計測自動制御学会東北支部第246回（2008．1l．19）
資料番号246−4

擬定常押込みクリープに関する有限要素シミュレーション
FiniteElementSimulationonPseudo−SteadyIndentationCreep
O池村圭軒，高木秀有擁，藤原雅美榊，′ト林義那■，白井健二‖
OKeijiIkemura−，HidenariThkagi，MasamiFujiwara▲▲
ToshikazuKobayashi ，KenjiShirai…
＊日本大学大学院，■書日本大学，★GraduateSchool，NihotltJniversity， NihonUniversity
キーワード：計装化押込み試験法，擬定常押込みクリープ，艶何学的自己相似性
連絡先：〒963−8糾2 福島県郡山市田村町徳定字中河原1番地
日本大学大学院工学研究科情報工学専攻生産システム工学研究室 地相圭乳

TEL：（024）956−8824，Fax：（024）956−8863，E−mail：g19601＠cc＆e・nihon・u・aC・jp

1．緒言
一般に，材料の力学的性質を正しく評価するためには，標準規格に適合した形状および寸法の試験片を用意する必要がある．しかしながら試作段階にある先進材料は，少量の試験片しか準備できないことが多い．上記の理由により，少量の微小試験片から力学特性を評価することができるマイクロメカニカルテストの確立が求められてきた．

計装化押込み試験法は，その一方法であり，微小で単純形状の試料におけるピンポイントの高温力学特性値を評価できる利点を有している．この試験法は，高温の試料表面に円錐形の剛体圧子を押し込み，そのときの押込みクリープ曲線（押込み変位の時間依存性）を解析することによって，クリープの応力指数や活性化エネルギーを評価するものである．この試験法で得られたAl−Mg
固溶体合金などの高温力学特性値は従来の引張クリープ試験結果と良い一致を示すことを確認している（ト4）

本研究では，ある荷重条件下で押込みクリープ試験を行うと圧子の押込み歪み速度と押込み圧力が一定となる可能性がある試験方法（ConstantIndentationStrainRateTbst：CISR試験）に関する
理論解析と有限要素シミュレーション（FE解析）を行い，以下のことを明らかにする．
● この試験法に関する構成方程式を導出する．
● FE解析によって，押込み圧力と押込み歪み速度が一定になることを示し，構成方程式が適切であることを確認する．
● 圧子直下の領域における相当応九相当塑性
歪み速度の等高線分布が幾何学的自己相似性を維持しながら拡がることを確認し，擬定常変形状態が実現されていることを明らかにする．
● 押込み圧力と代表応力の関係から押込みクリープ領域における代表点を定義し，押込み歪み速度と代表点における相当塑性歪み速度の関係を明らかにする．
● この試験法によって，クリープの応力指数を正しく評価できることを示す．

2．CISR試験に関する構成方程式に代入し，積分すると次式で表される；

円錐形圧子の直下領域において相当塑性歪みの等高線分布が幾何学的自己相似性を保ちながけ匪・l‖l］ら拡がるとき，押込みクリープ変形の進展度（押込み歪み速度g）は，庄子の押込み速度カをそのときの押込み変位〟で除した値で定義される；式（1）と式（7）から，押込み歪み速度βの時間＆＝（1）・＝押込み荷重Fを圧痕の水平投影面積で除した押込み圧力をクで表し，nbor（5）らが実験で見いだ
し，Hillら（6・7）がすべり線場理論によって証明し

g豊＝÷il−eXp（−叫）−1（8）また，代表応力Jの時間依存性は次式で表された拘束係数をCl（≡1／3）として，本論文では庄子直下の領域でC一夕の相当応力値∂をもつ場所を代表点と定義する．このときの代表応力Jと相当応力庁は以下の式で表すことができる；♂＝C川口依存性は次式で表される；

