情報地質 第27巻 第2号 052-055頁 2016年
Geoinformatics, vol.27, no.2, pp.052-055, 2016

化石タクサの組み合わせを推定するための全順序集合上の区間のグラフ
山口 久美子*・塩野清治**

Graph of Intervals on a Totally Ordered Set
to Estimate Associations of Fossil Taxa
Kumiko YAMAGUCHI* and Kiyoji SHIONO*** 5-3-5 Midorigaoka, Heguri Ikoma-gun Nara 636-0941, Japan. E-mail: qys05253@nifty.ne.jp**大阪市立大学名誉教授 Department of Geoscience, Graduate School of Science, Osaka City University,
3-3-138 Sugimoto, Sumiyoshi-ku, Osaka 558-8585, Japan.

キーワード：生層序学，化石タクサの順序，年代区分，区間，論理地質学
Key words : Biostratigraphy, Order of Fossil Taxa, Time Classification, Interval,Geology-Oriented Logical System

１．はじめに全順序集合上の区間のグラフは，生層序ユニット中の化石タクサの組み合わせの順序表現に有効である(山口・塩野，2013)．今回の発表では，時間軸上のタクソンの生存期間，および，層序断面からのサンプリングによる化石タクサの組み合わせの推定に全順序集合上の区間のグラフが有用であることを示す．

２．時刻・期間について
2.1 時刻と期間
或る時刻を 0 として，時刻を 100 万年・年・月・日・時・分・秒など時間の単位で計測した数値とする．さらに，その数値を，小数点以下を切り捨てた整数であるとする．時刻 i，j に対して，
i＜j ⇔ i は j より過去である(1)とする． i から j までの実数の区間：[i, j]]={ t | i≦t≦j，t は実数}(2)を時刻 i から時刻 j までの時間，あるいは，期間とよぶことにする．なお，(1)の実数の大小についても(2)と同様とする．
2.2 タクソンの生存期間
タクソン(taxon)は生物の分類単位であり，その複数形がタクサ(taxa)である．
生物の個体はある時刻からある時刻までの時間に生存すると仮定する．タクソンの生存期間を，分類された個体の生存する時間の和集合であると定義する．生層序学の基礎である化石の連続性の前提として，タクソンの生存期間は，(2)のようなある時刻からある時刻までの期間であると仮定する．
2.3 上位のタクソンと下位のタクソン(種)タクソンは階層的であり，上位から界，門，綱，目，科，属，種である．以下，Σ を上位のタクソンとし，Σ の種の集合を S0 とする．化石タクサを幾つかの種とする．
Σ の生存期間を T，種 α の生存期間を τ (α)とする．T も τ (α)

もある時刻からある時刻までの期間であるという仮定を満たす．タクソンの生存期間の定義より，S0 のすべての種の生存期間の和集合が T となる．
T = ∪α∈Soτ(α)．

３．種の組み合わせ3.1 種の選択
τ (α)=[i, j]] のとき，τ(α)の最小元 min τ (α) は i である．τ (α)の最大元 max τ(α) は j である．
種の生存期間の前後関係＜★を次のように定義する．
τ (α)＜★τ (β) ⇔ min τ (α)＜min τ (β)，かつ，max τ (α)＜max τ (β)．
(3)
S0 上の順序 κ を次のように定義する．
α κ β ⇔ τ (α)＜★τ (β)，または，α = β．
(4)
S0 から次の 2 つの仮定を満たす種の集合 S を選択して，塩野・山口(1997)と同様に，T をいくつかの年代に区分する．
仮定 1 (S, κ)は有限な全順序集合である．
仮定 2 T =∪α∈S τ (α)．
3.2 種の組み合わせT*，τ *(α)を，それぞれ，T，τ (α)の始まりの時刻も終りの時刻も小数点以下を切り捨てる前の時刻で得られた生存時間とする．τ (α)=[i, j]]のときは，τ *(α) =[i+Δ1, j +Δ2]，0≦Δ1＜1，0≦Δ2＜1 であり，τ (α)＜★τ (β)のとき， τ* (α)＜★τ* (β)
で生存期間の前後関係＜★はそのままで，τ* (α)について仮定1 に相当する性質が成り立つ．仮定 2 に相当する性質 T* =∪α∈S τ* (α)は保証されないが，単純のため，T* =∪α∈S τ* (α)
も満たすとする．
仮定 1，2 を満たす S を選択したとき，T*内の t に生存する種の集合 σ* ( t ) :σ*( t ) ={ α| t∈τ *(α)，t∈T*，α∈S }(5)の t の整数部分が i のとき，σ(i ) = σ*( t ) :σ( i ) = { α| t∈τ *(α)，t∈T*，i =[ t]，α∈S }(6)とする．ここで， i =[ t]は，実数 t の整数部分が i であるこ

