平成１９年度

全国学力・学習状況調査
解 説 資 料中学校 数学

平成１９年５月
国立教育政策研究所
教育課程研究センター

CHU-SUU-HYO.indd 1

07.5.9 9:22:08 AM

は

じ

め

に

平成19年度全国学力・学習状況調査が，小学校第６学年及び中学校第３学年の原則として全児童生徒を対象に，４月24日に実施されました。この調査の趣旨は，平成17年10月26日の中央教育審議会答申「新しい時代の義務教育を創造する」の提言にあるように，
義務教育の構造を改革して，その質の保証・向上を図っていくことにあります。
具体的な実施方法等については，平成18年４月25日の「全国的な学力調査の実施方法等に関する専門家検討会議」の報告に述べられています。調査の目的は，①全国的な義務教育の機会均等とその水準の維持向上の観点から，各地域における児童生徒の学力・学習状況等を把握・分析することにより，教育及び教育施策の成果と課題を検証し，その改善を図ること，②各教育委員会，学校等が全国的な状況との関係において自らの教育及び教育施策の成果と課題を把握し，その改善を図ることです。
調査の内容は，教科に関する調査（国語と算数・数学）と生活環境や学習環境等に関する質問紙調査（児童生徒対象と学校対象）があります。教科に関する調査については，
主として「知識」に関する問題と，主として「活用」に関する問題の２種類からなります。
主として「知識」に関する問題は，①身に付けておかなければ後の学年等の学習内容に影響を及ぼす内容や，②実生活において不可欠であり常に活用できるようになっていることが望ましい知識・技能などを調査するものです。主として「活用」に関する問題
は，①知識・技能等を実生活の様々な場面に活用する力や，②様々な課題解決のための構想を立て実践し評価・改善する力などにかかわる内容を調査するものです。
国立教育政策研究所教育課程研究センターにおいては，調査問題の作成と調査結果の分析を担当しております。この調査を児童生徒一人一人の学力や学習状況の把握はもとより，今後の指導や学習の改善に生かしていくことが重要であると考えています。このため，問題の作成に当たっては，学習指導要領に示されている内容が正しく理解されるよう留意するとともに，子どもたちに身に付けさせたい力として重視されるものについての具体的なメッセージとなるように努めました。



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本資料は，調査問題について出題の趣旨や正答・誤答の解説などをまとめたものです。
各学校や教育委員会においては，日常の学習指導や教育施策の改善・充実に生かしていただければ幸いです。
最後に，本調査の実施に当たりご協力いただきました皆様，調査に参加していただいた教育委員会，学校の皆様，本資料の作成に当たりご協力いただきました皆様に心から御礼申し上げます。

平成19年５月
国立教育政策研究所

教育課程研究センター長
惣

脇

宏



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●本書の目的
全国学力・学習状況調査は，児童生徒の学力や学習状況を把握・分析することにより，教育の結果を検証し，改善を図ることを目的としている。
本書は，調査の実施後できるだけ早い時期に，各学校の学習や指導の検証や改善に生かすことができるよう，平成19年度全国学力・学習状況調査の教科に関する調査問題について解説した資料などをまとめたものである。

●本書の内容・構成
Ⅰ

中学校数学科の問題作成に当たって調査問題作成の基本方針として，調査問題の出題範囲，問題作成の枠組み，及び質問紙
調査（教科関連部分）について解説した。

Ⅱ

調査問題の解説
問題ごとに，出題の趣旨，正答とその解説などについて記述した。
１

出題の趣旨
問題ごとに，各調査問題の出題の趣旨として，調査問題によって把握したい生徒の力について記述した。

２

各設問の趣旨各設問について出題の趣旨を記述した。生徒が身に付けておくことが望ましい力や，
学習指導要領における内容・領域及び評価の観点などを記述した。

３

正答と解説
■正答

各設問の正答や正答例を記述した。

■解説 問題の代表的な解き方，正答の基準，予想される誤答例と考えられる原因などを，各設問に応じて記述した。
４

学習指導に当たって問題と関連して，今後の学習指導への参考となることがらを記述した。

Ⅲ

調査問題一覧表問題の概要，出題の趣旨，学習指導要領の領域，評価の観点，問題形式を一覧表にまと
めた。

Ⅳ

調査問題
調査問題，解答用紙及び正答例を掲載した。



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Ⅴ

解答類型
解答類型は，各設問についての正答・予想される誤答・無解答などの解答状況を分類し整理したものである。
正答については，各問の趣旨に応じて解答として求める条件を定め，その条件をすべて満たしているものを ◎ で表し，設問の趣旨に即し必要最小限の条件を満たしているもの
を ○ で表した。
なお，解答類型には次のように番号を付けた。
類型１～類型８（最大）… 正答・予想される誤答の類型（複数の類型が正答となる問題もある。）
類型９ ……………………「上記以外の解答」
（類型１から８までに含まれない解答。
問題に正対していないものや，問題の意味をとらえていな
いと判断されるものを含む。）
類型０ ……………………「無解答」（一文字も記入のないもの。）

Ⅵ

質問紙調査項目（教科関連部分）
質問紙調査項目のうち，中学校数学科の教科に関する項目及び調査問題に関する項目を掲載した。
※

本調査においては，障害のある児童生徒や日本語指導が必要な児童生徒に配慮し，点字問題，拡大文字問題，総ルビ付き問題を用意した。

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目
Ⅰ

次

中学校数学科の問題作成に当たって …
… ………………………………………………

７

調査問題の解説
Ａ 主として「知識」に関する問題 ………………………………………………………
1 分数の除法の計算・正の数と負の数とその計算 …
… ……………………………
2 文字式の計算とその利用 ……………………………………………………………
3 方程式の解き方とその利用 …………………………………………………………
4 線対称な図形・角の二等分線の作図 …
… …………………………………………
5 空間図形 ………………………………………………………………………………
6 平行線の同位角と錯角・円周角の性質・平行四辺形の性質 …
… ………………
7 証明の意義 ……………………………………………………………………………
8 三角形の合同条件 ……………………………………………………………………
9 比例の意味とグラフ …………………………………………………………………
 反比例の表とグラフ …………………………………………………………………
 一次関数の意味とそのグラフ ………………………………………………………
 グラフから速さを求めること ………………………………………………………
… ……………………………………
 連立方程式と一次関数のグラフとの関係 …
 確率の意味・場合の数 ………………………………………………………………
 平均の意味 ……………………………………………………………………………

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Ⅱ

Ｂ

主として「活用」に関する問題 ……………………………………………………… 63… …………………………………… 64
1 情報の適切な選択と判断（セットメニュー）
2 説明を振り返り，発展的に考えること（連続する自然数の和）… ……………… 68
3 問題解決の構想と結果の振り返り（サッカー大会）… …………………………… 72
4 証明の評価・改善（垂直二等分線の性質の証明）… ……………………………… 76
5 事象の数学的な解釈と問題解決の方法（水温の変化）… ………………………… 80
6 事象の数学的な解釈と判断（図書館への往復）… ………………………………… 84

Ⅲ

調査問題一覧表 …………………………………………………………………………… 89
Ａ 主として「知識」に関する問題 ……………………………………………………… 90
Ｂ 主として「活用」に関する問題 ……………………………………………………… 92

Ⅳ

調査問題 …………………………………………………………………………………… 93
数学Ａ（主として「知識」に関する問題）… ……………………………………………… 95
数学Ｂ（主として「活用」に関する問題）… ……………………………………………… 119
解答用紙 ……………………………………………………………………………………… 135
正答例 ………………………………………………………………………………………… 141

Ⅴ

解答類型
Ａ 主として「知識」に関する問題
Ｂ 主として「活用」に関する問題

Ⅵ… ………………………………………………… 145…
……………………………………………………… 157

質問紙調査項目（教科関連部分）… ……………………………………………………… 167

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Ⅰ

中学校数学科の問題作成に当たって

１

調査問題の出題範囲
全国的な学力調査の実施方法等に関する専門家検討会議による報告書『全国的な学力調査の具体的な実施方法等について（報告）』（平成 18 年４月，以下『報告書』と略記する。
）では，全国的な学力調査における調査問題の出題範囲・内容について，各学校段階における各教科等の土台となる基盤的な事項に絞った上で，以下のように問題作成の基本理念を整理することが適当であるとされている。
・身に付けておかなければ後の学年等の学習内容に影響を及ぼす内容や，実生活において不可欠であり常に活用できるようになっていることが望ましい知識・技能など（主として「知識」に関する問題）
・知識・技能等を実生活の様々な場面に活用する力や，様々な課題解決のための構想を立て実践し評価・改善する力などにかかわる内容（主として「活用」に関する問
題）
また，具体的な調査問題の作成に当たっては，調査問題自体が学校の教員や児童生徒に対して土台となる基盤的な事項を具体的に示すものであり，教員による指導改善や児童生徒の学習改善・学習意欲の向上などに役立つとの視点が重要であるとされている。
特に，算数・数学科では，調査問題の作成に当たって，以下のような観点を盛り込む
ことや工夫をすることが考えられるとされている。
主として「知識」に関する問題
・整数，小数，分数等の四則計算をすること
・身の回りにある量の単位と測定が分かること
・図形の性質が分かること
・数量の関係を表すこと
・変化の様子を調べること・確率の意味を理解し確率を求めること など
主として「活用」に関する問題
・物事を数・量・図形などに着目して観察し的確にとらえること・与えられた情報を分類整理したり必要なものを適切に選択したりすること・筋道を立てて考えたり振り返って考えたりすること
・事象を数学的に解釈したり自分の考えを数学的に表現したりすること など
主として「知識」に関する問題と，主として「活用」に関する問題の内容については，それぞれの問題を知識・技能の習得と考える力の育成の両面にかかわるものとしてとらえる必要がある。
２

問題作成の枠組み
問題作成に当たっては，上記のような趣旨にもとづいて，主として「知識」に関する問題，主として「活用」に関する問題のそれぞれを，数学科の内容の領域，主たる評価の観点，問題場面の文脈とのかかわりで位置付けた。
⑴ 内容の領域・評価の観点との対応
中学校数学科の調査問題の構成については，次の（表 1）のように内容の領域・評価の観点との対応をまとめた。
問題作成の基本理念と具体的な観点からみて，数学科の問題としては，主として「知SINODA-CHU-SUU.indd 7

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識」に関する問題，及び主として「活用」に関する問題のいずれについても，「数と式」，「図形」，「数量関係」の領域から出題した。
また，評価の観点として，主として「知識」に関する問題では，「数量，図形などについての知識・理解」，及び「数学的な表現・処理」にかかわるものを中心に出題した。
一方，主として「活用」に関する問題では，上記２つの観点に「数学的な見方や考え方」の観点を加えたものを主たる評価の観点とした。
なお，「数学への関心・意欲・態度」にかかわる学習状況は，質問紙調査を中心に調べることが適切であると考えた。
（表１） 中学校数学科の調査問題の構成

領
主として
「知識」
に関する
問題

域

数と式
図

形

数量関係
主として
「活用」

評価の観点

・整数，小数，分数等の四則計算をすること
数学的な表現・処理

・身の回りにある量の単位と測定が分かること

数量，図形などにつ・数量の関係を表すこと

・図形の性質が分かること

いての知識・理解・変化の様子を調べること

数学的な見方や考・物事を数・量・図形などに着目して観察し的確にと

数と式

え方

図

数学的な表現・処理に関する問題調査内容（『報告書』における例示）・確率の意味を理解し確率を求めること

など

らえること
・与えられた情報を分類整理したり必要なものを適切形に選択したりすること・筋道を立てて考えたり振り返って考えたりすること

数量関係 数量，図形などについての知識・理解・事象を数学的に解釈したり自分の考えを数学的に表現したりすることなど⑵ 主として「知識」に関する問題の枠組み
主として「知識」に関する問題は，『報告書』で例示のある観点をもとに作成した。
したがって，「数と式」，「図形」，「数量関係」の各領域の内容からの出題を基本としながらも，網羅的に出題するのではなく，各教科などの土台となる基盤的な事項を選択して出題することとした。
なお，中学校数学科では，調査対象を中学校第３学年としていることから，中学校第２学年までの学習内容を出題範囲とした。
次の（表２）のように，学習指導要領の内容とその評価規準の具体例＊に対応するように，各領域から出題した。
＊

国立教育政策研究所教育課程研究センター『評価規準の作成，評価方法の工夫改善のための参考資料（中学校）』平成 14 年２月．
『評価規準の作成，評価方法の工夫改善のための参考資料（小学校）』平成 14 年２月．
（表２） 主として「知識」に関する問題作成の枠組み

数と式

第６学年
小学校

Ａ

学習指導要領の内容

評価規準の具体例またはその項目【Ａ 数と計算】⑶ 分数の乗法及び除法の意味について
理解し，それらを適切に用いることができるようにする。

帯分数を含まない分数の乗法及び除法の計算ができ，それを用いることがで
きる。

問題番号

1⑴



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数
と
式

第１学年

Ａ  

⑴

正の数と負の数について具体的な場
面での活動を通して理解し，その四則計算ができるようにする。

正の数・負の数の必要性やよさ

1⑵

正の数・負の数の計算

1 ⑶ ，⑷⑵

文字を用いて関係や法則を式に表現
文字を用いて考えることの必要性やよさ
したり式の意味をよみとったりする能力を養うとともに，文字を用いた式の文字を用いた式の計算
計算ができるようにする。

⑶ 方程式について理解し，一元一次方 一元一次方程式及びその解の意味
程式を用いることができるようにする。
等式の性質と一元一次方程式の解き方

3 ⑴ ，⑵

一元一次方程式の利用
第２学年

事象の中に数量の関係を見いだし， 整式の加法・減法，単項式の乗法・除法 2 ⑴
それを文字を用いて式に表現し活用す
2 ⑵ ，⑶る能力を伸ばすとともに，文字を用い 文字式の利用
た式の四則計算ができるようにする。
目的に応じた式の変形2⑷⑴⑵ 連立二元一次方程式について理解し， 連立二元一次方程式とその解の意味
それを用いることができるようにする。
連立二元一次方程式の解き方
連立二元一次方程式の利用
図形

第１学年

Ｂ

⑴

3⑶

基本的な図形を見通しをもって作図 平面図形の対称性する能力を伸ばすとともに，平面図形
基本的な作図についての理解を深める。

4⑴

図形を観察，操作や実験を通して考 空間における直線や平面の位置関係
察し，空間図形についての理解を深める。また，図形の計量についての能力 空間図形の平面図形の運動による構成を伸ばす。
空間図形の平面上での表現

5⑴⑵

基本的な図形の計量
第２学年

観察，操作や実験を通して，基本的 平行線と角な平面図形の性質を見いだし，平行線の性質を基にしてそれらを確かめるこ
多角形の角とができるようにする。

4⑵

5⑵
5⑶
5⑷

⑴

6⑴

⑵

7

平面図形の性質を三角形の合同条件 証明の意義と方法などを基にして確かめ，論理的に考察
三角形の合同条件する能力を養う。

学年

数量関係

小学校第

Ｃ

6

3⑷

8

三角形や四角形の性質

6⑶円周角と中心角6⑵【Ｂ 量と測定】⑶ 異種の二つの量の割合としてとらえ
速さや人口密度などの比べ方や表し方
られる数量について，その比べ方や表について理解している。
し方を理解し，それを用いることができるようにする。

⑴【Ｄ 数量関係】⑶ 平均の意味について理解し，それを 平均の意味について理解している。
用いることができるようにする。



第１学年
第２学年

具体的な事象の中にある二つの数量 比例，反比例の関係の変化や対応を調べることを通して，比例，反比例の関係を見いだし表現し 比例，反比例の特徴考察する能力を伸ばす。
比例，反比例の見方や考え方の活用⑴⑴

具体的な事象の中から二つの数量を 一次関数の関係
取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理 一次関数の特徴

9⑴9 ⑵ ，

⑴⑵SINODA-CHU-SUU.indd 9

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数量関係

第２学年

Ｃ

解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。
⑵ 具体的な事象についての観察や実験
   を通して，確率について理解する。

一次関数の利用

⑵方程式とグラフ



場合の数

⑵

確率の意味と簡単な場合について確率⑴を求めること⑶ 主として「活用」に関する問題の枠組み
主として「活用」に関する問題は，『報告書』で例示された４つの観点など（（表１）の「調査内容」参照）をもとに作成した。作成に当たっては，中学校数学科の指導のね
らいからみて，どのような場面で，どのような数学的な知識・技能などが用いられるか，
また，それぞれの場面で生徒のどのような力を評価しようとするかを明確にした。
（表３） 主として「活用」に関する問題作成の枠組み

活用する力

活用され
活用の文 主たる評る数学科
脈や状況 価の観点
の内容

α：

β：

数学的な
表現・処
他教科な 理

学

的

な

プ

ロ

セ

ス

α １：日常的な事象を数学化すること
α １⑴ものごとを数・量・図形などに着目して観

知識・技能
などを実生
数学的な
活の様々な
場面で活用 実生活や 見方や考する力
身の回り え方
の事象で
の考察

数

察すること
α １⑵ものごとの特徴を的確にとらえること
α １⑶理想化，単純化すること

数と式

α ２：情報を活用すること
α ２⑴与えられた情報を分類整理すること
α ２⑵必要な情報を適切に選択し判断すること
α ３：数学的に解釈することや表現すること
α ３⑴事象を数学的に解釈すること
α ３⑵自分の考えを数学的に表現すること

図形

β １：課題解決のための構想を立てること
β １⑴筋道を立てて考えること
β １⑵立式や証明（説明）の方針を立てること
β １⑶方針にもとづいて証明（説明）すること

様々な課題 どの学習
解決のため
の構想を立
β ２：結果を評価し改善することて実践し評
β ２⑴結果を振り返って考えること
価・改善す
数量，図
β ２⑵結果を改善することる力
算数・数 形などに 数量関係
β ２⑶発展的に考えること学の世界 ついてのでの考察 知識・理γ：γ １：他の事象との関係をとらえること解
γ ２：複数の事象を統合すること
上記 α， βγ ３：多面的にものを見ること
の両方にか
かわる力

10

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そのために，主として「活用」に関する問題の枠組みでは，① 当該の数学的な知識・技能などが活用される文脈や状況② 活用される数学科の内容（領域）③ 用いられる数学的なプロセスの３つの視点から（表３）のように整理することとした。
なお，（表３）の「数学的なプロセス」である α， β， γ を出題の趣旨として問題の作成に当たった。
⑷ 問題形式
問題形式について，以下のように出題した。
○選択式 ……複数の選択肢から正しいものを選択する。
○短答式 ……数値や用語など主として単語で答える。
○記述式 ……ことがらについて文などで説明する。
なお，『報告書』では「記述式の問題を一定割合で導入する。」とされていることから，問題の位置づけを明確にするために，記述式の問題のタイプを次のように整理した。
⑸

記述式の問題①記述式の問題の位置づけ『報告書』での「調査問題自体が学校の教員や児童生徒に対して土台となる基盤的な事項を具体的に示すものであり，教員による指導改善や，児童生徒の学習改善・学習意
欲の向上などに役立つとの視点が重要である。」との指摘に留意する必要がある。この意味で，特に記述式の問題の出題において，評価する記述内容は，今後の数学科の指導で求められる方向を示すものにつながる。つまり，個々の記述式の問題について，どのような記述内容を求めるかは，その問題ごとにある種の「あるべき姿（規範）」を示すことになる。
②記述式の問題のタイプ
今回の調査では，記述式の問題として，以下の⒜〜⒞の３つのタイプを考えた。
⒜⒝⒞

ことがらについての事実を説明する問題……「水温の変化・5⑵」ことがらを調べる方法や手順を説明する問題……「水温の変化・5⑶」ことがらが成り立つ理由を説明する問題(c-1) 明示された説明すべきことがらの根拠を記述する形式……「連続する自然数の和・2⑵」，「サッカー大会・3⑶」，「垂直二等分線の性質の証明・4⑵」c( -2) 説明すべきことがらを判断し，その根拠を記述する形式……「セットメニュー・1⑶」，「図書館への往復・6⑶」

これらの問題のタイプについて，問題で求める記述内容とそれに対応して構成される解答類型を，次のように整理した。

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⒜ ことがらについての事実を説明する問題
数学科の学習では，数量や図形などの考察対象について，あるいは問題場面について成り立つ数学的な事実を指摘し，その根拠を説明する場面がしばしば見られる。また，根拠を示しながら事実を説明することは，数学的に表現する力の育成という観点からも重要である。そこで，記述式の問題のタイプとして，「ことがらについての事実を説明する問題」を出題することにより，数学的に表現する力をみることにした。
一般に，あることがらを数学的に説明する場合，説明の根拠と説明すべき結論を指摘して述べる必要がある。つまり，「ことがらについての事実を説明する問題」では，根拠と，それによって説明すべき結論の両方を含む命題の形での解答が求められる。
出題に当たっては，生徒が根拠と説明すべき結論との区別を明確にできるように，根拠か，あるいは，その根拠にもとづいて説明すべき結論それ自体，またはその両方を，主として文で説明させることが考えられる。
今回の調査では，例えば，「水温の変化・5⑵」の問題（p.80）で，説明すべき結論である「 を の一次関数とみることができる」ことの根拠として，「点がほぼ一直線上に並んでいる」というグラフの特徴を解答として求めた。
このように，ことがらについての事実としては，数や図形の性質・特徴や，問題場面における要素間の関係などが考えられる。
⒝ ことがらを調べる方法や手順を説明する問題
数学を活用する場面で，問題を解決する方法や手順を的確に説明できるようにすることは大切である。主として「活用」に関する問題作成の基本理念に，様々な課題解決のための構想を立て実践し評価・改善する力があげられている。このことから，事象を数学的に解釈する場面でのアプローチの仕方や手順の説明を求める問題を出題することにより，構想を立てたり，それを評価・改善したりする力をみることにした。
このタイプの問題では，問題にアプローチする方法を考える上で，何を用いるか（例
えば，表，グラフ，式など），さらにそれをどう用いるか（例えば， と の関係式にある値を代入して求めることや，グラフを延長してある の値に対応する の値を求めることなど）の２点について解答（「△△を用いて，◇◇をする。」形式での解答）として求めた。
例えば，「水温の変化・5⑶」の問題（p.80）では，「 と の関係式（用いるもの）
を求め，その式に ＝80 を代入する（その用い方）。」という解答を求めた。また，解答類型の作成においても，「用いるもの（△△）」と「その用い方（◇◇）」を視点として解答を分類した。
なお，方法を具体的に説明する過程で，計算などに誤りがある場合も想定されるが，このタイプの問題は，様々な課題解決のための構想を立て実践し評価・改善する力をみるものであるので，方法の説明がなされているかどうかに焦点を当てて評価した。
⒞ ことがらが成り立つ理由を説明する問題
数学を活用する場面で，あることがらを，根拠を明らかにして説明できるようにする
ことは大切である。主として「活用」に関する問題の調査内容には，筋道を立てて考えたり振り返って考えたりすることが例示されている。このことから，明示された説明すべきことがらとその根拠を示して，理由を説明する問題を出題することにより，論理的な思考力をみることにした。

2

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このタイプの問題では，「▽▽であるから，□□である。」のような形での記述を解答として求めた。前半部分の「▽▽であるから，」で根拠を示し，後半部分の「□□である。
」で説明すべきことがらを示すというように明確にした。
ことがらが成り立つ理由を説明する問題としては，明示された説明すべきことがらとその根拠を説明する形式と，説明すべきことがらを複数の選択肢から選択して，その根拠を説明する形式とが考えられる。
明示された説明すべきことがらの根拠を記述する形式では，説明すべきことがらと根拠の両方を記述する必要がある。例えば，「連続する自然数の和・2⑵」の問題（p.68）
では，連続する５つの自然数の和が５の倍数であることを指摘する際に，計算結果で」について，「 n＋２が自然数だから，５（ n＋２）が５の倍数である。
」
ある「５（ n＋２）
を解答として求めた。
また，説明すべきことがらを複数の選択肢から選択して，その根拠を記述する形式
では，適切な選択肢の選択とその根拠を解答する必要がある。例えば，「セットメニュ
ー・1⑶」の問題（p.64）では，適切な選択肢アを選択し，その根拠として，ドリンク
サービスの代金が 500 円であることと，その内訳がプラス 200 円コースとプラス 150 円
コースのドリンクの組合せであることを述べることを解答として求めた。
３

