28

数理解析研究所講究録
第2059巻 2017年 28-38

Von Neumann 代数上の統計的実験に対する最小十分性について
中山大学珠海校区物理与天文学院*

結 $\dager$

倉持

Yui Kuramochi

School of Physics and Astronomy,
Sun Yat‐Sen University

キーワード

量子的統計的実験,量子統計モデル,von Neumann代数,最小十分性

導入

1

量子的統計的実験 (quaritum statistical \mathrm{c}\mathrm{x}$\iota$) erilnerit), あるいは統計モデ) \triangleright (statistical rnodel)とは,あるヒルベルト空間 \mathcal{H} あるいはより一般的に von Neumann代数 \mathcal{M} 上の密度作用素のパ,ラメーター付けされた族 ($\rho$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in 6)} のことをいう.具体的には,系の状態が部分的に知られているよ

うな状況に対応している.これは,(古典) 数理統計学における統計的実験の量子論あるいは作用素「代数における一般化となっている.数理統計 [1, 4] および作用素代数 \mathrm{L}| 15 16] の枠組みにおいて,,(最小) 十分性の概念が主に部分 $\sigma$ 代数およびvon Neniiann部分代数に対して論じられてきた.
すなわち,部分 ( $\sigma$ ) 代数が十分であるとは,アクセスできる情報をその部分代数に制限しても,状態族のパラメーター $\theta$\in $\Theta$ に関する情報が失われないことをいう.十分性の概念は Petz により一般化されて[12, 13],

統計的実験を two‐positive map で表される後処理によって情報が失われないこととして定式化されている.

本稿では,筆者による文献 [9, 10] に基づき,こうした統計的実験の後処理とそれによって導入される同値関係による観点から von Neumann代数上の統計的実験自体にたいして最小十分性を考察する.主結果は,任意の統計的実験が (同型の任意性を除き一意な) 最小十分な統計的実験に同値であるとする定理 (定理1) である.
*$\dag er$

SYSU Zhuhai Campus, Zhuhai 519082, China
yui.tasuke.kuramoGhi@gmail.com

29

数学的準備

2

本論に入る前に,von Neumanii 代数およびその間の (量子) チャンネルについてまとめる.詳細については [3, 14] などを参照されたい.

2.1

Von Neumann 代数

本稿では物理の流儀に従い,Hilbert空間の内積 \langle x|y } (x, y\in \mathcal{H}) は x と y についてそれぞれ反線形,線形であるもとの約束する.
Hilbert 空間 \mathcal{H} に対し, \mathcal{H} 上の有界な線形作用素全体のなす代数を \mathcal{L}(\mathcal{H}) と記す. \mathcal{H} 上の恒等作用素を皿 \mathcal{H} と記す. T\in \mathcal{L}(\mathcal{H}) がトレースクラスであるとは,任意の正規直交基底 (x_{i})_{i\in I} に対して\displaystyle \sum_{i.\in I}\{x_{i}|\sqrt{T^{*}T}x_{i}\rangle <\infty なることをいい, \mathcal{H} 上のトレースクラス作用素全体の集合を T(\mathcal{H})と記す.トレースクラス作用素 T \in T(\mathcal{H}) に対しては,そのトレース \mathrm{t}\mathrm{r}(T) := \displaystyle \sum_{i\in I}\{x_{i_{-} |T ㊥

が(正規直交基底 ( x.議 \in J の取り方によらず一意に) 定まる. T(\mathcal{H}) 上のトレースノルム \Vert\cdot\Vert_{1} を\Vert T\Vert_{1} :=\mathrm{t}\mathrm{r}(\sqrt{T^{*}T}) で定めると,このノルムのもとで T(\mathcal{H}) はBanach 空間となる. T(\mathcal{H}) の双対空間 T(\mathcal{H})^{*} ( T(\mathcal{H}) 上の有界線形汎関数全体のなす Banach 空間) は以下の意味で \mathcal{L}(\mathcal{H}) と等長同型 \succeq なる: 各 $\Phi$ \inT(\mathcal{H})^{*} に対して $\Phi$(T) =\mathrm{t}\mathrm{r}(AT) (\forall T\in T(\mathcal{H})) なる A\in \mathcal{L}(\mathcal{H}) が一意に存在

し,写像 T(\mathcal{H})^{*}\ni $\Phi$\mapsto A\in \mathcal{L}(\mathcal{H}) は等長同型となる. $\rho$\in T(\mathcal{H}) が密度作用素であるとは, $\rho$\geq 0
かつ \mathrm{t}\mathrm{r}( $\rho$)=1 なることをいい, \mathcal{H} 上の密度作用素全体の集合を S(\mathcal{H}) と書く.

各 T\in T(\mathcal{H}) に対して, \mathcal{L}(\mathcal{H}) 上の半ノルム p $\tau$(A) :=|\mathrm{t}\mathrm{r}(AT)| (A\in \mathcal{L}(\mathcal{H})) を定め,半ノルムの族 (p_{l^{r} \prime)_{T\in T(\mathcal{H})} によって生成される \mathcal{L}(\mathcal{H}) 上の局所凸位相を超弱位相という.すなわち, \mathcal{L}(\mathcal{H})上のネット (A_{i})_{i\in 1} に対して, A_{i} が A\in \mathcal{L}(\mathcal{H}) に超弱位相で収束するとは p_{T}(A_{i}-A)\rightarrow 0 がす
べての T\inT(\mathcal{H}) に対して成り立つことである.

\mathcal{L}(\mathcal{H}) の部分集合 S に対して,

S':=\{B\in \mathcal{L}(\mathcal{H}) | AB =BA(\forall A\in S)\} を S の可換子という.

