マス・フォア・インダストリ研究 No.25

解析から設計に向けたオフシェル数理科学

編集

佐久間弘文
大津 元一
小嶋
泉
福本 康秀

Institute of Mathematics for Industry
Kyushu University

About the Mathematics for Industry Research
The Mathematics for Industry Research was founded on the occasion of the certificationof the Institute of Mathematics for Industry (IMI), established in April 2011, as a MEXT
Joint Usage/Research Center – the Joint Research Center for Advanced andFundamental Mathematics for Industry – by the Ministry of Education, Culture, Sports,
Science and Technology (MEXT) in April 2013. This series publishes mainly proceedingsof workshops and conferences on Mathematics for Industry (MfI). Each volume includes
surveys and reviews of MfI from new viewpoints as well as up-to-date research studies
to support the development of MfI.
October 2018
Osamu Saeki
Director
Institute of Mathematics for Industry

Off-Shell Mathematical Science Toward System’s Analysis and Designing
Mathematics for Industry Research No.25, Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University
ISSN 2188-286X
Editors: Hirofumi Sakuma, Motoichi Ohtsu, Izumi Ojima, Yasuhide Fukumoto
Date of issue: 28 March 2022
Publisher:
Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University
Motooka 744, Nishi-ku, Fukuoka, 819-0395, JAPANTel +81-(0)92-802-4402, Fax +81-(0)92-802-4405
URL https://www.imi.kyushu-u.ac.jp/
Printed by
Kijima Printing, Inc.
Shirogane 2-9-6, Chuo-ku, Fukuoka, 810-0012, Japan
TEL +81-(0)92-531-7102 FAX +81-(0)92-524-4411

解析から設計に向けたオフシェル数理科学

編集

：

佐久間弘文
大津

元一

小嶋

泉

福本

康秀

序文


光学分野においては、ナノテクノロジーの隆盛という時代の大きな潮流に呼応する形で、
 年代から後に、1DQRSKRWRQLFV（ナノ光学）と命名される事になる新たな研究の胎動が起こり始めた。ナノ光学とは何かという事を簡単に言えば、それは“小さな光”についての学問である。ここで重要になる要素は、“小さな光”と一口に括って見ても、その内容は大きく二つに分かれるという事である。一つは、既存の技術を組み合わせる事で、より“小さな光”を作り出し、それを制御する技術を開発するという事である。
もう一つは、今までに知られていない現象や事実を新たに発見し、その基礎理論を整備し、それに基づいて応用技術を開発するというものである。本研究集会の組織委員の一人である大津元一ドレスト光子研究起点代表理事（東京大学名誉教授）は、ナノ光学において、後者に関する実験的研究を推進して来たパイオニアである。
大津氏は、 年頃から、実験的研究に比べて大幅に遅れているドレスト光子現象の理論的解明の研究を加速する為に、新たな「ドレスト光子研究起点」という研究組織を立ち上げて、現在もその研究推進の総合的リーダーとして積極的に活躍している。九大,0, 研究集会における活動は、今回で  回目となるが、その間、研究も着実に進展し続け、今では理論研究のみに留まらずに、理論研究を応用研究に繋げるために必要な、シミュレーション研究も量子ウォークモデルを中心に、飛躍的に発展しつつある段階へ入った様に思われる。ここ数年で、国際的にも知名度の高いモノグラフや解説論文集に新たな成果が次々と発表され、特に昨年は、若い研究員による論文発表も活発に行われた。
この様な研究活動は、九大 ,0, が目指す数理科学を産業の発展の為に役立てるという基本的方針と一致するものの、４回に渡るご支援を ,0, から頂けた事は、ここまでのドレスト光子研究進展にとって、誠に大きな事であり、この場を借りて、,0, の関係各位に改めて感謝の意をお伝えする次第である。
研究代表者、佐久間弘文









－i－

Contents
序文�������������������������������� i
プログラム��������������������������� iii
オフシェル科学理論のためのドレスト光子実験研究の進展

大津元一（ドレスト光子研究起点）
���������������������

1

ドレスト光子―自由光子の変換とナノ構造形成に関する考察

三宮俊（株式会社リコー 先端技術研究所）
������������������ 19

ドレストフォトンが関わる量子的散逸構造の理論

坂野斎（山梨大学工学部）
������������������������� 29

量子ウォークの Comfortability

瀬川悦生（横浜国立大学）
������������������������� 39

ネットワーク量子ウォークモデルにおける迷路解決挙動

松岡雷士（広島工業大学）
������������������������� 48

量子コヒーレンス・デコヒーレンス指標とその時間発展についての考察（光合成の研究解析に向けて）

矢吹哲夫（北星学園大学 全学共通教育科目部門）
��������������� 64

A New Approach to Quantum Fields

Hayato Saigo (Nagahama Institute of Bio-Science and Technology)���������� 90

C*- 代数的量子論におけるシュレディンガー描像

岡村和弥（ドレスト光子研究起点 / 名古屋大学）
��������������� 124

Semi-classical analysis between Newton-Maxwell equation and non-relativistic QED

廣島文生（九大数理）with Zied Ammari (Rennes I) and Marco Falconi (La Sapienza)�� 133

オフシェル物理における双対場の役割について

佐久間弘文（ドレスト光子研究起点）
�������������������� 147

流体および MHD に対するネーターの第 1、第 2 定理と南部括弧

福本康秀（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）
Rong Zou（ハワイ大学土木・環境工学科）
 ������������������ 160

ドレストフォトンの対称性とグラスマン多様体

落合啓之（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）
����������� 184－ii－

九州大学IMI共同利用・研究集会（II）

解析から設計に向けたオフシェル数理科学(Off-shell mathematical science toward system’s analysis and designing)日時： 2022年2月22日（火）10:00 ～ 15:45
2022年2月24日（木）10:00 ～ 16:15

場

所： Zoom ミーティングによるオンライン開催

研究代表者： 佐久間弘文（一般社団法人ドレスト光子研究起点）※プログラムは都合により変更になる場合がありますので予めご了承ください。
最新情報はホームページをご覧ください。
2022年2月22日（火）9:50 ～ 10:00
開会の辞

佐久間弘文 （ドレスト光子研究起点）

セッションI：ドレスト光子研究概観

10:00 ～ 10:45
基 調 講 演 ： 大津 元 一 ( ド レ ス ト 光子 研 究 起 点 )演 題 ： オ フ シェ ル 科 学 理 論 の た めの ド レ ス ト 光 子 実験 研 究 の 進 展
講演概要：本講演ではドレスト光子（DP）に関する二つの本質的現象（DP の生成とエネルギー移動）に関する実験結果を提示し、オフシェル科学理論の裏付けとして供する。前者はシリコン発光ダイオードから出射する光が複数の光子からなり、かつ全体として光子アンチバンチングの特徴を示す実験結果である。
これは佐久間が開拓した DP 生成理論で裏付けられているスピン 0 のボゾン場に対応する。後者はファイバ
プローブの先端での DP 発生効率の実験結果である。これは瀬川により開発された量子ウォークモデルに基づく数値計算結果と整合しており、ファイバプローブ中の DP の自律的エネルギー移動の機構の解明に役立
つと考えられる。

10:45 ～ 11:30
民 間 セ ク タ ーか ら の 招 待 講 演 ： 三宮 俊 （ 株 式 会 社 リコ ー 先 端 技術 研 究 所 ）演 題 ： ド レ ス ト 光 子 ―自 由 光 子 の 変 換 と ナ ノ 構 造 形 成 に 関 す る 考 察
講演概要：光を照射しながら化学的な加工やドーパントのアニール処理を行うことで自律的な構造形成が引き起こされ、この構造形成にドレスト光子が重要な役割を果たしていることが実験的に示されてい－iii－

る。一方、このような実験状況を説明する理論は未熟であり、デバイス設計やデバイス作製条件などの観点から、実用可能な理論の構築が期待されている。本発表では、これまで検討を進めてきたドレスト
光子と自由光子の変換に関わる概念モデルを、ドレスト光子を介在したナノ構造形成に適用することを、
数値シミュレーションを基軸に検討する。

11:30 ～ 12:15
坂 野 斎 （ 山 梨大 学 工 学 部 ）演題：ドレスドフォトンが関わる量子的散逸構造の理論
講演概要：フォトンブリーディング製作過程 [T. Kawazoe, M. A Mueed and M. Ohtsu, Appl. Phys. B
104, p.747(2011)] は，長い間発光デバイスに不向きであると信じられてきた間接遷移型半導体から発光

ダイオードをつくることを可能にした．発表する理論はフォトンブリーディングデバイスからの発光を，
非平衡熱力学の散逸構造の理論 [G. Nicolis and I. Prigogine, “Self-Organization in
Nonequilibrium Systems”, Wiley (1977)] をモチーフに記述するものである．散逸構造は系内でのエントロピー生成と系外へのエントロピー散逸のバランスに よって平衡から遠いところに現れる．量子版の散逸構造の理論構築のためには，元の理論から示唆されるように，非線形系かつ開放系を扱うことが必要になる．この理論は非相対論系の電磁量子力学の作用積分から出発し，内在ベクトルポテンシャル，つまり，ドレスドフォトンにより非線形性を考慮し，また，因果律と反因果律の調整，及び，ゲージ関数の調整を行うことで開放系を記述する．

12:15 ～ 13:30
昼食休憩
セッションII：量子ウォークによるドレスト光子研究、比較研究としての光合成

13:30 ～ 14:15
瀬川悦生（横浜国立大学）
演 題 ： 量 子 ウォ ー ク の C o m f o r t a b i l i t y
講演概要：内部グラフに対して量子ウォークの打ち込みを続けることにより、そのグラフの表面から応答が得られる。この応答から、内部グラフの構造の情報を得ることができる場合がある。この研究ではさらに進んで、このグラフの量子ウォークによる「表面上の様子」だけではなく、その「内面」についても観察したい。そのための一つの手段として Comfortability という概念を導入し、量子ウォーカーが十分に時間経過したときに、どの位そのグラフに蓄積されているか、つまり、どのくらいこのグラフを居心地よく感
じているかに着目する。すると、この量が量子ウォークによって誘導されるグラフのある幾何的な構造を表す量によって表現されることがわかったので、報告する。

－iv－

14:15 ～ 15:00
松 岡 雷 士 ( 広 島 工 業 大 学)
演 題 ： ネ ッ トワ ー ク 量 子 ウ ォ ー クモ デ ル に お け る 迷路 解 決 挙 動
講演概要：量子ウォークモデルに基づくドレスト光子の自律的エネルギー移動の研究が進んでいる。本講
演では迷路状に構成されたネットワーク上で時間発展させた量子ウォークが、あたかも迷路の最短経路を導き出すような挙動を示すことについて、最新の研究結果を報告する。数値計算の結果、最短経路に残留する振幅の絶対値はほぼ全て何らかの有理数で表現できることがわかっており、ネットワーク構造と対応する明確な数学的規則の存在が示唆される。

15:00 ～ 15:45
矢 吹 哲 夫 ( 北 星 学 園 大 学経 済 学 部 )演題：量子コヒーレンス・デコヒーレンス指標とその時間発展についての考察（光合成の 研 究 解 析 に向 け て ）講演概要：本講演では、1990 年代に L.Mandel が提起した「Coherence and indistinguishability」を概観した後、近年研究が進んでいる「Purity of state」等の「量子コヒーレンス指標」について、独自に加えた“エントロピー指標”を含む４つの指標について行なった比較考察の結果を報告する。また、特にこの間（2020 年、2021 年）報告されている「Purity of state」の時間発展のシミュレーションによって見出されたその“回復”についての研究内容を紹介し、その結果について行なった考察を報告する。

2022年2月24日（木）セッションIII：量子場理論からの様々なアプローチ

10:00 ～ 10:45
西 郷 甲 矢 人 （長 浜 バ イ オ 大 学 ）演 題 ： 圏 代 数と し て の 量 子 場
講演概要：本講演においては、圏代数および圏上の状態の概念に基づく量子場への新しいアプローチを提起する。われわれは、量子場およびその状態を部分的に定義された対合構造をもつ「因果的な圏」の上の圏代数および状態として定義する。単に圏を用いるだけではなく圏代数と圏上の状態を用いることにより、圏論的構造としての相対性と非可換確率構造としての量子性を直接的に統合できる。代数的量子場理論や位相的量子場理論との概念的な関係性についても議論する。

10:45 ～ 11:30
岡 村 和 弥 ( ド レ ス ト 光 子研 究 起 点 / 名 古屋 大 学 )演 題 ： C * - 代 数 的 量子 論 に お け る シ ュレ デ ィ ン ガ ー 描 像
講演概要：C*-代数的量子論におけるシュレディンガー描像について議論する。シュレディンガー描像では、－v－

（系とその環境の）力学によって引き起こされる系の状態変化を扱う。ここでは、Dirac の遷移確率の概念が中心的な役割を果たします。遷移確率を用いてシュレディンガー像を圏論的に定式化する。さらに、遷
移確率の理論を量子測定理論と結びつける。C*-代数的量子論における，セクター理論と整合的な量子測定の公理的アプローチは，圏論的な設定における遷移確率の良い例を与える。

11:30 ～ 12:15
廣 島 文 生 ( 九州 大 学 数 理学 研 究 院 )演 題 ： ニ ュ ート ン ・ マ ク ス ウ ェ ル方 程 式 を 非 相 対 論的 Q E D と 連 立さ せ た 準 古 典 近 似
講演概要：古典的な電磁場と荷電粒子の相互作用を記述する運動方程式である Newton-Maxwell equation
を場の量子論の模型から準古典近似で導く。初期データ(q,p,\alpha(k))に対して Newton-Maxwell
equation の解を(q(t),p(t),\alpha(k,t))とする。(q,p,\alpha(k))に(q(t),p(t),\alpha(k,t))を対応させる写像をフローと呼ぶ。このフローを Wigner 測度を通じて導き出す。

12:15 ～ 13:30
昼食休憩
セッションIV：ドレスト光子の新理論周辺の数理研究

13:30 ～ 14:15
佐久間弘文（ドレスト光子研究起点）
演 題 ： オ フ シェ ル 物 理 に お け る 双対 場 の 役 割 に つ いて
講演概要：
「オンシェル場―オフシェル場」という対比においては、前者は「見えるもの」としての「図」、後者は「図」を「下支えする」「地」という見方が可能であると思われる。この見方は、着目する「物理系」とそれを記述する為に必須な「時空」という対比に例える事ができる。特に、相対論の文脈では、両者は相互に関わりあう、独特な“双対”関係を呈している事が知られているが、ここでは、その“双対”関係を再吟味する事で、如何なる「新たな見方」が可能であるかを議論する。

14:15 ～ 15:00
福本康秀 (九州大学マス・フォア・インダストリ研究所)
R o n g Z o u ( ハ ワ イ大 学 土 木 ・ 環 境 工学 科 )演 題 ： 流 体 お よ びM H D に 対す る ネ ー タ ー の第 1 、 第 2 定 理 と 南 部 括弧
講演概要：変分原理において、粒子のラベル付け替え対称性に付随する保存量がトポロジカル不変量で、ネーターの定理は、理想流体と電磁流体（MHD）に対して、トポロジカル不変量はクロス・ヘリシティに限ることをいう。クロス・ヘリシティの定義は、速度場と凍結場(=渦度場)の内積の全領域にわたる体積積分である。これに対して、オイラー的位置の関数としてのラグランジュラベルの変分を用いた証明を与える。非正準ハミルトン形式では、トポロジカル不変量はカシミール（不変量）で、クロス・ヘリシティに加えて、総質量、総エントロピー、および磁気ヘリシティがカシミールである。全エネルギーをハミル－vi－トニアンとし、4つのカシミールすべてを過不足なく用いて、理想流体およびMHDに対する南部括弧が構築できる。南部括弧から誘導されるリーポアソンブ括弧は既存のものの拡張で、クロス・ヘリシティがカシミール不変であることを自動的に保証する。また、ネーターの第2定理についても触れる。

15:00 ～ 15:45
落合啓之（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）
演 題 ： ド レ スト フ ォ ト ン の 対 称 性と グ ラ ス マ ン 多 様体
講演概要：ドレストフォトンの対称性の記述を動機として、３つの整数パラメター n,r,s に依存したリー群と等質空間の不変式論や軌道分解を与えた。オリジナルのドレストフォトンの場合(n,r,s)=(4,2,1)
がその記述の応用として得られることも解説する。

15:45 ～ 16:15
総合討論

－vii－

1

オフシェル科学理論のためのドレスト光子*実験研究の進展(*) Dressed photon (DP)大津元一
一般社団法人ドレスト光子研究起点

http://jpn.rodrep.org/

2

目次

Ⅰ

原理確認

Ⅱ

DPの生成と測定の基本的方法

Ⅲ見出された新奇な現象

1. 相互作用の空間・時間特性
2. 単一光子での動作
3. DPの寸法の最大値
4. 発光ダイオード（LED)型デバイス、
レーザー型デバイスとスピン０の光の発生

Ⅳ

まとめと今後

－1－

3

目次

Ⅰ

原理確認

Ⅱ

DPの生成と測定の基本的方法

Ⅲ見出された新奇な現象

1. 相互作用の空間・時間特性
2. 単一光子での動作
3. DPの寸法の最大値
4. 発光ダイオード（LED)型デバイス、
レーザー型デバイスとスピン０の光の発生

まとめと今後Ⅳ

ドレスト光子(DP)（その生成と測定）
DPの生成

DPの測定

入射光

入射光

ドレスト光子

ドレスト光子

散乱光１

4

散乱光２
光検出器
ナノ物質１

ナノ物質１
DPはナノ物質の境界面（物質の表面など）に生成し、局在。

ナノ物質２

DPは近接するナノ物質間で双方向に移動(二つのナノ物質はDPを介して相互作用）。

場の破壊測定ナノ物質の寸法

寸法 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥(≃ 𝑎𝑎𝑎𝑎) ≪ 𝜆𝜆𝜆𝜆（入射光の波長）－2－DPをどのように記述してきたか？

5

DPの寸法 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥(≃ 𝑎𝑎𝑎𝑎) ≪ 𝜆𝜆𝜆𝜆（入射光の波長）
ナノ物質の寸法

