『基礎からの物理学』補充問題
この電子ファイルでは，系の設定や計算が無闇に煩わしいものは極力避け，読者の理解度の確認や理解の助けとなる基礎的な問題に限った。いくつかの簡単な数値問題も準備したので，それらの問題には電卓を片手に取り組んで頂きたい。なお，本問題集は必要に応じて更新していく予定である。

第 I 部【力学】
第1章

力学が対象とするもの

問題 1.1(a) 質点とは何かを説明せよ。
(b) 質点系とは何かを説明せよ。
(c) 剛体とは何かを説明せよ。

問題 1.2地球の半径は約 6,400km(= 6.4 × 106 m)，地球の公転半径は約 1 億 5000 万 km(= 1.5 × 101 1m) である。地球の半径と地球の公転半径の比を求めよ。

第2章

位置ベクトルと座標問題 2.1以下の量の次元（ディメンジョン）を答えよ。

(a) 面積(b) 体積(c) 密度(d) 速度1(e) 加速度

問題 2.2時刻 t において質点の位置が，2 次元極座標においてr=v(1)ϕ = ωt(2)で与えられる。ここで，v と ω は定数である。この質点の軌跡が，等間隔の渦巻き（アルキメデスの螺旋）であることを示しなさい。
問題 2.33 次元極座標での位置ベクトル r1 = (r1 sin θ1 cos ϕ1 , r1 sin θ1 sin ϕ1 , r1 cos θ1 )と r2 = (r2 sin θ2 cos ϕ2 , r2 sin θ2 sin ϕ2 , r2 cos θ2 ) とのなす角を ψ とするとき，cos ψ = sin θ1 sin θ2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + cos θ1 cos θ2(3)の関係が成り立つことを示せ（ヒント：r1 と r2 の内積の公式を用いよ）。

第3章

質点の運動学問題 3.1直線上を時速 80km で走行する車がある。この車にブレーキをかけると、5m/s2で減速するものとする。この車にブレーキをかけた後に，車は何 m 走行するか答えよ。
問題 3.2
車が発車して加速度 a で加速し，速度が vm になったところで加速を止め，しばらく vm で等速直線運動した。その後，加速度 −b で減速しながら停車した。
車が出発してから停車するまでの距離を L とし，以下の小問に答えよ。ただし，a, b, vm はいずれも正の定数であるとする。

(a) 車が出発してから停車するまでの時間 T を求めよ。
(b) T を最小にするための vm を求めよ。
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問題 3.3
半径 r = a(=一定) の円周上を運動する質点について考える。この質点の位置ベクトル r と速度 v = drが直交すること，すなわちdtr·v =0(4)であることを，r2 = r · r の両辺を時間 t で微分して示しなさい。
問題 3.4

1 分間に 1,000 回転する遠心機がある。遠心機の回転軸から半径 10cm の位置にある物体の中心方向の加速度（求心加速度）の大きさ ar を示しなさい。また，ar が重力加速度の大きさ g = 9.8m/s2 の何倍であるか求めよ。

第4章

質点の力学 〜ニュートンの運動法則〜

問題 4.1(a) 慣性系とは何かを説明せよ。
(b) 重さと質量の違いを説明せよ。
問題 4.2質量 m の質点に一定の力 F を加えたとき，時間 T の間に物体の速度が vi から vf に変化した。力 F を求めよ。
問題 4.3
速度 v0 で直進する質量 M のロケットが，質量 m の燃料を相対速度 u でロケットの後方に噴射して速度 v に変化した。燃料を噴射した後のロケットの速度 v を求めよ。
問題 4.4
質量 145g のボールが速度 110km/s で壁に垂直にぶつかり，弾性衝突して跳ね返った。質点が壁から受けた力積を求めよ。

3第5章

自然界の様々な力

問題 5.1
質量 1kg の 2 つの質点が距離 10cm だけ隔てて置かれている。これら 2 つの質点の間に働く万有引力の大きさを求めよ。
問題 5.2月の半径は地球の半径の 1/3.6 であり，月の質量は地球の質量の 1/81.3 である。これらの事実をもとに，月面上の重力 Fm と地球の重力 Fe の比 Fm /Fe を求めよ。

第6章

巨視的物体にはたらく力

問題 6.1
あらい水平面の上に質量 15kg の物体を置き，この物体に水平方向に力を加え，徐々に力を大きくしていく。静止摩擦係数を µ = 0.6，動摩擦係数を µ′ = 0.5として，以下の小問に答えよ。ただし，重力加速度の大きさを 9.8m/s2 とする。