また, \mathcal{M}\subseteq \mathcal{L}(\mathcal{H}) が部分 * ‐代数であるとは, \mathcal{M} が \mathcal{L}(\mathcal{H}) の線形部分空間であり,単位的 1_{\mathcal{H} \in \mathcal{M}であり,かつ積と共役で閉じていること,すなわち AB, A^{*} \in \mathcal{M} (\forall A, B\in \mathcal{M}) なることをいう.
*‐部分代数 \mathcal{M} \subseteq \mathcal{L}(\mathcal{H}) がvon Neumann 代数であるとは,二重可換子 \mathcal{M}(\mathcal{M}')' ) が \mathcal{M} に一致することをいう. \mathcal{M} の単位元現は]\lf o r \mathcal{M} とも書かれる.Von Neumann の二重可換子定理によると,*‐部分代数 \mathcal{M} \subseteq \mathcal{L}(\mathcal{H}) がvon Neumann 代数であることは, \mathcal{M} が超弱位相について閉じていることと同値である.
Von Neumann 代数 \mathcal{M} 上の線形汎関数 $\varphi$ \in \mathcal{M}^{*}.

に対して, $\varphi$(A) (A\in \mathcal{M}) は \{ $\varphi$, A\rangle のような二重線形な形にしばしば書かれる.超弱位相について連続な \mathcal{M} 上の線形汎関数の集合を \mathcal{M}と書く.

$\varphi$ \in \mathcal{M}^{*}、

が正であるとは, $\varphi$(A) \geq 0 がすべての 0\leq A\in \mathcal{M} に対して成り立つことをいう. \mathcal{M} 上の状態とは, \mathcal{M} 上の正の線形汎関数 $\varphi$\in \mathcal{M}^{*} であって,規格化条件 $\varphi$(\mathrm{I}\mathrm{L}_{\mathcal{M} )=1 を満たすもののことをいう.超弱位相について連続な状態 $\varphi$\in \mathcal{M}_{*} を \mathcal{M} 上の正規状態といい,正規状態全体の集合を \mathcal{S}_{ $\sigma$}(\mathcal{M}) と書く. \mathcal{M} 、は \mathcal{M} の前双対である : すなわち,各 A\in \mathcal{M} に対して

30$\Psi$_{A} \in (\mathcal{M}_{*})^{*} を $\Psi$_{A}( $\varphi$) :=\{ $\varphi$, A\} ( $\varphi$\in \mathcal{M}_{*}) で定めると,写像 \mathcal{M}\ni A\mapsto$\Psi$_{\rightarrow 4} \in (\mathcal{M}_{*})^{*'} によって \mathcal{M} と(\mathcal{M}_{*})^{*} は(Banach 空間として) 等長同型となる.

\ve \mathrm{o}\mathrm{n} Neumann 代数間の完全正値チャンネル

2.2\mathcal{M} と \mathcal{N} をvon Neurnann 代数, $\Lambda$ : \mathcal{M}\rightar ow \mathcal{N} を有界線形写像とする.

:\Leftrightar ow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} $\Lambda$(]\mathrm{L}_{\mathcal{M} )=1_{\mathcal{N} .

\bullet$\Lambda$ が単位的 (unital)\bullet$\Lambda$ が正 (positive).

$\Lambda$ がn‐positive :^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\Leftrightarow 各 (A_{j})_{j=1}^{n} \subseteq \mathcal{M} , および (B_{j})_{j=1}^{n} \subseteq \mathcal{N} に対して:\Leftrightar ow 0\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\leq A\in \mathcal{M} ならば $\Lambda$(A)\geq 0.

\displayst le\sum_{i \backsla h}j=1}^{\mathrm{t}B_{i}^{*}$\Lambda$(A_{i}^{*}A_{j})B_{?}\cdot\geq0.
\bullet$\Lambda$ が完全正値 (completely positive, CP) :^{\mathrm{d}\Leftrigharow^{\mathrm{e}\mathrm{f} すべての n\geq 1 に対して $\Lambda$ が n‐positive.

ル1または \mathcal{N} が可換であれば, $\Lambda$ が正であることから $\Lambda$ が完全正値であることが従う.
・

正の $\Lambda$ が正規 :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} 任意の有界な単調増大ネット$\Lambda$(\displaystyle \sup_{i\in I}A_{i})(A 磁 \in I \subseteq 廻 に対して,sup.i\in r^{ $\Lambda$(A_{i})}=.

正の $\Lambda$ が正規であることと $\Lambda$ が超弱位相について連続であることとは同値である.

正規な $\Lambda$ に対しては,前双対写像 $\Lambda$_{*}:\mathcal{N}_{*}\rightar ow \mathcal{M} 、が \{ $\varphi$ $\Lambda$ (且) \rangle=\{$\Lambda$_{*}( $\varphi$),,

A\rangle ( $\varphi$\in \mathcal{N}_{*}

A\in

ルo によって定まる.
\bullet$\Lambda$ が(正規) チャンネル :\mathrm{b}^{\mathrm{e}\mathrm{f} \cdot $\Lambda$ が正規かつ単位的かつ完全正値.
$\Lambda$ がチャンネルのとき \mathcal{M},\mathcal{N} をそれぞれ $\Lambda$ の出力・入力空間と呼ぶ. \mathcal{M} から亙へのチャ

ンネル全体の集合を \mathrm{C}\mathrm{h} (\mathcal{M} \rightar ow \mathcal{N}) と記し,Ch(洞 \rightarrow 廻) を Ch(廻) と記す.チャン
ネル $\Lambda$ \in \mathrm{C}\mathrm{h} (\mathcal{M} \rightar ow \mathcal{N}) はHeisciibcrg 描像でのオブザーバブルの変化を表現し,前双対$\Lambda$ 、: \mathcal{N}*\rightar ow \mathcal{M{、がSch$\Gamma$ ödinger 描像での正規状態の状態変化を表現する.
}

チャンネルの例として,Hilbert 空間 \mathcal{H} 上のチャンネル $\Lambda$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{L}(\mathcal{H}) を考えてみよう.このとき, $\Lambda$ および前双対 \mathrm{A}_{\bul et} : T(\mathcal{H})\rightarrow T(\mathcal{H}) は以下のようなKraus 和表現 [3, 7] を持つ :$\Lambda$(A)=\displaystyle \sum_{i}$\Lambda$'I_{i}^{*}AM_{i} (A\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$\Lambda$_{*}.(T)=\displaystyle \sum_{\mathrm{i} M_{i}T I_{\dot{$\gama$},^{*} (T\in T(\mathcal{H}))

(1)

,

ん

ここで,

(2)

.

