平成22年度理数教育専攻修士論文発表会資料

数学教育における一般化を志向する教授学習に関する研究
A Study on Didactical Situation for Generalization in Mathematics Education
鳥取大学大学院
指導教官

溝口 達也a

4.2 Polyaの一般化とBethの数学的思考の相

第1章:研究の目的・対象・方法

4.2.1 Polyaの精神と一般化

1.1 研究の目的

4.2.2 帰納と類比:ゴールドバッハの予想
4.2.3 《配列》の相

1.2 研究の対象
1.3 研究の方法

1.4 本論文の構成
第2章:数学的認識の本性から観た問題の所
在4.3 分類4.4 『子ども』の推測・発見と研究課題
第4章の要約及び注

第5章:『教師』の支援とコミュニケーショ
ン

2.1 問題の所在

2.2 論証の対象に関する考察

5.1 学習の動機となるコンフリクト;小課

2.2.1 “一般の三角形”と論証
2.2.2 教科書の立場と問題点

題2の検討

5.1.1 認知的コンフリクト

2.3 論証の観察と一般の命題

5.1.2 認知的コンフリクトの例
5.1.3 社会認知的コンフリクト64

2.3.1 特殊に依存しない論証

2.3.2 “一般の三角形”と差異性の捨象

5.2 コミュニケーションの社交的な機能

2.3.3 “円周角の定理”事例の問題点
2.4.問題点の分析と研究課題の導出

5.3 『教師』の役割と研究課題
第5章の要約及び注2.4.1 P1についての分析

第6章:一般化を促進する『教材』
6.1 特別な特殊を通した学習;小課題3の検

2.4.2 P2・P3についての分析
第2章の要約及び注討

第3章:円の分割事例と“一般化モデル”
3.1 一般化の認識過程

6.1.1 極端に特別な特殊
6.1.2 有力な特別な特殊

3.2.1 直線による円の分割事例

6.2 生成的な例
6.2.1 説明から証明への展開;生成的な例を3.3 岩崎(2007)による批判的考察

3.3.1 一般化分岐モデルと円の分割事例基準にして3.4 円の分割事例の教授学習場面
3.5 “一般化モデル”と教授学的三角形

6.2.3 特殊から一般への展開;生成的な例を基準にして第3章の要約及び注

第4章:『子ども』の数学的思考を捉える基4.1 直観主義とBethの数学的思考の相;小課題1の検討4.1.1 直観主義

透a4.1.2 Bethの数学的思考の相

本論文の章構成

本的枠組み

早田

6.3『教材』を通した学習と研究課題
第6章の要約及び注

第7章:一般化を志向する教授学習モデルの構築

7.1 モデルの本性

7.1.1 公理系を満足させるモデル

早田 ! 1 !

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7.1.2 同型性に基づくモデル

7.5 モデルの実際

7.2 モデルの対応

7.5.2 モデルの規範性

7.1.3 モデルの役割

7.5.1 モデルの有用性

7.3 “一般化モデル”における流れとその目的
7.3.1 事例:Star Patterns

7.6 モデルによる授業設計

7.6.1 高等学校:中線定理
7.6.2 小学校1年生:くりあがりのあるたしざん

7.4一般化を志向する教授学習場面のモデ
ル

第7章の要約及び注

第8章:研究の結論

7.4.1 本研究の目的とモデル

7.4.2 活動の系列と支援
7.4.3 モデルの本性からの検証

8.1 本研究の結論と意義
8.2 今後に残された課題

そこで本研究は上述の目的を設定し，1．本研究の目的と方法
本研究の目的は，我が国の算数・数学一般化を志向する教授学習のモデルを構教育において，一般化を志向する教授学築するという方法で達成をはかりたい．

習場面がどのように展開されるべきであるかを明らかにすることである．
数学を学習する際，学習者自らが既知の数学的概念（技能・知識・考え方など）を基に新たな数学的概念を発明し，2．問題の所在
一般化はその名の通り“特殊から一般へ”と方向性を持った認識であることは確かである．

獲得するのであるが，こうしたプロセスのほとんど全てに深く関わるのが一般化であり，それは“はじめにあった概念または形式について，その適用範囲が広くなるようにすることである．”（中島,1981）こうした一般化の重要性は，数学という学問そのものにおいてもおよそ全ての人によって認められているところである．
従って，一般化が授業においてどのよ

図1：K社教科書の学習場面うな過程を経て実現されていくかということを明らかにすることが要請される

しかし一方で，我が国の算数・数学のが，そうした点はこれまであまり指摘さ教教科書においてはその意図にも関わられてこなかった．

ず“特殊から一般へ”という推理がなされていないことが大きな問題であり，典型

早田 ! 2 !

