数理解析研究所講究録 1212 巻 2001 年 73-78

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WDVV 方程式とモノドロミ保存変形
大阪大学理学研究科・大山陽介 (Yousuke Ohyama) 1

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はじめに

90 年ごろ (こ発展した topological field theory から、WDVV (Witten-DijkgraafVerlinde-Verlinde) 方程式と呼ばれる 3 階の非線型方程式が見出された。 WDVV
方程式の準斉次解 (prepotential) が、 K\"ahler (あるいは symplectic) 多様体の上の Gromov-Witten 不変量の母函数になる。 特に、 Gromov-Witten 不変量は、 3 次元 Calabi-Yau 多様体では基本的な役割を果たし、 ミラー対称性を用いて、に含まれる任意次数の有理曲線の個数がわかったことから、 数学的にも大きく注目された。
Topological Laudau-Ginsburg model I ま superpotential が孤立特異点のunfolding になっており、 かなり早くから解けた。 この場合、 齋藤恭司氏による flat structure の理論に完全に含まれており、 WDVV 方程式にあたる$\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C})$もの (ま本質的 (こ得られていたが、 Dubrovin (こよって 「flat structure」 の代わり (こ 「Frobenius structure」 と言われるよう {こなった。 しかしながら、 flatstructure よりもより根源的な primitive form にあたることは現在も得られておらず、 齋藤恭司氏の本来の理論は、 「」$\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$と呼ばれているものより精密なものであることを注意しておく。
Frobenius structure を座標によらない形で書き下し、 公理化したものを「多様体」 と呼ぶ。 Robenius 多様体には flat connection が定まっ$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}$ているが、 積構造を用いることで、 この connection を変形させた flat connection の 1-parameter family が存在する。 また、 Frobenius 多様体の上 [こは、 prepotential の準斉次性をあらわす Euler operator が存在するが、 このEuler operator を用 て、 自然な intersection form が存在する。 もともとの flat metric と intersection form と (ま flat penc 垣をなし、 ここ [こも、 flat$\mathrm{A}\mathrm{a}$connection の 1-parameter family が存在する。
この二つの flat connection の 1-parameter family を、 それぞれパラメタの方向に制限することで二つのモノドロミ保存変形を得る。 積構造から来るものは、 原点で確定、 無限遠で Poincare rank 1 の不確定特異点を持っ線型微分方程式のモノドロミ保存変形を表し、 intersection form から来るもの
は、 多数の確定特異点を持つ線型微分方程式のモノドロミ保存変形を表す。
この両者は Laplace 変換で結ばれている。 ここでは両者の関係を簡単な例で考察する。

lDepartment of Mathematics, Graduate School of Science, Osaka University, Toyonaka,
Osaka 560-0043, Japan. -mail:ohyama@math sci osaka-u .ac.jp$\mathrm{e}$74
2モノドロミ保存変形とフロベニウス構造

Frobenius algebra とは上の可換な algebra $A$ と、 $A$ の対称非退化双二次形式 $<,$ $>$ の組であって、 $<ab,$ $c>=<a,$ $bc>$ を満たすものをう。
Frobenius algebra $(A, <, >)$ のうえの grading operator $Q$ と (ま 線型写像 $Q:Aarrow A$ であって、$\mathbb{C}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\mathbb{C}$$<Q(a),$ $b>+<a,$ $Q(b)>=d<a,$ $b>$

$Q(ab)=Q(a)b+aQ(b)$ ,をみたすものを う。 ここで、 は適当な有理数。 を Robenius algebra のdegree ともいう。 以下では、 $Q$ は対角化可能とする。
$d$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$d$Frobenius 構造とは、 乱暴に言うとその接束のファイバーが Frobeniusalgebra の構造を持っていて、 連続的につながっているものである。 正確な定義は [1] 参照。 Frobenius 構造を持つ多様体を Frobenius 多様体という。
Frobenius 構造を決める基本的な方程式が WDVV 方程式である。 函数$F(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n})${こ対して、$c_{\alpha\beta\gamma}= \frac{\partial^{3}}{\partial t_{\alpha}\partial t_{\beta}\partial t_{\gamma}}F(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n})$とおく。 ここで、$\eta_{\alpha\beta}:=c_{1\alpha\beta}$

