平成 22 年度理数教育専修士・卒業論文発表会資料

算数の学習指導における図の役割に関する研究
鳥取大学地域学部 安井紗笑
指導教官 溝口達也
本論文章構成と認められ，様々な図が使われている．しか第 1 章 研究の目的と方法し，問題解決の現状を見ると，自分の把握し1.1 研究の動機た状況を図によって操作できなかったり，図1.2 研究の目的と方法が提供されても活用できないことがある．筆

第 2 章 事例を通した研究課題の導出

者はそこに問題があると考えた．

2.1 小学校第 2 学年の児童におけるだが，ひとことで図と言っても，様々なも問題解決の事例のがある．その中でも，実際に学習指導で扱2.2 解釈枠組みにおける事例の構築われている図は，やはり指導すべき理由があ

2.3 事例の考察に基づく研究課題の導出ると考えられる．そこで，学校教育の初期の2.4 研究課題の吟味段階で学習されており，今後の問題解決にも第 3 章 図に関する基礎的考察大きく影響を与えると考えられる，テープ図

3.1 先行研究における図の捉え方に焦点を当てて研究を行う．テープ図は具体

3.2 先行研究の検討的な操作と関連が深い反面，子どもにとって第 4 章 テープ図導入場面における授業設計は抽象化の大きな困難も伴う．そこで，テー

4.1 テープ図導入場面における教科書比較プ図の役割を明らかにしていくとともに，その有4.2 先行研究からみるテープ図の表現効性が十分に発揮されるためのテープ図の学習に

4.3 授業設計ついて，明らかにしていくことが求められる．

第 5 章 テープ図の学習が問題解決の態度に2．事例を通した研究課題の導出与える影響に関する考察
5.1 調査の概要

2.1 Y 小学校児童の問題解決の事例

5.2 調査の結果

Y 小学校での放課後学習の事例をもとに5.3 調査の分析研究課題の導出を行う．本事例は，第 2 学年

5.4 研究課題における調査の考察の児童の解決の様子である．

第 6 章 本研究の結論と今後の課題

問：お菓子を買いに行くと 180 円のチョコレ

6.1 本研究の結論ートがありました．キャラメルはチョコレー

6.2 今後の課題

トより 50 円安いそうです．次の問題に答えましょう．

1. 本研究の目的と方法①下の図の□に数字を書きましょう．

算数・数学教育の問題解決における図の役②キャラメルは何円になるでしょうか．

割については，これまでにもいくつかの研究で述べられている(例えば，布川,2000;Van
Essen, G.& Hamaker, C,1990)．そして学習しき場面においては，問題解決に図の活用が有効
安井 1

こたえ()

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児童は，②の問いに関しては解決し答えをぞれを解釈①,②,③として，考察を行う．

出していたが，①の問いに対しては空白であった．そこで，問いかけを行うと，問題が意

2.3 事例の考察に基づく研究課題の導出

図するテープ図を理解できていないような

2.3.1 テープ図を媒介とした引き算の統合反応が見られた．児童は，テープ図の学習を

解釈①で児童は 1 本のテープ図として捉終えているはずだったが，この問題の図を利えたと考えると，50 円の意味は問題の意図用して解くことができなかった．

するものとは異なってくる．児童が，結果的に式から図という流れで取り組んだことで，2.2 解釈枠組みにおける事例の構築

式から連想されやすいのは求残となる．キャ児童の反応をもとに思考過程を解釈してラメルの値段が出た後に問題のテープ図のいく．しかし，実際の児童の思考過程を断定

上 1 本だけを見ると，180 を 130 と 50 に分することはできない．そこで，複数通りの解ける求残を意識させる図とみることができ釈が考えられるが，何通りの解釈が妥当であ「130」と答えたと解釈できる．このようにるかを明らかにするため，解釈の枠組みを構児童が「求差＝2 本のテープ図」「求残＝1築する必要がある．以下，枠組みを構築し，本のテープ図」という認識になっているのなそれに沿って解釈を行う．

らば，１本のテープ図と 2 本のテープ図との統合を図り，テープ図導入の場面で，求差とテープ図の機能理解して理解して求残の問題の両方を教材し，統合を図るべきいるいないであると考える．そこで課題Ⅰを次のように設定した．

