Sur le théorème de Brauer–Siegel généraliséRichard Griffon

Philippe LebacqueGaël RémondÀ la mémoire de notre ami Alexey Zykin,dont les idées nous inspirent toujours,
et de sa femme TatyanaRésumé – Nous étendons le théorème de Brauer–Siegel à de nouvelles familles de corps de nombres,comme par exemple celles formées de corps contenus dans la clôture résoluble d’un corps de nombres
fixé. Nous définissons pour cela une notion de complexité galoisienne d’une extension de corps denombres et montrons que toute famille asymptotiquement exacte dans laquelle la complexité galoisienne ne croı̂t pas trop vite vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé conjecturé par Tsfasman–Vlăduţ. Ce critère unifie et étend divers résultats antérieurs. L’essentiel de la démonstration consisteà établir un nouveau principe de descente de zéros pour les fonctions zêta des corps de nombres qui
raﬃne celui de Stark en faisant intervenir notre complexité galoisienne.
Abstract – We extend the Brauer–Siegel theorem to new families of number fields, both in theclassical setting of asymptotically bad families and in the more general framework due to Tsfasman
and Vlăduţ of asymptotically exact families. We introduce a notion of Galois complexity for extensionsof number fields, and show that the generalized Brauer–Siegel theorem, as conjectured by Tsfasman
and Vlăduţ, holds for families in which the complexity does not grow too fast. This allows to unify andextend all previously known results. The crucial step in our work is the proof of a new version – statedin terms of our Galois complexity – of a fundamental principle due to Stark descending exceptional
zeroes of zeta functions down to quadratic number fields. Among the hitherto unknown cases we areable to treat are the families of number fields contained in the solvable Galois closure of a given number
field.
Mots-Clés : Théorie asymptotique des corps de nombres, Théorème de Brauer–Siegel.
2020 Math. Subj. Classification : 11R42, 11R47, 11R99.

Introduction
Le théorème de Brauer–Siegel décrit le comportement asymptotique du produit du nombre declasses h(K) d’un corps de nombres K par son régulateur des unités R(K) en termes de son discriminant ∆(K). C’est un résultat central de la théorie des nombres du XXe siècle, qui a trouvé denombreuses applications à des domaines variés des mathématiques (par exemple aux empilements desphères [RT90], aux exposants de groupes de classes [HM18], en géométrie anabélienne [Iva14], pourla conjecture d’André–Oort pour Ag [Tsi18]) et de l’informatique (théorie des graphes [ST96], cryptosystèmes à clé publique [HM00]). Récemment, le théorème de Brauer–Siegel a également donné lieuà des énoncés en dimension supérieure : ainsi, on pourra consulter [HP16] et [Gri16, Gri18a, Gri19]
pour un analogue dans certaines suites de courbes elliptiques. Mentionnons enfin que, faisant suite àla preuve dans [Gri18b] d’un théorème de Brauer–Siegel pour la suite des surfaces de Fermat sur uncorps fini, Hindry [Hin19] a proposé une vaste généralisation conjecturale pour des suites de variétés
sur les corps finis.
Le théorème de Brauer–Siegel classique peut s’énoncer de la manière suivante (voir [Sie35], [Bra47],[Bra50] ou bien les chapitres XIII et XVI de [Lan94]).
1

Théorème (Brauer–Siegel). Soit (Ki )i∈N une suite de corps de nombres telle que
log |∆(Ki )|= +∞.
i→∞ [Ki : Q]
lim

Alors on a

󰀃

(M)

󰀄

log h(Ki ) R(Ki )
󰁳
lim
=1
i→∞
log |∆(Ki )|si l’une des conditions suivantes est remplie :(C0) l’hypothèse de Riemann généralisée est vraie,(C1) la suite ([Ki : Q])i∈N est bornée,(C2) pour tout i ∈ N l’extension Ki /Q est galoisienne.

Plus récemment, Zykin, Dixit et Wong ont donné des renforcements de cet énoncé en remplaçant
la condition (C2) par d’autres hypothèses de nature galoisienne. Pour les formuler, rappelons unedéfinition. Nous dirons qu’une extension L/K de corps de nombres est galoisienne par pas s’il existe
une suite K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ls = L de sous-extensions telle que, pour tout i ∈ {1, ..., s}, l’extension Li /Li−1 est galoisienne. Avec ce vocabulaire, les articles [Zyk05], [Dix21] et [Won22] établissent
respectivement le théorème sous les conditions :(C3) pour tout i ∈ N l’extension Ki /Q est galoisienne par pas,(C4) pour tout i ∈ N la clôture galoisienne de l’extension Ki /Q est résoluble,(C5) pour tout i ∈ N il existe un corps Q ⊂ Ki′ ⊂ Ki tel que la clôture galoisienne de Ki /Ki′ estrésoluble et Ki′ /Q est galoisienne par pas.
Notre but consiste à aﬀaiblir encore l’hypothèse du théorème pour traiter des suites de corps
beaucoup plus générales qui, en particulier, engloberont naturellement celles qui vérifient l’une desconditions (C1) à (C5). Nous remplaçons de plus (M) par une hypothèse moins restrictive en suivant
Tsfasman et Vlăduţ (voir [TV02]). En
eﬀet, ils ont󰀄 remarquéque, pour certaines suites K = (Ki )i∈N󰁳󰀃
ne vérifiant pas (M), la limite de log h(Ki ) R(Ki ) / log |∆(Ki )| peut exister et être diﬀérente de 1.
Nous rappellerons dans la partie suivante comment ils définissent une notion de famille asymptotiquement exacte K et lui associent un nombre réel β(K ) ∈ [2/5, 6/5]. Les suites K vérifiant (M) sont
asymptotiquement exactes et satisfont β(K ) = 1. D’autres exemples sont obtenus en considérant les
tours, c’est-à-dire les suites avec Ki ⊂ Ki+1 pour tout i ∈ N. Dans ce langage, les travaux de Tsfasman
et Vlăduţ suggèrent la conjecture suivante.
Conjecture (Tsfasman–Vlăduţ). Si K = (Ki )i∈N est une famille asymptotiquement exacte decorps de nombres, nous avons󰀃󰀄

log h(Ki ) R(Ki )󰁳lim= β(K ).
i→∞log |∆(Ki )|Nous dirons qu’une famille asymptotiquement exacte de corps de nombres vérifie le théorème deBrauer–Siegel généralisé si la conjecture de Tsfasman–Vlăduţ est vraie pour cette famille. Comme lethéorème classique, cette conjecture est vraie sous l’hypothèse (C0) d’après Tsfasman–Vlăduţ euxmêmes et sous (C3) d’après Lebacque [Leb07]. On la connaı̂t également sous (C4) ou (C5) si l’on se
restreint au cas des tours (voir [Dix21] et [Won22] respectivement).
Ici encore, notre théorème principal unifie et généralise tous ces travaux. Pour l’énoncer, introduisons la définition suivante : si L/K est une extension de corps de nombres, sa complexité galoisienne
ξL/K est l’entier
ξL/K = min󰀝󰀞max [Li : Li−1 ]Gal , K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ls = L ,1≤i≤soù [Li : Li−1 ]Gal désigne le degré de la clôture galoisienne de Li /Li−1 et le minimum est pris sur toutes
les chaı̂nes finies de sous-extensions de L/K.
2

