J. Plasma Fusion Res. Vol.83, No.1 (2007)６６‐６９

講座 高速プラズマ流と衝撃波の研究事始め

１．プラズマ衝撃波の基礎物理
１．
３ 衝撃波から見たプラズマの特性
大澤幸治
名古屋大学
（原稿受付：２００６年１１月７日）

高温プラズマにおける衝撃波を理解するうえで必要な基礎的事柄を述べる．最初に，地球大気と比較しながら，プラズマ中の二体衝突（クーロン衝突）の特徴を説明し，高温プラズマでは衝突が極端に少ないことを示す．
次に，高温プラズマを記述する様々なモデル，すなわち，ブラソフ（Vlasov）方程式（運動論的方程式），（一流体の）磁気流体力学，二流体モデル，および三流体モデルについて概観する．さらに，具体例として，磁場に対して直角に伝播する磁気音波の線形分散関係式がこれらのモデルでどのような形となるかを説明する．
Keywords:
high-temperature plasma, Coulomb collision, Vlasov equation, magnetohydrodynamics, two-fluid model, three-fluid model,magnetosonic wave, dispersion relation

１．
３．
１ はじめに!#プラズマの強い流れがあると，それが周囲の媒質と衝突する場所で衝撃波が生ずる．太陽から流れ出るプラズマ流（太陽風）が秒速 400−500 km の速さで地球磁気圏でぶつか%$%%%，#"&#&（２）である．荷電粒子同士は遠距離相互作用を行う．

るところにバウショックとよばれる衝撃波ができることは散乱の結果，曲げられる角度 !は粒子間の距離（正確によく知られている．超新星爆発で高密・高速の物質が星間いうと衝突径数 $）が大きいほど小さくなる（図１参照）．

空間のプラズマの中で膨張していくときにも大規模な衝撃一方の粒子が原点に静止しているとして，他方の粒子（質波が球殻状にでき，その衝撃波の後方には広大な高温プラ

量 $）が１回の衝突で９０°以上曲げられる散乱断面積はズマ領域が形成される．１．
３節では，大学の学部学生や大学

%
%##$$
，

院初級学生のために，高温プラズマ中の衝撃波を理解する（３）

うえで必要となる基礎的事項について述べ，１．
４節で非線と書くことができる．ここで，無限遠における粒子 $ の速形波動と衝撃波について述べる．

度を '#とおいて，$$ は$$ "１．
３．
２ 高温プラズマにおける粒子衝突
２つの粒子の衝突を考えよう．それら２つの粒子が中性粒子（それぞれの半径を "と #とする）であるなら，その%$%%%，#"&#$'#（４）である．これは次のように書き直すことができる

散乱断面積 %は%，%##!
"!#"

（１）

程度である．これは直観的にも明らかであろう．粒子間の距離が"!#より長ければ，２つの粒子はほとんど相互作用なしに通り過ぎると思ってよい．しかし，両者がそれより近づこうとすると強い斥力が働く．一方，２つの粒子が電荷 %$ と電荷 %%を持つ荷電粒子であるならば，粒子間距離&がそれぞれの粒子半径の和 "!#よ り 十 分 に 大 きくても，２つの粒子は力を及ぼしあう．それらの間に働くクーロン力の大きさ !は

図１

1. Physics of Plasma Shock Waves 1.3 Plasma Characteristics in Shock Wave Physics
OHSAWA Yukiharu

６６

中心力場における質量 m の粒子の軌道．v０は無限遠における速度，$は衝突径数，!は散乱角度．

author’s e-mail: ohsawa@nagoya-u.jp!2007 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

1.3 Plasma Characteristics in Shock Wave Physics

Y. Ohsawa動エネルギー（&!）が粒子間の平均距離 *!のポテンシャ)")##$',!
．
&$%'!'

ルエネルギー（&##"&$%!*!）よりもずっと大きい（５）#!% # ，&$%!*!

すなわち，粒子同士が最接近したときにポテンシャルエネルギーが（無限遠における）運動エネルギーと同じ程度に（９）なるようであるならば，９０°程度曲げられる．ここで，散乱ということである．式（９）より直接式（８）を導くこと%
断面積は ,!に逆比例することに注意しよう．,!が大きくなができる．具体的に，(&108 cm−３，!&100 eV では（これると (は急激に小さくなる．高速で走る荷電粒子の散乱断は 太 陽 コ ロ ナ の パ ラ メ ー タ で あ る），%' &0.7 cm で，面積は非常に小さく，他の荷電粒子に非常に接近しないと$(%'!"%%' という巨&$""!&であり，平均自由行程は &- &"９０°以上曲げられないのである．

大な量となる．

荷電粒子の散乱は原子物理学の歴史にも重要な意味を持熱速度よりもずっと大きな速度を持つ粒子があったとし

つ．２０世紀の初頭では，原子の中で正電荷は一様に広がっても，地球大気中では平均自由行程〜7×10−６ cm 程度動くて存在しているという見方が有力であった．しかし，Ru-間にその速さはすぐに大部分失われ，熱速度程度になってtherford は１９１１年に荷電粒子の散乱の式を導き，アルファしまうであろう．しかし，太陽コロナ中では１００万 km 走っ

