2014年度
数学指導設計Ⅰ
単元：y=ax2

J3
大西和紀
玉田琴子
荻原友裕

1

目次
単元の設定と設定理由 ................................................................................................. 3
1.1 単元設定 ............................................................................................................... 3
2 教材研究 ...................................................................................................................... 3
2.1 学習指導要領の変遷 .............................................................................................. 3
2.1.1 学習指導要領の変遷 ........................................................................................ 3
2.1.2 数学に関する学習指導要領の変遷 ................................................................... 5
2.2 教科書比較 ............................................................................................................ 6
2.2.1 啓林館 ............................................................................................................ 6
2.2.2 数研出版 ....................................................................................................... 121

2.2.3 東京書籍 ....................................................................................................... 16
2.2.4 教育出版 ....................................................................................................... 21
2.2.5 大日本図書.................................................................................................... 26
2.2.6 日本文教 ....................................................................................................... 30
2.2.7 学校図書 ....................................................................................................... 34
3 問題開発 .................................................................................................................... 40
3.1 小倉金之助の関数観念 ......................................................................................... 40
3.1.1 関数観念 ....................................................................................................... 40
3.1.2 関数観念の養成............................................................................................. 40
3.2 関数的な見方・考え方 ......................................................................................... 40
3.2.1 y=ax2 における関数的な見方・考え方 ........................................................... 40
3.3 問題場面 ............................................................................................................. 41
4 指導案 ....................................................................................................................... 42
4.1 指導案作成の過程 ................................................................................................ 42
4.1.1 第 1 回
42
4.1.2 第 2 回
43
4.1.3 第 3 回
44
4.1.4 第 4 回
44
4.2 指導案
44
4.3 期待する授業の展開 ............................................................................................ 47
参考文献 ......................................................................................................................... 48
感想 ................................................................................................................................ 48

2

1

単元の設定と設定理由
1.1

単元設定

単元：y=ax2
設定理由
塾や家庭教師で中学生に数学を教える際、y=ax2 に関する問題で躓く生徒が多いと感じた。この単元における学習では、斜面を転がる物の運動や制動距離、面積・体積など、日常における具体的な事象と結び付けて考えたり数量関係を把握したりといった能力を育むことができる。ここでは、座標の取り方・グラフの書き方、変域、比例定数とグラフの開き具合の関係として中心に考えていき、関数的な見方・考え方で物事を捉えられるような授業を設計したい。

2

教材研究
2.1

学習指導要領の変遷

2.1.1 学習指導要領の変遷○昭和 22 年→昭和 33 年：生活単元学習から系統学習へ
社会的背景
指導力を強め、高度経済成長政策と連動しながら、科学技術を担う人材育成を進めるため、系統性を重視した教育課程が文部省で採用された。
教育的背景
実際の生活に役立つものを教えるという生活単元学習による指導が行われていたが、基礎学力の低下が問題となり系統性が重視された。
○昭和 33 年→昭和 44 年：詰め込み型教育へ
社会的背景
昭和 32 年の世界初の人工衛星の打ち上げにより、「数学教育の現代化運動」が加速した。
教育的背景
持続する国民生活の向上、科学技術の革新、高まる国際的地位に対応し、教育内容の精選と系統化が重視され、理数科教育の現代化が重視された。
1961 年に全国一斉学力テストが開始され、学力競争が強まっていった。
○昭和 44 年→昭和 52 年：ゆとりと充実へ
社会的背景
第一次石油ショックによる経済の低成長、就職難などが原因で、1970 年代になると進学率が上昇し、受験学力競争批判と「落ちこぼれ」現象が問題となったため、詰め込み教育からゆとり教育への転換が叫
ばれた。
教育的背景
ゆとり教育が叫ばれるようになり、授業時間や教育内容の削減総合的な学習の推進などが実施されるようになった。
3

○昭和 52→平成 20 年（生きる力と確かな学力へ）
社会的背景
・平成 7 年 国際教育到達度評価学会（IEA）が行う TIMSS が行われる。
・平成 12 年 OECD の生徒の学習到達度調査（PISA）開始。
→平成 16 年 PISA 調査により，日本の「読解力」の低下が明らかに（＝PISA ショック）。
・平成 14 年 完全学校週５日制実施
・昭和 58～ 「いじめ」が社会問題化
教育的背景
・平成元年改訂 社会の変化に自ら対応できる人間の育成→目標に「見方や考え方のよさ」が追加。
↓具体的には・・・①労力・思考が節約できるよさ②見通しをたて推論できるよさ③結果や過程に，リズムや調和が感得できるよさ④多様な考えが存在しているよさ⑤発展的に考えることのよさ

・平成 8 年 中央教育審議会が「ゆとり」と「生きる力」をキーワードにした教育改革の方針を提言。
・平成 10 年改訂 基礎・基本の充実と「生きる力」の育成→目標に「数学的活動の楽しさ」が追加。
・平成 20 年改訂 確かな学力（基礎的・基本的な知識・技術）と「生きる力」の育成→「思考力・表現力・判断力」が重視される。
○数学の年間授業時数
中学１年（第 7 学年）

中学 2 年（第 8 学年）

中学 3 年（第 9 学年）

昭和 22 年

140

140

140

26 年

140～175

105～175

105～175

33 年

140

140

105

44 年

140

140

140

52 年

105

140

140

平成元年

105

140

140

10 年

105

105

105

19 年

140

105

140

4

2.1.2

数学に関する学習指導要領の変遷○昭和 22 年→昭和 33 年：生活単元学習から系統性重視へ
・基礎学力の低下問題↓＜関数 y=ax2 に関する変更点＞
・高等数学に位置していたものが、戦前のように中学校で行われるようになった。
○昭和 33 年→昭和 44 年：数学教育の現代化へ
・「理数科教育の現代化」が叫ばれる。
・教育内容の高度化。
・学力競争の強まり。
↓＜数学に関する変更点＞
・中 3 の内容で、y=ax3 も取り扱うようになった。
・中 3 の内容で、逆関数の意味理解についても扱われるようになった。
○昭和 44 年→昭和 52 年：ゆとりと充実へ
・受験競争批判、「落ちこぼれ」現象の問題化により、ゆとり教育への転換が叫ばれる。
↓＜数学に関する変更点＞
・目標では、「簡単な関数」が、「いろいろな関数」へと変更され、それに伴い中 3 の内容で「2 乗に反比例する関数」も取り扱うようになった。
・「関数の概念」についての理解を深めることが目標に組み込まれた。
○昭和 52 年→平成元年
・社会の変化に自ら対応できる豊かな心を持った人間の育成を目指し、基礎的・基本的な内容の重視が強調された。
↓＜関数 y＝ax2 に関する変更点＞
・目標では、「いろいろな関数」が「関数」へと変更され、それに伴って内容から「２乗に反比例」のグラフが無くなった。
・内容で「集合と関数」
・「定義域と値域」が無くなった。
○平成元年→平成 10 年
・自ら学び自ら考える力などの生きる力の育成を掲げ、総合的な学習の時間を新設。
↓＜数学に関する変更点＞
・授業時間数が合計 70 時間分削られ，全学年年間 105 時間へ。
5

＜関数 y＝ax2 に関する変更点＞
・目標に「具体的な事象～を調べることを通して y＝ax2 について理解する」が追加され、知識を教え込む教育から転換していった。
○平成 10 年→平成 20 年
・基礎的・基本的な知識・技能の習得と、生きる力、思考力・判断力・表現力等の育成を掲げた。学力低下がメディアで取り上げられたことから、確かな学力を確立するに必要な時間を確保するよう変更された↓＜数学に関する変更点＞
・授業時間数が第一学年と第三学年が元に戻り年間 140 になった。
＜関数 y＝ax2 に関する変更点＞
・目標に変化はないものの、内容に「説明すること」が加わった。
・「表，式，グラフを相互に関連」が加えられ、y＝ax2 を考える際にそれぞれを独立して考えさせるのではないということが強調された。
○まとめ
・以前は現在の高等学校でする内容が中学でもなされていたり、現在では取り扱っていなかったりする
内容（集合と関数等）もなされていた。
・現在ではただ知識として理解するのではなく，事象から読み取り，調べ，関数へと関連させて考えることが求められている。
・さらに，y＝ax2 を表、式、グラフを相互に関連して考えることが加えられた。