Théorème A. Le théorème de Brauer–Siegel généralisé est vrai pour toute famille asymptotiquement
exacte (Ki )i∈N de corps de nombres telle que
lim

i→∞

log |∆(Ki )|= +∞.
log ξKi /Q

Nous constatons que, pour tous corps de nombres K ⊂ L ⊂ M , nous avons󰀋󰀌ξM/K ≤ max ξM/L , ξL/K ,1 ≤ ξL/K ≤ [L : K]!

et, si L/K est galoisienne par pas, ξL/K ≤ [L : K]. Nous montrerons aussi (voir lemme 3.3)
log ξL/K ≤ 3(log[L : K])2 si la clôture galoisienne de L/K est résoluble. Ces inégalités permettent
de vérifier rapidement que chacune des conditions (C1) à (C5) entraı̂ne l’hypothèse du théorème A,
qui englobe donc bien les résultats cités ci-dessus. Les familles obtenues sont bien plus générales :à titre d’exemple, les inégalités précédentes montrent aussi que le théorème A couvre les familles
asymptotiquement exactes (Ki )i∈N vérifiant(C6) il existe un entier µ tel que, pour tout i ∈ N, il existe une suite de corps
Q = Li,0 ⊂ Li,1 ⊂ · · · ⊂ Li,si = Kide sorte que, pour 1 ≤ j ≤ si , l’extension Li,j /Li,j−1 est soit galoisienne, soit de clôture galoisienne résoluble, soit de degré au plus µ.
Toutes les approches du théorème de Brauer–Siegel se basent sur la formule des classes de Dirichlet
pour traduire le problème en termes de fonctions zêta. Notons ζK la fonction zêta de Dedekind d’un
∗ (1) son résidu en 1. Dans les énoncés ci-dessus, il s’agit alors d’encadrer
corps de nombres K et ζK∗ζKi (1) et toute la diﬃculté réside dans la minoration en raison de la présence éventuelle de zérosréels de ζKi proches de 1. Sous la condition (C0) ces zéros n’existent pas ; sans cette information, il
faut tâcher de montrer qu’ils ne peuvent pas tendre trop vite vers 1 lorsque i tend vers l’infini. Dans
notre situation, nous verrons en reprenant l’approche de Lebacque [Leb07] basée sur le théorème de
Mertens que le théorème A découle assez rapidement du résultat originel de Siegel [Sie35] pour lescorps quadratiques et du principe de descente de zéros suivant.
Théorème B. Soit L/K une extension de corps de nombres. Si la fonction zêta ζL admet un zéroréel ρ vérifiant󰁫󰁫ρ ∈ 1 − (32g(L) ξL/K )−1 , 1 ,alors il existe une sous-extension F de L/K avec [F : K] ≤ 2 et ζF (ρ) = 0.

Cet énoncé généralise un résultat fondamental de Stark [Sta74] et une variante due à Murty [Mur01]
qui étaient utilisés dans les travaux antérieurs de Tsfasman–Vlăduţ, Zykin, Lebacque, Dixit et Wong.
Notons que nous nous intéressons uniquement ici au théorème de Brauer–Siegel mais le théorème B
permet aussi d’améliorer les autres applications du résultat de Stark : par exemples les théorèmes 1
et 2 de [Sta74] sont valables en remplaçant g(n) par ξk/Q (voir le paragraphe 3.5 ci-dessous).
Nous mentionnons pour terminer quelques conséquences du théorème A.
Théorème C. Soient (Ki )i∈N et (Li )i∈N une famille et une tour de corps de nombres. Si
log |∆(Ki )|= +∞i→∞ log ξK /Q
i
lim

et

󰁞

i∈N

Ki ⊂

󰁞

Li ,

i∈N

alors la tour (Li )i∈N vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Ce critère assez souple s’applique à de nombreuses tours.
Théorème D. Soit K un corps de nombres. Toute famille asymptotiquement exacte de corps denombres contenus dans sa clôture résoluble K solv vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
3

Puisqu’un p-groupe est résoluble, nous en déduisons en particulier :Proposition E. Soient K un corps de nombres, p un nombre premier et S un ensemble de places
de K. Soit KS (p) la pro-p-extension maximale de K non ramifiée en dehors de S. Toute famille
asymptotiquement exacte de corps de nombres contenus dans KS (p) vérifie le théorème de Brauer–
Siegel généralisé.
L’intérêt de citer cet exemple tient à ce que ces corps KS (p) fournissent essentiellement la seulefaçon connue de construire explicitement (lorsque S est fini et [KS (p) : K] infini) des tours de corps
de nombres ne satisfaisant pas (M) et donc d’exhiber des situations où β(K ) ∕= 1. Nous rappellerons
en partie 5 quelques unes de ces constructions dues à Hajir, Maire, Tsfasman, Vlăduţ et Zykin.

1. Définitions et notations
1.1. Genre d’un corps de nombres. – Si K est un corps de nombres, son genre, noté g(K), est󰁳défini par g(K) = log |∆(K)|. Cette définition est motivée par l’analogie entre l’arithmétique descorps de nombres et celle des corps de fonctions des courbes sur les corps finis. Il est classique (théorèmede Minkowski, voir proposition 2.17 au chapitre III de [Neu99]) que le seul corps de nombres de genre 0
est Q. Si K ∕= Q, l’inégalité de Minkowski s’écrit[K : Q] ≤2 g(K)
4
√
=
g(K)
log 3
g(Q( −3))(1.1)(l’inégalité usuelle [Neu99, III, proposition 2.14] entraı̂ne ceci si [K : Q] ≥ 5 tandis que, pour les degrés
2, 3 et 4, les corps de discriminant minimal sont connus [Poi76, §2]).
Si L/K est une extension finie de corps de nombres, rappelons que l’on a g(L) ≥ [L : K] g(K).
Il s’agit d’une version faible de la formule de Riemann–Hurwitz qui exprime plus généralement ladiﬀérence g(L) − [L : K] g(K) en termes de la ramification de l’extension L/K (voir proposition 3.13
de [Neu99, III] pour un énoncé précis dans des notations légèrement diﬀérentes). En particulier, nousdéduisons de cette formule l’égalité g(L) = [L : K] g(K) lorsque l’extension L/K est partout non
ramifiée.
1.2. Invariants de Tsfasman–Vlăduţ. – Soient Q0 ⊂ Z l’ensemble des puissances des nombres
premiers et Q l’ensemble formé de Q0 ainsi que des deux symboles R et C.
Soit K un corps de nombres. Pour toute puissance q ∈ Q0 nous notons Φq (K) le nombre de placesde K de norme q, ΦR (K) le nombre de places réelles et ΦC (K) le nombre de places complexes de K.
Considérons à présent une suite K = (Ki )i∈N de corps de nombres. Nous dirons que la suite K
est une famille si g(Ki ) tend vers +∞ lorsque i → ∞ et si Ki ∕= Q pour tout i. Pour tout q ∈ Q nousdéfinissons, si cela a un sens, la limite suivante :Φq (Ki ).
i→∞ g(Ki )φq (K ) := lim

