大強度陽子リングのビーム力学：
単粒子力学・空間電荷効果― 入門編 ―

振動の運動方程式を導出し、最も基本的なベータ
トロン振動の線形近似解を求める。又、本章の後半部では、各種誤差磁場や非線形磁場成分を導入し、それらによって生じるベータトロン振動の不安定性（共鳴現象）を議論する。

1. 序論
J-PARC は、高エネルギー加速器研究機構と日本原子力研究開発機構が、茨城県東海村に共同で建設している MW 級の大強度陽子加速器施設であり、400 MeV（現状、181 MeV） リニアック、
速い繰り返しの 3 GeV シンクロトン（Rapid
Cycling Synchrotron; RCS）、及び、50 GeV（現状、30 GeV）メインリングシンクロトロン（MainRing; MR）の 3 基の加速器群から構成される。
J-PARC 加速器は、2006 年 11 月から始まった低

図 1：直交曲線座標系。

電流ビームによる一連の初期試験・調整を経て、2008 年 12 月より供用運転を開始した。その後は、2009 年 12 月より、本格的な大強度ビーム試験を

2.1. ベータトロン振動の運動方程式

開始し、以来、供用運転と並行して、ビーム出力

本節では、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアの増強へ向けた各種試験・調整を精力的に展開しンから出発して、ベータトロン振動の運動方程式

ている。

を導く。

こうした状況を踏まえ、本講義では、大強度ビームの振る舞いを理解する上で必要なビーム力
学の基礎、特に、RCS や MR で採用されている強電磁場中を運動する荷電粒子のハミルトニア
ンは、以下のように与えられる。

rr
H1 = eφ + c[m 2 c 2 + (P − eA) 2 ]1/ 2(1)

収束型の陽子リングでのビーム運動に焦点を絞

此処で、e は電荷量、c は光速、m は粒子の静止

り、ビームの単粒子的振る舞いからビーム粒子間

質量、又、 φ はスカラーポテンシャル、 A はベクに作用する空間電荷力を取り入れた場合のビー

ターポテンシャルであり、電磁場とは、ムの挙動などを広く議論する。又、本講義の後半部で、今までに、RCS で実際に行われてきたビー
ム出力の大強度化への取り組みを概説し、その中で得られた実験データや対応するシミュレーシ
ョン結果を、本講義の前半部で得た理屈を使って
解説する。

r

r
r
r
r
E = −∇φ − ∂A / ∂t , B = ∇ × A(2)rという関係を持つ。又、式中の一般運動量 P は、
r
荷電粒子の運動量 p とベクターポテンシャルの和rr r
P = p + eA

(3)で与えられる。此処で、図 1 に示す様に、加速器の閉軌道を基準曲線に取った直交曲線座標系

2. ベータトロン振動（横方向振動）
加速器では、磁場の分布が与えられると、粒子（x,y,s）への座標変換を行う。先に述べたように、
ベータトロン振動は、閉軌道の回りの振動である

在する（閉軌道）。この加速器の設計軌道から外為、こうした直交曲線座標系を導入し、基準曲線rr0 からの変位として運動を取り扱う。この直交曲れた粒子が閉軌道の回りで行う振動をベータト

線座標系の単位ベクトルは、のエネルギーに対応して、一定の閉じた軌道が存ロン振動と呼ぶ。本章では、先ず、ベータトロンrr
d r0 (s)es (s) =,dsrrde (s)e x (s) = −ρ(s) s ,dsrrre y (s) = es (s) × e x (s)と仮定する。この場合、式(9)は、t を含まないので、全エネルギー E = H 2 は不変量となる。式(9)(4)

について、全運動量 p = (E 2 / c 2 − m 2 c 2 )1 / 2 というとなる。此処で、ρ(s)は、基準曲線の曲率半径を関係を使い、px, py について 2 次の項までを考慮示す。以下の母関数

すると、

r
F3 (P, x , y, s)r rrr= − P ⋅ ( r0 + xe x (s) + ye y (s))

H 3 ( x, p x , y, p y ; s)(5)

