統計数理（2020）
第 68 巻 第 1 号 65–85©2020 統計数理研究所

特集「複雑な依存構造を持つデータの統計解析法 — コピュラとその周辺 — 」［研究詳解］

Realized Stochastic Volatility モデル——拡張と日本の株価指数への応用——

高橋 慎1 ・大森 裕浩2 ・渡部 敏明3（受付 2019 年 6 月 1 日；改訂 11 月 5 日；採択 11 月 6 日）

要

旨

近年，資産価格のボラティリティの推定には日中の高頻度リターンから計算される Realized（RV）が用いられることが多い．しかし，RV にはマーケット・マイクロストラク
Volatility
チャー・ノイズや夜間や昼休みなどの市場が閉まっている時間帯によってバイアスが生じることが知られている．こうした RV のバイアスを考慮して，日次リターンと日次 RV の同時モデル化が提案されている．このモデルは Stochastic Volatility モデルに RV を加えて拡張したものなので，Realized Stochastic Volatility モデルと呼ばれる．Stochastic Volatility モデル同様，
Realized Stochastic Volatility モデルは尤度の解析的評価が難しいため，マルコフ連鎖モンテカを用いたベイズ推定法が多く用いられる．本稿でルロ法（Markov chain Monte Carlo, MCMC）
は，こうした Realized Stochastic Volatility モデルとその MCMC を用いたベイズ推定法について解説する．また，日次リターン分布やボラティリティの定式化の拡張についても解説する．
さらに，日経 225 株価指数に応用し，推定結果を説明する．
キーワード：マルコフ連鎖モンテカルロ法，Realized Volatility，Stochastic Volatility
モデル．

1.

はじめに

金融資産のリターンを予測することは困難であることが知られているが，その分散を予測す
ることはある程度可能であることが知られている．なぜならリターンの分散（ボラティリティ）
は，ある時期には大きい値が続き，またある時期には小さい時期が続くからであり，この現象はボラティリティ・クラスタリングと呼ばれている．ボラティリティの予測を行うことはオプ（VaR）の予測，ポートフォリオの最適化など金融リスク管理においション価格や Value-at-Riskて重要な意味を持つ（Andersen et al., 2013）．ボラティリティ・クラスタリングという現象を説明する統計的モデルには一般化自己回帰不均一分散（Generalized Autoregressive Conditionbal
モデル（Engle, 1982; Bollerslev, 1986）と確率的ボラティリティ変
Heteroskedasiticity, GARCH）
モデル（Taylor, 1986）があり，多くの実証研究が行われてきた（初動（Stochastic Volatility, SV）
期研究について詳しくは，例えば Shephard, 1996 や渡部, 2000 を参照されたい）．それらの先行研究において，特に SV モデルは現実のデータへのあてはまりにおいて GARCH モデルより1

法政大学 経営学部：〒 102–8160 東京都千代田区富士見 2–17–1

2

東京大学大学院 経済学研究科：〒 113–0033 東京都文京区本郷 7–3–1

3

一橋大学 経済研究所：〒 186–8603 東京都国立市中 2–1

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統計数理

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優れていることが確認されている．しかし，SV モデルは日々のリターンの分散は観測できない潜在変数として表現しており，その推定精度や予測精度の改善には限界があった．
一方で，近年において利用可能になった資産価格の高頻度データを用いて，日中リターンの2 乗和として計算される Realized Volatility（RV）は，ボラティリティの観測変数として，推定や予測の精度を改善できるのではないかと注目を集めるようになった（Andersen and Bollerslev,．RV は，計量経済モデルには依存しないモデル・
1998; Barndorﬀ-Nielsen and Shephard, 2002）
フリーのボラティリティ推定量として魅力的な推定量であるものの，さまざまな仮定を満たす（RVことが前提となる．しかし，その仮定は現実には満たされておらず，RV はバイアスをもつの統計的性質について詳しくは，Andersen et al., 2001a; Andersen et al., 2001b, 2003; 渡部,．例えば，連続な値をとると仮定されている価格が2007; Andersen et al., 2010 を参照されたい）
現実には離散的な値をとっていることなどで生じるマーケット・マイクロストラクチャー・ノイ
ズ（MMN）により，RV にバイアスが生じることが知られている．また，夜間や昼休みなど取引のない時間帯の高頻度のリターンを無視すると，そうした時間帯を含む 1 日のボラティリティを推定する場合には，過小評価してしまう（MMN については Campbell et al., 1997; O’Hara,
1995; Hasbrouck, 2007; O’Hara, 2015 を，MMN の RV への影響については Hansen and Lunde,．
2006; Bandi and Russell, 2006, 2008; Ubukata and Watanabe, 2014 などを参照されたい）
この問題を克服するために考えられたのが，リターンの SV モデルに RV の情報を追加した（RSV）
モデルである．Takahashi et al., 2009 によって最初に導同時モデルである Realized SV入された RSV モデルは，SV モデルに対してさらに RV に関する観測方程式を加えたものであり，その際に RV のバイアス自体もモデル化する．RV のバイアスを補正する推定量は数多く存在するが，バイアスの補正をモデルの中で克服するというアプローチはそれまでになかった．
Dobrev and Szerszen（2010），Koopman and Scharth（2013）
は RSV モデルを拡張しており，また，Hansen et al.（2012），Hansen and Huang（2016）は，同様のアイデアを GARCH モデルに応用した Realized GARCH モデルを提案している．
RSV モデルは，ボラティリティ・クラスタリングと呼ばれる時系列構造と，ボラティリティの非対称性またはレバレッジ効果（後述）と呼ばれる日次リターンとボラティリティとの依存構造を，2 つの観測方程式と 1 つの状態方程式により記述するモデルである．本稿では，このRSV モデルの解説，推定法の紹介および日本の株価指数への応用を行う．特に推定法についてを用いたベイズ推定法について紹介する．SV モデル
はマルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）や RSV モデルにおいてはボラティリティを観測されない状態変数とするため，最尤法を行うには状態変数を積分して尤度を求めることが必要である．しかし実際には多重積分の計算は実行困難であり，積分を回避して問題を解くためにベイジアン・アプローチをとり，MCMC 法を用いたシミュレーションによる方法でベイズ推定を行うことが多いのである．
本稿の以下の構成は次の通りである．まず，次の第 2 節で，SV モデルおよび RSV モデルとそれらの MCMC を用いたベイズ推定法について解説する．続く第 3 節で，RSV モデルの拡張について紹介する．第 4 節では，RSV モデルの日本の株価指数への応用を行う．最後に，本稿のまとめを行う．
2.

