自発的対称性の破れと南部-Goldstone モード

日高義将(理研仁科センター)

様々な物理状態

自発的対称性の破れ
並進対称性

U(1)ゲージ対称性

並進対称性

CC by-sa Didier Descouens

ガリレイ対称性CC by-sa Mai-Linh Doan

並進対称性

スピン対称性CC by-sa Roger McLassus

カイラル対称性CC by-sa Aney

CC by-sa Elijah van der Giessen

多くの場合波をともなうSU(2)xU(1)ゲージ対称性

対称性の種類

内部対称性

アイソスピン

原子のスピン陽子アップ

時空対称性

中性子

ダウン

時間並進，空間並進, 回転, ブースト

ゲージ対称性電磁気, 弱い力, 強い力 U(1)xSU(2)xSU(3)連続対称性と保存則
対称性

ネーターの定理

Noether 1915

保存則

時間並進

エネルギー

回転

角運動量

空間並進

U(1)位相変換
保存則
保存電荷運動量電荷対称性の破れのパターン陽な破れ

パリティ対称性の破れ,自発的磁性体
CC by-sa Aney

超伝導
CC by-sa Mai-Linh Doan

CP対称性の破れ, ...

結晶
CC by-sa Didier Descouens

量子異常

カイラルアノマリー， ワイルアノマリー，ゲージアノマリー，パリティアノマリー, ....

液晶, ....
CC by-sa Minutemen連続対称性の自発的破れ
FER ROM A G NET ISM

I N

R ARE - EAR T H

GR0 UPobtained with solid ingots in the solid solution system
Gd 4 (Sb xBh_x)a are shown in Table L The resistivity
vs temperature curves for Gd4Bia and Gd 4Sba areshown in Fig. 3. At the high-temperature end one
obtains values of the resistivity which are not too
different from those measured in Gd metal (p= 130140 ,uQ cm) .6,6 The slope of the curves indicates ametallic conduction mechanism. Table I gives theslope of the curves above the Curie temperature thatcan be interpreted as the temperature dependence ofthe phonon part in the resistivity. The magnetic scattering part pm has been determined in the usual way,by linear extrapolation of the high temperature partto T= OaK and subtracting the residual resistivity Pres.

V A AND

1035

VI A

何がうれしいか？

理論の詳細によらず様々な事が言える．
3/2
Bloch T 則，

3
Debye T 則, ...

ガドリニウム

固体アルゴン

160r---------------,from Kittel and Kroemer (1980)"" 00000-H00V)'".

'"o-H,.....
-H",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

o0.1

02

0.3

0.4

0.5

0.6

of

Gd0.7

(T/T )3/2cFIG. 4. Saturation

magnetization

metalandHoltzberg,
McGuire,M'ethfessel,Suits, J. Appl.
Gd4 (SbxBi1_x)scompounds
comparedwithPhys.
the 35,1033
Tl law (1964)(solidlines). For Gd metal u oo/2 has been plotted.

QCD (Nf=2)

All samples are ferromagnetic at low temperatures.
Their magnetization approaches the saturation value
Uoo,T (at T=const) as UH.T=u oo ,T(1-a/H) for fieldstrength H between 5 and 25 kOe. The values of "a"are given in Table 1. As shown in Fig. 4, the saturation
magnetization UcoT follows the simple spin-wave law

hq̄qiT
カイラル凝縮:=1hq̄qi0. .....

"''''''''''''',.....

2.
'"

M"

{l2 2 31T
CV = ⇡ T + · · ·比熱:+···58 f⇡2,-...j....-l....-lO....-l\O('f")>=.3'0!:i"3..,連続対称性の自発的破れ

何がうれしいか？

理論の詳細によらず様々な事が言える．
低エネルギー定理例) Goldberger-Treiman relationg⇡N N = 2mN gA /f⇡g⇡N N

Aµ5異なるvertexの結合定数の関係

連続対称性の自発的破れ

Nambu(’60), Goldstone(61), Nambu, Jona-Lasinio(’61),

Gapless励起=南部-Goldstoneモード例) QCDにおけるパイ中間子
カイラル対称性の破れ
p! = ± k2 + m2⇡

超流動(フォノン)粒子数の破れ! = ±v|k|

He4 超流動連続対称性の自発的破れ
スピン波(マグノン)

