「それって数学︕︖」
現役東⼤⽣による計算しない数学の授業<事後アンケート Q＆A>
⽂責︓佐々⽊⼀洋

2023. 7.29実施

⽬次
１．論理に関する質問
２．数学の勉強に関する質問
３．授業で扱った問題に関する質問

１．論理に関する質問
新聞に載っていた問題の答えが知りたい︕
おすすめの論理問題があれば教えていただきたいです。
無限についてもっと知りたくなりました新聞に載っていた問題の答えが知りたい︕
問題は以下の通りでした「苦いならば体に良い」を確かめるのに飲むべき薬を選べ。
1.苦い 2.甘い 3.体に良い 4.体に悪い噓だと分かるのは、「苦いのに体に悪い」薬があるときです。
つまり、1と４を確かめるのが正解です︕
ついつい体に良い薬が苦いかを確かめたくなりますが、仮に「苦くないけど体に良い薬」があったとしても、「苦いならば体に良い」は噓にはならないんですね︕

おすすめの論理問題があれば教えていただきたいです。
個⼈的に好きなのは「この⽂は噓である」という⽂がある。この⽂は噓か本当か︖という問題です。
論理の世界には「パラドックス」というものがあります。
これを知ると、論理がより⾯⽩く感じると思います。
興味があったら、「論理パズル」や「パラドックス」で検索して本を買ってみてください︕

無限についてもっと知りたくなりました「アキレスと⻲」という問題を調べてみてください。
無限は、古来より⼈類を悩ませてきたテーマですが、⾼校数学の微積分の分野でいよいよその謎に迫っていきます。
しかしテキストや先⽣によっては、計算が中⼼で理論的⾯⽩さに踏み込んでくれない場合があります。
まぁ気持ちは分かるというか、かなり難しいんです。
ヴェリタスでは微積分の講座を毎年夏に開講しています。
ここでは無限についても深く扱うので、興味があれば受講を検討してください。（今年は佐々⽊が担当しています。）

２．数学に関する質問
数学の苦⼿意識を無くすにはどうすれば良いですか︖
幾何の⾯⽩さや魅⼒って何︖
代数は好きだけど幾何が嫌い。どうしたら楽しめる︖
どうすればテストで思考⼒のいる問題が解けるようになる︖
学校で習っている数学は何のためにやっているの︖

数学の苦⼿意識を無くすにはどうすれば良いですか︖
数学のどの部分が苦⼿なのか、まず考えてみるといいと思います。
計算が苦⼿だったり、公式を覚えるのが苦⼿だったり、⼈によって苦⼿な要素は異なります。
漠然と苦⼿と思っていると、なかなか⼿がつかないものですが、何が苦⼿か分かれば、それに応じて勉強の⽅法を⼯夫することができます。
計算が苦⼿なら、計算「は」シンプルな難しい問題に挑戦してみましょう。
暗記が苦⼿なら、忘れた状態からその公式を導くにはどうするかを学びましょう。
苦⼿だからと、頭を使わない処理練習（ドリル）ばかりやるのは逆効果です。
⾃分の⻑所を⽣かして、質の⾼い問題に取り組んでみましょう。
そういう勉強で「頭を使う」ことへの⾃信がつけば、苦⼿意識もなくなるでしょう。
（もちろん、⼀度⾃信を付けたら、処理練習をすることも⼤事ですよ）

幾何の⾯⽩さや魅⼒って何︖「誰でもわかる事実から、誰もが驚く定理を証明できる」ということです。
中学で学ぶ幾何学の⽅法論は、ユークリッドという⼈が紀元前に作りました。
「先に使う⾔葉の意味と何個かのルールを書いておき、それだけを使って残りの全てを証明していく」
これはあらゆる学問でその後真似されたシステムで、⼤発明です。
しかし、ほとんどの教科書は最初に「使っていいルール」を全て書いてくれません。
下⼿をすると定理を⽰すより使う⽅に焦点が置かれがちです。
定理を知るだけでも、図形の持つ性質の美しさや意外性は楽しむことができるでしょう。
しかし、幾何学の醍醐味は知った定理を⼀つ⼀つ証明することではじめて感じられると思います。

代数は好きだけど幾何が嫌い。どうしたら楽しめる︖
⼀つ前の質問で答えたように、幾何は証明に⾯⽩さが詰まっています。
しかし補助線など、発想に頼るところも⼤きく、苦⼿に感じる⼈も多くいます。
安⼼してください。数学の偉⼈にも同じ感想を持った⼈たちがいます。
「幾何の問題を、代数の連⽴⽅程式を解くように機械的に扱うことはできないか︖」
⾼校数学の「ベクトル」「座標幾何」で、こうした⽅法論を学ぶことができます。
代数のアプローチで幾何が解ける。
このことが理解できると、幾何も案外⾯⽩い、と感じてくるかもしれません。

