― 24 ―トロピカル超体の拡張と多項式の零点集合について
小田切真輔＊・佐藤宏平

On modified tropical hyperfield and the zero sets of polynomials
Shinsuke ODAGIRI ＊ and Kohei SATO
（平成28年11月29日受理）
Tropical hyperfield is a triple which consists of complex numbers, tropical addition andusual multiplication. We modify this hyperfield so that the resulting set endowed with theaddition and the multiplication is doubly distributive. Moreover, we show that the modified
tropical hyperﬁeld is“algebraically closed”.

1.

導入( 複素 ) トロピカル超体とは Oleg Viro が［4］の中で提唱しているもので，複素数全体の集合にトロピカル和と通常の積を定義したもののことである．
本紙は，現在までに行ったトロピカル超体の拡張と，その上の多項式における根の様子についての考察をまとめたものである．
2.

トロピカル超体

本節では多値環から超環および超体を定義し，その後，トロピカル超体を定義する．超環および超体は付値環との関連から Krasner［1，2］によって定義され，その後様々な分野との関連が見つかっている［5］．一方，多値環は独立に Marshall［3］により考えられた．
2.1. 超体
定義2.1 ( 多値環，超環 )．空でない集合 に対し ,多値二項演算＋ : × → 2 \{ }，二項演算· : × → ，写像－ :→および 0，1 ∈が存在し，次の条件を満たすとする．

＊（M1） ∈ ＋ ⇒ ∈ ＋（－ y）（M2） ＝ ⇔ ∈ ＋ 0（M3）（ ＋ ）＋ ＝ ＋（ ＋ ）（M4） ＋ ＝ ＋2.（ ，·，1）は可換モノイドである，すなわち任意の ， ， ∈ は次を満たす．
（M5） ＝（M6）（ ）z ＝ （ z）
（M7）1 ＝
3. 任意の ， ， ∈ は次を満たす．
（M8）0 ＝0
（M9）（ ＋ z）⊂ ＋ z
このとき ＝（ ，＋，·，－，0，1）は可換多値環であるという．さらに任意の ， ， ∈ が次も満たすとき， は可換超環であるという．
（M10）＋ z ⊂ （ ＋ z）

定義2.2（標数）．多値環に対し，1＋1＋ · · · ＋1 ∋ 0

1.（ ，＋，－，0）は自明な超群である，すな
わち任意の ， ， ∈ は次を満たす．となる最小の 1 の個数 を の標数といい char（ ）で表す．このような 2 以上の整数 が存在しないとき，標数 0 という．

秀明大学学校教師学部

定義2.3（超体）．多値環 は，0 ≠ 1 であり，その部分集合 \ 0 が乗法 · について可換群を成すとき，超体という．
平成29年２月

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トロピカル超体の拡張と多項式の零点集合について⌒定理2.1（M. Marshall［3］）．任意の超体は可換超環である．に 対 し，（ ）:＝ max（｜｜，｜｜）を＝半径と呼ぶ．

2.2. トロピカル超体
複素平面上の原点を中心とする劣弧を単に弧と呼ぶことにし， ， ∈ C が｜｜＝｜｜かつ ＋ ≠ 0 であるとき， ， を両端とする弧を⌒と書く．また，原点中心，半径 の閉円板を （ ）と表す．

注意3.1. 任意の ∈ C に対し，｛ ｝＝なので｛ ｝∈ であり，＝｛｛ ｝｜ ∈ C ｝｛D（r）｜ > 0｝｛⌒｜｜｜＝｜ ｜， ≠ ， ＋ ≠0 ｝
である．
次に， ， ∈ に対して，トロピカル和を通常の拡張で定める :⌒⌒⌒⌒⌒秋田高専研究紀要第52号｜ ， ∈ C｝

定義3.2. 任意の集合 U ⊂ C に対し，集合のように定義する．
:＝U⌒⌒

: ＝｛

証明， ， の半径が等しい場合の結合律のみ示す（他は自明である）．このとき ， ， のいずれかが閉円板であれば，和の順番に依らず D（｜ ｜）となる．すべて閉円板でないと仮定する．このとき補題3.1 の証明と同様に ∪ ∪ が開半弧に含まれるならば，半弧の両端に近い ∪ ∪ の端点をそれぞれ ， とすると和の順番に依らず⌒となるので成り立つ．そうでない場合は ， ， のトロピ
カル和は和の順番に依らず ∪ ∪ を含むので閉円板となる．
次に， に積 ★ を定める為に，まずは任意の C の部分集合 U に対して，以下のような集合を考える．

U＝∪u1，u2∈Uu1⌒⌒

3.1. 笑顔集合族
定義3.1 集合族 以下のように定め，笑顔集合族と呼ぶ．

⌒⌒⌒ ⌒これはトロピカル和として得られる C の部分集合， に対し · が必ずしもトロピカル和として表せないことが原因であり，これにより多項式の扱いに不自然さが生じる．そこで，次のような集合族と乗法を定め，この問題を解決する．

