特集／

相対性理論と方程式—アインシュタイン方程式とダークエネルギーの謎—

郡 和範
1. それは謎なのか？

2. アインシュタイン方程式

現在の宇宙はダークエネルギーが支配的に満たして次に、具体的な式を説明しよう。一般相対性理論にいることが観測から明らかになってきた。1, 2) ダーク

現れるアインシュタイン方程式は次のように書く事がエネルギーという言葉は、しばしばアインシュタインできる。の宇宙定数のことを指したり、またはそれを拡張した概念であるエネルギー密度がほとんど時間変化しないようなエネルギー形態のことを指す。また、後に説明

Gµν = 8πGTµν .

(1)

添字の µ と ν について、µ = 0, 1, 2, 3 と ν = 0, 1, 2, 3

するダークマターとは、全く別物である点に注意するの値をとる。0 は時間成分、1, 2, 3 は、空間成分を表必要がある。

す。ここで、左辺の Gµν はアインシュタインテンソル、ダークエネルギーを物理学を用いて研究する上で、謎だと呼ばれていることの意味には大きく分けて２つGµν = Rµν −1Rgµν ,2(2)ある。一つ目は、ダークエネルギーのエネルギー密度であり、gµν は計量テンソル、g µν はその逆行列を表のエネルギースケールが小さすぎるという問題があるす。R はリッチスカラー R = g µν Rµν を表し、添字こと。二つ目は、この宇宙において、そのエネルギーの µ や ν が繰り返されている場合、それぞれ 0, 1, 2, 3スケールがなぜその値になったのかという問題があるの全てにおいて和をとるという、アインシュタインのことである。また、後に議論するように、これらの問縮約記法という慣習に従うこととする。Rµν はリッチ

題を解決するために哲学で使われる “人間原理” を持テンソルでち込むならば、問題は解決されたように思えなくもないが、「人間の存在がこの宇宙の性質を特徴付けている」という驚くべき解釈を与えてしまう。先に出た２つの問題を理解していただくためには、物理に現れるスケールの概念を理解していただく感覚が必要であろうと思われる。
本文では、素粒子物理学と宇宙論でしばしば用いられる h̄ = c = kB = 1 の Heaviside―Lorentz 単位系を用いる。この単位系では、1 g = 5.6 × 1023 GeV、

1 cm−3 = 7.7 × 10−42 GeV3 、1 K(ケルビン)= 8.6×10−14 GeV であることに注意されたい。また、重力定数 G = 6.7 × 10−8 cm3 g−1 sec−2 = 1/Mp2 、プラRµν =∂Γλµλ∂Γλµν−+ Γκµλ Γλνκ − Γκµν Γλλκ (3)∂xν∂xλとなる。ここに使われた接続 Γλµν は、次のように計量テンソルを用いて定義される。

Γλµν =1 λρ ∂gρν∂gµρ∂gµνg+−2∂xµ∂xν∂xρhi(4)アインシュタイン方程式の右辺に現れる Tµν はエネルギー・運動量テンソルである。宇宙に現れる任意のエネルギーと運動量の状態について、理想流体のそれらとの類似性を考慮して、以下のようにエネルギー・運動量テンソルをパラメーター化すると便利である。

ンク質量 Mp = 1.2 × 1019 GeV、換算プランク質量√mpl ≡ Mp / 8π = 2.4 × 1018 GeV を用いる。

数理科学

NO. 447, SEPTEMBER 2000

1

ρ

 0

Tµν =  000



00

P00

P00
0 0 また、さきの (時間, 時間) 成分と、(空間, 空間) 成分から、以下の式が得られる。

(5)4πGä=−(ρ + 3P )a3P

この式は宇宙膨張の加速度 ä を見積もる式である。右ここで、ρ はエネルギー密度、P は圧力を表す。ま辺は、マイナスの ρ + 3P に比例している。通常の物質

た、その比例係数は重力定数 G = 1/Mp2 = 1/(1.2 ×だと、この ρ + 3P は正であることが期待され、宇宙の1019 GeV)2 であり、方程式の中で、座標 xµ と Tµν を

