2020 年第 50 回
天文・天体物理若手夏の学校

集録重宇

重力・宇宙論分科会

index重宇 1

渡邉勇輝

波動光学で見るブラックホール

重宇 2

天羽将也

4 次元 Einstein-Gauss-Bonnet 理論における静的球対称ブラックホールの周りの性質

重宇 3

郭優佳

AdS background の４次元 Gauss Bonnet 時空における球対称ブラックホールの熱力学，相

重宇 4

野村皇太

一般的な非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホールの安定性

重宇 5

秋葉健志

宇宙初期のクエーサーによる２１ｃｍ線シグナルへ影響

重宇 6

坂本陽菜

初代星が再電離に与える影響と 将来観測機器での観測可能性

重宇 7

角谷健斗

銀河団での散乱によって生じる CMB の偏光を用いた密度ゆらぎの再構築

重宇 9

日下公亨

重力波信号の検出に用いる Matched Filter について

重宇 10

豊島弥洋

バースト重力波のデータ解析

重宇 11

窪田圭一郎

Eﬀective-one-body 形式

重宇 12

中村拓人

ブラックホール周囲の光子球と重力波の準固有振動

重宇 13

荻尾真吾

銀河中心領域での MeV ガンマ線探査から探る暗黒物質

重宇 14

阿部正太郎

ダークマター探索の現状と将来

重宇 15

谷口貴紀

擬似スペクトル法を用いた cosmic shear パワースペクトルの測定手法

重宇 16

村上広椰

機械学習を用いた暗黒物質質量への制限

重宇 17

森下薫能

複数場に拡張したインフレーションモデルの検証

重宇 18

三倉祐輔

Inﬂation in the Palatini formalism

重宇 19

柄本耀介

インフレーションにおける原始揺らぎの非ガウス性について

重宇 20

岡野創

背景重力波の非ガウス性の直接観測可能性

重宇 21

三木大輔

重力相互作用による量子もつれの生成

重宇 22

吉田萌生

量子ビット回路での Hawking 輻射のモデル化によるファイアウォールの再現

重宇 23

佐藤琢磨

ブラックホール近傍の漸近的対称性

重宇 24

古郡秀雄

場の理論のドレス状態から探る BMS 漸近対称性

重宇 25

佐藤崇永

アクシオンと天体進化

重宇 26

物部武瑠

初期宇宙における Primordial BlackHole の放射

重宇 27

沼尻光太

f (R) = R + α R2 gravity における中性子星の質量-半径関係: purely metric formulation

重宇 29

大河内雄志

すばる HSC のデータを用いた銀河のクラスタリングと弱重力レンズ効果の二点相関によ転移，Joule Thomson 効果についてと torsion formulation の比較る重力理論の検証法
重宇 31

河合宏紀

深層学習を用いた重力レンズマップのノイズ除去

重宇 33

村田知瞭

非等方時空における Spectator axion-SU(2) モデルの等方化についての解析

重宇 34

三嶋洋介

原始重力波のスペクトル指数が正となるスローロール・インフレーションモデルにおける
再加熱機構

重宇 35

斎藤大生

重宇 36

間仁田侑典

Barrow entropy と時空の熱力学を用いた修正宇宙論
空間方向 の一般座標変換に対する不変性を破るダークエネルギーの低エネルギー有効
場理論

重宇 37

高島智昭

5 次元宇宙と膜宇宙 ブレーンワールドの重力

重宇 38

古賀一成

真空崩壊におけるバブル時空の生成と触媒効果による宇宙定数の決定

重宇 39

田中海

宇宙の真空泡のダイナミクスと不安定性

重宇 40

時聡志

マイクロレンズ効果による宇宙ひもパラメータの制限

重宇 41

浅見拓紀

漸近 AdS 時空における Einstein-Vlasov 系の熱的安定性

重宇 42

櫻井優介

(1+1) 次元 Inﬁnite Derivative Gravity における厳密解と時空特異点の回避について

重宇 43

太田渓介

Janis-Newman Algorithm とその拡張について

重宇 44

原健太郎

アインシュタイン計量からインスタントンを作るindex
佐田彩夏

Holographic Entanglement Entropy

小久保裕貴

Calculates Spectral index for Multiple Scalar Fields

山下晃毅

大スケールの非一様等方性を持つ宇宙での構造形成

須永真穂(2+1) 次元レギュラーブラックホール時空における光子のホライゾン内部の軌道

丸尾洋平

動的な時空での光子球の発展の理解

浅利響

宇宙の熱的な発展について

HurwitzSaul

Review: The Detection of the Cosmic Neutrino Background

重見優奈

5 次元ブラックホールにおける Penrose 過程とエネルギー抽出効率

奥家健太

自己相互作用ダークマターの作るボゾンスター

迫田康暉

Quadratic Estimator を用いた重力レンズ測定と想定されるバイアス

——–index

重宇 1
波動光学で見るブラックホール
立教大学大学院理学研究科物理学専攻
渡邉勇輝

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

波動光学で見るブラックホール
渡邉 勇輝 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
今回のレビューでは [1] を扱う。ブラックホールの影響を受ける時空間においての波の散乱は長きにわたって研究されてきた。直接の応用として断面積や、波の観点からブラックホールの性質の議論が行われ、後方散乱波によるブラックホールグローリーの存在が明らかになるなどした。[1] では像の構成の観点から波の伝播を考察する。幾何光学においてはヌル測地線を考えることでブラックホールの像が得られるが、その像を波動光学の枠組みにおいても得ることができるかを考える。

1

Introduction
長きにわたるブラックホールによる波の散乱の研究の主目的は、ブラックホールの性質の理解や、波で表される。r = 0 にはブラックホールの中心が位置する。r = rs ,θ = π に点光源があり、中心と光源を結ぶ直線を z̄ 軸とする。r = robs , θ = θ0 に観測者がいる状況を考える。

がブラックホール時空でどのように伝播するかを研究することにあった。多くの研究がなされ、散乱断面積やブラックホールグローリーなど様々な現象が明らかになった。またカーブラックホールの場合 Super

radience のような特徴的な現象が存在することが解明された。今回レビューする [1] のモチベーションは

光源

BH

散乱された光によってどのようにブラックホールの𝑍̅

姿が観測されるかを考えることにある。シュワルツ

観測者

シルトブラックホールについて考え c = G = ℏ = 1𝜃0の単位系を用いる。

図 1: 位置関係

ブラックホールによる波の散乱22.1

軸対称性より ∂ Φ = 0,∂ S = 0 を課し、Φ̂ = rΦϕϕ
シュワルツシルト時空における波動方と x = r + 2M ln(r/2M − 1) を導入し、光源が単色
程式−iωt

光を発するとして Φ ∝ e

シュワルツシルト時空における波動方程式は√1□Φ = √ ∂µ ( −gg µν ∂ν Φ) = S−gで表される。S は光源を示す項である。シュワルツ
シルト時空の計量により波動方程式は


−1 2
 


2M
1 ∂
2M ∂Φ
∂ Φ
2
− 1−
+ 2
r 1−
r
∂t2
r ∂r
r
∂r




2
1 ∂
1
∂Φ
∂ Φ
=S
+ 2
sin θ
+
r sin θ ∂θ∂θ
∂ϕ2を仮定すると!

12M∂ 2 Φ̂
1 ∂∂ Φ̂
+ 2 1−
sin θ
∂x2
r
r
sin θ ∂θ
∂θ



2M
2M
+ ω2 − 3 1 −Φ̂ = S(r − rs , θ − π) (1)rrと書き直せる。この時、S(r − rs , θ − π) =
である。

1
r


1−

2M
r


δ(r − rs )δ(cos θ + 1)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.2

束縛条件

かを考える。時空間を伝播した光は「レンズ」によっ先に導いた波動方程式を解くためにいくつかの束
縛条件を課す。r = 2M において波は完全に内向きであるから束縛条件(∂x Φ̂ − ∂t Φ̂)て回折されスクリーンに入射する。ここで伝播した
光を Φ、回折された光を ΦT 、スクリーンに入射した
光を ΦI とする。スクリーンとレンズは Z 軸上にあり、Z = 0 にレンズ、Z = f にスクリーンが存在する⃗ = (X, Y )、スとする。またレンズ上における点を X

=0
x→−∞

を課す。また無限遠方から入射する波がないもの⃗I = (XI , YI ) とする (図 2 参照)。
クリーン上の点を Xと考えてもう一つの束縛条件(∂x Φ̂ + ∂t Φ̂)(𝑋, 𝑌)=0(𝑋𝐼 , 𝑌𝐼 )xouterを課す。加えて系の軸対称性により Φ̂ が θ に関し𝑙て偶関数であるので z̄ 軸上で

∂ Φ̂
∂θ

=0

(2)

Φ Φ𝑇

θ=0,π

を課す。(1) 式は θ = 0, π で発散するが、(2) 式とテーラー展開によって z̄ 軸上では

この時 Φ と ΦT は
⃗ 2
|X|

⃗
⃗ = e−iω 2f Φ(X)ΦT (X)のようになる。また点源まわりの微小な距離だけ離れた点 P での束縛条件として WKB 近似から!
Φ̂P
AiωlP S
ΦP =
∼
exp p
rP
lP S
1 − 2M/rP⃗ ≪fの関係にある。点源が Z = −f にある時、|X|とすると、⃗ = eiωΦ(X)√⃗ 2 +f 2|X|を課す。A は振幅、lP S は光源と点 P 間の距離である。

波となる。スクリーン上の波 ΦI は Fresnell-Kirchhoﬀの式によりの形に変形でき、解を求めると束縛条件から

Γ(1 − 2iωM )eZ⃗I ) ∝ΦI (Xiωr cos θ0

×1 F1 (2iωM, ; iωr(1 − cos θ0 ))

(3)

を得る。

⃗ 2
|X|

⃗
|X|≤d

⃗ −iω 2f ×
d2 X̂Φ(X)e

像の構成

3.1

像を構成する式

前章ではシュワルツシルト時空における波動方程式を求めた。この章ではどのように波動から像を得る

eiωlld はレンズの半径。l にレンズ-スクリーン間の光路長⃗ ≪ f の下で計算すると、を代入して |X|
Z

3

⃗ 2
|X|

≈ eiω(f + 2f )⃗ = eiωf を得る。したがって回折波は平面より ΦT (X)

重力が弱いと仮定した場合 (1) 式は
4M ω 2∇2 Φ N + ω 2 +∇ 2 ΦN = 0rΦN (θ0 ) = eΦ𝐼

図 2: レンズ、スクリーンの位置関係

(
)
(
)]
[
2M
2M
2M
2
∂θ2 Φ̂ + ω 2 − 3 1 −Φ̂∂x2 Φ̂ + 2 1 −rrrr= S(r − rs , θ − π)

πωM

𝑍

𝑓

⃗I ) ∝
ΦI ( X−iω

⃗f (XI ·X)
d2 X̂Φ(X)e
⃗

⃗

(4)

⃗
|X|≤d

を得る。スクリーン上の波は入射波のフーリエ変換
によって得られ、画像の構成が可能になる。

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光線近似

3.2

ΦN 
14

入射波を WKB 近似によってあらわすことを考え

12ると入射波は

10

⃗
Φ(X)

⃗
iωS(X)

=

Ae

8

(
)]
⃗∗ ) + 1 S ′′ (X⃗∗ )(X⃗ −X⃗∗ )2 + · · · )A exp iω S(X
2

=

[

6
4

⃗∗ = (X∗ , Y∗ ) はヌル測地線とレンズの交点
ここで X⃗∗ は作用の極値をとる点に対応するである。この X

2′⃗∗ ) = 0 となる。従って、ため S (X
[

∫
⃗I )
ΦI (X

∝

∝

⃗
⃗
S ′′ ⃗⃗∗ )2 − XI · X(X − X
⃗
2
f
|X|≤d
(
)
⃗∗ + X⃗I /f |
J1 ωd|S ′′ X

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

θ0

]

d2 X̂ exp iω

図 3: r = 20M, M ω = 12 での (3) 式のスペクトル横軸は θ0 、縦軸は |ΦN |⃗∗ + X⃗I /f |
ωd|S ′′ X

2 段目に至る変形で ωS ′′ d2 ≪ 2π を仮定し、
Z
i−n 2π −i(nϕ+x cos ϕ)
Jn (x) =
e
dϕ
2π 0
Z x′
′
′
x J1 (x ) =xJ0 (x)dx
0の 2 つの式を用いた。また幾何光学近似 ωd ≫ 1 を取ると
図 4: r = 20M, M ω = 12, d/r = 0.2 でのブラック⃗I ) ∝ δ 2 (X⃗I + f S ′′ X⃗∗ )
ΦI ( Xとなり、光線で考えた場合は像が点になることがわ
かり、幾何光学における結果と矛盾のないこともわ
かる。

ホールの像。左は θ0 = 0, 右は θ0 = π/4。この図そのものは [1] からの引用。

5

Conclusion&future work
以上まででシュワルツシルトブラックホールにより回折された光からブラックホールの像を構築する

4

スペクトルとブラックホールの像
図 3 では (3) 式のスペクトルを、図 4 では (3) 式の波動がある時、前章の (4) 式を用いて得られる画像を示す。θ0 = 0 ではくっきりとリングが見えるのに対して、θ0 = π/4 では光源からの直接の光とブラッ
クホールを回り込んだ光により光源が 2 つ現れていることがわかる。

ことができた。z̄ 軸上ではリングがはっきりと構成されること、角度がつくと光源が 2 つに分かれて見えることが確かめられた。今回準備期間の都合上 1 パ
ターンの状況で画像を構成するにとどまったが今後様々な質量、周波数の光で画像を構成することを目指す。またカーブラックホールによる回折では同様のセットアップでどのような像が得られるかを考えていきたい。

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Acknowledgement
今回このような機会を設けていただいた事務局の皆様と、まだまだ拙い理解の私相手にもかかわらず
根気よく議論に付き合っていくださった理論物理学
研究室の先輩の皆様に多大な感謝を申し上げます。

Reference[1] K. Kanai & Y. Nambu, ”Viewing Black Holes by
Waves” Class. Quant. Grav. 30, 175002(2013)[2] J. A. H. Futterman, F. A. Handler, & R. A.
Matzner, Scattering from black holes (Cambridge
Univ. Press, 1988).
[3] K. K. Sharma, Optics: principles and apprications(Academic Press,2006).

——–index

重宇 2
4 次元 Einstein-Gauss-Bonnet 理論における静的
球対称ブラックホールの周りの性質
京都大学理学研究科物理学・宇宙物理学専攻
天羽将也

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

4 次元 Einstein-Gauss-Bonnet 理論における静的球対称ブラックホールの周りの性質天羽 将也 (京都大学 基礎物理学研究所)

Abstract
D 次元 Einstein-Gauss-Bonnet(EGB) 理論とは，一般相対性理論のいくつかの性質を保ちつつ，ラグラ
ンジアンが曲率の 2 次まで含むように拡張した理論であり，弦理論の低エネルギー極限としても得られることが知られている．この理論は，Einstein-Hilbert 作用に Gauss–Bonnet 項と呼ばれるものを付け加えた作用で記述される．Gauss–Bonnet 項は，従来の理論において 4 次元では運動方程式に寄与しない．
これを踏まえ，Glavan と Lin は，Gauss-Bonnet 項が 4 次元で運動方程式に寄与する新しい理論を提唱した．この理論は一般相対性理論と異なる興味深い性質が確認されており，特異点を回避することが期待され，提唱以降，この新しい重力理論に基づいた研究が活発になされてきた．
本稿では，静的球対称ブラックホールの event horizon，photon sphere，shadow に着目し，4 次元 EGB理論と一般相対性理論の違いを確認した．photon sphere とは，ブラックホールなどの周りを回る粒子の軌道を特徴づけるものであり，shadow とは無限遠方からブラックホールを見た時に暗く見える領域の大きさを指し，これらを用いた 4 次元 EGB 理論の検証が期待される．一般相対性理論で静的球対称な場合について成り立つと予想されている event horizon などの半径の間の不等式が，4 次元 EGB 理論においては破れる
場合があることを確認し，4 次元 EGB 理論の性質を探る．

1

Introduction
一般相対性理論は非常に成功を収めてきた重力理論であるが，ある条件の下で非物理的な振る舞いをすることが特異点定理によって導かれる，などの観点から修正の必要性が議論されている．一般相対性
理論の物理的な性質の多くを保ったまま修正を加えた理論の一つに，D 次元 EGB 理論がある．この理論は一般相対性理論の自然な拡張であるばかりでな
く，弦理論の低エネルギー有効理論としても得られることからも注目を集めてきた．しかし，4 次元ではEGB 理論は一般相対性理論に帰着することが知られている．

Aoki et al. 2020) など，4 次元 EGB 理論に関して多くの研究が活発に行われてきた．本稿では，4 次
元 EGB 理論が正しいと仮定し（あるいは機能する範囲内で），ブラックホールの周りの photon sphere，

shadow，event horizon の半径を調べることによって
4 次元 EGB 理論の性質を探る．
次節以降の流れは次の通りである，まず，2 章で従来の EGB 理論を基に 4 次元 EGB 理論の導入を試み，
その後 3 章で球対称ブラックホールの周りの粒子軌
道などの半径についてレビューする．4 章にてブラッ
クホールの周りの粒子の軌道などを議論し，一般相対性理論の結果と比較することにより，4 次元 EGB
理論の特徴に迫る．

昨年，D 次元 EGB 理論に変更を施すことにより，

4 次元でも一般相対性理論と異なる運動方程式を与える，4 次元 EGB 理論 (Glavan & Lin 2020) が提唱された．この理論は一般相対性理論の持つ性質の24 次元 EGB 理論

多くを持つこと，及び特異点を回避することが期待

昨年提唱された 4 次元 EGB 理論は，従来の D 次

され，この新理論の提唱以来，4 次元 EGB 理論の

元 EGB 理論を基に結合定数を変更することによっwell-deﬁnedness に関する研究 (Gurses et al. 2020;て議論される．そこで，4 次元 EGB 理論の説明に先立って D 次元 EGB 理論について説明する．

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2.1

但し，G はD 次元 EGB 理論

G = R2 − 4Rµν Rµν + Rµνρσ Rµνρσ

Lovelock (Lovelock 1974) は，D 次元において，真空における運動方程式 E AB = 0（A, B = 0, ..., D−1)
について次の条件 1〜3 を要請したときの重力理論ので与えられ，αG は Gauss-Bonnet 項と呼ばれる．ま一般的な作用を構成した

た，4 次元で EGB 理論の作用を考えると，Gauss-

Bonnet 項の寄与は運動方程式に現れず，一般相対性
1. E AB = E BA

理論に帰着することが知られている．

2. E AB は計量と計量の 1 階微分と 2 階微分のみで
記述される

2.2

3. E AB;B = 0．
この要請の下で，重力理論の作用は次のものに限ら

運動方程式の G からの寄与が α(D−4)に比例する例：maximally symmetric 時空

D 次元 EGB 理論からの 4 次元 EGB 理論の構れる

Z

成を具体的に確認するため，maximally symmet-√ X
αn R(n) ．
dD x −gtS=

ric 時空を考える．D 次元 EGB 理論における Riemann tensor は，定数 Λ̃ を用いて Mp2 Rµνρσ =n=0(δρµ δσν − δσµ δρν )Λ̃/(D − 1) で与えられる．SGB =R D √数のとき t = (D − 1)/2 で定められ，αn は定数であ α d x −gG の計量による変分をとることで，運り，R(n) は，n = 0 について R(0) = 1，n ≥ 1 につ 動方程式における Gauss-Bonnet 項の寄与は，次の式で表されることが分かる：
いて，
但し，t は，D が偶数のとき t = (D − 2)/2，D が奇R(n) =

n1 µ1 ν1 ···µn νn Y αr βr
R µr νr ,δ
2n α1 β1 ···αn βn r=1n νnδαµ11 βν11···µ···αn βn =

δαµ11

δβµ11

δαµ21

···

δβµn1

δαν11

δβν11

δαν12

···

δβν1n

δαµ12
..
.

δβµ12

···

..
.

δαµ22
..
.

δβµn2

δανn1

δβνn1

δανn2

···

gνρ δSGB(D − 2)(D − 3)(D − 4)√× Λ̃2 δνµ ．
=α×−g δgµν2(D − 1)MP4運動方程式の Gauss-Bonnet 項の寄与が D = 4 で確かに 0 となることが確認できる．そこで，α →α/(D − 4) と rescaling した理論を考えると，..
.

gνρ δSGB(D − 2)(D − 3)√× Λ̃2 δνµ=α×−g δgµν2(D − 1)MP4δβνnnで与えられる．この作用で記述される理論は Lovelock
重力理論と呼ばれる．特に，4 次元の時，Lovelock
重力理論は一般相対性理論に帰着する．また，n ≥となる．最後に D → 4 とすれば 4 次元で Gauss-

Bonnet 項の寄与が入った運動方程式を得る．

3 で αn = 0 が 0 となる作用で記述される理論は，
Einstein-Gauss-Bonnet（EGB）理論と呼ばれ，5 次
元，6 次元における Lovelock 重力理論は EGB 理論となる．D 次元で，EGB 理論の作用は，換算 Planck
質量 Mp や宇宙定数 Λ を用いて書き換え，次の形で与えられる：

ZS=#
Mp2
d x −g(R − 2Λ) + αG ．
2
D

√

"

2.3

4 次元 EGB 理論の構成

前節で，maximally symmetric 時空において，4 次
元で Gauss-Bonnet 項の寄与が入った運動方程式を得た．他にも FLRW などの例で運動方程式の G からの寄与が α(D − 4) に比例することから，同じことを
一般の時空でできると予想を立て，同様の手続きによって，GB の寄与の入った 4 次元の重力理論の構成を試みる．これが，4 次元 EGB 理論のアイデアであ2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
る．すなわち，従来の EGB 理論で α → α/(D − 4)

event horizon の半径について考える．ここで，pho-と rescaling して運動方程式を導出した後，D → 4 と

ton sphere とは静的球対称な時空において，3 次元

して 4 次元の理論を構成を試みる．このようにしての面であって，その面上の任意の点からその面に接構成された 4 次元 EGB 理論では，運動方程式が計する任意の方向に出た光がその面上を進み続けるも量と計量の 1 階微分と 2 階微分のみで書かれる，なのである．shadow とは，ブラックホールを無限遠方

ど一般相対性理論に近い性質を持つことや，一般相から見た時に，ブラックホールの奥からの光が隠れ，対性理論で問題とされる特異点が回避できることが影として見える領域である．

期待され，研究が進められている．

一般相対性理論では静的球対称ブラックホールの周りの Rh （event horizon の半径），Rph （photon

2.4

sphere の半径），Rsh （shadow の半径）の間に次の4 次元 EGB 理論における真空静的球 関係が成り立つことが予想されており，いくつかの対称解例において成り立つことが示されている (Lu & Lyu

4 次元 EGB 理論における真空静的球対称解は次で 2020)与えられる：

ds2 = −f dt2 + f −1 dr2 + r2 dΩ2D−2 ．
但し，f は，

1
1
1
Rh ≤ Rph ≤ √ Rsh ≤ M ．
2
3
3 3

(1)

この不等式は，一般相対性理論において，静的球対
称ブラックホールの質量が定められたとき，photon

"


1/2
r2
8αM
f =1+
1− 1+ 32αr#で与えられる．この解は，α → 0 で一般相対性理論のsphere，shadow，event horizon の半径が上限を持つことを意味し，さらに Schwarzschild 解のときに等号が成立することから，Schwarzschild 解のときにこれ
らの半径が最大であることを主張している．(1) 式をSchwarzschild 解に帰着する．また，α ̸= 0 の場合につ 用いて一般相対性理論と比較することにより，4 次元
いて，r = 0 付近で斥力がはたらくという，一般相対性 EGB 理論の性質に迫ることができる．
理論と異なる振る舞いを示す．さらに，Kretschmann
不変量（= Rαβγδ Rαβγδ ）という曲率を表すスカラーについて，一般相対性理論での Schwarzschild 解では

r = 0 で発散する一方，α ̸= 0 を満たす 4 次元 EGB
理論では，発散が現れない．Kretschmann 不変量の発散は特異点定理の意味での特異点と必ずしも一致

44 次元 EGB 理論でのブラック
ホールの周りの粒子軌道などの半径しないものの，Kretschmann 不変量が有限となる例

4 次 元 EGB 理 論 に お い て ，photon sphere，の多くで特異点が現れないことから，特異点の回避を

shadow，event horizon の半径を調べ，(1) 式が成り期待し議論するモチべーションとなる．4 次元 EGB

立つかどうか議論する．

理論の性質を探るため，このブラックホールの性質

α = 0（一般相対性理論の場合）で 1 になるように
半径 R を規格化し，M = 1 として，photon sphere，

を次章で調べる．

shadow，event horizon について，α − R 関係をプ

3

静的球対称ブラックホールの周りの粒子軌道などの半径4 次元 EGB 理論の性質を探るために，一般相対性理論でよく知られた photon sphere，shadow，

ロットして図 1 を得る．

photon sphere，shadow，event horizon のいずれも
α に関して単調減少であり，event horizon，photon
sphere，shadow の順に α による変化を受けやすい．

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
最後に，4 次元 EGB 理論の構成に関して一つ注
意点を述べる．4 次元 EGB 理論の構成の際，D 次
元 EGB 理論において Gauss-Bonnet 項の運動方程式への寄与が α(D − 4) の形で現れることを仮定し，

α → α/(D − 4) と rescaling することで極限が有限の値に決まることを用いた．では D 次元 EGB 理論の一般の解に対してこの仮定は妥当だろうか？答えは NO であり，一般には 4 次元への極限は存在しない (Gurses et al. 2020)．ではここまでの議論は全く無意味なものになってしまったのか，と言うとそう
図 1: 4 次元 EGB 理論の真空静的球対称時空でのではない．本稿では触れなかったが，4 次元 EGB 理

α − R 関係論をさらに修正し，適切な理論を構成する試みがなされており (Aoki et al. 2020)，他のより適切な理論における特別な場合が，今回考えた 4 次元 EGB 理

これら 3 つの半径について，

1
1
1
Rh ≤ Rph ≤ √ Rsh ≤ M,
2
3
3 3
1
1
1
Rh ≥ Rph ≥ √ Rsh ≥ M,
23
3 3

(α ≥ 0),(α ≤ 0),が成り立つことが分かった (Guo & Li 2020)．いずれ論になっているケースなどが考えられている．このような理論での真空静的球対称解に対して，今回考えた議論が適用できる．
今後も 4 次元 EGB 理論の性質について幅広い観点からの解明が期待される．

も等号成立は α = 0 のときに限る．4 次元 EGB 理論
での真空静的球対称時空において，(1) 式と比較して，

α ≥ 0 のとき一般相対性理論と同じ不等式，α ≤ 0 のとき一般相対性理論と逆の不等式に従うことが分かる．したがって，一般相対性理論において (1) 式が成り立つとする予想が正しいとすると，α ≤ 0 のと
きの 4 次元 EGB 理論が一般相対性理論と異なる性

Acknowledgement
議論にお付き合いいただきました基礎物理学研究
所宇宙グループ，京都大学天体核研究室の皆様に感謝申し上げます．また，新型コロナウイルスの影響により対面で開催できない異例の状況下，運営等ご尽力下さった全ての方に御礼申し上げます．

質を有することを意味する．

Reference5

Conclusion & Discussion
従来の EGB 理論で α → α/(D − 4) と rescaling して D → 4 の極限をとることで，一般相対性理論とは異なる運動方程式に従う 4 次元 EGB 理論を考えた．この理論では，一般相対性理論で静的球対称ブラックホール解で発散した Kretschmann 不変量について，対応する解において発散しないなど，一般相対性理論と異なる性質が確認された．
本 稿 で は ，4 次 元 EGB 理 論 に お け る photon

D. Glavan and C. Lin, Phys. Rev. Lett. 124, no. 8,
081301 (2020).
Gurses M, Sisman T C, and Tekin B，arXiv:2004.03390(2020).
K.Aoki, M.A.Gorji, S.Mukohyama, arXiv:2005.03859(2020).
D. Lovelock, J.Math.Phys. 12 (1974) 498.
H. Lu and H. D. Lyu, Phys. Rev. D 101, no. 4, 044059(2020).

sphere，shadow，event horizon の半径を調べ，α ≥ 0 TM. Guo and P. C. Li, arXiv:2003.02523 (2020).
のとき一般相対性理論の不等式 (1) と同じ不等式，

α ≤ 0 のとき (1) と逆の不等式を得た．

——–index

重宇 3
AdS background の４次元 Gauss Bonnet 時空における球対称ブラックホールの熱力学，相転移，Joule Thomson 効果について
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
郭優佳

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

AdS background の４次元 Gauss Bonnet 時空における球対称ブ
ラックホールの熱力学，相転移，Joule Thomson 効果について
郭 優佳 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
AdS 背景時空における 4D novel Einstein Gauss Bonnet gravity の球対称なブラックホールの熱力学についての論文 [1] をレビューする．4D EGB ブラックホールの状態方程式は van der Waals 状態方程式に似た構造を持つため，液体-気体間の相転移と同じようにブラックホール解の相転移が起こ
る．4D EGB BH は特異点がなく，また電荷の有無に関わらず相転移や Joule Thomson 効果が見られることであることが特徴である．

1

式 (4) のトレースを取るとIntroduction
Lovelock 定理の主張は，「(i)(3+1) 次元時空，(ii)微分同相写像で不変である，(iii)metric compati-gµν δSGBα√= (D − 4) × G−g δgµν2(5)bility，(iv)2 階微分の運動方程式」の 4 つを仮定し となる．これより D=4 次元の場合には式 (5) のた時に考えられる重力の運動方程式は，唯一 Ein- 左辺が 0 になることが確認できる．トレースのみ
stein 方程式だけであるというものだ．(i) の仮定を ならず一般に 4 次元では SGB が surface term と除く場合，つまり (4+1) 次元以上では (ii) から (iii)なるため，EoM に寄与するのは SEH だけでありの仮定を満たす重力理論は一般に Lovelock grav-

Lovelock 定理が満たされている．

ity であると考えられている．Lovelock gravity は

しかし今年，Lovelock gravity をバイパスできる[2]
Einstein-Hilbert 作用 SEH に，Riemann テンソル 重力理論が発表され注目を集めた．
上記の EGBの高次の多項式 (Lovelock 作用項) を加えることで gravity についてGR を拡張した内容になっている．非自明な Lovelock 作用項は, 最低次では (4+1) 次元の Lovelock
gravity で見ることができ，Einstein Gauss Bonnet(EGB) gravity と呼ばれている．EGB gravityの作用は以下で与えられる．

S = SEH + SGB
ただし，

α→

α
D−4

(6)

と結合定数を rescaling することで式 (5) など EoMに寄与する (D − 4) の因子が打ち消され，D → 4の極限でも SGB が EoM に寄与する．これより (i)(1) から (iv) の仮定を満たしながら SGB の寄与を含
む重力理論を考えることができるため Lovelock 定

[

]
∫
MP2
1
D √
d x −g
R−Λ
SEH =
16π
2
∫
√
1
SGB =
dD x −gαG ．
16π
α は結合定数，また Gauss Bonnet 項 G =理をバイパスできる．この理論は novel 4D EGB(2) gravity と呼ばれている．
以下1 では AdS 背景時空での nobel 4D EGB(3) gravity における球対称な BH の熱力学的特性をRµνρσ Rρσµν − 4Rµν Rνµ + R2 で与えられる．計量の変分 δgµν による SGB の変分は見ていく．2 章では BH 解と熱力学量をまとめる．

3 章では BH の状態方程式に注目し，解空間での相転移を見る．4 章では BH の Joule Thomson
効果を見る．5 章では以上の内容について議論をgνρ δSGB√= −2Rµαρσ Rρσνα + 4Rµανβ Rβα行う．
−g δgµρ(4)1+4Rµα Rαν − 2RRνµ + Gδνµ ．
1 c = ℏ = G = k = 1 の自然単位系を用いる．
B
2

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

4D EGB BH の熱力学

2

BH の相転移現象

3

AdS 背景時空における novel 4D EGB gravity

式 (11) より，BH の状態方程式は以下のように

の作用は

書ける．
[ 2
]
∫
]
[ 2
√
1
MP
α
S=
dD x −gR−Λ+G ． P = Q + α + αT − 1 + T
16π
2
D−4
8πr4
8πr4
r3
8πr2
2r r=r+(7)(15)
電荷をもつ BH について考える場合には上記の作 これを書き直すと用に F µν Fµν の Maxwell 項を入れる．球対称なBH 解 [3] は

(
P =

1 8α
+ 3
v
v

)
T−

2(Q2 + α)
1
+
2πv
πv 4

(16)
1
ds2 = −f (r)dt2 +dr2 + r2 dΩ2 ． (8)f (r)が得られる．ただし v ≡ 2r+ は 4D AdS 背景時
空の RN BH の speciﬁc volume. 式 (16) は自然単

ただし

√
[
位系で表したが，元に戻す場合には
(
)]
r2
1
2M
Q2
f (r) = 1+
1 − 1 + 4α − 2 + 3 − 4
．
ℏc
ℏc
2α
l
r
r
P → 2 P, T →
T，
lP
kB
(9)

l は AdS length で Λ = − l32 を満たす．M は BHの質量で，f (r+ ) = 0(r+ は外側の horizon) より
[ 3
]
r
Q2
α
r
M=
+
+
+
(10)
2l2
2r
2r 2 r=r+(17)

2
また speciﬁc volume は v ≡ 2lP
r+ と rescaling すればよい．以下ではまた自然単位系を採用する．
式 (16) は van der Waals の状態方程式とよく似ていることが確認できる．van der Waals 気体の気体-液体相転移と同じように，BH の相転移にの表式で与えられる．Q は電荷である．
次に BH の熱力学量をまとめる．P および V
を BH 熱力学量として採用する，extended phasespace での BH 熱力学を考える．まず系の圧力 P はΛで与えられる．Hawking
宇宙項を用いて P = − 8π

ついて考えることができる．臨界点では以下の関係式が成り立っている．
(
( 2 )
)
∂ P
∂P
=
=0
∂v T
∂v 2 T(18)

温度は surface gravity κ を用いてまた，臨界温度，臨界圧力，臨界体積は以下であ2
4+ Q2 − r+α − 8πP r+κf ′ (r+ )ることが計算できる．
T =
=
=−
．
3 + 8παr
(
)
2π
4π
4πr+
√
+
8α + 3Q2 − 48α2 + 9Q4 + 48αQ2(11)dM = T dS + V dP + ΦdQ + Adα

48πα2

(12)

と書ける．ただし Φ および A はそれぞれ Q，αに共役な熱力学量．式 (12) の表式より M がエンタルピーであることが分かる．式 (12) より，系のエントロピーは∫dM (r+ )2S== πr++ 4πα log(r+ )T (r+ )

(13)であることが分かる．また熱力学量としての体
積は

(
V =

∂M
∂P

)

√
√
6α + 3Q2 − 48α2 + 9Q4 + 48αQ2(19)√
9α + 6Q2 + 48α2 + 9Q4 + 48αQ2√
Pc =24π(6α + 3Q2 + 48α2 + 9Q4 + 48αQ2 )2
(20)
)3/2
√
4 (
Vc = π 6α + 3Q2 + 48α2 + 9Q4 + 48αQ2
3
(21)
Tc =

また，BH の熱力学第 1 法則は

式 (16) を v についてプロットしたものが図 1である．これより臨界温度よりも低い温度で相転移現象が確認できる．この時，ある圧力 P でのspeciﬁc volume v によって small black hole(SBH)
4 3
= πr+
3
S,Q,α

(14)

であり，BH の体積と等しいことが確認できる．

と large black hole(LBH) の 2 つの安定な相の間で相転移する．

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
見る．等圧比熱の表式は0.0030(0.0025CP

0.0020=2π(2α + r2 )2 (−α + 8πP r4 − Q2 + r2 ){× 2α2 + 8πP r6 + r4 (48παP − 1)}−1
+Q2 (2α + 3r2 ) + 5αr2
． (23)

0.00050.0000
2

4

6

8

)

T

0.00150.0010

∂S
∂T

=

10

P

0.0030

これを r+ についてプロットしたものが図 3 であ

0.0025

る．臨界圧力よりも小さい圧力では 2 か所で発散

0.00200.0015

し，r+ の大小によって安定な SBH 相, 不安定な

0.0010intermediate black hole(IBH) 相, 安定な LBH 相

0.00050.0000
2

4

6

8

10

の 3 つがあることが確認できる．臨界圧力の時には SBH と LBH の 2 つの相があることが分かる．
Figure 1: P − v 平面で等温線をプロットした図．上は また，電荷にかかわらず同じような相転移が見らQ = 1，下は Q = 0 の場合についてプロットした．

Gibbons 自由エネルギーの温度依存性からも相転移が確認できる．Gibbons 自由エネルギーは以下の表式で書ける．

=

G(P, T ) ≡ M − T S[ 2(r + 4α log(r))(α − 8πP r4 + Q2 − r2 )4(r3 + 2αr)]
4πP r3
Q2
α
r
+
+
+
+
(22)
3
2r
2r
2 r=r+

れることが分かる．

BH の Joule Thomson 効果

4ある容器 (P1 , V1 , T1 ) に入った気体を小さな穴を通して別の容器 (P2 (< P1 ), V2 , T2 ) に移し，気体を徐々に膨張させる状態変化について考えよう．
この時, E を気体のエネルギーとすると状態変化の前後で E + P V ≡ H （エンタルピー）が保存

ただし，r+ は状態方程式 (15) を満たす P, T にする．T1 ≃ T2 ≡ T の場合，膨張によって気体のついての関数．これを T についてプロットしたも温度が上がるか下がるかが T に依存する．これのが図 2 である．臨界圧力よりも圧力が小さいとが Joule Thomson 効果である．気体の温度変化が逆転するときの T を逆転温度 Ti と呼ぶ．

1.10

1.08

BH でも Joule Thomson 効果を見ることがで

1.06

きる．気体の温度変化が逆転する様子を見るために，T − P 平面での等エンタルピー線をプロット

G

1.04

1.02

することを考える．まず式 (10) より BH のエンタ

1.00

ルピーは BH の質量に対応している．次に等エン

0.98

0.96
0.02100.02150.02200.02250.0230T

Figure 2: G-T 平面での等圧線の図．赤い線が P = Pc ，青い線が P > Pc ，黒い線が P < Pc を表している．Q =1, α = 1 とした．

タルピー線の傾き µJ は以下のように計算できる．
)
[ (
)
]
(
1
∂V
∂T
=
T
−V
(24)
µJ =
∂P M
CP
∂T P
また逆転温度 Ti は等エンタルピー線の極値であるため，µJ = 0 より

き等圧線が swallow tail 状に交わり，同じ G を与Ti = Vえる T が複数ある場合が確認できる．電荷がない
場合にも同じ特徴のグラフが描ける．これより電荷の有無に関わらず SBH-LBH 相転移が起きていると考えられる．
最後に等圧比熱 CP の r+ 依存性から相転移を

(

∂T
∂V

)
．

(25)

P

式 (11) を用いて具体的な表式を書くと
[

Ti

=

1
12πr(2α + r2 )2{
× 2α2 + 8πP (r6 + 6αr4 )+Q2 (2α + 3r2 ) − r4 + 5αr2

}]
r=r+

(．
26)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
10 000100 000

8000

80 0006000

60 000100 000

CP

CP

CP

50 0004000

40 0002000

20 0000- 50 000

0

0
2

4

6

8

- 100 000

2

10

4

6

8

10

2

r+

r+

3

4

5

6

r+

Figure 3: CP の r+ 依存性をプロットした．左が P > Pc ，真ん中が P = Pc ，右が P < Pc を表している．赤い線は
Q = 1，青い線は Q = 0 をプロットしていて，α = 1 と設定した．
これを式 (11) と連立させて r+ について解いた役割を果たすと考えられていた．しかし今回見たものを式 (26) に代入すれば逆転温度の P 依存性

4D EGB BH では電荷の有無にかかわらず相転移が分かる．図 4 に T − P 平面での等エンタルピーが起こることが分かった．これは，式 (16) を式(27) と比較すると，α が電荷の働きをしているか

2.0

らだと考えられる．

5

1.5

もう一つ特徴的なのは，4D EGB BH 解が特異

6

T

7
8

1.0

点を持っていないことである．特異点のない BH

9でも相転移や Joule Thomson 効果を確認するこ

0.5とができた．

0.0
0

50

100

150

今後このようなブラックホールの熱力学現象をP

Figure 4: T − P 平面での異なる M ごとの等エンタルピー 通して，詳細なブラックホールの熱力学的性質や線．赤い線は逆転温度をプロットした．Q = 1, α = 1 と設
その微視的構造が解明されることが期待されて定した．
いる．
線と逆転温度をプロットした．これより逆転温度
よりも高温の時には P が下がると温度が上がり，逆転温度よりも低温の場合には P が下がると温References

度が下がり Joule Thomson 効果が確かめられる． [1] Kartheek
電荷がない場合にも同じ特徴のグラフが描ける．

5

Discussions
4D novel EGB gravity における球対称 BH 解の熱力学を学んだ．P − V 平面図，G − T 平面

Hegde,
A. Naveena Kumara,
C. L. Ahmed Rizwan, Ajith K. M., and
Md Sabir Ali. Thermodynamics, phase transition and joule thomson expansion of novel 4-dgauss bonnet ads black hole, 2020.

[2] Dražen Glavan and Chunshan Lin. Einsteingauss-bonnet gravity in four-dimensional spacetime. Physical Review Letters, 124(8), Feb 2020.
ISSN 1079-7114.

図，および CP の r+ 依存性から相転移が起こる[3] Pedro G.S. Fernandes. Charged black holes inads spaces in 4d einstein gauss-bonnet gravity.
ルピー線から Joule Thomson 効果が見られた．
Physics Letters B, 805:135468, Jun 2020. ISSN
0370-2693.
今回の BH 熱力学には大きく 2 つの特徴がある．

ことが確認でき，また T − P 平面での等エンタ

１つは，電荷の有無に関わらず同じ熱力学的現象が確かめられたことだ．α = 0 の場合，つまりGR での 4D RN AdS BH の状態方程式は
P =

T
2Q2
1
+
−
v
2πv 2
πv 4

[4] David Kubizňák and Robert B. Mann. P − v
criticality of charged ads black holes. Journal ofHigh Energy Physics, 2012(7), Jul 2012. ISSN
1029-8479.

(27) [5] David Kubizňák, Robert B Mann, and Mae

[4]
と書ける．
このとき Q = 0 の場合には相転移をしないので，電荷が BH 相転移において重要な

Teo. Black hole chemistry: thermodynamics
with lambda. Classical and Quantum Gravity,
34:063001, Mar 2017. ISSN 1361-6382.

——–index

重宇 4
一般的な非線形電磁気の枠組みにおけるブラッ
クホールの安定性
神戸大学理学研究科物理学専攻
野村皇太

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

一般的な非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホールの安定性
野村 皇太 (神戸大学大学院理学研究科)

Abstract
電磁場を含む重力理論は、典型的には電磁場の強さ Fµν からなるスカラー Fµν F µν を取り入れた Einstein–

Maxwell 理論で記述される。この理論における荷電ブラックホールは摂動に対して安定であることが過去に示されている。それでは、Fµν F µν だけでなく、Fµν とその双対 Feµν から構成される一般の関数を含む理論におけるブラックホールは安定だろうか？ 例えば、電磁場中の量子効果は Fµν と Feµν を組み合わせた非線
形項によって有効的に記述されることが知られている。このような非線形な電磁気的効果がブラックホールの安定性にどのような影響を及ぼすかは非自明な問題である。そこで本記事では、ラグランジアンに Fµν とFeµν の任意関数が含まれるような一般的な非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホールの安定性について議論する。また、安定性条件の適用例として、Born–Infeld 理論におけるブラックホールが摂動的に安定であることを示す。

1

Introduction

外完備な量子重力理論に対する低エネルギー有効理論に過ぎない。ゆえに、未知の高エネルギー重力理

ブラックホール連星からの重力波観測や影の直接撮像などによって、ブラックホールの存在は実証され、今や精密観測の対象となりつつある。ブラック
ホールは天体物理の分野において興味深い研究対象であることは間違いないが、それと同時に理論物理学においても重要な地位にある。特に、ブラックホー
ルは「重力」に対する理解を深める機会を与えてくれる。ブラックホールに関する話題で特筆すべきものは、その摂動的安定性である。一般相対論においては、単純なクラスのブラックホールは摂動に対して安定であることが示されている。例えば、球対称真空解である Schwarzschild ブラックホールの安定性解
析は (Regge & Wheeler 1957) および (Zerilli 1970)
によってなされ、その後に (Zerilli 1974) などによって Einstein–Maxwell 理論における荷電ブラックホー
ルへ解析が拡張された。
ブラックホールに関するもう一つの興味深い話題
は、その地平線内部での特異点の出現である。実際、

Penrose と Hawking の特異点定理は、適当なエネル論にアプローチするためには、物質の量子効果を考慮しなければならないだろう。典型的には、物質の量子効果を加味した低エネルギー有効理論は物質場の高次の項を含む。例えば、量子効果を取り入れた
電磁力学の有効理論として、電磁場の強さ Fµν とその双対 Feµν の高次の項を含んだ Euler–Heisenberg 理論がある。ブラックホールの特異点を物質の量子効
果で取り除こうとするならば、その効果がブラック
ホールの安定性に影響を与えるかもしれない。したがって、Fµν と Feµν の高次の項の寄与を含む、非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホールの安定性を解析することは非常に重要だと言える。
本研究では、ラグランジアンに Fµν と Feµν の一般の関数が含まれる非線形電磁気の枠組みにおけるブラックホール時空を考え、その上の計量と電磁場の摂動の運動方程式を導出し、ブラックホールが摂動に対して安定であるための条件を導出した。なお、本発表は (Nomura et al. 2020) に基づく。

ギー条件を満たす物質を伴う古典的一般相対論においては、特異点の形成が避けられないことを主張している。現在のところ、そのような特異点は何らか

2

Charged black holeの量子効果によって取り除かれるという考え方が支本研究では一般的な非線形電磁気の枠組みにおけ配的である。この立場から見ると、一般相対論は紫る一般相対論を取り扱う。つまり、A = Aµ dxµ を電2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
磁場として、作用は電磁場の強さ F = 12 Fµν dxµ ∧dxν = dA だけでなくその双対 Fe = 1 Feµν dxµ ∧dxν =21
ρσ
dxµ ∧ dxν からの寄与を含む。この枠組み
4 ϵµνρσ Fとなる。定数 q は、Z
Z π Z 2πF̄ =dθdϕ sin θ q = 4πq
S2

0

(9)

0

での作用は、一般に次の形で与えられる。


Z
1
4 √
e
S[g, A] = d x −g
(R − 2Λ) − L(F, F)
16πG
(1)

より、この時空における全磁荷に相当する量である。

ここで R は計量 g = gµν dxµ dxν に関する Ricci スカと取れる。背景の球対称ブラックホール時空を記述

ラー、Λ は宇宙定数、G は Newton の重力定数、g はする計量 ḡ は Einstein 方程式を使うことでgµν の行列式、L は次で定義されるスカラー

なお、場の強さ (7) をもたらす背景電磁ポテンシャルĀ は、Ā = A¯µ dxµ = q(±1 − cos θ) dϕḡ = ḡµν dxµ dxν = −f (r) dt2 +1Fµν F µν4
1
1
Fe := Fµν Feµν = ϵµνρσ F µν F ρσ
4
8

F :=

(2)

(10)

1
dr2 + r2 dΩ2
f (r)
(11)

(3) と書かれる。ここで dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2 であり、
関数 f (r) はの一般の関数である。

計量 gµν に関して作用の変分を取ることにより、Einstein 方程式

2GM
Λ
2GMq (r)− r2 −(12)r
3rで与えられる。ただし M は任意定数（ブラックホー
f (r) = 1 −(4) ルの質量に相当する量）で、Mq (r) は
 2 
Z
q
2
Mq (r) := 4π dr r L,0(13)を得る。ここで Gµ ν は gµν から計算される Einstein2r4テンソルの成分、Tµ ν は電磁場のエネルギー・運動 である。一方で、電磁場の運動方程式 (6) の t 成分
Gµ ν = 8πGTµ ν量テンソルの成分
Tµ ν = LF Fµλ F νλ + δµνΛ
LFe Fe − L −
8πG

から




LF Fe

(5)

である。ここで LF := ∂L/∂F, LFe := ∂L/∂ Fe であ


q2
,
0
=0
2r4

(14)

が成り立つ。この関係式により、L を Fe の級数で展る。同様に、電磁場 Aµ に関して作用の変分を取れ開したとき、1 次の係数は消えなければならないこ

ば、電磁場の運動方程式

∇µ LF F µν + LFe Feµν = 0とが分かる。すなわち、L の関数形は

e = L0 (F) +L(F, F)

(6)

∞
X
1

n!
n=2

Ln (F)Fen ,(15)が得られる。ここで ∇µ は gµν に関する共変微分をで与えられる。ここで L0 および Ln は F の任意関

表す。

数である。

ここでは、背景時空として球対称な磁場を伴った
ブラックホール解を考える。つまり、背景の電磁場

3の配位 F̄ は、q を定数としてF̄ =1F̄µν dxµ ∧ dxν = q sin θ dθ ∧ dϕ2(7)とする。このとき、スカラー量 (2), (3) の背景での
値 F̄, Fē は

q2
F̄ = 4 ,2r

Fē = 0(8)Equations of motion forblack hole perturbations
ブラックホール時空上の計量と電磁場の摂動のダ

イナミクスを調べるために、

gµν = ḡµν + δgµν

(16)Fµν = F̄µν + δFµν

(17)2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校と書く。バーのついた量が Sec. 2 で調べた球対称背

ティ奇、背景計量はパリティ偶であるため、線形摂

景、δgµν と δFµν がそれぞれ計量と電磁場の摂動で動論においては、一方でパリティ奇の計量摂動とパある。

リティ偶の電磁場摂動が混ざり合って一つの運動方

背景の球対称性から、摂動を解析する際には、摂程式系をなし、他方、パリティ偶の計量摂動とパリ動をテンソル球面調和関数の基底で展開し、その動ティ奇の電磁場摂動が混ざり合って一つの運動方程

径方向の依存性と角度依存性を分離するのが便利で式系をなす。ここでは紙面の都合により l ≥ 2 におある。その後、摂動をパリティの下での変換性によける「パリティ奇の計量摂動とパリティ偶の電磁場

り次のように分類することができる。

摂動」のタイプの運動方程式のみを以下に記載する。

なお、以下は時間に関して Fourier 変換したもので(18) ある。つまり、∂ → −iω の置き換えを施している。
t
−
+




δFµν = δFµν
+ δFµν
(19)

1
d
1 d
−
2 −
r ∗
rR
+
ω
R
f
dr
r2 dr∗−−
ここで δgµν
と δFµν
は、l を球面調和関数の方位量
II−V11R− − V12
E = 0 (22)
子数として、パリティ変換の下で (−1)l+1 の因子が





1 p
d
1 d p
現れる項であり、しばしば「パリティ奇」あるいは|LF | ∗
|LF |Efdr
LF dr∗++「軸性」の項と呼ばれる。一方、δgµν
と δFµν
はパリ
I
I
ティの下で (−1)l の因子が付く「パリティ偶」または+sgn(LF ) ω 2 E − V22
E − V21R− = 0 (23)「極性」の項である。(Regge & Wheeler 1957) に倣っ
ここで f dr∗ = dr,て適当なゲージを取ると、パリティ奇の計量の摂動
f h1
は (t, r, θ, ϕ) 座標での行列として次のように表せる。
R− := √(24)
8πG(−iω)r√ 2
0 0 −[h0 / sin θ] ∂ϕ h0 sin θ ∂θ
2r


:=
p
E
X 0 0 −[h1 / sin θ] ∂ϕ h1 sin θ ∂θ l(l + 1) (l + 2)(l − 1)|LF |
−

 Ylm
δgµν
=


⋆ ⋆

0
0


q2
l,m
+
× LF − 4 LFeFe f01
(25)
⋆ ⋆
0
0
r
−
+
δgµν = δgµν
+ δgµν

(20) および(l + 2)(l − 1)
(26)
2
p r
q 16πG(l + 2)(l − 1)|LF |
I
I
V12
= V21
=
(27)
r3

l(l + 1)
1I
V22
= |LF |
2
2r
LF − (q /r4 )LFeFe
16πGq 2(28)+
r4

ここで Ylm = Ylm (θ, ϕ) は球面調和関数、h0 , h1 は

I
V11
=

モード (l, m) ごとに与えられる (t, r) の関数である。
なお、スター ⋆ の成分は対称性から決まる。
パリティ偶の電磁場の摂動は (Zerilli 1974) に倣って次のように表記する。

+
+
0 f01
f02
∂θ

X × 0 f + ∂θ
12
+

δFµν
=
× ×
0
l,m 
× ×
0

+
f02
∂ϕ




+
f12
∂ϕ 
 Ylm (21)
である。
0 

+
上の方程式により摂動 h1 , f01のダイナミクスが決
0

+
+
+ +
ここで f01, f02, f12,f23 はモード (l, m) ごとに与え++まる。同じタイプに含まれる他の変数 h0 , f02
, f12
の

+
ダイナミクスも、h1 と f01が与えられれば決まる。

られる (t, r) の関数である。バツ × の成分は反対称性から決まる。
摂動展開 (16), (17) を運動方程式 (4), (6) に代入
し、摂動に関して線形化することにより、線形摂動の運動方程式を得ることができる。背景磁場はパリ

4

Stability conditions
一般的な非線形電磁気の枠組みにおけるブラック

ホール摂動のうち、「パリティ奇の計量摂動とパリ2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ティ偶の電磁場摂動」のダイナミクスは方程式 (22),

これらはすべて正である。さらに、(38) は 1 より小(23) で決まることが分かった。ブラックホールが摂 さい。したがって、安定性条件 (30)–(33) は（宇宙定動に対して安定であるためには、摂動が指数関数的数が負でない限り）常に満たされ、Born–Infeld 理論に増大しなければ良い。つまり、ポテンシャル行列
!
I
I
V11
V12
VI =
(29)
I
⋆ V22

におけるブラックホールは摂動に対して安定であるが正定値であれば良い。同様の考察をもう一つのタ6

イプ「パリティ偶の計量摂動とパリティ奇の電磁場ことが分かる。

Conclusion

摂動」に対しても繰り返すことができる。最終的に、

本研究では、電磁場の強さ Fµν とその双対 Feµν を

ブラックホールが摂動的に安定であるための十分条作用に含む一般的な非線形電磁気の枠組みにおける件は、次で与えられることが分かる。

ブラックホールに焦点を当て、その上の線形摂動の

Λ
>0
8πG
LF (F̄, 0) > 0

L(F̄, 0) +LFeFe (F̄, 0)>0
LF (F̄, 0)LFF (F̄, 0)
0 < f 1 + 2F̄
<3
LF (F̄, 0)
1 − 2F̄

運動方程式を導いた。また、その運動方程式からブ(30) ラックホールの摂動的安定条件を読み出した。この(31) 条件を適用することで、Born–Infeld 理論におけるブラックホールは安定であることが分かった。本研究(32) では簡単のため磁荷を帯びたブラックホールを扱ったが、電磁双対変換によって電荷を帯びたブラック(33) ホールにも以上の解析は適用できると考えられる。
本研究で扱った作用 (1) は静的一様な電磁場にお5ける有効理論として典型的に生じるものである。しApplication

かし、さらに一般的な非線形電磁気の枠組みとして、

非線形電磁気理論の例として、Born–Infeld 理論を∂µ Fνρ ∂ µ F νρ といった高階微分相互作用を考えるこ

考えてみる。Born–Infeld 理論は 1930 年代に電子のともできるだろう。このような相互作用がブラック

自己エネルギーの発散を取り除くために考えられたホールの安定性にどのような影響を及ぼすかは非自有効理論で、ラグランジアンは µ を質量次元を持つ明であり、その解明は今後の課題である。

パラメータとしてe = µ4L(F, F)

s
1+

2F
Fe2
− 8 − µ4
4
µ
µ

(34)

で与えられる。このとき、ブラックホール計量に含まれる関数 f は超幾何関数 2 F1 を用いて

2GM
8πGµ4 r2
f (r) = 1 −
+
3
 r


3 1 1
q2
× 1 − 2 F1 − , − , , − 4 4
4 2 4 µ r

Reference
Tullio Regge, & John A. Wheeler, “Stability of a
Schwarzschild singularity,” Phys. Rev. 108 (1957)
1063
Frank J. Zerilli, “Eﬀective potential for even parity Regge-Wheeler gravitational perturbation equations,” Phys. Rev. Lett. 24 (1970) 737(35)

Frank J. Zerilli, “Perturbation analysis for gravitational and electromagnetic radiation in a Reissnerとなる。安定性に関わる量は次のように評価される。
Nordstroem geometry,” Phys. Rev. D9 (1974) 860

LF (F̄, 0) = p

1
1 + 2F̄/µ4

L e e (F̄, 0)2F̄
1 − 2F̄ F F=1+ 4µ
LF (F̄, 0)
LFF (F̄, 0)
1
1 + 2F̄
=LF (F̄, 0)
1 + 2F̄/µ4(36) Kimihiro Nomura, Daisuke Yoshida, & Jiro Soda, “Sta(37)(38)

bility of magnetic black holes in general nonlinear
electrodynamics,” Phys. Rev. D101 (2020) 124026

——–index

重宇 5
宇宙初期のクエーサーによる２１ｃｍ線シグナ
ルへ影響
筑波大学数理物質科学研究科物理学学位プログラム
秋葉健志

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙初期のクエーサーによる２１ｃｍ線シグナルへ影響秋葉健志 (筑波大学大学院 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群)

Abstract
インフレーション後、宇宙は膨張によって冷え、約 38 万年後に原子核に電子が取り込まれて宇宙の晴れ上がりをむかえる。そこから約４億年後に初代星ができるまで、宇宙で光り輝く星はなく暗黒時代と呼ばれている。その間ガスは中性であり、宇宙を隈無く満たしている。その後、初代星、初代銀河形成が進むと、それらの紫外線によって、銀河間ガスは再び電離した状態となる。これは宇宙再電離と呼ばれ、遠方銀河クエー
サーの Gunn-Peterson 効果や宇宙背景放射の観測により、赤方偏移１０頃（宇宙誕生５億年後）に始まり赤方偏移６（宇宙誕生１０億年後）までに完了したことがわかっている。中性水素は星や銀河の周りから徐々に電離し始め、電離領域は宇宙全体に広がっていったと考えられる。しかしこれまでの観測からでは電離源が何であるかや電離構造の進化まではわかっていない。そこで近年発展している電波観測によって中性水素
ガスの時間的空間的発展を、水素原子から発せられる超微細構造線（２１ｃｍ線）によって直接観測することが提案されており、宇宙初期の天体形成や電離構造のモデルが必要になっている。Ross et al. (2019) では
大規模な数値シミュレーションを用いて、宇宙大規模構造とともに２１ｃｍ線シグナルの構造をモデル化した。本講演では Ross et al. (2019) の論文についてのレビューを行う。Ross et al.(2019) の計算によると、暗黒時代から初代星が生まれる宇宙の夜明けの時期では、中性水素の温度が、クエーサーなどのＸ線放射天
体の数、分布に依存し、２１ｃｍ線の非等方性に強く寄与することがわかった。一方で、宇宙再電離期のク
エーサーの観測は非常に少ないため、Ross et al.(2019) のクエーサーのモデル化には大きな不定性がある。

1

Introduction

2.2

宇宙再電離期は初めて形成された明るい天体によっ 2.2.1て宇宙が電離する時期である。現在、宇宙再電離は観測から赤方偏移 10 頃に始まり６頃に終わったという時期の制限しか得られておらず、この他宇宙再電離Sources
Stellar sources

時間当たりの電離光子の発生数は、M をハロー質量としてN˙γ = gγについての宇宙物理はよくわかっていない。初期の天体が形成される一方で IGM（Intergalactic Medium

M Ωb
mp (10M yr)Ωo(1)

10M yr∆t(2)で与えられ、

銀河間物質）中の中性水素ガスは天体からの加熱の影

gγ = f∗ fesc Ni

響を受け、21cm 線シグナルはこれを反映する。IGMの加熱には平均自由行程が大きい X 線のみが寄与すると考えられるので、21cm 線シグナルは X 線源のスペクトル、数、分布によって強く影響を受ける。

2

Methods

2.1

The simulation

であり f∗ 、fesc 、Ni はそれぞれ星形成率、エスケープ
フラクション、バリオン当たりの電離光子生成率で
ある。

2.2.2

HMXBs

HMXBs(High Mass X-ray Binaries) は DM ハローに存在し、そのスペクトルは

N 体シミュレーションによって大規模構造の進化を計算し、輻射輸送の計算を行った。

Lh (ν) ∝ ν −αxh(3)2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
で、αxh = 1.5 と与える。エネルギー幅は 272.08eVか

表 1: シミュレーションごとの X 線源の種類
S1 S2 S3 S4 S5ら 5441.60eVを考え、これは次の QSOs についても同様である。

2.2.3

αxh (HM XBs)

-

-

-

1.5

1.5

αxq (QSOs)

-

0.8

1.6

-

0.8

QSOs
ナルの時間発展の結果を図 1 に示す。いずれのシミュ(4) レーションにおいても、始めと終わりは 21cm シグナ
ルは 0 であり白色になっている。これらは、始めは中シミュレーション体積中の QSO(Quasi-Steller Ob- 性水素ガス温度が CMB 温度と等しくなっており終Lq (ν) ∝ ν−αqx

jects) の数密度は QXLF(QSO X-ray Luminosity わりは再電離によって中性水素自体がなくなっている
Functions) を積分することによって得られ、ことに対応している。図 1 の 2 段目 (S2)3 段目 (S3)∫ Lmaxnq (z) =は QSO を含むモデルに対応し、赤方偏移が 15 頃でΦ(L, z)dL

(5)

Lmin

ここでΦ(L, z) ∝ (1+z)−2 で、X 線の光度 Lx は 1042 −

1047 ergs−1 である。またαxq = 0.8, 1.6 とし、硬 X 線と軟 X 線を考える。

2.3

QSO 周辺と思われる IGM に加熱が効き、シグナルのコントラストが最も強く出ている。また HMXBs
を含む４段目 (S4) ５段目 (S5) のモデルは QSO のみを含むモデルよりも宇宙全体の加熱が早く、赤方偏移 14 頃から放射のシグナルになっている。

1
Skewness(y) =N

The 21cm signal

21cm 線シグナルは中性水素原子のスピン温度 Tsと TCM B の大小によって放出か吸収かが決まり、

δTb = (1 −TCM B 3λ30 A10 T∗ nHI)
Ts
32πH(z)(1 + z)∑N3i=0 (yi − ȳ)
σ3

(8)

∑N
4
1
i=0 (yi − ȳ)
(9)
4
N
σ
の統計量を考える。ここで N は全データ数、ȳ は y のKurtosis(y) =(6)

平均値、σ は y の分散である。δTb についてこの二つので与えられる。ここで T∗ は 21cm 線のエネルギーギャ 統計量を図示したのが図 2である。図 2から QSO をップに対応し、A はアインシュタイン A 係数（ = 含むモデルでは、シグナルの分布の左右非対称を表す
102.85 × 10 s ）である。スピン温度 Ts は水素原子 上図の Skewness、また尖度を表す下図の Kurtosis にのスピンシングレット状態とスピントリプレット状態 よって、QSO の痕跡を検出できる可能性を示している。
の数比を反映し、ガスの力学的温度 T 、色温度 T−15 −1Kα

TCM B + yα Tα + yc TK
1 + yα + yc(7)とその結合定数によってTs =と与えられる。(Field 1958)

4

Conclusion
中性水素の温度が QSO などの X 線放射天体の数、分布に依存し 21cm 線の非等方性に強く寄与することがわかった。また宇宙初期の QSO を 21cm 線シグ

3Results

ナルによって観測可能であることがわかった。しかし観測結果が少ないため QXLF を使ったモデル化にシミュレーションは S1 から S5 まで 5 つ行った。 は不定性がある。

S1 では X 線源は考えず、S2 から S5 では X 線源を考え、その種類をスペクトル指数によって示したのが表1 である。各シミュレーションにおける 21cm 線シグ2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: 21cm 線シグナルの時間変化

図 2: 21cm 線シグナルの統計量

——–index

重宇 6
初代星が再電離に与える影響と 将来観測機器での観測可能性名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
坂本陽菜

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

初代星が再電離に与える影響と将来観測機器での観測可能性
坂本陽菜 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
銀河間物質 (IGM) は、宇宙の密度ゆらぎの成長の結果誕生した天体からの電離光子により、z ∼ 6 より前までに電離が行われたことが観測的に示唆されている。この IGM が電離される過程を宇宙再電離という。IGMを電離する電離光子源の有力な候補は若い銀河で、若い銀河は星形成において水素分子が必要であるミニハ
ロー (MH) と原子冷却ハロー (ACH) で形成される。ところが再電離の一般的なシミュレーションでは MHからの寄与は無視されることが多いが、その寄与が無視できるほど小さいかは明らかではない。本研究では電離史のモデルとして電離光子源に ACH のみを考慮する場合と ACH と MH 両方を考慮したものを考え、MH が再電離史に与える影響を見積もる。この電離史の違いが CMB の E-mode 偏光のパワースペクトルの
大角度スケールに現れると期待される。本研究では、CMB の E-mode 偏光のパワースペクトルを主成分分析 (PCA) と呼ばれる統計手法とマルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) を用い解析することで、MH の影響を調査する。

1

Introduction
現在広く支持されている現代宇宙論によれば、誕

生直後非常に熱かった宇宙は膨張と共に徐々に冷えたとされている。宇宙誕生後おおよそ 38 万年後、電子と原子核が結びつき宇宙は中性になる。この結果
として、光子はバリオンと相互作用できなくなっていき光が直進できるようになる。天体の存在しない
暗黒時代は初代星が形成されることで終わりを迎える。初代星ができてから構造形成が進み、星や銀河ができることで銀河間媒質 (IGM) の中性水素は電離されていき、赤方偏移 z がおよそ 6 の頃に水素の電離が終わったと考えられている。これを宇宙の再電離という。

IGM を電離する有力な候補は若い銀河である。この頃の若い銀河の源になる天体として、質量が 105 M⊙ −108 M⊙ 程度のミニハロー (MH) と質量が 108 M⊙ 以
上である原子冷却ハロー (ACH) が挙げられる。MHは星形成において水素分子による冷却が必要なハローであり、原子冷却ハローは水素原子による冷却で星形成を行うハローである。
しかしながら、従来の大規模な再電離のシミュレー
ションでは MH からの寄与を無視していることが多い。これは、MH の質量が小さく高い分解能を必要とするために、計算コストの面で難しいという理由と、LW-feedback と呼ばれるフィードバックによって水素分子が解離され、MH での星形成が抑制されると予想されていたという理由があったからである。
だが、本当に MH からの寄与が無視できるほど小さ
いかは明らかではない。
本研究ではまず、宇宙論的スケールでの輻射流体シ
ミュレーションを行う。モデルは電離光子源に ACH
のみを考慮する場合と ACH と MH 両方を考慮したものを考え、MH が再電離史に与える影響を見積もる。MH を考慮した場合 z ∼ 35 から電離が始まる
が、徐々に LW-feedback により MH による星形成が抑制され電離度の上昇が抑えられるため、z ∼ 10 頃
までは再電離が進行せず電離度が数 % のまま推移する。z < 10 以降では ACH からの電離光子が支配的になるため二つのモデルでの違いは見られなくなる。
この電離史の違いについて、特に高赤方偏移での電離史の違いをみることは難しい。そのため、CMB の

E-mode 偏光のパワースペクトルに着目する。
CMB の E-mode 偏光は、最終散乱面の温度の四重極成分の情報を持った光子が電子にぶつかるトムソ
ン散乱により引き起こされる。CMB の E-mode 偏光のパワースペクトルは最終散乱面からの光が電子により散乱された回数の情報、すなわち自由電子の多さの情報を持っている。そのため、CMB の E-mode2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
偏光のパワースペクトルによって再電離の情報を得ることができる。
観測量である角度パワースペクトル Cℓ の ℓ は天球面の分割数を表すので、ℓ が小さい方が見ているス

2.1

今回データの共分散行列として、フィッシャー行列と呼ばれる行列、ケールが大きいことになる。そのため、ℓ が小さい方

Fα,β =

がより最近の情報を反映する。大雑把には ℓ = 100の時のスケールが宇宙の晴れ上がりの時のスケールである。

CℓEE の ℓ と赤方偏移 z には大雑把に対応が見られるものの、一対一対応がない。すなわち CℓEE (zi ) への寄与と CℓEE (zj ) への寄与は独立ではなく、その影
響を見積もるのは非常に難しい。それを示したのが
図 1 である。

主成分分析∑( ∂ log Cℓ )( ∂ log Cℓ )
ℓ

∂λα

∂λβ

(1)

を考える。Cℓ は角度パワースペクトルである。また、

λ には一般には制限を見積もりたいパラメータを入れる。今回は電離度への制限を見積もりたいので、パラメータ λ に電離度 xe,f id (z) を採用する。xe,f id (z)という電離史は次のようなものである。
1(z < 6)xe,f id (z) = 0.3 (6 < z < 30)
0(30 < z)(2)

これを用いて電離史をパラメータとしたフィッシャー
行列

Fij =

ℓ∑
max (
ℓ=2

)
1 ∂ log CℓEE ∂ log CℓEEℓ+2 ∂xe,f id (zi ) ∂xe,f id (zj )(3)を考える。この行列について固有値方程式を解いて
図 1: CℓEE の xef id (z) 微分と ℓ の関係。xe,f id (z) がどのような電離史かについては 2 章で述べる。
そのため、主成分分析 (PCA) と呼ばれる統計手法

