数理解析研究所講究録 1212 巻 2001 年 102-115

102
On the lacunas in boundary value problems
阪大理・数由良浩一 (Koichi Yura)

Department of Mathematioe, Graduate School of Scienoe, Osaka University
本稿は, ある定数係数双曲型境界値問題において lacuna の理論を展開したものである. 境界値問題あるいは混合問題では, 初期値問題にはあらわれない側面波 (lateralwave) や境界波 (boundary wave) があらわれ, そこでの sharpness を調ぺることは興味深い問題である. また, 主反射波 (main reflected wave) の sharpness も境界条件との関係で, 反射前の sharpness がそのまま遺伝するのかどうかも自明ではない.

1

定数係数双曲型境界値問題の前進基本解$x=(x_{1}, \ldots, x_{n})$に対して,$x’=(x_{1}, \ldots, x_{n-1})$などとして次のような定数係数双曲型境界値問題を考える.
$P(D)F_{k^{0}}(x)=0$

,

$\{$

$B_{j}(D)F_{k^{0}}(x)|_{x_{\hslash}=0}=\delta jk^{0}\delta(x’)$

は $1\leq k_{0}\leq\mu$ で固定する. $P(D),$,$x\in\{x\in \mathrm{R}^{n} ; x_{\mathfrak{n}}>0\}$,$x’\in \mathrm{R}^{n-1},1\leq j\leq\mu$

.

(BP)

変数 $m$ 階,
変数階の斉次微分作用素であり, $B_{j}(D)(1\leq j\leq\mu)$ の個数 はあとで決められる. また,である. ここで次の仮定をおく. 仮定 (A-1), (A-2) はあとで条件を弱めることができる.

$k_{0}$$B_{j}(D)$

はそれぞれ

$n$

$n$

$r_{j}$$\mu$$D= \frac{1}{i}\frac{\theta}{\partial ae}$(A-1). $P(\xi)$ は $\theta=(1,0, \ldots,0)$ に関して双曲型で,(A-2).

に関する終結式に関して双曲型である.
と$P$$\theta’$(A-3).

$\frac{\partial P}{\theta\zeta_{\hslash}}$の$\xi_{n}$$\{x\in \mathrm{R}^{n} ; x_{n}=0\}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(\xi’)$$\mathrm{C}$で既約である.

の $\xi’\in \mathrm{R}^{n-1}\backslash \{0\}$ での局所化 (定義 2.1) がは $P(\xi)$ に関して非特性的である. すなわち,(A-4). (BP) は $g$ 適切である. すなわち,$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}\dot{1}$

行列式 $R(\xi’)$ は$\theta’$$P(0,1)\neq 0$.

に関して双曲型である.
$F_{k^{0}}(x)$は, 境界 $\{x\in \mathrm{R}^{n} ; x_{n}=0\}$ 上に単位衝撃を与えたときの波動の伝播をあらわす. 以下,$F_{k^{0}}(x)$を記述するための準備をする.

$\Gamma(P, \theta)=\mathrm{R}^{n}\backslash \{\xi\in \mathrm{R}^{n} ; P(\xi)=0\}$の $\xi_{n}=0$ での切り口$\Gamma^{0}(P, \theta)$の$\theta$を含む連結成分を,$\Gamma^{0}(P,\theta)=\{\xi’\in \mathrm{R}^{n-1} ; (\xi’,0)\in\Gamma(P,\theta)\}$$- c^{\backslash }\backslash \not\in \mathrm{g}\mathcal{F}$103.
$P( \xi)=\sum_{j=0}^{m}P_{m-j}(\xi’)\xi_{n}^{j}$とあらわせば,ある. また,$P_{0}(\xi’)=P(0,1)$ であるから,$\xi’\in \mathrm{R}^{n-1}\pm i\Gamma^{0}(P, \theta)$

仮定 (A-3) よりに対して,$P(\xi’, \lambda)=0$

は$P_{0}(\xi’)$$\lambda$

は 0 でない定数でに関して実根をもちえないので, それらの根を$\lambda_{1}^{+}(\xi’),$$\ldots,$$\lambda_{\mu}^{+}(\xi’),$ $\lambda_{1}^{-}(\xi’),$$\ldots\lambda_{m-\mu}^{-}(\xi’)$,(1)${\rm Im}\lambda_{k}^{\pm}(\xi’)<>0$とあらわすことができる. もちろん,はこのが (BP) の境界条件の個数である.
これらを使って, (BP) に対する
{こ対して,$\mu$$\xi’\in \mathrm{R}^{n-1}\pm i\Gamma^{0}(P, \theta)$

なる限り一定である.

$\mu$$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$

行列式 $R(\xi’)$ を定義する.

$\xi’\in \mathrm{R}^{n-1}\pm$$i\Gamma^{0}(P, \theta)$$R(\xi’)=\det L(\xi’)$,$L( \xi’)=(\frac{1}{2\pi i}\oint B_{j}(\xi’, \lambda)\lambda^{k-1}P_{+}(\xi’, \lambda)^{-1}d\lambda)_{j,k=1,\ldots\mu}’$’(2)$P_{+}( \xi’, \lambda)=\prod_{j=1}^{\mu}(\lambda-\lambda_{j}^{+}(\xi’))$とおく. ただし, (2) の積分は複素 平面において, $P_{+}(\xi’, \lambda)=0$ の根を全て囲むような単一閉曲線に沿うものである. これより, $P_{+}(\xi),$ $R(\xi’)$ はそれぞれ$\lambda$$(\xi_{n}, \lambda_{1}^{+}(\xi’),$$\lambda_{\mu}^{+}(\xi’))$$\ldots,$,$(\xi’, \lambda_{1}^{+}(\xi’),$の多項式 (特にの対称式) で,斉次であることがわかる. このとき, 前進基本解$(\lambda_{1}^{+}(\xi’),$$\ldots,$$\lambda_{\mu}^{+}(\xi’))$$\ldots,$

$\mu$

次,

$F_{k^{0}}(x)$$\lambda_{\mu}^{+}(\xi’))$$\gamma=\sum_{j=1}^{\mu}rj-\mu(\mu-1)/2$

は仮定 (A-4) を使えば,$F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{-n}i^{-1}\sum_{j=1}^{\mu}\int_{\mathrm{R}^{\hslash}-i\theta}e^{ix\xi}R_{jk^{0}}(\xi’)\xi_{n}^{j-1}(R(\xi’)P_{+}(\xi))^{-1}d\xi$であらわされる. ここで,ある. 超関数は,$F_{k^{0}}(x)$$\langle F_{k^{0}}(\cdot), \varphi\rangle$$R_{jk^{0}}(\xi’)$(3)

は $L(\xi’)$ の $(k^{0},j)$ 余因子 ( $\gamma+\mu-r_{k^{0}}-j$ 次斉次) で$\varphi\in C_{0}^{\infty}(\mathrm{R}^{n})$として,$=i^{-1} \sum_{j=1}^{\mu}\int_{\mathrm{R}^{n}}R_{jk^{0}}(\xi’-i\theta’)(\xi_{n}-i\theta_{n})^{j-1}$$(R(\xi’-i\theta’)P_{+}(\xi-i\theta))^{-1}(\ovalbox{\tt\small REJECT}^{-1}\varphi)(\xi-i\theta)d\xi$で定義される. また, 前進基本解 (forward fundamental solution) とは,$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F_{k^{0}}(x)\subset\{x\in \mathrm{R}^{n} ; x\theta\geq 0\}$となる基本解である.