加速度は負であり、減速膨張を意味している。ビッグバ除いて唯一次元を持つ量である (Heaviside―Lorentz

ン宇宙であるにもかかわらず膨張の速さが減速してい単位系では質量次元はマイナス 2)。物理学ではプランるのは、名前からくる印象とかなりミスマッチしていク質量よりも小さなエネルギースケールを扱うので、ると言わざるを得ない。後で議論するように、ρ + 3P

このままでは、重力には他のエネルギースケールは現を負にするようなエネルギーで宇宙が満たされているれないことになる。 しかし、後に議論するように、別ならば、宇宙は加速膨張することになる。の物理により、Tµν の中にその物理に特有なスケール

式 (8) を微分して、 式 (9) と組み合わせると、次のが現れ、それが重力に影響を与える。逆に言うと、他に式を得る。

違うスケールを予言する物理がなければ、アインシュȧdρ= −3 (ρ + P )dta

タイン方程式に現れるエネルギースケールはプランク質量のみとなることを意味する。

れる、エネルギー・運動量保存の式と等価である。こる、ロバートソン・ウォーカー時空の計量µds = gµν dx dx

れに dt を掛けて微分形式に戻すと

ν= −dt2 + a2

(6)の相対的な大きさを表し、宇宙時間 t のみの関数である (a = a(t))。ここでは、現在の (宇宙時間 t = t0 の)スケールファクターを a(t0 ) = 1 と定義する。 今後、添字 0 により、現在の値を表すこととする。式 (6) に現れる K は曲率を表すパラメーターで３通りの宇宙の幾何学の分類に対して、次のように３通りある。

 +1 (閉じた宇宙)0(平坦な宇宙)−1(開いた宇宙)(7)

程式が得られる。

8πGKρ− 23a(8)H ≡ ȧ/a と呼ばれる。以下では特に断らない限り平坦な宇宙 K = 0 の場合のみ扱う。と考えると、熱力学第 1 法則 dU = −pdV + T dS との類推が成り立つ。T を温度、dS をエントロピーの変化だと考えると、宇宙は dS = 0 という断熱的な膨張をしていることを意味する。エントロピーを後から紹介する相対論的粒子の ρ と P = 1/3ρ を用いて

S≡

ρ+P 3
2π 2a =g∗ T 3 a 3T45(12)て、宇宙の温度が宇宙膨張により T ∝ a−1 に従って変化することを示している。

ρcr =3H 28πG(13)

ここで、現在のエネルギー密度について、具体的に値をみていこう。フリードマン方程式 (8) において、

ここで、左辺に現れる量 (ȧ/a) はハッブルパラメータ2

K = 0 の場合の任意の時刻のエネルギー密度の総和

り µ = 0 と ν = 0 の成分から、次のフリードマン方=4π 34π 3a ρ = −pda33に相当する臨界密度 ρcr = ρcr (t) は以下で定義される

アインシュタイン方程式の (時間, 時間) 成分、つまȧadで定義するならば、dS = 0 は、gs の時間変化を除い3. フリードマン方程式

 2(11)dr22222+rdθ+sinθφ
1 − Kr2となり、体積を V = a3 、内部エネルギーを U = 4πa3 ρ3を用いて変形する。a はスケールファクターで、宇宙

K=(10)

これは式 (5) のエネルギー・運動量テンソルから導か

このアインシュタイン方程式を、一様等方時空であ2(9)エネルギー密度 ρ を様々な成分に分解してみる ρ =ρDE + ρCDM + ρBaryon + ρRadiation ここで、ρDE はダークエネルギー、ρCDM は (冷たい) ダークマタ―、ρBaryon はバリオン、ρRadiation は放射 (光子+ニュートリノなどの massless 粒子) の、それぞれのエネルギー密度を表す。物質 (非相対論的粒子) の総量のエネル
ギー密度 ρM = ρCDM + ρBaryon も適宜用いる。

義すると、次の関係式が得られる

K(20)(aH)2= ΩDE + ΩCDM + ΩBaryon + ΩRadiationΩK ≡温度 T で熱平衡になっている粒子 j の数密度 nj 、エネルギー密度 ρj 、圧力 Pj は、その運動量 p についての分布関数 fj (p, T ) と統計的自由度 gj を用いて次のように表される。

nj =

dpgj fj (p, T )(2π)3(14)

