数学学習指導設計Ⅱ
和音の数学的解析～総合的な学習において～グループ C
後尾 勇人
倉田 広晶
服部 夏実

目次
1.

選択した単元と理由 .........................................................................................................22.

数列の問題例 ....................................................................................................................23.

QA マップ作成 .................................................................................................................54.

音楽に親しみのある人とない人の違い，方針変更 .......................................................105.

QA マップ第 1 案 ...........................................................................................................116.

QA マップ第 2 案 ...........................................................................................................137.

QA マップ第 3 案 ...........................................................................................................148.

最終的なＱＡマップ .......................................................................................................179.

感想 ................................................................................................................................201

1. 選択した単元と理由○単元数列（等差数列と等比数列）○理由
数列は規則性を見つけることで，１つの式で表すことができる．これにより，多くの数列を式で表し，扱うことができる．数列の規則性を見つける謎解きのような楽しさを生徒に伝え，生徒がこれらを活用できるようにしたい．

2. 数列の問題例
１．和音を利用した例

2

２，金利を利用した例
毎年定期的に貯金して，6 回の貯金で総額が 5000€を超えるには，いくらずつ預金すれば よいか？ ただし，純利子（税金を差し引いた利子）は 2.85％で，毎年の初めに貯金して， その年の最後に利子が付加される。

3

３，算数の授業で使用される例

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3. QA マップ作成
大きな問い：どうして和音はきれいに聞こえるの？
上記の問いの QA マップを作成した．3 人の QA マップを比較すると，それぞれ定義から疑問を持って取り組むところは同じであったが，そこから派生する答えや疑問が少しずつ異なっている．だから，高校生で QA マップを作成しても，音楽が身近な生徒が興味，関心を持ったり，音楽が身近ではない生徒が人とは違う角度で考えたりして，数列を深く学べるのではないかと考えた．

・QA マップ１

56・QA マップ２7

・QA マップ３894. 音楽に親しみのある人とない人の違い，方針変更
3 章において，1 人１つずつの QA マップを作成した．そこでの音楽に親しみのある人とない人の違いについて表 1 にまとめる．
表 1：音楽に親しみのある人とない人の違い
音楽に親しみのある人

ない人

・使われる言葉の意味を大体知っている．

・ハ長調とは何か？

・もともと，きれいになる音を知っている． ・なぜ調を設定する必要があるのか？
・どうして平均律が使われているのか？
・方針変更「和音とは何か？」の質問を考えていたが，調や，コードの話をしているうちによく使用される「カノン進行」という言葉がでてきた．
「カノン進行」とは有名な曲の多くが用いている．その「カノン進行」を題材にし，最近の曲を使用して生徒に興味・関心を持たせようと考えた．
① 複数の課題曲（カノン進行が用いられている）から生徒が好きな曲を選ぶ．
② 何小節か分の楽譜を与える．鍵盤から音を出し，オシロスコープで周波数を読み取る．
（オシロスコープがない場合，周波数を事前に与える．
）③ 生徒たちに，その周波数がどのような関係になっているかを考えさせる．
④ 隣り合う音の周波数が比の関係になっていることを発見させる．
⑤ それぞれの曲のコード進行を比で表す．
⑥ その際に基音と公比を知る必要がある．
⑦ どうやって求めるか．
→第ｎ項，第 n+1 項，第 n+2 項の初項と公比を求める問題になる．
⑧ 6 番の結果，全員の比が同じになる．これは，なぜか？
⑨ 実は，カノン進行という有名なコード進行を用いて作成されているからである．
＜カノン進行が用いられる曲＞
世界に一つだけの花，小さな恋の歌，糸 など

