数理解析研究所講究録 1207 巻 2001 年 67-7867

集合値写像の凸性の遺伝性について
新潟大学大学院自然科学研究科数理科学専攻
西澤正悟 (SHOGO NISHIZAWA)
Department of Mathematical Science, Graduate School of Science andTechnology, Niigata University

新潟大学大学院自然科学研究科情報理工学専攻
田中 環 (TAMAKI TANAKA)
Division of Information Science, Graduate School of Science and Technology,
Niigata University
ソフィア大学数理・情報学部数理・情報学科
PANDO GR. GEORGIEV
Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Mathematics andInformatics, Sofia University

Abstract: 集合値写像が順序錐で定義された錐凸性を持つとき、 スカラー化によってその性質がスカラー化関数へどのように伝達 (遺伝) されるかを体系づけることを目的とする。 ここでは、 集合を特徴づける 4 つのスカラー化関数においてそれぞれに遺伝される準凸性 (準凹性) の関係を示す。
Keywords: 集合値写像、 錐凸性、 準凸関数。

1

はじめに

実数値関数の凸性は最適化問題の解析において有用な性質であり、 数学のさまざまな分野で重要な役割を果たすことはよく知られている。例えば、分離定理や不動点定理、
ミニマックス定理などは凸性との関連性が強い。 これより、 錐凸性を持つ集合値写像をスカラー化し、そのスカラー化関数にどんな凸性が遺伝されるかを調べ体系づけすることによって、 集合値写像に対する不動点定理やミニマックス定理などに応用することができると考える。

2

集合値写像のスカラー化
$X,$

傍

$Y$

を線形位相空間、 $C$ を $Y$ のある閉凸錐、 $S$ を $Y$ のゼロベクトルの適当な近$B=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}C\cap(2S/\overline{S})$とし、 以降この仮定を用いる。

68
2.1

スカラー化の指標スカラー化の指標として次の関数を定義する。 この関数は多目的計画法で用いられるチェビシエフ型関数の一 oe 化となっている。 ([3])$hc(y;k):= \inf\{t|y\in tk-C\}$
ここで、$h_{C}(\cdot;k)$は$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$C$において正斉次性と劣加法性を満たすことが次のようにして分かる。

Lemma 21.1. 関数 $h_{C}(y;k)$ は、 任意の実数 $\alpha>0$ に対して、$h_{C}(\alpha y;k)=\alpha h_{C}(y;k)$を満たす (正斉次性) 。ただし、 $h_{C}(y;k)= \inf\{t|y\in tk-C\},$$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$

$C$

とする。

Proof.
(i) 任意の実数 $\alpha>0$ に対して、 $hc(\alpha y;k)\geq\alpha hc(y;k)$ を示す。
任意の実数$\epsilon>0$に対して、$t(\epsilon)<h_{C}(\alpha y;k)+\epsilon$

,

(2.1)

かつ
$\alpha y\in t(\epsilon)k-C$を満たすような(2.2) より$t(\epsilon)$

.

(2.2)

が存在する。

$y \in\frac{1}{\alpha}t(\epsilon)k-C$であるから、$h_{C}(y;k) \leq\frac{1}{\alpha}t(\epsilon)$$\alpha>0$より、$\alpha h_{C}(y;k)\leq t(\epsilon)$

.

(2.3)

(2.1),(2.3) より、$\alpha h_{C}(y;k)<h_{C}(\alpha y;k)+\epsilon$

ここで、 $\epsilon>0$ は任意なので、$\alpha h_{C}(y;k)\leq h_{C}(\alpha y’.\cdot k)$.

(ii) 任意の実数 $\alpha>0$ に対して、 $hc(\alpha y;k)\leq\alpha hc(y;k)$ を示す。
任意の実数$\epsilon>0$

に対して、$\alpha t(\epsilon)<\alpha h_{C}(y;k)+\epsilon$

,

(2.4)

69
(2.5)

.