線を金属箔にあてて散乱させる実験をその理論と比較しても衝突をせず，そのまま惑星間空間に脱出する可能性がて，原子の中で正の電荷が中心部に局在していると結論し極めて高い．

た．実験では高速のアルファ線で後方に散乱されるものが平均自由行程のこの大きな差は，大気中の衝撃波と高温あるが，そのような散乱は，正電荷が原子の大きさ程度にプラズマ中の衝撃波との本質的な違いをもたらす．衝突が拡がっているのでは難しく，極く狭い領域に集中していな無視できるほど少ない高温プラズマを無衝突プラズマとよければ起こらないのである．

び，その中での衝撃波を無衝突衝撃波（collisionless shockwave）とよぶ．

荷電粒子の集まりであるプラズマの中の散乱も上記のクーロン散乱の集合として捉えることができる．高温プラ１．
３．
３ 運動論的方程式と流体的方程式

ズマでは１回の衝突で９０°以上曲がるよりも，小角散乱の（粒子の位置 $と速度 #に関する分布関数 $$!
#!
+* %は粒%)

積み重ねで９０°以上曲がる確率のほうが高く，それを考慮子種を表す）の変化は Boltzmann 方程式

するとプラズマ中での散乱断面積は#(&&'',.#，（６）)
$)
$)
$ ))
$%
!## %! % !"!#"!"# %$! %"，$ '%#)+)))+)と書くことができる［１］．ここで，#&%'"'' で（%' はデバ（１０）イ長），,.#はクーロンロガリズムとよばれる．高温プラズ

で記述される．右辺が衝突による分布関数の変化を表す．

マでは大体 ,.#$"!&#!程度である．

地球大気のような衝突頻度の高い気体は右辺の衝突項の寄与が大きく，一方，無衝突プラズマでは，衝突項をゼロと高温プラズマのもう一つの特徴は，粒子間の衝突頻度がおいたブラソフ方程式極端に小さいということである．
比較のためにまず地球大気を見てみよう．地表付近の大)
$)
$)
$ )
%!## %! % !"!#"!"# %$!，
$ '%
#)+)
)

気では分子の個数が 2.7×1019 cm−３，平均自由行程が〜7×10−６ cm である．ちなみに，音波の速度は 3.3×104 cm s−１（１１）程度であるから，2,000 Hz の音波の波長は %$17 cm であが使われる［２，３］．これらは運動論的方程式ともよばれる．

る．平均自由行程は音波の１波長よりもずっと短い．地球式（１０）または式（１１）をマクスウェル（Maxwell）方程式と組

大気は非常に衝突頻度が高く，平均自由行程の短い気体でみ合わせて解けばプラズマの振る舞いがわかる．しかし，ある．

多くの場合，それを解くのは解析的にも数値的にもむずか

プラズマ中の電子の平均自由行程 &- は式（６）よりしいので，より扱いやすい流体方程式がよく用いられる．
流体方程式に現れる密度は(%$&" "&&" ' ，%' ((%',.#

（７）
$!
#，
(%)
+
*
$#$
%*

（１２）と書くことができる（無次元量とするために平均自由行程をデバイ長 %' で割っている）．ここで，,!&,(（電子の熱+速度は速度）とおいた．数値係数 "は１０ のオーダである．上の式
２$には (%'という量が現れているが，これは高温プラズマで#%)
$!
#"
$!
+$(%)
+
*
$##
*
，%*

（１３）

は非常に大きな値$(%'%"，で与えられる．式（１０）より，連続の式（８）)(%(%#%*!(#)$!，)+となる．平均自由行程 &- は非常に長い．
高温プラズマとは定量的にいえば，粒子１個の平均的運６７（１４）

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.83, No.1 January 2007である．デバイ長，ジャイロ半径，ジャイロ周波数，プラおよび運動方程式

ズマ周波数などは理論の中に入ってこない．MHD におけ""%$#!+&$'$!)"%$$)"%$%'$)$*)+る磁気音波の線形分散式は(%,%%，%$!%%+!)($!% &$'$&，（１５）$%*%（２１）で与えられる（簡単のため，プラズマの圧力は無視した）．

を得る．ただし，分布関数がマクスウェル分布に近いとし(と %は正比例の関係にあり，位相速度 ("%は波数 %に依て圧力 ($の形などを簡単化している．右辺の最後の項は他らず一定である．の粒子種 %との衝突による運動量変化を表す．&$%は粒子種

二流体モデルでの分散式は$と %との衝突周波数である．圧力 ($には，例えば，断熱(%圧縮の式)%$，)"($%!$! "%$$$($)$)
+,%%
#，
# ""
(0""##%#"*++（２２）である．長波長では

