光線追跡ともつれた光の生成
便利な公式
()()

(⃗× B
⃗ ×C
⃗ =B
⃗ A
⃗·C
⃗ −C
⃗ A
⃗·B
⃗
A)

はじめに

⃗ を電場, H⃗ を磁場, D⃗ を電束密度, B⃗ を磁束密度とする. 電束密度は D⃗ = ϵ0 E⃗ + P⃗ で与E⃗ は媒質の分極, ϵ0 は真空の誘電率である.
えられ, P⃗ = µ0 H⃗ であり, µ0 は真空の透磁率であこの問題では非磁性の誘電体のみを考えるので B
⃗ ·D
⃗ +H
⃗ · B)⃗ とポる. 電磁場のエネルギー密度とエネルギー流密度はそれぞれ, uem = 21 (E⃗=E⃗ ×H⃗ で与えられる.
インティングのベクトル S
均質な誘電体中では, 単色の平面波の光はその角振動数 ω と波数ベクトル ⃗k で記述される.
⃗ = ωB⃗ および ⃗k × H⃗ = −ω D⃗ が得られる. このような波
マクスウェルの方程式により ⃗k × E⃗ および B
⃗ の位置 ⃗r と時間 t に対する依存性は位相 (⃗k · ⃗r − ωt) の正弦関数で与えの場合 Dられる.

Part A. 等方的な誘電体における光の伝搬（1.0 点）⃗ = χϵ0 E⃗ ,D⃗ = ϵE⃗ と表される. χ 及び ϵ = ϵ0 (1 + χ) はそれぞれ媒媒質が等方的な場合 P質の電気感受率及び誘電率である. このような媒質中の角振動数 ω の光波は, ⃗k 方向に速度( 位相速度と呼ばれる) vp = c/n で伝搬する. ここで, c は真空中の光速, n は媒質の屈折率である. また光線を使って光の波の列を表すこともできる. 光線の伝搬は, 電磁場エネル
ギー流れの方向と速度 vr によって特徴づけられる.
均質で等方的な誘電体の中を伝播する角振動数 ω と波動ベクトル ⃗k 平面波光を考えよう.

A.1

位相速度 vp を ϵ と µ0 で表せ。

0.4 点

A.2

光波に対する誘電媒質の屈折率 n はどのようなものか。

0.2 点

A.3

⃗ と速度 vr を求めよ。
電磁波のエネルギーの流れの方向 Ŝ ≡ S/S

0.4 点

Part B. 一軸性誘電体媒体中の光の伝搬（4.8 点)

1

ここでは，誘電体媒体が一軸性であると仮定する。すなわち，媒体中に固定された特別な方向，光軸と呼ばれる方向に沿って，電気的に異方性であるとするが，現在はこれを z 方向
⃗ と電場 E
⃗ は，Dx = ϵEx , Dy = ϵEy , と Dz = ϵ′ Ez のとする。このような場合，電束密度 D関係にあり， x, y, z 軸は相互に直交している。その結果，光波の位相速度は異方的であり，⃗k と D⃗ の方向にも依存することになる。 no = c√µ0 ϵ と ne = c√µ0 ϵ′ として， 以下 B.1,B.2, B.3 の質問に答えよ.

B.1 単色の平面光波の波動ベクトル ⃗k が， xz 平面上で ⃗k = k(sin θ, 0, cos θ) のよう⃗ とB⃗ はどの方向が許されるになっているとしよう。各角度 θ において，光波に対して Dか？ 可能なすべての屈折率を求め，その屈折率を θ, no , ne で表せ。屈折率の値が 1 つしか許されない角度 θ を求めよ。
1.5 点⃗ の方向）は， xz 平面に対して垂直な場合と平行な場合
B.2 光の波の偏光（電場 Eがある。 B.1 で見つけた光の波について，その偏光を単位ベクトルで表し，それが通常の⃗ とD⃗ の間の角度波であるか異常な波であるかを示せ。また， tan α を計算せよ。α は E⃗ から D⃗ に時計回りの角を正とする。
である。ただし，α は E
0.8 点

B.3 B.1 と B.2 の結果を， ⃗k と z 方向との角度は θ のままで，しかし ⃗k が xz 平面上にない場合の一般的なケースに拡張する。屈折率のすべての可能な値と，それに対応する偏光を求めよ。
0.6 点
一軸性の媒体では，光波の方向 ⃗k と光線の方向が異なる場合がある。 光波の位相速度は，c/n で与えられる。n は ⃗k に沿った屈折率であり, 一方，光線の速度は，エネルギーの流れの方向と速度によって共同で定義される。

