ワイル方程式

ワイル方程式を求めて、それのヘリシティを求めます。ワイル方程式とニュートリノは関連していますが、その話は最後に簡単に触れるだけにします。
3 次元の内積 Σai bi を ai bi と書いています。
ディラック方程式(iℏ∂+ iℏα · ∇ − βmc)ψ = 0∂x0での質量 m を 0 とした方程式iℏ(∂+ α · ∇)ψ = 0∂x0

これをワイル方程式 (Weyl equation) と呼びます。ハミルトニアン演算子と運動量演算子

Ĥ = iℏ∂, p̂ = −iℏ∇∂tを使えばĤψ = cα · p̂ψとなります。
行列 αi (i = 1, 2, 3) はαi αj + αj αi = 2δijを満たし、ディラック方程式では 4 × 4 行列の必要があります。しかし、今は β がいないために、4 × 4 も必要な
く 2 × 2 で十分になります。実際に、2 × 2 行列であるパウリ行列 σi はσi σj + σj σi = 2δijとして、同じ関係を持っています。なので、αi を σi に置き換えて、スピノールを 2 成分とします。
ただし、αi αj + αj αi なので、αi は αi = σi もしくは αi = −σi と選べるために、２つの独立な方程式が作れます。2 成分スピノールを ψ1 , ψ2 として、αi = −σi では∂
ψ1 = iℏσ · ∇ψ1∂x0(1a)∂ψ2 = −iℏσ · ∇ψ2∂x0(1b)iℏ

αi = σi ではiℏこれらの左辺はハミルトニアン演算子、右辺はヘリシティ演算子

1ĥ =σ · p̂|p|となっています。
(1a) の解を求めます。「ディラック方程式の解〜別解〜」と同じように

ψ1 (x) = u1 (p)e−ipx/ℏ = u1 (p)e−i(p0 x0 −p·x)/ℏ
として、(1a) に入れれば

p0 u1 = −σ · pu1
σ · p/|p| を両辺にかければ
σ·pσ·pp0 u1 = −σ · pu1|p||p|1p0
σ · pu1 = −(σ · p)(σ · p)u1|p||p|−1 2
p20
u1 = −p u1|p||p|p20 u1 = p2 u1(p20 − p2 )u1 = 0
よって、

p0 = ±|p|となり、正エネルギー p0 = +|p| と負エネルギー p0 = −|p| が出てきます。p0 = +|p| では|p|u1 = − (σ · p)u1
σ·pu1 = − u1|p|ψ1 (x) に戻せば
σ·p
ψ1 (x) = −ψ1 (x)|p|
左辺はヘリシティ演算子なので、正エネルギーでの ψ1 のヘリシティは −1 です。p0 = −|p| では負エネルギーなので運動量も反転させて

u1 (p)e−i(p0 x0 −p·x)/ℏ = u1 (−p)e−i(−|p0 |x0 +p·x)/ℏ = u1 (−p)ei(|p0 |x0 −p·x)/ℏ = u1 (−p)eipx/ℏとすれば

2

−|p|u1 (−p) = − σ · (−p)u1 (−p)σ · (−p)u1 (−p) = + u1 (−p)|p|空孔理論の考えから、これはエネルギー |p0 |、運動量 p、ヘリシティ+1(スピンも反転させるためにヘリシティは変化しない) を持つ反粒子となります。
ψ2 では σ · p の符号が反転するだけなので、正エネルギーに対しては +1 のヘリシティー、負エネルギーに対しては −1 のヘリシティーを持ちます (ヘリシティ+1 の粒子、−1 の反粒子)。このように、ψ1 と ψ2 では正負のエネルギーに対するヘリシティが反転します。
ヘリシティ+1 のことを右巻き (右手系)、−1 のことを左巻き (左手系) と呼びます。これはスピン +1/2 を左回転に対応させると、ヘリシティ+1 では運動量の方向に右手の親指を向けるとスピンの回転方向が手を握る向きになるためです。−1 では運動量を反転させる (もしくはスピンを反転させる) ので左手での場合になります。
ディラック方程式が 2 × 2 行列のパウリ行列で書けることから、2 成分スピノールに対するワイル方程式を作りましたが、今度は 4 成分スピノールからワイル方程式を出します。そのために、αi , β の行列をディラック・パウリ表現ではなく(αi =−σi0(0iγ =β , γ =0σi0−σi)(, β=σi00I2)

