ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #16
ARTHUR CHARPENTIER

1 Dans une petite compagnie d’assurance le nombre N de réclamations durant
une année suit une loi de Poisson de moyenne λ = 100. On estime que le montant de toute réclamation est une variable aléatoire exponentielle de moyenne
1 000$. Soit X le montant total des réclamations durant l’année. Trouver E[X].

A)

1 000 000eB) 1 000eC) 100 000

D) 1 000 000E) 10 000

2 Pour le problème précédent, trouver Var[X].

A) 1 001 000B) 107C) 2 × 108
1D) 1 001 × 105

E) 108

2ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013, #16

3 Le nombre de réclamations d’une compagnie d’assurance suit une distribution
de Poisson de moyenne 105 par année et le montant de chaque réclamation
suit une loi uniforme sur l’intervalle [150, 375]. Calculer la variance du montant
total des réclamations sur un an.
A) 7.674 × 106

B) 7.678 × 106

D) 7.686 × 106

E) 7.69 × 106

C) 7.682 × 106

4 Le nombre N de réclamations pour une compagnie d’assurance suit une loide Poisson de paramètre λ. Le montant X de chaque réclamation suit une loi
exponentielle également de paramètre λ. Soit T le montant total de toutes lesréclamations. Trouver E[T ].
A)1λB) λ + λ2C) λ2D) 1E) λPour T décrit dans le problème 17 , trouver Var[T ].
A) λB)

1λC)

2λD)

1λ2E) 1 +1λ5 Pour une police d’assurance le nombre de réclamations est N = 0, 1 ou 2 avec
1
probabilités communes de . On connaît, à propos de la somme des 0,1 ou
32 réclamations, l’information suivante : E[S|N = 0] = 0, Var[S|N = 0] = 0,E[S|N = 1] = 10, Var[S|N = 1] = 5, E[S|N = 2] = 20 et Var[S|N = 2] = 8
Trouver la variance de S.
A)

133B)

132C) 13D)

2003E) 71

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013, #16

36 Dans un portfolio de polices d’assurances automobile, il y a trois classes deconducteurs dans les proportions “haut risque” : 10%, “risque moyen” : 30%,“bas risque” : 60%. De plus, lorsqu’il y a réclamation le montant suit le tableau :Moyenne Variance
Haut risque :1016

Risque moyen :44

Bas risque :1

1

Trouver la variance d’une réclamation aléatoire.
A) 3.4B) 11.62

C) 18.84

D) 15.32

E) 10.96

7 Le nombre de réclamations suit une loi de Poisson de moyenne 3. Pour chaqueréclamation le montant est uniformément distribué sur les entiers 1, 2, 3, 4, 5.
Il y a indépendance entre le nombre et la grandeur des réclamations. Trouver
la variance de la réclamation totale.
A) 36

B) 35C) 34D) 33E) 32

8 Toutes les réclamations sont de montants égaux à 2 et le nombre N de réclamations suit une loi de Poisson de paramètre Λ. Cependant Λ est lui-mêmealéatoire et suit une loi exponentielle de moyenne 2.
Trouver la variance de la réclamation totale S = X1 + X2 + · · · + XN .
A) 24B) 12C) 8D) 6E) 4

4ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013, #16

9 La compagnie EXXON assure ses dix pétroliers géants. Pour chaque pétrolieril y a une probabilité 0.01 de réclamation, indépendamment des autres pétroliers. Le montant X > 0 d’une réclamation pour un pétrolier est une variable
aléatoire continue de moyenne 500 et variance 2 500 (en millions de dollars).
Trouver la variance de la réclamation totale pour ces dix polices.
A) 250B) 2 500

C) 20 000D) 22 500

E) 25 000

10 Soit X et Y deux variables aléatoires telles que pour tout y > 0 on a :fY (y) = e−y ,E[X|Y = y] = 3yet Var[X|Y = y] = 2C) 9E) 3Trouver Var[X].
A) 20B) 11D) 5

11 Dans un portfolio de polices d’assurances automobile, il y a trois classes deconducteurs dans les proportions “haut risque” : 20%, “risque moyen” : 30%,“bas risque” : 50%. De plus, lorsqu’il y a réclamation le montant suit le tableau :Moyenne Variance
Haut risque :10

9Risque moyen :44Bas risque :2
Trouver la variance d’une réclamation aléatoire.
A) 12.66

B) 10.55

C) 8.421D) 7.32

E) 3.50ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013, #16512 La probabilité qu’un téléviseur de la compagnie Itadonne, vendu dans unesuccursale prise au hasard, soit défectueux est une variable aléatoire, P , uniforme sur l’intervalle [0, 14 ]. (i.e chaque succursale a une même valeur de P ,prise au hasard). Un inspecteur de qualité prend au hasard 10 téléviseurs, dansune même succursale. Soit Y le nombre de téléviseurs défectueux. Trouver σY ,l’écart type de Y .
A) 1.83B) 1.51C) 1.25D) 1.02E) 0.72

13 Dans un portfolio A le nombre N de réclamations suit une loi de Poisson deparamètre 1.7 et chaque réclamation (indépendante de N et des autres) suitune loi uniforme sur l’intervalle [0, 3]. Dans le portfolio B, il y a un nombre fixen de polices qui ont chacune une probabilité 0.2 d’engendrer une réclamation,aussi de grandeur aléatoire uniforme sur l’intervalle [0, 3]. Trouver la valeurde n pour que les variances des réclamations totales des deux portfolios soientégales.
A) 5B) 10C) 15D) 20E) 25