$y\in t(\epsilon)k-C$を満たすような$t(\epsilon)$が存在する。

(2.5) より $\alpha y\in\alpha t(\epsilon)k-C$ であるから、(2.6)$h_{C}(\alpha y;k)\leq\alpha t(\epsilon)$(2.4),(2.6) より、$h_{C}(\alpha y;k)<\alpha h_{C}(y;k)+\epsilon$

ここで、 $\epsilon>0$ は$l\mathrm{f}$意なので、$h_{C}(\alpha y;k)\leq\alpha h_{C}(y;k)$.

よって、 (i),(ii) より、 任意の実数 $\alpha>0$ に対して、$h_{C}(\alpha y’.\cdot k)=\alpha h_{C}(y;k)$I
Lemma 2.1.2. 関数 $hc(y;k)$ は、 任意のベクトル$y_{1},$$y_{2}\in Y$に対して、$h_{C}(y_{1}+y_{2};k)\leq h_{C}(y_{1^{j}}, k)+h_{C}(y_{2};k)$を満たす (劣カ I 法性) 。ただし、 $h_{C}(y;k)= \inf\{t|y\in tk-C\}$ ,に対して、Proof. 任意の実数$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$

$C$

とする。

$\epsilon>0$,$t_{1}(\epsilon)<h_{C}(y_{1};k)+\epsilon$

(2.7)

かつ

(2.8)

.

$y_{1}\in t_{1}(\epsilon)k-C$を満たすような
任意の実数が存在する。 また、に対して、$t_{1}(\epsilon)$$\epsilon>0$$t_{2}(\epsilon)<h_{C}(y_{2};k)+\epsilon$

,

(2.9)

かつ
$y_{2}\in t_{2}(\epsilon)k-C$

が存在する。
任意のベクトル届 $y_{2}\in Y$ と、 任意の実数を満たすような(2.10).

$t_{2}(\epsilon)$$\lambda\in[0_{J},1]$$\lambda y_{1}\in\lambda t_{1}(\epsilon)k-C$

t こ対して、 (2.8) より、(2.11)

70(2.10) より、(2.12)$(1-\lambda)y_{2}\in(1-\lambda)t_{2}(\epsilon)k-C$(2.11),(2.12) より、$\lambda y_{1}+(1-\lambda)y_{2}\in\{\lambda t_{1}(\epsilon)+(1-\lambda)t_{2}(\epsilon)\}k-C$

これより、$h_{C}(\lambda y_{1}+(1-\lambda)y_{2};k)\leq\lambda t_{1}(\epsilon)+(1-\lambda)t_{2}(\epsilon)$

よって、$hc(\lambda y_{1}+(1-\lambda)y_{2};k)<\lambda hc(y_{1})+(1-\lambda)h_{C}(y_{2})+\epsilon$

ここで、 $\epsilon>0$ は任意なので、$hc(\lambda y1+(1-\lambda)y_{2};k)\leq\lambda hc(y_{1})+(1-\lambda)hc(y_{2})$ゆえに、$hc(\lambda y_{1}+(1-\lambda)y2;k)$$\leq$$\lambda hc(y_{1};k)+(1-\lambda)h_{C}(y_{2}j, k)$$=$$h_{c}(\lambda y_{1}; k)+h_{c}((1-\lambda)y2;k)$(Lemma 2.1.1.

$\text{よ}\mathit{7}\mathit{3}$

)

I
更に、
$-hc(-y;k):= \sup\{t|y\in tk+C\}$となることも容易に示すことが可能である。

2.2

スカラー化関数

関数 $hc(y;k)$ より集合を特徴づける 4 つのタイプのスカラー化関数を考える。

(1)$\psi_{C}^{F}(x;k):=\sup\{hc(y;k)|y\in F(x)\}$(2)$\varphi_{C}^{F}(x;k):=\inf\{hc(y;k)|y\in F(x)\}$(3)$- \varphi_{\overline{C}}^{F}(x;k):=\sup\{-hc(-y;k)|y\in F(x)\}$(4)$- \psi_{\overline{C}}^{F}(x;k):=\inf\{-hc(-y;k)|y\in F(x)\}$