固有ベクトルを求める。すなわち ﬁsher-matrix を次のように変形すると次のように書ける。

Fi,j = (Nz + 1)−2Nz∑

Sµ (zi )σµ Sµ (zj )(4)を用い解析することを考える。PCA は観測に対してµ=1

感度の高い情報を優先的に選ぶことが可能な手法でここで Sµ は固有ベクトル、σµ は固有値、Nz は赤方ある。

偏移ビンの数である。Sµ は次のように規格化されてPCA を用いて高赤方偏移での電離史への影響を見 いる。
積もり、初代星からの影響を見積もるのが、本研究
Nz∑の目的となっている。
Sµ (zi )Sµ (zj ) = (Nz + 1)δij
(5)
µ=1

2

手法
PCA ではあるデータの共分散行列を対角化し、固有値の大きい順に並べる操作を行う。この章では、PCA を用いてどのように電離史を制限するかについて、具体的に式を用いて説明する。

この Sµ について示した図が図 2 である。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校と、MCMC で推定される mµ とを比較する。この二つの電離史について図 3 に示す。赤線の電離史は、

図 2: µ = 1, 2, 3, 4 の固有ベクトル対角化の際、固有値が大きい順に µ を決定する。
図 3: 電離史

この一連の操作を主成分分析という。
次に、固有ベクトルを用いて任意の電離史 xe (z) を表現する。xe (z) は次のように書くことができる。

xe (z) = xe,f id +N∑max

z = 10 の時に xe (z) = 10−4 を初期条件として仮定
し、密度が高い領域から電離すると仮定して準数値的に電離史を計算した時の平均の電離史となっている。

mµ Sµ

(6)

µ=1

ただし係数 mµ は次のように書かれる。
∫ zmaxdzSµ [xe (z) − xe,f id (z)]mµ = zmin
zmax − zmin

こちらは比較的急激に電離したモデルとなっている。
一方青い線の電離史については Ahn et al. (2012) より引用した、MH と ACH を考慮に入れた輻射輸送(7)

原理的には Nmax まで足しあげれば電離史を完全に再現する。主成分分析は寄与の大きい情報から拾えるため、Nmax まで足し上げなくとも多くの情報をシミュレーションから求めた電離史となっている。

3

結果
CℓEE

か ら MCMC を 用 い て 推 定 さ れ る得ることができる。この利点は、PCA を用いるモチ

m1 , m2 , m3 , m4 を 、前 述 し た 電 離 史 の 時 に 式

ベーションの一つである。

(7) を用いて求めたの値とともに示したのが図 4 と図 5 である。MCMC には WMAP の 9 年目の観測

2.2

制限方法

結果を用いた。

本研究ではこの mµ をパラメータとして電離史を制限することを考える。mµ への制限はマルコフ連鎖
モンテカルロ法 (MCMC) を用いる。ΛCDM モデル
で用いられる宇宙論パラメータに加えて、mµ をパラメータとして推定を行った。

2.3

制限に用いる電離史について

本研究では電離史のモデルとして電離光子源に MHを特別考慮しない場合と ACH と MH 両方を考慮したものを考え、二つの電離史の場合に対応する mµ図 4: m1 と m2

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
た場合、1σ や 2σ の範囲がより狭くなり、よりはっ
きりと制限がつけられるようになるのではないかと予想する。これを今後の課題として取り組みたい。

Acknowledgement
本発表において、ご指導してくださった宇宙論研
究室のスタッフと先輩の皆さまに感謝申し上げます。
特に准教授の市來淨與さん、研究員の長谷川賢二さん、博士課程の田中俊行さん、 簑口睦美さん、 安藤
梨花さん、阿部克哉さん、修士課程の迫田康暉さん、

図 5: m3 と m4

古郡国彦さんには、大変お世話になりました。お忙濃い部分が MCMC で推定した時の 1σ の範囲内としい中、議論や助言に時間を割いてくださったことなっていて、薄い部分が 2σ の範囲内となっている。 にこの場を借りて感謝申し上げます。
また、このような情勢の中、夏の学校の企画運営
青い丸の点は MH を考慮に入れた際の電離史での mµである。一方黒い三角の点は MH を考慮に入れていをしてくださった方々へ、厚く御礼申し上げます。

ない、ACH のみを考慮に入れた際の電離史での mµの点を示したものとなっている。
図 4 では、MH を考慮したものが 1σ の範囲内であり MH を考慮していないものについては 2σ の範囲内に入っている。図 5 については MH も考慮したもReference
Ahn, K., Iliev, I. T., Shapiro, P. R., et al. 2012, APJI,
756, L16のも、ACH のみ考慮したものも両方、1σ の範囲内

Mortonson, M. J. & Hu, W. 2008, APJ, 672, 737に入っている。

Hu, W. & Holder, G. P. 2003, PRD, 68, 023001

4

まとめと今後の課題
本研究は、CMB の Emode 偏光の角度パワースペ

クトルを PCA を用いて解析することで、電離史に関係するパラメータ mµ を求め、MCMC を用いて予想される mµ の範囲を比較することで MH の影響を見積もることを目的とした。
結果としては、図 4 を見る限りでは、MH を考慮したものが 1σ の範囲内であり MH を考慮していな
いものについては 2σ の範囲内に入っている。主成
分分析という手法はその性質上、番号の小さい主成分がよりたくさんの情報量を持っている。ここから、電離史については MH を考慮したモデルの方がよりもっともらしいと示唆されているのではないかと推察する。この結果は、おおよそ 10 年前の観測結果を用いての計算である。日々観測器の精度は上がっているため、例えば、将来の観測器 LiteBIRD を用い

——–index

重宇 7
銀河団での散乱によって生じる CMB の偏光を用いた密度ゆらぎの再構築
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
角谷健斗

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

銀河団での散乱によって生じる CMB 偏光を用いた密度ゆらぎ再構築
角谷 健斗 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙論を精査するために、宇宙の大規模構造の進化、ひいては密度ゆらぎの発展を知ることは非常に重要である。しかし、宇宙空間の構造を観測した場合、観測点が遠く離れるほど過去の姿を観測することになり、同じ地点の構造を異なる時刻で観測することができない。そのため異なる地点の構造から推定される物質ゆらぎの成長率は不定性を大きく含んでいる。この問題の解決策として、同じ地点の構造を異なる時刻で観測する新しい手法を確立し揺らぎの成長率を直接測定することがあげられる。
今回は異なる時刻における構造を測定する方法として銀河団によって散乱される宇宙マイクロ波背景放射(Cosmic Microwave Background,CMB) の偏光を観測し、最終散乱面から我々の間の領域の晴れ上がり時での CMB 温度ゆらぎを再現することを考えた。先行研究 [1] では、CMB 光子が銀河団を通過する際に、銀河団内部の自由電子に散乱され、銀河団まわりの最終散乱面上での CMB 温度ゆらぎの四重極成分に由来する
偏光を生じることが示されている。多数の銀河団に対してこの偏光を観測することで、最終散乱面から我々の間の領域の、晴れ上がり時での CMB 温度ゆらぎを再構築することが期待できる。本研究ではシミュレー
ションにより様々な位置にある銀河団で散乱された CMB 光子の偏光の情報から、我々の光円錐内における再結合時の温度揺らぎを推定した。また、与えた再結合時のゆらぎと CMB 偏光により再現したゆらぎを比較することで手法の検証を行い、さらに再現率と用いる銀河団の関係性を検証した。本発表では実際に行った数値計算の結果を報告し、また時間があれば実際の観測と理想的なシミュレーションでの状況の違いについても議論する。

1

Introduction
現在の宇宙論では構造の進化率を様々な領域の構造の観測結果から統計的に計測している。しかし本来の意味での構造の成長率とは、１つの構造の時間発展である。従って現在の用いられている計測手法では１つの構造の成長率を直接測ることができず、複数の構造から推定した量となってしまい不定性が大きくなってしまう。
そこで本研究では１つの構造の時間発展から成長率を計測する新しい手法を確立することを目指す。現
在成長率の計算が統計的な結果をもとに行われている理由は、構造の時間進化から直接成長率を測るた
めには２つ以上の異なる時刻での姿を観測する必要があるのに対し、直接観測では構造の姿は観測点からの距離によって決まる時刻での姿しか観測することができないからである。そこで銀河団によって散乱される宇宙マイクロ波背景放射 (Cosmic Microwave

Background,CMB) の偏光の情報から間接的に同じ地点の異なる時刻での姿を観測する方法を考えた。
銀河団周りの最終散乱面から銀河団に入射した CMB
光子は銀河団内にある自由電子によってトムソン散乱される。このトムソン散乱によって散乱された CMB
光子は銀河団周りの最終散乱面上の四重極温度ゆらぎに由来する偏光を生じることが先行研究 [1] で示されている。この偏光を観測することによって銀河団周りの最終散乱面に対応する領域の晴れ上がり時の密度ゆらぎを再構築し、直接観測された構造と比較することによって同じ地点の構造から直接成長率を測ることが可能となる。
しかしながら、現実問題として現在の観測精度はこの成長率測定手法を用いるのに必要な精度には遠く及ばず、すぐにこの手法を運用するということはかなり厳しい。そこで今回は実際の観測の前段階としてこの手法の妥当性を示すテストシミュレーションを行った。ここでは最終散乱面から飛び出した CMB
光子が銀河団内にある自由電子によるトムソン散乱

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
のみを経由し、その他の寄与は全く考えない非常に

次に図２のようにそれぞれ振幅の異なる２つの無理想的な状況を考えた。具体的には擬似観測 Map と偏光の光が z 軸、y 軸方向から自由電子に入射し x 軸

しての偏光の情報から他の領域の偏光を推定するシ方向に散乱する場合を考える。前述のように光は振ミュレーションを行い、cosmic variance と比較し推動方向に進行できないため、散乱光には入射光の持定の妥当性を調べた。

つ成分のうち散乱面に水平な成分は消え垂直な成分のみが残る。この過程により元々無偏光であった光2

トムソン散乱による偏光の生成から入射光の振幅の大きさの違いによって偏光を生成することができる。

3銀河団でのトムソン散乱により生じる偏光
本研究では銀河団によって偏光された CMB から、

晴れ上がり時の密度ゆらぎを再構築する。銀河団によって散乱され我々に届く CMB は銀河団周りの最終散乱面上から飛んでくる。従ってこの散乱光を扱
うには銀河団周りの最終散乱面上での温度ゆらぎと

図 1: 散乱光の生成過程

散乱光の偏光を関連付けておく必要がある。
自由電子に入射する光を考える。図１では z 軸方

位置 ⃗x での銀河団周りの最終散乱面上での温度ゆら

向に進行する y 軸に振幅ベクトル ϵ を持つ入射光とぎ δT /T (⃗x) は銀河団を原点とした極座標上で球面調

振幅ベクトル ϵ′ を持つ散乱光を表している。この入射光が電子に入射すると、自由電子は電場の振動によって y 軸方向に振動する。この電子の y 軸方向の振動によって散乱光が生成されるが、光は横波であ和関数展開すると∑
δT(⃗x, n̂, T ) =alm (⃗x)Ylm (n̂)
T

(2)

l,m

るため振動方向へは進行することができない。従っ と書き表すことができる。ここで n̂ は銀河団を原点て散乱角度に対する散乱確率を表す微分散乱断面積 とした極座標上での視線方向ベクトルである。また

dσ/dΩ はdσ
∝ (ϵ · ϵ′ )2dΩとなる。

この球面調和関数の展開係数 alm (⃗x) には温度ゆらぎ(1) の情報が入っているため、ルジャンドル多項式展開
した温度ゆらぎ ∆T,l を用いて∫⃗∗alm (⃗x) = 4π d3 keik·⃗x (−i)−l ∆T,l Ylm(k̂)(3)と表すことができる。ここで k̂ は波数空間上の原点を中心とした視線方向ベクトルを表す。今回は銀河団によるトムソン散乱によって生成された偏光をス
トークスパラメータ Q, U によって表す。前節で述べたように散乱光の偏光は入射光の温度異方性によって生じる。ストークスパラメータは直交した座標によって定義するため、銀河団中心に見た最終散乱面の温度に四重極異方性があれば偏光が生じることになる。したがって Q, U は最終散乱面上の四重極温度

図 2: 無偏光の入射光から散乱による偏光の生成過程

異方性により決まり、温度ゆらぎの球面調和関数展

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
このゆらぎに対して (3),(4) 式の過程を踏むと位置

開係数の四重極成分である a2m とスピン 2 の球面調
和関数 ±2 Y2m (n̂) を用いて√6 ∑
a2m (⃗x)±2 Y2m (x̂)Q(⃗x) ± iU (⃗x) = −τ10 m⃗x の銀河団による偏光 Q(⃗x) ± iU (⃗x) を生成することができる。また、grid 上の全点に銀河団があるとして(4) この一連の過程により生成した Q の Map が図４である。四重極成分によって復元しているため数 Gpc 以とすることができる。ただし、ここで x̂ は観測者を上のスケールのゆらぎが支配的であることが分かる。

原点とした極座標上での方向ベクトルであり、スピン 2 の球面調和関数 ±2 Y2m (n̂′ , θ, ϕ) は [2] の表式を用い
±2 Y2,2





Y


 ±2 2,1±2 Y2,0±2 Y2,−1±2 Y2,−2

√
=

5

64π
√

(1 − cos ϕ)2 exp(2iθ)

5= − 16π
sin ϕ(1 − cos ϕ) exp(iθ)
√
15
= 32π
sin2 ϕ√5= − 16π
sin ϕ(1 ∓ cos ϕ) exp(−iθ)
√
5
= 64π
(1 ± cos ϕ)2 exp(−2iθ)であるとした。

4

図 4: 生成した Qmap(z=0)

シミュレーションデータの生成法
まず、初期曲率ゆらぎ Rini (⃗k) を無次元パワースペ

クトル(
P(k) = Askk∗)ns −1(5)

5

シミュレーション内容
本研究では格子点を 83 として、格子点全てに銀河団があると仮定した場合でのテストシミュレーションを分散としたガウシアン乱数によって生成する。(k∗ =を行った。まず、波数空間上での初期ゆらぎを生成す
0.05Mpc−1 ) この初期ゆらぎに、z = 1 までの時間進 る。この生成した初期ゆらぎから z = 1 での Transfer化を与える Transfer function ∆l (k, τ ) をかけること function を用いて密度ゆらぎを再現し、中心のマス

によってゆらぎ∆l (⃗k, τ ) = ∆l (k, τ )Rini (⃗k)

と中心から 15Gpc 以上離れた点を取り除くことで、(6) 図５のように銀河団に散乱されて生じるストークス
Q の擬似観測 Map を作成した。

を生成する。

図 3: 使用する四重極温度ゆらぎの Transfer function

図 5: 中心を隠した Q Map(擬似観測 Map)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
擬似観測 Map のストークスと推定した初期ゆらぎ

7

Future work

によって生成したストークスの差が最小になるように ﬁtting し、初期ゆらぎを推定する。推定した初期
ゆらぎから擬似観測 Map で隠した領域に対応する球
面調和関数の展開係数 a2m (⃗x) を計算し、この推定された a2m (⃗x) と隠す前の正解の展開係数を比較することで ﬁtting による再現の精度を調べた。

今回は 83 マスで z = 1 の Transfer function のみを用いた擬似的な宇宙を使い、シミュレーションを行なった。この内容はテストシミュレーションとしても初歩段階であり、より現実に近づけたシミュレー
ションを行うには銀河団をバラバラに配置したり grid

このシミュレーションは実際の観測で得られた銀河数をもっと増やしたり様々な redshifts での Transfer

団による偏光の情報から、偏光の情報が得られなかっfunction を用いたりしなければならない。今後はこた領域の密度ゆらぎを推定することのテストシミュ
レーションとなっている。

のような条件によって現実に近づけた場合や今回のシミュレーションで考慮しなかった物理的効果を考えた場合などでも再現の妥当性を示すことができるのかを調べていくことを今後の研究課題として取り

6

結果と結論

組んでいこうと考えている。

正解として作成した展開係数 a2m と ﬁtting から推定した展開係数の値を m ごとに図 6 に示した。

Reference[1]Portsmouth, J. , PRD, 70, 063504 (2004)[2]W. Hu & M. White, Phys. Rev. D 56, 596 (1997)

図 6: 正解の展開係数 (青) と推定された展開係数 (赤)の比較。縦軸が中心のマスに対応する展開係数を表し、横軸が m を表す。また、cosmic variance(左端)は正解と推定値とのズレの比較対象。

cosmic variance ≈ 10−5 と比較することで、それぞれの m に対して推定値はかなり精度よく再現できていることが見てとれる。この結果から簡単な条件の下では観測で得られた偏光の情報から、偏光の情報が得られなかった領域の密度ゆらぎを推定することは可能であることが示された。

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重宇 9
重力波信号の検出に用いる Matched Filter について新潟大学自然科学研究科数理物質科学専攻
日下公亨

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波データ解析で用いられる Matched Filter の原理
日下 公亨 (新潟大学大学院 自然科学研究科)

Abstract
約 100 年前にアインシュタインによって予言された重力波は，2015 年に初めて直接観測された。現在アメリカの LIGO, イタリアの Virgo, 日本の KAGRA 等の重力波検出器が稼動中であり，電波や X 線等さま
ざまな観測手段との連携によるマルチメッセンジャー天文学が花開こうとしている。重力波観測で得られるのは重力波信号と検出器のノイズが合わさったものであるため，大きなノイズの中から非常に微弱な重力波信号を取り出すために Matched Filter という手法が用いられる。これは理論的に予測される重力波波形のテンプレートを用いて，信号対雑音比（SNR）を最大にするフィルタである。本発表では Matched Filter の原理を紹介する。

1

この出力信号にフィルタをかけたものは, K(t) をフィ

Introduction2015 年にアメリカの LIGO で初検出された重力波はブラックホールの連星合体によって発生したものであった。地球に到達したときの振幅は 10−21ルタ関数として以下のように表される。
∫ ∞ŝ ≡dt s(t)K(t)(4)

df s̃(f )K̃ ∗ (f )

(5)

−∞
∫ ∞

程度

=

で，地球と太陽の間の距離を水素原子 1 個分だけ動かす程度に過ぎないほど小さなものであった。このように重力波信号は非常に微弱で，検出器のノイズの中に埋もれてしまう。理論的に重力波波形が精度良く予測できる場合は，出力信号に適切なフィルタをかけて SNR を最大にすることができる。これをMatched Filter 解析と呼ぶ。
本発表ではフーリエ変換と逆変換をそれぞれ以下のように定義する。
∫ ∞X(f ) =
dt x(t)e−2πif t

ここで ˜ はフーリエ変換，∗ は複素共役である。また (2) から (3) 式を導く際に Parseval の定理を用いている。
ここからは SNR を最大にする K̃(f ) の形を考えていく。重力波信号のみがあるときの ŝ の期待値を S ，
ノイズのみがあるときの ŝ の二乗平均平方根を N と
する。

S
(1)

−∞

∫ ∞

−∞

N2

≡ ⟨ŝ(t)⟩ ==∫ ∞df h̃(f )K̃ ∗ (f )

(6)

−∞
2
[⟨ŝ ⟩ − ⟨ŝ⟩2 ]h=0

= ⟨ŝ2 (t)⟩h=0 (∵ ⟨n(t)⟩ = 0)
∫ ∞−∞=dtdt′ K(t)K(t′ )⟨n(t)n(t′ )⟩−∞∫ ∞1
2 Matched Filter の原理
Sn (f )|K̃(f )|2
=
df
2
−∞
)
(
検出器の出力信号 s(t) は，重力波信号 h(t) とノイ
1
′
∗
′
δ(f
−
f
)S
(f
)
(7)
∵
⟨ñ
(f
)ñ(f
)⟩
=
n
ズ n(t) の和である（ただし n(t) は定常ガウスノイズ
2とする）。
ここで Sn (f ) はノイズスペクトル密度で，以下で定s(t) = h(t) + n(t)(3) 義される。単位は Hz−1 であり，検出器に依る量でx(t) =

df X(f )e2πif t

(2)

ある。

1
Sn (f ) ≡
2

∫ ∞
−∞

dτ ⟨n(t + τ )n(t)⟩e2πif t(8)2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校(4), (5) 式から SNR は以下のように書ける。
∫∞
df h̃(f )K̃ ∗ (f )
S
−∞
=[
]1/2
∫∞
N
2
df
(1/2)S
(f
)|
K̃(f
)|
n
−∞
次に実関数 A(t), B(t) に対して内積を∫ ∞Ã∗ (f )B̃ (f )(A|B) ≡ Redf
(1/2)Sn (f )−∞∫ ∞Ã∗ (f )B̃ (f )= 4Re
df
Sn (f )
0ñ(f ) と h̃∗template は相関を持たないため，h̃(f ) を残したままノイズの影響を除去することができる。
(9) h
template (t) は天体の質量やスピン等のパラメータに依存する。様々なパラメータ値について ŝ を計算し，SNR があらかじめ設定した閾値を超えたら重力波信号があると判断する。
以下で，検出器の出力信号に Matched Filter をかけた解析結果を見ていく。図は LIGO が公開している重(10) 力波データ解析の Event tutorial（https://www.gwopenscience.org/s/events/GW150914/）から引用しと定義すると，SNR はたものである（詳細は URL 先を参照されたい）。

S
(u|h)
=
= (n̂|h)N(u|u)1/2(11)と書ける。ここで u(t)，単位ベクトル n̂ はそれぞれũ(f ) ≡n̂ ≡1
Sn (f )K̃(f )2u(u|u)1/2

(12)
(13)

で定義される関数である。SNR は (11) 式のように n̂
と h の内積で書けるため，n̂ // h すなわち ũ(f ) ∝h̃(f ) のとき最大値
S= (h|h)1/2
Nをとる。このときフィルタ関数はh̃(f )
K̃(f ) = const
Sn (f )

(14)

図 1: 重力波 (GW150914) を捉えた LIGO の出力
信号
初検出された重力波（GW150914）が到来したとき(15) の LIGO の時系列データを図 1 に示す。赤色は Han-

であり，これが Matched Filter の定義である。

ford, 緑色は Livingston の検出器である。横軸が 0 のときに重力波信号が来ているが，全体的にかかっているノイズに埋もれて全く見えない。Hanford の出

3

GW150914 への適用

力信号に Matched Filter をかけると，SNR は図 2 のようになる。

Matched Filter を用いて重力波信号を探すには，理論的に予測された重力波波形（テンプレート）

htemplate (t) が必要である。コンパクト連星合体のイ
ンスパイラル期で発生する重力波は数値計算によって精度良く波形を予測できるため，Macthed Filterの適用が可能である。ũ(f ) = h̃(f ) として（このとき const = 2），式 (13) で h(t) → htemplate (t) とおき出力信号をフィルタリングする。
∫ ∞ŝ =df s̃(f )K̃ ∗ (f )図 2: Matched Filter をかけたときの SNR

−∞

∫ ∞

= 2

df
−∞

最適な htemplate (t) を適用し，横軸が 0 のとき大きな(h̃(f ) + ñ(f ))h̃∗template (f )(16)
SNR が得られた。横軸 0 の近傍でホワイトニングやSn (f )

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
バンドパスフィルタリングをして得られた重力波波
形（赤色）と htemplate (t)（黒色）を重ねたものを図3 に示す。この 2 つがよく一致していることが見て取れる。

図 3: 検出した重力波信号と理論波形 htemplate (t)このように，Matched Filter によってノイズの中から重力波信号を検出することができた。

4

Discussion
Matched Filter は有用な解析手法であるが，大量のパラメータ値について htemplate (t) を生成し相関を取るため大きな計算コストがかかってしまうという側面もある。また超新星爆発のように重力波波形が精度良く予測できない発生源については適用することができない。
本発表の議論では n(t) は定常ガウスノイズであると仮定しているが，実際の検出器においてはこの通りでないことが多い。その場合には n(t) が偶然にhtemplate (t) と大きな相関を持ってしまい，重力波信号が到来していないにも関わらず大きな SNR が得られてしまうことがある。これの対応策として複数の検出器でのコインシデンス解析が用いられている。
それぞれの重力波到来時刻の時間差に制限をつける
ことで，非ガウスノイズによって発生するトリガーを除去することができる。

Acknowledgement
本発表にあたり，ご指導くださった宇宙物理学研究室の皆様に深く感謝いたします。

Reference
Michele Maggiore, Gravitational Waves Volume1: Theory and Experiments, 2008, Oxford University Press

——–index

重宇 10
バースト重力波のデータ解析
新潟大学自然科学研究科数理物質科学専攻
豊島弥洋

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

バースト重力波のデータ解析
豊島 弥洋 (新潟大学大学院 自然科学研究科)

Abstract
アインシュタインの一般相対性理論によって予言されてきた重力波が，2015 年に世界で初めて LIGO にて検出された．ここで検出された重力波は連星ブラックホールの合体によるものであった．その後，2017 年にも連星中性子星の合体による重力波も検出された．しかし，検出する重力波信号は検出器のノイズに比べて非常に微弱であるため，重力波検出においてフィルタリング技術が重要になる．このフィルタリングでは，Matched Filtering という理論的に予想された重力波の波形を用いて，信号対雑音比 (SN 比) を最大にする手法がよく用いられている．
しかし，大質量連星の合体や，超新星爆発では，非常に短い時間で複雑な波形の重力波，つまりバースト的な重力波が発生することが実際の観測やシミュレーションなどから知られている．このバースト重力波のデー
タ解析では，重力波の波形を理論的に予測することが難しいため，Matched Filtering を用いた観測は難し
い．そこで，波形の予測を必要としない Excess Power Method を用いる．
以下では，Excess Power Method の原理，また Matched Filtering と比較した際の優位性について議論していく．

1

Introduction
アインシュタインの一般相対性理論によって重力波が予言されてきた．重力波とは質量を持った物体が加速運動することによって発生する波である．この重力波の発生源として，中性子星やブラックホールなどの連星（コンパクト連星）の合体や，超新星爆発などが考えられている．この重力波だが，2015
年に世界で初めて米国の重力波検出器 LIGO にて検出された．ここで検出された重力波は連星ブラックホールの合体によるものであった．

図 1 に GW150914（2015 年 9 月 14 日に LIGO にて検出された重力波）の波形を示す．図 1 からもわかるように，重力波は検出器のノイズに大きく影響されるため，フィルタリング技術が重要になる．重力波解
析においてよく用いられている手法として，Matched

Filtering というものがある．Matched Filtering とは，理論的に予想された重力波の波形を用いて，信号対雑音比（SN 比）を最大にする手法である．
ここで，バースト重力波のデータ解析について考える．バースト重力波は非常に短い時間で複雑な波形の重力波であり，コンパクト連星の合体の直前や超新星爆発の際に発生する重力波である．そのため，
バースト重力波のデータ解析では，波形の予測を必要とする Matched Filtering を用いた解析は困難である．そこで，波形の予測を必要としない Excess Power

Method を用いたデータ解析を用いたデータ解析について議論していく．

図 1: GW150914 の重力波波形 (B. P. Abbott, et al.

2016)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

散化する必要がある．

Matched Filtering
検出器からの出力信号を s(t) として時間 t の関数

sj ≡ s(tstart + j∆t) ≡ s(tj )として考える．出力信号には GW 信号と検出器のノ(7)

イズが含まれていることを考えると，出力信号 s(t)は (1) 式で書くことができる．

j = 0, 1, ... , N でカウントを表し，tstart はカウント(1) の開始時間である．そして (8) もしくは (9) 式のよう
ここで h(t) が GW 信号を表し，n(t) が検出器のノ に書くことで離散フーリエ変換を行うことができる．
s(t) = h(t) + n(t)イズを表している．また，ノイズのスペクトル密度

Sn (f ) もデルタ関数を用いて (2) 式のように書くこ

s̃k

=

N
−1
∑

{
sj expj=0とができる．

1⟨ñ (f )ñ(f )⟩ = δ(f − f ) Sn (f )(2)2
ここで ñ(f ) は n(t) のフーリエ変換を表し，∗ は複素∗′′共役を表す．次に (3) 式でフィルタ関数 K(t) を定義
する．

=

N
−1
∑

}
(8)

s(tj ) exp {2πi(tj − tstart ) fk } (9)

j=0

fk

=

k
k
=
N ∆t
T

また，ノイズのノイズのスペクトル密度 Sn (f ) も (10)

∫ ∞
ŝ =

s̃k

2πi
jk
N

式のように書ける．

dt s(t)K(t)

(3)

−∞

1
⟨ñ∗k ñk′ ⟩ = δkk′ Sk
2

また，GW 信号が存在するときの ŝ の期待値を S ，(10)

GW 信号が存在しないときの ŝ の実効値を N として ここで，Sk は Sk ≡ Sn (fk ) で定義している．
次のように書く．

S
N2

∫ ∞

=

バースト重力波信号の情報として，継続時間 T ，周df h̃(f )K̃ ∗ (f )

−∞
∫ ∞

=

df
−∞

1
Sn (f )|K̃(f )|2
2

(4)
(5)

波数帯域 F = f2 − f1 （f1 = k1 /T ，f2 = k2 /T ）がわかっているとすると，カウント開始時間 tstart ごとに (11) 式を書くことができる．

そして，信号対雑音比（SN 比）を定義し，整理して(6) 式の形で書くことができる．
∫ ∞|h̃(f )|2S=4
df
N
Sn (f )
0

E=4

k2
∑
|s̃k |2
k=k1

(6)

Sk

(11)

これを Excess Power Statistic と呼ぶ．tstart ごとにE を計算し，あるしきい値を超えたら「イベント」と

GW 波形が理論計算である程度予測できる場合，SN して記録する．この手法を Excess Power Method と比があるしきい値を超えたら「イベント」として記録 呼ぶ．
する．求めたい信号に「マッチ」するように「フィル検出器から出力されたデータに重力波信号が存在

タリング」するため，この手法を Matched Filtering

しない場合，Excess Power Statistic は次のように書

と呼ぶ．

ける．

E0 = 4

3

Excess Power Method

3.1

原理

重力波検出器は δt 間隔でサンプリングしているた
め，検出器からの出力信号 s(t) を (7) 式のように離k2∑|ñk |2
k=k1

Sk

(12)

ノイズが平均 0，分散 1 のガウス分布に従うと考えると，自由度 2(k2 − k1 ) = 2F T のカイ二乗分布 (平均2F T , 分散 4F T ) に従うことがわかる．
（(k2 −k1 )/T =f2 − f1 ≡ F ）2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校検出器から出力されたデータに重力波信号が存在する場合，Excess Power Statistic は次のように書
ける．

4.2

BH-BH 連星合体

次にブラックホール（BH）同士の連星合体から発生する重力波の解析について考える．まず周波数幅

E=4

k2
∑
|ñk |2

Sk

k=k1

k2
∑
|h̃k |2

+4

k=k1

Sk

(13)

は BH の準固有振動を考える．

F ∼ fqnr =と書ける．ここで (13) 式の重力波成分を ρ として次次に合体時間は安定した円軌道を維持できるシュバルのように定義する．

ρ2 ≡ 4c3
2πGm

ツシルト半径の３倍を光速 c で割った程度と考える．

k2∑|h̃k |2
k=k1

(14)

Sk

すると，E は自由度 2F T ，非心度 ρ2 の非心カイ二
2

T ∼

3rs
6Gm
= 3
c
c

そして 2F T を計算すると，

2乗分布 (平均 2F T + ρ , 分散 F T + 4ρ ) に従うこと

1

2F T ∼ 1, (2F T ) 2 ∼ 1がわかる．

Excess Power Method の SN 比をについて考えるとなる．よって，Matched Filtering の SN 比 1 の信ために，重力波信号有りの E を重力波信号無しの E0号が解析できることがわかり．Excess Power Method

で割る．

は Matched Filtering より優位性が高いと考えられる．

E
S
=
=
N
E0

(
1+

2
|h̃k |2
2 ∑
FT
Sk

k

) 12
(15)

k=k1

(6) 式と比較すると，Matched Filtering の SN 比〜
1/2(2F T )で現れる信号を，Excess Power Method の

4.3

超新星爆発

最後に超新星爆発から発生する重力波の解析について考える．

SN 比〜1 で検出可能であることがわかる．

4

Excess Power Method の優位性

4.1

NS-NS 連星合体

まず，中性子星（NS）同士の連星合体から発生する重力波の解析について考える．実際の観測結果に基づいて合体時間は T ∼ 25 s，周波数幅は F ∼ 1000

Hz として 2F T を計算する．
1

2F T ∼ 5 × 104 , (2F T ) 2 ∼ 200
よって，Matched Filtering の SN 比 200 の信号が解析できることがわかるが，ここまで大きい SN 比の信号であれば Matched Filtering で十分に解析可能

図 2: 理論計算による超新星爆発の重力波波形．横軸であるため，Excess Power Method の優位性は無い． が時間 (ms) で縦軸が周波数 (kHz)．(Takami Kuroda
2016)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
合体時間と周波数幅は図 2（Takami Kuroda 2016）より，T ∼ 200 ms，F ∼ 1000 Hz として 2F T を計算する．
1

2F T ∼ 200, (2F T ) 2 ∼ 14となる．よって，Matched Filtering の SN 比 14 の信号が解析できることがわかり．Excess Power Method
は Matched Filtering より優位性が高いと考えられる．

5Conclusion
Excess Power Method を用いたデータ解析では，

重力波信号の継続時間と周波数幅の情報しか必要にならないため，Matched Filtering では解析が困難である波形の予測が困難である重力波信号の解析が可能になることがわかった．
また，NS-NS 連星合体，BH-BH 連星合体，超新星爆発のうち BH-BH 連星合体と超新星爆発から発生する重力波信号のデータ解析で，Excess Power Method
は Matched Filtering より優位性が高いことがわかった．そのため，Excess Power Method を用いたデータ解析は，バースト重力波に対して有用であると考えられる．

Reference[1] Michele Maggiore 2008, Gravitational Waves VOLUME 1: THEORY AND EXPERIMENTSOXFORD UNIVERSITY PRESS[2] B. P. Abbott, et al. 2016, PRL 116, 061102[3]Takami Kuroda 2016, The Astrophysical Journal Letters, 829:L14

——–index

重宇 11
Eﬀective-one-body 形式
京都大学理学研究科
窪田圭一郎

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Eﬀective one-body formalism
窪田圭一郎 (京都大学 基礎物理学研究所)

Abstract2015 年に Advanced LIGO によって初めて連星ブラックホールからの重力波が観測された。連星ブラックホール合体時に放出される重力波のデータ解析において、重力波源の質量やスピンを測定するためには正確な重力波波形が必要である。数値相対論による重力波波形の高精度の計算には巨大な計算機資源が必要となるため、ブラックホールの質量やスピンを事細かに変化させて調べ尽くすことは難しい。そのため実際のデータ解析では数値計算結果から計算コストが軽い解析的モデルを構築する手法が取られている。そのような波形モデルを構築する方法として Eﬀective one-body (EOB) formalism[3,4] がある。この発表では EOB

formalism を [1,2] を参考にレビューする。
ブラックホールからの重力波波形はブラックホールが共通重心の周りを公転しながら近づく inspiral phase、
ブラックホールが合体する merger phase、合体後に形成されたブラックホールの準固有振動によって重力波が生成される ringdown phase の３つの phase からなる。 EOB[3,4] ではポストニュートン展開を活用しinspiral phase の重力波を EOB approach で表し、ringdown phase の重力波をブラックホール摂動論で表し、適切に結合することで十分精度のよい近似的な重力波波形を記述する。

1

Introduction2015 年に LIGO によって初めて連星ブラックホー

本発表では [1,2] を参考に、BH のスピンを無視した

EOB 重力波波形の記述について構成１を重点的にレビューする。

ル (BBH) 合体からの重力波が、2017 年に LIGO とVirgo によって連星中性子星 (BNS) 合体による重力波が観測され重力波天文学の幕が開けた。BBH や

BNS 合体によって放出される重力波のデータ解析では正確な重力波波形のテンプレートが必要である。正確な重力波波形は数値相対論によって計算されるが、

2連星ブラックホールの Conser-

vative dynamics
Post

Newton 展 開 (PN 展 開)1 で は early

高精度の計算には巨大な計算機資源が必要となるた

inspiral(u := GM/c2 R ≲ 1/6) 2 程度までしかめブラックホールの質量比やスピンなどを事細かに連星の dynamics を正確に記述することができない。

変化させて調べつくすことは難しい。そのため、実際

ここで、M は連星 BH の合計質量、R は BH の間のデータ解析では数値計算の結果から解析的モデルの距離である。PN 展開の結果に含まれる解析的なを構築する手法が取られている。そのような波形モ

情報を使って late inspiral(u ≳ 1/12) の dynammics

デルを構築する手法の一つとして Eﬀective one-bodyを記述する方法として EOB approach がある。

formalism [3,4] がある。

簡単のため 2PN3 までの EOB approach を考える。

EOB formalism の構成は以下である。

EOB の出発点は PN 展開で計算された、保存する

1. 連星 BH の運動に対して保存するハミルトニア

2PN の Hamiltonian である。重心系 (p1 + p2 = 0)

ン部分を記述2. 重力放射の効果の記述
3. 連星系からの重力波波形を描く

1 PN 展開では速度 v が光速 c よりも小さいとき、一般相対性
理論の枠組みで v/c をパラメータとして摂動論的に運動方程式などを展開する。
2 Schwarzschild BH の場合これは ISCO(Innermost Stable
Circular Orbit) に対応する。また、rISCO = 3rSchwarzschild である。
3 nPN は (v/c)2n のオーダーである。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校に移ることにより、相対運動 (q = q1 − q2 , p = p1 =2.1

連星の dynamics−p2 ) を記述する Hamiltonian が得られる。

rel
連星の dynamics を表す PN Hamiltonian H2PN
(1)
H
(q,
p)
H
(q,
p)
4
2
rel
+
(1) 式は時間並進と空間回転のもとで不変である。そのた
H2PN (q, p) = H0 (q, p) +
c2
c4
rel
rel
めエネルギー E2PN:= H2PNと角運動量 J := q × p
H0 (q, p) は相対運動に対する Newton 近似：
が保存し、極座標で S を時間と角度方向に分けるこ
1 2 GM µ
H0 (q, p) =p +(2) とができる。
2µ
q
rel
rel
S = −E2PN
t + Jφ + Sr (r = |q|, E2PN
, J)であり、H (q, p) は 1PN 補正：
2

Hamilton-Jacobi 方程式：
GM µ h1(1 − 3ν)p4 −(3 + ν)p2


3
8µ
2qµ
∂S
∂S
+
=0
H q, p =i (GM µ)2∂q∂t2
+ν(n · p) +
(3)
2q 2
rel
を解くと、2PN のエネルギー E2PNと角度方向の作用H
1
H4 (q, p) は 2PN 補正：
変数 J = ℓℏ = 2π L pφ dφ、Delauny 作用変数 N =
H
1
 6
1
nℏ = Ir + J (動径方向の作用変数：Ir = 2π
p dr)
2
L r
H4 (q, p) =
1
−
5v
+
5ν
p
16µ5
の座標に依存しない関係が得られる。
 4
GM µ h2+
5 − 20ν − 3v p
1 α2
c20 
α2  c11
rel
8qµ3
E2PN (n, ℓ) = − µ 2 1 + 2
+ 2
i
2 n
c
nℓ
n

−2ν 2 p2 (n · p)2 − 3v 2 (n · p)4
4 
c13
c22
c31
c40 
α
+ 2 2+ 3 + 4
+ 4
(5)

c
nℓ3
n ℓ
n ℓ
n
(GM µ)2 
2
2
(5
+
8ν)p
+
3ν(n
·
p)
+
2q 2 µここで cij は ν に依存した無次元係数である。この(GM µ)3−(1 + 3ν)(4) エネルギーの形は Bohr-Sommerfeld の原子核モデル
4q 3に等しく、n = N/ℏ, ℓ = J/ℏ はそれぞれ主量子数、である。ここで、BH の質量をそれぞれ m1 , m2 とし、 方位量子数に、α = GM µ/ℏ = Gm m /ℏ は微細構
1 2
H2 (q, p) = −µ = m1 m2 /M, q = |q|, n = q/q, ν = µ/M 4 であ造定数に対応している。

る。H0 (q, p) は Newton 力学でよく知られた externalmass M の周りをまわる換算質量 µ のテスト粒子のHamiltonian になっている。EOB approach はこれを一般相対論に拡張したものであり、”式 (1) で与えられる PN 展開された二体問題の dynamics”を”計量
ext λ
が gµν
(x , M ) で与えられる時空の測地線を運動す

る質量 m0 の eﬀective な一体問題の dynamics”に置

2.2

eﬀective な一体問題の dynamics

外部計量を静的球対称時空：

ds2

ext
= gµν
dxµ dxν= −A(R)c2 dT 2 + B(R)dR2 + C(R)R2 dΩ

き換える。

とし、Schwarzshild gauge (C(R) = 1) をとる。そしapproach で は”二 体 問 題 の dynamics” て計量の (T, T ) と (R, R) 成分を u = GM/(c2 R) でと”eﬀective な一体問題の dynamics”が等しくなる 展開する。

EOB

ext λ
ような外部計量 gµν(x , M ) を探す。これを探すにあたり 2 つの dynamics の間の対応関係がほしいの

A(R) = 1 + a1 u + a2 u2 + a3 u3 + · · ·だが、文献 [3] で量子力学からの類推を考えることでB(R) = 1 + b1 u + b2 u2 + · · ·対応関係を得ている。具体的にはれぞれの dynamics

時空が静球対称なので連星の dynamics のときと同においてエネルギーを作用変数で表し、作用変数が様にエネルギーと角運動量が保存し、Seﬀ が以下の一致することを課すことで対応関係を得ている。
4 ν は m ≪ m のとき最小値 0、m = m のとき最大値
12
121/4 をとる。

ようにかける。
R
Seﬀ = −Eeﬀ t + Jeﬀ φ + Seﬀ(R, Eeﬀ , Jeﬀ )2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
これを相対論的力学における Hamilton-Jacobi 方程5式 ：(iii) 外部計量が u の最低次で Schwarzschild 時空に
一致する：

µν
gext

a1 = −2, b1 = 2∂Seﬀ ∂Seﬀ+ m20 c2 = 0∂xµ ∂xν(6)に代入して解くと、eﬀective な一体問題のエネルギー

Eeﬀ が得られる。

(iv) eﬀective なエネルギーを real なエネルギーで展
開：
rel
Ereal
Eeﬀ
−
1
=
µc2
µc2

E rel
1 + α1 real
+ α2
µc2



rel
Ereal
µc2

!

2

+ ···
Eeﬀ (neﬀ , ℓeﬀ )

 eﬀ

α2
ceﬀ
1
α2
c11
これらの条件を課し、連星と eﬀective な一体問題の
202+ 2= m0 c − m0 2 1 + 2
2neﬀc
neﬀ ℓeﬀ
neﬀ
エネルギーを比較することで未知係数 αi , ai , bi が定
 eﬀ

eﬀ
eﬀ
α4
c13
ceﬀ
c
c
まり、2 つのエネルギーの間の関係式：+ 4+ 2 222 + 3 31 + 40
(7)c
neﬀ ℓ3eﬀ
neﬀ ℓeﬀ
neﬀ ℓeﬀ
n4eﬀ


rel
tot 2
rel
Eeﬀ
Ereal
ν Ereal(Eeﬀ) − m21 c4 − m22 c4
=
1
+
1
+
=
(8)
2
2
2
eﬀ
µc
2 µc
2m1 m2 c4
ここで cij は外部計量の係数 ak , bk に依存した無次 µc
元係数である。

2.3と eﬀective な時空における外部計量：

A2PN (R) = 1 − 2u + 2νu3

連星と eﬀective な一体問題の関係

以上で real な二体問題 (連星) と eﬀective な一体問題それぞれについてエネルギーが作用変数を用いて表された。次に、その間の対応関係を導出したいのだが、連星のエネルギー (5) と eﬀective な一体問題のエネルギー (7) は同じ静止質量の効果を入れているわけではないので、これらのエネルギーを直接比較することはできない6 。文献 [3] では以下の条件を課すことで対応関係を得ている。

(i) テスト粒子の質量が換算質量に等しい7 ：(9)

B2PN (R) = 1 + 2u + (4 − 6ν)u

2

(10)

tot 2
rel 2
が求まる。ここで、(Eeﬀ) = (M c2 + Ereal) である。

ν = µ/M は 0、つまりテスト粒子極限 m1 ≪ m2のときに外部計量は Schwarzshild 計量に一致する。
従って、ν はテスト粒子極限と 2PN の結果との間を繋ぐパラメータになっている。ここで、式 (9)(10)が単純な形になっていることに注目しておきたい。

EOB の出発点である 2PN の Hamiltonian の 1PN 補
正 (3) と 2PN 補正 (4) は 11 項の ν に依存する項が含まれる。この 11 項に含まれる係数の情報は、EOB
で eﬀective な一体問題に置き換えると式 (9)(10) の

m0 = µν に依存する 2 項に縮退する。3PN では EOB によっ
8(ii) 作用変数が real と eﬀective で一致 ：n = neﬀ , ℓ = ℓeﬀて更に劇的に縮退する。
tot
エネルギーの対応関係式 (8) を変形すると Eeﬀ
がEeﬀ を用いて表せる。9 これにより、EOB において連星を記述する Hamiltonian ĤEOB は以下のように表5 この共変 Hamilton-Jacobi 方程式は 3+1 分解した Hamil-

tonian Heﬀ = Neﬀ√
ii P
m20 + Peﬀ
eﬀ i + Neﬀ Peﬀ i に対する

Hamilton-Jacobi 方程式 Heﬀ (R, ∂Seﬀ /∂R) + ∂Seﬀ /∂t = 0に一致する [2]。
6 real な二体問題では質量が m , m の BH があるので、real
1
2なエネルギー (5) には静止質量として合計質量 M c2 が加わる。
eﬀective な一体問題では質量 m0 のテスト粒子があるが、Newton
近似を考えると m0 は換算質量 µ になるはずであるから eﬀective
なエネルギー (7) には静止質量として換算質量 µ が加わる。
7 Newton 近似を考えるとテスト粒子は換算質量に等しいという要請は自然。
8 量子力学では作用変数が量子化 (Bohr-Sommerfeld の量子化条件) されるので、量子力学からの類推によりこのように選ぶこ
とが自然。

せる。

H realĤEOB (r, pr∗ , φ) = EOB =
M

r



1 + 2ν Ĥeﬀ − 1

eﬀective な Hamiltonian Ĥeﬀ は Hmilton-Jacobi 方
程式 (6) から以下のようになる。
sĤeﬀ =
9 以下 c = 1p2r∗ + A(r)

p2φ
1+ 2
r



2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで t = T /(GM ), R∗ =R

dR(B/A)1/2 , r =R/(GM ), pr∗ = PR∗ /µ, pϕ = Pϕ /(µGM ) である。

3

重力波放射による反作用
重力波放射による反作用は pϕ の正準方程式に、PN展開で計算された角運動量フラックス F̂φ を加える
ことで記述される。10 従って重力波放射による反作用を入れた連星の dynamics を表す正準方程式は以下のようになる。
 1/2dr
A∂ ĤEOB



=


dt
B
∂pr∗






1/2

 dprrA∂ ĤEOB


=−
dt
B
∂r


dφ
∂ ĤEOB



Ω :=
=


dt
∂pφ





dp
φ

= F̂φ
dt

4

(11)

EOB 重力波波形
EOB 重力波波形は EOB dynamics (11) 式から計算された inspiral と plunge の重力波波形 hinsplunge(t)22と、ブラックホール摂動論で計算された重力波波形

図 1: EOB 重力波波形（赤線）と Caltech-Cornell による数値相対論重力波波形（黒線）[6]。２つの重力波波形がよく一致していることが示されている。

Acknowledgement

hringdown(t) を時刻 tm で繋げることで得られる。tm
22

本発表にあたり議論と多くの助言をしていただい

は EOB dynamics で Ω が最大になる時刻である。

た基礎物理学研究所、天体核研究室の皆様に感謝いhEOB
22 (t)たします。

= θ (tm − t) hinsplunge(t) + θ (t − tm ) hringdown
(t)
22
22
この集録では入れなかったが、EOB では PN 展開

Referenceの結果を使うときに Talor 展開した形ではなく、適[1] T. Damour 2008, World Sientiﬁc, arXiv:0802.4047

切な resummation した形を使うことで late inspiral[2] S,Balmelli 2015, ”An Eﬀective-One-Body Description of Spinning Binaries”,
https://doi.org/10.5167/uzh-119513

を上手く記述する。そのよう resummation などを用いて改良された EOB 重力波波形と数値相対論による重力波波形を図 1 に示す。図 1 の下図は上図の合体付近を拡大したものである。数値相対論重力波波
形とよく一致していることが示されている。文献 [6]によると 2 つの重力波波形の位相差は ∆ϕ ≤ ±0.01[3] A. Buonanno, & T. Damour 1999, PhysRevD,
arXiv:gr-qc/9811091[4] A. Buonanno, & T. Damour 2000, PhysRevD,
arXiv:gr-qc/0005034

であり、これは数値誤差の範囲である。

[5] A. Buonanno, & T. Damour 2000, PhysRevD,
arXiv:gr-qc/0001013

10 最低次ではゲージを適切に選ぶことにより動径方向の重力波放射による反作用を 0 にできる [5]。

[6] A. Nagar, & T. Damour 2009,arXiv:0902.0136

PhysRevD,

——–index

重宇 12
ブラックホール周囲の光子球と重力波の準固有振動
近畿大学総合理工学研究科理学専攻
中村拓人

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホール周囲の光子球と重力波の準固有振動
中村 拓人 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract2015 年に LIGO によってブラックホール連星の合体に伴う重力波が初観測された (B.P. Abbott et al. 2016)。
その後も次々と重力波イベントが観測されている。これによって本格的に重力波天文学の幕開けとなった。
それに伴って、ブラックホールから放出される重力波について理解する重要性が高まってきている。
重力波の理論研究は、近年では数値計算によるものが大きく発展したが、様々な近似を用いた解析的研究も進められてきた。後者関して、例えば、重力波は振動数が十分大きな極限 (eikonal 極限) において、幾何光学近似を用いることで光子のような無質量粒子の軌道として考えることができる。一方、ブラックホールの周囲の幾何学は光子の円軌道の集合である光子球 (photon sphere) により特徴付けられる。一般的に光子の円軌
道は不安定である。2019 年に Event Horizon Telescope によってブラックホールの影が撮影されたが (TheEHT Collaboration 2019)、この影の輪郭は photon sphere から漏れ出た光子である。実は、この photon
sphere 近傍の光子円軌道の不安定性がブラックホールからの重力波の準固有振動 (QNMs) と関連している
ことがわかっている。特に、カオスを議論する際に、カオスの強さを評価する量である Lyapunov 指数を用
いて QNMs と光子軌道の不安定との関係を定量的に評価する方法が提案された (V. Cardoso et al. 2015)。
しかし、この Lyapunov 指数を用いた方法は現在のところ静的時空の場合に限定されている。そこで、今後
ブラックホール連星の合体のような興味のある動的な時空の解析に備えて、この Lyapunov 指数の方法を拡張できないかを議論したい。観測されている重力波が連星系によることからも、今後、この議論の重要性はますます大きくなると考えられる。以上の動機に基づいて本発表ではブラックホールの合体を記述する厳密解の 1 つである Kastor-Traschen 解 (D. Kastor & J. Traschen 2015) についても解説したい。

1

Introduction
一般相対性理論によると、質量やエネルギーが存在すると時空が歪む。この時空の歪みが光速で伝播する現象が重力波である。2015 年 LIGO によって直接観測に成功した。この後も次々と重力波イベントが観測され、重力波天文学の幕開けとなった。初めることができる。
重力波が振動数の大きな極限 (eikonal 極限) では、
幾何光学近似を用いることができ無質量粒子 (グラビトン) の軌道として考えることができるということを用いて無質量粒子の軌道から重力波の情報を得る。
この方法の良い点は波の方程式を解くよりも粒子の軌道の計算のほうが簡単なところである。

て観測された重力波はブラックホール連星によるものであったことからもわかるように、今後ブラックホールから放出される重力波について理解する必要

2

photon sphere の安定性性が高まっていくことが予想される。
光子などの無質量粒子の円軌道は不安定であることがわかっている。光子の円軌道の集合を光子球 (pho-ton sphere) と呼ぶが、2019 年に Event Horizon Tele-

静的球対称時空の線素の一般形は以下で表される。

ds2 = −f (r)dt2 +1
dr2 + r2 dΩ2 ,h(r)scope によって観測された M87 銀河中心ブラックホーdΩ ≡ dθ + sin θdφ .

ルシャドウ (The EHT Collaboration 2019) の輪郭が光子の運動を記述する Lagrangian は

2

2

2

photon sphere から漏れ出た光子である。またブラックホールの幾何学はこの photon sphere で特徴付け

L=

(1)

2

1
gµν ẋµ ẋν ,2(2)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校であり、ドットは aﬃne パラメータ微分を表す。ま3

Lyapunov 指数

た、無質量粒子の場合カオス性がどれぐらい強いかを表す指標として、µ ν(3) Lyapunov 指数が存在する。静球対称時空において、gµν ẋ ẋ = 0,

Lyapunov 指数 λ0 は以下のようになる。
√
λ0 = K1 K2 ,
(
)
∂L
−1 d
K
=
ṫ
,
1
(4)
dr ∂r
(5)
K2 = (ṫgrr )−1 .

をみたすので、Eular-Lagrange 方程式より、初期条
件を θ = π2 , θ̇ = 0 とすると、

f ṫ = E,r2 φ̇ = L,

(10)
(11)
(12)

となる。ここで、E はエネルギー L は角運動量であ

これを計算すると、円軌道の場合は Vr = Vr′ = 0 なる。これらより、ので、√Vr′′ (rc )
,
(13)
(6)
2ṫ2
である。ここでプライムは r 微分、rc は photon(7)
sphere の半径を表す。これより、ポテンシャルの鋭λ0 =2ṙ + Vr = 0,
( 2
)
E
L2
Vr ≡ −h
− 2 ,
f
r

−

さを表す V ′′ が Lyapunov 指数と関係していることとなる。

photon sphere の安定性を最も簡単な例であるがわかる。

Schwarzchild 時空中で考えてみる。Schwarzchild 時
空では f (r) = h(r) = 1 − 2M
r なので、以下のようになる。

準固有振動 (QNMs)

どんな物体にも固有振動が存在し、もちろんブラッ(8) クホールにも存在する。しかし、ブラックホールの(9) 振動は時空の振動なので、重力波を放出して減衰しṙ + V = E 2 ,V ≡ −f4

L2.
r2ていく。これは event horizon と無限遠では重力波はこれより、粒子が円軌道をする条件は ṙ = r̈ = 0 な

抜け出るが戻ってこないためである。このような振ので、光子球はエネルギーが有効ポテンシャルの極動モードを準固有振動 (QNMs) という。

値と等しいところである。図 1 より、photon sphereブラックホール連星の合体に伴う重力波は 3 つのが不安定であることも見てとれる。また、ポテンシャ フェーズから放出される。1 つ目は、2 つのブラック
ルが鋭いほど円軌道を保つことが難しく、より多くホールが共通重心の周囲を回転しながら近づく「In-の光子が photon sphere から離れることがわかる。

spiral」、2 つ目が 2 つのブラックホールが潮汐変形して合体に至る「Marger」、3 つ目が合体したブラック

V

ホールが安定な 1 つのブラックホールになる「Ring-down」である (図 2)。最後の Ringdown において、
QNMs が重要となる。QNMs はブラックホールの質
量と角運動量のみに依存するので、Ringdown 波形から合体後のブラックホールの特徴がわかる。
r/M
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

5

重力波の方程式

図 1: Schwarzchild 時空中の光子の有効ポテンシャル
重力波は背景時空計量からの摂動として考えることができる。Einstein 方程式から計量摂動の従う波2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

6

幾何光学近似波動方程式を微小な摂動パラメータ ϵ を導入して以下のように表す。

ϵ2d2 ψ(x)= Q(x)ψ(x).
dx2

(19)

この解を

[

]
∞
1∑ n
ψ(x) ∼ exp
ϵ Sn (x) ,
ϵ n=0

(20)

( )
これは、O ϵ0 の粒子としての描像に微小な波の効( )果を追加していく近似である。O ϵ1 までの結果を用いると、以下のように Lyaunov 指数 λ0 と QNMs
振動数 ωQNMs の関係性が得られる (V. Cardoso et
図 2: LIGO によってはじめて観測された重力波イベ

al. 2015).
()
1
ωQNMs = Ωc l − i n +|λ0 |.
2

ント GW150914 の数値計算結果と各フェーズの対応関係
動方程式が導出される。背景時空が Schwarzchild 時
空などの特別な時空において、スカラー場に対する背景時空における Klein-Gordon 的な方程式系に帰着できる。一般の背景時空において、単純なスカラー(21)

ここで、Ωc ≡ φ̇ṫ は光子の角運動量である。この式から、無質量粒子が不安定な円軌道から離れることを波の観点からみると、波の減衰に対応していることがわかる、場の方程式系に帰着するかは非自明である。
曲がった時空における無質量スカラー場の Klein-

Gordon 方程式は以下のように表される。
√
1√ ∂µ ( −gg µν ∂ν Φ) = 0.
−gのように変数分離できる。

Φ=

l=0 m=−lr

Kastor-Traschen 解
前節までの Lyapunov 指数を用いた解析は静的時(14)「静的」で「球対称」な時空を考えているので、以下∞ ∑l∑ψlm (r)7

空の場合に限定されている。私の研究の目標はこの手
法を動的な時空に拡張することである。動的な時空の例として、Einstein 方程式の厳密解の 1 つに Kastor-

Traschen 解 (D. Kastor & J. Traschen 2015) がある。
Ylm (θ, φ)e−iωt .

(15)

ここで、Ylm (θ, φ) は球面調和関数である。これより、
2d ψ(r)+ Q(r)ψ(r) = 0,dx2
dr
≡ (f h)1/2 ,
dx

(16)
(17)

となる。eikonal 極限 (l → ∞) では Q(r) 以下のよう

この解ではブラックホールの合体について記述することが可能である。

Kasor-Traschen 解は cosmological coordinates に
おいて、以下のように表される。

(
)
dτ 2
+ U 2 dr2 + r2 dΩ2 , Aτ = U −1 ,
2
U
√
∑ Mi
Λ
U = Hτ± +
, H=±
,
(22)
|r − ri |3ids2 = −

ここで、Λ は宇宙定数、A = (Aτ , 0, 0, 0) は電磁ポテンになる。

Q(r) = ω 2 − fl2≡ ω 2 − V0 .
r2

シャルである。この解は各質量と電荷が等しく (Mi =(18) |Qi |) 宇宙定数をもつマルチブラックホール解である。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校√√
H = − Λ/3 で総質量 M < Mc = 3/(16Λ) の解

horizon は最初には各質量中心を囲むように存在するはブラックホールが合体する様子を記述する。

が、ある時間を境に両方の質量中心を囲むように存

ブラックホールの定義として動的な時空では局所在することが確認できる。

的に定義できる apparent horizon が便利である。ap-

parent horizon は面に垂直で外向きの null 測地線束の膨張率がゼロとなる閉じた 2 次元面である。また、

apparent horizon が存在するなら、その外側に event
horizon が存在し、定常時空なら 2 つの horizon は一致する。apparent horizon のうち、black hole hori-zon(BH’s) の内部をブラックホールと定義する。
Kastor-Traschen 解では初期 (τ− ≪ 0) では各質量を囲むような BH’s が存在するが、後期 (τ− ∼ 0) では各質量を囲む BH’s に加えて全ての質量中心を囲
む BH’s が存在する (D.R. Brill et al. 1994)。
原点から 0.1 離れたブラックホールが 2 個存在し、総質量 M = 0.5Mc のケースにおける apparent hori-zon の位置の数値計算による結果が図 3 である (K.
Nakao et al. 1995)。図 3(a) と図 3(b) において、BH’s

図 4: M = 0.8Mc のケースで event horizon の時間発展。閉じた曲線は τ− = const. 面における event
horizon を表す。

は小さくて見えていないが、各質量中心を囲むように存在する。また、時間が経過して図 3(c) では各質
量中心を囲む BH’s に加えて、両方の質量中心を囲む

BH’s も存在することが見てとれる。よって、τ− ∼ 0
においてブラックホールは合体することがわかる。

8

今後の展望
Kastor-Traschen 時空等の動的な時空において、Lyapunov 指数を用いた解析をおこなうために、まずは静的球対称時空における photon sphere のようなものを議論していきたい。

Reference
B.P. Abbott et al., Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).
The Event Horizon Telescope Collaboration, Astrophys.
J. 875, L1 (2019).
V. Cardoso, A.S. Miranda, E.Berti, H. Witek and V.T.
Zanchin, Phys. Rev. D 79, 064016 (2009).

図 3: M = 0.5Mc のケースで各時間における appar-

ent horizon の位置 (a) : τ− = 130H −1 , (b) : τ− =70H −1 , (c) : τ− = 0.914H −1
また、event horizon が合体することが解析的にだ
けでなく数値計算でも確かめられている (D. Ida etal. 1998)。2 つの質量中心が原点から 0.1 離れ M =0.8Mc のケースの結果が図 4 で、これを見ると event

D. Kastor and J. Traschen, Phys. Rev. D 47, 5370
(1993).
D.R. Brill, G.T. Horowitz, D. Kastor and J. Traschen,
Phys. Rev. D 49 840 (1994).
K. Nakao, T. Shiromizu and S.A. Hayward, Phys. Rev.
D 52, 796 (1995).
D. Ida, K.Nakao, M. Shiino and S.A. Hayward, Phys.
Rev. D 58, 121501 (1998).

——–index

重宇 13
銀河中心領域での MeV ガンマ線探査から探る暗黒物質
京都大学理学研究科物理学・宇宙物理学専攻
荻尾真吾

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

銀河中心領域での MeV ガンマ線探査から探る暗黒物質
荻尾 真吾 (京都大大学大院 理学研究科)

Abstract
暗黒物質の正体は物理学における大きな謎である。暗黒物質の有力な候補として、3 MeV ∼ 120 TeV の質量を持つ Weakly-Interacting Massive Particles (WIMP) がある [1][2]。地上実験では主に GeV-TeV の質量を持つ WIMP を狙う一方、宇宙からの MeV ガンマ線を観測することで MeV 程度の質量を持つ暗黒物質が探れる可能性がある。我々は MeV 領域における新たなコンプトンカメラ (ETCC) の開発を進めている。

2018 年には SMILE-2+として銀河中心領域の観測を行った。その結果、MeV ガンマ線が通常の理論予想を遥かに超えた量で到来しており、更に電子・陽電子消滅線の発生源が銀河面より離れた領域まで広がって存在する可能性が示唆された。この結果は、MeV ガンマ線の一部が暗黒物質由来であることと矛盾しない。

1

概要が MeV 領域にある場合、数十 GeV 以上の質量を持

つ原子核との反跳では捉えられない可能性が高い。
現在の宇宙像に暗黒物質の存在は不可欠であるが、 WIMP の探索のためには、新たに MeV 領域での実その特定には至っていない。暗黒物質の候補物質とし験が待たれる。

てもっとも有力なのは Weakly Interacting Massive

暗黒物質の間接探査と呼ばれる方法では、図 2 のよParticle(WIMP) と呼ばれる物質である。WIMP は うな暗黒物質が通常物質への対消滅を経て生成され3 MeV ∼ 120 TeV のいずれかの質量を持ち、弱い力 る光子を捉える方法で探索が行われている。銀河にでしか物質と相互作用しないと考えられている [1][2]。 おける暗黒物質の分布モデルとして、銀河面から離WIMP 探索の直接探査と呼ばれる地上実験は数多く、 れた領域で銀河を取り巻くように、いわゆるハロー
例えば XENON1T などが知られる [3]。これら直接状に暗黒物質が存在するとするモデルが提案されて探査は、暗黒物質と原子核反跳を捉える実験が多く、 いる [8]。従って、暗黒物質由来の光子は、その分布

WIMP の断面積は 10 GeV 以上の領域でかなり制限 を反映した空間分布になるはずで、銀河中心領域かがついてきている (図 1)。一方で、WIMP の質量 mX らよく検出されるはずである。銀河中心領域のスペ

図 2: 暗黒物質から通常物質、そして対消滅してガンマ線生成へと至るダイアグラム。
クトル (図 3) は、100keV 以下は通常の星から、GeV
領域では中性 π 中間子の崩壊からよく説明されるが、
図 1: 横軸を WIMP の質量、縦軸を暗黒物質と核子その中間に当たる MeV 領域では現在の理論で説明での相互作用断面積とし、各探索実験の結果より導かきるより遥かに多いガンマ線が観測されており、それる上限値をプロットした [3]。

の由来は明らかになっていない。MeV 領域のスペク
トルを理解するには、その空間分布とスペクトルの2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
なスペクトルカーブ (図 4) が得られるという指摘がある [6]。しかし、系内拡散ガンマ線と同様の観測上

図 3: 系内拡散ガンマ線の各実験によるデータ点と、理論曲線をプロットしたもの [7]。各データ点について、赤は INTEGRAL/SPI、緑は COMPTEL、黒はFermi -LAT により得られた点である。≲ 100 MeV

図 4: 横軸エネルギー、縦軸を放射強度としたときでは理論曲線とよく一致する一方で、それ以下ではの、暗黒物質の系外拡散ガンマ線への寄与。暗黒物

実験値のほうが遥かに多い。

質の質量 mX により、hν ∼ mX には特徴的なカットオフが現れる。それ以下の連続成分は暗黒物質の詳細な構造を知る必要があるが、観測上の困難から対消滅により生成した電子・陽電子による制動放射

よくわかっていない。もし、暗黒物質の質量が直接によるもので、これら電子・陽電子の対消滅により、探査で探しにくい MeV 領域に存在すれば、銀河中心

511 keV に鋭いピークが現れる。

領域のスペクトルの MeV 領域に特徴的な寄与を示すかもしれず、暗黒物質探査の観点からも、MeV 領域の困難から理解が進んでいないのが現状である。もの詳細なスペクトルの分析は急務と言える。

し、MeV の系外拡散ガンマ線が暗黒物質 (質量の 2天の川銀河が暗黒物質の対消滅線で MeV 領域で明乗に比例) や primordial black hole(質量に比例) であるく光るなら、他の銀河についても同様に MeV 領域

るなら、銀河の活動性に依存するのではなく、近傍で暗黒物質由来のガンマ線がよく見えるはずである。 の銀河がより強く見えるはずであるが、MeV 領域でそのためには、天の川銀河以外の銀河からの光の重 は系外拡散ガンマ線の非一様性の報告もない。これ
ね合わせである系外拡散ガンマ線を詳しく調べる必らの理由から、系外拡散ガンマ線の詳細スペクトル要がある。系外拡散ガンマ線のうち、≲ 0.5 MeV はや非一様性の観測が望まれている。

セイファート銀河などから、20 MeV ≲ ではブレー
ザーなどからの放射によってよく起源が説明される[4][5]。しかし、0.5 MeV ≲ mX ≲ 20 MeV の領域に

2

MeV ガンマ線イメージング

ついては、実験的手法の未発達により、正確なデー

ガンマ線天文学における検出器では、スペクトル

タ点が得られていないため、系外拡散ガンマ線の発の構造及び発生源の空間分布を捉えるために、ガンマ生源の同定には至っていない。この発生源の説明と線のエネルギーと到来方向の 2 つを得る必要がある。

して、暗黒物質、primordial black hole などが挙げ

また、到来方向を得る単純な方法として、視野を狭られている。例えば、MeV 以上の暗黒物質が存在すめる方法が挙げられるが、MeV 領域ほどの高エネル

る場合、0.5 MeV ≲ mX ≲ 20 MeV の領域で特徴的

ギー粒子は到来する絶対数が少なく、SN 比の観点か2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ら見て精度の良い観測にはならない。そこで、MeV
ガンマ線検出には工夫が必要になってくる。一方で、MeV 領域のガンマ線はコンプトン散乱が優位である
ために、検出器の筐体などで散乱したガンマ線、宇宙線と筐体との相互作用で生じたガンマ線など、バッ
クグラウンドが非常に多く、これらが観測を困難にしている。以上より、ガンマ線のエネルギーと到来方向を取得し、高雑音下でも見たいガンマ線イベン
トを取り出すことのできる MeV ガンマ線検出器の開発が必要であるといえる。
そこで、我々は Sub-MeV gamma-ray Imaging

Loaded-on-balloon Experiment(SMILE) の 下 で 、MeV ガンマ線検出器である electron-tracking Compton camera(ETCC) の開発及び ETCC を搭載した気球実験を行い、MeV ガンマ線の精度の良い観測を目指している。ETCC はガス飛跡検出器 (Time Pro-

jection Chamber:TPC) とシンチレーション検出器 図 5: ETCC の模式図。入射ガンマ線は TPC 内のガからなる (図 5)。到来したガンマ線は TPC 中のガ スでコンプトン散乱を起こす。散乱ガンマ線をシンス原子に束縛された電子とコンプトン散乱を起こす。 チレーション検出器で捉える一方、TPC で反跳電子
ETCC は、TPC において反跳電子のエネルギーと を捉える。こうすることで、入射ガンマ線のエネル
反跳方向、シンチレーション検出器において散乱ガ ギーと到来方向を一意に定めることが可能である。
ンマ線のエネルギーと散乱方向を取得することで、元々の入射ガンマ線のエネルギーと到来方向を一意に再構成することが可能である。SMILE 計画の第一段階であった 2006 年の SMILE-I では、大量の雑音
環境下での宇宙拡散・大気ガンマ線の観測に成功した[9]。第二段階の SMILE-2+では、銀河中心領域の電子・陽電子対消滅線とかに星雲のイメージングの実証を目指し、2018 年に観測が行われた。SMILE-2+の観測結果は目下解析中であるが、銀河中心領域の電子・陽電子消滅線を 5σ 、かに星雲を 3σ の有意度で観測に成功しつつある。また、SMILE 計画は次期計画として SMILE-3 を計画している。SMILE-2+はETCC の性能評価の性格が強かったが、SMILE-3 では SMILE-2+、COMPTEL の感度より一桁下の感

図 6: 横軸をエネルギー、縦軸に各ガンマ線実験の感度を有し、本格的に新たなサイエンスを目指す実験度をとった。

として立案されている (図 6)。SMILE-3 での観測が成功すれば、暗黒物質探索に新たな視点が生まれることが期待される。

3

SMILE-2+解析結果
図 7 は SMILE-2+で銀河中心領域を観測したとき得られた結果を加えた系内拡散ガンマ線のスペクトルである。これは、先に述べた INTEGRAL/SPI や2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
COMPTEL の結果と矛盾せず、理論曲線を大きく上回るガンマ線が検出された。このガンマ線の発生源
は今のところ不明であるが、暗黒物質起源であることと全く矛盾のない結果である。図 8 は銀河中心を図 8: 左上、右上、左下は、順に右下の図で示される
領域 (a) 天頂角 30 度まで、(b) 天頂角 30 度から 35度、(c) 天頂角 35 度から 60 度までの領域からのガンマ線スペクトルである。この時、天頂角 0 度は銀河中心にとっている。

図 7: 系内拡散ガンマ線のスペクトルの従来結果 (図Reference3) に、SMILE-2+の結果を加えた図。

[1] Ho, C. M., Scherrer, R. J. 2013, Phys. Rev., D87,
023505

0 度とする天頂角に対するスペクトル構造の変化を[2] Griest, K., Kamionkowski, M. 1990, Phys. Rev.
Lett., 64, 615

表している。右上 (b) のスペクトルから、天頂角 30
度を超える領域から電子・陽電子消滅線の 511 keVのピークが見て取れる。天頂角 30 度以上というのは銀河中心から外れた暗い領域であり、この電子・陽電子消滅線は通常の天体現象起源でない、我々のよ
く知らない放射機構が存在する可能性を示唆してい[3] E. Aprile, J. Aalbers, et al., 2018, Phys. Rev. Lett.,
121, 111302[4] A. Comastri, G. Setti, G. Zamorani, and G.
Hasinger, 1995, Astron. Astrophys. 296, 1[5] M. H. Salamon and F.W. Stecker, 1994, Astrophys.
J. Lett. 430, L21.

