第２３回に引き続き，藤原です。第２４回目は第r( t ) 2 =２３回目で紹介した問題の解説です。模範解答だけとなり，与式についてでなく，＜追記＞や＜考察＞の部分では，少し踏み込んだお話や，細かい点に関する疑問にも触れてお4D × 10 = r(t)2ります。実利を求める方には，少々不必要と思える話もありますが，視野を広げる事も意識して，これらの部分にも興味を持って読んで頂けたら幸いです。

⇔D=r( t ) 2™ 1.6 × 10-1240＜追記 2 ＞
（以下の部分は，入試には全く関係ありませんので，読み飛ばしてもらっても結構です。）
複数の微視的な粒子について，力学と確率・期待【解答解説】
問1(9.0 2 + 8.0 2 + 7.0 2 ) × (10−6 )2=194 × 10-123

値の考え方などを用いて，粒子全体の運動のおおよブラウン運動。

その振る舞い方を予測していく学問を「統計力学」と呼びます（実際には，膨大な粒子を主に扱う為，＜追記 1 ＞期待値の精度は非常に高くなる）。今回の与式もそ

発見者は植物学者ロバート・ブラウン氏で，氏はの一つの分野です。

この現象（粒子の不規則な運動）を生物学的な要因例えば粒子全体の重心を原点として，初め (t=0)

によるものと考察しました。後にアインシュタイン

全粒子が原点から出発したケースを考えてみると，が，熱運動する水分子との衝突を原因とした，物理放っておけばランダムに動く各粒子が徐々に拡散し学的現象であると説明しました。てゆき，原点からの距離 r(t) の全粒子の 2 乗平均値r(t)2 は時刻 t とともに増加いくのが予想されます

問2ね。

t = 1，2，…，10 における，粒子 1 の原点からの期待値（未来平均値）として，およそどのように距離（位置ベクトルの大きさ）をプロットしていけr(t) [mm]ば良い。答えは下図。

拡散してゆくかの予測として， r(t)2 = 4(10987654321という公式が発見されています。

RT m)tNART mの部分は粒NA子の周りにある環境（原子・分子の状態）で定まる数字で，拡散係数と呼ばれます。気体定数 R とアボガドロ数 N A で定まるボルツマン定数

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Rはご存知
NAの人も多いかと思いますが，拡散にはさらに絶対温時間t [s]度 T，易動度 m（抵抗力 kv などにおける抵抗係数 kの逆数）が関係してきます。また，4 という係数は，

問3今回の様に 2 次元の拡散が行われた場合で，1 次元

t = 10[s] における，粒子 1，2，3 の r(t) の値は図2のときは 2，3 次元のときは 6 になります。

1 より，(9 × 10-6)2，(8 × 10-6)2，(7 × 10-6)2 [m2]。

導出は多少冗長になりますので，今回は公式の紹よって平均値について，介に留めておきます。本問題の主題は次の問 4 です。

1

問4
ア=Mm(X，Y) +(x，y)
M +mM +m=Mm
+M +m RM +m r3
粒子の速度ベクトルの大きさを V =V， V ' =V' として，と表すことが出来ます。
 
運動している間， R ， r は時刻 t によって変化し，

それに伴い rc も変化します（重心も動いていく）。


drc
イ 2
ウ 6
重心の速度ベクトル vC =について考えると，dt
相対速度は観測者の速度を引く事で求まる。粒子，
dxcdy原子の重心に対する（重心から見た）相対速度は，vC = (， c )dtdt MV + mv
m(V − v)
VG = V - vC = V M=dXdY(=，)
M +m
M +mM +mdtdt
 
MV + mv
M (v − V )mdxdyvG = v - vC = v =(+，)
M +m
M +m
M +mdtdt

M
mdR
dr･･=+M +mM +mdtdt
エ4111
DK=
MV'2- MV 2 = M(V'2-V 2)222

衝突による速度変化では運動量が保存され，重心

Mm
+v
VM +m
M +m=

速度は衝突前後で一定である。

MV ' + mv 'vC =。
M +mすなわち重心速度とは複数の物体の「平均速度」と捉えることができ，その値は「（運動量の和 ) ÷（質また，衝突後の重心から見た相対速度は， 
MV ' + mv 'm(V ' − v ')V 'G = V ' =M +m
M +m
 