集合値写像 $F$ の における像 $F(x)$ が 1 点から成る集合の場合は、 これら 4 つの関数の値は一致するが、 一般の場合は一致するとは限らず、 その集合を支えるいくつかの支持点を持つことになる。 この意味で、 ベクトル値関数のチェビシェフ型スカラー化関数よりもスカラー化による情報の欠落が少ないと言える。 この論文では、 関数の凸性の遺伝性に注目しているためこれらの 4 つのタイプの支持点を解析の対象とする。
$x$

71
3

集合値写像の錐凸性

Dffinition 3.1. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ とする。 任意の $a\in Y$ に対して、 集合$\{x\in X|F(x)\cap(a-C)\neq\emptyset\}$が凸または空であるとき、 $F$ は $C$ -quasiconvex と言われる。 もし、 $-F$ が C-quasiconvex
ならば、 $F$ を -quasiconcave と呼び、 それは $F$ が $(-C)$ -quasiconvex であるのと同値
$C$

である。

Remark 3.1. 上の定義の C-quasiconvex というのは、 正確には [2, Definition 3.5] のFervo type(-1)-quasiconvex のことであり、 ここではそれを $C$ -quasiconvex と呼ぶことにする。

Dffinition 32. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ とする。

(a) $F$ が任意のベクトル$x_{1},$$x_{2}\in X$と、 任意の実数 $\lambda\in[0,1]$ に対して、$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{1})-C$

または$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{2})-C$を満たすとき、 $F$ は type-(v) $C$ -properly quasiconvex と言われる。

(b) $F$ が任意のベクトル$x_{1},$$x_{2}\in X$と、 任意の実数 $\lambda\in[0,1]$ に対して、$F(x_{1})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C$

または$F(x_{2})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C$を満たすとき、 $F$ は type-(iii) $C$ -properly quasiconvex と言われる。

-properly quasiconvex ならば、 $F$ を type-(v)[type-properly quasiconcave と呼び、 それは $F$ が type-(v)[type-(\"ui)] $(-C)$ -propedy(i 垣)
quasiconvex であるのと同 (直である。
もし、 $-F$ が type-(v) [type-(\"ui)]
$]$

$C$

$C$

Dffinition 33. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ とする。 $F$ が任意のベクトル$x_{1},$$x_{2}\in X$と、任意の実数 $\lambda\in(0,1)$ に対して、$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset\mu F(x_{1})+(1-\mu)F(x_{2})-C$を満たすような $\mu\in[0,1]$ が存在するとき、 $F$ は type-(v) $C$ -naturally quasiconvex と言われる。 もし、 $-F$ が type-(v) $C$ -naturally quasiconvex ならば、 $F$ を type-(v)C-naturally
quasiconcave と呼び、 それは $F$ が type-(v) $(-C)$ -naturally quasiconvex であるのと同 (直724凸性の遺伝性4.1$C$-properly quasiconvexity からの遺伝性

Theorem 41.1. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ が type-(v)$C$-properly quasiconvex ならば、関数$\psi_{1}(x):=\inf_{k\in B}\psi_{C}^{F}(x;k)=\inf_{k\in B}\sup\{hc(y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凸 (quuiconvex) である.

Proof.

定義より、 任意のベクトル$x_{1},$と、 任意の実数 $\lambda\in[0,1]$ ?こ対して、$x_{2}\in X$$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{1})-C$

または$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{2})-C$であるから、 ここで $F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{1})-C$ を仮定すると、$\psi_{1}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})$$:=$$\leq$$=$$\inf_{k\in B}\sup\{h_{C}(y;k)|y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\}$$\inf_{k\in B}\sup\{hc(y;k)|y\in F(x_{1})-C\}$$!_{-}^{\mathrm{n}\underline{\mathrm{f}}}.

