Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Actuariat IARD - ACT2040
Partie 1 - introduction
Arthur Charpentiercharpentier.arthur@uqam.ca
http ://freakonometrics.hypotheses.org/

Automne 20131

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Plan du cours• Motivation et introduction : tarification et provisionnement• Modélisation de la survenance d’un sinistre◦ Régressions logit et probit, Yi |X 0i ∼ B(π[X 0i β])◦ Les arbres de régression• Fréquence de survenance de sinistres◦ Régression de Poisson Yi |X 0i ∼ P(λ[X 0i β])◦ Surdispersion : quasi-Poisson, Binomiale Négative & inflation de zéros• Coûts individuels de sinistres◦ Régressions Gamma et lognormale◦ Écretement des grands sinistres, et mutualisation• Provisionnement pour sinistres à payer◦ Les triangles de provisionnement◦ Méthode de Mack
◦ Régression de Poisson2Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Prérquis et ouvrages de référence
Ce cours suppose acquises les méthodes vues au cours ACT6420, méthodes deprévision.

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L’hétérogénéité

4Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

La prime pure
Pour une variable de comptage
XX
E(N ) =nP(N = n) =P(N > n)n∈Nn∈N

Pour une variable continue positiveZ
Z
E(X) =
xf (x)dx =x∈R+P(X > x)dx

x∈R+

Z ∞
où P(X > x) = F (x) =f (t)dt.
x

5

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La prime pure
Plus généralement,
Z
E(X) =

xdF (x)x∈Roù F admet un nombre fini (ou dénombrable) de discontinuité {d1 ≤ d2 ≤ · · · }.

 F (d ) − F (d− ) si x = dnnndF (x) = f˜(x) sinonoù
F (x) =Xdn ≤xZ
P(X = dn ) +f˜(t)dtt≤xDéfinition 1. Etant donné un risque X, la prime pure est πX = E[X].

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Exemples de calculs d’espérance
Pour les lois discrètes classiques n k• si N ∼ B(n, p), P(N = k) =p [1 − p]n−k , alors E(X) = np,kk−λ λ• si N ∼ P(λ), P(N = k) = e, alors E(X) = λ,k!
Γ(r + k) r
r[1 − p]• si N ∼ N B(r, p), P(N = k) =p [1 − p]k, alors E(X) =,k! Γ(r)p
Pour les lois continues classiques!
2
1(x − µ)2√• si N ∼ N (µ, σ ), ϕ(x) =exp −, alors E(X) = µ,
2
2σ
σ 2π
!
2
[ln(x) − µ]12
√ exp −• si N ∼ LN (µ, σ ), f (x) =, alors
2
2σ
xσ 2π


σ2
E(X) = exp µ +,2α −β xα
α−1 β e• si N ∼ G(α, β), f (x) = x, alors E(X) = ,
Γ(α)
β
7

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Espérance pour une loi composéeDans un modèle collectif, on s’intéresse à S =N
X

Xi si N ≥ 1, 0 sinon.

n=1

Si les Xi sont i.i.d., indépendants de N , alors
E[S]= E[E(S|N )] =+∞X

P[N = k] · E

=

#
Xi

i=1

k=1
+∞
X

" k
X

!
P[N = k] · k E[X1 ] = E[N ] · E[X1 ].

k=1

où
• E[N ] est la fréquence• E[X1 ] est le coût moyen8Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

De l’espérance a la prime pure
Pascal, Fermat ou Condorcet (XVIIIème siècle) proposaient d’évaluer le “produit
scalaire des probabilités et des gains”,< p, x >=nXpi xi = EP (X),i=1selon la “règle des parties”.
=⇒ garantie un équilibre du système, en moyenne.
L’espérance mathématique est un prix “juste” (Feller (1943)),– moindres carrés, E(X) = argmin{kX − ckL2 , c ∈ R}
X1 + ... + Xn P
– loi des grands nombres,→ E(X),n
X1 + ... + Xn L
V ar(X)– théorème central limite,∼ N E(X), √
,
n
 n

X1 + ... + Xn
– probabilité de ruine, lim P> π = 1 pour π < E(X).
n→∞n
9Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

De l’espérance a la prime pure
Remarque : Paradoxe de Saint Pétersbourg : l’espérance de gain est infinie,∞X
i=1

P(arrêt au nième coup) · 2n =

∞
X
1

∞
X

n
·
2
=
1 = ∞.
n2i=1
i=1Peut-être pas forcément le méthode la plus intuitive, pour les grands risques...

10Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

La prime pure - sans segmentation
Pour tarifer, il est raisonnable de choisir une constante c “la plus proche” de lavariable aléatoire S, i.e. c qui minimise E([S − c]2 ). Or
E([S − c]2 ) = E([S − E(S) + E(S) − c]2 ) = E([S − E(S)]2 ) + E([E(S) − c]2 )+0i.e.
E([S − c]2 ) = [E(S) − c]2 + quelque chose indépendant de c.
donc E([S − c]2 ) est minimal pour c = E(S).
Remarque : cf méthode des moindres carrés dans le cours de prévision.

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L’excédant moyen de sinistre
L’excédant moyen de sinistre (encore appelé durée de vie moyenne restante en
assurance sur la vie) est défini pareX (x)= E[X − x|X > x]Z +∞1=(s − x)dFX (s), x ≥ 0.
F X (x) x

cf. section du cours sur la réassurance

12Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

L’excédant moyen de sinistre
Loi de probabilité
E(λ)
G(α, β)LN (µ, σ 2 )Pareto(α, x0 )eX (x)1θ
α 1 − Γ(α + 1, βx)−x
β 1 −Γ(α, βx)2ln(x) − µ − σ
Φ
σ
σ2

 −x
exp(µ + 2 )ln(x) − µΦσx0 + xα−113Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Primes stop-loss (contrat avec franchise)
Etant donné un risque X, la prime stop-loss pour une franchise d ≥ 0 est définieparπX (d) = E[(X − d)+ ] = eX (d)F (d)..
Un traité de réassurance stop-loss (ou excédent de perte) consiste à faire prendre
en charge par le réassureur la partie de la charge totale S des sinistres qui dépasseune certaine somme d. La portion réassurée, notée S R , est donc définie par 0, si S ≤ d,
S R = (S − d)+ = S − d, si S > d.
La prime pure que la cédante devra verser au réassureur pour un tel contrat,
appelée prime stop-loss, est donnée par
E[S R ] = E[(S − d)+ ].
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Définition 2. Etant donné un risque X, la prime stop-loss pour une rétentiont ≥ 0 est définie parπX (t) = E[(X − t)+ ].
La fonction πX est encore appelée la transformée stop-loss de la variable aléatoire
X.
Proposition 3. La transformée stop-loss peut s’exprimerZ +∞πX (t) =F X (x)dx.
x=t

Proposition 4. Supposons E[X] < +∞. La transformée stop-loss πX possède les
propriétés suivantes :(i) elle est décroissante et convexe.
(ii) limt→+∞ πX (t) = 0 et limt→−∞ {πX (t) + t} = E[X].
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Primes d’EsscherDéfinition 5. Etant donné un risque X, la prime d’Esscher de paramètre α est
définie par
EP (XeαX )πX (α) == EQ (X),αX
EP (e )où sous Q, la fonction de répartition de X qui s’écrivait auparavant (sous P)
FX (·) devient ici
eα· dFX (·)
GX (·) = Z.
eαt dFX (t)R

16Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Hétérogénéité d’un portefeuille avec information parfaite
Considérons une assurance voyage, avec les indemnitées– pays A, $ 250 avec probabilité 10%– pays B, $ 250 avec probabilité 20%
La dépense sera, conditionnelle à la destination 0, avec la probabilité 0.9,
SA =
 250, avec la probabilité 0.1
et
SB =


 0, avec la probabilité 0.8,
 250, avec la probabilité 0.2.

Si la destination n’est pas observée 0, avec la probabilité 0.85,
SAB = 250, avec la probabilité 0.15.
17Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Hétérogénéité d’un portefeuille avec information parfaite
La prime pure
– sans segmentation sera E(SAB ) = 37.5
– avec segmentation sera E(SA ) = 25 à destination de A et E(SB ) = 50 à
destination de B
S’il y a deux compagnies qui se font concurence, une qui segmente, l’autre pas...

