Nambu-Goldstone Fermion in Quark-Gluon
Plasma and Bose-Fermi Cold Atom System
佐藤大輔 (理研/BNL !ECT* ")共同研究者: Jean-Paul Blaizot (Saclay CEA #)日高義将 (理研)超対称性(SUSY)
ボソンとフェルミオンの入れ替えに対する対称性=bfbf2超対称性(SUSY)
Q: superchargebbff

SUSY: [Q, H]=0Supercharge演算子: フェルミオンを一個消してボソンを一個作る（およびその逆過程）

3

SUSYの破れ(媒質効果)SUSY

SUSYの破れnfnb≠
EE

南部-Goldstone (NG) モード?
4

V. V. Lebedev and A. V. Smilga, Nucl. Phys. B 318, 669 (1989)

SUSYの破れに対応したNG “フェルミオン”
南部-Goldstoneの定理:I.

(fermion ver.)−ikµ−ikµ!

!

4d xe

ik·(x−y)µ破れた対称性⟨T J (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,Jµ: supercurrent
Q=J0: supercharge

4d xe

ik·(x−y)µ⟨T J (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩

NGモード

オーダーパラメータ「オーダーパラメータが有限の時、左辺の伝播関数にはk→0に極がある」

5

By making useV. ofthe Ward-Takahashi identity (3.39), we
V. Lebedev and A. V. Smilga, Nucl. Phys. B 318, 669 (1989)
µνν
−ikΓ
(k)
=−im⟨A⟩Γ!
µ JJ
ΨJ (k).
SUSYの破れに対応したNG“フェルミオン”

4−ikµ−ikµd xe!

ik·(x−y)µ⟨TJ(x)O(y)⟩=⟨{Q,O(y)}⟩,This can now be calculated by using our earlier results for
破れた対称性First, in the limit of high temperature, we make use of (hand side of=theWard-Takahashi
identity as
d4 xeik·(x−y)the⟨Tleft
J µ (x)O(y)⟩⟨{Q,O}⟩"#"
022γππNGモード
オーダーパラメータµν4=
T−ikµ ΓJJ (k) = m2 ⟨A⟩2 2(µ=0)
g4− 13 γ i−O=Q†とすると、NG modeは<QQ†>に出現.

For the right hand side, we must evaluate the thermal e0νγ ).
今の場合オーダーパラメータはエネルギー・運動量テンソル(Tνof the energy-momentum tensor. In a thermalequilibrium
Wess-Zumino模型µν⟩ = diag(ρ,⟨Tε, p, p, p),
媒質があればSUSYは常に破れている.

SUSYはフェルミオン的な対称性なので、
where in the high-temperature limit the pressure is given
the energy density can be calculated as

出現するのはNG “フェルミオン”(Goldstino)!

ρ=
数少ないフェルミオン的ゼロモード%
d 3q $π22nF (Eq ) + 2nB (Eq ) Eq = T
3(2π)
86

V. V. Lebedev and A. V. Smilga, Annals Phys. 202, 229 (1990)

高温QED/QCDにおける擬goldstino

高温ではクォークとグルーオンはほぼゼロ質量相互作用を無視すればSUSYあり.

=qg7gδm2(/p−Σ(p))=0
Z=C+8=O(g)f22T 216πgV. V. Lebedev and A. V. Smilga, Annals Phys. 202, 229 (1990)
2

高温QED/QCDにおける擬goldstino
=
⎧ 2!
"!
"
g22 2⎨
2g8δm
22!1 +" = O(g 2 ) 2
実際、弱結合ではQED/QCDでクォークの擬ゼロモードが存在.
gZ = g 2 δm
144π8δm
221 + g T == O(g ) 2 &Zf=16π
Z=
C+84Nf
16π 2 2g T
g213N1Y. Hidaka,D.
S.,andT.
Kunihiro,Nucl.
Phys.
A876,93(2012)⎩16π
gT
16π 23 + 6 + 2N
D. S., PRD 87, 096011 (2013).
=2222222J. P. Blaizot and D. S., Phys.
Rev.
g22 D 89, 096001 (2014).
⎨⎧g 2⎨144π2&'2'
Z Z== 144π
22 & 4N
213N
13N
1 1
⎩⎩ gg 22 4Nff ++++16π
316π
366
2N2N

分散関係
崩壊率

⎧Reω＝p/3!

