多フレーバー格子ゲージ理論からの高温高密度ＱＣＤ相転移の研究
江尻信司（新潟大学）
共同研究者：山田憲和（ＫＥＫ）

熱場の量子論とその応用、理研、2014/9/3-5

ＱＣＤ相転移のクォーク質量依存性
Quenched

Nf=2∞

2ndorder1storderµPhysical point

msCrossover
1storder
00

µ=0

mud∞

• クォーク質量をパラメーターと思うと面白い相構造を持っている。
• 有限密度で物理的な質量点が臨界面を横切るところが、クロスオーバーが一次相転移に変わる臨界点。
2• 一次相転移は非常に質量が小さい領域にあるので、研究が難しい。

クォークが重い領域での一次相転移でなくなる臨界面
WHOT-QCD Collab., Phys.Rev.D84, 054502(2011); Phys.Rev.D89, 034507 (2014)•••

Hopping parameter expansion

Quenched simulations + Reweighting
for dynamical ferminons.
Standard Wilson quark action +plaquette gauge action, S g = −6 N siteβP
243x4 lattice

κ～１/(quark mass) det M (κ, µ )  = N f 288 N site κ 4 P + 12 ⋅ 2 N t N s3 κ N t (cosh (µ T )Ω R + i sinh (µ T )Ω I ) + 
N f ln det M (0,0 ) phase ~ O(κNt)(P: plaquette, Ω=ΩR+iΩI : Polyakov loop)

det M (0,0) = 13

(2+1)-flavor QCD のクォークが重い領域での一次相転移でなくなる臨界面W (Ω )

κ=0: Z(3) 対称な分布Im ΩRe ΩW (Ω )Nt
Nt−5()()
2κ udcoshµT+κcoshµT≈
4×10cpuds cps

W (Ω )Re Ω(N t = 4)

κ 小: 二相共存（一次相転移）

Re Ω

有限密度での臨界面

Im ΩFirst orderµTcrossover

臨界点付近の κ:山が1つになるIm Ω

κ～１/(quark mass)

κs

κ ud

4

2+Nf-flavor QCD• 軽い2種類のクォークと重いNf種類のクォークのある系

多フレーバー・テクニカラー模型と電弱相転移(Kikukawa, Kohda and Yasuda,Phys.Rev.D77, 015014(2008))• 多フレーバーＱＣＤによるテクニカラー模型の構築• ＱＣＤのカイラル対称性の破れ→ 有限温度電弱相転移• 南部・ゴールドストン（ＮＧ）・ボゾン– ゲージボゾンに吸われる３つ必要。
– 他のＮＧボゾンは観測されていない。（重い。）– ２つのテクニ・フェルミオンは質量０、他のフェルミオンは重い。

• 電弱バリオジェネシス– 強い１次相転移が必要。 （標準模型では１次相転移にならない。）– 2+1-フレーバーＱＣＤの類推：フェルミオンが重くなると１次相転移でなくなる。
• 多フレーバーＱＣＤで１次相転移の終点を求めることが重要。

(2+Nf)-flavor QCDの相構造
Ejiri, Yamada, Phys. Rev. Lett. 110,172001 (2013)

動的フェルミオン：軽いフレーバー２つと、重いフレーバーNf個
Quenched
2-flavor
Nf-フレーバーが重い場合 、∞
2ndorder1storder Nfが増加するにしたがって、臨界質量は大きくなる。
tricriticalpoint
計算が簡単になる。
Nf→large
Nf→large
三重臨界スケーリング則はmh(2+1)-flavor QCDと同じ。
heavyquarkmassm ~ (mE − mh )cudCrossover1storder0mudc ~ µ 5µ=00

