233

関連図書[1] Swox AB. GNU MP. http://swox.com/gmp/.
[2] J. C. Butcher. The Numerical Analysis of Ordinary Diﬀerential Equations. John Wiley & Sons,
1987.
[3] D.E.Knuth/中川圭介・訳. 準数値算法/算術演算. サイエンス社, 1986.
[4] S.P.Nø rsett E.Hairer and G.Wanner. Solving Ordinary Diﬀerential Equations, II. Springer-Verlarg,
1996.
[5] G. E. フォーサイス, C. B. モウラー, 渋谷政昭・田辺國士共訳. 計算機のための線形計算の基礎.
培風館, 1969.
[6] 福井義成. 数値微分における補外法の誤差. 日本応用数理学会論文誌, Vol. 15, No. 4, pp. 521 –535, 2005.
[7] 春海佳三郎, 西見二昭, 小林史典ほか. 数値演算プロセッサ: 浮動小数点演算入門から高速演算プログラミングまで. IF スペシャル. CQ 出版社, 1987.

[8] ヘンリッチ, 清水留三郎・小林光夫訳. 計算機による常微分方程式の解法 I, II. サイエンス社,1973.
[9] 一松信. 数値解析, 新数学講座, 第 13 巻. 朝倉書店, 1982.
[10] Shui-Hung Hou. A simple proof of the Leverrier-Faddeev characteristic polynomial algorithm.
SIAM Review, Vol. 40, No. 3, pp. 706 – 709, 1998.
[11] 一瀬正巳. 誤差論. 培風館, 1953.
[12] 井上正雄. 簡明 微積分ハンドブック. 聖文社, 1991.
[13] 伊理正夫, 藤野和建. 数値計算の常識. 共立出版, 1985.
[14] ISO/IEC. Programming Languages — C, ISO/IEC 9899:1999(E). ISO, 1999.
[15] M. K. Jain. Numerical Solution of Diﬀerential Equations. Wiley Eastern Limited, second edition,
1987.
[16] J.D.Lambert. Numerical Methods for Ordinary Diﬀential Systems. Wiley & Sons, 1991.

第 20 章234

数値計算ソフトウェアの構造[17] 幸谷智紀, 永坂秀子. IEEE754 規格を利用した丸め誤差の測定法について. 日本応用数理学会
論文誌, Vol. 7, No. 1, pp. 79 – 89, 1997.
[18] M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover, 1964.
[19] 三井斌友. 数値解析入門, 数理科学ライブラリー, 第 7 巻. 朝倉書店, 1985.
[20] 三井斌友. 微分方程式の数値解法 I. 岩波講座 応用数学. 岩波書店, 1993.
[21] 三井斌友, 小藤俊幸. 常微分方程式の解法. 共立出版, 2000.
[22] 森正武. 数値解析, 共立数学講座, 第 12 巻. 共立出版, 1973.
[23] 森口繁一. 数値計算工学. 岩波書店, 1989.
[24] MuPAD. http://www.mupad.de/.
[25] 室伏誠. 有限桁計算における Richardson の補外法による丸め誤差評価の研究. PhD thesis, 日本大学, 1998.

[26] 永坂秀子. 計算機と数値解析, 理工学基礎講座, 第 6 巻. 朝倉書店, 1980.
[27] 永坂秀子, 福井義成. 数値微分の誤差. 情報処理学会論文誌, Vol. 22, No. 5, pp. 411 – 416, 1981.
[28] 二宮市三編. 数値計算のつぼ. 共立出版, 2004.
[29] 二宮市三. 科学計算への二つの提案. 応用数理, Vol. 2, No. 1, 1992.
[30] 布広永示, 平野菅保. 連立 1 次方程式における数値解の誤差評価, Vol. 27, No. 10, 1986.
[31] 奥村晴彦他. Java によるアルゴリズム事典. 技術評論社, 2003.
[32] John R. Rice. Numerical Methods, Software and Analysis. Academic Press, second edition, 1993.
[33] 下條隆嗣. カオス力学入門. 近代科学社, 1994.
[34] J. Stoer and R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlarg, 1980.
[35] 田中正次, 高山尚文, 山下茂. 7 段 6 次陽的 Runge-Kutta 法の最適化について. 情報処理学会論文誌, Vol. 33, No. 8, pp. 993–1005, 1992.