\sup h_{C}(y-c;k)$$-\backslash \vee$$k\in By\in F(oe_{1})e\in C$$\leq$$\inf\sup_{\nu\in F(oe,\mathrm{c}\in G^{1)}}(h_{C}(y;k)+h_{C}(-c;k))$($h_{C}(\cdot;k)$の劣カ\coprod 法性より)$\leq$$\inf\sup_{y\in F(x_{1})}h_{C}(y;k)$$=$$\psi_{1}(x_{1})$$\leq$$\max\{\psi_{1}(x_{1}),\psi_{1}(x_{2})\}$.

同様にして、 $F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{2})-C$ を仮定しても成り立つ。

$\mathrm{I}$

Theorem 4.12. 集合値写像 $F$ : $Xarrow 2^{Y}$ が type-(\"ui) $C$ -properly quasiconcave ならば、 関数$\psi_{C}^{F}(x;k)=\sup\{hc(y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凹 (quasiconoeve) である. ただし、Proof.

定義より、 任意のベクトル$x_{1},$$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$x_{2}\in X$

$C$

とする.

と、 任意の実数 $\lambda\in[0,1]$ に対して、$F(x_{1})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})-C$

または$F(x_{2})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})-C$

73であるから、 ここで $F(x_{1})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})-C$ を仮定すると、$\psi_{C}^{F}(x_{1}; k)$$:= \sup\{hc(y;k)|y\in F(x_{1})\}$$\leq$$\sup\{hc(y;k)|y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})-C\}$$h_{C}(y-c;k)$$=$$y \in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\sup_{c\in C}$($\leq$$y \in F(\lambda oe_{1}+(1-\lambda)x_{2})\sup_{c\in C}(h_{C}(y;k)+h_{C}(-c;k))$$h_{C}(\cdot;k)$の劣カ D 法性より)$\leq$$y \in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\sup h_{C}(y;k)$$=$$\psi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)$.

よって、$\min\{\psi_{C}^{F}(x_{1}; k), \psi_{C}^{F}(x_{2};k)\}\leq\psi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)$.

同様にして、 $F(x_{2})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})-C$ を仮定しても成り立つ。

$\mathrm{I}$

Theorem 4.13. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ が type-(v) $C$ -properly quasiconcave ならば、関数$\varphi_{C}^{F}(x;k)=\inf\{hc(y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凹 (quasiconcave) である。 ただし、Proof.

定義より、 任意のベクトル$x_{1},$$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$x_{2}\in X$

$C$

とする。

と、 任意の実数 $\lambda\in[0,1]$ t こ対して、$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{1})+C$

または$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{2})+C$であるから、 ここで $F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{1})+C$ を仮定すると、$\varphi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)$$:= \inf\{hc(y;k)|y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\}$$\geq$$\inf\{hc(y;k)|y\in F(x_{1})+C\}$$=$$y \in F(x)\inf_{\mathrm{c}\in c^{1}}h_{C}(y+c;k)$$\geq$$y \in F(oe)\inf_{c\in c^{1}}(h_{C}(y;k)-h_{C}(-c;k))$$\geq$($h_{C}(\cdot;k)$の劣カ D 法性より)$\inf_{y\in F(x_{1})}h_{C}(y;k)$$=$$\varphi_{C}^{F}(x_{1}; k)$$\geq$$\min\{\varphi_{C}^{F}(x_{1}; k), \varphi_{C}^{F}(x_{2}j, k)\}$.

よって、$\min\{\varphi_{C}^{F}(x_{1}; k), \varphi_{C}^{F}(x_{2};k)\}\leq\varphi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)$.

同様にして、 $F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset F(x_{2})+C$ を仮定しても成り立つ。

1

74
Theorem 4.1.4. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ が type-(iii)$C$-properly quasiconvex ならば、関数$\varphi_{C}^{F}(x;k)=\inf\{h_{C}(y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凸 (quasiconvex) である。 ただし、Proof.

