光学格子中の冷却Bose原子気体系に対する	  Markov型量子輸送方程式による緩和過程の解析	

早稲田大学 基幹理工学部 	
桑原幸朗、中村祐介、今井良輔、對馬護人、山中由也	

発表の流れ	• 研究背景・目的	  • Markov型量子輸送方程式の導出	  • 数値計算結果	

発表の流れ	• 研究背景・目的	  – 冷却中性Bose気体系	  – Thermo	  Field	  Dynamics	  – 量子輸送方程式	  – 時間依存完全系	  – 研究目的	  • Markov型量子輸送方程式の導出	  • 数値計算結果	

冷却中性Bose気体系	
冷却中性Bose気体系	
磁気トラップでBose気体を捕捉	極低温(～)まで冷却	Bose gas	特徴	
希薄(～)な気体系	
相互作用が弱い	
実験パラメータの高い制御性	

熱緩和がゆっくり	

トラップの強さ・形状	粒子数・温度 etc...	
非平衡系の理論に対する検証の場として優れている	

H.	  Umezawa,	  Advanced	  Field	  Theory	  －	  Micro,	  Macro,	  and	  Thermal	  Physics	  (AIP,	  New	  York,	  1993)	

Thermo	  Field	  Dynamics	
Thermo	  Field	  Dynamics	  (TFD)	

熱場の量子論に対する実時間正準形式の定式化	

物理量の熱平均	：密度行列	

通常は混合状態期待値	
TFDでは自由度を倍加	

：熱的真空	

純粋状態期待値で表せる	
熱的真空を消去する演算子	
熱的Bogoliubov変換	

ではなく	Y.	  Nakamura	  and	  Y.	  Yamanaka,	  Ann.	  Phys.	  (N.Y.)	  331,	  51	  (2013).	  
Y.	  Nakamura,	  Y.	  Kuwahara,	  and	  Y.	  Yamanaka,	  JPS	  Conf.	  Proc.	  1.	  012098	  (2014).	  

非平衡TFD	
非平衡系では	時間依存する分布関数
TFDのハミルトニアン	
全ハミルトニアン	
非摂動ハミルトニアン		  	  	  を未知パラメータとして導入	

（チルダ・非チルダ両方を時間発展）	
（相互作用描像の定義に必要）	

要請：各時刻において準粒子描像が存在する	

（自発的対称性の破れはないと仮定）	

：準粒子エネルギー	
：準粒子の寿命の逆数	
3つのパラメータ	  摂動論・Feynman図法で計算	  自己エネルギーに対する自己無撞着な繰り込み条件により決定	
量子輸送方程式	

量子輸送方程式	
Previous	  works	• 非平衡TFDを冷却中性Bose気体系に適用	
non-­‐Markov型量子輸送方程式が導出される	
（摂動2次）	

場の量子論に基づくと
自然とnon-­‐Markov型	

Y.	  Nakamura	  et	  al.,	  Ann.	  Phys.	  (N.Y.)	  325,	  426	  (2010).	  etc...	  

エネルギー保存	
わずかな非保存を許す	

過去を忘れる効果	

（c.f.	  量子Boltzmann方程式ならデルタ関数）	

（衝突項）	• 量子輸送方程式の拡張	  Ø 外場が時間依存するモデルへの適用	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  （時間依存する正規直交完全系による場の演算子の展開）	  桑原幸朗,	  物性研究・電子版 Vol.	  1	  No.	  1,	  4994	  (2012).	  	  	  Y.	  Kuwahara,	  Y.	  Nakamura,	  and	  Y.	  Yamanaka,	  JPS	  Conf.	  Proc.	  1.	  012101	  (2014).	  H.	  Matsumoto	  and	  S.	  Sakamoto,	  Prog.	  Theor.	  Phys.	  107,	  689	  (2002).	

時間依存完全系	

エネルギーの繰り込みは考えない	  ＆	  有限温度で考える	

非摂動ハミルトニアン	の場合	場の演算子をの固有関数で展開	  の場合	場の演算子を時間依存する正規直交完全系で展開	  の時間発展方程式	
時間依存しない真空を定義できる	の場合でに対応	

研究目的	
時間依存完全系で展開した場合の量子輸送方程式	

時間依存完全系によって...	

エネルギー保存はこの中に含まれる	

• 場の量子論の処方に従えば、量子輸送方程式は自然とnon-­‐Markov型になる	  • 時間依存する外場を考える場合、時間依存完全系で場の演算子を展開	
複雑な連立微積分方程式で数値計算コストが非常に高い	
今までは粒子数の少ない系を考えることで対処していた	  → 実験との比較は難しい...	

研究目的：	
• non-­‐Markov型量子輸送方程式の特徴をなるべく残し	  • 時間依存完全系を使う形式で	  数値計算しやすい式へ近似	得られた量子輸送方程式を光学格子系へ適用	

発表の流れ	• 研究背景・目的	  • Markov型量子輸送方程式の導出	  – Markov化	  – Markov型量子輸送方程式	  • 数値計算結果	

Markov化	
方針：non-­‐Markov型量子輸送方程式の時間積分を解析的に処理する	
固有関数＆の場合	やの時間変化はゆっくりとする	
（量子Boltzmann方程式）	

時間依存完全系は一方＆の場合	と同様の処方	は一般に速い時間変化	
c.f.

に対し	

では	  ゆっくり	  速い	  Markov型量子輸送方程式	
non-­‐Markov型量子輸送方程式	

Markov化	

Markov型量子輸送方程式	

• エネルギーの非保存性を取り入れた形式	  • 時間依存完全系を使った形式	
＆	（エネルギーの繰り込みによる補正）	

量子Boltzmann方程式	

発表の流れ	• 研究背景・目的	  • Markov型量子輸送方程式の導出	  • 数値計算結果	  – 光学格子ポテンシャル中のBose気体	  – 気体の重心の非平衡過程	
光学格子ポテンシャル	
原子気体に対向するようにレーザーを照射	
対向レーザーによる定在波を周期ポテンシャルとして感じる	（格子の谷サイト）	

光学格子系	
調和振動子	  +	  光学格子	

Bose	  gas	で平衡状態を用意	
Bose-­‐Hubbard	  Hamiltonian	

場の展開	

非平衡状態	

で調和トラップを瞬間的にずらす 	で量子輸送方程式を使って非平衡過程を見る	
D.	  Jaksh	  et	  al.,	  Phys.	  Rev.	  LeZ.	  81,	  3108	  (1998).	  

:	  ホッピング項	:	  調和トラップの曲率	:	  化学ポテンシャル	:	  相互作用定数	:	  全サイト数	
:	  サイト番号	:	  調和トラップのずらし幅	

数値計算結果	

重心	0.1	

重心	は一定でパラメータ	0	-­‐0.1	0	を変えて計算	

（初期平衡温度）	

100	

200	
300	
時間	

400	500	

重心はうなりながら減衰する	

non-­‐Markov型では数値計算	  できなかったパラメータ領域	  （今までは粒子数1桁）	

うなり

光学格子による単なる量子的効果	

減衰

量子輸送方程式を解くことで現れる熱的効果	

粒子数 → 大うなり → 小 、 減衰 → 大	まとめ	
• non-­‐Markov型量子輸送方程式をMarkov型量子輸送方程式へ近似	  Ø エネルギー非保存性を取り入れた形式	  Ø 時間依存完全系で場の演算子を展開した形式	  • Markov型量子輸送方程式を光学格子系へ適用	  Ø 重心の非平衡過程を数値計算

減衰	  Ø non-­‐Markov型ではこれまで計算できなかった粒子数で数値計算	  展望：実験と数値計算の比較