計算物理春の学校 2023 3.13 – 3.15

ランダムスピン系の解析における１次元 Branching MERA 状態の有⽤性検証と最適化⼿法の⾼度化
渡辺 亮

(1)

藤井啓佑

(1,2,3)上⽥ 宏(2)（1）⼤阪⼤学⼤学院 基礎⼯学研究科 システム創成専攻 （2）⼤阪⼤学 量⼦情報・量⼦⽣命研究センター（3）理化学研究所 量⼦コンピューティング研究センター

テンソルネットワーク法による基底状態探索• 量⼦多体系におけるテンソルネットワーク（TN）状態

Ψ =#!!

!

!"

⋯!

!#

• 16サイト系の解析• MERAを構成するテンソルのボンド次元𝜒, 𝜒′は2に固定

Multi-scale Entanglement
Renormalization Ansatz

Tree Tensor Network• 段階的な分岐の追加を⾏いMERAから全分岐Branching MERAまでのエネルギー誤差の変化を観察⋯≈𝜓• 数値実験• 100サンプリングアンサンブル

Matrix Product State𝐶",$,⋯& 𝜓" 𝜓$ ⋯ 𝜓&• 初期状態は各状態で固定. ハミルトニアンの係数はseed = 1~100［先⾏研究］• 実空間⼀様系の基底状態• 各テンソルはEvenbly&Vidalアルゴリズムで最適化

MERAによる無限サイズスピン系基底状態探索• MERA最適化Iterationは1000回. 1回のMERA最適化過程で各テンソルは1度だけ最適化• エンタングルメント・エントロピー（EE）の⾯積則

最適化対象テンソル 𝑤'

Evenbly&Vidal アルゴリズム• MPS : 1次元系の⾯積則

Phys.Rev.B.79.144108 (2009)

𝑂 𝑤' , 𝑤'( = Tr ! 𝑤' ℎ* 𝑤'( 𝑁) + c• MERA : 1D対数補正付き⾯積則、2D以上は⾯積則⟨𝜓|ℎ&TN State

𝑂 𝑤' = Tr 𝑤' Γ+ + c 局所変数参照・局所最適化

Volume row

Γ+ = 𝑉𝑆𝑊 ( として、𝑤, = −𝑊𝑉 (|𝜓⟩Area rowℎ- は負定値⾏列になるようにℎ- → ℎ- − 𝛾𝐼 (𝛾 > 0)と変換する𝑤'$• 結果

Ising model

Phys.Rev.B.79.144108 (2009)• 実空間⾮⼀様系の基底状態

𝒪(𝛾 4" )でステップサイズに関わる変数を𝑤%だけにして線形化

MERAによる1Dイジング⾃発磁化の解析

Hilbert Space : 𝑑 !

)XYZ model

量⼦化学系ハミルトニアン• エンタングルメント構造が⾮⾃明 : ⼀般にEEの⾯積則は満たさない例）量⼦化学系、⻑距離相互作⽤系、実時間発展系

Journal of Chemical Theory and Computation 11, 1027 (2015)• 実空間⾮⼀様系に対するTN状態
Isometry• ⻑距離相関、多体相関を効率的に取り込むことが可能な構造 : ループ構造

𝐸WX − 𝐸Y.Z[W4=|Δ|𝐸Y.Z[W• ループ構造を含むTN状態の代表例）MERA、Branching MERA
Branching MERA : Isometryを分岐させループ構造を付加
TTN

段階的な構造変化により⾯積則から体積則をカバー(a)(b)000MERA structure& holographic
tree 0MERA

13001210000576140283(d)1211510015340Ising 模型は明らかに局所解にトラップしているが12179145分岐を追加することで、誤差は⼩さくなる

