スピノーダルオーダリングの第一原理計算
毛利哲夫

やすいが，系の原子配列は決して濃度のみの関数では書き表

.

諸言すことはできない．例えば二元系合金を例にとったとき，同一の濃度であっても原子間相互作用エネルギーにより系は相一般に，合金の相平衡の第一原理計算とは相平衡状態図の分離や規則相，固溶体など異なった原子配列をとり，これら第一原理計算を指しており，そこで問題にされるのは，変態を濃度 x のみで区別できないことは自明である．多様な原子温度や相境界線の実験結果との一致/不一致である．多くの配列を区別するためには，隣接する原子の情報，第二近接に相平衡に関する計算は自由エネルギーの最小値を求める平衡ある原子の情報，さらに離れた位置にある原子の情報，さら状態図の計算に終始しているが，一本の信頼し得る自由エネには，多種多様なクラスター上の原子配列の情報を表現する

ルギーは系の豊饒な情報を含んでおり，二階微分をとること必要がある．そして，これらの原子配列の情報は，一般にはにより系の安定性の情報をも抽出し得る．但し，この場合の相関関数 ji, j (2)(6)を用いて書き表すと便利である．ここで，安定/不安定とは，他の相(競合相)との間での相対的( rela-i は原子対(二体クラスター)，三体クラスター等のクラスタtive )な安定性ではなく，揺らぎに対する単相の intrinsic なーを区別し， j は，同じ i 個の原子からできているクラスタ安定性である．

ーの異なった形状や距離を区別するものとする．例えば，

いま，内部エネルギーを U とし，これがエントロピー S

j2,1 は最近接対クラスターであり， j2,2 は第二近接対クラスや体積 V ，粒子数 N のような示量変数の関数で与えられる

ター， j3,1 は正三角形の三体クラスター， j3,2 を二等辺三角とき，U＝U(S, V, N)を fundamental equation(1)といい，系形状の三体クラスター…のように定義する．の熱力学性質を全てこの一本の方程式から導くことができ

このとき，系の自由エネルギーは，る．例えば，T, p, m を，それぞれ温度，圧力，化学ポテン

F＝F(j1, j2,1, j2,2, j2,3,…,j3,1, j3,2,…)(1)

シャルとしたとき，これらは &U /&S＝ T, &U/&V ＝－ p, &U /のように相関関数の多価関数として記述できる．ここで j1&N ＝ m のように一階微分から導かれる．言うまでもなく，は一体の相関関数(点相関関数)であるが，これは濃度と等価

これらは平衡状態の議論である．これに対して，二階微分をである．さらに，下付き記号の煩雑な記述を避ける為に，考えてみることにする．&2U/&S 2＝&T/&S であるが，この値

j2,1 を j2 ， j2,2 を j3 ， j2,3 を j4 …というように通し番号で記が正であるとは，熱(S)が流入すると系の温度が上昇するこ

述すると，式( 1 )はさらに，とを意味する．同様に， &2U / &V 2 ＝－ &P / &V であるが，こF＝F(j1, j2, j3, j4,…jn, jn＋1,…)＝F({jj})(2)

れが正のとき，系に圧力が加わると体積が減少することがわのように書き表される．但し，温度や圧力は一定ということ

かる．熱の流入(流出)に対して系の温度が下(上)がったり，を仮定しており，上の自由エネルギー式に陽には記述してい圧力の印加(除荷)に対して系の体積が増大(減少)すれば系はないことを再度述べておく．

不安定となる．我々の日常ではこのようなことは起こらな

では，このような相関関数{ji}に関する自由エネルギーのい．このように，これらの熱力学関数の二階微分量は系に加二階微分 &2F / &ji ･&jj やその逆数が物理的にどのような意味わる一般的な力に対する安定性を示すものであり，&2U/&S 2を持つのかこれが本稿の主題であり，スピノーダルオーダは熱的安定性の，そして &2U / &V 2 は機械的安定性の目安をリング(7)(10)なる概念を導く．そして，相境界線に加えてス与える．

