― 71 ―実空間グリッドによる水素型及びヘリウム型人工原子の一電子軌道の計算
上田学

Calculation of single-electron orbitals for hydrogen-type and helium-type
super-atoms using real-space grids
Manabu Ueda
(平成 26 年 12 月 25 日受理)
A semiconductor hetero-structure named "super-atom" is a quasi-atomic system, which
consists of a spherical core modulation-doped with donors and a surrounding
impurity-free matrix with larger electron affinity. Using a discrete variable
representation method, we have numerically calculated single-electron orbital energies
for the ground states of the super-atoms of the atomic numbers Z ＝1 and 2, which arecalled the hydrogen-type and the helium-type super-atoms, respectively, and obtained
1.9 and 2.3 meV of 1s orbital energies for Z = 1 and 2 super-atoms, respectively, with thecores’ radii of 12 nm.

1. 緒言(以下，コアと呼ぶ) を注入すると，コアの禁制帯において伝導帯の底近傍にドナー準位が形成され半導体はトランジスターやダイオード等の材料る。この際，ドナー準位よりもマトリックスの伝として様々な電子機器において利用されている。

導帯の底の方がエネルギー的に低い場合，ドナー一方，量子トンネル効果が出現する実際の例とし

電子はコアから出てマトリックスの伝導帯の方へて量子力学を学習する際の良質の教材となってい移動する。その結果，電子の抜けたコアは正に帯る。このように科学技術の基礎・応用の両方で広電し，移動した電子はコアのクーロン・ポテンシ

く活用される半導体であるが，1980 年代後半に半ャルによりその界面近傍に束縛されることが期待導体ヘテロ構造の一つとして提案された人工原子される。これを人工原子と呼ぶ。

[1, 2] も基礎・応用の両面において興味深い。

人工原子は，コアと電子の間のクーロン力によ

人工原子は異なる 2 種類の半導体を用いて，人って有限な領域内に束縛される多電子系という意

工的に原子と同じ状態を作り出したものである。

味において自然界に存在する原子 (以下，自然原母体となる真性半導体 (以下，マトリックスと呼子と呼ぶ) と共通点を持つが，異なる点もある。

ぶ) の中に電子をドープした球状の半導体微粒子

例えば，原子においては点とみなせる原子核と有平成27年２月

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上田

学

限な大きさのコアの違い，及び，半導体中に形成はそれらの形成する電子雲) からの相互作用を有されるため束縛電子の質量やクーロン力の強さが効な平均場で記述することが可能であると考えた

真空中とは異なってしまい (有効質量，比誘電率上で，多体系シュレディンガー方程式について全の導入)，したがって，自然原子とは異なる電子構エネルギーが最小となるようにすることで，有効造 (エネルギー準位や電子密度分布など) を示す平均場中の一電子問題へと帰着できる。これらの[2-4] 等である。また，コアのサイズとともに，不一連の作業を平均場近似と呼ぶ。この平均場近似

純物濃度を変化させることにより原子番号 Z もにおいて対象以外の電子(またはその電子雲) から人為的に操作できるという魅力的な特徴を持つ。

派生する静電ポテンシャルをハートリー・ポテン

本研究の目的は，人工原子の電子構造についてシャルと呼ぶ。さらに，電子－コア間のクーロン・コアのサイズや原子番号 Z 等について系統的にポテンシャルが球対称の場合，その有効平均場も計算・解析し，その特徴や自然原子との相違をと球対称となることが期待される。このため，そのらえること，そして，実現可能な人工原子の構造シュレディンガー方程式を極座標で表した方が便を提案することである。これまでに原子・分子の利である。コアの中心を原点として注目する電子計算によく用いられるガウス基底展開による計算の位置ベクトル r� の大きさを r として，次に示方法で束縛する電子数 (原子番号 Z と等しい)

す動径 r に関しての１次元シュレディンガー方程が 1, 2 個となる水素型及びヘリウム型人工原子式が得られる。

について計算したところ，両方とも束縛状態は得HR ui (r)  Ei ui (r)られず [4]，先行研究 [2, 3] と矛盾する計算結果(2.1)となっていた。そのため, 2011 年より上記と異なVariable

ここで, ui, Ei はそれぞれ i 番目の電子の一電子軌

Representation 法 [5] (以下，DVR 法と呼ぶ) を道の動径波動関数とその固有エネルギーである。

採用した。この方法の特徴は，実際の空間を格子動径ハミルトニアン HR は m* を半導体中での状 (グリッド) に分割し，その格子点での物理量を電子の有効質量，Li を i 番目の電子の軌道角運動用いることである。本論文では，Z = 1, 2 での一量として電子軌道エネルギーの計算結果について報告する。

2 d 2 2 Li (Li 1)
HR  VC (r)  UH  r 2m * d r 22m * r 2る 計 算 方 法 で あ るDiscrete(2.2)

2. 計算方法と書き表される。右辺第 1 項は動径方向の運動エ2-1.

