ディラック場〜伝播関数〜

ディラック場の伝播関数を定義します。
ここでも「クライン・ゴルドン場〜伝播関数〜」と同じように遅延グリーン関数を出しています。

最初に「ディラック場」では雑に扱った規格化による係数をはっきりさせておきます。ディラック場を

∫2
∑
d3 p
N
(as (p)us (p)e−ipx + bs† (p)v s (p)eipx )p(2π)3s=1

ψ(x) =

†

∫

2
∑
d3 p
N(as† (p)us† (p)eipx + bs (p)v s† (p)e−ipx )p(2π)3s=1

ψ (x) =

(p0 = Ep =√p2 + m 2 )規格化を Np としています。これによる同時刻反交換関係を求めます。ψ(x, t)ψ † (y, t) は∫

ψa (x, t)ψb† (y, t) =∫d3 p(2π)32∑d3 qNN
p q(2π)3s,r=1iqy
× (as (p)usa (p)e−ipx + bs† (p)vas (p)eipx )(ar† (q)ur†+ br (q)vbr† (q)e−iqy )b (q)e∫∫d3 p(2π)3=2∑d3 q
NNpq(2π)3s,r=1−ipx iqy
ipx iqy× (as (p)ar† (q)usa (p)ur†
e + bs† (p)ar† (q)vas (p)ur†
eb (q)eb (q)e+ as (p)br (q)usa (p)vbr† (q)e−ipx e−iqy + bs† (p)br (q)vas (p)vbr† (q)eipx e−iqy )下付きの a, b はスピノール成分を表し、iqy での y0 は t です。ψ † (y, t)ψ(x, t) はψ † (y, t)ψ(x, t) =∫d3 p(2π)3

∫2
∑d3 q
NN
pq(2π)3s,r=1−ipx iqy
ipx iqy× (ar† (q)as (p)usa (p)ur†
e + ar† (q)bs† (p)vas (p)ur†
eb (q)eb (q)e+ br (q)as (p)usa (p)vbr† (q)e−ipx e−iqy + br (q)bs† (p)vas (p)vbr† (q)eipx e−iqy )これらによる反交換関係は{ψa (x, t), ψb† (y, t)} =∫d3 p(2π)3∫2∑d3 qNN
pq(2π)3s,r=1−ipx iqyipx iqy
× ({as (p), ar† (q)}usa (p)ur†
e + {bs† (p), ar† (q)}vas (p)ur†
eb (q)eb (q)e+ {as (p), br (q)}usa (p)vbr† (q)e−ipx e−iqy + {bs† (p), br (q)}vas (p)vbr† (q)eipx e−iqy )1これが{ψa (x, t), ψb† (y, t)} = δ 3 (x − y)δabとなればいいので{as (p), ar† (q)} = (2π)3 δ 3 (p − q)δ sr , {bs (p), br† (q)} = (2π)3 δ 3 (p − q)δ sr{as (p), br (q)} = {as† (p), br† (q)} = 0と与えます。また、他の反交換関係は ψ 同士と ψ † 同士での同時刻反交換関係から 0 になります。これらによって{ψa (x, t), ψb† (y, t)} =∫d3 p(2π)3∫2∑d3 qNNp q(2π)3s,r=1−ipx iqy
× ((2π)3 δ 3 (p − q)δ sr usa (p)ur†e + (2π)3 δ 3 (p − q)δ sr vas (p)vbr† (q)eipx e−iqy )b (q)e∫=∫=∫=d3 p 2 s−ip0 t ip·x ip0 t −ip·yN (u (p)us†ee e+ vas (p)vbs† (p)eip0 t e−ip·x e−ip0 t eip·y )b (p)e(2π)3 p ad3 p 2 s
ip·(x−y)N (u (p)us†+ vas (p)vbs† (p)e−ip·(x−y) )b (p)e(2π)3 p ad3 p 2 s
N (u (p)usc (p)eip·(x−y) + vas (p)v sc (p)e−ip·(x−y) )(γ0 )cb(2π)3 p a

