変位依存・速度依存ダンパーが高さ方向に不均等に配置された制振構造建物の地震応答予測に関する研究
東京工業大学 藤田 雄一郎
加系の諸元であることを表す。

1．はじめに一般的に制振構造の地震応答を確認する際は時刻歴解析が行われるが、その結果は特定の地震動に対する特解であり、制振構造の応答性能を包括的に把握することは難しい。そこで、その性能を地震動の応答スペクトルに関連付けて簡易に把握することができれば、構造設計の実務において有用であり、既往の研究 1)として「せん断棒モデル」（バネ系）において、外力分布が Ai 分布に則る場合の弾塑性・粘弾性ダンパーをもつ構造を対象としたものがある。
また、非線形粘性・オイルダンパーをもつ構造については検討されていない。そこで本研究では、それら 4 種のダンパーをもつ制振構造の応答を、バネ系を用いて外力分布に左右されず包括的に予測する方法を提案し、さらに「部材構成モデル」（部材系）における制振構造の各部材の部材力を、時刻歴解析を

n 回の収斂計順路弾塑性

粘弾性

非線形粘オイル算

各ダンパー量の決定・主架構を等価一質点系へ縮約性

弾性剛性の計算

1 次モードの剛性の計算

Ai 分布による変形の計算

EL

Ki を用いて固有値計算

等価周期、等価質量の計算
各モードの変形の計算(n)K’i を用いて固有値計算

各モードの剛性の計算

各モードの剛性の計算*(n)|Ki,j |を用いて固有値計算(n)Ki,j を用いて固有値計算各モードの変形の計算行わずに評価する。
各モードの層せん断力の計算

2．各種ダンパーをもつ制振構造の応答予測法
2.1 等価一質点系への縮約方法 1)と計算フロー
バネ系における制振構造の質量 mi，主架構剛性 Kfi，擬似速度応答スペクトル Spv は既知とする。地震波は擬似速度一定領域をもつとする。T=0.03H の Ai 分布に基づく各層の外力 Fi を用いて、等価一質点系での固有周期 Teq(0)，等価質量 Meq(0)を求める。ここで ui(0)は i 層の水平変位を、N は質点数を表す。なお、右上の( )は解の収斂回数を示す。
Teq( 0)  2

N(0)  ( m i u i )  i 1
2

 mi (u i( 0) ) 2 (0)
 , M eq  N( 0)i 1 i i [m (u (0) ) 2 ]N  F ui 1i(1a,b)

i

各モードの応答を SRSS 法で合成

図１ 応答予測フロー
Kdi

Kbi

Kbii

Kdi,Fdyi

Cdi
K’ai,K’’ai

Kai(a) 弾塑性ダンパー
Cdi,αKbi

Kdi*(b) 粘弾性ダンパー
Cdi,u・dyi,pd Kdi

Kbi*Kbi*

Kbi*

K’ai,K’’ai

K’ai,K’’ai(d) オイルダンパー(c) 非線形粘性ダンパー
図２ 各ダンパー構成要素の定儀主架構のみのベースシア QB(0)，層間変形⊿ui(0)を求め2.2 弾塑性ダンパーをもつ制振構造る。ここで、h0 は主架構のみの初期減衰定数を、Bi(0)は Teq(0)のときの Ai 分布に基づく層せん断力とベースダンパー剛性 Kdi，降伏耐力 Fdyi，支持材剛性 Kbiは既知とし、ダンパーは完全弾塑性とする。

シアの比を表す。

①制振構造の各モードの変形の計算式 (3) の 固 有 値 問 題 に 、 シ ス テ ム 弾 性 剛 性QB(0)  (2 Teq(0) )  S p v (Teq(0) , h0 )  M eq(0) , ui(0)  Bi(0) QB(0) K fi(2a,b)以上で、主架構のみの応答を計算できる。また、図１に各ダンパーをもつ制振構造の応答予測フローを、図２に各ダンパーの構成要素を示す。図２中の記号
添え字 d，b，a は、それぞれダンパー、支持材、付KiEL(=Kai+Kfi)の剛性マトリックス KEL を代入し解くことで、弾性時の固有円振動数 ωjEL，モードベクトル

i,ELj ，刺激係数 βjEL を得て、j 次モードの層間変形⊿
ui,j(0)を求める。ここで、M は質量マトリックスを表

剛性 K’’ai(1)，システム貯蔵剛性 K’i(1)，損失剛性 K’’i(1)す。

K   M   0(3)