\mathcal{M}_{i}\in \mathcal{L}(\mathcal{H}) は完全性条件 \displaystyle \sum_{i} 鴫 l\downarrow\prime'I_{i}=1_{\mathcal{H} を満たす有界作用素の族であり,式(1) および(2) の右辺はそれぞれ (超) 弱位相およびトレースノルム位相の意味で収束している.
もう一つの例として,古典的な場合に対応する可換von Neumaim代数を考えてみよう.( $\Omega$ $\Sigma$, $\mu$ ))を $\sigma$ ‐有限な測度空間とし,測度 $\mu$ に関する L^{p} 空間を L^{p}( $\mu$) と書く(p\in [1,\inftyまた, $\Omega$ 上の $\Sigma$ ‐可測関数 f に対して, f と $\mu$-\mathrm{a}.\mathrm{e} で一致する可測関数よりなる同値類を [f]_{ $\mu$} と記す.各 [f]_{ $\mu$}\in L^{\infty}( $\mu$).

31を,Hilbert 空聞 L^{2}( $\mu$) 上の有界作用素

L^{2}( $\mu$)\ni[g]_{ $\mu$}\mapsto[fg]_{ $\mu$}\in L^{2}( $\mu$)と同一視することで, L^{\infty}( $\mu$) はHilbert 空間 L^{2}( $\mu$) 上の von Neumann 代数となる.前双対の元$\varphi$\in L^{\infty}( $\mu$)_{*} は, ( $\Omega$, $\Sigma$) 上の $\mu$ について絶対連続な複素測度 $\nu$ と対応\displaystyle\{$\varphi$,[f]_{$\mu$}\ =\int_{$\Omega$}f($\omega$)d$\nu$($\omega$)により同一視できる.特に,正規状態 $\varphi$\in S_{ $\sigma$}(L^{\infty}( $\mu$)) は $\mu$ について絶対連続な確率測度に対応する.また,対応 $\nu$\mapsto[\displaystyle\frac{d_{I/} {d$\mu$}]_‐有限測度空間とする.各チャンネル{$\mu$}\inL^{1}($\mu$) により前双対 L^{\infty}( $\mu$)_{*} L^{3}( $\mu$) とも同一視される.
は(\mathrm{J}1_{j}, $\Sigma$_{j_{i} $\mu$ j)} (j=1,2) を $\sigma$$\Gamma$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(L^{\infty}($\mu$_{1})\rightarrow L^{\infty}($\mu$_{2})に対して,[ $\kappa$(E|\cdot)]_{$\mu$_{2}}= $\Gamma$($\chi$_{E}) (E\in$\Sigma$_{1})(3)によって,各 E\in$\Sigma$_{1} に対して $\Sigma$_{2} ‐可測関数 $\kappa$(E|\cdot) が $\mu$_{2}-\mathrm{a}.\mathrm{e} での不定性を除き定義される.この.

とき $\kappa$:$\Sigma$ ì \times$\Omega$_{2}\rightar ow \mathbb{R} は以下を満たす:(i) 0\leq $\kappa$(E|$\omega$_{2}) \leq 1, $\mu$_{2}($\omega$_{2})-\mathrm{a}.\mathrm{c}. (\forall E\in$\Sigma$_{1}) ;(ii) 各 E\in$\Sigma$_{1} に対して, $\kappa$(\mathrm{E}|) は $\Sigma$_{2} ‐可測 ;(iii) $\kappa$(\emptyset|$\omega$_{2})=0_{j}\prime\nwarrow-( $\Omega$|$\omega$_{2})=1, $\mu$_{2}($\omega$_{2})-\mathrm{a}.e. ;(iv) 非交差な可算列 \{\mathrm{E}_{n}\}_{n}\subseteq$\Sigma$_{1} に対して, $\kappa$(\displaystyle \bigcup_{n}E_{n}|$\omega$_{2})=\sum_{n} $\kappa$(E_{n}|$\omega$_{2}) $\mu$_{2}($\omega$_{2} ) ‐a.e.
,

上記の条件 (\mathrm{i})-(\mathrm{i}\mathrm{v}) を満たす写像 $\kappa$ を ($\mu$_{1}-$\mu$_{2}) 弱Markov 核(wcak Markov kernel) という.逆に$\mu$_{1}-$\mu$_{2} 弱Markov 核 $\kappa$ が与えられたとき,式(3) を満たすチャンネル $\Gamma$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(L^{\infty}($\mu$_{1})\rightarrow L^{\infty}($\mu$_{2})が一意に存在する.弱Mairkov 核は入出力空間が異なる場合の条件付き確率であり,古典情報処理に対応する.

2.3

条件付き期待値と (最小) 十分部分代数\mathcal{M} を von Neumann 代数, \mathcal{M}_{1} \subseteq \mathcal{M} を \mathcal{M} のvon Neuinann 部分代数とする.正規な線形写

像置: \mathcal{M}\rightarrow \mathcal{M}_{1} が条件\Vert \mathbb{E}(A)\Vert\leq \Vert A\Vert (A\in \mathcal{M}),\mathbb{E}(B)=B (B\in \mathcal{M}_{1})を満たすとき, \mathb {E} は \mathcal{M} から \mathcal{M}_{0} へのノルム 1射影,あるいは条件付き期待値と呼ばれる.富山の定理 (例えば,[2] の定理1.5.10) により,条件付き期待値 \mathrm{E} は以下を満たす:\mathbb{E}\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}\rightar ow \mathcal{M}_{1}),\mathbb{E}(B_{1}AB_{2})=B_{1}\mathrm{E}(A)B_{2} (A\in \mathcal{M};B_{1;}B_{2}\in \mathcal{M}_{1}).

