正負の数：負の数の必要性

H22.数学学習指導設計Ⅰ

J1 渡会亮介
川畑翔史
川添秀基
藤田綾
森陽平

1

もくじ
1.単元設定の理由

p.3

2.教科書比較
2.1 各出版社の導入の流れと問題
2.2 考察

p.4－p.9
p.10

3.数学史
3.1 負の数の起源
3.2 負の数の認識

p.11－p.12
p.12－p.13

4.問題作成4.1 問題開発以前の指導案
4.2 問題開発の過程

p.14－p.17
p.18－p.22

5.指導案作成
5.1 問題案
5.2 指導案作成

p.23
p.24－p.27

6.感想

p.28－p.29

2

1.単元の設定理由
中学校第一学年 正負の数の加法・減法
小学校までは、数直線は 0 から始まり右側に伸びており、0 より小さい数はないものとして学習してきているので、中学校で初めて扱うものである「負の数」について抵抗がある生徒が多いと考えられる。しかし今までできなかった足し算、引き算が、「負の数」を使っても今までの足し算、引き算と同じように演算ができるということを、授業を通して分かってほしいと考えたから。

32.教科書比較
2.1 各出版社の導入の流れと問題(1)啓林館：未来へ広がる数学 1＜導入の流れ＞０℃より低い地域の温度を温度計で表し、まず、「－」の読みを教えて、－６℃を０℃より６℃低い温度として扱う。ここで、０より小さい数を負の数と認識させる。
次に、数直線を左側にも拡張し数直線上の点を答えさせたり、生徒に点を打たせたりして負の数の理解を深める。
また、「＋」、「－」の符号を変えた数は、数直線上で０について反対側にあって、０からの距離が等しくなっていることをふまえ、数直線上で、０からある数までの距離をその数の絶対値とし、正の数・負の数の計算の単元に入る。
＜問題＞
［導入］
次の温度を、－をつけて表しなさい。
（１） ０℃より３℃低い温度（２） ０℃より２.５℃低い温度
正の数、負の数を使って次のことを表しなさい。
ここでは、［ ］内に示した方を正の数で表すものとします。
（１） ４００ｍ南、２５０ｍ北 ［北］（２） ８秒前、６秒後 ［後］［正の数・負の数をたすこと、ひくこと］
温度が、２℃から５℃上がると何℃になるでしょうか？また、－７℃から５℃上がると何℃になるでしょうか？
２＋５は、２より５大きい数とし数直線で下のようにする。
5 大きい
0

２＋５＝７27

負の数に正の数を足すことも、同じように考えて、（－７）＋５は、－７より５大きい数を求める数直線で下のようにする。
５大きい（－７）＋５＝－２-7-204

(2)東京書籍 新しい数学＜導入の流れ＞最初に０より大きい数にはプラスをつけて、０より小さい数にはマイナスをつけて＋、－をそれぞれ正の符号、負の符号という。そのあとに正の符号がついた数を正の数、負の符号のついた数を負の数と認識させる。
負の数を含めた数について数直線を作って、数直線上で０が対応している点を原点といい、数直線の右の方向を正の方向、左の方向を負の方向として、右にある数ほど大きく、左にある数ほど小さいとしている。さらにそこから数の大小を数直線上で点で記したり、不等号で大小を比較させることで負の数の理解を深めようとしている。
それから、原点からの距離を絶対値として説明し、主に数直線を使い加法、減法の説明へと進んでいく。

＜問題＞＋、－の符号を使って、次の温度を表しなさい。
① ０℃より５．５℃低い温度② ０℃より８℃高い温度
海面の高さを基準の０ｍとし、高さが海面より高いことを＋で表すことにすると、次の高さを＋、－の符号を使って表しなさい。
① 野辺山駅