正しくにおける
態
度演
算決
定

行おうと

A

B

している

(解釈①)

(解釈②)

課題Ⅰ：引き算の問題を対象としたテープ図の導入授業はどうあるべきか

正しく行おうと2.3.2 問題解決に有効な図C (解釈③)

解釈②では，イメージで問題構造を把握ししていないているが，それを問題のテープ図で表現でき＜図 2-1 事例解釈の枠組み＞なかったと考えられる．また，解釈③では，「テープ図の機能」と「演算決定における児童が捉えたテープ図と問題が意図するテ態度」を枠組みの軸に設定する理由は次の通ープ図が違うものであったと考えられる．解りである．前者に関しては，問いかけの中で，釈①も含め，いずれについても言えることは，児童が問題①の解答欄に 130 と入れ，その用意された図を形式的に利用するのでは，そ解答欄が示すものを「キャラメル」とした理の図は問題解決に有効に活用されないとい由が明らかになると考えたからである．また，うことである．つまり，自分の考えが表現さ後者は，問題に取り組む姿勢を明確にするこれ，その情報を読み取ったり，操作できたりとで，児童の解決に意図や根拠があったのかする図でなければならない．そこで，筆者は，を明らかにできると考えたためである．

児童の考えが反映された図が問題解決に有以上より A,B,C の 3 通りを同定し，それ効となるよう，表現を指導する必要があると
安井 2

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考え，課題Ⅱを設定した．

めなおした．

課題Ⅱ：児童の発想を基にしたテープ図の分類より，3 つのどの場面でも利用できる指導はどのようなものか図が，子どもに指導すべき価値のある図と考えることができる．そして，そのひとつがテープ図であるという示唆が得られた．

2.3.3 演算決定の態度と図の関係
解釈②の場合，問題文を読解せずに数値のみを取り上げ立式したと考えられる．演算決定を正しく行おうという態度に欠けているならば，式の根拠を明らかにしながら問題を解決する態態度を育てる必要がある．そこで，問題解決に有効な図を経験することが，問題解決に取り組む態度を変容させ，正しい解決に繋がるのではないかという仮説を立て，課題Ⅲを設定した．
課題Ⅲ：テープ図の指導が問題解決の態度を変容させ得るか

4.テープ図導入場面における授業設計
課題Ⅰ・Ⅱは，テープ図導入の授業設計を3．図に関する基礎的考察
中原(1995)は，図的表現の類型(表 3-1)を行うことにより考察していく．

学習指導の方法上に用いられるメタ表記と，学習の対象となる対象表記とに分類した．ま4.1 テープ図導入場面における教科書比較

た，それぞれの図的表現がどの場面で使われ現在の学習指導では，テープ図の導入が実るのかを情景図や場面図等にひとつひとつ際にどのように行われているのか明らかに分類した．

するため，平成 23 年度版の教科書，計 6 社
において，教科書比較を行った．
4.1.1 テープ図導入場面における問題設定
教科書比較の結果，全社において第 2 学年でテープ図が導入されていた．また，学校図書以外の 5 社では，テープ図のための単元が設定されていた．
まず，啓林館と日本文教出版では，2 位数

だが，筆者は学習指導の立場に立った分類＋1 位数の問題で導入がされている．だが，こそが意味のある分類と考える．そのため，

この演算は 1 年生での既習事項となってい曖昧な部分や分類の必要性が感じられないる．また，大日本図書と東京書籍では，状況部分について，再構成を行った．そして，中のみを挙げたテープ図を導入している．しか原氏の分類を読み換え，表 3-2 のようにまとし，テープ図の学習は，本来問題を解く中で

安井 3

平成 22 年度理数教育専修士・卒業論文発表会資料行うべきであると筆者は考える．それは，テする必要がある．

ープ図は，問題解決のためのひとつの手段であって，テープ図をかくこと自体が目的では＜おはじきとテープ図の違い＞ないからである．また，教育出版では，その○場面の把握における図点を改善し，ある程度の困難を感じる問題場

