熱場の量子論とその応用（TQFT2016）

慶大理工田島裕之

共同研究者：P. van Wyk, 花井亮, 鏡原大地, 猪谷太輔, 堀越宗一, 大橋洋士

http://www.astroarts.co.jp/news/2004/02/27superburst/index-j.shtml

http://www.astroarts.co.jp/news/2004/02/27superburst/index-j.shtml

中性子星のシミュレータ

散乱長

Feshbach共鳴

凝縮粒子数

40
40K

K
外部磁場

C. A. Regal, et al., Nature 424, 47 (2003)
C. A. Regal, et al., PRL 92, 040403 (2004)

フェルミ超流動からボース超流動に連続的に移行

Bardeen
CooperSchrieffer

BCS理論

Molecular𝑇BEC ≈ 0.218𝜀F

強結合理論

弱結合

Bose-Einstein
Condensation

強結合

ユニタリー領域フェルミ超流動からボース超流動に連続的に移行

Bardeen
CooperSchrieffer

BCS理論

Molecular𝑇BEC ≈ 0.218𝜀F

強結合理論

弱結合・𝑇 = 0~0.1𝑇F

http://msnlv.com/neutron-stars.html

・ 𝑘F 𝑎𝑁𝑁 −1 ≤ 0・𝑎𝑁𝑁 = −18.5𝑓𝑚

Bose-Einstein
Condensation

強結合

ユニタリー領域

Measured by Prof. Horikoshi

前人未踏の高精度で測定

Neutron Star

Neutron Star

相互作用の有効距離
高角運動量の対相関
・・・

Neutron Star

相互作用の有効距離
高角運動量の対相関・・・

そのためには超流動フェルミ原
子気体の測定結果を定量的に説明できる強結合理論が必要

相互作用の有効距離
高角運動量の対相関・・・

フェルミ原子気体の実験に対して高い定量性を発揮
超流動揺らぎhttp://www.mpq.univparis7.fr/spip.php?article202&lang=enM. Ota, et al., to be published

HT, R. Hanai, Y. Ohashi, Phys. Rev. A 93, 013610 (2016)

P. Van Wyk, HT, R. Hanai, Y. Ohashi,
Phys.Rev. A 93,013621 (2016)化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係

超流動ギャップΔ

𝜇/𝜀F

熱力学関係式(𝑆, 𝑇 = 0)𝐸=

1 𝜕𝑛𝜇𝑑𝑛 𝜅 = 2𝑛 𝜕𝜇𝑃=

圧力𝑃 内部エネルギー𝐸
圧縮率𝜅

音速𝑣𝑠

1𝑛𝑑𝜇 𝑣𝑆 =𝑚𝑛𝜅Tan’s コンタクト
𝜕𝐸𝐶 = −4𝜋𝑚
𝜕 1/𝑎𝑠化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係

𝜇/𝜀F

𝜇/𝜀F
6MFLiTMA

𝑇 = 0.06𝑇F
弱結合𝑘F 𝑎𝑠 −1

強結合

半定量的に一致、しかし改善の余地が残る

絶対零度近傍における超流動フェルミ
原子気体の実験を定量的に説明できる
強結合理論を構築する

絶対零度近傍における超流動フェルミ原子気体の実験を定量的に説明できる
強結合理論を構築する

T-matrix approximation (TMA)に最小限の拡張を行うことで目的達成を目指すhttp://www.astroarts.co.jp/news/2004/02/27superburst/index-j.shtml

http://www.astroarts.co.jp/news/2014/09/10sn1993j/index-j.shtml

http://html5.warnerbros.com/jp/interstellar/†𝜀𝒑 − 𝜇 𝑐𝒑𝜎
𝑐𝒑𝜎 − 𝑈

𝐻=𝒑,𝜎††
𝑐𝒑+𝑐𝒒 2,↑ −𝒑+𝒒 2,↓ 𝑐−𝒑′+𝒒 2,↓ 𝑐𝒑′+𝒒 2,↑𝒑,𝒑′,𝒒𝜇 : 化学ポテンシャル

フェルミ原子の消滅演算子 𝑐𝒑𝜎
擬スピン(2成分)