次

104
2

双曲錐

$\Gamma\xi(RP_{+}, \theta)$

は初期値問題の場合と異なり, 単に特性集合を複素の方境界値問題の基本解$R,$が, ある集合の向に避けて積分すれば良いというものではない. これは上で $m$ 重に分岐するからである. したがって, その分岐集合も複素の方向に避けなければならない. このことに注意して $R$ , P やの局所双曲錐を定義していく.
$F_{k^{0}}(x)$$P_{+}$$R_{jk^{0}},$

定義 2.1$\mathrm{R}^{n}-i\Gamma$を開連結錐,

で斉次の解析関数とする.
に対して, $f(\xi^{0}+t\zeta)$ を の巾で展開すると,$\Gamma\subset \mathrm{R}^{n}$を$f$$\mathrm{R}^{n}-i\Gamma$$\xi^{0}\in \mathrm{R}^{n},$$(\in$$t$$tarrow+\mathrm{O}$のとき,$f(\xi^{0}+t\zeta)=t^{\mathrm{p}}f_{\zeta^{0}}$(\mbox{\boldmath $\zeta$})+o(t りの関数として恒等的には 0 にならない最初の係数
る局所化という.
となるとき,$\zeta$を $f$ の

$f_{\xi^{0}}$$\xi^{0}$におけ口

この定義 2.1 で . $-i\Gamma$ をに変えれば, 根化を考えることができる (Wakabayashi $[3][4]$ を参照). したがって,ることができる.
$\mathrm{R}^{n}$$\lambda_{j}^{+}(1\leq j\leq\mu)$$\mathrm{R}^{\mathrm{n}-1}-i\Gamma^{0}(P, \theta)$$\Gamma_{\mathrm{S}’}’(\ovalbox{\tt\small REJECT},\theta’)=\mathrm{R}^{n-1}\backslash .\{\eta’\in \mathrm{R}^{n-1} ; \ovalbox{\tt\small REJECT}_{\xi’}(\eta’)=0\}$$\Gamma_{\xi}’,(R, \theta’)=\{\eta’\in\Gamma_{\xi}’,(\ovalbox{\tt\small REJECT},\theta’);R_{\xi’}(-i\eta’)\neq 0\}$のの$P_{+}$

を局所化すを含む連結成分,$\theta’$を含む連結成分,$\theta’$の$\Gamma_{\xi}(P_{+}, \theta)=\{\eta\in\Gamma_{\xi}’,(\ovalbox{\tt\small REJECT}, \theta’)\cross \mathrm{R};P_{+\xi}(-i\eta)\neq 0\}$

$R,$

の局所

$\theta$を含む連結成分,$\Gamma_{\xi}(RP_{+}, \theta)=\{\Gamma_{\xi}’,(R,\theta’)\cross \mathrm{R}\}\cap\Gamma_{\xi}(P_{+}, \theta)$で定義する. また,$\Gamma_{\xi}(RP_{+},\theta)$$K_{\xi}(RP_{+},\theta)=$

{

の双対錐

$x\in \mathrm{R}^{n}$;$K_{\zeta}(RP_{+}, \theta)$$\eta\in\Gamma_{\xi}(RP_{+},$

を$\theta)$

ならば $x\eta\geq 0$ }で定義する.
$P(\xi)$が$\theta$に関して双曲型多項式のとき,$P$に対しても威り立つことはよく知られて

いる.

RP やが

$\eta\in\Gamma_{0}(RP_{+}, \theta)$に関して双曲型であることから,$F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{-n}i^{-1}\sum_{j=1}^{\mu}\int_{\mathrm{R}^{\hslash}-j\eta}e^{1ae\zeta}.R_{jk^{0}}(\xi’)\xi_{n}^{j-1}(R(\xi’)P_{+}(\xi))^{-1}d\xi$,$\eta\in\Gamma_{0}(RP_{+},\theta)$とも書け,$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F_{k^{0}}(x)\subset K_{0}(RP_{+},\theta)$となることがわかる. なぜなら $x\eta<0$ のとき, 十分大きい をとり をで置き換えても Stokes の公式より積分の値は変わらない. ところが $tarrow+\infty$ とすれば超関数の$t$$\eta$

意味で 0 になるからである.
$W(RP_{+},\theta)=$$\cup$$\xi\in \mathrm{R}^{n}\backslash \{0\}$$K_{\xi}(RP_{+},\theta)$$t\eta$

105
とおくと,

$\Gamma_{\xi}(RP_{+}, \theta)$の定義より, [1] と同じ方法で次が得られる.

補題 22 $x\not\in\pm W(RP_{+}, \theta)$ のとき, 次を満たす$\bullet\lambda\in \mathrm{R}\backslash \{0\}$$C^{\infty}-$のとき,$v(\lambda\xi)=|\lambda|v(\xi)$・任意のベクトル値関数 $v(\xi)$ が存在する.

$\xi\in \mathrm{R}^{n}\backslash \{0\}$

.

に対して,
$v(\xi)\in\Gamma_{\xi}(RP_{+}, \theta)\cap\{\xi\in \mathrm{R}^{n}.\cdot x\xi’=0\}$$\bullet\xi\in \mathrm{R}^{n}\backslash \{0\},$.

$0<t\leq 1$ のとき,$\mathscr{R}(\xi’\pm itv(\xi)’)R(\xi’\pm itv(\xi)’)P_{+}(\xi\pm itv(\xi))\neq 0$.
口上の条件を満たすベクトル値関数 $v(\xi)$ の集合を $V(RP_{+}, X, \theta)$ と書く. この補題 22
を使って,

sing

(4)

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F_{k^{0}}(.x)\subset \mathrm{M}^{r}(RP_{+}\backslash .\theta)$などの定義が [4] に比べて一般に悪いため, (4) の評価も [4] に比べて悪いものになる可能性がある.
を, Wakabayashi[4] と同様に示せるが,

3$/\dagger\backslash$モロ$\Gamma_{\xi’}’(R, \theta’)$$\grave{\backslash }y^{*}-\not\in[\alpha_{X}^{\mathrm{f}}]$