質問紙調査
質問紙調査は，生徒の関心や意欲など，中学校数学科に関する調査を補完して学力を把握する内容や，生徒の授業での取り組みや学習方法など，中学校数学科に関する調査では把握しにくい内容について，次の２つの視点から出題した。
・中学校数学科の調査を補完して学力を把握する視点
・中学校数学科の調査に関する調査結果との相関などを検証することにより学力の規定
要因を分析するための視点⑴ 数学に関する意識を問う質問
中学校数学科に関連する質問項目では，「数学の勉強は好きかどうか」や「数学の勉強は大切と考えるかどうか」などについての数学への関心・意欲・態度に関する質問や，数学における学習法を問う質問など８項目（質問〜）を設定した。
⑵ 調査問題と質問紙を関連付けて問う質問
今回は，主として「活用」に関する問題から，「セットメニュー・1」の問題と「垂直二等分線の性質の証明・4」の問題を取り上げた。ここでは，調査問題を再掲し，問題の意味の理解の様相や，解決の過程における考え方について，調査問題と質問紙を関連付けて問う形での質問を５項目（質問〜）設定した。

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14

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ⅡＡ

調 査 問 題 の 解 説

主として「知識」に関する問題

15

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1「分数の除法の計算・正の数と負の数とその計算」

（１）

２ ３

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。
÷

５ ７

１

を計算しなさい。

（２）下のアからオの中から，一番小さい数を１つ選びなさい。
イ

０

ウ

−２

エ

４

オ

−

１ ２

１ ３

ア

２
を計算しなさい。
（３）２ ×（−３）（４）８−５×（−６） を計算しなさい。

中数Ａ− 1

１

出題の趣旨
分数の除法の計算や，正の数と負の数の四則計算ができるかどうかをみる。
正の数と負の数の大小関係を理解しているかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，分数の除法の計算ができるかどうかをみるものである。除法を乗法に帰着して計算できるかどうかをみるために，約分を必要としない計算の問題を出題した。
分数の除法の計算は，中学校数学科における数や文字式を計算したり，方程式を解いたりする際に必要である。

設問⑵

この問題は，数を正の数と負の数にまで拡張したときの数の大小関係を理解しているかどうかをみるものである。ここでは，負の数は絶対値が大きくなるほど小さくなることを理解していることが求められる。
これは，正の数と負の数を計算したり，計算の結果を見積もったりする際などに必要である。

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設問⑶

この問題は，指数を含む正の数と負の数の計算ができるかどうかをみるものである。ここでは，指数を含む計算では指数の計算を先にすることを理解し，
２＝
（−a）
（−a）
×
（−a）と正しく計算できることが求められる。
この内容は，文字式の計算とともに，第３学年における一次式の乗法の計算
や二次方程式の解の吟味や検算などに必要である。

設問⑷

この問題は，加減乗除を含む正の数と負の数の計算における計算の順序を理解し，正しく計算できるかどうかをみるものである。ここでは，数を正の数と負の数にまで拡張した場合も，乗除を先行するなどの計算の順序を理解していることが求められる。
この内容は，中学校数学科の学習全般において必要である。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
小学校第６学年 Ａ 数と計算
⑶ 分数の乗法及び除法の意味について理解し，それらを適切に用いることができるようにする。
ウ 分数の乗法及び除法の計算の仕方を考え，それらの計算ができること。
設問⑵

第１学年 Ａ 数と式⑴ 正の数と負の数について具体的な場面での活動を通して理解し，その四則計算ができるようにする。
ア 負の数の必要性を知り，正の数と負の数の意味を理解すること。

設問⑶・設問⑷
第１学年 A 数と式⑴ 正の数と負の数について具体的な場面での活動を通して理解し，その四則計算ができるようにする。
イ 正の数と負の数の四則計算の意味を理解し，簡単な計算ができること。
■評価の観点設問⑴
数量や図形についての表現・処理（小学校）
設問⑵数量，図形などについての知識・理解

設問⑶・設問⑷
数学的な表現・処理

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３

正答と解説
設問⑴

設問⑵

■正答

4
5

■解説

2
5
2
7
÷ ＝ ×

7

5
4
＝
5

■正答

ウ

■解説

正の数，０，負の数の中で負の数が小さい。また，２つの負の数
−２，− について，絶対値の大きい方が小さくなるので，ウにな2る。

［誤答例１］イ……０が一番小さい数と考えている。
［誤答例２］ア……０以外の数で絶対値が最も小さい数を選んでいる。
設問⑶

■正答

18

■解説

２×
（−３）２＝２×｛（−３）×（−３）｝
＝２×９
＝18

２ を −（３×３）と計算している。
［誤答例１］−18……（−３）
２ を（−３）×２ と計算している。
［誤答例２］−12……（−３）
設問⑷

■正答

38

■解説

加減乗除を含む計算の場合には，乗法・除法を先に計算する。
この問題では，乗法を先に計算する。
８−５×
（−６）
＝８＋ 30＝38［誤答例１］−18……計算を左から順に行うものととらえていて，８−５＝３を先に計算して，３×（−６）＝−18 としている。
［誤答例２］−22……乗除先行で −５×（−６）を計算しているが，符号を誤り，８− 30＝−22 としている。

18

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４

学習指導に当たって計算技能の確実な定着については，数を正の数と負の数にまで拡張した場面で，分数の計算など，これまでの学習内容を振り返り，計算の意味，計算の仕方や手順を理解できるようにすることが大切である。
①

正の数と負の数の範囲で，数の大小関係を判断できるようにする
小学校段階では，数の大小関係を「０に近づくほど小さくなる」ことをもとに判断する。そのため，中学校で数を正の数と負の数にまで拡張したときに，数の大小関係とその数の絶対値の大小関係とを混同することがある。
指導に当たっては，数直線を利用して , 数を正の数と負の数にまで拡張したときの数の大小関係の理解を図るようにする。具体的には，数を数直線上に表すことを通して，「数は数直線の右にあるほど大きくなること」，「負の数は絶対値が大きいほど小さくな
ること」など，正の数と負の数の範囲での数の大小関係について確認できるようにする
ことが考えられる。

②

指数の意味や計算の順序を理解し，確実に計算できるようにする
設問⑶の指数を含む計算では，（−３）２ が −（３×３）や（−３）×２ ではなく，（−３）×（−３）を意味していることや，２×（−３）２ のような指数を含む計算では，
２ を先に行うことを理解する必要がある。また，設問⑷のような加減乗除を含（−３）
む計算では，乗除の計算を加減より先行させるという計算の順序を理解できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，誤りのある計算例を取り上げて，計算方法を確認するなど，計算の順序を理解し，確実に計算できるように指導を進めることが大切である。具体的には，
次のように誤った計算を提示し，その誤りを指摘する場面を設定することが考えられる。
（誤った計算の例）
２＝２×（−３）×２
２×（−３）＝２×（−６）＝−12
２＝２×
２×（−３）｛−（３×３）｝＝２×（−９）＝−18
８−５×（−６）＝３×（−６）
＝−18

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2「文字式の計算とその利用」
２

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１）（２ ＋ ７ ）−２（ − ３ ） を計算しなさい。

（２）a ＝５，b ＝−４のとき，式 ３a ＋５b の値を求めなさい。

（３）次の図のような，縦の長さが a，横の長さが b の長方形があります。
こ の と き， ２（a ＋ b） は， 何 を 表 し て い ま す か。 下 の ア か ら オ の中から１つ選びなさい。

ア

長方形の面積イ

長方形の面積の２倍

ウ

長方形の周の長さ

エ

長方形の周の長さの２倍オ

長方形の対角線の長さ（４）等式 ２ ＋３ ＝ ９ を， について解きなさい。

中数Ａ− 2

１

出題の趣旨
文字式の計算や，文字式の意味のよみとりができるかどうかをみる。
等式を目的に応じて変形できるかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，整式の加法と減法の計算ができるかどうかをみるものである。
分配法則を用いた計算や同類項の整理は，文字式の四則計算を正しく行う際
や，連立二元一次方程式を解いたり，式を展開したりする際などに必要である。

設問⑵

この問題は，文字式に数値を代入して式の値を求めることができるかどうかをみるものである。
文字式に数値を代入し式の値を求める学習は，文字がいろいろな値をとることの理解を深めたり，方程式の解の吟味や，関数を利用して具体的な値を求めたりする際などに必要である。

20

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設問⑶

この問題は，与えられた文字式の意味を，具体的な事象の中でよみとることができるかどうかをみるものである。
数量やその関係・法則を文字式で表したり，文字式の意味をよみとったりすることは，文字の役割を知ったり，そのよさを感得したり，様々な問題解決の場面で文字式を利用したりする際に必要である。

設問⑷

この問題は，関係を表す式を，等式の性質を用いて目的に合うように変形することができるかどうかをみるものである。
等式の変形は，方程式を解いたり，一次関数を利用したりする際などに必要である。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第２学年 Ａ 数と式⑴ 事象の中に数量の関係を見いだし，それを文字を用いて式に表現し活用する能力を伸ばすとともに，文字を用いた式の四則計算ができるようにする。
ア 簡単な整式の加法，減法及び単項式の乗法，除法の計算ができること。
設問⑵第２学年 Ａ 数と式⑴ 事象の中に数量の関係を見いだし，それを文字を用いて式に表現し活用する能力を伸ばすとともに，文字を用いた式の四則計算ができるようにする。
イ 数量及び数量の関係をとらえるために文字式を利用できることを理解すること。

設問⑶第１学年 Ａ 数と式⑵ 文字を用いて関係や法則を式に表現したり式の意味をよみとったりする能力を養うとともに，文字を用いた式の計算ができるようにする。
ア 文字を用いることの意義を理解すること。

設問⑷第２学年 Ａ 数と式⑴ 事象の中に数量の関係を見いだし，それを文字を用いて式に表現し活用する能力を伸ばすとともに，文字を用いた式の四則計算ができるようにする。
ウ 目的に応じて，簡単な式を変形できること。

■評価の観点設問⑴・設問⑵・設問⑶・設問⑷
数学的な表現・処理

21

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３

正答と解説
設問⑴

■正答



■解説

（２ ＋７ ）−２（ −３ ）＝２ ＋７ −２ ＋６＝ ［誤答例１］……−２×（ −３ ）の符号を誤っている。
（２ ＋７ ）−２（ −３ ）＝２ ＋７ −２ −６＝［誤答例２］４ ……−２を −３ にかけていない。
（２ ＋７ ）−２（ −３ ）＝２ ＋７ −２ −３
＝４
設問⑵

■正答

−５

■解説

３a＋５b ＝３×５＋５×（−４）＝5−20＝−５［誤答例１］５……計算途中の 5−20 を５としている。
［誤答例２］5…… b ＝−４を代入する際に，符号を誤っている。
３a＋５b を３×５＋５×４＝5＋20 として，5 を求めて
いる。
設問⑶

■正答
■解説

ウ
a ＋ b が長方形の縦の長さと横の長さの和を表している。
よって，２（a ＋ b）は長方形の周の長さを表しているので，ウになる。

［誤答例］イ，エ……２（a ＋ b）の２により，イ（長方形の面積の２倍）やエ（長方形の周の長さの２倍）としている。
設問⑷

−２ +９
３

■正答

（ ＝）

■解説

２ ＋３ ＝９３ ＝−２ ＋９
−２ +９
＝
３

22

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２
＋９
３
−２ +９
…… ＝
の右辺の分子の２つの項
３の一方だけを３で割っている。

［誤答例］（ ＝）−２ ＋３，（ ＝） −４

学習指導に当たって文字式の学習指導に当たっては，いくつかの文字を含む式の計算ができるようにすること，さらには，事象の中に数量の関係を見いだし，それを式に表現したり，式の意味をよみとったり，目的に応じて等式を変形したりすることなどの学習を通して，文字式を利用するよさを感得できるようにすることが大切である。
①

文字式の計算技能を確かなものにする
文字式の計算では，分配法則を適用したり，同類項を整理したりすることが計算過程でより重要になる。特に，分配法則を用いる場面では，（ ）の前の数が負の数である
場合の符号を確認できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，計算過程を振り返り，文字式の計算がどのようなきまりをもとになされているかを理解できるようにすることが考えられる。

②

式の値を求めることの意味を理解できるようにする
いろいろな数を文字に代入して式の値を調べることは，文字を変数としてとらえ，方程式の解の吟味や検算ができるようになるための素地として大切である。
指導に当たっては，単に式の値を求める計算をするだけでなく，具体的な場面を表している式に数を代入し，その式の値の意味を理解できるようにすることが考えられる。

③

数量の関係を文字式で表したり，その文字式の意味をよみとったりできるようにする
数量の関係を文字式を用いて表現することだけでなく，表現された文字式がどのような関係を表しているかを考えるなど，文字式の意味をよみとる活動を取り入れることが大切である。
指導に当たっては，計算に加えて，文字式が計算方法や思考過程を表現していることにもふれ，文字の役割やその有用性についても意識できるようにすることが考えられる。

④

目的を明確にして等式を変形することができるようにする
２つ以上の文字を含む等式の変形では，式変形の目的を明確にし，分配法則や等式の性質などの根拠を意識して変形できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，等式の変形を形式的に行うだけでなく，例えば，三角形の面積１を求める公式 S＝２ ah（ a を底辺，h を高さとする。）を，底辺 a について解いた式
２S
a＝ h に変形するなど，具体的な場面で目的に応じて式を変形することに重点をおき，式を利用することのよさを感得できるようにすることが大切である。

2

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3「方程式の解き方とその利用」
３（３） １ 個１２０円 の り ん ご と １ 個７０円 の オ レ ン ジ を 合 わ せ て１５個 買 っ た

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１）一次方程式 ７ ＝５ ＋６ を次のように解きました。

ら，代金の合計は１６００円になりました。
買 っ た り ん ご の 個 数 と オ レ ン ジ の 個 数 を 求 め る た め に ，り ん ご の
個数を

＝５ ＋６

①

７ −５

７

＝６

②

２

＝６

個，オレンジの個数を 個として連立方程式をつくりなさい。

ただし，つくった連立方程式を解く必要はありません。

＝３を右辺から左辺に移項しま

５を 移 項 し て よ い 理 由 と し て 正 し い も の を， 下 の ア か ら エ の 中から１つ選びなさい。
ア

式①の両辺に５ をたしても等式は成り立つから，移項してよい。

イ

式①の両辺から５ をひいても等式は成り立つから，移項してよい。

ウ

式①の両辺に５をかけても等式は成り立つから，移項してよい。

エ式①の両辺を−５でわっても等式は成り立つから，移項してよい。

５ ＋７ ＝３⎩⎨⎧

上 の 式 ① か ら 式 ② へ の 変 形 で は， ５した。移 項 し て よ い 理 由 は ， 等 式 の 性 質 を も と に 説 明 で き ま す 。

（４）連立方程式

２ ＋３ ＝１

を解きなさい。

（２）一次方程式 ４（ ＋５）＝８０ を解きなさい。

中数Ａ− 3

１

中数Ａ− 4

出題の趣旨
方程式の移項と等式の性質の関係を理解しているかどうかをみる。
一元一次方程式や連立二元一次方程式を解くことができるかどうかをみる。
具体的な場面で，連立二元一次方程式を立式することができるかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，方程式を解くに当たって，移項と等式の性質の関係を理解しているかどうかをみるものである。
移項の意味を理解することは，関係を表す式の変形や，方程式を解く際に必
要である。

設問⑵

この問題は，（ ）を含む一元一次方程式を解くことができるかどうかをみるものである。
（ ）を含んだ方程式を分配法則や等式の性質にもとづいて解くことは，連立二元一次方程式や二次方程式などを解く際に必要である。

24

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設問⑶

この問題は，具体的な事象の中の数量の関係をとらえ，連立二元一次方程式を立式することができるかどうかをみるものである。
具体的な事象の中で数量の関係をとらえて，方程式をつくることは，二次方程式などを利用して問題を解決する際に必要である。

設問⑷

この問題は，簡単な連立二元一次方程式を解くことができるかどうかをみるものである。ここでは，文字を１つ減らして一元一次方程式に変形し，二元一次方程式を同時に満たす値の組を求めることになる。
連立二元一次方程式を解くことの意味を理解することは，一次関数のグラフの交点を求めたり，二次方程式を解いたりする際に必要である。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第１学年 Ａ 数と式⑶ 方程式について理解し，一元一次方程式を用いることができるようにする。
イ 等式の性質を見いだし，方程式がそれに基づいて解けることを知ること。
設問⑵

第１学年 Ａ 数と式⑶ 方程式について理解し，一元一次方程式を用いることができるようにする。
ウ 簡単な一元一次方程式を解くことができ，それを利用できること。

設問⑶・設問⑷第２学年 Ａ 数と式⑵ 連立二元一次方程式について理解し，それを用いることができるようにする。
イ 連立二元一次方程式とその解の意味を理解し，簡単な連立二元一次方程式を解くことができ，それを利用できること。
■評価の観点設問⑴
数量，図形などについての知識・理解
設問⑵・設問⑶・設問⑷
数学的な表現・処理

３

正答と解説
設問⑴

■正答

イ

■解説

７ ＝５ ＋６
７ −５ ＝５ −５ ＋６
７ −５ ＝６となり，両辺から５ を引いているから，イになる。

25

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設問⑵

■正答

（

■解説

４
（ ＋５）＝ 80
４ ＋ 20 ＝ 80
４ ＝ 80 − 20
４ ＝ 60
＝ 5

=）5

75
……分配法則を誤って，４（ ＋５）＝４ ＋５としている。
4［誤答例１］［誤答例２］25……４（ ＋５）＝ 80 の両辺を４で割り， ＋５＝ 20 と計算した
あとの移項を誤っている。
■正答

■解説

+ = 5
20 + 70 = 600

���

設問⑶

りんごの個数を 個，オレンジの個数を 個とすると，りんごとオレンジを合わせて 5 個買ったから，+ = 5
りんご１個は 20 円，オレンジ１個は 70 円で代金の合計は 600 円
だから，
20 + 70 = 600

［誤答例］

■正答
■解説

４

（

= 5……正しい方程式を１つだけ解答したもので，もう１つの方程式を解答していない。
=）２，（ ＝）−１

５ ＋７ ＝３ ……①
２ ＋３ ＝１ ……②①×３
5 ＋ 2 ＝９ ……①'
②×７
4 ＋ 2 ＝７ ……②'①'−②'
＝２①に ＝２を代入すると， ＝−１

���

設問⑷

+

学習指導に当たって方程式を立式したり，方程式の解を求めたりすることについて，単に手続きとしてできるようにするのではなく，その意味や根拠を明確にして，理解を深めるようにすることが大切である。
①

式を変形して解く場合，その根拠を理解できるようにする
一元一次方程式を解く際に，移項を形式的に行うだけでなく，等式の性質が移項の根拠になっていることを理解できるようにすることが大切である。

26

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指導に当たっては，移項の操作を誤った解き方を例示し，移項したときに使われている等式の性質を問うことで，式を変形して解くことの根拠を理解できるようにすることが考えられる。
②

工夫して方程式の解を求めることができるようにする
方程式を解く際には，分配法則にもとづく操作や移項を工夫して行い，解を正しく求めることができるようにすることが大切である。
指導に当たっては，（ ）を含む方程式を解く際に，文字式の計算での分配法則を正しく適用できるようにする。また，設問⑵では，分配法則を用いずに，先に両辺を４で割って解を求める解き方もある。このような場合には，１つの解き方だけでなく，別の解き方を考えるなど，方程式を工夫して解く活動ができるようにすることが大切である。

③

方程式を解くときの考え方を強調し理解できるようにする
連立二元一次方程式の解を正しく求めることができるようにすることや，その解の意
味を理解できるようにすることは大切である。また，「代入法や加減法によって文字を１つ消去し，既習の一元一次方程式に帰着できる」という，方程式を解くときの考え方を理解できるようにすることも大切である。これは，二次方程式を因数分解によって一次式の積に変形して解を求める場合にも使われる考え方である。
指導に当たっては，このような考え方に気づくように工夫する必要がある。例えば，
代入法と加減法に共通する考え方を問う場面を設定することが考えられる。

④

具体的な問題の解決に方程式を利用するために，方程式の立式ができるようにする
問題解決の場面で連立二元一次方程式を利用する場合，数量の関係をとらえて，ある
特定の量に着目して式をつくるようにすること，また，線分図や表で表したりして，等
しい数量の関係をとらえられるようにすることが大切である。
指導に当たっては，ある特定の量に着目したあと，「問題文中にある１つの数量を２通りの表し方で表現することができないか」などの問いかけをするなど，生徒が数量の関係を等式に表すことができるようにすることが考えられる。

27

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4「線対称な図形・角の二等分線の作図」
４（２） 図 １ の よ う な ∠次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）次の方眼紙にかかれた四角形
四角形

は線対称な図形です。

の対称軸を下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア

直線

イ

直線

ウ

直線

エ

直線

オ

直線

があります。∠の二等分線は，図２のよ う に ①， ②， ③ の 順 で 作 図 す る こ と が で き ま す。 こ の と き， ①，②， ③ の 作 図 の 説 明 を， 下 の ア， イ， ウ の 中 か ら そ れ ぞ れ １ つ ず つ選びなさい。

ア

２点

，

その交点を
イ

直線

ウ

点
れ

をそれぞれ中心として，等しい半径の円をかき，
とする。

をひく。
を中心として円をかき，辺，，辺との交点をそれぞとする。

中数Ａ− 5

１

出題の趣旨
線対称な図形の対称軸を理解しているかどうかをみる。
角の二等分線の作図の手順を理解しているかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，線対称な図形の対応する２点を結ぶ線分が対称軸によって垂直に二等分されるということをもとにして，等脚台形の対称軸を見つけることができるかどうかをみるものである。
線対称な図形と対称軸との関係を把握することは，基本的な作図の方法とその意味を理解するときに必要であり，ものの形の美しさを感じることができる
背景にある見方である。

設問⑵

この問題は，角の二等分線の作図について図に示された手順を理解しているかどうかをみるものである。
作図の手順は，線対称な図形を見つけ，そこに対称軸をかいていくという操作から確認することができる。このような作図の方法を図形の対称性から見直すことは，線分の垂直二等分線，垂線の作図などにおいても必要である。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第１学年 Ｂ 図形⑴ 基本的な図形を見通しをもって作図する能力を伸ばすとともに，平面
図形についての理解を深める。
ア 線対称，点対称の意味を理解するとともに，対称性に着目して平面図形についての直観的な見方や考え方を深めること。

28

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設問⑵

第１学年 Ｂ 図形⑴ 基本的な図形を見通しをもって作図する能力を伸ばすとともに，平面
図形についての理解を深める。
イ 角の二等分線，線分の垂直二等分線，垂線などの基本的な作図の方法を理解し，それを利用することができること。

■評価の観点設問⑴・設問⑵数量，図形などについての知識・理解

３

正答と解説
設問⑴

■正答
■解説

エ
線対称な図形の対称軸は対応する点を結ぶ線分を垂直に二等分する直線であるから，エになる。

［誤答例］ア，イ，ウ……対応する点を結ぶ線分と対称軸とを混同している。
設問⑵

■正答
■解説

４

①

ウ

②

ア

③

イ

角の二等分線は，その角の対称軸になるから，対応する２点をとるために手順ウを行う。次に，その２点から等距離にある点をとるために手順アを行う。そして，２点を結び直線をひくために手順イを行う。

学習指導に当たって平面図形の学習では，図形をかいたり紙を折ったりする活動を通して，図形の性質をとらえることができる。観察，操作や実験を通して見つけた性質を用いて，基本的な図形を調べたり，見通しをもって作図をしたりできることが大切である。
①

線対称な図形と対称軸との関係を理解できるようにする
線対称の指導では，対称軸を見つけたり，線対称な図形の性質をとらえたりできるよ
うにすることが大切である。
指導に当たっては，線対称な図形や点対称な図形の性質を見つけるために，紙でできた図形を折ったり，重ねたり，回したりして，対称な図形と対称軸や対称の中心との関係を考察する場面を設定することが考えられる。

