数学学習指導設計

高等学校数学 B「数列：漸化式」

H1
佐々木 翔平
谷村 徹
山形 直也

目次

１． テーマ・・・・・・・・・・・・・2
２． 教材研究・・・・・・・・・・・・2
３． 単元の指導計画・・・・・・・・・9
４． 展開案・・・・・・・・・・・・・9
５． 自評・・・・・・・・・・・・・・16

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１．テーマ単元
数学 B 数列（漸化式）
目標
ハノイの塔の問題にふれ、動作の中から規則をみつけ漸化式の存在を知る。また、漸化式から一般項を求めることに関心をもたせる。

設定理由
ここまでの単元で、等差数列・等比数列、そしてそれらの和について学習してきた。漸化式とは隣接した二つの項の関係式、各項がそれ以前の項の関数として定まるという意味で数列を再帰的に定める等式である。
生徒はとなどが一つの等式であらわされている問題に初めて直面する。これまで

は、与えられた数列から規則を見つけ一般項を求める、また和を求めることを学習してきたが、漸化式から一般式を導く作業において、なぜ漸化式というものが必要なのかと感じる生徒、また具体的な事象に結びづけにくくとまどう生徒は尐なくない。
本時ではまず漸化式に初めて生徒がふれる授業にあたって、「ハノイの塔」をつかった問題を通して、具体的な事象から漸化式にふれる。

2．教材研究2.1 数学史(ア)フィボナッチ数列とははじめの２つの１を除いたこの数列のそれぞれの数が，その 1 つ前の数と 2 つ前の数との和になっている数列。

１，１，２，３，５，８，13，21，34，55，89，144，233，・・・・・・

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(イ)フィボナッチ数列の性質
フィボナッチ数列のもともとの式は+= =1

つまり、第ｎ項は第ｎ－1 項と第ｎ－２項の和であり、ある項はその項の１つ前のと２つ前の項だけによる数であったが、式変形することで次のように表すこともできる。

ｳﾞｫﾛﾋﾞｪﾌ、ﾏﾙｸｼｪｳﾞｨﾁ著 筒井孝胤訳 ﾌｨﾎﾞﾅｯﾁ数再帰数列より
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性質１．
ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ＝ａｎ＋2－１
この性質はの項であるの項と初項から の項までとの関係を表した式で、このときの一つ前は必要ない。

性質２．
ａ1＋ａ3＋・・・＋ａ2ｎ-1＝ａ2nこの性質は偶数番目の項が１つ前までの奇数項だけの和で表されている。このとき二つ・四つ前の偶数項は必要ない。

性質３．
ａ2＋ａ4＋・・・＋ａ2ｎ＝ａ2ｎ＋1－１
この数列は奇数番目の項が一つ前までの偶数項だけの和で表されている。このときも二つ前の項は関係ない

これらの性質のように、フィボナッチ数列は簡単な式変形で別の面白い表現・性質をみることができる

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(ウ)「フィボナッチ数列」と「黄金比」との関係
フィボナッチ数列のとなり合う２数の比を分数の形にならべた数列はとなり、以下のような性質がみられる。

隣り合う２数の比 1/1２数の比の値

12/1

3/25/321.5

1.666･･･

8/5
1.6

13/8

21/13

1.625

1.615･･･

２数の比の値に注目すると、黄金比 1.6180339887･･･に近づいていくことがわかる。

(エ)教科書との比較「１対の子ウサギがいる。子ウサギは１ヶ月たつと親ウサギになり、その１ヶ月後には１対の子ウサギを生むようになる。どの対のウサギも死なないものとすれば、１年間に何対のウサギが生まれるか。」（数研出版5

平成 15 年度

数学 B

ｐ103 にも記載）

教科書にも具体的事象として漸化式の単元の最後にこの問題があげられているが、一般式などは書かれておらず、あくまで参考程度の扱いである。
漸化式を学ぶにあたって具体的事象から式のイメージを持つことは重要であり、今後は具体的事象から漸化式に触れるという方針をとる。また、このとき扱う事象についてはフィボナッチ数列だけでなく、どういう意図で具体的事象を扱うのか、さらに生徒がより漸化式の良さなどが実感できる事象であるかに重点を置く。今回「ハノイの塔」の事象を使った問題に決定した。理由は、ハノイの塔の円盤を別の場所へ移動する作業は、教科書や筆箱などを円盤と見立てて、実際生徒が手を動かす動作から生徒自身が漸化式に触れる状況を作れるのではないかと考えたからだ。