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Hétérogénéité et mélange de loi
Supposons qu’il existe un effet aléatoire Θ représentant le niveau de risque(inconnu) d’un assuré pris au hasard dans le portefeuille. On suppose que X
sachant Θ = θ admet pour loi Fθ . AlorsZ
P(X ≤ x) = E[P(X ≤ x|Θ)] =Fθ (x)dΠ(θ)Ω(moyenne des Fθ pondérée par dΠ).

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion
Définition 6. La variable aléatoire de comptage N est de loi de Poissonmélange de moyenne λ et de niveau de risque relatif Θ lorsque


k
(λΘ)
P[N = k] = E exp(−λΘ)
k!
Z +∞
(λθ)k
exp(−λθ)=dFΘ (θ), k ∈ N,
k!
0

(1)

où FΘ est la fonction de répartition de Θ, telle que E[Θ] = 1. On notera
MPoi(λ, FΘ ) ou MPoi(λ, Θ).

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion
Considérons l’exemple classique des bons et mauvais conducteur,– pour les bons, N ∼ Poi(λθ1 )– pour les mauvais, N ∼ Poi(λθ2 )avec θ2 > 1 > θ1 .
Si la proportion de bons risques est %, θ , avec une probabilité %,1Θ= θ2 , avec une probabilité 1 − %,où θ1 , θ2 et % sont contraints parE[Θ] = %θ1 + (1 − %)θ2 = 1.

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion
La probabilité qu’une police (dont on ne sait pas s’il s’agit d’un bon ou d’unmauvais risque) donne lieu à k sinistres durant la période de référence est alors de(λθ1 )k(λθ2 )k
P[N = k] = % exp(−λθ1 )+ (1 − %) exp(−λθ2 ),k!
k!
Si Θ devient une variable aléatoire continue, de densité de probabilité fΘ alors
Z +∞P[N = k] =0(λθ)kfΘ (θ)dθ, k ∈ N.
exp(−λθ)
k!

(2)

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion
Soit N ∼ MPoi(λ, Θ), alors
Z +∞E[N ] =
0

+∞
X
k=0

k

(λθ)
k exp(−λθ)
k!

!
dFΘ (θ)Z +∞=λθdFΘ (θ) = λ.
0etVar[N ]

Z +∞

+∞
X

0

k=0

=
Z +∞
=

(λθ)k
k exp(−λθ)
k!
2!
dFΘ (θ) − λ2(λθ + λ2 θ2 )dFΘ (θ) − λ2 = λ + λ2 Var[Θ].

0

Comme
Var[N ] = E[N ] + λ2 Var[Θ] > E[N ]pour autant que Θ ne soit pas constant.
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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion
Tout mélange de Poisson implique donc une surdispersion des données. La
fonction génératrice des probabilités de N ∼ MPoi(λ, Θ) et la tranformée de
Laplace de Θ sont liées par la formule
Z +∞MN (z) =exp(λθ(z − 1))fΘ (θ)dθ = LΘ (λ(1 − z)).
(3)0

Si nous considérons que Θ ∼ G(α, α),−αλ(1 − z)
MN (z) = 1 +,αqui est la fonction génératrice des probabilités associée à la loi BN (α, α/(α + λ)).
Les mélanges de Poisson sont identifiables, i.e. si N1 ∼ MPoi(λ, Θ1 ) etN2 ∼ MPoi(λ, Θ2 ) alors
L

L

N1 = N2 ⇒ Θ1 = Θ2 .
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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion
Les mélanges de Poisson jouissent d’une propriété trs importante établie par
Shaked (1980) et connue comme le “Shaked’s Two Crossings Theorem”.
Proposition 7. Si N ∼ MPoi(λ, Θ) alors il existe deux valeurs entières
0 ≤ k0 < k1 telle que
P[N = k] ≥P[N = k] ≤P[N = k] ≥λkexp(−λ)pour k = 0, 1, . . . , k0 ,k!
λkexp(−λ)pour k = k0 + 1, . . . , k1 ,k!
λkexp(−λ)pour k ≥ k1 + 1.
k!

