EXAMEN FINAL, ACT2040, HIVER 2013

Les calculatrices1 sont autorisées, mais pas les téléphones ‘intelligents’ (qui devront être
rangés pendant toute la durée de l’épreuve). Tous les documents sont interdits. Commerappelé dans le plan de cours, la triche est interdite.
Dans les feuilles qui suivent, il y a 25 questions,• 19 questions sur le provisionnement pour sinistres à payer (total de 22 points)• 6 questions portant sur des aspects de tarification (mais comptant pour 15 points)
Précisions sur la notation Pour chaque question, une courte réponse doit être apportée,détaillée si demandé. Vous gagnez les points si la réponse est claire, et correcte. Si aucundétail n’est demandé, seule la bonne réponse apportera le point. Votre note finale est le
total des points (sur 37).
Précisions sur l’épreuve Je ne réponds à aucune question durant l’épreuve. En cas dedoute, ou de suspicion d’erreur, merci de m’en faire part dans le cahier d’examen.

1. Méthodes de provisionnement
On a observé le triangle de paiements suivant (la colonne de gauche indiquant l’année)
Triangle 1
0

1

2

3

4

5

2007



9668 10563 10771 10978 11040

2008

6346

9593 10316 10468 10536

2009

6269

9245 10092 10355

2010

5863

8546

2011

5778

8524

2012

6184

?

1

9268
∗

BA-35, BA II Plus, TI-30X, TI-30Xa, TI-30XIIS et TI-30XIIB (cf plan de cours).
1

2

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 1. Quel montant a été payé en 2012 pour les sinistres survenus en 2010 ? [Lecalcul sera explicité dans la feuille.]
Pour les sinistres survenus en 2010, fin 2010, on avait payé 5863; fin 2011 on avait payé
8546; et fin 2012, 9268. Autrement dit, pendant l’année 2012, 9268-8546 ont été payé, soit
722

Question 2. Le premier montant, en haut à gauche, a été effacé. En utilisant la méthode
Chain Ladder, quel montant serait-il réaliste d’avoir ? [Le calcul sera explicité dans lafeuille.]L’idée de la méthode Chain Ladder est que Ci,j+1 = λj+1 · Ci,j (ou avec λj , suivant
les notations , mais peu importe, ça ne change pas les calculs). Ou dit autrement, Ci,j =λ−1
j+1 · Ci,j+1 . Donc si on peut estimer le coefficient de transition entre la première colonne(0) et la seconde (1), on pourra extrapoler la valeur manquante. On peut utiliser les donnéesdont on dispose, sur les lignes correspondant aux années 2008 à 2011,
λ1 =9593 + 9245 + 8546 + 8524
35908=
= 1.480376
6346 + 6269 + 5863 + 5778
24256

On peut alors extrapoler en considérant
λ−1
1 · C2007,1 =9668= 6530.773
1.480376

Il serait réaliste d’avoir un montant de l’ordre de 6531.

Question 3. Quel serait le montant qui devrait être prédit, par la méthode Chain Ladderpour 2012, en ? ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

On nous demande d’extrapoler maintenant ?. Plusieurs se sont demandé si on devait
utiliser la valeur extrapolée dans la question précédante. Dans un premier temps, on va
tenir compte du fait que la valeur est ici inconnue. Dans ce cas, on utilise la valeur calculéeà la question précédante pour le facteur de transition λ1 . En ?, on devrait prédire, par laméthode Chain Ladder
λ1 · C2012,0 = 1.480376 · 6184 = 9154.645

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 20133

Que se passerait-il si on utilisait la valeur extrapolée auparavant. Rien.... Car l’estimateurdu facteur de transition est une moyenne pondérée de facteur de transition par année desurvenance. Si on rajoute la moyenne (avec des poids proportionnels) sur les dernièreslignes, on aura exactement le même facteur de transition. Pour les sceptiques, faisons lecalcul:λ1 =9593 + 9245 + 8546 + 8524+9668= 1.480376
6346 + 6269 + 5863 + 5778+6530.773

Ce qui n’influencera pas la prédiction...

Question 4. Quel serait le montant qui devrait être prédit, par la méthode Chain Ladderpour 2012, en ∗ ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Pour ∗, il va falloir estimer λ2 . Ici, pas d’hésitation,
λ2 =10563 + 10316 + 10092 + 9268
= 1.086014
9668 + 9592 + 9245 + 8546

On en déduit alors (en utilisant la question précédante) question
C2012,2 = C2012,0 · λ1 · λ2 = 6184 · 1.480376 · 1.086014 = 9942.07.

