格子 QCD 入門
180 分でわかる格子上の場の理論

富谷昭夫 ∗
更新日: 2023 年 3 月 15 日

Abstract
格子 QCD は数学的に厳密に定義され、定量的に計算できる場の量子論の一種である。このノートは、理学部物理学科 3 年生までの標準的なコースで習うような電磁気学、解析力学、統計力学、相対論などを学んだ学生に向けた格子 QCD
入門ノートである。

∗

大阪国際工科専門職大学 akio@yukawa.kyoto-u.ac.jp

1自己紹介: 富谷昭夫
素粒子物理 + 機械学習の研究をしています
研究分野
素粒子理論の数値計算が専門の物理屋
機械学習をつかって計算できることを増やしたい
主な論文 https://scholar.google.co.jp/citations?user=LKVqy_wAAAAJ
ニューラルネットを使った相転移検出

量子コンピュータ

略歴2015: 大阪大学にて博士号取得 (素粒子理論)
2015 - 2018 : 華中師範大学・ポスドク (中国、武漢)2018 - 2021 : 理研/BNL・ポスドク (米国、NY)
2021 : 大阪国際工科専門職大学・任期無し助教
科研費 学術変革A 計画班代表: (総額1億4326万円)
物理←→機械学習

英語版
オンライン研究会「ディープラーニングと物理学」
https://cometscome.github.io/DLAP2020/@TomiyaAkio (個人)
@MLPhysJP (機械学習+物理)
ハッシュタグ #計算物理春の学校2023
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2/108注意とまえがき
講義スライドに含まれていない内容が講義ノートに含まれています。そのため、講義スライドと講義ノートでは式番号やページ番号などがずれています。ただし、大まかな構成は同じです。
学部生〜大学院生など幅広い学生が参加するということで、前半は、あまり QCD 特有の話はせず、むしろ格子上の場の理論とはなにかに着目して議論した。SU(Nc) ゲージ理論の場合には連続極限がとれることもくりこみ群の立場から議論し、最後にはシミュレーションの話も簡単に議論した。
この講義の狙いは、

1. 格子正則化とは一体何なのかを理解する
2. 格子ゲージ場とは何なのかを理解する
3. 格子 QCD 計算が可能な LatticeQCD.jl を動かしてみるである。
この講義を受けて興味を持った場合、ぜひ教科書にチャレンジしてほしい。
個人的には、将来格子 QCD を専門としなくても場の理論を勉強するには、格子理論を学ぶ方が良いのではないかと感じている。

3/108

Contents
I

格子 QCD の理論

61 格子 QCD とは

72 格子上のスカラー場の理論

26

3 群論

38

4 イジング模型

39

5 U(1) ゲージ場

50

6 SU(Nc) ゲージ理論

60

7 第一部まとめ75

II

格子 QCD の数値計算

76

8 なぜモンテカルロ積分か

77

9 マルコフ連鎖モンテカルロ法

81

4/108

10 HMC86

11 自己相関時間と臨界減速

94

12 まとめ98

13 格子 QCD の実践

105

14 まとめ

108

付録

109

A 格子上のクォーク

110

B a の求め方120

C 統計誤差の解析

125

III

講義計画 1-5 まで (場の理論から U(1) まで) を 1 コマ目、6-13 まで (SU(Nc)、
シミュレーションまで) を 2 コマ目という予定である。

5/108

Part I

格子 QCD の理論

6/108

1

格子 QCD とは

ここでは、格子 QCD について説明する。この講義では、指定がない限り自然単位系 c = ℏ = 1 を用いる。

1.1

なぜ場の量子論か

なぜ場の量子論なのか等については、講義ノートを参照のこと (本編にはあまり関わりがないので、必須ではない)。

1.2

量子力学のフレームワーク

格子 QCD も量子論の一種である。量子論の典型例として、具体的に量子力学での量子化について復習しておく。
まずは正準量子化 (Canonical quantization) から、具体例として質量が 1の調和振動子を考えよう。ポテンシャルが 21 x2 なので、ラグランジアンは、
 2
1 2 1 2 1 2
1 dx− x = ẋ − x(1)
L = L(ẋ, x) =
2 dt
2
2
2

7/108

であり、共役運動量は、

p=

∂L
= ẋ
∂ ẋ

(2)

とわかる。するとルジャンドル変換から

1
1
H = pẋ − L = p2 + x2
2
2

(3)

と分かる。そして交換関係、[x, p] = i(4)を課すと量子化は完了する。つまり正準量子化では x と p は演算子に格上げされる。演算子として p と x を用いたとハミルトニアンを Ĥ と書くことにすると、系 (の状態) の時間発展はシュレーディンガー方程式 (Schrödinger equation)d|Ψi = Ĥ |Ψidt(5)|Ψ(t)i = e−iĤt |Ψi(6)iで記述される。これの形式解は

8/108

である。
またはハイゼンベルク描像 (Heisenberg picture) では任意の演算子 O(t)がdi O(t) = [O, Ĥ]dt(7)というハイゼンベルク方程式 (Heisenberg equation) によって時間発展する。
時刻の離れた 2 つの演算子 O(t) と O(0) の相関関数は、

hO(t)O(0)i = hΨ|O(t)O(0)|Ψiとなる。
経路積分量子化は、作用を

ZZ
1 2 1 2S = dtL = dt ẋ − x
2
2

(8)

(9)

として、経路積分では x と ẋ はただの古典的な変数として (無限次元) 積分を行う。(例えば) 時刻の離れた 2 つの演算子 O(t) と O(0) の相関関数をZ
1(10)
hO(t)O(0)i =Dx O(t)O(0)eiS
Z

9/108

と計算するものであり、正準量子化と同じ答えを与える。ただし Z は分配関数と呼ばれる規格化因子である。ここで
Y
Dx =
dx(t)
(11)
t∈[t0 ,t1 ]は積分測度であり、物理的には全ての経路の和の意味である。経路積分は、一種の多重積分ではあるのだが、積分変数のラベルが整数でなく実数で指定されているため、連続無限次元積分となっている。これの近似的な計算法が確立しているのをあとで確認する。重要なのは、どちらの量子化法でも同じ結果を与えるということである。
多自由度でも話は同じで、x や p を xi や pi の様に添字をつけ、[xi, pj ] = iδijと量子化すれば良い 1。相互作用がない場合、ハミルトニアンはX 1
1
p2i + x2i
(12)
H=
2
2
i

となる。経路積分定式化も同様にできる。

10/108

1.3場の理論の計算

つぎに準備として、場の理論 (ﬁeld theory) のフレームワークを抑えておく。
まず任意の時空点を x = (x, y, z, t) と書くことにする 2。そして場とよばれる時空点の関数があり、たとえばスカラー場 (scalar ﬁeld) であれば、x ∈ R3,1
に対して、

x 7→ ϕ(x) ∈ R,

(13)となる (図 1)。これを古典場という (波動関数とは異なることに注意せよ)。古
典場の他の例だと電磁場 Ei(x) や Bi(x) があるが (i = 1, 2, 3)、相対論の文脈では 4 元のベクトルポテンシャル Aµ(x) である (µ = 0, 1, 2, 3)。ベクトルポテン
シャル Aµ(x) はゲージ場 (gauge ﬁeld) の一種である。

図 1: スカラー場の配位の一例 (ただし 1 次元空間)。

11/108

多自由度の力学と比較するとラベルと力学的な自由度は
多自由度 ↔ 場の理論i↔xxi ↔ ϕ(x)と対応する。つまり番号 i が連続変数のラベル x に昇格されている。「場」に対する力学を考える。特に量子化を行って場の量子論を構成してみよう。
S[ϕ] は古典場の作用で対称性から決まり、たとえば相対論的不変性を課す 3
と、


Z
Z
3
2
X


1
1
m 2 
2
2
S = dtd3x  ∂0ϕ(x) −∂µϕ(x) −ϕ (x) = dtd3xL (14)
2
2 µ=1
2
のような形になる。ここから運動量は、

π(x) =∂L= ∂0ϕ(x)∂(∂0ϕ(x))(15)と計算でき、ルジャンドル変換を行うとハミルトニアンがえられる。そして同時刻交換関係 4 を課せば量子論に移行できる。この手法も量子力学と同じ

12/108

く正準量子化と呼ぶ。例えば、相関関数はDE
hϕ(x1)ϕ(x2)i = 0 ϕ̂(x1)ϕ̂(x2) 0(16)のようにえられる 5。hϕ(x1)ϕ(x2)i などを一般に、グリーン関数 (Green’s function) とよぶ。
hϕ(x1)ϕ(x2)i や hϕ(x1)ϕ(x2)ϕ(x3)i などのグリーン関数の計算が終われば、こ
こから様々な物理量を引き出すことが出来る。たとえば、加速器実験で重要となる粒子と粒子の散乱断面積 (の作用内のパラメータ依存性) である。
一方で同じ量子論は、経路積分量子化でも得られる。例えば、相関関数は
Z1(17)hϕ(x1)ϕ(x2)i =Dϕ ϕ(x1)ϕ(x2)eiS[ϕ]Zとえられる。この様な (経路) 積分が計算できることが場の理論の計算の中間目標である。
R
そして Dϕ · · · は全ての場の配位 (関数 ϕ(x) の形) の足し上げを意味しており、量子力学と同様に連続無限次元の多重積分である。これについては後述する。

13/1081.4

素粒子標準模型

今、人類が知っている素粒子についての知識は、素粒子標準模型 (standard
model) と一般相対論という形でまとめられている。
Zq1(R [Gµv (x)] − Λ)S = d4x − det Gµv (x)
(18)
16πGN
3
1 X  (i) 2 X (f )
ψ (x)iDψ/ (f )(x)−tr Fµν (x) +
(19)
4 i=1
f

X
+
yghϕ(x)ψ (g)(x)ψ (h)(x) + h.c.
(20)
g,h

+ |Dµϕ(x)|2 − V [ϕ(x)]i(21)

この理論は、ローレンツ対称性、非可換ゲージ対称性、カイラル対称性、などの対称性の要求とヒッグス機構、そして量子論の要請から定まる。
これを経路積分で量子化すると、Z(22)
Z = DGDADψDψDϕeiS

14/108

となる。ただし DGDADψDψDϕ は経路積分測度である。ここから様々な期
待値をもとめ、実験と比較するのである。ただし、重力場 Gµν については、この定式化で良い保障はなく、量子論としては精密計算はできない 6。
上記のように経路積分で書いて計算すれば (重力以外は)、高精度で計算できる。標準模型の計算のほとんどは摂動論を用いる。摂動論は複雑な計算であるが、基本的には
Z ∞
Z ∞
1 2
1 2
4
4
z=
dx e− 2 x −gx =(23)dx e− 2 x e−gx−∞−∞という式を考えて定数 g が小さいとしてテイラー展開し、和と積分の順序交換をし、展開を途中で打ち切ってしまうことに対応する。各項はガウス積分になるため計算可能であるが、これは正確な計算が出来ない事が知られている。
摂動論の様子を見てみる。この被積分関数をテイラー展開し、和と積分の15/108

順序交換を行うと、

Z ∞
z=

dx e

− 12 x2 −gx4dx e− 12 x2

e

−∞

Z ∞
=
?

=

−∞
∞
X

1
n!
n=0

Z ∞

(24)

,

∞
X
1

(−gx4)n,(25)

dx e− 2 x (−gx4)n,

(26)

n=0

n!

1 2

−∞

である。最後の式までたどり着くと、ガウス積分さえできれば各項ごとに積分計算をして足し上げれば良さそうに思える。実はこれは破綻することが知られている。“?” をつけた部分の入れ替えは許されておらず、足し上げると発散が起こってしまう (これを漸近級数という)。そのため摂動論の計算を無限に続けても元の積分を行うことには対応していない。また摂動展開によって色々な物理的な効果が取り込みきれないこともわかっている 7。
一方で摂動級数は、ある程度の次数までは、次の補正項が小さくなることも知られており、たとえば標準模型の一部である量子電気力学 (QED, Quantum
Electro-Dynamics) の場合には 10 次までの計算がなされており [1] 超高精度で実験結果と矛盾のない結果を与えている。これは量子電気力学については人類は相当良く理解できていることを意味している。

16/108

1.5

格子 QCD が役立つこと

QCD は、量子色力学 (QCD, Quantum Chromo-Dynamics) のことで詳細は後述するが、クォーク (物質) とグルーオン (力) の力学で、
Z
X
1
2
4
SQCD = d x[− tr (Fµν (x)) +(27)
ψ (f )(x)(iD/ + m(f ))ψ (f )(x)]{z}|
4 | {z }グルーオンfという作用で書かれる理論である。量子化は、
Z
Z = DADψDψeiSQCD

クォーク

(28)

と行われる。
QCD の基底状態 (QCD vacuum)、真空は非常に複雑な状態であり、図 2の様に図示される。この真空は摂動論を使って調べることは出来ないと考えられている。
この作用は標準模型の作用の 2 行目に入っていたものである 8。Fµν と D/の中に結合定数 g が入っているが、これは大体 1 であることが知られており、電磁気学の結合定数が 1/137 であることを考えると非常に強い (なので強い力と呼ばれる)。多体系量子系の言葉でいうと、基底状態が強結合になっている。

17/108図 2: QCD 真空 [2]。QCD 真空はエネルギー密度が場所によって異なる。量子効果により、沸騰したお湯のように沸き立っている。
なので基本的に摂動をつかって低エネルギーでの情報、たとえば陽子・中性子の質量等を取り出すことが難しい。
この理論を連続時空でなく、離散時空に載せたものが格子 QCD であり、gでの展開に頼ることなくスーパーコンピュータ等で期待値の計算が可能である。近年の素粒子実験では始状態・終状態がハドロンになっていたりと関わってくるが、ハドロンとクォークをつなぐ “係数” (正確には形状因子) の計算には格子 QCD での計算が必須である。またクォークグルーオンプラズマを作る
実験の結果の理解にも格子 QCD での計算が必要である。

18/108

格子 QCD の役立ちポイント 格子上で定義された QCD を用いると、以下の役に立つ

1. QCD 摂動論で計算したクォークを含む遷移行列要素をハドロンの言葉に変換する係数を求める。これは実験結果と標準模型ラグランジアンをつなぐ鍵である。
2. ハドロンの質量の測定や、ハドロンの相互作用の決定
3. QCD の状態方程式や、相転移を調べられる (クォークとグルーオンの量子統計力学)。クォーク凝縮が何ケルビンで溶けてなくなるか、相転移次数は?圧力などを調べられる。クォークグルーオンプラズマの性質も調べられる。
4. 現実とは関係のないタイプの場の理論の非摂動計算に使える。たとえば
Nc = 8 のゲージ理論のゲージ場に関連する期待値を調べたりできる。く
りこみ群の解析も出来る。
5. 場の理論の厳密な定義を与えている。これは場の理論の理論自体を調べる事ができる。
このように、現実と理論をつなぐ道具や、理論を調べる道具として非常に役立つ。

19/108

1.6

連続な場の理論はうまく定義されていない事

さて最初に素粒子標準模型を見せ、そのあと格子 QCD の分配関数を見せた。
ここでは 1 次元の場の理論を例に、連続時空では場の理論はうまく定義されていない事をみる。
場の量子論は典型的に、場を ϕ として以下の形の分配関数をもつ。
Z(29)
Z = Dϕe−S[ϕ]ただし作用の符号は前と異なるが、これの正当化は後で行う。ここで問題を起こすのが経路積分測度で
Y
Dϕ =
dϕ(x)
(30)
x∈R
|{z}
?

