S 行列「不変振幅」で簡易的に作った S 行列をもう少し細かく見ておきます。

ここでは極限が存在するかについては無視しています。
先に量子力学での「S 行列」の話をしておきます。状態は |ψ; t⟩ とし、これはシュレーディンガー方程式i∂|ψ; t⟩ = H|ψ; t⟩∂tに従います。H は相互作用なしのハミルトニアン H0 と相互作用部分 Hint によって

H = H0 + Hintとします。このときの時間発展は|ψ; t⟩ = e−iHt |ψ; t = 0⟩で与えられます。ここでは、t = 0 で相互作用が起きているとします。なので、|ψ⟩ = |ψ; t = 0⟩ は始状態ではないことに注意してください。始状態は |ψin ⟩、終状態は |ψout ⟩ として

lim |ψ; t⟩ = |ψin ⟩ ,t→−∞lim |ψ; t⟩ = |ψout ⟩t→+∞|ψin ⟩ と |ψout ⟩ は相互作用なしでのハミルトニアン H0 に従っているとして、時間発展は|ψin ; t⟩ = e−iH0 t |ψin ⟩ , |ψout ; t⟩ = e−iH0 t |ψout ⟩|ψin ⟩, |ψout ⟩ は時間独立な任意の状態です。
相互作用描像にします。|ψ; t⟩ (シュレーディンガー描像) の相互作用描像は|ψ; t⟩I = eiH0 t |ψ; t⟩相互作用描像の時間発展は|ψ; t2 ⟩I = U (t2 , t1 )|ψ; t1 ⟩I , U (t2 , t1 ) = eiH0 t2 e−iH(t2 −t1 ) e−iH0 t11ここでは時間発展演算子は U しか出てこないので、相互作用描像を表す I は書かずにいきます。これらから相互作用描像において|ψin ; t⟩I = eiH0 t |ψin ; t⟩ = eiH0 t e−iH0 t |ψin ⟩ = |ψin ⟩|ψin ⟩ は時間独立としているので|ψin ; −∞⟩I = |ψin ⟩と与えて、同様に |ψout ⟩ を t = +∞ での状態とし|ψout ; +∞⟩I = |ψout ⟩また、始状態 |ψin ⟩ と終状態 |ψout ⟩ は時間独立な状態なので|ψ; t = −∞⟩I = |ψin ⟩ , |ψ; t = +∞⟩I = |ψout ⟩とします。

|ψ⟩ と |ψin ⟩, |ψout ⟩ を繋ぐ演算子 Ω+ , Ω− を|ψ⟩ = Ω+ |ψin ⟩ , |ψ⟩ = Ω− |ψout ⟩と定義します。|ψ⟩ と |ψin ⟩ は時間発展の関係から|ψ⟩ ====lim eiHt |ψ; t⟩t→−∞

lim eiHt |ψin ; t⟩t→−∞lim eiHt e−iH0 t |ψin ⟩t→−∞lim U (0, t)|ψin ⟩t→−∞|ψout ⟩ でも同様に|ψ⟩ = lim U (0, t)|ψout ⟩t→+∞となるので、Ω± は2

Ω+ = lim U (0, t) , Ω− = lim U (0, t)t→−∞t→+∞となり、これらは Mo/ller wave operator と呼ばれます。
後で使う Ω± の性質を出しておきます。時間発展演算子 U (0, t) は

eiHt1 U (0, t2 ) = U (0, t1 + t2 )eiH0 t1という関係を持っています。これは

eiHt1 eiHt2 e−iH0 t2 = eiH(t1 +t2 ) e−iH0 (t1 +t2 ) eiH0 t1
eiHt1 U (0, t2 ) = U (0, t1 + t2 )eiH0 t1から確かめられます。これに対して t2 の ±∞ の極限を取ると

eiHt1 Ω± = Ω± eiH0 t1となり、t1 で微分して t1 = 0 にすれば

HΩ± = Ω± H0という関係になります。

Ω± を使って S 行列演算子を導入します。Ω± はΩ†± Ω± = 1であることを使うと (ユニタリー演算子ではないことに注意。一般的に Ω± Ω†± ̸= 1)|ψout ⟩ = Ω†− |ψ⟩ = Ω†− Ω+ |ψin ⟩ = S|ψin ⟩として、|ψin ⟩ と |ψout ⟩ を繋ぐ演算子を定義できます。この S は時間発展演算子 U (t1 , t2 ) によってS = Ω†− Ω+ =lim

lim U † (0, t2 )U (0, t1 ) =t1 →−∞ t2 →+∞と与えられます。逆では

3lim

lim U (t2 , t1 )

t1 →−∞ t2 →+∞|ψin ⟩ = Ω†+ |ψ⟩ = Ω†+ Ω− |ψout ⟩ =limlim U † (0, t1 )U (0, t2 ) = S † |ψout ⟩t1 →−∞ t2 →+∞