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例である図1のように，特殊「と」一般には，学習者が一般化を志向するその過程ついて推理しているに過ぎない．

が重要であるため，これを明らかにする

こうした状況を改善し，一般化を志向ことで何らかの示唆が得られると期待さする教授学習がどのように展開されるべれる．ひいては，一般化を志向する教授きであるかについて考察するべく，本研学習の改善に繋がっていくことも期待さ

究は数学的認識・推論の本性に迫るBethれるだろう．

（Beth and Piaget,1966）を基に我が国のそこで本研究は，一般化の認識過程を教科書を分析し，問題点を抽出した．

扱った研究の中でも，認識論的・心理学抽出された問題点を基に，解決しなく的な観点から一般化の認識過程を分析てはならない3つの研究課題が導出されし，抽象と一般化を接続してその過程をた．即ち，モデルという形で初めて提示したDörfler（1991）の一般化モデルと，その批判的・研究課題1
一般化を志向する教授学習において，どのように概念を構成していくか考察を行った岩崎（2007）の一般化分岐モデルに注目した．
そこで．一般化を志向する教授学習と・研究課題2
一般化を志向する教授学習において，どのように捨象する差異性とその程度を決定していくかして典型的な場面である“円の分割事例”を通してモデルの分析を行った．
円Oの中に直線を引いていくつかの部分に分けていく．例えば，図に示した・研究課題3
一般化を志向する教授学習において，互いに異なる特殊から一般の命題が導か状態は2本の直線で4箇所に分割されている．

れるということを，どのように学習機会として取り入れるか．
である．
これらの研究課題に取り組む事で，一般化を志向する教授学習場面を改善することが出来ると期待される．

この円を5本の直線で分割しようとする
とき，最大で何箇所に分割することが出来るか．
図2：円の分割事例

3．一般化モデルと教授学的三角形

また，円の分割事例を教授する場面，即3.1 円の分割事例
一般化は数学的認識の本性に直結する重要な過程であり，認識論的に基礎づけ

ち一般化を志向した授業においては4つの数学的活動（S1〜S4）が期待される．

る事は容易ではない． 教授学習において早田 ! 3 !

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S1：試行錯誤を行い，実際に書いた図から5本の直線で分割できる最大の数場面を考える上で規範としたい事例であると位置付けられる．

が16であるという事を推測する；
S2：交点を増やせば増やすほど領域の数が増える事に気付くと共に，5本の直線で分割できる最大の数が16であるという事を推測する；
S3：分割出来る領域の数が最大になる直線の引き方が，直線の数を問わず常に成り立つことに気付くことが出来る；
S4：S2・S3を基に構造を明らかにした図（図3）を描き，最大の数が16であるという事の根拠を明確にし，一般性を示す．

3.2 “一般化モデル”の問い
Dörfler（1991）の一般化モデルも，岩崎（2007）の一般化分岐モデルも，「一般化とはどうあるべきか？」という問いにこたえようとした優れた研究であり，授業設計において，特に活動を設計する際に大きく寄与することが期待される．
これは，授業を構成する教授学的三角形（溝口,2004,p.2） から見れば『子ども』に関する研究であると位置付けられる．
しかし実際の授業においては，岩崎氏の研究の問いの対象外である一般化以外の数学的思考，即ちS1やS2のような『子ども』の推測・発見を考慮しなければならない．
また，“一般化モデル”に登場しない『教師』が支援を行う際，直接には一般図3：円の分割事例における決定的な図化を促していないにも関わらず，支援が授業の後半の練り上げにおいては「16た．更に，特別な『教材』が一般化に対一般化の契機となりえる事が認められ箇所」という答えの妥当性が問題になして決定的な役割を果すことが認められり，そこでは単に解決をお互いに披露した．以上の考察を基に，研究課題に対応合うのではなく，教師が主導する議論がしている3つの小課題を導出した．

行われる．議論を通して，学習者が主体・小課題1的に自力解決S1〜S4の活動を順に関連付けていくことで学習が展開されていくと期待される．
こうした学習は，子ども達自らが特殊について推理し，試行錯誤をしながら一般化を達成していく典型的な場面であり，本研究が一般化を志向する教授学習

一般化を志向する教授学習過程において，推測や発見に結びつく活動はどう位置付けられるか？
・小課題2
教師からの問いかけが，学習者が一般化へ向かう契機としてはたらくのは，どのような場合であるか？

早田 ! 4 !

