デルタ関数 (Delta function)1デルタ関数の定義、性質

デルタ関数の定義

x , 0 に対して、δ(x) = 0,及び、その性質

Z +∞

Z +∞

かつ

δ(x)dx =−∞f (x)δ(x)dx = f (0),Z +εδ(x)dx = 1(1)−ε但し、 f (x) は任意の連続関数(2)−∞であり、非常に特殊な関数であることが分かる。デルタ関数の値は x = 0 の一点以外では至る所で零であり、デルタ関数を全領域で積分すれば壱になるように、 x = 0 では非常に大きくなる。このほかに基本的な性質として以下のようなものがある。

δ(x) = δ(−x),δ(x2 − a2 ) =1{δ(x − a) + δ(x + a)} ,2adΘ(x),dx

Z +∞
−∞

1δ(x),|a|a>0(4)a,0(5)Θ(x)：Step Function（階段関数）(6)

δ(ax) =
δ(x) =(3)：偶関数

f (x)δ(x − a)dx = f (a),：Eq.(1) の拡張(7)

定義 Eq.(1) を実現する関数は存在しない。この様な、「ある範囲の関数 f (x) を試験的に掛けて積分し、極限をとった結果」を表す記号を超関数 (distribution) と呼ぶ。超関数はそれに対する演算が定義されたとき意味を持つ。

2デルタ関数の関数列による表現

デルタ関数は形式的に解析関数の関数列 {ϕn } の極限としてδ(x) = lim ϕn (x)n→∞と言う形で表現することができる。関数列は次のような性質を備えていなければならない。

1. x = 0 での値は n → ∞ と共に単調に増加する一方、 x , 0 では単調に連続的に零となる。

(8)

2. 全領域で積分すると、あらゆる n に対してZ +∞−∞

ϕn (x)dx = 1(9)となっていなければならない。
実際には関数列 {ϕn } は数多く存在するが、今回は以下の二つについて考えることにする。

2.1 周期関数を含む場合デルタ関数としてよく用いられる（周期関数を含む）、

ϕn (x) =sin nx,πxn∈N(10)について考える。極限 lim x→0 sin x/x = 1 から、 x = 0 での値はϕn (0) =nπ(11)で、n → ∞ と共に単調に増加し、無限大になる。また x , 0 では周期 2π/n で振動していて、その振幅は|x| → ∞ と共に減衰していくことが分かる。n → ∞ では非常に激しく振動することになり、ついに周期 2π/nが零になる。更に全領域で積分すると (付録 A「複素積分」の Eq.(22) を参照)、

Z +∞
−∞

ϕn (x)dx =Z +∞sin nxdx = 1πx−∞(12)となる。n → ∞ では、 x , 0 の部分の関数は激しく正負に振動しており、この積分にはほとんど寄与してこなくなる。一方で x = 0 の部分の寄与は次第に大きくなるので、Eq.(12) の性質は保たれることになる。
以上から Eq.(10) の関数は n → ∞ の極限でデルタ関数の全ての性質を再現するので、

δ(x) = limn→∞

sin nx,πxn∈N(13)とすることができる。

2.2 周期関数を含まない場合デルタ関数として周期関数を含まない、

ϕn (x) =r
nexp −nx2 ,πについて考える。 x = 0 での値はϕn (0) =rn∈Nnπ(14)(15)で、n → ∞ と共に単調に増加し、無限大になる。また x , 0 ではその値は指数関数的に急激に小さくなることから、この関数の値はほとんど x = 0 付近にあることが分かる。更に全領域で積分すると (付録 B「ガウス積分公式」の Eq.(23) を参照)、

rr Z +∞rnnπ2·=1ϕn (x)dx =exp −nx dx =π −∞πn−∞Z +∞となる。

(16)

以上から Eq.(14) の関数は n → ∞ の極限でデルタ関数の全ての性質を再現するので、

δ(x) = limn→∞rnexp −nx2 ,πn∈N(17)とすることができる。

3デルタ関数の可視化

先に証明したデルタ関数 Eq.(13),Eq.(17) の関数列 {ϕn } がデルタ関数に収束する様子をグラフにしてみる。

3.1 Eq.(13) で表される関数列
7n=5n=10n=20654
3210-1-2-1.5-1-0.5

図100.5−π/2 < x < π/211.5n = 15, 10, 203500

n=100n=1000
n=10000

3000
2500
2000
1500
1000
5000-500-1000-0.03-0.02

図2-0.01−π/100 < x < π/10000.010.02

n = 100, 1000, 10000

0.03

n の値が大きくなるにつれ、振動の波長が短くなり、振動が激しくなる。また x = 0 での値が大きくなっていくのが分かる。更に n の値を大きくしていくと、 x = 0 での値が支配的になる。
次に Eq.(13) を微分したものをグラフにする。

nx cos nx − sin nx
πx2−2nx cos nx + (2 − n2 x2 ) sin nx
ϕ00n (x) =πx32 2nx(6 − n x ) cos nx + 3(n2 x2 − 2) sin nx
ϕ000n (x) =πx4
2 24nx(n x − 6) cos nx + (24 − 12n2 x2 + n4 x4 ) sin nx
ϕ0000
n (x) =
πx5..
..
.
.
ϕ0n (x) =7