ピノーダルオーダリング線や散漫散乱強度などを第一原理かさて，自由エネルギー F を濃度 x の関数とすると，二階ら算出する．筆者は， Fe Ni ， Fe Pd ， Fe Pt 系を中心に微分 F″は濃度 x の揺らぎに対する系の安定性の指標を与え，L10 disorder に関する相平衡(11)(14) ，スピノーダルオーダF″＝0 はスピノーダル分解の条件であることはよく知られてリング，散漫散乱強度の第一原理計算を進めてきたが，特にいる．F を濃度 x のみの単価関数とすると数学的に取り扱い

FePt 系(15)を中心にして計算結果を紹介する．

東北大学金属材料研究所教授(〒9808577 仙台市青葉区片平 211)
Firstprinciples Calculation for Spinodal Ordering; Tetsuo Mohri (Institute for Materials Research, Tohoku University, Sendai)
Keywords: spinodal ordering, cluster variation method, diffuse intensity scattering, concentration wave, ordering wave
2014年 5 月17日受理[doi:10.2320/materia.53.394]

ミ ニ 特 集まずスピノーダルオーダリングの計算に先立って，相平衡の第一原理計算を行うが，これについては既に多くの文献で詳述(11)(16) しており，ここでは詳細は述べない．クラスター展開法(17)で内部エネルギーを記述し，クラスター展開の基になる規則相(および純金属)の全エネルギー(あるいは生成 エ ネ ル ギ ー ) は 原 子 間 距 離 の 関 数 と し て spin polarized〈Dfp･Dfq〉exp (ik･(Rp－Rq))＋N∑
q＋i･∑∑fp･fq･k･(Rp－Rq)･exp(ik･(dp－dq))
p－q

1∑fp･fq･[k･(dp－dq)]2･exp(ik･(Rp－Rq))2∑
p q

FLAPW (Full potential Linear Augmented Plane Wave)(7)

法(18)によって求め，さらに温度依存性を導入する為に準調と書きなおすことができる．ここで N は全格子点数であ和近似の範囲で DebyeGr äuneisen 理論(19)を用いた．又，エる．式( 5 )の第 1 項が式( 7 )の最初の 2 つの項に分離さン ト ロ ピ ー に は ク ラ ス タ ー 変 分 法 ( ClusterVariation

れ，第一項は Bragg 反射を，第二項は原子配列の揺らぎに

Method; 以 下 CVM )(5)(20)(21) の 四 面 体 近 似 式 ( tetrahedron

伴う散漫散乱強度を与えることが分かる．この第二項こそがapproximation )(22)を用いた．与えられた温度 T の下で，自短範囲散漫散乱強度である．このような定式化によって，原由エネルギーを相関関数{jm}と原子間距離 r によって極小化

子配列の揺らぎと散乱強度の関連を把握することができよう．
しかし，我々の目的は結晶学的な立場ではなく，自由エネすることにより系の平衡状態を決定した．

ルギーを介して相平衡，揺らぎ，そして散漫散乱強度を統一.

スピノーダルオーダリングの第一原理計算的に論じることである．そこでもう一度，自由エネルギー式( 2 )に戻る．いま，不規則相中の平衡状態における一様な系の原子配列や位置の情報を得るのに散乱実験が用いられ原子配列に何らかの要因で揺らぎが生じたとする．前節に記ることが多い．特に固溶体の原子配列の揺らぎに関する情報したように原子配列は一般に相関関数 ji で表すことができは，散乱因子の平均値からのズレを介して，以下のように短るので，ある格子点 p におけるこのような揺らぎを Dji ( p )範囲散漫散乱強度から導くことが可能である．と書くことにする．相関関数に平衡状態からの揺らぎが生じ一般に固溶体からの全散乱強度はると，これに応じて系の自由エネルギーにも揺らぎが生じ

