7TheScienceRepûrt~ d theKanaz.
awaUniverRity，Vol.II，No.1，pp.7‑13，March，1953.
On the Selberg's Inequality
By Yoshikazu EDA(Receiv
edJune6，1952)

1. Introduction.
A fewyear
sago，A.Se
下tIer
ghaveachiev
edanelementar
y proof ofthe prime number3J(nnmbersinsquarebracketsrefertothereferencesattheendo
fthisnote)，theorem(andhisproofi
sbase
duponthefollow
ingSelberg's1nequality:(1)。
ω+)=xlogx+Oω

logx十三Jlogtd(¥P Jp~~，whered(x)=LJlogt.
l'
ニ:;
'.
6H.N.Shapiroo
btainedhisgeneralizationof(1) and itsequivalence(4J. T.TatuzawaandK. 1se
kihav
edoneitver
yelegantly(の.
Weshallg
iv
ei
nt
hi
snoteageneralize
dform of(1). Our method isbase
d upon t
he
Se
lber
g'sor
i
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l paperandS
ha
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unctions. Riemann'szeta‑funct
ioni
snotu
se
dhere.
1shouldli
ketoe
xpressmyheartfulthankstoP
rof.Z.
.SuetunaandP
rof.T. Tatuzawa.

2. SomeLemmas.
SmaBlatincharactersexceptx de
not
enatu
ral numbers，x denotesarealnumber主 landt，tl，
t2. .
.
.
… representtheprimenumbers.
Shapiro'sfundamentalsequenceo
ffunctions.
:

日ノ'/1'/
2，……，/，町 …
aris
efromthefollow
ingi
nductiv
econstruction:/o(x)=l，"'r̲ 、fμ〉z
Er
e
‑
1
17
1，rと11nS
hapiro'scalculat
ions，hemodifythisconst
n
は io
nbyu
si
時 afunctionl.
1‑l(X}‑/j ‑l(X)inconstr
ucting/バx). Fromthisconstruction，weobtainthenextformula(2)孟仰)f.
(子 ) ， か 2，3，/.‑l(X)=bytheMobius'sinv
ersionformula(1J.
Lemma 1
. (Gram).

一f1(n)
LJ(1).
Vo(x)= 切手:
6n =0Lemma 2. (Stir!ing'sFor
mula).

翠logn=xlogXー 叶 O(IogX)Tμ)=

8Y. EDlI.
Proof. • (1J，詰t()， Satz.

Lemma 3. ゲZ
μJ

必fine
どdd 品り~ the 点dρ'W
山'lg Z"仰1;11γ万i
αどatよ!
d 印
c0ノl
Zどdぷ
必記
ztio削

ι
仰 '
1どd 川th
μ6recur
rellceformu!a:=AP)=lフ

Aik十1)+iA~巳止乙i; k，ピ=1，2 8，then=(丘J
i=忌〔止 ‑1)(k‑2)......(k.‑i+1)

andso〔止 Jj(k‑jJr，‑.
，‑
j=(日 k‑i，(kJ" k!
二1
必ml

国:!
， J "'，怜

wherc
n=mj斗 1112+. 。 十 間 協 フlIlerz，，.n̲1 11f 明 1 m.2

11，(binomia!

and2JP:t1Ji) (芝jj) t早 川 悶J、何ι~苧PZL1
伺ι-TtI.

9mrlp

似‑1'n.‑IIiii) T込1・ "=T‑;;'ltm2‑1 Tふapmh~.，..，.，.、山三悶.
1'ωプsequalto 1，ガ12tarts
equa!to2，1113 tartsequa!to3，etc thetarti
γz・071 ん 仰 の，be 'Wriγten (2).

Lemma 5.λ"isatart
官 /071

1l andifthereare1111

固=(lm'12 23 3…
・ ，)
1n

川

押'1i
三ミ0・，W eassociatea mono押'Iia!

M (ん"x)=M(ん， Xll…‑‑b，h H X 7 1 x;
&2‑owit!
tatartitionλぃ
W esetん = ん(xHAz〔ZI，r h A z H p z h p r h z M (ん，wltere，m=ml→
押12十・・・‑
一押ln.・〔ん，isequa!仰 向 W 叫 ferbur山 ザ mbo!1~.1. ・ 03Zn;mArft rz，X29
押、/1，・・， 惣 11'
1:'variables). Thc1Z，h h o M Y

9OntlteSelberg'sinequaliγyん=~的ん -jProof. Weplltg(t，X)thegeneratin
gf
lln
Ct
IOno
fA.
"， andso

JA〆4 2
1， do=I， J12Jr1(t，x)=2i~"'.
2ーf(t，x)
wheref(t，x)=2JXiti， (xo=l).

