2020 年度情報処理学会関西支部

支部大会

G-45

ガウス過程を用いたスペクトラル BRDF の予測
引地 将大†

岩崎 慶‡

概要コンピュータグラフィックス（CG）において，物体表面での光の反射率を表す双方向反射率分布関数（BRDF）は写実的な画像を生成する上で重要な要素の一つである．写実的な画像を生成するには，実世界の材質の光の反射を正確に表現する必要があり，実際に材質での光の反射率を計測した計測 BRDF が広く使用されている．しかし計測 BRDF は，計測した材質しか表現できないという問題がある．また近年，波長を考慮したスペクトラルレンダリングに注目が集まっており，波長ごとに反射率を計測した計測スペクトラル BRDF が登場した．これにより，波長を考慮した写実的な画像の生成が可能となるが，表現できる材質に限りがあるという問題点は解決されていない．そこで本研究では，ガウス過程を用いて計測スペクトラル BRDF を 2 次元の潜在変数パラメータで表現し，潜在変数を内挿・外挿することで，未計測の材質のスペクトラ
ル BRDF を予測する方法を提案する．本研究により，計測された材質のスペクトラル BRDF を正確に再現しながら，未計測の材質のスペクトラル BRDF を予測することができる．これにより，計測した材質しか表現できない問題を克服できる．

1.

はじめに用され始めている．2018 年に Dupuy らは，波長ごとの反コンピュータグラフィックス（CG）の分野において，写射率を計測した計測スペクトラル BRDF[3]を公開してい実的な画像生成（レンダリング）は重要な研究分野の 1 つる．しかしながら，MERL BRDF と同じように，レンダリである．写実的な画像を生成するためには，物体表面におングで表現できるのは計測した材質のみである．そのため，ける光の反射率を表す双方向反射率分布関数（BRDF：計測したデータから別の材質の BRDF を予測することがで

Bidirectional Reflectance Distribution Function）[1]が重きれば，スペクトラルレンダリングの表現力向上が期待で要な役割を果たす．BRDF を表現する方法として，数式できる．

モデル化する方法が広く用いられてきた．しかし，数式を用いて BRDF を表現した場合，実世界の材質の複雑な反射2.

率分布を再現することが難しいという問題がある．

2.1.

関連研究
双方向反射率分布関数

Matusik らは，現実世界の材質を実際に計測した MERL

光が物体表面に当たると，平坦に見える表面でも，ミクBRDF[2]を公開した．MERL BRDF を使用することで，よロな世界では細かな面の傾きのばらつきがあるため，これり写実的な画像を生成することが可能になった．従来，色により光沢の有無などが変化する．ミクロなスケールの面の三原色である赤・緑・青（RGB）のみを考慮した RGB レの傾きをすべて考慮していては計算コストが膨大になるた

ンダリングが主流であったため，MERL BRDF においてもめ，物体の反射特性を統計的な振る舞いとしてモデル化す

RGB 三成分の反射率のみが計測されていた．しかしながら，る．反射特性をモデル化したものに双方向反射率分布関数

RGB レンダリングでは，光源が蛍光灯のような波長を考慮（BRDF）があり，これは点𝑥に方向𝝎𝒊 から入射してくる光しなければいけないシーンの場合，写実的なレンダリングが，方向𝝎𝒐 へ出射する光の反射率を表す関数である（図 2.1ができない．

参照）．

近年，ハードウェアの性能の向上に伴い，波長を考慮したスペクトラルレンダリングに注目が集まり，映像製作で用いられるプロダクションレンダリングソフトウェアに採†和歌山大学，Wakayama University‡和歌山大学，Wakayama University

率を計測したデータセットである．なお，等方性とは法線周りに入射方向と出射方向を回転しても反射率分布が変化しない性質，異方性とは法線方向・接線方向によって反射率分布が変化する性質のことである（図 2.2 参照）．計測ス
ペクトラル BRDF は RGB の光の反射率ではなく，可視波長の範囲を含む 360nm から 1000nm の各波長における光の反射率を記録している[3]．
図 2.1：BRDF は物体表面のある位置での入射方向における出射方向への光の反射率を表す

2.2.

