EXAMEN INTRA, ACT2040, HIVER 2013

Les calculatrices1 sont autorisées, mais pas les téléphones ‘intelligents’ (qui devront être
rangés pendant toute la durée de l’épreuve). Tous les documents sont interdits.
Dans les feuilles qui suivent, il y a 34 questions,• 19 questions générales sur la régression logistique (11 questions), et la régression dePoisson (8 questions)• 15 questions portant sur la modélisation du nombre d’aventures extra-conjugales
hétérosexuelles (sorties en annexes)Précisions sur la notation
Pour chaque question à choix multiple, quatre réponses sont proposées, une seule est valide,
et vous ne devez en retenir qu’une (au maximum),• vous gagnez 1 points par bonne réponse• vous ne perdez pas de points pour une mauvaise réponse
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question qui n’est pas à choix multiple, une courte réponse est demandée. Elle
doit tenir dans l’espace réservé. Vous gagnez 1 point si la réponse est claire, et correcte.
Votre note finale est le total des points (sur 34). Je ne récupère que la feuille séparée(comportant votre nom et l’espace pour mettre les réponses).
Petit complément
Dans le tableau ci-dessous figurent quelques valeurs tirées de la Table de la loi normale
centrée réduite. Il s’agit de valeurs liées aux quantiles, au sens où
P(Z > zp ) = p où Z ∼ N (0, 1).
p20%

15% 10%

5%

2.5%

1%

0.5%

0.1%

zp 0.8416 1.036 1.28 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090

1BA-35, BA II Plus, TI-30X, TI-30Xa, TI-30XIIS et TI-30XIIB (cf plan de cours).
1

2

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

1. Compréhension générale du cours
On obtenu la sortie suivante suite à une estimation de modèles logistiques. Les questions 1
à 8 portent sur cette sortie> regH = glm(Y~(X1=="H")+X2,family=binomial(link="logit"))> summary(regH)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept)

0.704440.56621   

X1 == "H"TRUE -3.06984

0.50396-6.091 1.12e-09 ***X2

0.01105-1.876-0.02074

0.0607 .

--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1

Number of Fisher Scoring iterations: 6> regF = glm(Y~(X1=="F")+X2,family=binomial(link="logit"))> summary(regF)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept)





-3.567 0.000361 ***X1 == "F"TRUE

3.06984

0.50396

6.091 1.12e-09 ***X2-0.02074

0.01105-1.876 0.060693 .

--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

Number of Fisher Scoring iterations: 6

1

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

3

Question 1. On souhaite faire une prévision pour X1="H" et X2=25 avec le modèle regH.
Quelle prévision pour E(Y |X1 ="H", X2 =25) feriez vous ?
A. -2.8838
B. 0.5296
C. 0.0529
D. 0.2883
Il s’agit d’une régression logistique, donc
π(x1 , x2 ) = E(Y |X1 = x1 , X2 = x2 ) =exp[β0 + β1 1(x1 = H) + β2 x2 ]1 + exp[β0 + β1 1(x1 = H) + β2 x2 ]en utilisant les notations usuelles. Aussi la prévision est iciπb(x1 , x2 ) =exp[βb0 + βb1 1(x1 = H) + βb2 x2 ]1 + exp[βb0 + βb1 1(x1 = H) + βb2 x2 ]soit
exp[0.7044 − 3.06981(x1 = H) − 0.0207x2 ]1 + exp[0.7044 − 3.06981(x1 = H) − 0.0207x2 ]Ici, on souhaite une prévision pour x1 = H et x2 = 25, i.e.
πb(x1 , x2 ) =πb(x1 , x2 ) =exp[−2.8829]
exp[0.7044 − 3.0698 × 1 − 0.0207 × 25]∼= 0.053,
1 + exp[0.7044 − 3.0698 × 1 − 0.0207 × 25]
1 + exp[−2.8829]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ce qui correspond à la réponse C.

A

B

C

D

0

Question 2. Que deviendrait la prévision si X1 prenait non plus la valeur "H" mais lavaleur "F" (on a toujours X2=25) ?
A. 0.5463
B. 0.1860
C. 0.0546

4

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

D. 0.0180
Il suffit de faire un petit changement dans le calcul précédant,πb(x1 , x2 ) =exp[0.7044 − 3.0698 × 0 − 0.0207 × 25]
exp[0.1869]∼= 0.5463,
1 + exp[0.7044 − 3.0698 × 0 − 0.0207 × 25]
1 + exp[0.1869]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

qui correspond à la réponse A.

A

B

C

D

0

Question 3. Dans la sortie regH, qu’a été effacé dans la 3ème colonne (z value) ?
A. 1.244
B. 0.704
C. 2.197
D. -3.567
La z-value est la statistique obtenue pour un test de significativité (équivalent de la t-valuedans un modèle linéaire: dans un modèle linéaire, sous hypothèse normalité, les estimateurssont Gaussien, donc le ratio entre la valeur estimée et l’estimateur de son écart-type suit une
loi de Student. Ici, on n’a plus cette propriété, mais asymptotiquement, comme on estimeà l’aide du maximum de vraisemblance, on récupère la normalité asymptotique. Bref, on
continue à utiliser le ratio entre la valeur estimée et l’estimateur de son écart-type, qui va
suivre asymptotiquement une loi normale centrée réduite). Toute cette histoire pour direque
βb0
0.70444== 1.244z=q0.56621\b
Var(β0 )qui est la réponse A.

