数理解析研究所講究録 1212 巻 2001 年 32-42

32

自己双対方程式のパンルベ解析
大阪大学数学

奥村昌司 (Shoji Okumura)Math. Sci. Osaka Univ., Japan1

導入

この論文の目的は, 群 $SU(2)$ による 3 次元の作用によって不変な実 4 次元リーマン計量 についての反自己双対方程式を解析することである. ここでは主に scalar-flat Kiler 計量を扱う. scalar-flat Kiler 計量とは scalar 曲率が平坦な Kiler 計量であり, 自動的に標準的な向きづけのもとで反自己双対的
$g$

となる.
$SU(2)$ 不変な反自己双対的な計量は Hitchin[6] によって, generic な場合には Painlev\’e型方程式の解と対応し, 特に計量が scalar-flat K\"ahler の場
合には Painlev\’e III 型方程式の解と対応することが示されている. そこでは,自己双対方程式と Painlev\’e 方程式を対応づけるのに, twistor 対応が重要な役割を果しているおり, この対応は単なる変数変換によって得られるもので$\mathrm{V}\mathrm{I}$はない.
$M$ 上の $W^{1}$ -bundle $Z$ を考えると $Z$ 上に概複素構造が定義できる. そしてこの概複素構造の可積分条件が $M$ の自己双対条件と同値となることが知られている. このとき $Z$ は複素 3 次元の空間となり,twistor 空間と呼ばれる. ここで $M$ 上の $SU(2)$ の作用を持上げることによって, $Z$ に $SU(2)$ の
pre-homogenious な作用が定まり, これによって-bundle 上の接続のモノ
ドロミー不変な族が得られる. こうして Painlev\’e 方程式が現れた.
この対応において Dancer[5] は $SU(2)$ 対称な scalar-flat Kihler 計量をは $SU(2)$ 対称な反自己双対 Einstein 計量の分類を行った.
解析し ,いすれの研究においても計量が対角的な場合にだけしか, 自己双対方程式とPainleve’ 方程式の対応が具体的には与えられておらす, 非対角的な場合についてはほとんど知られていない. 特に scalar-flat Kihler 計量について, 非対角的な場合には複素構造も知られていない.
この論文では $SU(2)$ 対称な自己双対方程式に対応する Schlesinger 方程式を構成することによって, 非対角的な場合を含めた場合について解析した.
第 2 章では非対角的な計量について Besse[3] による曲率テンソルの分解を用いて, 自己双対方程式に同値な 9 階の方程式を与えた.
第 3 章では $SU(2)$ 対称な反自己双対多様体とモノドロミー不変変形の対応を与え, 対応する Schlesinger 方程式の形を具体的に与えた.
$\mathrm{m}^{1}$$\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{n}[6]$33
III 型方程式に対応することが, 計
量がエルミート構造を持つことと必要十分であることを示した. このとき自構造
己双対方程式に対応する 9 階の系はは 7 階の系に帰着し , さらに K 肚も仮定すると,6 階の系に退化することを示した.
第 4 章では自己双対方程式が$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{v}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}$Adcnowledgements
この分野に導いてくださった大山陽介氏に感謝の念を表します.

2

非対角的な自己双対方程式

3 次元の軌道を持つ $SU(2)$ の作用によって不変な Rieman 計量は次の形に書くことができる:$g=f( \tau)d\tau^{2}+\sum_{l,m=1}^{3}h_{lm}(\tau)\sigma_{l}\sigma_{m}$ここで$\{\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\}$.

は各 $SU(2)$ 軌道上の左不変な 1 形式たちの基底であり,次を満たす. $SU(2)$ -orbit satisfying$d\sigma_{1}=\sigma_{2}\wedge\sigma_{3}$,$d\sigma_{2}=\sigma_{3}\wedge\sigma_{1}$Killing 形式を用いることにより, 計量$g$,$d\sigma_{3}=\sigma_{1}\wedge\sigma_{2}$.

を各 $SU(2)$ 軌道上対角化できる.