不確定性原理 𝛥𝛥𝛥𝛥𝑝𝑝𝑝𝑝 ⋅ 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 ≥ ℏエネルギー 𝐸𝐸𝐸𝐸 (∝周波数 𝜈𝜈𝜈𝜈 ）On-shell
物質中（例：励起子ポラリトン）

𝛥𝛥𝛥𝛥𝑝𝑝𝑝𝑝 ≫ 𝑝𝑝𝑝𝑝（ 𝛥𝛥𝛥𝛥𝑘𝑘𝑘𝑘 ≫ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ）記述の際の問題・off-shellの電磁場に起源をもつ「変形した光子の場」

真空中

Mass shell
Off-shell

さらに（一般論として）・光・物質相互作用（DPの生成に関わる）
を誘起するには縦波のクーロンモード
が関与【Ojima】(2006)。

運動量 𝑝𝑝𝑝𝑝 ∝波数 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∝1/(波長 𝜆𝜆𝜆𝜆 ）DPをどのように記述してきたか？（続き）
これまでの応急策：On-shell科学の理論手法を借用。
（フーリエ変換）電磁場をモードの重ね合わせで表現し、それがナノ物質中の無限数のエネルギー準位の電子（励起子）と相互作用。

光子は電子（励起子）のエネルギーの衣をまとう(dress)
物質

不純物原子

さらにDPはフォノンと相互作用、結合－3－6DPとは何か？その起源は？---Off-shell科学---

7

ドレスト光子（DP）
・光照射時の光・物質相互作用により生成された量子場。 DP＝off-shellの電磁場に起源
・ナノ粒子に局在、その寸法は照射光波長より小さい。
さらに・この量子場には相互作用を誘起する縦波のクーロンモードが関与。
On-shell科学：通常の伝搬光（上記の照射光）

・光波長以上の巨視的領域にて観測可能なon-shellの電磁場。
・横波の光子。（縦波は非物理量と考えて排除）

相互作用を扱うには・【Ojima】(2006)の指摘に注意：
縦波は非粒子モードとして物理的意味を持ち、相互作用に関わるクーロン力に関連。
・「相互作用」、「縦波」を扱う科学、理論が必要＝Off-shell科学→佐久間理論On-shell vs.Off-shell・原理・・・相互補完、重複無し∴現象・・・異なる
しかし
応用技術・・・一部重複

エネルギー 𝐸𝐸𝐸𝐸 (∝周波数 𝜈𝜈𝜈𝜈 ）On-shell
物質中（例：励起子ポラリトン）

真空中
On-shell科学

Mass shell
Off-shell

運動量 𝑝𝑝𝑝𝑝 ∝波数 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∝1/(波長 𝜆𝜆𝜆𝜆 ）DPの寸法 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥(≃ 𝑎𝑎𝑎𝑎) ≪ 𝜆𝜆𝜆𝜆（入射光の波長）
ナノ物質の寸法

不確定性原理 𝛥𝛥𝛥𝛥𝑝𝑝𝑝𝑝 ⋅ 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 ≥ ℏOff-shell 科学

𝛥𝛥𝛥𝛥𝑝𝑝𝑝𝑝 ≫ 𝑝𝑝𝑝𝑝（𝛥𝛥𝛥𝛥𝑘𝑘𝑘𝑘 ≫ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ）－4－8

重複しない原理・異なる現象の応用技術

9

シリコン発光、受光、制御素子

10

目次

Ⅰ

原理確認

Ⅱ

DPの生成と測定の基本的方法

Ⅲ見出された新奇な現象

1. 相互作用の空間・時間特性
2. 単一光子での動作
3. DPの寸法の最大値
4. 発光ダイオード（LED)型デバイス、
レーザー型デバイスとスピン０の光の発生

Ⅳ

まとめと今後－5－ファイバプローブを使う
DPの生成

11

DPの測定

Iモード
(Illumination)

Cモード(Collection)

ファイバプローブの実際と性能比較

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓𝑓𝑓 (nm)－6－12

測定の効率

ナノ物質１

13

ナノ物質２

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠

測定効率が高い領域

DPの階層性：測定距離に依存

入射光

－7－

14

15

不規則配列のナノ粒子を使う
ランダムに配置された
複数のナノ粒子 ドレスト光子
散乱光

Iモード

入射光

エネルギー移動

ドレスト光子

光検出器
ナノ粒子

ランダムに配置された
複数のナノ粒子
ドレスト光子
散乱光

Cモード

光検出器

入射光

エネルギー移動ナノ粒子

ドレスト光子

16

目次

Ⅰ

原理確認

Ⅱ

DPの生成と測定の基本的方法

Ⅲ見出された新奇な現象

1. 相互作用の空間・時間特性
2. 単一光子での動作
3. DPの寸法の最大値
4. 発光ダイオード（LED)型デバイス、
レーザー型デバイスとスピン０の光の発生

Ⅳ

まとめと今後－8－

17

DPエネルギー移動の選択性、非線形性
遠方で測定

近くで測定
ファイバプローブ

レンズ
GaNの
ナノ粒子

少数のナノ粒子を測定するために

紫外線

しかし

選択性、
非線形性

発光強度
（任意目盛り）

発光強度（任意目盛り）

ナノ粒子の寸法のばらつき→不均一広がり

のはず

18

GaN

5nm

<5nm

発光強度
（任意目盛り）

最低励起準位は電気双極子禁制。
しかし発光。

発光強度（任意目盛り）

DPエネルギー移動の距離依存性－9－305 ps260 ps19

出力信号強度（任意目盛り）

DPエネルギー移動の双方向性

CuClのナノ粒子

20

DPエネルギー移動： Random walkでよい？

出力信号強度（任意目盛り）、

章動の周期＝150ps(

exp − t / τ f 2)

Random walk

exp ( −t / τ f 1 )Quantum walk

－10－

21

DPエネルギー移動の空間的特性
ナノ粒子（NP) は固定、その間をDPのエネルギーが移動する系

L (μm）

ナノ光伝送路実験（CdSeのNP)

発生する伝搬光のパワーが最大になるよう、DPはそのエネルギー移
動経路を自律的に選択
自律的に結果へと至る

22

目次

Ⅰ

原理確認

Ⅱ

DPの生成と測定の基本的方法

Ⅲ見出された新奇な現象

1. 相互作用の空間・時間特性
2. 単一光子での動作
3. DPの寸法の最大値
4. 発光ダイオード（LED)型デバイス、
レーザー型デバイスとスピン０の光の発生

Ⅳ

まとめと今後－11－

23

単一のDP量子のエネルギー移動

Hanbury Brown-Twiss法

anti-bunching

24

目次
Ⅲ

見出された新奇な現象

1. 相互作用の空間・時間特性
2. 単一光子での動作
3. DPの寸法の最大値
佐久間理論【DPの寸法の最大値】
・DP場の空間的広がり（湯川関数）を表す正の定数κ r の最小値は κ 0 。

( )2・ κ 0 は離散的なエネルギーの量子に相当・DP の最大寸法は 1/ κ 0（DP定数）・・Heisenbergカット－12－光化学気相堆積の実験による推定：

原理

25

可視光（低い光子エネルギー）

結果

26

分子： DEZn
光源波長： 488 nm

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝

分子： DEZn
光源波長： 684 nm

FWHM

分子： Zn(acac)2光源波長： 457 nm
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝

DPの寸法の最大値＝40～70 nm－13－自律的エッチングによる物質表面平坦化の実験による推定：27
原理
可視光（低い光子エネルギー）

Cl2

Cl*

結果

28

DPを使った方法

伝搬光を使った方法

エッチング前後の凹凸の比

紫外線（高い光子エネルギー）

エッチング前後の凹凸の比

可視光（低い光子エネルギー）

光源の波長
凹凸の周期 (nm)光源の波長凹凸の周期 (nm)波長以下が平坦化

DPの寸法の最大値＝40～70 nm－14－波長以上が平坦化

29

目次
Ⅲ

見出された新奇な現象

4. 発光ダイオード（LED)型デバイス、
レーザー型デバイスとスピン０の光の発生
佐久間理論

Ⅳ まとめ
【DPから発生した伝搬光は普通の光とは違う】
・DP場のスピンが0の場合、それが脱励起・発生した伝搬光のスピンも0。
・スピン０の粒子が近接しているとそのクラスターはエネルギーの蓄積された単一粒子（弾丸）として振る舞う。
→LED, レーザーの光とは異なる、新しい光。

LED型のSi光デバイス (λem=1.2-1.3 μm)

30

新奇な現象
DP援用アニールを施されたSi結晶は間接遷移型半導体にもかかわらず、
高い光パワーを放出する光デバイスとなる。

光子ブリーディング
市販品：
InGaAs –LED
（2 mW ）

本デバイス(2 W)

新奇な現象
発光の光子エネルギー（≠Siのバンドギャップエネルギー）＝DP援用アニールの際の照射光の光子エネルギー－15－スピン0のDP場から発生した伝搬光の特性測定 31
・LED型のSi光デバイス*表面付近の複数の微小輝点からの発光のパルス列を測定。
(*) 直流電流注入時の発光はパルス列（幅：約50ps, 繰り返し：約1GHz）

TAC

Det.1

超伝導単一光子検出器
Det.2
Si-LED

Hanbury Brown-Twiss法

・接近した複数の微小輝点から発生する光のパルス列を測定。
・微弱な単一光子の計測ではない。
光子クラスターを測定。しかし・・・

スピン0のDP場から発生した伝搬光の特性測定 32
anti-bunching≠0

2次相関係数の測定値

・LED型のSi光デバイス中の近接した複数の輝点から発生する光子に起因。
・それらが近接しクラスターとなっているので単一光子のように振る舞う。
DPクラスター光

スピン０粒子の局在性と関係
新奇な現象
・スピン０の粒子が近接しているとそのクラスターはエネルギーの蓄積された単一粒子（弾丸）として振る舞う→LED, レーザーの光とは異なる、新しい光。

－16－

33

目次

Ⅰ

原理確認

Ⅱ

DPの生成と測定の基本的方法

Ⅲ見出された新奇な現象

1. 相互作用の空間・時間特性
2. 単一光子での動作
3. DPの寸法の最大値
4. 発光ダイオード（LED)型デバイス、
レーザー型デバイスとスピン０の光の発生

Ⅳ

まとめと今後34

新理論による裏付け【DPの発生の機構】
・timelike Majorana粒子・反粒子の対が生成した後、それが消滅するとboson場が生まれる。これがDP！
【DPの寸法の最大値】
・DP場の空間的広がり（湯川関数）を表す正の定数κ r の最小値κ 0 の逆数1/ κ 0・・・DP の最大寸法【DPから発生した伝搬光は普通の光とは違う】
・スピン０の粒子が近接し、そのクラスターはエネルギーの蓄積された単一粒子（弾丸）として振る舞う。
→LED, レーザーの光とは異なる、新しい光。

－17－

35

発生したDPのエネルギー移動の時空特性は？

・発生したDPは、近隣のナノ粒子に跳躍（DPのエネルギーは近隣のナノ粒子に移動）
・この移動はナノ粒子間での光・物質相互作用によるエネルギーの授受。
実験によると新奇な現象
DPの移動には階層性がある。
空間
DPはナノ物質間を自律的に移動。
DPのエネルギー移動の時間変化はランダムウォーク過程のそれより急速。 時間36発生したDPのエネルギー移動の時空特性は？

量子ウォーク（ＱＷ）モデル

𝜓𝜓𝜓𝜓𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑦𝑦𝑦𝑦 =ファイバプローブDP𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷+
𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷−

𝑦𝑦𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑦𝑦𝑦𝑦ψ t +1,( x , y ) = P+ψ t ,( x −1, y ) + P−ψ t ,( x +1, y ) + P0ψ t ,( x , y )

入射光
DP









ψ t +1,( x , y ) = P+ψ t ,( x , y −1) + P−ψ t ,( x , y +1) + P0ψ t ,( x , y )x/J（DP的な軸）入射光= 𝑃𝑃𝑃𝑃+ + 𝑃𝑃𝑃𝑃− + 𝑃𝑃𝑃𝑃0𝑈𝑈𝑈𝑈 𝜃𝜃𝜃𝜃 = exp 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑈𝑈𝑈𝑈ξ（QW的な軸）－18－

九州大学IMI共同利用・共同研究拠点【研究集会】
解析から設計に向けたオフシェル数理科学

民間セクターからの招待講演：

ドレスト光子ー自由光子の変換とナノ構造形成に関する考察
Considerations on Dressed and Free Photon Conversion
and Nanostructure Formation
株式会社リコー 先端技術研究所 HDT研究センター
三宮 俊
Human Digital Twin Institute,
Advanced Technology R&D Division, Ricoh Co., Ltd.
Suguru Sangu
2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

1

リコーでの仕事、ドレスト光子研究との関わり▪ リコーでの研究履歴▪ 『デジタルツイン』とは？

FY1998-2003
ERATO大津局在フォトンプロジェクト(JST)Human digital twin

リコー参画国プロ
2003
リコー入社➡

FY2002-2006
大容量光ストレージ技術の開発事業

FY2006-2010
低損失オプティカル新機能部材技術開発(NEDO)MEMS

FY2007-2016(MEMS,センサ関連)
先端融合領域イノベーション創出拠点形成プログラム『マイクロシステム融合研究開発拠点』(文科省)
2017ドレスト光子研究起点における研究活動に参画
https://www.accenture.com/jp-ja/insights/public-service/digitaltwin-city
2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）－19－

赤枠： 三宮が関わる／関わったもの2アウトライン
1. DP-FP変換の仮説（Symmetry論文概説)
2. 不純物を含む系の数値シミュレーションモデル
3. シミュレーション結果の考察(a)不純物配置とDPの局在状態(b)誘導放出の効果について

4. 不純物の自律的最適配置の再現に向けて
5. まとめ2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

3

1. DP-FP(※)変換の仮説（Symmetry論文概説)※DP:ドレスト光子、FP:自由光子▪ DPを表わす基底状態の検討
2Dテイパープローブの計算例① 長距離影響を含む基底間の相互作用は、軽い質量の準粒子(DP)の交換と見なせる。

𝑉𝑉(𝑟𝑟)
ห𝜙𝜙1 ൿ

𝑉𝑉 𝑟𝑟 ∝𝑉𝑉(𝑟𝑟)

exp −𝑚𝑚eff 𝑟𝑟
𝑟𝑟

ห𝜙𝜙2 ൿ

ห𝜙𝜙3 ൿ

ノードに束縛されたDP基底によるホッピング移動

2022/2/22,24𝑉𝑉෨

定常解(密度行列)を対角化する基底解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）－20－② 質量の軽いDP基底は、エネルギー
散逸の影響によりリザバー(熱浴)のように振る舞う。

FPリザバー4逆正弦法則との対応▪ 本論理展開の起源(西郷先生の推論)– 逆正弦法則における端部の振る舞いと、ドレスト
光子の局在現象のアナロジー
𝜙𝜙 𝑥𝑥 = 𝐻𝐻𝑛𝑛 𝑥𝑥 exp −n=1➡ 境界の形状を反映した、高励起状態を含む様々な基底状態の混合状態としてDPを表現した。

𝑥𝑥 2
2

1

𝜋𝜋 𝑎𝑎 2 − 𝑥𝑥 2

– 逆正弦関数の幅(定義域)の広いものがFP的➡ 大きな空間分布をもつ基底とエネルギー散逸(FPリザバー)とを対応付けた。

– 量子古典対応？
n=40➡ 大きな空間分布をもつ基底を介したデコヒーレン
スにより、古典的な描像に繋がっている？

初期の目論見には、だいぶ近づくことができたのでは？
Ex. 調和振動子の高次モード
2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

5

2. 不純物を含む系の数値シミュレーションモデル
▪ ドレスト光子特有の現象(エンジニアリング側)を現行モデルで定量的定性的に記述できないか？
DPP(※)援用アニール※ ＤＰＰ＝Dressed Photon Phonon

田中肇，「ドレスト光子フォノンを用いた pnホモ接合
Si赤外レーザー」，東京大学 (2015) 博士論文
2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

－21－

6

不純物を含む系のシミュレーションモデル
まず、不純物を含む系におけるDPの特徴
的な振る舞いを押さえることを目的とする。

free photon(radiative dissipation)

Inter-nodeinteraction▪ 本発表で採用するモデル– 各ノードはDP(束縛された準粒子)の意味• フォノンの影響については今後改めて検討– 物質の表現• 2次元物質を仮定• 不純物を１個または２個、自由に配置– DPエネルギー移動• 同種または異種粒子間で異なる結合強さ

non-radiative dissipation

coherent excitation– エネルギー散逸

サイト間の結合強さ：• DPとして、2次元境界面(線)で非輻射散逸• FPとして、全てのノードから輻射散逸

𝑉𝑉 𝑟𝑟 = 𝑉𝑉0 exp −𝜇𝜇𝜇𝜇• 誘導放出なし／あり、それぞれを計算– 入力は、全てのノードをコヒーレントに励起
2022/2/22,24

𝑉𝑉0 = ൝解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

1 (同一粒子間)0.5 (異種粒子間)7

量子密度行列を用いたダイナミクスの記述▪ 量子マスター方程式

Inter-nodeinteraction

𝑑𝑑 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡𝑖𝑖≈ 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 , ℏ ෍ 𝑉𝑉𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑟𝑟𝑖𝑖 − 𝑟𝑟𝑗𝑗
𝑑𝑑𝑑𝑑
ℏ
𝑖𝑖≠𝑗𝑗

+

2022/2/22,24𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗 + 𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗†①格子点間(湯川型)相互作用𝑖𝑖𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 , ෍ 𝜇𝜇𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 + 𝐴𝐴መ 𝑖𝑖ℏ

𝛾𝛾𝑛𝑛𝑛𝑛+2+

free photon(radiative dissipation)𝑖𝑖

෍𝑖𝑖,𝑗𝑗= edge

②外場によるコヒーレント励起

2𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ𝑗𝑗† − 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 − 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗

各種パラメータ値
𝑉𝑉𝑖𝑖,𝑖𝑖+1 = 1.0(最隣接)𝜇𝜇𝑖𝑖 = 1.0
𝛾𝛾𝑛𝑛𝑛𝑛 = 10,𝛾𝛾𝑟𝑟 = 0.01

𝛾𝛾𝑟𝑟
෍ 2𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ𝑗𝑗† − 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 − 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗
2𝑖𝑖,𝑗𝑗

coherent excitation

non-radiative dissipation③境界部への散逸(Lindblad型)④自由光子場への散逸(Lindblad型)

