ベクトル

初等的な線形代数で出てくるようなベクトルの話を 2 次元平面 (2 次元ユークリッド空間) を使ってしていきます。

3 次元でも手間が増えるだけで同じ話が出来ます。
図を書いていないので分かりにくいです。
ベクトルの具体的な計算は「ベクトルの計算」で行っています。

2 次元平面を用意します。この平面上に 2 つの点 A1 , A2 を適当に配置し、A1 , A2 を通る直線を書き込みます。
A1 と A2 を結んでいて、A1 から A2 に向かう直線の意味で A1⃗A2 、A2 から A1 に向かう直線の意味で A2⃗A1 と書きます。これをベクトルと呼びます。また、同じ地点のベクトル A1⃗A1 は 0 として定義します。しかし、まだ点を結ぶ矢印をベクトルと言っているだけなので、性質を与えていきます。
点 A1 , A2 を結ぶ線は平行移動させても変化しないので、平行に動かした先の点 B1 , B2 での B1⃗B2 , B2⃗B1 はA1⃗A2 = B1⃗B2 , A2⃗A1 = B2⃗B1となるとします。このように、A1⃗A2 と等しいベクトルは平行移動によって無数に作れます。また、平行移動で等しいことから平行四辺形を作れることが分かります。4 つの点 A1 , A2 , B1 , B2 があり、各点によるベクトルの関係がA1⃗A2 = B1⃗B2 , A1⃗B1 = A2⃗B2となっていれば、平行四辺形になります。
今度は 3 つの点を用意し A1 , A2 , A3 とします。ここで特徴となる性質を導入します。今 A1 から A3 へ向かうためには、A2 を経由する場合と、A1 から直接 A3 へ行く場合があります（どちらの場合も各点を結ぶのは直線）。

A1 , A3 を結んでいる直線の距離を d13 、A1 と A2 では d12 、A2 と A3 では d23 とすれば、一般的には d13 ̸= d12 + d23です。しかし、ベクトルにおいては

A1⃗A3 = A1⃗A2 + A2⃗A3とします。このように、ベクトルの和は出発点と最終的な到着点によるベクトルに等しいとします。平行四辺形で言えば対角線に対応し、4 つの点 A1 , A2 , B1 , B2 で言えば

A1⃗B2 = A1⃗A2 + A2⃗B2 = A1⃗B1 + B1⃗B2となります。
同じように考えて、2 点 A1 , A2 において、A1 から A2 へ行き、A2 から A1 へ行くことは、元の地点に戻ることなので

A1⃗A2 + A2⃗A1 = A1⃗A1 = 0からA1⃗A2 = −A2⃗A11とします。このことから、ベクトルの差はA1⃗A3 = A1⃗A2 + A2⃗A3 = A1⃗A2 − A3⃗A2A3⃗A1 = −A1⃗A2 − A2⃗A3 = A2⃗A1 + A3⃗A2のようになります。

3 つの点 A1 , A2 , A3 を同じ直線上に配置します。このとき、A1⃗A2 と A1⃗A3 は矢印の方向は同じで長さが異なっています。なので、実数 α > 0 によって

A1⃗A3 = αA1⃗A2として実数倍の形で書けるとします。α < 0 では

A1⃗A3 = αA1⃗A2 = −|α|A1⃗A2 = |α|A2⃗A1となり、同じ直線上で反対向きの矢印を持つことになります (A1 を中心にすれば A2 , A3 がそれぞれ反対側にいる)。また、α = 0 では 0A1⃗A2 = A1⃗A1 = 0 とします。
これでベクトルの基本的な規則が作れたことになり、ベクトルの定義としては十分となります。これらの計算規則をもとにさらにベクトルの性質を見ていきます。
⃗ 1 , AB⃗ 2 を考えます。このとき、点 B2 は点 A と点 B1 を結ぶ直線上にいないとし
点 A と点 B1 , B2 による、AB⃗ 1 ̸= αAB⃗ 2 )。表記を簡単にするために、ます (AB⃗ 1 , B2 = AB
⃗2
B1 = ABのように書くことにします。A, B1 を通る直線上に点 C1 、A, B2 を通る直線上に点 C2 があるとします。そうすると