おはじきよりテープ図の方が整理されてい面を設定するために，たし算の問題に逆思考て関係が見出しやすい．テープ図は大きいを取り入れていた．

数を表わすこともできる．

さらに，たし算と求残の問題は全社で扱わ○解決の手がかりとなる図れているが，テープ図と併せて求差の問題を

テープ図ははじめから未知数として求める扱っているのは，3 社であった．そして他の数を表現することもできる．

3 社にも共通して言えることは，たし算と求○解決を実行する図

残は 1 本のテープ図で表現され，求差は 2

おはじきは数える対象であり，テープ図は本のテープ図として区別して表現されていそこから演算を決定する対象となる．

るということである．第 1 学年では，求残も求差も同じひき算として見ることができる

このように，違いはいくつか考えられるが，と学習している．それに対し，テープ図では決定的な違いは「解決を実行する図」におけ別の表現となっているのである．テープ図にる数える対象であることと，演算決定をするおいても，同じとみることができるという学対象であることの違いであると筆者は考える．

習がされなければ，統合されたとは言えない

先にも述べたように，おはじきは数量を表と考える．

わしており，数えることで数の大きさを把握する．それに対して，テープ図は全体と部分

4.1.2 テープ図の表現方法に関する考察の関係を表わし，演算を決定することができ教科書では，たし算(1)・ひき算(1)の単元る．つまり，おはじき図の場合，数えることにおいてテープ図を挿絵などによって掲載ですでに求めたい数量を把握できてしまう

しているところはないが，今後テープ図の表ため，立式し演算することの意味が見えづら

現に発展しそうなブロック図やおはじき図くなってしまうのである．加減の演算がまだは挿絵に使用されている．テープ図導入場面定着していない段階においては，数えることを見ると，おはじきで表わすより簡単であるによって演算の方法を身につけることも大という理由で，テープ図の表現に移行を促し切である．しかし，今後も加法や減法の必要ている教科書もある．しかし，今まで子どもな場面が出てくるたびに，数えることで答えたちが使ってきた身近で扱いやすいおはじを求めるのでは，処理しきれない状況も発生

き図やブロック図から見慣れないテープ図する．つまり，数えて答えを求める次の段階に移行するというのは，簡単なものではない．

として，1 位数の加減法の答えをある程度記

つまり，おはじき図やブロック図にはないテ憶して答えを求める，というものがある．こープ図のよさを子ども自身が感じられなけの段階にあるのならば，ここで学習させるべればならない．そこで，数図ブロックやおはきことは，演算決定の根拠を持っているかとじきなどの図とテープ図の違いを明らかにいうことであると考える．

安井 4

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4.2 先行研究からみるテープ図の表現
4.2.1 テープ図からみたたし算とひき算の統合

4.2.2 テープ図からみた求差と求残の統合

求差と求残がひとつのテープ図で表現さ伊藤(2008)の主張にあるように，テープ図れることで，両者の統合を図ることになるとは求差も求残も同じ 2 本の図で表し，同じ操いう主張が伊藤(2008)によってもされている．

作で処理されることで，同じひき算として統合される．しかし，求残は 1 本のテープ図の方が実際の状況と近いものである．そのため，テープ図導入の場面で，最初に求残の問題を＜図 4－1＞

＜図 4－2＞対象とすると，テープ図は 1 本でかくもので＜図 4－3＞あるという認識になる可能性が考えられ，ひそして，テープ図の表現としては上の 3種類が考えられるが，伊藤(2008)の主張を前き算では，求差から導入すべきであることが言える．

提にすると，図 4-3 は求差を表わすことが難しいという理由で除外することができる．ま4.3 授業設計の方針

た，図 4-1 からは，□＋50＝180 のたし算が以上の考察を踏まえ，授業設計の方針を明立式しやすく，図 4-2 からは，180－50＝□確にすると次のことが示された．のひき算が立式しやすいという違いがある．

1)テープ図の表現方法や約束事を教える必

しかし，図 4-2 は図 4-1 の 50 円にあたるテ

要はあるが，問題解決のためのテープ図ープを抽象化した，質的には同じものと見るということを前提とした導入．
2) おはじき図とテープ図を活用した段階ことができる．質的には同じと言えるが，この 2 つの表現もひとつに統合させることで，的な指導．
3)たし算，求差，求残の順で扱われ，3 つのそこにたし算とひき算の逆演算の関係を捉えることができると考える．そこで筆者は，テープで表現されるテープ図を使った指導．