Question 5. En supposant la première année close, quel serait le montant de provision
que l’on devrait constituer pour l’année de survenance 2009, par la méthode Chain Ladder? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Pour 2009, il nous manque deux années de développement avant que l’année ne soit close.
Pour les deux prochaines années, on devrait payer (on utilise, comme toujours, une simple
règle de trois)
C2009,5 = C2009,4 · λ5 = C2009,3 · λ4 · λ5soit
C2009,5 = C2009,3 ·C2007,4 + C2008,4 C2007,5·
C2007,3 + C2008,3 C2007,4

On remplace alors par les chiffres, pour l’application numérique,C2009,5 = 10355 ·

10536 + 10978 11040·= 10548.31
10771 + 10468 10978

4

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Mais ce n’est pas fini, car ce montant n’est que la charge totale de sinistres que l’on pense
payer pour les sinistres survenus en 2009. Comme on a payé, pour l’instant, 10355, lemontant de provision estimé doit être le montant que l’on pense encore devoir payer dansles deux années à venir. Soit ici
R2009 = C2009,5 − C2009,3 = 10548.31 − 10355 = 193.31

Question 6. En réalité, l’année 2007 n’est pas close, et selon des dires d’experts, il convientde constituer une provision de 108, pour cette année de survenance. En tenant compte decette information, quel serait votre nouvel estimateur pour le montant de provisions pourl’année de survenance 2009, par la méthode Chain Ladder ? [Le calcul sera explicité dansla feuille.]

Si la première année n’est pas close, et que 108 seront payées dans les années à venir.
Bref, il faut utiliser un tail factor (pour reprendre les notations du cours) λ∞ tel que
λ∞ =C2007,∞
C2007,5 + R2007
11040 + 108= 1.009783==
C2007,5
C2007,5
11040

Aussi, pour 2009, pour extrapoler la charge finale, il faut prendre en compte ce facteur dansle calcul de la question précédante,
C2009,∞ = C2009,5 · λ∞ = 10548.31 · 1.009783 = 10651.51
Aussi, le montant de provisions à constituer est
R2009 = C2009,∞ − C2009,3 = 10651.51 − 10355 = 296.5082(soit presque 50% de plus).

Fin 2013, on dispose de davantage d’information. En particulier, on a retrouvé le payement
effectué en 2007 pour les sinistres survenus en 2007. Et une année supplémentaire depaiements a été observéeACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 20135

Triangle 2
0

1

2

3

4

5

6

2007

5946 9668 10563 10771 10978 11040 11106

2008

6346 9593 10316 10468 10536 10572

2009

6269 9245 10092 10355 10507

2010

5863 8546

9268

2011

5778 8524

9178

2012

6184 9013∗

9459

Question 7. Si nous avions connu ce montant fin 2012, le montant qui aurait du être
prédit, par la méthode Chain Ladder pour 2012, en ? serait il plus grand ou plus petit que
ce qui a été calculé à la question 3. ? [Une rapide explication sera donnée dans la feuille.]
Ici, la question revient à refaire le calcul de la question 3 en tenant compte de la nouvelleobservation. Soit
λ1 =9668+9593 + 9245 + 8546 + 8524
45576=
= 1.509039
5946+6346 + 6269 + 5863 + 5778
30202

Donc si le montant avait été connu l’an passé, on aurait prédit pour ?
6184 · λ1 = 9331.898
qui est plus grand que le montant prédit à la question 3 (9154.645 en l’occurrence). En
fait, comme le montant observé (5946) est plus petit que celui calculé dans la question 2 enextrapolant (6531), on aurait pu conclure directement (si le montant est plus faible, commeil est au dénominateur, on devrait avoir un plus grand facteur de transition)

Question 8. Sur ce nouveau triangle, quel serait le montant qui devrait être prédit, par laméthode Chain Ladder pour 2012, en ∗ ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Pour 2012, on se relance dans les calculs
λ2 =10563 + 10316 + 10092 + 9268+9178
49417== 1.084277
9668 + 9592 + 9245 + 8546 + 8524+8524
45576

On en déduit alors
C2012,2 = C2012,1 · λ2 = 9013 · 1.084277 = 9772.589.

