数理解析研究所講究録 1212 巻 2001 年 95-101

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The configuration space $X(2,5)$ and the family of cydic
pentagonal curves
干葉大学大学院自然科学研究科 (D3)小池健二 (Kenji KOIKE)

Graduate School of Science and Technology, CHIBA UNIVERSITY

1Introduction
Gauss の超幾何級数を 2 変数に拡張した Appell の$F_{1}$(1)$F_{1}( \alpha,\beta,\beta’,\gamma;x,y)=\sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{(\alpha,m+n)(\beta,m)(\beta’,n)}{(\gamma,m+n)(1,m)(1,n)}x^{m}y^{n}$は原点の適当な近傍で収束し、 偏微分方程式系$x(1-x) \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+y(1-x)\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+\{\gamma-(\alpha+\beta+1)x\}\frac{\partial u}{\partial x}-\beta y\frac{\partial u}{\partial y}-\alpha\beta u=0$$y(1-y) \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}+x(1-y)\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+\{\gamma-(\alpha+\beta’+1)y\}\frac{\partial u}{\partial y}-\beta’x\frac{\partial u}{\partial x}-\alpha\beta’u=0$(2)の解になっています。 これは$\mathrm{A}=\{(x, y)\in \mathbb{C}^{2} :(3)xy(x-1)(y-1)(x-y)\neq 0\}$の各点で解空間は 3 次元、解 $u(x, y)$ は一般に$\mathrm{P}^{2}-\mathrm{A}$で分岐します。Terada([9])

及び Deligne-Mostow([l]) は、 独立解による射影平面への多価写像$\Phi$を考え、$\Phi$

パラメータ

:

$\Lambdaarrow \mathrm{P}^{2}$,$(x,y)\vdasharrow[u_{1}(x,y) :が open dense な埋め込み$\mathrm{A}\mapsto \mathrm{B}/$u_{2}(x,y) :u_{3}(x,y)]$(monodromy 群) を与えるを全て決定しています。 ここで、$(\alpha, \beta, \beta’,\gamma)$(4)は$\mathrm{B}$$\mathrm{P}^{2}$内の 2次元超球$\{[u_{1} :u_{2} :と同型な領域です。このu_{3}]\in \mathrm{P}^{2} :|u_{1}/u_{3}|^{2}+|u_{2}/u_{3}|^{2}<1\}$

に対し、の逆写像を考える事により上の monodromy 群に対する 2 変数保形関数が得られます。
に対しては、 Theta 関数を用いて具体的に逆写像が$(\alpha, \beta,\beta’,\gamma)$$\Phi$$\mathrm{B}$$(\alpha,\beta, \beta’,\gamma)=$$( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3},1),$$( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{4})$

記述されています ([6],[4])。 ここではの場合を考えます。 これは最も対称性が高いパラメータであり、 前述の 2 つの例と$( \alpha, \beta,\beta’,\gamma)=(\frac{3}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}, \frac{6}{5})$は異なり cocompact な離散群に対する保形関数の具体的構成を与えます。

96
2Configuration space $X(2,5)$
この節では$\mathrm{P}^{1}$

上の点配置について簡単に復習します。詳しくは [11] 及

びその文献等を参照して下さい。

$\mathrm{P}^{1}$

上の異なる 5 点の射影変換による同値類$\{(\lambda_{1}, \cdots,\lambda_{5})\in(\mathrm{P}^{1})^{5} :\lambda_{:}\neq\lambda_{j}(i\neq j)\}/\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{C})$を考えます。これを次の様に行列空間の商空間と考え $X(2,5)$ と呼びます。
$X(2,5)=\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{C})\backslash \{M=(\begin{array}{lllll}a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} b_{5}\end{array}) :\phi_{j}.(M)\neq 0(i\neq j)\}/(\mathbb{C}^{*})^{5}$$\mathrm{A}_{j}.(M)=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}$の各列への作用によりなしています。写像つまり、$(\mathbb{C}^{*})^{5}$$[a$::を$b_{:}]$$\lambda_{:}\in \mathrm{P}^{1}$の射影座標と見$\mathrm{A}\ni(x,y)\ovalbox{\tt\small REJECT}\mapsto(\begin{array}{lllll}1 0 1 1 10 1 1 x y\end{array})\in X(2,5)$