標高１３４５．６７ｍ② 吉岡海底駅 海面下１４５ｍ

5(3)大日本図書＜導入の流れ＞温度計を用いて、０℃より高い温度と０℃より低い温度に注目して、区別するため０℃より６℃低い温度を記号にすると「－６℃」と表し、読み方を教え、０℃より６℃高い温度を「＋６℃」と表し読み方を教える。また、水位計も用いてマイナスを表現している。
次に、「上がる」に対して「下がる」のように反対向きの性質を持った数量の表し方を数直線で表現する。そして、反対向きの性質を持った数量を表すための数を考えて、数の範囲を広げ、ここで、［負の数］を導入する。
最後に、正の数・負の数の大小について調べ、そのことから数直線上である点をとったとき、原点からその点までの距離を絶対値というと学習する。そして加法減法に入る。

6＜問題＞
次の温度を＋、－を使って表しなさい。
（１）０℃より３℃低い温度（２）０℃より７℃高い温度
たし算（－３）＋（－２）を、図を使って行いなさい-2-5-3-30

引き算（＋５）－（＋２）を、数直線を使って考えよう［１］ □＋（＋２）＝＋５となる□を、数直線を使って求めなさい。
+2□+50+3+5［２］＋２の矢印の向きを変えると、どんな式で表せますか-2□+5（＋５）＋（○）＝□
0+3+5

［３］
［１］
、［２］から気づいたことをいいなさい。

7(4)教育出版：数学 1＜導入の流れ＞０℃より高い温度を＋６℃と表し、プラス６℃と読み、０℃より低い温度を－２℃と表し、マイナス２℃と読む。＋、－をそれぞれ正の符号、負の符号とする。それから移動や変化を、正の符号、負の符号を使って表す。
それから、０より大きい数を正の数、０より小さい数を負の数ということにする。このとき、０は正の数でも負の数でもない数としている。
次に正の数、負の数を数直線上に表し、数０に対応しているものを原点、数直線の右の方向を正の方向、左の方向を負の方向としている。数を数直線上に点で表す問題から、数の大小につなげていき不等号で表すようにしている。さらに原点からの距離をその数の絶対値として説明し、加法減法へとつなげている。

＜問題＞
次の温度を、正の符号、負の符号を使って表しなさい。
（１） ０℃を基準にして、それより５℃低い温度（２） ０℃を基準にして、それより１８℃高い温度（１） 今を基準にして、今から１５分前を－１５分と表すと、いまから１０分後はどう表すことができるか。
（２） テストで目標にした点数を基準にして、それより８点高い点数を＋８点と表すと、－５点はどんなことを表しています。

8(5)学校図書：中学校数学 1＜導入の流れ＞温度計を用いて、０℃より２℃低い温度のことを、－を使って－２℃書き、読み方を教える。また、標高において、マイナスを使い表現している。東・西や利益・損失などの反対向きの性質を持った数量を表すための数を考える。そして、０よりも大きい数を正の数、０より小さい数を負の数であることを教える。
その次に数直線を使って数の大小を考える。そして、数直線上である点をとったとき、原点からその点までの距離を絶対値というと学習する。それから、加法減法に入る。

＜問題＞
次の温度を、正、負の数を使って表しなさい。
（１）０℃より３℃低い温度（２）０℃より４℃高い温度
加法・減法の単元でカードを使いすごろくを使っていた－６から６までのカード１３枚を裏返しにして順番にカードを取っていき出た数だけ移動する。コマが先にゴールしたほうの勝ちとする。

9

2.2 考察どの教科書も最初の導入の問題では温度計の温度を用いた問題を使っていた。0℃より高い温度に＋をつけて、0℃より低い温度には－をつけて、プラス 2℃、マイナス 3℃などというようにしている。また＋を正の符号、－を負の符号というところは、どの教科書の導入問題でも一緒であった。そのあと０より大きい数を正の数、０より小さい数を負の数とい
うところや、正の符号がついた数を正の数、負の符号がついた数を負の数とするところに多尐の違いが見られたが、数の表記の仕方を教えてから数を数直線上に表し、数の大小、絶対値の説明につなげる順番は大体同じであった。