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

－22－

8

3. シミュレーション結果の考察(a)不純物配置とDPの局在性
40

欠陥なし

#26 #27

Quasi-steadyearly stage state

30

nm
zz nm

#14
#6

#2

20

10

#7

#1

0.08

#3

#4

#5

0

0
20

0
x nm

20

40

１欠陥(中央)

0.08
30

z nm

#14

20

10

0

0
20

0

40

１欠陥(非対称)

20

x nm

0.08
30

z nm

#15

20

10

0

0
20

2022/2/22,24

0
x nm

20

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

940

2欠陥(連続、非対称)

0.08

30

z nm

#15
#14 #15

20

#14

10

0

0
20
40

2欠陥(間欠、対称)

0

20

x nm

0.08
30

z nm

#13
#13

#15

#15

20

10

0

0
20

40

2欠陥(間欠、非対称)

0
x nm

20

0.08

#14

#16

z nm

30

#14

#16

20

10

0

0
20

2022/2/22,24

0
x nm

20

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

－23－

10

50

40

#18

0.08

30

z nm

2欠陥(ランダム)

#18
#4

20

10

#4

0

0
20

0
x nm

40

20

0.08
30

#19
z nm

#16
#１６

20

#19
10

0

0
20

20

40

0.08
30

#15

#9

z nm

不純物位置や距離による
DP局在状態の変化は見られるが、いまのところ
法則性は掴めていない。

0
x nm

#15

10

0

0
20

2022/2/22,24

#9

20

0
x nm

20

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

11

3. シミュレーション結果の考察(b) 誘導放出の効果について▪ 不純物(ドーパント)が固定される仕組み
誘導放出がある系では、DPを冷却しやすい(DPの局在を平滑化する)
不純物配置がある？

田中肇，「ドレスト光子フォノンを用いた pnホモ接合
Si赤外レーザー」，東京大学 (2015) 博士論文

2022/2/22,24

基底変換により、DP真空状態と励起状態の遷移確率の高いモード(基底関数)を抽出してみる。

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

－24－

12

量子密度行列を用いたダイナミクスの記述▪ 量子マスター方程式(誘導放出あり)
𝑑𝑑 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡𝑖𝑖≈ 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 , ℏ ෍ 𝑉𝑉𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑟𝑟𝑖𝑖 − 𝑟𝑟𝑗𝑗
𝑑𝑑𝑑𝑑ℏInter-nodeinteraction𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗 + 𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗†

𝑖𝑖≠𝑗𝑗①格子点間(湯川型)相互作用

𝑖𝑖②外場によるコヒーレント励起

free photon(radiative dissipation)𝑖𝑖+ 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 , ෍ 𝜇𝜇𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 + 𝐴𝐴መ 𝑖𝑖ℏ
𝛾𝛾𝑛𝑛𝑛𝑛+2෍𝑖𝑖,𝑗𝑗= edge

2𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ𝑗𝑗† − 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 − 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗③境界部への散逸(Lindblad型)

non-radiative dissipation

𝛾𝛾𝑟𝑟+
1 + 𝑛𝑛 𝜔𝜔 ෍ 2𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ𝑗𝑗† − 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 − 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗
2𝑖𝑖,𝑗𝑗

coherent excitation④自由光子場へのエネルギー放出(Lindblad型)

𝛾𝛾𝑟𝑟+ 𝑛𝑛 𝜔𝜔 ෍ 2𝐴𝐴መ†𝑖𝑖 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ𝑗𝑗 − 𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗† 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 − 𝜌𝜌ො 𝑡𝑡 𝐴𝐴መ 𝑖𝑖 𝐴𝐴መ𝑗𝑗†
2𝑖𝑖,𝑗𝑗

2022/2/22,24⑤自由光子場からのエネルギー吸収(Lindblad型)

https://optronics-media.com/publication/
レーザー講座/20160617/42655/

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）13

誘導放出下でのDP局在状態の変化
40

0.08

2欠陥(間欠配置)
z nm

30

20

FP数 𝑛𝑛 𝜔𝜔 = 10

10

0

0

#13

40

#15

20

0
x nm

20

0.08

z nm

30

20

FP数 𝑛𝑛 𝜔𝜔 = 100

10

0

0
20

40

20

0.08
30

z nm

FP数の増加とともにDPの局在効果が弱くなっていく。

0
x nm

20

FP数 𝑛𝑛 𝜔𝜔 = 1000

10

0

0
20

2022/2/22,24

0
x nm

20

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

－25－

14

DP(内部)とFP(外場)との相互作用の記述▪ DPの粒子数により切り分ける基底変換
量子密度行列(準定常状態)

エネルギー放出
(散逸)

真空状態
↘

𝝆𝝆 =

エネルギー吸収DP1粒子状態だけを対角化する基底変換

DP1粒子状態

空間モードを顕わにするための基底変換
2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

15

基底関数セットの可視化例
真空状態

境界モード？

不純物位置を表現

2022/2/22,24

巨視的励起

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

－26－

16

主要空間モードの可視化
FP数 𝑛𝑛 𝜔𝜔 = 10

▪ DP1粒子状態を対角化する基底変換#13

FP数 𝑛𝑛 𝜔𝜔 = 100#15

誘導放出影響が大きくなると、局在性の強いDP基底のエネルギー放出／吸収への寄与は小さくなる。

FP数 𝑛𝑛 𝜔𝜔 = 1000

「冷却されている」と解釈できるか？
2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

17

4. 不純物の自律的最適配置の再現に向けて▪ 現状の問題点（表現できていない状況）– 背景（不純物以外）のノードによる誘導放出が含まれている。 ← Siの場合は禁制– 基底変換後のDP基底状態には自己エネルギーに対応する成分(対角成分)が含まれるが、フォノンの影響と捉えることはできないか？

▪ 自律的な最適配置を再現するには？
– DPの真空状態と特定の基底状態の占有確率を高める(誘導放出が支配的な)不純物最適位置を探索すればよいか？
➡ 現状は、系全体に広がる空間分布をもつ基底状態が誘導放出を起こしている。
➡ 現状は、局在性を有する基底状態は誘導放出により見えなくなる。

– 誘導放出の過渡的応答を追跡すればよいか？(不純物拡散→局在→誘導放出の過程をモニタ)

2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

－27－

18

5. まとめ(DP現象の数値モデル化)▪ 基底変換によりDPの空間分布を反映した状態を抽出する方法を提案し、(質量をもつ)DPが(質量ゼロの)FPへ接続する一つのモデルを説明した。
(実際の物理現象のシミュレート)▪ 上記モデルを用い、複数不純物の配置に依存したDPの局在性の変化を数値シ
ミュレーションにより可視化した。（ただし、その法則性は見い出せていない。）▪ FPの誘導放出が、DPの局在性を解消するように働くことを数値シミュレーションにより示した。

(最適設計へのアプローチ)▪ DP系が自律的に最適構造へ向かう仕組み(設計・制御)について、”現在検討中”
2022/2/22,24

解析から設計に向けたオフシェル数理科学（Zoomミーティング）

ご清聴ありがとうございました。

－28－

19

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Theory of Quantum Dissipative Structureassociated with Dressed Photonsࡔ໺ɹࡈࢁསେֶ޻ֶ෦

I. Banno
Univ. of Yamanashi

e-mail: banno@yamanashi.ac.jp

Feb. 22, 24, 2022
IMI ‫ॴڀݚ‬

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－29－

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－30－

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DP=಺ࡏి࣓৔Λ‫ݪ‬Ҽͱ͢Δಛҟͳ‫ݱ‬৅ #2

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• Si LED APB(2011)• SiC LED Silicon Light-Emitting Diodes and Lasers(Springer,2016)• Si IR laser APL(2012)‫ڊ‬େ࣓‫ޮֶޫؾ‬Ռʢؒ઀ɾ௚઀ભҠ‫ܕ‬ʣ
• SiC Silicon Light-Emitting Diodes and Lasers(Springer,2016)• ZnO Scientific Reports(2013)‫ڊ‬େภ”޲”ޮՌ
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µ

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4 ′

∆Aµ (x) ඇ૬ର࿦తɼOﬀ-shellɼDPɼ಺ࡏ∫d4 x′ χµµ1 (x, x1 )∆Aµ1 (x1 )����∆j µ (x) ඇ૬ର࿦తɼ༠ಋిྲྀີ౓

• ඇ૬ର࿦త෺࣭Ԡ౴ʹΑΓੜ͡Δ ∆Aµ (x) ͸ਅۭதͷ෼ࢄؔ܎Λຬͨ͞ͳ͍ΦϑγΣϧి࣓৔ʹ DP ʹ಺ࡏి࣓৔ɽ
• ԣిྲྀີ౓ − ి࣓৔Λؔ܎͚ͮΔͷ͸ɼ஗ԆάϦʔϯؔ਺ͱઌਐάϦʔϯؔ਺ͷฏ‫ۉ‬ʢ‫ޙ‬ड़ʣɽ• Aµ (x) ͷަ‫܎ؔ׵‬͸෺࣭৔ͷަ‫܎ؔ׵‬Λ൓өɽ
－32－

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

ઁಈతѻ͍ඇઁಈతํ๏

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

͸͡Ίʹඇ૬ର࿦‫࠶Ͱܥ‬ఆٛ͞Εͨి࣓ϙςϯγϟϧͱ୯Ұ‫ײ‬ड཰ #1
࠶ఆٛ͞Εͨઁಈɾ༠ಋి࣓ϙςϯγϟϧ ɿ• ඇ૬ର࿦‫ܥ‬ͷϋϛϧτχΞϯͰ͸ɼӡಈྔʹؔ܎͢Δ VP ͸ 2 ࣍ࣜɼΤωϧΪʔͱؔ܎͢Δ SP ͸ 1 ࣍ࣜͱ͍͏ґଘੑͷҧ͍͕͋ΓɼVP ͷ 2৐͔Β࡞ΒΕΔεΧϥʔ͸ిՙີ౓ͱ݁߹͢Δɽ
)
)
(
}
ℏ
ℏ
†
†
∂i − qAi ψ̂α (x)∂i − qAi ψ̂α (x) + ψ̂α (x)qϕ(x)ψ̂α (x)Ĥ = d r
−i
i
}
{
∫
(
)
q
=Ĥ (0) + d3 r ρ̂(x) ∆ϕ(x)−∆Ai (x)∆Ai (x) −ĵi (x) ∆Ai (x)� �� �
2m ����∆Ãi (x)∆ϕ̃(x)͜͜Ͱɼ��,Ĥ (0) = Ĥ �
A=A(0) , ϕ=ϕ(0)
(
)
)
(
q
ℏ
†
†
ρ̂(x) = q ψ̂α(x)ψ̂α (x) , ĵi (x) =(x)ψ̂α∂i − qAi ψ̂α (x) + h.c. ,
2m
i
∫

3

{

1
2m

(

－33－

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

ඇ૬ର࿦‫࠶Ͱܥ‬ఆٛ͞Εͨి࣓ϙςϯγϟϧͱ୯Ұ‫ײ‬ड཰ #2ඇ‫ڞ‬໐ඳ૾µµ→ ∆Ã (x) ≡∆A (x)µχ̂ µ ··· ,µ (x, x1 , · · · , xn ) →
n
1



µ

ୠ͠ɼ
χ̂ µ (x, x1 ) =
1

−q

mc2

µ

1

(

1

(

∆ϕ(x) +−q2m2|∆A(x)| , c∆A(x)

)



,

)n−1 [[
]
]
µ
(in0)
(in0)
(x2 )], · · · , ĵ µ(xn ) ,T̂
· · · [χ̂ µ (x, x1 ), ĵ µ

n! iℏc2

14δ̃ µ δ (x − x1 ) ĵ(in0) 0

1

(x)+

2

1
iℏc2

n

]
[
(in0) µ(in0) µ1,θ(ct−ct1 ) ĵ(x), ĵ• VP ͷ 2 ࣍ͷεΧϥʔΛ SP ʹ‫܁‬ΓࠐΜͰɼSPɼVP Λ࠶ఆٛ͠ɼඇ‫ڞ‬໐ඇઢ‫߲ܕ‬Λ̍࣍௿͍ SP ΁ͷԠ౴ʹ‫܁‬ΓࠐΊΔ (ඇ‫ڞ‬໐ඳ૾)ɽ

• ‫ײ‬ड཰͸‫ݩ‬ʑͷ‫ڞ‬໐߲ͷΈ࢒Γ؆୯Խɽ∆Ãµ (x) ͸ඇ૬ର࿦తͳ෺࣭
ͱ݁ͼ͍͓ͭͯΓ૬ର࿦త‫ڞ‬มੑ͸ͳ͍ɽ• ήʔδม‫׵‬ෆมੑ΋ഁΕɼΫʔϩϯήʔδ͕๬·͍͠ɽ• ৽ SP தͷ VP ͷ 2 ࣍ͷ‫د‬༩͸ΩϟϦΞʢిࢠɼਖ਼޸ʣʹඞͣҾྗϙςϯγϟϧͱͯ͠ಇ͘ɽ• ͔͠΋ɼಉ͡ϕΫτϧ৔ͷ 2 ৐ͳͷͰɼ֯प೾਺ ∼ 0ɼ͔ͭɼۭؒ೾
਺ ∼ 0 ͷ੒෼ʀ࡞༻ੵ෼૿େͷҼࢠɽ
͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

PB σόΠεʹؔ͢Δࠓ·Ͱͷਪ࡯ #1
crystalTO
LO

molecular mode
+
+

+

-

-

-

+

-

+

bending+

E(t) & B exist.

-

+

-

-

+

-

+

+

asym. stretchingE(l) exists.

ω
LA
TA

0

k

-

+

+

-

-

+

+

-

+

+

-

-

-

+

+

+

-

+

sym. stretchingrotational

π/a• ޫֶϑΥϊϯʹ͸൒೾௕ L ಺ͰಉҐ૬ͷిྲྀີ౓Λ൐͏• ͜ͷిྲྀີ౓͕ੜΉ಺ࡏ VP ඇ‫ॴہ‬తॏͶ߹ΘͤʹΑΓ૿‫ڧ‬ɼ• ͜ͷ VP ͷ͔̎࣍Β࡞ΒΕΔ༗ޮ SP ͸ k ≃ 0, ω ≃ 0 ੒෼Λ΋ͪɼΩϟϦΞʹ੩తҾྗϙςϯγϟϧΛఏ‫ڙ‬ɽ

－34－

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

PB σόΠεʹؔ͢Δࠓ·Ͱͷਪ࡯ #2• ޫֶϑΥϊϯ (∼ 50meV) ʹ൐͏ VP ͔Β࡞ΒΕΔɼ৽ SP ͕ಇ͘ྖҬͷαΠζ L ʹ͍ͭͯ 0.1µm ≤ L ≤ 6µm ͱ‫ੵݟ‬΋ΒΕɼౡߏ଄͕๬·͍͠ɽ
L ͷԼ‫ݶ‬͸ΩϟϦΞʹର͢ΔҾྗϙςϯγϟϧ͕ 2 ϑΥϊϯྭ‫ى‬ʹଧͪউͭ৚݅ɼ্‫ݶ‬͸ޫֶϑΥϊϯͷిྲྀີ౓͕ͭ͘Δ VP ͕࣌ؒ஗ΕͷޮՌ͕ޮ͔ͣʹಉ͡ํ޲Ͱॏ৞͞Ε‫ڊ‬େԽ͢Δ৚݅ɽ• 2 ࣍ඇઢ‫ܗ‬Ԡ౴͔Β࣓‫ޮֶޫؾ‬Ռͷ࣮‫ݧ‬Λ࠶‫͢ݱ‬Δిࢠ‫ܥ‬ͷαΠζ Le Λ‫ੵݟ‬΋Δͱ 1µm ͷΦʔμʔͱͳΔɽͨͩ͠ɼෆ७෺༝
དྷͷଟ਺ଘࡏ͢Δ̎४Ґ‫͕ܥ‬ίώʔϨϯτͰ͋ͬͯͦΕͧΕͷ४ҐΛ͓‫ʹ͍ޓ‬ར༻ՄೳͰ͋ΔͱԾఆɽ• ޫֶϑΥϊϯʹؔ܎͢ΔαΠζ L ͱిࢠ‫ܥ‬ͷαΠζ Le ͕ͱ΋ʹಉఔ౓Ͱ͋Δ͜ͱ͸ɼޫֶϑΥϊϯͷ VP ͕ͭ͘Δ༗ޮ SP ͷҾྗϙςϯγϟϧʹΩϟϦΞ͕ด͜͡ΊΒΕ͍ͯΔඳ૾ͱ੔߹͢Δɽ

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

δρ(x) =∫

ඇઁಈతํ๏

VP
͔Β࡞ΒΕΔ৽
SPͷ༠ಋ‫ݯ‬ઘ΁ͷ‫د‬༩
)
∫
[
] (
3

dt1 d r1 θ(t − t1 )

1

iℏ

(0)