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion> library(stats4); library(MASS)> FREQUENCE=c(7840,1317,239,42,14,4,4,1)> x=rep(0:7,FREQUENCE)> table(x)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
7840 1317 239
42
14
4
4
1
> mean(x)[1] 0.2143537> var(x)[1] 0.2889314

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion> fitdistr(x,"poisson")lambda0.21435366(0.00475989)> fitdistr(x,"negative binomial")size
mu
0.701486138
0.214355746(0.062786579) (0.005438638)
Messages d’avis :1: In dnbinom_mu(x, size, mu, log) : production de NaN
2: In dnbinom_mu(x, size, mu, log) : production de NaN
3: In dnbinom_mu(x, size, mu, log) : production de NaN> library(vcd)> model.poisson=goodfit(x,type="poisson",method="ML")27

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion> model.poisson
Observed and fitted values for poisson distribution
with parameters estimated by ‘ML’
count observed
0
7840
1
1317
2
239
3
42
4
14
5
4
6
4
7
1

fitted7635.622
1636.724
175.4188
12.53389
0.671671
0.028795
0.001028
0.000031

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion> model.poisson> summary(model.poisson)
Goodness-of-fit test for poisson distribution
X^2 dfP(> X^2)
Likelihood Ratio 302.484 6 2.401523e-62> plot(model.poisson)29Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Mélange de loi de Poisson et surdispsersion> model.nb=goodfit(x,type="nbinomial",method="ML")> model.nb
Observed and fitted values for nbinomial distribution
with parameters estimated by ‘ML’
count observed
fitted07840 7847.0055590
11317 1288.3613321
2
239 256.5374241
3
4254.0688144
41411.7105586
54
2.5772550
640.5732035
710.1284389

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Mélange de loi de Poisson et surdispsersion> summary(model.nb)
Goodness-of-fit test for nbinomial distribution
X^2 dfP(> X^2)
Likelihood Ratio 17.00285 5 0.00449439> plot(model.nb)

31Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation en assuranceDéfinition 8. On qualifie de segmentation toute technique que l’assureur utilise
pour différencier la prime, et éventuellement aussi la couverture, en fonctiond’un certain nombre de caractéristiques spécifiques du risque à assurer, et ce afinde parvenir à une meilleure concordance entre les coûts qu’une personnedéterminée met à charge de la collectivité des preneurs d’assurance et la prime
que cette personne doit payer pour la couverture offerte. Dans certains cas, cela
peut impliquer que l’assureur refuse le risque à assurer.

32Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation et espérance conditionnelle
Si N ∼ MPoi(λ, Θ), la fonction de répartition de Θ sachant que N = n, notéeFΘ (·|n),FΘ (t|n)===P[Θ ≤ t, N = n]P[N = n]Rt(λθ)nexp(−λθ) n! dFΘ (θ)
0
R
(λθ)n
exp(−λθ) n! dFΘ (θ)
R+
Rt
exp(−λθ)θn dFΘ (θ)
0R.
nexp(−λθ)θ dFΘ (θ)
R+

On peut alors en calculer l’espérance :Z
E[Θ|N = n] =θdFΘ (θ|n)
R+

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Segmentation et espérance conditionnellequi donne finalement
Rt
exp(−λθ)θn+1 dFΘ (θ)
0E[Θ|N = n] = R.
nexp(−λθ)θ dFΘ (θ)
θ∈R+

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Segmentation et espérance conditionnelle
On vérifie aisément que l’espérance conditionnelle possède les propriétéssuivantes : quelles que soient les variables aléatoires X1 , X2 et X3 , et la constanteréelle c,(i) E[c|X1 = x1 ] = c quel que soit x1 ∈ R.
(ii) E[X1 + X2 |X3 = x3 ] = E[X1 |X3 = x3 ] + E[X2 |X3 = x3 ] quel que soit x3 ∈ R.
(iii) E[cX1 |X2 = x2 ] = cE[X1 |X2 = x2 ], quel que soit x2 ∈ R.
(iv) quelle que soit la fonction g, E[g(X1 , X2 )|X2 = x2 ] = E[g(X1 , x2 )|X2 = x2 ]quel que soit x2 ∈ R.
(v) si X1 et X2 sont indépendantes alors E[X1 |X2 = x2 ] = E[X1 ].