mud52∞

Tricritical point: mE

2+1-flavor QCDを理解するための絶好の練習台

7

2-flavor QCDのカイラル極限は２次相転移か1次相転移か？
• 三重臨界点は本当にあるのか？
• 2-flavor QCDに一次相転移の領域があるか？

1 mh

一次相転移
臨界点

三重臨界点

クロスオーバーor

1 mh

一次相転移臨界点

三重臨界点なし

クロスオーバー

二次相転移領域

mh=∞, 2-flavor

25mud
三重臨界スケーリング

2-flavor
一次相転移領域

mud2 5

ヒストグラム法、分布関数と有効ポテンシャル(S. Ejiri, Phys. Rev. D 77 (2008) 014508)(W ( X ; m, T , µ ) ≡ ∫ DU δ X − Xˆ)∏ detM (m , µ ) e
Nff−Sg(Histogram)

ff =1

X: 秩序パラメーター、クォーク数、作用、プラケット 、など

クロスオーバー W(X): ガウス関数
W ( X ,T , µ )∞Tricriticalpoint mT

V(X): ２次関数

Veff ( X , T , µ )

Nf=2

臨界点
W ( X ,T , µ )W(X): 頂上が平V(X): 曲率ゼロ

Veff ( X , T , µ )Quenched
1storder2ndorderms

Veff ( X ) = − ln W ( X )一次相転移
W ( X ,T , µ )Crossover

Veff ( X , T , µ )1storder00mud∞

W(X): ２相共存（２山）
V(X): 二重井戸型

9プラケットの確率分布関数（ヒストグラム）
一次相転移：位相共存状態)(ˆW (P, β, m, µ ) ≡ ∫ DU δ Pˆ − P ∏ detM (m f , µ f ) e 6 N siteβPNf(β = 6 g )2S g = −6 N siteβP

f =1

plaquette P (1x1 Wilson loop for the standard action)

R(P, β, β0 m, m0 , µ ) ≡ W (P, β, m, µ ) W (P, β0 , m0 ,0 )

(R (P ) =)

δ Pˆ − P e 6 N site (β−β0 )P ∏ˆ(fδ Pˆ − P(Reweight factor)

detM (m f , µ f ))detM (m0 ,0 )( β 0 ,µ = 0 )≡e 6 N site (β−β0 )P ∏ˆf( β 0 ,µ = 0 )detM (m f , µ f )detM (m0 ,0 )P:fixed

有効ポテンシャル：Veff (P, β, m, µ ) = − ln[W (P, β, m, µ )] = Veff (P, β0 , m0 ,0 ) − ln R(P, β, β0 m, m0 , µ )ln R(P ) = 6 N site (β − β0 )P + ln

detM (m f , µ f )∏ detM (m ,0)
f0

P:fixed一次相転移点：二相共存状態
プラケットの確率分布関数••••

2-flavor QCDのシミュレーションを行い、Reweightingで Nf-flavor の動的クォークの効果を取り入れる。
Nf個のクォークは重いと仮定する。
ホッピングパラメータ K 展開（Wilson quarkの 場合） det M (K , µ )  = N f 288 N site K 4 P + 12 ⋅ 2 N t N s3 K N t (cosh (µ T )Ω R + i sinh (µ T )Ω I ) + N f ln
 det M (0,0 ) ()• 有効ポテンシャル

2+Nf-flavor
一次相転移

2-flavor
クロスオーバー

Veff ( P, β, κ) = − ln[R(P, κ )W (P, β,0)] =? =+?

Veff (P, β,0) − ln[R(P, K ) ]ln R(P ) = ln e 6 N site (β−β0 )P ∏ˆ

fdetM (m f , µ f )detM (m0 ,0 )(ˆ≈ ln exp 6hN s3Ω
RP:fixeddVeffdP)

P:fixed

傾きがＳ字曲線+(Pの１次項)

h = 2 N f (2κ h ) t （µ=0 質量縮退の場合）
Nµ≠0での有効ポテンシャル V (P, β, h) = V (P, β,0) − ln R(P, h)eff