る。銀河面を取り巻く暗黒物質のハロー構造モデル[6] Kyungjin Ahn and Eiichiro Komatsu., 2005, Phys.
Rev., D72, 061301(R)と合わせると、暗黒物質起源である可能性も十分に[7] A. W. Strong. 7 Jan 2011. arXiv:1101.1381

ある。

[8] Julio F. Navarro, Carlos S. Frenk, Simon D. M.
White., 1997, Astrophys. J., 490:493-508

4結論
以上の結果が示すように、暗黒物質の特定を目指す上で、系内・系外拡散ガンマ線の観測は重要であると言える。科学実験を目指す SMILE-3 でその正体に迫られることが十分に期待される。

[9] A. Takada, H. Kubo, H. Nishimura, et al., 2011,
ApJ733, 13

——–index

重宇 14
ダークマター探索の現状と将来
東京大学理学系研究科物理学専攻
阿部正太郎

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

ダークマター探索の現状と将来
阿部正太郎 （東京大学大学院理学系研究科）

Abstract
現代物理学最大の謎の 1 つに暗黒物質がある。暗黒物質探査の手法として，直接探索・間接探索・加速器実験の
主に 3 つがある。暗黒物質の候補は様々あるが，その中でも Weakly Interacting Massive Particles (WIMPs)が有力とされている。間接探索の成果の 1 つとして，解像型大気チェレンコフ望遠鏡の 1 つである H.E.S.S.
の観測から，1 TeV 付近の質量領域における WIMPs の対消滅断面積に最も強い上限値 2 × 10−26 cm3 /s を与えている。しかしこれまでの観測では発見まで至っていない。
次世代型地上ガンマ線望遠鏡 Cherenkov Telescope Array (CTA) は，現行の解像型大気チェレンコフ望遠鏡と比較して，特に観測可能エネルギー範囲，感度，エネルギー分解能の 3 点で性能が向上し，ガンマ線天文学に新たな知見をもたらすことを期待されている。
以上を踏まえ，WIMPs 探索に関する CTA の展望について，銀河系の矮小楕円体銀河を観測する戦略と銀河中心近傍を観測する戦略に基づきそれぞれ議論した。その結果，2 つの戦略が相補的に機能することで，CTAが WIMPs 発見に至る可能性は十分見込まれることが分かった。

1

序論
現代物理学最大の謎の 1 つに暗黒物質がある。暗黒2

ガンマ線による WIMPs 探索
立体角 ∆Ω の領域からの WIMPs 対消滅によるガ

物質の候補は様々あるが，その中でも冷たい暗黒物質

ンマ線の微分フラックスは，(Cold Dark Matter, CDM) と呼ばれる非相対論的なdΦ(∆Ω, Eγ )dEγ

運動をしている素粒子が，宇宙大規模構造との整合性の観点で有力な候補となっている。その中でも特に Weakly Interacting Massive Particles (WIMPs)
は，暗黒物質が弱い相互作用と同程度の相互作用を

"
#
dNγi
1 ⟨σann v⟩ X
e
=
BRi
J(∆Ω)
4π 2m2χ
dE
γ
i

(1)

する素粒子であるという仮定に基づいた暗黒物質候で表される [1]。右辺に関して，⟨σann v⟩ は WIMP

補であるが，暗黒物質残存量を明白に説明できる可の反応断面積と 2 つの WIMPs の相対速度の積で あ り，（ 速 度 平 均 ）対 消 滅 断 面 積 と 呼 ば れ る 。

P
i
BR
dN
dEγ = dNγ /dEγ は，すべての対消i
γi
暗黒物質探査の手法として，直接探索・間接探索・加速器実験の主に 3 つがあり，これらは探索できる 滅経路に対してそのフラックスに分岐比をかけたもe
暗黒物質の質量や散乱断面積が異なるため，相補的 のの和である。mχ は WIMPs の質量である。J はに活用されている。WIMPs の質量は GeV-TeV 付近 ‘J-factor’ と呼ばれ，WIMPs の密度の 2 乗を視線方能性があるという理由により，有望視されている。

のオーダーとなり，対消滅によってガンマ線が放出されると予想されているため，ガンマ線を用いた間接探索では，この WIMPs 対消滅由来のガンマ線を捉えることが目標となる。

向に積分したものである：
Z
Z
Je =
dΩ
∆Ω

ds ρ2 (s, Ω)(2)line of sight

WIMPs の対消滅断面積は，暗黒物質残存量から
3 × 10−26 cm3 /s と推定されている [2]。WIMPs の間接探索では，この対消滅断面積に対応するフラック
スのガンマ線を検出できるだけの感度に観測装置が到達できるかどうかが鍵となる。次節では，現行の2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校観測装置によるガンマ線を用いた WIMPs 探索の結き，対消滅断面積により強い上限を与える解析手法

果について，観測対象とすべき 2 つの天体を例に挙が研究されている [6]。CTA の角度分解能に対応しげつつ議論する。

て，J-factor の積分範囲を 0.1◦ としたときの場合のclassical dSphs における J-factor の最大値は，Dracoの log10 (J0.1 /GeV2 cm−5 ) = 18.69 ± 0.16 である [2]。

12観測対象天体と先行研究

3

10 23

矮小楕円体銀河
10

3.1.1

特徴

h vi (cm3 s 1 )

24

10

10 25

Ackermann et al. (2015)
Nominal sample
Median Expected
68% Containment
95% Containment

10 25

Thermal Relic Cross Section(Steigman et al. 2012)10
矮小楕円体銀河 (dwarf
spheroidal galaxy, dSph)26は，光度の小さい銀河系の伴銀河である。
dSphs は
10
1

2

3

Thermal Relic Cross Section(Steigman et al. 2012)

10 26

27

暗黒物資探索において次の 2 つの理由で有効なター
10
10
10

10 27

bb̄
10

DM Mass (GeV)

4

+

101

102

103

104

DM Mass (GeV)

ゲットである。まず，宇宙空間の中でも暗黒物質に
Figure 9.

24h vi (cm3 s 1 )

3.1

10 23

Ackermann et al. (2015)
Nominal sample
Median Expected
68% Containment
95% Containment

Upper limits (95% confidence level) on the DM annihilation cross section derived from a combined analysis of the nominal

図 1:forFermi-LAT
による dSphs
観測に基づく
WIMPstarget sample for the bb̄ (left) and ⌧ + ⌧ (right) channels. Bands
the expected sensitivity
are calculated
by repeating
the same の質量に対するanalysis
満ちた空間であるためである。標準物質に対する暗on 300 randomly selected sets of high-Galactic-latitude blank fields in速度平均対消滅断面積上限。対消滅チャンネルはthe LAT data. The dashed line shows the median expectedτsensitivityτ̄ 。緑（黄）色のwhile the bands represent the 68% and 95% quantiles. Spectroscopically measured J-factors are used when available; otherwise, J-factors

バンドは信頼度
1σ(2σ)
are predicted photometrically with an uncertainty of 0.6 dex (solid
red line). The solid
black の領域である。点や等高線は，銀河中心観
line shows the observed limit from the
黒物質の存在量の比を示唆する質量光度比は，一般
combined analysis of 15 dSphs from Ackermann et al. (2015b). The closed
contours and marker
show theの最良領域である。
best-fit regions (at 2 confidence)
測によって得られた
WIMPs
Fig.9 in Ref.[7].

in cross-section and mass from several DM interpretations of the GCE: green contour (Gordon & Macias 2013), red contour (Daylan et al.
的な銀河が O(1) 程度の値であるのに対して，
dSphs2016), orange data point (Abazajian et al. 2014),
purple contour (Calore et al. 2015). The dashed gray curve corresponds to the thermal
relic cross section from Steigman et al. (2012).

は O(100) にも達する[1]。そして，星間物質がほと
図 1 は宇宙望遠鏡
Fermi-LATによる観測から得
sensitivity is a factor of ⇠ 1.5 for hard annihilation specsearch as spectroscopic
J-factors become
available, thetra (e.g., the ⌧ + ⌧ channel) compared to the medianlikelihood profiles for each energy bin used to derive our
んどなく星形成も起こらないことで，ガンマ線の背
expected limits in Ackermann et al. (2015b). Moreられた対消滅断面積の上限値であり，これによると
pre-ray flux upper limits will be made publicly available.
cisely determined J-factors are expected to improve theWe plan to augment this resource as more new systems

troscopic observations both with current facilities and fu-

After the completion of this analysis, we became aware

景放射が少ないためである
sensitivity by[1]up。
to a factor of 2, motivating deeper WIMPs
specare質量に
discovered.
100 GeV の下限を与えることができ
なお，dSphs は主に種類に分けて議論されること
ture 2thirty-meterclass telescopes (Bernstein et al. 2014;of an independent
LAT Pass 8 data coincident
100 study
GeVof以上の範囲において，対消る [7]。加えて，

Skidmore et al. 2015).
with DES Y2 dSph candidates (Li et al. 2016). The -ray
−24 withに留意する。まず，光度の小さい
dSphs”with滅断面積に
The limits derived“ultra-faintfrom LAT data coincident
conresults 10
associatedtargetsare consistent-10−25individual
cm3 s−1程度の上限を与え
firmed and candidate dSphs do not yet conclusively conbetween the two works; however, the samples selected forfirm or refute a Segue
DM interpretation
the GCE (Gorcombined
analysisaredi↵erent.
と呼ばれる種類のものであり，
1，UrsaofMajorている。なお，この「上限値」は，得られた WIMPs
don & Macias 2013; Daylan et al. 2016; Abazajian et al.
ACKNOWLEDGMENTS
2014; Calore et al. 2015). Relative to the combined の対消滅断面積に対する
analII などがある。次に，光度が大きく比較的早期に発信頼水準として与えら
We would like to thank 95%
Tim Linden
and Dan Hooper
ysis of Ackermann et al. (2015b), the limits derived here
for helpful and engaging conversations. We also thankup to a と呼ばれる種類のものでfactor of 2 more constraining at large DM
見された “classical are
dSphs”
れるものとし，以降でも同様の意味で用いる。
the anonymous referee for thoughtful and constructive
masses (mDM,bb̄ & 1 TeV and mDM,⌧ + ⌧ & 70 GeV)
feedback on this manuscript.
and Sclptor
a factor of
1.5 lessなどがある。
constraining for lower DM
あり，Ursa Minor や，⇠DracoThe Fermi LAT Collaboration acknowledges generous
masses. The weaker limits obtained at low DM mass
ongoing support from a number of agencies and instican be attributed to low-significance excesses coincident
tutesthat have supported both the development and thewith some of the nearby and recently discovered stellar
operation of the LAT as well as scientific data analysis.
systems, i.e., Reticulum II and Tucana III. While the
These include the National Aeronautics and Space Adassociated with these targets are broadly con3.1.2 先行研究 excesses
ministration and the Department of Energy in the United
sistent with the DM spectrum and cross section fit to
the GCE, we refrain from a more extensive DM interpre3.2.1 States,
特徴the Commissariat à l’Energie Atomique and theCentre National de la Recherche Scientifique / Institut
tation due to the low significance of these excesses, the
まず，観測対象として最適なdSphについて議論がNational de Physique Nucléaire et de Physique des Paruncertainties in the
J-factorsof these targets, and theticules in France, the Agenzia Spaziale Italiana and thelack of any significant signal in the combined analysis.宇宙大規模構造シミュレーションなどから，天のされていることを確認する。
WIMPs
が多く存在すIstituto Nazionale di Fisica Nucleare in Italy, the MinOngoing Fermi-LAT observations,more precise
istry of Education, Culture, Sports, Science and TechnolJ-factor determinations with deeper spectroscopy,川銀河中心およびその近傍では，暗黒物質ハロー内
andることが求められるため，原理的には
J-factorの大ogy (MEXT), High Energy Accelerator Research Organisearches for new dSphs in large optical surveys will eachzation (KEK) and Japan Aerospace Exploration Agency
contribute to the future sensitivity of DM searches usingにおける暗黒物質の密度が最も大きいと考えられて(JAXA) in Japan, and the K. A. Wallenberg Foundaきさと J-factor の不定性の小ささに基づいて議論さMilky Way satellites (Charles et al. 2016). In particular,tion, the Swedish Research Council and the Swedish Nathe Large Synoptic Survey Telescope (Ivezic et al. 2008)いる[8]。すなわち，対消滅によるガンマ線がその領
tionalSpace Board in Sweden. Additional support forれる。これまでの観測から，
dSphs
ultrais expected toclassicalfind hundredsof newはMilky
Way satellitescience analysis during the operations phase is gratefully
galaxies (Tollerud et al. 2008; Hargis et al. 2014). Due toacknowledged from the Istituto Nazionale di Astrofisica
the difficultyin acquiring
spectroscopic observations域から強く放射していると想定できる。したがって，
andfaint dSphs と比較してJ-factorの不定性が小さいin Italy and the Centre National d’Études Spatiales in
the relative accessibility of -ray observations, it seems
暗黒物質の存在量の観点では，銀河中心およびそのFrance.
likely[4]that-ray analysisJ-factor
will precedeの値はJ-factor determiことが判明している。一方で，
Funding for the DES Projects has been provided bynations in many cases. To facilitate updates to the DM
近傍を観測することは探索においては有効
the U.S. Department ofWIMPs
Energy, theU.S. National Sciultra-faint dSphs の方が大きく，Ursa Major II の3.2

log10 (J/GeV2 cm−5 ) = 19.38 ± 0.39 は dSphs 全体

天の川銀河中心である。一方で，銀河中心に存在するガンマ線源のの中で最大である [5]。加えて，CTA では角度分解

Sgr A*や銀河面からの強度の高い放射があるため，

能が現行の解像型大気チェレンコフ望遠鏡 (Imaging

WIMPs のシグナルが埋もれてしまうという問題がAtmospheric Cherenkov Telescope, IACT) と比較し ある [1]。すなわち，観測的観点では，バックグラウて向上したため，J-factor の角度依存性の議論がで ンドを如何に減らして観測するか，が課題となる。

4. Dark Matter Programme

10

4.2 Strat−21

10
100 h, bb
500 h, bb
500 h, τ+τ+ 500 h, W W

CTA Sculptor dSph
10

−22

10

−23

Statistical errors only

σ v (cm3s-1)

σ v (cm3s-1)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
そのため，暗黒物質探索は銀河中心ではなくその

−21

10

−22

10

−23

される暗黒物質質量範囲が 100 GeVCTAから数TeV で 100 h, Stat. only
Sculptor dSph

10−24

10−24

100 h, 0.3 % Syst.

近傍である，天体由来のガンマ線が少ない領域で行

100 h, 1 % Syst.
あるため効果が大きい。次に，H.E.S.S.
と比較して
NFW profile,bb
500 h, Stat. only

10う。現行の IACT の角度分解能が最高で数分角程度

10500 h, 1 % Syst.
10 倍程度高い感度を持つ。最後に，エネルギー分解

であることを考えると，銀河中心から ± 0.3 ◦ の領能が改善された。WIMPs が対消滅することで生じる域を取り除くことで，銀河面などからのガンマ線を特定のエネルギーを持つ素粒子のシグナルを，スペ

−25

10

排除できる [1]。

−26

10−27
0.05

500 h, 0.3 % Syst.

−25

10

−26

10
2 3 450.05 0.1 0.2
2 3 451
10 20 30
1クトルから探索する精度に貢献する。以下では，ガ
−27

0.1

0.2

DM mass (TeV)

10

20 30

DM mass (TeV)

ンマ線による WIMPs 探索に関する CTA の果たす得られている上限

3.2.2+

254h, DM DM → W W

Figure 4.10 – Left: CTA sensitivity for h vi from observation of the classical dwarf galaxy Sculptor for different
5役割について，2 つの観測戦略に基づき議論を行う。
annihilation modes as indicated. Right: CTA sensitivity for bb̄ annihilation modes for different conditions; blackline is for 100 h of observation and red line for 500 h. The solid lines are the sensitivities only taking into
statistical errors while dashed and dotted curves take into account systematics as indicated in the figure. The
dashed horizontal line shows the thermal cross-section of 3 ⇥ 10 26 cm3 s 1 .

10

-

-22

4.2

254h, DM DM → τ+τ-

Einasto profile

矮小楕円体銀河観測

Einasto profile
10

-23

10

-24

10

-25

10

-26

10

-27

−23

3

〈σ v〉 (cm s-1)

10

Thermal relic density

3 45

10

σ v (cm3s-1)

10−24

Thermal relic density

20 30

10

−25

10

−26

Observed, this work
Expected

0.05

eV)

68% Containment
95% Containment
0.1

0.2

2

1

Sculptor
CTA dSphs

Draco
Coma Berenices

3 45

10

20 30

10

mDM (TeV)

0.05

500 h, bb
Statistical errors only

Segue 1

−27

0.1

0.2

1

2 3 451020 30

DM mass (TeV)
図 2: H.E.S.S. による銀河中心観測に基づく
WIMPs の質量に対する速weighted annihilation cross section
h vi for the W+ W (left panel) and ⌧ + ⌧W +(rightpanel)
度平均対消滅断面積の上限。対消滅チャンネルは上図がW − 。緑
3: WIMPs
CTA による観測
taken over 10 years of the（黄）色のバンドは信頼度
inner 300 pc of the GC
regionwith H.E.S.S.
The
constraints
Figure4.11 – CTA図Sensitivity
for の質量に対する速度平均対消滅断面積のh vi from 500 h observation of the classicaldSphs Draco and Sculptor, and
1σ(2σ)の領域である。
Fig.1
in Ref.[3].
限界。それぞれの観測対象に対して500 時間観測すること
e given in Fig. 4 in Supplemental Material [16]. The constraints are theexpressed
as dwarf
95% galaxies
ultra-faintSegue 1 and ComadSph
Berenices
as indicated.
Dashed lines correspond to oneを想定した。点線は信頼度 1σ の範囲を表す。対消滅チャンネルはdeviation uncertainties
on the J-factors. Sensitivity is computed assuming the bb̄ annihilation mode
the DM mass mDM . The observed limit is shown as black solid line. standard
The expectations
bb̄。Fig.4.11 in Ref.[2].

and statisticalzations of the backgroundin blank-fieldobservations
at highによるGalactic
latitudes.
図measured
2 は，IACTの 1 つである
H.E.S.S.
10
年errors only are taken into account. The dashed horizontal line shows the thermal cross-sectionof 3L.⇥containment
10 26 cm3 s 1 .
ted line) together with the 68% (green band) and 95% (yellow band) C.
e corresponds to the 間に及ぶ観測から得られた対消滅断面積の上限値でlimits derived in a previous analysis of 4 years (112 h of live time)
The horizontal black long-dashed line corresponds to the thermal relic velocity-weighted 図 3 は，CTA により dSphs を観測したときに得ある[3]。対消滅断面積に対する最も強い上限は，対ale).
4.2.3 Largeられることが想定される対消滅断面積の上限である。
Magellanic Cloud

消滅チャンネルが W + W − である場合に，WIMPs 質

Description
量 1 TeV において 2 × 10−26 cm3 s−1 である。なお，+

254h, DM DM → W W

-

10

-22

+
254h, DM
WW
同観測からは，対消滅チャンネルが
τ +DM
τ −→である場合-

図 3 によると，最も強い制限を与えうるのは WIMPs
が数 100 GeV 程度の質量である場合の 10−23 -10−24

The Large Magellanic(LMC) is a nearby satellite galaxy
at high Galactic
cm3Clouds−1 である。この結果からも，
ultra-faintdSphs latitude and it has t−26−1に，WIMPs 質量 1.5 TeV において 6 × 10
cm
shapeof a3 sdisk
seen nearly face-on. At a distance of only ⇠ 50 kpc, and with a large dark mat
10Segue
や ComaforBerenicesの方がmass of ⇠ 1010 Mである
, the LMC
is a1candidate
indirect dark
matter classicalsearches which has long beの上限を与えている [3]。
recognized as a potentiallyfavorable
target[146].
The
mass
of
the
LMC of 1% of the Milky Way makdSphs である Draco や Sculptor と比較して，対消滅
10

it interesting even though its distance, at six times further away than the Galactic Centre, gives a lar
断面積に対してより強い制限を与えるが，同時に不signal reduction. The
LMC is an extended source for CTA. Most of the emission lies within the CTA fie-243〈σ v〉 (cm s-1)

-23

Thermal relic density

定性も大きいことが分かる。

4

CTA の観測戦略

4.1

Cherenkov
Telescope
ThermalArray
relic density
MAGIC Segue 1

10

10

-25

Cherenkov Telescope Array
Science with CTA-26

H.E.S.S. dSph stacking
This work
H.E.S.S. GC Halo 112h
Fermi LAT 15 dSph, 6 years, Pass 84.3

次世代型地上ガンマ線望遠鏡 Cherenkov Telescope
10
Array (CTA)
では，現行の IACT と比較して特に次(2011), Einasto
3 45

eV)

10

-27

20 30

0.05 0.1 0.2
2 3 451
10 20 30の 3 つの性能が改善され，暗黒物質発見を期待されて
m (TeV)DMいる。まず，Fermi-LAT では感度の落ちる 100 GeV

銀河中心近傍観測

図 4 は，銀河中心近傍を観測したときに想定される対消滅断面積の上限である。図 4 によると，最も強い制限を与えうるのは WIMPs が 1 TeV 程度の質量である場合の 10−26 cm3 s−1 であり，H.E.S.S. により得

ity distribution on the程度のエネルギー領域に感度がある。理論的に期待
constraints on the velocity-weighted annihilation cross section h vi.
of 95% C. L. upper limits are shown as a function of the DM mass mDM in the W+ W
d black line), another parametrization of the Einasto profile (dotted black line), and theck line), respectively. Right: Comparison of constraints on the W+ W channels with theom 112 hours of observations of the GC [10] (blue line), the limits from the observations ofy Way by the Fermi satellite [23] (green line), the limits from 157 hours of observations ofne), and the combined analysis of observations of 4 dwarf galaxies by H.E.S.S. [25] (brownnalysis presented here.

Page 54 of

In the right panel of Fig. 1, the observed 95% C. L. up-

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
られる制限よりも強いことが確認できる。最も重要なことは，求められている断面積の値 3 × 10

−26で到達しうることが示され，今後もさらに改善され

3

cm /s ることが期待されている。一方で，銀河中心は天体にこれまでよりも広い質量範囲で到達しうることで由来のガンマ線の放射も多く，このバックグラウン

あり，これは WIMPs の予想されている質量範囲とド除去が課題となってくる。

も重なるため，WIMPs の発見が期待できる。

以上から，本講演で扱った 2 つの戦略が相補的に機能することで，CTA が WIMPs 発見をする可能性⇥⇤
h vimax cm3 s 1⇥⇤
h vimax cm3 s 1

が十分見込まれることが分かった。
10

10 25

Thermal h vi (DarkSUSY)

10 26
CTA GC projection, this work
HESS GC
Fermi dSphs (6 years) + MAGIC Segue 1
signal: Einasto, bb̄

10 27 110102

Fermi dSphs (18 years) + LSST, projection
3
4
5

10

m [GeV]

10

10

25

10 26

Thermal h vi (DarkSUSY)

Reference

CTA GC projection, this workGC
[1] M. Doro HESS
et dSphsal.(6 years)
(the
CTA
Fermi
+ MAGIC
Segue 1 Collaboration) 2012.
signal: Einasto,
Fermi dSphs (18 years) + LSST, projection
corr.
27 W W w/o EW
arXiv:1208.5356v1
10
2
3
4
5
+

10

10

m [GeV]

10

10

Thermal h vi (DarkSUSY)⇥⇤
h vimax cm3 s 1[2] B.S. Acharya et al. (The Cherenkov Telescope ArFigure 14: The CTA sensitivity curves derived in this work
line, see Fig.
5) arXiv:1709.07997v2
for theray(black
Consortium)
2018.
bb̄ 10(left)and W + W (right) channels, shown together with the current limits from Fermi25[3] H.
Abdallahofetthe
al.GC
(The
H.E.S.S. collaboration)
LAT observation of dSph galaxies (cyan) [174] and H.E.S.S.
observations(purple)2016. arXiv:1607.08142v1[162]. In addition we show the projection [186] of the Fermi-LAT
sensitivity where futuredSphs
10 26 discoveries with LSST are taken into account (dashed green). Note that the projected[4] M. Ackermann et al. (The Fermi-LAT CollaboraCTA GC projection, this work
CTA here
GC projection,
this work
sensitivity of CTA shown
includesour estimate of systematic uncertainties (1% overall
HESS GCHESS GCtion) 2014. arXiv:1310.0828v2
normalisationa spatial
length of 0.1 ); for the corresponding results for
Fermi dSphs (6 years) + MAGIC Segue 1
dSphs (6 years)correlation+ MAGIC Segue 1
signal: Einasto, error and Fermi
Fermi dSphs (18 years) + LSST, projection
Fermi dSphs (18 years) + LSST, projection
27 W W w/o EW corr.
the10initialconstruction
configurationof CTA,
see Appendix
A.
[5] N.W.Evanset al. 2016. arXiv:1604.05599v2
103
104
105
102
103
104
105
Thermal h vi (DarkSUSY)+

m [GeV]m [GeV][6] N. Hiroshima et al. 2019. arXiv:1905.12940v1
arriving
at theline,
above
conclusions,a major motivation of our work was also to exTA sensitivity curves
in In
this
work (black
seeの質量に対する速度平均対Fig. 5) for the
図 derived
4: 銀河中心近傍を観測した際の，WIMPs
消滅断面積の。frombb̄ に対消滅する場合が(right) channels, shown
together
withによる観測限界（黒線）
thecurrentdata
limitsFermiplore
the CTA
mostpromisinganalysisprocedures. We [7]therefore
confronted
the traditional
A. Albert
et al. (TheFermi-LAT and DES collab上図，W + W − の場合が下図である。Fermi-LAT による dSphs
dSph galaxies (cyan) [174]andH.E.S.S.
observations
of
the
GC
(purple) fitting analysisorations)
ON/OFFanalysistechniquewitha template
procedure,
stillarXiv:1611.03184v1
not yet widely
2016.
の観測による上限（シアン線）および H.E.S.S. による銀河中心近we show the projection [186]of theby
Fermi-LAT
sensitivity where
future Monte
explored
IACT collaborations.
In Appendix
C.4 we demonstrate that for the set of Fermi傍の観測（紫線）も記載している。緑（黄）色のバンドは
Carlo
1σ(2σ)の領域である。
Fig.14th LSST are taken into account(dashed に基づく信頼度
green).
Note
that
the
projected
LATsimulation
inspiredIE
models
and
given
the
CTA sensitivity,
thisL.techniqueleadsP.toUllioa decidedly[8]
Bergstrom,and J. H. Buckley. 1998.
in [9]
hown here includes our estimateof systematic uncertainties
better performance.
As is typical(1%for overall
template fitting procedures,the main source of unarXiv:astro-ph/9712318v1
and a spatial correlation lengthof 0.1lies); in
for thethe systematic
corresponding
resultsforcertainty
errorsoriginatingfrom the event classification and/or the[9] systematic
A. Acharyaerrors
et al.directly(The Cherenkov
Telescope Arrayion configuration of CTA, modelling
see Appendix
A. emission components. We include suchof thein the2020. arXiv:2007.16129
likelihood, in a parametric way, thereby accounting for theirConsortium)
spatial and energy
correlations(sections 6.1 and 6.2). Ideally, the output of such an ‘agnostic’ approach to studying thethe above conclusions, a major motivation of our work was also to ex[10] J. Hisano et al. 2003. arXiv:astro-ph/0307216v1
impact of instrumental systematic errors can be used for future IRF optimisation once CTA
mising data analysis procedures. We therefore confronted the traditional
is fully operational.
echnique with a templateanalysis procedure, still not yet
widelyCTAfittingによる暗黒物質探索について，
dSphs
を観測of the various sources of uncertainties on
It is worth stressing that the relative
impactollaborations. In Appendix C.4 we demonstrate that for the set of Fermithe DM4.2
sensitivity
was diﬃcult to judge prior to this study. For example, CTA is expected
節で，そして銀河中心近傍を観測す
odels and given theする場合を
CTA sensitivity,
this technique leads to a decidedly
to greatly advance the measurement of large-scale interstellar emission at TeV energies, thus
As is typical for る場合をtemplate fitting
procedures, the main source of un4.3 節で外観した。
eﬀectively identifying an additional background component and thereby potentially loweringsystematic errors originating from the event classification and/or the
4.2 節では，まず図
3 から，
WIMPs
の対消滅断面
the constraining powerof CTAto a DM
signal (compared to the situation where such a backmission components. We include such systematic errors directly in the−23−24
groundwould not CTA
be present).
An-10
important
積
⟨σ
v⟩
に関して，
は
10
cm3result/s 程 of our analysis is that the impact of thisannmetric way, thereby accounting
for their spatial and energy correlations
large-scale diﬀuse component is rather limited, as long as the associated modelling uncertain2). Ideally, the output
of
such
an
‘agnostic’
approachtostudying
the度まで検出できると分かった。加えて，ties are not very large ( SIE . 10%). dSphs
While はバッa smaller value of SIE presently appears rather
ntal systematic errors can be used for future IRF optimisation
once CTA
optimistic given the best existing models, it is expected to become a realistic assumption
クグラウンドが小さく，銀河中心観測の場合と比較
once ofthetheIEvariousmodelssources
can beoftuned
to actualonCTA measurements. In that case instrumental
essing that the relative
impactuncertainties
すると系統誤差の小さい結果を得られる。すなわち，
systematic
uncertainties
will
continue
to play the dominant role in constraining a signal. For
was diﬃcult to judge prior to this study. For example, CTA is expected
WIMPs
対消滅断面積に対してより保守的な上限をlargeruncertainties
in
the
IE
component
the other hand, the impact on the DM sensitivity
he measurement of large-scale interstellar emission at TeV energies,on
thus
can
be
comparable
to
that
from
purelyinstrumental
eﬀects.
与えられる。
g an additional background component and thereby potentially lowering
Sub-thresholdsources could
turnout
to be an additional important source of systematics,
wer of CTA to a DM signal(comparedtothesituation
where
such
a
back次にthough
4.3 節では，銀河中心近傍を観測する戦略が有on the current
study
their ofimpacte present). An important resultofbasedour analysis
is that the
impactthis appears to be more limited. We also included5

結論

望であることが分かった。図
4 で，CTA
による銀河
mponent is rather limited,
as long as the associated modelling
uncertainge ( SIE . 10%). Whilea smaller
value
of SIE presently appears rather
中心近傍を
500
時間観測することを通じ，予想されe best existing models, it is expected to become a realistic assumptionている WIMPs の対消滅断面積 3 × 10−26 cm3 /s ま
can be tuned to actual CTA measurements. In that case instrumental– 33 –
nties will continue to play the dominant role in constraining a signal. For
in the IE component on the other hand, the impact on the DM sensitivity
to that from purely instrumental eﬀects.
sources could turn out to be an additional important source of systematics,
current study their impact appears to be more limited. We also included

——–index

重宇 15
擬似スペクトル法を用いた cosmic shear パワース
ペクトルの測定手法
東京大学理学系研究科物理学専攻
谷口貴紀

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

疑似スペクトル法を用いた cosmic shear パワースペクトルの測定手法
谷口 貴紀 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
遠方銀河から我々へ届く光の経路は、途中に存在する物質の重力場によって曲げられるため、観測される銀河形状には歪みが生じる（弱い重力レンズ効果）。したがって、多数の銀河の観測から系統的な銀河形状の歪み (cosmic shear) を測定することで、宇宙の大規模構造の物質分布を再構成することができる。

cosmic shear の解析において、互いに波数の異なるパワースペクトル間の共分散は、対応する２点相関関数の共分散よりも扱いやすいため、誤差の評価という観点からはパワースペクトルを用いることが望ましい。
しかし実際の観測領域は明るい星などの影響で一部がマスクされた形状をしているため、cosmic shear の波
数空間への変換は自明ではない。すなわち、相関関数を直接的に変換すると、マスクされた領域とデータのある領域で畳み込みが生じ、正しいパワースペクトルが得られないという問題がある。

C. Hikage et al.(2011) では、CMB 解析で用いられてきた擬似スペクトル法を cosmic shear 解析に応用することで、上記の観測的効果の影響を取り除いて cosmic shear パワースペクトルを得る手法が開発されている。この手法をシミュレーションデータに対して適用することで、観測領域の約 25%がマスクされている場
合でも、1%以下の精度で真のパワースペクトルが復元できることが確認された。
発表者は、上記の手法をもとにして、cosmic shear の観測からより高次の統計量であるバイスペクトルを測定する手法の開発研究を行っており、本発表では C. Hikage et al.(2011) のレビューを行う。

1

Introduction

め、測定量の誤差の扱いという点ではパワースペク
トルを利用することが望ましい。しかし、先述した遠方天体から出た光は、宇宙の大規模構造の重力により曲がった経路をとるため、観測される遠方銀河の形状には歪みが生じる。この銀河形状の歪みにマスクを含む複雑な観測領域では、cosmic shear を
そのまま波数空間へ変換すると正しいパワースペク
トルが得られないという問題がある。

は、我々と銀河の間にある物質分布の情報が含まれるため、多数の銀河を観測して系統的な銀河形状の歪み (cosmic shear) を測定することで、宇宙の大規
模構造の質量分布を再構成することができる。

cosmic shear の解析では、主に 2 点相関関数が利用されてきた。実際の銀河サーベイにおいてデータが得られる領域は整った形状をしておらず、明るい星などの影響により一部がマスクされた形となっているが、相関関数はそのような観測データからも比今回レビューを行なう C. Hikage et al.(2011) では、大スケールの cosmic shear 観測に対応した full-sky approach と小スケールの観測に対応した flat-sky
approach という 2 つの場合について、観測領域の効
果の影響を取り除いて正確なパワースペクトルを得る手法が提案されている。さらに、シミュレーショ
ンにより作成した歪み場に対して提案した手法を用いることにより、確かに正しくパワースペクトルが得られることが確認されている。

較的容易に得られるという利点がある。一方で、距離スケールの異なる相関関数どうしで大きな相関を持つため、相関関数どうしの共分散、すなわち誤差の扱いは難しい。2 点相関関数を波数空間へ変換し2

Methodology

たパワースペクトルによる解析はあまり行われていfull-sky approach と flat-sky approach それぞれにないが、異なる波数のパワースペクトルどうしの相ついて、観測から得られる疑似パワースペクトルか関は、非線形領域においても比較的うまく扱えるたらパワースペクトルを得る式を見る。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.1

ペクトル、疑似パワースペクトルの定義及び (7) 式

full-sky formalism

観測領域が２次元平面とみなせないような、広い

から

C̃l =

範囲を対象とした観測を考える。
み場を γ1 (n̂)、γ2 (n̂) とする。n̂ は角度方向を示す単位ベクトルである。波数空間へ変換した歪み場を考え、座標の回転操作を行なうことで、座標に依らない歪み場のモード E、B が得られる。これらはI∗
Elm ± iBlm = dΩn̂ [γ1 (n̂) ± iγ2 (n̂)]±2 Ylm(n̂) (1)γ1 (n̂) ± iγ2 (n̂) =[Elm ± iBlm ]±2 Ylm (n̂)

lmMll′ Fl2′ Cl′ + ÑlBBが得られる。ここで、Cl = (CEE, CEB
l , Cll )(C̃l についても同様）であり、Fl は l についてのピクセルの window function である。Ñl は、銀河そのものがもつ形状に由来するショットノイズのパワースペク
トルである。Mll′ は疑似パワースペクトルと真のパワースペクトルを結びつける 3 × 3 行列である。(8)式を Cl について解くことで、疑似パワースペクトル(2) から真のパワースペクトを導く式が得られる。l について適当なビンを設定し、ビン b のパワースペクトという関係で結びついている。ここで、±2 Ylm (n̂) は

ル Cb として、

スピン 2 の球面調和関数である。cosmic shear のパCb ≡ワースペクトルは

ClEE ≡

1 ∑|Elm |22l + 1 m

ClBB ≡

1 ∑|Blm |22l + 1 m

ClEB ≡1 ∑∗Elm Blm
2l + 1 ml∈b∑

Pbl Cl

(9)

l

(3)

Pbl ≡

l(l + 1)1
2π l(b+1) − l(b)
min

(10)

min

(4) と定めると−1
Cb = Mbb
′

(5)

′
l∑
∈b′

Pb′ l (C̃l − ⟨Ñl ⟩)

(11)

l

で表される。弱い重力レンズ効果はスカラー量の重力ポテンシャルにより引き起こされるため、物理的により、パワースペクトルが得られる。ここで、Mbb′
は

な自由度は１であり、Blm は理論的には 0 となる。
したがって、観測から得られた B モードに関する値

Mbb′ =ClBB を見ることで、系統誤差を見積もることができる。実際に観測される歪み場 γ˜1 、γ˜2 は観測領域の制限により、

γ˜1 (n̂) ± iγ˜2 (n̂) = K(n̂)(γ1 (n̂) ± iγ2 (n̂))

(8)

l′

弱い重力レンズ効果による銀河像の歪みを表す歪

∑

∑

(6)

l∈b
∑
l

Pbl

′
l∑
∈b′

l′

2π
l′ (l′ + 1)

Mll′ Fl2′

(12)

である。

2.2

flat-sky folmalismと表される。n̂ に対応した領域が完全にマスクされ球面曲率が無視でき、観測領域が２次元平面とみている場合には K=0、完全に観測可能な場合は K=1

なせる狭い領域における観測を考える。このとき、歪である。これに対応して、実際に直接測定される疑み場とそのフーリエ空間での E/B モードの関係は∫
Ekf ±iBkf = dΩn [γ1 (n)±iγ2 (n)]ei(k·n±2φk ) (13)似 E/B モード Ẽlm /B̃lm と真の E/B モードの関係は∑Ẽlm ± iB̃lm =となる。W(El′ m′ ± iBl′ m′ )±2 Wll′ mm′ (7)l ′ m′となる。n は (1) 式の n̂ をある点の近傍で２次元ベは畳み込みのカーネルである。

クトルとして近似したものである。ここでは、観測

ll′ mm′Ẽlm /B̃lm モードについても、(3)∼(5) 式と同様に疑 的効果を、観測領域の境界部と内部で分けて扱う。
まず観測領域の境界部については、zero-paddding
似パワースペクトル C̃lEE などが定義でき、パワース

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
により、領域を正方形にできるため、正方形領域での観測的効果を考える。１辺が L の長さの領域での
疑似 E/B モードは
∫ 2 ′
d k
Êkf ±iB̂kf =(E f ′ ±iBkf ′ )Sk−k′ e±2iφk′ (14)(2π)2 kとなる。ここで Sk は window function である。パワースペクトルを

3.1

full simulations in flat-sky limit

2.2 で得た手法を確認するために、M. Sato etal.(2009) により作成された cosmic shear のデータを用いた。M. Sato et al.(2009) では、z < 1 については 1 辺 240 h−1 Mpc のボックスサイズでの N 体シ
ミュレーション、z > 1 については 1 辺 480h−1 Mpcのボックスサイズでの N 体シミュレーションで質量2⟨Ekf Ekf ′∗ ⟩ ≡ (2π)2 δD(k + k′ )CkEE(15) 分布を生成し、それに対して ray-tracing simulationと定義（CkBB 、CkEB も同様）すると、2.1 と類似した手順により、観測領域境界の効果を含んだ疑似パ
ワースペクトル Cfk と真のパワースペクトルの関係∑
fSĈfk =
Mkk
(16)
′C ′
k
k′
f
f
S
が得られる。Mkk′ は、Ĉk 、Ck′ の定義から得られる変換行列である。
次に、観測領域内部のマスクの効果を考える。

Êkf /B̂kf と観測領域内部のマスク効果を含んだ疑似E/B モードの関係は、(7) 式と同様であり、2.1 と同様の手順で領域内部の観測的効果も含んだ疑似パワー
κスペクトル C̃fk が、Mkk′ を変換行列として以下のよを行なうことで cosmic shear のデータを得ている。

ray-tracing simulation では、120h−1 Mpc ごとにレンズ面を設定し、各面ごとに近傍の質量分布を投影して重力ポテンシャルを求め、光源からの光はレンズ面を通過するときのみ進路を変えると仮定して光の経路の計算を行なった。5◦ × 5◦ の円錐内かつ z=1の領域に 20482 のグリッドを設け、各グリッドから観測者に向けて光が放射されるとし、その光の経路の変化から cosmic shear を求めた。測定するパワース
ペクトルの統計誤差を減らすために 1000realizationのシミュレーションから最終的な cosmic shear のパワースペクトルを得た。

うに与えられる。

C̃fk =∑fκ
Mkk′ Ĉ ′
k

(17)

3.2

k′

(16)(17) 式を Cfk について解くことで、実際の観測で得られる疑似パワースペクトル C̃fk から真のパワー
スペクトルが得られる。2.1 と同様に k についてビンを設定し、対応するパワースペクトルを Cbf とすると
−1
Cbf = Mbb
′

′
k∈b
∑

Pb′ k (C̃k − ⟨Ñk ⟩)Gaussian simulations in full-sky
limit

2.1 で得た手法を確認するために、2000 平方度の長方形領域において、ガウス分布にしたがう cosmic

shear を作成した。作成の際に用いたピクセルサイズ
は ∼ 4 arcmin であった。

(18)

k

となり、(18) 式より、cosmic shear の疑似パワース

3.3

simulating realistic masks

ペクトルから真のパワースペクトルが得られる。こ実際の地上観測を想定して、3.1、3.2 で得られた

こで Mbb′ は (16)(17) 及び (9) 式に対応したビンの定

cosmic shear のデータにマスクを付加した。明るい義から得られた行列である。

星に対応する効果として、半径を 0.2∼2 arcmin の範囲からランダムに決めた円形のマスクをランダムな3

Simulations of shear maps
前章で得られた式を利用した計算コードで正しい位置に付加した。さらに、半径が r=1 arcmin 以上の円形マスクについては、観測機器の飽和効果に対応するものとして、0.2r×5r の長方形マスクを重さねて

パワースペクトルが得られることを、シミュレーショ 付加した。また、観測素子の不具合に対応するマスンにより作成した cosmic shear データを用いて確認 クとして、あるｙ方向の行にある全てのピクセルをした。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
5%の確率で全て覆った。それぞれのマスクは重なっても良いものとして、全体で約 25%の領域を覆った。

3.4

intlinsic ellipcities銀河が持つ固有の楕円率により、測定されるパワースペクトルには誤差が生じる。銀河どうしで楕円率の相関がないと仮定すると、パワースペクトルに加えられるノイズ項は

Nl =

σϵ2
n̄g

(19) 図 1: flat-sky limit の cosmic shear パワースペクトルと表される。ここで σϵ は銀河の楕円率の２乗平均平方根であり、n̄g は銀河の平均数密度である。ここでは、σϵ = 0.22、n̄g = 30 arcmin−2 とした。
マスクを加えた cosmic shear のデータを作成した
後、3.1 の flat-sky limit の cosmic shear に対しては分散が σϵ2 /n̄g Ωpix であるガウス分布のノイズを加え、3.2 の full-sky limit の cosmic shear に対しては分散
σϵ2 /f n̄g Ωpix のノイズを加えた。ここで、Ωpix はピ
クセルサイズ、fpix ∼ 0.75 はマスクされていない領域の割合である。
図 2: full-sky limit の cosmic shear パワースペクトル

4

Results
図１は、intlinsic ellipcity の効果を含んだ flat-sky

5Conclusion

limit の cosmic shear データから得られたパワース
C. Hikage et al.(2011) は、観測的効果を考慮して、
ションデータそのもののパワースペクトル、三角の cosmic shear の測定からパワースペクトルを求める
点がマスクされたデータから直接的に得られた疑似 手法を開発した。シミュレーションで得られた cosmic
ペクトル ClEE のグラフである。実線がシミュレー

パワースペクトル、丸い点が２章の方法を用いて再shear のデータに疑似パワースペクトル法を適用する

現されたパワースペクトルである。また、点線は、元と、約 25%の領域が観測的効果によりマスクされてのデータをマスクの効果を考慮して畳み込んで得らいた場合においても、データがもつ本来のパワース

れた疑似パワースペクトルである。図２は、intlinsic

ペクトルを確かに再現できることがわかった。

ellipcity の効果を含んだ full-sky limit のデータに関する同様のグラフである。
いずれの場合においても、マスクされたデータから直接得られた疑似パワースペクトルは、真のパワー
スペクトルより小さくなっているのに対し、２章の方法により得られたパワースペクトルは、真のパワー
スペクトルと良く一致していることがわかる。

Reference
C. Hikage, M. Takada, T. Hamana and D. Spergel, 2011,
Mon. Not. R. Astron. Soc. 412, 65
M. Sato, T. Hamana, R. Takahashi, M. Takada, N.
Yoshida, T. Matsubara, N. Sugiyama, 2009, ApJ,
701, 945

——–index

重宇 16
機械学習を用いた暗黒物質質量への制限
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
村上広椰

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

機械学習を用いた暗黒物質質量への制限
村上 広椰 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙の大規模構造形成の際、主な重力源となるのは暗黒物質であるとされている。その性質について不明な点は多いが、質量は大規模構造に影響するため、銀河分布の二点相関関数を用いた解析によって暗黒物質質
量に制限を与える研究は行われている。しかし、現在の制限は有力な暗黒物質のモデル制限をするには未だ不十分である。問題点として、暗黒物質質量が影響を及ぼすのは大規模構造の小スケールの構造だが、このスケールでは二点相関関数よりも高次の統計量に情報が流出してしまう。従ってより強力な制限のためには
この高次統計の情報が不可欠であるが、しかし、三点以上の多点の相関を計算することは計算コストの面で非常に難しい。そこで本研究では、新たな解析の手法として機械学習の一種である畳み込みニューラルネッ
トワーク (CNN) に注目する。本研究では N 体シミュレーションデータから得られた暗黒物質分布のデータを用いて CNN の訓練および評価を行い、CNN および二点相関関数を用いたシミュレーションデータの解析
結果を比較した結果について報告する。

1

Introduction
現在、ΛCDM モデルと呼ばれる宇宙論モデルは広く受け入れられている。 しかし、このモデルにおいて暗黒物質は cold dark matter(CDM)、すなわち非常に重く、暗黒物質は消滅反応が凍結する際に非相対論的であるという仮定がなされるのみで、質量などの具体的な性質は明らかでない。
暗黒物質は宇宙のエネルギー密度のおよそ 26 %を占めるとされるが (Planck Collaboration et al.

2018)、重力相互作用以外の相互作用はしない、もしくは非常に弱い。そのため直接観測は未だ実現しておらず、様々なモデルが今も考察されている。例えば暗黒物質の質量については、ステライルニュートリノモデルについては 1 keV∼1 MeV 程度 (Boyarsky

りも重い (Garzilli et al. 2019) という結果が得られている。 しかしこの結果は上で挙げた様なモデルに制限を与えるには至らないため、さらなる制限のた
めには二点相関関数を超える情報を取り出すための解析手法が必要となる。暗黒物質はその質量が軽いほど小スケールの構造の成長を妨げるが、小スケー
ルでは二点相関関数からさらに高次の相関への情報の流出が顕著なため、二点相関だけを用いて強力な制限を与えるのは困難で、三点以上の相関の計算も計算コストの面で難しい。
そこで本研究では、画像解析の手法として用いられている畳み込みニューラルネットワーク (Convo-

lutional Neural Network; CNN) に着目する。CNNを用いた解析は宇宙論パラメーターの制限に用いられた例があり、既存の手法を超えた成果が得られる
et al. 2019)、WIMPS モデルについては 10 GeV ∼ことが示唆されている (例:Ribli et al. (2019))。
1 TeV(Alvarez et al. 2020) 程度とされる。
本研究では、CNN を用いた大規模構造の解析によ
暗黒物質のモデルを決定するために様々な観測、実る暗黒物質質量への制限のデモンストレーションと験が行われているが、本研究ではそのうちの一つ宇
して、CDM を仮定したシミュレーションとそうで宙の大規模構造の解析に着目する。大規模構造は宇ない暗黒物質 (Non-cold dark matter; NCDM) を仮
宙の初期密度揺らぎが重力を介して成長することで定したシミュレーションを判別するテストを二点相形成されるが、暗黒物質は主要な重力源であり、そ関、CNN それぞれを用いて行い、その性能の評価をの質量は大規模構造に影響する。実際、これまでに行った。
も二点相関関数と呼ばれる統計量を用いた解析は行加えて本研究では、CNN の取り出す情報を調べわれており、少なくとも暗黒物質は O(1) keV 程度よ2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
るため、N 体シミュレーションの代わりに Random
8x8 subregions

Gauss simulation を用いた場合の CNN の性能評価
STEP1についても調べる。

…

2 章では行ったシミュレーションの概要、画像の作成方法、二点相関関数と CNN の手法を節ごとにに述べ、3 章で性能評価の方法と結果を示し、4 章でま200Mpc/h cubeとめと展望について述べる。

2

200Mpc/h

256x256 pixels

8x8 subregions w/ offset

STEP2

STEP3
…

Methods

2.1

50Mpc/h(projection)

200Mpc/h

8x8 subregions
STEP1

200Mpc/h cube
Simulations

200Mpc/h

25Mpc/h50Mpc/h(projection)

200Mpc/h
rotation/flip

本研究ではいくつかの公開コードを用いて暗黒
図 1: 画像の作成手順

物質粒子分布のシミュレーションを行った。シミュ
レーションの初期条件の統計的性質を表すパワース
ペクトル (二点相関のフーリエ変換) の計算のために CLASS(Lesgourgues 2011)、初期条件の作成のために 2LPTic(Crocce et al. 2006)、シミュレーショ
ンの実行に Gadget-2(Springel 2005) を用いた。シミュレーションは 200 Mpc/h(h は無次元ハッブル定
数) の立方体中における 10243 個の粒子の、赤方偏移

20∼0.3 の期間の重力相互作用を計算した。パワースに分割し、粒子分布を 50 Mpc/h 方向に沿って二次元に射影して相関関数を計算、RGS を実行して二次元粒子分布を得る。テスト用の 10 種の N 体シミュ
レーションの二点相関を用いて RGS を行った。これについても独立な CNN の訓練用、テスト用データを得るために、粒子分布作成の際の乱数 seed が異なる
独立な二つのデータを各モデルについて作成した。

ペクトルの計算の際には、宇宙論パラメーターは全て Planck Collaboration et al. (2018) のもの、すな

2.2

Images

わち無次元ハッブル定数 h = 0.677、暗黒物質のエ
ネルギー密度の割合 Ωm = 0.262、暗黒エネルギー

本研究では CNN の訓練、テストのために、シミュ密度の割合 ΩΛ = 0.689、バリオンのエネルギー密

レーションから画像を作成する。シミュレーション

度密度の割合 Ωb = 0.049、パワースペクトルの振ボックスを RGS 実行の際と同様に分割 (200 Mpc/h×

幅 ln 1010 As = 3.047 を選び、暗黒物質の質量のみ

200 Mpc /h×50 Mpc/h)、粒子分布を二次元に射影が異なる 10 のモデルを考える。具体的には、CDMした後、二次元領域をさらに分割し、最終的に 1 ピモデルと、暗黒物質質量がそれぞれ対数スケールでクセルに含まれる粒子数とそのピクセルの画素値を,10 eV の 9 つの 対応させた画像を作成する (詳細は図 1)。一枚の画
NCDM のモデルを仮定した。また、二点相関関数お 像は 256 pix × 256 pix で、画像のピクセルを区切る
2.33

等間隔の値 10

2.66

,10

,· · · , 10

4.66

5

よび CNN のテストのためのシミュレーションとは位置をずらすことで画像を嵩増しし、各モデルに対独立なデータで CNN を訓練するために、上記モデル

し 76,800 枚ずつ画像を得た。1 ピクセルに含まれるそれぞれに対して初期ゆらぎ生成のための乱数 seed

領域は (25/256 Mpc/h)2 、1 画像に含まれる領域はが異なるシミュレーションを行った。すなわち、行っ(25 Mpc/h)2 となる。さらに、CNN の訓練時には画たシミュレーションの realization は計 20 である。

像の反転および回転を行い、画像を増加させる。評価

また本研究では、N 体シミュレーションと二点相時には反転、回転は行わない。RGS の結果に対して関が同じで高次相関が 0 である粒子分布を作成したも同様にして画像を作成し、各モデルに対し 76,800(Random Gauss simulation; RGS)。シミュレーショ 枚ずつ画像を得た。
ンボックスを 200 Mpc/h× 200 Mpc/h×50 Mpc/h

8x8 subre

STEP2

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.3を用いた。ここで、yk は入力画像に対する正解の出力

Two-point correlation

二点相関関数は観測から宇宙論的な情報を取り出す際一般に用いられる統計量であり、位置 r の密度
揺らぎ δ(r) の積の平均として

この CNN に評価データを入力すると、各入力画(1)で定義される。ここで、|r| = |r 1 − r 2 |、⟨⟩ は |r| についてのアンサンブル平均である。

Pythonの確率的勾配降下法を用いた。
像に対しw(|r|) = ⟨δ(r 1 )δ(r 2 )⟩,本 研 究 で は 公 開である。また、フィルターの値の更新は学習率 0.001

モ ジ ュ ー ル

TreeCorr(Jarvis 2015) を 用 い て 2 点 相 関 の 計
算 を 行 っ た 。二 点 相 関 の 計 算 は 画 像 作 成 の 途 中で得られる二次元の粒子分布について計算し、

ỹ(i|M ) = (pCDM (i|M ), pN CDM (i|M ))(5)という出力が得られる。i は入力画像のラベル、Mは入力画像のモデル、pk (i|M ) は入力画像に対する

CNN の予測で、入力画像がモデル k である確率を表す。共分散行列は、CDM モデルの N = 76800 枚の画像サンプルに対する結果を用いて、

1 ∑[(pj (i|CDM) − ⟨pj (CDM)⟩)
N i
N

25/256 Mpc/h ≤ |r| ≤ 25 Mpc/h を対数スケール

Cjk =で等間隔の bin に分け、各 DM モデルのシミュレー
ションそれぞれに対し(6)

× (pk (i|CDM) − ⟨pk (CDM)⟩),w = (w(r 1 ), · · · , w(r 32 )),(2)を得た。また、3 章での評価に用いる共分散行列はJackknife 法を用いて得た 256 サンプルを用いて、
n − 1 ∑ JK
[wk (ri ) − wJK (ri )]nで定義した。尚、⟨pj (CDM)⟩ = N1N∑

pj (i|CDM) で

i

ある。

n

Cij =

k

(3)

3

Results

× [wkJK (rj ) − wJK (rj )] ,とした。wkJK は Jackknife 法によって得られた k 番
目のサンプル、wJK は Jackknife サンプルに関して平均をとった値である。

2.4

Convolutional Neural Network

CNN はフィルターを用いて画像から情報を取り出す手法であり、このフィルターが訓練によって最適化される。CNN の構造は、(Ribli et al. 2019) で用NCDMいられた、畳み込み層が 18 層の物を用いる。

2.2 節で得られた N 体シミュレーションおよび

図 2: p 値の計算結果。横軸は NCDM モデルの質量、RGS から得られた画像を用いて、CDM モデルとあ

縦軸は 1-p 値であり、縦軸が 1 に近いほどよく判別る NCDM モデルを判別する CNN を訓練する。CNNできていると考えられる。

の出力 ỹ = (y1 , · · · , yn ) に対して、損失関数はクロ
本研究では各手法の判別能力をカイ二乗検定で評

スエントロピー関数

E(w) = −∑k

価した。カイ二乗値は

yk ln (ỹk ),(4)

χ2k = D(k)C−1 D(k),(7)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校とした。k は CDM と比較する NCDM モデルのラベ
ルで、C

−1

は式 (3) 及び式 (6) の逆行列、D は二点相関に対しては式 (1)、CNN に対しては式 (2) を用いる。
これに対し p 値を計算し、N 体 ×CNN、RGS×CNN、

N 対 × 二点相関の結果を比較する。尚、p 値は 0∼1の値をとり、0 に近いほど CDM と NCDM がよく判

Acknowledgement
本研究は名古屋大学高等研究院特任講師、西澤 淳
さんとの共同研究です。また、シミュレーション及び CNN の計算において、国立天文台 CfCA の xc50
及び GPU クラスタを用いています。

別できているということに対応する。
図 2 に結果を示す。二点相関関数 (破線) 及び RGSに対する CNN(点線) の結果をみると、NCDM の質
量増加に対する 1−p 値の減少はほぼ同じであることが分かる。RGS から得られた画像は二点相関の情報のみしか含まれないため、二点相関よりも良い結果にはならないと考えられ、結果は期待される通りである。また、RGS に対する CNN の結果は二点相関の結果と遜色なく、訓練された CNN は少なくとも二点相関の情報は全て取り出せると考えられる。

N 体に対する CNN の結果をみると他の 2 手法に比べて高い判別能力を示しており、CNN は訓練によって 3 次以上の高次相関等の情報を取り出した判別を行うことができていると考えられる。

Reference
Planck Collaboration, Aghanim, N., Akrami, Y., et al.
2018, arXiv:1807.06209
Boyarsky, A., Drewes, M., Lasserre, T., et al. 2019,
Progress in Particle and Nuclear Physics, 104, 1
Alvarez, A., Calore, F., Genina, A., et al. 2020,
arXiv:2002.01229
Garzilli, A., Ruchayskiy, O., Magalich, A., et al. 2019,arXiv:1912.09397
Ribli, D., Pataki, B. Á., & Csabai, I. 2019, Nature Astronomy, 3, 93
Lesgourgues, J. 2011, arXiv:1104.2932
Crocce, M., Pueblas, S., & Scoccimarro, R. 2006, MNRAS, 373, 369

4Summary & Future work
本研究の結果、CNN は二点相関以上の情報を取り出した解析ができる可能性が示唆された。したがって、既存の観測データを考えた場合でも、CNN を用いることでこれまで以上に強いパラメーター制限等の成果が期待できる。
また、CNN が二点相関以上の情報を取り出すことは分かるものの、具体的にどのような情報を用いているかは分かっていない。CNN から得られる結果の解釈のためにも情報源の解明は必要であり、三点以上の高次相関や、peak counts、Minkowski functional 等との比較も考えられる ((Zorrilla Matilla et al. 2020)などの研究例がある)。また、講演内容には含んでいないが、複数の NCDM モデルの判別なども本研究では行っており、将来的には大規模構造解析からの暗黒物質質量制限を目指す。そのために、CNN の構造の改善や、CNN の訓練用シミュレーションの改善(MHD シミュレーション等、より実際の観測に即した訓練データを得る) などを行っていく予定である。

Springel, V. 2005, MNRAS, 364, 1105
Jarvis, M. 2015, Astrophysics Source Code Library
Ribli, D., Pataki, B. Á., Zorrilla Matilla, J. M., et al.
2019, MNRAS, 490, 1843
Zorrilla Matilla, J. M., Sharma, M., Hsu, D., et al. 2020,
arXiv:2007.06529

——–index

重宇 17
複数場に拡張したインフレーションモデルの検証
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
森下薫能

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

複数場に拡張したインフレーションモデルの検証
森下 薫能 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
標準ビックバン理論の諸問題の解決策としてインフレーション理論が有力視されている。その物理はインフラトンにより決定され、数多くのモデルは実際の観測結果との整合性を要する。近年では Planck の観測によるモデルの制限は広く知られている (1.)。Planck の観測ではスカラーのパワースペクトルの傾き ns と、スカラーとテンソルのパワースペクトル (Pζ , Pg ) の比である r の値に制限が課されている。その観測結果により、単一場の ϕn のモデルは r の観点から否定的なものと考えられている。しかし、複数場のモデルは単一場のモデルと比べ r の値を下げる可能性があるため、観測結果に一致する余地がある。そのため、本研究では V = ϕn + χn という単純な複数場のモデルを用いて r の値を観測で許される値に下げることを考える。
本研究では ϕ がインフラトン、χ がカーバトンとして振る舞うモデルを考える。カーバトンはインフラトンと異なり、インフレーションの物理には関与しない。また、曲率ゆらぎに非ガウス性が見られることも特徴の 1 つであり、この非ガウス性も実際の観測から制限が課されるものである (2.)。
本発表では、カーバトンを用いた複数場の ns , r の値の議論に加え、カーバトンの非ガウス性についても紹介する。前者は (3.), 後者は (2.) のレビューとなる。

1

Introduction

r

0.15

標準的なスローロールモデルでは、インフラトンがポテンシャル中を緩やかに転がることでインフレー

single0.10

ションが実現される。数多くのインフレーションモ
デルは実際の観測結果を用いて制限される。本研究

multi
0.05

では Planck の観測による制限に着目する。その観測結果では単一場の V = ϕn のモデルは観測結果とは一致せず、特に r の観点から否定的なものと考えられる。しかし、複数場のモデルは単一場のモデルと比べ r の値を下げる可能性があるため、観測結果に一致する余地がある。そこで、ϕ, χ を共にインフラトン
として V = ϕn + χn という単純な複数場のモデルを用いて実際に計算を試した。その結果を図 1 に示す。

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

ns

図 1: 赤と青の範囲が Planck の観測結果。V =
1 2 2
1 2 2
2 mϕ ϕ の単一場の結果が single,V = 2 mϕ ϕ +1 2 2
2 mχ χ , (mχ = 5mϕ ) の複数場の結果が multi のラベルに対応する。複数場の場合は初期値を変えながら複数の trajectory に対して計算を行った。

図 1 では n = 2,V = 12 m2ϕ ϕ2 + 12 m2χ χ2 , (mχ = 5mϕ )の計算を行った。r の値を下げることを目的としたインフレーション終了後 (H ∼ m 程度) ポテンシャ
が、r の値は変化せず ns の値を下げる結果となった。 ルの底で振動を開始する。その際、カーバトンは圧以上の結果を踏まえ、本研究では一方をインフレー

力のないダストのように振る舞い (ρχ ∝ a−3 )、そのションの物理に関与しないスカラー場であるカーバ

後 radiation(ρχ ∝ a−4 ) へと崩壊していく。

トンに変更した。以降では ϕ をインフラトン、χ を

以下では、まずカーバトンの特徴である曲率揺らぎ

カーバトンとして、ポテンシャルはインフラトンのの非ガウス性について紹介した後、本研究の主題であみの場合と同様に V = 12 m2ϕ ϕ2 + 12 m2χ χ2 とする。こるカーバトン理論における ns , r について議論する。

の時カーバトンには χ ≲ Mpl という条件が課され、2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

曲率揺らぎの非ガウス性

2ζ, ζχ を (1) 式に従い展開し、(4) 式の各オーダーを確認していく。まず、1 次のオーダーは

この章では曲率揺らぎの非ガウス性について紹介する。まず、曲率揺らぎを以下のように展開する。

ζ1 = r̃ζχ1
ζ(t, x) = ζ1 (t, x) +

∞
X
1
n=2

n!