6

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 9. Sans tenir compte du tail factor mentionné dans la question 6, et en utilisantles calculs de la question 5, avait-on constitué assez de provision fin 2012 pour payer lessinistres de 2009 en 2013 ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

On a payé 10507-10355 en 2013 pour les sinistres survenus l’année 2009, soit 152. Or une
provision de 193.31 avait été constitué fin 2012 (c’était la question 5). Donc oui, on avait
assez provisionné (pour cette année au moins).

Dans les questions 10-12, on va utiliser le triangle suivant, constitué des Ci,jTriangle 1b
0

1

2

3

4

5

2007

5946

9668 10563 10771 10978 11040

2008

6346

9593 10316 10468 10536

2009

6269

9245 10092 10355

2010

5863

8546

2011

5778

8524

2012

6184

9268

ainsi que les données suivantes, correspondant aux primes acquises ΠiPrimes acquises
2007 15474
2008 14882
2009 14456
2010 14055
2011 14525
2012 15026

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 20137À partir du triangle de paiements, on calcule Si,j = C2007,j + C2008,j + · · · + Ci,j , donné dansle triangle suivant
Triangle 3
0

1

2

3

4

2007

5946

2008

12292 19261 20879 21239 21514

2009

18561 28506 30971 31594

2010

24424 37052 40239

2011

30202 45576

2012

36386

5

9668 10563 10771 10978 11040

Question 10. À partir de ces données, calculer les facteurs de transition λj par la méthode
Chain Ladder, avec Ci,j = λj ·Ci,j−1 ? [Aucun calcul ne sera détaillé sur la feuille, un tableau
avec les différentes valeurs suffira]On a tout dans le tableau, car
λj =S2012−j,jS2012−j,j−1

Par exemple pour λ1 , on utilise
λ1 =

45576
= 1.509039
30202

qui correspond exactement à la valeur calculée dans la question 7, ce qui est rassurant car
c’est le même triangle, mais aussi
λ2 =

40239
= 1.086014
37052

λ3 =

31594
= 1.020116
30971

λ4 =

21514
= 1.012948
21239

λ5 =

11040
= 1.005648
10978

puis

et encoreet pour finir

Bon, on a tout !

8

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 11. Donnez le montant de provision nécesssaire, toutes années confondues, donné
par la méthode Chain Ladder. [Aucun calcul ne sera détaillé sur la feuille, seul le montant
total de provision est demandé]Bon, ici il faut faire un peu de calcul, mais c’est facile,
R2008 = C2008,4 · (λ5 − 1) = 10536 · (1.005648 − 1) = 59.5
R2009 = C2009,3 · (λ5 · λ4 − 1) = · · · = 193.3(je passe un peu calculs)
R2010 = C2010,2 · (λ5 · λ4 · λ3 − 1) = · · · = 362.9
R2011 = C2011,1 · (λ5 · λ4 · λ3 · λ2 − 1) = · · · = 1095.7
R2012 = C2012,0 · (λ5 · λ4 · λ3 · λ2 · λ1 − 1) = · · · = 4347.4
Pour le montant total de provision, sommons (oui, c’est assez calculatoire comme exercice...
c’est le principe de base de 95% des calculs actuarels),
R = 6058.89

Question 12. On suppose que, par année, le ratio sinistres sur primes doit ètre constant,de l’ordre de 72%. En utilisant la charge ultime qui donnerait un tel ratio, en déduire lemontant qu’il faudrait provisonner, toutes années confondues. [Aucun calcul ne sera détaillé
sur la feuille, seul le montant total de provision est demandé]Ici, on a une méthode plus simple pour provisionner: on utilise le faire que Ci,∞ = Πi ·S/P.
Pour 2007, par exemple, on anticipe une charge total de 15474 · 0.72 = 11141.28. Comme ona payé 11040, il faut constituer une provision d’un montant 101.28. Pour 2008, on anticipe
14882 · 0.72 = 10715.04. Il faut donc une provision de l’ordre de 10715.04 − 10536 =
179.04. C’est facile, non ? Calculatoire, mais facile... Bref, on continue. Pour 2009,
14456 · 0.72 − 10355 = 53.32. Pour 2010, etc. Le plus simple est de voir que la charge totale
est la somme totale des primes, multplié par 72%, soit
(15474 + 14882 + · · · + 15026) · 0.72 = (88418) · 0.72 = 63660.96

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

9

Ensuite, on calcule combien on a déja payé, en sommant la derniére diagonale,(11040 + 10536 + · · · + 6184) = 55907.00
Si on fait la différence, on a le montant total de provision, i.e. 7753.96 (que l’on comparera
avec le montant obtenu avec la méthode Chain Ladder, 6058.89).

