計測自動制御学会東北支部第1揖回研究集会（19弧10・18〜lg）
貿料番号163−5

モデリングと制御の融合についての一考察
Ast11dyonafusionofmodelingandcontrol○小原貴光事，渡部慶ニー，山田功■．斎藤周次■
OT．Obara暮，K．Wa．tanabe，K．Yamadar．S・Saitoh−＊山形大学＊YamagataUniversitv ■キーワード：モデリンr（modeung）．ロバスト安定（robuststability），内部安定（inter11al＄tability））飽
和要素（theelementwithsa・turation），自助振動（1imitcycle）
連絡先：・〒992 米沢市城育も3−16山形大学大学院工学研究科電子情報工学専攻渡部研究室
小原貴光，Td．：（0238）26−3326I酌瓜：（0238）24−2了軋駐ma・il＝Obara鮎甘ky・yZ・ya血a旦ata￣q・a⊂・jp

い方法であるが、モデル誤差△G（封が大きい1． はじめにと低感度にで幸る範囲が狭くなる。良好な制フィードバック制御系の設計の目的は、出御特性を得るには、モデル誤差△G（占1を小さ力が安定でかつ、目標値に対して高速で小偏くする必要がある。

差に追従し、外乱に対しては高速に0に盤定

このようにモデリングと制御は密接に関係する制御系を設計することである。そのためにしてい阜が、従来はモデリングと制御は別々には、感度関数坤〕→0にする必要がある○し検討されてきた。ここでは、モデリングと制かし、感度関数∫（占）→8にすると、相補感度御を融合する一つの方法を提案する。具体的

関数r（占）→1となり、モデル誤差△G（β＝こ対には、重み関数W∫（可だけを与え、次の感度して制御系が不安定になる。そこで、重み関数仕様【ll侮（β）坤川曲＜1を満たし、モデル誤Ⅵな（j），Ⅵセ（占）を導入し、感度仕御ll鞄（β）叫川
OJ

差△G（き〕の影響下で不安定にならないように＜1と相補感度仕様【ll竹（j）r（可帖＜1をモデルG〔占）を修正していく方法である。定位満たすように設計することがS考えられた。

系においては文献1）で報告されているので、これらのことを実現する方法として、∬∞制

ここでは、1入力1出力、不安定零点を持た御や〟一解析などかある。これらの方法は、モず、無定位系の制御対象に対して、相対次数

デル誤差△G（β＝こ基づいて重み関数l竹（ぷ）がおよび高周波ゲインが未知の場合に対するモ決まり、それから、重み関数l侮（占）が決めてデリングと制御の融合の方法を提案する。

いた。そのために、パラメータ変動やモデル
誤差△G（β＝こ対してはロバスト安定にする良ー1−2． コントローラパラメトリぜ−ヽ

内部安定性

ソヨン

（：〕＝〔管｛1二訝G

制御対象ち（β）を無定位系で、）〔；〕（4）（4）式のすぺての要素が安定なと善に内部安れ一q定と呼ぶ。

H（1＋叩）
f＝1
Gp（占）＝た0Il

1・馴・5．）が安定（1）2・q〔j）G（j）が安定⇒

βⅡ（1＋恒）i＝2G（β）の不安定極をq（可の零点で消去とし、そのモデルG（β）を3・（1−（往き）G（可）G（j）が安定⇒

G（β）の不安定植を（1一句tき）G（り）の零点亮一す

で碑去H（1＋如）
i＝1
再G（β）＝毎1・2・3・を満たすと幸に限って、制御系を内部安（2）定にで善る。

占口（1＋右f∫）

f＝2

L Gp（き）≠G（β）のと幸の感度関数∫再）はとする。ただし、町曾はGp（j）の分母の次数、相対次数で未知、希，百はG（β）の分母の次
封β）＝1−q（占）G（卓）（5）数、相対次数であり、甘≧百とする。また、沢（叫）＞0，呵吊＞0，沢（丘一）＞0，呵古i）＞0，た。卍も＞8と表せる。相補感度関数r（占＝まとする．
r（j）＝q（β）G（βJ