スピノール部分の規格化を（「ディラック方程式の解とスピン」参照）

us† (p)ur (p) = 2Ep δ sr , v s† (p)v r (p) = 2Ep δ sr2∑

us (p)us (p) = pµ γ µ + m ,s=12∑v s (p)v s (p) = pµ γ µ − m

s=1と与えれば{ψa (x, t), ψb† (y, t)} =

∫
∫

=
∫=
∫
=d3 p 2
N ((pµ γ µ + m)ac eip·(x−y) + (pµ γ µ − m)ac e−ip·(x−y) )(γ0 )cb(2π)3 pd3 p 2
N ((p0 γ0 − p · γ + m)ac eip·(x−y) + (p0 γ0 − p · γ − m)ac e−ip·(x−y) )(γ0 )cb(2π)3 p
d3 p 2
N ((p0 γ0 + p · γ + m)ac e−ip·(x−y) + (p0 γ0 − p · γ − m)ac e−ip·(x−y) )(γ0 )cb(2π)3 pd3 p
2p0 Np2 e−ip·(x−y) δab(2π)32√
Np = 1/ 2Ep として{ψa (x, t), ψb† (y, t)} =もしくは生成、消滅演算子に∫
ψ(x) =ψ † (x) =∫√∫d3 p −ip·(x−y)
e= (2π)3 δ 3 (x − y)δab(2π)32Ep をくっつけて定義しなおせば

2d3 p 1 ∑ s(a (p)us (p)e−ipx + bs† (p)v s (p)eipx )(2π)3 2Ep s=12d3 p 1 ∑ s†(a (p)us† (p)eip·x + bs (p)v s† (p)e−ip·x(2π)3 2Ep s=1{as (p), ar† (q)} = 2Ep (2π)3 δ 3 (p − q)δ sr , {bs (p), br† (q)} = 2Ep (2π)3 δ 3 (p − q)δ srとなり、「規格化について」での規格化になります。また、スピノール部分の規格化を

us† (p)ur (p) =2
∑

Ep sr
Ep sr
δ , v s† (p)v r (p) =δmm

us (p)us (p) =s=1

2pµ γ µ + m ∑ s
pµ γ µ − mv (p)v s (p) =,2m2m
s=1とした場合では{ψa (x, t), ψb† (y, t)} =∫d3 p 2 (pµ γ µ + m)ac ip·(x−y) (pµ γ µ − m)ac −ip·(x−y)
N (e+e)(γ0 )cb(2π)3 p2m2m∫d3 p p0 2N δab(2π)3 m p=となるので、Np =√m/Ep となります。他にも「ディラック場」でのように 2Ep が出てこないように規格化することもできます。
ここから伝播関数の話になります。ディラック場でも伝播関数の定義は同じで、時間順序積 T によって

(ab)

SF

(x − y) = ⟨0|T(ψa (x)ψ b (y))|0⟩と与えます。ディラック場では反交換関係に従うために、クライン・ゴルドン場と違い時間順序積での入れ替えで符号が反転し(ab)(x − y) = ⟨0|ψa (x)ψ b (y)|0⟩(ab)(x − y) = −⟨0|ψ b (y)ψa (x)|0⟩SFSF3(x0 > y 0 )(x0 < y 0 )このようにフェルミオン (フェルミ粒子) では反交換することに注意してください。階段関数 Θ を使ってまとめれば(ab)SF(x − y) = Θ(x0 − y 0 )⟨0|ψa (x)ψ b (y)|0⟩ − Θ(y 0 − x0 )⟨0|ψ b (y)ψa (x)|0⟩となります。
場の演算子を∫
ψ(x) =∫
ψ(x) =2d3 p
1 ∑ s ssipx√(a u (p)e−ipx + bs†)p v (p)e(2π)3 2Ep s=1 p2d3 p
1 ∑ s† s√(a u (p)eipx + bsp v s (p)e−ipx )(2π)3 2Ep s=1 p√として実際に計算していきます。規格化には 1/ 2Ep を使っています。場 2 つによる真空期待値は∫∑
d3 pd3 p′ 1
1r ′ −ipx ip′ ys√√e |0⟩asp ar†p′ ua (p)ub (p )e6(2π)
2Ep 2Ep′ s,r∫∑′d3 pd3 p′ 11√√(2π)3 δ 3 (p − p′ )δ rs usa (p)urb (p′ )e−ipx eip y |0⟩6(2π)
2Ep 2Ep′ s,r⟨0|ψa (x)ψ b (y)|0⟩ = ⟨0|

