Université Paris.Diderot (Paris 7)
Sorbonne Paris Cité

École Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre
Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche

Thèse de doctorat
Discipline : Mathématiquesprésentée par

Richard Griffon
Analogues du théorème de Brauer-Siegel pourquelques familles de courbes elliptiques
dirigée par Marc Hindry

Exemplaire soumis aux rapporteurs
Cet exemplaire ne contient que l’introduction.
Le texte intégral est disponible sur ma page web :http://bit.do/Griffon_thesis

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Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche(CNRS – UMR 7586)
Université Paris Diderot (Paris 7)
Bâtiment Sophie Germain - Boîte courrier 7012
75205 Paris Cedex 13
FranceEcole Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre
Boite courrier 290
4, Place Jussieu
75252 Paris Cedex 05
FranceRésumé / Abstract

Résumé
Dans cette thèse, nous étudions le comportement asymptotique du ratio de Brauer-Siegel desfamilles infinies de courbes elliptiques sur K = Fq (t). Si E/K est une courbe elliptique sur un corps
de fonctions K, on définit son ratio de Brauer-Siegel parBs(E/K) = log(#X(E/K) · Reg(E/K))/ log H(E/K),
où Reg(E/K) désigne le régulateur de Néron-Tate, X(E/K) le groupe de Tate-Shafarevich et H(E/K)
la hauteur différentielle exponentielle de E/K. Cette quantité est définie en analogie avec le théorèmeéponyme pour les corps de nombres.
Nous démontrons que Bs(E/K) → 1 lorsque H(E/K) → ∞ pour les cinq familles considérées.
La preuve d’une telle relation asymptotique requiert de calculer les fonctions L des courbes E/K
et, via la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, encadrer Bs(E/K) revient à encadrer les valeurs
spéciales L∗ (E/K, 1). Nous exprimons les fonctions L des courbes E/Fq (t) des familles étudiées, àl’aide de sommes de caractères sur Fq . En général, trouver une minoration adéquate de L∗ (E/K, 1)
est très délicat. Nous développons un outil de minoration de L∗ (E/K, 1) adapté aux courbes elliptiques
considérées. Nous obtenons au passage des résultats sur le rang, la torsion et le nombre de Tamagawa
des courbes étudiées.

Mots-clefs
Courbes elliptiques, Corps de fonctions en caractéristique positive, Régulateur de Néron-Tate,
Groupe de Tate-Shafarevich, Théorème de Brauer-Siegel, Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer,
Sommes de caractères, Fonctions L, Valeurs spéciales de fonctions L, Minoration de valeurs spéciales.

4

Résumé / Abstract

Analogues of the Brauer-Siegel theorem for some families of
elliptic curves

Abstract
In this thesis, we study the asymptotic behaviour of the Brauer-Siegel ratio in families of elliptic
curves over K = Fq (t). If E/K is an elliptic curve over a function field K, its Brauer-Siegel ratio isdefined by
Bs(E/K) = log(#X(E/K) · Reg(E/K))/ log H(E/K),
where Reg(E/K) denotes the Néron-Tate regulator, X(E/K) the Tate-Shafarevich group and H(E/K)
is the exponential differential height of E/K. This invariant is introduced in analogy with the BrauerSiegel theorem for number fields.
We prove that Bs(E/K) → 1 when H(E/K) → ∞ for five families of elliptic curves.
To prove such an asymptotic relation, we compute the L-functions of the curves E/K and, via
the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, we bound Bs(E/K) by bounding their special values
L∗ (E/K, 1) from above and from below. We find expressions of the L-functions of all curves E/Fq (t)in the families we study, in terms of character sums over Fq . In general, finding a good lower boundon L∗ (E/K, 1) is difficult. We develop a framework to prove the required lower bound on L∗ (E/K, 1)
in the cases we study. We also obtain results about the rank, the torsion subgroup and the Tamagawa
number of these elliptic curves.

Keywords
Elliptic curves, Function fields in positive characteristic, Néron-Tate regulator, Shafarevich-Tategroup, Brauer-Siegel theorem, Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, Character sums, L-functions,
Special values of L-functions, Lower bounds on special values.

R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

Table des matières

Résumé / Abstract

3

Introduction (in English)

9

Introduction (en français)31

1 Préliminaires
1.1 Courbes elliptiques sur les corps de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Corps de fonctions en caractéristique positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Courbes elliptiques sur les corps de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Réduction en une place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Discriminant minimal et conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Modèle régulier minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Nombre de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Groupe de Mordell-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Hauteur de Néron-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Théorème de Mordell-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Groupe de Tate-Shafarevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fonctions zeta et fonctions L des courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Fonctions zeta des variétés sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Cas particuliers des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Fonction L d’une courbe elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Calcul pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Conjectures de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Énoncé des conjectures de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Conjecture de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Faits généraux sur les conjectures de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . .
1.4.4 Cas connus des conjectures de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . .
1.5 Estimations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Majoration de la torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Majoration du nombre de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Majoration du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Ratio de Brauer-Siegel des courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Rappels sur le théorème de Brauer-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Définition de Bs(E/K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Lien avec la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Conjectures et résultats connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.5 Esquisse de la preuve du Théorème 1.6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.6 Heuristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.7 Conjectures sur les valeurs spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.8 Schéma des preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6

Résumé / Abstract

2 Sommes de caractères et fonctions zeta de certaines courbes
2.1 Caractères des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Caractère de Teichmüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Caractères dont l’ordre divise d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Réindexation de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sommes de caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Nombre de solutions d’équations et sommes de caractères . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sommes de Gauss et sommes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Sommes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Relations de Hasse-Davenport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hypothèse de Riemann pour les sommes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Fonction zeta des courbes y 2 = axd + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Fonction zeta des courbes y 2 = ax2d + 2bxd + a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Sommes de Jacobi explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Une version étendue du Lemme 2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Théorème de Shafarevich-Tate et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Encadrement de « valeurs spéciales »115
3.1 Calcul et majoration de valeurs spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.2 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1.3 Majoration du rang et de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2 Minoration de valeurs spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.1 Cadre et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.2 Une minoration naïve et une minoration plus fine . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2.3 Preuve du Théorème 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3 Décomposition primaire des sommes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.1 Rappels sur le Théorème de Stickelberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.2 Valuation p-adique des sommes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.3 Décomposition primaire des sommes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.4 Intermède sur l’équidistribution des sous-groupes de (Z/dZ)× . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.1 Équidistribution et transformée de Fourier sur Z/dZ . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4.2 Preuve du Théorème 3.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4.3 Généralisation et corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4.4 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4 Famille des courbes elliptiques « de Legendre »143
4.1 Construction et invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.1.1 Courbes elliptiques dont la 2-torsion est rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.1.2 Analyse de la mauvaise réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.1.3 Calcul des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.1.4 Torsion et nombre de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Calcul de la fonction L des courbes Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.1 Décompte des points rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2.2 Réindexation des caractères et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Rang et valeur spéciale de Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.1 La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.2 Rang et valeur spéciale de Ed /K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4 Étude du ratio de Brauer-Siegel des courbes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4.1 Majoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4.2 Minoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

Résumé / Abstract

7

5 Famille des courbes elliptiques « Hessiennes »159
5.1 Courbes hessiennes Hd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.1 Construction des courbes Hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.2 Analyse de la mauvaise réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.1.3 Calcul des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.1.4 Torsion et nombre de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2 Fonctions L des courbes Hd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2.1 Décompte de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.2.2 Preuve du Lemme 5.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2.3 Réindexation des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3 Rang et valeur spéciale de Hd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3.1 Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour Hd . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3.2 Rang et valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3.3 Un résultat de rang non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4 Ratio de Brauer-Siegel des courbes Hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.4.1 Plan de l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.4.2 Majoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.4.3 Minoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6 Courbes elliptiques munies d’un point de 4-torsion
177
6.1 Les courbes Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.1.1 Modèles, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.1.2 Analyse de la mauvaise réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.1.3 Calcul des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.1.4 Torsion et nombre de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2 Fonction L des courbes Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.2.1 Comptage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.2 Réindexation des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2.3 Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.3 Rang et valeur spéciale de Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.3.1 Expressions du rang et de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.3.2 Rang non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4 Ratio de Brauer-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4.1 Majoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4.2 Minoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7 Courbes elliptiques Y 2 + XY − td · Y = X 3
191
7.1 Les courbes Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.1 Mauvaise réduction et invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.2 Hauteur et conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.1.3 Sous-groupe de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2 Fonctions L des courbes Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.1 Dénombrement de points rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.2 Preuve du Lemme 7.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2.3 Réindexation des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3 Rang et valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.1 Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.2 Expressions du rang et de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.3 Rang non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.4 Ratio de Brauer-Siegel des courbes Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.1 Majoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.2 Minoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.4.3 Lien entre valeur spéciale et ratio de Brauer-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4.4 Analogue du théorème de Brauer-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

8

Résumé / Abstract

8 Une famille issue des travaux de Berger
207
8.1 Les courbes Ba,d , premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.1.1 Analyse de la mauvaise réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.1.2 Hauteur et conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.1.3 Nombre de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.2 Fonctions L des courbes Ba,d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.2.1 Comptage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.2.2 Preuve du Lemme 8.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.2.3 Réindexation de caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2.4 Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.3 Le cas où a = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.3.1 Retour sur les sommes de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.3.2 La fonction L B1/2,d /K, T dans le cas où d est impair . . . . . . . . . . . . . 220
8.3.3 Le rang des courbes B1/2,d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.3.4 Un cas où le rang n’est pas borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.4 Ratio de Brauer-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4.1 Résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4.2 Majoration de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4.3 Minoration « faible » de la valeur spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.4.4 Minoration « forte » de la valeur spéciale dans le cas où a = 1/2 et d est impair 228
Bibliographie

R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

231

Introduction (in English)

The main concern of this thesis is the asymptotic study of an invariant associated to elliptic curves
over global fields, namely the Brauer-Siegel ratio. This ratio combines three of the most importantarithmetical invariants of an elliptic curve: its Néron-Tate regulator, the order of its Tate-Shafarevichgroup and its height. We prove analogues of the classical Brauer-Siegel theorem for several families of
elliptic curves over Fq (t). We start by motivating the study of the Brauer-Siegel ratio and explaining
the analogues we have in mind. We refer the reader to [Hin07] and [HP16, §1] for a thorough expositionof the problem in a more general setting.
Let Fq be a finite field of characteristic p and K = Fq (C) be the function field of a projective
smooth and geometrically irreducible curve C over Fq . For convenience, we suppose that p > 5. For
concreteness, the reader may assume that K is the rational function field Fq (t) over Fq .
Let E be an elliptic curve over K, given by a Weierstrass modely 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ,(1)with coefficients ai ∈ K. There is a variety of invariants associated to E that encapsulate the“arithmetic complexity” of E: its minimal discriminant, its conductor, its height, ... We choose toorder elliptic curves E/K with respect to their differential exponential height H(E/K) defined by
1

H(E/K) = q 12 deg ∆min (E/K) ,where ∆min (E/K) is the minimal discriminant of E/K. The important point is that the height isreadily computable from a Weierstrass model for E/K such as equation (1) (using Tate’s algorithm forexample, see [Tat75]). Note that H(E/K) depends exponentially on (the degrees of) the coefficientsai ∈ K.
For such an elliptic curve E/K, the Mordell-Weil theorem (proved by Lang and Néron in thiscontext) says that the group E(K) is finitely generated: we can thus write
E(K) = Z · P1 ⊕ Z · P2 ⊕ · · · ⊕ Z · Pr ⊕ E(K)tors ,where the Pi ∈ E(K) are non-torsion points and the torsion subgroup E(K)tors is finite. The integer r
is called the Mordell-Weil rank of E/K (or simply the rank). The Mordell-Weil theorem is a qualitative
one: it asserts the finiteness of r and #E(K)tors . But the main drawback of its proof is that it is, by
nature, ineffective: it gives no recipe to compute r, the generators Pi or a set of generators for thetorsion subgroup E(K)tors ; nor does it give bounds on their size (in terms of H(E/K) for example).
Nonetheless, finding quantitative versions of the Mordell-Weil theorem is of major diophantine interest:
in order to “solve” the equation (1) with unknowns x, y ∈ K, one needs to compute the structure ofE(K)tors , the rank r and to find a basis {P1 , . . . , Pr } of the free part of E(K).
The order of the torsion subgroup E(K)tors is the easiest to estimate. Indeed, there is a variety ofmethods to do so: reduction modulo a place of K, a suitable adaptation of the Lutz-Nagell theorem,
modular methods, etc. In any case, we have good bounds on #E(K)tors at our disposal. Moreprecisely, Poonen showed the existence of a constant bK > 0 (depending actually only on the genusof K) such that
#E(K)tors 6 bK .

10Introduction (in English)

That is to say, when K is fixed, the torsion subgroups of elliptic curves over K are taken from a finite
list, which is effectively computable (see [Poo07]; the analogous fact for elliptic curves over number
fields is also known by theorems of Mazur, Momose and Merel). That being said, the rank r and thesize of the non-torsion points Pi remain much more mysterious quantities.
We now specify what we mean by “the size of a point on E”: recall that E(K) is equipped with anon-degenerate quadratic form : the canonical Néron-Tate height ĥN T : E(K) → R. In this context,ĥN T (P ) differs from (deg xP )/2 by a bounded amount, where xP is the x-coordinate of P ∈ E(K) seen
as a rational map xP : C → P1 . We choose to normalize ĥN T : E(K) → R in such a way that its values
lie in Q. From ĥN T , one deduces a non-degenerate Z-bilinear pairing h·, ·iN T : E(K) × E(K) → R.
This construction enables us to measure the “size” of non-torsion points: the bigger its height, themore complicated the point. As a measure of the “complexity” of computing E(K), we can define
the Néron-Tate regulator of E/K to be the covolume of the lattice E(K)/E(K)tors inside E(K) ⊗ R,
with respect to the Euclidean structure induced by h·, ·iN T :Reg(E/K) := det [hPi , Pj iN T ]16i,j 6r ,where, as above, (P1 , . . . , Pr ) denotes a Z-basis of the free part of E(K). A classical argument ofgeometry of numbers (namely, Hermite’s theorem, see [Lan83a, Theorem 4.1]) implies that, to getupper bounds on ĥ(Pi ), it is sufficient to have an upper bound on Reg(E/K) as well as a lower boundon the smallest height of a non-torsion point:noΛE/K = min ĥ(P ), P ∈ E(K) r E(K)tors .
About the latter, Lang conjectured in [Lan83a, Conjecture 2] that there should exist a constant cK > 0(depending only on K) such thatĥ(P ) > cK log H(E/K)(2)
for all non-torsion P ∈ E(K). So we turn to bounding the regulator Reg(E/K) from above. In otherwords, we want to understand how complicated (in terms of H(E/K)) it is to compute generators for
the Mordell-Weil group of E/K. We would also like to know how optimal the upper bound is, i.e. tocompare it to a lower bound on Reg(E/K).
The situation at hand is reminiscent of the classical problem of giving upper bounds on the regulatorof units Rk = Reg(Ok× ) of a number field k/Q in terms of the absolute value ∆k of its discriminant. In
algorithmic terms, given a number field k, how difficult is it to find generators for its unit group Ok× ?
Here, we are asking for bounds on the Weil height of generators of the free part of Ok× , in terms ofthe discriminant ∆k .
It turns out that computing a “basis” of the free part of the unit group Ok× alone is not mucheasier than computing both a basis for Ok× and a set of generators of the class-group C`(Ok ) (see[Len92, §5]). We denote by hk = #C`(Ok ) the class-number of k. In a vague way, this suggests thatthe quantity hk · Rk has a smoother behaviour (with respect to ∆k ) than Rk alone. In any case, one
has hk > 1 so any upper bound on hk · Rk can be easily translated into an upper bound on Rk . Better,
if one knows a priori that the class-group is “big”, an upper bound on hk · Rk gives a sharper control
on the regulator Rk ! We will say more about these bounds later on.
We √think the pictures below are illuminating: we restrict ourselves to quadratic number fields
k = Q( d), ordered by their fundamental discriminant d ∈ Z. For |d| 6 1000, we plotted below:√(1) the regulator of units Rd of Q( d) (in blue),√(2) the class-number hd of Q( d) (in red),(3) and the product hd · Rd (in purple).
70

Rd

60
50
40
30
20
10

−1000

−800

−600

−400

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−200

200

400

600

800

1000

11

Introduction (in English)

hd

40
30
20
10

−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000

200

400

600

800

1000

70

hd Rd

60
50
40
30
20
10

−1000

−800

−600

−400

−200

As one clearly sees, the behaviour of hd · Rd is more “regular” in terms of |d| than each√ term taken
separately. For example, when d < 0 the regulator Rd = 1 because the only units in Q( d) are rootsof unity; but hd looks like a growing function of |d|. On the contrary, when d > 0, the regulator
seems to grow faster with d whereas the class number hd grows very slowly, if at all (it is conjectured
that infinitely many real quadratic number fields have class-number one). In both cases though, theproduct hd · Rd seems to grow, albeit slowly, with |d|.
Remember that the class-group C`(Ok ) has an interpretation as a “local-to-global obstruction”.
Indeed, the class-group measures the defect of unique factorisation in the (global) ring of integers
Ok of k; but all local rings Ov of k at its finite places are unique factorisation domains (since they
are discrete valuation rings). In that sense, C`(Ok ) classifies equivalence classes of ideals that are
everywhere locally principal, but not globally.
We now come back to the problem of bounding the Néron-Tate regulator Reg(E/K) of an elliptic
curve E defined over a function field K. Inspired by the situation described in the last paragraph,
we see that it might be easier to find bounds on Reg(E/K) if we coupled it with some measure of“local-to-global obstruction” on E. We recall that the Tate-Shafarevich group of E/K is defined interms of Galois cohomology by
!
Y
1
sep
1
sep
X(E/K) = ker H (GK , E(K )) →H (Gv , E(Kv )) .
v

For our present purpose, it is enough to know that X(E/K) classifies curves C/K with an action of E
which become isomorphic to E over K sep but are not isomorphic to E over K. In fancier terminology,
X(E/K) classifies principal homogeneous spaces over E that are everywhere locally trivial but notglobally trivial (so X(E/K) measures, in a certain sense, the failure of the “local-global principle”).
It is conjectured that X(E/K) is a finite group, but this has only been proved for a limited numberof elliptic curves. In the context of elliptic curves over function fields, the finiteness of X(E/K) is
equivalent to the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (we will explain this further down).
We now have all the necessary ingredients to state a conjecture of Lang [Lan83a, Conjecture 1]
to the effect that there should be an upper bound on #X(E/K) · Reg(E/K) in terms of the heightH(E/K). In analogy with the situation for number fields, Lang proposed:
Conjecture 1 (Lang). If E is an elliptic curve over a function field K, then (conditional to X(E/K)
being finite) one has∀ε > 0, ∃cε > 0 s.t.

#X(E/K) · Reg(E/K) 6 cε · H(E/K)1+ε .
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12

Introduction (in English)

Note that the original conjecture deals with elliptic curves over Q, but the translation to ourcontext is straightforward. From this conjecture and the trivial lower bound #X(E/K) > 1, one
would deduce that
Reg(E/K) 6 cε · H(E/K)1+ε .
(3)This upper bound is not totally satisfactory: it gives an exponential bound on Reg(E/K) and henceon the Néron-Tate height of generators of the free part of E(K), in terms of the data (the coefficients ofa Weierstrass model of E, say). In vague terms, this upper bound means that computing the MordellWeil group of a given elliptic curve E/K is at most exponentially difficult in the data (granting Lang’s
conjecture and that the Tate-Shafarevich group is finite).
When the rank of E(K) is positive, the upper bound (3) is in stark contrast to Lang’s (conjectural)lower bound on the height (2), which would givelog H(E/K)  Reg(E/K) 6 #X(E/K) · Reg(E/K)(4)

if the rank is not too big. This leads us to wonder how optimal the upper bound of Lang’s Conjecture 1
really is. In other words, is the computation of E(K) really of exponential difficulty in the coefficientsof E? Could one find a sharper upper bound on Reg(E/K)?

The Brauer-Siegel ratio
Thus, we now investigate the optimality of the upper bound in Lang’s Conjecture 1:#X(E/K) · Reg(E/K) ε H(E/K)1+ε .

(5)

We would like to know what power α ∈ [0, 1 + ε] of the height H(E/K) appears (or should appear)
in a corresponding lower bound of the form:
H(E/K)α  #X(E/K) · Reg(E/K).
This led Hindry and Pacheco [HP16] to introduce the Brauer-Siegel ratio: for an elliptic curve E/K
whose Tate-Shafarevich group is finite, setlog #X(E/K) · Reg(E/K).
Bs(E/K) :=log H(E/K)
We note that this definition makes sense, more generally, for an abelian variety of arbitrary dimension
over a function field (see [HP16, §1]) and even for an abelian variety over a number field (see [Hin07]).
With this new invariant, Lang’s Conjecture 1 can be rephrased as follows:
Conjecture 2 (Hindry). Let K be a function field. When E runs through the family of all elliptic
curves over K, ordered by height, one has
Bs(E/K) 6 1 + o(1),when H(E/K) → ∞.
We turn to the problem of finding adequate lower bounds for the Brauer-Siegel ratio Bs(E/K),
i.e. of quantifying the optimality of the upper bound (5). A “trivial” lower bound shows the existenceof a small constant γK > 0 (depending only on K) such that−γK + o(1) 6 Bs(E/K)(as H(E/K) → ∞)for all elliptic curves E over K. A finer argument even yields γK = 0 (cf. [HP16, Proposition 7.6]).
Now, if indeed Mordell-Weil groups of elliptic curves are “exponentially hard to compute”, there
should exist an αK > 0 such that0 < αK + o(1) 6 Bs(E/K)(as H(E/K) → ∞)for all elliptic curves (with finite X(E/K)) over a fixed function field K. Several heuristics, to which
we come back later on, suggest otherwise that no such positive αK can exist:
Conjecture 3 (Hindry). Let K be a function field. When E runs through the family of all elliptic
curves over K, ordered by height, one has
0 = lim inf Bs(E/K).
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13

Introduction (in English)

To this day, there are only 6 families of elliptic curves over Fq (t) for which one knows (unconditionally) that the Brauer-Siegel ratio has a limit when H(E/K) → ∞: in all six cases, one haslim

E∈E
H(E/K)→∞

Bs(E/K) = 1.