制御対象ち（β）とモデルG（可の間にち（β）＝
G（可†1＋△G（β））の関係があり、△G（j）はモと表せる。

デル誤差である。

以下では、重み関数仰5（りをGp（j）＝G（β）としたときの系に封g．1のw拍）＝フィードバック制御を行う。

（6〕

∬＞0

占（7〕

で与えたと幸、感度仕様l】1鞄（占）∫（j川加＜1を満たし、dバスト安定な制御系の構成を考える。
補償器材伺をq（き）＝q仏〔可・仇（β）とすると、q。（β）は条件1．と2．より、q。（百）＝11G（古）（1＋丁ぷ〕す

亡1＋丁古）百（8）Fig・1 Contro11erparametriza．tionに温拭J伺はプロパーにするためのフィルタであり、時定数丁は調節パラメータ（正）でコントローラC（可をある。
C〔β）＝q（∫）

吼両刃ま条件3・と感度仕様旧昭巾け（β川00＜（3）1−q（β岬〔β）

1を満たすために叩F回il一々ぴf・享）軌（j）G（き））G（占）と自由パラメータQ（占）を用いてパラメータ化か安定になるように決めると、する。

1＋（百＋1）Tβ∫王タ．1の制御系の安定性を考える。

￠b〔β）＝ー2−1＋丁占（9）となる。ただし、昏はG（可の相対次数とする。

以上より、補償器牒（占）は、Q（占）＝ q。（j）■qふ（β）
11＋（百＋1）丁占

1G（β）（1＋T坪 （1十丁占〕

11＋（百＋1）Tj
G（j）（1＋Tj）什l（10）とする。（5）式と（6）式と（10）式からFig・2 Ny（1uist仁山・VeOfr△G1＋（百＋1）rβ∫（占）＝1−（1＋丁β）叶11＋（昏＋1）Tβr（∫）（1＋丁坪十1となる。
IIWぶ（占）∫（占）帖＜1を満たすようにq（占）を決定する。

このとき、∫桓．1の制御系の安定性について、次の定理かある。
定理2．1 fl吋1の制御系において、制御対象ち（β）とモデルG（β）はいずれも無定位系とする。モデ順差嘩＝ま−1で、Fig・3 Nyquistc111・VeOfr△G補償器q〔β）は（10）式で与えられるとする。
l＝悔（β）∫（β）＝規＜1与満たす補償器q（β）

r（ゴu）△G（ブリ）のベクトル軌跡が点卜1，即）のに射し、ロバスト安定条件か満たされないと左側を回らないと卓、そのと卓に限って封g，1きロバスト安定になるようにモデルC（β）の修の制御系は内部安定である。

正を行う。

（証明）ナイキストの安定判別法から、明らかである。□

3．モデルと制御の融合の原理

T（Ju）△G（Ju）のベクトル軌跡かf句．2のように点ト1，州を回らない場合は安定であr（JJ）△G臼山〕のベクトル軌跡が∫よβ．4のる。r（ル）A〔；（ju）のベクトル軌跡が封タ．3のような場合には、∪＝山上の近くのベクトルをように点ト1，州を回る場合は不安定である。

