九州工業大学
技術解説

応力拡大係数を用いた接着強度評価について

大学院工学研究院
機械知能工学研究系教授

工学博士

野田 尚昭
Nao-Aki Noda

Debonding Strength Evaluation of Adhesive Structure
in Terms of Stress Intensity Factor
ある(1),(2)。図１(a)の無限板の内部き裂の応力拡大

１．はじめに接着剤接合法は、溶接やボルト接合などに比べて、係数は、式(2)で表される。ここで、 K I , K II は応力異種材料間の接合が可能で密閉性がよく、しかも軽拡大係数であり、 ,  は、遠方での応力、 a はき裂量化や省スペースが図られるため、航空機や自動車長さである。

用外板や電子機器における接合などでの用途が拡

図１(b)に示される有限幅板の中央き裂と図１がっている。そのため、接着剤の性能をより正確に(c)に示される有限幅板における縁き裂の応力拡大評価することが求められている。ここでは、界面の係数は次式で定義される。

はく離強度評価の一つとして、接合界面上に仮想的なき裂（仮想き裂）を想定した応力拡大係数によるはく離強度の評価について紹介する。

 K I  F    a,   a / W(2)

このとき、それぞれの無次元化応力拡大係数はまず初めに２次元問題における通常の均質材の応力拡大係数について紹介する。次に界面の応力拡大係数と、その応用として接着構造の応力拡大係数によるはく離強度評価について解説する。ここでの応力拡大係数は強度評価に大きな影響をもつ引張(3a)、(3b)で定義される。

 F   (1 0.025 2  0.06 4 ) sec( / 2)

(3a)F     2 /  tan( / 2)
(0.752  2.02  0.37(1  sin( / 2)) 3 ) / cos( / 2) (3b)方向に直交する面を引き裂く強度を対象とする KⅠタイプを中心に述べる。また、ここで考える界面き裂は、実際のき裂ではなく強度評価のための仮想的なき裂である。

２．通常のき裂における応力拡大係数について応力拡大係数とはき裂先端付近の応力状態をより正確に予想するために使われる係数であり次式(1)によって定義される。
K I  lim 2 r y (r )r 0(1)

 y (r ) は r のとり方で大きく変わるが 2  r  y ( r )は r が小さいときには r にほぼ無関係となるから、この式中の r を 0 とおいたもので応力集中の強さを求めればよい。代表的なき裂を有する均質材の応力拡大係数として、たとえば図１に示すようなものが11

図１(a)無限接合板の内部き裂 (b)中央き裂を有する有限幅接合板 (c)縁き裂を有する有限幅接合板(d)半無限接合板の縁き裂

フジコー技報−tsukuru No. 

図１(d)の半無限板の縁き裂の応力拡大係数は、式(4)で表される。
(4)K I  1.1215 a

３．異材接合界面き裂の応力拡大係数について
3.1 界面き裂の応力拡大係数の求め方
異種接合材の界面き裂先端の応力場は、２章で述
べた均質材中のき裂の場合とは異なり解の大部分が振動しながら発散してゆく漸近特性をき裂先端に持っている。すなわち図２(b)に示す接合界面上の応力を  y ,  xy とすると、界面き裂の応力拡大係
図 3(a) 内圧  を受ける無限接合板中の界面き裂(b)  y   および  x1,  x2 を受ける無限接合板中の界面き裂 (c)  y   を受ける無限接合板中の界面き裂数は次式で定義される。

(6)
図３(b)に示すように，この内圧の解は界面で x 方(a)(b)
図 2 (a)均質材の応力集中 (b)接合界面の応力集中K I  iK II  lim  y  i xy r 0 r 2 r   2a 向 の ひ ず み が 等 し く な る (  x1   x 2 ) よ う に 、 y   および  x1 ,  x2 を作用させる場合の結果と等しい。ここで重要な点は、図３(a)と図３(b)の i

KⅠ, KⅡは等しいが、図３(c)のそれは等しくないこ

1   1 1    2 1   ln   2  G1 G2   G2 G1  とである。

 3  m  1   m  (平面応力)
 m  1, 2 3  4 m (平面ひずみ)