が正則に作用する $X(2,5)$ の最小 comは同型を与えます。 5 次対称群と同型になりますが、 この射影の 4 点 blow-up
はpact 化
model は次の様にして得られます。 {幻, $k,l,m$ } $=\{1,2,3,4,5\}$ に対し、
$S_{5}$$\overline{\mathrm{P}^{2}}$$\overline{X(2,5)}$$\mathrm{P}^{2}$(5)$(ijklm)(M)=\mathrm{A}_{j}.(M)d_{jk}(M)d_{kl}(M)d_{1m}(M)d_{m}:(M)$と置きます。 (mijkl)(M) $=(ijklm)(M)=-(mlkji)(M)$ に注意して、(ijklm) を (裏表を無視した) H 順列と考えると 12 種類ある事が分かります。

$\mathrm{m}$$\mathrm{j}$$/$$\backslash$1$\mathrm{k}$12 個の多項式 (ijklm) を用いて写像
Cross :

$X(2,5)arrow \mathrm{P}^{11}$,$M\vdash*$[$\cdots$: (ijklm)(M) :$\cdots$](6)と同型になりを考えると、 これは embedding を与え像の閉包はの anti-canonical 写像を制限したものと同一視でます。写像 Cross はきます。
$\overline{X(2,5)}$$\overline{\mathrm{P}^{2}}$97
3Period mapping(こ対し、 Rieemam 面$(x,y)\in \mathrm{A}$$C_{x,y}$: $w^{5}=z(z-1)(z-x)(z-y)$を考えます。 これは、 0, 1,$\infty,$$x,y$ で分岐する$\mathrm{P}^{1}$5 重被覆で、 種数 6のの Rieemann 面となっています。 $\zeta=\exp(2\pi\sqrt{-1}/5)$$\rho$

を考えると、$\rho$: $C_{x,y}arrow C_{x,y}$ ,の作用によりunitary 構造が入ります。
$\varphi_{1}=\frac{\mathrm{d}z}{w^{2}}$,$\varphi_{2}=\frac{\mathrm{d}z}{w^{3}}$,(7)として被覆変換$(x,y)|arrow(x,\zeta y)$となり$H_{1}(C_{x,y}, \mathbb{Z})\cong(\mathbb{Z}[\rho])^{3}\cong(\mathbb{Z}[\zeta])^{3}$$H^{0}(C_{x,y}, \Omega^{1})$$\varphi_{3}=\frac{z\mathrm{d}z}{w^{3}}$の k 基底,の基底は$\varphi_{4}=\frac{\mathrm{d}z}{w^{4}}$,$\varphi_{5}=\frac{z\mathrm{d}z}{w^{4}}$,$\varphi 9=\frac{z^{2}\mathrm{d}z}{w^{4}}$はを取ると積分に対する (2) の独立解を与えます。 この場合の多価写像 (4) に対する monodromy 群に関して次が知られています。

で与えられ、$H_{1}(C_{x,y}, \mathbb{Z})$$(\alpha, \beta,\beta’,\gamma)$$\int_{\gamma}.\cdot\varphi_{1}$$\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3}$$( \frac{3}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}, \frac{6}{5})$Theorem ([10])適当なに対し写像$\gamma_{i}$$\Phi$:$\mathrm{A}\ni(x, y)\vdasharrow[\int_{\gamma_{1}}\varphi_{1} :\int_{\gamma_{2}}\varphi_{1} :\int_{\gamma 3}\varphi_{1}]\in \mathrm{P}^{2}$の像は$\mathrm{B}_{A}=\{[\eta_{1} :\eta_{2} :\eta_{3}]\in \mathrm{P}^{2} :|\eta_{1}|^{2}+|\eta_{2}|^{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}|\eta|<0\}$に含まれ、 この時 monodromy 群は$\Gamma=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{3}(\mathbb{Z}[\zeta]) :{}^{t}\overline{g}Ag=A\}$,$A= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, 1, \frac{1-\sqrt{5}}{2})$の合同部分群$\Gamma(1-()=\{g\in\Gamma :g\equiv I_{3}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 1-\zeta\}$と一致する。 又、 $\Gamma/\Gamma(1-\zeta)\cong S_{5}$ であり$\mathrm{B}_{A}/\Gamma(1$-$()$をは$S_{5^{-}}$