（１６）

##%#
(%,%%!"! # "，(0+#を用いれば方程式は閉じる．ここで $$は比熱比である．
電子と１種類のイオンから構成されるプラズマではそれ（２３）

ぞれに対する（すなわち２組の）式（１４）‐（１６）とマクスウェと 近 似 で き る．分 散 曲 線 は #%"(0+'"で 折 れ 曲 が り，

ル方程式とを組み合わせて理論を組み立てることができ%- ( で低域混成周波数る．これを二流体モデル（two-fluid model）とよぶ．

(%',#+,#-，

二流体モデルをさらに簡単化して，プラズマを１つの流（２４）体として記述するのが（一流体の）磁気流体力学（Magne-となる．波数 %が大きくなるにつれて位相速度は小さくなtohydrodynamics; MHD）である［４］．MHD では質量密度をる．

'とおいて，運動方程式が'!)"%$)"%%##!!)(，)+

次に，三流体モデルとして電子と２種類のイオンを含むプラズマを考えよう．DT プラズマで，D と T を別々のイオン流体として扱えば，三流体モデルである（核融合生成（１７）物をも含めるとイオン種はもっと増える）．宇宙プラズマの形になる．さらに，電場と速度は""%#!%!，

では水素（H）が主成分であるが，ヘリウム（He）も数密度で１割程度存在する．他にも C，O，Fe など，多種類の重イ（１８）オンが含まれるが存在量が少ないので，流体としての振るの関係を満たす．（これは Ideal MHD で，右辺に抵抗の効舞いを理解するうえでは H と He（と電子）の三流体モデル

果を入れるのが Resistive MHD である．
）MHD が取り扱うで多くの場合は十分であろう．H-He プラズマでの磁気音のは，ジャイロ周波数より低周波でジャイロ半径より長波波の分散式を図２で示す．２種イオンプラズマでは磁気音長の現象である．また，式（１８）より，有名な「磁力線の凍波は２つのモードに分裂する（低周波モードと高周波モー結」という性質が導かれる．磁力線の凍結とは，簡単にいドとよぶことにする）［５］．低周波モード の 共 鳴 周 波 数

えば「磁力線とプラズマが一緒に動く」というものである（%- ( での周波数）(!*と，高周波モードのカットオフ周が，数学的には「プラズマ中のある面積 "を貫く磁束は時波数（%%!での周波数）("!は，H と He のジャイロ周波間的に一定である」，数 #&，#&+と以下のような大小関係である．

*& !$$*"%)
/.1
2.
*+ "

#&+!(!*!("!!#&.

（１９）

（２５）

次の波数領域でと表現される．面積 "はプラズマの動きにつれて変わる

""
##&-+
(0&+"&##%#"*，+&"

し，!も変化するが，面積 "を貫く磁束は一定である．

（２６）高周波モードの分散式は

１．
３．
４ MHD，二流体，三流体モデルから見た線形磁気音波# ##%(%,,%!"! # "，(0+#

振幅のごく小さい線形の磁気音波を MHD，二流体，お（２７）よび三流体モデルから見てみよう．ただし，簡単のためにの近似形で書くことができる［６］．ここで，,, は次式で定磁場に直角に伝播する波を考える．

義される．

理想 MHD で最も基本的な物理量はアルヴェン速度,% %!!
""#，%!'+*""## ##((0'"# ",,%,%#"" $0(#+! !
"$ .
#& #&+(0+（２０）（２８）

この速度 ,,はアルヴェン速度より少し速いが，１種イオン
６８

Lecture Note

1.3 Plasma Characteristics in Shock Wave Physics

Y. Ohsawa"!
#"!
#数 領 域よりも#$倍 広い．不 等 式（２６）
で$!'!
!%!
!%%!'%が出てくるのはそれに由来する．
１種イオンプラズマであっても，ブラソフ方程式を用いた運動論的理論 における分 散 式は多数のイオンサイクロトロン波の集合となる．これは複雑なので，これ以上述べない［７］．
以上の準備をしておいて，次節では非線形の波（孤立波と衝撃波）について述べる．

参考文献［１］M.N. Rosenbluth, W.M. MacDonald and D.L. Judd, Phys.
Rev. 107, 1 (1957).
［２］S. Ichimaru, Basic Principles of Plasma Physics, A Statistical
図２

Approach (Benjamin, Massachusetts, 1973).

H-He プラズマにおける直角磁気音波の線形分散式．

［３］F.F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fu-

プラズマではアルヴェン速度に帰着する．式（２７）は #& をsion (Plenum, New York, 1984).

#$ と置き換えれば式（２３）と一致する．これはこの波の非線［４］H. Alfvén and C.-G. Fälthammer, Cosmical Electrodynam-

形の振る舞いを理解するうえで大事なことである．

ics, (Clarendon Press, Oxford, 1963).

高周波モードの共鳴周波数 """は低域混成周波数式（２４）［５］S.J. Buchsbaum, Phys. Fluids 3, 418 (1960).のオーダである．一方，不等式（２５）からわかるように，低［６］M. Toida, Y. Ohsawa and T. Jyounouchi, Phys. Plasmas

周波モードの共鳴周波数 "!"や高周波モードのカットオフ

2, 3329 (1995).

周波数 ""!はイオンジャイロ周波数のオーダである．した［７］T.D. Kaladze, D.G. Lominadze and K.N. Stepanov, Soviet

がって，高周波モードの周波数領域は低周波モードの周波Physics-Technical Physics 17, 196 (1972).

６９