連成振動

力学の振動の応用問題として出てくる質点がバネで繋がれた連成振動を見ていきます。
ここでの話は力学というより量子論を意識したものになっています。

振動するものが複数繋がっているときの振動を連成振動と言います。2 重振り子は連成振動の一種です。ここでは質点がバネによって複数繋がっているものを扱います。
まずは、3 個のバネが 2 個の質点と繋がっている場合を扱います (図 1)。バネ定数は全て等しい γ とし、質点の重さは両方とも m とします。バネの伸び縮みがないときを釣り合っている状態とします。右方向を正にとり、釣り合っている位置からのそれぞれの質点 P1 , P2 の変位を u1 , u2 とします。
質点 P1 の変位 u1 の正方向の増加によって左側のバネは伸びるので、u1 によって左側のバネの伸び縮みが与えられます。同様に、真ん中のバネは u2 の増加で伸び、u1 の増加で縮むので u2 − u1 によって、右のバネは u2 の減少で伸びるので −u2 によって、伸び縮みが与えられます。そうすると、P1 の運動方程式は左のバネと真ん中のバネの変化による力によって

md2 u1= −γu1 + γ(u2 − u1 )dt2(1a)P1 の左のバネによる振動の方向を基準に取っています。なので、振動の方向が逆になっている右辺第二項はプラスです。同様に P2 の運動方程式は

md2 u2= −γu2 − γ(u2 − u1 )dt2(1b)P2 の右のバネによる振動は P1 の左のバネによる振動と逆方向ですが −γu2 となっているのは、γ(−u2 ) = −γu2だからです。
この連立方程式は簡単に解けます。まず、解の形として e−iωt を仮定して

u1 = C1 e−iωt , u2 = C2 e−iωt
C1 , C2 は任意定数で初期条件から決まります。これらを入れれば、P1 では

図11md2 u1= − 2γu1 + γu2dt2−mC1 ω 2 e−iωt = − 2γC1 e−iωt + γC2 e−iωt−mC1 ω 2 = − 2γC1 + γC2(mω 2 − 2γ)C1 + γC2 = 0
P2 では

md2 u2= − 2γu2 + γu1dt2−mC2 ω 2 e−iωt = − 2γC2 e−iωt + γC1 e−iωt
γC1 + (mω 2 − 2γ)C2 = 0
このとき、C1 ̸= 0, C2 ̸= 0 となるためには、各項による行列式がmω 2 − 2γγγmω 2 − 2γ=0となればいいです。これから0 = (mω 2 − 2γ)2 − γ 2= (mω 2 − 2γ − γ)(mω 2 − 2γ + γ)
= (mω 2 − 3γ)(mω 2 − γ)
よって、角振動数 ω は√
ω=3γ,m√γmとなります。
√ω = 3γ/m ではそれぞれの運動方程式は(mω 2 − 2γ)C1 + γC2 = 0 ⇒ γC1 + γC2 = 0γC1 + (mω 2 − 2γ)C2 = 0 ⇒ γC1 + γC2 = 0
なので、C1 = −C2 となります。ω = ω ′ =√γ/m では(mω 2 − 2γ)C1 + γC2 = 0 ⇒ −γC1 + γC2 = 0γC1 + (mω 2 − 2γ)C2 = 0 ⇒ γC1 − γC2 = 02

なので、C1 = C2 となります。
そして、e−iωt の複素共役 (e−iωt )∗ = eiωt でも同様にできるので、「単振動」のときと同じように u1 , u2 はそれぞれの角振動数に対して√3γ: u1 = Ce−iωt + Deiωt , u2 = −Ce−iωt − Deiωtm√′′′′γω′ =: u1 = C ′ e−iω t + D′ eiω t , u2 = C ′ e−iω t + D′ eiω tm
ω=(2a)(2b)