平均場近似と一電子シュレディンガーネルギーと関連した演算子で，右辺第 2 項が遠心方程式

力ポテンシャル，第 3 項 VC が電子－コア間のクーロン・ポテンシャル，及び第 4 項 �� がハート水素型原子及びヘリウム型原子はそれぞれ１個リー・ポテンシャルである。水素型原子ではハー及び 2 個の電子が正電荷をもつ原子核（人工原子

トリー・ポテンシャルは存在せず，ヘリウム型原の場合はコア）にクーロン力によって束縛されて子から現れる。ハートリー・ポテンシャルは電子いる系である。

雲からの静電ポテンシャルで電子が複数個ある場合は多体系シュレディンガー方程式となり，それを直接解くことはできない。
そのため，一つの電子に注目し，他の電子 (またUH  r      r
Ve2d 3r
r  r

(2.3)

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rrと与えられる。ここで ��r� は電子雲の密度分布で，式 (2.1) の解である一電子動径波動関数 uiをそれぞれ行と列とする行列になる。運動エネルを用いてギー演算子は

r 21u r
2  i 4 r i 1

ハミルトニアン演算子はグリッドの位置 j ， j '(2.4)

2 13 2 j2
2 (1) j j ' Tjj '2m(R)2  22であると仮定する。このため，式 (2.1) ～(2.4) を2
( j  j) ( j  j)2
自己無撞着に解くように反復解法による数値計算j)(j (2.7)( j  j)を行う必要がある。と非対角要素がほとんどゼロとみなせる疎な行列
2-2.

DVR 法となる。一方，ポテンシャル・エネルギー演算子
はクロネッカーのデルタ記号 δjj’ を用いて電子構造計算を行う上で，一電子軌道についてV j j '  V ( rj )  j j 'のシュレディンガー方程式もしくはコーン・シャ(2.8)

ム方程式を解く必要がある。これにはその微分方
程式を数値的に積分して求める方法や，ガウス型とこの時点ですでに対角化された行列で表される。

関数を基底として展開し，その係数を求める方法

このため，ポテンシャル・エネルギーの影響を直など [4] がある。本研究では，これらとは異なる感的にイメージしやすく，このことも DVR 法のDVR 法 [5] を用いて一電子軌道を求める。

特徴の一つである。したがって，式 (2.1) 及びDVR 法は，波動関数やハミルトニアン演算子を(2.2) で表された一電子シュレディンガー方程式離散化された実空間グリッド上で表現するというは，疎な行列の大次元固有値問題となる。本研究ものである。そのため，電子の存在確率を表す密ではこの固有値問題をヤコビ法を用いて数値的に度分布が直感的にイメージしやすいという利点が解いた。

ある。ただし，本研究では簡単のためポテンシャルを球対称と仮定しているので，動径波動関数だ

3. 計算結果

けを実空間グリッドで考えればよい。まず，動径座標 r の有限な空間領域 [ 0, L ] を一定の幅 Rで区切る。 j 番目のグリッドの位置は

rj  j R( j  1, 2, 3,, N 1, N)

この節では，水素型及びヘリウム型人工原子の一電子軌道について計算結果について検討する。

(2.5)

人工原子の特徴の一つは有限の大きさを持つコアとなる。このグリッドを用いて，i 番目の電子がの存在である。本研究においては簡単のため，コ占有している一電子軌道の動径波動関数 ui, はアは球形で電荷 Z e が一様に分布していると仮定

グリッド上の点 r j の動径波動関数の値 ui (rj ) をした。コアの半径を R C とすると，電子－コア間成分とする以下ののクーロン・ポテンシャルは次のように表される。

uij  ui (r1), ui (r2 ),, ui (rj ),ui (rN )

T(2.6)

N 行 1 列の列ベクトルとして表現される。波動関数をこのように表現できることは，フーリエ級数による基底展開に裏付けされている [5]。また，
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上 Ze2 Ze2 (RC2  r2 )V0 (0  r  RC )2CRC3 mRCVC (r)  Ze2 (r  RC ) m r田学

水素型人工原子は現実的とは言えないが，一電子軌道を考える上で基本となるため重要なモデルで(3.1)

ある。
水素型人工原子は，有効質量と比誘電率の影響のため，自然原子の約 1000 倍のサイズを持っている。そのため， R = 10 nm， N = 500 として

ここで V 0 はマトリックスとコアの伝導帯の底の計算し，もし動径波動関数が収束していない場合エネルギー差で，  m 及び  C はそれぞれマトリは，グリッド数を増やして対応した。その結果，ックス及びコアの比誘電率である。本研究では論1s 及び 2s 軌道の軌道エネルギーはそれぞれ－1.9

