数理解析研究所講究録 1212 巻 2001 年 50-64

50

3 次曲面のモジュライに関する保型形式
北海道大学大学院理学研究科

松本圭司 (Keiji Matsumoto)

Division of Mathematics Graduate School of Science,
Hokkaido University1

序

複素射影平面$\mathrm{P}^{2}$内の非特異 3 次曲線は、 種数 1 の compact 複素多様体で: $w^{2}=z(z-1)(z-\lambda)$$C_{\lambda}$$\lambda\in \mathbb{C}-\{0,1\}$

上の 4 点 0, 1,は複素射影直線という標準形に変形できる。 曲線をとりで分岐する 2 重被覆とみなすこともできる。集合 $\mathbb{C}-\{0,1\}$ からが -1 となるように定め
を交点数
の基底
固定し、
と
とを $\mathbb{C}-\{0,1\}$ 内のに対してる。 集合 $\mathbb{C}-\{0,1\}$ 内の一般のを定めの基底
path で結ひ、 その path に沿った接続としてる。 $\mathbb{C}-\{0,1\}$ からへの多価写像$\mathrm{P}$$C_{\lambda}$$\lambda,$$\infty$$\lambda_{0}$$\alpha_{0}\cdot\beta_{0}$$\alpha_{0},\beta_{0}$$H_{1}(C_{\lambda_{0}}, \mathbb{Z})$$\lambda$$\lambda$$\lambda_{0}$$H_{1}(C_{\lambda}, \mathbb{Z})$$\alpha,$$\beta$$\mathrm{P}$$\varphi$

は 3 次曲線族:$\lambda\ovalbox{\tt\small REJECT}\mapsto[\int_{\alpha}\frac{dz}{w}, \int_{\beta}\frac{dz}{w}]$に関する周期写像と呼ばれ、像は上半空間のレベル 2 の主合同部分群${\rm Im}(\tau)>0\}$ でモノドロミー群は$\mathbb{H}=\{\tau\in \mathbb{C}|$$\{C_{\lambda}\}$$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\Gamma(2)=\{g\in SL_{2}(\mathbb{Z})|g\equiv I_{2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2\}$となる。周期写像 の逆写像はモノドロミー群
貝 I」関数となり、 Jacobi の theta constants$\varphi$$\Gamma(2)$$\theta(\begin{array}{l}ab\end{array})(\tau)=\sum_{n\in \mathrm{Z}}\exp[\pi\sqrt{-1}((n+a)^{2}\tau+2(n+a)b)]$の作用で不変な一価正,$\tau\in \mathbb{H},$を用いて$\mathbb{H}/\Gamma(2)\ni\tau\ovalbox{\tt\small REJECT}\mapsto\lambda=\frac{\theta^{4}(\tau)}{\theta^{4}(\tau)}\in \mathbb{C}-\{0,1\}$$a,$ $b\in \mathbb{Q}$51と表示される。 集合 $\mathbb{C}-\{0,1\}$ を$\mathrm{P}$

上の 4 点の配置空間 $X(2,4)$$GL_{2}(\mathbb{C})\backslash \{(\begin{array}{lll}x_{11} \cdots x_{14}x_{21} x_{24}\end{array})|\det(\begin{array}{ll}x_{1i} x_{1j}x_{2i} x_{2j}\end{array})\neq 0,1\leq i<j\leq 4\}/(\mathbb{C}^{*})^{4}$とみなし、 周期写像$\varphi$

を $X(2,4)$ からの写像と考える。 配置空間 $X(2,4)$ はGrassmann 多様体 $G(2,4)$ のある開稠密部分集合を$G(2,4)$ の Pl\"ucker 座標$\iota$$D_{ij}(x)=\det(\begin{array}{ll}x_{1i} x_{1j}x_{2i} x_{2j}\end{array})$$(\mathbb{C}^{*})^{4}$

で割った空間で、を用いて: $X(2,4)\ni x\}arrow[D_{12}(x)D_{34}(x), D_{13}(x)D_{24}(x), D_{14}(x)D_{23}(x)]\in \mathrm{P}^{2}$によって$\mathrm{P}^{2}$に埋め込める。 この埋め込みによる像は Pl\"ucker 関係式$D_{12}(x)D_{34}(x)-D_{13}(x)D_{24}(x)+D_{14}(x)D_{23}(x)=0$

より、$\mathrm{Y}=\{[t_{0}, t_{1}, t_{2}]\in \mathrm{P}^{2}|t_{0}-t_{1}+t_{2}=0, t_{0}t_{1}t_{2}\neq 0\}$である。 theta constants$\theta(\begin{array}{l}ab\end{array})(\tau)$

は Jacobi の恒等式$\theta^{4}(\begin{array}{l}\mathrm{l}/20\end{array})(\tau)-\theta^{4}(\begin{array}{l}00\end{array})(\tau)+\theta^{4}(\begin{array}{l}01/2\end{array})(\tau)=0$をみたすので、 写像$\theta$の像は$\mathrm{Y}$:$\mathbb{H}/\Gamma(2)\ni\tau\mapsto*[\theta^{4}(\begin{array}{l}\mathrm{l}/20\end{array})(\tau), \theta^{4}(\begin{array}{l}00\end{array})(\tau), \theta^{4}(\begin{array}{l}0\mathrm{l}/2\end{array})(\tau)]\in \mathrm{P}^{2}$となり、 以下の図式が可換となる。
$X(2,4)$$arrow^{\varphi}$$\iota[searrow]$$\mathbb{H}/\Gamma(2)$(1)$\downarrow\theta$Y.
つまり、 3 つの theta constants の 4 乗を並べる写像$\theta$が周期写像$\varphi$の逆写像を与えている。
射影平面内の非特異 3 次曲線を 3 次元射影空間内の非特異 3 次曲面にとりかえて類似の結果を得ようということはだれもが思いつくことである。 し52
かし、 3 次曲面が有理曲面であることから周期写像の構成ができなかったことでこの一般化に関する研究成果がほとんどあがっていなかった。 最近 D.
AUcock,. Carlson and D. Toledo によって の 3 次曲面 $S$ で分岐するの Intermediate Jacobian $J(X_{S})$ を考えることで $S$ の
cyclic 3 重被覆で一意化されることが示された (文献
モジュライ空間が 4 次元複素超球上の保型形式を構成することにより得られ[ACT] 参照) 。その逆対応はるが、 D. Allcock and E. Freitag により Borcherds products を用いて与えら$\mathrm{P}^{3}$$\mathrm{J}.\mathrm{A}$$X_{S}$$\mathrm{B}^{4}$$\mathrm{B}^{4}$