定義より、 任意のベクトル$x_{1},$$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$x_{2}\in X$

$C$

とする。

と、 任意の実数 $\lambda\in[0,1]$ に対して、$F(x_{1})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C$

または$F(x_{2})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C$であるから、 ここで $F(x_{1})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C$ を仮定すると、$\varphi_{C}^{F}(x_{1}; k)$$:= \inf\{hc(y;k)|y\in F(x_{1})\}$$\geq$$=$$\inf\{hc(y;k)|y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C\}$$\inf$$h_{C}(y+c;k)$$y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)oe_{2})\mathrm{c}\in C$$\geq$$y \in F(\lambda oe_{1}+(1-\lambda)x_{2})\inf_{e\in C}(h_{\dot{C}}(y;k)-h_{C}(-c;k))$$\geq$$=$($h_{C}(\cdot;k)$の劣カ\coprod 法性より)$\inf_{y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})}h_{C}(y;k)$$\varphi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)$.

よって、$\varphi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)\leq\max\{\varphi_{C}^{F}(x_{1}; k), \varphi_{C}^{F}(x_{2};k)\}$.

同様にして、 $F(x_{2})\subset F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})+C$ を仮定しても成り立つ。

$\mathrm{I}$Corollary 4.LL 集合値写像 $F$ : $Xarrow 2^{Y}$ が type-(v) C-properly quasiconcave ならば、 関数$\psi_{2}(x):=\sup_{k\in B}(-\psi_{\overline{C}}^{F}(x;k))=\sup_{k\in B}\inf\{-hc(-y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凹 (quasiconoeve) である。

Proof.

Theorem 4.1.1 より、 $-F$ が type-(v)は準凸である。 これより、(v) $C$ -properly quasiconcave であれば$\psi_{\overline{C}}^{F}(x;k)$$C$-properly quasiconvex とすると、は準凹となるので、 $F$ が typeは準凹である.
1$\sup_{k\in B}(-\psi_{\overline{C}}^{F}(x;k))$$\psi_{2}(x)$$\inf_{k\in B}$

75
Corollary 4.12. 集合値写像 $F$ : $Xarrow 2^{Y}$ が type-(\"ui) $C$ -properly quasiconvex ならば、 関数$- \psi_{\overline{C}}^{F}(x,\cdot, k)=\inf\{-h_{C}(-y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凸 (quasiconvex) である。 ただし、とする。

$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}C$

TheOrem412 より、 $-F$ が type-(\"ui) $C$ -properly quasiconcave とすると、は準凹であるから、 $-\psi_{C}^{F}(x;k)$ は準凸といえる。 これより、 $F$ が type-(v)$C$ -pmperly quasiconcave であればー
は準凸である.

Proof.

$\psi_{\overline{C}}^{F}(x;k)$$\psi_{\overline{C}}^{F}(x; k)$$\mathrm{I}$Corollary 4.13. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ が type-(v) $C$ -properly quasiconvex ならば、関数$- \varphi_{\overline{c}^{F}}(x;k)=\sup\{-hc(-y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凸 (quasiconvex) である。 ただし、

$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$

とする。

$C$

Theorem 413 より、 $-F$ が type-(v) $C$ -properly quasiconcave とすると、は準凸といえる。 これより、 $F$ が type-(v)は準凹であるから、$C$ -properly quasiconvex であれは準凸である。
1

Proof.

$-\varphi_{\overline{c}^{F}}(x;k)$$\varphi_{\overline{c}^{F}}(x;k)$$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{f}-\varphi_{\overline{C}}^{F}(x;k)$Corollary 4.14. 集合 (直写像 $F$ : $Xarrow 2^{Y}$ が type-(\"ui) C-properly quasiconcave ならば、 関数$- \varphi_{\overline{c}^{F}}(x;k)=\sup\{-hc(-y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凹 (quasiconoeve) である。 ただし、

$C$は準凸であるから、$C$ -properly quciconcave であれば一$-\varphi_{\overline{c}^{F}}(x;k)$$\varphi_{\overline{C}}^{F}(x;k)$

$C$

とする。

-properly quasiconvex とすると、は準凹といえる。 これより、 $F$ が type-(iii)

Theorem 4.14 より、 $-F$ が type-(\"ui)Proof.