= −eA spypx
− p(1 + ) [1 − ( x ) 2 − ( ) 2 ]1/ 2
ρppx≈ −eA s − p(1 + )
ρ
x 1 p
1 py
+ p(1 + )[ ( x ) 2 + ( ) 2 ]
ρ 2 p
2 p

を用いて正準変換を行うと、（x,y,s）に正準共役な
一般運動量は、

r r
p s = −∂F3 / ∂s = (1 + x / ρ)P ⋅ es (s),r r
p x = −∂F3 / ∂x = P ⋅ e x (s),r r
p y = −∂F3 / ∂y = P ⋅ e y (s)(6)となり、同様にベクターポテンシャルもr r
A s = (1 + x / ρ) A ⋅ es (s),r r
A x = A ⋅ e x (s),r r
A y = A ⋅ e y (s)となる。上記の独立変数 s でのハミルトニアンから、ハミルトン方程式は、(7)と変換すると、直交曲線座標系での新たなハミル
トニアンは、

x ′ = dx / ds = ∂H 3 / ∂p x ,p′x = dp x / ds = −∂H 3 / ∂x,y′ = dy / ds = ∂H 3 / ∂p y ,(12)

p′y = dp y / ds = −∂H 3 / ∂y

H 2 ( x, p x , y, p y , s, p s ; t )∂F= H1 + 3∂t= eφ + c[m 2 c 2 + (p x − eA x ) 2と与えられる。
次に磁場について考える。直交曲線座標系での(8)

磁場の各成分は、rr
B = ∇×A(p s − eA s ) 2 1/ 2
+ (p y − eA y ) +](1 + x / ρ) 22となる。此処までは、時刻 t を独立変数としてきたが、次は、基準軌道上の距離 s を新たな独立変数として取り扱う。t の正準共役量は−H2 であるので、新たなハミルトニアンは、式(8)を−ps について解くことにより、以下のように与えられる。

H 3 ( x , p x , y, p y , t ,− H 2 ; s) = −p sx (H − eφ) 2= −eA s − (1 + ) [ 2 2− m 2c 2ρc2 1/ 2

此処で、電場は無く、且つ磁場は静的で、設計軌
道に対して平行な磁場成分を持たないという状
況を考える。即ち、=

1 ∂A s ∂A y r()e x−
h s ∂y∂s+

1 ∂A x ∂A s r()e y−h s ∂s
∂x

+(

∂A y

−

∂x
hs = 1+ x ρ(13)∂A x r) es ,∂yとなる。上式と式(10)の条件より、磁場の x, y 成(9)− (p x − eA x ) − (p y − eA y ) ]2

φ = 0, A x = A y = 0

(11)

分は、

1 ∂A s
,1 + x / ρ ∂y
1 ∂A sBy = −
1 + x / ρ ∂x
Bx =

(14)

となり、式(11), (12), (14)から、x, y について 2 次(10)の項までを考慮すると、ベータトロン振動の運動方程式は、以下のように求まる。

By p0ρ+xx=−(1 + ) 2 ,
2
ρ
ρ
Bρ p
B p
y
y′′ = x 0 (1 + ) 2Bρ pρ

2.3. ベータトロン振動の線形近似解

x ′′ −

式(18)より、磁場 Bx, By について、二極磁場（b0）(15)と四極磁場（b1）のみ考慮する。

B y = B + ∂B y / ∂x

式中の p0 は、基準軌道上を周回する粒子の運動量

B x = ∂B y / ∂x

（中心運動量）、又、B は、p0=eBρを満たす偏向磁x = 0, y = 0

x =0, y =0

x,
(19)

y

場であり、Bρを中心運動量と等価な量として運動

上式を式(15)へ代入し、p=p0 と仮定して高次の微量リジッディティーと呼ぶ。

小量を省略すると、以下の運動方程式が得られる。

2.2. 磁場の多極展開式(11)や(15)から更に議論を進める為に必要となる磁場の多極展開を本節で纏めておく。
式(10)の Ax=Ay=0 を仮定した場合、磁場は、基準軌道 s に垂直な成分のみを持つ。

rrr
B = B x ( x , y) e x + B y ( x , y) e y(16)られる。この As は、1/ρが微小な条件下で、(b n + ja n )( x + jy) n +1 ]
n
+
1
n =0
∞