れているようである (文献 [AF] 参照)
文献 [ACT] による 3 次曲面族に関する周期写像。

の構成は、 主偏極をもつアーベル多様体である $J(X_{S})$ の考察が鍵となっているので、 周期写像の逆写像の構成は $J(X_{S})$ 上の theta 関数を用いてなされることが自然である。 寺柚友秀氏 (東大・数理) との共同研究 [MT] により、 3 次曲面族に関に関しても 3 次曲線のときに得られた可環図式 (1) と全くする周期写像
同様の図式が得られたことを以下で紹介する。
$\Phi$$\Phi$

2Intermediate Jacobian $J(Xs)$の cyclic な 3 重被覆を内の非特異 3 次曲面を $S$ とし、 $S$ で分岐するは評内の 3 次超曲面として実現できる。架内の一般の 3とする。
次超曲面 $X$ に対して、 $H^{3,0}(X)=0$ となり、 $X$ の Intermediate Jacobian$J(X)=H^{2,1}(X)^{*}/H_{3}(X, \mathbb{Z})$ は 5 次元の主偏極をもつアーベル多様体である
ことが、 文献 [CG] で示されている。 また、 その文献では $J(X)$ はある代数曲線の Jacobian の subiety として構成できることも示されている。 このの cyclic な 3 重被覆とSection ではその構成法を紹介し、 $S$ で分岐するに対して具体的に $J(X_{S})$ を与える。
いう特殊な 3 次超曲面
3 次超曲面 $X$ に対して、 $X$ 内の点 を通る $X$ 内の直線は一般に 6 本あり、 $X$ に含まれる直線全体の集合 $F$ は、 Grassmam 多様体 $G(2,5)$内の直線全体の集合) の 2 次元 smoothiety となる。 $X$ 内の一般の直線を一つとり固定する。 直線 と交わる $F$ の元全体 $C(\ell)$ は $F$ の divisorが以下のように定義されとなり種数は 11 となる。 $C(\ell)$ には involutionと $m$ で張られる評内の平面と $X$ との交わりる。 $C(\ell)$ の元 $m$ に対してでできる 3 次曲線を考える。 この 3 次曲線には直線 $m$ が含まれているのを直線 $m$ に対して 2 直線 $m$ 以外
で 3 直線に分解している。 involution
およびの第 3 の直線を対応させるものとする。 involution はと $H^{1,0}(C(\ell))^{-}$$H^{1,0}(C(\ell))$ の位数 2 の線形変換を引き起こす。
と $H^{1,0}(C(\ell))$ の (-y-固有空間とすをそれぞれ の作用によるの階数は 10 で $H^{1,0}(C(\ell))^{-}$ の次元は 5 となる。
る。
$\mathrm{P}^{3}$$\mathrm{P}^{3}$$X_{S}$$X_{S}$$\mathrm{P}^{3}$$X_{S}$$p$$(\mathrm{P}^{4}$$\ell$$\ell$$\sigma$$\ell$$\ell,$$\ell,$$\sigma$$\sigma$$H_{1}(C(\ell), \mathbb{Z})$$H_{1}(C(\ell),\mathbb{Z})^{-}$$\sigma$$H_{1}(C(\ell), \mathbb{Z})^{-}$$H_{1}(C(\ell), \mathbb{Z})$53

は主偏極をもつ 5 次元アーベ) 多様体で $X$ の Intermediate Jacobian $J(X)$ と同型となる oFact 2.1 複素トーラス$(H^{1,0}(C(\ell))^{-})^{*}/H_{1}(C(\ell), \mathbb{Z})^{-}$

内の非特異 3 次曲面 $S$ 内には 27 本の直線がある。 そのうちの 1 本をとする。 27 本の直線のうちと交わるものが 10 本ある。 それらを$m_{i}’(1\leq i\leq 5)$ が同一平面内にあるものとすとし、る。 3 次超曲面に対して $S$ 内にある上記の と交わる
内の直線全体$C(\ell)$の集合を考える。 内の点 を通る直線は一般には 6 本あるが、 自身は分岐している 3 次曲面 $S$ に含まれているのでその寄与は 3 となる。 の点を通る 以外の直線は 3 本あり、の被覆変換群の作用で移り合うので、$C(\ell)$ はの cyclic な 3 重被覆と考えられる。 と直線たちの交点乃, はこの被覆の分岐点となる。 なぜなら乃を通る 以外の直線としてがあるが、 やはり $S$ に含まれているので寄与は 3 となるからである。
が分岐点である理由も同様である。 また、 内には点 $p(\in\ell)$ を通る
内の
6 直線が のみで 6 重になる特別な 2 点が存在している。結局この被となっている。 Riemann-Hurwitz の公
覆の分岐点は$C(\ell)$
式からの種数は 10 である。 また、 前述の $C(\ell)$ 上に定まる involution
は $C(\ell)$ の被覆変換群の作用と可換であり、 $\sigma(m_{i})=m_{i}’$ をみたす。 直線と p。の 2 点のみである。
にもにが作用し、 固定点は,p。
が 0oo となるよう {こ座標はを入れると 上の involution:
が $z=a_{1},$ $-a_{1},$で表される。 点$-a_{5}$ で表示されるとすると、 曲線 $C(\ell)$ は代数曲線$\mathrm{P}^{3}$$\ell$$\ell$$m_{1},$ $m_{1}’,$$\ldots,$$m_{5},$ $m_{5}’$$\ell,$$m_{i},$$X_{S}$$X_{S}$$\ell$$\ell$$\ell$$p$$\ell$$X_{S}$$\ell$$p$$\ell$$\ell(\simeq \mathrm{P})$$m_{i},$$m_{i}’$$\ell$$p_{i}’$$p_{i}’$$m_{i}$$\ell$$X_{S}$$\ell$$p_{0},p_{\infty},p_{1},p_{1}’,$ $\ldots,p_{5},p_{5}’$$\sigma$$\ell$$\sigma$$\ell(\simeq \mathrm{P}^{1})$$p_{0}$$\ell$$z$$\sigma_{l}$$p_{1},p_{1}’,$ $\ldots,p_{5},p_{5}’$:$C_{S}$$\ldots,$$\sigma_{\ell}$$p_{0}$$z\vdash\Rightarrow-.z$$a_{5},$$w^{3}=z \prod_{i=1}^{5}(z^{2}-a_{i}^{2})$とみなすことができる。 この代数曲線上では、 被覆変換群の生成元である位と involution
はそれぞれ
数 3 の白己同型$\sigma$$\rho$$\rho\cdot(z, w)=(z, \omega w)$$\sigma\cdot(z, w)=(-z, -w)$とする。 また、る。 ここでの cyclic な 6 重被覆とも考えられる。 つまりとなって$\mathrm{P}^{1}$,$\mathrm{A}1$$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$:

も$\mathrm{P}^{1}$

なので $C(\ell)$ は$w^{6}=z \prod_{i=1}^{5}(z-a_{i}^{2})^{2}$とみなすこともできる。 この代数曲線上での$\rho\cdot(z, w)=(z,\omega w)$となっている。

$\ell/\sigma_{\ell}$,$\rho$と$\sigma$の作用は$\sigma\cdot(z, w)=(z, -w)$

54

Proposition 2.1 involutionの作用で -1 倍される$\sigma$

上の $(1, 0)$$C_{S}$の空間 $H^{1,0}(C_{S})^{-}$ の基底は$\varphi_{1}=\frac{zdz}{w}$,-forms$\varphi_{j}=\frac{z^{2(j-2)}dz}{w^{2}}(2\leq j\leq 5)$で与えられ$\rho(\varphi_{1})=\omega^{2}\varphi_{1}$,$\rho(\varphi_{j})=\omega\varphi_{j}(2\leq j\leq 5)$

上の cycles の空間
をみたす involution の作用で -1 倍されるは rank10 で、以下をみたす基底 $(A, B)=(A_{1}, \ldots, A_{5}, B_{1}, \ldots, B_{5})$ がとれる。
$C_{S}$$\sigma$$\text{。}$$A_{i}\cdot A_{j}=B_{i}\cdot B_{j}=0$,$H_{1}(C_{S}, \mathbb{Z})^{-}$$A_{i}\cdot B_{j}=-2\delta_{j}.\cdot$${}^{t}(\rho(A), \rho(B))=(\begin{array}{ll}-I_{5} -HH O\end{array}){}^{t}(A, B)$,$H=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, 1, 1, 1, -1)$の白己同型 により定まる $H^{1,0}(C_{S})^{-},$
ちも同じ記号 で表している。
ここで、$C_{S}$$\rho$$H_{1}(C_{S}, \mathbb{Z})^{-}$

.

上の変換た

$\rho$

Remark 2.1 曲線$C_{S}$される。

上の正則 l-fo7m$\varphi_{1}$は曲線$C_{S}’$

上では $dz/w$ と表示

Fact 2.1 の結果と合わせて以下の定理を得る。
Proposition 2.2
ベノレ多様体で$H^{1,0}(C_{S})^{-}$する。 行列$X_{S}$

は主偏極をもつアーの Intermediate Jacobian $J(X_{S})$ と同型となる。
$J_{\sigma}^{-}(C_{S})=(H^{1,0}(C_{S})^{-})^{*}/H_{1}(C_{S}, \mathbb{Z})^{-}$の基底$\psi_{1},$$\psi_{5}$$\ldots,$を. をみたす正規化されたものと$\int_{B_{j}}\psi_{i}=\delta_{1j}$はの周期行列とよぶ。
とをの行ベクトルたちで張られる格子で割った複素トーラスとみなせる。 また、 は主偏極をもつアーベル多様体の周期行列なので、 対称行
列で虚部が正定値となっている。 Proposition 2.1 内の の作用に注目して、周期行列の具体形を与えることができる。
$\tau=(\int_{A_{j}}\psi_{i})_{1\leq i_{\dot{\beta}}\leq 5}$を$J_{\sigma}^{-}(C_{S})$$\mathbb{C}^{5}$$J_{\sigma}^{-}(C_{S})$$\mathbb{Z}^{5}$$\Lambda_{\tau}$$\tau$$\tau$$\rho$

Proposition 2.3 3 次曲面$S$に対して得られる$J_{\sigma}^{-}(C_{S})$の周期行列$\tau=\omega^{2}[H-(1-\omega^{2})(Hy{}^{t}yH)/({}^{t}yHy)]$と表示できる。 ここで$y={}^{t}(y_{1}, \ldots,y_{5})={}^{t}(\int_{A_{1}}\varphi_{1}, \ldots, \int_{A_{5}}\varphi_{1})$で、 $y^{*}Hy<0$ をみたしている。

$\tau$

は

55
射影平面内の 6 点の配置空間

3で blow up するを6点内の非特異 3 次曲面 $S$ は射影平面に対しては、 これらのうちのことにより得られる。 これらの 6 点
3 点を通る直線もすべての 6 点を通る 2 次曲線も存在しない。 Section 2 で考察した曲線 $C(\ell)$ の幾何学的な性質がこの blow up を介して射影平面上ではどうなっているかを調べる。
の点、 直線、 2 次曲線と3 次曲面 $S$ 内の 27 本の直線は以下のように対応している。
$\mathrm{P}^{2}$$\mathrm{P}^{3}$$P_{1},$$P_{1},$$P_{6}$$\ldots,$$P_{6}$$\ldots,$$\mathrm{P}^{2}$$\mathrm{P}^{2}$$\bullet$$P_{i}$の blow up により生じる例外曲線$\bullet$$P_{i}$と$\bullet$$P_{i}$を結ぶ直線$P_{j}$$L_{ij}$の引き戻し

以外の 5 点を通る 2 次曲線の

$Q_{i}$$\ell_{i}$$\ell_{ij}$, 計 6 木.

, 計 15 木.

の引き戻し

計 6 木.