See [HP16, Theorem 7.12] and our Théorèmes 4.4.1, 5.4.1, 6.4.1, 7.4.4 et 8.4.2.
In order to give an idea of how the Brauer-Siegel ratio of elliptic curves can be bounded from above
and/or from below, we turn back to the case of number fields. Indeed, the intuition behind Lang’s
Conjecture 1 is that #X(E/K)·Reg(E/K) for elliptic curves (ordered by height) should behave “like”#C`(Ok ) · Reg(Ok× ) for number fields (ordered by discriminant). So it is natural to expect that one
could prove bounds on #X(E/K) · Reg(E/K) “like” one would prove bounds on #C`(Ok ) · Reg(Ok× ).
Let k/Q be a number field of degree n = [k : Q]. Again, we denote by ∆k the absolute valueof its discriminant (over Q). Let hk be the class-number of k and Rk be the regulator of units in
k. Here, we are looking for bounds on hk · Rk in terms of ∆k . For such a number field k, we define
its Brauer-Siegel ratio to belog hk · Rk√.
Bs(k/Q) :=log ∆kWith this notation set up, we quote the “classical” Brauer-Siegel theorem:
Theorem 4 (Brauer-Siegel). Let k run through an infinite family K of number fields with fixed degreen and growing discriminant. Then, as ∆k → ∞,limk∈K∆k →+∞

Bs(k/Q) = 1.

Usually, the conclusion of this theorem is written, with no reference to Bs(k/Q), in the compact
following form:plog(hk · Rk ) ∼ log ∆k([k : Q] fixed, ∆k → +∞).
Additionally, one can rephrase Theorem 4 as the combination of two bounds on hk · Rk in terms of ∆k :∀ε > 0,

1/2−ε

∆k

1/2+ε

ε hk · Rk ε ∆k.

The Brauer-Siegel theorem was first proven by Siegel for quadratic number fields (in [Sie35]) andby Brauer in the general case (in [Bra47]). Without going into too much detail, we recall how the
proof of Theorem 4 works. It is of analytic nature and can be separated in three steps (in increasingorder of difficulty):
Step 1. Classically, one attaches to k its Dedekind zeta function ζk (s): it is defined as a Dirichlet
series, converging a priori on the half-plane Re(s) > 1, but has a meromorphic continuation
to the whole complex plane C. It has a simple pole at s = 1 and the residue of ζk (s) at
this pole can be written in terms of arithmetic invariants of k. More precisely, one has the
Dirichlet class-number formula:ρk := lim (s − 1)ζk (s) =s→1

hk · Rk r1
1· 2 (2π)r2 · √ ,
#µk
∆k

(6)

where #µk denotes the number of roots of unity in k and r1 (resp. r2 ) is the number of real
r1(2π)r2(resp. complex) embeddings of k. When the degree n of k is fixed, the term 2 #µin thiskformula is readily bounded in terms of n only, it is then apparent thatBs(k/Q) = 1 +log ρk√+ o(1)log ∆k(as ∆k → ∞).

Now, to prove Theorem 4, one has to bound ρk from above and from below. Specifically, weneed to show thatε∀ε > 0,∆−ε(7)k  ε ρ k  ε ∆k .
Step 2. Studying the size of ρk (in terms of ∆k ) is tantamount to studying the behaviour of ζk (s) in
the neighborhood of its pole s = 1 becauseζk (s) ∼ρks−1(s → 1).
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14

Introduction (in English)
Actually, it suffices to study x 7→ ζk (x) for real x 6= 1 near 1. The presence (or absence) of
zeroes of ζk (x) close to x = 1 tends to influence the size of ρk . Since ζk (x) doesn’t vanishon ]1, +∞[, the upper bound on ρk in (7) is easy to get. One can even prove an explicit andeffective upper bound (see [Sie69]):
ρk 6 4



e
n−1

n−1

· (log ∆k )n−1 n,ε ∆εk .

Step 3. The last step is the most difficult: in order to prove the lower bound in (7), we have to
study the behaviour of ζk (x) when x < 1 (that is, when x is in the critical strip for ζk ).
As we mentioned, if ζk (s) has a zero close to 1, the residue is smaller. If one assumes theGeneralized Riemann Hypothesis (GRH) for ζk (s), then ζk (s) has no zero in the interval]1/2, 1[ and we obtain a good lower bound on ρk . The following schematic pictures of thesituation can be of some help to understand why this is so: let us first represent the critical
strip for ζk (s) in the complex plane, together with the zone where the zeroes of ζk (s) can lie(in green). The red dot at s = 1 symbolizes the pole of ζk (s).

Zeroes of ζk (x) under GRH.

Zeroes of ζk (x) without GRH.

Next, we draw part of what the graph of x 7→ ζk (x) looks like for a real x around x = 1.

Behaviour of ζk (x) under GRH.

Behaviour of ζk (x) without GRH.

– On the left figure, we assume GRH: all zeroes of ζk are on the critical line Re(s) = 1/2(the green line in the critical strip). As x grows to 1− , ζk (x) tends gently to −∞ so thatits residue ρk can not be “too small”.
– On the right picture now, we do not assume GRH. The green zone in the critical strip iswhere the potential zeroes of ζk can be (the complement of the green zone in the critical
strip is a “zero-free region”). As one sees, if ζk does have a zero close to 1 (the green dots),
the “slope” of the graph of ζk in ]1/2, 1[ is much steeper (and the closer the zero to 1, thesteeper the slope). This can be interpreted as ζk having a “small” residue.
The key part of the proof of Theorem 4 is then to bypass the assumption of GRH, by allowing
one number field k in the family K to have a “small” residue ρk and checking that all others
k 0 ∈ K have a big enough ρk0 , viz. ρk0 ε ∆−εk0 . The main issue is that one has no control
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15

Introduction (in English)on the alleged counterexample k: the lower bound on ρk0 is thus ineffective. Nevertheless,we point out that Stark analyzed cases where this bound can be made effective (see [Sta74]).
This is a very vague sketch of the proof: we refer the reader to [Lan94, Chapter XVI] and [Hin10,
Lecture 5] for a more detailed argument. In relation with what follows, we want to make the following
remark: by the functional equation for ζk (s), one sees that ζk (s) has a zero at s = 0 of multiplicityr = r1 + r2 − 1 = rank(Ok× ) and that the first non-zero coefficient of the Taylor expansion of ζk (s)around s = 0 is given by
hk · Rk.
ζ ∗ (0) := lim s−r · ζk (s) = −s→0#µk
Trying to bound |ζ ∗ (0)| in terms of ∆k could thus be of interest to the study of Bs(k/Q), but weknow no proof of Theorem 4 using this fact (though the proof of the upper bound in that theorem iscertainly feasible).
We mention that Theorem 4 has been generalized in various directions. Notably, Tsfasman andVlăduţ [TV02] investigated in detail what happens when one lifts (or weakens) the condition that thedegree is fixed. Under various sets of hypotheses on a family K of number fields k, they show thatthe limit
lim Bs(k/Q)
k∈K
∆k →∞

still exists, but can be different from 1! What’s more, they give an expression of this limit in termsof arithmetic invariants of the family K . Their article presents a thorough investigation of thesequestions (see also [Zyk05]). We also point out that one can prove analogues of the Brauer-Siegel
theorem for families of function fields K over Fq (a fixed finite field), under various sets of hypotheses(see in particular [GL78], [War12] and [Zyk15]).
To close that paragraph, we note that Tsimmerman proved an analogue of the Brauer-Siegel
theorem for algebraic tori defined over Q of fixed dimension and growing “conductor” (see [Tsi12,
Theorem 1.3]). The corresponding “class-number formula” was worked out earlier by Shyr [Shy77]
and the analytic part of the proof is very similar to that of the classical case (see [Tsi12, Lemma 4.1]).
This theorem is of importance in the study of special points on Shimura varieties, where it is used
to obtain lower bounds for Galois orbits. See [UY15] for more details. Let us only retain that somealgebraic groups of positive fixed dimension satisfy an analogue of the Brauer-Siegel theorem.
Having explained how the study of the Brauer-Siegel ratio of number fields goes, we turn back to thesituation of elliptic curves over function fields. A natural starting point to find bounds on Bs(E/K)
is to try to mimic the proof of the Brauer-Siegel theorem in this setting. But before we do, we needto introduce the analytic tool we use, namely the L-function. Let E be an elliptic curve over K. For
each place v of K (of degree dv , say), one can reduce an equation for E “modulo v”: we obtain a
cubic plane curve E v , defined over the residue field Fv of K at v (a finite extension of Fq ). Since Fv
is finite, one can count the number of Fv -rational points on it: we write#E v (Fv ) = #Fv + 1 − av (E) = q dv + 1 − av (E),where av (E) is an integer. If the curve E v is non singular, then |av (E)| 6 2q dv /2 by Hasse’s theorem;
if E v is singular, then av (E) ∈ {0, −1, 1}. We combine those “local point counts” (for varying v) intoa generating series defined by an Euler product: let
L(E/K, T ) :=

Y
v ∈B
/

1 − av (E) · T dv + q dv T 2dv

−1 Y
−1
·
1 − av (E) · T dv
,

(8)

v∈B

where B denotes the set of places where E has bad reduction (i.e. the places v for which the curve E v
is singular). From its definition, one sees that L(E/K, T ) ∈ Z[[T ]] is a formal power series with integer
coefficients: it is called the L-function of E/K. It follows from difficult theorems of Grothendieck andDeligne that L(E/K, T ) is actually a rational function of T (and even a polynomial in T if E/K is
not constant), whose degree is explicitly given in terms of the conductor of E, and which satisfies afunctional equation with respect to T 7→ (q 2 T )−1 .
The function s 7→ L(E/K, s) given by L(E/K, s) = L(E/K, q −s ) is sometimes also called “theL-function of E/K”. In terms of L(E/K, s), the facts just quoted mean that the Dirichlet series
obtained by replacing T by q −s in (8), a priori convergent on the half-plane Re(s) > 3/2, can bemeromorphically continued to the whole complex plane (and even holomorphically if E/K is notconstant) and satisfies a functional equation with respect to s 7→ 2 − s.
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16

Introduction (in English)

Another fact of major significance is that the analogue of the Riemann Hypothesis holds: it is atheorem of Deligne that the zeroes (in C) of s 7→ L(E/K, q −s ) have real part Re(s) = 1. Coming backto the T 7→ L(E/K, T ) version, it means that the inverse zeroes of L(E/K, T ) are algebraic integers
of absolute value q (in any complex embedding). One advantage of working with elliptic curves overfunction fields is that those facts (analytic continuation, functional equation and Riemann hypothesis)
are mostly conjectural for elliptic curves over number fields.
The first step in the proof of the classical Brauer-Siegel theorem is to link Bs(k/Q) with theresidue of ζk (s) at s = 1 via the class-number formula. In the context of elliptic curves over function
fields, the link between Bs(E/K) and the L-function is given by the Birch and Swinnerton-Dyer
conjectures (henceforth abbreviated as BSD), which we now proceed to state. As we said, the Lfunction L(E/K, s) admits a meromorphic continuation to C: we can thus study its behaviour arounds = 1 (which is the center of symmetry of the functional equation) and define two more quantities.
First, the analytic rank of E/K, denoted by ran (E/K), is the order of vanishing of L(E/K, s) at s = 1
or, correspondingly, the multiplicity of T = q −1 as a root of the rational function L(E/K, T ), i.e.
ran (E/K) := ords=1 L(E/K, s) = ordT =q−1 L(E/K, T ).
Secondly, one introduces the special value of the L-function at s = 1; it is usually defined as the first
non-zero coefficient in the Taylor series of L(E/K, s) around s = 1:

L(E/K, s) = special value · (s − 1)ran (E/K) + o (s − 1)ran (E/K)(when s → 1).
But we actually prefer to work with a slightly different version of the special value: the rational
function L(E/K, T ) has integer coefficients and has a zero of multiplicity ran (E/K) at T = q −1 , we
put L∗ (E/K, T ) = L(E/K, T )/(1 − qT )ran (E/K) and define the special value of L(E/K, T ) to be:L∗ (E/K, 1) := L∗ (E/K, q −1 ) =L(E/K, T ).
(1 − qT )ran (E/K) T =q−1

Since (1 − q 1−s ) ∼ log q · (s − 1) as s → 1, it is readily seen that L∗ (E/K, 1) differs from the “usual”
special value by a factor (log q)ran (E/K) . The advantage of our normalization is that L∗ (E/K, 1) is a
non-zero rational number.
Birch and Swinnerton-Dyer (and Tate, in this setting) conjectured that ran (E/K) and L∗ (E/K, 1)
have the following arithmetic interpretation:
Conjecture 5 (Birch - Swinnerton-Dyer). Let E be an elliptic curve over a function field K = Fq (C),we denote by gC the genus of C. Then the analytic rank ran (E/K) and the rank of the Mordell-Weilgroup E(K) coincide:ran (E/K) = ordT =q−1 L(E/K, T ) = rank E(K),and the special value L∗ (E/K, 1) is given byL∗ (E/K, 1) =#X(E/K) · Reg(E/K)
q 1−gC· Tam(E/K) ·,2
H(E/K)#E(K)tors(9)

where Tam(E/K) is the Tamagawa number of E/K.
The first part of the conjecture is sometimes called the “weak BSD conjecture” and the latterthe “refined BSD conjecture”. We note that finiteness of the Tate-Shafarevich is implicitly assumedin (9). Note that the analytic continuation of the L-function is known here: for elliptic curves
over number fields, this is still conjectural (except over Q where it follows from Wiles’ modularity
theorem). For elliptic curves over function fields (as opposed to elliptic curves over number fields),
this conjecture is “almost a theorem”. First of all, the work of Kato and Trihan [KT03] (building on
previous work of Tate [Tat66], Milne [Mil75] and others) shows that the “full” Birch and SwinnertonDyer conjecture for E/K is equivalent to the “weak” conjecture, itself equivalent to the finiteness of
the Tate-Shafarevich group X(E/K) (or even of one its `-primary parts X(E/K)[`∞ ]). Secondly,
Conjecture 5 is completely proved in many cases. For example, Milne [Mil68] showed that isotrivial
elliptic curves satisfy Conjecture 5. We note that the BSD conjecture in this context has a “geometric”
counterpart: for an elliptic curve E over a function K = Fq (C), denote by π : E → C the minimal
regular model of E; the BSD conjecture for E is equivalent to the Tate conjecture [Tat94] for thesurface E/Fq . This latter conjecture is known to hold for many surfaces (see [Gor79], [Mil75], [Shi86],
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

17

Introduction (in English)[SK79], ...) and can be used to produce many elliptic curves satisfying the BSD conjecture, including
some non isotrivial ones.
The reader may now compare the class-number formula (6) for number fields and the conjectural
formula (9) for elliptic curves: they are both obtained as Taylor coefficients of a Dirichlet series at s = 1
and are, at least in their formal structure, very similar. One might set up the following “dictionary”
to help with the translation between the two settings:
Elliptic curves E/K

Number fields k/Q
degreed=1[k : Q]

dimension

discriminant∆k

H(E/K)

heightzeta function

ζk (s)

L(E/K, s)

L-function

class-number

hk = #C`(Ok )X(E/K)

order of Tate-Shafarevich group

Rk = Reg(Ok× )#µk = #(Ok× )tors
r1
r2

Reg(E/K)

Néron-Tate regulator#E(K)tors# of torsion points

Tam(E/K)

Tamagawa number.

regulator of units# of roots of unity“period”

2 (2π)

We now return to our idea of mimicking the proof in three steps of the classical Brauer-Siegel
theorem (Theorem 4) to deduce information about the Brauer-Siegel ratio of elliptic curves. Let E be
an elliptic curve over a function field K and suppose that E satisfies the BSD Conjecture (as we said
above, assuming BSD is equivalent to assuming finiteness of X(E/K)). We will use the BSD formula(9) for the special value L∗ (E/K, 1) of its L-function to complete “Step 1.” of our program (see oursketch of the proof of Theorem 4): we link the size of Bs(E/K) to that of L∗ (E/K, 1).
To do so, we need to ensure that the two “extra” terms #E(K)tors and Tam(E/K) in (9) are
not asymptotically significant and thus may be safely ignored; in the same way as one checks that#µk and 2r1 (2π)r2 are negligible compared to ∆k for a number field k. At the very beginning of thisintroduction, we have already pointed out that #E(K)tors is uniformly bounded once K is fixed:
1 6 #E(K)tors 6 bK .
We note that a weaker upper bound of the form #E(K)tors ε H(E/K)ε (for all ε > 0) would be
sufficient for our purpose (and is easier to prove). The Tamagawa number term can also be boundedin terms of the height. More precisely, one can show that∀ ε > 0,

1 6 Tam(E/K) ε H(E/K)ε ,where the implicit constant is effective. For elliptic curves over function fields, the proof is not so
difficult (see our Théorème 1.5.4) but extending this bound to higher-dimensional abelian varieties ismuch more subtle (see [HP16, Theorem 6.5]). Once these two terms are discarded, we are left withthe following inequality, valid for all elliptic curves E (over a fixed function field K) satisfying the
BSD conjecture:Bs(E/K) = 1 +log |L∗ (E/K, 1)|+ o(1)log H(E/K)(H(E/K) → ∞).

Thus, to study the size of Bs(E/K), it remains to understand the size of the special value L∗ (E/K, 1)
in terms of the height. Keeping the analogy with number fields in mind, we set out to investigate thebehaviour of the L-function of E/K around s = 1: this would constitute the analogues of “Step 2.”
and “Step 3.” of the proof of the classical Brauer-Siegel theorem.
First, we explain how to obtain upper bounds on the special value L∗ (E/K, 1) in terms of theheight (thus completing “Step 2.”). Let E be an elliptic curve over a function field K, we assume
for simplicity that E is not constant. Remember that its L-function L(E/K, T ) is a polynomial in T
whose degree bE/K is bounded by cK · log H(E/K) (where cK is a small explicit constant) and whose
inverse zeroes have absolute value q. From this observation, one readily gets a “trivial” upper boundon the special value L∗ (E/K, 1):
log |L∗ (E/K, 1)|  bE/K 6 cK · log H(E/K),(10)

where the implicit constants are effective and depend only on K. A more refined estimation, using
complex analysis techniques on L(E/K, s) (see [HP16, Theorem 7.5]), actually leads tolog |L∗ (E/K, 1)|  bE/K ·
log log bE/K
= o bE/K = o log H(E/K) .
log bE/K(11)

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18

Introduction (in English)

If our elliptic curve E/K satisfies the BSD conjecture, this improved upper bound on L∗ (E/K, 1)
immediately leads toBs(E/K) 6 1 + o(1)(H(E/K) → ∞).
We now have completed “Step 2.” of the proof of an analogue of the Brauer-Siegel theorem.
The remains to find a lower bound on the special value L∗ (E/K, 1). This problem is significantly
harder and essentially still open in the general case. There are several reasons why adapting “Step3.” for number fields to the situation at hand doesn’t work quite as well as planned. One of these is
the difference, from an analytic point of view, between the L-function L(E/K, s) and the zeta-function
ζk (s) of a number field k. We study them both in the neighborhood of s = 1, but:
– First, ζk (s) has a simple pole at s = 1 whereas L(E/K, s) is expected to have a zero of highorder at s = 1. We mention that there are examples of elliptic curves over Fq (t) of arbitrarily
large rank and which satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, see [TŠ67] and [Ulm02].
Now, it is classical that the behaviour of a meromorphic function around one of its poles gives
strong information about the size of its residue there. But the behaviour of a meromorphic
function around one of its zeroes, especially if it has high multiplicity, gives almost no lower
bound on its Taylor coefficients.
– Then, in the number field case, we saw that assuming GRH for ζk (s) pushes the zeroes of ζk (s)“far” away from s = 1 where its pole is so that we had a very good lower bound on the residue
at s = 1 (under GRH). When we turn to L-functions of elliptic curves over K, the critical strip
is shifted to 1/2 < Re(s) < 3/2 and, as we said, the corresponding Riemann Hypothesis has
been proved by Deligne: all the zeroes of L(E/K, s) have real part Re(s) = 1 (and they are
symmetrically distributed with respect to the real axis). But we are studying L(E/K, s) arounds = 1, right in the middle of the critical strip! So there are zeroes of L(E/K, s) close to 1! The
reader may compare the two pictures below: again, green dots symbolize hypothetical zeroes ofζk (s) or L(E/K, s) and the blue bubble around s = 1 represents a “zero-free region”.

Zeroes of ζk (s) (under GRH).

Zeroes of L(E/K, s) (under GRH).

The blue bubble for ζk (s) is almost independent of k, but when the height of E/K goes toinfinity, the bubble for L(E/K, s) gets smaller and smaller. Not to mention the possibility thata “clump” of zeroes accumulates near the boundary of the blue bubble. This phenomenon is the
major hindrance in finding non trivial lower bounds on L∗ (E/K, 1).
The potential presence of “small zeroes” may be seen as a first vague evidence that the BrauerSiegel ratio of elliptic curves can not always be “big” (i.e. it can be much smaller than 1).
Before passing to a review of known results concerning the Brauer-Siegel ratio, we allude to aclosely related situation (some would say the “vertical case”). Namely, we fix an elliptic curve E
over a function field K0 and consider a tower of function fields K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Ki ⊂ . . .
(correponding to a sequence of coverings of curves C0 ← C1 ← C2 ← · · · ← Ci ← . . . ). One might beinterested in understanding the “growth” of the successive Mordell-Weil groups
E(K0 ) ⊂ E(K1 ) ⊂ E(K2 ) ⊂ · · · ⊂ E(Ki ) ⊂ . . .

(i → ∞).