=O(g22 ) 22

δm
Cf + 8 2 2
g T=O(g )g"22= O(g )Z = Im 216π
⎧ 2gg2
QED144π 2⎨ g144π144π 2&'2=2f
13N
1⎩!g g(4 +2 N 4N)+ "QCD+22強度2gZ=
16π 2f48π 2216π234Nf
13N
1++362N62!
"2分散関係は線形NGmode).
22(Type-I=O(g)
4N
13N
1gZ=

f

16π 2+2 2 +362N8(δm )g22N8

実験場としての冷却原子系•格子構造（光学格子）→ ハバード模型•相互作用の強さを調整できる(レーザー強度、磁場：フェッシュバッハ共鳴)

冷却原子系は、実験が難しい多体系の実験場として使える
Wess-Zumino model: Y. Yu, and K. Yang, PRL 105, 150605 (2010)Dense QCD: K. Maeda, G. Baym and T. Hatsuda, PRL 103, 085301 (2009)
相対論的QED: Kapit and Mueller, PRA 83, 033625 (2011)9本研究のMotivation

もし冷却原子系を使ってSUSYを持つ系をsimulateできれば、goldstinoを実験的に観測できる!!

10

T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)

冷却原子系における超対称性

光学格子上に2種類のフェルミオン（f, F）とその束縛状態のボソン（b）を載せる
bf

F

11

h our theory isby a Hamiltonian H = H0 + Hex , where H0 = Hbf + HF
citations due towith Hbf = Hb + Hf + V . By means of the Feshbach resT. Shi,between
Y. Yu, and C.FP. Sun,011604(R) (2010)
al. This may be
onance [9], the scattering lengths
andPRAthe81,b-f
istic theory.
mixture can be adjusted to negligibly small. In the tight冷却原子系における超対称性
and Fermi atoms
binding approximation, one has
l optical lattice
! α†
! α†
α
interactions andtα ai aj − µαai aiα ,Hα = −ome SUSY [3].
⟨ij ⟩i(1)b, a bound state!
!
"#Ubbfb b
binding energyV =ni ni − 1 + Ubf
nbi ni ,2 iphase of the b-fif011604-1b©2010 The American Physical Society=(tf =tb)(µf =µb)tの調整法: M. Snoek, S. Vandoren, and H. T. C. Stoof, PRA 74, 033607 (2006)

12ry.
mixture can be adjusted to negligibly small. In the tightatoms
binding approximation, one has
T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)
lattice! α†! α†ααns and=−taa−µaaHααα
冷却原子系における超対称性ji ,ii
Y [3].
⟨ij ⟩i(1)d state!
!
" b#Ubbbb fnergyV =ni ni − 1 + Ubfni ni ,2 ie b-f
i011604-1=©2010 The American Physical Society(Ubb =Ubf)
tf =tb, Ubb =Ubf, µf =µbの場合、Q =bf †はハミルトニアンと可換.

Fはdecouple.
13

!
SUSYの破れに関連したNG“フェルミオン”
4−ikµ−ikµd xe!

Q =bf †
Q† =b†fik·(x−y)µ⟨T J (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,破れた対称性

d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩
NGモード

オーダーパラメータ

O=Q†とすると、NG modeは<QQ†>に出現.
オーダーパラメータは今回考える系の場合、密度(ρ).
SUSYはρが有限だと常に破れている.
14

セットアップ
d=2

BECなし.

連続極限を考える：a << (kf)-1, (T)-1(以後a=1の単位で解析.)

Δµ=µf -µb ≠0ExplicitなSUSY breaking
15

T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)

resummed perturbationによる計算
Goldstinoの伝播関数、スペクトルを計算(<Q†(x)Q(0)>)

b

Q =bf †より、
I.

1ループの伝播関数は<Q†(x)Q(0)>=f!

ハミルトニアンレベルではSUSYがあるので、フェルミオンとボソ−ikµ d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,!
ンの分散関係が同じになり、ω-Δµ,p→0で積分が発散−ikµd4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩（ピンチ特異性）(Δµ=µf -µb)f(フェルミオン項)=
Π0 (ω, p) ≃bΠ (ω, p) ≃!

!

nF (ϵfk )d2 k, →∞22(2π) ω − ∆µ − t(2k · p + p )d2 knB (ϵbk )16.

T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)

resummed perturbationによる計算
I.

(1) 分散関係の密度補正をresum
フェルミオン:−ikµ−ikµunit,!

!

