平成 22 年度理数教育専修士・卒業論文発表会資料

算数・数学学習におけるわり算に関する研究～概念領域に焦点を当てて～
鳥取大学地域学部地域教育学科 柏木美穂
指導教官 溝口達也
卒業論文における章構成

6.2 今後の課題

第 1 章 研究の目的と方法※ 引用・参考文献

1.1 研究の動機
1.2 研究の目的

1．研究の目的と方法

1.3 研究の方法

1.1 研究の動機

第 2 章 G.Vergnaud（1988）の視点の考察

現在，学習内容の系統性や学習の連続性が重2.1 Conceptual Fields（概念領域）要視され，このことを踏まえた学習指導が求め

2.2

Theorems-in-action（行為における定理）られている．しかし，現状では学習指導要領や

2.3

Multiplicative Structures（乗法構造）

教科書の教師用解説書に系統図として示されて

2.4

筆者の考察いるものを見ても，単に単元名を並べているだ

第 3 章 数学におけるわり算の位置づけについけのものがほとんどであり，各学年，学校種間ての検討において，どのような考えがどのようにつなが3.1 わり算の問題から見えるものっているのかが見えにくく，ここには学年を通

3.2 わり算と単位元，逆元した概念のつながりを本質的に見ようとする視3.3 問題場面での検証点が欠けていると考える．

第 4 章 算数・数学教育におけるわり算の学習

筆者は，今までに学習した知識を使って何と内容の系統か問題を解決しようとする子どもを育てたいと

4.1 除法は乗法の逆演算考えている．このような子どもを育てるために

4.2 かけ算

は，子どもたちが今までに学習した知識を生か4.3 わり算し，積み重ねていくことができるような学習指4.4 わり算の学習内容の系統導が必要である．
そこで，四則計算においても，

第 5 章 わり算についての教材論理の検討

その考えのつながりや変化を学年を通して見る

5.1 これまでの学習指導と本研究のねらいことが必要ではないかと考え，本研究ではその5.2 数直線上の対応図に関する構造分析中でとくに，以前からも表現に関する一貫性と5.3 数直線上の対応図の有効性いう問題点が指摘されてきたわり算について取

5.4 数直線上の対応図を用いたよりよいわりり上げることにした．

算の学習指導の設計を行うために
5.5 学習指導の設計

1.2 研究の目的と方法

5.6 本研究の視点から見た教材論理の系統

本研究の目的は，子どもたちが今までに学習第 6 章 研究から得られた結果と今後の課題した知識を生かし，積み重ねていくことができ

6.1 研究の結果から得られた結論

るような学習指導を設計するために，わり算を柏木－1－

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本質的な視点から分析し，各学年でのわり算の枠組みになりうる．

学び方を表すための枠組みを用いて，わり算に3．数学におけるわり算の位置づけの検討ついて教材を論理立てることである．
本研究の目的を達成するために，以下のようわり算の問題では，1 にあたるものを求めるな5つの研究課題を挙げ，研究を進めた．

問題がほとんどである．文献の考察から，この【研究課題1】

1 にあたるものを求めるということには，除法各学年でのわり算の学び方はどのような枠組みは，数学的には乗法の逆演算として定義されるで表すことができるかが，単位元が 1 である乗法についての逆元を考【研究課題 2】

えると，乗法の逆演算が登場するという数学に数学的に見てわり算とはそもそもどのようなもおけるわり算の位置づけがあるということが明のからかとなった．

【研究課題3】

このことは，実際のわり算の問題場面の計算

算数・数学教育においてわり算の学習内容の系過程において，1 を作っていることが確認でき統はどのようになっているかることから，単位元が 1 であるかけ算について【研究課題4】の逆元を求めるという考えが用いられているこ

よりよいわり算の学習指導をどのように設計すとが明らかとなった．また，1 にあたるものをるか求める場合でない場合においても，その計算過【研究課題 5】程において，単位元が 1 であるかけ算についてどのようにわり算について教材を論理立てるかの逆元を求めるという考えが用いられているこ

これら5つの研究課題が解決されることで，本とを確認することができることから，1 にあた研究の目的は達成される．

るものを求めるということが前提となっていると解釈することができることが明らかとなった．

2．G.Vergnaud（1988）の視点の考察
本研究では，子どもたちがそれまでにどのよ

4．算数・数学教育におけるわり算の系統うな考えをどのように学んで来ており，今後の先行研究から，数学では除法は乗法の逆演算学習にそれらをどのように生かし，1 つの概念であると定義されており，わり算の学習内容のについて理解していくのかを表す枠組みが必要