(5)

となる。ここでζn (t, x)

(1)
r̃ =

ここで ζ1 はガウシアンであり、更に高次の項は非ガウシアンである。(1) 式から非線形パラメータfN L , gN L を以下のように定義する。

3ρ̄χ3Ωχ,dec=
4 − Ωχ,dec3ρ̄χ + 4ρ̄χ tdec(6)である。次に 2 次・3 次のオーダーを計算すると

fN L , gN L の表式を得られる。

39ζ = ζ1 + fN L ζ12 + gN L ζ13 + O(ζ14 )
5
25
54
6
2
gN L ζ13
ζ2 = fN L ζ1 , ζ3 =
5
25

(2)
(3)

fN L

=

gN L

=

以下では 2 つの非線形パラメータの計算において

2 つの崩壊形式について議論する。一方は suddendecay、もう一方は non-instantaneous decay である。
前者はカーバトンが振動開始した直後一瞬で radia-

2.2

5
5 5
(7)
− − r̃
4r̃  3 6

25 9
9 1
− − + 10r + 3r̃2 (8)2
54 4r̃
r̃ 2

Non-instantaneous decay

ここからは non-instantaneous decay の場合を数

tion に崩壊する場合で、後者は振動開始後に段階的 値的に計算するための fN L , gN L の表式を導出していに崩壊する場合である。後者は数値的に計算する必要 く。sudden-decay の場合と異なる点は大きく分けてがあり、前者は後者の近似的な解析解を求めることと2 点ある。まず 1 点目は、(5) 式で与えられた ζ1 となる。数値計算には δN 形式を用いるため、separateζχ1 との線形関係式の係数である。今節では線形係数

universe を仮定する。

r̃ は以下の p の関数に従うこととなる (r̃ = r̃(p))。
"2.1

Sudden-decay 近似

p ≡ Ωχ

まずは sudden-decay 近似の場合について解析解を与える。カーバトンが急速に radiation に崩壊するため、カーバトンと radiation 間には相互作用がないものとする。カーバトンは Hubble rate と崩壊率 Γ が等しくなる時 (H = Γ) に崩壊するとし、decay surface
は uniform total density hypersurface とする。この時、decay surface において全エネルギー密度が一様であることを課すと以下の関係式が得られる。

(1 − Ωχ,dec )e4(ζr −ζ)+ Ωχ,dec e3(ζχ −ζ)

=1

H
Γ

#
(9)
osc

右辺はカーバトンの振動開始時に評価される量であり、数値計算ではこの p がパラメータとなる。

2 点目はカーバトンと radiation との相互作用を考慮することである。前節の場合と異なり、カーバトン
が段階的に radiation に崩壊するので両者間でのエネルギー密度のやりとりを考慮する必要がある。以上のことは Friedmann eq. と連続の式を用いることで以下のように書き表すことができる。

(4)

ここで Ωχ,dec = ρ̄χ /(ρ̄r + ρ̄χ ) は decay time で定義される無次元量である。以降は簡単のためにカー
バトンの非線形成長は無視できるものとし、ζr = 0として計算する。

r

dHinv
dN
dΩχ
dN
dΩr
dN

3 + Ωr
Hinv
2

(10)

= Ωχ Ωr − ΓΩχ Hinv(11)

= ΓΩχ Hinv + Ωr (Ωr − 1)

(12)

=

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
こ こ で Hinv

≡ 1/H, Ωχ= ρχ /ρtot , Ωr=

non-instantaneousρr /ρtot , ρtot = ρχ + ρr である。

sudden-decay(analytic)|fNL |
1000

以上の点を踏まえ、δN 形式を用いるために ζ を δχ∗

100を用いて展開する。

10

11
ζ = N ′ δχ∗ + N ′′ (δχ∗ )2 + N ′′′ (δχ∗ )3 + ... (13)2
61

ここで δχ∗ は horizon exit におけるカーバトン場の0.100

揺らぎであり、*は horizon exit 時点であることを示

0.010

す。また、プライムは δχ による微分を示す。(1),(13)

0.001
0.0

式を比較し、各オーダーを計算する。ただし、前述の通り今回の計算では p をパラメータとして用いる

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

˜
r

図 2: r̃ < r̃0 では fN l > 0, r̃ > r̃0 では fN l < 0

ため (13) 式での N の微分を p による微分の形式に書き換える必要がある。前節と同様に 2 次・3 次のnon-instantaneous

オーダーを計算すると fN L , gN L の表式が得られる。

sudden-decay(analytic)|gNL |
1000

この時、r̃ についても同様に p をパラメータとして書き表すことが可能である。

100

r̃
fN L
gN L

2.3

10

dN
= 3p
(14)
dp


5 ∂ 2 N/∂p2
1
1
=
(15)
+
6 (∂N/∂p)2
2p ∂N/∂p
25 ∂ 3 N/∂p3
3 ∂ 2 N/∂p2=+(16)
54 (∂N/∂p)3
2p (∂N/∂p)3

1

0.10

0.01
0.0

これらの結果を比較することにより、カーバトン理論における非ガウス性と、sudden-decay がどの程度

0.4

0.6

0.8

1.0

˜
r

図 3: r̃ < r̃0 では gN l < 0, r̃ > r̃0 では gN l > 0

比較

前節までで 2 つの形式での fN L , gN L を導出した。

0.2

3

複数場における ns , r
以上でカーバトン理論における曲率揺らぎの非ガ良い近似であるかを議論できる。図 2,4 に sudden-

ウス性を紹介した。以下ではカーバトン理論での複decay の解析解と non-instantaneous decay の数値計 数場における ns , r について議論する。一般的な議論
算解の結果を示す。横軸は sudden-decay の解析解に のためにポテンシャルを以下のように再定義する。
合わせて r̃ = ζ1 /ζχ1 とした。r̃0 はグラフが横軸と交わる点の r̃ の値である。

fN L , gN L 共に、r̃ → 0, r̃ → 1 のとき sudden-decay

Vtot =が良い近似であることがわかる。これらはそれぞれradiation 優勢・カーバトン優勢の場合に対応する。

1 2 2
1 ϕp
p−4 + 2 mσ σ
p Mpl

(17)

ϕ がインフラトン,σ がカーバトンである。この時、この時、非常に大きな non-Gaussianity が見られる。 slow-roll パラメータは e-follding number N と p をしかし、今後の観測機器の発展により観測による制 用いて以下のように書ける。
限が強くなった場合には sudden-decay の近似は破綻するため、カーバトン理論を用いる際には数値計算をする必要があることがわかる。

ϵ=p2(p − 1), η=
4N + p
4N + p(18)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ns , r は slow-roll パラメータを用いて書けるので同 するモデルは考えることができる。mσ を固定した場
様に N, p をパラメータとして書くことができる。

合に p = 2 のモデルは棄却されたため、mσ を変化させた場合の結果も確認し発表の際に示す。

1 2(2 + p)
1 + R 4N + p


R
2p
2m2σ
+
−
+
(19)
1+R
4N + p 3H∗2
p
16
=
(20)
1 + R 4N + p

ns − 1 = −r

では、なぜカーバトン理論では r の値を下げることが可能なのか記述する。まず、Pζ は観測から Pζ ∼ 10−9とわかっており、Pg は Pg ∝ H 2 である。つまり、

r = Pg /Pζ の値が下がることは H の値が下がることに対応する。インフラトンのみが曲率揺らぎを生成する場合は Pζ ∼ H 2 /ϵ ∼ 10−9 となり、ϵ の値はモデ

ここで R = Pζσ /Pζr である。(20) 式より R > 0 で

ルによって決まる (∼ 0.01) ので、観測の値を再現すあれば単一場の場合よりも r の値を抑えられる。まるためには H の値は大きく下げることができない。

た、ns , r は共に p, N, mσ の値を固定すると R の値をしかし、カーバトンを導入すると Pζ = Pζ

パラメータとして観測との比較が可能となる。N =50 と N = 60 の 2 つの場合に対して、mσ = 10−6 Mpl
として p = 2, 4, 6, 8 のモデルを計算した。

(ϕ)
(σ)
+ Pζ
(σ)
となり、Pζ ∼ δσ∗ /σ ∼ H/σ なので σ の値を下げることにより H の値も下げることが可能となる。これはカーバトンがインフレーションの物理に関与しないスカラー場であるためのものである。

4

まとめと展望本研究ではインフラトンとカーバトンを用いた複数場モデルについて議論した。カーバトン理論の特徴として曲率揺らぎの非ガウス性を紹介し、将来的な観測による制限が課された場合ではカーバトンは

sudden-decay ではなく数値計算を用いて扱う必要がある。また、本研究の主題である、Planck の観測に一致する複数場モデルの検証については、紹介した値であれば観測と一致するモデルを考えられるという結論に至った。しかし、今回の結果はインフラト
図 4: N = 50 が実線、N = 60 が破線のグラフ。黒ンと異なるスカラー場としてカーバトンを採用したと灰色の線の内側が Planck の観測で許される範囲。 場合の結果である。そのため、今回の議論がより一般の場合でも成り立つのか、成り立つならば課されr は将来的な CMB の Bmode 観測で期待されるる条件は何か、等は今後の研究の課題である。

10−3 のオーダーまで観測可能と考える。結果を見ると p = 2 の場合では Planck の観測とは一致しないことがわかる。例として ns = 0.965 の時の各モデルのR の値の組合せを以下に示す。

Reference(1.)Planck 2018 result. X. Constraints on inﬂation

N = 50 : Rp=4 = 90, Rp=6 = 707, Rp=8 = 1681 (21) (2.)Misao Sasaki,Jussi Väliviita&David Wands(2006),arXiv:astro-ph/0607627v3
N = 60 : Rp=4 = 6, Rp=6 = 352, Rp=8 = 993 (22)以上のような組み合わせが実現すれば、カーバト
ン理論における複数場では Planck の観測結果に一致(3.)Tomohiro Fujita,Masahiro Kawasaki&Shuichiro
Yokoyama(2014),arXiv:1404.0951v2

——–index

重宇 18
Inﬂation in the Palatini formalism
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
三倉祐輔

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Inﬂation in the Palatini formalism
三倉 祐輔 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract2
Non-minimal coupling を持つ重力理論は観測的にも興味深く、幅広く研究されている。本研究では ξϕ2 /Mplの non-minimal coupling を持ちポテンシャルが ϕn であるインフレーションモデルの観測量, スペクトル指数 ns とテンソルスカラー比 r がインフレーションの e-folding 数 N を用いて Palatini formalism でどう表現されるか調べる。計量と接続を独立な変数とする Palatini formalism と計量のみが変数で接続はよく知る

Levi-Civita 接続で与えられるとする metric formalism は Einstein-Hilbert 作用においては同じ物理を記述することが知られている。しかし non-minimal coupling を含むインフレーションモデルを考えるとき、２つの形式で接続の書式が異なり、minimal な作用での場の再定義に違いが現れる。それに応じてインフレー
ションの観測量も異なってくる。Palatini formalism において、スカラー場と重力の結合が強い状況 ξ ≫ 1
は n = 4 の時のみ許されることがスローロールパラメーターを用いて計算でき、metric formalsim の予言と比較して、ns は変えずに r を小さくすることができる。n ̸= 4 の場合は weak coupling のみ許されて、十分に小さい時は chaotic inﬂation と等価となる。

1

Introduction

ランジアン

インフレーション理論は平坦性問題や地平線問題

LJ =といったビッグバン宇宙論が抱える初期状態に関す

√

[

2
Mpl
−g
2

(

ϕ2
1+ξ 2
Mpl

)
R

λ
1
− ∂ µ ϕ∂µ ϕ − ϕn2nる問題を解決するために提唱された。スカラー場 (インフラトン) がポテンシャルをゆっくり転がること](1)

で急激な加速膨張が実現し、インフラトンの量子揺をスタート地点とし、インフレーション理論の観測

らぎにより宇宙の豊かな構造ができたと考えられて量である スペクトル指数 ns とテンソルスカラー比 rいる。CMB の観測によりインフレーションモデル

の e-folding 数を用いた書式を求め、観測と比較しては制限されており、chaotic inﬂation のような単純整合的かどうかを調べる。先行研究 [3] では n = 2, 4なモデルは観測的に好ましくないことが知られていの状況で２つの幾何学 (metric formalism と Palatiniる。このような単純なインフレーションモデルから

formalism) を用いて議論している。そのため本発表の１つの拡張として、スカラー場と重力の結合を加は先行研究のレビュー＋少しの拡張という位置付け

える non-minimal inﬂation と呼ばれるものがある。 で、特にあまり知られていない Palatini formalism
chaotic inﬂation に non-minimal coupling を加える に主眼を置く。
ことでテンソルスカラー比は minimal の時に比べて小さくなり、観測的に好ましいパラメータ領域に予言を与えることが知られている。また、non-minimal

2

Preparations

coupling を含むモデルを考える際、通常の一般相対今回扱うモデルは１つのスカラー場のみを考える論で用いられる幾何学とは異なるものを考えることが、重力との結合があるためよく知られている min-ができる。その異なる幾何学を採用すると、予測さimal な場合で計算された摂動は直接適用できない。

れるインフレーションの観測量にも差異が生じるこ

この節では異なる幾何学の扱いとよく知る摂動計算とが知られており活発に研究されている。[1, 2]の適用方法、また幾何学の違いにより現れるものを本発表では non-minimal coupling を含む以下のラグ説明する。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.1

frame から Einstein frame へと移ることが可能であPalatini formalism

多くの人にとって馴染み深い一般相対論は計量 g を基本変数とし、接続に対する条件である torsion free(Γρµν = Γρνµ ) と metric compatibility (∇ρ gµν = 0)
を課して理論が構築される。この計量のみを変数とする形式は metric formalism と呼ばれる。このような幾何学を採用すると、接続は計量を用いてり、この変換を conformal 変換と呼ぶ。Conformal
変換を施すと Jordan frame での曲率項は
(
)
√
√
ϕ2
−g 1 + ξ 2 R → −g̃ R̃
Mpl

(4)

となり、よく知る一般相対論と同じ形になることが計算できる。ここでチルダは Einstein frame における

1Γρµν = g ρλ (∂µ gνλ + ∂ν gµλ − ∂λ gµν )2(2) 量であることを意味するが今後は必要な箇所以外のチルダは省略する。conformal 変換 を使って minimalと一意に表され, これはよく Levi-Civita 接続と呼ば な作用を求めることになるが、この変換を施す際にれる。しかし、接続の定義には本来計量を導入する必

２つの formalism で違いが現れてくる。リッチスカ

要はないため接続が Levi-Civita 接続で書かれる必要

ラー R の変換は接続がどう変換されるかで決まり、はない。接続と計量を結びつける条件 metric compat-2Ω2 = 1 + ξϕ2 /Mplとすると、Palatini formalism とibility を外し、接続も計量と同じく自由度として扱

metric formalism においておうというのが Palatini formalism と呼ばれる形式である。Einstein-Hilbert 作用を Palatini formalism

R = Ω2 R̃

の視点で見てみると、接続による変分により接続が˜ µ∇ Ω
R = Ω (R̃ − 6Ω∇

Levi-Civita となるような拘束条件 ∇ρ gµνと Palatini formalism は等価な理論となることがわかる。本発表で扱うような non-minimal coupling を持
2
つような状況では、(1) の曲率項は Ω2 := 1+ξϕ2 /Mpl

を用いて

L=

[

2
Mpl
Ω2 (ϕ)R
−g
2

−1

)

(Palatini)(5)(metric)(6)= 0 が導かれる。つまり minimal な作用では metric formalism

√

˜µ

2

]

と変換される。conformal 変換後のラグランジアンは
[
2
2
Mpl
Mpl
+ ξϕ2 + 6κξ 2 ϕ2√2
LE = −gR−
2 + ξϕ2 ) (∂ϕ)
2
2Ω2 (Mpl
]
λ ϕn
(7)
−
n Ω4

(3) と表されて、κ = 1 が metric formalism、κ = 0 がPalatini formalism に対応する。摂動計算は minimalと 表 さ れ る 。こ れ を 接 続 で 変 分 す る と√∇ρ (Ω2 −gg µν ) = 0 と な り、ス カ ラ ー 場 の 寄与が含まれるため明らかに Levi-Civita 接続ではな
2
い。場の値が小さくなり ξϕ2 /Mpl
が 1 より十分に小さくなると、接続は Levi-Civita 接続となり一般相対論と等価となる。

gravity sector+ canonical scalar+potential のセットアップで計算されることから、(7) の運動項を新しい場 χ で再定義する。χ と ϕ の関係は√
2 + ξϕ2 )Ω2 (ϕ)(Mpl
dϕ=
2 + ξϕ2 + 6κξ 2 ϕ2
dχ
Mpl

(8)

で与えられ、新しい場 χ とポテンシャル U (χ(ϕ)) :=2.2

Conformal 変換

インフレーションの摂動量は通常 minimal な frame

λϕnnΩ4 とすることで

L=

√

[

]
2
Mpl
1
2
−g
R − (∂χ) − U (χ)
2
2

(9)

で計算される。本発表のように non-minimal couplingを持つ frame(Jordan frame) を扱う場合はまず min-と書き直すことができる。このラグランジアンではimal coupling の frame(Einstein frame) への変換を

もはや non-minimal coupling は存在せず、よく知る

施し、その後に摂動計算をすることが一般的である。 摂動計算を直接適用することができる。
2計量の変換 g̃µν = (1 + ξϕ2 /Mpl)gµν により Jordan

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

ϕn ポテンシャル

3strong coupling を考えることができない。そのため、ここでの主題は、(1) で書かれるモデルの Palatini

解析的に考える際は ξ ≪ 1 である weak coupling とξ ≫ 1 かつ n = 4 である strong coupling の２つを考
formalism での観測量 ns と r が e-folding 数 N を用 えれば良い。
いてどう表されるかを調べることである。インフレー
ションの重要な観測量であるスペクトル指数 ns とテンソルスカラー比 r はスローロールパラメーター
2
Mpl
ε=
2

(

U,χ
U

)2
,

2
η = Mpl

U,χχ
U

3.1.1

Weak coupling: ξ ≪ 1

まず場の値と e-folding 数 N の関係をみてみる。

(10)

e-folding 数はを用いてN (χ) =
ns = 1 − 6ε + 2η,r = 16ε

1
2
Mpl

(

∫ χ
dχU
χend

dU
dχ

)−1
(17)

(11)
と定義され、と表される。ここで U,χ := dU/dχ とする。スロー
ロールパラメーターを計算するのに必要な情報は Ein-

stein frame でのポテンシャル U とその二階微分までで、それらは Jordan frame での場 ϕ を用いて[]
2n + (n − 4)ξϕ2 /Mpl
1
log
(18)
N=
2
2ξ(n − 4)
n + (n − 4)ξϕ2end /Mplと計算される。インフレーション終了時の場の値を

n

λϕ
(12)
4
nΩ
(
)
λ nϕn−1
ϕn+1 ξ
U,χ =
−
4
(13)
2
n
Ω3
Ω5 Mpl(λ n(n − 1)ϕn−2
ϕnU,χχ =− ξ(7n + 4) 4 2
2
n
Ω
Ω Mpl
)
ϕn+2
+20ξ 2 6 4
(14)
Ω Mpl
U=

代入することで場の値と e-folding 数の関係を得ることができる。インフレーションの終わりは ε = 1 で定義されることから、インフレーション終了時の場の値は (12),(13) よりnε = 1 ⇒ ϕend ≃ √ Mpl
2(19)となる。この値を e-folding 数 (18) に代入し、さらに

ξN ≪ 1 を課すとと表される。

2
ϕ2 ≃ 2nN Mpl(20)を得る。場の値と e-folding 数が結びついたことから

3.1

Coupling parameter ξ

観測量を e-folding 数で書ける。スペクトル指数とテ

ξ はスカラー場と重力の結合具合を決めるパラメー

ンソルスカラー比は

n+2− (n2 − 8n + 8)ξ
2N
4nr=+ (8n2 − 64n)ξ
N

ターでモデルの予言値に深く関わっている。まずス

ns − 1 = −カラー場と重力場が強く結合している状態 ξ ≫ 1 を考える。ξ ≫ 1 を考えると、スローロールパラメー
ターは

(21)
(22)

と表される。これは non-minimal coupling がない状

1ε ≃ (n − 4)2 ξ
2η ≃(n − 4)2 ξ(15) 況、つまり chaotic inﬂation と同じとなる。
(16)と書ける。n ̸= 4 のとき、スローロールパラメーター

3.1.2

Strong coupling: ξ ≫ 1

は ξ 程度のオーダーとなり ε, |η| ≪ 1 というスロー

Non-minimal coupling が強く働く状況 ξ ≫ 1 を考ロール条件を破ってしまう。つまり n ̸= 4 の時はえる。この状況は n = 4 のみ許されて、この時のス2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ローロールパラメーターは
(
)
(
)
1
1
1
5 1
ε=
1
−
η
=
−2
+
8ξN 2
8ξN
2N
8 ξN
(23)

理論で計量のみが自由度とされ、Palatini formalismとなり、観測量のリーディング項はの拡張として ξϕ2 で重力と結合しポテンシャルが ϕn

2
N
2
r≃
ξN 2

ns − 1 ≃ −(24)は計量と接続を独立な変数として扱う理論である。２つの formalism は異なる幾何学であるため予言される観測量も当然異なってくる。chaotic inﬂation からを持つモデルを考える。インフラトンと重力の結合の強さはパラメーター ξ で表されていて、十分小さい(25) ときは結合のない状況、つまり chaotic inﬂation と同じとなり、結合が強いときは chaotic inﬂation ととなる。ξ の値が十分大きければ Palatini formalism の違いが現れる。Palatini formalism を採用すると、を用いた時のテンソルスカラー比の値はとても小さϕ2 の結合に対して ϕ4 のポテンシャルでしか強結合くなることがわかる。ξ の大きさはスカラー揺らぎの状態が許されないことが計算で示される。強結合のパワースペクトルの観測で評価できる。パワースを持つとき、十分大きい ξ を与えるとテンソルスカ

ペクトルは

ラー比は ξ に反比例するためとても小さくなること

P=

がわかる。

2

1
U
AN
4 ε ⇒ P ≃ 12πξ24π 2 Mpl

(26)で与えられて、観測的にこのパワースペクトルは P =2.1 × 10−9 とわかっており、(1) の coupling constantAcknowledgement

議論して下さった名古屋大学宇宙論研究室の皆様、
λ が小さすぎなければ ξ は十分大きくなる。Metric 夏の学校の関係者の皆様に感謝申し上げます。
formalism における ϕ4 モデルの r の予言値はrmetric =

12
N2

(27)

Reference−3と計算されており、N = 60 で O(10言する。r ∼ 10

−3

) 程度の値を予 [1] Tommi Tenkanen. Tracing the high energy theory of gravity: an introduction to Palatini inﬂa程度の感度がある LiteBIRD で重力波が見つからなかった場合、non-minimal couplingを持つ ϕ4 モデルは metric formalism では棄却されるが、Palatini formalism を考える場合は観測的に
許される。

4

Summary
Planck [4] 等の観測により、最も単純なインフレー

ションモデルである chaotic inﬂation が好ましくないことが明らかになり、単純な模型からの拡張が幅広く研究されている。Non-minimal coupling を持つモデルもその１つの例であり、その中に整合的なモデルも存在する。 Non-minimal coupling を持つモデルを用いてインフレーションの観測量を計算する際、Palatini formalism と metric formalism と呼ばれる異なる重力理論を背景理論とすることが可能である。

metric formalism は一般相対論でよく用いられる重力tion. Gen. Rel. Grav., 52(4):33, 2020. doi: 10.1007/
s10714-020-02682-2.
[2] Florian Bauer and Durmus A. Demir. Inﬂation with
Non-Minimal Coupling: Metric versus Palatini Formulations. Phys. Lett. B, 665:222–226, 2008. doi:
10.1016/j.physletb.2008.06.014.
[3] Tomo Takahashi and Tommi Tenkanen. Towards
distinguishing variants of non-minimal inﬂation.
JCAP, 04:035, 2019. doi: 10.1088/1475-7516/2019/04/035.
[4] Y. Akrami et al. Planck 2018 results. X. Constraints
on inﬂation. 7 2018.

——–index

重宇 19
インフレーションにおける原始揺らぎの非ガウス性について京都大学理学研究科物理学・宇宙物理学専攻
柄本耀介

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

インフレーションにおける原始揺らぎの非ガウス性について
柄本 耀介 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
単一のスカラー場、インフラトンによるインフレーションのモデルにおいて生成される曲率揺らぎのバイ
スペクトルが、場の理論を用いてどのように計算されるかを紹介する。また、得られたバイスペクトルは、その値が最も大きくなる極限 (squeezed limit) においてパワースペクトルの積で書くことが出来、これを用いて CMB の観測によって単一のスカラー場によるインフレーションのモデルが棄却される可能性があったことを紹介する。

1

Introduction

2

バイスペクトルの計算

現在の宇宙の構成や銀河などの構造は、そのすべ

ここではまず、パワースペクトルの計算方法を述てが宇宙初期に存在していた場の揺らぎ、「原始揺らべる。まず一様等方な時空中でのメトリック、およぎ」が成長して形成されたと考えられている。宇宙びインフラトン ϕ の作用は初期にはインフレーションと呼ばれる宇宙全体が加速膨張していた時期があったと考えられており原始

ds2 = −dt2 + e2ρ(t) dx2(1)

揺らぎもこの時期に生成されたと考えられているが、現在の観測と整合性のとれる範囲の原始揺らぎのパ
ワースペクトルを予言するインフレーションのモデ
ルの数は現在でもまだまだ多く、それらから正しいモデルを選択するためにはバイスペクトル以上の高次のスペクトルについて議論されなくてはならない。

S =SEH + SInf l∫√m2dx4 −gR−
= Pl
2
∫
√
1
−
dx4 −g(∂µ ϕ∂ µ ϕ + V (ϕ))2(2)

ある揺らぎがガウス分布に従う場合バイスペクトと書ける。ここで eρ(t) : スケール因子（ρ̇(t) がハッ

ルはゼロになるため、ノンゼロのバイスペクトルを

ブルパラメーター）である。次にインフラトンとメ

持つ揺らぎは「非ガウス的な揺らぎ」と呼ばれるが、 トリックに摂動を加える。
インフレーションのモデルを制限するためにもバイスペクトルを解析的に計算し原始揺らぎの非ガウス性について定量的な議論がなされる必要があるのである。
単一のスカラー場におけるインフレーション中に生成される曲率揺らぎのバイスペクトルは Malda-

ϕ(t, x) = ϕ̄(t) + δϕ(t, x)(3)gµν (t, x) = ḡµν (t) + δgµν (t, x)(4)

座標変換の自由度、および作用を ADM 分解した時に課される二つの束縛条件を用いてゲージを固定すると、スカラー型の摂動量については

cena[1] において初めて計算された。以下ではまず三 uniform field gauge

章においてバイスペクトルがどのように計算される
δϕ(t, x) = 0
かを概観し、その後四章で得られたバイスペクトルg (t, x) = −dt2 + e2ρ(t)+2ζ(t) dx2µν
を CMB のバイスペクトルと比較することでインフ
レーションのモデルが制限されることを紹介する。 flat slicing gaugeδϕ(t, x) = φ(t, x)g (t, x) = −dt2 + e2ρ(t) dx2
µν

(5)

(6)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

率揺らぎであり、単一のスカラー場によるインフレー

3 つ含むため、|0⟩ に作用した時に明らかに 0 になる。
この意味で曲率揺らぎ ζ はガウス的だといえる。

ションにおいてはホライズンスケールを超えると一しかし、ここでは作用 S の二次の摂動までしか考の二つの便利なゲージがとれる。ここで ζ(t, x) は曲定値になる。

えていなかった（式（７））ことを思い出すと、式（１uniform field gauge を用いて作用 (2) を摂動展開
すると、

１）中の |0⟩ の時間発展は作用の三次摂動から得られ

δS = S(1) + S(2) + · · ·るラグランジアンから摂動ハミルトニアン Hint を構成して相互作用描像で考えなくてはならない。すな(7)

摂動の一次 S(1) は EOM そのものでありゼロとなる。
すなわち摂動の最低次は二次の作用 S(2) であり、∫S(2) = dtLf ree∫)
1ρ̇4 ( 2=dx4 e3ρζ̇ − e−2ρ ∂i ζ∂ i ζ
(8)
2
ϕ̇2

わち、

δS = S(2) + S(3) + · · ·∫∫≡ dtLf ree + dtLint + · · ·(12)ζ̂I (t) ≡ eiHf ree t ζ̂(t)e−iHf ree t(14)

Uint (t) ≡ T e−i∫dt′ Hint

(13)

(15)

これは調和振動子の作用そのもの（ただし時間とと

として、
⟩
⟨
ζ̂k⃗1 (t)ζ̂k⃗2 (t)ζ̂k⃗3 (t)とんど同じ方法で正準量子化してパワースペクトル⟨⟩を得ることが出来る。まず Bunch-Davis 真空をとっ−1= Ω Uint(t)ζ̂I k⃗1 (t)ζ̂I k⃗2 (t)ζ̂I k⃗3 (t)Uint (t) Ω (16)て ζ を量子化するととしなければならない。ここで |Ω⟩ は全ハミルトニ
ρ̇2
fk (t) =(1 − ikη)(9) アン H = Hf ree + Hint の基底状態である。
2k 3 ϕ̇
あとは Lint の具体形さえ求めれば (16) は計算できを用いてるが、Lint を得るのは困難を伴う。なぜなら、(12) 式∫
3 ()
に従って作用を三次まで展開してもどの項がスロー
dk
⃗
i⃗
k·⃗
x
∗
â⃗† e−ik·⃗xζ̂(t, x) =+ fk(t)3 fk (t)â⃗ke
ロール条件下でドミナントか分からないからである。
k(2π)(10) しかし、もう一方のゲージ（6）を用いて摂動展開す
もに角振動数が減衰）であり、通常の場の量子論とほとなる。したがって時刻 t における de Sittor 時空でると、このゲージではどの項がスローロール条件下のパワースペクトル Pk は、十分初期には揺らぎはでドミナントか分かる形になる。つまりゲージ (6) をBunch-Davis 真空中にいたと仮定して用いてパワースペクトルの計算をすればよいように

3(2π) δ 3 (⃗k1 + ⃗k2 )Pk1⟨⟩
≡ ζ̂k⃗1 (t)ζ̂k⃗2 (t)⟨⟩iHf ree t−iHf ree t= 0eζ̂k⃗1 (t)ζ̂k⃗2 (t)e0

思われるが、このゲージに出てくる摂動量 φ(t, x) はホライズンの外側で保存せず、しかもゲージ不変な量ではない。従ってまずゲージ (6) によって作用を摂動展開し、どの項がドミナントか特定した後ゲー
ジ（5）と（6）の間の関係式

4

ρ̇
ρ̇
2
(17)
ζ=− φ
(1 + (k1 η) )
(11)
3 2
ϕ̇
2k1 ϕ̇
ρ˙∗ 4を用いてゲージ (5) で作用の三次の項を計算すれば
3→ (2π) δ 3 (⃗k1 + ⃗k2 )(superhorizon scale)3 ˙ 2
よい。その結果
2k1 ϕ∗3= (2π) δ 3 (⃗k1 + ⃗k2 )となる。ここで⟨ η は共形時間。バイスペクトルを得⟩るには同様に ζ̂k⃗1 (t)ζ̂k⃗2 (t)ζ̂k⃗3 (t) を計算したら良いように思われるが、これは ζζζ という積が â† や â をζ = ζc +

(
)
ϕ̇2
ϕ̇2
ϕ̈ 2
ζc + 2 ζc2 + 2 ∂ −2 ζc ∂ 2 ζc + · · ·
8
ρ̇
4
ρ̇
2ϕ̇ρ̇
(18)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校を用いて∫S(3) =

3∫dtLint =4dx4

ϕ̇ 5ρ ˙ 2 −2 ˙e ρ̇ζc ∂ ζc + · · ·
ρ̇4
(19)

CMB の温度異方性のバイスペ
クトルとの比較

CMB の温度異方性のバイスペクトルは曲率揺らぎ
ζ のバイスペクトルによって与えられる [2]。ζ の非を得る。ここで (18) 式の · · · はホライズンの外側でガウス性を与える一つの有力なモデルとして、局所減衰する項とスローロールパラメーターの高次の項
型非ガウス性と呼ばれるモデルを考える。このモデを表し、(19) の · · · はスローロールパラメーターのルでは ζ はガウス分布に従う ζg を用いて高次の項を表す。
3
Hint = −Lint として (16) のバイスペクトルの計ζ(t, x) = ζg (t, x) + fN L ζg2 (t, x)
(23)
5
算結果は
と書かれる。ここで fN L は定数。すると ζ のバイス⟨⟩ζ̂k⃗1 (t)ζ̂k⃗2 (t)ζ̂k⃗3 (t)
ペクトルは
⟨
⟩
ρ˙∗ 8
A∗
3
ζ̂
(t)
ζ̂
(t)
ζ̂
(t)
(20)
= (2π) δ 3 (⃗k1 + ⃗k2 + ⃗k3 )
k⃗1
k⃗2
k⃗3
4
3 3 3
8ϕ˙∗ m4P l k1 k2 k3(
63= (2π) δ 3 (⃗k1 + ⃗k2 + ⃗k3 ) fN L Pk1 Pk3 +5)2ϕ̈∗ ∑ 3+ Pk1 Pk2 + Pk2 Pk3
(24)
A∗ =
ki +
ϕ̇∗ ρ̇∗ i∑となる。Pk ∝ k ns −4 であり、ns ≃ 0.96 なのでバイ[2 2 ]ϕ̇2∗ 1 ∑ 3 1 ∑i>j ki kj
2+ 2
ki kj + 4
k +スペクトル (24) もやはり k1 → 0 極限で最大となる。
ρ̇∗ 2 i i2
k1 + k2 + k3i̸=j
このとき (24) 式中のパワースペクトル二つずつの積(21) のうち P を含む項がドミナントになり、係数のδk1となる。(20) 式より明らかに k → 0 でバイスペク
トルは大きくなる。三つの ki を 0 にする極限が発散するのは係数のδ関数の存在（時空の一様性を表す）より自明であり、二つの波数のみを 0 にもっていく極限は同じく係数のδ関数の存在により結局三つの波数すべてを 0 にする極限と同一になるためこれも自明に発散。非自明な一つの波数 k1 → 0 の極
限 (squeezed limit) を考えると⟩⟨
lim ζ̂k⃗1 (t)ζ̂k⃗2 (t)ζ̂k⃗3 (t)関数より k2 ≃ k3 。つまり、⟩⟨
lim ζ̂k⃗1 (t)ζ̂k⃗2 (t)ζ̂k⃗3 (t)
k1 →0

(
)
12
3
= (2π) δ 3 (⃗k1 + ⃗k2 + ⃗k3 ) fN L Pk1 Pk3
5(25)を得る。これと (22) 式を比較することによって

12
f N L = 1 − ns5(26)となるので、これを用いて単一のインフラトンによるインフレーションの棄却について議論できる [5]。

k1 →0

(22)

ns ≃ 0.96 より (26) 式は fN L ≃ 0.02 を示唆する。
2002 年の時点では COBE 衛星による CMB の観測を得る。ここで ns はスペクトルインデックス。(22)から −58 < fN L < 134 が示唆され [3]、fN L が 1 よ3 3 ⃗= (2π) δ (k1 + ⃗k2 + ⃗k3 )(1 − ns )Pk1 Pk3式より単一のインフラトンによるインフレーション

り十分大きな値を持つ可能性が指摘されていた。こにおける曲率揺らぎのバイスペクトルは、その値がの場合 (26) 式は破綻し、単一のインフラトンによる最も大きくなる極限においてパワースペクトルの積

インフレーションは棄却される。しかし、2015 年ので書けることがわかる。

Planck 衛星が得たデータにより fN L = 0.8 ± 5.0 が与えられ [4] これは fN L ≃ 0.02 と矛盾しない。つまり単一のインフラトンによるインフレーションのモ
デルは生き残った。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Acknowledgement
本講演に関して数多の面でサポートしていただいた天体核研究室および基礎物理学研究所宇宙グループの先輩方、同期の方々に感謝いたします。

Reference[1] J.Maldacena, arXiv:astro-ph/0210603[2] E.Komatsu, arXiv:astro-ph/0206039[3] E.Komatsu et al., arXiv:astro-ph/0302223[4] Planck Collaboration, Astron. Astrophys., 594,
A17 (2016)[5] 小松英一郎「宇宙マイクロ波背景放射」新天文学
ライブラリー（日本評論社, 2019）

——–index

重宇 20
背景重力波の非ガウス性の直接観測可能性
東京工業大学理学院
岡野創

未提出

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重宇 21
重力相互作用による量子もつれの生成
九州大学理学府物理学専攻
三木大輔

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力相互作用による量子もつれの生成
三木 大輔 (九州大学大学院 理学府 物理学専攻)

Abstract
量子重力について、多くの理論的研究が行われてきたが、未だ確立した理論はない。これは実験による検証の欠如が一つの要因となっているが、近年、量子情報の量子もつれを利用した重力の量子性の検証模型がいくつか提案された。量子もつれは量子的な操作によってのみ生成されるという性質があるため、重力により量子もつれが生成されれば、重力は量子性をもつと言える。本講演では、この実験模型の一つ [1] をレビューする。この模型では、2 つの粒子を重力により相互作用させた時に、量子もつれが生成されるかを議論する。
この時、粒子は周りの環境とも相互作用するので、系を量子開放系として考える必要がある。これにより、粒子は環境によるデコヒーレンスの影響を受け、量子もつれは生じにくくなる。このような着目系と環境からなる系について、マスター方程式から密度行列を求め、量子もつれが生成するための条件及び量子もつれの観測できる時間スケールを議論する。

1

Introduction

その周りの環境と相互作用するので、系を量子開放系として考える必要がある。この時、着目系は環境

重力が量子力学に従うのかということは物理学において基礎的な問題の一つである。重力を記述する
一般相対性理論と量子力学の統一に対し、量子重力理論など様々な理論が提案されているが、完成には至っていない。この要因として、これらの理論の実験的検証が困難であることがあげられる。しかし、近年の技術的な発展により、質量の大きな粒子を重ねによるデコヒーレンスの影響を受ける [3]。デコヒー
レンスとは、着目系と環境の相互作用により、着目系の量子性が喪失する現象のことである。また、着目系が量子的にもつれている際には、環境によるデ
コヒーレンスにより、着目系の量子もつれは次第に失われてしまう。よって、着目系と環境の相互作用が弱い間しか量子もつれは観測できない。

合わせ状態にすることが可能になってきた。これを契機に、重力の量子性を検証する実験模型がいくつか提案された。これらの検証には、量子情報の量子
もつれが用いられる。
量子もつれは、量子力学特有の非局所的な相関で

本講演では、実験模型の一つである [1] についてレビューする。ここで、環境は調和振動子の集まりとし [3]、それによるデコヒーレンスも考慮する。また、密度行列をマスター方程式から求め、2 つの粒子間の量子もつれについて議論する。

あり、量子情報の分野において、LOCC(local opera-

tions and classical communication) では生成されないことが知られている。LOCC とは、A と B の 2 つの系に対し、どちらか一方の系のみに任意の量子操作を行う (局所操作)、または一方の系の古典的な情報をもう一方の系に送る (古典通信) 操作のことである [2]。LOCC の操作で量子もつれが生成されないことは、量子もつれを生成するには非局所的な量子操作を行う必要があることを意味する。よって、重力により量子もつれが生成されれば、重力は量子性をもつということができる。
粒子の間の量子もつれを評価するときに、粒子は2

Methods

2.1

実験模型のセットアップ

この節では、提案された実験模型について詳しく述べる。図 1 のように、質量 m1 , m2 をもつ 2 つの粒子を距離 d 離して置く。その後、Stern-Gerlach の実験を利用し [3]、スピンにより、それぞれの粒子を距離 L 離れた位置の重ね合わせ状態にする。この時、重ね合わせの方向は粒子の並ぶ方向と直交するよう2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
力ポテンシャルによるハミルトニアンは∆∆′
σz1 ⊗ σz2 −I1 × I2 ,
2
2


1
1
∆ = Gm1 m2−√d
d2 + L2
1
1′∆ = Gm1 m2+√,d
d2 + L2
H=−

(2)
(3)
(4)

として、表すことができる。ここで、I は単位行列で(a)あり、σz はパウリ行列である。このハミルトニアン
により状態を時間発展させる。

2.2

全体系の状態

この時、粒子を取り巻く環境の影響を考える。2 つ(b)

図 1: (a)：実験模型のセットアップ。2 つの粒子は距
離 d 離れており、Stern-Gerlach の実験にように、それぞれ距離 L 離れた位置の重ね合わせ状態にする。

の粒子は粒子間の重力相互作用だけでなく、周りの環境とも相互作用する。ここでは、spin-boson 模型を考える [3]。各粒子は演算子 σz の固有状態 |↑⟩、|↓⟩で表され、環境は調和振動子の集まりとし、粒子のここで、粒子の並ぶ方向と重ね合わせの方向は直交

位置演算子 σz のみとカップルする。また、粒子 1 とするように用意する。また、それぞれ左側の状態を

粒子 2 は独立に環境と相互作用すると仮定し、それの後、最初に重ね合わせにした時と逆に、元の位置

i = 1, 2 として、それぞれの粒子を表す。この時、着i|↑⟩、右側の状態を |↓⟩ として表す。このような重ね合 ぞれの粒子と環境の相互作用は Hint = σzi ⊗ E と表す。ここで、E は環境に作用する演算子であり、わせ状態にある粒子が重力により相互作用する。そに戻し、干渉させる。(b)：平面における位置の重ね合わせ状態。それぞれの粒子は長方形の頂点に位置する。また、2 つの粒子は近い位置では d、遠い位置√
では L2 + d2 離れている。
に用意する。また、重ね合わせ状態について、左の位置にある状態を |↑⟩、右の位置にある状態を |↓⟩ と表す。この状態を初期状態として、目系の密度行列の時間発展はマスター方程式に従い、iκdρ(t) = − [H, ρ(t)] − [σz1 ⊗ I2 , [σz1 ⊗ I2 , ρ(t)]]dtℏ4κ− [I1 ⊗ σz2 , [I1 ⊗ σz2 , ρ(t)]],(5)4となる。ここで、κ はデコヒーレンス率と呼ばれ、時間の逆数の単位を持つ。右辺第一項はユニタリー発展を表し、右辺第 2 項、第 3 項は環境と各粒子の相互作用によるデコヒーレンスを表す。この方程式を
11|Ψ(0)⟩ = √ (|↑1 ⟩ + |↓1 ⟩) ⊗ √ (|↑2 ⟩ + |↓2 ⟩), (1) 解くと


2
2
∆
∆

と表す。ここで、2 つの粒子に働く重力を考える。2つの粒子が近い位置にある状態 |↑1 ⟩ |↑2 ⟩、|↓1 ⟩ |↓2 ⟩について、重力ポテンシャルは −Gm1 m2 /d となる。また、遠い位置にある状態 |↑1 ⟩ |↓2 ⟩、|↑1 ⟩ |↓2 ⟩ で√は、−Gm1 m2 / d2 + L2 となる。行列の基底状態を{|↑1 ⟩ |↑2 ⟩ , |↑1 ⟩ |↓2 ⟩ , |↓1 ⟩ |↑2 ⟩ , |↓1 ⟩ |↓2 ⟩} ととると、重1 −i ∆ t−κtℏe1ρ(t) = −i ∆ t−κt
4
 e ℏ
e

−2κt

ei ℏ t−κtei ℏ t−κt

1

−2κt

e

e

e−2κt

1

i∆
ℏ t−κtei ℏ t−κt

∆

e−2κt



,

−i ∆
t−κt
e ℏ

1

e

−i ∆
ℏ t−κt(6)と な る 。こ こ で 、行 列 の 基 底 状 態 は{|↑1 ⟩ |↑2 ⟩ , |↑1 ⟩ |↓2 ⟩ , |↓1 ⟩ |↑2 ⟩ , |↓1 ⟩ |↓2 ⟩}とする。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校と定義する。ここで、{λi } は (9)、(10) の 4 つの固また、初期状態は

ρ(0) = |Ψ(0)⟩ ⟨Ψ(0)|

1 1 1

1 1 1 1= 4
 1 1 11 1 1有値に対応する。これより、固有値の少なくとも一1

つが負をとれば、N > 0 であり、固有値がすべて正であれば、N = 0 となる。


1 
,
1 

1

(7)

とする。

2.3

量子もつれの評価

密度行列から量子もつれを評価する際、PPT cri-

terion と呼ばれる条件を用いる。これは、密度行列の部分転置をとった行列の固有値のうち、少なくとも一つが負の値をとっていれば、系はエンタングルし

図 2: (11) で表される固有値 λ の振る舞い。横軸はているという条件である [4]。部分転置とは、どちらκt で無次元化され、ω = ∆/ℏκ ととる。ω ≤ 1 の時、か一方の粒子の基底のみに対し転置をとる操作であ常に 0 以上の値をとる。また、ω > 1 の時、初期にる。ここで、密度行列の成分を 2 ⟨i| 1 ⟨j| ρ(t) |k⟩1 |l⟩2>負をとるが、κt ∼1 では常に正となる。

のように、それぞれの基底で表した時、粒子 2 について部分転置を取ると 2 ⟨l| 1 ⟨j| ρ(t) |k⟩1 |i⟩2 のように、粒子 2 についてのみ転置される。また、部分転
置をどちらの粒子に対して行っても、部分転置後の行列の固有値は等しくなる。ここでは、粒子 2 について (6) の部分転置をとると、

ρ(t)T2 =1ei ℏ t−κt

1

e−2κt

∆

 i ∆ t−κt
ℏ
1
 e ∆
−i ℏ t−κt
4
e

e−2κt

e−i ℏ t−κte−2κt∆ei ℏ t−κt

e−2κt

∆




∆
e−i ℏ t−κt ,∆ei ℏ t−κt 11e−i ℏ t−κt∆(8)となる。この行列について、固有値を求めると、


1 −κt
∆
λ± = esinh(κt) ± sin( t) ,
(9)
2
ℏ


1
∆
λ′± = e−κt cosh(κt) ± cos( t) ,(10)2ℏとなる。ここで、常に λ′± > 0 は成立するので、負をとりうる固有値は λ± である。これらをまとめると


1 −κt
∆
λ= e
(11)
sinh(κt) − sin( t) ,
2
ℏ

N =

λi <0

|λi | =

X |λi | − λii2.

ω ≤ 1 の時、常に 0 となる。また、ω > 1 の時、初>期に正の値をとるが、κt ∼1 では常に 0 となる。

3

Results and Discussion
図 2 は (11) で表される固有値 λ、図 3 は対応する

ネガティビティ N の振る舞いを示す。ここで、横軸は κt にとり、無次元化している。また、ω = ∆/ℏκと表すことができる。また、ネガティビティをX

図 3: 図 2 に対応するネガティビティ N の振る舞い。

とした。PPT criterion から固有値が負、またはネガ(12)

ティビティが正の時、量子もつれは生成される。よって、ω = ∆/ℏκ > 1 の時、 重力により量子もつれが2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校生成されることが示される。ここで、∆ は (3) で表[2] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and

される重力相互作用に対応し、 κ は デコヒーレンス

K. Horodecki 2009, Rev.Mod.Phys. 81, 865率である。重力により 2 つの粒子を相互作用させても、環境によるデコヒーレンスの影響が強いと量子もつれは生成されない。また、ω に関わらず、時間>とともに、デコヒーレンスの影響は強くなり、κt ∼1

では量子もつれは生じない。

∆/ℏκ > 1 かつ κt < 1 において、重力相互作用により生成された量子もつれを観測できれば重力の量子性を検証することができる。しかし、ここで評価したネガティビティは測定量ではないので、エンタン
グルメントウィットネスなどの別の測定量を評価し、量子もつれの生成を確認する必要がある。この研究
では、量子もつれを観測するための実験のセットアップを示した。

4

Conclusion
2 つの質量をもつ粒子について、環境の影響を考慮し、マスター方程式から粒子系の密度行列を求めることができた。また、求まった密度行列から、2 粒子間の量子もつれの生成について議論した。これにより、∆/ℏκ > 1 の時に、量子もつれが生成されることを示した。また、環境によるデコヒーレンスに>より、κt ∼
1 では量子もつれが消失することを示した。デコヒーレンスが強まる前に、量子もつれを観測することができれば、重力が量子的であることを示すことができ、この研究は観測のセットアップを与える。
今後の研究としては、2 粒子系から N 粒子系へと拡張した模型について、議論を進めている。この拡張により、多体系の間の重力による量子もつれを評価することができる。また、2 粒子系では現れていな
い、重力によるデコヒーレンスについても議論を進めている。

Reference[1] H.Chau.Nguyen and F.Bernards 2020, Eur.
Phys. J. D 74, 69[3] M.Schlosshauer, Decoherence and the quantumto-classical transition, (Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg 2007)[4] A. Peres 1996, Phys. Rev. Lett.,77, 1413

——–index

重宇 22
量子ビット回路での Hawking 輻射のモデル化によるファイアウォールの再現
大阪市立大学理学研究科数物系専攻
吉田萌生

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

量子ビット回路での Hawking 輻射のモデル化
吉田 萌生 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表は Reference(1) のレビューである．まずブラックホール (BH) の情報喪失問題について述べる．量子論を考慮すると BH は熱輻射により蒸発することが知られている．初期状態を純粋状態とすればユニタリ発
展では混合状態に変わり得ない．これは， BH の蒸発過程はユニタリ発展せず BH の情報が失われることを意味する．これを情報喪失問題と呼ぶ．この問題を解決するために，BH を別の量子系と併せて純粋化することを考える．この別の量子系を Hawking 輻射とする．BH が萎んでいき最後に輻射のみが残る描像では，BH と Hawking 輻射のエンタングルメントは 0 から増え，途中 (Page 時間) で最大値をとって再び 0 に戻るはずである．この Page の描像では Page 時間以前と以後の Hawking 輻射との間に強いエンタングルメ
ントが生じる．しかし，Hawking 輻射は放出された瞬間 BH と強くエンタングルするため，両者は量子論のモノガミーという性質から成立しえない．そこで，BH と Hawking 輻射との間の相関が断ち切られているとするのがファイアウォール仮説である．以上を量子ビットでモデル化し，仮説を検証したのが Reference(1)である．

1Introduction
Hawking の予想では，Black hole の horizon 近傍

Polchinski and Sully)Reference(2) は
4. 自由落下する観測者は horizon を通過するときに何も感じないからエンタグルした粒子ペアが生ずる．一つは遠くへ放射され，もうひとつは内部へ落ちる．horizon がと仮定して Page time 後の説明をした. 以上四つが正

縮み，BH が蒸発する．

しいには horizon を通過する観測者は通過する前にブラックホールの初期状態は純粋状態だが熱輻射は Gibbs 状態のような混合状態．しかし時間発展演

燃え尽きないといけない．そこで，AMPS は horizon
が ﬁrewall に覆われているとした．

算子はユニタリで純粋状態を混合状態にできないの論文 (1) では量子ビットで回路を作って horizon のでこれは矛盾である．従ってブラックホールの蒸発構造と Hawking 輻射を再現し，エンタングルメント

は量子論と相容れないというのが Information パラを調べる．それによってファイアウォール (JR と BH

ドックスである．

のエンタングルが断ち切られること) が出てくること

仮定 1 から 3 を置けば，Information パラドックスを目指す．

は存在しない1. BH の生成と蒸発は遠くの観測者からは量子論で記述できる，これを記述するユニタリな散乱
行列 (S 行列) が存在する．

2. 拡張された BH の外では準古典場で近似できる
A
3. SBH (M ) = 4G
,G = m−2
pl ここに A は BH の表

面積と広く考えられてきた．しかし，Page time 後を考

2

量子ビット回路モデル

2.1

セットアップ

Hilbert 空間を分ける．即ちHtotal = HBH ⊗ HJR ⊗ HER .

(1)

BH，JR，ER はそれぞれ，black hole，just radiation，

early radiation の略である．JR は BH 表面を表し，慮すると更に仮定が必要で AMPS(Almheiri, Marolf, ファイアウォール仮説を論じる際に重要になる．

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2.2

蒸発過程

る．ここに，β = 8πM は BH の逆温度，ω は輻射の蒸発過程では，例えば JR にいた粒子が次の step でER へ移る．これは SWAP ゲートで表現する．SWAP

振動数である．いま，特定の ω = ωi についてのみ考えると，|ψ⟩ = |0⟩ |0⟩ + e−4πM ω |1⟩ |1⟩ + e−8πM ω |2⟩ |2⟩ + · · ·ゲートはÛSWAP |x⟩ |y⟩ = |y⟩ |x⟩のようなユニタリ演算子．SWAP ゲートを組み合わせた図 1 では，例えば初期状態を
1 |ψ⟩initial = √ |00⟩ + |11⟩|0⟩JR |00⟩ER
BH
2となる．1/8π ≃ 0.04 ≪ M ω として|ψ⟩ ≃ |0⟩ |0⟩ + e−4πM ω |1⟩ |1⟩(8)(3) として |2⟩ |2⟩ 以降を無視すると，これは量子ビットである．この状態を作るのには，CNOT-U ゲートを用とすれば終状態は
1 |ψ⟩ﬁnal = |00⟩BH |0⟩JR √ |00⟩ + |11⟩
ER
2

(7)

(2)

いる．γ := arctan exp[−4πM ω] と置くと，式 (8) は|ψ⟩BH+JR = ÛCNOT-U |0⟩BH |0⟩JR(4)= cos γ |0⟩BH |0⟩JR + sin γ |1⟩BH |1⟩JR

となる．

(9)
である．

2.4

ブラックホールの蒸発過程

以上の量子ゲートを組み合わせて，ブラックホールの蒸発過程のプロセスを量子ビット回路でモデル化
図 1: SWAP ゲートを用いたエンタングルメントが
伝わる回路

2.3

した結果の回路図が図 2 である．|BH| = 26 , |JR| =2, |ER| = 26 とした．

Hawking 輻射

BH 内部を表す密度行列が熱平衡状態：
!
O X
ρBH ∝
|ni ⟩BH ⟨ni |BH e−βωi ni ∈ HBH
i

ni

(5)

図 2: ブラックホールの蒸発過程にある．そこで，Hawking 輻射と BH を併せた系が純粋状態：|ψ⟩BH+JR =OXie−ni βωi /2 |ni ⟩BH |ni ⟩JR

ni

3

数値計算

3.1

エンタングルメントエントロピー(6)∈ HBH ⊗ HJRにあると考える ( 式 (6) の JR をトレースアウトすエンタングルメントエントロピーを定義する前にれば式 (5) を得る)．以上の手続きは純粋化と呼ばれvon Neumann エントロピーを導入する．密度行列 ρ2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校に対して von Neumann エントロピー S(ρ) はS(ρ) := − Tr(ρ log2 ρ)で定義する．これは A と B の情報の重なりを表す量(10)で A と B が独立なら 0，

ρXY = ρX ⊗ ρY =⇒ I(X : Y ) = 0.

である．ここで二体系の純粋状態 |ψ⟩ について

TrA |ψ⟩ ⟨ψ| = TrB |ψ⟩ ⟨ψ|for|ψ⟩ ∈ HA ⊗ HB
(11)が成立する．つまりどちらの系でトレースアウトしても同じ混合状態ができる．これらを ρA , ρB と書くと，(15)

ネガティビティ

3.4

系 A と系 B の合成系の密度行列 ρA+B がX
ρA+B =
pk ρA,k ⊗ ρB,k

(16)

k

S(ρA ) = S(ρB )(12)のように書けているとき，セパラブル状態と呼ぶ．表だが，これをエンタングルメントエントロピーと呼式から判るようにセパラブル状態は純粋状態におけ

び，A, B 間のエンタングルメントの大きさを表す指るテンソル積状態と考えることができる．セパラブ

標になる．実際，

ル状態のときに 0 になり，セパラブル状態からかけS(ρA ) = 0 iﬀ

|ψ⟩ = |ϕ⟩A ⊗ |ϕ⟩B

(13)

である．

離れるほど大きくなる量としてネガティビティという量を導入する．ネガティビティN はX
PT
N (A : B) :=λPT; {λPTii } = Spec ρ1+2
λPT
i <0

3.2

(17)

Page カーブ

BH と R=JR∪ER の間のエンタングルメントエン
トロピーを計算する．すると，図 3 のようになる．図で定義される．但し，PT(Partial Transpose) は部分転置を表す．

time step 5 での相互情報量とネガ
ティビティ

3.5

密度行列は

h
i
ρ5BH2∪JR = TrER ψ 5 ψ 5 Bh2,JR,ER14


CA
0
0
EA


 0
CB EB
0 


=
EB DB
0 
 0

EA
0
0
DA

図 3: Page カーブ

ここに

3 からは Page カーブが見て取れ，step4 が Page timeにあたると判る．

3.3

相互情報量

相互情報量をI(A : B) = SA + SB − SA∪B

(18)

(14)

1
(1 + cos 2γ1 cos 2γ4 ) ,2
1
B = (1 − cos 2γ1 cos 2γ4 ) ,2
1
C = (1 + cos 2γ2 cos 2γ5 )
21
D = (1 − cos 2γ2 cos 2γ5 ) ,2
1
E = cos 2γ2 sin 2γ5
2
A=

(19)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
BH2 と JR の相互情報量を得るために ρJR ，ρBH2 と0.100

ρBH2∪JR の固有値を計算する．
1(1 ± cos 2γ1 cos 2γ2 cos 2γ4 cos 2γ5 ) ,2
1
λBH = (1 ± cos 2γ2 cos 2γ5 )2(20)1
λBH2 ∪JR = (1 ± cos 2γ1 cos 2γ4 ) cos2 γ2 ,21
(1 ± cos 2γ1 cos 2γ4 ) sin2 γ2
2

0.010

λJR =

0.001

10-4

10-5
10-4

0.001

0.010

0.100

1

BH2 と JR の相互情報量 I(BH2:JR) は，M4 ω ≪ 0.1 図 4: 横軸が M ω 縦軸が N ，青線が time step 4，黄で I ≃ (40π 2 /3)(M4 ω)2 のように振る舞い，M4 ω →0 の極限で I → 0 になる．
次にネガティビティを計算するために部分転置行
列 ρ5PT を求める．

CA

 0

ρ5PT
BH2∪JR = 
 0
EB

0

0

CB

EA

EA

DB

0

0

色線が time step 5

4

Conclusion and Discussion

Hawking 輻射のエンタングルメントについて議論


0 

0 

DA

するモデルとして量子ビット回路を考えた．量子ビッEB(21) ト回路モデルで，Page カーブを確認した．ある条件下ではファイアウォールのような構造が現れることを確認した．Reference(1) ではファイアウォールの出現を結論づけている．しかし，量子ビットへ近似す

これの固有値はpる際の近似 (式 (8)) とファイアウォールが出現する(C − D)2 A2 + 4E 2 B 2ための条件 (式 (24)) は一見すると相容れないので，
λi =,(22) ファイアウォール仮説の妥当性を確認するには別の
p 2(C + D)B ± (C − D)2 B 2 + 4E 2 A2
方法でモデル化するなど，更なる検討が必要になる2と考えられる．
となる．ネガティビティは図 4 の黄色線に示した．

(C + D)A ±M4 ω ⩽ 0.041 の時は 0 になる．したがって time step
5 ではこのモデルは BH2 と JR が振動数の小さいときにはセパラブルになることを示す．M4 ω → 0 でReference

ER をトレースアウトした密度行列は[1] Tomoro Tokusumi, Akira Matsumura, and Ya-

ρBH2 ∪JR =1(|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|)JR ⊗ (|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|)BH2
4(23)となって BH2 と JR は積状態にあって相関がないこ

susada Nambu. Quantum circuit model of blackhole evaporation. Classical and Quantum Gravity, 35(23):235013, nov 2018.
[2] Ahmed Almheiri,

Donald Marolf,

JosephPolchinski, and James Sully. Black holes: com-とになる．

plementarity or ﬁrewalls? Journal of High En0 < M4 ω ≪ 0.041(24)では，状態はセパラブルであるのでこれをもってファイアウォールの出現を確認したと見做すことができる．

ergy Physics, 2013(2), feb 2013.

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重宇 23
ブラックホール近傍の漸近的対称性
立教大学理学研究科物理学専攻
佐藤琢磨

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホール近傍の漸近的対称性
佐藤 琢磨 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
漸近的なキリングベクトルによる supertranslataion とは無数の対称性を与える変換の生成子の事で、これは角度依存性を持つことに起因する。しかしこの supertranslation の物理的解釈は今だ理解が不十分であり、論文 [2] では null shell を用いた議論によりその物理的解釈を試みる。shell とは異なる二つの時空をきれいに張り合わせたときの境界面の事を指し、この境界面で supertranslation を考える。このホライズン近傍でのsupertranslation を考える動機の一つとして例えば論文 [3] は情報喪失問題が解決し得る事を提唱している。
今回レビューする論文 [1] は、非極限的 BH のホライズン近傍での漸近的なキリングベクトルを求める事により漸近的対称性を調べ、その生成子と代数を具体的に求める。そこでこの生成子が supertranslation である事をみる。その後 null shell による議論を用いて、ホライズン近傍でのシュバルツシルト時空で二つの時
空を supertranslation を用いたうえで接続し、ホランズン上のエネルギーを導出する。これは shell を用いないで導出できる保存量と一致し、null shell による supertranslation の物理的解釈の試みを裏付けるものの一つとなる。

1

Introduction
ブラックホールに入射した情報はホーキング放射によって入射情報に依存しない形で蒸発してしまう。
一方量子論においてはユニタリな時間発展において情報を保存したままとりだせるはずである。これは今日では情報喪失問題といわれている。この問題の解決は量子重力理論の構築に向けて重要な手がかりだと考えられていて、これまで多くの議論がされてきているが根本的な理解までには及んでいない。

め、null shell によるアプローチを論文 [2] により図る。shell とは異なる二つの時空をきれいに張り合わせたときの境界面の事を指す。null shell としてキリ
ングホライズンを選ぶとこの境界面上で時空を接続するとき別の議論から supertranslation が生じることが知られている。シュバルツシルト時空のホライ
ズン近傍において、漸近的キリングべクトルを用いて supertranslation を行い、shell の性質として知られている保存量を導く。これは別の議論から導出できるホライズン上の保存量である事を見る。

論文 [3] ではブラックホール近傍の supertransla-tion を考えることにより情報喪失問題が解決し得ることを提唱している。この supertranslataion とは無数の対称性を与える変換の生成子の事で、これは角ブラックホール近傍の2漸近的対称性

度依存性を持つことに起因する。
今回レビューする論文 [1] ではまずある null hyper-

surface 近傍に Gaussian null coordinates を張る。こ2.1

セットアップれはブラックホールが存在する時空のホライズン近今回考えるセットアップは一般的に Gaussian null

傍を念頭に置いている。この座標系に対して漸近的

coordinates として知られている。ρ = 0 を null hy-

なキリング方程式を解くことにより、漸近的なキリ

persurface としてその近傍に xµ = (v, ρ, θ, ϕ) を張ングベクトルを得る。この漸近的なキリングベクト

る。v 一定面に対して接ベクトル k α はルによる変換の事を supertranslation といい、これが無数の対称性を持つことを見る。
またこの supertranslation の物理的解釈を図るた

k α = g αβ ∂β v(1)と表せる。また v 一定面に対してヌル測地線として

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

漸近的キリングベクトル

2.2µ

k kµ = gµν∂µ v∂ν v = 0(2)(7) 式に対して δgµν までを許す asymptotic Killingµと表せる。ρ はアフィンパラメータとして k µ = dxdρ =equation を考える。すなわち

δρµ を満たし、残りの角度成分は各線に沿って一定のL gパラメータとする、すなわち k ν ∂ν xA = 0ξ ρρ = Lξ gvρ = Lξ gρA = 0

これより、

L g

ξ vv = O(ρ),

gρρ = gρA = 0, gvρ = 1

Lξ gvA = O(ρ), Lξ gAB = O(1),(3)と exact に求まる。一方残りの成分は ρ = 0 で角度(9)
これを解くことで漸近的キリングベクトル

成分だけ残るとして ρ = 0 で展開すると


ξ v = f (v, xA )(4)
ξ ρ = −∂v f ρ + 21 ΩAB θA ∂B f ρ2 + O(ρ3 )


(5) 
ξ A = Y A (xB ) + ΩAC ∂ f ρ + 1 ΩAD ΩCB λgvv = −2ρκ(v, xA ) + O(ρ2 )gvA = ρθA (v, xA ) + O(ρ2 )C

gAB = ΩAB (v, x ) + ρλAB (v, x ) + O(ρ )
A

A

2

2

DB ∂C f ρ

(6)

(10)

これより ρ = 0 で展開した計量 Gaussian null coor-を得る。f, Y A は ρ に依存しない任意関数。この fdinates はを伴う変換の事を supertranslation、Y A を伴う変換

2の事を superrotation という。

ds2 = −2κρdv 2 + 2dvdρ

(7)+ 2ρθA dvdxA + (ΩAB + ρλAB )dxA dxB+ ∆gµν dxµ dxν
ここで ∆gµν は O(ρ2 ) を表す。

3

supertranslation の性質
以下 ∂v f = 0、すなわち f = f (xA ) を仮定する。

このときホライズン上での supertranslation は

例としてシュバルツシルト時空を考える。このとき

ρ = 0 はホライズンを表し、κ は表面重力を表す。ρ
の 1 次までの計量はv → v + f (xA )と表せる (superrotation は 0 と仮定した) 以下に図で supertranslation を表す。

ds2 = −2κρdv 2 + 2dvdρ + (4M 2 + 4M ρ)dθ2 (8)+(4M 2 sin2 θ + 4M ρ sin2 θ)dϕ2
以下シュバルツシルト時空を念頭に置き、ρ = 0 はホライズンを表すとする。

(11)+ O(ρ3 )2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

セットアップ

4.1

最初のセットアップの計量をシュバルツシルト時
空に適用すると2
ds2± = −2κρ± dv±+ 2dv± dρ±

+(4M

2

(14)

2
+ 4M ρ± )dθ±+(4M 2 sin2 θ± + 4M sin2 θ± ρ± )dϕ2±

図 1: translation

今、ρ = 0、すなわちホライズン上 Sigma で時空の接続を考える。ここで ρ < 0 の領域では supertrans-

lation 前の時空とし(v = v− , ρ = ρ− , xA = xA−)とする。一方 ρ > 0 の領域では (10) 式による変換、αααすなわち supertranslationxα− → x+ = x− + ξ を行

図 2: supertranslation

い、(superrotation の生成子 Y A (θ, ϕ) は 0 と仮定)

図より通常の translation と比較して supertransla-tion は角度依存の自由度をもつ事が分かる。この漸近的キリングベクトルをホライズン上 ρ = 0 で考えAAC(v+ = v + f (xA ), ρ+ = ρ, xA∂C f ρ)+ =x +Ω

これは接続条件 [gab ] = 0 を満たす。ここで [] はる。このとき代数的性質に着目すると、[Aµ ] := Aµ |Σ+ − Aµ |Σ− = 0 ⇒ 時空は連続A[ξ1 (f1 , Y1A ), ξ2 (f2 , Y2A )] = ξ3 (f12 , Y12
)

where


f

A
A
12 = Y1 ∂A f2 − Y2 ∂A f1 ,

Y A = Y B ∂ Y A − Y B ∂ Y A
12

1

B 2

2

(12)

(13)

B 1

A
と新たな任意関数 f12 , Y12を定義することでリー代(15)を表す。以下の計算では ΩAC ∂C f = 1 とする。

4.2

null shell の一般的性質

null shell 上のエネルギー運動量テンソルは一般
的に数を成す事ができる。この意味で f, Y A は無数の対称性を与える変換の生成子を表す。

β
α β
S αβ = µnα nβ +j A (nα eβA +eAn )+pσ AB eα
A eB (16)と表せる。ここで µ, j A , p は射影テンソル γ 、nor-

4null shell を用いた解析

mal ベクトル nα を用いてここまでの議論で導出した漸近的キリングベクト
ルによる supertranslation の物理的解釈を図るためµ=−

shell による異なるアプローチをする。shell とは異なる二つの時空をきれいに張り合わせたときの境界面のことをいう。実際に時空の接続を図り、保存量を
導出する。

1 AB
1 AB
σ γAB , j A =σ γB ,
16π
16π
1
p=−
γαβ nα nβ
16π

(17)

と表すことができる、また射影テンソルは (1) 式を用いて2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

5α

γab = k [∂α gab ] = [∂ρ gab ](18)

Conclusion and Discussion
今回は Gaussian null coordinates を具体的な時空との関係がある。これより、二つの時空の計量がわのホライズン近傍に定めることで、漸近的キリングベ

かれば射影テンソルが求められ、µ, j A , p を求めるこ

クトルを求めた。またそれによる変換を supertrans-とができる。

lation といい、無数の対称性を与える変換であることを見た。一方別の supertranslation へのアプロー

4.3

チとして null shell を用いた議論により、ホライズン

ホライズン上の保存量

上のエネルギー保存量を導出し、物理的解釈を試み

このセットアップに対して (17) 式よりエネルギー
密度 µ はた。これらの結果はブラックホールの無毛定理の他に soft hair という別の毛があること示唆している。

µ=

κ AB
σ ∂A f ∂B f
8π

今後はこの soft hair に関しても研究していきたい。
(19) また今回 supertranslation の生成子 f の v 依存性は

ここで σ AB =diag(1, 1/ sin2 θ) を表す。これよりホライズン上の全エネルギーはこれを角度方向で積分して求めることができ、κ = 1/4M としてないと仮定したが、本質的には、ブラックホールホ
ライズン近傍の v 依存性は特筆すべき性質のひとつである。これに関しても理解を深めていきたい。

∫√
dθdϕ |gAB |µ(20) Acknowledgement∫√
1
今回の発表の機会を与えてくださった夏の学校運=dθdϕ |gAB |σ AB ∂A f ∂B f
32πM
営スタッフの皆様、御支援くださった方々に深く感(21) 謝いたします。また、本研究に関して多くの時間をE[f (θ, ϕ)] =この結果はホライズン上での conserved charge を考えたときの結果と一致する ([1]eq(28))。これらの結果の一致は null shell による議論で supertranslationの性質を探ることが可能なことを意味している。

割いて下さった宇宙理論研究室の院生ゼミの皆さん
に対してこの場を借りてお礼申し上げます。特に多くの助言や議論等をして下さった片桐さんに心から感謝申し上げます。

Reference[1] L.Donnay, et al. Phys.Rev.Lett.116, 091101(2016)[2] S.Bhattacharjee and A.Bhattacharyya,
Phys.Rev. D.98,104009(2018)[3] S.W.Hawking, arXiv:1509.01147 [hep-th](2015)

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重宇 24
場の理論のドレス状態から探る BMS 漸近対称性
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
古郡秀雄

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

場の理論のドレス状態から探る漸近対称性
古郡 秀雄 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
ゲージ条件と場の漸近的な振る舞いを共に保つ変換である漸近対称性と、場の理論の赤外発散を解決する際に重要となる軟粒子定理の結びつきが、ブラックホールの情報問題を考える糸口となることが提案されている。また、漸近対称性自体の理解もいくつかの議論が残っており、様々な観点から漸近対称性の理解を深めることは重要な課題と言える。本稿では場の理論の赤外発散を取り除くもう１つの方法であるドレス状態形
式を通して漸近対称性の理解を試みる。

1

序論

子論の視点から漸近対称性を覗くことはこれらの議論を進める上でも有効な手段であろう。

ゲージ条件と場の漸近的な振る舞いを共に保つ変換

ここでは我々の研究 [5] を基にし、量子電磁気学

である漸近対称性と、場の理論でのある過程 α → β(QED) におけるドレス状態と漸近対称性の結びつきの散乱振幅とその過程に軟粒子と呼ばれる低エネルについて論じる。講演では時間が許せば、この研究を

ギー無質量粒子の放出を加える過程 α → β + γsoft の線形重力場の理論に応用する場合についても述べる。

散乱振幅を結びつける軟粒子定理とが密接に関わることが知られている。これら 2 つは更に、バルクでの運動の痕跡が境界近傍でのゲージ場に刻まれるという、メモリー効果とも関係を結ぶ。A. Strominger
によってこれら 3 つが等価であるという赤外三角関係が提唱され、現在でもこれら赤外の物理は非常に活発な分野である [1]。
これら赤外の物理がブラックホール (BH) の情報損失問題を考える際の糸口になるのではないかという興味深い指摘がある [2]。これは古典論的には BHの地平面が、ゲージ理論や重力理論のもつ漸近対称2電磁気学の漸近対称性
場の理論に入る前に、古典的な電磁気学の漸近対称性がどのようなものかを [6] に基づいて論じる。[5]では質量を持った荷電粒子で考えているが、ここでは簡便のため荷電粒子の質量は 0 とする。
背景の平坦時空を次の遅延座標 xµ = (u, r, xA ) で

ds2 = −du2 − 2dudr + r2 qAB dxA dxB .

(1)性に対応する無数の電荷を産毛のように生やすことのように書く。ここで、u := t − r は外向き光線ので、BH を形成した粒子の情報を保持するという描像族であり、r は動径座標、xA は球面座標、qAB は単で考えられ、量子論的には地平面上の軟光子や軟重位球面の計量である。I ± を未来/過去無限遠として力子などが Hawking 放射と相関をもつことで発展のゲージ条件を

ユニタリティを守るという描像であると考えられる。
これを期待すると、量子論での漸近対称性のあり方を深く理解することは、重力をも考慮した量子論を考える上で重要であろう。またその一方で、一般相対論の漸近平坦時空がもつ BMS 漸近対称性には、超Ar = 0 , Au |I ± = 0.