苗g．5のように位相を進ませてやれば安定化の可能性かでてくる。

一3−

爪g・7より、モデル誤差△G（可の位相を進めてⅠ．唱

やるには、1＋△G（β）の位相を進めてやればよいことがわかる。よって、位舶x（1＋石iβ）

R−

Gp（β）と進み補償してやればよい。

G（申宣以上から、実際にモデルG（き）をFig・4 Ⅳyq山王t亡ⅦrVeOfr△GG（巾L

山＝叫．

−■】

1（13〕

1

石i＝（0＜α≦り（14）に修正すればよい。1個で足りないときは、Rt

2個、3佃と増やせばよい。ただし、甘く昏に㌧−T 血G→00になり、そこが補償のなると、
jo〇）限界である。

振動角周波数叫を安定に測定するため∫柏．8
Fig．5 Ⅳyquist⊂u∫VeOfr△Gの系を考える。

相補感度関数をr（占）冠1とすると、封g．5は∫ig．6となる。

肥
Fig・8 Ⅳロnlineal・SyStem
山＝叫一 −・l．

Rモ

ただし、Ⅳ（，）は封葺．9のような飽和要素㌔■

AG（リミッター）である。

刀ユ ニ ≧刀Fig・6 ny両日t亡urVeOfr△G（r卍1）

ヱエl芳l＜刀醐＝・‡

一刀上 ヱ ≦−β

Im

R．
G二」

．1● AG

Figr9 theelementwithsatura．tion

Fig・7 pha5e−1ea・d⊂OmPenSation−4−（15）軸と交叉する角周波数u＝U2がわかる。このエは傾斜で、剖ましきい値、∬は入力であ叫を用いて、（13）式，（14）式でモデルG（占）をる。ここで、上＝1とする。
〃＝1のと善∫孟g．8の系は封β・1の系と等調整すればよい。

価である。

4．調整アルゴリズム

飽和要素の記述関数は次式で与えられる。

制御対象は無定位系とする。
ステップ1ニスチップ応答や周波数応答等
叫＝言【sin−1（苦汁書から、初期モデル仁一占）を占G（0）＝βGp（0）となるように決める。（■不安定零点を持たないと封g．8の入出力伝達関数はする。）
ステップ2：重み関数W占（占）を決定する。

〃q（占）Gp〔占）Gツー（占）＝（17）

1十〃T（β）△G（占）ステップ3：モデルG（・5）の相対次数の補となる。特性方程式は正の最大値百m￠ヱを決定する。
ステップ4：∫m払方（β）＝1−1＋〃r（β〕△G（β）＝0（1十丁β）昏爪山＋1（18）が条件Ill侮（占）∫（β川畑＜1を満たすように時である。ナイキストの安定判別法から爪g．10

定数丁巷決定する。に示すようにr（ゴ〕）△G（ブリ）のベクトル軌跡

か、一1＋（融、。∬＋1）Tβ1と交点硝てば、振幅瑚、角1＋（す＋1〕Tjqb（占）＝周波数山＝叫の安定な自励振動が発生する。

1＋丁∫11とする。

ステップ6：しきい値βを一定値に固定し、図．11の系を構成する。

lm
一RtFig，11 ⅣonlillearSyStem

T且G

ステップ7：ステップ関数を入力し、囲．11

Fig■10 Ⅳyq山st亡urVeOf一下転andT△Gの系で自助振動が発生しなければ、ステップ8一へ。囲．11の系で自励振動が発生すれば、振動は、 ∬＝刀で−1なり、エ→∞に角周波数を測定し、坤卜坤）x手太極＝1

すると、一小∞になるqしたがって、両志（0＜α≦1））になるようにモデル嘩）を修正して、ステップ5へ。ただし、モデルG（j）

r（ブリ）△G（ゴ山）のベクトル軌跡か点ト1，舛）を回らなければ、交点を持たず、自助振動が生の相対次数紳くモデルG（β）の相対次数の補正じない。の最大値弘也ごより大きくなったら、相対次数r（ブリ）△G（ル）のベクトル軌跡が点卜1，JO）の補正の最大値百爪￠∬を変えステップ4へ。の左鵬回ると、必ず＿てと交点を持ち、自 ′山川L￣￣−、￣ノ