Realized Stochastic Volatility モデルとその推定法

2.1 Stochastic Volatility モデル
SV モデルは，被説明変数の分散変動を説明する代表的なモデルの一つであり，危険資産のリターンによくあてはまることが多くの実証分析において知られている．まず pt を第 t 日の資産価格とし，第 t 日のリターンを yt = log pt − log pt−1 と定義する．このとき SV モデルは，対Realized Stochastic Volatility モデル

67

数ボラティリティ ht を所与として以下のように表現される．
(2.1)
(2.2)

yt = t exp(ht /2),

t = 1, . . . , T,

ht+1 = μ + φ(ht − μ) + ηt ,



t
ηt





t = 1, . . . , T − 1,

0
0

∼N

 
,

1
ρση

ρση
ση2

|φ| < 1,.

ただし，h1 ∼ N (μ, ση2 /(1 − φ2 )) とする．対数ボラティリティ ht は観測できないので潜在変数とし，定常な 1 階の自己回帰過程 (|φ| < 1) に従うと仮定する．これは，現実のデータにおいて
ボラティリティ・クラスタリングという，分散が大きい時期には暫く大きい時期が続き，分散
ηt ) は 2 変量が小さい時期には小さい時期が暫く続く現象を反映している．また，誤差項 (t ，
正規分布に従うと仮定し，ht を所与とした時の yt と ht+1 の相関係数 ρ は，非対称性またはレ
バレッジ効果と呼ばれる．株式リターンの実証分析においては，t 時点におけるリターン yt が減少すると t + 1 時点における対数ボラティリティ ht+1 が増加することから，ρ は負の値をとることが知られている．
SV モデルでは観測方程式（2.1）
は非線形ガウス型なので，パラメータ θ = (μ, φ, ση2 , ρ) を所与とする尤度関数の計算を行うことは難しい．このため多くの研究において，シミュレーショ
ンを用いるマルコフ連鎖モンテカルロ法によるベイズ推定が行われており，本稿もこれに従う．基本的な SV モデルのベイズ推定の詳細については，紙幅の都合上割愛するが，大森・渡部（2013）を参照されたい．
2.2 Realized Volatility
SV モデルでは ht は潜在変数であり, したがってボラティリティ exp(ht ) も潜在変数であった．これに対して近年では，日中の高頻度データを用いて計算される RV がボラティリティの推定量として提案されている．以下では，その定義，有用性と問題点について見ていくこととする．
まず，真の日次ボラティリティの定義を行う．資産価格の対数値を p(s) とし，それが連続時間の拡散過程(2.3)

dp(s) = μ(s)ds + σ(s)dW (s)に従うとする．ここで μ(s)，σ 2 (s)，W (s) をそれぞれ瞬時的なドリフト，ボラティリティ，ウイ
ナー過程とする（ただし，ファイナンスの他の文献では σ 2 (s) ではなく σ(s) をボラティリティと呼ぶことも多い）．このとき，第 t 日の真のボラティリティは，

 t+1

(2.4)

IVt =

σ 2 (s)dstと定義され，Integrated Volatility（IV）とも呼ばれる．RV は，この IVt の推定量で，次のように定義される．いま，第 t 日の日中の n 個のリターンデータ {rt , rt+1/n , . . . , rt+(n−1)/n } が与えられているとする．このとき，それらを 2 乗して足し合わせた
(2.5)

RVt =

n−1

2

rt+i/ni=0を第 t 日の RV という．式（2.5）
で定義される RVt は，n → ∞ のとき IVt に確率収束する．
ところが，実際の高頻度データは RVt が IVt に収束するための条件を必ずしも満たしておらず，バイアスが存在することが知られている．例えば，現実の高頻度の資産価格は MMN を含

統計数理

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んでいるので，その結果としてリターンに自己相関が生じる問題や，夜間や昼休みなど取引がない時間帯が存在するという問題がある．
MMN については，取引間隔が短くなればなるほどノイズの占める相対的な割合が多くなるので，RV を計算する際の時間間隔をどのようにとればよいかということが問題となり，多くの提案がなされている（Aït-Sahalia et al., 2005; Bandi and Russell, 2006, 2008）．あるいは他の推定量として，Two-Scale または Multi-Scale 推定量（Zhang et al., 2005; Zhang, 2006）（RK）や，カーネル関数を使って対数価格差の 2 乗累積値をスムージングした Realized Kernel（Barndorﬀ-Nielsen et al., 2008; Barndorﬀ-Nielsen et al., 2009）などが提案されている．これらの, Ubukata and Watanabe（2014）など
方法について詳しくは，Aït-Sahalia and Mykland（2009）を参照されたい．一方，取引がない時間帯の取り扱いについては，最初に昼休みと夜間を除いて計算した RVt(o) に，日次リターン yt の標本分散と RVt(o) の標本平均の比を乗じる方法があ．
る（Hansen and Lunde, 2005）
高頻度データから計算される RV や RK などのボラティリティの推定量を，まとめて Realized（RM）と呼ぶ．上記のどのような方法も決定的な解決方法となるわけではなく，また提Measure
案された推定量の良い性質が得られるための仮定が現実に成り立つとは限らない．このため，（RSV）モデルでは RM におけるバイアスをモデル・パラメータとする
第 2.3 節の Realized SV
ことにより，バイアスの存在に統計的モデルの枠組みの中で対処していくこととする．RM について詳しくは，渡部（2007），Andersen and Benzoni（2009），McAleer and Medeiros（2008）などを参照されたい．
2.3 Realized SV モデル
Takahashi et al.（2009）
では，日次リターンの SV モデルに RM の観測方程式を追加し，バイ（RSV）モデルと呼ばれアスを考慮に入れた同時モデルを提案した．このモデルは Realized SVており，以下では RSV モデルとそのモデル・パラメータの MCMC による推定方法について述
べる．
（2.2）
のように yt を第 t 日の日次リターン，ht を真のボラティリティの第 2.1 節の式（2.1），
対数値とし，さらに xt を RM の対数値とすると，RSV モデルは以下のように表される．
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)

yt = exp(ht /2)t ， t = 1, . . . , T,
ht+1 = μ + φ(ht − μ) + ηt ,xt = ξ + ht + ut ,⎛⎞t = 1, . . . , T − 1,

