2009土壌水分ワークショップ 2009年3月

Soil Moisture Workshop 2009

March,2009

凍土中で凍らない水の測定法とモデル
UNFROZEN WATER IN FROZEN SOILS:MODELS AND METHODS OF OBSERVATION

渡辺晋生1
Kunio WATANABE1
1 三重大学大学院生物資源学研究科(〒514-8507 三重県津市栗真町屋町1577)

Abstract
Soil always contain an amount of unfrozen water even when the temperature of the environment is below 0℃. In
this paper, we explain how van der Waals forces and Gibbs-Thomson effect cause moisture not freezing phenomenon,
and describe the characteristics and limits of application of several estimation models of unfrozen water amount(UWA) in soils. We also present an overview of measurement methods of UWA and show unfrozen water curve (therelationship between UWA and temperature) for some types of soils received by pulsed NMR method. In addition,
the application of TDR method to frozen soil is investigated based on the “mixture model”. The derivation of
unfrozen water curve from the soil water retention curve through generalized form of Clausius Clapeyron equation is
also discussed.

Key Words : unfrozen water, frozen ground, NMR, TDR, soil water retention curve

１．はじめに

凍土中の不凍水量については，これまでに多くの測定法が提案されている．水が氷に相変化する際の土中には0℃以下に冷やされても凍結しない水(不体積変化を利用する体積膨張法11)，凍結潜熱を利用
凍水)が存在する．不凍水の量は粒径分布や比表面する氷点降下法，乾燥試料を氷と接触・平衡させ，積，鉱物組成や有機物量など土質によって異なり1)， 試料の水分変化を測定する接触法12)はその歴史も古温度低下に伴い減少する．不凍水量の減少は，凍土
く，比較的容易に不凍水量を測定できるが，測定にの強度や透水性2),3)，凍土中の微生物活性4)を劇的に時間を要する，精度が十分でないなどの問題を伴う．
変化させる．また，凍土の熱的性質も，不凍水量や水と氷の赤外線吸収係数の違いを利用するフーリエ
氷量によって大きく変化する．凍土中では温度勾配
変換赤外分光(FTIR)法や，磁場中の水と氷のプロトにしたがい不凍水が流動する 5),6)．不凍水の流動は， ン の 誘 電 緩 和 時 間 の 違 い を 利 用 す る 核 磁 気 共 鳴
凍結・融解に晒される土壌中の，水のみならず化学(NMR)法 13),14)は，液状水と氷の物性の違いを直接測物質やコロイド粒子の再配分を引き起こす．このた定する手法であり，迅速且つ正確に不凍水量を測定
め，地盤改良や廃棄物・化学物質漏洩防止に凍土をできる一方，機器が高価である，試料を現場でその利用する場合，寒冷な農地の水・溶質管理を考える
まま測定できないなどの問題を内包する．水と氷の場合，融雪水による土壌浸食や凍土地帯の水・熱循
比熱の違い，潜熱を利用した各種カロリメータ法15)18)環を予測する場合，土中の不凍水量やその挙動をよも比較的用いられる方法であるが，現場やカラムく理解することが重要である．また，不凍水は土に実験での不凍水量のモニターには利用できない．
限らず，様々な多孔質体や粉体中に存在する．この
時間領域反射率測定(TDR)をはじめとする土の比ため，土中の不凍水に関する知見は植物の耐寒性 7)
誘電率測定は，比較的安価で簡単，迅速，且つ非破や不凍タンパク質 8) ，燃料電池の性能向上 9),10) など， 壊に土中水分量や溶質濃度を推定できるため，現場様々な分野に応用されている．そこで，ここでは凍やカラム実験に利用される 19),20),21) ．しかしながら，
土中の不凍水の測定法と，不凍水量の推定モデルの凍土の比誘電率と不凍水量の関係は，土質や地温変現状と問題点を述べる．
化，さらには含氷量の影響を受ける22),23)．このため，凍土の不凍水量を推定する場合，市販の誘電率測定
２．不凍水量の測定
型土中水分計の測定値をそのまま利用することはで
きず24)，用途に応じた検量線を別途用意する必要が生じる．
(1) 種々の測定法

21-1

0.4

(a) Silt loam

Liquid water content,  (m3 m-3)

Liquid water content,  (m3 m-3)

0.5
tot = 0.45
0.37
0.3
0.29
0.25

0.2

0.20
0.1
0
-20

-10

0

10

Temperature, T (oC)

0.5
0.4
0.3
0.2

(b) Sandtot = 0.26
0.25
0.23
0.21
0.16

0.1

-20

-10

0

10

Temperature, T (oC)Fig.1 Liquid water content of (a) Silt loam and (b) Sand
with different total water content, tot measured by pulsed NMR.