ρj =

Z

dp3
gj Ej fj (p, T )(2π)3(15)

Z

p2
dp3
gfj (p, T )j(2π)3 3E(16)

ここで E =p

m2j + p2 はエネルギーを表す。

を用いて、(17)となる。g∗ は温度に依存する有効的な統計自由度で、粒子 j がボーズ粒子の場合の寄与は gj そのものであるが、フェルミ粒子からの寄与については、7/8gj となる。ここでは全ての粒子からの寄与を足した表式にしている。相対論的な粒子の圧力は式 (16) により P =1
ρ となる。
3

一方、非相対論的粒子 j (物質と呼ばれ、 バリオン(原子) やダークマタ―のこと) の場合、つまり静止質量 mj ( T ) の場合、数密度はnj = g j



a(t)
a0

−3(1+w j )(21)

ここで、状態方程式 wj ≡ Pj /ρj はwj =
 1/3


(相対論的粒子)0(非相対論的粒子)−1(宇宙定数)(22)となる。最後の宇宙定数とは、エネルギー密度が定数であるという意味で、ある種、定義のようなもの

π2g∗ T 430mj T2π

式 (10) を積分すると次のような成分 j ごとのエネρj (t) = ρj,0子 (mj  T ) の場合、エネルギー密度の総量は式 (15)ΩM ≡ ΩCDM + ΩBaryon である。

ルギー密度のスケールファクター依存性が得られる放射と呼ばれる相対論的な粒子、つまり massless 粒

ρ=ことから、両者を無視する極限において、平坦な宇宙の帰結として、ΩDE + ΩM ' 1 が成り立つ。ここで3ZPj =

観測から ΩRadiation ∼ 10−4 と |ΩK | < 10−2 である

3/2mjexp −Thである。しかし、冒頭でも紹介したように、宇宙定数はダークエネルギーの、最も単純なモデルであり、観測的にも、Planck 衛星実験による最新の値として

w = −1.006 ± 0.0454) という値が 68% の信頼度で得られている。時間変化する兆候は、全く報告されておらず、現在ではダークエネルギーは宇宙定数であることと無矛盾である。実際、この P = −ρ を式 (9) に代入すると、 その右辺は正となり、宇宙は加速膨張することになる。また、最新の観測から、物質とダークエネルギーの量の割合は、だいたい ΩM = 0.3 でΩDE = 0.7 と決まっている、つまり、物質のエネルi(18)と表され、エネルギー密度は ρj = mj nj と表される。
また、圧力は Pj = nj T  T 4 となり、相対論的な場

ギー密度が全体の 30%、ダークエネルギー (宇宙定数)のエネルギー密度が 70% という意味である。3, 4)合と比べて圧倒的に密度が低いため、宇宙論では慣例

4. ダークエネルギーと加速膨張として非相対論的粒子の圧力を P ≈ 0 とみなす。

式 (22) の wj の値を式 (21) に入れると、それぞれ各成分 (j = DE, CDM, Baryon, Radiation) のエ

ネルギー密度を臨界密度で割る事により、それぞれののスケールファクター依存性は成分が宇宙を占める割合を近似的に表す、宇宙論的オメガパラメーターを定義する。

Ωj ≡

ρiρcr

ρ∝
(19)


−4
 a


(相対論的粒子)a−3(非相対論的粒子)

定数(宇宙定数)(23)となる。これらを K = 0 のフリードマン方程式 (8)また、フリードマン方程式 (8) を用いて、曲率項につに代入して解く事により、それぞれの場合のスケールいても同様の定義で宇宙論的オメガパラメーターを定ファクターの時間依存性が以下のように得られる。

数理科学NO. 447, SEPTEMBER 20003a∝

t1/2(相対論的粒子)