Dans la suite des questions 13-15, on va utiliser la sortie de régression suivante, basée surle triangle 1b :Régression 1
Call:glm(formula = Y ~ i + j, family = quasipoisson, data = B)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

8.77688

0.05178 169.514< 2e-16 ***i2008-0.041100.06871-0.5980.5630i2009-0.04556

0.06912-0.6590.5247i2010-0.13654

0.07128-1.9160.0844 .

i2011-0.13771

0.07331-1.8780.0898 .

i2012-0.04716

0.08237-0.5730.5796j1









j2

-2.04177

0.09451 -21.605 1.01e-09 ***j3-3.41227

0.20468 -16.672 1.26e-08 ***j4-3.83292

0.30632 -12.513 1.97e-07 ***j5-4.64975

0.64187-7.244 2.78e-05 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 25.37786)

10

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 13 [×2]. Quelle est la valeur de l’estimateur masqué sur la sortie précédante, βb1? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]
C’est une question de cours ça: quand on utilise les facteurs lignes et colonnes, dans un
triangle complet, sur les incréments de payements (oui, j’avais oublié de préciser, mais unpeu de relecture du cours et de bon sens permettait, je pense que comprendre que Y étaitl’incrḿent de payements), une régression de Poisson avec un lien logarithmique (ce qui est
fait ici, car en terme de prédiction, poisson et quasipoisson coı̈ncident) donne exactement
les mêmes prédictions que la méthode Chain Ladder. Pas seulement le montant total deprovision, mais aussi les prédictions de Ci,j et des Yi,j dans la partie inférieure du triangle.
Bref, il nous faut βb1 (tel que noté dans le cours). Le seul endroit où ce facteur intervient
est sur les termes de la seconde colonne (1). En particulier
Yb2012,1 = exp[bγ+αb2012 + βb1 ]si γ désigne la constante. Si on veut que la régression de Poisson coı̈ncide avec la méthode
Chain Ladder, il faut question Yb2012,1 = C2012,1 −C2012,0 où C2012,1 est justement le montant
prédit par la méthode Chain Ladder dans la question 7, soit
Yb2012,1 = C2012,1 − C2012,0 = 9331.898 − 6184 = 3147.898
Bon, pour obtenir ce montant, ça ne devrait pas être pas trop compliqué, car on a γb etαb2012 . Donc ici
exp[8.77688 − 0.04716 + βb1 ] = 3147.898, i.e. βb1 = log(3147.898) − 8.77688 + 0.04716
soit
βb1 = −0.6752298

Question 14. Donnez la prédiction du montant de paiements qui sera effectué en 2015
pour les sinistres survenus en 2011. [Le calcul sera explicité dans la feuille.]ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

11

Pour les sinistres de 2011, payé en 2011, il faudrait Y2011,0 . Pour les payements faits en
2015, il faut aller chercher Y2011,4 , soit
exp[b
γ+α
b2011 + βb4 ] = exp[8.77688 − 0.13771 − 3.83292] = 122.27
On notera que ce montant se retrouve aussi avec les calculs de la question 10,
Y2011,4 = C2011,4 − C2011,3 = C2011,2 · λ2 · λ3 · [λ4 − 1]
(je laisse vérifier ce peu calcul trivial) soit
Y2011,4 = 8524 · λ2 · λ3 · [λ4 − 1]

Question 15. En supposant la première année close, quel serait le montant de provision
que l’on devrait constituer pour l’année de survenance 2010, à l’aide de cette régression ?
[Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Pour 2010, le montant de provision est donné particulier
Y2010,3 + Y2010,4 + Y2010,5 = 186.4313 + 122.4148 + 54.08676 = 362.93
On peut faire les calculs, et arriver au même montant que celui fait dans la question 11.