である。時空の各点に対する無限積で積分が “定義” されているが、この操作はどうやって行えば良いか不明である 9。連続無限個の積分を含んでおり、病的なのかも判別できない。
離散時空で、しかも有限体積で経路積分を行う場合には、
YDϕ =dϕn = dϕ1dϕ2dϕ3 · · · dϕL(31)n∈{1,2,3,··· ,L}

20/108

となる。ただし L は大きい整数とした。この積分は、(文字が ϕi となっていてわかりにくいが) 学部で習うような多重積分である。
そのため離散時空の経路積分は操作が明確であり、場の量子論にありがちな発散の問題もなく、全ての操作がうまく定義されている (はずである)。そして計算の最後に、離散化間隔を 0 へ持っていく極限を操作、加えて系の大きさ L を大きくする極限を取れば元の積分が計算できているはずである。
これはちょうどリーマン和からリーマン積分を定義するのと似ている話であり、リーマン和の様なアイデアで場の量子論を定義しているのが格子上の場の理論である。

21/108

素粒子の模型の用語
ここは説明しないが、素粒子系の用語まとめておく。
自然単位系・質量次元 c [m/s] を光速度、時間を t [s] とすると、ct は長さの単位 [m] を持つ。c = 1 のときには長さと時間が同じ単位系 [m] で表される。これは自然単位系と呼ばれる。
E = mc2 という式から、c = 1 のときにはエネルギー [J] と質量 [kg] が同じ単位系で表される。
ℏ は [J s] (エネルギー掛ける時間) という単位をもつ。E = hν = hc/λ の関係を考え、c = 1 と ℏ = 1 とすると、エネルギーの単位が長さと逆になることが分かる。
象徴的に以上をまとめると、ℏ = c = 1 のとき、エネルギーと長さは逆の単位をもち、[E] = −[L](32)である。質量次元という。
あと便利な関係として、ℏc = 197 [MeV fm] である。これを使うと、エネルギーの単位 MeV と長さの単位 fm を行き来することができる。たとえば
パイ中間子の質量は、約 140 MeV であるが、長さに直すと (1/140)[1/MeV] ×

22/108

197[MeV fm] ≈ 1.4 [fm] となる。これはパイ中間子のコンプトン波長である。
ちなみに陽子の (荷電) 半径は 0.8 fm 程度であるので、直径がだいたいパイ中
間子のコンプトン波長程度である。
素粒子標準模型に出てくる力と対応する粒子

1. 電弱力 = 弱い力と電磁気力 SU (2) × U (1)、ウィークボソン (W, Z) と光子、ウィークハイパー荷
2. 強い力 SU (3)、グルーオン、カラー荷
全て質量のないベクトル場 (スピン 1)
素粒子標準模型に出てくる物質と対応する粒子

1. レプトン: 強い力を受けないフェルミオン、カラー荷なし
2. クォーク: 強い力を受けるフェルミオン、カラー荷あり
上記はスピン 1/2 の場である。この他にヒッグス場 (スピン 0) もある。

23/108QCD に出てくる物質 QCD ではクォークとグルーオンが主な登場人物だが、その結合状態には名前が付いている。
1. ハドロン: 強い力で結合したクォークの結合状態。バリオンとメソン。
2. メソン: パイ中間子のように、クォークと反クォークがあつまって出来るボゾン
3. バリオン: 陽子や中性子のように、クォークが 3 種あつまって出来るフェ
ルミオン
QCD のダイナミカルスケールは、ΛQCD とかかれ、大体 200 MeV 程度であり、ざっくりとそこ以下が低エネルギーの計算に重要になる。
アップクォークを u、ダウンクォークを d と書いた時、たとえば、陽子 (uud)・
中性子 (ddu) は 1000 MeV 程度、パイ中間子 (u と d) は 140 MeV 程度である。(電子は 5 keV = 0.005 MeV 程度である)。
クォークは 6 種類あり、その質量は以下の通り (クォーク質量はくりこみス
キームに依存するのでざっくりとした値を載せた)。
(((
mup ≈ 2 MeV,
mcharm ≈ 1, 300 MeV,
mtop ≈ 175, 000 MeV,
mdown ≈ 5 MeV,
mstrange ≈ 100 MeV,
mbottom ≈ 4, 200 MeV,
(33)
24/108ここでは各世代ごとに表記した。上側がアップタイプとよばれ電荷 2/3 で、下側がダウンタイプと呼ばれ電荷 −1/3 である (反クォークの場合は電荷の符号がひっくり返る)。大体 200 MeV 程度までで現れるのは、アップとダウン、そしてストレンジである。格子 QCD ではたいていアップとダウン、そしてストレンジまでを考慮するが、近年ではチャームやボトムまで考慮する場合もある。
グルーオンの質量はゲージ対称性から 0 である 10。量子論まで含めてもゲージ対称性は保たれる。
陽子の質量は、1000 MeV ほどであるが、それを構成するアップクォーク 2
つとダウンクォークの質量を足しても 9 MeV ほどにしかならない。この質量のかさ上げ分は、カイラル対称性の自発的破れの効果による。

25/1082

格子上のスカラー場の理論

ここでは実スカラー場を例に、格子化や虚時間形式について学ぶ。ミンコフ
スキー計量での、連続時空での作用は、


Z
2
1
m
S = d4x ∂µϕ∂ µϕ(x) −
ϕ2(x)
(34)
2
2
である。なお、アインシュタインの規則を使って和記号を省略しており、∂µϕ∂ µϕ ≡3X∂µϕ∂ µϕ,

(35)

µ=0

= (∂0ϕ)2 − (∂1ϕ)2 − (∂2ϕ)2 − (∂3ϕ)2.

(36)であり、同じ添字は和を取ることにする。また計量は ηµν = diag (1, −1, −1, −1)
とっている。
後の計算のために、作用の中の時間成分を分離しておく。


Z
2
1
1
m
S = dtd3x ϕ̇2(x) + ϕ∆ϕ(x) −
ϕ2(x)
(37)
2
2
2
P3
空間部分は部分積分を行った。また ∆ = j=1 ∂j ∂j はラプラシアンである。そして ϕ̇ = ∂0ϕ である。

26/108

2.1「時間連続・空間離散」時空での場の理論

ここでは格子理論の入門として、時間を連続に保ったまま、空間を離散化してみる。これはサスカインド格子 (Susskind lattice) と呼ばれている。
離散化は単に微分を差分、積分は和に置き換えればよい。格子間隔 a とし
て、積分を
Z
X
3
3
d x→a
(38)
n

と置き換え、さらに空間の微分を差分に置き換えると以下を得る

Z
2
X 1
1
m
ϕ̇2(an, t) + ϕ(∆latϕ(an, t)) −ϕ2(an, t)
S = dta3222n
ただし、n は 3 次元ベクトルで
3 

X
1
∆latϕ(an, t) = 2
ϕ(an + aej , t) + ϕ(an − aej , t) − 2ϕ(an, t)
a

(39)

(40)

j=1

は離散化したラプラシアンである。これはただの差分で、a → 0 でもとのラプラシアンに戻ることは a でのテイラー展開からわかる。また ej は j 方向の単位ベクトルである。

27/108つまりラグランジアン 11 は、
2
1 2
1
m
L = ϕ̇ (an, t) + ϕ(∆latϕ(an, t)) −ϕ2(an, t)
2
2
2

(41)

とわかる。ここから共役運動量は、

π(an) =∂L= ϕ̇(an, t)∂ ϕ̇(an, t)(42)である。するとハミルトニアン密度はルジャンドル変換から、

1
m2 2
1 2
lat
ϕ (an)
H(an) = π(an)ϕ̇(an) − L = π (an) − ϕ(∆ ϕ(an)) +222つまりハミルトニアンはH = a3Xn

H(an) = a3

X 1
n

2

1
m 2
π 2(an) − ϕ(∆latϕ(an)) +ϕ (an)
2
2
2

(43)


(44)

となる。これは多粒子系のハミルトニアンと実質的に同じものである。つまり、離散空間上の点 (格子点 an) の上に 1 自由度 ϕ(an), π(an) がそれぞれ載っている力学系である。第 2 項を除けば、ただの調和振動子であり、さらに第 228/108

項は隣の点との交換相互作用等を表していることになる。


1 X
lat
ϕ(an)∆ ϕ(an) = 2
ϕ(an)ϕ(an + aej ) + ϕ(an)ϕ(an − aej ) − 2ϕ(an)ϕ(an)
a j=1
3

(45)
あとは、
正準量子化してやれば量子論に移ることができる。つまり “座標”ϕ(an, t)と “運動量”π(an, t) に対して同時刻交換関係[ϕ(an, t), π(an0, t)] = iδn,n0(46)を課せば離散空間上の場の理論が手に入る。
この系の時間発展は、シュレーディンガー方程式di |Ψ(t)i = H |Ψ(t)i
dt

(47)

|Ψ(t)i = e−iHt |Ψi

(48)

から

で記述される。当然、ハイゼンベルク描像 O(t) = eiHtOe−iHt でもよい。

29/108どういう状態ベクトルに作用するかをハイゼンベルク描像で見よう。このとき、ある格子上の座標点を n とすると、演算子 ϕ(an, t) は、

ϕ(an, t) |0inの様に座標点ごとの状態ベクトルに作用する。つまり時空全体では、
O|0in = |0i(0,0,0) ⊗ |0i(0,0,1) ⊗ · · ·

(49)

(50)

n∈L3

ただし L3 = {(n1, n2, n3)|nj ∈ Z} は格子点全体の集合である 12。このようにす
ると、場の量子論のわかりにくい点もいくらか緩和できる。
経路積分 もちろん作用

Z
2
X 1
1
m 2
S = dta3ϕ̇2(an, t) + ϕ(∆latϕ(an, t)) −ϕ (an, t)222nをそのまま用いて、

ZZ=

Dϕ eiS(51)
30/108

という経路積分形式で計算しても等価である。
どちらの形式でも計算の最後に a → 0 の極限で、計算したかった元のものに一致するはずであるが、これについては後述する (実は相互作用するスカ
ラー場の場合は駄目な事が知られている 13)。

2.1.1

虚時間、実時間

ここでは、虚時間というアイデアを導入する。時間変数を虚数にするという計算上のトリックであり、計算が簡単になる。これは一種のトリックであり物理的なことではない。
ここで突然、統計力学を思い出すことにする。量子統計力学では、|ni を適当な状態だと思うと、ハミルトニアンを H とするとき、
X
(52)
Z=
hn| e−βH |ninのような計算が行われていた。H のスペクトルが有限でない限り、β < 0 では問題が生じる。つまりエネルギー固有値で分配関数を書くと、
X
Z=
e−βEn
(53)
n

31/108

となるが、n が有限でない限り、β < 0 では発散してしまう。そのため β > 0とする。
そして場の理論の時間発展、|Ψ(t)i = e−iHt |Ψi(54)とボルツマン重みを比べると、よく似た形をしている。そこで

t → −iτ(55)|Ψ(t)i = e−τ H |Ψi(56)と置き換えれば、という時間発展の形を得る。τ を実数に取った場合、もとの t は虚数になるた
め、これを虚時間形式とよぶ。また後述する理由からユークリッド作用の場の理論 (Euclidian ﬁeld theory) とも言われる。
虚時間形式の方が一般的に位相の振動などの現象がなく使い勝手が良く、また統計力学の手法が使用可能になる。さらに虚時間形式でも、空間に依存する量などは問題なく計算できるためよく使われるうえ、計算した後に実時間に解析接続できれば元の量が復元可能である。ハミルトニアン自体は共通であることは非常に重要である。つまり実時間・虚時間どちらの計算法でも、

32/108

同じハミルトニアンを持つ系であり、ハミルトニアンの固有値 (質量に対応する) はもちろん同じになる。
虚時間への移行を経路積分形式でみると、先程の作用

Z
2
X 1
1
m
S = dta3ϕ̇2(an, t) + ϕ(∆latϕ(an, t)) −ϕ2(an, t)
(再掲)
2
2
2
n
で t → −iτ と置き換えれば良いので、ϕ̇ → i∂τ ϕ ≡ iϕ̇ になることに注意して、

Z
2
X 1
1
m 2
S = −i dτ a3− ϕ̇2(an, τ ) + ϕ(∆latϕ(an, τ )) −ϕ (an, τ ) , (57)222n

= iS (eucl)(58)を得る。そして経路積分に代入すると、Z−S (eucl)
Z = Dϕ e(59)となる。この S (eucl) はユークリッド作用と呼ばれている。
この経路積分は古典統計力学の状態和
Z Y
Y
Z=
dqi
dpj e−βH(p,q)

(60)

i

j

33/108

と似た格好をしている。

2.1.2

虚時間の作用 ≈ ハミルトニアン

実のところ、虚時間での作用はハミルトニアンと同じ構造になっている。すな
わちよく見てみると、ポテンシャル項に対応する部分の符号が反転している。

Z
2
X 1
1
m 2
2
lat
(実)
3
ϕ̇ (an, t) + ϕ(∆ ϕ(an, t)) −ϕ (an, t) ,
S
= dta
(61)
2
2
2
n

Z
2
X 1
1
m 2
lat
(虚)
3
2
S
= dτ aϕ̇ (an, τ )− ϕ(∆ ϕ(an, τ ))+ ϕ (an, τ ) ,
(62)
2
2
2
n
これはハミルトニアンと同じ符号である。つまり、
Z(eucl)
Z = Dϕ e−Sは本当に古典統計力学と実質的に同じ形式になっている。

2.2

時空離散化

時間連続、空間離散という状況をみてきた。ハミルトン形式の定式化はこれ
で (原理的には) 問題が生じない 14。

34/108場の理論の経路積分をうまく定義したいという試みとしては (そして数値計算を行うためには) 不満足である。なぜならば、Y Ydϕ(an, τ )
Dϕ =
(63)
τ ∈R n|{z}?