𝜎 =↑, ↓

引力相互作用 −𝑼の繰り込み−𝑈 → 𝑎𝑠𝑈：small−∞

弱結合

4𝜋𝑎𝑠−𝑈=𝜔 1𝑚
1 − 𝑈 𝒑c2𝜀𝒑𝑘F 𝑎𝑠 −1𝑎𝑠 ：s波散乱長
𝜔c ：カットオフ

𝑈：large
強結合+∞

Ψ𝒑†

𝐻=𝒑𝑈
𝜀𝒑 − 𝜇 𝜏3 − ∆𝜏1 Ψ𝒑 −4平均場

𝜌1 𝒒 𝜌1 −𝒒 + 𝜌2 𝒒 𝜌2 −𝒒𝒒𝜎 =↑, ↓南部スピノルΨ𝒑 = 𝑐𝒑,↑

密度演算子

𝜌𝑖 𝒒 =𝑇†𝑐−𝒑,↓†
Ψ𝒑+𝒒/2
𝜏𝑖 Ψ𝒑−𝒒/2𝒑

Δ : 超流動ギャップ
Pauli行列 𝜏𝑖=1,2,3引力相互作用 −𝑼の繰り込み−𝑈 → 𝑎𝑠

𝑈：small

−∞

弱結合

Phase

𝜇 : 化学ポテンシャル

フェルミ原子の消滅演算子 𝑐𝒑𝜎
擬スピン(2成分)

Amplitude

4𝜋𝑎𝑠−𝑈=𝜔 1𝑚
1 − 𝑈 𝒑c2𝜀𝒑𝑘F 𝑎𝑠 −1𝑎𝑠 ：s波散乱長
𝜔c ：カットオフ

𝑈：large
強結合+∞

・多体散乱行列（T行列）⇒超流動揺らぎhttp://www.mpq.univparis7.fr/spip.php?article202&lang=en

・自己エネルギー
Gorkov Green関数
𝐺0 𝒑, 𝑖𝜔𝑛 =1𝑖𝜔𝑛 − 𝜉𝒑 𝜏3 + Δ𝜏1南部表示
𝐺 = − 𝑇𝜏 Ψ𝒑 𝜏 Ψ𝒑† 0𝐺

スカラー表示𝐺11𝐺21

𝐺12𝐺22スカラー表示−†𝑇𝜏 𝑐𝒑,↑ 𝑐𝒑,↑

𝑇𝜏 𝑐𝒑,↑ 𝑐−𝒑,↓††
𝑇𝜏 𝑐−𝒑,↓𝑐𝒑,↑†
𝑇𝜏 𝑐−𝒑,↓
𝑐−𝒑,↓

南部表示

Γ = −𝑈 I + 𝑈Π

スカラー表示Γ −+ Γ −−Γ ++Γ +−−1

化学ポテンシャルに対する自己エネルギーシフトを定量的に計算

𝜇/𝜀F

化学ポテンシャル6MFLiTMA

𝑇 = 0.06𝑇F
弱結合𝑘F 𝑎𝑠 −1

強結合T-matrix approximation

化学ポテンシャルに対する自己エネルギーシフトを定量的に計算

T-matrix approximation

𝜇/𝜀F

化学ポテンシャル

6MFLi𝑛0 ：MF density

TMA
𝑇 = 0.06𝑇F
弱結合

𝜇 = 𝜀F − Γeff 𝑛0 /2𝑘F 𝑎𝑠 −1

強結合

化学ポテンシャルに対する自己エネルギーシフトを定量的に計算

T-matrix approximation

𝜇/𝜀F

化学ポテンシャル6MFLi

𝜇 = 𝜀F − Γeff 𝑛0 /2𝑛0 ：MF density

Extended TMA (ETMA)

