圧子力学−ミクロ・ナノ領域における材料物理学−（改訂第 3 版）

逆井基次

圧子力学― ミクロ・ナノ領域における材料物理学 ―逆井基次

豊橋技術科学大学

緒言
ミクロ・ナノ領域における材料物性(弾性，塑性，粘弾性)の計測・評価と，これに基づ
く微構造設計に資する材料物理学的な基礎を体系的に論じることが本書執筆の目的である。
「ビッカース硬度(Vickers hardness)」に代表される工業材料の硬度測定では，ダイヤモンドを始めとする高硬度材料を機械加工することより作製したピラミッド形状あるいは球形状の微小圧子を材料表面に圧入し，圧入時の最大荷重と徐荷後に材料表面に形成された
圧痕寸法から硬度(contact hardness)を算出する。硬度の概念およびその実験的な計測の歴史は古く 19 世紀にまで遡る。20 世紀に入り E. Meyer，L. Prandtl，D. Tabor 等は｢硬度｣が延性の著しい金属材料の｢塑性(降伏強度)｣を表現する定量的尺度となることを明らかにした。
しかし，その後に著しい発展を遂げた高分子材料やセラミック材料では，圧子圧入に伴う粘性流動あるいは弾性変形の寄与が大きく，圧入荷重と圧痕寸法から算出される硬度の材
料物理学的解釈は未だ確立されていない。後に本書で詳述するように，高分子材料やセラ
ミック材料の圧子圧入硬度は｢塑性｣を表す尺度では決してない。
20 世紀後半に入ると電子工学・コンピュータサイエンスに基礎をおく電子計測技術の発展により，ミクロ・ナノ領域での材料物性計測の必要性とこれに関わる計測技術が著しい発展を遂げる。このような歴史的背景のもと，微小圧子の圧入と徐荷に伴う力学過程を時系列で同時計測しミクロ・ナノ力学物性を定量評価する科学と工学の｢学問｣，すなわち｢圧子力学(Indentation Contact Mechanics)｣が体系化されつつある。
1882 年，弱冠 24 歳の Heinrich Hertz が公表した論文 On the contact of elastic solids が現在の圧子力学の根幹をなしている。彼は対面する二つの凸レンズを接触したときに生ずるニュートンリングが接触力の強弱に伴い変化する現象に興味を持ち，専門としていた電磁気学におけるポテンシャル理論と弾性理論の類似性に着目し，レンズの弾性変形に関係づけてニュートンリングとレンズ接触力との関係を理論的に論じた。その後，Hertz 理論は 19
世紀末から著しい発展を遂げた鉄道車両技術における車輪とレール間の接触問題やベアリングの接触問題等を論じる｢接触力学(Contact Mechanics)｣の基礎を与え近代工学に多大なる貢献をしてきた。
K.L. Johnson の“Contact Mechanics”は接触力学を体系的に論じた世界的な名著であり，Hertz 理論を含む多くの接触問題に関する力学を体系的に論じている。しかしながら，接触に伴う変形・流動の物理過程を論じていないため，接触力学を材料の力学物性に関連付ける考察が欠落している。一方，D. Tabor の“Hardness of Metals”では力学物性としての「硬度」を弾性・塑性に着目して論じた名著ではあるが，金属材料の物性に力点が置かれているため，20 世紀後半から著しい発展を遂げつつある高分子材料，セラミック材料，さらには金属材料を含む各種材料の組み合わせにより作製される機能材料・複合材料のミクロ・ナノ領域での力学物性の評価に関する考察が欠落している。
i1980 年代に入るとミクロ・ナノ領域における力学物性定量を目的とした，いわゆる計装化インデンテーション計測装置の開発が進み，多くの汎用装置が市販され現在に至っている。これらの汎用装置では圧子荷重と圧入深さの関係を時系列で定量計測することができる。しかし，圧子と材料表面との微視的接触状況，すなわち，接触面積を定量計測することができないため，弾性・塑性や粘弾性関数等の力学物性を定量評価するに当たっては各種の仮定・近似を用いる必要がある。このために，これらの汎用装置で評価される各種物
性値の精度や信頼性には多くの問題があり解決しなければならない課題も多い。
上述した二つの計測情報，すなわち，「圧子荷重」と「圧入深さ」のみでは，圧子圧入に伴い生じる材料表面の変形，そしてこの表面変形能に関与する各種力学物性値を厳密に定量記述することはできない。圧入に伴う表面変形から力学物性を定量評価するためには，圧入深さ（圧子圧入により生じる窪みの深さ)のみならず，圧入方向に直交する材料自由表
面に沿った窪みの広がり(圧子接触面積)の情報が不可欠となる。換言すると，材料の力学
物性を直接反映する「圧入抵抗」の定量記述には，「圧入深さ」の計測に加え，圧子・材料
表面間に形成される接触面積で圧入荷重を除した値，すなわち，「接触面圧(圧子圧入への反作用応力)」の定量計測が不可欠となる。本書で紹介・詳述する「計装化顕微インデンテーション計測装置」は，このような考えに基づき開発された計装化装置であり，圧子圧入
荷重・圧入深さの計測と同時に各圧入深さでの圧子/材料表面間接触面積を定量計測することができる。さらには，時間の関数として圧子接触面積をプログラミングすることにより，複雑な時間・刺激速度依存性に対する粘弾性応答を定量解析することもできる。
弾性体，弾塑性体，粘弾性体，並びにこれらの材料を組み合わせることにより作製された機能材・複合材の圧子力学とその材料物理学に付いて論じた専門書類の出版は，筆者の知るところ，国内外ともに皆無と言える。このような現状を鑑み，さらには近年におけるミクロ・ナノ領域における科学と工学の著しい発展に資することを目的に本書の執筆を試みた。材料力学の立場から，平易かつ厳密に圧子力学理論を展開すると共に，材料物理学の観点から圧子力学物性の実験計測・データ解析・評価にも力点を置いた。本書では，前半(第 1 章〜第 9 章)において圧子の材料表面への負荷と徐荷に伴う力学過程に焦点を当てた圧子力学理論を詳述する。続く後半(第 10 章〜第 12 章)では，これらの圧子力学理論を視覚的に捉えることを目的とした有限要素数値解析，計測装置の詳細，そして各種実用工業材料の力学物性(弾性，塑性，粘弾性)の実験的評価・解析への圧子力学理論の適用について論じる。
筆者が在籍した豊橋技術科学大学における多くの共同研究者・学生の協力がなければ本書の執筆は不可能であり，諸氏に深謝する。特に，世界に先駆けて，圧子接触面積の定量計測を可能とした計装化顕微インデンテーション計測装置の設計・開発に多大の貢献をした宮島達也博士(現，国立研究開発法人産業技術総合研究所)の功績は大きく，彼の協力なくして本書を完成させることは不可能であり，ここに深く感謝する。本書で繰り返し強調しているように，圧子接触面積の定量計測はミクロ・ナノ領域における各種の力学物性をii

仮定・近似を一切用いることなく定量評価する上で極めて重要となる。実験および理論の両面から圧子力学を一つの学問として体系化していく上で，計装化顕微インデンテーショ
ン計測装置の役割は大きい。
本書の改訂にあたって旧版を精査し誤記訂正ならびに論旨の修正に多大の労を頂いた
宮島達也博士に深謝する。
(2020 年 1 月)

iii

目次
1. 変形の定量記述 ‐歪と応力‐

12. 完全弾性体の力学

6

2.1 完全弾性体の構成方程式

62.2 平面歪問題

82.3 軸対称問題

102.4 軸対称問題における重調和方程式の解法 ‐Hankel 変換の適用‐

13

3. 完全弾性体の圧子力学

173.1 平端円柱圧子

193.2 球形圧子(Hertz 接触問題)

20

3.3 円錐圧子

22

4. 塑性発現規範と圧子接触問題

25

4.1 最大ずり応力規範 (Tresca Criterion)

26

4.2 最大ずり歪エネルギー規範 (von Mises Criterion)

27

4.3 球形圧子接触と塑性の発現

28

5. 弾塑性圧子力学

30

5.1 Meyer 硬度の材料物理学

30(1) Cavity モデル

34(2) 排除体積加成則モデル

35

5.2 円錐圧子の P -h 負荷徐荷履歴曲線(1) 圧入仕事 WOI

40(Work-of-Indentation)42(2) ループエネルギーUr と降伏応力 cY

426. 線形粘弾性理論

44

6.1 ガラス転移挙動と粘弾性応答

44(1) ガラス転移挙動

44(2) Maxwell 粘弾性液体モデルと Zener 粘弾性固体モデル

44

6.2 微分型粘弾性構成式 ‐Wiechert モデル‐50

6.3 積分型粘弾性構成式 ‐Boltzmann 重畳積分‐

52

6.4 粘弾性応答におけるポアソン比の時間依存性

54

7. 粘弾性圧子力学

57

7.1 弾性-粘弾性対応原理を用いた粘弾性圧子力学の定式化

57

7.2 粘弾性 Meyer 硬度

61

7.3 モデル粘弾性体の圧子力学挙動62v

8. 表面付着力を有するソフトマターの圧子力学

65

8.1 弾性体65

8.2 弾塑性体74

8.3 粘弾性体

77(1) 荷重緩和挙動 (円錐圧子)

77(2) クリープ変形 (球形圧子)

80

9. 被膜／基材積層複合材の圧子力学

83

9.1 弾性積層複合材の圧子力学挙動

83

9.2 粘弾性積層複合材の圧子力学挙動

93(1) 弾性皮膜/粘弾性基材複合材の応力緩和挙動

94(2) 粘弾性皮膜/弾性基材複合材の応力緩和挙動94

9.3 弾塑性積層複合材の圧子力学

97

10. 数値圧子力学

10110.1 有限要素法を用いた構造・物性解析の特徴

10110.2 弾性解析

10210.3 弾塑性解析

103(1) P - h 履歴曲線

103(2) Oliver-Pharr/Field-Swain 近似

106(3) 歪硬化則

107(4) 拘束因 c に及ぼす圧子形状および圧子/材料界面摩擦の影響

108

10.4 粘弾性解析

10910.5 積層複合材への適用

111

11. 圧子力学試験計測装置とデータ解析

11311.1 汎用ピラミッド圧子

113

11.2 汎用計装化インデンテーション計測装置

114(1) 装置定数の実験的決定方法

115(2) 弾塑性力学物性の定量

118(3) 粘弾性関数の定量

12111.3 計装化顕微インデンテーション計測装置

124(1) 装置の基本構造と計測原理

124(2) 弾塑性力学物性の定量

126(3) 粘弾性関数の定量

12712. 圧子力学実測データに基づいた物性論

13212.1 ピラミッド圧子形状が弾塑性圧子力学応答に与える影響

132

12.2 各種工業材料の圧子力学挙動

134(1) P -h 負荷徐荷曲線と弾塑性挙動

134
vi

(2) 炭素材料の弾塑性圧子力学挙動

137(3) 無機ガラスの高温粘弾性解析

140(4) 顕微インデンテーション計測装置を用いた
非晶質セレンの粘弾性解析

143(5) 顕微インデンテーション計測装置を用いたポリカーボネート樹脂のガラス域における粘弾性圧子力学計測と解析

144(6) 顕微インデンテーション計測装置を用いた積層複合材の146

弾塑性圧子力学(7) 顕微インデンテーション計測装置を用いた

APPENDIX

ソフトマターの圧子力学

149

A 円柱座標系における力学変数の記述

153(1) 変形と歪

153(2) 力学的平衡方程式

156

APPENDIX

B Bessel 関数

158

APPENDIXC Laplace 変換の基礎

160(1) Laplace 変換の定義

160(2) Laplace 変換の基本特性

160(3) 線形刺激応答理論で有用となる代表的な解析関数の Laplace 変換対応表(4) Laplace 変換の適用例
APPENDIXDAPPENDIX

E 圧子力学の歴史

161
162

緩和時間スペクトルと遅延時間スペクトル163(1) 産業革命と熱力学・連続体力学の関わり

165(2) 産業革命期における硬度計測の役割

165(3) 押し込み硬度の計測技術と弾塑性圧子力学の歴史

166(4) 弾性圧子力学，粘弾性圧子力学の理論構築

169

171

索引

vii

記号一覧
A

圧子接触面積hc

圧子接触深さAproj

残留圧痕の投影面積hr

残留圧痕深さAe
Ap

完全弾性体の圧子接触面積

Jn ( x)

第一種 n 次 Bessel 関数

完全塑性体の圧子接触面積

J creep ( t ) ずりクリープ関数

Ave (t )粘弾性圧子接触面積

K

体積弾性率

aH

均質等方半無限個体の圧子接触半径k(4.2)式で定義されるずり降伏応力a

圧子接触半径B

kh(3.33)式で定義される圧子負荷係数(3.34)式で定義される圧子形状係数

Cf

試験装置躯体コンプライアンス

ke , kp , kep

円錐・ピラミッド圧子のP - h 2 負荷直線の勾配（負荷係数）

Cg ; Ce ガラスコンプライアンス；平衡コンプラ
イアンス

k1

P - h 2 負荷直線の勾配（負荷係数）

Ccreep ( t ) , C 'creep ( t ) , C ' ( t )k2

P - h 2 徐荷直線の勾配（徐荷係数）

クリープコンプライアンス

L(τ )遅延時間スペクトルクリープコンプライアンスのM

徐荷モジュラスC ( p)*

Carson 変換； pC ( p )C(3.34)式で定義される圧子形状係数c(5.7)式で定義される拘束因子

E ; E'

弾性率（ヤング率）

Eg ; Ee

ガラス弾性率；平衡弾性率

P , P ( t ) 荷重，圧子荷重pC , pF , pS
(3.35)式〜(3.37)式で定義される
接触圧力分布係数

PI

EM
Maxwell バネの弾性率
EV
Voigt バネの弾性率,
Erelax ( t ) E 'relax ( t ) , E ( t )塑性歪； ε I E ' cY

緩和弾性率の Laplace 変換p( r )Tt , t'pm
p0

E ( p)

緩和弾性率の Carson 変換； pE ( p )R

球形圧子の半径E 'eff

積層複合体の有効弾性率

徐荷スティフネスe(2.16)式で定義される体積歪

S , Sobs
Tg

G

ずり弾性率

緩和弾性率

E ( p)*

圧子平均接触圧； P π a(2

球形圧子最大接触圧； 3 2) pm

ガラス転移温度(5.19)式〜(5.21)式で定義される

円錐・ピラミッド圧子の面積因子； A = gh

時間tf
積層材皮膜厚さU(4.6)式で定義される歪エネルギー密度
UT , Ue , U r

G relax ( t ) ずり緩和弾性率g

圧子接触圧力分布
絶対温度2

P - h 履歴曲線に関わるエネルギー

HTT

熱処理温度

u( t )

H (τ )
HM

緩和時間スペクトル

V , Ve , Vp (5.12)式で定義される圧子排除体積

Meyer 硬度

WOIYh , hmax , h(t ) 圧子圧入深さ

viii

Heaviside ステップ関数(5.24)式で定義される圧入仕事
降伏応力，降伏強度

ββc
χ (t )
Δ

円錐・ピラミッド圧子面傾き角度Γ(8.43)式で定義される表面付着力

円錐圧子の面傾き角度γ

接触半径比;

γ

表面エネルギー，付着エネルギー(3.4)式で定義される Sneddon 関数(2.3)式で定義される Laplace 演算子

ΔGΔH

Gibbs 自由エネルギー変化

ΔS
δ (t )

エントロピー変化

ε R , (ε p )

γ ij
ずり歪
η , ηc , ηc (t ) 相対接触深さ； hc hηe
完全弾性体の η 値
ηp
完全塑性体の η 値

エンタルピー変化

Dirac デルタ関数R( a aH ) h

歪硬化曲線の代表塑性歪

εI
圧子圧入歪
ε IY
ε I の塑性発現敷居値εi
法線歪ε (t )
粘弾性歪ε ( p)ε (t ) の Laplace 変換ϕ ( r, z ) Airy の応力関数，Love の応力関数
ϕ n H (ζ , z ) (2.23)式で定義される
ϕ ( r, z ) の Hankel 変換

η

定常ずり粘性κ

体積コンプライアンス, 1 K

λE , λEP 第 8 章で定義される付着靭性値
ν , ν (t )
ρ
Σ

ix

ポアソン比
無次元半径； r a(2.3)式で定義される法線応力和σi
σ (t )σ ( p)

粘弾性応力

τ

緩和時間

τM
τZ
τ ij
ξ
ξr

Maxwell モデルの緩和時間

法線応力σ ( t ) の Laplace 変換

Zener モデルの緩和時間
ずり応力
無次元膜厚； tfa
無次元圧痕深さ； hr hmax

1 変形の定量記述−歪と応力−

圧子力学(indentation contact mechanics)は連続体力学(continuum
mechanics)が扱う各種の力学問題の範疇にあって，「接触問題」として位置付けられる。異なる二つの連続体が接触している界面の力学場は極めて複雑であり，その数学的な記述に困難を伴う場合も多い。本章では第 3 章以降で論じる接触問題の数学的取り扱いを念頭に連続体力学場を定量記述するための数学的な準備を行う[1.1-1.3]。
任意の固体に「荷重 (力)(load, force)」を付加すると，これに対する力学応答として「変形(deformation)」が生じる。本節では変形

uB(=uA+δ)dxΑΒ

dx の線素 AB が x 方向に併進移動 uA を伴いながら長さが dx+δは A 点でのテーラー展開により次式で与えることができる；

δ = uB − uA

D

x

uD

D'

γ

dy

描かれている。したがって AB 間における x 方向正味の伸長量 δy
伸張変形

図 1.1 に示す 2 次元平面での変形を例に話を進める。図には長さがｘ方向に併進移動 uC を伴いながら線素 C’D’に変化する様子がB'

uAの定量的な定義と記述法について述べる。記述を簡潔にするための線素 A’B’に伸長する様子と，ずり変形により長さ dy の線素 CD

A'

C

uC

C'

δ

ずり 変形

図 1.1 2 次元平面における伸長

∂u 
∂u

=  uA + dx  − uA = dx
∂x 
∂x


変形とずり変形

これにより，単位長さ当たりの微分伸長変化量として x 方向「伸長歪(strain for elongation)」は次式で定義される；

εx =

δ
dx

=

∂u
∂x

(1.1)

すなわち，｢歪(strain)｣は変位勾配として定義される。同様にして，y および z 方向の変形に伴うそれぞれの変位量 v およびｗを用い
次式により y および z 方向の伸長歪は定義される；

εx =

∂u
∂x

εy =

∂v
∂y

εz =

∂w
∂z

(1.2)

伸長(圧縮)変形は連続体を構成している原子・分子平面が，その法線方向への相互距離変化として発現する。一方，ずり変形(shear
deformation)では原子・分子平面間距離を保ったまま相互にずれる現象として発現する。図 1.1 には垂直方向(y 方向)の線素 CD(長さdy)が水平方向 (x 方向)に δ だけ「ずり変形」を受け，その結果，
角度 γ 傾いた線素 C’D’へと変形する様子が描かれている；

1[1.1] S.P. Timoshenko, J.N. Goodier,“Theory of Elasticity”, McGraw-Hill(1970)[1.2] I.H. Shames, F.A. Cozzarelli, “Elastic
and Inelastic Stress Analysis”,
Prentice Hall (1992)[1.3]D. Roylance, “Mechanics ofMaterials”, John Wiley & Sons
(1996)∂u ∂udy  − uC = dy∂y ∂y

δ = uD − uC =  uC +

かくして，y 方向の「ずり歪(Shear Strain)」は，ずり変形に伴う
y 方向変位勾配， ∂u ∂y ( ≡ tan γ ) ，として定義され，次式により，ずり傾き角度 γ を用いて表現される；γ ( ≈ tan γ ) =

δ
dy

=

∂u
∂y

より一般的な 2 次元平面のずり変形を考えると，この平面が面内で回転することなく釣り合う必要性(力学的平衡条件)から，図 1.1に示した水平方向(x 方向)へのずり変位勾配のみならず垂直方向(y方向) ずり 変位量 v に起因する変位勾配∂v/∂x も生じる。
したがって xy 平面内で生じるずり歪 γ xy は両者の和γ xy =

∂u ∂v
+
∂y ∂x

(1.3)

として与えられる。同様にして yz 平面，zx 平面内のずり歪は

γ yz =

∂v ∂w
+
∂z ∂y

(1.4)

γ zx =

∂w ∂u
+
∂x ∂z

(1.5)

により記述できる。
(1.2)式および(1.3)式〜(1.5)式で定義された６種の歪は 3 種の変位 u，v，w により記述されているため，6 種類の歪は全てが独立には存在しえず，｢適合条件式(compatibility equation)｣により相互に関係付けられている。連続体の変形において隣接する２点間に亀裂や重なりが生じてはならないとする物理的な条件として，この適合条件式は存在し，(1.1)式〜(1.3)式は∂ 2ε x∂ 3u=∂y 2 ∂x∂y 2∂ 2ε y∂x=2∂ 2γ xy∂3v∂x2 ∂y

∂x∂y

=

∂ 3u
∂3v
+
∂x∂y 2 ∂x2 ∂yと書き換えることができる。したがって
22∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+ 2 =
∂y 2
∂x
∂x∂y

同様にして，∂γ yz∂ 2ε x∂ 3u=∂y∂z ∂x∂y∂z

∂x

∂γ zx
∂u
∂ w
=
+
∂y
∂y∂z ∂x∂y
2

2

=

∂2v
∂2 w
+
∂x∂z ∂x∂y

∂γ xy
∂z

=

∂ 2u
∂2v
+
∂y∂z ∂x∂z

2

の関係から次式を得る；

2∂ 2ε x ∂  ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 
= −
+
+

∂y∂z ∂x  ∂x∂y∂z 

同種の微分操作を他の歪成分についても繰り返し行うことにより最終的に以下に示す適合条件式(Saint Venant 方程式)を得る；
22∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+ 2 =
∂y 2
∂x
∂x∂y

∂ 2ε y22∂ 2ε z ∂ γ yz
=
∂y 2
∂y∂z

2

∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2γ zx
+ 2 =
∂x 2
∂z
∂x∂z

2

∂z

+
2

∂ 2ε x∂  ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 
= −
+
+

∂y∂z ∂x  ∂x∂y∂z 
∂ 2ε y∂x∂z=∂  ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy −+∂y  ∂x∂y∂z ∂ 2ε z∂  ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 
= 
+
−

∂x∂y ∂z  ∂x
∂y
∂z 

(1.6)
これらの「適合条件式」は，以下に議論する力のつり合いを表現
した「平衡方程式」と共に任意境界条件下にある連続体の力学応
答を記述する「重調和方程式 (bi-harmonic equation)」の導出において重要な役割を果たす。
次に，連続体外部表面が各種の外部力および変位拘束を受けて力学的に平衡状態(mechanical equilibrium)にある場合を考えてみよう。この連続体内部には上述した変形に伴う各種の歪と共に，外力と力学的平衡を保つための｢内力｣が生じている。力学的平衡状態にある連続体内部の任意の一点において，各稜が，それぞれ
x，y，および z 方位にある直方体の表面に生じている内力の 3 次
元表記を図 1.2 に示す。各面の法線が x，y，および z 方向にあるy面を，それぞれ，x 面，y 面，z 面と呼び，それぞれの面上に作用σy

している「単位面積当たり」の内力として定義される「応力(stress)」dzのうち，各面の法線方向に発現している応力成分は法線応力

τzy

dy

(normal stress)と呼ばれる。x 面，y 面，および z 面上の法線応力を，( τ yx , τ yz )，および( τ zx , τ zy )により表される (例えば，x 面内 y 向

τzx

σz

それぞれ， σ x ， σ y ， σ z と表記する。一方，x 面，y 面，および z面内に作用しているずり応力(shear stress)は，それぞれ，( τ xy , τ xz )，

τyx

τyz

z

τxy
τxz

σx

x

dx

図 1.2 力学的平衡にある連続体

方向ずり応力を τ xy により，x 面内 z 方向ずり応力を τ xz により表内部から切り出した，各稜が，そ記する）。

れぞれ x，y，および z 方位にある先に述べたように図 1.2 に示した直方体は力学的に平衡状態にある連続体内部から切り出されたものであるため，この直方体は3直方体の表面に生じている内力（応力）の 3 次元表記

独自に回転したり平衡移動することはありえない。したがって x，y，z 軸周りに直方体が回転しないために，各軸周りの回転モーメ
ントが釣り合っている必要があり，その結果，ずり応力に関しては以下に示す対称関係が存在する；

τ xy = τ yx
τ yz = τ zy

(1.7)

τ zx = τ xz
一方，x 軸方向に作用している力が平衡状態にあるためには次式
で示す力のつり合い条件の満たされている必要がある；∂σ x  σ x + ∂x dx  dydz − σ x dydz
∂τ yx dy  dzdx − τ yx dzdx
+ τ yx +
∂y


∂τ


+ τ zx + zx dz  dxdy − τ zx dxdy∂z
+ Xdxdydz = 0
したがって x 軸方向に関する力のつり合いを示す平衡方程式として次式を得る；∂σ x ∂τ xy ∂τ xz+++ X =0dxdydz(1.8a)

ここに X は着目している連続体に作用している x 軸方向の体心力(body force; 重力，遠心力等)を表している。同様にして，y 軸および z 軸方向の力学的平衡方程式は，それぞれの座標軸方向の体心
力を Y，Z として，
∂τ yx

∂σ y

(1.8b)∂τ zx ∂τ zy ∂σ z
+
+
+Z =0
dx
dy
dz

(1.8c)

dy

+

∂τ yz

+Y = 0dx+dzで与えられる。
本書で主に扱う圧子圧入と徐荷に伴う力学過程は圧入軸周りの軸対象現象として発現する。したがって上述の(x, y, z)座標系で圧子力学過程を記述するよりも，むしろ，図 1.3 に示す軸対象の円
柱座標系 (r, θ, z) (polar coordinate)を用いることにより，より合理的に適合条件式や力学的平衡方程式を表現することができる。変形に伴う変位の r ，θ ，および z 方向成分を ur ， uθ ，および uz とすると，円柱座標系における歪の 3 次元表記は次式で与えられる；

4

∂ur
∂r
1 ∂uθ ur
εθ =
+
r ∂θ
r
∂u z
εz =
∂z
∂u
1 ∂ur uθγ rθ = θ +−r∂r r ∂θ∂u
1 ∂u zγθ z = θ +∂z r ∂θ∂u ∂uγ zr = r + z
∂z
∂r

εr =

dz

2

2

2

r ∂θ
∂ εz

+
2

∂z

∂ εr

+

2

=
2

元応力表記

1 ∂ε z 1 ∂  ∂γ θ z
=+ γ rz r ∂r r ∂z  ∂θ∂ 2γ rz
∂r ∂z

∂r
∂z
2 ∂ 2ε r 1 ∂  ∂γ rθ ∂  1 ∂γ rz ∂γ θ z  1 ∂γ rθ γ θ zr=− γθ z  + 
−
+
+ 2

r ∂θ∂z r ∂r  ∂z∂r  r ∂zr
 ∂r  r ∂θ2

∂  ∂εθ ε r − εθ  1 ∂  ∂γ θ z 1 ∂γ rz ∂γ rθ  1 ∂γ θ z
−
=
−
+
+
r  r ∂θ  ∂rr ∂θ
∂z  ∂r∂z  r 2 ∂θ

2 ∂  ∂ε z ε z  ∂  ∂γ θ z 1 ∂γ rz ∂γ rθ γ θ z − = 
+−−r ∂θ  ∂rr  ∂z  ∂r
r ∂θ
r 
∂z

(1.10)
一方，r，θ，および z 方向の体心力を，それぞれ，R，Θ，Z により表すと，(1.8)式に対応する円柱座標系での力学的平衡方程式
はσ r − σθ

τθr

θ

τrθ

σr

dθ

r

図 1.3 円柱座標系における 3 次

1 ∂ 2ε r ∂  ∂εθ ∂  ∂γ rθ γ rθ + r
− ( ε r − εθ )  =+r ∂θ 2 ∂r  ∂rr  ∂θ  ∂r∂ 2ε θ

τzr
τrz

σθ

z

する(r, θ, z)座標系での適合条件式は次式により与えられる；

+
2

τzθ

τθz

(1.9)

また，(x, y, z)座標系における Saint Venant 適合条件式(1.6)式に対応

1 ∂ 2ε zσz

dr∂σ r 1 ∂τ θ r ∂τ zr
+
+
+R=0
r
r ∂θ
∂r
∂z
2τ θ r ∂τ θ r 1 ∂σ θ ∂τ zθ++++Θ = 0rr ∂θ∂r∂zτ zr ∂τ zr 1 ∂τ zθ ∂σ z
+
+
+
+Z =0
r
r ∂θ
∂r
∂z
+

(1.11)

により与えられる（詳細については APPENDIX A 参照）。

5

2 完全弾性体の力学
2.1 完全弾性体の構成方程式
17 世紀後半，Robert Hooke はワイヤーに付加した荷重 P と，これにより生じる伸長量δとの関係を精密に測定し，荷重が比較的小さい場合，δ が P に比例して増加する事実，さらに完全徐荷後にこのワイヤーが元の長さに復元する事実を実験的に明らかにした。
すなわち，

P = kδ
で示す Hooke 則(Hooke’s law)の存在を明らかにした。上式において弾性係数(フックのバネ定数; Spring Constant) k は注目する材料
固有のものではなく，その形状(太さと長さ)に依存することも明らかにしている。18 世紀に入り，Thomas Young は Hooke 則のより普遍的な関係式として，応力と歪に関する線形則(linear rule)の存在を明らかにした；

σ = Eεここに，弾性係数 E は材料固有の物性定数であり，ヤング率(Young’s modulus)と呼ばれている。一般的に言って弾性丸棒を軸方向に伸長すると軸に直交する径方向に若干の収縮現象が観測される。この現象は弾性体が変形後も，その体積を一定に保とうとする性質に由来しており，フランスの数学者 Simeon Denis Poissonに因み，ポアソン効果(Poisson effect)と呼ばれる。軸方向の歪 ε axial
に対する径方向の歪 ε radial の比として次式で定義されるポアソン
比ν (Poisson’s ratio)は材料固有の物性値である；

ν=−ε radial

ε axial

径方向の収縮により ε radial < 0 となるのでポアソン比を正値として定義するため，上式において， −ε radial が導入されている。
ヤング率やポアソン比等の力学物性パラメータを用いて表現した線形弾性体の 3 次元構成式を以下に示す；

61
σ x − ν (σ y + σ z ) E1
ε y = σ y − ν (σ z + σ x ) E1
ε z = σ z − ν (σ x + σ y ) Eεx =γ xy =

τ xy

γ yz =

Gτ yz
Gγ zx =

(2.1)

τ zx
G

ここに，ずり弾性率 G は，ずり変形への弾性抵抗を表す物性値でありポアソン比を介して次式によりヤング率に関係付けられる；G=E
2 (1 + ν )(2.2)

一般的な連続体の歪成分間に存在する Saint Venant 適合条件式((1.6)式)に力学的平衡式である(1.8)式および完全弾性体の構成方
程式(2.1)式を適用することにより得られる「完全弾性体」の各応力成分間に成立する Beltrami-Michell 適合条件式は次式，(1 + ν ) Δσ x +(1 + ν ) Δσ y +(1 + ν ) Δσ z +

∂2Σ

=0
2

∂x

∂ 2Σ
∂y

=0
2

∂2Σ
∂z

=0
2

(1 + ν ) Δτ xy +

∂2Σ
=0
∂x∂y

(1 + ν ) Δτ yz +

∂ 2Σ
=0
∂y∂z

(1 + ν ) Δτ zx +

∂2Σ
=0
∂z∂x
(2.3)

により与えられる。(2.3)式において Laplace 演算子(Laplacian) Δ は

Δ = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z 2 で定義され， Σ は Σ = σ x + σ y + σ z で定義される法線応力和を意味する。3 次元 Beltrami-Michell 方程式((2.3)式)の解を解析的に求めるためには，複雑な演算が必要となる。しかし，次節で詳述するように 2 次元平面問題や軸対称問題
においては，比較的容易に解析解を導出することができる。先ず第 2.2 節で(x, y)直交平面座標系における 2 次元問題の代表例として「平面歪」状態における弾性論を詳述し，続く第 2.3 節では圧子力学で多用される円柱座標系を用いた軸対称弾性問題を論ずる。

7

2.2 平面歪問題
z 軸方向の変位が存在せず，すなわち，(1.2)式，(1.4)式，および(1.5)式に w = 0 を代入し，これに加えて，x 軸方向変位 u および y方向変位 v が共に z 軸に依存しない平面歪(plane strain)問題を考える[1.1-1.3]。平面歪状態の場合， (1.1)式〜(1.5)式より

ε z = γ zx = γ zy = 0
εx =

∂u
∂x

εy =

∂v
∂y

γ xy =

∂u ∂v
+
∂y ∂x

(2.4)

さらに平面歪条件を(1.6)式に代入することにより，(2.4)式で与えられた各歪成分間に存在する Saint Venant 適合条件式は，次式で示すように簡潔な表現式となる；
22∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+
=
∂y 2
∂x2
∂x∂y

(2.5)

一方，(1.8a)式および(1.8b)式より平面歪状態における力学的平衡
方程式は次式で表現できる；∂σ x ∂τ xy
+
=0
∂x
∂y
∂τ y x∂x+∂σ y

τ xy = τ yx∂y

(2.6a)=0(2.6 b)τ yz = 0 = τ zx

(2.6 c)(2.6a)，(2.6b)式では議論を簡潔にするため，体心力 X，Y を省略した表現式となっている。一方，平面歪状態にある完全弾性体の構成式(constitutive equation)は，(2.1)式に ε z = 0 を代入することにより，次式のように書き換えられる；1(σ x − ν ' σ y )E'1
ε y = (σ y − ν ' σ x )E'εz = 0εx =γ xy =

τ xy
G

(2.7)

γ yz = 0 = γ zx

ここに，平面歪における弾性率 E ' およびポアソン比 ν ' は，それぞ()

れ， E ' = E 1 − ν 2 ， ν ' = ν (1 − ν ) により定義される。
2 次元 Saint Venant 適合条件(2.5)式は平面歪状態にある任意の連
続体の「歪成分間」に成立する適合条件式であるが，完全弾性体(perfectly elastic body)の構成式である(2.7)式を(2.5)式に代入するこ
8

とにより「応力成分間」で成立する完全弾性体の適合条件式(Beltrami-Michell 適合条件式)として次式を得る；∂ 2τ xy∂2∂2(σ x −ν 'σ y ) + ∂x2 (σ y −ν 'σ x ) = 2 (1 +ν ') ∂x∂y
∂y 2

(2.8)

力学的平衡式(2.6a)および(2.6b)を，それぞれ，x および y で微分することにより与えられる∂ 2τ xy2∂ 2σ x ∂ σ y2=− 2 − 2
∂x∂y
∂x
∂y

を上記の平面歪 Beltrami-Michell 適合条件式((2.8)式)に適用することにより，最終的に 2 次元完全弾性体の応力に関する Laplace 方
程式として次式が得られる；

 ∂2
∂2 
σ +σy ) = 0+ 22 ( x
 ∂x ∂y (2.9a)

Laplace 演算子
Δ=

∂2
∂2
+ 2
2
∂x
∂y

を用いることにより(2.9a)式はΔ (σ x + σ y ) = 0(2.9b)と表現することもできる。Laplace 方程式の解は調和関数(harmonic
function)と呼ばれる。(2.9)式は，適合条件式(2.5)式，力学的平衡方程式(2.6)式，さらに完全弾性体の構成式(2.7)式を同時に満たしている。したがって変形に関する境界条件を(2.9)式に適用すること
により任意の 2 次元弾性問題を解くことができる。
G.B. Airy は(2.9)式で示した 2 次元弾性問題を解くに当たり次式で定義される応力関数 ϕ を導入した；

σx =

∂ 2ϕ
∂y 2

σy =

∂ 2ϕ
∂x 2

τ xy = −∂ 2ϕ∂ x ∂y(2.10)(2.10)式で定義される任意の応力関数 ϕ は力学的平衡方程式(2.6)
式を自動的に満たしている。(2.10)式を(2.9)に代入することにより最終的に応力関数 ϕ に関する 4 次微分方程式

∂ 4ϕ
∂ 4ϕ
∂ 4ϕ
+
+
2
∂x 4
∂x2 ∂y 2 ∂y 4
= Δ ⋅ Δϕ(2.11)=0が得られる。(2.11)式は Δ ϕ に関する Laplace 方程式となっている

9

ため， ϕ は重調和関数(bi-harmonic function)とも呼ばれる。したがって(2.11)式に示した重調和方程式を然るべき境界条件のもとで解くことにより得られる解 ϕ を(2.10)式に代入することにより，2次元応力状態を記述することができ，さらには，これらの応力と弾性体構成式(2.7)式から平面歪問題における歪・応力分布を定量的に記述することが可能となる。

2.3 軸対称問題
圧子圧入軸(z 軸)に関する軸対象問題は方位角θ に依存しない 3次元問題として円柱座標系を用いて取り扱うことができる。したがって(1.9)式を用いることにより

∂ur
∂r

εθ =

γ rθ = 0γθ z = 0

εr =

ur
r

∂u z
∂z
∂ur ∂u z+
γ zr =∂z∂r

εz =(2.12)の関係を得る。また，(2.12)式の歪と変位の関係を結びつける Saint
Venant 適合条件式は，(1.10)式に軸対称条件を適用することにより次式で表現出来る；∂  ∂εθ− ( ε r − εθ )  = 0
r∂r  ∂r

∂ 2εθ
∂z

2

+

∂ 2ε z1 ∂ε z 1 ∂γ rz
=
r ∂r
r ∂z

(2.13)∂ 2ε r∂ 2γ rz
+
=
∂r ∂z
∂r 2
∂z 2
∂  ∂εθ ε r − εθ 
−
=0
r 
∂z  ∂r

さらに，力学的平衡方程式(1.11)式の軸対象表現は次式で与えられる；

σ r − σθ
r

τ zr
r

+

+

∂σ r ∂τ zr
+
=0
∂r
∂z

(2.14a)∂τ zr ∂σ z
+
=0
∂r
∂z

(2.14b)τ rθ = 0 = τ zθ

(2.14c)

上式では表現を簡潔にするため(1.11)式の体心力( R ， Θ ，Z )を省略している。
一方，(x, y, z)座標系における線形弾性体構成式((2.1)式)を軸対称

10問題に適用することにより，各応力成分で表現した完全弾性体構
成方程式は

1
σ r − ν (σ θ + σ z ) E1εθ = σ θ − ν (σ z + σ r ) E1
ε z = σ z − ν (σ r + σ θ ) Eεr =γ rθ = 0γθ z = 0γ zr =(2.15a)τ zrGあるいは，歪または変位で表現した構成式として

∂ur
∂r
ur
σ θ = λ e + 2Gεθ = λ e + 2Gr∂u z
σ z = λ e + 2Gε z = λ e + 2G∂z

σ r = λ e + 2Gε r = λ e + 2Gτ rθ = 0(2.15b) ∂ur ∂u z 
+
∂r 
 ∂z

τθ z = 0τ zr = Gγ zr = G 

により与えられる。上式で体積歪 e およびラメ定数 λ はそれぞれ次式により定義される；

e = ε r + εθ + ε z=

λ=∂ur ur ∂u z
+ +
∂r
r
∂z

ν

(1 + ν )(1 − 2ν )(2.16)

E

さらに，(2.14)式〜(2.16)式を Saint Venant 適合条件式(2.13)式に代入することにより，軸対称問題における完全弾性体の BeltramiMichell の適合条件式として次式を得る；

1 ∂ 2Σ
=0
1 + ν ∂r 2
r
2
1 ∂ΣΔσ θ − 2 (σ θ − σ r ) +=01+
ν r ∂rr

Δσ r −

2(σ r − σ θ ) +2(2.17)1 ∂2Σ
Δσ z +=0
1 + ν ∂z 2
Δτ rz −

1
r

τ +
2 rz

1 ∂ 2Σ
=0
1 + ν ∂r ∂z

ここに， Σ は Σ = σ r + σθ + σ z で定義される法線応力和を意味し，
軸対象円柱座標での Laplace 演算子は11

∂2 1 ∂
∂2++
∂r 2 r ∂r ∂z 2
1 ∂  ∂  ∂2=
r  +r ∂r  ∂r  ∂z 2

Δ=

(2.18)

により表現出来る。
平面歪問題の定量記述に際し，第 2.2 節では (2.10)式において，Airy の応力関数を導入することにより重調和方程式を誘導した。これと同様に軸対称問題においても各応力成分を一意的に記述することのできる応力関数として Love の応力関数 ϕ を次式により導入
する；

σr =

∂ 
∂ 2ϕ 
νΔϕ − 2 
∂z 
∂r 

σθ =

∂ 
1 ∂ϕ 
νΔϕ −
r ∂r 
∂z (2.19)∂ ∂ 2ϕ 
σ z =  (2 − ν )Δϕ − 2 
∂z 
∂z 

τ rz =∂ ∂ 2ϕ 
(1
)
−
Δ
−
ν
ϕ


∂r 
∂z 2 

Love の応力関数 ϕ を導入することにより力学的平衡を表現した(2.14a)式は自動的に満足される。また，ϕ が次式で示す重調和方
程式(2.20)Δ ⋅ Δϕ = 0の解であると仮定することにより，(2.14a)式と同様に，(2.14b)式も自動的に満足される。さらに，変位 ur が ur = rεθ ， u z が uz =  ε z dz
により与えられることに留意すると，(2.15)式， (2.16)式および(2.19)式に応力関数 ϕ を適用し変位成分を以下のように表すことができる；

2Gur = −

∂ 2ϕ
∂r ∂z

(2.21)∂ 2ϕ
2Gu z = 2(1 − ν )Δϕ − 2∂z

したがって与えられた境界条件の下で上記の重調和方程式((2.20)式)の解 ϕ を求め，この解を(2.19)式に，さらには(2.15a)式に代入することにより，完全弾性体の軸対称問題における応力場および歪・変位場を定量記述することが可能となる。

12

2.4

軸対称問題における重調和方程式の解法
ーHankel 変換の適用ー

弾性問題を解くには与えられた境界条件の下で重調和方程式(2.11)式あるいは(2.20)式の解である応力関数 ϕ を求める必要がある。19 世紀後半から 20 世紀前半に掛け多くの数学者・物理学者
が重調和方程式の解法に挑戦し，特定の限定された境界条件下では応力関数 ϕ を多項式やフーリエ級数で表現する解法が提案された。より一般的には応力関数 ϕ を複素空間で表現する手法が広く用いられている。圧子力学問題に話を限ると，その力学過程は圧入軸に関する軸対象問題となり，この力学過程を記述する最も適した座標系は図 1.3 に示した円柱座標系となる。円柱座標系では
重調和関数を始め多くの Laplace 方程式の解法に Hankel 変換(Hankel transformation)の適用が極めて有効であることが広く知られている。本節では(2.20)式で示した重調和方程式に Hankel 変換を適用することにより各種の軸対称弾性圧子力学問題を議論する[2.1-2.2]。
Hankel 変換では変換積分の核に Bessel 関数を用いる。Hankel 変換の適用により重調和方程式を極めて簡潔に解く事ができるのは，
円柱座標系における Laplace 方程式 Δ ϕ = 0 に変数分離法を適用することによって得られる動径方向微分方程式が第一種 Bessel 微分方程式に帰着される事実に由来している。円柱座標系でその有意性が発揮されるため Bessel 関数は円柱関数あるいは円筒関数とも称される。Bessel 関数のより詳細な解説は本書巻末の Appendix Bに与えられている。
第一種 n 次 Bessel 関数 J n ( x ) は微分方程式

d 2 J n ( x) 1 dJ n ( x)  n2 +
+  1 − 2  J n ( x) = 0
dx2
x dx
 x 

(2.22)の解として定義される。一方，応力関数 ϕ ( r , z ) の Hankel 変換を次式∞

ϕ nH (ξ , z ) =  rϕ ( r , z ) J n (ξ r ) dr

(2.23)

0で定義すると，その逆変換は(2.24)式で表現される；∞ϕ ( r , z ) =  ξϕ (ξ , z ) J n (ξ r )d ξ0Hn(2.24)

ここで，(2.18)式で与えられる Laplace 演算子を応力関数 ϕ に作用させて得られる関数 Δϕ の零次 Bessel 関数 J 0 (ξ r ) に関する Hankel

13[2.1] I.N. Sneddon, “Fourier Transforms”,
McGraw-Hill (1951)[2.2] D. Maugis, “Contact, Adhesion and
Rupture of Elastic Solids”, Springer(2000)

変換∞

I =  r Δϕ (r , z ) J 0 (ξ r )dr
0

∞

∂2 ∞
 ∂  ∂ϕ =r
 J 0 (ξ r )dr + 2 0 rϕ J 0 (ξ r )dr∂z0 ∂r  ∂r を考えてみる。上記の右辺第一項の積分を 2 度に渡り部分積分し，さらに，上述した n 次 Bessel 関数 J n ( x) を定義した微分方程式((2.22)式)に n = 0 を代入することにより得られる零次 Bessel 関数

J 0 ( x) に関する微分方程式
d 2  J 0 (ξ r ) d (ξ r )2+

1 d  J 0 (ξ r ) 
+ J 0 (ξ r ) = 0
ξ r d (ξ r )を適用することにより∞

I =  r Δϕ (r , z ) J 0 (ξ r )dr
0

 d2
 ∞
=  2 − ξ 2   rϕ J 0 (ξ r )dr
 dz
 0

(2.25) d2
=  2 − ξ 2  ϕ0H (ξ , z ) dz
を得る。ただし，上述した部分積分の操作では応力関数 ϕ およびその空間勾配 d ϕ / dr が r → ∞ において 0 となる力学条件を利用している。さらに，上述の積分 I において新たに ϕ ≡ Δ ϕ を代入する
ことにより重調和方程式(2.20)式， Δ ⋅ Δ ϕ = 0 ，の Hankel 変換として次式を得る。
2 d2
2  d2 H
 2 − ξ  2 − ξ  ϕ0 (ξ , z ) = 0
 dz
 dz


(2.26)

すなわち，「重調和方程式(2.20)式の解 ϕ ( r , z ) は(2.26)式で与えられるｚに関する常微分方程式の解 ϕ0H (ξ , z ) の Hankel 逆変換として与えられる」。換言すると重調和関数 ϕ ( r , z ) の Hankel 変換 ϕ0H (ξ , z )は(2.26)式を満足する。一方， z に関する 4 次線形常微分方程式(2.26)式は，その特性方程式が重根( ± ξ )を有することに着目して容易に解くことができる。4 個の積分定数 A，B，C，D を用い，(2.26)式の一般解は次式で与えられる；

ϕ0H (ξ , z) = ( A + Bξ z)e−ξ z + (C + Dξ z)eξ z(2.27)

14

これら 4 個の積分定数は個々の軸対称力学問題における境界条件
から最終的に決定される。
第 3 章で詳述する圧子力学理論の展開において重要な役割を果たす各変位成分および各応力成分の ϕ0H (ξ , z ) を用いた表現式導出を以下に示しておく。先ず，Δϕ の零次 Hankel 変換が(2.25)式で与えられること，さらに，導関数 d ϕ / dr の一次 Hankel 変換が次式∞∞

 r ( dϕ / dr )J (ξ r ) dr = −ξ  rϕ J (ξ r )dr
1

0

0

0

により関数 ϕ の零次 Hankel 変換に関係付けられる事実(Appendix
B 参照)に留意したうえで，(2.21)式に Hankel 変換とその逆変換を適用することにより，最終的に変位 ur および u z を Hankel 空間での応力関数 ϕ0H (ξ , z ) を用い次式のように表すことができる；∞

dϕ
2Gur =  ξ 2 0 J1 (ξ r ) dξdz
0H

(2.28)∞ 
d 2ϕ0H2Gu z =  ξ (1 − 2ν )− 2 (1 − ν ) ξ 2ϕ0H J 0 (ξ r ) d ξ
2
dz
0 


(2.29)
同様の Hankel 変換操作を(2.19)式に適用することにより，ϕ0H (ξ , z )を用いて各応力成分 σ r ， σ θ ， σ z ，τ rz を一意的に表現することも
できる；



∞

H
 d 3ϕ 0H
2 dϕ0 
(1
ν
)
ξ
+
−
J 0 (ξ r ) d ξ
3
dz 
 dz

σ r =  ξ ν
0(2.30)∞dϕ H
1
−  ξ 2 0 J1 ( ξ r ) d ξ
r 0
dz



∞

H
 d 3ϕ 0H
2 dϕ0 ξ−
J 0 (ξ r ) d ξ
3
dz 
 dz

σθ = ν  ξ 
0(2.31)∞dϕ H
1
+  ξ 2 0 J1 (ξ r ) d ξ
r 0
dz
∞

H
 
d 3ϕ0H2 dϕ0 
(2
ν
)
ξ
−
−
σ z =  ξ (1 − ν )J 0 (ξ r ) d ξ
dz 3
dz 
0 

(2.32)15∞ d 2ϕ0Hτ rz =  ξ 2 ν+ (1 − ν )ξ 2ϕ0H J1 (ξ r ) d ξ
2
0
 dz


(2.33)

第 3 章で論じる完全弾性体の圧子力学理論の展開において，各種形状の軸対称圧子(平端円柱圧子，球形圧子，円錐圧子)の圧入荷重
P と圧入深さ h との関係を導出する際に(2.28)式〜(2.33)式は重要な役割を果たす。

16

3 完全弾性体の圧子力学
硬度測定のみならずミクロ・ナノ領域における各種の力学物性の測定・評価に広く用いられている代表的な微小圧子の幾何形状には，球形(ブリネル(Brinell 圧子))，円錐(ロックウェル(Rockwell圧子))，三面ピラミッド(バーコビチ(Berkovich 圧子))，および四面ピラミッド(ビッカース(Vickers 圧子))がある。試験体表面に，これらの圧子を圧入する過程での圧入荷重 P と圧入深さ h との関係
(P-h 関係)から注目する試験体の力学物性を定量評価することが可能となる。容易に推察できることであるが，圧子の幾何形状が異なると，同一試験体であっても，その P-h 関係は著しく異なってくる。本節では，任意形状を有する軸対称圧子について弾性圧
子力学の一般理論を展開する[2-2]。
任意形状軸対称圧子を荷重 P で半無限平面上に圧入した状況を
図 3.1 に示す(簡単のために，圧子と平面との接触摩擦をゼロと仮定する)。圧子の圧入深さを h，圧子と材料表面との接触深さと接触半径を，それぞれ，hc および a とし，圧入軸(z 軸)から半径 r における自由表面での z 方向変位を u z (r , 0) とする。この圧入状況に対する自由表面 z=0 での境界条件は次式で定量的に記述される；

uz ( ρ , 0 ) = h − f ( ρ ) ; 0 ≤ ρ ≤ 1

σ z ( ρ ,0 ) = 0:

ρ >1

(3.1)

τ rz ( r ,0 ) = 0

ここに， ρ = r / a は接触半径 a を用いた無次元半径， f ( ρ ) は
f (0) = 0 で定義される軸対象圧子の形状関数である。(3.1)式の第一式は圧子接触領域( 0 ≤ ρ ≤ 1 )での表面変位を表しており，第二式
は圧子接触領域の外側( ρ > 1 )では z 方向の応力が存在しない自由P表面であることを意味している。また，第三式は圧子と材料表面間での接触摩擦が存在しないことを表現している。

uz(r,0)0r

f(r/a)

hc

力関数の Hankel 変換 ϕH0h

力成分がゼロとなる自明の事実により，(2.27)式で与えた重調和応

hs

圧子の接触領域から十分に離れた領域( r → ∞ )ではすべての応ra(ξ , z ) は ξ → ∞ で有限でなければならなzf (r / a) により形状を記

い，すなわち，無限大に発散してはならない。この事実により(2.27)

図 3.1

式は以下のように書き換えられる；

述した軸対称圧子の圧入に伴う半無限平面の変形

ϕ0H (ξ , z) = ( A + Bξ z)e−ξ z17(3.1)式の境界条件 τ rz ( r ,0 ) = 0 を(2.33)式に適用して得られる

 d 2ϕ0H =02  dz  z =0

(1 −ν ) ξ 2ϕ0H (ξ ,0 ) + ν に 上 述 の 関 係 式 ϕ0 (ξ , z ) = ( A + Bξ z )eH−ξ zを代入することにより

A = 2ν B の関係が得られる。したがって Hankel 変換した重調和方
程式の解 ϕ0H (ξ , z ) は

ϕ0H (ξ , z ) = B ( 2ν + ξ z ) e−ξ z(3.2)と表現できる。
さらに，(2.29)式および(2.32)式に境界条件(3.1)式を適用し，得られた関係式に(3.2)式を代入することにより，最終的に未定定数 B
は次式で与えられる；B=−

E 'a 1χ (t )cos(aξ t )dt
2ξ 3 0

(

(3.3)

)

ここに E ' は E ' = E 1 − ν 2 で定義される平面歪ヤング率を意味する。(3.3)式の積分に含まれる χ ( t ) は Sneddon により導入された関数であり，圧子形状関数 f ( r ) および圧入深さ h を用い次式で定
義される；
t

2
 f '( x)dx  h − tπ 
0 t 2 − x 2 χ (t ) =(3.4)

上述の考察により，圧子形状関数 f ( r ) に関係付けて積分定数 B を決定することができた。したがって(3.3)式を(3.2)式に代入することにより

ϕ 0H (ξ , z ) = − ( 2ν + ξ z ) e −ξ z

E 'a 1χ (t ) cos(aξ t )dt
2ξ 3 0(3.5)

を得る。このようにして得られた ϕ0H (ξ , z ) を(2.28)式〜(2.33)式に代入することにより，f ( r ) で記述された任意形状の軸対称圧子(図3.1 参照)の圧入に伴う半無限弾性体の表面変位と応力とを定量的に記述することが可能となる。
先ず，(3.5)式で与えられた ϕ0H (ξ , z ) を用い，圧入荷重 P と，これにより生じる圧入深さ h との関係(P – h 関係)について考察する。
圧入荷重 P は半径 a の領域に広がる接触応力 σ z ( r ,0 ) ( r ≤ a ) の総a