t = 1, . . . , T,

⎛ ⎛

t
1
⎝ ηt ⎠ ∼ N ⎝0, ⎝ ρση
ut
0

ρση
ση2
0

|φ| < 1,⎞⎞00 ⎠⎠ .
σu2

式（2.8）における ξ + ut は，MMN 等によって生じる，RM の対数値 xt = log RMt と真のボラ
ティリティの対数値 ht との乖離を表す．ξ は，log RMt に含まれるバイアスを表し，ξ = 0 はバイアスがないことを意味する．MMN によって RVt が IVt を過大評価するなら（Hansen and
Lunde, 2006 は RVt が IVt を過小評価する可能性もあることを示している），RM として RVtを用いたとき ξ > 0 となることが予想される．一方，夜間や昼休みなど取引のない時間帯を無視して RM を計算すると，そうした時間帯を含む 1 日のボラティリティを過小評価するので，ξ < 0 となることが予想される．したがって MMN による正のバイアスよりも，夜間や昼休みなど取引のない時間帯を無視したことによる負のバイアスが大きい時に，ξ は負の値になると考えられる．また，ut は ξ では捉えることのできない MMN 等によって生じる観測誤差

Realized Stochastic Volatility モデル

69

である．日次リターンの符号と MMN に相関があるとは考えにくいため，ut と ηt は無相関と仮定する．一般に，ut と t は独立ではない（Hansen and Lunde, 2006; Koopman and Scharth,が，ここでは簡単化のためそれらは無相関と仮定する. なお，式（2.8）は，より一般的に2013）
xt = ξ + ψht + ut とすることもできるが，ボラティリティの予測精度が必ずしも改善しないことなどが実証分析において知られているので，本稿においては ψ = 1 であると仮定する．
2.4 RSV モデルの MCMC を用いたベイズ推定
RSV モデルのパラメータは θ = (μ, φ, ση2 , ρ, ξ, σu2 ) で，観測値を y = {yt , xt }Tt=1 ，また潜在変数を h = {ht }Tt=1 で表すこととする．モデルのパラメータに関する事前分布については，μ, ξには正規分布，φ には確率密度関数が πφ (φ) であるような確率分布，ρ には確率密度関数がπρ (ρ) であるような確率分布，ση2 , σu2 には逆ガンマ分布を仮定する．
μ ∼ N (μ0 , σ02 ),φ ∼ πφ (φ),ξ ∼ N (mξ , s2ξ ),σu2 ∼ IG(nu /2, Su /2).

ρ ∼ πρ (ρ),ση2 ∼ IG(n0 /2, S0 /2).

(μ0 , σ02 , n0 , S0 , mξ , s2ξ , nu , Su ) はハイパーパラメータで，分析者によって与えられる定数である．
これらの同時事前確率密度関数を π(θ), θ を所与としたときの y と h の同時確率密度関数をf (y, h|θ) で表せば，θ と h の同時事後確率密度関数 π(θ, h|y) はπ(θ, h|y)∝ f (y, h|θ)π(θ)
1∝ T exp
σu

×(xt − ξ − ht )2
1
−
ht + ȳt2 +
2
σu2
T



t=1

1 − φ2σηT (1 − ρ2 )

T −1
2

exp

1
× n0 +2 nu +2 exp
ση
σu



1
− 2
2ση

1
−
2

1 
(1 − φ2 )h̄21 +(h̄t+1 − φh̄t − ρση ȳt )2
1 − ρ2T −1

t=1(μ − μ0 )2(ξ − mξ )2
S0
Su
+ 2 +
+ 2
2
σ0
ση
s2ξ
σu





πφ (φ)πρ (ρ)となる．ただし，h̄t = ht − μ, ȳt = exp(−ht /2)yt である．Takahashi et al.（2009）では，まずモデル・パラメータと潜在変数の初期値を設定し，以下のように MCMC によるベイズ推定を行う．
μ|φ, ση2 , ρ, ξ, σu2 , h, y からサンプリングする．
（1）
φ|ση2 , ρ, μ, ξ, σu2 , h, y からサンプリングする．
（2）(ση2 , ρ)|φ, μ, ξ, σu2 , h, y からサンプリングする．
（3）
ξ|φ, ση2 , ρ, μ, σu2 , h, y からサンプリングする．
（4）
σu2 |φ, ση2 , ρ, μ, ξ, h, y からサンプリングする．
（5）h|θ, y からサンプリングする．
（6）

各ステップの具体的なサンプリングについては，Takahashi et al.（2009）および大森・渡部（2013）を参照されたい．
3.

Realized Stochastic Volatility モデルの拡張

3.1 日次リターン分布の拡張
SV モデルや RSV モデルを用いて Value-at-Risk（VaR）や期待ショートフォールなど分布の裾

統計数理

70

第 68 巻 第 1 号 2020のリスクを計測する場合，日次リターンの誤差項 t の分布も重要である．金融資産の日次リ
ターンは通常，尖度が有意に 3 を超え，正規分布よりも裾が厚いことが知られている．第 2.1
節の SV モデルや第 2.3 節の RSV モデルでは，日次リターンの誤差項 t の分布として正規分布を仮定しているが，t の分布が正規分布であっても，ボラティリティが変動するのであれ
ば，日次リターン yt の尖度は 3 を超える（証明については渡部, 2000 の 1.4 節を参照されたい）．しかし，多くの場合，日次リターンの裾の厚さはボラティリティの変動だけでは十分に，Omori et al.（2007）
では，SV モデルの t の分布に t 分布を用
捉えられないので，渡部（2005）
いている．正規分布や t 分布は左右対称であるが，近年では非対称な分布も用いられている．
，Nakajima and Omori
非対称な分布にはいくつかあるが，SV モデルでは，中島・大森（2011）（2012）が Aas and Haﬀ（2006）が提案した一般化双曲非対称 t 分布（generalized hyperbolic skew
，Abanto-Valle et al.（2015）が Azzalini and Capitanio（2003）が提案しStudent’s t distribution）
が一般化双曲非対称 t
た非対称 t 分布を用いている．RSV モデルでは，Takahashi et al.（2016）
分布を用いているので，以下このモデルについて説明する（一般化双曲非対称 t 分布を含むより一般的な分布に，Barndorﬀ-Nielsen（1977）が導入した一般化双曲分布があるが，Prause, 1999;
Aas and Haﬀ, 2006; Nakajima and Omori, 2012 では一般化双曲分布はパラメータの推定が難し．
いことが指摘されており，本稿では一般化双曲非対称 t 分布を説明する）
一般化双曲非対称 t 分布は以下のように定義される．まず，t が標準正規分布に従い，zt が以下の逆ガンマ分布に従うとする．