2.2

教科書比較

2.2.1

啓林館
定義・公式の証明・説明

考察
関数とグラフ・ボールが斜面を転がるようす（0.1 秒毎）→つくった表を基に座標とする点をかき入れる→既習の関数と比べるとどんな違いがあるか⇒今までに学んだ関数とは違う、新しい関数だと意識づける6

1.関数ｙ＝aｘ2・ｘ2 の値を表に加える→ｙ＝2ｘ2→ｙ＝aｘ2＜一般化＞⇒一般化から例題の流れ
問：ｘとｙの関係を式に表す
１辺ｘcm の正方形の面積ｙ半径ｘcm の円の面積ｙ例）物体の落下・ボールの落下（0.1 秒毎）

ひろげよう：ｙ＝3ｘ2 の表をつくる→ｘが２倍、３倍するとｙは何倍になるか・a は比例定数ということを記載
例題：y は x の２乗に比例し、x=2 のとき y=28
x と y の関係を式に表す
2.関数ｙ＝aｘ2 のグラフ・表を基に点をとる→1 つの直線上にはない→
0.5 おきにとる↓・原点近くのようすをくわしく調べる（0.1 おき）

7

＜ｙ＝ｘ2 のグラフの特徴＞

・線対称、線対称、ｘ軸の上側にあるということを記載＜ｙ＝－ｘ2 のグラフの特徴＞＜グラフの名称＞
ｙ＝2ｘ2 のグラフとｙ＝ｘ2 のグラフを比べる
１２→ｙ＝ ｘ2 のグラフ
→ｙ＝aｘ2 で、a<0 のときのグラフ（ｙ＝－x２のグラフ）
・y=－x2 のグラフ
１２

→ y=－2x2、y＝－ x2 のグラフ
＜関数ｙ＝aｘ2 のグラフの特徴＞→ y＝ax2 のグラフ

＜グラフの開き＞

・グラフの開きという言葉を使わず、例題を出し自分で比べる

8関数 y=ax2 の値の増減と変域
・関数 y＝ax２で、グラフをもとにして y の値の変域

y＝x２の y＝－x２のことについて考えたあとにについて調べる。

グラフをもとにして考えている。

a＞０のときのグラフは以下

よって、a＞０のとき⇒x の値増加するとき、
x≦０で、y の値は減少
x≧０で、y の値は増加
x＝０のとき y は最小
x がどんな値でも y≧０
問１y＝ax２で a＜０のときはどうか⇒x≦０で、y の値は増加
x≧０で、y の値は減少
x＝０のとき y は最大
x がどんな値でも y≦０関数のとる値のうち、最も大きいものを最大値、最も小さいものを最小値という。
○変域とグラフ関数 y＝ax２で、x の変域に制限があるとき、y の変域がどうなるか調べよう
例1

y＝1/4x２（－2≦x≦４）⇒a＝1/4 で、x の変域が負数から正数⇒x の変域が負数から正数
問２ y＝２x について x の変域が２⇒（１）x の変域が正数から正数－1≦x≦２のときの y の変域を求めよ（２）x の変域が負数から正数

問３ y＝1/4x についての変域が次のときの y の変域
２を求めなさい（１）２≦x≦４（２）－４≦x≦１9

関数 y=ax2 の変化の割合
関数 y＝ax２では変化の割合がどのようになるか、調べましょう。
y＝x２では⇒具体的な y＝x２について表を作り、調べている。x の増加量が１のとき y の増加量が一定でないことを示している。

一次関数と比較してみましょう。
⇒ふりかえりとして一次関数を扱っている。
⇒一次関数では、x の増加量が１のとき y の増加量が一定であることを示している。

y＝x２では、x の値が０から１ずつ増えていくと・・・・変化の割合は傾きになっている。
例題１y＝x２について x の値が１から３まで増加する⇒変化の割合が傾きを表していることを示してときの変化の割合を求めなさい。

いる。

問１y＝２x について x の値が次のように増加すると

例題１⇒x の増加量が１より大きい

２

きの変化の割合を求めなさい。
（１）１から３まで

問１⇒（２）－４から－２まで（１）x の値が正数（２）x の値が負数
関数 y=ax2 の利用

・定義
・制動距離とはどこからどこまでの距離のことなのかを絵で表し、理解しやすくなっている。
・x、y を用いて定義されている。
・その後、具体的な数値を用いて制動距離の変化の仕方を捉えられるような問題を用意している。

10

・制動距離・x、y の値を一組与えることによりそこから式を導き出し、そのほかの場合の値の変化についても調べさせ、特徴を見つけることを目的としている。
・ふりこの長さと周期・周期という用語の説明あり
・式を与えておき、その式を用いて求めたいものの値を求める能力をつけさせたい。

・平均の速さ・実際の場面で変化の割合がどのように使われているかを紹介。
・導入部分で用いた例題を再び用いて考えさせる。

・例題 1 で、考え方・解答の書き方等を提示し、生徒は問 3 で値を変えたもので演習できるよう・問 3になっている。

例題 1 で、次の場合の平均の速さを求めなさい。
(1)1 秒後から 2 秒後まで
(2)3 秒後から 4 秒後まで

11

2.2.2

数研出版
定義・公式の証明・説明

考察
関数 y=ax2
・ｘとｙは比例の関係になっている→坂を下り始めてからの時間と、その間に進んだ距離の関係はどうなっているか（表を使って4 秒後の位置を予測）→増え方や減り方が一定でない新しい関数について学ぶ

1.2 乗に比例する関数⇒比例の延長だと感じやすくなっている・ボールが斜面を転がるようす→ｘ2 の値を左の表に加える→ｙ＝2ｘ2＜一般化＞⇒一般化してから例題の流れ
例：半径ｘcm の円の面積ｙ
円柱・直方体・立方体の面積ｙと 1 辺の長さｘcm の関係
2.関数ｙ＝aｘ2 のグラフ
＜ｙ＝ｘ2 のグラフ・特徴＞
例題：ｙはｘの 2 乗に比例し、ｘ＝4 のときｙ＝48
このとき、ｙをｘの式で表す○ｙ＝2ｘ2 のとき表を基にグラフに点をかき入れる→直線でない→0.5 おきの値をグラフにかき入れる→原点近くのようすを詳しく調べる（0.1 おき）・ｙ＝ｘ2 を基に 2ｘ2 の値を加えた表をつくる
・グラフは点の集まりであることが記載
12

○ｙ＝－ｘ2 のとき

・ｙ＝ｘ2 を基に－ｘ2 の値を加えた表をつくる
・グラフの開き具合と a の値の間にどんな関係があるか＜関数ｙ＝aｘ2 のグラフの特徴・名称＞
・原点にあたる部分が頂点であると示している

関数 y=ax2 の値の変化
y＝x２のグラフは下の図のようになるから、一次関数について x の値が増加するときの y の値が増加するか、減少するかを調べ、一次関数の時は一定であることを確認した後、y＝ax２ではどうかについて調べようとしている。

その値の変化は次のようになる。
⇒a＞0 のときとせず、具体的に調べる
y＝x２において、x の値が増加するとき

問 1 y＝２x２について上の事を調べよ

問１：a＞0 のときでなく、a＝2 について考察

y＝－x２のときどうか

問２：a＜0 のときとせず、具体的に調べている

問2

y＝－x２において、x の値が増加するとき、
x＜0 のとき、y の値は増加
x＞0 のとき、y の値は減少
x＝0 のとき y＝0 となり増加から減少に変わる
13

例題１ y＝2x２について、x の変域が

例題１⇒x の変域が負数から正数のとき y の変－1≦x≦2 のときの y の変域を求めよ

域がどうなるかを、グラフを調べることで考えている

問3

y＝－1/2x２について、x の変域が

問３⇒－2≦x≦３のとき、次の問いに答えよ（１）x の変域が負数から正数（１）y の変域を求めよ（２）最大値と最小置についてまとめている（２）最大値、最小値を求めよ
関数 y=ax2 の変化の割合
例２関数 y＝x２について x の値が１から３まで増加す

