計測自動制御学会東北支部弟17姻研究集会（1998．12−14）
資料番号179−1コ

制御別の切り替えを含む最適レギュレーターについて
Non−1inearOptimalRegulatorincludingswitchingcontroIpolicy○小原大輔†，森本潤†‡ 鈴木睦†
ODaisllkeObara†，JunMorimoto†‡，MutumiSuzuki十十東北大学院・工、‡三共株式会社第二生産技術研究所†TbhokuUniversi七Y、‡SankyoCo．，LTD．Proce5Sl］evelopmentLaboratories
キーワード：最適レギュレーター（optimalregulator），最大原理（maximumprhciple）
連綿先：〒98ト朗79 仙台市青葉区荒巻字音棄07東北大学工学部大学院工学研究科化学工学専攻鈴木研究室

小原太軌恥1．：（822）217−7ヱ6邑，臨Ⅹ・＝（022）217−7謂3．駐mail：Obara咋粥・Che・t血oh・a⊂・jp

1．緒言

Tablel Hamiltom関数の性質
Ha．milton関数の性質

非親．形システムにおける貴通レギュレータの問
題について、嫌々な手法が考案されている。我々

数学的表現（a） 極大値で最適

首月 ー＝0（b） 庵大値はD

月■＝0（c） 常に極大

孟〔芸〕＝0∂uは化学プラントの最遠運転計画の検討で得たPon−tryaginの最大原理による1変数およぴ2変数の解法を用いて、最適レギュレータ問題を状態方程式か変数の微分形を得ることができる。

ら直接解くことを考え、この手法により制御則を物理量を用いて簡単に表現する手法を紹介してきユ．設定した問題た。今回は、特異制御の考えに基づき、比較的簡Fig．1に示すバッチ反応器を用いて、d（原印→単に導出が可能な制御削である、最適温度軌道を月嘩品）→C〔副生成物〕のような速攻反応を行う問用いた切り替え制御を紹介する。