たとえば図４(a)、(b)、(c)に示すように界面に中代表的な界面き裂の応力拡大係数の問題として、

m  

 m : ポアソン比 , Gm : 横弾性係数

央き裂を有する有限接合板、界面に縁き裂を有する(5)

界面き裂の応力拡大係数として最もよく知られているのは、次式(6)により表される無限接合板中の界面き裂が内圧  を受ける場合(図３(a))の結果である。

有限接合板及び半無限板の問題がある。
3.2 界面の中央にき裂がある場合
中央界面き裂を有する有限幅接合板（図４(a)）の問題はこれまでにも多く解析され、その結果は表１に示すように大体において一致している。

図4(a) 界面に中央き裂を有する有限幅接合板 (b) 界面に縁き裂を有する有限幅接合板(c) 界面に縁き裂を有する半無限接合板（図 4(b)で a/W <10-3 の範囲の極限）(d) き裂のない有限幅接合板
12表１ 界面き裂を有する有限接合板の解析結果(図 4(a)： ( ,  )  (0.6, 0.17) 図 6 参照)
FⅠ
G2/G1 a/WOda（4） Mat.（5） Yuki（6） Ikeda（７）
→0?
?
?
?
0.1
0.987
0.981
0.983
0.987
0.2
1.006
1.006
1.005
1.006
4
0.3
1.038
1.037
1.038
1.031
0.4
1.088
1.086
1.088
1.089
0.5
1.161
1.163
1.162
1.163
表１で a/W→0 の極限を考えると，FⅡ→0 となりそ

おいて遠方で y 方向一軸引張応力 σ=1 を受ける界面き裂の F Ⅰ は、それぞれの材料組合せで内圧σ=0.882～1.036 を受ける界面き裂の FⅠに相当する。
図６より、   0.6 の数値を  の変化に対して読み取りグラフ用紙に x 軸を  、y 軸を FⅠとしてプロットすることにより   0.17 での F Ⅰを求めると F Ⅰ=0.969 となる。これがこれまでの文献では示されていなかった表 1 での a/W→0 における FⅠの値である。

うであるけれども FⅠ→1 とはならないことがわかる。これは図 3 で示したように、図４(a)で a/W→0の極限である y 方向一軸引張りを受ける無限接合板の解図３(c)が、内圧の解図３(a)と異なるためである。
図４の問題の解析は、これまで特定の材料組合せに限定されていた。そこで、任意の材料組合せに対して考察した結果(3)を以下に述べる。有限要素法解
析により得られるき裂先端の節点の値を用いて、基準解との比をとることにより応力拡大係数を決定する方法(3)を利用して求めたものである。なお、基図 5  ,  の存在する範囲

準解とはすでに体積法(BEM)によって高精度に求められた解である。まず、最も基本的な図３(a)に示す無限接合板中の中央界面き裂が任意材料の組合せに対する応力拡大係数 K I , K II に及ぼす材料組合せの影響を示す。以下で用いられる  ,  は式(7)で定義される Dundurs の複合材料パラメーターである。図４のような板の接着問題では材料 1、2 で合計 6 つの弾性定数が存在するが、  ,  が同じなら同じ解になることが証明されている。
(7)
図５に種々の材料組み合せに対して ( ,  ) の存在する範囲を示す。図５の平行四辺形の内側の  , の範囲のみその組合せが存在する。よって ( ,  ) の存在範囲に対して結果を示せば任意の材料組み合わせの解となる。図６に ( ,  ) の存在範囲におけるFⅠの値を示す。図６より、  0.2,   0.3 の場合に最大値 FⅠ,max＝1.036 がえられ、   1.0,   0 の場

図 6 y 方向一軸引張りを受ける無限接合板の FⅠ,max，FⅠ,min (図 4(a)で a/W→0)