数式を用いた BRDF 表現

レンダリングにおいて，数式を用いた材質の BRDF 表現
法は広く使われている．紙のような材質では Lambertian
モデル，金属のような材質ではマイクロファセットモデル

図 2.2：計測スペクトラル BRDF の例.（左）等方性材質．

が用いられている．Lambertian モデルは式(1)，マイクロ（右）異方性材質．

ファセットモデルは式(2)の式で表現される．
𝜌𝑑𝜋

(1)

𝐹(𝒉, 𝝎𝒐 )𝐷(𝒉)𝐺(𝝎𝒊 , 𝝎𝒐 )4|𝝎𝒊 ∙ 𝒏||𝝎𝒐 ∙ 𝒏|

(2)

𝑓𝑟 (𝝎𝒊 , 𝝎𝒐 ) =𝑓𝑟 (𝝎𝒊 , 𝝎𝒐 ) =2.4.

計測 BRDF の表現力の向上

2.3 節で述べたように，計測 BRDF はあらゆる方向からRGB または各波長の反射率を計測しているため，非常に高次元なデータとなっている．そのため，計測 BRDF の測定

ここで，𝜌𝑑 は反射率，𝐹はフレネル項，𝐷は法線分布関数，値を編集し，希望の材質の BRDF を得ることは困難である．

𝐺はマスキング・シャドウィング項，𝒉は𝝎𝒊 と𝝎𝒐 の中間ベク

そこで，チャーティング法[2]やユークリッド埋め込み法

トル，𝒏は点𝑥における法線ベクトルである．これらを調整[5]，主成分分析（PCA）などを用いて BRDF の表現力を向することで，反射率分布を変化させることができるが，実上させる方法が提案された．その中で，Soler らはガウス過世界の材質の複雑な反射率分布を数式モデルで表現するこ

程と MERL BRDF を用いて未計測の材質の BRDF を予測とは難しい．

する方法を提案した[6]．この研究により，MERL BRDF を2.3.

2 次元の低次元空間で表現しながら，未計測の材質の BRDF

計測 BRDF データセット

数式化した BRDF だけでなく，実際の材質を計測した計を短時間で求めることが可能になった．しかし Soler らの測 BRDF データも広く用いられている．以下では最も関係研究では，RGB の反射率を計測した MERL BRDF にしかのある研究の計測 BRDF データセットについて述べる．

適応されておらず，波長ごとの反射率を計測した計測スペMERL BRDF：Matusik らによって，「アルミニウム」やクトラル BRDF には適応されていない．
そこで本研究では，「プラスチック」などの 100 種類の等方性材質の光の反射計測スペクトラル BRDF に適応した場合，潜在変数の次元率が計測されたデータセットである．MERL BRDF は，はどの程度になるか，また予測に必要な時間がどの程度か様々な入射方向と出射方向のペアでの RGB の光の反射率を検証する．

を記録しており，1 つの材質につき約 400 万の方向から反射率を計測した[2][4]．
計測スペクトラル BRDF：Dupuy らによって，「緑色のフェルト」や「橙色塗装クロム」などの 51 種類の等方性材質と，「異方性銅板」などの 11 種類の異方性材質の光の反射

3.

提案法
以下では，スペクトラル BRDF を予測する際に用いたガ

ウス過程，ガウス過程潜在変数モデルについて述べる．

3.1.

ガウス過程

えられるのでった出力𝒚を返すシステム𝑓(𝒙)を学習する．入力𝒙とその出(9)𝑌 ′ ~𝒩(0, 𝐾 ′ )ガウス過程は機械学習の一種であり，入力𝒙に対して決まとなる．すなわち，力𝒚の組(𝒙, 𝒚)を次々と提示することで，学習させる方法を教師あり学習と呼び，出力𝒚を明示的に与えることなく学習

𝐾
𝑌( ) ~𝒩 (0, ( 𝑇𝒚∗𝒌∗

させる方法を教師なし学習と呼ぶ．そして，データに合うが成り立つ．ここで𝒌∗ と𝑘∗∗ は𝒌∗))𝑘∗∗ように学習された𝑓(𝒙)を用いて，任意の入力𝒙∗ から出力𝒚∗𝒌∗ = [𝑐(𝒙𝟎 , 𝒙∗ ), 𝑐(𝒙𝟏 , 𝒙∗ ), ⋯ , 𝑐(𝒙𝑵−𝟏 , 𝒙∗ )]𝑇を推定する問題を回帰問題という．ガウス過程は，関数𝑓(𝒙)𝑘∗∗ = 𝑐(𝒙∗ , 𝒙∗ )(10)(11)を確率変数と見たてた確率分布である．そしてガウス過程