②

作図で用いた図形の特徴から作図の手順を見直すことができるようにする
基本的な作図では，作図の手順とその操作の目的を理解できるようにすることが大切である。
角の二等分線の作図を指導するに当たっては，線対称な図形であるたこ形とその対称軸の関係を理解し，見通しをもって作図ができるようにすることが考えられる。線分の垂直二等分線や垂線の作図においても同様である。

29

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5「空間図形」
５

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１） 右の図のような直方体がありま（３） 下 の ア か ら オ の 中 に， 右 の 見 取 図 で 示 さ れ た
円 錐 の 展 開 図 が あ り ま す。 正 し い も の を １ つ 選
びなさい。

す。 こ れ に つ い て， 次 の ①， ② の各問いに答えなさい。
①

面と垂直な辺を１つ書きなさい。

②

辺とねじれの位置にある辺を１つ書きなさい。

（２） 右の図の長方形

を，直線

を軸

として１回転させて立体をつくります。
こ の と き， で き る 立 体 の 見 取 図 が 下のアからオの中にあります。正しいものを１つ選びなさい。

中数Ａ− 6

中数Ａ− 7（４）下 の 図 は， 円 柱， 円 錐 の 形 を し た 容 器 で す。 そ れ ぞ れ の 容 器 の底面は合同な円で，高さは等しいことが分かっています。この円柱の容器いっぱいに入れた水を円錐の容器に移します。

このとき，下のアからオの中に，円柱の容器に入っていた水と同じ量の水を表している図があります。正しいものを１つ選びなさい。

中数Ａ− 830

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１

出題の趣旨
空間における直線や平面の位置関係について理解しているかどうかをみる。
平面図形の運動による空間図形の構成について理解しているかどうかをみる。
平面上での空間図形の表現について理解しているかどうかをみる。
すい
柱体と錐体の体積の関係について理解しているかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，空間における直線や平面の位置関係（面と辺の垂直，辺と辺のねじれの位置）について理解しているかどうかをみるものである。
これらの位置関係を理解することは，空間図形の考察や計量，実生活における空間の認識に必要である。

設問⑵

この問題は，長方形の一辺を軸とする回転によって円柱が構成されているものと理解しているかどうかをみるものである。
回転体がどのように構成されるかを理解することは，回転体の考察や計量に必要である。

設問⑶

この問題は，円錐の見取図を展開図に置き換えられるかどうかをみるものである。
見取図と展開図の関係を理解すること，すなわち平面図形を立体に，立体を平面図形に置き換えてよみとることは，空間図形の考察や計量に必要である。

設問⑷

この問題は，円錐の体積を，底面が合同で高さが等しい円柱の体積との関係で理解しているかどうかをみるものである。
すい
柱体と錐体の体積の関係は，実生活の中で量（容積，体積，重さなど）について考察する際に必要である。

すい

すい■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第１学年 Ｂ 図形⑵ 図形を観察，操作や実験を通して考察し，空間図形についての理解を深める。また，図形の計量についての能力を伸ばす。
ア 空間における直線や平面の位置関係を知ること。
設問⑵・設問⑶
第１学年 Ｂ 図形⑵ 図形を観察，操作や実験を通して考察し，空間図形についての理解を深める。また，図形の計量についての能力を伸ばす。
イ 空間図形を直線や平面図形の運動によって構成されているものととらえたり空間図形を平面上に表現したりすることができること。

31

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設問⑷

第１学年 Ｂ 図形⑵ 図形を観察，操作や実験を通して考察し，空間図形についての理解を深める。また，図形の計量についての能力を伸ばす。
すい
ウ 扇形の弧の長さと面積及び基本的な柱体，錐体の表面積と体積を求めることができること。

■評価の観点設問⑴・設問⑵・設問⑶・設問⑷
数量，図形などについての知識・理解

３

正答と解説
設問⑴①

■正答
■解説

設問⑴②

面ＥＦＧＨと交わる辺（例えばＣＧ）を見つけ，面ＥＦＧＨとの交点（Ｇ）を通る面ＥＦＧＨの異なる２辺（ＦＧ，ＨＧ）と垂直であることを確認する。

■正答
■解説

設問⑵

ＡＥ，ＢＦ，ＣＧ，ＤＨのいずれか

■正答
■解説

ＥＨ，ＧＨ，ＡＤ，ＣＤのいずれか
ＢＦと交わらない辺の中から平行なものを除くと，例えばＥＨが見つかる。
イ
長方形ＡＢＣＤは，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝90°であるので，回転してできる立体は柱体となり，２つの底面は合同な円になるので，イになる。

［誤答例］ア……回転させる図形が長方形であることから，長方形の面で構成される直方体を選択している。
設問⑶

■正答

ウ

■解説

側面を展開図に表した形が扇形になるので，ウになる。

［誤答例１］ア……側面を展開図に表した形が三角形になるとみている。
［誤答例２］イ……投影図と展開図を混同している。

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設問⑷

■正答

エ

■解説

円錐の体積は底面が合同で高さが等しい円柱の体積の３分の１であすいることから，円柱の体積は円錐の体積の３倍であるので，エになる。

すい

すい［誤答例］イ……錐体と柱体の体積の関係を，立面図の三角形と四角形の面積の関係と同じようにとらえ，１：２としている。

４

学習指導に当たって空間図形の学習では，空間図形を平面図形に帰着させて考えたり，展開図や見取図など
から空間図形を再現して考えたりすることができるようにする。そのためには，具体的な空間図形を注意深く観察するとともに，空間図形を表現する様々な方法を理解できるようにすることが大切である。
①

空間における直線や平面の位置関係を理解できるようにする
空間図形の学習では，空間における直線や平面の位置関係を理解できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，空間図形を見取図を見て考えるだけではなく，模型に触れ，様々な角度や視点から観察することが大切である。また，模型を外側から見るだけでなく，例えば，教室を直方体にみたて，床と壁を面ととらえ，その位置関係を考えるなど，いわば模型を内側から見るような活動を取り入れることが考えられる。

②

平面図形の運動によって空間図形が構成されているとみることができるようにする
空間図形の性質を調べるには，空間図形が平面図形の運動によって構成されているとみることができるようにすることが大切である。
指導に当たっては，観察や操作が大切である。例えば，コンピュータなどを利用することによって，面や線の運動について視覚的に理解できるようにすることが考えられる。

③

見取図や展開図の特徴とその関係について理解できるようにする
すい円錐の展開図ではその見取図の側面に当たる部分が扇形であることや，底面の円周と扇形の弧の長さが等しいことなどを理解できるようにするために，見取図と展開図の特徴やそれらの関係について理解できるようにすることが大切である。
すい
指導に当たっては，展開図から円錐を実際に組み立てたり，側面に当たる部分が三角すい形である展開図を組み立てて，それが円錐にならないことを確認する場面を設定することが考えられる。

④

すい

錐体と柱体の体積の関係を理解できるようにする
すい
底面が合同で高さが等しい錐体の体積と柱体の体積の比が１：３であることを，単に知識として身に付けるのではなく，実感を伴って理解できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，この問題のような実験や実測を通して，体積の量感を確実に身に付けられるようにすることが大切である。

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6「平行線の同位角と錯角・円周角の性質・平行四辺形の性質」
６（３）下の四角形

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

（１） 下の図で，直線，は平行です。このとき，∠の大きさを求めなさい。

において，「，＝」が成り立っています。こ の こ と は 平 行 四 辺 形 に な る た め の 条 件 に 当 て は ま っ ているので，四角形

上の下線部「は平行四辺形になることが分かります。

，＝」が表しているものを，下のアからオの中から１つ選びなさい。

（２）下の図で，３点
∠

，

，

は円

＝６０°です。このとき，∠

中数Ａ− 9１ア

２組の向かい合う辺がそれぞれ平行である。

イ

２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい。

ウ

２組の向かい合う角がそれぞれ等しい。

の周上にある点で，

エ

対角線がそれぞれの中点で交わる。

の大きさを求めなさい。

オ

１組の向かい合う辺が平行でその長さが等しい。

中数Ａ− 10

出題の趣旨
平行線の性質を用いて，角の大きさを求めることができるかどうかをみる。
円周角の性質を用いて，角の大きさを求めることができるかどうかをみる。
記号で表された図形の構成要素間の関係をよみとることができるかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，１組の平行線に直線が交わってできる角の性質を理解しているかどうかをみるものである。
対頂角や平行線における同位角，錯角の位置関係を正確に把握し，その性質を理解することは，三角形や四角形の性質を調べたり，角の相等関係を証明の根拠として利用したりする際に必要である。

設問⑵

この問題は，「１つの弧に対する円周角の大きさは，それと同じ弧に対する中心角の大きさの２分の１に等しいこと」を理解しているかどうかをみるものである。
これは，高等学校で学習する円の性質について理解したり，それを証明したりする際に必要である。

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設問⑶

この問題は，記号を用いて表された「平行四辺形になるための条件」を正しく理解しているかどうかをみるものである。
記号が表す図形の性質を的確によみとったり，解釈したりできることは，証明を構想したり，構成したり，振り返ったりする際に必要である。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第２学年 Ｂ 図形⑴ 観察，操作や実験を通して，基本的な平面図形の性質を見いだし，平行線の性質を基にしてそれらを確かめることができるようにする。
ア 平行線や角の性質を理解し，それに基づいて図形の性質を確かめる
ことができること。
設問⑵第２学年 Ｂ 図形⑵ 平面図形の性質を三角形の合同条件などを基にして確かめ，論理的に考察する能力を養う。
ウ 円周角と中心角の関係を観察や実験などを通して見いだし，それが論理的に確かめられることを知ること。

設問⑶第２学年 Ｂ 図形⑵ 平面図形の性質を三角形の合同条件などを基にして確かめ，論理的に考察する能力を養う。
ア 証明の意義と方法について理解すること。
イ 三角形の合同条件を理解し，それに基づいて三角形や平行四辺形の性質を論理的に確かめることができること。

■評価の観点設問⑴・設問⑵・設問⑶
数量，図形などについての知識・理解

３

正答と解説
設問⑴

■正答

70（度）

■解説

平行線では同位角が等しくなるので，70 度になる。

［誤答例］50（度），60（度）……角の位置関係が正確に把握されていない。
設問⑵

■正答
■解説

120（度）
中心角の大きさは円周角の大きさの２倍であるので，60 度を２倍すると，120 度になる。

［誤答例１］60（度）……円周角と中心角の関係を理解していない。または，
円周角と中心角とを混同している。
［誤答例２］30（度）……中心角は円周角の半分の大きさであると考えている。

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設問⑶

■正答
■解説

４

オ
記号は，１組の向かい合う辺が平行でその長さが等しいことを表しているので，オになる。

学習指導に当たって平行線における同位角，錯角の大きさが等しいことや円周角の定理は，図形の性質の考察に活用されるため，確実に理解できるようにする必要がある。また，記号で表された内容を，その図に即して理解することも大切である。
①

同位角，錯角の位置関係を正しく理解できるようにする
平行な２直線に１直線が交わるときに，同位角や錯角が等しくなることを理解できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，平行でない２直線に１直線が交わる場合の同位角や錯角の位置関係を理解した上で，同位角や錯角の大きさが等しくなるのは２直線が平行のときであることを確認できるようにすることが考えられる。

②

円周角と中心角の関係を理解できるようにする
観察や操作などを通して，１つの弧に対する円周角の大きさが同じ弧に対する中心角の大きさの２分の１であることを見いだす場面を設定することが考えられる。また，観察や操作などの活動を通して，円の性質の不思議さや美しさなどを実感し，証明に対する興味をもつことができるようにすることも大切である。
さらに，円周角の定理の証明では二等辺三角形の性質などの既習事項を活用することから，図形についての理解が深まることが考えられる。

③

辺や角などについての関係を表す記号の意味を正しくよみとることができるようにする
図形の性質の考察では，辺や角などについて関係を簡潔に表すのに記号が不可欠である。図形の構成要素間の関係を記号で表したり，記号で表された内容をよみとり，考察に生かすことが大切である。仮定や結論などを記号で表し，証明を構想したり，構成したりすることや，記号から内容を理解することを通して，自分の考えを深め，正しく相手に説明できるようにすることが考えられる。

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37

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7「証明の意義」
７ 下 の よ う に「 平 行 四 辺 形 の ２ 組 の 向 か い 合 う 辺 は そ れ ぞ れ 等 し い 」
ことを証明しました。
証明

ある学級で，この証明について下のアからエのような意見が出されました。正しいものを１つ選びなさい。
ア

上のように証明しても，平行四辺形の２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいかどうかは測って確認しなければならない。

イ

上のように証明しても，ほかの平行四辺形については，２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいことを，もう一度証明する必要がある。

ウ

上の証明から，すべての平行四辺形で，２組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことが分かる。

エ上の証明から, 台形の２組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことも分かる。

中数Ａ− 11

１

出題の趣旨
証明の意義について理解しているかどうかをみる。
証明の意義として，「証明は，命題が例外なしに成り立つことを明らかにする方法であること」，「証明をするためにかかれた図は，すべての代表として示されていること」などがあげられる。このような証明の意義について理解することは，数学的な推論の方法の特徴を理解するために必要である。また，数や図形の性質について納得したり，ことがらを説明したり，見いだしたりする際にも必要である。

■学習指導要領における内容・領域
第２学年 Ｂ 図形⑵ 平面図形の性質を三角形の合同条件などを基にして確かめ，論理的に考察する能力を養う。
ア 証明の意義と方法について理解すること。
イ 三角形の合同条件を理解し，それに基づいて三角形や平行四辺形の性質を論理的に確かめることができること。

38

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■評価の観点
数量，図形などについての知識・理解

２

正答と解説

■正答
■解説

ウ
平行四辺形の定義から，正しく証明がなされ，結論を導き出していることを確認した上で，証明は命題が例外なしに成り立つことを明らかにする方法であるので，ウになる。

［誤答例１］ア……証明の意義について理解していないので，実測が必要と考えている。
［誤答例２］イ……すべての平行四辺形を代表する図であることを理解していないので，その都度証明することが必要と考えている。
［誤答例３］エ……台形は平行四辺形に含まれると考えている。

３

学習指導に当たって①

証明の意義について理解できるようにし，証明の学習の意欲を高める
証明の学習を進める中で，証明の意義を常に意識できるようにする必要がある。ある図形について証明された性質は，同じ条件を満たすすべての図形について例外なく成り立つ。そのため，実際に長さを測って確かめたり，他の図形についても改めて考え直す必要がない。こうした証明の意義について理解することにより，証明の重要性を認識できるようになるので，証明の学習への意欲を高めることができると考えられる。
指導に当たっては，例えば，三角形の内角の和が 180°になることの証明では，別の三角形について改めて考え直さなくてもよいことなど，折に触れて，いろいろな例をあげて確認し，証明の意義について理解できるようにすることが考えられる。

39

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8「三角形の合同条件」
８

下の図のような
辺

，辺

上に

このとき，

＝

＝

の二等辺三角形

＝

となる点

，点

があります。
をそれぞれとります。

となることを，次のように証明しました。

証明

上のに 当 て は ま る 三 角 形 の 合 同 条 件 を， 下 の ア か ら オ の 中から１つ選びなさい。
ア

３辺がそれぞれ等しい

イ

２辺とその間の角がそれぞれ等しい

ウ

１辺とその両端の角がそれぞれ等しいエ

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいオ

直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

中数Ａ− 12

１

出題の趣旨
証明をよみ，そこに用いられている三角形の合同条件を理解しているかどうかをみる。
図形の証明の場面では，合同な三角形をもとにして，図形の性質の考察を進めていく
ことが多い。したがって，三角形の合同条件を理解することは，証明の中で合同である
ことを推論の根拠として活用したり，図形の性質の理解を深めたりする際に必要である。

■学習指導要領における内容・領域
第２学年 Ｂ 図形⑵ 平面図形の性質を三角形の合同条件などを基にして確かめ，論理的に考察する能力を養う。
イ 三角形の合同条件を理解し，それに基づいて三角形や平行四辺形の性質を論理的に確かめることができること。
■評価の観点
数量，図形などについての知識・理解

40

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２

正答と解説
■正答
■解説

イ
証明からよみとることができる角や辺の相等関係から，三角形の合同条件は「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」となるので，イになる。

［誤答例］エ，オ……∠ＢＤＣと∠ＣＥＢが 90°であると考えている。

３

学習指導に当たって①

三角形の合同条件を理解し，推論の根拠として活用できるようにする
図形を考察する際の根拠として，２つの三角形が合同であることを活用できるようにするには，合同な図形の性質と三角形の合同条件について理解することが必要である。
三角形の合同条件を理解するには，三角形の３つの角と３つの辺の６つの要素のうち３つの要素の相等関係と位置関係で，三角形が合同になることを判断できることが大切である。
指導に当たっては，三角形の合同条件を成り立たせる３つの要素を，図に示した三角形で記号や印を使って示したり，２つ（または，１つ）の要素を与え，合同になるために必要な残り１つ（または，２つ）の要素を指摘したりすることが考えられる。
また，合同な三角形を推論の過程に位置付けられるようにするには，仮定と結論を理解し，証明の対象となる三角形を見いだすことが大切である。特に，証明の対象となる三角形が重なり合っている場合は，２つの三角形を識別するために，それらを別にかき出し，辺や角の対応関係を確認する場面を設定するなどの工夫が考えられる。

41

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9「比例の意味とグラフ」
９（２）下 の 図 の 直 線 は， 比 例 の グ ラ フ を 表 し て い ま す。 こ の グ ラ フ に次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１） がに比例するとき，との関係について，下のアからオの中

ついて，

を

の式で表しなさい。

から正しいものを１つ選びなさい。
アの 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す るの値は２倍，３倍，……となる。
イの 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す るの値は−２倍，−３倍，……となる。
ウの 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す るの値は４倍，９倍，……となる。
の 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す る

倍，

の値は

倍，……となる。

の 値 を ２ 倍 ， ３ 倍 ， …… に す る と ， そ れ に 対 応 す る
倍，−

１ ３

−

１ ２

オ

１ ３

１ ２

エ

の値は

倍，……となる。

中数Ａ− 13

１

中数Ａ− 14

出題の趣旨
比例の意味を理解しているかどうかをみる。
比例のグラフから式を求めることができるかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，比例の意味を理解しているかどうかをみるものである。ここでは，小学校で学習した「 の値を２倍，３倍，……にすると，それに対応するの値は２倍，３倍，……となる」という関係が，数を正の数と負の数にまで拡張しても成り立つことを理解していることが求められる。
比例の意味や性質について理解することは，関数の学習や具体的な事象の考察において必要である。

設問⑵

この問題は，与えられた比例のグラフから と の関係を ＝ a の式で表すことができるかどうかをみるものである。
グラフから２つの数量の関係をとらえて式に表すことは，比例だけでなく，反比例，一次関数や関数 ＝ a ２ などの学習において必要である。また，関数を式に表すことは，具体的な事象の考察において必要である。

42

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■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第１学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中にある二つの数量の変化や対応を調べることを通して，比例，反比例の関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばす。
ア 比例，反比例の意味を理解すること。
設問⑵

第１学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中にある二つの数量の変化や対応を調べることを通して，比例，反比例の関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばす。
ウ 比例，反比例を表，式，グラフなどで表し，それらの特徴を理解すること。

■評価の観点設問⑴
数量，図形などについての知識・理解
設問⑵３

数学的な表現・処理

正答と解説
設問⑴

■正答
■解説

ア
が に比例するとき， の値を２倍，３倍，……にすると，それに対応する の値は２倍，３倍，……になることから，アになる。

［誤答例］イ……比例定数が負の数の場合を想定し， の値が増えれば，値が減るととらえている。
設問⑵

■正答
■解説

（

の

=）２

グラフは原点を通る直線であるから， ＝ a と表すことができる。
グラフが点（１，２）を通っていることから， ＝ a に =１，＝２を代入すると，a＝２
よって， ＝２［誤答例］（=）

１……直線上の点の座標をよみ誤り， ＝２， ＝１とし
２
たり， の増加量と の増加量を逆にしたりしている。

4

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４

学習指導に当たって

比例の学習では，比例の意味を理解し，表，式，グラフによる表現を相互に関連付けて理解できるようにすることが大切である。
①

比例の意味を正の数と負の数にまで拡張した範囲で理解できるようにする
小学校第６学年では，比例の意味を理解し，簡単な場合について表やグラフなどを用いて，その特徴を調べることを学習している。中学校では，数を正の数と負の数にまで拡張した範囲で，比例の意味を理解できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，比例の関係にある事象を考察する機会を設定し，数を正の数と負の数にまで拡張した範囲で，比例の表，式，グラフを関連させたり，反比例とも比較させたりしながら，比例の意味の理解を深めるようにすることが考えられる。

②

式からグラフを，グラフから式を求めることができるようにする
比例のグラフから式を求めるには，グラフの特徴から比例であることを判断することや， が に比例するとき ＝ a という式で表すことができることを理解し，グラフの特徴と式とを関連付けて考察することができるようにすることが大切である。
比例定数 a が直線の傾きを表すことや，直線の傾きを調べて比例定数 a を決めること，またグラフ上の点の座標を式に代入すると等式が成り立つことの理解は，一次関数や関数 ＝ a ２ の学習などを通しても深めることができると考えられる。

44

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「反比例の表とグラフ」
10

下の表は， がに反比例する関係を表したものです。

…

−２

−１

…

−６

−１２

０

１

２

１２

６

３

…
…

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１）上の表のに当てはまる数を求めなさい。

（２）下のアからオの中に，上の表の ， の関係を表すグラフがあります。正しいものを１つ選びなさい。

中数Ａ− 15

１

出題の趣旨
反比例の関係を表す表の特徴をとらえて， の値に対応する の値を求めることができるかどうかをみる。
反比例のグラフについて理解しているかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，反比例の関係を表す表から変化や対応の特徴をとらえ， の値に対応する の値を求めることができるかどうかをみるものである。
数量の関係を表す表から変化や対応の様子をとらえる方法は，比例や反比例，一次関数などの関数の特徴を式やグラフによる表現と関連付けて理解する際に必要である。また，具体的な事象の数量関係を考察する際にも必要である。

45

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設問⑵

この問題は，反比例のグラフは原点を通らない２つのなめらかな曲線である
ことを理解し，比例定数が正の場合のグラフを指摘することができるかどうかをみるものである。
反比例のグラフが比例定数の値によって座標平面のどの部分に表されるかを理解したり，グラフ上にとった点と点がどのように結ばれるかを理解したりすることは，一次関数や関数 ＝ a ２，高等学校での二次関数のグラフの特徴を考える際に必要である。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴・設問⑵
第１学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中にある二つの数量の変化や対応を調べることを通して，比例，反比例の関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばす。
ウ 比例，反比例を表，式，グラフなどで表し，それらの特徴を理解すること。
■評価の観点設問⑴
数学的な表現・処理設問⑵３数量，図形などについての知識・理解

正答と解説
設問⑴

■正答
■解説

４
が に反比例することから，表中の と の値から比例定数を求
め， の値である３で比例定数を割る。
（比例定数）＝２×６＝ 2＝ 2 ÷３＝４［誤答例］０……表から の値が１，２，３と１ずつ増加するのに伴って，の 値 が2， ６，と ６ ず つ 減 少 し て い る と 考 え て，
６−６＝０としている。
設問⑵

■正答
■解説

ア
反比例のグラフは原点を通らない２つのなめらかな曲線であることから，アかイのいずれかになる。
2
与えられた表から， を の式で表すと， ＝となるので，比例定数は 2 で正の数であることから，アになる。

［誤答例］ウ……表中の ， の値の組に対応する点をグラフ上にとって，各点を折れ線で結べばよいと考えている。

46

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４

学習指導に当たって具体的な事象の中にある２つの数量の変化や対応について，表，式，グラフによる表現
を相互に関連付けて理解できるようにすることが大切である。
①

表，式，グラフによる表現を相互に関連させながら反比例の意味の理解を深める
反比例の特徴を表で観察すると，対応する ， の値の積が一定になること，また，
１１「 の値を２倍，３倍，……にすると，それに対応する の値は 倍， 倍，……にな
２
３る」ことをよみとることができる。このような特徴について，式による表現やグラフによる表現と相互に関連付けて理解できるようにすることが大切である。このことによって，反比例の意味や性質の理解が確かなものになり，反比例を「 が増えれば， は減る」という関係ととらえたりするなどの誤りは少なくなると考えられる。

