Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres

J EAN -L OUIS N ICOLAS
Sur les entiers n pour lesquels il y a beaucoup degroupes abéliens d’ordre n
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 18, no 1 (1976-1977),
exp. no 8, p. 1-11.
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8-01

Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU(Théorie des nombres)
18eannée, 1976/77, n° 8, 12 p.

6 décembre 1976

SUR LES ENTIERSnPOUR LESQUELS IL Y A BEAUCOUP DE GROUPES ABELIENS D’ORDREn

par Jean-Louis NICOLAS

Introduction.
Soit a(n) le nombre de groupes abéliens d’ordren .

On désigne parlepartitions de l’entier a , c’ est-à-dire le nombre de façons d’écrire acomme somme d’entiers, sans tenir compte de l’ordre (Cf. ~8~, ch. XIX). Il est
connu depuis longtemps (Cf. par exemple BURNSIDE [1]) que, si la décomposition en
nombre defacteurs premiers de

alors

n

est

on a

La démonstration se fait

en

deux

temps : D’abord le groupeGd’ordrens’écritoùG.

est le sous-groupe des éléments dont l’ordre est une

Cela montre que la fonction arithmétique

a(n)

est

puissance dep..
multiplicative, et vérifie

Il reste ensuite à compter le nombre de groupes abéliens d’ordrepa .

décomposer un groupe abélien en somme directe de sous-groupes cycliques.
Si le groupe H a pa éléments, on écrit
On peut

Si le sous-groupe

H.

Il y a doncgroupesP.

aa. éléments, on voit apparaître la partition deRnonisomorphes ayantPéléments.

ERDÖS et G. SZEKERES ont étudié en 1934 (Cf. [4-]) la fonction a(n)queOn en déduit, par00

et montré

00

application du théorème taubérien d’IKEHARA (Cf. [6], ch.

que

On peut maintenant démontrer

a__(Cf. [l7’] et [20J)12),l’exposant

8

diminuantprogressivement : la meilleure valeur actuellement connue

10 39 + ~ .

estL’étude des "grandes valeurs" prises par une fonction multiplicative a été étu-diée pour la première fois par WIGERT, pour la fonction
denombre de diviseurs

n.

d(n)

Il démontra [21J que l’ordre maximum dec’est-à-dire que, pour e > 0 ,

on

était

avait

n)/loglog n pour tout n assez grand,n)/loglog n pour une infinité de n .

d(n)d(n~ ~

RAMANUJAN [16] a introduit les nombres hautement composés afin de préciser lesrésultats de WIGERT. Il montre notamment que l’ordre maximum de d(n) est
S.

-

JH(x)

où

=

Jp dt/logt,désigne le logarithme intégral dex.

l’hypothèse de Riemann, il donne même un développement asymptotique plus

Avec

long (Cf. [l6], §43).
Les

grandes valeurs de la fonctiona(n)ont été étudiées par KENDALL et RANKIN

log a(n)qui ont montre que 1~ordre maximum de
KRATZEL [12] précisait la constante(log 5 4+était0(log n/loglog n).

o(l))log n/log log n , et SCHWARZ et

WIRSING démontraient [l9]D’autres auteurs ont étudié les grandes valeurs de fonctions multiplicatives[8], notes du chap.

LANDAU pour

GRONWALL pour la somme

des diviseurs de

n/03A6(n) , où 03A6

(Cf.

est l’indicateur d’Euler,n, KNOPFMACHER([il] et [12]) pourcertaines fonctions venues de la théorie algébrique des nombres, SERRE et DELIGNE[2] pour des coefficients de formes modulaires. Enfin, HEPPNER [9] a donné une formulation plus

générale.

Nous allons suivre l’idée de

RAMANUJAN, et définir pour la fonction a(n) desa-hautement composés et a-hautement composés supérieurs. Il faudra pournombrescela étudier la concavité de la fonction

log p(a) . Nous montrerons ensuite quel’étude de ces nombres est indispensable pour évaluer l’ordre maximum,
sous

l’hypothèsededonnant

Riemann, un développement asymptotique plus long que (1~.

Nous terminerons par des considérations

1.

en

sur

l’ordre maximum.