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3.数学史3.1 負の数の起源―負の数の歴史―→負の数は、存在自体はかなり前から認識されていたのだが、負根を使って計算し、負数と具体的数量との関係をつけ、かつこれを実用上に利用できることが証明されたのは、かなり近年のことである。
―負の数の起源―
中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後 7
世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』[1]は“+“を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。
プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが 3 世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負の数の概念がなかったことを示している。
（http://ja.losts.net/%E6%AD%A3%E3%81%AE%E6%95%B0%E3%81%A8%E8%B2%
A0%E3%81%AE%E6%95%B0 参照）→７世紀の間に負の数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは「ブラーフマスプタ・シッダーンタ」において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負の数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負の数と零がかかわる演算に関する規則も与えている。彼は正の数を「財産」、零を「０（cipher）」、負の数を「借金」と呼んだ。
12 世紀のインドで、バースカラ 2 世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切のものとして負の根を拒絶している。
（ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E3%81%AE%E6%95%B0%E3%81%A8%
E8%B2%A0%E3%81%AE%E6%95%B0 参照）

11

―負の数を実用化する上での問題―→数直線上の対称＜平方＞（２）２＝４というように、（正の数）２＝（正の数）であるのだが、ゼロの左側の数の平方はゼロの左側になるわけではない。たとえば、（－２）２＝４となってしまう。そこで、「この不均衡は負の数に正の平方を施すからおこるのだ」と考えたのだが、負の平方を考えると、１（－２）－２＝４であり、同様に１（２）－２＝４となり、やはり負の結果を得ることはできないのだ。

3.2 負の数の認識
デカルトによって直行座標が作られ、負量の完全な解釈と作図またその統計的な用法が考えられたのが、負数が認められる第一歩であると考えられる。
「どうして数の概念をひろげて負の数を含めることがそれほど困難なことだったのか」・シュティフェルは負の数のことを‘無いものよりも小なる数’や、0 以上の数真実の数が0 から引かれるときにおこる‘不条理数’といった。
このことからもわかるように、数学者たちが‘無意味の数’ではないと気付くまでに 300年もの時間がかかったのは負の数の視覚的または幾何学的表示を思いつくまでは負数は‘不条理な数’または‘仮想的な数’として映ったためであると考えられる。
（カジョリ初等数学史 下小倉金之助翻訳 p166-171）

デカルトの直交座標によって負の数が可視化されたことにより、量がなく、実際に見ることのできないという大きな問題を越えて、負の数が多くの数学者にも数として認められるようになったのだと考えられる。
また西洋における、基点（原点）を定め、直線上の点を数と考えるという数概念を導入したのはオイラー（1707-1783）であると言われている。

12

大きさ、たとえば長さ、を対象とする限り、負数の説明は明快さを欠かざるを得ない（負の長さは存在しないからである）。負数まで込めた数を説明するためには、基準点（原点）を定めて、それに対する位置を数として把握しなければならない。簡単に言えば、「逆向きの大きさ」は原点（不動の基点）を定めなければ、登場できないのである。
一方、オイラーはまた負まで含めた座標軸を導入したことで知られている。『代数学入門』よりは前に出版された『無限解析入門』（1748）の冒頭には次のように数直線が説明されている：
直線 ℓ の一部分ＡＰが定量を表す。（中略）直線 ℓ はＡの双方向に限りなく伸びているので正負の数が表現できる。
おそらくは、これが座標を説明した最初の文献であろう。同時に、数直線を明確に説明した最初の文献ということにもなる。ここでは数というものが先験的に既知のものとされているが、むしろ負数というものを座標によって説明したほうが「数学を基礎から説明する」というオイラーの抱負に沿ったのではないだろうか。
（http://www.adachi.sci.waseda.ac.jp/bookWriting.html 参照）とあるようにデカルトの直交座標が認められてから、オイラーなどの多くの数学者が負の数を研究し、徐々に負の数が認められるようになった。

13

4.問題開発
4.1 問題開発以前の指導案
数学的活動支援＜導入＞
T：今まで習った計算方法はなにがあったかな?
S：足し算・引き算・掛け算・割り算
T：そのなかで割り算をいつでも計算できるようにするために分数や小数をならったね。
T：じゃあ他に常には計算することができな
いのはどれだろう？
S：引き算
T：そうです。今日の授業で、いままで常にはできなかった引き算をいつでもできるようにしていきましょう。
＜活動 A＞
今までできなかった引き算の具体例をノートに 3 つあげてみよう。
（例があがったら生徒を何人かあてて、黒板にその具体例を書いてもらう。
）
(ex)
2－5
6－7
5－10
T：では、今回は例にあがった 6－7 をつか○もし適当な例があがらなかった場合は、こっていきます。