2/3(非相対論的粒子)

exp(Ht)(宇宙定数)t(24)つまり、宇宙定数 (狭い意味でのダークエネルギー) が支配的な宇宙では、宇宙は指数関数的に膨張するのである。ちなにに、上の 2 つで、t のベキが 1 より小さいことが、減速宇宙を意味してする。
図 1 にスケールファクターの時間依存性を ΩM 、ΩDEの組み合わせをいろいろ変えてプロットしている。上から順番に平坦な加速膨張宇宙、開いた減速膨張宇宙、平坦な減速膨張宇宙、収縮宇宙を表すパラメータが選ば

図2

エネルギー密度の各成分の進化れている。ここでは、観測をよく説明する ΩM = 0.3、エネルギー 70% で、物質がその約半分ぐらいの 30%、さらにちょっと少ないが放射は 0.01% を占めるが、長い宇宙の歴史で何十桁も宇宙のエネルギーが変わり、それに合わせて有効な物理の理論も変わってきた中での進化という見方をすると、驚くほど、同じようなオーダーの数となっている (0.01% 放射成分でもたいへん近い)。宇宙年齢がちょっとでもズレれば、全く違う割合となり、どれかの成分の検出は不可能なレベルになるであろう。この現在において２つ (もしくは３つ) のエネルギーの割合が近い値になることは、偶然と考えても不自然なほどの一致の度合いである。このことか
図1

宇宙の大きさの進化。単位は１０億年。

ら、この不自然さはコインシデンス問題 (偶然の一致問題) と呼ばれている。後に、もう少し詳しく議論する。

ΩDE = 0.7 の場合 、現在に近い時刻に加速膨張期にはいる様子が示されてる。ちなみに、ΩM = 0.3 の内訳
はだいたい ΩCDM = 0.25、ΩBaryon = 0.05 である4) 。
また、その場合、宇宙年齢も 120 億年を越えることが可能となり、球状星団の年齢が 120 億年程度という観測事実とも無矛盾となる。
ここで、式 (23) に従って、エネルギー密度の時間変化を以下に図示する。現在でこそ、70% のエネルギーで支配的な宇宙定数であるが、時間を少しさかのぼるだけで、すぐに現在 30% の物質のエネルギーに追い抜かれていることがわかる (時期は z ∼ 1、約 70 億年前)。つまり、それより過去は物質優勢の宇宙であった。その物質密度も宇宙年齢約 7 万年の頃に放射のエネルギ―に追い抜かれる。それより過去では、宇宙は放射に満ち満ちていた。実際、宇宙年齢約４０万年より前には光子ですら直進できたいため、この時期は太陽の中のように、火の玉のようであったに違いない。
ところで、現在のエネルギー密度の割合で、ダーク45. ダークエネルギーのエネルギースケール
アインシュタイン方程式や、そこから導かれたフリードマン方程式には、座標を除いて、スケールの次元を持っているのは、プランク質量とエネルギー・運動量テンソル Tµν だけである。つまり、プランク質量以外のスケールは、Tµν の中にのみ現れる可能性がある。

Tµν に現れるスケールは、必然的にその Tµν を決定する物理学が持っているスケールとなる。人間が勝手に任意のスケールを手でいれることはできないのである。
現在の宇宙定数のエネルギー密度 ρDE,0 は臨界密度

ρcr,0 の約 70% なので、(約 2meV(ミリ電子ボルト))の全体の 4 乗である。この値は、現在でこそ支配的であるが、宇宙が始まった頃 (宇宙年齢がプランク時間ぐらいの頃) のエネルギー密度である、換算プランク質量 (約 2 × 1018 GeV(ギガ電子ボルト)) の 4 乗にくらべると、無視できるほど小さい。実に、10120 桁も小さいのである。逆に言うと、このように小さい宇宙パラメーターを決定することが最終目的ではない。そ定数のエネルギー密度であったために、現在の宇宙年の背後にある物理学を理解することが目的である。ま

齢 138 億年でようやく 70% になれたというようにもだ、ダークエネルギーは何か？、現在のダークエネル解釈できる。宇宙定数の値を換算プランク質量の 4 乗ギーのエネルギー密度はなぜ約 (2meV)4 なのか？といより小さい値にすることが期待される超対称性理論にう問いに答えていない。後者の問いは、さらに２つの倍大きい問題に分ける事ができる。２つのうち一つは、Q1 「な値を予言する。しかし、人間が生まれて来るために必ぜダークエネルギーのエネルギー密度はこんなに小さ要な銀河をつくるために、ρDE,0 より、多かったとしいのか？」、もう一つは Q2 「なぜダークエネルギーても 10 倍以下でなければならないことが理論的に分のエネルギー密度は約 (2meV)4 なのか？」である。