は可換で結合律を満たす :，∀ ， ∈ ,＝（）,∀， ， ∈ ．
⌒⌒

2
例3.1. （1）＝｛ θ ｜0 ≤ θ ≤π｝で あ る が，1 · 1
1··1· ＝ （1）．

演算＝）

⌒⌒

トロピカル超体上では，一般に，単分配律 （·）＝ ·· は成り立つ．しかし，次の例が示すように重分配律は成り立たない．

補題3.2.
1.
2. （⌒⌒⌒⌒

トロピカル超体上の多項式と根⌒

1＝｛ 1 ｝より char
（ C）＝0

証明 （ ）> （ ）であれば＝ ∈ となる．（ ）＝ （ ）の場合を考える． ， のいずれかが閉円板のときは明らかなので，そうでないとする．もし ， を両方含む開半弧が存在する場合
は半弧の両端に近い ∪ の端点をそれぞれ ， とすると＝∈ である．開半弧が存在しない場合は｛－ ｜ ∈ ｝∩ ≠ なので，＝（｜ ｜）∈ である．
⌒

⌒

···

∈ ，∀ ， ∈⌒

⌒

3.

1∪

∈ ， ∈⌒⌒

注意2.1. 1である．

⌒⌒

定義2.5 (O. Viro［4］)．複素数の集合 C に，演算としてトロピカル和と通常の乗法・を入れたもの（C，，· ）は超体になる．これを(複素)トロピカル超体といい， C で表す．

⌒

このトロピカル和は可換である．即ち，任意の ，∈ C に対して，＝bである．

補題3.1.

:＝⌒（｜ ｜＞｜｜）（｜ ｜＜｜｜）（｜ ｜＝｜｜， ＋ ≠0 ）（｜ ｜）（｜ ｜＝｜｜， ＋ ＝0 ）｛ ｝｛ ｝＝⌒⌒

定義2.4 ( トロピカル和 )．任意の複素数 ， に対b を以下のように定義する．
して，トロピカル和のu2を以下

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小田切真輔・佐藤宏平

TrC は C と異なり重分配的である．
命題3.2.

⌒⌒

⌒

⌒

⌒

⌒

⌒

⌒

★

⌒x∈
∈

: ＝ TrC［ 1 ， 2 ，· · · ， ］⌒⌒

なので，通常の意味では超体とは言えない．しかし⌒）≠ ∪⌒

命題3.1. （ ，，★ ）は可換半環になる．
C の元 と の元｛ ｝を同一視することで，C におよび積 ★ が入った組 TrC : ＝（C， ，★）多値和を考える．このとき一般に）★（⌒，∀ ， ， ∈ ．

証明 略（（ ）＝ （ ）の場合のみ示せば良く，∪ が開半弧に含まれる場合とそうでない場合に場合分けをする）．

（⌒★

3.2. TrC 上の多項式
前節では， C の乗法をトロピカル積 ★ に置き換えた TrC は，重分配的であることを示した．以下，
TrC 上の多項式を考えよう．

トロピカル超体 TrC 上で多項式の展開はできるが，任意の多項式が因数分解できるとは限らない．

，★ ）は分配的である：
★

⌒）＝

⌒

（★

⌒

補題3.5. （ ，．

⌒

この積をトロピカル積と呼ぶ．トロピカル積はトロピカル和と同様に可換かつ結合律を満たす（証明も同様である）．
以上で の中に加法と乗法 ★ が定義された．
加法は単位元 0 ＝｛ 0 ｝を持つ可換モノイドであり，乗法も単位元 1 ＝｛ 1 ｝を持つ可換モノイドである．