C1 = α1 B1 , C2 = α2 B2となっています。これらから

D = C1 + C2 = α1 B1 + α2 B2として、A, C1 , C2 による平行四辺形の対角線に対応する D が作れます。点 D をこの平行四辺形の残りの点とし⃗ 。
ます (D = AD)
ここで気づくことがあります。A, C2 を通る直線を I 、C1 , D を通る直線を I ′ 、A, C1 を通る直線を L、C2 , D を通る直線を L′ とします。まず、C1 は固定して C2 = α2 B2 での α2 を変更させます。そうすると、α2 を増加させれば、直線 I 上の C2 の位置は A から離れていきます。このため、α2 の増加によって直線 L 上の D の位置は C1から離れていきます。つまり、α2 は任意の実数なので、D は直線 I ′ 上のあらゆる位置に行けることが分かります。同様に考えることで、C2 を固定したときは α1 の変更によって、D は直線 L′ 上のあらゆる位置に行けます。
この結果を踏まえれば、α1 , α2 を指定することでベクトル D は平面上のあらゆる矢印となり、D は平面上の全ての点に行けることが分かります。注意すべきなのは、D = α1 B1 + α2 B2 での B1 , B2 は同一直線上にいない点2です。今の話から分かるように、同一直線上では D は平面上の全ての点に行くことが出来なくなります。同一線上にいない 2 つのベクトル B1 , B2 は線形独立 (linear independent) や 1 次独立と呼ばれます。
平面上の点を 2 つのベクトルから作れることが分かりましたが、平面上のどこの点なのかが数値の情報として入ってきていません (どこの点なのかが数値的に指定されていない)。なので、数値によって点の位置を指定し、それをベクトルと対応させます。

α1 , α2 から平面上の全ての点を作れるので、α1 , α2 の組 (α1 , α2 ) で点の位置を指定します。しかし、(α1 , α2 ) は実数の組でしかないので位置とするためには、基準が必要になります。ベクトル D = α1 B1 + α2 B2 は点 A から伸びているので、基準とする点は点 A です。そして、α1 , α2 は B1 , B2 を基準にして C1 , C2 、つまり D = C1 + C2を与えるものです。よって、基準になるのは、点 A とベクトル B1 , B2 です。点 A を原点、B1 , B2 を基底ベクトル (basis vectors) と呼びます。これらを設定することで平面上の任意の点 D の位置は実数の組 (α1 , α2 ) で指定出来るようになります。
原点と基底ベクトルの設定で決まるために、異なる原点や基底ベクトルを使えば、点の位置を与える α1 , α2 の値は異なります。分かりやすいのは原点の変更です。点 O を原点とし、点 D の位置が (α1 , α2 ) で指定できているとします。一方で、別の点 O′ を原点とします。そうすると、O′ と D の位置関係は O のときとは異なります。な
ので、O′ から見た D の位置は新しく (α1′ , α2′ ) となります。
原点と基底ベクトルの設定で位置を (α1 , α2 ) と指定するので、便利な基底ベクトルを選ぶことを考えます。原
点はその点を適当な値によって決めればいいだけです。なので、原点は (0, 0) として、基底ベクトルのほうを上手く選びます。
原点を O とし、平面上の適当な点を D とします。このときの基底ベクトルは E1 , E2 とし、原点から点 D に向かっているベクトルはD = α1 E1 + α2 E2とします。原点を通過して E1 に沿っている直線を x1 、E2 に沿っている直線を x2 とします。α1 は x1 上の数値、α2 は x2 上の数値となります。このとき、直線 x1 , x2 が原点で垂直に交わっている (直交している) ことを要求します。直線が直交しているので、E1 , E2 も直交しています。直交していることで状況を非常に分かりやすくしてくれます。直線 x1 , x2 を x1 , x2 軸と呼び、x1 を水平方向、x2 を垂直方向にします。
基底ベクトルの配置を決めたので、次に 2 点間の距離を与えます。直線 x1 , x2 は直交していることから、原点から点 D までの距離 d は、三平方の定理から d2 = α12 + α22 で与えられることを要求します。これで原点から点D の距離、点 D を指定する x1 , x2 上の原点からの距離が決まります。このときに基底ベクトルがどうなっているのかを求めます。
ベクトルの演算を加えます。ベクトル D は点 D の位置の情報を持っているので、ベクトルから距離が求められるとして、その演算を | | で表し、d = |D| と表記することにします。|D| のことをベクトルの大きさと言っていきます。
そうすると

d2 = |D|2 = α12 + α22
また、α2 = 0 のとき D = D1 = α1 E1 なので|D1 | = |α1 ||E1 | , |D1 |2 = α12|D1 | は距離なので α1 には絶対値の | | をつけています。これから、|E1 |2 = |E1 | = 1 です。同様に、α1 = 0 のときから |E2 | = 1 となります。なので、|E1 | = |E2 | = 1 のとき、点 D の距離は d2 = α12 + α22 となることが分かります。実際に、D の x1 , x2 上の距離は3

|D1 | = |α1 | , |D2 | = |α2 |(D2 = α2 E2 )となり、x1 , x2 上での原点からの距離がそれぞれ |α1 |, |α2 | になっています。

