1章式の展開と因数分解

単元

3

覚えよう！

1

教科書

因数分解⑴

1つの多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，いんすう

た こうしきもとの多項式を因数分解するという。
因数分解x2+4x+3(x+1)(x+3)
展開
2 共通な因数……ma+mb=m(a+b)

3

P.25〜32

因数分解の公式⑴⑵⑶⑷

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x2+2ax+a2=(x+a)2
x2-2ax+a2=(x-a)2

x2-a2=(x+a)(x-a)

チェック1 共通因数
次の式を因数分解しなさい。

例題

2x2+4x⑴=2x*x+2x*2=2x(x+2)⑵ ay-4by+3cy=y*a+y*(-4b)+y*3c

共通因数は 2x=y(a-4b+3c)
yをくくり出す

2x をくくり出す
確認問題１⑴ ab+ac

次の式を因数分解しなさい。
⑵
〔〕

〔〕

⑷ a b-abc

共通因数はy2am-bm

2ac+6bc⑶〔〕〔〕⑸ 3xy+5xz-2x〔〕〔〕⑹ 2ax+4bx-6x

チェック2 因数分解の公式⑴次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+9x+20⑴

和が +9⑵ x2-5x+6

積が +20

和が -5+4 と +5x +9x+20=(x+4)(x+5)
2

確認問題２〔⑷ x2-7x+6〔

x2+4x-45〔
22

和が +2-2 と -3⑵ x2+6x+8〕〕〕〔⑸ x2-10x+16〔⑻ x2-5x-14〔

積が -35-5 と +7x +2x-35=(x-5)(x+7)
2

次の式を因数分解しなさい。

⑴ x2+3x+2⑺

積が +6x -5x+6=(x-2)(x-3)
2x2+2x-35

⑶

⑶〕
⑹〕
⑼〕

x2+10x+21〔〕〔〕〔〕x2+2x-15x2-8x-9

1章

式の展開と因数分解

チェック3 因数分解の公式⑵次の式を因数分解しなさい。

例題

x2+6x+9⑴=x +2*3*x+32=a -2*4*a+42=(x+3)22=(a-4)2(●+▲)2 の形にする

確認問題３a2-8a+16⑵⑶ 25x2-10x+1=(5x) -2*1*5x+122=(5x-1)2

次の式を因数分解しなさい。

⑴ x +2x+1⑵ x2-4x+42〔〕⑷ x +14x+49
2〔〕⑸ x -12x+36⑺ x +8xy+16y⑻〔〕9a +6a+12〕〔〕〔〕⑹ a -18a+81⑼ 4a -12a+92〔〕〔2〔〕

25x を1つの文字とみる⑶ a2-6a+92〔22〕チェック4 因数分解の公式⑶次の式を因数分解しなさい。

例題

x2-9⑴

⑵ 4x2-25y2=x2-32=(2x)2-(5y)2=(x+3)(x-3)

2x=●，5y=▲と考える=(2x+5y)(2x-5y)(●+▲)(●-▲)の形にする
確認問題４⑴ x -4

次の式を因数分解しなさい。

⑵ x2-162⑷ x -81〔〕

2⑶ a2-49〔⑸ 4a -9b2〔〕〔〕2⑹〔25x -36y2〕〕2〔〕

チェック5 いろいろな因数分解
次の式を因数分解しなさい。

例題⑴

ax2+3ax-10a=a(x2+3x-10)=a(x-2)(x+5)

共通因数aをくくり出す(⑵ (x+2)y+(x+2))内を因数分解する

x+2=M とすると，(x+2)y+(x+2)=My+M=M(y+1)=(x+2)(y+1)
確認問題５

次の式を因数分解しなさい。

⑴ 2x2+14x+24〔Mをもとにもどす⑵ 4ax2-24ax+36a〕〔⑶〕(a-b)x-(a-b)y〔〕231章

式の展開と因数分解

単元

教科書

因数分解⑵／文字式の活用

4P.32〜36

覚えよう！

1

計算への利用 式の展開や因数分解の公式を利用
すると，計算が簡単になる場合がある。

2

あたい

式の値

3

式による証明の基本⑴

そのまま数を代入しても求めることはできるが，式を簡単にしたり，因数分解したりするな
ど，くふうしてから代入することが大切。

式による証明では，条件を式に表し，それを結論にあった形に変形する。
⑵

偶数は 2*(整数)，奇数は 2*(整数)+1 またはぐうすう

き すう

2*(整数)-1⑶ aの倍数であることの証明は，式が「a*(整数)」の形で表せることを示せばよい。

チェック1 計算への利用
次の式を，くふうして計算しなさい。

例題⑵ 10121052-952⑴=(105+95)*(105-95)=200*10=2000確認問題１=502-22=10000+200+1=10201=2500-4=2496