ベクトル値関数の集合 ( $RP_{+}$ .X. ) を用いて Herglotz-Petrovskii-Leray の公式にあを構或する. 方法はらわれるホモロジー類
rding[l] と同じである.
の微分形式を$1^{;}$$[\alpha_{x}]\dagger$$\theta$$\mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{h}- \mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}- \mathrm{G}[mathring]_{\mathrm{a}}$$\mathrm{K}_{1}\cdot \mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}_{-}\mathrm{c}\mathrm{k}’\mathrm{e}\mathrm{r}$$\omega(\dot{\mathrm{t}})=\sum_{j=1}^{n}(-1)\mathrm{j}.-1\zeta_{j}d_{\check{\mathrm{t}}1}-\Lambda\cdots\Lambda\overline{d_{\tilde{\zeta}j}}\Lambda\cdots\Lambda d_{\dot{\mathrm{t}}n}$$S_{X}^{n-1}$を,$\{_{\mathrm{t}}\mathrm{r}\xi=0\}$,(5)空間における $S^{n-1}$ に $(x\xi)\omega(\xi)>0$ なる向きを入れたチェイン (境界がのうち $x\xi>0$ の側のに含まれる実次元相対サイクル) とする.
$\xi$$(\uparrow\iota-1.)$$S_{X}^{n-1}$

半球と $x\xi<0$ の側の半球の向きが逆であるから, $S_{X}^{n-1}\cap\{x\xi=0\}$ にはどちら側からのも同じ向きが誘導されることになる. 二れを $\omega_{x}(\xi)>0$ の向きと定めておく.
,
は, $S^{n-1}\cap\{x\xi=0\}$ すなわち $S^{n-2}$ に, 向きを $\omega_{x}(\xi)>0$ で入れたチェ境界
イン (実 $(n-2)$ 次元サイクル) となる.
$\frac{1}{2}S_{X}^{n-1}$$\frac{1}{2}$$S_{\lambda}^{n-1}$

106
定義 3.1 $x\not\in\pm W(RP_{+},\theta),$ $1’\in V(RP_{+}, X, \theta)$ のとき,,$\alpha_{x,v}=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}-\{\xi-i\iota’(\xi);\xi\in\frac{1}{2}S_{X}^{n-1}\}$$\overline{\alpha}_{x,v}=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}-\{\xi+i_{\mathrm{C}’}(\xi);\xi\in\frac{1}{2}S_{\mathrm{Y}}^{n-1}\}-$

とおく.

$S_{X}^{n-1}$の前についたはチェインの係数である.

$\frac{1}{2}$口

定義 3.1 で, chain-{ } と書いたのは, 単なる点集合と向き付け可能で向きが定義さの向と書いている).
れたチェインを区別しているからである (点集合はから誘導される向きをもつ.
きは
の複素射
をそれぞれ
$\cdot$$\{\cdot\}$$\alpha_{1,\mathrm{v}}$$\overline{\alpha}_{x,v}$、$\frac{1}{2}S_{X}^{n-1}$$X^{*},$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\dot{\nu}$

影空間*$\mathrm{P}^{n-1}(\mathrm{C})$への像とし,

被覆面とする. また,像をあらわす. ここで,$\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}},$$\alpha_{x,v},\overline{\alpha}_{x,\iota\uparrow}$の$\Phi_{\mathrm{C}^{n}}$は$\{\dot{\mathrm{t}}’\in \mathrm{C}^{n-1} ; \ovalbox{\tt\small REJECT}(.’(\dot{\mathrm{t}}’)=0\}\cross \mathrm{C}$$\mathrm{P}^{n-1}(\mathrm{C})\backslash \sqrt\ovalbox{\tt\small REJECT}*,$の$\{\dot{\mathrm{t}}\in\Phi_{\mathrm{C}^{nj}}R(\dot{\mathrm{t}}’)P_{+}(\dot{\mathrm{t}})=0\}$$\mathrm{C}^{n}\backslash (\{\dot{\mathrm{t}}’\in \mathrm{C}^{n-1} ;l/ \ovalbox{\tt\small REJECT}(\dot{\mathrm{t}}’)=0\}\cross \mathrm{C})$への像$\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}$$\Phi_{X}$によって$(RP_{+})^{\uparrow}$

定義 32. をそれぞれ$X=\{\zeta\in \mathrm{C}^{n} ; x\dot{\mathrm{t}}=0\},$$\alpha_{x,v}^{1},\overline{\alpha}_{ir,v}^{\uparrow}$

は,

$v$

の

$X^{*}\backslash \sqrt.\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{r}}$$\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}$$\gamma\gamma \mathrm{t}$

重

における

の $n?$. 重被覆而.

の選び方に依存せず, ホモロジー群$H_{n-1}(\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}\backslash (RP_{+})^{\dagger},\Phi_{X}\cdot\backslash (RP_{+})^{\uparrow};\mathrm{C})}$の元を定めるので [\mbox{\boldmath $\alpha$} ],:$[\overline{\alpha}_{x}^{1}]$と書く. 境界作用素$H_{n-1}(\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}\backslash (RP_{+})^{\uparrow}, \Phi_{X}\cdot\backslash (RP_{+})^{\dagger};\mathrm{C})arrow H_{n-2}(\Phi_{X^{*}}\backslash (RP_{+})^{\mathrm{t}_{j}}\mathrm{C})$を定めるので,$\partial[\overline{\alpha}_{x}^{\mathrm{t}}]$$\partial[\alpha_{x}^{\mathrm{t}}],$

は $H_{n-2}$ ($\Phi x^{r}\cdot\backslash (RP_{+})^{\uparrow};$C) の元である.
口

ホモロジー類の補題を準備する.

$[\alpha_{x}^{\uparrow}],$

補題 33 写像 :$\iota$$\partial[\alpha_{x}^{\mathrm{t}}]$$\mathrm{C}^{n}arrow \mathrm{C}^{n}$

は,

を

$n$

の偶奇によって大きく異なる. これを見るために次$\iota(\dot{\mathrm{t}})=-\zeta$$\iota(\overline{\alpha}_{x,v})=(-1)^{n-1}\alpha_{x,v},$で定義すると,$\iota(\partial\overline{\alpha}_{x,v})=(-1)^{n-1}\partial\alpha_{x,\iota\prime}$.

(6)$\text{口}$(証明) (6) を書き直せば,

chain-{ $-\xi-$ iv$(\xi)$

chain-{-\mbox{\boldmath $\xi$}-iv(\mbox{\boldmath $\xi$});;$\xi\in\frac{1}{2}S_{X}^{n-1}$$\xi\in\frac{1}{2}\partial S_{\lambda}^{n-1},$}} $=(-1)^{n-1}$ chain-{\mbox{\boldmath $\xi$}-iv(\mbox{\boldmath $\xi$});$=(-1)^{n-1} \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}-\{\xi-iv(\xi) ; \xi\in\frac{1}{2}S_{X}^{n-1}\}$$\xi\in\frac{1}{2}\partial S_{\lambda}^{n-1},$

,

(7)

}.