Nf=2 p4-スタッガード・クォーク作用,mπ/mρ≈0.7 [PRD71,054508(2005)]••

dVeff/dPは h が大きくなるにつれて形を変える。
h≈0.06 をこえるとＳ字型になる。

eff

Veff (0)at µ=0ln R

lnRの傾きh = 2 N f (2κ h ) t (Wilson quarks の場合)
N

臨界点： hc= 0.0614(69)臨界点のNf依存性
Nf=2 p4-スタッガード・クォーク作用（mπ/mρ≈0.7）の結果：

hc = 0.0614(69)• Nfが大きくなるにしたがって、臨界質量が大きくなる。

h = 2 N f (2κ h )

Nt

1 Nt

1  hc κ = 2  2Nf ch– Nfが大きいとKの臨界点が小さいくなるので、– ホッピングパラメータ展開の近似がよくなる。
– 反対に、Nfが小さいと近似がよくない。
• Nt=4クエンチ・シミュレーションの場合、K=0.18ぐらいで、ホッピングパラメータ展開の１項目と２項目が同じぐらいの大きさ。

• Nf=10, Nt=4で、 hc = 0.0614(69)– これくらいのNfならおそらく適用可能κ ≈ 0.118ch2+Nf-flavor ＱＣＤの有限密度での臨界点
Ejiri, Yamada, Phys. Rev. Lett. 110,172001 (2013)h = 2 N f (2κ h ) t
N

質量：小Wilson quarks(h = N f 4(2mh )

Nt)

一次相転移

staggered quarks•

6O(µ )のテイラー展開でdetM を評価。

• 密度が上がると、一次相転移の領域が大きくなる。
µ1stクロスオーバー

1st14

2-flavor Wilson quark シミュレーション
軽いクォーク質量、化学ポテンシャル依存性
S. E., R. Iwami, N. Yamada (2013-進行中)• 2-flavor QCDのカイラル極限は本当に２次相転移か？
– 三重臨界点は本当にあるのか？
– 2-flavor QCDに一次相転移の領域があるか？

1 mh
臨界点
三重臨界点
mh=0, 2-flavor

25mud
三重臨界スケーリング

or

1 mh
臨界点
三重臨界点なし
2-flavor
一次相転移領域

mud2 5

Light quark mass dependence (preliminary)•mπ/mρ≈0.458mπ/mρ≈0.468mπ/mρ≈0.576mπ/mρ≈0.665

単調増加関数から、Ｓ字型関数に変わる。

• 臨界点：軽いクォークの質量にほとんど依存しない。

16

軽いクォーク質量依存性 (preliminary)h = 2 N f (2κ h ) t for Wilson quarks
Nπ/ρ 質量比依存性

WI quark mass 依存性• 臨界点: 我々の調べた範囲では軽いクォーク質量依存性が非常に小さい。赤線は軽いクォーク質量無限大極限の臨界点。
• 2-flavor QCD の質量ゼロ極限付近に一次相転移領域が現れる兆
17候は見られない。

まとめと今後の展望• テクニカラー模型の構築を目指した軽いフェルミオンが２つある多フレーバーＱＣＤの有限温度相転移が１次相転移かどうか調べた。
– 電弱バリオジェネシスを実現するためには１次相転移が必要。
• 重いクォークの質量が増加すると、１次相転移がクロスオーバーに変わる。
– １次相転移の終点の質量はフレーバー数が増えるにしたがって大きくなる。
• その臨界質量は化学ポテンシャルを大きくしても大きくなる。
– ２＋１フレーバーＱＣＤでこのような性質が確認できたら、有限密度で臨界点があるとこの強い証拠になる。
– Ｎｆが大きいときは一次相転移の領域が広いので、計算が容易になる。Ｎｆによらないユニバーサルな性質、３重臨界点付近のスケーリング則など、を調べるための良い模型になる。
• 重いクォーク質量無限大極限を調べれば２フレーバーがわかる。
– 質量ゼロ付近に１次相転移がある兆候は見られなかった。