2020 年度
数学学習指導分析Ⅱ
単元：空間図形

Ｄ班
伊與森勇希
鞆星輝
清水太智

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目次
１ 単元設定と設定理由・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・３
２ 授業におけるテーマ設定・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・３
３ 教科書の検討・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・４4 問題設定・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・10
５ QA マップ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・10
５ 活動支援表・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１3
６ 感想・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１92

１．単元設定と設定理由【単元設定】
立体図形 （中３）【設定理由】
１年次の立体図形の学習は図形的な表現力，直観力，洞察力を育成することが重要である。
一方３年次は図形について見通しをもって論理的に考察し表現する能力を伸ばす。
この直観的な見方と論理的な思考との間にはギャップがあり、そのことで苦手意識を持つ生徒もいると思う。どうすれば直観的な判断に左右されやすい状態の生徒を論理的に思考する段階へと促せるのかを考えていきたいと思いこの単元を選択した。
２．授業におけるテーマ設定
テーマ「図形について見通しをもって論理的に考察し図に表す」【設定理由】
立体を考える際にいつでもその物体を用意出来るとは限らないし、立体の切り口を考えるときにも実際には切れないこともある。そういう場合に実物を見なくてもイメージができる力を身に着けて欲しいと考え、このテーマを設定した。

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３．教科書の検討
学教科書

年

名・出

内容

版社
中

学校図三書28

中

大日本

三

図書28

4

中東京書三籍28

中

数研出三版285中

東京書

三籍

24

中啓林者

三28

6

中

教育出三版

28中啓林者

三24

7

中

日本文

三教出版社

28

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検討
①どのような使われ方か？
立体を平面で切ったりし、平面として考える問題は主にこの二つに分かれた。

大日本図書

〇

×

学校図書

〇〇

教育出版

〇

△

啓林館

〇

△

日本文教出版

〇

×

数研出版

△×

東京書籍

△

×〇・・・教科書の例題として考え方付きで使われている。
△・・・練習問題として使われている。
×・・・使われていない。
（各教科書 28 年度参照）②なぜ？
立体の中に直下各三角形を見つけることで三平方の定理を使わせるため。切り取られた面についてはあまり言及されていない。（東京書籍は切り取られた図形がどのような図形になるかを言及する問題を取り扱っていた。
）

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４．授業で取り扱う問題設定
三平方の定理を用いて空間図形問題を解く応用の内容を取り扱うということで、少し複雑に見える図形を選んだ。問題を解くにあたって切断面をうまく図示出来るかが鍵となる。
また、多くの中学生が苦手意識をもっている文字をとりあつかった。
[問題]
下の図のように、1 辺 a の立方体の各頂点と中心に球（半径ｒ）の中心が位置しているとき、ｒを a を用いて表せ。ただし図 1 は、球の中心だけを取り出した図となっており、球は対角線上で接しているとする。
↓

図1

図2

ここで以下のように指摘を受けた球の接点と対角線が交わっていることはどうやって証明するのか。
５．ＱＡマップ
ここでは、図の関係から画像で示すことにする。以下ＱＡマップとなる。

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ここで以下のように指摘を受けた番号の割り振りがない。

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６．活動支援表[期待する活動 A への支援]
・より特殊な支援
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立体図形の中にできる直角三角形をたくさん見つけて書き出してみよう。
↓[期待する活動 A]
立体図１の一つの対角線に沿って切るとできる平面について、様々な直角三角形を見つけられている。

↓[期待する活動 B への支援]
・より一般的な支援
三平方の定理を用いてわからない長さ辺を探し、書き出してみよう。
・より特殊な支援
球は対角線上で接していることに注意しよう。
↓[期待する活動 B]
期待する活動Ａで、できる直角三角形を平面に書き出し、ｒと a の関係を調べる。

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↓[さらなる活動（N）への支援]
別の問題でグラフの理解を深める。
例としては、本問題より直観的にわかりやすい面心立方格子などが挙げられる。

＜練り上げ＞
T：教師 S：生徒

1．活動 A への展開
T：文字に惑わされないでくださいね。三平方の定理はどういうときに使えましたか？
S： 直角三角形があるときです。
T：そうですね。では、問題の立体図形の中にできる直角三角形をたくさん見つけて、立体の中にかいてみてください。例えば立体の一つの面に着目するとこのようになりますね。

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では、皆さんも探してみてください。
S： こんなのもありました！
S 1:立体の面に平行な平面に着目しました。

S 2:立体の対角線に沿って切るとできる平面に着目しました16T：たくさんありましたね。前後左右の人と自分の見つけた直角三角形を見せ合ってください。
S1,S2：そういうのもあるな。

2. 活動 A から B への展開
T：では、さきほど見つけた直角三角形を平面上に図示して辺の長さを r や a 用いて表してr と a の関係を求めましょう。
S1： なかなか r と a の関係がみつからないな。
S2:うまく平面に図示出来ないな。
T：今回は r と a の関係が知りたい分けですから直角三角形の同じ辺の長さを r と aの両方で表せたら=で結べますね。
対角線上の平面を図示するときは球が対角線上で接していることに着目してみてください。
S１： さっき他の生徒に見せてもらった対角線の方の直角三角形を考えてみよう。
S2：出来ました。

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三平方の定理を用いて対角線の長さを a で表すと同じ辺を r と a の両方で表すことができます。

3．活動 B から N への展開
T：空間図形問題でも平面に表すことで考えやすくなりましたね。そのことをふまえて次はこの問題に取り組んでいきましょう。
[問題] 円すいの中心に球が接している。このとき球の半径を求めなさい。

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７．感想
伊與森勇希
約半年間、立体図形の指導案を練ってきたが、驚いたこととしてまず、これほどまでに指導案は様々な要素、事柄に細分化されているということだ。加えて、方向性としての指導内容、解かせ方、教え方を決めても指導計画書に落とし込むのには、多くの時間がかかり、もどかしさを感じた。実際に教員になった際にはこの指導計画書を書く機会は確実に多くあるので、早く慣れていきたいと思う。その点では、今回時の授業は将来のための良い練習となったので、非常に自分のためになったなと考えている。
鞆星輝
まず初めにつまずいたのが問題作成だ。いつもなにげなく解いている数学の問題だが、作る側になって初めて矛盾点や解答者が勘違いしないかなど、考えるべきことがいろいろあることを知った。
また、どうしても解答を知っているものだから、授業が生徒に気が付かせるではなく、解答の道順に乗せようという風になってしまう。生徒自身で考え導き出すことが重要なので、そういった授業展開ができるようになりたい。生徒が解答とは違うことをしていると19

きに、そこからどうやって答えに持っていけるかが鍵となると感じた。
清水太智
今回の授業で数学の問題を生徒が解くプロセスについて細かく学べたと思った。QA マッ
プなどはその最たる例でありいつも何気なくこなしていた問題を解く間にも多くの段階を踏んでいるということが分かった。そしてどの段階で生徒がつまずいているのかが即座に理解して適切なアドバイスを与えて問題解決の手助けができると思った。
今回扱った題材が立体の三次元空間上でどのような位置にあるのかが問題の前提として与えておくのか、証明するのかでも生徒が考えてしまうことがあるというのが問題を用意しておく側として不足していた考え方であると感じた。先生の指摘がなければほとんど気に留めることもなかったことなので新しい考え方ができるようになったと思った。
扱う題材を生徒の身近なものに近づけることが足りていなかったように思えた。興味を持ちやすい題材ならば集中して取り組みやすいし身近に数学が使われていることが実感できてやりがいを感じることができると思った。

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