る；

（9）

J＝眩い−eX…rl］1′ ・≡．

（2）

3方〃2tan2β

J口1／加では，式（8）と式（9）は，よとJが時間が経つにつれて一定値負およびJsに漸近する

ここで，βは圧子の半頂角である．この点におけことを示している；

る相当塑性歪み速度言と式（1）の押込み歪み速度￡には歪みの適合条件より以下の関係が成り＆；÷司OnSt・（10）立つ；

豆＝C2よ

（3）

号D（ま）l′＝COnSt．

ここでC2は，庄子の半頂角，応力指数，圧子先これらを用いると，式（5）から擬定常押込みク端からの距離などに依存する定数である．

リープに関する構成方程式は次式となる；（11）相当応力と相当塑性歪み速度の間に以下のべき乗則クリープの構成式が成り立つとする；云＝」−（÷） ・gs＝」2（耳

（4）

（12）

上式から，クリープに関する応力指数〃は次式によって与えられる；ここで，」lは温度などによって決まる定数，上＝まヤング率である．式（1）〜（4）から，押込みクリープに関する構成式を得る；

呵（÷〕 ＝」3〔意〕 ・（5）

有限要素プログラム（ABAQUS）を用い，自作ある．のサブルーチンを組込んで，庄子が試料モデルに次に，βを一定に保つようにするために押込まれる様子を解析した．圧子はβ＝680の円錐形剛体とし，試料モデルは軸対称低減積分要素を用い，高さ300叫m，半径3000岬1の円柱とし

β／F＝A（片‥荷重速度，ス‥荷重速度パラメーター）とすると，この場合の荷重関数は次のよ
うにも書ける；（6）

ここで，昂は初期荷重，Jは荷重時間である・このとき押込みクリープ曲線は，式（6）を式（5）3．FEシミュレーションの解析条件
CISR試験に関するFE解析を行うため，汎用

ここで，木＝4／C2，」3＝」l（3班m2β）￣〃／C2で

F＝昂exp（んけ（13）］r・た．各有限要素は弾性変形とべき乗則クリープ（吉＝」庁〃 ，」：定数，〃′：応力指数）が生じるように設定された．各値はAトMg固溶体合金の温度681Kにおける特性値とし，E＝47．2GPa，ポアソン比ソ＝0．345，」＝3．33×10￣8MPa￣3s￣100

時間変化を表している．実線は式（7）から得られた理論曲線である．ここで，式（7）の」3に含00

Fig．1は各々の荷重条件における押込み変位の02︺uO∈3月ds 占 u O コ 8 U 名 u −4．解析結果
4．1擬定常押込みクリープ

04∈も＝ヨした．なお，庄子と試料表面の摩擦は考慮しない．

8〃′＝3．0とした．押込み荷重はF＝昂exp（〟）で与え，．垢＝0．294N，ス＝0．25×10−3ロ8×10￣3s￣1とまれるC2値には後述する値（1／3．7）を用いた．0010（旧印はFE解析から得られた結果である．両者はよる．実線は式（＄）から得られた曲線である．0印はFE解析結果であり，両者はよく一致している．押込み歪み速度は，負荷直後から急激に低下

Fig．3は代表応力の時間変化を表している．実線は式（9）から得られた曲線である．0印はFE解析結果であり，両者はよく一致している．代表応力は押込み歪み速度と同様に負荷直後から急3（X泊4（氾0Fig．2押込み歪み速度の時間変化▲U︼J∧U2OO−・性歪み速度の等高線分布の時間変化を表してい2000

1ndentationTime、J／s4

ス＝1×10￣3s￣Iの場合における相当応力と相当塑

10000（7）〜式（9）の理論曲線とFE解析結果が良く一致することから，擬定常押込みクリープに関する構成式（12）は適切であるといえる．
次に，押込み歪み速度と代表応力が一定になった時間以降の庄子直下領域に拡がっている等高線分布について検討を行う．Fig．4（a），（b）は，Fig．1押込み変位の時間変化