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Segmentation et espérance conditionnelle
A moins que X1 et X2 ne soient indépendantes, la loi de X1 sachant X2 = x2dépend de x2 . En particulier, E[X1 |X2 = x2 ] est une fonction de x2 , i.e.
E[X1 |X2 = x2 ] = h(x2 ).
On pourrait ainsi s’intéresser à la variable aléatoireh(X2 ) = E[X1 |X2 ].
Proposition 9. La variable aléatoire E[X1 |X2 ] a mme moyenne que X1 :hi
E E[X1 |X2 ] = E[X1 ].

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Segmentation et espérance conditionnelleDémonstration. Lorsque X1 et X2 sont continues, cette égalité s’établit commesuit :Zhi
E E[X1 |X2 ] =E[X1 |X2 = x2 ]f2 (x2 )dx2
x2 ∈R

Z

Z


x1 f1|2 (x1 |x2 )dx1 f2 (x2 )dx2

=
x ∈R

Z 2

x1 ∈R

Z

=

x1 fX (x1 , x2 )dx1 dx2
x ∈R

Z 2
=

x1 ∈R

x1 f1 (x1 )dx1 = E[X1 ].
x1 ∈R

Le raisonnement est similaire dans les cas discret et mixte.

37Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation et espérance conditionnelle
Epinglons à présent une caractéristique remarquable de l’espérance
conditionnelle, qui peut tre prise comme définition générale de ce concept.
Proposition 10. Quelle que soit la fonction h : R → R, nous avonshiE h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ] = 0.

Démonstration. La Propriété 9 nous permet d’écrireihE h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ]iih h= E E h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ] X2hhii
= E h(X2 )E X1 − E[X1 |X2 ] X2 = 0,ce qui achève la vérification du résultat annoncé.
38

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

On peut voir X1 − E[X1 |X2 ] comme un résidu (c’est-à-dire comme la partie deX1 que ne parvient pas à expliquer X2 ).
Ceci garantit que E[X1 |X2 ] est le meilleur prédicteur de X1 au sens des moindres
carrés, comme l’indique le résultat suivant.
Proposition 11. La variable aléatoire h∗ (X2 ) = E[X1 |X2 ] est celle minimisantE[(X1 − h(X2 ))2 ] sur toutes les fonctions h.
Démonstration. Ecrivons
E[(X1 − h(X2 ))2 ]= E[(X1 − E[X1 |X2 ] + E[X1 |X2 ] − h(X2 ))2 ]= E[(X1 − E[X1 |X2 ])2 ] +E[(E[X1 |X2 ] − h(X2 )2 ]|{z}
indépendant de h

+2 E[(X1 − E[X1 |X2 ])(E[X1 |X2 ] − h(X2 ))]{z}|=0 par définition de l’espérance conditionnelle

sera minimum lorsque h(X2 ) = E[X1 |X2 ].
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Segmentation et espérance conditionnelle
Il n’y a bien entendu aucune raison de se limiter à une seule variableconditionnante, et on peut considérer un vecteur X de dimension n et définirE[X1 |X2 , . . . , Xn ].
Définition 12. Considérons un vecteur aléatoire X de dimension n.
L’espérance conditionelle E[X1 |X2 , . . . , Xn ] de X1 sachant X2 , . . . , Xn est la
variable aléatoire h∗ (X2 , . . . , Xn ) telle que l’égalité∗E h(X2 , . . . , Xn ){X1 − h (X2 , . . . , Xn )} = 0,(4)

est vérifiée pour toute fonction h : Rn−1 → R.

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Transfert de risque sans segmentation
Tentons à présent de formaliser le problème de la segmentation. Considérons un
assuré soumis à un risque S, prélevé au hasard au sein d’un portefeuilled’assurance. Supposons que toutes les caractéristiques de l’assuré influençant lerisque soient reprises dans un vecteur aléatoire Ω = (Ω1 , Ω2 , . . .). La notation“oméga” rappelle que le vecteur du mme nom contient toute l’information à
propos de l’assuré, qu’elle soit observable ou non par l’assureur.
On peut imaginer que l’assureur ne tienne compte en aucune manière descaractéristiques Ω de l’assuré, et lui réclame donc une prime pure de montant
E[S], la mme que celle qu’il réclame à tous les assurés du portefeuille. Dans ce
cas, la situation est telle que présentée au Tableau 1.