和として P = −2π  rσ z ( r , 0 )dr により表現できることに留意した
018

うえで，(3.4)式および(3.5)式を(2.32)式に適用することにより，最終的に次式で示す P – h 関係を得る;
1xf ( x)
P = 2aE ' h − dx   1 − x2 
0



(3.6)

接触領域( ρ < 1 )における接触圧力分布 σ z ( r ,0 ) は(2.32)式に(3.5)式を代入することにより次式で与えられる；σ z ( ρ ,0) = −1
 χ '(t )dt 
E '  χ (1)−
2a  1 − ρ 2  ρ t 2 − ρ 2 



(3.7)

一方，接触領域の外側に位置する( ρ > 1 )自由表面での z 方向変位uz ( ρ ,0) は(3.5)式を(2.29)式に代入することにより次式で表現することができる；1 χ (t )dt
u z ( ρ , 0) = 
0 ρ 2 − t 2= χ (1)sin

−1 1

ρ

(3.8)

1

−1 t

0

ρ

−  χ '(t )sindt

f ( r ) により記述された任意形状軸対称圧子に関して展開した上述の弾性圧子力学に関わる一般論を基に軸対称圧子の具体例について更に圧子力学的考察を進める。

3.1

平端円柱圧子図 3.2 に平端円柱圧子(flat punch)(半径 a 0 )圧入に伴う半無限弾
性体表面変形の様子を示す。接触半径 a 0 を底とする無次元半径座
標 ρ (= r / a0 ) を用いると圧子形状関数 f ( ρ ) はf ( ρ ) = 0; 0 ≤ ρ ≤ 1

により与えられる。したがって(3.6)式右辺の積分項を零とおくことができるため，平端円柱圧子の P - h 関係式として次式を得る；

P = 2a0 E ' h

P

(3.9)

(3.9)式は，圧入荷重 P が圧入深さ h に対して直線的に増大し，その勾配は材料のヤング率 E ' により規定されることを意味している。

. r0( 0 ≤ ρ ≤ 1 )における応力分布 σ z ( ρ ,0) は， (3.7)式，(3.9)式より

σ z ( ρ , 0)pm

11
; 0 ≤ ρ <1=−
2 1− ρ2
2

19

r

a0

(3.10)

で与えられる。ここに， pm は pm = P / π a0 で定義される平均接触uz(r,0)h

また，(3.4)式で χ (t ) ≡ 2 h / π となることに留意すると，接触領域z

図 3.2 平端円柱圧子の圧入に伴う表面変形

圧を意味している。(3.10)式が示すように，接触圧力 −σ z ( ρ ,0) は圧子中央( ρ = 0 )で最小値 pm / 2 を取り，中心部から円柱外周部に向かうに従って増大し， ρ → 1 で ∞ へと発散する。
接触領域を囲む外周域 ρ ≥ 1 における自由表面の変位(圧子圧入に 伴 う 自 由 表 面 の 沈 み 込 み ) u z (r , 0) は χ '(t ) = 0 お よ びχ (1) = 2 h / π の関係を(3.8)式に代入することにより次式で表現できる；

u z ( ρ , 0) =2hπsin −11

ρ(3.11)1 P
1sin −1=ρ
π E ' a03.2

球形圧子(Hertz 接触問題)

図 3.3 に球形圧子(spherical indenter)(半径 R)の圧入に伴う材料表面の変形様式を示す。圧子形状関数は次式で与えられる；(3.12)

0の圧子力学実験からも a ≤ 0.4 R の範囲で，(3.12)式で示した近似が十分の精度で成立することが知られている。(3.12)式の近似を(3.4)式に代入することにより χ ( t ) は次式で表現できる；2
a2 2 
h
t 
−
R 
π 

(3.13)

さらに， (3.6)式に(3.12)式を代入し，(3.7)式に(3.13)式を代入する
ことにより


1 a2 
P = 2aE '  h −
3Rσ z ( ρ ,0) = −uz(r,0)rr

hc

以降，計算簡略化のために a  R を仮定して考察を進める。実際χ (t ) =Rh

1 a2 2
ρ ; aR≈
2 R

hsf (ρ ) = R − R2 − a2 ρ 2

P(3.14)

E '  χ (1)4a 2
1− ρ2 ; 0 ≤ ρ ≤1+
2a  1 − ρ 2 π R(3.15)を得る。
前述の平端円柱圧子の場合，(3.10)式で示したように，圧子接触境界内側 ρ = 1 − ε ( ε ↓ 0 )で σ z ( ρ ,0) ↓ −∞ ，接触境界外側 ρ > 1 の

20

a
z

図 3.3 Hertz 接触による表面変形

自由表面では σ z ( ρ , 0) ≡ 0 と，z 方向接触応力は不連続的に変化する。これは，図 3.2 に示すように接触外周部 ρ = 1 で自由表面が屈曲することに起因している。一方，Hertz 接触の場合，図 3.3 で示すように材料表面形状は，接触境界で圧子との接触面から自由表
面へと滑らかに変化する。さらに，一般的な圧子接触問題においては，材料の表面自由エネルギー(表面張力)が無視できる程度に小さいことを考慮すると，接触応力 σ z ( ρ ,0) は ρ = 1 − ε ( ε ↓ 0 )で自由表面の値，すなわち σ z (1,0) = 0 となる必要がある。この物理的必要条件を満たすためには(3.15)において，(3.16)

χ (1) = 0

でなければならない。その結果，接触半径 a および圧入荷重 P は，それぞれ，(3.13) ，(3.14)式を用い，実測可能な物理量である圧入
深さ h の関数として以下の様に簡潔に表現できる；
a = Rh1/ 2

P=(3.17)

4
E ' Rh3/2
3(3.18)

また，接触応力は平均接触圧(mean contact pressure) pm = P / π a を2用い，(3.15)式から

σ z ( ρ ,0)
pm

=−

3
1− ρ2 ; 0 ≤ ρ ≤1
2

(3.19a)あるいは最大接触圧 p0 = (3 / 2) pm を用い

σ z ( ρ , 0)p0

= − 1− ρ2 ; 0 ≤ ρ ≤1

(3.19b)により表現できる。さらに，接触域外側( ρ > 1 )自由表面の z 方向
変 位 ( 圧 子 の 圧 入 に よ り 生 じ る 自 由 表 面 の 沈 み 込 み ， sink-in)uz ( ρ ,0) は(3.8)式および(3.13)式から以下のように表現できる；u z ( ρ ,0) =a2 ( 2 − ρ 2 ) sin −1 ρ1 + ρ 2 − 1
π R ρ 2 



h 
1
= 2 ( 2 − ρ 2 ) sin −1 + ρ 2 − 1  ; ρ ≥ 1
πρ 
ρ


(3.20)

一方，図 3.3 で定義した hs は，(3.20)式に ρ = 1 を代入することにより hs ( = uz (1,0) ) = h 2 となるため，最終的に，圧子接触深さ hc は

hc = h / 2 で与えられる。したがって Hertz 接触(Hertzian contact)では相対接触深さ(relative contact depth) ηc ( = hc h ) は圧入深さに依存することなく常に21ηc  ≡
hc  1=h  2(3.21)

となる。

3.3

円錐圧子

図 3.4 に円錐圧子(conical indenter)の圧入に伴う表面変形の様子を示す。圧子形状関数は圧子面傾き角度 β (inclined face-angle, β )Puz(r,0)を用い次式で与えられる；
0

hs hc
h

(3.22)f ( ρ ) = a ρ tan β

したがって(3.4)式に(3.22)式を代入することにより Sneddon 関数

r

r
β

a

χ (t ) は

z


2
1

dx 
 h − ta tan β 
2
2


π
0 t − x2h= − ta tan βt

図 3.4 円錐圧子接触による表面

χ (t ) =(3.23)πで与えられる。(3.23)式より χ (1) = 2 h / π − a tan β の関係が存在し，しかも，前述した Hertz 接触同様に接触境界における物理的必要条件から χ (1) = 0 でなければならないことに留意すると，接触半
径 a と圧入深さ h との間には次式の関係が成立する；

a=2cot βπh(3.24)

さらに上述した Hertz 接触問題と同様の計算を行うことによりP=

2cot βπσ z ( ρ , 0)pmuz ( ρ ,0) =E ' h2= − cosh −1(3.25)1ρ

; 0 < ρ ≤1

(3.26)

2h  −1 1− ρ + ρ 2 − 1 ; ρ ≥ 1
sin

π 
ρ


(3.27)

を得る。 (3.27)式に ρ = 1 を代入することにより，円錐圧子接触問
題において相対接触深さ ηc ( = hc h ) は次式で与えられる；ηc  ≡
hc  2=h  π(3.28)

上述した球形圧子の場合と同様，円錐圧子においても相対接触深さ ηc ( = hc h ) は圧子圧入深さ h に依存することなく常に一定の値をとる。
上述した幾何形状を異にする代表的な 3 種類の圧子について，

22

変形

を図 3.5 および図 3.6 に比較して示す。
圧子力学実験で実測可能な物理量である圧入荷重 P と圧入深さ

h を用いて表現された(3.9)，(3.18)，および(3.25)式は実験から平面
歪ヤング率 E ' を求める際に重要となる関係式ではあるが，一見すると，「応力と歪が線形関係」にある弾性体の変形様式を表してい

無次元接触圧力, σz(ρ,0)/pm

それぞれの接触圧力 σ z ( ρ , 0) / pm と自由表面圧入変位 u z ( ρ , 0) / h: 平端円柱圧子: 球圧子: 円錐圧子

3

2

1

0
0

0.2

ないように見受けられる。しかし，これらの表現式を平均接触圧

pm ( = P / π a 2 ) と圧入歪(indentation strain) ε I を用いて書き直すことにより，一般化されたフック則， pm = E ' ε I ，として一意的に表

0.4

0.6

0.8

1

無次元半径,ρ

図 3.5 異なる圧子形状における接触圧力分布

現出来ることが分かる。ここに圧入歪 ε I は次式により定義される；

球圧子：

円錐圧子：

2 h  
π  a0 (3.29)

εI =

4 a
 
3π  R (3.30)

εI =

tan β
2

(3.31)εI =0

無次元変位, uz/h

平端円柱圧子：0.2
0.4: 平端円柱圧子: 球圧子: 円錐圧子

0.6
0.8
1
1

2

3

ここで，平端円柱圧子や球圧子とは異なり，円錐圧子の圧入歪 ε Iは圧子の圧入深さ h に依存しないことに注意を払っておきたい。
この事実は， (3.24)式で示したように，円錐圧子の場合，接触半「圧子形状の幾何相似性
径 a が圧入深さ h に比例する，すなわち，(geometrical similarity)」に起因している。力学物性の実験定量において，幾何相似性を有する円錐圧子やピラミッド圧子が広く用いられているのは，上述した「圧入歪 ε I が圧子の圧入深さ h に依存しない」ためであり，これにより，弾性域のみならず後述の弾塑
性・粘弾性域における圧子力学解析をも容易ならしめている。
先に述べたように圧入歪 ε I の概念を導入することにより，形状を異にする圧子に対して，平均接触圧 pm ( = P / π a2 ) と圧入歪 ε I との間には，一律，次式で表される「線形」の関係が成立する；

pm ( = P / π a 2 ) = E ' ε I(3.32)「完全弾性体」に対するこの普遍的かつ簡潔な線形表現式は圧子力学の本質が接触面積 A(= π a 2 ) により規定されるという重要な事実を示唆している。弾性解析のみならず弾塑性解析においても圧入荷重 P と接触面積 A の計測が圧子力学実験において極めて重

23

4

5

6

7

8

9

10

無次元半径, r/a

図 3.6 異なる圧子形状における自由表面（ r a ≥ 1 ）の圧入変位

u z ( ρ , 0) / h

要かつ本質的となることを第 4 章以降でより詳細に論じる。
第 3.1 節から第 3.3 節で考察した幾何形状を異にする各種軸対
称圧子の力学応答の表現式の中で，実験により力学物性を評価するに当たって，特に重要となる関係式， P - h ， a − h および a − P
関係式，について，これらの現象論的表現を次式および表 3.1 にまとめて示しておく。

P = kh E ' hn(

(3.33))a ≡ A π = Bh n −1

(3.34)= CP ( n −1)/ n

表 3.1 圧子力学パラメータ一覧
平端円柱圧 子平坦円柱圧子

球形圧
子
球形圧子

f (ρ )

0( a 2R) ρσ z (ρ ,0) / pm

−1 2 1 − ρ 2−3 1 − ρ2 2

− cosh−1(1/ ρ)

n

1

3/2

2

kh

2a0

4 R3

2cot β πB

a0R

2cot2 β πC

a0

(3 4 E' ) R

2cot βhc / h11/2π2 /π2εI

2h π a0((4433ππ))( ah R)

tan β 2

2

1/3

円錐圧 子
円錐圧子

aρ tan β21/3* ρ = r/ a

24

πE'

4 塑性発現規範と圧子接触問題
金属・セラミック材料を含む多くの工業材料は微小変形下で弾性挙動を示す。弾性変形を誘起する力学的仕事は，これら固体を構成する原子・分子間距離の可逆的な変化として系のエンタルピ
ー増大 ΔH ，ひいては Gibbs 自由エネルギー ΔG の増大をもたらす。一方，ゴム・高分子材料の弾性変形においては，外部仕事は
構成分子鎖の変形に伴うエントロピー減少 ΔS ( < 0 ) をもたらし，
その結果，自由エネルギー ΔG ( ≈ −T ΔS ) の増大として系に蓄積される。このため，前者の弾性変形はエンタルピー弾性，後者は，エントロピー弾性と呼ばれている。外部負荷・拘束を取り去ると，変形により増大した自由エネルギーは系外へと開放され，その結果，これらの弾性固体は変形前の形状・寸法へと可逆的に回復する(reversible recovery)[1-2, 1-3]。
弾性変形には限界，弾性限界(elastic limit)， があり，この限界点(降伏点)を越えてさらに変形を加えると，外部負荷・拘束を取り去った後でも注目する固体は，もはや元の形状・寸法に回復することはなく有限の変形(塑性変形)(plastic deformation)が残留してしまう。図 4.1 に塑性変形を伴う丸棒の単純伸長・圧縮における応力−歪曲線を定性的に示す。図中に示した Y は伸長・圧縮変形における降伏応力(yielding stress, yielding strength)と称され，弾性限界を規定する特性応力である。応力 σ が 0 ≤ σ < Y の範囲にある弾性域では注目する固体は可逆的な弾性変形を示す。一方，応力 σが降伏応力 Y を上回る領域( σ ≥ Y )は塑性域と呼ばれ，この領域では弾性変形に加え塑性変形も誘起される。すなわち，

σ ≥Yが塑性変形の発現規範(criterion)となる。完全徐荷後の残留歪 ε p(図 4.1 参照)は塑性域において生じた非可逆的な塑性歪量を表し

伸長・圧縮応 力,σ(4.1)

現機構を微視的に考察する。3 次元的な外部負荷により金属結晶E

徐荷

典型的な弾塑性体である金属材料を例に，以下，塑性変形の発

負荷

Y

ている。

E

内部には法線変形とずり変形が誘起される(第 1 章参照)。これらの変形のうち，ずり変形により生じる原子面間の相対的な滑りが塑性変形を引き起こす。微小ずり変形に留まっている限りは，この原子面間の相対的な滑りは，ずり弾性率 G (shear modulus, G )で記述される可逆的な弾性変形となるが，弾性限界を越えるずり

25

0

εY

εp

伸長・圧縮ひずみ,ε

図 4.1 弾塑性変形を伴う
応力 σ ‐歪 ε 曲線

応力 τ を付加すると，原子面間の相対的な滑りは非可逆的となり，
塑性変形へとつながる。ずり変形の弾性限界を規定するずり応力(ずり変形に対する降伏応力)を k で表すと，塑性変形発現規範は次式で与えられる。

τ ≥k

(4.2)

上記の単純伸長・圧縮や単純ずり変形とは別に，一般的に観察される，複雑な 3 次元応力・歪状態での塑性の発現は如何なる応力規範に則って生じるかを次に考察する。

最大ずり応力規範 (Tresca Criterion)
丸棒の両端に単純伸長応力 σ を付加すると丸棒の軸に対して45°傾いた面内でずり応力 τ は最大値 τ max = σ / 2 となる。したがっ4.1て最大ずり応力規範では

max {σ } ≥ 2k = Y(4.3)の関係が成り立つ。より一般的な 3 次元応力状態における Tresca
規範は次式で表される。

max { σ 1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ 1 } ≥ 2k = Y(4.4)

上式で σ 1 ，σ 2 ，σ 3 は 3 次元応力状態における主応力を意味する。
任意の 3 次元応力状態では，図 1.2 あるいは図 1.3 に示すように，任意の面には法線応力 σ i と共にずり応力 τ ij が存在する。しかし，これらの応力を記述している座標軸，例えば ( x, y, z ) 座標系を座標の原点周りに回転させることにより，図 4.2 で示すように，全てのずり応力成分の存在しない，すなわち， τ ij = 0 となるように
新たな座標軸系 (1, 2,3) を選ぶことができる。それぞれの座標軸，
1‐，2‐，3‐軸は主軸(principal axis)と呼ばれ，面の法線が主軸方向に2σ2ある面は主平面と呼ばれ，この平面上には，ずり応力が存在せず，主応力と呼ばれる法線応力のみが存在する。図 4.2 の白破線で囲まれた面内に生じているずり応力 τ は主応力 σ 1 と σ 2 により誘起τ

さ れ る 。 そ の 最 大 値 τ max は (4.3) 式 と 類 似 の 考 察 に よ りσ3τ max = σ1 − σ 2 / 2 と表現できる。したがって塑性変形規範として
max { σ 1 − σ 2 } ≥ 2k = Y(4.5)

を得る。さらに(4.5)式のより一般的な 3 次元拡張表記として先に示した(4.4)式が得られる。
263
図 4.2 主軸と主応力

σ1

1

4.2

最大ずり歪エネルギー規範 (von Mises Criterion)

塑性変形の著しい多くの金属材料では，上記の Tresca 規範よりも以下に示す von Mises(フォンミーゼス)規範のほうが，より定量的に実験結果を再現することが知られている。3 次元応力-歪状態にある単位体積の立方体(図 1.2; dx = dy = dz = 1 )に蓄えられている弾性歪エネルギー密度 U は次式により与えられる；U = (1 / 2)(σ xε x + σ y ε y + σ z ε z+ τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zxγ zx )上式に(2.1)式を適用し，U を応力成分のみで書き直すことにより最終的に次式を得る；

1
σ x 2 + σ y 2 + σ z 2 − 2ν (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x )2E
1 2+(τ xy + τ yz2 + τ zx2 )2G22
1 2 1 +ν2=σm +σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x )
(
2K
6E
1 2
+
τ xy + τ yz2 + τ zx2 )
(
2G

U=

{

}

{

}

(4.6)
ここに K は体積弾性率(bulk modulus)を意味し K = E 3 (1 − 2ν ) に
よ り ヤ ン グ 率 E に 関 係 付 け ら れ る 。 平 均 法 線 応 力 σm は

σ m = (σ x + σ y + σ z ) 3 で定義される。(4.6)式の第二式右辺第一項は体積変化に伴う歪エネルギーを意味しており，右辺第二項および三項がずり歪エネルギー US を表している。いま， x ， y ， z 座標
を主応力方向に取ると，図 1.2 で示したずり応力成分， τ xy ， τ yz ，τ zx ，は図 4.2 で示すように 0 となり存在しなくなるので，ずり歪エネルギー US は主応力 σ 1 ， σ 2 ， σ 3 のみを用い

US =

1 +ν
2
2
2
(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
6E

{

}

(4.7)

と表現できる。単純伸長試験を行い σ1 = Y ，σ 2 = 0 = σ 3 で降伏した
2
場合，US (Tension) = (1 +ν )Y 3E となり，この値が塑性変形を誘起する限界ずり歪エネルギーを与える。一方，上記と同一の材料に対して純ずり試験を行い，σ 1 = −σ 2 = k ，σ 3 = 0 ，で降伏した場合，
2(4.7)式から US (PureShear) = (1 + ν )k E を得る([注]純ずり試験では

平均法線応力 σ m = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 3 が 0 となるので試験体には，ず

27

り変形のみが誘起される)。降伏点では両試験で得られた限界ずり
歪エネルギーは等しくなければならない，すなわち，U S (Tension) = U S (PureShear) の等価条件より von Mises 規範では，
Y = 3k の関係が存在する。これらの限界歪エネルギーを(4.7)式に適用することにより塑性変形を規定する von Mises 規範として次
式を得る；

{

}

1
2
2
2
(σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 ) ≥ Y 2 = 3k 2
2

4.3

(4.8)

球形圧子接触と塑性の発現

球形圧子接触を例に圧子圧入時に生じる圧子直下での塑性発現の様子を以下に考察する[4.1]。球形圧子の圧入に伴い誘起される
主応力 σ 1 ( = σ r ) ， σ 2 ( = σ θ ) ， σ 3 ( = σ z ) は，共に圧入軸(z 軸)上で最大値を取るため，塑性変形の起点は z 軸上( ρ = 0 ；第 3.2 節参照)にある。これらの主応力は(2.30)式〜(2.32)式，(3.5)式，および(3.13)式を用いることにより，それぞれ，以下のように表現することができる；σ r  σθ 1
−1 1 ≡ = −(1 + ν )  1 − ς tan+p0  p0 ς  2 (1 + ς 2 )


(4.9)

無次元最大ずり応力, τmax /p0
0

σz

1
=−
1+ ς 2p0

規範の考察で上述したように塑性変形を誘起する最大ずり応力

τ max (= σ r − σ z / 2) ((4.5)式参照)は，(4.9)式および(4.10)式を用い次式で表現される；

p0

0.2

0.1

0

0.48

1

無次元z座標, z/a

半径 a で規格化した無次元 z 座標を意味する。さらに，塑性発現=

0.3(4.10)

ここに，p0 は(3.19b)式で定義した最大接触圧，ς = z / a は圧子接触

τ max

0.4

0.31

2

3

4

σr −σz
2 p0


1
1
3
= −(1 + ν ) 1 − ς tan −1  +2ς2 2 (1 + ς )(4.11)

5

図 4.3 Hertz 接触により誘起される圧入軸に沿った無次元最大ポアソン比ν = 0.3 を例に，無次元最大ずり応力 τ max / p0 を無次元

ずり応力 τ max / p0 （(4.11)式）

z 座標 ς ( = z / a ) に対してプロットした関係を図 4.3 に示す。図に示すように，ずり応力は圧入軸に沿って， z = 0.48a において，その最大値 τ max = 0.31p0 に到達する。したがって Tresca 規範，
28[4.1] K.L. Johnson, “Contact Mechanics”,
Cambridge University Press (1985)

()

2τ max = max { σ 1 − σ 2 } ≥ 2k = Y では

p0 =3
pm ≥ 3.2k = 1.6Y
2

一方，Von Mises 規範，(4.12)

12(σ1 − σ 2 ) ≥ 3k 2 = Y 2 では
2p0 ≥ 2.8k = 1.6Y

(4.13)が塑性発現の敷居値を規定する。以上の考察より， p0 = (3 / 2) pm
および pm = P π a の関係を(4.12)式あるいは(4.13)式に代入し，ま2た球形圧子接触においては塑性発現に至る最小圧入荷重(塑性発PY

現の敷居圧入荷重) PY が Hertz 理論の弾性限界値で与えられることに留意し，最終的に次式を得る；

PY = (1.6)3

π 3 R2 Y 3
6a(4.14)

2

E'

0.48a

球形圧子接触での塑性発現抵抗性は Y 3 E '2 と共に増大する，すな
わち，低弾性率高降伏応力を有する弾塑性体ほど球圧子圧入における塑性発現抵抗性が増大することを(4.14)式は示唆している。

zvon Mises 規範に則った弾塑性体が PY の圧入荷重を受けた際に誘起される塑性域の様子（有限要素法(finite element method, FEM)
により数値解析した結果）を図 4.4 に示す(有限要素法を用いた数
値圧子力学の詳細は第 10 章で論じる)。図に示すように，圧入荷
重 P が(4.14)式で示した敷居荷重 PY に至ると z = 0.48a の位置に

図 4.4

PY において z = 0.48a の位置に生じた塑性核(有限要素法解析結果)「塑性核」が出現する。

29

球圧子圧入の敷居荷重

5 弾塑性圧子力学
5.1 Meyer 硬度の材料物理学
蒸気機関車が出現した 19 世紀後半，軌道(レール)と車輪間での接触現象，特に接触に伴い生じる金属材料の塑性変形(plastic
deformation)に関する科学と工学が大きく発展した。20 世紀に入ると，金属材料の塑性を評価する簡便な試験法として，「圧子押し込
み硬さ，圧子圧入硬度 (indentation hardness)」の概念およびその試
験法が提案された。代表的な硬度試験法として，高剛性金属球を圧入する「Brinell 硬度試験」(Johan August Brinell, 1900 年)，や正四角錐ダイヤモンド圧子を用いた「Vickers 硬度試験」(Vickers Ltd.,
1925 年)を挙げることができる。これらの試験法で求められる圧入硬度 H は圧子圧入荷重 P を圧入による塑性変形で形成された残留圧痕(residual impression)の寸法から算出された圧子接触面積

S で除した値，
H =PSとして一般的に定義される。これらの各種硬度試験法は，現在，規格化・標準化が進み，測定方法や硬度算出方法等の詳細についの規格書を容易に入手することが出来る[5.1]。
圧入硬度が持つ「材料物理学的な意味」，すなわち，「力学物性値」としての硬度に関する考察は E. Meyer (1908)の研究に端を発している。Meyer は圧入荷重 P を，これにより生じた圧痕の正射
影面積(投影面積) Aproj で除した値として圧子硬度(Meyer 硬度，

HM)
HM =

P
Aproj

(5.1a)

を定義することが材料力学的・物理学的な意味を考察する上で本[5.1] 例えば，

質的に重要であることを球圧子および円錐圧子に関する理論考察から明らかにした。塑性の著しい金属材料の場合，最大圧入時に観測される圧子/材料表面間の接触投影面積 A (projected contact「ブリネル硬さ試験 ‐試験方法」
JIS Z2243 (2018)「ビッカース硬さ試験 ‐試験方法」
JIS Z2244 (2009)

area, A )と除荷後に観測される残留圧痕の投影面積 Aproj は，ほぼ

「ロックウェル硬さ試験‐試験方法」

一致する。すなわち， A  Aproj と近似できる。しかし，圧子圧入時

JIS Z2245 (2016)に誘起される弾性変形の寄与が大きく，これが塑性変形に比して「ショア硬さ試験 ‐試験方法」
JIS Z2246 (2000)

無視できないセラミック材料や高分子材料の場合，徐荷時に生じ30

る弾性回復(elastic recovery)のため，一般的に言って， A > Aproj の関係が存在する。したがって圧子力学試験において硬度のみならず「弾性」および「塑性」を同時定量するためには，弾性回復後の「残留圧痕投影面積 Aproj 」ではなく，圧入時の「圧子/材料表面間
接触投影面積 A 」を用い，次式で改めて Meyer 硬度を定義しておく必要がある；HM =P
A(5.1b)

後述するように，負荷時接触投影面積 A は圧子力学の本質を理解する上で極めて重要な物理量となるため，本書では，以降，(5.1b)式で定義される Meyer 硬度を用い理論考察を展開していく。しかし，「圧痕の投影面積 Aproj 」と異なり，圧子負荷時に生じる「圧子/材料表面間接触投影面積， A 」の実験的計測には多くの困難を伴う。事実，汎用の計装化インデンテーション計測装置(conventional
instrumented indentation apparatus)では，圧子接触投影面積 A の実測は不可能であり硬度のみならず各種の圧子力学物性値(弾性率，降伏応力，粘弾性関数等)の厳密定量が不可能となる。この計測技術上の困難を回避するため，圧子の負荷徐荷過程で実測可能な圧子
圧入荷重 P と圧入深さ h の関係，すなわち，実測された P - h 関係に各種の仮定・近似を適用することにより推算した圧子接触投影
面積 A を用い各種の力学物性値を推算しなければならない。この極めて本質的な計測技術上の問題を解決するために計装化顕微イ
ンデンテーション計測装置（顕微インデンター）(instrumented
indentation microscope)が開発された。顕微インデンターの原理・構造，並びに計測データ解析等の詳細は第 11.3 節で論じられる。
塑性変形を伴わない｢完全弾性体｣の Meyer 硬度を先ず考えてみる。圧入荷重 P で生じる圧子/材料表面間接触投影面積を Ae (添え字の e は elasticity を意味する)とすると，完全弾性体の Meyer 硬度は(3.32)式より，次式で与えられる； P
HM  =  = εI E '(5.2)
 Ae 
ここに ε I は(3.29)〜(3.31)式で定義した圧入歪であり圧子形状のみ
ならず平端円柱圧子および球形圧子では圧入量にも依存する。これ ら の 圧 入 歪 を (5.2) 式 に 代 入 す る こ と に よ り 完 全 弾 性 体
31

(perfectly elastic body) の Meyer 硬度は次式で表現できる；
平端円柱圧子：

HM =

球形圧子：

HM =

円錐圧子：

HM =

2

π A0

h⋅E'

4
3π 3/2 R(5.3)

Ae ⋅ E '

(5.4)

tan β
⋅ E'
2

(5.5)

平端円柱圧子の場合，円柱断面積 A0 (一定値)が圧子接触面積となる事実に留意すると，Meyer 硬度 HMは圧子接触面積ではなく，圧入深さ h と共に変化する( H M ∝ h )。一方，球形圧子の場合，Meyer
硬度 HMは(5.4)式に見るように，圧子接触面積 Ae と共に変化する( HM ∝Ae )。これらの圧子形状とは異なり，(5.5)式から分かるよ

うに，円錐圧子においては硬度が圧入量に依存することなく一定値となる。硬度等をはじめ多くの力学物性評価において円錐圧子(Rockwell 圧子)やピラミッド圧子(Vickers 圧子，Berkovich 圧子)等の自己幾何相似性を保つ圧子形状が多用されてきたのは，この事
実，すなわち計測された硬度が圧子圧入量に依存することなく一定値となる事実に起因している。
圧入歪 ε I を暫時増大させていき，その値が弾性限界(elastic
limit)(図 4.1 参照)に到達することにより生じる塑性の発現を次に考えてみる。円柱圧子の場合，圧入深さ h を暫時増大させることにより，球圧子の場合には圧入深さ h の漸増あるいは，より小さな半径 R を有する圧子を用いることにより，そして，円錐圧子の場合は頂角のより鋭い，すなわち，面傾き角度 β のより大きな圧子を用いることにより圧入歪 ε I を増大させることができる。その結果，ε I が塑性発現に関わる敷居歪値 ε IY に到達すると，球形圧子について図 4.4 にその一例を示したように，塑性核(plastic core)が発現する。この敷居歪( threshold strain) ε IY での Meyer 硬度は(4.12)
および(4.13)式より Tresca 規範，von Mises 規範共に，

H M ( = ε IY E ') ≈ Y(5.6)

により与えられることが分かる。すなわち，ε I の増大に伴い，(5.2)
式で与えられる弾性応答としての Meyer 硬度 ε I E ' の値が降伏応
力 Y の値にまで到達すると塑性の発現が始まる。
多くの「延性材料」では圧子圧入に伴い，弾性変形が無視できるほどに塑性変形が進行するため，これらの延性材料は「完全塑32

性体」として分類される。完全塑性体(perfectly plastic body; fully
plastic body)に圧入荷重 P で圧子を圧入した際に観測される圧子/
材料表面間接触投影面積を Ap (添え字の p は plasticity を意味する)とすると，完全塑性体の Meyer 硬度は，付加した圧入歪 ε I に依存することなく常に次式で表現できる；
 P
HM  == cY A 
p 


(5.7)

圧子圧入に伴い圧子周辺部で誘起される塑性変形の多くは，これを取り巻く弾性場に収容される。しかし，塑性変形が著しく，弾性場での収容限界を超過すると余剰の塑性変形はパイルアップ(pile-up)として自由表面に流出する。一方，自由表面が有する表面エネルギーは面内からの塑性流出を抑制し面内に「拘束」する抵
抗として作用する。(5.7)式の拘束因子 c（constraint factor, c ）は，
この塑性流動の面内拘束を定量記述する因子であり，圧子形状や圧子/材料表面間の摩擦係数に依存し，2.5 ≤ c ≤ 3.5 で与えられることが実験結果および有限要素数値解析結果から知られている[4.1]。
以上の考察より，弾塑性圧子圧入挙動を以下に示す三つの領域に大別することができる[4.1]；

HM < Y ：完全弾性領域(elastic region)(5.8a)Y ≤ H M < cY :弾塑性領域(elastoplastic region)(5.8b)

H M ≈ cY :完全塑性領域(fully plastic region)(5.8c)

完全弾性領域では(5.2)式より Meyer 硬度は H M = ε I E ' で与えられるため，この関係式を(5.8a)式に代入することにより，完全弾性領域( H M Y < 1 )を次式で規定することができる；

εI E '
<1
Y

(5.9)

εI =

2 h
；円柱圧子
π a0

εI =

4 a
；球形圧子
3π R

εI =

tan β
；円錐圧子
2

すなわち，弾性率 E ' ，降伏応力 Y を有する任意の弾塑性体への圧子圧入において，付加した圧子歪 ε I が ε I E ' Y < 1 を満足する領域
では，その変形挙動は常に完全弾性変形となり，この領域での33

Meyer 硬度は先に示したように， H M = ε I E ' により表現でき，「Meyer 硬度は試験体の弾性率 E ' を表す圧子力学パラメータとなる」。一方， εI E ' Y > 1 の条件が成立する弾塑性領域まで圧子付
加歪 ε I を増大させると，「Meyer 硬度は試験体の弾性率 E ' と降伏
応力 Y を変数とした弾塑性圧子力学パラメータとなる」。さらに，
完全塑性領域では，「Meyer 硬度は試験体降伏応力 Y を表す圧子力
学パラメータとなる」。

εI E ' Y > 1 の条件が成立する弾塑性領域における Meyer 硬度 HM
を E ' および Y の関数として定量記述する解析モデルについて以下にその詳細を論じる。
(1) Cavity モデル[4.1]弾塑性領域における Meyer 硬度を弾性率 E ' および降伏応力 Yを用いて記述する「Cavity モデル」を図 5.1 に示す。面傾き角度がβ (図 3.4 参照) である円錐圧子を接触半径が a となるまで弾塑
性体表面に圧入した際に圧子直下に生じる平均接触圧力pm ( = P / π a 2 ) ，この接触圧力が等方的に作用している半径 a の｢圧入核(Cavity)｣，この核を取り囲む半径 b の塑性域( a < r ≤ b )，さらに，その外周に弾性域( r > b )の広がるモデルを考える。圧入核の体積( ≡ ( 2π 3) a3 )は圧子圧入により排除された物質の体積を表Pしており，この排除された物質量は圧入核を取り囲む塑性域を介して最終的には全て弾性変形として弾性域に収容されると仮定し

b

•

a

ている。このモデルは内面に静水圧 pm が作用する半径 a の表面空pm

孔(cavity)を塑性域と弾性域が取り囲む半無限平面の弾塑性問題

塑性域に帰着される。Cavity モデルを用いることにより弾塑性域におけ弾性域

る Meyer 硬 H M ( ≡ pm ) = P πa 2 は最終的に次式により表現できる[4.1]；

図 5.1 Cavity モデル[4.1]。平均接 (1 + ν ) E ' 2(1 − 2ν )  
HM 2 
=  2 + ln 
εI +

Y
3
Y
3(1 − ν )  
 3

触圧力 pm ( = P / π a 2 ) が等方的に(5.10a)ポアソン比が ν = 1 2 で与えられる非圧縮性弾塑性体の場合，(5.10a)式は次式により簡潔に表現される；作用している半径 a の空孔(cavity)，これを取り巻く厚さ b の塑性球殻域，さらにその外周部にHM 2 
 1 E ' 
=  2 + ln  ε I
Y3 2 Y (5.10b)広がる弾性域を想定し，円錐圧子直下の力学場を記述する

34

Cavity モデルは弾塑性域における圧子圧入挙動を記述したモデルであるため，完全弾性域〜弾塑性域〜完全塑性域に至る全領域での圧子圧入挙動を記述することはできない。
(2) 排除体積加成則モデル
完全弾性域から完全塑性域に至る全ての領域における圧子力学
挙動を定量記述する統一理論(排除体積加成則理論)(the unified
theory for the additivity in the excluded volume of indentation ) を以下に示す。現象論(エネルギー論)に基づいた理論であるため任意のモデルを用い議論を進めることができるが，本節では図 5.1 に示し()

た Cavity 内面に作用する接触圧力 pm = P / π a 2 の仮想増分 δ p により誘起される仮想排除体積増分 δV を想定し，これに伴う自由エネル
ギーの増分( δG )を考える。この自由エネルギー増分，すなわち外部から投入された仕事 δ W ( ≡ δ G ) を次式により記述することが出来る；δW ( ≡ pm δV ) = pm δVe + pm δVp(5.11)

ここに δV は注目する弾塑性体の圧子排除体積増分，δVe は弾性変形に関わる圧子排除体積増分，そして δVp は塑性変形・流動に伴う圧子排除体積増分を表す。(5.11)式の右辺第一項( pm δVe )は圧子の圧入に伴う系の弾性歪エネルギー増分を表しており，右辺第二項( pmδVp )は塑性流動に伴うエネルギー散逸を表している。(5.11)式において全排除体積増分は δV = δVe + δVp と表現出来るため，最終的に次式で示す「排除体積加成則」が成立する；

V = Ve + Vp

(5.12)

さらに，面傾き角度 β の円錐圧子の場合，その排除体積は()

V = tan β 3 π ⋅ A3 2 により，そして，半径 R の球形圧子の場合，その排除体積は V = (1 6πR ) ⋅ A2 ( a R  1 )により，すなわち，
V ∝ Am (円錐圧子： m = 3 2 ；球形圧子： m = 2 )により接触面積 Aに相似則で関連付けられることに留意すると，(5.12)式で与えた排除体積加成則から最終的に圧子接触面積に関わる次式を得る；
Am = Ae m + Ap m

(5.13a)35あるいは，1/ m

 A /A m 
p
e

=
m

A
+
A
A
1
/
p
e



Ap

(

)

(

(5.13b))

ここに， A は圧入荷重 P で圧子を注目する弾塑性体(弾性率 E ' ，
降伏応力 Y )に圧入した際に生じる圧子接触面積を表しており，

Ae および Ap は，それぞれ，同一の圧入荷重 P で同一の圧子を完全弾性体(弾性率 E ' )あるいは完全塑性体(降伏応力 Y )に圧入した際に生じる，それぞれの圧子接触面積を表している。 A = P H M((5.1b)式)， Ae = P ε I E ' ((5.2)式)および Ap = P cY ((5.7)式)を(5.13b)
式に代入することにより弾塑性体の Meyer 硬度 HMは次式を用いて弾性率 E ' および降伏応力 Y に関係付けられる；1m

  ε E ' m IH M   cY  =  ε E ' m 
cY
1 +  I    cY  

m =3 2；

円錐圧子

m=2

球形圧子

；

(5.14)

上記の(5.13b)式と(5.14)式で与えた二つの異なる表現式は，それぞれ，圧子力学的には等価な表現式である。第 11.3 節で詳述する計装化顕微インデンテーション計測装置を用いることにより接触面えられた(5.13b)式は，各種の弾塑性物性値のみならず第 7 章で詳述する各種の粘弾性関数を実験から定量評価する際に重要な役割を担う。(5.14)式の変数 ε I E ' cY ( ≡ Ap Ae ) は圧子圧入により弾塑性
体内に誘起される塑性変形と弾性変形の比，すなわち，弾性変形に対する相対的な塑性変形の割合を表現しており，本書ではこの変数を塑性歪あるいは塑性変形能(plastic index; PI )として定義し無次元硬度, HM/cY(= Ap/A)

積 A を実験から直接求めることができるため，接触面積表記で与1 排除体積加成則モデル: 球形圧子: 円錐圧子0.8 (5.13b), (5.14)式
0.6
0.4
0.2
0

: Johnson's Cavity モデル((5.10b)式)
10-1

100

101

塑性歪, εIE'/cY(= Ap/Ae)

図 5.2 無次元硬度と塑性歪の関ておく。
Cavity モデル((5.10a)式，(5.10b)式)と排除体積加成則理論((5.13b)

係。一点鎖線は Johnson’s Cavity モ

式，(5.14)式)との相違を図 5.2 に示す。先に述べたように Cavity モ

デルを表す。破線（円錐圧子）おデルの適用は，モデルの性格上，弾塑性域のみに限定されるが，よび実線（球形圧子）は排除体積

排除体積加成則理論では，完全弾性域〜弾塑性域〜完全塑性域に加成則モデル（(5.13b)式，(5.14)

至る全領域で統一的に圧子圧入挙動を記述することができる。ま

式）を示す

36

(球形圧子，円錐圧子)にも依存しており，これらの弾性/塑性変形
様式は塑性歪 PI を用い以下のように記述することができる；
完全弾性域： PI <0.2

球形圧子
円錐圧子

弾塑性域：
完全塑性域

無次元硬度, HM/cY(= Ap/A)

た，図 5.2 および(5.14)式に見るように，圧子力学挙動は圧子形状

1
0.8
0.6
球形圧子
: FEA数値解: 排除体積加成則モデル
円錐圧子: FEA数値解: 排除体積加成則モデル

0.4

0.4 ≤ PI <8

球形圧子

0.4 ≤ PI <20

円錐圧子PI ≥ 8球形圧子

図 5.3 球形圧子および円錐圧子

PI ≥ 20

円錐圧子の弾塑性圧子圧入挙動を定量記

0.2

100

塑性歪, εIE'/cY(= Ap/Ae)101「排除体積加成則理論」の妥当性・信頼性に関する有限要素数値

述する無次元硬度と塑性歪の関解析結果を用いた検証を図 5.3 に示す。図に示すように，排除体係。実線および破線は排除体積加積加成則モデルは極めて高精度で有限要素数値解析結果を再現

成則モデル（(5.13b)式，(5.14)式）

していることが分かる。

を表し，シンボルは有限要素数値

上述した弾塑性圧子力学理論は軸対称各種圧子の圧入に伴う弾塑性変形を対象にした汎用理論ではあるが，(3.29)式および(3.30)
式に示したように，平端円柱圧子および球圧子の場合，圧入歪 ε Iが圧入深さ h あるいは接触半径 a に依存する。この事実は，汎用の実験装置で求めることのできる圧入荷重 P と圧入深さ h のデータ
( P - h 曲線)から求めた Meyer 硬度 HMが圧入深さ h に依存してしまう，ひいては計測された Meyer 硬度 HMを用いて各種の力学物性を評価する上で多くの困難を伴う。一方，(3.31)式で示したように円錐圧子の場合，その幾何相似性に起因し，圧入歪は ε I = tan β 2 により表現できるため，Meyer 硬度 HMは圧入深さに依存しない。ミクロ・ナノ領域における各種の力学物性評価において Vickers 圧子に代表されるピラミッド圧子が多用される主因は円錐圧子同様これらピラミッド圧子が有する幾何相似性に由来している。

37

解析(Finite Element Analysis, FEA)
結果を示す;△：球形圧子●：円錐圧子歴史的に先行した球形圧子を用いた Brinell 硬度試験が，a(= sin β ) = 0.375
R

上述したように，圧入深さ依存性を示すため，この欠点を回避するために Vickers 硬度試験法が開発された。図β5.4 に示すように Brinell 硬度試験との整合性を図るため

β = 22.0°Rβaに，その推奨試験条件 a R = 0.375 での球包摂面傾き角度
β = 22.0 ° となるよう正四面ピラミッド形状 Vickers 圧子の面傾き角度は規定されている。一方，Vickers 圧子との整合性を図るため Berkovich 正三面ピラミッド圧子の面傾き角度は圧入に伴う排除体積が Vickers 圧子圧入の排除体積と同等になるよう β = 24.7 ° と規定されている。こβ

れらのピラミッド圧子の圧入排除体積と等しい排除体積を有する円錐圧子は「Vickers/Berkovich 等価円錐圧子」

図 5.4 Brinell 圧子との整合性をと呼ばれ，その面傾き角度は β = 19.7 ° となる。汎用ピラ

保つよう規定された Vickers 圧子

ミッド圧子の幾何形状についてのより詳細な記述は第の幾何形状

11.1 節に与えられている

前述したように円錐・ピラミッド圧子ではその幾何相似性により Meyer 硬 度 は 圧 入 深 さ に 依 存 せ ず 一 定 値 と な る た め ，

P = H M ⋅ A ∝ a2 ∝ h2 の関係が成立し，圧入荷重 P は圧入深さのべ
き乗 h 2 に比例して増大することが容易に推測される。図 5.5 に弾性体(PI (= ε I E '/ cY )=0.05)，弾塑性体(PI=1.0)，塑性体(PI=20)，それ
ぞれについて，Vickers/Berkovich 等価円錐圧子の圧入/徐荷時に観察される P - h 2 履歴曲線の有限要素解析(finite element analysis;
FEA) 結果を図示する。図中の実線は圧入時の P - h 2 を，破線は最大圧入荷重からの徐荷時における P - h 2 挙動を表している。図に示すように弾性〜塑性全ての領域において負荷時の P - h 2 プロッ性体の場合，負荷直線と徐荷直線は一致している。また，図 5.5 は
徐荷曲線も P - h 2 プロットが直線近似で表現できることを示唆している。これら負荷徐荷に伴う P - h 2 直線プロットの勾配から，第5.2 節で詳述するように，Meyer 硬度，弾性率 E ' および降伏応力 Yを実験的に定量評価することが可能となる。
第 3 章で述べたように完全弾性体への圧子圧入の際，圧子周辺38

圧入荷重, P(N)トは直線関係にある。図中，PI (= ε I E '/ cY )=0.05 で示した完全弾

6 E=100 GPa

εIE'/cY=0.05
1.0

4

2

20
0
0

10

20

30

圧入深さ, h2 (μm)

図 5.5 弾塑性体の負荷徐荷に伴う P - h 2 プロット(有限要素解析)

の自由表面は圧子に引き込まれるように沈み込む，いわゆるシン
無次元圧入深さ、hc/h

1.2

ク イ ン (sink-in ； h c h < 1 ) 現 象 が 生 じ ， 球 形 圧 子 に お い て は

ηc ( ≡ hc h ) = 1 2 ，円錐圧子では ηc ( ≡ hc h) = 2 π となる(図 3.3，図3.4，(3.21)式，(3.28)式，および表 3.1 参照)。一方，本節で述べる
弾塑性体においては塑性歪 PI (= ε I E '/ cY )の増大に伴い自由表面

pile-up1sink-in

0.8

0.6
0

に向かって生じる塑性流動に起因した「自由表面の盛り上がり」
，

10

20

塑性歪、εIE'/cY

す な わ ち ， パ イ ル ア ッ プ が 観 測 さ れ る よ う に な る 。 Vickers/

図 5.6 塑性歪の増大と共に圧子

Berkovich 等価円錐圧子を例に，相対接触深さ h c h と塑 性歪

周辺自由表面がシンクイン

ε I E '/ cY との関係を図 5.6 に，また，等価円錐圧子を h = 5μ m まで

（ h c h < 1 ） か ら パ イ ルアップ

圧入した際に生じる圧子周辺自由表面の側面形状，ならびに徐荷（ h c h > 1.0 ）へと遷移して行く

後の残留圧痕側面形状を，付加した塑性歪をパラメータとして図様子を示す（有限要素解析結果）

5.7 に示す。弾性変形が支配的な ε I E '/ cY ≤ 3 の領域では，徐荷に伴う垂直方向(z 軸方向)への圧痕の弾性回復が著しく生じていることが分かる。さらに，図 5.6 に示すように，圧入時に観測されるシンクイン/パイルアップの敷居塑性歪(シンクインからパイルアップへと遷移する敷居値)が ε I E '/ cY ≈ 6 であるのに対して，圧子
徐荷後の残留圧痕で観測される敷居塑性歪は図 5.7(左半面図)に示
すように ε I E '/ cY ≈ 3 と，両敷居値に大きな相違がみられる。この相違は圧子の徐荷時に圧痕表面の垂直方向(z 軸方向)に生じる弾性回復がパイルアップを助長する事実に起因している。

uzz (r)( r) (μm)
( μm)

2
0
-2
-4
-6
40

●: PI = 0.318
○:

3.18

□:

31.8

30

20

10

0

( μm)
r r(μm)

10

20

30

40

図 5.7 塑性歪（ PI = ε I E '/ cY ）を異にする弾塑性材料に円錐圧子を
h = 5μ m まで圧入した際に形成される圧子周辺断面形状（右半面図）
および徐荷後に形成された残留圧痕の側断面形状（左半面図）（有限要素解析結果）39

5.2

円錐圧子の P ‑ h 負荷徐荷履歴曲線

完全弾性体( PI < 0.2 )に円錐圧子を圧入した際に形成される圧2子接触面積が Ae = π (ηe cot β ) h 2 により表現出来ることに留意す
ると， (5.2)式を用い P - h 関係を次式のように記述することができる；P ( ≡ ε I E ' Ae ) = ke h 2((5.15))

ke = πηe 2 cot 2 β ε I E 'ここに η e は完全弾性体の相対圧子接触深さを意味しており，ηe ( = hc h ) = 2 π により与えられる。
一方，完全塑性体( PI ≥ 20 )の P - h 関係は(5.7)式を用いることにより)Berkovich圧子

20((5.16))

kp = πηp 2 cot 2 β cYと表現出来る。ここに，η p は完全塑性体の相対圧子接触深さ h c h

圧入荷重， P (N)(P ≡ cYAp = kp h210として定義され，図 5.6 で示すように η p ≈ 1.2 により与えられる。
また，一般的な弾塑性体( 0.2 < PI < 20 )の P - h 関係式は(5.1b)式より，Meyer 硬度 HMを用い次式で記述できる；P ( ≡ H M A ) = kep h

(

2

20

圧入深さ , h (μm)

図 5.8 窒化ケイ素セラミック，ソ

2

2

10

(5.17))

kep = πηep cot β H M

ーダ石灰ガラス，および金属銅のBerkovich 圧子圧入・徐荷時に観測

ここに，添え字の”ep”は elastoplastic(弾塑性)を意味しており，そのされる P - h 履歴曲線

相対圧子接触深さ η ep は塑性歪 PI に依存して，2 π <η ep < 1.2 の範囲で変化する(図 5.6 参照)。
試験で観測された負荷徐荷 P - h 履歴曲線(loading-unloading P - hhysteresis curve)を図 5.8 に例示する。さらに図 5.8 に示した材料の代表例として窒化ケイ素セラミックの P - h プロットを図 5.9 に示す。図 5.5 での考察および(5.15)式〜(5.17)式に見るようにピラ
ミッド・円錐圧子の幾何相似性を反映し， P - h 曲線は負荷および1/2
圧入荷重, PP
(N1/2 )

弾塑性挙動を異にする 3 種類の工業材料の Berkovich 圧子圧入Berkovich 圧子

5
Si3N4セラミック
4
3

kep

2

hr

1
0
0

ke

2

4

6

圧入深さ, h (μm)

徐荷の両過程ともに P ∝ h 関係，あるいは， P ∝ h 関係を有して2いる。圧子圧入過程は(5.17)式により，また，圧子徐荷過程での P

図 5.9 図 5.8 に示した窒化ケイ素- h 関係は，徐荷過程の本質が「圧痕の弾性回復現象」にあるといセラミックの負荷徐荷 P - h 直線

う事実に起因して，完全弾性体の P - h 関係((5.15)式)と類似の関係

プロット

40

式
P ( ≡ ε I E ' Ae ) = ke ( h − hr )

(

Pmax

2

(5.18))

ke = πηe 2 cot 2 β ε I E 'UT=Ur+Ue

により記述される。ここに， hr は完全徐荷後の残留圧痕深さを意味している(図 5.9 参照)。完全弾性体の圧子力学応答で見られるよUr

うに， P - h 負荷曲線と徐荷曲線が一致し，両曲線間に履歴現象の見られない場合(例えば図 5.5；PI =0.05)，負荷から徐荷に渡る一

hr

Ue
he

hmax

連の力学過程で自由エネルギー変化はゼロとなり，負荷の過程でhr投入された外部仕事(系への投入エネルギー)は徐荷過程での弾性

図 5.10 弾塑性体の P - h 履歴曲

回復に伴い系外に完全に解放される。一方，図 5.5，図 5.8，およ線に関わるエネルギー線図び，図 5.9 で示したように負荷徐荷の力学過程でその P - h 曲線に履歴現象の観測される場合，これらの履歴曲線が囲む面積は，その力学過程で熱エネルギーとして系外に散逸してしまう塑性散逸
エネルギー(plastic energy dissipation)を表している(厳密には，圧子の徐荷後，圧痕周辺に残留する弾性歪エネルギーも含まれる)。圧子の圧入‐徐荷の過程において系内外に出入りするエネルギーを
P - h 履歴曲線に関連付けて図 5.10 に示す。最大荷重 Pmax まで圧子を圧入する際に要する外部仕事 U T は

UT = Ur + Ue

(5.19)

により，塑性散逸エネルギー(履歴曲線が囲む面積；ループエネル
ギー) U r と弾性歪エネルギー Ue の和として与えられる。(5.17)式と(5.18)式の両片に次式で示す積分を施すことにより U T およびUe は，それぞれ，

UT = 

hmax

Ue = 

hmax

0

hr

Pdh =
Pdh =

kep
3

hmax 3(5.20)

ke3
hmax 3 (1 − ξ r )3(5.21)

により与えられる。ここに ξr は無次元圧痕深さ(relative residual
depth)を意味し， ξ r = hr hmax で定義される。したがって塑性散逸
エネルギー U r を最終的に次式で表現することが出来る；