(a) 力の大きさが F = 10N のときの静止摩擦力の大きさ R を求めよ。
(b) 最大摩擦力の大きさ Rmax を求めよ。
(c) 動摩擦力の大きさ R′ を求めよ。

問題 6.2
右図のように，ばね定数 k1 のばねとばね定数 k2 のk1ばねが並列につなぎ，ばね定数 k3 のばねを直列につないだ。この 3 つのばねの合成ばね定数を求めよ。

4k3k2

第7章

様々な力のもとでの質点の運動問題 7.1
初期位置 x = 0, 初速度 v = v0 で発射された質点が，荒い水平面上を直線運動している。この質点は初期位置から距離 L の位置で静止した。この質点と水平面の間の動摩擦係数 µ′ を求めよ。重力加速度の大きさを g とする。
問題 7.2
自然の長さ l0 のつる巻きばねを天井からぶら下げ，つる巻きばねの下端に質量 m の質点を取り付けたところ，つる巻きばねの長さは l になった。さらに，つる巻きばねを a だけ下方に伸ばして静かに手を離したところ，質点は単振動した。この質点の振動の周期 T をを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを g ，つる巻きばねの質量は質点の質量と比べて十分小さいものとする。
問題 7.3質量 m の質点を吊るした，ばね定数 k のつる巻きばねの上端 x0 を x0 =X cos Ωt で振動させる。このときの質点の変位を求めよ。

第8章

力学的エネルギーとその保存則

問題 8.1
以下に示す 2 つの力(a) F = (x2 − y 2 , xy) (b) F = (xy 2 , x2 y)を，xy 平面上の 2 つの経路(i) (0,0)→(1,0)→(1,1)(ii) (0,0)→(0,1)→(1,1)

で線積分することで，(a) と (b) の力が保存力であるか否かを調べよ。また，力が保存力の場合にはその力のポテンシャルエネルギーを求めよ。
問題 8.2質量の無視できるつる巻ばねを地面に垂直に取り付け，つる巻きばねの先端に質量の無視できる板を取り付けた。ある物体を板の上に静かに乗せると，つ5る巻きばねは a だけ縮んだ。この物体を板からの高さ h の位置から板の上に落下させるとつる巻きばねはどれだけ縮むか求めよ。
問題 8.3
質点に F = −kx + bx2 （k, b > 0）の力が働いている。以下の小問に答えよ。

(a) ポテンシャルエネルギー U (x) を求めよ。
(b) 平衡点を求め，その点が安定であるか不安定であるかを調べよ。

問題 8.4ロケットを地表から垂直に宇宙に向けて発射するときに，ロケットが地球の重力圏から脱出するために必要な速さ（第 2 宇宙速度）を求めよ。

第9章

角運動量とその保存則

問題 9.1
質量 m の質点が xy 平面上において，原点を中心に半径 a の円周上を一定の角速度 ω で反時計回りに円運動している。この質点の，原点のまわりでの角運動量と力のモーメントを求めよ。
問題 9.2xy 平面を運動する質点の角運動量の x 成分 Lx と y 成分 Ly はいずれもゼロであることを示せ。

第 10 章

非慣性系での物体の運動問題 10.1
なめらかな水平面上に，角度 θ の斜面台が置かれている。この斜面台を加速させ，斜面上に置かれた質量 m の質点を斜面上に静止させたい。質点を斜面上に静止させるための斜面台の加速度 a を求めよ。

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問題 10.2
慣性系である S 系において，質量 m の質点が，原点 O から半径 r の位置で静止している。この質点を，S 系に対して一定の角速度 ω で原点 O のまわりを反時計回りで回転している S ′ 系（回転座標系）から観測すると，質点の運動は S 系とは異なった見え方をする。S’ 系における質点の運動に関する以下の小問に答えよ。

(a) S’ 系からこの質点を観測したとき，この質点はどのような運動をしているか答えよ。

(b) S’ 系において，この質点に働くコリオリ力 Fコリオリ力 と遠心力 F遠心力 を求めよ。

(c) S’ 系において，この質点に働く慣性力 F慣性力 = Fコリオリ力 + F遠心力 を求めよ。

第 11 章質点系の力学問題 11.1

2 個の質点（質点 1 と質点 2）の運動について考える。質点 1 と質点 2 にはそれぞれ外力 F1 と F2 が働いている他に，質点 1 には質点 2 から F12 ，質点 1には質点 2 から F21 が働いている。また，F12 と F21 は，作用反作用の法則

