中学校数学の学習指導における数学的活動の教授学的意義
進木 正貴
指導教員：溝口 達也

１．研究の目的（研究課題）
本研究は，「中学校数学の学習指導において，数学的活動はいかに扱われるべきか」という課題に答えることを目的としている．この課題に答えるために，以下の３つの研究課題を設定した．
研究課題１：本研究における「数学的活動」は，いかに規定すべきか．
研究課題２：本研究における「数学的活動」の，学習指導における機能は何か．
研究課題３：本研究における「数学的活動」を，いかにして授業に組み込むべきか．
２．研究の方法
研究課題１においては，学習指導要領に要請される数学的活動から，数学的活動のもつ数学教育における可能性について考え，先行研究である Fischbein,E 氏，島田茂氏，能田伸彦氏の論文の数学的活動についての記述から得られる，数学学習と数学的活動との連関についての示唆をもとに，数学的活動とはいかなるものかであるべきかを探り，本研究における「数学的活動」を規定する．
研究課題２においては，研究課題１を解決することによって規定された「数学的活動」を具現化して学習指導案を作成し，その学習展開に想定される「数学的活動」によって，生徒にいかなる変容を期待することができるかを考察し，学習指導における「数学的活動」の機能を抽出する．題材としては，中学校２年『円周角の定理』を用いる．
研究課題３においても学習指導案を作成し，実践した授業の記録の分析から教師の意図した「数学的活動」が実現されたかを検証し，研究課題２を解決することによって抽出された「数学的活動」の機能を有効にするためには，「数学的活動」をどのように授業に組み込むべきかのモデルを作成することを試みる．題材としては，中学校２年『連立方程式』を用いる．
３．研究の結論
研究課題１に対しては，以下の結論が得られた．学習指導要領における数学的活動の考察か
ら，中学校数学の学習指導においては，外的活動と内的活動の連関が重要であることと，操作や類推など個々の活動として捉えるのではなく，問題解決過程の一連の活動として捉えるべきものであることの示唆を得た．また，先行研究である Fischbein,E 氏，島田茂氏，能田伸彦氏の論文における数学的活動の考察から，問題解決過程の思考は形式，アルゴリズム，直観など数学の構成要素が複雑に作用することや，数学の学習場面において創造的な活動が要請されること，具体的・操作的活動は概念形成のためのイメージ作りに貢献し，具体的レベルと抽象的レベルの思考の往復を想定する必要があることの示唆を得た．さらに中島健三氏，根本博氏の主張から「数学的活動」は「考えたことをとことん適用し，どうしても不都合であると分かったときにこれまでと矛盾しないように修正を施しよりよいものにつくり上げて」(根本,1999)いくような「算数・数学にふさわしい創造的な活動」（中島,1981）．であるべきであるという示唆を受け，本研究における「数学的活動」は，「数学を創造し発展させる過程のアイディアを練り上げる活動」であると規定し，計算練習や同じパターンの問題演習などのアルゴリズム的な活動は，アイディアの練り上げにはならないため「数学的活動」に含まないことにした．また，このように「数学的活動」を規定した場合，複数の内的な活動や外的な活動が連関し，その思考は個々人の既得知識や知識構造によって異なるため，従来の学習のように教室の全員が一斉に同じ活動をするものではない．
研究課題２に対しては，以下の結論が得られた．研究課題１を解決することによって規定された「数学的活動」を実現するために，授業においてその学習内容を考える必要感が，生徒に納得のいくように示せるように工夫する必要がある．円周角の定理の学習の場合，従来は「観察，操作や実験」として，円周上に弧を決定し，その弧に対するいくつかの円周角を計測することを教師が指示して，円周角の定理の発見が為される学習展開が多く見られたが，この図形の性質を発見できる状態を教師が設定するのではなく，その状態を生徒自身がつくり出し発見する創造的な活動を「数学的活動」として教師が意図的に学習展開に仕組む必要があると考えられる．このように考え立案した学習指導案の考察から，「数学的活動」の機能として，以下のものが抽出された．
機能１：問題解決へのアイディアを生み出す
機能２：既存の知識の理解を深める
機能３：数学的な知識・技能を獲得する
機能４：数学的な見方や考え方を育成する
機能５：教師にとって，生徒の思考の状態を把握できる
研究課題３に対しては，以下の結論が得られた．
「数学を創造し発展させる過程のアイディアを練り上げる活動」を，本研究における「数学的活動」と規定し，その機能が有効となるよう授業を構成する場合，従来の，「予想される反応」として誤答や解法の間違いを想定し，その予防を意図して立案していた学習指導案から，「期待する数学的活動」として学習のねらいである生徒に育成したい数学的な見方や考え方を生み出させるための「数学的活動」が実現するよう意図して立案する学習指導案への転換が要請される．このような考え方で，中学校２年生の連立方程式の学習指導案を立案し実践したところ，その授業記録の考察から，連立方程式の学習展開のモデルとして，以下の順序で「数学的活動」が実現されるよう意図した学習展開のモデルが抽出された．
Ａ 未知数を求めるために，複数の条件式を立式し，その内いくつの条件式を選択すればよいかを考える活動
Ｂ 連立方程式を解くには既習事項である一元一次方程式に還元して解けばよいことに気づき，その還元方法を考える活動
Ｃ 連立方程式の解法の妥当性を解決過程の式操作の意味に着目して考える活動
さらに，上の連立方程式の学習指導に特化した「数学的活動」Ａ，Ｂ，Ｃから，一般的な学習指導における「数学的活動」へ抽象することで，中学校数学の学習指導の展開の１つのモデルとして，以下「数学的活動」ａ，ｂ，ｃが抽出された．
ａ 具体的問題場面を抽象して，その中に潜む関係を形式的に記述し，数学的な処理の方法を考える．
ｂ 何に帰着させて考えればよいか見通しを立て，その方法を考える．
ｃ 帰着させた方法は普遍的なものとなるのか吟味する．
以上のことから，生徒が学習目標を達成することができるよう授業を構成する際の，中心的課題として位置づけるべきものであることが「数学的活動」の教授学的意義として認められた．

