平成 27 年度

中学校第３学年

数学 Ａ
注

意

１

先 生 の 合 図 が あ る ま で， 冊 子 を 開 か な い で く だ さ い。

２調 査 問 題 は ， １ ペ ー ジ か ら 28 ペ ー ジ ま で あ り ま す 。

３解 答 は ， 全 て 解 答 用 紙（ 解 答 冊 子 の 「 数 学 Ａ 」）に 記
入 し て く だ さ い。

４

解 答 は ， Ｈ Ｂ ま た は Ｂ の 黒 鉛 筆（ シ ャ ー プ ペ ン シ ルも 可 ）を 使 い ， 濃 く ， は っ き り と 書 い て く だ さ い 。

５

解 答 を 選 択 肢 か ら 選 ぶ 問 題 は， 解 答 用 紙 の マ ー ク 欄を 黒 く 塗 り 潰 し て く だ さ い。

６

解 答 を 記 述 す る 問 題 は， 指 示 さ れ た 解 答 欄 に 記 入 して く だ さ い。 解 答 欄 か ら は み 出 さ な い よ う に 書 い て くだ さ い。

７

解 答 に は， 定 規 や コ ン パ ス は 使 用 し ま せ ん。

８

解 答 用 紙 の 解 答 欄 は， 裏 面 に も あ り ま す。

９

調 査 時 間 は ， 45 分 間 で す 。

10「数 学 Ａ」 の 解 答 用 紙 に， 組， 出 席 番 号， 性 別 を 記入 し， マ ー ク 欄 を 黒 く 塗 り 潰 し て く だ さ い。

問題は，次のページから始まります。１

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１）１２：９ と等しい比を，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
ア３：４

イ４：３

ウ９：６

エ９：１２

（２） １２ - ２ #（-６）を計算しなさい。

中数Ａ− 1

（３） a が正の数のとき， a #（- ２）の計算の結果について， どのようなことがいえますか。 下のアからエまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
アa #（- ２）は， a より大きい。

イa #（- ２）は， a と等しい。

ウa #（- ２）は， a より小さい。

エa #（- ２）は， a より大きいか小さいか決まらない。

（４） ある日の最低気温は - ３℃でした。 これは前日の最低気温より ２℃高い気温です。 前日の最低気温を求めなさい。

中数Ａ− 2

２

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１） ５x - x を計算しなさい。

（２） 赤いテープと白いテープの長さについて， 次のことがわかっています。

赤いテープの長さは a cm です。
赤いテープの長さは， 白いテープの長さの３５倍です。

白いテープの長さは何 cm ですか。 a を用いた式で表しなさい。

中数Ａ− 3

（３） 等式 ２x - y ＝５ を y について解きなさい。

（４） 次の問題について考えます。
問題「連続する３つの整数の和は， 中央の整数の３倍になる」
ことを， 文字式を使って説明しなさい。

連続する３つの整数の和は， 例えば，１， ２， ３ のとき １ + ２ + ３＝６となり， ６は中央の整数である２の３倍です。
「連 続 す る ３ つ の 整 数 の 和 は， 中 央 の 整 数 の ３ 倍 に な る」 こ と は，次のように考えると， 説明することができます。

①

連続する３つの整数のうち最も小さい整数を n として，



連続する３つの整数を n ， n + １， n + ２と表す。
②

それらの和が中央の整数の３倍になることを示すために，
それらの和を３ #（このとき，上の）の形の式に変形する。に当てはまる式を， n を用いて書きなさい。

中数Ａ− 4

３次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１） 一次方程式 ７x ＝５x + ４ を次のように解きました。

７x ＝５x +４
７x - ５x ＝４上のの式から

２x ＝４……

x ＝２……の式へ変形してよい理由として正しいものを，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
アの式の両辺に２をたしても等式は成り立つから，

の式へ変形してよい。
イの式の両辺から２をひいても等式は成り立つから，

の式へ変形してよい。
ウの式の両辺に２をかけても等式は成り立つから，

の式へ変形してよい。
エの式の両辺を２でわっても等式は成り立つから，の式へ変形してよい。

（２） 一次方程式 １．２x - ６＝０．５x + １ を解きなさい。

中数Ａ− 5（３） 次の問題について考えます。
問題ある中学校の今年度の入学者数は男女合わせて２２３人で， 昨年度の入学者数より３人増えました。 男子は昨年度より５％増え， 女子は昨年度より３％減りました。 昨年度の男子の入学者数と女子の入学者数を求めなさい。