②

表やグラフに表したりよんだりすることのよさを感得できるようにする
関数の学習においては，表やグラフに表したりよんだりすることで，数量の変化や対応の特徴をとらえることが大切である。
指導に当たっては，対応する ， の値の組を座標とする点を座標平面上に多数とり，変化や対応の特徴をとらえ，２点を結ぶことの意味を理解できるようにする必要がある。具体的には，反比例の関係では，グラフ上の２点を結んだ線分上の点の座標と，その の値に対応する の値を式から求めて比較することによって，グラフは折れ線にならないことの理解が深まると考えられる。
このように，数量の関係を表やグラフに表したり，それらをよんだりする活動を通して，関数関係を式で表すことや，表，式，グラフを相互に関連付けて関数関係を考察することのよさを感得できるようにすることが大切である。

47

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「一次関数の意味とそのグラフ」
11

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）下のアからオの中に，がの一次関数であるものがあります。

正しいものを１つ選びなさい。
ア

面 積 が６０ｃｍ２の 長 方 形 で , 縦 の 長 さ が ｃｍ の と き の 横 の 長 さｃｍイ

水 が ５ℓ 入っている水そうに，毎分３ℓ の 割 合 で い っ ぱ い に な
分後の水の量ℓ

６ｍ のリボンを人で同じ長さに分けるときの１人分の長さ

ｍ

午後

℃

るまで水を入れるとき，水を入れ始めてから
ウ

身長 ｃｍ の人の体重 ｋｇ

エ
オ

時の気温

（２） 下のアからオの中に，一次関数
正しいものを１つ選びなさい。

＝−３ ＋２のグラフがあります。

中数Ａ− 16

１

出題の趣旨
具体的な事象で，２つの数量の関係が一次関数になることを理解しているかどうかをみる。
一次関数のグラフについて理解しているかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，具体的な事象における２つの数量の関係が，一次関数になることを理解しているかどうかをみるものである。具体的な事象における２つの数量の関係が一次関数になるものを見いだすには，取り出した２つの数量の関係
が関数になっているか，また，どのような式で表されるかなどを考える必要がある。
これは，方程式の利用や関数 ＝ a ２ などの学習において必要である。また，関数関係を用いて具体的な事象や場面を考察したり，予測したりする際にも必要である。

48

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設問⑵

この問題は，一次関数 ＝ a + b において，a が直線の傾きを表し，b が切片を表すことと，a と b の値とグラフとの対応からグラフの特徴を理解しているかどうかをみるものである。ここでは，a の符号をみて，グラフが右上がりになるか右下がりになるかを判断し，b の値によって，グラフと 軸との交点の 座標を判断することが求められる。
a や b の値からグラフの特徴を判断することは，比例のグラフの特徴をとらえ直したり，関数 ＝ a ２ のグラフについて学習する際に必要である。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第２学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。
ア 事象の中には一次関数を用いてとらえられるものがあることを知ること。
設問⑵第２学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。
イ 一次関数のとる値の変化の割合とグラフの特徴を理解するとともに，一次関数を利用できること。

■評価の観点設問⑴・設問⑵数量，図形などについての知識・理解

３

正答と解説
設問⑴

■正答
■解説

イ
「毎分３ℓ」から変化の割合が３であることと，「水が５ℓ入っている」ことから， ＝０のときの の値が５であることを判断すると，＝３ ＋５という式となる。このことから，イになる。

［誤答例１］ウまたはオ……２つの数量の関係が関数ではないものを，関数ととらえている。
［誤答例２］アまたはエ……２つの数量の関係が関数であることは理解しているが，反比例と一次関数とを混同している。
設問⑵

■正答
■解説

エ
一次関数 ＝−３ ＋２という式からグラフの傾きと切片をよみとる。グラフの傾きが−３であることから直線は右下がりになり，グラフの切片が２であることから 軸との交点の 座標は正である。この49

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ことから，エになる。
［誤答例１］イ……傾きと切片を取り違えている。
［誤答例２］ア……傾きが負の数であるとき，グラフが右下がりになることを理解していない。
［誤答例３］ウまたはオ……グラフの切片は，グラフの直線と 軸との交点を表していることを理解していない。

４

学習指導に当たって関数の意味の理解を深めるには，具体的な事象を関数という視点から数学的に考察したり，一次関数の関係を表す表，式，グラフによる表現を相互に関連付けて理解したりすることが大切である。
①

具体的な事象の中から一次関数を見いだすことができるようにする
具体的な事象の中から２つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，変化の割合が一定であるという関係を見つけられるようにすることが大切である。
指導に当たっては，２つの数量の関係を式で表したり，表をつくって関係を考察したりするなどの活動を通して，２つの数量の関係の特徴を理解できるようにすることが考えられる。その際，２つの数量について，それらが関数関係にあるかどうかを確かめた
り，その関係を言葉の式で表したりする指導が大切である。

②

式とグラフの特徴を関連させて考察できるようにする
一次関数 ＝ a + b の a が直線の傾き，b がグラフと 軸の交点の 座標になることを理解できるようにすることが大切である。
指導に当たっては，一次関数 ＝ a + b のグラフの傾きや切片について，定数 a，bの値をそれぞれ変化させたときのグラフの様子を視覚的にとらえ，それが何を表しているかを考察する場面を設定することが考えられる。

50

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07.4.29 4:23:18 PM「グラフから速さを求めること」
12

学 さんは，家から７００m 離れた公園まで行きました。
下の図は，学さんが家を出発してからの時間と，進んだ距離の関係を表したグラフです。

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１）上 の グ ラ フ か ら， 家 を 出 発 し て ２ 分 後 ま で は１００m を 一 定 の 速 さ
で 進 ん だ こ と が 分 か り ま す。 家 を 出 発 し て か ら ２ 分 間 進 ん だ 速 さ は
毎分何 m ですか。

（２）家を出発して２分後の地点から公園まで行ったときの速さは毎分何 mですか。

中数Ａ− 17

１

出題の趣旨
速さの求め方について理解しているかどうかをみる。
時間と距離の関係を表したグラフから速さを求めることができるかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴

この問題は，進んだ距離とそれにかかった時間が与えられたときに，速さの求め方について理解しているかどうかをみるものである。
速さのような単位量当たりの大きさを理解することは，実生活のいろいろな場面で必要となる。

設問⑵

この問題は，グラフから時間とその間に進んだ距離をよみとり，グラフの傾きや変化の割合などを用いて，速さを求めることができるかどうかをみるものである。
グラフから必要な情報をよみとることは，グラフから具体的な事象を考察したり，いろいろな関数の利用を学習したりする際に必要である。

51

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■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
小学校第６学年 Ｂ 量と測定
⑶ 異種の二つの量の割合としてとらえられる数量について，その比べ方や表し方を理解し，それを用いることができるようにする。
イ 速さの意味及び表し方について理解するとともに，速さの求め方を考え，それを求めること。
設問⑵第２学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。
イ 一次関数のとる値の変化の割合とグラフの特徴を理解するとともに，一次関数を利用できること。

■評価の観点設問⑴
数量や図形についての知識・理解 （小学校）
設問⑵３

数学的な表現・処理

正答と解説
設問⑴

■正答
■解説

（毎分）50（ｍ）「家を出発して２分後までは 00 ｍを一定の速さで進んだ」ことから，00 ÷２＝ 50 である。
よって，速さは毎分 50 ｍになる。

［誤答例１］（毎分）00（ｍ）……進んだ距離を速さととらえている。または，変化の割合の理解が不十分でグラフ上の座標（２，00）の 座標をそのま
ま答えている。
［誤答例２］（毎分）200（ｍ）……「速さ＝距離×時間」ととらえている。
設問⑵

■正答
■解説

（毎分）200（ｍ）

進んだ距離

右の図から，２分後から５分後までの３分間に進んだ距離は，
700 − 00 ＝ 600 より 600 ｍである。
その間の速さを求める計算は，600 ÷３＝ 200 である。
よって，速さは毎分 200 ｍになる。

（m）
700

600m

家から２分後
の地点

00
３分
Ｏ

２

かかった時間（分）
５

52

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［誤答例１］（毎分）50（ｍ）……距離と時間と速さの関係を理解しているが，設問をグラフに対応させて考えられず，家から２分後の地点までの速さを求めている。
［誤答例２］（毎分）100（ｍ）……設問をグラフに対応させて考えられず，家から２分後の地点まで進んだ距離を速さとして求めている。

４

学習指導に当たってグラフから具体的な事象を考察する場面では，グラフで表現されたものが，どのような意味をもっているかを理解できるようにすることが大切である。また，一次関数の変化の割合（傾き）とグラフの特徴から事象の特徴を対応させてよみとることができるようにすることも大切である。
①

速さの意味についての理解を深めるようにする
小学校では速さの比べ方について，「①時間をそろえて距離で比べる」，「②距離をそろえて要する時間で比べる」という２通りの方法を学んでいる。中学校でも，速さについては，文字式や方程式などを学習する際に取り上げている。その際，速さ・時間・距離の関係を，形式的に「速さ＝距離÷時間」の式に当てはめて計算することが考えられる。
指導に当たっては，必要に応じて，１分間あたりに移動した距離によって速さを比較したり，距離を一定にしたときの移動にかかる時間によって速さを比較したりするなど，いろいろな視点から速さをとらえることができるようにすることが大切である。

②

具体的な事象とグラフを関連付けてとらえることができるようにする
グラフから情報をよみとる学習では，グラフ中の線分が事象では何を表しているのか，
グラフと事象とを対応させて，意味付けられるようにすることが大切である。
指導に当たっては，具体的な事象とグラフとの対応関係を考える場面を意図的に取り入れ，具体的な事象における数量の関係をよみとり，グラフで表現したり，グラフで表現されていることを事象によみかえたりすることが考えられる。

53

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「連立方程式と一次関数のグラフとの関係」
13

下の図で，直線は方程式＋ ＝５のグラフ，直線

は方程式

グラフの点

から点

の中に，連立方程式⎩⎨⎧− ＝ １のグラフです。
＋

＝５

−

＝１

の解を

座標にもつ点があります。下のアからオの中から正しいものを１つ選
びなさい。

ア

点

イ

点

ウ

点

エ

点

オ

点

中数Ａ− 18

１

出題の趣旨
連立二元一次方程式の解は，グラフに表した座標平面上の２直線の交点の座標として求められることを理解しているかどうかをみる。

連立方程式と一次関数のグラフとの関係を理解することは，一次関数を利用して具体的な事象を考察したり，２つのグラフの関係について学習したりする際に必要である。
■学習指導要領における内容・領域
第２学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察す
る能力を養う。
ウ 二元一次方程式を関数を表す式とみることができること。
■評価の観点
数量，図形などについての知識・理解

54

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２

正答と解説
■正答
■解説

３

イ
連立二元一次方程式の解は，座標平面上の２直線の交点の座標と一致することより，グラフから点Ｂが２直線の交点になるので，イになる。

学習指導に当たって連立二元一次方程式の意味，解の意味などの理解を深めるために，二元一次方程式
a ＋ b ＋ c ＝０を と の間の関数関係を表す式とみたり，一次関数の式を二元一次方
程式とみたりできるようにすることが大切である。また，代数的な方法によって求めた連立方程式の解を，座標平面上でグラフの交点としてとらえられるようにすることも大切である。
①

二元一次方程式を と の間の関数関係を表す式としてとらえられるようにする
二元一次方程式を２つの変数 ， の間の関数関係を表す式としてとらえ直すことで，その意味の理解を深めることができると考えられる。
指導に当たっては，二元一次方程式 + =５ を満たす と の値の組を座標平面上に表していくことで，グラフは直線になることに気づいたり，その直線の式が + =５を について解いた式 =− +５ になることを確かめたりする一連の活動を行うことが大切である。

②

連立二元一次方程式の解と２直線の交点の座標が一致することを理解できるようにする
二元一次方程式を満たす と の値の組を座標平面上に表すと，そのグラフは直線になる。このことが理解できれば，２直線の交点の座標は２つの二元一次方程式を同時に満たす と の値の組となり , 連立二元一次方程式の解になることを理解することができると考えられる。
また，一次関数のグラフと 軸との交点の座標についても， ＝ a ＋ b と ＝０ からなる連立二元一次方程式の解としてとらえ直すことによって，方程式に関する理解を一層深めることができると考えられる。

55

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「確率の意味・場合の数」
次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）１の目が出る確率が

１６14であるさいころがあります。このさいころを 投 げ る と き， ど の よ う な こ と が い え ま す か。 下 の ア か ら オ の 中 から正しいものを１つ選びなさい。
ア

５回投げて，１の目が１回も出なかったとすれば，次に投げると必ず１の目が出る。

イ

６回投げるとき，そのうち１回は必ず１の目が出る。

ウ

６回投げるとき，１から６までの目が必ず１回ずつ出る。

エ３０ 回投げるとき，そのうち１の目は必ず５回出る。

オ

３０００ 回投げるとき，１の目はおよそ５００ 回出る。

（２） ，

，

，

の ４ チ ー ム が バ レ ー ボ ー ル の 試 合 を し ま す。 ど のチームも他のすべてのチームと１回ずつ試合をします。このときの全部の試合数を求めなさい。

１

出題の趣旨

中数Ａ− 19

確率の意味について理解しているかどうかをみる。
場合の数を求めることができるかどうかをみる。

２

各設問の趣旨設問⑴１
この問題は，確率の意味にもとづいて，「１の目が出る確率が ６ 」であることの意味について理解しているかどうかをみるものである。ある試行を多数回繰り返したときに，ある事象の起こる回数の割合はある安定した値をとるという傾向が見られる。ここでは，このような「大数の法則」をもとにして確率の意味について理解していることが求められる。
確率の意味の理解は，高等学校の確率の学習に必要である。また，自然現象
や社会現象における不確定な事象を考察する際にも必要である。
設問⑵

この問題は，総当たり戦（リーグ戦）の試合の総数を求めることができるかどうかをみるものである。ここでは，樹形図をかいたり，組合せの表をつくるなどして，場合の数を正しく求めることが必要になる。
順序よく整理して起こり得る場合の数を求めることは，確率を求める際に必要である。また，実生活のいろいろな場面でも用いられる。

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■学習指導要領における内容・領域
設問⑴
第２学年 Ｃ 数量関係
⑵ 具体的な事象についての観察や実験を通して，確率について理解する。
イ 不確定な事象が起こり得る程度を表す確率の意味を理解し，簡単な場合について確率を求めることができること。
設問⑵第２学年 Ｃ 数量関係
⑵ 具体的な事象についての観察や実験を通して，確率について理解する。
ア 起こり得る場合を順序よく整理することができること。

■評価の観点設問⑴
数量，図形などについての知識・理解
設問⑵３

数学的な表現・処理

正答と解説
設問⑴

■正答
■解説

オ
確率の意味から，「１の目が出る確率が １ であるさいころがありま６す」ということがらは「このさいころを多数回投げると，１の目が出る割合は １ に近づいていく」と解釈することができる。このことか
６
ら，オになる。

［誤答例］ア，イ，ウ，エ……確率を，あることがらが起こる確定的な数を表すものととらえている。
設問⑵

■正答

６

■解説

４チームによる試合の組合せを樹形図で表すと次のようになる。
Ａ

Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ｄ
よって，全部の試合数は６である。

ＣＤ［誤答例１］３……ある１つのチームの試合数を求めている。
［誤答例２］12……重複している試合，例えば「Ａ対Ｂ」と「Ｂ対Ａ」を，別の試合として数えている。

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４

学習指導に当たって具体的な事象についての観察や実験を通して，事象の起こり得る場合に関心をもち，それを順序よく整理することや，不確定な事象が起こり得る程度を考察することができるよ
うにすることが大切である。
①

確率の意味について，実験を通して体験的に理解できるようにする
確率の意味について，ある試行を多数回繰り返したときに，ある事象の起こる回数の全体に対する割合が近づいていく値として理解することが大切である。
指導に当たっては，さいころを多数回投げる実験で，それぞれの目の出る回数の割合だけでなく，途中の目の出方にも着目し，ある目が続けて出たり，出にくかったりする
ことが起きていることも確かめることが大切である。それによって，確率はある事象が起こる確定的な数を表すものではないことも理解できると考えられる。

②

起こり得る場合の整理の仕方を考えることができるようにする
場合の数を求めるために，ある視点を決めて，数え忘れや重なりがないように起こり得るすべての場合を考えることが大切である。
指導に当たっては，起こり得る場合を整理して書き出してみることで，数え忘れたり，同じ場合を重複して数えたりするなどの誤りを防ぐことができ，樹形図や二次元の表に表すための着眼点が見えてくる場合が多い。整理の仕方を示して考えさせるのではなく，
生徒自ら整理の仕方を考える活動を取り入れることが大切である。

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59

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「平均の意味」
15

ある学校で，図書委員１５人について１か月間に読んだ本の冊数を調べました。下の表は，その結果を整理したものです。
＜図書委員１５ 人の読んだ本の冊数＞
図書委員
読んだ本（冊数）４ ３ ８ ４ ６ ２ ２ ４ ３ ４ ３ ２ ３ ２ ４

この図書委員１５人が読んだ本の冊数の平均について，下のアからエの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

４冊読んだ人は５人で一番多いから，平均は４冊である。

イ

読 ん だ 本 の 冊 数 が 多 い 順 に 並 び か え て み る と ，１５人 の 真 ん 中 になる８番目の人は３冊読んでいるから，平均は３冊である。

ウ

全員の読んだ本の冊数を合計して１５でわると，３６になるから，
平 均 は ３６冊 で あ る 。

エ一番多く読んだ人が８冊，一番少ない人が２冊だから，平均は５冊である。

中数Ａ− 20

１

出題の趣旨
平均の意味について理解しているかどうかをみる。

平均は，いろいろな教科や具体的な事象で，資料がある範囲にわたって分布しているとき，その傾向をとらえるための代表値として用いられている。
平均の意味について理解することは，具体的な事象について，平均を用いて統計的な考察をしたり表現したりする際に必要である。
■学習指導要領における内容・領域
小学校第６学年 Ｄ 数量関係
⑶ 平均の意味について理解し，それを用いることができるようにする。
■評価の観点
数量や図形についての知識・理解（小学校）60

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２

正答と解説
■正答
■解説

ウ
図書委員 15 人の読んだ本の冊数の合計を求めるために，読んだ冊数ごとの人数を調べると次のようになる。
８冊は１人，６冊は１人，４冊は５人，３冊は４人，２冊は４人したがって，15 人の読んだ冊数の平均は，（８×１＋６×１＋４×５＋３×４＋２×４）÷15＝54 ÷15＝3.6（冊）となり，ウになる。

［誤答例１］ア……最頻値と平均とを混同している。
［誤答例２］イ……中央値と平均とを混同している。
［誤答例３］エ……最大値と最小値の相加平均と平均とを混同している。

３

学習指導に当たって①

資料を代表する値としての平均の意味と役割について理解できるようにする
ある範囲にわたって分布している資料について，その平均は同じ大きさの数量にならすという意味がある。この意味で資料全体の特徴を表す値としての役割があることを理解できるようにすることが大切である。このことには，平均は，その資料で度数の最も多い階級に対する値（最頻値）や，測定値を小さい順に並べたときの真ん中に相当する
値（中央値）とは異なることの理解も含まれている。
指導に当たっては，形式的に平均を求めるだけでなく，折に触れて，身近な資料の分
布の様子を調べることを通して，資料を代表する値としての平均の意味と役割について
正しく理解できるようにすることが大切である。

61

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62

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調 査 問 題 の 解 説

Ｂ主として「活用」に関する問題

63

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1「情報の適切な選択と判断（セットメニュー）」１

京子さんは，家族５人でファミリーレストランに出かけ，全員がセットメニューを注文することになりました。

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 京子さんは，「私はオムライスが大好き。やわらかオムライスは必ず注文するよ。」と言っています。
メニューのＢの「やわらかオムライス」を注文して，メニューのＡとＣからそれぞれ１品ずつ選ぶとき，その選び方は全部で何通りありますか。

（２） お母さんは，「私はアスパラサラダを注文するね。でも，カロリーと塩分が気になるの。３品のカロリーの合計が ７５０kcal 以下で，塩分が一番少なくなるようなメニューにしたいな。」と言っています。
お母さんの希望にあうセットになるように，メニューのＢについては
下のアからウの中から，Ｃについてはカからクの中からそれぞれ１つずつ選びなさい。
ＢＣア

具だくさんミックスピザ

カレインボーアイスクリームイ

イカとタラコのスパゲッティ

キ

カボチャのプリンウ

やわらかオムライスク

マンゴーサンデー（３）家族５人の中で何人かが，セットメニューに加えてドリンクサービスも注文したので，支払った金額は合計で ５７５０円でした。
このとき，ドリンクサービスのプラス 200 円コースを注文した人はいましたか。下のア，イの中から１つ選びなさい。また，選んだ理由を説明しなさい。

中数 B − 1

１

ア

いた

イ

いなかった

中数 B − 2

出題の趣旨
複数の情報を組み合せてとらえ，次のことができるかどうかをみる。
・与えられた情報を分類整理すること・必要な情報を適切に選択し判断すること・ことがらが成り立つ理由を数学的な表現を用いて説明すること

ファミリーレストランのセットメニューから，与えられた条件を満たすメニューの組合せを考えたり，支払った金額の内訳について考えたりする問題である。この問題では，場合の数についての知識・技能などを活用したり，ことがらが成り立つ理由を式などを用いて説明したりすることが必要である。

２

各設問の趣旨設問⑴

３つのグループに分類されたメニューから１品ずつ選ぶときの選び方について，１つのグループのメニューを固定した場合に，その選び方の総数を求める問題である。ここでは，与えられた情報を樹形図や表などを用いて分類整理することが求められる。Ｂグループのメニューを１つ選択している場合に，Ａグ
ループの２種類とＣグループの３種類のメニューの組合せを整理し，その総数を求めることができるかどうかをみるものである。

64

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設問⑵３つのグループに分類されたメニューから，複数の条件を満たすメニューの組合せを考える問題である。ここでは，与えられた情報を分類整理することに加え，必要な情報を適切に選択し，判断することが求められる。「750 kcal 以
下で，塩分が一番少なくなる」というカロリーと塩分の２つの条件に着目して，表などを用いて各グループの情報を順序よく整理し，条件を満たす組合せを選択できるかどうかをみるものである。

設問⑶

家族５人の中で，セットメニューに加えてドリンクサービスのプラス 200 円
コースを注文した人がいたことを指摘し，その理由を説明する問題である。ここでは，ことがらが成り立つ理由を筋道立てて考え，数学的な表現を用いて説明することが求められる。合計金額，セットメニューの金額，ドリンクサービ
スの金額の関係と，200 円と 150 円のドリンクサービスの組合せを考え，式や表などを用いて説明できるかどうかをみるものである。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴・設問⑵第２学年 Ｃ 数量関係
⑵ 具体的な事象についての観察や実験を通して，確率について理解する。
ア 起こり得る場合を順序よく整理することができること。
設問⑶第２学年 Ａ 数と式⑵ 連立二元一次方程式について理解し，それを用いることができるようにする。
ア 二元一次方程式とその解の意味を理解すること。

■評価の観点設問⑴・設問⑵
数学的な表現・処理
設問⑶３

数学的な見方や考え方

正答と解説
設問⑴

■正答

６（通り）

■解説

樹形図で表すと，メニューの組合せは６通りである。
ⒷⒶⒸ

アスパラサラダレインボーアイスクリーム
カボチャのプリン
マンゴーサンデー

クラムチャウダースープ

レインボーアイスクリーム
カボチャのプリン
マンゴーサンデー

やわらかオムライス［誤答例］５（通り）……Ａのメニュー数とＣのメニュー数の和を求めている。

65

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設問⑵

■正答
■解説

ア

Ⓑ

Ⓒ

キ

次の表のように，Ⓑ，Ⓒのメニューの項目をカロリーの多い順に並べる。まず，カロリーの条件（750 kcal 以下）から，アスパラサラ
ダの分（50 kcal）を引き，600 kcal 以下になる組合せを調べる。次に，その中で塩分を計算し一番少なくなる場合を選ぶと，具だくさん
ミックスピザとカボチャのプリンとの組合せになる。
Ⓑ