下の液状水量は不凍水量であり，全水量(0℃以上の水分量)と不凍水量の差は含氷量を示す．シルト
ローム中では，温度低下に伴い徐々に不凍水量が減少したが，-20℃においても0.1 m3m-3 程度の水が未凍結状態を維持した．一方，砂中では0℃～-1℃の範囲でほとんどの全ての水が凍結した．いずれの土についても，全水量(氷量)が異なっても，ほぼ同一の不凍水量曲線となった．不凍水量曲線には飽和度依存性はなく，不飽和土の場合，0℃から含水率が飽和土の不凍水量曲線と一致する温度まで，土中に氷は存在しないといえる．
次に，NMR法で使用した土と同じ全水量，乾燥密度，温度の土の比誘電率をTDR法で測定した．尚，凍土のように液状水量が少ない試料の比誘電率を測定する場合は，純水の比誘電率のみならず，空気あ
ところで，土の保持する水分量と土中水の圧力のるいは絶乾試料の比誘電率も正しく測定できるよう，関係を土の水分保持特性と呼ぶ．土の乾燥過程と凍(特にセンサープローブが短い場合)TDRの波形解析
結過程における土粒子周囲の液状水膜の形状の相同に留意が必要である．Fig.2に土の比誘電率と温度性を仮定し，水-空気と水-氷の表面自由エネルギーの関係を示す 23) ．0℃以上においては，比誘電率は差を等しいと見なせば，相平衡の状態方程式を介し概ね一定値となったが，高含水率の試料ほど，温度て水分保持曲線から土の不凍水量曲線(温度と不凍低下に伴い比誘電率が増大した．これは液状水の比
水量の関係)を導くことができる 25),26)．不凍水量に誘電率の温度依存性による．0℃以下においては，相当する低水分領域の水分保持曲線は，露点計測型
温度が下がるほど比誘電率が減少した．これは，凍の水ポテンシャル計等で比較的容易に測定できる．
結の進行に伴う不凍水の減少に起因する．ところで，仮定の検討は未だ必要ではあるが，こうした水分保
これらの土の不凍水量曲線(Fig.1)は，-1℃以下に持曲線と不凍水量曲線の関連づけは，凍土中の水・おいては，全水量にかかわらず同じ曲線で示された．
熱同時移動の数値計算にも有用である27),28),29)．
しかしながら比誘電率と温度関係は，-1℃以下にお凍土中の不凍水量の測定法については，測器の価いても，全水量が少ないほど小さくなった．凍土の格や測定できる試料の制約(サイズや破壊・非破壊など)，測定時間や精度にそれぞれ長所短所があり， 比誘電率には，氷の量とその比誘電率あるいは氷の現状では，予算や用途に応じて選択せざるをえない． 存在に起因する不凍水の比誘電率の変化が影響していると考えられる．
いずれの手法も，概ね同等の不凍水量を評価できる
ここで，TDR法で測定した比誘電率とNMR法で測定と考えられてはいるが，より簡便かつ正確に現場で不凍水量を測定できる手法の開発が今後期待される． した液状水量を比較した(Fig.3)．図中，未凍結の試料を白抜きの，0℃以下の試料を中塗りの点で示(2) NMR法とTDR法による測定
した．尚，0℃以下の試料については，低温の試料
異なる含水率に調整したシルトロームと砂(Table
23)
ほど低水分側に位置する．ところで，土の比誘電率1)の不凍水量をパルス型NMRで測定した ．Fig.1に
rと液状水量の関係はしばしば3次式で近似される．
温度と土中の液状水量の関係を示す．図中，0℃以Table 1 Properties of soil samples
SampleTextureSlope
Sand
Tottori dune
S
0.315
Sand2
ToyouraS
0.338
Silt loam Fujinomori
SiL
0.333
GB
Glass beads
Si
0.282
Clay1
Bentonite
C
0.597
Clay2
Kaolinite
C
0.758
Andisol1 Hokkaido
SiL
0.278
Andisol2 Nagano
0.262
Andisol3 Mie
C
0.302
Andisol4 Kumamoto
0.306
Loam1
Kagawa
L
0.340
Loam2
Okinawa
L
0.279

21-2

30

(a) Silt loam

tot = 0.45

Relative permittivity, r

Relative permittivity, r

30

20
0.37

0.29

10

0.25

(b) Sand20
tot = 0.26
0.25
0.23
0.21
0.16

10

0.20

0
-10

-5

0

5

0
-20

10

Temperature, T (oC)

-10

0

10

Temperature, T (oC)Fig.2 Relative permittivity of (a) Silt loam and (b) Sand
with different total water content, tot measured by pulsed NMR.