F12 = F21 を満たすものとする。
(a) 重心 rG が満たす運動方程式を導け。
(b) 外力がない（F1 = F2 = 0）場合の，相対座標 r = r1 − r2 が満たす運動方程式を導け。

問題 11.2
なめらかな水平な床の上に質量 M ，長さ 2L の一様な板がある。この板の上の一端から他端まで質量 m の人が歩いたとき，この板はどれだけ後退するか求めよ。

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第 12 章剛体の力学問題 12.1
半径 a の円板の中心から距離 h の位置を固定軸とする実体振り子を微小振動させる。以下の小問に答えよ。

(a) この固定軸のまわりの慣性モーメント I を求めよ（ヒント：円板の中心2を通り，面に垂直な軸のまわりの慣性モーメントは M2a である）。

(b) この実体振り子の周期 T を求めよ。
(c) 周期 T を最小にする h を求めよ。

問題 12.2
質量 M ，半径 a のリングに関する以下の小問に答えよ。

(a) リングの中心を通り，リングの内側の面に垂直な軸のまわりの慣性モーメントを求めよ。

(b) リングの中心を通り，リングの内側の面に水平な軸のまわりの慣性モーメントを求めよ。

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第 II 部【熱力学】
第 13 章熱力学が対象とするもの問題 13.1(a) 熱力学が対象とする系がどのようなものか，簡潔に説明せよ。
(b) 均一な系とはどのような系か，簡潔に説明せよ。

第 14 章熱平衡状態と温度問題 14.1(a) 熱力学第 0 法則について，簡潔に説明せよ。
(b) 温度とは何か，簡潔に説明せよ。

問題 14.2
水平な床の上に横向きに置かれたシリンダーを，なめらかに動くことのできる質量 m のピストンでふたをし，その中に気体を閉じ込める。初期の状態において，シリンダー内の気体の温度を T0 であり，シリンダーの底からピストンまでの距離は L0 であった。大気圧を p0 ，重力加速度の大きさを g とし，以下の小問に答えよ。

(a) 気体の温度を T1 にしたとき，容器の底からピストンまでの距離 L1 を求めよ。

(b) 気体を初期の状態に戻し，温度を一定に保ちながら，ピストンが上になるようにシリンダを縦にしたした。このとき，容器の底からピストンまでの距離 L2 を求めよ。

9問題 14.3

1 モルのファン・デル・ワールス気体の状態方程式（ファン・デル・ワールスの状態方程式）は(p−a)(v − b) = RTv2(5)によって与えられる（教科書の (14.16) 式）。ここで，a, b は気体の種類に関係する定数であり，ファン・デル・ワールス定数とよばれる。以下の表に与えられる様々な気体分子のファン・デル・ワールス定数 a, b の値を用いて，aT = 273K での各気体分子の第 2 ビリアル係数 B = b − RTと第 3 ビリアル係数 C = b2 の値を求めよ。ここで，気体定数は，R = 8.31 J/(K mol) である。
表 1: 様々な分子のファン・デル・ワールス定数 a, b分子
HeH2a (Pa m6 /mol2 )3.45 × 10− 324.8 × 10− 3

第 15 章b (m3 /mol)
23.8 × 10− 626.7 × 10− 6分子
O2CO2a (Pa m6 /mol2 ) b (m3 /mol)
138 × 10−331.9 × 10− 6365 × 10− 342.8 × 10− 6気体の分子運動論

問題 15.1

N 個の 2 原子分子からなる理想気体の内部エネルギーに関する以下の小問に答えよ。

(a) 低温において，2 原子分子を構成する 2 つの原子の間の距離は一定である。このときの気体の内部エネルギーを求めよ。

(b) 温度が高くなると，2 原子分子を構成する 2 つの原子の間の距離は伸び縮みする（伸縮振動する）。このときの気体の内部エネルギーを求めよ。

第 16 章熱力学第 1 法則

問題 16.1

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(a) 内部エネルギーと熱の違いについて簡潔に説明せよ。
(b) 準静的変化と可逆変化について簡潔に説明せよ。
問題 16.2
断熱材で覆われた容器の中に質量 mg，温度 tK の水が入っている。この水に，
質量 M g，温度 T (> t) の物質を溶かしたところ，水の温度が T ′ (< T ) となり，熱平衡状態に達した。混入した物質の比熱 c（1g あたりの熱容量）を求めよ。
ただし、水の比熱は 4.2 J/(g K) であるものとする。