ν ν
ν
2ν 2
, μz = E[zt ] =,, σz2 = Var[zt ] =
.
2 2
ν−2
(ν − 2)2 (ν − 4)√
このとき，β(zt − μz ) + zt t の分布を一般化双曲非対称 t 分布と呼ぶ．
一般化双曲非対称 t 分布は，2 つのパラメータ (β, ν) によって，左右非対称かつ裾の厚い分布を表現できる．図 1 には，いくつかのパラメータの値に対する一般化双曲非対称 t 分布の密度（i）は，ν = 10 と固定したときの β = 0, −1, −2 に対する密度関数で関数が描かれている．図 1ある．β の値が負の場合，その絶対値が大きくなるにつれて，分布の歪みと裾の厚さのどちらも大きくなっている．一方，図 1（ii）
は，β = −2 と固定したときの ν = 15, 10, 5 に対する密度(3.1)

zt ∼ IG

図 1．一般化双曲非対称 t 分布の密度関数．（i）ν = 10 と固定し β = 0, −1, −2 の場合．
（ii）β = −2 と固定し ν = 15, 10, 5 の場合．

Realized Stochastic Volatility モデル

71関数である．ν の値が小さくなるほど，裾の厚さが大きくなり，歪み具合も大きくなっている．
一般化双曲非対称 t 分布は，β = 0 の場合，自由度 ν のスチューデントの t 分布となる．また，
ν → ∞ の場合，zt = μz となるので，β の値によらず正規分布となる．以上から，ν は裾の厚さ (または尖度) を，β は左右の非対称性 (または歪度) を，それぞれ表すパラメータと考えられるが，分布の非対称性と裾の厚さは，2 つのパラメータの値の組によって決まることに注意が必要である.
√β(zt −μz )+ zt t
では，式（2.6）の t を，分散を 1 に基準化した √に置きTakahashi et al.（2016）
2 2
β σz +μz

換えることにより，以下のモデルに拡張している．
√β(zt − μz ) + zt t

(3.2)
yt =
exp(ht /2),β 2 σz2 + μz
xt = ξ + ht + ut ,(3.3)

t = 1, . . . , T,

ht+1 = μ + φ(ht − μ) + ηt ,(3.4)

t = 1, . . . , T,t = 0, . . . , T − 1.

ここで，誤差項 (t , ut , ηt ) の分布は式（2.9）と同じである.
は，このモデルの MCMC を用いたベイズ推定法を提案しており，以Takahashi et al.（2016）
下この方法を簡単に説明する．このモデルのパラメータは第 2.3 節の RSV モデルのパラメー
タに一般化双曲非対称 t 分布のパラメータ (β, ν) が加わり，θ = (μ, φ, ση2 , ρ, ξ, σu2 , β, ν) となる．
また潜在変数は h = {ht }Tt=1 に一般化双曲非対称 t 分布の z = {zt }Tt=1 が加わる．パラメータ(μ, φ, ση2 , ρ, ξ, σu2 ) については第 2.3 節の RSV モデルと同じ事前分布を仮定する．新たなパラメータについては，ν の事前分布を πν (ν), β の事前分布に以下の正規分布を仮定する.
β ∼ N (mβ , s2β ).

(3.5)

これらの同時事前確率密度関数を π(θ), θ を所与としたときの y, h, z の同時確率密度関数をf (y, h, z|θ) で表せば，θ, h, z の同時事後確率密度関数 π(θ, h, z|y) はπ(θ, h, z|y)∝ f (y, h, z|θ)π(θ)
T

∝



×
×

1 − φ2σηT (1 − ρ2 )
Tν
2

T −1
2

(ν/2)
exp
Γ(ν/2)T(xt − ξ − ht )2
1
log zt + ht + ỹt2 +2
σu2T(β 2 σz2 + μz ) 2
exp
σuT

−

t=1

exp

−

1
× n0 +2 nu +2 exp
ση
σu

1
2



1
− 2
2ση



(1 − φ )h̄21 +T(ν − 2) log zt +

t=1

1
−
2

1 
(h̄t+1 − φh̄t − ρση ỹt )2
1 − ρ2
T −1

2

ν
zt



t=1

(ξ − mξ )2(μ − μ0 )2
S0
Su
+ 2 +
+ 2
2
σ0
ση
s2ξ
σu

となる．ただし，


ỹt =




πφ (φ)πρ (ρ)πν (ν)β 2 σz2 + μz ȳt − β(zt − μz )√zt

である．Takahashi et al.（2016）では，まずモデル・パラメータと潜在変数の初期値を設定し，以下のように MCMC によるベイズ推定を行う.

統計数理

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第 68 巻 第 1 号 2020

（1）μ|φ, ση2 , ρ, ξ, σu2 , β, ν, h, z, y からサンプリングする.
（2）
φ|ση2 , ρ, μ, ξ, σu2 , β, ν, h, z, y からサンプリングする.
（3）(ση2 , ρ)|φ, μ, ξ, σu2 , β, ν, h, z, y からサンプリングする.
（4）
ξ|φ, ση2 , ρ, μ, σu2 , β, ν, h, z, y からサンプリングする.
（5）
σu2 |φ, ση2 , ρ, μ, ξ, β, ν, h, z, y からサンプリングする.
（6）h|θ, z, y からサンプリングする.
（7）β|φ, ση2 , ρ, μ, ξ, σu2 , ν, h, z, y からサンプリングする.
（8）
ν|φ, ση2 , ρ, μ, ξ, σu2 , β, h, z, y からサンプリングする.
（9）z|θ, h, y からサンプリングする.
ステップ（1）（6）–は RSV モデルと同様にサンプリングできる．ステップ（7）（9）の具体的なサ–ンプリングについては，Takahashi et al.（2016）を参照されたい．
一般化双曲非対称 t 分布では，分布の裾の厚さと非対称性の双方が，モデルのデータへの適合度や予測精度の改善に貢献すると考えられる．非対称性が貢献しているかどうかはパラメー
タ β が 0 と異なるかどうかにより判断することが可能であり，裾の厚さについては自由度 νの大きさによりある程度は貢献度を測ることができる．Takahashi et al.（2016）は，日経 225と S&P500 のデータについて，一般化双曲非対称 t 分布を用いることにより，モデルのデータへの適合度が改善されることを示していることに加えて，ボラティリティと VaR および期待
ショートフォールの予測精度が改善されることを示している．また，Nugroho and Morimoto（2014）は TOPIX のデータについて，Nugroho and Morimoto（2016）は 6 つの株価指数（日経225, S&P500, FTSE, Nasdaq100, DAZ, DJIA）について，それぞれ一般化双曲非対称 t 分布を用いることによりモデルの適合度が改善されることを示している. これらの実証結果では，パラメータ β が負となる事後確率が非常に高くなる一方，自由度 ν の事後平均は 22 から 32 と比較的大きく，日次リターン分布の非対称性を考慮することの重要性が示唆されている.
3.2 ボラティリティの定式化の拡張
3.2.1 長期記憶性
これまで多くの実証分析において，高頻度データを用いて計算される RV には長期記憶性が存在すると指摘されている（例えば，Andersen et al., 2001a）．定常な確率過程 zt の自己相∞
関関数 ρ(s) = Corr(zt , zt−s ) が s=0 |ρ(s)| = ∞ であるとき，zt は長期記憶定常過程と呼ばれる．その長期記憶性をもつ代表的な確率過程に，自己回帰実数和分移動平均（Autoregressive
過程があり，ht の ARFIMA(p, d, q) 過程はFractionally Integrated Moving Average, ARFIMA）
次のように定義される.
(3.6)(1 − L)d Φ(L)(ht+1 − μ) = Θ(L)ηt ,t = 0, 1, . . . , T.