この問題を解くために， 昨年度の男子の入学者数を x 人， 昨年度の女子の入学者数を y 人として， 連立方程式をつくります。
次のに当てはまる式として正しいものを， 下のアからエまでの中から１つ選びなさい。
x + y ＝２２０＝２２３

ア

０．０５x + ０．０３y

イ０．０５x - ０．０３yウ１．０５x + ０．９７yエ

１．０５x - ０．９７y（４） 連立方程式

４x +２y ＝５x + y ＝２を解きなさい。

中数Ａ− 6

４

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１） 直線ℓ上の点Ｐを通るℓの垂線を， 次の①， ②， ③の手順で作図しました。
作図の方法①

点Ｐを中心として， 適当な半径の円をかき， 直線ℓとの交点をそれぞれ点Ａ， 点Ｂとする。

②

点Ａ， 点Ｂを中心として， 等しい半径の円を交わるようにかき， その交点の１つを点Ｑとする。

③

点Ｐと点Ｑを通る直線をひく。
③②Ｑ ②①ℓℓＰＡＰＢ

この作図の方法は， 対称な図形の性質を用いているとみることができます。 どのような性質を用いているといえますか。 下のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

点Ａを対称の中心とする点対称な図形の性質を用いている。

イ

点Ｂを対称の中心とする点対称な図形の性質を用いている。

ウ

点Ｑを対称の中心とする点対称な図形の性質を用いている。

エ

直線ＡＢを対称軸とする線対称な図形の性質を用いている。

オ

直線ＰＱを対称軸とする線対称な図形の性質を用いている。

中数Ａ− 7

（２） 下の図のＡＢＣを， 矢印の示す方向に４cm だけ平行移動した 

図形を， 解答用紙の方眼を利用してかきなさい。

Ａ

Ｂ

Ｃ

１cm

中数Ａ− 8５次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１） 下の図の直方体には辺ＣＧに垂直な面がいくつかあります。 そのうちの１つを選んで書きなさい。
ＡＤ
Ｃ

Ｂ
ＥＨＦ

Ｇ

中数Ａ− 9（２） 右の図の直角三角形ＡＢＣを， 直線ℓを軸とℓして１回転させて立体をつくります。

Ａ

このとき， できる立体の見取図が下のアからオまでの中にあります。 正しいものを１つ選びなさい。
ＢＣアイエオ

中数Ａ− 10ウ

（３） 右の図は， ある立体の投影図で，見た図 （平面図） で表したものです。
この投影図が表す立体が下のアからオ

立面図

正面から見た図 （立面図） と真上からまでの中にあります。 正しいものを １つ選びなさい。
平面図

ア三角柱

イ四角柱

ウ三角錐

エ四角錐

オ

円錐

すい中数Ａ− 11

（４） 下のアからオまでの立体は， 円柱， 角柱， 円錐， 角錐のいずれかです。 下の図において， S は色のついた部分の面積を， h は図に示した線分の長さを表すものとします。
このとき， 体積が次の式で表される立体を， 下のアからオまでの中からすべて選びなさい。

１３アShイウhhhSSエSオhhSS

中数Ａ− 12６次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１） 次の図で， 平行な２つの直線ℓ，m に１つの直線 n が交わっています。
このとき， ∠ x の同位角について， 下のアからオまでの中から 正しいものを１つ選びなさい。
nℓmaxcbdア∠ x の同位角は， ∠ a である。