Une famille K = (Ki )i∈N est dite asymptotiquement exacte si toutes les limites φq (K ), pour q ∈ Q,
existent. En pratique, ce n’est pas une condition très restrictive. En eﬀet, si K = (Ki )i∈N est une
tour, c’est-à-dire si Ki ⊂ Ki+1 pour tout i, alors K est asymptotiquement exacte (voir [TV02, §2] où󰁖
il est de plus démontré que les invariants φq (K ) ne dépendent que de l’union i Ki ). On montre plus
généralement que, de toute famille K , on peut extraire une sous-famille asymptotiquement exacte. Il
est clair qu’une sous-famille K ′ d’une famille asymptotiquement exacte K l’est également et que ses
invariants φq (K ′ ) sont alors égaux à ceux de K . Nous renvoyons à [Leb10] et [Leb15] pour une étude
plus poussée des invariants φq (K ).
Une famille asymptotiquement exacte K est dite asymptotiquement mauvaise si φq (K ) = 0
pour tout q ∈ Q, asymptotiquement bonne sinon. En pratique, les familles asymptotiquement mauvaises sont les plus communes. Pour tout corps de nombres K et tout q ∈ Q0 il est clair que4Φq (K) ≤ [K : Q] = ΦR (K) + 2ΦC (K). Si (Ki )i∈N est une famille asymptotiquement exacte, il suitque le quotient [Ki : Q]/g(Ki ) admet une limite (finie) et que cette limite est nulle si et seulementsi la famille est asymptotiquement mauvaise. Une famille est donc asymptotiquement mauvaise si etseulement si elle satisfait la condition (M) de l’introduction.
Si K est une famille asymptotiquement exacte, nous lui associons les deux quantitésβ0 (K ) :=󰁛φq (K ) log

q∈Q0

q
q−1

et

β(K ) := 1 + β0 (K ) − φR (K ) log 2 − φC (K ) log 2π.

La preuve du théorème 7.1 de [TV02] assure que la somme définissant β0 (K ) converge. Les théorèmes J
et L du même article fournissent des exemples de tours K telles que β(K ) ∕= 1 tandis que la partie 8
montre que l’on a toujours
2/5 ≤ β(K ) ≤ 6/5(les énoncés des théorèmes 8.2 et 8.3 ne présentent que les conséquences pour le quotient de Brauer–
Siegel mais la méthode de programmation linéaire employée concerne bien β(K )).
1.3. Théorème de Brauer–Siegel généralisé : architecture des preuves. – Supposons donnée
une famille asymptotiquement exacte K = (Ki )i de corps de nombres. Rappelons rapidement comment s’articule classiquement la preuve de la conjecture de Tsfasman–Vlăduţ pour la famille K dansles cas où celle-ci est connue, tout en donnant une brève esquisse de la preuve du théorème A. Il s’agit
de montrer que la limite󰀃󰀄
log h(Ki ) R(Ki )
󰁳
lim
i→∞
log |∆(Ki )|existe et vaut β(K ). Dans les notations introduites plus haut, la formule des classes de Dirichlet (voir[Lan94, VIII. §2, théorème 5]) entraı̂ne
󰀃

󰀄

∗ (1)
log ζKlog h(Ki ) R(Ki )ΦR (Ki )ΦC (Ki )log µKii=−1+
log 2 +
log 2π −,g(Ki )
g(Ki )
g(Ki )
g(Ki )
g(Ki )où µKi désigne le nombre de racines de l’unité contenues dans Ki . À l’aide de cette relation, nous nous
ramenons ainsi à prouver∗ (1)log ζKilim= β0 (K ).
i→∞g(Ki )
L’inégalité de Tsfasman–Vlăduţ (voir théorème 7.1 de [TV02]) donne
lim supi∗ (1)log ζKi≤ β0 (K ) < ∞.
g(Ki )(1.2)

Avec cette inégalité, démontrer la conjecture de Tsfasman–Vlăduţ pour la famille K revient finalementà s’assurer que∗ (1)log ζKi
lim inf≥ β0 (K ).
ig(Ki )
En des termes plus vagues, il s’agit d’obtenir une minoration asymptotique suﬃsamment précise du∗ (1) en termes de g(K ). Une telle minoration s’obtient assez rapidement lorsque la fonctionrésidu ζKii
ζKi n’a pas de zéro réel ≪ trop proche ≫ de 1 (voir lemme 2.2). Dans le cas où un tel zéro est présent, untravail supplémentaire est nécessaire. Notre approche consiste alors à utiliser un résultat de ≪ descente
de zéros ≫ (théorème B) qui, sous hypothèses supplémentaires sur Ki , ≪ explique ≫ la présence d’un
tel zéro par l’existence d’un sous-corps quadratique de Ki dont la fonction zêta s’annule en ce mêmepoint. Il restera alors à appliquer le théorème de Siegel à la suite de corps quadratiques ainsi construite.

5

2. Théorème de Mertens et théorème de Brauer–Siegel
Soit K un corps de nombres diﬀérent de Q. Nous dirons que K admet un zéro exceptionnel s’il
existe un zero réel ρ de sa fonction zêta ζK vérifiant
1 − (8g(K))−1 ≤ ρ < 1.
Si un tel zéro existe il est unique et simple d’après le lemme 3 de [Sta74]. Dans la suite de cet article,
nous noterons ρ(K) le zéro exceptionnel de ζK s’il existe et poserons ρ(K) = 0 sinon.
L’article [Leb07] démontre la forme eﬀective (et inconditionnelle) suivante du théorème de Mertens.
Théorème 2.1. Il existe une constante eﬀective C > 0 telle que, pour tout corps de nombres K et
tout X > 1 vérifiant log X > C[K : Q]g(K)2 ,󰁛Φq (K) log

q∈Q0
q≤X

󰀕

q
1
∗
= log log X + γ + log ζK(1) + Oq−1
(1 − ρ(K)) log X

󰀖

,

(2.1)

où γ est la constante d’Euler–Mascheroni. La constante implicite dans le terme d’erreur est absolue
et eﬀective.
Pour le confort de lecture, rappelons comment déduire de ce théorème le lemme ci-dessous (qui est
essentiellement le lemme 6 de [Leb07]).
Lemme 2.2. Soit L = (Li )i∈N une famille asymptotiquement exacte de corps de nombres. Pourvu que
lim infilog(1 − ρ(Li ))= 0,g(Li )

i.e. que lim supi| log(1 − ρ(Li ))|= 0,g(Li )

la famille L vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Démonstration. Avec l’inégalité de Tsfasman–Vlăduţ (1.2), il suﬃt de montrer que β0 (L ) vérifie
β0 (L ) ≤ lim infilog ζL∗ i (1).
g(Li )

Pour alléger les notations dans cette preuve,
nous noterons󰀄ni = [Li : Q], gi = g(Li ) et ρi = ρ(Li )󰀃pour tout i. Pour tout i, posons Xi := exp 2C ni gi2 /(1 − ρi ) et, pour tout q ∈ Q0 ,fi (q) :=Φq (Li )q
log
si q ≤ Xi
gi
q−1

et fi (q) := 0 sinon.

Comme ρi ∈ [0, 1[, Xi vérifie log Xi > Cni gi2 . L’estimation (2.1) entraı̂ne que, pour tout i ∈ N,
󰁛log ζL∗ i (1)log log Xiγc0≥fi (q) −− −gi
gi
gi gi (1 − ρi ) log Xiq∈Q0pour une certaine constante absolue c0 > 0. Par choix de Xi , nous tirons
󰁛log ζL∗ i (1)log(1 − ρi ) γ + log(2C) c0 (2C)−1 log ni 2 log gi≥
fi (q) +
−
−
−
−
gi
gi
gi
gi
gi
ni gi3
q∈Q
0

≥
≥

󰁛

fi (q) +log(1 − ρi ) γ + log(2C) + c0 (2C)−1 + log(ni /gi ) 3 log gi
−
−
gi
gi
gi

fi (q) −| log(1 − ρi )|− o(1)
gi

q∈Q0

󰁛

q∈Q0

lorsque i → ∞.