5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

A

B

C

D

0

Question 4. Dans la sortie regH, qu’a été effacé dans la 4ème colonne (Pr(>|z|)) ?
A. 0.03%
B. 89.25%
C. 21.50%
D. 10.75%
Cette fois, on va utiliser plus en détails ce qui était expliqué dans la réponse précédante.
À savoir que - sous H0 i.e. β0 = 0 - Z suit une loi normale centrée réduite. On veut donc
calculer, comme l’indique la notation
P(|Z| > 1.244) où Z ∼ N (0, 1).
Quelques souvenirs de son cours de probabilité s’imposent ici: )P(|Z| > z) = P({Z > z} ou {−Z > z}) = P({Z > z} ou {Z < −z}) = P(Z > z)+P(Z < −z)par symmétrie de la densité de la loi normale centrée (autour de 0, on en déduit
P(|Z| > z) = P(Z > z) + P(Z > −(−z)) = 2 × P(Z > z)
On peut alors utiliser le tableau de la première page, i.e. P(Z > 1.28) = 10%, donc
P(|Z| > 1.28) = 20%. J’en conviens, on n’avait pas 1.28 mais 1.24. Toutefois, on se douteque la réponse ne doit pas être éloignée de 20%. Comme on est plus petit que 1.28, on
peut même affirmer que la probabilité doit être légèrement plus grande que 20%. Bref, labonne réponse était 21.50%, qui est la réponse C. Beaucoup ont répond D: il ne faut pas
oublier que l’on fait un test bilattéral: l’alternative est que le coefficient soit non-null. On
cherche donc une probabilité que |Z| dépasse un seuil, et pas Z. Ce qui explique que labonne réponse soit le double.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

6

A

B

C

D

0

Question 5. Dans la sortie regH, qu’a été effacé dans la 4ème colonne (sans nom) ?
A. ***
B. *C. .
D. rienComme indiqué dans la sortie, on a des Signif. codes: Si la p-value (i.e. la valeur qu’on

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vient de calculer) dépasse 10%, on ne met rien. C’était la réponse D.

A

B

C

D

0

Question 6. Dans la sortie regF, qu’a été effacé dans la 1ère colonne (Estimate) ?
A. 2.3654
B. -0.70444
C. 0.70444
D. -2.3654

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 20137

Bon, cette fois, on utilise les deux sorties. Car les deux sorties sont équivalentes: c’est lemême modèlesqui est estimé, c’est juste qu’il n’est pas présenté pareil. Travaillons avec X2
nul (les deux modèles doivent donner les mêmes prévisions pour tout X2 ), et travaillons
juste sur ηb i.e. la combinaison linéaire des variables explicatives. Comme la fonction lien
est bijective, les probabilités sont égales si et seulement si les combinaisons linéaires sontégales. On note β le coefficient que l’on cherche• modèle regH: pour H: ηb = 0.7044 − 3.0698 et pour F : ηb = 0.7044• modèle regF: pour H: ηb = β et pour F : ηb = β + 3.0698
On a deux équations, une seule inconnue... mais les deux équations sont identiques:(
0.7044 − 3.0698 = β0.7044 = β + 3.0698
Bref, β vaut ici 0.7044−3.0698 = −2.3654 qui était la réponse D. On notera que l’on pouvait

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

rajouter x2 dans le système, cela ne changerait rien...

A

B

C

D

0

Question 7. Dans la sortie regF, qu’a été effacé dans la 2ème colonne (Std. Error) ?
A. 1.50799
B. -0.66313
C. 0.66313
D. 0.19748

8

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Utilisons ce que l’on a vu auparavant. Mais dans l’autre sens cette fois, car on nous donne
z-value: on sait que

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−2.3654= −3.567?
c’est à dire que la valeur que l’on cherche est 0.66313, qui correspond à la réponse C.

A

B

C

D

0

Question 8. Dans la zone réservée sur la feuille de réponse, expliquez la phrase
Number of Fisher Scoring iterations: 6
La place impartie était restreinte, on ne va pas raconter sa vie ici, mais cette phrasen’apparaissait pas dans le modèle linéaire classique car on avait une solution explicite à lamaximisation de la (log)-vraisemblance, qui coı̈ncidait avec l’estimateur obtenu par moindres carrés. Or ici, la log-vraisemblance est plus complexe, et la condition du premier ordren’admet pas de solution explicite. Bref, on utilise un algorithme numérique pour résoudre
la condition du premier ordre, et donner des valeurs numériques qui maximisent cette (log)vraisemblance. La recherche des zéros d’une fonction (on veut les valeurs qui font que legradient sera nul) se fait par l’algorithme de Newton-Raphson, correspondant ici au scorede Fisher (pour rappel, la matrice Hessienne est ici la matrice d’information de Fisher,et le score est tout simplement le gradient de la log-vraisemblance, cf cours de stats).
Bref, cette phrase nous rappelle quel la recherche du maximum de vraisemblance se faitnumériquement, par un algorithme itératif. Et en l’occurence, on nous dit que l’algorithme
numérique a convergé. Ah oui.... aucun rapport avec le test de Fisher ! Ronald Fisher(1890-1962) a (malheureusement) fait beaucoup beaucoup de choses, et on retrouve son
nom un peu partout en statistique: le score de Fisher, l’information de Fisher, la loi deFisher, le test de Fisher, le noyau de Fisher, l’inégalité de Fisher, le théorème de Fisher (etTippett), sans parler de tous ses travaux en génétique et en études causales.