EL EL
EL
ui(,0j)  ( jELiEL2 )  S p v(TjEL , h0 ), j   j i 1, j )  (Tj(4)2ji, j付加系降伏変形 uayi(=Fdyi/Kai)，j 次モードの付加系塑
性率 μai,j(1)(=|⊿ui,j(0)|/uayi)を求める。付加系は、μai,j(1) 1 ならば弾性挙動を示し、μai,j(1)  1 ならば弾塑性挙動を示す。今後は式の都合上、μai,j(1)  1 ならば μai,j(1)=1として計算を進める。式(3)に、j 次モードの各層の剛性 Ki,j(1)(=Kai/μai,j(1)+Kfi)の剛性マトリックス K(1)を代入し解くことで、j 次モードの固有円振動数 ωj(1)，モー(1)ドベクトル i , j ，刺激係数 βj(1)を得る。モード歪エネ
ルギー法 3)より j 次モードの主架構の減衰定数 h0,j(1)を求める。j 次モードの各層の等価減衰定数 heqi,j(1)を、弾性歪エネルギーWi(0)(=Ki,j(1) ⊿ui,j(0)/2)で重み付けし、システム全体の等価減衰定数 heq,j(1)を求める 1)。ここで、pi は二次剛性比を表す。
N(1)eq i, jhh (1)0. j2

a(1i,) jpiln

1  p ((1)ia i, j(1) p ia i, j()

 1)

,h(1)
eq , j (hi 1(1)eq i, jWi ,(1j) )N Wi,(1j)(5a,b)を求める。式(1a)と同様に、Teq(0)の Ai 分布に基づく外力 Fi(0)を用いて、等価一質点系での等価周期 Teq(1)を求める。手順①を n 回繰り返すことで、安定したTeq(n)を得る。
②制振構造の各モードの変形の計算
式(3)に、K’i(n)の剛性マトリックス K’(n)を代入し解くことで、制振構造の j 次モードの固有円振動数 ω’jを求める 4)。手順①の ωeq(0)に ω’j を代入し、j 次モードの付加系損失剛性 K’’ai,j，システム貯蔵剛性 K’i,j，損失 剛 性 K’’i,j を 得て 、 シス テ ム複 素剛 性 |K*i,j|(=K i,2j  K i, 2j )を求める。式(3)に、|K*i,j|の剛性マトリックス|Kj*|を代入し解くことで、モードベクトル  i , j ，*刺激係数 βj*を求める。  i , j ，ω’j を用いて、モード歪エネルギー法 3)より j 次モードの主架構の減衰定数*h0,j を求める。K’’ai,j，  i , j ，ω’j を用いて、モード歪エネルギー法 4)より j 次モードの付加減衰定数 ha,j を求め、j 次モードのシステム全体の等価減衰定数 heq,j を求める 2)。
(9)heq , j  h0, j  0.92ha, j*i 1(1)

減衰効果係数 Dh,j を式(6)で求める。式中の a は、観測地震波では 25、BCJ-L2 では 75 を用いる 2)3)。
Dh(1, )j  (1  ah0 ) (1  aheq(1), j )(6)

塑性化にともなう長周期化を考慮して平均化した
2)(1)
S p v を用いて 、層間変形⊿ui,j を求める。
S p v (T j(1) , h0 ) T j(1)1
S p v (T , h0 )dT
ELT j(1)  T jEL T j

u i(,1j)  ( (j1)i(,1j)   (j1)i(11), j )  Dh(1, )j (T j(1) 2 )  S p v (T j(1) , h0 )式(6)に heq,j を代入し Dh,j を得て、層間変形⊿ui,j を求める。
ui , j  ( *j i*, j   *j i*1, j )  Dh, j (T j 2 )  S p v (T j, h0 )(10)③制振構造の各層の応答の計算
j 次モードにおける Sv/Spv の増加を係数 ξj で補正する 5)6)。
(11)
 j  (0.6heq, j  0.1)(T j  0.8)  1  0.8(7)

Cdi に ξj を乗じ、手順②と同様の計算を行うことで、(8)