When E is a constant elliptic curve over K0 , the BSD conjecture for Ei /Ki is a theorem of Milne[Mil68, Theorem 3] and Kunyavskiı̆ and Tsfasman proved the following (see [KT08, Theorem 2.1]):
Theorem 6 (Kunyavskiı̆ - Tsfasman). Let {Ki }i∈N be a tower of function fields: Ki = Fp (Ci ) is thefunction field of a curve Ci and the genus g(Ci ) tends to +∞ (when i → ∞). If E0 is a constant
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19

Introduction (in English)

elliptic curve K0 = Fp (C0 ), for all i ∈ N, we denote by Ei = E0 ×K0 Ki the base-change of E0 to Ki .
Then,



∞
X
log #X(Ei /Ki ) · Reg(Ei /Ki )#E0 (Fpm )
,
lim
=1−
βm · logp
i→∞
log p · g(Ci )pm
m=1
where βm = limi→∞ #Ci (Fpm )/g(Ci ) (up to extracting a sub-tower of {Ki }i∈N , one can assume thatthese limits do exist).
Unfortunately, the reader should be warned that there is a gap in their proof (see [KT10]). We
note that the quantity log #X(Ei /Ki ) · Reg(Ei /Ki ) /(log p · g(Ci )) is closely related to Bs(Ei /Ki ):in the case where Ki has genus g(Ci ) → ∞, the main contribution to log H(Ei /Ki ) is log p · g(Ci ). We
won’t say more about this setting except that the behaviour of Bs(Ei /Ki ) is expected to be radicallydifferent than in the previous situation (where K was fixed and E varied). We refer the reader to[Zyk15] for a presentation of a unified framework that could be used to treat the “horizontal” and the“vertical” conjectures on the same footing.

Previous results (and questions)
The introduction of the Brauer-Siegel ratio of elliptic curves over function fields is rather recent(see [HP16]), but there are already a few results about Bs(E/K) which we now review. Note thatthe results of [HP16] hold, in greater generality, for abelian varieties of any dimension: we only statethem for elliptic curves. Let K = Fq (C) be a function field over a finite field Fq . We denote by
E``/K the family of all elliptic curves over K (ordered by height). As was already pointed out, Hindryconjectured that(E ∈ E``/K , H(E/K) → ∞)0 + o(1) 6 Bs(E/K) 6 1 + o(1)for all elliptic curves whose Tate-Shafarevich group is finite (Conjecture 2). This conjecture is now
proven (as a special case of [HP16, Corollary 1.13]):
Theorem 7 (Hindry-Pacheco). For a fixed function field K = Fq (C), let E``/K be the family of all
elliptic curves over K. We assume that X(E/K) is finite for all E ∈ E``/K . Then0 6 lim inf Bs(E/K) 6 lim sup Bs(E/K) 6 1.
E∈E``/K(12)E∈E``/K

We note that the assumption of finiteness of X(E/K) is equivalent to the assumption that E/Ksatisfies the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (see [KT03]). The upper bound in (12) is provenby analytic methods along the lines we sketched in the previous section : it follows from an upperbound on the special value L∗ (E/K, 1) of the L-function of E/K at s = 1 (see [HP16, Theorem 7.5]).
The proof of the lower bound in (12) is more delicate:– With analytic methods, one can prove a “weak” lower bound (thus completing a weak version
of “Step 3.”). In the case of elliptic curves, Hindry and Pacheco obtain ([HP16, Lemma 7.1])
that−5 6 lim inf Bs(E/K),
E∈E``/K

again, under the assumption that the Tate-Shafarevich group is finite.
– But a subtle diophantine lower bound on the regulator Reg(E/K) (see [HP16, Proposition 7.6])
gives the desired
0 6 lim inf Bs(E/K).
E∈E``/K

Written under this form, it is conditional to X(E/K) being finite because the definition ofBs(E/K) is. But it is actually an unconditional lower bound on Reg(E/K) in terms of theheight H(E/K).
In other words, Conjecture 2 above is true (conditional to the finiteness of Tate-Shafarevich groups).
Furthermore, Hindry and Pacheco give an unconditional example where the upper bound in (12) isattained (see [HP16, Theorem 7.12]).
Theorem 8 (Hindry-Pacheco). Let Fq be a finite field of characteristic p > 5 and K = Fq (t). For
any integer d > 2 prime to p, let Ed be the elliptic curve over K given in affine coordinates byEd :Y 2 + XY = X 3 − td .
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

20

Introduction (in English)

The Tate-Shafarevich group X(Ed /K) is finite (and thus, Ed /K satisfies the Birch and SwinnertonDyer conjecture). Moreover, as d → ∞, the Brauer-Siegel ratio Bs(Ed /K) has a limit and this limit
is 1. That is to say,d(d → ∞).
log #X(E/K) · Reg(Ed /K) ∼ log H(Ed /K) ∼ log q ·6
The curves Ed /K had been previously considered by Ulmer (in [Ulm02]) who showed that theysatisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (see [Ulm02, Proposition 6.4]) and that the rank of
Ed (K) can be arbitrarily large when d → ∞ ([Ulm02, Theorem 1.5]). With this example, one canrephrase Theorem 7 when K = Fq (t):0 6 lim inf Bs(E/K) 6 lim sup Bs(E/K) = 1,E∈E``/KE∈E``/K

where E``/K still denotes the family of all elliptic curves over K.
Note that Theorem 7 does not give a definitive answer to the question of knowing how small the
Brauer-Siegel ratio can actually be (Conjecture 3). One could first be tempted to predict that acomplete analogue of the classical Brauer-Siegel theorem (Theorem 4) holds for elliptic curves overfunction fields:lim
Bs(E/K) = 1,(?)
E∈E``/K
H(E/K)→∞

i.e. that the “lim inf” and “lim sup” in (12) coincide. At present, it is not clear if one should expect
this to be true in general or, on the contrary, if Conjecture 3 holds.
Some strong heuristics recently came to light that suggest Conjecture 3 is closer to the truth(compare [Hin07, Conjecture 5.5] and [HP16, §7.5, §7.6]). In particular, Hindry and Pacheco predictthat the behaviour of the Brauer-Siegel ratio in families of quadratic twists of a given elliptic curveis different from the “generic” one. We now sum these up in the case when K = Fq (t) is the rational
function field. Let E/K be an elliptic curve.
1. As was mentioned earlier and as is discussed in detail in [HP16, §7.3], the presence of zeroes of the
L-function L(E/K, s) of E near s = 1 has an influence on the size of the special value L∗ (E/K, 1)
and thus on the size of Bs(E/K). In vague terms, if L(E/K, s) has a zero very close to 1 (or if
L(E/K, s) has a clump of zeroes close to 1) then L∗ (E/K, 1) is expected to be very small. On thecontrary, if the zeroes of L(E/K, s) are “well-spaced”, one could reasonably expect that L∗ (E/K, 1)
is not too small.
These expectations are made precise in [HP16, Lemma 7.7]: the authors isolate the contribution of“small zeroes” to the size of L∗ (E/K, 1). One is thus led to study the distribution of the zeroes ofL(E/K, s) on the line Re(s) = 1 on which they lie. This was carried out by Michel in [Mic99] who
showed that for “most” elliptic curves E/K, the zeroes of L(E/K, s) are “well-distributed”. So,
for “most” elliptic curves, the Brauer-Siegel ratio should be bounded away from 0. Nonetheless,this does not remove the possibility that an infinite family of elliptic curves over K could have
L-functions with “badly-distributed” zeroes and thus a smaller Brauer-Siegel ratio.
2. If E is non-constant, for any square-free D ∈ Fq [t], one can consider the quadratic twist E (D) /K of
E by D. Assuming the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for E (D) , an analogue of a theoremof Waldspurger links the value L(E/K, 1) of L(E/K, s) at s = 1 with the D-th Fourier coefficientcE (D) of a certain 3/2-weight modular form gE .
When E (D) has rank 0, one has L(E/K, 1) = L∗ (E/K, 1) and the upper bound on Bs(E (D) /K)
then follows from the (proven) Ramanujan conjecture for the Fourier coefficients of gE : namely,|cE (D)| ε (q deg D )1/4+ε . Now, a positive lower bound on Bs(E (D) /K) would mean that the nonzero coefficients cE (D) are bounded away from 0. This seems unlikely because it would mean that
the Fourier coefficients of some 3/2-weight modular forms do not satisfy a “Sato-Tate distribution”,
i.e. they would be not equidistributed in the interval in which they lie.
3. If instead E/K is constant, there exists an elliptic curve E0 over Fq such that E = E0 ×Fq K. In
this case, the BSD conjecture has been proved by Milne (see [Mil68, Theorem 3]) both for E andits quadratic twists E (D) by square-free polynomials D ∈ Fq [t]. Let aE := q + 1 − #E0 (Fq ), we
denote by FD (T ) the numerator of the zeta function of the hyperelliptic curve CD : y 2 = D(x) andby gD := g(CD ) = b(deg D − 1)/2c the genus of CD . The special value L∗ (E (D) /K, 1) has been
computed by Milne in terms of FD (T ) and aE . A little algebra yields the following expression for
the Brauer-Siegel ratio Bs(E (D) /K) (see [HP16, Proposition 7.16]) :Bs(E (D) /K) =R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

2 log |G∗D (aE )|+ o(1)
gD · log q(deg D → ∞),21

Introduction (in English)

where G∗D (T ) ∈ Z[T ] can be explicitely computed from FD (T ). Moreover, one has G∗D (aE ) 6= 0,√ √deg G∗D = gD − o gD ; and all roots of G∗D (T ) are real and lie in [−2 q, 2 q]. Now, when E0
runs through all possible elliptic curves over Fq , the integer aE takes almost all integral values√√
between −2 q and 2 q (see [WM71]). As deg D gets bigger, G∗D (T ) has more and more roots in√ √the interval [−2 q, 2 q] where aE lies : it sounds plausible that |G∗D (aE )| ∈ N∗ can indeed be“very small” compared to gD .
√ √Note the “reverse” construction : given an integer a ∈ [−2 q, 2 q], it is easy to construct asequence of polynomials Hn (T ) ∈ Z[T ] (n ∈ N∗ ) of growing degree with the properties that the√ √roots of Hn (T ) are all real and lie in the interval [−2 q, 2 q], Hn (T ) does not vanish at a andlog |Hn (a)|/ deg Hn is arbitrarily small. However, we do not know how to check that Hn (T ) actuallycorresponds to a “G∗D (T ) polynomial” associated, as above, to the numerator of the zeta functionof an hyperelliptic curve CD .
Needless to say, exhibiting an explicit family of elliptic curves E/Fq (t) whose Brauer-Siegel ratio
has a limit α < 1, even conditional to the Birch and Swinnerton-Dyer, would be a breakthrough.
As would a proof that the Brauer-Siegel ratio, on the contrary, always has limit 1 (thus disproving
Conjecture 3). Maybe a study of the Brauer-Siegel ratio “on average” could give a hint as to which
behaviour is typical; unless there are so few elliptic curves with small Brauer-Siegel ratio that theirpresence can not be detected by a too rough average upper bound.
As one sees, this question and its variants are far from settled and we intend to investigate further
this circle of problems.

New results
We now present our contribution to the study of the Brauer-Siegel ratio. We break up this sectionin three parts. The first one states our main theorem, directly related to the Brauer-Siegel ratio. The
second contains some results used in the proof of the main theorem but which might be of independentinterest. In the last part, we mention two other results, which we didn’t incorporate in this manuscript.

Main theorem
Let Fq be a finite field of characteristic p > 5. We denote by K the rational function field K = Fq (t)over Fq . Consider one of the following families Ei of elliptic curves over K:(E1 ) for any integer d ∈ N∗ prime to q, let Ed /K be given by the affine equation
Y 2 = X(X + 1)(X + td ).

Ed :

(13)

We call Ed a “Legendre elliptic curve” because its 2-torsion points are K-rational. It has been
extensively studied by Ulmer, Conceição and Hall (see [Ulm14a], [CHU14] and [Ulm14b]).
(E2 ) for any integer d ∈ N∗ prime to q, let Hd /K be given by the affine equation
Hd :Y 2 + 3td XY + Y = X 3 .

(14)

Hd will be called a “Hessian elliptic curve” because it has a natural K-rational 3-torsion point.
(E3 ) for any integer d ∈ N∗ prime to q, let Ed /K be given by the affine equation
Ed :Y 2 + XY + td Y = X 3 + td X 2 .

(15)

The curve Ed has a natural K-rational 4-torsion point (and was studied by Ulmer in [Ulm13]).
(E4 ) for any integer d ∈ N∗ prime to q, let Ed /K be given by the affine equation
Ed :Y 2 + XY − td Y = X 3 .

(16)

These curves are studied by Davis and Occhipinti in [DO14], where the authors produce explicit
rational points for certain values of d.
(E5 ) for any odd integer d ∈ N∗ prime to q, let B1/2,d /K be given in affine coordinates by
B1/2,d :Y 2 + 2td XY − 4t2d Y = X 3 − 6td X 2 + 8t2d X.

(17)This elliptic curve is mentioned by Berger in [Ber08, §4.3, Example 6].
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

22

Introduction (in English)

In this thesis, we show that the Brauer-Siegel ratio of elliptic curves E/K taken from one of thefamilies above has a limit, and that the limit is actually 1. We record this in one theorem:
Theorem 9. Let Ei (with i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}) be one of the families above.
• For each elliptic curve E ∈ Ei , the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture is true for E/K.
In particular, X(E/K) is finite and so is Bs(E/K).
• When H(E/K) → +∞ with E ∈ Ei , one has
Bs(E/K) −−−−−−−−→ 1.
E∈Ei
H(E/K)→∞

In other words, for all ε > 0, there are constants such that∀E ∈ Ei ,H(E/K)1−ε ε #X(E/K) · Reg(E/K) ε H(E/K)1+ε .

To put it differently, when E ∈ Ei ,
log #X(E/K) · Reg(E/K) ∼ log H(E/K)

as H(E/K) → ∞.

Actually, each family above is naturally indexed by integers d ∈ N∗ (prime to p) and there exists
a constant ci (given below) such that for any curve Ed in the i-th family Ei ,

log q
·d
log #X(Ed /K) · Reg(Ed /K) ∼ log H(Ed /K) ∼ci

as d → +∞.

With
c1 = 2,c2 = 1,c3 = 2,c4 = 3,c5 = 2.

This is an immediate consequence of Théorème 4.4.1, Théorème 5.4.1, Théorème 6.4.1, Théorème
7.4.4 and Théorème 8.4.2.
The 5 families of elliptic curves described above add to the example in [HP16, Theorem 7.12]
to give a total of 6 families of elliptic curves (over Fq (t)) for which one knows unconditionally thata complete analogue of the Brauer-Siegel theorem holds (that is, Bs(E/K) → 1). We hope that,upon reading the proofs, the reader will be convinced that our method can be used to study the
Brauer-Siegel ratio of other families.
This theorem could be seen as giving more evidence that, in Theorem 7, the “lim inf” and the“lim sup” are actually equal to 1. We prefer to think that the elliptic curves we study are part of the(conjectural) majority of those whose Brauer-Siegel ratio tends to 1. At least, this theorem tells us
where not to look if one wants to find a family of elliptic curves with a smaller Brauer-Siegel ratio(conjecturally, a “thin” family among all elliptic curves).
As we explained above, for an elliptic curve E/K to have a “big” Brauer-Siegel ratio (that is tosay, for Bs(E/K) to be close to 1), it is necessary that the zeroes of the L-function L(E/K, T ) be
sufficiently “well-behaved”. In other words, the central part of the proof is to prove a lower bound on
Bs(E/K): to do so, we show that the special values L∗ (E/K, 1) of the L-functions of elliptic curves
E ∈ Ei never get too small. In general, the direct study of the distribution of the zeroes is delicate, so
we took a “p-adic” approach, which we now roughly sketch. Suppose we have expressed the special
value L∗ (E/K, 1) = L∗E of an elliptic curve E/K as a product

Y 
ωm
L∗E =
1 − um ,qm∈M

where ωm are certain algebraic integers of absolute value q um , um ∈ N∗ and m runs through a set ofindices M with #M = o log H(E/K)). We give lower bounds for such products using the following
idea. By construction, the product L∗E is a non-zero element of Z[q −1 ]: as such, it can be written
under the form
(integer)
,
(18)
L∗E =
q WE
for a certain exponent WE ∈ N. Hence, we can give a lower bound on log |L∗E | (in terms of H(E/K))
by finding an upper bound on WE in the denominator. Since the ωm are an algebraic integers,
multiplying the factor (1 − ωm /q um )Pby q um produces an algebraic integer whose norm is a rationalP
integer. Hence, multiplying L∗E by q um leaves us with an integer and we see that 0 6 WE 6
um .
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

23

Introduction (in English)

Now imagine that some of the ωm are “very divisible” by q. Then there is no need to multiply
the corresponding factors (1 − ωm /q um ) by q um to obtain an algebraic integer: a smaller power ofq would do. So the exponent WE in the denominator of L∗E can be lowered. By keeping
track of
these “cancellations” in the factors of L∗E , we manage to show that WE = o log H(E/K) for the five
families Ei , which is enough to yield
log |L∗E | > −o log H(E/K) .

Auxiliary results
To prove Theorem 9 above, we require other results, whose interest surely lies beyond the only
study of the Brauer-Siegel ratio. We sum up the most significant new theorems which are also provedin this thesis.
Let Fq be a finite field of odd characteristic. For any b ∈ Fq r {1, −1} and any non trivial character×χ : F×q → Q , we define the associated Legendre sum by:
Sq (χ; b) := −Xχ(x) · µ x2 + 2b · x + 1 ,x∈Fqwhere µ : F×q → {±1} is the unique non trivial character of order 2. These sums were defined by Evansin [Eva86] but there seems to be very few results about them in the literature. In order to compute
some L-functions, we needed the Legendre sums to satisfy an analogue of the “Hasse-Davenport lifting
relation for Gauss sums” and to satisfy a “Riemann hypothesis”. To state our theorem, we recall the×following construction: for any non trivial character χ : F×q → Q and any finite extension Fq n /Fq ,define a character χ(n) on F×
q n by∀x ∈ F×qn ,χ(n) (x) = χ ◦ NFqn /Fq (x),×where NFqn /Fq : F×
q n → Fq denotes the norm. We obtained:×

Theorem 10. Let b ∈ Fq r {−1, 1} and χ : F×be a non trivial character. There exist two
q → Q
algebraic integers αb (χ) and βb (χ) (depending only on b and χ) such that
• Sq (χ, b) = αb (χ) + βb (χ) and αb (χ) · βb (χ) = q,
• For any extension Fqn /Fq , Sqn (χ(n) , b) = αb (χ)n + βb (χ)n (“Hasse-Davenport relation”),√• In any complex embedding, αb (χ) and βb (χ) have absolute value q (“Riemann hypothesis”).
See Théorème 2.2.21 and Corollaire 2.3.5. Note that, for a given b ∈ Fq r {−1, 1}, the Legendresums naturally appear in the zeta function of the hyperelliptic curve D, defined over Fq by the affine
equation:D:
y 2 = x2(q−1) + 2b · xq−1 + 1.
More details can be found in Théorème 2.3.4.
As was mentioned before in this introduction, the Brauer-Siegel ratio is intimately linked withspecial values of L-functions. To say something about the limit of the Brauer-Siegel ratio of thefamilies of Theorem 9, we had to compute explicitly the corresponding L-functions. Before giving theresults of our computations, we set up some notations. Let Fq be a finite field of odd characteristic p
and d > 2 an integer that is prime to q. There is a natural action of q on Z/dZr{0} by multiplication.
Let Oq0 (d) = (Z/dZr{0}) hq mod di be the set of orbits.
Fix a prime ideal P of Z above p: reduction modulo P induces an isomorphism between the××group µ0p ⊂ Q of roots of unity whose orders are prime to p and the multiplicative group Fq . Let××t : Fq ' (Z/P)× → µ0p ⊂ Q be the inverse of this isomorphism (we call t the Teichmüller character).
We also denote by the same letter t the restriction of the Teichmüller character to any subfield of Fq .
To any integer d > 2 prime to q, we attach a set (indexed by a ∈ J1, d − 1K or Z/dZr{0}) of characters×ta : F×→ Q defined over various extensions Fqu(a) /Fq and whose orders divide d. More precisely,q u(a)

for any a ∈ J1, d − 1K, let u(a) = min n ∈ N∗ q n a ≡ a mod d = ord× q mod (d/gcd(d, a)) andta : x ∈ F×
7→ t(x)(qq u(a)u(a)−1)a/d×∈Q .
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

24

Introduction (in English)

In the results below, the reader interested in the case when d | q − 1 can replace “m ∈ Oq0 (d)” by“a = m ∈ J1, d − 1K”, u(a) by 1 for all a ∈ J1, d − 1K and ta by the powers χa of a fixed character×χ : F×q → Q of exact order d.
With these characters, we computed the L-functions of the elliptic curves in the families Ei . For
the next five theorems, we let Fq be a finite field of characteristic p > 5 and K = Fq (t).
First of all, we obtain the L-functions of the “Hessian curves” in family E2 (see Théorème 5.2.1).
Theorem 11. For any integer d > 2 prime to q, let Hd be the “Hessian elliptic curve” over K, givenby (14). The L-function L(Hd /K, T ) of Hd can be written in the form:Y
1 − Jm · T u(m)L Hd /K, T =(3)m∈Oq (3d)(3)

where Oq (3d) is the set of orbits of Z/3dZ r {0, d, 2d} under the action of q by multiplication and,(3)
for any m ∈ Oq (3d), Jm denotes the following sum:X

Jm = ta (27) · jqu(a) (ta , ta , ta ) = ta (27) ·ta (x)ta (y)ta (z),x,y,z∈Fqu(a)x+y+z=1

for any choice of representative a ∈ Z/dZ of the orbit m (up to a root of unity, Jm is a Jacobi sum).
Please note that the characters ta here are those attached to 3d, not to d.
With techniques very similar to [CHU14, §3], we compute the L-functions of elliptic curves infamily E3 , having a rational point of 4-torsion (see Théorème 6.2.1).
Theorem 12. For any integer d > 2 prime to q, let Ed be the elliptic curve over K, given by (15).
The L-function L(Ed /K, T ) of Ed can be written in the form:
L(Ed /K, T ) =2

Y(1 − J0m · T u(m) )(2)m∈Oq (d)(2)

where Oq (d) is the set of orbits of Z/dZ r {0, (d/2)} under the action of q by multiplication (with(2)
the orbit {d/2} removed if d is even) and, for any orbit m ∈ Oq (d), J0m denotes the following Jacobisum:X
J0m = jqu(a) (ta , ta ) = −ta (x)ta (y),x,y,z∈Fqu(a)x+y=1

for any choice of representative a ∈ Z/dZ of m.
Next, for the family E4 of elliptic curves studied in Chapter 7, we get the following result (seeThéorème 7.2.1).
Theorem 13. For any integer d > 2 prime to q, let Ed be the elliptic curve over K, given by (16).
The L-function L(Ed /K, T ) of Ed can be written in the form:Y 
L Ed /K, T =1 − Jm · T u(m) .
(3)m∈Oq (d)(3)

where Oq (d) is the set of orbits of Z/dZ r {0, (d/3, 2d/3)} under multiplication by q (with orbits(3){d/3} and {2d/3} removed if 3 | d) and for all m ∈ Oq (d), Jm is a “2-dimensional” Jacobi sum:Jm = jqu(a) (ta , ta , ta ) =Xta (x)ta (y)ta (z),x,y,z∈Fqu(a)x+y+z=1

for any choice of representative a ∈ Z/dZ of m.
Finally, for the family of elliptic curves E5 taken from [Ber08, §4.3, Example 6], we first obtain ageneral expression of the L-function (see Théorème 8.2.1):
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

25

Introduction (in English)

Theorem 14. Let a ∈ Fq r {0, 1} and d > 2 be an integer prime to q. We denote by Ba,d the elliptic
curve over K = Fq (t) defined in affine coordinates by
Ba,d :

Y 2 + td XY − at2d Y = X 3 − (a + 1)td X 2 + at2d X.