うして 次のように計量をあらわすことができる:$\ovalbox{\tt\small REJECT}$g=(abc)2dt2+a2d l2+b2\sigma \tilde 22+c2\sigma \tilde I,
ここで $t=t(\tau),$ $a=a(t),$ $b=b(t),$ $c=c(t)$ であり.’$(\begin{array}{l}\tilde{\sigma}_{1}\tilde{\sigma}_{2}\tilde{\sigma}_{3}\end{array})=R(t)(\begin{array}{l}\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{array})$$R(t)$[ま SO(.3) 値の関数である.

ここで $RR^{-1}$ (where$* \cdot=\frac{d}{dt}$) は$\epsilon \mathrm{o}(3)$,値であるから次が得られる.

$d(\begin{array}{l}\tilde{\sigma}_{1}\tilde{\sigma}_{2}\tilde{\sigma}_{3}\end{array})=R(t)(\begin{array}{l}\sigma_{2}\wedge\sigma_{3}\sigma_{3}\wedge\sigma_{1}\sigma_{2}\wedge\sigma_{2}\end{array})+\dot{R}dt\wedge(\begin{array}{l}\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{array})$$=(\begin{array}{l}\tilde{\sigma}_{2}\wedge\tilde{\sigma}_{3}\tilde{\sigma}_{3}\wedge\tilde{\sigma}_{1}\tilde{\sigma}_{1}\wedge\tilde{\sigma}_{2}\end{array})+(\begin{array}{lll}0 \xi_{3} -\xi_{2}-\xi_{3} 0 \xi_{1}\xi_{2} -\xi_{1} 0\end{array})dt\wedge(\begin{array}{l}\tilde{\sigma}_{1}\tilde{\sigma}_{2}\tilde{\sigma}_{3}\end{array})$

,

こ

34
ここで $\xi_{1}=\xi_{1}(t),$ $\xi_{2}=\xi_{2}(t),$ $\xi_{3}=\xi_{3}(t)$ .

もし $\xi_{1}=0,$ $\xi_{2}=0,$ $\xi_{3}=0$ であったとすると, 行列 $(h_{lm})$ はすべての$\tau$について対角的となるように選ひ直すことができ, したがってこの場合は計量$g$は対角的であると言うことができる.
この論文では主に非対角的な場合を扱う.
曲率テンソルを計算するためにの基底$\Lambda^{2}$$\{\Omega_{1}^{+},\Omega_{2}^{+},\Omega_{3}^{+},\Omega_{1}^{-}\Omega_{2}^{-},\Omega_{3}^{-}\}$

,

を

,
,
,
,
,
,

$\Omega_{1}^{+}=a^{2}bcdt\wedge\tilde{\sigma}_{1}+bc\tilde{\sigma}_{2}\wedge\tilde{\sigma}_{3}$$\Omega_{2}^{+}=ab^{2}cdt\wedge\tilde{\sigma}_{2}+ca\tilde{\sigma}_{3}\wedge\tilde{\sigma}_{1}$$\Omega_{3}^{+}=abc^{2}dt\wedge\tilde{\sigma}_{3}.+ab\tilde{\sigma}_{1}\wedge\tilde{\sigma}_{2}$$\Omega_{1}^{-}=a^{2}bcdt\wedge\tilde{\sigma}_{1}-bc\tilde{\sigma}_{2}\wedge\tilde{\sigma}_{3}$$\Omega_{2}^{-}=ab$ $2_{Cdt\wedge\tilde{\sigma}_{2}-ca\tilde{\sigma}_{3}\wedge\tilde{\sigma}_{1}}$$\Omega_{3}^{-}=abc^{2}dt,$$\wedge\tilde{\sigma}_{3}-ab\tilde{\sigma}_{1}\wedge\tilde{\sigma}_{2}$で定める. このフレームに関して曲率テンソルは次のように分解される [3].
$(\begin{array}{ll}A B{}^{t}B D\end{array})$