同型$\overline{X(2,5)}\cong$を与える。

次に Riemann 面$A_{i},$ $B_{i}$$\Phi$$H_{1}(C_{x,y}, \mathbb{Z})$$0,$ $A_{i}\cdot B_{j}=\delta_{j}.\cdot)$の言葉で具体的に記述します。の symplectic 基底 (i.e. 交点数 $A_{:}\cdot Aj=B:\cdot Bj=$

$C_{x,y}$の周期行列を$\mathrm{B}_{A}$とし行列$(Z_{1}, Z_{2})=(\begin{array}{llllllll}\int_{A_{1}} \varphi_{1} \int_{A_{6}} \varphi_{1} \int_{B_{1}} \varphi_{1} \int_{B_{6}} \varphi_{1}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\int_{A_{1}} \varphi_{6} \int_{A_{6}} \varphi_{6} \int_{B_{1}} \varphi_{6} \int_{B_{0}} \varphi_{6}\end{array})$

98を考えると、 $\tau=Z_{1}^{-1}Z_{2}$ は 6 次の Siegel 上半空間
$6_{6}=\{\tau\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{6}(\mathbb{C}) :t_{\tau=\tau}, {\rm Im}\tau>0\}$に属します ([5] 参照) $A:,$ $B$: を適当に定め、体的に計算する事により次が得られます。
$\text{。}$Lemma 3.1. 写像
き, これは$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\ovalbox{\tt\small REJECT}$の作用を利用して$\rho$:embedding を与える。

$\Omega$$\mathrm{B}_{A}arrow 6_{6},$を具$\tau$を次により定める事がで$\Omega(\eta)=(\Omega_{\dot{l}j})$$\Omega_{11}=(\zeta^{3}-1)(\eta_{1}^{2}+(1+\zeta^{3})\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2})/\Delta$,$\Omega_{44}=-\zeta^{2}(\eta_{1}^{2}+\zeta^{2}\eta_{2}^{2}-(1+\zeta)\eta_{3}^{2})/\Delta$,$\Omega_{22}=(\zeta^{3}-1)((1+\zeta^{3})\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2})/\Delta$,$\Omega_{55}=-\zeta^{2}(\zeta^{2}\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}-(1+\zeta)\eta_{3}^{2})/\Delta$,$\Omega_{33}=(\zeta^{2}-1)(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}-\zeta^{3}\eta_{3}^{2})/\Delta$,$\Omega_{66}=-\zeta^{3}(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}-(1+\zeta^{4})\eta_{3}^{2})/\Delta$$\Omega_{12}=(\zeta^{3}-\zeta)\eta_{1}\eta_{2}/\Delta$,$\Omega_{45}=(\zeta^{4}-\zeta^{2})\eta_{1}\eta_{2}/\Delta$$\Omega_{15}=(\zeta^{4}-\zeta)\eta_{1}\eta_{2}/\Delta$,$\Omega_{24}=(\zeta^{4}-\zeta)\eta_{1}\eta_{2}/\Delta$,$\Omega_{13}=(1-\zeta^{2})\eta_{1}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{23}=(1-\zeta^{2})\eta_{2}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{46}=(\zeta^{4}-\zeta)\eta_{1}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{56}=(\zeta^{4}-\zeta)\eta_{2}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{16}=(\zeta^{3}-\zeta)\eta_{1}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{26}=(\zeta^{3}-\zeta)\eta_{2}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{34}=(1-\zeta^{3})\eta_{1}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{35}=(1-\zeta^{3})\eta_{2}\eta_{3}/\Delta$,$\Omega_{14}=\zeta^{3}((1+\zeta)\eta_{1}^{2}+(1+\zeta^{3})\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2})/\Delta$,$\Omega_{25}=\zeta^{3}((1+\zeta^{3})\eta_{1}^{2}+(1+\zeta)\eta_{2}^{2}+\eta_{3}^{2})/\Delta$,$\Omega_{36}=(\zeta+\zeta^{2})(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}-\zeta^{3}(1+\zeta^{2})\eta_{3}^{2})/\Delta$

たたし,.