Concavité logarithmique de la fonction de répartition.
SoitE

appelle enveloppe inférieure convexe deEl’intersection desdemi-plans inférieurs contenant E. Pour les demi-plans définis par Inéquationax + b ~appelle demi-plan inférieur la région y ~ ax + b .
y=

PROPOSITION 1. - SoitP(n)le nombre departitions de l’entier

L’enveloppe

log P(n) àe N dans R ~4 ~ n ~ 26 et tous les entiers supé-

inférieure convexe du graphe de Inapplication
pour sommets 0, les entiers pairs vérifiant

n.

n~-~

rieurs à 26.

Démonstration. - Nous allons d’abord démontrer que

P(n)

est

logarithmiquementn ~ 100 . Nous allons utiliser les formules données par
RAMANUJAN [7], et RADEMACHER ([l7L § 120) :concave

C

avec

pour

=

Tï

~27~

=

2,565 ,

~ ~n - .1/2~ . Les valeurs deculées par HARDY et RAMANUJAN

A (n)

=

ont été cal-=kjusqu’ à

=

.

A1(n)

18 . En particulier,(- l)~ . On sait démontrer que (Cf. [l7], § 127) , pour tout

)A~(n))~2k~ .
R.. =1,
Sh , en permutant
Le reste...

par l’intégraleles~N 2dx/x " .

On trouvera dans

=

n ,

1

et
on a

(2) se majore en développant en série entièrede la série

la fonction

EARDY etsommations, et en majorant

03A3kN+1 |Ak|/k2r-1/2

On trouve~1’l~, une majoration plus précise.

Soit

Démonstration. - On écrit les deux premiers termes de la série
le

Sh ,

Le deuxième terme s’écrit

~

J -

’B.

-

(2) en décomposantLequatrième terme est lui aussi majoré Ppar

Il est majoré en valeur absolue parcar À. > 5

dès quen(C

Enfin pour

R2

on a

n > 2d . On a donc

Pour la forme multiplicative,dès que

1 2~2 . Le troisième vauton

exprime §enfonction de

8 .

n > 26 .

Nous allons déduire dela concavité delemme que la concavité de

ce

$(n)

=

log f(n)entraîne

log P(n) . On ad’ où l’ on tireLa fonction

u r---~ (3u -2)/u(u - 1 2

On en déduit que le crochet est > 2/3

C ~ > 12, 5 . On aura donc , pour

Pour s’assurer que

que

est

est décroissante pourlorsquex ~ 26 ,

ce

u >

1 .

qui entraîne

n ~ 26 ,logarithmiquement concave, il suffit de vérifier

Soit

>

224/C . Cette inégalité est vraie pour ~n ~9 ~ et doncn~82 ,

pour

On achève de démontrer la propositionenétudiante avec un ordinateur, la table

numérique des valeurs de P(n) . Il est à noter que commetionP

est un peu

plus faible pour les nombres impairs.

COROLLAIRE. - On a les inégalités, valables pour tout

On obtient de telles
sous

son

3

1 4

5

6

7

8

9

10

P(n) =1

2

3

1

7

11

15

22

30

42

=

5

a-hautement composés.

Définition. - On dit que

a(m)

n

est

a(n) . Commecomposé ( a-h.c.) si, pour m n ,ne dépend que de l’exposant
on a,a-hautement=

P(a)pour deux nombres premierspet(n) l’exposant depdans la décomposition

Désignons par

Si
que

n
m

Comme

est situé

numérique2

2. NombresP

log P(n)

1

n

v

~0 ~

enveloppe convexe.

Table

avec

n

inégalités en écrivant que le graphe del’une des droites qui forment

on a :

A~(n) = (- l)~ ~ la fonc-

pk

n’est pas
barre

le

q, et

n

a-h.c. :enfacteurs premiers dek-iène nombre premier, et écrivonsa-h.c.,

il

existemnn ,supposéa (m) ~a(n) .

tel quen .

a-h.c. :On dit alorsn.

P(l) = 1 , on a d’abord ~~2 . (Sivaleurs

possibles(3 , 2)etdu couple(3~3)~

1,m=n/p~ barre n.) Les(o~_~ , c~) , compte tenu de (3), sont :Dans les deux premiers cas,(2,2);

est barré parn

et dans le troisième par
Les méthodes utilisées pour étudier les nombres hautements’adaptent à l’étude des nombres
En particulier,unnombre fini deona-h.c.

peut démontrer,

n,

on a

c~

composés de RAMANUJAN=

4

par la méthode desdans la formule

bénéfices, que, sauf pour(4) (Cf. [l4]).

a-h.c.