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・小課題3

数学における発見学を再構成しようとし決定的な役割を果たす特殊はどのようにたPolya（1945,1954a&1954b）の主張を位構成され，どう位置付けられるか？

置付ける事で，一般化に対して特徴付けを行った．

4．小課題の検討

その結果，帰納・類比という様相が一4.1 『子ども』の推測・発見
小課題1にこたえるため，本研究はBeth（Beth and Piaget,1966）を基に直観主義という考え方に注目した．それは， “直観主義は数学的推理をできる限り，古典的形式論理学から借用したスキーマよりも実際の思考過程に適応させる試みとして定義される”（ibid,p.21）ので，“実際の数学的思考と，一般にディスコース的な思考全般のメカニズムについての価値ある情報を与える”（ibid,p.21）事が期待されるためである．
また，伊藤（1993）によれば，19世紀後半から20世紀初頭に起こった素朴な般化に対して重要であることが明らかになった．一方，帰納・類比という考えでは円周角の定理などで用いられる，「場合分け」を説明できないことが認められた．その結果，Polyaに不足していた観点として分類という様相が重要であることが認められた．こうした分類には成功的なものとそうでないものがあるが，そのどちらも重要である．
これによって小課題1にこたえると共に，研究課題1には帰納・類比・分類が，研究課題2と3には分類が重要であることが認められた．

（L.E.J.Brouwer以前の）直観主義の主張

4.2『教師』の支援とコミュニケーションの1つが“証明は構成的でなければならな小課題2を基に，本研究は一般化を志い”（ibid,p.21）事であるが，この事の1つ向する教授学習場面における『教師』のの側面こそが“証明における推論は「特殊支援について考察した．支援は学習者のから一般へ」と進めることが可能である思考を促進することを意図した『教師』こと”（ibid,p.24）であり，直観主義といによる思考への介入であり，主として言う考えそのものに一般化が深く根付いて語によるコミュニケーションによって行ることも重要な点である．

われる．

検討の結果，我々の数学的思考は《探こうしたコミュニケーションについて求》の相・《配列》の相・《検証》の相Sierpinska（2005）を基に検討した結果，という連続的な3つの相に区別されなく同じ言葉が異なる対象を指すことによってはならないことが明らかになった．て発生する“社会認知的コンフリクト”がこの“Bethの数学的思考の相”を特徴付発生する場合と，コミュニケーションをけるのは，真に発見的で創造的であるが維持しようとする社交的な機能が働く場不規則である《配列》の相であるため，早田 ! 5 !

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合において，学習者の一般化を促進する目的は一般化の認識過程を明らかにすることが認められた．

事であった．一方，本研究の目的は一般

これにより，研究課題1と3に対して化を志向する教授学習がどのようにある『教師』の役割としてのコミュニケーべきかを明らかにする事である．

ションが重要であることが認められた．

従って，目的の違いから，理解研究における理解の“過程モデル”と“様相モデ4.3 一般化を促進する『教材』
教授学習において『教材』が大きな役割を果たすということは疑い無く認められるが，『教材』は学習の内容によって固有の性質を持つという側面があり，それらについて一律に述べる事は非常に困難である．しかし，Polya（1945，1954a&1954b）によれば，いくつかの特別な特殊が一般化を促進する．検討の結果，非常に極端な“極端に特別な特殊”や，一般の場合の解決を含む“有力に特別な特殊”について推理することが，学習者の一般化を促進することが認められた．
それに加えて，円の分割事例において決定的な役割を果たす図（図3）である“生成的な例”が，一般の命題を論証したり，特殊の中に一般を見つける手助けとなることが明らかになったため，これを“有力に特別な特殊”の中に位置付けることとした．
これによって，研究課題1と3に対して特別な『教材』の果たす役割が重要であることが認められた．

ル”（小山,2010）のように，一般化という1つの事柄に対して異なる要素に対応した，異なる特性を持つモデルが要請される．
本研究の目的に照らし合わせれば，問題解決授業を前提に，一般化を志向する
教授学習における数学的活動において，一般化を達成するために推測や発見を含めどのような活動が期待されるべきであるか，不規則にあらわれるそれらの数学的活動に対して，教師や教材がどのような役割を果たすべきであるか，といった事を明らかにするモデルが要請される．
そして，教授学的な立場から考えたとき，必要となるのは“個人差に応じた指導(解決予想)の根拠は,学習者の可能な解決パターンにあるのではなく，教授上いかなる指導(支援)が要請されるかにある．”（友定他,2006,p.5）ことを踏まえた活動の系列である．
以上を踏まえ，本研究が一般化を志向する教授学習場面の典型的な例として位置付ける仮想事例であった“円の分割事例”を基に，議論された『子ども』『教5．一般化を志向する教授学習モデルの構築
Dörfler（1991）の一般化モデルも，岩崎（2007）の一般化分岐モデルも，その師』『教材』の役割を図示したものが，図4である．
Hesse（1966），小山（1989）によれ
ば，モデルとはある種の同型性に基づき早田 ! 6 !