32\mathcal{M} を von Neumann 代数, \mathcal{M}_{1} を \mathcal{M} のvon Neumann 部分代数,($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in\ominus} を \mathcal{M} 上の正規状態の族とする.このとき,十分部分代数および最小十分部分代数の概念をLuczak [11] に従って以下のように導入する :($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in \mathrm{O} が忠実 :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} 正の作用素 A\in \mathcal{M} に対して, $\varphi$_{ $\theta$}(A)=0 がすべての $\theta$\in $\Theta$ に対して成り立つならば A=0.
\bullet\mathcal{M}_{1} が ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} について梅垣の意味で十分 :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} 条件付き期待値 \mathrm{E}:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{M}_{1} が存在して,$\varphi$_{ $\theta$}=$\varphi$_{ $\theta$}\mathrm{o}\mathrm{E}(\foral $\theta$\in $\Theta$)\bullet.

\mathcal{M}_{1} が ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} について CP の意昧で十分 :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} CP チャンネル $\Lambda$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}\rightar ow \mathcal{M}_{1}) が存在して, $\varphi$_{ $\theta$}=$\varphi$_{ $\theta$}\circ $\Lambda$(\foral $\theta$\in $\Theta$)\bullet.

\mathcal{M}_{1} が(吻) $\theta$\in e について梅垣の意味で最小十分 :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}. \mathcal{M}_{1} は梅垣の意味で十分かつすべての梅垣の意味で十分な部分代数に含まれる.

.

\mathcal{M}_{1} が ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} について CP の意味で最小十分 :\Leftrightar ow\mathrm{d}$\epsilon$^{\backsla h}\mathrm{f}\mathcal{M}_{1} はCP の意味で十分かつすべてのCP の意味で十分な部分代数に含まれる.

Luczak [11] によると,正規状態の族 (吻) $\theta$\in $\Theta$ が忠実ならば, \mathcal{M} のvon Neumann 部分代数 \mathcal{M}_{0}が存在して, \mathcal{M}_{0} は梅垣およびCP の意味で最小十分となる.次の3節では,Luczak の結果を,部分代数に限らない,統計的実験間の十分なチャンネルによって導入される同値関係によって解釈し直す.

統計的実験の最小十分性

3

ここでは,最小十分な統計的実験の存在と一意性に関する結果を述べる.
定義1. 統計的実験 (statistical \mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{l}) eriment), あるいは統計モデル (stafistic,aÌ model) とは,三つ組\mathcal{E}= (\mathcal{M}, \ominus, ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$}) であって, \mathcal{M} がvon Neumann 代数,$\Theta$\neq\emptyset が集合, ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} \in S_{ $\sigma$}(\mathcal{M})^{ $\Theta$}

が $\Theta$ によってパラメーター付けされた正規状態の族であるもののことをいう. \mathcal{M}, $\Theta$ はそれぞれ \mathcal{E}の出力空間, \mathcal{E} のパラメーター集合と呼ばれる.
統計的実験は出力空間‐k の状態が部分的にわかっている状況に対応している.パラメーター集
合を同じくする統計的実験 \mathcal{E}=(\mathcal{M}, $\Theta$, ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in \mathrm{e} ) と \mathcal{F}= (\mathcal{N}, $\Theta$, ($\psi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$}) に対して,その聞のrelations を以下のように定義する:

coar:^{\mathfrak{c}1}\Leftrightar ow^{\mathrm{e}\mathrm{f} \exist $\Lambda$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}\rightar ow \mathcal{N}) s.t. [_{\acute{r}^{ $\rho$} $\theta$}=$\psi$_{ $\theta$}\circ $\Lambda$(\foral $\theta$\in $\Theta$) ].

\bullet\mathcal{E}\prec \mathcal{F} ( \mathcal{E} は \mathcal{F} のCP coarse‐graining)\bullet\mathcal{E}\sim \mathrm{c}\mathrm{p}\mathcal{F} ( \mathcal{E} と \mathcal{F} はCP 同値) :\Leftrightar ow \mathcal{E}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\prec \mathrm{c}\mathrm{p}\mathcal{F} かつ \mathcal{F}\prec \mathcal{E}.

\bullet\mathcal{E} \cong \mathcal{F} ( \mathcal{E} と \mathcal{F} は正規同型)(\foral $\theta$\in $\Theta$):^{\mathrm{d}\Leftrigharow^{\mathrm{e}\mathrm{f} 正規な*‐同型 $\pi$ : \mathcal{M} \rightar ow \mathcal{N} が存在して, $\varphi$_{ $\theta$}=$\psi$_{ $\theta$}0 $\pi$.

関係 \mathcal{E}\prec \mathcal{F} は,パラメーター $\theta$\in $\Theta$ について \mathcal{F} の方が \mathcal{E} より多くの情報を持っていることを意味する.二項関係く \mathrm{C}\mathrm{P} および \sim \mathrm{c}\mathrm{P} はそれぞれ同じパラメーター集合を持つ統計的実験の問の前

33

順序および同値関係である.

統計的実験の最小十分性を以下のように定義する.

(\mathcal{M}_{0}, $\Theta$, ($\varphi$_{ $\theta$}^{(0)})_{ $\theta$\in $\Theta$}) が最小十分 (minimal$\varphi$_{$\theta$}^{(0)} =$\varphi$_{ $\theta$}^{(0)}\circ $\alpha$ (\forall $\theta$\in\ominus) ならば $\alpha$=\mathrm{i}\mathrm{d}_{\mathcal{M}_{0} な

定義2 (統計的実験の最小十分性).統計的実験 \mathcal{E}_{0}sufficient) であるとは, \mathrm{Q}\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}_{0}) に対して,=ることをいう.