ウ

やわらか
オムライス

Ⓒ

600kcal 塩分 4.g

ア

具だくさん

イ イカとたらこのミックスピザスパゲッティ

500kcal 塩分 2.g

400kcal 塩分 .5g

ク マンゴーサンデー
250kcalカ

塩分 0.gレインボー

600kcal

アイスクリーム
200kcal

塩分 .7g

塩分 0.2g

キ カボチャのプリン

600kcal500kcal00kcal

塩分 2.8g

塩分 4.0g

塩分 0.5g［誤答例］Ⓑ イⒸ キ……全体のカロリーが 750 kcal 以下で，カロリーが一番少ない場合を考
えている。
設問⑶

■正答
「ア いた」を選択し，次のような説明を記述しているもの。
（例） 50 円のドリンクサービスを注文した人数を 人，200 円のドリンク
サービスを注文した人数を 人とすると，
050 ×５＋50 ＋ 200 ＝5750
50 ＋ 200 ＝500
この式を満たす０以上の整数 ， の組は， ＝２， ＝１だから，200 円のドリンクサービスを注文した人がいた。
■解説①アを選択し，次の⒜，⒝について記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ ドリンクサービスの代金が 500 円であること。
⒝ 500 円の内訳が，50 円＋ 50 円＋ 200 円であること。
②上記①で，⒜について記述していないもののうち，
50×２＋200＋050×５＝5750 のように 5750 円の内訳を示し，⒜，⒝について記述していると判断できるものは，正答（◎）とする。
③上記①で，⒜について記述していないもののうち，「50 円コースの代金の合計だけではドリンクサービスの代金にならないから。」のように，ドリンクサービスの代金が 50 円と 200 円の組合せであることを理解していると判断できるものは，正答（○）とする。

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４

学習指導に当たって実生活や数学の世界での様々な場面で，与えられた情報を分類整理し，必要な情報を選択して判断することや，ことがらが成り立つ理由を与えられた情報にもとづいて説明することが求められることがある。このような場面では，数学的な知識・技能や数学的な表現などを用いて説明することができることが大切である。
①

情報の選択や判断に，数学的な知識 ･ 技能などを活用できるようにする
実生活において，料理をしたり交通手段の組合せを考えたりする際に，与えられた情報にもとづいて目的に応じて選択をしたり，判断をしたりすることが必要になる。そのような場合，数学的な知識・技能などを活用することが大切である。
指導に当たっては，例えば，設問⑵のように，問題解決の目的に応じて，情報の整理に樹形図や表を活用するなどの方法を選択したり，条件を満たす組合せを考えるために表の整理の仕方を考えたりするなど，情報の整理を工夫する機会を設定することが大切である。

②

ことがらが成り立つ理由を，数学的な表現を用いて適切に説明できるようにする
ことがらが成り立つ理由を説明する場合には，そのことがらが成り立つ根拠と結論の両方を示す必要がある。その際，言葉だけでなく，記号や式など数学的な表現と組み合せて用いると，より簡潔でわかりやすい説明になる。
指導に当たっては，例えば，設問⑶のように，根拠にもとづいて結論まで説明できるようにすることが大切である。また，ことがらが成り立つ理由を方程式を用いて説明する場面を設定することによって，方程式を解く対象としてだけでなく，説明に用いる方法としてもとらえられるようにすることが考えられる。

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2「説明を振り返り，発展的に考えること（連続する自然数の和）」
２

太 郎 さんは，連続する３つの自然数の和がどんな数になるかを調べてい（２）太郎さんの説明から，連続する 5 つの自然数の和は 5 の倍数になる

ます。
１，２，３

のとき，

１＋２＋３＝ ６

２，３，４

のとき，

２＋３＋４＝ ９

３，４，５

のとき，

３＋４＋５＝１２

ことが予想されます。太郎さんの説明を参考にして，このことが正しい
ことの説明を完成しなさい。
説明

これらの結果から，連続する 3 つの自然数の和は 3 の倍数になることを予想し，この予想が正しいことを下のように説明しました。

連続する５つの自然数のうち，最も小さい数を n とすると，連続する５つの自然数は，n，n ＋１，n ＋２，n ＋３，n ＋４と太郎さんの説明表される。
連続する５つの自然数の和は，n ＋（ n ＋１）＋（ n ＋２）＋（ n ＋３）＋（ n ＋４）＝ n ＋ n ＋１＋ n ＋２＋ n ＋３＋ n ＋４

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１）太郎さんの説明の最後の式 ３（ n ＋１）から，連続する 3 つの自然数の和は 3 の倍数である
ことのほかに分かることがあります。下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア

連続する３つの自然数の和は奇数である。

イ

連続する３つの自然数の和は偶数である。

ウ

連続する３つの自然数の和は最も小さい数の３倍である。

エ

連続する３つの自然数の和は中央の数の３倍である。

オ

連続する３つの自然数の和は最も大きい数の３倍である。

中数 B − 3

１

中数 B − 4

出題の趣旨
自然数の性質に関する説明をよみ，次のことができるかどうかをみる。
・説明を振り返って考えること・発展的に考え，その結果を説明すること

連続する自然数の和について成り立つ性質の説明をよみ，それを振り返り，発展的に考察する問題である。この問題では，文字式の意味をよみとったり，発展的に考えた性質を文字式を用いて説明したりすることが必要である。

２

各設問の趣旨設問⑴

連続する自然数の和について成り立つ性質を，文字式からよみとる問題である。ここでは，説明を振り返って１つの文字式から異なった意味をよみとることが求められる。連続する３つの自然数の和が３の倍数になることを示すための式 ３（ n＋１）を，「連続する３つの自然数の中央の数 n＋１の３倍である」とよみとることができるかどうかをみるものである。

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設問⑵

問題の条件を変えたときに，新たに分かることがらについて，その成り立つ
理由を説明する問題である。ここでは，発展的に考えることが求められる。連続する３つの自然数の和が３の倍数になることを示した説明をもとにして，連続する５つの自然数の和が５の倍数になることを説明することができるかどうかをみるものである。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴・設問⑵第２学年 Ａ 数と式⑴ 事象の中に数量の関係を見いだし，それを文字を用いて式に表現し活用する能力を伸ばすとともに，文字を用いた式の四則計算ができるようにする。
イ 数量及び数量の関係をとらえるために文字式を利用できることを理解すること。
■評価の観点設問⑴・設問⑵
数学的な見方や考え方

３

正答と解説
設問⑴

設問⑵

■正答

エ

■解説

n＋１は，連続する３つの自然数 n， n＋１， n＋２の中央の数だから，３（ n＋１）は連続する３つの自然数の中央の数の３倍であることが分かる。したがって，エになる。

■正答（例）＝５（ n＋２）
n＋２は自然数だから，５（ n＋２）は５の倍数である。

■解説①５（ n＋２）と計算して，次の⒜，⒝の両方を記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ n＋２は自然数だから，⒝ ５（ n＋２）は５の倍数である。
②５n＋10 と計算して，次の⒞，⒟の両方を記述しているものを正答（◎）とする。
⒞ ５n，10 が５の倍数で，５の倍数の和は５の倍数だから，⒟ ５n＋10 は５の倍数である。
③上記①で，⒜や⒝を記述していないものは，共通因数の５を見いだしていることから，５の倍数であることを示していると判断できるので，正答（○）とする。
④上記②で，⒞，⒟のどちらか一方のみを記述しているものは，計算結果をもとにして５の倍数であることを示していると判断できるので，正答（○）とする。

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４

学習指導に当たって証明や説明をよみ，その結果を振り返り，問題の条件を変えるなど，発展的に考えて新たな性質を見つけ，それを説明することが大切である。
①

説明を振り返り，文字式の意味を多様によみとることができるようにする
文字式の学習では，ある数量を文字式を用いて表現したり，文字式による説明を振り返り，文字式の意味を多様によみとったり，言葉で的確に表現したりすることが大切である。
例えば，連続する２つの奇数の和について，n を自然数とすると，（２ n−１）＋（２ n＋１）＝４n ＝２×２nとなることから，その和が「４の倍数になる」ことに加え，「偶数になる」ことや，「２つの奇数の間の偶数の２倍になる」というようにもよみとることができる。
このように，文字式のよみとりを柔軟にできるようにしておくことで，説明を振り返った際に，新たな性質に気づくことができるようになると考えられる。

②

問題の条件を変えるなどして，発展的に考えられるようにする
数や図形についての性質を見つける際には，具体的なものから帰納的に考える場合や，ある性質をもとに条件を変えて考える場合などがある。
後者の例として，設問⑵のように，３つの自然数の和を５つの自然数の和にしたり，
次のように，もとになる図形を正三角形ⅰから，正方形ⅱに変え，発展的に考えたりす
ることがあげられる。

図１のように，線分ＡＢ上に点Ｐをとり，線分ＡＰとＢＰを一辺とする正三角形を同じ側につくり，その頂点をＱ，Ｒとすると，ＡＲ＝ＱＢが成り立つ。

ⅰⅱ

上の問題の条件である「正三角形」
を，図２のように「正方形」に変えても，ＡＲ＝ＱＢの相等関係は変わ
らない。

Ｑ

図１

Ｒ

図２

Ａ
Ｑ’

Ａ

Ｐ
Ｑ

Ｂ

Ｒ

Ｒ’

Ｐ

Ｂ

指導に当たっては，条件を変えて考察の範囲をさらに広げるとどうなるかなど，発展的に考えるための視点を示し，生徒自らが新たな性質を発見できるようにすることが大
切である。

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③

文字式を活用して，ことがらが成り立つ理由を説明できるようにする
整数の性質などを考察する場面では，具体的な数値を文字で表すことによって，性質の一般性を保証することができるので，文字式を有効に活用して説明できるようにする
ことが大切である。
指導に当たっては，必要な数量を文字式を用いて表現したり，文字式の意味をよみとったり，また目的に応じて文字式を変形し，その式を説明したりすることで一般性を保証した結論を導くようにすることが考えられる。
例えば，本問題の「連続する３つの自然数の和」について，数値を使って計算すると，
１＋２＋３＝６＝３×２
２＋３＋４＝９＝３×３
３＋４＋５＝12＝３×４となり，３の倍数になることが推測できる。ここで，連続する自然数について，
１＋２＋３＝１＋（１＋１）＋（１＋２）＝６
２＋３＋４＝２＋（２＋１）＋（２＋２）＝９
３＋４＋５＝３＋（３＋１）＋（３＋２）＝12と表すことができ，その規則性を探ることで，連続する３つの自然数を n，n ＋１，
n ＋２と文字を用いて表現できる。そして，これらの和である３n ＋３を３（ n ＋１）と変形することで，３の倍数とよむことができる。

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3「問題解決の構想と結果の振り返り（サッカー大会）」
３あるサッカー大会では，５チームが他のすべてのチームと１回ずつ試合をし，下の表のような結果になりました。

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）前ページの順位の決め方にしたがうと，Ｒチームの合計点数は何点になりますか。

勝った試合数負けた試合数引き分けた試合数

Ｐチーム

２

２

０

チーム

３

１

０

Ｒチーム

２

０

２

Ｓチーム

０

３

１

ア

Ｔチーム

１

２

１

イ

チーム

ウ

Ｒチーム

エ

Ｓチーム

オ

Ｔチーム

この大会では，次のようにして順位が決められました。
順位の決め方（２）この大会で１位になったのはどのチームですか。下のアからオの中から１つ選びなさい。
Ｐチーム

１試合ごとに勝ったチームに３点，負けたチームに０点，引き分けると両チームに１点ずつ与え，合計点数の多いチームを上位として順位を決める。

（３）この大会の順位は，前ページの順位の決め方から，勝った試合数を，引き分けた試合数をとするとき，3 ＋の値で決まります。
麻衣さんは，この大会の順位の決め方について，次のように言っています。

チームとＲチームの合計点数が同じで，両チームが１位になるような式を， を使って表しなさい。また，その式で， チームとＲチームが同点で１位になることを説明しなさい。

中数 B − 5

１

中数 B − 6

出題の趣旨
表により与えられた数値や情報をよみとり，次のことができるかどうかをみる。
・与えられた情報を的確に処理すること・問題解決のための構想を立てたり，その構想を振り返って改善したりすること・ことがらが成り立つ理由を数学的な表現を用いて説明すること

サッカー大会での勝ち，負け，引き分けを点数化し，順位を決める方法についての問題である。この問題では，与えられた順位の決め方にしたがって合計点数や順位を調べたり，新しい順位の決め方を考案し，それを文字を用いて表現し，その式が条件を満たすことを説明したりすることが必要である。

２

各設問の趣旨設問⑴

与えられた順位の決め方にしたがい，あるチームの合計点数を試合結果から求める問題である。ここでは，与えられた情報をよみとり処理することが求められる。
（勝った試合数）×（３点），（引き分けた試合数）×（１点）をもとに，Ｒチームの合計点数を求められるかどうかをみるものである。

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設問⑵

各チームの合計点数を求め，それらを比較することで，１位のチームを指摘する問題である。ここでは，勝った試合数と引き分けた試合数に着目し，効率よく合計点数を比較することが求められる。順位の決め方から，情報を整理し合計点数を求め比較することにより，１位のチームを正しく指摘できるかどうかをみるものである。

設問⑶

新しい順位の決め方を考えて文字式で表し，その式を用いてＱチームとＲチームが同点で１位になる理由を説明する問題である。ここでは，新たな条件が与えられたときに，問題解決のための構想を立て，結果を振り返りながら，自分の考えを数学的な表現を用いて説明することが求められる。与えられた式
３a＋ b の各項の係数を変えるなどしながら，新しい順位の決め方を考案し，その式を用いて２チームが同点で１位になる理由を説明できるかどうかをみるものである。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴・設問⑵
小学校第４学年 Ｄ 数量関係
⑶ 目的に応じて資料を集め，分類整理したり，特徴を調べたりすることができるようにする。
設問⑶第２学年 Ａ 数と式⑴ 事象の中に数量の関係を見いだし，それを文字を用いて式に表現し活用する能力を伸ばすとともに，文字を用いた式の四則計算ができるようにする。
イ 数量及び数量の関係をとらえるために文字式を利用できることを理解すること。

■評価の観点設問⑴
数量や図形についての表現・処理（小学校）３

設問⑵

数学的な考え方（小学校）

設問⑶

数学的な見方や考え方

正答と解説
設問⑴

設問⑵

■正答

８（点）

■解説

３×２＋１×２＝８（点）

■正答

イ

■解説

順位の決め方をもとに，勝った試合数と引き分けた試合数に注目して情報を整理する。Ｑチームの合計点数を計算すると９点でＲチームの合計点数より多いので，Ｑチームが１位となり，イになる。

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設問⑶ 【式】
■正答
■解説

【理由】
■正答

（例）２a＋ b
Ｑチーム（３勝０分）とＲチーム（２勝２分）について，表から勝った試合数と引き分けた試合数に注目すると，勝った試合数の差が１，
引き分けた試合数の差が２になる。
この差の違いに注目して ３a＋ b を参考にしながら，順位の決め方を式に表すと，２a＋ b になる。
この式でＱチームとＲチームの合計点数を計算すると，Ｑチームは，２×３＋１×０＝６
Ｒチームは，２×２＋１×２＝６
で同点になる。この式を使って，勝った試合数が多いＰチームの合計点数を計算してみると４点となり，ＱチームとＲチームが１位になる。

（例）合計点数を求める式を，２a＋ b とするとき，Ｐチームは，２×２＝４
Ｑチームは，２×３＋０＝６
Ｒチームは，２×２＋１×２＝６
Ｓチームは，２×０＋１×１＝１
Ｔチームは，２×１＋１×１＝３
したがって，合計点数を求める式を ２a＋ b とすると，Ｑチー
ムとＲチームが同点で１位になる。

■解説①次の⒜，⒝，⒞について記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ ＱチームとＲチームが同点になることを示す計算など。
⒝ ＱチームとＲチームが１位になることを示す計算など。
⒞ ＱチームとＲチームが同点で１位になるという結論。
②上記①で，⒜，⒝についてのみ記述しているものは，合計点数の計算などから説明すべき結論を示していると判断できるので，正答（○）とする。
③上記①で，⒜，⒞についてのみ記述しているものは，根拠と説明すべき結論を述べていると判断できるので，正答（○）とする。

４

学習指導に当たって問題解決のために構想を立てたり，その構想による結果を振り返って改善したりすることは，日常的な場面でよく見られる。構想を立てるためには，いろいろな条件を整理して，問題を把握し解決への見通しをもつこと，その構想を実践した結果を検証し，振り返って改善することが大切である。
①

問題解決のための構想を立て，結果を振り返って改善できるようにする
問題解決のための構想を立てるには，問題に含まれる条件などを明らかにし，整理し，解決への見通しをもつ必要がある。また，立てた構想は，実践して得られた結果の検証にもとづいて，必要に応じて改善していくことが大切である。

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例えば，設問⑶では，与えられている条件のもとでは，１度も負けていないチーム（Ｒチーム）が２位になることに疑問を感じた生徒が，新しい決め方を構想しようとする場面などを想定できる。生徒は，与えられた表や式から勝った場合と引き分けた場合の試合数と，それぞれに与えられる点数の間の関係に着目し，立式の方針を立てる。そして，３a ＋ b の係数に着目し，それを変更しながら，条件を満たす場合を求めていくことになる。さらに，求めた式が条件を満たさなければ，その改善を図ることになる。
問題解決のための構想を立て，結果を振り返って改善できるようにするためには，例
えば，文章題から方程式を立式する場面や図形の論証の場面などで，題意を的確に判断し，与えられた条件を目的に応じて整理し，解決までの方針を立てる習慣を身に付けるようにすることが大切である。また，方程式を解いた後，得られた解を問題場面に照らし合わせて考えたり，その結果を受けて方程式の解き方を見直したりする機会を設定することや，証明をした後，証明を見直し，よりよい証明を考える機会を設定することが必要である。
②

ことがらが成り立つ理由を，数学的な表現を用いて適切に説明できるようにする
ことがらが成り立つ理由を数学的な表現を用いて説明する場合，根拠となる事実を示した上で，結論を述べることが大切である。
例えば，設問⑶で，ＱチームとＲチームの２チームが同点で１位になる理由を説明するためには，そのことを示す計算結果に加え，この２チームが「同点で１位になる」という結論を記述する必要がある。
指導に当たっては，文字式を用いた説明や図形の論証の学習場面に限らず，数学科の学習全般にわたって，ことがらが成り立つ理由を説明する学習場面で，説明すべきこと
がらの根拠と，それによって説明される結論の両方を述べる機会を意図的に設定することが大切である。

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4「証明の評価・改善（垂直二等分線の性質の証明）」
４

下の図のように，線分をの垂直二等分線とします。また，直線上に点をひいて，線分との交点をとります。

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
の中にあります。

（１）前ページの証明のまちがいは，下に示した
まちがっている部分を，解答用紙のの中に下線（）をひいて示しなさい。

このとき，

＝

となることを，下のように証明しましたが，この証明にはまちがいがあります。
証明（２）上の証明のの中を正しく書き直しなさい。
としたがって，

中数 B − 7

１

において，

＝

中数 B − 8

出題の趣旨
図形についての証明をよみ，次のことができるかどうかをみる。
・証明を振り返って評価すること・評価にもとづいて証明を改善すること「線分の垂直二等分線上の点はもとの線分の両端から等距離にある」ことの証明について考える問題である。この問題では，証明における仮定と結論の意味を理解することや，与えられた証明の中にある誤りを指摘し，筋道が通るように証明を正しく書き直すことが必要である。

２

各設問の趣旨設問⑴

仮定と結論の意味を正しく理解し，証明の中の誤りを指摘する問題である。
ここでは，証明を振り返り評価することが求められる。結論「ＰＡ＝ＰＢ」が証明の中で根拠として使われていることに気づき，証明の誤っている部分を指摘することができるかどうかをみるものである。

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設問⑵設問⑴で指摘した誤りを正しく書き直す問題である。ここでは，与えられた証明の評価にもとづき，それを改善することが求められる。証明の中での結論「ＰＡ＝ＰＢ」が使われている部分を，正しい根拠にもとづき「∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ」に書き直し，それに伴い三角形の合同条件を「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」に改めることができるかどうかをみるものである。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴・設問⑵第２学年 Ｂ 図形⑵ 平面図形の性質を三角形の合同条件などを基にして確かめ，論理的に考察する能力を養う。
ア 証明の意義と方法について理解すること。
イ 三角形の合同条件を理解し，それに基づいて三角形や平行四辺形の性質を論理的に確かめることができること。
■評価の観点設問⑴・設問⑵
数学的な見方や考え方

３

正答と解説
設問⑴

■正答
（例）

■解説
①書き直すべき誤りの部分である「ＰＡ＝ＰＢ」，「３辺がそれぞれ等しい」の２か所のみに下線をひいているものを正答（◎）とする。
②「ＰＡ＝ＰＢ」のみに下線をひいているものは，仮定と結論の意味を理解していると判断し，正答（◎）とする。
③「ＰＡ＝ＰＢ」に下線をひき，「仮定から」，「①，②，③より」，そして「△ＰＡＭ≡△ＰＢＭ」の３か所のいずれか，またはこれらを組み合せた部分に下線をひいているものは，正答（◎）とする。また，この３か所に加えて「３辺がそれぞれ等しい」に下線をひいているものも正答（◎）とする。

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④仮定として適切な「ＡＭ＝ＢＭ」や「ＰＭ＝ＰＭ」に下線をひいているものは，誤答とする。
設問⑵■正答（例） 仮定から，
ＡＭ＝ＢＭ……①∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ……②
また，ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通） ……③①，②，③より，２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ＰＡＭ≡△ＰＢＭ■解説①「ＰＡ＝ＰＢ」を「∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ」に書き直した上で，合同条件「３辺がそれぞれ等しい」を「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」に書き直しているものを正答（◎）とする。
②上記①で，表現がやや不十分である場合，証明の誤り部分を書き直し，証明の筋道を正しく理解していると判断できるものは，正答（○）とする。

４

学習指導に当たって数学科の学習の様々な場面で，自分や他者が行った証明（説明）を評価し，その評価にもとづいて，それを改善しようとすることが大切である。
①

仮定と結論を区別し，全体の構想を立てながら証明ができるようにする
証明の学習では，全体の構想を立てることや，証明の記述において的確な表現を用いて正しく推論を進めることが求められる。推論を正しく進めるためには，仮定と結論の意味を正しく理解し，それらを区別して，妥当な根拠を用いて，証明の全体の構想を組
み立てることが大切である。
指導に当たっては，証明されるべき結論を証明の根拠にして証明する誤りなどが見られるので，仮定と結論の意味を理解し，それらを適切に使えるようにすることが大切である。そのためには，仮定や結論を言葉や記号で確認したり，図の中で色分けをしたりするなどしてから，証明を考えることが有効である。

②

証明を見直して，改善できるようにする
証明の学習では，自分がした証明を他者に説明することがある。その際，その証明を見直して，簡潔で分かりやすいものになるようにすることや，さらに，新たな性質を探ることは大切である。
指導に当たっては，生徒が証明を書くだけでなく，よむ活動も授業の中に位置付けることが必要である。証明をよむことで，証明を振り返り，その構造を理解したり，仮定や根拠の使い方や，証明の記述に必要な表現方法を身に付けたりすることができる。そのためには，生徒同士が互いの証明を評価し合い，よりよい記述や表現の仕方を考えて，証明の学習に取り組むようにすることが大切である。

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79

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5「事象の数学的な解釈と問題解決の方法（水温の変化）」
５

理科の授業で，水を熱したときの水温の変化を調べる実験をしました。
右下の図は，水を熱し始めてからの時間と水温の関係を，２分ごとに（３）浩 志 さんと洋子さんは，「このまま熱し続けると，８０℃になる時間は何分後だろうか。」と話し合っています。

１０分後までかき入れたものです。
浩志さんと洋子さんの会話
浩志さん「こんな方法を思いついたよ。」
洋子さん「どんな方法なの。説明してみてよ。」
浩志さん「

と

の関係を表したグラフをのばして，８０℃になる

時間は何分後かをよみとる方法だよ。」
洋子さん「でも，そのままグラフをのばしても，グラフ用紙の外側になってよみとれないよ。」

水温が ８０℃になる時間は何分後かを求めるには，浩志さんの考えた方法のほかに，どのような方法が考えられますか。その方法を説明しなさい。
次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