Uρbd4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O(y)}⟩,d4 xeik·(x−y) ⟨T J µ (x)O(y)⟩ = ⟨{Q, O}⟩Uρf

ボソン:
Π0f (ω, p) ≃!

2Uρb+nF (ϵfk )d2 k,22(2π) ω − ∆µ − t(2k · p + p )ピンチ特異性は正則化
Π0b (ω, p) ≃!

(フェルミオン項)=
Π0f (ω, p) ≃
Π0b (ω, p) ≃!

!

d2 knB (ϵbk ).
22(2π) ω − ∆µ − t(2k · p − p )nF (ϵfk )d2 k-1→U,(2π)2 ω − (∆µ + t(2k · p + p2 ) + U ρ)
d2 knB (ϵbk ).

17

T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)

resummed perturbationによる計算
全てのringダイアグラムが同じオーダーの寄与
U-1

U-1 ×U ×U-1=U-1

無限個のringダイアグラムの足し合わせが必要

18

T. Shi, Y. Yu, and C. P. Sun, PRA 81, 011604(R) (2010)

resummed perturbationによる計算(2) Random Phase Approximation

self-consistentな式でなくexplicitに書ける.
19

エネルギー・運動量で展開(1), (2)を使ってGoldstinoの伝播関数を計算.

運動量が小さい場合に興味がある.
→エネルギー・運動量で展開p <<kf, Uρ/(kf t)

20

Π0b (ω, p) ≃goldstinoのスペクトル

留数1(2π)2 ω − ∆µ − t(2k · p − p2 )2fnF (ϵk )d k(2π)2 ω − (∆µ + t(2k · p + p2 ) +!
b2ωn(ϵdkB k)b
Π0 (ω, p) ≃(2π)2 ω − (∆µ + t(2k · p − p2 ) +f
Π0 (ω, p) ≃分散関係!

k(sum ruleから許される最大値)

Type-II NG mode
(相対論的な系ではType-I).

t2 4πρ2ft(ρf − ρb )−α≡2Uρ
ρ(T=0の場合)"#2 24πtρf1
α≡− t(ρf − ρb )ρUρ

崩壊幅は、NG定理よりp=0で0と期待される.

（p:有限の時の崩壊幅の大きさは、衝突効果を入れてないため確認できていない）

21

T≠0での結果
U/t=0.1, lf=0.5, lb=1.0
17_/t

1615

1400.1

0.2

0.3

0.4

0.5
T/t

0.6

0.7

0.80.91

係数αはTが大きくなると増える.
22強磁性体中のスピン波とのアナロジー
強磁性体中のスピン波

Goldstino
保存量: Q, Q†, ρ

保存量: m+, m-, mz

破れている オーダーパラメータ破れている オーダーパラメータ

Q†m+Q

m-fb
Q2=Q†2=0up

down

m+2=m-2=0m± =mx ± imy23強磁性体中のスピン波とのアナロジー
スピン波
外部磁場 h

スピン波の分散関係:! = h + ↵p2

Type-II24強磁性体中のスピン波とのアナロジー
一般に、NG modeがtype-IかIIは保存量間の交換関係の期待値によって決まる.
NII=rank<[Qa, Qb]>/2
NI=NBS -2NII(<[m±, mz]>=0<[m+, m-]>=2m0)

H. Watanabe and H. Murayama, PRL 108, 251602 (2012)
Y. Hidaka, PRL 110, 091601 (2013)

NII =1NI =0

rank<[Qa, Qb]>/2=1
NBS =225

強磁性体中のスピン波とのアナロジー
Goldstino
保存量の間の(反)交換関係はスピン波の時と同じ構造.
Q, Q†⇄m+, m-<[Q, ρ]>=0<{Q, Q†}>=ρ(<[m±, mz]>=0<[m+, m-]>=2m0)

ρ⇄mz

したがって、両者のスペクトルが同じ形をしている事が自然に理解できる.

26

強磁性体中のスピン波とのアナロジー!=µ↵p2Δµ⇄hT. Hayata, Y. Hidaka (2014)

スピン波と同様、p:有限の時の崩壊幅はDp4の形.
（Dは久保公式使うと計算可能）

この分散関係および崩壊率の運動量依存性はモデルによらない！
27まとめ• QGPおよび冷却原子系におけるgoldstinoの分散関係および強度の表式を得た (弱結合、連続極限で).

• goldstinoと強磁性体中のスピン波の分散関係の類似性を、 保存量間の(反)交換関係が同じ構造を持っている事から理解した.

28