となっており、時間部分が連続無限個の積になったままであるからである。
そこでいっそ、時間も含めて全ての時空の軸を離散化してしまう。 虚時間に移り、今回は時間も含め、積分を和、微分を差分に置き換えてしまえば良い。詳細は講義ノートを参照のこと。結果は以下のようになる。

2
X 1
m 2
S (eucl) = a4
− ϕ [∂ 2ϕ]lat(n) +
ϕ (n)
(64)
2
2
n
これが時空を離散化した格子作用である。ただし、n = (nx, ny , nz , nτ ) は 4 次
元の格子点をあらわし、


1 X
2 lat
[∂ ϕ] (n) = 2
ϕ(n + µ̂) + ϕ(n − µ̂) − 2ϕ(n)
a µ=1
4

(65)

35/108

は離散化した 4 元ラプラシアンである。これはただの差分で、a → 0 でもとのラプラシアンに戻ることは a でのテイラー展開からわかる。また µ̂ は µ 方向の単位ベクトルである。経路積分は、
Z−S (eucl)
Z = Dϕ e(66)で与えられ、積分測度は (有限の格子点で計算していると)
Y
Dϕ =
dϕ(n)

(67)

n

とただの多重積分になる。これを格子上のスカラー理論という。
相互作用は連続理論と同じ様に入れられ、

2
X 1
m 2
λ
S (eucl) = a4
− ϕ [∂ 2ϕ]lat(n) +ϕ (n) + ϕ4(n)
2
2
4!
n

(68)

の様にすれば良い。ただし、4 次元の相互作用するスカラー場の理論の連続極限は有限の相互作用を保ったまま取ることが出来ないことが知られている (スカラー理論の自明性)。
また、格子間隔 a を導入したため、a をつかって作用の質量次元を消すことができる (質量次元とは単位のことだと思えば良い)。自然単位系での相対論

36/108

的場の理論には単位が実質 1 つ (eV) しかないため、1 つエネルギーの単位 (長さ分の 1 の単位) を持つものがあれば質量次元を消すことが出来る。
ϕ̂ = aϕ などから (ここでˆは演算子の意味ではなく、無次元量を表す記号で
格子 QCD ではよく使われる)

2
X 1
m̂ 2
λ
S (eucl) =− ϕ̂ [∂ˆ2ϕ̂]lat(n) +(69)ϕ̂ (n) + ϕ̂4(n) ,224!
nとなる。 無次元化した場は ϕ̂ と書いたが、見た目が煩雑になるため、以下では、ˆを書かずに ϕ と書くこともある。

37/108

3

群論

群論については講義ノート参照のこと。離散群、連続群について説明してある。

38/108

4

イジング模型

ここでは古典スピン模型であるイジング模型について復習する。ここで出てくる手法は格子 QCD でも使うようなアイデアである。この節は (特に関係ないが) 実時間で話をすすめる。

4.1

イジング模型とスピン模型

ここでは、古典スピン模型である 1 次元イジング模型について復習する。1 次
元の強磁性イジング模型は、si ∈ {1, −1} = Z2 として、

H[s] = −NX

sj sj+1 − h

j=1

sN +1 = s1 である。
分配関数は、Zh =X X
s1 =±1 s2 =±1···

X
sN =±1

N
X

(70)

sj

j=1

e

−βH[s]≡X

e−βH[s],

(71)

{s}

となる。ただし β = T1 は逆温度である。

39/108

イジング模型に似た模型として、量子スピン系の典型例である量子ハイゼ⃗j = (S x, S y , S z ), S j ∈ SU (2) として、
ンベルク模型もある。スピンを Sjjji

H[S] = −N
X⃗j · S
⃗j+1
S

(72)

j=1

というハミルトニアンで記述される。この場合、各座標に 3 つの SU(2) 行列が乗ることになる。また付随する状態ベクトルは先述の時間連続・空間離散模型と同様になる。

図 3: イジングモデルとハイゼンベルクモデル。

4.2

くりこみ群

ここでは 1 次元強磁性イジング模型に対してのくりこみ群 (renormalizationgroup) を議論する 15。くりこみ「群」とは呼ばれるが実際には逆元が存在し40/108ないため半群とよばれるものである。
これは格子上の場の理論の連続極限を考えるのに非常に重要となる。この小節では系の大きさを十分大きい (つまり適宜無限大として扱う) ことにするが、サイト数 N は計算を簡単にするため偶数にしておく。また外場は 0 に取っておく。
ここでやることは、系の分配関数を考え、偶数番目の状態和だけを実行、そしてその関数から再び元と同じ形に書き換えよう、ということである。そして何が起こるかをみると、物理量が不変になる変換があることが分かる。
ハミルトニアンは、以下のように偶数番目と奇数番目を分けて書き換えられる。

H[s] = −NX
j=1

sj sj+1 = −N/2
X

s2j−1s2j −|j=1 {zodd-even

=−

N/2
X
j=1

}

s2j (s2j−1 + s2j+1) ≡ −N/2
Xs2j s2j+1,|j=1 {zeven-odd

X

(73)

}

sk (sk−1 + sk+1),(74)

k:even41/108

なので分配関数は、
X X
XP−β k:even sk (sk−1 +sk+1 )
Z=
···
e
,
s1 =±1 s2 =±1=

X X

s1 =±1 s2 =±1

sN =±1···X Y

e−βsk (sk−1+sk+1),(76)

sN =±1 k:evenとなる。
ここで分配関数の中で偶数番目の和
X X

···

s =±1 s4 =±1

|2

(75)

{z

N/2 個

X

(77)

sN =±1}のみを実行する。たとえば、k = 4 の部分をみると、
Xe−βs4(s3+s5) = e−β(s3+s5) + eβ(s3+s5) = 2 cosh(β(s3 + s5)),(78)

s4 =±1となる。

42/108

全体では

Z=2

N/2

X X

···

s1 =±1 s3 =±1

=2

N/2

X X

X

Y

cosh(β(sk−1 + sk+1)),(79)

cosh(β(sk + sk+2)),(80)

sN −1 =±1 k:even···

s1 =±1 s3 =±1

XY

sN −1 =±1 k:oddとなる。2 行目ではあとの計算に便利なように総乗の番号を 1 つずらした。具
体的に書くと、
X X
X
N/2
Z=2
···
cosh(β(s1 + s3)) cosh(β(s3 + s5)) × · · · (81)s1 =±1 s3 =±1

sN −1 =±1である。
ここで cosh(· · · ) を e−β(∗∗) という形で表したい。つまり、?

cosh (β (si + sj )) = e

β 0 si sj +h(82)

を満たすように β 0 と h を β の関数として求めたい。
これは si = ±1、sj = ±1 の組み合わせで両辺が一致する様に決めればよ43/108

い。全ての組み合わせは0(si, sj ) cosh(β(si + sj )) eβ sisj +h
β 0 +h(1, 1)
cosh(2β)e0(1, −1)1e−β +h0(−1, 1)1e−β +h0(−1, −1)cosh(2β)
eβ +h

(83)

である。これを満たすには

β0 = h =1ln cosh 2β2と対応付ければ良いことがわかる。
すると分配関数は、
X X
X
N/2−hN/2
Z = |2 {z }···(期待値に効かない) s1 =±1 s3 =±1

(84)

Y

0

e−β sk sk+2 ,sN −1 =±1 k:odd

であり、具体的に書くと、
X X
X
0
0
Z∝
···
e−β s1s3 e−β s3s5 × · · ·s1 =±1 s3 =±1

(85)

(86)

sN −1 =±1

44/108

となる。ただし期待値の計算に効かない定数は比例記号で表した。
ここで、番号を1 → 1, 3 → 2, 5 → 3,···

, N − 1 → N/2,の様に k 番目を (k − 1)/2 + 1 と再番号付けする。

図 4: 再番号付け
すると、

Z∝

X X
s1 =±1 s2 =±1

···

N/2
X Y
sN/2 =±1 j=1e−β 0 sj sj+1=

X X
s1 =±1 s2 =±1

···

X

e

−β 0

PN/2

j=1 sj sj+1,

sN/2 =±1

(87)
となる。

45/108ここまでをまとめよう。温度 β での N 個のイジングスピン系を考えて、偶数番目のスピンを先に和を取ったとする。すると温度 β 0 = 21 ln cosh 2β と温度は異なるが、元と同じ期待値を返す系になっている 16。
元の系の格子間隔を a、和をとった後の格子間隔を a0 とする。和をとった
後は偶数サイトが抜けているため、a0 = 2a となる。
上記の 2 つの事実は何を意味するかというと、格子間隔 a と逆温度 β を共に動かす変換のうちで物理量を一定に保つ変換が存在する、ということである。今の場合、a と β の組み合わせの計算と a0 と β 0 の組み合わせの計算とが同じになる。これは、くりこみ群になっている (くりこみ群とは多義的で、これは例の 1 つである)。逆に、β を調整することで別の格子間隔での計算を行うことが出来ることも意味している。なぜなら β が異なると作用・ハミルトニ
アンに a が明示的に含まれていないので自動的に異なる a で計算したことになるからである。以下で見る通り、格子 QCD においてこの視点が非常に大切である。
具体的に見ると、温度 β での期待値を h· · ·iβ と書くことにする。このときに格子点の数で測った距離 2k (k は正の整数) だけ離れた 2 点間の相関は、

Gβ (2k) = hs1s2k iβ(88)である。一方で β 0 でも、もちろん期待値を計算できるので、距離が半分の格

46/108子で計算すると

Gβ 0 (k) = hs1sk iβ 0(89)となる。そして両者は一致する 17。
格子間隔: a0z }| { 格子間隔z }|: a {= 2ahs1s2k iβ = hs1sk iβ 0(90)

虚時間形式での場の理論と統計力学の類似性から、場の理論でも同様の事ができ、格子理論の連続極限の理解に用いられる 18。
ただし、1 次元イジング模型以外のスピン系および場の理論では、理論の自由度の一部を積分すると元のハミルトニアン・作用とは異なる形になることが知られている。また、スピンの大きさも変わらないという所も特殊である。1 次元イジング模型以外では、場の再規格化 (re-normalization) を行って作用の形を戻す必要がある。それが必要のない 1 次元イジング模型は非常に特殊な例となっている。またここでは、相互作用を保ったまま連続極限が取れるかどうかについては議論していないことに注意しよう。たとえば 1 次元イ
ジング模型では、相互作用を保ったまま連続極限を取ることは出来ない。

47/108

4.3

Z2 ゲージ理論

この節の最後に、イジング模型の亜種として Z2 ゲージ理論 ( もしくはイジングゲージ理論とも呼ばれる) を導入しておく。ここでは空間 2 次元以上を考える。
イジング模型では、スピンが格子点 n 上に定義されていた。
X
H[s] = −snsn0(91)<n,n0 >

ただし < n, n0 > は最近接格子点同士のペアを表す。
一方で Z2 ゲージ理論では、イジングスピン Z2 = {−1, 1} の自由度 sµ(n) ∈Z2 が格子点をつなぐ辺 (ボンド、リンク) に載せられており、以下のようなハ
ミルトニアンを持つ理論として定義される。

H=β

d X
XX
n

−1
1 − sµ(n)sν (n + µ)s−1
(n
+
ν)
µ
ν (n)



(92)

µ=1 ν>µ

ただし d は次元の数である。また β は逆温度に対応するパラメータであるが、後との整合性のためにハミルトニアンに含めた。図示すると、図 5 である。
そして分配関数は、
X
X
Z=· · · e−H(93)s1 (n1 )=±1 s2 (n1 )=±1

48/108図 5: イジングモデルと Z2 ゲージ理論の配位の例。イジングは隣り合う 2 つのスピンを掛ける。Z2 ゲージ理論は 1 つの面を囲う 4 辺を掛ける。統計系としては全ての配位を足し上げる。
である。状態和は、各リンクで全ての Z2 変数について足し上げることを意味する。この理論は、F. J. Wegner によってイジング模型の双対として 1971 年に提唱された [3]。このハミルトニアンは各点ごとに符号を入れ替える不変性(ゲージ不変性、 gauge invariance) を持つ

sµ(n) → g(n)sµ(n)g(n + µ̂)(94)

ただし g(n) ∈ {−1, 1} である。

49/108

5

U(1) ゲージ場

ここでは、再び場の量子論の話に戻る。連続時空 U(1) ゲージ理論を考え、格子上に乗せることを考える。また特に指定がない限り、以降は虚時間で話を
すすめる。

5.1

連続時空の古典論

ミンコフスキー計量の連続時空での U(1) ゲージ理論の作用、つまり真空の電磁気学の作用 (electro-magnetism in the vacuum) は、
Z
1⃗2 − B
⃗ 2)
(95)
S=−
d4x(E
2
であり 19、これは相対論的な記法では、
Z
1
S=−
d4xFµν F µν
4(96)である。ただし Fµν = ∂µAν − ∂ν Aµ であり、Aµ はゲージ場である 20 21 。この作用はゲージ変換

Aµ(x) → Aµ(x) − ∂µΩ(x)(97)
50/108

という座標に依存するシフトに対して不変である。ただし Ω(x) は時空座標に依存する微分可能な任意の実関数である。
虚時間に移行するには、t → −iτ と ∂0 → i∂4 そしてゲージ変換との整合性から A0 → iA4 と置き換えればよい。結果は、
Z
1
d4xFµν Fµν
S=
(98)
4
となる。経路積分によって分配関数は、
Z
Z = DAe−S(99)と与えられる (本当はゲージ固定などの話もあるがここでは省略しごまかしておくことにする)。経路積分測度は、

DA =

4
YY

dAµ(x)(100)

x∈R4 µ=1と全ての可能なゲージ場配位についての足し上げ (積分) となっている。これを上手く格子化したいが、ゲージ対称性が連続時空を前提としているため一筋縄では行かないようにおもえる。

51/108

5.2

離散時空の電磁場の量子論

電磁場を離散時空で定義したいが、どの様にするのが良いだろうか。格子理論の作用を作る場合、普通以下を要求する。

1. 局所的
2. 対称性をなるべく守る (例: 格子間隔ごとの並進や 90 度回転は残す等)
3. 実作用、下に有界 (ただし実作用が必要なのは数値計算が理由)
4. 離散化間隔 a を a → 0 とすると、古典作用に戻る。
実際、スカラー場の理論を作るときにはこれに基づいていた。とはいえ、U(1)ゲージ理論を格子化するには、Z2 ゲージ理論と同じ処方箋を取れば良い。

52/108格子上の U(1) ゲージ理論では、U (1) の自由度 uµ(n) ∈ U (1) が格子点をつなぐ辺 (ボンド、リンク) に載せられており、以下のような作用を持つ理論として定義される 22 (図 6)。

図 6: Z2 ゲージ理論と U(1) ゲージ理論。U(1) ゲージ理論は各リンクに U(1) の成分が載っている。

53/108よく使われるのは (物理計算には効かない) 定数だけシフトした

S=β

d Xh
XX
n

1 − Re uµν (n)

i
(101)

µ=1 ν>µである。ただしuµν (n) = uµ(n)uν (n + µ̂)u∗µ(n + ν̂)u∗ν (n).