このとき以下に示す同値な最小十分な統計的実験の存在と一意性に関する以下の定理が成立
する:

定理

1.

任意の統計的実験 \mathcal{E}=(\mathcal{M}, $\Theta$, ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$}) に対して,最小十分な統計的実験 \mathcal{E}_{0}(\mathcal{M}_{0}, $\Theta$_{\backslash ,\prime}($\varphi$_{ $\theta$}^{(0)} _{ $\theta$\in $\Theta$}) が存在して, \mathcal{E} \sim\mathrm{c}\mathrm{p} \mathcal{E}_{0}.

=

また,このような最小十分な統計的実験 \mathcal{E}_{0} は正規同型の任意性を除き一意である.
最小十分な \mathcal{E}_{0} の構成には,まず, \mathcal{E} は忠実であることを仮定して良いことを示し,Luczak [11]による平均エルゴード定理 [8] を用いた方法により,部分代数 \mathcal{M} () および \mathcal{M}_{0} への条件付き期待値 \mathrm{E} を構成すると,$\varphi$_{ $\theta$} の \mathcal{M}_{0} への制限$\varphi$_{$\theta$}^{(0)} によって,所望の最小十分な統計的実験が得られる.

次に,統計的実験の最小十分性と部分代数の最小十分性の関係を述べよう.この関係は以下の2つの定理によって与えられる.
定理2. \mathcal{E}=(\mathcal{M}, $\Theta$, ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$}) を統計的実験とする.このとき,以下の条件は同値である:(i) \mathcal{E} は最小十分 ;(ü) ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$} \in $\Theta$ は忠実で, \mathcal{M} は ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in\ominus} について梅垣の意味で最小十分部分代数;(üi) ($\varphi$_{ $\theta$})_{(}, \in $\Theta$ は忠実で,\mathcal{M} は ( $\varphi$) _{ $\theta$\in $\Theta$} について CP の意味で最小十分部分代数.

定理3. \mathcal{E}=(\mathcal{M}, $\Theta$, ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$}) を ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} が忠実な統計的実験, \mathcal{M}_{0} を \mathcal{M} のvon Neumann 部分代数とする.各 $\theta$\in $\Theta$ に対して $\varphi$_{ $\theta$}^{(0)} を $\varphi$_{ $\theta$} の \mathcal{M}_{0} への制限とし,統計的実験 \mathcal{E}_{0}=(\mathcal{M}_{0}, $\Theta$, ($\varphi$_{ $\theta$}^{(0)})_{ $\theta$\in $\Theta$})を定義する.このとき,以下の条件は同値:(i) \mathcal{M}_{0} は ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} について梅垣の意味で最小十分 ;(ii) \mathcal{M}_{0} は (\}\prime$\rho$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in \mathrm{e} について CP の意味で最小十分 ;(iii) \mathcal{M}_{0} は ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} について梅垣の意味で十分かつ \mathcal{E}_{0} は最小十分 :(iv) \mathcal{M}_{0} は ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} について CP の意味で十分かつ \mathcal{E}_{0} は最小十分.
以 -\vdash_{-} に見た最小十分性に関する結果は CP チャンネルをより弱い条件である Schwarz チャン

ネルに一般化しても成立する.例えば,統計的実験の間の同値関係 \sim\mathrm{s}_{\mathrm{c}\mathrm{h} や最小十分性の条件をSchwarz チャンネルを用いて定義することができる.このとき,\sim \mathrm{s}_{\mathrm{c}\mathrm{h}は \sim \mathrm{c}\mathrm{P} に一致し,最小十分性の条件も CP チャンネルで定義したものがSchwarzチャンネルで定義したものに一致することが示せる.詳細は論文 [10] を参照されたい.

34

具体例

4

本節では,最小十分な統計的実験の具体例として,最小十分チャンネル (4.1節)

系(4.2節),有限次元量子および古典数理統計学に対応する可換代数 (4.3節) を取り上げる.

,

最小十分チャンネル

4.1\mathcal{M}, \mathcal{N}, \mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} を von Neumann 代数, $\Lambda$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}\rightar ow \mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} ) および $\Gamma$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{N}\rightar ow \mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} ) を入力

空間を同じくする正規チャンネルとする.統計的実験の場合と同様に,チャンネルに関しても前順
序関係く \mathrm{C}\mathrm{P} 同値関係 \sim \mathrm{c}\mathrm{P}, \cong および最小十分性を以下のように定義する :,\bullet$\Lambda$\prec \mathrm{r}\Leftrightarrow'. \exists $\alpha$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}\rightar ow \mathcal{N})\mathrm{s}.\mathrm{t}. $\Lambda$= $\Gamma$ 0 $\alpha$.

\bullet$\Lambda$\sim \mathrm{c}\mathrm{p} $\Gamma$ :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}. $\Lambda$\prec $\Gamma$ かつ $\Gamma$\neg\prec \mathrm{C}\mathrm{P} A.

.

$\Lambda$\cong $\Gamma$ : \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\Letrigharow 正規同型 $\pi$:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{N} が存在して $\Lambda$= $\Gamma$\circ $\pi$.

.

$\Lambda$ が最小十分:\Leftrightar ow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} $\alpha$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}) に対して,Ao $\alpha$= $\Lambda$ ならば $\alpha$=\mathrm{i}\mathrm{d}_{\mathcal{M} .