今のように、考えてる系における各振動部分 u1 , u2 (n 個なら u1 から un ) が同じ振動数を持つとき基準振動 (normalviblation) や基準モード (normal mode) と呼ばれます (単純に言えば u1 , u2 が同じ振動数を持つ解のこと)。今はω と ω ′ がそれぞれの振動振動の角振動数を与えます。
しかし、u1 （もしくは u2 ) は 2 個の任意定数 C, D (C ′ , D′ ) しか持ってないので一般解になっていません。今は2 階微分方程式の連立方程式なので、一般解は任意定数を 2 × 2 = 4 個持ちます。これらから単純に一般解を作る
なら、重ね合わせの考えから′′

u1 = Ce−iωt + Deiωt + C ′ e−iω t + D′ eiω t′(3a)′u2 = −Ce−iωt − Deiωt + C ′ e−iω t + D′ eiω t(3b)とすればよく、これが今の連成振動の一般解となります。このような基準振動による重ね合わせは振動の問題で重要になっています。

u1 , u2 は実数ですが、exp を使った形では実数になっていないです。なので、実数になるように任意定数 C, Dを書き直します。実数であるためには

D = C∗(4)

であればいいです。これは C = A + iB とすればCe−iωt + Deiωt = C(cos(ωt) − i sin(ωt)) + D(cos(ωt) + i sin(ωt))= (A + iB)(cos(ωt) − i sin(ωt)) + (A − iB)(cos(ωt) + i sin(ωt))= 2A cos(ωt) + 2B sin(ωt)となるからです。なので、実数 A, α を使ってC=

A −iαAe, D = C ∗ = eiα22とすれば3(5)u1 = Ce−iωt + Deiωt =A −iα −iωt A iα iωte e+ e e22=A −i(ωt+α) A i(ω+α)te+ e22=A(cos(ωt + α) − i sin(ωt + α) + cos(ωt + α) + i sin(ωt + α))
2= A cos(ωt + α)となるので√

u1 = A cos(ωt + α) , u2 = −A cos(ωt + α)
u1 = A′ cos(ω ′ t + α′ ) , u2 = A′ cos(ω ′ t + α′ )3γ)m√γ′(ω =)m(ω =一般解では

u1 = A cos(ωt + α) + A′ cos(ω ′ t + α′ )u2 = −A cos(ωt + α) + A′ cos(ω ′ t + α′ )となります。実際に運動方程式に入れてみれば、左辺は

md2 u1= −m(Aω 2 cos(ωt + α) + A′ ω ′2 cos(ω ′ t + α′ )) = −(3Aγ cos(ωt + α) + A′ γ cos(ω ′ t + α′ ))dt2

右辺は−2γu1 + γu2 = − 2Aγ cos(ωt + α) − 2A′ γ cos(ω ′ t + α′ ) − Aγ cos(ωt + α) + A′ γ cos(ω ′ t + α′ )= − 3Aγ cos(ωt + α) − A′ γ cos(ω ′ t + α′ )となっていることから確かめられます。後は適当な初期条件を入れて A, A′ , α, α′ を決めればいいです。
運動方程式 (1a),(1b) を足してみると

md2(u1 + u2 ) = −γ(u1 + u2 )dt2

引いてみるとmd2(u1 − u2 ) = −γ(u1 − u2 ) − 2γ(u1 − u2 )dt2

なので4図211w+ = √ (u1 + u2 ) , w− = √ (u1 − u2 )22√とします。1/ 2 はここでは意味ないですが、他の計算をするときに便利なのでつけています。これらは

d2w+ = −ω ′2 w+
dt2d2
w− = −ω 2 w−
dt2√′(ω =√(ω =γ)m(6a)3γ)m(6b)となり、基準振動を持った 2 つの単振動の式になります。このときの w+ , w− を基準座標 (normal coordinate) と言います。なので、一般解 (3a) は