(102)

は Wilson loop 演算子 (Wilson loop operator) と呼ばれるものの一種で、プラケット (plaquette) と呼ばれるゲージ不変な物理量であり、エネルギー密度のようなものである 23。プラケットとは、フランス語で「小さな板」という意味だそうである 24。

54/108図 7: U(1) ゲージ理論のプラケット

55/108n は 4 次元の立方格子の格子点で、d は時空次元の数である。また β は逆温度に対応するパラメータであり、連続理論との整合性から決めることができる。
µ̂ は µ 方向の単位ベクトルである。この作用は、U(1) プラケット作用 (U(1)
plaquette action) と呼ばれる。これが本当に U(1) ゲージ理論の作用としてふさわしいかは、以下で見る。
経路積分によって分配関数は、
Z
Z = Due−S(103)と与えられる 25。経路積分測度 Du については後述するが、Z2 のときと同じ
く、各リンクで全ての U(1) の元について足し上げる、すなわち積分することを意味する。
YYDu =duµ(n)(104)nµ

プラケットを使った格子作用が連続理論の作用とどう関係しているかは、
格子間隔 a、結合定数 g として 26

uµ(n) = exp(iagAµ(n))(105)と同定し、a について展開することで明らかになる。

56/108実際に Aµ(n) の言葉で展開を具体的にしていくと、uµν (n) = uµ(n)uν (n + µ̂)u∗µ(n + ν̂)u∗ν (n),(106)
= exp[aigAµ(n) + aigAν (n + µ̂) − aigAµ(n + ν̂) − aigAν (n)], (107)= exp[aig f˜µν (n)],
(108)

˜
となる。ただし fµν (n) = Aν (n + µ̂) − Aν (n) − Aµ(n + ν̂) − Aµ(n) である。さらに f˜µν (n) を a で展開すると、˜fµν (n) = Aν (n + µ̂) − Aν (n) − Aµ(n + ν̂) − Aµ(n) ,(109)= Aν (n) + a∂µAν (n) − Aν (n) − Aµ(n) + a∂ν Aµ(n) − Aµ(n) + O(a2),(110)= a∂µAν (n) − a∂ν Aµ(n) + O(a2),(111)= aFµν (n) + O(a2).
(112)となる。つまり、uµν (n) = exp[a2igFµν (n) + O(a3)],
1 4 2 22
= 1 + a igFµν (n) − a g Fµν (n) + O(a5).
2

(113)
(114)
57/108と、プラケットは電磁場テンソルであることが分かる。ここで O(a5) はゲージ不変性の議論から O(a6) であることが分かる。
よってプラケットの実部をみると、

1 4 2 2Re uµν (n) = 1 − a g Fµν (n) + O(a6).
2である。
すなわち格子作用 a → 0 では
i
XXXh
XXX 1
2
β
1 − Re uµν (n) = β
a4g 2Fµν(n) + O(a6),
4
n
µ ν>µ
n
µ ν6=µ


XXX 1
4
2
=a
Fµν
(n) + O(a2) ,
4
n
µ

(115)

(116)

(117)

ν6=µ

となる。最後に β = 1/g 2 と同定した。
2
すなわち、プラケット作用 1 − Re uµν (n) は、O(a2) の項を除いて Fµν(n) であることがわかる。そして余剰な項は、場の理論の教科書に書いてある higher
dimensional operators に対応している。つまり格子理論の作用は連続作用に低エネルギー物理に効かないような、カットオフスケールでの余計な項がたくさん入った理論だとも思える。

58/108

まとめると a → 0 の極限で、uµ(n) = eiagAµ(n) そして β = 1/g 2 と同定すると
Z
i
XXXh
4 1
1 − Re uµν (n) → d x Fµν Fµν
β
(118)
4
n
µ ν>µ
となって、連続理論に一致していることが分かる。

5.2.1

格子上の U(1) ゲージ変換

詳細については、講義ノート参照のこと

5.2.2

連続群上の積分 (U(1))

経路積分で必要となる U(1) 上の積分については、講義ノートを参照のこと。

5.3

量子論としての連続極限

実は相互作用のある U(1) 格子ゲージ理論は、相互作用を保ったまま連続極限が取れないと考えられている。詳しくは SU(Nc) 格子ゲージ理論のところで解説する。

59/1086SU(Nc) ゲージ理論

ここからは、SU(Nc) ゲージ理論について考えよう。QCD の場合、Nc = 3 である。ここでは格子理論からはじめ、連続理論を導出するという方向で話をすすめる。U(1) 理論が上手く行ったので、各リンクに SU(Nc) の行列 (Nc × Nc の
特殊ユニタリ行列) を載せる。これでうまくいくことは以下で見る。

図 8: U(1) ゲージ理論と SU(Nc) ゲージ理論。SU(Nc) ゲージ理論は各リンクにSU(Nc) 行列が載っている。QCD の場合には 3 × 3 行列を各辺に載せる。

60/108

さらに SU(Nc) でも以下のゲージ変換で不変な作用をとることにする。
SU (N )SE c [U ] =β XXXRe tr [1Nc×Nc − Pµν (n)] ,2Nc n µ

(119)

ν6=µ

ただし、

Pµν (n) = Uµ(n)Uν (n + µ̂)Uµ†(n + ν̂)Uν†(n),Pµν (n) = tr Pµν (n) = tr [Uµ(n)Uν (n + µ̂)Uµ†(n + ν̂)Uν†(n)],

(120)
(121)

であり、SU(Nc) のプラケットである 27。そして Uµ(n) ∈ SU (Nc) で、Nc × Nc の
特殊ユニタリ行列だとする。また β = 2Nc/g 2 とした。これらの意味は後で明らかになる。この定式化は、1974 年に Wilson によってなされたもので、これが通常、Wilson プラケット作用 (Wilson plaquette action) と呼ばれるものである [4]。
格子上の SU(Nc) ゲージ理論は、Z
SU (Nc )[U ]−SE,
Z = DU e
(122)
YY
DU =
dUµ(n).
(123)µ

n61/108図 9: SU(Nc) ゲージ理論のプラケット。
また dUµ(n) は SU(Nc) に対するハール測度 (群変換で不変な積分) である。
この作用は、以下の座標に依存する変換で不変である。

Uµ(n) → G(n)Uµ(n)G−1(n + µ̂)(124)

ただし G(n) ∈ SU (Nc) である。これを格子上のゲージ変換という。

62/108

6.1

SU(Nc) plaquette action から連続理論を出す

導出の詳細は講義ノートを参照のこと。以下では概略を述べる。ゲージリン
ク Uµ(n) を以下のように同定する。
"#
X
Uµ(n) = exp [igaAµ(n)] = exp iga
Acµ(n)T c , Acµ(n) ∈ R(125)c

ここで a は格子間隔で、T c (c = 1, · · · , Nc2 − 1) はトレースレスの Nc × Nc 行
列であり、規格直交条件

1 00
tr [T cT c ] = δ cc .
2

(126)

をみたす。これを使って U(1) と同様に a での展開を行うと、以下を得る。

63/108

ゲージ作用は a が小さいときに
h
i
β XXX
2
3
SU (Nc )SE[U ] =
Re tr 1 − ea igFµν +O(a ) ,(127)
2Nc n µ
ν6=µ



β XXX
1
=
Re tr 1 − 1 + a2igFµν + (a2igFµν )2 + O(a6) ,2Nc n µ
2
ν6=µ

(128)


1
β XXX
=
Re tr a4 g 2Fµν Fµν + O(a6) ,(129)
2Nc n µ
2
ν6=µ


XXX
1
=
Re tr a4 Fµν Fµν + O(a6) ,
(130)
2
n
µ ν6=µZ
X X X 1
1
= a4
tr Fµν Fµν + O(a2) → d4xE tr Fµν Fµν = S YM.
2
2
n
µ
ν6=µ

(131)
となる。ただし tr Fµν = 0(トレースレス) と β = 2Nc/g 2 を用いた。
さて、格子ゲージ理論でのゲージ変換は、G(n) ∈ SU (Nc) の任意の微分可64/108能な関数でUµ(n) → G(n)Uµ(n)G−1(n + µ̂)(132)となる。a が小さい極限で、連続理論でのゲージ変換が出るかを見るためにUµ(n) = eiagAµ(n) を a で展開し、連続時空の座標に置き換えると、

Aµ(x) → G(x)Aµ(x)G−1(x) − G(x)∂µG−1(x)(133)

が分かる。これが連続時空での非可換ゲージ理論のゲージ変換である。

6.2

連続時空での Yang-Mills 理論

連続時空での SU(Nc) ゲージ理論の作用は、
Z
14SE = d xE tr Fµν Fµν .
2

(134)

である。これは、Yang-Mills 作用 (Yang-Mills action) とも呼ばれる。U(1)のときの論理を逆転させて実時間、つまりミンコフスキー時空の理論を考え
ると、
Z
1
(135)
SYM = d4x tr F µν Fµν .
265/108

となる。ただしFµν (x) = ∂µAν (x) − ∂ν Aµ(x) + ig[Aµ(x), Aν (x)].
である。
経路積分で量子化すると、
?

(136)

Z

Z=

DAeiSYM ,(137)となりそうだが、そうはならない。なぜならゲージ不変性が作用にゼロモードを生じさせ、経路積分に除去不能な発散を生じさせる。この発散はゲージ場の積分体積が無限であることが原因である。そのため連続時空のゲージ場の理論の量子化はゲージ固定が必須である。
一方で格子上のゲージ理論ではこの様な発散を生じさせない。なぜならゲージ場の積分領域が有限であるため、体積が有限となるからである。

6.3

連続群上の積分 (SU(3))

経路積分で必要となる SU(3) 上の積分については、講義ノートを参照のこと。

66/108

6.4

格子 QCD

格子 QCD と言った場合には、上記のゲージ場の作用の他に、クォークが結合した理論になっている。クォークが作用に入っている場合には、クォークの真空偏極効果 (vacuum poralization) も取り込むことが出来る。ただ、格子上のクォークについては少々込み入っているので、付録で解説した。以下でも、この講義ではクォークの偏極効果は無視することにする。

6.5

量子論的な連続極限

今まで、格子作用で a → 0 で連続時空の作用に戻ることを見たが、これには量子効果が全く入っていないため古典的な連続極限と呼ばれる。
ここでは、量子論的な連続極限というものを考察する。ある物理量 O を格子間隔 a、つまりカットオフ 1/a をもつ格子ゲージ理論で計算したとしよう。
ただし a は明示的に作用には現れず、パラメータは β ∝ 1/g 2 だけである。この時の物理量の期待値を
Z
1
hOi =
DU O[U ]e−S[U ] ≡ M (g)(138)
Z

67/108のように書こう。ただし、

β XXX
S[U ] =
Re tr [1Nc×Nc − Pµν (n)]2Nc n µ

(139)

ν6=µ

である。作用は a をパラメータとして明示的に含んでいない。
連続極限を考えたいので、a → 0 を取りたい。a が明示的に含まれていな
いが、くりこみ群の議論から a を変化させるのと β ∝ g 2 を変化させるのは同等である。つまり β を変化させると a の応答を調べることができる。
くりこみ群とは、物理量の a の依存性が作用の中の g の変化で吸収できるということであった。物理量は a を明示的に含まれないので、この事実は、


∂
∂g ∂
a +a
M (g) = 0
(140)
∂a
∂a ∂g
という形でまとめられる。これをキャラン・シマンチック方程式 ( CallanSymanzik equation ) という。結合定数のカットオフ依存性は β 関数と呼ば
れており、

∂g
β(g) = −a
∂a

(141)

定義される。β = 2Nc/g 2 とは同じ記号であるが異なるものなので注意。

68/108

するとキャラン・シマンチック方程式はa∂M (g)∂M (g)− β(g)
=0
∂a
∂g

(142)

と書ける。これは a と b に対しての偏微分方程式として書かれたくりこみ群方程式である。
一般的に、ある a = a(t) と g = g(t) に依存する 2 変数関数 f (a, g) があった
とき、t による微分は、

da ∂f (a, g) dg ∂f (a, g) df
+
=
dt ∂a
dt ∂g
dt

(143)

とかける。f (a, g) = M (g) と同定し、キャラン・シマンチック方程式と比較す
ると、

da
= a,
dt

dg
= −β(g),
dt

dM
=0
dt

(144)

と分かる。物理量の計算するスケールを µ とし、t = − ln µ と置くと 28、 dtd =
dµ d
d
dM
=
−µ
から
µ
dt dµ
dµ
dµ = 0 であり、さらに

µ

da
dg
= −a, µ = β(g)
dµ
dµ

(145)
69/108である。この連立微分方程式の解曲線 a(µ) と g(µ) の上では、

µ

dM
=0
dµ

(146)

である。すなわち、物理量は計算するスケール µ に依存しない。µ は人間が手で導入したスケールであるため物理量はそれには依存しない。29g(µ) のエネルギースケール µ 依存性を確かめてみよう。

dg= β(g)
dµ(147)

β(g) = −b0g 3 + O(g 5)

(148)

µ
SU(Nc) ゲージ理論の β 関数は、であることがわかっている (計算はけっこう大変である)。b0 > 0 は数係数 30である。つまり、g 3 まででdgµ = −b0g 3(149)dµとなる。両辺を µ で積分すると 31、
Z
Z
1
1 dg
dµ
=
−
dµ
3
b0g dµµ(150)70/108つまり−1= − log µ + C
22b0g (µ)(151)

である。この µ より大きい別の点 (エネルギースケール)µ = ΛUV での値−1−1≡= − log ΛUV + C
2
2
2b0g0
2b0g (ΛUV )(152)

を引くと、定数 C が消去できて g 2(µ) について解くと−1−1−= log ΛUV − log µ222b0g (µ) 2b0g0

(153)

g02
g (µ) =
1 + 2g02b0 log Λµ

(154)

つまり
2

UV

を得る。これは物理量を一定に保つような、結合定数の変化を表している。まず、g02  1、という状況を考えよう。そして ΛUV > µ  0 であれば、摂動論が使える。これを漸近自由性という。特に ΛUV が無限であれば、µ → ∞ がとれて、自由場の理論になる。

71/108

そして逆に着目しているエネルギースケール µ を下げていくと、以下のようになる。仮定から µ/ΛUV < 1 なので log(µ/ΛUV ) < 0 である。つまり、着目しているエネルギースケール µ が小さければ小さいほど、そのエネルギース
ケールでの g(µ) は大きくなる。最終的に、∗µ
1 = −2g02b0 log
ΛUV

(155)

をみたす µ∗ で g 2(µ) は発散してしまう。これを見てみると、− 12µ∗ = ΛUV e 2g0 b0 > 0(156)という有限のエネルギースケールであることが分かる。これは理論の欠点ではない。実は QCD の様な漸近自由な理論の場合には、0 < µ∗ < ΛUV のような自発的なエネルギースケール生成が起こる 32。これを次元転移この µ∗ は ΛQCD
(ラムダ QCD) と伝統的に呼ばれている量に対応する 33 34。これはカットオフ
ΛUV とは異なることに注意。改めて定義を書くと− 12

ΛQCD = ΛUV e 2g0 b0(157)である。左辺を QCD の物理的なスケールを与えるものとし、実験と整合するように決めることにする。(本当は大きいくりこみファクターが付くがここで72/108

は無視すると)、ΛQCD ≈ 200 MeV とされる。そして格子 QCD の格子間隔 a [fm]を a = 1/ΛUV と同定する。つまり− 12

ΛQCD = a−1e 2g0 b0(158)をみると ΛQCD を一定に保ちつつ a → 0 を取るには、カットオフスケールでの結合定数 g02 が 0 になるしか無い。
− 12

2g0 b0ΛQCD = |{z}a−1 e| {z| {z } →∞ →0 }

(159)