スピン対称性の破れ
0 2! = ±v k

格子振動(フォノン)
並進対称性の破れ! = ±v|k|連続対称性の自発的破れ

１次元的な秩序!=±q

Solution to dense QCD in 1+1 dimensions
Bringoltz, 0901.4035: ‘t Hooft model, with massive quarks.
Works in Coulomb gauge, in canonical ensemble: fixed baryon number.
Solves numerically equations of motion under constaint of nonzero baryon #Finds chiral density wave.
N.B.: for massive quarks, shouldhave massless excitations, but with energy+,-./0-12345/354,167138,19:#1;465<=12303,>1? A!"1#1!'!"~1/Nc.

4
akz2 + bk?

@&'&)

B.1$)1/6<=,<203,D1A1!"

表面波 ! = ±v|k|3/2⇥⇥ 5 ⇥⇤&'&&'!)&!'()!'(!'"!'&⇤⌅⇥BC8.40-1/6<=,<203,D1A1!"

!
!!'&!

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*!"

24

液晶(smectic-A相)
s!=±2 (ak 2 + bk 4 )k?
z?
2 + k2k?
z自発的対称性の破れ:簡単な歴史(1900~)

自発磁化

Magnetic domain理論
Ising模型

Weiss (1907)
Lenz (1920)
Ising (1925)

Heisenberg模型

Heisenberg (1928)

スピン波の導入

Bloch (1930)

Bloch則超伝導と南部-Goldstoneモード
超伝導発見

Onnes (1911)

BCS理論

Bardeen, Cooper, Schrieﬀer (’57)

南部, Goldstone理論

Nambu(’60), Goldstone (61),Nambu, Jona-Lasinio (’61),
Goldstone, Salam, Weinberg (’62).

Brout-Englert-Higgs 機構

Anderson(’62), Brout, Englert (’64), Higgs (’64),
Guralnik, Hagen, Kibble (’64), Migdal, Polyakov (’65)(自発的対称性の破れ)

自発的対称性の破れの理論
内部対称性の自発的破れ

連続対称性の自発的破れの定義
自発的対称性の破れは，ある電荷Qaについて
h[iQa ,i (x)]i ⌘ tr⇢ [iQa ,i (x)] 6= 0となる局所場Φiが少なくとも一つは存在することで定義
真空: ⇢ = |⌦ih⌦|exp( (H µN ))媒質中: ⇢ =tr exp( (H µN ))もし電荷がwell-definedならば，[iQa , ⇢] = 0h[iQa ,i (x)]i = tr⇢[iQa ,i (x)]= tr[⇢, iQa ] i (x) = 0
cyclic property

自発的対称性の破れ 電荷がill-defined連続対称性の自発的破れ場の場合 F [ ]スピンの場合
ランダム揃うF[ ]縮退を伴う

並進対称性が残っている場合弾性を伴う
格子の場合

⇡a

スピンの場合自由エネルギーギャップレスな励起が現れる= 南部-Goldstone(NG)モード

Nambu(’60), Goldstone(61), Nambu, Jona-Lasinio(’61),

スピン波(マグノン)
格子振動(フォノン)

南部-Goldstoneの定理

Goldstone, Salam, Weinberg(’62)

Lorentz対称性を持った真空
大域的対称性の自発的破れ破れた対称性の数=NGモード
分散関係

南部-Goldstoneの定理の仮定
真空のLorentz対称性は破れていない.

k=02k =0

非相対論的:時間と空間は対等でない.
通常スカラー場が凝縮
NGモードはスカラー非相対論的:ベクトルの凝縮もあり．

非自明なNGモードの例
強磁性体中のスピン波
hsz (n)i = m
スピン対称性の破れ
スピン波(マグノン)
0 2! = ±v kcf. 反強磁性

2つのNGモード ! = ±v|k|hsz (n)i = ( 1)n m

NG定理の一般化
Nielsen - Chadha (’76)
Ntype-I + 2Ntype-II NBS
Type-I: ! / k2n+1

Type-II: ! / k

2n

Schafer, Son, Stephanov, Toublan, and Verbaarschot

h[iQa , Qb ]i = 0(’01)
NNG = NBS

Nambu (’04)

