第２回

整級数展開と正則点
理学部

齊藤国靖 ∗

2022 年 10 月 5 日
２階線型微分方程式の一般解法として，整級数展開による方法を説明する．整級数展開を用いれば，微分方程式を解く問題は，展開係数の漸化式を解く問題に置き換わる．また，２階線型微分方程式の係数が変数であっても，それらが解析的であれば，整級数展開で求めた解も解析的である．
まずは整級数展開の簡単な例から始め，収束半径や正則点の順に説明を進める．

1 整級数展開
微分方程式の係数が定数であるか変数であるかに依らず，２階線型微分方程式の一般的な解き方として，整級数展開を用いる方法がある．まずは整級数展開に慣れるため，２階線型微分方程式

dyd2 y−3+ 2y = 0dx2dx(1)を考えよう．式 (1) は定数係数なので特性方程式による方法で解けるが，ここでは練習のため別のやり方で解いてみよう．まず，x = 0 の近傍における解を求めるという前提で，式 (1) の解をy(x) =∞Xc n xn(2)n=0と展開する．これは x のべき級数であり，n = ∞ まで和をとるので無限級数である．式 (2) を用いて y(x) の１階および２階導関数を計算すると∞Xdy=ncn xn−1
dx n=1=∞X(n + 1)cn+1 xn

n=0∞
X2d y=n(n − 1)cn xn−2
dx2
n=2=∞
X

(n + 2)(n + 1)cn+2 xn

n=0∗ k.saitoh@cc.kyoto-su.ac.jp

1

1 整級数展開2となる．従って，式 (2) を (1) に代入すれば，∞X{(n + 2)(n + 1)cn+2 − 3(n + 1)cn+1 + 2cn } xn = 0n=0が得られる．この方程式が成立するには，::::::::::::::::::::
x の各べきの係数がゼロでなければならないので，(n + 2)(n + 1)cn+2 − 3(n + 1)cn+1 + 2cn = 0(3)である．式 (3) は cn に関する漸化式であり，これを解いて cn を求めれば，x のべき級数で展開した式 (2) が確定し，x = 0 の近傍における解が求まったことになる．つまり，２階線型微分方程式(1) を解く問題は，式 (2) の整級数展開により，漸化式 (3) を解く問題に置き換わったことになる．

1.1 漸化式の解き方
cn を具体的に求めるため，式 (3) を次の様に変形しよう．
(n + 1) {(n + 2)cn+2 − 2cn+1 } − {(n + 1)cn+1 − 2cn } = 0(4)dn ≡ (n + 1)cn+1 − 2cn(5)

ここで，を導入すると，式 (4) は(n + 1)dn+1 − dn = 0と書ける．つまり，dn+1 =

1dn
n+1

なので，これを dn から繰り返し使うと，

dn =

1
1
1
dn−1 =
dn−2 = · · · = d0nn(n − 1)n!

が得られる．これを式 (5) に代入して整理すると，(n + 1)cn+1 − 2cn =1d0n!

∴ (n + 1)!cn+1 − 2n!cn = d0

(6)

fn ≡ n!cn(7)となる．さらに，と置けば，式 (6) はfn+1 − 2fn = d0となる．ここで，両辺に 2fn + d0 を足すと

fn+1 + d0 = 2(fn + d0 )

2 正則点3なので，これを fn + d0 から繰り返し使うと，fn + d0 = 2(fn−1 + d0 ) = 22 (fn−2 + d0 ) = · · · = 2n (f0 + d0 )が得られる．従って，

fn = 2n (f0 + d0 ) − d0
なので，これに式 (7) を代入して整理すると，

n!cn = 2n (f0 + d0 ) − d0
∴ cn = a2n
1+bn!
n!

(8)となる．但し，

a ≡ f0 + d0 ,b ≡ −d0とした．式 (8) が求める係数であり，これを式 (2) に代入すると，微分方程式の解

y(x) = a∞X2nn!
n=0nx +b∞X1n!
n=0xn(9)が得られる．指数関数のテイラー展開を用いると，式 (9) はy(x) = ae2x + bex(10)と書き換えられるので，確かに式 (1) の解であることが解る．

1.2 無限級数の収束半径
一般に，整級数展開で::::::::::::::::::::::::::::
取り敢えず求めた微分方程式の解を形式解という．形式解が本当の解として意味があるのは，式 (2) の無限級数が収束する場合である．このとき，形式解は解析的であるという．ところで，x が |x| < ρ の範囲であれば式 (2) が収束するとき，ρ のことを収束半径という．
上述の例で収束半径を計算すると，

ρ ≡ limn→∞cncn+1= limn→∞2nn!
2n+1(n+1)!