(2.2)

Rappelons en eﬀet que ni /gi est borné (par inégalité de Minkowski (1.1)) et que (log gi )/gi = o(1).
6La famille L étant asymptotiquement exacte, il est clair que󰁛󰁛

lim inf fi (q) =
i

q∈Q0

q∈Q0

lim fi (q) = β0 (L ) < ∞.

i→∞

Par ailleurs, nous déduisons du lemme de Fatou que
β0 (L ) =󰁛q∈Q0

lim inf fi (q) ≤ lim infii󰁛fi (q).

q∈Q0

En prenant les limites inférieures de part et d’autre de (2.2) et en reportant l’inégalité ci-dessus dansla relation obtenue, nous obtenons
lim infilog ζL∗ i (1)| log(1 − ρi )|≥ β0 (L ) − lim sup+ 0.
g(Li )gii

L’hypothèse assure alors que lim infilog ζL∗ i (1)≥ β0 (L ), ce qu’il fallait démontrer.
g(Li )

On déduit immédiatement du lemme 2.2 ci-dessus le cas particulier important (et bien connu,
voir théorème 7.2 et remarque 7.2 de [TV02]) suivant : une famille asymptotiquement exacte de corps
de nombres qui n’ont pas de zéro exceptionnel vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé. Ainsi
la conjecture de Tsfasman–Vlăduţ suit de l’hypothèse de Riemann généralisée (condition (C0) dansl’introduction).

3. Théorème de descente de zéros
3.1. Complexités galoisiennes. – Si L/K est une extension de corps de nombres et M/K sa clôture
galoisienne, nous notons [L : K]Gal := [M : K] et ηL/K le plus petit entier n ≥ 1 tel que M est lecompositum de n conjugués de L sur K. Nous posons aussi [L : K]′Gal := ηL/K [M : L].
Reprenons à présent la définition de la complexité galoisienne donnée dans l’introduction en luiadjoignant deux variantes.
Définition 3.1. Pour une extension L/K de corps de nombres, nous notons
ξL/K := min′ξL/K:= minet′′ξL/K:= min󰀝󰀝󰀝󰀞max [Li : Li−1 ]Gal , K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ls = L ,1≤i≤smax [Li : Li−1 ]′Gal , K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ls = L

1≤i≤s

󰀋

󰀌

󰀞

󰀞

max [Li : Li−1 ]′Gal min 1, 2 [L : Li ]−1 , K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ls = L .

1≤i≤sVoici quelques propriétés immédiates de ces invariants.

Lemme 3.2. Soit L/K une extension de corps de nombres.
[L : K]!
′′′(i) 1 ≤ ξL/K
≤ ξL/K≤ ξL/K ≤ [L : K]Gal ≤≤ [L : K]!.
([L : K] − ηL/K )!
′′(ii) ξL/K ≤ [L : K] ξL/K.

(iii) L/K est galoisienne si et seulement si ηL/K = 1 si et seulement si [L : K]′Gal = 1.

′(iv) L/K est galoisienne par pas si et seulement si ξL/K
= 1, auquel cas nous avons ξL/K ≤ [L : K].

(v) Si N est un corps de nombres contenant L alors ξN/K ≤ max{ξN/L , ξL/K } et de même pour ξ ′et ξ ′′ .

Voyons ensuite que la complexité galoisienne n’est pas trop grande en présence d’une extension
résoluble.
7

Lemme 3.3. Soient K ⊂ L ⊂ N et K ⊂ M ⊂ N des extensions de corps de nombres telles que M/K
et N/K sont galoisiennes et N/M est résoluble. Si ξL/K > [M : K], nous avons′(i) ξL/K≤ max

p premier(ii) ξL/K ≤ max

p premier󰁱󰁱(vp ([L : K]) + 1) pvp ([L:K])
2

pvp ([L:K]) +vp ([L:K])(iii) log ξL/K ≤ 3 (log[L : K])2 .

󰁲

et

2

󰁲

,

Démonstration. Commençons par établir l’énoncé dans le cas particulier où l’extension L/K n’admet
aucun sous-corps intermédiaire. Il n’y a pas de restriction à supposer en outre que N/K est la clôture
galoisienne de L · M/K. Puisque[M : K] < ξL/K ≤ [L : K]Gal ≤ [N : K],
nous avons M ∕= N . Notre argument s’inspire alors de celui de [Mur99, p. 517], lui-même adapté
des preuves des théorème 3 et lemme 2 de [OS93]. Notons G = Gal(N/K), H = Gal(N/L) etΓ = Gal(N/M ). Nos hypothèses se traduisent par les faits suivants : Γ est un sous-groupe distinguéde G, Γ est un groupe résoluble non trivial, il n’y a pas de sous-groupe intermédiaire entre H et G et
le seul sous-groupe distingué de G contenu dans Γ ∩ H est trivial. Considérons l’ensemble E des sousgroupes non triviaux de Γ qui sont distingués dans G. Cet ensemble est non vide car Γ ∈ E . Fixons unélément A ∈ E minimal pour l’inclusion. Tout sous-groupe caractéristique de A est distingué dans G.
Par minimalité, le seul sous-groupe caractéristique non trivial de A est A lui-même. Puisque A est
résoluble (comme sous-groupe de Γ), ceci entraı̂ne que A est abélien élémentaire c’est-à-dire isomorpheà (Z/pZ)r pour un nombre premier p et r ≥ 1.
Montrons que G s’écrit comme le produit semi-direct G = A ⋊ H. Tout d’abord notons que A ∕⊂ H
car sinon A serait un sous-groupe non trivial de Γ ∩ H distingué dans G. Le sous-ensemble A · H est un
sous-groupe de G (car A est distingué) qui contient donc strictement H. Nous avons ainsi G = A · H.
D’autre part, l’intersection A ∩ H est un sous-groupe distingué à la fois de H (puisque A est distinguédans G) et de A (puisque A est abélien) donc de A · H = G. L’inclusion A ∩ H ⊂ Γ ∩ H force ainsi
A ∩ H à être trivial et nous avons bien G = A ⋊ H. En particulier l’ordre pr de A s’interprète commel’indice de H dans G, c’est-à-dire comme le degré de L/K.
Notons ϕ : H → Aut(A) l’action de H sur A. Pour tout a ∈ A, l’écriture de G comme produitsemi-direct montre que H ∩ a−1 Ha = {h ∈ H | ϕ(h)(a) = a}. Par suite, si (a1 , . . . , ar ) désigne unebase de A,
H∩

r
󰁟

a−1
i Hai = Ker ϕ.

i=1

Ce noyau est un sous-groupe distingué de H contenu dans le centralisateur de A donc il est distinguédans A · H = G. Par correspondance de Galois, le corps N Ker ϕ est une extension galoisienne de K qui
s’écrit comme compositum de r + 1 conjugués de L au-dessus de K. En particulier N Ker ϕ n’est autre
que la clôture galoisienne de L/K et nous avons ηL/K ≤ r + 1. Nous en déduisons′
ξL/K= ηL/K [N Ker ϕ : L] = ηL/K [H : Ker ϕ] = ηL/K |Im ϕ|et, de même, ξL/K = [L : K] |Im ϕ|. Puisque Im ϕ est un sous-groupe de Aut(A) ≃ GLr (Z/pZ), son
222′
cardinal est au plus pr . Il vient ξL/K
≤ (r + 1) pr , ξL/K ≤ pr +r etlog ξL/K ≤ (r2 + r) log p ≤ 2r2 log p ≤ 3r2 (log p)2 = 3 (log[L : K])2 .
Le lemme est donc démontré lorsque L/K n’a pas d’extension intermédiaire.
Pour passer au cas général il suﬃt de choisir une suite K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ls = L où aucune
des extensions Li /Li−1 n’admet d’extension intermédiaire, en remarquant que Li−1 ⊂ Li ⊂ N et
Li−1 ⊂ Li · M ⊂ N satisfont les hypothèses galoisiennes de l’énoncé avec [Li · M : Li−1 ] ≤ [M : K].