$\check{\ell}_{i}$とす
いずれも自己交点数は -1 である。 Section 2 で固定した直線 をが対応
を通る 2 次曲線
上では以外の 5 点る。 射影平面でが同一して る。
と交わる 10 直線はとなってい
平面内 {こある。 したがって $C(\ell)$ 上の involution でと \ell i(=mる。
箸慮鯏税気 上では が対応している。 また、 ととのでない方
上では 2 次曲線
はと直線$\ell_{i6}(=m_{i}’)$ との交点の交点が対応している。 この状況より科上の involution は、 $P\in Q_{6}$との $P$ 以外の交点を対応させるといとを結ぶ直線とに対して $P$ とへ
から 2 次曲線
上の involution と対応している。 点
う 2 次曲線はこの involution の
2 本の接線 , L。が引ける。 その 2 つの接点 ,はと対応している。
固定点となる。 従って
以下のように座標を選ぶとこの状況がより具体的になる。 3 点となるよがが ${}^{t}(1,0,0),{}^{t}(0,1,0),{}^{t}(0,0,1)$ となり、 2 次曲線
は $t_{2}=0,t_{0}=0$ とな
う {この座標 $t={}^{t}(t_{0}, t_{1}, t_{2})$ を選ぶ。 直線る。 写像$\ell$$\mathrm{P}^{2}$$\mathrm{A}1$$P_{1},$$P_{6}$$\check{\ell}_{6}$$\ell_{1},$$Q_{6}$$P_{5}$$\ldots,$$\ell_{16},\ell_{2},$$\ell_{26},$$\ldots,\ell_{5},$$\mathrm{P}^{2}$$\check{\ell}_{6},\ell_{i},\ell_{i6}$$\ell_{56}$$\sigma(\ell_{i})=\ell_{i6}$$\sigma$$\check{\ell}_{6}$$\check{\ell}_{6}$$\check{\ell}_{6}$$P_{i}$$\mathrm{P}^{2}$$L_{i6}$$Q_{6}$$p_{i}’$$P_{i}$$\check{\ell}_{6}(=$$\sigma_{\ell}$$Q_{6}$$P_{6}$$Q_{6}$$P_{6}$$Q_{6}$$P_{0}$$L_{0}$$P_{0},$$p_{0},p_{\infty}$$P_{\infty}$$P_{\infty}$$P_{0},$ $P_{6},$$t_{1}^{2}=t_{0}t_{2}$$Q_{6}$$L_{0},$$\mathrm{P}^{2}$

$ver$

は

$\mathrm{P}^{1}$と$Q_{6}$:$P_{\infty}$$L_{\infty}$$\mathrm{P}^{1}\ni{}^{t}(t_{0}, t_{1})\vdash\Rightarrow{}^{t}(t_{0}^{2}, t_{0}t_{1}, t_{1}^{2})\in \mathrm{P}^{2}$との同型を与える。直線

は座標 $z=t_{1}/t_{0}$ {こより $z=0,$$\infty,$$a_{1},$$ver(0)={}^{t}(1,0,0)=P_{0}.$ ’となっていて、 2 次曲線$Q_{6}$

上の点$ver(a_{i})={}^{t}(1, a_{i}, a_{i}^{2})$$\check{\ell}_{6}(=\ell)$,$-a_{1},$の上の点$\ldots,$$a_{5},$$-a_{5}$$p_{0},p_{\infty},p_{1},p_{1}’\ldots,p_{5},p_{5}’$に対応していたが、$ver(\infty)\backslash ={}^{t}(0,0,1)=P_{\infty}$$P_{i},$$P_{i}’(1\leq i\leq 5)$の座標は$ver(-a_{i})={}^{t}(1, -a_{i}, a_{i}^{2})$,56で与えられる。直線$L_{\ovalbox{\tt\small REJECT} 6}$

は$a\ovalbox{\tt\small REJECT} t_{0}\ovalbox{\tt\small REJECT} t_{2}$であり、点珂を含んでいることや$Q_{6}$

上の involution は $(t_{0},t,, t_{2})\mapsto(t_{0}, -t,, t_{2})$ で表示されることが容易 {こわかる。

射影平面内の 6 点の配置空間 $X(3,6)$ を$GL_{3}(\mathbb{C})\backslash \{x\in M(3,6)|Q(x)\neq 0, D_{ijk}(x)\neq 0(1\leq i<j<k\leq 6)\}/(\mathbb{C}^{*})^{6}$で定める。 ここで $D_{1jk}.(x)$ は

$x$

の第的,

$k$

列からできる小行列式で$Q(x)=\det(\begin{array}{lll}x^{2}x_{31}^{2}x_{21}^{2}11 x_{22}^{2}x_{32}^{2}x^{2}12 x_{26}^{2}x^{2}x_{36}^{2}16x_{11}x_{21} x_{12}x_{22} x_{16}x_{26}x_{21}x_{31} x_{22}x_{32} x_{26}x_{36}x_{31}x_{11} x_{32}x_{12} x_{36}x_{16}\end{array})$とする。 $3\cross 6$ 行列の列ベクトルを射影座標とみなし、 射影変換の第の作用で移り合うものは同じものとみなしている。 $D_{1jk}.(x)=0$ は列ベクトルで表される 3 点が一直線上にあることを意味し、 $Q(x)=0$$i,j,$
はの列ベクトルで表される 6 点がある 2 次曲線上にあることを意味する。
配置空間 $X(3,6)$ には 6 次対称群
が列ベクトルの置換として作用して型の Weyl 群 $W(E_{6})$ が作いることはすぐにわかるが、実はさらに大きいに関して 2 次変換用している。 3 点を行うと直線が一点になるので、$GL_{3}(\mathbb{C})$

$x$

$x$

$k$

$x$

$S_{6}$$E_{6}$$P_{1},$ $P_{2},$ $P_{3}$$r_{123}(L_{23}),$$r_{123}(L_{31}),$$L_{23},$ $L_{31},$ $L_{12}$$r_{123}$$r_{123}(L_{12}),$$r_{123}(P_{4}),$$r_{123}(P_{5}),$$r_{123}(P_{6})$の作用との作用で生成で新しい 6 点の配置が得られる。 6 次対称群
される $X(3,6)$ の変換群は $W(E_{6})$ となっている。
をに対応している 6配置空間 $X(3,6)$ の固定された元 に対してに対応している $S$
点で blow up して 3 次曲面 $S$ が得られる。 2 次曲線をとして選ひ曲線 $C(\ell)$ を構或する。 そしてアーベル多様体内の直線の周期行列 およひそれの具体型を与える列ベクトル が得られからへの対応を $X(3,6)$ 全体に接続することで周期写像る。 この$S_{6}$$x$$r_{123}$$\mathrm{P}^{2}$$x$$Q_{6}$$\check{\ell}_{6}$$\ell$$J_{\sigma}^{-}(C(S))$$y$$\tau$$x$$y$$\Phi$: $X(3,6)arrow \mathrm{B}^{4}=\{y\in \mathrm{P}^{4}|y^{*}Hy<0\}$が定義される。 接続の仕方により像が変わり得るので は多価写像である。
の選ひ方と $C(\ell)$ のから
また、 最初に定めたへの対応に関してはの基底の定め方に自由度がある。 この自由度が $W(E_{6})$ の作用と対応している。 [ACT] の結果より、 以下の命題を得る。
$\Phi$$x$$H_{1}(C(\ell), \mathbb{Z})^{-}$$y$$\ell$