で表され，𝒌∗ は学習データの入力と新しい入力𝒙∗ の類似度

回帰とは，データにあうように関数𝑓(𝒙)を求め，出力𝒚∗ を（カーネル関数の値）を並べたベクトル，𝑘∗∗ は𝒙∗ の自分自推定する方法である[7]．

身との類似度である．式(10)は𝒚∗ と𝑌の同時分布の式である

3.2.

ので，𝑌が与えられたときの𝒚∗ の条件付き確率は，ガウス分

ガウス過程回帰

ガウス過程回帰の最終的な目標は，与えられたデータセ布の要素間の条件付き確率から求められるので，ット(𝒙𝒊 , 𝒚𝒊 )より，任意の入力𝒙∗ から出力𝒚∗ を求めることで𝑝(𝒚∗ |𝒙∗ , 𝓓) = 𝒩(𝒌𝑇∗ 𝐾 −1 𝑌, 𝑐(𝒙∗ , 𝒙∗ ) − 𝒌𝑇∗ 𝐾 −1 𝒌∗ )(12)

ある．𝑁個の観測値（入力𝒙と出力𝒚のペア）𝓓が以下の式でがガウス過程の予測分布として求められる．これより，𝒚∗与えられたとする．の期待値が最も大きくなるときの値を予測値として出力す

𝓓 = {(𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ), (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ), ⋯ , (𝒙𝑵−𝟏 , 𝒚𝑵−𝟏 )}(3)

ればよいので，予測値𝒚∗ は
𝒚∗ = 𝒌𝑇∗ 𝐾 −1 𝑌

そして，それぞれの𝒙と𝒚の間に𝒚 = 𝑓(𝒙)(4)の関係があるとする．この関数𝑓が，出力𝒚の平均𝝁𝒚 と共分(13)となる．最後に，式(6)で減算した平均値を足すことで，図3.1 のように予測値𝒚∗ を求めることができる[6][7][8]．

散 関 数 𝑐(𝒙, 𝒙′ ) を 要 素 と す る 共 分 散 行 列 𝐾 の ガ ウ ス 分 布
𝒩(𝝁𝒚 , 𝐾)に従うとき，関数𝑓はガウス過程𝐺𝑃に従い，以下のように表される．
𝑓~𝐺𝑃 (𝝁𝒚 , 𝑐(𝒙, 𝒙′ ))(5)

多くの場合，各出力から平均値を減算することで，出力𝒚の平均を 0 に正規化することができる．正規化を行うことで入力データから離れた地点を外挿しても，出力値を平均値に収束させる．正規化により，式(5)を以下の式に変換する

図 3.1：ガウス過程による予測の様子．任意の入力𝒙∗ でのことができる．

出力𝒚∗ がとりうる値のガウス分布を求め，確率が最大と𝑓~𝐺𝑃(0, 𝑐(𝒙, 𝒙′ ))(6)なる値を𝒚∗ とする．

𝑌 = [𝒚𝟎 , 𝒚𝟏 , ⋯ , 𝒚𝑵−𝟏 ]𝑇 とおけば，この出力𝑌はガウス分布に従い，入力のすべてのペア(𝒙𝒊 , 𝒙𝒋 )について共分散関数（カーネル関数）𝑐(𝒙, 𝒙′ )を用いた
𝐾𝑖𝑗 = 𝑐(𝒙𝒊 , 𝒙𝒋 )共分散関数

任意の入力𝒙∗ から出力𝒚∗ を求める際，式(7)と式(11)およ(7)で与えられる共分散行列𝐾を用いて𝑌~𝒩(0, 𝐾)

3.3.

