第1回

一般化座標とラグランジュ方程式
理学部

物理科学科

齊藤 国靖

2024 年 4 月 26 日
これまで力学を学んだ経験から解るように，力学の問題を解くのにデカルト座標にこだわる必要はない．問題に応じて，他の座標系や変数を使った方が解き易いことが多々ある．そこで，今回の目的は，適切に選んだ座標や変数に対する形式的な運動方程式を導入することである．

1 ラグランジュ方程式
1.1 デカルト座標の場合
まず，質量 m の質点の平面運動を考え，運動方程式 mr̈ = F を各成分に分けて書く．

mẍ = Fx(1)mÿ = Fy(2)

質点に働く力が保存力の場合，ポテンシャルエネルギーを U (r) として F = −∇U (r) である．
よって，力の各成分は

∂U
∂x
∂U
Fy = −∂yFx = −(3)(4)で与えられる．また，運動エネルギーK=)m( 2ẋ + ẏ 22(5)を質点の速度 ẋ および ẏ で微分すると∂K= mẋ∂ ẋ
∂K= mẏ∂ ẏとなるので，式 (1), (2) の左辺（慣性項）はそれぞれ()dd ∂K
mẍ =(mẋ) =dt
dt ∂ ẋ()dd ∂Kmÿ =(mẏ) =dt
dt ∂ ẏ1(6)(7)

1 ラグランジュ方程式2と書ける．従って，式 (3), (4), (6), (7) を運動方程式 (1), (2) に代入して()d ∂K∂U=−dt ∂ ẋ∂x()d ∂K
∂U=−dt ∂ ẏ∂y(8)(9)が得られる．
ところで，運動エネルギーは位置 x, y に依らないので

∂K
∂K==0
∂x∂yとなる．一方，ポテンシャルエネルギーは速度 ẋ, ẏ に依らないので∂U∂U==0∂ ẋ∂ ẏである．従って，式 (8), (9) を以下の様に書き直すことができる．

{}
d∂∂(K − U ) =(K − U )dt ∂ ẋ∂x}{∂d∂(K − U ) =(K − U )dt ∂ ẏ∂y(10)(11)

ここで，運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを差し引いた量を
ラグランジアン (Lagrangian)L≡K −Uという．ラグランジアンを用いると，式 (10), (11) は()d ∂L∂L=0−dt ∂ ẋ∂x()d ∂L
∂L−=0dt ∂ ẏ∂yとなり，これをラグランジュ方程式という．

1.2 極座標の場合
質点の位置 x, y を極座標で表すと

x = r cos θy = r sin θ(12)(13)

1 ラグランジュ方程式3であるから，質点の速度はẋ = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ(14)ẏ = ṙ sin θ + rθ̇ cos θ(15)ẍ = r̈ cos θ − ṙθ̇ sin θ − ṙθ̇ sin θ − rθ̈ sin θ − rθ̇2 cos θ()()= r̈ − rθ̇2 cos θ − 2ṙθ̇ + rθ̈ sin θ(16)ÿ = r̈ sin θ + ṙθ̇ cos θ + ṙθ̇ cos θ + rθ̈ cos θ − rθ̇2 sin θ()()= r̈ − rθ̇2 sin θ + 2ṙθ̇ + rθ̈ cos θ(17)となり，加速度の各成分はおよびとなる．ここで，加速度ベクトルを a = (ax , ay ) とすると，図 1 の様に，a の各成分はax = ar cos θ − aθ sin θ
ay = ar sin θ + aθ cos θと書ける．但し，ar と aθ はそれぞれ加速度ベクトルの動径方向と角度方向の成分である．これと式 (16), (17) を比較すると

ar = r̈ − rθ̇2aθ = 2ṙθ̇ + rθ̈であることが解る．従って，極座標における運動方程式は()
m r̈ − rθ̇2 = Fr()m 2ṙθ̇ + rθ̈ = Fθとなる．但し，Fr と Fθ はそれぞれ力の動径方向と角度方向の成分である．

図1(18)(19)

1 ラグランジュ方程式

4次に，動径方向の運動方程式 (18) を次のように書き直す．

mr̈ = Fr + mrθ̇2(20)式 (5) の運動エネルギーに極座標での速度，式 (14), (15)，を代入して整理すると

K=)m( 2ṙ + r2 θ̇22(21)であるから［計算略］，これを ṙ および r で微分して∂K= mṙ∂ ṙ∂K= mrθ̇2∂rが得られる．よって，式 (20) はddt(∂K∂ ṙ)= Fr +∂K∂r(22)と書ける．さらに，質点に働く力が中心力の場合，ポテンシャルエネルギーを U (r) として

Fr = −dU (r)drである．また，ポテンシャルエネルギーは ṙ を含まないので∂U=0∂ ṙとなる．従って，式 (22) はddt{∂(K − U )∂ ṙ}=∂(K − U )∂rと書くことができ，ラグランジアン L = K − U を用いて

ddt(∂L∂ ṙ)−∂L=0∂r(23)となる．これが動径方向のラグランジュ方程式である．
一方，角度方向の運動方程式 (19) の左辺は次のように書き直せる．