固定

漸近自由な理論の場合には、連続極限を取ることが出来る。
連続時空の非可換ゲージ理論の作用を思い出してみると、Z
1
S YM = d4xE tr Fµν Fµν
2

(160)

はスケール不変性を持つ。スケールを変える対称性があるということである。
一方で経路積分等で量子化をし期待値を求めてみると、期待値ではスケール不変性が壊れていることがわかる。作用にある対称性が量子化で破れる現象
をアノマリーと呼ぶが、これはスケールアノマリーと呼ばれる現象であり、量子論特有の現象である 35。

73/108

6.6

実際シミュレーションでの連続極限のとり方

詳細は、講義ノートを参照のこと。いくつかのカットオフで計算し、外挿することになる。

6.7

格子 QCD はトイモデルなのか理論なのか

ここでは、格子 QCD はトイモデルなのか理論なのかを議論したい。解答からいうと理論である。
イジング模型は現実の強磁性体を単純化し、相構造の研究などに用いられているが、現実の強磁性体は量子論的であり、古典スピンでの描像は正しくない。
一方で格子 QCD を考える。まず連続時空の QCD はそのままでは定義になっていない。そして格子化した理論の連続極限をもって定義されていると考える。そのため、格子 QCD は現実をモデル化・トイモデル化したものではな
く、むしろ理論を定義していると言える。

74/108

7

第一部まとめ

ここまでで以下の事を見てきた。

1. 格子上に場の理論を定義すると量子化=(有限の) 多重積分で十分
2. β を変えるとカットオフ 1/a を変えるのと同じ
3. 格子上にゲージ場を定義できる
この後は、以下に格子上の場の理論の経路積分を実行するかを議論していく。

75/108

Part II

格子 QCD の数値計算

76/108

8

なぜモンテカルロ積分か

8.1

高次元積分における次元の呪い

今まで、格子上の場の理論の経路積分は、ただの多重積分であることをみた。
数学の定式化上、それはありがたいが実際に計算できるかという問題は別である。ここでは、数値積分高次元積分における次元の呪いを簡単な例を通して見ていく。特に台形則 (trapezoidal method) をつかって高次元積分を精度良く行うと、天文学的な時間がかかることを見る。 台形則の誤差評価の推定
ついては、講義ノートを参照のこと。台形則の誤差は、離散化間隔を h とした
時には O(h2) になる。
多変数関数の積分を考える。特に今は d の変数があるとする。1 方向あた
り n 個に切ったとする。n = 1/h である。 ただし h は、台形則の刻み幅である。 計算する点の総数 N すると、台形則の誤差が O(h2) というところから、

N = nd = 1/hd = 1/((etot)1/2)d = 1/(etot)d/2(161)

N = (計算の数) = (ed,tot)−d/2 = (数値誤差)−d/2

(162)

これは、

77/108

を意味する。比例係数を全て無視して出た結果であるので精密に計算したものではないがこれを用いて、場の理論の経路積分について誤差を考える。
たとえば格子 QCD の場合、格子サイズが一辺 10 として 104 の点があり、その点に対して 4 つのリンクが付いている。そして 1 リンクあたり、3 × 3 の複素行列 (実数としては自由度は 2) が対応付けられている。つまり実変数で数えた
積分変数の数は

d = 104 × 9 × 2 ≈ 2 × 105(163)となる。また誤差を 1% = 0.01 とすると、必要な計算の数は、−2 −105(計算の数) ∝ (10 )= 10105 ×2

≈ 10

105

(164)

計算時間についても考えてみる。1 秒間に浮動小数の計算が K 回可能なことを K ﬂops と書く。たとえばパソコンは K = 2.6 Tﬂops = 2.6 × 1012 ﬂops であり、スーパーコンピュータ富岳は K = 537 pﬂops = 537 × 1015 ﬂops である。この場合、スパコンとパソコンでは 3 桁スピードが異なる。たとえば K = 1015
ﬂops としておこう。計算時間は、例えば5(計算の数)
1010
5T =[s] = 15 [s] ≈ 1010 [s]
10
計算量/s

(165)
78/108

となる。宇宙の年齢はおおよそ 1.0 × 1017 [s] であることを思い出すと、現実的ではないことがわかる。一般に多次元積分は台形則だけでなく、シンプソン則を含めたニュートンコーツ型数値積分では同じような感じになる。

8.2

確率の用語

確率の用語については、講義ノートを参照のこと。

8.3

モンテカルロ法

そこで乱数を使った積分法であるモンテカルロ法 (Monte-Carlo method) が用いられる。こちらは誤差が次元に依存しない。具体的に
Z
dxp(x)f (x) = hf (x)i
I=
(166)
Ω

という形の積分であったとする (定積分であるので、もちろん結果は関数でな
く実数になる)。ただし Ω は積分領域であるが以下では明示的には書かないこ

79/108ととする。このとき p(x) を x が出現する確率として 36 期待値を
Nsmp
1 X
hf (x)i ≈f (xt)
Nsmp t=1と計算するものである。ここで Nsmp は独立なサンプルの数である。
これは期待値 37 として、
+
*
Nsmp
Nsmp
1 X
1 X
f (xt) =hf (xt)i = hf (x)i
Nsmp t=1
Nsmp t=1
を与える。
この分散も

i
1 h 2
2
f (x) − hf (x)i
Nsmp

(167)

(168)

(169)

p
とわかる。つまり Nsmp → ∞ ではモンテカルロ法の誤差は 1/ Nsmp で減少する。導出を見る限り、誤差は次元には依存しない。
与えられた確率分布が低次元の確率分布の場合は、一様分布を使う事で直接的にサンプルを作成することができる。このような手法は、逆関数法や棄却法と呼ばれている。一方、単純でない確率分布の場合によく用いられるのが、下記のマルコフ連鎖モンテカルロ法である。
80/1089マルコフ連鎖モンテカルロ法

マルコフ連鎖モンテカルロ法 (Markov Chain Monte-Carlo method) は、
MCMCとも呼ばれる手法であり、特定の確率分布での期待値をサンプリングを用いて求める手法である。
ここでは、イジング模型のような状態が離散的である場合について具体的に議論する。s(k) をあるスピン配位とする。1 次元だとスピン配位は、

s(1) = {↑, ↓, ↑, · · · },s(2) = {↓, ↓, ↑, · · · },s(3) = {↑, ↓, ↓, · · · }の様なものである。そしてそれに対して、マルコフ過程について説明する。
ある Nsmp 個のスピン配位 s(1), s(2), s(3), · · · , s(Nsmp) を考える。すべての配位が同時に実現する場合の同時確率は、

p(s(1), s(2), · · · , s(Nsmp−1), s(Nsmp))(170)と書くことができる。条件付き確率の定義から s(1), s(2), · · · , s(Nsmp−1) という列を得ているとき、ある特定の配位 s(Nsmp) を得る条件付き確率は、条件付き確81/108率の定義から

p(s(1), s(2), · · · , s(Nsmp−1), s(Nsmp))= p(s(Nsmp)|s(1), s(2), · · · , s(Nsmp−1))p(s(1), s(2), · · · , s(Nsmp−1))(171)である。そしてマルコフ性とは、

p(s(Nsmp)|s(1), s(2), · · · , s(Nsmp−1)) = p(s(Nsmp)|s(Nsmp−1))(172)のように 1 つ前の配位のみに遷移確率が依存することをいう。以下ではマル
コフ性を持つ確率的な遷移確率 p(· · · | · · · ) を設計し、収束先として物理的なボ
ルツマン重みになるようにする。
遷移確率 (という名の条件付き確率) は配位 s と s0 に対し、p(s0|s) と書くことにする。そして遷移確率 p(s0|s) は詳細釣り合い条件 (detailed balance)p(s0|s)pβ (s) = p(s|s0)pβ (s0)

(DB)

(173)

を満たすとする。ここで pβ (s) はパラメータ β に依存する s の確率分布である。
また任意の s0 についてX
(174)
p(s|s0) = 1
s

82/108を満たすと仮定する (つまり何かの配位には遷移する)。このとき、pβ (s0) の遷移を考えると=1}|{z
X p(s |s)pβ (s)
X

0
0

p(s|s ) pβ (s0) =p(s|s) = pβ (s)
p
(s
)
=
p
(s)


β
β

0
pβ (s )000X zuse}|DB{
0
s

0

s

(175)

s

となる。ただし DB は詳細釣り合いのことである。詳細釣り合い条件を満たす
遷移は pβ (s) へ収束する 38。
ある配位 s が実現する確率を
1 −βH[s]pβ (s) =e(176)
Zβととると、収束先が統計力学のカノニカル分布になる。以下でもこれを仮定する。
メトロポリス・ヘイスティングス法 (Metropolis-Hastings) は、マルコフ
連鎖モンテカルロ法の中でも汎用的に使えて便利である 39。メトロポリス・ヘ
イスティングス法とは、以下のように受容確率 (Acceptance rate) を決めるものである。
00
T (s|s )pβ (s )00pMH,acc(s |s) = min 1,
(177)
T
(s
|s)
T (s0|s)pβ (s)83/108ただし T (s0|s) は s が与えられたときに s0 を得る確率であり、T (s0|s) 6= T (s|s0)でも良い。
正の実数 c に対して min(1, c) = c min(1, 1/c) を満たすことを利用するとこのアップデートは詳細釣り合いの条件を満たすことを示せる。計算は講義ノートを参照のこと。
さらに T (s0|s) = T (s|s0) となるときメトロポリス法 (Metropolis method)に還元される。つまりメトロポリス法では、提案に関する条件付き確率は反転可能である必要がある。このときの受容確率は
0pβ (s )
pMet,acc(s0|s) = min 1,
T (s0|s)(178)
pβ (s)とする。pβ (s) がボルツマン重みで記述される場合には

1 −βH[s0 ]Zβ e0 ]−H[s])00−β(H[spMet,acc(s |s) = min 1, 1 −βH[s]  T (s |s) = min 1, e
T (s0|s)
Z e
β

(179)
となる。重要な点として、分配関数の計算が必要ない事がある。分配関数はボルツマン分布を全ての配位について足し上げる必要があるが、この様な方法では分配関数は必要ない。

84/108

イジング模型の場合には、以下のように適応すれば良い。

1. s をある配位、s0 を 1 サイトのスピンを反転した配位とする。
2. エネルギー差を dH = H[s0] − H[s] と計算
3. dH < 0 なら s0 を s と思い直して 1 へ戻る
4. r ∈ [0, 1] の一様乱数を発生させる。r < e−βdH なら s0 を s と思い直して 1へ戻る。そうでなければ s を次の配位として 1 へ戻る。
これがイジング模型に対するメトロポリス法である。
メトロポリス法、およびメトロポリスヘイスティングス法は多くのアルゴ
リズムの原型となっている。例えば、機械学習を応用したフローベースサン
プリングアルゴリズムでは、メトロポリスヘイスティングスが使われ、次に紹介する HMC もメトロポリスをベースにしたアルゴリズムである。

85/10810HMC

厳密アルゴリズムの一種である、HMC (Hybrid Monte-Carlo もしくは近年だと Hamiltonian Monte-Carlo とも呼ばれる) を説明する [5]。ゲージ場などの連続自由度を持つ理論に使用可能であり、またフェルミオンが入っていても使うことができるアルゴリズムでありデファクトスタンダードである。
ここでは、時間の都合などもあり、QCD の代わりにスカラー場むけの HMC について説明する。簡単化はされているが本質は同じである。HMC にはいくつか見方があるが、基本的にはメトロポリス法であるといえる。

10.1

格子上のスカラー場むけの HMC

ここではゲージ場の代わりに格子上のスカラー場むけの HMC について説明
する。
作用は、

2
X 1
m̂ 2
λ
S[ϕ] =− ϕ [∂ˆ2ϕ]lat(n) +ϕ (n) + ϕ4(n) ,
(180)
2
2
4!
n

86/108である。ただし、n = (nx, ny , nz , nτ ) は 4 次元の格子点をあらわし、[∂ 2ϕ]lat(n) =4 Xϕ(n + µ̂) + ϕ(n − µ̂) − 2ϕ(n)


(181)

µ=1

は離散化した 4 元ラプラシアンである。また µ̂ は µ 方向の単位ベクトルである。
経路積分をもちいた期待値の定義は、
Z
.Z
(182)
hOi = Dϕ O[ϕ]e−S[ϕ]Dϕe−S[ϕ]
であり、

Dϕ =

Y

dϕ(n)

(183)

n

なので、これはただの (ものすごく次元の高いが有限次元の) 多重積分である。
経路積分に以下の補助場 π(n) を導入する (ただのガウス積分、つまり定数)。
Z
1X 2
Dπ exp[−π (n)] = const.
(184)
2 n

87/108

すると期待値の計算式は、
Z
Z
.
P
P
− 12 n π 2 (n)−S[ϕ]− 12 n π 2 (n)−S[ϕ]hOi = DπDϕ O[ϕ]e
,
DπDϕe

(185)

となる。これをみると、古典統計力学の形式そのものになっている。そこで補助場と元の作用を足して形式的にハミルトニアンと呼んでしまうことにする。
Z.Z
hOi = DπDϕ O[ϕ]e−HHMC[π,ϕ]DπDϕe−HHMC[π,ϕ]
(186)
ただし、

1X 2
π (n) + S[ϕ]HHMC[π, ϕ] =
2 n

(187)

これは、スカラー場の配位と共役運動量 (のように見えるので以下ではこう呼ぶが、別に共役運動量ではない) 補助場の配位を与えると実数値が決まる関数である。この仮想的なハミルトニアンを HMC ハミルトニアンとよぶ。
ここからいくつかの手法を作れるが、ここでは天下り的に HMC を導入す
ることにする。
HMC は以下の手順で行うアルゴリズムである。

1. 適当なスカラー場の配位 ϕ を用意する。
88/108

2. 共役運動量 π をガウス分布からサンプルする。
3. (ϕ, π) の組を HHMC[π, ϕ] から定義されるハミルトン方程式で数値的に仮想的な時間に対する時間発展させ、(ϕ0, π 0) を得る。
4. HHMC[π, ϕ] と HHMC[π 0, ϕ0] に対してメトロポリステストを行う。これにより数値的な時間発展の誤差が補正される 40。これまでの操作を繰り返す。
すると、配位の列が得られるが、最初のいくつかは、ターゲットの確率分布からのサンプリングとは思えないので捨てる。そしてこれを並べて ϕ(1), ϕ(2), · · · , ϕ(Ncnf )を得ることができ、期待値は、


Ncnf
1 X
1
(188)
hOi =
O[ϕ(c)] + O √Ncnf c=1
Ncnfと計算される。ただし O はオーダーの記号である。
HMC のステップ 3 は分子動力学法 (Molecular dynamics、 MD) と呼ばれるが、その部分について説明しよう。仮想的な時間を τ (虚時間と同じ記号であるが全くの別物であることに注意) まずハミルトン方程式は、

dπ∂HHMC dϕ ∂HHMC
=−
,
=
dτ
∂ϕ(n) dτ
∂π(n)