20

Sm

&T
it h

ice

10

(a) Silt loam
0

Relative permittivity, r30

tot (m3m-3)
0.45
0.37
0.29
0.25
0.20

To
pp

Relative permittivity, r

30

20

0.1

0.2

0.3

0.4

(b) Sand
5

10
4

3

0
0

tot (m3m-3)
0.26
0.25
0.23
0.21
0.16

0.5

Liquid water content,  (m3m-3)

0

0.1

0.2

0.3

0.01

0.02

0.4

0.5

Liquid water content,  (m3m-3)

Fig.3 The relationship between the liquid water content and relative permittivity of (a) Silt loam and (b)Sand. The closed and open markers indicate samples at subzero and above-zero temperatures. The solid anddashed lines were estimated by the equations proposed by Topp30) and Smith and Tice31), respectively.

 r  A 3  B 3  C  Dのため，こうした土において，氷量(全水量)の違いを考慮せず，飽和凍土を用いて検量線を作成すると，不飽和凍土の不凍水量を過小評価することになる．
3次の検量線を用いる場合は，前もって幾つかの飽
和度の凍土について検量線を作成し，実際の全水量に応じてこれを内挿する32)などの工夫が必要である．
(3) 凍土の比誘電率と混相モデル
異なる比誘電率を持つ n相が混合した場合，マクロにみた混合相の比誘電率rは次式で表される．

(1)

ここで，A, B, C, Dは任意の係数である．Toppら30)は数十種の土のr-関係を調べ，多くの土に適用できる式(1)の係数を経験的に示した(Table 2)．Smith
and Tice 31)は凍土中の不凍水量をNMR法で測定し，凍土についての式(1)の係数を提案した(Table 2)．
Fig.2にはこれらの式も併記した．砂については，
未凍土と凍土の違いにかかわらず，ToppやSmith
and Ticeの式は，液状水量と比誘電率の関係を概ねn表すようにも見える(rが1異なるとuが0.05異なる)．
 r    j  j(2)
j 1
また，-0.1℃以下では不凍水量がほとんど変化しな
ここで，jはj相の体積割合， は形状因子であり，いことから，凍土の不凍水量を3次の検量線を用い
33)
理想的な球体が溶媒に分散した系では1/3となる．
て r から推定する場合，定数項 D の値が特に重要と34)
Rothら は，土粒子が水や空気と混合した場合， なる．シルトロームについては，常温において，比は1/3～1程度になることを示し，汎用的には  =誘電率がTopp式による推定値より小さくなった．こ
0.5とすることを提案している．
れは吸着水の比誘電率がバルクの水より低いことに土粒子の誘電率をsとすれば，不飽和土の見掛けよる．また，0度以下においては，同じ液状水量での比誘電率rは次式で示される．
あっても，氷量が増すほど比誘電率が上昇した．こ

21-3

20

(a)

Relative permittivity, r

Relative permittivity, r

20

10

it
Sm

h

Ti c
and

e

T (℃)
-20
-10
0
10
20

Topp
0

0

0.1

0.2

(b)

10

i (m3m-3)
0.4
0.2
0.1
0.05
0

e
Ti c

Topp
0

0.3

Liquid water content,  (m3m-3)
Fig.4

i
Sm

nd
th a

0

0.1

0.2

0.3

Liquid water content,  (m3m-3)

Change in relative permittivity of soil depending on (a) temperature and (b) ice content estimatedby the mixing model (Eq. 5) with a = 1, s = 4.5, i = 3.6, s = 0.45 and  =0.5.

 r  s  s   l  (1  s   ) a(3)

ここで， sは固相率である．尚，空気の比誘電率 a
は約１，石英や長石の比誘電率は3～4，カオリナイ
トやイライトなど粘土鉱物は10～20程度である35)．
また，液状水の比誘電率lは温度(T)依存性を持つ．
 l  88.15 - 0.414T  0.00131T 2  0.0000046T 3 (4)

A
B
C
D

Table 2 Coefficient of Eq.1.
Eq.7
Topp30)Smith and Tice31)
36.27
-76.7
-33.47
41.56
146
64.95
15.87
9.3
24.82
2.02
3.03
4.09

凍土の場合は，氷の相が式(3)に加わる．すなわち，度や氷量依存性を評価することができる．Fig.4に
氷の誘電率と体積割合をそれぞれi，iとすれば，様々な温度，含氷率の凍土について，混相モデルで
 r  s s   l  i i  (1  s    i ) a (5)算出した比誘電率と不凍水量の関係を示す．同じ比

ここで，全水量をtot (i = tot - l)とし，式(5)を変形すれば，凍結過程にある土の液状水量を比誘電率から推定することができる．
 ( l   i )  ( r   a )  s ( s   a )   tot ( i   a ) (6)吸着水(不凍水)の誘電率はバルクの水より低いと考えられるので，こうした項を加えれば，式(6)をより現実的なモデルにすることも可能である36),37)．
ところで，式(3)の右辺を s について整理し，完
全混相( = 1/3)を仮定すれば，式(3)は式(1)と同型となり，各係数の値を求めることができる．
A  ( l   a )3
B  3( l   a ) 2 ( s s  s  a   a )C  3( l   a )(s  s   s  a   a ) 2(7)D  ( s  s   s a   a )3a = 1，s = 80，s = 0.45とすると，それぞれの値はTable 2となる．これらの係数を使った場合と，Topp式，Smith and Ticeの式を比較すると．常温の各種の土に対し，全体的によく傾向を示すようにフィッティングしたTopp式に対し，Smith and Ticeの式は液状水量が少ない凍土に特化しており高含水率の土の水分量を過小評価すること，  = 1/3を仮定した混相モデルは全体の水分量を過小評価しがちであることが分かる．尚，係数Aは，理論的には正の値をとるべき係数といえる．
混相モデルは理論モデルであり，必ずしも全ての土を良く表すわけではないが，凍土の比誘電率の温