=1lim (n + 1) = ∞2 n→∞なので，式 (2) の無限級数は |x| < ∞ で収束する．つまり，整級数展開で求めた式 (9) あるいは(10) は，x の全域で意味のある解である．

2 正則点
式 (1) は定数係数の簡単な例であったが，より一般に，変数係数の２階線型微分方程式

dyd2 y+ p(x)+ q(x)y = 02dxdx(11)2 正則点4を考えよう．ここで，p(x), q(x) は x の関数であり，x:::::::::::::::::::= x0 で解析的であるとする．つまり，

p(x) =∞X

pn (x − x0 )n ,q(x) =n=0∞
X

qn (x − x0 )n(12)n=0と展開した無限級数が収束するものとする．例えば，p(x), q(x) が x = x0 の周りでテイラー展開できる場合，式 (12) の様に書ける．このとき，式 (11) の解の整級数展開

y(x) =∞X

cn (x − x0 )n(13)n=0は解析的であることが言える．また，x = x0 を微分方程式 (11) の正則点という．

2.1 例題
変数係数の２階線型微分方程式

dyd2 y−x−y =0dx2dx(14)に対し，x = 0 で解析的な解 y(x) を求めよ．
まず，式 (14) を (11) と比べるとp(x) = −x ,q(x) = −1であり，これらは式 (12) において x0 = 0 として

p1 = −1 ,p 0 = p2 = · · · = 0

q0 = −1 ,p 1 = p2 = · · · = 0とした場合に等しい．よって，x = 0 は微分方程式 (14) の正則点であり，解を x = 0 の周りで整級数展開すると

y(x) =∞
Xc n xnn=0となる．式 (15) を (14) に代入し，各項を計算すると∞∞XXd2 yn−2=n(n−1)cx=(n + 2)(n + 1)cn+2 xn
ndx2
n=2
n=0

x∞
∞
∞
XXXdy=xncn xn−1 =ncn xn =ncn xndx
n=1
n=1
n=0となるので（２番目の最後の式は，n = 0 のときゼロになることに注意）
，
∞
X
n=0

{(n + 2)(n + 1)cn+2 − (n + 1)cn } xn = 0(15)2 正則点5が得られる．従って，x の各べきの係数がゼロでなければならないので，(n + 2)cn+2 = cn(16)である．

cn に関する漸化式 (16) を解くため，まずは n が偶数の場合を考える．m を整数として n = 2m
だから，式 (16) は2(m + 1)c2(m+1) = c2mとなる．つまり，c2(m+1) =c2m2(m + 1)

なので，これを c2m から繰り返し使うと

c2(m−1)c2(m−2)c0== ··· =2m2m · 2(m − 1)2m · 2(m − 1) · · · 4 · 2c0∴ c2m = m2 m!
である．同様に，n が奇数の場合を考えると n = 2m + 1 だから，式 (16) はc2m =(2m + 3)c2m+3 = c2m+1となる．つまり，

c2m+3 =

c2m+12m + 3

なので，これを c2m+1 から繰り返し使うと

c2m+1 =

c2m−3c1c2m−1== ··· =2m + 1(2m + 1) · (2m − 1)
(2m + 1) · (2m − 1) · · · 5 · 3である．
以上により，式 (15) はy(x) ==∞X

c2m x2m+m=0∞
X∞
X

c2m+1 x2m+1

m=0∞
X

c0
c1
x2m +x2m+1m m!
2(2m+1)·(2m−1)···5·
3
m=0
m=0

= c0 ex2 /2+∞
X

c1
x2m+1(2m+1)·(2m−1)···5·3m=0(17)となる．但し，右辺の第１項に対して指数関数のテイラー展開の表式を用いた．

• 問題
変数係数の２階線型微分方程式

d2 y
2− 2
y=0
dx2
x −1に対し，x = 0 で解析的な解 y(x) を求めよ．

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