57

Proposition 3.1 周期写像
像$\Phi$$\Phi$の像は内で稠密な開集合である。 周期写$\mathbb{B}^{4}$のモノドロミー群は$\Gamma(1-\omega)=\{g\in GL_{5}(\mathbb{Z}[\omega]) |g^{*}Hg=H, g\equiv I_{5} \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (1-\omega)\}$型の Weyl 群 $W(E_{6})$ と同型となる。 ここで $\Gamma=\{g\in GL_{5}(\mathbb{Z}[\omega])|g^{*}Hg=H\}$ とする。

である。 また、$\Gamma/\langle\Gamma(1-\omega), -I_{5}\rangle$

は$E_{6}$

主目的は周期写像の逆写像を具体的に構成することであるが、 そのためには配置空間 $X(3,6)$ をよく知っておく必要がある。 商空間として定義された $X(3,6)$ を理解する一つの手段はよい代表元を設定することである。 それは内の 6 点たちの座標を具体的に指定することであり、 もう既に$\Phi$$\mathrm{P}^{2}$$P_{i}$$P_{6}={}^{t}(0,1,0)$,$P_{i}={}^{t}(1, a_{i}, a_{i}^{2})(1\leq i\leq 5)$

としていてほとんど実行されている。 つまり $(3\cross 6)$ 行列(2)$(\begin{array}{llllll}\mathrm{l} \mathrm{l} \mathrm{l} \mathrm{l} \mathrm{l} 0a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} \mathrm{l}a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{5}^{2} 0\end{array})$で$\mathrm{P}^{2}$の6 点を表示するわけである。 しかし、 まだ少し座標の取り方に自由度が残っている。 そこで $a_{5}=1$ とおきばその自由度が消えて $(a_{1}, \ldots, a_{4})$ が$X(3,6)$ の代表元となるように思えるが、$(a_{1}, \ldots, a_{4})$,$(-a_{1}, \ldots, -a_{4})$,,$( \frac{1}{a_{1}}, \ldots, \frac{1}{a_{4}})$$( \frac{-\mathrm{I}}{a_{1}}, \ldots, \frac{-1}{a_{4}})$が同じ 6 点の配置を与えてしまうので、 これでは $X(3,6)$ の代表とはなっていない。 変換$(a_{1}, \ldots, a_{4})\vdash+(-a_{1}, \ldots, -a_{4})$は involution
る。 そこで$\sigma,$$P_{0}$$GL_{2}(\mathbb{C})$とと$P_{\infty}$,$(a_{1}, \ldots, a_{4})|arrow(\frac{1}{a_{1}}, \ldots, \frac{1}{a_{4}})$の入れ換えとそれぞれ対応していることに注意すの作用で$(\mathbb{C}^{*})^{6}$$(\begin{array}{l}\mathrm{l}u_{11}\mathrm{l}u_{21}\mathrm{l}\mathrm{l}\end{array}$$u_{22}u_{12}1$

$001$

$001$

$0)10$

,

(3)

58

の形まで変形する。 この行列は $X(3,6)$ の代表元であり、を標とみなせる。
を用いて表示すると$u_{ij}$は $X(3,6)$ の座$a_{i}$$u_{ij}$$u_{11}= \frac{(a_{5}+a_{2})(a_{4}-a_{1})}{(a_{4}-a_{2})(a_{5}+a_{1})}$,$u_{12}= \frac{(a_{5}+a_{3})(a_{4}-a_{1})}{(a_{4}-a_{3})(a_{5}+a_{1})}$,$u_{21}= \frac{(a_{4}+a_{2})(a_{5}-a_{1})}{(a_{5}-a_{2})(a_{4}+a_{1})}$,$u_{22}= \frac{(a_{4}+a_{3})(a_{5}-a_{1})}{(a_{5}-a_{3})(a_{4}+a_{1})}$.

となっている。

この手段により $X(3,6)$ に座標の導入もなされたのだが、一方で $W(E_{6})$ の作用がとても複雑になってしまっている。 $W(E_{6})$ の作用がよくわかる $X(3,6)$の射影空間へ埋め込む手段が [C], [Y03] で与えられている。 その結果を周期写像の挙動と合うように整理した形で紹介する。 $(3 \cross 6)$ 行列 および$\{i,j, k, l, m, n\}=\{1,2,3,4,5\},$ $i<j<k,$ $l<m$ {こ対して 18 次多項式た$\Phi$

$x$

ちを
.

$=$

$(-1)^{i+j+k}D_{ijk}(x)D_{lm6}(x)Q(x)$$Z_{-v-v_{j}-v_{k}}$$=$$-Z_{v\dot{.}+v_{j}+v_{k}}$$Z_{v_{k}+v_{l}-v_{m}}$$=$$D_{ikl}(x)D_{jkl}(x)D_{km6}(x)D_{lm6}(x)D_{m\dot{\iota}j}(x)D_{6ij}(x)$$Z_{-v_{k}-v_{l}+v_{m}}$$=$$-Z_{v_{k}+v_{l}-v_{m}}$$Z_{v.+v_{j}+v_{k}}$:で定める。 ここでは独立なベクトルと考える。 これらは全部で..
個ある。 $(3\cross 6)$ 行列 が (2) で与えられているとき、$v_{1},$$(\begin{array}{l}53\end{array})\cross 2^{3}=80$$x$$Z_{v_{1}+v_{2}+v_{3}}$$=$$Z_{v_{1}+v_{2}-v_{3}}$$=$,$-[(a_{2}-a_{1})(a_{5}-a_{4})(a_{5}+a_{4})(a_{3}+a_{2})(a_{3}+a_{1})]\Delta(a)$ ,$-[(a_{3}-a_{2})(a_{3}-a_{1})(a_{2}-a_{1})(a_{5}-a_{4})(a_{5}+a_{4})]\Delta(a)$$(a_{3}-a_{2})(a_{3}-a_{1})$$Z_{v_{1}+v_{2}+v_{3}}$

(4)

$=$

$(a_{3}+a_{2})(a_{3}+a_{1})$$Z_{v_{1}+v_{2}-v_{3}}$となっている。 ここで$\Delta(a)$は$a_{i}$

たちの差積である。

Fact 3.1 写像$\iota:X(3,6)\ni x\ovalbox{\tt\small REJECT}\mapsto[\ldots, Z_{\pm v\dot{.}\pm v_{\mathrm{j}}}\pm v_{k}’\ldots]\in \mathrm{P}^{79}$は埋め込みである。 その像は $Z_{-v}=-Z_{v}$ と以下の線形関係式、 3 次関係式
を $W(E_{6})$ の作用で移した式たちで決定される。
$Z_{v_{1}+v_{2}+v_{4}}-Z_{v_{1}+v_{4}+vs}+Z_{v_{2}+v\mathrm{s}+v_{6}}-Z_{v_{1}+v\mathrm{s}+v_{4}}=0$,$Z_{v_{1}+v_{2}+v_{4}}Z_{v_{2}+v_{3}-v_{4}}Z_{v_{1}-v_{2}+v_{3}}=-Z_{v_{1}+v_{4}+v_{5}}Z_{v_{1}+v_{3}-v_{5}}Z_{v_{3}-v_{4}+v_{5}}$.

