UTe2におけるトポロジカル結晶超伝導の実現可能性
arXiv:2302.09858

鄭従真 水島健
大阪大学大学院

藤本聡

基礎工学研究科

背景 : UTe2における超伝導

結晶対称性によるトポロジカル不変量

スピントリプレット超伝導

1次元（１D）巻き付き数l全方向の高い上部臨界磁場Hc2
lField-reentrant、Field-reinforcement

通常(DIII class)のカイラル演算子

その一方で、磁気秩序を持たない

対称操作 U (C, M) でギャップ関数が変化しない場合（偶パリティ)<latexit sha1_base64="a0BH3ZtvOWaLDHIOoQ1DdOm9bDs=">AAACgXichVHLLgRBFD3aezxmsJGwmJgQEpncEa+wETY2Eq9Bgky6WzGd6Ve6ayZhMhaWfsDCikQQK37Bxg9Y+ASxJLGxcKenQxDcTlede+qeW6eqNNc0fEn0UKVU19TW1Tc0RpqaW1qjsbb2Fd/Je7pI647peGua6gvTsEVaGtIUa64nVEszxaqWmymvrxaE5xuOvSx3XbFpqTu2sW3oqmQqE+tOx/s3LFVmddUszpQG9z+SudJAJpagJAUR/wlSIUggjHkndo4NbMGBjjwsCNiQjE2o8PlbRwoEl7lNFJnzGBnBukAJEdbmuUpwhcpsjscdztZD1ua83NMP1DrvYvLvsTKOXrqnS3qmO7qiR3r7tVcx6FH2ssuzVtEKNxM97Fx6/Vdl8SyR/VT96VliG+OBV4O9uwFTPoVe0Rf2jp6XJhZ7i310Sk/s/4Qe6JZPYBde9LMFsXiMCD9A6vt1/wQrQ8nUaHJkYTgxNR0+RQO60IN+vu8xTGEW80jzvge4wDVulGplQCFlqFKqVIWaDnwJZfIdn02UJg==</latexit>

時間反転対称性を持つ(DIII class)
トポロジカル超伝導の候補物質

新しいカイラル演算子<latexit sha1_base64="9VJjS8bRC2urM+kc2zVIb8uPbP8=">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</latexit>[ U , ⇥] = 0BDI classのカイラル演算子が満たす性質

表面や渦にマヨラナ準粒子が現れる
Fig. 1 上部臨界磁場Hc2[1]1次元の巻き付き数がZトポロジカル数として定義できる

de Haas-van Alphen効果によるFermi面の観測[2]14⇡i<latexit sha1_base64="EpzD7wo5+p5wTHENZVM8jNyqmwk=">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</latexit>

lシリンダー形状の電子ホールフェルミ面を持つ(Fig. 2)
l3次元 DIII classのトポロジカル数は自明な値を持つ

wU (kk ) =Z

dk? tr[1UH@k? H(k? ) ]ミラーChern数

点群対称性（ミラー、回転）を用いた別のトポロジカル数が有限になる可能性

ミラーの固有値のセクターでChern数が有限になる

シリンダー形状のフェルミ面を持つUTe2がトポロジカル結晶超伝導であるか否か数値計算によって確かめる。

ホール面
電子面

結果と考察
𝑎軸に垂直な表面を持つAu状態(a)Fig. 2 (a) dHvA 振動の実験の結果 (b) バンド計算で予測されるシリンダーフェルミ面とdHvA振動 [2](b)Fig. 3 本研究のモデルハミルトニアン
が作るシリンダー型のフェルミ面

手法 : モデルと数値計算
UTe2は体心直方晶、空間群:に属し、単位砲に2個のU原子がc軸上に並んだ構造を持つ。

モデルハミルトニアン
D2h の対称性を持つ 2軌道2スピンの自由度をもつ系

Hn = ✏0 (k) + fx (k)⌧x + fy (k)⌧y + g(k) · ⌧z<latexit sha1_base64="wAQTXbDJFLw/zj8snSRMbBMzTYs=">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</latexit>①

Fig. 4 (上段）𝑎軸に垂直な表面を持つAu状態の準粒子励起スペクトル(a)(b)それぞれ4重縮退したギャップレスモードを持つ（下段）2次元 BZと交差するフェルミ面②: 軌道のパウリ行列(a) 𝑎𝑏ミラー面上 kc = 0 のギャップレスモード<latexit sha1_base64="F0g9p7vh1rxS3D34pmf1gMK3ZVY=">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</latexit>

このハミルトニアンはシリンダー型の電子フェルミ面 [Fig. 2(オレンジ)]を再現⌫ab = 2(b) 𝑎 軸周りの2回回転軸上 kb = ⇡ kc = ⇡ のギャップレスモード<latexit sha1_base64="mXm2h/CUlOAsezXrXXYwn+5zDVY=">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</latexit>

ミラーChern数

ギャップ関数<latexit sha1_base64="z5pI0O6Gnw62LvBssrACFEY/LUM=">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</latexit>

