中心力による運動

距離のみに依存している力が作用しているときの運動を扱います。最初は具体的な形を与えずに見ていき、後半で重力に対応する形を使います。
極座標は知っているとしています。また、円錐曲線が出てきますが、楕円、放物線、双曲線のことだと知っていれば十分です。

原点は 3 次元空間に固定され、力が作用している粒子の質量は m とします。力は原点と粒子を結ぶ直線に沿って作用し、その力は原点と粒子の距離 r にのみ依存しているとします。このような力を中心力 (central force) と言います。r でなく位置ベクトル r に依存する場合も中心力と呼ばれますが、大抵の問題は r にのみ依存しているので、ここでは r に依存しているとします。
力は粒子と原点を結ぶ直線に沿っているので、粒子の位置ベクトル (動径ベクトル) を r とすれば、力のベクトルは単位ベクトル er = r/|r| (|er | = 1) で与えられます。というわけで、粒子の運動方程式は、力を F (r) =F (r)er (r = |r|) として

md2 r= F (r)er
dt2(1)となります。このときの保存量から見ていきます。
中心力は保存力になっていることを示します。適当な 2 点を P1 , P2 とし、これらの点をつなぐ経路を C とします。経路 C を微小な区間 ∆si に分割し、その区間のベクトルを ∆si とすれば、線積分の定義から

lim∆s→0n∑∫∫Fi · ∆si =ds · F =ds q · F

Ci=0Cq は曲線の単位接ベクトルです。経路 C を表す曲線を弧長 s によって x(s) と与えれば、q は曲線の接ベクトルなので

q=dxdsから∫∫ds q · F =Cdx · F (x)C

これを中心力の場合にします。曲線上の微小変化 ∆x と F の内積は、間の角度を θ とすればF · ∆x = |F ||∆x| cos θ
中心力なら F = F e (e = x/|x|) と書けるので、F · ∆x = F e · ∆x = F |∆x| cos θ から |∆x| cos θ は e 方向の微小変化、つまり |x| の微小変化です (極座標で書けば分かりやすい)。そうすると、|x| の微小変化を ∆|x| とすれば、F · ∆x = F ∆|x| なので、積分は |x| 積分として書けて∫dx · F (|x|) =C∫ P2dx · F (|x|) =P1∫ x2d|x|F (|x|)
x1

1

|x| の積分なので、その範囲は経路 C の両端の位置 x1 , x2 で与えています。よって、任意の経路に対して、その経路とは無関係の積分 (x1 から x2 への直線上の積分) になるので、中心力は保存力です (下の補足 1 で ∇ × F = 0を示している)。というわけで、位置ベクトル r を使えばポテンシャル U は

F = F (r)er = −∇U (r)と与えられ、力学的エネルギーの保存が成立します。力学的エネルギーは後で触れます。また、中心力 F の積分が |x| による形になっていることから分かるように、U は r のみに依存します。なので、中心力のときのポテン
シャルは U (r) です。
角運動量 (angular momentum) を導入します。中心力として、運動方程式に r のベクトル積を作用させてみると

mr ×d2 r= F (r)r × erdt2

右辺は、同じベクトルのベクトル積は 0 になることから

r × er =r×r=0|r|なのでr×d2 r=0dt2となります。時間微分を「·」で表して、粒子の速度ベクトルを v = dr/dt とすればr × v̇ = 0
これの左辺はr × v̇ =dddd(r × v) − ṙ × v = (r × v) − v × v = (r × v) = ldtdtdtdtとなるので、l = r × v は定数です。よって、l は今の運動（中心力が作用している運動）における保存量です。これに m をかけた mr × v を角運動量と言い、m は定数なので角運動量は保存量です。mv は運動量 p にして、角運動量 L はL=r×pと定義されます。ベクトル積なので r, p の並びに注意してください。
重要なのは、角運動量はベクトルの計算から

r · L = r · (r × p) = p · (r × r) = 02(L ̸= 0)

となり、位置ベクトルと直交していることです。さらに、角運動量が保存していれば、角運動量は常に同じ方向を向きます。このため、角運動量が保存している粒子の運動は L に直交する 2 次元平面上に制限されます。
中心力なら角運動量は保存しているので 2 次元で考えることにし、2 次元極座標を導入します (極座標については数学の「極座標」参照)。位置ベクトルは 2 次元の xy 平面上にいるとして、先に必要な量を求めておきます。
デカルト座標での位置ベクトル r = (x, y, z) は xy 平面上にいるとすれば、2 次元極座標 (r, ϕ) によってx = r cos ϕ , y = r sin ϕ
デカルト座標の基底 ex = (1, 0, 0), ey = (0, 1, 0) と極座標の基底 er , eϕ (er · eϕ = 0) はer = ex cos ϕ + ey sin ϕ , eϕ = −ex sin ϕ + ey cos ϕ
時間微分すると、ϕ が時間依存していることから