(189)
89/108である。ϕ(n) は仮想時間 τ を含んだ ϕ(n, τ ) となり、π(n) は仮想時間 τ を含んだ π(n, τ ) となる。4 次元の場の理論の計算を行うために、仮想時間を導入したので空間次元 4 次元の古典力学になっている。また π(n) がランダムに分布していることから、運動方程式とランダム力という、ランジュバン方程式的な視点もある。
ハミルトン方程式の右辺を具体的に計算すると、運動量のほうは、∂HHMC= π(n)
∂π(n)

(190)

であり、もう一方は、

−

∂HHMC
∂S
=−
,
(191)
∂ϕ(n)
∂ϕ(n)
4 

X
λ
=
ϕ(n + µ̂) + ϕ(n − µ̂) − 2ϕ(n) − m̂2ϕ(n) − ϕ3(n), (192)3!
µ=1≡ F [ϕ](193)となる。こちらは作用をポテンシャルと見なしたとき、ニュートン力学でのポテンシャル力に対応するため、フォースと呼ばれている 41。

90/108

結局、(仮想時間の) 時間発展は、

dπ(n, τ )dϕ(n, τ )= F [ϕ],= π(n, τ )
(194)
dτ
dτ
という連立微分方程式を数値的に解くことになる。
時間発展は τ = 0 から τ = 1 で積分すればよいが、時間反転に対して対称でないとメトロポリス法は使えないのだった。つまり、運動方程式を数値的に解くにしても時間反転対称な積分手法を用いる必要がある。また、単に数値
積分だとエネルギーが保存することが保証できないので、エネルギーがなるべく保存する計算手法を用いることが重要である。なぜならば、HMC では、運動方程式を数値的に解いた後のエネルギー差によって受容確率が決まってしまうからである。そこでここでは、エネルギーが上手く良い精度で保存し、時間反転対称な積分手法である(リープフロッグ法についての詳細は講義ノート参照のこと。)
HMC のアルゴリズムを一部リープフロッグ法について書き加えて再掲す
ると、HMC は以下の手順で行うアルゴリズムである。
1. 適当なスカラー場の配位 ϕ を用意する。
2. 共役運動量 π をガウス分布からサンプルする。
3. (ϕ, π) の組を HHMC[π, ϕ] からリープフロッグ法で (ϕ0, π 0) を得る。
91/108

4. HHMC[π, ϕ] と HHMC[π 0, ϕ0] に対してメトロポリステストを行う。これにより数値的な時間発展の誤差が補正される。これまでの操作を繰り返す。
δτ > 0 をどんどん 0 に近づけると、H が保存する振る舞いをみせ、また 0 への近づき方が 2 次であることも重要である。
δτ が小さいとメトロポリステストの受容確率が上昇していく。ただし小さすぎる δτ は後述の自己相関の問題もあり、現実的には、約 7 割から約 8 割程度で行われる。
ゲージ場の場合には、
1. 適当な格子ゲージ場の配位 U を用意する。
2. 共役運動量 π をガウス分布からサンプルする 42。
3. (U, π) の組を HHMC[π, U ] からリープフロッグ法で (U 0, π 0) を得る。
4. HHMC[π, U ] と HHMC[π 0, U 0] に対してメトロポリステストを行う。これにより数値的な時間発展の誤差が補正される。これまでの操作を繰り返す。
となる。
この手法は、フェルミオンを含む状況でも使うことが出来る。というより、フェルミオンがない場合には熱浴法と呼ばれるより効率の良いアルゴリズム

92/108

がある。逆に、フェルミオンがある場合には、基本的には HMC しか厳密アル
ゴリズムはない。そのため現在の格子 QCD 計算のほぼ全ては、HMC(もしくはそのちょっとした拡張) で行われている。
クォークが結合している場合には、計算時間の 90% がクォークの計算に費やされる 43。そして、計算時間はクォークの質量が軽くなればなるほど大変になる事が知られており、様々な改良法などが考案され、使われている。

93/10811

自己相関時間と臨界減速

ここでは、マルコフ連鎖モンテカルロ法の抱える一般的な問題である自己相関時間の問題を取り上げる。
モンテカルロ法において、一般的に期待値は前述の通り、


Ncnf
X
1
1
O[ϕ(c)] + O √
(195)
hOi =
Ncnf c=1
Ncnfと評価される。右辺第 2 項は統計誤差と呼ばれる。
この評価は配位が独立だと思ったときのもので、もう少し精密には 44、
!
Ncnf
1 X
1
hOi =
(196)
O[ϕ(c)] + O p
Ncnf c=1
Nindepとすべきである。ただし、

Ncnf
Nindep =
2τac

(197)

である。τac は自己相関時間と呼ばれており、配位間の相関を定量化する数であり、あとで定義を紹介する。重要な点としてこれはアルゴリズムに依存する量であることである。アルゴリズムをかえると、自己相関時間は変わる。

94/108

自己相関時間を定義するために、まず自己相関関数を定義しよう。自己相関時間を τ と書き、Oc = O[ϕ(c)] という表記をつかう。まずNcnf −τX1
Γ(τ ) =
(Oc − O)(Oc+τ − O)
Ncnf − τ c=1という関数を定義し、そしてこれを規格化した
1
ρ(τ ) =
Γ(τ )
Γ(0)

(198)

(199)

を自己相関時間関数という。ρ(τ ) は典型的に τ  1 では、ρ(τ ) ≈ e−τ /τac のように指数関数的に減衰する。これをフィットしても良いが、よく使われるのは積分された自己相関時間で、TX
1τint = + lim
ρ(τ )
T
→∞
2
τ =1

(200)

と定義される。
関係をみるために、ρ(τ ) = e−τ /τac としてみると、
TX
1
1 e1/τac + 1−τ /τacτint = + lim
e
= 1/τ
.
ac
T
→∞
2
2e
−1
τ =1

(201)
95/108これを図示したのが図 10 であり、τ > 1 だと 2 つはほぼ等しい事がわかる 45。

図 10: 自己相関時間と積分された自己相関時間の比較。

2τint は、独立な配位を与えるモンテカルロ時間をあたえ、配位が完全に独立であれば τint = 0.5 となる。
もし、τint  0.5 であれば、Nindep は非常に小さくなり、おなじ Ncnf でもτac = 0.5 と比べると、hOi の計算での統計誤差が増大する。例えば、1 つの配位を作る際に τint = 0.5 と τint = 50.0 の 2 つのケースで例えば同じ時間 (マシンタイム) がかかったとする。そして Ncnf を同数用意できたとしよう。2 つは100 倍ちがうため、Nindep は 100 倍違うことになる。すると統計誤差は 10 倍異96/108

なることになる。例えば前者だと 1 年で統計誤差が 1%の精度の計算が出来たとしても、後者では、10%程度になる。そして、後者の改善には Ncnf が 100 倍必要となる (統計誤差を 10 倍良くするには、100 倍の努力が必要)。すると、単純には 100 年かかることになる 46。
自己相関が長くなる状況というのは、どういう状況だろうか。マルコフ連
鎖モンテカルロ法を統計系の場合に用いる場合、相転移点に近いパラメータで計算を行うと自己相関が長くなることが知られている。これを臨界減速という。
格子 QCD では (くりこみ群の解析から)、統計系として相転移点がちょうど連続極限 a → 0 に対応していることが示される。一方で有限の a から来る離散化誤差は a が小さい方が当然小さくなるのでマルコフ連鎖モンテカルロ法の効率と離散化誤差にはトレードオフがある。
格子 QCD でも連続極限という外挿を行うとはいえ、離散化誤差をなるべ
く取り除きたいため、自己相関が短いアルゴリズムは非常に望まれている。

97/108

12

まとめ

12.1

格子 QCD で出来ていること

格子 QCD は、K. Wilson による 1974 年の提唱 [4]、および 1980 年の M. Creutz
による SU(2) の初シミュレーション [6]、1987 年の Duane らによる HMC の発明[5] と様々発展してきた。
特筆すべき結果について列挙しておく。以下は、スーパーコンピューター
上で HMC(およびその拡張) を実行し、得られた結果である。

98/108

ハドロン質量 (Hadron mass) [7]
ハドロン質量 (図 11)。ハドロンとは、クォークとグルーオンで出来た結合状態のことで、陽子や中性子、パイ中間子などを指す。

図 11: ハドロン質量。

99/108QCD 状態方程式 (QCD equation of state) [8]クォークとグルーオンの量子統計力学を考えたときの、状態方程式 (図 12)。

図 12: 状態方程式。

100/108核力 (Nuclear force) [9]核子 (クォークの束縛状態) の間のポテンシャル (図 13)

図 13: 核子間のポテンシャル 。

101/108

強い力の結合定数 (strong coupling constant) [10]強い力の結合定数のランニング (図 14)

図 14: 強い力の結合定数のランニング。

102/108

フレーバー関連の量 (ﬂavor physics) [11] 他にもクォークとハドロンを結びつけ、標準模型の摂動計算と実験をつなぐ係数の計算には格子 QCD の計算は必須である。
この他にも特筆すべき結果は多数あるが、ここに載せきれないので割愛する。年に一度ある格子会議 (Lattice conference) の議事録 (proceedings) を見ると進展を見ることが出来る [12]。

103/108

12.2

格子 QCD でどうやって良いか分からない問題

もちろん、格子 QCD(とその数値計算) は万能な手法ではなく、欠点もある。
たとえば理論サイドでは、カイラルゲージ理論がある。弱い力はカイラル
ゲージ理論であるが、これを格子に載せることは成功していない。
また数値計算としては、符号問題がある。クォークの平均密度が 0 出ない
場合、もしくは実時間の場合にはモンテカルロ法が適用できない。こちらに関しては (トイモデルの) 量子計算の結果があるが、4 次元の QCD に適用するにはまだまだ壁がある印象である。
他にも多く問題はある (ので研究すべき課題がたくさんある)。

104/108

13

格子 QCD の実践

最後に Julia で実装された格子 QCD コードである LatticeQCD.jl の一番簡単な使い方を紹介する。これで本格的な格子 QCD の計算が可能になる。詳しい使い方は、https://github.com/akio-tomiya/LatticeQCD.jl を参照のこと。
なおオープンソースのソフトで、コントリビューターは常に募集しています! 使った研究報告も待っています。

13.1

LatticeQCD.jl の準備

Julia 言語の実行環境がインストール済であることを前提に、Julia 言語で実装された Lattice QCD のコードである LatticeQCD.jl を用いて計算を行ってみる。
Julia 言語の実行環境のインストールは、
1. Windows, Linux: https://qiita.com/ttabata/items/b05bb43d06239f968035
2. mac: https://www.geidai.ac.jp/~marui/julialang/misc/node1.htmlなどを参考のこと 47。
インストールは、

julia > import Pkg ; Pkg . add ( " LatticeQCD ")105/108

で完了する。(もし上手く行かない場合は、“ ] ” キーを押してパッケージモードにして、“update LatticeQCD” を実行すれば良い。)

13.2

LatticeQCD.jl での計算

julia > using LatticeQCD
設定ファイルを作成するために以下のコマンドを REPL に入力する。

julia > run_wizard ()すると、パラメータ作成ウィザードが起動する。ウィザードはシンプルモー
ドとエキスパートモードがある。エキスパートモードを使うとより詳細な設定ができるが、今はシンプルモードでとりあえずパラメータファイルを作ってみよう。

> simpleでエンターキーを連打する。するとパラメータファイルが作成される。
設定ファイルは、“my_parameters.toml” という名前で保存される。設定ファ
イルはもちろん人間が手で書き換えても良い。
以下は設定ファイル “my_parameters.toml” を使った HMC と測定の実行を行うコマンドで、およそ 3 分程で終わる。

106/108

julia > run_LQCD (" my_parameters . toml ")SU(3)、Wilson plaquette 作用、Wilson フェルミオンの HMC が走る。
プラケットの値、Polyakov loop、そしてパイ中間子の相関関数 (パイ中間子の質量の情報を含む)
Julia のインタラクティブモードは、“exit()” で抜けることが出来る 48 。
この他、Daniel Hacket 氏が紹介してくれる Flow based sampling algorithmを実装した GormalizingFlow.jl もある [13]。

107/10814

まとめ

この講義では以下を学んだ

1. 格子化すると場の理論も多重積分として理解できる・定義できる
2. 格子ゲージ理論は定義である
3. HMC を使うと場の量子論の期待値が計算できる
今回の講義では多くのことをカバーできなかった。この講義を踏み台に、発展的な教科書を読むとより理解が深まると信じている。
格子 QCD の教科書については、
https://zenn.dev/akio_tomiya/articles/
3cfcae48182408 を参照してください。

108/108

Part III付録

109/108A

格子上のクォーク

ここでは格子上のフェルミオンについて紹介する。格子上のフェルミオンは難しく、この講義時間だけではとても取り扱えないので、様子を簡単に見ていく。
フェルミオンはフェルミディラック統計に従うスピン 1/2 の粒子であり、{ψ(x, t), ψ †(x0, t)} = ψ(x, t)ψ †(x0, t) + ψ †(x0, t)ψ(x, t) = iδ(x − x0)という反交換関係で量子化される。
相対論的場の理論では、
Z/ − m)ψ
S = d4xψ(iD

(202)

(203)

という作用で書かれ、またD/ = γ µ(∂µ − igAµ)(204)

は共変微分で、フェルミオンの伝播とゲージ場 (グルーオン) とフェルミオン
(クォーク) の相互作用を表す。またゲージ対称性を保つためにも必要な構造である。

110/108

虚時間では、

ZS=

d4xψ(D/ + m)ψ

の様になり、経路積分は、

Z
Z[A] =(205)

DψDψe−S(206)となる。反交換するという性質と双線形である事から経路積分は A の関数として実行することができ、Z[A] = Det (D/ + m)(207)
Rとなる。ここで Det は汎関数行列式である。ガウス積分が dxe−a x = 1/a と逆数がでるのとは対称的な性質である。Det (D/ + m) の意味であるが、D/ +mはゲージ場の配位 (形) に依存した演算子であり、固有値をもつ。(汎関数) 行
列式は固有値を全て掛けたものであるので、今の Det (D/ + m) も同様である。
2 2

111/108

A.1

ダブリング問題

ここからはゲージ場がなく、フェルミオンだけの場合を考えていく。つまりZ
S = d4xψ(γµ∂µ + m)ψ
(208)を考える。フェルミオンの微分は ∂µψ(x) だったのでナイーブには、

ψ(na + aµ̂) − ψ(na − aµ̂)∂µψ(x) ⇒2a(209)と離散化すれば良さそうであるのでこれを少し考えてみよう。
簡単のために 1 次元の問題で考える。つまり

χ(n + 1) − χ(n − 1)naˆ∂ χ(n) =
2
として、

S=

X

χ(n)∂ˆnaχ(n),

n

=

X
n

χ(n)

χ(n + 1) − χ(n − 1)
,
2

(210)