$\Delta=\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}-\zeta^{3}(1+\zeta)\eta_{3^{\text{。}}^{}2}$

4Theta map
Theta 関数に関しては [2], [5] を参照して下さい。 c 石『acteristic $(a, b)\in$
を Fourier 級数上の正則関数に対し,$(\mathbb{Q}^{6})^{2}$$\theta(a,b)$$\mathfrak{S}_{6}$.

$\theta_{(a,b)}(\tau)=\sum_{n\in \mathrm{Z}^{6}}\exp[\pi\sqrt{-1}^{t}(n+a)\tau(n+a)+2\pi\sqrt{-1}^{t}(n+a)b]$により定めます。 $(a, b)$ は Jacobi 多様体の torsion 点の分岐点をと対応しています。曲線$C_{x,y}$$P_{1},$$\cdots,$$\tau a+b\in \mathbb{C}^{6}/(\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z})$$P_{5}$とすると$Z_{1}^{-1t}( \int_{P}^{P_{j}}.\cdot\varphi_{1}, \cdots, \int_{P}^{P_{\mathrm{j}}}.\cdot\varphi_{6})$達は$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{3}$と同型な部分群

を Riemann 定数と呼ばれる元$H\subset \mathbb{C}^{6}/(\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z})$$—\in \mathbb{C}^{6}/(\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z})$を生成します。 $H$ の元で平行移動したもの達,99
三十 $H$ を考えます。 $—+H$ に対応する characteristics 125 個を考えると,殆ど全ての $(a, b)$ に対し$\theta(a,b)(\Omega(\eta))$は$\mathrm{B}_{A}$上恒等的にゼロとなってしま

い意味がないのですが, 非自明な関数を与える $(a, b)$ を 12 個見つけることができます。 この 12 個を利用して$\mathrm{B}_{A}/\Gamma(1-\zeta)$

を$\mathrm{P}^{11}$に埋め込みます。

Theorem 1. 12 個の theta を利用して次の可換図式を得る。

$\mathrm{P}^{11}$ただし, 写像 Cross と$\Theta$

は$\Theta=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-\zeta^{4}\theta_{[[7,3,3]]}(\Omega(\eta))^{5}}^{-\theta_{[[1,1,9]]}(\Omega(\eta))^{5}}-\zeta^{4}\theta_{[[3,3,3]]}(\Omega(\eta))^{5}\ovalbox{\tt\small REJECT}\zeta^{2}\theta_{[[1,3,5]]}(\Omega(\eta))^{5}\zeta^{4}\theta_{[[3,7,3]]}(\Omega(\eta))^{5}\zeta^{2}\theta_{[[1,7,5]]}(\Omega(\eta))^{5}\zeta^{4}\theta_{[[3,3,7]]}(\Omega(\eta))^{5}-\theta_{[[7,1,5]]}(\Omega(\eta))^{5}-\theta_{[[3,1,5]](\Omega(\eta))^{5}}\theta_{[[1,1,1]]}(\Omega(\eta))^{5}\theta_{[[1,9,1]](\Omega(\eta))^{5}}\theta_{[[9,1,1]]}(\Omega(\eta))^{5}$で定め,$characte\dot{m}$,Cross$=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{J(15342)(\lambda)}^{J(13245)(\lambda)}JJ(12453)(\lambda)\ovalbox{\tt\small REJECT} JJJJJJJJ((13524)(\lambda)12354)(\lambda)(12534)(\lambda)(13425)(\lambda)(15234)(\lambda)(13254)(\lambda)(15324)(\lambda)(13452)(\lambda)(12345)(\lambda)$(8)