ėr = ϕ̇(−ex sin ϕ + ey cos ϕ) = ϕ̇eϕėϕ = ϕ̇(−ex cos ϕ − ey sin ϕ) = −ϕ̇er
位置ベクトル r は極座標では r = rer なので、ṙ はṙ =d(rer ) = ṙer + rϕ̇eϕdt

もう 1 回微分すればr̈ =d(ṙer + rϕ̇eϕ ) = r̈er + ṙėr + ṙϕ̇eϕ + rϕ̈eϕ + rϕ̇ėϕdt= r̈er + ṙϕ̇eϕ + ṙϕ̇eϕ + rϕ̈eϕ − rϕ̇2 er= (r̈ − rϕ̇2 )er + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇)eϕ

角運動量を極座標にするとL = r × p = mr × ṙ = mrer × (ṙer + rϕ̇eϕ ) = mr2 ϕ̇(er × eϕ ) = mr2 ϕ̇nnはd(er × eϕ ) = ėr × eϕ + er × ėϕ = ϕ̇eϕ × eϕ − ϕ̇er × er = 0dt3なので、角運動量保存から mr2 ϕ̇ は定数で|L| = mr2 ϕ̇(|er × eϕ | = |er ||eϕ | = 1)と分かります。
今の結果を使って中心力での運動方程式を極座標にします。運動方程式の左辺は求めた r̈ から

md2 r= m(r̈ − rϕ̇2 )er + m(rϕ̈ + 2ṙϕ̇)eϕdt2

中心力は保存力で、そのポテンシャルは r のみに依存しF = −∇U (r)2 次元極座標 (r, ϕ) での ∇ は∇ = er1 ∂∂+ eϕ∂rr ∂ϕとなっています (3 次元極座標 (r, θ, ϕ) での ϕ がない場合)。r のみに依存するために er の項だけが 0 でないので、er 成分の力は −∂U/∂r、eϕ 成分の力は 0 と分かります。よって、運動方程式はm(r̈ − rϕ̇2 ) = −∂U∂rm(rϕ̈ + 2ṙϕ̇) = 0となります。(2b) は角運動量保存の式です。実際に角運動量保存は

d 2(r ϕ̇) = 2rṙϕ̇ + r2 ϕ̈ = 0dtなので、(2b) と一致します。

(2a) を角運動量の大きさ L = |L| = mr2 ϕ̇ によってm(r̈ − rϕ̇2 ) = m(r̈ − r(L 2L2) ) = mr̈ −2mrmr3と書き換えると

m(r̈ − rϕ̇2 ) = −mr̈ = −= −4∂U∂r∂UL2+∂rmr3∂L2)(U +∂r2mr2(2a)(2b)右辺はポテンシャル U が U + L2 /2mr2 に置き換わっていると見えるので、これを新しく V とすれば

mr̈ = −∂V∂r(3)となり、r に対する 1 次元の運動方程式の形になります。このように 3 次元での中心力の運動方程式 (1) は 1 次元の運動方程式 (3) にまで変形できます。L2 /2mr2 は遠心力ポテンシャル (centrifugal potential)、V は有効ポテンシャル (eﬀective potential) と呼ばれます。有効ポテンシャルは、元々のポテンシャルに別の寄与が加わって作られるポテンシャルのことです。今の場合では、U は 3 次元運動方程式のポテンシャル、V はそれを変形していき1 次元運動方程式の形にすることで導入されたポテンシャルです。
力学的エネルギーは運動エネルギーとポテンシャル U の和なのでE=

1mv 2 + U (r)2(v 2 = |v|2 = |ṙ|2 )(4)

一方で、1 次元運動方程式 (3) での力学的エネルギーは

E′ =

1 2
1L2mṙ + V (r) = mṙ2 ++U222mr2となりますが、これらは一致しています。このことは

m|ṙ|2 = mṙ · ṙ = m(ṙer + rϕ̇eϕ ) · (ṙer + rϕ̇eϕ ) = mṙ2 + mr2 ϕ̇2 = mṙ2 +から分かります。
また、運動エネルギーの関係は

11L2mv 2 = mṙ2 +222mr2
これは極座標の関係を使わなくても求められます。内積とベクトル積は(A · B)2 + (A × B)2 = |A|2 |B|2 (cos2 θ + sin2 θ) = |A|2 |B|2となることを使うと(r · v)2 + (r × v)2 = r2 v 2(r · v)2 + l2 = r2 v 2
左辺第 1 項は5(l = |l|)L2mr2

r·v =r·dr
1 d1 dr2=(r · r) == rṙ
dt
2 dt
2 dt

なのでv 2 = ṙ2 +l2
r2(5)