A s = −B ⋅ Re[∑

(17)

⎧
1
1 ∂B y(if χ = x ),⎪⎪ k x (s) = 2 +ρBρ ∂xk (s) = ⎨∂B y
⎪ k y (s) = − 1(if χ = y)⎪⎩Bρ ∂x
ティス構造の周期性 L に従って、k(s)=k(s+L)の周

1(B y + jB x )
Bρ
1
∂A
∂A
=
(− s + j s )
Bρ
∂x
∂y

期関数となる。このような周期係数を持ち、1 次
微分項を持たない 2 階微分方程式を Hill の方程式と呼ぶ。式(21)の一般解は、
χ1 = w (s)e iϕ(s ) ,(18)

1 ∂ Bybn =,Bn! ∂x n x = y =0nan =であり、一般に、x, y を代表してχと書くと、
χ′′ + k (s)χ = 0,(21)と表わせる。係数 k(s)は、円形加速器の場合、ラと展開できる。その場合、磁場は、

1 ∞∑ (b n + ja n )(x + jy) n ,ρ n =0(20)

上式は、ビーム粒子の線形近似による運動方程式

この場合、Bx, By は、As から式(14)を通して与え=1
1 ∂B yx ′′ + ( 2 +) x = 0,Bρ ∂x
ρ
1 ∂B y
y′′ −
y=0
Bρ ∂x

1 ∂ n Bx
Bn! ∂x n x = y =0と表わせ、bn が 2(n+1)極磁場成分、an がそのね
じれ磁場成分を示す。通常の加速器では、偏向作用を行う二極磁場（b0）と収束作用を担う四極磁場（b1）が主成分であり、その他の磁場成分は、
誤差、若しくは、補正量として存在する。

χ 2 = w (s)e − iϕ(s )

(22)

の線形結合

χ = c1 w (s)e iϕ(s ) + c 2 w (s)e −iϕ(s )(23)となる。式(22)を式(21)に代入し、実部と虚部が共に 0 になるという条件から、以下の w, ϕが満たすべき関係が導かれる。

w ′′ + k (s) w − 1 / w 3 = 0,(25)ϕ′ = 1 / w 2(24)

式(24)は、エンベロープ方程式と呼ばれる。
次に、s=s1 での初期値が(χ1,χ1’)の場合、s=s2 での(χ2, χ2’)を与える関係を考える。この関係は、式(23)に初期値を入れて、c1, c2 を決めることにより、以下のように求まる。

⎛ χ2 ⎞⎛χ ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = M (s 2 | s1 )⎜⎜ 1 ⎟⎟⎝ χ′2 ⎠
⎝ χ1′ ⎠
m12 ⎞⎛ χ1 ⎞⎛m⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟,= ⎜⎜ 11⎝ m 21 m 22 ⎠⎝ χ1′ ⎠

γ = (1 + α 2 ) / βと定義し、又、μは、一周期分の位相進みで、(32)
μ = ϕ(s + L) − ϕ(s)である。又、式(30)より、k 周期分の輸送行列は、

β sin kμ
⎛ cos kμ + α sin kμ⎞⎟
M k = ⎜⎜
cos kμ − α sin kμ ⎟⎠− γ sin kμ⎝m11 = ( w 2 / w 1 ) cos ϕ − w 2 w 1′ sin ϕ,
m12 = w 1w 2 sin ϕ,
1 + w 1 w 1′ w 2 w ′2
m 21 = −sin ϕw 1w 2w′ w′− ( 1 − 2 ) cos ϕ,w 2 w1m 22 = ( w 1 / w 2 ) cos ϕ + w 1 w ′2 sin ϕ(33)となる。任意の初期条件から出発した粒子の振動が発散しない為には、行列要素が常に有限である(26)

は、|cosμ|<1、即ち、

又、ϕ=ϕ(s2)−ϕ(s1)は、s1 から s2 までのベータトロン振動の位相進みを示す。此処で、Twiss パラメータと呼ばれる新たな量α(s) = − w (s) w ′(s) = −β′(s) / 2(27)

ϕ(s) = ∫

s

0

ds
β(s)

(36)