例２⇒x の増加量が１ずつ増えるときについてるときの変化の割合：直線の傾きを示す

y の増加量を表で示している
例２⇒x の値が正数

問５y＝x２について x の値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。

問５⇒a＞０のとき、（１）２から４まで（１）x の値が正数（２）－４から－1 まで（２）x の値が負数

1
問６y＝－ x２について変化の割合を求めなさい
2（１）０から２まで

問６⇒a＜０のとき、（２）－６から－４まで（１）x の値が正数（０を含む）

・y＝ax２では変化の割合は一定ではない（２）x の値が負数○ある斜面に沿って鉄球を転がしたとき転がり始め⇒導入の設定で考えていた問題場面について、てから x 秒間に転がった距離を ym とすると y＝２x

平均の速さと変化の割合を考えている

２の関係が成り立つ。

平均の速さは、変化の割合である。
関数 y=ax2 の利用・例 1・物体を落下させたときの時間と距離には、2 乗に比例するという関係があることをまず提示している。
・比例定数を 5 と定めている。

14

・問 1
例 1 において、物体を落下させてから 2 秒後までに・制動距離の説明が少ない。また、制動距離の説

物体が落下する距離を求めなさい。

明しかされていない。
・x、y を用いて一般化した後、具体的な数値を用いて解くことを求めている。

・グラフから値を読み取り、式を立てた上で、10秒後の駅からの距離を問うという誘導のかかっていない問題となっている。
・異なるグラフを同じ座標上に書くことで、交点の座標を明確にし、簡単に求めることができることを発見させる問題となっている。

15

2.2.3

東京書籍
定義・公式の証明・説明

考察
関数 y=ax2関数ｙ＝aｘ2
・何も習っていない段階で表を基に点をとる⇒この章では何を学ぶのか見通しを持たせている

1.関数ｙ＝aｘ2・ジェットコースターが斜面をおりる様子を、球が斜面を転がる様子に置きかえる
・ｘの値が２倍、３倍になるとｙは？
・比例のときはｘを２倍、３倍するとｙは？
⇒比例のときと比べて考える・ｘ2 の値も表に加える→ｙ＝0.2ｘ2→ｙ＝aｘ2＜一般化＞⇒一般化してから例題の流れ
例：底面の辺がｘcm、高さが 5cm の正四角柱の面積ｙ ｙ＝5ｘ2
問：半径ｘcm の円の面積ｙ
下じきと直角二等辺三角形の定規を重ねたときの１辺ｘcm と重なった面積ｙ
例：ｘ＝3 のときｙ＝27 のときの式 ｙ＝3ｘ2
・高校で学習する２次関数の特別な場合⇒つながりを意識させる
16

2. ｙ＝aｘ2 のグラフ・表を基に点をとる→とった点では正確なグラ
フはかけない（直線で結ぶ？反比例は曲線だったけど･･･）↓
調べる値を少数として原点近くのようすを詳しく（0.1 毎）⇒反比例を例に出し曲線になることを示唆＜ｙ＝ｘ2 のグラフの特徴＞
問：左の図のようにｘ軸の下側には出ない。このことからｙの変域を求めなさい。

＜ｙ＝aｘ2 のグラフの特徴・名称＞
ｙ＝ｘ2 のグラフを基にｙ座標を２倍、2 分の１倍にしたグラフ１２→ｙ＝2ｘ2 のグラフを基にｙ＝－2ｘ2、－ ｘ2のグラフ→ｙ＝aｘ2・グラフの開きはどうなるか→特徴

17

関数 y=ax2 の値の変化
・関数 y＝x２について x の値が-３から３まで増加す⇒具体的に y＝x２について考えている

るとき y のあたいがどのように変化するか。

上で見たように a＞０のとき⇒x の値が増加するとき
x＜０で、y の値は減少
x＞０で、y の値は増加
x＝０のとき、y は最小値０２

問１y＝ax で a＜０のときはどうか⇒x の値が増加するとき
x＜０で、y の値は増加
x＞０で、y の値は減少
x＝０のとき、y は最大値０○x の変域と y の変域関数 y＝ax２で x、y の変域を考えよう
例１ y＝３x２について、x の変域が－１≦x≦２のと⇒x の変域に０が含まれるグラフを実際にかいきの y の変域て考えることで、最小値を間違えることがないようにしている。

たしかめ y＝３x２について x の変域が－２≦x≦１のときの y の変域を求めよ

問２ 最小値を間違えている解法に対しての説

問２ A さんは y＝２x について x の変域が－１≦

明２

x≦３のときの y の変域を次のように求めました。どこが間違っているのか説明しなさい。

問３

問３y＝－２x２について x の変域が次のときの y の⇒変域を求めよ（１）x の変域が正数～正数（１）２≦x≦４（２）x の変域が負数～正数（２）－２≦x≦１

18

○変化の割合関数 y＝ax２の変化の割合を、１次関数と比べてみよう。
１次関数では変化の割合は一定で a に等しい⇒
一次関数のときの変化の割合についての復習と、x と y の変化の様子を表で表している。

y＝２x２では⇒
y＝ax２のときの変化の割合について、上記の学びから考える。

一定ではなく、増加していく
例２

y＝２x２で x の値が１から３まで増加するとx の増加量が１より大きいとき（２のとき）

きの変化の割合を求めなさい
たしかめ

y＝２x２で x の値が３から５まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
問４

例２

たしかめ 例２と x の増加量が２だが、変化の割合が異なることのたしかめ

y＝1/2x２について x の値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい

問４⇒（１）x の値が正数（１）２から４まで（２）x の値が負数（２）－６から－４まで
・y＝ax２では変化の割合は一定ではない
・変化の割合は、傾きを表している。
○ジェットコースターの例で、変化の割合がどんな⇒平均の速さと変化の割合について導入で扱っことをあらわしているかを考えてみよう。

たジェットコースターを例に考えている。

平均の速さはその間の変化の割合を示している。

19

・問題
・生徒にとって、日常生活で起こりうる身近な事象が導入の問題として扱われており、考えやすくなっている。

・用語説明
・制動距離、空走距離、停止距離について詳しく説明されており、生徒が聞きなれない言葉であっても問題を解くことに支障が出ないようになっている。
・具体的な数値の例も挙げられている。
・定義
一般に、制動距離は、速さの 2 乗に比例するといわ・文字を使わずに用語を用いて定義している。

れている。また、空走距離は、速さに比例するといわれている。

・速さが 2 倍になったことから、それぞれの距・問 1離がどうなるかを考えさせる問題となってお①の値をもとにして、自転車の時速が 26km のときり、関数的な考え方を養成が図られているといの空走距離、制動距離、停止距離を求めなさい。

える。

・やってみよう・x、y を用いた表し方を定義ではなく、問題として扱っている。
・問 2→生徒に一般化させている。
・高いところから物体を落としたときの時間と距離の一般的な関係を示した後、具体的な事象で問題提示をしている。

・問 3
・PB、QB の長さを、x を用いて表す能力を身につけさせたい。

20

2.2.4

教育出版
定義・公式の証明・説明

考察
y=ax2 を学習する前に・1、2 年生で学習したことがまとめてあるページが最初にきており、次に習う関数が、比例・反比例でも、一次関数でもない関数であること考えさせる。

関数 y=ax2
・斜面をボールが転がり始めてから x 秒間に転がる・具体的な事象と数値を与え、その場合につい距離を yｍ。

て考察してから、値が変わっても成り立つことを確認している。 ⇒特殊から一般へ。
・x が 2 倍、3 倍、4 倍･･･と変化したとき y が4 倍、9 倍、16 倍･･･となること、y が x の 2乗に比例することを確認する。
・問 1(1)x の値が 2 倍、3 倍、4 倍、･･･となると、対応する y の値はどのように変化しますか。また、x2 の値が 4 倍、9 倍、16 倍、･･･に

・y=ax2 の定義

なるとどうですか。
(2)5 秒後のボールの位置を求めなさい。

・例題 1 半径が xcm の円の面積を ycm2 とすると⇒どのような事象において y が x の 2 乗に比例き、y が x の 2 乗に比例するかどうかを調べよう。

するか考えさせる。円の面積公式など、既習事

・例題 2 「y は x の 2 乗に比例し、x=2 のとき y=16

項を活用できる問題になっている。

である。このとき、y を x の式で表してみよう。」⇒文章を読んでそれを式で表す力をつけさせた・問 2 「風速が秒速 xm のとき、1m2 の平面が受けい。

る力を yN とすると、y は x の 2 乗に比例し、x=1 のとき y=1.18 になります。風速が秒速 10m のとき、・問 2 は文章から式をつくるだけでなく、求め1m2 の平面が受ける力は何 N ですか。
」