(オ)漸化式の具体的事象「ハノイの塔」について①

一回に 1 枚しか動かすことが出来ない。

②

移動の途中で，小さい円盤の上に大きい円盤が乗ってはいけない。

③

3 本の棒以外のところに，円盤を置いてはいけない。

「n 枚」の円盤があったとき、3 本目に移し終わるのに「 回」かかる，と表したとき、円盤が 1 枚増えて，「ｎ＋１枚」だったなら，かかる回数は「回」と表す。

初めに ｎ＋１枚の円盤があったならば，一番下の大円盤以外のｎ枚を 2 本目の棒に移動するのに， 回が必要である。そのあと，一番下の大円盤を 3 本目に移動するのに 1 回かかり、最後に 2 本目に刺さったｎ枚の円盤を，3 本目の大円盤の上に移すのに，また 回かかる。よって、漸化式は=2 +1，となる。

6=12.2 指導要領
平成 17 年度
まず隣接する２項の間の関係に着目して、数列を一次の形の漸化式で表現できるようにする。
さらに、漸化式の意味を理解させるとともに、漸化式を用いて表された簡単な数列の一般項を導くことについて考察させる。例えば、=3 +1,=1 のように、がの一次の形で表されている数列を扱うことなどが考えられる。

教科書 平成 19 年度 数研出版 数学 B

平成 21 年度
数列を漸化式で表現し、漸化式の意味を理解させる。また、簡単な漸化式を用いて表された数列の一般項を求めることができるようにする。「簡単な漸化式」とは、一次の形の隣接二項間の漸化式のことである。
指導に当たっては、「ハノイの塔」などの具体的な事象と結びつけて漸化式を取り上げ、その有用性や一般項を求める意味を理解させることが大切である。

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平成元年度
数学Ａ
目標 ： 「数学Ⅰ」より広い内容として、数と式、平面幾何、数列又はコンピュータを用いる計算について理解させ、基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り、事象を数学的に考察し処理する能力を育てる

内容
数列
ア 数列とその和イ 漸化式と数学的帰納法
ウ 二項定理

平成１１年
数学Ｂ
目標 ： 数列、ベクトル、統計又は数値計算について理解させ、基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り、事象を数学的に考察し処理する能力を伸ばすとともに、それらを活用する態度を育てる

内容数列
ア 数列とその和イ 漸化式と数学的帰納法

平成２１年
数学Ｂ
目標 ： 確率分布と統計的な推測、数列又はベクトルについて理解させ、基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り、事象を数学的に考察し表現する能力を伸ばすとともに、それらを活用する態
度を育てる

内容
数列
ア 数列とその和イ 漸化式と数学的帰納法

8れ(ア)違いについて
１）数列は平成元年は数学Ａだったが、それ以降は数学Ｂで扱っている。
２）平成元年まで数列の中で二項定理を扱っていたが、それ以降では、場合の数と確率の中で扱っている。
３）目標について、平成１１年と平成２１年では平成元年の文の最後に、「それらを活用する態度を育てる」が加えられている。
４）平成１１年までは、目標において、「事象を数学的に考察し処理する」とあったが、平成２１年では「事象を数学的に考察し表現する」になっている。

３．単元の指導計画
第１時

漸化式とは （本時）漸化式の単元に入るにあたって、ハノイの塔の事象より漸化式の存在を知り、良さに触る。
第２時

漸化式を解く

漸化式が立てられ、そこから一般項の求める。
４．展開案
一次指導案
時間配分
15 分

教師のはたらきかけと活動

指導上の留意点

ハノイの塔のルールについて説明。
（３枚まで）
教科書、ノート、筆箱などを使って生徒にやらせる。

円盤が１～５枚までの枚数と回数の表を書こう。

活動 A

枚数ｎ
回数

12345137153１の表がかける

9考えられる生徒
生徒１
ハノイの塔のルールが理解できない
生徒２
枚数が増えると正しい回数が見つけられない
生徒３
表が書ける
支援
生徒１・２への支援
もう一回目の前でやって見せる
10 分

円盤が６枚のときは何回になるか

活動 B
答えの６３回が求められる。

考えられる生徒
生徒１
実際円盤を動かして求めようとする
生徒２
動作の手順より予測から求めようとする

支援
生徒１への支援
円盤の動かすとき決まりがなかったか気付かせる。

10

15 分

動作の決まりから漸化式を考えてみよう

活動 C
漸化式が立てられ円盤 10 枚のときが予測できる一次指導案の改善すべき点
・活動の設定にもっと意図をもたす
・漸化式を知らない生徒に活動 C は適切でない・漸化式を登場させる場面を工夫する
・初めにはっきりとした問題を提示し、それに向けての活動や支援をかんがえる