導入の場面においては、すべての数量がそれここで，数えることの重要性を認めた上で，ぞれのテープで表わされている図 4-1 を使立式し演算することの必要性を感じられるうべきであると考えた．

よう，演算を初めて学習する第 1 学年のたし

そして，ひき算の問題で図 4-1 を使った場算(1)・ひき算(1)の単元において，テープ図合，たとえ最初に読み取った演算がたし算でを導入すべきと考える．そこで，(2)に関しあったとしても，式での移行ではなく，図をて数える機能と演算決定の根拠となる機能見て自然に移行の形にすることが可能であが段階に応じて読み取れるような，中間的なると考える．このような活動を通しても，ひ図(図 4-5)を扱うべきであると考えた．以後，

き算とたし算の関係を捉えることができる．

この中間的な図を前テープ図と呼ぶこととまた，こうして図 4-1 のテープ図を導入すする．

るのであれば，ひき算に先行して，演算の読み取りやすいたし算の問題から扱うべきであるという示唆が得られた．
＜図 4-5 合併のたし算における前テープ図＞
安井 5

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前テープ図では，○がおはじきの役割を果する．解決後に同じ問題を使って，テープ図

たし，数えることで数量関係を把握することの指導を行う．そして，評価問題として 2ができる．また，テープそのものが数量の 2問目を出題する．2 問目は，1 問目の解決のや 3 を表わす．
テープの尖った部分が合併や様子を見て調査者が選択する．記録した解決増加の意味を表現し，演算決定を促すものとの様子や解決後のやりとりを分析することなっている．さらに，2 本目の全体を表わす

で，問題解決にあたる態度がどのように変化

テープ図によって演算の答え，つまり，＝5したのか調査を行う．

が示されているのである．
5.2 調査の結果

このような，中間的な図を経験することは，おはじき図からテープ図への抽象化の困難

調査によって次のような結果が得られた．

を減尐させる．また，児童の思考の段階に応＜Case1 被験者りえの場合＞

じて見るポイントが変わってくるため，児童

1 問目では正しい答えを出していたが，等式がの発想に基づいたものであると言える(課題Ⅱ)．

成り立っていなかった．そして 2 問目では，テ以上のような方針で授業設計を行った．

ープ図を見ながら等号の成り立った立式を行った．

5. テープ図の学習が問題解決の態度に＜Case2 被験者たくやの場合＞
1 問目では計算間違いはあったものの，演算決与える影響に関する考察
5.1 調査の概要

定は正しく行っていた．2 問目では，手がつけ研究課題Ⅲのテープ図の学習が問題解決られず，調査者とともにテープ図を操作し解答の態度にどのような影響を与えるのか示しした．ていくことを目的とし，面接調査を行う．

＜Case3 被験者えいたの場合＞

対象者は，鳥取市内公立小学校の第 1 学年

1 問目では，数図ブロックで計算をしながら立児童 4 名とした．鳥取県が扱う教科書では，式を行った．2 問目では，テープ図を使って演

第 2 学年でテープ図が導入されているため，算決定を行い，数図ブロックを使って演算をしテープ図学習前の様子を記録できる，第 1た．

学年の児童を対象に調査を行うこととした．

＜Case4 被験者なおの場合＞

テープ図を学習する前後の問題解決にあ

1 問目で困難なく解決を行い，2 問目でもテたる様子を記録しその変化を追う．調査は，ープ図を使わずに正しく解答した．その後，抽出児童と 1 対 1 で約 15 分間行う．

テープ図を使って演算の異なる式をもうひ問題は，テープ図の必要性が感じられるよ

とつ立てた．

うにするためにも，児童にとって困難のあるものとする．授業では，繰り下がりのあるひ

5.3 調査の分析

き算の学習を終え，かくれた数を考える活動

調査の結果をもとに，それぞれの分析を行(□のある計算)も尐しずつ行っている．そこった．Case1 のりえは，テープ図を使うことで，調査問題は逆思考のひき算とした．1 問によって，演算自体を見直すことができるよ

目は，逆思考の問題を出題し，現段階の問題うになり，その活動を通して演算決定の根拠解決にあたる態度がどのようなものか調査を探ろうとする態度が身に付いた．Case2

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平成 22 年度理数教育専修士・卒業論文発表会資料のたくやは，テープ図を自分ひとりで操作し，そして，本来ならば，テープ図の学習によ活用することはできなかった．だが，困難なって，この道筋をたどって水準 1 まで高める問題に対しても，テープ図という解決の手段ことができるということが言える．テープ図を得たことで，積極的に取り組もうという姿の学習においては，この水準を基準として，勢が見られた．Case3 のえいたは，数図ブロ