I＝∑∑fp･fq･exp (ik･(rp－rq))p(3)qと与えられる(23)(24)．ここで， fp( fq)と rp (rq )は格子点 p( q )に存在する原子の原子散乱因子である．原子の位置 rp(rq)がる．この揺らぎは，緒言で述べたように二階微分項で与えられるので

dF ＝ F － F 0

1&2F)
Dji( p)･Djj( p′∑2∑&ji･&jj
l,l ′p,p′(8)Bravais 格子点のベクトル Rp ( Rq )とそれからのズレ dp ( dq )と書き表すことができる(7)(10)(25) ．ここで， F0 は系の一様の和としては p と同じな平衡状態，即ち，揺らぎのない状態である．p′r p＝ R p ＋ d p( r p＝ R q ＋ d q )(4)く格子点を表す．このような揺らぎに対して上の二階微分量と与えることができる．式( 4 )を式( 3 )に代入し，指数関が正であるなら復元力が働くために系は安定であり，逆に負数項を第二項まで展開すると，I はであるなら揺らぎは増幅されて系は不安定となる．これは濃度揺らぎがスピノーダル分解を駆動する場合と同じである

I＝∑∑fp･fq･exp (ik･(Rp－Rq))pが，自由エネルギーは式( 1 )や( 2 )に示すように，一価関q＋i･∑∑fp･fq･k･(Rp－Rq)･exp(ik･(dp－dq))
p－数ではなく，相関関数の多価関数となっている．このような

q1∑fp･fq･[k･(dp－dq)]2･exp (ik･(Rp－Rq))2∑
p q(5)となる．ここで第二項と第三項は，原子の局所変位のフーリエ変換を表しており，局所変位に伴う散乱強度を与える．
これに対して，Bravais 格子点上の原子配列に関する揺らぎは第一項を介して以下のように解析可能である．即ち，原子散乱因子は全格子点における平均値と各格子点における平均値からのズレの和としてfp＝〈 fp〉＋Dfp(6)のように書き表すことができる．〈〉は全格子点にわたる平均値を意味し，右辺第一項が平均値，第二項が揺らぎ(ズレ)である．ここで式( 6 )を( 5 )に代入すると，
I＝N|〈 fp〉|2∑exp (ik･(Rp－Rq))q

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場合には，実空間の離散格子点で議論するよりも不規則相の並進対称性を考慮して，フーリエ変換を行って k 空間で議論するほうが見通しがよい．上式( 8 )の dF のフーリエ変換
を FT(dF)と書くと，FT(dF)＝1( k)l (k)･DXl ′∑fll ′(k)･DX
2∑
l ,l ′ k(9)である．ここで fll ′(k )と DXl( k )は，それぞれ，式( 8 )の &2
F / &ji ･ &jj と Djl ( p )のフーリエ変換である．また， DXl (k )
は DXl(k)の共役複素数を表す．二階微分行列 fll ′(k)のエルミート性を用いるとこれを対角化することができ，FT(dF)＝∑∑Ll(k)･|DZl(k)|2l(10)kのように固有値 Ll ( k )を抽出できる．| DZl ( k )|は固有ベク
トルであり，以下に述べる規則波の振幅を与える．
ここで大切なことは，これまでの我々の物理的な描像は離散格子上での原子の配列を考えていたのであるが，原子配列の情報を担う相関関数をフーリエ変換するということは，原子配列に波動の概念を導入することに等価である．すぐ後に述べるように，一つの規則相はある特定の結晶方向に一定の波長と濃度振幅をもって停在する波と考えることができる．
さらに，明快な周期性を持たずとも，結晶の中に何らかの原因で一様な濃度から変動が生じた場合にはこれをフーリエ波の重ね合わせで書き表すことができる．これが濃度波であり，上述のように一定の波長と濃度振幅をもって規則相を記述し得る特別な濃度波を規則波と称す．そして，このような描像では離散格子上の不規則規則変態とは，結晶格子の特定の方向に特定の波長で進行していく規則波の励起増幅伝

図1

FePt 系の disorderL10 相境界線(実線)と〈100〉スピノーダルオーダリング線(点線)(15)．

図2

濃度50，special point(1,0,0)と(1, 1/2, 0)における短範囲散漫散乱強度の逆数の温度依存性．
縦軸の Inv. SROI は Inverse Short Rang Order
Diffuse Intensity の略である．単位は任意である(15)．