12

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

En cherchant à simplifier le modèle de manière à n’avoir que des variables significatives, on
finit par considérer le modèle suivantRégression 1b
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

8.744110.02632 332.270< 2e-16 ***i2010&11-0.10544

0.040370.0196 *j1-0.67226

0.04254 -15.802 9.29e-11 ***j2-2.03823

0.08161 -24.974 1.24e-13 ***j3&4-3.55337

0.14965 -23.745 2.59e-13 ***j5-4.61697

0.56126-2.612-8.226 6.10e-07 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 19.4877)
Question 16. Donnez la prédiction du montant de paiements qui sera effectué en 2015
pour les sinistres survenus en 2011. [Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Pour les payements faits en 2015 pour les sinistres survenus en 2011, il faut aller chercher
Y2011,4 (comme dans la question 14). Ici, la prédiction sera

exp[b
γ+α
b2010&11 + βb3&4 ] = exp[8.74411 − 0.10544 − 3.55337] = 161.6284.

Question 17 [×2]. Calculez les montants de provisions induits par ce modèle [Aucun
calcul ne sera détaillé sur la feuille]
Il faut calculer les Ybi,j pour la partie inférieure du triangle. Mais les calculs sont ici
assez simple car pour plusieurs endroits dans le triangle, les valeurs sont exactement lesmêmes (comme les années de développement 3 et 4), ou avec juste deux années à considérer(2010&11 et les autres).

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0

1

2

3

4

13

5

2007
2008

62.0

2009

179.6 62.0

2010

161.6 161.6 55.8

2011

735.4 161.6 161.6 55.8

2012

3203.0 817.2 179.6 179.6 62.0

Si on somme, on obtient un montant total de provisions de l’ordre de
62.0 · 3 + 55.8 · 2 + 179.6 · 3 + 161.6 · 2 + 3203 + 817.2 + 735.4 = 6238.523(que l’on comparera avec le montant obtenu avec la méthode Chain Ladder, 6058.89).

Dans la suite des questions 18-19, on va utiliser la sortie de régression suivante, toujours
basée sur le triangle 1b :Régression 2
Call:lm(formula = log(Y) ~ i2008 + j, data = B)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

8.75310.107181.765< 2e-16 ***i2008-0.26110.1354-1.928 0.072953 .

j1-0.6772

0.1553-4.361 0.000559 ***j2-2.0118

0.1658 -12.131 3.73e-09 ***j3&4-3.55150.1584 -22.421 5.99e-13 ***j5-4.6259

0.2778 -16.653 4.40e-11 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1

Residual standard error: 0.2563 on 15 degrees of freedom

14

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 18. Quelle est le montant que l’on pense payer, avec ce modèle, en 2013 pourles sinistres survenus en 2012 ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Cette fois, on fait une régression lognormale. La prédiction pour Yi,j sera ici


σ2
b
b
Yi,j = exp γb+αb i + βj +2
On nous demande ici de prédire Y2012,1 , soit
0.25632
σ2b= exp 8.7531 − 0.6772 += exp [8.108745] = 3323.405
exp γ
b + β1 +2
2(que l’on comparera avec le montant obtenu avec la méthode Chain Ladder, 3147.898).

Question 19 [×2]. En supposant la première année close, quel serait le montant deprovision que l’on devrait constituer à l’aide de cette régression, pour toutes les années ?
[Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Cette fois, il faut faire un peu de calcul, mais là encore, beaucoup seront identiques,
0

1

2

3

4

5

2007
2008

49.3

2009

187.6 64.1

2010

187.6 187.6 64.1

2011

874.9 187.6 187.6 64.1

2012

3323.4 874.9 187.6 187.6 64.1

et pour avoir le montant total de provisions, on somme,
3323.4 + 874.9 · 2 + 187.6 · 7 + 64.1 · 4 + 49.3 = 6692.311(que l’on comparera avec le montant obtenu avec la méthode Chain Ladder, 6058.89).