ただし，ηt は誤差項でホワイトノイズ，L は Li ht = ht−i となるようなラグ・オペレータ,
Φ(L) = 1 − φ1 L − · · · − φp Lp , Θ(L) = 1 − θ1 L − · · · − θq Lq である．d = 1 であるときには，
ARIMA(p, 1, q) 過程となり，非定常である．一般に(3.7)(1 − L)d = 1 +∞d(d − 1) · · · (d − j + 1)

j!

j=1

(3.8)

γ0 = 1,

γj+1 =(−L)j = 1 +j−dγj , j ≥ 0,
j+1

∞


γj Lj ,

j=1

であり，パラメータ d が長期記憶性を説明するパラメータ節約的なモデルとなっている.

Realized Stochastic Volatility モデル

73

ARFIMA モデルは |d| < 0.5 の場合に定常になるが，RV に ARFIMA モデルを適用した実証分析では，多くの場合，d の推定値は 0 < d < 0.5 であることが知られている（Andersen et al.,
2003; Giot and Laurent, 2004; 渡部・佐々木, 2006）．そこで，0 < d < 0.5 もしくは |d| < 0.5という制約を加えて推定することも多い（Koopman et al., 2005; Nishino and Kakamu, 2013）
が，そうした制約を課さないと d の推定値が 0.5 を超えることもある（Ubukata and Watanabe,．
2014; Shirota et al., 2014）
SV モデルにおいても，潜在変数 ht に ARFIMA モデルを用いた研究が複数ある（Breidt
が，特に Shirota et al.（2014）は RV の情報を観測
et al., 1998; So, 2002; Ruiz and Veiga, 2008）
方程式として以下のように明示的にとりいれている.
(3.9)

yt = exp(ht /2)t ,t = 1, 2, . . . , T,

(3.10)

xt = ξ + ht + ut ,t = 1, 2, . . . , T,

(3.11)d(1 − L) Φ(L)(ht+1 − μ) = Θ(L)ηt ,t = 0, 1, . . . , T − 1.

ここで，誤差項 (t , ut , ηt ) の分布は式（2.9）と同じである. Shirota et al.（2014）は，モデル・パラメータの推定を行うために，まず Chan and Palma（1998）と同様に ARFIMA 過程を十分な√数の有限次元の MA(q ∗ ) 過程で近似し (q ∗ > T )，状態空間モデルのためのベイズ推定を効率的な MCMC アルゴリズムで行っている. 提案されたモデルは，1996 年から 2009 年の日次
S&P500 株価指数リターンとその RV に適用され，RSV モデルや superposition モデル（第 3.2.2節）
よりも，あてはまりもボラティリティ予測精度も良いことが示されている. ただし，RV の長期記憶性は構造変化による見せかけの長期記憶性の可能性がある．長期記憶モデルではない（2.7）の μ を平が，構造変化を捉えるモデルとして，高橋（2014）では，RSV モデルにおいて式関数によって時変にした平滑推移 RSV モデルを提案している．
滑推移（smooth transition）
3.2.2 Superposition モデル
ARFIMA モデルのほかに，対数ボラティリティの長期記憶性を表現する方法としてしばしば用いられるのが superposition モデルである．superposition モデルでは，対数ボラティリティがK 個の独立な ARMA 過程に従う対数ボラティリティの和として表現される．SV モデルにおいては superposition モデルのあてはまりが良いことが先行研究において知られている（Omori
が，Dobrev and Szerszen（2010）
はこれを RSV モデルに拡張して，対数ボラティリ
et al., 2007）
ティが 2 個の独立な AR(1) 過程に従う対数ボラティリティの和として表現されるモデルとし，また日次リターンにジャンプを表現する項も追加した．さらに Koopman and Scharth（2013）は，対数ボラティリティが K 個の独立な AR(1) 過程に従う対数ボラティリティの和として表現される，より一般的な以下のようなモデルを提案した．

(3.12)

yt = exp(3.13)

xit = ξi +

μ+

K

j=1

αjt

2
K


αjt + uit ,



t ,

t = 1, 2, . . . , T,

t = 1, 2, . . . , T,i = 1, . . . , p,

j=1

(3.14)

αj,t+1 = φj αjt + ηjt ,ηjt ∼ N (0, ση2j /(1 − φ2j ))j = 1, . . . , K,

t = 1, . . . , T − 1.