ここで$s=4\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}D$,は scalar 曲率, $W^{+}=A- \frac{1}{12}s$ とWeyl 曲率のそれぞれ自己双対と反自己双対成分,
froe 成分である.
そして $w_{1}=bc,$ $w_{2}=ca,$ $w_{3}=ab$ とおき$\alpha_{1},$$B$$\alpha_{2},$$\dot{w}_{1}=-w_{2}w_{3}+w_{1}(\alpha_{2}+\alpha_{3})$$\dot{w}_{2}=-w_{3}w_{1}+w_{2}(\alpha_{3}+\alpha_{1})$$\dot{w}_{3}=-w_{1}w_{2}+w_{3}(\alpha_{1}+\alpha_{2})$$W^{-}=D- \frac{1}{12}s$

は Ricci テンソルの$\alpha_{3}$は$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$を次で定義する :

,
,

(1)

.

ここで $A=0$ となる条件を計算して次の定理が得られる.

Theorem 2.1 計量が反自己双対かっ scalar 曲率零になるのことは$\alpha_{1},\alpha_{2},.\alpha_{3}$35$k\xi_{1},$ $\xi_{2},$ $\xi_{3}\emptyset\grave{\grave{>}}-1^{\backslash }\lambda^{-}7\emptyset E\mathrm{E}\mathrm{R}R*f-.T_{arrow}^{-}kk\mathrm{p}\mathrm{S}\mathfrak{l}\mathrm{F}^{-}C’\hslash$:$\dot{\alpha}_{1}=-\alpha_{2}\alpha_{3}+\alpha_{1}(\alpha_{2}+\alpha_{3})+\frac{1}{4}(w_{2}^{2}-w_{3}^{2})^{2}(\frac{\xi_{1}}{w_{2}w_{3}})^{2}$$+ \frac{1}{4}(w_{3}^{2}-w_{1}^{2})(3w_{1}^{2}+w_{3}^{2})(\frac{\xi_{2}}{w_{3}w_{1}})^{2}$$+ \frac{1}{4}(w_{2}^{2}-w_{1}^{2})(3w_{1}^{2}+w_{2}^{2})(\frac{\xi_{3}}{w_{1}w_{2}})^{2}$,$\dot{\alpha}_{2}=-\alpha_{3}\alpha_{1}+\alpha_{2}(\alpha_{3}+\alpha_{1})+\frac{1}{4}(w_{3}^{2}-w_{1}^{2})^{2}(\frac{\xi_{2}}{w_{3}w_{1}})^{2}$(2)$+ \frac{1}{4}(w_{1}^{2}-w_{2}^{2})(3w_{2}^{2}+w_{1}^{2})(\frac{\xi_{3}}{w_{1}w_{2}})^{2}$$+ \frac{1}{4}(w_{3}^{2}-w_{2}^{2})(3w_{2}^{2}+w_{3}^{2})(\frac{\xi_{1}}{w_{2}w_{3}})^{2}$,$\dot{\alpha}_{3}=-\alpha_{1}\alpha_{2}+\alpha_{3}(\alpha_{1}+\alpha_{2})+\frac{1}{4}(w_{1}^{2}-w_{2}^{2})^{2}(\frac{\xi_{3}}{w_{1}w_{2}})^{2}$$+ \frac{1}{4}(w_{2}^{2}-w_{3}^{2})(3w_{3}^{2}+w_{2}^{2})(\frac{\xi_{1}}{w_{2}w_{3}})^{2}$$+ \frac{1}{4}(w_{1}^{2}-w_{3}^{2})(3w_{3}^{2}+w_{1}^{2})(\frac{\xi_{2}}{w_{3}w_{1}})^{2}$,

