第5回

一般化力と散逸関数

理学部

物理科学科

齊藤 国靖

2024 年 5 月 13 日
デカルト座標から他の座標系に変換すると，運動方程式は形を変える．例えば，極座標における動径方向と角度方向の運動方程式は，デカルト座標における x, y 方向の運動方程式とは異なる表式で与えられる（第 1 回）．第 5 回の目的は，一般の座標系に変換したとき，運動方程式がどの様に与えられるかを理解し，抵抗力や摩擦力など保存力とは異なる力が働く場合のラグランジュ方程式を導出することである．

1 第２種ラグランジュ方程式
1.1 一般化座標への変換
N 個の質点のデカルト座標 Xi ,Yi , Zi (i = 1, . . . , N ) を横一列に並べて(X1 , Y1 , Z1 , X2 , Y2 , Z2 , . . . , XN , YN , ZN )(1)と書いたとき，式 (1) を改めて

(x1 , x2 , . . . , xn ) ≡ (X1 , Y1 , Z1 , X2 , Y2 , Z2 , . . . , XN , YN , ZN )と置けば，質点系の運動を記述するのに n = 3N 個のデカルト座標が必要であるのが解る．この様に導入された n 個のデカルト座標を n 個の一般化座標に変換することを考える．

(x1 , x2 , . . . , xn ) −→ (q1 , q2 , . . . , qn )デカルト座標と一般化座標は互いに依存関係にあるので，ある xi は q1 , q2 , . . . , qn の関数になるはずである．これを便宜的に

x1 = x1 (q1 , q2 , . . . , qn )x2 = x2 (q1 , q2 , . . . , qn )...
xn = xn (q1 , q2 , . . . , qn )1

1 第２種ラグランジュ方程式2と表す．xi は q1 , q2 , . . . , qn の関数なので，その時間微分は合成関数の微分で

∂xi
∂xi
∂xi
q̇1 +q̇2 + · · · +
q̇n
∂q1
∂q2
∂qnn
∑
∂xi
=q̇j
∂qj
j=1ẋi =(2)となる．式 (2) の両辺をある q̇j で微分すると，j とは異なる添え字の q̇k (k ̸= j) の項が消えて∂xi∂ ẋi=
∂ q̇j
∂qj



(3)



1.2 一般化力
デカルト座標 xi の微小変位を考えると，xi は q1 , q2 , . . . , qn の関数なので∂xi∂xi∂xidq1 +dq2 + · · · +dqn
∂q1
∂q2
∂qnn∑
∂xi=dqj∂qjj=1dxi =(4)である．ここで，デカルト座標における力の各成分を F1 , F2 , . . . , Fn とすると，微小変位 dxi (i =1, . . . , n) による仕事はδW = F1 dx1 + F2 dx2 + · · · + Fn dxnn∑
=Fi dxi
i=1で与えられる．式 (4) の dxi を代入すると
n
∑

n
∑
∂xidqj ∂qji=1j=1)(nn∑∑∂xidqj=Fi∂qj
j=1i=1δW =≡n∑Fi Qj dqjj=1となり，一般化座標の微小変位 dqj による仕事の表式が得られる．但し，


一般化力Qj ≡n∑i=1を導入した．

Fi∂xi
∂qj

(5)
1 第２種ラグランジュ方程式

31.3 保存力の場合
質点系に働く力が保存力の場合，ポテンシャルエネルギー U (x1 , x2 , . . . , xn ) を用いてFi = −

∂U
∂xi

(6)

である．一方，U (x1 , x2 , . . . , xn ) を一般化座標 qj で微分して負号をつけると−∂U∂U ∂x1∂U ∂x2∂U ∂xn=−−− ··· −∂qj∂x1 ∂qj∂x2 ∂qj∂xn ∂qj()n∑∂U ∂xi=−∂x∂qj
ii=1=n∑Fii=1∂xi∂qj(7)となる．但し，最後に式 (6) を代入した．式 (7) の右辺は式 (5) の一般化力そのものなので，

Qj = −∂U∂qj

(8)であることが解る．つまり，デカルト座標における力 Fi が式 (6) で与えられるのに対し，一般化
力 Qj は式 (8) で与えられる．いずれもポテンシャルエネルギーを座標で微分して負号をつけたものであり，一般化力を導入すれば保存力の定義が座標系に依らないことが解る．

1.4 ラグランジュ方程式との関係
デカルト座標における運動エネルギーは ẋ1 , ẋ2 , . . . , ẋn の関数であり，T (ẋ1 , ẋ2 , . . . , ẋn ) =n∑
mii=12ẋ2i(9)と書ける．但し，mi は各成分に対応した質量である．ここで，運動エネルギーを一般化座標の時間微分 q̇j で微分した量を pj とすると∂T∂ q̇j∂T ∂ ẋ2∂T ∂ ẋn∂T ∂ ẋ1++ ··· +=∂ ẋ1 ∂ q̇j∂ ẋ2 ∂ q̇j∂ ẋn ∂ q̇jn∑∂T ∂ ẋi=∂ ẋi ∂ q̇ji=1pj ≡となる．これに式 (3) を代入すると

pj =n∑∂T ∂xii=1∂ ẋi ∂qj(10)1 第２種ラグランジュ方程式4となるが，式 (9) より，デカルト座標では∂T= mi ẋi∂ ẋiなので，式 (10) は