4.2$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$\varphi_{\overline{C}}^{F}(x; k)$$C$は準凹である。

$\mathrm{i}$-quasiconvexity からの遺伝性

Theorem 42.1. 集合{直写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ が $C$ -quasiconvex ならば、 任意の $k\in B$ に対して、 関数$\varphi_{C}^{F}(x;k)=\inf\{hc(y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凸 (quasiconvex) である。

Proof.

の定義より、 任意のベクトル関数に対して、 各 $i=1,2$ に対して、$\varphi_{C}^{F}$$x_{1},$$z_{i}-t_{i}k\in-C$$x_{2}\in X$と、 任意の正の実数 $\epsilon>0$

(4.1)

,

かつ
$t_{i}<\varphi_{C}^{F}(x_{i,}.\cdot k)+\epsilon$

.

(4.2)

76
を満たす
ここで、

$z_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{C}$$(4\ovalbox{\tt\small REJECT})$F(x$t_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{C}R$より、が存在する。
{こ対して、 $s_{1}k-CCs_{2}k-C$ なので、

$s_{1}\ovalbox{\tt\small REJECT} s_{2}(s_{1},s_{2}arrow R)$.

$z_{i} \in t_{i}k-C\subset\max\{t_{1}, t_{2}\}k-C$

よって、 $F$ が $C$ -quuiconvex であるから、任意の $\lambda\in[0,1]$ 1 こ対して、 $y \in\max\{t_{1}, t_{2}\}k-$$C$を満たす $y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})$ が存在する。 それは、 (4.2) より、$hc(y;k)$$\leq$$\max\{t1, t2\}$$<$$\max\{\varphi_{C}^{F}(x_{1};k), \varphi_{C}^{F}(x_{2};k)\}+\epsilon$.

を意味している。 これより、$\varphi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)=\inf\{hc(y;k)|y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\}$.

ここで、 $\epsilon>0$ は任意の実数であるから、$\varphi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)\leq\max\{\varphi_{C}^{F}(x_{1}; k), \varphi_{C}^{F}(x_{2};k)\}$.

I
Corollary 42.1. 集合値写像$F$: $Xarrow 2^{Y}$ が$C$-quasiconcave ならば、 任意の $k\in B$

に対して、 関数$- \varphi_{\overline{c}^{F}}(x;k)=\sup\{-hc(-y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凹 (quuiconoeve) である.

Proof.

に対して、$C$

より、 $-F$ が $C$ -properly quuiconvex とすると、 任意の $k\in B$
は準凹といえる。 これより、 $F$ がは準凸てあるから、$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}4.2.1$$\varphi_{\overline{C}}^{F}(x;k)$$-\varphi_{\overline{C}}^{F}(x;k)$-quasiconcave であれば、任意の $k\in B$ に対して、

4.3

$C$

$-\varphi_{\overline{c}^{F}}(x;k)$は準凹である。

-naturally quasiconvexity からの遺伝性

Theorem 43.1. 集合値写像 $F:Xarrow 2^{Y}$ が type-(v)$C$-natumlly quuiconvex ならば、関数$\psi_{C}^{F}(x;k)=\sup\{hc(y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凸 (quasiconvex) である。ただし、Proof.

$\mathrm{I}$定義より、 任意のベクトル$x_{1},$$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$x_{2}\in X$

$C$

とする。

と、 任意の実数 $\lambda\in(0,1)$ t こ対して、$F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\subset\mu F(x_{1})+(1-\mu)F(x_{2})-C$