u1 = w− + w+(7)と書けます（u2 でも同様）。これは、連立方程式から基準座標による 2 つの独立な単振動の式を作り、その解を足せば一般解になることを表しています。また、振動が (6a)(もしくは (6b)) のように書けるときを振動振動と言うこともできます。
今の話を一般化します。N 個の質点が間隔 L でバネでつながっているとし、n 番目の質点 Pn の運動を考えます(図 2)。状況設定は同じで、全ての質点の質量は m、バネ定数は γ とし、バネの伸び縮みがないときを釣り合っている状態とします。質点 Pn の変位は un とし、右方向を正にとります。
もう 1 つ条件として、N 番目の質点の隣は n = 1 の質点とします (uN +1 = u1 )。つまり、un+N = un とします。
これは円上に質点が並ぶようにすることに対応し、このようにある所でもとに戻るという条件を周期的境界条件と言います。周期的境界条件を使うので、今から求める結果は最初の結果 (両端が固定されている場合) と一致しません。
質点の運動方程式は今の結果を少し変更するだけで求まります。上では左側のバネはただの単振動としましたが、今の Pn では左側の質点 Pn−1 の変位 un−1 が存在します。そうすると、n − 1 番目の質点 Pn−1 と Pn の間のバネの伸び縮みは、un−1 の増加で縮み、un の増加で伸びることから、un − un−1 と与えられます。よって質点 Pnの運動方程式は

md2 un= − γ(un − un−1 ) + γ(un+1 − un )dt2
= − 2γun + γun+1 + γun−1

これの解を見つけます。
これは N 個の微分方程式による連立方程式で5(8)md2 u1= γ(−2u1 + u2 )dt2m

d2 u2= γ(u1 − 2u2 + u3 )dt2md2 u3= γ(u2 − 2u3 + u4 )dt2..
.

として続いていきます。質点が 2 個の場合では独立な単振動の式 (6a),(6b) から解が (7) で与えられたことを踏まえて、ここでも独立な単振動の式になるようにします。
(l)

質点の数を増やしただけなので重ね合わせの原理から、(3a),(3b) のように適当な解 qn (t) によってun (t) =∑qn(l) (t)lという形に書けるはずです ((l) は解の区別)。整数 l の範囲は後で決めます。そして、質点 2 個のときと同じよう(l)に時間依存性は分離できると考えて、un (t) は qn (t) = Fn (l)X(l, t) として

un (t) =∑Fn (l)X(l, t)(9)l(l)(l)と展開できるとします。Fn , Xn と書くと見づらそうだったので、Fn (l), X(l, t) と書いてます。X(l, t) は時間依存性を省いて X(l) とも書きます。この展開によって (7) と同じようにできる X(l, t) を作ります。
運動方程式に入れてみれば

mFn (l)∑d2
X(l,t)=γX(l, t)(−2Fn (l) + Fn+1 (l) + Fn−1 (l))
dt2l

これではまだ連立しているままです。ここで Fn を (5) から1Fn (l) = √ eiα(l)nN√とします。α(l) は実数で、係数を 1/ N としているのは利便性 (規格化) のためです (下の補足参照)。n は整数なので、l による区別は α にしか与えられないので α(l) としています。この形からすぐ分かるように

Fn±1 (l) = Fn (l)e±iα(l)という性質を持ちます。なのでmFn (l)∑d2X(l)=γX(l)(−2Fn (l) + Fn (l)eiα(l) + Fn (l)e−iα(l) )dt2l6(10)となり、n 番目だけの方程式になります。よって、連立ではなくなり、この 2 階微分方程式を単独で解けばいいです。

Fn (l) の性質を求めていきます。α(l) は任意定数でなく、周期的境界条件によって決定できます。周期的境界条
件 un+N = un は Fn (l) に対して(l)un+N = un ⇒ qn+N = qn(l) ⇒ Fn+N (l) = Fn (l)となるので、