U r ( ≡ UT − Ue ) = ξrU T(5.22)(5.22)式の誘導に当たっては負荷曲線と徐荷曲線が座標点( hmax ,2
Pmax )において交差する事実，すなわち， kep hmax = ke ( hmax − hr )2から導かれる kep ke = (1 − ξr ) の関係を利用している。
41

2

(1) 圧入仕事 WOI (Work-of-Indentation)形成するに必要な外部仕事」を次式で定義する；
WOI =

Ur
Vr

(5.23)

最大圧入深さ hmax において圧子が排除する弾塑性体の体積が()

圧入仕事, WOI (GPa)「圧入仕事，WOI (work-of- indentation)；単位体積の残留圧痕を
2

1

Vmax ≈ π cot 2 β 3 hmax 3 により記述でき，圧子の完全徐荷後に試験体表面に残留する圧痕の体積が Vr ≈ ξ rVmax により近似できること

0
0

1

2

Meyer硬度, HM (GPa)に留意したうえで， (5.17)式，(5.20)式および(5.22)式を(5.23)式に

図 5.11 弾性率 E = 10 GPa，降伏

代入することにより，最終的に

応 力 0.1GPa ≤ Y ≤ 3GPa を 有 す る

WOI ( ≡ U r Vr ≡ U T Vmax )(5.24)= HMを得る。したがって圧入荷重を圧子接触面積で除した値( H M = P A )として歴史的に定義されている Meyer 硬度 HM ((5.1b)式)は(5.24)式が意味するように，「単位残留圧痕体積を形成するに要する散逸エネルギ U r Vr 」，あるいは「単位排除体積を形成する

各種弾塑性体の HM と WOI との相
関 （ 有 限 要 素 数 値 解 ）。 実 線 は

WOI = H M の関係を示す
Pmaxに要する外部仕事， U T Vmax 」として再定義することもできる。
有限要素数値解析結果を基に，従来法で求めた Meyer 硬度 HM( = P A )と WOI ( = U T Vmax ) との相関を図 5.11 に示す。定量的な等価相関が両者の間に存在していることが分かる。

Ur(2) ループエネルギー U r と降伏応力 cY
散逸エネルギー U r ( P - h 履歴曲線が囲む面積；ループエネルギ

Pmax

hr

h

hp

h

ー(loop energy))が注目する弾塑性体の塑性変形に伴い生じる熱散
逸であることに着目すると，(5.16)式で示した完全塑性体の P - h曲線から誘導される塑性散逸エネルギー(hp) k3 hU p ≡  Pdh =
0

p

p

3

(5.25)

Upと前述した弾塑性体のループエネルギー U r の間には等価の関係，
すなわち，同一の最大圧入荷重 Pmax において，図 5.12 に示すよう

図 5.12 弾塑性体のループエネに，U r ≈ U p および hp ≈ hr の関係が成立すると考えられる。したがルギー U r と完全塑性体の塑性散って弾塑性体のループエネルギー U r と圧入荷重 P との間に次式

逸エネルギー U p 。同一の圧入荷が成立する；重に対して，U r ≈ U p ，hp ≈ hr の近似関係が存在する

42

(

=

3/2

) 3P kUr ≈ Up =p(5.26)

tan β P3/2
3ηp π

cY

(5.26)式が示すように，弾塑性体のループエネルギー U r と P 3/ 2 との間には比例関係(直線関係)が存在し，この直線の勾配は降伏応
力 cY に帰着される[5.2]。換言すると，実測された弾塑性体のループエネルギー U r を圧入荷重 P 3/ 2 に対して直線プロットすること
により，その勾配から降伏応力 cY を実験的に定量することができる。Vickers 圧子圧入試験で求めた各種工業材料の U r - P 3/ 2 直線プ

塑性散逸エネルギー, Ur (mJ)

ロットを図 5.13 に例示する。

3

2

Al
Cu
MgO
Si3N4
SiC
Glassy carbon

1

0
0

200

400

600
3/2

圧入荷重, P

800

1000

3/2

(N )

図 5.13 各種工業材料の U r - P 3/ 2 直線プロット（Vickers 圧子圧入試験）。直線プロットは上から：金属アルミ，金属銅，酸化マグネシウム，窒化ケイ素，炭化ケイ素，ガラス状カーボン。(5.26)
式を適用することにより直線プロットの勾配か
ら降伏応力 cY を実験的に求めることができる

43[5.2] M. Sakai, Acta Metall. Mater., 41,
1751 (1993)

6 線形粘弾性理論
6.1 ガラス転移挙動と粘弾性応答(1) ガラス転移挙動 [6.1, 6.2]
前述の弾性・塑性変形に伴う力学応答は時間や変形速度・刺激
速度依存性を示さない。歪や応力の付加に対する力学応答は付加速度に依存することなく，常に瞬時に発現する。さらに，一定の歪あるいは応力を付加した場合，その後に見られる力学応答には，緩和現象(relaxation phenomena)やクリープ変形(creep deformation)
等の時間依存性が見られない。一方，高分子材料に代表される非晶質材料(amorphous materials)の多くは粘弾性体(viscoelastic body)に分類され，その力学応答に時間・変形速度依存性が見られる。
金属に代表される多結晶材料(polycrystalline materials)との比較
で，非晶質材料(ガラス材料)の溶融〜固化時に観察される体積変化の様子を図 6.1 に定性的に示す。溶融金属材料を始めとした多くの液体は冷却に伴い凝固点(結晶点) Tm で図 6.1 に示すように体積の不連続的な減少を伴って結晶化する。この変化は熱力学的に
ガラ ス転移ガラス

過冷 液体

可逆平衡過程(reversible equilibrium processes)であるため，この結

に示すように，融液を冷却していくと結晶化することなくガラス転移領域を経てガラス状固体となる。結晶材料に見られるような

体積 , V晶体を加熱していくと融点 Tm で不連続的な体積膨張を伴い液体(融液)となる。一方，多くの高分子材料や無機ガラスでは，図 6.1

液体







結晶

凝固点での不連続体積変化は観測されない。非晶質ガラス材料では，図 6.1 に示すように，液体線と固体線の外挿交点を与える特性温度としてガ ラ ス 転 移 温 度 (glass-transition temperature; glass-

TL

Tg

TU

Tm

温度 , T

図 6.1 結晶材料および非晶質材

transition point) Tg が定義され，あわせて，ガラス転移領域の上限温料の融解，固化に伴う体積変化と度 TU と下限温度 TL が定義されている。ガラス転移挙動は熱力学

各種特性温度との関係

的非平衡過程であるため，これらの特性温度 Tg ，TU ，TL は冷却速
度や加熱速度に依存する。冷却速度が大きいほどこれらの特性温度は低温側にシフトし，加熱速度の増加と共に高温側にシフトする。
(2) Maxwell 粘弾性液体モデルと Zener 粘弾性固体モデル
上述したようにガラス転移域にある非晶質体は粘弾性挙動を示
44[6.1] E.J. Donth, “The Glass Transition:
Relaxation Dynamics in Liquids andDistorted Materials”, Springer (2001)[6.2] G.W. Scherer, “Relaxation in Glassand Composites”, John Wiley (1986)

し，その力学応答には時間依存・刺激速度依存性が見られる。こMaxwell モデ ル°°

れらの時間・速度依存粘弾性力学応答を記述する最も単純な現象

ηEM論的モデルとして図 6.2 に示す Maxwell モデルと Zener モデルが広く知られている。Maxwell モデルは弾性変形を表すフックバネ(Hooke spring)(バネ弾性率 EM )とニュートン粘性流動を表すダッZener モ デ ル Iηシュポット(dashpot)(粘性係数 η )の直列結合からなるモデルであり，粘弾性「液体」(viscoelastic liquid)の力学応答記述に用いられる。一方，粘弾性「固体」(viscoelastic solid)の力学応答を記述する

Zener モ デ ル II

Zener モデルには，図に示すようにモデル I と II があり，モデル I
はフックバネ(バネ弾性率 EV )とダッシュポット(粘性係数 η )の並η

列結合からなる Voigt モデルにフックバネ(バネ弾性率 Eg )を直列

図 6.2表現する Zener モデル

σ = Eεにより，ダッシュポットの力学応答は歪速度 dε dt を用いてdεdtにより記述される。ここに，粘性係数 η (Pa･s)とバネ弾性率 E (Pa)
の比，

τ=

η
E

は時間(s)の次元を有し，これら粘弾性モデルの応答速度を記述する際に有用となる特性時間を表している(応力緩和現象では「緩和時間(relaxation time)」，クリープ現象では「遅延時間(retardationtime)」と呼ばれる)。
図 6.2 で示した粘弾性液体・固体の力学応答は次式で示す時間に関する一階線形微分方程式を用いて一般表記される；
a0ε + a1

粘弾性液体を記述する

Maxwell モデルと，粘弾性固体を

フックバネの力学応答は

σ =η

EM

Ee

結合したモデルである。モデル II は Maxwell モデルとフックバネ(バネ弾性率 Ee )の並列結合から構成されている[1.3]。

Eg

EV

dε
dσ
= b0σ + b1
dt
dt

(6.1)

ここに，Maxwell モデルの各係数はa0 = 0a1 = 1(6.2a)

b0 = 1 η ( = 1 τ M EM )b1 = 1 EM
45

Zener モデル I の係数はa0 = EV η ( = 1 τ V )a1 = 1(6.2b)

b0 = ( Eg EV + 1) τ V Eg
b1 = 1 Eg
Zener モデル II の係数はa0 = Ee τ M ( Ee + EM ) 
a1 = 1(6.2c)

b0 = 1 τ M ( Ee + EM ) 
b1 = 1 ( Ee + EM )により与えられる。Zener モデル I において EV = 0 かつ Eg = EM を代入することにより，また Zener モデル II において Ee = 0 を代入することにより，これらの Zener モデルは Maxwell モデルに帰着
さ れ る 。 (6.1) 式 〜 (6.2c) 式 に お い て Eg の 添 え 字 g は glassy
modulus(ガラス弾性率あるいは瞬間弾性率)を意味し，Ee の添え字
e は equilibrium modulus(平衡弾性率)を意味している。(6.1)式に示した時間 t に関する線形微分方程式の解法には次に示す Laplace
変換の適用が有用となる。
任意関数 f (t ) の Laplace 空間における表記を f ( p ) とすると，Laplace 変換は，その変換演算子(オペレーター) L を用い，次式で定義される；∞L f (t ) = f ( p) =  f (t )e− pt dt0

ここに，実空間における変数である時間 t (s)に対応する Laplace 空間における変数 p は時間の逆数次元(1/s)を有する。本書で必要となる Laplace 変換に関わる数学的な概要は Appendix C に与えられている。(6.1)式の両片に Laplace 変換を適用することにより次式を得る；(6.3a)σ ( p ) = E * ( p )ε ( p )上式で E * ( p ) は擬弾性率(pseudo elastic modulus)と呼ばれ，
E * ( p) =a0 + a1 p
b0 + b1 p(6.4)

により表現される。例えば，粘弾性液体を表現する Maxwell モデ

46

ルの擬弾性率 E * ( p ) は，(6.4)式に(6.2a)式を代入することによりE * ( p) = p ⋅EM
p+(6.5a)

1

τM

で記述できる。同様に，(6.4)式に(6.2b)式あるいは(6.2c)式を代入することにより粘弾性固体を表現する Zener モデル I の擬弾性率は



 1
1
p 

E * ( p) = Eg +1 
τV p + 1p+τZ
τ Z 


(6.5b)

τ Z = ( Ee Eg )τ V ; 1 Ee = 1 Eg + 1 EV

Zener モデル II の擬弾性率は



E E

1
p
e
g

+
E * ( p) = Eg 
1  τM p + 1+
pτMτ M 
Eg = Ee + EM

(6.5c)

により与えられる。Zener モデル I((6.5b)式)と Zener モデル II((6.5c)式)を比較すると，個々のモデルを反映して，擬弾性率を記述している各係数には相違がみられるものの数学的表記は両者共に同一である。事実，Zener モデル II に Ee Eg = τ M τ V ， τ M = τ Z の関係を適用すると，両モデルは全く同一の粘弾性挙動を示す。
一方，(6.3a)式の随伴関係式として与えられる(6.3b)ε ( p ) = C * ( p )σ ( p )において，C * ( p ) は擬コンプライアンス(pseudo compliance)と呼ばれ，擬弾性率 E * ( p ) との間に逆数関係，C * ( p) = 1 E * ( p) ，が存在する。(6.3a)式および(6.3b)式で示したように Laplace 空間における線 形 粘 弾 性 体 構 成 方 程 式 の 表 記 ， σ ( p ) = E * ( p )ε ( p ) お よ びε ( p ) = C * ( p )σ ( p ) が実空間における完全弾性体構成方程式の表

記，σ = Eε および ε = Cσ と形式的に同等となる。さらに，Laplace
空間における擬弾性率間に存在する逆数関係， C * ( p) = 1 E * ( p)が実空間における弾性係数間の逆数関係( C = 1 E )にも一対一で対応している。このように，実空間と Laplace 空間との間に存在する，一対一の対応は「弾性‐粘弾性対応原理(Elastic-Viscoelastic
47

Correspondence Principle)」と呼ばれ[1.2, 1.3]，第 7 章で詳述する

上述したモデル粘弾性体の具体的な力学応答を理解するため，
Maxwell モデル(粘弾性液体)と Zener II(粘弾性個体)を例にとり，

緩和弾性率
Erelax(t) (GPa)

粘弾性圧子力学理論構築の基礎を与える。

1(i) ステップ状歪付加で観察される応力緩和挙動
ステップ状の一定歪 ε 0 付加は単位ステップ関数 u (t ) を用いる
ことにより次式で表現される；

ε (t ) = ε 0u (t );0u (t ) = 
1

0.4

0

クリープコンプライアンス
Ccreep(t) (1/GPa)

察する。

0.6

0.2

これらのモデルの(i)ステップ状歪付加で観察される応力緩和挙動および，(ii)ステップ状荷重付加に対するクリープ変形を次に考(6.8a)式

0.8

4
3(6.9a)式

2
1
0

0

100

200

300

400

500

時間, t (s)

t<0
t≥0

(6.6)

図 6.3 Maxwell モデルの緩和弾性率とクリープ関数：()(6.6)式の Laplace 変換から得られる ε ( p) = ε 0 p の関係(Appendix C

E M ≡ Eg = 1 GPa，参照)を(6.3a)式に代入することにより，ステップ歪付加に対するτ M = 200 s，Laplace 空間における粘弾性体構成方程式として次式を得る。

η ( ≡ τ M ⋅ EM ) = 200 GPa･sσ ( p) = [ E * ( p) p ] ε 0(6.7)= Erelax ( p) ⋅ ε 0

ここに， Erelax ( p) は緩和弾性率 Erelax (t ) [ ≡ σ (t ) / ε 0 ] の Laplace 空間に お け る 表 記 で あ り ， 擬 弾 性 率 E * ( p) と の 間 に
Erelax ( p ) = E * ( p ) p の 関 係 が 存 在 す る 。 以 上 の 結 果 を (6.5a) 式(Maxwell モデル)および(6.5c)式(Zener II モデル)に適用して得られる Erelax ( p) に Laplace 逆変換(Appendix C 参照)を施すことにより，最終的に，それぞれ次式で示す実空間における緩和弾性率を得る；【Maxwell 粘弾性液体】
 −t σ (t )= Erelax (t ) = EM exp  
ε0
τM 

(6.8a)

Eg = EM【Zener II 粘弾性固体】
 −t σ (t )= Erelax (t ) = Ee + ( Eg − Ee ) exp  ε0τM Eg = Ee + EM
48

(6.8b)

(ii) ステップ状応力付加により観測されるクリープ挙動
ステップ状一定応力 σ 0 の付加は，上記(i)項で示したと同様に単位ステップ関数 u (t ) を用いることにより，σ (t ) = σ 0u (t ) で記述できる。その Laplace 変換である σ ( p) = σ 0 p を(6.3b)式に代入し，さらに， Ccreep (t ) = ε (t ) σ 0 により定義されるクリープ関数 Ccreep (t ) のLaplace 変換 Ccreep ( p) ( ≡ ε ( p) σ 0 ) と擬コンプライアンス C * ( p ) との間に C * ( p) [ ≡ 1 E * ( p)] = pCcreep ( p) の関係が存在することに留意の上で，(6.5)式を利用し，Maxwell モデルおよび Zener II モデ
ル，それぞれの Ccreep ( p) を求める。これらの結果に対する Laplace
逆変換操作(Appendix C 参照)により最終的に次式で示す実空間におけるクリープ関数を得る；【Maxwell 粘弾性液体】

ε (t )
1t= Ccreep (t ) =
+
σ0
EM η

(6.9a)【Zener II 粘弾性固体】

ε (t )= Ccreep (t )σ01

(6.9b)

Eg = Ee + EM

緩和弾性率
Erelax(t) (GPa)(6.8b)式

 −t  
1  1
1 
=
+
−
1 − exp   Eg  Ee Eg   τ Z  

0.8

0.6

τ Z = (1 + EM Ee )τ M

Ee=0.5 GPa(6.8b)式と(6.9b)式に示した Zener 粘弾性固体の応力緩和挙動を記述する緩和時間 τ M とクリープ変形挙動を記述する遅延時間 τ Z との間には，常に， τ Z  ≡ (1 + EM Ee )τ M  > τ M の関係が成立する。この事実はクリープ応答が同一粘弾性固体の緩和応答よりも常に緩慢に進行することを意味している(図 6.4 参照)。
上述した Maxwell 粘弾性液体と Zener 粘弾性固体の応力緩和とクリープ変形に見られる特徴的な相違を図 6.3 および図 6.4 にグラフ化して示す。粘弾性「液体」は時間の経過と共に完全緩和( Erelax (t ) ↓ 0 )を示すのに対し，粘弾性「固体」の緩和弾性率は時間の経過と共に平衡弾性率へと緩和収束する( Erelax (t ) ↓ Ee )。

49

クリープコンプライアンス
Ccreep(t) (1/GPa)

0.4
1/Ee=2.0 GPa-1

2(6.9b)式

1.5

1

0.5

0

100

200

300

400

500

時間, t (s)図 6.4

Zener モデルの緩和弾性率とクリープ関数：

EM = 0.5 GPa， Ee = 0.5 GPa，Eg ( = EM + Ee ) = 1.0 GPa

τ M = 200 s，
τ Z ( ≡ Egτ M Ee ) = 400s

6.2

微分型粘弾性構成式‑Wiechert モデル‑

高分子材料を始めとする多くの粘弾性体の複雑な力学応答を上述した単一の特性時間 (緩和時間，遅延時間) τ で記述することは不可能であり，複数の異なる特性時間あるいは特性時間分布(緩和時間・遅延時間スペクトル)を考慮する必要がある。第 6.1 節の
単純粘弾性モデルを拡張・一般化した Wiechert モデルを図 6.5 に示す[1.2, 1.3]。Wiechert モデルは Zener II モデルの拡張系と考えることができ，各種の異なる緩和時間 τ i ( ≡ ηi Ei ) を有する複数のMaxwell モデルと平衡弾性率 Ee を有するフックバネとの並列結合から構成されている。モデルに付加される全応力 σ (t ) は平衡バネ
および各 Maxwell 要素に作用する応力，σ e および σ i ，の和として
次式により表現出来る；σ (t ) = σ e (t ) +  σ i (t )(6.10)

i

全ての要素は並列結合により構成されているため，モデルの歪ε (t ) は個々の要素に生じている歪 ε i と等しくなる事実より次式を得る；

σ e (t ) = Eeε (t )d ε (t ) 1 d σ i (t )
dt

=

ki

dt

+

σ i (t )ηi(6.11)σ (t )

η1を得る。ここに，Wiechert モデルの擬弾性率 E * ( p ) は次式で与え
Ee

られる；

η2

ηi
• • •

E1

E * ( p) = pErelax ( p)E2

Ei......

• • •......

σ (t )



E

E
i

= p e + 
1
 p
i
p
+

τ i 


(6.12)

図 6.5

異 な る 緩 和 時 間

τ i ( ≡ ηi ki ) (i = 1,2,3 ⋅⋅⋅) を有する複数の Maxwell モデルと平衡弾性率

したがって，Laplace 空間における緩和弾性率
Erelax ( p) =......

......

(6.10)式および(6.11)式に Laplace 変換を施すことにより，(6.3a)式

Ee を有するフックバネとの並列

Ee
Ei
+
1
p
i
p+

結合から構成されている Wiechert
粘弾性モデル。粘弾性液体は，こτiのモデルにおいて，平衡弾性率 Eeを逆変換することにより，緩和弾性率 Erelax (t ) は(6.8a)式，(6.8b)式をゼロとおくことにより表現さのより一般的な表現としてれる
50

 −t Erelax (t ) = Ee +  Ei exp  (6.13)i τi 
によって与えられる。ここに， Ee は粘弾性固体の平衡弾性率を表しており，粘弾性液体の場合は(6.13)式において Ee = 0 となる。
以上で展開した粘弾性構成式は，(6.1)式および(6.11)式で示した
線形微分方程式に基礎を置いているため，｢微分型粘弾性構成方
程式(differential viscoelastic constitutive equation)｣と総称される。
上述したように一般的な線形粘弾性構成方程式の Laplace 空間
表記は次式で与えられた；σ ( p) = pErelax ( p)ε ( p)

(6.14)= E * ( p ) ⋅ ε ( p)

(6.14)式に Laplace 逆変換を適用することにより実空間での汎用粘弾性構成方程式の表記として次式を得る(Appendix C 参照)；tσ (t ) =  Erelax (t − t ')0d ε (t ')
dt '
dt '

(6.15)(6.15) 式 の 導 出 に 当 た っ て は L [ d ε (t ) / dt ] = pε ( p ) − ε (0 − ) ，L   f (t − t ') g (t ')dt ' = f ( p) g ( p) の関係，および ε (0− ) = 0 ，すなわ
t

 0



ち， t ' < 0 で ε (t ') = 0 となる初期条件を仮定している(これは時間

t ' < 0 で与えられる過去の時間領域では系に付加される外部ひずみが存在しないことを意味している)。 Erelax (t ) に着目した上述の操作をクリープ関数 Ccreep (t ) に関しても同様に行うことができ，tε (t ) =  Ccreep (t − t ')0d σ (t ')
dt '
dt '

(6.16)

を得る。(6.16)式の Laplace 変換，ε ( p) = p ⋅ Ccreep ( p)σ ( p)

(6.17)= C * ( p)σ ( p)を(6.14)式に代入することにより，第 6.1 節で示した単純モデルと同様に，緩和弾性率 Erelax (t ) とクリープ関数 Ccreep (t ) との間にはLaplace 空間において

p 2 Erelax ( p)Ccreep ( p) =(6.18)= E *relax ( p ) ⋅ C *creep ( p ) = 1の関係が成立する。したがって(6.18)式の Laplace 逆変換として実
空間では
t

E
0

relax

(t − t ')Ccreep (t ')dt ' = t(6.19)
51

の関係が存在する。(6.15)式および(6.16)式は上述の微分型粘弾性構 成 方 程 式 と の 対 比 で ｢ 積 分 型 粘 弾 性 構 成 方 程 式 (integral
viscoelastic constitutive equation)｣と呼ばれている。これらの微分型および積分型構成方程式は以上の理論考察から明らかなように，力学的には，その本質において等価である。しかし，積分型構成
式は微分型構成方程式とは異なり，ニュートン粘性を表すダッシ
ュポットやフック弾性を表すスプリング等のモデルに依存しない
普遍的な汎用粘弾性関数，Erelax (t ) および Ccreep (t ) ，を用い記述されているため，その適用範囲は広い。

6.3

積分型粘弾性構成式 ‑Boltzmann 重畳積分‑

前述したように弾性体は外部刺激に対して瞬時に応答する。換
言すると，この刺激を取り去ると瞬時に元の状態に戻る。これに対し粘弾性体は応力緩和やクリープ現象に見られるように過去の力学応答(過去の応力や歪の履歴)が観測を行っている現時点での応力や歪状態に影響をおよぼす。このように，現時点での力学応
答に過去の記憶が残留しているため，粘弾性体は「記憶物質」とも称され緩和弾性率 Erelax (t ) やクリープ関数 Ccreep (t ) 等の特性関数
は，しばしば，記憶関数とも呼ばれる。線形刺激応答理論において過去の履歴を定量記述する際に，その基礎をなすのが Boltzmannの重畳原理(Boltzmann’s convolution principle)である[1.2, 1.3]。

ε(t)過去のある時間 t ' での刺激として歪 ε (t ') を，これに対する線形

Δε (t ')

応答として応力 σ (t ') を考える。t 1 < t2 < t とし，過去の時間 t ' = t1 おt'

よび t ' = t2 で系に加えた一定歪，それぞれ，ε (t1 ) ，ε (t2 ) ，に対する力学応答(応力発現)を，それぞれ，σ (t1 ) ，σ (t2 ) とする。この積算

σ(t)

•

歪 ε (t ) = ε (t1 ) + ε (t2 ) に対する観測時点 t ' = t で観測される応力 σ (t )は個々の応力の和t1 t2 t3

σ (t ) = σ (t − t1 ) + σ (t − t2 )

⋅⋅⋅ t

σ (t)

t'

すなわち，
「過去における個々の応力の積算として現時点での応力

図 6.6 Boltzmann 重畳原理。過を記述することができる」とするのが Boltzmann の重畳原理の意

去の時間 t ' = ti におけるステップ

味するところである。より一般的な歪履歴に対する Boltzmann の状歪 Δε (ti ) により誘起された応力重畳原理を図 6.6 に示す。図に示すように過去時間 ti において系

σ (ti ) の線形重畳則により現在時に付加されるステップ歪を Δε (ti ) とすると，系を観測している現

間 t における応力 σ (t ) が規定され

時間 t での応力は，記憶関数(memory function)として応力緩和弾性る

52

率 Erelax (t ) を用い，重畳原理に従って次式で表される；

σ (t ) =  Erelax ( t − ti ) Δε (ti )(6.20)i

上式で，各時間におけるステップ歪 Δε (ti ) を微小時間間隔 dt ' での歪変化， Δε (ti ) = [ d ε (t ') dt '] dt ' に置き換えることにより先に導出した積分表記(6.15)式を得る。同様に，付加応力 Δσ (ti ) に対する力学応答を歪 ε (t ) とすると，Boltzmann 重畳原理から記憶関数としてクリープ関数 Ccreep (t ) を用いた(6.16)式が得られる。
今までに展開してきた線形粘弾性構成方程式論の定式化において導入された擬弾性率 E * ( p ) および擬コンプライアンス C * ( p ) ；E * ( p) = pErelax ( p)
(6.21)C * ( p) = pCcreep ( p)は，それぞれ，応力緩和弾性率 Erelax (t ) およびクリープ関数 Ccreep (t )の Carson 変換とも呼ばれる Laplace 変換の一種であり，その一般的な定義は時間 t の任意関数 f (t ) に対して次式で与えられる；∞f * ( p) = pf ( p) = p  f (t )e− pt dt(6.22)

0

緩和弾性率 Erelax (t ) およびクリープ関数 Ccreep (t ) の Carson 変換，E * ( p ) と C * ( p ) ，を用いると両者の間に完全弾性体で成り立つ関係式，例えば E * ( p ) ⋅ C * ( p ) = 1 の関係が成立することは既に述べた((6.18)式参照)。換言すると，Laplace 変換 Erelax ( p ) ， Ccreep ( p) に代わりに Carson 変換 E * ( p ) ， C * ( p ) を用い，これに弾性‐粘弾性
対応原理を適用することにより，次節でその一例を示すように，
完全弾性体の理論体系を時間・刺激速度依存性を有する粘弾性応
答に適用することが可能となる。

53

6.4 粘弾性応答におけるポアソン比の時間依存性
粘弾性域ではポアソン比ν も時間依存性を示し，このことが実
測データの定量解析を複雑にしてしまう[1.3]。この問題を回避するために高分子レオロジーを始め多くの粘弾性計測に関わる分野
においては，体積変形を伴わない，換言すると，ポアソン効果を考慮する必要の無い単純せん断試験法が広く用いられ，ずり緩和
弾性率 Grelax (t ) やずりクリープ関数 J creep ( t ) の計測定量が広く採用されている。しかし，本書の中核をなす圧子力学で広く用いられている圧子の圧入・徐荷試験では不可避的に体積変形が誘起され，ポアソン比の時間依存性，すなわち時間の関数としての粘弾性ポ
アソン比 ν (t ) が粘弾性圧子力学解析において Erelax (t ) や Ccreep (t ) に著しい影響を与える。上述した Carson 変換の「弾性‐粘弾性対応原理」への適応例として，以下，各種粘弾性関数に及ぼす体積変化・時間依存ポアソン比の影響について考察する。
完全弾性体のヤング率 E ，ずり弾性率 G ，体積弾性率(bulkmodulus) K ，およびポアソン比ν との間には次式の関係が成立する[1.2]；

ν=

3K − 2G 3 − 2κ G=
6 K + 2G 6 + 2κ G

(6.23a)E = 2 (1 + ν ) G(6.24a)E  2G
E ' ≡=2 
 1 −ν  1 −ν

(6.25a)

上式で κ は体積コンプライアンスと呼ばれ κ = 1 K により定義される。体積弾性率 K は，体積 V の完全弾性体に静水圧 p を付加した際に生じる体積変化 ΔV を用い p = K ( ΔV V ) により定義される。
体積変化の無い非圧縮性弾性体では κ = 0 となるため，上式より

ν = 1 2 ，E = 3G ，並びに E ' = 4G の良く知られた関係が成り立つ。
一方，これらの弾性率に時間依存性の存在する粘弾性体において
は，「弾性‐粘弾性対応原理」に基づき，完全弾性体で成り立つ(6.23a)式〜(6.25a)式に Carson 変換を適用することにより

ν* =3K * −2G * 3 − 2κ * G *=6 K * +2G * 6 + 2κ * G *(6.23b)

E* = 2 (1 + ν *) G *(6.24b)E *  2G *
E '*  ≡=1−
ν *2  1 − ν *

(6.25b)54

の関係が得られる。さらに考察を進めるに当たって，単一緩和時
間 τ 0 を有し，かつ (6.8b)式をずり緩和弾性率を用いて表現した次式で示すモデル粘弾性固体を想定する；

 t 
G(t ) = Ge + ( Gg − Ge ) exp  −  τ0 

(6.26)

ここに Gg ( = G(0) ) は瞬間弾性率(初期弾性率あるいはガラス弾性率)，Ge ( = G(∞) ) は平衡弾性率であり，粘弾性「液体」(Maxwell モデル)は Ge = 0 で表現される。体積コンプライアンス κ (t ) の時間依存性が他の粘弾性関数の時間依存性に比して無視できる程度に小さいため[1.3]，以降の演算過程を簡潔にする目的で κ (t ) = κ 0 (定数)と仮定する。さらに，(6.26)式の Carson 変換 G * を(6.23b)式〜(6.25b)式に代入することにより得られたν * ，E * ，および E '* ，それぞれに対し，Laplace 逆変換を施すことにより，最終的に，これらの粘弾性関数の実空間における表現式として次式を得る；


E (t )
3R
 exp  − t 
= 1 −
τ1 
2 (1 + ν g ) Gg  2 (1 + ν g ) (1 + γ R ) 
3R+
2 (1 + ν g ) (1 + γ R )
1  1 − 2ν g  E (t )
2  2   2 (1 + ν g ) Gg ν (t ) = − (6.27)(6.28)

E '(t )
1+ γ RR= 2 (1 − ν g )2Gg 1 − ν g
1 + 4γ R(1 − ν ) 1 − R exp  −t
(

g

2

)





τ 0 

(1 + ν ) 1 − R exp  −t+g2

1 + 4γ R(6.29)
τ 2 

上式において， τ 1 および τ 2 は，それぞれ，次式により，ずり緩和
時間 τ 0 に関係付けられる特性緩和時間である；

Ge/Gg=0.0
1.4
0.2
1.3
0.4
1.2

0.6

1.1

0.8
1.0

1
0

3
1
τ1 =
τ
1
+
γR 0
2 (1 + ν g )

τ2 =

1.5

規格化緩和時間, τ1/τ0+(6.30)

1 + 4γτ0
1 + 4γ R(6.31)

また， ν g は ν g = ν (0) で定義される瞬間ポアソン比(初期ガラス状
55

0.1

0.2

0.3

0.4

0.

初期ポアソン比, νg

図 6.7 E (t ) および ν (t ) の時間依存性を規定する特性緩和時間 τ1((6.30)式)。常に τ1 ≥ τ 0 の関係が存在する

γ = (1 − 2ν g ) 2 (1 + ν g ) により定義される。先に言及したように粘弾性「液体」( Ge = 0 )では R = 0 となる。τ 1 は E (t ) の緩和挙動((6.27)式)ならびに ν (t ) の時間依存性((6.28)式)を記述する特性時間であり，図 6.7 に示すように，常に τ1 ≥ τ 0 の関係が存在する。換言すると， E (t ) の緩和挙動は常に G (t ) の緩和挙動より緩慢となることを意味している。一方， E '(t ) の緩和挙動((6.29)式)は二つの特性時間

τ 0 と τ 2 により規定され，且つ，τ 2 ≥ τ 0 の関係が存在する（図 6.8 に示すように ν g = 1 2 で与えられる非圧縮性粘弾性体においては

τ 1 = τ 0 = τ 2 の関係が成立する）。G (t ) の緩和挙動との比較で E (t ) お

規格化緩和時間, τ1(t)/τ0, τ2(t)/τ0

態ポアソン比)を意味し， R および γ は，それぞれ， R = Ge Gg ，

粘弾性液体 (Ge/Gg=0.0)
τ1(t)/τ0
τ2(t)/τ0

3

2

1
0

0.1

0.2

0.3

に及ぼす初期ポアソン比ν g の影響((6.30)式，(6.31)式)

ν (t ) に見られる時間依存粘弾性挙動を図 6.10 に示す( ν g = 0.1 ，

τ 0 = 200 s)。 E (t ) に起因する系の応力緩和と共に ν (t ) は単調に増大する。図に示すように，粘弾性液体( Ge Gg = 0 )の場合，完全緩和に至る長時間側局限でポアソン比は ν (t ) → 1 2 へと収束し非圧

規格化緩和弾性率
G(t)/G(0), E(t)/E(0), E'(t)/E'(0)現することが分かる。Ge Gg の値を異にする各種粘弾性体を例に，

0.5

図 6.8 特性緩和時間 τ 1 および τ 2

よび E '(t ) の緩和挙動の例を図 6.9 に示しておく。(6.28)式が示すよ
うに，粘弾性ポアソン比ν (t ) の時間依存性は E (t ) の緩和に伴い発0.4

初期ポアソン比, νgτ0=200 s; νg=0.3

1

G(t)/G(0)0.9

E(t)/E(0)0.8

E'(t)/E'(0)

0.7
0.6
0.5
0.4
0

100

200

時間, t (s)図 6.9 G (t ) ， E (t ) および E '(t ) の縮性完全流体として挙動する。

緩和挙動に見られる差異。特性緩和時間が τ0 ≤ τ1 ≤ τ 2 の関係にあることを反映して， E (t ) ((6.27)

ポアソン比, ν(t)

0.6
0.5

式)，そして，さらには E '(t ) ((6.29)

Ge/Gg=0.0

τ0=200 sνg=0.10.4式)の緩和挙動は，G (t ) ((6.26)式)

0.3の緩和に比べて緩慢となる

0.3

0.6

0.2
1.0

0.1
101

102

103

時間, t (s)図 6.10 粘弾性ポアソン比ν (t ) ((6.28)式)の時間依存性56

7 粘弾性圧子力学
7.1 弾性‐粘弾性対応原理を用いた粘弾性圧子力学の定式化
線形粘弾性体構成方程式の Laplace 空間における表記が実空間
における完全弾性体の構成方程式と形式的に等価となる事実((6.3a)，(6.3b)，(6.14)，(6.17)式参照)，すなわち，前述した｢弾性‐粘弾性対応原理｣を用いることにより第 3 章で展開した弾性圧子
力学理論を粘弾性圧子力学理論へと拡張することができる[7.17.5]。計装化顕微インデンターで実測可能な圧入荷重 P と圧子接
触面積 A(= π a 2 ) の関係を記述した汎用構成方程式(第 3 章(3.32)式)を書き換えた次式

P = ( E 'ε I ) A(3.32’)に「弾性‐粘弾性対応原理」を適用することにより線形粘弾性圧子
力学の汎用構成式として次式を得る；
d [ε I (t ') ⋅ A(t ') ]P (t ) =  E 'relax (t − t ')
dt '
dt '
0
t

(7.1)

d [ P (t ') ]dt 'ε I (t ) ⋅ A (t ) =  C 'creep (t − t ')
dt '
0
t

上式において緩和弾性率 E 'relax (t ) は第 3 章で定義した平面歪ヤン
グ率 E ' = E / (1 −ν 2 ) の粘弾性表記である。さらに，粘弾性領域ではポアソン比ν も時間に依存することに留意すると緩和弾性率はE 'relax (t ) = Erelax (t ) / 1 − ν 2 (t )  に よ り 定 義 さ れ ク リ ー プ 関 数
C 'creep (t ) との間には(6.19)式と同様の関係，
t

 E'
0

relax

(t − t ')C 'creep (t ')dt ' = t(7.2)

が存在する。
(3.29)式〜(3.31)式から容易に推察できるように平端円柱圧子や球形圧子の場合，粘弾性体の圧子圧入歪 ε I (t ) が時間依存性を示すことに留意する必要がある。表 7.1 に，それぞれ形状を異にする
軸対称圧子の圧入過程における積分型粘弾性構成方程式をまとめて示す。表から分かるように，幾何相似性(geometrical similarity)を特徴とする円錐圧子や汎用の Vickers･Berkovich ピラミッド圧子の
圧入歪 ε I は圧子面傾き角度 β のみに依存し，圧子圧入量等の外部

57[7.1] J.R.M. Radock, Q. Appl. Math., 15,
198 (1957)[7.2] S.C. Hunter, J. Mech. Phys. Solids,
8, 219 (1960)[7.3] M. Sakai, Phil. Mag, A, 82[10], 1841
(2002)[7.4] M. Sakai, S. Shimizu, J.
Non-Crystal. Solids, 282, 236 (2001)[7.5] 逆井基次, 日本レオロジー学会誌,
39(1･2), 7 (2011)

刺激の影響を受けない一定値，ε I (t ') = tan β 2 ，で与えられる。その結果，表 7.1 で示すように円錐圧子・ピラミッド圧子の粘弾性
構成方程式は簡潔な表現式として
P (t ) =tan β  tdA(t ')dt ' E 'relax (t − t ')
dt '
2 0

(7.3)

t

dP (t ')A(t ) = 2 cot β dt ' C 'creep (t − t ')0
dt 'により与えられる。以下，円錐・ピラミッド圧子を対象とした汎用構成方程式(7.3)式を用い，各種の圧入試験における粘弾性挙動を考察する。
(i) ステップ状圧入試験
接触面積 A0 へのステップ圧入試験

A(t ) = A0 ⋅ u (t )(7.4)

で観察される圧入荷重緩和，圧入荷重 P0 へのステップ負荷試験

P(t ) = P0 ⋅ u (t )(7.5)

で観察される接触面積クリープを考察してみる。(7.4)式および(7.5) 式 ， そ れ ぞ れ を (7.3) 式 右 辺 の 時 間 微 分 項 に 代 入 し ，du (t ) dt = δ (t ) ( δ (t ) ：Dirac のデルタ関数)の関係を利用することにより次式を得る；tan β
A0 ⋅ E 'relax (t )2A(t ) = 2cot β P0 ⋅ C 'creep (t )P(t ) =

(7.6)

したがって圧入荷重緩和 P (t ) や接触面積クリープ A(t ) の計測か
ら緩和弾性率 E 'relax (t ) およびクリープ関数 C 'creep (t ) を実験的に求めることが可能となる。圧子荷緩和挙動 P (t ) は汎用の計装化インデンター(instrumented indenter)により実測可能であるが，ステップ
状接触面積 A0 の付加や A(t ) の測定には，第 11.3 節で詳述する計装化顕微インデンテーション計測装置(instrumented indentation
microscope)を用いる必要がある。一方，圧子接触面積の計測が出来ない汎用計装化インデンターを用いた場合，実測可能な圧入深さ h(t ) から圧子接触面 A(t ) の値を近似・仮定を用いた上で推算しなければならない(詳細については第 11.2 節参照)。

58

(ii)

定速度圧入試験

圧子接触面積を一定の速度 k A で増大させて行く定速圧入試験

A(t ') = k A ⋅ t '(7.7)

あるいは圧子圧入荷重を一定の速度 k P で増大させて行く定速荷
重負荷試験

P(t ') = kP ⋅ t '(7.8)

においては，(7.7)式，(7.8)式を(7.3)式に代入することにより圧子
圧入荷重 P (t ) および圧子接触面積 A(t ) を，それぞれ，次式で記述することができる；
P (t ) =k A tan β t
0 E 'relax (t − t ')dt '
2

(7.9)

t

A(t ) = 2k P cot β  C 'creep (t − t ') dt '0

したがって，次式で示すように実測される P (t ) 曲線あるいは A(t )曲線の時間微分として緩和関数 E 'relax (t ) ，クリープ関数 C 'creep ( t )を実験的に求めることができる；
E 'relax (t ) =2 cot β dP (t )kA
dt

(7.10)

tan β dA(t )C 'creep (t ) =2k P dt

上述した円錐圧子を含む各種軸対称圧子形状に対する粘弾性刺激応答の詳細を表 7.1〜表 7.3 に纏めて示しておく。

表 7.1 各種形状を有する軸対称圧子の圧入過程を記述する積分型構成方程式
平坦円柱 圧子
平端円柱圧子

球 圧子
球形圧子

t

P(t ) =1 t
dP(t ')dt ' C 'creep (t − t ')2a0 0dt 'A3/2 (t ) =a0 : 円柱圧子半径t3/2
 E ' (t − t ') dA (t ') dt '
relax
3/2 
3π R 0dt 'dh(t ')P(t ) = 2a0 dt ' E 'relax (t − t ')0dt 'h(t ) =

円錐
圧子
円錐圧子

R : 球圧子半径43π 3/2 R  tdP(t ')dt ' C 'creep (t − t ')
4 0
dt '

P(t ) =tdP(t ')A(t ) = 2cot β dt ' C ' creep (t − t ')0dt 'β : 円錐圧子面傾き角度59

tan β  tdA(t ')dt ' E 'relax (t − t ')
2 0
dt '

表 7.2 ステップ圧入刺激への粘弾性応答＊

円柱圧子では接触面積 A(t ) ， A0 の代わりに圧入深さ h(t ) ， h0 を用いる

表 7.3 定速圧入刺激への粘弾性応答

定速圧入
定速圧入

定速負荷
定速負荷

A(t)

P(t)

kP

kA
t

P(t)

0

平端
平端円柱
圧子
円柱圧子

＊

t

dP(t )= 2a0kh E 'relax (t )dtk A3/2 E 'relax ( p)
p3/2
πR

球形圧子
球
形圧子

P ( p) =

円錐
圧子
円錐圧子

dP(t ) k A= tan β ⋅ E ' relax (t)
dt
2

t

A(t)

0

dh(t ) k P=
C 'creep (t )dt
2a0
dA3/2 (t ) 3π 3/2 Rk P
C 'creep (t )=dt
4dA(t )= 2kP cot β ⋅ C 'creep (t )dt

円柱圧子では接触面積 A(t ) の代わりに圧入深さ h(t ) を用いる

60

t

7.2

粘弾性 Meyer 硬度

時間依存性・刺激速度依存性を有しない弾性・弾塑性領域において，圧子荷重 P を圧子の接触正射影面積 A で除した値

H M = P A として Meyer 硬度 H M は定義されている((5.1b)式)。したがって「弾性‐粘弾性対応原理」を用いた Laplace 空間におけるMeyer 硬度の表示， P = H M* ⋅ A ，に逆 Laplace 変換を施すことにより実空間における時間・刺激速度依存性を有する線形粘弾性体
Meyer 硬度 HM ( t ) を次式を用いて表現することができる；
t

dA(t ')P (t ) = 
dt ' H M ( t − t ')0
dt '(7.11)

上式から容易に分かるように，粘弾性 Meyer 硬度 HM ( t ) は時間 tにおける圧子荷重 P (t ) を同一時刻における接触面積 A(t ) で除した値として与えられるものではない，すなわち，時間依存性を示
さない弾性・弾塑性体の硬度表現式である H M = P A の関係は成立せず，常に H M (t ) ≠ P(t ) A(t ) となることに留意する必要がある。
ステップ状圧子圧入試験を例にとり粘弾性 Meyer 硬度の材料物
理学的意味をさらに考察しておく。 A(t ') = A0 ⋅ u (t ') を(7.11)式に，また， ε I (t ') ⋅ A(t ') = ε I0 A0 ⋅ u (t ') を(7.1)式に，それぞれ代入し，得られた結果を比較することにより，最終的に，緩和弾性率を用い粘弾性 Meyer 硬度を次式により記述することができる；

H (t ) = ε I0 E 'relax (t )(7.12)

上式において圧入歪 ε I0 は(3.29)式〜(3.31)式を用いることにより平端円柱圧子：ε I0 =

2  h0  
π  a0 (7.13a)球圧子：

ε I0 =

4  a0 
3π  R 

(7.13b)円錐圧子：

ε I0 =tan β
2(7.13c)で与えられる。ここに h0 および a0 は，それぞれ，円柱圧子のステップ圧入深さ，および球形圧子のステップ圧入により形成される接触半径を意味する（(7.13a)式の a0 は円柱圧子半径）。円錐圧子およびピラミッド圧子はその幾何相似性 (geometrical similarity) に由来し，圧入歪 ε I0 は圧子の面傾き角度 β のみに規定され，圧入量に依存しない圧子固有の一定値，ε I0 = tan β 2 ，を有しているため，(7.13c)式の圧入歪 ε I0 を任意の圧入深さへのステップ圧入に対し
61

て適用することが出来る。粘弾性 Meyer 硬度は緩和弾性率と等価な物理量であることを(7.12)式は意味している。この事実は，円錐圧子を接触面積 A0 へステップ圧入した際に観測される「荷重緩和P (t ) 」を表現した(7.6)式に， H M (t ) = P(t ) A0 ，を適用して算出される硬度が(7.12)式に等しくなることからも裏付けられる。

7.3

モデル粘弾性体の圧子力学挙動
面傾き角度 β を有する円錐圧子を用いた定速圧入試験((7.7)式

および(7.8)式；表 7.3)を例にとり，第 6 章で詳述した粘弾性液体を記述する Maxwell モデル，および粘弾性固体を表現する Zener
II モデル(図 6.2 参照；以降の解析結果を簡潔に表すため EM = Ee
で与えられるモデル)を用いた圧子力学挙動に関する数値解析結果について考察する。
【圧子接触面積の定速付加試験】
接触面積の定速付加 A(t ') = k A ⋅ t ' に対する円錐圧子圧入荷重の粘弾性時間応答は，(7.9)式の第一式P (t ) =k A tan β t
0 E 'relax (t − t ')dt '2(7.9a)

により表現出来 る 。 こ の 式 に ， (6.8a)式 お よ び (6.8b)式に示す
Maxwell モデル，および Zener II モデルの緩和弾性率を代入する
ことにより，次に示す圧入荷重の時間応答表現を得る；
Maxwell 粘弾性液体
P (t ) =(ii)

E 'M tan β( k Aτ M ) 1 − exp ( −t τ M )
2(7.14)

Zener 粘弾性固体
E ' tan βP (t ) = M( k Aτ M ) t τ M + {1 − exp ( −t τ M )}2

(7.15)
また，(7.14)式および(7.15)式の無次元表記である無次元圧子荷重PN ( t τ M )  ≡ ( 2 P (t ) cot β ) ( k Aτ M ⋅ E 'M )  と無次元時間 t τ M との関

無次元圧子圧入荷重, PN(t/τM)

(i)

5
4

P(t ) → ( k A tan β 2)η に収束する。この挙動は，Maxwell 粘弾性流
体が長時間域において粘度 η を有する純粘性流体として「定常流62

Zener model; (7.15)式

3
2

Maxwell model; (7.14)式

1
0
0

1

2

3

4

5

無次元時間, t/τM

係を図 7.1 に示す。t  τ M となる長時間域において，Maxwell 粘弾性 液 体 の 無 次 元 圧 子 荷 重 は PN (t τ M ) → 1.0 あ る い は

定速接触面積付加試験
A(t)=kAt

図 7.1 圧子接触面積の定速付加試験。実線は Maxwell 粘弾性液体，
破線は Zener 粘弾性固体モデルを示す

動」していることを意味している。一方， t  τ M で与えられる長時間域において，Zener 粘弾性固体モデルの PN (t τ M ) と t τ M との間 に は 図 7.1 に 示 す よ う に 勾 配 1.0 の 直 線 関 係 が 成 り 立 ち

PN (t τ M ) ∝ t τ M ∝ A ( t ) k Aτ M ，あるいは， P(t ) ∝ ( E 'e tan β 2) A(t )により表現出来る(本章で用いた Zener モデルでは解析結果を簡潔に表すため E 'M = E 'e = E 'g 2 で与えられていることに留意)。この直線関係は長時間域において Zener モデルが弾性率 E 'e を有する
完全弾性体として振る舞うことを意味している。
【圧子荷重の定速付加試験】
圧子荷重の定速付加 P(t ') = kP ⋅ t ' に対する円錐圧子接触面積の粘弾性時間応答は，(7.9)式の第二式
tA(t ) = 2kP cot β  C 'creep (t − t ')dt '(7.9b)

0

により記述される。この式に(6.9a)式および(6.9b)式で与えた，
Maxwell モデルと Zener II モデル，それぞれのクリープ関数を代入することにより次に示す圧子接触面積の時間応答を得る；(i)Maxwell 粘弾性液体

A(t ) =
(ii)

2 cot β1
( kPτ M ) t τ M + ( t τ M )2 
2
E 'M



(7.16)

Zener 粘弾性固体

A(t ) =

2 cot β( kPτ M ) t τ M − {1 − exp ( −t τ Z )}E 'M

(7.17)

τ Z = (1 + EM Ee )τ M

間 τ z は τ z = 2τ M により与えられる。(7.16)式および(7.17)式の無次
元圧子接触面積 AN ( t τ M ) [ ≡ A(t ) E 'M tan β 2kPτ M ] を無次元時間t τ M に対してプロットした数値解を図 7.2 に示す。t  τ M で与えられる長時間域において，Zener 粘弾性固体モデルの AN (t τ M ) とt τ M との間には図 7.2 に示すように勾配 1.0 の直線関係，すなわ
ち， AN (t τ M ) ∝ t τ M = P ( t ) kPτ M ，あるいは， P(t ) ∝ E 'e A(t ) の関

無次元圧子接触面積, AN(t)EM = Ee を仮定した Zener モデルを用いているため，Zener 緩和時
定速荷重負荷試験, P(t)=kPt

10

Maxwell model ((7.16)式)
8
6
4
Zener model ((7.17)式)

2
0

0

2

4

6

8

10

無次元時間, t/τM

係が成り立つ。この事実は，Zener モデルが，先に示した接触面積

図 7.2 定 速 負 荷 試 験 。 実 線 はの定速付加試験と同様に，長時間領域において弾性率 E 'e を有す

Maxwell 粘弾性液体，破線は Zener

る完全弾性体として振る舞うことを意味している。

粘弾性固体モデルを示す

63

っては，弾塑性体硬度類似表現である H M ( t ) = P ( t ) A ( t ) の関係は成立せず，常に H M (t ) ≠ P(t ) A(t ) となることを第 7.2 節で強調した。 (7.11)式を用いて求めた Meyer 硬度 H M ( t ) と(7.14)式〜(7.17)式を利用して求めた P ( t ) A ( t ) との間に存在する相違の可視化無次元プロットを図 7.3 および図 7.4 に示す。これらの図の縦軸(硬度 軸 ) ，  H M ( t )  N あ る い は  P ( t ) A ( t )  N は ， H M ( t ) あ る い はP ( t ) A ( t ) を E 'g tan β 2 により無次元化した硬度パラメータを意

無次元硬度,[HM(t)]N, [P(t)/A(t)]N(7.11)式に示したように粘弾性 Meyer 硬度 H M ( t ) の記述に当たMaxwellモデル
1: [P(t)/A(t)]N; 圧子荷重定速付加: [P(t)/A(t)]N; 接触面積定速付加: Meyer硬度, [HM(t)]N

0.5

0

0

10

20

無次元時間, t/τM

図 7.3 無次元粘弾性 Meyer 硬度

味しており，横軸(時間軸) t は τ M により無次元化されている。

 H M ( t )  N および  P ( t ) A ( t )  N と

P ( t ) A ( t ) で表した疑似硬度(○印，●印)は粘弾性 Meyer 硬度

無次元時間 t τ M の関係(Maxwell

H M ( t ) (実線)に比べて，その緩和挙動が常に緩慢である。その結粘弾性液体)が分かる。粘弾性液体表す Maxwell モデルでは，時間の経過( t τ → ∞ )と共に，これらの硬度はゼロへと減衰する。一方，粘弾性固体を表す Zener モデルでは，時間の経過と共に，平衡弾性率

E 'e へ と 減 衰 収 束 す る ( 図 7.4 の 無 次 元 化 グ ラ フ で は ，E 'e E 'g ( = 0.5) へと減衰収束する)。

無次元硬度, [HM(t)]N, [P(t)/A(t)]N果，疑似硬度 P ( t ) A ( t ) は H M ( t ) を常に過大評価してしまうこと
1.2
Zenerモデル
1: [P(t)/A(t)]N; 圧子荷重定速付加: [P(t)/A(t)]N; 接触面積定速付加: Meyer硬度, [HM(t)]N