ランダム振動時の粘性力の増加を考慮したシステム
複素剛性|K*i,j(ξj)|を得て、j 次モードの層せん断力手順①を n 回繰り返すことで、安定した層間変形⊿(n)ui,j を得る。
②制振構造の各層の応答の計算
j 次モードの層せん断力 Qi,j(=Ki,j(n)⊿ui,j(n))を求め、1~3 次モードまでの⊿ui,j(n)，Qi,j を SRSS 法で足し合わせ、制振構造の層間変形⊿ui，層せん断力 Qi を求める。なお、heq,j(n)  1.0 ならば⊿ui,j(n)=0，Qi,j =0 とする。
2.3 粘弾性ダンパーをもつ制振構造
ダンパー粘性係数 Cdi，ダンパー剛性 Kdi，支持材剛性 Kbi は既知とする。
①制振構造の等価一質点系への縮約 1)2)
文献 2 の理論に従い、ダンパー貯蔵剛性 K’di(1)(=Kdi)，
損 失 剛 性 K’’di(1)(=Cdiωeq(0)) ， 損 失 係 数
ηdi(1)(=K’’di(1)/K’di(1))から、付加系貯蔵剛性 K’ai(1)，損失Qi,j(=|K*i,j(ξj)|⊿ui,j)を求める。1~3 次モードまでの⊿ui,j，Qi,j を SRSS 法で足し合わせ、制振構造の層間変形⊿
ui，層せん断力 Qi を求める。なお、heq,j(n)  1.0 ならば⊿ui,j(n)=0，Qi,j =0 とする。
2.4 非線形粘性ダンパーをもつ制振構造
ダンパー粘性係数 Cdi，指数係数 α，ダンパー剛性
Kdi，支持材剛性 Kbi は既知とし、Kdi と Kbi の直列バネを等価支持材剛性 Kbi*と定義する。
①制振構造の等価一質点系への縮約 1)2)
文献 2 の理論に従い、⊿ui(0)と ωeq(0)から、システム貯蔵剛性 K’i(1)，損失剛性 K’’i(1)を求める。式(1)と同様に、Teq(0)の Ai 分布に基づく外力 Fi(0)を用いて、等価一質点系での等価周期 Teq(1)，等価質量 Meq(1)を求める。

同じく文献 2 の理論に従って求めた各層の等価減付加系リリーフ率 μai(1)(=⊿ui(0)/uayi(1))を求める。付加衰定数 heqi(1)を弾性歪エネルギーWi(0)で重み付けし、制振構造全体の等価減衰定数 heq,j(1)を求める。式(6)に heq,j(1)を代入し Dh,j(1)得て、短周期・高減衰化を考慮した層せん断力 Qi(1)，層間変形⊿ui(1)を求める。

系は、μai(1)  1 ならばリニア挙動を示し、μai(1)  1 ならばバイリニア挙動を示す。今後は式の都合上、μai(1) 1 ならば μai(1)=1 として計算を進める。文献 2 の理論に従い、リニア挙動時のダンパー損失剛性
K’’di(1)(=Cdiωeq(0))から、システム貯蔵剛性 K’i(1)，損失剛性 K’’i(1)を求める。式(1)と同様に、Teq(0)の Ai 分布に基づく外力 Fi(0)を用いて、等価一質点系での等価周期 Teq(1)，等価質量 Meq(1)を求める。さらに、バイリニ
ア粘性要素を、それと等しい骨格曲線面性をもつリニア粘性要素に置換し 2)、等価なリニア粘性要素のシQi(1)  Bi( 0)  Dh(1)Teq( 0) M eq(1)(1)
eq

TM( 0)eq(1)
 QB(1) , ui Qi(1)K i(1)(12)

