日本大学歯学部紀要 37，1‑6，2009

ウエーブレット基底を用いる曲線当てはめについて
柳川実

Study of curve fitting based on wavelet theory
M inoru Yanagawa
Abstract
In this paper,we investigate methods for accurately fitting a given discrete dataset with acontinuous curve. The first part of the paper deals with the use of the discrete Fouriertransform (DFT), and we show that the DFT exemplifies effectiveness in the study of curve
fitting. In addition, we apply the least squares method together with the DFT for higher
frequency components in the Fourier decomposition of the data in order to improve theaccuracy of the DFT. We actually develop a new algorithm to solve this problem. In thesecond part of the paper,we investigate the effectiveness of wavelet theory for use in curve
fitting.We focus on the Haar wavelet,and its use in the construction of a basis for a vector
space. In an attempt to improve some aspects of the Haar wavelet, particularly for thoseemerging at lower resolutions,we apply the DFT to the higher frequency components of thesubband decomposition of the data, and obtain a new algorithm for curve fitting based on
wavelet theory.
Keywords: curve fitting,discrete Fourier transform,Haar wavelet,methods ofleast squares

１. 緒
先の論文

後半では，三角関数に代わる波形としてハー言

ルウエーブレットを採用する。規則的に構成さでは，与えられた時系列的データれた小さなウエーブレット波形を統合することに対して，１階微分係数と２階微分係数が小さい曲線当てはめの問題をにより，データに近い曲線が導かれるのである。

え，一つの解として，

２. サンプル「イプシロン当てはめ数列」「マイルドイプシロ，ン当てはめ数列」を導くアルゴリズムを与えた。

最初に，先の論文

今回はデータに対して曲線当てはめを行うてはめの方法と比較すために，表１のデータ対際，特別な波の重ね合わせを用いる方法を採用,する。

をえる。
表１

観測値の振舞いが，多数の振動数を持つ波形の混成であるというで提案されている曲線当え方が古くからあり，今でも盛んに論じられている。
本論文前半では，波形としてそれ程高くない周波数を持つ三角関数を用いる。
即ち，離散フー
リエ解析的近似によるデータの曲線当てはめをデータの対

01234502.245776789106641.90行う。

図１は表１のデータの散布図である。

日本大学歯学部数理情報学教室

Department of Applied M athematics and Informatics,〒 101‑8310 東京都千代田区神田駿河台１‑８‑13(受理：2009年９月 30日）

Nihon University School of Dentistry
1‑8‑13 Kanda‑Surugadai, Chiyoda‑ku, Tokyo 101‑8310, Japan1

日本大学歯学部紀要 37，1‑6，2009

る。これを離散フーリエ曲線当てはめと呼ぶ。
表２

フーリエ曲線当てはめ

01234502.2457702.0545.56.57678910664

1.906.55.542.050

表２を次に図示する。
図１

データの対

３. 離散フーリエ曲線当てはめ正整数をとり，フーリエ基底⎧＝＝exp2πとおく。

はベクトル1 ⎫1⁝⎭⎩により構成される。フーリエ基底の実部を再びとかく。
各基底に対するフーリエ係数の実部を次に計算する。
⎧ ⎫ ⎧ 13.629 ⎫＝＝図２

フーリエ曲線当てはめ−4.7837

離散フーリエ曲線当てはめが最小２乗法によ−0.97624

る曲線当てはめに比肩できる曲線当てはめの方−0.57639

法であることがわかる。

−0.30449

４. フーリエイプシロン当てはめ−0.34785−0.30449

各周波数にわたるの急激な変化を避ける−0.57639

ため， にイプシロン当てはめ を適用する。イ

−0.97624

プシロン当てはめ数列 ξは⎩ ⎭ ⎩−4.7837 ⎭ベクトル とにより離散フーリエ的展開を計算する。表２は得られた数列

ξ＝であεξ ＋ε＋1により与えられる。
2＝1,…,10ウエーブレット基底を用いる曲線当てはめについて

ベ ク ト ル ξに 対 し て次に，番号 ＝3,4,5,6,7を持つによる離散の成分にフーリエ的展開をえる。表３は，ε＝0.1の場対してイプシロン当てはめを適用し，新たな係合に得られた数列である。これをフーリエイ数 ξを求める。ε＝0.1とする。係数 ξとベクトル系