文 [2, 3] を参考に，コアに Al0.35Ga0.65As を，マmeV 及び－0.74 meV ときわめて小さい値が得ら

トリックスに GaAs を用いた半導体へテロ結合にれた[6, 7]。この結果は，論文 [3] で示された計算よる球形の人工原子を想定し，それぞれ R C = 12結果と同様であった。

nm, V 0 = 0.30 eV ，  m = 12.9，及び  C = 11.80.30という値を採用した。また，ドナー電子の質量0.25m * は有効質量となるため，コアとマトリックスの内部で異なり，m を真空中での電子質量としてそれぞれ
 mC * 0.082 m
m*  
m * 0.067 m
 m(0  r  RC )Vc
1s

0.202s0.150.10

3.2

(r  RC )となる。
DVR 法を用いる上で，計算精度は考える空間領

0.05
0.00
-0.05

r [nm]
0100

200300域の大きさ L 及びグリッド数 N (もしくはグ

図 3-1 コア半径 RC = 12 nm の水素型人工原子

L N ) に依る。このため，解析解
リッド幅 R のクーロン・ポテンシャル(実線)． 縦軸の単位はや実験データが存在する水素型自然原子についてeV．破線と点線はそれぞれ DVR 法により得られDVR 法による計算を行い，その計算精度についてた 1s と 2s 軌道の動径波動関数．ただし，便宜上，検討した[6, 7]。その結果，2～3 桁の信頼できるその大きさを定数倍している．

計算結果を得るためには，L = 5 nm，N  500 程度のものが必要であった。このことから，波動関

図 3-1 では，式 (3.1) で与えられる電子-コア間数がゼロに収束する十分な空間領域を用意するとのクーロン・ポテンシャルをコアの中心からの距ともに，水素原子におけるボーア半径に対応する離 r の関数 (実線) として表すとともに，DVR 法ような系の大きさを表す量の 1/10 程度のグリッにより得られた 1s 軌道 (破線) 及び 2s 軌道

ド幅をとればよいことが分かった。

(点線) の動径波動関数の振る舞いを示している。
それぞれの動径波動関数はコアの領域にはほとん3-1. 水素型人工原子ど存在していないことが分かる。また，きわめて小さい束縛エネルギーを反映して，コアの大きさ

ここでは，コアの周りにただ一つのドナー電子に比べて 1s, 2s 軌道がそれぞれ 100 nm, 300が束縛される水素型人工原子について議論する。

nm と大きく広がっている様子が見て取れる。す秋田高専研究紀要第50号

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なわち，これは軌道電子が弱く束縛された系であンシャルにもう一方の電子が形成する電子雲からり，その小さい束縛エネルギーを反映して電子密のクーロン相互作用の影響，すなわちハートリ度が薄く遠くまで延びている様子がうかがえる。

ー・ポテンシャルを加えたものを表している。太なお，軌道エネルギーが収束するまで要したグリい実線及び破線はそれぞれ，細い実線で示された

ッド数は，1s 軌道は N  500 ，2s 軌道は N  700 でポテンシャルから自己無撞着に求められた 1s 及あった。

び 2s 軌道の軌道エネルギー準位を示しており，それぞれ値は －2.3 meV 及び－0.80 meV で，他3-2. ヘリウム型人工原子の方法 [2, 3] による計算結果とほぼ一致している。つまり，DVR 法を用いた筆者らの方法が複数

ここではコアの周りに 2 個のドナー電子が束の電子を持つ系においても十分な精度をもって適縛されているヘリウム型人工原子について議論す用できることを示唆している。また，一点鎖線はる[8]。図 3-2 はコア半径 RC = 12 nm のヘリウ計算で得られた 1s 軌道電子の動径方向の存在確

ム型人工原子について式 (2.1) ～(2.4) を反復解率，すなわち u1s  r 法により自己無撞着に解いた計算結果を示している。

部では存在確率はほとんどなく，コアの表面のと2，を表している。コアの内ころで急激に立ち上がる。そして，細い破線と実5線の差，すなわちハートリー・ポテンシャルがコアの中心から遠く離れた所でも存在することから0分かるように，軌道電子の存在確率は十分遠くまで伸びており，軌道電子が非常に緩く束縛されて-5[ meV ]いる。
電子の存在確率 ( 1s )0.25