2. Tarification
Trois exercices de tarifications sont proposés. Ils peuvent se traı̂ter indépendamment. Il
y a toutefois une logique à les faire dans l’ordre.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201315

2.1. Tarification, partie 1. On suppose que pour un assuré, sa fréquence annuelle desinistres suit une loi de Poisson de moyenne λ. Toutefois, on sait que la moitié des sinistresseulement dépasseront la franchise d. On sait aussi que si un sinistre dépasse d, il aura pourcoût Y de distribution conditionnelle αdP(Y > y|Y > d) =, pour y ≥ d, et sinon 1.
x

Question 20 [×2]. Quelle sera la prime pure d’un tel contrat ?
L’indemnité versée est ici
N
X

Nd
N
X
X
(Yi − d)+ =(Yi − d)1(Yi > d) =(Yj − d)

i=1

i=1

j=1

où dans le terme de droite, la sommation se fait sur les sinistres qui ont coûté plus que d.
On a alors deux solutions pour valoriser ce contrat (en croisant les doigts pour que ces deuxméthodes coı̈ncident).
Méthode 1. La prime pure sera
E(N ) · E[(Yi − d)1(Yi > d)]où (Y − d)1(Y > d) est une variable aléatoire qui vaut 0 si Y ≤ d et Y − d si Y > d. Donc
E[(Y − d)1(Y > d)] = P(Y > d) · E[(Y − d)|Y > d]Or la loi en excès de d est ici une loi de Pareto,P((Y − d) > x|Y > d) =de telle sorte que l’espérance s’écrit
Z ∞
E[(Y − d)|Y > d] =
0

d
x+d

d
d+x

α

α
pour x > d,−α+1 ∞α (x + d)dy = dsoit
E[(Y − d)|Y > d] =dα−1

(si α > 1, cf cours). Bref, ici la prime pure seradλ·dλ · P(Y > d) ·=.
| {z } α − 12(α − 1)12

−α + 10

16

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Méthode 2. La prime pure sera
E(Nd ) · E[(Y − d)|Y > d]Comme rappelé au début du dernier cours, un propriété du Processus de Poisson est que
Nd suit une loi de Poisson, de paramètre λ · P(Y > d), et donc la prime pure sera
λ · P(Y > d) · E[(Y − d)|Y > d]On retrouve le calcul précédant.

Question 21 [×2]. Afin d’attirer de nouveau client, on souhaite augmenter la franchise dde manière à proposer un contrat deux fois moins cher. À quel niveau faudra-t-il placer lanouvelle franchise ?
Si on utilise une franchise d plus élevée, disons d0 , la formule évoquée auparavant sera
encore valide, au sens où la prime pure (avec cette nouvelle franchise) sera
λ · P(Y > d0 ) · E[(Y − d0 )|Y > d0 ]Reste à faire les calculs. En utilisant la formule des probabilités totales
P(Y > d0 ) = P(Y > d0 |Y > d) · P(Y > d) + P(Y > d0 |Y ≤ d) · P(Y ≤ d)soit, puisque par hypothèse on souhaite monter la prime, αd1
P(Y > d ) = P(Y > d |Y > d) · P(Y > d) + 0 =
·
0
d
2
0

0

De plus, compte tenu du calcul précédant,
0

0

0

0



P[(Y − d ) > x|Y > d ] = P(Y > d + x|Y > d) · P(Y > d |Y > d) =

d
0
d +x

α  −αd·d0

en utilisant la formule de Bayes, soit
P[(Y − d0 ) > x|Y > d0 ] =



d0
0
d +x

α
pour x > 0,

On retrouve la loi de Pareto, de paramètre α, mais avec comme second paramètre d0 et nonplus d.
E(Y − d0 |Y > d0 ) =d0α−1ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201317

On retrouve une formule évoquée en cours. Donc ici, la prime pure sera
 α
d
1
d0
0
0
0
λ · P(Y > d ) · E[(Y − d )|Y > d ] = λ ·
·
·
d0
2 α−1
Si on veut un contrat deux fois moins cher, il faudra question
 α
d
1
d0
λ·d
1
λ·
·
·
=
·
d0
2 α−1
2(α − 1) 2
soit

 α
d
d0
d
1
·
=
·
0
d
α−1
α−1 2

ou encore α−11d1d0= i.e.
= 2 α−10d2d1soit d0 = d · 2 α−1 (avec α > 1 car on souhaite calculer des primes pures).