8

3.2. Genre d’un compositum. – Rappelons d’abord un énoncé classique.
Lemme 3.4. Soient L1 , . . . , Ln des corps de nombres et M leur compositum. Alors
n
󰁛
g(M )
g(Li )≤.
[M : Q] i=1 [Li : Q]

Démonstration. Ceci découle directement de la relation de divisibilité entre discriminants donnée parle lemme 7 de [Sta74].
Nous utiliserons la conséquence suivante.
Lemme 3.5. Soient K ⊂ L ⊂ M des corps de nombres imbriqués et N/K la clôture galoisienne de
L/K. Alorsg(M · N ) ≤ [L : K]′Gal g(M ).
Démonstration. Par définition, N est le compositum de ηL/K conjugués de L au-dessus de K. Par
suite, M · N est le compositum de M et de ηL/K − 1 de ces conjugués (qui ont tous le même genre).
Le lemme précédent donne donc󰀃
󰀄 g(L)
g(M · N )g(M )≤ ηL/K − 1+.
[M · N : Q]
[L : Q] [M : Q]

Puisque [M : L] g(L) ≤ g(M ), il vientg(M · N ) ≤ ηL/K [M · N : M ] g(M ) ≤ ηL/K [N : L] g(M ).
C’est le résultat souhaité, par définition de [L : K]′Gal .
3.3. Extensions quadratiques. – Avant de passer à la descente, établissons un dernier lemmepréliminaire (utilisant déjà les résultats de Brauer et Stark qui seront cruciaux pour la démonstration
du théorème 3.7 ci-dessous).
Lemme 3.6. Soient L1 , . . . , Ln des extensions au plus quadratiques d’un corps de nombres K et ρ unréel tel que󰀓

1 − 32 max g(Li )
1≤i≤n

󰀔−1

≤ ρ < 1.

Si ζLi (ρ) = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n alors ζL1 ∩···∩Ln (ρ) = 0.

Démonstration. Si L1 ∩ · · · ∩ Ln est égal à l’un des Li alors la conclusion est claire. Sinon il existe deux
indices 1 ≤ i < j ≤ n avec Li ∕= Lj et [Li : K] = [Lj : K] = 2. Le compositum M = Li · Lj est alors
une extension biquadratique (donc galoisienne) de K dont le genre vérifie g(M ) ≤ 2(g(Li ) + g(Lj ))d’après le lemme 3.4.
Le théorème 1 de [Bra47]
dans l’extension
M/Li assure que ρ est un zéro de ζM . Comme ρ󰀅󰀅appartient à l’intervalle 1 − (8 g(M ))−1 , 1 , c’est un zéro simple de ζM . Nous appliquons alors lethéorème 3 de [Sta74] à l’extension M/K et constatons que son sous-corps minimal dont la fonctionzêta s’annule en ρ, puisqu’il doit être contenu dans Li et Lj , ne peut être que K = L1 ∩ · · · ∩ Ln .
′′3.4. Descente de zéros. – Nous démontrons ici une version renforcée (puisque ξL/K
≤ ξL/K ) duthéorème B de l’introduction.

Théorème 3.7. Soit L/K une extension de corps de nombres. Si la fonction zêta de L admet un zéroréel ρ vérifiant󰀓′′
1 − 32 g(L) ξL/K

󰀔−1

≤ ρ < 1,alors il existe une sous-extension F de L/K avec [F : K] ≤ 2 et ζF (ρ) = 0.
9Démonstration. Nous raisonnons par récurrence sur le degré de l’extension L/K. Si ce dernier est 1
ou 2, il n’y a rien à faire : le choix F = L convient. Supposons donc [L : K] ≥ 3 et le résultat vrai′′
pour toute extension de degré au plus [L : K] − 1. Par définition de la complexité galoisienne ξL/K,
nous pouvons choisir une suite de sous-extensions󰁱K = L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ · · · ⊂ Ls = L󰀃′′de sorte que ξL/K
= max [Li : Li−1 ]′Gal min 1, 2 [L : Li ]−11≤i≤s] ≥ 2 pour 1 ≤ i ≤ s. Posons s′ = s si [L : L󰀄󰁲. Il n’y a pas de restriction à supposer′[Li : Li−1
s−1 ] ≥ 3 et s = s − 1 si [L : Ls−1 ] = 2. Notons
alors K ′ = Ls′ −1 et L′ = Ls′ . Le choix de s′ montre que nous avons K ⊂ K ′ ⊂ L′ ⊂ L,

[L : L′ ] ≤ 2,

[L : K ′ ] > 2

et′′[L′ : K ′ ]′Gal ≤ ξL/K.

Désignons à présent par M ′ /K ′ la clôture galoisienne de L′ /K ′ . D’après le lemme 3.5, nous avons′′g(L · M ′ ) ≤ [L′ : K ′ ]′Gal g(L) ≤ ξL/Kg(L).

Ce compositum L · M ′ est une extension au plus quadratique de M ′ tandis que c’est une extension
galoisienne de L. Le théorème 1 de [Bra47] assure ζL·M ′ (ρ) = 0. Tout comme la borne sur le genre
ci-dessus, cette annulation vaut également pour chacun des conjugués de L·M ′ sur K ′ . Par conséquent,si nous désignons par N l’intersection de tous ces conjugués (qui est une extension galoisienne de K ′ ),le lemme 3.6 assure ζN (ρ) = 0.
′′
Puisque N est un sous-corps de L · M ′ , nous avons g(N ) ≤ ξL/K
g(L) donc ρ > 1 − (32 g(N ))−1
et, en particulier, ρ est un zéro simple de ζN . Le théorème 3 de [Sta74] montre alors qu’il existe une
sous-extension F ′ /K ′ de N/K ′ telle que [F ′ : K ′ ] ≤ 2, ζF ′ (ρ) = 0 et qui est minimale pour cetteannulation au sens où, pour toute sous-extension N ′ /K ′ de N/K ′ , on aF ′ ⊂ N ′ ⇐⇒ ζN ′ (ρ) = 0.
En particulier, la fonction zêta du compositum F ′ · L′ s’annule en ρ. Ce compositum F ′ · L′ est une′′
extension au plus quadratique de L′ et (comme sous-corps de L · M ′ ) son genre est au plus ξL/Kg(L).
Ces trois propriétés sont partagées par L donc le lemme 3.6 entraı̂ne ζL∩F ′ ·L′ (ρ) = 0. Nous en déduisonsF ′ ⊂ L ∩ F ′ · L′ ⊂ L.
L · M′
N
L
≤

2

L′

≤2

F ′ · L′F′
K′

≤2

Cette inclusion fournit g(F ′ ) ≤ g(L) [L : F ′ ]−1 . D’un autre côté, la suite
K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ls′ −1 = K ′ ⊂ F ′′′montre ξF′′ ′ /K ≤ [L : F ′ ] ξL/K
car [F ′ : K ′ ]′Gal = 1 et, si 1 ≤ i ≤ s′ − 1,󰀝

[Li : Li−1 ]′Gal min 1,

2′[F : Li ]󰀞󰀝≤ [Li : Li−1 ]′Gal min 1,

2[L : Li ]󰀞′′[L : F ′ ] ≤ [L : F ′ ] ξL/K.