次の式を，くふうして計算しなさい。

⑴ 65 -352⑷ 952=(50+2)*(50-2)=1002+2*1*100+122

⑵

〔〕

〔〕

52*48

⑶

=(100+1)21272-1232

⑶

〔〕

〔〕

⑸ 78*82

1042
〔〕

〔〕

⑹ 103*97

チェック2 式の値
次の式の値を求めなさい。

例題

⑴
⑵

x=6，y=5 のとき，x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)x=12，y=28 のとき，x2+2xy+y2••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
解⑵x2+2xy+y2=(x+y)2 と因数分解し，⑴式を簡単にすると，

x(x+2y)-(x-2y)(x+5y)=x2+2xy-(x2+3xy-10y2)=-xy+10y2
求める値は，-6*5+10*52=220

x=12，y=28 を代入すると，(12+28)2=402

=1600
答

確認問題２⑴

220

⑵

1600

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=16，y=-3 のとき，(x+3y)(x+4y)-(x-y)(x-2y)⑵ x=43 のとき，x2-6x+9⑶ x=4.75，y=1.25 のとき，x -y2

24〔〕

〔〕

〔〕

21章

式の展開と因数分解

チェック3 数の性質の証明
例題

連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。このことを証明しなさい。

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
整数nを使って連続する2つの奇数を 2n-1，2n+1 と表し，問題に沿って計算する。

解nを整数とすると，連続する2つの奇数は，(証明)

2n-1，2n+1と表される。
それらの積に1を加えた数は，(2n-1)(2n+1)+1=4n2=(2n)2nは整数だから，2n は偶数である。
したがって，連続する2つの奇数の積に1を加えた数は，偶数の2乗になる。

「連続する2つの奇数では，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は8の倍数確認問題３になる」ことを，次のように証明した。〔〕にあてはまる式を書きなさい。

（証明） nを整数とすると，連続する2つの奇数は，小さい順に〔ア大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は(2n+1)2〔イ〕=4n2+4n+1-(〔ウ=4n +4n+1-4n +〔エ2nは整数だから，〔カ2=〔オ〕，2n+1 と表される。
〕)〕〕〕
は8の倍数である。

したがって，連続する2つの奇数では，大きい方の奇数の平方から小さい方の奇数の平方をひいた差は8の倍数になる。

チェック4 図形の性質の証明
例題

1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついている。

この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表される。このことを証明しなさい。
解

小さい正方形の面積，大きい正方形の面積，図の点線で囲まれた正方形の1辺の長さ¾を，それぞれpやaを使って表す。
(証明)ap••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
小さい正方形の面積は p2，大きい正方形の面積は (p+2a)2，点線で囲まれた正方形の1辺の長さは p+a と表される。

(道の面積)=(大きい正方形の面積)-(小さい正方形の面積) で求められるから

S=(p+2a)2-p2=p2+4ap+4a2-p2=4ap+4a2 ……①¾=4(p+a)

また
よって

a¾=a*4(p+a)=4ap+4a2①，②より……②

S=a¾

縦の長さがp，横の長さがqの長方形の土地のまわりに，右の図のように確認問題４幅aの道がついている。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを ¾ とすると，S=a¾ と表されることを次のように証明した。〔(証明)(道の面積)=(〔アで求められるから¾=2(〔ウまたよってa¾=a(〔エ①，②より〕にあてはまるものを答えなさい。

p〕)-(小さい長方形の面積)

