RISTニュース

No．
５５（２０１３）

境界要素法の原子核工学への応用    
北海道大学大学院工学研究院
板垣 正文
境界要素法は対象とする解析領域の境界のみに節点を置いて境界値問題を解くユニークなコンピュータ解法であり、差分法や有限要素法にはない多くの利点を有する。境界要素法は、無限大領域を含む問題、不規則幾何形状を持つ問題、さらにいわゆる逆問題に適用するとその真価を発揮する。本稿では、核分裂と核融合の分野から少しずつ、筆者がこれまでに取り組んできた境界要素法解析を中心に解説を試みる。
１．はじめに−境界要素法とは？

（１）

電子計算機を使って境界値問題を解く数値計算法に差分法（）と有限要素法（）に基づいて支配方程式を次元の一つ少ない境がある。両者とも図１に示すように領域の内界積分方程式に変換することにある。ここ部をメッシュや有限要素に分割する。

で、図２のように対象領域をΩ、その境界をΓ、法線方向微分を

図２
図１としている。

対象とする領域と境界差分法，有限要素法と境界要素法

それでは、境界要素法の利点は何か？境界
これに対して境界要素法（）［１］は、のみに節点を配置すればよいから、全体の未境界上の節点値のみに関する連立１次方程式知数が少なくて済む、したがって必要な計算に帰着させる。その基本原理は、境界要素法

機容量や計算時間を大幅に節約できる低コス研究者の間で「相反定理」と呼ばれるグリー

トの計算法である、と考えるのはフェアではンの第２公式、ない。境界要素法では後述する基本解の境界積分が計算時間の大半を占め、これが莫迦に−13−

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５
５（２０１３）ならない。さらに、差分法や有限要素法にお（５）ける全体行列は対角線付近に非零要素が集中する疎行列であるのに対し、境界要素法の全とかける。ここで公式（１）を適用すれば は体行列（後述の式（８）中の）は極めて密な行

法線方向微分に置き換わり、中性子流列であり、行列方程式解法の効率に難があを、また、る。未知数の数が大きな問題には不向きであけば、る。このようにみると、境界要素法は差分法

とか（６）や有限要素法の単なる代用とはなり得ない。
境界要素法は境界要素法に向いた問題に適のように右辺第１項は境界積分に変換される用してこそ、その真価を発揮する。そのよう［２−４］。すなわち、右辺第１項の  と
は境な問題とは、無限大領域を含む問題、不規則界
Γ上の値であり、境界Γに沿って積分してな幾何形状を持つ問題、感度解析や物理的把いけばよい。このような式を境界積分方程式握を意図した問題、そして、いわゆる逆問題という。式（６）は対象領域 Ω の内部の点にである。筆者がこれまでに経験したその種のついて成立するが、左辺の頭に定数 を冠し問題への境界要素法適用の実例を以下に核分て裂と核融合から少しずつ取り上げてみる。

（７）２．原子炉物理への適用のように修正し、− 中性子拡散方程式の解とすれば滑らかな境界上でも成立する。

以下の概説は簡単のため、エネルギー１群近似で中性子拡散方程式が（２）の形式にかける場合に限定する。式（２）に対応させ、点に置かれた点状中性子源が無限空間に形成する中性子束分布 を記述する式（３）を補助方程式とする。

は基本解と呼ばれ、点、すなわち、と境界Γ
上の任意の

点
の間の距離に依存する関数である。２次元問題での場合は、（４）を選ぶことができる［２−４］。ここで、は第２種零次変形ベッセル関数である。
さて、式（２（）３）の両辺に各々 と  をかけたものを差し引いて領域Ωにわたって積

図３

２次元境界要素の例

分すれば、点における中性子束は式（７）中の境界積分を数値的に実行するに−14−

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５５（２０１３）あたり、境界形状ならびに境界上の物理量のない。未知量である中性子束分布を含み、実変化を適切に近似する必要がある。この目的

効増倍率 を探索する中性子源反復計算をで、境界Γを有限個の境界要素に分割する。

要するからである。一つの方法は、中性子源

２次元問題では、図３に示すように粗い近似分布をフーリェ級数展開してその展開係数をから順に、（）一定要素、（）線形要素、（）境界積分の漸化式で与え、中性子源反復の度２次要素といった境界要素があり［１、２］、３次に収束させるものである［６、７］。