TMA

相互作用する相手の粒子に対する多体補正

𝑇 = 0.06𝑇F
弱結合

𝑘F 𝑎𝑠 −1強結合

𝜇 = 𝜀F − Γeff 𝑛/2

𝐺0

着目粒子

多体補正なしの粒子

T-matrix approximation

𝜇 = 𝜀F − Γeff 𝑛0 /2𝑛0 ：MF densityExtended TMA (ETMA)𝐺

着目粒子相互作用する相手の粒子に対する多体補正

𝜇 = 𝜀F − Γeff 𝑛/2

TMA

ETMA (our work)Σ ETMA 𝑝 = −𝑇

Γ 𝑖𝑗 𝑞 𝜏𝑖 𝐺 𝑝 + 𝑞 𝜏𝑗

Σ TMA 𝑝 = −𝑇𝑞 𝑖,𝑗=±Γ 𝑖𝑗 𝑞 𝜏𝑖 𝐺 0 𝑝 + 𝑞 𝜏𝑗𝑞 𝑖,𝑗=±

Σ ETMA ≃ −Γeff 𝑛/2

Σ TMA ≃ −Γeff 𝑛0 /2−2Σ/Γeff 𝑛MFの密度に依存

ETMA(our work)

TMA
弱結合

𝑘F 𝑎𝑠 −1

ユニタリー極限自己無撞着方程式
・Dyson方程式

ここに数式を入力します。
𝜇/𝜀
F Δ/𝜀F Σ(𝑝)/𝜀F

𝐺 𝑝 = 𝐺0 𝑝 + 𝐺0 𝑝 Σ 𝑝 𝐺 𝑝・粒子数方程式
ここに数式を入力します。
𝑛=𝑇Tr𝜏3 𝐺(𝑝)𝑝熱力学関係式(𝑆, 𝑇 = 0)

1 𝜕𝑛
𝜕𝐸
𝜅= 2
𝜇=𝑛 𝜕𝜇 etc…
𝜕𝑛・ギャップ方程式 (Gapless NG mode)detΓ 𝒒 = 0, 𝑖𝜈𝑛 = 0 = 0

圧力𝑃 内部エネルギー𝐸

圧縮率𝜅

音速𝑣𝑠

http://www.astroarts.co.jp/news/2014/09/10sn1993j/index-j.shtml

http://html5.warnerbros.com/jp/interstellar/

http://www.astroarts.co.jp/news/2014/09/10sn1993j/index-j.shtml

http://html5.warnerbros.com/jp/interstellar/

弱結合

強結合

NO FITTING
PARAMETERS!!

弱結合

強結合

𝜇 ≃ 𝜀F −
弱結合

𝑛/2

強結合

接触型引力相互作用を考えているため、Hartree項−𝑈𝑛/2はゼロ(−𝑈 → 0)

1
𝐴𝒑 𝜔 = − Im𝐺11 (𝒑, 𝜔 + 𝑖𝛿)
𝜋TMA
𝜔/𝜀F

𝜔/𝜀FETMA(our work)※ 𝑘F 𝑎𝑠 −1 = −0.5𝑝/𝑘F𝐸𝒑 =𝜀𝒑 − 𝜇ETMA𝑝/𝑘F2+ Δ2ETMA𝐸𝒑 =𝜀𝒑 − 𝜇TMA

2+ Δ2TMA

1𝐴𝒑 𝜔 = − Im𝐺11 (𝒑, 𝜔 + 𝑖𝛿)
𝜋TMA
𝜔/𝜀F

𝜔/𝜀FETMA(our work)※ 𝑘F 𝑎𝑠 −1 = −0.5𝑝/𝑘F𝐸𝒑 =𝜀𝒑 − 𝜇ETMA𝑝/𝑘F
2+ Δ2ETMA𝐸𝒑 =𝜀𝒑 − 𝜇TMA

2+ Δ2TMAETMAの方が自己エネルギーの補正を強く受ける化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係

𝜇/𝜀F化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係

𝜇/𝜀F
熱力学関係式(𝑆, 𝑇 = 0)𝐸=1 𝜕𝑛𝜇𝑑𝑛 𝜅 = 2𝑛 𝜕𝜇𝑃=

圧力𝑃 内部エネルギー𝐸
圧縮率𝜅

音速𝑣𝑠

1𝑛𝑑𝜇 𝑣𝑆 =𝑚𝑛𝜅1 𝜕𝑛
𝜅= 2𝑛 𝜕𝜇𝜅
𝜇𝑘F 𝑎𝑠 −1 𝑑 𝜇 𝜀F=−𝜅0𝜀F2𝑑 𝑘F 𝑎𝑠 −1Maki-Thompson (MT) diagram
強結合Γ

散乱相手の粒子が感じる多体効果がMT diagramとして反映→κ増大Ex)

