EXAMEN INTRA (1/3), ACT 2121
ARTHUR CHARPENTIER

Les calculatrices sont autorisées. Les documents sont en revanche interdits.
Il y a 30 questions. Sur la feuille jointe, veuillez reporter vos réponses (une uniqueréponse par question)• vous gagnez 1 points par bonne réponse• vous gagnez 0 point par mauvaise réponse
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1

2

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013

1 Une compagnie fait une offre à quatre consommateurs potentiels. La compagnie croit que la probabilité de faire une vente est de 0.7 pour chacun des trois
premiers consommateurs mais qu’elle est seulement de 0.2 pour le quatrième
consommateur. Les achats d’un consommateur sont indépendants des achatsd’un autre consommateur.
Calculer la probabilité qu’au plus deux consommateurs acceptent l’offre.
A) 40.2%

B) 45.1%

C) 48.7%

D) 52.4%

E) 56.9%

2 Un actuaire fait les constatations suivantes :(i) Le taux d’accident des femmes qui conduisent est 0.015, lequel représente
80% du taux d’accident de tous les conducteurs.
(ii) Le taux d’accident des jeunes hommes qui conduisent est 4 fois le tauxd’accident des hommes adultes qui conduisent.
Nombre de conducteurs selon l’âge et le sexe.
Jeune

AdulteTotal

15 00045 00060 000

Homme 12 000

28 00040 000Total

73 000100 000

Femme

27 000Calculer le taux d’accident pour les jeunes hommes qui conduisent.
A) 3.1%B) 5.1%C) 7.1%D) 9.1%

E) 11.1%

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 201333 Dans une ville de 40 000 habitants on a les informations suivantes :i) 80% des gens ont moins de 70 ans ;ii) 60% ont terminé leurs études secondaires ;iii) 50% gagnent plus de 40 000$ par année ;iv) 75% de ceux qui ont terminé le secondaire ont moins de 70 ans ;v) 50% de ceux qui ont moins de 70 ans gagnent plus de 40 000$ par année ;vi) parmi ceux qui ont 70 ans ou plus et n’ont pas terminé leur secondaire,il y en a 40% qui gagnent plus de 40 000$/an.
Trouver le pourcentage de la population qui a plus de 70 ans, a terminé son
secondaire et gagne moins de 40 000$ par an.
A) 4%

B) 6%

C) 7%

D) 8%

E) 9%

4 Les coefficients a et b de l’équation quadratique x2 +ax+b = 0 sont déterminésen lançant deux fois un dé bien équilibré.
Trouver la probabilité que l’équation admette deux racines réelles distinctes.
A) 17/36

B) 1/6C) 19/36

D) 1/3E) 1/2

5 Vous avez une probabilité de 10% d’échouer le cours A et de 20% d’échouer lecours B (et les probabilités restent les mêmes si vous reprenez un de ces courséchoués). Quelle est la probabilité que vous soyez exclus du programme parceque vous avez échoué 2 fois le cours A ou deux fois le cours B ? (Les cours Aet B sont obligatoires).
A) 0.0144

B) 0.144

C) 0.072

D) 0.0496

E) 0.064

4ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013

6 Dans une classe, il y a 30 pupitres numérotés de 1 à 30. La classe comprend
18 filles et 12 garçons. Trouver la probabilité que le pupitre numéro 18 soitoccupé par une fille.
A) 3/5B) 2/5C) 2/3D) 1/30E) 1/2

7 Deux nombres sont successivement choisis (avec remplacement) dans l’ensemble {1, 2, . . . , 100}.
Trouver la probabilité que le premier soit strictement plus grand que lesecond.
A) 1/2B) 49/100

C) 51/100

D) 99/200

E) 101/200

8 Dans un cours avec 33 inscrits, 17 ont obtenu un A à l’intra et 14 un A aufinal. Si 11 étudiants n’ont obtenu aucun A, combien ont eu deux fois des A ?
A) 22B) 17C) 14D) 11E) 99 Dans un groupe de 3 personnes le taux de décès est 0.2 et dans un groupe de2 personnes le taux de décès est 0.1. Calculer la probabilité qu’au moins 4 deces 5 personnes survivent.
A) 0.385