21-4

誘電率の凍土であっても温度が10℃異なれば，ある
いは含氷率が0.1異なれば，不凍水量が0.05 m3m-3程
度異なることがわかる．凍土の不凍水量はわずかであるため，こうした読み違えの占める割合は相対的に大きい．現場でTDRなどの誘電率計を用いる場合，
比誘電率のこうした変化を季節変化や空間変動と解
釈し違えないよう留意が必要である．
(4) 水分保持曲線からの推定
土中水の圧力は大気圧より低く，このため土は水を保持する．土中水圧hと土が含む水の量(体積含水率)の関係は，土の水分保持曲線と呼ばれ，土中の物質移動の予測や植物の水ストレスを考える上で必要不可欠な特性である．
不飽和土の は土粒子間の毛管保水や土粒子表面への吸着の形態に依存し，乾燥とともに，圧力の高い(エネルギー状態がバルクに近い)水から蒸発する．
一方，土が凍結する場合，土粒子と氷間の不凍水膜の厚さは，液状水-氷界面の毛管力や土粒子表面の表面力に依存し38)，温度の低下とともに毛管力や表面力の影響の弱い水から順に凍結する．すなわち，乾燥過程と凍結過程では，土中の水の分布形状やエ
ネルギー状態を概ね同様と見なすことができる25),26)．
ところで，水と氷が共存する系においては，相平衡の状態方程式であるクラウジウス-クラペイロン式(GCC式)が成立する．
dP
dP L
vl l  vi i  f
(8)
dT
dT T

Unfrozen water content, u (m3m-3)Water content,  (m3m-3)

0.6

0.4

0.2

Sand

Silt loam

(b)
0.1

0.01

0
10
Fig.5

HW
WP
Eq.13
Eq.14
Eq.15
Eq.16

(a)

10 3

10 5

Suction, |h| (cm)

NMR
Eq.13
Eq.14
Eq.15
Eq.16
0.01

0.1

1

10

Temperature, |T| (oC)(a) Soil retention curve of Silt loam and Sand measured by hanging water method and water potential
meter, and (b) unfrozen water curve estimated from (a) through Eq. 9.

固点は次式で表され，表面に近づくほど低下する．
ここで，PlとPiは水と氷の圧力，vlとviは水と氷の比容積である．系が溶質を含む場合は，濃度に比例しAHTm
T  
(10)
た凝固点降下項が式(8)に加わる．ここで，凍土中
6i Lf d 3の不凍水についてもGCC式が成り立つとし，不飽和
ここで，T = Tm - Tは凝固点降下，AHはHamaker常土の凍結過程における氷圧の変化を無視できるとす数， iは氷の密度， d は固相表面からの距離である．
れば，式(8)より不凍水圧と温度の関係が導かれる．
土粒子-水間の AH は通常-1019 ～-1021 J程度であり
40),41)
LfT，式(10)から，土粒子表面近傍の数分子層内の
ln
(9)
h
水は-30℃以下に冷やされても凍結しないことがわ
g Tm
かる．尚，荷電表面においてはvan der Waals力に
ここで，gh = Plであり，Tmは氷の融点，Tは不凍水
加えCoulomb力の影響も式(10)に加わる 42) ．次に，の温度(K)である．尚，Koopman and Miller26) は，
土中の水の凝固点は土粒子間隙の界面曲率によって毛管保水が卓越する砂やシルト質土の場合，気液界降下する．半径 r の円柱状の氷を考えた場合，その面と気氷界面の表面自由エネルギーの比を用いた式
凝固点はGibbs-Thomson効果で表される．
(9)の補正を提案しており，Black and Tice39) は，
T 
これを実験的に検証している．
T  m(11)
i Lf r凍結過程と乾燥過程の水膜の相同性の仮定と式
ここで，は氷-水間の界面自由エネルギーである．
式(11)から，半径0.1 m以下の粒子間隙や固相表面の細孔内の水は，0.25℃以下に冷やされないと凍結しないことがわかる．さらに，土中の水の凝固点は溶解物質によっても降下する41)．
式(10)，(11)によれば，土中では温度が低下するに
つれ，固相表面からの距離が遠い水および径が大きな孔内の水から順に凍結し，不凍水量が減少する．
この際，表面力が卓越する土や温度範囲では，不凍
水量の減少傾向は式(10)にしたがい，温度の-1/3乗に比例する．また，温度と圧力が一定であれば，不凍水量は比表面積，交換性陽イオン量や溶質の種類
３．不凍水量の推定モデルと量などによる．Table 1に示す種々の不飽和土について測定した不凍水量と温度の関係をFig.6に両対数で示す．いずれの土のlog u - log T関係もほぼ(1) 理論モデル
線形(累乗関数)となった．それぞれの土の回帰直線
土中の不凍水の存在機構は，主に3つの要因から
38)の比例係数をTable 1に示す．有機物を含まない不なる ．まず，土中水の表面自由エネルギーは固相(土粒子，氷)の表面力によって低下する．このため， 飽和な砂やシルトローム(下層土)，耕作地のローム
土(生土)，火山灰起源の異なる各地の黒ぼく土(生固相表面の近傍に膜状に存在する水の凝固点はバル土)については，いずれも不凍水量が温度の-1/3乗
ク の 水 よ り 低 く な る ． 仮 に ， 表 面 力 に van derに概ね比例した．これらの土中では，水を含む半径
Waals力のみを考えた場合，固相表面近傍の水の凝(9)を用いることで，室温の土の水分保持曲線と凍土の不凍水曲線は互いに変換可能となる．Fig.5aに吸引法と露点計測式水ポテンシャル計で測定したシルトロームと砂の水分保持曲線を示す．図中には式(13)-(16)で フ ィ ッ テ ィン グ し た 曲線 も 示 し た．
Fig.5bに，この水分保持曲線と式(9)から導いた不凍水曲線を示す．図中にはNMR法で測定した不凍水
量の実測値も併記した．図中，水分保持曲線からの換算値と実測の不凍水曲線はよく一致しており，これらの土については上述の仮定が有効であることが
わかる．