イ

∠ x の同位角は， ∠ b である。

ウ

∠ x の同位角は， ∠ c である。

エ∠ x の同位角は， ∠ d である。

オ

∠ x の同位角は， ∠ a から∠ d までの中にはない。

中数Ａ− 13

（２） 図１のように四角形の外側に点Ｐをとり， 図２の五角形をつくると， 頂点Ｐにおける内角は８０°になりました。
図１

図２

Ｐ８０°

Ｐ

図２の五角形の内角の和は， 図１の四角形の内角の和と比べて どうなりますか。 下のアからオまでの中から正しいものを１つ選 びなさい。
ア

図２の五角形の内角の和は， 図１の四角形の内角の和より ８０°大きくなる。

イ

図２の五角形の内角の和は， 図１の四角形の内角の和より １８０°大きくなる。

ウ

図２の五角形の内角の和は， 図１の四角形の内角の和より ３６０°大きくなる。

エ

図２の五角形の内角の和は， 図１の四角形の内角の和と変わらない。
オ

図２の五角形の内角の和は， 図１の四角形の内角の和と比べてどうなるかは， 問題の条件だけでは決まらない。

中数Ａ− 14７

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

（１） ひし形ＡＢＣＤにおいて， ＡＣ⊥ＢＤ が成り立ちます。
ＡＢ

Ｄ

Ｃ上の下線部が表しているものを， 下のアからオまでの中から１つ選びなさい。
ア

４つの辺はすべて等しい。

イ

向かい合う辺は平行である。

ウ

向かい合う角は等しい。

エ

対角線は垂直に交わる。

オ

対角線はそれぞれの中点で交わる。

中数Ａ− 15

（２） ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣがあＡります。 ∠Ａの二等分線をひき， 底辺ＢＣ との交点をＭとします。
このとき， ＢＭ＝ＣＭであることを次の ように証明しました。

ＢＭ

Ｃ証明
ＡＢＭとＡＣＭにおいて，仮定から，共通な辺だから，

ＡＢ＝ＡＣ

…①

∠ＢＡＭ＝∠ＣＡＭ

…②

ＡＭ＝ＡＭ

…③

①， ②， ③より，がそれぞれ等しいから，ＡＢＭ≡

ＡＣＭ

合同な図形の対応する辺は等しいから，
ＢＭ＝ＣＭ

上の証明のに当てはまる言葉を書きなさい。

中数Ａ− 16

（３） 下の図のように， 点Ｏで交わる２つの直線ℓ，m があります。
ℓmＯ

下の①， ②， ③の手順で点Ａ， 点Ｂ， 点Ｃ， 点Ｄをとり，平行四辺形ＡＢＣＤをかきます。
①点Ｏを中心として円をℓかき， 直線ℓとの交点を点Ａ， 点Ｃとする。

ＡmＯ
Ｃ②点Ｏを中心として別のℓ円をかき， 直線 m との交点を， 点Ｂ， 点Ｄとする。

ＡＤ mＯ

Ｂ

③

点Ａ，点Ｂ，点Ｃ，点Ｄℓを順に結ぶ。

ＣＡＤ mＯＢ

中数Ａ− 17Ｃ

前ページの①， ②， ③の手順では， どのようなことがらを根拠に して平行四辺形ＡＢＣＤをかいていますか。 下のアからオまでの中か ら正しいものを１つ選びなさい。
ア

２組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形は， 平行四辺形 である。

イ

２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい四角形は， 平行四辺形 である。

ウ

２組の向かい合う角がそれぞれ等しい四角形は， 平行四辺形 である。

エ

対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は，平行四辺形である。

オ

１組の向かい合う辺が平行でその長さが等しい四角形は，平行四辺形である。

中数Ａ− 18

あ る 学 級 で，「対 頂 角 は 等 し い 」 こ と の 証 明について， 次の，を比べて考えています。

下の図のように直線ℓと直線 m が交わっているとき，ℓ １８０°caℓabc

１８０°bmm∠ a ＝１８０°- ∠ c∠ b ＝１８０°- ∠ c

よって， ∠ a ＝∠ b
したがって， 対頂角は等しい。

下の図のように直線ℓと直線 m が交わっているとき，

90ℓa1850 60 7040 130 120 110 1 8000 9030 0 140
10580 020 0 116abmb140 150 160 1130 40 30 20 1 70 18001200 500011 0 67110 120 130100 70 60 50 140 15408030 0 1620 01800 017 01ℓ80 01000 1 1070

２つの角の大きさをそれぞれ測ると，

20 30 40 5010150 140 13
0 1 600 170 160
20 70180110８m∠ a ＝６０°∠ b ＝６０°

よって， ∠ a ＝∠ b
したがって， 対頂角は等しい。

中数Ａ− 19２つの直線がどのように交わっても 「対頂角は等しい」 ことの証明
について， 正しく述べたものが下のアからオまでの中にあります。 
それを１つ選びなさい。
アもイは証明できており，も証明できている。
は２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめれば証明したことになる。
ウは証明できているが，は２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめても証明したことにはならない。
エもも２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめれば証明したことになる。
オは２つの直線の交わる角度をいろいろに変えて同じように確かめれば証明したことになるが，ならない。