11√ eiα(l)(n+N ) = √ eiα(l)nNNeiα(l)N = 1

これは、整数 l によって α(l)N = 2πl とすれば成立します (sin(±2π) = 0, cos(±2π) = 1)。これから112πFn (l) = √ eiα(l)n = √ exp[in l]NNN(α(l) =2πl)N(11)となります。さらに、l = N + j (j は整数) のとき、n が整数であるためにexp[in2π2π2π(N + j)] = exp[in2πj + in ] = exp[in j]
NNNとなりますが、これは l = j のときと同じです。このように、j に N を加えれば元に戻るために、l は N − 1 内で考えれば十分です。よって、l の範囲は N − 1 内であれば任意なので、N を偶数として−NN+1≤l ≤22(12)とします (第一ブリユアンゾーン)。他にも、例えば 0 から N − 1 と選ぶことも可能です。これから、l で区別される Fn (l) は N 個あります。
導出は下の補足に回しますが、ここでの Fn は性質としてN∑Fn∗ (l′ )Fn (l) = δl′ l(13)Fn∗′ (l)Fn (l) = δn′ n(14)n=1∑lというのを持ちます。l の範囲は (12) で、δij (i, j は整数) はクロネッカーデルタです (i = j なら δij = 1、i ̸= jなら δij = 0)。

l は範囲 (12) での整数と求まったので、(10) に Fn∗ (l′ ) をかけて、n の和を取るようにし (13) を使えば

7mN
∑Fn∗ (l′ )Fn (l)n=1N∑∑d2 X(l)=γX(l)Fn∗ (l′ )(−2Fn (l) + Fn (l)eiα(l) + Fn (l)e−iα(l) )dt2
n=1lmδl′ l∑d2 X(l)X(l)δl′ l (−2 + eiα(l) + e−iα(l) )=γ2dtlm′′d2 X(l′ )= γX(l′ )(−2 + eiα(l ) + e−iα(l ) )dt2

d2 X(l)γ= 2 (−1 + cos α(l))X(l)dt2m= − ω 2 (l)X(t)(15)

これから、X(t) は単振動の式に従っていることが分かります。4 行目で l′ は l に書き換えてます。ω は√ω(l) =2γ(1 − cos α(l)) =m√4γα(l)
sin2=m2√4γα(l)| sin|=m2√4γπ| sin l|mNθ
(1 − cos θ = 2 sin2 )2と与えられています。| | は絶対値です。(15) はただの単振動なのでX(l, t) = c(l)e−iω(l)tc(l) は任意定数、ω(l) は角振動数です。(15) は l によって区別される微分方程式なので、異なる l では任意定数も異なるので c(l) としています。一般解は、複素共役にしたものを足せばいいのでX(l, t) = c(l)e−iω(l)t + d(l)eiω(l)tとなります。というわけで、un (t) はun (t) =∑Fn (l)X(l, t)l(NN<l≤ )22112πX(l, t) = c(l)e−iω(l)t + d(l)eiω(l)t , Fn (l) = √ exp[iα(l)n] = √ exp[in l]
NNNとなります。最初の場合で変位 u1 , u2 は実数であるために、(4) として任意定数を複素共役で繋いだように、ここでも c(l) と d(l) は関係を持ちます。

un は実数 un = u∗n であることからの X(l, t) の制限を求めます。Fn (l) は複素共役を取ってみればすぐに分かるように

12πFn∗ (l) = √ exp[−in l] = Fn (−l)
NN
これを使うと8u∗n (t) =∑∑N/2Fn∗ (l)X ∗ (l, t) =lFn (−l)X ∗ (l, t)

l=−N/2+1なので、もし X ∗ (l, t) = X(−l, t) なら

∑∑

−N/2

∑

N/2

N/2

Fn (−l)X ∗ (l, t) =l=−N/2+1

Fn (−l)X(−l, t) =l=−N/2+1

Fn (l)X(l, t)(16)

l=N/2−1

これは l の符号が反転しただけなので、l の範囲は N − 1 のままです。このため un を展開した形のままなので (展開するときの和は範囲が N − 1 内ならなんでもいい)、X ∗ (l, t) = X(−l, t) とすることで、u∗n = un となります。
よって、Fn (l) と X(l, t) は複素共役に対してFn∗ (l) = Fn (−l) , X ∗ (l, t) = X(−l, t)となります。

X(l, t) の制限から c(l), d(l) の複素共役に制限が付きます。X(l, t) の制限から (ω(−l) = ω(l), ω ∗ (l) = ω(l))

X ∗ (l, t) = X(−l, t)c∗ (l)eiω(l)t + d∗ (l)e−iω(l)t = c(−l)e−iω(l)t + d(−l)eiω(l)t