77$T^{\backslash }\backslash \hslash$$\hslash[searrow]\iota_{\supset}^{-}\backslash$$\psi_{C}^{F}(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2};k)$$:=$$\sup\{hc(y;k)|y\in F(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\}$$\leq$$\sup\{hc(y;k)|y\in\mu F(x_{1})+(1-\mu)F(x_{2})-C\}$$=$$\sup$$h_{C}(\mu y_{1}+(1-\mu)y_{2}-c;k)$$y_{1}\in F(x_{1})$$y_{2}\in F(x_{2})\mathrm{c}\in C$$\leq$$\sup$$(hc(\mu y_{1};k)+h_{c}((1-\mu)y2;k)+h_{c}(-c;k))$$v_{2}^{1}\in F(x_{2})y\in F(x_{1})c\in C$$\leq$$v^{1} \in F(x_{2})\sup_{v_{2}\in F(x_{1})}(\mu h_{C}(y_{1};k)+(1-\mu)h_{C}(y_{2};k))$$\leq$$\mu\sup_{y_{1}\in F(x_{1})}h_{C}(y_{1}; k)+(1-\mu)\sup_{y_{2}\in F(x_{2})}h_{C}(y_{2};k)$$=$$\mu\psi_{C}^{F}(x_{1}; k)+(1-\mu)\psi_{C}^{F}(x_{2};k)$$\leq$$\max\{\psi_{C}^{F}(x_{1}; k), \psi_{C}^{F}(x_{2};k)\}$

(4.3)

.

1
は、集合{直写像の C-naturally
Remark 4.1. 上の Theorem 4.3.1 の (4.3) より、関数
quasiconvexity を実数 (直関数で考えたものになっており、 それを naturally quasiconvex$\psi_{C}^{F}$が同じ割合のまま集合と呼ぶことにする。 ただし、 ここで注意すべきことは、 比率値写像からスカラー化関数に遺伝され、 実数値関数における普通の quasiconvexity とnatural $ly$ quasiconvexity が同 t 直になることである。
$\mu$Corollary 43.1. 集合値写像 $F$ : $Xarrow 2^{Y}$ が type-(v) $C$ -naturally quasiconcave ならば、 関数$- \psi_{\overline{C}}^{F}(x;k)=\inf\{-hc(-y;k)|y\in F(x)\}$は、 準凹 (quasiconcave) である。 ただし、

$k\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$

$C$

とする。

Theorem 43.1 より、 $-F$ が type-(v) $C$ -naturally quasiconvex とすると、は準凹といえる。 これより、 $F$ が type-(v)は準凸であるから、$C$ -naturally quasiconcave であれば、は準凹である。

Proof.

$\psi_{\overline{C}}^{F}(x:k)$$-\psi_{\overline{C}}^{F}(xj, k)$$-\psi_{\overline{C}}^{F}(x;k)$5$\mathrm{I}$結論

集合{直写像が $C$ -quasiconvexity, $C$ -properly quasiconvexity, C-naturally quasiconconvexity でいう準凸性を持てば、 スカラー化関数には各々それらの準凸性が遺伝されC準凸関数となる。 また、 集合値写像が $C$-quasiconcavity, $C$-properly
quasiconconcavity でいう準凹性を持てば、 スカラー化関数には各々それらの準凹性が遺伝され準凹関数となることが分かった。
$\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}y_{j}$$\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{I}^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y}$78
更に、 ここで用いた 4 つのタイプのスカラー化関数のうち、 (1) と (2) のスカラー化関数に対する凸性の遺伝性が分かると、 (3) と (4) のスカラー化関数での遺伝性も分かる。集合値写像が同じタイプの錐凸性 (錐凹性) を持つとき、 (1) のスカラー化関数で準凸性 (準凹性) が遺伝されると (4) のスカラー化関数では準凹性 (準凸性) が遺伝され、 (2) のスカラー化関数で準凸性 (準凹性) が遺伝されると (3) のスカラー化関数では準凹性 (準凸性) が遺伝されるという関係があることも示された。

参考文献[1] P. Gr. Georgiev and T. Tanaka (2000). Vector-valued set-valued variants of $Ky$ Fan’inequality, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol.l(.3)’. pp.245-254.

$s$[2] D. Kuroiwa, T. Tanaka, and T.X.D. Ha (1997). On cone conveity of set-valued
maps, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &Applications,$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.30(3),$1496.
[3] 中山弘隆, 谷野哲三, 多日的計画法の理論と応用, 計測自動制御学会, 1994.

$\mathrm{p}\mathrm{p}.1487-$