The L-function L(Ba,d /K, T ) of Ba,d can be written in the form

L Ba,d /K, T = (1 − qT ) ·



Y


2
1 − J0m · Sm · T u(m) + J0m · q u(m) · T 2u(m) ,(2)m∈Oq (d)(2)

where, as above, Oq (d) is the set of orbits of Z/dZr{0, (d/2)} under the action of q by multiplication(2)(with the orbit {d/2} removed in case d is even) and for any orbit m ∈ Oq (d) and any choice of a0
representative i ∈ Z/dZ of m, Jm is a Jacobi sum (up to a root of unity):X

J0m = ti (−1) · jqu(i) (ti , ti ) = −ti (−1) ·ti (x)ti (y),x,y∈Fqu(i)x+y=1and Sm is a Legendre sum
Sm := Squ(i) (ti ; 1 − 2a) = −Xti (x) · µ x2 + 2(1 − 2a) · x + 1 .

x∈Fqu(i)In the case where a = 1/2 ∈ Fq and d is odd, the expression of the L-function of L(B1/2,d /K, T )in the above theorem “simplifies” to give the following result about the L-functions of elliptic curvesin family E5 (see Théorème 8.3.2).
Theorem 15. Let d > 2 be an odd integer prime to q. Let B1/2,d be the elliptic curve over K = Fq (t)defined by (17):B1/2,d : Y 2 + 2td XY − 4t2d Y = X 3 − 6td X 2 + 8t2d X.
Then the L-function L(B1/2,d /K, T ) of B1/2,d can be written in the form
L B1/2,d /K, T = (1 − qT ) ·Y
1 − J0n · T u(n) ,(2)n∈Oq (2d)(2)

where Oq (2d) is the set of orbits of Z/2dZ r {0, d} under the action of q by multiplication and for(2)
any orbit n ∈ Oq (2d) and any choice of a representative i ∈ Z/2dZ of n, J0n is a “2-dimensional”
Jacobi sum (up to a root of unity):
J0n := ti (−4) · jqu(i) (ti , ti , t2i ) = ti (−4) ·Xti (x)ti (y)ti (z)2 .

x,y,z∈Fqu(i)x+y+z=1

Please note that the characters ti here (i ∈ J1, 2d − 1K) are those associated to 2d (and not to d).
We hope that these computations prove useful for some other purposes. That is why we tried
to keep the hypotheses in the last five theorems very light: we only assume that d is prime to thecharacteristic of Fq (t). We also mention here that we prove a result of “unbounded rank in towers”
for the Ba,d curves (see Corollaire 8.3.13):
Theorem 16. In the family of elliptic curves Ba,d /K (with d > 2 ranging through all integers prime
to q and a ∈ Fq r {0, 1}), the rank ra,d = rang Ba,d (K) is not bounded:
lim sup rank Ba,d (K) = lim sup rank B1/2,d (K) = +∞.
gcd(d,q)=1a∈Fq r{0,1}gcd(d,q)=1

As is noted in [Ber08, §4.3, Example 6], the unboundedness of the rank for Ba,d is not a consequenceof the general theorem of Ulmer [Ulm07, Theorem 4.7].
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

26

Introduction (in English)

The central part of the proof of Theorem 4 and our main technical result is a lower bound for special
values of L-functions satisfying certain hypotheses (see Théorème 3.2.2). We do not go into details
here but we give a flavour of how that theorem works. Fix Fq a finite field of odd characteristic and
K = Fq (t). Let d > 2 be an integer prime to q. Most of the L-functions displayed above are written
under the schematic following form:Y 
Ld (T ) =1 − ωm · T u(m) ∈ Z[T ],m∈Oq0 (d)where Oq0 (d) denotes the set of orbits of Z/dZr{0} under the action of q by multiplication and the ωmare certain algebraic integers. By definition, the special value consists of the value of Ld (T ) at T = q −1
once we have removed all the factors 1 − ωm · T u(m) that vanish at T = q −1 (up to a manageable
integral term, whose logarithm is positive). The main term that needs to be bounded from below canbe written under the form of a product

Y 
ωm
∗
Ld :=
1 − u(m) ,qm∈M
where m runs through a certain set of orbits M ⊂ Oq0 (d). We now add the hypotheses that the ωmlie in the cyclotomic field Q(ζdm ) (where dm := d/gcd(d, m)) and that the numbering of {ωm }m is“compatible” with the action of Gal(Q(ζd )/Q) ' (Z/dZ)× (i.e. we assume that σt (ωm ) = ωt·m if σt isthe Galois automorphism corresponding to t ∈ (Z/dZ)× ). Note that both hypotheses are satisfied by
the L-functions of elliptic curves in the five families Ei . We fix, once and for all, a prime ideal P ⊂ Z
above p and put pm = Q(ζdm ) ∩ P for all m ∈ M.
Theorem 17. Under these hypotheses, one hasX
ordpm ωmlog |L∗d | q −max 0, u(m) −:= −Wd .
[Fq : Fp ]

(19)

m∈M

For a detailed account of our hypotheses and a precise statement, we refer the reader to Section 3.2.
Note that Shioda proved a somewhat related result (see [Shi87, Proposition 2.1]) when ωm is a Jacobi
sum of “even dimension”. We adapt his proof to work with more general ωm .
The inequality (19) is true as soon as the L-function satisfies our hypotheses. What’s more, one
always has a “naïve” upper bound on the sum Wd on the right-hand side of (19), namelyX
ordpm ωmWd =max 0, u(m) −6 d.
[Fq : Fp ]m∈M

The corresponding lower bound on log |L∗d | gives nothing more than the “Liouville bound”:
log |L∗ (Ed /K, 1)| q − log H(Ed /K).
Now, to prove that the Brauer-Siegel ratio of the elliptic curves Ed in one of the families Ei has limit 1,
we need to show a much stronger lower bound on log |L∗d |: we require that Wd be o d when d → ∞.
Such an asymptotic relation would follow if “on average” the terms “u(m) − ordpm ωm /[Fq : Fp ]” in
Wd were “not too big”. For a general data {ωm }, there is no reason why this should hold.
However, in the case where the ωm are Jacobi sums (or products of Jacobi sums), making use of avariant of Stickelberger’s theorem (Théorème 3.3.9) allows to compute the terms ordpm ωm . We thenobtain a more or less explicit expression of Wd and there remains to prove that Wd is negligible whend → ∞. To do so, we needed a special case of the following equidistribution theorem. We denote thefractional part of a real number x by {x} ∈ [0, 1[.
Theorem 18. Let I ⊂ [0, 1] be an interval of length b and D ⊂ N∗ be an infinite set of integers.
#Hd
Suppose we are given, for any d ∈ D, a subgroup Hd of Gd = (Z/dZ)× such that log
log d −−−→ +∞.
d→∞Then, when d → ∞ (and d ∈ D), one has
1 X
#Gd

g∈Gd

b−


 gt
1
· # t ∈ Hd
∈I
d
#Hd




log log d#Hd

1/6= o(1).

For more details, we invite the reader to see Théorème 3.4.1 and its corollaries.
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

27

Introduction (in English)

Other results
We also obtained two other results which are not included in this manuscript. First, we computed
the L-function of another (infinite) family of elliptic curves over Fq (t). More precisely, fix a finite field
Fq of characteristic p > 5 and a parameter a ∈ {0, 1, 1/2}, for all integers d prime to p, let Fa,d be theelliptic curve over K given in affine coordinates by
Fa,d :

Y 2 + (1 − td )XY + a2 (td − t2d )Y = X 3 + (a2 + 2a)td X 2 + (2a3 + a2 )t2d X + a4 t3d .

The rank of this curve is studied in [Occ12]: Occhipinti computes “semi-explicitly” the L-function ofFa,d /K when d divides q − 1 = #F×
q . He also uses the theorem of [Ber08] to prove that Fa,d satisfies
the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. By a different method and weakening the hypothesis thatd divides q − 1, we were able to prove:
Theorem 19. With notations as above, for any integer d prime to p, the L-function L(Fa,d /K, T ) is
given byY 2L(Fa,d /K, T ) = (1−qT )·1 − q u(m) T u(m) 1 − (Sm− 2q u(m) )T u(m) + q 2u(m) T 2u(m) , (20)m∈Oq0 (d)where Oq0 (d) denotes the set of orbits of Z/dZr{0} under the action of q by multiplication, u(m)denotes the cardinality of m and, for any m ∈ Oq0 (d) and any choice of representative i ∈ Z/dZr{0}of m, S(m) denotes the Legendre sumX
Sm = −Squ(i) (ti ; 1 − 2a) = −ti (x) · µ x2 + 2(1 − 2a)x + 1 .
x∈Fqu(i)The Hasse-Davenport relation and the Riemann hypothesis for Legendre sums ensure the existenceof algebraic integers αm and βm (m ∈ Oq0 (d)) such that∀m ∈ Oq0 (d),Sm = αm + βm , αm · βm = q u(m) and |αm | = |βm | = q u(m)/2 .

With this notation, one can rewrite the L-function in a factorized form:



Y 
2
2
L(Fa,d /K, T ) = (1 − qT ) ·1 − q u(m) · T u(m) 1 − αm
· T u(m) 1 − βm
· T u(m) .
m∈Oq0 (d)The proof uses computations of character sums and hinges on the fact that Fa,d is birational to thecurve Xd ⊂ P1 × P1 defined over K and given in affine coordinates by
Xa,d :

y(y − 1)x(x − 1)= td ·.
x−ay−a

It is clear on the expression (20) that the L-function vanishes at order at least d = 1 + #Oq0 (d) at
T = q −1 . Hence, since Fa,d satisfies the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, Fa,d (Fq (t)) has rank
at least d. Unfortunately, we are currently unable to give bounds on the size of the special value ofL(Fa,d /K, T ) at T = q −1 other than the “trivial” ones:−6 + o(1) 6

log L∗ (Fa,d /K, 1)
6 0 + o(1)log H(Fa,d /K)(d → ∞).

Indeed, we have close to no information about how the numbers Sm /q u(m)/2 are distributed in theinterval [−2, 2] in which they lie (equivalently, we don’t know how the αm /q u(m)/2 and βm /q u(m)/2
are distributed angularwise on the unit circle).
Following a suggestion of Hindry, we also started the study of the Brauer-Siegel ratio of a family of
quadratic twists of a constant curve. The setting is as follows: let Fq be a finite field of characteristicp > 5 and let E0 be an elliptic curve over Fq with affine equation E0 : y 2 = x3 + Ax + B (A, B ∈ Fq ).
Then E := E0 ×Fq Fq (t) is a constant elliptic curve over K = Fq (t). For any integer d prime to p,
consider the quadratic twist E (d) of E by the polynomial td + 1 ∈ Fq [t] ⊂ K, whose affine equation is
E (d) :

(td + 1) · y 2 = x3 + Ax + B.

Then E (d) /K satisfies the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (because it is isotrivial, see [Mil68,
Theorem 3]). Thus, by [HP16, Corollary 1.13], when d → ∞, one has
0 + o(1) 6 Bs(E (d) /K) 6 1 + o(1).
We proved a refined bound on Bs(E (d) /K) for special values of d:R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

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Introduction (in English)

Theorem 20. Let Dss ⊂ N∗ be the (infinite) set of integers d > 2 such that d divides q n + 1 (for somen ∈ N). Such an integer d ∈ Dss is often called supersingular for q (see [SK79]).Then, as d → ∞,lim Bs(E (d) /K) = 1.

d∈Dss
d→∞

At the moment, we are unable to remove the condition that d be supersingular (nor are we surethat the conclusion still holds if one removes the assumption). The proof is essentially based on threeingredients. First, the L-function of E (d) /K is easily expressed in terms of the zeta function of thehyperelliptic curve Cd : y 2 = xd + 1. A computation of Weil (see [Wei49]) asserts that the zeroes
βj of this zeta function are n-th roots of Jacobi sums. Under our hypothesis that d ∈ Dss , notethat the Jacobi sums in question are real numbers. The conclusion follows by an application of the
Baker-Wüstholz theorem (see [BW93]) to log |1 − βj /q| in the spirit of [BK10, Theorem 4.1].

Detailed contents
To close this chapter, we review how this manuscript is organized.
The first chapter is a general introduction to selected topics in the arithmetic of elliptic curves overfunction fields, with an emphasis on their L-functions, the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture anddiophantine inequalities between their invariants. It contains almost no proofs but we give numerous
references. In the last section of this chapter, we define the Brauer-Siegel ratio Bs(E/K) of an elliptic
curve E/K and recall conjectures and known facts about it.
The next two chapters introduce the tools we use to carry out the analytic study of the families
Ei : the second chapter will enable us to compute the L-functions of elliptic curves E ∈ Ei and we will
use the results of the third chapter to bound their special values.
More precisely, the second chapter centers around character sums. First, we recall classical facts
about characters of finite fields, Gauss sums and Jacobi sums. Then, we explain in detail the construction of the characters “ta ” which appear in the L-functions displayed above: these form a natural
family of characters whose orders divide d. We use this framework to prove a “transformation formula” for generating series built-up from character sums: this result is of constant use in the following
computations of L-functions. Furthermore, we introduce Legendre sums and prove analogues of the
Hasse-Davenport lifting relation and of the Riemann hypothesis for those. The proof requires thecomputation of the zeta function of certain hyperelliptic curves.
In the third chapter, we take the computation of L-functions for granted and focus on bounding
their special values. The first section quickly recounts how upper bounds on the rank and on special
values are obtained. In the second section, we give a lower bound on products π ∗ of algebraic numbers
which typically appear in the special values of the L-functions we study. Our hypotheses are gathered
in Section 3.2.1. This lower bound, however, can only be used if one has a good knowledge of the“p-adic valuations” of the algebraic numbers in the product π ∗ . Thus, we recall how these “p-adic
valuations” are computed in the case of Jacobi sums. Finally, we prove an equidistribution statement
to the effect that “big” subgroups of (Z/dZ)× become equidistributed on average when d → ∞.
In Chapters 4 to 8, we study individually the families of elliptic curves introduced earlier (thefamily Ei is studied in Chapter i + 3). The structure of these chapters is very similar. We start bycomputing the basic invariants attached to the elliptic curves E ∈ Ei . Secondly, we find an explicit
expression for the L-functions of those: we use the tools set up in Chapter 2. We briefly recall why
all elliptic curves in the five families satisfy the BSD conjecture. For some families, we are further
able to find a quick proof that the rank is unbounded. In the last section of each chapter, we employ
the bounds on special values obtained at Chapter 3 and we finish the proof of the analogue of the
Brauer-Siegel theorem for the family Ei .

R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

Let Fq be a finite field of characteristic p > 5 and K := Fq (t). In the table below, we record the families of elliptic curves that are studied in this thesis (as well asthat of [HP16, Theorem 7.12]). The first column gives a Weierstrass equation of E/K and the parameter(s) on which it depends. We then give an expression for the
j-invariant j = j(E/K) ∈ Fq (t) of E and for the differential (exponential) height H = H(E/K) as functions of the parameter(s). The reader can thus convince himselfthat these curves are mutually non-isomorphic over Fq (t). The last column summarizes the result we obtain as regards the Brauer-Siegel ratio.
Weierstrass model

j-invariant

HeightBrauer-Siegel ratio

and parameter(s)[HP16]

Ed : y 2 + xy = x3 − td1
td (1 − 24 33 td )H = qb 6 c

d→∞

j=

28 (t2d − td + 1)3
t2d (td − 1)2

H = qb 2 c

d→∞

j=

33 t3d (9t3d − 8)3t3d − 1

H = qd(16t2d − 16td + 1)3−t4d (16td − 1)

H = q b 2 c+1d→∞

24td + 1

H = qb 3 c

d→∞

j=

∗

d ∈ N , gcd(d, p) = 1
Chap. 4

Ed : y 2 = x(x + 1)(x + td )∗d ∈ N , gcd(d, p) = 1
Chap. 5

Hd : y 2 + 3td xy + y = x3∗

d ∈ N , gcd(d, p) = 1
Chap. 6

Ed : y 2 + xy + td y = x3 + td x2j=∗d ∈ N , gcd(d, p) = 1
Ed : y 2 + xy − td y = x3j=∗d ∈ N , gcd(d, p) = 1
Chap. 8Ba,d : y 2 + td xy − at2d y = x3 − (a + 1)td x2 + at2d xa ∈ Fq r {0, 1} and d ∈ N∗ , gcd(d, p) = 1

j=−t3d (27td − 1)(t2d + 8(2a − 1)td + 16(a2 − a + 1))3a2 (a − 1)2 (t2d + 8(2a − 1)td + 16)

d−1

d−1

d+2

H = qb 2 c
d+1

lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(Hd /K) = 1

d→∞lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(B1/2,d /K) = 1

d→∞
d odd

if a = 1/2

29

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Chap. 7d+5

Introduction (in English)

Table summarizing the studied families

Introduction (en français)Le sujet de cette thèse est l’étude asymptotique d’un invariant associé aux courbes elliptiques surles corps globaux : le ratio de Brauer-Siegel. Celui-ci combine trois des plus importants invariants
arithmétiques d’une courbe elliptique : le régulateur de Néron-Tate, l’ordre de son groupe de TateShafarevich et sa hauteur. Nous démontrons des analogues du théorème de Brauer-Siegel classiquepour plusieurs familles de courbes elliptiques sur Fq (t). Nous commençons par motiver l’étude duratio de Brauer-Siegel et par expliquer quel genre d’analogues sont visés. Le lecteur peut consulter[HP16, §1] et [Hin07] pour un exposé détaillé de ce problème dans un cadre plus général.

Motivations
Soit Fq un corps fini de caractéristique p et K = Fq (C) le corps des fonctions rationnelles surune courbe projective lisse et géométriquement irréductible C définie sur Fq . Par commodité, on faitl’hypothèse que p > 5. Le lecteur peut supposer sans problème que K est le corps des fractions
rationnelles Fq (t) à coefficients dans Fq .
Soit E une courbe elliptique définie sur K et donnée par un modèle de Weierstrassy 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ,(1)de coefficients ai ∈ K. On peut associer à E un certain nombre d’invariants censés quantifier la« complexité arithmétique » de E : son discriminant minimal, son conducteur, sa hauteur, ... Nous
choisissons ici d’ordonner la famille des courbes elliptiques E/K en fonction de leur hauteur différentielle (exponentielle) H(E/K) : celle-ci est définie par1

H(E/K) = q 12 deg ∆min (E/K) ,où ∆min (E/K) est le diviseur discriminant minimal de E/K. Retenons que la hauteur se calcule
facilement à partir d’un modèle de Weierstrass (1) de E/K (par l’algorithme de Tate par exemple,
voir[Tat75]). Notons aussi que H(E/K) dépend exponentiellement des (degrés des) coefficients ai ∈ K.
Pour une telle courbe elliptique E/K, le théorème de Mordell-Weil (démontré par Lang et Néron
dans ce contexte) assure que le groupe E(K) des points K-rationnels sur E est de type fini : on peut
donc l’écrire
E(K) = Z · P1 ⊕ Z · P2 ⊕ · · · ⊕ Z · Pr ⊕ E(K)tors ,où les Pi ∈ E(K) sont des points d’ordre infini et le sous-groupe de torsion E(K)tors est fini. L’entier
r est appelé rang de Mordell-Weil de E/K (ou simplement rang). Le théorème de Mordell-Weil est
purement qualitatif : il affirme la finitude de r et #E(K)tors . Mais le principal inconvénient de sa
preuve est qu’elle est de nature ineffective : on ne peut pas en déduire une recette pour calculer r, desgénérateurs Pi de la partie libre ou des générateurs de E(K)tors , ni non plus une borne sur la taillede ces objets (en termes de H(E/K) par exemple). Cela dit, disposer d’une version quantitative duthéorème de Mordell-Weil présente un intérêt majeur pour répondre à des questions diophantiennes :pour « résoudre » complètement l’équation (1) d’inconnues x, y ∈ K, il s’agit d’élucider la structurede E(K)tors , de calculer le rang r et de trouver une base {P1 , . . . , Pr } de la partie libre de E(K).