41

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Transfert de risque sans segmentation
Assurés

AssureurDépense

E[S]S − E[S]Dépense moyenne

E[S]

0

Variance

0

Var[S]

Table 1 – Situation des assurés et de l’assureur en l’absence de segmentation.
L’assureur prend donc l’entièreté de la variance des sinistres Var[S] à sa charge,que celle-ci soit due à l’hétérogénéité du portefeuille, ou à la variabilité
intrinsèque des montants des sinistres.

42

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation avec information parfaite
A l’autre extrême, supposons que l’assureur incorpore toute l’information Ω dansla tarification. On serait alors dans la situation décrite au Tableau 2.

DépenseDépense moyenne
Variance

Assurés

AssureurE[S|Ω]

S − E[S|Ω]

E[S]
h
i
Var E[S|Ω]0hi
Var S − E[S|Ω]Table 2 – Situation des assurés et de l’assureur dans le cas o la segmentation est
opérée sur base de Ω.
Contrairement au cas précédent, la prime payée par un assuré prélevé au hasard
dans le portefeuille est à présent une variable aléatoire : E[S|Ω] dépend descaractéristiques Ω de cet assuré.
43Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation avec information parfaite
Comme la variable aléatoire S − E[S|Ω] est centrée, le risque assumé parl’assureur la variance du résultat financier de l’opération d’assurance, i.e.
hiVar S − E[S|Ω]h
2 i= E S − E[S|Ω]
h h
2 ii
= E E S − E[S|Ω] Ωhi= E Var[S|Ω] .

On assiste dans ce cas à un partage de la variance totale de S (c’est-à-dire durisque) entre les assurés et l’assureur, matérialisé par la formulehihiVar[S] = E Var[S|Ω] + Var E[S|Ω] .
{z
} |
{z
}
|
→assureur→assurés

44Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation avec information parfaite
Ainsi, lorsque toutes les variables pertinentes Ω ont été prises en compte,l’intervention de l’assureur se limite à la part des sinistres due exclusivement au
hasard ; en effet, Var[S|Ω] représente les fluctuations de S dues au seul hasard.
Dans cette situation idéale, l’assureur mutualise le risque et il n’y a donc aucune
solidarité induite entre les assurés du portefeuille : chacun paie en fonction de son
propre risque.

45

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation avec information imparfaite
Bien entendu, la situation décrite au paragraphe précédent est purementthéorique puisque parmi les variables explicatives Ω nombreuses sont celles qui
ne peuvent pas être observées par l’assureur. En assurance automobile par
exemple, l’assureur ne peut pas observer la vitesse à laquelle roule l’assuré, son
agressivité au volant, ni le nombre de kilomètres qu’il parcourt chaque année.
Dès lors, l’assureur ne peut utiliser qu’un sous-ensemble X des variables
explicatives contenues dans Ω, i.e. X ⊂ Ω. La situation est alors semblable àcelle décrite au Tableau 3.

46Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation avec information imparfaiteDépenseDépense moyenne
Variance

AssuréAssureurE[S|X]

S − E[S|X]

E[S]
h
i
Var E[S|X]0hi
E Var[S|X]

Table 3 – Situation de l’assuré et de l’assureur dans le cas o la segmentation est
opérée sur base de X ⊂ Ω.
Il est intéressant de constater que
h
i
h h
ii
h
h
ii
E Var[S|X] = E E Var[S|Ω] X + E Var E[S|Ω] X
io
h
i
n
h
= E Var[S|Ω] + E Var E[S|Ω] X .
|
{z
} |
{z
}
mutualisation(5)

solidarité

47

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation avec information imparfaite
On peut interpréter cette décomposition du risque pris en charge par lacompagnie comme suit : l’assureur, lorsque tous les facteurs de risque ne sont pas
pris en compte, intervient pour réparer les conséquences fâcheuses du hasard(premier terme de (5) traduisant la mutualisation du risque), mais doit aussi
prendre en charge les variations de la prime pure exacte E[S|Ω] qui ne sont pas
expliquées par les facteurs de risque X intégrés au tarif (second terme de (5),traduisant la solidarité induite par une personnalisation imparfaite du montant
de la prime). En d’autres mots, en plus de contrer les mauvais coups du sort,l’assureur doit également supporter la variabilité des sinistres due aux
caractéristiques des assurés, non prises en compte par le tarif.