た式を活用できる能力まで求められている。
21

y=ax2 のグラフ
○y=x2 のグラフ

○グラフの書き方
・x、y の値の変化を表に表し、座標をとり、とった点が一直線に並んでいないことに気付かせる。
⇒確なグラフを書くには、x の値をより細かくする必要性を感じさせる。
・問 1

・関数 y=x2 のグラフについて、

関数 y=x2 で、x の値を-1 から 1 まで 0.1 おき

次のことがいえる。

にとって、対応する y の値を求め、それらの値①グラフは原点を通り、上に開いている。

の組を座標する点を、図にとりなさい。

②グラフは y 軸について対称である。
・y=x2 のグラフが左図のようになることを確認○y=ax2 で、a>0 のときのグラフ

し、グラフの特徴を捉えさせる。
・y=x2 のグラフと y=ax2(a>0)のグラフの関係性を認識させる。
・関数 y=x2 と y=3x2 で同じ x の値に対応する yの値を比べると、どこをとっても y=3x2 の y の値は y=x2 の y の値の 3 倍になっている。

・問 4

・ 問 4 で は 、 y=x2 の グ ラ フ を 利 用 し て 、関数 y=x2 のグラフを使って、次の関数のグラフを、 y=ax2(a>0)のグラフを書く能力をつけさせた
巻末の折り込み図にかきなさい。
(1)y=2x2い。

1(2)y= x2
2・問 5

・問 5 では、問 4 の関数が、y=x2 のグラフと

問 4 の 2 つの関数のグラフについて、前ページの①

同じ特徴を持っていることに気付かせる。

②のことがいえるかどうか調べなさい。
・問 6

・問 6 では a の値とグラフの開き方について考関数 y=ax2 のグラフは、a>0 のとき、a の値によってえさせる。

グラフの開き方はどのようになりますか。

⇒特殊から一般へ。

22

・y=x2 のグラフと y=ax2(a<0)のグラフの関係○y=ax2 で、a<0 のときのグラフ性を認識させる。
・関数 y=x2 と y=-x2 で、同じ x の値に対応する
y の値を比べると、どこをとっても y=-x2 の y の値と y=x2 の y の値は、絶対値が等しく、符号が反対になっている。
・関数 y=x2 のグラフと関数 y=-x2 のグラフは、
x 軸について対称である。
・問 7

1
前ページの問 4 でかいた関数 y=2x2 のグラ
1 2フを使って、関数 y=-2x のグラフを、巻末の折り込・問 7 では、y=ax2(a>0)のグラフを利用してみの図にかきなさい。

y=ax2(a<0)のグラフをかく能力をつけさせた
い。

・問 8

1
関数 y=-x2 や y=- x2 のグラフについて、99
2・問 8 では、問 7 の関数が、y=x2 のグラフとページの①②のことがいえるかを調べなさい。

同じ特徴を持っているかどうか考えさせる。
・問 9 関数 y=ax2 のグラフは、a<0 のとき、a の値によってグラフの開き方はどのようになりますか。

・問 9 では a の値とグラフの開き方について考えさせる。

○y=ax2 のグラフの特徴まとめ⇒特殊から一般へ。
・比例定数 a に具体的な数値を与え、どのようなグラフになるか視覚的に示す。
・「放物線」「軸」「頂点」などの用語説明。

・y=ax2 のグラフが a の値によってどのように書けるか、放物線の特徴とともに提示。

・例題 1 次の関数の中から、グラフが下に開くも・式を見ただけで、上に凸のグラフか下に凸ののを選んでみよう。

グラフか判断できる能力をつけさせたい。

3
ア y=0.1x2 ○イ y=-5x2 ○ウ y= x2 ○エ y=-1.3x2○
223

○値の変化とグラフ・x が増加したときの y の変化の仕方について
考察。

・例題 2

・式からグラフを書き、グラフをみて変域を考えられる能力をつけさせたい。
⇒グラフを考えずに、x の変域の最大値、最小値を式に代入するだけでは、うまく y の変域が求
まらないことに気付かせたい。

・問 12 関数 y=ax2 について、x の変域が-4≦x≦2・x、y の変域をともに与え、比例定数 a の値をのとき、y の変域は 0≦y≦8 になります。このとき求めさせる。

の a の値を求めなさい。

⇒変域をみて、グラフが書ける能力をつけさせたい。⇒変化の割合の求め方を用いて、比例定数a を求めることができる能力をつけさせたい。
関数 y=ax2 の変化の割合

・例題 1 前ページの斜面で、ボールが転がり始め

・例題 1 では、関数 y=ax2 の学習の入る際に最てから 1 秒後から 3 秒後までの平均の速さを求めて初に用いた事象と同じ事象を用いている。

みよう。

⇒1 つの事象において、学習してきた様々な内容が活用できることを認識させる。

・例題 1 で求めた値 8 は、関数 y=2x2 のグラフ上の2 点 A(1,2)、B(3，18)を通る直線の傾きにもなって・問 1 では、平均の速さの値と、y=ax2 上の 2いる。

点を結んだ直線の傾きの値が同じであることに着目させる。

・問 1 右の図の直線 AB の式を⇒平均の速さは、変化の割合から求めることが求めなさい。

できることに気付かせる。
・例題 2 では、グラフも自身で書き、変化の割合を求める能力をつけさせたい。
⇒関数 y=ax2 においては、１次関数のように比
例定数の値と変化の割合の値が一致するわけで

・例題 2

1
関数 y=2x2 で、x の値が 2 から 4 まではないということに気付かせたい。

増加するときの変化の割合を求めてみよう。
・関数 y=ax2 では、変化の割合は一定ではない。
⇒a の値が同じ関数であっても、x の値の範囲によって変化の割合が異なることに気付かせる。

24

・一次関数と比べながら、関数 y=ax2 の特徴をおさえさせる。

関数 y=ax2 の活用・問題・問 1、問 2 ともに具体的な事象を用いた問になっており、x、y がそれぞれ何を表している
かを理解した上で、代入し、答えを導き出す能力が問われる問題となっている。
⇒これまでに学習してきたことが具体的な事象においても活用できる能力をつけさせたい。

・例題 1
・生徒が考えやすい具体的な事象を用いた問題となっている。
・(1)グラフから式を求める能力をつけさせたい。
・(2)では、問題文から式を求める能力をつけさせたい。
⇒与えられた条件がグラフであっても文章であっても、式を立てることができる能力をつけさせたい。
・(3)(2)で立てた式からグラフを書く能力をつけさせたい。
・(4)追いつく時間は計算せずともグラフから読み取れることに気付かせたい。
25

・例題 2

・(1)関数かどうかの判断力と、そう判断した理由を記述できるかどうかの能力を問う。
・(2)面積公式を用いて y=ax2 の式を導く能力を問う。
⇒これまでのように y=ax2 の関係が成り立つと問題に書いてなくても、式を導き出せる能力をつけさせたい。

2.2.5

大日本図書
定義・公式の証明・説明

考察

1.関数

・y は x の関数であるといえるものを探す

打ったボールはどのような軌跡をえがくか→関数について述べている

2.関数ｙ＝aｘ2ともなって変わる 2 つの数量 x,y があって、x の値を・一次関数の式から考え、比例でも一次関数で決めると、それに対応して y の値がただ 1 つ決まるもない関数の例を出す。

とき、y は x の関数であるという。
・表をつくる→ｙ＝2ｘ2・式を示してから、本当にそう表せるか確認
例題：

表をつくり、式で表す。またｘの変域を求める。
26

＜一般化＞

・発展で 2 次関数について記載されているが、
ｙ＝aｘ2 が 2 次関数の特別な場合だとは示されていない。

6. 関数ｙ＝aｘ2 のグラフと値の変化
・１次関数と比べて同じ変化をするのか
・１次関数と比較し、値の変化を考えている

7.関数 y=ax2 の変化の割合
・表やグラフを使って、1 次関数の場合を踏まえながら変化の割合を考えている
・変化の割合の公式を示し、ｘの値を変えて求めたものを比較している27