(8)

(7),(8) を証明する前に, 各右辺の $(-1)^{n-1}$ を中括弧の中に入れることはできないことを注意しておく. この $(-1)^{n-1}$ はチェインの向きあるいは係数をあらわしていて,の係数 と同じである. これに対して, 写像 は中括弧の中に -1 を入れて, チェイン
上の点の座標そのものを変える写像である.
$S_{K}^{n-1}-$$\iota$$\frac{1}{2}$107(7),(8) を示す. 簡単のために係数の は略して考える (2 倍のチェインを考えていることになるが, それは差し支えない). チェイン chain-{\mbox{\boldmath $\xi$}-iv(\mbox{\boldmath $\xi$});} において,は上の点だから をー としても, ベクトル値関数 $v(\xi)$ の次数 1 の正斉次性より集合としては同じである. すなわち, 写像 : $S^{n-1}arrow S^{n-1}$ を $\gamma(\xi)=-\xi$ で定義す$\frac{1}{2}$$\xi\in S_{X}^{n-1}$$\xi$$S^{n-1}$

$\xi$

$\xi$

$J$

ると,
$\{\xi-iv(\xi);\xi\in S^{n-1}\}$$=$$\{-\xi-iv(\xi);\xi\in S^{n-1}\}$$=$$\{\gamma(\xi)-iv(\gamma(\xi));\xi\in S^{n-1}\}$$=\gamma^{*}\{\xi-iv(\xi);\xi\in S^{n-1}\}$.

もちろんチェインとしては向きが変わるかもしれない. 向きについては, $S$ し 1 が $x\xi\neq 0$
なるところで $(x\xi)\omega(\xi)>0,$ $x\xi=0$ なるところで $\omega_{x}(\xi)>0$ なる向きをもっていたを $-\xi$ としたとき $(-1)^{n-1}(x\xi)\omega(\xi)>0,$ $(-1)^{n-1}\omega_{x}(\xi)>0$ となることから,ので,$]^{*}S_{X}^{n-1}=(-1)^{n-1}S_{\lambda}^{n-1},$ .
ゆえに,
$\xi$

$(-1)^{n-1}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}-\{\xi-iv(\xi) ; \xi\in S_{X}^{n-1}\}$

したがって (7) が証明された.

$=$

chain-{\mbox{\boldmath $\xi$}-iv$=$

chain-{\mbox{\boldmath $\xi$}-iv(\mbox{\boldmath $\xi$});$=$chain-{\gamma (\mbox{\boldmath $\xi$})-iv(\gamma (\mbox{\boldmath $\xi$}));$=$

chain-{-\mbox{\boldmath $\xi$}-iv(\mbox{\boldmath $\xi$});$(\xi)$; $\xi\in(-1)^{n-1}S_{X}^{n-1}$ }$\xi\in\gamma^{*}S_{X}^{n-1}$}$\xi\in S_{X}^{n-1}$$\xi\in S_{X}^{n-1}$}}.

(8) も同様である.
$\blacksquare$

補題 33 より,$[\overline{\alpha}_{x}^{1}]=(-1)^{n-1}[\alpha_{x}^{\dagger}],$

したがって, 特に$2[\alpha_{x}]\dagger,$$2\partial[\alpha_{x}^{\mathrm{t}}]$は,.

$\partial[\overline{\alpha}_{x}^{\uparrow}]=(-1)^{n-1}\partial[\alpha_{x}^{\uparrow}]$$\alpha_{x,v}\dagger+(-1)^{n-1}\overline{\alpha}_{x,v}^{\mathrm{t}},$(9)$\partial\alpha_{x,v}\dagger+(-1)^{n-1}\partial\overline{\alpha}_{x,v}^{\uparrow}$

を代表

元にもつ.
$[\alpha_{x}^{\mathrm{t}}.],$$\partial[\alpha_{x}]\dagger$$[\alpha_{x^{0}}^{\uparrow}]=0$の $x$ に関する連続性を示す次の定理をあげておく.

あるいは [\mbox{\boldmath $\alpha$}x\dagger 0] $=0$ が成り立てぱ, \nearrow の近傍の点[\mbox{\boldmath $\alpha$}y\dag er ] $=0$ となることを保証するものである. 証明は$y$で
これは, ある点あるいはでも$x^{0}$$[\alpha_{y}^{\uparrow}]=0$$\mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{h}- \mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}- \mathrm{G}[mathring]_{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}[1]$

と同じで

ある.

定理 3.4 $x\not\in\pm W(RP_{+}, \theta)$ とする.

このとき

$x$

に応じて $|y-x|$ が十分小さいとき,$H_{n-1}(\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}\backslash (RP_{+})^{\mathrm{t}}, \Phi_{X^{*}}\backslash (RP_{+})^{\mathrm{t}};\mathrm{C})\downarrow\varphiarrow\partial H_{n-2}(\Phi_{X}*\backslash (RP_{+})^{\uparrow};\mathrm{C})\downarrow\psi$$H_{n-1}(\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}\backslash (RP_{+})\dagger, \Phi_{Y}*\backslash (RP_{+})\dagger;\mathrm{C})-^{\partial}H_{n-2}(\Phi_{Y}*\backslash (RP_{+})^{\mathrm{t}};\mathrm{C})$なる図式が可換である. ここで,$\partial[\alpha_{x}^{\mathrm{t}}]arrow\partial[\alpha_{y}^{\uparrow}]$は$[\alpha_{x}^{\uparrow}]$を$\mathrm{Y}^{*}$の定義と同様である.
へ射影することによって得られる.
$\Phi_{Y^{\mathrm{s}}}$は$\Phi_{X^{\mathrm{r}}}$$\varphi$:$[\alpha_{x}^{\uparrow}]arrow[\alpha_{y}^{\mathrm{t}}],$$\psi$:

108
4$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}-\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$-Leray の公式-Leray の公式 (以下の (17), (18)) は lacuna の問題を代数幾何学の問題に帰着させるために必要な基本解の最終的な表現である. これを証明するには,(3) の をベクトル値関数 $v\in V(RP_{+}, X, \theta)$ にし, 極座標を用いて動径方向に積分し,ホモロジー類上の積分に直せばよい. 動径方向の積分をしたあとにあらわれる関数に$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}- \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$$\theta$

ついて先に見ておく.
関数 $\chi_{s}(z)(z, s\in \mathrm{C}, 0<\arg z<\pi)$ を$\Gamma(-s)e^{-\pi\cdot s}.z^{S}$,$s\neq 0,1,$ $\ldots$,$\chi_{s}(z)=\{$$z^{s}(\log z^{-1}+c_{\delta}+\pi i)/s!$,$s=0,1,$で定義する. ここで, $c_{s}= \Gamma’(1)+\sum_{k=1}^{s}k^{-1},$ $c_{0}=\Gamma’(1)$ である.

変換の$i^{-s}$$\ldots$$\chi_{\delta}(z)$は$\rho_{+}^{-s-1}$の Fourier倍である (Gel’fand-Shilov[2] 参照). すなわち,$\chi_{\epsilon}(z)=i^{-s}\int_{0}^{\infty}\rho^{-s-1}e^{i\rho z}d\rho$,$\arg i=\pi/\cdot 2$

.