これに m/2 をかければ

1
ml2
1L21mv 2 = mṙ2 + 2 = mṙ2 +222r
22mr2(ml = L)となり、同じ関係が導かれます。
求めたい r, ϕ は力学的エネルギーから計算できます。力学的エネルギーを変形させて

1 2
mṙ + V (r) = E2√ṙ =dr=dt√√dr =2(E − V (r))
m2(E − V (r))
m2(E − V (r))dtmdt = dr √∫∫dt =12(E − V (r))/m1
dr √2(E − V (r))/m(6)積分を実行すれば t(r) が求まるので、そこから r が求まります。ϕ は角運動量からϕ̇ =L
mr2dϕ = dt
∫
ϕ=L
mr2dt

Lmr2drL1√mr2 2(E − V (r))/m∫=として求められます。後は F に具体的な形を与えればいいです。
ここでは、中心力として6(7)µF = −F (r)er = − 2 errとした場合を扱います。µ は正の定数として、F は原点へ向かうようにします (引力)。運動方程式は

d2 rµ′= − 2 er2dtr(µ′ =µ)m(8)となり、ポテンシャル U はµ∂U− 2 er = −err∂r
µU= −rU が持つ任意定数は 0 になるように基準を選んだとしています。しかし、(6),(7) の積分を実行するのは大変なので (積分を公式扱いすればすぐ求まる)、別方向から見ていきます。

r/r の時間微分を持ち出します。これはdr2ddr2= 2rṙ ,= (r · r) = 2r · ṙ ⇒ rṙ = r · ṙdtdtdtを使うと

d rṙ r ṙṙ r(r · ṙ)ṙr2r(r · ṙ)ṙ(r · r) − r(r · ṙ)= − 2 = −= 3 −=3dt rrrrrr
r3r3ベクトルの関係

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)
を使えば

d r
r × (v × r)
(r × v) × r
l×rr × (ṙ × r)=== 3=
333dt rrrrr
ここに運動方程式 (8) を入れるとµ′l×r
rµ′d2 r= µ′ (l × 3 ) = l × 2 er = −l × 2 = v̇ × l
3rrrdtとなることからµ′d r= v̇ × ldt r

そして、l は保存量 dl/dt = 0 なので

7d ′rd(µ ) = (v × l)
dtr
dtrµ′ + µ′ ϵ = v × lr
ϵ は定数のベクトルです (積分定数)。さらに、これと r の内積をとるとµ′ (r + r · ϵ) = r · (v × l)
= l · (r × v)

(A · (B × C) = C · (A × B))= l·lr+r·ϵ=l2µ′(l2 = l · l)(9)r · ϵ = rϵ cos α (ϵ = |ϵ|) とすればr + rϵ cos α =
r=

l2µ′
l2
1
1 + ϵ cos α µ′(10)これから、r は ϵ を離心率 (eccentricity) とする円錐曲線 (conic section) の式になることが分かります。原点が焦点、α は真近点角 (true anomaly。原点と近点を繋いだ直線と r の間の角度。α = 0 のとき r は最も小さくなるので ϵ 上に近点がいる) になります。このため ϵ によって粒子の軌道は分類でき、軌道は ϵ に対してそれぞれ

ϵ=0:円
0 < ϵ < 1 : 楕円ϵ = 1 : 放物線
ϵ > 1 : 双曲線となります。楕円のときケプラーの第一法則に対応します。また、v と l は直交しているので(µ′r+ µ′ ϵ)2 = (v × l)2r2µ′2 (1 + ϵ2 + r · ϵ) = v 2 l2r(4) と (9) を使うと

82 l22µ′2 (1 + ϵ2 + ( ′ − r)) = l2 (E + U )r µmmµ′2 (ϵ2 − 1 −2 l2µ′) + 2ml2 = 2l2 E′rµrmµ′2 2(ϵ − 1) = E
2l2(11)

これから、ϵ < 1 のとき E は負、ϵ = 1 のとき E = 0、ϵ > 1 のとき E は正となることが分かります (ϵ = |ϵ| ≥ 0)。
これは分かりやすい結果です。力学的エネルギーが負だと (4) から運動エネルギーはポテンシャルを超えられないために（正の運動エネルギーと負のポテンシャルの和が負になる領域に制限される）、束縛された運動をすることになり (r に上限がある)、それが円か楕円となります。

ϵ = 0 とすると

r=l2µ′

右辺は定数なので r も定数です。r が定数だと、(5) からv 2 = ṙ2 +l2µ′2l2==r2r2l2となり、速度も定数と分かるので等速円運動です。力学的エネルギーは