び式(13)より共分散行列の要素である共分散関数𝑐(𝒙𝒊 , 𝒙𝒋 )が重要な役割を果たしていることが確認できる．共分散関(8)数を変更することで様々な出力が得られる（図 3.2 参照）が成り立つ．このとき，データに含まれない入力𝒙∗ での出が，本研究では出力𝒚∗ が滑らかな変化をしながら，予測値

力𝒚∗ の値については，𝑌に𝒚∗ を含めたものを新しく𝑌 ′ =が近くのデータの影響しか受けないようにするために，2乗[𝒚𝟎 , 𝒚𝟏 , ⋯ , 𝒚𝑵−𝟏 , 𝒚∗ ]𝑇 とすれば，𝑌 ′ もガウス分布に従うと考指数関数（式(14)）を用いた．

′ 2𝑐(𝒙, 𝒙′ ) = 𝜇𝛿(𝒙, 𝒙′ ) + 𝑒 −‖𝒙−𝒙 ‖ ⁄2𝑙2(14)Model）である．GPLVM によって作成された潜在変数𝒙と

ここで 𝜇 と 𝑙 はノイズフィルタリングパラメータとハイ3.2 節で述べたガウス過程を用いて，未計測の材質のスペクパーパラメータとなっている．デルタ関数を用いることで，トラル BRDF を予測することができる．

内装は不連続になるが，予測の安定性は向上し，入力データの再現度も向上する．本研究では，𝜇 = 10−4 で行った．

図 3.3：横ベクトルおよび縦ベクトルで 2 通りに表した
観測行列𝑌
各出力の潜在変数を設定する際，潜在変数𝒙は出力𝒚の値が似ていれば，𝒙も似た値になると考えられる．つまり，各出力𝒚の各次元での値が近いほど入力となる𝒙は近いと考えられる．ここで，各計測データ𝒚𝟎 , 𝒚𝟏 , ⋯ , 𝒚𝑵−𝟏 の次元𝑑には，ある入射方向・出射方向でのある波長での反射率のデータが格納されている．したがって，図 3.3 のように次元𝑑ごとの𝑁次元の縦ベクトル(𝑑)(𝑑) 𝑇(𝑑)

𝒀(𝒅) = [𝑦0 , 𝑦1 , ⋯ , 𝑦𝑁−1 ](16)

図 3.2：共分散関数による内挿の変化．

からなるベクトルと表現することができる．そして，各次また，式(14)の共分散関数を用いた場合，出力𝒚∗ はハイパ

元 の ベ ク ト ル 𝒀(𝒅) が そ れ ぞ れ ， 未 知 の 入 力 𝑋 =ーパラメータ 𝑙 にも依存する．𝑙 の値が小さいほど出力𝒚∗[𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , ⋯ , 𝒙𝑵−𝟏 ]𝑇 からのガウス過程回帰によって生成されが平均値になりやすく，𝑙 の値が大きいほど元データを忠ていると仮定する．𝒀(𝒅) が正規化されたデータを用いた場実に再現できなくなる．予測値𝒚∗ がトレーニングデータに合，各次元𝑑 = 1, ⋯ , 𝐷において出力𝒀(𝒅) がガウス分布に従う似た値を取り，かつ値の急激な変化が発生しない滑らかな確率は，𝒀(𝒅) ~𝒩(0, 𝐾)

内挿を行うことができる適切なハイパーパラメータ𝑙 を用いるには，以下の条件式を満たす 𝑙 を求める．
‖𝒚∗ − 𝒚𝒊 ‖ ≤𝑒 −1⁄2 √2𝑁
𝜅(𝐾) ‖𝑌‖ ‖𝒙∗ − 𝒙𝒊 ‖𝑙(17)と表すことができる．ここでは，出力𝑌の各次元が独立であ(15)

ここで，‖∎‖は∎がベクトルの場合 L2 ノルム（行列の場合フロベニウスノルム），𝜅(𝐾)は行列𝐾の条件数を表している．

ると仮定しているので，データ全体𝑌がガウス分布に従う確率は𝒚𝟎 , 𝒚𝟏 , ⋯ , 𝒚𝑵−𝟏 の確率の積になることから，
𝐷

𝐷𝑝(𝑌|𝑋) = ∏ 𝑝(𝒀(𝒅) |𝑋) = ∏ 𝒩(𝒀(𝒅) |0, 𝐾)
𝑑=1

(18)

𝑑=1

また，𝑖 は入力𝒙∗ に最も近い入力𝒙𝒊 のインデックスであるとなる．このままでは𝑋に何の仮定もおいていないため，も[6][7][8]．

っとも単純に各𝒙が次元数𝑚の標準ガウス分布に従うと仮3.4.