これからc∗ (l) = d(−l) , d∗ (l) = c(−l)となり、d(l) = c∗ (−l) が分かるので

X(l, t) = c(l)e−iω(l)t + c∗ (−l)eiω(l)tと書けます。
よって、un が実数であることを踏まえれば

un (t) =∑(c(l)e−iω(l)t + c∗ (−l)eiω(l)t )Fn (l)l

第二項の c∗ (−l) を c∗ (l) に書き換えることもできます。un (t) はun (t) =∑c(l)e−iω(l)t Fn (l) +l∑l

第二項は Fn∗ (l) = Fn (−l) と (16) と同じ話から

9c∗ (−l)eiω(l)t Fn (l)∑c∗ (l)eiω(l)t Fn (−l) =−l∑c∗ (l)eiω(l)t Fn∗ (l) =−l∑c∗ (l)eiω(l)t Fn∗ (l)lとなるので

un (t) =∑(c(l)e−iω(l)t Fn (l) + c∗ (l)eiω(l)t Fn∗ (l))

l=∑(c(l)e−iω(l)t eiα(l)n + c∗ (l)eiω(l)t e−iα(l)n )lと書けます。
この結果は角振動数 ω(l) を持っている単振動の重ね合わせと見れます。なので、ω(l) は基準振動で、X(l, t) は基準座標です。ここでの話は、(9) による変換で un を基準座標 X(l, t) にしたということです。
また、ここまでしてきた話はフーリエ展開を知っている人なら (9) と書いた時点で、結果は予想できたと思います。フーリエ展開の言葉にすれば、un を直交系 Fn (l) を用いて展開した結果と言えます。
まだ α(l) が何を表しているのかはっきりしていないので、具体的な量にします。適当な l の部分を取り出したとして

qn(l) = c(l)e−i(ω(l)−α(l)n)t + c∗ (l)ei(ω(l)−α(l)n)tc(l) を Aeiβ とすれば

qn(l) = A(e−i(ω(l)−α(l)n−β)t + ei(ω(l)−α(l)n−β)t ) = A cos(ω(l) − α(l)n − β)β は初期位相なので無視すれば、これは 1 次元平面波 cos(ωt − kx) と同じ形です。k は波数、x は位置です。なので、α(l) を波数 k と質点の間隔 L によってα(l) = kLとします。間隔 L を使うのは n 番目の質点の位置は nL だからです。(11) とあわせれば

k=2πlNL(17)

そうすると、un はよくある表記を使うと

un (t) =∑(ck e−iωk t eikLn + c∗k eiωk t e−ikLn )kと書けます。c(l) を ck のように添え字にし、(17) から k は l を含んでいるので形式的に k の和としています。この形は量子論でも現れて、例えばフォノンを扱うときに出てきます。
波数が出てきたことからなんとなく予想できるように、(8) は波動方程式にできます。これを簡単に見ておきます。まず、質点の変位を un として質点の区別による n でなく質点の位置 x に変えます。つまり、un (t) を u(x, t)10とします。x は n 番目の質点の位置なので x = nL です。n ± 1 番目の位置は (n ± 1)L = x ± L となります。この書き換えによって (8) はm∂ 2 u(x, t)= −2γu(x, t) + γu(x + L, t) + γu(x − L, t)∂t2u(x, t) の x は un の n に対応することから時間微分とは無関係なので、左辺は偏微分にしています。L が十分小さいとして、u(x ± L, t) を L = 0 まわりでテーラー展開すると、L2 まででu(x ± L, t) ≃ u(x, t) ±∂u(x, t)1 ∂u2 (x, t) 2L+L
∂x2 ∂x2

これを右辺に入れると

γ(−2u(x, t) + u(x + L, t) + u(x − L, t)) = γL2∂u2 (x, t)∂x2

これだと L が残ってしまうので変形します。
振動していないときの全体の長さが D として与えられていれば、L → 0 は質点の数の N → ∞ に対応します。
バネ、質点、バネ、質点、バネとして並んでいるとして、D = (N + 1)L と全体の質量を M = N m から質量密度は