さらに$(w_{2}^{2}-w_{3}^{2}) \frac{d}{dt}(\frac{\xi_{1}}{w_{2}w_{3}})=\frac{\xi_{2}}{w_{3}w_{1}}\frac{\xi_{3}}{w_{1}w_{2}}(-2w_{2}^{2}w_{3}^{2}+w_{3}^{2}w_{1}^{2}+w_{1}^{2}w_{2}^{2})$$+(\alpha_{2}w_{2}^{2}-\alpha_{3}w_{3}^{2}+3\alpha_{2}w_{3}^{2}+3\alpha_{3}w_{2}^{2})\underline{\xi_{1}}$,$w_{2}w_{3}$$(w_{3}^{2}-w_{1}^{2}) \frac{d}{dt}(\frac{\xi_{2}}{w_{3}w_{1}})=\frac{\xi_{3}}{w_{1}w_{2}}\frac{\xi_{1}}{w_{2}w_{3}}(-2w_{3}^{2}w_{1}^{2}+w_{1}^{2}w_{2}^{2}+w_{2}^{2}w_{3}^{2})$(3)$+(\alpha_{3}w_{3}^{2}-\alpha_{1}w_{1}^{2}+3\alpha_{3}w_{1}^{2}+3\alpha_{1}w_{2}^{2})\underline{\xi_{2}}$,$w_{3}w_{1}$$(w_{1}^{2}-w_{2}^{2}) \frac{d}{dt}(\frac{\xi_{3}}{w_{1}w_{2}})=\frac{\xi_{1}}{w_{1}w_{3}}\frac{\xi_{2}}{w_{3}w_{1}}(-2w_{1}^{2}w_{2}^{2}+w_{2}^{2}w_{3}^{2}+w_{3}^{2}w_{1}^{2})$$+ \frac{\xi_{3}}{w_{1}w_{2}}(\alpha_{1}w_{1}^{2}-\alpha_{2}w_{2}^{2}+3\alpha_{1}w_{2}^{2}+3\alpha_{2}w_{1}^{2})$.

Remark 2.2 もし $\xi_{1}=0_{2}\xi_{2}=0,\xi_{3}=0$ ならば (1) (2) (3) は T049]
により与えられた 6 階の方程式に退イヒする. これは Hitchin[6] の分類した自$,$36
己双対 Einstein 計
もし$\alpha,$$\mathrm{f}$Dancer[\eta の$\alpha_{2}\ovalbox{\tt\small REJECT} w_{2},$$\ovalbox{\tt\small REJECT} w,,$$\alpha_{3}\ovalbox{\tt\small REJECT} w_{3}$ならば$\mathrm{C}\mathrm{D},(2),(3)$計量を定める. また,程式に退化し, これは BGPP 計量になる.
$\alpha,$$A\ovalbox{\tt\small REJECT} yha-\ovalbox{\tt\small REJECT} b\ovalbox{\tt\small REJECT} tchin$

計量を含む. さら [こ,は 3 階の方程式に退化しならば 3 階の方

$scalar\ovalbox{\tt\small REJECT} flatI\vee\ovalbox{\tt\small REJECT} heler$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 0,$$\alpha_{2}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0,$$\alpha_{3}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$

Remark 2.3 もし $w_{2}=w_{3}$ ならば フレームを取直すことによって$\xi_{2}=0\xi_{3}f=0$$\xi_{1}=0_{f}$とすることができる. これも対角的な場合である几たがって,

以降非対角的な場合を考察するために $(w_{2}-w_{3})(w_{3}-w_{1})(w_{1}-w_{2})\neq 0$ を仮定する.

反自己双対方程式に対応する Schlesinger 方程式3を向き付られた 4 次元 Riemann 多様体とする. ここで $Z$ を自己双対
2 次形式のバンドルの中の単位球面バンドルとする. そして : $Zarrow M$ を射影とする. $Z$ の各点 は $\pi(z)$ 上のファイバーに含まれ, 接空間 $T_{\pi(z)}M$ 上に$(M,g)$

$\pi$

$z$

計量と向きづけに可換な複素構造を定める.
を水平方向と垂直方向に分解でき
Levi-Civita 接続を用いて, 接空間$T_{z}Z$のは水平方向を $T_{\pi(z)}M$ に同一視させる. こうしての接空によって定まる複素構造を持ち, 垂直方向はる. そして射影

水平方向は$T_{z}Z$$\pi$$S^{3}\cong \mathfrak{M}^{1}$$z$間と同一視できるから自然な複素構造を持つ.