21-5

Eq

0.1

GB
. 10

0.01
0.1

1

10
o

Temperature. |T| ( C)Andisol1
Andisol2
Andisol3
Andisol4

Fig.6

Unfrozen water content, u (m3m-3)

Unfrozen water content, u (m3m-3)

1

Loam1
Loam2
Silt loam
Clay loam

Sand1
Sand2
Clay1
Clay2

0.4
NMR mes.
Eq.10
Eq.11
Eq.10 + 11

0.3

0.2

0.1

0
0.1

1

10
o

Temperature. |T| ( C)

Fig.7 Unfrozen water curve of uniforme sized glass
beads (GB), which surface contains nano-pores.

Unfrozen water curves of 13 samples.

 u  a(T )b(12)
0.1 m以下の細孔がほとんど存在せず，表面力によ
ここで，a，bは土固有の定数と言われている．ただる不凍水の保持が支配的であると考えられる．黒ぼし，式(12)は式(10)と同型をしており[ u = dS = (く土は微細な土粒子がシルトから砂程度の団粒を形
AHTmS3 / 6iLf)-1/3 × (-T)-1/3 ]，aは比表面積Sに比例し成し，団粒間の粗間隙と団粒内の微細間隙を併せ持た定数と見なせる．また，細孔分布に極端な偏りがつ土と考えられているが，こうした構造に由来するある土でなければ，Fig.6より b は微細間隙の割合
不凍水量曲線の変化は，-1℃以下の温度範囲ではほ(あるいは細粒分)に比して-1/3より小さくなる定数
とんど確認できなかった．一方，粘土や，ガラスと見なすことができる．
ビーズについては，Fig.6の回帰直線の傾きが-1/3(3) 水分保持曲線との連携
より急になった．これは，こうした微細間隙を多く土壌物理学の分野では，これまで，土の水分保持
含む土については，不凍水量に対する式(11)の寄与曲線を表す様々な関数モデルが提案されてきた47)．
が無視できないことを示唆している．
凍土中の水移動の数値計算29)48)によく使われるモデ
Table 2のGBは，粒径を均一に揃えた(2.2 m)ガルとしては，Brooks and Corey49)のモデル
ラス粉体であり，粒子表面に3 nm程度の細孔を多くnh  1/   h有する．ここで，ガラスビーズの細孔径分布をBETSe  (13)h  1/  1法で測定し，対応する凝固点降下を式(11)から換算した．次に，表面力の影響範囲を粒子表面から10や，van Genuchten50)のモデル
nmまでと仮定して，式(12)と足し合わせた(Fig.7)．
n mSe  1   h(14)
図から，式(10)と式(11)の和で不凍水量を概ね表さ41)れることが確認できる．Watanabe and Mizoguchiがある．ここで，Se = ( - r) / (s - r)は有効飽和度，は表面力と間隙曲率の効果に溶質の寄与も加え，異sとrは飽和および残留含水率，とn，m = 1 - 1/nはなる溶質濃度で飽和した粘土やシルトロームの不凍それぞれ水分保持曲線の空気侵入値と傾きを決める
水量曲線を，比表面積，細孔分布関数，溶質濃度をパラメータである．式(13)(14)とも，不凍水曲線に用いて表した．また，Watanabe and Flury3) は土を換算した際重要となる低水分領域では，水分量が|h|
毛管の束と考え，未凍土の水分保持曲線と式(10)，の(式(9)で換算すれば |T| の)累乗になるのは，式式(11)から凍土の不凍水量と不飽和透水係数の関係(10)と同様である．Fig.5bに式(9)を介してこれらを導いている．
のモデルから推定した不凍水量曲線を示す．シルト(2) 経験モデル
ロームについては，いずれのモデルも不凍水量を比
不凍水量の理論モデルは，多くの物性値を要した
較的よく表した．一方，砂については，不凍水量がり，算出が猥雑な場合があり，数値計算等への応用
少なく残留含水率r以下となるため，両モデルともや現場での簡便な不凍水量推定に必ずしも向いてい
不凍水量曲線を表すことができなかった．低水分領るとは言い難い．そこで，不凍水量と温度の関係は， 域の水分減少を表せるよう，式(14)を改良したモデ
古くより，土の比表面積や活性度，粘土鉱物の種類
ルに，例えばFayer and Simmons51) のモデルがある．
や量などを用いて，経験的に累乗関数や多項式で近n m    h   a   s    h   a  1   h  (15)
似されてきた43),44)．中でも最も単純且つ広く用いら45),46)
れているのは以下の近似式であろう．
ここで， = 1 - ln(-h)/ln(-hm)，hmは = 0となる炉乾