二つのU原子のf軌道がスピントリプレット・奇パリティのクーパー対状態に凝縮<latexit sha1_base64="rBjLAqNUghYghZV7yU2UP5nt7V4=">AAACpHichVFNSxtBGH5c26rR1tRehF6CQbGXMCulFkEU7aEHD2qMCq4us5tJHDL7we4kEJf8gf4BD55akCL+DC+FXuvBnyA9WuilB9/dLBSV1nfZeZ955n3eeWbGCZWMNWNXA8bgk6fPhoZHCqNjz1+MF19ObMdBO3JFzQ1UEO06PBZK+qKmpVZiN4wE9xwldpzWarq+0xFRLAN/S3dDse/xpi8b0uWaKLu4ZH0QSnM7Med6s603pcWStDyuD51GUk8Jy60H2nICVY+7HqXEimXT471+srt2scwqLIvSQ2DmoIw81oPiV1ioI4CLNjwI+NCEFThi+vZggiEkbh8JcREhma0L9FAgbZuqBFVwYls0Nmm2l7M+zdOecaZ2aRdFf0TKEqbZJTtjN+wbO2fX7M8/eyVZj9RLl7LT14rQHv80Wf39qMqjrHH4V/VfzxoNvM+8SvIeZkx6Crev7xwd31QXNqeTGfaF/ST/n9kVu6AT+J1f7umG2DxBgR7AvH/dD8H2XMV8VzE33paXV/KnGMZrTGGW7nsey/iIddRo31N8xw9cGjPGmlE1av1SYyDXvMKdMA5uAd4xou8=</latexit>

12 (k) = id(k) ·Au状態は回転に対して偶パリティy

1D 巻き付き数が定義可能

時間反転対称性を持つユニタリー超伝導を仮定すれば、実現し得るdベクトルは対称群D2h の既約表現(IR)のいずれか：Au, B1u, B2u, B3u

フェルミ面公式<latexit sha1_base64="w5MTUmXYHQuWkc07NWoajxeWgko=">AAACxnichVFLSxxBEC4nL9083CQXwcuQxWAuS23Ii0BAFMWjj6wKO0vTM9uuzfY8mO5Z2TQDnvMHcvCkICHkZ+SQ/IEc/Akh5KToJYfUzg4EI0mq6a6vv6qvurrbT5TUBvF4zLly9dr1G+MTlZu3bt+ZrN69t6HjLA1EM4hVnG75XAslI9E00iixlaSCh74Sm35vYRjf7ItUyzh6bQaJaIe8G8ltGXBDFKvyXWa9kJudgCu7kDOeu69cT2chs4uznh+rjh6E5GwvZ0uPKIa5W+SnodXdKG91GG9fILyEp0ZyxWyPqi22WbWGdSzMvQwaJahBaStx9T140IEYAsggBAERGMIKOGgaLWgAQkJcGyxxKSFZxAXkUCFtRlmCMjixPVq7tGuVbET7YU1dqAM6RdFMSenCDH7FD3iCX/AjfsOff61lixrDXgbk/ZFWJGzy7dT6+X9VIXkDO79V/+zZwDa8KHqV1HtSMMNbBCN9/827k/WXazP2IR7id+r/AI/xE90g6p8GR6tibR8q9AGNP5/7Mth4XG88qz9dfVKbmy+/Yhym4QHM0ns/hzlYhhVo0rmf4Qecwbmz7ERO5uyOUp2xUnMfLpiz9wtq3rHs</latexit>

w Ca =

表面マヨラナゼロモード(MZM)の存在を調べるために、一軸方向の表面
x? = 0 、x? = L = 50 の開面 (x? = a, b, c) を持つ境界条件でBdG
ハミルトニアンを対角化する。
<latexit sha1_base64="rwMtMipwVZdXfMHN6+HE27Tct7A=">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</latexit><latexit sha1_base64="AOyXl+vRDG6q4kpOz5Sfk4mFDx4=">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</latexit><latexit sha1_base64="6JgbqnXhQTXzqcC638QLFB/tc4A=">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</latexit><latexit sha1_base64="sqEhmSgeC+FyItHo0aGnzS3/KCs=">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</latexit>

BdG ハミルトニアン : H(k) =✓Hn (k)†(k)(k)
HnT ( k)Table 1. 対称群D2h の既約表現と基底関数◆X

sgn[da ]sgn[@ka E]

E(kF )=0

ホール面（緑）を考慮すると
l ミラーChern数にホール面の寄与が加わる

モデル依存

電子バンドと同符号のギャップ関数
電子バンドとホールバンドのホッピングがMZMをギャップアウトする可能性
lの回転軸に1D巻き付き数由来の4重縮退したMZM

B1u、B2u、B3uでも同様に結晶対称面でMZMが現れる。
シリンダーFermi面を持つUTe2はトポロジカル結晶超伝導である。
[1] A. Dai, et al. : Journal of physics: Condens. Matter 34, 243002 (2022).
[2] A. Dai, et al. : Journal of the Physical Society of Japan. 91, 083704(2022).