こうして $Z$ の各点の接空間に対して複素構造が定義でき, $Z$ 全体に概複素構造が定義される. この概複素構造が可積分であることと, 計量が反自己双対的であることが同値であることが知られている $[2, 8]$ . このとき $Z$ は $(M, g)$の twistor 空間と呼ばれ, ファイバーは実 twistor 直線と呼ばれる.
$Z$上の概複素構造は次の $(1, 0)$ 形式で定義される:,$\Theta_{2}=z(e^{0}-\sqrt{-1}e^{1})+(e^{2}-\sqrt{-1}e^{3})$ ,$\Theta_{1}=z(e^{2}+\sqrt{-1}e^{3})-(e^{0}+\sqrt{-1}e^{1})$(4)$\Theta_{3}=dz+\frac{1}{2}z^{2}(\omega_{2}^{\mathrm{O}}-\omega_{1}^{3}+\sqrt{-1}(\omega_{3}^{0}-\omega_{2}^{1}))$$- \sqrt{-1}z(\omega_{1}^{0}-\omega_{3}^{2})+\frac{1}{2}(\omega_{2}^{0}-\omega_{1}^{3}-\sqrt{-1}(\omega_{3}^{0}-\omega_{2}^{1}))$

ここで $\{e^{0}, e^{1}, e^{2}, e^{3}\}$ は $M$ の直交フレームであり,と$\omega j$,

たちは $de:+\omega_{j}^{i}\wedge e^{j}=0$. $=0$ によって定まる Levi-Civita 接続である. すると反自己双対の$\omega j+\omega_{1}^{j}$

条件は次で書ける:$d\Theta_{1}\equiv 0$,$d\Theta_{2}\equiv 0$,$d\Theta_{3}\equiv 0$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \Theta_{1}, \Theta_{2}, \Theta_{3})$

.

(5)

37
もし計量が $SU(2)$ 不変ならば, 先の条件は$(\begin{array}{l}\Theta_{1}\Theta_{2}\Theta_{3}\end{array})=(\begin{array}{l}00\mathrm{l}\end{array})dz+(\begin{array}{l}v_{1}v_{2}v_{3}\end{array})dt+A(\begin{array}{l}\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{array})$,(6)と書直せる. ここで $v_{1}=v_{1}(z, t),$ $v_{2}=v_{2}(z, t),$ $v_{3}=v_{3}(z, t);A=(a:j(z, t))_{1j=1,2,3}.$,
である.
ここで $\det A\equiv 0$ ならば計量は BGPP[4] になることを注意しておく.
また $\det A\neq 0$ ならば次のように書ける$(\begin{array}{l}\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{array})\equiv-A^{-1}((\begin{array}{l}00\mathrm{l}\end{array})dz+(\begin{array}{l}v_{1}v_{2}v_{3}\end{array})dt)=:(\begin{array}{l}\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{array})$

,

(7)

したがって

$d(\begin{array}{l}\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{array})\equiv(\begin{array}{l}\sigma_{2}\wedge\sigma_{3}\sigma_{3}\wedge\sigma_{1}\sigma_{1}\wedge\sigma_{2}\end{array})$$\sigma_{1},$$\sigma_{2},$$\sigma_{3}$

.

(8)

.

(9)

は $(z, t)$ 平面状の 1 形式なので次が成立つ$d(\begin{array}{l}\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{\dot{3}}\end{array})=(\begin{array}{l}\sigma_{2}\wedge\sigma_{3}\sigma_{3}\wedge\sigma_{1}\sigma_{\mathrm{l}}\wedge\sigma_{2}\end{array})$

もし$\Sigma=\frac{1}{\sqrt{2}}$($\sqrt{-1}\sigma_{1}$$\sigma_{3}+\sqrt{-1}\sigma_{2}\sqrt{-1}\sigma_{1}$$=:-B_{1}dz-B_{2}dt$ ,

)

(10)

(11)

が成立つと仮定すると(12)$d\Sigma+\Sigma\wedge\Sigma=0$となる. これは次の方程式のモノドロミー保存の条件 (Schlesinger 方程式) である:$( \frac{d}{dz}-B_{1})(\begin{array}{l}y_{1}y_{2}\end{array})=0$

ここで$B_{1}$

は $\{z|\det A=0\}$ 上に極をもつ.