FrOll.
lthi
sandlemma4，thedesiredresultfollows.
Lemma S. Let、~lr 1¥k̲Jk‑fLp(k̲l. 2iJ，Or1=kJ (-l )k -il"'~ .L )Xk_i rS<i
三 k‑1，j孟 k‑2，';‑i十¥t )

andra=o，r~=l ， l，;
与2，thenr1=(‑1アート i(kJk‑jBk‑l‑j，
where
Bi=Ai(Y)' Yj=万 完 了 j=1，2，nP
roof.、
1'heresllIti
sprovedbyi
ndu
ctionusing lemma4andlemma5.
Sllppose，thatou
rprop叩 itioni
strueforallk'，2三五グく k then

F7=A2(ーか ̲i(k‑::‑1)Xk̲';(ーl)i‑l‑i(仏 ‑jB.‑1‑ji=j十 ¥ ・J(inductiveassumption)

ベ一小=(‑l)k‑l‑i(kJk‑jBk‑l‑j(Iemma5). (Stirling'sformula).
Lemma 7T山 )= 2
Jlogkn寸法 (‑1)い 〔 の い logiX+O(IogX).
i=0

何三五.6

Proof
. Lemma2establishesthelemma inthecas
ek=1. Proceeding by induction weassumeitforall Tj，l:5:j孟忌Then，bypartialsummation，we getTHl(X)= 2
Jlog叫 ln=2Jlogn(Tk(n)‑Tk(n‑l))"'!
玉必鈎三日=‑2J一手Tμ)+logXTk(X)+O(IogkX)
?るふ.G

nk+lk
一番=x2
J(‑lアー i+l(2J(kJj(k‑jJk‑i‑j+(kJk‑什 l)log
iX+O(Iogk十 lX).

10

Y. EDAk+l=x呂(̲1)(
k十 1)
‑i
Cれ1
Ji logix+O(lOgk十Lemma 8.

z叫;)=止!x+oω(log"心 = 0Proof.

ヨ吋(す)=ぷ(̲l) は)吋 即=点。(‑1)"に)会(一明 1吋 ‑IX+O(IogkX)
nmk~f(kーハ=
瓦〔 ‑DZJ2(‑η l"m?
)
C忌J
lxlogk‑1x十 O(logkX)‑‑f'.n>包=k!x十where~)刷工 o
I，emma S.

i=!
=kーャ主ど竺‑zJ
10
計十 lX+C
け O(J!
!
gkx̲t
M
止十 1'~ð
v. ，‑" ，‑¥
.
xzぷ
止必

whereCfJDEAJγ 一言Flザ +1ケC t
1~...lc A ̲01ZS

W ewz
'sht
ocallC{ theI令‑thEuler'sょonstant. Co equaltotlzef"Euler'sCOllstant.

Proof. Se
己C1J，S27，Hilfssatz.
Lemma 10.
J土吋fJL}=‑Lhgh
十 i叶会(̲1)
I(~ )
C/1ψ
略0 gb¥. 1z )
止十 lW bt:;'o" ~/\!)~"~b~'~\

伍 d 均x)

Proof. Ourresult1
Seasilyfollow
edbylemma9.
Lemma 1
1. 予
f''etut

ρ(n)X ¥Vk(X)=2jー一十一 logkl~ JLn.
.
;
S;;;;!
;n¥持ノtlten
ト，1，，(丘一1¥
日 (X)=klogk‑1
x+ki~O\2J(‑‑1)
k‑i( J・ })C"I‑j V(1).
i(x)+O'‑"‑-~ ，‑.
JProof. C4
J ¥Veproceedinductio
nfromthec
asek=0and th
etheoremprovedf
or固allk'，O<k'くふc‑x，weo‑1=xlogl
btai
nfr
or
n(2)andlemma7，

Then，sI
nce

タ二辺

jい(三)

log/一、/叶 I(X)=n2J‑=:‑)=x2
J、n
泊三ミムおτ L三 ふ抗Z

On theSeuうerg'si
1lequality

11プト吋

=x(X吋

1X =ヨロ
仰十」?
宮(ー lY‑ +1(勺1)ι‑i‑1Iogi(す)+O(吋 行))
Ji.

and 50，¥ik~r̲l1'¥k̲H;+dk‑l¥C"‑I‑jT7 r.
.
')，/\(，~，."_l(XXI
Oglc
‑.
l
X
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訂()k‑l{・)
(X+O¥
(IOg
"‑l(:IJJK
i~o\JJ‑'"' "J 'VJj，‑‑/'‑¥刀J
j'1'hi5completesthei
nc
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ftheth日oren1.