21-6



リシスも検討されるべきであろう．今後は，より汎状態に相当する土中水圧力，aは水分保持曲線の形
用性の高いモデルやパラメータ推定法の構築や，現状を与えるパラメータである．また，Durner52)は式場で簡単迅速且つ正確に不凍水量と全水量を同時測(14)を2本足し合わせることで，マクロポアや団粒構造などに起因する水分保持曲線の変化を表現した． 定できる方法の開発，さらには，数値計算とあわせm2
n  m1n
た現象の理解が進むことが期待される．
Se  w1 1  1h  1   w2 1   2 h  2 
(16)




ここで，w1 + w2 = 1は重み係数である．Fig.5bに式
参考文献(9)を介してこれらのモデルから推定した不凍水量
1) Anderson, D.M. and Tice, A.R. (1972): Predicting unfrozen
曲線を示す．式(15)はhmに向けて液状水量を対数関
water contents in frozen soils from surface area measurements,
数で減少させるため，不凍水量曲線の曲率を上手く
Highw. Res. Rec., 393, 12-18.
2) McCauley, C.A., White, D.M., Lilly, M.R. and Nyman
表わすことができない．一方，式(16)は，パラメー
D.M. (2002): A comparison of hydraulic conductivities,
タを多く要するが，水分保持曲線，不凍水量曲線とpermeabilities and infiltration rates in frozen and unfrozen soils,もよく表すことができるモデルだと言える．尚，いCold Reg. Sci. Tech., 34, 117-125.
ずれのモデルを用いる場合においても，凍結面近傍(-0.1℃近傍)の激しい不凍水量変化を再現するため， 3) Watanabe, K. and Flury, M. (2008): Capillary bundlemodel of hydraulic conductivity for frozen soil, Water Resour.
-1000 < h < -500 cm付近の水分保持曲線の形状をRes., 44, W12402, doi:10.1029/2008WR007012.
決めるパラメータ調整に留意が必要がある．
4) Watanabe, K. and Ito, M. (2008): In situ observation of the
式(13)～(16)のような水分保持関数は，不飽和透
distribution and activity of microorganisms in frozen soil, Cold
水係数の導出53)にも用いられるため，土中の水・熱Reg. Sci. Tech., 54, 1–6.
移動の数値計算には欠かせない関数モデルである．
5) Hoekstra, P. (1966): Moisture movement in soils under
土の凍結・融解過程においては，高含氷量の凍土のtemperature gradients with the cold-side temperature below
融解や，融雪水の浸潤など飽和近く(h = 0 cm)から， freezing, Water Resour. Res., 2, 241-250.
6)
Fukuda, M., Orhun, A. and Luthin, J.N. (1980):
マイナス数十℃の凍土(h < -105 cm)まで，土中水がExperimental
studies of coupled heat and moisture transfer in
様々な圧力変化に晒される．このため，凍土の数値
soils
duringfreezing,
Cold Reg. Sci. Tech., 3, 223-232.
計算においては，広い圧力範囲において水分保持曲
7)
Sparks,J.P.,
Campbell,G.S., Black, R.A. (2001): Water
線のみならず不凍水曲線も評価できるモデルを，土content, hydraulic conductivity and ice formation in stems of
質に応じて選択することが必要である．