32Introduction (en français)L’ordre du sous-groupe de torsion E(K)tors est le plus simple à évaluer. En effet, il y a une grande
variété de méthodes pour le faire : réduction modulo une place de K, une adaptation du théorèmede Lutz-Nagell, des méthodes modulaires, etc. Dans tous les cas, on dispose de bonnes bornes sur#E(K)tors . Plus précisément, Poonen a démontré l’existence d’une constante bK (qui ne dépend que
du genre de K) telle que#E(K)tors 6 bK .
C’est-à-dire que, lorsque K est fixé, les sous-groupes de torsion des courbes elliptiques définies sur K
forment une liste finie, qui est de plus effectivement calculable (voir [Poo07] ; le fait analogue pourles courbes elliptiques sur les corps de nombres est également connu grâce aux travaux de Mazur,
Momose et Merel). Cependant, le rang r et la taille des points d’ordre infini Pi restent encore bien
mystérieux.
Il devient nécessaire de spécifier ce que l’on entend par « taille d’un point sur E ». Rappelons à cet
effet que E(K) est munie d’une forme quadratique non dégénérée : la hauteur canonique de NéronTate ĥN T : E(K) → R. Dans notre contexte, ĥN T diffère de (deg xP )/2 par une quantité bornée, oùxP est la coordonnée en x d’un point P (vue comme une application rationnelle xP : C → P1 ). Nous
choisissons de normaliser ĥN T : E(K) → R de sorte qu’elle soit à valeurs dans Q. Cette construction
nous permet de mesurer la « taille » d’un point : plus sa hauteur est grande, plus le point est compliqué.
De la hauteur ĥN T , on déduit une application Z-bilinéaire h·, ·iN T : E(K) × E(K) → R, qui estégalement non dégénérée et munit E(K) d’une structure euclidienne. En outre, on peut à présent
définir le régulateur de Néron-Tate de E/K comme étant le covolume du réseau E(K)/E(K)tors dans
E(K) ⊗ R par rapport à la structure euclidienne induite par h·, ·iN T :Reg(E/K) := det [hPi , Pj iN T ]16i,j 6r ,où, comme ci-dessus, (P1 , . . . , Pr ) désigne une Z-base de la partie libre de E(K). Ce dernier modélise
la « complexité » de calculer E(K). Un argument classique de géométrie des nombres (le théorèmed’Hermite, voir [Lan83a, Theorem 4.1]) implique que, pour obtenir des majorations sur ĥ(Pi ), il suffit
de connaître une majoration de Reg(E/K) ainsi qu’une minoration de la plus petite hauteur d’unpoint d’ordre infini :noΛE/K = min ĥ(P ), P ∈ E(K) r E(K)tors .
À propos de cette dernière quantité, Lang a conjecturé (cf. [Lan83a, Conjecture 2]) l’existence d’uneconstante cK > 0 (ne dépendant que de K) telle queĥ(P ) > cK log H(E/K)(2)

pour tout point P ∈ E(K) d’ordre infini. Ainsi, on cherche à présent à majorer le régulateur Reg(E/K).
En des termes vagues, on veut quantifier (en fonction de H(E/K)) la complexité de calculer degénérateurs du groupe de Mordell-Weil de E/K. En outre, on aimerait savoir à quel point la borne
obtenue est optimale, i.e. on souhaite trouver également une minoration de Reg(E/K).
Ce problème rappelle une question classique : étant donné un corps de nombres k/Q, peut-on donnerune majoration du régulateur des unités Reg(Ok× ) = Rk en termes de son discriminant ∆k ? Ou, d’unpoint de vue plus « algorithmique », quelle est la complexité du calcul de générateurs du groupe
des unités Ok× d’un corps de nombres k ? La question diophantienne sous-jacente est de majorer lahauteur de Weil d’unités fondamentales (i.e. qui engendrent la partie libre de Ok× ) en fonction dudiscriminant ∆k .
Il s’avère que calculer seulement une « base » de la partie libre du groupe des unités Ok× n’est pas
beaucoup plus simple que d’expliciter à la fois une telle base et un ensemble de générateurs du groupedes classes C`(Ok ) de k (voir [Len92, §5]). On note hk = #C`(Ok ) le nombre de classes de k. En un
certain sens, ceci suggère que la quantité hk · Rk a un comportement plus « lisse » (vis-à-vis de ∆k )que la quantité Rk seule. De toute façon, on a hk > 1 donc toute majoration de hk · Rk se traduit
immédiatement en une majoration de Rk . Mieux encore, si l’on sait a priori que le groupe des classes
est « gros », une majoration de hk · Rk donne un meilleur contrôle de Rk ! Nous reviendrons sur cesbornes plus loin.
Les √trois graphes ci-dessous illustrent ce phénomène : on se restreint au cas des corps quadratiquesk = Q( d), ordonnés par leur discriminant fondamental d ∈ Z. En fonction de |d| 6 1000, nous avonstracé ci-dessous :√(1) le régulateur des unités Rd de Q( d) (en bleu),√(2) le nombre de classes hd de Q( d) (en rouge),
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33

Introduction (en français)(3) et leur produit hd · Rd (en violet).
70

Rd

60
50
40
30
20
10

−1000

−800

−600

−400

−200

hd

200

400

600

800

1000

200

400

600

800

1000

200

400

600

800

1000

40
30
20
10

−1000

−800

−600

−400

−200

0
70

hd Rd

60
50
40
30
20
10

−1000

−800

−600

−400

−200

Comme on le voit, le comportement de hd · Rd en fonction de |d| est plus «√régulier ». Par exemple,
lorsque d < 0 le régulateur est trivial (Rd = 1) car les seules unités de Q( d) sont des racines del’unité ; mais hd a l’air de « croître lentement » avec |d|. Au contraire, lorsque d > 0, le régulateur
semble croître assez vite, mais le nombre de classes hd reste petit (on conjecture qu’il y a une infinitéde corps quadratiques réels dont le nombre de classes est 1). Dans les deux cas cependant, le produit
hd Rd a l’air grand lorsque |d| est grand.
Rappelons que le groupe des classes C`(Ok ) peut être interprété comme une « obstruction localglobal ». En effet, celui-ci mesure le défaut de factorisation unique dans l’anneau (global) Ok des entiersde k ; mais tous les anneaux locaux Ov de k en ses places finies sont des anneaux factoriels (puisque cesont des anneaux de valuation discrète). En ce sens, #C`(Ok ) recense les classes d’équivalence d’idéauxqui sont partout localement triviaux, mais non globalement.
Revenons à présent au problème de borner le régulateur de Néron-Tate Reg(E/K) d’une courbe
elliptique E définie sur un corps de fonctions K. Inspirés par la situation décrite au paragraphe
précédent, on peut penser qu’il serait plus aisé de trouver un encadrement de Reg(E/K) si on le« couplait » à une mesure de l’« obstruction local-global » sur E. Rappelons que le groupe de TateShafarevich de E/K est défini à l’aide de la cohomologie galoisienne par!
1

X(E/K) = ker H (GK , E(K

sep

)) →

Y

1

H (Gv , E(Kvsep )).

v

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34

Introduction (en français)À propos de ce groupe, il nous suffira de savoir que X(E/K) classifie les courbes C/K munies d’une
action de E, qui deviennent isomorphes à E sur K sep mais qui ne le sont pas sur K. Ou encore,
X(E/K) classifie les espaces principaux homogènes sur E qui sont partout localement triviaux, mais
pas globalement triviaux. Ce groupe donne bien une mesure du défaut du « principe local-global » pour
E. On conjecture que X(E/K) est un groupe fini, mais ceci n’a été démontré que pour un nombre
limité de courbes elliptiques. Dans le contexte présent, la finitude du groupe de Tate-Shafarevich estéquivalente à ce que E vérifie la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (sur laquelle nous revenons
plus bas).
Nous pouvons maintenant citer une conjecture de Lang [Lan83a, Conjecture 1] selon laquelle il
devrait exister une majoration du produit #X(E/K) · Reg(E/K) en termes de la hauteur H(E/K).
Par analogie avec la situation d’un corps de nombres, Lang propose :Conjecture 1 (Lang). Si E est une courbe elliptique sur un corps de fonctions K dont le groupe deTate-Shafarevich X(E/K) est fini, alors#X(E/K) · Reg(E/K) 6 cε · H(E/K)1+ε .

∀ε > 0, ∃cε > 0 t.q.

La conjecture originale ne concerne que les courbes elliptiques définies sur Q, mais sa traduction
à notre contexte est directe. De cette conjecture et de la minoration triviale #X(E/K) > 1, on
déduirait queReg(E/K) 6 cε · H(E/K)1+ε .
(3)Toutefois, cette dernière majoration n’est pas totalement satisfaisante : elle donne une borne exponentielle sur Reg(E/K) (et, par conséquent, sur la taille des générateurs de la partie libre de E(K))
en les coefficients d’un modèle de Weierstrass de E (i.e. les « données »). En un sens, la majoration(3) signifie que le calcul du groupe de Mordell-Weil d’une courbe elliptique donnée est un problèmede complexité au plus exponentielle en les données (conditionnellement à la conjecture de Lang et lafinitude du groupe de Tate-Shafarevich).
Mais, lorsque le rang de E(K) est strictement positif, la majoration (3) est d’ordre tout à fait
différent de la minoration conjecturale (2) de la hauteur, qui impliquerait quelog H(E/K)  Reg(E/K)(4)

si le rang n’est pas trop grand, suggérant ainsi que trouver des générateurs de E(K) est un problèmede complexité polynômiale en les données. On peut donc s’interroger sur l’optimalité de la majoration
dans la Conjecture 1 de Lang. Laquelle de la majoration (3) ou de la minoration (4) est la plus prochede la réalité ? Autrement dit, calculer E(K) est-il réellement un problème exponentiellement difficile
en les coefficients de E ?

Le ratio de Brauer-Siegel
Nous nous intéressons donc au problème de savoir à quel point la majoration#X(E/K) · Reg(E/K) ε H(E/K)1+ε(5)

est optimale : on aimerait savoir quelle puissance α ∈ [0, 1+ε] de la hauteur H(E/K) devrait apparaître
dans une minoration de la forme
H(E/K)α  #X(E/K) · Reg(E/K).
Ceci a conduit Hindry et Pacheco [HP16] à introduire le ratio de Brauer-Siegel : pour toute courbe
elliptique E/K dont le groupe de Tate-Shafarevich est fini, celui-ci est défini parlog #X(E/K) · Reg(E/K).
Bs(E/K) :=log H(E/K)
Il convient de remarquer que cette définition a un sens, plus généralement, pour une variété abélienne
de dimension quelconque sur un corps de fonctions (voir [HP16, §1]), voire même pour une variété
abélienne sur un corps de nombres (voir [Hin07]). À l’aide de ce nouvel invariant, la Conjecture 1 sereformule comme suit :Conjecture 2 (Hindry). Soit K un corps de fonctions. Lorsque E parcourt la famille de toutes les
courbes elliptiques définies sur K, ordonnée par hauteur, alors
Bs(E/K) 6 1 + o(1),lorsque H(E/K) → ∞.
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35

Introduction (en français)Tâchons à présent de trouver des minorations convenables du ratio de Brauer-Siegel Bs(E/K),
i.e. de quantifier l’optimalité de la majoration (5). Une minoration « triviale » de celui-ci impliquedéjà l’existence d’une petite constante γK > 0 (ne dépendant que de K) telle que−γK + o(1) 6 Bs(E/K)(lorsque H(E/K) → ∞)pour toutes les courbes elliptiques E sur K (pour lesquelles X(E/K) est fini). Un argument plus fin
permet même de montrer que γK = 0 convient (voir [HP16, Proposition 7.6]).
Si réellement les groupes de Mordell-Weil des courbes elliptiques sont « exponentiellement difficilesà calculer », il devrait y avoir une constante αK > 0 minimale telle que
0 < αK + o(1) 6 Bs(E/K)(lorsque H(E/K) → ∞)pour toute courbe elliptique E définie sur un corps de fonctions K fixé. Plusieurs heuristiques, surlesquelles nous reviendrons, suggèrent au contraire qu’un tel αK ne saurait être strictement positif :Conjecture 3 (Hindry). Soit K un corps de fonctions. Lorsque E parcourt la famille de toutes les
courbes elliptiques définies sur K, ordonnée par hauteur, alors
0 = lim inf Bs(E/K).
À l’heure actuelle, il n’y a que 6 familles E de courbes elliptiques E définies sur K = Fq (t) pourlesquelles on sait (inconditionnellement) démontrer que le ratio de Brauer-Siegel a une limite lorsque
H(E/K) → ∞ : dans chacun de ces cas, on alim

E∈E
H(E/K)→∞

Bs(E/K) = 1.

Voir [HP16, Theorem 7.12] et nos Théorèmes 4.4.1, 5.4.1, 6.4.1, 7.4.4 et 8.4.2.
Afin d’expliquer les méthodes qui permettent d’encadrer le ratio de Brauer-Siegel des courbes elliptiques, il nous semble pertinent de revenir sur le cas des corps de nombres. En effet, la Conjecture
1 de Lang est motivée par le fait que le produit #X(E/K) · Reg(E/K) pour les courbes elliptiques(ordonnées par leur hauteur) devrait se comporter « comme » le produit #C`(Ok ) · Reg(Ok× ) pour lescorps de nombres (ordonnés par leur discriminant), voir [Lan83a, §1]. Il est donc naturel de penser
pouvoir encadrer #X(E/K) · Reg(E/K) « comme » on encadrerait #C`(Ok ) · Reg(Ok× ).
Soit k/Q un corps de nombres de degré n = [k : Q]. À nouveau, nous notons ∆k la valeur absoluede son discriminant (sur Q). Soit hk le nombre de classes de k et Rk le régulateur des unités de k.
Nous cherchons ici un encadrement de hk · Rk en termes de ∆k . Pour un tel corps de nombres k,définissons son ratio de Brauer-Siegel par
log hk · Rk√.
Bs(k/Q) :=log ∆kAvec cette notation, nous citons le théorème de Brauer-Siegel « classique » :Théorème 4 (Brauer-Siegel). Lorsque k parcourt une famille infinie K de corps de nombres dont ledegré n est fixé et avec ∆k → ∞, on alimk∈K∆k →+∞

Bs(k/Q) = 1.

La forme compacte ci-dessous (sans référence à Bs(k/Q)) est peut-être plus usuelle :plog(hk · Rk ) ∼ log ∆k(à [k : Q] fixé, ∆k → +∞).
En outre, on peut reformuler le Théorème 4 sous la forme d’une combinaison de deux inégalités sur
hk · Rk en fonction de ∆k :∀ε > 0,

1/2−ε

∆k

1/2+ε

ε hk · Rk ε ∆k.

Le théorème de Brauer-Siegel a été démontré par Siegel pour les corps quadratiques (voir [Sie35])
et par Brauer dans le cas général (voir [Bra47]). Sans rentrer dans trop de détails, rappelons commentla preuve du Théorème 4 s’articule. Celle-ci est de nature analytique et est généralement séparée entrois étapes (par ordre croissant de difficulté) :R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

36

Introduction (en français)Étape 1. On associe à k sa fonction zeta de Dedekind ζk (s) : c’est une série de Dirichlet, a priori
convergente sur le demi-plan Re(s) > 1, qui admet un prolongement méromorphe au plancomplexe C. La fonction ainsi prolongée a un pôle simple en s = 1 et le résidu de ζk (s) en
celui-ci s’écrit en termes d’invariants arithmétiques de k. Plus précisément, on a la formule
des classes de Dirichlet :ρk := lim (s − 1)ζk (s) =s→1

1
hk · Rk r1· 2 (2π)r2 · √ ,
#µk
∆k

(6)

où #µk désigne le nombre de racines de l’unité dans k et r1 (resp. r2 ) est le nombre deplongements réels (resp. complexes) de k. Lorsque le degré n de k est fixé, il est facile der1(2π)r2
montrer que le terme 2 #µ
apparaissant dans cette formule est borné. On peut alorskécrire :log ρk√+ o(1)(lorsque ∆k → ∞).
Bs(k/Q) = 1 +log ∆kPour démontrer le Théorème 4, il s’agit à présent d’encadrer le résidu ρk en fonction de∆k . Plus spécifiquement, il faut voir que∀ε > 0,ε∆−ε
k ε ρk ε ∆k .

(7)

Étape 2. Étudier la taille de ρk (en fonction de ∆k ) est équivalent à étudier le comportement deζk (s) au voisinage de son pôle s = 1 carζk (s) ∼ρks−1(s → 1).

En fait, il suffit même d’étudier x 7→ ζk (x) lorsque x 6= 1 est un réel proche de 1. La
présence (ou l’absence) de zéros de ζk (x) voisins de x = 1 a une grande influence sur la
taille de ρk . Comme x 7→ ζk (x) ne s’annule pas sur ]1, +∞[, la majoration de ρk dans (7)s’obtient facilement. On peut même montrer une version explicite et effective de celle-ci(voir [Sie69]) :n−1eρk 6 4 n−1· (log ∆k )n−1 n,ε ∆εk .
Étape 3. La dernière étape est la plus délicate : pour prouver la minoration de ρk dans (7), il fautétudier le comportement de ζk (x) lorsque x < 1 (c’est-à-dire lorsque x est dans la bande
critique de ζk (s)). Comme on l’a mentionné, si ζk (s) a un zéro proche de 1, le résidu tendà être plus petit. Si l’on suppose l’Hypothèse de Riemann Généralisée (ci-après abrégée enGRH) pour ζk (s), alors ζk (s) n’a aucun zéro dans l’intervalle ]1/2, 1[ et l’on obtient unebonne minoration de son résidu ρk . Ci-dessous, nous avons schématisé la situation : dans
un premier temps, représentons la bande critique de ζk (s) dans le plan complexe (la bande
hachurée) ainsi que la zone où les zéros de ζk (s) sont répartis (en vert). Le point rouge ens = 1 symbolise le pôle de ζk (s).

Zéros de ζk (x) en supposant GRH.

Zéros de ζk (x) sans supposer GRH.

Traçons maintenant l’allure d’une partie du graphe de x 7→ ζk (x) pour x ∈ R au voisinage
de x = 1.
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37

Introduction (en français)Comportement de ζk (x) sous GRH.

Comportement de ζk (x) sans GRH.

– Sur la figure de gauche, on suppose GRH : tous les zéros de ζk sont sur la droite critiqueRe(s) = 1/2 (la droite verte au centre de la bande critique). Lorsque x tend vers 1− ,ζk (x) tend « doucement » vers −∞ de sorte que son résidu ρk ne peut pas être « trop
petit ».
– Sur la figure de droite maintenant, on ne suppose plus GRH. La zone verte représente lesendroits où peuvent se trouver les zéros de ζk (le complémentaire de la zone verte dansla bande critique est une « zone sans zéros »). Comme on le voit, si ζk a effectivement
un zéro proche de 1 (les points verts), le graphe de ζk sur ]1/2, 1[ est bien plus « pentu »(et plus le zéro est proche de 1, plus la pente est importante). Ceci peut s’interpréter
comme un signe que ζk a un « petit » résidu.
Le point-clé de la preuve du Théorème 4 est alors de contourner l’usage de GRH en autorisant un des corps de nombres k dans la famille K à avoir un « petit » résidu ρk et envérifiant que tous les autres k 0 ∈ K ont un résidu ρk0 aussi « gros » que nécessaire, c’est-àdire ρk0 ε ∆−εk0 . Le principal inconvénient de cette approche est l’absence de contrôle surl’éventuel « contre-exemple » k : la minoration de ρk dans (7) est donc ineffective. Cependant, mentionnons que Stark a décrit les cas dans lesquels la minoration peut être rendue
effective (cf. [Sta74]).
Cette equisse de preuve est assez sommaire : le lecteur pourra consulter [Lan94, Chapter XVI] et[Hin10, Lecture 5] pour un argument plus détaillé. Remarquons, en lien avec le problème qui nous
intéresse, le fait suivant : à l’aide de l’équation fonctionnelle de ζk (s), il est possible de voir que ζk (s)s’annule en s = 0 avec multiplicité r = r1 + r2 − 1 = rang(Ok× ) et que le premier coefficient non nul
dans le développement de Taylor de ζk (s) en s = 0 est donné parζ ∗ (0) := lim s−r · ζk (s) = −s→0

hk · Rk.
#µk

Tenter de borner |ζ ∗ (0)| en fonction de ∆k pourrait donc être intéressant pour l’étude de Bs(k/Q),
mais nous ne connaissons aucune preuve du Théorème 4 qui utilise ce fait (bien que la preuve de lamajoration du théorème de Brauer-Siegel semble faisable).
Signalons que le Théorème 4 a été généralisé dans de multiples directions. Notamment par Tsfasman
et Vlăduţ [TV02] qui ont analysé en détail ce qui arrive lorsque l’on enlève (ou que l’on affaiblit) lacondition que le degré des corps k ∈ K est fixé. En imposant divers ensembles d’hypothèses sur une
famille K de corps de nombres k, ils ont montré que la limite
lim Bs(k/Q)

k∈K
∆k →∞

existe encore, mais qu’elle peut être différente de 1 ! De plus, ils donnent une expression explicite
de cette limite en termes d’invariants arithmétiques de la famille K . Nous renvoyons à leur article
pour l’étude détaillée de ces questions (voir également [Zyk05]). Notons aussi que des analogues duthéorème de Brauer-Siegel existent pour des familles de corps de fonctions K sur Fq (un corps finifixé), sous des hypothèses diverses (voir en particulier [GL78], [War12] et [Zyk15]).
Pour clore ce paragraphe, mentionnons que Tsimmerman a démontré un analogue du Théorème 4
pour les tores algébriques définis sur Q dont la dimension est fixée et dont le conducteur croît (voir[Tsi12, Theorem 1.3]). La « formule des classes » correspondante avait précédemment été exprimée
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38

Introduction (en français)par Shyr [Shy77] et la partie analytique de la preuve est très proche de celle du cas classique (voir[Tsi12, Lemma 4.1]). Le théorème de Tsimmerman est important pour l’étude des points spéciaux surles variétés de Shimura, où il est utilisé pour produire des minorations d’orbites galoisiennes (à cesujet, voir [UY15]). Retenons seulement que certains groupes algébriques de dimension fixée vérifient
un analogue (correctement formulé) du théorème de Brauer-Siegel.
Maintenant que l’on a détaillé comment se déroule l’étude du ratio de Brauer-Siegel des corps denombres, nous revenons à la situation des courbes elliptiques sur les corps de fonctions. Une idée dedépart naturelle est d’essayer d’imiter la preuve du théorème de Brauer-Siegel pour l’adapter à notre
problème. Avant de s’y lancer, nous introduisons l’outil analytique nécessaire, à savoir la fonction L.
Fixons une courbe elliptique E définie sur un corps de fonctions K. Pour toute place v de K (donton note dv le degré), on peut réduire « modulo v » une équation de E : on obtient alors une courbe
cubique plane E v , définie sur le corps résiduel Fv de K en v. Comme Fv est fini (c’est une extension
finie de Fq ), on peut compter le nombre de points Fv -rationnels sur E v : écrivons le résultat sous laforme#E v (Fv ) = #Fv + 1 − av (E) = q dv + 1 − av (E),où av (E) est un entier. Si la courbe E v est lisse, alors |av (E)| 6 2q dv /2 par le théorème de Hasse ;si E v est singulière, alors av (E) ∈ {0, −1, 1}. On combine alors ces « comptages locaux de points »(pour toute place v) en une série génératrice définie par un produit eulérien : soit
L(E/K, T ) :=Y