は高頻度データから計算される複数の RM (RMi,t ) を導入し，さKoopman and Scharth（2013）
らにリターンの誤差項 t と観測誤差 uit の相関を考慮するなどの拡張を行い，パラメータの推定法として 2 段階推定法を提案した．superposition モデルは，比較的少ないパラメータ数で長期記憶性を表現することができるが，K の値や αjt の ARMA 過程の次数をどのように決める

74

統計数理

第 68 巻 第 1 号 2020

かは明らかではない. さらに RM の観測方程式の個数 p を増やしすぎると，そのバイアスを補正するべき日次リターンの観測方程式の相対的なウェイトが小さくなってしまうので，K の値を変えることで予測の評価が改善できるかどうかを精査していく必要がある. 提案手法は 1993年から 2010 年までの，9 つの米国の株式収益率のデータに，RK などの 3 つの RM (p = 3) とともに適用され，RK の予測において他のモデルよりも精度が良いことを示している．石原（3.14）に曜日，月，休日前と後（2015）は，Koopman and Scharth（2013）のモデルの式（3.13），のダミーを加えて推定を行い，日経 225 のボラティリティと複数の RM の暦効果について分析を行っている.
3.2.3 Box-Cox 変換
RM の観測方程式では，非負制約をはずすために xit = log RMit のように RMit の対数変換を行った．その際，観測方程式では ξ というパラメータを導入することでバイアス補正を行った．これに対してより広いクラスの変換を考えてバイアスの補正を行う拡張が，Nugroho and, Nugroho and Morimoto（2016）, Zheng and Song（2014）
により行われている.
Morimoto（2014）
は，Koopman and Scharth（2013）の superposition モデルにおいて，式
Zheng and Song（2014）（3.13）の xit = log RMit を拡張して下記のような Box-Cox 変換を考えた.

(3.15)

xit =

λi
(RMit
− 1)/λi ,log RMit ,if λi = 0,if λi = 0.

提案モデルは，2003 年から 2012 年までの，5 つの日次株価指数リターンについて，RV と RKの 2 つの実現尺度を用いて適用されているが，ボラティリティの予測精度については株価指数
やボラティリティの代理変数に何を選ぶかに依存している．Nugroho and Morimoto（2014）では，RSV モデルのリターンの分布を一般化双曲 t 分布や非心 t 分布に拡張し，RV に指数変換，
Yeo-Johnson 変換，modulous 変換を適用し，また Nugroho and Morimoto（2016）
では Box-Cox
変換を適用している．
4.

日経 225 株価指数への応用

4.1 データと基本統計量
本節では，SV モデルと RSV モデルを日経 225 株価指数に応用する．サンプル期間は 2007
年 1 月 4 日から 2016 年 12 月 30 日までの 10 年間で，サンプルサイズは 2,449 である．日次リ
ターン（%）は各営業日の終値の対数階差により算出した．また，日経 225 株価指数の 1 分ごとを計算し，バイアスを考慮した RK を算出した（詳の価格の対数階差として日中リターン（%）
しくは大森・渡部, 2013 および Ubukata and Watanabe, 2014 を参照されたい）．大森・渡部
では，通常の RV を用いた RSV モデルの場合，MMN によるバイアスを完全には捉えき（2013）
れないことが示されている．そこで，本稿では，式（2.8），（3.3）の xt としてバイアスを考慮した RK の対数値を用いて，RSV モデルを推定する.
図 2 には日次リターンと RK の対数値（log RK ）の推移が，図 3 にはヒストグラムが描かれている．また，表 1 にはこれらの基本統計量が計算されている．まず，日次リターンを見ると，平均は 0 から有意に乖離していない．また，LB(10) は 1 次から 10 次までの自己相関がすべて0 であるという帰無仮説を検定するための Ljung and Box（1978）
統計量の p 値であり，Diebold（1988）の方法により分散不均一性を調整している（詳しくは渡部, 2000, 1.5.1 節を参照されたい）．この統計量の p 値によると，日次リターンに自己相関がないという帰無仮説は有意水準10% でも棄却されない．したがって，日次リターンは平均も自己相関も有意でないので，SV モの yt として，日次リターンをそのまま用いることがで
デルの式（2.1）や RSV モデルの式（2.6）

Realized Stochastic Volatility モデル

75

図 2．（a）日次リターン（%）と（b）RK の対数値の推移．

図 3．（a）日次リターン（%）と（b）RK の対数値のヒストグラム．実線は，それぞれの平均値と標準偏差に対応した正規分布の確率密度関数．

きる．さらに，歪度は有意に負となっており，尖度は正規分布の 3 よりも有意に大きい．JB はの p 値であり，分布が正規分布に従うという帰無仮説を検定するための Jarque and Bera（1987）（a）のヒス
日次リターンが正規分布に従うという帰無仮説は有意水準 1% でも棄却される．図 3
トグラムからも，日次リターンが正規分布から乖離していることは明らかである．第 3.1 節で述べたように，日次リターンの裾の厚さはボラティリティの変動だけでは十分に捉えられない
場合があり，有意な非対称性も観測されている．以下では，日次リターンの分布として，正規分布だけでなく一般化双曲非対称 t 分布を用いた SV モデルおよび RSV モデルを推定する．
次に，RK の対数値を見ると，LB(10) から自己相関がないという帰無仮説は有意水準 1% で棄却される．これはボラティリティ・クラスタリングと整合的である．また，歪度は有意に正となっており，尖度は正規分布の 3 よりも有意に大きい．JB の値からも，RK の対数値が正規（b）のヒストグラムからも，RK分布に従うという帰無仮説は有意水準 1% で棄却される．図 3の対数値が正規分布から乖離していることがわかる．したがって，RK の対数値の分布につい

統計数理

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第 68 巻 第 1 号 2020

表 1．日次リターン（%）と RK の対数値の基本統計量．サンプル期間は 2007 年 1 月 4 日〜
2016 年 12 月 30 日．サンプルサイズは 2,449．括弧内の数値は平均の標準誤差を表し，歪度と尖度の標準誤差はそれぞれ 0.049 と 0.099 である．JB は分布が正規分布に従うという帰無仮説を検定するための Jarque and Bera（1987）統計量の p 値を表す．
LB(10) は 1 次から 10 次までの自己相関がすべて 0 であるという帰無仮説を検定するの方法により分散不均
ための Ljung and Box（1978）統計量の p 値で，Diebold（1988）
一性を調整している．

ても正規分布からの拡張も考えられるが．このような拡張は今後の課題として，RK の対数値には正規分布を用いた RSV モデルを推定する．
4.2 各モデルの推定結果
まず，日次リターンに正規分布を用いた SV モデルの各パラメータの事前分布は以下のように設定した.
μ ∼ N (0, 10),

φ+1
∼ B(20, 1.5),2ση2 ∼ IG(2.5, 0.025),

ρ+1∼ B(1, 2).
2

ここで，B(a, b) はパラメータ (a, b) のベータ分布を表す．これらのパラメータについては，
RSV モデルでも同じ事前分布を用いた．また，RSV モデル固有のパラメータについては，以下の事前分布を設定した．
ξ ∼ N (0, 1),σu2 ∼ IG(2.5, 0.1).