元問題では筆者の場合、物理量の変化と境界さらに優れた手法は、高次基本解と呼ばれ形状を同一の形状関数で近似する図４のアイる関数列と相反定理の反復適用を骨子とする

ソパラメトリック２次要素を多用している

多重相反法（相反定理を多数回適用）という

座標で表示ものである［８−２１］。後述する式（１５）の級数のしたものであり、実座標系では任意の曲面を収束を図るため、式（２）を中性子源反復の自在に近似できる。境界要素は形状を規定す回目に対して［５］。図４は無次元化されたるメッシュ点と物理量を定義する節点からなる。

（９）のように変形しておく。ここに、
（１０）
および
（１０）であり、 は の推定値である。この場合はい。の基本解は使えな なので式（４）と置き、第２種零次ハンケル関数
図４ を用いれば、２次元問題での基本解は、３次元境界要素の例

（１１）
境界Γ
上に配置した個の節点についてとなる。式（１１）は複素関数であることに注意

式（７）を離散化して
元連立１次方程式されたい。３次元問題における基本解の具体
（８）

形は文献
［１２、１５］に詳しい。
式（９）に対応した境界積分方程式はに帰着させる。
はΓ上の  とのうち未知（１２）数を集めたベクトルである［２−４］。
さて、式（７）で中性子源分布に基づく項（１２）は目障りな領域積分のままである。これを等価な境界積分に変換する必要がある。一様なとなり、中性子源や減速中性子源については比較的容解

易に境界積分に変換できるが［２−４］、核分裂中性子源に対しては簡単では−15−

 とするとき、高次基本は、

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（１３）
（１３）

式
（１６）
中の行列要素  の決定には、図５のような無限反射体を仮定し、炉心では核分裂中性子源を一様な固定中性子源で近似した境界要素法計算を行った。

を満たす。式（１２）に式（１３）を適用すると（１４）となり、１次基本解  が現れる。式（１４）の右辺に式（１）の相反定理を適用すると と が入れ替わるかわりに境界積分項が新たに派生して、
図５（１５）

炉心と無限反射体

図６の実線は反射体も含めた差分法計算のようになるが、右辺括弧内の第１項の領域（）による中性子束分布であり、

積分は式（１２）と同じ形式をしているので、は反射体をメッシュ分割するかわりに式（１６）以上の操作を何回か繰り返すと、結局、式を反射体境界に設定する簡略された差分法計（１２）は境界積分のみの級数に変換される［８算（）による結果である。簡略計算の結−２１］。なお、この多重相反法の完成に至る、

果は


な計算結果と良く一致してい筆者の研究の裏話が文献［２２、２３］に記されてる。

いる。
２．
１ 無限反射体付き軽水炉の反射体境界条件
無限大領域を容易に扱えるのも境界要素法の特徴である。原子炉の臨界解析を差分法で精度良く行おうとするとき、反射体についても細かくメッシュ分割する必要があり、３次元解析では計算コストの問題が生じる。
筆者は原子力船「むつ」の炉心（）と反射体（）の境界に対して、３群の中性子束 と中性子流 の関係を

（１６）

図６ 「むつ」炉内の中性子束分布のように行列形式で設定して反射体中のメッシュ分割を割愛することを考えた［２４、２５］。

−16−

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２．
２ 不規則幾何形状に対する臨界安全解析

している。しかし、筆者は核物質の核定数溶液系の臨界安全性を論じるとき、液体の（断面積、拡散係数等）が連続的に変化する不規則幾何形状に対する臨界評価は重要であ不均一問題の場合も厳密に臨界計算できる手る。筆者は地震動に伴う溶液タンク内の液面法を提案している［２９、３０］。

スロッシングを想定して、図７のように溶液の不規則幾何形状をアイソパラメトリック２次要素に境界要素分割し、前述の多重相反法を用いた３次元解析を実施した［２６−２８］。
円筒タンクの内径を、液面の平均高さをとするとき、比が小さいパンケーキ型の場合に液面が傾斜すると反応度を増加させ、逆に比が大きいと反応度減少をもたらす。液面が水平な場合、傾斜した場合、さ図８らに多数の比について調べる必要がある

非均質と不均一が、境界要素法では入力データの作成と修正そこでは核定数の場所依存性を多項式で表が極めて容易に成し得るから、この種の感度現し、１次以上の項を境界積分方程式の右辺解析には有利である。この液面傾斜による反非同次項に加え、かつ、それらを境界積分化