I20(5, γ =)−I200I2)とします。I2 は 2 × 2 単位行列、γ5 は γ 5 = γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 です。この場合をワイル表現もしくはカイラル (chiral)表現と呼びます。これは αi と β の関係

αi αj + αj αi = 2δij , αi β + βαi = 0 , αi2 = β 2 = 1を満たします。実際に、αi αj + αj αi = 2δij は(αi αj + αj αi =(=−σi0σi σj0= 2δij)(−σj 00σj) (0σj σi+σi σj00σi)(+0σj σi−σj0)0σj)()(−σi00σi)(σi σj + σj σi = 2δij )αi β + βαi = 0 は(αi β + βαi =−σi00σi)(0I2I20)(+0I2I20)(−σi0αi2 = β 2 = 1 は σi2 = I2 からすぐに分かります。
この表現によって、ディラック方程式は(ψ=として3ψ1ψ2)0σi=0σi−σi0)(+0−σiσi0)=0((iℏγ ∂µ − mc)ψ = (iℏγ ∂µ − mc)µµ= iℏ 0∂∂x0ψ1ψ2)∂(0∂x0 +iℏ−σ · ∇0σ·∇0)(

ψ1ψ2)(− mcI200I2)(ψ1ψ2)

∂−mciℏ( 0 + σ · ∇)  ( ψ1 )
∂x=  ψ∂
2−mciℏ( 0 − σ · ∇)∂x
上成分と下成分に分けて取り出すと(iℏ∂− iℏσ · ∇)ψ1 = mcψ2∂x0(iℏ∂+ iℏσ · ∇)ψ2 = mcψ1∂x0

見て分かるように、質量項で ψ1 と ψ2 が混ざっています。このため質量を 0 にすれば、混ざらない 2 つの式になり(iℏ∂− iℏσ · ∇)ψ1 = 0∂x0(iℏ∂+ iℏσ · ∇)ψ2 = 0∂x0(1a),(1b) と一致します。
ψ1 , ψ2 は 2 成分なので 4 成分とするために(ψ = ψL + ψR , ψL =ψ10)(, ψR =0ψ2)

このようにすると(γ5 ψL =−I200I2)(

ψ10)(=−ψ10)= −ψL

γ5 ψR = +ψLψL , ψR は γ5 の固有関数で、固有値は −1, +1 です。γ5 の固有値をカイラリティ(chirality) と言い、このときも +1
では右巻き、−1 では左巻きと言います。これは正エネルギー状態において ψ1 のヘリシティは −1、ψ2 のヘリシ
ティは +1 になることに対応します。それを示します。
ψ から ψL , ψR を取り出す射影演算子を
PR =11(1 + γ 5 ) , PL = (1 − γ 5 )22と与えられます。実際に、これらを ψ に作用させれば((()
11ψ1I2 + I25PL ψ = PL
= (1 − γ )=ψ0222()() ()10 0
ψ10=PR ψ == ψR0 2I2ψ2ψ22ψ1ψ2)

40I2 − I2)(=ψ10)= ψL

として、ψL , ψR を取り出します。ψR は

ψR = (PR ψ)† γ 0 = ψ † PR† γ 0 = ψ †1 + γ5 0γ2= ψ† γ 0=ψ

1 − γ52(γ 0 γ 5 = −γ 5 γ 0 )1 − γ52= ψPL同様に ψL は

ψL = (PL ψ)† γ 0 = ψ † PL† γ 0 = ψ †1 − γ5 0γ
2= ψ† γ 0=ψ

1 + γ52

1 + γ52= ψPR
また、PL , PR は、(γ 5 )2 = 1 から

PR2 =

11(1 + γ 5 )(1 + γ 5 ) = (2 + 2γ 5 ) = PR
44PL2 =

11(1 − γ 5 )(1 − γ 5 ) = (2 − 2γ 5 ) = PL
44PR PL =11(1 + γ 5 )(1 − γ 5 ) = (1 − 1) = 044

PR + PL =11(1 + γ 5 ) + (1 − γ 5 ) = 122となっています。
ワイル表現で行いましたが、ψ はガンマ行列の表現とは無関係にψ=

11(1 − γ5 )ψ + (1 + γ5 )ψ = PL ψ + PR ψ = ψL + ψR22とできます。そして、ψL , ψR のカイラリティも表現とは無関係に

