日本大学歯学部紀要 35，1‑5，2007

曲線あてはめに関する一柳川察

実

A study of least square curve fittings

M inoru Yanagawa
Abstract
Curve fittings that approximate a set of points by a curve have played a central role in theanalysis of experimental data,not only in connection with basic theoretical subjects such as
approximation of functions, but also in a variety of applications. We discuss this problem
within the framework of the method of least squares,and show that ε‑curve fittings definedin this study provides a new means of fitting. Additionally, their graphs behave predictably
and provide efficient algorithms able to reconstruct any function from its samples. In
conclusion,this technique can be used as an alternative method in least square curve fittings.
Key words: curve fitting, least squares method

１. 緒

ることが多からである。大きな例外値の影響を言受けない工夫を念頭において，本論文では変化率の小さい曲線当てはめを与えるアルゴリズム

問題解決にあたっては，得られたデータの中から有用な情報を引き出す必要がある。データをは連続的に変化する対象から取られるが，得ら必ずしも初等的な基底関数により近似表現がでれるデータは離散的なものである。各種の理由きないことによる。最初に古典的な方法によっからデータには誤差が入っている。従って問題て得られた近似曲線の変化率を調べ，その後新解決のためには，離散データから誤差を取り除しいアルゴリズムによる変化率を求めて両者のいた本来の連続的な変化量を推定する必要があ比較を行う。

る。そのために，最初に多項式を利用したスプえる。これはデータには様々なものがあり，２. 比較的単調な離散データライン関数，指数関数を用いる曲線当てはめをえる。曲線あてはめの際に注意することの一表１つに，誤差を含む離散データに忠実に当てはめを行うと変化率が現実に合わなくなることがある。変化率が小さい連続量が実際には生じていデータの対（t，x)

t

１２

３４x

1.65

2.7

4.5

7.35

日本大学歯学部数理情報学教室

Department of Applied M athematics and Informatics,〒 101‑8310 東京都千代田区神田駿河台１‑８‑13(受理：2007年９月 21日）

Nihon University School of Dentistry
1‑8‑13 Kanda‑Surugadai, Chiyoda‑ku, Tokyo 101‑8310, Japan1日本大学歯学部紀要 35，1‑5，2007

３次多項式回帰曲線＝ ＋＋＋の係数値を得るために連立方程式⎧１ １ １ １⎫⎧ ⎫ ⎧1.65⎫
１２４８１３９27＝2.74.516 64⎭⎩ ⎭ ⎩7.35⎭⎩１ ４を解くと＝1.05＋0.475 ＋0.075 ＋0.05となる。

図２

平指数関数的回帰曲線と変化率変化率の最大値は 2.896である。

さて正のパラメータ εを含む次の数列（この数列をここではイプシロンあてはめと呼ぶ）を
図１＝

ε ＋2.7
ε ＋1.65,, ＝ε＋1ε＋1＝

ε ＋7.35
ε ＋4.5, ＝ε＋1ε＋1える。 ＝１，ε＝0.5のときのイプシロン

あてはめは多項式回帰曲線と変化率1.433,2.278,3.759,6.153である。

回帰曲線の区間幅１で測った平変化率の最大値は 2.85である。
次に指数関数的回帰曲線＝を採用する。対数変換後の係数行列に対するムーア・ペンローズ一般化逆行列⎧１＝−⎩12は０1 13−10 1010−1⎫2310 ⎭となり，線形代数の知識を用いると＝1.00005のように回帰される。

図３2イプシロンあてはめ（イプシロン＝0.5)

曲線あてはめに関する一平察うことができる。

変化率の最大値は 2.394である。パラメータ εの値が ε＝１，ε＝0.1である場合を下３. 変動が大きい離散データ

図で比較してみる。

節点３，４，５における３次スプライン関数の値が次表で与えられている。

表２

データの対（t，x)

t０１２３４５６x

11８112656

29−３を切断ベキ関数表示すると＝11−4 ＋ −3 −3−63 −4 ＋379 −5で与えられる。ただし切断ベキ関数は
図４＝イプシロンあてはめ（イプシロン＝１)＞000と約束する。スプライン関数と平平変化率の最大値は 2.047である。

図５

イプシロンあてはめ（イプシロン＝0.1)

ラフは下図に示す。

図６

平変化率のグスプライン関数と変化率変化率の最大値は 2.748である。イプシロンの値を限りなく小さくすると，イプシロン平あてはめは原データに収束する。イプシロンあ

次に３次多項式回帰関数式を求めるためてはめを用いると変化率を抑えて曲線近似を行
3変化率の絶対値の最大値は 32である。

日本大学歯学部紀要 35，1‑5，2007

なるイプシロンあてはめが得られる。

＝∑

下図はパラメータ εの値が ε＝１，ε＝0.5，ε＝ 0.1である場合の比較である。とすると，係数の満たす正規方程式は⎧ ⎫⎧ 138⎫⎧ 7441 ⎫91
212275219144191

4412275 12201＝4591799⎩ ⎭⎩7359⎭⎩441 2275 12201 67171⎭となり＝12.45−23.91 ＋16.85 −2.222が回帰関数となる。

図８

イプシロンあてはめ（イプシロン＝1.0)

平変化率の絶対値の最大値は 21.80である。

図７３次回帰曲線と変化率

平変化率の絶対値の最大値は 40.76である。
さて表２のデータに対してイプシロンあてはめを構成し，正のパラメータ εの値に応じた振舞いの比較を行う。

を＝

ε ＋44
ε ＋28,, ＝ε＋4ε＋4＝

ε ＋504ε ＋26,, ＝ε＋9ε＋1＝

ε −3
ε ＋29, ＝ε＋1ε＋1える。ε＝0.5， ＝11の場合は

図９

イプシロンあてはめ（イプシロン＝0.5)

平変化率の絶対値の最大値は 26.92である。

7.44,10.60,20.87,54.15,37.38,10.464

曲線あてはめに関する一察

４. 結言

本論文では限られたデータに対して我々のアルゴリズムが有効であるかを確かめた。ロジス
ティック曲線のように単調である曲線に対しては特に有効である。また変化の大きい曲線対象に対しても変化率の小さい曲線あてはめが得られるが，更に変化率の小さい近似曲線をえることができることは本文中の図を見れば明らかである。激しい連続変動をする対象からの抽出
離散データに，このように滑らかで美しい曲線当てはめを描く数学的準備が今後の発展に必要である。
図 10 イプシロンあてはめ（イプシロン＝0.1)
文平献１) C.R.ワイリー（富久泰明訳）（1970）工業数学

変化率の絶対値の最大値は 31.29であ（上）．ブレイン図書出版，松山る。

２) 桜井明編著（1981）スプライン関数入門（情報処理の新しい手法）．東京電機大学出版局，東京5