h[iQa , Qb ]i 6= 0

(Qa , Qb )正準関係

Watanabe - Brauner (’11)
NBS

1
NNG  rankh[iQa , Qb ]i2

最近の進展有効ラグランジアンの方法 Watanabe, Murayama (’12)
森の射影演算子法

NBS

YH (’12)1
NNG = rankh[iQa , Qb ]i2

Ntype-I + 2Ntype-II = NBS
1Ntype-II = rankh[iQa , Qb ]i2

最近の進展有効ラグランジアンの方法 Watanabe, Murayama (’12)
森の射影演算子法

NBSYH (’12)

1
NNG = rankh[iQa , Qb ]i2

Ntype-A + 2Ntype-B = NBS
1
Ntype-B = rankh[iQa , Qb ]i2

2種類の励起Type-A単振動

Type-B
歳差運動

Type-A, Type-Bの古典模型
コマが付いた振り子
回転対称性は重力による陽な破れ
z軸の周りの回転は対称性がある
x, y軸に沿った対称性は破れている
破れた対称性の数は2つ

Type-A, Type-Bの古典模型
コマが回っていない時

独立な２つの振り子の運動!⇠pgType-A, Type-Bの古典模型
もしコマが回っていると1方向の歳差運動 ! ⇠ g

この時，{Lx , Ly }P = Lz 6= 0

2種類の励起重力Type-A単振動!⇠pg

Type-B
歳差運動!⇠g

最近の発展Watanabe, Murayama (’12), YH (’12)

内部対称性の自発的破れに伴うNGモードは2つの振動のタイプに分類できる:Type-A
単振動

Ntype-A = NBS

NBS

Type-B歳差運動

2Ntype-B

1
NNG = rankh[Qa , Qb ]i2

NGモードとは？
電荷密度は保存則により必ず遅い例) 媒質中
拡散方程式

対称性が自発的に破れると電荷密度と弾性変数が正準共役
cf. Nambu (’04)

Type-A (B)は Type-I (II) NG モードか？
Type-A NG モード

電荷密度と弾性変数が正準共役

i kType-B NG モード2Type-A = Type-IHayata, YH (14)電荷密度と電荷密度が正準共役

i |k|4Type-B = Type-IIHayata, YH(14)Watanabe-Murayamaの方法
Watanabe, Murayama (’12)

可能な有効Lagrangianを書き下す.

1ḡab a ba b
L = ⇢ab ⇡ ⇡˙ +⇡˙ ⇡˙
22

Leutwyler(ʼ94)

gabab@i ⇡ @i ⇡2+higher

Lorentz対称性がない場合
時間の1階微分の項も可能
作用が対称性の変換の元で不変．

⇢ab /0ih[Qa , jb (x)]i

Watanabe, Murayama (’12)

自発的対称対称性の破れ+小さな陽な破れ
対称性を持った項

擬NGモードpType-A: ! ⇠ h

小さな破れの項

YH (’12), Hayata, YH(14)例)パイ中間子Type-B: ! ⇠ h例)外部磁場中のスピン波保存量と結合した陽な破れの場合には，陽な破れの高次補正はない.
Nicolis, Piazza (’12), (’13)
Watanabe, Brauner, Murayama (’13)

Type-B NGモードの例
1NN
Ntype-A + 2N
type-B rankh[iQa , Qb ]iN
NBS
type-I
type-II
Ntype-B
BS Ntype-A
BSNG
2Spin wave inferromanget
O(3)→O(2)201

1

2NG modes
in Kaoncondensed CFL

311

1

3

Kelvin waves invortextranslation

20112

nonrelativistic
massive C
U(1)x2011

2SU(2)xSU(1)Ntype-A + 2Ntype-B = NBSNBS1
NNG = rankh[iQa , Qb ]i2

トポロジカルソリトンと中心拡大

並進と並進

NATURE | Vol 465 | 17 June 2010例) 2+1D skyrmion, Kelvin wave

cWatanabe, Murayama ('14)

