第6回
理学部

正準方程式

物理科学科

齊藤 国靖

2024 年 6 月 7 日
これまでラグランジアンによる定式化を見てきたが，これからはハミルトニアンによる定式化を行う．ラグランジアンと違い，ハミルトニアンは一般化座標，一般化運動量，および時間の関数であり，系に働く力が保存力の場合は全エネルギーと同等である．ハミルトニアンによって，運動方
程式は正準方程式というより対称性の高い連立微分方程式に書き直される．また，最小作用の原理，ハミルトニアンと循環座標の関係，ラウシアン（ラウス関数）についても説明する．

1 はじめに質量 m の質点に力 F (q) が作用するとき，ニュートンの運動方程式q̈ =1
F (q)m(1)は座標 q に関する２階微分方程式である．一方，質点の運動量 p = mq̇ を用いれば，式 (1) を{pq̇ = mṗ = F (q)(2)と書き換えることができる．式 (2) はq と p に関する連立１階微分方程式であり，意味としては式(1) と同等である．一般に，微分方程式は階数の少ない方が解き易いから，式 (1) よりも (2) の方が数学的に扱い易い．その反面，変数の数が１つから２つに増えるので，解くべき微分方程式の数は２つに増える．これまでのラグランジュ方程式は一般化座標に関する１つの微分方程式だったから，式 (1) に近い形である．これを式 (2) の様に一般化座標と一般化運動量に関する２つの微分方程式として書き直すのがここでの目的である．
なお，今回から同じ添え字の和はn∑pi q i ≡ pi q ii=1の様に略記する（アインシュタインの縮約記法）．言い換えると，上式の右辺の様に，同じ添え字をもつ変数の掛け算は，添え字に対して自動的に和をとることにする．

1

2 正準方程式

22 正準方程式
2.1 ラグランジアンの変分
まず，一般化運動量はラグランジアン L を用いて

pi =∂L∂ q̇i(3)と定義される（第１回参照）．これをラグランジュ方程式d ∂L∂L=dt ∂ q̇i∂qi(4)に代入すると，ṗi =∂L∂qi(5)となる．ラグランジアン L(qi , q̇i , t) は一般化座標 qi とその微分 q̇i (i = 1, . . . , n) の関数だから，ラグランジアンの変分はdL(qi , q̇i , t) =

∂L
∂L
∂L
dt
dqi +dq̇i +
∂qi
∂ q̇i
∂t(6)と書ける．但し，右辺でアインシュタインの縮約記法が使われていることに注意．式 (6) に (3) と(5) を代入すると
dL(qi , q̇i , t) = ṗi dqi + pi dq̇i +∂Ldt∂t(7)となる．

2.2 ハミルトニアン
一般化座標 qi (i = 1, . . . , n) に関するラグランジュ方程式 (4) を，qi と pi に関する方程式に書き換える．そのために，

ハミルトニアンH(qi , pi , t) ≡ q̇i pi − L(qi , q̇i , t)

(8)を導入する．ラグランジアンは qi , q̇i , t の関数であるのに対し，ハミルトニアンは qi , pi , t の関数である．式 (6) と同様に，ハミルトニアンの変分はdH(qi , pi , t) =

∂H
∂H
∂H
dqi +dpi +dt∂qi∂pi∂t(9)である．一方，式 (8) の両辺の変分を計算し，式 (7) を代入すると，dH(qi , pi , t) = pi dq̇i + q̇i dpi − dL(qi , q̇i , t)
∂L= −ṗi dqi + q̇i dpi −dt∂t(10)

2 正準方程式3となる．式 (9) と (10) の右辺のうち，変化量 dqi , dpi は任意なので，各係数を比較して

正準方程式

∂H∂pi∂Hṗi = −∂qiq̇i =(11)(12)が得られる．式 (11) と (12) はそれぞれ qi と pi の連立１階微分方程式であり，先程の式 (2) と同様であることに注目しよう．さらに，式 (9) と (10) の右辺のうち，dt の係数を比較すると∂H∂L=−∂t∂t(13)となる．つまり，ハミルトニアンの時間微分はラグランジアンの時間微分の逆符号で与えられる．