59Remark 3.1 Remark 2.1 よりの正則 l-formの積分とみなせるので、が独立変数でパラメーターが $\frac{1}{6}(1,1,2,2,2,2,2)$ の 4 変数超幾何微分方程式である。 超幾何微分方程式の独立な解を並べることにより得られるの稠への多価写像 $f$ の像が複素超球密開集合からになるようなパラメー$y_{j}$たちは曲線たちがみたす微分方程式は$y_{i}$$C_{S}’$$\frac{dz}{w}$$a_{1}^{2},$$a_{4}^{2}$$\ldots,$$Laur\dot{\mathrm{u}}cellaF_{D}$$F_{D}$$\mathbb{C}^{n}$$\mathrm{P}^{n}$$\mathrm{B}^{n}$

ターたちがリストアップされている。多価写像 $f$ の逆写像が一価となる条件をつけてリストアップしている [$DMJ,$ [$TJ$ には上記のパラメーターは現れな
いが、 その条件をつけていない [$MoJ$ 内には登場している。つまりを表示しようとすると一価写像は得られないわけだが、 これらは配置空間$X(3,6)$ の座標系とはなっていない。周期写像の定義域は配置空間 $X(3,6)$であるので、 逆写像
は一価である。
$a_{1}^{2},$$a_{4}^{2}$$\ldots,$$\Phi$$\Phi^{-1}$4周期写像の逆写像の構成

Proposition 23 によりの周期行列との対応が明確になっているので、 周期写像
: $X(3,6)arrow \mathrm{B}^{4}$ の逆写像の具体的な表示を得るには周期行列 から曲線の分岐点の情報をいかに回復するかが問題となる。 その情報を得るには分岐点たちが極や零点となる上の有理型関数をたくさん構成すればよい。 主偏極をもつアーベル多様体
上ではへから
theta 関数を用いて有理型関数がある程度得られるので、の正則写像を与え、 それらを曲線に引き戻すことにより目的とする有理型関数を構成する。
から曲線への多価正則写像$\mathrm{B}^{4}$

の元

と

$y$

$J_{\sigma}^{-}(Cs)$$\tau$$\Phi$$C_{S}$$\tau$$C_{S}$$J_{\sigma}^{-}(C_{S})$$C_{S}$$J_{\sigma}^{-}(C_{S})$$C_{S}$$\mathbb{C}^{5}$$C_{S}$$\gamma:C_{S}\ni p\vdash+\int_{\sigma(p)}^{p}\psi=(\int_{\sigma(p)}^{p}\psi_{1}, \ldots, \int_{\sigma(p)}^{p}\psi_{5})\in \mathbb{C}^{5}$を考える。 ここで $\psi=(\psi_{1}, \ldots, \psi_{5})$ は $H^{1,0}(C_{S})^{-}$ の正規化された基底で、とーとをつないだからからへの積分路はへの積分路にはものとする。 点 が内の閉曲線 に沿って動いたとすると、はが加わる。 $\sigma(\gamma-\sigma(\gamma))=-(\gamma-\sigma(\gamma))$ なので$\sigma(p)$

$p$

$p$

$p_{0}$$p$$C_{S}$$\sigma(\gamma)$$\gamma$$\gamma(p)$$\gamma$$\gamma-\sigma(\gamma)$$\int_{\gamma-\sigma(\gamma)}\psi$$H_{1}(C_{S}, \mathbb{Z})^{-}$に属する。 ゆえに、写像 によ. が得られる。 曲線
り一 fffi 正則写像の分岐点
はたちの による像は格子に含まれ $p_{i},p_{i}’(1\leq i\leq 5)$ の像 $v:,$の 0 でない 3 等分点であり、 $v_{i}’=-v_{i}$ およびが独立となるの元となる。 したがって$\int_{\gamma-\sigma(\gamma)}\psi$は格子$\Lambda_{\tau}$$J$$g:C_{S}arrow \mathbb{C}^{5}/\Lambda_{\tau}(\simeq J_{\sigma}^{-}(C_{S}))$$p_{0},p_{\infty}$$\mathbb{C}^{5}/\Lambda_{\tau}$$J$$C_{S}$$\Lambda_{\tau}$$v_{i}’$$v_{1},$$\ldots,$$v_{5}$

60

ことは容易にわかる。

$v_{1},$$\ldots,v_{5}$

$V=$

{

で張られる

$v= \sum_{i=1}^{5}$

果$|$$v_{\dot{\iota}}$$\mathbb{C}^{5}/\Lambda_{\tau}$の部分集合

果 $\in\{0,$ $\pm 1\}$}に対して $|v|= \sum_{1=1}^{5}.|c_{i}|$ とする。
theta 関数の冗$v$$\theta(z, \Omega)=\sum_{n\in \mathrm{Z}^{r}}\exp[\pi\sqrt{-1}({}^{t}n\Omega n+2{}^{t}nz)]$

次ジーゲル上半空間 $\mathrm{S}^{r}=\{\Omega\in GL_{r}(\mathbb{C})|{}^{t}\Omega=\Omega, {\rm Im}(\Omega)>0\}$に対して上の正則関数でとの直積は$\mathbb{C}^{r}$と$r$$v\in \mathbb{Z}^{r}$$\mathbb{C}^{r}\cross S^{r}$$\theta(z+v, \Omega)=\theta(z, \Omega),$をみたす$\text{。}$$a,$ $b\in \mathbb{Q}^{r}$$\theta(z+\Omega v, \Omega)=\exp[-\pi\sqrt{-1}({}^{t}v\Omega v-2{}^{t}vz)]\theta(z, \Omega)$[こ対して characteristic 付きの theta 関数$\theta(\begin{array}{l}ab\end{array})(z, \Omega)$を$\theta(\begin{array}{l}ab\end{array})(z, \Omega)=\exp[\pi\sqrt{-1}({}^{t}a\Omega a+2{}^{t}a(z+b))]\theta(z+\Omega a+b, \Omega)$