Kobayashi, Nitta (ʼ12)[Px , Py ] / Nx並進[010] [100]y並進topological number

Yu, et al Nature 465, 901 (2010)f

並進と内部対称性例) domain wall in nonrelativistic massive CP1 model

30 nm[Pz , Q] / Nz並進

U(1)電荷data: helical structure at zero magnetic field (d), the skyrmion
structure for a weak magnetic field (50 mT) applied normal totopological number

Kobayashi, Nitta ('14)

並進と内部対称性の破れ
Kobayashi, Nitta 1402.6826

CP1模型
domain wall解の周りのNGモード[Q, Pz ] = 0

MagnonType-A

RipplonType-A[Q, Pz ] 6= 0

Ripplon-Magnon

Type-B自発的対称性の破れの理論
時空対称性の自発的破れ
統一的な理解はまだ？

時空対称性の破れの例1
格子振動

並進(3つ)，回転(3つ)，ガリレイ(3つ)９個破れている.

しかし, NGモードは並進の3つ.

回転とガリレイ変換に対応したギャップレスモードは？

ない時空対称性の破れの例2
例: 弦
秩序変数 h (x)i6 0
並進: h[Px , ]i = i@x h i =6 0
回転: h[Lz , ]i = iy@x h i =Low - Manoharの議論

Low, and Manohar (’02)

yLz

2つの破れ
NGモードは一つx

回転は並進を使って書けるので独立でない．

Px
string h (x)i

非自明な例: 液晶
ネマティック相

空間回転 O(3)→O(2)
２つの破れた生成子
２つの弾性変数

スメクティック-A 相
回転の破れ O(3)→O(2)
並進の破れ
３つの破れた生成子
１つの弾性変数

残り回転は重たいモードに

Inverse Higgs 機構

Ivanov, Ogievetsky (ʼ75), Low, Manohar (’02) Nicolis et al (ʼ13)
Endlich, Nicolis, Penco (ʼ13) Watanabe, Brauner (’14)⇠=eµaix Pµ iT ⇡ (x)eVolkov (ʼ73), Ogievetsky (ʼ74)

Maurer-Cartan 1形式↵=i⇠1d⇠ =aie

iT a ⇡ a(d + iPµ dx )eµaµaµiT a ⇡ aµ= Pµ dx + [T ⇡, iPµ dx + d] + · · ·= Pµ dx + T (@µ ⇡aba bµ+ fµ ⇡ )dx + · · ·Inverse Higgs mechanism

平らな方向が破れた対称性の数に等しくない

Hayata, YH (’14)

F[ ]分散関係例)液晶 (Type-A)
ネマティック相: 回転 O(3)→O(2)NBS = NEV = 2jLi (x) = ✏ijk x T

22Hosino, Nakano(’82)!
=ak+ibk
分散関係:

実部と虚部が同じオーダー(減衰振動)

a = 0 の時, 過減衰例) 表面張力波 (Type-B)

cf. Takeuchi, Kasamatsu ('13) Eﬀective Lagrangian: Watanabe, Murayama (ʼ14)

1h[Pz , N ]i =6 0V!⇠k

3/20k(x) i = 1, 2

まとめ:内部対称性
NBS=自由エネルギーの平な方向の数

1
Ntype-B = rankh[iQa , Qb ]i
2
Ntype-A = NBS Ntype-B
1
Ngapped = (rankh[iQa ,2i ]i

Ntype-A )Hayata, YH (ʼ14) 有効ラグランジアンの方法の時間2階微分に対応 Karasawa, Gongyo(ʼ14)

Type-A (Type-I): ! = ak
0 2
Type-B (Type-II): ! = a kibk

20 4ib kまとめ: 時空対称性の破れに関して独立な弾性変数の数は破れた対称性に等しくない(Inverse Higgs機構)

分散関係は系，理論のパラメータに依存．
温度によって分散が変わる場合も．

分散に関して一般的なルールはあるか？

cf. Takahashi, Nitta (ʼ14)

自発的破れは必要か？
自発的弾性が生じる.
NGモードが現れる.

自発的でない保存則があればゼロモードが電荷に結合(伝播するかどうかはわからない)

有限温度系: カノニカル分布:Boost対称性を破る.

並進演算子がNG場

弾性は伴わないが並進演算子に音波モードが結合.
SUSYがある系の有限温度
温度によってSUSYが破れるがNG fermionが現れる(phonino)

佐藤’s talk