各チャンネル $\Lambda$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}\cdot\rightar ow \mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} ) に対して,対応する統計的実験を\mathcal{E}_{ $\Lambda$}=(\mathcal{M}, S_{ $\sigma$}(\mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} ), ($\Lambda$_{*}( $\varphi$) _{ $\varphi$\in \mathcal{S}_{ $\sigma$}(\mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} )})によって定義すると,上で導入したチャンネル間の関係は統計的実験の言葉で以下のように言い換えることができる:\bullet$\Lambda$\prec $\Gamma$\Leftrightarrow\mathcal{E}_{ $\Lambda$}\prec_{\backslash \mathrm{C}\mathrm{P} \mathcal{E}_{ $\Gamma$}.

.

$\Lambda$\sim \mathrm{c}\mathrm{p} $\Gamma$\Leftrightarrow\mathcal{E}_{\mathrm{A} \sim \mathrm{c}\mathrm{p}\mathcal{E}\bullet$\Lambda$\cong $\Gamma$\bullet$\Lambda$ は最小十分チャンネル\Leftrightarrow\mathcal{E}_{ $\Lambda$}\cong \mathcal{E}_{ $\Gamma$}.
\Leftrightarrow\mathcal{E}_{$\Lambda$} は最小十分な統計的実験.

これと定理1を合わせると,任意の正規チャンネル $\Lambda$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}\rightar ow \mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} ) は最小十分チャンネル$\Lambda$_{0}\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{M}_{0}\rightar ow \mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} ) に CP 同値となり,このような $\Lambda$_{0} は正規同型 \cong の任意性を除き一意であることがただちに従う.

4.2

有限次元量子系\mathcal{H} を有限次元 Hilbert 空聞とし, e= (\mathcal{L}(\mathcal{H}), $\Theta$, (p_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$})を統計的実験とする.ここで,2節で言及したように, \mathcal{L}(\mathcal{H}) 上の正規状態を \mathcal{H} 上の密度作用素と同一視する.また,簡単のため($\rho$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} は忠実であると仮定する.このとき, \mathcal{E} にCP 同値な最小十分な統計的実験 \mathcal{E}_{0} は \mathcal{L}(\mathcal{H}) の($\rho$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} についての最小十分部分代数 \mathcal{M}_{0} および \mathcal{M}_{0} への条件付き期待値 \mathrm{E} を求めることで得ら35

れる.文献 [5] で示されたように, \mathcal{H}, \mathcal{M}_{0}, \mathrm{E} および p_{ $\theta$} は具体的に以下のような形に求められる :,\displayst le\mathcal{H}=\bigoplus_{$\alpha$}\mathcal{H}_{$\alpha$}\otimes\mathcal{K}_{$\alpha$},\displaystyle\mathcal{M}_{0}=\bigoplus_{$\alpha$}\mathcal{L}(\mathcal{H}_{$\alpha$})\otimes1_{\mathcal{K}_{$\alpha$},\displaystyle\mathb {E}(A)=\bigoplus_{$\alpha$}\mathrm{t}\mathrm{r}_{\mathcal{K}_{$\alpha$} [P_{$\alpha$}AP_{$\alpha$}(\mathrm{n}_{\mathcal{H}_{a} \otimes$\omega$_{c$\nu$})]\otimes1_{\mathcal{K}_{$\alpha$} (A\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$\rho$_{$\theta$}=\displayst le\bigoplus_{$\alpha$}q_{$\alpha$} $\theta$p_{$\alpha,\\theta$}\otimes$\omega$_{$\alpha$}.

,)ここで, \mathcal{H}_{ $\alpha$} および \mathcal{K} 。はHilbert 空間, P_{ $\alpha$} は \mathcal{H}_{ $\alpha$}\otimes \mathcal{K}_{ $\alpha$} への射影, $\omega$_{ $\alpha$} は( $\theta$\in $\Theta$ によらない) \mathcal{K} $\alpha$上の密度作用素, \mathrm{t}\mathrm{r}_{\mathcal{K}_{a}

確率分布,は \mathcal{K}_{ $\alpha$} についての部分トレース,(q_{$\alpha$_{\backslash } $\theta$})_{ $\alpha$} は \displaystyle \sum_{ $\alpha$}q_{ $\alpha,\ \theta$} =1,

q_{ $\alpha,\ \theta$} \geq 0 なる$\rho$_{ $\alpha,\ \theta$} は \mathcal{H}_{ $\alpha$} 上の密度作用素である.このような分解は以下の条件で特徴づけられる :任

意のチャンネル $\Lambda$\in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{L}(\mathcal{H}) が $\Lambda$_{*}(p_{t)})=$\rho$_{ $\theta$} をすべての $\theta$\in 0 に対して満たすならば, $\Lambda$ は$\Lambda$|_{L(\mathcal{H}_{ $\alpha$}\otimes \mathcal{K}_{ $\alpha$}) =\mathrm{i}\mathrm{d}_{\mathcal{L}(\mathcal{H}_{ $\alpha$}) \otimes$\Lambda$_{ $\alpha$}
なる形に書ける.ここで, $\Lambda$_{ $\alpha$} \in \mathrm{C}\mathrm{h}(\mathcal{L}(\mathcal{K}_{ $\alpha$}) かつ $\Lambda$_{ $\alpha$*}(\prime)_{ $\alpha$} ) =$\omega$_{ $\alpha$} である.このような分解の存在と一意性は,最初に小芦と井元によって示された [6].
4.3

可換代数 (古典数理統計学)

ここでは,(古典) 数理統計学における (最小) 十分部分 $\sigma$‐代数の理論 [1, 4] を本稿で考察した作用素代数的なアプローチから見直してみる. *1
以下本小節では ( $\Omega$, $\Sigma$) を可測空間,とし,その上の確率分布の族 (P_{ $\theta$})_{ $\theta$\in\ominus} を考え, \mathcal{P}:=\{F_{ $\theta$} | $\theta$\in $\Theta$\} と書く.さらに,本節では,ほとんどの実際的な例が満たす条件として,ある ( $\Omega$, $\Sigma$)
上の $\sigma$ ‐有限測度 $\mu$ が存在して,すべての島 \in \mathcal{P} は $\mu$ について絶対連続であると仮定する.このとき,可算部分集合 \{P_{$\theta$_{k} \}_{k\geq 1} \underline{\subseteq}\mathcal{P} が存在して瓦 :=\displaystyle \sum_{k\geq 1}2^{-k}P_{$\theta$_{k} とおくと,すべての島 \in P
は P_{*} について絶対連続となる.