題を考える。ジャケット内は完全混合とし反応熱項を月（れ）で表すと、反応器内部温度れ、ジャケット温

2．一般解法度nの時間微分はそれぞれEq（1）、（2）のように2．1 はじめに表される。ここで仲1＝〔せ1Pllノ1、仲ち＝Cp評3鴨、叫＝q叫酬である。

終端時間が自由な場合のPontryaginの最大原理をTablelに示す。この性質を用いてHamil七on随伴

九＝｛叫卜叫n一柳（1）

関数を消去することができる。1変数系の墟合直
接制御削を得ることができ、2変数系の場合操作

喪＝布一旬＋A打（れ一茄）（2）t中盲−・」．−

各反応が一次反応である時、反応熱項は以下のよ
T乱ble2 ＝物性うに表される。

u／aC
Ckβ−＋C

以上に示した問題について、操作変数をジャケッ

A月 1仲r

頻度因子10I

反応熱〔5）

3．6xlO14

悟性化エネルギー β月 Cal／mol

ト人口温度℃血として反応液温度れ制御則を尊く。

4 1nU nUり︼al

転＝A岬〔諾〕Xl醐20りlH

活性化エネルギー一冊′・‖

頻度国子
（4）

月じ苫A→月A︒軋現点A＝AA叩（諾〕e．

Ⅴparameter
月（n）＝ 竹丘AC■A∬A＋坑毎C長打月（3）

宝7000

反応熱

鮎 kcal／mol

反応液比熱

Cplk亡叫′m3熟媒比熱

Cp3 kcal／m3

反応液比重凸 kg／m3

1000

熟媒比重

βヨ kg／ma

1tl〔）020
11Table3 装置条件
parameter

val11e

内容量

仇 m3

5

伝熟面積．4 m2

5

籍括伝熟係数 打 kc叫m2／℃／Hr 30（〕
ジャケット容量 鴨 ma
熱媒流速0．5u m3／馳

5

式中の町，ぢは目標の定常値を表す0また、Eq（1），（2）で表される温度の時間微分をれ＝∫1

喪＝J2と置き、上agTangeの未定定数法により、Eq（恥（了）．（8）3．1 計算条件を統合すると以下の式が碍られる。

計算に用Vlた物性をTable2に、装置条件，計算／j・一虹ノ

条件をTable3，4に示す。

‡血＋丑同一ム）＋叫苅−ム）匝→e加rem口上（9）

このときのH五milton関数は以下のように表きれる。

4．理論
4．1 特異解∬ ＝ −F＋plfl十鞘ム＝g（耶抽・山戸瑞花几（1D）

評価関数を以下のように定義する。
ふ戯→mf扇mlJm
上り九＝P同一雪）2＋q（苅−ぢ〕3

pl＝＝ユ1t6）−2−（11）

4．2 特異解の導出

Table4 計算条件
value

parame七er
目標反応液温鹿町

A成分濃度

C㌧

B成分濃度

仁b℃

Eq（13）の両辺を乃inで微分すると以下の関係式が得られる。

100mol／m3 800
mol／ma 200∂月■＝P＝0（16）∂7ちh

ジャケット人口温度

Tablelの（c）の条件から、最大値

筑fnm4∬ ℃120

最小値

ninm玩 ℃

−50

孟（p3）＝O（17）Hamiltロnの正準形式から

p2＝＝入3p2 ＝（叫∂ダ ￣Ponはyagi皿の最大原理に基づき、Eq（10）の茸を石京∂長∂ム

pl百頁￣町有

ALr＝2抑ぺ）一戸l一（20）最大にする操作変数を求める。操作変数筑玩に関して一次式となるので、。

m＝由＝0であることから、
ni乃＝瑞Ⅷ撼 画紆‰＞0の時‡ 苅如1血 郎訝‰＜0の時

Pl＝のbang−b弧g制御が得られる。これを普通解と呼空々〔n−ぢ）（21）が得られる。Eq（16）をさらに微分すると、ぷ。

（）

孟（榔−ぢ卜pl芸）

このときHamilton関数の性質からEqtlO）は一定．の値をとる。

＝2航●plA打（2封両＝ D

Hamiltonの正準形式から∬（n】射1・pヨ）柏‰輔血（13）∂月■pl

この条件を満たすもう一つの解が存在する事が＝∂れ＝抑ぺ）一計里謡−A印判

知られている。すなわちある有限時間fl，土ヨにおいてをEq（叫に代入し、整理すると、特異解の条件

g（れ，了ち，pl，m）＝C相成

を満たす操作変数の式とLて、（14）

窄血＝筑＋（n一打ト

およぴl悔（乃−ぢ）p乃山＝0

叫3＋1Ⅳ1

A叫n一瑚W2（旦許一叫（24）（15）が得られる。

を満たす解である。この解は特異解と呼ばれる。
システムの最通解は、ある尭件の下で普通解と特4．3 最適坑温度軌跡の導出異解を接続する事で得ることが出来る。以下に特現在の反応液温庶を維持するジャケット温度を異解についての検討を行う。

軍とすると、
了晋＝n−−3−型型
A打（25）

同株に目標反応液温度Trを維持するジャケット温得られたEq〔35）を一方熟収支から与えられるジャ度をぢとすると、ケット温度乃の時間微分の式Eq何に代入して喪を消去するとことで、Eq（叩を得ることが出来ぢ＝T一些型（叫．・ヰ打る。この式を生理するとすでに求めた楷異解の式と表すことができる。反応液温れを耳、ジャケットEq（24）と同様の式を得ることが出来る。このこ

温度nをuとL、評価関数Eq（6）の坂槙分関数をとから最適策軌道を維持する操作変数の式が、特ふEq（1）をムとおくとHamilton関数∬および随異牌の条件を満たす式であることが確認された。

伴関数plは以下のように定義される。
ガ＝−ふ十plJl

J】廿ゝ ′lドnin叫 ＝ n＋（27）閏一帯卜伍一瑚（？Ⅳl叫l晦（月（n）−A［りpl＝＝ユ（乃−ぢ）〔叫Ⅳ11〃3（28）Tablelの（a），（b）の条件より
ヽ■■′′′■■lヽ︹U．1−113︶

一ふ＋plム＝0∴pl9＝0∴Plり︼＋豊語ムーム一咄）＝等烏ACA∬A＋宅掛月C摘
4．4 切り替え制御
以上で得られた通常解と特異解を組み合わせたこのEq〔29），（30）からplを鞘去して制御を行う。ジャケット温度がEq〔叫で表される現叫の健からはずれている場合、最適制御は通＝（31）1常芦別二基づく叫仙畑と叫血のbang−ba咽制御となり、を得る。また

制御則は語＝2恥叫、監＝叫彗jnm。訂 苅叫＞苅の時

排日削一（32）

四坑油壷n：指叫＜範の時であるから、Eq（31）に代人して整理すると（u一叫で与えられる。一方ジャケット温度が、Eq（34）での二次式となる。

表される茄画の値に一致Lた幣には、Eq（37）に基づいて熊山を洪庵する。数値的間盈及び安定性（…・J3−2（u。一珊叫 一芸｛…り3＝0を考慮して以下の式に基づき制御別を決定する。
（叫端正＝乃f叩上十叫n研一苅）

この式を解くことにより最適策温度軌跡

了ち抽爪h≦耶血≦T盲i。m。∬
範＝一丁富士（ぢ一耶＋諦一耶（34）迅の値と、乃叫とのずれに応じて操作変数が決麿を得る。Eq（34）から苅の時間額分せ求めることさ九る。係数上の値が大きいほど、bang−bang制御で、以下の関偉式が得られる。

を行う領域が広くなる。Fig．2にTを100℃とL、ゐ＝叫戸畑＝100として切り替え制御を行った際

喪＝和語士主義芸）｛35｝の罷叫，苅一帯h叩よ†乃in各温度の変化と制御マップを示す∴花車と苅の値が離れているときはbang−㌍〔T冒一群＋言（rlぺ）（36）bang制御を布い、苅叫と苅の値が近づくと、特異ー4皿（38）制御に切り替わり、Eq（34）から得られる苅最適と定義する。熱収支より温度軌道をたどり、目標温度へ到達する。
︵U595U ロ 5 7