で定める。

の周期行列
と
内の固定点
で引き戻して得られる関数$\Omega$$\mathbb{C}^{5}$を$J_{\sigma}^{-}(C_{S})$$\^{\backslash }\text{く_{。}}\mathbb{C}^{5}$$\tau$$u$として固定し、 $1/2=(I_{5}+\tau){}^{t}(1/2, \ldots, 1/2)\in$に対して、 関数 $\theta(\frac{1}{2}+u+z,\tau)$ を正則写像
上の関数を $_{u}(p)$ とする、 すなわち

$J$

$C_{S}$$_{u}(p)= \theta(\frac{1}{2}+u+\gamma(p),\tau)=\theta(\frac{1}{2}+u+\int_{\sigma(p)}^{p}\psi, \tau)$とする。

$\Theta_{u}(p)$は$C_{S}$

上の多価正則関数となるが、 多価性は $\exp$ factor がかかるだけなので零点およひその位数が定義できる。偏角の原理と留数定理を用いて以下を示すことができる。
が恒等的に 0 でないならば $_{u}(p)$ は重複をことするとめて 10 個の零点をもつ。 また、 その零点たちをProposition 4.1 関数$\Theta_{u}(p)$$q_{1},$$u-. \sum_{1=1}^{10}\gamma(q:)\in\Lambda_{\tau}$

をみたす。

$\ldots,$$q_{10}$61
Proposition 4.2$u\mathrm{C}V$

おける零点の位数は$\theta(\frac{1}{2}, \tau)=0$,の}こ対しては関数) と 3 を法として合同となる。 特に$\ovalbox{\tt\small REJECT},(p)$$\models+\mathrm{X}p$[こ$p_{0},p_{\infty},p_{1},p\mathrm{L}\cdots,p_{5},p\wedge$$|$$\theta(\frac{1}{2}+\mathrm{q}.v_{i}+c_{j}v_{j}+c_{k}v_{k}, \tau)\neq 0(i<j<k, \mathrm{q}.c_{j}c_{k}\neq 0)$

となる。

に対して
の元
と対応している theta characteristic を $a,$ とし、とおく。 これらのたちは全部で 80 個ある。 80 個のにより上の関数とみなしたものをで表す。

$v=c_{i}v_{i}+c_{j}v_{j}+c_{k}v_{k}$$(i<j<k, c_{i}c_{j}c_{k} \neq 0)$$\mathbb{C}^{5}/\Lambda_{\tau}$$\frac{1}{2}+c_{i}v_{i}+c_{j}v_{j}+c_{k}v_{k}$$\theta(\begin{array}{l}ab\end{array})(0, \tau)$

を対応 (

$b$

$\theta_{v}(\tau)=$$\theta_{v}(\tau)$$\theta_{v}(\tau)$$\mathrm{B}^{4}$$2.3\rangle$$\theta_{v}(y)$Proposition 4.3 関数$\theta_{v}^{3}(y)$は $\Gamma(1-\omega)$ に関する保型形式である。

Proposition 421 こお) て $u=v_{2}+v_{3}$ と $u=v_{2}-v_{3}$ とすると $_{u}(p)$ の零点の位数は以下のようになる。
$u=v_{2}+v_{3}$

point
order

$u=v_{2}-v_{3}$

point
order

$p_{0}$$p_{\infty}$$p_{1}$$p_{1}’$$p_{2}$$p_{2}’$$p_{3}$$p_{3}’$$p_{4}$$p_{4}’$$p_{5}$$p_{5}’$

220021210000$p_{0}$$p_{\infty}$$p_{1}$$p_{1}’$$p_{2}$$p_{2}’$$p_{3}$$p_{3}’$$p_{4}$$p_{4}’$$p_{5}$$p_{5}’$

2

2 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0零点の個数は重複を込めて 10 なのではその他の点では 0 とならない。
の元とみなすとの取り方によvi=\sim (乃) をと乃を結ぶ path
り値が変わる。 path を固定して、 この点に対する被覆変換群の作用 \rho (vのによるの像として定める。 \rho (vpathの元としてはと同じである。 theta 関数の準周期性より上の関数$\Theta_{u}(p)$$\mathbb{C}^{5}$$p_{0}$$\rho(\gamma_{i})$$\gamma_{i}$$\mathbb{C}^{5}/\Lambda_{\tau}$$J$$p_{i}$$C_{S}$$v_{i}$(5)$F(p)= \prod_{i=0}^{2}\frac{\theta(\frac{1}{2}+\rho^{i}(v_{2}+v_{3})+_{f}(p),\tau)}{\theta(\frac{1}{2}+\rho^{i}(v_{2}-v_{3})+_{J}(p),\tau)}$は一価有理型関数となる。 上記の零点の情報より $F(p)$ はのみを 3 位の零点とし、のみを 3 位の極としている。
の座標 $(z, w)$ を用いると$p_{3}$$C_{S}$$p_{3}’$$F(z, w)=c \frac{z-a_{3}}{z+a_{3}}$(6)は $(z, w)$ によらない定数である。 有理型関数 $F$ にで表される。 ここで$p=p_{2}’$ を代入すると (6) より、 $c(-a_{2}-a_{3})/(-a_{2}+a_{3})$ である。 一方、 その値は (5) の右辺から具体的に値を求めることができる。 これらの結果を合わ$c$62の値が決定できる。 有理型関数 $F$ に $p=p_{1}$ を代入すると (6) より. $c(a_{1}-a_{3})/(a_{1}+a_{3})$ である。 一方その値は (5) の右辺から

せて定数

$c$

$\frac{\theta_{v_{1}+v_{2}+v_{3}}^{3}(\tau)}{\theta_{v_{1}+v_{2}-v_{3}}^{3}(\tau)}$にある $\exp$ factor がかけられたものである。 この $\exp$ factor は定数 を決定する際にも現れていて、 先に決まった の値を代入するとキャンセルされる。 (4) より$c$$c$$\frac{\theta_{v_{1}+v_{2}+v_{3}}^{3}(\tau)}{\theta_{v_{1}+v_{2}-v_{3}}^{3}(\tau)}$

一一$\frac{(a_{3}-a_{2})(a_{3}-a_{1})}{(a_{3}+a_{2})(a_{3}+a_{1})}=\frac{Z_{v_{1}+v_{2}+v_{3}}}{Z_{v_{1}+v_{2}-v_{3}}}$が得られる。 この結果に $W(E_{6})$ を作用させることにより、 以下の定理が得られる。

Theorem 4.1$\text{写}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}$:$\theta$$\mathrm{B}^{4}/\Gamma(1-\omega)\ni y\vdash*[\ldots,\theta_{v}^{3}(y), \ldots]\in \mathrm{P}^{79}$の像は $Z$ であり、 以下の図式が可換となる。
$X(3,6)$$arrow^{\Phi}$$\iota[searrow]$$\mathrm{B}^{4}/\Gamma(1-\omega)$$\downarrow\theta$$Z$.