系統を把握するにあたっては，かけ算の学習内である．そこで，各学年でのわり算の学び方を容の系統についても，把握する必要があるとい表す枠組みを構築するための方法について明らうことが明らかとなった．さらに，各学年におかにするために，概念領域に焦点を当てて乗法けるかけ算，わり算の学習内容の系統について構造の系統的研究を行った G.Vergnaud（1988） 検討し，それらを「わり算の学習内容の系統表」の視点を考察し，以下のような枠組みを得た．

として示した（柏木－5－参照）．ここから，学Theorems-in-action（行為における定理）を数年を通して用いられており，今までに学習した学的な語で表すこと知識を生かし，積み重ねていくことができるよ

多様な解決を数学的な語を用いて一般的に表

うな学習指導を考えるにあたって重視するべきすことで，場面に依存せず考え方の違いを表す3つの関係が明らかとなった．それは，以下にことができ，各学年でのわり算の学び方を表す示す関係である．

柏木－2－

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Ⅰ

除法は乗法の逆演算であるという関係

各学年のわり算の学習で用いられる考え方は，

Ⅱ除数及び被除数に同じ数をかけても同じ等分除の場合，包含除の場合，除数が有理数で数で割っても商は変わらない」という関係あるわり算の場合の 3 つであるが，それらの異Ⅲなる考え方は 2 本の数直線上の対応図という道「基準量×割合」とその逆演算の関係具を用いてすべて表すことができる．
5．わり算についての教材論理の検討

2 点目：数学的な本質という点

5.1 これまでの学習指導と本研究のねらい

3 で述べたように，逆元を考えようとすると，本研究ではわり算について取り上げている．

逆演算が登場する．
実際に子どもたちが単位元，数学では，除法は乗法の逆演算と定義されてお逆元ということを知っているわけではないが，り，教科書では各学年においてかけ算を学習し数直線上の対応図を用いて，わり算の計算の過た後にわり算を学習するようになっている．計程を図上で見ることで，単位元が 1 である乗法算の意味を説明する際の道具に着目すると，5の逆元を考えるとわり算が登場することを確認

年生の小数のかけ算・わり算では線分図，6 年することができる．

生の分数のかけ算・わり算では面積図を用いるというように，それぞれの表現の特徴を生かし

5.3 わり算における Theorems-in-action（行た指導が行われている．しかし，ここには表現為における定理）

に関する一貫性という問題点があると以前から4 で挙げたわり算の学習内容の系統表から，も指摘されてきた．
（矢部他，1999）一方，平

わり算における Theorems-in-action（行為にお成 23 年度版の教科書からは 6 社すべてにおいける定理）は，以下の 3 点であると考える．て数直線上の対応図を取り扱っている．

1 点目：除法は乗法の逆演算であるという関係

筆者は，今までに学習した知識を使って何と2 点目：除数及び被除数に同じ数をかけても同か問題を解決しようとする子どもを育てたいとじ数で割っても商は変わらないという関係考えている．このような子どもを育てるために

3 点目：「基準量×割合」とその逆演算の関係

は，子どもたちが今までに学習した知識を生か小学校 5 年生の小数のかけ算，わり算の学習でし，積み重ねていくことができるような学習指登場する「基準量×割合」とその逆演算の関係導が必要である．そこで，2 で述べたベルニョ

は，それまでに学習してきた整数の範囲におけの Theorems-in-action（行為における定理）にる「基準量×いくつ分」という同数累加とその焦点を当て，4 で挙げた「わり算の学習内容の逆演算の考え方を統合するものである．したが系統表」に基づき，わり算におけるって，3 点目については，「基準量×いくつ分」

Theorems-in-action（行為における定理）につと「基準量×割合」の関係を区別するために，いて考察した．そして，どのように数直線上の2 つに分けて示すことにする．

対応図を使えばよりよいわり算の学習指導を設

以上の 3 点を Theorems-in-action（行為にお計することができるかについて検討した．

ける定理）TaⅠ～TaⅢとする．
【TaⅠ】：c×b＝aa÷b＝c

5.2 数直線上の対応図の有効性【TaⅡ】：a÷b＝c（a×m）÷（b×m）

1 点目：表現に関する一貫性という点＝c

柏木－3－（a÷m）÷（b÷m）＝c

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6．研究から得られた結論【TaⅢ－α】：a×b＝b個＝ ＋ ＋ ＋・・・＋ ）＝（本研究では，Theorems-in-action（行為における定理）を数学的な語で表すという枠組みを＝【TaⅢ－β】：Ap＝B（A，B，p，A 0，B，p 0）