定するとガウス過程潜在変数モデル

𝑁ここまでは，入力𝑥と出力𝑦がわかっている場合でのガウス過程回帰(3.1 節でいう教師あり学習)について説明した．
しかし，本研究において既知であるのは，計測 BRDF のみ

𝑝(𝑋) = ∏ 𝑝(𝒙𝒏 )𝑛=1(19)𝑝(𝒙𝒏 ) = 𝒩(0, 𝐼)

であり，入力𝒙となるデータは未知である．そこで，入力ととなる．ここで，𝐼は𝑚 × 𝑚の単位行列である．よって，𝑋かなる潜在変数𝒙を出力𝒚から作成する方法がガウス過程潜在ら𝑌を生成する確率は変数モデル（GPLVM:Gaussian Process Latent Variable1𝑒𝑥𝑝 (− 𝒀(𝒅)𝑇 𝐾 −1 𝒀(𝒅) )2=∏(2𝜋)𝑁⁄2 |𝐾|1⁄2た．このとき，ハイパーパラメータ𝑙は，潜在変数分布のス𝐷𝑝(𝑌|𝑋)

ケーリング項として働くため任意の値を用いることができ

𝑑=1==1𝑒𝑥𝑝 (− ∑𝐷
𝒀(𝒅)𝑇 𝐾 −1 𝒀(𝒅) )2 𝑑=1(2𝜋)𝑁𝐷⁄2 |𝐾|𝐷⁄2

る．本研究では，𝑙 = 1とした[6][7][10]．
(20)

4.

1𝑒𝑥𝑝 (− 𝑡𝑟(𝐾 −1 𝑌𝑌 𝑇 ))2

評価
本章では，提案した手法によって得られた結果について(2𝜋)𝑁𝐷⁄2 |𝐾|𝐷⁄2

説明する．実行環境は，CPU：Intel Core i7-6700 3.40GHz，となる．ここで，𝑡𝑟(∎)は行列のトレースである．よって，32.0GB RAM である．1 つのスペクトラル BRDF の予測に式(20)を最大化することは，観測データの相関行列𝑌𝑌 𝑇 を共必要な時間は約 5 分であった．予測時に用いたハイパーパ分散行列の逆行列𝐾 −1 ができる限り近似できるように，𝐾のラメータ 𝑙 は 1 とし，これは式(15)の条件を満たしている．

]𝑇

もととなる入力𝑋 = [𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , ⋯ , 𝒙𝑵−𝟏 を最適化していると考えることができる．

4.1.

潜在変数の分布

ガウス過程潜在変数モデルを用いて，計測スペクトラル式(20)の対数を取ると，観測データ𝑌の対数尤度𝐿はBRDF を低次元空間に落とし込んだ結果は図 4.1 のように𝐿なる．原点付近に映り込みの少ないフェルトや紙などの材= 𝑙𝑜𝑔(𝑝(𝑌|𝑋))=−𝑁𝐷
𝐷1𝑙𝑜𝑔(2𝜋) − 𝑙𝑜𝑔|𝐾| − 𝑡𝑟(𝐾 −1 𝑌𝑌 𝑇 )222(21)質が分布し，この地点から離れるほど映り込みが発生し，最も原点から離れた地点にはクロム材質などが分布した．となる．潜在変数の初期値を求めるには，主成分分析を使

本研究では，潜在変数の次元数𝑚を 2 にして予測を行った．

用した．式(21)を最大化する潜在変数𝑋を求めるには，一般予測を行う際は，潜在変数空間内で任意の地点での座標値的には勾配法を用いるが，勾配法の計算の複雑さは𝑁の 3 乗をガウス過程の入力とし，予測を行う．に従うので，本論文では Direct Local Search 法[9]を用い

図 4.1：GPLVM を用いて各材質を 2 次元空間に落とし込んだ結果．

4.2.