48

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Segmentation avec information imparfaite
Dans une tarification segmentée en fonction de X ⊂ Ω, le partage de la variancede S s’effectue comme suit :hihiVar[S] = E Var[S|X] + Var E[S|X]
h
i
h
h
ii
= E Var[S|Ω] + E Var E[S|Ω] X
{z
} |
{z
}
|
mutualisation
solidarité
|{z}→assureurhi+ Var E[S|X] .
|{z}→assurés49Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Tarifications a priori et a posteriori
Toute l’idée qui sous-tend la tarification d’expérience est que l’historique dessinistres révèle les caractéristiques non observables des assurés. Plus précisément,si on note S les informations concernant la sinistralité passée des assurésdisponibles pour l’assureur, l’information contenue dans (X, S) devient
comparable à Ω, tant et si bien que E[S|X, S] devrait converger vers E[S|Ω](dans un sens à préciser).

50

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Rappels sur l’inférence statistique
En statistique, on dispose d’observations {y1 , . . . , yn }, supposées être deréalisations de variables aléatoires i.i.d. {Y1 , . . . , Yn }. On suppose que les Yi sontde loi F? , inconnue, mais que
F? ∈ F = {Fθ , θ ∈ Θ}
Aussi, F? = Fθ? . On cherche alors à estimer le paramètre θ de la loi.
Un estimateur θb est une fonction des observations, θb = g(y1 , . . . , yn ). Chercher les
propriétés d’un estimateur consiste à étudier les propriétés de la variablealéatoire θb = g(Y1 , . . . , Yn ).
Par exemple, θb est un estimateur sans biais de θ si
b = E[g(Y1 , . . . , Yn )] = θE[θ]lorsque les variables Yi sont i.i.d. de loi Fθ .
51

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Rappels sur l’inférence statistique
La précision d’un estimateur se juge souvent à l’aide de l’erreur quadratiquemoyenne (mean squared error),b = E (θb − θ)2 .
mse(θ)
Un estimateur sera dit convergent si θbn = g(Y1 , . . . , Yn ) converge (en probabilité)vers θ lorsque n → ∞, i.e.
lim P(|θbn − θ| > ) = 0, ∀  > 0.

n→∞

Un estimateur sera dit asymptotiquement Gaussien si (à une transformation
affine près) θbn = g(Y1 , . . . , Yn ) converge (en loi) vers une variable Gaussienne√Ln[θbn − θ] → N (0, ?).

52

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Le maximum de vraisemblance
La méthode la plus classique pour estimer θ est la méthode du maximum devraisemblance. On appelle vraisemblance la fonction
L(θ; y) =nYfθ (yi )i=1

et on peut définir la log-vraisemblance commelog L(θ; y) =nXlog fθ (yi )i=1

Le maximum de vraisemblance (s’il existe) est alorsθb = argmax {L(θ; x), θ ∈ Θ} = argmax {log L(θ; x), θ ∈ Θ}

53Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Le maximum de vraisemblance
Ce problème d’optimisation se résout (le plus souvent) en résolvant la condition
du premier ordre,nX∂ log L(θ; y)∂ log log fθ (yi )
=
∂θ
∂θ
θ=θb
i=1

=0
θ=θb

On notera que (sous certaines conditions)√Ln[θbn − θ] → N (0, I −1 (θ)),

où I(θ) est l’information de Fisher, i.e.
"
2 #∂ log fθ (X)
I(θ) = Eoù X ∼ Fθ .
∂θ

54

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Maximum de vraisemblance et tests
Test de Wald l’idée est d’étudier la différence entre θb et θ? . Sous H0 : θ = θ? ,(θb − θ? )2 L 2
T = n −1→ χ (1)
I (θ? )b
Test du rapport de vraisemblance l’idée est d’étudier la différence entre log L(θ)
et log L(θ? ). Sous H0 ,!
log L(θ? ) L 2
T = 2 log
→ χ (1)blog L(θ)∂ log L(θ? )et 0. Sous H0 ,Test du score l’idée est d’étudier la différence entre∂θ!2n
1 X ∂ log fθ? (yi )LT =→ χ2 (1)
n i=1
∂π
55