ステップ8：図．12の系を構成する。

〃（ご励振動が生じる。r臼u）△GjLJ）の軌跡から実一5−重み関数ll／Wゴトs）lと感度関数1∫（珊を∫i耳．14に示す。下図より、時定数丁をT＝0■05

IIIIIIと決定した。

Fig・12 feedba・CkcorLtrOIsystem

5．数値例
制御対象

2．1639Gp（5）＝㌔＋1．5012β2＋7．7284占（19）Fi苫．14 weightingfun亡tion El／W5（s）E andとする。

SenSitivityfunctionLS（s）l

次に、重み関数叩！巾）を（8），（9）式から、フィルタJト）補償器q皿（β），Qb（β）
鞘（β）＝（20） は以下のようになる。

βとする。
1回自1＋0．05β

制卸対象のステップ応答を∫桓．13に示す。

j0・2き（1十0・05占）1＋0．1β

1＋0．05占

ただし、しきい値βを0．1とする。
■t一■■■一∫王g．11の系のステップ応答を∫亙15に示す。

●

●

t●

l暮

I■

l■

■●

11

●●

▲●

事■

Tl■●■H鴫Fig．13 nnitsteprespo巧SeOfGp（5）上図より、初期モデルG（可をG回＝竺空

占（21）

l I

■

l■■l■一−lと決定する。

Fig．15 m血steprespomseofFig・11in百＝1

モデルG（β〕の相対次数の最大値私恨を‰朋＝3とする。

自助振動を発生し、振動角周波数はuコ＝4．7872である。
一6−l（8），（9）式から、フィルタ井症補価器q。（j），仇（β）

2回目

石2＝孟＝孟；＝0・4178に選ぶ。（13）・（14）は以下のようになる。

式より、新たなモデルG（β＝ま次のように（1＋0・05古）ユ0．28
G（5）＝8（1＋0．417鮎）

8（1＋0・417叫（1＋0・218叫（25）

0．28（1＋0．05占）3
1＋0．2βとなる。

1＋0．05古（8），（g）式から、フィルタ拍〕，補償器Q■（β），qb〔占）は以下のようになる。

Ffタ．11の系の単位ステップ応答をf句・17に示す。
（1＋0・05りユβけ＋0．417鮎）

0．28い＋0・05β）3
1＋0．15β
1＋0．85β∫壷タ．11の系の単位ステップ応答を∫ig■16に示す。

I l l■▼■■l●●−lFig．17 unitstepresponseo‖「ig・11in百＝3
上図より、制御系か安定なった。ここで、∫句．18の系を構成する。

l l I

l l lT■■l▲■■l

Fig．16 unitstepresponseofFig■11inす＝2

Fig・18 f由dbackcontroIsystem

自助振動を発生し、振動角周波数はu2＝9．1392である。

封g．18の系の単位ステップ応答をf句・193回目に示す。

石3＝志＝す缶＝0・2188に選丸（13）I（14）式より、新たなモデルG〔β＝ま次のように0．28
G（占）＝可1＋0．417叫（1＋0・218鮎）（29）となる。

−7一lJ

Fig・19 0utPutreSPOnSeOfunitstepfunction

嘉IJ I I■T■■匝−｝

Fig・22 0utPutreSPOnSeOfunitstepfunctio

ダ王タ．18の系の単位ステップ外乱応答を∫ig・20

6． おわりにに示す。

本報告では、1入力1出力、不安定零点巷持たず、無定位系の制御対象の相対次数、高周波ゲインか未知の場合のモデリングと制御の融合の方法を捷嘉した。この方法は、リミッ
ターを利用することにより制御対象とモデルの相対次数かずれている場合に出力が過度に大書くなることを抑制し、制御対象をヰすこt．1■となく、モデルの相対次数を調整する方法で

tJ I IJ−■ト・●■lあり、これによって、制御系の内部安定性とロ

Fig・20 0叫雨TeSpOn5eOf血tstepf皿亡tion

バスト安定性を保証しなから、制御系の低感

with distllrba．nce

度を実現で幸るようになった。

苅g．18の系の零点巷考慮に入れてつぎの参考文献ように変形する。

1）乙臥Shu− G・且・Iz山叫 E・Watanabe 弧dト∴＝‖l

Ⅸ．Yana．da．：Unifica．tion of Modeling，■．l．‖l】l■lト‖＝Iand Controlhr Desired ControIPerねr−■！仙l…

mal、。eS，IEEECI）C96，（toappeai）‖・ ■llll1111l

Fig■21tmsformedfeedba・Ck亡OntrOIsystem2〕平井、池田：非線形制御システムの解析㍉9／叫オーム社，（ 19卓6ユ

このと卓のステップ応答をF料22に示す。

3）MorariTM・a・ndZafiriouE∴RobustPro−
cesscolltrOl，85／112．PrenticeHall，（1g89〕−8−4）Doyle，J・C and Ffa・nCis，B・A and TaJl−
nenb乱nn，A且‥ 馳edb誠k ControITbe−oTy，吋略M誠m辻1弧P山止血ng，（19g2）−9−