(2)に固定し、Aµ の振る舞いを r → ∞ に対して

AB = O(r0 ) , Au = O(r−1 )(3)

回転という発散する電荷が生成する変換を含む形に拡張できる可能性があるが、その物理的な是非に議論が残っており、また、4 より高次の時空では漸近対称性の存在自体に様々な議論が残っている [3][4]。量と決める。この振る舞いはそれぞれエネルギー運動量テンソルのヌル成分 Tuu が有限となること、電荷2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
が有限となることを保証する。電流を JµM とすると、 十分遠い未来で”out”状態 |Ψ−β ⟩ へ遷移する確率を予−言する1 。ここで、 |Ψ+α ⟩, |Ψβ ⟩ はそれぞれエネルギー

Maxwell 方程式 ∇ν Fνµ = JµM のヌル成分は、()
qBC ∂u Au = ∂u ∂B AC + qBC lim r2 JuMr→∞

Eα , Eβ を固有値に持つ、考える系のハミルトニアン(4)と相互作用 V に分離して H = H0 + V と書くとき、で与えられる。(2)∼(4) を満たすゲージ変換

δAB |

I+

H の固有状態である2 。H を自由ハミルトニアン H0
V が存在する場合に時々刻々と時間発展を追うこと= ∂B ε+ , δAr = ∂r ε+ , δAu = ∂u ε+ (5) は困難である。そこで我々は十分遠い過去/未来では相互作用が十分弱いことを仮定し、粒子描像を用いが存在して、そのときの ε+ はて次で定義される S 行列を計算する。

ε+ = ε+ (xA ) + O(r−1 )であり、これは
∫
Q+
=
ε+

(6)

(10)

粒子描像とは、”in”/”out”状態が漸近的にある自由
A

+
I−

B

C

qAB dx dx ε+ (x )Fru

(7) 場の理論での自由粒子状態 |Φα ⟩ に対応すると考える描像である。自由場の描像を用いる相互作用表示3によって生成される変換である。ここで I−+ は未来
ヌル無限遠の u → −∞ 極限で定義される。
先進座標系 xµ = (v, r, xA ), v := t + r でも同様の議論ができる。すなわち、過去ヌル無限遠の v → ∞極限で定義される I+− 上の大電荷∫
qAB dxA dxB ε− (xC )Frv
Q−
=
ε−
−
I+

Lorentz 対称性を満たすための整合性条件を議論することでこれらが実はε+ (x ) = ε− (x−) , Q+ε+ = Qε−+lim |Ψ+α (t)⟩I := lim Ω(t) |Ψα ⟩ ≃ |Φα ⟩ . (11)

t→−∞

t→−∞

互作用表示の場をつなぐユニタリ演算子である。

(8)生成される。

Aを用いてこの対応を見ると、”in”状態の漸近状態は次のようになる。

ここで Ω(t) は次のように Heisenberg 表示の場と相によって δAB |I − = ∂B ε− (xC ) の漸近対象性変換がA+
Sβα := ⟨Ψ−β |Ψα ⟩ .

(9)の関係で結ばれるとわかる。ヌル無限遠 I ± に現れる球面上の関数 ε によるゲージ変換が電磁気学の漸近対称性であり、これは大ゲージ変換と呼ばれることもある。また、Q±ε がこの漸近対称性に対応する電荷であり、大電荷と呼ばれることもある。

O(⃗x, t) = Ω† (⃗x, t)OI (⃗x, t)Ω(⃗x, t).

(12)”out”についても同様で、S 行列は粒子描像で+⟨Ψ−β |Ψα ⟩ ≃ ⟨Φβ | SD |Φα ⟩(13)となる。ここで SD は Dyson の S 演算子
[ ∫ ∞
]
′
†
I
SD := ′ limΩ(t )Ω (t) = T exp −idτ V (τ )t →∞ , t→−∞

−∞

(14)

である。ここで記号 T は時間順序積を表す。これが粒子描像における S 行列である。しかしこれは例えば QED では赤外発散の存在によって ill-defined である。赤外発散の問題は無質量粒子の相互作用が存在する場合に、そのループ補正の低エネルギー部分

3

ドレス状態形式

3.1

自由粒子状態で挟んだ S 行列

ドレス状態形式に入る前に、通常の散乱問題について手短に振り返る。散乱問題では基準の時刻 t = 0
から十分遠い過去の”in”状態 |Ψ+α ⟩ から散乱を経て、からもたらされる。

1 ここでは Heisenberg 表示を用いている．
2 もっとも、系の状態が与えられたハミルトニアンの完全な固有状態であったら散乱など起きない。そこで厳密には波束から波束への遷移を考える必要がある。
3 添字 I で相互作用表示を表す。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.2

で定義する。”out”状態 |Ψ−β ⟩ の十分遠くの未来 t =漸近相互作用を考慮した S 行列

ドレス状態形式は端的に言えば赤外発散を自由粒子描像の破綻として捉える方法である。無質量粒子の相互作用は十分遠くの未来と過去でも消えない。そのた

tF における漸近状態 |Ψβ (tF )⟩⟩ についても同様に定義すると、S 行列 (10) は漸近状態の構成 (19) から分as
かるように次の漸近 S 行列 Sβα(tF , tI ) :め、漸近状態を自由粒子状態ではなく、遠くの未来、

asSβα(tF , tI ) := ⟨⟨Ψβ (tF )|SD (tF , tI )|Ψα (tI )⟩⟩過去で残る漸近相互作用の影響を考慮したドレス状= ⟨Φβ | Ω†as (tF , ∞)SD (tF , tI )Ωas (tI , −∞) |Φα ⟩態として扱う。この考え方は Kulish と Faddeev によ(20)

り始まったので、ドレス状態形式は Kulish-Faddeevの極限に一致する。すなわち、形式とも呼ばれる [7]。
我々の方法ではまず、基準の時刻 t = 0 から十分

Sβα ≡遠くの過去 t = tI で、相互作用が無視できない可能lim

tF →∞tI →−∞asSβα(tF , tI ).

(21)性を考慮して、次のように”in”状態を恒等的に書き
換える。
⟩
⟩
†
†
+
Ψ+
α ≡ Ω (tI )Ω(tI ) lim Ω (t)Ω(t) Ψα .
t→−∞

3.3
(15)

ここで (11) の対応を用いると、⟩†
Ψ+α ≃ Ω (tI )SD (tI , −∞) |Φα ⟩ ,[ ∫ tI]
SD (tI , −∞) = lim T exp −idτ V I (τ ) .
t→−∞

t

(16)
次に、時刻 t = tI での相互作用の効果を調べるために V I に自由場を代入し、各項の指数関数の肩にある
時刻 tI の係数の大きさを調べる。我々の基準ではこの係数が O(1/|tI |) で抑えられるような運動量空間の領域があれば、その領域内で 1/|tI | を展開パラメー
タとしたそのような項の主要項の和を漸近相互作用

QED のドレス状態

QED の相互作用∫
I

V (t) = ie

d3 xaµ (x)ψ̄(x)γ µ ψ(x)(22)

の漸近相互作用は計算すると次のようになる。
∑∫
d3 k
√
VasI (tI,F ) = e
3/2 2ω
0≤ω≤1/|tI,F | (2π)
h∫× d3 p vpµ [ϵµ (⃗k, h)a(⃗k, h)eik·vp tI,F + (h.c.)]ρ̂(⃗p),√
2⃗ , v µ := pµ /Ep , Ep := m2 + |⃗p| ,
ω := k 0 = |k|
p
∑[
]
ρ̂(⃗
p) :=
b†σ (⃗
p)bσ (⃗p) − d†σ (⃗p)dσ (⃗
p) .
σ

(23)

として定義する。そうでないような項は激しく振動
して消える。つまり、相互作用は時刻 t = tI でV I (tI ) = VasI (tI ) + o(1/|tI |)(17)

Iのように漸近相互作用 Vas
が主として残る。t ≤ tI
Iのとき、V I (t) は近似的に Vas(t) で書けるから、”in”

状態は近似的に

ここで、a(⃗k, h) は運動量 ⃗k 、ヘリシティh を持つ光子の消滅演算子で、ϵµ (⃗k, h) はその偏極ベクトルである。また、bσ (⃗p), dσ (⃗p) はそれぞれスピン σ, 運動量p⃗ を持つ電子、陽電子の消滅演算子である。
真空を荷電粒子および光子それぞれの真空の直積
で |0; ψ⟩ ⊗ |0; γ⟩ とかく。粒子描像の漸近状態が†|Ψ+α ⟩ ≈ Ω (tI )Ωas (tI , −∞) |Φα ⟩ ,][ ∫ tIIdτ Vas (τ ) .
Ωas (tI , −∞) := lim T exp −i
t→−∞

t

(24)

のように、光子を含まずに荷電粒子の自由状態でか(18) ける場合の”in”状態の漸近状態 |Ψα (tI )⟩⟩ は、漸近相のようにかける。そこで我々は”in”状態 |Ψ+α ⟩ の十分
遠くの過去 t = tI における漸近状態 |Ψα (tI )⟩⟩ を|Ψα (tI )⟩⟩ := Ωas (tI , −∞) |Φα ⟩ .

|Φα ⟩ = |ψα ⟩ ⊗ |0; γ⟩(19)

互作用 (23) および (20) を用いて計算すると|Ψα (tI )⟩⟩ = eiθα |ψα ⟩ ⊗ |fα (tI )⟩ ,(25)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校∑

em enlog(tI /t),
8πβ
mn
mn∈α
[
]
∑
|fα (tI )⟩ = exp
Rh (tI ) |0; γ⟩ ,

θα = lim

t→−∞

(27)

h

∫
Rh (tI ) :=(30) には次の赤外発散しうる(26) とかける。このとき、[]
1
因子 exp − 2(2π)3 limt→∞ At ,0≤ω≤1/|tI |d3 k[fα (k, h; tI )a† (⃗k, h) − h.c.],(28)∑

At := log

pm · ϵ∗ (k, h) −ik·vm tI√fα (k, h; tI ) :=e
3/2
k · pm
(2π)
2ω
m∈α

2
Λ ∑∑
−(−1)
+(−1)
Qout χℓm (h) − Qin χℓm (h)
1/t
h ℓm
(32)

がかかる。ここで Qin/out は”in”/”out”状態の全電荷とした．これは任意の h, ℓ, m に対して

em

(29)

−(−1)

Qout χℓm+(−1)(h) = Qin χℓm

(h)

(33)

が成り立つときに限り S 行列は不変であり，それ以と求められる。ここで m, n の和は全ての始状態の荷外の場合では S 行列は 0 となることを意味する。従電粒子に対してとるものであり、em は m 番目の粒√m4子の電荷、βmn := 1 − (pm ·pn )2 は粒子の相対速度

来の S 行列の対称性から Qout = Qin であるため、こを表す。表式から、|fα (tI )⟩ はまさに軟光子のコヒー∑レント状態であり，exp[ h Rh (tI )] はその並進演算のゲージ不変条件は”in”/”out”の漸近状態に対するゲージ変換の関数に対し、

ε− (k, h) = ε+ (k, h) + O(1)子 (Displacement operator) となっていることがわかる。QED の漸近状態はこのように光子がコヒーレン
トにまとわりついたドレス状態である。これらの表式は荷電粒子の種類を増やしたり、硬い光子を入れ(34)を要請するものである。これらの関係は (9) の大電
荷保存則とそれによる大ゲージ変換に対応している。

る場合にも容易に拡張できる。同様にして終状態に対応する漸近状態 |Ψβ (tF )⟩⟩ を得ることができる。このとき、(20) は

5

結論と議論
本稿では電磁気学の漸近対称性が QED のドレス

asSβα
(tF , tI ) = eiθβα (tF ,tI )× ⟨fβ (tF )|fα (tI )⟩⟨ψβ |SD (tF , tI )|ψα ⟩(30) 状態のゲージ不変性条件から現れることを見た。すなわち、ドレス状態形式でゲージ不変性を要請するとなるが、これは計算によって赤外発散がないことと、S 行列の対称性として大ゲージ対称性が現れるが示せる。

のである。今回我々の提案した漸近状態の構成は形
式的には理論の詳細に依らないので、QED 以外の無4質量粒子を含む理論に非自明な結果を与える可能性

漸近対称性とドレス状態があり、現在線形重力場の理論などで解析中である。

漸 近 S 行 列 (30) の ゲ ー ジ 不 変 性 を 考 え る 。

⟨ψβ |SD (T, −T )|ψα ⟩ は従来の S 行列と思うとゲージ不変であるから、 ⟨fβ (T )|fα (−T )⟩ について議論すればよい。軟光子のコヒーレント状態 |fα (±T )⟩ に対して，ϵµ (k, h) → ϵµ (k, h) + ε∗∓ (k, h)kµ のゲージ変±換を施す。ここでゲージ変換の関数 ε を 3 次元運動量空間上の 2 乗可積分関数にとると，球面調和関数⃗
Yℓm (k̂) を用いて一般に

ε± (k, h) =

ℓi
∞
∞
∑
∑
∑

⃗
±(i)
ω i χℓi mi (h)Yℓi mi (k̂)

i=−1 m=−ℓi ℓi =0

(31)

参考文献
[1]A. Strominger, 2016, arXiv:1703.05448[2]S. Hawking, et al., 2016, Phys. Rev. Lett. 116(2016) 231301[3]A. Aggarwal, 2019, Phys. Rev. D 99 (2019) 026015[4]Éanna É. Flanagan, et al., 2020, JHEP. 01 (2020)002[5]H. Furugori, S.Nojiri, 2020, arXiv:2007.02518[6]T. He et al., 2014, JHEP 10 (2014), 112[7]P. P. Kulish, L. D. Faddeev, 1970, Theor. Math.
Phys. 4 (1970), 745

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重宇 25
アクシオンと天体進化
東北大学理学研究科物理学専攻
佐藤崇永

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

アクシオンと天体進化
佐藤 崇永 (東北大学大学院 理学研究科)

Abstract
アクシオンは強い CP 問題を解決する未発見の素粒子であり、同時に暗黒物質の候補として知られている。
アクシオンはフェルミオン、電子、光子などと相互作用するが、このうち天体の進化からの制限によってaxion-electron-electron 相互作用の強さには上限が与えられる。
先日、暗黒物質探査実験 XENON1T において axion-like-particle による影響とみられる痕跡が発見された。
しかし、XENON1T の結果を太陽で生成されたアクシオンで説明する場合には、その上限よりも大きな結合定数が必要である。つまり、この実験結果がもっともらしいかを知るためには、天体進化を深く理解することが重要である。
本講演では、天体の進化を加速させる stellar cooling と呼ばれる現象がアクシオンの質量や相互作用の強さにどのように制限を与えるのかについて述べる。

1

Introductionに移行する。太陽より数倍重い星はそれとは違った進化を示し、末路もそれぞれ異なる。観測から得ら天体の観測的性質は表面温度と光度に対して plot
された HR 図や色等級図によってよく示される。星はその一生のほとんどを水素燃焼に費やすが、その後の進化は初期質量によって分岐する。

れた色等級図からそれぞれの星が特定の stage にどの程度滞在していたかを見積もることができ、それと理論による数値計算の結果を比較することができる。しかし、アクシオンの存在が evolutionary tiimeに anomaly を引き起こすことが知られている。それについては本講演で述べる。

2

axion-photon coupling星の進化における、axion-photon 相互作用に最も支配的な過程は the Primakoﬀ process

γ + Ze → a + Ze

(1)

であり、
この過程によるエネルギー損失率は
(
) 7
gaγ
T
ϵ ≃ 2.8 × 10−31 Z(ξ 2 )ergg−1 s−1 (2)GeV−1 ρ図 1: HR 図に従う。ここで Z(ξ 2 ) は ξ 2 ≡ (κS /2T )2 の関数
で、κS はデバイ・ヒュッケル波数である。具体形は太陽と同程度の質量の星は核の中の水素が燃え尽(きると、主系列から the Red Giant Branch (RGB）

Stage へと移行し、ヘリウムフラッシュの後、安定な Z(ξ ) ≃ヘリウム燃焼の段階、the Horizontal Branch (HB)2

) ()
1.037ξ 2
3.99
1.037ξ 2
ln 3.85+ 2+
1.01 + ξ 2 /5.4 44 + 0.628ξ 2ξ(3)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校とかける。

のような星の代表例は axion の source としても期待したがって、axion-photon 相互作用の結合定数にされている、太陽である。

よって、エネルギー損失率が決まり、星の進化が早く

現在の上限はなる。逆に言えば、天体進化を見ることで axion の

gaγ ≤ 2.7 × 10−10 GeV−1

coupling に制限を加えることができる。特に、axionphoton 相互作用は HB stage に影響を与える。

(8)となっている。太陽の他に、HB stars や中間質量星からも上限が決まる。

3

axion-electron 相互作用についての上限は、白色矮

axion-electron coupling

星や赤色巨星から決まる。WDV(White Dwarf Vari-axion-electron 相互作用で重要な過程は ABC process と呼ばれ、原子の再結合と脱励起（Atomic re-ables)、RGB tip による上限はそれぞれ次のように決まる。

combination&deexcitation）、Bremsstrahlung pro-gae ≤ 2.1 × 10−13 GeV−1(9)cess 、Compton process の頭文字を取ったものであgae ≤ 3.1 × 10−13 GeV−1(10)る。このうち恒星進化の計算に用いられるのは B と Cで、どちらも axion を生成する反応である。高密度、電子の縮退時に支配的になるのが Bremsstrahlung

5

Discussion/Conclusion

process
考察・結論は本講演で述べる。

e + Ze → e + Ze + a(4)であり、この過程による (電子が完全に縮退している時の) エネルギー損失率は−7

ϵ ≃ 8.6 × 10

2

O(1)gae T

4∑ Xj Zj 2
Aj

Acknowledgement
本講演の機会を与えてくださった夏の学校の運営

ergg

−1 −1

s

のみなさま、また本発表にアドバイスを下さった指(5) 導教官の方々に感謝を表します。

と表される。Xj , Zj , Aj はそれぞれ j 番目のイオンの相対質量密度、電荷、質量数である。このように、

axion-electron の場合、損失率は結合定数と温度の他に星の化学組成にも依存することがわかる。
熱的光子と電子の散乱によって axion を生成する

Compton process
γ+e→γ+a(6)の axion emission rate は温度に強い依存性を持つ。
(
)
1 neﬀ
e
T 6 ergg−1 s−1 (7)ϵ ≃ 2.7 × 10−22 gae 2
µe ne

4

Results
式 (2) から分かる通り、Primakoﬀ process は高温、低密度の星で卓越するため、そのような星を調べる
ことで gaγ に最も強い上限を与えることが出来る。そReference
Luca Di Luzio ,Maurizio Giannotti ,Enrico Nardi,Luca
Visinelli arXiv:2003.01100v3 [hep-ph] 3 Jul 2020

——–index

重宇 26
初期宇宙における Primordial BlackHole の放射
立教大学理学研究科物理学専攻
物部武瑠

未提出

——–index

重宇 27
f (R) = R + α R2 gravity における中性子星の質量-半径関係: purely metric formulation と torsion
formulation の比較名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻素粒子宇宙物理系
沼尻光太

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

f (R) = R + αR2 gravity における中性子星の質量-半径関係:
purely metric formulation と torsion formulation の比較
沼尻 光太 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表は (Feola et al. 2020) のレビューである. f (R) = R + αR2 で与えられる修正重力理論において,

metric, torsion formalism の 2 つの観点から中性子星 (NS) の質量-半径関係について議論する. 状態方程式として LIGO の観測と整合しているものを仮定し, それぞれについて TOV 方程式を数値積分した結果,

metric formalism に対して, 解の安定性に対する条件から α > 0 が要請され, α の増加に従って NS の全質
量及び compactness が GR と比べて増加していく事が分かった. 一方, torsion formalism に対しては α < 0が要請され, |α| が増加するほど全質量, compactness が減少した. これは torsion 自由度が repulsive な場の役割をしていると考えられる. 以上の結果より, 観測によってどちらの formalism がより適切か決定できると考えられる.

1

Introduction
中性子星 (NS) のような高密度の極限的環境では状態方程式 (EoS) に加え, 重力も支配的となるが, NS連星系に対する観測などにより, 一般相対論 (GR)に基づいた NS 質量の上限 1.44M⊙ (Chandrasekhar1931) は破られていることが観測されている (Özel

2Equations

2.1

The Metric Formulationf (R) gravity における作用は以下である.
∫√
1A=
d4 x −g [f (R) + Lmatter ] .
16π

(2)

and Freire 2016). そこで GR を拡張する様々な修正 場の方程式は metric に対する変分を実行し重力理論において NS formation について議論されて f ′ (R)R − 1 f (R)g − (∇ ∇ − g □) f ′ (R) = 8πΣ . (3)
ij
i j
ij
ij
ij
いる。中でも f (R) gravity は新たな自由度を scalar
場として導入し, これが non-baryonic dark matter等に頼らない新たな重力のソースとなることから近年注目を集めている.

2

Σi j は物質場の energy-momentum tensor である.
Metric としては次の静的球対称なもの()
ds2 = e2ψ dt2 − e2λ dr2 − r2 dθ2 + sin2 θdϕ2 , (4)本研究ではを仮定し, 星内部の物質場として完全流体

f (R) = R + αR2

(1)

(
)
Σij = diag e2ψ ρ, e2λ p, r2 p, r2 p sin2 θ(5)gravity について, LIGO の観測結果 (Abbott et al. を仮定する. 以上より, f (R) = R +αR2 の場合, 解く2017) と無矛盾な EoS のもとで, NS の質量-半径関 べき方程式として TOV 方程式及び R の発展方程式

係を議論する. 計量のみが独立変数である Metricformulation, torsion の自由度がある torsion formulation の 2 パターンを考え比較し, torsion が与える影響などについて見ていく.
以下特筆しない限り c = G = 1 とし, metric として {+, −, −, −} を用いる.

1
dλ
=
dr
4r [1 + α (2R + rRr )][[()]· e2λ 16πr 2 ρ − 2 − αR r2 R + 4()]+4α r2 Rr,r + 2rRr + R + 2 ,

(6)

dψ
1
=
dr
4r [1 + α (2R + rRr )]
[
]
[
(
)]
· e2λ 16πr 2 p + 2 + αR r2 R + 4 − 4α (2rRr + R) − 2(7)2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
(
)
d2 R
1
=
R
λ
+
r
r
dr2
r
)]
[ (
)
(
1 + 2αR 1
2R2,+3ψr − λr +
− e2λ
+ 2
2α
r
r
2
r
(8)

そして Bianchi 恒等式 ∇i Σij = 0 より連続方程式dpdψ= −(ρ + p) ,
dr
dr

(9)

2.3

Junction Conditions

外部解との接続条件について考える. 先行研究より, torsion formalism において f (R) = R + αR2

gravity の真空解は GR と一致することが分かっている (Capozziello and Vignolo 2010). また metric formalism についても, α > 0 の場合球対称な解として Schwarzschild 解を持つことが分かっている (Mignemi and Wiltshire 1992).

が得られる.

以上より外部解として Schwarzschild 解を採用し,

2.2

これと接続することを仮定する. このとき, 各パラ

The Torsion Formulation

メータの微分可能性について以下の条件がつく

Torsion がある f (R) gravity では独立変数として
metric g, torsion を持つ metric compatible linear
connection Γ を用いる.
Matter spin density が無い (matter 部分に connection 依存性がない) 場合, (2) に対して g, Γ で変分を(Deruelle et al. 2008), (Vignolo et al. 2018):
λ ∈ C 0,ψ ∈ C 1,R ∈ C 1,

λ ∈ C 0,ψ ∈ C 1,dR
∈ C 0,
dr(metric case)(torsional case)(15)

行えばそれぞれに対応する場の方程式が得られる:

1
f ′ (R)Rij − f (R)gij = 8πΣij ,2)
1 ∂f ′ (R) ( p h
Tij h = ′δj δi − δip δjh .
p
2f (R) ∂x(10)3

Numerical Aspects
今回は以下の様に数値計算を行う: metric formula-(11)

tion, torsion formulation それぞれ 4 つずつの発展方(T は torsion tensor) f (R) の非線形性が torsion の 程式に状態方程式 (EoS) p = p(ρ) を加えた 5 つずつの方程式を解き, 数値解 {p(r), λ(r), ψ(r), R(r), R′ (r)}起源となっていることがわかる.
以上より, f (R) = R + αR2 における TOV 方程式・R の発展方程式として
1
dλ
=
dr
4r [1 + α (2R + rRr )][[()]· e2λ 16πr 2 ρ − 2 − αR r2 R + 4[]]
3αr2 Rr2+4α r2 Rr,r + 2rRr + R −+ 2 , (12)2(1 + 2αR)
dψ
1
=
dr
4r [1 + α (2R + rRr )][[()]· e2λ 16πr 2 p + 2 + αR r2 R + 4[]]
3αr2 Rr2−4α 2rRr + R +− 2 , (13)2(1 + 2αR)
(
)
d2 R
1
= R r λr +
dr2
r
[ (
)
(
)]
2
R
2
1 + 2αR 1
3ψr − λr +
− e2λ
+ 2
−
α
r
r
2
r
(
)
3α
3ψ
9
r
− Rr2
+
+
,
1 + 2αR
Rr
rRr
(14)

が得られる. (9) は共通である.

を得る. p (Rs ) ≈ 0 となる半径 Rs を NS の半径とし,

(
e

2λ(r)

=

m(r)
1−2
r

)−1

(
, e

2ψ(r)

=

)
m(r)
1−2
,
r
(16)

を用いて1 NS の質量 M = m(Rs ), 及び compactness

C = M/Rs を決定する.
EoS としては LIGO の観測結果からの制限 (Abbott
et al. 2017) を満たす APR4 , MPA1 , SLy , WFF1を使用した 4 パターンを考える.
数値積分を実行するには, r = 0 での初期条件が必要である. この内中心圧力 p(0) = pc (及び中心密度ρc ) は EoS から与えられ, Newtonian gravity との類
推2 から λ(0) = 0, 積分を実行する上での安定性か
ら R′ (0) = 0 が要求される. ψ(0) については方程式
中に直接登場しないため任意定数の自由度があるが,1 後述する λ の振動的振舞のため, ψ(R ) を用いて決定する.
s
2 (16) 参照.

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
Metric f(R)

SLy
GR

0.4

2.5

Exact

α=0.001
α=0.01

Schw
Schw fit0.3

α=0.05

2.0
M/M⊙

λ(r)

α=0.1

0.2

1.5
1.0

0.1
0.5
0.0
0

10

20

30

0.0
9

40

10

11

12

13

14

ℛ (km)ℛ (km)

図 2: Metric form. での M − R 関係

図 1: Metric form., SLy, α = 0.05 での λ(r)(Feola et al. 2020)(Feola et al. 2020)

3 つのラインが (振動成分を除いて) 外部におい無限遠方での振る舞いとしてMM, ψ(r → ∞) ≈ −rr
ρ(r → ∞) =p(r → ∞) = 0,λ(r → ∞) ≈て良い一致を示していることから, 外部解として(17)

Schwarzschild 解を取ることはこの場合においても適切な仮定であることがわかる4 . また数値解に上述の振動が現れている (R(r) などにも見られる).

及び外部 Schwarzschild 解との接続条件を満たすよ

図 2 は EoS として Sly を用いて α を変えて NS のうに取るとする. R(0) = Rc については現在までの

質量-半径関係をプロットしたものである. α の増加

観測との整合性から Rc ≈ RGR = 8π (3pc − ρc ) をに従って質量が増加していることが分かる. これは取ることにする.

他の EoS を用いた場合でも確認された.

なお f (R) に含まれている α について, 接続条件

これより metric formulation での f (R) = R+αR2(15) を満たすこと, 及び方程式の数値解が発散しな gravity では GR と比べて強重力となり, NS の質量いことを要求すると, metric formalism では α > 0, 上限が引き上がることが示唆される. 別の見方では,
torsion formalism では α < 0 が要請される. しかし, f (R) = R + αR2 gravity では Newton 定数がこの時以下で実際に見るように解に tachyonic な振
G
G
=
(18)
G → Gef f = ′動が残ってしまい, 無限遠方での振る舞い (17) の議
f (R)1 + 2αR論に影響を与える. この振動は |α| が大きくなるほど成長するため, |α| の範囲を |α| ∈ [0.001, 0.1] に制限 に変更されるが, α > 0, R < 0 からより attractive になったと考えられる.

する.

4

Results and Discussion

4.1

The Metric Formulation

4.2

The Torsion Formulation(各パラメータについての議論は metric formulation の場合と同様であったので割愛する) EoS とし

図 1 に EoS が SLy, α = 0.05 の場合における演算て WFF1 の下で様々な α < 0 について質量-半径関係

結果の一部 (λ) を示した. 数値解, 数値解と同質量をプロットしたのが図 3 である. Metric formulation(M = 1.43M⊙ ) の Schwarzschild 解, 及び数値解の の場合とは逆に |α| が増加するほど質量が減少して外部部分を Schwarzschild 解と ﬁtting させたもの3 を いることが分かる. これは α の符号が反転していることに由来する.

併記している.

3 結果 NS の質量が M = 1.40M⊙ に修正される

4 (15) を満たすことも確認される.

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
分かる. またこの現象は (18) においても α < 0 を

WFF1
2.5

GR

代入すると Gef f < G となることからも確認できる.

α=0.001

2.0

α=0.01

なお, NS の質量上限自体は torsion があっても観測

α=0.05α=0.1(Özel and Freire 2016) と矛盾しないため, torsion

M/M⊙

1.5

formulation 自体が棄却されるわけではない.

1.0

0.5

0.0
8

9

10

11

12

5

Conclusionℛ (km)

f (R) = R+αR2 gravity において M −R 関係を求めた結果, metric, torsion formulation それぞれにつ

図 3: Torsion form. での M − R 関係

(Feola et al. 2020)

いて α > 0, α < 0 が要求され, compacness の増加/減
少し, metric formulation ではより強重力に, torsion

SLy: α=0.1

foumulation ではより弱重力になる事が分かった.

metric2.0

Torsion

これより, 将来的に次世代型重力波検出器 (3G) な

GR

M/M⊙

1.5

どの観測から, 取り得る重力理論モデルに制限が付けられると考えられる.

1.0

0.5

0.0
9

10

11

12

13

14

Referenceℛ (km)

P. Feola, Xisco Jiménez Forteza, S. Capozziello,
R. Cianci, and S. Vignolo.
Physical Review D, 101(4), Feb 2020.
ISSN 2470-0029.
doi:
10.1103/physrevd.101.044037.
URL
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.101.044037.

図 4: Metric/Torsion form. での比較

(Feola et al. 2020)|α|

C met (M⊙ /km)

C tor (M⊙ /km)

0

0.23

0.23

0.001

0.23

0.23

0.01

0.23

0.23

0.05

0.24

0.22

1

0.24

0.21

表 1: α ごとの compactness((Feola et al. 2020) より抜粋)

Subrahmanyan Chandrasekhar. Astrophys. J., 74:81–
82, 1931. doi: 10.1086/143324.
Feryal Özel and Paulo Freire. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 54:401–440, 2016. doi: 10.1146/annurev-astro081915-023322.
B.P. Abbott et al. Phys. Rev. Lett., 119(16):161101,
2017. doi: 10.1103/PhysRevLett.119.161101.
Salvatore
CapozzielloandStefanoAnnalen Phys.,
19:238–248,
2010.
10.1002/andp.201010420.

Vignolo.
doi:

M − R 関係, compactness C = Mmax /Rmax を Salvatore Mignemi and David L. Wiltshire. Phys.
Rev. D, 46:1475–1506, 1992. doi: 10.1103/Physmetric, torsion formulation で比較したのが図 4 5 , 表
1 である. これらを見ると正反対の挙動を示している
ことが分かるだろう. これは EoS の種類に関わらず起こっている.
この現象は, torsion 由来の成分が重力場をスクリー
ンし, より弱重力にするためだと考えられる. 実際,(8) と (14) を見比べると追加項が原因であることが5 |α| = 0.1, EoS として SLy を用いたもの.

RevD.46.1475.
Nathalie Deruelle, Misao Sasaki, and Yuuiti Sendouda.
Prog. Theor. Phys., 119:237–251, 2008.
doi:
10.1143/PTP.119.237.
Stefano Vignolo, Roberto Cianci, and Sante Carloni. Class. Quant. Grav., 35(9):095014, 2018. doi:
10.1088/1361-6382/aab6fe.

——–index

重宇 29
すばる HSC のデータを用いた銀河のクラスタリ
ングと弱重力レンズ効果の二点相関による重力理論の検証法名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
大河内雄志

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

すばる HSC のデータを用いた銀河のクラスタリングと弱重力レンズ効果の二点相関による重力理論の検証法
大河内 雄志 (名古屋大学大学院 理学研究科 素粒子宇宙物理学専攻 修士課程１年)

Abstract
一般相対性理論の予言は、太陽系スケールでの観測とは高い精度で一致している。一方で、CMB の観測√と宇宙の大規模構造の観測から得られる S8 ≡ σ8 Ωm0 /0.3 というパラメータの制限が 2.3σ のレベルで一致していないことや、宇宙の加速膨張が観測されている現状を考えると、宇宙論的スケールでの重力が一
般相対性理論で正しく記述できているかは確かではない。本研究の目標は、すばる望遠鏡 Hyper Suprime-

Cam(HSC) による銀河の形状カタログから推定した重力レンズ信号と、Sloan Digital Sky Survey (SDSS)
Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS) で得られた分光銀河の分布を用いて、弱重力レンズ効果と銀河のクラスタリングの二点相関関数の解析を行い、大スケールでの重力理論を検証することである。こ
の目標を見据えて、本講演では、非相対論的物質と相対論的物質に対する重力を一般相対性理論から変更する現象論的な二つのパラメータを導入し、作成した擬似データを用いてこれらのパラメータの値の範囲に制限を求めた結果を報告する。

1

導入

力レンズ効果と銀河分布のデータから CDM を含む
全体の物質分布を推定し、理論と観測を比較するこ宇宙の加速膨張が観測されたことから、冷たいダーとによって重力理論を検証する。

クマター（以下 CDM）により宇宙の構造が成長し、弱重力レンズ効果は、遠方にある銀河から発せら

宇宙定数 Λ により加速膨張が実現するとした ΛCDMれた光の経路が手前にある物質の重力場によって曲モデルが宇宙の標準モデルとして確立した。ところが、 げられる現象である。これにより、我々が観測する銀√Planck の CMB 測定から得られる S8 ≡ σ8 Ωm0 /0.3 河の像は本来の形状からは変形される。したがって、というパラメータの制限と、KiDS による大規模構造 この銀河像の歪みを測定することができれば、銀河の観測から得られた制限が 2.3σ のレベルで一致してと観測者の間にある物質の分布を推定することがでいない (Hildebrandt et al. 2016) ことから、ΛCDM

きる。ただし、弱重力レンズ効果により歪められたモデルを拡張した宇宙論が考えられるようになった。 銀河像の楕円率と、銀河の持つ本来の楕円率の差はそのうちの一つが、重力の理論を一般相対性理論か

1 よりも非常に小さいため、個々の銀河を観測したら変更する「修正重力理論」である。一般相対性理

だけでは弱重力レンズ効果による歪みは測定できな論の予言は、太陽系スケールでの観測とは高い精度い。そこで、銀河の持つ本来の楕円率はランダムなで一致している一方で、宇宙論的スケールでの重力量であると仮定し、多数の銀河の楕円率を測定してが一般相対性理論で正しく記述できているかは確か

平均をとることで、それぞれの銀河の弱重力レンズではない。物質は重力相互作用により密度の高い領効果による歪みを統計的に導く必要がある。そのた域に集まっていくので、物質分布の時間変化がわかめ、弱重力レンズ効果の観測においては、より多くれば、あらゆるスケール・時刻での重力理論を検証の銀河の形状をより正確に測定できることが重要とできることになる。ところが、宇宙の物質は重力相なる。また、理論から予言できるのは物質分布の統互作用しかしない CDM が支配的であるため、物質計的性質だけであり、物質分布そのものを予言するの分布を直接観測することはできない。そこで、重ことはできない。したがって、理論と観測を比較す2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
るには、測定した弱重力レンズ効果による銀河像の歪みの自己相関（以下 cosmic shear）から物質分布

一般相対性理論においては、重力場中での非相対論()
的物質 |ẋi /c| ≪ 1 の測地線方程式がニュートンのの統計的性質を推定する必要がある。

運動方程式に一致することを要請すると、Φ がニュー

また、銀河は質量密度の高い領域に形成されやす

トン重力における重力ポテンシャルに一致すること

いため、銀河分布は物質分布を反映することになる。 が導かれる。フーリエ空間でのポアソン方程式によ
ところが、銀河分布が物質分布を直接的に表していり、Φ は物質の質量密度ゆらぎ δm を用いてるわけではない。そこで、銀河分布とその背景にあΦ=−る銀河の像の歪みの相互相関（以下 g-g lensing）を測定し、銀河の質量による重力レンズ効果を推定する。これにより、銀河分布と物質分布の関係を推定
し、銀河分布を物質分布に焼き直すことができる。さらに、銀河分布の統計的性質を推定するために、銀河分布の自己相関（以下 galaxy clustering）も測定する。

ハッブルパラメータと物質の密度パラメータである。
一方で、相対論的物質に対しては Φ + Ψ が重力ポテンシャルとして振る舞う。非等方的な圧力を無視した一般相対性理論では Φ = Ψ が成り立つので、

Φ+Ψ=−る利点は、単に理論と比較する観測量が増えることるというだけではない。弱重力レンズ効果は相対論的物質に、銀河分布は非相対論的物質に対する重力と密接に関わっている。そのため、弱重力レンズ効
果と銀河分布を組み合わせた解析により、計量の時
間成分および空間成分の非一様性による重力をそれぞれ独立に検証できることが期待される。

(2)で表される。ここで、H0 と Ωm0 はそれぞれ現在の

弱重力レンズ効果だけでなく銀河分布にも着目すで、得られる宇宙論的情報が増えることが期待され

3Ωm0 H0 2 δm
2k 2
a

3Ωm0 H0 2 δm
k2
a

(3)

が成り立つ。本研究では、二つの現象論的なパラメー
タ µ, Σ を導入して、非相対論的物質と相対論的物質に対する重力ポテンシャルを一般相対性理論から変
更する。

Φ=−

3Ωm0 H0 2 δm
× µ(k, a)
2k 2
a

(4)

3Ωm0 H0 2 δm× Σ(k, a)(5)
２章では本講演における重力理論の取り扱いにつk2a
いて説明し、３章では重力理論の検証に用いる数式 µ を導入したことにより、非相対論的物質のゆらぎやデータを紹介する。最後に、４章では本稿のまと の発展方程式は以下のように変更される。
めと今後の展望について述べる。

2

Φ+Ψ=−

3
δ̈m + 2H δ̇m − Ωm H 2 δm × µ(k, a) = 02(6)

なお、µ(k, a) = Σ(k, a) = 1 の場合には、一般相対重力理論の変更性理論に一致する。

これまでの CMB 観測の結果から、現在の宇宙が本講演では、先行研究 (DES-Collabolation 2019;

大局的には平坦であることが示された。Friedmann-

Planck-Collaboration 2018; Simpson et al. 2015) とLemaı̂tre-Robertson-Walker 計量において、一様等 同様に、簡単のために µ と Σ のスケール依存性は考方な背景時空からのズレは微小であるとすると、宇 えずに、一般相対性理論からのズレが ΛCDM モデル
宙の線素は変数 Φ と Ψ を用いて、
)
(
)
(
2Ψ
2Φ 2 222ds = − 1 + 2 c dt + a (t) 1 − 2 d⃗x2cc(1)と書くことができる。ここで、a はスケールファク
ターであり、Φ は宇宙の各点における時間の進み方のゆらぎを表し、Ψ は空間の等方的な膨張率のゆらにおけるダークエネルギーの密度パラメータ ΩΛ の時間発展に比例することを仮定する。

ΩΛ (a)ΩΛ0ΩΛ (a)
Σ(a) = 1 + Σ0ΩΛ0µ(a) = 1 + µ0

(7)
(8)

このパラメータ化は、重力理論の変更により加速膨ぎを表す。ただし、Φ/c , Ψ/c ≪ 1 であるとする。 張を説明できるという期待に基づいている。ダーク2

2

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
エネルギーの影響と同じ時間スケールで一般相対性

また、本研究では、銀河の数密度ゆらぎ δg が物質理論からのズレが生じるとしていて、初期の宇宙での質量密度ゆらぎ δm に比例しているという線形バ

は µ = Σ = 1 となる。ただし、ΩΛ0 は現在のダーク

イアスを仮定する。

エネルギーの密度パラメータである。

δg (⃗x, z) = bδm (⃗x, z)

ここで、バイアスパラメータ b は一般にスケール依存

手法

3

(13)

性を持つが、本研究では簡単のため、定数として扱CMB 温度ゆらぎの角度パワースペクトルやマター う。この時、galaxy clustering w(R, z) と、g-g lensing
パワースペクトルなどの、宇宙論的観測量を計算す ∆Σ(R, z) は
∫ ∞るボルツマンコード CAMB（Code for Anisotropies
kdk
w(R,
z)
=
J0 (kR)b2 P (k, z)(14)
in the Microwave Background）に、動的なダーク2π0エネルギーやゆらぎの成長に対する現象論的な変更∫ ∞を取り入れた MGCAMB（Modiﬁed Growth with
kdk
∆Σ(R,
z)
=
ρ̄
J2 (kR)Σ(z)bP (k, z) (15)m0
CAMB）(Zucca et al. 2019) を用いて、異なる µ0 , Σ02π0の値に対するマターパワースペクトル P (k, z) を得で与えられる。ただし、R は視線方向に垂直な方向る。この P (k, z) を用いて cosmic shear、g-g lensing、の距離を表す。また、ρ̄m0 は現在の物質の平均密度
galaxy clustering を計算し、マルコフ連鎖モンテカである。
ルロ法（以下 MCMC）によってデータから許容されうる µ0 , Σ0 の値の範囲に制限を与える。

3.2
3.1

理論的な二点相関関数

すばる望遠鏡 Hyper Suprime-Cam(HSC) による

cosmic shear ξ± (θ) は、弱重力レンズ効果による歪みの角度パワースペクトル Pκ (l) を用いて
∫ ∞ldl
J0 (lθ)Pκ (l)ξ+ (θ) =
2π
∫0 ∞
ldl
J4 (lθ)Pκ (l)ξ− (θ) =2π0

データ

銀河の形状カタログ (Aihara et al. 2018) から推定された重力レンズ信号を、cosmic shear と g-g lensingの光源銀河のデータとして用いる。本研究における(9) この HSC の強みは大きく分けて二つある。１つ目
は、解像度が高いため、銀河の形状を精度よく測定(10) できることである。２つ目は、遠方にある高赤方偏移の銀河も観測できるため、多くの銀河を観測できで与えられる。ここで、Ji (x) はベッセル関数であり、 ることである。したがって、多くの銀河の形状を精Pκ (l) は度よく測定できる HSC は、多数の銀河の形状から統()
2 2∫ ∞

3Ωm0 H02c2

cdz 2
Pκ (l) =
g (z)
H(z)
0
)
(
l
2 2
×(1 + z) Σ (z)P
,z
χ(z)
∫ ∞
cdz ′ χ(z ′ ) − χ(z)g(z) =p(z)H(z ′ )
χ(z ′ )
z

計的に推定する必要のある重力レンズ信号を得るのに適している。さらに、より高い赤方偏移の銀河を観測できるということは、より過去の宇宙を見るこ(11) とができるということでもある。そのため、時間的にも広い範囲にわたって重力理論を検証できること(12) になる。
一方で、galaxy clustering と g-g lensing のレンで与えられる。ただし、χ(z) と p(z) は赤方偏移 ズ銀河の分布は、Sloan Digital Sky Survey (SDSS)z に対する共動距離と光源銀河の個数密度を表し、 Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS) で∫ ∞ cdz′p(z ′ ) = 1 となるように規格化されている。 得られた分光銀河の分布を用いる。元々BOSS は、初
0 H(z ′ )期宇宙のバリオン音響振動によって刻まれる特徴的2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校なスケールを検出するために、遠方にあっても観測

Planck Collaboration 2018, arXiv:1807.06209 [astroph.CO]
できるクェーサーや明るい赤色銀河の空間分布をマッピングするサーベイである。本研究では、0.15 < z <Simpson et al. 2015, MNRAS, vol.429, p.2249

0.35、0.43 < z < 0.55、0.55 < z < 0.70 の領域にあ Zucca et al. 2019, JCAP 1905, 001
る銀河のうち、光度関数でカットをかけたものをサンプル (それぞれ LOWZ、CMASS1、CMASS2) として用いる (Alam et al. 2015)。BOSS は各銀河のスペクトルを測定して赤方偏移を高い精度で推定しているため、銀河の３次元的な分布を得るのに適している。

4

まとめと今後の展望
cosmic shear、g-g lensing、galaxy clustering を用いることで、物質の分布の統計的な性質を推定するだけでなく、相対論的物質と非相対論的物質に対する重力をそれぞれ独立に検証することができる。重力理論の検証にあたって、高赤方偏移まで高い解像度で測定できる HSC のデータを用いることにより、これまでの大規模構造の観測よりも強い制限が得られることが期待される。
本研究の目標は、3.2 で述べた HSC と BOSS のデータによる µ, Σ を制限を得ることであるが、本講演ではこの目標を見据えて、自分で作成した疑似データによって µ, Σ を制限を求めた結果を報告する予定である。夏の学校以降では、Intrinsic Alignment
やバリオンフィードバックなど、重力レンズ信号や物質の分布に影響を与える系統的な効果も取り入れた解析をする予定である。

Acknowledgement
本講演のために、お忙しい中時間を割いてご指導して下さった皆様に、この場を借りて心より感謝申し上げます。

Reference
Hildebrandt et al. 2016, MNRAS, vol.465, p.1454
DES Collabolation 2019, Phys. Rev. D99, 123505

Aihara et al. 2018, PASJ vol.70, S4
Alam et al. 2015, The Astrophysical Journal, vol. 219,
number. 1, p.12

——–index

重宇 31
深層学習を用いた重力レンズマップのノイズ除去
東京大学理学系研究科物理学専攻
河合宏紀

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

深層学習を用いた重力レンズマップのノイズ除去とその応用
河合 宏紀 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
重力レンズ効果による遠方銀河像の形状の変化を観測することによって、宇宙の物質分布が得られる。しかし、実際の観測データにはノイズが含まれているため、 正確な情報を引き出すことは容易ではない。今回注
目された方法は、条件付き敵対的生成モデル (Conditional Generative Adversarial Networks, cGAN) と呼ばれる深層学習ネットワークを用いた、重力レンズマップのノイズ除去である。 模擬観測データにこの手法を適用することで、一点分布関数やパワースペクトルといった統計量の再現は可能であることが分かった。
一方で、微細なスケールの再現はできなかった。より正確にノイズ除去できるようになった暁には、様々な応用例がある。今回はその一例として、大規模構造のボイドに注目したダークマターの制限について述べる。

1

Introduction

用いたノイズ除去の研究をレビューする。そして、さらに精度を高めるための改善策について述べる。最重力レンズ効果は宇宙の物質分布を調べるための重要な手段の１つである。大規模構造の物質分布を後に応用例として、大規模構造のボイドに注目した
ダークマターモデルの制限について述べる。

調べることで、宇宙の構造形成についての情報を得られる。構造形成で重要になるものの一つに、ダークマターがある。
ダークマターの正体は未だ不明であり、様々なモデルが考えられている。代表的なものは CDM (Cold

Dark Matter) である。シミュレーションによると、
CDM モデルは大規模構造の観測結果を説明するのに最適なモデルである。一方、銀河より小さいスケールに注目すると、サブハローの個数が、実際の矮小銀河の個数に比べて桁違いに多いという問題がある。そこで構造形成を抑制するような他のダークマターモ
デルも注目されており、WDM (Warm Dark Matter)
はその中の１つである。こういったモデルに対して観測結果から制限を課すことが必要である。
重力レンズ効果は非常に有用であるが、実際の観測結果にはノイズが含まれており、重力レンズ効果のみを取り出すことは難しい。そこで、深層学習の画像認識を用いることで、重力レンズマップのノイ

2Gravitational Lensing

2.1

Basics

重力レンズ効果によって星や銀河の形状が歪む。この歪みは、観測された角度 θobs と重力レンズ効果がない場合の角度 θtrue を用いて、以下の 2 × 2 行列で
表される。

Aij =

i
∂θtruej∂θobs

以来、非常に精度が上がってきている。今回紹介する cGAN は 2017 年に出たものである。
以下では、まず重力レンズ効果の定式化の確認をし、cGAN の構造を説明をする。その後、cGAN を≡)

1 − κ − γ1

−γ2

−γ2

1 − κ + γ1(1)

ここで、κ は収束場といい像の拡大率を表し、γ1 , γ2は歪み場といい２方向への像の歪みを表す。弱重力レンズ効果の範囲 (κ, γ ≪ 1) では、以下のように κは物質分布 δm と関係付けられる。
∫ ∞κ(θ) =
dχWκ (χ)δm (r(χ)θ, χ)

ズ除去をする方法が注目された。深層学習による画像認識は、2014 年に敵対的生成モデルが考案されて(0Wκ (χ) =

3
2

(

H0
c
×

(2)

)2
Ωm0 (1 + z(χ))r(χ)
∫ ∞
χ

′

r(χ − χ)dχ p(χ )(3)r(χ′ )′′

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここでは、平均化された κ マップを考える。フィルター関数 U を用いて、∫
κ̂(θ) = d2 ϕ κ(θ − ϕ)U (ϕ)(4)と定義される。この平均化された κ マップは、歪み
場 γ からも求められる。
∫
κ̂(θ) = d2 ϕ γ+ (ϕ : θ)Q+ (ϕ)(5)

ここで、γ+ は歪み場の接成分を表し、Q+ は U を用いて表されるフィルター関数である。このように、歪み場 γ から平均化された収束場 κ を得ることができる。
図 1: cGAN の構造：上は生成器、下は判別器。Shi-

2.2

rasaki M. et al. (2019) より引用（一部改変）。

Noise

実際の観測では、主にシェイプノイズの影響がある。シェイプノイズとは、銀河の形が元々円形ではなく歪んでいることが起因となるノイズである。観測される楕円率は、シェイプノイズと重力レンズ効
果による項に分解できる。

ネットワーク (Conditional Generative Adversarial

Networks, cGAN) を利用する。cGAN は、目的に応じて画像から画像への変換を行うようなネットワー
クである (Isola P. et al. 2016)。cGAN は生成器と判別器から構成されている。生成器は複数の畳み込(6) み層・逆畳み込み層によって、入力画像から出力画像を生成する。判別器は入力された画像が、生成器
このシェイプノイズは、背景銀河の数密度および注 が作った画像か本物の画像かを判別する。生成器はϵobs = ϵN + γ

目している角度スケールに依存した正規分布を考え判別器を騙せるように訓練していき、判別器は本物ることでよく近似できる。

の画像を見分けられるように訓練されていく。この(P (ϵN ) =
2
σN

=

)
2

ϵN
1
2 exp − σ 2
πσN
N
σϵ2
2
ngal θpix

ように敵対的に学習させることで、より本物に近い(7) 画像を出力できるようになった。
今回レビューする研究では、生成器に入力する画(8)

式 (5) を用いることで収束場も同様に分解でき、像はノイズ付きの κobs マップで、そこに含まれるノイズを推定し、κN マップを出力させた。生成器と判別器の詳しい構造は、図 1 に示した。生成器では、(9) まず 256 × 256 ピクセルの入力画像を 8 個の畳み込
み層によって 1 × 1 ピクセルの 512 枚の画像へと変となる。重力レンズ効果による項 κ のみを取り出す 換していく。その後、８個の逆畳み込み層によって
κobs = κN + κ

ことが求められる。

256 × 256 ピクセルの出力画像を生成する。この際、skip connection によって入力画像を足し合わせながら逆畳み込みをする。これにより、入力画像の情報

3

cGAN
重力レンズマップのノイズ除去をするために、深層学習を使う。ここでは特に、条件付き敵対的生成を反映させることができる。判別器では、本物の画像か生成器が作った画像が入力される。４個の畳み込み層を経た後に、[0, 1] の値を出力し、本物か生成2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校器が作ったものかを判断する。これらの値によって、 た。これにより、ピクセルの値が共に平均 0, 分散 1損失関数が計算され、パラメータが修正されていく。 となる。

4

Denoising Kappa Maps
with cGAN

4.2

Results

テストデータ 1,000 個に対して、一点分布関数およびパワースペクトルの比較をした。図 2 は、左が一点

cGAN による重力レンズマップのノイズ除去 (Shi- 分布関数の比較、右がパワースペクトルの比較の結
rasaki M. et al. 2019) について述べる。
果である。赤い点がノイズ除去されたマップ (κ )DL

で、緑の範囲は本物のマップ (κtrue ) を表す。cGAN

4.1

Methodにより再構成されたマップは、本物のマップの誤差の範囲内に概ね入っていることが分かる。つまり、こまず、トレーニングデータとテストデータを作る。 れらの統計量を必要としたときには、cGAN による
一辺 240 h−1 Mpc の箱の中で N 体シミュレーショ ノイズ除去は効果的であることが分かる。
ンを行うことで三次元の密度分布を作成する。次に、
光伝搬のレイ - トレーシング計算を行うことで、歪み場のマップを得る。式 (5) に従って κ マップを作成する。次に、正規分布に従ったランダムなノイズ (式(7)) を加えることで、κobs マップを作成する。これらを差をとることでノイズだけの κN マップを作成す
る (式 (9))。このようにして、κobs マップおよび κN
マップのペアを生成し、cGAN への入力とした。トレーニングデータは 60,000 セット、テストデータは1,000 セット用意した。
30,000 個のトレーニングデータを選択し、cGANに学習させた。30,000 個のデータの選び方を変える

図 2: κDL (赤) と κtrue (緑) の比較：左は一点分布関数、
右はパワースペクトル。Shirasaki M. et al. (2019)より引用。

ことで、複数のネットワークを作った。次に、これら

このように、統計量の再現はうまくいった一方で、のネットワークを評価するために、テストデータを

κDL と κtrue マップの詳細な構造は異なっていた。図使う。それぞれのネットワークに、κobs マップを入

3 は、cGAN によりノイズ除去したマップの例であ

力し、出力を得た。これらの差をとることで、cGANる。1 番左の図は、ノイズ付きのマップで、これをによりノイズを除去され再構成された κ マップを得

cGAN に入力する。cGAN によりノイズ除去したマッることができる (Reconstructed map, κDL マップ)。 プは中央の図で、これに対応する本物の図は 1 番右それぞれのネットワークから κDL マップを得られる。 の図である。一見したところ、構造の特徴を捉えて統計誤差を減らすために、これらのマップの中央値いることが分かる。しかし、ピークの位置が異なっをとることで、それを最終的なノイズ除去した κDLてるなど、数 Mpc 程度のマップの詳細な構造は再現マップとして採用した。

できていない。つまり大規模構造内の銀河や銀河団
これを本物の κ マップ (Ground Truth, κtrue マッ の位置が実際とは異なる。
プ) と比較した。特に、一点分布関数とパワースペ
クトルを比較した。一点分布関数を比較する際、ピ
クセルの値を次のように規格化した。µ をピクセルの値の平均、σ を標準偏差として、(κ − µ)/σ とし

4.3

Discussion

cGAN を使ってノイズ除去する方法は、統計量（一点分布関数やパワースペクトル）を知るためには有2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校の統計や銀河ハローの内部構造の観測からダークマ
ターモデルの制限を与える研究はたくさん行われてきた。しかし、ノイズを十分に落とすことができた
暁には、ボイド周辺の密度分布の解析が可能になる。
これが今までなされなかったのは、ノイズの相対的寄与が大きかったためである。ボイドの同定や特徴量については、銀河形成の影響が小さいというメリッ
図 3: cGAN のよりノイズ除去したマップの例と対トがある。その結果、銀河形成モデルに依存しない

応する本物のマップ。Shirasaki M. et al. (2019) よ

ロバストな制限を与えることができる。
様々な質量の WDM モデルに対して形成されるボり引用（一部改変）。

イドの様子が、シミュレーションを用いて研究され用な手法となりうることが分かった。しかし、よりている (Yang L. F. et al. 2015)。質量を小さくする

詳細な構造の解析をする際には、今回の手法は使えとダークマターは”暖かく”なり、構造形成が抑制さない。さらなる改善が必要がある。今回ここでは、個れる。ボイドに注目すると、質量を軽くするにつれ人的な意見を提案する。

て、ボイドの密度の谷が浅くなることが分かった。ボ

まず、cGAN を改善するためには、cGAN がどのイドに注目した解析は実際の観測データではまだ行ような特徴を捉えているかを知る必要がある。そのわれていない。深層学習のアプローチでノイズが落ために、生成器の中の畳み込み層の最下層（潜在空とすことができれば、可能になるであろう。

間）を調べる方法がある。ネットワークが掴んだ特徴量に従って潜在空間が張られるので、それを知ることができれば、ネットワークの改善ができるかもしれない。
また、cGAN 以外のネットワークを試すことも良いであろう。トレーニングされた cGAN にノイズレ
スなマップを入力したとしよう。今回の cGAN では、ノイズを出力するので、ノイズレスなマップの入力に対し、理想的には 0 マップが出力されるであろう。もし結果が 0 マップでないならばノイズとシグナルを区別できていないことになる。この問題は、Identity problem と呼ばれる。Identity problem に対応したネットワークとして、CycleGAN が挙げられる。CycleGAN を試してみるのは今後やるべき課

6

Conclusion
深層学習ネットワーク cGAN を使った重力レンズ

マップのノイズ除去の性能について評価した。一点分布関数やパワースペクトルの再現はできたものの、詳細なスケールまで再現することはまだ出来ていない。もし、ノイズ除去がより高い精度でできるようになったら、観測的宇宙論に大きな飛躍をもたらすことになるだろう。その例の１つとして、大規模構造のボイドに注目したダークマターモデルの制限を紹介した。これは銀河形成モデルに依存しないため、ロバストな制限を与えることができる。

題の１つである。

Reference
5

Constraint on
Warm Dark Matter Model
今後深層学習によってノイズ除去がより正確にでShirasaki M., Yoshida N. et al., 2019, Phys. Rev. D,
100, 4Isola P., Zhu J. et al., 2016, arXiv, 1611, 07004v3

Yang L. F., Neyrinck M. C. et al., 2015, Mon. Not. R.
Astron. Soc., 000, 1-10
きるようになった時の応用例を紹介する。ここでは、大規模構造のボイドに注目することで WDM の質量制限が得られることについて紹介する。大規模構造

——–index

重宇 33
非等方時空における Spectator axion-SU(2) モデ
ルの等方化についての解析
立教大学理学研究科物理学専攻
村田知瞭

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

非等方時空における Spectator Axion-SU(2) モデルの等方化についての解析村田 知瞭 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーションは標準ビッグバン理論の諸問題を解決し、CMB や大規模構造などの様々な観測結果を説明することができ、現在では有力な初期宇宙シナリオとなっている。多くのインフレーションモデルでは等方的な初期条件を仮定しているが、インフレーションはその性質上、より一般的な初期条件から始まることが期待される。本講演では等方という初期条件を外し、非等方初期条件におけるインフレーションモデルの安定性について議論する。また、非等方なベクトル場を含むモデルが、インフレーションによって等方化されない可能性があることが指摘されている。そこで、具体的なモデルとして axion と SU(2) ゲージ場が相互作用している axion-SU(2) モデルと、これを spectator として加えた spectator axion-SU(2) モデルを用いて数値的に解析した。

1

Introduction
インフレーションは標準ビッグバン理論の諸問題を解決し、CMB や大規模構造などの様々な観測結果を説明することができ、現在では有力な初期宇宙シ
ナリオとなっている。インフレーションはその性質上、より一般的な初期条件から始まることが期待される。しかし、通常の解析ではインフレーション前も一様等方を仮定している。そこで、本講演では等方という初期条件を外した、非等方初期条件におけるインフレーションを考える。非等方時空におけるインフレーションに対しては、Wald’s cosmic no-hair

ンを起こし、ゲージ場は相互作用項を通して axionの崩壊定数 f を不自然な調整なく選ぶことが出来るようにすることである。またこのモデルは、スロー
ロール条件下で非等方な初期条件に対し等方な解がアトラクターになっていることが先行研究 [4] で確認されている。しかし、この初期条件空間には議論されていない領域があり、本講演では [1] に基づいてそのことも考慮して非等方性に対する安定性について再検討を行う。また、axion-SU(2) を spectator sectorとした、spectator axion-SU(2) モデルも考える [1]。

spectator とは、モデルに良い性質を与えることを目的とした自身ではインフレーションを起こさない補

theorem が知られている [2]。この定理の主張は、エ助的な場のことである。本講演では、このモデルに

ネルギー運動量テンソルに対して dominant energy

対しても非等方初期条件における安定性を調べる。

condition(DEC) と strong energy condition(SEC) が課された状態で正の宇宙項があれば非等方性は等方化される、というものである。しかしこれに対しては反例があり、特に非等方なゲージ場を含むモデルに対してはこの定理が成り立たないことが知られている [3]。そこで、本講演ではスカラー場とゲージ場が相互作用するモデルである、axion-SU(2) モデルを考える。Axion とは、強い CP 対称性問題の解決のために導入された擬スカラー場で、超弦理論などからもその存在が予言されている。このモデルにおける

axion とゲージ場の役割は、axion でインフレーショ

2

Axion-SU(2) model

モデルの概要： Axion-SU(2) モデルの作用1 は、
Z
R 1 a µν 1
2
4 √SA−S = d x −g
− Fµν Fa − (∂µ χ)
2
4
2



χ
λχ a µν4−µ 1 + cos
+
F̃ F
(1)
f
4f µν aで与えられる。χ は axion、f は axion の崩壊定数、aµ, λ は結合定数である。Fµνは SU(2) ゲージ場 Aaµ
1 本講演では c = ℏ = M

Pl = 1 の単位系を用いる。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校を用いて、となる。ここで、ρχ , ρA はそれぞれ、

aFµν= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gA ϵabc Abµ Acν

(2)で与えられる。gA はゲージ場の結合定数、ϵabc はSU(2) の構造定数で 3 次元の完全反対称記号である。
第 5 項は Chern-Simons 項 (CS 項) で

1
a
a
a
Feµν
Faµν = √ ϵµνρλ Fµν
Fρλ
2 −g

(3)

で与えられる。ϵµνρσ は 4 次元の完全反対称記号であり、ϵ0123 = 1 とする。

[
( )]
1
χ
ρχ = χ̇2 + µ4 1 + cos
(8)
2
f
[
(
) ]2
β̇
1
ρA = 4 ψ̇ + α̇ − 2σ̇ − 2
ψ
2β
β
(
)
(
[
) ]2
6
β̇
2 2+β
+ β 2 ψ̇ + α̇ + σ̇ +
ψ + gA
ψ4
β
2β 2
(9)

である。この式は数値計算の拘束条件として用いる。
(6) 式は σ に陽に依存しないため、共役運動量が保存する。この保存量を D とすると、(6) 式より

β 4 De−3α −非等方性の追加： まず、非等方な時空を用意する。
σ̇=
今回は Bianchi type I metricds = −dt + e
2

2

2α(t)

[
(
)]
e−4σ(t) dx2 + e2σ(t) dy 2 + dz 2を用いる。eα(t) はスケールファクターに相当し、σ(t)は空間の非等方性を表す。次に非等方なゲージ場を用意する。ゲージ自由度を用いて、ゲージ場の時間
成分を 0 とする temporal gauge を採用する。空間成分に対しては ψi をゲージ場の各成分として

Aai = diag eα−2σ ψ1 , eα+σ ψ2 , eα+σ ψ3

3β 4 + (β 6 + 2) ψ 2(10)の関係が得られる。この式は σ̇ の初期条件を求めるのに使う。また、D はスケールファクターの 3 乗で抑えられており、十分早く影響が小さくなると考えられるので今回の計算では D ＝ 0 とする。

数値計算： 数値計算では (6) から得られる χ, α,(4) σ, ψ, β についての運動方程式を用いる。(10) 式からの形を仮定する。計量に合わせ、ψ1 ̸= ψ2 = ψ3 と
して、

ψ(t)
ψ1 (t) = 2 ,
β (t)

[ (
) 2
( 6
) ]
β̇
6
β
+
2
ψ
+
(
ψ̇
+
α̇ψ)
β
−
1
ψ
β

σ̇ = 0 とするには β = 1 とβ̇ = 0 であれば良いことが分かるので、β とβ̇ を非等方性の初期条件として選ぶ。固定する初期条件は表 1 のように決める。

ψ2 (t) = ψ3 (t) = β(t)ψ(t)(5)の形を考える。ここで、ψ(t) は等方なゲージ場で、β(t) はゲージ場の非等方性を表す。β(t) = 0 は定義上の特異点となっており、β の符号は反転しない。これらを用いて axion-SU(2) モデルのラグランジアン
L を書き直すと、
L =3α̈ + 6α̇2 + 3σ̇ 2
[
(
) ]2
β̇
1
+
ψ̇
+
α̇
−
2
σ̇
−
2
ψ
2β 4
β
(
[
) ]2
β̇
+ β 2 ψ̇ + α̇ + σ̇ +
ψ
β
[
( )]
χ
1
+ χ̇2 − µ4 1 + cos
2
f
(
)
6
χ
2 2+β
− gA
ψ 4 − 3λgA ψ 2 (ψ̇ + α̇ψ)
2β 2
f

2000

gA

2 × 10−6

χ0

π × 10−3

χ̇0

0

ψ̇0

0

α

0

えると、エネルギー密度は axion のポテンシャルが優勢なので、 
χ
3H 2 ≃ µ4 1 + cos
f(6)

ドマン方程式はρ, ρ = ρχ + ρA
3

λµ の決め方は (7) に対するスローロール条件を考となる。また、Bianchi type I 時空におけるフリー

α̇2 − σ̇ 2 =

表 1: 固定する初期条件
10−6
f
10−1

H0

(7)

(11)

より、



1/4
2
3H
0
 
µ=
1 + cos χf0(12)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校として決める。また、ψ0 はスローロール条件を課した χ の運動方程式

3H χ̇ ≃µ4χ
λsin − 3gA ψ 2 (ψ̇ + Hψ)
f
f
f

(13)

と表 1 から、

ψ0 =µ4 sin χf0!1/3(14) 図 2: × が等方化されない初期条件、他は等方化される

3gA λH0と決められる。α̇ はここまでのパラメータを決めた

初期条件で等方化されたときの α の値を示している。左図は −2 ≤ β ≤ 2, −2 ≤ β̇/H0 ≤ 2、右図は −10 ≤ β ≤10, −100 ≤ β̇/H0 ≤ 100 の範囲で初期条件を用意した。

のち、(7) 式から決める。
これらの初期条件を用いて、β, β̇ の相空間に対する解軌道を描いたものが図 1 である。

15
10

モデルを考える。spectator とは、モデルに良い性質を与えることを目的とした自身ではインフレーショ
ンを起こさない補助的な場のことである。ここから、
inﬂaton の役目はインフレーションを起こすことのみとし、ϕ についての運動方程式は解かず、ポテンシャ
ルが宇宙項の役割を果たすと考える。このモデルの
作用は

/H0

5

∫

0

S = SA−S +

5
10

[
]
√
(∂µ ϕ)2d x −g −− V (ϕ)24(15)となる。ここで SA−S は (1) 式で表される axion-

15
10

5

0

5

10

SU(2) の作用、ϕ は inﬂaton、V (ϕ) は inﬂaton のポ
テンシャルである。inﬂaton のポテンシャルは axion

図 1: × が初期条件、• が等方解 (β, β̇/H0 ) = (1, 0)。 のポテンシャルとの比、−10 ≤ β ≤ 10, −10 ≤ β̇/H0 ≤ 10 の範囲で初期条件を用意した。

ここから、図 1 で考えた初期条件の下では、全ての

R≡

µ4

V (ϕ)
h
 i
1 + cos χf(16)

解軌道が等方解をアトラクターに持つことが分かる。 の値を与えることで決めることにする。したがって、
しかし、あらゆる初期条件において等方解が必ずア R が大きいほど inﬂaton の寄与が大きくなる。
このモデルで変わる部分はエネルギー密度と圧力
トラクターとなるわけではないことが確認されてい であり、る。これを示したのが図 2 左であり、β の 0 付近に等方化されない初期条件が存在することが分かる。この原因としては、ゲージ場の運動エネルギーにあたる (9) 式の第 1 項が β ≃ 0 付近で大きくなりすぎて
しまい、系が不安定になるためであると考えられる。
また、β̇/H0 についてより広い初期条件範囲にも等方ρ = ρχ + ρA + ρϕρA
+ ϕ̇2 − ρϕ
P = χ̇2 − ρχ +
3[
( )]
1
χ
ρϕ = ϕ̇2 + Rµ4 1 + cos
2
f

(17)

(18)
(19)

となる。また、[1] では inﬂaton も含めてインフレー

化されないことが図 2 右から確認できる。したがっ ションのスケールを GUT スケールと考えて µ を
1/4て、このモデルは一般に cosmic no-hair theorem に
2
3H
反していることが確認できる。
 0

µ=
(20)
χ0
(1 + R) 1 + cos f

3

Spectator axion-SU(2) modelのように決めている。しかし、これを用いて数値計

モデルの概要： ここからは axion-SU(2) を inﬂatonの spectator として加えた、spectator axion-SU(2)

算を行うと後述のように [1] と異なる結果が導かれてしまう。そこで今回は axion だけ GUT スケールに固2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
定し、inﬂaton は GUT より一桁程度大きいスケール

次に、図 2 と同様にして、等方化される初期条件のまで許すと仮定して (12) 式を採用することにする。 領域を調べた (図 4)。この結果から、inﬂaton が優勢になるほど β̇ が大きい領域でも等方解がアトラクター
数値計算： まず、axion-SU(2) を spectator としてとなる領域が広がることが分かる。これは inﬂaton にいれることで、非等方性が等方化されるまでの時間がより、ゲージ場の運動エネルギーの影響が薄まるた

どのように変化するのか確認する (図 3)。Inﬂaton のめであると考えられる。しかし、inﬂaton を入れても影響が小さい R = 0 や R = 10 に比べて、R = 100

β が 0 に近い領域では等方化されない領域が存在しはより短い時間で (β, β̇, σ̇) ≃ (1, 0, 0) に近づいていていることが確認された。また、[1] と同じ初期条件

ることが分かる。ここから、spectator としていれるで計算した場合、等方化されない領域が広がり、[1]ことでより早く等方化されることが確認できた。

の結論と異なる結果が得られる。

4Conclusion
Axion-SU(2) モデルには等方な解がアトラクターにならない初期条件が存在し、一般に cosmic no-hairtheorem に反していることが確認された。
spectator axion-SU(2) モデルでは、inﬂaton の影
響が大きいほどより早く等方化され、等方な解がアトラクターとなる領域が広くなることが確認できた。
しかし、inﬂaton を入れても β が 0 に近い領域では等方化されない領域が存在していることが確認された。
今回は [1] とは違う µ の定義を用いたが、今後はこ
図 3: 横軸は時間で縦軸は β(左上図),β̇(右上図)、σ̇(下図)。 れと (20) 式のどちらがより適切であるかをより深く
青、緑、赤の順に R = 0, 10, 100。

検討したい。

Acknowledgement
本講演に際して、理論物理学研究室の皆様には、多くの助言や議論にお付き合いして頂けましたこと感謝致します。

Reference[1] I. Wolfson, A. Maleknejad, and E. Komatsu,
arXiv:2003.01617.
[2] R. Wald, Phys. Rev. D28 (1983) 2118.