再現性の検証

計測スペクトラル BRDF を予測により再構成したとき，計測データをどれほど正確に再構成できているかについて検証する．予測で求められたスペクトラル BRDF の値が，計測スペクトラル BRDF とどの程度の誤差が発生しているかを調べるために以下の式で計算される RMSE を用いた．
90×90×180×195

𝑅𝑀𝑆𝐸 =√∑𝑑=1(𝑑) 2(𝑦 (𝑑) − 𝑦∗ )(22)

90 × 90 × 180

ここで，𝑦 (𝑑) は計測スペクトラル BRDF の𝑑次元目の値，(𝑑)𝑦∗ は予測によって求められたスペクトラル BRDF の𝑑次元目の値を表している．分母に 195 を乗算していないのは，波長のチャンネル数で割らないことで，各入射方向・出射方向での誤差を求めるようにするためである．

図 4.3：計測スペクトラル BRDF と予測で求められたス
計測データ

再現データ

図 4.2：上から順に「緑色フェルト」，「ブルーメロウ」，「水色塗装クロム」のレンダリング画像．
以下では，「緑色フェルト」，「ブルーメロウ」，「水色塗装クロム」の再現度について検証を行った．結果は，図 4.2 のようになり，ほぼ同じレンダリング画像を得られているのが確認できる．また，式(22)より得られる RMSE は，緑色フ ェ ル ト が 2.37027 × 10−20 ， ブ ル ー メ ロ ウ が 1.00609 ×

ペクトラル BRDF を並べた結果．
10−25 ，水色塗装クロムが1.09798 × 10−25 となり，ほとんど誤差が発生していないのが確認できた．以上より，潜在変数の次元は 2 次元で十分であることが確認できる．
4.3.

スペクトラル BRDF の予測の検証

図 4.3 は計測スペクトラル BRDF と予測で求められたス
ペクトラル BRDF を用いて作成したレンダリング画像である．これより計測スペクトラル BRDF と予測スペクトラルBRDF を区別するのは非常に難しいことが確認できる．1

5.

まとめと今後の予定

行目のレンダリング結果が計測スペクトラル BRDF（左か本研究では計測スペクトラル BRDF とガウス過程潜在変ら順にオレンジ色フェルト，黄金色塗装）を用いた画像で，数モデルを用いて，計測スペクトラル BRDF データを 2 次

それら以外はすべて予測で求めたスペクトラル BRDF を用

元の潜在変数空間に落とし込み，潜在変数の座標を入力といてレンダリングを行った結果画像である．よって，潜在するガウス過程を用いて，未計測の材質のスペクトラル変数のどの地点を予測しても，写実的な材質のスペクトラ

BRDF の予測を行った．
その結果，計測スペクトラル BRDF

ル BRDF の予測ができ，計測スペクトラル BRDF と遜色を正確に再構成したまま，未計測の材質のスペクトラルないのが確認できる．

BRDF を求めることができた．これにより，計測スペクト4.4.

ラル BRDF の欠点である計測した材質しか表現できない問

線形補間による予測との比較

計測の材質のスペクトラル BRDF を線形補間によって求めた場合の結果について述べる．線形補間によるスペクトラル BRDF 予測の計算式は以下である．
𝒚∗ = 𝛼𝒚𝟏 + (1 − 𝛼)𝒚𝟐

題を克服できた．
今後の課題として，ガウス過程による予測の高速化があげられる．提案法では，1 つのスペクトラル BRDF を求め(23)るのに必要な時間が 5 分と長く，さらにストレージ使用量

ここで，𝛼は任意の値，𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 は計測スペクトラル BRDF 値が 100GB 近くも必要となる問題がある．この問題の解決策である．式(23)より得られたスペクトラル BRDF を用いてとしては，圧縮されたスペクトラル BRDF データをそのまレンダリングを行った結果を図 4.4 に示す．

ま用いることが挙げられる．これにより，計算時に使用すこれらより線形補間法では，予測が適切に行われる場合るメモリやストレージを削減することができ，予測に必要と行われない場合があるのが確認できる．予測が適切に行な時間も短縮できると考えられる．また現在は，予測可能われない場合は，異なる材質間を予測する場合で頻繁に発な材質が等方性材質に制限されているため，異方性材質も生する．

予測が行えるように改良する必要がある．
適切な予測結果

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不適切な予測結果

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ACM Transactions on Graphics, Vol 37, No. 6,
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材質が発光する反射の様子が不適切

図 4.4：線形補間によりスペクトラル BRDF を予測した
結果．

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