計測自動制御学会東北支部 第 280 回研究集会 (2013.5.29)
資料番号 280-13

LMI アプローチによる LPV リセットシステムの安定解析
Stability analysis of LPV reset system via LMI approach○横川琳吾，佐藤淳○ Ringo Yokokawa，Atsushi Satoh岩手大学

Iwate University
キーワード : LPV リセットシステム (LPV reset sysytem), 線形行列不等式 (linear matrix inequality),
リアプノフ関数 (lyapunov function), ポリトピック (polytopic)

連絡先 : 〒 020-8551 岩手県盛岡市上田 4-3-5 岩手大学大学院 工学研究科 機械システム工学専攻
佐藤 淳，Tel: 019-621-6404，E-mail: satsushi@iwate-u.ac.jp

1.

緒言

ルド制御は，タワークレーンの制御や航空機のリセットシステムとは，リセット則を伴う連続時間システムであり，システムの状態量が特定の代数的条件を満たすときリセットが発生し，ジャンプと呼ばれる不連続な状態遷移が起こるシステムである．
リセットシステムは，Clegg が 1958 年に提案した Clegg integrator4) がはじまりとされている．

Clegg integrator は，アナログ回路に修正を加えリセット動作を追加したものである．
近年ハイブリドシステムの研究の発展に伴いリセットシステムが再び注目され，LMI アプロー

飛行制御系の設計などで利用されている．
そこで本研究では，リセット則を伴う LPV システムである LPV リセットシステムの漸近安定条件について考え，ポリトピックな変動に対する安定性の十分条件を LMI アプローチにより導出する．以下では Nešić et al.3) により提案されたタイプのリアプノフ関数を LPV リセットシステムの場合に拡張したものを考え，漸近安定条件を導出する．また，次にポリトピックな変動を持つシステムについて，共通 2 次リアプノフ関数を用いた十分条件を示す．

チによる安定解析の結果も示されている 1)2)3) ．
一方，時変なパラメータや不確かさを持つ制2.

システムの状態空間表現

御対象を，パラメータに依存する線形システムと2.1

リセットシステム 1)してモデル化したものを Linear Parameter Varyリセットシステムの状態空間表現は次のようing (LPV) システムと呼ぶ．LPV システムの利点は，線形時不変システムで用いられるアプローに与えられる．

チに近いやり方での解析が可能なことにある．
また，LPV システムに基づくゲインスケジュー–1–

トシステムに対し，ジャンプ後に一定の時間 ρẋ = Ax + Bu, if x ∈ F
x+ = Ar x

if x ∈ J

y = Cxが経過していなければ次のリセットが発生しな(1a)

Temporal regularization を導入後，リセットシ(1c)ステム (1) 式は τ を状態に持つタイマー要素を状態ベクトル x はリセット時にジャンプしない
状態量 xp とジャンプ可能な状態量 xr からなり，

x = [ xTp

いような付加的な条件を加える手続きである．

(1b)xTr ]T ∈ Rn とする．x+ はリセット直後の状態量を表している．
リセットシステムは x ∈ F のとき (1a) 式に従い状態は連続的な遷移をするが，x ∈ J のとき加えた以下ようになる．
}
τ̇ = 1if x ∈ F or τ <= ρ (4a)ẋ = Ax + Bu}
τ+ = 0if x ∈ J and τ >= ρ (4b)x+ = Ar x
ここで ρ > 0 は最小リセット間隔である．

リセットが発生し，(1b) 式に従い不連続な状態遷移 (ジャンプ) をする．
領域 F を Flow set，J を Jump set と呼ぶ．F ，

2.3

J は境界で重複し，状態空間を 2 つの領域に区分するものとする．
以下では M を用いて次のように定義されるものについて考える．

F := {xT M x >= 0}(2a)J := {xT M x <= 0}(2b)

LPV システム 7)

LPV システムの状態空間表現は次のように与えられる．
 ẋ = A(θ)x + B1 (θ)w + B2 (θ)uz = C1 (θ)x + D11 (θ)w + D12 (θ)u y = C (θ)x + D (θ)w + D (θ)u22122(5)θ(t) := (θ1 (t), · · · , θN (t))Tパラメータ θ とその変化率を ω := θ̇ と定義