= ⟨0|
∫
=
∫
=
∫
=d3 p 1 ∑ su (p)usb (p)e−ip(x−y)(2π)3 2Ep s ad3 p 1(pµ γ µ + m)ab e−ip(x−y)(2π)3 2Ep
d3 p 1(i∂µ γ µ + m)ab e−ip(x−y)(2π)3 2Ep入れ替えたものは∫⟨0|ψ b (y)ψa (x)|0⟩ = −d3 p 1(i∂µ γ µ + m)ab eip(x−y)(2π)3 2Ep∂µ は x の偏微分です。これらは、(i∂µ γ µ + m)ab がいるだけで、クライン・ゴルドン場のときと同じ形をしているので、クライン・ゴルドン場での ∆(±) を使って

(ab)

SF

(x − y) = Θ(x0 − y 0 )(i∂µ γ µ + m)ab ∆(+) (x − y) − Θ(y 0 − x0 )(i∂µ γ µ + m)ab ∆(−) (x − y)∆(±) の ± は exp[∓ip(x − y)] に対応したものです。留数定理による計算から言えば、プラスは +Ep 、マイナスは−Ep に対応します。
「クライン・ゴルドン場〜伝播関数〜」と同じように遅延グリーン関数を求めます。ディラック場による遅延グリーン関数は

4

(ab)

SR (x − y) = Θ(x0 − y 0 )⟨0|{ψa (x), ψ b (y)}|0⟩と定義されます。真空期待値はクライン・ゴルドン場に (i∂µ γ µ + m)ab が作用している形なので、クライン・ゴルドン場での遅延グリーン関数 DR (x − y) を使って(ab)SR (x − y) = (i∂µ γ µ + m)ab DR (x − y)と書けます。これの両辺に (i∂µ γ µ − m)ab を作用させてやれば(cb)(i∂µ γ µ − m)ac SR (x − y) = − (□ + m2 )DR (x − y)δab(∂µ γ µ ∂ν γ ν = □)= iδab δ 4 (x − y)「クライン・ゴルドン場〜伝播関数〜」の結果を使っています。δab はクロネッカーデルタで、スピノール成分の単位行列として使っています。この結果から、SR がディラック方程式のグリーン関数になっていることが分かります。
次に、SR (x − y) がどうなっているのかを求めます。フーリエ変換を使って∫d4 p −ip(x−y)
eSR (p)(2π)4SR (x − y) =これの両辺に (i∂µ γ µ − m)ab を作用させて (行列要素 a, b は省いて書きます)∫iδ (x − y) =4d4 p(pµ γ µ − m)e−ip(x−y) SR (p)(2π)4

これを満たすのは

SR (p) =ipµ γ µ − m=i(pµ γ µ + m)
p2 − m2(1)なので、x0 > y0 となる遅延グリーン関数がこれで与えられます。というわけで、伝播関数にするには分母に iϵ をつければいいだけで∫SF (x − y) =d4 p i(pµ γ µ + m) −ip(x−y)e(2π)4 p2 − m2 + iϵ

これは積分経路も QED で出てきたのと同じです。QED での「伝播関数」でも触れていますが、ディラック場 (フェルミオン) の伝播関数を (1) の最右辺のように書いたとき分母は行列ではないです。

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