手順①を n 回繰り返すことで、安定した固有周期 Teq(n)を得る。
②制振構造の各モードの変形の計算
式(3)に、K’i(n)の剛性マトリックス K’(n)を代入し解くことで、制振構造の j 次モードの固有円振動数 ω’j，
モードベクトル  i, j ，刺激係数 β’j を得て 4)、j 次モードの層間変形⊿ui,j(0)を求める。
ui(,0j)  ( ji, j   ji1, j )  (Tj 2 )  S p v(Tj, h0 ) (13)
手順①と同様に文献 2 の理論に従い、⊿ui,j(0)と ω’j から、j 次モードのシステム貯蔵剛性 K’i,j(1)，損失剛性
K’’i,j(1) を 得 て 、 シ ス テ ム 複 素 剛 性 |K*i,j(1)|(={K i,(j1) }2  {K i, (j1) }2 )を求める。式(3)に、|K*i,j(1)|の剛性マトリックス|Kj*(1)|を代入し解くことで、モードベ* (1)* (1)クトル  i , j ，刺激係数 βj*(1)を求める。  i , j ，ω’j を用いて、モード歪エネルギー法 3)より j 次モードの主架構の減衰定数 h0,j(1)を求める。文献 2 の理論に従い、α=0，1 のときの j 次モードの等価減衰定数 heq,j|α=0(1)，heq,j|α=1(1)を得て、それらの内挿補間により j 次モードの等価減衰定数 heq,j(1)を求める。式(6)に heq,j(1)を代入
し Dh,j(1)を得て、層間変形⊿ui,j(1)を求める。
(1)
(1)
(1)
(1)
u i(,1j)  ( *j i*, j   *j i*1, j )  Dh(1, )j (T j 2 )  S p v (T j, h0 ) (14)
手順②を n 回繰り返すことで、安定した層間変形⊿
ui,j(n)を得る。
③制振構造の各層の応答の計算式(11)に heq,j(n)，T’j を代入し、ξj を得る。非線形粘性ダンパーをもつシステムの補正係数は ξ’j(=ξjα  ξj)とする。以後は、粘弾性ダンパー（2.2 節）の手順③と同様の計算を行う。
2.5 オイルダンパーをもつ制振構造
ダンパー粘性係数 Cdi，リリーフ速度 u dyi ，二次粘性比 pd，ダンパー剛性 Kdi，支持材剛性 Kbi は既知とし、Kdi と Kbi の直列バネを等価支持材剛性 Kbi*と定義する。
①制振構造の等価一質点系への縮約 1)2)
ダンパーリリーフ変形 udyi(1)(= u dyi /ωeq(0))，等価支持材変形比 λi(1)(=Cdiωeq(0)/Kbi*)から文献 2 の理論に従い、ステム貯蔵剛性 K’Li(1)，損失剛性 K’’Li(1)を求める。等価なリニア粘性要素から求まる各層の等価減衰定数heqLi(1) をバイリニア要素の各層の等価減衰定数 heqi(1)とし、それを弾性歪エネルギーWi(0)で重み付けし、制振構造全体の等価減衰定数 heq,j(1)を求める。式(6)にheq,j(1)を代入し Dh,j(1)得て、短周期・高減衰化を考慮した層せん断力 Qi(1)，層間変形⊿ui(1)を求める。
Qi(1)  Bi( 0)  Dh(1)Teq( 0) M eq(1)(1)
eq

TM( 0)eq(1)
 QB(1) , ui Qi(1)K i(1)(15)

手順①を n 回繰り返すことで、安定した固有周期 Teq(n)を得る。
②制振構造の各モードの変形の計算
式(3)に、K’i(n)の剛性マトリックス K’(n)を代入し解くことで、制振構造の j 次モードの固有円振動数 ω’j，
モードベクトル  i, j ，刺激係数 β’j を得て 4)、j 次モードの層間変形⊿ui,j(0)を求める。
ui(,0j)  ( ji, j   ji1, j )  (Tj 2 )  S p v(Tj, h0 )(16)

手順①と同様に文献 2 の理論に従い、⊿ui,j と ω’j から、j 次モードのシステム貯蔵剛性 K’i,j(1)，損失剛性
K’’i,j(1)，等価なリニア粘性要素の損失剛性 K’’aLi(1)を得て、システム複素剛性|K*i,j(1)|(= {K i,(j1) }2  {K i, (j1) }2 )を求める。式(3)に、|K*i,j(1)|の剛性マトリックス|Kj*(1)|* (1)を代入し解くことで、モードベクトル  i , j ，刺激係* (1)数 βj*(1)を求める。 i , j ，ω’j を用いて、モード歪エネルギー法 3)より j 次モードの主架構の減衰定数 h0,j(1)* (1)を求める。K’’aLi(1)，  i , j ，ω’j を用いて、モード歪エネルギー法 4)より j 次モードの付加減衰定数 ha,j を求める。j 次モードのシステム全体の等価減衰定数 heq,jを求める 2)。
heq(1), j  h0(1. )j  0.8ha(1, )j(17)(0)

式(6)に heq,j(1)を代入し Dh,j(1)を得て、層間変形⊿ui,j を求める。

ui(,1j)  ( *j i*, j(1)(1)

  *j i*1, j )  Dh(1, )j (T j 2 )  S p v (T j, h0 )(1)(1)(18)

時刻歴解析を行わずに、各種ダンパーをもつ制振手順②を n 回繰り返すことで、安定した層間変形⊿
ui,j(n)を得る。
③制振構造の各層の応答の計算
式(11)に heq,j(n)，T’j を代入し、ξj を得る。なお、μai(1) 1 ならば、ξj=1 とする。以後は、粘弾性ダンパー（2.2節）の手順③と同様の計算を行う。

構造の応答を包括的に予測する方法を提案し、その精度が良好であることを示した。さらに、予測した層せん断力、層間変形から任意の部材の力も予測できることを示した。
部材力評価柱 支持材 ダンパー