巴コl空 乳 ∈ 心 ト棚2（n山一苅）＝−A亡J（n一重〕 （4D）
上武を用いてEq（1）よりnを鞘ますると川矧g彗97TI＝屈（n）1A［J一柑2勒 InA亡J＋ひ2￠0．050．10．150．20．ヱ50．30．350．40．450．5

笹一基i。）（41）となる。ここで現在の反応液温度を維持するジャTim色【Hrf巴コl変乱∈甲ト120
1101009080TO805040

ナット人口温度を指nとすると、了芯。＝れ−

A打＋址佗．肌・■什コ

月（れ）

（42）

同様に目標反応液温鹿町を維持するジャケット入

口温度を了芯nとすると、00．050．10．150．20．250．30．350．40．ヰ50．5
T㌫n＝ギー¶me［Hr】

A亡J＋・山2呵町）（43）ノl（J什もと表すことができる。評価関数の披積分関数を九、別g．2 切り替え制御軌道（P佃＝102）

Eq（41）をJlとおくとEq（31）の関係が成り立ち、整理した二次式を解くと吊血＝7芯。土100｛指托一指n）3＋（n一耶

90（44）

80を得る。評価関数の重みを、P／q＝10ヨ、P／￠＝TO

104とした時の1変数系と切り替え制御わ制御軌

60

道をFi苫．4に示す。ジャケット温度苅の応答の遅れ50を考慮していない1変数系制御と比べ、切り替えヰ0制御でのジャケット温度の立ち上がりは早く、130変数系制御に比べよい結果が得られた。

2098 98．5 9g 9g．5100100．5101101．5102

4．6 カスケード制御

Tl

目標反応液温鹿町に対してまず仮の操作変数と甘桓．3 切り替え制御軌道（戸畑＝102）してジャケット温度苅を考え、最適レギュレータを構成する。次に上記レギュレータにより求まる

4．5 1変数系操作量鞄を軍♯として、ジャケット人口温度苅hの反応液れの変化に対してジャケット温度乃の変操作畳を決定するカスケード制御を考える。

化は非常に早い辛が予想されるため、苅＝0と近評価関数をEq（4恥親状のnを維持する軍，Tを似Lた1変数系として考える。評価関数を維持するぢはそれぞれEq（46），Eq（47）となる。

（Pl（n一ギ）3＋Ql〔鞄−ぢ）2‡df→minim岨1−TT）2＋Q（7l＝L¶u指n）21dl→minimum
切口惜ヨ門口

（45）

〔39）

｝5−

0〇

呈05g581

聖コl空乳∈￠ トを得る。カスケード制御と切り替え制御の比較のため、Pl／仇＝1ロコ角帽3＝1とした際の制御軌道

Fig，5と、巧／ql＝10コp2伯ヱ＝100とLた際の制川︵U1．5

御軌道Fig．6を示す。カスケード制御では乃の遅れ2が考慮されているが、吊／q2の値が小さいFi苫，5た9000

御とカスケード制御はほぼ同様の結果を示した。

乃なように、角帽2の値が大きVlとき、坑の範叫か60

巴コl巴鼠∈￠ト

比べ、角／Q3の値の大きいFig．6では、切り替え制らの偏差が重視されるようになる。そのため、カカスケード制御に関する式（Eq52）からも明らか

スケード制御と苅叫からの偏差を基準に制御を行

50

00．5

11．52

う切り替え制御とでほほ同様の制御例が得られる

Time【Hr】

事が確認できた。

Fig．41変数系制御軌道と切り替え制御軌道（P佃＝102）∧U

1000．川些型

g9ALr﹁占︵U5q︶58型聖j

1

T言＝TT−

巴コl空且∈中ト

巧＝n−

A打

1．5

2

1．5

2

1変数系の解法より昭一耶＋隅一耶｛呵Eq（4郎で得た苅を新たな目標値ぢ■として最適レ

爪U

ギュレータを構成する。評価関数をEq（49）。現状

亡U

巴コl空堂山∈0ト

鞄＝軍土■U5の弟を維持する指n．軍■を亜挿する了芯れはそれぞれEq（50），Eq（51）となる。

00，51

T血可Hr】（角（鞄一7㌻）2十仇（那加一花n）り血→minim止血Fig▲与 力スケ山ド制御軌道と切り替え制御軌道（49）（凸伯1＝1Dコ凸佃コ＝1）
7芯n

範一（n一瑚了芯n

町一（耳一打）（51）

（50）

古．結吉

全く同様にLて苅in＝丁芸。土

備異制御の考えより得られた切り替え制御手法と、すでに求められていた1変数系およびカスケー

侃一射十（筑一耶

ド制御との特性の比較を行った結果、カスケード（叫制御と同等以上な良好な制御を行うことができた。

ー6−

0〇

1亡まU5g豆1

巴コl空乳∈心ト

0102

1．52︵UO
爪V
87

聖コl空乳∈￠ト

1．5︵ロ00．51Time【Hr】

Fig．6 カスケード制御軌道と切り替え制御軌道（礼帽1＝102巧伯コ＝103）−7一