「初歩の物理」補充問題解答
第１章(1) この人の現在位置は、1 辺２km の長さが等しい 2 つの辺で挟まれる、角が 120°となる２等辺三角形の底辺の端なので、原点から３km 東、北であり、原点からの直線距離が２
速２

3 km

3 km となることから、平均速度は時3 ＝3.464 km である。平均速度<ｖ> （ベクトル）は最初の 30 分間の速度を v1、次の 30 分間の速度を v2 とすれば
<ｖ> ＝

v1 + v 22で表される。

<ｖ>

ｖ２
30°

ｖ1

(2) 光が光速ｃで長径ｒを伝わる時間をｔとするとｃ＝ｒ/ｔより
ｔ＝ｒ/ｃ＝9.5×1020/ 3×108 ＝3.15×1012 [ｓ](3) 上の問題と同様にｃ＝ｒ/ｔより
ｒ＝ｃｔ＝ 8.8×3×108 ＝2.64×109[m](4) １モルには 6×1023 個の原子が含まれているので、縦、横、高さのそれ
ぞれの方向に3

6 ´ 10 23 ＝8.44×107 個ずつ原子を並べていけばよい。

a ＝ 2×0.503×10-10×8.44×107＝8.9×10-3 [m](5) (a) 地球の半径をｒとすると、自転は 1 日かかって２πｒの距離だけ動く
ので、この速度は
ｖa ＝ ２π・6378×103/ 24・60・60 ＝4.638×102 [m/s](b) 地球の公転の平均半径をＲとすると、地球は 1 年かかって２πＲの距
離だけ動くので
ｖb ＝ ２π・1.496×1011/ 365・ 24・60・60 ＝2.98×104 [m/s]∴ｖb /ｖa ＝ 64.3
(6) 位置ベクトルｒを時間ｔで微分すれば速度が、さらにその速度をもう一
度時間ｔで微分すれば加速度となることから
v = dr/dｔ= 2Ct 、 a = dv/dt = 2C
グラフは次のようになる。
1

r

r

0

t

v

2C

a

t

1

2C

t

0

(7) 前問と同様に、位置ベクトルｒ を時間ｔで微分すれば速度が、さらに、その速度をもう一度時間ｔで微分すれば加速度となることから
v＝dr/dt＝2πfr0cos２πft
a＝dv/dt＝‐(2πf )2r0sin２πft
これらより、速度の最大値は振動数（周波数）ｆに、また、加速度の最大値
はｆ2 に比例することがわかる。

第2章(1) 車の質量ｍと加速度 a がわかっているので、車に加わっている力ＦおよびＦとｍｇとの比はF＝ｍa ＝103[kg]・2×103 /(60×60) [m]/1[s]＝5.56×102 [N]F/ｍg ＝5.56×102/(9.8×103) ＝5.67×10-2(2) 万有引力は F＝－Gｍ2/r2 で表されるので、これに G ＝6.673×10-11 と与えられたｍ、r を代入して
F＝－Gｍ2/r2＝‐6.673×10-11 ×(1.673×10-27)2/(10-9)2＝-1.8677×10-46 [N] （引力）(3) 前問と同様に F＝－Gｍ2/r2 に G＝6.673×10-11、与えられたｍ、r、R を代入してFE-M＝－GMｍ/r2＝‐6.673×10-11×5.974×1024×7.348×1022/(3.8×105×103)2＝- 2.029×1020 [N]2

FE-S＝－GMｍ/R2＝‐6.673×10-11×1.989×1030×5.974×1024/(1.5×108×103)2＝- 3.524×1022 [N]FE-S/FE-M＝ 173.7(4) 車の加速度を a、質量をｍとすると、車に加わっている力は F=ｍa であり、これが摩擦力 F=μｍg を超えるとスリップする。したがってギリギリの条件は、
ｍa＝μｍg∴ a ＝0.5g ＝4.9 [m/s2](5) 複数の力が同時に１つの物体に働いて釣り合っている時、それらの力の総和（ベクトルの和、合力）がゼロになる。これはｘ、ｙ、ｚの各成分の和がそれぞれゼロになることである。

Fa＋Fb = (Ax i + Ay j + Az k)＋(Bx i + By j + Bz k)= (Ax + Bx )i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k) ＝0∴Ax + Bx =0, Ay + By =0, Az + Bz =0(6) 3 つ目の力の合力の成分を F (x,ｙ,z) とすれば、F1(2,-5,3)、F2(4,6,-5)の和F(x,ｙ,z)＋F1(2,-5,3)＋F2(4,6,-5)＝０が０になることから合力のｘ成分；2+4+ｘ=0,∴ｘ= -6 [N]ｙ成分； -5+6+ｙ=0,
ｙ= -1 [N]ｚ成分； 3-5+ｚ=0,
ｚ= 2 [N](7) 車が滑り落ちようとする力は mg sinθ、それを止めようとする静止摩擦
力はμmg cosθであるから、μmg cosθ＝mg sinθ、 ∴μ＝tanθ