tics $[[l,m,n]]$ は$a= \frac{1}{10}{}^{t}(l, m, n, l, m, n)$,$b= \frac{1}{10}{}^{t}(-2l, -2m, -2n, -l, -m, -n)$を意味する。
は同型であり Cross は埋め込みなのでも埋め込みになる事が分かります。証明は省略しますが ([3] 参照), 基本的には hypereffiptic currveの Thomae の公式を導くのと同じ考え方です。 $J(ijklm)$ 達は 1 次関係式と 2 次関係式を満たします。具体的な式は省略しますが, Cross の像は(従って の像は)の中で 5 個の 2 次方程式によって定まります。
$\Phi$$\Theta$$\mathrm{P}^{5}\subset \mathrm{P}^{11}$$\Theta$100
次に定理の$\theta,(\mathrm{J}\mathrm{J}^{\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{u},\mathrm{n}}11\Omega(\eta))^{5}$

角行列 diag(l,$1,$ $-\ovalbox{\tt\small REJECT}(1+\zeta)$が満たす保型性について述べます。 $Q$ を対) として$F_{g}( \eta)=\frac{(g\eta)Q^{t}(g\eta)}{\eta Q^{t}\eta}$と置きます。

$\mathrm{B}_{A}$,$g\in\Gamma,$$\eta\in \mathrm{B}_{A}$上の正則関数 $f(\eta)$ で関数等式$f(g\eta)=F_{g}(\eta)^{k}f(\eta)$,$g\in\Gamma(1-\zeta),$$\eta\in \mathrm{B}_{A}$を満たすものが成すベクトル空間を $A_{k}(F_{g};\Gamma(1-\zeta))$ で表します。 12 個のに対しその積は $A_{5}(F_{g};\Gamma(1-\zeta))$ の元を定める事が分かり次が得られます。
$\theta[[l,m,n]](\Omega(\eta))^{5}$

Corollary 4.1. (1). 次の$\mathbb{C}$-algebms の同型が成り立つ。

$\oplus_{n=0}^{\infty}A_{5n}(F_{g};\Gamma(1-\zeta))=\mathbb{C}[\theta_{[[l,m,n]](\Omega(\eta))^{5}\theta_{[[l’,m’,n’]]}(\Omega(\eta))^{5}]}$$\cong\oplus_{n=0}^{\infty}\mathrm{H}^{0}(X, Ox(-2nKx))$

ただし,(Z).

$X=\overline{X(2,5)}$。

$A_{\mathrm{n}}(F_{g};\Gamma(1-\zeta))=\{0\}$for$n\in \mathrm{N},$$n\not\in 5\mathbb{Z}$.

参考文献[1] P. Deligne and G. D. Mostow, Monodr.omy of hypergeometric functions and non-lattice integral monodromy, Publ. Math I.H.E.S.
63(1986), 5-88.
[2] J. Igusa, Theta functions, Springer, Heidelberg, New-York(1972).

[3] K. Koike, On the family of pentagonal curves of genus 6and assOciated modular forms on the ball, preprint.
[4] K. Matsumoto, On Modular Functions in 2Variables Attached toaFamily of Hyperelliptic Curves of Genus 3, Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 16 (1989), no. 4, 557-578.
[5] D. Mumford, Tata Lectures on Theta, Birkh\"auser, Boston-BaselStuttgard(1983).
[6] H. Shiga, On the representation of the Picard modular function byconstants I-II, Pub. R.I.M.S. Kyoto Univ. 24(1988), 311-360.
$\theta$101[7] G. Shimura, On purly transcendental fields of automorphic functions of several complex variables. Osaka J. Math. $1(1964),$ $1- 14$ .
[8] K. Takeuchi, Arithmetic triangle group, J. Math. Soc. Japan, Vol.
29-No. 1(1977), 91-106.
[9] T. Terada, Fonctions hyp\’erg\’eometriquae
et fonctions automorphes I-II, J. Math. Soc. Japan 35(1983), 451-475, 37(1985), 173-185$F_{1}$[10] T. Yamazaki and M. Yoshida, On Hirzebruch’s Examples of Sur, Math. Ann. 266(1984), 421-431.
faces with$c_{1}^{2}=3c_{2}$[11] M. Yoshida, Hypergeometric fimctions, my love, Aspects of Mathematics, E32. Friedr. Vieweg&Sohn, Braunschweig(1997).