ちらで計算できない仲間として具体的な例をあげる。

14

T：今まで習ったやり方で6－□ = ○
この式について、できる計算を全てノートに書いてみよう。また気付いたことを書こう。
6－0=6

6－1=56－2=46－3=3

計算の減数の大きさをばらばらに書いてい6－4=2る生徒には「引く数を小さい順に並べてみよ

6－5=1う」と助言する。

6－6=0○減数は一ずつ増えている○答えは一つずつ減っている
答えと減数の数の増え方と減り方の規則性
6－0=6にいついて気付いている生徒に前で説明す

6－1=5るよう言う。

↓6－7=□

6－8=□

6－9=□

6－10=□

T：同じ 1 ずつ減っているからどんな数を準備したらいいだろう？
S：0 より 1 小さい数
T：では、引く数が 8 になったら？
S：0 より 2 小さい数
T：そうですね。じゃあその新しい数に名前をつけて表すことにします。
どんな名前が分かりやすいですか？
S：△1 △2 …
T：ではこれからそう呼ぶことにしましょう。

15

T：じゃあ新しい数ができたので、さっきノートに書いた計算を表せるよね。やってみよう。
T：じゃあこれを数直線に直してみようか。

0 1 2 3 4 5…
△1,△2…はどこに表せるかな？
T：△1、△2…は数直線のどこに表せるかな？
S：左側…△4 △3 △2 △1 0

1 2 3 4 5…
T：目盛りの大きさはどうなっているかな？

メモリの大きさはどうなるかな？

…△4 △3 △2 △1 0 1

S：同じ幅になっている

2 3 4 5…
T：新しい数直線が作れましたね。

＜活動Ｂ＞
数直線上での計算（まず数直線上での計算を復習する。）
足し算
6＋1＝761716引き算
7－6＝1761

今までできなかった引き算6－7＝□

617

今は６－７の計算をしたから６－８、６－９というように引く数を増やしていってそれを数直線上で計算してみよう。

T:：これで今までできなかった小さいものから大きいものをひく引き算ができるようになり、引き算が常にできるようになりました。

この指導案には生徒が問題視し、解決の必要性を感じるような問題提示がなされていない。

問題を開発する必要がある。

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4.2 問題開発の過程
問題 1.
－2℃について考えてみる。―2℃とはどのような温度か？
マイナス 2℃とは？
⇒0℃より 2℃低い温度
このことから 0 が一番小さい数ではない、0 より小さい数があることに気づかせる。
次に数式にしてみる。
0℃より 2℃低い。
⇒0－2＝－2
分からなかったら違う減法の式で補足する。
10℃より 3℃低い温度は 7℃⇒10－3＝7または数直線を使って説明する。数直線で説明したら 0 が正と負の基準になることが分かりやすいと思う。
□0 より 2℃低い温度が－2℃ということがわかったとしても、そのことを覚えただけになってしまうのでは？
□「負の数」を正の数と同じように演算ができる「数」として認めたことにはならないのではないか？

この問題については、負の数がでてくるということがわかっても、それを演算に結びつけることができない。また、生徒自身が考えるような問題にしなければ生徒の本当の意
味での理解は得られない。

18

問題 2．
３－２＝１ ３－３＝０ では３－４は？

ここで、「小さい数から大きい数を引くことはできないのでは？」と、生徒はそういうだろう。そこで、具体的にみかんを３個持っていて、友達２人にひとつずつあげたら残りはひとつで３－２＝１となる。では３－４でそれを考えるとどうなるか？
みかんは３個しか持っていないのに友達が４人いたら、３人にしか渡せない。
手元にはもう０個なのにもう一人にもあげようとしている。
これを式にしてみると、
３－４＝３－３－１＝０－１□これではマイナスが出てきたのではなく、「ひく 1」が残っただけになってしまう。
なので、このことから負の数を導入するのは不可能である。
ここで具体例を用いたときと同じように「３から４を引いた数」という認識にとどまってしまうのを防ぐために、５－６ や ２－３などでも同じ結果が得られることを示し、数直線で説明する。
□扱う数字を変えたところで得られる結果は変わらないと考えられる。