(211)
(212)
112/108

を考察する。ただし χ(n) は 1 成分の複素グラスマン数である。
フーリエ変換Z
dp ip̂nχ(n) =e χ(p)Ω 2π
ただし Ω は後で考察する積分領域、を行って、
ip̂n ip̂
ip̂n −ip̂
X Z dq Z dp
e
χ(p)
−
e
e χ(p)
e
−iq̂n
S=
χ(q)e
,
2π
2π
2
Ω
Ω
n
Z
Z
ip̂
−ip̂
dp
e −e
dp
=
χ(p)
χ(p) =
χ(p)i sin(p̂)χ(p),
2
Ω 2π
Ω 2π
となる。比較のために書いておくと連続理論では、
Z ∞
dp
cnt
S =
χ(−p)ipχ(p),
2π
−∞

(213)

(214)
(215)

(216)

となる。つまり運動量が p から sin(p̂) = sin(pa) と周期関数になってしまう。さて、ここで積分領域 Ω について考えてみる。これは a を復活させて見てみるとΩ = [−π/a, π/a) となることがわかる。a → 0 の極限では −∞ から ∞ になるが、一方で格子上では有限区間になる。

113/108この端の点が問題を起こす。作用の χ(· · · )χ の (· · · ) の逆数がプロパゲー
ターに対応し、プロパゲーターの極が (質量殻上の物理的な) 粒子に対応しているのだった。p も sin(pa) も p = 0 で 0 になっているのでこれは、物理的な粒子に対応している。一方で sin(pa) は、p = ±π/a のどちらかでも 0 になる。つ
まり余計に粒子的な寄与が出てきている。
これは 4 次元では、

ψγµ∂µψ(x) ⇒ ψγµi sin(p̂µ)ψ(x)(217)となっていることに対応し、p̂µ = (0, 0, 0, 0) だけでなく、

p̂µ = (0, 0, 0, π), (0, 0, π, 0), (0, 0, π, π),(0, π, 0, 0), (0, π, 0, π), (0, π, π, 0), (0, π, π, π),(π, 0, 0, 0), (π, 0, 0, π), (π, 0, π, 0), (π, 0, π, π),(π, π, 0, 0), (π, π, 0, π), (π, π, π, 0), (π, π, π, π),

(218)
(219)
(220)
(221)

の 15 個、計 24 = 16 個の粒子的な寄与があることになる。この問題の事をダブ
リング問題といい、余計な自由度をダブラーという。
詳細は省くが、格子フェルミオン作用が1. エルミート性を持つ
114/108

2. 双線形形式
3. 局所的4. 格子上の並進対称性を持つ
5. 連続理論と同じカイラル対称性を持つを満たすときダブラーは避けられない事が知られている。これをニールセン
二宮の定理という。中でもカイラル対称性は重要な事項である。なぜなら QCDのダイナミクスはパイ中間子の軽さに依っている部分も多く、さらにパイ中間子が軽いのはクォークが良い近似でカイラル対称性を持っているからである。

A.2

さまざまな定式化。メリット・デメリット

特に一番標準的な Wilson fermion について説明する。まず 1 階微分を差分化しただけのディラック演算子は、
4
i
h
X
1
Naive
γµ δn+µ̂,n0 − δn−µ̂,n0 + m̂δnn0 ,
Mn,n
=
0
2
µ=1

(222)

Naive
である。そして Mn,n
0 はナイーブなフェルミオンと呼ばれることがある。

115/108

Dirac operator Chiral sym?
Cost
Discretization error
WilsonNo
BaselineO(a)Staggered
PartialCheap
O(a2)Domain-wall
PreciseexpensiveO(a2)Overlap
exact∗
super expensiveO(a2)表 1: ∗ exact とは、格子上のカイラル対称性という意味である。格子上で O(a)だけ連続極限と異なるカイラル対称性の定義を構成できさらに作用がその対称性に対して完全に不変にすることができる。この改変されたカイラル対称性の式は、Ginsparg-Wilson 関係式と呼ばれている。

ダブラーを取り除くため、higher dimensional operator として 2 階微分項を手で加たい。係数は、r であるがよく 1 に取られ、その項は、
4 h
i
X
r
2nd
δn+µ̂,n0 + δn−µ̂,n0 − 2δn,n0 ,Mn,n0 = −a
2 µ=1
4
i
r Xh
=−
δn+µ̂,n0 + δn−µ̂,n0 − 2δn,n0 ,
2 µ=1

(223)

(224)

116/108

である。2 行目では、a を r に吸収させた。
すると全体のディラック演算子は、
W
Naive
2nd
Mn,n
(225)
0 = Mn,n0 + Mn,n0 ,
4
4 h
i rX
i
X
1 h
=
γµ δn+µ̂,n0 − δn−µ̂,n0 −δn+µ̂,n0 + δn−µ̂,n0 − 2δn,n0 + m̂δnn0 ,
2
2
µ=1
µ=1

(226)
4
4 h
i
i rX
X
1 h
γµ δn+µ̂,n0 − δn−µ̂,n0 −δn+µ̂,n0 + δn−µ̂,n0 + (m̂ + 4r)δnn0 ,
=
2
2
µ=1
µ=1

(227)
=

4
X
1h

2
µ=1

γµδn+µ̂,n0 − γµδn−µ̂,n0

i

i
1 Xh
+
− rδn+µ̂,n0 − rδn−µ̂,n0 + (m̂ + 4r)δnn0 ,
2 µ=1
4

(228)
=−

4
X
1h

2
µ=1

i

(r − γµ)δn+µ̂,n0 + (r + γµ)δn−µ̂,n0 + (m̂ + 4r)δnn0 .

(229)となる。これをウィルソンフェルミオン (Wilson fermions) とよぶ。

117/108

このフェルミオンはカイラル対称性を持たない。なぜなら
2nd{γ5, Mn,n0 } 6= 0.

(230)となるからである。
作用は、

S

W

=

XX
n

W
0
ψ(n)Mn,n0 ψ(n ).

(231)

n0

と書ける。よく質量などをくくりだした形が使われる。すなわち、√
ψ = 2κΨ(232)とリスケールする。ただし 2κ = 1/(m̂ + 4r) とした。このとき、
XX
W
W
0
S =
2κΨ(n)Mn,n0 Ψ(n ),

(233)

0

=

n
n
X
X
n

Ψ(n)Wn,n0 Ψ(n0).

(234)

n0

118/108ただし、

Wn,n0 = −2κ

4
X
1h
µ=1

= δnn0 − κ2i(r − γµ)δn+µ̂,n0 + (r + γµ)δn−µ̂,n0 + 2κ(m̂ + 4r)δnn0 , (235)

4 h
X

i

(r − γµ)δn+µ̂,n0 + (r + γµ)δn−µ̂,n0 .

(236)

µ=1

である。この κ はホッピングパラメータ (hopping parameter) と呼ばれる。

A.3

経路積分とクエンチ近似

アップクォークとダウンクォークをまとめてライトクォークとよぶ。mℓ =(mup + mdown)/2 として、
ZP
−2 n ψ(DW +mℓ )ψ(n)= det(DW + mℓ)2
(237)
DψDψe
とできる。

119/108

するとゲージ場を含めた全体の経路積分は
Z
Z
P
−Sg
−2 n ψ(DW +mℓ )ψ(n)Z = DU e
DψDψe,
Z= DU e−Sg det(DW + mℓ)2

(238)
(239)

となる。すなわち、あるゲージ場 U の生成確率は、

1 −Sg
P [U ] = e det(DW + mℓ)2
Z

(240)

となる。これを HMC などのアルゴリズムに従って生成すればよい。

B

a の求め方ここでは格子間隔 a [fm] の物理的な大きさどうやって決めるかを述べる。これをスケールセッティングと言う。次元のある物理量、たとえば静止している距離 r [fm] だけ離れた 2 つのクォーク間のポテンシャル力 F (r) を考えてみる (これの次元は 2 である)。これは例えば F (r) ∝ 1/r2 という形である。これは加速器などの実験で決定することができる。例えばボトムクォークの束縛

120/108

状態の質量を同定し、非相対論的なシュレーディンガー方程式の固有値と比較することでポテンシャルの関数形を決めることが出来る。
次元のある物理量 F (r) と物理的な長さ r を使うと無次元な量を作ることが出来る。例えば r2F (r) である。これは r のみの関数であるが無次元である。
すると、r2F (r) r=r = 1.65 をみたす r0 [fm] という大きさが決めることが出来0
る。これは実験から、r0 ≈ 0.5 [fm] とわかっている。これをゾンマースケー
ル (Sommer scale) という。
一方で、クォークが起こす真空偏極を無視した格子 QCD を考える (つまりクエンチ QCD)。すると計算に入力するパラメータは β のみである。全ての期待値は、β の関数として書けることになる。ここではある β を 1 つ固定しよう。
このセットアップで格子 QCD でクォークポテンシャルを計算すると 49、無次元化した距離を r̂ として、

V̂ (r̂) = aV (r/a) = f (r̂, β)(241)と計算される。ここで f (r̂, β) は何らかのフィットした関数で β に依存する。
たとえば、

c1(β)
V̂ (r̂) =+ σ̂(β)r̂
r̂

(242)

と決まったとしよう。係数は β に依存するため、明示的に書いた。

121/108

これを r で微分すると力になり、F̂ (lat)(r̂) = −∂∂V̂ (r̂) = − f (r̂, β)
∂ r̂
∂ r̂

(243)

となる。具体例では、c1(β)(r̂) = 2 − σ̂(β)
r̂

F̂

(lat)

2

(lat)

(244)

となる。
そして r̂2 をかけると、(r̂) = −r̂

2 ∂f (r̂, β)(245)

r̂2F̂ (lat)(r̂) = c1(β) − r̂2σ̂(β)

(246)

r̂ F̂

∂ r̂

具体例では、となる。右辺は β を決めると値が決まる β のみの関数である。これが 1.65 になる r̂ を r̂0lat(β) と呼ぼう。r̂0lat(β) は (例えば)5.0 などの次元のないただの数である。いま r̂0lat(β) は β のみに依存するため β の関数として書いた。

122/108ここまで来ると、実験から決めた r0 ≈ 0.5 [fm] と比較すると、a [fm] を決定することができる。
! r0latr̂0 (β) = ≈a0.5 [fm]a(β) [fm](247)

最初の等式は、格子 QCD が現実の実験を説明する理論であることから成立する。すなわち、ある β での格子間隔 a [fm] は、

0.5 [fm]a(β) [fm] = latr̂0 (β)(248)と推定される。ここでは、格子間隔の同定という意味で ≈ でなく=で書いた。
r̂0lat(β) が、例えば 5.0 であった場合には a(β) [fm] = 0.1 [fm] とわかる。このよ
うにして a が β の関数として決定できる。
たとえば [14] によると、クエンチ QCD の場合は、表 2 であった。さらに彼らは、 5.7 ≤ β ≤ 6.92 でln (a/r0) = −1.6804 − 1.7331(β − 6) + 0.7849(β − 6)2 − 0.4428(β − 6)3 (249)という内挿式をえた。これと r0 ≈ 0.5 fm という値を使うと、a(β) が分かることになる。この表をみると、β = 6.0 の Wilson plaquette 作用での計算は、だい

123/108たい a ≈ 0.1 fm 、ℏc ≈ 197 fm MeV を使ってカットオフになおすと、1/a ≈ 2
GeV となる。パイ中間子の質量が 140 MeV 程度や ΛQCD ≈ 200 MeV だと思うと、大きいカットオフとも言える。

βr0/a
5.7 2.922(9)5.8 3.673(5)5.95 4.898(12)6.07 6.033(17)6.2 7.380(26)6.4 9.74(5)
表 2: [14] から引用。
実際には、クォークの偏極効果 (ループ効果) をも取り込んだ計算で a は求
められており、様々なセットアップでのスケールはわかっている。
実際問題としては、物理量は別にクォークポテンシャルである必要はない。
物理量の選定としては、計算コストや体積依存性、クォーク質量依存性等が問題となる。つまり計算コスト、体積依存性、クォーク質量依存性等が無い
物理量が好ましい。近年は、グラディエントフローにより平滑化したエネル
ギー密度がよく使われている。

124/108

C

統計誤差の解析

ここではジャックナイフ法を紹介する。一般論は教科書を参照してもらうことにして、ここでは具体例で見ていくことにする。
同じ体積、同じ β で測定した 6 個のデータがあるとする。

D = {O1, O2, O3, O4, O5, O6}(250)

1 つのサンプルは１つのゲージ配位で測った物理量で、O は例えばプラケットなどである。
この時、中心値 (平均値で計算する)
1X
O=
Oi
6 i=1
6

と標準誤差は、

r
δO =


1  2
2
O −O
6−1

(251)

(252)

と評価される。しかしこれは各データが iid であることを仮定している。また
誤差の伝播則で計算するため、煩雑である。また自己相関が大きい場合、統125/108

計誤差を過小評価してしまう。それらを解消する 1 つの手法がジャックナイ
フ法である。

C.1

Nb = 1 のジャックナイフ

以下のように 6 個のジャックナイフサンプルの元データを作成する。

D1 = {Ǒ1, O2, O3, O4, O5, O6},
D2 = {O1, Ǒ2, O3, O4, O5, O6},
D3 = {O1, O2, Ǒ3, O4, O5, O6},
D4 = {O1, O2, O3, Ǒ4, O5, O6},
D5 = {O1, O2, O3, O4, Ǒ5, O6},
D6 = {O1, O2, O3, O4, O5, Ǒ6},

(253)
(254)
(255)
(256)
(257)
(258)

ただし Ǒk は k 番目のデータを除くという意味である。そしてジャックナイフ
サンプルを作成する。
1 X
Jk =
O
(259)
6−1
O∈Dk

126/108つまり、k 番目を除いた平均になる。これらは、平均されていることから、ゆらぎの少ないデータセット{J1, J2, J3, J4, J5, J6}

(260)

をなす。
ある操作 f (J) によって物理量が別の量に変換されたとする。このときの平均値は、

1X
f (Jk )
f (J) =
6 j=1
6となり誤差は、rδf (J) =

(6 − 1) f 2(J) − f (J)

(261)

2


(262)

となる。ここで、f (·) を恒等変換に選ぶと通常の誤差評価と同じことが分かる。また恒等変換出ない場合にも自動的に誤差の伝播が行われていることが分かる。

127/108

C.2

Nb = 2 のジャックナイフ

以下のように 6/Nb = 3 個のジャックナイフサンプルの元データを作成する。

D1 = {Ǒ1, Ǒ2, O3, O4, O5, O6},
D2 = {O1, O2, Ǒ3, Ǒ4, O5, O6},
D3 = {O1, O2, O3, O4, Ǒ5, Ǒ6},

(263)
(264)
(265)

ただし Ǒk は先程とおなじく k 番目のデータを除くという意味である。そしてジャックナイフサンプルを作成する。
1 X
O
Jk =
(266)
6−2
O∈Dk

これらは、平均されていることから、ゆらぎの少ないデータセット{J1, J2, J3}

(267)

をなす。
ある操作 f (J) によって物理量が別の量に変換されたとする。このときの平128/108均値は、

1X
f (J) =f (Jk )
3 j=1
3となり誤差は、rδf (J) =

(3 − 1) f 2(J) − f (J)

(268)

2


(269)