1 d ( 2 )mr θ̇ = Fθr dt
式 (21) の運動エネルギーを θ̇ および θ で微分すると∂K= mr2 θ̇∂ θ̇
∂K=0∂θ

(24)

2 一般化座標5となる．また，ポテンシャルエネルギー U (r) は θ̇ も θ も含まないので∂U∂U=0=∂θ∂ θ̇である．さらに，中心力であれば Fθ = 0 なので，角度方向の運動方程式 (24) はddtと書ける．あるいは，ddt{(∂K∂ θ̇

∂(K − U )∂ θ̇)=0}=∂(K − U )∂θと書くこともできるので，ラグランジアンを用いて

ddt(∂L
∂ θ̇)
−

∂L=0
∂θ(25)となる．これが角度方向のラグランジュ方程式である．

2 一般化座標デカルト座標におけるラグランジュ方程式 (12), (13) も，極座標におけるラグランジュ方程式(23), (25) も，変数の違いを除けば同じ形の方程式である．そこで，各変数を q1 および q2 という新しい変数で表せば，ラグランジュ方程式は以下のようにまとめられる．

ラグランジュ方程式

ddt(∂L∂ q̇i)−∂L=0∂qi(i = 1, 2)

(26)



ここで，新しい変数 qi (i = 1, 2) のことを一般化座標といい，デカルト座標では q1 = x, q2 = y ，極座標では q1 = r, q2 = θ のことを意味する．

3 循環座標ラグランジアンは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーから成るため，一般化座標とその時間微分の関数である．

L = L(q1 , q2 , q̇1 , q̇2 )(27)

例えば，デカルト座標のラグランジアンはL = L(x, y, ẋ, ẏ)(28)である．一方，中心力の場合，極座標のラグランジアンは θ を含んでいないため，

L = L(r, ṙ, θ̇)となる．この様に，ラグランジアンに含まれない座標のことを循環座標という．

(29)

4 一般化運動量

64 一般化運動量
ラグランジアンを一般化座標の時間微分 q̇i で微分したものを


一般化運動量pi ≡

∂L∂ q̇i(i = 1, 2)(30)という．例えば，デカルト座標では∂L= mẋ∂ ẋ
∂L
p2 == mẏ∂ ẏ
p1 =となり，通常の運動量に一致する．一方，極座標では∂L= mṙ∂ ṙ∂Lp2 == mr2 θ̇∂ θ̇
p1 =となり，p2 = mr 2 θ̇ は角運動量の大きさを表す．
ラグランジュ方程式 (26) において，変数 qi が循環座標であるとすると，qi はラグランジアン Lに含まれないので ∂L/∂qi = 0 となり，ddt(∂L∂ q̇i)=0が得られる．左辺に一般化運動量の表式 (30) を代入すれば

dpi = 0dtとなるので，

pi = const.
である．つまり，循環座標に対応する一般化運動量は時間的に一定である．これを，

循環座標に共役な一般化運動量は保存量であるという．極座標の θ は循環座標であったから，それに対応する一般化運動量 p2 = mr 2 θ̇ ，つまり角運動量の大きさは時間的に一定である．

5 例題：支点が動く単振り子

75 例題：支点が動く単振り子
長さ l の糸に質量 m の重りをぶら下げた単振り子を考える．単振り子の支点は固定されておらず，y 軸上で運動し，その座標が y0 (t) で表されるとする．このとき，ラグランジュ方程式から重りの運動方程式を導け．

図2［解答］角度 φ を用いると，重りの x, y 座標はそれぞれ

x = l cos φy = y0 (t) + l sin φで与えられる．従って，重りの速度の各成分はẋ = −lφ̇ sin φẏ = ẏ0 + lφ̇ cos φである．重りの運動エネルギーにこれらを代入すると)
m( 2ẋ + ẏ 22)m(2 2l φ̇ + 2lẏ0 φ̇ cos φ + ẏ02=2K=(31)となる．また，重力によるポテンシャルエネルギーの基準を重りの最下点にとれば，重りのポテン
シャルエネルギーはU = mgl (1 − cos φ)(32)である．但し，重力加速度を g とする．式 (31) および (32) から，重りのラグランジアンは

L=K −U)m(2 2l φ̇ + 2lẏ0 φ̇ cos φ + ẏ02 − mgl (1 − cos φ)=2(33)

5 例題：支点が動く単振り子

8で与えられる．以下，φ を一般座標に用いると，∂L= ml2 φ̇ + mlẏ0 cos φ∂ φ̇∂L= −mlẏ0 φ̇ sin φ − mgl sin φ∂φとなり，式 (34) を時間で微分してddt(∂L∂ φ̇)= ml2 φ̈ + mlÿ0 cos φ − mlẏ0 φ̇ sin φとなる．従って，重りのラグランジュ方程式

ddt(∂L∂ φ̇)−∂L=0∂φに代入して，重りの運動方程式

ml2 φ̈ + mlÿ0 cos φ + mgl sin φ = 0∴ φ̈ +が得られる．

gÿ0sin φ = − cos φll(34)