E=1µ1 µ′2µ′2m µ′21µmv 2 − = m 2 − m 2 = −=−2r2 ll2 l22rとなり、(11) と同じ結果が求まり、負になっていることが分かります。また、ポテンシャルも定数なので、ポテン
シャルの定数の任意性から −µ/r を消せば運動エネルギーだけになります (円運動の方向と中心力は直交してるため円上での線積分は 0)。
運動方程式 (3) を解いても同じ結果が導けます。運動方程式は時間微分を含んでいますが、時間微分でなく ϕ 微分に変形します。そのために、運動方程式の解として r(ϕ) となるものがあると仮定します。実際に、r(ϕ) が解になることは (10) からすでに分かっています。

r(ϕ) とすると
dr dϕ
l drd 1dr== 2= −ldtdϕ dtr dϕdϕ r(l = r2 ϕ̇)

さらに t 微分を行うとd d 1d2 r
dϕ d d 1l 2 d2 1=−l=−l=−dt2dt dϕ r
dt dϕ dϕ r
r2 dϕ2 ru = 1/r として2d2 r
2 2d u=−lu
dt2dϕ29よって、運動方程式 (3) はd2 rµL2= −( 2 −)2dtr
mr3m−ml2 u2−ml2d2 u
L2 3= − (µu2 −u )2dϕmd2 uL2u=−µ+dϕ2mµ′d2 u+u= 22dϕl
これは非同次微分方程式です。なので、まずは同次での一般解を求めます。
同次のときはd2 u1+ u1 = 0dϕ2となり、単振動の式と同じです。なので、三角関数によってu1 (ϕ) = A cos(ϕ − ϕ0 )A, ϕ0 は定数です。非同次での特解 up は u が定数になる場合を使えばいいです。u が定数なら微分の項は消えるので

up =µ′l2となり、特解になります。
同次の一般解 u1 と非同次の特解 up を足すことで、一般解はu(ϕ) =µ′+ A cos(ϕ − ϕ0 )l2となります。r に戻して

1µ′
= 2 + A cos(ϕ − ϕ0 )rl=µ′l2(1 + A ′ cos(ϕ − ϕ0 ))
2lµ

r=

1l2
1 + (Al2 /µ′ ) cos(ϕ − ϕ0 ) µ′

よって、任意定数をϵ=Al2, α = ϕ − ϕ0µ′10とすれば、(10) に一致します。

・補足 1
中心力のとき ∇ × F = 0 になることを示します。中心力はデカルト座標でF (r) = F (r)∇×F =(rF (r)=(x, y, z) = (Fx , Fy , Fz )rr(r =√x2 + y 2 + z 2 )∂Fz∂Fy ∂Fx∂Fz ∂Fy∂Fx−,−,−)∂y∂z ∂z
∂x ∂x
∂y

偏微分は

∂Fz
∂ F (r)∂ F (r)∂r d F (r)yzd F (r)=(z) = z=z= 2221/2
∂y
∂y r
∂y r
∂y dr r(x + y + z ) dr r
∂ F (r)∂ F (r)∂r d F (r)yz∂Fyd F (r)=(y) = y=y= 2∂z
∂z r
∂z r
∂z dr r(x + y 2 + z 2 )1/2 dr r
よって∂Fz∂Fy−=0∂y∂z
他も同様なので、中心力のとき ∇ × F = 0 です。
・補足 2
角運動量保存は位置ベクトルが描く領域の面積と対応させられます。時間 t と時間 t + ∆t での位置ベクトルを考え、∆t は十分小さいとし、r(t) と r(t + ∆t) の間は微小な角度 ∆ϕ とします。t = 0 の位置から r(t) まで動いたとき、r(t) の移動によって描かれる領域 (例えば r が定数なら角度 ϕ の円弧の領域) の面積を S(t) とします。同様に r(t + ∆t) の場合を S(t + ∆t) とします。S(t + ∆t) と S(t) の差 ∆S は、∆ϕ は微小としているので、r(t) と∆r = r(t + ∆t) − r(t) による平行四辺形の面積の半分で近似できます。なので、∆S =1|r × ∆r|2

両辺を ∆t で割れば∆S
11= |r × ∆r|∆t2∆tS(t + ∆t) − S(t)1r(t + ∆t) − r(t)= |r ×|∆t2∆tlim∆t→0r(t + ∆t) − r(t)S(t + ∆t) − S(t)1= lim |r ×|∆t→0 2∆t∆tdS
1dr= |r ×|dt
2dt=1|r × v|
211|r × v| = |l| なので、角運動量が保存しているなら
dS= constdtとなります。このように角運動量が保存されている運動において、位置ベクトルが動くことによって描かれる領域の面積変化は一定です。dS/dt を面積速度 (area velocity) と呼び、この結果は面積速度が一定ということです。
これはケプラーの第二法則に対応します。

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