[36] 田中正次, 村松茂, 山下茂. 9 段 7 次陽的 Runge-Kutta 法の最適化について. 情報処理学会論文
誌, Vol. 33, No. 12, pp. 1512–1526, 1992.
[37] 田中正次, 山下忠志, 山下茂. 2 段数陰的 Runge-Kutta 法について. 情報処理学会論文誌, Vol. 36,
No. 2, pp. 226–235, 1995.
[38] 田中正次, 山下忠志, 三村和正, 山下茂. 3 段数陰的 Runge-Kutta 法について. 情報処理学会論文
誌, Vol. 36, No. 3, pp. 509 – 518, 1995.
[39] 戸川隼人. 共役勾配法, 新しい応用の数学, 第 17 巻. 教育出版, 1977.

20.1. 数値計算の階層構造

235[40] Lloyd N. Trefethen, 岡田裕・三井斌友訳. 数値解析の定義. 日本応用数理学会論文誌, Vol. 3,No. 2, pp. 133–137, 1993.
[41] J. H. Wilkinson. Rounding Errors in Algebraic Process. Her Britannic Majesty’s Stationary Oﬃce,1963.
[42] J. H. Wilkinson. The Algebraic Eigenvalue Problem. Clarendon Press, 1965.
[43] J. H. Wilkinson and C. Reinsch, editors. Linear Algebra, Vol. 2 of Handbook of Automatic Computation. Springer-Verlag, 1971.
[44] 安藤洋美. 最小二乗法の歴史. 現代数学社, 1995.
[45] 神保進一. 最新マイクロプロセサテクノロジ. 日経 BP 社, 1999.

237

索引
absolute error, 25
algebraic equation, 138
approximation, 18
arbitrary precision, 39
arithmetic, 2backward substitution, 73, 80
base, 18
binary number, 17
bisection method, 144
bit, 17

forward substitution, 73
Gaussian elimination, 80
Gerschgorin’s theorem, 106
GMP, 41
GNU MP, 41
Gradient method, 116
Hilbert matrix, 99
Horner’s method, 57

byte, 17

IEEE754 standard, 23
ill-conditioned, 95

C language, 8, 44, 65
C++, 44

imaginary unit, 15
initial error, 26integer, 13

calculation, 2
complex number, 13condition number, 95
Conjugate-Gradient method, 118
continuous mathematics, 3countable, 15
decimal fraction, 14denominator, 14
digital, 17
eigenvalue, 125eigenvector, 125error, 25
exponent, 18
fixed-point, 18
fixed-point number, 18
floating-point number, 18
FORTRAN77, 7
forward elimination, 80

inverse power method, 128
irrational number, 15
irreducible fraction, 14
iteration method, 58
iterative method, 58
Jacobian matrix, 142
Kahan’s theorem, 109
Landau’s O, 47
LDU decomposition, 78, 79
limit value, 15
linear computation, 49
linear system of equations, 71
logistic map, 30
lower triangular matrix, 73
LU decomposition, 72, 76, 77
machine epsilon, 24

索引

238
Maclaurin expansion, 59
mantissa, 18
Mathematica, 9, 42
MATLAB, 9
multiple precision arithmetic, 39
multiple precision floating-point number, 39
MuPAD, 40

terminating decimal fraction, 14
truncation error, 60
uncountable, 15
upper triangular matrix, 73
Weyl’s theorem, 98
Young-Varga’s theorem, 111

natural number, 13
nonlinear equation, 138
norm, 92
number, 13
numerator, 14
numerical analysis, 3
numerical computation, 3Ostrowski-Reich’s theorem, 110
overflow, 18p-norm, 92
PC, 16personal computer, 16
pivoting strategy, 83
polynomial, 57
polynomial function, 57
power method, 128
precision, 19
rational number, 13
real number, 13
recurring decimal fraction, 14relative error, 25