Pinus contorta: a TDR case study, Oecologia, 127, 468-475.
8) Zepeda, S., Yokoyama, E., Uda, Y., Katagiri, C., Furukawa,
４．おわりにY. (2008): In situ observation of antifreeze glycoprotein kinetics
at the ice interface reveals tow-step reversible adsorption
凍土中でも凍結しない水，不凍水について，そのmechanism, Cryst. Growth. Des., 8, 3666-3672.
測定例と測定法を幾つかの土に対して示した．また， 9) He, S. and Mench, M.M. (2006): One-dimensionaltransient model for frost heave in polymer electrolyte fuel cells.
混相モデルに基づき，凍土の比誘電率の温度およびI. Physical Model, J. Electrochemical Soc., 153, A1724-A1731.
氷量依存性や，経験的検量線の係数の意味を考察し
10) Thompson, E.L., Jorne, J., Gu, W. and Gasteiger, H.A.
た．NMR法のように水分子の物性そのものを直接計(2008): PEM fuel cell operation at -20°C. I. Electrode and測する方法であっても，氷や土の構造変化を正しく
membrane water storage, J. Electrochem. Soc., 155, B625-B634.
検討しないと，不凍水量を誤評価することがある．
11) Push, R.(1979): Unfrozen water as a function of clay
特に誘電率を利用した土壌水分計は，値をブラック
microstructure, Proc. 1st Int. Symp. Ground Freezing, Elsewier
ボックス的に提示する製品が多いため，検量線に乾Sci. Pub. Comp., Amsterdam, 157-162.
燥密度や温度，全水量(含氷量)の影響を如何に加味
12) Akimov, Y.P., Yershov, E.D. and Cheveryov, V.G.
するか，凍土に応用する前に検討が必要であろう．
(1984): Contributed Soviet papers: The physicochemical nature
土粒子の表面力と粒子間隙の界面圧力に基づき，
of the formation of unfrozen water in frozen soils, Proc. 4th Int.
不凍水の存在機構を論じた．また，こうした理論にConf. Permafrost, Univ. Alaska Fairbanks, Fairbanks, 195-199.
基づき，不凍水量推定への応用例や経験的モデルの13) Tice, A.R, Burrous, C.M. and Anderson, D.M. (1978):
Determination of unfrozen water in frozen soil by pulsed
関数の解釈を示した．一方，土の不凍水量曲線と水分保持曲線の類似性がしばしば述べられる．そこで， nuclear magnetic resonance, Proc. 3rd Int. Conf. Permafrost,
National Academy Press, Washington D.C., 149-155.
相平衡の状態方程式を介して水分保持曲線から不凍14) Tice, A.R, Oliphant, J.L., Nakano, Y. and Jenkins, T.F.
水量を推定する方法と留意点をまとめ，その際に適(1982):
Relationship between the ice and unfrozen water phases
した関数モデルを検討した．
in frozen soil as determined by pulsed nuclear magnetic
凍土中の物質移動を論じる場合，不凍水量と全水
resonance and physical desorption data. Rep. 82-15, U.S.
量を同時に明らかにすること，不凍水量の変化のみ
CRREL, Hanover.
ならず挙動も明らかにすることが重要である．また， 15) Kolaian, J.H. and Low, P.F. (1963): Calorimetric
融雪水の浸潤や凍上現象など，対象に応じて不凍水
determination of unfrozen water in montmorillonite paste, Soil
量の空間変動や非平衡性，凍結・融解に伴うヒステ
Sci., 95, 376-383.

21-7

16) Anderson, D.M. and Tice, A. (1973):The unfrozen interfacial phase in frozen soil water systems, Ecol. Study,4,107-125.
17) Anderson D.M, and Tice, A. (1971): Lo:w temperaturephases of interfacial water in clay-water systems, Soil Sci. Soc.
Am. Proc., 35, 47-54.
18)
Kozloski, T. (2003): A comprehensive method ofdetermining the soil unfrozen water curves. 1. Application of
the term of convolution, Cold Reg. Sci. Tech., 36, 71-79.
19) Patterson, D.E. and Smith, M.W. (1981): The measurement of unfrozen water content by time-domain reflectometry:
Results from laboratory test, Can. Geotech. J., 18, 131-144.
20) Spaans, E.J.A. and Baker, M. (1995): Examining the useof time domain reflectometry for measurement of liquid watercontent in frozen soil, Water Resour. Res., 31, 2917-2925.
21) Seyfried, M.S. and Murdock, M.D. (1996): Calibration oftime domain reflectometry of measurement of liquid water infrozen soils. Soil Sci., 161, 87-98.
22) Yamanaka, T. and Kaihotsu, I. (2003): TDR Measurementof soil moisture in a cold-arid region :Effects of temperature
variation and soil freezing/melting phenomena. Soil moisturemonitoring in diverse regions. Electronic monograph 1,
Terrestrial Environment Research Center, Univ. of Tsukuba, 1-7.
23) Watanabe, K. and Wake, T.: Measurement of unfrozen
water content and relative permittivity of frozen unsaturated soil
using NMR and TDR, Cold Reg. Sci. Tech., in review.
24) Yoshikawa, K. and Overduin, P.P. (2005): Comparing
unfrozen water content measurements of frozen soil using
recently developed commercial sensors, Cold Reg. Sci. Tech.,42, 250-256.
25) Williams, P. (1964): Unfrozen water content of frozen soil
and soil moisture suction, Geotechnique, 14, 231-246.
26) Koopmans, R.W.R. and Miller, R.D. (1966): Soil freezing
and soil water characteristic curves, Soil Sci. Soc. Am. Proc., 30,
680-685.
27) Zhao, L., Gray, D.M,.and Male, D.H. (1997): Numericalanalysis of simultaneous heat and mass transfer during
infiltration into frozen ground, J. Hydrol., 200, 345-363.
28) Stähli, M., Jansson, P.-E. and Lundin L.-C. (1999): Soil
moisture redistribution and infiltration in frozen sandy soils,
Water Resour. Res., 35, 95-103.
29) Hansson, K., Šimůnek, J., Mizoguchi, M., Lundin, L.-C.
and van Genuchten, M.T. (2004): Water flow and heat transport
in frozen soil: Numerical solution and freeze-thaw applications,
Vadose Zone J., .3, 693-704.
30)
Topp. G.C., Davis, J.L. and Annan, A.P. (1980):
Electromagnetic determination of soil water content:
Measurements in coaxial transmission lines, Water Resour. Res.,16, 574-582.
31) Smith, M.W. and Tice, A.R. (1988): Measurement of theunfrozen water content of soil: Comparison of NMR and TDR
methods. Rep. 88-10, U.S. CRREL, Hanover.
32) 和気朋己 (2008):凍結過程における不飽和土中の水・熱移動, 三重大学修士論文, p127.
33) Landau, L.D. and Lifshitz, E.M. (1959) Electorodynamics
of continuous media, 井上健男・安河内昂・佐々木健訳, 東京図書, 296p
34) Roth, K., Schulin, R., Flühler, H. and Attinger, W. (1990):

