数学的概念や問題解決過程を構造化する生徒を育てる数学科学習指導－三つの振り返り活動を通して－
教育指導部教科教育班 長期派遣研修員（福岡県立筑紫高等学校 教諭） 飯田 啓介
１ 研究主題についての説明(1) 研究主題の意味
ア 主題について「数学的概念」とは、数、数量、図形、関数及びそれらの関係についての知識である。
「問題解決過程」とは、既習の知識や新たに獲得した知識を活用し、論理的な思考を経て問題に対する答えを得るまでの考え方や手順のことである。
「構造化する」とは、物事の表面的な要素だけでなく、全体像を見極め、構成要素の関係を分かりやすく整理することである。「数学的概念や問題解決過程を構造化する」とは、生徒が数学を学習する過程で新たに出合う数学的概念と、既習の知識を関連付けて考え、分類・整理しながら獲得することである。また、単元の中で取り組んだ問題について、問題解決に向けた思考の過程や手順の中から共通点や相違点を見いだし、分類・整理して把握することである。数学的概念や問題解決過程を構造化することにより、問題解決の構想を立てる際、定義・定理・公式や解法の丸暗記に基づく表面的な考察ではなく、問題を構成する要素を見極め、解決に必要となる知識や解法を、明確な根拠に基づき、的確に選択できるようになる。
以上のことを踏まえ、本研究で目指す生徒の姿を、次の三つとする。
○ 個々の知識や解法を、既習の知識や解法と関連付けて考え、分類・整理しながら獲得することができる生徒【知識・技能】○ 問題を構成する要素を見極め、解決に必要となる知識や解法を、明確な根拠に基づき、的確に選択できる生徒【思考・判断・表現】○ 新たな自己課題を見付け、その解決に向け、学び続けようとする生徒【主体的に学習に取り組む態度】
イ 副題について
表１ 三つの振り返り活動「振り返り」とは、問題解決の場面で関連のある既習事項を想起したり、授業や単元の学習内容を見つめ直し、できるようになったことや次の学習までに補わなければならないことを確認したりするとともに、次の学習への課題を発見することである。
「三つの振り返り活動」とは、問題解決の場面で、解決に向けた見通しと構想を立てるために行う「振り返り活動①」、一単位時間の授業末で、自己の変容を自覚したり、学習内容を整理するとともに、次の学びにつながる問いや目標を立てたりするために行う「振り返り活動②」、単元末において、単元全体の学習内容を構造化するために行う「振り返り活動③」のことである（表１）。
ポリアは、問題解決を進める段階には四つのステップがあると述べている。図１に、この四つのステップと三つの振り返り活動の関係性を示す。これら四つのステップを踏むことを体験させるだけではなく、次のステップに進む際に、自己の学びの到達度や、学びの過程をメタ認知することで学びが深まり、主体的な学びへとつながっていく。また、単元全体
図１ 問題解決四つのステップを通して、蓄積してきた知識や解法、問題解決の視点を単元- 1 -末で振り返ることで、単元で学習した数学的概念や問題解決過程を構造化することができる。
(2) 主題設定の理由
小学校算数、中学校数学、そして高等学校数学Ⅰまでの構成は、「数と式」、「図形」、「関数」、「データの活用」の四領域に大別されている。これは、数学Ⅰが生徒の進路志望に関係なく全員が学ぶ必履修科目であり、中学校との接続に配慮して、この四領域の構成を引き継いでいるためである。しかし、数学Ⅰの後に履修する科目、数学Ⅱ、数学Ⅲなどでは、学習中の単元に係る問題を解決しようとする場合に、別の視点をもつことにより、他の特定の領域の問題に帰着させることで解決できるケースなどがあり、科目間の内容相互の関連や学習の系統性を図ることが重要となってくる。また、新学習指導要領
では、自ら課題を発見し、多様な他者と協働しながら、正解が一つとは限らない状況の中から最適解を見いだしていく探究的な学びが求められている。数学的概念や問題解決過程を構造化する過程では、全体を構成する要素を比較、分類し、理由付けや順序付けを行いながら、つながりのあるもの同士を関連付けるなど様々な「考えるための技法」を活用する。数学の学習を通して、この「考えるための技法」を活用する力を向上させることができるという点においても、本研究は意義深いものである。
２ 研究の目標