3. Nombressu érieurs.
fixé9 on a

PROPOSITION 2. - Pour e > 0

Démonstration. - La fonction n ~---3 a(n)/n~ est multiplicative. Pour qu’elle
tende vers 0, il faut et il suffit qu’elle tende vers 0 sur la sous-suite desnpuissance des nombres premiers (Cf. ~8~’ chap. XVIII) . La formule (2) nous
=

donne

.

,

Cette dernière-,

expression tend vers - 00 quand

Remarque. - La fonctionn ~a(n)/nEa unptend vers l’infini.

maximum qu’elle atteint en généralpoint N : Comme pour les nombres colossalement abondants (Cf. [5]), lemaximum peut être atteint en deux points et éventuellement en quatre points s’il
et des nombres raexiste, ce qui est peu probable, deux nombres premiers
en un

seul

tionnelsetadistincts de 1 tels quebN

Définition. - On dit que
existe e > 0

esttel que la fonction

Un tel nombre est

a-hautementn-composé supérieur ( a-h.c.s.) s’il

a-h.c.. On a en effet, pourDétermination des nombres

soit maximale en

~
n

N .

N ,

N . -~ Le maximum à’une fonction multiplicativeftendant vers 0 à l’infini vérifie

Le dernier

produit est fini, car, dauf pour un nombre fini deest atteint pour.

a

=

m~
a

0 .

Il reste à déterminer le maximum de

Cette

p ,

P~ a~~p £a , c ~ est-à-dire de log

aelog p.

quantité peut s’interpréter comme l’ordonnée à lt origine de la droite de penpassant par le point de coordonnéeste ~ log ple maximum deconvexedulog

graphe de

ea

log p

en un

On voit alors quedes sommets del’enveloppe

log P .

(s.) l’abscisse dua vu (proposition 1) que
Désignons par

est atteint

log

i-ième sommet de cette enveloppe convexe. On

Désignons parla pente du côtévk(k - 1)-ième auqui relie lesmet. On ala suite

-

t~

,

~

k-ième
_

_ ,

som-

~

est décroissante et tend vers 0.

Si l’on a

atteindra son maximum enalors

En particulier, posons
on aura un

De

x

a

= s ,

tel que e log x =tl " 1°g 5 alors poura = 0 .

maximum enmême, on posev

où8~x~ - ~log pdésigne la fonction de Cebysev. On a également,

Ces formules.

permettent de calculer numériquement les nombres
Table

si

s0-.0

N .

numérique

s2 =6

s3 = 80,97979

0,86135 0,90354 0,75323

s4-10 s5 = 124t
1

p > x ,

Application.

Compris entre

x6’ le nombre premier 13 aura pour exposant 4. L’exposantde 11 sera 6. Les exposants de 2, 3, 5, 7 se calculent à l’aide de la relation (6)etx4

et d’une table des valeurs deLesa-h.c.s. sont des puissances deplus petits nombres

2~’8 3

Viennent ensuitetk . On trouveet2 : 2 , 2 , ... , 2 .

2Z8 36 . Le p lus petit nombre où intervient 5 est

24~ 3 ~ 4 54 .
a(n) .

4. Ordre maximum de

THEOREME. - Sous l’hypothèse de Riemann l’ordre maximum deDémonstration. -- Montrons d’abord que, pourOn définit

x

par

e

log x

=

n

=

N~~

a(n)

vérifiea-h,c,s., nous avons(1/4) log 5 . Les formules (8) et (9) donnent

Si la limite
rifie

supérieure a de l’abscisse des zéros de la fonction de Riemann vé1~2 Q 1 , on sait que (Cf. ~3 ~’ p. 175 ~ ~1

On a seulement besoin ici de supposer J

On doit calculerx

enfonction deN

0,97 . On a alorsdans ladans la deuxième. Ce calcul suit la méthode depremière équation, et reporter

43). Il vientOn pose, par commodité,= ( ioe§et en remplaçant

x03B1

+

par

o(i)),

trouve

on

~

,

,

,

~

On a alors

Par la formule deet laTaylor,on aformule (10) en découle.