が$t_{1},$$t_{n}$$t_{2},$$\ldots,$によらず、 対称な非退化 2 次形式を定め、 さらに$(\eta^{\alpha\beta})=(\eta_{\alpha\beta})^{-1}$$c_{\alpha\beta}^{\gamma}= \sum_{\epsilon}c_{\alpha\beta\epsilon}\eta^{\epsilon\gamma}$が結合代数$e_{\alpha} \cdot e_{\beta}=\sum_{\gamma}c_{\alpha\beta}^{\gamma}e_{\gamma}$

は WDVV 方程式をみたすという。 結合条件を定めるとき、を具体的に書き下すと、 複雑な非線型方程式になる。
$F(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n})$が Frobenius 構造を定めと対称な非退化 2 次形式
る。 grading operator 1 こ対応するものとして、 Euler operator を用いる。

この結合代数$(e_{\alpha})$$\eta_{\alpha\beta}$$E= \sum_{\alpha}$[(l-q\mbox{\boldmath $\alpha$})t。

{ま有理数で、 $q_{1}=1,$
ここで、る。 この Euler operator $E$ [こ対して$q_{\alpha},$$r_{\alpha}$$+r_{\alpha}$$r_{\alpha}\neq 0$]$\frac{\partial}{\partial t_{\alpha}}$.となるの{ま、 $q_{\alpha}=1$ のとき (こ限$E(F(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}))=(3-d)F(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n})+$( の 2 次式)$t$

75となることを仮定する。

WDVV 方程式の解の例としては、 Coxeter 群に対する flat coordinate
LandauGinzburg 模型と呼ばれるものである。 もうーっの重要な例が、 量子コホモロジー環に付随する Robenius 構造である。
が 1980 年ごろから齋藤恭司氏にょって知られており、 物理的には

量子コホモロジー環の例として、$N_{k}=\#${$\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C})$の次数$k$$\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C})$を考えよう。の有理曲線で、 generic な $3k-1$ 点を通るもの}と定めると、 これは、 Gromov-Witten 不変量のもっとも簡単な例になってぃる。 そこで、 $t=(t_{1}, t_{2}, t_{3})$ の函数$F(t)= \frac{1}{2}(t_{1})^{2}t_{3}+\frac{1}{2}t_{1}(t_{2})^{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{N_{k}}{(3k-1)!}(t_{3})^{3k-1}e^{kt_{2}}$は、 WDVV 方程式を満たす。

2 次のコホモロジー類に対応する、 の部分が一番重要なので、$t_{1}=0,$ $t_{3}=0$ (こ制限された Quantum
cohomology を取ると$\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C})$の$t_{2}$$QH^{*}(\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C}))\cong \mathbb{C}[e_{2}]/(e_{2}^{3}=q)$となる。 ここで、のとき、 通常のコポモロジー環 (こなる。
WDVV 方程式や Gromov-Witten 不変量につぃて、 正確な定義につぃて$q=e_{\text{。}^{}t_{2}}qarrow \mathrm{O}$は、 [1][4] などを参照してほしい。

3モノドロミ保存変形

WDVV 方程式は、 実はモノドロミ保存変形と generic には等価になる。 詳細は [1] にゆずる。

簡単のため、上に Robenius 構造があるとする。
を affine 座標とする。 End(TM) に値を取る微分形式
を$M=\mathbb{C}^{n}$$\mathbb{C}^{n}$$(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n})\in$$\omega$$\omega(v)$: $TMarrow TM$と思って、 $\omega(v)(u)=u\cdot v$ で定める。 右辺は $TM$ の各ファイバーに入ってレ る、 Frobenius algebra の積である。 このを接続形式にもつ connection$\mathrm{a}$$\omega$を取る :position 1. 任意の複素数$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}$$\backslash \backslash$-$z$に対して、 $\nabla=d+z\omega$ : $TMarrow TM\otimes\Omega^{1}$

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この接続い髻

$T^{*}(M\cross \mathbb{C})$に、 次のように拡張しよう$\tilde{\nabla}_{u}(\frac{d}{dz})=0$,$\overline{\nabla}$

若$( \frac{d}{dz})$$=0$ ,$\tilde{\nabla}_{\frac{d}{dz}}(v)=\partial_{z}(v)+E\cdot v-\frac{1}{z}Qv$

ここで、:.

