EXAMEN FINAL, ACT2040, HIVER 2013

Les calculatrices1 sont autorisées, mais pas les téléphones ‘intelligents’ (qui devront être
rangés pendant toute la durée de l’épreuve). Tous les documents sont interdits. Commerappelé dans le plan de cours, la triche est interdite.
Dans les feuilles qui suivent, il y a 25 questions,• 19 questions sur le provisionnement pour sinistres à payer (total de 22 points)• 6 questions portant sur des aspects de tarification (mais comptant pour 15 points)
Précisions sur la notation Pour chaque question, une courte réponse doit être apportée,détaillée si demandé. Vous gagnez les points si la réponse est claire, et correcte. Si aucundétail n’est demandé, seule la bonne réponse apportera le point. Votre note finale est le
total des points (sur 37).
Précisions sur l’épreuve Je ne réponds à aucune question durant l’épreuve. En cas dedoute, ou de suspicion d’erreur, merci de m’en faire part dans le cahier d’examen.

1. Méthodes de provisionnementOn a observé le triangle de paiements suivant (la colonne de gauche indiquant l’année)
Triangle 10123452007



9668 10563 10771 10978 11040

2008

6346

9593 10316 10468 10536

2009

6269

9245 10092 10355

2010

5863

8546

2011

5778

8524

2012

6184

?

19268
∗BA-35, BA II Plus, TI-30X, TI-30Xa, TI-30XIIS et TI-30XIIB (cf plan de cours).
1

2

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 1. Quel montant a été payé en 2012 pour les sinistres survenus en 2010 ? [Lecalcul sera explicité dans la feuille.]

Question 2. Le premier montant, en haut à gauche, a été effacé. En utilisant la méthodeChain Ladder, quel montant serait-il réaliste d’avoir ? [Le calcul sera explicité dans lafeuille.]

Question 3. Quel serait le montant qui devrait être prédit, par la méthode Chain Ladderpour 2012, en ? ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

Question 4. Quel serait le montant qui devrait être prédit, par la méthode Chain Ladderpour 2012, en ∗ ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

Question 5. En supposant la première année close, quel serait le montant de provision
que l’on devrait constituer pour l’année de survenance 2009, par la méthode Chain Ladder? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

Question 6. En réalité, l’année 2007 n’est pas close, et selon des dires d’experts, il convientde constituer une provision de 108, pour cette année de survenance. En tenant compte decette information, quel serait votre nouvel estimateur pour le montant de provisions pourl’année de survenance 2009, par la méthode Chain Ladder ? [Le calcul sera explicité dansla feuille.]

Fin 2013, on dispose de davantage d’information. En particulier, on a retrouvé le payement
effectué en 2007 pour les sinistres survenus en 2007. Et une année supplémentaire depaiements a été observéeACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

3Triangle 2012

34562007

5946 9668 10563 10771 10978 11040 11106

2008

6346 9593 10316 10468 10536 10572

20096269 9245 10092 10355 10507

2010

5863 8546

9268

2011

5778 8524

9178

2012

6184 9013∗9459

Question 7. Si nous avions connu ce montant fin 2012, le montant qui aurait du être
prédit, par la méthode Chain Ladder pour 2012, en ? serait il plus grand ou plus petit que
ce qui a été calculé à la question 3. ? [Une rapide explication sera donnée dans la feuille.]

Question 8. Sur ce nouveau triangle, quel serait le montant qui devrait être prédit, par laméthode Chain Ladder pour 2012, en ∗ ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

Question 9. Sans tenir compte du tail factor mentionné dans la question 6, et en utilisantles calculs de la question 5, avait-on constitué assez de provision fin 2012 pour payer lessinistres de 2009 en 2013 ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

Dans les questions 10-12, on va utiliser le triangle suivant, constitué des Ci,jTriangle 1b0

1

2

3

45

20075946

9668 10563 10771 10978 11040

2008

6346

9593 10316 10468 10536

2009

6269

9245 10092 10355

20105863

8546

2011

5778

8524

2012

6184

9268

ainsi que les données suivantes, correspondant aux primes acquises Πi

4

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Primes acquises
2007 15474
2008 14882
2009 14456
2010 14055
2011 14525
2012 15026
À partir du triangle de paiements, on calcule Si,j = C2007,j + C2008,j + · · · + Ci,j , donné dansle triangle suivant
Triangle 3012

