虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)

虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)品岡寛 (埼玉大学)©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)

自己紹介 https://shinaoka.github.io
経歴
専門

博士 (工学) 2009年3月@東大物工
ポスドク 2009年3月〜2015年9月 (東大、産総研、チューリッヒ連邦工科大)研究室主催＠埼玉大 2015年10月〜

量子多体理論、第一原理計算、幾何学的フラストレート磁性･･･
計算物理バックエンドの開発に興味
ALPS量子モンテカルロコード、スパースモデリング･･･
海外との連携ウィーン工科大学、ミシガン大、フリブール大、ミュンヘン大、King's CollegeLondon･･･©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)宣伝

学術変革領域B「量子古典融合アルゴリズムが拓く計算物質科学」(代表: 品岡)
2023〜2025年度
計画研究班代表: 品岡、大久保、水上
スパースモデリング、テンソルネットワーク、動的平均場理論、密度汎関数理論、
変分波動関数理論、量子情報･･･
JST創発「2粒子レベルの量子埋め込み理論に基づく新規第一原理計算手法の開発と実証」2024年度から基本7年
RA (博士課程学生支援あり)
近日、ポスドク、博士後期課程学生の公募が出る予定！ 詳しくはポスターで©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)

前提知識

虚時間形式グリーン関数の基礎
Python or Juliaの基礎知識
基本文法
多次元配列

...

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何ができる？

虚時間・松原形式に基づく「数値」計算の高速・省メモリ化©2023 品岡寛

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超伝導転移温度の第一原理計算
T. Wang et al., PRB 102, 134503(2020), Nb
メモリの使用量が40分の1に!
[松原周波数 4096点 103点]
計算速度が20倍に!

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他の応用例

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背後にある技術

虚時間グリーン関数のコンパクトな中間表現基底( : inverse temperature, : band width)( : truncation error, )虚時間・虚周波数におけるスパースメッシュ: # of points .
SparseIR.jl (Julia), sparse-ir (Python)©2023 品岡寛

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参考資料

固体物理 2021年6月 温度グリーン関数の情報圧縮に基づく高速量子多体計算法の英語訳・加筆 + 新ライブラリsparse-irに更新

H. Shinaoka et al., SciPost Phys. Lect. Notes 63 (2022)
sparse-ir tutorials (大量のサンプルコード)
https://spm-lab.github.io/sparse-ir-tutorial/index.html
IR基底の基礎、フーリエ変換、２次摂動、FLEX、DMFTなどなど
Python, Julia (Jupyter notebook) + Fortran©2023 品岡寛

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虚時間以外を圧縮したい！: Quantics tensor trains

一般の時空依存性 (実時間、波数依存性など)の圧縮
指数的に異なるエネルギー・長さスケール間の低エンタングルメント構造を仮定
Julia実装 (ITensors.jlベース)

arXiv:2210.12984 (to appear in PRX)
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)概要Part Ii. 虚時間グリーン関数の性質のまとめ
ii. 中間表現基底
iii. スパースサンプリング法©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Imaginary-time Green's functions
Also known as Matsubara Green's functions:whereare operators in the Heisenberg picture (, where().
We use the Hamiltonian formalism throughout this lecture.
©2023 品岡寛,).

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Imaginary-time Green's functions
and are fermionic operators
and are bosonic operators
In general, has a discontinuity at©2023 品岡寛

().
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Imaginary-frequency (Matsubara) Green's functions
Matsubara Green's function:
From,(fermion)(boson)( )These discrete imaginary frequencies are denoted as Matsubara frequencies.
©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Spectral/Lehmann representation
where©2023 品岡寛

is a spectral function.
Matsubara Green's function
Retarded Green's function (not used in this lecture)
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How Greeen's function look like in ?
Example (single pole):

AtFor©2023 品岡寛,,.
, coexisting two time scales :16/48

虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)

How Greeen's function look like in Matsubara
frequency space
Example (single pole):,

At high frequencies,
For, coexisting two energy scales:©2023 品岡寛.
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Difficulties in numerical simulationsIf band width and temperature differ by orders of magnitudes as
Slow power-law decay at high frequencies Large truncation errors
Uniform dense mesh in requires a huge number of points.
Example:Band width 10 eV, superconducting temperature 1 KmeVWe need a compact basis with exponetial convergence.