0.8
0.6
0.4

0

10

20

無次元時間, t/τM

図 7.4 無次元粘弾性 Meyer 硬度
 H M ( t )  N お よ び  P ( t ) A ( t )  N と
無次元時間 t τ M の関係(Zener 粘
弾性固体)

64

8 表面付着力を有するソフトマターの圧子力学
金属材料やセラミック材料等の工業材料に代表される比較的弾性率の大きい（ E ' ≥ 100 GPa），いわゆる「ハードマテリアル」の場合，その表面に付着力が存在していても高弾性率ゆえに圧子力
学挙動に及ぼす表面力の影響は相対的に小さく，多くの場合これを無視することができる。一方，高分子，ゾル・ゲル，コロイド，
液晶，各種生体材料，細胞増殖培地等に代表される「ソフトマテ
リアル，ソフトマター」（soft material, soft matter）の弾性率は上記
工業材料に比べると小さく（ E ' ≈ 1 kPa〜100MPa），表面付着力がこれらソフトマターの諸特性・諸機能に著しい影響を及ぼす。しかも多くのソフトマターは時間依存・変形速度依存を示す弾塑性
体・粘弾性体として振る舞う。
表面付着力を有する完全弾性体の圧子力学(Indentation Contact
Mechanics)に関しては，Johnson-Kendall-Roberts 理論（JKR 理論）に基づいた理論体系が構築されている[2.2, 4.1, 8.1]。一方，表面付
着力を有する弾塑性体・粘弾性体圧子力の体系化は，現在までのところ，実験・理論解析共にその端緒にすら就いていないのが現状である。本章においては，JKR 理論の詳細を論じるとともに，表面付着力を有する弾塑性体に対しては有限要素法を適用した数
値圧子力学を展開する。さらに，「弾性‐粘弾性対応原理」の JKR
理論への適用により表面付着力を有する粘弾性体の圧子力学理論の構築も試みる。

8.1 弾性体JKR 理論では「球形圧子」圧入に焦点を当て表面付着力を有す
る弾性体の圧子力学が論じられている。本節では実用材料の圧子力学評価で広く採用されているピラミッド圧子（Vickers/Berkovich圧子）等価「円錐圧子」への JKR 理論の拡張についても考察を加える。
任意形状を有する軸対称圧子を圧入荷重 P で弾性体に圧入した
際の圧入深さを h ，その際に形成される圧子接触半径を a とする。
表面付着力が存在する場合，圧子はその接触面に作用する付着力
により弾性体側に引き寄せられる（表面付着力により「負」の圧子圧入力が生じる）。したがって圧入深さ h で観測される圧入荷重「接触半
P は表面付着力の無い場合に比べ，その値が小さくなる。

65[8.1] K.L. Johnson, K. Kendall, A.D. Roberts,“Surfeace energy and the contact of elastic
solids”, Proc. Roy. Soc. London A, 324:301313(1971)

径が同じく a により与えられる平端円柱圧子に作用する負の圧入力」として，この表面付着力の影響をモデル化したものが JKR 理論である。
平端円柱圧子（半径 a ）の接触圧力分布 p(r ) は次式により与えられる [2.2, 4.1, 8.1]；

  r 2 
pF (r ) = pF 1 −     a  

−1 2

; 0≤r <a(8.1)

上式において添え字 F は Flat punch を意味する。(8.1)式を用いて表面付着力を表現する場合，圧子は弾性体表面に引き寄せられるため，係数 pF は「負の値」( pF < 0 )を有する。同様にして球形圧子の圧入圧力分布は12  r 2 
pS (r ) = pS 1 −    ; 0 ≤ r < a  a  

(8.2)

また，円錐圧子の圧入圧力分布は

a
pC (r ) = pC cosh −1   ; 0 ≤ r < a
r

(8.3)

を用いて，それぞれ，表現される[2.2]。上式において係数 pS ， pCの添え字 S および C は球圧子(Sphere)，円錐圧子(Cone)をそれぞれ表す。したがって付着力を有する完全弾性体への圧子圧入において，圧子直下に生じる接触圧力分布は(8.1)式と(8.2)式あるいは(8.3)式の圧力分布を重ね合わせることにより球形圧子圧入  r 2 
p ( r ) = pS 1 −     a  12

  r 2 
+ pF 1 −     a  

−1 2

(8.4)

円錐圧子圧入  r 2 ap ( r ) = pC cosh   + pF 1 −   r  a  

−1 2

−1

(8.5)

を用いて表現出来る。
一方，球圧子あるいは円錐圧子を深さ h まで圧入した際に誘起される圧子直下（ 0 ≤ r ≤ a ）弾性体表面形状は下記する幾何学的関係式により記述することが出来る；

66

球形圧子圧入
u z (r ) = h −

r2
2R

(8.6)

円錐圧子圧入u z (r ) = h − r tan β(8.7)(8.4)式あるいは(8.5)式で示した圧子直下接触圧力によって(8.6)式
あるいは(8.7)式で示した圧入方向接触表面変形が誘起される。これらの関係式を完全弾性体（弾性率 E '[= E (1 − ν 2 )] ； E ：ヤング率，ν ：ポアソン比）の構成方程式に適用することにより最終的に次に示す諸関係式が得られる（3.2 節，3.3 節参照）；【球圧子圧入】

π pS
4aE '

(

)

2a 2 − r 2 +

π apF
E'

=h−

r2
2R

(8.8)

r に関する恒等式となるよう上式の両片を比較することに
pS =
h=

2aE '
πR

πa
2E '

(8.9)

( pS + 2 pF )(8.10)

a

更に圧入荷重が P =  p(r )2π rdr で表現できることより
02P =  pS + 2 pF  π a 2
3
(8.11)の関係を得る。
【円錐圧子圧入】
上記の球形圧子圧入過程に施したと同様の数学的演算を行う
ことにより

π apC 2 r  π apF= h − r tan β1 −+E'  π a
E'

pC =
h=

(8.8’)

E'
tan β
2

πa
E'

(8.9’)( pS + pF )(8.10’)

P = ( pC + 2 pF ) π a2

(8.11’)の関係が存在する。

67

(8.9)式および(8.9’)式が示すように，接触圧力分布係数 pS および

pC は注目している完全弾性体の弾性率 E ' に関係づけられる。一方，表面付着力 γ (N/m)と表面エネルギー γ (J/m2)との等価性に着目することにより以下に示すエネルギー論的考察から平端円柱圧

P (a)
P1

A
•

子接触圧力分布係数 pF を γ に関係付けることができる。
「表面付着力の存在しない完全弾性体」に軸対称圧子を荷重 P1まで圧入した際の P - h 曲線を図 8.1(a)に示す。その際の圧入深さ

U1

を h1 ，接触半径を a1 とする。この圧入過程で弾性体に蓄積される
h1

弾性歪エネルギーを U1 とすると， U1 =  Pdh の関係より
0球形圧子圧入：

U1 =

P
P1

2 π 2 a13
pS12
15 E '

B
•
h1

0•

(b)

h

A
•

(8.12)

円錐圧子圧入：U1 =π 2 a133E 'pC12(8.13)を得る。蓄積弾性歪エネルギー U1 は図 8.1(a)に示す面積 OABO により与えられる。(8.12)式および(8.13)式において pS1 ， pC1 は接触
半径 a1 での球圧子および円錐圧子の接触圧力分布係数であり，それぞれ， pS1 = 2a1E ' π R および pC1 = ( E ' 2 ) tan β で与えられる（円

P2

C•
D•

0•

h2

P (c)
P1

錐圧子の場合，その幾何相似性により pC1 は接触半径に依存しな

-U2
B
•
h1

h

•A

UE=U1+U2

い定数で与えられる）。
引き続く第二段階操作として，図 8.1(b)に示すように，上述の圧子力学環境( P1 ，h1 ，a1 )（図 8.1(b)の A 点）において，接触面（面
積 π a12 ）に付着力（表面エネルギー）を 0 から γ へと漸増付与す

P2

0•

UE • C

る力学過程で生じる系のエネルギー変化を考える。付着力の付与
により圧子は弾性体表面に引き寄せられる。この力学過程は，図8.1(b)に示す線分 AC に沿う「半径 a1 を有する平端円柱圧子の徐荷過程」として扱うことが出来る。すなわち，付着力を付与するこ

•D
h2

B
•
h1

h

図 8.1 表面付着力を有する弾性体への圧子圧入過程に伴うエネ
ルギー論的考察：(a)表面付着力の存在しない完全弾性体への圧子とにより先に示した第一段階で「蓄積された歪エネルギー」の一

圧入過程（線分 OA），(b)表面付着部がこの「徐荷過程で解放」される。付着力を所定の値である γ

力の付与に伴う徐荷過程（線分まで増加させた時点での力学平衡にある系の圧子力学環境を( P2 ，AC），(c)表面付着力を有する完全

h2 ， a1 )（図 8.1(b)の C 点）とすると，付着力漸増付与に伴う徐荷弾性体に A 点まで圧子を圧入し過程での解放エネルギー U 2 ( < 0 ) は図 8.1(b)に示す面積 ABDCAた際に系に蓄積される弾性歪エ（＝ −U 2 ）により与えられる。付着力の付与に伴う徐荷過程は先ネルギー U E

68

に述べたように半径 a1 の平端円柱圧子の徐荷過程として扱うことが出来るため，この徐荷過程を次式により記述することが出来る；

P = P1 + 2π a12 pF1= 2a1 E ' ( h − h1 ) + P1
h = h1 +π a1
E'(8.14)

pF1

ここに， pF1 ( < 0) は平端円柱圧子（半径 a1 ）の接触圧力分布係数（(8.1)式参照）であり，付着力に起因するため負の値を有する。
図 8.1(a) に 示 し た A 点 で の 荷 重 P1 は ， 球 形 圧 子 圧 入 の 場 合()

P1 = 2π a12 3 pS1 ，円錐圧子の場合 P1 = π a12 pC1 により与えられる。
一方，付着力の付与により系外に解放されるエネルギー U 2 ( < 0 )
h2

P2

h1

P1

は U 2 =  Pdh =  P

P 2 − P12dP
= 2で与えられるため，解放エ
2a1E '
4a1E '

ネルギー U 2 として最終的に以下の表現式を得る；
球形圧子圧入U2 =π 2 a13  2

2
 pS1 pF1 + pF1 
E'  3(8.15)

円錐圧子圧入U2 =π 2 a13(p p + p )
E'
2
F1

C1 F1

(8.16)

したがって「付着力を有する」完全弾性体に圧子接触半径が a となるまで軸対称圧子を圧入した際の弾性歪エネルギー U E （図8.1(c）の面積 OACDO)は，(8.12)，(8.13)，(8.15)，及び(8.16)式より
球形圧子圧入ではU E ( ≡ U1 + U 2 ) =π 2 a3  2

222
 pS + pS pF + pF 
E '  153

(8.17a)あるいは，上式に(8.9)，(8.10)式を代入し
U E ( ≡ U1 + U 2 )π 2 a3  1  aE '  2 E '2
 E '  2 
h+
 
 −
 h 
2
E '  5  π R 
3π R
πa 

2

=

2

(8.17b)69

円錐圧子圧入ではU E ( ≡ U1 + U 2 ) =π 2 a3  1

22
 pC + pC pF + pF E' 3(8.18a)あるいは，上式に(8.9’)，(8.10’)式を代入し

U E ( ≡ U1 + U 2 )=π 2 a3  1  E 'tan β  
E '  3 2

2
E '2 tan β E '  2 
h+
 −
 h 
2π a

πa 

2

(8.18b)により記述することが出来る。
先に述べたように付着力は表面エネルギー US を用いることにより定量記述することができる。圧子と試験体間の表面接触による自由表面積の減少は U S の減少をもたらし，これとは逆に接触界面の剥離に伴う自由表面積の増加は U S の増加につながる；

U S = −2γπ a 2(8.19)

以上の考察より注目する力学系の全エネルギー（自由エネルギー）

UT は
U T = U E + US

(8.20)

により記述することができる。ここで系の熱力学的平衡状態について考える。系内外への力学的仕事の存在しない，すなわち，圧子圧入変位 h を一定に保った状態で接触半径の仮想的微小増分

δ a を想定すると，熱力学的平衡状態において次式が成立する；
 ∂U T  ∂a  = 0h(8.21)(8.17) 式〜 (8.20) 式を (8.21) 式に代入し，更に (8.17b) 式あるいは()(8.18b)式より，球形圧子，円錐圧子共に ( ∂U E ∂a )h = π 2 a 2 E ' pF2の関係が成り立つことから，最終的に平端円柱圧子圧力分布係数pF を次式により付着力（付着エネルギー）γ に関係付けることができる；

pF = −

4γ E '
πa(8.22)

以上の考察で得られた pS （(8.9)式）， pC （(8.9’) 式）， pF （(8.22)式）を(8.10)式，(8.11)式に，あるいは(8.10’)式，(8.11’)式に代入す70

ることにより，最終的に圧入深さ h および圧入荷重 P を接触半径a を用いて表現した次式を得る；
球形圧子圧入h=a2
πγ 1 2−2
aRE'(8.23)

P=

4E ' 3a − 4 πγ E 'a 3 2
3R(8.24)

円錐圧子圧入h=π tan β2a−2

πγ 1 2E'a(8.23’) E'
P =  tan β  π a 2 − 4 πγ E 'a3 2
 2


(8.24’)γE' E'
=  tan β  A − 4 1 2 A3 4
π
 2


(

)

ここに， A = π a 2 は圧子接触面積を意味する。付着エネルギー

γ = 0 を代入することにより，上記各式は，それぞれ，表面付着力の存在しない完全弾性体の圧子力学関係式に帰着される。
「計装化
顕微インデンテーション計測装置」を用いると，圧子圧入荷重 P
のみならず圧子接触半径 a あるいは接触面積 A を実測出来るので，

円錐圧子圧入を例に，その P - A 関係（(8.24’)式）を図 8.2 に示す。
図 8.2(a)において γ = 0 N/m で与えられる直線は表面付着力の存在しない完全弾性体の線形 P - A 関係， P = ( E 'tan β 2 ) A ，を表している。図 8.2 から分かるように，付着エネルギー γ の増大と共に，また弾性率 E ' の低下と共に P - A 関係に及ぼす表面付着力の影響が著しくなる。換言すると，付着エネルギーが大きいほど，そし

71

3
4
0.01

2

0.02

0.03

A(m )

係については，(8.23)式〜(8.24’)式から分かるよう陽関数を用いて

10

γ=1N/m(b)
5E'=10kPa

圧入荷重, P(N)

表面付着力が圧子力学挙動に及ぼす影響への理解を深めるため，

2

-5
0

試験で求められる圧子荷重と圧入深さの関係，すなわち， P - h 関

ある。

1

0

方，慣用の計装化インデンテーション計測装置を用いた圧子圧入変数とした陰関数で数値解析的に両者を関係付けることは可能で

0.5

5

ルギー γ を実測データから定量的に求めることが可能となる。一

両者を結び付けることには難がある。しかし，接触半径 a を媒介

E'=5kPa
γ=0 N/m

P(N)上式を用いることにより試験体の弾性率 E ' のみならず付着エネ

(a)

10

5

3
2

0
1
0

0.01

0.02

0.03

圧子接触面積, A(m2)

図 8.2 表面付着力を有する弾性体への円錐圧子圧入で観測される P - A 関係：(a) E ' = 5kPa, γ =0N/m〜4N/m(b) γ =1N/m, E ' =1kPa〜10kPa

て低弾性率弾性体（ソフトマター）になるにしたがって表面付着力の影響が著しくなり， P - A 関係に著しい非線形性が現れる。
上述の圧子力学諸関係式を無次元表記することにより表面付着力の影響を普遍的に俯瞰することを次に試みる。図 8.2 から容易に分かるように表面付着力により P - A 関係あるいは P - a 関係は
下に凸の曲線を形成し，固有の接触面積 Ac あるいは接触半径 ac
で圧子圧入荷重はその最小値 Pc を取る。本節では無次元化に必要となる接触半径，圧子荷重，圧入深さの特性値（固有値）として，

dP da = 0 を与える接触半径，すなわち圧入荷重に極小値を与える
接触半径を固有接触半径 ac ，この極小圧子荷重 P ( ac ) = Pc ( < 0 ) の絶 対 値 Pc を 固 有 圧 子 荷 重 ， そ し て 球 形 圧 子 の 場 合 に は(a)h ( ac ) = hc ( < 0 ) の絶対値 hc ，円錐圧子の場合には hc ( > 0) を，それ4それぞれについて，これらの固有値は弾性率 E ' と付着エネルギー

PN

ぞれ固有圧入深さと定義する。球形圧子圧入および円錐圧子圧入γ を用い次のように表現することが出来る；

2: 円錐圧子: 球圧子

0

球形圧子圧入013

 9πγ R 2 
ac = 

 4E ' 
Pc = −3πγ R

5

10

hN
4

(8.25)(b): 円錐圧子
: 球圧子

3

13

aN

 3π 2γ 2 R 
hc = − 2  16 E ' 21

円錐圧子圧入

ac =

0

36γ

0

5

10

PN

π E ' tan 2 β

3

(c)

3

 6  γ2
Pc = −  π tan β  E '6γ
hc =E ' tan β: 円錐圧子: 球圧子(8.25’)aN

2

1

これらの固有値を用い規格化した P - a および h - a 関係式を以下
0

に示す；

-2

0

2

4

hN

球形圧子圧入図 8.3 弾性体の規格化圧子力学曲線。実線は表面付着力を考慮しPN = aN 3 − 2aN 3 2(8.26)

hN = 3aN 2 − 4aN1 2

た JKR 理論，破線は表面付着力の存在しない完全弾性体の圧子力
学曲線72円錐圧子圧入
PN = 3aN 2 − 4aN 3 2(8.26’)

hN = 3aN − 2aN1 2

ここに aN ， PN ， hN は，それぞれの固有値で規格化した接触半径aN = a ac ，圧入荷重 PN = P Pc ，および圧入深さ hN = h hc （球形圧子）あるいは hN = h hc （円錐圧子）を表す。一方， PN - hN 関
係式は aN を媒介変数とした (8.26) 式あるいは (8.26’) 式から数値解として得ることができる。表面付着力を有する完全弾性体の規格化圧子力学表現式（(8.26)式あるいは (8.26’)式）のプロットを図8.3 に示す：●印は円錐圧子の，○印は球形圧子の規格化曲線をそれぞれ表しており，また，付着力の存在する弾性体のプロットは実線で，付着力の存在しない弾性体のプロットは破線により示されている。圧子が材料表面に接触した直後においては，円錐圧子が点接触であるのに対し，球形圧子は面接触であるため，図 8.3(a)および図 8.3(c)が示すように，後者の方が表面付着力の影響をより強く受けていることが分かる。
完全弾性体の解析結果（JKR 理論）（図 8.2 および図 8.3）との比較で，Vickers/Berkovich 等価円錐圧子を用いた有限要素数値解荷試験）の一例を図 8.4 に示す。表面付着力が存在しない場合，

P - A 負 荷 除 荷 関 係 （ ● 印 ）（ 図 中 の 破 線 は 解 析 解 ；

P = ( E 'tan β 2 ) A ）は直線となり，かつ負荷除荷に伴う履歴現象も観察されない。しかし表面付着力の付与により，その P - A 負荷
除荷関係（〇印及び実線）は非線形となり，完全弾性体であるに50

圧入荷重, P (μN)

析結果（FEA 数値解析結果；最大圧入深さ hmax = 30 μm への負荷除E=20kPa, ν=0.49; hmax=30μm
γ=5.0 mJ/m2

γ=0.0 J/m2

0

-50
0

50

100

2

150

接触面積, A (x100μm )もかかわらず著しい履歴現象を発現する。また材料表面方向への図 8.4

圧子吸着効果により，前述したように，圧子圧入荷重は表面付着（Vickers/Berkovich 等価円錐圧子

力の存在しない弾性体に比し著しく小さな値をとる。図 8.4 は表を用いた FEA 数値解析結果；弾面付着力の有無にかかわらず，両者ともに同一の最大圧入深さ

性率 E ' = 20 kPa を有する完全弾

表 面 付 着 力 効 果hmax = 30 μm への圧子圧入を行った FEA 試験結果を示しているに性体）。●印は表面付着力の存在もかかわらず，同一の最大圧入深さで観測される接触面積 A に表しない完全弾性体の P - A 負荷除

面付着力の有無に起因した著しい相違のみられる点に留意してお荷関係（破線は解析解）を示す。

く必要がある。すなわち，表面付着力の存在しない弾性体の最大〇 印 は 表 面 付 着 力 （ γ = 5.0 ｍ

接触面積が Amax ≈ 100 (x100 μm )であるのに対し，付着力の付与に
2J/m2）を有する完全弾性体の P - A

より Amax ≈ 180 (x100 μm2)へと著しく増大している。表面付着力の負荷除荷関係（点線は JKR 理論；

付与による同様の圧子接触面積増大現象は JKR 理論においても(8.24’)式，(8.27)式）

73

示されている（図 8.3(c)参照）。図 8.4 に示す〇印に沿った点線はJKR 理論に基づいて予測された P - A 負荷関係を示したものである（JKR 理論では P - A 除荷関係を記述できない）。図 8.4 に示す
ように FEA 数値解析結果（〇印）が JKR 理論（(8.24’)式）；
 E ' tan β 34P= A − λE A2

(8.27)

を忠実に再現していることが良く分かる。
（8.27）式において λE は

λE = 4γE'
π1 2(8.28)

により与えられ，圧子と弾性体表面との間に形成される接触領域の付着強度を表す力学物性値，付着靭性値(adhesion toughness)，として定義される（ λE の添え字 E は Elastic を表している）。付着
靭性値の物理次元は線形破壊力学における破壊靭性値（ fracture

toughness）と同一の次元[Pa・m1/2]を有している。換言すると，付()

K Ic ≡ 2γ E ' 」としての力学的意味合いを有している。

8.2 弾塑性体(a) 弾性体（E=20kPa, ν=0.49）

圧入荷重, P (μN)

着靭性値 λE は「付着領域におけるモード I 型剝離破壊靭性値

hmax=30μm

602: γ=0.0 mJ/m 2: γ=5.0 mJ/m

40
20
0

-20

上述した完全弾性体とは異なり弾塑性体においては表面近傍で60生じる塑性変形（塑性流動）が表面付着力・吸着力を緩和させる

40

全弾性体と弾塑性体（弾性率 E ' ，降伏応力 Y ）とを比較した場合，同一の圧子接触面積 A で観測される圧入荷重への付着力寄与率

 P ( γ ) − P ( γ = 0 ) P ( γ = 0 )  は，後者，すなわち弾塑性体のほうAが常に小さくなる，すなわち表面付着力の影響を受け難くなると推察される。塑性変形の有無が付着靭性に及ぼす影響を FEA 数値
解析結果の一例として図 8.5 に示す：塑性変形により付着靭性値が低下する，すなわち，塑性変形が存在することにより P - A 負荷曲線への表面付着力の影響が低減することを図 8.5 は示している。
付着靭性値への塑性変形の影響を加味することにより弾性体に適用された JKR 理論（(8.27)式）を次式により弾塑性領域に拡張表
現することができる；

圧入荷重, P(μN)

力学過程へと導く。したがって，共に同一の弾性率 E ' を有する完(b) 弾塑性体（E=20kPa, Y=2kPa, ν=0.49）2: γ=0.0 mJ/m 2: γ=5.0 mJ/m

20
0
-20
-40

0

50

100

150

圧子接触面積 A (x100μm2)

図 8.5(a)完全弾性体（ E ' = 20 kPa）および(b)弾塑性体（ E ' = 20 kPa，

Y = 2 kPa）の P - A 負荷・除荷曲線（FEA 数値解析結果）。表面
付着力の有無が P - A 曲線に及ぼす影響を●印（付着力なし；
γ = 0.0 mJ/m2）および○印（付P = HM A − λEP A3 4

(8.29)

着エネルギー γ = 5.0 mJ/m2）で示す

74

(8.29)式において H M は Meyer 硬度を表しており，弾塑性付着靭γ EP E 'π1 2(8.30)(8.30)式で導入した γ EP は塑性変形下での表面エネルギー（表面付着力），すなわち弾塑性表面付着力（弾塑性表面エネルギー）を意

無次元弾塑性付着エネルギー, γEP/γ

E=20 kPa

性値 λEP は次式により定義される；

λEP = 4

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

0

1

2
3
降伏応力, Y (kPa)

45

味する。弾塑性付着靭性 λEP あるいは弾塑性付着エネルギー γ EP と

図 8.6

降伏応力 Y との相関についての解析解が存在しないため，FEA 数

kPa）の表面付着エネルギー γ EP と値解析に基づいた経験則として，これらの相関式を誘導せざるを降伏応力との相関（FEA 数値解析

得ないのが現状である。

結果）。付着エネルギー γ で規格

弾塑性体（弾性率：E = 20

塑性流動が著しくなるに従い，すなわち，降伏応力 Y の低下と化した無次元弾塑性付着エネル

ともに弾塑性付着エネルギー γ EP が低下していく様子を，弾性率ギー γ EP γ の降伏応力 Y に対するE = 20 kPa を有する弾塑性体を例に図 8.6 に示す（FEA 数値解析

プロット結果）。また，弾性率 E ，降伏応力 Y ，および付着エネルギー γ を( (異にする各種弾塑性体の弾塑性付着靭性 λEP 2 E ' ≡ 16

) )π γ EPと付着エネルギー γ との相関プロット（FEA 数値解析結果）を図8.7 に例示す。これらの図より塑性変形・流動が表面付着力に与える影響として以下の結論を得る：降伏応力 Y の低下に伴い，すな
わち，塑性流動の顕在化と共に弾塑性付着靭性値 λEP ，弾塑性付着
エネルギー γ EP は減衰し，その結果，これら弾塑性体の圧子力学応
答における表面付着力の効果が消滅していく。逆に，降伏応力 Yの増大とともに γ EP → γ ，λEP → λE へと漸近し，これら弾塑性体はJKR 理論で記述できる表面付着力を有する完全弾性体の圧子力学応答を示すようになる。図 8.7 に示した降伏応力および弾性率を2異にする各種弾塑性体の λEP E ' vs γ プロットを横対数軸に沿って左方向すなわち低エネルギー側に水平移動し破線で示した完全弾性体の JKR 理論曲線に重ね合わせたマスター曲線 (mastercurve)を図 8.8 に示す。図 8.8 の横軸に示した a γ は重ね合わせ操作の際に用いた各曲線の横対数軸水平方向移動量を表す移動因子(shift factor)と呼ばれる無次元量である。このようにして求めた a γ
は次式を介して付着エネルギー γ を用いて規格化した弾塑性付着
エネルギー γ EP に結び付けられる；

aγ = γ EP γ

(8.31)

75

50
40
30

: E=20kPa, Y=1kPa: E=20kPa, Y=2kPa: E=20kPa, Y=3kPa: E=20kPa, Y=5kPa: E=100kPa, Y=12kPa: E=100kPa, Y=18kPa: E=20kPa; Elastic2

λEP2/E' (mJ/m2)

2

2

弾塑性付着靭性値λEP /E' (mJ/m )

60

1/2

: JKR; λE /E'=(16/π )γ

20

60

40

: E=20kPa, Y=1kPa, aY=0.17: E=20kPa, Y=2kPa, aY=0.3: E=20kPa, Y=3kPa, aY=0.53: E=20kPa, Y=5kPa, aY=0.8: E=100kPa, Y=12kPa, aY=0.38: E=100kPa, Y=18kPa, aY=0.55: E=20kPa; Elastic: JKR; λE2/E'=(16/π1/2)γ

20

10
0

100

2

0 -1
10

101

付着エネルギー, γ (mJ/m )

100

101

γEP(=aγγ) (mJ/m2)

各種弾塑性体の弾塑性付着靭性

図 8.8 各種弾塑性体の λEP 2 E ' vs γ EP プロ

λEP 2 E ' と付着エネルギー γ との相関プロ

ットのマスター曲線(master curve)。横対数座

ット（FEA 数値解析結果）。完全弾性体の標軸に示す a γ は図 8.7 の重ね合わせ操作で用JKR 理論を破線で示す

いた移動因子を表している（図中の破線は

図 8.7

JKR 理論）(8.31)式で定義した移動因子 a γ と弾塑性体の塑性変形能，すなわち塑性歪・塑性因子(plastic index, PI ( ≡ εI E ' cY ) ；第 5.1 節参照)との 間 に は 強 い 相 関 が 存 在 し ， 完 全 弾 性 体 ( PI ↓ 0 ) で aγ → 1

Shift factor, aγ

1: E=20kPa: E=100kPa

0.8: aY=1/(3.5PI)

0.6
0.4
0.2
0

100

101

PI[=(E'tanβ/2)/cY]（ γ EP → γ ），完全塑性体( PI ↑ ∞ )で aγ → 0（ γ EP → 0 ）へと推移することが想定される。このことを実証するために， aγ ( ≡ γ EP γ ) と

図 8.9

PI ( ≡ ε I E ' cY ) との間に存在する定量相関関係（FEA 数値解析結果）

曲線作成に用いた移動因子を図 8.9 に示す。また，両者の相関を次式で示す経験式（empiricalequation）により定量表現することもできる；

図 8.8 で示したマスター

aγ ( ≡ γ EP γ ) と塑性歪 PI ( ≡ ε I E ' cY )との相関（FEA 数値解析結果）。
最適経験式 aγ = 1 ( 3.5PI ) （ (8.32)

aγ = 1 ( 3.5PI ) ; PI ≥ 0.286(8.32)

76式）を実線で示す

8.3 粘弾性体(1) 荷重緩和挙動（円錐圧子）「弾性‐粘弾性対応原理」を JKR 理論（(8.27)式）に適用することにより表面付着力を有する粘弾性体構成方程式の Laplace 空間における表記として次式を得る；

 E '* ( p) tan β 34
P ( p) =  A( p) − λVE * ( p) A( p)2(8.33)(8.33)式において P( p) ， A( p) ， E '* ( p ) ， λve * ( p ) は，それぞれ，∞P( p) =  P(t )e− pt dt
0∞A( p) =  A(t )e− pt dt
0∞

E '*( p) = p  Erelax '(t )e− pt dt0∞

λVE * ( p ) = p  λVE ( t ) e − pt dt
0

=4

∞
γ
p  E 'relax (t )e − pt dt120πにより定義される。したがって(8.33)式の逆 Laplace 変換により，実空間における「表面付着力を有する粘弾性体の圧子力学構成方
程式」は次式により表現できる（APPENDIX C 参照）；dA(t ')
 tan β  t
P (t ) = dt ' 0 E 'relax (t − t ')
2
dt '


dA(t')3 4γ t
dt '− 4 1 2  E 'relax (t − t ')
0
dt '
π

(8.34)

圧子力学試験の一例として圧子接触面積 A0 へのステップ圧入
試験

A(t ) = u (t ) A0

(8.35)

で観測される圧子荷重緩和挙動への表面付着力の影響について以下に考察を行う（(8.35)式の u (t ) は Heaviside ステップ関数）。(8.34)
式に(8.35)式及び du ( t ) dt = δ ( t ) （Dirac デルタ関数）の関係式を代入することにより次式が得られる;

77

 tan β 
P (t ) = 
A0  E 'relax (t )
 2
(8.36)γ− 4 1 2 A03 4 E 'relax (t )π

圧子荷重緩和への表面付着力の影響についての具体例を可視化して示すため，粘弾性モデル（Maxwell 粘弾性液体および Zener 粘弾性固体）を用いた考察結果を以下に示す。

Maxwell 粘弾性液体の緩和弾性率

 t
E 'relax (t ) = E 'g exp  −  τ

(8.37)を(8.36)式に適用して得られた緩和荷重曲線（ P (t ) vs t ）の結果を図 8.10 に示す（Vickers/Berkovich 等価円錐圧子； β = 19.7 ，γ =には比較のため表面付着力を有しない Maxwell 粘弾性液体の荷重
緩和曲線（(8.36)式に γ = 0 を代入した荷重緩和曲線）が実線で示

圧入荷重, P(t) (mN)

0, 10, 100mJ/m2， E 'g = 20 kPa， τ = 50 s， A0 = 0.2 mm2）。図 8.10

Maxwell 液体

0.8o: γ= 0.0 mJ/m 2
: 10
: 100

0.6
0.4
0.2
0

-0.2
-0.4
-0.6
0

100

200

されている。表面付着力が圧子を粘弾性体表面に引き寄せる効果
により，緩和過程で圧子荷重が負の値を有する領域が出現している。また，表面付着力が存在することにより完全緩和（ P (t ) → 0 ）に至るまでの時間がより長時間側にシフトしていることも分かる。

Maxwell 粘弾性液体との比較で Zener 粘弾性固体
 t
E ' ( t ) = E 'e + ( E 'g − E 'e ) exp  − 
 τ

300

400

500

600

時間, t (s)図 8.10 粘弾性液体（Maxwell 液体）の荷重緩和挙動に及ぼす表面付着力の効果（実線）。破線は付着力の存在しない Maxwell 液体の荷重緩和曲線（接触面積 A0 = 0.2(8.38)

mm2 へのステップ圧入）（ E 'g = 20 ｋPa, E 'e = 5 kPa, τ = 50 s）に Vickers/Berkovich 等価円

8.11 に示す（ γ = 0, 10, および 100mJ/m2）。実線で示した荷重緩和
挙動（ γ = 0 mJ/m2；表面付着力の影響を受けない粘弾性固体）との比較で，付着力 γ の増大が緩和挙動に著しい影響を与えることが理解できる。特に表面付着力 γ = 100 mJ/m2 を有する粘弾性固体

圧入荷重, P(t) (mN)

錐圧子をステップ圧入（ A0 = 0.2 mm2）した際の荷重緩和挙動を図

Zener固体: γ = 0.0 mJ/m2
:
10
: 100

0.5

0

-0.5
0

100

200

300

400

500

600

時間, t (s)（図 8.11 の一点鎖線）の荷重緩和曲線は全ての時間領域でその圧入荷重は負の領域（ P < 0 ）にある。図 8.10 および図 8.11 におい

図 8.11て特記すべき興味深い特徴として，荷重緩和に及ぼす表面付着力体）の荷重緩和挙動に及ぼす表面の影響が著しい場合，負の領域における圧子荷重が時間と共に漸付着力 γ の影響（接触面積増しながら平衡値に至る現象を挙げることができる。この現象は

A0 = 0.2 mm2 へのステップ圧入）

圧子圧入荷重に負の影響を及ぼす表面付着力が粘弾性流動により78

粘弾性固体（Zener 固緩和していく過程を反映したものである。

(8.36)式の再表現として「圧子接触面積 A0 へのステップ付加」は次式で与えられる；

γ E '(t ) 3 4
 tan β 
P0 ( t ) = A0
 E ' ( t ) A0 − 4
π1 2
 2 

(8.36a)= a0 E ' ( t ) − b0 γ E ' ( t )ここに E 'relax (t ) = E ' ( t ) と略記し， a0 および b0 は，それぞれ，

 tan β a0 = 
 A0
 2 

b0 =

4

π

14

A03 4

(8.37a)により定義される。一方， A0 とは異なる圧子接触面積 A 1 へのス
テップ圧入では，上記(8.36a)式，(8.37a)式において A0 ⇒ A 1 置換を行うことによりγ E '(t ) 3 4
 tan β P1 ( t ) = A1
 E ' ( t ) A1 − 4
π1 2
 2 

(8.36b)= a1E ' ( t ) − b1 γ E ' ( t ) tan β 
a1 = 
 A1
 2 

b1 =

4

π1 4

A13 4

(8.37b)を得る。すなわち異なる圧子接触面積 A0 および A 1 へのステップ
圧子圧入を記述する粘弾性構成方程式がP0 ( t ) = a0 E ' ( t ) − b0 γ E ' ( t )(8.36a)P1 ( t ) = a1E ' ( t ) − b1 γ E ' ( t )(8.36b)により与えられる。さらに(8.36a)式および(8.36b)式からなる連立方程式の解とし最終的に緩和弾性率：

P0 ( t )b0 a1P0 ( t ) − a0 P1 ( t )⋅a0a0b1 − a1b0

(8.38a)P ( t ) b a P ( t ) − a0 P1 ( t )E '(t ) = 1 + 1 ⋅ 1 0
a1
a1
a0b1 − a1b0

(8.38b)E '(t ) =

a0

+

あるいは

79

付着エネルギー：
1  a1 P0 ( t ) − a0 P1 ( t ) γ=E '(t )  a0b1 − a1b0 

2(8.39)

を得る。したがって異なる圧子接触面積 A0 および A 1 へのステッ
プ圧子圧入試験で実測される圧入荷重緩和 P0 ( t ) および P1 ( t ) を(8.38a)式〜(8.39)式に代入することにより緩和弾性率 E ' ( t ) および
付着エネルギー（付着力） γ を実測定量することが可能となる。
(2) クリープ変形（球形圧子）
球形圧子荷重 P と接触半径 a との関係式（JKR 理論）((8.24)式
参照)
P=

4E ' 3a − 4 πγ E 'a 3 2
3R(8.40)に a3 2 = x を代入することにより(8.40)式は x を変数とする 2 次方
程式
4E ' 2x − 4 πγE ' x − P = 0
3R(8.41)に帰着し，その解として以下に示す a3 - P 関係式を得る；

4a 3= C ' P ⋅ F (k )3R(

F (k ) ≡ 1+ 2 k + k + k2(8.42))

ここにC ' =1 E'
k =Γ PΓ = 3π R ⋅ γ(8.43)＊ E ' : 弾性率， C ' : コンプライアンス

Γ : 表面付着力， γ : 付着張力（付着エネルギー）
R : 球圧子半径
刺 激 応 答 力 学 環 境 と し て 圧 入 荷 重 P0 へ の ス テ ッ プ 負 荷P(t ) = P0u (t ) （ u (t ) :Heaviside ステップ関数）を想定したうえで，
弾性‐粘弾性対応原理および Laplace 変換/逆変換を(8.42)式に適用することにより，表面付着力を有する粘弾性体のクリープ変形を記述する構成式が次式により与えられる；80 4 a ( t )3  = C ' ( t ) F ( k0 )α0 (t )  ≡ 0

3RP0 


(8.44a)(8.44a)式において C ' ( t ) はクリープ関数を表しており，下付き添え
字“0”はステップ圧入荷重 P0 におけるそれぞれの物理量を意味する。したがって， P0 とは異なる圧入荷重 P1 における(8.44a)式の表
記は

 4a ( t )3 
1
 = C ' ( t ) F ( k1 )
3RP1 α1 ( t )  ≡(8.44b)により与えられる。(8.44b)式において k1 は

k1 ( ≡ Γ P1 ) = ( P0 P1 ) k0 = rk0 により k0 に関係づけられる ( 異なる圧入荷重の比を r ( = P0 P1 ) で表記)。(8.44a)式および(8.44b)式の比によりクリープ関数 C ' ( t ) を消去し最終的に次式を得る；) αα ((tt)) 1 + 2  rx + rx + ( rx) 

(F ( x) = 1 + 2 x + x + x 2 =

2

0

1

(8.45)(8.45) 式の数値解として得られる x = k0 ( = Γ P0 ) より表面付着力

Γ ( = 3π R ⋅ γ ) あるいは付着エネルギー（付着張力）γ を，また(8.45)式で求めた F (k0 ) を(8.44a)式に代入して得られる

C '(t ) =α0 (t )

(8.46)F ( k0 )からクリープ関数 C ' ( t ) を，それぞれ，実験的に定量評価することができる（第 12 章参照）。
【Zener 粘弾性固体を用いたクリープ解析】

Zener 粘弾性固体を例に表面付着力がそのクリープ変形挙動に及ぼす効果を考察する。

Zener 粘弾性固体のクリープ関数 C ' ( t ) は次式により与えられる; t
C ' ( t ) = C 'e + ( C 'g − C 'e ) exp  −  τ

(8.47)

ここに C 'g ，C 'e および τ は，それぞれ，ガラスコンプライアンス，
平衡コンプライアンスおよび遅延時間を意味する。
表面付着力の存在しない，すなわち Γ = 0 あるいは k = 0 となる

81

粘弾性体の場合，(8.46)式に F (k0 ) = 1 を代入することにより球圧子

a3 ( t ) =3RC '(t ) ⋅ P
4(8.48)

すなわち a3 ( t ) ∝ P の関係が存在しクリープ変形 a3 ( t ) はクリープ
関数 C ( t ) を介して付加するステップ圧入荷重 P に比例する（表 7.2

Contact radius, a3(t) (10-3 mm3)

接触半径に見られるクリープ変形は次式で表現できる；

P=0.10 mN
200

γ=4.0 mN/m

2.0

100

1.0
0.0

0
0

200

参照）。一方，有限の付着力を有する粘弾性体においては(8.44)式

400
600
Time, t (s)

800

1000

が示すようにこの比例関係は成立しない。さらに表面付着力が十

図 8.12 ステップ荷重付加（球形

分に大きな，あるいは圧入荷重が限りなくゼロに近い球圧子圧入圧子；半径 R =3.0m， P =0.10mN）試験( P ↓ 0 )では F ( k ) → 4k なる関係を(8.44)式に代入することににより誘起されるクリープ変形

a3 ( t ) = 3RC ' ( t ) ⋅ Γ(8.49)ら上に γ =0.0, 1.0, 2.0, 4.0mN/m
γ=4.0 mN/m3

すなわち外部負荷の存在しない表面付着力単独下でクリープ変a3 ( t ) (Zener モデル)：曲線は下かContact radius, a (t) (10 mm )より次式が得られる;

し，かつ P ≡ 0 なる死荷重下においても表面付着力 Γ によりクリー
プ変形が誘起される。
クリープ変形 a3 ( t ) に及ぼす表面付着力 γ の影響を図 8.12 および図 8.13 に示す。これらの図より以下の重要な結論を得る;(1）圧入荷重が同一であっても表面付着力 γ の増大と共にクリープ変形が助長される(2) a3 ( t ) - クリープは線形粘弾性体であっても付加したステ

300

P=0.4 mN

200

0.2

-3
3

形 a3 ( t ) が誘起される。換言すると，球圧子が粘弾性体表面に接触

0.1

100

0
0

0.0

200

400
600
Time, t (s)

800

1000

図 8.13 ステップ荷重付加（球形
圧子；半径 R =3.0mm）により誘起
さ れ る ク リ ー プ 変 形 a3 ( t )(Zener モデル; γ =4.0mN/m)。曲ップ荷重 P に比例せず，しかも P ≡ 0 なる死荷重下におい

線は下から上にステップ負荷荷ても表面付着力によりクリープ変形が誘起される

重 P =0.0, 0.1, 0.2, 0.4mN

82

9 被膜／基材積層複合材の圧子力学
日本古来の伝統工芸でもある漆器を始め，釉を施した陶磁器や(a) 均質膜

Pf

鍍金製品等々，表面に被膜(film, coating)を施した多くの品々が我々の日常生活を豊かなものとしてくれている。塗装を施した外壁材や各種の粘着テープ等々も被膜／基材複合材に分類される。

βh

これら被膜材(皮膜)は基材(substrate)の保護のみならず，触感を高2af

めたり，粘着テープのように皮膜そのものの機能を有効に使うよう工夫が施されている。これら多くの積層複合材において皮膜のEf, υf

厚さは，一般的に言って，ナノメートルからサブミリメーターの範囲にある。このため，これら皮膜そのものの特性(film-only
properties)や，その経年劣化の定量的評価には多くの技術的障壁・(b) 皮膜/基板 複合材

P

課題が山積している。
一方，前章までのミクロ・ナノ領域に適用可能な圧子力学に関する考察から容易に推察できるように，圧子力学の科学と計測技
術はこれら被膜／基材複合材(film/substrate composite)の各種力学
物性の評価と解析に極めて優れた手法を提供する。本章では未だ

tf

β

h
2a

Ef, υfEs, υs

発展途上にある｢被膜／基材積層複合材の圧子力学｣に関する理論構築を行う[9.1-9.5]。被膜および基材の各種物性評価に関する圧子
力学実験手法・解析は第 12 章で詳述される。

図 9.1 積層複合材への円錐圧子圧入に伴う変形およびこれを記述する圧子力学パラメータ

9.1 弾性積層複合材の圧子力学挙動
皮膜および基板・基材共に完全弾性体である複合材については，
厳密な圧子力学理論が構築されている。図 9.1 に円錐圧子の弾性圧入を例にとり，(a)基材の影響を受けない皮膜のみ，すなわち，
半無限に広がる均質膜材，および(b)厚さ tf の膜が半無限に広がる
基材に被覆された積層複合材の圧子圧入に伴う変形の様子を示す。
膜および基材の弾性率およびポアソン比を，それぞれ，( Ef ，ν f )，( Es ，ν s )で表し，一定の深さ hまで圧子を圧入する際に要する圧入
荷重を，それぞれ， Pf および P ，圧子接触半径を af および a で表現する。圧入深さ h に比して膜厚が十分に大きい，すなわち，

tf >> h の場合には，基板・基材の影響を無視できるため，その圧入挙動は第 3 章で詳述した半無限均質材料(homogeneous body)の弾性圧子力学に帰着される。したがって，その圧入挙動は (3.33)
式，(3.34)式によりPf = kh Ef ' h n

(9.1)

83

[9.1] C.H. Hsueh, P. Miranda, J. Mater.
Res., 19[1], 94 (2004)[9.2] C.H. Hsueh, P. Miranda, J. Mater.
Res., 19[9], 2774 (2004)[9.3] H.Y. Yu, S.C. Sanday, B.B. Rath, J.
Mech. Phys. Solids, 38[6], 745 (1990)[9.4] F. Yang, Mater. Sci. Eng., A358, 226(2003)[9.5] M. Sakai, J. Mater. Res., 24[3], 831(2009)

af ( ≡ aH ) = Bh n −1

(9.2)

= CP ( n −1)/ nで与えられる(表 3.1 参照)。(9.2)式で定義した aH (添え字 H はhomogeneous を意味する)は任意弾性率を有する半無限均質等方弾性体に深さ hまで圧子を圧入した際に生じる圧子接触半径(indentation contact radius)を表しており，係数 B が弾性率に依存しない事実(表 3.1 参照)から容易に分かるように，任意の弾性率を有する弾性皮膜について，その af は材質に依存することなく常に aHで表現することができる。
一方，tf ≈ h そして tf < h となる場合には，図 9.2 に示すように，

図 9.2 基材の弾性率が皮膜の弾圧入挙動に著しい基板・基材効果が表れてくる。図 9.2 には基板・性率に比して十分に大きな場合，基材の弾性率が膜材の弾性率に比較して十分に大きい，すなわち

すなわち， Ef << Es の場合を例

Ef << Es の場合を例に，基材効果を定性的に図示したものである。

に，(a)圧入深さ一定，(b)圧入荷重

基材効果を考察するにあたって，「半無限均質膜材」と「積層複合材(laminated composite; laminate)」に，それぞれ圧子を圧入する際，「圧入深さ hを一定」とした場合と，｢圧入荷重 P を一定｣とした
場合とで，それぞれの圧子力学挙動に大きな相違の生じることに留意する必要がある。具体的には，図 9.2(a)に示すように，圧入深さ h 一定で観測される両者の荷重比 ( P Pf )h あるいは接触半径比( a af )h ≡ ( a aH )h  と，図 9.2(b)に示すように，圧入荷重 P 一定で
観 測 さ れ る 両 者 の 圧 入 深 さ 比 ( h hf ) P あ る い は 接 触 半 径 比( a af )P ≡ ( a aH ) P  に及ぼす基材効果の本質的な相違を良く認識しておくことが，積層複合材の圧子力学を理解する上でとても重要となる。例えば図 9.2 から定性的に理解できるように，接触半径に及ぼす基材効果のため， ( a aH )h ≠ ( a aH ) P となることに留意しておきたい。
均質等方半無限平面に対する弾性圧子力学表現式，(9.1)式，に基材の影響を組み入れた，「有効弾性率(effective elastic modulus)」

E 'eff ( tf a ) の概念を新たに導入し，基材効果を受ける弾性積層複合材の圧子圧入時の力学応答を，現象論的に，次式で記述する;

P = kh E 'eff ( tf a ) hn

(9.3)

上式で E 'eff ( tf a ) は

lim E 'eff ( tf a ) = E 'f

tf a →∞

84

一定での圧入挙動に及ぼす基板・基材効果を定性的に示す

lim E 'eff ( tf a ) = E 's

tf a →0を満たす積層複合材の有効弾性率である。したがって，(9.1)式およ び (9.3) 式 よ り ， 相 対 圧 入 荷 重 ( P Pf )h お よ び 相 対 圧 入 深 さ( h hf ) P は有効弾性率を用い，それぞれ，次式で表現できる；( P Pf )h = E 'eff E 'f
( h hf ) P = 1

(9.4)
(9.5)

( E 'eff Ef )1n

次のステップとして，Boussinesq の Green 関数を用い，(9.3)式で定義した有効弾性率 Eeff ' ( tf a ) の解析的な表現式の導出を行う。
弾性率 E ，ポアソン比ν により与えられる半無限弾性平面上に点
荷重 P を付加した際に生じる接触点の圧入方向変位勾配( z 方向歪) ∂u z ∂z は平端円柱圧子半径 a0 の a0 → 0 への極限における圧入問題(第 3.1 節参照)として取り扱うことができ，歴史的には
Boussinesq (1885)により，その厳密解が与えられている[1.1, 9.6]；∂u z P (1 + ν )  3r 2 zz=− ( 3 − 2ν )
3 
2
2
2
2π E  r 2 + z 2 5 2∂z)( r + z ) 
 (

(9.6)
したがって(9.6)式の両片を積分することにより，図 9.3 に示す，
点荷重 P を受ける膜・基材積層複合材の自由表面( z = 0 )での圧入
方向変位量 u z (r , z = 0) は，
tf

0 ∂u z ∂u zu z (r , z = 0) ( ≡ G ( r , z; Ei ,ν i ) ) = 
dz + 
dz∂z∞tf ∂z fs=

P (1 − ν f 2 ) 1

π Ef

(9.7)

r





r2
1 + ν s  ( 3 − 2ν s ) −


1
3 
 E  2

2
2
2
2
2
s
( r + tf )  
 ( r + tf )
P 
+


2π 


2
3 − 2ν f )r − 1 +ν f  (
−
1
3 

2
2

2
2
2
2 
Ef
( r + tf )   ( r + tf )で表現される[9.1, 9.2]。(9.7)式は集中点荷重(point load)を受ける積層複合材の Boussinesq Green 関数 G ( r, z; Ei ,ν i ) と呼ばれるもので85

図 9.3 集中点荷重を受ける膜・
基材積層複合材におけるBoussinesq 問題[9.6] J. Boussinesq, “Application des potentials
á l’etude de l’équilibre et du mouvement dessolides élastiques”, Gauthier-Villars (1885)

あり，以下に示すように円錐圧子や球圧子のような汎用圧子のP - h 圧入挙動を定量的に記述する基礎式となる。
第 3 章(図 3.5，表 3.1 参照)で考察した汎用圧子の接触面における接触圧力分布 p(r ) ( ≡ −σ z (r ,0) ) ( r ≤ a ; 接触半径 a )と上述のBoussinesq Green 関数 G ( r, z; Ei ,ν i ) (単位圧入荷重を用いて表現した (9.7) 式 ) を 用 い る こ と に よ り ， 圧 入 方 向 ( z 軸 方 向 ) 変 位

u z (r , z = 0) ( ≡ G ( r , z; Ei ,ν i ) ) の積算として軸対称圧子に対する積層複合材料の圧子圧入深さ hを接触圧力分布 p(r ) の関数として次式
により記述することができる；
ah =  p(r )G ( r , z; Ei ,ν i ) 2π rdr

(9.8)

0

したがって(9.7)式を(9.8)式に代入し，さらに(9.4)式を利用することにより，膜物性( E 'f ,ν f )および基材物性( E 's ,ν s )を用い，無次元
膜厚 ξ ( = tf a )の関数として表現した有効弾性率 Eeff ' ( tf a ) を最終的に次式で表現することができる；

1 + ν s( 3 − 2ν s ) I1 (ξ ) − I 2 (ξ ) 





P
E 'eff
E 'f  Es≡    = 1 +
1 +ν f
E 'f   Pf h 
2I0 

ν
ξ
ξ
−
−
−
I
I
3
2
{(

f ) 1( )2 ( )} 


Ef


−1

(9.9)
(9.9)式において， I 0 ， I1 (ξ ) ，および I 2 (ξ ) は無次元接触圧力分

pN ( ρ ) ：p(r ) = pm ⋅ pN ( ρ ) ;pm = P π a 2 ; ρ = r aを用いることにより次式で与えられる；1

I 0 =  pN ( ρ ) d ρ0ρ

1I1 (ξ ) =  pN ( ρ )01(ρ2 + ξ 2 ) 2
ρ31

I 2 ( ξ ) =  pN ( ρ )0(ρ + ξ )
2

2

3

2

dρ

(9.10)dρ86ここに ξ ( ≡ tf a ) は接触半径 a により規格化された無次元膜厚を3意味する。皮膜が十分に厚い，すなわち， tf >> a (ξ ↑ ∞ ) の場合，ために，(9.9)式は E 'eff = E 's となり，圧入挙動は基材物性により支配される。慣用圧子形状(平端円柱圧子，球圧子，円錐圧子)における pN ( ρ ) ，I1 (ξ ) ，および I 2 (ξ ) の解析表現式を表 9.1 および表 9.2に纏めて示しておく。
(9.10)式の積分を実行するに当たって，基材効果を受ける積層複合材の圧子接触圧力分布 pN ( ρ ) の情報が必要となるが，これにつ無次元接触圧力分布, pN[=p(r)/pm]

ち，tf << a (ξ ↓ 0 ) の場合には，I1 (ξ ) = I 2 (ξ ) = I 0 の関係が成立する

平端円柱圧子2I1 (ξ ) = 0 = I 2 (ξ ) となるため，(9.9)式は E 'eff = E 'f となり，皮膜が圧入挙動を支配するようになる。一方，皮膜が十分に薄い，すなわ

pm=P/πa2

1

0
球形圧子
1.5
1
0.5

: 均質等方半無限平面: 薄膜/剛基材

0
円錐圧子
3

いての一般的な解析解は現在までのところ報告されていない。したがって表 9.1 には圧子接触圧力 pN ( ρ ) として基材効果を無視し2た均質等方半無限平面における軸対称圧子の接触圧力分布(第 31章，表 3.1 参照)を用いて求めた I1 (ξ ) および I 2 (ξ ) の解析表現が示0-1