高等学校数学科「数学Ⅲ」の学習指導において、数学的概念や問題解決過程を構造化する生徒を育てるために、三つの振り返り活動を行うことの有効性を明らかにする。
３ 研究の仮説
高等学校数学科「数学Ⅲ」の学習指導において、三つの振り返り活動を行えば、生徒は新たな知識や解法を既習の知識や解法と関連付けて分類・整理することができ、数学的概念や問題解決過程を構造化する生徒が育つであろう。
４ 研究の具体的構想（図２）(1) 単元全体を包括する問題「単元全体を包括する問題」とは、この単元で学習する内容を多く含む問題である。
「見通す」段階で、この問題の解決に挑戦する機会を設定することにより、既習の部分と未習の部分を把握する。未習の部分がこの単元の学習内容であるため、今後の学習に対する関心や見通しをもつことが図２ 研究構想図できる。また、「広げる」段階で、適宜この問題を振り返ることにより、それまでの学習の到達段階や今後の学ぶべき内容を確認することができる。さらに、「つなぐ」段階で再度「単元を包括する問題」の解決に挑戦し、「見通す」段階の解答と比較することにより、単元前後の学習を通して自己の学びの変容を自覚することができる。
(2) 振り返り活動①②を可視化する授業プリント（図３）「広げる」段階で、毎時間行う振り返り活動②では、例題の解決手順を言語化して整理する。また、振り返り
活動①で想起した、既習の知識や解法、関連する既習の例題を記入する。これにより、本時の例題を解決する際に必要とされる知識や解法が、過去に学んだどの単元のどの問題と関連があるかを具体的に確認できる。その後、単元全体を包括する問題を振り返り、自身の到達段階を確認することで、次に何を学ぶべきかの目標を設定し、次の授業の解決課題を見いだす。
図３ 授業プリント振り返り記入欄基本構成(3) 定理のつながり整理シートと解法マップ
振り返り活動③では、単元の中で新たに得た定理や、それらを導く際に活用した定理を振り返り、- 2 -「定理のつながり整理シート」（図４）を作成し、可視化することで、数学的概念を構造化することをねらう。これにより、単元で学ぶ個々の定理を、他の定理や他の単元の図４ 定理のつながり整理シート
図５ 解法マップ
知識と関連付け、整理することができる。また、この単元で学んだ様々な解法を振り返り、「解法マップ」（図５）を作成することで、問題解決過程を構造化することをねらう。解法マップの作成は、毎時間の振り返り活動②で蓄積しておいた例題の解決手順を、共通点や相違点に着目して整理、分類し、分類の基準をラベリングする。その際にグループ活動を行うことで、自分の考えを説明し他者からの評価を得たり、他者の説明と自分の考えを比較し、付加・修正することとなり、互いの理解が深まる。これらを作成、蓄積していくことで、新たな問題解決の場面において、関連のある問題の解決過程を参照したり、必要な定理・公式を確認したりするなど、問題解決に活用することにつながる。
(4) 抽出生徒について実態調査の結果を踏まえ、生徒Ａ、生徒Ｂをそれぞれ含む二つのグループを中心に検証する（図６）。
５ 研究の実際(1) 実証授業の学年及び単元
Ａ県立Ｂ高等学校第３学年Ｃ組 36 名
図６ 抽出生徒の状況
数学Ⅲ 積分法とその応用
表２ 単元目標と単元計画(2) 単元目標と単元計画（表２）(3) 指導の実際と考察
ア 「見通す」段階（第１時）
第１時では「単元全体を包括する問題」を提示し、解決に挑戦する機会を設定した。これにより、既知の問題解決の手法を振り返るとともに、これからの単元を学習する必要性と単元の見通しをもつことをねらいとした。
生徒たちは、振り返り活動①として、必要と思われる手順や公式を付箋紙に書き出す作業を行い、それらの付箋を授業末に「○：既知」「×：未知」「△：どちらともいえない」の三つに分類した。これにより、「○」で既知の知識や手法を振り返るとともに、「△」と「×」からはこの単元で学ぶべき事柄である「媒介変数で表された曲線の概形をかく手法」「三角関数を含む積分」「面積や体積」が未知または未定着の知識や手法であることを共有した（資料１）。
「単元全体を包括する問題」の提示は、既知の問題解決の手法を振り返るとともに、この単元の学習に対する見通しをもたせる上で有効であったと考える。
イ 「広げる」段階（第２時～第６時）「広げる」段階のねらいは、第１時で書き出した付箋紙（資料１）のうち、「×」や「△」の知識や手法を獲得することである。