また，ジャンプ行列 Ar はリセット発生時の不連続な状態遷移を決める行列であり，x の定義より以下の構造を持つ．
[]
I0
Ar =R1 R2し，以下のように仮定する．
仮定 1
パラメータ θi の上界 θi と下界 θi が与えられて(3)いるものとし，

θi ∈R1 ∈ Rnp ×nr ，R2 ∈ Rnr ×nr{

θi <= θi (t) <= θi}，∀ t >=0(6)とする．パラメータの変化率 ωi も同様に上界 ωi

2.2

Temporal regularizationと下界 ω が与えられリセットシステムには一般に有限時間にリセッ∀ωi ∈ { ω i <= ωi } ， t >= ωi (t) <=0

ト回数が無限に発散する「ゼノ解」が存在する．
ゼノ解では有限時刻 (ゼノ時刻と呼ぶ) においてとする．

リセット間隔が 0 に収束するため，ゼノ時刻以降の解が定義できないという困難がある．これは，システムの実装時において問題となるため，ゼノ解を排除することは重要である．

(7)■

θ を内包するパラメータ集合を Θ，ω を内包するパラメータ集合を Ω とする．また Θ の端点全ての集合を ΘV と表記する．

ゼノ解を排除する手法として Temporal regu-larization が提案されている 2) ．これは元のリセッ–2–

3. LPV リセットシステム

4.1

リアプノフ関数の満たすべき条件

Nešić et al.3) Assumption 1 において，Tempo-

本研究では，LPV リセットシステムを次のよ

ral regularization を伴うリセットシステムの L2うに定義する．

安定解析に利用可能なリアプノフ関数の条件が定義 1

Temporal regularization を導入した LP V リセットシステムの状態方程式は，次の状態空間表現提案されている．本研究では上記の結果を LPVリセットシステムの場合に対応させた条件を利用する．これは Assumption 13) において d = y = 0で与えられる．

}
τ̇ = 1if x ∈ Fθ or τ <= ρ (8a)ẋ = A(θ)x + B(θ)u}τ+ = 0if x ∈ Jθ and τ >= ρ (8b)x+ = Ar (θ)x

とおいたものに相当する．
補題 1∀ θ ∈ Θ について，(12) 式を満たす λ (θ) > 0, i =i1, 2, 3, 4，η(θ) ∈ (0, 1) が存在するならば，リアプノフ関数 V (x, θ) := xT P (θ)x が存在し，x の原点は漸近安定である．

Fθ := {xT M (θ)x >= 0}(9a)Jθ := {xT M (θ)x <= 0}(9b)

ここで，M (θ) は全ての θ ∈ Θ について non-Ar (θ) =∀V̇ (x, θ) <= λ3 (θ)V (x, θ), x,(12b)∀V (x+ , θ) <= η(θ)V (x, θ), x ∈ Jθ . (12d)の構造を持つ．

I0R1 (θ) R2 (θ)(12a)∀V̇ (x, θ) <= −λ4 (θ)V (x, θ), x ∈ Fθ , (12c)definite な対称行列とする．また，Ar (θ) は以下[2λ1 (θ)|x|2 <= V (x, θ) <= λ2 (θ)|x|]

R1 (θ) ∈ Rnr ×np ，R2 (θ) ∈ Rnr ×nr ．

■(10)
■

4.2

自律系の安定条件

Satoh5) , lemma 1 を LPV リセットシステムに拡張した結果は次の通り．

4. 安定条件(8) 式のシステムについて，x の原点の漸近安定条件を考える．以下ではパラメータ θ について次のように仮定する．

定理 1(8) 式のシステム (u = 0) について考える．
∀ θ ∈ Θ について以下に示すパラメータ依存のLM I を満たす P (θ) = P T (θ) > 0，τF (θ) >= 0，

仮定 2

τR (θ) >= 0 が存在するならば，(12) 式の条件を

θ は時間 t に依存しないものとし，満たす 2 次リアプノフ関数 V (x, θ) := xT P (θ)xθ = (θ1 , θ2 , · · · , θnが存在し，x の原点は漸近安定である．

)T とする．また，仮定 1より，

AT (θ)P (θ) + P (θ)A(θ) + τF (θ)M (θ) < 0 (13)θ ∈ {θi <= θi }, i = 1, · · · , n= θi <(11)ATr (θ)P (θ)Ar (θ) − P (θ) − τR (θ)M (θ) < 0 (14)とし，θ を内包するパラメータ集合を Θ，Θ の■端点全ての集合を ΘV とする．

