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以上のような教科書及び学習指導要領の考察から，J4 班が大事にする点は
１：｢式｣｢グラフ｣｢表｣といった特定の活動にとらわれず，広い活動から一次関数を創る
２：特殊から一般へ向かうような活動を作る
３：生徒が「変化と対応」に注目できる活動を作るといった点になった。この点を踏まえて、
J4 班のテーマは変化に着目した一次関数への拡張とした。
&

J4 - (8)〜特殊から一般へ〜

【６】単元計画
時

学習内容

本時の目標

中心となる考え問題

比例を拡張し，事象の中に 与えられた表の平均的な変化量に注

主たる算数・数学的活動

大気1kg中の二酸化炭素の Ａ

表を元に，平均増加量を考察当てはめる事でうまく予測 目すると，比例によく似た考えを用い 量を調べると，以下の表のよう し，予測を立てようとする。
1一次関数の見方（本時）が成り立つ過程を通し，数 て事象の予測が出来る。

になりました。二酸化炭素の濃 Ｂ

見積もりをもとに，実際に何学的な見方・考え方を育て度が1kgあたり45.00gを超 年かかるかという予測をたてる。

ると共に，変化と対応に注えると，各地で異常現象が起き Ｃ

目して新しい関係を見出すます。その様な状態になってし で，比例関係によく似た新しい関事が出来る。

まうのは何年後でしょうか？

毎年の増加量を見積もること係を見つけ出す。

一次関数を一般化し，変化 変化の割合が常に一定である関数を 鳥取県の3月の色々な日の最高 Ａ

表を元に，1日辺りの平均的の割合に基づいて定義付け 一次関数と呼び，y = ax + b と定義す 気温は以下の表のようになりま な増加量を考察し，予測を立てるる事ができる。

ることができる。

した。最高気温が12℃を超える 。
と桜が咲くと言われています． Ｂ

一次関数の定25日間の増加量を元に，比例

今年鳥取県で桜が咲くのは3月 の性質を考えることで予測を立て義と変化の割何日だと予測できるでしょう。 。

合

2/29

3/5

3/7

3/10

Ｃ

Ａ・Ｂを元に，変化の割合が

8.02

9.00

9.41

10.03

常に一定であるときの関数の性質について考察する。

変 化 の 割 合 と 一次関数の定義から，一次 変化の割合が常に一定である関数の 4つの工場があり，1時間あた Ａ
3

1時間辺りの製造台数を求め

一 次 関 数 の グ 関数のグラフがどの様な性 グラフとして既知の物である比例の りに作ることが出来る製品の数 ることで，課題の解答を求めるこラフ

質を持つかを求める事がで グラフを平行移動することで，
J4 - (9)はそれぞれ一定です。朝8時， とが出来る。

きると共に，グラフを用い 一次関数のグラフを描くことができ 4つの工場が同時に動き始める Ｂ

グラフを書くことで，傾きかる良さを実感する。切片や る。

とき，Ａ工場には7台・B工場 ら課題の解答を，計算することな傾きといった用語も本時でには2台・C工場には0台・D工 く求めることができる。

導入する。

場には1台の在庫がありました Ｃ

台数と時間の関係を一次関数。その後，昼1時のA工場には と見なすことで，一次関数のグラ
17台，朝11時のB工場には8 フと式の関係に気付くことが出来
台，夕方5時のC工場には27台 る。
・昼2時のD工場には25台の製品がありました。4つの工場で，1時間あたりに一番多くの製品を作ることが出来るのはどの工場でしょうか？
直線のグラフについて考察 グラフの傾きとは即ち変化の割合で 一次関数のグラフを１つ与え、 Ａ
し，その式を考える事が出 あり，式から見出す事ができる。
4

直 線 の グ ラ フ 来る。

そのグラフから式を求めよ。
(場所の都合上、グラフ省略)

グラフから傾きと切片を読み取ることができる。
Ｂ

Aをもとに一次関数の式を求めることができる。

とその式

Ｃ

グラフの傾きが変化の割合であることに気付く。
傾きからグラフを考えると 傾きだけでは一次関数はただ一意に 傾きが ! 3 となる直線をひとつ Ａ
5

傾きとグラフ
とその式

傾きが ! 3 となる直線を描く

共に，その式を考える事が 定まらず，グラフから一次関数を定め に定めるにはどのような条件が ことができる。
出来る。

るには１点の座標と傾きの両方が必 必要でしょうか？
要である。

Ｂ

片が異なることに気付く。
Ｃ

J4 - (10)Ａで描いたグラフは平行で切グラフがただ一つに定まるに

は１点の座標と傾きの両方が必要であることに気付く。
二点を結ぶ直線のグラフは グラフの作図には傾きが必要である ｙはｘの一次関数でそのグラフ Ａ 与えられた２点から傾きがわ
即座に作図可能であるが， が，2点からその傾きを求める事がで が２点(3，1)，(5，3)を通る かる。

