Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres

J EAN -L OUIS N ICOLAS
Répartition des nombres premiers
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 9, no 2 (1967-1968),
exp. no G6, p. G 1-G 4.
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Groupe d’Etude deTHEORIE DES NOMBRES
Année 1967/68, n~ 6

G6-01

15 janvier 1968

RÉPARTITION DES NOMBRES PREMIERS
par Jean-Louis NICOLAS

1. Théorème des nombrespremiers.

Rappel de définition.

oùquedécrit l’ensemble des nombres premiers, etpexp(e(x))

queàx.

De

est

entier

1 . On remarqueest leproduit de tous les nombres premiers au plus égaux à

est leplus petit commun multiple des nombres entiers au plus égauxx, etplus, on a1~~~

endésignant

THEOREME 1 . - Quandx -> co ,l’m~~ ~

la partie entière de,y1

2. Différence entre deux nombres
premiers
On désign.e par

03C0(p)=n,n

on apnle n-ième nombre

consécutifs.

prem.ier, et on pposed - ..
pn Ppn-11 .. Commenn-THÉORÈME 2

Pour tout ~ > 0 , il existe

uneinfini té denqui

vérifient :où 03B3y(eY = 1,78) .

est la constante d’Euler,THEOREME 30 - Il existe un nombre TOn peut prendre

prendreTT=~+ e=58,

1

tel quey pour toutet même un peu moinsi

pour toutn,onait :l’hypothèse de Riemann permet dee.

Remarque. - On voit que les théorèmes 2 et 3 sont très éloignés l’un de l’autre.
Une conjecture de Cramer est que

THEOREME 4(BOMBIERI-DAVENPORT [1]). - Il existe une infinité denpour les-quels on a :1

Remarque. - - On a toujours pn+1 - pn > 2 . La conjecture dite des nombres premiers
2 a un.e infinité de solutions en n.
jumeaux est que l’équation pn+1 - p=

3. Remarque sur la démonstration des théorèmes 2, 3, 4.
Les démonstrations

setrouvent dans PRACHAR ~3~(chap. V, ~ 5., et chap° I~, ~ 3~,où l’on trouvera également d’autres ren.seignements.
.~ propos des théorèmes 2 etlog pn

4, remarquons qu’il est très facile d’établir (carest la valeur moyenne ded n~ ° .tdSupposons par exemple que=a >1 . Cela veut dire que, pourCommea’ > 1 , on arrive à une contradiction lorsquen-~ ~ ,

Pour démontrer le théorème 2, on cherche desnombres
façon que si z vérifie les congruences :alors les nombres

p~ ,de tellea 2 , ... , a,~z+2,z+3....,z+u, sont divisibles par l’un des nom-...

avec,;

nombres premiers entrez+2leuetz

Le théorème 3 découle du résultat

Le théorème 3’.

seplus grand possible. Il

donc pas de+ u .

plus général suivanttdémontre par des méthodes analytiques en étudiant lafonctionde Riemann.

~Le théorème 4sedémontre en utilisant la méthode du crible. A l’aide durésultat

suivant ~~3~~ Satz 4.4., chap. 2) :onpeut démontrer qu’il n ’y a pas "trop" de

à log

p, i

avec

donc beaucoup de

1ad,

i

A . Sionsupérieur àavaitd. >A log p. ,1d,iacecompris entre

log p, iet

qui ne peut pas avoir lieu.

(conjecture de P. ERDOS, qui a démontre le résultat pour(conjecture de P. ERDOS).

log p1constamment, il y aurait°

4. Quelques problèmes irrésolus.

De même :ak = 2).

G6-04
BIBLIOGRAPHIE[1]BOMBIERI (E.) and DAVENPORT (H.). - Small differences between
Proc. Royal Soc. London, Series A, t. 293, 1966, p. 1-18.

[2](A. E.). - The distribution of prime numbers . - Cambridge, at theUniversity Press, 1932 (Cambridge Tracts in Mathematics and mathematicalPhysics, 30).
PRACHAR (K.). - Primzahlverteilung. - Berlin, Göttingen, Heilelberg, SpringerVerlag, 1957 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 91).

[3]

[4]

prime numbers,

INGHAM

RANKIN(R. A.). - The difference between consecutive prime numbers, V, Proc.

Edinburgh math. Soc., t. 13, 1963, p. 331-332.