Vec ( l=0 )-10Vec +Vhartree0.15

軌道エネルギー ( 1s )-150.10軌道エネルギー ( 2s )-20050100r [ nm ] 1500.05200

図 3-2 コア半径 RC = 12 nm のヘリウム型人工原子のクーロン・ポテンシャル Vc

軌道 ( 1s )
軌道 ( 2s )
軌道 ( 3s )0.20(破線) と，

0.00
-0.05

0100

200

300

400

500

-0.10r [ nm ]Vc にハートリー・ポテンシャルを加えたもの (実図 3-3 ヘリウム型人工原子における角運動量線)，及び DVR 法により得られた 1s 軌道 (太い実L = 0 の動径波動関数．実線，破線，及び点線は線) と 2s 軌道 (太い破線)の軌道エネルギー．

それぞれ 1s, 2s, 及び 3s 軌道を表す．

図 3-2 において，細い破線は半径 Rc = 12 nm で

なお，文献 [4] において同じヘリウム型人工原

電荷 2e が一様に分布したコアと軌道電子の間の子をガウス基底展開によって計算したが，この時クーロン・ポテンシャルを表しており，式 (3.1) よには束縛状態は得られなかった。このことから，り与えられる。細い実線は，このクーロン・ポテ緩く束縛された系にガウス基底展開による計算を

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上田

適用することは問題があることが予想される [6]。

学った。

図 3-3 の実線，破線，及び点線はそれぞれ DVR

本研究論文は，秋田高専電気情報工学科卒業生，法を用いた計算で得られた 1s , 2s , 3s 軌道の動鈴木秀尚 君 (2011 年度)，西村美仁 君 (2012 年

径波動関数を表している。今回の計算では水素型度)，田代貴教 君，三浦悠 君 (2013 年度) の卒業

人工原子での計算 [6, 7] を参考に，グリッド幅を研究の成果に基づいて作成しました。諸氏に対し

R = 1.25 nm，グリッド数を N = 400 とした。て，ここに感謝の意を表します。

図において 1s 及び 2s 軌道は指数関数的に十分速やかに減衰しているが, 3s 軌道は十分に減衰し参考文献ているとはいえない。そのため，3s 軌道の軌道エネルギーは確定できなかった [8]。

[1]T. Inoshita and H. Watanabe「スーパーアトム－人工原子最初の提案」（1986）
4. 結言

http://home.u04.itscom.net/artiatom/index.html[2]Phys. Rev. Lett. 57, p.2560 (1986)

本研究では，平均場近似を用いた人工原子の電子構造計算において，基本となるただ一つの電子[3]

T. Inoshita, S. Ohnishi, A. Oshiyama,
Phys. Rev. B38, p.3733 (1988)

を持つ水素型人工原子と，多電子人工原子への応用の第一歩である二つの電子を持つヘリウム型人

T. Inoshita, S. Ohnishi, A. Oshiyama,[4]

斉藤 匠 「水素型およびヘリウム型人工原子工原子を対象として，その束縛された電子の一電の電子構造に関する理論的研究」

子軌道について数値計算を行った。その際，波動平成 23 年度 秋田工業高等専門学校

関数やハミルトニアン演算子を離散化された実空特別研究論文

間グリッド上で表現する DVR 法と固有値問題の[5]J. of Chem. Phys. 96, p.1982 (1992)

数値的解法としてヤコビ法を用いた。人工原子として，コアに Al0.35Ga0.65As，マトリックスに GaAs

D. T. Colbert and W. H. Miller,

[6]

鈴木 秀尚

「実空間グリッドによる水素型を用いた半導体へテロ結合による原子番号 Z = 1，人工原子の一電子軌道の計算」

2 の球形の人工原子を想定し，その基底状態では

平成 23 年度 秋田工業高等専門学校

両者ともドナー電子が 1s 軌道を占めていると仮

電気情報工学科 卒業論文定した。その結果，半径 12 nm のコアを持つ水素[7]西村 美仁「実空間グリッドによる水素型型及びヘリウム型人工原子の 1s 軌道の軌道エネ

人工原子の一電子軌道の計算およびそのコアルギーはそれぞれ－1.9 meV 及び－2.3 meV で，半径依存性」

自然原子と比べて非常に小さい値が得られた。ま平成 24 年度 秋田工業高等専門学校

た，これらの小さい軌道エネルギーを反映して，

電気情報工学科 卒業論文

人工原子の軌道電子の動径波動関数は十分遠くま[8]

田村 貴教，三浦 悠 「実空間グリッドによで伸びていて，軌道電子が非常に緩く束縛されてるヘリウム型人工原子の一電子軌道の計算」

いることが分かった。また，今回この計算結果は，平成 25 年度 秋田工業高等専門学校

文献 [2, 3] の他の方法で計算されたものとほぼ電気情報工学科 卒業論文一致しており，この DVR 法を用いた計算が複数の電子を持つ系やきわめて緩く束縛された系においても十分な精度をもって適用できることがわか
秋田高専研究紀要第50号