されている(積分 I 0 については(9.10)式より I 0 = I1 ( 0 ) = I 2 ( 0 ) の関係が存在するため，表 9.1 において I1 (ξ ) あるいは I 2 (ξ ) に ξ = 0 を代入することにより与えられる)。一方，表 9.2 には圧入挙動に基材効果が著しく反映されると考えられる剛体(すなわち， E 's ↑ ∞ )を基材とし，その表面に弾性薄膜( tf a << 1 )を被覆した積層複合材の圧子接触表面に誘起される接触圧力分布 pN ( ρ ) [9.4]，および，
これを用いて求めた I1 (ξ ) および I 2 (ξ ) の解析解が示されている。
また，図 9.4 には，それぞれの力学環境(実線：基材効果を無視した均質等方半無限平面，破線：弾性薄膜/剛基材積層複合材)における接触圧力分布 pN ( ρ ) の相違をグラフ化して示す。
上述の Boussinesq Green 関数 G ( r, z; Ei ,ν i ) を用いた積層複合材の弾性圧子力学理論は解析解を求めることのできる長所に加え，
第 9.2 節で述べる粘弾性論への拡張が容易となる利点もある。一方，先に述べたように，基板・基材の影響下にある圧子接触圧力
分布 pN ( ρ ) に関する厳密解が求められていないため，解析結果に厳密性を欠く難点が存在する。

87

-0.5

0

0.5

1

無次元半径, r/a

図 9.4 軸対称圧子接触圧力分布
pN ( ρ ) への基材効果：
実線：均質等方半無限平面
破線：弾性薄膜/剛基材
積層複合材

一 方 ， 以 下 に 示 す Fredholm 積 分 方 程 式 (Fredholm integral
equation)を用いると，「数値解」として積層複合材の弾性圧子力学に関する「厳密解」を求めることができる[9.3]。薄膜，基材それぞれについて，2 種類の固有調和関数(Papkovich-Neuber 関数)を用
いて被膜および基材それぞれの層における応力と歪を表現し，これらに第 3 章と同様の Hankel 積分変換を適用することにより，最終的に次式で示す関数 H ( ρ ) に関する第 2 種 Fredholm 積分方程式
を得る；
H (ρ ) −11

 K ( y + ρ ) + K ( y − ρ ) H ( y )dy = F ( ρ )π 0(9.11)

ここに， H ( ρ ) は圧子の接触圧力分布を記述する無次元関数を意味している。(9.11)式の積分核 K ( y ) は皮膜および基材の弾性率( Ef ，ν f )，( Es ，ν s )および無次元膜厚 ξ ( = tf a )の情報を含む特性関数，F ( ρ ) は注目している軸対称圧子の形状に関する情報を含む特性関数であり，F (ρ ) = 1 ；平端円柱圧子F ( ρ ) = 1 − ( γρ ) ；球形圧子

F ( ρ ) = 1 − γρ ；

円錐圧子

2

で与えられる。ここに γ = ( a aH )h は図 9.2(a)に示した圧入深さ hでの接触半径比( ≡ ( a af )h )を意味する。また，(9.11)式の積分方程式の解である H ( ρ ) は次式により圧入荷重に関係付けられる；
1P  = c 0 H ( ρ )d ρ Pf h(9.12)

上式で圧子形状に依存する係数 c は平端円柱圧子，球形圧子，円錐圧子について，それぞれ， c =1，3/2，および 2 により与えられる。(9.11)式は，積層複合材の力学物性を圧子力学的に定量評価する上で重要となるパラメータ， γ = ( a aH )h および H ( ρ ) すなわち

( P Pf )h ，を未知数とした積分方程式である。この積分方程式の解
H ( ρ ) を求めるに当たって，先ず関数 H ( ρ ) を Chebyshev 級数で近似表現することにより(9.11)式の積分方程式を線形連立代数方程式に書き換える。さらに，γ = 1 を初期値とする F ( ρ ) を上述の連立代数方程式に代入し，零次解としての H ( ρ ) を決定する。引き続き88

γ の値を変化させながら，同様の演算操作を繰り返し行い，境界平端円柱圧子条件である H (1) = 0 (圧子接触領域の外側( ρ ≥ 1 )で接触応力が零)101が得られるまで，この反復操作を行うことにより最終解としての100と皮膜の弾性率比 E 's E 'f をパラメータとして，図 9.5 に示す。図9.5 には，比較のため，先に導出した Boussinesq Green 関数を用いた解析解((9.9)式)が実線で示されている。これらの実線は均質等
方半無限平面における接触圧力分布 pN ( ρ ) (表 9.1，図 9.4 参照)を仮定して求めた解析解である。ただし，図 9.5 において，基材の弾性率が皮膜のそれに比較して十分に大きな E 's E 'f = 100 に対応

無次元弾性率, E'eff /E'f [(=P/Pf)h]H ( ρ ) を決定する。このようにして求めた H ( ρ ) を(9.12)式に代入し求めた ( P Pf )h [ ≡ E 'eff E 'f ] と無次元膜厚 tf a との関係を，基材: E's/E'f=100
5
2
1
0.5
0.1

10-1
球形圧子
10

1

100
10-1
円錐圧子
10

1

する実線のみは，基材を剛体(rigid body)と仮定した接触圧力分布

pN ( ρ ) (表 9.2，図 9.4 参照)を(9.9)式に代入して求めた解析解である。これらの解析解(実線)は第 2 種 Fredholm 積分方程式((9.11)式)を用いて求めた厳密解を比較的忠実に再現していることが分かる。
特に，球形圧子においては，これら両者の一致は極めて良いこと

100
10-1
10-1

100
101
無次元膜厚, t f /a102

図 9.5 積層複合材料における無次が分かる。十分に大きな圧入，あるいは皮膜が十分に薄い場合，

元弾性率と無次元皮膜厚さとの関すなわち， tf a < 0.1 の領域で有効弾性率は E 'eff → E 's に収束し，係。破線を伴う各種のシンボルは

逆 に ， 微 小 圧 入 量 あ る い は 厚 膜 の 力 学 環 境 ( tf a > 50 ) で はFredholm 積分方程式((9.11)式)に基

E 'eff → E 'f へと収束することが分かる。一方，(9.5)式で記述した

づく厳密数値解，実線は Boussinesq

よ う に 圧 入 荷 重 P 一 定 で の 無 次 元 圧 入 深 さ ， ( h hf ) P ， はGreen 関 数 を 用 い た 近 似 解 析 解

1 ( E 'eff E 'f )((9.9)式)1nで表現できるため，上述の E 'eff E 'f に関する解析解

あるいは数値解を利用することにより，容易に，( h hf ) P を求める
ことができる。
均質等方弾性体においては，第 3 章で詳述したように，圧子周辺の自由表面は圧子の圧入に引きずられるように沈み込む，いわゆる，シンクイン(sink-in)が観測される。その結果，均質等方半無限弾性体においては，表 3.1 に示したように hc h は圧子の形状に関わらず常に 1 以下の値を取る。一方，本章で述べる積層複合材
においては，皮膜と基材との弾性率，すなわち，皮膜と基材での弾性変形能に応じてシンクインの程度が影響を受ける。本節で述
べた無次元接触半径 γ ≡ ( a aH )h  と皮膜・基材の弾性率比 E 's E 'f89

の関係を用い，積層複合材におけるシンクイン・パイルアップ(sink-in/pile-up)現象について以下，考察を加える。圧入深さ一定での無次元接触半径 γ ≡ ( a aH )h  への基材効果は，先にも述べたよ
うに，第 2 種 Fredholm 積分方程式((9.11)式)に反復法(iteration
method)を適用することにより，数値解として求めることができる。
汎用性の高い球形圧子および円錐圧子について算出した無次元接触半径 ( a af )h と無次元膜厚 tf a との関係を図 9.6 にグラフ化して示す[9.3]。

無次元接触半径, (a/a f)h

2

球形圧子

円錐圧子

: E 's/E 'f=100
:
5
:
2
:
1
:
0.5
:
0.1

1.5

1

0.5
0

2

4

6

無次元膜厚, tf/a

8

0

2

4

6

8

10

無次元膜厚, tf/a

図 9.6 圧入深さ一定での無次元接触半径 γ ≡ ( a af )h  に及ぼす基材
効果(Fredholm 積分方程式の数値解)
図 9.6 が示すように基材の弾性率が皮膜の弾性率に比べて大きな場合(すなわち， E 's E 'f > 1 )， tf a ≈ 1 の近辺で ( a af )h vs. tf aの関係が「上に突」の曲線となり，逆に，基材の弾性率が皮膜の弾性率より小さな場合(すなわち， E 's E 'f < 1 )には「下に突」の曲線となる。換言すると，前者では基材の弾性率が大きく，その変形抵抗性が高いため，圧子圧入による変形が皮膜に集中し，この結果，同一圧入深さ hで比較した場合，均質等方半無限弾性体の表面変形に比べて，積層複合材では圧子周辺の自由表面のシンクインが抑制される，あるいはパイルアップが誘起されることを意味している。一方，基材の弾性率が皮膜の弾性率より小さな積層複合材では，圧入に伴う変形の多くを基材が担うため，均質等
方半無限弾性体に比して，同一圧入深さ hでの圧子周辺自由表面が沈み込む，「シンクイン(sink-in)」現象がより顕著に表れる。円錐圧子を例にとると，均質等方弾性体の hc h が 2 π により表現

90

出来るので（(3.28)式，表 3.1 参照），積層複合材のシンクインの程度を表す hc h は最終的に次式により表される；

hc 2  a =  
h π  aH h
したがって図 9.6 を参照することにより， tf a ≈ 1 まで円錐圧子を圧入した場合， E 's E 'f = 5 の積層複合材の hc h は

hc h ≈ ( 2 π ) ×1.28 ≈ 1.0 となり，シンクインがほとんど生じなくなることが分かる。さらに，基材の弾性率がより大きく剛体と近似できる複合材( E 's E 'f = 100 ；図 9.6 参照)では， hc h > 1 とな
り，弾性体であるにもかかわらず，均質等方延性材料に類似した
自由表面の盛り上がり(パイルアップ現象)が観測される(第 5 章，
図 5.6，図 5.7 参照)。一方，基材の弾性変形能が皮膜のそれに比して大きな，例えば， E 's E 'f = 0.1 の積層複合材に tf a ≈ 1 まで円錐圧子を圧入した場合，図 9.6 より ( a aH )h ≈ 0.5 ，したがって

hc h ≈ ( 2 π ) × 0.5 ≈ 0.3 となり，圧入変位の多くの部分を基材が担うために均質等方弾性体で観察される hc h = 2 π ( = 0.637 ) よりも顕著なシンクイン現象が生じる。

91

表 9.1 均質等方半無限平面における軸対称圧子の接触圧力分布 pN ( ρ ) ，および，これを用いて求めた I1 (ξ ) ， I 2 (ξ ) の解析表現

表 9.2 弾性薄膜( tf a << 1 )を被覆した積層複合材の圧子接触圧力分布 pN ( ρ ) ，および，これを用いて求めた I1 (ξ ) ， I 2 (ξ ) の解析解929.2 粘弾性積層複合材の圧子力学挙動
線形粘弾性体構成方程式の Laplace 空間における表記が，実空間における完全弾性体の構成方程式と形式的に等価となる｢弾性‐粘弾性対応原理｣(第 7 章)に基づき，第 9.1 節で展開した積層複合
材料の弾性圧子力学理論を粘弾性力学応答の定量記述へと拡張することができる[9.7]。
接触面積 A0 へのステップ圧入， A(t ) = A0 ⋅ u (t ) ，で観察される粘弾性積層複合材の円錐圧子圧入荷重緩和は，(7.6)式と同様に次式で表現できる；P (t ) =tan β
A0 ⋅ E 'relax (t )2

(9.13)

本節では以降，積層複合材の緩和弾性率 E 'relax (t ) を簡潔に E '(t ) と表記する。「弾性‐粘弾性対応原理」を(9.9)式に適用することにより，接触面積 A0 へのステップ圧入， A(t ) = A0 ⋅ u (t ) で観察される積層複合材料の緩和弾性率 E '(t ) ( ≡ E 'eff (t ) ) を次式により記述することができる；

1 + ν s( 3 − 2ν s ) I1 (ξ ) − I 2 (ξ ) E '(t )   P(t )    E 'f (t )  Es (t )

1
≡
=
+
 


 
1 +ν f
E 'f (t )   Pf (t )  A  
2I0 −
3 − 2ν f ) I1 (ξ ) − I 2 (ξ )}
(
{



Ef (t )
−1

(9.14)()

上式において皮膜緩和弾性率を Ef (t ) ， E 'f (t )  ≡ Ef (t ) / 1 − ν f 2  ，()

基材緩和弾性率を Es (t ) ， E 's (t ) ≡ Es (t ) / 1 −ν s 2  により表記する。接触面積 A0 へのステップ圧入を想定しているため，無次元
膜厚 ξ ( ≡ tf a0 ) ( a0 =A0 π )は時間に依存しない定数で与えられる。第 6.4 節で示したように粘弾性体のポアソン比ν は時間依存性を示し，粘弾性液体(例えば Zener II モデル(6.8b)式で Ee = 0 )では，応力緩和初期のポアソン比ν (0) ( ≈ 0.1) は緩和の過程でν (∞) ↑ 0.5 へと緩やかに増大する(図 6.10 参照)。一方，粘弾性「固体」( Ee ≠ 0 )の場合にはポアソン比の時間依存性は小さい。
本節では，簡潔のために，(9.14)において，ν f = ν s = 0.3 と仮定し，さらに緩和過程において，これらポアッソン比は時間に依存しない一定値を取るとの仮定に則って解析を進める。この仮定は粘弾性圧子力学応答の本質に何ら影響を与えるものではない。
(9.14)式中の緩和弾性率 Ef (t ) および Es (t ) を記述する構成方程93[9.7] M. Sakai, Phil. Mag., 86[33-35],
5607(2006)

式には第 6 章で詳述した単一緩和時間を有する Zener II モデル(図6.2 参照)の緩和弾性率((6.8b)式参照)
 −t 
E '(t ) = E 'e + ( E 'g − E 'e ) exp  τ 
E 'g = E 'e + E 'M

(9.15)

を用いて具体的な数値解析を進める。上式において緩和時間はτ = η E 'M で与えられる。粘弾性液体( Ee = 0 )の場合，Zener II モデ
ルは Maxwell モデルに帰着される。
以下，円錐圧子の接触面積 A0 へのステップ圧入， A(t ) = A0 ⋅ u (t )(接触半径を用いた表現では a (t ) = a0 ⋅ u (t ) ; a0 = A0 π )，を想定し積層複合材の粘弾性圧子力学挙動についての考察を行う。
(1) 弾性皮膜/粘弾性基材積層材の応力緩和挙動
粘弾性基材に弾性膜を被覆した積層材に円錐圧子をステップ圧(a)

入した際に観測される荷重緩和 P (t ) は(9.13)式が示すように，緩い( E 'f = E 's (0) = 10 GPa)モデル積層材料の緩和弾性率を図 9.7(a)に，膜弾性率が基材の初期弾性率より小さく，かつ平衡弾性率(equilibrium modulus)よりは大きい（ E 's (0) > E 'f > E 'e ( ≡ Es ( ∞ ) ) ）モデル積層材料( E 'f = 5 GPa; E 's (0) = 10 GPa， E 'e = 1 GPa)の緩和弾性率を図 9.7(b)に示す。それぞれの図は膜厚 tf とステップ圧入による圧子接触半径 a との比， tf a ，をパラメータとしてプロットされている。ステップ圧入量が大きくなるに従い， tf a の値は小さくなり，これに伴い，観測される緩和挙動は順次，被膜の弾性応答から基材の粘弾性応答へと推移して行く様子が良く示されている。

Stress relaxation, E(t) (GPa)

性基材の初期弾性率(ガラス弾性率(glass modulus))とが共に等し

Es(0)=10 GPa, Ee=1 GPa, τs =10 s
被膜(Ef=10 GPa)10

tf/a=20

8

10

6

5

4

1

2
0
0

基材

0

10

20
30
Time, t (s)

40

50

(b)
12

緩和弾性率, E'(t) (GPa)

和弾性率 E '(t ) により直接記述ができる。弾性膜の弾性率と粘弾

12Es(0)=10 GPa, Ee=1 GPa, τs =10 s

1086

被膜(Ef=5 GPa)4

tf/a=10

2
0

基材
0
0

10

20

30

1

5

40

50

時間, t (s)図 9.7 粘 弾 性 基 材 ( E 's (0) = 10(2) 粘弾性皮膜/弾性基材積層材の応力緩和挙動
上記(1)項の積層体とは積層順位が逆である，すなわち，粘弾性

GPa， E 'e = 1 GPa，τ s = 10 s)に弾性膜を完全弾性基材に被覆したモデル積層材料に円錐圧子をステッ

膜((a) E 'f = 10 GPa；(b) E 'f = 5

プ圧入した際に観測される粘弾性応答を考察する。(1)項の基材とGPa)を被覆した積層材に円錐圧して用いた粘弾性固体(ZenerII モデル)を，本項では膜材として用子をステップ圧入した際に観測いる；される緩和弾性率 E '(t )94 −t E 'f (t ) = E 'e + ( E 'g − E 'e ) exp   τf 
τ f = 10s E 'g = 10GPa E 'e = 1GPa

一方，この膜材を被覆する基材として弾性率を異にする各種の弾性基材を想定し，基材の弾性率 E 's がモデル積層複合材の粘弾性応答に如何なる影響を与えるかについての数値解析結果を示す。
図 9.8(a)には，円錐圧子のステップ圧入量を tf a = 1 に固定し，この基準値で比較した応力緩和挙動に及ぼす基材の弾性率効果を示す。積層複合材の緩和挙動に及ぼす基材弾性率の効果は，応力緩和初期において特に著しく発現することが図 9.8(a)から見てと性率の効果が上述した緩和初期における著しい基材効果をもたらす原因となっていることをより明確に示すため，図 9.8(a)で示したグラフの縦軸を初期弾性率 E '(0) で規格化したプロットを図
9.8(b)に示す。この図から良く分かるように，基材弾性率の値が小さくなるに従って，積層複合材の緩和挙動が著しく緩慢となる，

(a)
15

10 10
5
5

すなわち，基材弾性率が小さくなるに従って複合材の緩和時間が

0

2
1
0

10

逆に，基材の弾性率が皮膜の初期弾性率より小さい場合( Es < 10GPa)，緩和挙動がより長時間側へとシフトする。図 9.8 はステッ
プ圧入量を tf a = 1 に固定した場合の積層複合材緩和挙動への基材効果を例示したものである。
ステップ圧入量を増大させて行くに従い，無次元膜厚 tf a は減

40

50

1
tf/a=1
0.8

E's=1 GPa

0.6

2
5

0.4

10
0.2
0

20
0

10

20

30

40

50

時間, t (s)少し，この逆数関係で与えられる無次元圧子接触半径 a tf は増大する。そして，圧入の進行と共に基材効果はより顕著になる。こ30(b)
無次元緩和弾性率, E'(t)/E'(0)GPa)，積層複合材で観察される緩和時間は短時間側に，これとは20

時間, t (s)著しく長時間側にシフトして行くことが分かる。皮膜の初期弾性率，Ef (0) = 10 GPa，に比し基材の弾性率がより大きな場合( Es > 10

tf/a=1

E's=20 GPa

緩和弾性率, E'(t) (GPa)れる。積層複合材の緩和現象を規定している緩和時間への基材弾

図 9.8の基材効果を定量的に記述するために，図 9.9 に，基材の弾性率(a) 弾性率を異にする各種の弾をパラメータに取り，積層複合材の緩和時間 τ と無次元圧子接触性基材に，粘弾性膜( Ef (0) = 10

半径 a tf との関係を示す。図 9.9 において，積層複合材の緩和時

GPa， E 'e = 1 GPa，τ s = 10 s)を被覆

間 τ は，規格化した緩和弾性率 [ E '(t ) − E '(∞)] [ E '(0) − E '(∞)] が，そした積層材に円錐圧子をステッの初期値の 1 / e にまで緩和減衰するに要する時間として定義され

プ圧入( tf a = 1 )した際に観測さている。圧入量の小さな領域( a tf ≈ 0 )では基材効果を受けないたれる緩和弾性率 E '(t ) への基材弾め，積層複合材の緩和時間 τ は，粘弾性皮膜の緩和時間 τ f に一致性率の影響する( τ = τ f = 10 s)。しかし，圧子圧入量の増大と共に，すなわち，(b) 図(a)の縦軸を初期弾性率a tf の増大と共に，基材の影響を強く受けるようになるため，積E '(0) により規格化したプロット

95

層複合材の緩和時間は単調に増大する。しかも，この緩和時間の増大傾向は，弾性基材の弾性率が小さいほどより顕著に表れることを図 9.9 は良く示している。この事実は，膜の粘弾性物性値を調節することなく，完全弾性体である基材の弾性率を調整することにより，積層複合材の粘弾性挙動を自由に設計・制御することのできることを物語っている。

緩和時間, τ (s)40

E 's = 0.1 GPa

0.5

1.0
5.0

30

10
50

20

100

10
10-2

10-1

100

10 1

規格化接触半径, a/tf

図 9.9 弾性基材の弾性率 E 's が積層複合材の緩和挙動に及ぼす影響。
各種のシンボルは個々の基材の弾性率を表す：○印(0.1 GPa)，●印(0.5 GPa)，△印(1 GPa)，▲印(5.0 GPa)，□印(10 GPa)，■印(50 GPa)，▽印(100 GPa)96

9.3 弾塑性積層複合材の圧子力学
第 5 章で詳述したように，均質等方弾塑性体に圧子を圧入する過程において Meyer 硬度 H M は弾性場を表す E ' および塑性場を表現する Y により一意的に規定される（(5.14)式参照）。一方，積層複合材においては圧子の圧入が進行するに従い基材効果の影響が顕在化してくる。このため圧子周辺の力学環境は圧入初期に見られる皮膜固有の弾塑性力学物性( Ef ' ，Yf )が支配する環境から，圧入の進行に伴い，基材固有の弾塑性力学物性( Es ' ，Ys )が支配する環境へと連続的に変化していく。換言すると，図 9.10 に示すように，圧子の圧入方向(積層方向)に空間勾配(異方性)を有する「均質異方体」の弾塑性圧子力学挙動と等価であるとの考えに基づいて積層複合材の弾塑性圧子力学挙動をモデル化・定量化することが可能となる[9.5]。
第 5 章で示したように，排除体積加成則モデルを適用することにより均質等方体の弾塑性圧子力学応答を定量記述することができた。したがって圧子の圧入方向に弾塑性パラメータが空間勾配を有する均質異方体モデルに排除体積加成則（(5.14)式）を適用し，E ' を E ' ( tf a ) に Y を Y ( tf a ) に置き換えることで弾塑性積層材
Meyer 硬度 H M ( tf a ) を次式で表現することができる；
1m

 {ε E ' ( t a ) / cY ( t a )}m 
I
f
f

=
cY ( tf a ) 1 + {ε I E ' ( tf a ) / cY ( tf a )}m 

H M ( tf a )(9.16)

降伏応力が無限大の極限 Y ( tf a ) ↑ ∞ ，すなわち，皮膜・基材共に降伏現象を示さない極限を想定した場合，この積層材は第 9.1
節で詳述した弾性積層材に帰着され，(9.16)式の Meyer 硬度

H M ( tf a ) は次式で与えられる(均質等方体の弾性 Meyer 硬度を表現した(3.32)式との類似性に留意)；

H M ( tf a ) = ε I E ' ( tf a )(9.17)(圧入歪 ε I の詳細については第 3 章，第 5 章参照)。したがって圧入方向に空間異方性を有する均質異方弾性複合材モデルの圧子圧
入荷重 P は次式により圧子接触面積 A に関係付けられる；

P = ε I E ' ( tf a ) ⋅ A(9.18)

97

図 9.10 弾塑性積層材と均質異方材モデルとの等価性

P = kh Eeff ' ( tf a ) hn

(9.3)

圧子接触面積 A で表現した(9.18)式と圧入深さ hで表現した(9.3)式
が等価にならなければならない必然性より， Eeff ' ( tf a ) は次式により E ' ( tf a ) に関係付けられる；

 A
E 'eff ( tf a ) =  E ' ( tf a ) AH h(9.19)2 a =   E ' ( tf a ) aH h

上式において ( AH )h および ( aH )h は，第 9.1 節で定義したように，

規格化弾性率, E'(tf /a)/E'f

表現において，有効弾性率 Eeff ' ( tf a ) が次式で「定義」された；

規格化弾性率, E'eff (tf /a)/E'f

一方，第 9.1 節では圧子圧入荷重 P を圧入深さ hに関係付ける定量

101

(a)

100

10-1
0
101

10

20

規格化膜厚, tf /a: (E'eff /E' f)/(a/a H)

(b)

2

100

10-1
0

1

2

3

4

5

規格化膜厚, tf/a

基材効果の存在しない半無限均質等方弾性体(homogeneous body)に圧入深さ hまで軸対称圧子を圧入した際に形成される圧子接触図 9.11円錐圧子の圧入時に観面積および接触半径を，それぞれ，表現したものである。したが察される(a) Eeff ' ( tf a ) ，および，って有効弾性率 Eeff ' ( tf a ) への基材効果は，弾性率 E ' ( tf a ) および(b) E ' ( tf a ) への基材効果。各種の接触面積 A (あるいは接触半径 a )への相乗的基材効果として発シンボルは有限要素数値解析結現することが(9.19)式から理解できる。 Eeff ' ( tf a ) および E ' ( tf a )果を示す。(a)の実線は Fredholm 積への基材効果に見られる相違を，円錐圧子の圧入を例に，図 9.11

分 方 程 式 ((9.11) 式 ) に 基 づ くに示す。圧子の圧入と共に漸増して行く接触半径 a が， a ≥ 0.1tf

Eeff ' ( tf a ) 厳密数値解(図 9.5 参( tf a ≤ 10 )の領域に入ると，図 9.11(a)に示すように， Eeff ' ( tf a ) へ照)，(b)の実線はこの厳密数値解の基材効果が顕著に表れる。一方，図 9.11(b)が示すように，を (9.19) 式 に 代 入 し て 求 め た

E ' ( tf a ) への基材効果は，さらに圧入が進行し，a ≥ 0.5tf ( tf a ≤ 2 )

E ' ( tf a) の数値解を示す。それぞの領域に入って漸く発現し始める。図で示した Eeff ' ( tf a ) およびれの実線・シンボル群は積層材にE ' ( tf a ) に 反 映 さ れ る 基 材 効 果 の 著 し い 相 違 は ， (9.19) 式 のおける皮膜/基材の弾性率比，( a aH )h 項が有する著しい基材効果を反映している(図 9.6 参照)。

E 's E 'f =10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, およ

2次に，弾性率が無限大となる極限，すなわち，皮膜・基材共に弾性変形をすることなく，圧入歪の全てが降伏歪として発現する
完全塑性積層材の場合について考察を行う。完全塑性積層材のMeyer 硬度 H M ( tf a ) は(9.16)式に E ' ( tf a ) ↑ ∞ を代入することにより次式で与えられる：H M ( tf a ) = cY ( tf a )(9.20)

98

び 0.1 を表す

モデル」の Meyer 硬度を表現しており，第 5 章で詳述した半無限
均質等方完全塑性体の Meyer 硬度（(5.7)式）に対応している。上述の E ' ( tf a ) とは異なり，現在までのところ， tf a の関数としてY ( tf a ) を定量記述することのできる解析理論は存在しない。しかし，有限要素法を用い，各種の物性を有する膜/基材の組み合わせに対して，これら積層材の H M ( tf a ) を数値解としてマッピングすることにより積層材の降伏応力 Y ( tf a ) を tf a の関数として定量化することができる。有限要素法の解析結果を図 9.12 に示す（各種弾塑性積層材に対して Meyer 硬度 H M ( tf a ) を求め，(9.16)式よ

無次元降伏応力, Y(tf/a)/Yf

上式は，圧子の圧入方向に塑性異方性を有する「均質異方塑性体

E(=Ef =Es )=10 GPa
Yf =1.0 GPa

100: Ys /Yf =10
:
5
:
2
:
1 (film-only)
:
0.5
:
0.2
:
0.1

10-1
0

1

2

3

4

5

無次元膜厚, tf/a

図 9.12Ys Yf を異にする各種均質異方弾塑性体の無次元降伏応力

Y ( tf a ) Yf （有限要素数値解析結果）

り Y ( tf a ) を tf a の関数として算出した有限要素数値解)。
以上，詳述した E ' ( tf a ) の解析解・数値解(図 9.11)および図 9.12に示した有限要素解析解 Y ( tf a ) を(9.16)式に代入することにより，任意の E ' ( tf a ) および Y ( tf a ) を有する弾塑性積層材の Meyer 硬度 H M ( tf a ) を数値解として求めることが可能となる。図 9.13〜図9.15 には弾塑性挙動を異にする各種の膜・基材の組み合わせにつンボルで示されている。一方，図中に示した実線・破線は，(9.16)式を用い数値解として求めた予測曲線である。これらの予測曲線
は極めて広範囲で弾塑性挙動を異にする膜/基材複合材の硬度を定量的に表現できることが分かる。換言すると，後節(第 11.3 節)で詳述する計装化顕微インデンテーション計測装置を用い弾塑性

10Meyer硬度, H(a/tf) (GPa)

いて有限要素数値解析で求めた Meyer 硬度 H M ( tf a ) が各種のシ

弾塑性皮膜/弾性基材
Ef=10 GPa, Yf=1.0 GPa

8Es=
100 GPa

6

50

4

20

2
0
0

5

10
5
21

10

15

無次元圧子接触半径, a/tf

積層材料の Meyer 硬度を圧子圧入量の関数 a tf として定量計測し，図 9.13 弾性率を異にする各種弾

その結果を本節で詳述した有限要素解析と組み合わせることによ

性基材上に弾塑性膜を被覆したり，膜および基材，それぞれについて，これらの弾性率( Ef ， Es )積層材の硬度。実線，破線は(9.16)と降伏応力( Yf ，Ys )を実験的に分離・定量評価することができる。

式を用いた予測曲線

99

弾塑性膜/延性基材
3

Ef=50 GPa, Yf=5 GPa; Ys=1 GPa

8
6
Es= 500 GPa

4
2

20

50 100

5

0
0

5

10

15

無次元圧子接触半径, a/tf

Meyer硬度, H(a/tf) (GPa)Meyer硬度, H(a/tf) (GPa)10

延性膜/弾塑性基材(Ef=100 GPa, Yf=1 GPa;
Es=10 GPa, Ys=10 GPa)2

弾塑性膜/延性基材(Ef=10 GPa, Yf=10 GPa;
Es=50 GPa, Ys=1 GPa)

1

0
0

5

10

無次元圧子接触半径, a/tf

図 9.14 弾性率を異にする各種の

図 9.15

延性基材上に弾塑性被膜を被覆しよび弾塑性被膜膜/延性基材から成た積層材の硬度。実線，破線は(9.16)

る積層材の硬度。実線，破線は(9.16)式を用いた予測曲線式を用いた予測曲線

100

延性被膜/弾塑性基材，お10 数値圧子力学
前章までの考察から良く理解できるように圧子圧入に伴う力学過程は極めて複雑であり，弾性解析以外の領域では未だに厳密な解析解の得られていないのが実情である。18 世紀後半に端を発する接触力学や圧子力学の長い歴史を振り返ってみると，これらの課題・問題が今後早期に解決されるものではないことも容易に理解できる。一方，1950 年代にボーイング社とワシントン大学により構造解析を目的に提案された有限要素法は，20 世紀後半から急速に発達発展を遂げてきた電子計算機の出現と相まって，特に工学の諸分野で数値解析を通じた問題解決手法として著しい成果を上げている。有限要素法は非線形性の著しい破壊・接触問題，非線形材料の物性解析問題，乱流を伴う流体解析等々，閉じた形での解析解を得ることのできない工学諸分野で数値解析を通じ，実用上極めて有用な情報を提供してきた[10.1]。現在，広く用いられている商用パッケージには，(1)アメリカ航空宇宙局(NASA)における構造解析用ソフトとして 1968 年に開発された NASTRAN，(2) 1980 代以降，米国を中心に数値圧子力学(numerical indentation
contact mechanics)の分野で多用されている ABAQUS，そして(3)パーソナルコンピュータでの利便性に優れた ANSYS が広く知られている。本章では，軸対称性を有する球・円錐圧子に焦点を絞り，数値圧子力学解析の信頼性・有用性，そして現状について考察を行う。

[10.1] 三好俊郎, 有限要素法入門, 培風館(1994)

10.1 有限要素法を用いた構造・物性解析の特徴
有限要素法（Finite Element Method(FEM)）・有限要素解析（Finite Element Analysis (FEA) )の基礎理論，数学的アルゴリズム，
要素作成技術，境界条件・初期条件の設定，解析に組み込む材料
物性の選定等々に関しては多くの優れた書籍(例えば[10.1])や文献を容易に入手できるため，本書では圧子力学への FEM 適用にのみ焦点を当てた考察を行う。商用 FEM パッケージでは解析に用いる構造物の形状作成，個々の解析に適した要素の選択，要素の自動分割，材料物性パラメータの設定，各種境界条件設定の詳細プログラミング，解析結果の数値化・グラフ処理・可視化等々を容易に行うための対話型ユーザーインターフェイスを備えてい

図 10.1 球形圧子の軸対称有限要る。

素解析を目的に作成された要素

連続体への球形圧子圧入過程・徐荷過程等の解析で用いる要素

101

分割(メッシュ作成)の例

分割の一例を図 10.1 に示す。応力・歪の空間勾配が著しい圧子接
触部位では解析精度を向上させるため，要素の細分割を行う必要がある。完全弾性体に Vickers/Berkovich 等価円錐圧子を深さ h = 3
μm まで圧入した際に生じる圧子周辺自由表面の沈み込み(sink-in)
形状，および圧子直下における圧入方向変位分布を図 10.2 に例示する。図 10.1 および図 10.2 から良く理解できるように，力学応答

図 10.2 完 全 弾 性 体 に Vickers/に関わる数値情報のみならず材料内部の応力・歪等の情報を可視

Berkovich 等 価 円 錐 圧 子 を 深 さ化表現出来ることが有限要素解析の利点・特長であり，圧子力学

h = 3 μm まで圧入した際に観測さのより直感的かつ材料物理学的な理解を深めることができる(既れる圧子直下および圧子周辺部に，例えば図 4.4，5.3，8.5 等々に FEA の結果が示されている)。

における圧入方向変位分布および圧子外周自由表面の変形

10.2 弾性解析
均質等方弾性体の圧子力学に関しては，第 3 章で詳細を述べた

球形圧子

3000

いて，これらの解析解を FEA 数値結果と比較検討し FEA 結果の信頼性を検証する。さらに，解析解では取扱いに困難を伴ったポ

圧入荷重, P (mN)では，最も代表的な圧子形状である球形圧子および円錐圧子につ

1000

0
0

2

3

圧子圧入時の P - h曲線。Hertz 解析(3.18)

解(実線：ν = 0.5 ；破線：ν = 0.3 )。
FEM 数値解(○印：ν = 0.5 ；●印：

円錐圧子(Sneddon 理論)では

π1

圧入深さ, h (μm)

図 10.3 半径が R = 10 μm の球形

4
P = E ' Rh3/2
3
2cot βFEM数値解Hertz解析解
ν=0.3

圧子圧入荷重 P と圧入深さ hの関係式， P - h関係式，は第 3 章

P=

;
;

2000

アソン比の影響についても考察を加える。
で示したように，球形圧子圧入(Hertz 理論)では

ν=0.5

E=100 GPa; R=10μm

ように，任意形状の軸対称圧子問題への解析解が存在する。本章

E ' h2

ν = 0.3 )(3.25)

円錐圧子

により与えられている。これらの解析解は弾性体を「非圧縮連続ν ≈ 0.3 で近似できる多くの実用工業材料への適用には問題があ(る。上記の解析解では弾性率として平面歪弾性率 E ' = E (1 − ν 2 ))E=100 GPa, β=19.7°,,

圧入荷重, P(mN)

体」すなわちν = 0.5 と仮定したモデルを基に導出されているため

2000

ν=0.5

FEM数値解Sneddon解析解

ν=0.3

1000

を用いているため，一見，理論体系にポアソン比の影響が組み込まれているかに見受けられるが，根底となる理論に非圧縮性弾性

0
0

1

2

3

圧入深さ, h(μm)

体(ν = 0.5 )を仮定しておりポアソン効果が厳密に組み込まれてい図 10.4 円錐圧子圧入時の P - h

ないことに留意する必要がある。一方，有限要素解析では対象と曲 線 。 Sneddon 解 析 解 ( 実 線 ：する材料のポアソン比を自由に設定できるため，体積変化を伴う

ν = 0.5 ；破線：ν = 0.3 )。FEM 数

実用材料の力学応答を精査することができる。球形圧子および円

値解(○印：ν = 0.5；●印：ν = 0.3 )102

錐圧子の圧入における P - h負荷曲線へのポアソン効果の影響を()

図 10.3 および図 10.4 に示す。 E ' = E (1 − ν 2 ) の算出に当たって

ν = 0.5 およびν = 0.3 を用いた解析解が，それぞれ，実線および破線で示されている。一方，FEM 数値解では，これらのポアソン効
果が，それぞれ，○印および●印でプロットされている。これらの図からも良く分かるように， ν = 0.5 の場合，解析解と FEM 数
値解は極めて良好な一致を示す。一方，ν = 0.3 の場合には解析解が非圧縮性弾性体を仮定していることに起因し，FEM 数値解よりも解析解が常に圧入荷重を過小予測してしまうことが分かる。
第 3 章で示したように完全弾性体の圧子圧入に伴う自由表面のu z ( ρ , 0) =
=


a2 
1
2 − ρ 2 ) sin −1 + ρ 2 − 1 
(

πR 
ρ



h 
1
2 − ρ 2 ) sin −1 + ρ 2 − 1  ; ρ ≥ 1
2 (
πρ 
ρ


(3.20)

円錐圧子

0.2
0.3

球形圧子

0.4
0.5

;
,

0.6
0.7
1

2

FEM数値解
解析解

3

4

5

無次元半径, r/a

円錐圧子の場合，uz ( ρ ,0) =無次元表面変位, uz(r)/h

変形は球形圧子の場合

0
0.1


2h  −1 1− ρ + ρ 2 − 1 ; ρ ≥ 1
sin

π 
ρ


(3.27)

図 10.5 球形圧子および円錐圧子の圧入に伴う圧子外周部自由表で表現できる。これらの解析解と有限要素数値解(ポアソン比

面の変位( ν = 0.5 )。プロット(●，ν = 0.5 )との比較を図 10.5 に示す。解析解と数値解との間に極め○印)は FEM 数値解，実線およびて良好な一致が見られる。これら両者に見られる良好な一致は，破線は解析解((3.20)，(3.27)式)をFEM 解析結果の信頼性を保証するものである。

示す(図 3.6 参照)

10.3 弾塑性解析(1) P ‑ h 履歴曲線
第 5 章で詳述したように，現在までのところ，排除体積加成則
理論を除くと，弾塑性領域における圧子力学の定量的な解析解は存在しない。したがって，この領域では有限要素法を始めとする
数値解析が定量化において重要な役割を担う。
弾塑性域では圧子荷重 P と圧入深さ hの関係を表す曲線， P - h
曲線，は圧子の圧入と徐荷の過程で塑性流動に起因した履歴現象を示す(図 5.5，5.8〜5.10 参照)。この事実は，実測 P - h履歴曲線データに有限要素数値解析結果を適用することにより，弾塑性材料の弾性率 E ' および降伏応力 Y の分離定量評価が可能性となることを示唆している。ピラミッド・円錐圧子の圧入過程とこれに続103

く徐荷過程での P − h2 直線プロット，およびその際に観測されるP

圧子と弾塑性体の接触幾何形状の様子を図 10.6 に示す。以下に詳述するように，圧入過程での接触深さ hc は接触面積 A を算出する

k1

上で，また，徐荷後に観測される残留圧痕深さ hr は塑性流動定量のために，力学物性計測上，極めて重要な役割を果たす。第 3 章

0および第 5 章で考察したようにピラミッド圧子(Vickers･Berkovich

k2
hr 2

h2

P

圧子)あるいは円錐圧子の場合，その幾何相似性により圧入歪 ε I は

hs

βr

β

圧子面傾斜角度 β にのみ依存し，圧子圧入量( h)には依存しない，

hcすなわち ε I = tan β 2 により与えられる(表 3.1 参照)。この事実は

β

hr

h h
e
2ar

2ac

実測された P - h曲線から弾塑性パラメータを定量する上で多く

図 10.6 ピラミッド・円錐圧子のの利点となる。図 5.5 の有限要素数値解結果で例示したように，

負荷徐荷過程における P − h2 直特性(PI )を大きく異にする各種の弾塑性材料に対し，圧入過程・線プロットおよび弾塑性体の表2

徐荷過程共に P − h プロットが直線で表現できるのは，圧入歪が面変形

圧入深さ hに依存しないことを意味している。図 10.6 では圧子荷
残留圧痕の深さを hr ，圧痕側面傾き角度を β r で規定している。圧2

入・徐荷過程での P − h プロットがそれぞれ直線で表現される事
実により，｢負荷係数(loading coefficient)， k1 ｣および「徐荷係数(unloading coefficient)， k 2 」を用いピラミッド・円錐圧子の負荷徐100

無次元負荷係数, k1/Y

重 P における圧子/材料表面接触深さを hc ，徐荷後に形成される

80
60
40
20
0
10-2

荷過程を次式で記述することが出来る；
P = k1h 2(10.1)

P = k2 (h 2 − hr 2 )(10.2)

さらに，最大圧入深さ hで負荷曲線と徐荷曲線が交差一致する事
実により次式が成立する；

10-1

100

101

塑性歪, PI(=εIE'/cY)

102

図 10.7 無次元負荷係数 k1 Y と塑 性 歪 PI の 関 係 (Vickers ･Berkovich 等価円錐圧子に対する有限要素数値解)k1 = k2 (1 − ξ r )2(10.3)

ここに ξr は無次元圧痕深さ hr h ( ≡ ξr ) を表しており，ξr を介して負荷係数 k1 と徐荷係数 k 2 は相互に関係付けられている。負荷係数 k1
および無次元圧痕深さ hr h は，以下に示すように，圧子圧入を支配する弾塑性パラメータ PI と密接な関係にある。一方，圧子徐荷時の弾性回復を反映する徐荷係数 k 2 は弾性率 E ' に強く支配される。各種の弾塑性材料に付いて有限要素数値解析から得られた無無次元徐荷係数, k2/E'

3.5

3

2.5

2
10-2

10-1

100

101

塑性歪, PI(=εIE'/cY)

102

図 10.8 無次元徐荷係数 k2 E ' と次元負荷・徐荷係数 k1 Y ， k2 E ' ，および無次元圧痕深さ hr h と

塑 性 歪 PI の 関 係 (Vickers ･塑性歪 PI (= ε I E ' cY )との関係を，それぞれ図 10.7〜図 10.9 に示

Berkovich 等価円錐圧子に対するす。極めて広範囲にわたる弾塑性材料(0.5 GPa ≤ E ' ≤ 500 GPa，

有限要素数値解)104

パラメータ(無次元負荷係数，無次元徐荷係数および無次元残留圧痕深)が塑性歪 PI ( = ε I E ' cY ) により，それぞれ，一意的に記述できることが分かる。この事実は，計装化汎用インデンテーション計
測装置を用い，容易に計測することのできる負荷係数 k1 ，徐荷係
数 k2 ，および残留圧痕深さ hr のうち，いずれか二つの計測結果を

無次元圧痕深さ, hr/h

0.5 GPa ≤ Y ≤ 100 GPa)に対して，これらの図に示すように，弾塑性

1

円錐圧子

0.8
0.6
0.4
0.2
0

10-1

100

101

102

塑性歪, εIE'/cY

図 10.7〜図 10.9 に適用することにより，弾塑性体の PI ( = ε I E ' cY ) ，

図 10.9 無次元残留圧痕深さと塑

ひいては弾性率 E ' および降伏応力 Y を分離定量評価出来ること

性歪 PI の関係(Vickers･Berkovichを意味している。すなわち：

等価円錐圧子に対する有限要素(i)

実測された hr h 値を図 10.9 の縦軸に適用し，これに対応する図の横軸から塑性歪 PI ( = ε I E ' cY ) を求める。この値を図 10.7 の横軸に適用し，対応する縦軸の値から k1 Y を決定する。この値と実測された負荷係数 k1 値より，降伏応
力 Y が決定される。さらに，この Y 値と先に求めたPI ( = ε I E ' cY ) 値から，弾性率 E ' が決定される。あるいは(ii) 初期値として，例えば降伏応力 Y0 を適当に設定し，この値で実測された k1 を除した値，k1 Y0 ，を図 10.7 の縦軸に適用し，対応する図の横軸から得られる塑性歪 ε I E ' cY0 より初期値としての弾性率 E0 ' を求める。これらの値，Y0 および E0 ' を図 10.8 の横軸(塑性歪)に代入し，対応する縦座標の値に先に実測された k2 値を適用し，一次近似弾性率 E1を決定する。次に，このようにして求めた値 ε I E1 ' cY0 を図
10.7 の横軸に適用し，対応する図の縦軸から一次近似降伏
応力 Y1 を決定する。順次，これらの操作を繰り返すことによりにより，最終的な収束値として，弾塑性体の弾性率 E 'および降伏応力 Y をそれぞれ分離定量評価する。

上述した負荷・徐荷係数 k1 ，k2 および残留圧痕深さ hr のほかにも，圧子と材料表面との間に形成される接触深さ hc (図 10.6 参照)
は弾塑性圧子力学物性を反映する重要な物理量である。事実，第5 章，図 5.6 で，無次元接触深さ h c h は塑性歪 ε I E ' cY により一意的に記述できることを示した。この事実を図 5.6 および図 10.9 と組み合わせることにより，hc h を hr h に一意的に関連付けること

105

数値解)

が可能となる。このようにして求めた hc h と hr h との関係を図1.410.10 に示す。図 10.10 を用いることにより，汎用計装化インデン

1.2

ターで実測可能な hr から実測不可能な hc を容易に求めることが1

半径 ac ，更には，第 3 章・第 5 章で強調したように，各種の圧子
力学パラメータ算出に当たって不可欠となる圧子接触面積 A の算出が可能となる。
図 10.10 において，円錐圧子の圧入を例に考察を行うと，完全

0.8

1.4 球形圧子: FEA 数値解
1.2
: Field-Swain 近似
10.8

析解 hc h = 2 π へと収束していることが分かる。 hr h の増大と共0.6

大する。換言すると， hr h の増大，すなわち，塑性変形の増大と共に圧子の圧入により誘起される自由表面の沈み込み(sink-in)が漸減し，hr h ≈ 0.85 で hc h = 1 となり，圧子周辺自由表面での沈み込み(sink-in)や盛り上がり(pile-up)現象の生じない状態が現れる。
一方， hr h → 1 により与えられる完全塑性域では，自由表面に向かう顕著な塑性流動により著しい pile-up が誘起され，接触深さはhc h ≈ 1.1 へと増大する。有限要素法を用いて可視化した自由表面の pile-up/sink-in と塑性歪 PI ( = ε I E ' cY ) との関係は既に図 5.6 および図 5.7 に示されている。図 10.10 には球形圧子についても上

2/π

0.6

弾性域( hr h → 0 )では，接触深さが(3.28)式で示した Sneddon の解に圧子周辺での塑性流動は顕在化し，これと共に hc h も単調に増: FEA 数値解: Oliver-Pharr 近似

無次元圧子接触深さ, hc/hできる。このようにして求めた圧子接触深さ hc の値から圧子接触

円錐圧子

0.4
0

1/2
0.2

0.4

0.6

0.8

1

無次元残留圧痕深さ, hr/h

図 10.10 無次元接触深さ hc h と無次元残留圧痕深さ hr h との関係。破線は，それぞれ，Oliver-Pharr
近 似 解 ( 円 錐 圧 子 ) お よ び FieldSwain 近似解(球形圧子)を示す。
Vickers･Berkovich 等価円錐圧子に対する有限要素数値解を●印，球形圧子に関する有限要素数値解を▲印で示す

述の円錐圧子の場合と類似の現象が示されている。
(2) Oliver-Pharr/Field-Swain 近似 [10.2-10.4]
上述の有限要素数値解析とは別に，実測可能な hr h を実測不可
能な hc h に関連付ける近似解析(円錐・ピラミッド圧子に関するOliver-Pharr 近似，球形圧子に関する Field-Swain 近似)を以下に紹介する。これらの近似解析手法は実用的観点から提案され，汎用計装化インデンターを用いた弾塑性パラメータの定量に広く用いられている。弾性率 E ' ，降伏応力 Y を有する「弾塑性体」について，圧入荷重 P までの圧子負荷過程と，これに続く徐荷過程で誘起される圧入変形の間には次式で示す関係が存在する(図 10.6 参
照)；h = hs + hc = hr + he(10.4)

Oliver-Pharr/Field-Swain 近似では，上述の弾塑性体と同一の圧入荷
重 P を，弾性率 E ' を有する｢完全弾性体｣に付加した際に誘起され

106[10.2] W.C. Oliver, G.M. Pharr, J. Mater. Res.,7, 1567 (1992)[10.3] J.S. Field, M.V. Swain, J. Mater. Res., 8, 297(1993)[10.4] M. Sakai, “Principle and Application ofIndentation”, in Micro and Nano
Mechanical Testing of Materials andDevices, Edited by F. Yang, J.C.M. Li,
1-47, Springer (2008)

る圧入深さおよび自由表面沈み込み深さが，それぞれ，上述の弾
塑性体の場合と同じ値， he ， hs ，で与えられると「仮定」している。一方，完全弾性体の he と hs の間には，次式で示す圧子力学解
析解が成立する( (3.21)式，(3.28)式)；
hs 1= (球形圧子)
he 2(10.5)hs2= 1 − (円錐圧子)
heπ(10.6)

これらの関係を弾塑性体の圧入変形を記述した(10.4)式に代入することにより最終的に，hr h を hc h に関連付ける以下の近似式を得る；
Field-Swain 近似式：
hc 1 h = 1 + r  (球形圧子)
h 2 
h(10.7)

Oliver-Pharr 近似式：

hc 2   π  hr 
= 1 − 1 − (円錐圧子)h π   2  h 

(10.8)

図 10.10 には有限要素数値解との比較で，Oliver-Pharr 近似/FieldSwain 近似((10.7)式，(10.8)式)を，それぞれ，破線で示す。(10.7)式，(10.8)式は共に，弾性解である(10.5)，(10.6)式を仮定しているため，
図 10.10 に見るように，これらの近似式は共に，完全塑性変形を記述する hr h → 1 で，その接触深さは hc h = 1 に収束し，塑性流動に伴う自由表面の pile-up 現象を記述することができない。

(3) 歪硬化則第 5 章および本章では弾性限界を越える歪場において降伏応力が歪に依存することなく一定値 Y をとる，いわゆる｢完全弾性-完
全塑性体｣(non-hardening material)を念頭に議論を進めてきた。しかし，金属材料を始めとする多くの実用材料は歪硬化・加工硬化現
象(strain hardening，work hardening)を示し，図 10.11 で示すように弾性限界を越える歪領域で，歪の増加と共に降伏応力が単調に増大することが広く知られている。このように歪硬化現象を示す弾
塑性体の圧子力学においては，塑性歪 PI ( ≡ ε I E ' cY ) に含まれる降伏応力 Y 並びに図 10.7〜図 10.9 に含まれる Y 値を「歪の増大と共に単調に増大する降伏応力の代表値， YR (representative yield107

stress)」で置き換えることにより，上述の解析等を定量的に行うこ明らかにされている[4.1, 10.5, 10.6]。換言すると，例えば図 10.7〜
図 10.9 を用い，上述した一連の操作により実験的に求めた降伏応
力は Y ではなく YR であることを意味している。図 10.11 に示すように代表降伏応力 YR は代表塑性歪 ( ε p ) あるいは代表歪 ε R によりR規定される降伏応力として定義される。有限要素解析結果([10.6])から，この代表塑性歪 ( ε p ) は

YRstrainhardeningYnonhardening

一 軸伸長・圧縮応 力, σとのできることが有限要素数値解析や Tabor 達の実験的検証から

E

0

p R

( εp ) RεR

一 軸伸長・圧縮ひずみ, εR(ε ) = 0.44εE(10.9)

I

図 10.11 弾塑性体の応力 σ -歪 εにより圧入歪 ε I に関係付けることができる。したがって面傾き角

曲線(Stress-Strain 曲線；S-S 曲線)。

度 β の円錐圧子の場合，その YR は

歪硬化現象を示す材料において(ε ) = 0.22 tan β ，(10.10)p Rは弾性限界を越える歪で S-S 曲線
は歪と共に単調に増大する。代表

また，半径 R の球形圧子の YR は(ε p )R = 0.19 Ra(10.11)

降 伏 応 力 YR お よ び 代 表 塑 性 歪(ε ) を用いることにより歪硬化
p Rにより規定される代表塑性歪 ( ε p ) での降伏応力値として与えらを示す材料の弾塑性圧子力学挙れる(図 10.11 参照)。