2.3 エネルギーとの関係
デカルト座標系における運動エネルギーは，アインシュタインの縮約記法を用いて)m( 2ẋi + ẏi2 + żi22T =と書ける．一方，一般化座標系における運動エネルギーは q̇i の２次形式

T =1Tkl q̇k q̇l2(14)で与えられる．式 (14) は運動エネルギーの最も一般的な表式で，具体的な問題を考えると，２次形式の係数 Tkl にはゼロが含まれていてもよい．また，q̇k と q̇l を入れ替えても運動エネルギーは変わらないから，係数は添え字の入れ替えについて対称であり，Tkl = Tlk が成り立つ．なお，式(14) の添え字にもアインシュタインの縮約記法が使われており，和の記号を省略せずに書けば
T =n ∑n∑1k=1 l=12Tkl q̇k q̇lである．
質点系に作用する力が保存力の場合を考えると，ラグランジアンは時間 t に陽に依存せず，L(qi , q̇i ) = T (q̇i ) − U (qi )(15)

3 最小作用の原理4と表される．定義式 (3) を使って一般運動量を計算すると，式 (14) より

∂L
∂ q̇i
∂T=
∂ q̇i
1
1= Til q̇l + Tki q̇k2
2= Tij q̇jpi =(16)となる．但し，係数の対称性 Tki = Tik を用いたこと，最後に添え字 l と k を j に統一したこと，添え字 i については（単独の添え字なので）和をとっていないことに注意しよう．式 (15) と (16)をハミルトニアンの定義式 (8) に代入すると

H(qi , pi , t) = q̇i pi − L(qi , q̇i )= Tij q̇i q̇j − T (q̇i ) + U (qi )1= Tij q̇i q̇j + U (qi )2= T (q̇i ) + U (qi )(17)となる．但し，運動エネルギーの定義式 (14) を用いた．式 (17) の結果より，



質点系に保存力だけが働く場合，ハミルトニアンは全エネルギーを表す



ことが解る．さらに，右辺は運動エネルギー T (q̇i ) とポテンシャルエネルギー U (qi ) の和なので，ハミルトニアンも時間 t に陽に依存せず，H(qi , pi ) と書ける．従って，ハミルトニアンの時間に関する全微分は

d∂H∂H
H(qi , pi ) =q̇i +ṗidt∂qi∂piである．右辺に正準方程式 (11), (12) を代入すると∂H ∂H∂H ∂HdH(qi , pi ) =−dt
∂qi ∂pi∂pi ∂qi=0∴ H(qi , pi ) = const.となり，全エネルギーが一定であることが解る（エネルギー保存則）．

3 最小作用の原理
ラグランジュ方程式と同様，正準方程式も最小作用の原理の帰結であることを確認しよう．式(8) より，ラグランジアンはL(qi , q̇i , t) = q̇i pi − H(qi , pi , t)

3 最小作用の原理

5と表せる．これを，第 2 回で導入した作用∫ tb
S=L (qi , q̇i , t) dttaに代入すると

∫ tb
S=

{q̇i pi − H(qi , pi , t)} dt(18)taとなる．最小作用の原理からラグランジュ方程式を導いたときは，一般化座標 qi (t) の変化分のみを考えたが，正準方程式を導く場合は一般化座標と一般化運動量の変化分

qi (t) + δqi (t) ,pi (t) + δpi (t)(i = 1, . . . , n)(19)を考える．このとき，作用の変分は

δS = S [qi (t) + δqi (t), pi (t) + δpi (t)] − S [qi (t), pi (t)](20)

で与えられる．まず，式 (18) の被積分関数の第 1 項の変分はδ (q̇i pi ) = (q̇i + δ q̇i ) (pi + δpi ) − q̇i pi≈ q̇i δpi + pi δ q̇i(21)で与えられる．但し，２次の微小量は δ q̇i δpi ≈ 0 として無視した．また，一般化座標と一般化運動量が式 (19) のときのハミルトニアンを