Γ

弱結合

2 3
MT2
𝜅ETMA
≃ Γeff 𝜅DOS+ Γeff
𝜅DOS + ⋯TMAMTMT𝜅TMA≃ 𝜅DOS Γeff 𝜅0 < 𝜅ETMAΓETMA

2 3MT2𝜅ETMA≃ Γeff 𝜅DOS+ Γeff
𝜅DOS + ⋯ΓΓEx)

𝑣𝑆2 =
131 𝜕𝑃𝑚 𝜕𝑛1𝑣𝑆 =𝑚𝑛𝜅𝑣F

Anderson-Bogoliubovmode𝜉
𝑣F3
𝜉: Bertsch parameter𝜉 ≃ 0.38

弱結合

ユニタリー極限J. Joseph, et al., PRL 98, 170401 (2007) W. Weimer, et al., PRL, 114, 095301 (2015).

強い超流動揺らぎによって化学ポテンシャルが減少→クロスオーバー全域でソフト化

𝜕𝐸𝜇=𝜕𝑛𝜇𝐸𝑘F 𝑎𝑠 −1 𝑑 𝐸 𝑛𝐸FG=−𝜀F 𝑛𝐸F𝐺5𝑑 𝑘F 𝑎𝑠 −1上の微分方程式を𝐸について数値的に解く

化学ポテンシャル𝑃 = −𝐸 + 𝜇𝑛

弱結合

𝜉強結合

弱結合

ユニタリー極限𝜕𝐸𝜇=𝜕𝑛𝜇𝐸𝑘F 𝑎𝑠 −1 𝑑 𝐸 𝑛𝐸FG=−𝜀F 𝑛𝐸F𝐺5𝑑 𝑘F 𝑎𝑠 −1上の微分方程式を𝐸について数値的に解く

化学ポテンシャル

http://msnlv.com/neutron-stars.html

弱結合𝑃 = −𝐸 + 𝜇𝑛

𝜉強結合

弱結合

ユニタリー極限化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係𝜇/𝜀F
熱力学関係式(𝑆, 𝑇 = 0)𝐸=

1 𝜕𝑛𝜇𝑑𝑛 𝜅 = 2𝑛 𝜕𝜇𝑃=

圧力𝑃 内部エネルギー𝐸
圧縮率𝜅

音速𝑣𝑠

1𝑛𝑑𝜇 𝑣𝑆 =𝑚𝑛𝜅

化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係

𝜇/𝜀F
熱力学関係式(𝑆, 𝑇 = 0)𝐸=

1 𝜕𝑛𝜇𝑑𝑛 𝜅 = 2𝑛 𝜕𝜇𝑃=

圧力𝑃 内部エネルギー𝐸
圧縮率𝜅

音速𝑣𝑠

1𝑛𝑑𝜇 𝑣𝑆 =𝑚𝑛𝜅Tan’s コンタクト
𝜕𝐸
𝐶 = −4𝜋𝑚𝜕 1/𝑎𝑠𝜇/𝜀F𝜇𝐸𝑘F 𝑎𝑠 −1 𝑑 𝐸 𝑛𝐸FG=−𝜀F 𝑛𝐸F𝐺
5𝑑 𝑘F 𝑎𝑠 −1𝐸/𝑛𝐸FG

Tan’s コンタクト
𝜕𝐸𝐶 = −4𝜋𝑚
𝜕 1/𝑎𝑠弱結合
Y. Sagi, et al., PRL, 114, 075301 (2015).

ユニタリー極限化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係𝜇/𝜀F
熱力学関係式(𝑆, 𝑇 = 0)𝐸=