Maintenant soit

qui l’encadrent. S inn ~ N2 les deux nombres
quelconque, et soit Ni
P est le plus petit nombre premier ne divisant pas

a-h.c.s.
on a

N $ Ni P ~ d’où il résulte quelog N~=

log n + O(log log n)qui achève la démonstration du théorème.

ceRemarque. - En prenant davantage de termes dans les formules (8) et ~~~, on peut
obtenir un développement asymptotique plus long. Le calcul en est techniquement com-pliqué. L’intérêt de ce théorème est de mettre en valeur le coefficient a =quotient des deux premières pentes de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction
log P(n) . Un développement asymptotique plus long ferait intervenir les pentes suivantes. Le problème de l’ordre maximum de a(n) est donc lié à celui den t---~

cetteenveloppe.

5. Ordre maximum d’une fonction multiplicative.
Revenons à la fonction

n

~

1 .

~ d(m)d(n))
et les nombres h.c. supérieurs
N maximisant d(n~~n~ . Il construit alors (§ 30~.,
x ---~ D(x) , telle que, pour tout
une fonctionn , on a d~n~ ~ D(n) , avec égali~té lorsque n est un nombre h.c. supérieur. Il conclut : "Hence D(n) is the maximum order ofd(n) . In other words, d(n) will attain its maximum order when n
RAMANUJAN [16] a défini les nombres hautement composésisasuperior highly composite number".

n,

(m

n

RAMANUJAN donne pour la fonction

~

x

D(x)

une

définition compliquée. En fait,

peut la définir ainsi. On trace les points de coordonnées (log n , log d(n))
pour tout n . On prend l’enveloppe inférieure convexe de ces points. La frontièreon

est une fonction

u ~

~(u)

(log N y log d(N)) , oùNaffine par morceau, concave, affine entre lesétant prise au point~ , ~~ ~ ~"supérieur. On a alors :est h.c.

est dérivable deux fois,

Si la fonction

pointsonlog x . Commef(x)a, pourIIe ~ ~ ~/ ~=peut être interprétée comme lalimite d1une suite de fonctions concaves dérivables deux fois, et que la dérivée àest ( 1 , on en déduit que

droite deLe "bénéfice" dena, relativement àon

est concave.

(Cf. [14]) s~interprète facilement. Si

supérieurs entourantle s nombre s h.c.

Dn, et e

la

N

1

n

Nz

sont

pente du segment

e y
bén n

~(n) - log d(n) .

=On pouvait prendre d’autres définitions que celle de RAMANUJAN pour l’ordre maximum

d(n) :

de1° SoitF 1 (i. e. les entiers

pui debres

F (x) la plus petite fonction croissante telle que F (n) ~d(n) . L’ap-n2° Soitlargement composés

F(x)

une

n

pour lesquels=d(n) )est formé des nom-(m ~ n ~ d (r~~ d(n) .

fonction strictement croissante telle que

F 2 (x~ la plus petite fonction

F2(x) D(x)avec

formé des nombres
tout nombre h. c .

égalité lorsque~

maximisantxetF(x) .

d’ appui maximal. L’ appui est formé des nombres h.c. On a
3° Soit

F(n) ~ d(n)F~(n) ~d(n). On
h.c. supérieur. L’appui deF2(x) est

concave=telle quead(n) - 03BBn . Il contient l’appui de

D . Donc

pour une certaine valeur

On peut

supérieur est un

demander s’il existe une infinité desequi ne sont pas h. c. supérieurs, et une

infinité de nombres h.c. qui ne sont pas desCes diverses fonctions sont très voisines. A l’aide du théorème de majoration desbénéfices(Cf. [14], th. l), on voit que

avec y > 0 . Ce terme d’erreur est très petit comparé à celui du théorème du
On aurait poura(n)les mêmes

§ 4.

résultats, et cela nous autorise à dire, après

RAMANUJAN, que l ’ ordre maximum de la fonctionbres a-hautement composés supérieurs.

n~ a(n)

est atteint pour les nom-

8-11

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NOTE [ajoutée à la correction des épreuves, 10 octobre
1977] . - P. ERDÖS m’a signalé
que cet article répondait à un problème qu’il avait posé dans le Canadian mathematical Polletin, t.
7, 1964, P° 307.
(Texte reçu le 28 mars 1977)
Jean-Louis NICOLAS, Math., Univ. Limoges, 123 rue Albert Thomae, 87100 LIMOGES.