9

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

réponse 'valide'réponse fausse

non réponse

Question 9. Lors de la modélisation à l’aide d’une régression logistique, on a prédit 0.314
pour E(Y |X1 , X2 ). Que peut-on prédire pour Var(Y |X1 , X2 )A. 0.215
B. 0.314
C. 0.457
D. on ne peut pas faire de prévision, il manque des informations

Le modèle logit (ou probit d’ailleurs, on s’en moque ici) nous permet d’estimer un modèle dela forme Y |X ∼ B(πX ). Bref, le point important est que conditionnellement aux variables
explicatives, on a une loi de Bernoulli. Or, pour une loi de Bernoulli, la variance est π(1−π),donc ici

Var(Y |X1 , X2 ) = πX · (1 − πX ) = E(Y |X1 , X2 ) · (1 − E(Y |X1 , X2 ))car pour rappel, E(Y |X1 , X2 ) = πX . Donc ici, Var(Y |X1 , X2 ) = 0.314 · (1 − 0.314) = 0.215.
C’est la réponse A. Notons que la loi de Bernoulli (comme plus généralement la loi binomiale)
est une loi à sous-dispersion: la variance est toujours plus faible que l’espérance. Seule laréponse A pouvait correspondre.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10

A

B

C

D

0

On obtenu la sortie suivante suite à une estimation de d’un modèle logistique (sur une autre
variable d’intérêt).
> reg=glm(Z~0+X1+X2,family=binomial(link="logit"),data=base)> summary(reg)Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
X1F -6.14096

0.77525-7.921 2.35e-15 ***X1H -5.46391

0.69995-7.806 5.90e-15 ***X2

0.012077.614 2.66e-14 ***0.09192--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
On a alors tenté de représenter graphiquement les deux prédictions,x2 7→ E(Z|X1 = x1 , X2 = x2 )lorsque x1 vaut H (en trait continu) et lorsque x1 vaut F (en trait pointillé)> ZH=predict(reg, newdata=data.frame(X1="H", X2=seq(20,80)), type="response")> ZF=predict(reg, newdata=data.frame(X1="F", X2=seq(20,80)), type="response")> plot(seq(20,80),ZH,type="l",lty=1)# trait continu> lines(seq(20,80),ZF,lty=2)# trait pointilleQuestion 10. Quel graphique ci-dessous correspond à ce qui a été demandé ?

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201311

A. le graphique A.
B. le graphique B.
C. le graphique C.
D. le graphique D.

1.0

Graphique B.

1.0

Graphique A.

0.6

Probabilité

0.0

0.2

0.4

0.6
0.4
0.0

0.2

Probabilité

0.8

x1=H
x1=F

0.8

x1=H
x1=F

40

50

60

70

80

20

30

40

50

x2

x2

Graphique C.

Graphique D.

60

70

0.6

Probabilité

0.0

0.2

0.4
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x1=H
x1=F

0.8

x1=H
x1=F

Probabilité

80

1.0

30

1.0

20

20

30

40

50

60

70

80

20

x2

30

40

50

60

70

80

x2

Pour rappel, la fonction de lien est une fonction croissante, au sens où
x 7→

exp[βx + ?]1 + exp[βx + ?]est une fonction croissante en x si β > 0 et décroissante en x si β < 0. Bref, comme β2
est (strictement) positif, la prédiction doit être croissante en x2 . Pour les deux valeurs de
x1 . On a donc le choix entre A et B. Pour trancher, il faut juste voir - en fonction desdeux valeurs possibles de x1 - laquelle sera toujours en dessous de l’autre. Comme βbF est(strictement) inférieure à βbH , la prédiction sera aussi toujours inférieure, par croissance dela fonction de lien. Donc pour x2 prenant la valeur F la prédiction (et donc la courbe en
pointillé) sera toujours en dessous de l’autre. C’est ce que l’on a pour le graphique B.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

12

A

B

C

D

0

Question 11. Différentes écritures pour la régression de Poisson sont proposées(i) Ni = β0 + β1 Xi + εi avec εi i.i.d. de loi P(λ)(ii) Ni = exp[β0 + β1 Xi ] + εi avec εi i.i.d. de loi P(λ)(iii) Ni = exp[β0 + β1 Xi + εi ] avec εi i.i.d. de loi log-Poisson(iv) log Ni = β0 + β1 Xi + εi avec εi i.i.d. de loi log-Poisson
Quelle(s) écriture correspond à ce qui a été appelé ‘régression log-Poisson’ dans le cours
A. (i)
B. (ii)
C. (iii) et (iv)
D. aucune des formes proposées
Aucune de ces écriture n’a été évoqué en cours, aucune n’est va une valide. La raison
fondamentale - je vais tenter de résumer en deux phrases ce qui a été pendant plusieurs en
cours - avec les GLM, on ne modélise plus la variable d’intérêt, mais son espérance. On va
supposer que c’est E(Y |X1 ) qui va être une fonction d’une combinaison linéaire des variables
explicatives. En l’occurence, E(Y |X1 ) = exp[β0 +β1 X1 ]. Autant, dans un modèle Gaussien,
si Y ∼ N (µ, σ 2 ), alors Y = µ + ε avec ε ∼ N (0, σ 2 ), autant pour les autres lois de la famille
exponentielle on n’a pas d’écriture de ce genre. On ne peut pas dire que si N ∼ P(λ) alors
N = λ+ε, avec une forme simple et standard pour ε, et surtout identiquement distribué, carla régression de Poisson est fondamentalement hétéroscédastique: la régression de Poissonétait hétéroscédastrique, aucune réponse nétait possible (si on suppose les bruits i.i.d.). Bref,aucune réponse ne convenait. Il fallait répondre D. J’attends d’ailleurs que l’on m’expliquece qu’est cette loi ‘log-Poisson’ (?).

