形態デザインの最新動向
2.3 Shape Optimization
大学院 教授陳 沛山（チン ハイザン、 Chen Peishan）

２０1０年１１月１１日

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

お話の流れ
１．歴史変遷・概説

2.1 Form Design
2．Algorithmic Design

2.2 Digital Fabrication

2.3 Shape Optimization(形態最適化)
3．S-art(Sart)理念
4．関連研究成果の報告

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

構造デザインにおける数理手法の応用
計算機の効果・数値解析（数値シミュレーション）
・可視化（画像シミュレーション）

構造設計への応用：
・目的： 構造設計の自動化、省力化、高速化、高精度化、情報化
・手法： 力学解析と構造設計の連携；設計基準や関連法規をプログラム化

構造デザインへの応用：
・目的：

最小重量、最大剛性、最大安定性、その他目的で、形態の修正と創生・手法：

修正的最適化手法、 創生的最適化法

用いる数学手法：
・数理的手法： 数値解析アルゴリズム、数値解析による最適化・遺伝的アルゴリズム（ＧＡ）：高度なプログラム手段

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

最小重量設計--ツリー構造の最適化

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Stuttgart Airport Tree Structure (ツリー構造)
Peishan Chen, Hachinohe Tech.

最小重量設計（ツリー構造のシミュレーション）
数学モデル：

解析過程：mminimize F  
Lk Ak

k 1


subject to g X, A   0h X, A   0 .


初期形状

初期設計

Pk   k  Y k Ak  0

最適化解析（部材：k=1,...,m)A : 部材断面積

終了

L : 部材長さ
X : 節点座標

σy : 許容応力度（或いは降伏点）

P : 部材応力（軸力）

α : 余裕率Peishan Chen, Hachinohe Tech.

荷 重 3.1ton/m2 （ 総 重 量 ：160ton）自動設計（鋼構造設計基準）；
応力＜許容応力×α
最適化解析
自動設計（鋼構造設計基準）；
応力＜許容応力×α
設計情報

解析結果：

Ｈ2450

H1 = 210cm
H2 = 382cm

Ｈ1H1:H2 ≒ 5/8220

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

樹木構造（ツリー構造）
・枝はその荷重の中心を支え、モーメントを最小にする。
・枝から幹まで荷重を集中することにより幹が太くなる。

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Bridge Structures

114

2

18Bｙ 名古屋大学 大森先生

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

3D Bridge Structure

HB
3B

Bｙ 名古屋大学 大森先生

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

3D Bridge Structure

Final Configuration

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

3D Bridge Structure

PlanElevation
Bｙ 名古屋大学 大森先生

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Final Shape
From: 名古屋大学 大森先生

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Loading Condition

SouthWestBｙ 名古屋大学 大森先生

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

South Wall
Evolution

Bｙ 名古屋大学 大森先生

Final
Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Bｙ 名古屋大学 大森先生

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Peishan Chen,
Hachinohe Tech.

Perspective View

Concept of Nonlinear Analysis

K

d

B
0d

Kd  f



D
Peishan Chen, Hachinohe Tech.

テンションの原理

Peishan Chen,
Hachinohe Tech.

Georgia Dome Tensegrity-supported roof, Atlanta, Georgia, 1980
長軸：227m 短軸:185m

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Tensegrity 6

求める設計変数
RA1
RA2
RA3CONST.

HA3

HA2
HA1

HB3
HB2

HB1

RB3
RB2
RB1CONST.

ridge cable

R4

R3
R2
R1
P1

P3
P2

postCONST.

central truss

H3

diagonal cable

D4
D3

H2
H1
hoop cable

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

D2

D1

Tensegrity 5

最大剛性形態の数学モデル

minimizeF  D
based on domain equation : KD  Qsubject to :( j = 1,..., s  m  n)
 h  X, A   0 ;BP  0 ;g  X, A, P   0 , (k = 1,..., t )ni 12ijk

プレストレス導入後に荷重による変位を最小化することを目的として、節点座標、部材断面積とプレストレスの分布を求め、テンション構造の最大剛性形態を定める。

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

A Local Optima, OK ?
General Reduced Gradient method (GRG)
A Global Optima

FA Local Optima

X1X2



F


F
X 2
X 1

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

解析概要
General Reduced Gradient method (GRG)

KD  Q D  KD QK



1 
DDK QKΔ  F,k 
Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Tensegrity 7

最適形状
Optimum shape
Initial shape(a) The optimum shape with constraints

Optimum shape
Initial shape(b) The optimum shape without constraints

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Tensegrity 8

屋根変位の確認
60

変位低減
35％

displacement (cm)40200

変位低減 V3
25％

V1V2plot プロッdirection
ト方向

V1
V2

-20

V3

optimum shape-40

initial shape (prestressed case 3)-60

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

スペースフレームの最大座屈荷重形態

大空間の座屈Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Concept of Buckling



0D
Peishan Chen, Hachinohe Tech.

The Optimizationfor Maximum Buckling Load

M axmize BSubject to hX, U   0gX, U   0

B0

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

DTo Find the Bucking LoadKdB0

Kd  f

dTD

B   u 1

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

uBucking Load in Explicit Function

Kd  f0, f i  0
bi   1 1
 f i , f i  0
Nb f 1T

 b K duTu

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

uObjective Function forOptimization b K duTTuuB   uu 1STuu
bKdi i ;iii  1,2,, l u 1

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

The Mathematical ModelM aximize F   w Subject to :h  X, U   0 ; ( j = 1,..., s)g  X, U   0 , (k = 1,..., t )
li 1

ii

j

kSuu
bK
d
i i ;iiT

i  1,2,, l u 1

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

To Find the Optima
objective function

The concept of
the surface of optima

surface of optima

initial shapeparameter B
path of iteration
parameter Aa plane cutting
line
constraints

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Iteration direction
General Reduced Gradient method (GRG)
A Global Optima

FA Local Optima

X1X2


F
F
X 2
X 1

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

Direction to Change the ShapeTTu 1u 1  b T ,i  K u d u  b T  K
 u du,i,iTTTuu b ,i f  b  K ,i d

i  1,2, n  mu 1 ,i  b j ,i f j  b j ,i K jl ,i d l
Peishan Chen, Hachinohe Tech.

The Process of the Optimization
0D

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

解析例題

r4

r2

r1,…, r5 are members radius

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

r1r3r5

最適化解析の結果

10.00

8.071
6.08

5.00

optimum shapeinitial shape
optimum shape

0.00

load parameterload parameter

initial shape

8.00
6.00

7.247
5.679

4.00

initial shape

2.00

optimum shape

0.00

Full area loading case
Figure 8. The increasing of the buckling load
parameter is 32.75% as that of its initial shape

Half area loading case
Figure 9. The increasing of the buckling loadparameter is 27.61% as that of its initial shape

Peishan Chen, Hachinohe Tech.

load parameter

荷重変位曲線の一例
8

Λ=6.905

d=9.46276
Λ=5.846d=6.7195432
100246810121416

displacement (cm)optimum shapeinitial shape

Peishan Chen, Hachinohe Tech.