53とである．
σ( i ) が生存する年代 ε( i )はε*( i ) ={ t |σ*( t ) = σ( i ) , t∈T *}(7)の最小値と最大値の両方を，小数点以下を切り捨てて整数とした期間である．σ( i ) は 年代 ε( i ) の 種の組み合わせとよぶことにする．
3.3 種の組み合わせの順序
S が仮定 1，2 を満たすとき，σ( i ) は 有限な全順序集合(S,κ)上の区間になる．ここで，有限な全順序集合(S, κ)上の区間[α, β]とは，α κ β である α, β∈S に対して，[α, β] ={γ| α κ γ，かつ，γ κ β, γ∈S }である．
(S, κ)上のすべての区間の集合 S★上の順序 κ★を[α, β] κ★[γ, δ] ⇔ α κ γ，かつ，β κ δと定義する．時刻 i，時刻 j に対して，i≦j ⇒ σ( i ) κ★ σ( j )という種の組み合わせの順序が成り立ち，種の組み合わせの集合(σ( T ) , κ★)が全順序集合になる．

σ( 5 ) = [α, γ]，あるいは，σ( 5 ) = [β, β]について，模式図の見かけ上，σ( 5 ) = [α, γ]であるが，σ( 5 ) ≠ [α, γ]で，σ( 5 ) = [β, β]かもしれない．第 2 図(a)では，[α, γ]？となっていて，その(σ( T) , κ★)のグラフが図の右上にある．σ( 5 ) = [β, β]かもしれないことを表すグラフは第 2 図(a)の右下にある．
max τ(α) =min τ(γ) =5 のとき，max τ* (α) =min τ*(γ) とは限らず，5≦max τ* (α)＜min τ*(γ)＜6 の場合と 5≦min τ*(γ)≦
max τ* (α)＜6 の場合がある．第 2 図(b)に示すように，5≦max τ* (α)＜min τ*(γ)＜6 の場合，σ( 5 ) ≠ [α, γ]で，σ( 5 ) = [β, β]となる．この場合，(σ( T) , κ★)の順序は(8)であり，グラフは，第 1 図(b)と同じ第 2 図(b)の右にあるものである．
第 2 図(c)のように，5≦min τ*(γ)≦max τ* (α)＜6 の場合，σ( 5 ) ≠ [β, β]で，σ( 5 ) = [α, γ]となる．(σ( T) , κ★)の順序は(9)であり，グラフは，第 1 図(c)と同じ第 2 図(c)右になる．
(a)４．種の組み合わせのグラフ表示(S, κ)上の区間[α, β]を，S×S の座標図上の点(α, β)で表示し，この座標図を全順序集合(S, κ)上の区間のグラフとよぶ(塩野・山口，1996)．[α, β] κ★[γ, δ]をグラフ上で，点(α, β)から(γ,δ)への矢印で表示する．
以下では，簡単に，S={α, β, γ}，α κ β κ γ を例にして，種の組み合わせを考える．第 1 図(a)はこの(S★, κ★)のグラフである．推移的な関係・反射的な関係から得られる順序を表す矢印は省いている．山口・塩野(2013)によると，種の組み合わせの集合(σ( T ) , κ★)は，第 1 図(b)，(c)のいずれかでグラフ表示されて，(8)[α, α] κ★[α, β] κ★[β, β]κ★[β, γ] κ★[γ, γ]，あるいは，[α, α] κ★[α, β] κ★[α, γ]κ★[β, γ] κ★[γ, γ]
(9)
である．