４．異材接合縁に界面き裂がある場合の応力拡大係数について異なる材料を接合した場合にも、界面の剥離は通常接合端部から開始され、内部へ進展する。したがって、図４(b)に示すような縁界面き裂を有する有合では、最小値 FⅠ,min=0.882 がえられる。また、常限接合板の問題も基本的な界面き裂問題であり、こに FⅡ＝0 である。すなわち，あらゆる材料組合せにれまでにも表２に示すように多くの解析結果があ13フジコー技報−tsukuru No. 表 2 縁界面き裂を有する有限接合板の解析結果(図 4(b)： ( ,  )  (0.6, 0.17) 図 6 参照)
FⅠ
G2/G1 a/WOda(4) Mat.(5) Yuki(6) Ikeda(7)
→0?
?
?
?
0.1
1.207
1.199
1.201
1.209
0.2
1.365
1.368
1.387
1.368
4
0.3
1.644
1.655
1.653
1.654
0.4
2.093
2.102
2.1
2.101
0.5
2.791
2.806
2.807
2.807

図８は、実際の材料組み合わせを基に、それぞれの組み合わせの  ,  を表したものである。図４(d)の接合端部の特異性に注目した場合、斜線部分は

 (  2 )  0 となり図８で特異性がない領域であり、灰色部分は  (  2 )  0 となり特異性が存在する領域(１）である。また、境目は  (  2 )  0 となる場合領域(２)である。
例えば、Ceramics/Ceramics の組み合わせにおいて Si3N4 ( E  304GPa, v  0.27) と MgO ( E  304GPa,る(4)～(7)。
しかし、表１と同様に表２もこれまでにはa/W→0 の極限の結果があたえられていなかったので、最近著者らはその極限の解を考察した(8), (9)。また、図４(b)を任意の材料組合せに対して解析し、その応力拡大係数を考察した。また図４(c)の界面き裂を有する半無限接合板の問題についても考察v  0.175) の組み合わせでは、  0.023,   0.048 で (  2 )  0.00172 となり領域(3)に存在する。
しかし、 Al2O3 ( E  359GPa, v  0.20) と MgO の組み合わせでは、   0.089,  0.044 で  (  2 ) 0.00015 となり領域(1)に存在するので破壊が生じやすい。

を行った。 a / W  10 3 で以下の関係が成立する。

FI  (a / W )1  C I(8)ここで  は図４(d)のき裂の無い接合板端部の応力特異性指数であり、その特異性の有無から式(9)が説明できる。
領域(1)  (  2  )  0 : FI , FII  , (  1)
領域(2)  (  2  )  0 : FI , FII  有限, (  0)
領域(3)

 (  2 )  0 : FI , FII  0(9)

表２の ( ,  )  (0.6, 0.17) では図４(d)の接合端

図 8 実際の材料組み合わせにおける  , 部に特異性が生じるので、これまでの文献(4)～(7)では示されていなかった a/W→0 での FⅠは  となる。
図７に a/W→0 の解としてすべての  ,  に対するCⅠを図示する。

表 3 接着接合板の引張試験の実験結果(10)
h[mm]

hW

0.05
0.1
0.3
0.6
1.0
2.0
5.0

0.00390.0078
0.024
0.047
0.079
0.16
0.39

Measured values
[MPa]
47.7
44.3
28.6
21.9
21.5
14.8
11.4

50.0
49.8
30.8
24.8
21.5
18.2
11.4

58.4
52.0
32.5
25.2
21.9
18.1
13.6

63.5
57.0
34.2
28.2
23.5
19.9
15.0

Average[ MPa ]
66.5
63.536.5
29.624.4
20.9
15.6

57.2
53.3
32.5
25.9
22.6
18.4
13.4

５．接着界面のはく離強度評価への応力拡大係数の適用
表３に接着接合板の接着強度  y の実験結果(10)を示 す 。 材 料 に は 被 着 材 と し てS35C(E1  210GPa , v1  0.30) 、接着剤として Epikote828
図7