児童の問題解決に対する態度を評価し，高めックを操作することで，演算していたが，そていくことができる．また，調査の分析の結のことが演算決定へ注意を向けにくくして果，テープ図の表現を理解し活用できるよういた．それが，演算決定の手段としてのテーになれば，問題解決にあたる態度も変容する

プ図を学習することで，問題と式が対応してことが示された．具体的には，次のようなこいるかどうか，問題を分析して考えることがとが明らかとなった．今回の被験者は小学校できるようになった．だが，演算決定を行う第 1 学年であったこともあり，まだ，演算がことの前段階として，演算がある程度身につあっているかどうかということに注意が向いていなくてはいけないということが言える．

けられがちであったが，テープ図の学習を通して，演算決定にも注意して考えようという

5.4 分析結果における考察態度が，見直すという活動によって見られた．

このように，テープ図を使えるようになる

つまり，テープ図は，彼らにとって見直しやことで，3 人の被験者にはそれぞれ問題解決確認を促すものとなった．これが，演算決定に変化が見られた．しかし，それらの変化をを行うきっかけになったと言える．

同じように，同等の価値として評価すべきでまた，Case2 のたくやの分析からテープ図はない．そこで，その変化に応じて，テープを問題に応じて操作できるようになるには，図の学習によって目指すべき，3 つの水準をテープ図を見たり使ったりする経験を積ん定めることができた．Case2 からは，困難なでいくことが必要であることが示された．さ問題に積極的に取り組む態度，Case3 からは，らに，Case4 のなおの分析からはテープ図の問題を分析しようとする態度，Case1 からは，有効性を感じるためには，子どもの理解にテ根拠を持って解決を行う態度が導かれた．そープ図が必要となるような問題場面指導がして，それぞれを水準 3，水準 2，水準 1 と行われる必要があることがわかる．

して図に示すことができた(図 5-3)．

また本調査では，短時間でテープ図の指導を行ったため，被験者にテープ図が確実に定水準１ 根拠を持って解決を行う態度着したとは言えない．さらに，その指導においても，的確でなかった点もあり，改善する必要がある．本調査では，テープ図の学習が水準 2問題を分析しようとする態度演算決定の態度を変容させるという結果とともに，以上のような点が課題として挙げられた．

水準 3 困難な問題に積極的に取り組む態度＜図 5-1 テープ図の学習によって得られる態度の水準＞
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6.2 今後の課題

引用及び参考文献

本研究では，設計した授業について，実践

土居下晃宏・志水廣・植岡利之・一崎満夫

することができていない．実際に，前テープ(1986). 問題解決における方略の指導―

図が児童に思考に合ったものとなっている

絵や図についての児童の実態調査と実践のか，第 1 学年からの導入によって困難とさ―. 日本数学教育学会誌 算数教育, 68(4),れる点は他にないのか等，実践によって検証

18-22.

することができていない．また，授業設計に

廣井弘敏 (2002). 算数の問題解決におけるも関連して，テープ図の学習によって得られ図による問題把握を促す教師の支援につる態度の水準を高めていくための支援を検いて.上越数学教育研究, 113-124.

討できていない．そこで，今後の課題として，

伊藤説朗 (2008). 算数科の未来型学力＝思支援を検討し，実践を行うことによって本論考力・表現力を育てる授業, 明治図書,における主張を検証していく必要がある．

98-104.
川又由香 (2006). 図的表現を活用した算数授業に関する研究, 新潟大学修士論文
菊池光司 (1996). 算数の問題解決における図的表現の働きに関する研究. 日本数学教育学会誌, 78(12), 334-339.
中原忠男 (1995). 算数・数学教育における構成的アプローチの研究,聖文社
布川和彦 (2000). 数学的問題解決における図と情報の生成. 上越数学教育研究, 15,9-18.
Van Essen, G.& Hamaker, C(1990).
Using selfgenerated drawings to solve
arithmetic word problems. The journalof educational research, 83(６), 301-312.

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