.

(13)

38
Remark 3.1 Hitchin[6] や Dancer[司らの研究 [こおいて, この Schleginger 方
程式の具体的な形が知られていなかったことが非対角的な場合の研究のーの障害となっていた.

Lemma 3.2 条件 $detA=0$ は次の方程式と同値である :$z^{4}((\alpha_{2}+\alpha_{3})-\sqrt{-1}X_{1})-2z^{3}(X_{2}-\sqrt{-1}X_{3\backslash })+2z^{2}(-2\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}.)$$+2z(X_{2}+\sqrt{-1}X_{3})+((\alpha_{2}+\alpha_{3})+\sqrt{-1}X_{1})=0$

,

(14)

ここで

$X_{1}= \frac{w_{2}^{2}-w_{3}^{2}}{w_{2}w_{3}}\xi_{1}$

この,$X_{2}= \frac{w_{3}^{2}-w_{1}^{2}}{\tau v_{3}w_{1}}.\xi_{2}$Lemma によって, generic には$B_{1}$,$X_{3}= \frac{w_{1}^{2}-w_{2}^{2}}{\tau v_{1}w_{2}}\xi_{3}$.

は 4 点の一位の極を持つことがわ

かる.

Theorem 3.3 $SU(2)$ 不変な計量についての反自己双対方程式は generic には Painlevi $VI$ 型の方程式 [こ帰着する.
Remark 3.4 $z=\zeta$ が $detA=0$ の解であったとするともまた解である. したがって条件 $detA=0$ は twistor 空間の実構造と可換である.
$z=-1/\overline{\zeta}$

Remark $.5Hitchin [の方法は $SU(2)$ の twistor 空間 $Z$ に持上げられた作用がベクトルバンドルの順同型写像 :を定めること[こよる. そしての逆は meromorphic オ
接続をさだめ, こうしてモノドロミー保存変形が定まった. 上で定めたを $Z$ の微少変分と同一視できる.
だと考えると, は$a$$Z\mathrm{x}\epsilon \mathrm{u}(2)^{\mathbb{C}}arrow TZ$$\alpha$$SL(2, \mathbb{C})$$\alpha$$\Theta_{1},$$\Sigma$$\Theta_{2},$$\Theta_{3}$$\alpha^{-1}$Lemma 3.6 を非対角的な $SU(2)$ 不変の計量とする. すると (14) が 2っの 2 位の解を持つ条件は次を満足する関数 $f(t)$ が存在する条件と同値である:$g$,$X_{2}^{2}=4(f-\alpha_{3})(f-\alpha_{1})$ ,$X_{1}^{2}=4(f-\alpha_{2})(f-\alpha_{3})$$X_{3}^{2}=4(f-\alpha_{1})(f-\alpha_{2})$.

この条件の下で反自己双対方程式は (1), (2) と $j=f^{2}$ に退化する.
証明.
方程式 (14) を次のような形に書くことができる:$\overline{a}z^{4}-\overline{b}z^{3}+cz^{2}+b$z+a=0 ラ(15)

39
ここで $a,$$b$複素係数であり$c$は実係数である twistor 空間の実構造を保っ一

次分数変換

(16)

$z \mapsto*\frac{(b-|b|)\zeta-b+|b|}{(-\overline{b}+|b|)\zeta-\overline{b}+|b|}$によって, (14) は$\zeta^{4}-\overline{b}_{\mathrm{O}}\zeta^{3}+\mathrm{c}_{0}\zeta^{2}+b_{0}\zeta+1=0$

,

(17)

と書きかえられる. ここで砧は複素係数でありは実係数である. この方程が式は実構造と可換なので,
2 次の解ならばもまた 2 次の
したがって
解である.
$\mathrm{c}_{0}$$\zeta=\zeta_{0}$$\zeta=-1/\overline{\zeta}_{0}$$\zeta^{4}-\overline{b}_{0}\zeta^{3}+c_{0}\zeta^{2}+b_{0}\zeta+1=(\zeta-\zeta_{0})^{2}(\zeta+1/\overline{\zeta}_{\mathrm{O}})^{2}$

こうして$\zeta_{0}^{2}(-1/\overline{\zeta}_{\mathrm{O}})^{2}=1$

さらに$\zeta_{0}=\pm\overline{\zeta}_{\mathrm{O}}$,が得られる. この条件から(18)$\zeta_{0}$は実数であるか順虚数であることがわかる. したがって煽は実数であるか順虚数でなければならない. この条件を計算して Lemma が証明される.