となる。

C.3

一般の Nb のジャックナイフ

同じ体積、同じ β で測定した Ndat 個のデータがあるとする。

D = {O1, O2, · · · , ONdat }(270)

ただし、Ndat は、Nb の倍数であるとする。

129/108以下のように Ndat/Nb 個のジャックナイフサンプルの元データを作成する。
Nb 個
z
}|
{
D1 = {Ǒ1, Ǒ2, · · · , ǑNb , ONb+1, ONb+2, · · · O2Nb , O2Nb+1 · · · , ONdat },
Nb 個
z
}|
{
D2 = {O1, O2, · · · , ONb , ǑNb+1, ǑNb+2, · · · Ǒ2Nb , O2Nb+1 · · · , ONdat },
..
DNJK

(271)
(272)
(273)

ただし Ǒk は先程とおなじく k 番目のデータを除くという意味である。また
NJK = Ndat/Nb ∈ N である。そしてジャックナイフサンプルを作成する。

X
1
Jk =
O
Ndat − Nb

(274)

O∈Dk

これらは、平均されていることから、ゆらぎの少ないデータセット{J1, J2, J3, · · · , JNJK }

(275)

をなす。

130/108

ある操作 f (J) によって物理量が別の量に変換されたとする。このときの平
均値は、
NJK
1 X
f (Jk )
f (J) =NJK j=1となり誤差は、rδf (J) =(NJK − 1) f 2(J) − f (J)

(276)

2


(277)

となる。
自己相関時間を τac とする。そして Nb を 1 から順に大きくしていくことを考える。すると、Nb > 2τac となると、統計誤差は一定に落ち着く。このためジャックナイフ法を用いると自己相関を見積もることが出来る。また逆に
Nb > 2τac ならば自己相関を含めた誤差評価が可能である。このためジャックナイフ法は格子 QCD の計算でよく使われる。経験的に NJK ≳ 10 が用いられる。

131/108

Notes
ただし多体系では基底状態が簡単には求まらなくなる。定式化出来ることと、計算できることは異なるのだ。
左辺の x は 4 元ベクトル、右辺の x は 1 つの成分である、念の為。
3
それに加えて ϕ → −ϕ で不変になるという Z2 不変性も課している。
4
同時刻でない交換関係は、色々な情報をもつ。たとえば光円錐の外側の異なる時間の交換子は因果律から交換すべきである。その条件を課すとスピンに対して制限がつく。これをスピン統計定理という。
5
正確には時間順序を入れるべきだが、説明すると時間がかかるため省略している。詳しくは、相対論的な場の理論の教科書を参照のこと。
6
以下で述べるような摂動展開を行うと、高次項からくる発散をくりこめない。しかし摂動論の枠外でくりこめないかは分からない。少なくとも古典論では成立しているので何らかの有効模型であるはずではあるのだが。Wilson の意味でくりこみが出来ないということは、高エネルギーの寄与を低エネルギーの自由度に押し付けられないということであるが、どういう意味なのは不明である。
7
これらを非摂動効果という。
8
ただしヒッグスの真空期待値を入れた形で湯川結合も質量として書き換えた。
9
正確には自由場のときにはうまく行うことが出来る。
10
これに関連して、ゲージ対称性は自発的に破れないというエリツァーの定理 (Elitur’s theorem)、そしてカイラル・ゲージ対称性が量子化で壊れるというカイラルゲージアノマリーがある。
11
相対論的な場の理論の文脈では、ラグランジアン密度のことをラグランジアンと呼ぶ。空間座標と時間を統一的に扱うため、dt に関する積分だけを行うラグランジアンより dtdxdydz を全て積分するラグランジアン密度の方が頻出で、ラグランジアンは出てこないから間違えることはない。なお、大抵の場合ラグランジアン密度は、L の様な花文字で書かれる。一方でラグランジアンは L のように硬い文字で書かれる。
12
つまり、量子スピン系と同じような感じである。
13
正確に言うと格子理論で漸近自由でない理論を定式化しようとすると、連続極限に近づくためには、結合定数が無限に大きい結合定数が必要となってしまう。格子正則化以外の非摂動正則化は見つかっていないが、漸近自由でない、相互作用のある理論が存在しないことを意味しない。
14
これをうまくすれば量子コンピュータに乗せることだってできる。ただしキュービットとしてボゾンをどう表現するかの話はあるがそれは別の問題。
15
この小節は大阪大学の菊池誠氏のノート [15] を参考に、細かい計算を具体的に補足したものである。
1
2

132/108

β 0 = 12 ln cosh 2β を展開し、確認してみる。β が小さいと、cosh 2β = 12 (e2β + e−2β ) ≈ 21 (1 + 2β + 12 (2β)2 +1 − 2β + 12 (2β)2 ) = 1 + 2β 2 となる。つまり、β 0 ≈ 12 ln(1 + 2β 2 ) ≈ β 2 である。β = 0.1 からはじめると、β 0 = 0.01となりどんどん高温へ向かっていく。
17
1 次元イジング模型以外では、スケール倍右辺が変わってしまうことに注意。しかしスピンに依存せず単に定数倍されるだけである。場の理論でいうと、これが波動関数くりこみの因子 Z に相当する。たとえばスカ
ラー場の理論の場合、hϕ(0)ϕ(x)iλ = Z hϕ(0)ϕ(xs)iλ′ 、ただし s は正の実数でスケールの違いを表す数である。
18
連続場の理論を格子場の理論から得るためには、UV 固定点の存在 ( 2 次以上の高次相転移) が必要であるが、ここでは説明しないので適宜、教科書を参考にすること。漸近自由な理論の場合には、ガウス的 UV 固定点が存在し、連続極限を取れることが保証される。くりこみ群のさらなる解析が必要である。
19 ⃗ 2⃗ 2 がポテンシャルエネルギーの役割を果たしている。
E が運動エネルギー (確かに時間微分を含む)、BP
20
Fi0 = Ei 、そして Fij = k ϵijk Bk である。
21
ここで場の強さ Fµν は、磁場と同じように平面を指定した量になっている。アンペールの法則やビオ・サ
バールの法則を思い出すと、円電流が磁場を作る。そこで xy 平面にそって円電流を考えると、z 軸方向の磁場が発生する。つまり磁場の方向を指定するには、垂直な面を 1 つ指定することになる。今の場合、Fµν はそれの4 次元版となっている。
22
虚時間形式では、作用がハミルトニアンと同じ符号になっていることを思い出しておこう。実際、電磁場テンソル Fµν を電磁場で書き直すとハミルトニアンと同じ符号になっていることも分かる。
23
ここで場の強さ uµν (n) は、磁場と同じように平面を指定した量になっている。アンペールの法則やビオ・サバールの法則を思い出すと、円電流が磁場を作る。さらに uµν (n) は電流に関係している量だとみなせる。つまり、あとで見るように uµ (n) = exp(iagAµ (n))、ただしHa は格子間隔で g は電荷と思うとこのループ uµν (n) は、
uµν (n) = eiagAµ (n) eiagAν (n+µ̂) e−iagAµ (n+ν̂) e−iagAν (n) ∼ exp[ig dxµ Aµ (x)] となっている。指数の中は、電流のラグランジアンである。
24
https://en.wikipedia.org/wiki/Plaquette25
格子理論では、ゲージ固定は必要ない。
26
普通は素電荷 e で書かれるが、紛らわしいので g とした。
27
イジング模型と Z2 ゲージ理論が対応していたのを思い出すと、古典ハイゼンベルク模型に対応するのがSU(Nc ) ゲージ理論である。
28
いま、β 関数は先に (手で導入した) 格子間隔の方で定義したが、µ は自分で手で決めたエネルギーに対応する。どちらも任意な数だが、次元が逆のため、この様に設定しないといけない。
16

133/108

もちろんくりこみスキームに依存した議論であり、依存させることももちろん可能である。
11b0 = − 48π2 Nc
31
偏微分方程式論での特性曲線法を行っていることに対応する。
32というのは言い過ぎで、2-loop β 関数や非摂動効果で低エネルギーでスケール不変な理論を作る事もできる。割愛するが、格子 QCD の文脈でも many ﬂavor 理論として研究されている。
33
こちらも本来の定義は 2-loop β 関数を使用するが、1-loop のものでここではごまかしておくことにする。
また ΛQCD はくりこみ群の不変量である。
34
これを次元転移（dimensional transmutation）という。
35
これは自発的対称性の破れとは異なる機構で起こる。自発的対称性の破れの場合には Ward-高橋恒等式から質量 0 の粒子が予言されるが、アノマリーの場合には Ward-高橋恒等式に補正が付き、質量 0 の粒子が予言さ
れない。
R
36
つまり p(x) ≥ 0、 dxp(x) = 1 を満たすということ。
37
ここでは xi を iid (independently identically distributed) と仮定している。つまり全ての xi が独立に同じ分
布からサンプルされたということ。(適当な上手い) マルコフ連鎖モンテカルロの場合には自己相関まで含めるとこの仮定を満たしている。
38
唯一か、については付加条件が必要である。詳しくはマルコフ連鎖モンテカルロ法に関する教科書等を参照のこと。今の場合には大丈夫であるが、唯一でないと異なった分布へ収束してしまう。
39
効率がいいかは別問題である。熱浴法が構成できる場合にはそちらのほうが高効率で配位を生成できる。
40
反転可能なアップデートを行って、メトロポリス法を行うと、分布が狙ったものに収束することを利用す
ると、アップデートが近似的な式であっても、狙った確率分布に収束してくれるという事実を利用している。
41
ちなみに、これはグラディエントフロー方程式に出てくるものと同じである。
42
これはリンク Uµ (n) と同様でベクトル場であり、πµ (n) と書かれる。
43
フェルミオンの作用は、双線形形式であり、経路積分が実行でき、結果としてゲージ場に依存した分配関
数 Z[U ] を得る。これを e− ln Z[U ] とみなすと − ln Z[U ] が有効作用となり、U だけで計算がすすむ (実際にはこの形では行わず、擬フェルミオンという方法をつかうが、実際も大体こういうことをやっている)。ここからくる
フォース F の評価には、格子の箱の一辺を L としたとき、実数として数えた時 (24 × L4 ) × (24 × L4 ) 程度の大きさの線形システムの連立方程式を MD の 1 ステップ当たり 1 回解く必要がある。L = 20 とすると 384 万 ×384万の行列である。そのためクォークがあり非常に時間がかかり、スパコンを使う必要がある。
44
オーダー評価だと同じではあるが、実際に統計誤差は自己相関の分だけずれる。
29
30

134/108x

1 1+x+11
1
1
11
x = 1/τac  1 とおいて計算してみよう。τint = 21 eex +1−1 ≈ 2 1+x−1 = x + 2 = x + 2 = τac + 2 ≈ τac とわかる。
46
もちろん、通常はこういうことは起こらない。なぜなら、自己相関が長い部分は並列的に配位をつくる事ができる。さらにアルゴリズムの工夫も可能であり、マシンの性能もどんどん良くなるのでここまで極端なことは現実では起こらない。
47
スプリングスクールでは、Julia の講義があるので、すでにインストールしている者も多いと想定している。
48
ターミナルで動作するアプリを使う場合には、必ず終了法を抑えておく必要がある。たとえば、vim など
は学生の頃うっかり起動して困ったことがある。
49
このポテンシャル自身は、Polyakov loop 相関関数や、Wilson loop の期待値から計算できる。
45

135/108

Indexβ 関数, 68
Z2 ゲージ理論, 48
1 次元イジング模型, 39

Green’s function, 13
Hadron mass, 99
Hamiltonian Monte-Carlo, 86
Heisenberg equation, 9Heisenberg picture, 9
HMC, 86
HMC ハミルトニアン, 88
hopping parameter, 119
Hybrid Monte-Carlo, 86

Acceptance rate, 83
Callan-Symanzik equation, 68
Canonical quantization, 7
detailed balance, 82
dimensional transmutation, 134
electro-magnetism in the vacuum, 50
Elitur’s theorem, 132
Euclidian ﬁeld theory, 32

LatticeQCD.jl, 105
Markov Chain Monte-Carlo method, 81
MCMC, 81MD, 89Metropolis method, 84
Metropolis-Hastings, 83
Molecular dynamics, 89

ﬁeld theory, 11
ﬂavor physics, 103
gauge ﬁeld, 11gauge invariance, 49136Monte-Carlo method, 79

trapezoidal method, 77

Nuclear force, 101

U(1) plaquette action, 56
U(1) プラケット作用, 56

plaquette, 54
QCD, 17
QCD equation of state, 100
QCD vacuum, 17
QCD の基底状態, 17
QCD 状態方程式, 100
QED, 16
Quantum Chromo-Dynamics, 17
Quantum Electro-Dynamics, 16
renormalization group, 40
scalar ﬁeld, 11
Schrödinger equation, 8Sommer scale, 121
standard model, 14strong coupling constant, 102
Susskind lattice, 27

vacuum poralization, 67
Wilson fermions, 117
Wilson loop operator, 54
Wilson loop 演算子, 54
Wilson plaquette action, 61
Wilson プラケット作用, 61
Yang-Mills action, 65
Yang-Mills 作用, 65
くりこみ群, 40
イジングゲージ理論, 48
イジング模型, 39
ウィルソンフェルミオン, 117
エリツァーの定理, 132
キャラン・シマンチック方程式, 68
クォーク, 23

137/108

グラディエントフロー, 124
グリーン関数, 13
ゲージ不変性, 49
ゲージ場, 11, 50
ゲージ変換, 50
サスカインド格子, 27
シュレーディンガー方程式, 8
ジャックナイフ法, 126
スカラー場, 11
スケールアノマリー, 73
スケールセッティング, 120
スケール不変性, 73
ゾンマースケール, 121
ニールセン二宮の定理, 115
ハイゼンベルク描像, 9ハドロン, 24
ハドロン質量, 99
バリオン, 24
フォース, 90
フレーバー関連の量, 103

プラケット, 54, 61
ホッピングパラメータ, 119
マルコフ連鎖モンテカルロ法, 81
メソン, 24
メトロポリス・ヘイスティングス法,83
メトロポリス法, 84
モンテカルロ法, 79
ユークリッド作用の場の理論, 32
ラムダ QCD, 72
レプトン, 23
分子動力学法, 89
受容確率, 83
古典スピン模型, 39
古典場, 11
古典的な連続極限, 67
台形則, 77
同時刻交換関係, 12, 29
場の理論, 11138/108弱い力, 23
強い力, 23
強い力の結合定数, 102
摂動論, 15
格子上のスカラー理論, 36
次元転移, 134
正準量子化, 7, 13
漸近級数, 16
漸近自由性, 71

量子ハイゼンベルク模型, 40
量子色力学, 17
量子論的な連続極限, 67
量子電気力学, 16
電弱力, 23電磁場, 11
電磁気力, 23

真空の電磁気学の作用, 50
真空偏極効果, 67
素粒子標準模型, 14
経路積分量子化, 9, 13
臨界減速, 97
自然単位系, 22
虚時間, 31
虚時間形式, 32
詳細釣り合い条件, 82
量子スピン系, 40

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