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金利計算 I［利息と利率］
生命保険数学のまず最初は金利計算です。英米の教科書では金利計算は生命保険数学とは別課目として勉強することが多いようですが、日本では伝統的に生命保険数学の中で最初に解説することが多いようで、ここではその伝統に従います。
さて、金利計算というのは、タイミングをずらしたお金のやりとりには利息が発生する、という現実を反映しています。利息が発生しない場合は利息が 0 だと考えれば、その場合も含めることができます。
この利息の基本となる式は、

S =P +I
ここで、(1)

S : 元利合計
P : 元本または元金I : 利息です。
P は元本を表す principal の頭文字、I は利息を表す interest の頭文字です。S
は元利合計の合計の sum の頭文字かなと思いますがよく知りません。
この式は単なる足し算ですから、わかりやすいものですが、この式から、金融という巨大な世界が生まれてきます。
はじめ、(1) 式には時間の長さという考え方は必ずしも入ってきません。たとえば、田植えをする前に種もみを貸しつけて稲刈りが終ったら利息をつけて返してもらう、とか、船で商売をするために航海する際、積み込む商品を買うための資金を借りて、航海が終って持ち帰った積荷を売り払ったら利息をつけて借金を返済する、など、一連の出来事はきまっていますが、それまでの期間の長さは必ずしもきまっているわけではありません。
しかし、その当時から、元本が多ければその分利息も多いのが当然だ、という考え方はあったようで、その考え方は利息 (I) を元本 (P ) で割った比率である利率 (i) という考え方があったようです。

i = I/Pあるいは

I =P ·i

これを上の (1) 式に入れると

S = P + P · i = P · (1 + i)

(2)

3

あるいは

S/P = 1 + i ということになります。

［期間の効果 ― 単利と複利］
その後、このようなお金の貸し借りが一般化し、日常化し、専門化すると、今度は「同じ元本でも期間が長ければ利息も多いのが合理的だ」、という考え方ができました。たとえば、1 万円借りて、1 日 10 円の利息を払う、という約束をしたとすると、2 日なら 20 円、3 日なら 30 円、10 日なら 100 円、100 日なら 1,000円、1 年なら 3,650 円の利息という具合です。こんな具合に、利息が期間に比例して計算される方法を単利といいます。期間 1 に対する利率を i とすれば期間 n に対する利率は n · i となります。
期間 1 に対する利息を I とすれば

I =P ·i
期間 n に対する利息はP · (n · i) = n · I
元利合計は

S = P + n · I = P + P · (n · i) = P · (1 + n · i)(3)となります。
この単利というのは通常、期間の短い金利計算に使われます。標準的な期間 1 は1 日で、1 日あたりの利率は、100 円に対する利息で表します。上の 1 万円に対して 1 日 10 円というのは 100 円に対しては 0.1 円、10 銭です。そこでこれを日歩(ひぶ)10 銭と言い表します。銭というのは今ではあまり使われることがなくなってしまいましたが円の 1/100 の単位です。
江戸時代の日本は、金貨（1 両小判）、銀貨（匁（もんめ）あるいは目（め））、銭貨（1 文銭）という具合に複数通貨の変動相場制だったのですが、これが、明治維新で変えられて、1 両＝ 1 ドル＝ 1 円、という形で円という通貨が導入されました。その際、1 ドル＝ 100 セントをまねて 1 円＝ 100 銭という単位が導入されました。銭はセントのゴロ合わせで、江戸時代は通貨の種類だったものを、明治以4降通貨の単位にしたわけです。
この銭は日本が太平洋戦争に負けるまで一般に使われていましたが、戦後のインフレで 1 円未満のお金の値うちがほとんどゼロになってしまったので、今ではお金として使われることがなく、単位としての使い方だけが残っています。たとえばネジ 100 個で 235 円なんて時に、1 個 2 円 35 銭なんて具合です。
日歩 1 銭は、100 円に対して 1/100 円ですから率にして 1/10,000 です。1 年間の利息は、その 365 倍で 3 円 56 銭、率にして 3.65 ％となります。
単利というのは期間の短い場合によく使われますが期間が長い時は複利という方法がよくつかわれます。たとえば期間 1 年の利率が 10 ％だから 1 年後には元利合計が元本の 1.1 倍、2 年後には 1.1 倍の 1.1 倍 (＝ 1.21 倍)、3 年後は 1.1 倍の1.1 倍の 1.1 倍 (＝ 1.331 倍) という具合に掛け算で計算します。

1 年の利率を (i) とすると、
S = P · (1 + i)となるので、n 年後だったら、

S = P · (1 + i) · (1 + i) · · · · · (1 + i) = P · (1 + i)n|{z}nコn(4)となります。(1 + i) は (1 + i) を n 回掛けた結果で、「(1 + i) の n 乗 (じょう)」といいます。

［二項係数］(1 + i)n を展開するとn(n − 1) 2(1 + i)n = 1 + n · i +i + · · · + in
2n ( )n∑n k ∑k=i =n Ck ikk=0k=0となります。ここで、( )n= n Ckk5

( )nnとは、全く別物です。
は、二項係数とよばれる数です。もちろん、はkk( )nを教えないで n Ck の方で統一しているようですが、私な今、高校などではk( )nどはの方がなじみが深く、n Ck の方はちょっと慣れません。どちらも同じもkのを意味するのですが、n Ck の方はもともと n 個の中から k 個取り出す組合せの数を示すもので、そのため組合せ (Combination) の頭文字をとって、C となっています。
( )nの方は、上のような
k( )
( )
()
n (n−1)n (n−2) 2
nnn(a + b) = a +a·b+a· b + ··· +a · b(n−1) + bn
12n−1のような式の展開の係数を示すものなので、二項係数（二項というのは a と b の２つ、ということです。）とよばれるのです。どちらも( )nn!
n · (n − 1) · · · · · (n − k + 1)
= n Ck ==k(n − k)! · k!
k · (k − 1) · · · · · 1となります。ここでn! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · · · · 2 · 1
で、これを『n の階乗 (かいじょう)』といいます。
このあたり、数学を勉強した人には今さらながらの話ですが、そうでない人は私の解説をそのまま鵜呑みにしてもらっても良いし、興味があったら高校の教科書なり参考書なりを見てください。数学の好きな人は、数学を勉強する時は全て1 つ 1 つ自分で証明を確かめなければいけない、などと言ったりしますが、別にそれにこだわる必要はありません。世の中で山ほどの人が確認してくれたことを、そのままウノミに信じこんで使っても別に誰に遠慮もいりません。 ( )n「生命保険数学」の二見さんは私よりも (ちょっと) 古い人なので、の方のk記号しか使っていません。学校でn Ck の方の記号しか勉強したことのない人は、()( )nnを n Ck と置きかえて読んで下さい。私もの方になじみが多いので、以kk( )nn
後の解説でもの記号を使うことにします。くれぐれも と混同しないようにkkしてください。
参考までに
( )
n=10( )n=n16

( )nn(n − 1)=22·1( )n(n − 1)(n − 2)
n=33·2·1となります。
nn∑∑
またというのは k を 0 から、1, 2, 3 · · · と n まで動かしたときのの右側
k=0k=0∑の式を全部合計する、という意味です。 というのはシグマと読み、ローマ字のS に対応するギリシャ文字の大文字です。合計は、英語では Sum ですから、その頭文字をとって、とはいえ S はもっといろいろな所で使っているのでちょっと変えてギリシャ文字にしたというわけです。

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