γ5 ψL =

1
1γ5 (1 − γ5 )ψ = − (1 − γ5 )ψ = −ψL22γ5 ψR =

1γ5 (1 + γ5 )ψ = +ψR2となります。
ワイル方程式において、ヘリシティ演算子とカイラリティ演算子が同じになることを見ておきます。ガンマ行列を使ったワイル方程式は

5iℏγ µ ∂µ ψ(x) = 0
これに γ5 γ0 を左からかけてiℏ(γ5 ∂0 + γ5 γ0 γ · ∇)ψ(x) = 0
γ5 γ0 γ は(γ5 γ0 γ i =−I200I2)(

0I2I20)(0−σiσi0)(=σi00σi)= Σiと書けるので、正エネルギー |p| とすれば−iℏΣ · ∇ψ(x) = iℏγ5 ∂0 ψ(x)(Σ = Σi )Σ · p̂ψ(x) = γ5 p0 ψ(x)
Σ · p̂
ψ(x) = γ5 ψ(x)|p|
左辺は 4 × 4 単位行列を I4 とすれば

σ · p̂
Σ · p̂
=I4|p||p|なので、ヘリシティ演算子です。このため、ワイル方程式の解 ψ(x) に対してヘリシティ演算子とカイラリティ演算子は同じです。よって、カイラリティ演算子の固有関数 ψR , ψL では

Σ · p̂
Σ · p̂
ψL = −ψL ,ψR (x) = ψR|p||p|となり、ヘリシティ演算子での左巻き、右巻きと一致します。
ディラック・パウリ表現でも同様になることを見ていきます。同じ手順で求められますが、最初と同じようにして求めます。
質量を 0 にしたディラック方程式にψ(x) = u(p)e−ipx/ℏを入れて、正エネルギーとすれば|p|u = α · pu
ディラック・パウリ表現として(αi =0σiσi0)(, γ5 =60I2I20)

αi は(αi =0σiσi0)(=σi00σi)(0I2I20)(=0I2I20)(σi0これを使って|p|u = (Σ · p)γ5 uu=(γ5 Σi = Σi γ5 )Σ·p
γ5 u|p|

ヘリシティ演算子 ĥ に 4 × 4 単位行列をかけて 4 × 4 行列にして作用させれば

ĥu = hĥu =Σ·pγ5 u|p|(σ · p)(Σ · p)
γ5 u
|p|2

右辺は((σ · p)(Σ · p) =σi0)0σi(piσj00σj()pj)
σi σj0=pi pj
0σi σj()
1σi σj + σj σi0pi pj=0
σi σj + σj σi2()
δij 0
=
pi pj
0 δij
= p2
なのでĥu = γ5 u
ψL , ψR は PL , PR によって表現とは無関係に作れるので
ĥu = γ5 u11(1 + γ5 )ĥu = (1 + γ5 )γ5 u
2211ĥ(1 + γ5 )u = (1 + γ5 )u22ĥPR u = PR uĥuR = uR70σi)
= γ 5 Σiĥ は単位行列に係数がついているだけなので γ5 と交換します。このように、正エネルギーでの uR のヘリシティは +1 で、ĥuR = γ5 uR です。1 − γ5 に変えれば
ĥu = γ5 u11(1 − γ5 )ĥu = (1 − γ5 )γ5 u
2211ĥ(1 − γ5 )u = − (1 − γ5 )u22ĥPL u = − PL uĥuL = − uLとなるので、正エネルギーでの uL のヘリシティは −1 で、ĥuL = γ5 uL です。このように、同じ結果になります。
最後にここで見てきたものが何を記述するのか簡単に言っておきます。ワイル方程式は元がディラック方程式なので、質量が 0 のスピン 1/2 のフェルミオンを記述します。そのような粒子はニュートリノ (neutrino) です (ただし、現在ではニュートリノは質量を持つことが確定されている)。というわけで、左巻き、右巻きで言えば、左巻きのニュートリノ νL と右巻きの反ニュートリノ ν R 、右巻きのニュートリノ νR と左巻きの反ニュートリノ ν L を記述します。しかし、現実にはニュートリノは左巻きニュートリノ νL と右巻き反ニュートリノ ν R のみが観測されており、他の２つの存在は示されていません。これは、弱い相互作用と呼ばれる相互作用での特徴となっています。また、ニュートリノは弱い相互作用にしか関わってきません。

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