34

2007

5946

2008

12292 19261 20879 21239 21514

2009

18561 28506 30971 31594

201024424 37052 40239

2011

30202 45576

2012

36386

59668 10563 10771 10978 11040

Question 10. À partir de ces données, calculer les facteurs de transition λj par la méthodeChain Ladder, avec Ci,j = λj ·Ci,j−1 ? [Aucun calcul ne sera détaillé sur la feuille, un tableau
avec les différentes valeurs suffira]Question 11. Donnez le montant de provision nécesssaire, toutes années confondues, donné
par la méthode Chain Ladder. [Aucun calcul ne sera détaillé sur la feuille, seul le montant
total de provision est demandé]Question 12. On suppose que, par année, le ratio sinistres sur primes doit ètre constant,de l’ordre de 72%. En utilisant la charge ultime qui donnerait un tel ratio, en déduire lemontant qu’il faudrait provisonner, toutes années confondues. [Aucun calcul ne sera détaillé
sur la feuille, seul le montant total de provision est demandé]ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

5Dans la suite des questions 13-15, on va utiliser la sortie de régression suivante, basée surle triangle 1b :Régression 1
Call:glm(formula = Y ~ i + j, family = quasipoisson, data = B)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

8.77688

0.05178 169.514< 2e-16 ***i2008-0.041100.06871-0.5980.5630i2009-0.04556

0.06912-0.6590.5247i2010-0.13654

0.07128-1.9160.0844 .

i2011-0.13771

0.07331-1.8780.0898 .

i2012-0.04716

0.08237-0.5730.5796j1

j2-2.04177

0.09451 -21.605 1.01e-09 ***j3-3.41227

0.20468 -16.672 1.26e-08 ***j4-3.83292

0.30632 -12.513 1.97e-07 ***j5-4.64975

0.64187-7.244 2.78e-05 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 25.37786)

Question 13 [×2]. Quelle est la valeur de l’estimateur masqué sur la sortie précédante, βb1? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

Question 14. Donnez la prédiction du montant de paiements qui sera effectué en 2015
pour les sinistres survenus en 2011. [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

6ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Question 15. En supposant la première année close, quel serait le montant de provision
que l’on devrait constituer pour l’année de survenance 2010, à l’aide de cette régression ?
[Le calcul sera explicité dans la feuille.]

En cherchant à simplifier le modèle de manière à n’avoir que des variables significatives, onfinit par considérer le modèle suivantRégression 1b
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

8.744110.02632 332.270< 2e-16 ***i2010&11-0.10544

0.040370.0196 *j1-0.67226

0.04254 -15.802 9.29e-11 ***j2-2.03823

0.08161 -24.974 1.24e-13 ***j3&4-3.55337

0.14965 -23.745 2.59e-13 ***j5-4.61697

0.56126-2.612-8.226 6.10e-07 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 19.4877)

Question 16. Donnez la prédiction du montant de paiements qui sera effectué en 2015
pour les sinistres survenus en 2011. [Le calcul sera explicité dans la feuille.]
Question 17 [×2]. Calculez les montants de provions induits par ce modèle [Aucun calcul
ne sera détaillé sur la feuille]

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

7Dans la suite des questions 18-19, on va utiliser la sortie de régression suivante, toujours
basée sur le triangle 1b :Régression 2

Call:lm(formula = log(Y) ~ i2008 + j, data = B)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

8.75310.107181.765< 2e-16 ***i2008-0.26110.1354-1.928 0.072953 .

j1-0.6772

0.1553-4.361 0.000559 ***j2-2.0118

0.1658 -12.131 3.73e-09 ***j3&4-3.5515

0.1584 -22.421 5.99e-13 ***j5-4.6259

0.2778 -16.653 4.40e-11 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1Residual standard error: 0.2563 on 15 degrees of freedom

Question 18. Quelle est le montant que l’on pense payer, avec ce modèle, en 2013 pourles sinistres survenus en 2012 ? [Le calcul sera explicité dans la feuille.]

Question 19 [×2]. En supposant la première année close, quel serait le montant deprovision que l’on devrait constituer à l’aide de cette régression, pour toutes les années ?
[Le calcul sera explicité dans la feuille.]

8ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

2. Tarification
Trois exercices de tarifications sont proposés. Ils peuvent se traı̂ter indépendamment. Ily a toutefois une logique à les faire dans l’ordre.
2.1. Tarification, partie 1. On suppose que pour un assuré, sa fréquence annuelle desinistres suit une loi de Poisson de moyenne λ. Toutefois, on sait que la moitié des sinistresseulement dépasseront la franchise d. On sait aussi que si un sinistre dépasse d, il aura pourcoût Y de distribution conditionnelle αd, pour y ≥ d, et sinon 1.
P(Y > y|Y > d) =xQuestion 20 [×2]. Quelle sera la prime pure d’un tel contrat ?

Question 21 [×2]. Afin d’attirer de nouveau client, on souhaite augmenter la franchise dde manière à proposer un contrat deux fois moins cher. À quel niveau faudra-t-il placer lanouvelle franchise ?

2.2. Tarification, partie 2. Dans la section suivante, on cherche à construire un tarif
en assurance automobile, partir de 2 variables explicative: l’âge d’un assuré et son sexe.
On dispose d’un ensemble de données et plusieurs modèles sont ajustés. Tous les assuréssont restés un an dans la base. On suppose de plus quand les variables sexe et âge sontindépendantes. On suppose aussi disposer des statistiques suivantes

total

homme

femme

nombre moyen d’accident, par an

0.07930.08380.07242coût moyenne d’un accident

579.669622.4477 504.2472

moyenne du log(coût) d’un accident 6.173865 6.249597 6.040344

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Régression A
Call:glm(formula = N ~ age + sexe, family = poisson)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -2.111191

0.127413 -16.570< 2e-16 ***age-0.010135

0.002281-4.442 8.89e-06 ***sexeH

2.069

0.0385 *--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

Régression B
Call:glm(formula = N ~ cut(age, c(0, 30, 100)) + sexe, family = poisson,
data = basen)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept)-2.37019

0.11272 -21.027< 2e-16 ***age (30,100]-0.28704

0.10988-2.6120.00899 **sexeH

0.149170.07391

2.018

0.04356 *--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

9

10

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

Régression C
Call:lm(formula = log(Y) ~ sexe, data = basec)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

6.04034

0.03601 167.734

sexeH

< 2e-16 ***4.642 4.05e-06 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1

Residual standard error: 0.6101 on 791 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.02651,

Adjusted R-squared: 0.02528

F-statistic: 21.54 on 1 and 791 DF,

p-value: 4.046e-06

Régression D
Call:glm(formula = Y ~ sexe, family = Gamma(link = "log"), data = basec)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept)

6.223070.03791 164.146

sexeH

0.21059

0.04746< 2e-16 ***4.437 1.04e-05 ***--Signif. codes:

0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.4125056)

ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 201311On suppose que plusieurs compagnies sont en compétition sur le marché.
• compagnie 1 : pas de segmentation• compagnie 2 : modèle A pour les nombres, C pour les coûts• compagnie 3 : modèle B pour les nombres, C pour les coûts• compagnie 4 : modèle A pour les nombres, D pour les coûts• compagnie 5 : modèle B pour les nombres, D pour les coûts

Question 22 [×4]. Un jeune homme de 20 ans souhaite s’assurer. Quelle compagnie lui
propose la prime pure la plus faible ? Quel est le montant proposé ? [Les calculs serontdétaillés dans la feuille.]

Question 23 [×2]. Il trouve la prime trop chère, et demande à sa mère (qui a 50 ans) sielle peut assurer la voiture à son nom. Quelle compagnie proposera la prime pure la plus
faible ? Quel est le montant proposé ? [Les calculs seront détaillés dans la feuille.]

2.3. Tarification, partie 3.
Une autre compagnie arrive sur le marché, et propose d’utiliser une loi exponentielle pourles coûts de sinistresRégression E
Call:glm(formula = Y ~ sexe, family = Gamma(link = "log"), data = basec)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept)

6.223070.05903105.42< 2e-16 ***sexeH

0.21059

0.073902.85

0.00437 **--(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 1)12ACTUARIAT IARD, ACT 2040, HIVER 2013

On a alors• compagnie 6 : modèle A pour les nombres, E pour les coûts

Question 24. Un homme de 30 ans souhaite s’assurer. Quelle serait sa prime pure ? [Lescalculs seront détaillés dans la feuille.]

Question 25 [×4]. Il trouve la prime trop chère, mais cette fois, l’assureur lu propose
un contrat avec une franchise de 100. En supposant les coûts et la fréquence indṕendants,quelle sera la prime pure proposée ? [Les calculs seront détaillés dans la feuille.]