(10)

を固定するごとに ${\rm Im} z>0$ で正則ゆえ, 実軸への境界値として超関数を定をめる. それを $\chi_{s}(x+i0)$ と書く. $\chi_{s}(x+i0)$ は の整関数である. また,$\chi_{s}(z)$は$s$$\sigma_{q}\in \mathit{9}’’(\mathrm{R})$$s$$\sigma_{q}(x)=(2\pi i)^{-1}\{\chi_{q}(x+i0)-(-1)^{q}\chi_{q}(-x+i0)\}$で定義すれば, $q=N=0,1,$$\ldots$のときは,$\chi_{N}(x)$$\sigma_{q}(x)=2^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x)x^{q}/q!$$q=-N=-1,$ $-2,$$\ldots$のときは,$\sigma_{q}’=\sigma_{q-1},$$\sigma_{q}(x)=\delta^{(-q-1)}(x)$この関数$\chi_{s}(z)$

,

,

,

$q=0,$ $\pm 1,$ $\pm 2,$$\ldots$(垣)の $\log$ 項が消えて,$q=0,1,$$\ldots$.

$\sigma_{0}(x)=2^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x)$$q=-1,$ $-2,$$\ldots$

(12)
より,

.

(13)

の性質 (10) により, 次の補題が成り立つ.

補題 4.1 $v\in V(RP_{+}, X, \theta)$ とし,のとき,$F_{k^{0}}(x)$は (3) で与えたものとする.

$x\not\in\pm W(RP_{+}, \theta)$$F_{k} \mathrm{o}(x)=(2\pi)^{-n}\sum_{j=1}^{\mu}\int_{|\xi|=1}i^{\prime_{k}0-n}\chi_{r_{k^{0}}-n+1}(x\zeta)R_{jk}\mathrm{o}(\dot{\mathrm{t}}’)\zeta_{n}^{j-1}(R(\dot{\mathrm{t}}’)P_{+}(\dot{\zeta}))^{-1}\omega(\dot{\mathrm{t}})$と書ける. ただし,$\zeta=\xi-i(v(\xi)-\epsilon|\xi|\theta)$

で,$\epsilon>0$(14)

は $R(\zeta’)P_{+}(\zeta)\neq 0$ なるぐら ゝ十$|_{\sqrt}$

109
(証明)

$x\not\in\pm W(RP_{+},\theta)$のとき,

Stokes の公式を用いれば,(15)$F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{-n}i^{-1}\sum_{j=1}^{\mu}\int_{\mathrm{R}^{n}}e^{ix\zeta}R_{jk^{0}}(\zeta’)\zeta_{n}^{j-1}(R(\zeta’)P_{+}(\zeta))^{-1}d\zeta$と書ける. ただし,$(15)\backslash$$\zeta=\xi-i(v(\xi)-\epsilon|\xi|\theta)$に極座標変換$\xi=\rho\eta,$$|\eta|=1$である.

をほどこせば, 被積分関数の斉次性から.

$F_{k^{0}}.(x)=(2 \pi)^{-n}i^{-1}\sum_{j=1}^{\mu}\int_{\mathrm{R}^{n}}e^{ipx\sigma}\rho^{-r_{k}0+n-2}R_{jk^{0}}(\sigma’)\sigma_{n}^{j-1}(R(\sigma’)P_{+}(\sigma))^{-1}d\rho\Lambda\omega(\sigma)$

ここで,$\sigma=\eta-i(v(\eta)-\epsilon|\eta|\theta)$とした. (10) を使って動径方向に積分すれば, (14) が得られる.
$\blacksquare$

あとは (14) をホモロジー類上の積分に直すだけであるが, そのとき必要となる Lerayの tube operation を定義する.
$X\backslash (\{\zeta’\in \mathrm{C}^{n-1}j^{U}\ovalbox{\tt\small REJECT}.(\mathrm{t}^{4})’=0\}\cross \mathrm{C})$の$n\tau$

重被覆面を

とし,

$\Phi_{X}$$M$

を$\Phi_{X}\backslash \{\backslash \zeta\in\Phi_{\lambda’;}R(\zeta’)P_{+}((.)=0\}$のコンパクトチェイン,
き,
$r\}$

$\Lambda I_{l}\subset\Phi_{\mathrm{C}^{n}}\backslash \{\mathrm{t}^{k}\in\Phi_{\mathrm{C}^{n}} ; R(\dot{\mathrm{t}}’)P_{+}(\tilde{\mathrm{t}})=0\}$(こは,とする. ただし は, $0<l\leq r$ のとを満たす十分小さな である. chain-{lx\mbox{\boldmath $\zeta$}l=$r$$M_{r}=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}-\{|x\dot{\mathrm{t}}|=r\}\cross\Lambda I$$\theta({\rm Re} x\hat{\mathrm{t}}, {\rm Im} x\dot{\mathrm{t}})>0$$r$の向きを入れておく. ここで$\theta({\rm Re} x\zeta, {\rm Im} x\tilde{\zeta})$は,$\dot{\mathrm{t}}=\xi+i\eta$

とずれば

(16)

$\theta({\rm Re} x\zeta_{\backslash }{\rm Im} x\zeta)=(x\xi)d(x\eta)-(x\eta)d(x\xi)$である. 例えば$\wedge \mathrm{t}I$:$4/\}I_{\Gamma}$には ($\theta$${\rm Re} x\zeta$

Jm$x\dot{\mathrm{t}}$)$\Lambda\omega’>0$$\Phi_{X}\backslash \{\check{\mathrm{t}}\in\Phi_{X;}R(\check{\mathrm{t}}’)P_{+}(\dot{\mathrm{t}})=0\}arrow\Phi_{\mathrm{C}^{n}}\backslash (\{\zeta‘\in\Phi_{\mathrm{C}^{n};}R(\dot{\zeta}’)P_{+}(\dot{\zeta})=0\}\cup\Phi_{X})$は, ill をで定義する. すなわちのは の選び方に依存せず
’\の像
で
定める.
の誘導写像
あらわせば,
は単射である.

を,$\Lambda I_{f}$このとき tube operationの向きが入る.
$t_{x}$に $\omega’>0$ の向きが入っているならば,$t_{x}\Lambda I=\mathrm{A}I_{r}$$t_{x}$$l|f_{\Gamma}^{1}$$\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}$$t_{x\dagger}$$\Lambda I$の周りの管に写す写像である.