ρ

(x), ρ

(0)(x1 ) δϕ(x1 ) −q

2m|A(x1 )|

2( )2 [[
∫
∫
∫
]
]
1
3
3
(0)
(0)
(0)
ρ
dt1 d r1 dt2 d r2 T̂(x), ρ
(x1 ) , ρ
(x2 )
iℏ
) (
)
(
q
q
2
2
δ ϕ(x2 ) −|A(x1 )|
|A(x2 )|
δ ϕ(x1 ) −
2m
2m
q (0)
δji (x) = − ρ(x)δAi (x)
m
)
∫
∫
] (
1 [ (0)q3(0)2+ dt1 d r1 θ(t − t1 )ji (x), ρ|A(x1 )|
(x1 ) δ ϕ(x1 ) −
iℏ
2m
∫
∫
]
1 [ (0)(0)
3
j− dt1 d r1 θ(t − t1 )(x), ji (x1 ) δAi1 (x1 )
1
iℏ i
)
(
∫
∫
]
1 −q
1 [ (0)q3(0)2+
dt1 d r1 θ(t − t1 )ρ|A(x1 )|(x), ρ
(x1 ) δAi (x)δ ϕ(x1 ) −
2! m
iℏ
2m
∫
∫
]
1 −q
1 [ (0)(0)3
dt1 d r1 θ(t − t1 )ρ−(x), ji (x1 ) δAi (x)δAi1 (x1 )
1
2! m
iℏ
( )2 [[
∫
∫
∫
∫
]
]
1
1
(0)
(0)
(0)
3
3
dt1 d r1 dt2 d r2 T̂
+ji (x), ji (x1 ) , ji2 (x2 ) δAi1 (x1 )δAi2 (x2 )
1
2!
iℏ
)
( )2 [[
∫
∫
∫
∫
]
] (
q
−2
1
(0)
(0)
3
3
(0)
2
ji (x), ρ
dt1 d r1 dt2 d r2 T̂
|A(x1 )| δAi2 (x2 )(x1 ) , ji2 (x2 ) δ ϕ(x1 ) −
+
2!
iℏ
2m
( )2 [[
∫
∫
∫
∫
]
]
1
1
(0)
3
3
(0)
(0)
dt1 d r1 dt2 d r2 T̂
ji (x), ρ+(x1 ) , ρ
(x2 )
2!
iℏ
) (
)
(
q
q
2
2
δ ϕ(x2 ) −|A(x1 )|
|A(x2 )|
δ ϕ(x1 ) −
2m
2m
+

∫

－35－

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

VP ͔Β࡞ΒΕΔ৽ SP ͷ࡞༻ੵ෼΁ͷ‫د‬༩‫ۉ‬Ұిྲྀ͕ͳ͕ΕΔౡߏ଄͕Ͱ͖ɼ

−q|A|2 ͕༗ҙͷେ͖͕͋͞Δͱ͠
2m

ͯɼ͜ͷ߲͕‫د‬༩͢Δ෦෼ʹண໨ɽ
∫ ∫
(
)
q
δImat = dt d3 r δji (x)δAi (x) − δρ(x)δ ϕ(x) −|A(x)|22m∫ ∫−q= dt d3 r
ρ(0) (x)|δA( x)|2
m
∫ ∫
∫ ∫
]
(
)
1 [ (0)q3
ji (x), ρ(0) (x1 ) δAi (x)δ ϕ(x1 ) −|A(x1 )|2
+ dt d r dt1 d3 r1iℏ2m• ୈ߲̍͸൓࣓ੑిྲྀͷ‫د‬༩Ͱෛఆ஋ɼ௨ৗɼৗ࣓ੑిྲྀ͕༗ҙ͕ͩɼʮౡߏ଄ʯੜ੒ʹΑΓͦΕʹউͭ͜ͱͰ͖Δɽ͜ͷ৔߹ͷ൓࣓ੑిྲྀ͸ճ෮ͷํ޲Ͱ͋Γɼ‫ܥ‬ͷ҆ఆੑΛҙຯ͢Δɽ
ʢˎൃද‫ޙ‬ͷமΛ࠷‫͔ॻʹޙ‬͍͖ͤͯͨͩ·͢ʣ• ిྲྀ஫ೖʹΑΓɼୈ߲̏͸ෛʹ΋ਖ਼ʹ΋ͳΔɽਖ਼ͷํ޲͸༳Β͗ͷ૿௕ɼෆ҆ఆΛҙຯ͠৽͍͠ߏ଄ʹ޲͔͏ͱߟ͑ΒΕΔɽ
−q|A|2 ͷ̎ͭɼ̏ͭͷ߲͸ɼ
•
2m
(
)
q
|A(x)|2 ͷ̎ͭͷ‫د‬༩ʹΑΓΩϟϯ
δji (x)δAi (x) − δρ(x)δ ϕ(x) −
2m
ηϧ͢Δɽ

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

• ઁಈతํ๏ʹΑΓɼίώʔϨϯτͳౡߏ଄͕Ͱ͖ͨ͋ͱిྲྀ஫ೖΛ͢Δͱෆ҆ఆͱͳΔ͜ͱ͕ࣔࠦ͞ΕΔɽ͋ͨΒ͍͠ঢ়ଶ͸ඇઁಈ࿦తํ๏
Ͱ୳ࡧͯ͠ɼPB ͷൃޫʹରԠ͢Δ͔Λௐ΂Δඞཁ͕͋Δɽ

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

－36－

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

ྔࢠతࢄҳߏ଄୳ࡧͷͨΊͷ४උ• ྔࢠతࢄҳߏ଄ʢಈతߏ଄ɼఆৗঢ়ଶʣΛ୳ࡧ͢Δʹ͸ɼ࡞༻ੵ෼ͷ࠷খ஋‫ݪ‬ཧΛ‫ڌ‬Γॴʹ͢Δɽ‫ج‬ఈঢ়ଶ͔Βԕ͍ಈతঢ়ଶΛٞ࿦͢ΔͷʹΤωϧΪʔ࠷খ஋‫ݪ‬ཧ͸໾ʹཱͨͳ͍ͩΖ͏ɽ• ‫͔֎ܥ‬ΒΩϟϦΞిྲྀ஫ೖɼ‫఻΁֎ܥ‬ൖޫʢΦϯγΣϧޫʣΛࢄҳ͞
ͤΔ QED ͷ෦෼‫ܥ‬ͷ࡞༻ੵ෼͸ະ։ൃɽ• ౡߏ଄ͷ಺Λ‫಺ܥ‬ɼͦͷ֎ʹ஫ೖిྲྀͷ‫ݯ‬ʢsourceʣɼൃޫͷ‫ࠐ͍ٵ‬Έ
ʢsinkʣ͕͋Δͱͯ͠ɼۭؒత‫ڥ‬քͰ෦෼‫ܥ‬Λఆٛ͢Δͷ͕΍Γ΍͍͢ɽ• ඇઁಈతѻ͍ͱͯ͠͸ɼ෺࣭ͷిࢠ‫ʹܥ‬ඞਢͰ͋Δిࢠؒ૬‫༻࡞ޓ‬Λ
ߟྀ͢ΔͨΊʹɼSP Λిՙີ౓ؒ૬‫͖ॻʹ༻࡞ޓ‬௚͢͜ͱ͸ඞਢͷ͜ͱͱͯ͠఻౷తʹߦΘΕ͖͕ͯͨɼVP Λిྲྀີ౓ؒ૬‫ͱ༻࡞ޓ‬ΈΔ͜ͱ͸ॏཁࢹ͞Εͯ͜ͳ͔ͬͨɽ͜Ε͕಺ࡏి࣓৔ɼDP ʹର͢Δແؔ৺ͷҰҼͱͳͬͨΑ͏ʹࢥ͏ɽSP Λ͓खຊʹ VP ʹ΋ಉ͜͡ͱΛߦ͏ɽ• ཻࢠ-ి࣓৔‫͏ߦͰܥ‬ɽ

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

෦෼‫ܥ‬ͷ࡞༻ੵ෼ɼి࣓৔Λফ‫ ڈ‬#1(1) ‫Ͱܥཱݽ‬͸ɼ‫಺ܥ‬ͷిՙີ౓ɼిྲྀີ౓͔Βి࣓৔͕ੜ͡ɼ‫಺ܥ‬ͷిՙີ౓ɼిྲྀີ౓Ͱ໓͢Δɽి࣓৔͸ిՙີ౓ؒɼిྲྀີ౓ؒͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λ୲͏ɽ(2) ԣి࣓৔ʢԣ VP ࣗ༝౓ʣ͸ɼ೾ಈํఔࣜͷάϦʔϯؔ਺ʹॻ͖‫͑׵‬ΒΕ
Δ͕ɼͦͷࡍɼ஗ԆάϦʔϯؔ਺ͱઌਐάϦʔϯؔ਺ͷฏ‫͞༻࠾͕ۉ‬ΕΔɽͦ
Ε͸ɼ্‫( ه‬1) ʹΑΓɼੜ੒ɼফ໓͕‫ͳ͔Ͱ಺ܥ‬Βͣ‫͍ͯ͠ߧۉ‬Δ΂͖͔ͩΒɽ࣭ྔͱిՙΛ΋ཻͭࢠ qℓ (t), ℓ = 1, 2, · · · ͷ‫Ͱܥཱݽ‬͸ɼ∑ mℓ
I[{qℓ (t)}] =q̇ℓ (t)q̇ℓ (t)
2
ℓ
∫ ∫
∫ ∫
)
1
1 ( (ret)
(adv)
3
′
3 ′
′
′
+
dt
d
d
r
dt
r
j
(x)
(x,
x
)
+
G
(x,
x
)
jj (x′ )Giijij
8πϵ0 c22∫ ∫∫ ∫1(Coulomb)dt d3 r dt′ d3 r′ ρ(x)Gij(x, x′ )ρ(x′ )
−
8πϵ0

－37－

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

෦෼‫ܥ‬ͷ࡞༻ੵ෼ɼి࣓৔Λফ‫ ڈ‬#2(3) ۭؒత‫ڥ‬քͰɼཻࢠΛ෼͚ͯ෦෼‫ܥ‬Λఆٛ͢Δɽ֎ͷཻࢠ͸ి࣓৔ͷೖࣹ‫ݯ‬ʢ༙͖ग़͠ʣɼग़ࣹ‫ݯ‬ʢҾ͖ࠐΈʣͱͳΔɽ(4) ‫ڥ‬քΑΓిྲྀ஫ೖΛɼήʔδؔ਺ͱ݁߹ͤͯ͞ߟྀͨ͠ɽ
࣭ྔͱిՙΛ΋ཻͭࢠ qℓ (t), ℓ = 1, 2, · · · ͷ ෦෼‫Ͱܥ‬͸ɼ
I[{qℓ (t)}] =

∑ mℓ

ℓ∈V

2

q̇ℓ (t)q̇ℓ (t)

∫ ∫
∫ ∫
)
1 ( T (ret)1
T (adv)3dtdr
dt′ d3 r ′ ji (x)(x, x′ ) + Gij(x, x′ ) jj (x′ )Gij
28πϵ0 c
2
V
V
∫ ∫
∫ ∫
1
(Coulomb)dt d3 r dt′ d3 r′ ρ(x)Gij(x, x′ )ρ(x′ )
−
8πϵ0
V
V
∫ ∫
∫ ∫
(
)
1
T (ret)T (adv)
3′3 ′′ (source) ′′ (sink) ′
dt
d
r
dt
d
r
j
(x)
G
(x,
x
)j
(x
)
+
G
(x,
x
)j
(x
)
+
i
ij
j
ij
j
4πϵ0 c2V∫ ∫∫ ∫ V̄
1(Coulomb)dt d3 r dt′ d3 r′ ρ(x)Gij−(x, x′ )ρ(x′ )
4πϵ0
V
V̄
∫ ∫
3
+ dt d r ∂t (ρ(x)χ(x)) + ∂i (ji (x)χ)
+

V

͸͡Ίʹ

ઁಈతѻ͍

ඇઁಈతํ๏

·ͱΊ(1) ඇ૬ର࿦‫Ͱܥ‬ϕΫτϧϙςϯγϟϧͷ 2 ৐͕ిՙີ౓ͱ݁߹
͢ΔεΧϥʔϙςϯγϟϧͷҰ෦ͱΈͳͤΔ͜ͱͱ࠷খ࡞༻ͷ‫ݪ‬ཧΛ༻͍ͯɼϑΥτϯϒϦʔσΟϯάσόΠεͷࢄҳߏ଄Λઁಈ࿦తʹ࿦ͨ͡ɽ
(2) ༠ಋిྲྀີ౓ͷ͔ࣜΒɼిՙີ౓ͱ݁߹͢ΔϕΫτϧϙςϯ
γϟϧͷ̎৐͕ɼ‫ڊ‬େ MO ΍େ͖ͳ࣓‫ؾ‬Ԡ౴ʹؔ༩͍ͯ͠Δ͜ͱ
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ిྲྀີ౓ؒ૬‫༻࡞ޓ‬΋ಉ༷Ͱ͋Δɽ
−q|A|2 ͕े෼େ͖͘ͳͬͨ৔߹ɼ൓࣓ੑిྲྀͷ࡞༻ੵ෼΁ͷ‫د‬2m
༩ͷෛఆ஋Λߟྀͯ͠ɼ͋Βͨͳঢ়ଶΛ‫ݟ‬ग़͠ɼ͔ͦ͜Βͷ༳Β͗ͷਖ਼ෛΛٞ࿦͢΂͖ͱ͜ΖͰͨ͠ɽࠓ‫ޙ‬ɼௐ΂ͯΈ·͢ɽ͓࿳ͼͯ͠గਖ਼͠·͢ɽൃද‫ޙ‬ͷமɿ－38－

量子ウォークの Comfortability
Comfortability of quantum walk
瀬川悦生
横浜国立大学 環境情報学研究院
アブストラクト内部グラフに対して量子ウォークの打ち込みを続けることにより、そのグラフの表面から応答が得られる。この応答から、内部グラフの構造の情報を得ることができる場
合がある。この研究ではさらに進んで、このグラフの量子ウォークによる「表面上の様子」だけではなく、その「内面」についても観察したい。そのための一つの手段としてComfortability という概念を導入し、量子ウォーカーが十分に時間が経過したときに、どの位そのグラフに蓄積されているか、つまり、どのくらいこのグラフを居心地よく感じているかに着目する。すると、この量が量子ウォークによって誘導されるグラフのある
幾何的な構造を表す量によって表現されることがわかったので、報告する。
A response from the surface of the internal graph is obtained by sequential
input of quantum walks to the graph. This response tells some information on
the graph structure. In this study, we will observe not only the information on thesurface but also its interior induced by quantum walks. To this end, we
introduce the notion of "comfortability" which gives how quantum walkers are
stored in this graph for large time step; that is, how quantum walkers feel
comfortable to this graph. We show that the comfortability can be expressed bysome quantity of the graph geometry induced by quantum walk.

－39－

－40－

－41－

－42－

－43－

－44－

－45－

－46－

－47－

九州⼤学IMI共同利⽤・研究集会
解析から設計に向けたオフシェル数理科学

2022/2/22

ネットワーク量⼦ウォークモデル
における迷路解決挙動

広島⼯業⼤学
松岡 雷⼠
1

本⽇の内容
1. 少しだけ⾃⼰紹介
2. ネットワーク量⼦ウォークモデル
3. 量⼦ウォーク迷路解法
1. 解けるネットワークと解けないネットワーク
2. 収束ステップ数の検証
3. 有理数の残留振幅
4. ⾼速計算法の開発と検証
5. 既存の量⼦探索との関連
ネットワーク形成に関する共同研究
⾦⼦悠⼈さん （指導教員：瀬川悦⽣ 先⽣）2020 年度 横浜国⽴⼤学理⼯学部数物 電⼦情報軽学科 数理科学EP
卒業論⽂「量⼦ウォークによって誘導される成⻑ネットワークの構成」

－48－

2

１．少しだけ⾃⼰紹介
1998– 2007: 東京⼤学⼤学院⼯学系研究科システム量⼦⼯学専攻（原⼦⼒）・原⼦物理、レーザー冷却
2007– 2013: 原⼦⼒研究開発機構 博⼠研究員・任期付き研究員
・⼆原⼦分⼦の量⼦制御、量⼦ウォークによる同位体分離
2013– 2019: 広島⼤学⼤学院⼯学研究科機械物理⼯学専攻 助教
・半導体レーザーによるプラズマ計測、光誘導ドリフト
・量⼦ウォークに関する理論研究
・直交多項式、マシュー⽅程式
2019ｰ 現在: 広島⼯業⼤学⼯学部電気システム⼯学科 准教授
・ドレスト光⼦研究起点への参加
・ネットワーク量⼦ウォーク
・上記のやり残したこと全て

3

２. ネットワーク量⼦ウォークモデル（ 必要性と研究の流れ）
ドレスト光⼦

Toy model

DPPアニーリングにおける

ボロン原⼦の⾃律的構造発現ネットワーク上の量⼦ウォーク

複雑ネットワーク
Python 実装に課題
量⼦BAモデル

⾃⼰成⻑するネットワークと量⼦ウォークセルフループ間の固有状態

横浜国⼤
⾦⼦さんの卒研
⾼速コードで再検討
Maze‐solving

最短経路探索－49－

NOLTA 2021

Symmetry 論⽂
計算の⾼速化4ボロン原⼦の⾃律的構造発現
出射光

照射光
DPP
アニーリング
Si Crystal with
Doped B atoms

⾃律的な
構造最適化

同じ波⻑・
同じ偏光

Si-LED

ドレスト光⼦によるSi-LED型光源の製造

フォトン
ブリーディング

B原⼦対の鎖状構造の⽣成？
M. Ohtsu, T. Kawazoe, Advanced material
letters (2019)

ドレスト光⼦には⾃律的に材料の構造を最適化する作⽤がある？？
DPPアニーリング前

5

DPPアニーリング後

ネットワーク量⼦ウォークモデル
Entrance•

ノード間の有向エッジが複素振幅を持っている•

定常的に複素振幅を注⼊することで、システム全体は定常状態に達する

Exit

ドレスト光⼦現象と対応
各ノードの時間発展2d u 

•グローバーウォークと呼ばれる時間発展法•

複素振幅の⼆乗和が時間発展の前後で保存

1
次数 d  u   32
1
d u 

2d u 

6－50－

量⼦BAモデル
量⼦ウォークによる優先選択
ネットワーク上の量⼦ウォークの定常分布を基準にして優先選択を発動させる
スケールフリーネットワークの量⼦ウォーク版

最初の数ステップ（※ 前ステップとの差異を⾚で表記）

出⼝を固定すると、量⼦ウォーク特有の性質が出なかった（スケールフリーっぽい）
どうすれば直鎖が出来るのか？？

⾦⼦悠⼈「量⼦ウォークによって誘導される成⻑ネットワークの構成」

7

量⼦BAモデル（改良）
⼊⼝と出⼝の付替え :① 新規ノードが出⼝② 古い⼊⼝は削除③ １ステップ前の出⼝が⼊⼝となる

⼊⼝から−１、出⼝から１の振幅を定常的に注⼊⾦⼦悠⼈「量⼦ウォークによって誘導される成⻑ネットワークの構成」

－51－

8

ネットワーク形成
⼊⼝から
の注⼊
出⼝から
の注⼊
⼊⼝から−１、出⼝から１の振幅を定常的に注⼊この条件に限って直鎖構造が形成  0

 90

このモデルによるポピュレーション伝播には⼆つの成分が存在する
⾼速伝播成分（電流成分）と低速滞留成分（ランダムウォーク成分）
直鎖が出来るとき、低速滞留成分は全て打ち消されている