図 4: × が等方化されない初期条件を表す。−10 ≤ β ≤10, −100 ≤ β̇/H0 ≤ 100 の範囲で初期条件を用意した。
左上から R = 10, 100, 500, 1000。

empty[3] A. Maleknejad, and M. Sheikh-Jabbari, Phys. Rev.
D85 (2012) 123508.
[4] A. Maleknejad, and E. Erfani, JCAP 03 (2014) 016.

——–index

重宇 34
原始重力波のスペクトル指数が正となるスロー
ロール・インフレーションモデルにおける再加熱機構
立教大学理学研究科物理学専攻
三嶋洋介

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

原始重力波のスペクトル指数が正となるスローロール・インフレーション
モデルにおける再加熱機構
三嶋 洋介 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
原始重力波のスペクトル指数が正となるスローロール・インフレーションモデルはまだ調べられていないことが多い。本講演では、再加熱期にスカラー場が安定して振動できるパラメータが存在することを確認する。

1

Introduction
宇宙が初期に指数関数的な膨張をしていたと考えるインフレーションは、現代宇宙論の標準的なシナリオとして広く受け入れられている。それは、標準
ビッグバン理論の抱える初期条件の微調整に関する問題を解決するだけでなく、宇宙の大規模構造の種

動期に不安定になることが指摘されており [2]、この解は物質場へエネルギーを移すことができないため、インフレーションモデルとして不適切である。この観点から、原始重力波のスペクトル指数が正となる
先述のモデル空間において、再加熱期に遷移可能なモデルの探索を試みることを検討している。

となる原始密度ゆらぎの生成も自然に説明できるからである。そして現在では、インフレーションが予言する原始密度ゆらぎのパワースペクトルが宇宙マ
イクロ波背景放射 (CMB) の温度ゆらぎの観測と整合

2

Slow-rollinflation
Horndeski theory

fromする、ということも判明している。インフレーショ

Horndeski 理論 [3] は、スカラー場 ϕ と運動項 X

ンが起きた証拠となる原始重力波はまだ検出されてによる 4 つの任意関数 Gi (ϕ, X) (i = 2, 3, 4, 5) を決いないため、そのパワースペクトルがインフレーショ

めることで具体的なモデルを導くことができる。そンモデルごとにどのような特徴を持つのかは興味深のラグランジアンはい対象となっている。

L =G2 (ϕ, X) − G3 (ϕ, X)□ϕ + G4 (ϕ, X)R
]
∂G4 [
2
項とポテンシャル項で記述される単純なモデルでは、+(□ϕ)2 − (∇µ ∇ν ϕ) + G5 (ϕ, X)Gµν ∇µ ∇ν ϕ∂X
原始重力波のパワースペクトルのスペクトル指数は]
1 ∂G5 [
2
3−(□ϕ)3 − 3(□ϕ) (∇µ ∇ν ϕ) + 2 (∇µ ∇ν ϕ)
負になる。ところが、現代の CMB の観測に整合す
6 ∂Xるスローロール・インフレーションモデルを最も一(1)
般的なスカラー・テンソル理論の下で検討すると、原と表される。ここでスカラー場 ϕ の運動項を X :=始重力波のスペクトル指数が正となるモデル空間が− 12 g µν ∇µ ϕ∇ν ϕ とした。
存在していることが確認された [1]。こうしたモデル
この理論において、一般性を保ったままスローロー
が再加熱期を経て放射優勢期へと接続し得るか検証
ル・インフレーションを解析する方法としてすることは興味深い。
インフレーションを起こすスカラー場の正準運動

単一のスカラー場と計量の運動方程式が 2 階となる

Gi = gi (ϕ) + λi (ϕ) ln X + hi (ϕ)X + O(X 2 )(2)

最も一般的な単一場スカラー・テンソル理論 (Horn-deski 理論) は、ラグランジアンの中にスカラー場の という展開形を用いることが提案されている [1]。こ
非線形相互作用項を含む。この非線形相互作用項が のとき、元のラグランジアンを部分積分すれば、他
不適切な形で含まれていると、スカラー場の解は振の展開係数を用いて再定義することができるため、

g3 (ϕ) = 0 = g5 (ϕ) としても一般性を失わない。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
スローロール条件として

ϵ := −となる。式 (4-6) よりスローロール・パラメータは

Ḣ
ϕ̈
ġ4
≪ 1, η := −≪ 1, δM :=
≪ 1,
2
H
Hg4
H ϕ̇

λ3 ϕ̇
≲ O(ϵ),
g4 H

2ϵ + δM = 2g4

U ′2
.
V 2I

(12)

λ5 H ϕ̇≲ O(ϵ)
g4(3) を満たすことが分かり、上述の I を用いれば ϕ の関数のみで表すことができる。膨張指数 N は
ḣa
λ̇a∫ ϕ(tf )∫ ϕ(ti ) 2 ′
∫ tf
及び Hh
, Hλ
≪ 1 を仮定すれば、一様等方時空に
Mpl U
H
a
a
Hdt =
dϕ ≃
dϕ
N :=
おける計量とスカラー場の (スローロール中の) 運動VIϕ̇
tiϕ(ti )
ϕ(tf )
方程式は
(13)
δ3 :=

δ5 :=

6g4 H 2 ≃ −g2 (ϕ) =: V (ϕ),(4) で得られる。

−4g4 Ḣ + 2ġ4 H ≃ ϕ̇ I,(5)

3H ϕ̇I ≃ −U ′ (ϕ)(6)

2

重力波の 2 次の作用は
∫
[
]
1
(2)
Sh =
t3 x a3 g4 ḣ2ij − a−2 (∂k hij )24(14)と求まる。なおと得られるため、通常の量子化の手続きを踏むことでϖ3 (ϕ) + ϖ5 (ϕ), (7) 原始重力波のパワースペクトルとスペクトル指数は
I := u(ϕ) + 3v(ϕ)H ϕ̇ +
3H ϕ̇
H2
h4 V
h5 V
Ph = 2 , nt = −2ϵ − δM
(15)u(ϕ) := h2 +, v(ϕ) := h3 +
,
π g4
g4
6g4
( )′
V
(8) となる。式 (12), (15) を用いることで、スペクトル,
U ′ (ϕ) := g42
g42
指数 nt の正負を議論できる。
( )2
3V
1 V
曲率揺らぎの 2 次の作用は
ϖ3 (ϕ) :=λ3 , ϖ5 (ϕ) :=
λ5
g4
6 g4
∫
]
F [
(2)
(16)
Sζ = t3 x a3 2 ζ̇ 2 − a−2 c2s (∂ζ)2 ,と定義した。また X → 0 において特異な解を持
cs()
たないために λ2 (ϕ) = 0 = λ4 (ϕ) を要請した。
ϕ̇2
4ϖ3
F≃
u + 4vH ϕ̇ +
,
(17)
2H 2
以上により、Horndeski 理論の枠組においてスロー
9H ϕ̇
ロール・インフレーションに影響する任意関数はV, g4 , h2 , h3 , h4 , h5 , λ3 , λ5 の 8 つであるとわかる。

c2s ≃u + 4vH ϕ̇ + 4ϖ3 /9H ϕ̇
u + 6vH ϕ̇

(18)

式 (6), (7) を用いて 3H ϕ̇ について解き直せばと求まり、安定性条件より F, c2s > 0 が課される1 。
]
3H ϕ̇ ≃
−u + u2 − 4v(U ′ + ϖ3 + ϖ5 ) (9) 通常の量子化の手続きを踏むことで曲率揺らぎのパ2v
ワースペクトルはが得られる。ただし、(後の議論で分かるように) ス
1 H2
P
=
,
(19)
ζ
カラー型摂動の安定性条件より”+”の解のみを採用
8π 2 cs F
した。式 (10) を用いれば
ċsḞns − 1 = −2ϵ −
−
(20)
[
]
Hcs
HF
√
U′
2
′
I≃
u + u − 4v(U + ϖ3 + ϖ5 )2(U ′ + ϖ3 + ϖ5 )と求まる。以上の議論より、スローロール・インフ

1 [√レーションを安定に起こせる任意関数を探ることがと書き表せる。また v = 0 の時は、それぞれ

U ′ + ϖ3 + ϖ5,
3H ϕ̇ ≃ −
u
′
Uu
I≃ ′
U + ϖ3 + ϖ5できる。(詳細は [1] を参照)

(10)
(11)

1 c2 の分母が正となる条件より、式 (10) で”+”の解を採用すs
ることが正当化される。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

Potential-driven
inflation

Galileon

ϕ(t)
14
12
10

この章では、インフラトンがポテンシャルの底で

(a)

8

(b)

���� ��振動期を迎える時にその解が不安定になることが主6

張されていた先行研究 [2] のエッセンスを確認する。

4

ここでは

(c)

2

2
Mpl
X
L=
R + X − V (ϕ) + 3 □ϕ
2
M

1000

(21)

というラグランジアンを考える 。運動方程式は

4000

t

2

(a)

1

1
H ϕ̇3
2
3Mpl
H 2 = ϕ̇2 + V + 3 3���� ��

(22)

M

3

3000

3

2

2

2000

4

2

H ϕ̇
ϕ̈ϕ̇
2
(23)
− 2MplḢ = ϕ̇2 − 3 3 + 3
M
(
)
)
(M
H ϕ̇
Ḣ ϕ̇
H 2 ϕ̇
1 − 6 3 ϕ̈ + 3H ϕ̇ 1 − 9 3 − 3 3 = −V ′
M
M
M

0

t

(b)
(c)

-1
-2
-3

0

1000

2000

3000

4000

(24) 図 1: 上図はインフレーションから振動期までの運動方程式の解 ϕ をプロットしたものであり、下図はとなる。式 (22),(23) を整理すると、ϕ̈ の係数 ∆ は それぞれの運動に対し、c2s をプロットしたものであ2
2∆ = 2M 6 Mpl− 12M 3 Mpl
H ϕ̇ + 3ϕ̇4(25)であり、ϕ が振動する時期は ∆ > 0 が要求される。
インフレーションが終了する時期 tf は、ϵ ∼ O(1)る。(a) M = 3.0 × 10−4 Mpl , m = 1.45 × 10−5 Mpl(b) M = 4.2 × 10−4 Mpl , m = 1.1 × 10−5 Mpl (c)M = 1.0 × 10−3 Mpl , m = 6.9 × 10−6 Mpl とした。

で判断できる。式 (12) を用いれば、ϕ(tf ) を求めるな振動が行われるパラメータ領域に制限をかけるこことができる。そして式 (13) より、N ≃ 60 となとができる。

る ϕ(ti ) を求めることもできる。また式 (19) を用い、Pζ = 2.4 × 10−9 を考慮すれば、インフレーションはm M≃ 4.1 × 10−9
Mpl Mplm ≃ 6.2 × 10 × 10

−6

Mpl

(I ≫ 1)(I ≃ 1)

4

Gauss-Bonnet inflation(26)

前節でみたスカラー場が安定して振動するための(27)

条件を踏まえ、nt > 0 となるモデルでも振動できるのパラメータで起こると見積もることができる。
スカラー場の振動期には ∆ > 0 を満たさなければならず、また式 (16) の (スローロール近似をしていない)F, c2s > 0 も要求される。こうした要求が満たされうるかを確認するために、式 (29), (30) のパラ
メータを用いて、運動方程式 (25-27) を解いた結果が解が存在しているかを確認する。ここでは具体例として Gauss-Bonnet モデルをみる。
2
Gauss-Bonnet モデルは RGB
を用いて
2
Mpl
2
R + X − V (ϕ) + ξ(ϕ)RGB
,
2
2
RGB
:= Rµνρσ Rµνρσ − 4Rµν Rµν + R2

L=

(28)
(29)

図 1 である。この結果は適切の振動が行われるケースであっても図 1(a) の例では c2s < 0 という不安定性が生じることがわかった。このようにして、適切

2 これは前節で gに対応する。

2
3
4 = Mpl /2, u = 1, v = −1/M と選ぶこと

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校と表せる3 。スローロール条件 (3) を満たす時、

u = 1,

U ′ = V ′,v = 0,

ϖ5 = −

ϕ4

8 V 2ξ′
4 .
3 Mpl

3

���� �� 2

1となり、nt > 0 は

ϖ5
< −1
U′

⇔

1

ξ′ V 2
3
4 V ′ > 8.
Mpl

10の条件で達成されることが分かる。この条件を満た

1.5

すポテンシャルのうち、[4] を参考に調整した下記ポ

1.0

テンシャルを考える:[]2βtanh (ϕ/Mpl ) − β + cosh(ϕ/Mpl )22
V (ϕ) = Mpl M
1 − β tanh (ϕ/Mpl )
[
]2
2
3 Mpl
1 − β tanh (ϕ/Mpl )ξ(ϕ) = −β
8 M 2 tanh (ϕ/Mpl ) − β + cosh(ϕ/M
)
pl

20

30

40

50

N

60

c2
T

0.5

c 2S

���� ��

10

20

30

40

50

60

N

c 2T

-0.5
-1.0
-1.5

図 3: 上図はインフレーションから振動期までの運動方程式の解 ϕ をプロットしたものであり、下図はPotential

それぞれの運動に対し、c2s , c2t をプロットしたもので0.00015ある。
0.00010V[ϕ]���� ��5

0.00005

Summary
Galileon 項を含むインフレーションモデルでは、再

-10

5

-5

10

ϕ

加熱期に振動が安定しないことがあることを確認しPotential

た。また、nt > 0 を満たす Gauss-Bonnet モデルの0.00015

うち、振動が安定する解が存在することを確認した。
0.000100.00005-10

安定する解のパラメータ領域がどれほど制限される

Veff [ϕ]���� ��かは今後見ていく予定である。
5

-5

10

ϕ

-0.00005

Acknowledgement
図 2: 上図はポテンシャルを、下図は有効ポテンシャ
ルの傾きをプロットしたものである。左図を見れば、ポテンシャルの坂を上がって底にたどり着くことが天文・天体物理若手夏の学校にご賛同いただき、ご支援くださった皆様に感謝致します。

わかる。β=0.6 である。
この下で数値計算した解をプロットしたものが図3 である。このように安定性条件を満たす形で振動する解が存在することを確かめることができた。
なお、

Reference[1] Y. Mishima and T. Kobayashi, Phys. Rev. D101
(2020) 043536.
[2] J. Ohashi and S. Tsujikawa, JCAP 10 (2012) 035.

c2t =

2
Mpl
+ 8ϕ̈ξ ′ + 16Xξ ′′2 + 8H ϕ̇ξ ′
Mpl

である。
3 このモデルは式 (1) で再現することができる [3]。

(30)

[3] T. Kobayashi, M. Yamaguchi and J. Yokoyama,
Prog. Theor. Phys. 126 (2011) 511.
[4] S. Koh, B.-H. Lee and G. Tumurtushaa, Phys. Rev.
D95 (2017) 123509.

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重宇 35
Barrow entropy と時空の熱力学を用いた修正宇宙論
名古屋大学素粒子宇宙物理学専攻（素粒子宇宙
物理系)
斎藤大生

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Barrow entropy と時空の熱力学を用いた修正宇宙論
斎藤 大生 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
本講演は [Saridakis (2020)] の review である。量子補正を取り入れた black hole entropy の例として、

Barrow entropy が挙げられる。本講演では Barrow entropy と宇宙の horizon を関連づけることで得られる
宇宙論的方程式を導出し、その宇宙の進化を追った。Bekenstein-Hawking entropy を用いた場合は Friedman
方程式が得られるが、Barrow entropy を用いた場合は補正項が加わり、それを dark energy と見なす。その寄与を計算した結果、初期では matter dominant だが現在では DE dominant となる宇宙の進化を得ること
ができた。

1

導入

2

現在の宇宙は加速膨張していることが知られているが、その起源は未だ明らかではない。その原因の時空の熱力学を用いた Fried-man 方程式の導出とが理論的な仮説として提唱されている。例えば、古Friedman-Robertson- Walker (FRW) metric
(
)
dr2
2
2
ds2 = −dt2 + a2 (t)
+
r
dΩ
(2)
1 − kr2

典的には balck hole(BH) の entropy はその表面積にで記述される一様等方宇宙を考える。構成要素は mat-

比例すると考えられている。しかし、BH は量子論のter のみとする。この時空における見かけの horizon は一つとして dark energy(DE) が提案されている。
一方で、重力と熱力学の間には対応関係があるこ

下では粒子を生成放出することが知られており、そ1rA = √
H 2 + ak2

れを考慮すると entropy の対応物として表面積を用いることは不適切である。このような背景から、量子(3)的な (あるいは補正を取り入れた)BH entropy としてと書ける。ここで H = ȧa は Hubble parameter で様々な model が研究されている。本講演では量子補ある。

正を取り入れた BH entropy として [Barrow (2020)]
において提案された Barrow entropy

(
SB =

A
A0

上記の horizon に対して時空の熱力学を対応づける。まず horizon の温度、entropy が)1+ ∆2(1)に注目する。そして、この entropy を重力の熱力学に用いて一様等方宇宙における運動方程式を導出す

1
2πrA
1
Sh =
A
4G

Th =

(4)
(5)

2
と書かれることを用いる。ここで A = 4πrAは hori-る。その際に Friedman 方程式に補正項が生じるが、 zon の表面積である。
それを DE の寄与とみなす。本講演では matter 宇宙に着目し、この様にして導入された DE が現在の宇宙を説明できるかを見ていく。

時間 dt の間に生じる熱は

δQ = −dE = A(ρm + pm )HrA dt(6)と計算される。一方、熱力学関係式から δQ = T dS
であるが、これに式 (4) と (5) を代入して−4πG(ρm + pm ) = Ḣ −

k
a2

(7)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校を得る。さらに、energy momentum が保存されること書ける。ここで DE 部分の状態方程式 (EoS) pa-とから得られる関係式

rameter はρ̇m + 3H(ρm + pm ) = 0(8)wDE = −1 −を代入し積分することで8πGkΛρm = H 2 + 2 −
3
a
3

−∆
Λ + 3H 2 [1 − β(2+∆)
2−∆ ]Hと表現される。ここで、β =(9)となる1 。これは Friedman 方程式に他ならない。

(15)4(4π)∆/2 G
である。
1+∆/2
A0

以下では dust matter(pm = 0) の場合を考える。

Hubble parameter の時間変化はḢ = −

3−∆
2Ḣ[1 − β(1 + ∆
]
2 )H

H2
[3(1 − ΩDE ) + (1 + z)Ω′DE ] (16)2(1 − ΩDE )Barrow entropy を用いた場合 と書ける。ここで ΩDE = 8πG ρDE は DE の density
3H
parameter でありの model2

前節の手続きに従って、修正された model を得る。

{

ここで温度や熱は前節と同様であるが、entropy を×

Barrow entropy
(
SB =

A
A0

)1+ ∆2Ω′DE =

Planck 面積である。また ∆ は量子補正の寄与を与え、0 ≤ ∆ ≤ 1 の範囲で変化する。∆ = 0 の場合には古典的なものに帰着する。この entropy を用いると、Friedman 方程式の代わりにk
H2 + 2a4−∆[]} ∆−22−∆1
Λ1+
β(2 + ∆)
3 Ωm0 H02 (1 + z)32
1
×[Ωm0 H02 (1 + z)3 ] ∆−2β(∆ + 2)[]Λ
2
2
× 3∆Ωm0 H0 (1 + z) + (∆ − 2)
(18)
1+z

(ρm + pm ) =Ḣ − ak2
2(2 + ∆) 2
(H + ak2 )∆/2(1+∆/2)(4π)(1−∆/2) A0
ρm =
(

{

と計算される。宇宙項 Λ は(1+∆/2)(4π)(1−∆/2) A0
6

2+∆
2−∆

(17)

と書け、その時間変化は(10)として計算する。ここで A は見かけの表面積、A0 は−ΩDE = 1 − H02 Ωm0 (1 + z)32[]} ∆−22−∆
Λ
2
3
H0 Ωm0 (1 + z) +β(2 + ∆)
3

6
)1−∆/2−C (1+∆/2)
A
3 0

Λ=
(11)

(12)

3β(2 + ∆) 2−∆
H0− 3H02 Ωm0
2−∆

(19)

と書ける。

4

宇宙の解析及びその結果
前節で与えた量の時間変化を以下に与える。

という方程式が得られる。ここで C は積分定数で
Ωm

ある。

0.8

式 (11)、(12) の Friedman 方程式からの補正項を8πG(ρm + ρDE )3
Ḣ = −4πG(ρm + pm + ρDE + pDE )H2 =1 ここで、宇宙項 Λ は積分定数として生じる。
2 以下の議論では簡単のため k = 0 とする。

0.6
ΩDE と考えて式変形をする2 と

0.4

(13)
(14)

0.2
ΩDE

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

z

図 1: density parameter の進化2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校−1 という値になることが予想される。この結果は、

0.2

wDE

0.0
-0.2

∆ ̸= 0 の場合には wDE は中間状態として様々な値-0.4を取り得るが、最終的には ∆ の値によらず de-Sitter-0.6

解に落ち着くことを意味している。

-0.8

最後に、宇宙項 Λ がない場合の解析を行う。この

-1.0
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

場合 paremeter はz3∆ΩDE = 1 − Ωm0 (1 + z) ∆−2

図 2: EoS parameter の進化

wDE =図 1 は ∆ = 0.2 の場合の matter と DE それぞれの density parameter を redshift の関数として描い3たものである 。これによると、宇宙初期には matter

]−1
3∆
∆ [
1 − Ωm0 (1 + z) ∆−2
2−∆

(20)
(21)

と書ける。この場合には ∆ = 0 等の極限的な状況を見ても ΛCDM model は生じない。従ってこの場合にdominant であるがある時点で DE が卓越し、現在は 観測と整合させるためには 0 でない ∆ を導入する必要がある。式 (20) より、z が大きい領域では earlyDE dominant となる様子が再現されている。
また、図 2 は ∆ = 0.2 の場合の DE の EoS param-

time dark energy あるいは負の DE density が得られeter の変化を表している。これによると、現在ではる。後者は非物理的な状況であるが、radiation を追

wDE の値が −1 に近く、観測事実と整合しているこ 加することで除外されると考えられる。
とが分かる。

5

wDE

0.5

結論

0.0

Barrow により考案された量子補正を取り入れた-0.5

BH entropy を一様等方宇宙に適用し、時空の熱力学-1.0を用いることで、修正された Friedman 方程式を導出

-1.5
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

z

図 3: EoS parameter の進化の ∆ による変化
図 3 は EoS parameter の変化の ∆ 依存性を表したものである。青、紫、赤、橙の点線がそれぞれ ∆ = 0、0.2、0.4、0.6 での値である。∆ = 0 では ΛCDM

model に帰着することが分かるが、これは予想された結果である。∆ を 0 から増大させると、red shift zが大きい時期に wDE が大きく、z が小さい時期にはし、宇宙の発展を計算した。その際に生じた Fried-man 方程式からのズレは DE と考えた。その density
parameter に着目すると、matter dominant から DE
dominat へ遷移する宇宙の進化を再現できていることが確認できた。また、補正項に対応する parameterの大小によって DE の EoS parameter は様々な値をとることが分かった。
将来への課題としては補正の parameter ∆ を CMBや BAO といった観測のデータから具体的に制限することが挙げられる。

wDE が小さくなることが分かる。このように、0 でな
い ∆ を用いた場合には quintessence-like や phantom-

like な状態の宇宙を表しうるのがこの model の特徴である。
次に、十分未来における wDE の挙動を見る。z →−1 の極限をとると、ΩDE → 1、Ω′DE → 0、wDE →3 ここで matter の現在の値として Ω
m0 = 0.3 を入れ、A0 = 1と規格化した。

Reference[1] E. N. Saridakis ”Modified cosmology throughspacetime thermodynamics and Barrow horizon
entropy” 2020, JCAP 07 (2020) 031[2] J. D. Barrow ”The Area of a Rough Black Hole”
2020, Phys.Lett.B 808 (2020) 135643

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重宇 36
空間方向 の一般座標変換に対する不変性を破るダークエネルギーの低エネルギー有効場理論
京都大学理学研究科物理学・宇宙物理学専攻
間仁田侑典

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

SO(N ) Multi-Galileon
間仁田 侑典 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーションやダークエネルギーを修正重力で説明しようとする研究が精力的に行われている．修正重力理論の一つである，スカラーテンソル理論，その中でも特に multi-Galileon 理論を考察した．multi-Galileon 理論は N 個の追加のスカラー自由度を持つスカラーテンソル理論で，ラグラランジアン，運動方程式の両方が 2 階以下の微分を含むものである．我々は，Minkowski 背景
で multi-Galileon 理論にシフト対称性と SO(N ) 対称性を要請した．その結果，multi-Galileon 理論は強く制限を受け，定数の不定性を除いて一意に定まることがわかった．

1

Introduction

般相対論に帰着させる機構 (遮蔽機構) を持つこ
とも動機の一つである．

インフレーションは宇宙極初期にあったと考えられる，準指数関数的な膨張である．これまでのどんな宇宙論的観測とも無矛盾であり，ス
タンダードな宇宙論シナリオと見做されつつある．一方，現在の宇宙も加速的な膨張をしており，その源であるダークエネルギーは宇宙のエ
ネルギー密度の約 70% を占めことが，宇宙マイクロ波背景放射の観測によって明らかになった．
宇宙の歴史を解き明かそうという立場では，どちらの加速膨張も非常に興味深いが，加速膨張も駆動する物質の正体は明らかになっていない．
近年，宇宙の加速膨張の起源を修正重力によって説明しようとする研究が精力的に行われている．スカラーテンソル理論は修正重力理論の一種で，一般相対性理論にも現れる 2 つのテンソ
ル自由度に加え，スカラー自由度を持つ重力理論である．本稿では，スカラー場の 2 階微分含むスカラーテンソル理論を考える．スカラー場の 2 階微分の導入には多くの動機があるが，その 1 つは DGP モデルと呼ばれるブレーンワール
ドシナリオである．4 次元ブレーン上では，余剰次元の自由度は 2 階微分項を含むスカラー場として現れる．また，ある種のスカラー場の 2 階微分項は，短距離でスカラーテンソル理論を一

一般に，2 階以上の高階微分項を持つ理論は，

Ostrogradski ゴーストと呼ばれる余分な力学自由度を持つため，系全体が不安定になってしまう．しかし，Ostrogradski ゴーストは運動方程式を場の 2 階微分までとなるよう制限することで回避可能だ．ラグランジアンと運動方程式の両方が，場の 2 階微分以下となる，最も一般的なスカラーテンソル理論で，加えられたスカラー
自由度の数が 1 の理論は，Horndeski 理論と呼ばれる．
スカラーテンソル理論において，追加のスカ
ラー自由度を N 個に増やすのは理論の自然な拡張である．N 個のスカラー場を含むスカラーテ
ンソル理論の構造を調べるため，本稿では，固定された Minkowski 上で，ラグランジアンと運動方程式の両方がスカラー場の 2 階微分までとなるスカラー場理論 (multi-Galileon 理論) に焦点を当てる．
我々は，既に知られている multi-Galileon 理論にシフト対称性と SO(N ) 対称性を課すことで理論に制限を与えた．これらの内部対称性を課
す動機は以下の 3 点である．

1. DGP モデルにおいて，co-dimensionN の複数ブレーンを考えると，余剰次元の自由度

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
は，4 次元ブレーン上で，SO(N ) 対称性をで あ る こ と が (V. Sivanesan 2014) で 証 明持つ multi-Galileon 理論とみなされる．(K.

さ れ た ．た だ し ，A(ϕI , σ IJ ) は ，ϕI (x) とHinterbichler et al. 2010)

σ IJ (x) := ∂µ ϕI ∂ µ ϕJ の任意関数である．また，A(I1 ···Im ) (ϕI , σ IJ ) は，ϕI (x) と σ IJ (x) の任意

2. solid inﬂation(S.Endlich et al. 2013)，すな
わち，インフラトンが真空期待値を持つこ

関数で，とで自発的にシフト対称性や SO(N ) 対称性

A(I1 ···Im ),(JK) = A(I1 ···Im ,JK) ,(2)を破るインフレーションモデルへの応用.

という対称性を満たすものである．ここで，記3. 流体の低エネルギー有効場理論を基礎とし号”,”は σ IJ での微分を表す．すなわち，任意のσ IJ の関数 G(σ IJ ) に対し，
(
)
∂G
∂G
1
∂G
G,IJ :==+,∂σ IJ
2 ∂σ IJ∂σ JIたダークエネルギーモデルの構築.
動機 3 はセクション 5 で議論する.
本稿では，multi-Galileon 理論をレビューした
のち，シフト対称性と SO(N ) 対称性が課された

multi-Galileon 理論を議論する．

(3)と作用する．
最近，(V. Sivanesan 2014) の証明には不足があり，条件 1-3 を満たす作用は (1) だけでないことが (E. Allys 2017) で指摘された．(1) には含

Multi-Galileon 理論

2multi-Galileon 理論をレビューする．d 次元

まれないが条件 1-3 を満たす作用は，∫
Sext = d4 x(Lext1 + Lext2 + Lext3 ) ,(4)Minkowski 時空で N 個のスカラー場 ϕI (x), (I = である．Lext1 , Lext2 , Lext3 はそれぞれ，以下で1, · · · , N ) の理論を考える．以降，アルファベッ 定義されるラグランジアン密度である．
ト I, J, K · · · をスカラー場を区別する添字，ギ
リシャ文字 µ, ν, · · · を時空の添字とする．

Lext1 =A[IJ][KL]M δνµ11νµ22νµ33
× ∂µ1 ϕI ∂µ2 ϕJ ∂ ν1 ϕK ∂ ν2 ϕL ∂µ3 ∂ ν3 ϕM ,1. ラグランジアンは 2 階以下のスカラー場 ϕIの微分を含む．

Lext2 =A[IJ][KL](M N ) δνµ11νµ22νµ33νµ4 4

2. ラグランジアンはスカラー場 ϕI の 2 階微分の多項式である．

上記，3 個の条件を同時に満たす最も一般的な作
用は，∫
S = d4 xA(ϕI , σ IJ )

+

d4 x

(6)

Lext3 =A[IJK][LM N ]O δνµ11νµ22νµ33νµ4 4× ∂µ1 ϕI ∂µ2 ϕJ ∂µ3 ϕK ∂ ν1 ϕL ∂ ν2 ϕM ∂ ν3 ϕN

分を含む．

d−1
∑

× ∂µ1 ϕI ∂µ2 ϕJ ∂ ν1 ϕK ∂ ν2 ϕL
× ∂µ3 ∂ ν3 ϕM ∂µ4 ∂ ν4 ϕN ,3. 運動方程式は 2 階以下のスカラー場 ϕI の微∫(5)× ∂µ4 ∂ ν4 ϕO .

(7)

ただし，A[IJ][KL]M , A[IJ][KL](M N ) , A[IJK][KLM ]Oは以下の対称化条件を満たす，ϕI (x), σ IJ (x)の任意関数である．

A[IJ][KL]M,(OP ) = A[IJ][KL](M,OP ) ,A(I1 ···Im ) (ϕI , σ IJ )(8)

A[IJ][KL](M N ),(OP ) = A[IJ][KL](M N,OP ) , (9)m=1···µm ν1× δνµ11···ν∂ ∂µ1 ϕI1 · · · ∂ νm ∂µm ϕIm ,m(1)

A[IJK][LM N ]O,(P Q) = A[IJK][LM N ](O,P Q) .
(10)

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シフト不変な SO(N ) multi-

3

Galielon 理論
3.11
意に定まる．

A0IJ = δIJ ,

(13)

K n
An+1
IJ = σI AKJ +SO(N ) multi-Galileon 理論

このセクションは preliminary な内容を含む
ので命題の主張のみを紹介し，証明は省略する．

multi-Galileon の作用 (1) に，次の内部変換に対する不変性要請する．

• シフト変換 ϕI (x) → ϕI (x) + cI , ただし，
cI , (I = 1, · · · , N ) は N 個の任意定数．
• 回転変換 ϕI → OI J ϕJ , OI J ∈ SO(N ) .
シフト対称性の要請より，係数関数 A, AI1 ···Im
は σ IJ だけの関数になる．更に回転対称性の要
請より，A, AI1 ···Im を構成するのは，σ

IJ

と不変

1
δIJ σ KL AnKL .
2(n + 1)(14)

次に，スカラー関数 An ([σ 1 ], [σ 2 ] · · · , [σ n ]) を
次の漸化式を用いて定義する．

A0 = 2 ,

[
]
n
1
1
2 ∂A
An+1 =σIJ+ [σ]An .
n+1
∂σIJ
2

(15)
(16)

スカラー関数 An を用いて，Proposition1. を一般の係数関数 AI1 J1 I2 J2 ···Ik Jk の場合に拡張する．

Proposition

次 式 に よ り，係 数 関 数

2.

AI1 J1 I2 J2 ···Ik Jk は，定数 an の不定性を除いて一テンソル δIJ , ϵI1 ···IN のみとなる．したがって， 意に定まる．

A は [σ], [σ 2 ], · · · , [σ N ] の任意関数 K で表せて，
A = K([σ], [σ 2 ], · · · , [σ N ]) .

AI1 J1 I2 J2 ···Ik Jk =∞∑an An+k,I1 J1 ,I2 J2 ,··· ,Ik Jk .

n=0

(11)

(17)

また，AI1 ···Im は，N が偶数の場合，構成要素

以 上 よ り，シ フ ト 不 変 な SO(N )は全て偶数階のテンソルなので，奇数個の添字

Galileon 理論のラグランジアン密度は，を持つ係数関数 AI1 ···Im は存在しない．また，N

L =K([σ], [σ 2 ], · · · , [σ N ])が奇数の場合も，対称化条件 (2) の下では，奇⌊(D−1)/2⌋

数個の添字を持つ係数関数 AI1 ···Im は存在しな+

いことが示せる．すなわち，N によらず，m が×以下では偶数個の添字を持つ係数関数を調べる．

∞∑

an AnIJ .

は ，σ

IJ

の n 次 の 関 数 で あ る ．ま た ，an , (n = 0, 1, · · · ) は定数である．
Proposition 1.

∂ µi ∂αi ϕIi ∂ νi ∂βi ϕJi) ∞∑akn An+k .

(18)

n=0

(12)

n=0

AnIJ

( k
∏

∂
∂σ Ii Jiの次数で展開する．

AIJ =···αk βkδµα11νβ12···µ
k νk

i=1

まず，最も簡単な 2 階微分項 AIJ を考える．

AIJ を σ∑k=1奇数の場合は，係数関数 AI1 ···Im は存在しない．

IJ

multi-AnIJ は以下の漸化式により一3.2

Extended terms

最近発見された multi-Galileon 項の場合も，奇数個の内部空間添字を持つ係数関数は存在しないことが証明できる．すなわち，Lext1 =0, Lext3 = 0.
1 An , n = 0, 1, · · · の規格化因子の不定性は (12) の定数
an に吸収させることが可能である．

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Proposition 3. 次式により，Lext2 は，定数 換に対して不変な 2 階微分項は存在しないこと
an , bn , (n = 0, 1, · · · ) の不定性を除いて一意 が示せる．すなわち，Minkowski 背景での流体に定まる．

Lext2 =

∞ [∑的な描像を持つダークエネルギーモデルの作用

an δI[K δL]J AnM N + bn δI[K AnL]JM N] は，2 階微分までのオーダーで (21) である．これは，共変化された流体的なダークエネルギーn=0× δνµ11νµ22νµ33νµ4 4 ∂µ1 ϕI ∂µ2 ϕJ ∂ ν1 ϕK ∂ ν2 ϕL
× ∂µ3 ∂ ν3 ϕM ∂µ4 ∂ ν4 ϕN .

(19)

モデルは重力波の速度を光速からずらさないことを意味する．
一般に，スカラーテンソル理論における重力波の速度は光速からずれることが知られている．

4

Conclusion & Discussion

一方，重力波，電磁波の同時観測から重力波の速度と光速は 15 桁の精度で一致することが知ら

本稿では，セクション 2 の条件 1-3 に加え，シれている．背後にある隠れた対称性が理論を制

フト対称性と SO(N ) 対称性を満たす N 個のス

限しているという仮説は自然だ．以上の議論は，カラー場理論は，定数の不定性を除いて一意に体積保存変換に対する不変性は，重力波の速度定まり，(18) と表せることを紹介した．また，新を光速に一致させる隠れた対称性の一例である

たに見つかった Galileon 項も定数不定性を除いことを示している．

て一意に定まり (19) と表せることを紹介した．
以 下 で は ，シ フ ト 対 称 な SO(N )multi-

Galileon 理論の応用例である，流体的な描像をAcknowledgement

持つダークエネルギーモデルを考察する．3 個の共同研究者として議論してくださった向山信

スカラー場を持ち，シフト対称性，SO(3) 対称

治氏，青木勝輝氏に感謝申し上げます．また，天性に加え体積保存変換,

文・天体夏の学校をご支援下さった皆様に感謝(
ϕI → ξ I (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) , s.t. det

∂ξ I
∂ϕJ

)
=1,

申し上げます．

(20)に対する不変性を持つ作用の微分展開を考える．
特に，微分の低次のオーダーに着目する場合，この理論は流体の低エネルギー有効場理論と呼ばれる．この時，スカラー場 ϕI (x) は流体力学における Lagrange 座標とみなせる．
微分の最低次で，低エネルギー有効作用は，∫(21)
S = d4 xK(det σ IJ ) ,となるが，この作用は相対論的な完全流体を表す

Reference
K. Hinterbichler, M. Trodden & D. Wesley, Phys.
Rev. D 82 (2010) 124018, [hep-th/1008.1305].
S. Endlich, A. Nicolis, & J. Wang, JCAP 10, 011(2013), [hep-th/1210.0569].
V. Sivanesan, Phys. Rev. D90 (2014) 104006, [grqc/1307.8081] .
E. Allys, Phys. Rev. D95 6 (2017) 064051, [grqc/1612.01972].

ことが知られている (S. Dubovsky et al. 2006)． S. Dubovsky, T. Grègoire, A. Nicolis, & R. Ratより高次の低エネルギー有効作用は，(18),(19)で N = 3 としたものに体積保存変換に対する不変性を課すことで得られる2 ．実は，体積保存変2 ただし，ゴーストフリーレベルでの議論．

tazzi, JHEP 2006, 03, 025, [hep-th/0512260]

——–index

重宇 37
5 次元宇宙と膜宇宙 ブレーンワールドの重力
近畿大学総合理工学研究科理学専攻物理学分野
高島智昭

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

5 次元宇宙と膜宇宙〜ブレーンワールドの重力〜
高島 智昭 (近畿大学大学院 総合理工学研究科理学専攻物理学分野)

Abstract
ブレーンワールドモデルは我々の 4 次元宇宙が高次元時空の内部または境界の膜であるとする宇宙モデル
である。1999 年にランドールとサンドラムによって余剰次元が指数関数的に歪曲している５次元反ド・ジッ
ター時空を用いたブレーンワールドモデルが発表された。膜宇宙モデルは今から 20 年前にランドールとサンドラムの 2 人によって発表されたモデルであるが、決して実験や観測によって否定されたわけではなく、未だ研究は完成していない。余剰次元のコンパクト化に関して、古典的なカルツァ・クライン型モデルとは際立って対照的な膜宇宙モデルは、ブラックホールの構造や宇宙誕生のしくみなど極限領域に関する今 後の研究を通して、重力の理解に重要な示唆を与えてくれる可能性がある。本集録では、まず、５次元方向が歪曲しているときの５次元反ド・ジッター時空の計量を示す。次にイスラエルの接続条件と Z2 対称性によって5 次元曲率半径とブレーンの張力の関係を決める。さらに、ランドール・サンドラム模型についての重力波
摂動の振る舞いについての紹介する。

1

Introduction

2

この世界には「電磁気力」
「強い力」
「弱い力」
「重力」
19

5 次元反ド・ジッター時空
今回は反ド・ジッター時空の表現の中でも、5 次元の 4 つの力があり、それらを統合するには 10 GeVのポアンカレチャートと呼ばれる座標を用いて解説

レベルのエネルギーが期待される。しかし、現在、世する。

界最大の素粒子加速器の LHC でさえ 7TeV ほどしか

まず、計量は、以下のようになる。

到達できていない。よって、重力が統一されるほどの実験は、地上では不可能となる。不思議なのは、電弱統一のあと、次の力の統一までに、13 桁から 17 桁
もエネルギースケールの違いがあることである。こdS 2 = l2 (du2
2
+ u2 (−(cdt) + dx2 + dy 2 + dz 2 )) (1)u2

ここで、座標変換のことを素粒子論における階層性問題という。

u = l−1 e−l

−1

y

(2)

1990 年代の終わり、超弦理論から、階層性問題に対する新しいアイデアが登場した。
「我々の住む宇宙

により、新しい座標 Y による指数関数的に歪曲したそのものが、高次元空間の中を漂う膜のような 4 次

5 次元座標を考える。この式を (1) に代入すると以下

元時空である。」という「ブレーンワールド」といのようになる。

う考えが、1998 年、アルカニハメド、ディモポウロ
−1

dS 2 = dy 2 +e−2l y (−(cdt) +dx2 +dy 2 +dz 2 ) (3)= dy 2 + e−2y/l ηµν dxµ dxν
デアは古典的なカルツァ・クライン型のモデルとはス、ドゥバリの 3 人によって発表された。このアイ

際立って対照的な余剰次元方向を含む宇宙を仮定した。[1] そして、1999 年には、ランドールとサンドラムによってブレーンの自己重力による余剰次元が指数関数的に湾曲した高次元模型が提案された。[2]2というようになる。ここで、l は 5 次元反ド・ジッター
時空の曲率半径を意味し、k は 5 次元反ド・ジッター
時空の曲率となっている。
ランドール・サンドラム模型は、この５次元反ド・ジッター時空の計量にさらに Z2 対称性というブレーンの両側で対称であるということを課すことによっ2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校であるから、接続条件は、て以下のように求まる。[2]dS 2 = dy 2 + e−2|y|/l ηµν dxµ dxν

(4)

この式の４次元 Minkowski 計量 ηµν は我々の住む平坦な 4 次元ブレーンワールドを表している。

∂y gµν (+) = −k(Tµν − (1/3)T gµν + (σ/3)gµν )(7)

さらに、Z2 対称性を表すと以下のようになる。

∂y (gµν )+ = −∂y (gµν )−(8)

ここで、∂y は余剰次元方向の微分である。
よって、ランドール・サンドラム模型でのイスラエ
ルの接続条件は、以下のようになる。

∂y (gµν )+ − ∂y (gµν )− ∼ G(5) σgµν(9)

ここで、G(5) は５次元時空での重力定数、σ はブレー
ンの張力を表す定数である。
よって、

2∂y (gµν )+ ∼ G(5) σgµν
図 1: ランドール・サンドラム模型(10)で、gµν をランドール・サンドラム模型の計量の４次元の部分で考えると、

3l−1 ∼ G(5) σ

ブレーンの張力 σ と曲率半径 l
いま、4 次元の extrinsic curvature を以下のようとなる。これは、５次元反ド・ジッター時空の曲率
半径 l はブレーンの張力 σ に反比例することを表しに定義する。

Kµν = eµ a eν b = (1/2)∂y gµν(5)ている。[2]
また、摂動を含む計量

さらに、Z2 対称性のもとでの接続条件は、

g̃µν = gµν + h̄µν
を junction condition (接続条件) に代入すると、今度は、(∂y + 2l−2 )h̄µν = −k(Tµν − (1/3)T gµν )(11)を得る。[3]

図 2: 超曲面によって 2 つに分けられた時空
図 2 の＋側で、

4ブレーン上の重力摂動

4.1

R・S モデルでの運動方程式

いま、計量をランドール・サンドラム模型、

ds2 = gab dxa dxb = dy 2 + a2 (y)ηµν dxµ dxν ,Kµν (+) = −(k/2)(T̄µν − (1/3)T̄ gµν )(6) とする。(ただし、a(y) = e− |y|/l 宇宙項は Λ =T̄µν = −σgµν + Tµν− 6l− 2 , ブレーンの張力は σ = 3/(4πG(5) l), と決2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
める。重力波摂動を考えた計量テンソルは以下のよ

とおく。

うになる。

(1):m = 0 の場合、(∂y 2 − 4/l2 )u0 = 0g̃ab = gab + hab
さらに、Randall-Sundrum ゲージ条件を以下のよう
に決める。

′α

u0 ∝eikα (x −x
α

(17)

) 2

a (y)

(18)

さらに、

h55 = hµ5 = 0, hνµ,ν = 0, hµµ = 0(2):m ̸= 0 の場合、

ここで、ランドール・サンドラム模型でゼロになら

まず、:ρ = a−1 (y) と定義する。

ないクリストッフェル記号は、

l−2 (ρ2 ∂ρ 2 + ρ∂ρ + ρ2 l2 m2 − 4)um = 0

Γµν 5 = −(1/2)gµν ,5ただし、∂ρ は ρ(= a−1 (y)) についての偏微分。

Γµ5 = −(1/2)gµ ,5

ここで、Bessel 関数：Zµ を用いて解 um は、ννとなる。よって、結果的に、これらのクリストッフェ

um = eikα (x −x
α

′α

)

Z2 (ml/a)

(19)

(20)

ル記号からリッチテンソルは以下のようになる。
以上から、

Rij = −(4/l2 )gij

(18) はゼロモード、(20) はカルツァ・クライン (KK)

この事から、線形摂動のアインシュタイン方程式はR(1) ij = −(4/l2 )hij

(12)

となる。

モードという。ここで、遅延グリーン関数の形は、∫
d4 k um (y)um (y ′ )(21)GR (x, x′ ) = −
4
Ek 2
(2π)
2

Ek 2 = m2 + k2 − (ω + iϵ)

一方、クリストッフェル記号への 1 次補正が、重力(22)となっていて、よって、[3]∫(1)d4 k ikα (xα −x′α ) a2 (y)a2 (y ′ )l−1
Γi kl = (1/2)(hi k;l + hi l;k − hkl ;i )[GR (x, x′ ) = −
4e
2
(2π)
k2 − (ω + iϵ)∫ ∞となる。
Z2 (y)Z2 (y ′ )+dm
この 1 次補正からリッチテンソルへの 1 次補正は、
2]
m2 + k2 − (ω + iϵ)
0
(1)
R ij
(13)
(23)
m
l
l
= (1/2)(−∇ ∇l hij − ∇i ∇j hm + ∇l ∇i hj + ∇l ∇j hl i )波摂動を用いて、となり、(12) と (13) から、アインシュタイン方程式は、−∂y 2 hµν − a−2 (y) □(4)hµν + (4/l2 )hµν = 0 (14)この式が重力波摂動についての運動方程式である。

[3]

4.3

グリーン関数による解ここで、y と独立な、

ξ 5 = ξˆ5 (xρ )lξ µ = − γ µν (xρ ),ν + ξˆµ (xρ )2を設定すると、ゲージ変換の方程式：

4.2

重力波のためのグリーン関数

ρ5hµν = h̄µν − lξˆ,µν− 2l−1 γµν ξˆ5 + γρ(µ ξˆ,ν)

運動方程式:(14) を解くために、いま、となり、(11) は、結果的に以下のようになる。

解を m = 0 のとき, m ̸= 0 のとき をそれぞれ、

u0 = eikα (x −xα′αum = eikα (x −x
α

′α

)

)

(24)

Z0 (y)(15)

Zm (y)(16)(∂y + 2l−1 )hµν = −kΣµν
15Σµν = −(Tµν − T γµν ) − 2k −1 ξˆ,µν
3

(25)
(26)

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以上から、運動方程式 (14) と接続条件 (25) をみたす
方程式は、[∂y 2 + a−2 □

(4)

4
4
− 2 + δ(y)]hµν = −2kΣµν (27)
l
l

一方、

(27) をみたす遅延グリーン関数は (23) であって、[∂y 2 + a−2 □

(4)

4
4
− 2 + δ(y)]GR (x, x′ ) = δ (5) (x − x′ ) (28)ll

をみたしている。よって、解：∫hµν (x) = −2k d4 x′ GR (x, x′ )Σµν (x′ )(29)が得られる。[3]
この事から、重力波摂動は遅延グリーン関数に依存していて、さらに、遅延グリーン関数はゼロモードと KK モードを含んでいて、それらが重力波と関係しているとわかる。

5

展望
本集録ではランドール・サンドラム模型を解説した。この模型が提唱されて以来、様々な修正や一般化されたブレーンワールド模型が多くの研究者により提案されてきた。今後の展望は、図 3 のイメージのような様々な 5 次元のブラックホールとブレーンワールドのダイナミカルな関係を理解したい。

図 3: ブレーンワールドを貫通する 5 次元ブラック
ホール

Reference[1]N.Arkani-Hamed,S.Dimopoulos,&G.R.Dvali,(1998)Phys.Lett.B429263272[2]L.Randall,&R.Sundrum,(1999)Phys.Rev.Lett83.4890[3]J.Garriga,&T.Tanaka,(2000)Phys.Rev.Lett84.2778

——–index

重宇 38
真空崩壊におけるバブル時空の生成と触媒効果による宇宙定数の決定
九州大学理学府物理学専攻
古賀一成

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

真空崩壊におけるバブル時空の生成と触媒効果による宇宙定数の決定
古賀 一成 (九州大理学府物理学専攻)

Abstract
本研究が提案する宇宙定数問題に対する解決策では、5 次元時空が真空崩壊を起こす崩壊の境界面上に我々の 4 次元時空が存在する状況を考えている。この崩壊する 5 次元時空に静的ブラックホール (BH) とストリ
ングクラウド (SC) が存在する場合に、境界面上の時空に物質と放射を実現し、さらにそこでの 4 次元宇宙
定数が正の値となることが明らかにされている (S. Banerjee et al. 2019)。しかし BH や SC の触媒効果が考慮されてはいなかったため、本研究は触媒効果を考慮することで、最も崩壊率が大きくなる場合に実現される宇宙定数の値を決定することができた (I. Koga & Y. Ookouchi 2019)。触媒効果とは、真空崩壊する時
空に BH や SC が存在していることにより、真空崩壊の崩壊率が触媒の存在しない時空の崩壊率より大きくなることである (R. Gregory et al. 2014)。触媒となる BH と SC は 4 次元での物質と放射に対応している
ため、物質と放射が現在の観測値を再現するように、BH と SC の値を固定することができる。このように5 次元の崩壊によって我々の 4 次元の物質と放射を実現する場合に、真空の崩壊率が最も大きくなる崩壊を触媒効果から調べた。その結果、崩壊率が最も大きくなる崩壊で生成されるバブル時空での 4 次元宇宙定数
は、宇宙定数問題で我々が直面する量子論からの予想と実際の値との間に存在する 120 桁もの差と一致する値を導くことができた。このバブル時空上での 4 次元宇宙定数の導出過程において、我々の宇宙の物質と放射の値を再現するように触媒の値を固定し、真空の崩壊率を評価することのみで非常に小さな宇宙定数を説明しているため、本研究では真空のエネルギーに関する変数を微調整することなく、宇宙定数問題に対する１つの説明を提案することができている。

1

Introduction

素朴に予想される真空のエネルギー密度の値に対し、実際に宇宙論的な観測から得られた我々の宇宙の真素粒子標準理論は自然界の基本的な相互作用のう
ち強い力、弱い力、電磁相互作用を記述し、高エネル
ギー実験を非常によく説明できる理論である。2012
年に LHC の加速器実験によって、理論に現れる素粒子のうち未発見であったヒッグス粒子が発見され、標準理論は確立した理論となった。自然界の基本的な相互作用の残りの１つである重力は一般相対性理論によって記述され、この理論により時空の物理を扱うことが可能となり、宇宙の成り立ちを研究することができるようになった。さらに、一般相対論は
重力波の存在を予言しており、観測の困難さにより
長年直接観測をされていなかったが、ついに 2016 年

LIGO によって重力波が直接観測された。
素粒子標準理論や一般相対論に代表されるように、
現代の物理は理論と実験において成功を収めている。
しかし、未だ未解決の問題も残っており、その問題の１つに「宇宙定数問題」がある。これは量子論から

空のエネルギー密度 (宇宙定数) が非常に小さな値となっており、２つの値の間に 120 桁もの差が存在している問題である。量子論から現実の真空のエネル
ギーを導くには 120 桁にも及ぶ真空のエネルギーに関する変数の微調整をする必要があり、非常に不自然に思える。この問題に対し様々な研究がなされてきているが、未だに解決に至ってはいない。本研究では、「宇宙定数が非常に小さな値に微調整することなく定まる」という宇宙定数の決定法を提案しており、宇宙定数が非常に小さな値となっていることへの１つの説明を提案したものである。この章では宇宙定数問題で直面する 120 桁の差を説明し、それに対する取り組みを紹介する。

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2は偽真空、真真空２つの時空の境界面なので、5 次元

Method本研究では 5 次元時空が真空崩壊を起こす崩壊の境界面に我々の 4 次元時空が存在する状況を考えており、さらに真空崩壊における触媒効果を取り入れることで境界面上で実現される宇宙定数が、非常に小さな値に自然に決まるという宇宙定数の決定法を提案しているここでは真空崩壊とバブル時空の構成、そして真空崩壊おける触媒効果について簡単に説明する。

時空の境界面なのでバブル上では 4 次元時空となっており、このバブル上に実現される 4 次元時空のことをバブル時空と呼ぶことにする。先行研究において崩壊する偽真空に静的なブラックホールとストリ
ングクラウドが存在すると、バブル時空上で放射と物質のエネルギー密度に対応したものが得られ、バブル時空で我々の宇宙を構成することが可能である
ことが明らかにされている。

5 次元時空の崩壊を考えるだけでは、その崩壊に自由度が残されており、バブル時空で実現される 4

2.1

次元での宇宙定数は自由な変数として残ったままと真空崩壊とバブル時空

なってしまい、非常に小さな値を自然に選ぶメカニ

古典論において、図 1 のように、ポテンシャルの局

ズムは存在していない。しかし、崩壊する時空に存所的な極値 (偽真空) に存在している状態は自然にポ在している静的なブラックホールとストリングクラ

テンシャル障壁を乗り越えてより低い極値 (真真空)

ウドが真空崩壊において触媒効果を持つことを考慮へと崩壊することはない。しかし、量子論を考える

すると、触媒の値に応じて最も実現しやすいバブルと偽真空はトンネリングにより、真真空へ有限の時

時空について調べることが可能となる。さらに現在間で崩壊することが知られており、この真空の 1 次

我々の宇宙での物質と放射のエネルギー密度は観測

相転移のことを真空崩壊と呼んでいる。崩壊は図 2により求められているため、バブル時空においてこのように、偽真空の時空中に内側が真真空で満たさの値を再現するように崩壊前の触媒の量を決定するれているバブル (泡) が形成されることで始まり、そことができる。その値に触媒の値を固定した時最ものバブルが広がっていくことで偽真空の崩壊が進ん形成されやすいバブル時空での宇宙定数を求めると、でいく。一度このバブルが形成されると、それは光非常に小さな値となっていることが明らかとなった。

𝑉(𝜑)

偽真空

真真空

バブル

偽真空

真真空

𝜑

図 2: 真空崩壊は偽真空の時空中に、内側が真真空の時空であるバブルが形成されることで始まる。この

図 1: ２つの極小値を持つスカラー場のポテンシャル

バブルは偽真空と真真空の境界になっており、形成V (φ) のプロットで、エネルギーの高い偽真空はより された後は光速度で広がり崩壊が進んでいく。
エネルギーの低い安定な真真空へと有限の時間で崩本研究ではブラックホールとストリングクラウド
壊する。
が存在する時空が真空崩壊する場合を考えているた
速度で広がり、偽真空の崩壊を引き起こす。バブル

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
時空を崩壊させ、その崩壊の境界面上に我々の 4 次
元時空を構成するとき触媒効果によりもっとも構成されやすい時空を求めたというものである。具体的な崩壊率等は発表時にお見せしようと思う。

め、そのような時空の計量は、

f (r) = 1 −Λ5 r 2
8G5 M
2a
−
−
6
3πr2
3r

で与えられ、バブルの運動方程式は、

Ṙ2
8πG4 ( M+ l+ − M− l−
1
Λ(4)
=
−
+
+
R2
R2
3
3
2π 2 R4a+ l+ − a− l− )+8πG5 R3

Reference
S. Banerjee, U. Danielsson, G. Dibitetto, S. Giri,&
M. Schillo 2019, JHEP 1910 ,164となる。これをみると、フリードマン方程式と同じ

I. Koga, &Y. Ookouchi 2019, JHEP 1910, 281

形をしていることがわかり、ブラックホールからは

R. Gregory, I. G. Moss, & B. Withers 2014, JHEP 1403,
081 (2014)

放射、ストリングクラウドからは物質に対応したものが得られることがわかる。またバブル上での宇宙
定数は、

(
Λ

(4)

= 8πG4

3
8πG5

(

1
1
−
l−
l+

)

)
−σ ,

G4 =

2G5
l+ − l−と 5 次元の物理量で表すことができる。ここで、σ はバブルの張力であり、ここでは自由に選ぶことのできる変数である。

2.2

触媒効果

先行研究により、4 次元の真空崩壊においてブラッ
クホールが存在すると、真空の崩壊率が促進される
ことが知られている。これを真空崩壊における触媒効果と呼び、本研究では 5 次元時空へ触媒効果を拡張し、さらにストリングクラウドがブラックホールと同様に触媒効果を持つことを明らかにした。この触媒効果を元に、現在の宇宙での放射と物質を再現するような触媒が存在する 5 次元時空が崩壊する際、触媒効果からもっとも崩壊しやすい崩壊プロセスを求め、それによりバブル上で実現される 4 次元の宇宙定数が非常に小さな値となり宇宙定数問題で直面する 120 桁の微調整を説明することができた。触媒効果は崩壊率を数値計算することで求めており、様々な場合で崩壊率を計算することでもっとも起こりやすい崩壊プロセスを求めている。

3

Conclusion

本研究で行なったことは非常にシンプルで、ストリングクラウドとブラックホールが存在する 5 次元

——–index

重宇 39
宇宙の真空泡のダイナミクスと不安定性
近畿大学総合理工学研究科理学専攻
田中海2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙の真空泡のダイナミクスと不安定性
田中 海 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
宇宙初期に関する有力な理論によれば、宇宙は量子ゆらぎから誕生し、インフレーションにより急激に膨張し、そして熱いビッグバン宇宙へつながったと考えられている。インフレーションとその終了からビッグバ
ンへのつながりは一種の真空の相転移と考えられる。また、ビッグバン後の宇宙進化の過程においても宇宙は様々な相転移をしてきたと考えられている。
相転移はしばしば位相欠陥とよばれる不連続な層を生み出す。我々の知る世界にも不連続層は多く存在しており、固相と液相の境界面 (異なる相を繋ぐ境界面) はその一例である。膨張宇宙の相転移に伴って生成され得る位相欠陥には、モノポール、宇宙紐 (コズミック・ストリング)、真空泡 (ドメインウォール) などがあり、もし存在すれば宇宙に大きな影響を与えたと考えられる。
本発表では、膨張宇宙における相転移の結果生成されうる位相欠陥のうち、真空泡のダイナミクスについて考察する。まず S.K.Blau et al. (1987) に基づき一般的に成り立つ公式として一般相対論における接続公式の導出について紹介する。そしてその応用として、A.Aguirre & M.C.Johnson (2005) に基づき、偽の真空領域として泡の内部にインフレーション宇宙に対応する de Sitter 時空を設定し、それを取り巻くように泡の外部に真の真空領域として Schwarzschild de Sitter 時空を設定したモデルを考える。この時空におけるエネルギー障壁の高さと宇宙の半径の関係をもとに、真空泡の古典的ダイナミクスを系統的に分類し、真空泡を含む時空全体を含む大域構造を図示する。またこの真空泡の古典的ダイナミクスから、宇宙の無からの量子論的な誕生を記述するトンネル効果の可能性について議論したい。

1

Introduction

接続公式

2

宇宙の位相欠陥の一例である真空泡 (ドメインウ

不連続面について考察するには、不連続な層を繋ォール) は我々の観測的宇宙に進化した可能性があぎ合わせる接続公式を導出する必要がある。ここでり、これについて議論することは我々の宇宙がどのは S.K.Blau et al. (1987) を参考に、一般相対論におような過程を経てきたかを議論する手掛かりになりける接続公式の導出を行う。

うる。

アインシュタイン方程式は本研究の流れを説明する。真の真空と偽の真空の境

1Rµν − gµν R = 8πTµν
2

界面 (真空泡) は不連続な面であり、この不連続性について議論するために、まず一般相対論の接続公式を紹介する。次に、ドメインウォールのダイナミク
スを見るために、時空の無限遠方領域を有限の領域
内に描き表すことができる点で便利なペンローズ図を導入する。そして真の真空領域・偽の真空領域の時空を設定し、ペンローズ図を用いて時空全体を含(1)座標系にはガウス正規座標を導入する。4 次元座標に xµ = (τ, η, θ, ϕ) を設定し、3 次元超曲面の座標に

y a = (τ, θ, ϕ) を設定する。この座標系において、計量はg ηη = gηη = 1,g iη = giη = 0(2)

む真空泡の大域構造を図示して、それらを系統的に

次に、時空の接続を考えるうえで重要な量である外分類する。

的曲率を導入する。曲がった時空で超曲面に対する
法線ベクトルを平行移動すると、そのベクトルは移動した先の地点における法線ベクトルとは異なるベ

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校のような特徴を持つことがわかる。ドメインウォー
ルの計量はds2Σ = −dτ 2 + r2 dΩ2(9)

ここで dΩ2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 。これらを用いると、ドメインウォールのエネルギー運動量テンソルは

S µν (xi ) = −σhµν (y a , η = 0)

図 1: 外的曲率
クトルとなる (図 1)。外的曲率は、ガウス正規座標を用いることで以下のように表される。
βηKij = nα;β eαi ej = −Γij(3)で表される。ここで σ はドメインウォールのエネル
ギー密度である。

4

ゼロでないクリストッフェル記号の成分は

Γkij = (3) Γkij ,Γηij = Kij ,Γiηj = Kji(10)

ドメインウォールの運動方程式
ここでは接続公式をドメインウォールに適用して

(4)

いく。

(6)、(10) を用いるとこれを用いてアインシュタイン方程式を解くと

Gij = (3) Gij − (Kji − δji TrK),η − (TrK)Kji

Kji |+ − Kji |− = −4πσδji(5)

これを計算するために、ドメインウォールの単位法線

1+ δji [TrK 2 + (TrK)2 ] = 8πTji
2ベクトルを求める必要がある。法線ベクトルと 4 元

これを用いると、外的曲率とドメインウォールのエ

速度の直交性と規格化条件から単位法線ベクトルは

ネルギー運動量テンソルを結びつける接続公式

1[Kji ] = 8π(Sji − δji S)
2nα = (a−1 ṙ, β, 0, 0)(12)(6) ここで1a = 1 − 2Mr
1 − 1 Λr2を求めることができる。ここで1[Kij ] = lim [Kij (η = +ϵ) − Kij (η = −ϵ)]
ϵ→0 2

(11)

(7)

3

である。(6) については、次でドメインウォールのエ
ネルギー運動量テンソルについて解析したのちに詳(Minkowski)(Schwarzschild)(13)(de Sitter)1

β = ±(a + ṙ2 ) 2 = a

しく解析する。

dt
dτ

(14)

これと (11) を用いると

3β− − β+ = 4πσrドメインウォールのエネルギー(15)に帰着する。

運動量テンソル
エネルギー運動量テンソルが保存することとドメイ
ンウォールが球対称であることから、ドメインウォー
ルのエネルギー運動量テンソルはSηη= 0, S

ηi

= 0,

ij
=0
S|j

5

ペンローズ図ドメインウォールの軌道を見るために、無限遠方の(8) 領域を有限の領域に描き表すことができるペンロー

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校で与えられる。ペンローズ図は図 4 のように描かれ、矢印は時間増加の向きを表す。

図 2: Schwarzschild 時空のペンローズ図
ズ図を用意する。

図 4: de Sitter 時空のペンローズ図

例として図 2 に Schwarzschild 時空におけるペンロー
ズ図を示す。図 2 内の赤の曲線は距離一定面を、青の曲線は時間一定面を表す。また、J + は未来の光的無限遠 (t = ∞, r = ∞)、J + 過去の光的無限遠(t = −∞, r = ∞)、i+ は未来の時間的無限遠 (t =−∞)、i は過去の時間的無限遠 (t = −∞)、i は空間0

的無限遠 (r = ∞) を表す。

7

ドメインウォールの軌道とポテ
ンシャル障壁ドメインウォールの軌道を確認するためにポテン

シャル図を描いていく。
ドメインウォールが通過する領域の時間の向きは

6

内部・外部時空βds = −ads

球対称の偽の真空領域とそれを取り巻く真の真空

z=(

真の真空領域には、宇宙定数 Λ+ を持つ Schwarzschild222
ds2+ = −asds dt2 + a−1
sds dr + r dΩ
2M
1
asds = 1 −− Λ+ r2r3

βsds = asds

dt
dτ

(20)

で指定することができる。以下の無次元量領域を考える。

de Sitter 時空を設定する。計量は

dt
,
dτ

L2 1
) 3 r,
2M

T =

L2
τ
2k

(21)

を用いてドメインウォールの軌道を単位質量をもつ(16) 粒子の一次元運動に書き換えられる。ここで
k = 4πσ(22)11[|(Λ− + Λ− + 3k 2 )2 − 4Λ− Λ+ |] 2
3

(23)

(17)

で与えられる。ペンローズ図は図 3 のように描かれ、矢印は時間増加の向きを表す。

L2 =である。これらを用いると、(15) は(

dz 2) = Q − V (z)
dT

(24)

と書き換えられる。ここで

2Y
1
+ 4)
z
z
1 Λ+ − Λ− 3k 2
Y =
3
L2
4k 2
Q=−
2
8
(2M ) 3 L 3

V (z) = −(z 2 +図 3: Schwarzschild de Sitter 時空のペンローズ図
偽の真空領域には、宇宙定数 Λ− を持つ de Sitter 時
空を設定する。計量は
222ds2− = −ads dt2 + a−1
ds dr + r dΩ
1
ads = 1 − Λ− r2
3

(25)
(26)
(27)

である。ポテンシャルの形が粒子の軌道を支配するので、宇宙定数の値を設定してモデルを立てていく。
(18) また宇宙定数は以下のように書くことができる。

(19)

Λ+ = Ak 2 ,Λ− = Bk 2(28)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
例として、A = 9, B = 15 のときのポテンシャル図を図 5 に示す。

図 7: ドメインウォールの軌道 2

図 5: A = 9, B = 15 の時のポテンシャル図

8

今後の展望

グラフに示されている曲線の破線は内外部領域の以上のように、本研究では一般相対論における接ホライズンと交わる点を、縦向きの破線は β の符号

続公式の導出と、それを適用してドメインウォールのが変わる点を表す。Q = const の線に書いてある数

軌道を系統的に分類した。今後は図 6 と図 7 を用い

字は左側にドメインウォールが通過する SdS 時空のて、ドメインウォールの軌道について解釈を深め、宇領域を、右側にはドメインウォールが通過する dS 時

宙の無からの量子論的な誕生を記述するトンネル効

空の領域を示している。

果の可能性について議論する準備を行っていきたい。

このポテンシャル図には、ドメインウォールの軌道を決定するための情報が全て含まれている。これに加えて A = 1, B = 6、A = 1, B = 2、A = 2.9, B = 3の場合の解を含めたものを図 6 と図 7 に示す。

Reference
S.K.Blau, E.I.Guendenman,
Phys.Rev.D35,1747&

A.H.Guth

1987,

A.Aguirre & M.C.Johnson 2005, Phys.Rev.D72,103525

図 6: ドメインウォールの軌道 1

——–index

重宇 40
マイクロレンズ効果による宇宙ひもパラメータの制限
東京大学理学系研究科物理学専攻
時聡志

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

マイクロレンズ効果による宇宙ひもパラメータの制限
時聡志 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
初期宇宙での対称性の破れや超弦理論から、宇宙ひもという一次元の紐が存在する可能性が示唆されている。宇宙ひもの張力を µ としたとき Gµ は宇宙ひもを特徴付ける無次元パラメータで、これは宇宙ひもが生成された時の初期宇宙の情報を含んでいることが知られている。従って、このパラメータの値を制限することは初期宇宙に関する理解に繋がる可能性がある。宇宙ひもはその周囲に円錐状の時空を作り、光や重力波の強度が２倍に増幅される特徴的なマイクロレンズ効果を引き起こす。本研究では、この現象を用いて M31
及び銀河系バルジのマイクロレンズ効果の観測データからこのパラメータを制限することを試み、重力波のマイクロレンズ効果に対し同様の手法を適用できるかについて考察した。