MV ' + mv 'M (v ' − V ')=v 'G = v ' M +m
M +m量の和）」で決まります。よって，衝突問題のような運動量が保存される「作用・反作用系の運動」において，重心の速度は一定となります。となる。

オカ 5

 
上の問題より， V = VG + vC ， V ' = V ' G + vC

＜考察 1 ＞

6であるので，今回の問題は重心速度の式が与えられています

DK =が，重心の位置，速度については入試において理解しておくべきだと思いますので，以下に記します。

=

質量 M，m の 2 物体の重心の位置の定義は「2 物体の位置を，質量の逆比 m：M で内分した点」です。

よって，M の位置 R =(X，Y)，m の位置 r =(x，y)
として，重心の位置 rc は，MX + mx
MY + my，)rc = (xC，yC) = (M +mM +mアの式に代入して，

  2  2
1
1
M VG ' + vC - M VG + vC
22 1
M{VG'2+2 VG ' ⋅ vC +vc2}
2- 1
M{VG2+2 VG ⋅ vC +vc2}
2与式 VG' = VG より，   
DK =M{ VG ' ⋅ vC - VG ⋅ vC }=M{(vCxVGx'+vCyVGy')-(vCxVGx+vCyVGy)}

2

< 考察 2 >ち図 3 のような運動）。また，その速さ（速度の大きさ）

問題文中で与えられた「弾性衝突なので，V G ' =の比は衝突前後で変わらず

V G」について，何となく納得させられてしまいそうになりますが，V ' ≠ V であることを考えると，「重vG心から見たら何故？」という疑問が湧いてきます。
もちろん，誘導に素直に従えば解答にたどり着くのですが，これは高校物理の法則から十分に説明が重心静止

そもそも，静止した観測者から見た運動系に置い

図て保存則の成立条件が満たされていたとしても，そMmVG

めに，以下に解説します。

v ' GM

重心静止できますので，類題が出題された場合に対応するたmのまま，となります。
MV 'G3m重心に対する距離・速度が一定の比を保ちながら動く。

れがそのまま相対速度においても成立しているとは一方で， 弾性衝突 とは力学的エネルギーが保存される衝突を指しますので，限りません。相対速度の変化には，慣性力の影響も考慮すべきだからです。
ただし今回の様に，等速（加速度 0）である重心

1111MV'2+ mv'2 = MV2+ mv2
2222

から見た運動の場合，慣性力は 0 であり，相対速度でも保存則を適用することができます。







こ の 式 に V = VG + vC ， v = vG + vC ， V ' 


= V ' G + vC ， v ' = v ' G + vC を代入すると，実際に式で表してみましょう。今回の衝突問題は作用反作用系なので，運動量は衝突前後で保存されます。さらにその値は，(M+m) 全体が重心速度で 
11 
M{VG'2+2 VG ' ⋅ vC +vc2}+ m{vG'2+2 vG ' ⋅ vC +vc2}
22

動いている場合と一致します。


M V ' +m v ' =M V +m v =(M+m) vC=

  1
1
M{VG2+2 VG ⋅ vC +vc2}+ m{vG2+2 vG ⋅ vC +vc2}
22








こ の 式 に V = VG + vC ， v = vG + vC ， V '式 ( ※ ) を用いると内積は消去され，
    = V ' G + vC ，v ' = v ' G + vC を代入して整理すると，
M V ' G +m v ' G =M VG +m vG = 0m  m ⇔ VG = v 'GvG ， V ' G = M
M

1111MVG'2+mvG'2= MVG2+ mvG22222…( ※ )となり，相対速度でも力学的エネルギーは保存されるます。さらに，VG =となり，この式は「重心と同じ運動をしている観測MMvG，VG' =vG' を用いmmて vG，vG' を消去すると VG' =VG が導かれます。

者から見て M と m は，逆向きの速度ベクトルで運動をしながら不動重心に向かって直進し，衝突後も逆向きの速度ベクトルで運動をしながら，不動重心もちろん，以上の導出を実際に問題を解く際にから離れていく。」という意味を持ちます（すなわ