と表わせ、ベータトロン振動の一般解は、

1 + α1α 2
m 21 = −
sin ϕ
β1β 2

χ(s) = a β(s) cos( ∫

(28)

s

0

ds
+ ξ)
β(s)

決定される定数である。上記の通り、ベータトロン振動は、加速器の磁場分布から決定されるベータ関数β(s)で特徴づけられ、関数 β(s) , ϕ(s) にβ1( cos ϕ − α 2 sin ϕ)β2

よって、それぞれ振幅変調、位相変調された正弦波と見做すことができる。加速器一周あたりのベと表わせる。
此処で、ベータトロン振動の安定条件を議論する。式(28)より、ラティス構造の周期性 L に従って、ータトロン振動の振動回数は、式(36)を加速器一周に亘り積分し、それを 2πで割った

ν=
(29)

1
1 / β(s)ds
2π ∫

(38)

で与えられ、この量をベータトロン振動数、若しの周期条件がある場合の s から s+L までの輸送行

くは、チューンと呼んでいる。

列は、

2.4. 各構成要素の輸送行列

β sin μ⎛ cos μ + α sin μ⎞⎟
M = ⎜⎜
cos μ − α sin μ ⎟⎠⎝ − γ sin μとなる。此処で、(37)と表記できる。此処で、a とξは、初期条件により

α − α2+( 1) cos ϕ,β1β 2α(s) = α(s + L)

最後に、ベータトロン振動の一般解(23)を、

ン振動の位相進みは、始点を s=0 に選ぶと、

β2(cos ϕ + α1 sin ϕ),β1β(s) = β(s + L),(34)となり、これを積分することにより、ベータトロ

m12 = β1β 2 sin ϕ,m 22 =|Tr M(s+L|s)|<2と与えられる。

Twiss パラメータを用いて書き直す。式(25)は、(35)
ϕ′(s) = 1 / β(s)を導入すると、輸送行列は、m11 =ことが必要となる。μが実数であれば、ベータト
ロン振動が発散することはなく、振動の安定条件

上式の M(s2|s1)を s1 から s2 への輸送行列と呼び、β(s) = w 2 (s)

(31)

(30)

本節では、各加速器要素の輸送行列を具体的に導く。

2.4.1y′′ − k1 y = 0,

自由空間（ドリフト空間）

自由空間では、粒子は、力を受けずにまっすぐ進むので、その長さを Ld とすれば、輸送行列は、⎛ 1 Ld ⎞⎟⎟M = ⎜⎜⎝0 1 ⎠k1 =1 ∂B yBρ ∂x(45)となる。k1>0 と仮定すると、x 方向は収束、y 方(39)

向は発散の作用を持ち、式(45)の一般解は、となる。

x = A1 cos(s | k1 | ) + B1 sin(s | k1 | ),2.4.2

y = A 2 cosh(s | k1 | ) + B 2 sinh(s | k1 | )二極電磁石（セクター型）

二極電磁石で、ビーム粒子の基準軌道と、その電磁石の磁極の端面が直角になっているものを
セクター電磁石と呼ぶ。二極電磁石中の粒子の運動方程式は、式(21)から四極電磁石の効果を除いて、以下のように与えられる。

1
x = 0,
ρ2y′′ = 0x ′′ +(40)y 方向は自由空間と同じなので、輸送行列は、式(39)より、⎛ 1 ρφ ⎞⎟⎟M y = ⎜⎜
⎝0 1 ⎠となる。セクター電磁石の場合と同様の処置により、四極電磁石の輸送行列は、磁石の長さを Lmとすると、⎛ cos(ς)(1 / | k1 |) sin ς ⎞⎟,Mx = ⎜⎟⎜ − | k | sin ς
cos
ς
1
⎠
⎝
⎛ cosh(ς)(1 / | k1 |)ρ sinh ς ⎞⎟,My = ⎜⎜ | k | sinh ς
⎟
cosh
ς
1
⎝
⎠
ς = L m | k1 |(47)と与えられる。k1<0 の場合は、x 方向が発散、y方向が収束となり、上の x 方向と y 方向の行列が(41)入れ替わる。

となる。此処で、φは、セクター電磁石の偏向角を示す。一方、x 方向の一般解は、

ssx = A cos + B sin
ρ
ρ

(42)