－mg cosθ－μmg cosθ

mg sinθmg cosθmgθ(8)(a) 物体とテーブルクロスの上面と下面の両方がすべる条件はＦ＞(μ1＋μ2)Ｍｇ＝0.6Ｍｇ(b) 物体にはテーブルクロスとの間のすべり摩擦が働いているので
Ｍa ＝μ1’Ｍｇ＝0.1Ｍｇ∴a ＝0.1ｇ
物体の運動方程式は Ｍa ＝0.1Ｍｇ、書き換えて Ｍ
この解は

ｒ＝ 0.49ｔ2

テーブルクロスについての運動方程式は
3d 2r= 0.98 Ｍ
dt 2

ｍA ＝ｍ

この解は

d 2r＝Ｆ－(μ1’＋μ2’)Ｍｇ＝Ｆ－0.2 Ｍｇ
dt 2

ｒ ＝

F - 1.96M 2ｔ2m(c) テーブルクロスが抜けて、物体がテーブル上をすべるとき、物体が受ける力はそれを止める方向に働くすべり摩擦なので、物体の運動方程式は

d 2r
Ｍa ＝－0.1Ｍｇ ∴ Ｍ 2 = -0.98 Ｍ
dt
この解は

ｒ＝ －0.49ｔ2(d) 物体がテーブルの端に到達するまでの中間点（すなわち、ｒ＝0.25 [m]のところ）で、ちょうどテーブルクロスの端が抜ける条件を調べればよい。
物体が中間点に達するまでの時間はｒ＝ 0.49ｔ2＝0.25 よりｔ2 ＝0.510、
さらに、この時テーブルクロスの移動距離が 0.75 [m] を越えればよい（テーブルクロスの他端は、最初はテーブルの向こう側の端にあったことに注意せよ）ので、ｒ ＝

F - 1.96 M 2
ｔ にｒ＝0.75、ｔ2 ＝0.510 を代入して（等m

号を不等号に変えて）

F - 1.96 M
0.75＞＝1.471 すなわち、 Ｆ＞ 1.96Ｍ＋1.471ｍ
m
0.510

第３章
(1)
(a)

V= at の両辺をｔで積分すればｒになることからòtｒ＝ Vdt ＝
0

(b)

ò

t

0

t

1

ò bt dt ＝ 3 at
2

30

V= ct-1 の両辺をｔで積分すれば

òtｒ＝ Vdt ＝
1

(d)

2

0

同様に V= bt2 の両辺をｔで積分すれば

ｒ＝ Vdt ＝

(c)

1

t

ò atdt ＝ 2 att

ò ct dt ＝ｃlogｔ-1

1

V= dt-2 の両辺をｔで積分すれば

òtｒ＝ Vdt ＝1tò dt dt ＝－ｄ(ｔ -1)
-2

-1

1

(2) 上の(1)の(c), (d)の積分範囲を時刻 t1 から t2 までとすればよいので、
t2

(c)

ｒ＝

ò ct dt ＝ｃ(logｔ -logｔ )

(d)

ｒ＝

ò dt dt ＝－ｄ(ｔ －ｔ )

-1

2

t1

t2

t1

-2

1

-1

-1

2

1

4

(3)
(a) 求める時間を t0 とすると、列車 A は等速運動なので V0＝L/t0 より
t0＝L/V0(b) 列車 B は最初 V0 から等加速度運動をするので

ｒ＝1
aｔ2＋V0ｔ2(c) 列車 B は半分の時間ｔ＝(1/2) t0 で距離ｒ＝L の地点に到着するので、上式にこれらを代入して、

1
8( L - V0 t 0 )
2
a ＝
t 02

1
4( L - V0 t 0 )2
ｔ2＋V0ｔ∴ｒ ＝
t 02(d) 下の図のようになる。図の緑色の三角形と長方形の面積が等しい。

V
3V0

B 列車

V0

A 列車

ｔ
ｔ0/ 2

0

ｔ0

(4) (a) 角度をラジアン単位で測れば中心角ωが見込む「円弧」の長さが1 秒間に動いた距離ｖになるので
ｖ＝ｒω(b) 1 秒後にｒベクトルがωだけ回転しているので下の図のようになる。

ｖ’
ｖ

O

ω

ｒ

5

(c) ｖ ’ ベクトルを平行移動してその始点をｖ の始点と一致させると下の図のようになり、２つのベクトルのなす角はωとなることがわかる。

ｖω
ｖ
ｖ’

ω

(d) 上の図の円弧の長さはｖωなので Δv ＝ｖωである。したがって、加速度の大きさ（１秒間のｖの変化）は a=vωとなる。
(5) 車が受ける遠心力の大きさは車の質量をｍとしてｍｖω（上の(4)の(d)の答えと F＝ｍa より）、これが摩擦力に等しいとして