吋白之＼b．Sお︼︶Sぎ一︼8uひS巴dU虚間とほぼ等しい．Fig．1からFig．3において，式50（旧5激に低下し，その後ある一定値に近づく．
ス＝1×10−3s￣lの場合，Js＝16．1MPaであり，式（11）と一致する．また，代表応力が一定となる時間は，Fig．2の押込み歪み速度が一定となる時4000

u一男S亡○コ8uOp∈−

し，ある時間経過すると一定値をとる．
ス＝1×10￣3s￣1の場合，よs＝0．5×10￣3s￣lとなり，式（10）に一致している．

30（氾7S︹．〇l＼句．リー司

く一致しており，負荷直後の瞬間変位のあと，時間の経過とともに徐々に増加する．
Fig．2は押込み歪み速度の時間変化を表してい2000

IndentationTime，（／sO

10（旧2000

3000

40（泊5仙0

IndentatjonTilne，／／s

Fig．3代表応力の時間変化

る．両者の等高線分布は，押込み変位の増加とともに拡がっていく．両図において1600sでは〟＝ように，両者は良く一致している．このことは押39．5〃mであり，これを基準として各々の時間に込みクリープ中，相当応力と相当塑性歪み速度のおいて変位の比をとると，1200sでは0．82，2000s
では1．22となる．この比率を用いて，相当応力分布が圧子の押込み変位に対して幾何学的な自己相似性を維持しながら拡がっていることを示

では 8MPa の大きさ，相当塑性歪み速度はしている．このことは，圧子先端を原点にして相2．5×10￣5s￣lの大きさをもった1600sの等高線分対的に同等な座標における相当応力と相当塑性布を0．82倍およびl．22倍する．図中には，1200s

歪み速度は常に同値をとることを意味する．そのおよび2000sの等高線分布上に各々縮小，拡大さ結果，圧子は式（10）で示される一定な押込み歪れた等高線分布が太い実線で示されている．このみ速度で進入し続け，式（11）で示される一定な変形抵抗応力（＝代表応力）を受けることになる．

5000

（a）／＝1200s 〟＝32・2−m′＝1600s 〟＝39．叫m′＝2000s 〟＝4g．3lm／＝1200s 〟＝32■2トIm／＝1600s 〟＝39．5四11／＝2000s 〟＝48．3llmFig．4（a）相当応九（b）相当塑性歪み速度の分布の時間変化（ス＝1×10￣3s￣l）
これは，庄子下において擬定常変形状態が実現しえられる・この場合，剛完全塑性体ではC】≡1／3．0ていることを示している．

が成り立つといえる．

4．2 押込み歪み速度と相当塑性歪み速度の関係
HⅢ（6・7）らは剛完全塑性体の二次元半無限ブ

ロック上面に対して垂直に滑らかな三角形剛体
庄子（頂角2β＝1360）を押し込んだ場合をすべり線場法により解析した．表面の盛り上がった部分の体積は圧子斜面によって排除された体積に等しいとしてク⊆4．2庵＝2．4yを導いた．ここで，クは押込み圧力つまり押込み硬さ，たはせん断降
伏応九 yは降伏応力である．また，工藤（＄）はHillと同様な前提条件で試料表面と圧子斜面との間に摩擦がある場合について検討し，静止摩擦

上述の検討から，本研究では代表応力をJ＝p／3で表し，この値と同じ大きさの値をもつ
庄子下の相当応力庁値の等高線を代表点の集合と定義する．同様に，この代表点の相当塑性歪み速度言を代表相当塑性歪み速度と考える．以下において，擬定常変形状態における押込み歪み速度毎と上記の代表点における相当塑性歪み速度の関係について検討する．

Fig．5（a）（b）は，Fjg．4の16005における相当応力および相当塑性歪みの等高線分布の庄子直下部分を拡大したものである．Fjg3のス＝1×H「3s￣lにおいてq＝16．1MPaであるから，Fig．5（a）にお係数〟が大きいほどp／yの値は大きくなることを明らかにした．たとえば〟＝0．1□0．2ではいて代表点は♂＝16．】MPaの値をもつ等高線（太p⊆2．8Y□2．9Yとなる．ChengとCheng（9）は，線）で表されている．この値を式（4）に代入す