⾦⼦悠⼈「量⼦ウォークによって誘導される成⻑ネットワークの構成」

15°

990°(BAモデル)

スモールワールド
性との共存

平均頂点間距離L
クラスター係数C（友⼈の友⼈が友⼈である割合）→量⼦ウォークに
よってスケールフ
リー性とスモール
ワールド性が同時に発現

拡⼤※橙の線がCで⻘の線がLを表す。
グラフの頂点数は100頂点である。
0°(電流のみ)

2°(スモール
ワールド性)

10

10
⾦⼦悠⼈「量⼦ウォークによって誘導される成⻑ネットワークの構成」－52－

ネットワーク形成の課題
・プログラムの実装におけるメモリ不⾜ 100ノード程度が限界
・⾏列計算の課題 （⾏列の累乗の実装に不備）
・ネットワーク特徴量（平均距離・クラスター係数）が決定しきれなかった・流⼊が無くてシンプルなMaze‐solvingを優先して論⽂化・粘菌コンピューティングの量⼦ウォーク版
・計算・可視化のノウハウの蓄積

⾏列計算の⾼速化・省メモリ化
ネットワーク特徴量の計算は要検討
再挑戦の準備が整う

11

３. 量⼦ウォーク迷路解法
1. 解けるネットワークと解けないネットワーク
2. 収束ステップ数の検証
3. 有理数の残留振幅
4. ⾼速計算法の開発と検証
5. 既存の量⼦探索との関連

12

－53－

論⽂出版

・わかりやすいテーマ
・グローバー探索の新展開
13

⾃然現象における⾃律的経路探索機構
・ドレスト光⼦の⾃律的挙動 →局所的なルールに還元できる？

ドレスト光⼦以外にも

14

－54－

14

論⽂の概要

15

計算結果

16

－55－

解けない場合（奇数ループ）

17

解けない場合（永久振動）

18

－56－

残留振幅のルールについて

19

収束ステップ数について法則がありそうで、あまりない
⾮直観的

20

－57－

残量振幅は全て有理数21

振幅の⼤きさは距離に反⽐例

22

－58－

ルート共有があると規則がわからなくなる23

分岐した部分の距離には確かに反⽐例

24

－59－

⾼速化前の計算時間
23のツリーライク構造
シンク

スタート

収束まで２時間

24のツリーライク構造
ゴール

ゴール

シンク

スタート

３⽇計算しても収束しない
25

ボトルネックと⾼速化⼿法の概要
旧コード• 各ノードを「オブジェクト」で表現• 「オブジェクト」が散乱⾏列をメモリ内に保持している• 各ノードを可視化する際の座標の設定が容易• 時間発展のたびに各ノードの「オブジェクト」を呼び出す
⾼速化• 系の全時間発展を⼀つの⾏列で表現• オブジェクト呼び出しが⼀回で済む• ⾏列の累乗を専⽤関数で実⾏• 対⾓化により⼀瞬で計算が終了
26

－60－

⾼速化⼿法の概要
全てのノードで時間発展操作を逐次⾏う全てのノードの時間発展操作をまとめて⾏う

27

⾼速化の検証結果
23のツリーライク構造
106 ステップ[s] ２×106 ステップ[s]⾮⾏列プログラム

7200

14400

⾏列化プログラム

15.257131.0626

GPU使⽤時814.4004

1647.1699

linalg.matrix_power(CPU)0.0005~0.0006

0.0005~0.0015

linalg.matrix_power(GPU)0.00430.004424のツリーライク構造

⾏列化と対⾓化により、108 倍の計算スピードアッ
プを実現
GPUの利⽤は現在はスピードダウンだが、⼤きなシス
テムではさらなる⾼速化の可能性

106ステップ[s] ２×106ステップ[s]⾮⾏列プログラム

測定不可能

測定不可能

⾏列化プログラム21.282942.9818

GPU使⽤時813.7310

1628.5093

linalg.matrix_power(CPU)0.0009~0.0015

0.001~0.002

linalg.matrix_power(GPU)0.00280.0029－61－

⼤岩舜 卒業論⽂「量⼦ウォー
ク迷路解法の計算アルゴリズム改善による⾼速化」
28

⾼速化の成功で⾒えてくる可能性• 108倍以上の計算スピードアップ• ⼤きな系での速度検証• 系の⾃動⽣成と⾃動解析による性質解明• ネットワーク形成の計算が容易に• 古典経路探索アルゴリズムとの速度⽐較
29

量⼦探索の本質的発展か？

Transient signal から Steady‐state へ

－62－

30

まとめにかえて

ドレスト光⼦

Toy model

DPPアニーリングにおける

ボロン原⼦の⾃律的構造発現

フェルミオン的特性を考慮した
量⼦ウォークネットワーク上の量⼦ウォーク

複雑ネットワーク
Python 実装に課題
量⼦BAモデル

⾃⼰成⻑するネットワークと量⼦ウォークセルフループ間の固有状態

横浜国⼤
⾦⼦さんの卒研
⾼速コードで再検討
Maze‐solving

最短経路探索－63－

NOLTA 2021

Symmetry 論⽂
計算の⾼速化31

Off-shell mathematical science toward
system’s analysis and designing
2022年 2月22日、2月24日 ＠九州大学ＩＭＩ（On Line開催）
量子コヒーレンス・デコヒーレンス指標とその時間発展についての考察＝光合成の研究解析に向けて＝Theoretical consideration on measures of quantum coherence anddecoherence and its time evolution=Towards to studies of photosynthesis=

T. Yabuki

矢吹哲夫（北星学園大学 全 学 共 通 教 育 科 目 部 門 ）九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

1

今回の話題提供内容
光合成とドレスト光子も念頭に置いた、環境との相互作用（散逸）の中でのෝを用いて量子コヒーレンス・デコヒーレンス解析➡ 𝝆𝝆（0）光合成におけるコヒーレンスとデコヒーレンス（Goldilock Effect）（Ⅰ）指標（measure）の比較解析 私自身の考察と再構成、試論的考察〇4つの指標について(２自由度と３自由度以上について)ෝ (By Mandel) ２自由度に限定（１）IIndistinguishability index 𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝝆𝝆ෝ（２）PPurity of state𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝෝ = σ𝒊𝒊,𝒋𝒋 𝝆𝝆𝒊𝒊𝒊𝒊 |𝝍𝝍𝒊𝒊 ۧ ൻ𝝍𝝍𝒋𝒋 | ➡ 𝝆𝝆𝒊𝒊𝒊𝒊 （密度行列）（３）E
Entropy index 𝑺𝑺 𝝆𝝆
𝝆𝝆
ෝ
（４）d
determinant𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆（Ⅱ）時間発展について（密度行列に対するマスター方程式）

過去の研究（特に➁について）の紹介とそれを踏まえた我々の（前田氏との）研究と今後の展望
私自身の考察と再構成、試論的考察（Ⅲ）まとめ、今後の考察課題
今回も私自身の試論的考察を踏まえた先行研究の咀嚼紹介●心配は２点：①釈迦に説法 or ②私論的勘違い

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－64－

2

（0）光合成におけるコヒーレンスとデコヒーレンス（Goldilock Effect？）〇目的：
光合成システムでの、特に集光色素集団が光子を吸収した後の反応中心（ＲＣ）
までの高効率、高速な励起エネルギー移動を量子コヒーレンスとその消失 （デコヒーレンス）で説明できるという近年の研究の理解その有力なメカニズム理論の一つとして「量子ランダムウォーク」がある。ただし、近年の（光合成を含めた）生
物物理学の研究では、コヒーレンスとデコヒーレンスが共に重要な働きをして、移送効率等を高めているという共通理解が出来ている。 （Goldilock Effect！？）●量子コヒーレンスの度合いを測る指標について：
以下複数の指標がある！？（特に４については、光合成の熱（量子）統計力学
的なダイナミクスを解析するためにオリジナルに提起した指標である。）
１ ,QGLVWLQJXLVKDELOLW\ 𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 E\ /0DQGHO：次元に限られる？
２ 3XULW\ RI VWDWH 𝐓𝐓𝐓𝐓 𝝆𝝆𝟐𝟐
３ GHW𝝆𝝆 比較参考のために今回考察した。
４ 6 𝝆𝝆 E\ 7<
近年のこのテーマでの論文では、主に（２）が使われている。
●量子コヒーレンスの消失（デコヒーレンス）と散逸を含む時間発展方程式
近年の光合成解析では、多く「/LQGEODG方程式」が使われている。
目 的 テ ーマ の理 論 解析 では 、 色 素分 子の「 基 底状 態と励 起状 態 」 では 、２ 準 位系について（パウリ行列を用いた）の「/LQGEODG方程式」が使われていて、その解析内容については、しばらく前に自分なりの定量的トレースを行なった内容を踏まえて、今回その解の振舞いを解析的に調べた。
3
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

参考文献➀The quantum Goldilocks effect:

Seth Lloyd , Masoud Mohseni , Alireza Shabani , Herschel Rabitz arXiv preprint➁Quantum coherence in biological systems :Seth Lloyd J. Phys.: Conf. Ser. 302 012037, 2011
③Environment-Assisted Quantum Walks in Photosynthetic Energy Transfer
Masoud Mohseni, Patrick Rebentrost, Seth Lloyd, and Alan Aspuru-Guzik ´J. Chem. Phys. 129,174106 (2008)④Quantum effects in biology: golden rule in enzymes, olfaction, photosynthesis andmagnetodetection⑤ Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical
W.H. ZurekRev. Mod. Phys. 75, 715, 2003

⑥Coherence and indistinguishability
L.Mandel Optics Letters vol16.No.23, 1991

⑦ Dephasing-assisted transport: quantum networks and biomolecules
MB Plenio, SF Huelga - New Journal of Physics, 2008
⑧ Noise-assisted energy transfer in quantum networks and light-harvesting
complexesA W Chin1,4, A Datta2,3, F Caruso1,2,3, S F Huelga1,4 and M B Plenio1,2,3 New Journal of
Physics, 12 065002, 2010
⑨ Recovery of Purity in Dissipative Tunneling DynamicsSambarta Chatterjee
and Nancy Makri* The Journal of Physical Chemistry Letters, 2020
⑩ Survival of quantum features in the dynamics of a dissipative quantum system and
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）
4
their effect on the state purity Davinder Singh Phys. Rev. E 103, 052124, 2021
－65－

急遽引用文（大津先生の冒頭講演をお聞きして）
文献③ Environment-Assisted Quantum Walks in Photosynthetic Energy
Transfer Masoud Mohseni, Patrick Rebentrost, Seth Lloyd, and Alan Aspuru-Guzik ´J.
Chem. Phys. 129, 174106 (2008),Q WKLV ZRUN ZH GHYHORS D WKHRUHWLFDO IUDPHZRUN IRU VWXG\LQJ
WKH UROH RI TXDQWXP FRKHUHQFH LQ HQHUJ\ WUDQVIHU G\QDPLFV LQ
PROHFXODU V\VWHPV ZLWKLQ WKH %RUQ0DUNRY DSSUR[LPDWLRQ LQ WKH/LQGEODG IRUPDOLVP．
…
:H GHPRQVWUDWH WKDW WKH HIILFLHQF\ LQFUHDVHV IURP  IRU DSXUHO\ XQLWDU\ TXDQWXP ZDON WR  LQ WKH SUHVHQFH RI
HQYLURQPHQWDVVLVWHG TXDQWXP MXPSV
5

九大IMI共共同利用研究集会（オンライン）

紅色細菌の生活環境

6

紅色細菌(purple bacteria)

図.指導卒論より（北田勇人氏）

生活環境

池の中
λ=500nm付近
λ=800nm以上

上層の土壌内の光だけが紅色細菌(purple bacteria)に到達する

植物が光合成で使用するPAR(光合成有効放射)は波長が400nm～700nmの光である紅色細菌(purple bacteria)は他の植物以上に過酷な環境から進化圧を受けながら、より効率的に光捕集を行うことが出来るように卓越した光捕集システムを発展させてきた。
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）－66－

Purple Bacteria

1個のLH-1に対して最大約10個のLH-2が付随している。
(LH-1は反応中心を持っている。)

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7＜引用＞The quantum Goldilocks effect:
Seth Lloyd1,2 , Masoud Mohseni2 , Alireza Shabani3 ,Herschel Rabitz arXiv preprint

The Goldilocks principle for complex,

The story of Goldilocks and the three bears was published by the English poet
Robert Southey in 1837, although it is presumably a variation on a much older
folktale. In the version known today, a small girl with blonde hair, Goldilocks, is lostin a forest. She finds a house whose inhabitants have just left it. The house
contains three of everything – there are three chairs, three bowls of porridge
sitting on a table, three beds, etc. One of the chairs is too big for Goldilocks, one
too small, and one just the right size. So she sits on the one that is just right. One of
the bowls of porridge is too hot, one too cold, and one just the right temperature.
So she eats the one that is just right. One of the beds is too hard, one too soft, andone just the right degree of firmness. So she lies down on the one that is just rightand falls asleep. At this point the three bears arrive home and . . . – the ending
ranges from gruesome to happy depending on the version.
※porridgeオートミールに牛乳または水を入れて作ったかゆ; 英国
人は朝食によく食べる

ゴルディロックスの原理（松竹梅の法則）

経済やマーケティングをはじめ、さまざまな領域でこの概念は用いられる。
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－67－

8

（Ⅰ）指標（measure）の比較解析
私自身の考察と再構成、試論的考察〇4つの指標について(２自由度と３自由度以上について)（１）Indistinguishability index (By Mandel)(２自由度に限定して）（２）Purity of state（３）Entropy index（４）determinant

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

9（１）Indistinguishability index (By Mandel)＝論文概要＝（矢吹的把握）一光子の、２つのスリット（次的射出源）１，２から射出された２つの状態（スクリーンまでの２つの経路を辿る状態）を包含する量子状態の上で、「密度演算子」（その行列表現としての「密度行列」）によって表現される“純粋状態”、“混合状態”を考察し、純粋状態に特徴的なつの“経路光子”の“干渉”を経路を区別できないLQGLVWLQJXLVKDELOLW\として位置付けて、その度合いを（連続的に）測る指標が提起されている。そして、
この指標値𝑷𝑷𝑫𝑫 が場の相関関数と一致することが示されいる。
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－68－

10

Indistinguishability index (By Mandel)

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

11

Indistinguishability index (By Mandel)𝝆𝝆𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝜶𝜶 𝟐𝟐𝜶𝜶∗ 𝜷𝜷𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏𝜶𝜶𝜷𝜷∗= 𝝆𝝆 ∗
𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷indistinguishable state𝝆𝝆𝟏𝟏𝟐𝟐
𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐𝝆𝝆’𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟎𝟎
𝜷𝜷 𝟐𝟐

distinguishable state・源が識別できない状態 Indistinguishable state
Indistinguishability index

𝜶𝜶 𝟐𝟐
𝟎𝟎

𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 ≡目安：非対角項成分𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐

非対角項成分 𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 の対角成分との相対的大きさで測る指標！？
𝟎𝟎 ≤ 𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 =𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏≤ 𝟏𝟏
𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－69－

12

（２） Purity of state𝑷𝑷 𝝆𝝆
純粋状態を測る指標〇例えば𝝆𝝆𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝝆𝝆𝝆𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝑷𝑷 𝝆𝝆 ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕𝝆𝝆𝟐𝟐𝜶𝜶 𝟐𝟐𝜶𝜶∗ 𝜷𝜷
𝜶𝜶 𝟐𝟐
𝟎𝟎

𝜶𝜶𝜷𝜷∗
𝜷𝜷 𝟐𝟐
𝟎𝟎
𝜷𝜷 𝟐𝟐

𝒕𝒕𝒕𝒕𝝆𝝆𝟐𝟐 =

𝜶𝜶 𝟐𝟐

2

2

+ 𝜷𝜷 𝟐𝟐= 𝜶𝜶 𝟐𝟐 + 𝜷𝜷 𝟐𝟐= 𝟏𝟏𝒕𝒕𝒕𝒕𝝆𝝆′𝟐𝟐 = 𝜶𝜶 𝟒𝟒 + 𝜷𝜷 𝟒𝟒= 𝜶𝜶 𝟐𝟐 + 𝜷𝜷 𝟐𝟐= 𝟏𝟏 − 2 𝜶𝜶𝜶𝜶 22+ 2 𝜶𝜶𝜶𝜶 2∴ 𝑷𝑷 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏

純粋状態

2

− 2 𝜶𝜶𝜶𝜶 2∴ 𝑷𝑷 𝝆𝝆′ < 𝟏𝟏

混合状態

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

13

Purity of state
純粋状態を測る指標 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐨𝐨𝐨𝐨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬
ෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝑷𝑷 𝝆𝝆
𝝆𝝆𝟐𝟐

密度演算子ෝ
𝝆𝝆 は、

ෝ = 𝑰𝑰෠(エルミート行列)➀ෝ𝝆𝝆† 𝝆𝝆

ෝ の固有値＞０(対角成分𝝆𝝆𝒊𝒊𝒊𝒊 ＞０)➁ 𝝆𝝆𝝆𝝆 = 1 (対角成分の和＝１)③ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ

トレースのサイクリック不変性（循環性？）より

ෝ についてのユニタリー不変性を備えている。
④ 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐨𝐨𝐨𝐨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆𝟐𝟐 は、𝝆𝝆➀より、密度演算子𝝆𝝆は、ユニタリー変換で対角化され、 ③より𝑷𝑷 𝝆𝝆
は対角化表示で計算しても良い！
ෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝑷𝑷 𝝆𝝆𝝆𝝆𝟐𝟐 = ෍𝒏𝒏𝝆𝝆𝟐𝟐𝑫𝑫𝒊𝒊𝒊𝒊

𝒊𝒊=𝟏𝟏

以下 𝝆𝝆𝑫𝑫𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒑𝒑𝒊𝒊 と書く。

研究ノートNo.146 9/30(木)九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－70－

14

Purity of state
純粋状態を測る指標 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐨𝐨𝐨𝐨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬
ෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝑷𝑷 𝝆𝝆
𝝆𝝆𝟐𝟐