写像 が埋め込みなので、 80 個の theta comtants の 3 乗を並べる写像
たが周期写像の逆写像を与えている。そして関数たちは多項式
ちがみたす関係式とまったく同じものをみたす。

$\theta$$\iota$$\Phi$$\theta_{v}(y)$Corollary 4.1 配置空間 $X(3,6)$ に (3) で導入した座標関数$Z_{v}$$u_{\dot{l}j}$

うに表示される。

,$u_{11}$$=$$\frac{\theta_{v_{1}-v_{2}+v_{4}}^{3}(y)(\theta_{-v_{1}+v_{2}+v_{5}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v_{2}+v_{5}}^{3}(y))}{\theta_{-v_{1}+v_{2}+vs}^{3}(y)(\theta_{v_{1}-v_{2}+v_{4}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v_{2}-v_{4}}^{3}(y))}$$u_{12}$$=$$\frac{\theta_{v_{1}-v_{3}+v_{4}}^{3}(y)(\theta_{-v_{1}+v\epsilon+v_{5}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v\epsilon+v\epsilon}^{3}(y))}{\theta_{-v_{1}+v_{3}+v_{5}}^{3}(y)(\theta_{v_{1}-v_{3}+v_{4}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v_{3}-v_{4}}^{3}(y))}$$u_{21}$$=$$\frac{\theta_{v_{1}-v_{2}+v_{5}}^{3}(y)(\theta_{-v_{1}+v_{2}+v_{4}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v_{2}+v_{4}}^{3}(y))}{\theta_{-v_{1}+v_{2}+v_{4}}^{3}(y)(\theta_{v_{1}-v_{2}+v_{5}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v_{2}-v_{5}}^{3}(y))}$,$u_{22}$$=$$\frac{\theta_{v_{1}-v_{3}+v_{5}}^{3}(y)(\theta_{-v_{1}+v\mathrm{s}+v_{4}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v\mathrm{s}+v_{4}}^{3}(y))}{\theta_{-v_{1}+v_{3}+v_{4}}^{3}(y)(\theta_{v_{1}-v_{3}+v_{6}}^{3}(y)-\theta_{v_{1}+v\mathrm{s}-v_{5}}^{3}(y))}$

,

,

は以下のよ

63
References[ACT] D. Allcock,. Carlson and D. Toledo, Acomplex hyperbolic structure for moduli of cubic surfaces, $A.R$. Acad. Sci. 326 (1998), 49-54.
$\mathrm{J}.\mathrm{A}$[AF] D. Allcock and E. Freitag, Cubic Surfaces and Borcherds Products,).
preprint (math .
$\mathrm{A}\mathrm{G}/0002066$[CG]. Clemens,. and. Griffiths, The intermediate Jacobian of
the cubic threefold, Ann. Math. 95 (1969), 460-541.
$\mathrm{C}.\mathrm{H}$$\mathrm{C}.\mathrm{H}$$\mathrm{P}.\mathrm{A}$[C] A. Coble, Points sets and allied Cremona transformations
and III,Trans. $AMS16$ (1915), 155-198, 17 (1916), 345-385 and 18 (1917),$\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I}$331-372.

. Mostow, Monodromy of hypergeometric functions[DM] P. Deligne andand nonlattice integral monodromy, I.H.E.S. Publ. Math. 63 (1986), 5$\mathrm{G}.\mathrm{D}$89.
[DO] I. Dolgachev and D. Ortland, Point sets in projective spaces and theta
functions, Asterisque. 165 (1988).
[H] B. Hunt, The Geometry of some special Arithmetic Quotients,
1637, Springer, 1996.
[I]

.

$LNM$

J. Igusa, Theta Functiom, Springer, 1972.

[N] I. Naruki, Cross ratio variety as amoduli space of cubic surfaces, Proc.
London Math. Soc. 45 no. 3(1982), 1-30.

[MT] K. Matsumoto and T. Terasoma, Theta constants associated to cubic).
three folds, preprint (math$.\mathrm{A}\mathrm{G}/0008024$[Ma] K. Matsumoto, Theta constants associated with the cydic triple coverings of the complex projective line branching at six points, preprint).
(math .
$\mathrm{A}\mathrm{G}/0008025$[Mo]. Mostow, Generalized Picard lattices arising from half-integral conditions, I.H.E.S. Publ. Math. 63 (1986), 91-106.
$\mathrm{G}.\mathrm{D}$64[Mu] D. Mumford, Prym varieties , Contributions to analysis (a collectionof papers dedicated to Lipman Bers), 325-350, Academic Press, New
York, 1974.
$\mathrm{I}$[Pic] E. Picard, Sur les fonctions de deux variables ind\’ependantes analogues
aux fonctions modulaires, Acta Math. 2(1883), 114-126.
[Shi] H. Shiga, On the representation of Picard modular function by
stants I-II, Publ. RIMS, ICyoto Univ. 24 (1988), 311-360.

$\theta$con-[T] T. Terada, Fonctions hyperg\’eometriqueset fonctions automorphes ,, Math. Soc. Japan 35 (1983), 451-475; 37 (1985), 173-185.
$F_{1}$$\mathrm{I}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$[Yol] M. Yoshida, Hypergeometric hnctions, My Love, Vieweg, 1997.
[Y02] M. Yoshida, The real loci of the configuration space of six points on
the projective line and aPicard modular 3-fold, Kumamoto J. Math. 11(1998), 43-67.
[Y03] M. Yoshida, A $W(E_{6})$ -equivariant projective embedding of the moduli
space of cubic surfaces, Kyushu University Preprint series in Mathematics 1999-26.