α1 , α2 は負の値も許されているので、例えば x1 , x2 上の距離 |α1 |, |α2 | に対して符号の組み合わせが (−|α1 |, +|α2 |)として指定される点もあります。この場合は E1 を逆向きにした −E1 に対応する地点です。なので、E1 , E2 の方向を基準とし、それを正の方向、逆向きを負の方向とします。こうすれば、例えば (α1 , α2 ) (α1 , α2 > 0) に対して、E1 方向が逆向きになっている点は D = −α1 E1 + α2 E2 から、(−α1 , α2 ) となります。x1 , x2 軸で言えば、原点に対して、x1 上の右側を正 (α1 > 0)、左側を負 (α1 < 0)、x2 上の上側を正 (α2 > 0)、下側を負 (α2 < 0) となるようにします。というわけで、基底ベクトルはお互いが直交し、その大きさが |E1 |2 = |E1 |2 = 1 であり、x1 , x2 軸を今のように設定すれば、α1 , α2 はそれぞれの軸上での原点からある点までの位置となります。このため、(α1 , α2 ) は、x1 上での位置 α1 と x2 上での位置 α2 による組という非常に分かりやすいものになります。
このように軸の直線が直交するように設定した場合を、デカルト座標や直角座標 (rectangular coordinate) と言います。ちなみに、デカルト座標は英語だと Cartesian coordinate となりますが、Cartesian はデカルト (Descartes)のラテン語 Cartesius からです。また、(α1 , α2 ) は点の座標と呼ばれます。
直交座標 (orthogonal coordinate) と呼ばれる分類があり、これは基底が直交している座標系です。デカルト座
標は直交座標の 1 種ですが、直交座標と言ったときデカルト座標を指していることは多いです。
まとめれば、デカルト座標において 2 次元平面上の任意の点の位置は、原点を通り基底ベクトルで方向付けされている x1 , x2 軸上の位置 α1 , α2 から (α1 , α2 ) と指定され、そのベクトルはD = α1 E1 + α2 E2 , |E1 |2 = |E2 |2 = 1となります。E1 , E2 は直交しています。点の位置を指定する α1 , α2 をベクトルの成分と呼び、デカルト座標を選んでいるという前提で、D = (α1 , α2 ) と表記されます。
ベクトルで注意すべきなのは、ベクトルは基底ベクトルを具体的に決めなくても定義されている点です。基底ベクトルを決めるのは、そのベクトルの成分といった具体的な数値が欲しいからです。そういった具体的な数値が必要ないなら、基底ベクトルを具体的に決める必要がないです。基底ベクトルを決めなければ、あらゆる基底ベクトルで成立する関係を求められるので一般的な理論を考える上では非常に重要です。
デカルト座標は使われる機会が多く基本的なものですが、デカルト座標でなければいけない理由はないです。基底ベクトルは対象を最も計算しやすいように選ばれます。このため、基底ベクトルの変換が重要になっています。
基底ベクトルが変更されたときのベクトルの成分の関係がどうなっているのかを簡単に見ておきます。適当な基底ベクトルを B1 , B2 とし、点 O から点 D へのベクトルをD = α1 B1 + α2 B2とします。別の基底ベクトル B 1 , B 2 を使って書くと、α1 , α2 は変更されるので

D = β1 B 1 + β2 B 2となります。B 1 , B 2 もベクトルなので、点 O に平行移動させることで基底ベクトル B1 , B2 を使ってB 1 = λ11 B1 + λ12 B2 , B 2 = λ21 B1 + λ22 B2と書けます。これらは基底ベクトルの変換の式になっています。これらを入れることで4

D = β1 (λ11 B1 + λ12 B2 ) + β2 (λ21 B1 + λ22 B2 )= (β1 λ11 + β2 λ21 )B1 + (β1 λ12 + β2 λ22 )B2

左辺は D = α1 B1 + α2 B2 なので

α1 = β1 λ11 + β2 λ21 , α2 = β1 λ12 + β2 λ22となって、ベクトルの成分同士の関係が求まります。β1 , β2 について解けば B 1 , B 2 でのベクトルの成分が求まります。
ついでに、基底ベクトルは変更せずに原点を動かした場合も見ておきます。この場合は、同じ点の位置を表すベクトルがどう変わるかを見ます。原点を動かすことは、ベクトルを平行移動させることと同じなために、点 Oから点 D のベクトル D の成分自体は変わらないからです。
もとの原点を O、別の原点を O とします。O から O からへのベクトルを A、O から点 D へのベクトルを D とすれば

D =A+DA, D は B1 , B2 によってA = ρ1 B1 + ρ2 B2 , D = α1 B1 + α2 B2と書けるので

D = ρ1 B1 + ρ2 B2 + α1 B1 + α2 B2 = (α1 + ρ1 )B1 + (α2 + ρ2 )B2となって、O から O に動いた分だけの成分 (ρ1 , ρ2 ) が加わります。

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