平成 27 年度

中学校第３学年

数学 Ｂ
注意

１

先 生 の 合 図 が あ る ま で， 冊 子 を 開 か な い で く だ さ い。

２調 査 問 題 は ， １ ペ ー ジ か ら 12 ペ ー ジ ま で あ り ま す 。

３解 答 は ， 全 て 解 答 用 紙（ 解 答 冊 子 の 「 数 学 Ｂ 」）に 記
入 し て く だ さ い。

４

解 答 は ， Ｈ Ｂ ま た は Ｂ の 黒 鉛 筆（ シ ャ ー プ ペ ン シ ルも 可 ）を 使 い ， 濃 く ， は っ き り と 書 い て く だ さ い 。

５

解 答 を 選 択 肢 か ら 選 ぶ 問 題 は， 解 答 用 紙 の マ ー ク 欄を 黒 く 塗 り 潰 し て く だ さ い。

６

解 答 を 記 述 す る 問 題 は， 指 示 さ れ た 解 答 欄 に 記 入 して く だ さ い。 解 答 欄 か ら は み 出 さ な い よ う に 書 い て くだ さ い。

７

解 答 に は， 定 規 や コ ン パ ス は 使 用 し ま せ ん。

８

解 答 用 紙 の 解 答 欄 は， 裏 面 に も あ り ま す。

９

調 査 時 間 は ， 45 分 間 で す 。

10「数 学 Ｂ」 の 解 答 用 紙 に， 組， 出 席 番 号， 性 別 を 記入 し， マ ー ク 欄 を 黒 く 塗 り 潰 し て く だ さ い。

問題は，次のページから始まります。

１

健治さんの学校では， 新入生歓迎会のときに， 体育館で部活動紹介の映像を流します。 映像は， プロジェクターでスクリーンに映し出します。 そこで， 健治さんはプロジェクターの置き場所を決めるために，プロジェクターについてインターネットで調べました。
健治さんが調べたこと
スクリーン

幅
高さ

スクリーン
プロジェクター

投映画面

投映距離

投映画面の大きさ

投映距離
（m）

高さ（m）

幅（m）

面積（m2）

１．０

０．６

０．８

０．４８

１．５

０．９

１．２

１．０８

２．０

１．２

１．６

１．９２

○ 投映画面の大きさは， 投映距離によって変わる。
○ 投映画面の形は， 調整されて， いつも長方形になる。
○ 投映画面の高さや幅は， 投映距離に比例する。

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 投 映 距 離 を x m， 投 映 画 面 の 高 さ を y m と す る と き，y を x の 式で表しなさい。

中数Ｂ− 1

（２） スクリーンの高さは４．８m， 幅は５．６m です。 投映画面を， スクリーンからはみ出ないようにして， できるだけ大きく映し出すためには， 投映距離を何ｍにすればよいですか。 下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア５m

イ６m

ウ７m

エ８m

５．６m

４．８m

（３） 健治さんは， 映像が暗くて見えにくいのではないかと気になりました。 しかし， プロジェクターの光源の明るさを変えることはできません。 そこで， 映像の明るさについて調べると， 映像の明るさと投映画面の面積の関係は， 次の式で表されることがわかりました。
映像の明るさ＝プロジェクターの光源の明るさ

÷

投映画面の面積

このとき， 映像の明るさを２倍にするにはどうすればよいですか。
下のア， イの中から正しいものを１つ選びなさい。 また， それが正しいことの理由を， 上の式で表される関係をもとに説明しなさい。
ア

投映画面の面積を２倍にする。

イ

投映画面の面積を１２倍にする。

中数Ｂ− 2

２

連続する３つの整数の和がどんな数になるかを調べます。
１， ２， ３ のとき

１ + ２ + ３＝ ６＝３ # ２

３， ４， ５ のとき

３ + ４ + ５＝１２＝３ # ４

１０， １１， １２ のとき

１０ +１１ +１２＝３３＝３ #１１

これらの結果から， 次のように予想できます。
予想
連続する３つの整数の和は， 中央の整数の３倍になる。

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

（１） 連続する３つの整数が１９， ２０， ２１のとき， 予想が成り立つかどうかを下のように確かめます。 下のに当てはまる式を書きなさい。
１９， ２０， ２１ のとき

１９ +２０ +２１＝６０＝

中数Ｂ− 3（２） 前ページの予想がいつでも成り立つことを説明します。 下の説明を完成しなさい。
説明
連続する３つの整数のうち最も小さい整数を n とすると，連続する３つの整数は， n，n + １，n + ２と表される。
それらの和は，n +（ n + １）+（ n + ２）＝（３） 連続する３つの整数を， 連続する５つの整数に変えた場合， その和がどんな数になるかを調べます。
１， ２， ３， ４， ５ のとき