4

エルミート構造と Painlev\’e III

Hitchin [6] はもし計量が scalar-flat Kihler (Hyper-Kiler の場合は除く) であるとすると, 反自己双対方程式は Painleve III 型の方程式に帰着することを示した. われわれの言葉で言いかえると次のようなことになる

Corollary 4.1 もし計量が scalar-flat-K\"ahler( hyper-K\"ahler の場合は除く)とすると方程式 (14) は 2 つの 2 位の解を持つ.
$z=z(t)$ を (14) の解としよう. $Z$ 上の 1 形式
を $z=z(t)$ [こ制限すると, $M$ 上の $(1, 0)$ 形式が定まるり, これは $M$ 上の概複素構造を定める.
$\Theta_{1},$$\Theta_{2}$

この概複素構造に注意すると, 次の定理が得られる.

Theorem 4.2$g$

を $SU(2)$ 不変な反自己双対な scalar-flat 計量とする. すると $SU(2)$ 不変なエルミート構造 $(g, I)$ が存在することと (14) が 2 位解を持

つことは同値である.
証明.
$(g, I)$ を $SU(2)$ 不変なエルミート構造とする.

けに依存する $z=z(t)$ が存在して$\Theta_{1}|_{z=z(t)}$and複素構造 に対応して だが独立な 2っの $(1, 0)$$\Theta_{2}|_{z=z(t)}$

$I$

$t$

40
は複素構造なので,形式になる成立つ. したがって次が成立つ$\ovalbox{\tt\small REJECT}$dzL=z。)$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{3}\mathrm{L}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\cdot(\mathrm{t})}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$(

化$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$(t)’$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}\mathrm{L}_{\ovalbox{\tt\small REJECT} z(\mathrm{t})}$) が$= \{\frac{1}{4}(-\alpha_{2}+\alpha_{3}+\sqrt{-1}X_{1})z^{3}$$- \frac{1}{2}(\frac{w_{1}^{2}}{w_{3}^{2}-w_{1}^{2}}X_{2}+\sqrt{-1}\frac{w_{1}^{2}}{w_{1}^{2}-w_{2}^{2}}X_{3})z^{2}+\frac{\sqrt{-1}}{2}X_{1}z$$- \frac{1}{2}(\frac{w_{1}^{2}}{w_{3}^{2}-w_{1}^{2}}X_{2}-\sqrt{-1}\frac{w_{1}^{2}}{w_{1}^{2}-w_{2}^{2}}X_{3})$$+ \frac{1}{4}(\alpha_{2}-\alpha_{3}+\sqrt{-1}X_{1})z^{3}\}dt$. (19)であることから, $z=z(t)$ は (14) の解である. さらに$z=z(t)$ と (19) を (14) 左辺の微分に代入すると零になることが計算できる.
したがって (14). は 2 位の解をもつ.
逆に, z=z。は 2 位の解であるとすると, Lemma 32 より次が得られる:

他方,$\Theta_{3}|_{z=z(t)}\equiv 0$$X_{1}X_{2}X_{3}\neq 0$のときは$z_{0}= \frac{X_{2}X_{3}\pm\sqrt{X_{2}^{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{2}}}{X_{1}(X_{2}-\sqrt{-1}X_{3})}$.