悪条件, 95

1 ノルム, 92上三角化, 81
上三角行列, 73
打ち切り誤差, 26, 60
打ち切り誤差領域, 51

LR 分解法, 130
LDU 分解, 78, 79
LU 分解, 72, 73, 76, 77
演算, 2オーバーフロー, 18

Ostrowski-Reich の定理, 110
Kahan の定理, 109
Gauss-Seidel 法, 107
Gauss-Jordan 法, 83
Gauss の消去法, 73, 80
Gauss 平面, 15可算, 15数, 13round-oﬀ, 18round-oﬀ error, 18

仮数部, 18

significant digit, 26
steepest decent method, 118

記号処理, 9stopping rule, 51
sweeping-out method, 83

基本線型計算, 49

Taylor expansion, 59
Taylor’s theorem, 59

ガンマ関数, 67

基数, 18逆行列, 72, 86
既約分数, 14逆べき乗法, 128

QR 分解, 132

索引239共役勾配法, 118

下三角行列, 73

行列の 1 ノルム, 94

実数, 13, 15行列の p ノルム, 93

実対称行列, 88行列の無限大ノルム, 94

修正 Cholesky 分解, 89

行列のユークリッドノルム, 94

縮小写像, 139

行列の Reduction, 133

循環 (無限) 小数, 14極限値, 15

準 Newton 法, 143

虚数単位, 15条件数, 95

近似, 18

小数, 14区間解析法, 41

Crout 法, 87
Gram-Schmidt の直交化法, 131
Krylov 部分空間法, 72, 115計算, 1, 2傾斜法, 116
桁あふれ, 18桁落ち, 30
ケチ表現, 24結合則, 23

Gerschgorin の定理, 106
後退代入, 73, 80, 82
誤差, 25誤差関数, 65
固定小数点, 18固定小数点数, 18固有値, 125固有ベクトル, 125最急降下法, 118三角関数, 63初期誤差, 26真値, 18数学, 1数学ソフトウェア, 9数式処理, 9枢軸選択, 83数値解析, 3数値計算, 3数値計算ソフトウェア, 9

Stein-Rosenberg の定理, 108正規化, 20整数, 13正則行列, 72精度, 19精度保証, 41
絶対誤差, 25前進消去, 80前進代入, 73相似変換, 126
相対誤差, 25残差ベクトル, 116対数関数, 64

3 重対角行列, 134

代数方程式, 15, 138

CG 法, 118
C プログラム, 8, 31四捨五入, 20指数関数, 62指数部, 18自然数, 13多項式, 57多項式関数, 57多倍長計算, 39多倍長浮動小数点数, 39単精度, 23
直接法, 71, 72

索引240停止則, 51

Taylor 展開, 59
Taylor の定理, 59
デジタル, 17Jacobi 行列, 142Jacobi 反復法, 105
Young-Varga の定理, 111
ユークリッドノルム, 922 次収束, 141

有限小数, 142 進数, 172 ノルム, 92

有効桁, 262 分法, 144
Newton 法, 140, 142
任意精度, 39
ノルム, 92
パーソナルコンピュータ, 16倍精度, 23Householder 法, 133
反復法, 58, 72, 103
p ノルム, 92
非可算, 15非線型方程式, 138

Hilbert 行列, 99
複素数, 13複素数の四則演算, 48
浮動小数点数, 17分子, 14べき乗法, 128

Bessel 関数, 67
Hessenberg, 134
Horner 法, 57
Maclaurin 展開, 59
マシンイプシロン, 24丸め, 18丸め誤差, 18丸め誤差領域, 51
無限大ノルム, 92
無理数, 15有理数, 13, 14
ランク, 72

Lanczos 法, 134
Regula-Falsi 法, 143
連続数学, 3連立一次方程式, 71
ロジスティック写像, 30

Weyl の定理, 98