1

Introduction
初期宇宙では温度が下がるにつれ、複数のポテン

シャルの安定点（真空）の中から一つの真空が選ばれることで作用の対称性が破られる自発的対称性の破れが起こったと考えられている。これは宇宙の至る所で起こるため、複数の場所で互いに異なる真空が選ばれることがあり得るが、この時真空の境界にエネルギーの高い特徴的な領域が形成される。このような領域は位相欠陥と呼ばれている。特に U (1) 対称性が破れる時、一次元のひも状の位相欠陥が形成され、これを（場の理論の）宇宙ひもと言う。対称性の破れから自然に予言される宇宙ひも以外にも、超弦

またパルサータイミングによる重力波検出の手法を用いた制限として Gµ ≲ 10−9 がある [1]。マイクロレンズ効果を用いた制限は難しいと考えられていたが、近年 cosmic superstring の場合は string がダークマターと似通った分布でクラスタリングしている可能性が提唱され [3]、これに基づくと optical depthが大幅に増大しマイクロレンズ効果による Gµ の制限が可能となる。本研究では、すばる HSC による

M31[2] 及び OGLE による銀河系バルジのマイクロレンズ観測データを用いて Gµ に制限を与えることを試みた。また、重力波に対するマイクロレンズに対して同様の手法を適用することによる新たな制限の可能性を考察する。

理論でのインフレーションのシナリオから、マクロスコピックな fundamental string がこの宇宙に存在する可能性が示唆されている（cosmic superstring）。 2

Theory & Methods

ダークマターと同様、宇宙ひもの存在を探る手がかりは重力相互作用のみであり、具体的な現象としては宇宙ひもからの重力波放出と重力レンズがある。
宇宙ひもの張力を µ とした時、Gµ は無次元になり、
このパラメータが宇宙ひもの重力的な性質を特徴づける唯一のパラメータである。場の理論の宇宙ひも
では、η を対称性の破れのエネルギースケール、mpl
をプランク質量として Gµ ∼ (η/mpl )2 であることが知られており、超弦理論の宇宙ひもに関してはモデルによって幅広い Gµ の値が許されている。

Gµ の観測的制限としては、CMB の温度揺らぎを用いた制限として Gµ < 3.7 × 10−6 が知られている。

2.1

String Microlensing

いま z 軸に沿う無限に長い string を考えると、z軸周りの回転対称性、z 方向の Lorentz boost に対する対称性から Tµν = µδ(x)δ(y)diag(1, 0, 0, −1) であることが分かる（metric の符号を (+, −, −, −) とする）。正定数 µ は線密度である。これを harmonicgauge での線形 Einstein 方程式1□h̄µν = −16πGTµν , h̄µν ≡ hµν − ηµν hσσ
2(1)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校に入れて解き、適当な座標変換を行うと、解は

ds2 = dt2 − dz 2 − dr2 − r2 dθ2

Point mass
Cosmic string

2.0

(2)

の形に書ける。ここで 0 ≤ θ ≤ 2π(1 − 4Gµ) であり、

1.5
1.0
2.0

1.5

1.0

0.5

0.0
u

0.5

1.0

1.5

2.0

∆ ≡ 8πGµ の角度が欠損している。従ってこれはMinkowski metric ではなく「円錐状」の時空である 図 2: Point mass と string による light curve の比較。uは lens からの距離でそれぞれ RE = 1, RE,str = 1 と規格が、local には Minkowski なので測地線は直線になる。 化している。Point mass について impact parameter は
光源天体 S と観測者の間に string (L) がある時、図 1

0.5 とした。

のように SO1 と SO2 が光源と観測者を結ぶ二つの測地線であり、観測者は S の二つの像を観測する。像のの長さであり、簡単のため θstr = π/2 とした。

O1
L

S

で与えられる。ここで n は string の数密度、l は string
次に string microlensing の event rate を考える。

optical depth と同様厳密には θstr と v⊥ の分布を考Δ慮する必要があるが、これらは string の非常に複雑O2なダイナミクスに依存するため、rate の計算では近図 1: String Lensing： 観測点 O1 と O2 は同一の点である。

似として v⊥ = c/2, θstr = π/4 に固定する（lensingを起こす string のセグメントは典型的には相対論的間の角度 δϕ は、θstr を視線方向と string の成す角、

ds = SO1 , dd = LO1 とすると δϕ = dds /ds ∆ sin θstr

速度で運動している）。まず diﬀerential event rate
（期待イベント数の変化率）はとなり、典型的には 10−4 arcsec 程度と非常に小さいdΓ = 2πv⊥ l sin θstr

ため現実の観測機器では二つの像を分解できず、光dn
dl d[dd ].
dl(6)源の強度が 2 倍に増幅される現象が観測される。こで与えられ、これを (4) を用いて書き換えると最終れが string によるマイクロレンズ効果である。増光

的には string から”Einstein 半径”

RE,str ≡dd dds∆ sin θstr
2ds

(3)

向に垂直な string の速さを v⊥ とすれば一つのマイクロレンズイベントの持続時間 (”Einstein 時間”) は

2RE,strdd dds ∆=sin θstr
v⊥
ds v⊥

∫

[

]
dn +
dn −
dl l
(d ) +(d ) .
dl d
dl dが得られる。ここで
(
)
√
√
1
±
2
−1
dd ≡
ds ± ds − 2 2ds c∆ tE2(8)(4) である。

で与えられる。

2.2

πds c2√√2∆ d2s − 2 2ds c∆−1 tE(7)より内側の光源にのみ生じ、lens plane での視線方

tE =

dΓ
=
dtE

2.3

Number Density

長い string は horizon 内に入ると交差・組み換えを

Optical Depth & Event Rates

起こし loop が生成される。loop は重力波を放出しなある瞬間に一つの光源が string から RE,str の範囲

がら縮み蒸発していき、string network は horizon 内にある確率が optical depth であり、の loop 数が一定に保たれるように進化する。クラス∫ ds

タリングがなければ loop 数密度 (dn/d ln l)base は一

τ = 2π∫d[dd ]RE,str

0

dn
dl l
dl

(5) 様になる。ここでは Chernoﬀ & Tye [3] による loop2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
Finite source eﬀect は r ≳ RE,str になると無視で数密度dn(r) = GF(r)d ln l(dn
d ln l= GF(r)n∗)

きなくなり、増光が著しく抑えられる。

Point mass による重力レンズでは、光の波長 λ が
base

x
−3/2
µ
(1 + x)5/2 −13(9)を用いる。ここで r は銀河系中心からの距離、µ−13 =Gµ/10−13 , x = l/lg で lg = 0.0206µ−13 pc である。
n∗ は数密度の次元を持つ定数で n∗ = n0 ≡ 1.15 ×

10−6 kpc−3 である。本研究では fstr ≡ n∗ /n0 をパラメータとした。(dn/d ln l)base は ΛCDM モデルのレンズの Schwarzschild 半径程度になると波動性が無視できなくなり、干渉によって light curve が振動することが知られている (wave eﬀect)。String における同様の効果が [4] で計算されており、string の場合
幾何光学近似は光の波数 k に対し kdd dds /ds ∆2 ≲ 1の時破綻する。この時 [4] の厳密解に基づくと light

curve が図 4 のように補正される。

下での一様な数密度であり、F(r) は string のクラス
2.0

ファクターである。(9) は string の進化を特徴づけ

1.5
wave

タリング、G は超弦理論による enhancement を表す
る string の組み換え確率などの種々のパラメータ値が固定された表式であるが、詳細は [3] に譲る。G はG = 10 10
G = 10 10.5
G = 10 11

1.0
0.5

1 ≤ G ≤ 104 の範囲の不定性があり、今回の計算で0.0

は G = 102 として G を含めたパラメータの不定性を

1.5

1.0

無次元パラメータ fstr に集約した。

0.5

0.0
u

0.5

1.0

1.5

Finite Source & Wave Optics

図 4: Wave eﬀect 込みの light curve。kdd dds /ds = 1020とした。kdd dds /ds ∆2 > 1 になると light curve が激しく振動する。

2.1 節では string によって図 2 に示したような離散

次節で述べるように M31 のマイクロレンズを用い的な増光が生じることを述べたが、この議論では光た場合、Gµ ∼ 10−10 付近に制限が得られるが、こ源の大きさと光の波動性が無視されている。これらの時 RE,str ≫ r⊙ 、また可視光 (λ ≃ 400 nm) に対しのいずれかが無視できなくなった場合、light curve

kdd dds /ds ∆2 ≫ 1 となるのでこれらの効果は無視すが変化し増光が抑えられるため、tE や Γ を修正するることができる。

2.4

必要が生じる。
まず光源サイズの影響 (ﬁnite source eﬀect) を考える。lensing によって ﬂux は変化しないため増光率は像の面積の比 µﬁnite = Alensed /Aunlensed で与えられ、これは解析的に計算できる。RE,str = 1 と規格化された lens plane 上で、光源の半径を r、string と光源の中心の距離を u とすると、light curve は図 3 のよ
うになる。

Results
興味のあるタイムスケールにおける理論的なマイクロレンズ増光のイベント数はソースの数を Ns 、観∫dΓ
で
測時間を tobs として Nexp,str = Ns tobs dtE dt
E与えられる。String が存在すれば Astrophysical BHなど通常の天体によるイベント数を Nstellar として

2.0
finite3

r=0
r = 0.5
r=1

1.5

Nstellar + Nexp,str 個のイベントが観測されるはずである。観測されたイベントは全て通常の天体によるもの (つまり string による観測イベント数 Nobs,str = 0)

1.0
2.0

1.5

1.0

0.5

0.0
u

0.5

1.0

1.5

2.0

図 3: Finite source に対する light curve。

と仮定し (Null Hypothesis)、これに基づいて Gµ に対し上述のモデルから fstr の事後分布 P (fstr |d, Gµ) (dは data vector) を計算し、パラメータ空間の excluded

region を求めた。fstr の prior としては fstr ≥ 0 の一2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
様分布を仮定した。HSC と OGLE のデータを用いた−9.5

計算結果を図 5 に示す。Gµ ≃ 10

, Gµ ≃ 10−13.5

付近のカットオフはそれぞれ HSC と OGLE の読み
出し時間（時間分解能）に対応する点で、tE がこれより短くなるような Gµ の領域には意味がないために導入している。

4

Discussion & Conclusion
重力波も光と同様にヌル測地線を通るため重力レンズを起こすことが知られている。近年 LIGO と Virgo
により重力波が観測されているが、cosmic string は
これらの重力波にレンジングを起こしうる。これに着目し、重力波に対して M31 と同様の手法で Gµ に対して新たな制限を得られないかと考え、[5] で報告さ4

れた 11 回の重力波シグナルを用いて計算を行った。
重力波は読み出しが 10−3 sec 程度と非常に速いため小さい Gµ に対して制限が得られるのではないかと考えたが、残念ながら Gµ ∼ 10−40 と小さくなり過

0(log10 1.15 × 10n 6 kpc 3)

2

ぎ、このような単純な考察だけでは良い制限は得ら2

れないことが分かった。これは重力波の場合、ソース
は ds ∼ 1000 Mpc の距離にあり、銀河系への string

OGLE
M31

4
14

13

12

11

log10 G

10

9

8

7

のクラスタリングを考えたとしても optical depth への主要な寄与は銀河間空間になり、距離が伸びることによる optical depth の増大よりも string の密度の
図 5: Gµ に対する fstr の制限 (95% conﬁdence level)。 減少の影響が大きく効いてしまうことが原因と考え

Chernoﬀ による string のクラスタリングが起こらない (F(r) ≡ 1) とすると、結果は図 6 のようになる。この領域では tE ∼ 10−6 sec とタイムスケールが短すぎるためこの結果に意味はなく、図 5 の制限にはクラスタリングによる数密度の enhancement が大きく寄与していることが分かる。

られる。
本研究では銀河系近傍のマイクロレンズ効果を用いて Gµ と数密度に対し制限を得たが、これには stringのクラスタリングが大きく寄与している。宇宙における string の分布についてはまだ不明な点も多く、銀河へのクラスタリングが Chernoﬀ の推定より数桁小さくなるという主張も存在するため、より精密な制限を得るためには今後の研究が待たれる。

4

2

0

[1] T. Vachaspati, L. Pogosian, and D. A. Steer,arXiv:1506.04039

2[2] H. Niikura et al., Nature Astron. 3, 6, 524-534(2019).

(

log10 1.15 × 10n 6 kpc 3)

Reference

4
23

22

21

20

log10 G

19

18

17

図 6: F(r) ≡ 1 の場合の結果 (M31)。

16[3] D. F. Chernoﬀ and S. H. H. Tye, arXiv:1412.0579(2014).
[4] T. Suyama, T. Tanaka, and R. Takahashi, Phys.
Rev. D 73, 024026 (2006).
[5] B. P. Abbott et al., arXiv: 1811.12907 (2018)

——–index

重宇 41
漸近 AdS 時空における Einstein-Vlasov 系の熱的安定性
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
浅見拓紀

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

漸近 AdS 時空における Einstein-Vlasov 系の熱的安定性
浅見 拓紀 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
近年，負の宇宙項を持つ Einstein 方程式の解である AdS 時空が，非線形な摂動に対する不安定を持つことが示された．この不安定性は，AdS 時空の漸近構造と系の非線形性により時空中に生じた摂動が乱流を引き起こすことに起因しており，この性質から短波長高周波数モードが卓越するために最終状態を具体的に解いて求めることは困難である．そこで本講演では，AdS 時空において高周波数モードが卓越した状態を相対論
的自己重力多体系（Einstein-Vlasov 系）によりモデル化することを考える．Einstein-Vlasov 系とは粒子の分布関数が Vlasov 方程式を満たし，かつその平均的密度と時空曲率が Einstein 方程式を満たす系である．
ここでは特に，その球対称解の熱力学的安定性に注目する．自己重力多体系については Newton 重力の範疇
では古くから盛んに研究が行われており，重力熱的不安定性と呼ばれる不安定性を持つことが示唆されている．本講演ではこの重力熱的不安定性の観点から Einstein-Vlasov 系の熱的な安定性について議論する．

1

Introduction

や (T. Padmanabhan 1990) などで詳細な解析がなされており，重力熱的不安定性と呼ばれる不安定性を

一般相対論において，負の宇宙定数を持つ時空でEinstein 方程式の最も対称性の高い真空解は AdS 時
空と呼ばれる．AdS 時空はそれ自身の遠方における漸近構造と系の非線形性に起因する不安定性を持つ
ことが指摘されており (P. Bizon, et al. 2011)，その不安定性は AdS 不安定性と呼ばれ，AdS ポテンシャ
ルにより閉じ込められた摂動が非線形に干渉することで乱流が生じ，短波長高周波数モードが顕著になる（エネルギーカスケード）ことが原因と考えられている．このエネルギーカスケードにより，時空に対称性がない等の一般の場合にはその最終状態を直持つことが知られている．(T. Padmanabhan 1990)
では，壁に閉じ込められた多粒子系に対し，そのエントロピーが極大で熱力学的に安定となるような粒子分布の存在が示されている．本研究で扱う漸近 AdS

Einstein-Vlasov 系も AdS ポテンシャル中に閉じ込められた粒子系と捉えることができ，本研究における解析は (V. A. Antonov 1962) による解析の拡張となる．ここでは Einstein-Vlasov 系に注目して漸近

AdS の解を構築し，そのエントロピーを求めること
で Newton 重力における解析との比較を行う．

接的な数値計算などで得るのは困難とされている．
そこで本研究では，AdS 時空の最終状態への示唆を得ることを目標に，エネルギーカスケードによって高周波数モードが顕著になった時空を Einstein-Vlasov
系でモデル化し，その安定性を調べる．これは，AdS
時空のエネルギーカスケードによって高エネルギーモードが顕著になると，各モードが粒子のように振る舞うと考えられ，かつ粒子間の衝突による寄与は小さく，系全体が作る曲率スケールの寄与が支配的になることが期待できるためである．
本研究で扱う Einstein-Vlasov 系は自己重力により束縛された多体系である．このような系の熱的安定性
は，Newton 重力の場合では (V. A. Antonov 1962)

2

Methods

2.1

Gravothermal instability

以下の Boltzmann 方程式を満たす一粒子分布関数

f (x, v, t) で記述される N 体自己重力系を考える：
∂f
∂f
∂f
+v·
− ∇ϕ ·= C[f ]．
∂t
∂x
∂v

(1)

ここで，C[f ] は衝突項を表し，ϕ は重力ポテンシャル：∫f (y, v, t)ϕ(x, t) := − d3 yd3 v(2)|x − y|2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
で Poisson 方程式

1 d
r2 dr

を導入すると，

(
r2

dϕ(r)
dr

)
= 4πρ(r)

1 d
x2 dx

(3)

∫

(
x2

dy
dx

)

= e−y

(12)

d3 vf (x, v, t) は質量 と書き直せる．方程式 (12) を x0 := R/L0 まで解くこ密度である．このとき，全エネルギーと全質量およ とで，半径 R の断熱壁に閉じ込められた解が得られる．
を満たす．ただし，ρ(x, t) :=びエントロピーは以下のような汎関数で与えられる：∫∫
1
1
E[f ] : =d3 xd3 v v 2 f +d3 x ρϕ,
2
2
∫
∫
3
3
M [f ] : = d xd v f =: d3 x ρ,
(4)∫
S[f ] : = − d3 xd3 v f ln f.

このような解を，無次元化された温度 τ = R/(βM )系が半径 R の球対称な断熱壁によって閉じ込めであることが導ける．以上を踏まえて，平衡解と臨られている場合（孤立系）を考える．このとき，系と無次元化されたエネルギー λ = RE/M 2 で表すことを考える1 ．このとき，臨界条件 δ 2 S = 0 は (7) を書き直すと，dλ=0dx
界点を図 1 に示す．

の全質量（粒子数）と全エネルギーは一定であるか

Spiral curve

ら，エントロピーが分布関数に関する任意の変分に3

対して極値となる解が平衡解となる．すなわち，変2.5

δS + αδM − βδE = 0(5)stablem/x=M/RT

分 f → f + δf に対して

(13)を満たす f (x, v, t) が平衡分布である．ここで，α, βunstable

2
1.5
1
0.5

は Lagrange の未定乗数である．Boltzmann 方程式0(1) からエントロピーは増大することが導かれる（H−0.4 −0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ=RE/M2定理）ので，エントロピーの二階変分が負となるとき，系は熱的に安定となる．したがって，二階変分：()∫
βδρδϕ (δρ)2+δ 2 S = − d3 x
(6)
2
2ρ
(∫
)2
β2
3
−
d x ϕδρ(7)3M

図1が 0 になるときが臨界点である．

れる点が系が安定から不安定になる臨界点である．

以上から，孤立した自己重力多体系の平衡解とその安定性を解析する．まず，平衡分布は，式 (5) より

Boltamann 分布：
v2
f (ε) = exp(α − 1 − βϵ), ϵ :=+ϕ2の数値解を表しており，中心で λ = ∞ である．この曲線が y 軸に平行な直線と接するとき，その共有点
が式 (13) を表す解となる．また，中心付近で系が安定であることが示せるので，最初に式 (13) が満たさ

図 1 より，λ にはある最小値 λcrit ≃ −0.335 が存在
し，その位置で系が不安定化することが分かる．またこのとき，ρc /ρ(R) = 709 である．したがって平(8) 衡解は，次の三種類に分類することができる．

が導かれる．これに対する Poisson 方程式 (3) は，無次元変数

1. RE/M 2 < −0.335 のとき，平衡解は存在しない．
2. RE/M 2 > −0.335 かつ ρc /ρ(R) > 709 のとρc := ρ(0), ϕ0 := ϕ(0), L0 := (4πρc β)1/2 ,(9)x := r/L0 , n(x) := ρ/ρc ,(10)m(x) := M/M0 , y(x) := β(ϕ − ϕ0 ).

自己重力系の平衡解：螺旋状の曲線が式 (12)(11)

き，エントロピーは極大ではなく，系は不安定である．
1 詳細は省略するが，このように記述することで重力多体系の熱的安定性が系の比熱と大きく関係していることが確認できる．

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
3. RE/M 2 > −0.335 かつ ρc /ρ(R) < 709 のとき， ここで A, β は定数で，Newton の場合の Lagrange 未
定乗数に対応する．この系列は l = 0 で平衡解であ
エントロピーは極大で，系は安定である．
以上の議論は，Newton 重力で断熱壁に閉じ込められる Boltzmann 分布を再現する2 ．

た自己重力系の平衡解について，その安定性が系の大きさにより決定されることを意味する．本研究では， 2.3
この断熱壁と AdS ポテンシャルの類似性に注目し，

AdS ポテンシャルに閉じ込められた Einstein-Vlasov
系のエントロピーを求めることによりその安定性を
議論する．

2.2

Stability of EV system

解の 1 パラメータ系列 (17) に対し，系のエントロ
ピーを時間一定面 Σ 上の積分として以下のように定
義する：
∫
∫ 3
d p µ
S=
sµ dΣµ , sµ := −p f (ln f − 1). (18)E
Σ
全静止質量（粒子数）M 及び全質量 Mtot が一定で

SSS Einstein-Vlasov system

あるという条件下においてパラメータ l を変化させ
静的球対称な Einstein-Vlasov 系を考える．系は次たとき，エントロピーの値の変化を数値的に得るこの Vlasov 方程式と Einstein 方程式で記述される．
p ∇µ f = pµ ∂ f − Γi pρ pσ ∂f = 0
µ
µ
ρσ
∂pi
G + Λg = 8πT , T = ∫ d3 p p p f (x, p)とで平衡解の安定性を議論する．静止質量及び全質

µν

µν

µν

µν

E

µ ν

量は以下で与えられる：∫M := mnµ dΣµ , Mtot := m(R)

(19)

Σ

(14) ここで nµ は粒子数密度流である．また，これは重力ここで，f = f (x, p) は一粒子分布関数であり，運動量

熱的エネルギー E := Mtot − M と静止質量を固定することと等価であるから，以降は M, E を用いるこ
pµ は一粒子の質量を m として p2 +m2 = 0 をみたす．
∫ d3 pととする．
またエネルギー運動量テンソルは Tµν =E pµ pν fで与えられる．計量を

ds2 = −eν(r) dt2 + eλ(r) dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2
(15)

3

Results

3.1

Asymptotically flat caseとすると，Einstein 方程式は ρ(r) := −T00 , p(r) := Trr

はじめに，漸近平坦時空の場合に断熱壁で閉じ込めとしてた系に対する解析結果を図 2 に示す．図 2 は，R/M

(
)−1 (
) を一定のまま逆温度 β を変化させた際の相対的なエm(r)Λν ′ = 1 − 2m(r) − Λ r2−r+
4πrp(r)r3
r2
3
ントロピー Sl /Sl=0 − 1 の変化を，n = ρ(R)/ρc に対 dm(r) = 4πr2 ρ(r)する依存性として示したものである． Newton 系とdr(16) 同様に，ある値 ncrit が存在し，n > ncrit では安定なと書ける．今，時空は静的なので，時間的 Killing ベµµpµ をを用いて粒子のエネルギー ε := ξ(0)クトル ξ(0)導入すると ε は測地線に沿って保存する．したがって，分布関数が f = f (ε) とかけるとき，Vlasov 方
程式は自明に満たされる．そこで，本講演では以下の分布関数の 1 パラメータ系列を仮定する：

fl (ε) = A(1 + βε)l e−βε .

(17)のに対し，n < ncrit では不安定になっていることが確認できる．この値は ncrit ∼ 1.5 × 10−3 程度となっており，Newton 系の場合よりも早く不安定性が生じることがわかる3 ．これは相対論的な効果により，重力の寄与が大きくなることで不安定性を助長していると考えられる．
2 計算は複雑になるが，相対論でも Boltzmann 分布が平衡解になることが確認できる．
3 Newton 系の 1/ncrit = 709 という値は静止質量密度に対する値であるのに対し，GR の場合は全質量密度に対する値であるから，値そのものの直接的な比較は実は困難である．実際には，

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Phase transition

Conclusion and Future work

Entropy (Se/S0−1)×108

AdS 不安定性とその最終状態を動機として，漸近AdS 時空中における Einstein-Vlasov 系に対しその安

8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−14

定性を議論した．漸近平坦時空に対し，Gravothermal

instability の分野で知られているような断熱壁に閉じ込められた系を考えることで，Newton 系よりも不安定性が早い段階で起きることが確認できた．さら

−0.06
−0.04
−0.02
l

0

0.02

0.04

1
0.06
0 0.5

1.5 2

3.5
2.5 3

4 4.5

5

3

ρe/ρc×10に漸近 AdS 時空で解析することで AdS ポテンシャ
ルで閉じ込められた系の安定性を解析し，AdS ポテ
ンシャルが Vlasov 系を閉じ込めることで断熱壁と同様に系を安定化させることを確認した．これは，本

図2

3.2

漸近平坦の場合のエントロピー

研究で考えた系列が AdS 時空の最終状態としての安定解となる可能性を示唆する．
今後の展望として，まず AdS 半径を大きくしてAsymptotically AdS case

いくことで系が不安定解に相転移することを確認す

次に，漸近 AdS 時空で Vlasov 粒子系が AdS ポテ

ることが挙げられる．さらに，その相対論的な効果

ンシャルで閉じ込められた場合の解析を図 3 に示す． についても詳細に議論することを考えている．また，
図 3 は，−Λm2 = −3 として十分遠方（n ≪ 1）ま Einstein-Vlasov 系の特徴として，分布関数の仮定を変更することで多種多様な解を構成することができ

105(S/Sl=0-1)

Entropy for E/M=0.13,R/M=100
5
4.8
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
-0.6 -0.4 -0.2

図3

る．そこで，非等方的な解や，それを応用した Blackhole を含む解に対してもそのエントロピーを計算し，Entropy

安定性を議論することが可能であるため，そのような拡張を考えている．

Acknowledgement
0

l

0.2

0.4

0.6

COVID-19 による混乱の中，夏の学校開催にご尽力下さった SS20 事務局に感謝いたします．

漸近 AdS の場合のエントロピー

で解いた場合のエントロピーの変化である．断熱壁に閉じ込めた場合では，n ≪ 1 では常に不安定となるのに対し，図 3 の系では Boltzmann 分布が安定な平衡解になっていることが確認できる4 ．

Reference[1] P. Bizon, & A. Rostworowski 2011, Phys. Rev. Lett.
107, 031102[2] V. A. Antonov, 1962, Vest. Leningrad Univ., Vol. 7,
p. 135[3] T. Padmanabhan, 1990, Physics Reports, Vol. 188,
No.5, pp. 285-362

それぞれに対応する λcrit で比較するのが良い．図 2 での値はλcrit ∼ −0.05 程度であり，Newton の場合：λcrit ∼ −0.335 と比較して小さいことが確認できる．
4 あくまでもこの系列に対する安定性であり，任意の変分に対する安定性をこの方法で確認するのは困難である．

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重宇 42(1+1) 次元 Inﬁnite Derivative Gravity における厳密解と時空特異点の回避について
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
櫻井優介

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校(1+1) 次元 Infinite Derivative Gravity における厳密解と時空特異点の回避について
櫻井 優介 (名古屋大学大学院 素粒子宇宙物理学研究科)

Abstract
一般相対論を用いるとブラックホール内部に曲率特異点が発生してしまう。しかしこのような点が現実に存在するとは考えにくく、特異点が発生してしまうのは、一般相対論が超近距離領域での現象を正確に記述できていないからだと考えられている。そのため特異点の発生しないようなより良い重力理論の構築が必要になる。そのような理論の候補として、Infinite Derivative Gravity (IDG) と呼ばれる修正重力理論がある。
この IDG は弱場近似の範囲において特異点を発生させないことが先行研究によって確かめられている。本稿では強重力場での IDG の厳密解を得ることを目的に研究し、厳密解として定曲率解を得た。

1

Introduction

有限階で止めずに無限階まで含めることに意義を持っている。それは、有限階で止めずに無限階の微分項ま

空間に物質が存在するとそれによって時空はゆがむ。その最たる例がブラックホールで、その存在は2015 年、重力波の直接的な観測によって確認された。
ブラックホールの性質については一般相対論を用いてよく説明できる。しかし全く問題がないわけではなく、その内の一つは「ブラックホールの特異点問題」として知られている。

で含めることで、ゴーストが現れないことが示されている事である。IDG を用いた重力場解には様々なタイプのものが弱場近似の範囲で得られており、実際に重力ポテンシャルや曲率が原点で発散しないことが確かめられている [1]。しかし、IDG において強重力場を記述する厳密な解は未だに見つかっていない。

特異点では曲率や物質密度、圧力などが無限大に発散してしまうので、そこでは様々な計算が破綻してしまい、物理学による予言力が失われてしまう。しかし、強重力場での重力の量子効果まで考えると、こそこで本研究では（3+1）次元に比べて自由度が少なく、方程式が単純化されると期待できる、(1+1)
次元、つまり空間 1 次元と時間 1 次元における IDGの厳密解の構築を試みた。

のような点は現実には存在しないだろうと考えられるため、様々な面から特異点の発生を回避する理論の研究が進められている。主な指針としては、一般

先行研究

2

相対論に量子力学を取り入れ、その量子論的効果によって特異点は現れないとする量子重力理論に基づ

先行研究に基づいて、IDG がどのような理論であく考え方や、一般相対論に修正を加えて特異点を回るかの説明をし、弱場近似解において特異点が発生避しようとする修正重力理論の考え方などがある。

しないことを示す。

そのような修正重力理論の一つに Biswas らによっ IDG は一般相対論に二次の曲率と無限回までの曲率て提唱された「Infinite Derivative Gravity (IDG) 」 の微分項を加えることで作られる [2]。その作用は任がある。IDG は一般相対論で通常用いられるアイン

意の微分演算子 Oµµ21νν21λλ21σσ21 を用いて最も一般的に、∫避を目指したものである。一般相対論の作用に高階)√ (Rd4 x −g+Rµ1 ν1 λ1 σ1 Oµµ21νν21λλ21σσ21 Rµ2 ν2 λ2 σ22(1)

微分項を加えた高階重力理論は様々あるが、IDG はの よ う に 表 さ れ る 。作 用 の 曲 率 の 二 次 の 項 に はシュタイン-ヒルベルト作用に無限階の微分項を含んだ曲率の二次の項を加えることで、特異点生成の回S=

R, Rµν , Rµνλσ の内二つと共変微分を組み合わせて2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
作ることのできるあらゆる項が考えられるが、それらとする。メトリックを、静的球対称という条件から、

は部分積分やビアンキの恒等式などを用いることで、∫
ds2 = −(1 + 2Φ)dt2 + (1 − 2Ψ)dx2µ1 ν1 λ1 σ1 µ2 ν2 λ2 σ24 √Sq = d x −gRµ1 ν1 λ1 σ1 Oµ2 ν2 λ2 σ2 R∫とすると、場の方程式は(
4 √µν= d x −g RF1 (□)R + Rµν F2 (□)R(a − 3c)[∇2 Φ − 2∇2 Ψ] = κρ)
+ Rµνλσ F3 (□)Rµνλσ(2)(c − a)∇2 Φ − 2c∇2 Ψ = −κρのように任意の微分演算子 F1 , F2 , F3 を用いて書き直すことができる。これらはダランベルシアン □ =g µν ∇µ ∇ν の関数である。この形の作用を IDG の基
本的な作用として考えていく。

(8)

(9)

と書ける。
未だ a, b, c, d, f の関数形を定めていない。そこで
まず簡単のため、f = 0 とする。さらに、ゴーストが現れないためには

IDG を弱場近似条件下で解くと、物質があってa(□) = e

も特異点が発生しない解が得られる。その一例として、静的球対称解を紹介する [1]。弱場条件()
gµν = ηµν + hµν|hµν | ≪ 1

s

(10)

であればよいことが先行研究によって示されている(3)の下で作用 (2) を O(h) までで書き直して変分を取
ると、

□
−M
2

ので、ここでも同じようにする。ただし、Ms は長さの次元を持つ定数。これによって場の方程式が確定する。

解くとこの解は、Ψ = Φ であり、
[1√
δS = − d4 x −g a(□)□hµν
ds2 = −(1 + 2Φ)dt2 + (1 − 2Φ)dx2
2
1
Gm ( rMs )+ b(□)hσµ,σν + c(□)(ηµν hλσ,λσ + h,µν )
erf
(11)
Φ=−
2
r
2
]
1
1 f (□) λσ+ ηµν d(□)□h +h ,λσµν δhµνとなる。このように IDG は弱場近似の範囲で特異点
22 □(4) を回避できている。同様に、Reissner 型や Kerr 型の解についても特異点が発生しないことが確かめられのように書き直せる。ただし、a, b, c, d, f は F1 , F2 , F3ている [3,4]。
を書き直したもので、

∫

a+b=0

c+d=0

b+c+f =0(5)を満たしているため、任意に定めることのできる微分演算子は、a, b, c, d, f の内二つとなる。このことか
ら場の方程式は、(1+1) 次元における IDG の厳密解先行研究によって、IDG は弱場近似の範囲では特a(□)□hµν + b(□)(hσµ,ν + hσνµ ),σ+ c(□)(ηµν hρσ,ρσ + h,µν ) + ηµν d(□)□h+ f (□)□−1 hλσ,λσµν = −2κτµν

3(6)

異点の発生を回避することに成功していることが分かった。そこで本研究では IDG を厳密に解き、特異点の無いブラックホール解を構築することを目的と

ここで、κ = 8πG、τµν はエネルギー・運動量テンソ

した。(1+1) 次元では非自明な解を得るためにはスル。このようにして、弱場条件下での IDG の場の方

カラー場 ϕ を導入する必要がある。本研究では ϕ と程式を得る。

無限階の微分項を導入した作用としていくつかのモ

物質場については、質量 m の質点を仮定する。

τµν = ρδµ0 δν0 = mδ 3 (x)δµ0 δν0(7)

デルを考え、その外部解を求めた。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

光円錐座標系を用いた解3.1□R = AR となるメトリックを用いた解

3.2

スカラー場を導入した最も単純な作用として、() 次に (1+1) 次元重力理論の一つである JT モデル
∫
Mp2
1
1
2 √
2
S = d x −g
ψR + 2 RF (□)R + (∇ψ) を拡張した作用として、
2
Ms
2
(
)
∫
(12)
R
2 √
S = d x −gψ F (□) + Λ(20)を考える。この作用をそれぞれ ϕ と gµν で変分を取2り、物質場を真空とすると、場の方程式は次のようを考えた。この作用をそれぞれ ϕ と gµν で変分を取になる。
り、物質場を真空とすると、場の方程式は次のよう

R − □ψ = 0(13) になる。

1(RF (□)R + 2F (□)□R + Ω̄1 ) = 0 (14)Ms2∑∞
ただし、R(m) ≡ □m R、F (□) = n=0 fn □n として
□ψ +

Ω̄1 =

∞
∑

fn

n=1

n−1
∑

R
+Λ=0
(21)
2
2ψΛ − F (□)□ψ + ψF (□)R − RF (□)ψ + Ω̄ = 0
F (□)

(22)
R(m) R(n−m)(15) ただし、

m=0

ここでメトリックを、ρ = ρ(x+ , x− ) を用いて光的

Ω̄ =

座標

∞
∑

fn

n=1

ds2 = e2ρ dx+ dx−

(16)

(23)

m=0

√
ds2 = − cos2 ( Λ x)dt2 + dx2√(α : 定数)ψ = α sin( Λ x)

ϕ に対するダランベリアンはそれぞれ、
R=g

ψ (m) R(n−m)

すると、Λ > 0 のとき、とすると、リッチスカラー R と、任意のスカラー量

µν

n−1
∑

(24)

Rµν

= −8e−2ρ ∂+ ∂− ρ

(17)

が R = 2Λ > 0 の定曲率解となっている。
また同様に、Λ < 0 のときは、√
ds2 = − cosh2 ( |Λ| x)dt2 + dx2√
ψ = α sinh( |Λ| x)(α : 定数)□ϕ = g µν ∇µ ∇ν ϕ
= (g +− ∇+ ∇− + g −+ ∇− ∇+ )ϕ= −2e−2ρ ∇+ ∂− ϕ − 2e−2ρ ∇− ∂+ ϕ
= −4e−2ρ ∂+ ∂− ϕ

(25)

が R = 2Λ < 0 の定曲率解となっている。これらは(18) (1+1) 次元における dS/AdS 時空である。

となるので、

ρ = u(x+ ) + v(x− ) + C+−

ψ = f (x ) + g(x ) + D(C : 定数)(D : 定数)(19)4Conclusion and
Future Workであれば R = 0 , □ψ = 0 となるので、2 つの方程式を満たすことができる。(1+1) 次元では Rµνλσ の自由度は 1 なので、この解はミンコフスキー時空に他

本研究では、(1+1) 次元における IDG の厳密な真空解を得た。作用をならない。このモデルによって、理論が満たすべき
最も基本的な解としてのミンコフスキー時空を、解 S =として持つことが分かった。

∫

√ Mp2
d2 x −g
2

(
ψR +

1
1
RF (□)R + (∇ψ)2
Ms2
2

)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校としてミンコフスキー時空解を得、一方で作用を
(
)
∫
R
2 √
S = d x −gψ F (□) + Λ
2として AdS/dS 時空解を得られた。
今後の展望としては、今回用いた計算の手法を生かして、今回はできなかった (1+1) 次元の IDGのブラックホール解を導くことと、それを (3+1) 次
元に拡張することである。そうすることで IDG の目的である所の、特異点の回避が厳密にできているのかを確かめる。また、現実のブラックホールの観測結果と、IDG を用いて得られた時空の性質を比べて、どの程度現実世界を表現できているかを調べることも将来的な課題となる。

5

Reference[1] T.Biswas, E.Gerwick, T.Koivisto, & A.Mazumdar 2011, arXiv:1110.5249[2] T.Biswas, AConroy, A.S.Koshelev, & A.Mazumdar 2014, arXiv:1308.2319[3] L.Buoninfante, G.Harmsen, S.Maheshwari, & A.Mazumdar 2018, arXiv:1804.09624[4] A.SCornell, G.Harmsen, G.Lambiase, & A.Mazumdar 2018, arXiv:1710.02162

——–index

重宇 43
Janis-Newman Algorithm とその拡張について
東京学芸大学教育学研究科物理学教室
太田渓介

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Janis-Newman Algorithm とその拡張について
太田渓介 (東京学芸大学大学院)

Abstract
Janis-Newman Algorithm（JNA）は、アインシュタイン方程式の静的球対称解をシードメトリックとして、定常軸対称解を生成する非常にシンプルなアルゴリズムである。その簡単さからこれまで多くの解が JNA
によって生成され、また JNA の拡張についても広く議論されてきた。本発表では、これまで報告されてきた JNA 適用について総括した。さらに、拡張された JNA によって 5 次元の de Sitter core を持つ Regular

BH 解から 5 次元 Regular-Myers-Perry (RMP)BH 解を生成してその性質について論じた。

1

Introduction

際に、rotating BTZ 解や、5 次元 Myers-Perry(MP)
解を生成できることが示された。

一般相対性理論の重要な結果の中に、アインシュタイン方程式の解として BH 解が含まれる、という事実がある。しかし、アインシュタイン方程式は非線形微分方程式であることから、厳密解を得ることは難しい問題である。現実的な BH を記述できる Kerr 解は、定常軸対称時空を仮定することで得られるが、一般
相対性理論の登場から解が得られるまでにおよそ 50
年もの月日を要している。しかしその直後に、より簡
単に Kerr 解を生成する方法が Janis と Newman に

このように、JNA は簡単に解を生成できるため非常に有用である反面、議論の曖昧さから様々な誤った主張が存在する。そこで、本発表では JNA とその拡張について今まで報告されてきた成果を総括する。さらに、Erbin らによって提案された 5 次元のJNA を用いて、Regular-Myers-Perry（RMP）解を生成し、その性質が de Sitter core を持つ一般的なRegular BH と一致することを示した。

よって提案された (Newman & Janis 1965)。彼らは、座標の複素化と複素座標変換によって Schwarzschild
解から Kerr 解を生成できることを示した。この処方

2

Jannis Newman Algorithm

を Janis-Newman Algorithm（JNA）と呼ぶ。JNA

まず、JNA について簡単なレビューを行う。ただは多くの注目を集め、適用可能条件やなぜ機能する

し、ここではオリジナルの Newman-Penrose 形式をのかといったことについて様々な議論がなされてき用いたものではなく、Giampieri の処方を紹介する。

た。また、JNA と等価な様々なアルゴリズムも開発さ

JNA は 4 つのステップで構成される。

れた。特に、ここでは Giampieri の処方 (Giampieri1990) を採用している。JNA によってシードメトリッ
クから生成された解は、一般に運動方程式を満たし

1. grr = 0 になるように null 座標 (u, r) を導入する。ゲージ場が存在する場合には Ar = 0 となるようにゲージ変換を行う。

ているとは限らない。しかし、方程式を解くよりも簡単に新しい解を生成できるため、より複雑な構成の解を得ることができると期待される。

JNA の拡張はこれまでに広く議論されてきた。例
えば、JNA を任意次元の時空に対しても適用できるようにする定式化が Erbin らによって提案された

2. u と r を複素数、メトリック関数やゲージ場の関
数 fi (r) を（経験則に従って）実数値関数 f˜i (r, r̄)に拡張する。

3. dxµ と f˜i (r, r̄) に対して、複素座標変換を行う。

(Erbin & Lucien 2015)。任意次元に対する JNA は

4. Boyer-Lindquist 座標への座標変換を行う。ここ

不完全であるものの、3 次元と 5 次元時空に対して

で、変換が有効な微分同相写像であることを確は統一的に議論することができるようになった。実

認する。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
具体的に、シードメトリックとして Schwarzschild 解かの確認はしばしば見落とされがちであるので注意を選んで、Kerr 解を生成する。

が必要である。この可積分性を要請するとメトリッ

ds2 = −f (r)dt2 + f (r)−1 dr2 + r2 dΩ222m
f (r) = 1 −rク関数の複素化にかなりの制限がつく。最後に、簡(1) 単のためプライムを省略すれば、
2

まず、Eddington-Finkelstein 座標 (u, r) を du = dt−

f −1 dr によって導入すると、
ds2 = −f dt2 + 2dudr + r2 dΩ22(2)を得る。次に、(u, r) 座標を複素化する。これには任意性があるが、経験則から
(
)
1
1 1 1
Re r
→
+
=
, r2 → |r|2
r
2 r
r̄
|r|2

(3)

r = r′ − ia cos θ

ることを確認した。しかし、この解の性質については既に議論が尽くされていることからそれ以上は扱(5)

ドメトリックを Bardeen BH にした場合については
dr → dr′ + a sin2 θ dϕ (6) 既に議論されているが、ここでは一般的に、de Sittercore を持つ Regular BH を考えて、その一般的性質について議論した。そこで、シードメトリックとし

ds = −f˜ (du′ − a sin2 θ dϕ)2 − 2 (du′ − a sin2 θ dϕ)
2(dr′ + a sin2 θ dϕ) + ρ2 dΩ2
2

2

ては

(7)

′

ds2 = −f (r)dt2 + f (r)−1 dr2 + r2 dΩ23
dΩ23 = dθ2 + sin2 θdϕ2 + cos2 θdφ2

′2

2

2

を得る。ここで、ρ = r + a cos θ とした。最後に、Boyer-Lindquist 座標への座標変換を行う。

r 2 + a2 ′adu = dt −dr , dϕ = dϕ′ − dr′∆∆′

わない。次に、5 次元の Regular BH に対して JNAを適用し、5 次元 RMP BH を生成した。特に、シーという置き換えを行うと、

Q − 2mrf˜(r, r̄) = 1 +ρ2

前節で示した JNA は 4 次元の場合に適用したが、Erbin らによって任意の次元に統一的に拡張できるこ(4) た。まず、3 次元 BTZ BH に対して JNA を適用し、その結果既知の rotating Regular BTZ BH を得られを行い、また dxµ についてはdu → du′ − a sin2 θ dϕ,

JNA の拡張

3のメトリックを持つ非真空解に適用することを考えと複素化する。これに対して複素座標変換u = u′ + ia cos θ,となって、Kerr 解を得ることができる。

とが示された。我々はこの方法を Schwarzachild 型となることが知られている。今の場合では、

2m Re rf˜(r, r̄) = 1 −2|r|ρ
ds2 = − f˜ dt2 + 2a(f˜ − 1) sin2 θ dtdϕ +
dr2
∆
(10)
+ ρ2 dθ2 + (ρ2 + f˜a2 sin2 θ) sin2 θ dϕ2

′

(11)

µ(r)
f (r) = 1 − 2rを用いた。また、この時空が(8)

ここで、∆(r) = f˜ρ2 + a2 sin2 θ とした。この変換が• 時空全域で WEC を満たす
• 時空全域でエネルギー密度が正則可積分であるためには、∆ = ∆(r) とならなければならない。具体的に ∆ 計算すると、• 漸近的平坦な時、有限の ADM 質量 M を持つ(9) を満たすとすると、メトリック関数 µ(r) は次の性質を満たす。
となる。よって、今のケースでは BL 変換が well de• µ(r) は至る所で正であり、さらに単調増加する
ﬁned であることがわかる。BL 変換が可積分である∆ = −2mr + r2 + a2

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校• lim µ(r) =r→0• lim µ(r) =r→∞である。これを原点近傍 r → 0 で評価すると、
(
)
Λ2
r4
r6
r8
r10
r12
K2 ≃
44 4 − 164 6 + 322 8 − 288 10 + 96 12 (15)
9
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ

Λ 4
r , Λ ≡ 8πρG (0)
6
8
M
3π

ここで、重力源のエネルギー密度を ρG (r) とした。こを得る。a2 cos2 θ + b2 sin2 θ ̸= 0 のときは、K 2 ≃ 0のメトリックに対して 5 次元に拡張した JNA を適用となり、時空は Minkowski ﬂat になる。一方で、MPすると、BH では発散する、a2 cos2 θ + b2 sin2 θ＝ 0 の場合を考える。この場合では ρ2 = r2 となるため、

r 2 ρ2 2
dr + ρ2 dθ2ds2 = − dt2 +∆)2µ(r) (+ 2 dt + a sin2 θ dϕ + b cos2 θ dφ
ρ

K2 ≃

(16)
(12)
となる。このように原点近傍でクレッチマン不変量+ (r2 + a2 ) sin2 θ dϕ2 + (r2 + b2 ) cos2 θ dφ22

は発散せず、有限の値をとることが分かる。他の曲率不変量を計算しても、MP BH では発散していた量を得る。ここで、
2

10 2
Λ
9

が有限の値をとることが示せる。他にも、MP BH で2

2

2は Conical Singurality が存在していたが、RMP BH

2

ρ = r + a cos θ + b sin θΠ = (r2 + a2 )(r2 + b2 )∆ = Π − µ(r)r2(13) の場合にはそれが解消されていることも確認できた。
これらの原因は、MP BH では原点近傍に存在していた Signular Ring が、RMP BH の場合にはぼやとした。また、JNA の過程でメトリック関数 µ(r) をかされて de Sitter disk に置き換わったことであると複素化しないことによって、Boyer-Lindquist 座標へ予想できる。実際に、ϕ2-plane で局所的に回転しての well deﬁned な座標変換を持つことを確認できる。 いない観測者によって測られるエネルギー運動量テ
また、得られた解をアインシュタイン方程式に代入することによって、シードとした非真空解の物質分
布が JNA によってどのように変更を受けるのかを調べることもできる。

45 次元 RMP BH 解の性質
JNA で得られた RMP BH 解について以下のように解析した。まず、5 次元 MP BH が持っていた曲率特異点が、RMP BH では解消されていることを確認(17)

極限をとると、(14)+ 24ABµ2 ]r2 − 8ρ2 Cµµ′ r + 2ρ4 Dµ′2 }− T 0̂0̂ = T 1̂1̂ = T 2̂2̂ = T 3̂3̂ = T 4̂4̂ ≃ −Λ
8πΛ⇔ − ρs = Pr = Pθ = Pϕ = Pφ ≃ −
8π

(18)

を得る。したがって、a2 cos2 θ + b2 sin2 θ = 0 の時

ここで、

A = ρ2 − 4r2 ,1 m̂ n̂ µνe µe ν G
T m̂n̂ = em̂µ en̂ν T µν =8π√et̂ = |gtt + Ωϕ gtϕ + Ωφ gtφ |dt√
er̂ = |grr |dr√eθ̂ = gθθ dθ
√2
gϕϕ gφφ − gϕφeϕ̂ =(−Ωϕ dt + dϕ)
gφφ
(
)
√
gtφ
gϕφ
eφ̂ = gφφdt +dϕ + dφgφφ
gφφを計算し、a2 cos2 θ + b2 sin2 θ＝ 0 の場合に r → 0 のする。クレッチマン不変量を計算すると、

K 2 =Rµνρσ Rµνρσ()
1= 2 12 {[ρ8 µ′′2 − 4ρ4 2ρ2 µ′ r + Aµ µ′′
r ρ

ンソル

B = 3ρ2 − 4r2

C = ρ4 − 16ρ2 r2 + 24r4 , D = ρ4 − 6ρ2 r2 + 16r4

は r → 0 近傍の物質のエネルギー密度と圧力は宇宙定数と近似的に一致することが確かめられた。これはつまり、RMP BH は Singular ring の代わりに deSitter disk を有していることを示している。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
次に、このような de Sitter disk を持つことによっ r+ < rc の場合には ∂r+ T+ は正の値、r+ > rc の場合て BH の構造や性質にどのような影響を与えるか調には ∂r+ T+ は負の値をとることとなる。したがって、べる。まず、Horizon について調べる。Horizon の半比熱 C+ は r+ > rc では負の値をとるが、r+ = rc で

径 r+ は次の方程式を満足する。

発散し、r+ < rc では正の値を持つようになる。さら222∆(r+ ) = (r++ a2 )(r++ b2 ) − r+µ(r+ ) = 0 (19)

したがって、関数 ∆(r) の振る舞いから Horizon について考察できる。この関数の典型的な振る舞いを考えると、Horizon を 2 つ持つ BH、Horizon が 1 つに縮退した半径 r± の extremal BH、Horizon を持たな
い G-lump の 3 つの場合に分けることができる。しかし、物質分布が滑らかに正則化されることによって、RMP BH は同じ ADM 質量を持つ MP BH と比べて Horizon 半径が小さくなり、G-lump が生じやす
くなっている。
最後に、熱力学的な安定性を見るために、Hawkingに、r+ = r± においてゼロとなる。従って、次のよ
うな蒸発の過程を辿ると考えられる。まず、負の比熱を持つ BH は熱力学的に不安定であり、加速的に熱を放射して次第に痩せ細っていく。r+ = rs に達す
ると比熱が発散して熱力学的な相転移を引き起こし、負の比熱を持つ不安定相から正の比熱を持つ安定相に切り替わる。安定相においても緩やかな蒸発のプ
ロセスは続き、最終的には r+ = r± において比熱がゼロとなる。これは温度変化によって BH の質量が変化しないことを表している。つまり、Regular BHの remnant が熱力学的に安定した物質であり、エネ
ルギーを放出して蒸発しないことを意味する。

温度と比熱について議論した。Hawking 温度を計算
すると

1
T+ =
2π

( 4
)
2 ′
r+
µ (r)|r=r+r+ − a2 b2
−
r+ Π
2Π

5
(20)

となる。µ(r) が単調増加することから µ′ (r)|r=r+ > 0となる。したがって、Regular BH の温度は、同じ

Conclusion
ここではまず、JNA のレビューを行い、特に表記が簡単になる Giampieri の処方について述べた。その後、JNA の拡張として非真空解への適用について論じた。特に、5 次元 RMP BH を JNA によって
ADM 質量を持つ通常の MP BH よりも低くなる。こ 生成し、その一般的な性質を調べた。曲率特異点やれは、時空が滑らかに正則化されることによって重Conical Singularity は時空全域で正則になることが力源がぼやかされることに起因すると考えられる。

わかった。また、その原因を探るために正規直交基底
Hawking 温度 T+ の典型的な振る舞いを考えると、 を用いてエネルギー運動量テンソルの成分を計算し、r+ = r± において T+ = 0 となり、また r+ = rc に Singular ring が de Sitter disk に置き換えられていおいてピークを持つ。したがって、一般に Regular
ることを確認した。また、この BH の構造がどう変

BH の Horizon が一つに縮退する時、Hakwking 温度 化するかを調べるために、Horizon 構造や熱力学的性質について議論した。今後の展望としては、任意
で Horizon が一つに縮退して BH は絶対零度に達し、次元の時空に適用できる JNA の拡張を完成させて、はゼロとなることが分かる。これは蒸発の最終状態
それ以上蒸発することはない物質が生じることを示している。

それを用いて生成した Regular BH 解の構造を調べたい。

また、比熱はC+ =dM+
4πM+ T+
=
∂T+
dT+

(21)

∂r+

となる。ここで、M+ (r+ ) = µ0 (r+ ) > 0 と定義しReference
Newman and Janis. J Math Phys 6.6 (1965), 915-917.

た。今、r+ = r± で Hawking 温度はゼロとなる。一

Giampieri. Gravity Research Foundation (1990).

方で、Hawking 温度が r+ = rc においてピークを持Erbin and Lucien. Class Quantum Gravity, 32.16(2015): 165004.

つので、温度の微分は r+ = rc においてゼロとなり、

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重宇 44
アインシュタイン計量からインスタントンを作る
東京理科大学理学研究科科学教育専攻
原健太郎

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

リッチ平坦計量からインスタントンを作る
原 健太郎 (東京理科大学大学院理学研究科)

Abstract
我々は H. S. Yang , & M. Salizzoni (2006) の一般化として、アインシュタイン計量がユークリッド空間上の反自己双対 2-形式から対称 2-形式への写像によって局所的に構築することができることを示した。またこの逆としてアインシュタイン計量に少しの条件を課すことで反自己双対 2-形式を局所的に構築することができることを示した。この物理学的意味についても議論する。

1

背景（重力理論・リーマン幾何学）

Definition 1. (M, g) を（準）リーマン多様体とす

次に F̂ を R4 上の Alt4 値函数 F̂ (x) に格上げし、R4 上の 2-形式
F̂ (x)µν dxµ ∧ dxν ,る。レビ・チビタ接続 (リーマン接続) から定義され()∗F̂ (x)るリッチ曲率を Rµν 、スカラー曲率を R とする。

1Rµν + Rgµν = 02を満たすとき (M, g) をアインシュタイン多様体といを使っている。
背景（マクスウェル方程式・ゲー
ジ理論）
対称行列全体の集合を Altn (R) と表すこととする。

{}
Altn (R) := F ∈ Mn (R) | F T = −F

F̂12

F̂13

F̂14



とし、

(

)

d F̂µν dxµ ∧ dxν = 0, dと定義する。

Definition 2. 線形写像 ∗ : Alt4 (R) −→ Alt4 (R)を以下で定義する。


0
F̂12
F̂13 F̂14 −F̂12

0F̂23 F̂24 ∗ −F̂
0F̂34 
13 −F̂23
−F̂14 −F̂24 −F̂3400F̂34 −F̂24 F̂23 −F̂34
0F̂14 −F̂13 
.
:= 
 F̂
−F̂14
0
F̂12 
24
−F̂23 F̂13 −F̂12
0

0



 −F̂120F̂23 F̂24 F̂ := 0F̂34 
 −F̂13 −F̂23
−F̂14 −F̂24 −F̂34
0


0
E1
E2
E3


 −E1
0
−B3 B2 

=
 −E
B3
0
−B1 
2


−E3 −B2 B10

方程式と呼ぶ。

つまり

dxµ ∧ dxνを定義する。ここではアインシュタインの縮約記法

う。また上記方程式を（真空の）アインシュタイン

2

µν

((

∗F̂

)

)
µν

dxµ ∧ dxν=0を仮定すると、Eµ を電場、Bµ を磁場とするマクス
ウェル方程式が導出される。そこで ∗F̂ = −F̂ となるような F̂ をインスタントンという。

Fact 2.1. F̂ がインスタントン条件とビアンキ恒等式を同時に満たすならば、その F̂ はヤン・ミルズ方
程式の解である。つまり
(( )
)
(
)
∗F̂ = −F̂ , d F̂µν dxµ ∧ dxν = 0 =⇒ d ∗F̂
dxµ ∧ dxν = 0µνが成立する。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

3である。反対称行列 F̂ − を R4 上の 2-形式と思った

先行研究
S. Lee et al. (2013) においては N. Seiberg, & E.

時のホッジ作用素に対して?F̂ − = −F̂ −Witten, (1999) の結果に基づいて 4 × 4 反対称行列
F, F̂ , θ の各成分に対して以下のような関係式を与えている。

(
F̂µν =

1F
1 + Fθ

µ, ν = 1, 2, 3, 4 であり、

0 −ζ

 ζ 0
θ := 
 0 0

0 0

0
0
0
ζ

を満たす場合)det [g] = 1

µν

0

となる。



Theorem 3.2. 局所的に R4 を C2 と同一視した場
合、エルミート接続に対するリッチ曲率は


0 

−ζ 

0

(1)
Rj̄k = ∂j̄ ∂k log (det [g])(2)で計算される。つまり上記の条件 ?F̂ − = −F̂ − のもである。また対称行列 G, g もとでは g が計量だとすると

1Gµν = δµν + (F θ)µν = (δµν + gµν )2のように与える。するとつまりは
( (
)
)−1
gµν = 2 E4 + F̂ θ
− E4

Rj̄k = 0
すなわちリッチ平坦・アインシュタイン計量を意味
している。

µν

ということになる。ただし E4 は 4 × 4 単位行列であということを示した。自己双対である F̂ の具体例とり F, F̂ に関してはゲージ曲率、g, G に関しては計量してはインスタントン解がよく知られており、非可換を想定している。

多様体上のインスタントン解については T. Ishikawa
S. Lee et al. (2013) においては F がビアンキ恒等 et al. (2015) において計算されている。このインス式を満たし、F̂ が自己双対であるときの解の一つを タントン解に対応するエルミート・アインシュタイ
用いた場合 g が江口ハンソン計量になることを示し ン計量が K. Hara et al. (2015) において計算されてている。この計量はよく知られたケーラー・アイン いる。
シュタイン計量の一例である。F がビアンキ恒等式を満たすとき g がケーラー計量になることは知られていたが、新たに K. Hara et al. (2015) において我々はこの結果の一般化として F̂ が自己双対であるときは g がエルミート・アインシュタイン計量になるこ

リッチ平坦計量からインスタン
トンを作る (主結果)
次に、先行研究のの逆について考える。これは、とを示した。つまり

Lemma 3.1. 反対称行列 F̂ − , θ ∈ M4 R に対して対
称行列 g ∈ M4 R を
( (
)
)−1
g = 2 E4 + F̂ − θ− E4で定義する。ただし
4「計量がリッチ平坦な場合、F̂ インスタントンである()

か？」という問いになる。先ずは g F̂ (x) が計量である必要があるが、この条件だけから F̂ (x) は「ほぼ」 反自己双対であるという結論が出てしまう。そして「ほぼ」 反自己双対であるという条件に加えて

0


 ζ
θ=
 0

0

−ζ

0

0
0
0

0
0
ζ

0




0 

−ζ 

0

F̂ (x) が「漸近的にゼロである」条件を課すと、F̂ (x)は反自己双対になってしまう。
Remark. まず F̂ は交代行列ではあるが、先行研究とは違いインスタントンであると仮定されていないた2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
め F̂ は次のようになる事に注意する必要がある。

F̂ (x)


0F̂12 (x) −F̂12 (x)0= −F̂ (x) −F̂ (x)1323F̂13 (x)F̂23 (x)0F̂14 (x)F̂24 (x) .
F̂34 (x) −F̂14 (x) −F̂24 (x) −F̂34 (x)0()
Proposition 4.2. もし g F̂ (x) が (3) と (4) を満たすとすると、)][ (Det g F̂ (x)
[
]
( [
])2
( )
+ O η3= 1 + 8iηT r F̂C (x) − 32η 2 T r F̂C (x)となる。

Definition 3. θ は (1) で定義したものとする。
E4 を
これ等の準備の後、リッチ曲率について調べてみる。
[])(
4 × 4 の単位行列とし det E4 − F̂ (x) θ 6= 0, であり() Lemma 4.3. g F̂ (x) が (3) と (4) を満たすとすF̂ (x) を 4 × 4 交代行列とする。4 × 4 行列 g F̂ (x)る。するとリッチ曲率 (2) は
以下のように定義する。
(
)
(
)
( )
(
)
(
)−1
Rj̄k F̂ (x) = η∂j̄ ∂k F̂12 (x) + F̂34 (x) + O η 2 .
g F̂ (x) := 2 E4 − F̂ (x) θ− E4 . (3)()
前述の通り g F̂ (x) が計量である必要があるの()
で、g F̂ (x) が対称行列であると仮定する。
(
)
Lemma
4.1.
も し g F̂ (x)=()−1
2 E4 − F̂ (x) θ− E4 が 対 称 行 列 で あ る と仮定すると、F̂ (x)
(4)


0
F̂12 (x)F̂13 (x)F̂14 (x) −F̂12 (x)0F̂14 (x) −F̂13 (x) =0F̂34 (x)  −F̂13 (x) −F̂14 (x)−F̂14 (x) F̂13 (x) −F̂34 (x)0Proof.
[ {[ ()]}]
Rj̄k (x) = ∂j̄ ∂k log Det g F̂ (x)
[
]
( [
])2
= 2iη∂j̄ ∂k T r F̂C (x) − 8η 2 ∂j̄ ∂k T r F̂C (x)[][]− 16η 2 T r F̂C (x) ∂j̄ ∂k T r F̂C (x)
(
[
]) (
[
])
+ 16η 2 ∂j̄ T r F̂C (x)∂k T r F̂C (x)
[
]
[
]
( )
− 32iη 2 T r F̂C (x) ∂j̄ ∂k T r F̂C (x) + O η 3

Definition 5 (asymptotic to zero). “f (z1 , z2 ) が漸
近的にゼロ” とは以下の様に定義される。

(5)

lim

|z1 |2 +|z2 |2 →∞となる。

次の「最大値原理」は、調和解析の有名な定理でProof. 素直に計算すれば結論が導き出される。
以下の記号は便利なので、今後使う。

Definition 4. F̂C (x) は以下の様に定義される。
(

f (z1 , z2 ) = 0.

F̂11̄ (x) F̂12̄ (x)F̂21̄ (x) F̂22̄ (x))

ある。

Fact 4.4 (Maximum principle). もし f : C2 −→ C
が以下の条件を満たすとき∆f (z1 , z2 ) = ∂1̄ ∂1 f (z1 , z2 ) + ∂2̄ ∂2 f (z1 , z2 ) = 0

f は調和関数と呼ばれる。調和関数は次の最大値原) 理を満たす。K が U の空でないコンパクトな部分(
iF̂12 (x)−F̂13 (x) + iF̂14 (x)1集合である場合、K に制限された f は K の境界でそ=−2
F̂13 (x) + iF̂14 (x)iF̂34 (x)の最大値と最小値を達成する。f が一定である場合

F̂C (x) :=を除き、極大値または極小値を持つことは出来ない。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校()
Corollary 4.5. f ∈ C ∞ C2 , R とし、f (z1 , z2 ) が漸近的にゼロとする。もし任意の j と k に対して∂j̄ ∂k f (z1 , z2 ) = 0 が成り立つならば、
f (z1 , z2 ) = 0

Reference
H. S. Yang , & M. Salizzoni, Phys. Rev. Lett. 96(2006), 201602 doi:10.1103/PhysRevLett.96.201602[arXiv:hep-th/0512215 [hep-th]].
S. Lee, R. Roychowdhury, & H. S. Yang,2013 Phys.
Rev. D 88 086007 doi:10.1103/PhysRevD.88.086007[arXiv:1211.0207 [hep-th]].

となる。

Proof. 先ずN. Seiberg, & E. Witten,1999 JHEP. 9 032, [hepth/9908142].

∆f (z1 , z2 ) = ∂1̄ ∂1 f (z1 , z2 ) + ∂2̄ ∂2 f (z1 , z2 ) = 0.
が成り立つため f は C 上の調和函数となる。加え2て f が漸近的にゼロであることを合わせるとT. Ishikawa, S. I. Kuroki, & A. Sako,2001 JHEP
0111 068 doi:10.1088/1126-6708/2001/11/068 [hepth/0109111].
K. Hara, A. Sako, & H. S. Yang, arXiv:1809.02328 [hepth].

f (z1 , z2 ) = 0.

ここでこれまでの結果を纏めてみる。
()
Remark. g F̂ (x) が対称行列であるという事とは
つまり



0

F̂12 (x)F̂13 (x)F̂14 (x)と い う こ と を 意 味 す る 。合 わ せ てF̂ij (x) −F̂12 (x)0F̂14 (x) −F̂13 (x) F̂ (x) =  −F̂ (x) −F̂ (x)0F̂34 (x) 
13
14


−F̂14 (x) F̂13 (x) −F̂34 (x)0が 漸(近 的 に ゼ ロ で )あることを仮定すると∂j̄ ∂k F̂12 (x) + F̂34 (x) = 0 となり、それはF̂12 (x) = −F̂34 (x)を意味する。

Theorem 4.6 (Main Theorem). もし F̂ij (x) が漸近的にゼロであり、Rj̄k (x) ≡ 0 (mod η 2 ) だとすると F̂ は反自己双対行列になる。つまり、()
Rj̄k F̂ (x) ≡ 0 (mod η 2 ),limF̂ = 0 =⇒ ∗F̂ − (x) = −F̂ − (x)|z1 |2 +|z2 |2 →∞Proof.( も し Rj̄k (x) ) ≡0 (mod η 2 ) な ら ば∂j̄ ∂k F̂12 (x) + F̂34 (x)= 0 であり F̂ij (x) は漸近的にゼロなので∗F̂ − (x) = −F̂ − (x) .

——–index

Holographic Entanglement Entropy
大阪市立大学理学研究科数物系専攻
佐田彩夏

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Holographic Entanglement Entropy
佐田 彩夏 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
はじめにエンタングルメントエントロピーの定義や性質を紹介する。次に Anti-de-Sitter 時空の特徴を述べ

AdS/CFT 対応の考え方を紹介する。この応用として提案された笠・高柳公式を用いて AdS 上で計算したエンタングルメントエントロピーが共形場理論での結果に賛成するかを検討する。最後に漸近的に AdS となる

BTZ ブラックホールのエンタングルメントエントロピーを求める。つまり論文 [1] に登場するパーツたちの基礎的な概念からはじまる簡単なレビューである。

1

Introduction
エンタングルメントエントロピーは量子多体系での臨界現象の研究や量子情報理論での量子コンピュータへの応用により幅広く活躍している。ここでとりあげる笠・高柳公式は AdS/CFT 対応を用いて共形場理論で計算したいエンタングルメントエントロピー
を AdS 時空上で計算する方法である。この公式はである。これは見えていない B の状態を見えているA で見積もっていることになり、どれくらい相関があるかという量子エンタングルメントの強さを表していると言える。主な特徴は３つある。全系が純粋状態のとき SA = SB ということと劣加法性と強劣加法性が成り立つことだ。劣加法性は SA +SB ≥ SA+B 、強劣加法性は SA+B + SB+C ≥ SA+B+C + SB である。

Bekenstein-Hawking entropy の拡張のような形で記述されており、ブラックホールのエントロピーをどう解釈するか考える人たちにとって強力な助け船と

3Anti-de-Sitter space time
AdS 時空は Lorentz 空間での定曲率空間の一つでなるだろう。

ある。定曲率空間は断面曲率が一定の空間であり断面曲率の正負、または 0 によりさらに３つに分類で2

Entanglement Entropy
エンタングルメントエントロピーは量子系の一部が観測できないときに生じるエントロピーである。この意味でブラックホールのエントロピーと似ている。
そのために場の量子論でエンタングルメントエント

きる。Riemann 空間の場合、断面曲率が正ならば球面、無ければ Euclid 空間、負なら双曲空間となる。
今考えたい Lorentz 空間の場合は正ならば de-Sitter
時空、無ければ Minkowski 時空、そして負の場合がAdS 時空である。興味深いことには断面曲率が一定の場合成り立つ式

ロピーは盛んに研究されてきた。ブラックホールのエントロピーと関係づけると量子重力理論の発展のRabcd = K(gac gbd − gad gbc )ためのヒントが得られそうだからだろうか。ところ
で定義は部分系 A に制限した密度行列 ρA に対すると真空の Einstein 方程式を使うと宇宙項と対応がつ

von Neumann entropy である。つまり全系を２つの き、宇宙項が負の場合は AdS 時空であることを確認できる。
領域 A と B に分けたときさらに定曲率空間は擬 Euclid 空間の２次曲面としてつくることができる。n 次元 AdS の場合は負符号がSA= −TrA (ρA log ρA )

ρA

= TrB ρ２つと正符号が n-1 個の計量符号をもつ擬 Euclid 空2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
間から以下のように誘導される。

−(y 0 )2 − (y 1 )2 +n∑(y i )2 = −a2

i=2

トロピー SA が、AdS/CFT 対応により対応し、かつ領域 A を境界にもつ AdS 時空上で、領域 A の端がつくる極小曲面 γA から求まるということである。(図 1参照)

公式を見ると Bekenstein-Hawking entropy

そしてこれらの y の設定のしかたにより好きな座標をの拡張として捉えられることが分かられるだろう。ま貼ることができる。有名なものに Global coordinates

た極小曲面に比例することからエンタングルメント

や Poincaré coordinates がありこの後でも採用する。

エントロピーの紹介した３つの性質を満たすことで時空の境界の様子について調べるにはペンローズ図

も信頼性を高める。

を描くとよい。静的 Einstein 時空の有限領域に共形埋め込みをすると Minkowski 時空との大きな違いに気づく。それは未来の光的無限遠境界が null ではな

6

Computations

く時間的になっていることだ。このおかげである時
刻一定面で起こったことはその後の未来の全ての領

実際に笠・高柳公式を用いてエンタングルメント
エントロピーを計算してみる。ここでは (1) 円周上の域を覆うことはできない。

部分系 A のエンタングルメントエントロピーと (2)無限にのびる帯上の部分系 A のエンタングルメント

4

AdS/CFTcorrespondence
1997 年に Maldacena 氏が提案した AdS/CFT 対

応はホログラフィー原理の一例になっている。ホログ
ラフィー原理とは、ある時空での重力理論がその境界での重力を含まない場の理論と等価であるという主張である。そのなかでも AdS/CFT 対応は、AdS 時空
上の量子重力理論がその境界上の共形場理論 (CFT)

エントロピーについて取り上げる。まず (1) の状況
は図 2 で示すように円周の長さが L で部分系 A は長さ l で定義される。角度 θ で表すと 0 ≤ θ ≤ 2πl
L の領域を考えることになる。対応する 3 次元 AdS について、ここでは円を反映しやすい Global coordinates
を採用する。これは以下の計量で表現される。

ds2 = R2 (− cosh2 ρdt2 + dρ2 + sinh2 ρdθ2 )と等価であるというものだ。これは AdS 特有の時間的な境界面に CFT がホログラムのように情報を落とさらにこの時間一定面を考え境界付近 ρ = ρ∞ で cut

さずに写っているという考えになっている。AdS のoﬀ をいれる。つまりしなければならないことは AdS

境界へ向かうことは場の理論のエネルギースケールの時間一定面上で cut oﬀ と A の領域の両端の交点が紫外極限へ向かうことが対応づけられ、境界ではで指定される２点を結ぶ測地線の長さを求めること

スケールを持たない CFT が対応するというわけであである。これは AdS の計量から Lagrangian を考える。また共形場理論は共形対称性をもつため、対応

Euler-Lagrange 方程式を解き積分するといった一般

する AdS 時空の次元が一次元多いことはその意味で的な方法で解くことができる。しかし積分をしなくもつじつまが合う。

とも解く方法もある。AdS の計量の時間一定面が双曲面になっていることから、Minkowski 時空上の超曲面として捉え直すとよい。すると、Euclid 空間の

5

Ryu-Takayanagi formula2006 年に高柳氏と笠氏が AdS/CFT 対応を用いてエンタングルメントエントロピーを計算する方法を提案した。それが以下の笠・高柳公式である。

SA

=

γA
4G

ここで G はニュートンの重力定数である。この意味は超曲面では法ベクトルを含む 2 次元平面とそれの交線が測地線となる性質を利用することができることに気づく。計算した測地線の長さを笠・高柳公式に代入した結果は次のようになる。

SA =

R
πl
log(eρ∞ sin( ))2G
L

3R
CFT で求められている結果との比較のため、c = 2G

CFT で知りたい領域 A の エンタングルメントエン という中心電荷 c と AdS 半径 R の関係式 (Brown, J.

