2024 年構造化学 岩田（第 1 回）1

構造化学配布資料1.

第1回

2024 年 4 月 12 日（金）

構造化学の内容「構造化学」は分子の構造を調べる学問である．分子の構造を調べる方法には分光法と回折法がある．
「構造化学」の授業では回折法について学ぶ．第 2 学期の「分光化学」で分光法について学ぶ．
試験 学期末試験のみである．最後の問題は「自分で問題を作って解け」にする．4 か月の間によい問題を見つけること．
レポート 2 回を予定している．
出席
授業での配布資料の pdf ファイルを研究室のホームページにも載せる．
https://www-cc.gakushuin.ac.jp/~20040130/
教科書
千原秀昭・中村宣男訳「アトキンス物理化学（下）」第 10 版，東京化学同人，2017 年，
ISBN:978-4-8079-0909-4
参考書
大橋裕二「X 線結晶構造解析」裳華房，2005 年，ISBN: 978-4-7853-3214-3．
「第 8 版キッテル固体物理学入門上」，丸善出版，2005 年，ISBN: 978-4-621-07653-8
古川行夫「物性化学」講談社サイエンティフィック，2015 年，ISBN:978-4-06-156804-4
藤川高志・朝倉清高「化学のための数学」（化学サポートシリーズ），裳華房，2004 年，ISBN978-4-7853-3411-6
田崎晴明「数学：物理を学び楽しむために」
http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/index.html「マッカリー化学数学」，丸善出版，2014 年，ISBN:9784621088104
分子科学会の Web ジャーナル Molecular Science http://j-molsci.jp/の中に，物理化学に関する多くのよい解説がある（大学院レベルのものが多い）
理論の前提条件・近似・限界および数式のもつ意味をゆっくりと説明する．
科学一般にいえることだが，簡単にわかったと思わずに，自分の頭でよく考えること．
2.

微分と積分

変数 x に対する関数 f(x)がある．x が「ほんの少し」変わったときに f(x)がどう変わるかを考える．f(x)の微小な変化量を x の微小な変化量で割ったものを「微分」と考えることができる
f  ( x0 ) =df ( x )f ( x) − f ( x0 )= lim
dx x = x x → x0
x − x002-1

2024 年構造化学 岩田（第 1 回）2x が x0 に向かって大きい方から近づくか，小さい方から近づくかによって f  ( x0 ) の値が変わるときは，微分を定義することができない（x=x0 で折れていたり，離れていてはダメ）．
式 2-1 では，f(x)と f(x0)の値のみを問題にしている．x と x0 の間がどうなっているかは気にしない．(x, f(x))と(x0, f(x0))の間に直線を引いて考えることになる．
y=f(x)，z=g(y)のとき合成関数 z = g f ( x ) = g ( f ( x ) ) の微分はdz dg ( f ( x ) ) dg ( y ) df ( x ) dz dy===dxdxdydx
dy dx

2-2となる．
x = a から x = b までの区間(a, b)について考える．この区間(a, b)を n 個の小さな区間(a, x1)，(x1, x2)，．．(xn-1, b)に分ける．j 番目の区間(xj-1, xj)の中にある任意の点を ξj とする(j = 1, 2,…, n)．
f(x)，x 軸，x = a( = x0)，および x = b( = xn)で囲まれた部分の面積 S を求めるために，まずリーマン和
Sn =  f ( j )( x j − x j −1 ) =  f ( j ) x jnnj =1j =12-3を考える．ただし，Δxj = xj - xj-1 である．底辺が Δxj の短冊の面積を足し合わせている．区間(xj-1, xj)の中で f(x)の値が変化しても，その中の 1 点 f(ξj)を短冊の高さ（一定）として選んでいる．この段階でのリーマン和と求めたい面積 S とは一致しない．
次に，短冊の幅を小さくしていって，その極限を考える．短冊の幅の最大値を h とするとlim
 f ( j ) x j = a f ( x ) dx
h→0
nb2-4j =1で積分が定義される．この積分の値は求める面積 S の大きさに等しくなる．
3.

テイラー展開関数 f(x)が x=x0 のまわりで無限回微分可能であるとする．このとき，

f ( x ) = f ( x0 ) + f  ( x0 )( x − x0 ) +12f  ( x0 )( x − x0 ) +2!

+1 ( n)nf ( x0 )( x − x0 ) +n!

3-1と展開できる（すべての x について収束するとは限らないが）．この展開をテイラー展開と呼ぶ．x0=0 の場合の展開を特にマクローリン展開と呼ぶことがある．

f ( x ) = f ( 0) + f  ( 0) x +1
f  ( 0 ) x 2 +2!

+1 ( n)f ( 0) xn +n!

3-2

たとえば，

ex = 1 + x +1 2 1 3x + x +2!
3!

+1 nx +n!

3-32024 年構造化学 岩田（第 1 回）3

1 21m
x + + ( −1)x2m +2!
( 2m)!
11m
sin x = x − x3 + + ( −1)x 2 m+1 +3!
( 2m + 1)!
11n −1 1 nlog e (1 + x) = x − x 2 + x3 − + ( −1)x +2
3ncos x = 1 −

3-4
3-5

( −1  x  1)

3-6となる．
4.

偏微分m 個の変数 y1 , y2 ,(i = 1,2,, ym が，それぞれ n 個の変数 x1 , x2 ,, xn を使って yi = fi ( x1 , x2 ,, xn ), m) と書けるとき，y の x による偏微分を表す行列を考えることができる．
 f1
 x1
f =x  f m x1

f1 
xn 
f m 
xn 4-1

この行列をヤコビ行列と呼ぶ．m = n の場合，正方行列となったヤコビ行列の行列式を考えることができる．

 ( f1 , ( x1 , f1
 x
 1fn )
= det xn ) f n x1f1  f1
xn  x1=
f n  f n
xn  x1

f1
xn
4-2

f n
xn

この行列式をヤコビ行列式あるいはヤコビアンと呼ぶ．
たとえば，2 次元の円座標では，(x ,y) = (rcos θ, rsin θ)となるが，この座標変換に対するヤコビ行列は，

 x
 r
 y r

x   cos =y   sin  −r sin  r cos  4-3であり，ヤコビアンはcos det  sin となる．

−r sin  = r cos2  + r sin 2  = r
r cos  4-4

2024 年構造化学 岩田（第 1 回）4多変数関数の合成関数を考える． z = g ( y1 , y2 ,y1 , y2 ,, ym が，それぞれ n 個の変数 x1 , x2 ,, ym ) の引数となっている m 個の変数, xn を使って yi = fi ( x1 , x2 ,, xn ) (i = 1,2, , m) と書けるとき，m  z  z  yk = xyxk=1
 i  x j , j i  k  yl ,l  k  i  x j , j i 4-5である．
第 1 回の授業レポートの課題
3 次元での極座標から直交座標への座標変換(x, y, z) = (rsinθcos rsinθsin, rcosθ)におけるヤコビ行列を求めよ．
授業レポートの提出法
・Moodle から送ってください．
・レポートを pdf ファイルにして送ってください．
・レポートの冒頭に，学籍番号と氏名を必ず書いてください．
・ファイル名を「学籍番号-講義の回」にしてください．たとえば，学籍番号 22-345-6789の人が今回の講義のレポートを送るときはファイル名前を 22-345-6789-1 にしてください．
・授業レポートの締め切りは 4 月 15 日（月）17 時 00 分です．