二 点 を 結 ぶ 直 そこから式を考える過程を き，それは変化の割合であると気付く 直線であるときこの一次関数の Ｂ
6 線 の グ ラ フ と 通して，傾きや変化の割合 ことができる。
その式

式を求めなさい。

の意味についての理解を深ことによって切片を読み取る事ができ，式を求めることができる。
Ｃめる。

２点をつなぐ直線を延長するAで求めた２点間の傾きが変化の割合であることに気付く。

新たな用語である変域につ 変域が定められている，つまり終わり 1辺が5cmの正方形ABCDが Ａ

点Pが辺BC上にあるときと，

いて知ると共に，常に変化 や始まりが明確な事象についても，条 ある。この時，点Pが点Bから 辺CD上にあるとき，辺AD上にあし続けない現象についても 件付きで一次関数の捉え方が出来る。 点Cを通って点Dまで，点Dを るときでは，変化の様子が違うこ
7

変域と一次関数通った後は点Aまで毎秒1cm とに気付く。

関数の考えを導入する事がずつ動く。この時，三角形ABP Ｂ

できるようになる。

各辺における三角形ABPのの面積が，時間と共にどの様に 面積を，式を使って表現すること変化するかを式とグラフで表現 ができる。
しなさい。

Ｃ

変域という考えを導入する事

で関係を表現することが出来る。

8一次関数のグラフとその交点一次関数のグラフ同士の交 グラフとは点の集合であり，交点とは 兄が家を歩いて出ました．20

Ａ

往き道について考える必要は点の意味に関する考察を深 ２つのグラフが共通して持つ点であ 分後，兄は家から1.6kmの公 無く，帰り道の両者の関係にだけめ，その座標が二元連立一 る．その座標は２つのグラフの方程式 園で忘れ物に気付き，家に電話 注目すれば良いことに気付く。
をしながら歩いて引き返し始め次方程式の解である事に気 のどちらも満たす，即ち二元一次連立
Ｂ 連立二元一次方程式を立て，J4 - (11)付く。

ました。電話を聞いた弟は，電 課題の時間を求めることが出来る

方程式の解である。

話の5分後に分速120mの自Ｃ

両者を一次関数とみなし，グ

転車で公園に向かいました．2 ラフを描くことで，速度などを求人が出会ったのは，兄が家を出 めることなく，即座に課題の時間てから何分後でしょう？
演習・予備時（全7時間）

J4 - (12)を求めることが出来る。

【７】本時の指導案[７．１]本単元の目標
様々な事象の中には、関数で表すことによって、その予測をたてられ，関係性をより明確に知ることができるものがある。一次関数を扱う活動を通して、変化や対応に注目した、事象を関数関係で表現し、考察する能力を養う。

[７．２]本時の目標一次関数の特殊が比例であることを基に、活動の中で比例を一次関数に一般化させることができる。

[７．３]本時に期待される数学的活動
Ａ 表で与えられたデータを元に、毎年どの程度増えているかを考察すること
で、予測をたてることができる。
Ｂ 見積もりをもとに、実際に何年かかるかという予測をたてる。
Ｃ 毎年の増加量を見積もることで、そこに比例関係によく似た関係が現れている事に気付き、そこから新しい関係を見つけ出す。

[７．４]本時の展開
活 期待される生徒の数学的活動
全支 全体への支援

支 教師の支援意 教師の意図

評 評価

問題の提示

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年

199
0

1991 199
2

199

199

199

199

199

199

199

200

3

4

5

6

7

8

9

0

J4 - (13)

2001

g/k
g

35.3

35.55

35.60 35.68 35.85 36.05 36.22 36.42 36.70 36.79 36.94 37.14

1

支 この表の数値を見比べて、どんな傾向が見えてくるかな？
意 1つ1つのデータにとらわれすぎず、全体の傾向に生徒の目を向けたい。
自力解決A

表で与えられたデータを基に、予測を立てるために1年ごとにおよそ何g増えているかを予測しようとし、約0.16g/年という増加量を導き出すことが出来る。
支 二酸化炭素の値が減少している年はあるかな？
意 単調増加とみなせることに着目させたい。

支２００１年以降の値を予測しようとするなら、どんなことが必要かな？
意 毎年の変化量の平均を取るという事に注目させたい。
支 グラフの点はバラバラだけど、増え方におよそどんな法則があるかな？
支 毎年どの程度増えているかをグラフに表現できるかな？
意 近似直線の考え方に注目して、およその増加量に着目させたい。

上の図の点線のような予測が成り立つ

J4 - (14)自力解決B

平均的な増加量に注目し、比例の考え方を基にグラフや表を利用することで、課題の解答である約61(60.56)年後を予測する事が出来る。

支 毎年約0.16gずつ増えている、こういう関係を以前見たことはないかな？
支 このグラフ、以前に見たどんな関係のグラフによく似ているかな？
意 比例との関連性に注目させたい。

