リングオシレータを用いたカオス回路の結合系
細 川 康 輝Coupling System of Chaotic Circuits Using Ring Oscillators
Yasuteru HOSOKAWA
ABSTRACT
Chaotic circuits have an extensive possibility for engineering applications which have been investigatedby many researchers passionately for the past２０years. In order to realize these applications, chaotic
circuit integration is a necessary.
In this paper, a chaotic circuit using two ring oscillators and its coupling system are proposed.
A chaotic circuit using two ring oscillators is suitable for intergated circuits. Therefore, acoupling system is considered for this application. Chaotic phenomena generated by the proposed
circuit are investigated. The exact solutions are derived, the Lyapunov exponents are calculated
and the bifuractions scenario is explained. Additionally, the coupling system is investigated.
Several interesting phenomena are observed.
KEYWORDS : chaos, electric circuit, intergated circuit, ring oscillator
１

はじめに生回路の実装も容易だと考えられる。回路方程式から厳密解を導出し，数値計算により回路に発生

カオス回路はさまざまな工学的応用の可能性をする分岐現象の調査，リアプノフ指数の計算，カ持っており，近年，多くの研究者により精力的にオス発生の物理的説明などを行う。さらに，提案

１，２）， 回路は集積回路の設計ルールに基づき設計した回調査されている。例えば，カオス通信システム
３，４），時空カオスモ路を利用していることから，大規模結合系の解析デル５，６），電力システム７，８）などである。これらのカオスニューラルネットワークと応用の面からも重要であると考えられる９‐１２）。

応用の実現には，カオス回路の集積化が必要とさ

そこで，具体的な応用として提案した回路をキャれるものも多く，カオス回路の集積化は重要な問パシタで結合した結合系について調査を行い，時題である。

空現象を含む興味深い現象を確認したので報告す

本研究では，リングオシレータを用いたカオスる。

回路とその結合系について調査を行う。提案回路
は，２つの CMOS リングオシレータと２つのダ２リングオシレータを用いたカオス回路

イオード，パラメータ調整用の２つの抵抗とキャパシタから構成されている。提案回路に用いられこれまでに知られているカオス回路のいくつかているリングオシレータは，奇数個のインバータは，すでに集積化の研究がなされおり，すでに実回路を直列に結合した発振器で，極めて簡単な構装されたものもある１３，１４）。これらの回路は電子回造であり，集積回路の製造において性能テストに路としては複雑ではないが，集積化された回路は利用されている。

複雑な構造となってしまう。複雑となる根本的なそれゆえ，リングオシレータを用いたカオス発

原因は，回路がアナログ回路であり，非線形素子受理日：平成１５年１０月１０日

―９９―

細川康輝

図２：本研究で用いられるインバータのモデル．

図１：リングオシレータを用いたカオス回路．

を含んでいることである。したがって，高度なア

図３：リングオシレータで用いられるインバータの簡略化モデル．

ナログ集積化技術が必要である。しかしながら，カオスの魅力の１つは簡単な回路から発生することであるので，集積回路でも簡単な構造でカオス発生回路を設計するべきである。そこで，集積回路上で簡単な構造であるリングオシレータを利用することを考える。CMOS リングオシレータは集積回路上の構造では最も簡単な回路の一つで，! #!
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以上の近似から，回路方程式は以下のようになる。

奇数個のインバータを環状に接続することで発振する。図１は，リングオシレータを用いたカオス発生回路である。
３次の自励振動回路であるリングオシレータ２つをダイオードで結合しており，%#，%$ は振幅を変化させるために接続され，!# は上部発振器の発振周波数を変化させるために接続されている。
$１，$２と CMOS インバータをそれぞれ以下のように近似する。
まず，CMOS インバータの近似は，図２で表

図４：ダイオードのモデル．

されるリングオシレータの CMOS インバータモ
デルを基本とし，１つのインバータに着目する。
入力端子に関連する全ての寄生容量には，前段の出力端子に関連する全ての寄生容量が並列に接続されている。また，入力抵抗は前段の出力抵抗と並列に接続されている。それゆえ，図３のような簡単なモデルを得ることができる。
$１と $２は図４のように相方向に結合したダイオードと同じ特性をもつので，$１と $２は以下のような３領域の区分線形関数として表すことができる。
―１００―/'# #! # / !#, / "!)
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"リングオシレータを用いたカオス回路の結合系

但し，!#!
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ここで，以下の変数およびパラメータの変換を行うと，#'.
+"0"/)# # #+#'#'" ,$-($-(#!
%#"*#" &# ! " )# # "!"!#####'# " (# !
#'#$図６：リングオシレータを用いたカオス発生回路のアト
ラクタ．%＝４，&＝０．
１，)＝４．
５，'＝７０and (＝２．
４．