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Mise en oeuvre pratique
Considérons l’échantillon suivant, {y1 , · · · , yn }> set.seed(1)> n=20> (Y=sample(0:1,size=n,replace=TRUE))[1] 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

Comme Yi ∼ B(π), avec π = E(Y ), l’estimateur de la méthde des moments est
πb = y, soit ici> mean(X)[1] 0.55

On peut faire un test de H0 : π = π? contre H1 : π 6= π? (par exemple 50%)
On peut utiliser le test de Student,
T =

√

np

π
b − π?
π? (1 − π? )56

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

qui suit, sous H0 une loi de Student à n degrés de liberté.

0.3
0.2
0.1
0.0

dt(u, df = n)

0.4

> (T=sqrt(n)*(pn-p0)/(sqrt(p0*(1-p0))))[1] 0.4472136> abs(T)<qt(1-alpha/2,df=n)[1] TRUE

●

−3

−2

−1

0

1

2

3

On est ici dans la région d’acceptation du test.
57

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

On peut aussi calculer la p-value, P(|T | > |tobs |),

0.3
0.2
0.1
0.0

dt(u, df = n)0.4

> 2*(1-pt(abs(T),df=n))[1] 0.6595265

●

−3

−2

−1

0

1

2

3

58

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

Mise en oeuvre pratique
Pour l’estimateur de maximum de vraisemblance, on peut faire les calculs, ou lefaire numériquement. On commence par tracer la fonction θ 7→ log L(θ)> p=seq(0,1,by=.01)> logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}> plot(p,Vectorize(logL)(p),type="l",col="red",lwd=2)

59

−20
−30
−40
−50

Vectorize(logL)(p)Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p

On peut trouver numériquement le maximum de log L,> neglogL=function(p){-sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}> pml=optim(fn=neglogL,par=p0,method="BFGS")
> pml
$par
[1] 0.5499996

60

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013$value[1] 13.76278

i.e. on retrouve ici πb = y.
Maintenant, on peut tester H0 : π = π? = 50% versus H1 : π 6= 50%. Pour le test
de Wald, on peut commencer par calculer nI(θ? ) ou ,> nx=sum(X==1)> f = expression(nx*log(p)+(n-nx)*log(1-p))> Df = D(f, "p")> Df2 = D(Df, "p")> p=p0=0.5> (IF=-eval(Df2))[1] 80On peut d’ailleurs comparer cette valeur avec la valeur théorique, car
I(π)−1 = π(1 − π)
> 1/(p0*(1-p0)/n)[1] 8061

−15.0

−14.0

●

−16.0

Vectorize(logL)(p)−13.0

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p

La statistique du test de Wald est ici> pml=optim(fn=neglogL,par=p0,method="BFGS")$par> (T=(pml-p0)^2*IF)[1] 0.199997

que l’on va chercher à comparer avec le quantile de la loi du χ2 ,62

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

> T<qchisq(1-alpha,df=1)[1] TRUE

i.e. on est dans la région d’acceptation du test. De manière duale, on peut
calculer la p-value du test,> 1-pchisq(T,df=1)[1] 0.6547233

Donc on va accepter H0 .

63

1.5
1.0
0.5
0.0

dchisq(u, df = 1)

2.0

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

●

0

1

2

3

4

5

6

Pour le test du rapport de vraisemblance, T est ici> (T=2*(logL(pml)-logL(p0)))[1] 0.2003347

64

−15.0

−14.0

●

−16.0

Vectorize(logL)(p)−13.0

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p

Là encore, on est dans la région d’acceptation,> T<qchisq(1-alpha,df=1)[1] TRUE

Enfin, on peut faire le test du score. Le score se calcule facilement,65

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

> nx=sum(X==1)> f = expression(nx*log(p)+(n-nx)*log(1-p))> Df = D(f, "p")> p=p0> score=eval(Df)La statistique de test est alors> (T=score^2/IF)[1] 0.266

−15.0

−14.0

●

−16.0

Vectorize(logL)(p)−13.0

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Automne 2013

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p

Là encore, on est dans la région d’acceptation,> T<qchisq(1-alpha,df=1)[1] TRUE

67