１ + ２ + ３ + ４ + ５＝１５５， ６， ７， ８， ９ のとき

５ + ６ + ７ + ８ + ９＝３５１４， １５， １６， １７， １８ のとき １４ +１５ +１６ +１７ +１８＝８０⋮⋮

連続する５つの整数の和は， 中央の整数に着目すると， どんな数にな ると予 想できま すか。 前ペー ジの 予想 のよう に，「になる。」という形で書きなさい。

中数Ｂ− 4は， ……

３

若菜さんと春香さんは， 下のようなポップアップカードを見て， その作り方に興味をもちました。 ポップアップカードとは， 閉じた状態
から開くと立体が浮かび上がってくるカードです。

二人はポップアップカードについて調べました。 そして， 図１のような正面に絵がかける簡単なポップアップカードについて， 図２のような設計図を見つけました。
図１

図２

１cm
１cm

山折り
谷折り
ＡＦＢ

底面Ｄ

Ｅ

Ｈ
Ｇ

Ｃ

Ａ

Ｅ

Ｂ

Ｆ

Ｄ

Ｈ

Ｃ

Ｇ

切れ目
山折り
谷折り

二人は， 図２の設計図をもとに作ったカードを図３のように開いていくと， 四角形ＥＦＧＨはいつでも平行四辺形になることに気づきまし
た。 また， それによって， カードを９０°に開いたとき， 絵をかく面が底面に対して垂直に立つこともわかりました。
図３

ＦＦＥＧＨＥＧ

中数Ｂ− 5ＨＦ

ＥＧＨ

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１） 若菜さんは， カードを９０°に開いたとき， 四角形ＥＦＧＨが正方形になる設計図をかきたいと考えました。
図４のように， 切れ目となるＡＣ， ＥＧの長さを図２と変えないと
き，ＥＦの長さを何 cm にすればよいですか。 その長さを求めなさい。
図４
ＡＥ８cm

Ｃ

Ｇ

（２） 春香さんは， 図５のように， 絵をかく面ＢＣＧＦを大きくしたいと
考え， 図６のように， 切れ目となるＡＣ， ＥＧをそれぞれ同じ長さだ
け上に伸ばしました。
カードを９０°に開いたとき， 面ＢＣＧＦが底面に対して垂直に立つようにするには， カードを開いていくときに四角形ＥＦＧＨがいつでも平行四辺形でなければなりません。
このとき， 点Ｆの位置が決まれば山折りにする線分ＢＦをひくことができます。 点Ｆを図６のどこにとればよいですか。 点Ｆの位置を決める方法を，平行四辺形になるための条件を用いて説明しなさい。
図５
ＡＢ

底面

図６Ｆ

ＤＣＥＡ

Ｅ

ＤＨＣ

Ｇ

ＨＧ

切れ目
山折り
谷折り

中数Ｂ− 6

４

桃子さんは， 次の問題を解きました。
問題
正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ， ＤＡ上に，

Ａ

Ｆ

Ｄ 

Ｂ

Ｅ

Ｃ

ＢＥ ＝ ＤＦ と な る 点 Ｅ， Ｆ を そ れ ぞ れとります。
こ の と き， ＡＥ ＝ ＣＦ と な る こ と を証明しなさい。

桃子さんの証明
ＡＢＥとＣＤＦにおいて，仮定より，
ＢＥ＝ＤＦ……①正方形の辺はすべて等しいから，
ＡＢ＝ＣＤ……②正方形の角はすべて直角で等しいから，∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ＝９０°……③①， ②， ③より， ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，ＡＢＥ≡

ＣＤＦ

合同な図形の対応する辺は等しいから，
ＡＥ＝ＣＦ

中数Ｂ− 7次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１） 桃子さんの証明では，ＡＢＥ≡

ＣＤＦを示し， それをもとにしてＡＥ＝ＣＦであることを証明しました。 このとき，ＡＥ＝ＣＦ以外にも新たにわかることがあります。 それを下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
ア∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤイ

ＡＦ＝ＢＥウ∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ

エ

ＢＥ＝ＤＦ

（２） 桃子さんは， 問題の正方形ＡＢＣＤを平行Ａ

Ｆ四辺形ＡＢＣＤに変えても， ＡＥ＝ＣＦとな ることを証明できることに気づきました。
桃子さんの証明のの中を書き直 し， 正方形を平行四辺形に変えたときの証 ＢＥＣ明を完成しなさい。
証明
ＡＢＥとＣＤＦにおいて，仮定より，
ＢＥ＝ＤＦ