第２時では媒介変数で表された曲線の概形をかく手法、第３時- 3 -は三角関数を含む積分の式変形で利用する公式の定着、第４時では積分計算の手法の整理をねらいとした。
第３時では、三角関数を含む積分に必要な諸公式とその証明を一通り学んだ後、振り返り活動②Ｃにおいて、新たな問いを引き出す発問（図７）を行い、その問いの解決を第４時の目標に設定する流れを仕組んだ。第４時では、グループごとにcos4 𝑥からcos 7 𝑥までの計算を分担し、答案を板書して共有する形をとった。生徒Ａのグループは、cos4 𝑥を(cos2 𝑥)2と変形し、振り返り活動①で第３時の∫ cos 2 𝑥 𝑑𝑥の解法を活用できることに気付き、解決した。cos6 𝑥では二つの計算方法
資料２ 二つの計算方法の分担で意見が分かれたが、それぞれの方法による計算過程を比較し、適切な方法を判断しようと試していた（資料２）。答案の板書完了後、振り返り活動②Ａで、各問題の解決手順を言語化した後、グループ内で記述内容を比較、付加・修正を行った（資料３）。そして、∫ cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥は、𝑛の偶奇で手順に違いがあること、奇数の場合は置換積分、偶数の場合は二倍角の公式を利用していることなどをクラス全員が理解した（資料４）。振り返り活動②Ｂでは、35 名中 30 名が∫ cos𝑛 𝑥 𝑑𝑥の計算方法を理解できたと記述しており、四段階自己評価も◎11 名、○24名、△０名、×０名という結果であった（資料５）。第３時の振り返
り活動②Ｃで問いを引き出し、第４時につなぐ流れを仕組むことは、三角関数の積分において状況に応じた手法を選択する力や、より簡潔な方法を見いだそうと粘り強く取り組む姿勢を引き出す上で有効であったと考える。
第４時の振り返り活動②Ｃでは、単元全体を包括する問題の解決に対する到達段階を把握した。第１時で書き出した付箋紙を集約した模造紙を振り返り、「×」に記述した知識は既に学習済みであること、「△」にある定積分による面積計算、回転体の体積計算が次に学ぶべき内容であることが共有され、第５時、第６時の授業へとつながった（資料５）。
ウ 「つなぐ」段階（第７時～第９時）
第７時及び第８時は、振り返り活動③を通し
資料５ 振り返り活動②Ｂ及びＣの記述て、これまでに学習した数学的概念や問題解決過程を構造化することをねらいとした。そのために、作成手順（図８）に従い、第７時で「定理のつながり整理シート」、第８時で「解法マップ」の作成を行った。
第７時では、「広げる」段階の例題で利用した公式を記載した定理ラベルを事前に配付し、定理のつながり整理シートの作成に利用できるようにした。どのグループも「積→和の公式」「二倍角の公式（半角の公式）」「三倍角の公式」が「加法定理」とつながっていることを確認し、「加法定理」のラベルを追加した。さらに、「加法定理」からどのように他の公式が導き出されるかを付箋紙に書き、貼り付けたり、定理同士を矢印でつないだりして、定理のつながり整理シートを完成させた（次頁資料６）。
その後、全シートを前方の黒板に掲示し、他のグループと相互評価することで、他グループのまとめ方の良い点、より詳細な証明や定理同士のつながりに気付き、学びが深まった。
第８時では、まず各時間の例題ごとに、問題の解決手順を整理する時間を設定した。振り返り活動②- 4 -Ａで蓄積してきた授業プリントの記述を活用し、どのグループも、第２時、第５時、第６時が、「単元全体を包括する問題」の解決手順とつながりがあることを確認するとともに、第３時、第４時で学んだ三角関数の積分を改めて整理した。例題ラベルの分類では、「使われている公式は何か」も分類の基準の一つとなっており、それぞれの例題の解決手順と同時に、解決に必要とされた定理や公式も確認し合う場面が多く見られた（資料７）。このことから、解法マップの作成は、問題の解決手順を整理することに加え、定理や公式と問題の解決手順とのつながりを理解する上でも有効であったと考える。

資料６ 定理のつながり整理シート(抜粋)

資料７

解法マップ(抜粋)

第９時は、この単元で学んだ知識や解法を活用すること、単元前後における自己の変容を自覚することをねらいとし、単元全体を包括する問題の解決に再挑戦した。生徒たちは、解法マップや定理のつながり整