また、

S† =

lim U † (0, t1 )U (0, t2 ) =lim

t1 →−∞ t2 →+∞lim

lim U (t1 , t2 )t1 →−∞ t2 →+∞からS † S = SS † = 1となっています。単純に言えば、U がユニタリー演算子なので、S もユニタリー演算子というだけです。
量子論で知りたいことは、始状態 |A⟩ が相互作用を受けた後に観測したい終状態 |B⟩ になる確率です。なので、ψ(t) と Ψ(t) という異なった状態 (同じハミルトニアンで記述される) による ⟨Ψout |ψout ⟩ を今求められた関係を使って相互作用描像で書いてみると⟨Ψout |ψout ⟩ = I ⟨Ψ; +∞|U (+∞, 0)U (0, −∞)|ψ; −∞⟩I= I ⟨Ψ; +∞|U (+∞, −∞)|ψ; −∞⟩I= I ⟨Ψ; +∞|S|ψ; −∞⟩I(1)となり、これが S 行列となります。もっと単純には相互作用描像での⟨Ψout |ψ; t2 ⟩I = ⟨Ψout |U (t2 , t1 )|ψ; t1 ⟩I= I ⟨Ψ; t2 |U (t2 , t1 )|ψ; t1 ⟩I(|Ψout ⟩ = lim |Ψ; t⟩I )t→+∞に対して t2 → +∞, t1 → −∞ の極限を取ったものです。
このようにして、S 行列と S 行列演算子は

S = ⟨Ψout |ψout ⟩ = I ⟨Ψ; +∞|Ŝ|ψ; −∞⟩IŜ =limlim U (t2 , t1 )

t1 →−∞ t2 →+∞と定義されます。
この定義から S 行列の計算を行えますが、場の量子論では場の演算子を使うので、それに合うように S 行列を与えます (場の理論でない量子力学でも同様に作れる)。
まず、|α, in⟩, |α, out⟩ という状態を作ります。この状態に対する粒子の生成、消滅は、ϕin (x), ϕout (x) による生成、消滅演算子 a†in (p), a†out (p), ain (p), aout (p) によって出来るとします。ϕin (x), ϕout (x) の時間発展は相互作用も含めたハミルトニアン H によるとして

4i∂ϕin (x) = [ϕin (x), H]∂tに従うとします (相互作用がある状況なので H によって記述される)。しかし、これだと手が出なくなるので、

ϕin (x) は相互作用のないハミルトニアン H0 を用いて記述できるように作ります。
ϕin (x, t) の時間発展は

ϕin (x, t) = eiHt ϕin (x)e−iHtなので[ϕin (x), H] = eiHt ϕin (x)e−iHt H − HeiHt ϕin (x)e−iHt = eiHt ϕin (x)He−iHt − eiHt Hϕin (x)e−iHt
ここで Ω± とハミルトニアンの関係 HΩ± = Ω± H0 を利用して、H を H0 に書き換えることを考えます。そのために

ϕin (x) = Ω+ ϕ(x)Ω†+とするとeiHt ϕin (x)He−iHt − eiHt Hϕin (x)e−iHt= eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ He−iHt − eiHt HΩ+ ϕ(x)Ω†+ e−iHt† −iHt= eiHt Ω+ ϕ(x)H0 Ω+e− eiHt Ω+ H0 ϕ(x)Ω†+ e−iHt= eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ Ω+ H0 Ω†+ e−iHt − eiHt Ω+ H0 Ω†+ Ω+ ϕ(x)Ω†+ e−iHt= eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ e−iHt eiHt Ω+ H0 Ω†+ e−iHt − eiHt Ω+ H0 Ω†+ e−iHt eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ e−iHt= (eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ e−iHt )eiHt Ω+ H0 Ω†+ e−iHt − eiHt Ω+ H0 Ω†+ e−iHt (eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ e−iHt )= ϕin (x, t)eiHt Ω+ H0 Ω†+ e−iHt − eiHt Ω+ H0 Ω†+ e−iHt ϕin (x, t)= ϕin (x, t)H0in − H0in ϕin (x, t)(H0in = eiHt Ω+ H0 Ω†+ e−iHt = H0 (ϕin (x, t), πin (x, t)))= [ϕin (x, t), H0in ]H0 での ϕ(x), π(x) は eiHt Ω+ と Ω†+ e−iHt で挟んで ϕin (x), πin (x) になれるように含まれていると仮定しています(多項式しかない)。これから、ハイゼンベルク方程式は、i∂ϕin (x) = [ϕin (x), H0 (ϕin (t), πin (t))]∂t5となり、場の演算子がϕin (x) = eiHt ϕin (x)e−iHt = eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ e−iHtと変換されている相互作用のないハミルトニアン H0 (ϕin (x), πin (x)) によって書かれています (H0 (ϕin (x), πin (x)) =H)。これは相互作用描像の場の演算子が相互作用のないハイゼンベルク描像の場の演算子とみなせたのと同じ状
況です。なので、ϕin (x) はスカラー場なら相互作用のないクライン・ゴルドン方程式に従います。