H (qi + δqi , pi + δpi , t) ≈ H(qi , pi , t) +∂H∂Hδqi +δpi∂qi∂piと展開すると，ハミルトニアンの変分はδH(qi , pi , t) = H (qi + δqi , pi + δpi , t) − H(qi , pi , t)∂H∂H≈δqi +δpi∂qi∂pi(22)となる．従って，式 (21), (22) を用いて，式 (20) を計算すると∫ tb
δS ={δ (q̇i pi ) − δH(qi , pi , t)} dtta
∫ tb {}∂H∂Hδqi −δpi dt≈q̇i δpi + pi δ q̇i −∂qi∂pita() }∫ tb {d∂H∂H=pi δqi −δqi + q̇i −δpi dtdt∂qi∂pitaとなる．上式の被積分関数の第 1 項を部分積分すると∫ tbdtpi δqi dt = [pi δqi ]tba −dtta∫ tbṗi δqi dtta(23)4 循環座標とラウシアン6になるが，第 2 回と同様，一般化座標の変化分は境界条件により

δqi (ta ) = δqi (tb ) = 0となるので，式 (23) は∫ tb {() }∂H∂HδS =−ṗi δqi −δqi + q̇i −δpi dt∂qi∂pita)() }∫ tb { (∂H∂H− ṗi +δqi + q̇i −δpi dt=∂qi∂pitaとなる．よって，任意の変化分 δqi , δpi に対して，作用の変分が常にゼロ δS = 0 であるためには

ṗi +

∂H=0,
∂qiq̇i −∂H,∂pi∴ q̇i =∂H=0∂piṗi = −∂H∂qiであり，これは正準方程式 (11), (12) に一致する．

4 循環座標とラウシアン
循環座標はラグランジアンに含まれない座標のことである（第１回参照）．質点系の一般化座標q1 , . . . , qs , qs+1 , . . . , qnのうち，qs+1 , . . . , qn までが循環座標であれば，ラグランジアンはL(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇n , t) = L(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇s , q̇s+1 , . . . , q̇n , t)と表される．ハミルトニアンの定義式 (8) より，H(qi , pi , t) = q̇i pi − L(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇n , t)であるから，循環座標 qs+1 , . . . , qn は::::::::::::::::::::::::::
ハミルトニアンにも含まれない．従って，正準方程式 (12) を循環座標に共役な一般化運動量に用いると

ṗn = −

∂H=0
∂qn

∴ pn = const.となり，循環座標に共役な一般化運動量は一定であるということを再確認できる．
循環座標の性質を利用して，

4 循環座標とラウシアン
ラウシアン（ラウス関数）

7


R≡

n∑

q̇i pi − L(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇n , t)

(24)

i=s+1

を定義する．ここで，右辺の第１項の和は i = s + 1, . . . , n までであることに注意しよう．まず，循環座標ではない一般化座標 q1 , . . . , qs に対して

∂L
∂R=−,
∂ q̇i
∂ q̇i∂R∂L=−,∂qi∂qi(i = 1, . . . , s)となる．第１式の両辺を t で微分して，ラグランジュ方程式を用いると

d ∂R
d ∂L
∂L
=−=−dt ∂ q̇idt ∂ q̇i∂qiである．よって，これに第２式を代入すると

d ∂R∂R=dt ∂ q̇i∂qi(25)となり，ラウシアンはラグランジュ方程式と同じ形の方程式を満たす．次に，式 (24) の右辺の第１項の添え字は循環座標に関する和なので，アインシュタインの縮約記法を用いれば

R = q̇i pi − L(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇n , t)と書ける．これはハミルトニアンの定義式 (8) と同じ形なので，正準方程式と同様に

∂R
∂pi
∂R
ṗi = −∂qiq̇i =(26)(27)となる．但し，循環座標はラウシアンにも含まれないので，式 (27) の右辺はゼロであり，

ṗi = 0 ,(i = s + 1, . . . , n)が再び得られる．以上により，ラウシアンは循環座標ではない一般化座標に対してはラグランジアンと同値であり，循環座標に対してはハミルトニアンと同値であることが解る．