2.2. Tarification, partie 2. Dans la section suivante, on cherche à construire un tarif
en assurance automobile, partir de 2 variables explicative: l’âge d’un assuré et son sexe.
On dispose d’un ensemble de données et plusieurs modèles sont ajustés. Tous les assuréssont restés un an dans la base. On suppose de plus quand les variables sexe et âge sontindépendantes. On suppose aussi disposer des statistiques suivantes

total

homme

femme

nombre moyen d’accident, par an

0.07930.08380.07242coût moyenne d’un accident

579.669622.4477 504.2472

moyenne du log(coût) d’un accident 6.173865 6.249597 6.040344

18

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Régression A
Call:glm(formula = N ~ age + sexe, family = poisson)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -2.111191

0.127413 -16.570< 2e-16 ***age-0.010135

0.002281-4.442 8.89e-06 ***

sexeH





2.069

0.0385 *--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

Régression B
Call:glm(formula = N ~ cut(age, c(0, 30, 100)) + sexe, family = poisson,
data = basen)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept)-2.37019

0.11272 -21.027< 2e-16 ***age (30,100]-0.28704

0.10988-2.6120.00899 **sexeH

0.149170.07391

2.018

0.04356 *--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Régression C
Call:lm(formula = log(Y) ~ sexe, data = basec)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

6.04034

0.03601 167.734

sexeH





< 2e-16 ***4.642 4.05e-06 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1

Residual standard error: 0.6101 on 791 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.02651,

Adjusted R-squared: 0.02528

F-statistic: 21.54 on 1 and 791 DF,

p-value: 4.046e-06

Régression D
Call:glm(formula = Y ~ sexe, family = Gamma(link = "log"), data = basec)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

6.223070.03791 164.146

sexeH

0.21059

0.04746< 2e-16 ***4.437 1.04e-05 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.4125056)
On suppose que plusieurs compagnies sont en compétition sur le marché.
• compagnie 1 : pas de segmentation• compagnie 2 : modèle A pour les nombres, C pour les coûts

19

20

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

• compagnie 3 : modèle B pour les nombres, C pour les coûts• compagnie 4 : modèle A pour les nombres, D pour les coûts• compagnie 5 : modèle B pour les nombres, D pour les coûts

Question 22 [×4]. Un jeune homme de 20 ans souhaite s’assurer. Quelle compagnie lui
propose la prime pure la plus faible ? Quel est le montant proposé ? [Les calculs serontdétaillés dans la feuille.]

Pour commencer, évaluons les valeurs manquantes dans les deux régressions. Pour larégression A, on sait (c’est dans le cours) que les prédictions par sous-groupes dans une
régression de Poisson de Poisson coı̈ncident avec les fréquences empiriques.
Prenons les personnes d’âge x. Le ratio de la fréquence pour les hommes et pour lesfemmes est ici
exp[βb0 + βb1 · x + βb2 1(H)]= exp[βb2 ]exp[βb0 + βb1 · x + βb2 1(F )]où βb2 est précisément la valeur que l’on cherche, qui a été noircie. Si l’âge était parfaitement
uniforme, et indépendant du sexe, ce ratio doit coı̈ncider avec le ratio des fréquences, deshommes et des femmes, soit ici
exp[βb2 ] ∼0.0838= 1.157139
0.07242soit, en prenant le logarithme, βb2 ∼ log(1.157139) = 0.1459. Comme nous n’avons pas lesâge, il était impossible de calculer exactement les prédictions. Mais un ordre de grandeur
ici suffit.
Pour la régression C, c’est la même chose, car on considère ici une regression linéaire.
C’est même encore plus simple car l’âge n’intervient plus La constante est donc le logcoût moyen pour les femmes ( effectivement, si on regarde dans la table, on retrouve une
moyenne de 6.04034), et la somme des deux coefficients doit correspondre à la moyenne
pour les hommes. Ici, on veut βb tel que
6.04034 + βb = 6.249597
soit βb = 6.249597 − 6.04034 = 0.2093.
Bon, cette fois, on a tout. Pour un homme de 20 ans, on a

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

21

• modèle A, fréquence prédite exp[−2.11191 − 0.010135 · 20 + 0.1459] = 0.114325,• modèle B, fréquence prédite exp[−2.37019 + 0 + 0.14917] = 0.1084984,• modèle C, coût moyen prédit exp[6.04034 + 0.2093 + 0.61012 /2] = 623.7508,• modèle D, coût moyen prédit exp[6.22307 + 0.21059] = 622.4479,
Reste à combiner toutes ces valeurs pour avoir les montants de primes pures affichées parles différentes compagnies• compagnie 1, 0.0793 · 579.669 = 45.96775,• compagnie 2, 0.114325 · 623.7508 = 71.310• compagnie 3, 0.1084984 · 623.7508 = 67.67596• compagnie 4, 0.114325 · 622.4479 = 71.16136• compagnie 5, 0.1084984 · 622.4479 = 67.5346
Il choisira donc la compagnie 1 (qui ne segmente pas). Les hommes et les jeunes était lesplus risqués (signes des coefficients dans les régressions), on aurait pu avoir cette conclusionsans aucun calcul).