𝟏𝟏
ෝ ≤ 𝟏𝟏≤ 𝑷𝑷 𝝆𝝆
𝒏𝒏〇多様な方法で自己検証（証明）を行なったが、ここでは幾何学的な証明に基づく理解を記しておきたい。

対角化表示で𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆 = 1

𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆𝟐𝟐 = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝟐𝟐

𝒏𝒏個の座標軸切片が１の超平面
半径 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆𝟐𝟐 の𝒏𝒏次元球面

・最大になるのは球面が𝒏𝒏個の座標軸切片１を通るとき➡半径 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝝆𝝆𝟐𝟐 ＝１
・最小になるのは球面が超平面に接するとき➡原点と超平面の距離＝
対角化表示で

𝟏𝟏∙𝟎𝟎+𝟏𝟏∙𝟎𝟎+⋯+𝟏𝟏∙𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 +𝟏𝟏𝟐𝟐 +⋯+𝟏𝟏𝟐𝟐=

ෝ = 𝟏𝟏∴ 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒂𝒂𝑷𝑷 𝝆𝝆

𝟏𝟏
𝒏𝒏

𝟏𝟏

ෝ =
∴ 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑷𝑷 𝝆𝝆
𝒏𝒏ෝ = 𝟏𝟏➡対角成分の一つだけ１で他はすべて０＜純粋状態＞
・ 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ =・𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑷𝑷 𝝆𝝆

𝟏𝟏➡対角成分がすべて𝟏𝟏/𝒏𝒏
𝒏𝒏
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）＜最大混合状態＞
15＝自己確認（幾何ベクトルによる証明の結果）＝（１）半径ＲのG次元球Ｂと（G）次元の超平面/が接するとき：
𝟏𝟏
1
1
1
𝑹𝑹 = で、その時の接点は（ 、 、 … 、 ）であり、このとき
𝟐𝟐

𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆

𝒅𝒅= 𝑹𝑹 は最小値
𝟐𝟐

𝟏𝟏

𝒅𝒅

𝟐𝟐

𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝟏𝟏
= となる。
𝒅𝒅𝑑𝑑（２）半径ＲのG次元球Ｂが（G）次元の超平面/（超正三角形？）のｄ個の頂点を通るとき、
𝑹𝑹 = 𝟏𝟏でで、その時のｄ個の交点は（1,0 … , 0））、（0,1 … , 0））、……（0,0 … , 1）
）であり、このとき
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆 = 𝑹𝑹 は最大値＝１となる。

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－71－

16

＝ 自 己 確 認 （ 数 式 に よる証 明 ） ＝
1≤ 𝐓𝐓𝐓𝐓 𝝆𝝆𝟐𝟐
𝑑𝑑

＝証明＝

≤ 𝟏𝟏

𝐓𝐓𝐓𝐓 𝝆𝝆𝟐𝟐 = σ𝒅𝒅𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐 = 𝒑𝒑𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒅𝒅 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 σ𝒊𝒊>𝒋𝒋 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒑𝒑𝒋𝒋 = 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 σ𝒅𝒅𝒊𝒊>𝒋𝒋 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒑𝒑𝒋𝒋

𝒑𝒑𝒊𝒊 ≥ 𝟎𝟎よより、
𝐓𝐓𝐓𝐓 𝝆𝝆𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏 （等号成立は、𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝜹𝜹𝒊𝒊𝒊𝒊 のときで純粋状態）

一方、

…⑤

𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝒋𝒋 𝟐𝟐 ≥ 𝟐𝟐𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒑𝒑𝒋𝒋
等号成立は𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝒑𝒑𝒋𝒋 のとき両辺をσ𝑑𝑑𝑖𝑖>𝑗𝑗 の総和をとって、…⑥

σ𝒅𝒅𝒊𝒊>𝒋𝒋 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝒋𝒋 𝟐𝟐 ≥ 𝟐𝟐 σ𝒅𝒅𝒊𝒊>𝒋𝒋 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒑𝒑𝒋𝒋

左辺 ＝ σ𝒅𝒅𝒊𝒊>𝒋𝒋 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝒋𝒋 𝟐𝟐 = 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 σ𝒅𝒅𝒍𝒍=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐…⑦

右辺 ＝ 𝟐𝟐 σ𝒅𝒅𝒊𝒊>𝒋𝒋 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒑𝒑𝒋𝒋 = 𝟏𝟏 − σ𝒅𝒅𝒍𝒍=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐

…⑧

④より、

⑦、⑧を⑥に代入して、…⑨

𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 σ𝒅𝒅𝒍𝒍=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐 ≥ 𝟏𝟏 − σ𝒅𝒅𝒍𝒍=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐∴ σ𝒅𝒅𝒍𝒍=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐 ≥ 𝒅𝒅
∴𝐓𝐓𝐓𝐓 𝝆𝝆𝟐𝟐
よって、

𝟏𝟏

𝟏𝟏
≥ 𝒅𝒅

等号成立はすべて𝒊𝒊でで𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝒅𝒅のとき…⑩

𝟏𝟏

等号成立はすべて𝒊𝒊でで𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝒅𝒅のとき …⑪
𝟏𝟏

𝟏𝟏≤ 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆𝟐𝟐
𝒅𝒅

≤ 𝟏𝟏

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）が成立する。

17

Purity of state
純粋状態を測る指標 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐨𝐨𝐨𝐨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬

対角化表示でෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝑷𝑷 𝝆𝝆
𝝆𝝆𝟐𝟐

・純粋状態➡対角成分の一つだけ１で他はすべて０ෝ = |𝚽𝚽𝒊𝒊 ۧ ‫| 𝒊𝒊𝚽𝚽ۦ‬
演算子表示で 𝝆𝝆
・混合状態➡対角成分がすべて𝟏𝟏/𝒏𝒏
演算子表示で〇２自由度状態で考察

𝒏𝒏

ෝ=෍
𝝆𝝆

|𝚽𝚽𝒊𝒊 ۧ ‫| 𝒊𝒊𝚽𝚽ۦ‬

𝒊𝒊=𝟏𝟏

ෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆𝟐𝟐 = 𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝑷𝑷 𝝆𝝆

・最大になるのは球面が𝟐𝟐個の座標軸切片が１を通るとき➡半径 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝝆𝝆𝟐𝟐 ＝１
𝝆𝝆𝑫𝑫𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟏𝟏 𝟎𝟎
𝟎𝟎
𝒐𝒐𝒐𝒐
𝟎𝟎 𝟎𝟎
𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝟏𝟏

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－72－

18

（３） Entropy index𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝෝ ≡ −𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍ෝ𝝆𝝆𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ
密度演算子ෝ
𝝆𝝆は、ユニタリー変換で対角化され、 ③より𝑷𝑷 𝝆𝝆
は対角化表示で計算しても良い！
ෝ = − σ𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝝆𝝆𝑫𝑫𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒍𝒍𝒍𝒍𝝆𝝆𝑫𝑫𝒊𝒊𝒊𝒊 = − σ𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒊𝒊
𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ ≤ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒏𝒏
𝟎𝟎 ≤ 𝑺𝑺 𝝆𝝆＜純粋状態＞＜完全混合状態＞

密度演算子ෝ
𝝆𝝆の固有値（分布）のエントロピー！？

※偏光度を測る指標である、偏光エントロピーも同じ着眼➡ただし、（熱力学第2法則に対応する）ダイナミクス
としてのエントロピーとしては完全な定式化ではない！？
位相空間の情報と絡めて、（量子統計力学的）ダイナミクス
としての補正項（！？）を導出（2016年物理学会発表）

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19（４） determinant index 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆ෝෝ ≡ 𝝆𝝆
ෝの固有値の積
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆ෝ
密度演算子ෝ
𝝆𝝆は、ユニタリー変換で対角化され、 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆
は対角化表示で計算しても良い！
𝒏𝒏ෝ = ෑ 𝒑𝒑𝒊𝒊
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆ෝ ≤𝟎𝟎 ≤ 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆

𝒊𝒊=𝟏𝟏＝自己検証＝＜純粋状態＞

𝟏𝟏𝒏𝒏

𝒏𝒏＜完全混合状態＞

𝒑𝒑𝒊𝒊 ≥ 𝟎𝟎

෍𝒏𝒏

𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝟏𝟏𝒊𝒊=𝟏𝟏

より相加平均≧≧相乗平均を使って、

∴

𝟏𝟏
𝒏𝒏

𝟏𝟏

= σ𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 ≥ ς𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒏𝒏
𝟏𝟏 𝒏𝒏
ෝ≥ 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆
𝒏𝒏

𝟏𝟏
𝒏𝒏

最大値をとるのは、すべて 𝒑𝒑𝒊𝒊 = の完全混合状態

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－73－

𝟏𝟏
𝒏𝒏

20

２自由度での４つの指標の比較考察（１）Indistinguishability index
ෝ ≡𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝝆𝝆𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐

𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟐𝟐 =（２）Purity of state𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐
𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐

より 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆ෝ = 𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 と逆相関

ෝ = 𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟐𝟐
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆ෝ
𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝝆𝝆

一対一対応＝対角化表示＝ෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝෝ𝝆𝝆𝟐𝟐 = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 1 − 𝟐𝟐𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟐𝟐 = 1 − 𝟐𝟐𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆𝑷𝑷 𝝆𝝆（３）Entropy index（４）D
Determinant＝対角化表示＝ෝ ≡ −𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝑺𝑺 𝝆𝝆𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍ෝ𝝆𝝆 = − 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟐𝟐＝対角化表示＝ෝ = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟐𝟐
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆

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21

2自由度での４つの指標の比較考察〇増減を調べた結果、
以下のように符号の反転はあるが、同じ振舞い（増減、最大、最小）であることが
確認された

𝒑𝒑𝟏𝟏

0

𝟏𝟏ൗ
𝟐𝟐

1

ෝ
𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝝆𝝆

最大 1

最小０

最大 1

ෝ
𝑷𝑷 𝝆𝝆

最大 1

最小 1/2

最大 1

ෝ
𝑺𝑺 𝝆𝝆

最小 0

最大

最小 0

ෝ
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆

最小 0

最大 1/4

最小 0

ln 2

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－74－

22

３自由度以上での４つの指標の比較考察＝対角化表示＝（１）Indistinguishability index（２）Purity of stateෝ ≡𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝝆𝝆𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏➡対象外！
𝝆𝝆𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟐𝟐

ෝ ≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝑷𝑷 𝝆𝝆𝝆𝝆𝟐𝟐 = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟑𝟑 𝟐𝟐 ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝟐𝟐（３）Entropy indexෝ ≡ −𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝑺𝑺 𝝆𝝆𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍ෝ𝝆𝝆 = − 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟑𝟑 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟑𝟑 ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒏𝒏（４）DDeterminant index

ෝ = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟑𝟑 ⋯ 𝒑𝒑𝒏𝒏
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆

一対一対応はない！ ➡ 相互関係を解析した
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23★３自由度以上での４つの指標の比較考察
一対一対応はない！

➡

相互関係を解析した
対角化表示で考察解析

ෝ（１）Purity of state 𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝと Entropy index 𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟑𝟑 𝟐𝟐 ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝟐𝟐𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ = − 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟑𝟑 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟑𝟑 ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒏𝒏
𝑺𝑺 𝝆𝝆

一般に下に凸の関数𝒇𝒇 𝒙𝒙 に対して以下の不等式が成り立つ＝数学的帰納法で自己証明＝𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝒏𝒏
𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒏𝒏
≥ 𝒇𝒇
𝒎𝒎𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒎𝒎𝒏𝒏
𝒎𝒎𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒎𝒎𝒏𝒏

下に凸の関数−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍に対して

ෝ =
𝑺𝑺 𝝆𝝆

𝒑𝒑𝟏𝟏 −𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟏𝟏 +𝒑𝒑𝟐𝟐 −𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟐𝟐 +⋯𝒑𝒑𝒏𝒏 −𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒏𝒏
𝒑𝒑𝟏𝟏 +𝒑𝒑𝟐𝟐 +⋯+𝒑𝒑𝒏𝒏≥ −𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒏𝒏
𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏

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－75－

24

★３自由度での４つの指標の比較考察
一対一対応はない！

➡

𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆 = 1より、𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 = 𝟏𝟏

ෝ =
𝑺𝑺 𝝆𝝆

𝒑𝒑𝟏𝟏 −𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟏𝟏 +𝒑𝒑𝟐𝟐 −𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝟐𝟐 +⋯𝒑𝒑𝒏𝒏 −𝒍𝒍𝒍𝒍𝒑𝒑𝒏𝒏
𝒑𝒑𝟏𝟏 +𝒑𝒑𝟐𝟐 +⋯+𝒑𝒑𝒏𝒏∴∴

相互関係を解析した

対角化表示で考察解析≥ −𝒍𝒍𝒍𝒍

𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒏𝒏
𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒑𝒏𝒏
ෝ−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝝆𝝆ෝ ≥ −𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝝆𝝆
ෝ
𝑺𝑺 𝝆𝝆

ෝ
𝒆𝒆−𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ ≤ 𝑷𝑷 𝝆𝝆「マセマティカ」を使って、d次元のベクトルをランダムに1万個生成し、ベクトルの成分和が１となるように規格化してグラフ表示して検証した。
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）25

ෝ ≥ 𝒆𝒆−𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ の数値解析検証𝑷𝑷 𝝆𝝆

「マセマティカ」を使って、d次元のベクトルをランダムに1万個生成し、ベクトルの成分和が１となるように規格化してグラフ表示して検証した。

ෝ = 𝒆𝒆−𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ
実線は、 𝑷𝑷 𝝆𝝆
Entropy が小さいෝ𝝆𝝆 に対しては、両者の近似性は高くない！？

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－76－

26

参照論文の中でのコメントとして
Linear Entropy という表現を使って、以下の式が紹介されていた。
量子情報の分野でもLinear entropy as an entanglement measureとして使われている！？
ෝ ≡ −𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
ෝ − 𝟏𝟏 ≡ 𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍ෝ𝝆𝝆~ − 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
𝝆𝝆 𝝆𝝆
𝑺𝑺 𝝆𝝆

ෝ ≡ −𝒕𝒕𝒕𝒕 𝝆𝝆ෝ 𝟐𝟐 − 𝝆𝝆ෝ = −𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ + 𝟏𝟏
ෝ = −𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ
このとき、𝑺𝑺 𝝆𝝆𝝆𝝆𝟐𝟐 + 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝝆𝝆

〇定式化根拠？

ෝ − 𝟏𝟏𝒍𝒍𝒍𝒍ෝ
𝝆𝝆 = 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏 + 𝝆𝝆

★私自身の立場（研究目標）

ෝ 最大値は𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒏𝒏)
実際の𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ − 𝟏𝟏≈ 𝝆𝝆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒏𝒏 ~𝒏𝒏 − 𝟏𝟏近似条件が不整合！？

ෝ 最大値１ ⟺ 𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ 最小値０𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ 最小値1
ෝ 最大値 (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)/𝒏𝒏
1/𝒏𝒏 ⟺ 𝑺𝑺 𝝆𝝆𝑷𝑷 𝝆𝝆

dynamicsの追求を目指している点から、“量子統計力学”的にd
単にコヒーレント等の“評価メジャー”としてではなく、“物理量”（エネルギー効率等を予言する）としての指標を見出すことを目標としている。その観点から、物理的な意味のある「エントロピーS
S」の定式化を行ないたい、と考えている。＝今後の課題＝九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

27★３自由度以上での４つの指標の比較考察
一対一対応はない！

➡

相互関係を解析した
対角化表示で考察解析

ෝ（２）Purity of state 𝑷𝑷 𝝆𝝆
３つの正の数

𝒑𝒑𝟏𝟏 , 𝒑𝒑𝟐𝟐 , 𝒑𝒑𝟑𝟑

𝒑𝒑𝟏𝟏 +𝒑𝒑𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟑𝟑 = 1

𝒑𝒑𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟑𝟑 𝟐𝟐 ＝𝑷𝑷
𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟑𝟑 = 𝑫𝑫ෝとDeterminant index 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆
に対して

平面𝑳𝑳

球面𝑸𝑸
曲面𝑿𝑿

解と係数の関係を使って、𝒑𝒑𝟏𝟏 , 𝒑𝒑𝟐𝟐 , 𝒑𝒑𝟑𝟑 は以下の3次方程式の解
𝟏𝟏𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 − 𝑷𝑷 𝒙𝒙 − 𝑫𝑫 = 𝟎𝟎
𝟐𝟐
3つの条件は、 𝒑𝒑𝟏𝟏 , 𝒑𝒑𝟐𝟐 , 𝒑𝒑𝟑𝟑 の任意の2つの入れ替え（6通り）について対称であるから、上記3つの面の交点は一般に6つある。交点が３つになったときが曲面𝑿𝑿が共有点を失う“臨界条件”で、それは𝒇𝒇 𝒙𝒙 が重根をもつとき！？
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－77－

28

28

上に凸（1階微分で）下に凸（1階微分で）九大IMI共同利用研究集会（オンライン）29

ෝ = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟑𝟑 と𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ = 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝟑𝟑 𝟐𝟐 ＝𝑷𝑷
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆

の数値解析検証「マセマティカ」を使って、d次元のベクトルをランダムに1万個生成し、ベクトルの成分和が１となるように規格化してグラフ表示して検証した。

★矢吹の解析的導出結果と合致
𝑫𝑫 = −
𝑫𝑫 = −

𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟏 +𝟑𝟑𝑷𝑷 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟑𝟑𝑷𝑷 − 𝟏𝟏 +

𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟏 −
𝟑𝟑𝑷𝑷 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟑𝟑𝑷𝑷 − 𝟏𝟏 +𝟏𝟏
𝟏𝟏 − 𝑷𝑷𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏
𝟏𝟏 − 𝑷𝑷𝟏𝟏𝟏𝟏

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－78－

30

（２）時間発展について（密度行列に対するマスター方程式）
熱浴による部分トレースにより得られた縮約密度行列（Reduced Density Matrix）

１）Lindblad 方程式によるアプローチ２）スピン・ボゾンモデルによるアプローチ

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）〇最近の研究31

スピン・ボゾンモデルによるアプローチ

ෝ 𝒕𝒕
密度行列の時間発展方程式によるP
Purity𝑷𝑷 𝝆𝝆
より低温≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝟐𝟐 の回復の発見！？

＝引用＝Recovery of Purity in Dissipative Tunneling
DynamicsSambarta Chatterjeeand Nancy Makri*
The Journal of Physical Chemistry Letters, 2020