応度増減の閾値は〜０．
４５４と解析されたすることに成功している。

［２８］。

図９は、核分裂発生断面積 が高さ方向にの範囲で（１７）のように連続的に変化するときの中性子束分布を、係数 の値をパラメータに描いている。

図７

スロッシング時の境界要素分割

２．
３ 物質組成が不均一な問題
図８（）のように物質組成が均質な領域が複数個連結した状態を非均質（ ）、図８（）のように物質組成が連続的に変化する場合を不均一（）と呼ぶ。差分

図９

不均一核定数による中性子束の歪法や有限要素法を含め、従来は、不均一問題を多数領域に細分割した非均質問題に置き換実線が不均一領域に対して境界要素法で解いたもの、は１００
の区間を５０個の小領域えて解くのが常であった。
境界要素法は多くの場合、境界に囲まれたに分割して非均質問題として差分法で解いた領域内の物質組成が均質であることを前提とものである。両者はよく一致している。式−17−

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５５（２０１３）（１７）で与えた不均一性を非均質問題にデフォ次元境界要素法で充分である。を境界ルメせずに解析できるところにこの手法の意

要素分割し、のべ６個の節点を設けている。

義がある。臨界安全性の観点からの核物質の不均一性、動力炉における燃焼度分布の不均一性に伴う効果を調べるのに有益と考えられる。
３．核融合分野への適用−

プラズマ境界形状等の逆解析

核融合装置のプラズマ境界形状やプラズマ電流分布を知ることは運転制御上およびプラズマの平衡を診断する立場から重要である。
図１０ コーシー条件面法

しかし、核融合プラズマは通常１億度を超える高温であるから、プラズマ内にセンサーを挿入することは不可能である。このため、プコーシー条件が既知となれば、これに基づラズマ外部に設置された少数個の磁気センサいて磁束の分布が計算できる。この磁束分布

ーの信号に基づいてコンピュータ解析を通じはプラズマ領域では正しい解を与えないが、てプラズマの境界形状や電流分布を間接的にプラズマ境界とその外側では真の解に一致す推定する手法がとられる。これは観測によっることが数学的に証明されている［３２］。図１１て得られる僅かな情報から現象の原因を探る

は、トカマク型装置
６０に対して筆者が逆という、いわゆる逆問題の典型例となる。

解析した磁束分布であり［３３］、最も外側の閉曲線がプラズマの境界を与える。

３．
１ トカマク型装置への応用例
逆問題の観点からは、栗原博士のコーシー条件面法［３１］は画期的である。トカマク装置
内でプラズマ電流が流れていると想像される領域の内部に解析上、コーシー条件面（）と呼ばれるトーラスを図１０のように設定する。上に、磁束（ディリクレ条件）とその法線方向微分値（ノイマン条件）が共に未知（二つの条件を併せて「コーシー条件」という）とする節点を配置する。
実際にはプラズマ中を電流が流れるが、磁場形成に与えるプラズマ電流の効果をコーシー条件で代用し、真空磁場を仮定する。磁場センサー、磁束ループの位置および上に設置した節点を特異点とする境界積分方程式を連立させる。トカマク装置内の電流密度や

図１１ 磁束分布とプラズマ境界磁場の分布はトロイダル方向に変化しない、いわゆる軸対称と考えられるので、解析は２−18−

RISTニュース法はさらに、図１２に示すようにプラズ

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マ境界に沿ったポロイダル磁場の値も与える

したがって、式（１９）を離散化して について解けば、式（１８）にしたがってプラズマ電ことができる［３３］。そうすると今度はプラズ

流密度分布を計算できる。ただし、式（１９）はマ電流密度の分布も逆解析できる。

プラズマの平衡条件を含まないので、それを他の幾つかの拘束条件と共に加味して を決定する。図１３（）と図１３（）の実線はこうして得た電流密度と磁束の分布であり、破線が 正 解 で あ る。結 果 は 極 め て 良 好 で あ る［３３］。

図１２ プラズマ境界に沿ったポロイダル磁場電流密度のトロイダル方向成分を（１８）のようにとの多項式で近似すると、プラズマ境界上の磁束 は次の境界積分方程式（１９）でかかれる［３３］。軸対称プラズマの平衡を記述するグラッド・シャフラノフ方程式に基づく式（１９）の導出と境界要素法計算の技法については、文献［３４−３７］に詳しい。式（１９）で、基本解 は２種類の完全楕円積分の線形結合で記述され、は単項式