プシロン当てはめと呼ぶ。
表３による展開を行うと，次のフーリエ高周波イプシロン当てはめ数列

フーリエイプシロン当てはめ

表４を得る。

フーリエ高周波イプシロン当てはめ

01234502.24577012340.57

2.64.2

5.3

6.06.302.24576789103.965.486.54664

1.90567896.05.3

4.2

2.70.577664

1.9

6.97

6.54

5.48

3.96

2.17

ε＝0.05と ε＝0.01の場合も同様に−0.16 2.17

えて，図３にデータのフーリエ曲線当てはめとフーリエ

下図は上表を図示したものである。

イプシロン当てはめを図示する。

図４

フーリエ高周波イプシロン当てはめ

５. ハールウエーブレット
ハールスケーリングフィルタ
図３

11 1 0 …
2

フーリエイプシロン当てはめのイプシロン比較30日本大学歯学部紀要 37，1‑6，2009とハールウエーブレットフィルタ
1
1 −1 0 …
2６. ウエーブレットイプシロン当てはめ

0表５のデータに対して，ウエーブレット変換が構成する多重解像度解析を明らかにすることを用いて，レベル３までのサブバンド信号を求により，離散ウエーブレット変換はめる。

⎧111 11

1 −1−1 −1 −10 0 012 2 2 −2 0

表６00

2 2 − 2− 2 0 0⎩⎫111 1

1 1

サブバンド信号No.

G1

H1H2H30

4.51

0.038

−1.45

−0.9

14.51

0.038

−1.45

0.9

0

2 2 − 2− 200 0

0

00

0

2

4.51

0.038

1.45

−1

3

4.51

0.038

1.45

14

4.51

−0.038

1.53

05

4.51

−0.038

1.53

06

4.51

−0.038

−1.53

1.05

7

4.51

−0.038

−1.53

−1.05

0 0

2

−2 0 00 000

2 −2 0

00 0

000 0

2−2⎭である。
表５のデータに対してハール離散ウエーブレット変換を行う。
表５データの対01234567ン当てはめを行う。ただし，ε＝0.5の場合をこ

2.2457664

1.9

こではレベル３のサブバンド信号に対してイプシロえる。

レベル３のイプシロン当てはめ数列を用いてデータを復元する。復元されたデータを図５は上表の散布図である。とかく。 をウエーブレットイプシロン当てはめと呼ぶ。
表７

図５

データの対（ウエーブレットイプシロン当てはめ
01232.24572.23.45.433

6.477

4567664

1.96.159

6.053

3.6672.489)

図６は表７を図示したものである。

4

ウエーブレット基底を用いる曲線当てはめについて

図６

ハールイプシロン当てはめ

７. ウエーブレット・フーリエイプシロン当てはめ

図７

ウエーブレットイプシロン当てはめが十分な

８. 結曲線当てはめであるためには，高位階層の多重解像度解析を必要とする。このことは，現実的言表１のデータに対してフーリエイプシロン当計算処理に困難を与える。
ベクトル系

ウエーブレット・フーリエイプシロン
当てはめのイプシロン比較てはめ，フーリエ高周波イプシロン当てはめをによるフーリエイプシロ行った。最小２乗法とは異質な，フーリエ変換ン当てはめをレベル３のサブバンド信号に適用の構造に手を加える当てはめ手法である。興味する。ε＝0，ε＝0.5，ε＝1，ε＝−0.05のそれぞのある結果が得られている。６節では，単純なれの場合に対して，４節のフーリエイプシロン波形の逐次累積であるハールウエーブレットを当てはめを計算する。結果を図７に図示する。

利用した。満足な曲線当てはめには，この単純さの代わりに，高位の多重解像度解析が必要であることが示された。計算量の少ない，フーリエ当てはめの簡便さに比肩しうるウエーブレッ
ト曲線当てはめアルゴリズムを構成するには，滑らかなウエーブレットの採用が必要になる。
しかし，ハールウエーブレットがエッジ検出などの，データの特異位置の検出に有効に応用できることが図８を見て理解できる。７節のウ
エーブレット・フーリエイプシロン曲線当てはめについて調べてみると次のようになる。
5日本大学歯学部紀要 37，1‑6，2009

イプシロンの値が大きくなるとエッジの程度が低くなる様子が見て取れる。そして，高エッジの場所はイプシロン値の変化に応じず不動である。
文献

１）柳川実（2007）曲線あてはめに関する一察．

日本大学歯学部紀要 35，１‑５２）柳川実（2008）曲率の小さい曲線あてはめに関する一察．日本大学歯学部紀要 36，１‑４

３）前田肇，佐野昭，貴家仁志，原晋介（2001）ウ
エーブレット変換とその応用．朝倉書店，東京

図８

ウエーブレット・フーリエイプシロン
当てはめ曲線のエッジ抽出6