′′
Nous avons ainsi [F ′ : K] ≤ 2[K ′ : K] < [L : K], ζF ′ (ρ) = 0 et ξF′′ ′ /K g(F ′ ) ≤ ξL/Kg(L).
L’hypothèse de récurrence montre donc bien l’existence d’un corps F avec K ⊂ F ⊂ F ′ ⊂ L,
[F : K] ≤ 2 et ζF (ρ) = 0.

10

3.5. Commentaires. – Dans la partie suivante, nous n’utiliserons le théorème 3.7 que lorsque K = Q.
Dans ce cas sa conclusion est renforcée en ≪ [F : Q] = 2 ≫ puisque la fonction zêta de Riemann ζQ ne
s’annule pas sur l’intervalle [0, 1[.
Notre résultat ≪ explique ≫ par l’usage de la complexité galoisienne les résultats antérieurs de′′≪ descente de zéros ≫ dus à Stark et Murty. En eﬀet, si nous majorons ξ
K/Q par [K : Q]!, nous voyons
apparaı̂tre le lemme 8 de [Sta74] (à un facteur 4 près) ; si nous remarquons que, si K est un corps CM′′
de degré 2n, nous avons ξK/Q
≤ n!, nous sommes dans le cadre du lemme 9 de ce même article tandis′′
que l’égalité ξK/Q = 1 pour une extension galoisienne par pas correspond à son lemme 10. Dans lesdeux cas, nous pourrions aussi retrouver la précision sur le caractère imaginaire de F en reprenant
notre démonstration (qui se réduit à celle de Stark dans ces situations particulières).
Dans le cas d’une extension L/K dont la clôture galoisienne est résoluble, la majoration (i) du′′lemme 3.3 montre que notre résultat est plus précis que le théorème 2.1 de [Mur01] puisque ξL/Kyest remplacé parc (12[L : K])maxp vp ([L:K]) (1 + max vp ([L : K]))2 ,poù c est une constante non précisée (et bien entendu nous aurions pu autoriser comme Murty une
partie imaginaire à ρ puisque le lemme 3 de [Sta74] entraı̂ne immédiatement que ρ est réel). Lesmêmes remarques s’appliquent au théorème 2.2 de [Won22], combinaison des énoncés de Stark et′′′′
Murty, dans lequel ξL/Q
≤ ξL/Kest également majoré par notre lemme 3.3 (et nous lisons plutôt|Im(s)| que |Re(s)| dans les domaines (2.1), (2.3) et (2.4) de [Won22] afin d’éviter qu’ils ne soient
vides).
Enfin, en utilisant notre théorème 3.7 en lieu et place de ses lemmes 8 et 10 dans la démonstration
du théorème 1 de [Sta74], nous en obtenons directement une version raﬃnée où g(n) est remplacé par′′ . La même chose vaut pour le théorème 2 car dans sa démonstration lala quantité plus petite ξk/Q
précision que F est imaginaire dans les lemmes 9 et 10 n’est en fait pas utilisée.

4. Démonstration du théorème principal
Commençons par introduire la notion commode suivante :Définition 4.1. Une famille (Ki )i∈N de corps de nombres est dite de complexité galoisienne modéréesi le quotient (log ξKi /Q )/g(Ki ) tend vers 0 lorsque i tend vers +∞.
Au vu des inégalités entre ces quantités, remplacer ξ par ξ ′ ou ξ ′′ ne changerait pas la définition.
Nous démontrons dans cette partie l’énoncé annoncé comme théorème A dans l’introduction :Théorème 4.2. Toute famille asymptotiquement exacte de corps de nombres de complexité galoisienne
modérée vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Démonstration. Soit (Ki )i∈N une telle famille. Pour chaque entier i ≥ 0 posons ci := 32 g(Ki ) ξKi /Q etdistinguons deux cas : ou √bien la fonction zêta de Ki ne s’annule pas sur l’intervalle [1−c−1
i , 1[, auquelcas nous posons Fi = Q( −3) (ainsi g(Fi ) ≤ g(Ki ) par (1.1)) ; ou bien la fonction zêta de Ki admet
un zéro ρ dans l’intervalle [1 − c−1
i , 1[ et nous construisons un corps quadratique Fi comme suit. Le
théorème 3.7 de descente de zéros implique l’existence d’un corps quadratique Fi /Q contenu dans Ki
tel que ζFi (ρ) = 0. Comme Fi est contenu dans Ki , nous avons g(Fi ) ≤ g(Ki )/[Ki : Fi ] ≤ g(Ki ). Dansce cas ρ est le zéro exceptionnel de Ki et de Fi . Dans les deux cas, nous avons󰀝󰀞

|log(1 − ρ(Ki ))|log ci | log(1 − ρ(Fi ))|
≤ max
,
.
g(Ki )
g(Ki )
g(Ki )(4.1)

L’hypothèse de complexité galoisienne modérée faite sur K implique que (log ci )/g(Ki ) tend vers 0
lorsque i tend vers +∞. Montrons à présent que le terme | log(1 − ρ(Fi ))|/g(Ki ) au second membrede (4.1) est aussi de limite nulle. Comme l’a remarqué Walfisz (voir [Wal36]) le théorème de Siegel surles corps quadratiques (voir [Sie35]) assure que, pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle
11

󰀅

󰀅

que la fonction ζFi ne s’annule pas sur l’intervalle 1 − c(ε) |∆(Fi )|−ε , 1 . Par définition de ρ(·), on endéduit l’existence d’une constante Aε ∈ R telle que, pour tout i ∈ N, |log(1 − ρ(Fi ))| ≤ ε g(Fi ) + Aε .
Pour tout i ∈ N, nous avons ainsi| log(1 − ρ(Fi ))|g(Fi )
Aε
Aε
≤ε
+
≤ε+
.
g(Ki )
g(Ki ) g(Ki )g(Ki )

Puisque g(Ki ) tend vers +∞ avec i, nous concluons que la quantité | log(1 − ρ(Fi ))|/g(Ki ) tend vers 0.
En reportant dans (4.1) les majorations obtenues, il vient|log(1 − ρ(Ki ))|= 0.
i→∞g(Ki )lim

Le lemme 2.2 permet à présent de conclure.
Remarque 4.3. Voici un exemple de famille de corps de nombres qui n’est pas de complexité galoisienne modérée. Notons (pi )i≥1 la suite croissante des nombres premiers et, pour chaque entier i ≥ 1,
Ki le corps de rupture du polynôme X pi −X −1 ∈ Z[X]. L’extension Ki /Q est de degré pi et sa clôture
galoisienne a pour groupe de Galois Spi (voir les théorème 1 de [Sel56] et corollaire 3 de [Osa87]).
Puisque Ki /Q n’a pas de sous-corps intermédiaire, nous avons
ξKi /Q = [Ki : Q]Gal = pi !
pour tout i ≥ 1. D’autre part, les calculs sous le lemme 2 dans [Osa87] impliquent que |∆(Ki )| ∼ pi pi
si bien que g(Ki ) ∼ p2i log pi lorsque i tend vers +∞. Par conséquent le quotient (log ξKi /Q )/g(Ki )tend vers 1/2 lorsque i tend vers +∞.
Nous ne connaissons pas d’exemple de tour de corps de nombres qui ne soit pas de complexité
galoisienne modérée.