$\Sigma$_{1} を $\Sigma$ の部分 $\sigma$ ‐代数とする.確率測度 P_{ $\theta$}\in \mathcal{P} に対して,条件付き期待値 E_{ $\theta$}(\cdot|$\Sigma$_{3}):L^{\infty}( $\Omega$, $\Sigma$, P_{ $\theta$}) \rightarrowL^{\infty}( $\Omega,\ \Sigma$_{1}, P_{ $\theta$}) を\displaystyle \int_{ $\Omega$}E_{ $\theta$}([f]_{P_{ $\theta$} |$\Sigma$_{1})$\chi$_{E}dP_{ $\theta$}=\int_{ $\Omega$}f$\chi$_{E}dP_{ $\theta$} ([f]_{P_{ $\theta$} \in L^{\infty}( $\Omega$, $\Sigma$, P_{ $\theta$});E\in$\Sigma$_{1})で定め, P_{ $\theta$}-\mathrm{a}.\mathrm{e}.

での不定性を除き一意な条件付き確率 P_{ $\theta$}(E|$\Sigma$_{2_{i} $\omega$)(E \in $\Sigma,\omega$' \in $\Omega$) を

P_{ $\theta$}(E|$\Sigma$_{2}, \cdot)=E_{ $\theta$}($\chi$_{E}) P_{$\theta$^{-} \mathrm{a} \mathrm{e} で定める.
。

.

$\Sigma$_{1}, $\Sigma$_{2} を $\Sigma$ の部分 $\sigma$ ‐代数とする.このとき,(最小) 十分部分 $\sigma$ ‐代数の概念を以下のように定義する:*1

本小節の内容は論文 [10] には含まれていない.

36\bullet$\Sigma$_{1} が \mathcal{P} について十分 :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} 条件付き確率 P_{ $\theta$}(\cdot|$\Sigma$_{1}, \cdot) (または条件付き期待値 E_{ $\theta$}(\cdot|$\Sigma$_{1}) ) が$\theta$\in $\Theta$ によらずに取れる.

$\Sigma$_{1} \subseteq p$\Sigma$_{2} ( $\Sigma$_{1} が $\Sigma$_{2} に本質的に含まれる) :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} 各 E_{1} \in$\Sigma$_{1} に対して E_{2}\in$\Sigma$_{2} が存在して

P_{ $\theta$}(\mathrm{E}_{\mathrm{i} $\Delta$ E_{2})=0 がすべての $\theta$\in $\Theta$ に対して成立する.ここで, E $\Delta$ F:=E\backslash F\cup F\backslash E は集合の対称差である.
$\Sigma$_{1} が( \mathcal{P} についての) 最小十分部分 $\sigma$ ‐代数 :\Leftrightarow\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} $\Sigma$_{1} が \mathcal{P} について十分でかつすべつの十分
部分 $\sigma$ ‐代数に本質的に含まれる.

これを作用素代数的に書き直してみよう.各確率測度 P_{ $\theta$}\in\mathcal{P} は可換 von Neumann代数\mathcal{M}:=L^{\infty}(P_{*}) 上の正規状態$\varphi$_{l)}([f]i_{\star}\displaystyle \mathrm{J}.)=\int_{ $\Omega$}fdP_{ $\theta$} ([f]_{1_{*}^{\} \in L^{\infty}(P_{*})に対応する.このとき, ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} は \mathcal{M} 上で忠実である.部分 $\sigma$ ‐代数 $\Sigma$_{1} に対して,\mathcal{M}_{$\Sigma$_{1} := { [f]_{P_{*}} \in \mathcal{M} |f は $\Sigma$_{1} ‐可測}
とおくと, \mathcal{M}_{$\Sigma$_{1} は \mathcal{M} のvon Neitmaim 部分代数となる.また, \mathcal{M} のvon Neumaim 部分代数

\mathcal{M}_{1} に対して,部分 $\sigma$ ‐代数$\Sigma$_{\mathcal{M}_{1}} :=\{E_{1}\in $\Sigma$| [$\chi$_{E_{1}}]_{P_{*}} \in \mathcal{M}_{1}\}を定めると,\mathcal{M}_{$\Sigma$_{f\cdot 1_{1} =\mathcal{M}_{1} が成立する. $\Sigma$_{1}, $\Sigma$_{2} を部分 $\sigma$ ‐代数とすると,同値関係$\Sigma$_{1} \subseteq \mathcal{P}$\Sigma$_{2} \Leftrightar ow \mathcal{M}_{$\Sigma$_{1} \subseteq \mathcal{M}_{$\Sigma$_{1}(4)が成り立つ.こうした対応は部分 $\sigma$‐代数の (最小) 十分性についても以下の命題のように成立する:
命題1. $\Sigma$_{0} を $\Sigma$ の部分 $\sigma$ ‐代数とする.このとき以下が成立する.
1.

$\Sigma$_{0} が \mathcal{P} について十分部分 $\sigma$‐代数\Leftrightarrow\mathcal{M}_{ $\Sigma$} 。が ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in\ominus} について梅垣の意味で十分部分

代数.
2.