動を定量記述することができる

R(4) 拘束因子 c に及ぼす圧子形状および圧子/材料界面接触摩擦の影響
圧子と材料との接触界面における接触摩擦が圧子力学挙動におよぼす影響については，その現象の複雑さに起因し，弾性圧子力学の領域においてさえ定量的な解析が為されていないのが現状である。圧子形状および圧子/材料界面接触摩擦は塑性変形の著しい延性材料において観測される接触界面近傍におけるパイルアップ
現象(図 5.6，図 5.7 参照)，更には，このパイルアップに伴い圧子接触面に沿って材料自由表面に向かう塑性流動を拘束する「拘束因子(constraint factor)， c 」(第 5 章および(5.7)式参照)に著しい影響を与えることが予想される。圧子/材料界面接触摩擦(contact
friction)は界面に沿って自由表面に向かう塑性流動への摩擦抵抗となるため，接触摩擦の値が大きくなるにつれて拘束因子 c の値も大きくなると考えられる。さらに，円錐・ピラミッド圧子を例に取ると，圧子側面傾き角度が大きくなるに従い，すなわち，圧108[10.5] D. Tabor, “Hardness of Metals”,
Clarendon (1951)[10.6] M. Sakai, T. Akatsu, S. Numata,K. Matsuda, J. Mater. Res., 18[9],2087 (2003)

子頂角部が鋭くなるに従って，材料自由表面に向かう塑性流動はより容易になり，その結果，拘束因子 c の値は小さくなると考え
験結果から，圧子の形状および接触摩擦に依存し，拘束因子の値
は 2.5 ≤ c ≤ 3.5 の範囲で変化することが知られている。一方，有限要素法を用いると，任意の圧子形状および広範囲にわたる圧子/材
料界面接触摩擦係数に関わる拘束因子 c を数値解析として比較的拘束因子, cられる。第 5 章で述べたように，延性に富む金属材料を用いた実

3.2

3

2.8

2.6 -3
10

10-2

10-1

摩擦係数, μ100

容易に求めることが可能となる。一例として，有限要素法を用い

図 10.12て 解 析 し た Vickers/Berkovich 等 価 円 錐 圧 子 ( 圧 子 面 傾 き 角 度

円錐圧子の圧入に伴い圧子側面

β = 19.7 °)の拘束因子 c と圧子接触摩擦係数 μ との関係を図 10.12に沿って生じる自由表面への塑に示す。図が示すように，Vickers/Berkovich 等価円錐圧子の場合，性流動を定量記述する拘束因子

0 ≤ μ ≤ 0.2 の範囲では接触摩擦の増加と共に拘束因子はその初期

c に及ぼす圧子/材料界面接触摩値である c ≈ 2.65 から急激に増大し， μ > 0.2 の領域では，ほぼ一擦の影響(FEM 数値解析結果)

Vickers/Berkovich 等価定値である c ≈ 3.2 へと収束する。一方，多くの実用材料に対するダイヤモンドの接触摩擦係数の値は 0.1 ≤ μ ≤ 0.5 の範囲にあり，

3.5

は 3.0 ≤ c ≤ 3.2 となることが実験により確認されている([10.5])。
拘束因子 c は円錐・ピラミッド圧子の面傾き角度にも強く依存する。一例として，面傾き角度 β を異にする 3 種類の円錐圧子に拘束因子, cVickers/Berkovich ダイヤモンド圧子の圧入に関わる拘束因子の値

μ=0.2
3

μ=0.0

2.5

ついて，これら圧子の拘束因子を図 10.13 に示しておく(FEM 数値解析結果)。面傾き角度 β の増大，すなわち，円錐圧子の頂角がよ

10

20

30

円錐圧子面傾き角度, β (degree)

り鋭角になるほど圧子接触面に沿って自由表面に向かう塑性流動

図 10.13が容易となるため，拘束因子の値 c が減少すること，さらに，圧錐圧子面傾き角度 β の影響(FEM子/材料界面接触摩擦が増大するにつれて，拘束因子 c の圧子面傾

数値解析結果；界面接触摩擦係数

き角度への依存性が低減することを図 10.13 は示している。

μ = 0.0 および μ = 0.2 )10.4 粘弾性解析
第 10.3 節の弾塑性解析とは異なり粘弾性解析においては第 6，7 章で述べたように「弾性‐粘弾性対応原理」が成立するため，弾性圧子力学の解析解を粘弾性領域に定量的に拡張することができる。換言すると，有限要素数値解析に頼ることなく多くの圧子力
学問題を取り扱うことができる。しかし，圧子の圧入と徐荷の過程で不可避的に導入される圧子周辺部位における体積変化の時間依存性(時間依存ポアソン効果；図 6.7〜図 6.10 参照)が粘弾性圧子

109

拘束因子 c に及ぼす円学力学挙動の定量解析を複雑にしている。事実，Vickers･Berkovichh(t) (μm)

等価円錐圧子を圧入深さ h0 へステップ圧入した際，ポアソン比が2A(t) (μm )応力緩和に伴い増大していくため，圧子圧入深さを一定に保っているにもかかわらず，圧子周辺の自由表面が時間と共にせり上が

接触面積

115
110

P(t) (mN)

200

荷重緩和

100

ガ ラ ス 弾 性 率 Gg = 36.4 GPa ， 緩 和 時 間 τ = 200 s ， ポ ア ソ ン 比ν g = 0.1 )を例にとり，有限要素数値解析から求めた圧子接触面の

圧入深さ

105

っていく現象(creeping-up)が粘弾性液体の有限要素解析結果から認められる。Maxwell 液体(ずり緩和弾性率 G(t ) = Gg exp ( −t τ ) ；Maxwell 液体 (νg=0.1)

5
4
3
2
1
0

0
0

100

200

300

400

500

時間, t (s)図 10.14 単純 Maxwell 液体に対

せり上がりの様子を図 10.14 に示す。この結果は，圧入深さを一する円錐圧子のステップ圧入試

定値 h0 に保っていても，圧子接触面積が時間と共に増大する，す験で観察される荷重緩和と圧子

なわち接触面積に時間依存性の見られることを意味している。このため，ステップ圧入試験にもかかわらず，(7.6)式を用いて実測

接触面積のせり上がり現象(creeping-up) (FEM 数値解析結果)

された荷重緩和曲線 P (t ) から緩和弾性率 E 'relax (t ) を求めることはできない。緩和弾性率 E 'relax (t ) を実験から求めるためには，(7.6)
式に代わり，接触面積の時間依存性を考慮した(7.3)式
P (t ) =tan β  tdA(t ')dt ' E 'relax (t − t ')
2 0
dt '

(7.3)

を用いる必要がある。したがって圧子荷重緩和 P (t ) の計測のみな積 A(t ) をも時間の関数として計測しなければならない(接触面積の実測を可能とした計装化顕微インデンターの詳細については後節(第 11.3 節参照)。一方，図 10.14 に示したように，有限要素解
析においてはポアソン効果に起因する時間依存接触面積 A(t ) を
定量評価出来るため，圧子荷重緩和 P (t ) および時間依存接触面積

Poisson's ratio, νg=0.3

緩和弾性率, E'relax(t) (GPa)

らず，汎用計装化インデンターでは計測不可能な時間依存接触面

有限要素数値解
: 解析解

10

5

0
0

100

200

300

400

500

時間, t(s)A(t ) の数値解を(7.3)式に代入することにより，平面歪緩和弾性率

図 10.15 ポアソン比に時間依

E 'relax (t ) を容易に定量することができる。一例として，ずり緩和存性の認められる粘弾性液体に

弾性率 G (t ) が(6.26)式で与えられる単一緩和粘弾性液体モデル( G g = 3.85 GPa， Ge = 0 GPa， τ 0 = 200 s，ν g = 0.3 )を用い有限要素

円錐圧子をステップ圧入した際に観測される圧子荷重緩和
P (t ) と時間依存接触面積 A(t )数値解析により求めた P ( t ) および A( t ) を(7.3)式に適用して求めを(7.3)式に代入して求めた緩和た緩和弾性率 E 'relax (t ) と，第 6.4 節で詳述した時間依存ポアソン

弾性率：有限要素数値解(○印)

比を基に算出した E 'relax (t ) の解析解((6.29)式)との比較を図 10.15と解析解(実線；(6.29)式)

110

に示す。図から良く分かるように有限要素数値解が定量的に解析解を再現している。この良好な一致は，より複雑な実用材の粘弾性挙動解析(例えば第 10.5 節参照)に当たって有限要素法を用いた
数値圧子力学が極めて有力な解析手段となることを物語っている。

10.5 積層複合材への適用
第 9.1 節および第 9.2 節で詳述したように積層材の圧子力学は「弾性複合材」および弾性‐粘弾性対応原理の適用が可能な「線形粘弾性複合材」においてのみ解析解が存在するものの，Boussinesq
Green 関数((9.7)式)や第 2 種 Fredholm 積分方程式((9.11)式)を用いた極めて複雑な数値解析が必要となる。しかし，これら積層複合材料においても，被膜/基材接合界面の力学的整合性(mechanicalconsistency)(界面の接合度合い)を定量的に組み入れた解析解は存在しないため，もっぱら有限要素に代表される数値圧子力学に頼らざるを得ないのが現状である。有限要素数値解析では実用積層材の接合界面力学的整合性を定量的に反映することのできることに加え，3 層以上の積層構造を有する工業材料の圧子力学においても有力な解析手法を提供する。一例として，有限要素数値解析で用いた 3 層構造からなる積層材モデルを図 10.16 に示す。この
モデル三層積層材は厚さ 5μm の弾塑性皮膜( Ef = 100 GPa; Yf = 10
GPa; νf = 0.3 )が厚さ 1μm の粘弾性接合層を介して弾性基材( Es = 100 GPa; νs = 0.3 )に接着された構造を有している。Maxwell
液体( Erelax (t ) = Eg exp ( −t τ ) ;Eg =10GPa; τ =200s)からなる粘弾性接合層を想定している。中間層とし挿入されている粘弾性接合層がこの積層材の圧子力学挙動に及ぼす影響を明らかにするため，図10.16 には，参照材料として弾塑性
被膜/弾性基材からなる二層複合材
料も示されている。これら二層およ図 10.16 有限要素解析に用いた二層積層複合材(弾性基材上のび三層積層複合材料に Vickers 等価弾塑性被膜)および三層積層複合材(粘弾性接合層を介した弾性

円錐圧子を圧入深さ h = 3.0 μm まで

基材上の弾塑性被膜)111

した際に観測される圧子荷重の時間変化を図 10.17 に示す。粘弾性接合層を有する三層積層複合材の場合には接合層内部での粘性流動に起因した圧子荷重緩和挙動が観測される。中間層であるこ

3

圧入深さ, h(t) (μm)

400s 掛けて定速圧入し，その後 1000s まで，その圧入深さを保持

2

1

0
2

基材の間で幾何学的に拘束されているため，このモデル粘弾性接合層の緩和時間が τ =200s に設定されているにもかかわらず，積層複合材の緩和挙動は，図 10.17 に見るように極めて緩慢である。

圧子荷重, P(t) (N)の粘弾性薄膜層は時間依存性を有しない弾塑性表面被覆層と弾性

二層複合材

1
粘弾性接合層を有する三層複合材

弾性基材に粘弾性膜を被覆した二層積層複合材において，被膜00粘弾性体の物性値をなんら調節することなく，基材の弾性率のみ

200

400

600

800

1000

時間, t (s)を調整することにより，積層複合材の粘弾性挙動を自由に設計・

図 10.17 定速圧入後， h = 3.0 μm制御出来ることを第 9.2 節で述べた（図 9.8 および図 9.9 参照）。

で圧子を保持した際に観測され

図 10.17 でその一例を示した粘弾性接着層を含む三層積層複合材

る圧子荷重の緩和挙動(FEM 数値

においても，前述の二層複合材と同様に，弾性基材の弾性率のみ

解析結果)を調整することにより，この三層積層材の粘弾性挙動を調整・制●印：弾塑性被膜/弾性基材から御することが出来る。図 10.17 には，弾性基材の弾性率としてる二層積層材Es = 100 GPa を例にとり三層積層複合材の応力緩和挙動を○印で○印：弾塑性被膜/粘弾性示したが，基材弾性率の値を 10GPa ≤ Es ≤ 500GPa の範囲で変化さ

接合層/弾性基材からなせた際に見られる積層複合材の圧子荷重緩和 P (t ) の相違を図る三層積層材

層複合材の緩和挙動がより顕著になる，すなわち，緩和時間がより短時間側にシフトして行く様子が示されている。この事実は基材の「弾性率」を調整するだけで，積層材の「粘弾性挙動」を自由に調整出来ることを意味している。
上述の各例で示したように解析解の存在しない複雑な力学特性・幾何形状を有する実用工業材料の圧子力学挙動解明において有限要素法を用いた数値解析は極めて有用であり，ミクロ・ナノ領域における材料物理学の発展への貢献度は大きい。

無次元緩和曲線, P(t)/P(400)

10.18 に示す（FEM 数値解析結果）。基材弾性率 Es の増大と共に積1
0.95

Es=10 GPa

0.9

100 GPa

0.85

500 GPa

0.8
400

500

600

700

800

900

1000

時間, t(s)図 10.18 三層積層材の荷重緩和挙動に及ぼす基材弾性率 Es の影
響。図 10.17 と同様，時間 t = 400 s
まで定速圧入後に観測される圧子
荷 重 緩 和 を そ の 初 期 荷 重P (t = 400) を用いて規格化した無次元荷重緩和 P(t ) P(t = 400) が時
間( t ≥ 400 s)の関数としてプロットされている(FEM 数値解析結果)
112

11 圧子力学試験計測装置とデータ解析(a) Vickers ピラミッド 圧子
2ψ

11.1 汎用ピラミッド圧子
2a

圧子力学試験で多用されているピラミッド圧子(Vickers 圧子，Berkovich 圧子)の幾何形状を図 11.1 に示す。第 5 章(図 5.4)で述べた Brinell 圧子との幾何学的整合性を保つために，Vickers 正四面ピラミッド圧子の対面角度は 2θ = 136 ，面傾き角度は β = 22.0 ，
対稜角度は 2ψ = 148.1 に規定されている。一方，Berkovich 正三面ピラミッド圧子は Vickers 圧子と同一の排除体積(深さ h での圧子排除体積 V が両圧子形状で同一)となるように幾何形状が規定され，その結果，Berkovich 圧子の面傾き角度は β = 24.7 ，稜角度は

β

h
2θ

β
ψ
2θ
Vickers 22.0° 74.05° 136.0°(b) Berkovich ピラミッド 圧子

ψ = 77.1 で与えられる。一方，圧子正射影面積 A は面積因子(index
of projected area) g を用い A = gh 2 により圧子深さ h に関係づけられる。面積因子は，Vickers 圧子の場合 g = 4 cot 2 β ，Berkovich 圧

a

子では g = 3 3 cot 2 β により表現できるので，それぞれの圧子の ββ値を上式に代入することにより，両者共に同一の g 値( g = 24.5 )を得る。したがって，これら幾何形状を異にするピラミッド圧子の()

排除体積は両者共に V ≡ gh3 3 = 8.17 h3 により圧入深さ h に関係付けられ両ピラミッド圧子の排除体積同一性が認められる。

ψ

h
β

ψ

Berkovich 24.7°

77.1°

図 11.1 汎用ピラミッド圧子の幾何形状

微小ダイヤモンド塊からピラミッド圧子を機械加工する際，圧(a) Vickers 圧子

子先端部の加工精度は圧子力学パラメータ計測データの信頼・精(b) Berkovich 圧子

度を確保する上で本質的な影響を与える。特にナノ領域での計測( h ≤ 500 nm)において圧子先端部加工精度の影響は大きくなる。ナノ領域圧子力学計測(ナノインデンテーション)において Vickers 圧
子よりも Berkovich 圧子が広く用いられているのは，前者に比べ後者の圧子の方が圧子先端部鋭角度をより精度よく機械加工出来

Rt

h円錐
h球

るためである。しかし，高精細な現在の機械加工技術を用いても圧子先端部鋭角度を厳密に再現できるわけではなく，市販のピラ

β

ミッド圧子の先端部には曲率半径が約 100nm 程度の「丸み」が存

Δht

在する。この先端部曲率がナノ計測に与える影響について

図 11.2 頂角部に曲率半径 Rt のVickers/Berkovich 等価円錐圧子( β = 19.7  )を用いた有限要素法数

丸みを有する Vickers/Berkovich 等

値解析の結果を以下に示す。

価円錐圧子( β = 19.7  )の先端幾何先端部に曲率半径 Rt の丸みを有する等価円錐圧子の幾何形状
113

形状

を 図 11.2 に 示 す 。 Rt = 100 nm の 場 合 ， 先 端 部 欠 損 長 はる領域寸法は h球 ( = Rt (1 − cos β ) ) = 5.85 nm，したがって円錐圧子として表現出来る圧子形状領域は h円錐 ≥ 5.85 nm により与えられる。
この圧子を材料表面に圧入すると，その初期には，球形圧子として挙動し，圧入が進むにつれて，本来の円錐圧子としての挙動に

101

圧入荷重, P(mN)

Δht ( = Rt (sin β tan β + cos β − 1) ) = 6.22 nm，球圧子として近似でき

円錐圧子((3.25)式)

100
球形圧子
((3.18)式)
10-1
弾性接触(E=100 GPa, ν=0.5)
10-2

101

102

圧入深さ, h (nm)

遷移して行く。
弾性率 E = 100 GPa，ポアソン比ν = 0.5 の完全弾性体に，この圧図 11.3 頂角部に半径 Rt = 100 nm

子を圧入した際に観測される押し込み荷重 P と圧入深さ h とのの曲率を有する Vickers/ Berkovich

関係( P - hプロット)の有限要素数値解析結果を図 11.3 に示す。図等価圧子円錐圧子を完全弾性体

から分かるように，「円錐圧子」を仮定した解析には h ≤ 150 nm の

( E = 100 GPa，ポアソン比ν = 0.5 )

領域で有意な誤差を伴う可能性に留意しなければならない。圧子に圧入した際に観測される P - h

頂角部に曲率半径 100nm 程度の球形部位を有する汎用の市販

両対数プロット。○印は有限要素

Vickers/Berkovich 圧子を用いたナノインデンテーション計測デー

数値解析結果，破線は球形圧子，

タの解析においても，これと類似の誤差が生じることに注意を払

円錐圧子それぞれの理論関係式

う必要がある。換言すると，ナノ領域における圧子力学計測精度（(3.18)式，(3.25)式）を高めるためには，実際の計測で用いる個々の圧子について，それぞれの頂角部曲率を圧子力学試験に先立ち定量評価しておく必要がある。しかしながら，後節(第 11.3 節)で詳述する「顕微インデンテーション計測装置」とは異なり，汎用の計装化装置は第 11.2
節で詳述するように圧入荷重 P と圧入深さ h の計測( P - h曲線の計測)は可能であるが，接触深さ hc や圧子接触面積 Ac を直接計測することは不可能である。このため，たとえ頂角部幾何形状を厳密に定量できたとしても，以下に詳述するように，実測された P- h曲線から各種の圧子力学物性値を定量計測するには多くの仮定や近似を用いる必要が生じる。

11.2 汎用計装化インデンテーション計測装置
ミクロ・ナノ領域での力学物性を定量計測するための計装化イ
ンデンテーション計測装置の開発は 1980 年代に始まる[11.1-11.3]。
汎用計測装置の基本構造(圧入変位駆動器，圧入荷重計測器，圧入変位計測器，圧入変位・荷重伝達軸，装置躯体)を図 11.4 に示す。
変位駆動器としてはピエゾ駆動方式あるいは電磁駆動方式が汎用計測機では広く用いられている。荷重計測器には分解精度±0.5μNのひずみゲージ搭載ロードセル，変位計測器には分解精度±0.1nm

114[11.1] M.K. Shorshorov, S.I. Bulychev,
V.A. Alekhim, Sov. Phys. Doki., 26, 769(1981)[11.2] D. Newey, M.A. Wilkins,
H.M. Pollock, J. Phys. E15, 119 (1982)[11.3] J.B. Pethica, R. Hutchings,
W.C. Oliver, Phil. Mag., A48,
593 (1983)

の作動トランスあるいは静電容量型変位計が汎用計測装置では広く採用されている。
図 11.4 に示すように，変位計測器と試料との相対的位置関係により，計測装置を(a)「躯体基準相対圧入変位計測装置」と(b)「試料保持台基準絶対圧入変位計測装置」の二つのタイプに分類する
ことができる[10.4, 11.4-11.6]。前者(相対変位計測型)は，試料周辺部に変位計測器が存在しないため試料を高温・低温に，あるいは腐食環境に保持する炉・容器等を設置出来る利点がある一方で，装置躯体や変位・荷重伝達軸の変形が計測される圧入変位に影響を与えてしまう致命的欠点がある。躯体・伝達軸の変形はミクロ・ナノ領域での試験体弾性率や，粘弾性関数の定量評価に極めて深刻な影響を与えるため，相対変位計測型装置では，これらの弾性変形(躯体変形)を装置定数として試験に先立ち定量的に決定しておく必要がある。一方，後者(絶対変位計測型)は試験躯体等の変形

図 11.4

計装化インデンテーシ

ョン計測装置構成図：(a) 装置躯体基準相対圧入変位計測装置，(b) 試料保持台基準絶対圧入変位
計測装置

が実測圧入変位に影響を与えないため，試験体弾性率等を定量的に決定できる半面，変位計測器を試料近傍に設置する必要がある
ため低・高温雰囲気あるいは腐食環境下での圧子力学計測を困難にしてしまう短所がある。絶対圧入変位計測方式を採用している
場合においても試料と試料保持台とが相互に完全密着するように試料を保持台に固定することが特にナノ定量計測においては極めて重要な要件となる。
(1) 装置定数の実験的決定方法
圧子圧入時に生じる装置躯体部の弾性変形は先に述べたように試験体の弾性率および粘弾性関数の計測値に極めて重大な影響を与える。したがって装置躯体部弾性変形(躯体コンプライアンス；

frame compliance)を装置定数として予め定量しておく必要がある。
計装化計測装置により実測される圧入深さを hobs ，「完全弾性体試料」に生じている実際の圧入深さを h ，その際の圧入荷重を Pとすると次式の関係が存在する；

hobs = Cobs P(11.1)

hobs = h + hf

上式で hf は装置躯体部(frame)の弾性変形を意味し，Cobs は計測機により「実測」される弾性コンプライアンスとして定義される。
一方， h = CP ， hf = Cf P を用いて弾性体試料および試験装置躯体部それぞれの弾性コンプライアンス C および Cf を定義すると，こ115[11.4] G.M. Pharr, R.F. Cook, J. Mater.
Res., 5, 847 (1990)[11.5] M. Sakai, Acta. Metall. Mater., 41,
1751 (1993)[11.6] M. Sakai, S. Shimizu, T. Ishikawa,
J. Mater. Res., 14[4], 1471 (1999)

れらの関係式を(11.1)式に代入することにより，実測される弾性コ
ンプライアンス Cobs は試験装置躯体部コンプライアンス Cf を介
来る；
Cobs = C + Cf

(11.2)

Pmax
圧入荷重, Pして次式により試料コンプライアンス C に関係付けることが出

Cobs ( = 1 / Sobs ) = Cf +

π
2E '

1
Ac

Sobs

実際，市販されている多くの汎用計装化試験装置の躯体コンプラ
イアンスの値は Cf ≈ 200 nm/N 程度であることが知られている。
計装化インデンテーション計測装置により計測される弾塑性試
験体の圧子圧入 ‐ 徐荷曲線 ( P - h負荷徐荷履歴曲線 ) を模式的に図11.5 に示す。徐荷曲線は徐荷に伴う試験体および装置躯体部の「弾性回復」を反映しており，最大圧入深さ( hmax )での徐荷曲線の初期
勾配 Sobs (徐荷スティフネス; ( dP dh )hmax)と上記の弾性コンプラ

イアンス Cobs との間には逆数の関係，すなわち，Sobs = 1 Cobs の関係が存在する。一方， C = dh dP の関係を完全弾性体の構成式である(3.33)式および(3.34)式に適用することにより，円錐圧子および球圧子を含む任意形状を有する軸対称圧子について次式を得る[9.4]；

Cobs ( ≡ 1 / Sobs ) = Cf +π 1
2E ' Ac(11.3)

上式で Ac は最大荷重点 Pmax での圧子接触面積を表す。一方，充分に大きな圧入領域では，機械加工精度に起因する圧子頂角部の欠損 を 無 視 で き る の で ， (11.3) 式 の 接 触 面 積 Ac は 面 積 因 子 g(Vickers/Berkovich 圧子の場合， g = 24.5 )を介して Ac = ghc 2 により圧子接触深さ hc に関係付けられる。さらに，圧子接触深さ hc は
hc = ηc hmax により実測可能な最大圧入深さ hmax に関係付けられる(相対接触深さ ηc : 塑性歪 ε I E ' cY により規定される材料定数；図5.6 参照)。これらの関係式を(11.3)式に代入することにより最終的に実測可能な Cobs ( ≡ 1 / Sobs ) と実測可能な hmax との間に成立する
次式を得る；
Cobs ( ≡ 1 / Sobs ) = Cf +π 1
12 E ' gηc hmax

(11.4)

上述した試験装置躯体コンプライアンス Cf を実験的に求める操作手順の妥当性を検証するため，モデル弾塑性体(弾性率E = 100 GPa，降伏応力 Y = 10 GPa，ポアソン比ν = 0.3 )を用い，さらに，図 11.2 に示した頂角部に曲率半径 Rt = 100 nm を有する

116

hr
圧入深 さ , hhmax

図 11.5 弾塑性体の負荷徐荷に伴う P - h履歴曲線。徐荷曲線の初期
勾配 Sobs の逆数として弾性コン
プライアンス Cobs を実験的に求めることができるVickers/Berkovich 等価円錐圧子，および試験装置躯体部コンプラ

3000

解析を行い，上記の操作手順に則り試験装置コンプライアンス Cfを決定するために作成した Cobs - 1 hmax 直線プロットを図 11.6 に示す。グラフの切片から求めた躯体部コンプライアンス Cf および

Cobs (nm/N)

イアンス Cf = 200 nm/N を想定した圧子力学試験の有限要素数値

2000

1000

直線プロットの勾配から求めた弾性率 E ' の値が，それぞれ，数値00

解析に当たって想定したそれぞれの値と良く一致していることが確認出来る。換言すると，汎用計測装置および汎用ピラミッド圧

π 1
2 E ' g ηc

C f=200 nm/N

0.001
1/hmax (1/nm)

図 11.6 装置定数 Cf を実験的に子を用い実験で求めた Cobs - 1 hmax 直線プロットから，躯体部コン決定するために作成したプライアンス Cf を装置定数として実験的に決定できることを図Cobs - 1 hmax 直線プロット(有限要11.6 は示している。

素数値解析結果)【試験装置躯体コンプライアンス Cf を実験的に求める実験操作手順】(1) 脆性セラミックスに代表される弾性率の大きな材料を用い「充分に大きな圧入領域( h ≥ 500 nm)」において，3〜4 の異なる最大圧入深さ hmax に対し，それぞれのP - h負荷徐荷履歴曲線を測定し，徐荷曲線初期勾配から Cobs ( ≡ 1 / Sobs ) を求める。この際に弾性率の大きな材料を試験体として用いることにより装置躯体の弾性変形を有意に強調することが出来るため Cf の実測精度を高めることが出来る(2) (1)で求めた，それぞれの圧入深さでの Cobs を 1 hmax に対してグラフ上に直線プロットし，グラフの切片から C f を決定する＊)弾性率 E ' が既知である標準試料(標準試料としては，溶融シリカガラスが広く用いられている)を試験体として用いると，上述の操作により得られる直線プロットの勾配( = π( 2E ' gη ) )からη を決定し， h = η hccc max の関係を利用することにより，c

圧子接触深さ hc ，ひいては圧子接触面積 Ac を hmax に関連付けることも可能となる

一方，圧子頂角部曲率半径 Rt の影響を定量的に見積もるため，
上記有限要素数値解析結果から得られた徐荷コンプライアンス

C ( ≡ Cobs − Cf ) と圧入深さ hmax の両対数プロットを図 11.7 に示す。
徐荷コンプライアンスが圧子徐荷時の弾性回復を反映する物理量であることに留意すると，(3.18)式，(3.25)式より球形圧子領域では C ≡ ( dh dP ) ∝ 1 / hmax1/2 ，円錐圧子領域では C ∝ 1 / hmax の関係が存在する。事実，図 11.7 の両対数プロットに示すように，円錐圧子
領域では勾配 -1 の直線，球形圧子領域では勾配 -1/2 の直線が確認される。図 11.7 の斜線領域（ 10nm ≤ hmax ≤ 60nm ）に円錐圧子/
117析 で 用 い た モ デ ル 圧 子 先 端 部 半 径 ( 曲 率 半 径 Rt = 100 nm ；h球 ( = Rt (1 − cos β) ) =5.85nm (図 11.2 参照))を反映したものである。
上述の有限要素解析結果が示すように，一般的な弾塑性試験体においても，予め装置定数としての躯体コンプライアンス Cf を定量しておけば，汎用計測装置で計測可能な物理量である徐荷コン
プライアンス C ( ≡ Cobs − Cf ) と圧入深さ hmax を両対数プロットすることにより，図 11.7 で示したように，汎用ピラミッド圧子の頂徐荷コンプライアンス, C (nm/N)

球形圧子遷移境界域の存在がうかがえる。この結果は有限要素解

106
105

円錐圧 子領域

1/2

104

1

球形圧 子領域103
102 -1
10

100

101

10 2

103

圧入深さ, h max (nm)図 11.7 徐荷コンプライアンス

角部曲率半径を実験的に定量評価することができる。また走査プ

C ( ≡ Cobs − Cf ) と圧入深さ hmax の

ローブ顕微鏡(scanning probe microscope)を用いた圧子頂角部観測

両対数プロット(弾性率 E = 100の併用により圧子頂角部曲率半径の定量精度をさらに高めること

GPa，降伏応力 Y = 10 GPa，ポアソも可能である。

ン比 ν = 0.3 で与えられるモデル
弾塑性体を用いた有限要素数値
解析結果)(2) 弾塑性力学物性の定量
上述した一連の操作により圧子先端形状の確定および装置定数の定量を完了した後には任意の弾性・弾塑性体の圧子圧入荷重 Pと圧入深さ hの関係，すなわち P - h履歴曲線，をミクロ・ナノ領域
で厳密に定量測定することが可能となる。この P - h履歴曲線の解
析から Meyer 硬度 H M ，弾性率 E ' および降伏応力 Y 等の弾塑性力
学物性値を定量評価するわけであるが，前述したように，汎用計測装置では圧子接触面積 A を直接計測することができないため，
これら力学物性値の定量においては各種の近似，仮定，あるいは有限要素数値解析により求めた「検量線」を併用する必要があり，結果的に得られる各種の弾塑性物性値には常に不確実な要因が含
まれてしまう。

118

【実測 P ‑ h 履歴曲線から弾塑性物性値を定量するための操作手順】
ピラミッド圧子を用いて実測した P - h履歴曲線から弾塑性物性値を定量する際の操作手順(フローチャート)を図 11.8 に示す。最も重要となる計測値はフローチャートの図 1 および図 2 に示した最大圧入深さ hmax ，塑性変形の情報を有する徐荷後の残留圧痕深さ hr ，弾塑性変形の情報を提供する負荷曲線勾配 k1 ，そして弾性変形に起因する徐荷曲線勾配 k2 である。
(1) 先ず，計測で得られた無次元圧痕深さ hr hmax をフローチャートの図 3(有限要
素数値解析，図 10.9 参照)の縦軸に適用し，その横軸から塑性歪 PI(= ε I E ' cY )を求める。
(2) 同様に，実測された hr hmax を図 4(図 10.10 参照)のグラフ横軸に適用し，その縦軸から無次元圧子接触深さ hc hmax を決定する。図 4 を用いグラフ操作で hr hmaxから hc hmax を決定する代わりに，Oliver-Pharr 弾性近似式((10.8)式)を用いることもできる。
(3) 上記(2)項で求めた圧子接触深さ hc を ac = hc cot β に代入することにより円錐圧

(

) (

)

子接触半径 ac ，さらには接触面積 Ac = π ac 2 = π cot 2 β hc 2 を求めることができる。
このようにして求めた Ac と実測された最大圧入荷重 Pmax を次式に代入し，Meyer 硬度を算出・決定する；(

H M ( ≡ Pmax Ac ) = Pmax tan 2 β

) πh

c

2

(11.5)(4) 第(1)項の操作で求めた塑性歪 PI を図 5(図 10.7 参照)，図 6(図 10.8 参照)の横軸に適用し，これらの対応する縦軸の値より，それぞれ， k1 Y と k2 E ' を決定する。
k1 および k2 の値は，すでに図 2 で実測・作図した P − h 2 プロットの負荷および徐荷直線の勾配として実測・決定されているので，これらの値より弾塑性試験体の弾性率 E ' と降伏応力 Y を算出する。
(5) 図 3 の操作で求めた PI を図 5.3 の横軸に適用し，対応する縦軸の無次元硬度
H M cY の値と上記(3)項の操作ですでに求めておいた H M および(4)項で求めた Yの値から拘束因子 c を決定する。

119

P 図1

P 図2

k2

k1

2

h

h

hmax

hr

hr

図4

•

•

PI =
PI

εI E '
cY

•

•

•

図5

•

hr/hmax

•

•

図6

•

k2/E'

k1/Y

•

2

hmax

hc/hmax

hr/hmax

図3

2

•

•

PI

PI

図 11.8 実測された P - h曲線から弾塑性物性値を定量するための操作フローチャート

120

(3) 粘弾性関数の定量
第 7 章で詳述したように粘弾性関数（緩和弾性率 E 'relax (t ) ，クリープコンプライアンス C 'creep ( t ) ）の計測・定量に接触面積 A(t )の実測は不可欠である。しかし，現在利用可能な市販の計装化装置では実測される圧入深さ h(t ) から A(t ) を推算する以外には，これらの粘弾性関数を実験的に求めることができない。しかも推算の基礎となる仮定・近似の信頼性・精度には多くの問題が山積しており，結果として得られた粘弾性関数は定量的というよりは，
むしろ定性的な物性関数として位置付けておく必要がある。
度々述べてきたように幾何相似性を有する円錐圧子・ピラミッ
ド圧子と異なり，平端円柱圧子や球形圧子の場合，圧子歪 ε I が圧入深さや接触面積に依存するため時間依存性を有する粘弾性現象の定量においては実測データの解析を不要に複雑としてしまう。
このため，第 7 章と同様に本章においても円錐圧子に焦点を絞って粘弾性解析の考察を進める。円錐圧子に関する粘弾性構成方程式（(7.3)式）を再度下記する；
P (t ) =tan β  tdA(t ')dt ' E 'relax (t − t ')
dt '
2 0

(7.3)

t

dP (t ')A(t ) = 2 cot β dt ' C 'creep (t − t ')0
dt '汎用計装化試験装置では接触面性 A(t ) の実測が不可能であるため，本章では圧入深さ h(t ) を用いた次式により(7.3)式を再表現しておく；
P (t ) =π cot β 2t

 E 'relax (t − t ')0d {η c 2 (t ') h 2 (t ')}
dt '

dt '

(11.6)

2 tan β  t
dP (t ')dt '
η c 2 (t ) h 2 (t ) = C 'creep (t − t ')
dt '
π 0

こ こ に ηc ( t ) = hc ( t ) h ( t ) に よ り 定 義 さ れ る 相 対 圧 子 接 触 深 さ

ηc ( t ) は，完全弾性体の場合には，時間依存性を持つことなく常に
η c = 2 π ((3.28)式参照)，また(10.8)式および図 10.10 に示すように，

弾塑性体の場合にも時間依存性を有しない材料定数である。一方，粘弾性体においては幾何相似性を特徴とする円錐圧子を用いても，(11.6)式に見るように相対接触深さ ηc ( t ) が時間に依存性することを考慮する必要がある。一例として，Vickers/Berkovich 等価円錐
圧子を時間 t = 0 で h(0) = 3 μm までステップ圧入した際に生じる
荷重緩和挙動に伴って観測された時間依存相対圧子接触深さ121

ηc ( t ) (有限要素数値解析結果)を図 11.9 に示す。非圧縮性粘弾性

示 す こ と な く 常 に ηc ( t ) ≡ 2 / π に よ り 与 え ら れ る 。 し か し ，

ν (0) < 0.5 で与えられる一般的な圧縮性粘弾性体においては，たとえステップ圧入により時間に依存しない一定の圧入深さ h(t ) ≡ 3

μm を保持しているにもかかわらず圧子接触深さ ηc ( t ) は荷重緩和に伴い単調増大する。このことは，ステップ圧入にもかかわらず，

無次元圧子接触深さηc(t)体（ν (0) = 0.5 ）の場合は完全弾性体と同様，ηc ( t ) は時間依存性をMaxwell液体 (Eg=80 GPa, τ=200 s)

0.67
0.66
Poisson比: ν(0)=0.5
:
0.3
:
0.1

0.65
0.64
0.63
0

100

300

400

500

時間, t (s)

圧子に直接接触している試験体自由表面が円錐圧子の側面に沿って時間と共に「せり上がる(creeping-up)」ことを意味している。

200

図 11.9 緩和弾性率が汎用計装化インデンテーション計測装置では時間依存性を示す

Erelx (t ) = Eg exp ( −t τ )hc ( t ) ，さらには， ηc ( t ) を実測することが出来ない。このため，( Eg =80GPa，τ =200s)で与えられる(11.6)式で示した構成方程式を用いて粘弾性関数を定量すること

Maxwell 液体の荷重緩和（ステップが で き ず ， や む な く ， ηc ( t ) を 時 間 に 依 存 し な い 一 定 値 ，

圧入試験）に伴い観測される相対

ηc ( t ) ≡ 2 / π ，と仮定する近似(弾性近似)を採用せざるを得ないの

圧子接触深さ ηc ( t ) の時間依存挙が現状である。この弾性近似を採用し，(11.6)式を次式で再表現す

動とポアソン効果(有限要素数値解ることにより，実測データ， P (t ) ，h(t ) ，から粘弾性関数を「近似解」として求める必要がある；
d {h (t ')}2 cot β 
E 'relax (t − t ')
dt '

dt '
π 0
t

P (t ) =h 2 (t ) =2(11.7)

π tan β  t

dP (t ')dt '
 C 'creep (t − t ')
0
dt '

2

(i) ステップ圧入試験
第 7 章においては，圧子接触面積を用いた粘弾性厳密解析を論じた。これに類似した解析を弾性近似式である(11.7)式に適用し，圧入深さ h0 へのステップ圧入試験
h(t ) = h0u (t )(11.8)

で観測される圧子荷重緩和 P(t ) をP(t ) =

2h02 cot βπ

E 'relax (t )(11.9)に適用し緩和弾性率 E 'relax (t ) が算出できる。一方，圧入荷重 P0 へのステップ圧入荷重試験
P(t ) = P0u (t )(11.10)で観測される圧入クリープは

122

析結果)

h 2 (t ) =π P0 tan β2(11.11)

C 'creep (t )によりクリープ関数 C 'creep ( t ) に関係付けられる。したがって，これらのステップ圧入試験を行うことにより，緩和荷重 P (t ) から緩和弾性率を，圧入クリープ h 2 (t ) からクリープコンプライアンス

C 'creep ( t ) を実験的に定量できる。しかし，(11.7)式の導出に当たり
図 11.9 に示した荷重緩和時に生じる相対接触深さ ηc ( t ) の時間依存性を無視したことに加え，装置コンプライアンスの影響を受ける試験装置を用いている場合には，圧入深さ h0 へのステップ圧入試験といえども，荷重緩和 P (t ) に伴って生じる装置躯体部の弾性回復(＝ Cf P(t ) )のため，試験体に付加される圧子圧入量 h(t ) は次式で示すように時間と共に単調増大する。
h(t ) = h0 − Cf P (t )(11.12)

この結果，(11.9)式から求まる緩和弾性率を規定している緩和時間

τ を著しく過大評価してしまうことに留意しなければならない。
一方，一定圧入荷重，P(t ) = P0 u (t ) へのステップ圧入で観測される
クリープ変形や次項で述べる定速圧入試験， h(t ) = kh ⋅ t あるいはP (t ) = k p ⋅ t ，で観測される「時間と共に単調増大を示す粘弾性現象」，すなわち，「荷重の緩和を伴わない粘弾性現象」の解析においては，上述した装置躯体部コンプライアンス C f に起因した問題は生じない。しかし，荷重緩和現象を伴わない粘弾性変形においても，上述したように，無次元接触深さ ηc ( t ) は時間依存性を有するため， ηc ( t ) ≡ 2 / π と仮定することにより導出された(11.7)式を用いた上述の粘弾性解析には，依然とて，得られた粘弾性関数の精度・信頼性に深刻な問題が存在する。
(ii) 定速圧入試験
定速圧子圧入試験
h(t ') = kh t '(11.13)

および，定速圧入荷重試験
P(t ') = k P t '(11.14)の場合，これらの試験条件を弾性近似（ ηc ( t ) ≡ 2 / π ）の仮定に基づき導出した(11.7)式に代入することにより次式を得る；

123

P (t ) =2h (t ) =4 k h 2 cot β

π

t

 E'
0

π k P tan β
2

relax

(t − t ')t ' dt '

t

 C'
0

creep

(11.15)(t − t ') dt '(11.15)式に Laplace 変換・逆変換を適用し，最終的に緩和弾性率およびクリープコンプライアンスに関する次式を得る；

E 'relax ( t ) =π tan β d 2 P (t )
4kh 2

dt 2

{

(11.16)}2
2 cot β d h ( t )C 'creep ( t ) =π kP
dt

したがって実測された圧子荷重 P (t ) あるいは圧入深さ h ( t ) に時
2間微分操作を施すことにより粘弾性関数を定量することができる。

11.3 計装化顕微インデンテーション計測装置
ミクロ・ナノ領域で各種の力学物性(弾性，弾塑性，粘弾性，・・・)
を計測・定量する上で圧子力学の果たす役割と有用性について，
繰り返し，その重要性を論じてきた。これら力学物性を記述する
圧子力学構成方程式の基礎を与える刺激応答理論では，力学的な刺激としての圧入荷重 P に対する応答としての圧子接触面積 A ，あるいは，刺激としての A に対する応答としての P が構成方程式の中核となることも繰り返し強調してきた(第 3 章，第 5 章，第 7章，および第 8 章参照)。しかし，前節((11.2 節))で述べたように，
現在利用可能な汎用計装化インデンテーション計測装置では圧入
深さ hを定量計測することはできるものの接触面積 A を実測出来ないという圧子力学試験上，致命的な欠陥を有しているため，各種の仮定や近似を用いることにより力学物性値の定量を行わざるを得ないのが実情である。一方，本節で述べる「計装化顕微イン
デンテーション計測装置」は圧子荷重 P ，圧入深さ hに加えて，Pあるいは hの関数として圧子接触面積 A を実測定量することができる。このため上述した仮定・近似を一切用いることなく各種力図 11.10 計装化顕微インデンテー

学物性値の定量評価が可能となる。

ション計測装置の基本構成図(1) 装置の基本構造と計測原理[11.7 - 11.9]
計装化顕微インデンテーション計測装置の基本構成を図 11.10に示す(図が煩雑になることを避けるため，図 11.10 では，光源等の光学系に関わる構成要素の描写が省略されている)。圧子と試験
124[11.7] T. Miyajima, M. Sakai, Phil. Mag,
86[33-35], 5729 (2006)[11.8] M. Sakai, N. Hakiri, T. Miyajima,
J. Mater. Res., 21[9], 2298 (2006)[11.9] 羽切教雄, 逆井基次, 宮島達也,
材料, 56[6], 510 (2007)

体接触部の光学像は顕微鏡を介し CCD カメラでデジタル化した
後コンピュータに取り込まれる。圧子/試験体接触部位の光学画像計測に採用されている光学経路(暗視野法(dark field method)，明視野法(bright field method))を図 11.11 に示す。図に示すように，光学像を観測するための入射光および圧子接触部位からの反射光を共に圧子内部を透過させる必要がある。このため，用いる可視光に対して圧子の透明性が確保されなければならない。大気下(酸化性雰囲気)での計測においては，測定温度が 300℃以下の場合には，
ダイヤモンド圧子が，さらに高温(300℃〜1200℃)での計測にはサファイア圧子が用いられる。図 11.10 に示した計測装置では，変位駆動装置(ピエゾ素子を用いた駆動装置)に直列装着された試験
体が装置躯体部に固定された圧子に対して下部より圧入される。
圧入荷重 P は試験体下部に直列配置された荷重計測装置(ひずみゲージを装着したロードセル)により，また，圧入深さ hは静電容
量型あるいは作動トランス型変位計測器により検出される。後にその詳細を述べるが，顕微インデンテーション計測装置を用いて各種の力学物性量を計測する場合，接触面積の定量計測が可能であるため圧入深さ h の測定は不要となる。しかし，汎用の計装化
インデンテーション計測装置で実測される P - h曲線と顕微インデンターで求めた値との比較・整合性確認の必要性から，変位計

図 11.11 圧子接触部位光学画像測器も装着されている。また，実測された圧入荷重 P と圧子接触計測に使われる入射光・反射光の面積 A ( P - A 曲線)から各種力学物性量の定量を行うことが可能

光学経路：となるため，換言すると圧入深さ h の測定が不要となるため，第(a)暗視野法，(b)明視野法

11.2(1) 節で述べた装置定数としての装置躯体コンプライアンス
C f の定量は，これを一切必要としない。

コンピュータに取り込まれた圧子接触部位のデジタル画像デー
タは二値化された後に接触面積 A の値に変換され，対応する圧入

光学 画像

二 値化 像荷重 P ，圧入深さ h ，時間 t と共にハードディスクに収納される。
顕微インデンターで計測された圧子接触画像の例として，図 11.12に Berkovich 圧子をポリカーボネートに圧入した際の光学画像(明視野像)とその二値化像を示す。このようにして計測された接触面
積 A の値を，遂次，圧子圧入駆動部に電気信号としてフィードバ

80μm

ックすることにより，試験体に付加する接触面積を時間の関数と図 11.12 顕微インデンターによして制御することもできる。例えば，時間依存・刺激付加速度依り計測された Berkovich 圧子/ポリ存性を有する粘弾性力学応答において，時間と共に接触面積を定カーボネート接触面の光学画像速増大させる圧入試験( A(t ) = k At )や，一定の接触面積 A0 をステッと，その二値化画像125

プ付加することにより観測される荷重緩和から緩和弾性率を定量計測する試験等々においては接触面積のフードバック制御が不可欠となる。時間依存性を示さない弾性・弾塑性領域においては一定圧入深さ h0 へのステップ圧入 h(t ) = h0u (t ) により一定圧子接触
面積 A0 へのステップ圧入 A(t ) = A0 u (t ) を実現することが可能となるが，図 10.14 および図 11.9 に例示したように，粘弾性体にス
テップ圧入 h(t ) = h0u (t ) を付加した場合，時間依存ポアソン効果に
より荷重緩和に伴い接触面積が単調増大する。このため，上述のフィードバック制御を行わない限り粘弾性体の圧子接触面積を一定値 A0 に保持することは出来ない。
(2) 弾塑性力学物性の定量計装化顕微インデンテーション計測装置を用いることにより弾塑性体の圧子圧入荷重 P と接触面積 A との関係，すなわち，

P - A 曲線の実測が可能となり，下記するように，実測データから直接，何らの仮定や近似を用いることなく，弾性率 E ' や降伏応力6ターにより実測された石英ガラスおよび窒化ケイ素セラミックのP - A 曲線（Vickers 圧子），および有限要素数値解析により得られたモデル弾塑性体の P - A 曲線（Vickers/Berkovich 等価円錐圧子）

圧入荷重, P (N)Y を厳密に定量することが可能となる。図 11.13 に顕微インデン

431の幾何相似性により，図に示したように負荷時のみならず徐荷時

0

M =

tan β
E'
2

(11.17)

100

200

300
2

400

5
有限要素数値解

圧入荷重, P (N)の勾配は(5.1b)式より Meyer 硬度 H M そのものを表している。一方，円錐圧子の場合，(5.2)式に ε I = tan β 2 を代入することにより

0M

圧子接触面積, A (μm )も弾塑性領域での P - A プロットは直線で表現できる。負荷直線ジュラス)は弾性体の Meyer 硬度を表しており，ピラミッド圧子・HM

2を例示する。ピラミッド圧子・円錐圧子を用いた場合，圧子形状

弾性回復を反映している P - A 徐荷直線の勾配 M ( ≡ ε I E ') (徐荷モ

石英ガラス
窒化ケイ素セラミック

54E=100 GPa, Y=5 GPa, ν=0.3

3
2

M

HM

1
0
0

100

200

300

400

圧子接触面積, A (μm2)

500の関係を介し試験体の弾性率 E ' に直接関係付けられる。このよう

図 11.13 上図：計装化顕微インにして徐荷モジュラス M から弾性率 E ' を容易に決定することがデンターにより求めた石英ガラできる。また，第 5 章で詳述した「排除体積加成則理論，(5.13a)

スおよび窒化ケイ素セラミック式」をピラミッド・円錐圧子に適用することにより得られる関係の P - A 曲線。下図：有限要素数値式

解析で求めた弾塑性体の P - A 曲
1( cY )

3/2

=

1
HM

3/ 2

−

1

(11.18)M 3/2線(弾性率： E ' = 100 GPa，降伏応
力： Y = 5 GPa)126

の右辺に，P - A 直線プロットの負荷・徐荷直線勾配から，それぞれ得られる，H M および M を代入することにより，降伏応力 cY を得る。さらに，このようにして求めた M と cY の値を

PI ( ≡ ε I E ' cY ) = M cY

(11.19)の関係式に代入することにより，注目している弾塑性体の「塑性歪(塑性変形能) P I 」(第 5 章参照)を顕微インデンターの実測データから直接決定することもできる。
(3) 粘弾性関数の定量[7.5]
弾性‐粘弾性対応原理(第 6 章参照)を(5.13a)に適用することにより，ピラミッド・円錐圧子に関する圧子接触面積を用いた粘弾性
圧子力学構成式は次式を用いて表現できる；

Ave (t )3/2 = A(t )3/2 − Ap ( t )3/2(11.20)

したがって粘弾性関数を実験的に定量評価するためには，計装化
顕微インデンテーション計測装置により実測される圧子接触面積A(t ) から(11.20)式を用いて塑性変形接触面積 Ap ( t ) の影響を取り除いた粘弾性圧子接触面積 Ave (t ) を以下の計測・解析操作により予め求めておかなければならない：(1) 先ず粘弾性流動の無視できる「高速」圧子圧入・徐荷試験(速度依存性・時間依存性の認められない P - A 負荷徐荷試験)を行い，上記(2)項で述べた手順に則り降伏応力 cY を決定する。

(2) この cY 値を Ap (t ) = P (t ) cY の関係式に代入し塑性接触面
積 Ap (t ) を求める。

(3) (11.20)式から得られる{}

3/2 2/3

Ave (t ) = A(t )3/2 − [ P(t ) cY ](11.21)を顕微インデンターで実測した P(t ) および A(t ) に適用し粘弾性圧子接触面積 Ave (t ) を算出する。

127

(i) ステップ圧入試験
顕微インデンテーション計測装置では，先に述べたフィードバ
ック制御機能を利用することにより，時間に依存しない一定接触
面積 A0 へのステップ圧入試験， A(t ) = A0 u (t ) を行い，これに伴い生じる圧子荷重緩和 P (t ) を実測することができる。この試験における粘弾性圧子接触面積 Ave (t ) は(11.21)式を用い{}

3/2 2/3

Ave (t ) ( ≡ Ave ) = A03/2 − [ P(0) cY ](11.22)

により与えられる。上式において， A0 のみならず Ave (t ) の値も時間に依存しない一定値( Ave (t ) ( ≡ Ave ) )となることに留意しておく必要がある。すなわち， A(t ) = A0 u (t ) のステップ圧入の場合，粘性流動に伴う圧入荷重 P (t ) の緩和現象が観測される一方で，塑性変形の「非可逆性」により，塑性接触面積は荷重減衰初期の値(すな
わち荷重減衰初期の最大荷重値 P(0) )により規定される時間に依()

したがって(11.22)式を用いて算出した Ave の値と実測された圧子
荷重緩和 P (t ) を(7.6)式に代入することにより，次式を用いて緩和弾性率を直接定量することができる；
E 'relax (t ) = 2 cot β

P (t )
Ave(11.23)

クリープコンプライアンス
log C'creep(t) (Pa-1)

存しない一定値， Ap (t ) ≡ Ap (0) = P (0) cY ，として与えられる。
Ave(t)-8.5

oT=30.0 C

A(t)
-9

-9.5
0

1

2

3

時間, log t (sec)

一方，一定の圧入荷重 P0 へのステップ圧入試験 P(t ) = P0u (t ) の場合，顕微インデンターにより実測される圧子接触面積 A(t ) は時

図 11.14 一定の圧入荷重 P0 への間と共に単調増大するクリープ現象として観測される。したがっステップ圧入試験 ( P(t ) = P0u (t ) )て(11.21)式を用いて求めた粘弾性接触面積により求めた非晶質セレンのク{} を(7.10)式の A(t ) に代入し，次式を3/2 2/3

Ave (t ) = A(t )3/2 − [ P0 cY ]用いてクリープコンプライアンスを定量決定することが出来る；
C 'creep (t ) =tan β Ave (t )2
P0

(11.24)

一例として，顕微インデンテーション計測装置(Berkovich 圧子)
で求めた非晶質セレン(Se)(ガラス転移温度： Tg = 30.0 C)の実測データに (11.24)式を適用して求めたクリープコンプライアンス

C 'creep ( t ) を図 11.14 に示す。図には，塑性変形が粘弾性関数の定量にどの程度の影響を及ぼすかを示すため，塑性接触面積128

リープコンプライアンス。塑性変形の影響を含む実測接触面積A(t ) から求めた曲線(△)，および
塑性の影響を取り除いた Ave (t ) を用い， (11.24) 式から求めた曲線(●)の比較が示されている。初期には顕著に表れていた塑性変形の影響がクリープ変形の増大と共に相対的に漸減して行くため長時間側で両曲線は漸近・一致するAp (t ) = P0 cY の補正を施していない実測面積 A(t ) を (11.24) 式のAve (t ) に代入することにより求めたクリープコンプライアンスも示されている(図 11.14 の△印プロット)。
(ii) 定速荷重付加試験
定速荷重負荷試験においては，顕微インデンターにより実測された A(t ) および入力刺激の表現式 P (t ) = k P ⋅ t を(11.21)式に代入す{ることにより得られる Ave (t ) = A(t )3/2 − ( k P ⋅ t cY )} を(7.3) 式