かっている。そうでなければ、宇宙はずっと早くに宇Q1 について、超対称性理論を重力を含むように拡宙定数が支配的となり、ずっと早くから加速膨張して張した超重力理論では、超対称性の破れのエネルギーしまう。そうなると銀河のように固まった天体はつくスケールが、そのまま宇宙定数として現在まで残っておいても、自然な値としては ρDE,0 の 10563られず、そこに太陽は作られないし人類も生まれないいる可能性を示唆している。もし残っているならば、のである。

そのエネルギー密度のスケールは小さく見積もっても次の図で、Ω の支配の移り変わりを示す。宇宙初期

約 (100GeV)4 と期待されており、(2 meV)4 にくらべると、約 1056 倍大きい。しかし、約 1056 倍大きな宇宙定数は観測と矛盾する。観測的に有限の宇宙定数が発見される前には、超対称性理論の自由度を用いて、いっそのこと宇宙定数はゼロになっているのではないかとも期待されていた。しかし、有限で小さな宇宙項が発見された今、この論理は使えない。宇宙定数を小さくした、なにか未知の対称性に基づく機構が働いているのかもしれない。しかし、そのような対称性は知られていない。

Q2 について、現在の物理学では (2 meV)4 という、エネルギー密度のスケールを説明することはできない。
図3

これまで、ニュートリノ質量スケールを利用するモデΩ の支配の移り変わり。

ル、アクシオンの質量スケールを利用するモデルなどのインフレーションの後、インレーションを起こす場新しい物理学でそのスケールを説明するモデルも提唱であるインフラトン場の振動エネルギーが宇宙を支配されてきている。しかし、それぞれに微調整がそれなしていた。その後、インフラトンの崩壊により (再) 加りに必要であり、満足するモデルにはいたっていない。

熱した宇宙では放射のエネルギー密度が支配的となった。ビッグバン元素合成 (BBN) が起こったのはこの放射優勢期である。その後、宇宙時間約 7 万年から物質が支配し、宇宙時間約 70 億年からダークエネルギー

6. コインシデンス問題と人間原理
なぜ現在の宇宙年齢で、ダークエネルギーと物質 (とが支配するようになってきた。ρDE,0 が約 (2meV) で放射) が似たような大きさのエネルギー密度になって4あったために、宇宙年齢として、ごく最近になって (ついるのか？という問題がコインシデンス問題であった。

まり宇宙時間が現在の宇宙年齢より何桁も短い時期でようやく人類が自分達の住んでいる宇宙のエネルギーはなく約半分ぐらいの時期になって)、ようやくダーク密度のそれぞれの成分の割合を測れるようになった時エネルギーが宇宙で支配的になったことがよくわかる。

代に、これら２つか３つの成分が同じぐらいの量であっしかし、ダークエネルギーについては、まだほとんたのは、驚くべき一致である。ダークエネルギーのエど何も解明されていないと言っても過言ではない。現ネルギー密度が 2 (meV)4 ではなかったら、このよう在の Ω パラメーターの値がほんのちょっと観測的に精な偶然の一致問題はなかった。しかし、前章でも紹介度よく決定されただけである。宇宙論という学問は Ω

したとおり、現代の物理学ではそのスケールを説明す

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ることはできていない。もしかしたら、近い将来に量だ解かれていないのである。この謎を解く一つのアイ子重力理論が完成した暁には、その理論により説明さディアとして、人間原理による解決の方法も紹介した。