さらに，日次リターンの誤差項の分布に用いる一般化双曲非対称 t 分布のパラメータの事前分
布については，以下のように設定した．
β ∼ N (0, 1),

ν ∼ G(5, 0.5)I(ν > 4).

ここで，I(·) は指示関数であり，ν > 4 は式（3.1）の σz2 を有限にするため，すなわち，日次リ
ターンの 4 次モーメントを有限にするためである．また，t 分布を用いる場合は，β = 0 と固定した．
表 2 と表 3 には，日次リターンの誤差項に正規分布，t 分布，一般化双曲非対称 t 分布を用（それぞれ SV-N，SV-T，SV-GH-ST とする）と RSV モデル
（それぞれ RSV-N，
いた SV モデル
RSV-T，RSV-GH-ST とする）の推定結果がまとめられている．表には，5,000 回のサンプルを
burn-in として捨て，それ以降の 20,000 回のサンプルを使って計算した各パラメータの事後平（非効率性因子）の値を掲載している．
均，事後標準偏差，95% 信用区間，CD 統計量の p 値，IF
平均と標準偏差は，それぞれ各パラメータの burn-in 以降の 20,000 個のサンプルの標本平均と標準偏差として計算した．95% 信用区間は，サンプルを大きさの順に並べ替え，上 2.5% と下
2.5% の値として求めた．CD 統計量は，サンプルの分布が事後分布に収束しているかどうかを検定する Geweke（1992）によって提案された収束診断（Convergence Diagnostic，CD）統計量
である．IF は，標本平均の標準誤差をランダム・サンプリングと同じにするためにランダム・
サンプリングの何倍の回数サンプリングを行う必要があるかを表す非効率性因子（Ineﬃciency
Factor，IF）
である（CD 統計量と IF の具体的な計算については，例えば大森・渡部, 2013 を参照されたい）．なお，以下の実証分析の結果については，ση や σu をパラメータとして結果をRealized Stochastic Volatility モデル

77

表 2．SV モデルのパラメータの推定結果．サンプル期間とサイズは表 1 と同様．MCMC
により 25,000 回サンプリングを行い，最初の 5,000 回を burn-in として捨て，残りの 20,000 回のサンプルを使って推定した．平均と標準偏差はサンプルの標本平均と標
本標準偏差として計算した．95% 信用区間は，サンプルを大きさの順に並べ替え，上2.5% と下 2.5% の値として求めた．CD は，burn-in 以降の 20,000 個のサンプルの分（convergence
布が事後分布に収束しているかどうかを検定する Geweke（1992）の CD
diagnostic）統計量の p 値である．IF は，標本平均の標準誤差をランダム・サンプリングと同じにするためにランダム・サンプリングの何倍の回数サンプリングを行う必要があるかを表す非効率性因子（ineﬃciency factor）である．

表示する.
CD 統計量の p 値は，RSV-T モデルの ση と σu がそれぞれ 10% と 5% をわずかに下回るが，それ以外のすべてのパラメータについて 10% を上回っており，推定に使った burn-in 以降の20,000 回のサンプルが事後分布に収束しているという帰無仮説は，少なくとも有意水準 1% で受容される．また，非効率性因子の値は SV モデルよりも RSV モデルが低くなっており，SV-N
モデルと RSV-N モデルに共通するパラメータ (μ, φ, ση , ρ) すべてで，SV モデルよりも RSV モ
デルの方が標準偏差が小さくなっている．これらの結果から，RV をデータとして加えること
によりサンプリングがより効率的になると考えられる.
すべてのモデルに共通するパラメータ (μ, φ, ση , ρ) の推定結果を見ると，μ については，すべてのモデルで同様の推定値が得られている．φ については，SV モデルよりも RSV モデルの事
後平均が若干低いものの，すべてのモデルで同様の推定値が得られている．すなわち，φ の事
後平均と 95% 信用区間はいずれも 1 に近く，日経 225 株価指数のボラティリティにも高い持続性があることを示している．ρ については，SV モデルよりも RSV モデルの推定値が 0 に近くなっているが，すべてのモデルについて事後平均は負で，95% 信用区間も 0 を下回っている．
この結果から，日経 225 株価指数のボラティリティも，株価が上がった翌日より下がった翌日の方がより上昇する傾向があることがわかる.

78

統計数理

第 68 巻 第 1 号 2020

表 3．RSV モデルのパラメータの推定結果．サンプル期間とサイズおよび推定の方法は表 2と同様．

また，RSV モデルに固有のパラメータ (ξ, σu ) の推定結果を見ると，RM のバイアスを表す
パラメー タ ξ の事後平均は，すべての RSV モデルでおおよそ −1 と負の値で，95% 信用区間
も 0 を下回っている．RK でマイクロストラクチャー・ノイズによるバイアスがほぼ除去されているとすると，ξ の事後平均が負となっているのは，夜間と昼休みを無視したために 1 日のボラティリティを過小評価していることによるものと考えられる．ση については，すべてのRSV モデルで同様の推定値が得られている.
さらに，t 分布および一般化双極非対称 t 分布のパラメータ (ν, β) の推定結果を見ると，裾の厚さを表す ν については，SV モデルよりも RSV モデルの推定値が大きくなっている．一方，非対称性を表す β については，SV モデルよりも RSV モデルの推定値が 0 に近くなってい
るが，どちらのモデルでも事後平均は負で，95% 信用区間も 0 を下回っている．したがって，
RM を加えることにより，日次リターンの誤差項の分布について裾の厚さと非対称性の程度がどちらも小さくなっていると考えられる．この結果の解釈については，以下の周辺尤度によるモデル比較でより詳しく述べる．
4.3 周辺尤度によるモデル比較の方法に従い，対数周辺尤度とそ各モデルのデータへの適合度を比較するため，Chib（1995）

Realized Stochastic Volatility モデル

79

表 4．SV モデルと RSV モデルの対数周辺尤度．サンプル期間とサイズは表 1 と同様．括弧内の数値は標準誤差を表す．尤度関数部分については，3,000 個の粒子を用いた補助粒
子フィルタによる推定を 10 回行い，その平均値と標準誤差を求めた．事後確率密度関数部分については，Chib and Greenberg（1995）と Chib and Jeliazkov（2001）に従
い，3,000 回の追加サンプリングにより求めた．

表 5．SV モデルと RSV モデルのボラティリティ（exp(h/2)）の推定値で基準化した日次リ
ターンの基本統計量．サンプル期間とサイズおよび各基本統計量の計算方法は表 1 と同様．