Now，wemustev
品lu
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lc(X)a口
仁1t:henextlemma 12anc
l leml11a 13 giv
eer
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nofthi
sproblem，bu
texp
li
cit
ly，]'heorem1r
ep
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his，ustheg巴n
Lemma 1
2. W etut

1
7〔るx〕=dh(xM‑E1102/z〔心 +0(1)，then.
.
Lai!
̲la:̲2 … … … ・ ・ai

α;;二}gn‑l(X)1a~二…ー --a?-1

α 二 ~gn-2(X)0，I， G2ご3 ...."a‑r‑2。~gnCX)01n(X)=1).
→0(di。
心1
91(・・・ ・・・・0・eH

1a・・・色町・}・・ {0十+2J.
ermallellt(llthandsymbol IImeansat
wlurer(;r114/t¥¥jノ︒¥jJ+QU

X/1¥︐o刃戸v¥}ノ十xfL

初M 切gzomd/{¥一一¥
ノALemma 13. Letthen+ib:!
̲l O:̲2''''''… … … o

I1n‑2(X)O.

o:212(X)

0.
.
.
.
.
.
.・・‑‑‑O11(x)0，，，，，， "..，..・，....， 0e

作白血伺畑

λU

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F0i'‑
l33 … … … … ・ ・ b
昭二I 6

‑

1ん (x)=一五二Tーァ
17日

b~g ，.(x)
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x')

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十 0(1).

Y.EDA

123. ProofoftheTheorems.

.
，.

Theorem(4)

Vk(X)=L: p(り logk(~ト宮(-l )k -l-i(k)k-iBk-l-i logix十 0(1)n~玉:;，n‑ ¥ n } ;‑1
where

百台7了 j.=1，2，......， nBgzp
くん )M(ん，y)，Yi=andCi isthej‑
thEuler'sconstant(Lemma9).

Proof. Weputk‑logix+O(1)，Vk(X)=L:-r~ lrLl=k(丘三三2)， rJ=o.

then，fromLemma1
1，ト t"/ ~".
Jk‑1¥Vk(x)=kl
ogk‑1x十 .
kL:(‑1)
k‑ilJCk‑l(X)+O(1)‑;‑::0'‑¥J・ j‑N• づ ViJk.
.
=.
l‑r ，，~ Jk‑1¥r‑k‑l‑iト f，，4=klogk-lx+k L: (-l )k -il~r~ log'x+O(1)j‑'7:j.
.
.
.
.
¥ J J‑‑ J. 'i"
'=i.
AJ
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L:1Ii

andso，，.
.
.1(i̲ nk‑d止ー1¥五‑1)
k‑i(flj)C
k‑ir{k̲ hFf=kd.
l=(‑1アーl‑i(k)k‑iBk‑lづLemma 14(3). WedefineW(n)asthenun.
伽andwetut(lemma6)‑ofdzfferenttrimefactors ofn，町。 fpωlogk(??)， mAtftF3712;ご;:thenθん鋤町い，
k=OιpPl.
.
.
P拘加山
〈(何n)
=α1+'・・十 a，=j孟岨 (n)

L:

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‑・.
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"
lTt・ ・"log
αツz・logk‑iX.
Hιtecz'ally，hMn〉=k:OP1fA121ogh
ω(n)>kO
P
l…P岨〈ゆ =0Proof.

θm，hzZK心吋(~ )=玄(一 1)1免点(←一斗1)刈〉.
・…log円 t l logk̲i
X=会(一)
1i刈(i;)
完
玄;(一zα匂孟 ‑1ヰoOn theSelbergsineqllalit)，Examining th巴 Cけ巴町I
cicnt
soflogα 1tl

jく ω〔 ァ 山 吉 ( びt吋 凡log
ι九tlぅ wecangcte
asilythefollowingr
esult・・

周回

13

7:(!い';)=0N ¥ m 1)
八j=w(n)， 0<1く ω(吋o
1=ω(n)(‑1γ 〔ね)l片プー(n).
.
.a (1のぽ，tO

j>ω(n)， 。
三三fく ω(n)of主主υ(11) (‑1)"'(偽)T;'1' αlo(n)•Hence the1日mmais proved.
Lemma 15.
k，)20，，=i:J(̲1)i叫

おどま る。

'where(al，・.
'， al(n)ー 1..~(← 1)tyi1・ια2
J O(a1，'，.
' al α1，…， α1;x)logk‑i.
x=j>岬 (n)α1，"'，0.1 X)=

:
Elog
"
1j什 ー ・ log 'tl
何‑l'C浮'".
.
.
.
.
1'.
主主;
¥，"Proof.
h2J{}，，=2J a1 :
Ean:;
::;
:
'‑1=0.
JJ{}P1'.Pih'.
.
. 'þ/~Xancl so theth邑oremfollows immcdiately from Lemma 14
固Theol'e m 2. (Selberg'sformula)2
J(}n，k= XVk(x)十 O(立つね三ジ7v
ソA
恥e
何reTheρ仰rem 1andLelJl1刀mJ.a

Proof W eput
園

Ad，，， =ρ(心ザ C~2-)

thenxVk(X)= .
x:8~".，;!'- ，d三五必

dancltheTheorem is decluced easily by th
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