5. Applications et exemples
Dans cette partie, nous montrons que certaines des familles de corps de nombres apparaissant naturellement dans la théorie asymptotique des corps globaux vérifient inconditionnellement le théorèmede Brauer–Siegel généralisé.
5.1. Extensions pro-résolubles. – Pour un corps de nombres K, on note K solv le compositum detoutes les extensions galoisiennes finies de K dont le groupe de Galois est résoluble.
Théorème 5.1. Soit K un corps de nombres. Toute famille asymptotiquement exacte de corps denombres contenus dans K solv vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
À notre connaissance, ce résultat est nouveau hormis dans le cas où K = Q et seulement pour desfamilles asymptotiquement mauvaises ou des tours (voir [Dix21]).
Démonstration. Soit L = (Li )i∈N une famille asymptotiquement exacte de corps de nombres contenus
dans K solv . Quitte à remplacer K par sa clôture galoisienne sur Q (ce qui ne fait qu’aﬀaiblir l’hypothèse
sur L ), nous pouvons supposer l’extension K/Q galoisienne. Pour tout i ∈ N, notons Ni la clôture
galoisienne de l’extension K · Li /K. L’extension Ni /K est alors résoluble. Nous pouvons appliquer lelemme 3.3 aux extensions Q ⊂ Li ⊂ Ni et Q ⊂ K ⊂ Ni . Celui-ci fournit la majoration :󰀋󰀌log ξLi /Q ≤ max [K : Q], 3 (log[Li : Q])2 .

Il est alors clair que le quotient (log ξLi /Q )/g(Li ) tend vers 0 lorsque i tend vers +∞. La famille L
est donc de complexité galoisienne modérée ce qui, avec le théorème 4.2, achève la preuve.
En guise d’illustration du résultat ci-dessus, proposons l’exemple d’application suivant. Étant donné
un corps de nombres K, notons (Hi )i∈N la tour de corps de Hilbert construite sur K définie parrécurrence par H0 = K et, pour tout entier i ≥ 0, Hi+1 est le corps de Hilbert de Hi . Nous posons󰁖alors HK := i≥0 Hi .
12

Corollaire 5.2. Soit K un corps de nombres. Toute famille asymptotiquement exacte de corps denombres contenus dans HK vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Démonstration. L’extension HK /K est pro-résoluble (et non ramifiée). Il suﬃt donc d’appliquer lethéorème ci-dessus.

5.2. Extensions KS (p). – Soient K un corps de nombres, p un nombre premier et S un ensemblede places de K. On considère la pro-p-extension maximale KS (p) de K qui est non ramifiée horsde S. Lorsque S est fini et que l’extension KS (p)/K est infinie, on dit que le corps K admet une
S-p-tour de corps de classes infinie (la seule façon connue de vérifier que la pro-p-extension KS (p)/K
est infinie est le critère de Golod–Shafarevich, voir théorème 3 de [HM01]). Les exemples d’extensions
infinies asymptotiquement bonnes d’un corps de nombres donné sont rares. Ceux-ci sont essentiellement construits à partir de sous-extensions de KS (p) pour un corps de nombres K admettant une
S-p-tour de classes infinie.
Nous obtenons une version plus générale de la proposition E, comme suit :Corollaire 5.3. Soient K1 , . . . , Kr des corps de nombres. Pour tout j ∈ {1, . . . , r}, nous fixons un
nombre premier pj et un ensemble Sj de places de Kj et nous notons K le compositum
K := K1,S1 (p1 ) · K2,S2 (p2 ) · . . . · Kr,Sr (pr ).

Supposons que K est de degré infini sur Q. Toute famille asymptotiquement exacte de corps de nombres
contenus dans K vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Si de plus, pour tout j, l’ensemble Sj est fini et les places de Kj contenues dans Sj ne divisent pas
pj , une telle famille est asymptotiquement bonne.
Démonstration. Soit L = (Li )i∈N une famille asymptotiquement exacte de corps de nombres tous
contenus dans K. Le théorème 5.1 montre que L vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé
puisqu’un pro-pj -groupe est en particulier pro-résoluble. Supposons à présent que, pour tout j, Sj est
fini et que les places de Sj ne divisent pas pj . Soit K le compositum des Kj . Sous nos hypothèses,
l’extension K/K s’écrit comme compositum d’extensions modérément ramifiées donc est elle-mêmemodérément ramifiée. On note S l’ensemble des places de K divisant l’une de celles des Sj . Pour
tout i, la formule de Riemann–Hurwitz (voir [Neu99, chapitre III, proposition 3.13]) appliquée à
l’extension K · Li /K montre󰀳

Il vient alors󰀴1󰁛
g(K · Li ) ≤ [K · Li : K] 󰁃g(K) +log Np󰁄 .
2 p∈Sg(Li )
g(K · Li )
g(K)
≤
≤
+
[Li : Q][K · Li : Q]
[K : Q]󰁓p∈S log Np

2[K : Q].

Par suite, le quotient g(Li )/[Li : Q] reste borné lorsque i varie donc son inverse [Li : Q]/g(Li ) nesaurait tendre vers 0 lorsque i tend vers +∞. Comme la famille L est asymptotiquement exacte, nous
concluons comme au paragraphe 1.2 qu’elle est asymptotiquement bonne.
Lorsque r = 1, le corollaire précédent implique ainsi que toutes les extensions infinies K contenues
dans une S-p-tour de corps de classes d’un corps de nombres vérifient le théorème de Brauer–Siegel
généralisé.
5.3. Tours de corps de nombres. – Rappelons qu’une tour de corps de nombres est toujours
asymptotiquement exacte.
Proposition 5.4. Soit K = (Ki )i∈N une tour de corps de nombres. Si K est telle que
log[Ki : Ki−1 ]= 0,i→∞[Ki−1 : Q]
limalors K vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
13

Démonstration. Avec le théorème 4.2, il suﬃt de vérifier que K est de complexité galoisienne modérée.
Pour tout ε > 0, il existe par hypothèse un entier J ≥ 1 tel que
log[Kj : Kj−1 ]log 3≤ε[Kj−1 : Q]
4pour tout j ≥ J. Notons MJ := max1≤j≤J log ξKj /Kj−1 . Fixons un entier J ′ ≥ J tel que MJ ≤ ε g(Ki )pour tout i ≥ J ′ . Pour tous entiers J < j ≤ i, la borne triviale ξKj /Kj−1 ≤ [Kj : Kj−1 ]!, l’inégalité
g(Ki ) ≥ g(Kj ) et la borne de Minkowski (1.1) donnent alors la majoration :󰀃󰀄log ξKj /Kj−1
log [Kj : Kj−1 ]!
[Kj : Q] log[Kj : Kj−1 ]4 log[Kj : Kj−1 ]
≤
≤
≤
≤ ε.
g(Ki )
g(Ki )
g(Kj )[Kj−1 : Q]log 3 [Kj−1 : Q]
Par suite, nous avonslog ξKi /Q
≤ max
1≤j≤i
g(Ki )

󰀫log ξKj /Kj−1g(Ki )

󰀬

= max

󰀫

MJ
, max
g(Ki ) J<j≤i󰀫log ξKj /Kj−1g(Ki )

󰀬󰀬≤εpour tout entier i ≥ J ′ . La tour K est donc de complexité galoisienne modérée.
5.4. Extensions infinies. – Nous dirons, suivant en cela [TV02], qu’une extension algébrique L
de Q vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé s’il existe une tour de corps de nombres dont laréunion est L qui vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé (c’est alors le cas pour toute tour decorps de nombres dont la réunion est L d’après les résultats de [TV02, §7]).
Proposition 5.5. Soit (Kj )j∈N une famille de corps de nombres de complexité galoisienne modérée.
󰁖Toute extension algébrique L de Q contenant j∈N Kj satisfait le théorème de Brauer–Siegel généralisé.