1 − av (E) · T dv + q dv T 2dv

v ∈B
/

−1 Y
−1
·
1 − av (E) · T dv
,

(8)

v∈B

où B désigne l’ensemble des places de K où E a mauvaise réduction (i.e. les places v pour lesquelles lacourbe E v est singulière). D’après sa définition, on voit que L(E/K, T ) ∈ Z[[T ]] est une série formelleà coefficients entiers : on l’appelle la fonction L de E/K. Des théorèmes profonds de Grothendieck et
Deligne montrent qu’en fait, L(E/K, T ) est une fraction rationnelle en T (et même un polynôme en
T si E/K n’est pas constante), dont le degré est donné explicitement en termes du conducteur de Eet qui satisfait à une équation fonctionnelle pour T 7→ (q 2 T )−1 .
La fonction s 7→ L(E/K, s) donnée par L(E/K, s) = L(E/K, q −s ) est parfois aussi appelée « fonction L de E ». Les résultats sus-cités se réécrivent comme suit pour L(E/K, s) : la série de Dirichletobtenue en remplaçant T par q −s dans (8), a priori convergente sur le demi-plan Re(s) > 3/2, peutêtre prolongée en une fonction méromorphe sur le plan complexe (voire même holomorphe si E/Kn’est pas constante) et satisfait à une équation fonctionnelle pour s 7→ 2 − s.
Un autre théorème de Deligne, d’importance majeure, assure que l’analogue de l’hypothèse deRiemann est vraie pour L(E/K, s) : les zéros (dans C) de s 7→ L(E/K, s) sont de partie réelle
Re(s) = 1. Revenant à la version T 7→ L(E/K, T ) de la fonction L, ceci se traduit par le fait que
les inverses des zéros de L(E/K, T ) sont des entiers algébriques de module q dans tout plongement
complexe. Un des avantages de travailler avec les courbes elliptiques sur les corps de fonctions est quela plupart de ces faits (prolongement analytique, équation fonctionelle et hypothèse de Riemann) sontencore largement conjecturaux pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres.
La première étape de la preuve du théorème de Brauer-Siegel classique est de relier Bs(k/Q) au
résidu de la fonction ζk (s) en s = 1 via la formule du nombre de classes. Dans le contexte des courbes
elliptiques sur les corps de fonctions, le lien analogue entre Bs(E/K) et la fonction L est donné
par la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (dorénavant abrégée en BSD), que nous présentons
maintenant. Comme on l’a dit, la fonction L(E/K, s) admet un prolongement méromorphe à C :on peut donc étudier son comportement au voisinage de s = 1 (qui est le centre de symétrie pourl’équation fonctionnelle) et définir deux quantités supplémentaires. Premièrement, le rang analytiquede E/K, noté ran (E/K), est l’ordre d’annulation de L(E/K, s) en s = 1 ou, de façon équivalente, lamultiplicité de T = q −1 comme racine de la fraction rationnelle L(E/K, T ), i.e.
ran (E/K) := ords=1 L(E/K, s) = ordT =q−1 L(E/K, T ).
Deuxièmement, on introduit la valeur spéciale de la fonction L en s = 1 : celle-ci est couramment
définie comme étant le premier coefficient non nul dans le développement de Taylor de L(E/K, s) en
s=1:
L(E/K, s) = valeur spéciale · (s − 1)ran (E/K) + o (s − 1)ran (E/K)(lorsque s → 1).
Nous préférons travailler avec une version légèrement différente de la valeur spéciale, définie commesuit : la fraction rationnelle L(E/K, T ) est à coefficients entiers et s’annule en T = q −1 avec multiplicité
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

39

Introduction (en français)ran (E/K), on pose alors L∗ (E/K, T ) = L(E/K, T )/(1 − qT )ran (E/K) et l’on définit la valeur spécialede L(E/K, T ) par :L∗ (E/K, 1) := L∗ (E/K, q −1 ) =L(E/K, T ).
(1 − qT )ran (E/K) T =q−1

Comme (1 − q 1−s ) ∼ log q · (s − 1) quand s → 1, il est facile de constater que L∗ (E/K, 1) diffère de lavaleur spéciale « usuelle » par un facteur (log q)ran (E/K) . Avec notre normalisation, la valeur spécialeL∗ (E/K, 1) a l’avantage d’être un nombre rationnel non nul.
Birch et Swinnerton-Dyer (et Tate, dans ce contexte) ont conjecturé que ran (E/K) et L∗ (E/K, 1)
ont une interprétation arithmétique frappante :Conjecture 5 (Birch - Swinnerton-Dyer). Soit E une courbe elliptique définie sur un corps de fonctions K = Fq (C), on notera gC le genre de C. Alors, le rang analytique ran (E/K) et le rang du groupede Mordell-Weil E(K) coïncident :ran (E/K) = ordT =q−1 L(E/K, T ) = rank E(K),et la valeur spéciale L∗ (E/K, 1) s’écrit :L∗ (E/K, 1) =#X(E/K) · Reg(E/K)
q 1−gC· Tam(E/K) ·,2
H(E/K)#E(K)tors(9)où Tam(E/K) est le nombre de Tamagawa de E/K.
La première assertion est parfois appelée « conjecture de BSD faible » et la seconde « conjecture de
BSD forte ». Notons que, dans (9), on suppose implicitement la finitude du groupe de Tate-Shafarevich.
Pour les courbes elliptiques sur les corps de fonctions (contrairement au cas des courbes elliptiques surles corps de nombres par exemple), cette conjecture est « presque un théorème ». Tout d’abord, lestravaux de Kato et Trihan [KT03] (complétant des résultats antérieurs de Tate [Tat66], Milne [Mil75]
et d’autres) montrent que la conjecture « complète » de BSD pour une courbe E/K est équivalente à laconjecture « faible », elle-même équivalente à la finitude du groupe de Tate-Shafarevich X(E/K) (oumême à la finitude d’une des composantes `-primaires X(E/K)[`∞ ]). En outre, la Conjecture 5 est
complètement démontrée dans beaucoup de cas. Par exemple, Milne [Mil68] a prouvé que les courbes
elliptiques isotriviales vérifient la Conjecture 5. Notons également que la conjecture de BSD a, dans leprésent contexte, un pendant « géométrique » : pour une courbe elliptique E définie sur K = Fq (C),on note π : E → C son modèle régulier minimal ; la conjecture de BSD pour E/K est équivalenteà la conjecture de Tate pour la surface E/Fq . Cette dernière conjecture est connue pour beaucoup
de surfaces (voir entre autres [Gor79], [Mil75], [Shi86], [SK79], ...) et peut être utilisée pour produirede nombreuses courbes elliptiques satisfaisant la conjecture de BSD. Certaines d’entre elles sont nonisotriviales.
Le lecteur peut à présent comparer la formule du nombre de classes de Dirichlet (6) pour un corps
de nombres et la formule conjecturale de BSD(9) pour les courbes elliptiques : toutes deux expriment
un coefficient de Taylor en s = 1 d’une série de Dirichlet en termes d’invariants arithmétiques etelles sont, au moins dans leur structure formelle, très similaires. Mettons en place un « dictionnaire »partiel pour clarifier l’analogie entre les deux situations :Corps de nombres k/Qdegré[k : Q]

Courbes elliptiques E/K
d=1

dimension

discriminant∆k

H(E/K)

hauteur

fonction zeta

ζk (s)

L(E/K, s)fonction L

hk = #C`(Ok )X(E/K)

ordre du groupe de Tate-Shafarevich

Rk = Reg(Ok× )#µk = #(Ok× )tors
r1
r2

Reg(E/K)

régulateur de Néron-Tate#E(K)tors# de points de torsion

Tam(E/K)

nombre de Tamagawa.

nombre de classes
régulateur des unités# de racines de l’unité« période »2 (2π)

Revenons à présent à l’idée émise plus haut d’imiter la preuve en trois étapes du théorème deBrauer-Siegel classique (Théorème 4) pour obtenir un encadrement du ratio de Brauer-Siegel d’une
courbe elliptique. Soit E une courbe elliptique définie sur un corps de fonctions K, supposons que
E vérifie la conjecture de BSD (comme on l’a remarqué, supposer que BSD est vraie est équivalent
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

40

Introduction (en français)à supposer la finitude du groupe de Tate-Shafarevich). Utilisons la formule (9) de BSD exprimant
la valeur spéciale L∗ (E/K, 1) de la fonction L de E pour mener à bien l’« Étape 1. » de notre
programme (la numérotation fait référence à notre esquisse de la preuve du Théorème 4) : il s’agit derelier la taille de Bs(E/K) à celle de L∗ (E/K, 1).
Pour ce faire, nous devons nous assurer que les deux termes « parasites » #E(K)tors et Tam(E/K)
dans (9) ne sont pas significatifs asymptotiquement et que l’on peut sans encombres les négliger ; dela même façon que dans le cas d’un corps de nombres k, il a fallu vérifier que #µk et 2r1 (2π)r2 sontnégligeables devant ∆k . Au tout début de cette introduction, on a déjà relevé l’existence d’une borne
uniforme pour #E(K)tors (lorsque K est fixé) :1 6 #E(K)tors 6 bK .
Notons qu’une majoration plus faible (de la forme #E(K)tors ε H(E/K)ε , pour tout ε > 0) nous
serait suffisante. Le nombre de Tamagawa Tam(E/K) peut également être majoré en termes de lahauteur : précisément, on peut démontrer que∀ ε > 0,

1 6 Tam(E/K) ε H(E/K)ε ,où la constante implicite est effective. Pour les courbes elliptiques sur les corps de fonctions, la preuven’est pas très difficile (voir notre Théorème 1.5.4) mais l’extension de celle-ci à des variétés abéliennes
de dimension plus grande est nettement plus subtile (voir [HP16, Theorem 6.5]). Une fois que ces deux
termes sont contrôlés, on a l’inégalité ci-dessous, valide pour toutes les courbes elliptiques E vérifiant
la conjecture de BSD définies sur un corps de fonctions fixé K :Bs(E/K) = 1 +log |L∗ (E/K, 1)|+ o(1)log H(E/K)(H(E/K) → ∞).

Par conséquent, pour encadrer Bs(E/K), il s’agit d’estimer la taille de la valeur spéciale en fonction
de la hauteur. Gardant à l’esprit l’analogie avec les corps de nombres, nous entreprenons d’étudier
le comportement de la fonction L de E/K au voisinage de s = 1 : ceci constituera les analogues des« Étape 2. » et « Étape 3. » de la preuve du théorème de Brauer-Siegel classique.
En premier lieu, nous expliquons comment obtenir des majorations de la valeur spéciale L∗ (E/K, 1)
en termes de la hauteur (achevant ainsi l’« Étape 2. »). Soit E une courbe elliptique sur un corps
de fonctions K ; on suppose, pour simplifier, que E n’est pas constante. Souvenons-nous qu’alors
L(E/K, T ), la fonction L de E, est un polynôme à coefficients entiers en T dont le degré bE/K est
borné par cK · log H(E/K) (où cK est une petite constante explicite) et dont les inverses des zéros
sont de valeur absolue q. Il suit de cette observation une première majoration de la valeur spéciale(dite « triviale ») :log |L∗ (E/K, 1)|  bE/K  log H(E/K),(10)
où les constantes implicites sont effectives et dépendent seulement de K. Une estimation plus finede L(E/K, s), utilisant des techniques standards d’analyse complexe (voir [HP16, Theorem 7.5]),
conduit à
log log bE/K
= o bE/K = o log H(E/K) .
(11)
log |L∗ (E/K, 1)|  bE/K ·log bE/K
Si notre courbe elliptique E/K satisfait à la conjecture de BSD, cette majoration améliorée donne queBs(E/K) 6 1 + o(1)(H(E/K) → ∞).

Ce qui termine l’« Étape 2. » de la preuve d’un analogue du théorème de Brauer-Siegel.
Il ne nous reste à présent qu’à trouver une minoration de la valeur spéciale L∗ (E/K, 1). Ce problème
est nettement plus compliqué que ce qui précède et essentiellement, encore largement ouvert. Il y aplusieurs raisons pour lesquelles l’adaptation de l’« Étape 3. » des corps de nombres aux courbes
elliptiques ne se déroule pas aussi bien que l’on pourrait le prévoir. Une de ces raisons est la différence,d’un point de vue analytique, entre la fonction L(E/K, s) associée à une courbe elliptique et la fonction
ζk (s) d’un corps de nombres k. Toutes deux sont étudiées au voisinage de s = 1 mais :– D’abord, ζk (s) a un pôle simple en s = 1, alors que L(E/K, s) a vraisemblablement un zérode grande multiplicité en s = 1. Nous mentionnons ici, qu’il y a des exemples explicites decourbes elliptiques sur Fq (t) de rang arbitrairement grand et qui satisfont à la conjecture de
BSD, voir [TŠ67] et [Ulm02]. Il est classique, en analyse complexe, que le comportement d’une
fonction méromorphe autour de l’un de ses pôles donne des informations fortes sur la taille deR. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

41

Introduction (en français)son résidu en ce pôle. Au contraire, le comportement d’une fonction méromorphe autour de l’unde ses zéros, surtout si celui-ci est d’ordre élevé, ne donne quasiment aucune minoration de ses
coefficients de Taylor en ce point.
– Ensuite, dans le cas des corps de nombres, on a vu que supposer l’hypothèse de Riemann pourζk (s) repousse les zéros de ζk (s) « loin » de son pôle en s = 1 ; on en tire une très bonne
minoration du résidu de ζk (s) en s = 1 (sous GRH). Lorsque l’on revient aux fonctions L descourbes elliptiques sur les corps de fonctions, la bande critique est cette fois 1/2 < Re(s) < 3/2
et l’hypothèse de Riemann a été démontrée par Deligne : tous les zéros de L(E/K, s) sont departie réelle Re(s) = 1 (et sont distribués symétriquement par rapport à l’axe réel). Or, nous
souhaitons précisément étudier L(E/K, s) autour de s = 1, en plein milieu de la bande critique !
Il y a donc des zéros de L(E/K, s) qui sont proches de 1 ! Le lecteur peut comparer les deux
figures ci-dessous : à nouveau, les points verts symbolisent les positions possibles de zéros deζk (s) ou L(E/K, s) dans la bande critique et la bulle bleue centrée en s = 1 représente une« région sans zéros ».

Zéros de ζk (s) (sous GRH).

Zéros de L(E/K, s) (sous GRH).

La bulle bleue de ζk (s) est presque indépendante de k ; mais lorsque la hauteur de E/K croît, labulle de L(E/K, s) devient de plus en plus petite. Sans compter la possibilité qu’un « paquet » dezéros « s’accumule » en bordure de la bulle bleue. Ce phénomène est l’obstacle majeur à trouver
des minorations non triviales de L∗ (E/K, 1). La présence potentielle de petits zéros peut êtreconsidérée comme un premier indice vague que le ratio de Brauer-Siegel des courbes elliptiques
ne peut pas toujours être « gros » (i.e. il pourrait être beaucoup plus petit que 1).
Avant de passer en revue les résultats connus concernant le ratio de Brauer-Siegel, nous mentionnons
une situation étroitement liée à la précédente (on pourrait parler du « cas vertical »). Spécifiquement,
on fixe une courbe elliptique E définie sur un corps de fonctions K0 et on considère une tour de corps
de fonctions K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Ki ⊂ . . . (correspondant à une suite de revêtements de courbes
C0 ← C1 ← C2 ← · · · ← Ci ← . . . ). On pourrait s’intéresser à encadrer la « croissance » des groupesde Mordell-Weil successifs :E(K0 ) ⊂ E(K1 ) ⊂ E(K2 ) ⊂ · · · ⊂ E(Ki ) ⊂ . . .

(i → ∞).

Dans cette optique, lorsque E est une courbe elliptique constante sur K0 , Kunyavskiı̆ et Tsfasman ont
démontré (voir [KT08, Theorem 2.1]) :Théorème 6 (Kunyavskiı̆ - Tsfasman). Soit {Ki }i∈N une tour de corps de fonctions : Ki = Fp (Ci ) est
le corps des fonctions d’une courbe Ci et le genre g(Ci ) tend vers +∞ (lorsque i → ∞). Soit E0 une
courbe elliptique constante définie sur K0 = Fp (C0 ). Pour tout i ∈ N, on désigne par Ei = E0 ×K0 Ki
le changement de base de E0 à Ki . Alors



∞
X
log #X(Ei /Ki ) · Reg(Ei /Ki )#E0 (Fpm )lim=1−βm · logp,
i→∞
log p · g(Ci )pm
m=1
où βm = limi→∞ #Ci (Fpm )/g(Ci ) (quitte à extraire une sous-tour de {Ki }i∈N , on peut toujours supposer que ces limites existent).
Malheureusement, il semble y avoir un problème dans leur preuve (voir [KT10]). Noter que laquantité log #X(Ei /Ki ) · Reg(Ei /Ki ) /(log p · g(Ci )) dont il s’agit de trouver la limite est très liéeR. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

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Introduction (en français)au ratio de Brauer-Siegel Bs(Ei /Ki ) : dans le cas où le corps de fonctions Ki a un genre g(Ci ) → ∞, laprincipale contribution à log H(Ei /Ki ) est log p · g(Ci ). Nous n’irons pas plus loin dans cette direction,
mais mentionnons que l’on s’attend à ce que le comportement de Bs(Ei /Ki ) soit radicalement différent
du comportement de Bs(E/K) lorsque K est fixé et que E varie. La lectrice peut consulter l’article
de Zykin [Zyk15] présentant un cadre unifié, qui pourrait être utilisé pour étudier les conjectures« horizontales » et « verticales » sur un pied d’égalité.

Résultats et questions antérieurs
L’introduction du ratio de Brauer-Siegel pour les courbes elliptiques est relativement récente (voir[HP16]). Cependant, il y a déjà quelques résultats importants à son propos, que nous allons maintenant
expliquer. Noter que les résultats de [HP16] sont énoncés, dans une plus grande généralité, pour lesvariétés abéliennes de dimension quelconque : nous ne les énoncerons que pour les courbes elliptiques.
Soit K = Fq (C) un corps de fonctions sur un corps fini Fq . Nous noterons E``/K la famille de toutes les
courbes elliptiques définies sur K (ordonnée par la hauteur). Comme on l’a expliqué ci-avant, Hindry
a conjecturé que(E ∈ E``/K , H(E/K) → ∞)0 + o(1) 6 Bs(E/K) 6 1 + o(1)pour toutes les courbes elliptiques dont le groupe de Tate-Shafarevich est fini (Conjecture 2). Cette
conjecture est à présent démontrée (comme un cas particulier de [HP16, Corollary 1.13]) :Théorème 7 (Hindry-Pacheco). Fixons un corps de fonctions K = Fq (C). Soit E``/K la famille detoutes les courbes elliptiques sur K. On suppose que X(E/K) est fini pour toute E ∈ E``/K . Alors0 6 lim inf Bs(E/K) 6 lim sup Bs(E/K) 6 1.
E∈E``/K(12)E∈E``/K

Nous remarquons à nouveau que l’hypothèse de finitude du groupe de Tate-Shafarevich X(E/K)équivaut à supposer que E/K satisfait à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (voir [KT03]). La
majoration dans (12) est démontrée par des méthodes analytiques selon les grandes lignes que l’on aesquissées dans la section précédente : elle suit d’une majoration de la valeur spéciale L∗ (E/K, 1) dela fonction L associée à E/K (voir [HP16, Theorem 7.5]). La preuve de la minoration dans (12) est
plus délicate :– En employant les méthodes analytiques, on n’obtient qu’une minoration « faible ». Dans le cas
des courbes elliptiques, Hindry et Pacheco (voir [HP16, Lemma 7.1]) montrent que, si le groupede Tate-Shafarevich est fini, on a
−5 6

lim inf

E∈E``/K
H(E/K)→∞

Bs(E/K).

– Un habile argument diophantien permet en fait de démontrer une minoration de Reg(E/K)(voir [HP16, Proposition 7.6]) qui implique que
06

lim inf

E∈E``/K
H(E/K)→∞

Bs(E/K).

Sous cette dernière forme, la minoration est conditionnelle à la finitude de X(E/K) (car ladéfinition de Bs(E/K) l’est), mais il s’agit bien d’une minoration inconditionnelle de Reg(E/K)
en termes de la hauteur H(E/K).
En d’autres termes, le Théorème 7 démontre la Conjecture 2 (conditionnellement à la finitude desgroupes de Tate-Shafarevich). En outre, Hindry et Pacheco explicitent un exemple inconditionnel pourlequel la majoration dans (12) est atteinte (voir [HP16, Theorem 7.12]).
Théorème 8 (Hindry-Pacheco). Soit Fq un corps fini de caractéristique p > 5 et K = Fq (t). Pour
tout entier d > 2 premier à p, soit Ed la courbe elliptique définie sur K donnée en coordonnées affinesparEd :Y 2 + XY = X 3 − td .
Le groupe de Tate-Shafarevich X(Ed /K) est fini (donc Ed /K satisfait la conjecture de Birch et
Swinnerton-Dyer). De plus, lorsque d → ∞, le ratio de Brauer-Siegel Bs(Ed /K) a une limite etlimpgcd(d,q)=1d→∞

R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

Bs(Ed /K) = 1.

43

Introduction (en français)C’est-à-dire que l’on adlog #X(E/K) · Reg(Ed /K) ∼ log H(Ed /K) ∼ log q ·6(d → ∞).