(grading operator) 。この拡張した接続も、 また flat に$Q=\nabla_{\alpha}E^{\gamma}$なる。

今まで、 をパラメタのように考えてきたが、 逆に $M$ を変形パラメタと思うと、 flat connection い蓮 モノドロミ保存変形を与える。 定義から、$z$は$\partial_{z}\phi=(U+\frac{V}{z})\phi$(3.1)$\partial_{t}\phi:=(zE_{i}+V_{i})\phi$という、 原点で確定、 無限遠で 1 位の不確定特異点を持つ常微分方程式のモノドロミ保存変形を与える。

4$QH^{*}(\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C}))$

前節の対応を$\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C})$の量子コホモロジーの場合に、 計算しよう。 $t_{1}=t_{3}=0$とすると、 (3.1) は2\phi $=z^{3}q\phi$(4.1)$(z\partial_{z})^{3}\phi=27z^{3}q\phi$となることはすぐにわかる。
$\Phi(zq^{1/3})=\phi(z, q)$とおくと、 (4.1) は、$(z\partial_{z})^{3}\Phi=27z^{3}\Phi$(4.2)とまとめられる。 (4.2) の接続問題は、 Meijer 函数を使って解くこともできる ([2]) が、 ここでは Laplace 変換を用いてとく。

(4.2) を Laplace 変換すると、$(( \lambda^{3}+27)\frac{d^{2}}{d\lambda^{2}}+3\lambda\frac{d}{d\lambda}+\lambda)\varphi=0$77となる。 この解は$\varphi=2F1(\frac{1}{3},$$\frac{1}{3},$であるが、 実は、 level 3 のモジュラー群$\frac{2}{3};-\frac{\lambda^{3}}{27})$$\Gamma(3)$の楕円モジュラー曲面$x^{3}+y^{3}+z^{3}+\lambda^{3}xyz=0$のPicard-Fuchs 方程式に他ならず、式で表示される。 この$\varphi$$\varphi$

は、 重み 2. レベル 3 のモジュラー形を用いると (4.2) の解は$\Phi(z)=\int e^{-z\lambda}\varphi(\lambda)d\lambda$の有限での特異点は 3 点あるので、 各々をと積分表示される。 ここで、起点にする Laplace 変換の path をとれば、 それが (4.2) の基本解系になる。
$\varphi(\lambda)$

超幾何函数の接続公式を用いて $z=\infty$ での (4.2) の Stokes 係数を計算することができる。 直接計算によって、 次を得る :Theorem 2.

$QH^{*}(\mathrm{P}^{2}(\mathbb{C}))$のFrobenius 構造に付随する線型方程式は、 level3 のモジュラー形式の Laplace 変換で表示できる。 その $z=\infty$ での接続係数は$(\begin{array}{lll}1 0 03 \mathrm{l} 03 3 \mathrm{l}\end{array})$(4.3)

である。

[3] によって、の場合の接続問題も解かれているが、 その計算は膨大である。 量子コホモロジー環とモジュラー形式との関係が他にも存在するのかどうか、 今後の問題にしたい。 なお、 (4.2) のモノドロミー群は、$PSL(2, \mathbb{Z})\cross\{\pm\}$ であるが、 これの意味付けは今のところなされていない。
$QH^{*}(\mathrm{P}^{n}(\mathbb{C}))$

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References[1] B. Dubrovin, Geometry ofTopological Field Theories, Springer Lect.
Notes Math. 1620, (1995) 120-348.
$2\mathrm{D}$[2] B. Dubrovin, Painlev\’e transcendents and twO-dimensional topologicalfidd theory, Proceedings of “The Painlev\’e property: one century later”,(1999) 287-412.
[3] D. Guzzetti, Stokes Matrices and Monodromy of the Quantum CohOmology of Projective Spaces, math$.\mathrm{A}\mathrm{G}/9904099$[4] D. McDuff, D. Salamon, -holomorphic curves and quantum cohomology, Providence, RI., American Mathematical Society, 1994.
$\mathrm{J}$