の標準誤差を計算した結果が，表 4 にまとめられている．尤度関数部分については，3,000 個の粒子を用いた補助粒子フィルタ（Pitt and Shephard, 1999; Omori et al., 2007）による推定を 10回行い，その平均値と標準誤差を求めた．また，事後確率密度関数部分については，Chib andGreenberg（1995）と Chib and Jeliazkov（2001）
に従い，3,000 回の追加サンプリングにより求め（modiﬁed harmonic
た．なお，周辺尤度の計算方法には他にも Geweke（1999）の修正調和平均がよく用いられるが，この方法では，完全な尤度ではなく潜在変数を条件とする条件付
mean）
き尤度を用いると，周辺尤度の推定値にバイアスが生じることを Chan and Grant（2015）が示しているので，注意が必要である．
表 4 の対数周辺尤度によると，SV モデルでは一般化双曲非対称 t 分布，RSV モデルでは正規分布が選択される．表 2 と表 3 を比べると，一般化双曲非対称 t 分布では，裾の厚さを表す
ν の推定値は RSV モデルの方が高く，分布の非対称性を表す β の推定値は SV，RSV ともに負の値になっているが，RSV の方がより 0 に近い値になっており，周辺尤度の結果と整合的である．これは，リターンが極端な値になった時に RK が大きな値になるので，RSV モデルでは真のボラティリティも大きくなり，真のボラティリティで割って基準化したリターンの分布の裾が薄くなるものと解釈できる．また，特にリターンが極端な負の値になった時に RK が大きな値になるので，RSV モデルでは基準化したリターンの分布の非対称性が小さくなるものと解釈できる.
表 5 は，各モデルの真のボラティリティ exp(ht /2) の事後平均で基準化した日次リターンの基本統計量であり，図 4 はそれらのヒストグラムである．ヒストグラムからは，すべてのモデルについて正規分布との乖離に差はないように見える．基本統計量を見ると，すべての SV モ

統計数理

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第 68 巻 第 1 号 2020

図 4．SV モデルと RSV モデルのボラティリティ（exp(h/2)）の推定値で基準化した日次リ
ターンのヒストグラム．実線は，それぞれの平均値と標準偏差に対応した正規分布の確率密度関数．横軸の範囲は [−3.5, 3.5]，縦軸の範囲は [0, 0.45]．

デルについて歪度は有意に負で，SV-GH-ST モデルについては尖度も有意に 3 より高くなっている．JB の値から基準化したリターンが正規分布に従うという帰無仮説は有意水準 1% で棄却される．したがって，誤差項には一般化双曲非対称 t 分布が適していることがわかる．一方，RSV モデルについては，正規分布を用いた場合に，歪度は最も 0 に近く有意に乖離していない．また，すべての RSV モデルについて尖度は有意に 3 より小さくなっている．JB の値か
らは基準化したリターンが正規分布に従うという帰無仮説は有意水準 1% で棄却されるが，SVモデルと比べると基準化したリターンの歪度は 0 に近く，正規分布に近い．これらの結果は，上記の周辺尤度の結果と整合的である．ただし，これは本稿で用いたデータでの結果であり，一般的に RSV モデルにすると誤差項の分布は正規分布で良いということではないので，注意
されたい.
5.

おわりに

本稿では，RSV モデルおよびその拡張モデルとそれらの MCMC を用いたベイズ推定についRealized Stochastic Volatility モデル

81て解説した．また，日経 225 株価指数の日次リターンと RK を用いて，リターンの誤差項の分
布を一般化双極非対称 t 分布に拡張した SV モデルと RSV モデルを推定し，周辺尤度によるモデル比較を行った．その結果，SV モデルについては，リターンの裾の厚さと非対称性を捉えるために一般化双極非対称 t 分布が有効である一方，RSV モデルについては分布の拡張は必ずしも必要ではないということが明らかになった．ただし，これは本稿で用いたデータでの結果であり，一般的に RSV モデルにすると誤差項の分布は正規分布で良いということではない.
RSV モデルは，本稿で解説したモデル以外にも様々な拡張が提案されている．例えば，日次
リターン分布の裾の厚さと非対称性を捉えるために，一般化双極非対称 t 分布の他にも Azzalini
and Capitanio（2003）
や Fernández and Steel（1998）が提案した非対称 t 分布を用いることも考えられる．また，本稿では 1 変量モデルを考えたが，RSV モデルの多変量モデルへの拡張も重要であり，盛んに研究が行われている（Shirota et al., 2017; Kurose and Omori, 2020; Yamauchi．RSV モデルにはまだまだ改良の余地があり，上記の拡張も含めて今後も発and Omori, 2019）
展が期待される.
謝辞

本稿は科学研究費補助金基盤研究 (A) 17H00985，19H00588 と一橋大学社会科学高等研究院
を通じて文部科学省から助成を受けている. 本稿の作成にあたり，編集委員と匿名の査読者から貴重なコメントを頂いた．また，本稿で用いた日経 225 株価指数の RK のデータは，Ubukataに基づいて生方雅人氏（明治学院大学）に計算して頂いた．ここに記してand Watanabe（2014）
深く感謝の意を表したい．

参

考

文

献

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Realized Stochastic Volatility Model—Extensions and Application to Japanese Stock Index—
Makoto Takahashi1 , Yasuhiro Omori2 and Toshiaki Watanabe3
1 Faculty of Business Administration, Hosei University
2 Graduate School of Economics, University of Tokyo

3 Institute of Economic Research, Hitotsubashi University

Realized volatility (RV), which is the sum of squared intraday returns over a certain
interval (such as a day), has widely been used as an estimator of the ﬁnancial volatility.
In the real market, however, the presence of non-trading hours and market microstructurenoise in transaction prices may create bias in the RV. Taking account of this bias, several studies propose modeling daily returns and RV simultaneously. The resultant model,
based on the stochastic volatility (SV) model, is called the realized stochastic volatility(RSV) model. Because the likelihood of the RSV model, as well as the SV model, is diﬃcult to evaluate analytically, the Bayesian estimation method via the Markov chain Monte
Carlo (MCMC) is often used. In this article, we explain the RSV model, its Bayesian estimation method via MCMC, and several extensions of the RSV model. Further, we apply
the models to the Nikkei 225 stock index and explain the estimation results.

Key words: Markov chain Monte Carlo, realized volatility, stochastic volatility model.