3/2 2/3に代入することによりクリープコンプライアンスは次式で与えられる；

C 'creep (t ) =tan β dAve (t )dt
2k P

(11.25)

したがって顕微インデンターを用いて実測した A(t ) から上述の操作により塑性変形に起因する面積成分を除去して求めた粘弾性接
触面積 Ave (t ) に時間微分を施すことによりクリープコンプライア
ンスを定量することができる。
(iii) 一般的な粘弾性刺激‐応答試験
上述の「ステップ状圧子接触面積付加試験」および「定速荷重付加試験」が推奨される最大の理由は，計測データを(7.3)式で示した積分型構成方程式に代入した際に，上述したように，比較的容易に，かつ解析解としてクリープコンプライアンス C 'creep ( t ) あ
るいは緩和弾性率 E 'relax (t ) を求めることのできる優位性にある。
一方，一般的な刺激付加試験においては，計測データに不可避的に組み込まれてしまう塑性変形に起因して，(7.3)式から解析的に粘弾性関数を決定する際に多くの数学的な困難を伴う。例えば，
比較的単純な刺激付加様式である圧子接触面積の定速付加試験( A(t ) = k A ⋅ t )においてすら，解析解として粘弾性関数を求めることが困難となる。しかしながら 20 世紀後半から急速な発展を遂げてきた電子計算機を利用することにより解析解としては処理できない複雑な粘弾性「刺激‐応答」現象を数値解として処理し厳密に粘弾性関数を決定することが可能となってきた。
129

顕微インデンターを用いて計測される一般的な粘弾性「刺激‐応答」から数値解析法に基づいて粘弾性関数を決定する基本プロト
コルを以下に示す。先ず，粘弾性構成式(7.3)式に Laplace 変換を施すことにより次式を得る；
E 'relax ( p ) = 2 cot β

P ( p)
pAve ( p)(11.26)tan β Ave ( p )C 'creep ( p) =2 pP ( p )一方，顕微インデンターにより実測された任意の時間依存性を示
す圧子接触面積 A(t ) および圧子荷重 P (t ) を(11.20)式に適用し粘弾性圧子接触面積 Ave (t ) を算出する。このようにして求めた Ave (t ) お
よび実測された P (t ) を，べき級数を用いて再表現した後，これら級数の Laplace 変換により得られる Ave ( p) および P ( p) を(11.26)式に代入し，Laplace 空間での粘弾性関数 E 'relax ( p) および C 'creep ( p)を決定する。しかる後，これらの粘弾性関数 E 'relax ( p) および
C 'creep ( p) に逆 Laplace 変換を施すことにより，最終的に，実空間での粘弾性関数， E 'relax (t ) および C 'creep ( t ) を決定する。
上述した数値解析手順を以下にまとめて示しておく。ここでは，緩和弾性率 E 'relax (t ) に焦点を当てて，その数値解析的導出手順を記述しておくが，同様の手順，あるいは(7.2)式の Laplace 空間での表現式
pC 'creep ( p ) = 1 pE 'relax ( p )(11.27)を利用することにより，顕微インデンターを用いて実測される
P (t ) - A(t ) 関係から，クリープコンプライアンス C 'creep ( t ) についても，これを定量決定することができる。

130

【計装化顕微インデンテーション計測装置で実測された任意の時間依存性を有する圧子圧入荷重 P (t ) と圧子接触面積 A(t ) の関係に Laplace 変換/逆変換を適用
し粘弾性関数を定量する数値解析手順】(1) 高速圧入試験を行い，負荷徐荷速度に依存しない弾塑性領域で求めた P ‐A 直線プロットの勾配から Meyer 硬度 H M と徐荷スティッフネス M を決定し(図 11.13 参照)，これらの値を(11.18)式に代入し降伏応力 cY を決定する。

(2) 粘弾性領域での実測 P (t ) ‐ A(t ) 関係を(11.21)式に代入し Ave (t ) を求める。
ただし， P (t ) が時間と共に減衰緩和挙動を呈する場合には，荷重減衰初期の最大荷重値 P(0) を用いて算出した塑性接触面積()

Ap (t ) ≡ Ap (0) = P (0) cY を(11.21)式に代入して Ave (t ) を求める。
(3) 選点法(コロケーション法)を用い， P (t ) および Ave (t ) を級数で記述する;nP(t ) = Pe +  Pi exp ( −t / λ1i )i =1(11.28)nAve (t ) = Ae +  Ai exp ( −t / λ2i )
i =1

(4)

(11.28)式の Laplace 変換
P ( p) =

n
Pe
Pi
+
p i =1 p + 1 λ1i(11.29)nA
Ai
Ave ( p) = e + 
p i =1 p + 1 λ2iを(11.26)式の緩和弾性率 E 'relax ( p) に関する表記に代入し，得られた結果に選点法を適用し Laplace 空間における緩和弾性率を次式で記述する

E 'relax ( p) =

(5)

Ee n
Ei
+
p i =1 p + 1 τ i(11.30)(11.30)式に Laplace 逆変換を施し，最終的に実空間における緩和弾性率を次式により表現する；nE 'relax (t ) = Ee +  Ei exp ( −t / τ i )(11.31)i =1131

12 圧子力学実測データに基づいた物性論
12.1 ピラミッド圧子形状が弾塑性圧子力学応答に与える影響 [12.1]
平端円柱圧子や球形圧子と異なりピラミッド圧子は,その幾何相似性に由来し，計測される Meyer 硬度を始めとした各種の力
学物性値が圧入深さに依存しないという，力学物性の実用評価上，

β
2ψb
2b

極めて重要な特長を有する。しかし，その一方で，ピラミッド稜線(エッジ)を介した隣接面間の幾何不連続性がエッジ部周辺での2a

力学過程の数学的解析を複雑にしてしまうという短所をも併せ持つ。前章までの理論解析および有限要素数値解析において，ピラ

2ψa

ミッド圧子を用いることなく「ピラミッド圧子等価円錐圧子」をもっぱら採用してきた最大の理由は上述の「エッジ問題」を回避

図 12.1Knoop 圧子幾何形状：

長軸/短軸比 a / b =7.11，するためであった。
本節では，図 11.1 に示した汎用ピラミッド圧子である正四面ピ面傾き角度 β = 25.2 ，

ラミッド Vickers 圧子， 正三面ピラミッド Berkovich 圧子に加え，長軸対頂角 2ψ a = 172.5 ，Vickers 圧子とは面傾き角度 β を異にする各種の正四面ピラミッ

短軸対頂角 2ψ b = 130

ド圧子についてもこれらの幾何学的な影響について実測データに基づいた考察を行う。さらに，図 12.1 に示す Knoop 圧子についても，その幾何形状が弾塑性圧子力学挙動に与える影響を論じる。

Knoop 圧子は Vickers/Berkovich 圧子に比して圧子形状の幾何異方40察する上で利点を有しており，結晶学・鉱物学の分野で多用され

30

ている。
窒化ケイ素セラミックを例にとり，Vickers/ Berkovich/Knoop 圧
子が P - h負荷徐荷曲線に及ぼす影響を図 12.2 に示す。第 11.1 節
2で述べた「圧子排除体積等価性」に基づき，圧子接触面積 A = gh ，

圧入荷重, P (N)

性が強いため単結晶の結晶方位性と関連付けて圧子力学物性を考Si3N4 セラミック
Vickers
Berkovich
Knoop

20
10
0
0

2

4

6

8

10

圧入深さ, h (μm)

あるいは圧子排除体積 V = gh 3 3 の係数として定義される面積

図 12.2 幾何形状を異にするピラが Vickers 圧 子 の 値 ( g = 24.5 ) と 同 一 と な る よ う に

ミッド圧子に対する窒化ケイ素

因子 g

Berkovich 圧子の幾何形状が規定されていることに由来し，図 12.2に 示 す よ う に ， Vickers 圧 子 に 対 す る P - h 負 荷 徐 荷 曲 線 はBerkovich 圧子に対する負荷徐荷曲線に重なり，両者の弾塑性圧子

セラミックの P - h負荷徐荷曲線●印：Vickers 圧子○印：Berkovich 圧子▲印：Knoop 圧子

力学応答は一致する。換言すると，幾何形状を異にするピラミッ
ド圧子であっても両者の面積因子 g が同一の値を有する圧子を用いた場合，弾性体，弾塑性体，そして粘弾性体の圧子力学挙動は
132[12.1] J. Zhang, M. Sakai, Mater. Sci. Eng.
A:381, 62 (2004)

近似的に等価となり，上述した「エッジ問題」の影響は極めて少な い 。 一 方 ， Knoop 圧 子 の 場 合 ， そ の 面 積 因 子 は

g ( = 2tanψ a ⋅ tanψ b ) =65.4(Vickers/ Berkovich 圧子の約 2.7 倍大きなg 値)で与えられるため，その P - h負荷徐荷曲線は図 12.2 に示す
ように，Vickers/ Berkovich の P - h負荷徐荷曲線に比べ，より急峻となる。また，Knoop 圧子の場合， P - h負荷徐荷曲線が囲むルー
プエネルギー U r および無次元圧痕深さ ξr ( = hr hmax ) は，共に，Vickers/ Berkovich 圧子の値に比べ有意に小さくなる(第 5.2 節参照)。この事実は，Knoop 圧子に対する窒化ケイ素セラミックの弾
塑性応答が，Vickers/ Berkovich 圧子に対する応答よりも，より弾性的になることを意味している。Vickers/ Berkovich 圧子等価円錐
圧子(面積因子 g が Vickers/ Berkovich 圧子の値と同じ 24.5 で与えられる円錐圧子(第 5 章参照))の面傾き角度が βc = 19.7 であるの()

2に対し，Knoop 圧子等価円錐圧子(その面積因子 g = π cot β が

g = 65.4 で与えられる円錐圧子)の面傾き角度は βc = 12.4 となる(円錐圧子(cone indenter)であることを明記するため面傾き角度を

β c で表しておく)。この事実からも，Vickers/ Berkovich 圧子等価
円錐圧子に比して，その面傾き角度 β c のより小さな Knoop 圧子
等価円錐圧子の弾塑性応答が，より弾性的となることが予測される。
この点をさらに明確に示すため，面傾き角度 β を異にする 3 種

正四面ピラミッド圧子類の正四面体ピラミッド圧子( β = 10 ， β = 22 (Vickers 圧子)，および β = 40 )に対する窒化ケイ素セラミックの P - h負荷徐荷曲線を図 12.3 に示す。これらの正四面体ピラミッドの面積因子

(

2

)

g = 4cot β は，それぞれ，129，24.5(Vickers 圧子)，5.68，であり，対応する等価円錐圧子の面傾き角度に換算すると，それぞれ，

βc = 8.87 ，19.7°，および 36.6°で表現出来る。図 12.3 からも良く

圧入荷重, P (N)



20

o

β=10

β=22o
(Vickers圧子)

10
β=40o

0

0

5

10

圧入深さ, h (μm)

分かるように，面傾き角度の増大，換言すると，ピラミッド圧子

図 12.3 面傾き角度 β を異にすの頂角部がより鋭くなるに従って，圧子力学的弾塑性応答は，よる 3 種類の正四面体ピラミッド圧

り 塑 性 的 と な る 。 こ の 事 実 は ， 第 5.1 節 で 述 べ た 塑 性 歪子( β = 10 (●)， β = 22 (Vickers( PI = ε I E ' cY ; ε I = tan β 2 )が面角度の増大，すなわち β と共に増大することに対応している。
面傾き角度をそれぞれ異にする各種ピラミッド圧子を用いて求133

圧子)(○)，および β = 40 (▲))に対する窒化ケイ素セラミックのP - h負荷徐荷曲線

めた窒化ケイ素セラミックの Meyer 硬度 H M をそれぞれの圧子形関係を図 12.4 に示す。Knoop 圧子を除く他の圧子は全て正四面体
圧子であるが，Knoop 圧子のように幾何異方性の強い圧子形状に対しても等価円錐圧子面傾き角度 β c を用いることにより， β c の関数として硬度を一意的に記述出来ることを図 12.4 は示していMeyer硬度, HM (GPa)

状に対応する等価円錐圧子面傾き角度 β c に対してプロットした

20
18
Vickers圧子

1614Knoop圧子

12
10

る。

10

20

30

40

面傾き角度, βc (degree)

図 12.4 面傾き角度を異にする各12.2 各種工業材料の圧子力学挙動

種の四面ピラミッド圧子を用い延性に富む金属材料から脆性材料の代表格であるセラミックて実験的に求めた窒化ケイ素セス・無機ガラスに至る多くの汎用工業材料について，計装化イン

ラミックの Meyer 硬度(●印)。実

デンテーション計測装置あるいは顕微インデンテーション計測装

線は解析解((5.14)式)

置を用いて測定された各種の弾塑性・粘弾性圧子力学特性を俯瞰することが本節の目的である。これらの圧子力学諸特性は材料開重要な役割を果たしてくれる。
(1) P ‑ h負荷徐荷曲線と弾塑性挙動[12.2]
図 12.5 に代表的な工業材料に付いて Vickers 圧子圧入の際に観測 さ れ る P - h 負 荷 徐 荷 履 歴 曲 線 (loading-unloading hysteresis

圧入荷重, P(N)

発や構造物設計のみならず計装化装置に関わる信頼性の精査等で20

SiC MgO SL-Glass

HMV100
Al

10

PMMA
0

0

curve)(第 5.2 節，第 10.3 節および第 11.2 節で述べたピラミッド圧子の圧入試験で広く用いられている P − h 2 プロット ) を比較して示す。一瞥して分かることは，延性金属材料(金属アルミニウム，

Al)と脆性セラミック材料(例えば，炭化ケイ素セラミック，SiC)との比較で，これらの履歴曲線が囲む面積(ループエネルギー U r )に著しい相違の見られるという事実である。第 5.2 節で考察したよ
うに，このループエネルギー U r は圧子の圧入・徐荷過程での塑性流動に伴う散逸熱を表しており，延性・脆性の指標として材料を識別する上で重要な物理量であることを図 12.5 からも良く理解することができる。
一方，第 5.2 節および第 10.3 節で詳述した無次元圧痕深さ

ξr ( = hr hmax ) は P - h負荷徐荷曲線から材料の延性・脆性を「直接GLC

図 12.5

200

400

600

圧入深さ, h2 (μm2)

800Vickers 圧子の圧入と徐荷の過程での P − h 2 履歴プロット。

SiC: 炭化ケイ素セラミック
MgO: マグネシア
SL-Glass: ソーダ石灰ガラス
GLC: ガラス状炭素(GL-200H)
HMV100: 銅亜鉛合金(ビッカー
ス硬度標準試料；HV=1GPa)

Al: 金属アルミニウム(純度 99%)
PMMA: 有機ガラス(メチルメタクリレート樹脂)

かつ容易に」定量することのできる重要な弾塑性パラメータ(圧入荷重 P や圧入深さ h に依存しない物性値)であり，ループエネルギ
ー U r に定量的に関係付けることもできる(詳細は第 5.2 節参照)。

134[12.2] M. Sakai, Y. Nakano, J. Mater. Res.,
17[8], 2161 (2002)

無次元圧痕深さ ξr ( = hr hmax ) は U r を定量する際に要する面積計測の煩わしさがなく最大圧入深さと残留圧痕深さの比として容易に定量できるため各種工業材料の塑性尺度を記述する実用的な物性値となる。各種工業材料の無次元圧痕深さ ξr を図 12.6 に示す。
また，表 12.1 には，図 12.5，図 12.6 に示した材料を含も各種工業

ξr ( = hr hmax )材料の諸物性値詳細が纏めて示されている。

図 12.6 各種工業材料の無次元圧痕深さ ξr ( = hr hmax ) 。負荷曲線と徐荷曲線が一致する完全弾性体は ξ r = 0 で与えられ徐荷後に圧痕を残さない。一方，完全塑性体は ξ r = 1 で与えられ，外系から投入された圧入仕事量は全て塑性熱として散逸し，最大荷重時に形成された排除体積が残留圧痕となる。それぞれの材料物性の詳細を表 12.1 にまとめて示す

135

表 12.1

各種工業材料の力学物性および弾塑性圧子力学パラメータ

図 12.5，図 12.6 および表 12.1 に示した各種工業材料の中にあって特筆すべき挙動を示す材料にガラス状炭素とマグネシアがある。前者は完全弾性体として近似できるほどに徐荷時の弾性回復が著しく，徐荷後に残留圧痕をほとんど認めない。これはガラス状炭素特有のナノ構造に起因するものであり次項でその詳細を論じる。一方，マグネシアはセラミック材料として分類されるが，図 12.6 に示すように無次元圧痕深さが ξ r = 0.86 と金属材料に近い極めて高い値と延性を示しセラミック材料としては異質とも言える。この延性はその結晶構造に起因している。多くのセラミッ
ク材料は異方性の大きな結晶構造を有するため，その幾何学的な制約により結晶面間の滑り(転移の移動)が局所領域に制約される。
このことがセラミック材料特有の脆性をもたらし小さな ξ r 値へと導く。一方，マグネシアは延性に富む金属材料と同様に幾何学
的対称性に優れる立方晶系の結晶構造を有し，多くの結晶方位に対して滑り面が存在する。このため，多結晶体であっても結晶粒界を横切って広領域に渡り連続する滑り面が形成され易くセラミ136

ックスであるにもかかわらず著しい塑性を示す。
(2) 炭素材料の弾塑性圧子力学挙動
多くの有機物は高温熱処理により炭化し，さまざまな微構造を有する炭素材料を提供する。炭素材料は 1500℃以上の高温熱処理
により容易に黒鉛化する易黒鉛化性炭素材料(graphitizable carbon)と黒鉛化し難い難黒鉛化性炭素材料(non-graphitizable carbon)に大別できる。黒鉛結晶特有の炭素六角網面間での滑りに起因する著
しい塑性現象が易黒鉛化材料の圧子力学的特徴となる。一方，難黒鉛化材料は黒鉛結晶の成長が局所領域(ナノ領域)に制約され，結果的に六角網面間での滑りが抑制されてしまうため脆性的な圧子力学挙動を示す。
(a) ガラス状炭素[12.3]
ガラス状炭素(glassy carbon)は脆性が著しく，切削・研磨等の機
械加工には多くの困難を伴う。多くの無機ガラスと類似した貝殻状波紋を有する破面を形成することから，「ガラス状」と称される。
しかしガラス状炭素の圧子力学挙動は無機ガラスのそれとは全く異なる。先に両者の相違について簡単に触れておいたが，本節ではガラス状炭素を特徴づけているナノ構造との関連でその圧子力
学挙動を考察する。
ガラス状炭素は熱硬化性樹脂(フェノール樹脂，エポキシ樹脂，
セルロース系樹脂等 ) を高温熱処理 (1000℃ 〜 2500℃) することにより作製される。直径 0.5nm〜5nm に至る完全密閉型のナノ空孔のため窒素ガス透過率はゼロと小さい。隣接するナノ空孔間の隔壁はナノメーターサイズの積層微小炭素六角網面により構成されている。研磨表面は無機ガラスのそれに類似し極めて平滑である。
無機ガラスの代表格としソーダ石灰ガラス(SLG)を例にとり，ガラス状炭素(GLC)と比較して両者の P - h負荷徐荷履歴曲線を図12.7 に示す。GLC には，その徐荷時に完全弾性体に類似した著し

200

圧入荷重, P (N)が気孔率にして 25%〜30%存在する多孔質体であるが，密閉気孔

ソーダ石灰ガラス100

ガラス状炭素(GLC)
0

0

20

40

60

圧入深さ. h (μm)

い弾性回復が観測される。このため，SLG との比較で，GLC の負図 12.7 ソーダ石灰ガラス(SLG)

荷〜徐荷過程でのエネルギー散逸(ループエネルギー，U r )は極めとガラス状炭素(GLC)の P - h負荷て小さい。上述したナノ空孔(nano-pore)を取り巻く隔壁の著しい

徐荷曲線履歴曲線

弾性変形が図 12.7 に示した特異的な P - h負荷徐荷履歴曲線へと導いている。完全徐荷後，GLC 並びに SLG 表面に形成される

Vickers 圧子の残留圧痕幾何形状を図 12.8 に示す。SLG の圧痕(図137[12.3] M. Sakai, H. Hanyu, M. Inagaki,
J. Am. Ceram. Soc., 78[4], 1006 (1995)

12.8(c))には脆性セラミックスの特徴である Vickers 圧子の稜線方向に沿った材料内部に向かって誘起・進展する相互に直行した一(a)対の半円状き裂(radial crack)が観測される。一方，GLC の残留圧痕
表面(図 12.8(a))には，圧子徐荷時に生じる著しい弾性回復のため，

SLG の残留圧痕に見られたようなピラミッド状の窪みが残存しない。さらに，上述した radial crack とは異なり，圧子が接触していた材料表面上には複数の同心円状リングクラック(ring crack)が観(b)

測され，これらのリングクラックからは，図 12.8(b)に示すように，スカート状に材料内部に向かって延びる円錐き裂(cone crack)が発達成長している。このようなリングき裂・円錐き裂は球形圧子を圧入した際に多くのセラミック材料で観測されており Hertz リング(Hertz ring)，Hertz 円錐(Hertz cone)とも呼ばれている。ピラミッ(c)

ド圧子圧入にもかかわらず，GLC で観測されるこれらの特異なき
裂形状は上述した多孔質ナノ空孔に起因するものである。ピラミ
ッド圧子の圧入に対して，このように特異なリングき裂・円錐き裂の観察される脆性材料としては，GLC 以外には，唯一，溶融石
英(石英ガラス)が知られている。石英ガラスは Si-O 四面体骨格に100 μm起因する疎な分子空間構造(GLC のナノ空孔構造に対応)を有して

図 12.8 Vickers 圧子 ( 圧入荷重

おり，このことが，ピラミッド圧子圧入に対して GLC 類似のリン98.1N)により形成された残留圧痕

グき裂・円錐き裂形成へと導いている。

の走査電子顕微鏡(SEM)映像；(a)ガラス状炭素(GLC)，(b) GLC のリ(b) 多結晶黒鉛材料[12.4]

ング・スカート状き裂，(c)ソーダ

先に述べたようにガラス状炭素は難黒鉛化性炭素材料であるこ

石灰ガラス(SLG)とに起因し，極めて脆く機械加工に多くの困難を伴う。一方，原
子炉用炉材や半導体製造工程において各種ジグ類として多用されている多結晶黒鉛材料 (polycrystalline graphite) は易黒鉛化性炭素材料に分類され，塑性に富み高精度の機械加工が可能である。多結晶黒鉛材料の多くは平均粒径が数ミクロン以下の石炭系／石油
系ピッチ由来コークス粒を骨材とし，これをピッチバインダーと共に混練・成型したものを 1000℃前後の高温で焼成炭化した後，さらに 2000℃〜3000℃で黒鉛化することにより製造される。焼成
炭素材は黒鉛結晶の成長が見られないため，その力学性状は極めて硬く，かつ脆い。一方，黒鉛化した炭素材料は黒鉛結晶六角網面間の滑りに由来する塑性変形のため延性に富み，高精度の機械加工が容易となる。

[12.4] M. Sakai, Y. Nakano, S. Shimizu,

熱処理温度のみを異にする 3 種類の等方性炭素・黒鉛材料に
138

J. Am. Ceram. Soc., 86[6], 1522 (2002)

履 歴 曲 線 を 図 12.9 に 示 す 。 熱 処 理 温 度 (HTT: Heat-Treatment

Temperature)が 880℃の炭素材料には通常の脆性セラミックス類似の P - h負荷徐荷曲線が観測される。しかし熱処理温度の増大とともに，この履歴現象が顕著となり， P - h負荷徐荷線が囲む面積(塑

圧入荷重, P (N)Vickers 圧子を圧入した際に観測される，それぞれの P - h負荷徐荷性散逸エネルギー， U r )の増大が示すように著しい延性が発現す

HTT88020

過程で観測される弾性回復には他の工業材料には見られない極めHTT2600

10

0
0

20

40

60

80

圧入深さ, h (μm)

る。易黒鉛化性炭素材に 2000℃を越える熱処理を施すと著しい黒鉛構造の発達・成長が生じる。このため最大圧入荷重からの徐荷HTT1550

図 12.9 等方性炭素・黒鉛材のP - h負荷徐荷履歴曲線.
HTT880: 880℃熱処理て特異な特徴が観察され，図 12.9 および図 12.10 に示すように，

HTT1550: 1550℃熱処理

完全徐荷後の無次元圧痕深さ ξr ( = hr hmax ) は熱処理温度の上昇

HTT2600: 2600℃熱処理

と共にゼロに収束していく。換言すると，黒鉛構造の発達した炭残留圧痕を残さない。また，熱処理温度と共に成長・発達する黒鉛構造を反映し，図 12.10 に示したように Meyer 硬度 H M は熱処
理温度と共に大きく低下して行く。
通常の弾塑性体では常に圧痕が「残留」する事実は，塑性流動に伴う結晶面の滑り運動に「非可逆性」が存在することを意味し

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

1000

1500

2000

2500

Meyer硬度, HM (GPa)

象が観測されるにもかかわらず，ピラミッド圧子の完全徐荷後に無次元圧痕深さ, ξr(=hr/hmax)

素材料は，その P - h負荷徐荷曲線に塑性変形に伴う著しい履歴現0

熱処理温度, HTT(℃)ている。すなわち，圧子圧入時に生じた結晶面での滑り方向に対

図 12.10 多結晶炭素・黒鉛材料

し，徐荷時には可逆的な逆方向結晶面滑りが生じないことを意味の 無 次 元 圧 痕 深 さ ξr ( = hr hmax )している。一方，黒鉛構造の発達した炭素材料においては，上述
したように，著しい塑性散逸エネルギー(ループエネルギー， U r )が観測されているにもかかわらず徐荷時の弾性回復に伴い，図12.9，図 12.10 に示したように，圧痕の消滅( ξ r ↓ 0 )が見られる。
この事実は，黒鉛六角網面間で生じる結晶面滑りが外部応力場に対して「可逆的」であることを示唆している。黒鉛六角網面間の相互作用力が van der Waals 力に基づくものであることを考えると，
この「可逆的な結晶面滑り現象」を良く理解することができる。
圧子力学応答で見られる，この可逆的な結晶面滑りが黒鉛材料特有の現象であることをさらに可視化して理解するために，Vickers
圧子の「負荷→徐荷→再負荷(loading→unloading→reloading)」の過程で観測される P − h 2 曲線を窒化ケイ素の圧子力学挙動との対比
で図 12.11 に示す。窒化ケイ素セラミックの場合，徐荷線とこれに引き続く再負荷線は一致しているのに比べ，黒鉛材(HTT2300)

139

および Meyer 硬度 H M に見られる熱処理温度(HTT)依存性

の再負荷線(図中，破線で示す)は最初の負荷線に隣接した軌跡を20と同様に，直線で表されるが，図 12.11 に示すように黒鉛材の2

P − h 徐荷線には下に凸の著しい湾曲が観測される。これら極めて特異な圧子力学挙動は上述の塑性変形(黒鉛結晶六角網目面間

HTT2300

10

0

0

荷
負

荷
負
再

1000

2000

3000

2

圧入深さ, h (μm滑り)の可逆性を反映したものである。

る一般論および粘弾性圧子力学については既に第 6，7 章で論じた。本節ではシリカガラスに代表される無機ガラスのガラス転移

荷
負

10

徐
荷

非晶質材料(ガラス材料)のガラス転移挙動および粘弾性に関す

0

2)

Si 3N4セラミック

再負荷(3) 無機ガラスの高温粘弾性解析[7.4]

圧入荷重, P (N)

20

徐
荷

また，多くの金属材料やセラミック材料の P − h 2 徐荷線は負荷線

圧入荷重, P (N)辿り，再負荷線とこれに先立つ徐荷線との間にループを形成する。

0

20

2

40

圧入深さ, h (μm

挙動・粘弾性応答の圧子力学を論ずる。

2)

60

シリカガラスはケイ素原子を中心とした正四面体基本骨格が酸図 12.11 熱処理温度 2300℃の黒素原子を介し三次元網目状に広がる共有結合性非晶質体である。

鉛材料(HTT2300)および窒化ケイそのガラス転移温度( Tg )は 1050℃と極めて高い。また，ケイ素正素セラミックの Vickers 圧子圧入四面体に起因した極めて「疎」な空間構造をとるため，多くの無における負荷 → 徐荷 → 再負荷過3

機ガラスの中でも最も嵩密度が低い(d=2.200 g/cm )。シリカガラスに Na2O，CaO，B2O3 等のシリカ網目構造を修飾する低分子酸化物(網目修飾剤；network modifier)を添加することにより 3 次元網目
構造の細分化や空間構造の緻密化を制御することができる。その結果，製造工程上あるいは実用上優位な特徴を有する各種のガラ
ス材料を設計製作することができる。例えば，窓ガラスの材料として広く用いられているソーダ石灰ガラスはシリカガラスに所定量の Na2O， CaO および MgO を添加することにより製造され，そのガラス転移温度は Tg =540℃，嵩密度は d=2.500 g/cm3 である。
これらの網目修飾酸化物の添加により，ソーダ石灰ガラスの転移
温度はシリカガラスに比べ実に 500℃と著しく低下し，かつ緻密化(高密度化)が進む。網目修飾に伴い，以下に詳細を述べるが，その粘弾性挙動にも極めて著しい変化がもたらされる。
ソーダ石灰ガラスとシリカガラスを例に Berkovich 圧子(サファイア圧子；【注】大気等の酸化性雰囲気では 400℃を越える高温での圧子力学試験においてダイヤモンド圧子は酸化の影響を受けるため使用することができない)を用いて求めた軟化曲線(ガラス転移温度以下で一定荷重 P0 を圧子に付加した後，昇温速度 q で定速

140程における P − h 2 履歴曲線

度昇温 T = qt を行った際に生じる軟化挙動を圧子圧入量 hs (T ) と図 12.12 には P0 = 0.98 N， q = 5.0  C min での計測結果が示されている。時間依存性を有する粘弾性応答であるため軟化挙動は走査

圧入深さ, hs (μm)

走査温度 T の関係として示した曲線; 軟化曲線)を図 12.12 に示す。

60

昇温速度に依存し，q の増大と共に軟化開始温度(軟化温度，Ts )はソーダ石灰ガラスとシリカガラスとでは著しく異なる。例えば，

昇温速度: q=5.0 oC

40
30
20
10
520

540

560

580

600

シリカガラス

圧入深さ, hs (μm)

転移温度 Tg に，ほぼ一致している。軟化の進行速度に着目すると，ソーダ石灰ガラス

0500
60

高 温 側 に シ フ ト し て い く 。 図 12.12 に 例 示 し た 昇 温 速 度
q = 5.0  C min で求めた軟化温度 Ts は，それぞれのガラスのガラス

50

軟化開始時点での圧子圧入量をゼロに取り，軟化・流動により，

50o

昇温速度: q=5 C

40
30
20
10
0
1000

この圧入量が 60μm に増加するまでの走査温度差は前者の場合，

1100

1200

1300

走査温度, T (oC)

60℃(走査時間差に換算すると 12 分)であるのに比べ，後者では

図 12.12 サファイア Berkovich 圧

250℃(走査時間差に換算すると 50 分)と大きく，シリカガラスは子に一定荷重 P0 = 0.98 N を付加

極めて緩慢な軟化挙動を示す。両者の軟化挙動に見られる相違はし，走査速度 q = 5.0  C min で昇

シリカ網目構造の空間的な広がりに著しい相違が存在し，このことが両者の軟化挙動を始め各種の粘弾性挙動(緩和時間スペクト

温することにより求めたソーダ
石灰ガラスおよびシリカガラスの軟化曲線

ル・遅延時間スペクトル ( 粘弾性スペクトルの詳細については

APPENDIX D 参照))に影響を与えた結果として生じている。ソーダ石灰ガラスはシリカ網目修飾低分子酸化物の存在により，シリカ網目の空間的広がり(クラスター寸法)が局所領域に制限される(クラスターサイズが小さい)ため緩和時間・遅延時間スペクトルがシリカガラスに比して短時間側にシフトし，しかもスペクトル
強度も小さくなる。
定速圧入試験 ( h(t ) = k h ⋅ t ; kh = 0.045 μm/s) の結果を圧入荷重
P (t ) と圧入深さ h(t ) の関係として，ソーダ石灰ガラスを例に，図

o

500 C

た 570℃ におけるソーダ石灰ガラスの緩和弾性率 E 'relax (t ) を図

812.14 に，クリープコンプライアンス C 'creep ( t ) を図 12.15 に示す。
さらに，図 12.15 に示したクリープ曲線を基に算出したソーダ石
灰ガラスの遅延時間スペクトルをシリカガラスとの対比で図12.16 に示す。これらの計測データは全て圧子接触面積の計測が出来ない慣用計装化インデンターを用いて求めたものであるた
め，第 11.2 節で詳述したように，得られた粘弾性関数の精度は決して良くない。次項では圧子接触面積の定量が可能な顕微インデ141

圧入荷重, P(t) (N)12.13 に示す。また，これらの計測結果に(11.16)式を適用して求め

10

o

520 C

ソーダ石灰ガラス
Berkovich圧子

o

540 C

kh=0.045 μm/s

o

560 C
570oC

6
4

o

580 C

2

o

590 C
o

0

0

20

40

60

80

600 C
100

圧入深さ, h(t) (μm)

図 12.13 ソーダ石灰ガラスの定速圧入試験結果

ンターの計測事例を基に高精度粘弾性関数定量について述べる。
図 12.16 に示した緩和時間スペクトル(relaxation time spectrum)・
遅延時間スペクトル(retardation time spectrum)の概念，レオロジー，
および実測粘弾性関数からのこれらスペクトル導出については

緩和弾性率, log E'relax(t) (Pa)Appendix D に詳細が与えられている。

ソーダ石灰ガラス(T=570℃)-1

log C creep (t) (Pa )

-6

1

-8

-10

-12
-2

0

2

4

6

時間, log t (s)時間 , log t (s)図 12.14 ソーダ石灰ガラスの緩図 12.15 ソーダ石灰ガラスのクリ和弾性率( T = 570 ℃)

ープコンプライアンス(○印；T = 570 ℃)。 (6.18)式および(6.19)式

率の数値変換により求めたクリー

-1

Pa )

T=Tg
2

プコンプライアンスが図中の破線

シリカガラスで示されているL(τ) (10-11

遅延時間スペクトルを用いて図 12.14 に示した緩和弾性

10

ソーダ石灰ガラス
-2

0

2

4

遅延時間, log τ (s)図 12.16 それぞれのガラス転移温度で求めたシリカガラス( Tg = 1050 ℃)およびソーダ石灰ガラス( Tg = 540 ℃)の遅延時間スペクトル142

(4) 顕微インデンテーション計測装置を用いた
非晶質セレンの粘弾性解析[7.5]顕微インデンテーション計測装置の適用例として第 11 章で非晶質セレンのクリープコンプライアンスについて簡潔に記述した(図 11.14 参照)。本節では応力緩和関数に焦点を当て，その粘弾性挙動を詳述する。セレン(Se)は元素周期律表で第 16 族に分類される非金属元素(酸素族元素，カルコゲン)であり，六方晶系や単斜晶系の結晶体として存在する一方，同族の硫黄と類似した性質を有し非晶質体としても存在する。鎖状分子構造を有する非晶質セレ

ンは常温近辺(25℃~40℃；ガラス転移温度 Tg = 30.0 C)で粘弾性体として振る舞う。

力学的刺激として圧入深さ，圧入荷重のみならず接触面積を時間の関数としてプログラミングすることができる。例えば，ステッ
プ状接触面積， A(t ) = A0 ⋅ u (t ) ，を試験体に付加し，結果として生じる圧子荷重緩和 P (t ) を定量計測することができる。このように10

緩和弾性率, log E'(t) (Pa)

計装化顕微インデンテーション計測装置では試験体に付加するして求めた荷重緩和試験結果に(11.23)式を適用することにより実8o

測定温度 ( C)1525
28
30(=T0)
4
32
35
38
2
0
1
6

2

3

時間, log t (s)測の荷重緩和 P (t ) から緩和弾性率 E 'relax (t ) を容易に定量すること

図 12.17 各種測定温度におけるができる。ガラス転移温度を含む各種温度における Berkovich 圧

非晶質セレンの緩和弾性率す。図 12.17 に示した，それぞれの温度での緩和曲線が「時間-温度換算則(time-temperature superposition principle)」を満たすことを次に示す。図 12.17 において，先ず，いずれかの温度での緩和曲線を選定し，その温度を基準温度 T0 と定義する。この基準温度での緩和曲線をグラフ上に固定し，これよりも高温側の緩和曲線を
横対数軸(時間軸)に沿って長時間側(グラフの右方向)に平行移動

緩和弾性率, log E'(t) (Pa)

子荷重緩和試験で求めた非晶質セレンの E 'relax (t ) を図 12.17 に示
10
8
6
4

T0=30 oCo
測定温度( C)
15
25
28
30
32
35
38
一軸圧縮試験から求めたE'(t)

2

-2

0

2

4

時間, log (t/aT) (s)図 12.18 図 12.17 に時間-温度換

して基準温度での緩和曲線に重ね合わせを行う。一方，低温側緩算則を適用し移動因子 aT を用い

和曲線については，これらの曲線を横対数軸に沿って短時間側(グ合成した非晶質セレン緩和弾性

ラフの左方向)に平行移動し基準温度での緩和曲線に重ね合わせ率のマスターカーブ。比較のためを行う。上述した一連の平行移動操作により，それぞれの温度での緩和曲線を基準温度での緩和曲線上に重ね合わせることにより143に通常の巨視的試験 ( 一軸圧縮試験)の結果を実線で示す

作成された合成曲線(マスターカーブ; master curve)を図 12.18 に示()

す(基準温度を T0 = Tg = 30.0 ℃に設定している)。また，図 12.18には圧子力学試験結果と従来の巨視的試験結果との相違・整合性を確認する目的で，短冊状試験片(1 x 1 x 3 mm3) を用いた通常の汎用一軸圧縮試験(巨視的試験)から求めた緩和弾性率の合成曲線が実線で示されている。両者の比較より圧子力学試験(微視的試験)で求めた緩和弾性率は巨視的試験の緩和弾性率に比べ短時間側での緩和現象がより顕著であることが分かる。この現象は三次元的拘束を受ける巨視的応答に比べ圧子力学的な粘弾性応答が自由表面近傍における，より拘束の少ない二次元平面上の分子運動を反映した結果として生じている。
図 12.18 に示すように各温度での緩和曲線が｢時間-温度換算則｣を満たしている場合，上述の移動操作によりマスターカーブの合成が可能となる。図 12.18 の横軸(時間軸)に示した aT は上述した
aT 」と呼ばれる。移動因子は計測温度 T での粘度 η (T ) と基準温度T0 での粘度 η (T0 ) の相対比，aT = η (T ) η (T0 ) ，としての物理的意味を有している。図 12.17 に時間-温度換算則を適用し図 12.18 のマ
スターカーブを作成する際に用いた移動因子 aT の温度依存性を
図 12.19 に示す。非晶質セレンの移動因子 aT が Arrhenius プロット，aT = A ⋅ exp ( ΔH T ) ，を用いることにより記述できることが分かる。ここで注目すべき点はガラス転移温度を境に低温側(粘弾性移 動因子, aT [ = η(T ) η(T0 )]時間対数軸上の平行移動量を表しており，「移動因子(shift factor)，

(

○

) ○

Tg = 30.0o C
●
○
○

(

−3 −1
温 度, 1 T 10 K)

図 12.19 図 12.18 に示したマス個体)と高温側(粘弾性液体)とでは活性化エンタルピー ΔH に相違

ターカーブ作成に用いた移動因の存在する事実である。この事実は，それぞれの温度領域での変子 aT の Arrhenius プロット

形・流動機構に相違が存在することを意味している。
(5) 顕微インデンテーション計測装置を用いたポリカーボネート樹脂のガラス域における
粘弾塑性圧子力学計測と解析[12.5]
ポリカーボネート樹脂のガラス転移温度 Tg は 145℃前後である。
したがって常温ではガラス固体として振る舞うため通常の巨視的試験では時間依存性や刺激速度依存性は観測されない。しかし，

144[12.5] C.G.N. Pelletier, J.M.J. Den Toonder,
L.E. Govaert, N. Hakiri, M., Sakai,Phil. Mag. 88[9], 1291 (2008)

微視的力学応答を計測する圧子力学試験においては，上述の非晶

Hertz弾性接触
1

質セレンの例に示したように，自由表面特有の分子運動を反映す
Tg 以下の温度でガラス固体として振る舞うにもかかわらず，圧子

力学的応答(微視的応答)には時間依存性・刺激速度依存性が観測

圧入荷重, P (N)るため，ポリカーボネートを含む多くの高分子材料は巨視的には

圧入速度: 1 μm/s

最大荷重における
0.8 保持時間: 100s
0.6
0.4
0.2

される。

0

常温において，半径 100μm の球形ダイヤモンド圧子を圧入速度

510

圧入深さ, h (μm)

1μm/s で圧入深さ 13μm(圧子荷重で 1.0N)までポリカーボネート樹

図 12.20 ポリカーボネート樹脂

脂に圧入した後，その圧入量を 100 秒間保持した後，負荷時と同表面に球形圧子を定速で圧入後，じ速度で徐荷した際に観測された負荷徐荷履歴曲線を図 12.20 に最大荷重で圧入深さを 100 秒間保示す。最大圧入荷重に到達した時点で圧入深さを一定に保持して持した後に徐荷した際に観測さいる間に有意の荷重緩和が生じている。これはポリカーボネート

れた負荷徐荷履歴曲線。破線は樹脂が巨視的にはガラス固体であるにもかかわらず，微視的にはHertz 弾性接触の解析解を示す

粘弾性応答を示すことを示唆している。図中に示した破線は Hertz

形圧子の圧入直後には，図 12.20 に示すように，Hertz 理論に則った弾性応答を示すが，圧入量の増大と共に粘弾塑性変形に伴う非弾性応答が顕著になり始める。

1

圧子荷重緩和, P (N)3/2
弾性接触の解析解， P = ( 4 3) E ' Rh ((3.18)式参照)，を示す。球

0.95

0.85

随して生じる圧子接触面 Ac の時間変化挙動を図 12.21 に示す。圧2子の圧入深さ h を一定値 h0 に保持しているにもかかわらず，圧子-3

圧子接触面積, Acx10 (μm )上述した最大荷重点での圧入量保持で観測される荷重緩和に付接触面 Ac は単調増大を示す。この事実は荷重緩和過程に並行してポリカーボネート自由表面が球形圧子の側面に沿って時間と共に｢せり上がる(creeping-up)｣現象の生じていることを意味している。
この｢せり上がり｣現象はポアソン比に時間依存性の存在する粘弾

0.9

6.6
6.4
6.2
6
5.8

0

20

40

60

80

100

最大圧入深さでの保持時間, t (s)性体特有の現象であり，第 10.4 節で示したように有限要素数値解

図 12.21 図 12.20 に示した最大析結果でも確認されている(図 10.14 参照)。ポリカーボネートのガ

圧入荷重 P = 1.0 N で圧子圧入量

ラス転移温度（ Tg ≈ 145℃）よりはるかに低い常温での圧子力学的を一定値に保持した際に観測さ応答(微視的応答)に見られるこのように著しい時間依存粘弾性挙れる荷重緩和と，これに付随して動は「巨視的試験片」での計測では決して観察されないことに留生じる圧子接触面積 Ac の増大(圧意しておく必要がある。

子側面に沿ったポリカーボネー
ト自由表面のせり上がり（creeping-up）が観測される

145

(6) 顕微インデンテーション計測装置を用いた積層複合材の弾塑性圧子力学[12.6]
ゾルーゲル法を用い有機シリケートの一種であるメチルシルセ
スキオキサン(MeSiO3/2)を各種工業材料基板上に被覆した積層複合材に顕微インデンテーション計測装置を適用することにより得られる計測データに焦点を当てた弾塑性圧子力学解析の結果について論じる。積層複合材料の弾塑性圧子力学挙動は圧子の圧入に伴い連続的に基板効果が増大していくため，汎用の計装化インデンテーション計測装置では得られた計測データの定量解析に多くの困難と限界が存在することを第 9 および第 11 章で詳述した。
さらに，結果として得られた圧子力学物性値の精度・信頼性も低い。一方，圧子荷重 P ，圧入深さ h に加え接触面積 A の計測が可能な顕微インデンターを用いることにより基板効果の著しい力学
環境下においても，被膜および基板それぞれについて，各種物性る(第 9 章〜第 11 章参照)。
弾性率を異にする 5 種類の基板に種々の膜厚( tf = 3  15 μm)でMeSiO3/2( 弾性率 E 'f = 3.9 GPa) を被覆した積層複合材の圧子力学

圧入荷重, P (N)

値(弾性，塑性，粘弾性関数，等々)を分離定量評価することができ

0.4性率比( E 's E 'f )で 0.96~22 の領域をカバーしているため比較的広い範囲で弾性率を異にする皮膜と基板とを組み合わせた積層複合

圧入荷重, P (N)び基板/被膜弾性率比 E 's E 'f を示す)。このように基板と被膜の弾

0.2
0.1
0

=3.5GPa； E 's E 'f = 0.95 )，アクリル樹脂(4.5GPa；1.2)，フェノー
石灰ガラス(80.5GPa；22)である(()内はそれぞれの弾性率 E 's およ

0.3 膜厚, tf=10.0 μm

MeSiO3/2

挙動を以下に示す。用いた基板は，ポリカーボネート樹脂 ( E 's
ル樹脂(7.1GPa；1.9)，ガラス状炭素(28.7GPa；7.7)，およびソーダ

MeSiO 3/2 /ポリカーボネート樹脂積層複合体

0.4

1000

2000

MeSiO 3/2 /ソーダ石灰ガラス積層複合体

膜厚, tf=9.5 μm

0.2
MeSiO3/20体についての圧子力学挙動を俯瞰することができる。図 12.22 に

500
1000
2
圧子接触面積, A (μm )MeSiO3/2/ ポリカーボ

代表的な 2 種類の積層複合材(MeSiO3/2/ポリカーボネート樹脂，お図 12.22

よび MeSiO3/2/ソーダ石灰ガラス)について，Berkovich 圧子の負荷

ネート樹脂，および MeSiO3/2/ソー

徐荷過程に伴う，それぞれの，圧子荷重 P と圧子接触面積 A とのダ石灰ガラスに対する多段階負関係を例示する。図 11.13 に例示したように，均質等方半無限個

荷徐荷試験で計測された体の場合，負荷過程および徐荷過程における P - A 関係は共に直Berkovich 圧子荷重 P と圧子接触線となり，それぞれの直線の勾配から Meyer 硬度 H M および弾性面積 A の履歴曲線。破線は被膜に

率 E ' を厳密に定量できる。一方，積層複合体では圧子圧入に伴い用いている MeSiO3/2 単体の漸増して行く基板効果のため，負荷過程のみならず徐荷過程におP - A 負荷直線

いてもこれらの P - A 関係は直線とはならない。MeSiO3/2/ポリカ
ーボネート樹脂積層材の場合(図 12.22 上図)，基板/被膜弾性率比

146[12.6] H. Hakiri, A. Matsuda, M. Sakai,
J. Mater. Res.,24[6], 1950 (2009)

が E 's E 'f = 0.95 と極めて 1.0 に近い。一方，MeSiO3/2/ソーダ石灰
ガラス積層材の基板/被膜弾性率比は E 's E 'f = 22 と極めて大きい。
この弾性率比の相違を反映し，前者での P - A 負荷関係は比較的直線に近いが，後者では，その非直線性は極めて著しい。MeSiO3/2/
ポリカーボネート樹脂積層材の場合，基板の弾性率が被膜の値より若干小さいため( E 's E 'f = 0.95 )，接触面積が増大するに従って，
すなわち，圧子圧入が進むに従って P - A 負荷曲線の勾配は漸減して行く。一方， MeSiO3/2/ ソーダ石灰ガラス積層材の場合，
E 's E 'f  1 となるため， P - A 負荷曲線の勾配は圧入直後に見ら圧子圧入が進行するにつれて，れる MeSiO3/2 単体が示す勾配から，著しい単調増大を示し最終的には基板を形成しているソーダ石灰
ガラスの値へと漸近していく。
計装化顕微インデンテーション計測装置の実験操作とデータの解析について詳述した第 11.3 節を基に，本節で述べる積層複合体についても，これらの弾塑性物性値を定量することができる。先に述べたように基板効果により積層複合体の負荷過程での P - A
関係は直線とはならない。しかし，任意の A 値における P - A 負荷曲線の接線勾配から次式により Meyer 硬度 H M ( A) を決定することができる：
H M ( A) = dP dA(12.1)

基板効果を受けるため Meyer 硬度は圧子接触面積の関数で与えられ，皮膜固有の Meyer 硬度は A ↓ 0 への外挿により，基板固有のMeyer 硬度は A ↑ ∞ への外挿により与えられる。一方，図 12.22 に示したように，多段階負荷徐荷操作において，各段階での最大負荷荷重からの徐荷線初期勾配 M ( A) ( ≡ ( dP dA ) ) ( 徐荷モジュラス(unloading modulus))を次式に代入することにより接触面積 A における弾性率 E '( A) を定量することができる((11.17)式参照)；
E '( A) = 2cot β ⋅ M ( A)
(12.2)
基板効果により弾性率も Meyer 硬度と同様に圧子圧入量，すなわ
ち，圧子接触面積の関数として与えられ，皮膜固有の弾性率 E 'f
は A ↓ 0 への E '( A) の外挿値により，基板固有の弾性率 E 's はA ↑ ∞ への外挿値により与えられる。また，上述の操作により求めた H M ( A) および M ( A) を (11.18) 式に代入することにより積層複合体の降伏応力 Y ( A) を定量することも可能となる。
膜厚 tf で規格化した無次元圧子接触半径 a tf の関数として表し

147

た MeSiO3/2 被覆積層複合材料の Meyer 硬度を図 12.23，有効弾性率 E 'eff ( a tf ) を図 12.24 に示す。(12.2)式に示した弾性率 E '( A) と有効弾性率 E 'eff ( A) との相関については第 9.3 節および(9.19)式にそ無次元有効弾性率, E'eff (a/tf)/E'f

Meyer硬度, HM(a/tf) (GPa)の詳細が示されている。

E's/E'f=22

0.5

7.7

0.4
1.9

0.3
1.2

0.2
0.1

0.95
film only

0

1

2

3

4

E's/E'f=22

10

7.7

5
1.9
1.2

1

0.95

0.5
0

5

0.5

1

1.5

無次元圧子接触半径, 1/(a/tf)

無次元圧子接触半径, a/tf

図 12.23 MeSiO3/2 被覆積層複合材料の図 12.24 MeSiO3/2 被覆積層複合材料の有Meyer 硬度と膜厚 tf で規格化した無次元圧

効 弾 性 率 E 'eff ( tf a ) と 無 次 元 接 触 半 径

子接触半径 a tf の関係。各種の記号で表し

1 ( a tf ) との関係。プロットに示す各種のたプロットは基板材質の相違を示してお

記号は基板の材質を表す(図 12.23 参照)。

り，上から下に：実線は個々の E 's E 'f に対応する Fredholm

ソーダ石灰ガラス(●)，ガラス状炭素(△)，

積分方程式の数値解((9.11)式，第 9.1，第フェノール樹脂(■)，アクリル樹脂(▽)，お9.3 節参照)

よびポリカーボネート樹脂(◆)

148

(7) 顕微インデンテーション計測装置を用いたソフトマターの圧子力学(i) アロエゲルの弾塑性解析

アロエ（Berkovich圧子）

ゲル培養地の硬度・弾性率・表面付着力等の力学物性制御は iPS細胞に代表される幹細胞増殖研究において極めて重要な課題となっている。これらゲル培養地類似物質としてアロエゲルを試料と圧入荷重, P (mN)

0

-0.1

-0.2

して採用し，その表面付着力および弾塑性物性値の定量における0

顕微インデンターの有用性を論じる。

12

圧子接触面積, A (μm)[×105]

顕微インデンターにより実測されたアロエの P - A 負荷除荷履

図 12.25 アロエの負荷-除荷歴曲線（Berkovich 圧子）の一例を図 12.25 に示す。付着力の存在過程における履歴曲線（顕微しない試験材料の P - A 負荷除荷履歴直線（図 11.13 参照）とは全インデンター； Berkovich 圧

く異なり，表面付着力によりアロエの P - A 負荷除荷履歴曲線に子）。表面付着力の影響によりは著しい非線形性が観察される。しかも，表面付着力により圧子

圧子圧入荷重が常に負の値をが試験体表面に引き寄せられるため観測された圧子荷重は常にとることに留意

負の値を呈する。
図 12.25 に示した負荷曲線に(8.29)式を適用し，その結果得られる P - A 負荷線がグラフの原点を通る直線となるように付着靭性値 λEP を決定する。この一連の操作により得られたた解析結果をれる直線プロットの勾配として与えられる。
一方，表面付着力の存在しない試験体の場合には P - A 除荷直線の勾配(除荷モジュラス M )を用いて容易に弾性率
E '  = ( tan β 2 ) M  を求めることができる（第 11.3 節，図 11.13 参圧入荷重, P (mN)

図 12.26 に示す。Meyer 硬度 H M は付着靭性値 λEP の補正後に得ら

アロエ（Berkovich圧子）
HM=2.4kPa
λ=60.0 N/m3/2

0.4: JKR補正直線: 実測負荷曲線: P+λEPA3/4=HMA

HM

0.2: P=HMA-λEPA3/4

0

-0.2

0

1

圧子接触面積 A(μm2)