最終指導案
時間配分

教師のはたらきかけと活動指導上の留意点

５分

円盤が３枚のときまで説明し、4 枚・5 枚となるか生徒にしっかりルール

ハ ノ イ の 塔 教科書・ノート・筆箱などをつかってしらべる。のルール説
明

11を理解させる

２５分
問題提示

問題

円盤を何枚に設定すれば 1 時間以内に作業が完了するのか、その最大枚数を求めよ。ただし、円盤を一枚動かすのに 3 秒かかるとする。

表を書く
枚数と回数の表を書きましょう。

何と何についての表を書くのかいう

活動 A
一般項を予想できる枚数ｎ
回数123451371531 ・・・・・の表が書ける。

考えられる生徒
生徒１
すべて実際円盤を動かして考える
生徒２
行動のきまりより予想を立てる

支援
生徒１への支援
動作のきまりがないか考えさせる
円盤 4、5 枚のときをつかって説明

12・・・・・

回数を数列 とおいて一般項を導こう。
活動 B
一般項
ｎ－1が求められる考えられる生徒
生徒１
表の回数の階差より一般項を予想させる。

回数137215431 ・・・・・
8階差の和の公式より求める
n 2 のとき+これらのどちらからもとめても生徒２

よい

表の関係

回数

1327154の関係よりもとめる

1331 ・・・・・
8

生徒３が求められない支援
生徒３への支援)の一般項を求めよう。の差を考えて、その数列(

枚数ｎ
回数123451371531 ・・・・・

24

階差

表

一般項

２ －1・・・・・

8ｎ

生徒１・２であげた の求め方のどちらか生徒が理解しやすいほを選択

14

20 分

ここで求まった式はあくまで予想。

漸 化 式 が 書 行動のきまりから導けないか。
ける
もう一度動作を行い、動かし方にきまりがないか見つけよう。関係から 、を使った式で表してみよう。
生徒に円盤を動※かすにあたって気がついたこと

行動のきまりよりを発表させる=2 +1=2 +1=2 +1・・・の関係であることに注目させる。

これらの関係より漸化式=2=1が得られる。

次回今回もとめた漸化式を解く導入にはいる。
15+1５．自評佐々木翔平
私はこの授業で初めて指導案作りに取り組んだ。この授業の中で「半年間で指導案ひとつできるかできないかだ」と聞いて驚いた。また、その大変さがどのようなものか想像できなかった。
実際に数学史を読んだり、教科書比較をしたりする中で内容の読解が難しく、指導案の構成に至るまでに時間がかかると改めて感じた。特に大変だったのが、歴史を調べること。本は見つかっていても、書いてある内容が深く、その内容を理解するのに困難を極めた。しかし、本の内容を読み込んでいくうちに「数学って面白い」「こんなことがあるんだ」という新たな発見に繋がり、ますます「数学」という科目に興味を持った。
教員になり、生徒にどうやって数学の面白さを伝えていくのか、どんな授業、カリキュラムの計画が求められているのかということをもっと勉強しなければならないと感じたし、数学を苦手としている子ども達に数学に興味を持ってもらえるように指導計画を考えたいと思った。

谷村徹
漸化式・数列の歴史を調べて、今回はとくにフィボナッチ数列てについてを調べて改めて数学の奥深さをかんじた。
私はフィボナッチ数列についてどんな数列なのかなんとなく知っていたが、今回調べてこの数列がどのように生まれたのか、また式変形により別の表現・性質を見ることができ、驚かされた。さらにフィボナッチ数列だけでなく、漸化式とかかわりが持てる具体的事象がたくさんあることも知った。
私の高校での学習で漸化式というと、ただ公式にあてはめて形式的に解くというイメージがあったが、具体的事象から漸化式を学べば、生徒はイメージしやすく、また漸化式の性質よさについて知った上で問題を解くことで、真の数学力がつくのではないかと考えた。
漸化式の授業設計を行うにあたって、漸化式を教える際、どのような過程でどの問題・事象を扱えば生徒が理解・イメージしやすいのか、事象・問題の選択に苦労した。
今回の指導案は漸化式から一般項を導く手前までしか考えることができなかったが、今後の授業内容についても考えていきたい。

16山形直也
今回、半年かけて一つの授業を作ってきたが、それだけの時間をかけても満足のいく授業を作ることが困難だということに教師の難しさを改めて感じさせられた。これから半年もかけることはまずないのでこの経験を活かしていきたい。また数学の指導設計をして、良い問題設定を行うことがいかに難しく、大切かということが分かった。今までは良い授業を行うにはどうすれば良いかということばかりを考えていたが、そもそも問題自体が良いものでなければ、そこから学び取れるものがあまりない。これから教師をしていく上で、そこで生徒が何を学ぶべきかをまず考え、適した問題設定をして行きたい。
また、今まで自分が受けてきた授業が教師主体だったのでそうなりがちだが、そうでなく、いかに生徒に考えさせ答えを導かせることができるかということを念頭に置いて授業設計を行っていきたい。

参考文献
・「 ﾌｨﾎﾞﾅｯﾁ数再帰数列」
著者：ｳﾞｫﾛﾋﾞｪﾌ、ﾏﾙｸｼｪｳﾞｨﾁ

筒井孝胤訳

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