証明 1■

基本的には参考文献 (5) の Corollary 1 の説明と同様であり省略する．

–3–

■

4.3

状態フィードバックによる閉ループ系の漸近安定条件

かつn∑(8) 式のシステムに対し，状態フィードバック

αi = 1, αi >= 0．

(19)

i=1u = K(θ)x を施した時の漸近安定条件についてポリトピックシステムでは，ΘV 内の有限個考える．この時，状態フィードバックによる閉のパラメータについて LMI 条件の成立を判定す

ループ系の状態方程式はることで，θ ∈ Θ についての成立をチェックす}τ̇ = 1ẋ = (A(θ)x + B(θ)K(θ))xif x ∈ Fθ or τ <=ρ

ることができる．
共通なリアプノフ行列を用いた場合の漸近安(15)定条件は次のとおりである．
定理 2となり，以下の関係を満たす．

∀θvi系1(15) 式の閉ループ系について考える．∀ θ ∈ Θ について，以下に示すパラメータ依存の不等式を満たす P (θ) = P T (θ) > 0，τF (θ) >= 0，τR (θ) >=0∈ ΘV について P = P T > 0，τF >
= 0，

τR >
= 0 が存在するならば，2 次リアプノフ関数
V (x) := xT P x が存在し，x の原点は 2 次安定である．

が存在するならば，(12) 式の条件を満たす 2 次AT (θvi )P + P A(θvi ) + τF M (θvi ) < 0 (20)

リアプノフ関数 V (x, θ) := xT P (θ)x が存在し，ATr (θvi )P Ar (θvi ) − P (θvi ) − τR M (θvi ) < 0 (21)x の原点は漸近安定である．
■(A(θ) + B(θ)K(θ))T P (θ)

証明 3+P (θ)(A(θ) + B(θ)K(θ)) + τF (θ)M (θ) < 0 (16)ATr (θ)P (θ)Ar (θ) − P (θ) − τR (θ)M (θ) < 0(17) について成り立つと仮定すると，

証明 2
定理 1 の証明の A(θ) を A(θ) + B(θ)K(θ) に置き換えたものと同じ．

4.4(20) 式について，(20) 式が全ての端点システム■

共通 2 次リアプノフ関数 6) を用いた条件()
α1 AT (θv1 )P + P A(θv1 ) + τF M (θv1 )()+ α2 AT (θv2 )P + P A(θv2 ) + τF M (θv2 ) + · · ·()· · · + αn AT (θn )P + P A(θn ) + τF M (θn )( n)T( n)∑∑=αi A(θvi )P +P
αi A(θvi )i=1

定理 1 の条件は，θ ∈ Θ についての無限個の+τF

M (θ) =i=1n∑

よって，∀ θvi ∈ ΘV において (20) 式を満たすと

αi A(θvi )αi M (θvi )i=1

Ar (θ) =n∑i=1αi M (θvi )= A(θ)P + P A(θ) + τF M (θ) < 0, ∀ θ ∈ Θ

リトピックな構造を持つと仮定する．すなわちA(θ) =)i=1

LMI となる．そこで，A(θ)，M (θ)，Ar (θ) はポn∑i=1( n∑αi Ar (θvi )き ∀ θ ∈ Θ を満足する．

(21) 式について Schur Complement を用いる
(18)と，(21) 式に等価な以下の式を得る．
[]−P − τR M (θvi ) −ATr (θvi )P<0−P Ar (θvi )−P–4–(22)(22) 式が全ての端点システムについて成立すると仮定すると，][−P − τR M (θv1 ) −ATr (θv1 )P
α1−P Ar (θv1 )−P[]−P − τR M (θv2 ) −ATr (θv2 )P+α2+ ···−P Ar (θv2 )−P[]−P − τR M (θvn ) −ATr (θvn )P· · · + αn
−P Ar (θvn )−Pn∑( n∑)( n∑)T−