B.4 問題 B.1-3 に続いて，⃗k = k(sin θ, 0, cos θ) の光の波を考える。 k̂ ≡ ⃗k/k と光線の方向 Ŝ とのなす角を αr とする (αr は，Ŝ から k̂ へ 時計回りに進むときを正とする）。このとき， tan αr , 光の速さ vr ，Ŝ をすべて求めよ。 これらの結果を用いて，光線の屈折率
ns = c/vr を Ŝ, x̂, ẑ, no , ne で表せ。
0.8 点
図 1 のように，1 と書かれた等方性媒質と 2 と書かれた異方性媒質の界面を A から B へ光線が伝わっていくことを考えよう。界面は yz 平面と一致しており，入射面は xz 平面である。入射の角度を θ1 としよう。媒質 1 の屈折率は n, であり，媒質 2 の軸 z2 , y2 , x2 に対する屈折率はそれぞれ ne , no , no である。ここで， y2 軸は y 軸と一致する。フェルマーの原理とは，光線が A から B に向かう経路の伝搬時間が最小になるというものである。xz 平面に平行な偏光を持ち，角度 θ1 で入射する光に対して，フェルマーの原理は次の式を導く。

Ā(tan θ2 )2 + B̄ tan θ2 + C̄ = 02(1)図 1: 等方性媒質 1 と異方性媒質 2 の界面を通る A から B への光の伝播。

B.5 Ā, B̄, と C̄ を P1 , P2 , P3 , と n sin θ1 で表せ。ここで，P1 = n2o cos2 ϕ + n2e sin2 ϕ,
P2 = n2o sin2 ϕ + n2e cos2 ϕ, P3 = (n2o − n2e ) sin ϕ cos ϕ. 式 (1) から, 対応する tan θ2 を２つの特別な方向 ϕ = 0 と ϕ = π/2 のときに求めよ。
1.1 点Part C. 光のもつれ（エンタングルメント）(4.2 points)⃗ は以下のような式により，分極ベクトル P⃗ と関係つけ非線形な媒質のなかでは，電場 Eられる。
∑ ∑ (2)
Pi = (ϵ − ϵ0 )Ei +χijk Ej Ek
jk(2)

ここで，i,j,k はそれぞれ３つの座標成分 x,y,z を任意にとり，χijk は媒質の非線形な二次の(2)分極の様子を表す定数である。χijk が 0 でないということは光波が非線形な媒質中を伝わるにつれて，２つの光波に分かれる可能性があることを示唆している。
(2)
今，χijk は全て０でないと仮定していると考えると，媒質中の電場は，それぞれ波数ベクトル ⃗k, ⃗k1 , ⃗k2 で伝播する，角周波数 ω, ω1 , ω2 の３つの平面波の重ね合わせで構成される。
ω ≥ ω2 及び ω1 ≥ ω2 と仮定する。

C.1 これらの角周波数と波数ベクトルとの間に成り立つ関係で，あり得るもの（位相整合の条件）を全て求めよ。光を光子で構成されたものと考えると，これらの条件は３つの光子に関する何の保存則を意味するか？
角周波数 ω ，波数ベクトル ⃗k ，を持つ１つの光子が角周波数 ω1 ，ω2 及び波数ベクトル⃗k1 ，⃗k2 で伝播する２つの光子に分かれたばあいのこの保存則を表す方程式を書き下せ。
0.8 点3

図 2: (a) ベクトル ⃗kα は， ⃗kα⊥ を x′ y ′ 平面への射影として， x′ y ′ z ′ 座標系で角座標 (ψα , ϕα ) をもつ。なお， ⃗kα は OA と角度 θα をなしている。(b) e 線の非共線的な分裂により，e ＋ o 線が 2 つの円錐形になる。直線 ab は y ′ 軸に平行である。