……①

①， ②， ③より， ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，ＡＢＥ≡

ＣＤＦ

合同な図形の対応する辺は等しいから，
ＡＥ＝ＣＦ

中数Ｂ− 8Ｄ５

生活委員会では， 落とし物を減らすために， 全１５学級で落とし物調査を行うことにしました。
調査を同じ日数で２回行ったところで， 拓也さ んと優香さんは， その結果を表とグラフにまとめ ました。 優香さんが作ったグラフでは， 例えば， 
落とし物の個数が１２個以上１５個以下だった学級
が， １回目， ２回目とも１学級ずつあったことを 表しています。
拓也さんが作った表

（個）
２回目

文房具

２０１

２１２

ハンカチ・タオル

４９２８

その他

５５５０

落とし物の合計
３０５
落とし物の合計の平均値
２０．３（１学級あたりの落とし物の個数）

２９０

種類

１回目

１９．３

優香さんが作ったグラフ
（学級）
８
７

学級数

６

１回目 ２回目

５４３
２
１００～
３４～
７８～
１１１２～
１５１６～
１９２０～
２３２４～
２７２８～
３１（個）

落とし物の個数
次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 拓也さんが作った表の１回目の調査で，落とし物の合計のうち，文房具の占める割合を求める式を答えなさい。 ただし， 実際に割合を求める必要はありません。

中数Ｂ− 9（２） 二人は， 調査結果について話し合っています。
拓也さん 「落とし物の合計の平均値が２０．３個から１９．３個に減ったから， １回目より２回目の方が落とし物の状況はよくなったね。」
優香さん 「でも， 平均値だけで判断していいのかな。 グラフ全体を見ると， よくなったとは言い切れないよ。」
グラフを見ると， 優香さんのように 「１回目より２回目の方が落とし物の状況がよくなったとは言い切れない」 と主張することもできます。 そのように主張することができる理由を， 優香さんが作ったグラフの１回目と２回目の調査結果を比較して説明しなさい。

（３） 二人は， 落とし物を減らすための対策について話し合っています。
拓也さん 「落とし物が少ない学級では， 持ち物に記名するようにしているみたいだよ。」
優香さん 「次は， 記名のある落とし物とない落とし物を分けて数えて，取り組みのよい学級を表彰したらどうかな。」
拓也さん 「記名のある落とし物を１個１点， ない落とし物を １個２点として集計し，表彰する学級を決めよう。」
下線部の考えをもとに表彰する学級を決めます。 記名のある落とし物を a 個， 記名のない落とし物を b 個としたとき， 表彰する学級の決め方として正しいものを， 下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
アa + ２b の値が最も大きい学級にする。

イa + ２b の値が最も小さい学級にする。

ウ２a + b の値が最も大きい学級にする。

エ２a + b の値が最も小さい学級にする。

中数Ｂ− 10

６すい

大輝さんは， 半径が１２cm のおうぎ形を側 面とする円 錐 を作ろうとしています。 そこで， 中心角がいろいろな大きさのおうぎ形を作り，それらを側面とする円錐の底面の円について考えています。

大輝さんは， 側面になるおうぎ形 １２cmの中心角の大きさ x °と， 底面になる

x°円の半径の長さ y cm の関係を調べ，次のような表にまとめました。

y cm

中心角の大きさ x（°）

９０１２０１５０１８０

半径の長さ y（cm）

３４５６

大輝さんは， 上の表から， x と y の関係が次の式で表されることに 気づきました。

y＝

x３０

中数Ｂ− 11

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１） 前ページの式は，x と y の間にある関係を表しています。その関係
について， 下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
アy は x に比例する。

イy は x に反比例する。

ウy は x に比例しないが， y は x の一次関数である。

エx と y の関係は， 比例， 反比例， 一次関数のいずれでもない。

（２） 大輝さんは， 底面になる円の半径が８cm の円錐を作るために， 側面になるおうぎ形の中心角の大きさが何度になるかを考えています。
前ページの表や式を用いると， 中心角の大きさを求めることができます。 用いるものを下のア， イの中から１つ選び， それを使って中心角の大きさを求める方法を説明しなさい。 ア， イのどちらを選んで説明してもかまいません。
ア

中心角の大きさと半径の長さの表

イ

中心角の大きさと半径の長さの関係を表す式

中数Ｂ− 12