3．状態 N，R 解析
3.1 部材系からバネ系への変換方法
部材系におけるダンパー設置位置に剛性ゼロの弾性バネ（状態 N）、剛性∞の弾性バネ（状態 R）を設置し静的解析を行い、それぞれの層剛性 KNi，KRi を得る 7)。これらより、部材系の諸元を、バネ系におけ

表１Ai u Ni Qi  QNi ui, Bi  QNi ui  uRiQi
QRi u Ni  uRiQNi
QRi u Ni  uRiQNi(20a,b)heq（低層配置）

0.03
0.04
0.04
0.04

0.05
0.07
0.07
0.07

粘弾性層

非線形粘層性

オイル

層

変形角

θi (rad)θi (rad)層層

θi (rad)θi (rad)層層柱のモー

4.1 解析モデル
図７に解析モデル図を示す。支持材は、水平剛性の合計値が、主架構剛性の 2 倍となるように設定しト5．まとめheq（上層配置）

0.07
0.10
0.10
0.10

層間メン

4.2 時刻歴解析と予測の比較
図８に、部材系、バネ系での時刻歴解析と応答予測の比較を示す（紙面の都合上、低層配置の層間変形角、モーメントのみ抜粋）。図より、部材系とバネ系の解析結果が良く対応していること、バネ系の諸元を用いた予測結果が良好なことがわかる。なお、他のダンパー配置、ダンパー種類でも同様の結果となり、解析と予測の誤差は 2 割程度に収まる。

heq（全層配置）

弾塑性

層4．応答予測精度の検証た。表１に付加するダンパー量を示す。なお、ダンパーは主架構剛性に比例して配置した。入力地震波は、BCJ-L2 とする。

各解析モデルにおける等価減衰定数

弾塑性ダンパー
粘弾性ダンパー
非線形粘性ダンパー
オイルダンパーパーへ変換する方法は、文献 8 を参照されたい。なお本章のみ、バネ系の諸元に添え字「s」を付け、部材系の諸元と区別している。

断力 QNi,k，QRi,k の線形結合で求められる。ここで、Ai，Bi は比例係数である。
(19a,b)M i , k  Ai M Ri, k  Bi M Ni , k , Qi , k  AiQRi, k  BiQNi , k(c) 低層配置

図７ 解析モデル（JSSI テーマストラクチャー・トリムタイプ）

る主架構剛性 Kfsi(=KNi)，支持材剛性 Kbsi(=KRi-KNi)へ変換できる。部材系のダンパーを、バネ系の疑似ダン3.2 部材力評価法
ある層せん断力 Qi，層間変形⊿ui のときの、i 層 k番目の部材のモーメント Mi,k とせん断力 Qi,k は、それぞれ状態 N，R のときのモーメント MNi,k，MRi,k、せん(b) 上層配置(a) 全層配置

Mi,k (kNcm)

Mi,k (kNcm)

Mi,k (kNcm)

Mi,k (kNcm)

図８ 時刻歴解析と応答予測の比較（低層配置）

参考文献
1) 竹内徹，市川康，中島秀雄，笠井和彦：ダンパーが不均等配置された多層パッシブ制振構造の応答予測，日本建築学会構造系論文集，N0583,pp115-122，2004.92) JSSI 編：パッシブ制振構造設計・施工マニュアル第 2 版，2005.93) 笠井和彦，伊藤浩資：弾塑性ダンパーの剛性・降伏力・塑性率の調節による制振構造の応答制御手法，日本建築学会
構造系論文集，No595,pp.45-55，2005.94) 大熊潔，笠井和彦：弾性架構と粘弾性ダンパーをもつ多質点構造における全体減衰系への置換法-振動数に依存する制振構造の等価周期・等価減衰の評価法とその精度その２-，日本建築学会構造系論文集，No648,pp.347-356，2010.25) 笠井和彦，川鍋佳史：粘性減衰・履歴減衰を併用する構造における動的特性と地震最大応答の等価線形化予測法，日本建築学会構造系論文集，No591,pp.43-51，2005.5
6) 笠井和彦，山下忠道，山崎義弘，IGUSA Takeru：捩れ振動をともなう 1 層高減衰構造のスペクトル応答予測法，日本建築学会構造系論文集，No636,pp.225-234，2009.27) 石井正人，笠井和彦：多層制振構造の時刻歴解析に用いるせん断棒モデルの提案，日本建築学会構造系論文集，
N0647,pp103-112，2010.1