13

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

A

B

C

D

0

On obtenu la sortie suivante suite à une estimation de régressions de Poisson (les variables
X1 et X2 sont les mêmes que dans les questions précédantes). Les questions 12 à 19 portent
sur cette sortie> mean(base[["N"]])[1] 
> mean(base[X1=="H","N"])[1] 0.2361111> mean(base[X1=="F","N"])[1] 0.1145833> sum(base[["X1"]]=="H")[1] 144> sum(base[["X1"]]=="F")[1] 96> reg=glm(N~(X1=="H"),family=poisson(link="log"),data=base)> summary(reg)Coefficients:
Estimate Std. Errorz value

Pr(>|z|)(Intercept)

0.3015







X1 == "H"TRUE

0.3469







--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)> regq=glm(Y~(X1=="H"),family=quasipoisson(link="log"),data=base)> summary(regq)

14

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Coefficients:
Estimate

Std. Errorz value

Pr(>|z|)(Intercept)







3.45e-11

X1 == "H"TRUE







0.0449--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 1.068463)
Question 12. Quelle est la première valeur manquante (calcul de > mean(base[["N"]]))
A. 0.1631
B. 0.1875
C. 0.1753
D. on n’a pas assez d’éléments pour conclure
Une première question facile, qui est la version empirique de la relation de projection del’espérance conditionnellement
E(N ) = E(E(N |X1 ))i.e.
E(N ) = E(N |X1 = H) · P(X1 = H) + E(N |X1 = F ) · P(X1 = F )On remplace ici les espérance par les moyennes empiriques, et les probabilités par les
fréquences empiriques,
N = 0.23611 ·144
96+ 0.1145 ·= 0.1875
144 + 96
144 + 96

qui était la réponse B. C’était la question du niveau du cours de Probas 1, histoire d’offrir
des points.

15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

A

B

C

D

0

Question 13. Dans la sortie de régression reg, quelle est la valeur de estimate associéeau coefficient (Intercept)
A. 0.114
B. 0.175
C. -1.740
D. -2.166
Comme on régresse sur un facteur, la constante est ici la valeur obtenue pour la modalité
de référence, i.e. F. Or on a vu, qu’avec une r’egression de Poisson, la somme prédiction
coı̈ndicait avec la somme des observations. Autrement dit, la prédiction pour une personne
F doit coı̈ncideer avec la moyenne pour les personnes de type F. Cela se traduit parbF = 0.1145833 = exp[βb0 ]
λ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

autrement dit βb0 = log(0.1145833) ∼ −2.166, qui était la réponse D.

A

B

C

D

0

16

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 14. Dans la sortie de régression reg, quelle est la valeur de estimate associéeau coefficient X1 == "H"TRUE
A. 0.121B. 0.236
C. -2.112
D. 0.723
On utilise un raisonnement similaire, on notant ici que la prédiction s’écrit de manièrelégèrement différente,bH = 0.23611 = exp[βb0 + βb1 ] = exp[βb0 ] · exp[βb1 ]λ| {z }bF
λce qui permet décrire
exp[βb1 ] =bH
λ0.2361111=∼ 2.060612
bF
0.114583
λ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ou encore βb1 = log[2.060612] ∼ 0.723 qui était la réponse D.

A

B

C

D

0

Question 15. Dans la sortie de régression, quels coefficients sont significativements non
nuls (avec une probabilité de 95%)
A. aucun
B. (Intercept) seulement
C. X1 == "H"TRUE seulement
D. (Intercept) et X1 == "H"TRUEACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201317

On se lance dans les calculs. La significativité se teste à partir du ratio de la valeur estiméepour un coefficient et de son écart-type (estimé). Pour la constante, on a
|z| =

2.166
= 7.1840.3015qui est (bien) supérieur à 1.96 (valeur critique pour un test à 95%). Donc la constante est
significativement non nulle. Pour le second
|z| =

0.723
= 2.0841
0.3469qui est (tout juste) supérieur à 1.96 (valeur critique pour un test à 95%). On accepte doncl’hypothèse de significativité du coefficient. Bref, les deux coefficients sont significativement

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

non-nuls, on retient donc la réponse D.