中数Ａ− 20はそれでも証明したことには

９下のアからエまでの中に， y が x の関数でないものがあります。 
それを１つ選びなさい。
ア

１枚１０円のコピーを x 枚とったときの料金は y 円である。

イ

縦 の 長 さ が x cm， 横 の 長 さ が y cm の 長 方 形 の 面 積 は２４cm2である。

ウ

１５L の水を x L 使ったときの残りの水の量は y L である。

エx 歳の人の身長は y cm である。

中数Ａ− 2110

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

（１） 下のアからエまでの中に， 反比例 y ＝正しいものを１つ選びなさい。
ア６のグラフがあります。xイyy６-６６Ｏ６-６xＯ-６ウx-６エyy６６-６６Ｏ６x-６Ｏ６-６-６

中数Ａ− 22x（２） 点Ａは比例 y ＝２x のグラフ上にあります。 次のに当てはまる数を求めなさい。
Ａ （３，）（３） 次の図の直線は， 比例のグラフを表しています。
y５-５Ｏ

５x-５x の変域が２≦ x ≦６のとき， y の変域はどのようになりますか。
下のそれぞれのに当てはまる数を求めなさい。
≦y≦中数Ａ− 2311

次の表は， ある一次関数について， x の値とそれに対応する y の値を表しています。

x･･･-２-１０１２･･･y･･･-１２５８１１ ･･･

下のアからオまでの中に， 上の表の x と y の関係を表す式があります。 正しいものを１つ選びなさい。
ア

y ＝３xイy ＝３x + ５ウ

y ＝５x + ３エ

y ＝８xオy ＝８x + ５

中数Ａ− 24

12

美咲さんは，家から，図書館と公園に寄って，友だちの家に行きます。
次の図は， 美咲さんが家を出てからの時間と家からの道のりの関係を表したグラフです。
（m）
１２００
１０００
８００
６００
４００
２００
Ｏ

１０２０

３０４０

５０ （分）

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１） 美咲さんの進む速さが最も速いのは，何分から何分までの間ですか。
下のアからオまでの中から１つ選びなさい。
ア０分から５分までの間

イ

５分から２５分までの間

ウ

２５分から３５分までの間

エ

３５分から５０分までの間

オ

５０分から５５分までの間（２） 美咲さんは， 家を出て１５分後に， 家から何 m 進んだところに いますか。 家から美咲さんのいる地点までの道のりを求めなさい。

中数Ａ− 2513

下のアからオまでの中に， 二元一次方程式 x + y ＝３ の解を座標と する点の全体を表したものがあります。 正しいものを１つ選びなさい。
ア３２２

１１１２３x-３ -２ -１ Ｏ-１-２-２-３-３エy

３２２

１

１
１２３x-３ -２ -１ Ｏ-１-２-２-３-３y３２
１-３ -２ -１ Ｏ-１

１２３x-２-３

中数Ａ− 26

１２３１２３xy３-３ -２ -１ Ｏ-１オy

３-３ -２ -１ Ｏ-１ウイyx

14

次の記録は， ある中学校の生徒１５人が反復横とびを２０秒間行った 
ときの結果を， 回数の少ない方から順に並べたものです。 これを下の 
度数分布表に整理します。
記録

度数分布表

回数階級（回）

（回）

以上

度数（人）

未満

３７〜４１３７４１〜４５３８４５〜４９３９４９〜５３４２５３〜５７４４５７〜６１４９

ア

６１〜６５５０

合計

５２

１５５３５３５７５８５８５８６２

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１） 反復横とびの記録の中央値を求めなさい。

（２） 度数分布表のアに入る値を求めなさい。

中数Ａ− 27

15

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１） あるレストランのセットメニューでは， 次のＡ， Ｂ， Ｃからそれ 
ぞれ一品ずつ選んで注文します。 その選び方は全部で何通りあるか 
求めなさい。
ＡＢ

Ｃ・エビフライ・ライス・ハンバーグ・パン（２） １の目が出る確率が１６・アップルジュース・オレンジジュース・グレープジュースであるさいころがあります。 このさいころ を投げるとき， どのようなことがいえますか。 下のアからオまでの 
中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

５回投げて， １の目が１回も出なかったとすれば， 次に投げ 
ると必ず１の目が出る。

イ

６回投げるとき， そのうち１回は必ず１の目が出る。

ウ

６回投げるとき， １から６までの目が必ず１回ずつ出る。

エ３０回投げるとき， そのうち１の目は必ず５回出る。

オ

３０００回投げるとき， １の目はおよそ５００回出る。

中数Ａ− 28