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金研ニュースレター
特別号 新型コロナウイルス感染症の経済学（2） 2020 年 5 月

金 融 研 究 所 （ Institute for

SIR モデルとは何か

Monetary and Economic Studies,IMES）は、1982 年 10 月に日本銀行創立 100 周年を記念して、日本銀行の内部組織の 1 つとして設立されました。金融研究所は、金融経済の理論、制度、歴史に関する研究を行っているほか、金金研ニュースレター特別号「新型コロナウイルス感染症の経済学」シ
リーズは、金融研究所におけるイベントなどを紹介する通常の金研ニュースレターとは異なり、金融研究所員が同感染症に関する経済学的な研究を幅広い読者を対象に解説するものです。なお、本稿の内容と意見は日本銀行あるいは金融研究所の公式見解を示すものではありません。本稿記載の情報は文末にある執筆時点のものです。

融経済に関する歴史的資料の収集・保存・公開を行っています。

ハイライト
SIR モデルとは何か「金研ニュースレター」は、日本銀行金融研究所が主催するイベントなどを、幅広い読者を対象に、タイムリーにお知らせすることを通じて、金融研究所の活動を紹介することを目的としています。

本稿では、新型コロナウイルスの感染者や死亡者の予測に用いられている感染症数理モデルの一つ、SIR モデルについて解説する。公衆衛生政策と需要管理政策の相互作用を考えようとすると、感染者数や死亡者数の決定メカニズムをモデルに取り込まなければならなくなる。そうしたことから、感染症数理モデルとマクロ経済モデルを融合する試みがなされているが、そうした分析に関する議論の前提として、SIR モデルのエッセンスを確認しておこうというのが、本レポートの目的であるi。
SIR モデルとは、Susceptible（未感染者）、Infected（感染者）、Recovered（回復者）の頭文字から名前が来ている ii 。ただし、回復者には、Dead（死者）やワクチンを受けてもはや感染しない者も含まれる。以下では、それぞれの人数を𝑆、I、R、D で表す。一国全体の人数を N とすると、R の中に D が含まれているので、𝑆 + 𝐼 + 𝑅 = 𝑁となる。
SIR モデルで鍵を握るのは、遷移確率である。未感染者のうち、ある確率で何人かが感染者になり、ある確率でそのうち何人かが回復する。さらにある確率で、その回復者の中の何人かは死亡する。
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遷移過程を説明すると、以下のようになる。


死者も含む回復者数は、感染者数に感染者が回復者に遷移する確率 γ をかけただけ増える。これを数式で表すと、回復者の増減（ΔR）は𝛥𝑅 = 𝛾𝐼となるiii。



感染者数は、回復した人数分だけ減る一方で（−𝛾𝐼）、未感染者数（S）に未感染者が感染者に遷移する確率をかけた分だけ増加する。ただし、感染者数が多いと感染確率が高まり、感染者数は増えやすくなる。ここでは、そうしたことを明示的に勘案するため、未感染者数と感染者数の積（𝑆𝐼）に確率𝛽をかけた分だけ感染者数が増加すると考える。すなわち、感染者の増減（ΔI）は𝛥𝐼 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼となる。



この間、回復者のうちの一定割合（致死率 ρ）が死亡するので、𝐷 = 𝜌𝑅となる。

モデルはこれだけである。あとは、I、R の代わりに感染者割合（𝑥 = 𝐼 ⁄𝑁 ）、回復者割合（𝑦 =𝑅 ⁄𝑁 ）を用い、時間の単位を1⁄𝛾 日に変換した
う え で 上 記 の 遷 移 式 を 整 理 す る と 、 𝛥𝑥 =𝑅0 (1 − 𝑥 − 𝑦)𝑥 − 𝑥、𝛥𝑦 = 𝑥 という関係が出てくる。これらの式の意味はさておいて、注目しても ら いた いの は「基本 再生産数」と呼 ばれる
𝑅0 = 𝑁𝛽 ⁄𝛾 で、これは感染者一人が回復するまでに何人感染させることになるかを表している。
2 つの確率を組み合わせた、たった一つのパラメーターである𝑅0 で、感染者割合のパスも回復者割合のパスも決まってしまう。注 i で引用した牧野（2020）では、様々な値の𝑅0 でのシミュレーション結果（これは予測ではなくあくまでも説明のためのもの）を示している。𝑅0 が 1.5 を超えると、一人の感染者が 1.5 人以上の感染者を生み、それがまた次の感染者を発生させるということで、回復して抗体をもつ者が十分に増えるまでアウトブレイク的な様相を呈することになる。
𝑅0 が 1 を下回ると、感染者数割合は減少する。
𝑅0 が 2.6 の場合、ピークでは全人口の 4 人に 1人が感染者になるまで感染者数の割合が高まる。全人口のうち 9 割は、抗体をもって回復するか、死亡する。
感染症の専門家が、𝑅0 を 1 より下回らせなければならないと言うのは、このためである。𝑅0 は接触割合に比例するので、人出を 7 割減らせば、残り 3 割の人だけが接触を続けることになり、𝑅0 は外出規制前の 3 割の値（= 1－0.7）に落ちることになる。
問題は、検査が十分に行き渡っていなければ、真の感染者数はわからないため、誰も𝑅0（また致死率 ρ）の正確な値を知らないということにある。牧野（2020）では、わが国における新型コロナウイルス感染症の𝑅0 は、2 から 5、おそらくは 3 から 4 程度ではないかと推測している。3 であれば、人出を 7 割減らせば、𝑅0 は 0.9 (= 3 ×(1－0.7))にまで落ちるが、4 であれば 1.2 となり、なお 1 を上回る。
感染症のモデルそのものはシンプルであるが、鍵を握るパラメーターは正確にはわからない。パラメーターの推計について、海外の状況や過去の感染症の経験は一定の参考になるが、わが国にそのまま適用することはミスリーディングかもしれない。また、モデルの構造が一国の閉鎖モデルになっており、現実に起こっている帰国者の輸入感染などはシミュレーションに考慮されていない。こうしたことから、本モデルに基づく公衆衛生政策のシミュレーション結果は相応の幅をもってみるべきと考えられる。
（執筆時点：4 月 22 日）

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3SIR モデルをエコノミスト向けに解説したものに、
Andrew G. Atkeson（カリフォルニア大学ロサンゼルス校、ミネアポリス連邦準備銀行）（2020）“What willbe the economic impact of COVID-19 in the US? Roughestimates of disease scenarios” がある
https://sites.google.com/site/andyatkeson/（Matlab のコードも掲載）。しかしながら、日本語で牧野淳一郎（神戸大学）によるさらに分かりやすい解説があり、本稿もそれにほぼ全面的に依っている。
i牧野淳一郎（2020）「3.11 以降の科学リテラシー」、『科学』、5 月号、岩波書店
なお、本稿の作成にあたっては、羽澄昌史（高エネルギー加速器研究機構・素粒子原子核研究所教授）の指導を受けた。ここに謝意を表したい。
ii これに Exposed（接触者）も加えて、SEIR モデルというのもあるが、基本的な構造は同じである。
iii
本当は連続時間のモデルなので、左辺は𝑑𝑅⁄𝑑𝑡となる。同様に、次式の左辺は𝑑𝐼 ⁄𝑑𝑡。

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