ρ=N mmM=⇒D
N +1 L
LD, M は対象の設定として与えられるので質量密度は固定できるとします。固定できるためには m → 0 が要求されます。これらによって、N → ∞ で (8) は∂ 2 u(x, t)γL ∂u2 (x, t)
=∂t2
ρ∂x2
このように、振動している質点が隙間なく連続的に並んでいるとした極限 (連続極限) で波動方程式となります。
波動方程式での右辺の係数は速度に対応し、それは有限の値を持ちます。なので

γ=γ′Lとして新しく γ ′ を作れば、γ ′ を対象に合わせた適当な値とできます。このため、γ → ∞ が要求されます。というわけで∂u2 (x, t)∂ 2 u(x, t)
= v22
∂t
∂x2
として、波の伝わる速度 v が与えられます。

・補足

11√
(v =γ′)
ρ

(13),(14) を示します。(13) はN∑

1 ∑11
exp[−i 2πnl′ ] exp[i 2πnl]
N n=1NNNFn∗ (l′ )Fn (l) =n=1=1 ∑2πexp[−i n(l − l′ )]N n=1
N=2π2π2π1(exp[−i (l − l′ )] + exp[−i 2(l − l′ )] + · · · + exp[−i N (l − l′ )])NNNNN(18)

見て分かるように、a = exp[−i2π(l − l′ )/N ] とすればN∑

exp[−inn=12π(l − l′ )] = a + a2 + · · · + aN
Nとなっており、これは等比級数です。なので、l ̸= l′ のとき等比級数の公式
N∑

aj−1 =j=1

1 − aN1−aを使えば2π1 − exp[−i2π(l − l′ )]1 ∑exp[−in (l − l′ )] =N n=1N
1 − exp[−i2π(l − l′ )/N ]Nl, l′ は整数なので l − l′ も整数です。このため

exp[−i2π(l − l′ )] = 1
exp[−i2π(l − l′ )/N ] ̸= 1
分母にいる exp では N で割られているので、1 にならないです。このため分子が 0 になるので、l ̸= l′ のとき

1 ∑1exp[−i 2πn(l − l′ )] = 0
N n=1
NN(l ̸= l′ )l = l′ では、(18) の全ての項で exp は 1 なので
1 ∑11exp[−i 2πn(l − l′ )] = N = 1N n=1NNN

よって、結果はクロネッカーデルタ δij でまとめられて12(l = l′ )N∑Fn∗ (l′ )Fn (l) = δl′ ln=1√となります。この関係を直交性と言います。Fn (l) の係数を 1/ N にしたのは、途中計算から分かるように、この右辺に余計な係数が出てこなくなるからです。

(14) は∑Fn∗′ (l)Fn (l) =l1N∑

N/2

exp[il=−N/2+112π(n − n′ )l]Nl の和の範囲を 1 から N にするために、l′ = l + N/2 とすれば

1N

∑

N/2

exp[i(n − n′ )N2π
1 ∑2πNl] =exp[i(n − n′ ) (l′ − )]NN ′N2l =1l=−N/2+1N∑
11′exp[−iπ(n − n )]exp[−i 2πl′ (n′ − n)]=NN′l =1和の形を見ると、n と l′ の違いはありますが、(13) と同じです。なので、l′ の和は

1 ∑1exp[−i 2π(n′ − n)l′ ] = δnn′N ′NN

l =1これから∑Fn∗′ (l)Fn (l) = exp[−iπ(n − n′ )]δnn′l

クロネッカーデルタは n = n′ のとき 1 なので、n = n′ ではexp[−iπ(n − n′ )]δnn′ = 1(n = n′ )n ̸= n′ ではクロネッカーデルタは 0 なので

exp[−iπ(n − n′ )]δnn′ = 0(n ̸= n′ )つまり、結果は exp 部分とは無関係にクロネッカーデルタで書けてしまうので

exp[−iπ(n − n′ )]δnn′ = δnn′
よって13

∑Fn∗′ (l)Fn (l) = δnn′lとなります。

14