B) 0.500

C) 0.645

D) 0.792

E) 0.818

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013

510 On estime que 50% des gens répondent à un questionnaire immédiatement etque 40% de ceux qui ne répondent pas immédiatement répondent après unrappel. Un questionnaire est envoyé à 4 personnes et une lettre de rappel àceux qui ne répondent pas immédiatement. Trouver la probabilité qu’au moins
trois des quatre personnes ne répondent pas du tout.
A) 0.084

B) 0.042

C) 0.008

D) 0.25E) 0.025

11 Dans une série éliminatoire où la première équipe à remporter 4 parties emporte la série, l’équipe A mène par deux parties à une. Pour chaque partie laprobabilité que A gagne est 0.7 (et que B gagne 0.3). Trouver la probabilité
que B remporte la série.
A) 12.3%

B) 10.5%

C) 9.2%D) 8.4%E) 7.2%12 Les réclamations sont classées comme petites ou grandes par la compagnied’assurance. La probabilité qu’une réclamation soit petite est 0.75. S’il y a eu
7 réclamations ce mois-ci, trouver la probabilité qu’il y ait eu au moins six
réclamations consécutives qui étaient petites.
A) 31.15%

B) 22.25%

C) 37.75%

D) 44.50%

E) 49.25%

13 Six dés bien équilibrés sont lancés. Trouver la probabilité que le nombre de 1
moins le nombre de 2 soit exactement 3.
A) 0.167

B) 0.080

C) 0.056

D) 0.045

E) 0.030

6ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 201314 Les événements exhaustifs A et B (c’est-à-dire A ∪ B = S) sont définis sur
1
1et P (A|B) = ,le même espace de probabilités S. À partir de P (A) =4
5calculer P (B|A).
A)

1516B)

15C)

34D)

14E)

3
16

15 On vous convie à un rendez-vous avec un(e) charmant(e) étudiant(e) choisi(e)aléatoirement dans le groupe ayant les données ci-dessous. Vous le (la) rencontrez sous la neige. Ses cheveux sont complètement couverts. Cependantses jolis yeux bleus vous souhaitent la bienvenue. Calculer la probabilité pourqu’il(elle) soit blond(e).
couleur des cheveux
couleur des yeux blond brunA)

13B)

35noirbleu

1591brun

8120C)

1523D)

25E)

10740516 Le portfolio d’un assureur comprend 25% d’assurés de moins de 30 ans et 75%d’assurés de plus de 30 ans. Pour un assuré de moins de 30 ans le nombred’accidents en une année suit une loi binomiale avec n = 2 et p = 0.02, pourceux de plus de 30 ans c’est une Bernoulli avec p = 0.01. Si un assuré n’apas eu d’accident l’an dernier, trouver la probabilité qu’il n’ait pas d’accident
cette année.
A) 0.9824

B) 0.9826

C) 0.9828

D) 0.9830

E) 0.9832

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013

717 Cent individus regroupés en dix groupes de dix participent à une longue étudeportant sur leurs habitudes de consommation. On estime à 10% la probabilité
qu’une personne abandonne avant la fin de l’étude et on considère que l’étude
est validée pour un groupe si au moins huit des dix membres du groupe l’ont
complétée.
Trouver la probabilité que l’étude soit validée pour au moins neuf des dixgroupes.
A) 84.76%

B) 80.22%

C) 75.35%

D) 70.88%

E) 65.06%

18 Une compagnie d’assurance détermine que le nombre N de réclamations du1rant une année est tel que P (N = n) = 2n+1. Trouver la probabilité qu’il y ait

un nombre impair de réclamations durant une année donnée.
A)

12B)

23C)

1627D)

13E)

1127

19 Soit X et Y des variables discrètes de distribution conjointe donnée par letableau suivant :X
1
Y

1 1/12

2

3

1/6

0

2 1/18 13/36 1/3

Trouver P (X ≤ 2)
A)

112B)

14C)

536D)

23E)

13

8ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013

20 Pour les variables aléatoires du problème 15, trouver P (X ≥ 2 | Y ≥ 2).
A)

1231B)

1236C)

2527D)

3136E)

536

21 Une compagnie d’assurance fait subir à chaque détenteur potentiel d’une police un examen pour détecter la haute tension artérielle. Soit X la variable
aléatoire nombre d’examens complétés afin de trouver la première personnequi démontre une haute tension artérielle. On a E[X] = 12.5. Calculer la probabilité que la 6ième personne qui subit un examen soit la première à avoir
une haute tension (c’est-à-dire P (X = 6)).
A) 0.053

B) 0.080

C) 0.316

D) 0.394

E) 0.480

22 Pour les assurés d’une compagnie le nombre N de réclamations durant une
4n2année est tel que P (N = n) = k 33n+1
où k est une constante.