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表現され，理論の全てを成り立たせるも以上のような観点から，図4一般化を志のである．こうしたモデルの本性から図4向する教授学習場面における学習者の活を検討すると，図4は教室で展開される動と，教師と教材の役割を同型性に基づ『子ども』の活動を，教授上いかなる支いて表現したものであることが認められ援が必要であるかという観点に基づいてる．

系列化している．従って，それぞれの活同時に，本研究によって展開された議動は教師が意図した（主として言語によ論の全てが成り立っている．同型性に基る）コミュニケーションにおいて実施さづいて表現され，本研究の理論のすべてれる［支援］によって高められていく．

を成り立たせるものであると認められる展開されるコミュニケーションによってため，図4は一般化を志向する教授学習発生する社会認知的コンフリクトと，そのモデルであることが認められる．の社交的な機能（Sierpinska,2001）が活動

更に，円の分割事例の検討によれば，を促進するという同型性に基づいて表現

図4で示された活動を通して，一般化分岐されている．

モデルで明らかにされた活動を達成され同時に，実際の授業において［極端にることが期待される．従って，本モデル

特別な特殊］，［有力に特別な特殊］，は一般化分岐モデルに対して整合性を有［生成的な例］に取り組むことで，『教している．

材』を通して学習者の活動が高められて一般化分岐モデルは子どもの活動の記いくということが，矢印を用いた同型性

述性と規範性を有しているが，一方で教に基づいて表現されている．

師の立場から見れば，授業設計にあたって具体的にどのような算数・数学的活動一般化を志向する教授学習支援［SCC］ [FF]支援

［SCC］ [FF]支援

［SCC］ [FF]支援［SCC］ [FF]支援

特殊についての推理

一般の命題を論証する〈帰納〉〈類比〉〈分類〉による推測・発見

更なる一般化

ESP
LSP

ESP
LSP

ESP：極端に特別な特殊生成的な例

LSP：有力に特別な特殊
SCC：社会認知的コンフリクト
FF：コミュニケーションの社交的な機能

図4：一般化を志向する教授学習モデル

早田 ! 7 !

平成22年度理数教育専攻修士論文発表会資料と支援を設計すればよいかは必ずしも明め，そこにどのような支援が要請される確ではない．のか，そこに至るための障害は何か，と従って，本研究のモデルは教師の授業設計に用いられることで有用なモデルでいった点が今後検討されなくてはならないだろう．

あると位置付けられる．勿論，一般化分

また，一般化の質や対象が異なる場合

岐モデル単体での授業設計も可能ではあに学習者に与える影響について，本研究るが，そこから直ちに「教師」と「教自身は殆ど何も触れていない．そのた材」の役割が明らかになるとは限らなめ，今後検討されなくてはならないといい．本研究のモデルはいわば，教師が実える．

際の授業を設計しようとするとき，一般化分岐モデルと実際の授業設計との橋渡しをする役割を果たしていると認められる．
教師がモデルを用いて一般化を志向する授業設計をすることで授業が改善され，子どもたちが“《真理に対する責任の担い手》”（友定他,2006,p.6）として成長していくと期待される． 更に，こうした授業を日々行うことで，教師の支援がな
くとも子ども自らが一般化を志向するような，いわば契約のようなものが成立す主要参考・引用文献
Beth.E and Piaget.J（1966）[W.Mays,Trans.] ,Mathematical Epistemology and Psychology ,D.Reidelpublishing company
Dörfler.W, （1991）, “Forms and means ofgeneralization in Mathematics”, In Bishop.A（ed.） Mathematical Knowledge : Its GrowthThrough Teaching,pp.63-85 , Kluwer Academic
Publishers
Polya.G, （1954a）, 数学における発見はいかになされるか1「帰納と類比」（柴垣和三訳）, 丸善株式会社
Sierpinska.A（2005）,“Discoursingることが期待される．

Mathematics Away”, in J. Kilpatrick, C.
Hoyles, & O.Skovsmose（Eds.）,Mathematics

6．今後の課題

education library: Vol. 37.
岩崎秀樹, （2007），数学教育学の成立と本研究において重要な役割を果たすと考えられる特別な特殊について，それをどのように構成するかということについては，検討が十分に行われていない．学
習中に教師が投げ入れることも考えられない訳ではないが，学習として質の高い展望，ミネルヴァ書房
友定章子・姫田恭江・溝口達也,（2006）,
授業設計における一般化と拡張を志向した算数的活動の構成の様相, 鳥取大学数学教育研究, Vol.9 , No1, pp.1-10
中島健三(1981)，算数･数学教育と数学的な考え方その進展のための考察，金子書房

ものを目指すためには，やはり子ども達

宮崎樹夫,（1995）,学校数学における証明が自らこれらの特殊を構成できるようにに関する研究―証明に至る段階に説明のなることが望ましい．しかし，そのような子どもばかりであるとは限らないた水準を設定することを通して―,筑波大学
学位論文

早田 ! 8 !