図１３ 逆解析された電流密度分布と磁束分布に対する特解であり、いずれも未知量ではない。先の３．
２ ヘリカル型装置への応用例

法解析の結果、磁束  とポロイダル磁次に、大型ヘリカル型装置（）の非軸 は既知となっているか
ら、式（１９）中の未知数は展開係数 のみで対称プラズマに対して筆者が開発した３次元ある。

２次元法の単純な拡張ではない。トカ場に対応する

コーシー条件面法について紹介する。これは−19−

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マク型における磁束関数 はを満たす磁気面関数でもあるので、の等高線をを図１６長断面における磁場の
方向成分


描くだけでプラズマ境界を同定できる。しか（）に示す。これは、図１６（）に示す３次元電し、非軸対称プラズマについて磁気面関数を磁流体平衡計算コード２［４２］による定義することは困難である。

基準解と傾向がよく似ている［４１］。

逆解析された磁場分布のうち、いわゆる横筆者の３次元法では、上のベクトル・ポテンシャルを未知数とする３次元ラプラス方程式を境界要素法で解き、３次元磁場分布を得て磁力線追跡に繋ぐ［３８−４１］。

（）

図１４ ３次元法のイメージ



 

解析に用いた各種磁気センサーの配置のイメージを図１４に示す。は図１５のように断面が楕円状で真空容器形状のトロイダル方向の変化に追従させた「ひねり」を採用した［４１］。はトロイダル方向に１１０回転
図１６ 逆解析されたと基準解対称性を持つので、３６度分のを４８個のアイソパラメトリック２次境界要素に分割した。

逆解析された磁場分布に基づき、出発点を
r = 4.30 + 0.01 k in [m]with k = 0, 1,L, 40（２０）とする磁力線追跡を行い、図１７のようなポアンカレ・プロットを得た。図１７の色調は出発点の

座標
に対



応しており、これは磁気面関数に相当する。
数値的な平滑処理を施すと最も外側で閉じた曲面（最外殻磁気面；トカマク型のプラズマ境界に相当）は
図１５ ひねりのイメージと判定された。図１８に示すように、逆解析された最外−20−

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界要素法入門」、培風館、１９８０）．

殻磁気面は基準解とほぼ一致している［４１］。

［２］
    ［３］  
［４］

   

図１７ ポアンカレ・プロット

    

  

   ［５］
  

［６］
      ［７］       


図１
８ 最外殻磁気面の逆解析結果


 

   ［８］
   


４．結び  


 

以上、筆者の経験に基づいて境界要素法の応用例を概観した。不規則幾何形状、無限大［９］
  領域、さらに逆問題など、境界のみをモデル   

化すればよい境界要素法だからこその真価を発揮できるのはどのような問題なのか、幾ら［１０］
  

かでも理解の助けになったであろうか？個々   
の工学問題を支配する方程式が異なっても、



境界要素法プログラムの根幹部分の構造に大［１１］
  






きな差異はない。極論すれば、支配方程式を   

満たす基本解のみをすり替えれば、たいがいの工学問題に応用可能なことが境界要素法の［１２］
 

特徴である。境界要素法が読者の抱えている
［１３］
  

問題の助けになることがあれば幸甚である。




［１４］
    

参考文献
［１］
  




 

（神谷紀生ほか共訳「境

［１５］   

−21−

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 


［２８］山根祐一、板垣正文、佐橋直樹、


［１６］
       
［３０］
   

［３２］
    

［３３］
      ［２０］
    ［３４］
    

［３５］
      ［２１］
     

［１９］
    
［３６］
     
［３７］
    
       

−
境［２２］板垣正文
界要素法に魅せられて年 、日本原子




［６］、４８１、２００２．
力学会誌 、
［２３］板垣正文、 私の−


［３８］
  
 中性子拡 


散方程式解法としての多重相反境界要 

素法の収束安定性を確立するまで 、炉
 

物理の研究 、、２００２     

［２５］
   
     

［４０］
  



［２６］
       ［２７］
                

［３９］
    

［２４］
    

［３１］
   


［１８］
         

［２９］
      ［１７］
         
 


−22−

 
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RISTニュース［４１］
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［４２］
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No．
５５（２０１３）