Les courbes Ed /K ont été amplement étudiées par Ulmer (dans [Ulm02]) qui a démontré qu’elles
satisfont à la conjecture de BSD (voir [Ulm02, Proposition 6.4]) et que le rang de Ed (K) peut êtrearbitrairement grand lorsque d → ∞ ([Ulm02, Theorem 1.5]). Avec cet exemple, on peut reformuler
le Théorème 7 lorsque K = Fq (t) sous la forme :0 6 lim inf Bs(E/K) 6 lim sup Bs(E/K) = 1,E∈E``/KE∈E``/Koù E``/K désigne encore la famille de toutes les courbes elliptiques sur K.
Constatons que le Théorème 7 ne donne pas pour autant une réponse définitive quant à la Conjecture 3 : on ne déduit pas de (12) que le ratio de Brauer-Siegel peut effectivement être petit (i.e. prochede 0). On pourrait être tenté de prédire que les courbes elliptiques sur un corps de fonctions vérifient
un analogue complet du théorème de Brauer-Siegel classique (Théorème 4) ; ce que l’on pourrait écrirelim

E∈E``/K
H(E/K)→∞

Bs(E/K) = 1,

( ?)i.e. la « lim inf » et la « lim sup » dans (12) coïncident. À l’heure actuelle, il est loin d’être clair quel’on peut s’attendre à ce que cette égalité soit vraie en général ou si, au contraire, la Conjecture 3 est
vraie. Toutefois, plusieurs heuristiques ont été récemment avancées qui suggèrent que la Conjecture 3
est plus proche de la vérité (comparer [Hin07, Conjecture 5.5] et [HP16, §7.5, §7.6]). En particulier,Hindry et Pacheco prédisent que le comportement du ratio de Brauer-Siegel dans les familles de tordues
quadratiques d’une courbe elliptique donnée est différent du comportement « générique ». Résumonscelles-ci dans le cas plus concret où K = Fq (t). Soit E/K une courbe elliptique.
1. Comme on l’a déjà mentionné, la présence de zéros de la fonction L(E/K, s) proches de s = 1 a
une influence sur la taille de la valeur spéciale L∗ (E/K, 1) et donc sur la taille de Bs(E/K) (cepoint est discuté en détail dans [HP16, §7.3]). En des termes vagues, si L(E/K, s) a un zéro trèsproche de 1 (ou si L(E/K, s) a un paquet de zéros proches de 1) alors on peut s’attendre à ceque L∗ (E/K, 1) soit très petite. Au contraire, si les zéros de L(E/K, s) sont suffisamment « bienespacés », il semble raisonnable de penser que L∗ (E/K, 1) n’est pas trop petite.
Ces attentes vagues sont quantifiées dans [HP16, Lemma 7.7] : les auteurs isolent la contribution
des « petits zéros » à la taille de L∗ (E/K, 1). Ceci sugère d’étudier la distribution des zéros deL(E/K, s) sur la droite Re(s) = 1. À ce propos, Michel a démontré (voir [Mic99]) que les zérosde L(E/K, s) sont « bien distribués » pour « la plupart » des courbes elliptiques E/K. Par suite,
pour « la plupart » des courbes elliptiques, le ratio de Brauer-Siegel devrait être relativement gros(i.e. assez loin de 0). Pour autant, ceci n’exclut pas la possibilité qu’il existe une famille infinie decourbes elliptiques sur K dont les fonctions L ont des zéros « mal distribués » et donc un ratio deBrauer-Siegel plus petit.
2. Si E/K n’est pas constante, pour tout polynôme D ∈ Fq [t] sans facteurs carrés, on peut considérer
la tordue quadratique E (D) /K de E par D. En supposant la conjecture de Birch et SwinnertonDyer, un analogue du théorème de Waldspurger relie la valeur L(E/K, 1) de L(E/K, s) en s = 1
avec le D-ième coefficient de Fourier cE (D) d’une certaine forme modulaire de poids 3/2 (notons
la gE ).
Lorsque le rang de E (D) est nul, on a L(E/K, 1) = L∗ (E/K, 1) et la majoration de Bs(E (D) /K) suitde la conjecture de Ramanujan pour les coefficients de Fourier de gE (cette conjecture est démontréedans ce cas) : on a |cE (D)| ε (q deg D )1/4+ε . Mais, si il existe une minoration Bs(E (D) /K) par
une quantité strictement positive, celle-ci impliquerait que les coefficients de Fourier cE (D) non
nuls sont « repoussés loin de 0 ». Ce qui semble improbable car l’on s’attend plutôt à ce que lescoefficients de Fourier d’une forme modulaire soient équirépartis dans l’intervalle dans lequel ils se
trouvent (i.e. à ce qu’ils satisfassent une sorte de « loi de Sato-Tate »).
3. Si maintenant E/K est constante, on peut fixer une courbe elliptique E0 sur Fq telle que E = E0 ×Fq
K. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a été, dans ce cas, démontrée par Milne (voir [Mil68,
Theorem 3]) à la fois pour E et pour ses tordues quadratiques E (D) par des polynômes D ∈ Fq [t]sans facteurs carrés. Écrivons aE := q +1−#E0 (Fq ) ∈ Z, on désigne par FD (T ) le numérateur de lafonction zeta de la courbe hyperelliptique CD : y 2 = D(x) et par gD := g(CD ) = b(deg D − 1)/2c le
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44

Introduction (en français)genre de CD . Milne a donné une expression de la valeur spéciale L∗ (E (D) /K, 1) en fonction de FD (T )et aE . Un calcul rapide conduit à l’expression ci-dessous du ratio de Brauer-Siegel Bs(E (D) /K)(cf.[HP16, Proposition 7.16]) :Bs(E (D) /K) =2 log |G∗D (aE )|+ o(1)
gD · log q(deg D → ∞),∗où G∗D (T ) ∈ Z[T ] peut être explicitement calculé∗à partir de FD (T ). En outre, on a GD (aE ) 6= 0,∗
deg GD = gD − o gD et toutes les racines de GD (T ) sont réelles et se trouvent dans l’intervalle√ √[−2 q, 2 q]. Si E0 parcourt l’ensemble de toutes les courbes elliptiques définies sur Fq , l’entier aE√√
prend presque toutes les valeurs entières entre −2 q et 2 q (voir [WM71]). Lorsque deg D devient√ √grand, G∗D (T ) a de plus en plus de racines dans l’intervalle [−2 q, 2 q] où se trouve aE : il semble
alors raisonnable que |G∗D (aE )| ∈ N∗ peut être « très petit » devant gD .
√ √Il convient de noter la construction « inverse » : étant donné un entier a ∈ [−2 q, 2 q], il est facile∗de construire une suite de polynômes Hn (T ) ∈ Z[T ] (n ∈ N ) de degrés croissants avec les propriétés√ √suivantes : toutes les racines de Hn (T ) sont réelles et se trouvent dans l’intervalle [−2 q, 2 q],
Hn (T ) ne s’annule pas en a et log |Hn (a)|/ deg Hn est arbitrairement petit. Cependant, nous nesavons pas démontrer que de tels polynômes Hn (T ) sont effectivement des « polynômes G∗D (T ) »associés, comme ci-dessus, aux numérateurs des fonctions zeta des courbes hyperelliptiques CD .

Il va sans dire que la découverte d’une famille explicite de courbes elliptiques E/Fq (t) dont le ratiode Brauer-Siegel a une limite α < 1 (même conditionnellement à la conjecture de BSD) constituerait
une avancée majeure. De même qu’une preuve que le ratio de Brauer-Siegel, au contraire, tend toujours
vers 1 (ce qui mettrait en défaut la Conjecture 3). Peut-être qu’une étude du ratio de Brauer-Siegel« en moyenne » permettrait de donner une idée du comportement typique de Bs(E/K) ; sauf s’il y atellement peu de courbes elliptiques dont le ratio de Brauer-Siegel est petit, que leur présence ne peutêtre détectée par une majoration en moyenne trop grossière.
Comme on le constate, cette question et ses variantes sont loin d’être résolues et nous entendons
continuer à explorer ce cercle de problèmes.

Résultats nouveaux
Nous présentons maintenant notre contribution à l’étude du ratio de Brauer-Siegel. Nous avons
séparé cette section en trois parties. La première contient notre théorème principal, lié au ratio deBrauer-Siegel. La seconde partie expose des résultats auxiliaires importants, utilisés dans la preuve
mais dont l’intérêt dépasse sûrement la présente étude. Dans la troisième partie, nous passons en revue
deux autres résultats, que l’on n’a pas inclus dans ce manuscrit.

Théorème principal
Soit Fq un corps fini de caractéristique p > 5. On note K = Fq (t) le corps des fractions rationnelles
sur Fq . Considérons l’une des cinq familles de courbes elliptiques sur K ci-dessous :(E1 ) pour tout entier d ∈ N∗ premier à q, soit Ed /K la courbe elliptique donnée par l’équation affine
Y 2 = X(X + 1)(X + td ).

Ed :

(13)

On appellera Ed une « courbe de Legendre » car tous ses points de 2-torsion sont K-rationnels.
Elle a déjà été amplement étudiée par Ulmer, Conceição et Hall (voir [Ulm14a], [CHU14] et[Ulm14b]).
(E2 ) pour tout entier d ∈ N∗ premier à q, soit Hd /K la courbe elliptique d’équation affine
Hd :Y 2 + 3td XY + Y = X 3 .

(14)

Hd sera appelée « courbe Hessienne » car elle est munie d’un point K-rationnel de 3-torsion.
(E3 ) pour tout entier d ∈ N∗ premier à q, soit Ed /K la courbe donnée en coordonnées affines parEd :Y 2 + XY + td Y = X 3 + td X 2 .

(15)

Cette courbe Ed dispose d’un point K-rationnel de 4-torsion (et a également été étudiée par
Ulmer dans [Ulm13]).
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45

Introduction (en français)(E4 ) pour tout entier d ∈ N∗ premier à q, soit Ed /K la courbe elliptique dont un modèle affine est
Ed :Y 2 + XY − td Y = X 3 .

(16)

Mentionnons à propos de Ed les travaux de Davis et Occhipinti (voir [DO14]), les auteurs yproduisent des points rationnels explicites sur Ed pour certaines valeurs de d.
(E5 ) pour tout entier d ∈ N∗ premier à q, soit B1/2,d /K la courbe donnée en coordonnées affines parB1/2,d :Y 2 + 2td XY − 4t2d Y = X 3 − 6td X 2 + 8t2d X.

(17)

Cette courbe elliptique est mentionnée par Berger dans [Ber08, §4.3, Example 6].
Dans cette thèse, nous montrons que le ratio de Brauer-Siegel des courbes elliptiques E/K prises
dans l’une des familles ci-dessus admet une limite et que celle-ci vaut 1 (inconditionnellement). Nousconsignons ces résultats en un théorème :Théorème 9. Soit Ei (i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}) l’une des familles de courbes elliptiques ci-dessus.
• Pour toute courbe elliptique E ∈ Ei , la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vraie pour E/K.
En particulier, X(E/K) est fini et le ratio de Brauer-Siegel Bs(E/K) également.
• Lorsque H(E/K) → +∞ avec E ∈ Ei , on aBs(E/K) −−−−−−−−→ 1.
E∈Ei
H(E/K)→∞

En d’autres termes, pour tout ε > 0, il existe des constantes telles que∀E ∈ Ei ,H(E/K)1−ε ε #X(E/K) · Reg(E/K) ε H(E/K)1+ε .

Ou encore, lorsque E ∈ Ei , on alog #X(E/K) · Reg(E/K) ∼ log H(E/K)

quand H(E/K) → ∞.

Comme on peut le constater, chaque famille Ei ci-dessus est naturellement indexée par les entiersd ∈ N∗ (premiers à q) et on montre qu’il existe une constante ci (donnée ci-dessous) telle que, pour
toute courbe Ed dans la i-ième famille Ei , on a

log q
·d
log #X(Ed /K) · Reg(Ed /K) ∼ log H(Ed /K) ∼ciquand d → +∞.

Avec
c1 = 2,c2 = 1,c3 = 2,c4 = 3,c5 = 2.

Ce théorème est une combinaison des Théorème 4.4.1, Théorème 5.4.1, Théorème 6.4.1, Théorème
7.4.4 et Théorème 8.4.2.
Les 5 familles de courbes elliptiques définies ci-dessus s’ajoutent donc à l’exemple de [HP16, Theorem 7.12] pour former un total de six familles de courbes elliptiques (définies sur Fq (t)) pour lesquelles
on sait inconditionnellement montrer que le ratio de Brauer-Siegel a une limite. Dans les six cas, cettelimite vaut 1 (on dira que ces familles vérifient un analogue complet du théorème de Brauer-Siegel).
Nous espérons qu’à la lecture des preuves, le lecteur sera convaincu que notre méthode permettraitd’étudier le ratio de Brauer-Siegel de plusieurs autres familles.
Le Théorème 9 pourrait être vu comme autant d’indices suggérant que, dans le Théorème 7, la« lim inf » et la « lim sup » coïncident et sont toujours égales à 1. Nous préférons cependant penser
que les courbes elliptiques que l’on étudie font partie de la majorité (conjecturale) pour lesquelles un
analogue complet du théorème de Brauer-Siegel est vrai. Peut-être donne-t-il plus d’indications quantaux familles à ne pas étudier si l’on cherche des courbes elliptiques avec un ratio de Brauer-Siegel« petit » (conjecturalement, une famille « fine » parmi toutes les courbes elliptiques).
Comme on l’a expliqué ci-avant, pour qu’une courbe elliptique E/K ait un « gros » ratio deBrauer-Siegel (c’est-à-dire un ratio de Brauer-Siegel proche de 1), il est nécessaire que les zéros de sa
fonction L soient suffisamment « bien distribués ». En d’autres termes, la partie centrale de la preuve
est l’obtention d’une minoration de Bs(E/K) : nous montrons à cet effet que les valeurs spéciales
L∗ (E/K, 1) des courbes elliptiques E ∈ Ei ne deviennent jamais trop petites. L’étude directe de ladistribution des zéros de L(E/K, T ) est, en général, très délicate. Nous avons donc préféré suivre une
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46

Introduction (en français)approche « p-adique », que nous esquissons rapidement. Supposons avoir exprimé la valeur spécialeL∗ (E/K, 1) = L∗E d’une courbe elliptique E/K sous la forme d’un produit

Y 
ωm
∗
LE =
1 − um ,qm∈M∗où les ωm sont certains entiers algébriques de valeur absolue q, um ∈ N et m parcourt un ensemble
d’indices M vérifiant #M = o log H(E/K) . Nous démontrons une minoration de tels produits L∗E
en formalisant l’idée suivante. Par construction, le produit L∗E est un élément non nul de Z[q −1 ] : entant que tel, il peut s’écrire(entier)
,
(18)
L∗E =
q WE

pour un certain exposant WE ∈ N. Pour donner une minoration de log |L∗E | en termes de H(E/K), il
s’agit de majorer le plus finement possible l’exposant WE du dénominateur. Comme les ωm sont desentiers algébriques, multiplier le facteur (1P− ωm /q um ) par q um produit un entier algébrique dont laPnorme est un entier. Par suite, le produit q um · L∗E est un entier : on voit donc que 0 6 WE 6 um .
À présent, imaginons que certains ωm soient « très divisibles » par q. Nul besoin alors de multiplier(1 − ωm /q um ) par q um pour obtenir un entier algébrique : une plus petite puissance de q y suffit.
L’exposant WE du dénominateur de L∗E peut ainsi être diminué d’autant. En prenant en compte ces« simplifications » dans les facteurs de L∗E , nous parvenons à démontrer que WE = o log H(E/K)
pour les cinq familles Ei . Ce qui est suffisant pour déduire quelog |L∗E | > −o log H(E/K) .

Résultats auxiliaires
Afin de démontrer le Théorème 9 ci-dessus, nous aurons besoin d’un certain nombre de résultats intermédiaires. L’intérêt de ceux-ci dépasse sûrement la simple étude du ratio de Brauer-Siegel.
Résumons les théorèmes nouveaux les plus significatifs démontrés dans cette thèse.
Soit Fq un corps fini de caractéristique impaire. Pour tout b ∈ Fq r {1, −1} et tout caractère non×trivial χ : F×q → Q , définissons une somme de Legendre par
Sq (χ; b) := −Xχ(x) · µ x2 + 2b · x + 1 ,x∈Fq×où µ : F×q → {±1} est l’unique caractère non trivial d’ordre 2 sur Fq . Ces sommes ont été introduites
par Evans dans [Eva86] mais il semble y avoir très peu de résultats à leur propos dans la littérature.
Pour calculer les fonctions L de certaines courbes elliptiques, nous avions besoin de savoir que lessommes de Legendre vérifient une « relation de Hasse-Davenport » et l’« hypothèse de Riemann ». Ce
que nous avons démontré. Pour énoncer le théorème obtenu, rappelons la construction suivante : pour×(n)tout caractère non trivial χ : F×q → Q et toute extension finie Fq n /Fq , on définit un caractère χ×
sur Fqn par∀x ∈ F×
χ(n) (x) = χ ◦ NFqn /Fq (x),qn ,×
où NFqn /Fq : F×
q n → Fq désigne la norme.
×

Théorème 10. Soit b ∈ Fq r {−1, 1} et un caractère non trivial χ : F×q → Q . Il existe deux entiers
algébriques αb (χ) et βb (χ) (qui ne dépendent que de b et de χ) tels que• Sq (χ, b) = αb (χ) + βb (χ) et αb (χ) · βb (χ) = q,
• Pour toute extension Fqn /Fq , Sqn (χ(n) , b) = αb (χ)n + βb (χ)n (« relation de Hasse-Davenport »),√• Dans tout plongement complexe, αb (χ) et βb (χ) sont de module q (« hypothèse de Riemann »).
Voir le Théorème 2.2.21 et le Corollaire 2.3.5. Notons que, pour b ∈ Fq r{−1, 1} donné, les sommesde Legendre apparaissent naturellement dans la fonction zeta de la courbe hyperelliptique D, définie
sur Fq par l’équation affine :D:

y 2 = x2(q−1) + 2b · xq−1 + 1.

La lectrice trouvera plus de détails sur ce point au Théorème 2.3.4.
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47

Introduction (en français)Comme on l’a mentionné à plusieurs reprises dans cette introduction, le ratio de Brauer-Siegel est
intimement lié aux valeurs spéciales des fonctions L. Pour expliciter la limite du ratio de BrauerSiegel des familles énumérées dans le Théorème 9, nous avons calculé explicitement les fonctions L
correspondantes. Avant d’énoncer les résultats de ces calculs, mettons en place quelques notations.
Soit Fq un corps fini de caractéristique impaire p et d > 2 un entier premier à q. Il y a une action
naturelle de q sur Z/dZr{0} par multiplication : on note Oq0 (d) = (Z/dZr{0}) hq mod di l’ensemble
des orbites.
Une fois pour toutes, fixons un idéal premier P de Z au-dessus de p : la réduction modulo P
×induit un isomorphisme entre le groupe µ0p ⊂ Q des racines de l’unité d’ordre premier à p et×××

le groupe multiplicatif Fq . Soit alors t : Fq ' (Z/P)× → µ0p ⊂ Q l’inverse de cet isomorphisme(t est appelé le caractère de Teichmüller). On notera également t la restriction du caractère de
Teichmüller à tout sous-corps de Fq . À chaque entier d > 2 premier à q, on associe un ensemble
×(indexé par a ∈ J1, d − 1K ou Z/dZr{0}) de caractères ta : F×
→ Q définis sur diverses exq u(a)tensions finies Fqu(a) de Fq , et dont l’ordre divise d. Plus précisément, pour tout a ∈ J1, d − 1K, soit
u(a) = min n ∈ N∗ q n a ≡ a mod d = ord× q mod (d/ pgcd(d, a)) etta : x ∈ F×
7→ t(x)(qq u(a)u(a)−1)a/d×∈Q .

Dans les résultats ci-dessous, le lecteur intéressé uniquement par le cas où d | q − 1 peut remplacer« m ∈ Oq0 (d) » par « a = m ∈ J1, d − 1K », u(a) par 1 pour tout a ∈ J1, d − 1K, et ta par les puissances×χa d’un caractère fixé χ : F×q → Q d’ordre exactement d.
À l’aide de ces caractères, nous avons calculé explicitement les fonctions L des courbes elliptiquesdes familles Ei définies ci-dessus. Pour les cinq prochains théorèmes, on fixe un corps fini Fq decaractéristique p > 5 et on note K = Fq (t).
Premièrement, nous obtenons les fonctions L des « courbes Hessiennes » de la famille E2 (voir
Théorème 5.2.1).
Théorème 11. Pour tout entier d > 2 premier à q, soit Hd la « courbe elliptique Hessienne » définie
sur K par l’équation (14). La fonction L de Hd /K s’écrit sous la forme :YL Hd /K, T =1 − Jm · T u(m)(3)

m∈Oq (3d)(3)

où Oq (3d) désigne l’ensemble d’orbites de Z/3dZ r {0, d, 2d} sous l’action de q par multiplication et,(3)pour toute orbite m ∈ Oq (3d), Jm désigne la somme
X
Jm = ta (27) · jqu(a) (ta , ta , ta ) = ta (27) ·ta (x)ta (y)ta (z),x,y,z∈Fqu(a)x+y+z=1

pour tout choix de représentant a ∈ Z/dZ de l’orbite m (à une racine de l’unité près, Jm est une
somme de Jacobi). Noter que les caractères ta utilisés ici sont ceux que l’on associe à 3d et non à d.
Avec des techniques très similaires à celles de [CHU14, §3], nous calculons également les fonctions
L des courbes de la famille E3 , qui ont un point de 4-torsion (voir Théorème 6.2.1).
Théorème 12. Pour tout entier d > 2 premier à q, soit Ed la courbe elliptique définie sur K parl’équation (15). La fonction L de Ed /K s’écrit sous la forme :Y
2
L(Ed /K, T ) =(1 − J0m · T u(m) )(2)m∈Oq (d)(2)

où Oq (d) désigne l’ensemble des orbites de Z/dZ r {0, (d/2)} sous l’action de q par multiplication(2)(on retire l’orbite {d/2} si d est pair) et, pour toute orbite m ∈ Oq (d), J0m est la somme de Jacobi
X
J0m = jqu(a) (ta , ta ) = −ta (x)ta (y),x,y,z∈Fqu(a)x+y=1pour tout choix de représentant a ∈ Z/dZ de m.
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48

Introduction (en français)Ensuite, pour la famille E4 de courbes elliptiques étudiée au Chapitre 7, nous obtenons le théorème
ci-dessous (voir Théorème 7.2.1).
Théorème 13. Pour tout entier d > 2 premier à q, soit Ed la courbe elliptique définie sur K parl’équation (16). La fonction L de Ed /KY 1 − Jm · T u(m) .
L Ed /K, T =(3)m∈Oq (d)(3)

où Oq (d) désigne l’ensemble des orbites de Z/dZ r {0, (d/3, 2d/3)} sous l’action de q par multipli(3)cation (on retire les orbites {d/3} et {2d/3} si 3 | d) et, pour toute orbite m ∈ Oq (d), Jm est une
somme de Jacobi « de dimension 2 » :X
Jm = jqu(a) (ta , ta , ta ) =ta (x)ta (y)ta (z),x,y,z∈Fqu(a)x+y+z=1

pour tout choix de représentant a ∈ Z/dZ de m.
Enfin, en ce qui concerne la famille E5 (empruntée à [Ber08, §4.3, Example 6]), nous obtenons
dans un premier temps une expression un peu plus générale que nécessaire pour la fonction L (voir
Théorème 8.2.1) :Théorème 14. Soit a ∈ Fq r {0, 1} et d > 2 un entier premier à q. On considère Ba,d la courbe
elliptique définie sur K = Fq (t) en coordonnées affines par
Ba,d :

Y 2 + td XY − at2d Y = X 3 − (a + 1)td X 2 + at2d X.