となる。此処で、A と B は、任意の定数である。
初期条件を、s=0 で、(x, x’)=(x0, x’0)とすると、任意の s での解は、ssx = x 0 cos + x ′0ρ sin ,
ρ
ρ
x
s
s
x ′ = − 0 sin + x ′0 cos
ρ
ρ
ρ

(43)

となり、輸送行列は、

ρ sin φ ⎞⎛ cos φ⎟⎟M x = ⎜⎜⎝ − (1 / ρ) sin φ cos φ ⎠(44)と表わされる。
2.4.3

四極電磁石

四極電磁石内の粒子の運動方程式は、式(21)で1/ρ→0 と置くことにより、

x ′′ + k1 x = 0,(46)

図 2：エッジ収束（x 方向）。

という関係で結ばれるので、x 方向の輸送行列は、

1
0⎞
⎛
⎟⎟
M x = ⎜⎜
⎝ − tan δ / ρ 1 ⎠

(50)

となる。
次に、y 方向を考える。図 3 に示す通り、 δ ≠ 0の時は v x ≠ 0 、又、電磁石の端面近傍では、y ≠ 0
で B z ≠ 0 となるので、y 方向には、ローレンツ力が作用する。y 方向の運動方程式は、

dv y = −ev x
B z dtm(51)となる。上式は、dz=vzdt を用いると、

dv y = −e vx
B z dzm vz(52)となり、又、vx=−vztanδを使って、

dv y =eB z
tan δdzm(53)と表わされる。此処で、磁気スカラーポテンシャr

ル φ m を導入すると、 B = −∇φ m より、Bz = −
図 3：エッジ収束（y 方向）。
2.4.4

此処では、図 2-(1)で示されるように、ビームの基準軌道と磁石端面の交差角が直角からδだけずれた角度を持つ二極電磁石を考え、その磁極端面部の効果を考察する。
x 方向については、この電磁石は、図 2-(2)に示

又、z=−∞で磁場は 0、z=z0 で磁場は y 方向に一φ m ( x, y, z 0 ) = −B ⋅ y,
φ m ( x , y − ∞) = 0
る y 方向の速度変化は、

eBztan δdzm
z 0 e ∂φ ( x , y, z )mtan δdz
= −∫
−∞ m
∂z
eB
= ( tan δ) ym

Δv y = ∫基準軌道と並行に x の位置からくさび型電磁石へ入射した粒子の偏向角は、として扱う。つまり、レンズを通過した際に、位置の変位は無く、角度のみ変化すると近似する（薄レンズ近似）。その場合、薄レンズ前後の軌道
は、

Δv y
v

= Δθ y = (
tan δ
=
y
ρ

eB
tan δ) ymv(57)

上式より、磁石端面前後の軌道は、

x = x0(49)(56)となり、上式を v で割ることで、偏向角が、以下の様に求まる。

となる。此処で、このくさび型磁石を薄いレンズ

tan δ
x ′ = x ′0 −
x
ρ

z0

−∞

クター電磁石の組み合わせと見做すことができ、

(48)

(55)

式(53)~(55)より、磁石の端面を通過する際に生じす二極磁場の符号が異なったくさび型磁石とセ

tan δ
x
ρ

(54)

定値 B を取ると仮定すると以下の関係を得る。

エッジ収束

Δθ x =∂φ m ( x, y, z)∂z

y = y0 ,y′ = y′0 +

tan δ
y
ρ

∂H 4 1= ,∂Jβ∂HJ′ = − 4 = 0
∂ϕ

ϕ′ =

(58)

という関係で結びつくので、y 方向の輸送行列は、

0⎞
⎛ 1
⎟⎟
M y = ⎜⎜
⎝ tan δ / ρ 1 ⎠(59)と与えられ、上式より、J が s に依らず一定であとなる。

るという結果が導かれる。

式(50), (59)より、磁石端面の効果が、x 方向と此処で、Courant-Snyder 不変量と呼ばれる以y 方向で、収束・発散作用が逆となる四極電磁石

下の量を定義する。

と等価な関係を持つことがわかる。この収束効果

C(χ, χ′) =をエッジ収束と呼ぶ。

= γχ + 2αχχ′ + βχHill の方程式(21)は、以下のハミルトニアンより導かれる。

1
1
H(χ, χ′; s) = χ′2 + k (s)χ 222

上式に、式(63)を代入すると、

C(χ, χ′) = 2J = const.
C(χ, χ′) = a 2 = const.