播の過程として捉えなおすことができ，この波の励起過程に対する安定性を示すのが固有値 Ll(k)である．高温状態の不規則相(固溶体)では全ての固有値は正であり，揺らぎに対して自由エネルギーは増大する為に復元力が働き系は安定である．これに対して温度が下がると固有値の一つが負になり(L0(k0)＜0)，系はこの負の固有値に対する波動ベクトル k0の励起と増幅に対して不安定となる．そして，この波動が伝播することで系の中に k0 で特徴付けられる規則的な原子配列が生じる．規則波と規則相の関連性は紙面の都合で詳述できないが， special points(26)(27) の概念に基づいて論じる必要があること，さらに，原子対有効相互作用エネルギーに基づく「基底状態の解析」(28)(30)と密に関連していることを指摘しておく．
ここまで述べてきたことをまとめると，系が自発的に安定性を消失する(揺らぎに対する不安定性)条件は，自由エネル
ギーの二階微分の行列の固有値が負になる条件から求めることができ，| fll ′(Ts, k0, C )|＝0

(11)を 満 た す 最 大 の 温 度 Ts が ス ピ ノ ー ダ ル オ ー ダ リ ン グ 温が精度の上昇につながっており，これが，積年の課題である度(7)(10)(15)である．

格子の局所緩和が導入されていないことから生じる不規則相

又，紙面の関係上詳細は省略するが，自由エネルギーの二階微分の行列の逆行列I(k)＝の過剰安定化に対する回避策の一つである(31)(32)ことを述べておく．

k B･ T － 1
f 11 (k)N(12)

式(12)は，N･f11(k)＝は，式( 7 )第二項の短範囲散漫散乱強度 I(k)(Short Range

kB･TI(k)(13)

Intensity  以 降 SROI と 略 す ) を 与 えと変形できるが，図(15)に，kB･T/I(k)の温度依存性を 2 つる(8)(10)(15) ．上式( 11 )と( 12 )は，スピノーダルオーダリンの special points に対応する規則波 k〈100〉と k〈1 1/2 0〉対してOrderDiffuse

グの温度に近づくと散漫散乱強度が k ＝ k0 の点において発プロットした．濃度は 50 である．両者は縮退しており一散することを示している．SROI は実験との比較において重本の曲線で表されるが， 0 に向かって減衰(強度 I ( k )は発要である．

散)していることがわかる．これは不規則相中に生じた無数の濃度波の中で，系は k〈100〉と k〈1 1/2 0〉の励起に対して不安.

計 算

結果定となり， kB ･ T / I ( k )が 0 になる T ＝ 1400 K より温度が低下すると L10 規則相へと自発的に変態していくこと示して

ま ず ， Fe Pt 系 に 対 し て 計 算 し た disorder L10 状 態 図いる．ここには示さないが，他の規則波 k〈1/2 1/2 1/2〉や濃度を，図(15) に実線で再現した． 50 における変態温度( Tt )波 k〈0 0 0〉に対して同様な温度依存性を求めると，スピノーの実験値 1600 K を我々の第一原理計算では 1610 K というダルオーダリング温度 Ts に向かって非単調な変化や増大をように極めて高い精度で再現した．平衡状態図の計算精度にする．

ついては本稿の目的ではないので詳述しないが，格子振動の他の濃度でも T kB ･T / I ( k )のプロットによってスピノー効果を Debye Gr äuneisen model を介して導入していることダルオーダリング温度を決定することができる．これを結ぶ