La fonction L de Ba,d /K s’écrit :L Ba,d /K, T = (1 − qT ) ·



Y

(19)


2
1 − J0m · Sm · T u(m) + J0m · q u(m) · T 2u(m) ,(2)m∈Oq (d)(2)

où, comme ci-avant, Oq (d) est l’ensemble des orbites de Z/dZ r {0, (d/2)} sous l’action de q par(2)
multiplication (on retire l’orbite {d/2} si d est pair) et, pour toute orbite m ∈ Oq (d) et tout choix
0de représentant i ∈ Z/dZ de m, Jm est (à une racine de l’unité près) une somme de Jacobi :X
J0m = ti (−1) · jqu(i) (ti , ti ) = −ti (−1) ·ti (x)ti (y),x,y∈Fqu(i)x+y=1

et Sm est une somme de Legendre :Sm := Squ(i) (ti ; 1 − 2a) = −Xti (x) · µ x2 + 2(1 − 2a) · x + 1 .

x∈Fqu(i)Dans un second temps, on spécialise le théorème ci-dessus au cas où a = 1/2 ∈ Fq et d est impair :l’expression de la fonction L(B1/2,d /K, T ) dans le théorème ci-dessus se simplifie quelque peu et donne(voir Théorème 8.3.2) :Théorème 15. Soit d > 2 un entier impair et premier à q. Soit B1/2,d la courbe elliptique définie
sur K = Fq (t) par l’équation (17) :B1/2,d :Y 2 + 2td XY − 4t2d Y = X 3 − 6td X 2 + 8t2d X.

Alors la fonction L de B1/2,d /K s’écrit sous la forme :YL B1/2,d /K, T = (1 − qT ) ·
1 − J0n · T u(n) ,(2)n∈Oq (2d)(2)

où Oq (2d) est l’ensemble des orbites de Z/2dZ r {0, d} sous l’action de q par multiplication et, pour(2)
toute orbite n ∈ Oq (2d) et tout choix de représentant i ∈ Z/2dZ de n, J0n est (à une racine de l’unitéprès) une somme de Jacobi « de dimension 2 » :Xti (x)ti (y)ti (z)2 .
J0n := ti (−4) · jqu(i) (ti , ti , t2i ) = ti (−4) ·x,y,z∈Fqu(i)x+y+z=1

Noter qu’ici les caractères ti (i ∈ J1, 2d − 1K) sont ceux que l’on associe à 2d (et non à d).
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

49

Introduction (en français)Nous espérons que ces calculs peuvent être utiles à d’autres fins. C’est pourquoi nous avons essayéde garder les hypothèses aussi faibles que possible : nous supposons uniquement que d est premier àq, là où beaucoup d’auteurs se placent dans le cas où d | q − 1. Mous mentionnons ici que nous avonségalement prouvé un résultat de « rang non borné » concernant les courbes Ba,d de la famille E5 (voirCorollaire 8.3.13) :Théorème 16. Dans la famille des courbes elliptiques Ba,d /K définies par (17) (avec d > 2 parcourant les entiers premiers à q et a ∈ Fq r {0, 1}), le rang ra,d = rang Ba,d (K) n’est pas borné :lim sup rang Ba,d (K) = lim sup rang B1/2,d (K) = +∞.
pgcd(d,q)=1a∈Fq r{0,1}pgcd(d,q)=1Comme il est noté dans [Ber08, §4.3, Example 6], ce résultat sur le rang de Ba,d (K) n’est pas une
conséquence du théorème général de Ulmer [Ulm07, Theorem 4.7].
Le résultat central qui sous-tend le Théorème 9 et notre principal théorème technique est une
minoration des valeurs spéciales de fonctions L satisfaisant certaines hypothèses (voir Théorème 3.2.2).
Nous ne rentrons pas dans les détails ici mais donnons un aperçu du fonctionnement de ce théorème.
Fixons Fq un corps fini de caractéristique p impaire et K = Fq (t). Soit d > 2 un entier premier à q.
La plupart des fonctions L explicitées ci-dessus peuvent s’écrire sous la forme schématique suivante :Y 
Ld (T ) =1 − ωm · T u(m) ∈ Z[T ],m∈Oq0 (d)où Oq0 (d) désigne l’ensemble des orbites de Z/dZr{0} sous l’action de q par multiplication et les ωmsont certains entiers algébriques. Par définition, calculer la valeur spéciale de Ld (T ) consiste à l’évaluer
en T = q −1 une fois qu’on lui a retiré tous ses facteurs qui s’annulent en T = q −1 (à un terme entierprès, dont le logarithme est positif). Le terme principal qu’il faut minorer peut s’écrire sous la formed’un produitY ωmL∗d :=
1 − u(m) ,qm∈Moù m parcourt un certain ensemble d’orbites M ⊂ Oq0 (d). On ajoute maintenant deux hypothèses : onsuppose d’abord que ωm est un entier du corps cyclotomique Q(ζdm ) (où dm := d/ pgcd(d, m)) et ensuite que la numérotation de {ωm }m est « compatible » à l’action du groupe de Galois Gal(Q(ζd )/Q) '(Z/dZ)× (i.e. on suppose que σt (ωm ) = ωt·m si σt est l’automorphisme correspondant à t ∈ (Z/dZ)× ).
Noter que ces deux hypothèses sont satisfaites par les fonctions L des courbes elliptiques des 5 familles
Ei . On fixe une fois pour toutes un idéal premier P ⊂ Z au-dessus de p et on pose pm = Q(ζdm ) ∩ P
pour tout m ∈ M.
Théorème 17. Sous ces hypothèses, on alog |L∗d | q −

X
m∈M



ordpm ωmmax 0, u(m) −:= −Wd .
[Fq : Fp ](20)

Pour un exposé détaillé de nos hypothèses et un énoncé précis de ce théorème, nous renvoyons à
la Section 3.2. Signalons que Shioda a démontré un résultat assez similaire (voir [Shi87, Proposition2.1]) lorsque ωm est une somme de Jacobi de « dimension paire ». Nous avons adapté sa preuve pourqu’elle fonctionne avec des ωm plus généraux.
L’inégalité (20) est vraie dès que la fonction L sous-jacente vérifie nos hypothèses. Qui plus est, ona toujours une minoration « naïve » sur la somme Wd dans le membre de droite de (20) : précisément


X
ordpm ωm6 d.
Wd =max 0, u(m) −[Fq : Fp ]m∈M

La minoration correspondante de log |L∗d | ne donne rien d’autre que « la borne de Liouville ». À présent,
pour démontrer que le ratio de Brauer-Siegel des courbes elliptiques de l’une des familles Ei a pourlimite 1, nous
devons prouver une minoration bien plus fine de log |L∗d |. Il faut de fait montrer que
Wd = o d lorsque d → ∞. Une telle relation asymptotique suivrait d’une preuve que, « en moyenne »,les termes « u(m) − ordpm ωm /[Fq : Fp ] » ne sont « pas trop gros ». Pour une donnée générale {ωm }m ,il n’y a pas de raison que ceci soit vrai.
Toutefois, dans le cas où les ωm sont des sommes de Jacobi (ou des produits de sommes de Jacobi), en utilisant une variante du théorème de Stickelberger pour calculer ordq ωm , nous obtiendrons
R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

50

Introduction (en français)une expression assez explicite de Wd . Il s’agira alors d’estimer Wd et de montrer que Wd est négligeable devant d lorsque d → ∞. Pour ce faire, nous aurons besoin d’un cas particulier du résultatd’équidistribution ci-dessous. On note {x} ∈ [0, 1[ la partie fractionnaire d’un nombre réel x.
Théorème 18. Soit I ⊂ [0, 1] un intervalle de longueur b et D ⊂ N∗ un ensemble infini d’entiers.
#Hd
Supposons donné, pour tout d ∈ D, un sous-groupe Hd de Gd = (Z/dZ)× tel que log
log d −−−→ +∞.
d→∞Alors, lorsque d → ∞ (avec d ∈ D), on a
1 X
#Gd

g∈Gd

b−


 gt
1
∈I
· # t ∈ Hd
d
#Hd




log log d#Hd

1/6= o(1).

Pour plus de détails, nous invitons le lecteur à consulter le Théorème 3.4.1 et ses corollaires.

Autres résultats
Nous avons également démontré deux résultats (encore partiels), dont les preuves ne sont pas
incluses dans ce manuscrit. Tout d’abord, nous avons calculé les fonctions L des courbes elliptiquesd’une autre famille (infinie). On fixe un corps fini Fq de caractéristique p > 5 et un paramètre a ∈Fq r {0, 1}, pour tout entier d premier à q, soit Fa,d la courbe elliptique définie sur K = Fq (t) parl’équation affine :Fa,d :

Y 2 + (1 − td )XY + a2 (td − t2d )Y = X 3 + (a2 + 2a)td X 2 + (2a3 + a2 )t2d X + a4 t3d .

Le rang de cette courbe est étudié dans [Occ12] : Occhipinti y calcule « semi-explicitement » la fonction
L de Fa,d /K lorsque d divise q − 1 = #F×
q . Il utilise également le théorème de Berger (voir [Ber08])
pour démontrer que Fa,d vérifie la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Par une méthode différente,
et en allégeant l’hypothèse que d divise q − 1, nous avons pu prouver :Théorème 19. Avec les notations introduites ci-avant, pour tout entier d premier à q, la fonction
L(Fa,d /K, T ) est donnée par


Y 
2
L(Fa,d /K, T ) = (1−qT )·1 − q u(m) T u(m) 1 − (Sm− 2q u(m) )T u(m) + q 2u(m) T 2u(m) , (21)m∈Oq0 (d)où Oq0 (d) désigne l’ensemble des orbites de Z/dZr{0} sous l’action de q par multiplication, u(m) est
le cardinal de l’orbite m et, pour tout m ∈ Oq0 (d) et tout choix d’un représentant i ∈ Z/dZr{0} de m,
Sm est une somme de Legendre :XSm = −Squ(i) (ti ; 1 − 2a) = −ti (x) · µ x2 + 2(1 − 2a)x + 1 .
x∈Fqu(i)La relation de Hasse-Davenport et l’hypothèse de Riemann pour les sommes de Legendre assurent
l’existence d’entiers algébriques αm et βm (pour m ∈ Oq0 (d)) tels que∀m ∈ Oq0 (d),Sm = αm + βm , αm · βm = q u(m) et |αm | = |βm | = q u(m)/2 .

Avec ceux-ci, on peut réécrire la fonction L sous une forme plus factorisée :



Y 
2
2
L(Fa,d /K, T ) = (1 − qT ) ·1 − q u(m) · T u(m) 1 − αm
· T u(m) 1 − βm
· T u(m) .
m∈Oq0 (d)La preuve utilise des évaluations de sommes de caractères et repose sur le fait que la courbe Fa,d est
birationnelle à la courbe Xd ⊂ P1 × P1 définie sur K et donnée en coordonnées affines par
Xa,d :

y(y − 1)x(x − 1)= td ·.
x−ay−a

Il est assez clair sur l’expression (21) que la fonction L s’annule au moins à l’ordre d = 1 + #Oq0 (d)en T = q −1 . Par suite, comme Fa,d vérifie la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, le groupede Mordell-Weil Fa,d (Fq (t)) est de rang au moins d. Malheureusement, nous sommes pour l’heure
incapables de donner un meilleur encadrement de la valeur spéciale de L(Fa,d /K, T ) en T = q −1 quel’encadrement « trivial » :log L∗ (Fa,d /K, 1)−6 + o(1) 6
6 0 + o(1) (d → ∞).
log H(Fa,d /K)
En effet, nous n’avons quasiment aucune information sur la distribution des nombres Sm /q u(m)/2
dans l’intervalle [−2, 2] dans lequel ils sont répartis (de façon équivalente, on ne sait pas comment
sont répartis angulairement les nombres αm /q u(m)/2 et βm /q u(m)/2 sur le cercle unité).
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51

Introduction (en français)Suivant une suggestion de Hindry, nous avons aussi entamé l’étude du ratio de Brauer-Siegel pourune famille de tordues quadratiques d’une courbe elliptique constante sur Fq (t). Plus précisément, lecadre est le suivant : on fixe un corps fini Fq de caractéristique p > 5 et une courbe elliptique E0 définie
sur Fq , d’équation affine E0 : y 2 = x3 + Ax + B (avec A, B ∈ Fq ). Dans ce cas, E := E0 ×Fq Fq (t) est
une courbe elliptique constante sur K = Fq (t). Pour tout entier d premier à p, on considère la tordue
quadratique E (d) de E par le polynôme td + 1 ∈ Fq [t] ⊂ K, une équation affine de E (d) est :(td + 1) · y 2 = x3 + Ax + B.

E (d) :

Alors E (d) /K vérifie la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (car elle est isotriviale, voir [Mil68,
Theorem 3]). Ainsi, d’après [HP16, Corollary 1.13], lorsque d → ∞, on a
0 + o(1) 6 Bs(E (d) /K) 6 1 + o(1).
Nous avons prouvé une minoration plus forte de Bs(E (d) /K) pour certaines valeurs de d :Théorème 20. Soit Dss ⊂ N∗ l’ensemble (infini) des entiers d > 2 tels que d divise q n + 1 (pour uncertain n ∈ N). Un tel entier d ∈ Dss est parfois appelé supersingulier pour q (cf. [SK79]). Avec cettenotation, on a :lim Bs(E (d) /K) = 1.
d∈Dss
d→∞

Pour le moment, nous n’avons pas réussi à nous passer de la condition que d est supersingulier pourdémontrer ce théorème (nous ne sommes d’ailleurs pas complètement sûrs que la conclusion soit encore
vraie si on l’enlève). La preuve repose essentiellement sur trois ingrédients. D’abord, la fonction L deE (d) /K s’exprime aisément en fonction de la fonction zeta, notée Zd (T ), de la courbe hyperelliptique
Cd : y 2 = xd + 1. Un calcul de Weil (voir [Wei49]) affirme que les zéros βj de Zd (T ) sont des racines
n-ièmes de sommes de Jacobi. Sous notre hypothèse que d ∈ Dss , noter que les sommes de Jacobi enquestion sont réelles. On conclut la preuve par une application du théorème de Baker-Wüstholz (voir[BW93]) aux nombres log |1 − βj /q|, dans l’esprit de [BK10, Theorem 4.1].

Présentation du contenu
Pour conclure ce chapitre, nous présentons la façon dont sont répartis les résultats de ce manuscrit.
Le premier chapitre constitue une introduction générale à l’arithmétique des courbes elliptiques surles corps de fonctions, avec un accent sur leur fonction L, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyeret les inégalités diophantiennes entre leurs invariants. Nous ne donnons presque aucune preuve maisrenvoyons à de nombreuses références. Dans la dernière section de ce chapitre, nous définissons le ratiode Brauer-Siegel Bs(E/K) d’une courbe elliptique E/K et rappelons les conjectures et les faits connus
le concernant. Les deux chapitres suivants développent les outils nécessaires à l’étude analytique desfamilles Ei de courbes elliptiques : le second chapitre nous permettra de calculer leurs fonctions L etle troisième de borner leurs valeurs spéciales.
Plus précisément, le deuxième chapitre est axé sur les sommes de caractères. Dans un premier
temps, nous rappelons des faits classiques sur les caractères des corps finis, sur les sommes de Gausset sur les sommes de Jacobi. Ensuite, nous expliquons en détail la construction des caractères « ta »qui apparaissent dans les expressions des fonctions L données ci-dessus : ceux-ci forment une famille
naturelle de caractères dont l’ordre divise d. Nous utilisons ce cadre pour démontrer une « formulede réindexation » pour des séries génératrices dont les coefficients sont des sommes de caractères : cerésultat est d’usage constant dans les calculs de fonctions L qui suivent. Nous introduisons également
les sommes de Legendre et prouvons les analogues de la relation de Hasse-Davenport et de l’hypothèse de Riemann. Pour mener à bien la preuve, nous calculons la fonction zeta de certaines courbes
hyperelliptiques.
Au troisième chapitre, nous supposons disposer d’expressions explicites de fonctions L et nous nous
concentrons sur l’encadrement de leur valeur spéciale. La première section montre comment on peut
retrouver rapidement des majorations du rang et de la valeur spéciale dans le(s) cas particulier(s)qui nous concernent. À la seconde section, nous donnons une minoration de produits π ∗ de nombres
algébriques qui apparaissent typiquement dans les valeurs spéciales des fonctions L des familles Ei .
Nos hypothèses sont rassemblées à la Section 3.2.1. Cependant, la minoration obtenue ne peut êtreutilisée que si l’on a une bonne connaissance des « valuations p-adiques » des nombres algébriques
dans le produit π ∗ . Nous rappelons donc comment expliciter ces « valuations p-adiques » dans le cas
des sommes de Jacobi. Finalement, nous démontrons un résultat d’équidistribution selon lequel les« gros » sous-groupes de (Z/dZ)× deviennent équidistribués en moyenne lorsque d → ∞.
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52

Introduction (en français)Dans les Chapitres 4 à 8, nous étudions individuellement les familles Ei précédemment introduites(la famille Ei est étudiée au Chapitre i+3). Les structures de ces chapitres sont relativement similaires.
Nous commençons par calculer les invariants basiques des courbes elliptiques E ∈ Ei . Dans un second
temps, nous trouvons une expression explicite de leur fonction L en utilisant les outils mis en place au
Chapitre 2. Nous rappelons alors brièvement la démonstration de la conjecture de Birch et SwinnertonDyer pour les courbes elliptiques E ∈ Ei . Pour certaines familles, nous donnons également une preuve
rapide que les rangs de Mordell-Weil ne sont pas bornés. Dans la dernière section de chacun de ceschapitres, nous utilisons les bornes sur les valeurs spéciales obtenues au Chapitre 3 et nous terminons
la preuve que la famille Ei vérifie un analogue complet du théorème de Brauer-Siegel.

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Soit Fq un corps fini de caractéristique p > 5 et K = Fq (t). Dans le tableau ci-dessous, nous récapitulons les familles de courbes elliptiques étudiées dans cette thèse(ainsi que celle de [HP16, Theorem 7.12]). La première colonne donne une équation de Weierstrass de E/K et le(s) paramètre(s) dont elle dépend. Nous donnons ensuite
l’expression de du j-invariant j = j(E/K) ∈ Fq (t) de E et sa hauteur différentielle H = H(E/K) (exponentielle) en fonction de(s) paramètre(s). Le lecteur peut ainsi
se convaincre que ces courbes sont deux-à-deux non isomorphes sur Fq (t). La dernière colonne rappelle les résultats obtenus quant au ratio de Brauer-Siegel.
Modèle de Weierstrass

Invariant j

Hauteur

Ratio de Brauer-Siegel

et paramètre(s)[HP16]

Ed : y 2 + xy = x3 − td1
td (1 − 24 33 td )H = qb 6 c

d→∞

j=

28 (t2d − td + 1)3
t2d (td − 1)2

H = qb 2 c

d→∞

j=

33 t3d (9t3d − 8)3t3d − 1

H = qd(16t2d − 16td + 1)3−t4d (16td − 1)

H = q b 2 c+1d→∞

24td + 1

H = qb 3 cd→∞

H = qb 2 cd→∞d impairj=∗d ∈ N , pgcd(d, p) = 1
Chap. 4

Ed : y 2 = x(x + 1)(x + td )∗d ∈ N , pgcd(d, p) = 1
Chap. 5

Hd : y 2 + 3td xy + y = x3∗

d ∈ N , pgcd(d, p) = 1
Chap. 6

Ed : y 2 + xy + td y = x3 + td x2j=∗d ∈ N , pgcd(d, p) = 1
Ed : y 2 + xy − td y = x3j=∗d ∈ N , pgcd(d, p) = 1
Chap. 8Ba,d : y 2 + td xy − at2d y = x3 − (a + 1)td x2 + at2d xa ∈ Fq r {0, 1} et d ∈ N∗ , pgcd(d, p) = 1

j=−t3d (27td − 1)(t2d + 8(2a − 1)td + 16(a2 − a + 1))3a2 (a − 1)2 (t2d + 8(2a − 1)td + 16)

d−1

d−1

d+2

d+1

lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(Hd /K) = 1

d→∞lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(Ed /K) = 1

lim Bs(B1/2,d /K) = 1
si a = 1/2

53

R. Griffon. Submitted for review 21.IV.2016

Chap. 7d+5

Introduction (en français)

Tableau récapitulatif des familles étudiéesBibliographie[Art86]

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