れるのかもしれない。量子重力理論の候補の超弦理論

しかし、これを信じると、人間の存在が、人間の住むのあるモデルでは、物理法則を決める真空の数は 10500

宇宙の性質を決めてしまっているという、驚くべき解ほど存在する。それぞれの真空が違う物理法則に対応釈になる。この場合、人類が長い時間をかけて信じるすることになる。その中には、我々のダークエネルギーようになってきた “コペルニクス原理” 的な発想に疑の量が、本当に統計的なゆらぎなどで事故的に小さく問が投げかけられる。オリジナルのコペルニクス原理なったのがあるかもしれない。宇宙定数の問題が物理の言うことは、地球は特別な星ではないということで学で解決され、宇宙を一つ作った時には、必ず今の宇あった。さらに拡張して、現代宇宙論では、この宇宙宙になるという理論を作れる事を信じて我々物理学者

は一様 (平行移動について不変) で等方 (回転については日夜、研究に勤しんでいるのである。

不変) という “宇宙原理” を採用することになっていところが、これとは真逆の考え方がある。デカルト

る。つまり、この宇宙の中で、我々の住む銀河は、特(1596 年 – 1650 年) が提唱した人間原理 (Anthropic

別ではなくありふれた銀河で、その場所は特別な場所Principle) である。もともとの意味は” 我思う、故にではないと言っているのである。このことは観測から我あり”(cogito ergo sum) である。これを宇宙物理学も示唆されている。しかし、沢山の宇宙が作られ得る的に言い換えてみる。Q「なぜ宇宙の法則は偶然人間という、より現代物理学的な描像に立つ時、状況が変に都合良く出来ているのか？」という問いに対して、わる。我々の宇宙は、人類を生み出す条件が偶発的に人間原理とは “宇宙の法則がこうであるので、この問微調整されて実現された特別な宇宙なのかもしれない

いを問いかける人間が生まれてきた” と答える原理でというものである。そうであるならば、ダークエネルある。逆に言うと人間原理では “変な物理法則の宇宙ギー問題の解決のためには、“コペルニクス原理” 的なには、このような問いを問いかける人間は生まれてこ原理は、捨てなければならないかもしれないという皮ないので、もともとその宇宙の法則が変だとは誰も問肉な結果となる。

いかけない” と答えてもよい。確かに解決しているように思えなくもない。
人間原理の使い方には、つぎのような簡単な例もあ先にも書いたが、人間原理を科学の問題に適用することは、最終兵器として温存しておかなければならない。そうしないと、科学的な思考を早々と放棄するこる。Q「なぜ地球にはたくさんの酸素があるのか？」ととになるからである。もちろん、我々物理学者は、ひという問いについて、人間原理では、“酸素のない星にはたび宇宙が誕生したならば、物理学の言葉でダークエ人間は生まれないので、そのような星のことは誰も語ネルギーのスケールも含めて必然的にこの宇宙になるらないからだ” と説明できるかもしれない。しかし、このだと説明することを目指して、新理論づくりの研究こで思考を止めて、科学的な探求をやめてしまうのでを続けている。しかし、このダークエネルギーの謎は、あればたいへんなことである。なぜなら、酸素の多い

もしかしたら、人類が科学の問題に初めて人間原理を地球型の惑星は実は稀であるという帰結を導くに至っ適用しなければ解く事のできない大問題なのかもしれた惑星科学の進展や、酸素の多い星で適者生存の原理ない。その意味で、私はこの問題を科学の問題の中でで酸素を使うよう進化してきた地球の生物を、進化論最大の難問だと思っている。ダークエネルギーの謎は、を使って理解するという学問の正しい方向性の研究は宇宙が人類の科学に叩き付けた挑戦状なのである。

ずっと遅れてしまうかもしれないからである。人間原理による説明は、最初から科学の問題に適用するのではなく、最後にとっておくべきなのである。

7. 結び
現代物理学では、まだダークエネルギーのエネルギー密度のスケールを第 1 原理から導きだすことはできていない。その意味で、冒頭に紹介した２つの謎は、ま6

参考文献
1) 小玉英雄、井岡邦仁、郡和範、KEK 物理学シリーズ「宇宙物理学」、共立出版 (2014 年)
2) 向山信治、「数理科学」、2014 年 9 月号, 22 – 28、サイエンス社 (2014 年)
3) A.G.Riess et al, Astrophys.J. 560 (2001) 49-71
4) P. A. R. Ade et al. [Planck Collaboration],
arXiv:1502.01589 [astro-ph.CO].
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