8.変化の割合の意味
ボールを自然に落とすときを例にする

・２秒ごとの変化の割合をグラフにしている。
→ｙ＝5ｘ2・１秒ごとの変化の割合について考え、ボールが落ちる速さについてどんなことがいえるか

9. 関数ｙ＝aｘ2 の式と対応・変域
・ｘとｙの関数がｙ＝aｘ2 で、ｘ＝－2、ｙ＝12（点（－2，12））・変域を求める際の手順を示している。
⇒生徒に解かせている
２節、いろいろな関数
1.いろいろな関数
・乗車距離と運賃の関係は 1 次関数や 2 次関数とはどこが違うのか
・1 次関数や 2 次関数とは異なる関数がある

３節、関数 y=ax2 の利用
1.身近に現われる関数 y=ax2
・まず表を書かせ、そこから比例定数を求めさせる。
・同じ座標上に 2 つのグラフを書くことで、グラフの交点を明確にし、追いついた時間と距離を求める力をつけさせたい。

28

・具体的数値を 1 組与え、そこから式を求めさせる。
・求めた式に代入することで、時間、水の高さがそれぞれ求まることを認識させる。

2.図形のなかに現われる関数（1）（2）表に表し、変化の様子を捉えさせ、式を求めさせる。
（3）変化の様子をグラフに表し、放物線になることを意識させる。
（4）グラフを用いた応用問題となっている。

・三角形から台形の移動へと発展した問題となっている。
（1）表に表し、式を求めさせる。
（2）グラフをかき、変域によってグラフが異なることを認識させる。
（3）グラフを用いた応用問題となっている。

29

2.2.6

日本文教
定義、公式の証明、説明

考察
関数 y＝ax２○導入（とびら絵）○導入⇒変化の様子や表を見せることで、今まで習ってきた規則とは異なった変化を示す関数について考えていくことを意図している。

斜面でボールを転がしたところ、転がるボールの１秒ごとの位置は、下の図のようになった。

１．２乗に比例する関数
・新しい関数を見つけて、その特徴について調べま・導入の問題場面を表にする

しょう。

⇒x、x２、y について表を埋めていき、y と x２の関係に気づかせる。
・「２乗に比例する」という形をとっている⇒「a を比例定数」としている。

問１ 上の問題で、転がり始めてから５秒後に転がる

問１ ⇒関数を用いて、x の意味について理解

距離を、関数 y＝２x の式から求めなさい。

しているか

問２ 次のア～カの関数の中から、y が x の２乗に比例問２ ⇒「y は x の２乗に比例する」の意味とするものをすべて選べそれを表す式を理解しているかの確認。

例１ 直角三角形の１辺を x とし、面積を y とすると

例１ ⇒既習事項の中から y が x の２乗に比２１

y＝ x２となるため、y は x の２乗に比例する関数である。

例しているものを確認している。

２

問３立方体の一辺を xcm としたとき、次の場合の y を

問３⇒①y＝１２x ②y＝６x２ ③y＝x３x の式で表す。
①すべての辺の長さの和を ycm とした場合②表面積を ycm２とした場合③体積を ycm２とした場合
問４ 円の半径を rcm、周の長さを lcm、面積を Scm２と問４

して、次の関係を答えよ⇒①l＝２π r①l を r の式で表し、どんな関係があるか②S＝π r２ S は r の２乗と比例関係がある②S を r の式で表し、どんな関係があるか
30

l は r と比例関係がある

２．関数 y＝ax２
確認１ 底面が 1 辺が xcm の正方形で、高さが３cm

確認１である正四角柱の体積を ycm３とする。

⇒前の問題で立方体の１辺を xcm としたとき①この正四角柱で x は何を表しているかの体積 ycm３を考えたので、それを踏まえたう②y を x の式で表す

えで、高さのみ定数で固定している。

トライ１ 確認１の問題で、

トライ１①x の値が２倍、３倍、４倍、・・・になると、それに⇒①x の値には比例していないが、②より y/x

対応する y の値は、それぞれ何倍になるか

２２が常に一定の値になることを示している。

２②x≠０のとき、x の各値について、y/x の値はそれぞれいくらになるか
トライ２ 関数 y＝３x２で x の変域が負の数の場合につトライ２

いて表をつくり、トライ１と同様のことを調べる⇒x が負数においても同様のことがいえるかの

・まとめ

確認
・まとめ
⇒x の値と y の値の関係について

１

問１円の半径を５倍、５倍したときの面積は何倍になるか

問１⇒まとめを使った問題

・これまで学んできたことをもとに、関数を求める
確認２ y が x に比例し、x＝３のとき y＝６となる y を x の式

確認２で表す。また、x＝-３のときの y の値を求める。

⇒x、y の値が与えられているときの式の求め方の復習。

例１ y が x の２乗に比例し、x＝３のとき y＝６とな

例１

る y をの式で表そう。

⇒確認２の考え方をもとに式を求める。
⇒a＝2/3 となる式

問２ 例１の関数で x＝-６ときの y の値、y＝５４のと問２

きの x の値を求めなさい。

⇒式がわかっている関数の x、y のそれぞれを求める。

問３ y が x の２乗に比例し、x＝-２のとき y＝-１２となる y を x の式で表しなさい。また、x＝２のときの

問３

y の値を求めなさい。

⇒x、y の値がともに負のときの a 求める

31

３．関数 y＝x２のグラフ○トライ１○トライ１ グラフに表す

関数 y＝x２のグラフをかいてみましょう⇒表から値を求め、グラフに点をかいていく

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

が、その中でグラフの形が直線ではなさそうで

y

9

4

1

0

1

4

9

あるということに気づかせる。

・１メモリ：１のグラフシート
トライ２ 関数がなめらかな曲線になることを

↓

とらえる

・１メモリ：０.１のグラフシート
トライ２ 関数 y＝x２について-１から１まで０.１きざみで表をかいて、０.１のグラフシートにかいてみる↓
次ページをすべて使って y＝x２のグラフを示す。

４．関数 y＝ax２のグラフ○関数 y＝ax２のグラフについて調べましょう

１○a＝ のときのグラフの様子
２

１

トライ１ 関数 y＝ x２について x、x２、y の値の表を２完成させ、①②に答えましょう。
１①関数 y＝x２のグラフと重ねて y＝２x２を書いてみましょう。
②①をして気づいたことをいいましょう。
問１ ①②のグラフを関数 y＝x２のグラフに重ねてか
きなさい。

１

① y＝ x２
３

問１ 写真のような関係が①②に見られるか
１②y＝２x２① a＝ のとき ② a＝２のとき
３

トライ２ y＝ax２で a＞のとき、 a の値が大きいほど

トライ２ 式とグラフの関係

グラフの開き方はどうなるか
例１ y＝-x２のグラフをかいてみよう。

例 a＜０のときのグラフのかき方

x、x 、y の表を完成させ、グラフをかく。
２

トライ３ y＝x２と共通すること、異なることをいう
１

問２ y＝-x２をもとにして y＝‐ x２のグラフをかく２

問２⇒ a が様々な負数のグラフをかける
y＝ax２のグラフについて特徴をまとめた
32

５．関数 y＝ax２の値の変化関数 y＝ax２の値の変化の割合を調べましょう
トライ１ y＝x２について、x が１ずつ増加するとき、y の値の変化の様子を調べ、表にする。
表にしたものをグラフに表していく。
x の増加量が一定でも、と y の増加量が一定でないことを確かめる

例１ トライ１の表から、y＝x２について x が‐３から 例１１に増加するときの変化の割合を求めてみる⇒x の値が負数ときの増加量

問１y＝x について次の場合の変化の割合を求めよ

問１x の増加量が様々な場合の変化の割合①x の値が‐４から１だけ増加する①x の増加量が正数 ②x の増加量が負数２②x の値が４から１だけ増加する
１

例２関数 y＝ x２について x の値が２から４まで増加２するときの変化の割合
問２ y＝‐x２について、x の値が１から５まで増加す

例２ a が分数のときの変化の割合るときの変化の割合
・x の変域が限られている関数 y＝ax２について考えま

問２ a が負数のときの変化の割合

しょう
例３ x の変域が‐１≦x≦２のときの y＝２x２のグラ・x の変域が与えられているときの y の変域

フをかいて、y の変域を求めてみよう。
例３ ⇒グラフをかくことで解決の助けにしている。

問３ 関数 y＝x２（‐３≦x≦１）のグラフをかいて、 問３ 例３と異なり x が負数で y が最大をとる
y の変域を求めよ
６．関数 y=ax2 の活用○身のまわりのことがらについて、関数 y＝ax２を活用 ○活用
して調べてみましょう。
例１ 物が自然に落ちるとき、落ちる距離は落ち始めてからの時間の２乗に比例します。