最終的にみかんが手元に 1 個残っている場合はいいのだが、－１個残っているというのはどのように説明するつもりなのか？これは問題の設定がおかしい。そもそも－（マイナス）とは人間が便宜上に考え出したものであり、自然界に－１というものが転がっているのかと考えたらわかりやすいであろう。

このことから、マイナスを今までの数と同じように計算する（演算可能性）には、0 から1 までの距離と 0 から－1 までの距離が等しいことを示さなければならないのではないか？
これを示す上で、「絶対値」という概念が必要になってくるのではないのか？
⇒負の数を数直線上で扱うのならば絶対値の考え方は必要不可欠である。

19

問題３．
△＋○＝７という問題を考えてみる。ここで△の数を１から７まで１ずつふやしていき、その和が７となるにはどのようにしたらよいのか？

→○に入る数を１ずつ減らしてゆけばよい。
では上の問題で△の数を１から１０まで増やしていくとどうなるのか？
→７＋０＝７までは計算ができるけど、そこからの計算ができない。
□ここまでは○の数をひとつずつ減らしてゆけばよいことが上記の問題でわかったので、0 よりも 1 小さい数があれば計算ができるようになる。
→では、ここで 0 より 1 小さい数を適当に名前をつけて作ってみよう。
→（0 より 1 小さい数）例えば△1
ここで生徒に今まで学習した数直線を書いてもらい、0 より左側に 0 より小さい△1、△2と一つずつ書いていってもらい、気づいたことを発表してもらう。
→０から１までと、0 から△1 までの距離は同じ。
では、ここで７－８の計算を数直線上でやってみよう！

△＋○＝７で計算途中の○のにあたる数が負の数となるより、計算の結果が負の数になるような問題のほうが計算で負の数が必要となることがわかりやすいと考えた。
それに加えて、生徒が負の数を必要とするような問題提示がなされていない。
問題がないと、生徒は問題解決をとおして負の数の必要性に気づくことはできない。

20

問題４．
１０－１４＋５ この計算を解け。

10＋5－14 ＝ 15－14 = 1→この様に結合法則を用いて、大－小の形に直して解くと思われる。
・数が並んでいる順序どおりにはどうして解けないのか？
→小さい数から大きい数は引けないから・今まで計算できなかったものはどんなものだろうか？
→（例）2－5、6－7、5－10 など
例に挙がった６－７について考えてみる。
ここで、６－○＝△で○と△にあてはまるものをすべてノートに書き記してみる。また書いてみて気づいたことは？
6－0=66－1=56－2=46－3=36－4=26－5=16－6=0→減数は一ずつ増え、答えは一つずつ減っている。
気づいた生徒がいれば発表してもらう。
6－0=66－1=5↓
6－7=□

6－8=□→６－７の計算をするためには 0 よ 1 小さい数を準備すればよいということになる。
・新しい数（０より小さい数）に名前をつけてもらう。
→よって、計算できなかったものが以下のようにあらわすことができることがわかる。
6－7=△1

6－8=△221ここで、数直線を用いて表す。
・△1、△2…は数直線のどこに表せるか？
→0 の左側・0 から 1 までと 0 から－1 までの目盛りの大きさはどうなっているかな？
→同じ幅になっている
これで新しい数直線ができ、数直線での計算ができる。
問題の順序に従って式をたてると、このような計算が出てきてしまうような問題場面を考え、それを問題とすべき。

問題があり、それを教師がすべて説明するのではなく問題を考える上で生徒自身が自分で新しい考え方を用いなければならないような問題を作らないと授業にならない。

22

5.指導案作成
5.1 問題案
問題場面を考えていくうちにこの二つの問題を考えつきこれについての指導案をそれぞれ考えて作成した。
＜問題案 1＞
お昼の気温が 5℃ありました。
夜になると昼より 7℃下がりました。
でも朝になると夜より 3℃上がりました。
さて、朝の気温は何度でしょう？