A

B

C

D

0

Question 16. Dans la sortie de régression regq, quelle est la valeur de estimate associéeau coefficient (Intercept)
A. 0.114
B. -2.313
C. -1.740
D. -2.166
On attaque ici la régression quasi-Poisson. Comme on l’a vu en cours, la prédiction est
ici la même (exactement la même) qu’avec une régression de Poisson, le seul changement
se faisant sur la variance de Y , et donc sur la variance des estimateurs, et donc sur leursignificativité (cf le cours). On a donc ici la même valeur qu’avec la régression de Poisson,
i.e. -2.166 (cf question 13). On retient donc la réponse D.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

18

A

B

C

D

0

Question 17. Dans la sortie de régression regq, quelle est la valeur de estimate associéeau coefficient X1 == "H"TRUE
A. -2.112
B. -0.252
C. 0.252
D. 0.723
Je ne vais pas répéter ce que je disais dans la question 16, donc on conviendra que la réponse

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

D est la bonne.

A

B

C

D

0

Question 18. Dans la sortie de régression regq, quelle est la valeur de Std. Error associéeau coefficient (Intercept)
A. 0.114
B. 0.311
C. 0.301
D. 0.322

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201319

Cette fois, les choses vont changer un peu: rappelons qu’avec une loi de Poisson, on avait
Var(Y |X) = E(Y |X). Avec une loi quasi-Poisson, Var(Y |X) = ϕ · E(Y |X) On retrouve
une propriété similaire sur les estimateurs βb et leur variance. Je n’étais pas rentré dans lesdétails, mais on avait vu en classe qu’avec un modèle quasi-Poisson surdispersé, on a avait
plus de variance sur notre estimateur. Entre les variances des estimateurs de la régression
dans le modèle de Poisson, et quasi-Poisson, il y a un rapport φ, et donc entre les écart-type,√√on peut s’attendre à avoir un rapport de l’ordre de φ. Or ici φ est de l’ordre de 1.03. Il

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

fallait donc rajouter environ 3% à l’estimation de l’écart-type.

A

B

C

D

0

Question 19. Dans la sortie de régression regq, quelle est la valeur de Std. Error associéeau coefficient X1 == "H"TRUE

A. 0.335
B. 0.347
C. 0.370
D. 0.358

L’explication est la même que pour la question précédante. La bonne réponse est la réponse
D.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20

A

B

C

D

0

2. Analyse des données
Question 20. A l’aide de la sortie 1, si on souhaite modéliser Y , le nombre d’aventuresb estimateur
extraconjugales dans l’année suivant une loi de Poisson, P(λ), que vaudrait λ,du maximum de vraisemblance de λ ?
A. 1.879
B. -0.461
C. 0.631
D. 0.750
On sait - ou on devrait savoir, ce n’est jamais que le 8ème cours qui utilise la loi de Poisson,que si Y ∼ P(λ), alors E(Y ) = λ, donc l’estimateur par la méthode des moments de λ est la
moyenne empirique. Mais c’est aussi l’estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance, on l’a revu en cours (d’où l’intérêt de venir en cours ou de lire les transparents).
b = Y , la valeur numérique était donnée dans la seconde ligne, 0.63055. La bonne
Bref, λ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

réponse était la réponse C.

A

B

C

D

0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

21

Question 21. A l’aide du modèle prédédant, donner un estimateur de P(Y > 0), la probabilité qu’une personne (prise au hasard) ait une - ou plusieurs - aventure(s) extraconjugale(s)dans l’annéeA. 80.1%
B. 19.9%
C. 24.9%
D. 46.7%
La phrase “à l’aide du modèle prédédant” signifie qu’on nous demande de calculer, pourY ∼ P(λ), P(Y > 0). Mais ça on connait - depuis le premier cours de proba - c’est
P(Y > 0) = 1 − P(Y = 0) = 1 −exp[−λ]λ0= 1 − exp[−λ]0!

Bon, maintenant, si on veut un estimateur de cette quantité, on remplace dans le calcul λpar son estimateur. Donc la probabilité qu’on nous demande est
h ib = 1 − exp[−Y ] = 1 − exp[−0.631] = 0.467
1 − exp −λ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

qui est la réponse D.

A

B

C

D

0

Question 22. Toujours à l’aide de la sortie 1, si on souhaite modéliser Y0 , le fait qu’unepersonne ait eu - ou pas (Y0 = 1 si elle en a eu, Y0 = 0 si elle n’en a pas eu) - des aventures
extraconjugales dans l’année suivant une loi de Bernoulli, B(π), que vaudrait πb, estimateur
du maximum de vraisemblance de π ?
A. 80.1%
B. 19.9%
C. 24.9%

22

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013D. 46.7%
Cette fois, on utilise une loi de Bernoulli, Y0 ∼ B(π). Là aussi, on a vu en cours que
pour une loi de Bernoulli, l’estimateur du maximum de vraisemblance pour π est Y 0 , i.e.
la fréquence empirique des non-“0” dans la base. Or on nous donne la répartition. En
l’occuremce, sur 563 observations, on a eu 451 fois “0”. Donc
Y0 =563 − 451=
= 0.199
563
563

aussi, la bonne réponse était la réponse B (qui, soit dit en passant, est très différente de

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

celle obtenue avec le modèle de Poisson).