33

問１ 例１について、

問１⇒自然落下の問題①物が落ち始めてから６秒後の距離①x の値が与えられている。

②高さ１００m のところから物が落ちたとすると、地②y の値が与えられている。

上に落ちるまでに何秒かかるか
問２ １往復するのに x 秒かかる振り子の長さを ym
１とすると y＝ x２という関係があります。長さが１m

問２⇒振り子の問題
y の値を与えている。

４の振り子が１往復するのにかかる時間を求めなさい。
・放物線と直線を使っていろいろな問題を考えましょう。

・放物線と直線

電車が A 地点を出発してから x 秒後に進む距離を ym⇒y＝ax２と y＝ax+b のグラフの交点が表す意

１とすると、０≦x≦６０のあいだでは、y＝ x２の関係

味４があるという。電車が A 地点を出発すると同時に同じ方向に秒速１０m で走っている自動車が A 地点を通過したとき、①自動車が A 地点を通過してから x 秒間に進む距離
を ym として x と y の関係を表すグラフを電車のグラフと合わせてかきなさい。
②自動車が電車に追いつかれるのは何秒後ですか

2.2.7

学校図書
定義、公式の証明、説明

考察
関数 y＝ax2

・表にあらわす○（導入と今までの振り返り）
左図（写真）参照↓
１x と y の関係を表から考えさせる。
２x と y の関係を表から考えさせる。
（1）表を完成させる。

１

x 段目のタイルの枚数を y 枚として（2）(1)の表を基に，x と y の関係を式で表す。
（3）y は x に比例するといえるか，y は x の1 次関数であるといえるか。
⇒ピラミッド型の並び方をしたタイルの段数

２

x 段目までのタイルの総数を y 枚としてと枚数に関して考えることで，今までの学びの振り返りをしている。

34

２乗に比例する関数
・身近なものからの導入○斜面を転がるボールについて，転がり始めてからの時間と転がる距離の関係
左図（写真）参照→（1）表の完成

・転がり初めての時間 x(秒)と転がる距離 y(m)（2）x の値が 2 倍、3 倍となると，y の値は何倍になるか（3）x2 の値を求め，表の完成と x2 と y の関係を調べる

・上の表に x2 を追加したもの⇒表を横に見せることで、比例関係を見つけ出すことを促していると思われる。

・2 乗に比例する関数○2 乗に比例する関数としてまとめ
左図（写真）参照

・問題
例１

○練習問題
例 1 1 辺が xcm の立方体の表面積を y とす

問１

る
問 1（1），（2）について、y を x の式で表す。
また、y は x の２乗に比例するといえるか。
（1）1 辺 xcm の立方体の体積を ycm2（2）半径 xcm の円の免責を ycm2
⇒ここまでの学びの確認
例２
例 2 y は x の 2 乗に比例し、x＝2 のとき y＝
12 であるとき，y を x の式で表す。また x＝５のときの y の値

問 2 例と同様の問題。ただし、求める a の値

問２が分数，負の数となっている。
⇒比例の関係式から、方程式として扱っている。

35

関数 y＝ax２のグラフ
・関数 y＝ax２で、a＝1 のときのグラフ○y＝x2 のグラフについて
・x の値が整数のときの y の値の表
⇒その間がどう繋がるか・x の値を 0.1 ずつ考える⇒より細かく値を調べて、グラフに活かす

・グラフのまとめ○y＝x2 でさらに多くの点を取っていくと、点の集合は 1 つのなめらかな曲線になる。原点の付近をさらに拡大化すると左図のようになる。
⇒何度も調べさせ、１次関数との違いを強めていると思われる。
・1 ページ分を使って y＝x2 を示している。
・a＞0 のときの y＝a x2 のグラフ

○y＝2x2 のグラフについて
・表の完成

・y＝2x2 のグラフ

○y＝2x2 のグラフ
表から y の値が y＝x2 の 2 倍になっていることから、y＝2x2 のグラフをかくには y＝x2 のグ
ラフ上の各点の y 座標を 2 倍にした点をとっていけばよいことがわかる。
⇒x の 2 乗に比例する関数について、a と開き

問２具合の関係について考えさせている
問 2 ⇒上と同様に y＝x2 をもとにして考えさせている
問３ a＞0 のときの y＝a x2 のグラフにはどんな特徴

問 3 ⇒上に開いている（y の値が常に正）（Xがあるといえるか

軸よりも常に上）ことについて

・a＜0 のときの y＝a x2 のグラフ
○y＝‐x2 のグラフ
表から、y の値は x2 の絶対値と等しく、符号が・y＝‐x2 のグラフ（表の完成）

反対になっているため、y＝‐x2 のグラフをか
くには、y＝x2 のグラフ上の各点と x 軸について対象な点をとっていけばよいことがわかる⇒グラフの対称性について考えさせ、これも y＝x2 をもとにして考えさせている

問４

問4

左図（写真）参照

1
1⇒y＝2x2 をもとにして y＝‐2x2 について考え

させている
36

問５ a＜0 のとき、y＝a x2 のグラフにはどんな特徴

問５ ⇒下に開いている（y の値が常に負）（xがあるといえるか

軸よりも常に下）ことについて

・関数 y＝a x2 のグラフ

○関数 y＝a x2 のグラフのまとめ
左図（写真）参照⇒教科書上ではここで初めて「y 軸について対称」ということと，「開き」という概念が出てくる。これは、次に続く対称軸や、さらに先にある図形と関数が絡む問題へと続く重要な要
素に位置づけられているように思われる。

・対称軸・y＝a x2 の対称軸
左図（写真）参照
放物線には対称軸があることが述べられているが，教科書上では y＝a x2 しか扱わないため，
問６あまり意味がないように思われる。
1

ア y＝ x2○
イ y＝‐x2
問 6 左図のグラフと，○
31

ウ y＝3x2 ○エ y＝‐ x2 のどれがどのグラフを○3表しているか⇒関数の開きの考え
関数 y＝a x2 の値の変化
・y＝x2 について

問１

○y＝x2 について

1

y＝2 x2 について右図（写真）の[1]～[3]を確かめる
問２⇒「増加」・「減少」「最小値」などの１次関数からの知識

y＝‐x2 について x の値が増加するにつれ，y の値がどうなるか問１ ⇒上記の確かめ
問２ ⇒a＜0 のときの値の変化✽この問の下に a＜0 のときは y の最大値につ・変域とグラフいて述べられている

関数 y＝a x2 の値の変域
1○関数 y＝4 x2 の値の変域

例 1 x の変域が‐2≦x≦4 のときの y の変域

例 1 x の変域が‐2≦x≦4 のときの y の変域を求めよ
⇒グラフに表し、0≦y≦4 となることを示して
いる
37

問３

問 3 ⇒（1）負の数≦x≦負の数（2）正の数≦
y≦正の数
問 4 ⇒負の数≦x≦正の数のときの y の変域

問４x の変域が-2≦x≦3 のときの次の y の変域（1）y＝3 x2（1）a＞0 （2）a＜01（2）y＝‐2x2○y＝ x2 の変化の割合
・変化の割合グラフと表より１次関数の変化の割合は一定

１次関数 y＝2x+3 のときと y＝x2 のときだったが y＝ x2 の変化の割合は一定ではない

問５y＝ x2 について

問５ ⇒説明させる問題（1）x＜0 と x＞0 では変化の割合はどう違うか（2）x の値の絶対値が大きくなるほど y の値の変化の 問６ ⇒説明させるが、今度は違いに気づかせ
仕方はどうなるかることを意図している。