C.2 一軸性媒体の中の光波を考える。通常光線を o で，異常光線を e で書き表す。この時，以下の８つの可能な光波の分裂の仕方が考えられる。
o → o + o ， o → e + o ， o → o + e ， o → e + e，e → o + o ， e → e + o， e → o + e ， e → e + e
屈折率 no ,ne が共に ω の単調増加関数と仮定する。波数ベクトルに関して，問題 C1 と同じ記号を用い，⃗k ，⃗k1 ，⃗k2 が同じ方向を向いている（共線的な）場合を考え，8 通りの分裂の仕方のうち，どの方法がありえないかを指摘せよ。
0.8 点
屈折率 ne < no の一軸性媒体中を波数ベクトル ⃗k と ω = Ωp をもって z ′ 方向に進む異常光線 (e 線）が入射した。同一直線上での e → e + o という分裂において, k1 = Ke , ω1 = Ωe ,k2 = Ko , ， ω2 = Ωo という位相整合条件が実現されたとする。 ここで，添え字 1 と 2 は異常光線 e 線おおび通常光線 o 線を表している。また，⃗k1 , ⃗k2 と ⃗k はいずれも z ′ 方向を向いている。図 2（a）に示すように，媒質の光軸（OA）は， x′ z ′ 平面にあり， z ′ 軸と角度
θ < π/2 をなす。したがって， ne は ω と θ の関数，すなわち，ne = ne (ω, θ) となる。波動ベクトル ⃗k と ω = Ωp をもつ同じ入射異常光線 e が，非共線的な e + o 光線に分裂し，後者の２つの光線が，図 2(b) で示すように，ω1 = ω2 = Ω, k1 = k2 の２つの円錐上に残るとする。なお，非共線的な分裂では ，Ωe は既に Ωo に近く，また，Ω は Ωe よりもわずかに小さいだけである。⃗k に垂直な平面では， ⃗k1 と ⃗k2 の円錐上の 2 つの円は， y ′ 軸に平行な直線ab と点 a，b で交差する。図 2(a) に示すように， ⃗kα (α = 1, 2 ) は，光軸に対して 角度 θα をなし，x′ y ′ 平面への射影である ⃗kα⊥ とともに角度座標 (ψα , ϕα ) をもつ。各ベクトル ⃗kα は z ′軸からわずかにずれており，|(Ω − Ωe )/Ωe | ≪ 1, |⃗kα⊥ |/kα ≪ 1，|θα − θ| ≪ 1 である。⃗kα2の項まで，角度 θα を次数 (θα − θ)2 の項まで考えるという近似を用いの z ′ 成分を次数 kα⊥ると，⃗k2⊥ = (qx′ , qy′ ) は M (qx′ + N )2 + M qy2′ = L を満す必要があることがわかる。

4図 3: a と b を通過する光子の同時計数測定のための 2 枚の直線偏光子 1 と 2。

C.3

M > 0 としよう。M , N , L を Ω, Ωe , Ωo , Ke , Ko およびNe (ω, θ) =dne (ω, θ)
1ne (ω, θ)dθdω2dω1と ue =を用いて表せ。
dk2dk1円錐の軸と z ′ 軸の間のなす角，及び，コーンの角度を M , N , L, Ko を用いて概算せよ。
1.3 点と，o 線と e 線の群速度 uo =問題 C.3 では，光子が 2 つの光子に分裂して，点 a と点 b を通過したときに垂直な方向に偏光した 2 つの光子に分かれることがあることを示している。このような 2 つの光子をもつれた光子 ( entangled photon pair） と呼ぶ。a を通過する光子 ( a 光子) は x̂′ 方向に偏光し,b を通過するもう一方の光子 ( b 光子) は ŷ ′ ⊥ x̂′ の方向に偏ることになり, もし a 光子 が ŷ ′に偏光すれば, b 光子 は x̂′ に偏光することになる。もつれた光子対の状態は実験的に準備できる。これは上記の２つの状態の重ね合わせであり，

1√ (|x̂′a ⟩|ŷb′ ⟩ + |ŷa′ ⟩|x̂′b ⟩)2と表すことができる. ここで， |x̂′a ⟩|ŷb′ ⟩ は a 光子 が x̂′ 方向に，b 光子 が ŷ ′ 方向に偏極して√いる。|ŷa′ ⟩|x̂′b ⟩ にも同様の定義が適用される. 係数 1/ 2 は， a 光子 と b 光子の電場の振幅（適切な単位で表される）の積とみなすことができる。図 3 に示すように， 2 つの直線偏光子1 と 2 は， 角度 α と β で表すことができる伝送軸を持っている。これらを使って a と b を通過する 2 つの光子の同時計数測定を行うことができる。偏光子 1 と 2 を通過する 2 つの光子が同時に見つかる確率を P (α, β) とする。これはまた， P (α, β) は 2 つの偏光子を通過した光の（適切な重ね合わせ後の）強度の積に比例しているとみなすこともできる。α + π/2と β + π/2 を α⊥ と β⊥ で表す。

5C.4 直線偏光子によって投影される全電場を考える。 確率 P (α, β), P (α, β⊥ ),P (α⊥ , β), P (α⊥ , β⊥ ) を求めよ。
0.8 点

C.5 偏光子 1 が角度 α で a 光子を発見した場合， σa = 1 を， 偏光子 1 が角度 α⊥ でa 光子を発見した場合， σa = −1 を，それぞれ割り当てる。同様に，偏光子 2 が 角度 β ま
たは β⊥ で b 光子を発見した場合， σβ = 1 または −1 を割り当てる。E(α, β) が σa σb の平均を表すとすると, 量
S = |E(α, β) − E(α, β ′ )| + |E(α′ , β) − E(α′ , β ′ )|は重要な意味を持つ。古典的な光の理論では， S ≤ 2 である。これはベルの不等式の変形版（クラウザー・ホーン・シモン・ホルトの不等式）である。

α=π4π
α′ = 0, β = − ,8β′ =π8の場合の S の表式を求め，S の数値を計算せよ。S が古典的な理論と一致するかどうか答えよ。
0.5 点6