A

B

C

D

0

Question 23. A l’aide du modèle regbernoulli de la sortie 2, prédire la probabilité qu’unhomme marié depuis 10 ans ait une aventure extraconjugale (ou plus) dans l’année.
A. 2.36%
B. 23.4%
C. 42.5%
D. 99.5%
On retrouve la régression logistique (des premières questions de l’examen, on va donc pouvoir aller vite). Un homme marié depuis 10 ans, c’est YEARMARRIAGE prenant la valeur 10,
et pour les facteurs, SEXEF vaut 0 alors que SEXEH vaut 1. Bon, maintenant on remplace...
πb=exp[βb × 10 + βbF × 0 + βbH × 1]
1 + exp[exp[βb × 10 + βbF × 0 + βbH × 1]]

et si on met les valeurs numériques, on obtientπb=exp[0.03738 × 10 − 1.55898]
exp[−1.185]=∼ 0.234,
1 + exp[0.03738 × 10 − 1.55898]
1 + exp[−1.185]

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

23

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

qui correspond à la réponse B.

A

B

C

D

0

Question 24. A l’aide du modèle regpoisson de la sortie 2, prédire la probabilité qu’unhomme marié depuis 10 ans ait une aventure extraconjugale (ou plus) dans l’année.
A. 1.76%
B. 23.4%
C. 42.5%
D. 98.7%
C’est la même question que celle d’avant, mais avec un autre modèle, tout comme la question
22 était distincte de la question 21. On va donc faire pareil: estimer λ et en déduire laprobabilité de valoir 0. C’est parti (et on va vite dans les calculs, c’est toujours pareil..)b = exp[0.044486 × 10 − 0.746552] = exp[−0.30169] = 0.7396
λOr on avait vu dans la question 21 que dans ce cas, un estimateur de P(Y > 0|X) était
obtenu en considérantb soit ici 1 − exp[− exp[0.044486 × 10 − 0.746552]] ∼ 0.52267
1 − exp[λ]houps. La réponse n’était pas proposée... Désolé (et bravo aux étudiants qui ont sur sa
copie qu’aucune réponse proposée n’était valide, presque toujours en donnant comme bonneréponse 52.3%, un bonus leur a été accordé). La question a été supprimée. Désolé.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

24

A

B

C

D

0

Question 25. Dans le modèle regpoisson2 de la sortie 3, peut-on éliminer la variable
SEXE ?
A. non, car seuls les hommes ont été pris en compte (variable SEXEH), il faudrait fairela même régression en prenant en compte les femmes (variable SEXEF)
B. non, car la variable était significativement non nulle dans les précédantes régressions(sortie 2)
C. oui, car la modalité homme (variable SEXEH) n’est pas significativement différentede la modalité femme (correspondant ici la modalité de référence)
D. oui, car comme une homme trompe sa femme avec une autre femme, et qu’unefemme trompe son mari avec un autre homme: l’effet de la variable SEXE s’annule.
C’est la réponse C, je renvoie à tout ce que j’ai pu dire en cours, car ce point à été vu
à maintes reprises... Maintenant, la réponse D pourrait - en théorie - être valide, si lespersonnes se trompaient au sein de la population interrogée. Dans ce cas, effectivement, lenombre d’adultères commis par les femmes devrait être égal au nombre d’adultères commis
par les hommes. Mais ce n’est pas le cas... Donc cette réponse ne pouvait être acceptée(surtout que la C) correspondait à la réponse que j’ai toujours donné au tableau en cours..

25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

A

B

C

D

0

Question 26. Dans le modèle regpoisson2 de la sortie 3, donnez un intervalle de confianceà 95% pour β associé à la variable EDUCATION ?
A. [0.098;0.151]
B. [-0.199;0.449]
C. [1.074;1.193]
D. [0.072;0.177]
Pour les intervalles de confiance, on utilise la propriété de normalité asymptotique desestimateurs du maximum de vraisemblance. Pour faire simple (je renvoie au cours pour les
subtilités), un intervalle de confiance à 95% pour β est de la forme
#
"
q
\
b
βb ± 1.96 Var(β)(c’est le cours de statistique). Bref, si on remplace par les valeurs numériques, l’intervallede confiance s ’écrit[0.12479 ± 1.96 × 0.02627] soit [0.072; 0.177]
On retiendra donc la réponse D.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

26

A

B

C

D

0

Question 27. Dans la sortie 4, plusieurs variables sont utilisées dans la régression, à savoir
YEARMARRIAGE, AGE, RELIGIOUS, EDUCATION et SATISFACTION, toutes prises ici comme desvariables numériques. On considère une personne de 35 ans (AGE=35), mariée depuis 10 ans(YEARMARRIAGE=10), athée (RELIGIOUS=1) et de degré d’éducation élevé (EDUCATION=20).
On ne connait pas son degré de satisfaction dans son mariage (SATISFACTION) qui peutvarier de 1 à 5. Quel peut être l’intervalle pour λ pour cette personne,
A. [1.07;4.84]
B. [0.84;1.07]
C. [1.07;18.44]
D. [0.84;12.24]
On avait rappelé dans une question précédante que la fonction de lien était monotone. Aussi,
si x est compris entre deux valeurs (i.e. x ∈ [x− ; x+ ]), alors λx sera soit dans [λx− ; λx+ ](si le coefficient associé est positif, soit dans [λx+ ; λx− ] (si le coefficient associé est négatif).
Bref, toute cette histoire pour dire qu’il suffit de faire des prévisions pour les cas extrêmes(ici 1 et 5) pour avoir un intervalle pour les valeurs prédites. Bref, ici, on avaitbx = exp[−0.0402 × 35 + 0.09332 × 10 − 0.25 × 1 + 0.134 × 20 − 0.37659 × x]
λoù ici x est le niveau de la variable SATISFACTION. Notons que
bx = exp[−0.0402 × 35 + 0.09332 × 10 − 0.25 × 1 + 0.134 × 20] exp[−0.37659 × x]
λ{z}|
exp[1.9562]