計算式を書いてある通りに式に直すと…
5－7＋3 ＝ 1という式になる。
答えは 1℃であるが、計算の途中にできないはずの小－大の計算が含まれている。
＜問題案 2＞
家からおじいさんの家までは西に 2 キロ進んだところにあります。
今、家の東にある病院に行こうと思って東に 3 キロ進んだところで、おじいさんの家に用事を思い出して 5 キロ西に引き返しました。
そして、おじいさんの家から東へ 10 キロ進んで病院に着きました。
家から病院までの距離は何キロでしょう？

計算式を書いてある通りに式に直すと…
3－5＋10 ＝ 8という式になる。
答えは 8 キロであるが、＜問題案 1＞と同様に、計算の途中にできないはずの小－大の計算が含まれている。
このことから今までできなかった小－大の問題について生徒に解決させ、引き算を常にできるようにしようということを目標とする。
今回は＜問題案 1＞を用いた指導案を作成した。
23

5.2 指導案作成
数学的活動

支援

＜問題提示＞
お昼の気温が 5℃ありました。
夜になると昼より 7℃下がりました。
でも朝になると夜より 3℃上がりました。
さて、朝の気温は何度でしょう？
＜導入＞
T：今まで習った計算方法はなにがあったかな?
S：足し算・引き算・掛け算・割り算
T：そのなかで割り算をいつでも計算できる

気温の変化のみに焦点をあてて考えると、途ようにするために分数や小数をならったね。 中の夜の気温を考えずに 1℃という答と導くことができてしまう。
T：じゃあ他に常には計算することができないのはどれだろう？

↓↓支援

S：引き算
夜の気温は何度になるでしょう？
T：そうです。今日の授業で、いままで常に順を追って考えてみましょう。

はできなかった引き算をいつでもできるようにしていきましょう。というような発問が必要となると考えられる。

＜活動 A＞
この日の気温が変化した通りに式を立てるとどのような式になるか書いてみよう。
5－7＋3 ＝ 1
順序どおりに式を立てるとどうしても途中で小－大の計算がでてきてしまう。
↓↓
T：数が並んでいる順序どおりにはどうして解けないのでしょうか。
S：小さい数から大きい数は引けないから24今までできなかった引き算の具体例をノートに 3 つあげてみよう。
（例があがったら生徒を何人かあてて、黒板にその具体例を書いてもらう。
）
(ex)
2－5
6－7
5－10
T：では、今回は例にあがった 6－7 をつかっていきます。
T：今まで習ったやり方で
6－□ = ○
この式について、できる計算を全てノートに書いてみよう。また気付いたことを書こう。
6－0=66－1=56－2=4

6－3=36－4=2

6－5=1○計算の減数の大きさをばらばらに書いて6－6=0いる生徒には「引く数を小さい順に並べてみよう」と助言する。

○減数は一ずつ増えている○答えは一つずつ減っている
6－0=66－1=5↓○答えと減数の数の増え方と減り方の規則性にいついて気付いている生徒に前で説明

6－7=□

6－8=□

6－9=□

6－10=□するよう言う。

25

T：同じ 1 ずつ減っているからどんな数を準備したらいいだろう？
S：0 より 1 小さい数
T：では、引く数が 8 になったら？
S：0 より 2 小さい数
T：そうですね。じゃあその新しい数に名前をつけて表すことにします。
どんな名前が分かりやすいですか？
S：△1 △2 …
T：ではこれからそう呼ぶことにしましょう。
T：じゃあ新しい数ができたので、さっきノートに書いた計算を表せるよね。やってみよう。
T：じゃあこれを数直線に直してみようか。