ただし，グラフ用紙をつぎたしたり，目盛りの取り方をかえてかき直したりして，グラフをのばすことはできないこととします。

（１）水を熱し始めてから１０分後の水温は何℃ですか。

「水を熱し始めてから（２）洋子さんは，このグラフを見て，℃とすると， は「は分後の水温をの一次関数とみることができる。
」と考えました。

の一次関数とみることができる」のは，グラフのどのような特徴からですか。その特徴を説明しなさい。

中数 B − 9

１

中数 B − 10

出題の趣旨
２つの数量の変化の様子をよみとり，次のことができるかどうかをみる。
・日常的な事象を理想化したり，単純化したりしてその特徴をとらえること・ことがらの特徴を的確にとらえて説明すること・問題解決の方法を数学的に説明すること

理科の授業で行われる「水を熱したときの水温の変化を調べる実験」の場面について考える問題である。この問題では，水を熱し始めてからの時間と水温の関係を表したグラフ
から水温を時間の一次関数とみることができる特徴や，グラフから直接よみとれない水温に対応する時間を求める方法を，一次関数の知識・技能などを活用して説明することが必
要である。

２

各設問の趣旨設問⑴

水を熱し始めてからの時間に対応する水温を，グラフからよむ問題である。
ここでは，グラフの横軸，縦軸の意味をとらえて座標をよむことが求められる。
横軸の 10 分に対応する縦軸の水温の値をよめばよいことを理解しているかど
うかをみるものである。

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設問⑵

実験から得られた数値にもとづく ， の関係を表すグラフの点の並び方から， は の一次関数であるとみてよい理由を説明する問題である。ここでは，は の一次関数であると理想化したり，単純化したりしてとらえることが求められる。グラフの点の並び方から，グラフを直線とみてよいことを指摘して説明できるかどうかをみるものである。

設問⑶グラフに示されていない水温に対応する時間の求め方について，グラフの直線を延ばさずに求める方法を説明する問題である。ここでは，問題解決の方法
を数学的に説明することが求められる。水温（ ℃）は熱し始めてからの時間（ 分）の一次関数であるとみなし，水温が 80℃になるときの時間を求める方
法について，式や表などの「用いるもの」と「その用い方」を明示して説明できるかどうかをみるものである。

■学習指導要領における内容・領域
設問⑴・設問⑵・設問⑶
第２学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。
■評価の観点設問⑴
数量，図形についての知識・理解
設問⑵・設問⑶
数学的な見方や考え方

３

正答と解説
設問⑴

設問⑵

■正答

60（℃）

■解説

横軸の 0 分に対応するグラフ上の点の縦軸の値をよむ。

■正答（例）点がほぼ一直線上に並んでいる。

■解説①点がほぼ一直線上に並んでいることを指摘しているものを正答（◎）とする。
②区間ごとに結んだ線分の傾きがほぼ同じであることや，変化の割合が一定であることに着目して説明しているものは，正答（◎）とする。
③上記①で，直線と同じ意味の言葉を記述しているものは，正答（○）とする。
④上記②で，グラフの傾きについて述べているものや，時間について記述せずに水温の変化についてのみ述べているものは，正答（○）とする。

8

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⑤「比例しているから」のように，一次関数を比例と同じように考えている
ものは，誤答とする。
⑥「 ＝ a ＋ b の式で表されるから」のように，「グラフを直線とみる」という説明すべきことを前提とした説明になっているものは，誤答とする。
設問⑶

■正答

（例） と の関係式を求めて， ＝ 80 を代入し， の値を求める。

■解説①式を用いることについて記述している場合，次の⒜，⒝の両方について記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ 一次関数の式を求めて利用すること。
⒝ 一次関数の式に ＝ 80 を代入して の値を求めること。
②表や数値を用いることについて記述している場合，次の⒞，⒟の両方について記述しているものを正答（◎）とする。
⒞ 表や数値を用いて変化の様子を調べること。
⒟ 水温が 80℃のときの時間を調べること。
③上記①，②で，⒜と⒝，⒞と⒟について文で記述せずに，計算の過程を記述しているものは，正答（◎）とする。
④上記①，②で，具体的な数値（ ＝ 80，80℃）の記述のないものは，式や表，数値の用い方が示されていればよいので，正答（○）とする。
⑤上記③で，式や表，数値の誤りや計算の誤りがあっても，方法の説明がなされていることが判断できるものは，正答（○）とする。

４

学習指導に当たって日常的な場面において，事象を的確にとらえて理想化したり，単純化したりして，数学の世界で考察することが必要になることがある。その際に，用いられる問題解決の方法について考え，それを数学的に説明することが大切である。
①

日常的な事象を理想化し，単純化して数学的に解釈することができるようにする
日常的な場面や，理科などの教科の学習で，現実の問題を解決したり実際のデータの特徴を分析したりするために，それを数学の問題としてとらえ，数学的な表現や処理をすることが有効である。
指導に当たっては，例えば，設問⑵のように，実験や観察を通して得られたデータについて，理想化したり，単純化したりすることで，数学の問題としてとらえることを経験することが大切である。また，数学的に解決した結果が実際の問題の解として有効であることを確かめることで，数学の知識・技能や考え方などを様々な場面に活用しようとする意欲や態度を養うことができると考えられる。

②

根拠とその根拠にもとづいた結論を整理して説明できるようにする
数学の学習では，数量，図形などについて，数学的な性質や関係が成り立つことを指摘し，その根拠を説明する場面がしばしば見られる。また，根拠を示しながら，数学的な性質や関係を説明することは，数学的に表現する力の育成という観点からも大切である。
指導に当たっては，根拠とその根拠にもとづく結論それ自体の内容を理解し，整理し82

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てとらえられるようにすることが大切である。例えば，設問⑵について，説明すべき結論は，「 は の一次関数とみることができる」ことであり，その根拠は，「点がほぼ一直線上に並んでいる」というグラフの特徴であるというように整理できる。
③

問題解決のために数学を活用する方法を考え，説明できるようにする
様々な問題を解決するために数学を活用する方法を見いだしたり，その方法について説明したりすることは，問題解決のための構想を立て，実践し評価・改善する上で有効である。
指導に当たっては，方法を示し，それを用いて解決させるだけでなく，例えば，設問⑶のように，生徒が数学を活用する方法を見いだすようにすることが大切である。また，その方法について，式や表などの「用いるもの」と「その用い方」について説明する場
面を設定することが大切である。

8

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6「事象の数学的な解釈と判断（図書館への往復）」
６

美 咲 さんは，家から１２００ｍ離れた図書館に本を借りに行きました。行
きは途中の公園で友だちと会い，しばらく話をしてから図書館に行きました。
図書館で本を借りてからは，公園に寄らずに行きと同じ道を通って家に帰次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）グラフの点 から点 に当たる時間に，美咲さんは何をしていましたか。

りました。

（２）美咲さんは図書館に何分間いましたか。

公園の写真

図書館の写真（３）前ページのグラフを見ると，家から公園まで行ったときの速さと，公園
から図書館まで行ったときの速さとでは，どちらが速かったかが分かりま
下の図は，美咲さんが家を出てからの時間と，家からの距離の関係を表したグラフです。

中数 B − 11１

す。どちらが速かったですか。下のア，イの中から１つ選びなさい。また，
選んだ理由を説明しなさい。
ア

家から公園まで

イ

公園から図書館まで

中数 B − 12

出題の趣旨
時間と距離の関係を表すグラフをみて，次のことができるかどうかをみる。
・必要な情報をよみとり，事象を数学的に解釈すること・ことがらが成り立つ理由を数学的な表現を用いて説明すること

家と図書館との往復を表すグラフについて考える問題である。この問題では，日常的な事象とそれを表すグラフとを対応させて考えることや，一次関数の知識・技能などを活用
して，２つの区間での速さを比較して判断し，その判断の理由を説明することが必要である。

２

各設問の趣旨設問⑴

グラフの一部が，どのような事象に対応しているかを指摘する問題である。
ここでは，グラフの特徴を事象に対応させて解釈することが求められる。グラ
フ上の線分ＡＢが横軸に平行であることから，家からの距離が変化していないことに着目し，「公園にいた」と判断できるかどうかをみるものである。

設問⑵

与えられた事象に対応するグラフの部分を見いだし，その時間をよみとる問題である。ここでは，設問⑴と逆に，事象を数学的に解釈してグラフに対応させることが求められる。図書館にいることを，家からの距離が 1200 mで一定ととらえて，その部分に対応する時間をグラフからよみとることができるかど
うかをみるものである。

84

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設問⑶「家から公園まで」の区間と「公園から図書館まで」の区間の速さを比較し，どちらが速いかを指摘して，その理由を説明する問題である。ここでは，必要な情報をグラフからよみとり，判断した理由を数学的な表現を用いて説明することが求められる。時間や距離，傾きなどをグラフからよみとり，２つの区間の速さのどちらが速いかを判断し，その理由を根拠をあげて説明できるかどうかをみるものである。

■学習指導要領における内容
設問⑴・設問⑵・設問⑶
第２学年 Ｃ 数量関係
⑴ 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，一次関数について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う。
ア 事象の中には一次関数を用いてとらえられるものがあることを知ること。
イ 一次関数のとる値の変化の割合とグラフの特徴を理解するとともに，一次関数を利用できること。
■評価の観点設問⑴・設問⑵・設問⑶
数学的な見方や考え方

３

正答と解説
設問⑴

設問⑵

■正答

（例）途中の公園で友だちと会い，しばらく話をしていた。

■解説

グラフの線分ＡＢは，家から図書館に行く途中で，時間が経過する
ものの，家からの距離が変わっていない。これは，問題文より途中の公園にいる地点となる。したがって，「公園で友だちと会い，しばら
く話をしていた」地点となる。

■正答
■解説

設問⑶

25（分間）
図書館にいたのは，家からの距離が 1200 ｍで一定の地点になるので，グラフでは，家から出発して 20 分後から 45 分後までの横軸に平行な線分の部分になる。よって，図書館にいた時間は 25 分間になる。

■正答「イ 公園から図書館まで」を選択し，次のような説明を記述しているもの。
（例） 家から公園までの速さは600÷10＝60
毎分 60 ｍ
公園から図書館までの速さは（1200−600）÷５＝120 毎分 120 ｍ
だから，公園から図書館までの方が速かった。

85

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■解説①イを選択し，次の⒜，⒞，または，⒝，⒞について記述しているものを正答（◎）とする。
⒜ 次の方法で速さを比較すること。
・速さを計算して比較する。
・傾きや変化の割合を計算して比較する。
・グラフの傾きを比較する。
⒝ 次の方法で速さを比較すること。
・時間をそろえて，距離を比較する。
・距離をそろえて，時間を比較する。
⒞ 比較する区間を明示すること。
②上記①で，⒞について記述していないもののうち，２つの区間を比較していると判断できるものは，正答（○）とする。

４

学習指導に当たって日常的な事象を表したグラフから必要な情報をよみとり，何らかの判断をする場面はよく見られるものである。また，そのように判断した理由を数学的に説明することは，数学科の学習において大切である。
①

日常的な事象の考察のためにグラフを活用できるようにする
日常的な事象の考察のためにグラフを活用することは，事象の解釈や問題解決に有効である。例えば，水道や電話などの料金や列車のダイヤグラムなどのように，単純化してグラフに表現したり，グラフから必要な情報をよみとったりする場面がある。
指導に当たっては，生徒が身近な日常的な事象をグラフに表現したり，グラフから事象を数学的に解釈したりするなど，事象とグラフとを対応させて考える活動を取り入れることが大切である。その際，表を使って表された数値をグラフ化することで，比較していることがらが一層分かりやすくなるなど，グラフのよさを感得できるようにすることが考えられる。

②

数学的な解釈を根拠として理由を説明できるようにする
日常的な事象の考察において，ことがらが成り立つ理由を説明するときに，数学的な解釈を根拠として示すことで説明が一層明確になる。数学科の学習において，日常的な事象における問題解決を取り上げ，説明する際に，数学的な表現を考えていく活動を取り入れることが大切である。
指導に当たっては，例えば，設問⑶のように速さを比較する場合に，説明することがらの根拠がグラフのどの部分にどのように表されているかを，数学的な表現を用いて説明することが大切である。具体的には，速さを数値で比較するだけでなく，グラフの傾きの大小関係を根拠として説明できるようにすることなどが考えられる。

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87

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88

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Ⅲ

調査問題一覧表89

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調査問題一覧表【中学校数学】 Ａ

主として「知識」に関する問題
問題形式

⑴

2
5
÷
を計算する
3
7

分数の除法の計算をすることができ
る

○

⑵

1
１
，0，－2，4，－ の中から，最小の数を選ぶ
3２

正の数と負の数の大小関係を理解し
ている

○

⑶

2 × (－3)2 を計算する指数を含む正の数と負の数の計算をすることができる

○

○

○

⑷

8－5 × (－6) を計算する

四則を含む正の数と負の数の計算をすることができる

○

○

○

⑴

(2 ＋7 )－2( －3 ) を計算する

整式の加法と減法の計算をすること
ができる

○

○

○

⑵

a ＝ 5，b ＝－4 のときの式 3 a ＋ 5 b の値を求 文字式に数値を代入して式の値を求めるめることができる

○

○

○

⑶

縦 a，横 b の長方形において，2(a ＋ b) が表 文字式の意味を，具体的な事象の中す量を選ぶでよみとることができる

○

○

⑷

2 ＋ 3 ＝ 9 を について解く

等式を目的に合うように変形するこ
とができる

○

○

⑴

一次方程式を解くとき，移項の意味を選ぶ

方程式の移項と等式の性質の関係を理解している○⑵

4( ＋5)＝80 を解く（ ）を含む一元一次方程式を解く
ことができる○○○⑶

数量の関係を連立二元一次方程式で表す数量の関係をとらえ，連立二元一次方程式を立式することができる

○

○

○

⑷

連立方程式 (

簡単な連立二元一次方程式を解くこ
とができる

○

○

○

⑴

線対称な図形の対称軸を選ぶ

線対称な図形の対称軸を理解してい
る

○

○

○

⑵

角の二等分線の作図の手順を選ぶ

角の二等分線の作図の手順を理解し
ている

○

○

○

⑴
①

直方体において，与えられた面に垂直な辺を 空間での平面と直線の位置関係 ( 面書くと辺の垂直 ) について理解している

○

○

○

⑴
②

直方体において，与えられた辺とねじれの位 空間での直線と直線の位置関係 ( ね
置にある辺を書く
じれの位置 ) について理解している

○

○

○

⑵

長方形を１回転させてできる立体を選ぶ

円柱が長方形の回転により構成されていることについて理解している

○

○

○

⑶

円錐の展開図を選ぶ

円錐の見取図を展開図へ置き換える
ことを理解している

○

○

○

⑷

円柱と円錐の体積を比較し，正しい図を選ぶ

底面が合同で高さが等しい円柱と円錐の体積の関係について理解している

○

○

○

⑴

平行線の同位角の大きさが等しいことを利用 平行線に直線が交わってできる角のして，角の大きさを求める
性質を理解している

○

○

○

⑵

円周角から中心角を求める

同じ弧に対する円周角と中心角の関係を理解している

○

○

○

⑶

平行四辺形になるための条件を表した記号を 記号を用いて表された辺の位置関係
もとに，正しく述べられた文を選ぶや相等関係の意味を理解している

○

○

○

証明の意義や必要性について，正しいものを証明の意義について理解している
選ぶ

○

○

○

₇

5 ＋7 ＝3を解く
2 ＋3 ＝1

すい

○

記述式

短答式

選択式

数量，図形などについての知識 理･解

数学的な表現・処理

数学的な見方や
考え方

6

数量関係

5

形

4

図

3

数と式

2

出題の趣旨

問題の概要

問題番号
1

評価の観点

数学への
関心・意欲・態度

学習指導要領の領域

○
○

○

○
○
○

○

90

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○

○

⑴

比例の意味を表した記述を選ぶ

比例の意味を理解している○⑵

比例のグラフから式を求める

比例のグラフから式を求めることが
できる

○

○

○

⑴

反比例の表を完成する

反比例の関係を表す表から，表中の値を求めることができる

○

○

○

⑵

反比例のグラフを選ぶ

反比例の関係を表すグラフの特徴を理解している○○○⑴一次関数を表した事象を選ぶ

２つの数量の関係が一次関数になることを理解している

○

○

○

⑵

一次関数のグラフを選ぶ

一次関数のグラフの傾きや切片の意
味とグラフの特徴を理解している

○

○

○

⑴

一次関数のグラフ（時間と道のりの関係を表
速さの求め方を理解している
したグラフ）から速さを求める

○

○

⑵

一次関数のグラフ（時間と道のりの関係を表 グラフから速さを求めることができしたグラフ）から速さを求める
る○

連立方程式の解をグラフ上の点から選ぶ

連立方程式の解が，２直線の交点の座標として求められることを理解し
ている

○

○

○

⑴

確率を表した事象を選ぶ

確率の意味について理解している

○

○

○

⑵

総当たり戦の試合数を求める

樹形図や表などを利用して，場合の数を求めることができる○

平均の意味を表した記述を選ぶ

平均の意味について理解している

○



○

記述式

選択式
○

短答式

数量，図形などについての知識 理･解

数学的な表現・処理

数学的な見方や
考え方

数量関係

形

○

証明をよみ，用いられた三角形の合同条件を理解している




図



数と式



出題の趣旨

問題の概要

問題番号


問題形式

証明で用いられた三角形の合同条件を選ぶ

8
9

評価の観点

数学への
関心・意欲・態度

学習指導要領の領域

○

○

○

○

○
○

○

91

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調査問題一覧表【中学校数学】 Ｂ

主として「活用」に関する問題⑵

レストランのセットメニューで，条件を満た 情報を分類整理し適切に選択し，判すメニューを選択する
断することができる○○⑶

レストランのセットメニューの代金から，条 筋道を立てて考えることができ，数件に合う注文をした人がいたかどうかを答え， 学的な表現を用いて説明することがその理由を説明する
できる

○

○

⑴

連続する３つの自然数の和の性質について， 説明を振り返って考えることができ
式からよみとることを選ぶ
る

○

○

⑵

連続する５つの自然数の和が５の倍数になる ものごとを発展的に考えることがでことを説明する
きる

○

○

⑴

サッカー大会の総当たり戦での順位の決め方 与えられた情報を的確に処理するこから，指定されたチームの点数を計算する
とができる

○

⑵

チームの順位の決め方をもとに，１位のチー 情報を的確に処理し，その結果を比ムを選ぶ
較することができる○⑶
式

条件に合った計算式を新たにつくる

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

記述式

○

短答式

○

問題形式

選択式

レストランのセットメニューで，条件を満た
情報を分類整理することができる
すメニューの選び方が何通りあるかを求める

数量，図形などについての知識 理･解

数学的な表現・処理

数学的な見方や
考え方

数量関係

6

形

5

図

⑴

問題解決の構想を立て，結果を振り返りながら，数学的な表現を用いて⑶ 新たにつくった計算式が，条件に合うことを 説明することができる
理由 説明する
4

数と式

3

出題の趣旨

2

問題の概要

問題番号
1

評価の観点

数学への
関心・意欲・態度

学習指導要領の領域

○

○

○

⑴

線分の垂直二等分線の証明で，誤りを指摘す 図形の証明を振り返り，評価するこ
る
とができる

○

○

⑵

証明の中の誤りを正しく書き直す

証明の評価にもとづき，改善するこ
とができる

○

○

⑴

水を熱したときの時間と温度（水温）のグラ グラフから情報をよみとることがでフから，10 分後の水温を求める
きる

○

⑵

時間と水温の関係が一次関数であることが分 グラフ上の点の並び方を理想化，単かるグラフの特徴を説明する
純化してとらえることができる

○

○

○

⑶

水温が 80℃になる時間を求める方法を説明す 問題解決の方法を数学的に説明する
ることができる○○○⑴

家から公園を通り図書館まで往復したときのグラフから情報をよみとり，事象に時間と距離の関係を表したグラフの線分が表対応させて解釈することができる
す事象を答える

○

○

○

⑵

グラフをもとに，図書館にいた時間を答える

事象を数学的に解釈し，グラフと対応させてよみとることができる

○

○

○

⑶

家から公園までの速さと，公園から図書館ま グラフから情報をよみとり，考えをでの速さのどちらが速かったかを選び，その 数学的な表現を用いて説明すること
理由を説明する
ができる

○

○

○

○

○

○

○

92

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Ⅳ

調 査 問 題93

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94

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中学校第３学年

数学 Ａ
注
１

意

先生の合図があるまで，この冊子を開かないでください。
２ 調 査 問 題 は ， １ ペ ー ジ か ら２０ペ ー ジ ま で あ り ま す 。
３ 解 答 は ， す べ て 解 答 用 紙（ 解 答 冊 子 の 「 数 学 Ａ 」）に記入してください。
４ 解 答 は ， Ｈ Ｂ ま た は B の 黒 鉛 筆（ シ ャ ー プ ペ ン シ ルも 可 ）を 使 い ， 濃 く ， は っ き り と 書 い て く だ さ い 。
５ 解答を選択肢から選ぶ問題は，解答用紙のマーク欄の記号を黒く塗りつぶしてください。
６ 解答を記述する問題は，指示された解答欄に記入してください。解答欄からはみ出さないように書いてください。
７ 解答用紙の解答欄は，裏面にもあります。
８ この冊子の空いている場所は，下書きや計算に使用してもかまいません。
９ 調 査 時 間 は ，４５分 間 で す 。
10 「 数 学 Ａ 」 の 解 答 用 紙 に ， 組 ， 出 席 番 号 ， 性 別 を 記
入し，マーク欄を黒く塗りつぶしてください。

95

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96

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問題は，次のページから始まります。

97

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（１）

÷

５ ７

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

２ ３

１を計算しなさい。

（２）下のアからオの中から，一番小さい数を１つ選びなさい。
イ

０

ウ

−２

エ

４

オ

−

１ ２

１ ３

ア

２
を計算しなさい。
（３）２ ×（−３）（４）８−５×（−６） を計算しなさい。

中数Ａ− 198

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２

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１）（２ ＋ ７ ）−２（ − ３ ） を 計 算 し な さ い 。

（２）a ＝５，b ＝−４のとき，式 ３a ＋５b の値を求めなさい。

（３）次の図のような，縦の長さが a，横の長さが b の長方形があります。
こ の と き， ２（a ＋ b） は， 何 を 表 し て い ま す か。 下 の ア か ら オ の中から１つ選びなさい。

ア

長方形の面積イ

長方形の面積の２倍

ウ

長方形の周の長さ

エ

長方形の周の長さの２倍オ

長方形の対角線の長さ（４）等式 ２ ＋３ ＝ ９ を， について解きなさい。

中数Ａ− 299

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３

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１）一次方程式 ７ ＝５ ＋６ を次のように解きました。

７

＝５ ＋６

①

７ −５

＝６

②

２

＝６
＝３

上 の 式 ① か ら 式 ② へ の 変 形 で は， ５を右辺から左辺に移項しました。移 項 し て よ い 理 由 は ， 等 式 の 性 質 を も と に 説 明 で き ま す 。
５を 移 項 し て よ い 理 由 と し て 正 し い も の を， 下 の ア か ら エ の 中から１つ選びなさい。
ア

式①の両辺に５ をたしても等式は成り立つから，移項してよい。

イ

式①の両辺から５ をひいても等式は成り立つから，移項してよい。

ウ

式①の両辺に５をかけても等式は成り立つから，移項してよい。

エ式①の両辺を−５でわっても等式は成り立つから，移項してよい。

（２）一次方程式 ４（ ＋５）＝８０ を解きなさい。

中数Ａ− 3100

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（３） １ 個１２０円 の り ん ご と １ 個７０円 の オ レ ン ジ を 合 わ せ て１５個 買 っ た
ら，代金の合計は１６００円になりました。
買 っ た り ん ご の 個 数 と オ レ ン ジ の 個 数 を 求 め る た め に ，り ん ご の個数を個，オレンジの個数を 個として連立方程式をつくりなさい。