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－79－

32

試論的（私論的）解析

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

33

Lindblad方程式
෡ = −ℏ𝜴𝜴 |𝑹𝑹ۧ‫ |𝑳𝑳ۦ‬+ |𝑳𝑳ۧ‫ = |𝑹𝑹ۦ‬− ℏ𝛀𝛀ෝ
𝑯𝑯
𝝈𝝈𝒙𝒙

෡
𝑯𝑯の固有状態（この基底で密度演算子ෝ
𝝆𝝆の時間発展を追う）|𝚽𝚽𝟎𝟎 ۧ =

ℏ = 𝟏𝟏として|𝚽𝚽𝟏𝟏 ۧ =

𝟏𝟏

𝟐𝟐

𝟏𝟏

𝟐𝟐

固有値𝑬𝑬𝟎𝟎 = − ℏ𝛀𝛀|𝑹𝑹ۧ + |𝑳𝑳ۧ

固有値𝑬𝑬𝟏𝟏 = ℏ𝛀𝛀|𝑹𝑹ۧ − |𝑳𝑳ۧ෡ = 𝜴𝜴 |𝚽𝚽𝟎𝟎 ۧ‫ | 𝟎𝟎𝚽𝚽ۦ‬− |𝚽𝚽𝟏𝟏 ۧ‫𝛀𝛀 = | 𝟏𝟏𝚽𝚽ۦ‬ෝ
𝑯𝑯
𝝈𝝈𝒛𝒛
𝒅𝒅ෝ
𝝆𝝆
෡ 𝝆𝝆
ෝ + ℒ 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝆𝝆ෝ= −𝒊𝒊 𝑯𝑯,
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶ෝ ≡ 𝚪𝚪 − 𝝈𝝈+ 𝝈𝝈− , 𝝆𝝆ෝ𝝈𝝈+
ෝ + 𝟐𝟐𝝈𝝈− 𝝆𝝆ℒ 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝆𝝆ෝ ≡ 𝜸𝜸 − 𝝈𝝈+ 𝝈𝝈− , 𝝆𝝆ෝ𝝈𝝈+ 𝝈𝝈−ෝ + 𝟐𝟐𝝈𝝈+ 𝝈𝝈− 𝝆𝝆ℒ 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝝆𝝆ෝ 不変
第1項の量子リュービル方程式➡ユニタリー変換➡ Purity of state 𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ 変化
第２項の𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺演算子➡非ユニタリー変換➡ Purity of state 𝑷𝑷 𝝆𝝆
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－80－

34

Lindblad方程式を解く：

෡ 𝝆𝝆
ෝ |𝚽𝚽𝒋𝒋 ൿ =‫ | 𝒊𝒊𝚽𝚽ۦ‬−𝒊𝒊 𝑯𝑯,𝟎𝟎−𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀
𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀
𝟎𝟎

ෝ |𝚽𝚽𝒋𝒋 ൿ= ‫ 𝚪𝚪 | 𝒊𝒊𝚽𝚽ۦ‬− 𝝈𝝈+ 𝝈𝝈− , 𝝆𝝆ෝ𝝈𝝈+ |𝚽𝚽𝒋𝒋 ൿ
ෝ + 𝟐𝟐𝝈𝝈− 𝝆𝝆‫ | 𝒊𝒊𝚽𝚽ۦ‬ℒ𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝆𝝆= 𝜞𝜞−𝟐𝟐𝝆𝝆++−𝝆𝝆+𝟎𝟎 ∗|𝚽𝚽𝟎𝟎 ۧ |𝚽𝚽𝟏𝟏 ۧの基底で𝒅𝒅𝝆𝝆
=𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒊𝒊𝒊𝒊=−𝝆𝝆+𝟎𝟎𝟐𝟐𝝆𝝆++

若干の計算の後−𝟐𝟐𝝆𝝆++
𝟎𝟎−𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀+ 𝜞𝜞−𝝆𝝆+𝟎𝟎 ∗𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀
𝟎𝟎−𝝆𝝆+𝟎𝟎𝟐𝟐𝝆𝝆++−𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 − 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀∗−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 + 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++同様に若干の計算の後成分ごとに部分方程式を解く。

ෝ |𝚽𝚽𝒋𝒋 ൿ = 𝜞𝜞
‫ | 𝒊𝒊𝚽𝚽ۦ‬ℒ 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝆𝝆

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）𝟎𝟎−𝝆𝝆+𝟎𝟎 ∗−𝝆𝝆+𝟎𝟎𝟎𝟎

35

Lindblad方程式を解いて𝒅𝒅𝝆𝝆
−𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 − 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀=∗−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 + 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒊𝒊𝒊𝒊

𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊=

𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 + 𝒊𝒊

初期条件𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏Τ𝟐𝟐 , 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏Τ𝟐𝟐𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 − 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐𝛀𝛀
𝒆𝒆
+ 𝒊𝒊
𝚪𝚪
𝚪𝚪

ෝ 𝒕𝒕
Purity𝑷𝑷 𝝆𝝆

=

𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐𝛀𝛀
𝒆𝒆
− 𝒊𝒊
𝚪𝚪
𝚪𝚪

𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝟏𝟏 − 𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

≡ 𝒕𝒕𝒕𝒕ෝ𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝟐𝟐

𝟏𝟏 −𝟒𝟒𝟒𝟒𝒕𝒕
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒆𝒆− 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕 + 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒
𝟐𝟐
𝚪𝚪

𝟐𝟐

𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕

ෝ 𝟎𝟎 = |𝑹𝑹ۧ‫|𝑹𝑹ۦ‬𝝆𝝆

𝟐𝟐𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕 = 𝒙𝒙とおいて、 𝒙𝒙の4次関数としての解析から概ねの振舞いは分かったが、マセマティカで解析を行なった。

ෝ 𝒕𝒕𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑷𝑷 𝝆𝝆

𝒕𝒕→∞= 𝟏𝟏 + 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐
𝚪𝚪

𝟐𝟐

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）－81－> 𝟏𝟏 ？

36

★考察（１）時刻ｔの大きいところでSSXULW\𝑷𝑷 ≥ 𝟏𝟏について𝟐𝟐𝛀𝛀
𝑷𝑷 𝒕𝒕 → ∞ = 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 −
𝚪𝚪

𝟐𝟐

𝟐𝟐𝛀𝛀
= 𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝚪𝚪

𝟐𝟐

𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳方程式（マスター方程式）の導出の際の近似条件が、𝒕𝒕が大きいところで破れている！？
（２）光合成の集光システムの時定数のタイムスケールは、➀励起状態寿命𝟏𝟏Τ𝛀𝛀 ～𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝒔𝒔➁hopping時間（コヒーレント時間） 𝟏𝟏Τ𝚪𝚪 ～ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔𝛀𝛀 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒔𝒔−𝟏𝟏= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑~
𝚪𝚪 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

37

マセマティカ解析（引用論文との比較）
𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑷𝑷 𝒕𝒕 = 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒𝒕𝒕 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕 + 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒
𝟐𝟐
𝚪𝚪

𝟐𝟐

𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕

𝟐𝟐

・𝚪𝚪～
～𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏・𝛀𝛀～～𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒔𝒔−𝟏𝟏＜引用＞Survival of quantum features in the
dynamics of a dissipative quantum system andtheir effect on the state purity Davinder
Singh Phys. Rev. E 103, 052124 2021

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－82－

38

Lindblad方程式を解いて𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊=

𝒅𝒅𝝆𝝆−𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 − 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀=−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 ∗ + 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒊𝒊𝒊𝒊
𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 − 𝒊𝒊𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 + 𝒊𝒊

𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐𝛀𝛀
+ 𝒊𝒊
𝒆𝒆
𝚪𝚪
𝚪𝚪

𝟏𝟏 − 𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝟏𝟏
𝟏𝟏
初期条件 𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = Τ𝟐𝟐 , 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = Τ𝟐𝟐

初期状態

𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊 =|𝑹𝑹ۧ‫= 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟎𝟎 𝝆𝝆 = |𝑹𝑹ۦ‬

終状態

Purity𝝆𝝆 ∞ 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝟏𝟏 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐 𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕

𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝟎𝟎
𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝟏𝟏

𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐𝛀𝛀
𝒆𝒆
− 𝒊𝒊
𝚪𝚪
𝚪𝚪

𝟐𝟐𝜴𝜴
~𝟎𝟎
𝜞𝜞

𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝟏𝟏 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐 𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝒙𝒙 −

・𝒙𝒙 =1で 𝑷𝑷 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏

𝒙𝒙 =＜純粋状態＞

𝑷𝑷 𝟎𝟎 = 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆 ∞ 𝟐𝟐 = 1

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）=

𝑷𝑷 𝒕𝒕 の最小値

＜純粋状態＞

𝑷𝑷 𝟎𝟎 = 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆 𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 1

𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

とおいて𝟏𝟏
𝑷𝑷 𝒕𝒕 = 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟒𝟒
𝟏𝟏
= 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟒𝟒
𝟒𝟒
𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕 = 𝒙𝒙・𝚪𝚪～
～𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏・𝛀𝛀～～𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒔𝒔−𝟏𝟏

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟐𝟐

+

𝟕𝟕
𝟒𝟒

39

Purity

1
7/8
x

1/2 1

・𝒙𝒙 = ０で 𝑷𝑷 𝒕𝒕 → ∞ = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝟕𝟕
𝒕𝒕 =で𝑷𝑷 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍ൗ𝟐𝟐𝚪𝚪 =
𝟐𝟐
𝟐𝟐𝚪𝚪
𝟖𝟖
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－83－

40

状態の遷移●エネルギー固有状態基底 |𝝓𝝓𝟎𝟎 ۧ, |𝝓𝝓𝟏𝟏 ۧ で𝝆𝝆𝝓𝝓 𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝟏𝟏

𝟏𝟏
𝝆𝝆𝝓𝝓 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍ൗ𝟐𝟐𝚪𝚪 =
𝟒𝟒
𝒊𝒊𝒊𝒊

𝟏𝟏
𝟏𝟏

●サイト基底 |𝑹𝑹ۧ, |𝑳𝑳ۧ で
𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟏𝟏
𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝟎𝟎

𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍ൗ𝟐𝟐𝚪𝚪

局在状態？

𝒊𝒊𝒊𝒊

=

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟐𝟐
𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐
−𝟏𝟏
𝟒𝟒
−𝟏𝟏
𝟐𝟐 + 𝟐𝟐

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）𝝆𝝆𝝓𝝓 ∞ 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝟎𝟎𝟎𝟎

𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 ∞ 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟎𝟎
𝟏𝟏

𝟏𝟏
𝟐𝟐

41

=

𝒅𝒅𝝆𝝆
−𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 − 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀=∗−𝜞𝜞𝝆𝝆+𝟎𝟎 + 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀𝟐𝟐𝜞𝜞𝝆𝝆++𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒊𝒊𝒊𝒊
𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 − 𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐𝛀𝛀
+ 𝒊𝒊
𝒆𝒆
𝚪𝚪
𝚪𝚪

𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 + 𝒊𝒊

初期条件 𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎
𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊 =−𝒊𝒊𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝟐𝟐𝛀𝛀
𝒆𝒆
− 𝒊𝒊
𝚪𝚪
𝚪𝚪

𝟏𝟏 − 𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝒆𝒆
− 𝟏𝟏
𝚪𝚪

𝒊𝒊

𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝒆𝒆
− 𝟏𝟏
𝚪𝚪
𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－84－

𝟏𝟏
𝟏𝟏

非局在状態？

Lindblad方程式を解いて𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊

𝟏𝟏
𝟏𝟏

42

𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊 =−𝒊𝒊

対角化をして𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝑫𝑫𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝒊𝒊

𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝒆𝒆
− 𝟏𝟏
𝚪𝚪

𝝀𝝀𝟏𝟏 𝒕𝒕𝟎𝟎

𝟎𝟎

𝝀𝝀𝟐𝟐 𝒕𝒕𝝀𝝀 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝝀𝝀 − 𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

固有方程式

𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝑷𝑷 𝒕𝒕 = 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝝀𝝀𝟏𝟏 𝒕𝒕 𝟐𝟐 + 𝝀𝝀𝟐𝟐 𝒕𝒕 𝟐𝟐

𝝀𝝀𝟐𝟐 − 𝝀𝝀 + 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕 𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕 −𝟐𝟐

𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝒆𝒆
− 𝟏𝟏
𝚪𝚪

−

𝟐𝟐𝛀𝛀
𝚪𝚪

𝟐𝟐𝛀𝛀
𝚪𝚪

𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒆𝒆−𝚪𝚪𝒕𝒕 − 𝟏𝟏

𝑷𝑷 𝒕𝒕 = 𝝀𝝀𝟏𝟏 + 𝝀𝝀𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝝀𝝀𝟏𝟏 + 𝝀𝝀𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝝀𝝀𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟐𝟐

𝟐𝟐

= 𝟎𝟎

= 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕 𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕 −九大IMI共同利用研究集会（オンライン）= 𝟎𝟎

𝟐𝟐𝛀𝛀 −𝚪𝚪𝒕𝒕
𝒆𝒆
− 𝟏𝟏
𝚪𝚪

𝟐𝟐
43

マセマティカ解析（グラフ）

初期条件

初期条件

𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）－85－𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎

44

𝟐𝟐𝜴𝜴
~𝟎𝟎
𝜞𝜞
Purity・𝚪𝚪～～𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏・𝛀𝛀～～𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒔𝒔−𝟏𝟏−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒆𝒆𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕

𝒆𝒆−𝟐𝟐𝚪𝚪𝒕𝒕 = 𝒙𝒙 とおいて𝑷𝑷 𝒕𝒕 = 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝆𝝆 𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 𝟐𝟐

y Purity= 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 1
𝟏𝟏 𝟐𝟐= 𝟐𝟐 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐

・𝒙𝒙 =1で 𝑷𝑷 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏

𝑷𝑷 𝒕𝒕 の最小値
𝒙𝒙 =

状態の遷移

+

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝟏𝟏

非局在状態？

𝟏𝟏
𝟏𝟏

=

𝟏𝟏/𝟐𝟐
𝟎𝟎
𝟎𝟎
𝟏𝟏/𝟐𝟐

𝝆𝝆𝝓𝝓 ∞ 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍Τ𝟐𝟐𝚪𝚪 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟏𝟏/𝟐𝟐
𝟎𝟎
𝟎𝟎
𝟏𝟏/𝟐𝟐

𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 ∞ 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

初期条件

𝒊𝒊𝒊𝒊

𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝝆𝝆𝝓𝝓 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍ൗ𝟐𝟐𝚪𝚪 =𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟒𝟒
𝒊𝒊𝒊𝒊
●サイト基底 |𝑹𝑹ۧ, |𝑳𝑳ۧ で𝝆𝝆𝝓𝝓 𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟏𝟏
𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝟎𝟎

局在状態？

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟎𝟎
𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝟏𝟏

𝟏𝟏 −𝟏𝟏−𝟏𝟏 𝟏𝟏

非局在状態？

𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏

●エネルギー固有状態基底 |𝝓𝝓𝟎𝟎 ۧ, |𝝓𝝓𝟏𝟏 ۧ で

𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒊𝒊 =45𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎

𝝆𝝆𝝓𝝓 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍ൗ𝟐𝟐𝚪𝚪

●サイト基底 |𝑹𝑹ۧ, |𝑳𝑳ۧ で
𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

x

1/2 1

𝟏𝟏
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝟏𝟏
で𝑷𝑷 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍ൗ𝟐𝟐𝚪𝚪 =
𝒕𝒕 =
𝟐𝟐
𝟐𝟐𝚪𝚪
𝟐𝟐

初期条件

𝟏𝟏 𝟎𝟎
𝟎𝟎 𝟎𝟎

1
1/2

・𝒙𝒙 = ０で 𝑷𝑷 𝒕𝒕 → ∞ = 𝟏𝟏

●エネルギー固有状態基底 |𝝓𝝓𝟎𝟎 ۧ, |𝝓𝝓𝟏𝟏 ۧ で𝝆𝝆𝝓𝝓 𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝟏𝟏𝟐𝟐

𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍ൗ𝟐𝟐𝚪𝚪

𝒊𝒊𝒊𝒊

=

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟐𝟐
𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐
−𝟏𝟏
𝟒𝟒
−𝟏𝟏
𝟐𝟐 + 𝟐𝟐

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）－86－

𝝆𝝆𝝓𝝓 ∞ 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

𝟎𝟎 𝟎𝟎
𝟎𝟎 𝟏𝟏

𝝆𝝆𝑹𝑹𝑹𝑹 ∞ 𝒊𝒊𝒊𝒊 =

46

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟏𝟏
𝟏𝟏

𝟏𝟏
𝟏𝟏

非局在状態？

状態の遷移についての自己考察〇例えば2自由度で：෡ † 𝒕𝒕 𝝆𝝆෡ 𝒕𝒕
ෝ 𝒕𝒕 𝑼𝑼
対角化表現演算子𝝆𝝆ෞ𝑫𝑫 𝒕𝒕 = 𝑼𝑼𝝆𝝆ෞ𝑫𝑫 𝒕𝒕 =𝒑𝒑𝟏𝟏 𝒕𝒕𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒕𝒕状態の遷移を“対角化空間”での“時間軌跡”に着目するとⅰ）Purity 𝑷𝑷 𝒕𝒕 の中間状態の最小値＝1/2の場合（ⅰ𝝆𝝆ෞ𝑫𝑫 𝒕𝒕 =

𝟏𝟏 𝟎𝟎
𝟎𝟎
⇒
𝟎𝟎 𝟎𝟎
𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝟏𝟏

𝝆𝝆ෞ𝑫𝑫 𝒕𝒕 =

𝟏𝟏 𝟎𝟎
𝟏𝟏
⇒
𝟎𝟎 𝟎𝟎
𝟎𝟎

𝟎𝟎
𝟎𝟎

（ⅱ
ⅱ）Purity 𝑷𝑷 𝒕𝒕 の中間状態の最小値＞1/2の場合

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

47

自己疑問
（Ⅰ） コヒーレンス（デコヒーレンス）とPurityとは「似て非なるもの」
ではないか？
「純粋状態の度合いを測るメジャー」であるPurityはユニタリー
不変量であり、基底によらない量である。それに対して、「コヒー
レンス＝密度行列の非対角項」とみなすと、それはユニタリー不変量ではなく基底に依存する。（対角項が共に1/2の場合だけは、基底に依らずいつでも非対角項＝０である。）
今回解析したモデルでの初期条件𝝆𝝆++ 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝝆𝝆+− 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎の例のように、非対角項＝０のままでも
・対角項
不均一分布
Purity 大