$H_{n-1}(\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}\backslash ((RP_{+})^{\uparrow}\cup\Phi_{\lambda’}\mathrm{r}))$

$r$

の元を

$H_{n-2}(\Phi_{X^{*}}\backslash (RP_{+})^{\uparrow})arrow H_{n-1}(\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}\backslash ((RP_{+})^{\uparrow}\cup\Phi_{X^{\mathrm{s}}}))$$t_{x}$

を$t_{x}\uparrow$

定理 42(
ると,-Leray の公式)$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}-\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$$F_{\mathrm{A}^{0}}.(x)$は$x\not\in$

垣 1 $RP_{+}$ , )$\theta$$\cup(-\Lambda_{0}’(RP_{+}, \theta))$$F_{k^{0}}.(x)$は (3) で与えたものとする. す

のとき,

$x$

に関して実解析的で$q=r_{k^{0}}-n-|\nu|+1\geq 0$ のとき,$D^{\nu}F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{1-n}\sum_{j=1}^{l}‘\int_{[\alpha_{x}^{1}]}\backslash _{q}^{0}(ix\xi)\xi^{\nu}Rjk^{0}(\xi’)\xi_{n}^{j-1}(R(\xi’)P_{+}(\xi))^{-1}\omega(\xi)$

,

(17)

110
$q=r_{k^{0}}-n-|\nu|+1<0$ のとき,

.

(18)

$\lambda_{q}^{0}(ix.\xi)\xi^{\nu}R_{jk^{0}}(\xi’)\xi_{n}^{j-1}(R(\xi’)P_{+}(\xi))^{-1}\omega(\xi)$$D^{\nu}F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{-n}i^{-1}\sum_{j=1}^{\mu}$tx\dag er [\mbox{\boldmath $\alpha$}l
ここで,$\approx^{q}/q!$,$q\geq 0$,$.\backslash _{q}^{0_{(_{\sim}^{\sim})=}}\{$$(-1)^{q+1}(-q-1)!_{\tilde{k}_{\backslash }}^{q}$

$q<0$

である.
口

(証明)

$\nu=0$ の場合に (17),(18) を示せば十分である.

での $F_{k^{0}}(x)$ の実解析性もこのことから従う.

より $F_{k^{0}}(-x)=0$$F_{k^{0}}(x)$. ゆえに補題 4.1 より,$F_{k^{0}}(x)$$x\not\in \mathcal{W}’.(RP_{+}, \theta)$

は前進基本解で,U(一八’o(RP+,$\theta$))$x\not\in-I\backslash ^{r}\mathrm{o}(RP_{+\prime}\iota.f)$$=$$F_{k^{0}}(.r)-(-1)^{r_{k^{0}}-n+1}F_{\mathrm{A}^{0}}.(-x)$$=$$(2 \pi)^{-n}\sum_{j=1}^{\mu}i^{r_{k^{0}}-n\{\int_{|\xi|=1}\mathrm{X}r_{k^{0}}-n+1(x\zeta)R_{jk}\mathrm{o}(\zeta’)\dot{\mathrm{t}}_{n}^{j-1}\mathfrak{l}R(\dot{\mathrm{t}}’)P_{+}(\mathrm{t}^{\mathrm{b}}))^{-1}\omega(\dot{\mathrm{t}})}$$- \int_{|\zeta|=1}\lambda\cdot r_{k^{0}}-n+1(_{X}\mathrm{t}^{\approx})Rjk^{0(\dot{\mathrm{t}}’)\dot{\mathrm{t}}_{n}^{j-1^{\sim\backslash }}}(R(\dot{\zeta}’)P_{+}(\dot{\mathrm{t}}))^{-1^{\sim}}\omega(\dot{\mathrm{t}})\}\sim\sim$$\dot{\zeta}=\xi-i(v(\xi)-\epsilon|\xi|\theta),\dot{\mathrm{t}}=\xi-i(v(\xi)+\epsilon|\xi|\theta)\sim$$\epsilonarrow+0$

としても超関数の意味での積分として意味を持ち, (11) を使えば

$F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{1-n}\sum_{j=1}^{\mu}i^{r_{k}0-n+1}\int_{|\xi|=1}\sigma_{r_{k}0-n+1}(x\xi)R_{jk}\mathrm{o}(\zeta’)\dot{\mathrm{t}}_{n}^{j-1}(R(\dot{\mathrm{t}}’)P_{+}(\dot{\mathrm{t}}))^{-1}\omega(\mathfrak{i})$

ただし,

.

$\zeta=\xi-iv(\xi)$

.

である.

$q=r_{k^{0}}-n+1\geq 0$ のとき,

(12) より$F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{1-n}\sum_{j=1}^{\mu}i^{q}\int_{|\xi|=1}2^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x\xi)x^{q}/q!R_{jk^{0}}(\zeta’)\dot{\mathrm{t}}_{n}^{j-1}(R(\zeta’)P_{+}(\zeta))^{-1}\omega(\zeta^{-})$.

を積分範囲の $|\xi|=1$ に入れて考えれば, 積分範囲は , となる. ゆえに(17) が成り立つ.
$q<0$ のとき, あとの便利のため (こ $x=(1,0, \ldots, 0)$ とする. またなどとする. このときは (13) より,$1$$2^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x\xi)$$S_{\lambda}^{n-}$$\xi^{n}=(\xi_{2}, \ldots, \xi_{n})$$F_{k^{0}}(x)$.

$F_{k^{0}}(x)=(2 \pi)^{1-n}\sum_{j=1}^{\mu}i^{q}\int_{|\xi|=1}\delta^{(-q-1)}(\zeta_{1})R_{jk^{0}}(\zeta’)(R(\zeta’)P_{+}(\zeta^{4}))^{-1}\omega(\dot{\mathrm{t}})$111
また (5) より,$\omega(\xi)=d\xi_{1}\Lambda\omega_{x}(\xi’’)+\xi_{1}d\xi_{2}\Lambda\cdots\Lambda d\xi_{n}$,$\omega_{x}(\xi’’)=-\sum_{j=2}^{n}(-1)^{j-2}\xi_{j}d\xi_{2}\Lambda\cdots\Lambda\overline{d\xi_{j}}\Lambda\cdots\Lambda d\xi_{n}$被積分関数は $\{\xi_{1}=0\}$ に台をもつので,の積分に直すことができる. このとき$|\xi|$$\omega(\zeta)$

がは,$\xi_{1}$に依らないとして,$\mathrm{R}\cross\{|\xi"|=1\}$$xv(\xi)=v_{1}(\xi)=0$ より,上$\mathrm{R}\cross\{|\xi’’|=1\}$

上で$\omega(\dot{\zeta})=d\zeta_{1}\Lambda\omega_{x}(\zeta’’)$となる. ただし,$F_{k^{4}}\mathrm{o}(x)$$\zeta_{1}=\xi_{1},$$\zeta’’=\xi’’-iv(0, \xi’’)’’$である.