En replaçant x par 1 et 5, on obtient les valeurs
bx=1 = 7.072 exp[−0.37659 × 1] ∼ 4.84
λ

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201327

etbx=5 = 7.072 exp[−0.37659 × 5] ∼ 1.07
λ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

On retrouve les bornes de la réponse A. Qui semble donc être la bonne réponse.

A

B

C

D

0

Question 28. Dans la sortie 5, on se demande si la variable SATISFACTION peut être
considérée comme une variable continue, ou s’il faut la prendre en compte comme facteur.
Qu’en pensez vous (une seule réponse est autorisée) ?
A. les réponses étant 1,2,3,4 et 5, la variable est une variable numérique, donc on peutla considérer comme numérique, et la prendre en tant que facteur n’a pas de sens.
B. les valeurs βb · x (x désignant le niveau de satisfaction) sont dans les intervalles deconfiance des βbkx (variables prises en tant que facteur) donc on peut considérer lavariable comme numérique car cela réduit le nombre de variables dans le modèleC. dans la régression regpoisson3 trop de variables sont non-significatives: on nepeut pas utiliser des facteurs, il faut donc prendre la variable en tant que variablenumériqueD. dans la régression regpoisson3 on note que les facteurs ne sont pas monotones: il
y a un effet non linéaire, et il ne faut pas utiliser la variable en tant que variablenumérique mais en tant que facteur (ou alors il faudrait lisser la variable)
C’est la réponse B. Pour ceux qui pensaient répondre D, il faut aussi regarder les intervalles
de confiance... effectivement, on notait que les valeurs n’étaient pas stricto sensu monotones,
mais avec l’intervalle de confiance... on ne voit pas d’effet non-linéaire ressortir clairement.
La preuve en image...

28

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

J’ai effectivement dit en cours que si un effet non-linéaire apparaı̂t clairement, il vaut mieux
utiliser des facteurs. Cela dit, on aurait tendant à les regrouper car il ne sont pas significativement différents. On le voit sur le graphique, mais un test de Fisher serait plus propre.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Je donne 1/2 point pour la réponse D.

A

B

C

D

0

Question 29. Dans la sortie 6, on ajuste une régression quasi-Poisson (appelée regqpoisson)
et une régression binomiale négative (appelée regnegbin). Pensez-vous que le coefficientde surdispersion φ soit strictement plus grand que 1 ?
A. oui car dans regqpoisson, φb = 3.5285 et 3.5285 > 1
B. oui car dans regqpoisson, φb = 3.5285 et 3.5285 > 1.960
C. oui car dans regnegbin, θ est significativement non nul (0.1610/0.0232 > 1.960)
et le test construit pour le paramètre de surdispersion repose sur une modélisationbinomiale négative
D. non car dans regnegbin, le paramètre de surdispersion (appelé Dispersion parameter)
est 1

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201329

La réponse A était tentante, et effectivement , de la surdispersion apparaı̂t si φ > 1. Cela
dit, pour tester une hypothèse de la forme H0 : φ > 1, on ne se contente pas de comparer
φb et 1: 3.5285 est autant éloigné de 1 que peut l’être 1.02 ! Il faut prendre en compte ladispersion possible de notre estimateur. Mais on ne l’a pas. En fait, si on veut faire un test
propre (cf le cours) on revient à une écriture basée sur un modèle basé sur la loi binomialenégative. Or ici, on a de l’information relative à la variabilité de l’estimateur de nuisance dela loi binomiale négative. Qui permet de tester si la loi binomiale négative est une vraie loi
binomiale négative, ou une simple loi de Poisson. Bref, le test construit sur la loi binomialenégative nous permet de conclure qu’il doit y avoir de la surdispersion, et donc que φ est
probablement strictement plus grand que 1. La bonne réponse est C. Mais je donnerai 1/2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

point pour la réponse A.

A

Question 30.

B

C

D

0

On considère une personne de 35 ans (AGE=35), marié depuis 10 ans

YEARMARRIAGE=10, athée (RELIGIOUS=1), de degré d’éducation élevé (EDUCATION=20) et
qui se déclare heureuse en mariage (SATISFACTION=5). On notera x ces caractéristiques, et
N le nombre d’aventures extraconjugales eu par cette personnes pendant l’année passée. A
l’aide du modèle regqpoisson, donnez un estimateur pour Var(N |X = x),
A. 3.788
B. 2.016
C. 1.944
D. 10.26

30

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

On avait déjà évoqué le modèle quasi-Poisson il y a peu. L’idée est que

Var(N |X) = φ · E(N |X),

soit ici
Var(N |X) = φ · exp[X 0 β].