Question 23 [×2]. Il trouve la prime trop chère, et demande à sa mère (qui a 50 ans) sielle peut assurer la voiture à son nom. Quelle compagnie proposera la prime pure la plus
faible ? Quel est le montant proposé ? [Les calculs seront détaillés dans la feuille.]

Ce n’est pas très méchant comme question, il faut juste reprendre (rapidement) les
derniers calculs Pour une femme de 50 ans, on a
• modèle A, fréquence prédite exp[−2.11191 − 0.010135 · 50] = 0.07290048,• modèle B, fréquence prédite exp[−2.37019 − 0.28704 · 1 + 0] = 0.07014225,• modèle C, coût moyen prédit exp[6.04034 + 0.61012 /2] = 505.9567,• modèle D, coût moyen prédit exp[6.22307] = 504.2489,
Reste à combiner toutes ces valeurs pour avoir les montants de primes pures affichées parles différentes compagnies• compagnie 1, 0.0793 · 579.669 = 45.96775,• compagnie 2, 0.07290048 · 505.9567 = 36.88449

22

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

• compagnie 3, 0.07014225 · 505.9567 = 35.48894• compagnie 4, 0.07290048 · 504.2489 = 36.75999• compagnie 5, 0.07014225 · 504.2489 = 35.36915
Sa mère choisira donc une compagnie qui propose de segmenter, la compagnie 5 étant ici lamoins chére.

2.3. Tarification, partie 3.
Une autre compagnie arrive sur le marché, et propose d’utiliser une loi exponentielle pourles coûts de sinistresRégression E
Call:glm(formula = Y ~ sexe, family = Gamma(link = "log"), data = basec)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept)

6.223070.05903105.42< 2e-16 ***sexeH

0.21059

0.073902.85

0.00437 **--(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 1)
On a alors• compagnie 6 : modèle A pour les nombres, E pour les coûts

Question 24. Un homme de 30 ans souhaite s’assurer. Quelle serait sa prime pure ? [Lescalculs seront détaillés dans la feuille.]

La loi exponentielle est la loi Gamma, en forçant le paramètre de surdispersion à valoir
1. On a donc la même prédiction qu’avec la loi Gamma. Cette nouvelle compagnie proposeACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201323

le même prix que la compagnie 4. Bon, ici l’assuré a 30 ans, sa prime pure est alors
exp[−2.11191 − 0.010135 · 30 + 0.1459] · exp[6.22307 + 0.21059] = exp[4.1636] = 64.3026.

Question 25 [×4]. Il trouve la prime trop chère, mais cette fois, l’assureur lu propose uncontrat avec une franchise de 100. En supposant les coûts et la fréquence indépendants,
quelle sera la prime pure proposée ? [Les calculs seront détaillés dans la feuille.]

On a ici un contrat avec franchise. Si on pour les coûts une loi exponentielle de moyenneµ (ce qui est le cas ici)
P(Y > y) = exp[−y/µ] si y > 0.
Aussi (on retrouve une propriété centrale du cours de processus),P(Y − d > y|Y > d) =P(Y − d > y)exp[−(y + d)/µ]== exp[−y/µ] si y > 0.
P(Y > d)exp[−d/µ]Bref, on retrouve la même loi exponentielle: la loi exponentielle est sans mémoire (quandon l’utilise sur des durées).
En utilisant la question 20, on avait vu que la prime pure d’un contrat avec franchise
seraitλ · P(Y > d) · E[(Y − d)|Y > d]où λ est la fréquence moyenne de sinistres. Donc ici, avec une loi de Poisson de paramètre
λ et une loi exponentielle de moyenne µ, la prime pure d’un contrat avec franchise serait
λ · exp[−d/µ] · µ,soit exp[−d/µ] fois la prime pure sans franchise, avec ici µ = exp(6.22307 + 0.21059) =622.4479, soit exp[−100/622, 4479] = 0.851585. La nouvelle prime pure serait 15% moinschere que de celle proposé initialement, soit 54.75913.