2 2

また証明
＝ 12， ＝ 12 と お く．
は が一点の場合はトロピカル超体において単分配律が成り立つことより言える． 2＝－ 1 のときは★
＝ （｜ ｜｜ ｜）であるが， 1 1
1 2
2 1＝－－＝（｜｜｜｜）
2 2
1 11 21 11 2なので成り立つ．
φ1， 2＝ 1 φ2， 1＝ r2 ψ1， 2 ＝ r2 ψ2（ただし1＝ 1r1，r2 > 0，0 ≤ φ2－φ1 < π，0 ≤ ψ2－ψ1<π）とする．
もしφ2＋ψ2－φ1－ψ1 < πであれば 1 1 ， 2 2 を両端とする弧に 1 2 ， 2 1 はともに含まれるので · ＝である．そうでなければψ3 : ＝φ1＋1 12 2∈
ψ1－φ2＋π ≤ ψ2， 3 : ＝ 2 ψ3とおくと 3 ∈ であり，
2 3＝－ 1 1なので ・ ∋ 1 1 ，－ 1 1 である．従って A ★ ＝ （｜ ｜｜ ｜）で あ る． 一 方， 1 1， 1 2 ，， がともに劣弧であることから 4 点
2 1， 2 2 はのどの点を始点とする正方向の半弧を考えても 4 点全てが含まれることはない．従って 1 11 2＝（｜｜｜｜）である．
2 12 2⌒証明
または が一点または閉円板の場合は· ∈ なので ★ ∈ である．以下 ， がとiθ
もに弧である場合のみ考える． ＝｛r1e ｜r1 > 0，φ1
≤ θ ≤ φ2｝， ＝｛r2 θ｜r2 > 0，ψ1 ≤ θ ≤ ψ2｝とおく．
iθ
このとき · ＝｛r1r2e ｜φ1＋ψ1 ≤ θ ≤ φ2＋ψ2｝であり，φ2＋ψ2－φ1－ψ1 < πのときは，弧なので の元である．そうでない場合 · は原点対称な 2 点i 1＋φ2）i
r1 r2 e（φと r1 r2 e（φ1＋φ2＋π）を含むので ★ は円板 D（r1 r2）となる．

2 1⌒，∀ ， ∈ ．

1 2⌒∈⌒★

·）＝ 1 12⌒

補題3.4.

:＝⌒★

）★（ 12⌒である．さらに， ＝ D（1）となるので， ＝ である．
次に，笑顔集合族 の任意の ₂ 元 ， に対し，以下のように積を定める．

（ 1⌒

注意3.2. 一般に U ＝ は成り立たない．たとえばU ＝｛ 1，e2πi/3，e4πi/3 ｝とすると ＝｛ u｜｜u｜＝1 ｝≠U

任意の 1， 2， 1， 2∈ C は次を満たす：⌒次が成り立つ．
⊂ C に対し， ⊂∈ に対し， ＝1. 任意の
2. 任意の⌒補題3.3.

例3.2. 任 意 の 自 然 数 ≥ 2 に 対 し， ＝1を考える． ＝ 1 . . .と因数分解できたとしよう．
（0）. . . （0）＝（0）＝1 より， 1 ，. . . ， はいずれ1も定数項が存在し，その積は 1 である． 1 ，. . . ，の最高次の係数を全て掛けると 1 となることから，各 について最高次の係数でくくり出すことにより，以下 1 ，. . . ， はすべて monic と仮定して良い．このとき （（1））＝ （ （1））. . . （ （1））であ1ることから （ （1））＝1 である．従って の全ての係数の絶対値は 1 以下であり，定数項をすべて掛けると 1 になることから特に定数項の絶対値は 1 である．更に（1）が一点 1 であることから （1），. . . ，1（1）も一点 1 である．従って定数項はすべて 1 である．
平成29年２月

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トロピカル超体の拡張と多項式の零点集合について

ζ＝ 2π / とおく．このとき（ζ）が一点 1 である
ことから （ζ）も一点でなくてはならない．しかし（ζ）は点 2π ·deg（ ）/ ，1 を含む．よって矛盾．
以上より， は既約多項式である．
定義3.3.
る．

∈に対し， の零点集合を以下で定め（ ）: ＝｛ ∈ C ｜（ ）∋ 0 ｝
定理3.1. 任意の ∈ TrC［ ］に対し，（ ）∋ 0 となる ∈ C が存在する．
証明 （ ）に定数項が存在しない場合は，（0）＝0 より主張は成り立つ．よって，（ ）に定数項 が存在する場合を考える．
ここで，（ ）を（ ）の定数項以外からなる多項式とする．このとき，｜（ ）｜＝｜c｜を満たす実数> 0 が取れる．実数 に対し，（ · ε）∋－ を満たす実数εが存在する．よって，（ · ε）∋ 0 となる．
系3.1.の任意の定数でない元に対し，その零点集合は空でない．
系3.2. TrC は“代数的閉”である．
参考文献［1］M. Krasner,“Approximation des corps valués
complets de caractéristique ≠0 par ceux decaractéristique 0”, Colloque d’Algebre Superieure, pp.129-206, 1957
［2］M. Krasner,“A class of hyperrings and hyperfields”, Internat. J. Math. and Math. Sci.，
Vol.6, pp.307-312, 1983
［3］M. Marshall,“Real reduced multirings andmultiﬁelds”, J. Pure Appl. Algebra, Vol.205-2,pp.452-468, 2006［4］O. Viro,“ Hyperﬁelds for Tropical Geometry
I. Hyperfields and dequantization”, available
at arXiv:1006.3034［5］P. Gładki,“A survey on multirings, hyperringsand hyperﬁelds”, available at
http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/

秋田高専研究紀要第52号