オス発生回路の数値実験結果である。図５と図６"タについても調査し同様のアトラクタと分岐現象が得られため回路モデルが妥当だと考えられる。

正規化した回路方程式は以下のようになる。

図６の!ではカオス解が，"では周期解がみられるが，どちらも同じパラメータで発生しており，

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!を比較すると，大きな差異はなく，他のパラメー初期値のみが異なっている。次章で述べる結合系にみられる現象にはこの特徴が利用されている。
#式#および$とシミュレーションに用いた値から，特性方程式は２つの実数解と２組の複素数解をもつことがわかるので，区分線形関数で分けら

但し，!/"%"/(!#for /%!/
( $#$*' #""%!/( $#０for !#$/$!
%!/("#for /%!/
( #!##/$

図５：図１の回路の SPICE シミュレーション結果．

図５は，図１の回路の SPICE シミュレーショ
ン結果で，図６は，リングオシレータを用いたカ

図７：!分岐図"最大リアプノフ指数．%＝４．
０，&＝０．
１，)＝５．
０ and '＝５０．

―１０１―

細川康輝

れた各領域について厳密解を導出することができる。さらに，ポアンカレマップのヤコビ行列も厳密解より導くことができ，ヤコビ行列を用いることにより，最大リアプノフ指数を計算することができる。図７は１変数の分岐図とそのときの最大リアプノフ指数を表しており，１周期軌道!からトーラス"，$へと分岐し，いくつかの窓#を経て，トーラスの崩壊%，&し，カオス'，(へと至る様子が観察される。
図９：数値実験結果：１つの SAP の場合．

３ カオス回路の結合系
図８は本研究のカオス発生回路結合系を表している。図１の回路をキャパシタで結合しており，結合している節点は図１の #% である。結合系の方程式は式!とほぼ同じで，第３式だけが以下のように異なる。

図１０：数値実験結果：すべての回路が６"のような状態の場合．

図８：カオス発生回路の結合系．

全ての結合キャパシタ値を !$とし，%# !$ と!"!#
おくと，１段目
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"&
#&#
&&#% = !"!
#%!!
#$!"

"&!"%
#%,
n 段目
&$"#"
"&
#&%
&&%%= !"!
%%!!
%$!"&%%!&!"%!
,!
%"%!#"

図１１：数値実験結果：３つの SAP の場合．

#の数値実験結果を表している。横軸を時間，縦軸

最終 N 段目&$"#""&#&"&&"%= !"!
"%!!
"$!"
&!"%
!
%,"!#"

を各発振器の振幅としている。図６の"のような$振幅が小さい状態となる 部 分（Small AmplitudePart 以下 SAP）が系に１つ，あるいは複数存在となる。結合系の数値実験では図６と同じ値を利することを確認した。図９は SAP が１つの場合用し，カオス発生回路の数を２５とする。まず，時である。この場合，SAP の位置は不規則に変化% について，さま間軸に対する各発振器の振幅 &する。図１０ではすべての発振器が振幅が小さい状ざまな初期値を用い調査する。図９−１３は結合系態となっている。図１１は３つの SAP が観察され―１０２―

リングオシレータを用いたカオス回路の結合系

図１６：小振幅の極大値の分布：図１１の場合．
図１２：数値実験結果：２つの SAP の場合．

図１７：小振幅の極大値の分布：図１２，１３の場合．

図１３：数値実験結果：２つの SAP が不規則に動く場合（図１２の続き）．ているが，これらの SAP の位置は変化しない。
２５段の場合，４つあるいはそれ以上の SAP は観測できなかったため，ひとつの SAP が存在するためには，およそ７つの回路が必要だと考えられる。図１２では，２つの SAP がみられる。基本的には，これらの SAP は安定であるが，まれに図１３のようにその位置が不規則に変化する。すべての回路の初期値を同一にした場合，SAP が存在しない状態から，図９のような SAP が１つ存在する状態になった。それゆえ，この系は，SAP

図１４：小振幅の極大値の分布：図９の場合．

を生成しようとしていると考えられる。また，これらの結果から，SAP 同士は近付くことを避けていると考えられる。
次に，SAP の極大値の数について調査する。
これは各回路に対する SAP の分布を計算することである。図１２−１５は 図７−１１に 対 応 す る SAPの極大値の数を表している。横軸はカオス回路は番号，縦軸は SAP の極大値の数である。図１２では SAP が１１から１５番目の回路の間に存在していることが分かる。図１２は均一に SAP がみられる。

図１５：小振幅の極大値の分布：図１０の場合．

図１４では，３つの SAP がみられるが，左右対象―１０３―細川康輝になっていることが興味深い。図１５では２つのcations, Proc. ISCAS’97, vol.２, pp.１０３７‐１０７６, Jun.１９９７.

