第 7 回に引き続き，藤原です。第 8 回目は第 7 回目

W=で紹介した，２００0 年度東大後期総合科目ＩＩでQ
RK 2 a2( a - b)。ここで 1. で求めた a の=aa値を代入して ,出題された「自動車の走行特性」の解説を掲載した
いと思います。各小問ごとに模範解答と一部の問題

W=には＜物理的考察＞や＜補足＞を記載しました。物

16 RK 2 S 2
16 RK 2 S 2=a 4(1 - b)(1 + b)2a( a - b)( a + b)22
理前期試験などでも良く用いられる思考について， となり，f(b) = (1-b)(1+b) である。

より深い所まで踏み込んで記載しましたので，物理学習を行う上での参考として下さい。
3.
f(b) が最大となるときに，W が最小となるので，【解答解説】

その b を探す。0 < b <a であるので，b の定義域は1.

0 < b < 1 である。また，
f'(b) = -(1+b)2+2(1-b)(1+b)
V= -3 b2-2b + 1 であるので，f'(b) = 0 となるのは，b1b = -1， のときである。よって増減表から，f(b)3a-ba2が最大，W が最小となるのは b =O

時間

abt

加速時間と減速時間は共にa-bで あ る。 図 の2f(b)V-t グラフの傾きが加速度であるので，最高速度はa10
最大0電気自動車であるので，内部電源の仕事によって自動車の運動エネルギーを生み出している。細かな動距離 S を表すので，要素を無視すると，

a-ba-b 1a-b・a・ ・2 + b・a2222⇔a=+1＜物理的考察＞a-bと表される。また，グラフの積分面積が移2S=

130f'(b)1のときである。
3「電源のする仕事＝自動車の運動エネルギー変化＋抵抗から発するジュール熱」となる。よって，距離4S( a - b)( a + b)

S 移動する間の熱量がより少ない状態であるほど，エネルギーの効率が良い走行（燃費の良い走行）と2.

言える。問 1 ～ 3 はその効率について考えており，消費電力（単加速，減速時の電流は i = K a であり，b/a =位時間当たりの発する熱）は Ri = RK a である。
222

11
⇔ b= a のとき，つまり加速時間，定速時33

また，定速時の電流は 0 であり，消費電力も 0 である。 間，減速時間が全て等しいときが最も効率が良い。
よって発熱量の合計値は Q = RK2a2・aa-b・22= RK2a2(a - b) であり，消費電力の時間平均値 W について，

14.
加速度dVについて，運動方程式は次のようにな
dtdVる。m= Fe- Ra - Rr - Rsdt⇔mdV= Fe- Redtm1dV∑= - (F2+d)(V - V S )(V - VU ) dt⇔

Êˆ dVm11Á˜∑= - (F2+d)ÁÁ˜V S - VU Ë V - V S V - VU ˜¯ dtとなり，両辺を時刻 t で積分すると{}mlog V - V S - log V - VU = - (F2+d) t +C
V S - VU

＜補足＞
文中の「加速に要する力」について。自動車と同じ運動をしている観測者から見ると，Fe，Re と慣性力 （C は積分定数）
mdVがつり合った状態で車が静止しているようにdt見える。（0 = Fe- Re- m⇔ logdV）
dt⇔

高校範囲からは外れるが，全ての運動は上記のよう

V -VS( F + d )(V S - VU )t +C=- 2V - VUm

( F + d )( V S -VU )V -VSt- 2
m= eC ∑ e
V - VUとなる。ここで，初期条件（t = 0 で V=Vi）を上記に外力と慣性力とのつり合いの式に置き換える事ができる。これを「ダランベールの原理」と呼ぶ。の式に代入すると e C =5.