用いて一般的に表すという視点を大切にし，本質的な視点から分析を行うことで，教材を論理立てること，そして，学年，学校種間を通して，5.4 わり算における Theorems-in-action（行子どもたちが今までに学習した知識を生かし，為における定理）の違い積み重ねていくことができるような学習指導を

これら 3 つの Theorems-in-action（行為における定理）は，ある学年の学習のみで習得され根拠を持って設計することが可能になるということが明らかとなった．

るものではなく，学年を通してそれぞれの学年本研究では，わり算を取り上げたが，他の教での学び方をすることで習得されていく．3 つ材においても同じような方法で教材を論理立て，には，それ自体に変化があるものとそうでない

学年，学校種間を通して子どもたちが今までにものという違いがある．

学習した知識を生かし，積み重ねていくことが①【TaⅠ】

できるような学習指導を設計することができる

各学年において条件の変更は行われるが，【TaⅠ】自体に変化はない．のではないかということを提言したい．
7．残された課題②【TaⅡ】

1 点目は，3 において単位元と逆元という視各学年において条件の変更は行われるが，【TaⅡ】自体に変化はない．

点から，数学の中でのわり算の位置づけについて明らかにしたが，数学で逆元を認めるという③【TaⅢ】

ことがなぜ大切にされているのかについては各学年における条件の変更に加えて，【TaⅢ】考察することができていない点である．

自体が拡張され，2 段階の変化がある．

2 点目は，実践面についてである．本研究で5.5 本研究の視点から見た教材論理の系統
数直線上の対応図を使ったよりよいわり算の指導を考えるために，小学校 3 年生，小学校 4年生，小学校 5 年生（小数のかけ算とわり算），検討した学習指導を実践した際，学年を通して教師が実際にどのように指導を行っていくのか，また，子どもはどのような反応を示すのかについては検討することができていない．

小学校 6 年生，中学校 1 年生においてどのよう〈主要引用・参考文献〉な事柄がより強調される必要があるかについて

・伊藤説朗(2008)． 算数科の未来型学力＝思検討した．

考力・表現力を育てる授業， 明治図書

そして，設計したわり算の学習指導を基に，・中島健三(1981) ．算数・数学教育と数学的第 4 章で示したわり算の学習内容の系統表をな考え方 その進展のための考察，金子書房「Theorems-in-action（行為における定理）を・視点とした教材論理の系統」として本研究の視Structure. Hiebert,J & Benhr,M (Eds).

点から捉え直した（柏木－6－参照）．

Number Concepts and Operations in theVergnaud

G.(1988).

Middle Grades． NCTM．
柏木－4－

Multiplicative平成 22 年度理数教育専修士・卒業論文発表会資料
わり算の学習内容の系統表

かけ算

わり算

同数累加
包含除

「基準量×いくつ分」

等分除

3 年生

あまりのあるわり算

除数及び被除数に同じ数をかけても割っても商は変わらない
4 年生
除法は乗法の逆演
算である
乗数が小数のかけ算

除数が小数のわり算「基準量×割合」「割合」によって意味づけられる
5 年生

乗数が分数のかけ算

除数が分数のわり算「基準量×割合」「割合」によって意味づけられる
6 年生

被除数、除数に負の数被除数、除数に負の数を含むかけ算を含むわり算

1 まとまりとする

統合される

内包される

考え方が用いられる

一部に考えが用いられる

柏木－5－中学校 1 年生

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学年及び学習項目
小学校 3 年生

小学校 4 年生

包含除、等分除

小学校 5 年生

小学校 6 年生

中学校 1 年生

小数のわり算分数のわり算正の数・負の数のわり算

t

【TaⅠ】
a÷b＝c
c×b＝a同数累加の逆演算「基準量×割合」の逆演算

a÷b＝c

何十でわる

(a×m)÷(b×m)＝c

わり算に限

行
為における
定理

【TaⅢ－α】【TaⅢ－β】

a×b =小数にも適用で分数にも適用で負の数にも適用きる

きる

できる

小数にも適用で分数にも適用で負の数にも適用きる

きる

できる

る

(a÷m)÷(b÷m)＝c)

Theorems-in-action(【TaⅡ】

統合される拡張

Ap＝B（A，B，pB，A 0，，p 0）※ツールとして数直線上の対応図を位置づける

Theorems-in-action（行為における定理）を視点とした教材論理の系統
柏木－6－