縁界面き裂を有する有限接合板の CⅠ( E2  3.14GPa, v1  0.37) を 用 い る 。 こ の と き 、  0.969,   0.199,   0.685 であり、図９に試験
14片寸法と実験結果を示す。図９より、h/W が大きく

図 11 にき裂の相対長さ a/W=0.01 の部分はく離なると引張強さ  y は急激に小さくなる。そこで、モデルの破壊じん性値 K Ic と接着層厚さ h との関係

特異応力場の観点から接着強度を考察する。図 10を示す。表４より部分はく離モデルにおける破壊じに仮想き裂モデルを示す。実験で用いられたそれぞん 性 値 K Ic の 平 均 値 と 標 準 偏 差 は a/W=0.01 でれの接着層厚さ h/W に対して無次元化応力拡大係である。このよ数 FⅠの値を求め表４に示す。ここでは、仮想き裂

うな部分はく離モデルを用いて、特異応力場の観点の相対長さ a/W=0.01 を仮定して考察する。FⅠの値から接着強度が破壊じん性値 KⅠc=一定で評価できと表３の接着強度  c より、式(10)からそれぞれの接る。この概念を用いることにより、接着構造部の強着層厚さ h/W における K Ic の平均値を求め表４に度設計においてより簡便で精度の高い評価が可能示す。となる。

K I c  FI  c  a(10)図 9 (a)試験片寸法(b)接着層厚さ h/W と接着強度  y の関係

表 4 それぞれの接着層厚さ h/W での無次元化
応力拡大係数 FⅠと破壊じん性値 KⅠc
a W  0.01
a W  0.1
chW
KI c
KI c
[MPa]
FIFI
[MPa m ][MPa m ]
－－－
0.001
0.266
0.231
52.7 0.364
0.419
0.856
0.00390.255
53.5 0.460
0.487
0.914
0.0079
0.283
－－－
0.01
0.509
0.300
0.024
32.5 0.660
0.410
0.358
0.765
0.047
25.9 0.810
0.409
0.459
0.783
0.079
22.6 0.990
0.429
0.600
0.825
0.1
1.0910.663－－－
0.16
0.790
18.4 1.300
0.435
0.863
0.39
1.90
1.100
13.4
0.475
0.899
0.5
2.102
1.186
－
－－



average
0.438



average
0.844

参考文献(1) 石田誠：き裂の弾性解析と応力拡大係数(1976)，
p.145.
(2) 野田 尚昭，荒木 清己，F. Erdogan：日本機械学図 10 仮想き裂モデル

会 論 文 集 Ａ 編 ， Vol. 57, No. 537 (1991), pp.
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(3) 野田 尚昭，張 玉，高石 謙太郎，蘭 欣：日本機
械学会論文集Ａ編，Vol. 59, No. 12 (2010), pp. 900-907.
(4) 小田 和広，神杉 一吉，野田 尚昭：日本機械学会論文集Ａ編，Vol. 75, No. 752(2009), pp. 476-482.
(5) 松本 敏郎，田中 正隆，小原 亮：日本機械学会
論 文 集 Ａ 編 ， Vol. 65, No. 638(1990), pp.
2120-2127.

図 11 破壊じん性値 K I c と接着層厚さ h との関係
15(6) 結城 良治，曺 相鳳：日本機械学会論文集Ａ編，

フジコー技報−tsukuru No. Vol. 55, No. 510(1989), pp. 340-347.
(7) 宮崎 則幸，池田 徹，祖田 敏弘，宗像健：日本機
械 学 会論 文集 Ａ 編 ， Vol. 57, No. 544(1991), pp.
2903-2910.
(8) 野田 尚昭，蘭 欣，道中 健吾，張 玉，小田 和
広：日本機械学会論文集Ａ編，Vol. 76, No. 770(2010), pp. 1270-1277.
(9) 蘭 欣，道中 健吾，張 玉，野田 尚昭：材料，Vol.
60，No．8（2011），pp．748-755．
(10) 鈴木 靖昭：日本機械学会論文集Ａ編，Vol. 53,
No. 487 (1987), pp. 514-522.

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