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Je laisse faire les calculs.... La bonne réponse est la réponse A.

A

B

C

D

0

Question 31. [suite de la question 30]. Pour cette même personne, à l’aide du modèleregnegbin, donnez un estimateur pour E(N |X = x),
A. 0.65
B. 1.04
C. 1.07
D. 4.82
On a un modèle binomial-négative (on s’en moque un peu pour cette question), avec un lien
logarithmique (ça, en revanche, c’est important). Bref, ici, il suffit de prendre l’exponentiellede la combinaison linéaire obtenue avec les valeurs indiquées. Aussi,b ∼ 1.04µb = exp[X 0 β]
Il fallait donc répondre B.

31

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

A

B

C

D

0

Question 32. Dans un modèle à inflation de zéros, si pi (·) est une fonction de probabilité
sur N, on suppose que pour ∀i = 1, · · · , n,(πi + [1 − πi ] · pi (0) si k = 0,
P(Yi = k) =[1 − πi ] · pi (k) si k = 1, 2, · · ·(2.1)

On dispose d’observations (Xi , Yi ) indépendantes. Dans un modèle où πi est identique pour
tous (noté π), et où pi (·) est donné par un modèle log-Poisson, écrire la vraisemblenceL(β0 , β1 ; X, Y ) dans l’espace réservé sur la feuille de réponses.
Je renvoie au cours... En fait, je l’avais évoqué au tableau. Je demandais juste d’écrire lavraisemblance (je n’ai jamais demandé de résoudre les conditions du premier ordre, tout
simplement parce qu’il n’y pas de solutions explicites - bravo à ceux qui ont cru les résoudre- c’est pour cela qu’on a évoqué à trois reprises dans le cours les méthodes numériques dedescente de gradient),
L=

n
Y
i=1

P(Yi = yi ) =nY([πi + [1 − πi ] · pi (0)]1(yi = 0) + [1 − πi ] · pi (k)1(yi 6= 0))i=1Ensuite, on utilise le fait que
exp[β0 + β1 xi ]kλk
pi (k) = exp[−λi ] i = exp[− exp[β0 + β1 xi ]]k!
k!
et que πi était le même pour tous, soitn Y
exp[β0 + β1 xi ]kL=(π + [1 − π] · exp[− exp[β0 + β1 xi ]])1(yi = 0) + ([1 − π] · exp[− exp[β0 + β1 xi ]])1(yi 6=k!
i=1

Je ne demandais pas d’en mettre plus... Bien sûr que ça peut se simplifier, mais peu
importe...

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

32

réponse 'valide'réponse fausse

non réponse

Question 33. Dans la sortie 7, on se demande si la surdispersion ne pourrait pas venird’une sur-représentation des 0 dans notre base de données, qui pourrait être interprétécomme un mensonge. Dans un modèle à inflation de zéro (équation (2.1)), où πi serait
considéré comme constant (noté π), quel estimateur pour π suggèreriez-vous ?
A. 4.5%
B. 18.6%
C. 50.2%
D. 77.7%
Bon, le point essentiel est que pour la sur-représentation de zéros, on a un modèle logistique.
Sans variable explicative, certes, mais le lien se fait avec la fonction de répartition de la loi
logistique. Ici
π
b=

3.50
exp[1.2531]
exp[βb0 ]=∼1 + exp[1.2531]
1 + 3.50
1 + exp[βb0 ]c’est à dire environ 0.777. Il fallait répondre D. Comme βb0 était stricement positive, la

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

probabilité était forcément plus grande que 1/2.

A

B

C

D

0

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

33

Question 34. Dans la sortie 8, on suppose que πi dépend de la variable SATISFACTIONde l’individu i (au travers d’une régression logistique). Comparer πi pour une personne
malheureuse en amour (SATISFACTION=1), noté π1 et pour une personne heureuse en amour(SATISFACTION=5), noté π5
A. π1 /π5 ∼ 40%
B. π1 /π5 ∼ 70%
C. π1 /π5 ∼ 90%
D. π1 /π5 ∼ 120%
On a presque fini... Comme inscrit au tableau pendant l’intra, la sortie 8 correspondaità la régression de la page 8/8 (il n’y en avait qu’une). Bref, on utilise le fait que l’on aune régression logistique (cf question précédante) pourraitla sur- représentation de zéros,
en rajoutant cette fois la seconde variable,πbx =exp[βb0 + βb1 x]
1 + exp[βb0 + βb1 x]

On peut noter que
πbx1
exp[βb0 + βb1 x1 ]1 + exp[βb0 + βb1 x1 ]
=
·
π
bx2
1 + exp[βb0 + βb1 x1 ]exp[βb0 + βb1 x1 ]
soit
π
bx1
1 + exp[βb0 + βb1 x2 ]= exp[βb1 (x1 − x2 )] ·πbx2
1 + exp[βb0 + βb1 x1 ]Bon, on ne va pas y passer des heures à essayer de faire des simplifications, on peut faire
un rapide calcul (surtout que β0 ici est supposé nul),
1 + exp[0.3369 × 5]
πbx=1
= exp[−0.33694] ·∼ 0.6917
πbx=5
1 + exp[0.3369 × 1]
qui est de l’ordre de 70%. La bonne réponse était la réponse B.

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

34

A

B

C

D

0