式は4. の運動方程式を与式を用いて書き直すと，
mdV= F0 + F1V - F2V 2-(g+dV 2)
dt⇔mdV= - (F2+d)V 2+F1V - (g - F0)
dt( F + d )( V S -VU )V -VSV -VSt- 2m= i∑eとなる。
V - VUV i - VU

7.
F(V) = (V-VS)(V-VU) と置くと，F'(V) = 2V-VS -VU…(1)。よって，問題文の（注）より，

dV
定速のとき，= 0 であるので，式 (1) に代入しdt

F(V0+v(t)) =F(V)+F'(V0)v(t)= (V0-VS)(V0-VU)+(2V0-VS -VU)v(t)て V の 2 次方程式の解を求めると，

ただし，V0 は VS または VU と等しい値であるので，

F + F12 - 4( F2 + d )( g - F0)
VS = 12( F2 + d )F(V0+v(t))= (2V0-VS -VU)v(t) と な る。 一 方，V =V0+v(t) の両辺を t で微分すると，

F1 - F1 - 4( F2 + d )( g - F0)2( F2 + d )2VU =Vi -VSとなるので，関係V i - VU

dVdv( t)=となdtdtる。
以 上 よ り， 式 m

6.

dV= - (F2+d)(V-VS)(V-VU) をdt

v(t) で書き直すと，

dV
5. で求めた VS，VU は，式 (1) の= 0 のときのdtm解であるので，これらを用いて (1) 書き直すと，

dv( t)= - (F2+d)(2V0-VS -VU)v(t)dtdV= - (F2+d)(V-VS)(V-VU) と な る。 こ こ で， < 補足 >dt（注）について，微分可能な関数 y=f(x) の x=x0
両辺を (V-VS)(V-VU) で割り，変数 V を左辺に移す

mにおける接線の方程式は，y=f'(x0)x+f(x0) となる。と，2グラフで考えるとわかりやすいが，Dx が非常に小＜物理的考察＞さな値であるとき，x=x0+Dx において，元の関数
yy = f(x)FeU

S

Re

y = f'(x0)x+f(x0)Ox0 x0+DxxOと接線の y はかなり近い値となる。これを一次近似

VU

VS
図と呼ぶ。[f(x0+Dx) = f'(x0+Dx)x+f(x0+Dx)]

V3

上記は誘導文に従った解法であるが，力学的に考入試で良く見かける例としては，f(x)=(1+x)n のときで，x0 = 0 の点において，f(0)=1，f'(0)=n であり， えても上記の結論には達する。図 3 において，VU よf(Dx)=f'(Dx)x+f(Dx)

りも少し大きい速度で走行するとき，加速させる力⇔ (1+Dx)n = nDx + 1 という近似が成り立つ。

Fe が減速させる力 Re より大きくなるので，速度はさらに加速する。逆に VU よりも少し小さい速度で8.

走行するとき，減速させる力 Re が加速させる力 Fe

V0 = VU のとき，7. の式よりより大きくなるので，速度はさらに減速する。このm

ように，つり合いの状態から少しずれたとき，そのdv( t)= - (F2+d)(VU-VS )v(t)dt

ずれを大きくするような外力が働く場合を「不安定dv( t)VU < VS より，v(t) > 0 のときは> 0，v(t) < 0dt

なつり合い」と呼び，一方つり合いの状態から少しdv( t)のときは< 0 となるため，定常速度から少しdtく場合を「安定なつり合い」と呼ぶ。

ずれたとき，そのずれを小さくするような外力が働ずれたとき，そのずれ v(t) が時間と共にさらに大きく変化していき，もとの VU に戻らない。よって，【おわりに】

実際の走行速度にわずかなぶれがあるような場合にで打ち立てるとき，思考のよりどころとなるのが「定おいて，VU での定常走行は実現しない。

性的な物理的思考の定着」であることはわかると思高度な物理計算を行っいます。今回の問題で言えば，

ちなみに，V0 = VS のときはていく際に，「加速，減速は外力で決定する。定常dv( t)m= - (F2+d)(VS-VU )v(t)dtとなり，v(t) > 0 のときは
きは

極めて数学的な問題ですが，計算方針を自分の中速度のとき，外力はつりあっている」などと言った運動の根本法則を常に念頭におくことができたかど

dv( t)< 0，v(t) < 0 のとdt

うかで出来が大きく変わったと思います。全ての物
理問題はこのように，「思考の出発点」を定着させdv( t)> 0 となるため，定常速度から少しずれdtているかどうかが何より重要な事です。

たとき，そのずれ v(t) が時間と共に小さく変化していき，もとの VS に戻る。

3