４．論文の構成
第１章 研究の目的と方法
1.1 研究の動機1.2 研究の目的
1.3 研究の方法
第２章 数学の学習指導における「数学的活動」の規定
2.1 学習指導要領における数学的活動
2.2 数学学習と数学的活動の連関
2.3 本研究における「数学的活動」の規定
第３章 数学の学習指導における「数学的活動」の機能
3.1 円周角の定理の学習指導について
3.2 円周角の定理の学習指導案
3.3 円周角の定理の学習指導から抽出される「数学的活動の機能」
第４章 「数学的活動」を中心的課題とした授業設計
4.1 「予想される反応」から「期待する数学的活動」への転換
4.2 連立方程式の学習における「数学的活動」の展開
4.3 連立方程式の学習から抽象される「数学的活動」の展開モデル
第５章 研究の結論
5.1 研究の結論
5.2 残された課題（１頁 ３５ ３５，６９頁）

５．主要参考文献
・ Fischbein,E ． (1994) ． The interaction
betweentheformal,thealgorithmic,andtheintuitive
components in a mathematicalactivity．Biehler,et al．(eds．),Didactics
ofMathematics as a Scientific
Discipline．Kluwer,pp231-245
・溝口 達也．(2003)．問題解決と評価 算数
・数学教育論．西日本法規出版株式会社・中島 健三．(1981)．算数・数学教育と数学的な考え方．金子書房
・根本 博．(1999)．数学的活動と反省的経験．東洋館出版社
・根本 博．(2004)．
「数学教育の挑戦」数学的な洞察と目標準拠評価．東洋館出版社
・能田 伸彦．(1983)．算数・数学科オープンアプローチによる指導の研究­授業の構成と評価­．東洋館出版社
・島田 茂．(1977)．算数・数学科のオープンエンドアプローチ­授業改善への新しい提案­．みずうみ書房