ステムの状態方程式は以下の通りである．
{ẋ = A(k, ζ)x, if x ∈ Fθ(24)
x+ = Ar x,if x ∈ Fθ

i=1−n∑

y = Cx

状態量 x はリセット積分器の状態量 xr と，プラP 

αi Ar (θvi )αi Pントの状態量 xp1 ，xp2 からなり，
xrx =  xp1 xp2

i=1[=−P − τR M (θ) −ATr (θ)P−P A(θ)−P∀

また，簡単のため Ar (θ)，τF (θ)，τR (θ) はパラメータに依存しないものとする．このときシα i P − τRαi M (θvi ) −
i=1
i=1( n)=∑−Pαi Ar (θvi )i=1

図 1 リセット積分器とプラントからなる閉ループ系]

とおく< 0,θ∈Θ

フローセット，ジャンプセットは (9) 式より，

(23)(23) 式に対し，Schur Complement を用いると，ATr (θ)P Ar (θ) − P − τR M (θ) < 0, ∀ θ ∈ Θ5.

Fθ = {xT M (k, ζ)x >= 0}(26a)Jθ = {xT M (k, ζ)x <= 0}(26b)とする．となり，∀ θvi ∈ ΘV において (21) 式を満たすと
き，∀ θ ∈ Θ を満足する．

(25)

■

5.1

基本システムが安定となるパラメータ
集合 Sb

初めに基本システムが安定となるパラメータ

安定解析の例

集合について考える．基本システムの r から y例として，パラメータ k を持つリセット積分までの伝達関数 G(s) は器と，パラメータ ζ を持つ 2 次のプラントからG(s) =なるフィードバック系を考える．

ks3 + ζs + s + k(27)

パラメータ k ，ζ はそれぞれ上界，下界を持つである．(27) 式に対し，ラウスの安定判別法をと仮定し，パラメータ集合 Θ を次のように仮定用いると，基本システムが安定であるための必する．

要十分条件は ζ > 0，k > 0，ζ > k であり，基本システムが安定となるパラメータ集合 Sb はk, ζ ∈ Θ, Θ = {k <= k, ζ <= ζ}=k<=ζ<Sb = {ζ > 0，k > 0，
ζ > k}となる．

–5–(28)

5.2

状態空間実現6.

結言(27) 式を可観測正準形式で状態空間実現する本研究では，パラメータ変動を有するリセッと，次のようになる．
 0 0 −kk A(k, ζ) =  1 0 −1  , B(k) =  0  ,0 1 −ζ0[]
C= 0 0 1(29)

トシステムである LPV リセットシステムについまた Ar は次のものについて考える．
0 0 0
Ar =  0 1 0 0 0 1て，LMI アプローチによる漸近安定条件を導出した．今後は定理 2 の保守性について検討する
ほか，パラメータが時変な場合の漸近安定条件を導出する．

参考文献
(30)

1) L. Zaccarian, D. Nešić, A. R. Teel, First order reseterements and the Clegg integr revisited, ACC2005,
563-568 (2005).
2) O. Beker, C.V. Hollot, Y. Chait, H. Han, Fundamental properties of reset control systems, Automatica,
Vol. 40, 905-915 (2004).

上記のシステムについて，安定解析を行う．

リセット則の存在によるロバスト安定領域の拡大

3) D. Nešić, A. R. Teel, L. Zaccarian, On necessarilyand sufficient conditions for exponential and L2 stability of planer reset systems, ACC2008, 4140-4145(2008).

パラメータの変化による 2 次リアプノフ関数

4) J. C. Clegg, A nonlinear integrator for servomechanisms, Trans. of AIEE, 77(Part-II), 41-42 (1958).

5.3の存在性について，定理 1 を用いて考える．τF =1.5，τR = 1.0 について，(24) 式を満たすパラメータ (k, ζ) の集合は図 2 の○印に示す領域となる．

5) A. Satoh, Synthesis of Continuous-time Linear ResetFeedback System with L2 Stability , SICE Annual
Conference 2010, 1100-1105 (2010).
6) 浅井徹, LMI に基づく線形ロバスト制御系解析・設計, 計測と制御, Vol. 42, No. 12, 1032-1038 (2003).
7) Y. Ebihara ,T. Hagiwara, A Dilated LMI Approach toContinuous-Time Gain-Scheduled Controller Synthesis with Parameter-Dependent Lyapunov Variables, Trans. of SICE, Vol. 39, No. 8, 734-740(2003).

図 2 パラメータ空間内における 2 次リアプノ
フ関数の存在範囲

Sb と比較し，LPV リセットシステムの許容されるパラメータの変動が大きくなることを確認した．

–6–