0 1 2 3 4 5…
△1,△2…はどこに表せるかな？
○はじめに、0 の左側がない数直線を用意し、黒板にそれを板書する。
↓…△4 △3 △2 △1 0

1 2 3 4 5…

まず生徒に自分のノートで点を打ってみさせる。
○生徒に問いかける。

メモリの大きさはどうなるかな？

T：△1、△2…は数直線のどこに表せるかな？
S：左側…△4 △3 △2 △1 0 1

2 3 4 5…
○生徒に問いかける。
T：目盛りの大きさはどうなっているかな？
26

S：同じ幅になっている＜活動Ｂ＞
数直線上での計算（まず数直線上での計算を復習する。）

T：新しい数直線が作れましたね。

足し算
6＋1＝7617
引き算
7－6＝1

761

今までできなかった引き算
6－7＝□617
今は６－７の計算をしたから６－８、６－９というように引く数を増やしていってそれを数直線上で計算してみよう。
T:：これで今までできなかった小さいものから大きいものをひく引き算ができるように
27

なり、引き算が常にできるようになりました。

28

6.感想
今まで実際に問題をつくって授業の計画を立てたことがなかったので、自分の好きな問題を考えて授業をつくれるんだし、楽しそうだなと思っていました。しかし、今回の指導設計で指導案や数学史を調べていくにつれて、自分には一つの授業をつくれるだけの授業に関する知識も、負の数に対する理解もないんだな実感しました。
自分達が分かりやすいと思っても、生徒が自分で疑問に思って解決に至らないとただ覚えただけになってしまい、負の数の必要性なんて感じられないということをいろいろな人の指摘から知ることができました。
この授業を通して、知識がなければいいアイディアも本当に分かりやすい授業もできないということがわかったので、これから自分一人でも生徒の理解を助けるような指導案が作れるようにたくさん勉強していきたいです。
藤田綾

今回の指導設計で半年かけて指導案を作ってきましたが、こんなに大変なものだとは正直思っていなかったです。生徒たちに数学を教えるということがどれだけ大変なものかを改めて感じました。
指導案を作るのを進めるうちに、数学史を調べたり問題を考えることを通して、自分は数学についてまだまだ勉強不足だということを痛感しました。また授業を作るにおいて、先生がただ知識を教えるだけでは全く授業の意味がなく、生徒たちが活動を通して疑問に思い、解決するような支援、授業をしていかないと負の数の必要性を分かってもらえることができないことが授業を通して分かり、そのことを考慮して授業を作るのがとても大変でした。しかし指導案を作っていくにつれて活動や支援、問題の大切さにも学ぶことができました。
今回の指導案作りを通して、自分が本当に数学を理解してないと生徒たちに分かりやすい授業が作れないことを実感しました。この授業の経験を生かしてよりよい指導案が作れるように数学を知っていこうと思いました。
渡会亮介

29今回授業で指導案を作るにあたって、前期の授業で一回指導案を作っていたので、また学習指導要領に基づいてつくればいいのかと軽い気持ちでいたのだが、実際やってみて一つの授業を作るのにここまで大変なのかと驚いた。授業を作るためには、内容の理解を生徒の何倍も分かっていないといけないし、授業では「ここがこうなるんだよ！」というよ
うに教師が生徒に知識を押し付けるのではなくて、生徒自身に考えさせなければならないので本当に難しかった。これを振り返ってみると、今まで自分自身がいい授業にあまり出会ってこなかったのかなとも感じた。また今まで私が習ってきたものが授業なんだという概念があり、それからなかなか抜け出せないせいで先生から何度も指摘を受けてきた。
これからもっともっと数学について研鑚を積み、ひとりで授業を作り上げられるようになりたいと感じました。
川添秀基

今までなぜ負の数が生まれたのか？また、負の数の必要性について深く考えずに当たり前のように負の数を使っていたのは、大きな間違いでした。やはり、そういう意味で今までの学習概念を壊さないといけないと感じました。
また、今回初めて指導案も書いてとても苦労しました。今回はグループで作成しましたが、これを１人でやるとなると想像がつきません。先生たちが授業に臨むにあたって、こんなにすることがあるとは思いませんでした。良い授業をする先生の中には、準備の段階からしっかりしている先生のことであるとつうかんしました。
この講義を受けて吸収することが、たくさんありました。数学に対する興味もさらにわき、数学の教師になりたいという気持ちも強くなりました。自分が教師になった際には、学んだことを生かしていきたいです。
川畑 翔史

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