pj =n∑

mi ẋii=1(11)∂xi∂qj(12)となる．この両辺を時間で微分すると

ṗj =n∑mi ẍii=1()n∂xi ∑d ∂xi+mi ẋi∂qj
dt ∂qji=1であるが，デカルト座標の運動方程式

mi ẍi = Fiを代入すると()n∂xi ∑d ∂xiṗj =Fi+mi ẋi∂qj
dt ∂qji=1i=1n∑となる．ここで，右辺の第１項は式 (5) の一般化力そのものであり，n∑dmi ẋiṗj = Qj +dti=1(∂xi∂qj)(13)と書ける．
デカルト座標における運動エネルギーは式 (9) で与えられるが，一般化座標における運動エネル
ギーは速度 q̇1 , q̇2 , . . . , q̇n に加えて座標 q1 , q2 , . . . , qn を含む可能性がある．例えば，極座標における運動エネルギーは ṙ, θ̇ の他に r を含んでいる（第 1 回参照）．従って，運動エネルギーはT (ẋ1 , ẋ2 , . . . , ẋn ) = T (q1 , q2 , . . . , qn , q̇1 , q̇2 , . . . , q̇n )(14)の関係を満たし，これを一般化座標で微分すると∂T∂T ∂ ẋ1∂T ∂ ẋ2∂T ∂ ẋn=++ ··· +∂qj
∂ ẋ1 ∂qj
∂ ẋ2 ∂qj
∂ ẋn ∂qjn∑
∂T ∂ ẋi=∂ ẋi ∂qj
i=1=n∑
i=1mi ẋi

∂ ẋi
∂qj

(15)となる．但し，式 (11) を用いた．ここで，式 (2) の添え字を書き換えてẋi =n∑∂xi
k=1∂qkq̇k1 第２種ラグランジュ方程式5とし，両辺を qj で微分すると∑ ∂ 2 xi
∂ ẋi=q̇k∂qj∂qk ∂qj
k=1()n∑∂∂xi dqk=∂qk ∂qj
dtn(16)k=1となる．右辺の ∂xi /∂qj は q1 , q2 , . . . , qn の関数であり（1.1 節参照），k に関する和は合成関数の微分∑ ∂F dqkdF (q1 , q2 , . . . , qn ) =dt∂qk dtnk=1と考えられるから，式 (16) はd∂ ẋi=∂qjdt(∂xi∂qj)となる．よって，これを式 (15) に代入して()n∑∂Td ∂xi
mi ẋi=∂qj
dt ∂qji=1を得る．これは式 (13) の右辺の第 2 項に一致するから，式 (13) はṗj = Qj +∂T
∂qj(17)となる．
ところで，pj はもともと運動エネルギーを q̇j で微分した量として導入されたから，dṗj =dtである．よって，式 (17) はddt(∂T∂ q̇j(∂T∂ q̇j))= Qj +∂T∂qjとなり，
第 2 種ラグランジュ方程式

ddt(∂T∂ q̇j)−

∂T= Qj∂qj(18)

が成立する．式 (18) の右辺は一般化力であり，力が保存力でなくても成立する．また，全ての

j = 1, . . . , n に対して同じ式が成り立つことに注意しよう．

2 散逸関数

62 散逸関数
運動する質点に対して，速度に比例した抵抗力

fi = −ηi ẋi(19)が働く場合を考えよう．ここで，ηi は各速度に対応した粘性係数である．一般に，抵抗力は質点の速度を減速させる方向に働くから，運動エネルギーを散逸する効果がある．同じ様に，摩擦力も運動エネルギーを散逸させるため，抵抗力や摩擦力のことをまとめて散逸力と呼ぶことがある．
式 (6) の様に保存力はポテンシャルエネルギーの微分で与えられるが，抵抗力や摩擦力も同じ様な微分の形式で与えることはできないだろうか．そこで，

散逸関数

D(ẋ1 , . . . , ẋn ) ≡n∑ηi2i=1ẋ2iを導入すると，散逸関数を速度 ẋi で微分して負号をつけたものが式 (19) に一致することが解る．

fi = −∂D∂ ẋi(20)次に，質点に保存力 Fi と抵抗力 fi の両方が働くとしよう．式 (5) より，一般化力は

Qj =n∑(Fi + fi )i=1=n∑Fii=1∂xi∂qjn∂xi ∑ ∂xi+fi∂qj∂qji=1で与えられる．1.3 節の計算より，右辺の第 1 項はポテンシャルエネルギーの微分で書くことができ，第 2 項には式 (20) を代入すると，n∂U ∑ ∂D ∂xi
Qj = −−∂qj∂ ẋi ∂qji=1(21)となる．ここで，右辺の第 2 項に式 (3) を用いるとn∑∂D ∂xii=1∂ ẋi ∂qj=n∑∂D ∂ ẋii=1=∂ ẋi ∂ q̇j∂D∂ q̇jである．但し，D(ẋ1 , . . . , ẋn ) に対して合成関数の微分を使った．従って，式 (21) の一般化力は

2 散逸関数7Qj = −∂U∂D−∂qj∂ q̇j(22)と表される．
第 2 種ラグランジュ方程式 (18) に式 (22) の一般化力を代入すると

ddt(∂T∂ q̇j)−∂T∂U∂D=−−∂qj∂qj∂ q̇j(23)となる．ここで，ポテンシャルエネルギーは一般化座標の時間微分 q̇j を含まないので∂U=0∂ q̇jである．従って，式 (23) は

ddt{}
∂∂
∂D
(T − U ) −(T − U ) +=0
∂ q̇j
∂qj
∂ q̇jと書くことができる．ラグランジアン L = T − U を使うと拡張されたラグランジュ方程式

ddt(∂L∂ q̇j)−∂L∂D+=0∂qj∂ q̇j
が得られる．これは散逸関数を含む様にラグランジュ方程式を拡張したものであり，保存力と散逸力が働く質点系の運動を記述することができる．