21-8

Calibration of time domain reflectometry for water content
measurement using a composite dielectric approach, Water
Resour. Res., 26, 2267-2273.
35) Olhoeft, G.R. (1981): Electrical properties of rocks,
Physical Properties of Rocks and Minerals, Y.S. Touloukian,
C.Y. Ho and R.F. Roy et., McGraw-Hill, New York,pp.257-329.
36) Birchak, J.R., Gardner, C.G., Hipp, J.E. and Victor, J.M.
(1974): High dielectric constant microwave probes for sensing
soil moisture, Proc. IEEE, 62, 93-98.
37) Bittelli, M., Flury, M. and Roth, K. (2004): Use ofdielectric spectroscopy to estimate ice content in frozen porous
media, Water Resour., Res., 40, W04212.
38) Dash, J.G., Fu, H. and Wettlaufer, J.S. (1995): The
premelting of ice and its environmental consequences, Rep.
Prog. Phys., 58, 115-167.
39) Black, P.B. and Tice, A.R. (1989): Comparison of soil
freezing and soil water curve data for Windsor sandy loam.,
Water Resour. Res.,25, 2205-2210.
40) Israelachvili, J.N. (1992): Intermolecular and Surface
Forces, 2nd ed., Academic, London, 450p
41) Watanabe, K. and Mizoguchi, M. (2002): Amount of
unfrozen water in frozen porous media saturated with solution.
Cold Reg. Sci. Tech., 34, 103-110.
42) Wettlaufer, J.S. (1999): Impurity effect in the premeltingof ice, Phys.Rev. Lett., 82, 2516-2519.
43) Dillon, H.B. and Andersland, O.B. (1966): Predicting
unfrozen water contents in frozen soil, Can. Geotech. J.,3, 53-60.
44) Anderson, D.M. and Tice, A.T. (1972): Predicting
unfrozen water contents in frozen soils from surface area
measurements, Highw. Res. Record., 393. 12-18.
45) Anderson, D., Tice, A. and McKim, H. (1973): The
unfrozen water content and the apparent heat capacity in frozen
soils, Proc. 2nd Int. Permafrost Conf., National Academy of
Science, Washington, D.C., 289-295.
46) Smith, M. and Tice, A. (1988): Measurement of unfrozen
water content of soils, Proc. 5th Int. Permafrost Cons., Tapir
Pub., Trondheim, 473-477.
47) 坂井勝, 取出伸夫 (2009):水分保持曲線と不飽和透水
係数の水分移動特性モデル, 土壌の物理性, 112, 61-73.
48) Flerchinger, G.N. and Saxton, K.E. (1989): Simultaneousheat and water model of a freezing snow-residue-soil system: I.
Theory and development, Trans. ASAE, 32, 565-571.
49) Brooks, R.H. and Corey, A.T. (1964): Properties ofporous media affecting fluid flow, J. Irrig. Drainage Div.,ASCE Proc., 72, 61-88.
50) van Genuchten, M.Th. (1980): A closed-form equation forpredicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils, Soil
Soc. Am. J., 44, 892-898.
51) Fayer, M.H. and Simmons, C.S., (1995): Modified soil
water retention functions for all matric suctions, Water Resour.
Res., 31, 1233-1238.
52) Durner, W. (1994): Hydraulic conductivity estimation forsoils with heterogeneous pore structure, Water Resour. Res., 30,
211-223.
53) Mualem, Y. (1976): A new model for predicting thehydraulic conductivity of unsaturated porous media, Water
Resour. Res., 12, 513-522.
(2009.3.31受理)