ｍｖ2/R＝μｍｇ

∴

ｖ＝

mgR

(6) 電車に加わる遠心力－ｍω×ｖと重力ｍｇの合力 F に垂直にレール面を設定すればよいので、水平面からの傾き角は
tan θ＝ｖω/ｇ＝ｖ2/Ｒg(7) 円運動の速度は
v ＝ω×r＝ω(0,0,ω)×r (0,r,0)＝(0・0－ωr)i＋(0・0－ω・0)j＋(0・r－0・0)k＝v(-ωr, 0, 0)
加速度は
a ＝ω×v＝ω(0,0,ω)×v(-ωr, 0, 0)＝(0・0－0・ωr)i＋(0・0－ω・ωr)j＋(0・0－0・ωr)k＝a(0,－ω2r, 0)
遠心力は
F＝－ｍa ＝F(0,ｍω2r, 0)(8) 波長λを求めるには、波を表す式 y=Asin(kx-ωt) の sin の中が、まずｔ＝０（または一定）とおき、次にｘにｘ＝ｘ＋λを代入したとき、元より２πだけ増加すればよいことから
ｋλ＝２π∴λ＝２π/ｋ(9) 波の先端は 1 秒間に波長λをｆ回足し合わせた位置まで進んでいるので
ｖ＝ｆλの関係が成り立つ。
(10) (a) 加えた力Ｆとバネの伸びｘが比例すること、および力の方向はｘの逆方向であるからＦ∝ｘ∴Ｆ＝－ｋｘ(b) 上の式を運動方程式の形にするにはＦにｍd2x/dt2 を代入して

d 2x
m 2 = - kx
dt(c) サイン関数

x=Asinωt を上の運動方程式に代入する。ここで、

6

d (sin wt )= w cos wt 、dt

d (cos wt )= -w sin wt
dtの関係を思い出して、

d 2 ( A sin wt )k
= - Aw 2 sin wt = - ( A sin wt )2m
dt
この式の右辺と最右辺を比べてω2＝k/m であればよいことがわかる。このよ
うに x=Asinωt は波の方程式の解であることが示された。
∴w =

k
m

(11) 長さｌの振り子の周期は(3.22)式より4p 2 l∴g =T2

lT = 2pgとなり、長さと周期を測ってこの式に代入すればｇを求めることができる。
(12) まず、地球の表面で質量ｍの物体の受ける力は万有引力の式より

Ｆ＝ｍｇ＝Ｇ

2

M Em
RE

∴

2

地球の質量はR g
ME = EG

この式で地球の半径ＲE、万有引力の定数Ｇ、重力加速度ｇは地球上で測定できるので、地球の質量を求めることができる。
次に、月の表面で質量ｍの物体が受ける力は

Ｆ＝ｍｇ’＝Ｇ

MMm
RM

2

2

∴

月の質量は

RM g '
G

MM =

(1)

一方、月の回転周期Ｔは地球から測ることができるので、地球と月の間に働く万有引力と回転の遠心力が釣り合うことから

Ｇ

MEMM＝ＭＭＲω2R2月までの距離はＲ＝ 3

∴

GM E

w2

となり、このＲは求めることができる。さらに、地球から月の直径を見込む
角度は望遠鏡などを使って測定することができるので、この角をθとすると
月の半径は

ＲＭ＝

Rq
2

から求めることができる。これを(1)に代入し、さらに月面上で振り子を振らせる実験をすれば、その周期Ｔを測定してg'=

4p 2 lT2が得られるので、これらより月の質量ＭＭが求められる。
2

2

2

R g ' g 'q 2 3 G 2 M E
g 'q 2 3 M E
MM = M
＝
＝
G
4G
4
w4
Gw 4

7

第４章
(1) Ｗ＝F・r より仕事の単位は[N/m]である。したがって、[N/m]＝[J]（ジュール）となる。
(2) エネルギーとは、「仕事をすることができる能力」である。したがって、ある量のエネルギーがあれば、それに相当する仕事をしたり、熱を発生させたりすることができる。
(3) ある物体に外から仕事をすると、その仕事に相当するエネルギーを物体が得ることができる。また、エネルギーを持った物体は、そのエネルギーに相当する仕事をすることができる。
(4) 斜面に沿って物体を押し上げる力はｍｇsinθであればよいから
Ｗ＝ｍｇｘsinθ(5) (a) 観覧車に乗っている人は重力ｍｇに抗して高さ２Ｒだけ持ち上げられているからＷ＝ｍｇ・２Ｒ＝50・9.8・2・20＝ 1.96×104 [J]
となる。

ｍｇ
π/4－θ
dθ θ
dｒ

－ｍｇ
実際に確かめるには、図のように出発点からの観覧車の回転角をθとおき、そこから微小距離ｄｒだけ動く時の仕事
ｄＷ＝ｍｇｄｒcos(π/4 －θ)＝ｍｇsinθｄｒに ｄｒ＝Ｒｄθ の関係を代入し、θ＝０からπまで積分すればよい。
Ｗ＝p

ò mgR sin qdq ＝ mgR[- cos q ] ＝ｍｇ・２Ｒp00(b) 上の式でθ＝ωｔ、ｄθ＝ωｄｔとおき、積分範囲を０からｔまでとすれば
Ｗ＝

ò mgRw sin wtdt ＝ mgR[- cos wt ] ＝ｍｇＲ（１－cosωｔ）
t

t
0

0

(c) このときの仕事率（消費電力）は上の式をｔで微分して

Ｐ＝dW＝ｍｇＲωsinωｔdt

8

(6) (a) 摩擦や空気抵抗がないため、エネルギー保存則が成り立ち、

ｍｇＲ＝ｍｖ2/２

∴ｖ＝

2 gR

このときに乗客が受ける遠心力は
Ｆ＝ｍｖ2/Ｒ＝２ｍｇ
したがって、乗客の体重は普段の 3 倍になっているように見える。
(b) A 駅を出発してからｔ秒後に、A 駅と B 駅を結ぶ線の中点から列車を見込む角をθとおけばｍgRsinθ＝