第 1 図 区間のグラフ．(a) (S★, κ★).
(b) (σ( T ) , κ★)． [α, α] κ★[α, β] κ★[β, β]κ★[β, γ] κ★[γ, γ]．
(c) (σ( T ) , κ★)．[α, α] κ★[α, β] κ★[α, γ]κ★[β, γ] κ★[γ, γ]．

(b)

(c)

５．生存期間による種の組み合わせの推定
5.1 例１
第 2 図(a)に示す例は，Σ の生存期間 T は，T=[1, 9]であり，
Σ 種 α, β, γ の生存期間は，それぞれ，τ(α) =[1, 5]，τ(β) =[3, 7]，τ(γ) =[5, 9]である．
種の組み合わせは，(6)より，σ( 1) =σ( 2) =σ( 3) ={α}= [α, α]，σ( 3) =σ( 4 ) =σ( 5 ) ={α, β}= [α, β]，σ( 5 ) = {α, β, γ}= [α, γ]，あるいは，σ( 5 ) = {β}= [β, β]σ( 5 ) =σ( 6 ) =σ( 7 ) = {β, γ}= [β, γ] ，σ( 7 ) =σ( 8 ) =σ( 9 ) = {γ}= [γ, γ]である．t の整数部分が i のとき σ( i ) = σ* ( t ) であるから，σ( 3) = [α, α]，σ( 3) = [α, β]など，種の組み合わせが 2 つある時刻がある．

第 2 図 (a) 例 1 の模式図と種の組み合わせのグラフ．
(b) 5 ≦max τ* (α)＜min τ*(γ)＜6 の場合．
(c) 5 ≦min τ*(γ)≦max τ* (α)＜6 の場合．

54グラフから max τ* (α)＜min τ*(γ)＜6 の場合も，5≦min
τ*(γ)≦max τ* (α)＜6 の場合も，種の組み合わせがすべて順番に得られたことがわかる．
年代は，[1, 3]，[3, 5]，[5, 5]，[5, 7]，[7, 9]であり，それぞれ，種の組み合わせ[α, α]，[α, β]，[α, γ]あるいは[β, β]，[β, γ]，[γ, γ]に 1 対 1 対応する．
第 2 図左は，T に対応する層序断面の模式図である．時刻に対応する地層に，時刻と同じ数字をつけた．年代が区切られる時刻，例えば，3 に対応する地層は，3a と 3b に分かれている．5 に対応する地層は，5a，5b，5c に分かれている．
地層の集合で生層序ユニットを表すと，生層序ユニットは，{1, 2, 3a}，{3b, 4,5a}，{5b}，{5c, 6, 7a}，{7b, 8, 9}であり，年代と同様，種の組み合わせと 1 対 1 に対応する．
5.2 例 2
第 3 図に示す例は，Σ の生存期間 T は，T=[1, 9]であり，Σ種 α, β, γ の生存期間は，それぞれ，τ(α) =[1, 5], τ(β) =[3, 7] ,τ(γ)=[6, 9]である．
種の組み合わせは，(6)より，σ( 1) =σ( 2) =σ( 3) ={α}= [α, α]，σ( 3) =σ( 4 ) =σ( 5 ) = {α, β}= [α, β]，σ( 5 ) = σ( 6 ) ={β}= [β, β]，σ( 6 ) =σ( 7 ) = {β, γ}= [β, γ] ，σ( 7 ) =σ( 8 ) =σ( 9 ) = {γ}= [γ, γ]である．
Σ の生存期間 T は，種の組み合わせによって年代区分される．年代は[1, 3]，[3, 5]，[5, 6]，[6, 7]，[7, 9]であり，それぞれ，種の組み合わせ[α, α]，[α, β]，[β, β]，[β, γ]，[γ, γ]に 1 対1 対応する．(σ( T) , κ★)は，(8)の順序である．第 1 図(b)と第3 図右が(σ( T) , κ★)のグラフである．山口・塩野(2015)では，この例のように，max τ (α)+1= min τ(γ)のとき，時刻 i における種の組み合わせ{ α| i∈τ(α)，α∈S }に欠落があったが，(6)で種の組み合わせを表現したことで欠落は無くなったことがグラフから認められる．
第 3 図左は T に対応する層序断面の模式図である．生層序ユニットを地層の集合とすると，生層序ユニットは，{1,2,3a}，{3b,4,5a}，{5b,6a}，{6b,7a}，{7b,8,9}であり，年代と同様，種の組み合わせと 1 対 1 に対応する．