したがって,$=$$(2 \pi)^{1-n}i^{q}\sum_{j=1}^{\mu}\int_{|\xi’’|=1}\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(-q-1)}(\zeta_{1})R_{jk^{0}}(\zeta’)(R(\zeta’)P_{+}(\zeta))^{-1}d\zeta_{1}\Lambda\omega_{x}(\zeta’’)$$=$$( \underline{.?}\pi)^{1-n}i^{q}\sum_{j=1}^{\mu}\int_{\partial\tilde{\alpha}_{x,v}}(-\partial/\partial\zeta_{1})^{-q-1}\{R_{jk^{0}}(\zeta’)(R(\zeta’)P_{+}(\zeta))^{-1}\}|_{\zeta_{1}=0}\omega_{x}(\zeta’’)$

(19)
ここで,

\mbox{\boldmath $\alpha$}\tilde x,v$=$

chain- $\{(" =\xi’’-iv(0, \xi’’)’’ ; \xi’’\in\{|\xi’’|=1\}\}$$=$

chain- $\{\zeta=\xi-iv(\xi);\xi\in\{x\xi=0\}\cap\{|\xi|=1\}\}$の向きが入った $\Phi_{X}\backslash \{\zeta\in \mathrm{C}^{n} ; R(\zeta’)P_{+}(\zeta)=0\}$ 上の $(n-2)$ 次元
は $0<l\leq r$ のとき,チェインである.
は,$\omega_{T}(\hat{\zeta}’’)>0$$\{\zeta\in$$\beta_{x,\mathrm{r},v}=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}-\{|\zeta_{1}|=r\}\cross\partial\tilde{\alpha}_{x,v}(r$$\beta_{\mathrm{r},l,v}\}\cap$に,$(\{\check{\zeta}\in \mathrm{C}^{n} ; R(\zeta’)P_{+}(\zeta)=0\}\cup(\{\zeta’\in \mathrm{C}^{n-1} ; \ovalbox{\tt\small REJECT}(\zeta’)=0\}\cross \mathrm{C}))=\emptyset$$\theta({\rm Re}\tilde{\mathrm{t}}1, {\rm Im}\dot{\mathrm{t}}1)\Lambda\omega_{x}(\zeta’’)>0$となるように向きを定めて, (19) に$\zeta_{1}$を満たす)に関する Cauchyの積分表示$2\pi i(\partial/\partial_{\mathrm{t}_{1}}‘)^{-q-1}\{R_{jk^{0}}(\zeta’)(R(\zeta’)P_{+}(())^{-1}\}|_{\zeta_{1}=0}$$=$$(-q-1)! \oint_{|\zeta_{1}|=\mathrm{r}}R_{jk^{0}}(\zeta’)(R(\zeta’)P_{+}(\mathrm{t}^{k}))^{-1}\zeta_{1}^{q}d\zeta_{1}$を適用すれば,$F_{k^{0}}(x)$$=$$-i(2 \pi)^{-n}\int_{\beta_{x,r,v}}\chi_{q}^{0}(ix\zeta)R_{jk^{0}}(\zeta’)(R(\zeta’)P_{+}(\zeta))^{-1}d\zeta_{1}\Lambda\omega_{x}(\zeta’’)$$=$$-i(2 \pi)^{-n}\int_{\beta_{x,r,v}}\chi_{q}^{0}(ix\zeta)R_{jk^{0}}(\zeta’)(R(\zeta’)P_{+}(\zeta))^{-1}\omega(\zeta)$

.

(20)

112
に関する微分は実の微分であるが, (20) の左辺の微分は複素微分でに関する有理型関数が,を固定するごとにあることに注意する. これは,

ただし, (19) の$\zeta_{1}$$\zeta_{1}^{\mathrm{b}}=0$$\zeta’$$\zeta_{1}$の複素近傍で正則であることから正当化される. また, (20) の右辺の積分路は反時計のの代表元であるから (18) も証明でにおける像は回りである.
$t_{x}\uparrow\partial[\alpha_{x}^{\uparrow}]$$\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}}$$\beta_{x,r,v}$

きた.
$\blacksquare$-Leray の公式を使って, 境界値問題 (BP) の基本解
キュナを見つける. まず, ラキュナの定義を [1] から引用すると,$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}- \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$$F_{k^{0}}(x)$のラをの一つの連結成分とすを開集合,
が (こおいて から sharp, ある は (こお て から sharp
のとき,
る.
級に延長で
front をもつとは, のある近傍 が存在して, が からののすべての点 [こおいてはから sharp であるとき,がきることをいう.
は の strong lacuna で
lacuna であるといい, 特 [こ が で恒等的 [こ 0 であるとき,あるという. また, sharp でないことを diffuse, あるいは non-sharp という.

定義 4.3$\Omega\in \mathrm{R}^{n}$$L$$u\in\ovalbox{\tt\small REJECT}’(\Omega),$$y\in\partial L$$u$$\Omega\backslash \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u$

$L$

$y$

$\mathrm{a}$$y$$\mathrm{A}I$

$y$

$u$

$L$

$\overline{L}\cap M[]_{\llcorner}\vee C^{\infty}$

$L$

$L$

$L$

$L$

$u$

$\mathrm{A}$$\mathrm{A}^{\mathrm{a}}$

$L$

$L$

$u$

$u$

$u$

口

一般 [こは sing$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F_{k^{0}}(x)\subset W(RP_{+},\theta)$であるから,$F_{k^{0}}(x)$のラキュナを見つ$\#\mathrm{J}$るを正確に記述しなければならない. しかし一般の双曲型境界値問
題に対しては, 今までのところ不可能である. したがって, 次の regular lacuna を定義する.
には sing$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F_{k^{0}}(x)$$(x)$ の lacuna であるとき,の一つの連結成分 がの台は $K_{0}(RP_{+}, \theta)$ に含まれるので,ular lacuna という. 特に,の strong lacuna である. これを trivial lacuna という.
は常に定義 4.4$L$$\mathrm{R}^{n}\backslash W(RP_{+}, \theta)$$F_{k^{0}}$$F_{k^{0}}(x)$$L$を reg-$\mathrm{R}^{n}\backslash \mathrm{A}_{0}’(RP_{+}, \theta)$$F_{k^{0}}(x)$口
この regular lacuna の定義と定理 42 より次が成り立つ.

定理 45 $x\in a=$ {$\mathrm{R}^{n}\backslash (W(RP_{+},$ $\theta)\cup(-K_{0}(RP_{+},$ $\theta)))$(i). $r_{k^{0}}\geq n-1$ かつ$[\alpha_{x}^{1}]=0$(ii). $r_{k^{0}}<n-1$ かつ [\mbox{\boldmath $\alpha$}xt](iii).

$\partial[\alpha_{x}^{1}]=0$

ならば,

$a$

$=$

ならば,

$0$

ならば,

$\mathcal{O}$$a$の一つの連結成分} とする.

は $F_{k^{0}}(x)$ の strong regular lacuna である.
は $F_{k^{0}}(x)$ の strong regular lacuna である.

は $F_{k^{0}}(x)$ の regular lacuna である.
口

これが本稿の主結果である. 例については次の節で見ることにする.
最初に書いたように, 仮定 (A-1) は次の (A-1)’ に弱めることができる.

(A-1)’.

と因数分解でき? $P_{l}(\xi)(1\leq l\leq L)$ は互いに異なってお$(1, 0, \ldots, 0)$ . に関して双曲型で,で既約である.