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
D. Henneaux, M. (1986)) を使う。また cut oﬀ の対 がって高次元のエンタングルメントエントロピーの応 eρ∞ ∼ Lϵ を用いることでSA =計算は、笠・高柳公式によってはじめて計算できるようになったのかもしれない。

cLπllog sin( )3ϵLが得られ CFT での結果と一致するものとなっている。

7

BTZ Black hole

次に (2) について考える。ここでは高次元の場合をBTZ ブラックホール時空は原点から十分にはなれ扱う。d+1 次元 CFT でのエンタングルメントエントたところで AdS に似ている。これを漸近的に AdS な

ロピーを以下の計量で表される Poincaré coordinates

時空という。つまりここでも AdS/CFT 対応が成り

を用いて d+2 次元 AdS 時空上の極小曲面から計算立つと期待できる。回転しない場合を考えると計量する。

は以下で表される。

(
ds2 = R2dz

2

− dx20 +z2∑d2
i=1 dxi)

図 3(既に時間一定面を表している。) で示すように

ds2 = −

座標変換により以下の Global coordinates に似た形に行き着く。

xi の i = 2, ..., d の方向に無限にのびている長さを Lとし、部分系 A は −l/2 ≤ x1 ≤ l/2 の領域に AdS上で対応させる。このように設定することで z が x1にのみ依存するので一般的な測地線を求める方法が利用できる。以下のような結果が得られる。
[( )d−1
2
LRd
SA =4G d − 1 ϵ)d ( )(d−1L
2d π d/2 Γ( d+1
2d )
−
1
d−1
l
)
Γ( 2d
この結果を厳密に比較することは難しい。なぜなら

CFT での計算が困難なために結果が得られていないからだ。しかし C と D を定数として次のような関数形で表されることは知られており、このレベルでは一致することが確認できる。

( )d−1( )d−1
L
L
SA = C+Dϵl2r2 − r+
R2
2
2
2
2
d
t̃
+
2 dr + r dx
R2
r2 − r+ds2 = R2 (− sinh2 ρdt2 + dρ2 + cosh2 ρdθ2 )すると円周上の場合と同様な方法で測地線の長さが求まりエンタングルメントエントロピーは

SA

=

β
πl
c
log sinh( )3ϵβとなる。ここで温度 T = 1/β である。また β は wick
回転した BTZ ブラックホールの計量が原点でコニカ
ル特異点を持たないために設定されるユークリッド
時間の周期である。これは同じ有限温度をもつ２次元

CFT での空間方向が無限にのびている場合の部分系
l 上のエンタングルメントエントロピーの結果に等しい。つまりブラックホールという避けなければならない障壁があることは温度をもつ場合、つまり混合状態の CFT に対応づけられる。このとき SA = SBが成り立たないことはエンタングルメントエントロ
ピーの定義からでも、極小曲面が一致しないことか
らもわかる。さらに図 4 に示すように部分系 A の領域を小さくしていくとその他の領域である部分系 B

また d = 3 の場合で AdS5 × S 5 上のタイプ IIB 超弦のつくる極小曲面は途中で部分系 A と同じ極小曲面

理論と N=4 超対称ヤン・ミルズ理論の AdS/CFT 対とブラックホールを覆うものに分かれた方が小さく応を用いた比較を考える。しかし現在 CFT での強なる。このとき SB − SA = SBH が成り立つ。

結合の場合を計算することはできていないため、代わりに弱結合極限での結果を用いると cut oﬀ に依存しない有限部分について、ずれてはいるが同じオー

8

Future work

ダーとなる。そうはいっても比較対象が異なってい

まずは AdS/CFT 対応について両者の知識を深め、るためこのずれは期待されるべきものである。した

この対応が決して魔法のようなものではなく、そうで2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
なければならないものと思えるように勉強を進めた
い。特になぜ Minkowski 時空の null 面ではなく AdS
時空の時間的な境界面が選ばれるのかを理解したい。
また、時間依存する時空での極小曲面を考えたい。そうすれば CFT でのエンタングルメントエントロピー
からブラックホールのエントロピーを求めることでブラックホールの時間発展がわかるかもしれないと考える。そこで CFT での計算が難しくても観測量を

図 4: BTZ Black hole

用いてエンタングルメントエントロピーを予想するというアプローチの可能性も考えたい。

Acknowledgement
このレビューにあたって多くの助言をくださった
吉野裕高氏、栗田泰生氏に心から感謝いたします。まFigures

た、質問を受け付けてくださった研究室の先輩方に感謝いたします。

Reference

図 1: 笠・高柳公式の極小曲面

図 2: (1) 円周上の場合

図 3: (2) 無限にのびる帯上の場合[1] S. Ryu and T. Takayanagi, Phys. Rev. Lett. 96(2006), 181602 [arXiv:hep-th/0603001 [hepth]]
別冊数理科学 ホログラフィー原理と量子エンタングルメ
ント 高柳匡 サイエンス社
一般相対性理論 佐藤文隆, & 小玉英雄 1992, 岩波書店
量子系のエンタングルメントと幾何学 ホログラフィー原理に基づく異分野横断の数理 松枝宏明 2016, 森北出版

——–index

Calculates Spectral index for Multiple Scalar Fields
大阪市立大学理学研究科数物系専攻
小久保裕貴

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Calculate Spectral index for Multiple Scalar Fields
小久保 裕貴 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
一様等方宇宙における粒子地平面問題や平坦性問題を解決する理論として、宇宙初期に空間スケールが指数関数的に膨張するというインフレーション理論がある。インフレーションはハッブルパラメーターより大きな波長の古典揺らぎを生成し、これが初期揺らぎを与える。初期ゆらぎのスペクトル指数 ns とテンソルス
カラー比 r を比べたものがよく観測量として比較されるため、まずはスペクトル指数の計算方法を追うことを目標とした。考える場として最も簡単な単一スカラー場を勉強した後に最終的に複数スカラー場におけるスペクトル指数の計算を目標にしている。

1ている。この時スカラー場の運動方程式はIntroduction

ϕ̄′′ + 2Hϕ̄′ + a2

宇宙初期に空間スケールの指数関数的な膨張があったというインフレーション理論。この時に生成され

dV
=0
dϕ

d2 V
)δϕ
dϕ2
dV
′
A=0
− ϕ̄′ (A′ − B i |i − C i i ) + 2a2
dϕ

δϕ′′ + 2Hδϕ′ − (∆ − a2

た揺らぎが現在の宇宙の構造の元になったと考えられている。実際に観測量できる値のスペクトル指数を計算することでインフレーション理論の正当性について考えたい。

である (H = aH)。この条件でのバーディーン方程

ここではまず単一のスカラー場がある場合の揺らぎ

式は





ϕ̄′′
2ϕ̄′′
1
Φ′′ + 2 H − ′ +
1+
∆Φ
3
ϕ̄
Hϕ̄′


ϕ̄′′
′
+ 2 H − H ′ = 4πGa2 P̄ϕ Γϕ
ϕ̄

について議論した後スペクトル指数を計算し、複数のスカラー場がある場合のスペクトル指数の計算を試みる。

2

単一スカラー場の初期揺らぎ

であり (Φ はゲージ不変ポテンシャル)、スカラー場のエントロピー揺らぎ Γϕ は単一のスカラー場に対して一様等方成分の背景場

P̄ϕ Γϕ = −ϕ̄(τ ) とそこからのズレの摂動成分 δϕ(x, τ ) がある場合を考える。この時計量は

dV
1
∆ϕ
′
6πGHϕ̄ dϕと計算できる。

g00 = −a (1 + 2A) g0i = −a Bi gij = a (γij + Cij ) ここでスローロール近似に関する関係式をいくつかあげる。
となる (A, B, C は摂動パラメーター)。ゲージ変換に
a2 dV
ϕ̄′ ≃ −
おけるゲージ不変量は
3H dϕ
2

2

2

ϕ̄′2 ≪ 2a2 V (ϕ) ,δϕ(GI) = δϕ − ϕ̄′ (B (s) + E (s)′ )と計算できる。ここで B

(s)

,E

(s)

は計量の摂動の B, Cのスカラーパートで ′ は共形時間 τ での微分を表し

ϕ̄′2 ≃

ϕ̄′′ − Hϕ̄′ ≪ 3H ϕ̄′2a2 V
ϵ , H′ ≃H2 (1 − ϵ) , ϕ̄′′ ≃ Hϕ̄′ (1 + ϵ − η)3

スローロールの最低次でエントロピー揺らぎはΓϕ ≃ −

4 ∆Φ
3 H2

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。フーリエ空間でこれは (k/H)2 に比例するので有効スペクトル指数を定義できる。スローロール

で、ハッブル半径より大きな波長ではエントロピー揺パラメーターの微分やインフレーション中にハッブらぎが無視できる。つまり単一スカラー場のスロー

ルパラメーターがほぼ一定であることを利用するとロール・インフレーションによる初期揺らぎは断熱

dns= 16ϵη − 24ϵ2 − 2ξ 2
d ln k

揺らぎとなる。

3

ϕ(GI) に変わるゲージ不変量の取り方が可能で
u=−

複数のスカラー場

4スペクトル指数aϕ̄′ζH

複数のスカラー場がある場合の一般的な作用は

Z 
√
1
S=
hab g µν ∂µ ϕa ∂ν ϕb − V (ϕ)−gd4 x2となる。ζ は曲率揺らぎ、u はムハノフ-佐々木変数とかける (h は ϕ 空間の計量)。この時背景場に関すと呼ばれるものである。スカラー場の発展方程式とる運動方程式は

バーディーン方程式をムハノフ-佐々木変数を使って

Dϕ̇a+ 3H ϕ̇a + hab V,b = 0dt

書くとu′′ − ∆u −

aϕ̄′
z ′′
u=0 , z=zHとなる。また摂動に関しては

3Hとなり、この運動方程式を導く作用積分を導出する
ことができてそこから量子化の手続きを踏むことができる。フーリエ変換した u の真空期待値からゆらぎのパワースペクトル Pu (k, τ ) を′′⟨0 |ũ(k, τ )ũ(k , τ )| 0⟩ = (2π) δD (k + k )Pu (k, τ )33で定義する。この時ハッブル半径を超える波長に対する曲率揺らぎに対するパワースペクトルは 2η−6ϵ 2η−6ϵ2πH 2k2πGH 2 k=
Pζ (k) =ϵk 3
Hmpl 2 ϵk 3 HDδϕk a− Ra bcd ϕ̇b ϕ̇c δϕk d = 3ϕ̇a ϕ̇b hbc δϕk cdt

この場合の量子化の手続きは単一スカラー場の時に
習って

2π 2
PR δ 3 (k − l) = ⟨Rk (t2 )Rl ∗ (t2 )⟩k3
X ∂N ∂N=
ϕ aα ϕk bα δ 3 (k − l)a ∂ϕb k∂ϕαとパワースペクトルを定義できて、スペクトル指数はd ln PRd ln k
k 3 X ∂N ∂N D(ϕk aα ϕk bα )=3+ 2
2π PR α ∂ϕa ∂ϕb∂ ln knR − 1 =となり、これを無次元化すると
 2  2η−6ϵHk4πPζ (k) =2
H
mp l ϵ 2π

ここで単一スカラー場であればこの微分を容易に実となる。これはスローロールの最低次で k 依存性が行できるが複数スカラー場の場合は計算が複雑にな消えてスケールによらず一定になるのでスケール不

る。微分が






D
D
D
=
−
∂ ln k a=const∂ ln a k/a=const∂ ln a k=const

変スペクトルという。
初期曲率揺らぎのパワースペクトルに対する k 依存性を k ns −1 と表すとであることに注意して

ns = 1 − 6ϵ + 2ηでこの ns が初期ゆらぎのスペクトル指数である。また

d ln Pζns (k) = 1 +d ln knR − 1 = 2
X ∂N
α

∂ϕa

k3
Ḣ
−2 2
2
H
2π PR

1 a ϕ̇b ϕ̇c
V ;a ;dϕ̇a ϕ̇b
h
+
−
R
bd
bcd
H2
3
H2
V

!
ϕk da ϕk eα∂N∂ϕe2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
これにスローロール条件を適用すると

∂N
1 abcd V;b V;c
V ;ad
∂N
1
+
R
−
a
2
∂ϕ
3
V
V
∂ϕd
Ḣ
nR − 1 = 2 2 − 2∂N ∂NHhef ∂ϕe ∂ϕfとスペクトル指数を計算できる。

5

今後の展望
複数のスカラー場がある場合の計算は非常に複雑なためこの論文を最後まできっちり追い切ることが当面の目標です。そこから ns − r 図を理解するためにテンソル-スカラー比を勉強してより幅広く論文を読めるようになりたいと考えています。

6

参考文献
宇宙論の物理 2014 (松原隆彦)。

Progress of Theoretical Physics, Vol. 95, No.1, January 1996(M. Sasaki and E. D. Stewart)。

——–index

大スケールの非一様等方性を持つ宇宙での構造形成
九州大学理学府物理学専攻
山下晃毅

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Large scale structure with super-horizon isocurvature darkenergy山下 晃毅 (九州大学大学院 理学府物理学専攻)

Abstract
標準宇宙模型では背景時空の空間的一様等方宇宙を仮定している（宇宙原理）。しかし、WMAP などの観測から大スケールで非一様性または非等方性の可能性を示唆する観測 (例えば、Eriksen et al (2007)) が指摘されている。今回は Supercurvature dark energy model(Y. Nan et al (2019)) を動機として、大スケールの非一様等方性を持つ宇宙の模型を調べた。今回の解析では、現在のホライズンスケールより十分大きなス
ケール（Superhorizon scale）で O(1) の揺らぎを持つスカラー場の模型を想定し、そのポテンシャルエネル
ギーが加速膨張を説明する模型を、大スケールでの非一様性を持つ宇宙原理を破る模型として考えた。また、簡単化のためこの模型での空間曲率 K は K = 0 を仮定し、この模型での銀河の構造形成について調べることによって、この模型が示す理論予言を解明することを目指す。銀河の構造形成について調べる前準備として、本発表では Nan らの論文 ( Y.Nan,K. Yamamoto (in prep)) をレビューする。まずは Super Horizon

scale の揺らぎ (SH-mode) を持つ様々な量について紹介する。その後、SH-mode が従う式を Einstein 方程式、Klein-Gordon 方程式、膨張宇宙での流体の保存則から導く。最後にそれを解くことによって SH-modeが満たす解を求める。また、Discussion として宇宙マイクロ背景放射 (CMB) の観測による SH-mode の制限を用いてオーダー評価を行った。

1

Introduction
現在、Ia 型超新星や宇宙マイクロ波 (CMB) の観測によって、私達は加速膨張する宇宙に住んでいることが確認されている。この宇宙の膨張率は遷移赤方偏移と呼ばれるある特定の赤方偏移で減速膨張から加速膨張へ変化していることが分かっているが、この相転移の実際の原因は未だ不明なままである。現在の宇宙を説明するためには、一般相対性理論 (GR)のなかでエネルギー源の存在を仮定するか、あるいはGR を修正する模型が考えられている。GR では現在の宇宙の加速膨張は、一般にダークエネルギーと呼ばれる何らかのエキゾチックなエネルギーによって駆動されていることが分かっている。このダークエ
ネルギーは 1990 年代後半から、冷暗黒物質 (CDM)に加えて宇宙論の重要なテーマとなっており [1]、今日の宇宙の全エネルギー密度の約 70 ％を占めている
ことが分かっている。膨張加速を説明する最も単純
で最も一般的な模型であるダークエネルギーとしての宇宙定数模型は、広範な観測の結果と矛盾しておらず、現在でも有力なものと考えられている。しかし一方で、ﬁne tunings problem や cosmic coincidence

problem[2,3] という 2 つの大きな未解決問題を含んでいる。標準的な宇宙論的模型は大規模な等方性と均質性を前提としているが、標準的な模型を超えた研究がいくつか存在する。WMAP データの解析 [4-6]によると、宇宙には少量の異方性が存在する可能性があることがわかっており。現在、標準模型の修正の可能性が議論されている。 CMB 実験 [7] や LSS 観測でも、同様に大域的・統計的等方性の破れを支持するものがある。近年、加速する宇宙の様々な側面を研究するために、多数の異方性を持つ宇宙論模型が構築されている [8-15]。今回はそのような異方性を持
つ宇宙論模型の中でも、Supercurvature mode darkenergy model という特定のインフレーションシナリ
オに関連した開いた宇宙を仮定した確率的な大規模非一様性を持つダークエネルギーの模型 [16] を簡単化したもの考える。この模型をもう少し具体的に紹介すると、現在のホライズンスケールより十分大きなスケール（supercurvature scale）で O(1) の揺ら2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ぎを持つスカラー場のポテンシャルエネルギーが加速膨張を説明する模型であり、大スケールでの非一様性を持つので宇宙原理を破る模型である。今回は簡単のため、この模型での空間曲率 K を K = 0 とした模型の Superhorizon mode dark enegy model を考える。この模型から導かれる理論予言を解明することを目標として、今回は Superhorizon scale の揺らぎ (SH-mode) が従う方程式や、物質優勢期初期での解について調べた。

 
 
1
0
√
(1)
3   (2)3  Ti = 4π0,Ti = 4π
1
0
0
 
0
√
(3)
3  
Ti = 4π 0 と書けるような x 成分の dipole を
√

1
(n)

表すものであり、Tij も同様に定義する。
初期条件としては、t = 0 で sh Φ(0, x) =sh Ψ(0, x) =0 であるとして等曲率揺らぎを仮定する。これは、初期にダークエネルギーが支配的でないためである。

2

SH-mode について

2.1

SH-mode の量2.2

計算の前に、SH-mode に着目して紹介する。まずは SH-mode の量として、スカラ―場 ϕ、重力ポテン
シャル Ψ、曲率ポテンシャル Φ、密度揺らぎ δ 、速度

SH-mode の従う式

次は、SH-mode が従う式について紹介していく。
スカラー場が従う方程式は Klein-Gordon 方程式 (スカラー場のポテンシャル V (ϕ) を 12 m2 ϕ2 とした) である。

場 v i があり、それぞれ√
1√ ∂µ( −gg µν ∂νϕ) − m2 ϕ = 0−g

ϕ = ϕ0 + ϵ sh ϕ(t.x)

重力 (曲率ポテンシャル・重力ポテンシャル) が従うΨ = ϵ sh Ψ(t, x)

式は Einstein 方程式である。

Φ = ϵ sh Φ(t, x)Gµν = 8πG(Tνµ(m) + Tνµ(ϕ) )δ = ϵ sh δ(t, x)v i = ϵ sh v i (t, x)µ(m)

ここで Tν

と書ける。ここで SH-mode は非常に大きなスケールの揺らぎであるためにホライズンスケール内ではその振幅が微小量になる。これを ϵ を用いて表しており、O(ϵ) の 2 次以上は無視して考える。これらを用いて線素 ds2 はと書ける。
次に SH-mode は多重極展開して四重極までで以下のように書き直すことができる。
shϕ(t, x) =n=1(n) (n)ϕ1 (t)xi +Ti

は物質のエネルギー運動量テンソル 、ある。
物質 (密度揺らぎ、速度場) が従う式として膨張宇宙
での流体の保存則は
連続の式

1
∂ρ
+ 3Hρ + ∂i (ρv i ) + 3Φ̇ρ = 0∂ta+ a2 (t)(1 + 2ϵ sc Φ(t, x))δij xi xj

(2)

µ(ϕ)
はスカラー場のエネルギー運動量テンソルでTν

ds2 = −(1 + 2ϵ sc Ψ(t, x))dt2

3
∑

(1)

(3)

オイラー方程式∂1ρ ∂Ψ+ 4Φ̇ρv i = 0(ρv i ) + 4Hρv i + ∂j (ρv i v j ) +
∂t
a
a ∂xi
(4)
である。

5
∑

(n)

(n)

ϕ2 (t)Tij xj xi

n=1

右辺１項目は dipole を表し、２項目は quadrupole(n)を表している。ここで出てきた Tiとは、具体的にこの 4 つからなる方程式系が今回の理論模型の基礎方程式である。ここで、物質は dark matter のみであること仮定し、流体近似をして考えた。これらの式に SH-mode の量を代入して SH-mode が従う式を導出する。

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

SH-mode の解はResult

ラー場の質量である。

27 (n) 2
α m r̃F t2
22 l
9 (n) 2(n)Φl ≃α m r̃F t2
22 l
3 (n)
′(n)
Vl
≃ − αl m2 r̃F t3
22
1
(n)
(n)
ϕl ≃ ϕ̄0 αl (1 − m2 t2 )69 (n) 2(n)Ψl ≃ − αl m r̃F t2
22
(
)2
1 ϕ̄0
r̃ ≡
6 Mpl

SH-mode も同様に

αl

まず Background は

(n)

≃−

(n)

: constδlϕ̈0 (t) + 3H(t)ϕ̇0 (t) + m2 ϕ0 (t) = 0
1
1
3H 2 = 8πG( ϕ̇20 + m2 ϕ20 + ρ0 )
2
2
ä
1
1
(2 + H 2 ) = 8πG( m2 ϕ20 − ϕ̇20 )a22
ρ˙0 + 3Hρ0 = 0に従う。ここで ρ0 : 密度の background、m : スカ

ϕ̈l + 3H ϕ̇l + m2 ϕl + (3Φ̇l − Ψ̇l − 6HΨl )ϕ̇0となる。

− 2Ψl ϕ̈0 = 0
3H(Φ̇l − HΨl ) = 4πG(ρ0 δl + m2 ϕ0 ϕl− ϕ̇20 Ψl + ϕ̇0 ϕ̇l )Φ̇l − HΨl = −4πG(ρ0 Vl′ + ϕ̇0 ϕl )
Ψl + Φ l = 0
δl + 3Φl = 0
V˙ ′ l − Ψl = 0
Vl′ ≡ −aVl(l = 1, 2)に従う。これらから SH-mode の解を求める。物質優勢期初期 (a → 0 or t → 0) という条件の下では解析的に解を求められ、background の解は
2
ρ0 = 3H02 Ωm a−3 Mpl

m2 t2)
ϕ0 = ϕ̄0 F (1 −
6
1
2
Mpl
=
8πG
となる。ここで F : const, Ωm : 密度パラメータ,ϕ̄0 :スカラー場の次元を持つ定数である。

4

Discusssion
宇宙マイクロ背景放射（CMB）の観測から曲率ポ

テンシャルの quadrupole と速度場の dipole に以下の制限があることが分かっている [17,18]。

ei) ≤ 1 × 10−3H0eishΦ(quadrupole) (a = 1, xi =) ≤ 7 × 10−5H0
sh iv(dipole) (a = 1, xi =ei は単位ベクトル。これを用いて SH-mode に制限を与える。
スカラー場の background と SH-mode の解は

ϕ = ϕ0 + ϵ sh ϕm̃2 t̃2
)
6
3
5
∑
∑
(n)
(n)
(n)
(n)
sh
ϕ=
ϕ1 (t)Ti xi +ϕ2 (t)Tij xj xi

ϕ0 = ϕ̄0 ϕ̃0 ≡ ϕ̄0 F (1 −

n=1

n=1

1
(n)
(n)
ϕl ≃ ϕ̄0 αl (1 − m2 t2 )6

(l = 1, 2)である。これより、ϵϵ sh ϕ=ϕ0∑3(n) (n) i
n=1 α1 Ti xF≡ ∆1 + ∆ 2

+

ϵ

∑5

(n) (n) i j
n=1 α2 Tij x xF2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校という Background の振幅に対して SH-mode の振幅がどの程度あるかを表す量を定義する。∆1 は

SH-mode の dipole の非一様性、∆2 は SH-mode の
quadrupole の非一様性をあらわす。これに先ほどの制限を用いると
sh iv (a = 1, xi =[3]V. Sahni, A. A. Starobinsky, Int. J. Mod. Phys.
D 9, 373 (2000)[4]G. Hinshaw et al., Astrophys. J. Suppl. 180, 225(2009)[5]G. Hinshaw et al., Astrophys. J. Suppl. 148, 135

3 0.7
ei
−3
)≃
3 ∆1 ≤ 10
H0
22 ( 27
2)
40(2003)[6]J. Jaﬀe et al., Astrophys. J. 629, L1 (2005)−3∆1 ≤ 6 × 10

(5)[7]H. K. Eriksen, A. J. Banday, K. M. Gorski, F. K.
Hansen, P. B. Lilje, Astrophys. J. 660, L81 (2007)

2 (1 − Ωm )
ei
sh
)=
∆2
Φ(quadrupole) (a = 1, xi =H0
11 (Ωm )−5≤ 7 × 10

[8] C.P. Singh, Brazilian J. Phys. 41, 323 (2011)[9]A. K. Yadav, Res. Astron. Astrophys. 12, 1467
(2012)−4∆2 ≤ 2 × 10(6)以上より、2 つの制限を求めた。∆1 , ∆2 を用いて δ等の様々な量を表すことができるので、速度場と曲率ポテンシャル以外の SH-mode の量に対する制限を
得られる。

まとめ

5

まずは SH-mode の様々な量について紹介し、SH-

mode が従う式を Einstein 方程式、Klein-Gordon 方
程式、膨張宇宙での流体の保存則から導いた。更にそれを解くことによって SH-mode が満たす解を求めた。Discussion として宇宙マイクロ背景放射 (CMB)の観測による制限を用いて求めた解への制限を求め[10]H. Amirhashchi, Phys. Rev. D. 96, 123507(2017)[11]R.K. Muharlyamov, T.N. Pankratyeva, Indian J. Phys. DOI:/10.1007/s12648-019-01559-8(2019)[12]H. Amirhashchi, S. Amirhashchi, Phys. Rev. D
99, 023516 (2019).
[13]H. Amirhashchi, Phys. Rev D 97, 063515 (2018)[14]B.Mishra, Pratik P. Ray, S.K.J. Pacif, Eur.
Phys. J. Plus 132, 429 (2017).
[15] B.Mishra, Pratik P. Ray, R. Myrzakulov, Eur.
Phys. J. C 79, 34 (2019).

た。
今後の展望として、今回求めた解を用いて大スケー
ル非一様性を持つ宇宙での銀河の構造形成について調べていきたい。

[16] Y. Nan, K. Yamamoto, H. Aoki, S. Iso, and D.
Yamauchi, Phys. Rev. D 99, 103512 (2019).
[17]Smoot, G. F., Gorenstein, M. V., Muller, R. A,
Phys. Rev. Lett., 39, 898(1977)

6

参考文献

[18]Rees, M. J., Sciama, D. W. , Nature, 217,
511(1968).

Reference[1]P. A. R. Ade, Astrn. Astrphys. 571, A16 (2014)[2]S. Wienberg, Rev. Mod. Phys. 61, 1 (1989)[19] Y.Nan,K. Yamamoto in prep

——–index(2+1) 次元レギュラーブラックホール時空における光子のホライゾン内部の軌道
東京学芸大学教育学研究科 教育実践専門職高度
化専攻
須永真穂

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校(2+1) 次元レギュラーブラックホール時空における光子のホライゾン内部の軌道
須永真穂 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
本研究では、非可換幾何学に動機づけられたレギュラーブラックホールを取り上げ、ブラックホールの内部構造について調べた。特に、（2+1）次元でのレギュラーブラックホール時空と BTZ ブラックホール時空における光子の軌跡を調べ、比較した。その結果、（2+1）次元レギュラーブラックホール時空の外部での光子の軌道のほうが外側に膨らんでいることが分かった。このことから、内部のソースの影響がホライゾン外部の光子の軌道に影響を及ぼすという結論が得られた。

1

Introduction
ブラックホールは極めて高密度な天体であり、その重力は非常に強く、光ですら脱出できなくなる領に局所的な自由度がないため、計算が単純になるという利点をもつ。つまり、(2+1) 次元時空は比較的簡単な計算から、大域的な重力の本質を知ることができるモデルだといえる。

域をもつ。その境界をホライゾンと呼ぶ。一般相対性理論からは、ブラックホールの内部にはその強い重力のためにブラックホール内部の物質が一点に集まる特異点があると考えられるが、そこでは物質の密度や曲率が発散しており、一般相対論が破綻する

そこで本研究では簡単のために、(2+1) 次元でのレギュラーブラックホール時空における光子の軌跡を調べた。これにより、物質分布を Gaussian ソースに変更したことが光子の軌跡にどのような影響を及ぼすのかを知ることが目的である。

という自己矛盾をはらむ。
そのため、ブラックホールの内部構造を詳細に調べて、特異点の真の姿を明らかにすることはブラッ
クホールの研究に重要であり、様々なアプローチか2(2+1) 次元ブラックホール

1992 年に (2+1) 次元時空において初めて発見されみの中で、特異点の無いブラックホール解を考える た負の宇宙項 Λ を持つブラックホール解を BTZ ブ
もので、それら特異点の無いブラックホールは総称 ラックホールという。この解は、(3+1) 次元時空のら研究されている。そのひとつが一般相対論の枠組してレギュラーブラックホールと呼ばれる。

ブラックホールが持つ、質量と電荷と角運動量だけ

例えば、そのひとつに非可換幾何学に動機づけらを特徴としてもつ。BTZ ブラックホール時空は、ホれた Noncommutative Black Hole (NCBH) がある

ライゾンと特異点の両方が存在するが、レギュラー（Nicolini et al. 2006）。これは、座標に時空非可換

ブラックホールは、内部に特異点を持たない。例え性の影響を考慮し、ガウシアンにぼやけた物質分布

ば、Nicolini らによって提唱された Noncommutativeを考えるというものである。

Black Hole (NCBH) は、非可換幾何学に動機を持つ

Nicolini らは (3+1) 次元の静的球対称解をはじめ、 物質分布を仮定することで、特異点を回避している。
様々なレギュラーブラックホールを考えたが、Ra-

具体的には、物質分布をデルタ関数型のものからガhaman らは Nicolini らの研究を (2+1) 次元に拡張し ウス関数型のものに修正することよりブラックホー
た (Rahaman et al. 2013)。(2+1) 次元で考えられる ル解を構築している。本研究で考える (2+1) 次元レ
ブラックホール時空は (3+1) 次元ブラックホール時
空と同様の性質を持ち、なおかつ、時空の曲がり方

ギュラーブラックホール時空は、その内部に以下の2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ガウス関数型の質量分布を持つ。
()
M
r2
ρ(r) =
exp −
4πξ
4ξ

子の質量 m、光速 c がともに 1 である単位系を用いている。ϵ = 1 のとき有質量粒子、ϵ = 0 のとき光子(1) のエネルギー運動量保存則を表す。今、静的対称円

ここで、M はブラックホールの全質量、ξ は物質分
布の広がりを表すパラメーターである。この広がり
は、時空が非可換性を持つことをモデル化したもの

時空について考えているため、pt , pϕ は保存量になる。そこで、pt = −E , pϕ = L とおく。有効ポテン
シャルを V (r) と定義すると、軌道の式( dr )2である。

dλ

ここで、静的円対称時空を考えると、線素は= E 2 − V (r)(5)と仮定できる。

(
L2 )(6)
V (r) = f (r) ϵ + 2rが求まる。図 1 及び図 2 はそれぞれ光子を BTZ ブ

この系についてアインシュタイン方程式を解くと f (r)ラックホール時空と (2+1) 次元レギュラーブラック

は、

ホール時空においてホライゾン外部から発射したと

ds2 = −f (r)dt2 +1
dr2 + r2 dθ2
f (r)(( r2 )) r2+ 2
f (r) = −8M 1 − exp −
4ξ
l

(2)

きの有効ポテンシャルを表す。これらの有効ポテン(3) シャルを用いることで光子の定性的な振る舞いがわと求まる。ここで、l は曲率半径である。この解で ξを０に近づける極限をとったときの f (r) は BTZ ブ
ラックホール時空のものに一致する。

3

かる。また、本研究では、発射する粒子のエネルギーを一定として打ち出した。グラフの縦軸はポテンシャ
ル、横軸は距離を表す。

測地線
測地線とは、任意の時空において 2 点間の距離が最小になるように結んだ線のことである。平坦な時
空ではそれは直線になるが、曲がった時空上では曲線になる。これは一般相対論では曲がった時空中の自由粒子の軌道に相当する。測地線を求めるための

図 2:
図 1: BTZ ブラック
ホール時空における光子の有効ポテンシャル(E = 10, M = 1, l = 1)

(2+1) 次 元
レ ギュラ ー ブ ラック
ホール時空における光子の有効ポテンシャル(E = 10, M = 1, l = 1, ξ = 1.8)

方程式は以下のように書ける。

d2 xµdxν dxσ+ Γµνσ
=0
2
dλ
dλ dλ

(4)

ここで、λ は測地線を特徴づけるパラメーターである。本研究では、この測地線方程式を式 (1),(2) および（3）で表される BTZ ブラックホール時空や (2+1)
次元レギュラーブラックホール時空を背景として解き、光子の軌道を求めた。

5(2+1) 次元レギュラーブラック
ホール時空における光子の軌跡
図 1、図 2 の有効ポテンシャルの範囲を満たすパラ

メーター領域で測地線を実際にプロットしたものが
図 3 から図 6 である。図 3 と図 4 はホライゾンの外側から光子が発射されたときの軌道、図 5 と図 6 は

4(2+1) 次元レギュラーブラック ホライゾンの内側から光子が発射されたときの軌道である。図の中の円はホライゾンを表す。
ホール時空の有効ポテンシャル
光子の軌道を求めるために pµ を相対論的運動量とし、pµ pµ = −ϵ が成り立つことを使う。ここで、粒図 3 と図 4 の軌道を比較した結果、BTZ ブラック
ホール時空と (2+1) 次元レギュラーブラックホール

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
クホール時空と (2+1) 次元レギュラーブラックホール時空においてホライゾン内部から光子が発射されたときにも光子の振る舞いに変化が見られた。BTZ
ブラックホール時空でホライゾンの内部から光子が発射されたときの軌跡に比べて、(2+1) 次元レギュ
ラーブラックホール時空のホライゾン内部から光子が発射されたときのほうが軌道が外側に膨らんでい図 3: BTZ ブラック
ホール時空における光子のホライゾン外部から発射したときの軌道

図 4: (2+1) 次元レギュラーブラックホール時
空における光子のホライ
ゾ外部から発射したときの軌道時空においてホライゾン外部から光子が発射されたた。このように、光子の軌道に変化が見られた原因としては、ブラックホール内部の物質分布をデルタ関数型からガンマ関数型にしたことにより、ブラックホール自体が光子を引き付ける重力が小さくなったからであると考えられる。

とき、光子の振る舞いに変化が見られた。具体的には、BTZ ブラックホール時空でホライゾンの外部から光子が発射されたときの軌跡に比べて、(2+1) 次

6Conclusion

元レギュラーブラックホール時空のホライゾンの外本研究では、ブラックホールの内部構造について

部から光子が発射されたときのほうが軌道が外側に調べるために、(2+1) 次元でのレギュラーブラック

膨らんでいた。つまり、(2+1) 次元レギュラーブラッ ホール時空と BTZ ブラックホール時空における光子
クホール内部の Gaussian ソースの影響はホライゾン の軌跡を調べた。今回は時空の非可換性を考慮に入の外部の光子の軌道を外側に変化させるということれることで物質が一点に集まることを防ぎ、特異点がわかる。またここで、Gaussian ソースによってホを回避するモデルを考えたが、そこでは時空の非可ライゾンの位置自体もわずかに変化している。この換性の効果をソースである流体にしか取り入れていように、光子の軌道に変化が見られた原因としては、 ない。そのため、今後は時空自体を直接非可換化す
ブラックホール内部の物質分布をデルタ関数型から る方法についても考えていきたい。
ガウス関数型にしたことにより、ブラックホール自体が光子を引き付ける重力が小さくなったからであると考えられる。

7

Reference
P.Nicolini,A.Smailagic and E.Spallucci,Noncommutative,geometry inspired Schwarzschild black hole,Phys.Lett.
B632(2006) 547
F.Rahaman et al., BTZ black holes inspired bynoncommutative geometry, Phys.Rev., D87(2013)084014

図 5: BTZ ブラック
ホール時空における光子のホライゾン内部から発射したときの軌道

図 6: (2+1) 次元レギュラーブラックホール時
空における光子のホライ
ゾン内部から発射したときの軌道

次に、図 5 と図 6 軌道を比較した結果、BTZ ブラッ——–index

動的な時空での光子球の発展の理解
大阪市立大理学研究科数物系専攻
丸尾洋平

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

動的な時空での光子球の発展の理解
丸尾 洋平 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
私は現在読んでいる論文の内容を勉強しています。この論文では動的なブラックホール時空での光子球の発展を表す微分方程式を導出しています。そして、ブラックホールの質量が時間発展する動的なブラックホー
ル時空である Vaidya 時空を例にして光子半径を数値計算により求めます。私が現在勉強している部分です
が、ゆっくりと回転している Kerr-Vaidya の時空の光子球の発展とブラックホール・シャドウも示しています。最後にアインシュタイン-ガウス-ボンネット重力の有効な重力子計量が提示されており、この論文では重力子球と光子球と対比されています。

1

Introductionブラックホール・シャドーの観測は、近年の宇宙物
理の中で非常に重要なテーマである。ただ、ブラック
ホールは物質を継続的に付加し、大きくなるため一般には静止していません。したがって、静止していない光子球がどのように発展するかを理解することは非常に興味があることです。光子球が２階微分方
程式によって示され、様々な動的ブラックホールの関連する微分方程式を解くことにより、回転および非回転のブラックホールの光子球の発展を調べ、い2=

1
2 f (rph )
rph

(2)

が導出できる。動径方向 r での測地線方程式は  
  2
d2 r ∂f dr
dv
1 df dv
dϕ
−
+
f
−rf
=0
2
dλ
∂r dλ
dλ
2 dr dλdλ(3)である。静的なので光子半径 rph = const から
 2
1 ∂f
dϕ
=
|rph
dv
2rph ∂r(4)

2 式と 4 式から

くつかの重要な結果を導きます。

rph

2

dϕ
dv

∂f (r)|rph = 2f (rph )dr(5)

静的な球対称なブラックホール

導かれる。静的で球対称の時空での光子球の半径で時空での光子球ある。ブラックホールの質量 M としシュワルツシル2M
ト時空を考えると f (r) = 1−から、rph = 3M がr確認できる。

このセクションでは静的および球対称の時空における２階微分方程式となる光子球の発展方程式を導出します。静的な時空の計量を Eddinton -Finkestein

3

座標を用いてds2 = −f (r) dv 2 + 2drdr + r2 dΩ2

時空での光子球(1)

球対称性より、θ=90 °の平面を選択する。この時空では、赤道面に円形のヌル測地線が存在します。これは、赤道面に投影された光子球であり、光子円軌
道と呼ばれる円を生成します。さらに、ヌル測地線

ds=0 を用いると動的な球対称なブラックホール
動的なブラックホールが存在する可能性のある物

理現象として、ブラックホールがそれを囲む降着円盤に供給される。ブラックホールが物質を放出している。などが挙げられる。このようなブラックホールに関連した計量として、

ds2 = f (r, v) dv 2 + 2drdr + r2 dΩ2(6)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校として考えられる。(1) 式と似ているが光子軌道が完5全に異なる。それは、動的な時空での光子半径は時間
発展 rph = rph (v) するからである。動的な時空での光子半径 (赤道面) の時間発展は上記の計量を用いて

vaidya 時空での光子球の発展方
程式 (数値計算

ここでは、vaidya 時空の光子球の発展方程式を計算した結果を示します。光子球の発展を計算するた2

d2 rphdrph 3
3 df
2
drph
+
[
f (rph , v) −|rph ] −dv 2
dv rph2 dr
rph
dv めに、特に滑らかに変化する質量関数に注意を向け ます。論文では、質量関数を
df1
dff (rph , v)+
rph,v −
rph,v = 0 (7)
2
dr
dV
M0
M (v) =
(1 + tanh (v))(11)
2
7 式を注目すると関数 f (r, v) を決定する必要があります。3 節では、f (r, v) をどのように決めるのかを、動 と設定した。これはヌルエネルギー条件を満たし、将drph (v → ∞)=来の境界条件 rph (v → ∞) = 3M0 ,的な時空である vaidya 時空を用いて説明します。
dv
0 ここで、vaidya 時空における見かけの地平線と事象の地平線を研究することができます。図１は時間 v に

4vaidya 時空での光子球の発展方 対して、上記で設定した質量関数の時間発展を表している。図１の質量関数を使用して 7 式を数値計算
程式した結果が図２に表している。そして、見かけの地

vaidya 時空とはブラックホールの質量が時間と共 平線と事象の地平線の時間発展を図３に表した。見に変化する時空を表している。２節で求めた光子球の かけの地平線が事象の地平線に一致していることが発展方程式は Eddinton-Finkelstein 座標 v を用いて わかる。今回は、11 式の質量関数を用いたが、論文

では、他の質量関数を使用している。M0 はブラック
2M (v)
ds2 = − 1 −+ 2drdr + r2 dΩ2(8) ホールの質量の初期値で数値計算には M0 = 1 を採r用している。
で表す。ここで、ヌルエネルギー条件について考えてみる。vaidya 時空がアインシュタイン方程式の解であるならば、それに対応する、エネルギー運動量テンソルが存在する。量子力学の効果が考慮せず、エネルギー運動量テンソルにヌルエネルギー条件を
満たすので

Tab =

1 dM (v)δva δvb
4πr2 dv(9)より

dM (v)
図 1: 質量関数の時間発展 PHYSICAL REVIEW
≥0
(10)
dv
D 99, 104080 (2019) から引用
つまり、質量関数はヌルエネルギー条件を満たすよ
うに決めなければならない。7 式の方程式は数値計算
によって計算する。しかし、2 次の微分方程式を解くには、２つの境界条件が必要です。この論文では、ブラックホールが最終的に静的なブラックホールへ落

6

今後の展望

ここでは、内向きの null 座標 v を使用したが、外向きの null 座標 u では、vaidya 時空の計量が変わる
近づく将来の時間 v = v0 とすると、将来の境界条件 ため、座標 u での光子球の発展方程式を求めると、時間発展とともにブラックホールの質量が減少していdrph (v0 )は rph (v0 ) = 3M (v0 ) ,= 0 としています。 ることが確認されている。これは、ブラックホールがdv
時間とともにエネルギー放出により減少しているこ
ち着くと想定した。そのため、質量関数が一定値に2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: 光子半径の時間発展

PHYSICAL REVIEW

D 99, 104080 (2019) から引用

図 3: 見かけの地平線と事象の地平線

PHYSICALREVIEW D 99, 104080 (2019) から引用とを表す。現在、この動的ブラックホール・シャドウの理解をし、vaidya 時空でのブラックホール・シャド
ウを数値計算で行いたいと考えています。また、論文
では動的なブラックホールであるドジッター・vaidya
時空についての数値計算も行われいるので、他の動的な時空でのシャドウを確認したいです。

Reference
Akash K Mishra,Sumanta,Chakraborty, and Sudipta
Sarkar, PHYSICAL REVIEW D 99, 104080 (2019)

——–index

宇宙の熱的な発展について
東京工業大学理学院物理学系
浅利響

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙の熱的な発展について
浅利 響 (東京工業大学大学院 理学院物理学系)

Abstract
現在の宇宙になるまで、過去にはいくつかの出来事が存在する。それは宇宙の膨張に伴った宇宙の温度の変化によって引き起こされる。
素粒子の標準モデルで言及できる最も高エネルギーでの現象は、電弱相転移である。そこでは、宇宙の温度に対して、それよりも重い質量を持つ粒子が非相対論的になる。また、電弱相互作用における対称性の自発的破れによって W ± 粒子や Z 粒子が質量を獲得するなどの出来事が起こる。このように、各温度で様々な現象が起こることを見る。

1

Introduction

は、クォークは強い相互作用をするグルーオンと共にハドロンに閉じ込められる。すると、様々なハド宇宙の熱的な性質は温度と共に変化するが、より高温となる初期の宇宙に遡っていくと素粒子の標準モデルでは表せない領域になる。このため、これよ

ロンが作り出されるが、クォークとグルーオンが有効自由度に貴よしなくなり、この時点で有効自由度が大きく変化する。

り低い温度の宇宙の性質をここで見る。その中で最も高温の時に起こる現象は電弱相転移である。また、
それよりも低いエネルギーの現象として、クォーク・ハドロン転移が存在する。ここでは、この二つに主に注目する。

4

研究計画
上で述べたように、宇宙の温度が変化していくと、それに伴って様々な相転移などの出来事が起こる。そこで、アクシオンのような物質の関与する相転移に

2

電弱相転移

ついて研究したいと考えています。

温度が 1T eV から 100GeV 程度の場合、素粒子の標準モデルにある粒子は全て相対論的になる。そこか
ら温度が低くなり、100GeV 程度以下になると、対称性の自発的破れ SU (2)L ⊗ U (1)γ → U (1)EM が起こり、弱い相互作用を媒介するゲージ粒子の W ± 粒子
や Z 粒子が質量を獲得する。また、温度が 100GeV程度になると、トップクォークやヒッグス粒子が非相対論的になり、その粒子が寄与していた自由度の分だけ有効自由度が変化する。

3

クォーク・ハドロン転移
宇宙の温度が 200M eV 程度になると、クォークは自由粒子として存在することができなくなり、その束縛状態であるハドロンになっていく。この転移でReference
松原隆彦 2014, 東京大学出版会

——–index

Review: The Detection of the Cosmic Neutrino
Background東京工業大学理学研究科物理学科
HurwitzSaul

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

Review: The Detection of the Cosmic Neutrino Background
Saul Hurwitz (Tokyo Institute of Technology, Graduate School of Science, Department of Physics)

Abstract
The ”capturing” of neutrinos on tritium via inverse beta decay at an experiment like PTOLEMY could
lead to direct detection of the CνB. From these experiments, many characteristics of our universe, andneutrinos themselves, can be illuminated. Examples include whether neutrinos are Dirac or Majorana
particles, and whether or not there is a lepton asymmetry in our universe, among others. Phsyics
beyond the standard model, such as sterile neutrinos, is also considered.

1

Introduction

strongly supports its existence. In the coming years,
new detectors hope to capture these neutrinos fromThe standard model of particle physics and thecurrent theory of the hot big bang have had ma-

billions of years ago, and provide a new lens throughwhich to see our past.

jor success in predicting observed phenomena fromaeons ago. Examples such as the cosmic microwave
background (CMB) and the abundances of light elements in the epoch before stars began to form are

2

Theorythe earliest observations we have made of our universe.

In the standard model, we consider that neutri-

At an even earlier time, the theory predicts the ex- nos are chiral, there are 3 ﬂavours, and may beistence of a cosmic neutrino background (CνB). At Dirac or Majorana particles. Thus, at the time ofthis point in our universe’s history, neutrinos ”de- decoupling, only left-handed neutrinos and rightcoupled” from other particles, meaning that inter- handed antineutrinos (neutrinos in the Majorana
actions with other particles were exceedingly rare,case) would exist.

even negligible. Because of this, neutrinos produced

The method of detection is inverse beta decay,then would be free streaming to this day, and can wherein a neutrino is captured by a particle andprovide information from the time they decoupled. ejects an electron and a daughter nucleus. In parUnfortunately, owing to the expansion of the uni- ticular, we consider the case where the target partiverse, these neutrinos would have lost most of their cle is tritium, keeping the PTOLEMY experiment
momenta, and will be very non-relativistic. From in mind.
the standard model, we know that neutrinos inter- The smoking gun of a CνB neutrino is that theact only via the weak interaction, and so are very ejected electron’s energy is 2mν higher than what
diﬃcult to detect, even at high energy. Neutrinos is possible in normal beta decay. What is measured
have been detected from astrophysical sources asis the capture rate: the number of detections perwell as in labs, but these neutrinos had momenta year, given by Γ = nj σj vj , where n is the number
density, v, the velocity and σ is the cross section
much larger than their masses.
Because of this low detection rate, the CνB has not of the interaction. This cross section is calculated
been directly observed, although indirect evidence using 4-Fermi theory.

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
This is the best case scenario for a detection. The
absolute mass of a species can also be read oﬀ thegraph easily, as its peak would have an x-axis value
equal to its mass.
The next characteristic we can glean is whether
neutrinos are Dirac or Majorana fermions. Majo図 1: Here we see the spectrum of the cosmic neu-trino background detections beside the usual beta
decay endpoint. Owing to issues with energy resolution, the peaks are sometimes indistinguishable,
depending on the neutrino mass and the energy resolution.

rana particles are their own antiparticle, so if neutrinos are Majorana fermions, the capture rate will
be doubled, as theantineutrinosin the universe

are also neutrinos. Thus, a capture rate Gamma
twice that expected of a Dirac neutrino will be evidence of neutrinos being Majorana particles.
We should also be able to see how neutrinos cluster (the ones that have mass), as there should be
more around earth / the milky way than in vacuum.
This will provide more information about neutrino’s
masses and their gravitational interaction, by theeﬀect of clustering on the capture rate.

図 2: A more extreme example than the previous

ﬁgure, we see the same eﬀects in play. For poor
energy resolution and small neutrino masses, thecosmic neutrino background signal is lost behindnoise.

There is also non-standard physics to be considered. Sterile neutrinos that do not interact weakly,
but can be oscillated into, could exist. These would
be seen in the graphs above with a much larger
gap between the endpoint and the measured mass.
This sterile neutrino species could help explain issues with solar and reactor neutrino experiments,
the hubble constant, tensor perturbations from thevery early universe, and an apparent excess in the3

Discussion

radiative degrees of freedom in the early universe.

The ﬁrst characteristic we might be able to de-Another characteristic we might be able to see
tect is the mass ordering, and absolute masses. We using the capture rate is a lepton asymmetry in thestill do not know which is the lightest neutrino, as early universe: this will cause a chemical potential
we only have the absolute value of the diﬀerencesand enhance detections (or reduce them if there are

between them. In the graphs shown, we see that an

more antineutrinos). It might also be possible that

inverted hierarchy would give a much stronger sig-

neutrinos decay, into lighter or sterile neutrinos ornal, as ν1 is the most probable species in the mass something else – this can lead to enhancement orbasis owing to the values in the PMNS matrix, so drop depending on which hierarchy is correct. If
if it also has the biggest mass, the signal furthest

there is any non-standard thermal history, like afrom beta decay endpoint will also be the largest. change in the degrees of freedom between the time2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
of the CνB and the CMB, this will aﬀect the capture
rate greatly as n, the number density, is a functionof T 3 , where T is the temperature.

4

Conclusion
In conclusion, we expect a CνB to exist with cer-tain properties based on our standard model. Detecting these neutrinos and their characteristics will
provide us with a lot of information about the cosmos, as well as neutrinos themselves and the standard model.
Reference:A.J Long, C. Lunardini, E. Sabancilar,
Detecting non-relativistic cosmic neutrinos by capture on tritium: phenomenology and physics potential, arXiv:1405.7654v2 [hep-ph], 2014.

——–index

5 次元ブラックホールにおける Penrose 過程とエネルギー抽出効率
東京工業大学理学院物理学系物理学コース
重見優奈

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

5 次元回転ブラックホールにおける Penrose 過程とエネルギー抽出効率
重見 優奈 (東京工業大学 大学院 物理学系)

Abstract
ブラックホールは全ての物体を吸い込み光ですら抜け出せない強重力の天体である。しかしそのブラックホー
ルからエネルギーを抽出することが理論上可能であり、1964 年に Roger Penrose によって回転するブラッ
クホールから回転のエネルギーを引き抜く機構である Penrose 過程が提唱された。この Penrose 過程は粒子のエネルギーが負の値を取りうるエルゴ領域の存在が不可欠であり、Reissner-Nordstörm ブラックホー
ル、Kerr-Newman ブラックホールでも電荷、電荷と角運動量をエネルギーとして取り出すことで行うことが可能である。ここで、素粒子統一理論の候補である超ひも理論、およびその場の理論の極限である超重力理論において５次元回転ブラックホール解を構成できる。5 次元回転ブラックホールである BMPV ブラックホールでの Penrose 過程を考える。BMPV ブラックホールを 5 次元から 4 次元にコンパクト化した際に

Kerr-Newman ブラックホールの時同様、角運動量と電荷の間にお互いを制限する関係が存在する。その条
件を Kerr-Newman ブラックホールの時と比較すると、BMPV ブラックホールの方がより大きな電荷と角運動量を同時に持つことが可能である。ゆえに Kerr-Newman ブラックホールと 4 次元にコンパクト化した

BMPV ブラックホールのエネルギー抽出効率を求め、比較をしたい。本研究ではその準備として５次元での
BMPV ブラックホールでの Penrose 過程におけるエネルギー抽出効率を調べる。

1

Introduction

ρ2= r2 + a2 cos2 θ

1.1

Penrose 過程

∆ =

(2)

r2 − 2M r + a2 + Q2

(3)

可欠である。まず無限遠から正のエネルギーをもつ

Σ = (r + a ) − a ∆ sin θa(r2 + a2 − ∆)ω =
Σ粒子をエルゴ領域で 2 つに分ける。片方の粒子のエ

ここで M はブラックホールの質量、J はブラックネルギーを負になるようにとるともう片方の粒子はホールの角運動量、a は J = aM を満たす回転パラ

もとの粒子のエネルギーよりも大きくなる。この粒メータである。また、Kerr-Newman 時空でのベクト子を取り出せばエネルギーをブラックホールから取ルポテンシャルは
)
(
Qr
Qr
2
Aα = − 2 , 0, 0, 2 a sin θρρ2Penrose 過程を考えるにはエルゴ領域の存在が不り出したことになる。

1.2

Kerr-Newman ブラックホール

r+ = M +られる。

Σρ2 ∆ 2
dt + 2 sin2 θ(dϕ − ωdt)2Σρ
ρ2+ dr2 + ρ2 dθ2
∆

2

2

(4)
(5)

(6)

である。事象の地平線はKerr-Newman ブラックホールの計量は以下で与え

ds2 = −2 2√

M 2 − (Q2 + a2 )

(7)

である。

(1)

1.3

BMPV ブラックホール

BMPV ブラックホールの計量は以下で与えられる。素粒子統一理論の候補である超ひも理論、およ2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
びその場の理論の極限である超重力理論において、52

Methods

次元回転ブラックホール解を構成できる。その解をBMPV ブラックホールと呼び計量は以下で表すことができる。

ds25 = −Ξ2 (dt + Ai dxi )2 + Ξ−1 ds2E 4荷電粒子のしたがう運動方程式を計算し、有効ポテンシャルを分離すると(8)

ここで, Ξ = [H2 H5 (1 + f )]− 3 , ds2E 4 は４次元ユークṙ2 + Vef f (r) = 0(18)

Vef f (r) ≤ 0

(19)

1

リッド空間 (xi ) = (x, y, z, w) での計量を表し、極座標

ここで、有効ポテンシャル Vef f (r) は粒子の静止質

変換 x+iy = ρ cos θe , z+iw = −ρ sin θe , (0 ≤量 µ, 粒子の電荷 q, 粒子のエネルギー E, 粒子の角ϕ, ψ < 2π, 0 ≤ θ < π2 ) を行うと運動量 L, ブラックホールの電荷 Q, ブラックホール

iϕds2E 4iψ

の角運動量 J をパラメータに含む関数である。こ= dρ2の不等式を粒子のエネルギーについて解くと,E ≤+ ρ (dθ + cos θdϕ + sin θdψ ) (9) Emin (r), Emax (r) ≤ E となり、前者の解は無限遠にて E = −µ に漸近し負の値になるため不適。まと書ける。また、関数 HA (A = 2, 5), Ai , f は以下で た、E
も q, µ, E, L, Q, J を含む関数。Kerr2

2

2

2

2

2

min,max与えられる。

Newman ブラックホールも BMPV ブラックホール
HA

=

f

=

Aϕ

=

Aψ

=

(A)
Q
1 + H2 ,
ρ

Q0
,
ρ2
Jϕ
cos2 θ,2ρ2
Jψ
sin2 θ,2ρ2

も事象の地平線上で粒子を 2 つに分けたときに最

(10)
(11)

大のエネルギー抽出効率を得る。このときのブラックホールへ落ち込む粒子には添え字 in、取り出す粒子の粒子の添え字は out をつける。このとき、(12) L = Lout + Lin , q = qout + qin , µ = µout + µin が成立するのでこれを先ほどの Emax (r) に代入し、以下(13) の条件を得る。

(A)

ここで,QH , Q0 , Jϕ Jψ , は BMPV ブラックホールの電荷と角運動量である. また, 電場は
(
)
1
(A)
Ej = ∂j
HA

out
Emax
(r, Q, M, J, q, qout , µ, µout , L) ≤ E out

(20)

in
Emax
(r, Q, M, J, q, qout , µ, µout , L) ≤ E in

(21)

out
in
in
out
=
(14) エネルギー保存 E +E = E,E < 0 より Einin
|E | + E ≤ |Emax (r)| + E 。ゆえに、取り出す粒子のエネルギーを最大にするための条件は以下である。

となる。
事象の地平線は ρ = 0 に存在し、その表面積は以下

out
Emax
(r, Q, J, µ, µout , q, qout , L)

(22)

in
= |Emax(r, Q, J, µ, µout , q, qout , L)| + E(23)で与えられる。

AH
J2√(2) (5)= 2π Q0 QH QH − J 2 /8
2

=
(2)

2
Jphi
+ Jψ2

(15)
(16)

2
(5)

ゆえに、Q0 , QH , QH と Jϕ , Jψ の間は以下の関係が
ある。
(2)

(5)

J 2 ≤ 8Q0 QH QH

(17)

3

Results

3.1

Kerr-Newman ブラックホールでのPenrose 過程

Q, J を同じ値に固定し、L を変化させたときの qout
に対するエネルギー抽出効率は以下のようになる。エ
ネルギー抽出効率は L の値に関わらず qout に比例す

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校の項が L に依存しなくなる。そこで、J 2 ≤ 38 Q3 (粒10LKN = -6
LKN = -3
LKN = 0efficiency ηKN

8
6

子がホライズンまで到達できる条件) のもと、Q を固定し、J の値を変化させたときのエネルギー抽出効率 η と qout の関係は以下のようになった。以上から

4
2

𝐽𝐵 = 0
0
-10

-5

0

5

𝐽𝐵 = 110𝐵𝐽 = 8/3

qout

図 1: エネルギー抽出効率る。エネルギー抽出効率 η と qout との関係を式で書くと以下のようになる。
図 3: エネルギー抽出効率

η = αqout + f (L)(24)

傾き α は事象の地平線上での静電ポテンシャルに一J を増加させると最大のエネルギー抽出効率は増加

致する。

することが示唆される。

3.2

BMPV ブ ラック ホ ー ル で の Pen- 4
roise 過程

Conclusion
エネルギー抽出効率 η と qout の間には比例関係があQ, J を同じ値に固定し、L を変化させたときの qout

りその傾きは粒子を分けた事象の地平線上での静電ポに対するエネルギー抽出効率は以下のようになる。エ

テンシャルに一致する。残りの部分は Kerr=Newman
ブラックホールの場合は L に依存するが BMPV ブ
ラックホールの場合は L に依存せず J に依存する。

20

ηBMPV

15
10

Reference5

Kei-ichi Maeda, Nobuyoshi Ohta, Makoto Tanabe.
PhysRevD 74,104002. 2006.

0
0

2

4
qout

6

8

10

BMPV

図 2: エネルギー抽出効率

ネルギー抽出効率 η と qout の関係は Kerr-Newman
ブラックホールの時と同様に比例関係がある。

η = αqout + β(25)

傾き α は Kerr-Newman ブラックホールの時同様、事象の地平線上での静電ポテンシャルに一致する。残り

——–index

自己相互作用ダークマターの作るボゾンスター
大阪市立大学理学研究科数物系専攻
奥家健太2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

自己相互作用ダークマターの作るボゾンスター
奥家 健太 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
自己相互作用ダークマターの作るボゾンスターに関する論文（Boson Stars from Self-interacting Dark

Matter ）のレビューを行う。
特に論文では無衝突ダークマターの抱える問題を解決するパラメータスベースに焦点を当てている。

1

Introduction2.2

相互作用が斥力の場合

衝突のない場合のダークマターは宇宙の大規模構相互作用が反発の場合、Colpi の結果を用いること造を上手く説明する。一方で、銀河スケール以下をが出来る。それは、結合された Einstein 方程式とク

見た場合、様々なが発生する。
（cusp-core 問題、too-

ライン・ゴルドン方程式から始まる。
) ( 2
)
(
A′
1
Ω
Λ 4 (σ ′ )2
1
2
+
=
+
1
σ
+
σ +
1
−
A2 x x 2
AB
2A

big-to-fail 問題、衛生銀河の数）その一つの解決策として、自己相互作用をもつダークマター（SIDM) を考える方法がある。この論文では、SIDM の散乱断面積として CDM の持つ問題を解決できるような範囲について考える。

2

Methods と Results

2.1

SIDM parameter space

CDM の持つ問題を解決できるような SIDM の散
乱断面積の範囲として

0.1

cm2
σ
cm2
≤
≤1
g
m
g

(1)

が有効である。また、SIDM のの系として、以下のようなものを考える

V (ϕ) =(
) ( 2 )B′Ω1
Λ(σ ′ )21− 2 1−−1 σ 2 − σ 4 +
=
ABx x
A
B
2
A
(
)
]
)
[( 2
2
B′
A′
Ω
σ ′′ ++−− 1 σ − Λσ 3 = 0
σ ′ +A
x 2B
2A
B
(5)
√
ここで x = mr、σ = 4πGΦ、Ω = ω/m、Λ =λMP2 /4πm2 で無次元化してある。静的で球対称な時空を仮定すると

ds2 = −B(r)dt2 + A(r)dr2 + r2 dΩ2(6)となり、 関数の A(x) は質量 M(x) との間に A(x) =(1 − 2M(x)/x)−1 の関係ある。また、（４）の範囲
では、Λ ≫ 1 となり、σ∗ = σΛ1/2 、x∗ = xΛ−1/2 、m2 2 λ 4｜ϕ｜ + ｜ϕ｜
2
4

(2)

√
(3)

となる。この結果を (1) 式に代入すると、( m ) 32( m ) 32|λ|< −3 < 3
1MeV
10
1MeV
の範囲が有効となる。

は無視できる。以上のことを用いると、方程式はかなりシンプルになる。

このときの散乱断面積は

λ2
σ=
64πm2

M∗ = MΛ−1/2 と変数を変換すると、λ−1 のつく項

(4)

σ∗ =

Ω2
−1
B

M′∗ = 4πx2∗ ρ∗
(
)
B′
2M∗
2M∗
1−
− 3 = 8πp∗
Bx∗
x∗
x∗

(7)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで

(

)(

Ω2
+1
B
( 2
)2
1
Ω
p∗ =
−1
16π B

ρ∗ =

1
16π

3

SIDM の作る BS の密度

2.4

)
Ω2
−1
B

BS が半径 R、質量 M 、数密度 nBS を持つと仮定する。また、自由な DM の質量、数密度、自己相互作(8) 用断面積をそれぞれ m、n、σ と置く。DM 粒子がほかの DM 粒子もしくは BS と衝突する前の平均自由である。数値的にこれらの式を解くと、ボゾンスター

行程はそれぞれ lDM = (nσ)−1 、lBS ∼ (nBS πR2 )−1である。BS と DM の衝突が DM 同士の衝突より稀の最大質量が√であるとすると λDM ≪ λBS となる必要がある。ま

λ MP3
4π m2

(9) た、DM の密度は ρDM = M nBS + mn である
これらの結果を用いるととわかる。さらに、（４）の範囲で λ の値が決まるの
σρDM
(15)
nBS ≪
で、ボゾンスターの最大質量の範囲は
mπR2 + M σ()5
1MeV 4となる。
3.42 × 104 M⊙m
自己相互作用を (3) 式とし、BS の半径を R ∼√|λ|MP /m2 として評価すると、(15) 式は
(
) 54
1MeV
rep
6.09 × 104 M⊙(10)≤ Mmax
≤
ρDM
m
nBS ≪
(16)
2
MP
+
M
64π
|λ|m
となる。
rep
M < Mmax= 0.22となる。
相互作用が斥力の場合、最大質量は相互作用が引力の場合

2.3√

λMP3 /m2 であるので、分母の 2 項目が支配的になる。すると、数相互作用が引力の場合、斥力とは違った方法で最大質量が求められている。引力の場合の非相対論的な運動(
Eψ(r) =

)
∇2
4πa
2
−
+ V (r) +|ψ(r)| ψ(r) (11)2mm
∇2 V = 4πGmρ(r)(12)

このときの最大質量は、

X
=
9|a|

√

(
att
Mmax
≤

となる。

) 34

320 Mp√27 |λ|(13)) 34( m )−2/3
pc
1MeV

−8

1.31 × 10

(18)
√
|λ|

であるので、(16) 式の分母の 1 項目 が支配的になる。

natt
BS ≪

|λ|mρDMm≈ 2 × 10−5 |λ|AU−3 (19)64πMP2
1MeVが得られる。したがって、この近似の下で引力的な7.37 × 10−9 kg ≤1MeV
m

ソン星間の最小平均距離は少なくとも相互作用が引力の場合、最大質量は ∼ MP /となる。ボゾンスターの最大質量の範囲は1MeVmを満たす。したがって、この近似が有効な斥力的ボ

である。

√

(

( m )2m2 ρDM−9 −1/2
√
pc−3
nrep
≪
≈
9
×
10
λ
BS
1MeV
λMP3
(17)

2 2/3
nrep
BS ≈ 5 × 10 λ方程式を数値的に解き解を分析している。

att
M < Mmax=m

密度はboson star 間の最小平均距離は
kg

−1/3
(natt
≈ 40(
BS )

(14)
である。

|λ|m −1/3
)
AU
1MeV

(20)

2020 年度 第 50 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

Conclusion
この論文では自己相互作用を持つダークマターがどのような星を作るかについて調べ、斥力と引力の場合それぞれで最大質量をもつことがわかった。

(

1MeV
m

) 54

3.42 × 104 M⊙)5
1MeV 46.09 × 104 M⊙
m()3
1MeV 47.37 × 10−9 kg ≤m(
)3
1MeV 4att
Mmax ≤
1.31 × 10−8 kgm(

rep≤ Mmax
≤

(21)

(22)

この範囲の最大質量をもつボゾンスターが発見されると自己相互作用をもつダークマターがつくったボ
ゾンスターである可能性がある。ただし、このようなボゾンスターがどのように形成されるかについては詳細に分析する必要がある。

Reference
Valeria Diemer, Keno Eilers, Betti Hartmann, Isabell Schaﬀer, and Catalin Toma Phys.Rev. D 88
2013 (レビューした論文）
M. Colpi, S. L. Shapiro and I. Wasserman, Phys.
Rev. Lett. 57, 2485 (1986).
D. J. Kaup, Phys. Rev. 172, 1331 (1968).

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Quadratic Estimator を用いた重力レンズ測定と想定されるバイアス
名古屋大学理学研究科素粒子宇宙物理学専攻
迫田康暉

未提出