1 2
mv
2

∴

ｖ＝ 2gR sin q

乗客が受ける遠心力は、水平面からθだけ傾いた方向に
Ｆ＝ｍｖ2/Ｒ＝２ｍｇsinθ
この力の水平方向成分と鉛直方向成分はそれぞれ２ｍｇsinθ・cosθ、 ２ｍｇsinθ・sinθ
一方、乗客が感じる地球からの重力ｍｇは鉛直方向であるので、この 2 つの力の合力の大きさはＦ＝２ｍｇ sin q cos q + (sin q + 1 / 2)
2

2

2

2

(c) A 駅を静かに出発してから任意の角θの位置までの所要時間ｔ[s] を求めるには、θの位置での列車の速度（(b)の答え）

ｖ＝ 2gR sin qをｔで積分すればよい。 （一般的にｘ＝t

ò vdt となることを学んだ） しか0

し、上の式はｔで直接積分できる形にはなっていないので、ｔで表される形にしなければならない。
そのために、ｖ＝R dθ/dｔの関係を用いて

R dθ/dｔ＝ 2gR sin q

∴

R
2g

dq
sin q

＝dｔ

両辺に積分記号をかけてθが０からθまで積分してｔ＝R q dq
2 g ò0 sin qと求められる。最後に、この式の中でθ＝πとおけばよい。
(7) どちらの物体（質点）についても万有引力は
Ｆ＝－ＧＭｍ/ｒ2であるから、位置エネルギーについても両者で同じ形で表され

Ｕ＝－

r

GMm

r0

2

ò- r

dr

位置エネルギーの基準点ｒ0 はｒ0＝０にとることはできない。この場合、
ｒ0＝∞を基準点にとる。
rGMm
é GMm ù
＝－
Ｕ＝－ ê
ú
r
ë r û¥(8) どちらの場合でも、高さが 1/2 になったとき、失った位置エネルギーは
ｍｇｈ/2 であり、これが運動エネルギーに変わっているので、結局、位置エネルギーと運動エネルギーの比は１：１である。
9

第５章(1) 運動量Ｐは「運動のいきおい」を表す物理量で、運動している物体の質
量ｍが大きいほど、また、速度ｖ が速いほど「運動のいきおい」は大きい。
Ｐはｍとｖに比例し、その比例定数を１と決められている。
Ｐ＝ｍｖ
また、Ｐの方向はｖの方向と同じである。さらにこの式から、ｖが変化しない限り、言い換えれば加速度が０であれば、すなわち外力が加わらない限り運動量は変化しない。
(2) 運動方程式 mdv/dt＝Ｆ の dt を右辺に移項し、両辺に積分記号を掛ければ（等式の両辺に同じ操作をしても、等式は成り立つことから）
v1

t1

v0

t0

ò mdv =ò Fdt
この左辺は積分できるので

ｍｖ0－ｍｖ1 ＝

t1

ò Fdt
t0

ここで、外力が加わらない場合には、すなわち、この式の右辺が０の場合には運動量の変化も０であることが示される。
(3) ２つの物体の１次元衝突で、衝突後のそれぞれの物体の速度はテキストの(5.6)で表されているので、これにｍ2＝２ｍ, ｖ2＝０, e＝0.7 を代入し、