ミ ニ 特 集図4

図3

温度 1650 K における k空間(001)面上における短範囲散漫散乱強度分布(15)．

積 分 強 度 の 温 度 依 存 性 の CVM と Bragg Williams 近似(BW)の比較．濃度は50(33)．

ングの温度に向かって徐々に発散する．この発散がどの程度まで抑えられるかが自由エネルギーの信頼性の目安になるとと図 1 の状態図中に点線のような〈 1 0 0 〉スピノーダルオーいってよいが，図(33) に示すのは Fe Ni 系の 50 におけるダリングの軌跡を書き表すことが可能となる．これの物理的計算結果である．温度軸はスピノーダルオーダリング温度で意味は以下のようなものである．相境界線とスピノーダルオ規格化してある． Bragg Williams 近似(34) と比較すると，ーダリング線の間に急冷された不規則相は核発生―成長機構

CVM では明らかに発散が抑えられていることが確認できにより disorder L10 規則変態を行うのに対し，スピノーダる．又，CVM においても四面体近似から，さらに四面体―ルオーダリング線よりも下の温度に持ちきたされた不規則相八面体近似(2)(4) に近似度を増大すると，より低温まで発散

は，〈 1 0 0〉規則波の励起増幅伝播の過程によって自発的が抑えられる(9)．このように積分強度の温度依存性を計算すに L10 規則相の形成に至る．自発的とは，核発生のエネルることで，用いた自由エネルギーの信頼性の目安を得ることギー障壁が存在しないということである．

ができる．

又，スピノーダルオーダリングの温度と変態温度の相対差から，規則不規則変態の変態次数に言及することができる．即ち，この二つの温度差が大きいときには変態は一次.

今後のスピノーダルオーダリングの第一原理計算に向けて( strongly first order )であり，接近してくると二次変態的になり( weakly second order )，そして，一致したときにエネ

さて，スピノーダルオーダリングの熱力学的な意味についルギー障壁なしに進行する二次変態となり，変態点は臨界点ては上の概説に示したとおりであるが， kinetics や dynam-(critical temperature)と称される．実際，長距離規則度の温ics の観点ではどのような意義を持つのであろうか

度依存性を計算すると，変態点で急激な変化が生じているこ(a)と(b)(35)(36)に示したのは濃度50において，不規則相をとを確認できる(15) ．これに対して， Fe Ni の Ni60 at でdisorderL10 よりも低い二つの温度に急冷し，保持したとき

図は，低 Ni 側での 2 相共存(disorder＋L10)の相境界線が単一の長距離規則度の時間変化の計算結果である．この計算はクの 相 境 界線 に 収 斂し て 2 相 共 存 状態 が 消滅 す る ．こ の と

ラ ス タ ー 変 分 法 を 時 間 領 域 に 拡 張 し た 経 路 確 率 法 ( Pathき，スピノーダルオーダリング線も相境界線に一致し，二次Probability Method; 以下 PPM)(37)を用いたものであり，四変態であることを追証する(33)．

面体近似の計算であるが，電子状態の第一原理計算の結果は

図 2 に示したのは単に special point に対する強度分布の導入されていない．従って，温度は最近接対有効相互作用エみであるが，これを全 k 空間に拡張したものが短範囲散漫

ネルギー v2,1 で規格化されており，変態温度は kB･ Tt /v2,1 ＝散乱強度である．図(15) に， Fe Pt 系の濃度 50 に対する1.89，スピノーダルオーダリング温度は kB･Ts/ v2,1 ＝ 1.63 で温度 1650 K での k空間の(001)面上における散漫散乱強度ある．又，(a)に対応するのは規格化温度 1.80で，相境界線の計算結果を示した．最大強度が，( 1,0,0 )から( 1, 1 / 2, 0 )とスピノーダルオーダリング線の中間に位置し，もう一つのに〈 0 1 0 〉方向に沿って出現することがわかる．この意味は(b)は1.60で，スピノーダルオーダリング温度よりも低い温原著論文(15)に詳しい．

度である．(a)では，急冷後の時間 0 に，付加的な化学ポテ

最後に第一 Brillouin zone における積分強度の温度依存性ンシャルを印加することによって長距離規則度に揺らぎを与について言及する．積分強度は自己相関関数に等しく，従っえている．(a)には二本の時間依存性が示されているが，揺て，濃度が一定のときには積分強度は温度によらず一定の値らぎが小さい場合には時間と共に系の長距離規則度は 0 にに保たれる．しかし，いかなる自由エネルギーも近似を用い減衰し，ある臨界値以上の揺らぎが与えられた時に長距離規ているために積分強度は保存されず，スピノーダルオーダリ則度は増幅し，有限の値に向かって増大して飽和することがま て り あ 第53巻 第 9 号(2014)
Materia Japan
図5