ただし，つくった連立方程式を解く必要はありません。

５ ＋７ ＝３⎩⎨⎧（４）連立方程式

２ ＋３ ＝１

を解きなさい。

中数Ａ− 4101

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４

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）次の方眼紙にかかれた四角形
四角形

は線対称な図形です。

の対称軸を下のアからオの中から１つ選びなさい。

（２） 図 １ の よ う な ∠

ア

直線

イ

直線

ウ

直線

エ

直線

オ

直線

があります。∠の二等分線は，図２のよ う に ①， ②， ③ の 順 で 作 図 す る こ と が で き ま す。 こ の と き， ①，②， ③ の 作 図 の 説 明 を， 下 の ア， イ， ウ の 中 か ら そ れ ぞ れ １ つ ず つ選びなさい。

ア

２点

，

その交点を
イ

直線

ウ

点
れ

をそれぞれ中心として，等しい半径の円をかき，
とする。

をひく。
を中心として円をかき，辺，，辺との交点をそれぞとする。

中数Ａ− 5102

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５

次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい。

（１） 右の図のような直方体があります。 こ れ に つ い て， 次 の ①， ② の各問いに答えなさい。
①

面と垂直な辺を１つ書きなさい。

②

辺とねじれの位置にある辺を１つ書きなさい。

（２） 右の図の長方形

を，直線

を軸

として１回転させて立体をつくります。
こ の と き， で き る 立 体 の 見 取 図 が 下のアからオの中にあります。正しいものを１つ選びなさい。

中数Ａ− 6103

SINODA-CHU-SUU.indd 103

07.4.29 4:23:34 PM

（３） 下 の ア か ら オ の 中 に， 右 の 見 取 図 で 示 さ れ た
円 錐 の 展 開 図 が あ り ま す。 正 し い も の を １ つ 選
びなさい。

中数Ａ− 7104

SINODA-CHU-SUU.indd 104

07.4.29 4:23:34 PM

（４）下 の 図 は， 円 柱， 円 錐 の 形 を し た 容 器 で す。 そ れ ぞ れ の 容 器 の底面は合同な円で，高さは等しいことが分かっています。この円柱の容器いっぱいに入れた水を円錐の容器に移します。

このとき，下のアからオの中に，円柱の容器に入っていた水と同じ量の水を表している図があります。正しいものを１つ選びなさい。

中数Ａ− 8105

SINODA-CHU-SUU.indd 105

07.4.29 4:23:34 PM

６

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。

（１） 下の図で，直線，は平行です。このとき，∠，，の大きさを求めなさい。

（２）下の図で，３点∠は円＝６０°です。このとき，∠の周上にある点で，の大きさを求めなさい。

中数Ａ− 9106

SINODA-CHU-SUU.indd 106

07.4.29 4:23:34 PM

（３）下の四角形において，「，＝」が成り立っています。こ の こ と は 平 行 四 辺 形 に な る た め の 条 件 に 当 て は ま っ ているので，四角形

上の下線部「は平行四辺形になることが分かります。

，＝」が表しているものを，下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア

２組の向かい合う辺がそれぞれ平行である。

イ

２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい。

ウ

２組の向かい合う角がそれぞれ等しい。

エ

対角線がそれぞれの中点で交わる。

オ

１組の向かい合う辺が平行でその長さが等しい。

中数Ａ− 10107

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07.4.29 4:23:34 PM

７ 下 の よ う に「 平 行 四 辺 形 の ２ 組 の 向 か い 合 う 辺 は そ れ ぞ れ 等 し い 」
ことを証明しました。
証明

ある学級で，この証明について下のアからエのような意見が出されました。正しいものを１つ選びなさい。
ア

上のように証明しても，平行四辺形の２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいかどうかは測って確認しなければならない。

イ

上のように証明しても，ほかの平行四辺形については，２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいことを，もう一度証明する必要がある。

ウ

上の証明から，すべての平行四辺形で，２組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことが分かる。

エ上の証明から, 台形の２組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことも分かる。

中数Ａ− 11108

SINODA-CHU-SUU.indd 108

07.4.29 4:23:35 PM

８

下の図のような
辺

，辺

上に

このとき，

＝

＝

の二等辺三角形

＝

となる点

，点

があります。
をそれぞれとります。

となることを，次のように証明しました。

証明

上のに 当 て は ま る 三 角 形 の 合 同 条 件 を， 下 の ア か ら オ の 中から１つ選びなさい。
ア

３辺がそれぞれ等しい

イ

２辺とその間の角がそれぞれ等しい

ウ

１辺とその両端の角がそれぞれ等しいエ

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいオ

直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

中数Ａ− 12109

SINODA-CHU-SUU.indd 109

07.4.29 4:23:35 PM

９次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１） がに比例するとき，との関係について，下のアからオの中から正しいものを１つ選びなさい。
アの 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す るの値は２倍，３倍，……となる。
イの 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す るの値は−２倍，−３倍，……となる。
ウの 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す るの値は４倍，９倍，……となる。
の 値 を ２ 倍， ３ 倍， …… に す る と， そ れ に 対 応 す る

倍，

倍，−

１ ３

−

の値は

倍，……となる。

の 値 を ２ 倍 ， ３ 倍 ， …… に す る と ， そ れ に 対 応 す る

１ ２

オ

１ ３

１ ２

エ

の値は

倍，……となる。

中数Ａ− 13110

SINODA-CHU-SUU.indd 110

07.4.29 4:23:36 PM

（２） 下 の 図 の 直 線 は， 比 例 の グ ラ フ を 表 し て い ま す。 こ の グ ラ フ について，をの式で表しなさい。

中数Ａ− 14111

SINODA-CHU-SUU.indd 111

07.4.29 4:23:36 PM

10下の表は， がに反比例する関係を表したものです。

…

−２

−１

…

−６

−１２

０

１

２

１２

６

３

…
…

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１）上の表のに当てはまる数を求めなさい。

（２）下のアからオの中に，上の表の ， の関係を表すグラフがあります。正しいものを１つ選びなさい。

中数Ａ− 15112

SINODA-CHU-SUU.indd 112

07.4.29 4:23:36 PM

11

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）下のアからオの中に，がの一次関数であるものがあります。

正しいものを１つ選びなさい。
ア

面 積 が６０ｃｍ２の 長 方 形 で , 縦 の 長 さ が ｃｍ の と き の 横 の 長 さｃｍイ

水 が ５ℓ 入っている水そうに，毎分３ℓ の 割 合 で い っ ぱ い に なるまで水を入れるとき，水を入れ始めてから分後の水の量ℓｍ

ウ

身長 ｃｍ の人の体重 ｋｇエ

６ｍ のリボンを人で同じ長さに分けるときの１人分の長さ

オ

午後

℃

時の気温

（２） 下のアからオの中に，一次関数
正しいものを１つ選びなさい。

＝−３ ＋２のグラフがあります。

中数Ａ− 16113

SINODA-CHU-SUU.indd 113

07.4.29 4:23:36 PM

12

学 さんは，家から７００m 離 れ た 公 園 ま で 行 き ま し た 。
下の図は，学さんが家を出発してからの時間と，進んだ距離の関係を表したグラフです。

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１）上 の グ ラ フ か ら， 家 を 出 発 し て ２ 分 後 ま で は１００m を 一 定 の 速 さ
で 進 ん だ こ と が 分 か り ま す。 家 を 出 発 し て か ら ２ 分 間 進 ん だ 速 さ は
毎分何 m ですか。

（２）家を出発して２分後の地点から公園まで行ったときの速さは毎分何 mですか。

中数Ａ− 17114

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07.4.29 4:23:37 PM

13下の図で，直線は方程式＋ ＝５のグラフ，直線

は方程式

グラフの点

から点

の中に，連立方程式⎩⎨⎧− ＝ １のグラフです。
＋

＝５

−

＝１

の解を

座標にもつ点があります。下のアからオの中から正しいものを１つ選
びなさい。

ア

点

イ

点

ウ

点

エ

点

オ

点

中数Ａ− 18115

SINODA-CHU-SUU.indd 115

07.4.29 4:23:37 PM

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。

（１）１の目が出る確率が

１６14であるさいころがあります。このさいころを 投 げ る と き， ど の よ う な こ と が い え ま す か。 下 の ア か ら オ の 中 から正しいものを１つ選びなさい。
ア

５回投げて，１の目が１回も出なかったとすれば，次に投げると必ず１の目が出る。

イ

６回投げるとき，そのうち１回は必ず１の目が出る。

ウ

６回投げるとき，１から６までの目が必ず１回ずつ出る。

エ３０ 回投げるとき，そのうち１の目は必ず５回出る。

オ

３０００ 回投げるとき，１の目はおよそ５００ 回出る。

（２） ，

，

，

の ４ チ ー ム が バ レ ー ボ ー ル の 試 合 を し ま す。 ど のチームも他のすべてのチームと１回ずつ試合をします。このときの全部の試合数を求めなさい。

中数Ａ− 19116

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07.4.29 4:23:37 PM

15

ある学校で，図書委員１５人について１か月間に読んだ本の冊数を調べました。下の表は，その結果を整理したものです。
＜図書委員１５ 人の読んだ本の冊数＞
図書委員
読んだ本（冊数）４ ３ ８ ４ ６ ２ ２ ４ ３ ４ ３ ２ ３ ２ ４

この図書委員１５人が読んだ本の冊数の平均について，下のアからエの中から正しいものを１つ選びなさい。
ア

４冊読んだ人は５人で一番多いから，平均は４冊である。

イ

読 ん だ 本 の 冊 数 が 多 い 順 に 並 び か え て み る と ，１５人 の 真 ん 中 になる８番目の人は３冊読んでいるから，平均は３冊である。

ウ

全員の読んだ本の冊数を合計して１５でわると，３６になるから，
平 均 は ３６冊 で あ る 。

エ一番多く読んだ人が８冊，一番少ない人が２冊だから，平均は５冊である。

中数Ａ− 20117

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07.4.29 4:23:37 PM

118

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07.4.29 4:23:38 PM

中学校第３学年

数学 Ｂ
注
1

意

先生の合図があるまで，この冊子を開かないでください。
2
調 査 問 題 は ， １ ペ ー ジ か ら１２ペ ー ジ ま で あ り ま す 。
3解 答 は ， す べ て 解 答 用 紙（ 解 答 冊 子 の 「 数 学 Ｂ 」 ）に記入してください。
4
解 答 は ， Ｈ Ｂ ま た は B の 黒 鉛 筆（ シ ャ ー プ ペ ン シ ルも 可 ）を 使 い ， 濃 く ， は っ き り と 書 い て く だ さ い 。
5
解答を選択肢から選ぶ問題は，解答用紙のマーク欄の記号を黒く塗りつぶしてください。
6
解答を記述する問題は，指示された解答欄に記入してください。解答欄からはみ出さないように書いてください。
7
解答用紙の解答欄は，裏面にもあります。
8
この冊子の空いている場所は，下書きや計算に使用してもかまいません。
9
調 査 時 間 は ，４５分 間 で す 。
10 「 数 学 Ｂ 」 の 解 答 用 紙 に ， 組 ， 出 席 番 号 ， 性 別 を 記
入し，マーク欄を黒く塗りつぶしてください。

119

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07.4.29 4:23:38 PM

120

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07.4.29 4:23:38 PM

問題は，次のページから始まります。

121

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07.4.29 4:23:38 PM

１

京子さんは，家族５人でファミリーレストランに出かけ，全員がセットメニューを注文することになりました。

中数 B − 1

122

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07.4.29 4:23:39 PM

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１） 京子さんは，「私はオムライスが大好き。やわらかオムライスは必ず注文するよ。」と言っています。
メニューのＢの「やわらかオムライス」を注文して，メニューのＡとＣからそれぞれ１品ずつ選ぶとき，その選び方は全部で何通りありますか。

（２） お母さんは，「私はアスパラサラダを注文するね。でも，カロリーと塩分が気になるの。３品のカロリーの合計が ７５０kcal 以下で，塩分が一番少なくなるようなメニューにしたいな。」と言っています。
お母さんの希望にあうセットになるように，メニューのＢについては
下のアからウの中から，Ｃについてはカからクの中からそれぞれ１つずつ選びなさい。
ＢＣア

具だくさんミックスピザ

カレインボーアイスクリームイ

イカとタラコのスパゲッティ

キ

カボチャのプリンウ

やわらかオムライスク

マンゴーサンデー（３）家族５人の中で何人かが，セットメニューに加えてドリンクサービスも注文したので，支払った金額は合計で ５７５０円でした。
このとき，ドリンクサービスのプラス 2 0 0 円コースを注文した人はいましたか。下のア，イの中から１つ選びなさい。また，選んだ理由を説明
しなさい。
ア

いた

イ

いなかった

中数 B − 2123

SINODA-CHU-SUU.indd 123

07.4.29 4:23:39 PM

２

太 郎 さんは，連続する３つの自然数の和がどんな数になるかを調べてい
ます。
１，２，３

のとき，

１＋２＋３＝ ６

２，３，４

のとき，

２＋３＋４＝ ９

３，４，５

のとき，

３＋４＋５＝１２

これらの結果から，連続する 3 つの自然数の和は 3 の倍数になることを予想し，この予想が正しいことを下のように説明しました。
太郎さんの説明

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１）太郎さんの説明の最後の式 ３（ n ＋１）から，連続する 3 つの自然数の和は 3 の倍数である
ことのほかに分かることがあります。下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア

連続する３つの自然数の和は奇数である。

イ

連続する３つの自然数の和は偶数である。

ウ

連続する３つの自然数の和は最も小さい数の３倍である。

エ

連続する３つの自然数の和は中央の数の３倍である。

オ

連続する３つの自然数の和は最も大きい数の３倍である。

中数 B − 3124

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07.4.29 4:23:40 PM

（２）太郎さんの説明から，連続する 5 つの自然数の和は 5 の倍数になることが予想されます。太郎さんの説明を参考にして，このことが正しい
ことの説明を完成しなさい。
説明
連続する５つの自然数のうち，最も小さい数を n とすると，連続する５つの自然数は，n，n ＋１，n ＋２，n ＋３，n ＋４と表される。
連続する５つの自然数の和は，n ＋（ n ＋１）＋（ n ＋２）＋（ n ＋３）＋（ n ＋４）＝ n ＋ n ＋１＋ n ＋２＋ n ＋３＋ n ＋４

中数 B − 4125

SINODA-CHU-SUU.indd 125

07.4.29 4:23:40 PM

３あるサッカー大会では，５チームが他のすべてのチームと１回ずつ試合をし，下の表のような結果になりました。
勝った試合数負けた試合数引き分けた試合数

Ｐチーム

２

２

０

チーム

３

１

０

Ｒチーム

２

０

２

Ｓチーム

０

３

１

Ｔチーム

１

２

１

この大会では，次のようにして順位が決められました。
順位の決め方
１試合ごとに勝ったチームに３点，負けたチームに０点，引き分けると両チームに１点ずつ与え，合計点数の多いチームを上位として順位を決める。

中数 B − 5126

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07.4.29 4:23:41 PM

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）前ページの順位の決め方にしたがうと，Ｒチームの合計点数は何点になりますか。

（２）この大会で１位になったのはどのチームですか。下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア

Ｐチーム

イ

チーム

ウ

Ｒチーム

エ

Ｓチーム

オ

Ｔチーム

（３）この大会の順位は，前ページの順位の決め方から，勝った試合数を，引き分けた試合数をとするとき，3 ＋の値で決まります。
麻衣さんは，この大会の順位の決め方について，次のように言っています。

チームとＲチームの合計点数が同じで，両チームが１位になるような式を， を使って表しなさい。また，その式で， チームとＲチームが同点で１位になることを説明しなさい。

中数 B − 6127

SINODA-CHU-SUU.indd 127

07.4.29 4:23:41 PM

４

下の図のように，線分をの垂直二等分線とします。また，直線

このとき，

＝

上に点

をひいて，線分との交点をとります。

となることを，下のように証明しましたが，この証明にはまちがいがあります。
証明

中数 B − 7128

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07.4.29 4:23:41 PM

次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
（１）前ページの証明のまちがいは，下に示した
まちがっている部分を，解答用紙のの中にあります。
の中に下線（）をひいて示しなさい。

（２）上の証明のの中を正しく書き直しなさい。
としたがって，

において，＝中数 B − 8129

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07.4.29 4:23:42 PM

５

理科の授業で，水を熱したときの水温の変化を調べる実験をしました。
右下の図は，水を熱し始めてからの時間と水温の関係を，２分ごとに

１０分後までかき入れたものです。

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）水を熱し始めてから１０分後の水温は何℃ですか。

「水を熱し始めてから（２）洋子さんは，このグラフを見て，℃とすると， は「は分後の水温をの一次関数とみることができる。
」と考えました。

の一次関数とみることができる」のは，グラフのどのような特徴からですか。その特徴を説明しなさい。

中数 B − 9130

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07.4.29 4:23:42 PM

（３）浩 志 さんと洋子さんは，「このまま熱し続けると，８０℃になる時間は何分後だろうか。」と話し合っています。
浩志さんと洋子さんの会話
浩志さん「こんな方法を思いついたよ。」
洋子さん「どんな方法なの。説明してみてよ。」
浩志さん「

と

の関係を表したグラフをのばして，８０℃になる

時間は何分後かをよみとる方法だよ。」
洋子さん「でも，そのままグラフをのばしても，グラフ用紙の外側になってよみとれないよ。」

水温が ８０℃になる時間は何分後かを求めるには，浩志さんの考えた方法のほかに，どのような方法が考えられますか。その方法を説明しなさい。
ただし，グラフ用紙をつぎたしたり，目盛りの取り方をかえてかき直したりして，グラフをのばすことはできないこととします。

中数 B − 10131

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07.4.29 4:23:42 PM

６

美 咲 さんは，家から１２００ｍ離れた図書館に本を借りに行きました。行
きは途中の公園で友だちと会い，しばらく話をしてから図書館に行きました。
図書館で本を借りてからは，公園に寄らずに行きと同じ道を通って家に帰りました。

図書館の写真公園の写真

下の図は，美咲さんが家を出てからの時間と，家からの距離の関係を表したグラフです。

中数 B − 11132

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07.4.29 4:23:43 PM

次の（１）から（３）までの各問いに答えなさい。
（１）グラフの点 から点 に当たる時間に，美咲さんは何をしていましたか。

（２）美咲さんは図書館に何分間いましたか。

（３）前ページのグラフを見ると，家から公園まで行ったときの速さと，公園
から図書館まで行ったときの速さとでは，どちらが速かったかが分かります。どちらが速かったですか。下のア，イの中から１つ選びなさい。また，
選んだ理由を説明しなさい。
ア

家から公園まで

イ

公園から図書館まで

中数 B − 12133

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134

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解 答 用 紙

135

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136

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137

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138

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139

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140

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正 答 例

141

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正答例【中学校数学】 Ａ
1

2

⑵
⑶
⑷

4
5
ウ
8
8

⑴
⑵
⑶


−５
ウ

⑴

⑷ （ ＝）

主として「知識」に関する問題

−2 ＋９
３

⑴ イ
⑵ （ ＝）5⑶＋ ＝ 5
20 ＋ 70 ＝ 600⑷ （ ＝）２，（ ＝）−１

4

⑴
⑵

エ
①ウ

⑴
⑵
⑶
⑷

①
②
イ
ウ
エ

⑴
⑵
⑶

70（度）
20（度）
オ

���

3

5

6

7

ウ

8

イ

②ア

③イ

ＡＥ，ＢＦ，ＣＧ，ＤＨのいずれか
ＥＨ，ＧＨ，ＡＤ，ＣＤのいずれか

9⑴ ア⑵ （ ＝）２



⑴
⑵

４
ア



⑴
⑵

イ
エ



⑴ （毎分）50（ｍ）⑵ （毎分）200（ｍ）





イ
⑴
⑵

オ
６
ウ

42

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07.4.29 4:23:47 PM

正答例【中学校数学】 Ｂ
1

⑴
⑵
⑶

2

⑴ エ
⑵ （例）

主として「活用」に関する問題

６（通り）
Ⓑ ア
Ⓒ キ
ア
（例） 50 円のドリンクサービスを注文した人数を 人，200 円のドリンクサー
ビスを注文した人数を 人とすると，
050 ×５＋ 50 ＋ 200 ＝ 5750
50 ＋ 200 ＝ 500＝２， ＝１
この式を満たす０以上の整数 ， の組はだから，200 円のドリンクサービスを注文した人がいた。
=５（ n ＋２）n ＋２は自然数だから，５（ n＋２）は５の倍数である。

3⑴ ８（点）⑵ イ⑶ 式 （例） ２a ＋ b
理由 （例） 合計点数を求める式を，２a ＋ b とするとき，Ｐチームは，２×２＝４
Ｑチームは，２×３＋０＝６
Ｒチームは，２×２＋１×２＝６
Ｓチームは，２×０＋１×１＝１
Ｔチームは，２×１＋１×１＝３
したがって，合計点数を求める式を２a ＋ b とすると，ＱチームとＲチームが同点で１位になる。

4⑴ （例） ＰＡ＝ＰＢ
３辺がそれぞれ等しい⑵ （例） 仮定から，
ＡＭ＝ＢＭ
……①
∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ……②
また，ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通）……③①，②，③より，２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ＰＡＭ≡△ＰＢＭ

5⑴ 60（℃）⑵ （例） 点がほぼ一直線上に並んでいる。
⑶ （例） と の関係式を求めて， ＝80 を代入し， の値を求める。

6⑴ （例） 途中の公園で友だちと会い，しばらく話をしていた。
⑵ 25（分間）⑶ イ（例） 家から公園までの速さは600÷0＝60
毎分 60 m
公園から図書館までの速さは （200−600）÷５＝20 毎分 20 m
だから，公園から図書館までの方が速かった。

（ＰＡ＝ＰＢのみも可）4

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07.4.29 4:23:48 PM

144

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07.4.29 4:23:48 PM

ⅤＡ

解 答 類 型

主として「知識」に関する問題

145

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07.4.29 4:23:48 PM

解答類型【中学校数学】 Ａ

主として｢知識｣に関する問題◎ … 解答として求める条件をすべて満たしている正答○ … 設問の趣旨に即し必要最小限の条件を満たしている正答

問題番号
1

⑴

⑵

⑶

⑷

解  答  類  型
1415と解答しているもの。

10
21と解答しているもの。

類型番号
１◎

２

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３◎

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

18

と解答しているもの。

１◎

－18

と解答しているもの。

２－12と解答しているもの。

３

12と解答しているもの。

４

上記以外の解答

９

無解答

０

38

と解答しているもの。

１◎

－18

と解答しているもの。

２

18と解答しているもの。

３－22と解答しているもの。

４

上記以外の解答

９

無解答

０

146

SINODA-CHU-SUU.indd 146

07.4.29 4:23:48 PM

問題番号
2

⑴

解 答 類 型と解答しているもの。
または１

⑵

⑶

と解答しているもの。

類型番号
１◎
２

４

と解答しているもの。

３

0と解答しているもの。

４

解答に の項が含まれているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

−５

と解答しているもの。

１◎

５と解答しているもの。

２5と解答しているもの。

３

９と解答しているもの。

４

−00

と解答しているもの。

５

解答に a または b といった文字が含まれているもの。（ a と b 両方を含む式も含む。）

６

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３◎

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

47

SINODA-CHU-SUU.indd 147

07.4.29 4:23:49 PM

問題番号
2

⑷

解 答 類 型
２
−２ ＋９
または −
＋３
３
３
（項の順は不問。以下同様。）と解答しているもの。

２

−２ ＋３

と解答しているもの。

３

２
＋９
３

と解答しているもの。

４

２ ＋９
３

５

−

２
＋３
３

または

−２ ＋９

⑴

⑵

１◎

２ ＋９
３

−

3

と解答しているもの。

類型番号と解答しているもの。

と解答しているもの。

６

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２◎

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

上記以外の解答

９

無解答

０

5

と解答しているもの。

１◎

75
4

と解答しているもの。

２

25と解答しているもの。

３

上記以外の解答

９

無解答

０

48

SINODA-CHU-SUU.indd 148

07.4.29 4:23:49 PM

問題番号
⑶

���

3

解 答 類 型
＋ ＝ 5（…①）と解答しているもの。
20 ＋70 ＝ 600 （…②）（２つの式が①，②と同値な式ならばよい。以下同様。）
���

⑷

＝ 
と連立方程式の解を求めているもの。
＝４

２

３

上記１で，②だけを正しく解答しているもの。
（式を１つだけ解答しているものを含む。）

４

20 ＋ 70（5 − ）＝ 600 または，20（5 − ）＋70 ＝ 600など，一元一次方程式を解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０（ ＝）２，（ ＝）−１