0\ell 可 zktP||+a 可積 0 分である.
$\equiv 0\emptyset \mathrm{i}ffi\text{立}\vee\supset$$|_{\llcorner}^{\vee}\text{よ}\vee\supset \text{て定し}\underline{-}\mathrm{B}_{\dot{1}*\supset \text{て}}$$X_{1}X_{2}X_{3}=0$$-\check{9}\text{し}$,て $(1, 0)$ 形式 $\Theta_{1}|_{z=z(t)},$(20)$\Theta_{2}|_{z=z(t)}$のいすれかに等しくなければならのときは, $f$ はとすると, $X_{2}=0$ と $X_{3}=0$ が成立ち, したがって$\alpha_{1},$$\alpha_{2},$$\alpha_{3}$ない. ここで $f=\alpha_{1}$$z_{0}= \frac{\sqrt{\alpha_{3}-\alpha_{1}}+\sqrt{-1}\sqrt{\alpha_{2}-\alpha_{1}}}{\sqrt{\alpha_{2}+\alpha_{3}+2\alpha_{1}}}$が成立つ. さらに$\Theta_{3}|_{z=z(t)}\equiv 0$

,

(21)

. この場合も概複素構造は可積分である.

Remark 4.$ $SU(2)$ 不変なエルミート構造を持つならば, 反自己双対方程式
は 7 階の方程式に帰着する.

Theorem 4.4 theooem 42 によって定められるエノレミート構造 $(g, I)$ が K\"ahlerとなるの必要十分条件は$X_{1}^{2}=4\alpha_{2}\alpha_{3}$,$X_{2}^{2}=4\alpha_{3}\alpha_{1}$,$X_{3}^{2}=4\alpha_{1}\alpha_{2}$

(22)

41
$\overline{\mathrm{p}}\mathrm{I}^{\mu}J\mathrm{J}$.

$X_{1}X_{2}X_{3}\neq 0$を仮定する. すると Kihler 形式は (20) によって次のように定まる:$\Omega$(1), $(‘ 2),(3)$ , によって次が成立つ$d\Omega$$w_{1}w_{2}w_{3}\neq 0$

かつ $X_{1}X_{2}X_{3}\neq 0$ だから, $d\Omega=0$ は $f=0$ と同値になる.

のいずれかでなければならor
また $X_{1}X_{2}X_{3}=0$ とすると, $f$ はない. ここで $f=\alpha_{1}$ としよう. すると $X_{1}^{2}=4(\alpha_{2}-\alpha_{1})(\alpha_{3}-\alpha_{1}),$ $X_{2}=0$ ,$arrow Y_{3}=0$ である. Kihler 形式は (21) こよって次のように定まる:$\alpha_{1},$$\alpha_{2}$$\alpha_{3}$$\Omega=\frac{\sqrt{\alpha_{2}-\alpha_{1}}}{\sqrt{\alpha_{2}+\alpha_{3}-2\alpha_{1}}}\Omega_{2}^{+}+\frac{\sqrt{\alpha_{3}-\alpha_{1}}}{\sqrt{\alpha_{2}+\alpha_{3\backslash }-2\alpha_{1}}}\Omega_{3}^{+}$

.

(23)

したがって

.

$d \Omega=\frac{2w_{2}\alpha_{1}\sqrt{\alpha_{2}-\alpha_{1}}}{\sqrt{\alpha_{2}+\alpha_{3}-2\alpha_{1}}}dt\wedge\tilde{\alpha}_{3}\wedge\tilde{\alpha}_{1}+\frac{2w_{3}\alpha_{1}\sqrt{\alpha_{3}-\alpha_{1}}}{\sqrt{\alpha_{2}+\alpha_{3}-2\alpha_{1}}}dt\wedge\tilde{\alpha}_{1}\wedge\alpha_{2}$(24)計量が非対角的な場合を考えているので, $X_{1}^{2}=4(\alpha_{2}-\alpha_{1})(\alpha_{3}-\alpha_{1})\neq 0$ であり, したがって $d\Omega=0$ は $\alpha_{1}(=f)=0$ と同値になる.

Remark 4.5 計量が scalar-flat K\"ahler ならば, 反自己双対方程式}ま 6 階の方程式に退化する.

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$tt$

$A$

$\mathrm{V}\mathrm{I}$equation,