規格化温度1.80(a)と1.60(b)における長距離規則度の時間依存性の経路確率法に依る計算．横軸の時間は spin
flipping probability で規格化している．変態温度は1.89，スピノーダルオーダリング温度は1.63である(35)(36)．

図6

フェーズフィールド法によるスピノーダルオーダリングよりも高い温度((a))と低い温度((b))での長距離規則度(2 乗値)の時間・空間発展過程の計算(38)．

わかる．この飽和値は，CVM を用いて温度1.80に対して独に絶対値を与えるためにも，素過程の理論(39)の拡張が必須

立に計算した平衡状態の値であることを確認している．これである．これは今後に残された課題である．

に対して，図(b)では揺らぎが存在しなくとも長距離規則度

さらに，原子変位の揺らぎによる散漫散乱は式( 7 )の第は増幅し，温度1.60の平衡値に収束することを示している．

三項，第四項で与えられることを述べた．既に，連続変位ク

つまり，これらの計算結果は，前述した核生成による dis-ラ ス タ ー 変 分 法 ( Continuous Displacement CVM;order L10 変態(図( a ))とスピノーダルオーダリングによるCDCVM)(40)と組み合わせ，算出した局所変位を上式に導入

それ(図( b ))を， kinetics の立場から明らかにしたものであすることで原子変位による散漫散乱スペクトルの計算を遂行る．

している(41) ．しかし， CDCVM では，異なった位置に局所次に，フェーズフィールド法( Phase Field Method; 以下変位した原子を，Bravais 格子点上に存在する異なった原子PFM)と組み合わせることで，空間的な長距離規則度の発展種として捉え， rigid な格子(但し，一様な変形は許す)上の過程を計算した結果(38)を図の(a)と(b)に示す．それぞれ(超)多元系の原子配列の問題に還元することが可能である．の矢印の方向が時間発展の方向に対応する．核生成過程でこのことは，変位による揺らぎを(超)多元系におけるスピノは，(a)に示すように局所的に長距離規則度の高い部分が生ーダルオーダリング，散漫散乱の問題に還元できることを意

成され，それが時間と共に空間に広がって行くのに対し，ス味しており，濃度波，規則波に加えて，新たに格子波の概念

ピノーダルオーダリング(図(b))では，空間的に一様に規則に到達する．今後の理論の進展が待たれる．

化が進行していく様子がわかる．
このように，スピノーダルオーダリングの kinetics や dy-文献namics は，明らかに核生成による規則化とは異なった時間発展過程を示す．スピノーダルオーダリングの材料開発への応用は筆者の知る限り未踏の状態である．今後の展開が期待される．但し，上に記したように， PPM や PFM の計算には電子状態の計算は導入されていない．又，kinetics を論じる場合には，スピンフリッピング，直接交換，空孔機構等の原子拡散の素過程に応じて計算結果は影響を受ける．時間軸

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(37) R. Kikukchi: Progress of Theoretical Physics, Kyoto, Suppl.,
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( 38) 大野宗一北海道大学大学院工学研究科博士論文，( 2004 )，Ph.D dissertation, Graduate School of Engineering, Hokkaido
University (in Japanese).
(39) M. Ohno and T. Mohri: Mater. Trans., 47(2006), 2718.
(40) R. Kikuchi: J. Phase Equil., 19(1988), 412.
(41) T. Mohri: Int. J. Comp. Mat. Sci. Eng., 1(2012), 1250018.
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
1982年 カリフォルニア大学 バークレー校 Ph.D コース修了
1996
2013年 北海道大学 大学院工学研究院 教授
2013年 4 月現職
専門分野計算材料科学，材料数理学★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

毛利哲夫

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