1 𝜕𝑛𝜇𝑑𝑛 𝜅 = 2𝑛 𝜕𝜇𝑃=

圧力𝑃 内部エネルギー𝐸
圧縮率𝜅

音速𝑣𝑠

1𝑛𝑑𝜇 𝑣𝑆 =𝑚𝑛𝜅Tan’s コンタクト
𝜕𝐸𝐶 = −4𝜋𝑚
𝜕 1/𝑎𝑠化学ポテンシャル𝜇と密度𝑛（フェルミエネルギー）の関係

超流動ギャップΔ

𝜇/𝜀F

熱力学関係式(𝑆, 𝑇 = 0)𝐸=

1 𝜕𝑛𝜇𝑑𝑛 𝜅 = 2𝑛 𝜕𝜇𝑃=

圧力𝑃 内部エネルギー𝐸
圧縮率𝜅

音速𝑣𝑠

1𝑛𝑑𝜇 𝑣𝑆 =𝑚𝑛𝜅Tan’s コンタクト
𝜕𝐸
𝐶 = −4𝜋𝑚𝜕 1/𝑎𝑠弱結合

強結合

QMC: J. Carlson and S. Reddy, Phys. Rev. Lett. 100, 150403 (2008)
EXP: A. Schirotzek, Y.-il Shin, C. H. Schunck, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 101, 140403 (2008)

・低密度領域ではNeutron matterのQMCとも定量的に一致
・高密度になると相互作用の有効距離の影響が重要に
低密度

高密度

ETMA

弱結合
QMC; A. Gezerlis and J. Carlson PRC 77, 032801(R) (2008)

Unitarityhttp://www.astroarts.co.jp/news/2014/09/10sn1993j/index-j.shtml

http://html5.warnerbros.com/jp/interstellar/

http://www.astroarts.co.jp/news/2014/09/10sn1993j/index-j.shtml

http://html5.warnerbros.com/jp/interstellar/• 拡張T行列近似(ETMA)を用いて、超流動フェルミ原子気体の絶対零度近傍における熱力学量の実験結果を弱結合領域からユニタリー極限まで定量的に再現することに成功した。
• 超流動揺らぎによる量子補正は、「圧力、密度、圧縮率の上昇」および「内部エネルギー、化学ポテンシャル、音速、超流動ギャップの減少」として現れる。
散乱相手の粒子の多体効果

超流動揺らぎFuture work

弱結合

強結合

有限温度、BEC領域の解析、相互作用の有効距離の導入、etc…

Appendix

Entropy 𝑆 = 0

Specific heat 𝐶𝑉 = 0 Spin susceptibility 𝜒 = 0
𝜅𝑆,𝑇 =1 𝜕𝑛𝑛 𝜕𝑃 𝑆,𝑇𝜅𝑃𝜅𝜇𝑘F 𝑎𝑠 −1 𝑑 𝜇 𝜀F=−𝜅0𝜀F
2𝑑 𝑘F 𝑎𝑠 −1𝑚𝑣𝑆2 =𝜇𝐸𝑣𝑆2 =𝜕𝑃𝜕𝑛 𝑆𝑣𝑆𝑛𝜅Vertex corrections for 𝜅Vertex corrections for 𝜅
These are absent in TMAThis is negligible in the BCS sideBEC領域ではETMAはボソン-ボソンの散乱長が𝑎B = 2𝑎𝑠の結果と一致（厳密計算では𝑎B = 0.6𝑎𝑠 ）理論、実験ともに今後の課題
J. Joseph, et al., Phys. Rev. Lett. 98, 170401 (2007)

Condensate fraction

In the BCS side, many-body effects on the condensate fraction
appears via self-energy shift of 𝜇
Quantum
depletion

Repulsive Bose gas
with 𝑎B = 2𝑎𝑠

Self-energy
shift𝑁c = 𝑇 2

𝐺𝒑21 (𝑖𝜔𝑛 )𝐺𝒑12 (𝑖𝜔𝑛 )′𝒑,𝜔𝑛 ,𝜔𝑛2112𝐺0,𝒑(𝑖𝜔𝑛 )𝐺0,𝒑(𝑖𝜔𝑛 )𝑁c0 = 𝑇 2′𝒑,𝜔𝑛 ,𝜔𝑛化学ポテンシャル𝜇の減少＝密度𝑛の増大
𝑛=𝑇𝑇𝑟𝜏3 𝐺 𝑝 = 𝑛0 + 𝛿𝑛fluc.
𝑝BCS(MF)の寄与

弱結合

超流動揺らぎによる補正

強結合

中性子星低密度領域への応用
超流動ギャップ

Effective rangeの影響を取り入れるとさらに減少？
T. Abe and R. Seki, Phys. Rev. C 79, 054002 (2009).

コンタクトの比較

運動量分布のコンタクト

NG mode (GRPA)