しても，産出される種の組み合わせは同じとする．
種 α の生存期間 τ(α)を改めて，{ i | i∈σ( i) ，i∈T }の最小値から最大値までの期間であると仮定する．τ(α)から得られる(a)

(b)

(c)

第4図

第 3 図 例 2 の模式図と種の組み合わせのグラフ．

６．サンプリングによる種の組み合わせの推定
6.1 サンプリング
これまでと同様に，時刻は小数点以下を切り捨てた整数とする．第 4 図のように，層序断面から Σ の生存期間内のの各時刻 i に相当するサンプル i を採ったとする．σ( i) を改めて，その時刻 i に生存する種の組み合わせ σ( i) がサンプルi から産出されるとする．1 つのサンプルをどのように分割(a) 例 3 の模式図と種の組み合わせのグラフ．
(b) サンプル 5 と 6 の間から β が産出された例．
(c) サンプル 5 と 6 の間から α, β, γ が産出された例．

τ *(α)，σ*( t ) ，ε*( t ) ， ε( i ) は，これまでと同様とする．
6.2 例 3第 4 図(a)のように，T=[1, 9]であり，サンプル 1～9 を採集した．サンプル 1～9 から産出された種の組み合わせは，σ( 1) =σ( 2) ={α}，σ( 3) =σ( 4 ) =σ( 5 ) = {α, β}，σ( 6 ) =σ( 7 ) = {β, γ}，σ( 8 ) =σ( 9 ) = {γ}である．
種 α, β, γ の生存期間は第 3 図の例と同じで，τ(α) =[1, 5],τ(β) =[3, 7] ,τ(γ) =[6, 9]となる．S={α, β, γ}は仮定 1，2 を満た55