一々導き出す必要はありません。以上の証明を一回3納得して頂いたら，実際には「作用・反作用系の運=2動を重心から見ると，静止した重心の周りで個々の物体が対照的に動き，その速さ・重心からの距離は{一定比を保つ」という結論を用いて問題を解いてもらっても差し支えありません。
また，「原則的に保存則は相対速度で立式しない。
ただし観測者が等速のときはこの限りではない。」(cos q − 1) Mm×( M + m)2
1
1
1
MV2- mv2+(m-M) (vxVx+vyVy)}
222< 考察 4>問 4 の設問は以上で終了ですが，下に続く文章のv V + vy Vy =0」は納得できますでしょうか。考という点も，勘違いし易いポイントですので注意し 「 x x
察 2，3 のときと同様に， V と v の成分を考えれば，て置きましょう。
v xV x+v yV y と (-v x)V x+(-v y)V y の平均値を求めるだ
けなので，容易に 0 であることが求まりますね。また，

キ5

与式 VG ' =cosq VG より，   DK = M{ VG ' ⋅ vC - VG ⋅ vC } = M(cosq - 1) VG ⋅ vCq が 0°〜 180°まで，ほぼ同じ頻度で起こるとするな
らば， cos q = 0 となります。
問 4 で与えられている式は，いずれも高校範囲の物理，数学の知識で考察可能です。また「重心から= M(cosq - 1)(vCxVGx+vCyVGy)

運動を見る」というのも，力学の重要な思考の一つです。最難関大の入試においては，今回のように結< 考察 3>

果が与えられるのではなく，導出することを要求さ
文中で与えられた「 VG ' =cosq VG 」について。


VG =(V Gx，V Gy ) より， VG となす角度 q の V ' G の成分は，回転行列から考えて，V ' G1 =(VGxcosq -VGysinq ，VGxsinq +VGycosq )である。 VG となす角度 -q の場合は，
V ' G 2 =(VGxcosq +VGysinq ，-VGxsinq +VGycosq )となるので，平均を取ると，
 


V ' G1 + V ' G 2
VG ' ==cosq VG となる。
2れる場合も十分に考えられます。受験生の皆さんは特にこの問 4 を熟読して，理解を深めておきましょう。
問5
問 4 の最後の式より，
11M V2 >m v 2 のときは (DK ) <0 で，粒子の運22動エネルギー

ク41M V 2 は衝突の度に減少し，2 
DK= M(cosq - 1) VG ⋅ vC の式に，

11
M V2 <m v 2 のときは (DK ) > 0 で，粒子の22 
MV + mv m(V − v)
vC =， VG =M +m
M +m

運動エネルギー

どちらにしても，を代入して，

 
m(V − v)
MV + mv
DK = M(cosq - 1)
・M +m
M +m=

1
M V 2 は衝突の度に増加する。
211
M V 2 の値は m v 2 に近づ22いていき，等しくなった時点（ (cos q − 1) Mm{MV2+(m-M) V ⋅ v -mv2}( M + m)2112M V2 =m v
22）で (DK ) =0 となり，それ以後は変化しなくなる。

4

＜考察 5 ＞
問 4，5 の理論は，粒子と原子の衝突だけでなく，絶対温度の異なる 2 つの単原子分子理想気体の混合，いわゆる「熱平衡」の話にも応用する事ができます。
絶対温度は分子の平均運動エネルギーと比例しますので，異なる運動エネルギーの分子が，衝突を繰り返していると，運動エネルギーの平均値が等しい値に近づいていき，絶対温度も一様となる。
今回の問題は，普段「何となく納得」している熱平衡（エネルギー平衡）について，普段「無視している」分子の衝突から，導き出す事を最終目標にしています。
了＜最後に＞如何だったでしょうか。問題自体は与えられている式と誘導に従って計算していけば，それほど難問では無かったかも知れません。
今回この問題を紹介した理由は，問題自体より，誘導の裏に秘められた理論について，理解を深めてもらいたかったからです。特に問 4 で扱っているテーマには注意して下さい。
今回の衝突問題に限ら ず複数の物体を扱うときに，静止観測者から見ると複雑に見える運動を，「重心の運動」さらに「重心から見た個々の運動」に注目することで，簡単な運動に置き換える思考は，力学における重要なテーマの 1 つとして存在していまます。
特に運動量が保存される運動系では「重心速度一定」となるので，上の考え方が重宝されます。一度，各自持っている問題集の「運動量」の章を読み返して，各問題の重心の運動に注目してみて下さい。新たな発見があるかも知れません。

5