1015761401320191082001676441891450111710150001610013119(c)01800110

MERA最適化の改良

8324(f)(e)• トップテンソルの2次形式対⾓化
arXiv:1708.09213 (2019)tree3tree2tree1⽬的EE

Volume row

Area row

トップテンソルに関しては⼆次形式対⾓化により直接最⼩固有ベクトルを導出可能𝑚′𝑛′

局所変数参照、局所変数空間内の（線形化しない）⼤域的最適化

𝑚′

実空間⾮⼀様系解析におけるMERA状態のループ構造追加効果の調査

𝑛′𝑚• 意義𝑚• ⾮⼀様系解析に対して適切なTN表現（Ansatz）を系統的に与えるための指標となる-3ℎ*(ℎ*((ℎ&'-30ℎO0 12,1$2$ = ⟨𝑚𝑛| ℎ-3𝑚0 𝑛0Ψ)*∑ ℎO0 12,1$2$ の厳密対⾓化より基底状態 Ψ12𝑤12," = Ψ12𝑛𝑛16site XYZ model• TN法に基づく新たな量⼦-古典ハイブリッド計算プロトコル開発の⼿がかりとなる［補⾜］TN法における計算上の問題点• MERAを構成するテンソルに並進対称性制約が無い全テンソルの縮約計算を⾏うため⼤規模化が困難• MERAからBranching MERAの構造変化によって縮約計算コストが増⼤
量⼦回路表現から量⼦計算機を⽤いて克服可能［参考］局所テンソルの性質
Isometry＝𝜒𝜒𝑤∈ℂ! ! ×!#

00＝

12

10＝5𝑤 𝑤 = 𝕀!# } where 𝜒 ≥ 𝜒′.if 𝜒 = 𝜒 ,%𝑤 is disentangler else one is isometry.

#%

007

6140215

83

40010

18

121115
7

62000

19

1015

312

10440

17
914

580

13

20

16

914
100

17

540

13

1610(c)

0

11

900

1800

11

$

0

13

𝜒Disentangler
𝜒𝜒

(b) 0

000 ⊗($%$&)

𝜒′𝜒

(a)

76115

210834

MERA、Branching MERAの量⼦回路表現（ 𝜒 = 2, 𝜒′ = 2 ）

(d)

(f)

(e)

分岐が増えることでトップテンソルの数も増えるため収束速度が向上• 学習率の導⼊ arXiv:2209.00595 (2022)［補⾜］既存の変分量⼦アルゴリズム（VQAs）における問題点• VQAs : 期待値計算を含む内積計算を量⼦計算に託し、パラメーター最適化を古典計算によって⾏う変分法• Barren plateaus（BP）

Evenbly&Vidalアルゴリズム

局所変数参照最良選択的アルゴリズム

トップテンソル2次対⾓化

学習率の導⼊によって緩やかな更新を促す• 量⼦ビット数に対して指数関数的にコスト関数の勾配が消失する現象

𝑡𝑡

𝑛量⼦ビット数

𝐻 𝜃

コスト関数

𝜃

パラメーター

特に回路深さが深いランダム回路において顕著に現れる現象

𝑤%

𝑤%+𝑤,

𝑤-𝑤%+𝑤,

最適化対象テンソルを 𝑤!、それの最適化後テンソルを 𝑤"
学習率を導⼊した最適化後テンソル 𝑤 # は𝑤 # = 𝑤! 𝑤!$𝑤%

8site XYZ 最下層テンソル&𝑡 ∈ 0, 18site XYZ トップテンソル

学習率を0.25あたりから徐々に⼤きくすると有効機械学習などの⾮⼀様系解析に対する性質の良いAnsatzの提供は難しく、通常ランダム回路を使⽤初期パラメーターの⼯夫でBPを避けることができる

Nサイト全結合型ランダムスピン系の解析• ハミルトニアン- % %𝐻%&'() = ∑*+, 𝐽*,𝑍* 𝑍, + ∑* ℎ*. 𝑋)*2. ) )- % %𝐻/01 = ∑*+, 𝐽*,
𝑋* 𝑋, + 𝐽*, 𝑌)* 𝑌), + 𝐽*,
𝑍* 𝑍,

ただし、 𝑂)345 = 𝑂)5.

. 2 𝐽*,, 𝐽*, , 𝐽*, , ℎ*. ∈ [−1, 1)⼀様分布サンプリング.

Email : u293494e@ecs.osaka-u.ac.jp

今後の展望あるイタレーションでの学習率vs誤差(その他イタレーションでは学習率1)• MERA最適化の⾼度化
前処理付き最適化・多様体最適化の⾼速化

SciPost Phys., 10, 040. (2021)• 問題に依存したTN状態を提供するための構造最適化• 局所構造の組み換えによる最適構造探索