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5. QA マップ第 1 案

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12

6. QA マップ第 2 案
Q０

どうして和音はきれいに聞こえるかW1 実際の曲で聞いてみる

Q0

W2 楽譜を見てみよう
W3 和音の音の組み合わせを見てみよう
D1 各音の周波数を調べよう

W1

Q1 差で考えると関係性が見えるのでは
Q2 比で考えると関係性が見えるにでは
A0 倍音の関係になっているから

W2

A2 音符の周波数の定義が分かった

W3
D1Q1

Q2

A0

A213

7. QA マップ第 3 案

Qi：問，Ai：答え，α：支援Q0

どうして和音はきれいに聞こえるの？

Q1

実際の曲の和音はどうかな？

α先生が事前に複数曲を用意したものを聞かせる．

A1

曲を聴く．

Q2

楽譜はどうなっているのかな？

α先生が楽譜を配布する．

A2

楽譜からさまざまな和音があることがわかる．

Q3

和音の音はどうなっているの？

A3

５つくらい和音の音名を書き出す．
（ドミソなど）Q4

音の周波数はどうなっているの？

A4各音の周波数を書き出す．

Q5各音の周波数はどんな関係になっているの？

Q6差で考えると関係性が見えるのでは？

Q7比で考えると関係性が見えるのでは？

Q8隣り合う音階どうしで関係性は？

A7

隣り合う音の比が 1.0598 で表せる

Q9

一番低い音を基準として差を考えてみる

A9以下の表ができる

Q10

それぞれの差は何を表している？

A10差の比はおよそ１：２となっている。d=62.327 とすると f(ミ)+d=f(ソ)、14f(ミ)+2d=f(ド)Q12等差数列の式で表せるか？

Q13f=n*d と仮定して、つまり初項 a0=公差 d=62.327 として考えてみる

A13

ミ：329.628=5.28868d ソ：391.995=6.28933d ド 523.251：8.39525d

A12

右辺の係数が整数に近くないことから、a0=d=62.3271 では等差数列は成立しない。

Q14

一番低い音を基準として比を考えてみる

A14以下の表ができる。

Q16それぞれの比は何を表している？

Q17

簡単な分数に近似してみよう

α5/3=1.66666…のような、おおよそ近似できそうな分数＝小数の表を配布

A17

分数比がでる（ミ：ソ：ド＝5/5：6/5：8/5）

Q18

簡単な整数比に直してみる

A18１、９の和音の場合ミ：ソ：ド＝５：６：８

Q19比にそれぞれ×５をしたので A14 表での比に×５をしてみる

A19

ミ：ソ：ド＝5：5.945：7.935

Q20

初項 a0 として，a0：ミ=1：5 の比を考える

A20f(ミ)÷５=65.926 これを初項 a0 と考える

Q21

a0 は何の音？（ド？レ？）

Q22

音階は等比数列であることを利用して、鍵盤の数と比較する

W1(1.059…)n-1=5 となる n-1 を考えるとそのｎが等比数列の第ｎ項であるので、求めたｎだけミから鍵盤上で逆算する。

αn を求めるために対数の計算が必要なため、関数電卓を用いる

A22

n=28.8645≒29 より、ミから下に 29 番目の音をさがすとドである。

A21

a0 はドであり、そのおよそ 5 倍、６倍、８倍でミソドは構成されている音階が等比数列になっていることがわかる

W2他の比についても同様に行う。
15

AW2近似された整数比の表が完成する

W3他の班の結果と見比べる。

AW3すべての班の比が一致する

Q23

整数倍で表せるなら等差数列でも表せるのでは？

Q24

初項 a0=公比 d=65.926 でもう一度考えてみる

A2465.926×6=395.556。f(ソ)と比較すると 3.5Hz ほどずれがあるが、1 度目の計算結果と比較すると誤差は小さくなった。

Q25

なぜ誤差が生じるのか

A23

公比が無理数。

A25

初項の周波数の整数倍の音で構成された音の組合せが和音の成立条件。初項を基音といい、整数倍の音を倍音という。構成音が基音の倍音であるとき、その音はきれいに聴こえる→和音の正体

Q26

全ての班で比が一致したのはなぜ?