7.5·10-0.01

100000

5·10

50000

2.5·10-0.005

770.005

0.01

-0.01

-0.0057-2.5·10-50000-5·10-100000-7.5·10

0.005

0.01

7
7
8-1·10
図3

図4

一階微分 (n = 10000)

二階微分 (n = 10000)

13

10

6·10

10

4·10

10

2·10

6·10

13

4·10

13

2·10
-0.02

-0.01
10-2·100.01-0.02-0.010.01-2·1010-4·10-6·10

三階微分 (n = 10000)

0.02

1310-4·10

図50.0213

図6

四階微分 (n = 10000)

微分をする毎にピークとなる箇所が一つずつ増えていくのが分かる（ピークとなる箇所は微分の回数プラス壱個）。しかしピークの数が大きくなるにつれ（微分の階数が大きくなるにつれ）、まわりの余分な振幅が邪魔をして、そのピークが見えづらくなってくる。

3.2 Eq.(17) で表される関数列
3n=5n=10
n=20

2.5

2

1.5

10.50-1.5-1-0.5

00.5

11.5

図 7 n = 15, 10, 2060

n=100
n=1000n=10000

50403020100-0.15

-0.1

-0.05

00.05

0.10.15

図 8 n = 100, 1000, 10000

Eq.(13) のときと同様に、n の値が大きくなるにつれ x , 0 での値は無視できる程に小さくなり、 x = 0での値が支配的になるようが分かる。Eq.(13) のときとは違い振動がないが、収束の速度が遅いのが分かる（Eq.(11) と Eq.(15) の違いによる）。

次に Eq.(17) を微分したものをグラフにする。

r
nexp −nx2π

32


2 n −1 + 2 n x2
ϕ00n (x) =exp −nx2√π

52


−4 n x −3 + 2 n x2ϕ000
exp −nx2√n (x) =π5
4 n 2 3 + 4 n x2 −3 + n x20000
ϕn (x) =exp −nx2
√π..
..
.
.
ϕ0n (x) = (−2nx)

400

10000

200-0.1-0.05-0.10.05-0.05

0.050.1-10000

0.1-200-20000-400-30000

図 9 一階微分 (n = 1000)

図 10 二階微分 (n = 1000)

862·102·1081.5·10

61·1081·10

7-0.1-0.05

0.05
6-1·106-2·10
図 11

三階微分 (n = 1000)

5·100.1-0.1-0.05
7-5·100.05

0.1

8-1·10

図 12 四階微分 (n = 1000)

微分についても Eq.(13) のとき同様であるが、振動がないぶんピークがはっきり分かる。しかしその減衰は指数関数的であるから、内側のピークに比べると外側のピークの値は小さくなっている。

付録 A 複素積分
積分

Z +∞
−∞

sin xdxxを求める。

y右図の様な二つの半円と線分からなるジョルダン曲線を考+Rえる。今 f (z) = eiz /z とおくと、z2CReiz 1 + z + 2! + o(z2 )=zz

f (z) =Cr

よりこの曲線の内部で f (z) は正則である。よってコーシー・グルサの定理より

Z +R++r=⇒

Z+CR

Z +R Z −r !
−R+rZ −r−R+Z !

f (z) dz = 0eizdz = −zZ+CRZ !
Creizdzz-r-RCr+ro+Rx(18)
図 13 積分経路が成り立つ。ここでZ −reizdz =−R zZ +rei(−w)d(−w) = −+R −w

Z +R+re−iwdw = −w

Z +R+re−izdzzであるから、Eq.(18) の左辺は(左辺) =Z +R+reiz − e−iz
dz = 2iz

Z +R+rsin zdzz(19)となる。
また経路 CR についてZeizdz =CR zsin θ2/π θ1Z πZ πeiR(cos θ+i sin θ)
Rieiθ dθ ≤e−R sin θ dθiθRe00Z π/2Z π/2=2e−R sin θ dθ ≤ 2e−R(2/π)θ dθ00

 π R→+∞π
1 − e−R < −−−−−→ 0=RR(20)となり、経路 Cr に於いてはZeizdz =Cr z

Z 0eir(cos θ+i sin θ) iθrie dθ = ireiθπZ πr→0−−−→ −ie0 dθ = −πi0であることが分かる。以上より、

Z +∞0πsin xdx =x2Z 0eir(cos θ+i sin θ) dθπ(21)0π/20

図 14 sin θ ≥ 2θ/π(0 ≤ θ ≤ π/2)πであり、sin x/x は偶関数であるから、求めるべき積分は

Z +∞
−∞

sin xdx = πx(22)である。

付録 B ガウスの積分公式
Z ∞0(2n − 1)!!
x exp −λx2 dx =2n+12nrπ,
λ2n+1n∈N(23)