どうすればテストで思考⼒のいる問題が解けるようになる︖

とても難しい質問です。そもそも「思考⼒」とは何でしょうか︖
⾃分は「⼀度解いた問題やその類題でないものを、考えて解ける⼒」だと思います。
こうした⼒を鍛えるには「ある問題に初めて出くわした瞬間に、安易に解き⽅を聞かず考えること」「解答例を信じずに、⾃分の頭で正しさを判断すること」
がとても重要だと思います。
オススメの⽅法は、⾃分では答えを⾒ないと決めた問題集を⼀冊つくることです。
分からなかったら他の教科書やノートを⾒るのはOK、ただしその問の答えは⾒ず、１００％の⾃信がある答案を作りきること。解答がいらないと思えたらクリアです。

学校で習っている数学は何のためにやっているの︖
重要な質問なので、2ページにわたって答えます。
学校の先⽣によって教え⽅も様々で、⼈によって答えは変わってくると思います。
数学を通じて考える⼒をつけるのが⽬的だ、数学⾃体は使わないと⾔う先⽣もいます。
しかし、僕は数学の知識そのものも重要であると思います。
天気予報や電⾞の最短乗り換え検索のように、今の僕らの⽣活を⽀えている技術には、数学が不可⽋です。
数学を知らなくても、それらの技術を使うことはできるので、数学なんて役に⽴たないと思っている⼤⼈は多いです。
でも「なぜこんなことができるのか︖」を理解しようと思ったら、結局数学が必要です。

学校で習っている数学は何のためにやっているの︖
仕組みを知らなければ、新しいものを発明したり、情報の真偽を⾃分で確かめることができません。
ネットの情報や誰かの話を聞いて、「こうすればいいらしい」と信じるだけになってしまいます。
なぜか知りたいと思って調べても、数学を学んでないと説明が理解できません。というより、説明がそこに書いてあることすら理解できません。
知らない外国語の看板を⾒ても、広告なのか、重要な注意書きなのか分かりませんよね︖
学校の数学は新しい概念を学び、数式の理解の前提となる道具をそろえるものです。
テストなどは計算能⼒を⾼める⽬的もありますが、些細なことです。
何を計算しているのか、なぜそうすれば計算できるのかを理解するために学ぶです。

３．授業で扱った問題に関するに関する質問対偶は式や記号で表すとどうなるの︖
最後の論理の問題の解き⽅をもう⼀度解説してほしい
東⼤の問題の解説が欲しい対偶は式や記号で表すとどうなるの︖
授業で扱ったように、「AならばB」は「A⇒B」と表します
また、「Aでない」は「￢A」と表します。
よって「A⇒B」の対偶は「￢B⇒￢A」と表すことができます。
ちなみに「B⇒A」は逆、「￢A⇒￢B」を裏と呼びます。

最後の論理の問題の解き⽅をもう⼀度解説してほしい難しい問題ですよね。
解説もどうしても⻑くなってしまうので、何枚かのスライドに分け説明します。
また、実はこの問題は「任意」と「存在」という論理を学ぶと、もっと機械的に理解することができます。
最後にその解説を加えておきます。

問題「どんな⼈でも、好きな⾷べ物がある」というのは噓だ
同じ意味の⽂はどれ︖① どんな⼈でも、好きな⾷べ物がない② どんな⼈でも、好きでない⾷べ物がある③ どんな⾷べ物でも、好きでない⼈がいる④ どんな⾷べ物も好きでない、そんな⼈がいる

STEP１VENN図で整理

u 「どんな⼈でも、好きな⾷べ物がある」ということは…

好きな⾷べ物がある
⼈

⼈⇒好きな⾷べ物がある

STEP2

噓になるのは︖「⼈⇒好きな⾷べ物がある」が噓になるのは︖
右図に存在しないのは「好きな⾷べ物がない⼈」
つまり噓になるのは

好きな⾷べ物がない⼈がいるとき

STEP3

同じ意味のものを選ぶ︕「好きな⾷べ物がない⼈がいる」と同じなのは…
① どんな⼈でも、好きな⾷べ物がない② どんな⼈でも、好きでない⾷べ物がある③ どんな⾷べ物でも、好きでない⼈がいる④ どんな⾷べ物も好きでない、そんな⼈がいる③と④は似てるが、③はそれぞれの⾷べ物に嫌いな⼈がいる、と⾔ってるだけ

答えは④だ︕

上級者向け解説

任意と存在

前提「どんな⼈でも〜」でない ⇔ 「〜でない」⼈がいる「〜な⾷べ物がある」でない⇔どんな⾷べ物でも「〜でない」
これを使うと「どんな⼈でも、『好きな⾷べ物がある』」でない⇔「『好きな⾷べ物がある』でない」⼈がいる⇔「どんな⾷べ物でも好きでない」⼈がいる④の⽂が同じ意味と分かる︕

最後に紹介された東⼤の問題(2020)の解説が欲しいぜひ⾃分で答えにたどり着いてほしいので、ここでは書きません。
東⼤の過去問は良問が多いのでぜひ挑戦してみてください︕
ヒントだけ書いておきます。
「どの線も1つは通る点がある」ということの否定は「どの点も通らない線がある」と⾔うことです。
しかしこの線が何本あるのかは分かりませんから、場合分けがいります。
場合分けは多いようで、「縦1本だけ通らない」「横1本だけ通らない」などパターン数は全て同じですから、地道にやっても意外と数え切れるレベルです。
数え⽅は他にもありますから、いろいろ考えてみてください。