押込み試験に関する次元解析と有限要素解析を行い，Ct値は降伏応九 ヤング率，ポアソン比ると，吉＝1．41×10￣4s￣lとなり，代表点における相当塑性歪み速度を知ることができる．Fig．5および庄子の形状（頂角）に依存することを示し（b）に代表点における相当塑性歪み速度の等高線た．彼らによると，摩擦が無く，β＝680の場合，が太線で表されている．Fig．4の1200sと2000s

Cl値は〝gの増加とともに約2．6から約1．5までにおいても同様にして代表点を決定することが変化することを示した．多くの金属ではできる・Fig，2 の1＝1xl（「3s−1におけるり丘＜0．0Ⅰであり，ク≡2．5ロ2．6rとなる．従って，摩擦がある場合はp／yは2．6以上になると考よs＝0．5×】0￣3s￣lと上記の代表点における古＝1．41×10￣4s￣lから，C2＝云／よs⊆3．6￣−となる．

A＝0．5×10￣3：6×10￣3s￣1についても同様にして求めると，C2＝3・5−】□3・8−1＝3・7￣1である・

従って，擬定常変形状態の代表点における言とょsは次のような関係式で表わせる；
言＝C2gs……

（14）

式（14）を用いることにより∴擬定常変形状態における押込み歪み速度を代表点の相当塑性歪み速度に換算することができる．なお，C2はス，β，〃などに依存する定数であり，今後詳細な検討を行う予定である．
4．3 クリープの応力指数

Fig．6はFig．2とFig．3において擬定常変形状態となったときのgsと町作の両対数グラフである．FE解析から得られたデータは一本の直線で近似することができる．式（13）からこの直線の勾配は応力指数〃に相当する．押込みクリープ曲線から得られた応力指数は〃＝3．0であり，この値は各有限要素に設定した応力指数〃′＝3．0とリープに関する応力指数〃 を正しく評価できることを示唆している．

CISR試験に関する理論解析およびFE解析を行い以下の結論を得た．

（2）理論及びFE解析により，庄子下の各々の点におけるクリープ変形がべき乗別に従うと
き，押込み変位から算出される押込み圧力と押込み歪み速度はある時間経過すると一定となる．

（3）一定となったときの圧子下における相当応力と相当塑性歪み速度の分布は，圧子の押込み変位に対して幾何学的自己相似性を維持しながら拡がる．これは庄子下において擬定常変形状態が実現していることを示している．

（4）押込みクリープ領域における代表点を定義し，その代表点上における相当塑性歪み速度

妄と押込み歪み速度gsの間には言＝C2gsなる関係があることを確かめた．本解析条件
では，C2＝3・5￣1□3・8￣1＝3・7￣tである・（5）押込みクリープ曲線を解析することにより，定常クリープに関する応力指数を正しく評価できることを示した．

丁（1）CISR試験に関する構成方程式を導出した．

O

5．緒言

7S︑げ．〇︼遥じ扇島SuOニβuUpU−完全に一致する．上記の事実は，CISR試験によってよsおよびqを得ることができれば，定常ク10−l10−3NomalizedStress，q／g2×10￣）

Fig．6擬定常変形状態におけるgsとJs作の関係
Rererences（l）H．Takagi，M．DaoandM．FLtjiwara：ActaMechnica
SoIidaSinica，21（2008），283．

（2）H．Takagi，M．Dao，M．F可iwara and M．Otsuka：
PhilosophicalMagagine．83（2003），3959．
（3）H．Takagi，M．Dao，M．Fujiwara and M．Otsuka：
MateriaIsTransactions，47（2006），2006．
（4）H．ThkagiandM．FLtiiwara：MaterialsScienceForum，
5 l−5 5（2007），2063．

（5）D．Tabor：TheHardnessqrMetals，OxfbrdUniversityPress（1951）．

（6）R．Hi】1，E．H．Lee and S．）．Tupper，Proceedingsof
the．RoyalSocieけOfLondonA，188（1947），273．
（7）R．Hi11：MathematicalTheory ofPlasticity，Oxford
Univ．Press，Oxfbrd，（1950）．
（8）工藤英明，塑性学，森北出版（1973）．

（9）Y．T．ChengandC．M．Cheng，InterTlationa】Joumal
OfSoldaれdStruCture，36（1999），123l