V1’＝(m - 0.7 ´ 2m)v + 2m(1 + 0.7) ´ 00.4＝－v
m + 2m3

V2’＝

m(1 + 0.7)v + (2m - 0.7m) ´ 0 1.7v＝
m + 2m3(4) 角運動量Ｌは「回転のいきおい」を表す物理量で、回転している物体の質量ｍが大きいほど、また、速度ｖが速いほど、さらに回転の中心から見た質量ｍがある位置の位置ベクトルｒ（すなわち回転半径）が大きいほど「回転のいきおい」は大きい。Ｌはｍとｖ、ｒに比例し、その比例定数は１と決められている。またＬはｒとｖのなす角θが直角であるとき最大であり、平行であるとき（この場合はもはや回転はしていない）０とならなければならない、すなわち sinθにも比例するので、
Ｌ＝ｍｒｖsinθ
これをベクトル式で表すと
Ｌ＝ｍｒ×ｖ
また、Ｌはｒにもｖにも直角であり、その方向は右ねじの方向（ｒからｖの方向に右ねじを回して、それが進む方向）と定義されている。
次に、Ｌが保存される、すなわち時間変化しない（ｄＬ/dｔ＝０となる）
条件を調べるには、上の式をｔで微分してｄＬ/dｔ＝ｍdｒ/dｔ×ｖ＋ｍｒ×dｖ/dｔ＝ｍｖ×ｖ＋ｒ×ｍdｖ/dｔ＝ ０ ＋ｒ×Ｆ ＝ｒ×Ｆ
この式の最右辺は回転力（トルク）であり、「外から回転力が加わらない限
り、角運動量は保存される」ことが示された。
(5) 回転の運動方程式
ｄＬ/dｔ＝ｒ×Ｆ
は「外から回転力が加えられると角運動量が変化する」ことを示している。
10(6)地球の質量 ｍ＝5.974×1024 [kg]公転速度ｖ＝ｒω＝1.496×1011・２π/(365・24・60・60) [rad・s]
平均半径ｒ＝1.496×1011 [m]をＬ＝ｍｒｖ＝ｍｒ2ω に代入して
Ｌ＝ 5.974×1024×(1.496×1011)2・２π/(365・24・60・60)＝2.664×1040 [kgm2/s](7) 必要な物理定数は電子の質量； me= 9.1×10-31 [kg]e=-1.6×10-19 [C]
電気量；
真空の誘電率；ε0=8.854×10-12 [F/m]Bohr 半径；a0=0.53×10-10 [m]
まず、回転している電子の速度ｖを求めるために、向心力Ｆ＝ｍｒω2 ＝
ｍｖ2/ｒ がクーロン力によって発生していることを表す式（これを「クーロ
ン力＝遠心力 で釣り合っている」と考えてもよい）より

mv 2
e2
＝
r
4pe 0 r 2
∴ ｖ＝e2
4pe 0 rm＝

(1.6 ´ 10 -19 ) 2
4p ´ 8.854 ´ 10 -12 ´ 0.53 ´ 10 -10 ´ 9.1 ´ 10 -31＝ 2.18×106 [m/s]この値を用いて角運動量は
Ｌ＝ｍｒｖ＝9.1×10-31×0.53×10-10×2.18×106＝1.05×10-34 [kgm2/s]

第６章(1) 静電気を利用した物理分野の装置としては、バンデグラーフと呼ばれる加速器がある。小型のものは高電圧発生装置として使われ、物理学実験の授業で手軽に高電圧を得るのに利用されている。
日常生活の上では、静電気は邪魔になる場合がほとんどである。冬の乾燥した時期にセーターを脱ぐときなど、火花が見えることもある。ガソリンス
タンドで車にガソリンを入れる場合、体にたまった静電気をアースに逃がして火災事故を防ぐ。
(2) 電磁気学において、電気と磁気でクーロンの法則などで使用する単位系が歴史的に別々に定められてきたが、電磁気学の中に登場するすべての法則
や定理を表す数式を MKS-SI 単位系で統一した場合に、できるだけ複雑にならないように工夫されたものである。クーロンの法則の比例定数を１文字で表すと、それ以後登場する法則や数式は次第に複雑になってくる。
(3) クーロンの法則

F =

1
4pe 0

q1 q 2r2にｑ1＝ｑ2＝１ [C]、Ｆ＝１ [N]を代入して、

1 12＝ 9.48×104 [m]ｒ＝
4pe 0 1
同様に、ｑ1＝ｑ2＝１ [C]、Ｆ＝２ [N]を代入して
11

1 12
＝ 6.70×104 [m]4pe 0 2ｒ＝(4) (c) クーロン力で反発するので加速され速度は増加するが、次第に距離が遠ざかり、反発力は弱くなるので加速度は弱まり、やがて一定速度になる。
(5) 点電荷Ｑが距離ｒの所に作る電場の強さを表す式にｑ＝１を代入して

1

E =

4pe 0

q
1 1
(r/r) ＝
＝ 9 X 109 [V/m]2
4pe 0 12r(6) 一様な電場Ｅの空間で電気量ｑを帯びた粒子はＦ＝ｑＥの一定の力を受けるので、加速度a ＝ ｑＥ/ｍ
で等加速度運動をする。
(7) この球面上の電場の強さは

1

E =

4pe 0

q
1
＝9 X 109× 2 ＝ 9 X 109 [V/m]2
r1

したがって、１ｍ2 あたりの電気力線の本数は 9 X 109 [本]である。
球面全体では、球の表面積４πＲ（Ｒ＝１[m]）を掛けて 1.13 X 1011[本]となる。
(8) 電位φは電場中に置かれた１C の電荷がもつ電気的な位置エネルギーのことである。電場の中に置かれた電荷は電場から力を受けて、電場による位
置エネルギーを持つ。電気の場合、電場中で+1 [C] の電荷が持つ位置エネル
ギーを電位（電気的ポテンシャル）といい、力学での位置エネルギー
r

ò Fdr

U = -

r0

に対応して、q = +1 [C] を（2-1-4）に代入した F = 1E を用いて、
φ＝ －

r

ò Edr
r0

で表される。
(9) 電場 E がわかっていて、この量から電位φを求めるには
φ＝ －

r

ò Edr
r0

を用いて、基準点（電位を０と決める点）から電位を求める点ｒまで電場Ｅのｒ方向成分を積分すればよい。
(10) 電位φは電場Ｅのｒ方向成分をｒで積分した量なので、その逆に電位φから電場 E を求めるには、φをｒで微分すればよい。ここでｒの方向はもと
もと任意なので、(x,y,z) の各座標軸方向に選ぶことができる。したがって