支 どのくらい増えたら危険な状態になるのかな？
意 差分の9.69g分だけ増えるにはどの程度の年数が必要かに着目させたい。

支 グラフから二酸化炭素の値が45.00gになる年の予測を立てることは出来るかな？
意 グラフを延長することで、目標の年を予測できることに気付かせたい。

自力解決C

平均的な増加量を見積もることにより、比例関係によく似た関係が表れている事に気付く事が出来るようになると共に、具体的にどの様な点が似ているのかを考察。

支 比例と比べてどういうところが違っていて、どういう所が共通しているかな？
意 増加量や始点に注目し、比例との関連性に着目させたい。

集団での課題の検討

J4 - (15)活 表で与えられたデータから予測をたてるために何が必要であるかを確認する○二酸化炭素の増え方にはどんな決まりがあるだろうか？

・常に増えている事に気づく（減少する年が無い事に気づく）○予測を立てるためには、この表をどのように捉えればよいのだろうか？
・増加量は毎年バラバラだが、およその値を予測し決定する。

・0.16g/年の増加量であると見なすことで、およその増加量の見通しが立てられる。
活 毎年のおよその増加量から、予測を立てることが出来る。
○二酸化炭素の量が45.00gになるには、現在の値から何g増えればいいのかな？
・二酸化炭素の増えた量に注目し、9.69g増えればよいという事に気づく。
・9.69g増えるためには、9.69÷0.16＝60.56年であるという事に気づく。
活 グラフを用い、予測を立てることができる。
○毎年の二酸化炭素の量を点で表したらこうなるけど、ここからどのようにして予測を立てればいいかな？

・近似直線（語は導入しない）を描くことで毎年の増加量を見いだす事が出来る。
・二酸化炭素の量が45.00gになる年をグラフから読み取ることが出来る。
○この直線，どんな意味を表していると思う？

・手法は異なっていても、毎年の増加量に見当をつけ、一定と見なす手法が同じであることに気づくことが出来る。

○二酸化炭素の量を表す上手な式を作ることは出来るかな？

・二酸化炭素の量＝0.16×年数 + 35.31gであることを表現する。
活 増加量に着目すると，そこには比例の関係が表れていることに気づく。
○毎年0.16gずつ増えると考えたとき、そんな関係を以前に見た覚えはないかな？
・増加量に着目すると、そこには比例の関係が表れていることに気づく。

J4 - (16)活 比例とどのような点が似ていて、どのような点が異なっているかに気づく。
○比例と似ているところはどこかな？

・増え方が毎年一定である事に気づく。

・グラフを描くと直線になる事に気づく。

・式の中に0.16×変数の表現が出てくる事に気づく。
○比例と異なっている点はどこかな？
・ x が5倍になると y も5倍になる・・・といった関係が成り立たない事に気づく。
・グラフの始点が原点ではないことに気づく。

・式の中に、変数の一次の項ではない項が表れている事に気づく。
活 相違点を比較する事で、比例を拡張した新しい関係を創り出す。

○ x が5倍になると y も5倍になる・・・といった関係は一見成り立たないように見えるけれど、二酸化炭素の増加量だけに注目するとどうなるかな？
・二酸化炭素の増加量は比例関係であることに気づく。

・初期値が35gではなく0gであったなら比例関係であることから，0以外の場所から始まる比例関係であることに気づく。

J4 - (17)【８】Ｊ４班の振り返り[８．１]自己評価!"#$%&'(#)*+,-./0&)*12#34536.-57$6
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●参考文献

中学校学習指導要領（平成 10 年 12 月）解説
日本評論社

放送大学発行
共立出版

数学 100 の発見

数学セミナー編集部著

三訂版数学の歴史
武隅良一著

文部科学省

長岡亮介

数学史−形成の立場から−数学史の周辺

−数学編−

中村幸四郎著

大阪書籍・啓林館・大日本図書・東京書籍・学校図書・教育出版社発行の中学校様数学科

教科書（全て平成 19 年度版）
●参考資料
《歴史について》

http://www.geocities.jp/kenzosaka/2004kiji/swnronbun/Ubiquitous
SmallWorldNetwor.htm
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/komori/jpeg/leibniz.htm
http://www3.plala.or.jp/yat/yoriyoikansuu2.pdf（以上 3 ページの閲覧日はすべて 2007/10/10〜2007/10/15 の間である）

過去の学習指導要領（http://www.nicer.go.jp/guideline/old/）より、各年度の中学校学習指導要領の項目．
《問題作成について》
気象庁

閲覧日：平成 19 年 11 月 14 日

http://www.data.kishou.go.jp/obs-env/htp/2-2-1co2.html

http://www.env.go.jp/council/06earth/y064-02/mat̲01.pdf
日：平成２０年２月２０日)

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