第１回

微積分とベクトルの基礎
理学部

齊藤国靖 ∗

2023 年 4 月 5 日
物理学を学ぶために数学は必要不可欠な道具である．例えば，力学では微積分，ベクトル，行列，常微分方程式の知識が必須であり，電磁気学ではベクトル解析や偏微分方程式の理解が欠かせない．また，弾性論や流体力学など連続体力学を学ぶためには，フーリエ解析を習得する必要がある．この様に，物理学を学ぶにはある程度数学の知識を備えておく必要がある．しかし，数学そのものを追究するのではなく，あくまで物理を理解するための数学的手法や考え方に集中して勉強を進めるべきである．本講義では，物理科学科の１回生が学ぶべき「物理のための数学」を解説する．その内容は，初等的であるが物理学全般で重要な「ベクトル」と「常微分方程式」である．そのための準備として，まず関数および微積分の復習を行い，ベクトルの概念について説明する．

1 三角関数の性質
三角関数，cos θ, sin θ, tan θ ，は高校数学でもお馴染みだが，それらの逆数をcot θ =1,tan θsec θ =1,cos θ

cosecθ =1sin θ(1)と表す．読み方はそれぞれ，cot（コタンジェント），sec（セカント），cosec（コセカント）である．
これらを使うと，三角関数の性質

cos2 θ + sin2 θ = 1(2)

1 + tan2 θ = sec2 θ(3)は，両辺を cos2 θ で割って，と表せる．
三角関数の性質として，

cos(−x) = cos x ,sin(−x) = − sin x ,tan(−x) = − tan x(4)も重要である．引数の符号を反対にしたとき，f (−x) = f (x) となって関数の符号が変わらなけ
れば，関数 f (x) は偶関数であるといい，f (−x) = −f (x) となれば f (x) は奇関数であるという．
従って，三角関数のうち cos x は偶関数であり，sin x と tan x は奇関数である．
∗ k.saitoh@cc.kyoto-su.ac.jp1

2 指数関数と対数関数

2• 問題
cot x, sec x, cosecx はそれぞれ偶関数か，奇関数か．
三角関数の微分はdcos x = − sin x ,dxあるいは′(cos x) = − sin x ,dsin x = cos xdx′(sin x) = cos x(5)(6)と簡単に書いてもよい．さらに，分母と分子を関数とする商の微分(f (x)g(x))′=f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)g(x)2(7)を用いると，(′(tan x) =sin x
cos x)′′(sin x) cos x − sin x (cos x)
cos2 x2
cos x + sin2 x=cos2 x1=cos2 x′=(8)となる．但し，式 (2) を代入した．

• 問題
cot x, sec x, cosecx の微分を計算せよ．

2 指数関数と対数関数a を定数として，f (x) = ax を指数関数といい，f (x) = loga x を対数関数という．物理学で大切なのは a がネイピア数

e = 2.718281828459045235360287471352 . . .

(9)（e ≃ 2.71）の場合であり，対数関数は底を略記して log x と書くことにする（本によっては ln x と書くものもある）．なお，指数関数と対数関数は互いに逆関数であることに注意しよう．

• 問題
y = ax の逆関数が y = loga x であることを示せ．

3 微積分の確認事項

32.1 指数関数の性質
指数関数の掛け算，割り算，累乗はex= ex−y ,ey

ex ey = ex+y ,であり，微分はy(ex ) = exy′(ex ) = ex(10)(11)

また，指数関数の極限として

lim ex = ∞ ,x→∞は重要であり，特にxlim

lim e−x = 0(12)=0(13)x→∞

x→∞ exなので，指数関数 ex は x よりも速く発散する．

2.2 対数関数の性質
式 (10) に対応した対数関数の演算は( )x= log x − log y ,log
ylog xy = log x + log y ,log xy = y log x(14)である．対数関数の微分は

1x(15)

elog x = x(16)′(log x) =であり，定義より

log ex = x ,であることに注意する．また，対数関数の極限としてlimx→∞

log x=0x(17)は覚えておいてもよい．

3 微積分の確認事項
高校数学の微積分のポイントを幾つか確認する．まず，２つの関数の積の微分は′(f (x)g(x)) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)(18)

であり，両辺を積分して∫f (x)g(x) =′f (x)g(x)dx +∫f (x)g ′ (x)dx(19)