Ｅx＝

¶f
¶x

Ｅy＝

¶f
¶y
12

Ｅz＝

¶f
¶z

から電場の３方向成分を求めることができる。
ここで偏微分記号を用いたが、この意味は、例えば最初の式では、φの中に現れるｙやｚの関数は定数とみなし、ｘについてのみ微分をすればよい。
(11) 正の電気を帯びた粒子が電場の方向に移動しているので、電圧はＶ＝Ｅｄだけ減少する。
正の電荷は電場の方向に力を受けるので、この方向に移動した場合には粒子の位置エネルギーはｑＥｄだけ減少し、電場からエネルギーを受け取り、それを外に仕事や熱として放出するか、あるいは粒子自身の運動エネルギーに変わったかのどちらかになる。ここでは粒子は運動エネルギーを得ている。
このエネルギーは電場から与えられたものである。
(12) (a) 正電荷Ｑから距離ｒだけ離れた所の電場の強さは

1

E =

4pe 0

Q
r2

であり、ここから正の電気量ｑを帯びた質量ｍの粒子が距離ｄだけ外側に移動したことになるので
Ｖ＝

ò

r +d

r

＝－

Edr ＝ ò

r +d

r

r +d

Q é1 ù
dr ＝－
2
4pe 0 êë r úû r
4pe 0 r
Q

Qd
Q æ 1
1ö
- ÷＝
ç
4pe 0 è r + d r ø 4pe 0 r (r + d )だけ粒子の電圧は低下する。
このとき粒子が得るエネルギー（運動エネルギー）は

ｑＶ＝

qQd
4pe 0 r (r + d )(b) もとの固定されていた位置で、粒子を静かに離すと反発して遠ざかってゆく。十分離れたところ、すなわち上の式でｄ→∞での粒子が得るエネル
ギーは

qQd
qQ
＝
d ®¥ 4pe r ( r + d )4pe 0 r0lim

これが粒子の運動エネルギーになるので、その時の速度は

1 2
Qq
mv ＝
2
4pe 0 rより

ｖ2＝

Qq
2pe 0 rm∴ｖ ＝Qq
2pe 0 rm(13) 容量 3,000μF のコンデンサーに 100V の電圧を加えて十分時間をかけて充電したとき、コンデンサーに貯まった電気量は
Ｑ＝ＣＶ＝3000×10-6×100＝3×10-1 [C]
このときコンデンサーに蓄えられたエネルギーは
Ｕ＝(1/2)ＣＶ2＝ 15 [J]13

(14) 電圧Ｖで充電された平行板コンデンサー（極板の面積Ｓ、極板間の距離ｄ）の極板間に蓄えられているエネルギーは
Ｕ＝(1/2)ＣＶ2で表される。このエネルギーを体積１m3 あたりにすると極板間の空間のエネ
ルギー密度はＵ/Sd ＝(1/2)ＣＶ2/Sd
この式に平行板コンデンサーの容量を表す式
Ｃ＝ε0Ｓ/dを代入し、さらに V=Ed の関係を利用して
Ｕ/Sd ＝(1/2)ＣＶ2/Sd ＝(1/2)(ε0Ｓ/d)(Ed)2 /Ｓd
＝

1
e0E2
2

電場Ｅが存在する空間には、何もない真空中であっても、このような密度でエネルギーが存在するのである。

第７章(1) 電気量（電荷）Ｑを知っていて、この物理量から電流を定義するには、電流が流れている導線のある仮想的な断面を考え、そこを 1 秒間に通過する
電気量を電流とすればよい。いま、ｄｔ秒間にｄＱの電気量が通過したとき、
電流は

Ｉ＝

dQ
dt

と表される。
(2) ある場所（たとえばコンデンサーの電極）に電流が流れ込んでいる。電流 I がわかっていて、貯まった電気量Ｑ は、微分の逆の操作、つまり積分
により

Ｑ＝

t

ò Idt
0

から求められる。
(3) 電流１[A] が流れている導線の、ある（仮想的な）断面は１秒間に１[C]の電気量が通過している。電子 1 個が帯びている電気量（電荷素量という）は e ＝－1.602×10-19 [C] であるので 1 秒間に
ｎ＝１/1.602×10-19 ＝ 6.242×1018 個の電子が電流の方向と逆向きに通過しているか。
(4) 鉄や銅など色々な金属がどれくらい電気を通しにくいか、あるいは通しやすいかを比べたいとき、金属線の長さと太さ（断面積）を同じにして比べればよい。長さｌ、太さ（断面積）Ｓの導線の抵抗はｌに比例し、Ｓに反比例するので、その比例定数をρとおいて

