求積した（資料６）。その後の集団解決においては、①公式を使う方法、②三角形と長方形に分割する方法、③三角形二つに分ける方法、④補完して引く方法の四つを比較し、それぞれの解決方法のよさを確認し、「どの方法が一番分かりやすいですか」と問うた。Ａ児は「分割することで三角形と長方形の求積公式が使えて簡単」という理由で②を選択した（資料７）。
第 10・11 時において、「事象の段階的な設定」は有効であっ資料６ Ａ児の求積方法（発展事象）たと考える。それは、資料７のように、自分にとっての簡潔な観点で解決方法を選ぶ姿が見られたからである。また、資料８の納得シートの記述からは、「公式を忘れても、いろいろな求め方でできる」と、図形の状況に応じて最適な解決方法を見いだすことのよさを感じているからである。第 10・11 時において、最適な解決方法とする根拠を算数のよさの観点で明記できた児童は、30 名
中 26 名であった。４名の児童については、予め解決方法を提示し、その中から選んで求積する場を設定することで、選んだ解決方法が最適だとする根拠を見いだすことができたと考える。
ウ 広げる段階（12～13／13 時）
本段階は、図形の分割や補完を使って求積可能な図形に直し、多角形の面積を求めることができることをねらいとした（資料９）。
【基本事象】どちらか選んで、面積を求めましょう。

【挑戦事象】どちらか選んで、面積を求めましょう。

資料９

第 12 時の段階的な事象

基本事象では、①分割が 28 名、②補完が２名だった。Ａ児は、①分割を選択した。挑戦事象では、①分割が 13 名、②補完が 17名だった。Ａ児は、基本事象で求積できた①分割の考えを使って、新たに三角形のみに分割して求積した(資料 10)。それは、「三角形に分割すれば、三角形の公式だけで求められる」という理由からだった。発展事象では、分割による求積が１名、補完による求積が 29 名だった。Ａ児は補完で求積した（資料 11）。それは、「三角形の公式が使えるし、まとめて考えられるから」という理由からだった（次頁資料 12）。
本段階における、「事象の段階的な設定」は有効だったと判断する。それは、資料 12 のように、図形の状況に応じて簡潔・明瞭を判断基準として最適な解決方法を選ぶことができたからである。また、次頁資料 13 のように、納得シートで納得度「４」を選- 5 -【発展事象】色がついた部分の面積を求めましょう。

択した児童が 30 名中 28 名であり、理由の多くは「解決方法が分かった」「自分もできた」であった。これは、図形の状況に応じて自分にとって最適な解決方法を見いだしていると考えられるからである。
(1) 全体考察
ア 知識・技能について
資料 14 は、求積可能な図形に直して求積することができた割合を図形ごとに表したものである。どの図形でも全体の９割が求積することができている。資料 15 は、「広げる」段階の終わりに、32 ㎠の図形を作図したものである。各図形とも、求積公式を使って各図形を作図していることが分かる。これらのことから、適用範囲を広げながら、解決方法に含まれる知識・技能を確かにした児童の姿が育っていると判断する。
求積できなかった児童については、求積にどの箇所が必要なのかを判断できるように、具体的な操作を行う場の設定が必要であったと考える。
イ 思考・判断・表現について
資料 14 において、求積できた児童の求積に用いた解決方法を分析すると、等積変形や分割といった解決方法をどの図形の求積にも一貫して使う姿が多く見られた。資料 15 からは、図形の構成要素と求積公式の構成要素をつないでいることが分かる。これらのことから、解決方法を共通点で統合させたり、事象に応じて解決方法を発展させたりすることができたと判断する。
ウ 主体的に学習に取り組む態度について
各段階の納得シートでは、単元を通して「とても・まあまあ」を選択した児童が、全体の８割を超えている。また、単元
資料 15 求積公式を活用した図形の作図終了後の振り返りでは「友達の考え方が分かって、使ってみたいと思った（資料 16）」「友達が『高さが半分だから÷２』と言ったので、平行四辺形と台形の公式がつながった」と協働のよさを捉えて記述している姿が見られた。これらのことから、他者との協働を通して、納得するまで解決方法をつくろうとする児童の姿が育っていると判断する。
６ 研究の成果と今後の課題(1) 研究の成果〇 解決方法を発展させて統合する児童の育成に、事象の段階的な設定が有効に働いた。
〇 解決方法に納得して最適な解決方法を見いだす児童の育成に、簡潔・明瞭・的確等の観点での解決方法の振り返りが有効に働いた。
(2) 今後の課題〇 学級全ての児童が解決方法に自信をもち、最適なものを求めていこうとするために、判断の場面において、具体的な操作を設定すること、事象提示において、あらかじめ解決方法を選択できるようにすることが必要であると考える。
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