（ ＝）−１，（ ＝）２⑴

１◎

上記１で，①だけを正しく解答しているもの。
（式を１つだけ解答しているものを含む。）と解答しているもの。

， のいずれか一方のみを正しく解答しているもの。

4

類型番号

と解答しているもの。

１◎
２
３

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４◎

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

49

SINODA-CHU-SUU.indd 149

07.4.29 4:23:50 PM

問題番号
4

5

⑵

⑴
①

⑴
②

解

答

類

型

類型番号

①がア，②がイ，③がウと解答しているもの。

１①がア，②がウ，③がイと解答しているもの。

２①がイ，②がア，③がウと解答しているもの。

３①がイ，②がウ，③がアと解答しているもの。

４①がウ，②がア，③がイと解答しているもの。

５◎①がウ，②がイ，③がアと解答しているもの。

６

上記以外の解答

９

無解答

０

ＡＥ，ＢＦ，ＣＧ，ＤＨのいずれかを解答しているもの。
（辺ＡＥといったように辺がついていてもよい。記号の順序は不問。以下同様。）

１◎

平行な辺（ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ）のいずれかを解答しているもの。

２

面ＥＦＧＨに含まれる辺（ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，ＨＥ）のいずれかを解答しているもの。

３

垂直な面（面ＡＢＦＥ，ＢＦＧＣ，ＣＧＨＤ，ＡＥＨＤ）を解答しているもの。

４

平行な面（面ＡＢＣＤ）を解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

ＥＨ，ＧＨ，ＡＤ，ＣＤのいずれかを解答しているもの。
（辺ＥＨといったように辺がついていてもよい。記号の順序は不問。以下同様。）

１◎

平行な辺（ＤＨ，ＡＥ，ＣＧ）のいずれかを解答しているもの。

２

辺ＢＦと交わっている辺（ＡＢ，ＥＦ，ＢＣ，ＦＧ）のいずれかを解答しているもの。

３

上記以外の解答

９

無解答

０

150

SINODA-CHU-SUU.indd 150

07.4.29 4:23:50 PM

問題番号
5

⑵

⑶

⑷

6

⑴

解

答

類

型

類型番号

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２◎

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３◎

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４◎

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

70
（

１◎

と解答しているもの。
＝ や ∠ ＝ を書いていてもよい。以下同様。）

50と解答しているもの。

２

60と解答しているもの。

３

上記以外の解答

９

無解答

０

5

SINODA-CHU-SUU.indd 151

07.4.29 4:23:51 PM

問題番号
6

⑵

⑶

7

8

解 答 類 型

類型番号

20と解答しているもの。
（ ＝や∠ ＝を書いていてもよい。以下同様。）

１◎

60と解答しているもの。

２

0と解答しているもの。

３

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５◎

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３◎

エと解答しているもの。

４

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２◎

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

52

SINODA-CHU-SUU.indd 152

07.4.29 4:23:51 PM

問題番号
9 ⑴

⑵

解

答

類

型

ア

と解答しているもの。

１◎

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

２

と解答しているもの。

１
またはまたは 0.5 と解答しているもの。
２
２（約分されていない場合も含む。以下同様。）
−２

 ⑴

⑵

類型番号

と解答しているもの。

１◎
２
３

上記１から３以外の比例の式を解答しているもの。

４２などの数を解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

４

と解答しているもの。

１◎−４と解答しているもの。

２

2と解答しているもの。

３

０と解答しているもの。

４

３と解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１◎

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

5

SINODA-CHU-SUU.indd 153

07.4.29 4:23:52 PM

問題番号


⑴

⑵



⑴

⑵

解  答  類  型

類型番号

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２◎

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４◎

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

50

と解答しているもの。

１◎

100

と解答しているもの。

２

200と解答しているもの。

３

上記以外の解答

９

無解答

０

200

と解答しているもの。

１◎

50と解答しているもの。

２

100と解答しているもの。

３

140と解答しているもの。

４

350と解答しているもの。

５600と解答しているもの。

６

上記以外の解答

９

無解答

０

154

SINODA-CHU-SUU.indd 154

07.4.29 4:23:52 PM

問題番号




⑴

⑵



解  答  類  型

類型番号

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２◎

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５◎

上記以外の解答

９

無解答

０

６

と解答しているもの。

１◎

３と解答しているもの。

２

４と解答しているもの。

３

８と解答しているもの。

４

12と解答しているもの。

５

16と解答しているもの。

６

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３◎

エと解答しているもの。

４

上記以外の解答

９

無解答

０

155

SINODA-CHU-SUU.indd 155

07.4.29 4:23:52 PM

156

SINODA-CHU-SUU.indd 156

07.4.29 4:23:52 PM

解 答 類 型

Ｂ

主として「活用」に関する問題

157

SINODA-CHU-SUU.indd 157

07.4.29 4:23:52 PM

解答類型【中学校数学】 Ｂ

主として｢活用｣に関する問題◎ … 解答として求める条件をすべて満たしている正答○ … 設問の趣旨に即し必要最小限の条件を満たしている正答

問題番号
1

⑴

⑵

解 答 類 型

類型番号６と解答しているもの。

１◎

５と解答しているもの。

２8と解答しているもの。

３

24と解答しているもの。

４2と解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０Ⓑがア，Ⓒがキを解答しているもの。

一方の条件を満たしていないもの。

１◎
２

� � �

Ⓑがア，Ⓒがカ ｜Ⓑがイ，Ⓒがカを解答しているもの。
｜Ⓑがイ，Ⓒがキ⑶

上記以外の解答

９

無解答

０（正答の条件）アを選択し，次の ⒜，⒝ について記述している。
⒜ ドリンクサービスの代金が500円であること。
⒝ 500円の内訳が50円＋50円＋200円であること。
（正答例）
50円のドリンクサービスを注文した人数を 人，200円のドリンクサービスを注文した人数を 人とすると ,050×５＋50 ＋200 ＝5750
50 ＋200 ＝500
この式を満たす０以上の整数 ， の組は， ＝２， ＝１だから，200円のドリンクサービスを注文した人がいた。
アを選択⒜，⒝ について，方程式を用いて解答しているもの。
（結論がなくてもよい。以下同様。）

１◎⒜，⒝ について，方程式を用いないで解答しているもの。

２◎

例

ドリンクサービスの代金は500円で，ドリンクサービスは50円＋50円＋200円という組み合わせしかないので，200円のドリンクサービスを注文した人がいた。

58

SINODA-CHU-SUU.indd 158

07.4.29 4:23:53 PM

問題番号
⑶

アを選択

1

解  答  類  型
上記２で，⒜ について記述していないが，代わりに，5750円の内訳を示している
もの。

類型番号
３◎

例 150×２＋200＋1050×５＝5750になるから，200円のドリンクサービスを注文した人がいた。
⒝ についてのみ記述しているもの。

４○

例 150円コースの代金の合計だけではドリンクサービスの代金にならないから，200円のドリンクサービスを注文した人がいた。

2

⑴

⑵

上記以外の解答

５

理由を書いていないもの。

６

イを選択したもの。

７

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４◎

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０（正答の条件）＜５（ n ＋２）と計算している場合＞
次の ⒜，⒝ を記述している。
⒜ n ＋２は自然数だから，⒝ ５（ n ＋２）は５の倍数である。
＜５n＋10と計算している場合＞
次の ⒞，⒟ を記述している。
⒞ ５n，10が５の倍数で，５の倍数の和は５の倍数だから，⒟ ５n＋10は５の倍数である。
（正答例）
例１ ＝５（ n ＋２）
n ＋２は自然数だから，
５（ n ＋２）は５の倍数である。
例２＝５n＋10５n，10が５の倍数で，５の倍数の和は５の倍数だから，
５n＋10は５の倍数である。

159

SINODA-CHU-SUU.indd 159

07.4.29 4:23:53 PM

問題番号
2

⑵

解  答  類  型
＝５（ n ＋２）

＝５n ＋ 10

3

⑴

⑵

⑶
式

類型番号

⒜，⒝ の両方を記述しているもの。

１◎⒜，⒝ のどちらか一方を記述しているもの。

２○⒜，⒝ の両方を記述していないもの。

３○⒜，⒝ の記述に誤りがあるもの。

４⒞，⒟ の両方を記述しているもの。

５◎⒞，⒟ のどちらか一方を記述しているもの。

６○⒞，⒟ の両方を記述していないもの。

７⒞，⒟ の記述に誤りがあるもの。

８

上記以外の解答

９

無解答

０

８

と解答しているもの。

１◎

上記以外の解答

９

無解答

０

ア

と解答しているもの。

１

イと解答しているもの。

２◎

ウと解答しているもの。

３

エと解答しているもの。

４

オと解答しているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

勝った場合の点数と引き分けた場合の点数の比が２：１になっている式を解答しているもの。
（点数が負の数の場合は除く。）

１◎

例１

２a ＋ b例２

４a ＋２b

例３

３a ＋

３
b
２

上記１以外で，ＱとＲが同点で１位になるような式を解答しているもの。
例１２a ＋ b ＋１

例２

a2 +

２◎

５
b
２

160

SINODA-CHU-SUU.indd 160

07.4.29 4:23:54 PM

問題番号
3

⑶
式

解  答  類  型
a，b の係数が２：１であることを，言葉で解答しているもの。
例

⑶
理由

類型番号
３

引き分け２試合分と勝ち１試合分の点数を同じにする。

勝った場合の点数と引き分けた場合の点数の比が２：１になっていない式を解答しているもの。

４

上記以外の解答

９

無解答

０（正答の条件）次の ⒜，⒝，⒞ について記述している。
⒜ ＱチームとＲチームが同点になることを示す計算など。
⒝ ＱチームとＲチームが１位になることを示す計算など。
⒞ ＱチームとＲチームが同点で１位になるという結論。
（正答例）
合計点数を求める式を，２a ＋ b とするとき，Ｐチームは，２×２＝４
Ｑチームは，２×３＋０＝６
Ｒチームは，２×２＋１×２＝６
Ｓチームは，２×０＋１×１＝１
Ｔチームは，２×１＋１×１＝３
したがって，合計点数を求める式を２a ＋ b とすると，ＱチームとＲチームが同点で１位になる。
⒜，⒝，⒞ について記述しているもの。

１◎⒜，⒝ について記述しているもの。

２○⒜，⒞ について記述しているもの。

３○

例

Ｑチームは，２×３＋０＝６
Ｒチームは，２×２＋１×２＝６
したがって，ＱチームとＲチームが同点で１位になる。

⒜ についてのみ記述しているもの。

４

上記１～４で，説明が不十分なもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０

161

SINODA-CHU-SUU.indd 161

07.4.29 4:23:54 PM

問題番号
4

⑴

⑵

解  答  類  型

類型番号

「ＰＡ＝ＰＢ」，「３辺がそれぞれ等しい」の２か所のみに下線をひいているもの。

１◎「ＰＡ＝ＰＢ」のみに下線をひいているもの。

２◎「ＰＡ＝ＰＢ」に下線をひき，「仮定から」，「①，②，③より」，「△ＰＡＭ≡△ＰＢＭ」の３か所のいずれか，またはこれらを組み合せた部分に下線をひいているもの。
（｢３辺がそれぞれ等しい」に下線をひいていてもよい。）

３◎「ＡＭ＝ＢＭ」や「ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通）」に下線をひいているもの。

４「３辺がそれぞれ等しい」のみに下線をひいているもの。

５

上記以外の解答

９

無解答

０（正答の条件）次の ⒜，⒝ を正しく書き直している。
⒜「ＰＡ＝ＰＢ」⒝「３辺がそれぞれ等しい」
・「ＰＡ＝ＰＢ」（誤）→「∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ」（正）・「３辺がそれぞれ等しい」（誤） →「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」（正）
（正答例）
仮定から，
ＡＭ＝ＢＭ
……①
∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ……②
また， ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通） ……③①，②，③より，２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ＰＡＭ≡△ＰＢＭ⒜ を「∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ」，⒝ を「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」に書き直しているもの。

１◎

上記１で，表現がやや不十分であったり，記号に誤りがあったりするが，証明の筋道が正しいと分かるもの。

２○

例

角の記号（∠）を書き忘れている。

⒜ を「∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ」に書き直しているが，合同条件を抜かしていたり，「合同条件より」など具体性のないものに書き直したりしているもの。
例

仮定から，

ＡＭ＝ＢＭ
∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ
また， ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通）①，②，③より，△ＰＡＭ≡△ＰＢＭ

３○

……①
……②
……③

⒜ を「∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ」に書き直しているが，⒝ をそのままにしているもの。

４⒜ を「∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ」に書き直しているが，⒝ を「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」，「３辺がそれぞれ等しい」以外の合同条件に書き直しているもの。

５⒜ を「∠ＰＡＭ＝∠ＰＢＭ」または「∠ＡＰＭ＝∠ＢＰＭ」に書き直しているもの。

６

上記以外の解答

９

無解答

０

162

SINODA-CHU-SUU.indd 162

07.4.29 4:23:55 PM

問題番号
5

⑴

⑵

解 答 類 型

類型番号60と解答しているもの。

１◎

約60

と解答しているもの。

２◎

上記以外の解答

９

無解答

０（正答の条件）次のことについて記述している。
・点がほぼ直線上に並んでいること。（「ほぼ」がなくてもよい。）（正答例）
点がほぼ一直線上に並んでいる。
点がほぼ直線上に並んでいることを指摘して解答しているもの。

１◎

上記１で，まっすぐなど直線と同様な意味をもつ言葉で解答しているもの。

２○

グラフの傾きについて，時間を区切って解答しているもの。

３◎

例

区間ごとに線をひいてみると，グラフの傾きがほぼ一定である。

上記３で，グラフの傾きについて着目しているが，時間を区切ることについて解答していないもの。
例

グラフの傾きがほぼ一定である。

時間と水温の２つの量に着目し，「変化の割合が一定である」ことについて解答してい
るもの。
例

７

グラフの式が ＝４ ＋ 20で表すことができる。

比例という用語，あるいは比例のグラフの性質を用いて，解答しているもの。
例

６○

水温の上がり方がほぼ一定である。

式の形が ＝ a ＋ b となることに着目して解答しているもの。
例

５◎

２分ごとにみると，温度の増え方がほぼ一定である。

上記５で，温度の変化のみに着目し，時間の変化について解答していないもの。
例

４○

８

比例している。

上記以外の解答

９

無解答

０

6

SINODA-CHU-SUU.indd 163

07.4.29 4:23:55 PM

問題番号
5

⑶

解 答 類 型

類型番号

（正答の条件）＜式を用いることについて記述している場合＞
次の ⒜，⒝ について記述している。
⒜ 一次関数の式を求めて利用すること。
⒝ 一次関数の式に ＝ 80を代入して の値を求めること。
＜表や数値を用いることについて記述している場合＞
次の ⒞，⒟ について記述している。
⒞ 表や数値を用いて変化の様子を調べること。
⒟ 水温が80℃のときの時間を調べること。
なお，⒞ としては，表や数値を使うことを記述していれば，変化の様子を調べることを記述していなくてもよい。
（正答例）と の関係式を求めて， ＝ 80を代入し， の値を求める。
例１
と
例２
める。

の関係を表した表をつくり，変化の様子を調べて，80℃になる時間を求⒜，⒝ について文で記述しているもの。
（実際に式にしたり，計算したりしていてもよい。）

１◎

上記１で，⒝ において数値「 ＝ 80」の記述がないもの。または，具体的に求めた式に誤りがあるもの。

２○⒜，⒝ について文で記述せずに，実際に式からもの。
例＝ 80のときのの値を求めている３◎＝４ ＋ 2080＝４ ＋ 20
４ ＝60
＝5

上記３で，式を求めて の値を代入しているが，式や計算に誤りがあるもの。

４○⒜ または ⒝ のみ等について記述しているもの。

５

例１

式を求めればよい。

例２

代入すればよい。

⒞，⒟ について記述しているもの。または，実際に表や数値計算から80℃の時間を求めているもの。

６◎

例１ グラフからおおよその数をよみとって，表をつくってみると，時間が２分ふえる
ごとに水温が８℃ずつあがる。だから，80℃になる時間は60℃のときの時間に５分をたす。
例２

数値から変化の様子を調べ，80℃になるときの時間を求める。

上記６で，⒟ において数値「水温が80℃のとき」の記述がないもの。または，表や計算のみを記述しているもので，その表や計算に誤りがあるもの。

７○（c）または ⒟ のみ等について記述しているもの。

８

例１

表をかけばよい。

例２

数値を使って計算すればよい。

上記以外の解答

９

無解答

０

64

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問題番号
6

⑴

解  答  類  型

類型番号

「公園で友だちと話をしていた」のように移動していないことを場面に即して解答して
いるもの。

１◎

例

途中の公園で友だちと会い，しばらく話をしていた。

移動していないことだけを解答しているもの。
例

⑵

⑶

２○

動いていない。

「家から公園へ向かっている」や「公園から図書館へ向かっている」のように解答して
いるもの。

３

上記以外の解答

９

無解答

０

25

と解答しているもの。

１◎

20と解答しているもの。

２

45と解答しているもの。

３

５と解答しているもの。

４

上記以外の解答

９

無解答

０（正答の条件）イを選択し，次の ⒜，⒞，または，⒝，⒞ について記述している。
⒜ 次の方法で速さを比較すること。
・速さを計算して比較する。
・傾きや変化の割合を計算して比較する。
・グラフの傾きを比較する。
⒝ 次の方法で速さを比較すること。
・時間をそろえて，距離を比較する。
・距離をそろえて，時間を比較する。
⒞ 比較する区間を明示すること。
（正答例）
例１ 家から公園までの速さは600÷10＝60
公園から図書館までの速さは （1200－600）÷5＝120
だから，公園から図書館までの方が速かった。

毎分60m
毎分120m例２

家から公園まで
公園から図書館まで
時間
15
20
時間 ０
5
距離 ０ 300
距離 600 1200
５分間に進んだ距離で比較すると，家から公園までは300m
公園から図書館までは600m
だから，公園から図書館までの方が速かった。

165

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問題番号
⑶

イを選択

6

解  答  類  型

類型番号⒜，⒞ について記述しているもの。
（結論がなくてもよい。以下同様。）

１◎⒜ について記述しているもの。

２○

例

600÷10＝60（1200－600）÷５＝120
だから，公園から図書館までの方が速かった。

⒝，⒞ について記述しているもの。

３◎⒝ について記述しているもの。

４○

例

５分間に進んだ距離で比較すると300ｍ，600ｍ
だから，公園から図書館までの方が速かった。

上記１から４で，数値や計算式に誤りがあるもの。
例

５毎分 60ｍ
家から公園まで
600÷10＝60
公園から図書館まで
1200÷５＝240 毎分240ｍ
だから，公園から図書館までの方が速かった。

上記以外の解答，または，理由を書いていないもの。

６

アを選択したもの。

７

上記以外の解答

９

無解答

０

166

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Ⅵ

質問紙調査項目（教科関連部分）

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07.4.29 4:23:56 PM

14

あなたは，数学についてどのように思っていますか。当てはまるものを右の①から④の中から１つずつ選んでください。
当てはまる

どちらかと
いえば，
当て
はまる

どちらかと
いえば，
当て
はまらない

当てはまら
ない

（81）数学の勉 強 は好きだ･･･････････ ①

②

③

④

（82）数学の勉 強 は大切だ･･･････････ ①

②

③

④

（83）数 学の授 業 の内 容はよく分 かる ①

②

③

④

（84）数学ができるようになりたい････ ①

②

③

④

（85）数学の問題の解き方が分からない
ときは，あきらめずにいろいろな方
法を 考 える･････････････････････ ①

②

③

④

（86）数学の授 業 で学 習 したことを普段の生活の中で活用できないか 考
える････････････････････････････ ①

②

③

④

（87）普段の生活の中で計算をする必要がある場合，答えの見当をつけたり，確かめたりするため，暗算をすることがある････････････････････････ ①

②

③

④

（88）数学の授 業 で学 習 したことは，将 来 ，社 会に出 たときに役 に立 つと思 う･･････････････････････････ ①

②

③

④

168

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生徒質問紙−23

07.4.29 4:23:59 PM

あなたは，今回の数学の問題について，どのように思いましたか。次
の
（89）
から
（93）
までのそれぞれについて，当てはまるものを１つずつ選んでください。

（89）この問題の（1）
では，下のような樹形図をかくなどして整理して 考 えると，分かりやすくなります。
ＢＡ
ア ス パ ラ サ ラ ダ

やわらかオムライス
クラムチャウダースープ

Ｃレインボーアイスクリーム
カボチャのプリン
マンゴーサンデー
レインボーアイスクリーム
カボチャのプリン
マンゴーサンデー

このように 考 えることは，普 段 の生 活 の中 で大 切だと思 いますか。
① 大切だと思う② どちらかといえば，大切だと思う③ どちらかといえば，大切だと思わない④ 大切だと思わない
生徒質問紙−24

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07.4.29 4:24:01 PM

（90）この問題の（2）では，カロリーと塩分の 両 方の数 量 について
考 えなければなりませんでした。あなたはどう 考 えましたか。
① カロリーと塩分の 両 方について 考 えた
② カロリーについて 考 えたが，塩分について 考 えなかった
③ 塩分について 考 えたが，カロリーについて 考 えなかった
④ メニューの表や数値をどう使えばよいか分からなかった⑤ 問題文の意味が分からなかった⑥ 問題文を読まなかった（91）この問題の（3）では，ドリンクサービスのプラス 200 円コース
を 注 文した人がいたかどうかを 考 えました。あなたはこの問題についてどのように解答しましたか。
① 理由を説明することができた
どう書いてよいか分からなかっ② 問題文の意味は分かったが，た③ 問題文の意味が分からなかった④ 問題文を読まなかった

170

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生徒質問紙−25

07.4.29 4:24:03 PM

（92）この問題は， 証 明を見直し，まちがいを見つけ，正しく直す問題です。このようにものごとを見直して，そのまちがいを正したり，より分かりやすく書き直したりすることは， 証 明の学 習に役に立つと思いますか。
① 役に立つと思う② どちらかといえば，役に立つと思う③ どちらかといえば，役に立つと思わない④ 役に立つと思わない

生徒質問紙−26

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07.4.29 4:24:04 PM

（93）数や図形の性質について根拠を明らかにして述べる 証 明の学
習 は，普段の生活で 自 ら納得したり，人に説明したりすることに役に立つと思いますか。
① 役に立つと思う② どちらかといえば，役に立つと思う③ どちらかといえば，役に立つと思わない④ 役に立つと思わない

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生徒質問紙−27

07.4.29 4:24:04 PM【参考文献】

・文部科学省「中学校学習指導要領（平成 10 年 12 月告示，平成 15 年 12 月一部改正）」
平成 16 年 1 月 20 日（改訂版）

・文部科学省「中学校学習指導要領（平成 10 年 12 月）解説─数学編─（平成 11 年 9 月，
平成 16 年 5 月一部補訂）」平成 16 年 10 月 15 日（一部補訂）・文部科学省「小学校学習指導要領（平成 10 年 12 月告示，平成 15 年 12 月一部改正）」
平成 16 年 1 月 20 日（改訂版）

・文部省「小学校学習指導要領解説算数編」

平成 11 年 5 月 31 日

・全国的な学力調査の実施方法等に関する専門家検討会議「全国的な学力調査の具体的な実施方法について（報告）」平成 18 年 4 月 25 日

・国立教育政策研究所教育課程研究センター「評価規準の作成，評価方法の工夫改善のための参考資料（中学校）─評価規準，評価方法の研究開発（報告）─」 平成 14 年 2 月

・国立教育政策研究所教育課程研究センター「評価規準の作成，評価方法の工夫改善のための参考資料（小学校）
─評価規準，評価方法の研究開発（報告）─」 平成 14 年 2 月

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本書の一部または全部を無断で転載，複製することを禁じます。

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