A26

カノン進行が用いられているため

Q27

自分たちできれいに聞こえる和音（ハモリの音）を作ってみよう！

Q28

基音を決めて，和音を決める（？）

168. 最終的なＱＡマップ

Qi：問，Ai：答え，α：支援，数学的知識，物理的な知識，音楽的な知識
Q0

どうして和音はきれいに聞こえるの？

Q1

実際の曲の和音はどうかな？

α先生が事前に複数曲を用意したものを聞かせる．

A1

曲を聴く．

Q2

楽譜はどうなっているのかな？

α先生が楽譜を配布する．

A2

楽譜からさまざまな和音があることがわかる．

Q3

和音の音はどうなっているの？

A3

５つくらい和音の音名を書き出す．
（ドミソなど）Q4音の周波数はどうなっているの？

A4各音の周波数を書き出す．

Q5各音の周波数はどんな関係になっているの？

Q6差で考えると関係性が見えるのでは？

Q7比で考えると関係性が見えるのでは？

Q8

隣り合う音階どうしで関係性は？

A7

隣り合う音の比が 1.0598 で表せる

Q9

一番低い音を基準として差を考えてみる

A9以下の表ができる

Q10

それぞれの差は何を表している？

A10差の比はおよそ１：２となっている。d=62.327 とすると f(ミ)+d=f(ソ)、17f(ミ)+2d=f(ド)Q12等差数列の式で表せるか？

Q13

f=n*d と仮定して、つまり初項 a0=公差 d=62.327 として考えてみる

A13

ミ：329.628=5.28868d ソ：391.995=6.28933d ド 523.251：8.39525d

A12

右辺の係数が整数に近くないことから、a0=d=62.3271 では等差数列は成立しない。

Q14

一番低い音を基準として比を考えてみる

A14以下の表ができる。

Q16

それぞれの比は何を表している？

Q17

簡単な分数に近似してみよう

α5/3=1.66666…のような、おおよそ近似できそうな分数＝小数の表を配布

A17

分数比がでる（ミ：ソ：ド＝5/5：6/5：8/5）

Q18

簡単な整数比に直してみる

A18

１、９の和音の場合ミ：ソ：ド＝５：６：８

Q19

比にそれぞれ×５をしたので A14 表での比に×５をしてみる

A19

ミ：ソ：ド＝5：5.945：7.935

Q20

初項 a0 として，a0：ミ=1：5 の比を考える

A20f(ミ)÷５=65.926 これを初項 a0 と考える

Q21

a0 は何の音？（ド？レ？）

Q22

音階は等比数列であることを利用して、鍵盤の数と比較する

W1(1.059…)n-1=5 となる n-1 を考えるとそのｎが等比数列の第ｎ項である
ので、求めたｎだけミから鍵盤上で逆算する。

αn を求めるために対数の計算が必要なため、関数電卓を用いる

A22

n=28.8645≒29 より、ミから下に 29 番目の音をさがすとドである。

A21a0 はドであり、そのおよそ 5 倍、６倍、８倍でミソドは構成されている音階が等比数列になっていることがわかる

W2

他の比についても同様に行う。
18

AW2近似された整数比の表が完成する

W3

他の班の結果と見比べる。

AW3すべての班の比が一致する

Q23

整数倍で表せるなら等差数列でも表せるのでは？

Q24

初項 a0=公比 d=65.926 で，小数点を省略せずに考えてみる．

A2465.926×6=395.556。f(ソ)と比較すると 3.5Hz ほどずれがあるが、1 度目の計算結果と比較すると誤差は小さくなった。

Q25

なぜ誤差が生じるのか

A23

公比が無理数。

A25

初項の周波数の整数倍の音で構成された音の組合せが和音の成立条件。初項を基音といい、整数倍の音を倍音という。構成音が基音の倍音であるとき、その音はきれいに聴こえる→和音の正体

Q26

全ての班で比が一致したのはなぜ?

A26

カノン進行が用いられているため

Q27

自分たちできれいに聞こえる和音（ハモリの音）を作ってみよう！

Q28

基音を決めて，和音を決める

19・最終的に得られる数学的知識
和音を，数列の一般項として n の式で表し，適切に取り扱うことができる．また初項と公比が不明な状態において，数列を求めるという解き方の知識を習得することができる．そのため，事象を数学的に考察し，表現する力を伸ばすことができる．
・最終的に得られる音楽的知識
和音の仕組み・必要となる数学的知識
対数に関する知識（学習済み）
・必要となる音楽的知識
音階やなどの基本的知識

9. 感想
後尾 勇人
今回取り扱った教材は数学と音楽の要素を併せ持つ総合的なものだった。そのため数学の授業に取り入れようとした前例を探すのが困難であり、教材の研究をするにあたってかなり苦労した。その反面、全く数学と関わりのなさそうな要素から数学的規則性や繋がりが見えてくる教材であるため、学習を通して知識を得たとき、物事を発見できたときの喜びや嬉しさが強く感じられた。
我々が作成した形態ではまだ授業を行うには不足している部分が多々ある。しかし実際に授業を行えるように改善し、この教材を扱うことができれば生徒の興味や、関心を引きだす教材となることが期待できる。
もし将来私が教職に就いた場合、機会があれば個人的にこの教材を取り扱ってみたいと考えている。
服部 夏実
数学学習指導設計Ⅱを通して，生徒を主体とした授業を作成するのは改めて難しいと感じた．教師側はすべての流れを理解した上で授業を行うが，生徒は流れを理解していない中で，目標を達成する必要がある．そのため，教師は生徒目線で授業を考慮する．しかし，何度も授業について考えていると，生徒目線で理解していることと理解できていないことを考えて授業を作成することが難しかった．これからも，生徒目線で授業を作成するよう努力したい．
また，QA マップを用いて授業を作成することははじめてだったため，おもしろかった．自20

分たちで大きな問である「和音がどうしてきれいに聞こえるのか？」に調査していくことは，主体的に取り組む活動であるから，自分の興味関心にそって学習できることができる．これから，授業を作成する上で活かしていきたいと思った．
倉田 広晶
私は、数学学習指導設計Ⅱを通じて生徒たちにどのように目標を達成させていくかを考えるのは非常に難しいと思いました。今回、私たちは音楽の問題を数学的に思考し解を求めていく探究的な授業の設計に挑戦しました。結果的に数学の授業ではなくどちらかと言えば総合的な学習の時間に行うような内容になったが、生徒が思いつかないような音楽と数学の関係を授業を通じて体感できる生徒にとっても私たちにとってもとても興味深い授業を設計することが出来てとても楽しかったです。私は音楽に関する知識はほぼない状態からであったのでグループのメンバーに教えてもらいながら課題を解決でき、逆に、分からないからこそ生徒はどこにつまずきやすいのだろうなど想像しやすくその部分を指導案に反映することが出来て良かったと思い、また、生徒の視線についても学ぶことが出来てよかったです。この経験をもとにこれからの指導案設計に生かしていきたいです。

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