S=(p+2a)(q+2a)-〔イ〕)+2(q+a)=2p+2q+4a〕)=2ap+2aq+4a2〕=2ap+2aq+4a2

qa¾……①……②S=a¾25

1章式の展開と因数分解

練単元３1

1 共通因数⑴ x -xy〕

2 因数分解の公式⑴ x +6x+5〕

x -10x+24〕⑺ x2+2x-48〔⑷ x -2x+1〔〕⑺ x +22x+121〔⑷ 49x -4〔

5 いろいろな因数分解26⑸ a -14a+49〔⑻ 16x +8x+1〕〔〕〔⑸ 4x -9y2〕〕⑸ 4x2-16y2
〔

〔〕

〔〕

t2+18t+81⑹

x -12xy+36y〔2〕

2〔〕

〔〕

〔〕

⑼ 9x -30x+25⑶9x2-16⑹64x -25y〕〕⑵ 4x2+20x+24〔〕

x2-15xy+54y2〕

次の式を因数分解しなさい。

〕

〔22〔〕

⑶〕

〕

2〕

⑵ x2-1212〔x -3x-70

次の式を因数分解しなさい。

2⑷ 2ax2-2ax-84a〔〕

2〔

〔⑹

⑼

2〔

3x -9x-12⑻ a2-6ab-16b2a2-8a+7〕

22⑴

〔⑶〕

⑵ x2+8x+16〕12〔

次の式を因数分解しなさい。

〔

単元３5⑸ a -a-20〕

2⑴ x -36〔

12x y-xyz-4xy2〕

2〔

4 因数分解の公式⑹⑵ x2+9x+8

〔

単元３4〔

〔

次の式を因数分解しなさい。

2⑴ x2+4x+4〕2〕

2

3 因数分解の公式

4a b-16ab +12ab2

その⑶ 2xyz-8yz2

〔

⑸

〔

単元３3題

⑵ ax+3ay⑷ 3ax-9bx+15cx⑷

問

次の式を因数分解しなさい。

2〔

単元３2習

22〔〕

⑶ 3x2-24x+48〕
⑹〕

〔〕

〔〕

9a2b-4bc2

1章

練
単元４1

1 計算への利用⑴ 85 -15
2

⑷ 97

⑵

〔〕

22 式の値問

題

そのくふうして，次の式を計算しなさい。

2〔
単元４2

習

372-272〕⑸ 57*63〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

104*96⑹〔21032⑶〔〕式の展開と因数分解〕

次の式の値を求めなさい。

⑴ x=-12，y=3 のとき，x(x+6y)+(x-2y)(x-4y)⑵ x=84 のとき，x +12x+362⑶ x=6.5，y=4 のとき，4x -9y2

単元４323 数の性質の証明 「連続する2つの整数では，大きい方の整数の平方から2つの整数の和をひいた差は，小さい方の整数の平方に等しい」ことを，次のように証明した。にあてはまる式を書きなさい。

（証明） nを整数とすると，連続する2つの整数は，小さい順にn，アと表される。

大きい方の整数の平方から2つの整数の和をひいた差は，
イ単元４4｛n+(ウ)｝==エ-(2n+1)

ア〔〕

したがって，連続する2つの整数では，大きい方の整数の平方か

イ〔〕

ら2つの整数の和をひいた差は，小さい方の整数の平方に等しい。

ウ〔〕

エ〔〕

オ〔〕

4 図形の性質の証明

オ¾

右の図のように，線分 AB の中点をＯとし，半径 OA の円をかく。さらに，AC=a となる点Ｃを OA 上にとり，半径 OC の円をかく。

OC の長さをr，点Ｏを中心として，AC の中点を通る円の周の長さを ¾ ，影の部分の面積を S とすると， S =a¾ となることを証明しなさい。

ACar OB27

1章

式の展開と因数分解

Key プラス1 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 18x2-27xy+9x〔⑷⑵ x2+7x+12〕44a2- a+39〕⑺ 3x y+33xy+72y2

8x2-72〔〕〔⑵

112-122+132⑷

93 +2*93*7+7〕

〔〕

2〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

(x-y) -20(x-y)+100〕⑴ 5.9*357+5.9*643〕2⑼〔2 くふうして，次の式を計算しなさい。

⑶ 1004*996

単元４22〔⑹ (x+y)2-36〕⑻ (2x-1) -(x+6)
2〔単元４1〕

1x2-5xy-36y2

⑶

〔⑸

〔

その

23 次の式の値を求めなさい。

⑴ x=32 のとき，(6-x)(6+x)+(x-4)(x+3)⑵ x=5，y=10 のとき，16x +24xy+9y2

2⑶ x=17，y=12 のとき，x y-5xy-14y2

単元４
3

4 連続する2つの偶数では，大きい方の偶数の2乗から小さい方の偶数の2乗をひいた差は4の倍数になる。
このことを証明しなさい。

28

1章

式の展開と因数分解

Key プラス

その2

1 a，bを自然数とするとき，x +□x+18 を (x+a)(x+b) の形に因数分解できるように□に自然数を入れる。
2□にあてはまる自然数をすべて答えなさい。

2 次の式を因数分解しなさい。
⑴ 24x2+16xy〔〕⑷ 4x2-25y2⑸〔〕⑺ x +6xy+9y22〕⑹〕(x+y) -12(x+y)+32〔

9132-26*913+132⑵

〕
⑷

〔〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

2
1x2+ x+3
9⑼ (a-b)x-(b-a)

〕⑴ 1.052〔〕23 くふうして，次の式を計算しなさい。

⑶

単元４4〔t19 642〕

⑶ a2b-4b〔⑻〔単元４1⑵ 5x2+10x-120〔

552*3.14-452*3.14252-242+232-212〕

4 1辺の長さがpの正方形の土地のまわりに，右の図のように幅aの道がついてい¾る。この道の面積を S ，道の真ん中を通る線の長さを¾とすると，S=a¾ と表される。このことを証明しなさい。

pa29