す．
(5)の σ*( t ) を考慮すれば，第 2 図と同様に，年代は[1, 3]，[3, 5]，[5, 6]，[6, 7]，[7, 9]である．サンプル中の種の組み合
わせは[α, α]，[α, β]，[β, γ]，[γ, γ]となり，それぞれ，年代[1, 3]，[3, 5]，[6, 7]，[7, 9]に 1 対 1 対応する．年代[5, 6]の種の組み合わせをサンプルから産出していない．
(σ( T) , κ★)の順序は， [α, α] κ★[α, β] κ★[β, γ] κ★[γ, γ]であり，そのグラフを第 4 図(a)右に示した．グラフで[α, β] κ★[β, γ]が右上向きの矢印で示される．これは，[α, β]と[β, γ]の間に種の組み合わせがあることを表す．年代[5, 6]の種の組み合わせが[α, β]と[β, γ]の間にあると推定される．
第 4 図(a)のように，第 3 図の例と同様，種 α, β, γ の生存期間から年代[5, 6]の種の組み合わせは{β}，すなわち，[β, β]であると予想される．第 1 図(b)，(c)の(σ( T) , κ★)の区間のグラ
フからは，[α, β]の次は[β, β]，または，[α, γ]であるので，[α, γ],すなわち，{α, β, γ}も予想される．これらの予想を検証するために，第 4 図(b)，(c)のように，サンプル 5 と 6 の間をサンプリングする．
第 4 図(b)は，サンプル 5 と 6 の間をサンプリングして，サンプルから，予想通り，β が産出された例である．種の組
み合わせは{β}= [β, β]であり，(σ( T) , κ★)の順序は(8)である．
(σ( T) , κ★)のグラフを第 4 図(b)右に示した．
第 4 図(c)のように，サンプル 5 と 6 の間をサンプリングして，サンプルから 3 つの種 α, β, γ が産出されることもある．
これも予想通りである．この予想は (σ( T) , κ★)のグラフによる．この場合，種の組み合わせは{α, β, γ}= [α, γ]であり，(σ( T) ,κ★)の順序は(9)である．(σ( T) , κ★)のグラフを第 4 図(c)右に示した．
サンプル 5 と 6 の間から[α, γ]を産出した場合，τ(α)と τ(γ)の少なくとも 1 つが改められる．τ(α)と τ(γ)の両方が改められ，τ(α) =[1, 6], τ(β) =[3, 7] ,τ(γ) =[5, 9] となったとき，[α, γ]が年代[5, 6]の種の組み合わせとなる．
6.3 例 4第 5 図も，T=[1, 9]で，サンプル 1～9 を採集した．サン
プル 1～9 から産出された種の組み合わせは，σ( 1) =σ( 2) ={α}，σ( 3) =σ( 4 ) =σ( 5 ) = {α, β}，σ( 5 ) = {α, β, γ}σ( 6 ) =σ( 7 ) = {β, γ}，σ( 8 ) =σ( 9 ) = {γ}である．
この産出から得られる種 α, β, γ の生存期間は第 2 図の例と同じで，τ(α) =[1, 5], τ(β) =[3, 7] ,τ(γ) =[5, 9]である．S={α, β, γ}は仮定 1，2 を満たす．サンプル中の種の組み合わせは[α, α]，[α, β]，[α, γ]，[β, γ]，[γ, γ]である．第 2 図の例では，種の組み合わせ[α, γ]は，実は[β, β]かもしれなかったが，サンプル第 5 図 例 4 の模式図と種の組み合わせのグラフ．

から産出された[α, γ]は[β, β]でなく，[α, γ]そのままである．
種の組み合わせの順序は(9)であり，(σ( T) , κ★)のグラフは第 5 図右のようになり，第 1 図(c)と同じである．グラフから，すべての種の組み合わせが得られたことがわかる．

７．おわりに幾つかの種を化石タクサとして，区間のグラフを用いて，年代に対応する種の組み合わせをすべて，順番通りに得たことを確認した．また，区間のグラフから，サンプリングによる種の組み合わせの欠落も見つけて，欠落した種の組み合わせを推定した．

文献

塩野清治・山口久美子(1996)全順序集合の区間とその前後関係のグラフ表示．GEOINFORUM－’96 講演予稿集．日
本情報地質学会，pp.41-42．
塩野清治・山口久美子(1997)生層序学的方法を形式表現するための数学的基礎－古生物の生存期間と年代区分－．情報地質，vol.8, no.4, pp.227-237．
山口久美子・塩野清治(2013)全順序集合上の区間のグラフ表示を応用した生層序における化石のタクサの組み合わせの順序の表現．情報地質，vol.24, no.2, pp.086-087．
山口久美子・塩野清治(2015)生層序ユニット中の化石タクサの組み合わせの欠落を推定するための全順序集合上の区間のグラフ．情報地質，vol.26, no.2, pp.054-055．