SAP がみられる。主に６および２０番目周辺が多［２］Special Session on Spread Spectrum Communication-いが，その間にも，数は少ないが存在している。

sand Chaos, Proc. ECCTD’97, vol.１, pp.２
７２‐
３４１, Aug．
１９９７．
［３］K. Aihara, T. Takabe, and M. Toyoda, Chaotic Neural

これは，図１１のまれに位置が変化している部分

Networks, Physics Lett. A, vol.１
４４, nos.６and７, pp.３
３３‐が数えられているためだと考えられ，この図から

３４０, Mar.１
９９０.
［４］T. Yamada and K. Aihara, Chaotic Neural Network

もまれな現象であることが分かる。

and Optimization Problems : Complex Computational

４Dynami cs, Proc. NOLTA’94, pp.１５７‐
１６０, Oct.１９９４.

ま と め［５］A. L. Zheleznyak and L. O. Chua, Coexistence of Lowand High-Dimensional Spatiotemporal Chaos in a Chainof Dissipatively Coupled Chua’s Circuits, Int. J. Bifurcation

本研究では，リングオシレータを利用したカオス回路とその結合系について調査した。その結果，
このカオス回路がカオス解を持つこと，カオスへ

Chaos, vol.４, no.３, pp.６３９‐
６７４,１９９４.
［６］Y. Nishio and A. Ushida, Spatio-Temporal Chaos inSimple Coupled Chaotic Circuits, IEEE Trans. Circuits

至るルート，同じパラメータで２つの解を持つことなどを明らかにした。このカオス回路は集積回

Syst.I , vol.４２, no.１０, pp.６７８‐
６８６, Oct.１
９９５.
［７］J. H. B. Deane, Chaos in a Current-Mode Controlled
Boost dc-dc Converter, IEEE Trans. Circuits Syst. I , vol.

路として実現する場合，これまでに無く簡単な構造をもつことから，製造プロセスの誤差にも強く，

３９, no.８, pp.６８０‐
６８３, Aug.１
９９２.
［８］T. Saito and W. Schwarz, Switched Dynamical Systems

さまざまな工学的応用に利用できると考えられる。

with Double Periodic Inputs : An Analysis Tool and

提案回路を用いた結合系の調査としては，さまIts Application to the Buck-Boost Converter, IEEE Trans.
Circuits Syst. I, vol.４７, no.７, pp.１０３８‐１０４６, Jul.２０００.

ざまな初期値について数値実験を行い，系は SAPを生成しようとすること，そして，SAP 同士は近付くことを避けるという特性があることを確認［９］K. Kaneko, Theory and Applications of Coupled Map
Lattices, John Wiley & Sons,１９９３.
［１０］A. L. Zheleznyak and L. O. Chua, Coexistence of Low-

した。

and High-Dimensional Spatiotemporal Chaos in a Chainof Dissipatively Coupled Chua’s Circuits, Int. J. Bifurcation

また，数値実験結果を全体をみると，１つのSAP には７つ程度のカオス発生回路が必要であると推測される。確認された現象のいくつかは，and Chaos, vol.４, no.３, pp.６３９‐
６７４,１９９４.
［１１］Y. Nishio and A. Ushida, Spatio-Temporal Chaos in
Simple Coupled Chaotic Circuits, IEEE Trans. on Circuits

不規則に SAP の位置が変化しているが，これはand Systems I , vol.４２, no.１０, pp.６
７８‐
６８９, Oct.１
９９５.

各回路のカオス的振舞いが影響していると考えら［１２］M. Miyamura, Y. Nishio and A. Ushida, Clustering in

れ，SAP の数が多い場合には，SAP 同士が近付

Globally Coupled System of Chaotic Circuits, Proc. of

くことを避けると言う特性と，１つの SAP にはISCAS’02, vol.３, pp.５７‐
６０, May２００２.
´［１３］JoseM. Cruz and Leon O. Chua A CMOSIC Nonlinear

７つ程度の回路が必要なため，不規則な変化がみ

Resistor for Chua’s Circuit, IEEE Trans. Circuits Syst. I ,られなくなると考えられる。

vol.３
９, no.１
２, pp.９８５‐
９９５, Dec.１
９９２.
´［１４］Manuel Delgado-Restituto and Angel Rodriguez
DesignConsiderations for Integrated Continuous-Time Chaotic

参考文献

Oscillators, IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol.４
５, no４,４
８１‐
４９５, Apr.１
９９８.

［１］Special Session on Applications of Chaos in Communi-―１０４―（細川康輝：四国大学計算機科学研究室）