$\Sigma$_{0} が \mathcal{P} について最小十分部分 $\sigma$‐代数\Leftrightarrow\mathcal{M}\underline{\backslash^{\urcorner} 。が ($\varphi$_{ $\theta$})_{ $\theta$\in $\Theta$} について梅垣の意味で最小十分部分代数.
証明.1. $\Sigma$_{0} が十分部分 $\sigma$ ‐代数であるとする.このとき, $\theta$ \in $\Theta$ によらない島の条件付き期待値を \mathbb{E}=E_{*}(\cdot|$\Sigma$_{0}) とおくと, \mathbb{E}:\mathcal{M} \rightar ow \mathcal{M}_{ $\Sigma$} 。は \mathcal{M}_{ $\Sigma$} 。への条件付き期待値であり,$\varphi$_{ $\theta$}=$\varphi$_{ $\theta$}\circ \mathbb{E}(\foral $\theta$\in $\Theta$) が成立する.よって, \mathcal{M}_{ $\Sigma$} 。は十分部分代数である.逆に, \mathcal{M}_{ $\Sigma$} 。が十分部分代数であると仮定すると,条件付き期待値 \mathrm{E}:\mathcal{M}\rightar ow \mathcal{M}_{$\Sigma$_{0} が存在して,(\foral $\theta$\in \mathrm{O}) 各 [f]_{P_{*}} \in L^{\infty}(P_{*},) に対して, $\Sigma$_{0} ‐可測関数 E_{*}([f]_{P_{*}}|$\Sigma$_{0}, \cdot ) を.

[E_{*}([f]_{P_{\mathrm{K}}}|$\Sigma$_{0}, \cdot)]_{P}. =\mathrm{E}([f]_{P_{*}})$\varphi$_{ $\theta$,. $\theta$}=(^{\wedge} OE37で定めると,すべての $\theta$\in $\Theta$, E_{0} \in$\Sigma$_{0} に対して,\displaystyle \int_{ $\Omega$}E_{*}([f]_{P_{\wedge} |$\Sigma$_{0}, $\omega$)$\chi$_{E_{0} ( $\omega$)dP_{ $\theta$}( $\omega$)=($\varphi$_{ $\theta$}, \mathb {E}([f]_{P_{\wedge} )[$\chi$_{E_{0} ]_{P_{*} \}=\langle$\varphi$_{ $\theta$}, \mathbb{E}([f$\chi$_{\mathrm{E}_{0} ]_{P_{k} )\}=$\varphi$_{f)}\mathrm{o}\mathrm{E}([f$\chi$_{F_{\lrcorner 0}^{ $\tau$} ]_{P_{\mathrm{A}\wedge} )=$\varphi$_{0}([f$\chi$_{L_{0}^{1}}]_{P_{*}})=\displaystyle\int_{$\Omega$}f($\omega$) \chi$_{E_{0} ($\omega$)dP_{$\theta$}($\omega$).

よって, E_{*} (\cdot|$\Sigma$_{0}, \cdot ) は島の $\theta$\in\ominus によらない常勤付き期待値になっている.故に $\Sigma$_{0} は十分部分 $\sigma$ ‐代数である.
2.

上記の主張1. および部分代数についての同値関係 (4) より明らか

口

これより,最小十分部分 $\sigma$‐代数 $\Sigma$_{0} の存在が定理1より従う.最小十分部分 $\sigma$ ‐代数の存在は,始めBahadur [1] によって,Radon‐Nikodyni 微分(\displaystle\frac{tP_{$\thea$}{dP_{*})_{$\thea$\in$\Theta$}
によって生成される $\sigma$ ‐代数として構成された.

また,統計的実験の最小十分性の定義とチャンネルと弱Markov核との対応により,最小十分部
分 $\sigma$ ‐代数を以下のように特徴づけることができる:

系1. 部分 $\sigma$ ‐代数 $\Sigma$_{0} について以下の条件は同値.
1.

$\Sigma$_{0} は最小十分.

2.

( $\Omega,\ \Sigma$_{0}, P_{*})-( $\Omega,\ \Sigma$_{0}, P_{*}) 弱Markov 核 f_{l}:$\Omega$\times$\Sigma$_{0}\rightar ow \mathbb{R} が条件

P_{ $\theta$}(E_{0})=\displaystyle \int_{ $\Omega$} $\kap a$(E_{0}| $\omega$)dP_{ $\theta$}( $\omega$) (\foral E_{0}\in$\Sigma$_{0})を満たすならば, h(E_{0}| $\omega$)=$\chi$_{E_{0}}( $\omega$) P_{*}( $\omega$)-\mathrm{a}.\mathrm{e} がすべての E_{0}\in$\Sigma$_{0} に対して成立する.
,.

最後に,本節の内容と正値測度(positive operator valued measure, POVM)の関係について言及しておこう.入力 von Neumann 代数 \mathcal{M}_{\mathrm{i} 。上の POVM \mathrm{M} が定義されると,量子‐古典チヤン
ネル ( \mathrm{Q}\mathrm{C} チャンネル) と呼ばれる,

可換 von Neumann代数を出力空間とする正規チャンネル $\Gam a$^{\mathrm{M}が定義される.これより,POVMの最小十分性の議論は4.1節の意味での, $\Gam a$^{\mathrm{M} の最小十分性の議論に帰着する.一方,POVM \mathrm{M} に対して, \mathcal{M}_{\mathrm{i}\mathrm{n} 上の正規状態 $\varphi$^{:} を用意したとき得られる出力確率分布を P_{ $\varphi$}^{\mathrm{M} と書くと,\mathcal{P}^{\mathrm{M} :=\{P_{ $\varphi$}^{\mathrm{M} \}_{ $\varphi$\in \mathcal{S}_{ $\sigma$}(\mathcal{M}_{\mathrm{i}1 }) に対して本節の議論を適用することで,最小十分部分代数 $\Sigma$_{0} が得られる.この $\Sigma$_{0} は $\Gam a$^{\mathrm{M} と同値な最小十分チャンネルと対応していることが容易に確かめられる.POVMや \mathrm{Q}\mathrm{C} チャンネル,およびその最小十分性についての詳細については論
文 [10] を参照されたい.

38

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