資料８ 単元全体を包括する問題の解決に再挑戦する生徒Ｂの記述の変容
理シートを活用したり、他のグループにも相談したりすることで、第２時で学んだ解法を活用して曲線の概形を把握し、第５時、第６時の公式や解法を活用して立式、計算すれば結論を得ることができるという全体の構想を立てた（資料８）。結論を得ることができなかったグループについては、プロジェクターで段階的に模範解答を投影し、どの部分にどのような解法が活用されているか、第何時の学習内容とつながりがあるかを、定理のつながり整理シートや解法マップを参照しながら確認した。その中で、生徒たちは、曲線の概形をかく際に、第５時で学んだ手法が関連していること、面積や体積を求めるための計算に第３時、第４時の内容である置換積分が関連していることを見抜いた。振り返り活動②で多くの生徒に「解答の流れが分かった」「つながりが目に見えて分かった」等の記述が見られた。これらのことから、単元全体を包括する問題への再挑戦、定理のつながり整理シートと解法マップの活用は、この単元全体の知識や解法のつながりに対する理解をさらに強化する上で有効であったと考える（資料９）。
(4) 全体考察
ア 知識・技能資料 10 は、第３時における授業プリントの振り返り活動②の記述と第７時「定理のつながり整理シート」の抜粋である。第３時の問題解決で利用した三角関数の諸公式のつながりが、第７時でより詳細に整理されている。また、解法の丸暗記ではなく、その解法が有効である根拠を、利用した公式とつなげ
資料 10 知識・技能の変容- 5 -て理解しようとする姿も見られる。定理や公式のつながりを振り返り活動②Ａで授業プリントに可視化したこと、また、それらを単元末の振り返り活動③で、改めて「定理のつながり整理シート」に可視化したことは、数学的概念同士を関連付け、分類・整理しながら獲得する上で有効であったと考える。
イ 思考・判断・表現
資料 11 は、第９時授業プリント及び単元前後の自己の変容に関する記述である。授業プリントの記述から、この単元で獲得してきた知識や解法を「単元全体を包括する問題」の解決に向け、的確に選択できていたことが分かる。自己の変容については、「答えを出すための過程が分かった」「文字で置くことに気付けた」「解法マップが役に立った」
資料 11 思考・判断・表現の変容などの記述が見られた。
例題の解決手順を振り返り活動②Ａで言語化して整理し、「解法マップ」で「単元全体を包括する問題」とのつながりを整理したことは、解決すべき問題に含まれる情報や、問題解決過程の中から、既習の知識や解法との関連を見いだし、問題解決に向けて活用する上で有効であったと考える。
ウ 主体的に学習に取り組む態度
資料 12 は、第９時の授業末で生徒が単元全体を振り返り、自己の課題を記述したものである。既習の単元に対する理解が不足しているという課題や、学び方に対する課題を見いだしていることが分かる。これは、振り返り活動①で問題解決の構想を立てる際に想起した既習の知識や解法、関連する例題などを、振り返り活動②で授業プリントに可視化したこと、振り返り活動③の「定理のつながり整理シート」「解法マップ」で単元の学習内容のつながりを可視化したことが有効に働いたからだと考える。
６ 研究の成果と今後の課題(1) 研究の成果○ 数学的概念や問題解決過程を構造化するための三つの振り返り活動を通して、生徒の思考が可視化されたことにより、生徒は自己の学びの到達段階や次の目標を把握することができた。
○ 復習すべき既習の単元や、自己の学び方の改善点が見いだされたことにより、今後の学びに対する行動の変化が期待できる。
(2) 今後の課題○ 毎時間の目標達成度について、生徒の自己評価が教師の評価よりも低い傾向にあった。より詳細な到達段階を示したルーブリックを生徒と共有することで、生徒の自己評価と教師の評価のずれが解消されるとともに、生徒がより明確に自己の課題や目標を見いだしやすくなると考える。
○ 自己の学び方について見いだした改善点を、生徒が今後の学びの場に実際の行動へと移していくことができるようにするための手立てを考えていく必要がある。
＜参考文献＞
・ Ｇ．ポリア著

柿内賢信訳(1954) 『いかにして問題をとくか』- 6 -丸善出版