©2023 品岡寛:

.
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Compact representations

Intermediate represenation (sparse-ir)
Ab initio calculations (Eliashberg theory, GW, Lichtenstein formula)
Diagrammatic calculations (FLEX)
Discrete Lehmann representation (implemented in sparse-ir as well)
Minmax method (from Kresse's group)©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Mathematical background: singular valuedecomposition (SVD)
Any complex-valued matrix of size

can be decomposed as

where
where,,. is a diagonal matrix with nonnegative diagonal elements.
Unique up to a phase if the singular values are non-degenerate.
If is a real matrix, and are also real orthogonal matrices.

©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Intermediate representation

Shinaoka et al. Phys. Rev. B 96, 035147 (2017)©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Analytic continuation kernel
Fermion & boson:

is system independent and©2023 品岡寛.
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Analytic continuation kernel
whereFor bosons,boson. How?
©2023 品岡寛.

at. We want to use the same kernel for fermion &23/48

虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Logistic kernel
whereandis the "logistic kernel" defined asis the modified spectral function

This trick has been widely used in the lattice QCD community for a long time. This wasintroduced into condensed matter physics in J. Kaye et al. (2022).

©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Singular value expansion
We introduce an ultraviolet
Becauseand :and a dimensionless parameterforand.
Singular functions:andIndermediate-represetation basis functions©2023 品岡寛.
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Singular values:

Exponential decay
Number of relevant grows as©2023 品岡寛(only numerical evidence)
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Basis functions:andEven/odd functions for even/odd
roots
Converge to Legendre polynomials at©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Basis functions in Matsubara frequency
Fourier transform can be done numerically.

©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Expansion in IR
wherefunction as. The expansion coefficients can be determined from the spectral

where©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Convergence

converges as fast as .
Example:,©2023 品岡寛.
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Sparse sampling

Li, Wallerberger, Chikano, Yeh, Gull, and Shinaoka, Phys. Rev. B 101, 035144 (2000)©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Sparse time and frequency meshes
Solving Dyson equation for given:

Q. Need to computeon ALL Mastubara frequencies to determine IR coefficients?
A. No, we need to know
on appropriately chosen
sampling frequencies.
©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Dense mesh in ?

Second-order self-energy (Hubbard ):Q: Need to compute on a dense mesh of ?
A: No, we need to know on appropriately chosen©2023 品岡寛

sampling points?
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Sampling points

虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)

Simple rule: extrema (or somewhere in between two adjacent roots) of,,:©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Sampling points

Simple rule: extrema (or somewhere in between two adjacent roots) of,,:©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Transform from time/frequency to IR
Well conditioned fitting problem
Implemented in sparse-ir as stable linear transformwhere we define©2023 品岡寛andis its pseudo inverse.
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Condition number

Small condition number ofIf condition number is , you
may loos digits intransformation (three out of 16digits)©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)

Numerical demonstration
Two-pole model:©2023 品岡寛,: Almost 16 significant digits!

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Stable and efficient numerical transform©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)QA sessions©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)How to implement diagrammatic equations©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Second-order perturbation theory
Solving Dyson equation in frequency space
Evaluating the self-energy in frequency space©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)

Implementation of second-order perturbation theory
Online tutorial
Hubbard model on a square lattice:where and(half filling).
electron with spin at site .
Non-interacting band dispersion:where©2023 品岡寛.

a creation (annihilation) operator for an

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Self-consistent equations©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Self-consistent equations (sparse sampling)

The whole calculaiton can be performed on sparse meshes.
©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)©2023 品岡寛

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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Reconstruction of spectral function

Please read our article in the sparse-ir tutorial!
Q: Can you reconstruct a spectral function from numerical data of
A: Very difficult
wherewhere©2023 品岡寛?

is noise.
and.
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虚時間グリーン関数に対するスパースモデリング入門(1)Reconstruction of spectral function

Q: Can you reconstruct a spectral function from numerical data of
A: Very numerical unstable!
where?

is noise.

whereand.
Noise is amplified by small singular values. ill-posed inverse problem. Needed aregularized solver: MaxEnt, SpM, Nevanlinna etc.
"Nevanlinna.jl: A Julia implementation of Nevanlinna analytic continuation", K. Nogaki, J.
Fei, E. Gull, HS, arXiv:2302.10476v1©2023 品岡寛

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