Trouver la probabilité qu’il y ait exactement une réclamation durant l’année.
A)

1681B)

13C)

176
729

D)

1699

E)

16729

23 Si X et Y sont des variables aléatoires discrètes dont la fonction de probabilité
1conjointe est fX,Y (x, y) = 21
(x + y) pour x = 1, 2, 3 et y = 1, 2.

La fonction de densité de X sachant que Y = 2 sera :A)

1(x + 2), x = 1, 2, 321D) x + 2, x = 1, 2, 3B)

x+2, x = 1, 2, 3
2x + 3E)C)

1(x + 2), x = 1, 2, 3
12x+2, x = 1, 2, 38ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013

924 Une secrétaire juridique doit dactylographier un document de 200 pages. Onsuppose que sur toute page qu’elle tape le nombre d’erreurs typographiques
suit une loi de Poisson de 3 erreurs par deux pages. De plus, toute page oùelle a fait 3 erreurs ou plus doit être retapée. Trouver l’espérance du nombrede pages tapées pour aboutir à un document “correct” (c’est-à-dire avec pas
plus de 2 coquilles par page).
A) 38.23

B) 47.28

C) 238.23

D) 273.97

E) 247.27

25 On suppose que le nombre de tremblements de terre en t années, soit N (t),suit une loi de Poisson de moyenne 10t. De plus tout tremblement de terre a
une probabilité 0.01 d’être majeur, c’est-à-dire 5 ou plus à l’échelle Richter.
Trouver la probabilité que pendant une période de 3 ans il y ait au moins un
tremblement de terre majeur.
A) 0.175

B) 0.259

C) 0.300

D) 0.325

E) 0.505

26 Le nombre N de réclamations suit une loi de Poisson de paramètre λ = 0.6.
Le montant X de toute réclamation (indépendamment des autres) suit une loi
discrète de distribution P (X = 1) = 0.2, P (X = 2) = 0.3, P (X = 3) = 0.5.
Trouver la probabilité que la réclamation totale S, soit 3 ou plus.
A) 0.2426

B) 0.2626

C) 0.2826

D) 0.3026

E) 0.3226

27 Soit X une variable aléatoire discrète suivant une loi de Poisson de moyenne
2.5. Quel est le mode de X ?
A) 1

B) 0.257

C) 2.5D) 2E) 010ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 201328 Nous sommes en l’an 2245 et la compagnie Wawanasa assure un grand nombrede navettes spaciales, chacune de valeur 100 millions de dollars. Le nombre denavettes détruitent durant une année suit une loi de Poisson de moyenne 2.
Wawanasa rembourse pour un maximum de quatre navettes par année.
Trouver l’écart-type du montant (en millions) du remboursement durant uneannée.
A) 184.8

B) 164.8

C) 144.8

D) 124.8

E) 104.8

29 Le nombre d’accidents de voitures par jour durant le mois de mai au coindes rues St-Denis et Sherbrooke suit une loi de Poisson de moyenne 2. En
supposant l’indépendance d’un jour à l’autre, trouver la probabilité que surune période de 4 jours en mai il y ait exactement deux accidents au coin deSt-Denis et Sherbrooke.
A) 32e−8B) 64e−8C) 16e−4D) 36e−6E) 16e−830 Au service d’urgence d’un hôpital, le nombre de décès par jour suit une loi dePoisson de moyenne 2.
Quelle est la probabilité qu’en 5 jours consécutifs, il y ait un seul décès entout ?
A) 10e−10B) 5e−5C) 32e−10D) 5e−1 (1 − e−1 )4E) 5e−2 (1 − e−2 )4