Ｒ＝ρ

l
S

と表される。ρは電気抵抗率とよばれ、単位長さ、単位断面積あたりの抵抗である。
(5) 導線を電池につないで電圧をかけると電流が流れるが、導線中には電荷の流れを妨げようとする要素がたくさん存在する。導線の中の原子は熱エネ
ルギーによりたえず振動している（熱振動とよぶ）。金属導線中には不純物原
14子や格子欠陥とよばれる原子の配列の乱れなどにより、電荷の通り道が妨げられる。
電荷はたえずこのようなじゃまものに衝突しながら進んでいるので、平均して、加速度を持たないで、一様に流れてゆく。
(6) この合成抵抗を電圧Ｖの電池につないで、それぞれの抵抗を流れる電流
をＩ1、Ｉ2、Ｉ3 とし、全体の電流をＩとすると
Ｖ＝ＲＩ＝R1Ｉ1＝R2Ｉ2＝R3Ｉ3∴ Ｉ1＝ＲＩ/R1
Ｉ2＝ＲＩ/R2 Ｉ3＝ＲＩ/R3∴ Ｉ＝Ｉ1＋Ｉ2＋Ｉ3＝ＲＩ(1/R1＋1/R2 ＋1/R3)∴ Ｒ＝(1/R1＋1/R2 ＋1/R3)-1(7) 3 つの抵抗を流れる電流をそれぞれＩ1、Ｉ2、Ｉ3 とする。
電池→Ｒ1→Ｒ2 の回路網を 1 周すればＶ－R1Ｉ1－R2Ｉ2＝０
R2 と R3 とを 1 周する回路網について
R3Ｉ3－R2Ｉ2＝０
R1 と合成抵抗とのつなぎ目の部分でＩ1－Ｉ2－Ｉ3＝０∴ Ｉ1＝Ｉ2＋Ｉ3
この 3 つの式を連立させて

Ｉ2＝

R3V
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

Ｉ3＝

R2V
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

第８章(1) 磁気量１[Wb] を帯びた 2 つの磁荷が互いに１ｍ離れて置かれているとき、これらの間に働く力の大きさは磁気に関するクーロンの法則より

Ｆ＝m'1 m' 2
1´ 1＝ 6.33×104 2 ＝ 6.33×104 [N]
2
4pm 0
r
1

1

(2) 真空中に固定されている磁気量ｍ’[Wb] が距離ｒ[m] だけ離れた位置に作る磁場の強さＨは、別のもう一つの磁気量ｍ1’をその場所に持ってきたとき、その磁気量に働く力が

Ｆ＝

1

m'

4pm 0 r 2

ｍ1’＝ Ｈｍ1’の関係になるように決められている。したがって、

Ｈ＝

1

m'

4pm 0 r 2と表され、その次元はＦ/ｍ1’となり、単位は [N/Wb] であることがわかる。
(3) 半径Ｒの円形の導線に電流 I が流れているとき、円の中心の磁場の強さ
はビオ‐サバールの法則
ｄＨ

＝

1
4p

Idx sin q
R2

において、円上に微小な長さｄｘをとると、sinθは常に１であり、さらに円上のどこにｄｘをとってもｄＨは同じ値であるから（半径Ｒが同じなので）、
15

この式を、ｄｘを見込む角ｄφを用いてｄｘ＝Ｒｄφと表し、これを代入して積分するとＨ＝2p

1 IRdf

ò 4p R
0

2

＝

IR 2p
I
＝
2
2R
4pR

が得られる。この式から磁場Ｈの単位が [A/m] であることがわかる。
(4) このコイルの各辺には、フレミングの左手の法則
Ｆ ＝ ｌＩ×Ｂで表される力が働くが、そのうち、横方向の辺（長さがｂの辺）に働く力は
回転力にはならないことが図からわかる。長さ a の辺（縦の辺）に働く力はＦ ＝ ａＩ×Ｂとなり、この辺に関しては常にＩ⊥Ｂであるので力の大きさはＦ ＝ ａＩＢとなる。この力によるコイルの回転力は
Ｎ＝２ｒ×Ｆ

Ｆ
ｎ
a

θ
Ｉ

－

B
Ｆ

＋

ここで、回転半径はｒ＝ｂ/２であり、長さａの辺は両側にあることを考慮した。この回転力の大きさはＢとコイル面の法線ｎとのなす角をθとして
Ｎ＝２(b/2) ａＩＢsinθ＝ａｂＩＢsinθ
したがって回転力が最大となるのはθ＝π/２となるとき、すなわち、コイルの法線ｎが鉛直方向、つまり、コイル面が水平になっているときである。
このときのトルクはＮ＝ａｂＩＢとなる。
(5) １[V] の電圧で加速した電子の速度ｖは(1/2)ｍｖ2＝ｅＶ
より

ｖ＝

2eV
m

＝

2 ´ 1.602 ´ 10 -19 ´ 1＝0.593×106 [m/s]- 31
9.109 ´ 10

進行方向垂直に１[T]の磁束密度をかけたとき電子が受けるローレンツ力は
ｆ ＝ －ｅｖ×Ｂ
であり、その大きさは
ｆ ＝ －ｅｖＢsin（π/2）＝－1.602×10-19×0.593×106×１＝0.950×10-13 [N]
この力の方向は－ｚ方向（下向き）である。
(6) 長い直線電流が作る磁場は次の式で与えられるので、これに与えられた数値を代入して