問６ y＝- x2 について同様に調べる
1

例２ y＝ x2 で x の値が２から４まで増加するときの
2

変化の割合

例２ ⇒x の増加量が１より大きいとき（2 のとき）の変化の割合の求め方

1
問７ y＝ x2 で x の値が次のように変化するときの変2

問７ ⇒（1）x の値が正数で x の増加量が２化の割合を求めよ (1)4 から 6 まで (2)-4 から-2 まで（2）x の値が負数で x の増加量が２

問８ y＝-2x２で x の値が次のように変化するときの変問８ ⇒（1）x の値が正数で x の増加量が３（2）x の値が負数で x の増加量が３化の割合を求めよ（1）2 から 5 まで （2）-3 から 0 まで
・変化の割合が実際の場面でどんな意味をもつのか

・y＝a x2 の変化の割合に意味を持たせる→空中でものを落下させたとき、落下した距離は時間→物体が自然落下するときの平均の速さが変の２乗に比例し、落下し始めてから x 秒後に ym 落下化の割合と同じことを見ている。

したとすると、s と y の間には、y＝５x の関係がある
２

ことが知られています。次の表の x の値に対応する yの値を求め、表を完成させましょう。

38

・例 1

x、y を用いて一般化された状態で提示されているが、制動距離という言葉は出てきていない。
・問 1（1）具体的な数値を 1 組与え、例 1 をもとに式を求めさせる。
（2）(3)求めた式に具体的な数値を代入することで、速さまたは制動距離を求める力をつけ
させたい。
・例 2
風圧は、風速の 2 乗に比例することを提示。
・問 2（1）具体的な数値を 1 組与え、例 2 をもとに式を求めさせる。
（2）求めた式に具体的な数値を代入すること
で、風圧を求める力をつけさせたい。

・例 2：図形の移動“考え方”のところで、グラフが放物線になる
範囲は既に掲載。
・問 5重なった部分が台形の場合、どのようなグラフになるか、続きをかかせる。
・問 6
グラフを見て答えを発見する力をつけさせた
い。

39

3

問題開発
3.1

小倉金之助の関数観念

3.1.1

関数観念

・数学教育の中心とも核心ともなるもの
・「二つ以上の事象があるとき、経験的事実を基にしてそれらの事象を関係づけ、その間に
どんなきまりがあるのか調べていく過程」
・わたしたちの日常生活と共にある

3.1.2

関数観念の養成

多くの具体的実例を集めて検査↓
それらの間にどのような関係があるかを研究↓

関数観念では個々の事柄から一般法則を見出す

3.2

関数的な見方・考え方が必要

関数的な見方・考え方

3.2.1

y=ax2 における関数的な見方・考え方

1）依存関係に着目する。
2）数量を変化させて考える。
3）「きめればきまる」という見方。
4）対応のきまりや変化の特徴をみつける。
5）対応のきまりや変化の特徴を利用する。

1）いくつかの量の中から、2 つの量を取り出し、それに依存関係を見出そうとする。
2）一方を 2 倍、3 倍…と変化させたときに、他方がどう変化するか見出そうとする。
3）あるものを決めると、何が決まるかを見出そうとする。
また、あるものを決めるには、何を決めればよいかを見出そうとする。
4）対応のきまりや変化の特徴をみつける。

関数的な見方・考え方

5）対応のきまりや変化の特徴を利用する。

3
1
2
4
5

40

3.3

問題場面

＜中学 1 年生＞

（方眼 1 メモリ＝1cm）
・正方形 EFGH が正方形 ABCD の方向に向かって、G が C と重なるまで辺 BC 上を移動する。
＜中学 2 年生＞

・正方形 EFGH が長方形 ABCD の方向に向かって直線 BC 上を毎秒 1cm の速さで平行移動する。
＜中学 3 年生＞
・直角二等辺三角形 EFG が正方形 ABCD の方向に向かって、毎秒 1cm の速さで直線 BC 上を平行移
動する。

41

＜問題場面＞
台形 EFGH が長方形 ABCD の方向に向かって G が B を出発し、C と重なるまで辺 BC 上を毎秒
1cm の速さで平行移動する。
x 秒後の重なった部分の図形の面積を ycm2 とする。
このときの面積の変化の様子をグラフに表してみよう。

4

指導案
4.1

指導案作成の過程

4.1.1

第1回

［問題設定］
台形 EFGH が長方形 ABCD の方向に向かって G が B を出発し、辺 BC 上を毎秒 1cm の速さで平行移動する。
x 秒後の重なった部分の図形の面積を ycm2 とする。
このときの面積の変化の様子をグラフに表してみよう。
活動 A：0≦x≦6 の範囲の点が打てる。
活動 B：0≦x≦6 の範囲のグラフが描ける。
活動 C：6≦x≦12 の範囲のグラフが描ける。
活動 N：0≦x≦12 の範囲のグラフが描ける。
［活動 A］
A1：表を書いた後、点をとる。
x

1

2

3

・・・

y

1
2

2

9
2

・・・

A2：表を書かずに点をとる。
［活動 B］
B1：式で表した後、グラフを描く。
三角形と長方形の式をそれぞれ求めてから、台形の式を考える。
11

三角形：y=x×x×2＝2 𝑥 2 （0≦x≦4）
長方形：y=(x-4)×4=4x-16
台形：y=4x-16+8=4x-8（4≦x≦6）

B2：式で表した後、グラフを描く。
三角形をまず考えた後、台形の式を求める。
11

三角形：y=x×x×2＝2 𝑥 2 （0≦x≦4）42

台形：y=8+4(x-4)=4x-8（4≦x≦6）

B3：4≦x≦6 のグラフを描く際、（x,y）=（4,8）を原点とする小さい座標系を用いてグラフを描く。
［活動 C］
C1：6≦x≦10（0≦x2≦4）のときのグラフを、（6,16）を原点とする小さい座標系を用いて考える。
11

6≦x≦10（0≦x2≦4）のとき減っていく面積を考えると、2x2 ずつ減っていくので、y=-2x2 のグラフを描く。
10≦x≦12（4≦x2≦6）のときのグラフは、1 秒経つごとに 1×4 の長方形 1 つ分の面積が減ると考え、
y=8-4×(x-4)=-4x+24 のグラフを描く。
（左下図）

C2：6≦x≦10（0≦x2≦4）のときのグラフを、（6,0）を原点とする小さい座標系を用いて考える。
1

1

2

2

6≦x≦10（0≦x2≦4）のとき面積は y=16 から y= x2 ずつ減っていくと考えて、y=16- x2 のグラフを描く。
10≦x≦12（4≦x2≦6）のときのグラフは、（x2,y2）=（4,8）（6,0）を通ることから、y=-4x+24 を描
く。
（右上図）

4.1.2

第2回

0≦x≦6 のときの立式とグラフをかくことを活動 B、6≦x≦12 のときの立式とグラフをかくことを活動
C としていたが、定義域により関数が異なることに気付くことは困難であると考え、点を打つことを活動
A、式を立てることを活動 B、グラフを活動 C とすることにした。
最初の問題提示では、「G が C と重なるまで」という条件を加え、0≦x≦6 のときのみを考える問題に変更し、グラフをかく際座標変換が必要となる 6≦x≦12 のときを考えることを活動 N とした。そのため、活動 C と活動 N の間に活用問題を提示することにした。
また、各活動に対して次のような支援を加えた。
［活動 A への支援］特殊な支援：具体的な数値で考えてみよう。
［活動 B への支援］一般的な支援：x と y の関係式を立ててみよう。
特殊な支援：4 秒後までは三角形の面積公式を使って式を立ててみよう。
43

4 秒後から 6 秒後までは長方形の面積公式を使って式を立ててみよう。
［活動 C への支援］一般的な支援：式をもとにして、グラフを描いてみよう。
特殊な支援：何秒後まで放物線になるか。
4 秒後から 6 秒後までのグラフはどうか。

4.1.3

第3回

支援をセリフに書き換えた。
また、活動 C への特殊な支援を次のように変更した。
「0 秒後から 4 秒後までは三角形の面積を求める式をグラフに表してみよう。
」「4 秒後から 6 秒後までは台形の面積を求める式をグラフに表してみよう。
」

4.1.4 第 4 回
練り上げの部分を、シナリオに書き換えた。
6≦x≦12 のときのグラフを 0≦x≦6 のときのグラフの続きにかく活動は、教師がすることにした。

4.2

指導案

問題
台形 EFGH が長方形 ABCD の方向に向かって G が B を出発し、G が C と重なるまで辺 BC 上を
毎秒 1cm の速さで平行移動する。
x 秒後の重なった部分の図形の面積を ycm2 とする。
このときの面積の変化の様子をグラフに表してみよう。