第 17 章熱力学第 2 法則

問題 17.1
熱容量 C の物体の温度を Ti から Tf へ準静的に上昇させた。このとき，物体のエントロピーの増加量 ∆S を求めよ。
問題 17.2

1 mol の理想気体が，初期の状態において温度 20 ℃，圧力 1 atm であった。
この状態から気体を等温圧縮し，圧力を 2 atm に変化させた。この変化の前後でのエントロピーの変化分を計算せよ。
問題 17.3
低温での定積熱容量 CV が，温度 T に対してCV = aT 3

(6)のように振る舞う固体（デバイ模型）に関して，以下の小問に答えよ。ただし，a は正の定数とする。

(a) 温度 T における，この固体の内部エネルギー U (T ) を求めよ。ただし，U (0) = 0 とする。
(b) 温度 T における，この固体のエントロピー S(T ) を求めよ。ただし，S(0) =0 とする。
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第 III 部【電磁気学】
第 18 章電磁気学が対象とするもの

問題 18.1(a) 遠隔作用と近接作用について簡潔に説明せよ。
(b) 電磁気学は何を対象とする学問であるかについて、力学と対比ながら簡潔に説明せよ。

第 19 章

静電場

問題 19.1

x 軸上の x = d（A 点）と x = −d（B 点）の位置に，それぞれ電荷線密度 σと −σ に帯電した直線電荷が z 軸に沿って存在する。y 軸上の P 点 (0, y, 0) での電場 E を求めよ。
問題 19.2
極板間の間隔が d = 1.0mm の平行平板コンデンサに V = 50V の電圧を印加した。なお，コンデンサーの極板間は真空であり，真空の誘電率は ϵ0 =8.854 × 10−12 s4 A2 /(m3 kg) である。以下の小問に答えよ。
(a) 極板間の電場の大きさを求めよ。
(b) このコンデンサーに蓄えられた電場のエネルギー密度を求めよ。

第 20 章

静磁場問題 20.1
無限に長い直線状の導線に I = 10A の電流が流れている。導線から距離 R =10cm の位置での磁束密度の大きさを求めよ。

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問題 20.2
半径 R = 5cm の円形の導線に I = 10A の電流が流れている。円の中心での磁束密度の大きさを求めよ。
問題 20.3
長さ 1m あたり n = 4000 回導線を巻いたソレノイドコイルに，I = 5.0A の電流を流した。なお，コイルのコイルの内側は真空であり，真空の透磁率はµ0 = 4π × 10−7 m kg/(s2 A2 ) である。以下の小問に答えよ。
(a) コイルの内側領域の磁束密度の大きさを求めよ。
(b) コイルに蓄えられた磁束密度のエネルギー密度を求めよ。

第 21 章電磁誘導問題 21.1
一辺の長さが a の長方形のコイルの面を、大きさ B の磁束密度が垂直に貫いている。以下の小問に答えよ。

(a) コイルの面を貫く磁束 Φ を求めよ。
(b) 磁束密度の大きさが，B = B0 t（B0 は定数，t は時間）のように変化するとき，コイルに発生する誘導起電力 V を求めよ。
問題 21.2
電気抵抗 R の抵抗器，自己インダクタンス L のコイル，電圧 V の電池，ならびにスイッチが直列につながれた RL 直列回路がある。この回路を流れる電流に関する以下の小問に答えよ。

(a) 時刻 t = 0 において，この回路のスイッチをオンにしたところ電流 I が流れ始めた。t ≥ 0 での電流 I を求めよ。

(b) スイッチを入れた直後（t ≪ L/R）の電流の振る舞いと，スイッチを入れて十分に時間が経過した後（t ≫ L/R）の電流の振る舞いについて説明せよ。

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第 22 章マクスウェルの変位電流の法則

問題 22. 1
半径 a の円板が 2 枚あり，それらを極板とする平行平板コンデンサーについて考える。なお，円板は非常に大きく，端の効果は無視できるものとする。また，極板間の領域は真空であるものとし，以下の小問に答えよ。

(a) コンデンサーの極板につながれた導線に電流 I が流れているとき，電極間の変位電流密度を求めよ。

(b) 上問 (a) の状況において，極板間の変位電流が作る磁束密度を求めよ。

第 23 章マクスウェル方程式と電磁場問題 23. 1
地球大気表面の単位面積に垂直に入射するポインティングベクトルは，⟨S⟩ ≈1.37 × 103 W/m2 （太陽定数）である。電場の振幅 E0 と磁束密度の振幅 B0を計算せよ。

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