$P( \xi)=\prod_{l=1}^{L}P\iota(\xi)^{\nu_{l}}$り,$\theta=$$\mathrm{C}$113(A-2)”.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

と 困

化力

に関する終結式’に関して双曲型である.
$\xi_{n}$$\sim_{l}(\xi’)(1\ovalbox{\tt\small REJECT} l\ovalbox{\tt\small REJECT} L)$の$\xi’arrow \mathrm{R}^{n\ovalbox{\tt\small REJECT}}\backslash \{0\}$での局所すなわち $P(\xi)$ が既約多項式でなくとも, 既約多項式の積に因数分解されるのならば,少しの修正で-Leray の公式をつくることができる.
$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}- \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(\xi’)$をあらためて$\ovalbox{\tt\small REJECT}.(\xi’)=\prod_{l=1}^{L}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{l}(\xi’)$

とおき,の $\prod_{l=1}^{L}m_{l}$5次斉次多項式とすると重被覆面と変更すればよい.

$P_{l}(\xi)$が$m_{l}$$\Phi_{\mathrm{P}^{n-1}},$$\Phi_{\lambda’}$. をそれぞれ$\mathrm{P}^{n-1}(\mathrm{C})\backslash \nu \mathcal{J}^{*},$$X‘\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}*$例

最後に, 初期値問題ではあらわれなかった側面波や境界波があらわれる場合のラキュナの例を見てみる. ここで, 側面波とは分岐集合が原因で発$\{\dot{\mathrm{t}}’\in \mathrm{R}^{n-1} ; \mathrm{d}(\tilde{\zeta}’) =0\}$

生する波のことをいい, 境界波とは特性集合 $\{\xi’\in \mathrm{R}^{n-1}j, R(\xi’)=0\}$ が原因で発生する波の二とをいう.

圭ず側面波があらわれるような例を考える.
例 5.1(BP) において$P(\xi)=(\xi_{1}^{2}-\xi_{2}^{2}.-\xi_{3}^{2})(\xi_{1}+2\xi_{3})$$B_{1}(\xi)=1$ ,

とする.

二のとき,

,

$B_{2}(\xi)=\xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$$P_{+}(\xi_{-})=(\xi_{3}.-\lambda_{1}^{+}(\xi’))(^{\underline{)}}.\xi_{3}+\xi_{1})$とすれば,$L(\xi’)=(\begin{array}{ll}0 11 \frac{1}{2}\xi_{1}+\xi_{2}+\lambda_{1}^{+}(\xi’)\end{array})$’$R(\xi’)\equiv-1_{=}$$F_{1}(x)=-(2 \tau_{\mathrm{I}})^{-3}i^{-1}\int_{\mathrm{R}^{3}-isd}e^{ix\xi}(\underline{.\frac{1}{\supset}}\xi_{1}+\xi_{2}+\lambda_{1}^{+}(\xi’)-\xi_{3})P_{+}(\xi)^{-1}d\xi$,$F_{2}(x)=(2 \pi)^{-3}i^{-1}\int_{\mathrm{R}^{3}-is\theta}e^{ix\zeta}P_{+}(\xi)^{-1}d\xi$である.

したがって, 境界波はあらわれない.

しかし,$\xi=(1.\pm 1, -\frac{1}{2})$

局所化を考えればわかるように,[\mbox{\boldmath $\xi$}’,(7、 )=(\Gam a \mbox{\boldmath $\xi$}’,(7、 )$\theta’$$\Gamma_{\xi}(P_{+\backslash }\theta)$$=\{\eta\in \mathrm{R}^{2} ; \eta_{1}\mp\eta_{2}>0\}_{:}$$\theta’$$\cross \mathrm{R}$)$\cap\{\zeta^{-}\in \mathrm{R}^{3} ; \zeta_{1}+2\zeta_{3}>0\}$での$\ovalbox{\tt\small REJECT}(/,$$P_{+}$の114となる. ゆえに, 側面波があらわれるのがわかる.

において,れた領域の中の点
む領域は strong regular lacuna である.
$x^{0}=(1, \pm\frac{4}{15}, \frac{3}{2})$このとき, 一部が側面波で区切らである. したがって, \nearrow を含$\partial[\alpha_{x^{0}}^{\uparrow}]=0$

次に境界波があらわれる例を見てみる.

例 52(BP) において$P(\xi)=\xi_{1}^{2}-\xi_{2}^{2}-\xi_{3}^{2}$

とする.

このとき,

$P_{+}(\xi)=\xi_{3}-\lambda_{1}^{+}(\xi’)$,$B_{1}(\xi)=\xi_{2}+\xi_{3}$とすれば,$L(\xi’.)=R(\xi’)=\lambda_{1}^{+}(\xi’.)+\xi_{2}$,$F(x)=F_{1}(.r)=(2 \pi)^{-3}i^{-1}\int_{\mathrm{R}^{3}-is\theta}e^{jx\xi}(R(\xi’)P_{+}(\xi))^{-1}d\xi$である.

$\xi’=(1,1/\sqrt{\underline{9}})$での $R(\xi’)$ の局所化を考えれば,$\Gamma_{\xi}’,(R, \theta’)=\{\eta’\in \mathrm{R}^{2} ; \eta_{1}-\sqrt{2}.\uparrow|2>0\}$である.

したがって, 境界波があらわれるのがわかる.

において,切られた領域の中の点を含む領域は strong regular lacuna である.
$x^{0}=(1, - \frac{6}{5}, \frac{1}{10})$

このとき, 一部が境界波で区$\partial[\alpha_{x^{0}}^{1}]=0$である.

したがって,$.r^{0}$

初期値問題の場合は, 時空 4 次元の波動方程式について, Huygens の原理が成立することが,-Leray の公式より確認できたが, (17),(18) の境界値問
題の-Leray の公式からは, それを確認することができない (修正すれば確認できるのかも知れないが). 恐らく, (垣).(18) を修正した
Leray の公式から Huygens の原理が確認できると, 側面波があらわれたり, あらわれ$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}- \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}- \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}- \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}-}$なかったりする現象が解明できるであろう.
例 5.3 (BP) において$P(\xi)=\xi_{1}^{2}-\xi_{2}^{2}-\xi_{3}^{2}-\xi_{4}^{2}$とする. このとき,$P_{+}(()=\xi_{3}-\lambda_{1}^{+}(\xi’)$,$B_{1}(\xi)=1$とすれば,$L(\xi’)=R(\xi’)\equiv 1$,$F(x)=F_{1}(x.)=(2 \pi)^{-4}i^{-1}\int_{\mathrm{R}^{4}-\mathrm{i}s\theta}e^{ix\xi}(R(\xi’)P_{+}(\xi))^{-1}d\xi$である.

$F(x)$ を-Leray の公式 (18) を使って書き直しても, 伝播$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{z}-\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}_{\dot{1}}$錘の中の点 $x^{0}=(1.0,0,0)$ において,Huygens の原理を確認できない.
’$\partial[\alpha_{x^{0}}^{\mathrm{t}}]\neq 0$である.

したがって, (18) からでは

115
参考文献

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