Ｈ ＝

I
2pr

＝

1
＝0.159 [A/m]
2p ´ 116

(7)(a) このコイルの中央の中心に発生している磁場の強さは、無限に長い
ソレノイドと同様であると考えてよいので
Ｈ＝ＮＩ＝ (1/0.0005)×１＝2000 [A/m](b) このコイルの自己インダクタンスは、両端の影響を無視できるとしているので、コイルの断面積をＳとして単位長さあたり、Ｌ ＝ μＮ2Ｓとなるので、これにコイルの長さを掛けてＬ ＝ μＮ2Ｓ＝ 1.257×10-6×(1/0.0005)2×π×0.12×１＝ 0.158[H](8)コイルの両端の誘導電圧をＶ、これにより流れる電流を－Ｉとすれば、この電力（消費電力）は

Ｐ＝

dW
dI
d
1
＝Ｖ（－Ｉ）＝（－Ｌ）（－Ｉ）＝（ ＬＩ2）
dt
dt
dt 2

したがって、コイルに蓄えられているエネルギー（仕事をする能力）は

Ｗ＝

1
ＬＩ2
2

[J]

(9) 自己インダクタンス L [H] のコイルに電流 I [A] が流れているとき、コイルが持つエネルギー(1/2)LI2 を時間ｔで微分すれば

d
1
1
dI
dI
（ ＬＩ2）＝ Ｌ・２Ｉ＝（－Ｌ）（－Ｉ）＝－ＶＩ
dt 2
2
dt
dt
すなわち、誘導起電力による消費電力になる。

第９章(1) (a) 指数関数の微分すればもとの形になることに注意して、公式

d At
e ＝ Ae At
dtを用いてＩ＝ Ae- Bt

をｔで微分すればdI
d＝Ae - Bt ＝ - ABe - Bt
dt dt(b) 時間ｔ＝０からｔまでの範囲でＩ＝ Ae
t

t

0

0

ò Idt =ò Ae- Bt

をｔで積分すれば

t

- Bt

A
é A
ù
dt = ê- e - Bt ú = - (e - Bt - 1)
B
ë B
û0

(2) ＲＣ回路に電池をつないでからｔ秒後に回路を流れている電流はテキス
ト(9.5)式より

Ｉ＝

V -t / RCe
R

なので、抵抗に加わっている電圧ＶR は

ＶR＝ＲＩ＝ Ve- t / RC17

コンデンサーの電圧ＶC は

ＶC＝

＝

Q 1 t
＝
Idt
C C ò0[]t
1 V t -t / RC
1 V(- RC ) e -t / RC 0 dt
e
dt ＝
ò
0
C R
C R

＝Ｖ(１－ e- t / RC)

したがって

ＶR＋ＶC＝ Ve
ＲＩ＋∴- t / RC

＋Ｖ(１－ e- t / RC

) ＝Ｖ

Q
＝Ｖ
C

(3) 上の解答の最後の式の両辺をｔで微分すれば

Ｒ

(4)

dI
1 dQ dV＋＝＝０
dt C dt
dt

∴

Ｒ

dI
1
＋ Ｉ＝０
dt C

ＲＣ回路の時定数τ＝ＲＣは回路を流れる電流の時間変化を表す式
Ｉ＝

V -t / RCeRの中に現れる。この式の右辺の指数は無次元でなければならない。このことからｔとＲＣは同じ次元であることがわかる。
(5) 100 kΩの抵抗と 0.1 μF のコンデンサーを直列につないだＲＣ回路の時定数は
τ＝ＲＣ＝100×103×0.1×10-6 ＝ 0.01 [s](6) (a) コンデンサーがほとんど導通しているとみなせるので、回路を流れ
る電流は

Ｉ@

Vin V0＝sinωtRR(b) 出力には、わずかではあるが、コンデンサーの両端に現れている電圧
Vout=Q/C がこの回路の出力電圧となるので

Ｖout＝

V t
V0
Q 1 t
＝ ò Idt ＝ 0 ò sin wtdt ＝－
cos wt
C C 0
RC 0
wRC

この出力電圧は入力電圧を積分したもの(定数倍 1/ＲＣ)になっているので、この回路は積分回路と呼ばれる。
(7) (a) 抵抗がほとんど導通している（Ｒ @ ０）とみなせるので、コンデンサーの両端の電圧は
Ｖ @ Ｖin＝Ｖ0sinωt
したがって、回路を流れる電流は

Ｉ＝dQ d (CV )dV＝＝Ｃ＝ＣωＶ0cosωt
dt
dt
dt

18

(b) この電流は抵抗にも流れているので、抵抗の両端にはわずかではあるが電圧が発生する。この電圧はＶout＝ＲＩ＝ＲＣωＶ0cosωt
この出力電圧は入力電圧を微分したものの(定数(ＲＣ)倍)になっているので、この回路は微分回路と呼ばれる。
(8)ＲＬＣ回路を流れる電流が最大となるのは(9.15)でＬω＝１/Ｃωとなる
とき、すなわち、ω＝Ｉ0＝1となる場合であり、このとき電流の最大値は
LC

V0
R

となる。このとき(9.16)よりφ＝０であるので、電流の時間的な遅れ（進み）（位相差という）はない。

19