ϕin (x, t) の変換は

ϕin (x, t) = eiHt ϕin (x)e−iHt= eiHt Ω+ ϕ(x)Ω†+ e−iHt= Ω+ eiH0 t ϕ(x)e−iH0 t Ω†+= Ω+ eiH0 t e−iHt eiHt ϕ(x)e−iHt eiHt e−iH0 t Ω†+= Ω+ U † (0, t)eiHt ϕ(x)e−iHt U (0, t)Ω†+= Ω+ U † (0, t)ϕ(x, t)U (0, t)Ω†+= Ω+ U (t, 0)ϕ(x, t)U † (t, 0)Ω†+= Ω+ ϕI (x, t)Ω†+と変形できます。途中でハイゼンベルク描像 A(t) と相互作用描像 AI (t) の関係

AI (t) = U (t, 0)A(t)U † (t, 0)を使っています。ϕout も同様にすることで、ハイゼンベルク描像と相互作用描像の変換

ϕin (x, t) = Ω+ U (t, 0)ϕ(x, t)U † (t, 0)Ω†+ = Ω+ ϕI (x, t)Ω†+
ϕout (x, t) = Ω− U (t, 0)ϕ(x, t)U † (t, 0)Ω†− = Ω− ϕI (x, t)Ω†−
が求まります。ϕout (x) も相互作用のないクライン・ゴルドン方程式に従います。
この変換によって、相互作用描像での状態から |α, in⟩ への変換は|α, in⟩ = Ω+ |α⟩I , |α, out⟩ = Ω− |α⟩I
両辺は時間依存していないので |α⟩I = |α; ±∞⟩I と出来ます。そうすると|α, in⟩ = Ω+ |α⟩I = Ω+ Ω†− |α, out⟩6となるので、|α, in⟩ と |α, out⟩ を繋ぐ演算子としてS = Ω+ Ω†−を与えられます。これはS † S = Ω− Ω†+ Ω+ Ω†− = 1 , SS † = Ω+ Ω†− Ω− Ω†+ = 1
なので、ユニタリー演算子です。
この結果から⟨β, out|α, in⟩ = ⟨β, out|S|α, out⟩
= I ⟨β|Ω†− SΩ− |α⟩I
= I ⟨β|Ω†− Ω+ Ω†− Ω− |α⟩I
= I ⟨β|Ω†− Ω+ |α⟩I
=lim

lim

t1 →+∞ t2 →−∞I ⟨β|U†(0, t1 )U (0, t2 )|α⟩I= I ⟨β|U (+∞, −∞)|α⟩Iとなり、(1) での S 行列に一致します。また ϕin (x) と ϕout (x) はϕin (x) = Ω+ ϕI (x)Ω†+= Ω+ Ω†− Ω− ϕI (x)Ω†− Ω− Ω†+= Ω+ Ω†− ϕout (x)Ω− Ω†+= Sϕout (x)S †となっています。
特徴的なのは、最初の |ψ, −∞⟩I , |ψ, +∞⟩I は相互作用のないハミルトニアン H0 に従っているのに対して、|α, in⟩, |α, out⟩ は H に従っていることです。このため、今見た定義だと相互作用あるなしのハミルトニアンの切り替えがないです。

ϕin (x), ϕout (x) について簡単に触れておきます。これらは相互作用のないハミルトニアンにしたがっているので、相互作用ありでのクライン・ゴルドン方程式(□ + m2 )ϕ(x) = J(x)の解において

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∫ϕ(x) = ϕin (x) −∫ϕ(x) = ϕout (x) −d4 x G+ (x − x′ )J(x′ )d4 x G− (x − x′ )J(x′ )として、第 1 項に同次での場合 (J(x) = 0) の解として入ってきます。G+ , G− は遅延、先進グリーン関数で、時間に対して遅延は t > t′ , 先進は t < t′ となっています (t = x0 , t′ = x′0 )。これは相互作用が ϕin となる t = −∞と、ϕout となる t = +∞ で消えることを要求します。このため適当な状態で ϕ(x) を挟んだとき

lim ⟨b|ϕ(x)|a⟩ = ⟨b|ϕin (x)|a⟩t→−∞lim ⟨b|ϕ(x)|a⟩ = ⟨b|ϕout (x)|a⟩t→+∞となる条件が入ってきます (これは修正が必要な形です。「簡約公式」参照)。単純に言えば、微分方程式と適当な初期条件に対して ϕ(x) が求められ、それが滑らかな関数であるなら、ϕin (x), ϕout (x) が存在するはずということです。この条件のもとで、ϕin (x), ϕout (x) を相互作用のないハイゼンベルク描像の演算子に対応させられます。そうすることで、ϕin (x), ϕout (x) からの生成演算子によって|α, in⟩ = |p1 , p2 , . . . , pn , in⟩ = a†in (p1 )a†in (p2 ) · · · a†in (pn )|Ω, in⟩|α, out⟩ = |p1 , p2 , . . . , pn , out⟩ = a†out (p1 )a†out (p2 ) · · · a†out (pn )|Ω, out⟩となる状態を作れ、S 行列を

S = ⟨β, out|α.in⟩ , ϕin (x) = Sϕout (x)S †と与えられます。

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