4 ベクトルの基礎4

つまり，部分積分の公式∫∫′f (x)g ′ (x)dx

f (x)g(x)dx = f (x)g(x) −(20)を得る．もちろんこれは定積分の場合にも成り立つ．

∫ b′bf (x)g(x)dx = [f (x)g(x)]a −a∫ bf (x)g ′ (x)dx

(21)

a

次に，合成関数 f (u(x)) の微分は，y = u(x) と置いて f (y) の微分とみなせば，df (y) dydf (y) =dx
dy dx

(22)

ddf duf (u(x)) =dx
du dx(23)となる．慣れてくればと書けばよい．また，df (y),g(y) ≡dyとすれば，式 (22) はddx∫∴ f (y) =∫g(y)dy = g(y)g(y)dydydx(24)(25)となり，両辺を x で積分して，∫∫g(y)dy =g(y)dydx =dx∫g(u(x))du(x)dxdx(26)となり，積分変数を y から x に変換する変換公式を得る．

4 ベクトルの基礎
物体の質量や温度のように大きさだけをもつ量をスカラーといい，速度や力のように大きさと方向をもつ量をベクトルという．ベクトルの定義は始点と終点を結ぶ有向線分である．「有向線分」とは向きを持った線分の意味で，線分の長さに加え，向きも表すという特徴がある．簡単のため平面内のベクトルを考えると，始点の座標 (x1 , y1 ) と終点の座標 (x2 , y2 ) を結ぶベクトルはA = (x2 − x1 , y2 − y1 )(27)と書ける．この様に，終点の座標から始点の座標を引いてベクトルを表すことを成分表示という．
なお，物理学ではベクトルを太字 A で表すのが慣例なので注意しよう．

4 ベクトルの基礎

54.1 ベクトルの大きさ
ベクトル A の大きさは，始点と終点を頂点とする直角三角形の斜辺の長さと同じであるから，|A| =√(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2(28)である．また，ベクトルの大きさを２倍するには，A の各成分を２倍すればよく，

2A = (2(x2 − x1 ), 2(y2 − y1 ))(29)とすればよい．実際，式 (28) を 2A に適用すると，√22|2A| = {2(x2 − x1 )} + {2(y2 − y1 )}√= 2 (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2= 2|A|(30)となり，元のベクトルの大きさ |A| の２倍になっているのが解る．一般に，A の n 倍は各成分をn 倍してnA = (n(x2 − x1 ), n(y2 − y1 ))(31)であり，その大きさは |nA| = n|A|，つまり元のベクトルの n 倍である．
因みに，ベクトルの大きさは絶対値の代わりに通常の文字でA = |A|と書く場合もあるので注意しよう．

4.2 ベクトルの足し算と引き算
２つのベクトル A と B の足し算は，それぞれの始点と終点を結ぶことによって定義される．例
えば，A の終点 (x2 , y2 ) を B の始点として，B = (x3 − x2 , y3 − y2 ) とすると，

A + B = (x2 − x1 , y2 − y1 ) + (x3 − x2 , y3 − y2 )= (x3 − x1 , y3 − y1 )(32)となり，A の始点と B の終点を結ぶベクトルになる．この様に，ベクトルの足し算を行うには，ベクトルの各成分同士を足せばよい．同様に，ベクトルの引き算では各成分同士を引けばよい．

4.3 位置ベクトル
始点が原点 (0, 0) である様なベクトルを位置ベクトルという．これまでの例だと単に (x1 , y1 ) =(0, 0) であるから，位置ベクトルとしてA = (x2 , y2 )(33)

4 ベクトルの基礎6が得られる．このベクトルは終点の座標 (x2 , y2 ) と等価であり，終点の位置を表すベクトルという意味で位置ベクトルと呼ばれる．

4.4 基本ベクトル
位置ベクトルを以下の様に分解する．

A = (x2 , y2 )= (x2 , 0) + (0, y2 )= x2 (1, 0) + y2 (0, 1)(34)

このとき，ベクトル (1, 0) と (0, 1) はそれぞれ x 軸と y 軸に沿った単位ベクトル（大きさが 1 のベクトル）であり，基本ベクトルと呼ばれる．基本ベクトルを

ex = (1, 0) ,ey = (0, 1)(35)と書けば，位置ベクトルはA = x 2 e x + y2 e y(36)A = (x2 , y2 , z2 )(37)と表される．
３次元空間の位置ベクトルについても同様で，x 軸，y 軸，z 軸に沿った基本ベクトルをそれぞれ

ex = (1, 0, 0) ,ey = (0, 1, 0) ,ez = (0, 0, 1)(38)とすれば，位置ベクトルはA = x 2 e x + y 2 e y + z2 e z(39)と表される．
なお，３次元空間においても，ベクトル A の大きさは√|A| = x22 + y22 + z22(40)nA = (nx2 , ny2 , nz2 )(41)

であり，A の n 倍はとなる．また，ベクトル B = (x3 , y3 , z3 ) との足し算はA + B = (x2 + x3 , y2 + y3 , z2 + z3 )(42)

A − B = (x2 − x3 , y2 − y3 , z2 − z3 )(43)であり，引き算はであるから，各成分同士の演算でよい．