活動 A への支援▶より特殊な支援
・具体的な数値で考えてみよう。
期待する活動 A
・表を書く。
↓
点を打つ。
↓
表や点の動きの違いに気づく。
x

1

2

3

4

5

6

y

1
2

2

9
2

8

12

16

44

活動 B への支援
▶より一般的な支援
x と y の関係式を立てよう。
▶より特殊な支援・4 秒後までは三角形の面積公式を使って式を立ててみよう。
・4 秒後から 6 秒後までは長方形の面積公式を使って式を立ててみよう。
期待する活動 B
B1：三角形と長方形の式をそれぞれ求めてから、台形の式を求める。
1

1

2

2

三角形：y=x×x× ＝ 𝑥 2 （0≦x≦4）
長方形：y=(x-4)×4=4x-16
台形：y=4x-16+8=4x-8 （4≦x≦6）
B2：三角形をまず考えた後、台形の式を求める。
1

1

2

2

三角形：y=x×x× ＝ 𝑥 2 （0≦x≦4）
1

台形：y={(x-4)+x}×4× ＝4x-8 （4≦x≦6）
2

活動 C への支援▶より一般的な支援式をもとにして、グラフをかいてみよう。
▶より特殊な支援・0 秒後から 4 秒後までは、三角形の面積を求める式をグラフに表してみよう。
・4 秒後から 6 秒後までは、台形の面積を求める式をグラフに表してみよう。

期待する活動 C式をもとにグラフをかく。

45

＜活用問題＞
台形 EFGH が F が B を出発し、C と重なるまで辺 BC 上を毎秒 1cm の速さで平行移動する。
F と B が重なった状態を 0 秒とし、x 秒後の重なった部分の図形の面積を ycm2 とする。
このときの面積の変化の様子をグラフに表してみよう。
ただし、グラフは初めの問題の 6 秒後の続きにかくこと。
活動 N への支援▶より一般的な支援
・式とグラフの x の値が合いませんね。
そろえるために、x=6 を新しく y 軸としたら、式をもとにグラフがかけるかな。
期待する活動 N
N1：0≦x≦4 のときのグラフを、（6,16）を原点とする小さい座標系を用いて考える。
0≦x≦4 のとき減っていく面積を考えると、
1 2
1x ずつ減っていくので、y=- x2 のグラフをかく。
22

4≦x≦6 のときのグラフは、1 秒経つごとに1×4 の長方形 1 つ分の面積が減ると考え、
y=8-4×(x-4)=-4x+24 のグラフをかく。
N2：0≦x≦4 のときのグラフを、（6,0）を原点とする小さい座標系を用いて考える。
10≦x2≦4 のとき面積は y=16 から y=2x2 ずつ
1減っていくと考えて、y=16-2x2 のグラフをかく。
4≦x2≦6 のときのグラフは、（x2,y2）=（4,8）（6,0）を通ることから、y=-4x+24 をかく。

46

4.3

期待する授業の展開＜練り上げ＞
時間配分

シナリオ

～20 分

（S1、S2、S3 が黒板に式を書く。
）
T：「どんな式になりましたか？説明をしてください。」
S1：「0 秒から 4 秒後までは、底辺が xcm、高さも xcm の二等辺三角形の面積なので、
1y=2x2 になりました。
」
S2：「4 秒後から 6 秒後までは、二等辺三角形と長方形の面積を足したものになります。
長方形の面積は、4x-16 で 4 秒後の三角形の面積 8 を足して、4x-8 になりました。
」
1

S3：「4 秒後から 6 秒後までは、台形の面積になるので、｛(x-4)+x｝×4×2＝4x-8 になりま
～25 分

した。
」
T：
「では、それをグラフで表したら、どんなグラフになりますか?」S4：黒板にグラフをかく。
S5：「0 秒から 4 秒までは放物線になりました。」
S6：「4 秒後から 6 秒後までは直線になりました。
」

～30 分

T：
「そうだね。うまくかけました。では、このときのグラフはどうなるかな。」～33 分（活用問題提示）～45 分（S7 黒板にグラフをかく。
）
T：「どんなグラフになりましたか？S さん説明してください。」
1S7：「（6,0）を原点として、0≦x2≦4 のときの面積は y=16 から y= x2 ずつ減っていくと
2

1

考えて、y=16- x2 のグラフをかきました。
24≦x2≦6 のときのグラフは、（x2,y2）=（4,8）（6,0）を通ることから、y=-4x+24 のグラ
フをかきました。
」
T：「そうですね。では最後に最初の問題でかいたグラフとつなげるとこんなグラフになり
ますね。
」
～50 分

（教師が描く）。

＜板書計画＞

問題

活動 B1

活用問題

活動 B2

方眼の入った小黒板 3 枚
47

＜年間指導計画＞○関数 y=ax2
1 時間目：表をもとにして、y=ax2 に気づく
2 時間目：グラフを実線でつなぐ、y=ax2 のグラフとその特徴
3 時間目：y=ax2（a>0）のグラフの特徴
4 時間目：y=ax2（a<0）のグラフの特徴
5 時間目：変域
6 時間目：変化の割合（y の増加量/x の増加量）
7 時間目：変化の割合（平均の速さ）
8 時間目：y=ax2 の利用（曲線と直線の交点）
9 時間目：y=ax2 の利用（平行移動）
10 時間目：y=ax2 の利用（展望台から物体を落とす、 →→11 時間目：y=ax2 の利用（

→

、

→

）

）

12 時間目：いろいろな関数
13 時間目：演習
14 時間目：章末問題

参考文献
・数学教育学研究会 「算数教育の理論と実際」（1980）

聖文社

・小倉金之助 「小倉金之助著集第四巻 数学教育の根本問題」（1973）

勁草書房・http://www.juen.ac.jp/math/journal/files/vol15/hayashi.pdf『「関数の考え」が生きる事象についての考察』 上越教育大学大学院修士課程１年 林弘・教育科学研究会 「現代教育のキーワード」 （2006）

大月書店

感想
半年間の授業を通して、様々なことを学ぶことができた。y=ax2 をテーマにして、学習指導要領の変遷
や、小倉金之助の関数観念についてなど、今まで学習してきた内容では得られなかったことを、新たに知ることができた。特に指導案作りでは、問題場面や生徒の理解を深めるような問題設定の重要性を感じたと同時に、期待する活動とそれに応じた支援をあらかじめ考えることの必要性も実感した。
この講義を通して、大変なことも多々あったが、これからの教育実習や将来に活かしていきたい。
大西 和紀
今回の授業を通して様々なことを学び、考えることで、多くのことを得ることができた。
中でも大きな収穫であると感じているのは、学習指導要領や文献を読むことによって、教育の歴史や変化に関してじっくりと調べ、知識を深めることができたことである。自分がいかに無知であるかを知ったと同時に、歴史や概念を学ぶことで、より教育とりわけ数学に関して理解を深めることができるとわかったので、今後も自ら様々なことを調べ、知識を深めていきたいと考える。
また、半期かけて 1 つの指導案を作成していく中で、問題提示や発問の仕方 1 つ 1 つの重要性を痛感48したとともに、1 つの授業を作り上げることの大変さも感じることができた。
この授業を通して学んだことを将来教員になった際に活かしていきたいと考える。
玉田 琴子
今回、この設計の授業が２度目であったため前回に比べて先を見通しながら半年間を過ごすことができた。また、前回と異なり教育実習を行った後の授業であったため、授業には何を準備しておかなければならないかということやどんな様子の授業展開が作れそうかということを具体的に考えながら行えた。
それにより、支援などを考えることが以前に比べ楽に行えたことは今後にもつながるように感じられた。
しかしながら、前回の授業単元が幾何だったこともあり、前回とは異なる授業設計の難しさを感じた。
幾何の単元では図形を構成するものをどう考えればよいかということや、より一般にして考えるとどのように考えられるかという教材研究を考えるのに苦労したが、今回は関数の単元であり、カリキュラム
上の制約や、中学生に求める能力をどこに設定するかという問題設計に苦労したように感じた。
半期をかけたことで出来上がった指導案が、実践の場においてどのような困難、よさを生むのかは私にはまだ分からないが、今後少しずつ改善点を見つけ、私なりに修正していきたい。
荻原 友裕

49