Démonstration. Fixons une première tour (Li )i∈N de corps de nombres dont la réunion est L etconstruisons par récurrence une seconde tour (Mi )i∈N de réunion L et dont la complexité galoisienne
est modérée. Nous posons M0 = Q et, à i ≥ 1 donné, nous définissions Mi à partir de Mi−1 commesuit. Pour tout j ≥ 1, posons Mi,j := Mi−1 · Li · Kj . Les inclusions Q ⊂ Kj ⊂ Mi,j impliquentξMi,j /Q ≤ max{ξKj /Q , ξMi,j /Kj } ≤ max{ξKj /Q , [Mi,j : Kj ]!} ≤ max{ξKj /Q , [Mi−1 · Li : Q]!}.
Ainsi, le quotient (log ξMi,j /Q )/g(Kj ) tend vers 0 lorsque j tend vers +∞. Soient ji l’entier minimal telque (log ξMi,ji /Q )/g(Kji ) ≤ 2−i et Mi := Mi,ji . Puisque g(Kji ) ≤ g(Mi ), le quotient (log ξMi /Q )/g(Mi )tend vers 0 lorsque i tend vers l’infini. Par suite la tour (Mi )i∈N , dont la réunion est L, est de complexité
galoisienne modérée. Ceci conduit à la conclusion souhaitée.
Le résultat ci-dessus permet d’obtenir de nombreux corollaires. Par exemple, une extensionalgébrique de Q contenant une extension galoisienne par pas K/Q de degré infini vérifie le théorèmede Brauer–Siegel généralisé. Énonçons également le cas particulier suivant :Corollaire 5.6. Soit K une extension algébrique de Q. On suppose que K contient une infinité decorps quadratiques. Alors K satisfait le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Démonstration. Appliquer la proposition 5.5 à la famille des corps quadratiques.

Ce corollaire est étonnant en ce que les preuves d’autres cas particuliers de la conjecture deTsfasman–Vlăduţ se basent usuellement sur la finitude du nombre de corps quadratiques contenus
dans les corps de nombres de la famille considérée (voir par exemple le lemme 7.3 et le théorème 7.3
de [TV02]).

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5.5. Exemples explicites. – Voici quelques illustrations d’application du corollaire 5.3, tirées desarticles [Mai00], [HM01], [HM02] et [HMR21].
Exemple 5.7. Dans [Mai00, §3], Maire construit explicitement des corps de nombres M/Q dont la
2-tour de Hilbert M2 est de degré infini sur M . Les corps globaux infinis M2 de [Mai00, §3] vérifient
le théorème de Brauer–Siegel généralisé, par le corollaire 5.3.
Maire utilise ces corps infinis pour produire des exemples de corps de nombres K dont la tour deHilbert HK /K est finie mais dont l’extension galoisienne maximale non ramifiée K∞ /K est infinie(voir son théorème 3.1). Comme l’extension K∞ /K est galoisienne, nos résultats impliquent que K∞
vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé. On ne peut malheureusement pas prouver la mêmeconclusion pour les familles formées de sous-extensions arbitraires de K∞ /K.
Exemple 5.8. Dans ce même article, Maire construit (voir [Mai00, théorème 5.1]) également une
suite infinie (Fi )i∈N de corps quadratiques sur Q tels que, pour tout i, la tour de Hilbert HFi est une
extension finie de Fi bien que Fi admette une extension non ramifiée infinie Ki de degré surnaturel 2∞ .
Chacun de ces corps globaux infinis Ki vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.

Exemple 5.9. Dans leurs exemples A1, B1 et C1 de [HM01, §3.2] ainsi que ceux de [HM02, §3], Hajir
et Maire construisent explicitement des spécimens de corps de nombres K et d’ensembles finis T deplaces de K tels que l’extension KT (2)/K est infinie. Dans chacun de ces exemples, notre corollaire 5.3
montre que l’extension KT (2) vérifie le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Exemple 5.10. Les exemples de [HM02, §3] ont plus tard été repris par Zykin dans [Zyk05, théorème 4].
Il obtient des tours asymptotiquement bonnes L pour lesquelles β(L) est, conditionnellement à GRH,
exceptionnellement petit. Spécifiquement, Zykin montre que0, 56497 ≤ β(L) ≤ 0, 59749.

Dans cet encadrement, la minoration de β(L) reste valable inconditionnellement, seule la majorationnécessite GRH. Avec la même méthode de programmation linéaire, on pourrait toutefois obtenir une
majoration moins précise, mais inconditionnelle, de β(L) en utilisant la version inconditionnelle (plusfaible) de l’inégalité fondamentale de Tsfasman–Vlăduţ.
Zykin considère un corps totalement complexe K de degré 12 qui n’est ni galoisien par pas nià clôture galoisienne résoluble sur Q (S6 est un quotient de son groupe de Galois) mais admet une{p}-2-tour de corps de classes L = K{p} (2) infinie modérément ramifée, où p est un idéal premier denorme 9 (voir [HM02]).
Avant le présent travail, supposer GRH était la seule façon d’assurer que L vérifie la conjecturede Tsfasman–Vlăduţ. Avec notre corollaire 5.3, on sait à présent que la tour L vérifie le théorème de󰁖Brauer–Siegel généralisé. Plus précisément, si l’on écrit L = i Li , la limite󰀃log h(Li ) R(Li )BS(L) := limi→∞g(Li )

󰀄

existe et l’on a inconditionnellement BS(L) = β(L) ≥ 0, 56497.

Exemple 5.11. Il suit aussi du corollaire 5.3 que les exemples obtenus par ≪ coupe dans
Gal(KS (p)/K) ≫ dans le tout récent travail [HMR21] vérifient le théorème de Brauer–Siegel généralisé.
Cela suggère de belles perspectives : après avoir donné des versions eﬀectives de leurs résultats, on
pourra, avec l’approche de [Zyk05], exhiber des tours de corps de nombres L dont les ratios de Brauer–
Siegel BS(L) sont remarquablement petits.

Remerciements – Les auteurs remercient Stéphane Louboutin et Christian Maire pour leurs remarques sur une version précédente de ce travail, celles-ci ont permis d’améliorer nos résultats etleur présentation. Le premier auteur a été en partie financé par la Swiss National Science Foundation(au travers de la bourse SNSF #170565 attribuée à Pierre Le Boudec), le second par le projet GA
CROCOCO de la région Bourgogne Franche-Comté. Les deux premiers auteurs ont été partiellement
financés par le projet ANR-17-CE40-0012 FLAIR.
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Université Clermont Auvergne. Campus Universitaire des Cézeaux, 3 place Vasarely, TSA 60026
CS 60026, 63178 Aubière Cedex (France).
Philippe Lebacque (philippe.lebacque@univ-fcomte.fr) – Laboratoire de Mathématiques deBesançon, Université Bourgogne Franche-Comté. UFR Sciences et Techniques, 16 route deGray, 25030 Besançon (France).
Gaël Rémond (Gael.Remond@univ-grenoble-alpes.fr) – Institut Fourier, Université Grenoble
Alpes. 100 rue des mathématiques, CS 40700, 38058 Grenoble Cedex 9 (France).
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