25[×10 ]照参照）。しかし，アロエの場合，その表面付着力・付着靭性が負

図 12.26 Berkovich 圧子圧入荷過程のみならず除荷過程に著しい影響を与えるため，除荷直線過程におけるアロエの実測 Pの勾配を用いると弾性率 E ' の著しい過大評価をもたらす。この過- A 負荷曲線（●印，破線）。

大評価は接触表面が圧子に完全付着した状態で圧子除荷過程に入◯印及び実線は付着靭性値

る，すなわち除荷初期過程での接触面積が圧子最大圧入時点でのλ EP の 影 響 を 除 去 し た

接触面積( A ≡ Amax )を保持した状態で除荷が進行することに起因している。このような圧子接触面積一定での除荷力学過程においては計測される荷重 P -圧入深さ h プロット（除荷 P - h プロット）の勾配 S （除荷スティフネス; 図 12.27 参照）および接触面積 Amaxを用い次式により試験体の弾性率 E ' を定量することができる（第11.2 節参照）；

149

P = H M A 直線プロット

E'=

π
2 Amax(12.3)

S

したがって顕微インデンターにより定量計測した接触面積 Amax お
率 E ' を容易にかつ高精度で定量することができる。図 12.26 および図 12.27 のプロットを用いて定量された Meyer 硬度 H M および
弾性率 E ' に排除体積加成則理論を適用することにより最終的に圧入荷重, P (mN)

よび図 12.27 に示した除荷スティフネス S を(12.3)式に代入し弾性

0

アロエ（Berkovich圧子）

-0.1

S

-0.2
0

降伏応力 cY が定量される（(5.14)式参照）。

10

20

30

40

50

圧入深さ, h (μm)

上述のデータ解析操作により定量されたアロエの弾塑性物性値；

図 12.27 Berkovich 圧子圧入過程におけるアロエの実測 P

弾性率

E ' =25.5kPa- h 負荷除荷履歴曲線。除荷プ

Meyer 硬度

H M =2.40kPa

ロットの初期勾配（除荷ステ

降伏応力

Y =1.25kPaィフネス）S を(12.35)式に代付着エネルギー

γ =15.6mJ/m2

入することにより弾性率 E 'を定量できる(ii) ポリウレタンゲルの粘弾性解析
ポリウレタン系ゲルマット（表面付着力を有する超軟質ゴムを用いた防振・耐震・転倒防止用粘着マットとして市販されている）の表面付着力・粘弾性関数の定量を目的として行った球面圧子を用いた顕微インデンターによるクリープ試験結果を以下に詳述する。
第 8 章で詳述したように顕微インデンターで計測された圧子接3

触半径 a ( t )を(8.45)式に適用してクリープ関数 C ' ( t ) および表面

付着力 Γ （あるいは付着エネルギー γ ）を同時定量するためには異なるステップ圧入荷重 P0 および P1 におけるクリープ実験で実3測されるそれぞれの圧子接触半径 a0 ( t ) および a1 ( t )

3

に関する
3

情報が必要となる。このようにして得られた実験データ a0 ( t ) お3

よび a1 ( t ) を(8.45a)式および(8.45b)式からなる連立方程式に適用
し最終的に C ' ( t ) および Γ ( = 3π R ⋅ γ ) を定量することが可能となる。
曲率半径 R = 3 mm の球面圧子を上述のポリウレタンゲルに適用したクリープ試験（ステップ圧入荷重；P0 = 0.11 mN（試験温度：

26.5℃）の結果を図 12.28 に示す。図 12.29 には異なるステップ荷3

重 P0 = 0.11 mN および P1 =0.050mN における a ( t ) クリープ曲線
150

の比較を示す。図 12.29 が示すように圧子圧入荷重が倍増しているにもかかわらず，それぞれの圧入荷重で誘起された接触半径に見られる差異は僅かな増大に留まっている。この事実は第 8 章で考察したよう表面付着力 Γ がクリープ挙動に著しい影響を与えていることを意味している。さらに，球圧子が試料表面に接触した
直後（荷重が付加される直前； P ≈ 0 ）に接触半径 a ( t ) の急激な増大が観測される。これは表面付着力により圧子が試験体表面に引き寄せられる特記すべき現象である。
図 12.29 に示したステップ荷重 P0 =0.11mN および P1 =0.050mN
3での各 a ( t ) クリープ曲線を (8.45) 〜 (8.47) 式に適用し算出したポリウレタンゲル膜のクリープ関数 C ' ( t ) を図 12.30 に，このクリープ関数に Laplace 変換/逆変換を適用して求めた緩和弾性率 E '(t ) を
図 12.31 に示す。一方，試料に用いたポリウレタンゲル膜の表面
付着張力（付着エネルギー）は(8.46)式の数値解から γ =6.61mN/m

a(t)
P0

0.3

0.1

0.2
0.1
0
0

200

400

0
600

Contact radius, a(t) 3 x10-7 (μm3)

0.2
0.4

Indentation load, P 0 (mN)

-3

Contact radius, a(t)x10 (μm)(=6.61mJ/m2)と見積もられた。

6

P0=0.11mN

4

P1=0.05mN

2

0
0

200

400

600

Time, t (s)Time, t (s)図 12.28

球面圧子( R = 3 mm)のステッ

図 12.29

異なるステップ荷重

プ圧入試験（ P0 = 0.11 mN）で観測された

P0 =0.11mN および P1 =0.050mN における接触半径 a ( t )a ( t ) クリープ曲線

3のクリープ曲線。圧子接触半径定量に用いた接触面画像の代表例（ t = 0, 200, 400, および 600s）をグラフの
上部に示す

151

-1

クリープ関数 C'(t)x10 (mPa )3緩和弾性率, E'(t) (kPa)

ポリウレタンゲル
測定温度(26.5℃)

30

20

10

0

0

200

400

600

ポリウレタンゲル
測定温度(26.5℃)

150

100

50

0
0

100

時間, t (s)図 12.30

ポリウレタンゲルのクリープ関数 C ' ( t ) （室温：26.5℃）

200

300

400

500

600

時間, t (s)図 12.31 図 12.30 のクリープ曲線に
Laplace 変換/逆変換を適用して求めたポ
リウレタンゲルの緩和弾性率 E '(t) （室温：26.5℃）

152

APPENDIX A
円柱座標系における力学変数の記述(1) 変形と歪

y

A'

v

●

連続体の変形に伴い A 点が A’点に変位した様子を図 A1 に示す。この変位をデカルト座標系では (u, v) により，円柱座標系ではuruθ(ur , uθ ) で記述する；
u = ur cos θ − uθ sin θ(A1)

v = ur sin θ + uθ cos θ

r

●

θ

A

θ

r

u

x

一方，デカルト座標系と円柱座標系との間には次式の関係が存在

図 A1 デカルト座標系の ( x, y) 平

する；

面と円柱座標系の (r ,θ ) 平面の相対関係。連続体の A 点が変形に伴

r 2 = x2 + y 2
x = r cos θtan θ = y xy = r sin θ(A2)(A1)式の関係を(1.2)式〜(1.5)式に代入することによりデカルト座標系における歪の表現 ε x ， ε y ， ε z ， γ xy ， γ yz ，および γ zx を ur ，uθ および θ を用いて表現することが出来る。例えば，(1.2)式より

εx =∂u ∂u ∂θ ∂u ∂r=+∂x ∂θ ∂x ∂r ∂x(A3)

一方，(A1)式と(A2)式より∂u∂u ∂ur=cos θ − ur sin θ − θ sin θ − uθ cos θ
∂θ ∂θ
∂θ
∂u
∂u ∂ur=cos θ − θ sin θ
∂r
∂r
∂r
∂θ
sin θ
=−
∂x
r
∂r
= cos θ∂x

(A4)

したがって(A4)式を(A3)式に代入することにより次式を得る；

∂u
 ∂ur
 sin θcos θ − ur sin θ − θ sin θ − uθ cos θ 
∂θ
 ∂θ
 r

εx = −∂u ∂u+  r cos θ − θ sin θ  cos θ
∂r
 ∂r

(A5)
図 A1 において θ → 0 とすることにより ε x → ε r へと変換されるので，(A5)式で θ → 0 とおくことにより
153

い A’点に変位した様子を示す

ε r ( = ε x θ →0 ) =

∂ur
∂r

(A6)

また，θ → π 2 とすることにより ε x → εθ へと変換さされるので，(A5)式で θ → π 2 とおくことにより() 1r ∂∂uθ + urθεθ = ε x θ →π 2 =

r

(A7)

を得る。本文第 1 章では上述の詳細な式誘導をすることなく円柱座標系における，これらの法線歪を(1.9)式に記している。
(1.3)式で与えた xy 平面内のずり歪 γ xy ( = ∂u ∂y + ∂v ∂x ) に上述と同様な演算を適用することにより次式を得る；

∂u
 ∂ur
 cos θcos θ − ur sin θ − θ sin θ − uθ cos θ 
∂θ
 ∂θ
 r

γ xy = ∂u ∂u+  r cos θ − θ sin θ  sin θ
∂r
 ∂r

∂u
 ∂u
 sin θ +  r sin θ + ur cos θ + θ cos θ − uθ cos θ   −

∂θ
r 
 ∂θ

∂u
 ∂u

+  r sin θ + θ cos θ  cos θ
∂r
 ∂r

(A8)
さらに，（A8）式において θ → 0 とすることにより γ xy → γ rθ となることに留意すると，最終的に，既に第１章（1.9）式に与えた(

γ rθ ≡ γ xy

) = ∂∂ur + 1r ∂∂uθ − ur
θ

θ →0

r

θ

(A9)

の表現が得られる。
(A6)式，(A7)式および(A9)式で示した (r ,θ ) 平面における歪の表現式は ( x, y) 平面から (r ,θ ) 平面への(A1)式および(A2)式を利用
した座標変換として数学的に誘導されたものであり，連続体の変位・変形に基づいて誘導されたものではない。このため， ε r ，

εθ ，および γ rθ ，それぞれの歪が有する「変形の物理」をより明確に理解するため，図 A2〜A5 を用いて， (r ,θ ) 平面における変位と変形の関係から，改めて ε r ， εθ ，および γ rθ の誘導を行って
おく。

154

図 A2 に示すように四辺形 abcd の「辺 bc（長さ dr ）」は動径
方向法線変位 ur に伴い「辺 b’c’（長さ δ r ）」へと変形する。一方，この法線変位 ur により「辺 ab（長さ rdθ ）」は「辺 a’b’（長さ ( r + ur ) dθ ）」へと方位角方向にも変形する。したがって法線
変位 ur に伴う動径方向法線歪 ε r は

εr =

δr
dr

=

( ∂ur ∂r ) dr
dr

=

∂ur
∂r

(A6)

ur
r

(A10)

方位角方向法線歪 εθ 1 はεθ 1 =( r + ur ) dθ − rdθrdθ=

図 A2 連 続 体 中 に あ る 四 辺 形

により与えられる。方位角方向の法線歪 εθ は（A7）式で示した(abcd)が動径方向（ r 方向）の変位

動径方向法線変位 ur に伴い生じる εθ 1 に加え，図 A3 に示すよう

ur に伴い四辺形(a’b’c’d’)に法線に方位角方向法線変位 uθ に伴い生じる法線歪変形した様子を示す

εθ 2 =( ∂uθ ∂θ ) dθ
rdθ

=

1 ∂uθ
r ∂θ

(A11)

も存在する。従って方位角方向法線歪 εθ は εθ 1 と εθ 2 との和として最終的に次式により表現出来る；

εθ ( = εθ 1 + εθ 2 ) =1 ∂uθ ur
+
r ∂θ
r

(A7)

(r ,θ ) 平面における，ずり変形の様子を図 A4 および図 A5 に示す。図 A4 には四辺形 abcd が動径方向のずり変位 dur を受けて四辺形 a’bcd’へと変形する様子を，図 A5 には，同じ四辺形 abcdが方位角方向の変位 uθ を受けて四辺形 a’b’c’d’へとずり変形する
様子を示す。動径方向の変位に伴い生じるずり歪 γ r は図 A4 に示すように

1  ∂u 

γr =  r 
r  ∂θ (A12)

図 A3 連 続 体 中 に あ る 四 辺 形(abcd)が方位角方向（ θ 方向）の変により与えられる。一方，方位角方向変位 uθ に伴って生じるずり

位 uθ に伴い四辺形(a’b’c’d’)に法

歪 γ θ は図 A5 に示すように，

線変形した様子を示す

γθ = β − α =∂uθ uθ
−
∂r
r

(A13)

により表現出来る。ここに角度 β は方位角方向変位 uθ により四辺形 abcd の辺 cd と辺 ab との間に生じる相対的ずれ角度を表している。一方，角度 α は方位角変位 uθ に伴う「四辺形 abcd の剛体としての回転」角度を表している。したがって，ずり変形に寄与する正味のずり角度は(A13)式に示したように β − α により与155

えられる。以上の考察より， r 方向および θ 方向への変位に伴い生じる (r ,θ ) 平面におけるずり歪 γ rθ として，最終的に次式を得る；

γ rθ = γ r + γ θ =1 ∂ur ∂uθ uθ
+
−
∂r
r ∂θ
r

(A9)

図 A4 連 続 体 中 に あ る 四 辺 形

図 A5 連 続 体 中 に あ る 四 辺 形(abcd)が動径方向（ r 方向）の変形(abcd)が方位角方向（ θ 方向）の変

dur に伴い四辺形(a’bcd’) にずり

位 uθ に伴い四辺形(a’b’c’d’) にず

変形した様子を示すり変形した様子を示す(2) 力学的平衡方程式
図 A6 に示した動径方向の力学平衡から次式を得る；

∂σ r 
 σ r + ∂r dr  ( r + dr ) dθ − σ r rdθ 




∂σ
dθ 
 dθ
dr + σ θ sin
dr −  σ θ + θ dθ  sin
2
2
∂θ




∂τ
dθ
dθ 

dr − τ θ r cos
dr + τ θ r + θ r dθ  cos
2
2
∂θ



+ Rrdθ dr = 0(A14)
上式で dθ  1 ， sin dθ 2 ≈ dθ 2 ， cos dθ 2 ≈ 1 ，および高次の微図 A6 紙面の垂直方向（z 軸）に小量をゼロとおくことにより動径方向力学平衡式として，第 1 章

単位厚さを有する微小四辺形要(1.11)式に示した次式を得る；

素 abcd に作用する応力（ σ r ，σθ ，

σ r − σθr+

∂σ r 1 ∂τ θ r ∂τ zr
+
+
+R=0
∂r
∂z
r ∂θ

(A15)

156

τ θ r ， τ rθ ）および外力（ R ， Θ ）記述を簡潔にするため，図 A6 には示されていない z 面（面の法線が z 軸方向を向いた面）に作用している動径方向ずり応力 τ zrの寄与が(A14)式では省略されているが，(A15)式には，この寄与が追加されている。
上述した動径方向力学平衡に関する考察と同様にして方位角方向（ θ 方向）の力学平衡は次式で与えられる。


∂σ θ

θ

 σ θ + ∂θ dθ  dr − σ θ dr  cos 2




∂τ


+ τ rθ + rθ dθ  ( r + dr ) dθ − τ rθ rdθ 
∂r




(A16)


∂τ

dθ

+ τθ r + θ r dθ  dr + τ θ r dr  sin
2
∂θ



+Θrdθ dr = 0
したがって(A15)式の導出と同様に，(A16)式で dθ  1 ，
sin dθ 2 ≈ dθ 2 ， cos dθ 2 ≈ 1 と近似し，さらに τ rθ = τ θ r および，z 面に作用している方位角方向（ θ 方向）ずり応力 τ zθ による寄与を考慮することにより，最終的に第 1 章(1.11)式で示した次式を得る。
2τ θ r ∂τ θ r 1 ∂σ θ ∂τ zθ
+
+
+
+Θ=0
∂r
∂z
r
r ∂θ

(A17)

157

APPENDIX B
Bessel 関数
Friedrich W. Bessel (1784-1846) の名を冠する Bessel 関数ではあるが，歴史的には，1732 年，懸垂鎖の振動問題の解析においてDaniel Bernoulli によりその概念が導入された。一方，1824 年，
Bessel は太陽引力に起因する摂動を取り入れた惑星の周遊問題を扱うに当たって Bessel 関数を適用している。本文第 2 章で論じた
Laplace 方程式への Bessel 関数の適用は，1878 年，Lord Rayleigh(John W. Strutt) が行った円筒内部に張られた膜の振動問題解析に端を発している。
(2.22)式で与えたように，Bessel 方程式は次式により変数 x に関する二階微分方程式として定義される；
d 2 y 1 y  n2 ++ 1 − 2  y = 0
dx 2 x dx 
x 

(B1)

(B1)式は，二階微分方程式であるがゆえに，その解は二個の積分
定数 A および B ，次式で示す第一種 n 次 Bessel 関数 J n ( x) および第二種 n 次 Bessel 関数 Yn ( x) を用いて記述することが出来る；

y = AJ n ( x) + BYn ( x)

(B2)

第二種 Bessel 関数 Yn ( x) は Weber 関数あるいは Neuman 関数とも呼ばれ次式により第一種 Bessel 関数に関係付けられる；

Yn ( x) =J n ( x) cos(nx) − J − n ( x)sin(nx)(B3)

n が正あるいは負の整数の場合，J n ( x) は変数 x の全ての領域において有限の値を有する一方， Yn ( x) は(B3)式に示すように x = 0 が特異点となり無限に発散する。このため，Bessel 関数を用いて多くの物理現象を記述するに当たっては，(B2)式の積分定数 B は自動的に B = 0 と置く必要があり，第一種 Bessel 関数 J n ( x) のみが物
理問題解析で重要な役割を果たす。
第一種 Bessel 関数 J n ( x) は次式を用い級数で表現することができる；∞

J n ( x) = k =0(−1) k ( x 2 )

n+ 2k

(B4)

k !(n + k )!

上記の級数解から次に示す漸化式が容易に誘導される；

158

d  nx J n ( x)  = x n J n −1 ( x)dxd  −nx J n ( x)  = − x − n J n +1 ( x)

dx

(B5)

(B5)式の等価表現として

2n
J n ( x) − J n −1 ( x)x
dJ n +1 ( x) 1
= [ J n −1 ( x) − J n +1 ( x)]
dx
2

(B6)

dJ n ( x)n= J n −1 ( x) − J n ( x)dxxdJ n ( x) n
= J n ( x) − J n +1 ( x)
dx
x

(B7)

J n +1 ( x) =あるいはの関係も存在する。
本文第 2 章で利用した導関数 dϕ / dr の一次 Hankel 変換∞∞ r ( d ϕ / dr )J (ξ r ) dr を関数 ϕ の零次 Hankel 変換  rϕ J (ξ r )drを用い  r ( d ϕ / dr )J (ξ r ) dr = −ξ  rϕ J (ξ r )dr により表現出来る
0

1

∞

0

0

∞

1

0

0

0

事実は上記の漸化式を用いることにより容易に証明される。本文
第 2 章で強調したように Hankel 変換は円柱座標系で記述される調和方程式あるいは重調和方程式の解を求める際に威力を発揮する。

159

APPENDIX C
Laplace 変換の基礎
Laplace 変換は自然科学や工学の諸分野における線形刺激応答
理論を記述する微分方程式や積分方程式の解を求める際に極めて有用な数学的手法を提供する。線形刺激応答とは，注目する系に付加する刺激と，これに対する系からの応答との間に線形関係（比例関係）の存在する現象であり，本書で取り扱う力学系では完全弾性体における Hooke 則（刺激としての応力と応答としての歪が弾性率を介して比例関係）や線形粘弾性構成則が線形刺激応答の代表例である。力学分野のみならず電磁気学の分野においても線形刺激応答理論は多方面で重要な役割を果たしている。
実空間での線形微分方程式や積分方程式は，これらに Laplace 変換を施すことにより Laplace 空間で代数方程式に変換される。これらの代数方程式の解を Laplace 逆変換することにより実空間に戻し，これらの微分方程式・積分方程式の解を容易に求めることが出来る。
(1) Laplace 変換の定義
Laplace 演算子 L を適用することにより実空間において変数 tを用いて記述された任意の関数 f ( t ) は次式で定義される Laplace
空間における関数 f ( p ) に変換される；∞

L f (t ) = f ( p) =  f (t )e− pt dt

(C1)

0

ここに p は Laplace 空間における変数であり，その物理次元は実空間における変数 t の逆数の次元を有する。
(2) Laplace 変換の基本特性
Laplace 変換の基礎をなす最も一般的な特性式を以下に示す(i)

L c1 f1 ( t ) + c2 f 2 ( t )  = c1 f1 ( p ) + c2 f2 ( p )(C2)

ここに， c1 および c2 は定数(ii)

 df (t ) = pf ( p ) − f ( 0− ) dt 

L

(C3)

160

ここに f ( 0 − ) = lim f ( 0 − ε ) で定義，
ε →0

df ( t ) d 2 f (t ) 2−
 = p f ( p ) − pf ( 0 ) −2dt
 dt 

L

t = 0−(C4)

L   f ( t − t ') g ( t ') dt ' = f ( p ) ⋅ g ( p )
t

(iii)

 0

(C5)



t

ここに  f ( t − t ') g ( t ') dt ' は畳込み積分あるいは重畳
0

積分 (convolution integral)と呼ばれ，本文第 6.2 節および第 6.3 節で述べた Boltzmann の重畳原理・積分（(6.15)式，(6.20)式）はその代表例である。
(3)

線形刺激応答理論で有用となる
代表的な解析関数の Laplace 変換対応表

表 C1 Laplace 変換対応表

f (t )f ( p)1u (t − a ) ; 単位ステップ関数

e−ap p2

δ ( t )( ≡ du(t ) dt ) ; Dirac 関数

1

3

1

1 p

4

t n ; n = 1,2,3 ⋅⋅⋅n ! p n +1

5

e at

1 ( p − a)6(e − e ) (b − a ) ; a ≠ b( be − ae ) ( b − a ) ; a ≠ b

1 ( p − a )( p − b ) 

7

bt

bt

at

p ( p − a )( p − b) at8

sin at9

cos at10

J 0 ( at ) ; 零次 Bessel 関数(p +a )p (p +a )

a

1

161

2

2

2

2

p2 + a2

(4) Laplace 変換の適用例
一例として，本文(6.1)式で示した線形微分方程式
a0 ε ( t ) + a1

d ε (t )dt= b0σ ( t ) + b1

dσ (t )

(C6)

dtに Laplace 変換を施すことにより代数方程式が得られる；( )a0ε ( p ) + a1  pε ( p ) − ε 0− = b0σ ( p ) + b1  pσ ( p ) − σ 0− 



(C7)

( )

過去時間（ t < 0 ）では系への外部刺激が存在しないことから，初

( )

( )

期条件として ε 0− = 0 = σ 0− を(C7)式に代入することにより，Laplace 空間において，応力を歪に関係付ける代数方程式として次式を得る；σ ( p) = E * ( p)ε ( p)(C8)a +a pE * ( p) = 0 1
b0 + b1 p(C8)式中の E * ( p ) は，本文第 6 章で導入した擬弾性率（(6.4)式）
であり，(C8)式中の係数，a0 ，a1 ，b0 ，および b1 に(6.2a)式〜(6.2c)
式を代入することにより，弾性率，粘性係数，緩和時間等を用いて Maxwell モデルや Zener モデルの擬弾性率を表現することが出来る（(6.5a)式〜(6.5c)式参照）。
本文第 6 章の(6.6)式で示したステップ状の一定歪 ε ( t ) = ε 0 u (t )を系に付加した場合，その Laplace 空間における表記は，表 C1 の対応表#1 を利用することにより，ε ( p ) = ε 0 p により与えられる。
したがって(C8)式は次式のように書き換えられる；a0a1
σ ( p)=+
ε0b0 + b1 p p ( b0 + b1 p )(C9)

表 C1 の対応表を利用し，(C9)式に Laplace 逆変換の操作を施すことにより最終的に実空間における表現式として次式を得る；

σ ( t ) a0  a1 a0  t=
+  −  exp  − 
ε0b0  b1 b0 
 τ

(C10)

b
τ= 1
b0

(C10)式はステップ状の一定歪に対する線形微分方程式，(C6)式，の解である。第 6 章で与えた粘弾性モデル（(6.2a)式〜(6.2c)式）の諸係数 a0 ，a1 ，b0 ，および b1 を(C10)式に適用することにより，それぞれのモデルに対する応力緩和挙動の定量表現が可能となる。
162

APPENDIX D
緩和時間スペクトルと遅延時間スペクトル
本文第 6 章および第 7 章で用いた単純粘弾性モデル（Maxwell
モデル，Zener モデル）を用いて実材の非晶質工業材料の粘弾性挙動を定量的に記述することは不可能である。したがって第 6 章で述べた Wiechert モデル（図 6.5 参照）に見るように複数の緩和時間により構成された，より一般的な粘弾性モデルに基づき緩和弾性率やクリープコンプライアンスを表現しておく必要がある。このため，第 6 章の(6.8)式〜(6.13)式を拡張し，緩和時間あるいは遅延時間が時間軸に沿って広範囲に連続分布した「時間スペクトル」の概念を導入する[A1]。
複数の緩和時間を有する一般的な粘弾性体の緩和弾性率

Erelax (t ) は第 6 章で導入した Wiechert モデルから得られた離散型
表現式

Erelax ( t ) = Ee +  Ei e−t τ i(6.13)iを拡張し，より一般的な積分型表記で書き換えることが出来る；∞

Erelax ( t ) = Ee +  M (τ )e − t τ dτ

(D1)

0

上記の関数 M (τ ) は「緩和分布関数」と呼ばれ離散型表記（(6.13)式）における緩和時間 τ i での弾性率 Ei ( ≡ η i τ i ) に対応している。
関数 M (τ ) は記憶関数(memory function)の一種であり，その物理次
元は Pa/s で与えられ弾性率 Ei の次元である Pa とは異なることに注意しておく必要がある。そこで，(D1)式において，新たに弾性率の次元 Pa を有する分布関数 H (τ )  ≡ τ M (τ )  を導入することにより，(D1)式を書き換える；∞

Erelax ( t ) = Ee +  H (τ )e − t τ d ln τ

(D2)

−∞

弾性率の物理次元を有する関数 H (τ ) は「緩和時間スペクトル」と呼ばれている。したがって，緩和時間が lnτ と ln τ + d ln τ の間にある要素バネの弾性率を H (τ )d ln τ を用いて表現することが可能となる。
同様に，遅延時間が lnτ と ln τ + d ln τ の間にある要素バネのコ
ンプライアンスを L(τ )d ln τ で定義することにより，一般拡張積分

163[A1] J.D. Ferry, Viscoelastic Properties ofPolymers, 3rd Ed. Wiley (1980)

型表記としてクリープコンプライアンスを次式で表現することが出来る；

Ccreep (t ) = Cg ++∞t
+  1 − e−t /τ L(τ )d ln τ−∞
2 (1 + ν )η

(

)

(D3)
(D3)式において，クリープコンプライアンスの物理次元を有するL(τ ) は遅延時間スペクトルと呼ばれる。上式において，Cg はガラ
スコンプライアンス， η は定常ずり粘度を意味する。
第 6 章で示したように緩和弾性率 E relax ( t ) がクリープコンプラ
イアンス Ccreep (t ) にt E ( t − t ')C
0

relax

creep

( t ') dt ' = t(6.19)

を介して結びつけられるように，緩和時間スペクトル H (τ ) と遅延時間スペクトル L(τ ) との間にも一定の関係が存在し，次式で示
す積分変換により H (τ ) を用いて L(τ ) を，あるいは L(τ ) を用いてH (τ ) を表現することが出来る[A2-A4]；

L (τ ) =H (τ )∞ H (1 s )
ds π H (τ )  +  Eg − 
0 s −1 τ
L (τ )

2

2

H (τ ) =∞ L (1 s )


τ
ds 
π L (τ )  + Cg + + 
η 0 s −1 τ 


(D4)
2

2

図 12.16 に示した遅延時間スペクトル L(τ ) は次式に示した
Schwarzl-Staverman 近似[A5-A7]
 dCcreep (t ) d 2 Ccreep (t ) L(τ ) = −2 d ln td ( ln t )  t = 2τ

(D5)を用いクリープ曲線から直接求めたスペクトルである。同様に，
緩和スペクトル H (τ ) は緩和弾性率から次式により求められる； dE(t ) d 2 Erelax (t ) 
H (τ ) =  − relax +2d ln td ( ln t )  t = 2τ

164

(D6)

[A2] B. Gross, Mathematical Structure of the
Theories of Viscoelasticity, Hermann(1953)[A3] 齋藤信彦, 高分子物理学, 裳華房,
(1967)[A4] 山本三三三, 物体の変形学,
誠文堂新光社, (1972)[A5] F. Schwarzl, A.J. Staverman,
Physica, 18, 791 (1952)[A6] F. Schwarzl, A.J. Staverman,
Appl. Sci. Res., A4, 127 (1953)[A7] 岡野光治, 物性論研究, 2[3],493 (1958)

APPENDIX E
圧子力学の歴史(1) 産業革命と熱力学・連続体力学との関わり
19 世紀初頭，イギリスを中心に産業革命が本格化する中で，蒸気機関車・蒸気船の実用化や紡織産業等々の技術革新が相次ぎ，これらの技術・産業を支えるための製鉄技術・鉄鋼産業が開花する。さらに，鉄鋼産業を支えるコークス製造技術が確立する中で，ウェールズ地方の炭鉱から製鉄産業の中心であったグラスゴー・
マンチェスターまで石炭を運ぶ鉄路・橋梁等の鉄道網が急速に整備された。
産業革命の中核をなした熱機関に関わる熱力学の基礎と体系化に多大の貢献をした天才達(カルノーサイクルで広く知られる
N.L.S. Carnot (1796-1832)を始め，B.P.E. Clapeyron (1799-1864), J.P.
Joule (1818-1889), H.L.F. von Helmholtz (1821-1894), R.J.E. Clausius(1822-1888), W. Thomson (Load Kelvin) (1824-1907), J. W. Gibbs

Thomas Young(1773-1829)(1839-1903), L.E. Boltzmann (1844-1906), W.H. Nernst (1864-1941))，
そして，蒸気機関車・鉄路・鉄橋等の巨大構造物の強度設計に資する連続体力学(continuum mechanics)の礎を築いた天才達（T.
Young (1773-1829), S.D. Poisson (1781-1840), C-L. Navier (1785-1836),
A. Caucy (1789-1857), G. Green (1793-1841), G. Lame (1795-1870),
B.S. Saint-Venant (1797-1886), F. Neumann (1798-1895), G.G. Stokes(1819-1903), J.C. Maxwell (1831-1879), J. Bauschinger (1834-1893),
J.V. Boussinesq (1842-1929), W. Voigt (1850-1919), H. Hertz (18571894)）の出現は，ある意味で歴史的必然であったとも言える。

Simeon Denis Poisson(1781-1840)(2) 産業革命期における硬度計測の役割「弾性」，「強度」，および「塑性」の試験評価法開発と材料物理学的探究は産業革命を支えた鉄鋼材料を中心とした工業材料開発の中心課題であった。R. Hooke (1635-1703)や T. Young の先駆的研究により，「弾性」に関しては当時その試験評価法はほぼ確立していた。一方，産業革命中期（19 世紀中期），「強度」に関する材料
物理学的解釈・試験評価法は未だ確立しておらず，W. Weibull(1887-1979)の確率論的破壊理論や A.A. Griffith (1893-1963)の確定
論的破壊理論の出現を見ていない。また，上述したように，蒸気機関車・鉄路の整備に伴い機関車の車輪/軌道（レール）間の接触

165James Clerk Maxwell(1831-1879)

問題，特に鉄鋼材料の塑性変形・摩耗現象に重要な役割を果たす「塑性」の材料物理学的解釈および計測技術の確立は急務ではあった。しかし，塑性の概念やその試験評価に関する研究は端緒にもついておらず，唯一，後にバウシンガー効果(Bauschinger effect)
として広く知られている J. Bauschinger の論文(1886)により，弾性限界の存在と非可逆的塑性変形現象が明らかにされ始めた段階であった。このような状況下にあって，実用的な観点から塑性を評価するための極めて重要な工業的手法として，各種の「押し込み硬度(indentation hardness)」測定法が提案され広く用いられるようになる。しかし，押し込み硬度が如何なる力学物性を表している

Bauschinger-Ewing 伸長計測顕微

かの材料物理学的な解釈が確立するまでには更に一世紀余の時間鏡（歪測定精度： ε ≈ 2.5 × 10−6 ）が必要であった。
(3) 押し込み硬度の計測技術と弾塑性圧子力学の歴史
主に鉱物の硬さを分類評価するため F. Mohs (1773-1839)により導入されたモース硬度（Mohs hardness）は，いわゆる「引っ掻き硬度(scratch hardness)」であり，圧子力学で対象となる「押し込み硬度」とは異なる。モース硬度は最も柔らかい鉱物として滑石(Mg3Si4O10(OH)2)の硬度を「スケール 1」と定義し，最も硬い鉱物
としてダイヤモンド(C)の硬度を「スケール 10」とした 10 段階相対スケール硬度である。モース硬度と押し込み硬度との間には強い正の相関が存在する一方で，押し込み硬度に見られるような定
量的絶対硬度としてモース硬度を扱うことはできない。
1890 年，J.A. Brinell (1849-1925)により提案された Brinell 試験法
は鉄鋼材料の硬さを定量評価するために導入された。提案された標準的試験法では，直径 10mm の鋼球を 3t の荷重( P )で試験材料に押し付けた際に形成される残留圧痕の全表面積( S )を用い，
P S の値として Brinell 硬度 HB は定義され，現在も広く用いられ時としては画期的とも言える，そして現在の計装化インデンターの先駆けとも言える「引き掻き・圧入硬度計測装置」を開発した。
この硬度計測装置では圧子の圧入過程における荷重 P とその際の圧入深さ h との関係，すなわち P - h 負荷曲線を計測することがビッカース硬度, HVている。Brinell 硬度試験法の開発に続き A. Martens（1898）が当

104

103

102

101

2

でき，最大圧入荷重 Pmax と最大圧入深さ hmax の値から押し込み硬

4

6

8

10

モース硬度

度を求める手法が提案された。この硬度指数は現在，Martens 硬度

モース硬度とビッカース硬度とHM あるいは Universal Hardness HU として広く用いられている。

の相関性

166

Brinell 硬度や Vickers 硬度に代表される多くの硬度指数に見られるように，圧子徐荷後に残留する「圧痕」の表面積を用いて硬度を算出する試験手法が「常識」であった時代に，最大圧入荷重下において硬度を算出す Martens 硬度(indentation hardness under load)の概念とその試験手法は当時としては画期的なものであった。

Martens 硬度計
20 世紀に入り各種の高機能材料が開発されるに従い，球形圧子を用いる Brinell 試験法が高硬度材料の硬度評価試験には適してはいないこともあり，1923 年，R. Smith と G. Sandland による四面ピラミッド形状のダイアモンド圧子を用いた硬度試験方法が提案され，1925 年に Vickers 社から「Vickers 硬度計測試験装置」として市販された。第 5 章で詳述したように Brinell 硬度試験法との整合性を図るために Vickers 四面ピラミッド圧子の面傾き角度に工夫が凝らされている（図 5.4 参照）。この圧子形状に関する設計
思 想 は 圧 子 排 除 体 積 等 価 性 の 考 え に 基 づ き ， 1950 年 ， E.S.
Berkovich により提案された Berkovich 圧子に引き継がれている。
歴史的に，Brinell 硬度 HB や Vickers 硬度 HV は圧入荷重を圧痕の「全表面積 S 」で除した硬度指数として定義・算出される。一方，1908 年，E. Meyer は圧入荷重をその荷重における「圧子接触投影面積 A 」で除した値，すなわち圧入荷重下で生じている「平均接触圧力」として硬度を定義することの材料物理学的意義と重要性を初めて明らかにした。材料表面への圧子圧入過程において，
圧子側面に作用する法線応力成分のうち圧入軸方向の分力のみが圧入荷重 P に寄与する事実から，硬度の算出にあたっては全接触
面積では無く接触投影面積を用いることの有用性を示した。以降，任意形状を有する軸対称圧子の圧入試験において，圧入荷重 P を

167

圧子接触投影面積 A で除した値として定義される硬度は Meyer 硬度 H M と称され現在に至っている。幾何相似性を有する円錐・ピラ
ミッド圧子とは異なり球形圧子の Meyer 硬度 H M は本文中でその詳細を論じたように圧子の圧入深さに依存して硬度が変化してしまう。E. Meyer は，球形圧子の圧入に関する幾何相似則について考察を行い， H M = f ( d D ) （ D ：用いた球圧子の直径； d ：圧入により生じた投影接触円の直径）の関係が成立することを明らかにした（Meyer の幾何相似則）：直径 D を異にする任意の大きさの球圧子を特定の弾塑性体に圧入した際に生じる投影接触円直径 dの値が比 d D の値で一定になるようにして求めた Meyer 硬度は用いた球圧子のサイズ D に依存することなく一定値を取る。
20 世紀初頭において硬度は塑性の尺度として広く認識されてはいたが硬度 H M と降伏応力 Y との定量的な関係については明らかにされていなかった。1920 年代に入り C. Prandtle や R. Hill は
完全塑性体への二次元平端圧子の圧入過程で生じる圧子近傍における塑性滑り現象に「すべり線場理論(slip-line field theory)」を適用し H M = c ⋅ Y ; c = 2.57 の関係が存在することを明らかにした。
その後，1960〜1970 年代にかけて D. Tabor を始めとする多くの研究者により精密な圧子力学実験や有限要素数値解析等が行われた
結果，拘束因子 c の値は，圧子形状や圧子接触面摩擦係数等に依存し， 2.5 ≤ c ≤ 3.2 の値をとることが明らかにされた。
N.A. Stilwell, D. Tabor (1961)は，金属材料の球形圧子圧入試験を行い，P - h負荷-徐荷履歴曲線の計測の重要性を指摘し，徐荷曲線から弾性率の定量評価が可能であることを示した。これらの知見を基に，D. Newey, M.A. Wilkins, H.M. Pollock (1982)は現在の汎用計装化インデンテーション計測装置の原形とも言える計測装置を開発しインデンテーション法がミクロ・ナノ領域での各種力学物
性計測・評価において極めて重要な試験手法となり得ることを明らかにした。
上述したように「完全塑性体」の Meyer 硬度 H M は降伏応力 Yを定量的に表す尺度となる。一方，弾性変形の寄与を無視することのできない「弾塑性体」の Meyer 硬度 H M を弾性率 E ' と降伏応
力 Y を用いて表現する試みは，いわゆる「キャビティーモデル
(cavity model)」を用い球形圧子については R. Hill (1950)により，楔形圧子については K.L. Johnson (1970)により成功を収め，「弾塑性域」での Meyer 硬度 H M を塑性歪（plastic index; PI ( = ε I E ' cY ) ）168

E. Meyer, Zeit. Verein. Deutsch. Ing.
52,740(1908)

の関数として半定量的に記述することが可能となった。一方，M.
Sakai(2010) は 排 除 体 積 加 成 則 理 論 （ additivity principle of theindentation-excluded-volume）を提案し，「完全弾性域‐弾塑性域‐
完全塑性域」に渡る全領域において， H M を PI の関数として定量記述することを可能とした。
(4) 弾性圧子力学，粘弾性圧子力学の理論構築
現在の弾性圧子力学理論は，H.R. Hertz が 1882 年に表した論文“ Über die Berührung fester elastischer Körper (On thecontact of elastic solids)”, J. reine und angewandte
Mathematik, 92, 156-171に，その歴史的原点を置く。Hertz は半径および弾性率を，それぞれ，異にする二つの球体を外部荷重 P により接触させた際に生じる接触点近傍における弾性変形 u z と接触面での接触圧力分布p(r ) を解析解として導くことに成功し，現在の弾性圧子力学の基礎を築いた。Hertz 理論に続くこと僅か 3 年後，1885 年，J.V.
Boussinesq はポテンシャル理論に基づき，Hertz 接触問題を含む，

Heinrich Rudolf Hertz

より一般的な弾性圧子力学理論を展開した。しかし，各種の形状(1857-1894)を有する軸対称圧子圧入に関する Boussinesq 接触問題の解析解は1930 年代に入り，A.E.H. Love により初めて明らかにされ，引き続き 1960 年代に，本書で詳述した Hankel 変換を用いた解析解がI.N. Sneddon により与えられた。
1940 年代に入り各種の高分子材料開発が活発化する中にあって，P.J. Flory や J.D. Ferry 達の研究を中心に高分子粘弾性論・レオロジーが著しい発展を遂げる。時間依存性を示す粘弾性現象への圧子力学理論の展開は，「弾性‐粘弾性対応原理」を Hertz 理論に適用した J.R.M. Radock(1957)により，その端緒がきられた。Radockの粘弾性圧子力学理論は，1960 年代以降，S.C. Hunter，M. Sakai，
W.H. Yang 達により球形圧子以外の各種軸対称圧子を対象とした
粘弾性圧子力学理論構築へと発展を遂げる。
Joseph Valentin Boussinesq(1842-1929)169

【索 引】【A】
暗視野法(dark-field method) 125

アクリル樹脂(acrylic resin) 146, 148→明視野法

圧入荷重(indentation load) 16, 29, 81,114, 167
深さ(penetration depth) 16, 23, 42, 68, 90
歪 (indentation strain) 25, 44, 73【B】

仕事(work-of-indentation) 42, 135

Boltzmann 重畳積分(convolution integral)52, 161

圧痕(residual impression) 30, 119, 138, 167

Boussinesq 接触問題(contact problems)

圧子(indenter)
Berkovich 17, 38, 40, 65, 73, 102, 113

85, 111, 169

Brinell, 球形(spherical) 17, 38, 113, 166

Beltrami-Michell 方程式 7, 11

円錐(cone) 22, 32, 40, 65, 77, 83, 101

Bessel 関数 (Bessel function) 13, 158

円柱(cylindrical) 19, 31, 59, 66
曲率半径(radius of curvature) 113, 150【C】

幾何相似性(geometrical similarity)

Carson 変換 (Carson transform) 53

23, 32, 57, 68, 104, 121, 132
サファイア(sapphire)

Cavity モデル(cavity model) 34

125, 140

Chebyshev 級数 (Chebyshev polynomials)

接触半径(contact radius) 17, 28, 34, 10688

接触面積(contact area) 22, 35, 57, 72,

遅延時間 (retardation time) 45, 81, 141

97, 117, 124, 126, 131, 143

窒化ケイ素(silicon nitride)

ダイヤモンド(diamond) 30, 113, 125

40, 126, 132, 139

軸対称(axial symmetry) 10, 17, 57, 101

調和関数(harmonic function) 9

Knoop 132, 134

重調和方程式(bi-harmonic equation)

排除体積(excluded volume)10, 13

排除体積加成則(additive rule of
excluded volume) 35, 97, 126, 150【D】

Rockwell 17, 32

代表降伏応力(representative yield stress)

Vickers 17, 38, 43, 57, 104, 113, 132

108

Vickers/Berkovich 等価円錐 38, 73, 102

代表塑性歪(representative plastic

圧子力学(indentation contact mechanics)

strain) 108

数値(numerical-) 65, 101, 111

弾性(elasticity)

弾性(elastic) 17限界(elastic limit) 25, 29, 107, 166

弾塑性(elastoplastic) 30

回 復 (elastic recovery) 31, 39, 104,

粘弾性(viscoelastic) 57, 93

116, 123, 136-139

網目修飾剤(network modifier)140

弾性係数 (elastic coefficient) 6, 47

171

剛体(rigid body ) 87, 91, 155

弾性率 (elastic modulus) 7, 29-40

Green 関数(Green function) 85, 111

ガラス(瞬間) (glass modulus)

ガラス転移温度(glass transition

46, 55, 94, 110

temperature) 44, 128, 140-146

擬(pseudo modulus) 46-53, 162

凝固点;結晶点(freezing point;

体積(bulk modulus) 27, 54

crystallization point) 44

ずり（せん断）(shear modulus)
7, 25, 54
平衡 (equilibrium modulus)【H】
Hankel 変換(Hankel transform)

46, 50, 64, 94

13-18, 88,159

ラメ定数 (Lame constant) 11

非圧縮性弾性体(incompressible elastic body)

ヤング率 (Young’s modulus)

34, 54, 102

6, 18, 23, 54, 67
有効(effective elastic modulus) 84, 98,148

非圧縮性粘弾性体(incompressible
viscoelastic body) 56, 122

弾性体(elastic body) 6非晶質(amorphous ) 44, 140

線形(linear-) 10セレン(amorphous selenium)

弾塑性(elastoplasticity) 25, 30-43, 74, 97, 108

128, 143-145

弾性‐粘弾性対応原理(elastic-viscoelastic
corresponding principle)

被膜/基板・基材複合体(film/substratecomposite) 83, 88, 94, 111, 146

47, 53, 57, 77, 93, 109, 127

歪(strain) 1, 6, 8
【E】

エネルギー(strain energy) 27, 41, 68

円柱座標(cylindrical coordinate)

硬化則(rule of strain-/work

4, 10-13, 153-159-hardening) 107

エンタルピー(enthalpy) 25, 144

伸長(elongation) 1, 6, 25-27, 108

エントロピー(entropy) 25

ずり（せん断）(shear strain) 1, 7, 25-28
54, 110, 154【F】

体積(bulk strain) 11

Field-Swain 近似(F-S approximation)

法線(normal strain) 154

106, 107

表面付着力 65-82, 149-151

FEM, FEA 29, 101-103, 109-112

表面張力，表面エネルギー 21, 33, 68, 75

Fredholm 積分方程式(Fredholm integral

負荷徐荷曲線(loading-unloading curve)

equation ) 88, 98, 111, 148

履歴曲線(hysteresis curve) 38-42, 103,
116-119, 134, 137-150【G】

負荷係数，徐荷係数(loading-,
unloading-coefficient) 104, 105

ガラス材料，ガラス状固体(glass,glassy solids) 40, 44, 55, 117

Hooke 則(Hooke’s law) 6172

完全弾性体(perfectly elastic body)

付着靭性値 74-76, 149

6, 17, 23, 31-54, 65-76

平衡方程式

緩和時間(relaxation time) 45, 50, 94, 141(eq. of mechanical equilibrium) 3-10, 156

緩和弾性率(relaxation modulus) 48-80, 93, 110

平面歪(plane strain) 7-12

ずり(relax. shear modulus) 54, 110

ヤング率(Young’s modulus in plane

記憶関数(memory function) 52, 163

strain) 18, 23, 57, 102

基板・基材物性(substrate properties) 83

Hertz 理論，Hertz 接触(Hertz theory;
Hertzian contact) 20-22, 28, 102, 145, 169

金属(metals)

変位勾配(displacement gradient) 1, 85

アルミ(aluminum) 45, 134

変形(deformation) 1

銅(cupper) 40, 43, 134

法線・伸長(normal; elongational )クリープ(creep)関数(creep function) 48-63, 81, 123, 150

1, 25, 155

コンプライアンス(creep compliance)

ずり（せん断）(shear) 1-8, 25, 155

48, 121-130, 141, 163
変形(creep deformation)【I】

44, 80, 123, 128

移動因子(shift factor) 75-76, 143-144

クリープアップ(creeping-up) 110, 122, 145

インデンテーション(indentation)
計装化(instrumented indentation)

計装化インデンター(instrumented

31, 57, 71, 99, 114-146

indenter) 58, 106, 110, 141, 166
顕微インデンター(indentation
microscope) 31, 57, 110, 125-130,【J】
JKR 理論 65-80, 149

141, 146-150
拘束因子(constraint factor)

時間-温度換算則(time-temperature
superposition rule) 143

33, 108, 119, 168

自由エネルギー(free energy)

構成方程式(constitutive equation)

Gibbs(Gibbs free energy) 25→粘弾性構成式(viscoelastic )徐荷スティッフネス(unloading stiffness)

硬度(hardness)

116, 149-150

Brinell 30, 38, 166
Meyer 30-42, 61, 75, 97-100, 118, 126,132-139, 146-150, 168【K】
加工硬化(work-hardening) 107

Vickers/Berkovich 30, 38, 167
降伏応力，降伏強度(yield stress/strength)→歪硬化則
荷重(load, force) 1

25-43, 74, 99, 105-108, 116,

過冷液体(supercooled liquid) 44

126-131, 147, 150, 168

完全塑性体(perfectly plastic body) 33, 40, 76,

高分子レオロジー(polymer rheology)

107, 135, 168→ レオロジー173

【N】

コンプライアンス(compliance)

内力(internal pressure)→クリープコンプライアンス
躯体(frame compliance)→応力(stress)

115-118, 125

粘弾性(viscoelastic)
刺激-応答理論(stimulus-response【L】

theory) 52, 124, 160

Laplace 変換(Laplace transform)

線形(linear v.) 44, 47-61, 82, 93, 111

46-53, 77, 124, 130, 160関数(viscoelastic function)

Laplace 演算子(Laplacian operator) 7-13

31, 52-55, 115, 121-131, 141-150

Laplace 方程式(Laplace equation) 9, 13, 158
ループエネルギー(loop energy)

Maxwell モデル(Maxwell model) 45-50

41-43, 133-139

Voigt モデル(Voigt model) 45-50
Zener モデル(Zener model) 45-50
Wiechert モ デ ル (Wiechert model)【M】

50, 163膜(film, coat) 83-100, 146

Meyer 硬度(viscoelastic Meyer hardness)

厚さ(thickness of) 83-100, 146

61-64

マグネシア(magnesia, magnesium oxide)

粘弾性構成式(viscoelastic constitutive

134, 136
Meyer 硬度(Meyer hardness)→equation) 50-58, 79, 121, 130, 160

硬度

微分型(differential c. e.) 50-58

マ ス タ ー カ ー ブ ， 合 成 曲 線 (master curve)

積分型(integral c. e.) 50-58

143

粘度，粘性係数(viscosity) 45, 62, 144, 162, 164

明視野法(bright-field method) 125→暗視野法
メチルシルセスキオキサン(MeSiO3/2)

【O】

146

応力(stress)

メチルメタクリレート樹脂 134

ずり（せん断）(shear) 3, 4, 26-28, 157

面傾き角度(inclined face-angle) 22, 32-38,

法線(normal) 3, 7, 11, 26-27, 167
応力関数(stress function)

57-61, 104, 109, 113, 132-134, 167
面積因子(index of projected area)

Airy (Airy’s s. f.) 9, 12

113, 116, 132

Love (Love’s s. f.) 12
Oliver-Pharr 近似(Oliver-Pharr
approximation) 106, 114, 119【P】
パイルアップ(pile-up) 33, 39, 90, 108→ シンクイン(sink-in)174ポアソン比(Poisson’s ratio) 6-8, 28, 34, 54-57,

接触(contact)
圧力分布(distribution of contact

83, 93, 102, 110, 116, 145pressure) 17, 19, 66-69, 87-92, 169

ポアソン効果(Poisson’s effect)

半径(contact radius) →圧子

6, 54, 102, 109, 122, 126
ポリカーボネート(polycarbonate)

深さ，相対深さ(contact depth,

125, 144-148

relative c. d.) 17, 21, 39,
104-107, 114-123
摩擦(contact friction) 17, 108-109【Q】

面積(contact area) →圧子
力学(contact mechanics) 101【R】
履歴曲線(hysteresis curve) 38, 40-42, 103,

Sneddon 関数(Sneddon function) 22

116-119, 134-149, 168

走査プローブ顕微鏡(scanning probe
microscope) 118

レオロジー(rheology) 54, 142, 169

装置定数(apparatus/instrument constant)

高分子(polymer r.) 54

115, 117, 125

連続体力学(continuum mechanics) 1, 165

ソーダ石灰ガラス(soda-lime glass)46, 134, 137-148【S】

ソフトマター(soft matter) 65, 72, 149

Saint Venant 方程式(Saint Venant塑性(plasticity) 23, 25-43

equation) 3, 5, 8-11

散逸エネルギー(plastic energy

酸化マグネシウム → マグネシア
刺激-応答理論 → 粘弾性

dissipation) 41-43, 139

シンクイン(sink-in) 39, 89-91

塑性歪，塑性変形能(plastic strain; plastic

主軸(principal axis) 26

index) 36, 39, 76, 104-108, 116, 119,

主応力(principal stress) 26-28

127, 133, 168
ゾルーゲル法(sol-gel method) 146

スペクトル(spectrum)
緩和時間(relaxation-time spectrum)
50, 141, 163【T】

遅延時間(retardation-time spectrum)

体心力(body force) 4-10

50, 141, 163

体積膨張(volumetric expansion) 44

静水圧(hydrostatic pressure) 34, 54

炭化ケイ素(silicon carbide) 43, 134

石英ガラス，シリカガラス(fused quartz;
silica glass) 117, 126, 138, 140-142
積層複合材(laminate composites)
83-97, 111, 146-148
接触問題(contact problems) 1, 20-25, 101175炭素・黒鉛(carbon; graphite) 138-139【V】
Van der Waals 力(Van der Waals force)

ガラス状炭素(glass-like carbon;

139

glassy carbon) 134-138, 146-148

von Mises 規範(von Mises criterion)

難黒鉛化・易黒鉛化

27-29, 32(non-graphitizable/graphitizable) 137-138
多結晶黒鉛(polycrystalline graphite)

【W】

138
調和方程式(harmonic equation)，【X】

重調和方程式(bi-harmonic e.)
3, 10-14, 18, 159【Y】

調和関数(harmonic function) 9-14, 88

Young 率(Young’s modulus) → 弾性率

テーラー展開(Taylor expansion) 1

有限要素法，有限要素解析(finite element

適合条件式(compatibility equation)

method/analysis) 29, 33, 37-39, 42,
65, 73, 98-112

2-5, 7-11
Tresca 規範(Tresca criterion) 26-28, 32

融点(melting point) 44

【U】

【Z】
ずり傾き角度(shear angle) 2→ 歪(strain)176

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