均一分布
Purity 小Entropy 大

Entropy 小Purity（ ～Entropy ）は“統計量”と見なされ得るが、コヒーレンス（デコヒーレンス）は“統計量”と見なされ得ない！？
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

－87－

48

まとめ
（Ⅰ）コヒーレンス（デコヒーレンス）４つの指標についての考察、
解析ෝ（１）IIndistinguishability index 𝑷𝑷𝑰𝑰𝑰𝑰 𝝆𝝆ෝ（２）PPurity of state𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ（３）E
Entropy index 𝑺𝑺 𝝆𝝆ෝ（４）ddeterminant𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝝆𝝆%\0DQGHO

（１）2自
自由度
4つ
つの指標で増減、最大（小）は一致（２）3以
以上の自由度：（２）、（３）、（４）について対1対対応は成立していない。
1対
ෝ , 𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ の間・ 𝑺𝑺 𝝆𝝆
間の定量的関係について（解析的な考察を含めて）
ෝ , 𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ の間・ 𝑫𝑫 𝝆𝝆
間の定量的関係について（解析的な考察を含めて）

ෝ の時間発展についての考察、解析（Ⅱ） Purity of state𝑷𝑷 𝝆𝝆

Two Level System でのLindblad方
方程式を用いた単純化モデルでも、 Purity of stateෝ の回復的振舞いが見出された！？初期条件によって、回復の“構造”が𝑷𝑷 𝝆𝝆異なっている？
九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

49

今後の探求課題（ １ ） エ ン ト ロ ピ ー指 標
光合成（集光システム）における熱（量子）統計力学的なダイナミクス解析 へ
繋げて行きたい。特に目下進めている「エントロピー」を使った解析への応用を目指して。その為に、今回比較検討した（コヒーレンス、デコヒーレンス）4つの指標の中のエントロピー（線形エントロピーではなく）を“メジャー”としてではな
く、物理量として（系の位相空間の自由度と絡めて？）定式化して、光合成（集光システム） のダイナミクスの解析に使うことを課題としている。
（２） Purity of state𝑷𝑷 𝝆𝝆ෝ の回回復（参照文献の）温度を入れたマスター方程式の解析結果では、低温の環境
Entropyが負のほど回復度が大きい！？ PurityとE相関を持っているとした場合は、この事実は「熱力学第2法則」により系から環境に廃棄されなけ
ればならないエネルギー（廃熱∆𝑄𝑄 ）が、エントロピー
廃棄 ∆𝑆𝑆との関係式∆𝑸𝑸 = 𝑻𝑻𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 ∆𝑺𝑺より、低温であるほど小さくてよい、という「「熱統計力学」の本質の反映ではないか？ただ、今回の顕わに環境温度𝑻𝑻𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 を入れないモデルの場合でも、対角項（エネルギー項）の50
ෝ の回基底状態への遷移がある場合で、 𝑷𝑷 𝝆𝝆
回復が生じている！？
－88－

今後の探求課題（３）時間発展方程式導出のトレース
課題（２）を検証するためにも「環境温度」を入れた密度演算子ෝ
𝝆𝝆の時間発展
方程式であるマスター方程式（Lindblad方程式、スピン・ボゾン模型）の導出過程（熱浴による部分トレースにより得られた縮約密度演算子の時間発展方程式の導出過程）を検証したい。

九大IMI共同利用研究集会（オンライン）

51

ご清聴ありがとうございました
光子が電子のドレスをまとった状態？
Dressed photon ?

矢吹ゼミOG松
松村祐美氏 作成
九大IMI共共同利用研究集会（オンライン）

－89－

52

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－156－

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－159－

IMI一般研究_研究集会(II)

解析から設計に向けたオフシェル数理科学
代表者 佐久間弘文 (ドド レス ト光 子 研 究 起 点 )February 22, 24, 2022 （Feb 24)
Online流体およびMHDにに対 する ネ ータ ー
の第1、
、第2定
定理と 南部括弧
Noether’s first and second theorems and Nambu
bracket for fluid dynamics and MHD
Yasuhide Fukumoto

Institute of Mathematics for Industry,
Kyushu University, Japan

Rong ZOU

University of Hawai'i at Mānoa, USA

Nambu Mechanics

Nambu: Phys. Rev. D 7 (1973) 2405

－160－

Euler equations for a free rigid body
Motion of a free rigid body
Angular velocity viewed from the body frame
Angular momentum viewed from the body frame

Euler equations

Lie-Poisson bracket

Euler equations

Nambu dynamics for a free rigid body
Casimir invariants
for any H
Casimir invariants

Take

Marsden (1992）－161－

Generalization of Nambu bracket
Nambu: Phys. Rev. D 7 (1973) 2405
Yoneya: Monthly J. of JPS (2017) 231

Contents
1. Introduction to Nambu bracket
Motion of a free rigid body
Motion of an ideal barotropic fluid

2. Lie-Poisson bracket for MHD
a difficulty
3. Casimir=Topological invariants by Noether’s 1st theorem
Particle relabeling symmetry
cross-helicity

4. Nambu-bracket for MHD
5. Remarks on Noether’s 2nd theorem
Ertel invariant of non-isentropic neutral fluid
MHD

－162－

Lie-Poisson brackets
Kuznetsov E A and Mikhailov A V 1980

functional derivative:

Lie-Poisson bracket

Vorticity equation

Nambu bracket for vorticity equation

Fukumoto: Nagare 28 (2009) 499-500

Vorticity equation

Helicity

Energy contour(on shell)
off shell

Vorticity equation

isovortical sheets－163－

Magnetohydrodynamics (MHD) of acompressible adiabatic conducting fluid
Baroclinic effect
Lorentz force

Equations of MHD

Conservation of helicity is destroyed by the baroclinic effect and the Lorentz force－164－

Magnetohydrodynamics of a compressible
adiabatic conducting fluid
Morrison & Greene, Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 790, 48 (1982) 569

Webb, Dasgupta, McKenzie, Hu & Zank: J. Math. Theor. 47 (2014) 095502

A difficulty The cross-helicity is not a Casimir (???)
E. Hameiri: Phys. Plasmas 11 (2004) 3423

－165－

J. Phys. A: Math. Theo.4
43 (2010) 305501

incompressible

cf. Never & Sommner: Am. Met. Soc. 66 (2009) 2073-2084

Casimir = Topological invariant－166－Helmholtz’s law (1858)
Vorticity equations

an infinitesimal material line element:

Topological invariants of an ideal barotropic fluid
3D

Helicity (=Hopf invariant, Casimir invariant)vorticity

2D

Generalized enstrophy (=Casimir invariant)where f is an arbitrary function, because

Question:
Why the helicity of 3D looks different from 2D Casimirs?
How far is the 2D Casimir invariant from the helicity?

－167－

Emmy Amalie Noether 1882-1935

A unified View of Topological Invariantsfrom Noether’s Theorem
cf. Barotropic case: Y. Fukumoto: Topologica 1 (2008) 003

How far is the Casimir invariant from the helicity?
Particle relabeling symmetry
A. Yahalom: J. Math. Phys. 36 (1995) 1324

－168－

2D Casimir invariant is a cross helicity

cross helicity

Topological Invariantsof magnetohydrodynamics
from Noether’s Theorem－169－

A unified View of Topological Invariantsof magnetohydrodynamics from
Noether’s Theorem

cf. Barotropic fluids: Y. Fukumoto: Topologica 1 (2008) 003
cf. Baroclinic fluids:

MHD:

N. Padhye & P. J. Morrison: Phys. Lett. A 219 (1996) 287
N. Padhye & P. J. Morrison: Plasma Phys. Rep. 22 (1996) 960
Y. Fukumoto & H. Sakuma: Procedia IUTAM 7 (2013) 213
C. J. Cotter & D. D. Holm: Found Comput Math.13 (2013) 457

Webb, Dasgupta, McKenzie, Hu & Zank: J. Math. Theor. 47 (2014) 095501
Webb, Dasgupta, McKenzie, Hu & Zank: J. Math. Theor. 47 (2014) 095502

Relativistic fluids:
Z. Yoshida, Y. Kawazura and T. Yokoyama: J. Math. Phys. 55 (2014) 043101
Y. Kawazura, Z. Yoshida & Y. Fukumoto: J. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 465501

Hamilton’s principle for Euler-Poincaré equation
for a non-homentropic flow

Lagrangian label function
D. D. Holm

－170－

Variation of action: Baroclinic case{

Euler-Poincarė equations

Hamilton’s principle in material coordinates
Rewrite the variation in terms of the Lagrangian variables X

for arbitrary variation

subject to B.C. and I.C.

Euler-Poincaré equations in terms of the material coordinates－171－

Particle relabeling symmetryTime-independent change of particle labels

Infinitesimal particle relabeling

Under particle relabeling, the action is unchanged

Assume Euler-Poincaré equations, then

Noether’s charge

Noether’s theorem for particle relabeling symmetry

Noether’s charge

Baroclinic caseUtiyama(1959)－172－

Vector field (material line element) D?

C. J. Cotter & D. D. Holm: Found Comput Math.13 (2013) 457

D=B only?

Nambu bracket for non-isentropic
adiabatic MHD－173－

Nambu bracket for non-isentropic
adiabatic MHD
Casimirs

Nambu-bracket representation for Lie-Poisson equation

A difficulty associated with LiePoisson bracket
E. Hameiri: Phys. Plasmas 11 (2004) 3423

－174－

Is the cross-helicity a Casimir invariant?

Yes!
Proof that hc is a Casimir invariant－175－

Poisson bracket induced from Nambu bracket

Iso-magnetovortical perturbations

arbitary vector fields
and functions= iso-magnetovortical perturbations－176－

Arnold’s theorem for MHD
Total energy

Steady flow

Energy contour

isovortical sheets

Remark on
Noether’s 2nd Theorem－177－

Variational symmetry

Variational
symmetry
Noether’s 2nd
theorem

Identity!

Hamilton’s principle for Euler-Poincaré equation
for a non-homentropic flow

Lagrangian label function
D. D. Holm

－178－

Particle relabeling symmetry

Particlerelabelingsymmetry

Noether’s 1st and 2nd theorems
for nonisentropic adiabatic
motion of a neutral fluid－179－

Generalized Bianchi identity for anonisentropic neutral fluid
Generator for particle relabeling

Variational symmetry

Generalized Bianchi identity for anonisentropic neutral fluid
Generator for particle relabeling

Variational symmetry－180－内山龍雄：一般相対論

Variational symmetry

Padhye & Morrison (1996)

Ertel’s potential vorticity

Another identity is admitted:

Euler-Poincaré equation

Generalized Bianchi identity for MHD
Time-independent change of particle labels

Generator for particle relabeling－181－

Noether's second theorem for MHD
Particle-relabelling symmetry in Eulerian representation

Variational symmetry

Generalized Bianchi identity for MHD
Time-independent change of particle labels

Generator for particle relabeling－182－

Summary

A unified view of topological invariants for a non-isentropic MHD
from Noether’s theorem

Casimirs

Nambu-bracket representation for Lie-Poisson equation

Extension of Lie-Poisson bracket that makes all the 4 integrals Casimirs

Nambu-bracket representations of isovortical perturbations
wave energy, mean flow
Structure-preserving numerical method
Y. Suzuki
Noether’s second theorem－183－

－184－

－185－

－186－

－187－

－188－

－189－

－190－

－191－

－192－

「マス・フォア・インダストリ研究」シリーズ刊行にあたり
本シリーズは，平成 23 年 4 月に設立された九州大学マス・フォア・インダストリ研究所(IMI)が，平成 25 年 4 月に共同利用・共同研究拠点「産業数学の先進的・基礎的共同研究拠点」として，文部科学大臣より認定を受けたことにともない刊行するものである．本シ
リーズでは，主として，マス・フォア・インダストリに関する研究集会の会議録，共同研
究の成果報告等を出版する．各巻はマス・フォア・インダストリの最新の研究成果に加え，その新たな視点からのサーベイ及びレビューなども収録し，マス・フォア・インダストリの展開に資するものとする．

平成 30 年 10 月
マス・フォア・インダストリ研究所
所長 佐伯

解析から設計に向けたオフシェル数理科学
マス・フォア・インダストリ研究 No.25, IMI, 九州大学
ISSN 2188-286X
発行日

2022 年 3 月 28 日

編集

佐久間弘文，大津元一，小嶋発

行

九州大学マス・フォア・インダストリ研究所

泉，福本康秀〒819-0395 福岡市西区元岡 744
九州大学数理・IMI 事務室
TEL 092-802-4402

FAX 092-802-4405

URL https://www.imi.kyushu-u.ac.jp/
印

刷

城島印刷株式会社〒810-0012 福岡市中央区白金 2 丁目 9 番 6 号
TEL 092-531-7102

FAX 092-524-4411

修シリーズ既刊
Issue

Author ／ Editor

Title

Published

マス・フォア・インダストリ
研究 No.1

穴田 啓晃
安田 貴徳
Xavier Dahan
櫻井 幸一

Functional Encryption as a Social Infrastructure and
Its Realization by Elliptic Curves and Lattices

26 February 2015

マス・フォア・インダストリ
研究 No.2

滝口
藤原

Collaboration Between Theory and Practice inInverse Problems

12 March 2015

マス・フォア・インダストリ
研究 No.3

筧

非線形数理モデルの諸相：連続，離散，超離散，その先Various aspects of nonlinear mathematical models: continuous, discrete, ultra-discrete, and beyond

24 March 2015

マス・フォア・インダストリ
研究 No.4

穴田
安田
櫻井
寺西

啓晃
貴徳
幸一
勇

Next-generation Cryptography for
Privacy Protection and Decentralized Control andMathematical Structures to Support Techniques

29 January 2016

マス・フォア・インダストリ
研究 No.5

藤原
滝口

宏志
孝志

Mathematical Backgrounds and Future Progress ofPractical Inverse Problems

1 March 2016

マス・フォア・インダストリ
研究 No.6

松谷
佐伯
中川
上坂
濵田

茂樹
修
淳一
正晃
裕康

結晶のらせん転位の数理

10 January 2017

マス・フォア・インダストリ
研究 No.7

滝口
藤原

孝志
宏志

Collaboration among mathematics, engineering andindustry on various problems in infrastructure andenvironment

1 March 2017

マス・フォア・インダストリ
研究 No.8

藤原
滝口

宏志
孝志

Practical inverse problems based on interdisciplinary
and industry-academia collaboration

20 February 2018

マス・フォア・インダストリ
研究 No.9

阿部
高島
縫田
安田

拓郎
克幸
光司
雅哉

代数的手法による数理暗号解析
Workshop on analysis of mathematical cryptography
via algebraic methods

1 March 2018

マス・フォア・インダストリ
研究 No.10

阿部
落合
高島
縫田
安田

拓郎
啓之
克幸
光司
雅哉

量子情報社会に向けた数理的アプローチ
Mathematical approach for quantum informationsociety

26 December 2018

孝志
宏志

三郎

（

）

IssueAuthor ／ Editor

Title

Published

マス・フォア・インダストリ
研究 No.11

松谷
佐伯
中川
濵田
上坂

茂樹
修
淳一
裕康
正晃

結晶転位の先進数理解析
Advanced Mathematical Investigation for Dislocations

7 January 2019

マス・フォア・インダストリ
研究 No.12

滝口孝志

Non-destructive inspection for concrete structuresand related topics

13 February 2019

マス・フォア・インダストリ
研究 No.13

宇波
長野
吉岡
田上
白井

耕一
智絵
秀和
大助
朋之

数理農学における時系列データのモデル化と解析
Modeling and Analysis of Time Series Data in MathAgro Sciences

28 February 2019

マス・フォア・インダストリ
研究 No.14

佐久間 弘文
大津 元一
小嶋 泉
福本 康秀
山本 昌宏
納谷 昌之

ドレスト光子に関する基礎的数理研究

18 March 2019

マス・フォア・インダストリ
研究 No.15

松谷
佐伯
中川
濵田
富安

結晶の界面，転位，構造の先進数理解析

2 December 2019

マス・フォア・インダストリ
研究 No.16

Takuro Abe
Yasuhiko Ikematsu
Koji Nuida
Yutaka Shikano
Katsuyuki Takashima
Masaya Yasuda

Quantum computation, post-quantum cryptography
and quantum codes

17 January 2020

マス・フォア・インダストリ
研究 No.17

河村
津曲
西澤
溝口

彰星
紀宏
弘毅
佳寛

代数・論理・幾何と情報科学―理論から実世界への展開

10 February 2020

マス・フォア・インダストリ
研究 No.18

Takashi Takiguchi

New technologies for non-destructive and noninvasive inspections and their applications

21 February 2020

マス・フォア・インダストリ
研究 No.19

Hirofumi Sakuma
Motoichi Ohtsu
Masayuki Naya
Izumi Ojima
Yasuhide Fukumoto

Basic mathematical studies on dressed photon
phenomena

19 March 2020

茂樹
修
淳一
裕康
亮子

マス・フォア・インダストリ
研究 No.20

松谷 茂樹
井上 和俊
加葉田雄太朗
佐伯
修
垂水 竜一
内藤 久資
中川 淳一
濵田 裕康

材料科学における幾何と代数 I

24 November 2020

マス・フォア・インダストリ
研究 No.21

Daisuke Sakurai
Shigeo Takahashi
Naoki Hamada
Osamu Saeki
Hamish Carr
Takahiro Yamamoto

Fiber Topology Meets Applications

10 March 2021

マス・フォア・インダストリ
研究 No.22

巴山
中丸
大垣

竜来
啓
真二

数理的生成手法による CG とデジタルファブリケー
ション

15 March 2021

松谷
井上
落合
佐伯
垂水
内藤
中川
濵田
松江

茂樹
和俊
啓之
修
竜一
久資
淳一
裕康
要

材料科学における幾何と代数 II

11 November 2021

Fiber Topology Meets Applications 2

15 March 2022

マス・フォア・インダストリ
研究 No.23

マス・フォア・インダストリ
研究 No.24

櫻井 大督
佐伯
修
高橋 成雄
Hamish Carr
山本 卓宏
濱田 直希

Institute of Mathematics for Industry
Kyushu University

九州大学マス・フォア・インダストリ研究所〒819 - 0395 福岡市西区元岡 744

https://www.imi.kyushu-u.ac.jp