(60)

β′
χ2
F1 (χ, ϕ) = − (tan ϕ − )
(61)
2β
2
を使い、 (χ, χ′) から (ϕ, J ) へ正準変換を行う。この新たな変数は、Action-Angle 変数と呼ばれる。

楕円を描き、その不変量は、その楕円の面積をπで割った値 ε に等しい。

C(χ, χ′) = ε =1χ′dχ = const.
π∫

(70)

上式の ε は、ビームの広がり具合を表すもので、(62)

エミッタンスと呼ばれる。 ε を使って、式(37)を書き直すと、ds+ ξ)
0 β(s)

χ(s) = β(s)ε cos( ∫χ = 2β J cos ϕ,

s

(71)

となる。各点 s でのベータトロン振動の振幅は、

2J(sin ϕ + α cos ϕ)β(63)て書き直した11
β′β′′ + k ⋅ β − (1 + ( ) 2 ) = 02β2

磁場分布から決定されるベータ関数と初期条件から決定される定数であるエミッタンスから与を得る。又、式(24)を、Twiss パラメータを用いえられる。加速器中を周回している粒子は、一般に、異なった初期値、即ち、様々なεで分布するが、εが最大の粒子が作る楕円を描けば、その他の粒子(64)の関係を使うと、新たなハミルトニアンは、∂F J
H4 = H + 1 =
∂s β

(69)

軌跡を与え、一般に、図 4 に示される様な傾いたより、

χ′ = −(68)となり、不変量であることが示される。式(68),(69)は、ある場所 s の (χ, χ′) 平面での粒子運動の正準変換の関係式∂F χ 2 1
J=− 1 =
∂ϕ 2β cos 2 ϕ

(67)

2

又、ベータトロン振動の一般解(37)を代入すると、此処で、母関数∂F1
χβ′= − (tan ϕ − ),
∂χ
β
2

1 2
(χ + (β χ′ + αχ) 2 )β2

2.5 Courant-Snyder 不変量

χ′ =

(66)

(65)

と表わせる。この系でのハミルトン方程式は、の軌跡は全てその楕円の中に入る。一般に、その楕円の面積をビームのエミッタンスと呼んでいる。
最後に、以下の新たな位相変数を定義しておく。

χ = 2β J cos ϕ,Pχ = βχ′ + αχ = − 2βJ sin ϕ(72)

上で述べた通り、 (χ, χ′) 空間でのビーム粒子の運という関係を持つ。上式より、エミッタンスが、動の軌跡は、図 4 に示す様な楕円となるが、加速と共に(βγ)に反比例して減衰していくことが(χ, − Pχ ) 空間では、その楕円が、半径 2β J の円分かる。この現象を、ベータトロン振動の断熱減へ変換される。この位相変数は、s に依らずに、衰（adiabatic damping）と呼ぶ。

位相空間の粒子の軌跡を円で描写できる便利な

2.7 誤差磁場のビームへの影響

規格化座標系を作るので、ビーム力学の解析過程

此処までは、理想的な二極・四極磁場中のベーでしばしば使用される。

タトロン振動を議論してきたが、実際の加速器では、電磁石の個体差や設置誤差等があり、ビーム
粒子は、設計値とは異なった磁場の影響を受けて運動する。本節では、加速器磁場の主成分である二極磁場と四極磁場の誤差が存在した場合のビーム粒子の運動を議論する。

図 4： (χ, χ′) 位相空間でのビーム粒子の軌跡（Courant-Snyder 楕円）。
2.6 ベータトロン振動の断熱減衰
本節では、ベータトロン振動が、加速と共にどのように変化するのかを議論する。
振動系のパラメータが、振動周期に比べてゆっくりと変化する場合は、断熱近似が成立し、その作用積分は断熱不変量となる。正準変数として、
位置 χ と運動量 p χ = pχ′ を用いた場合、作用積分は、

I = ∫ p χ dχ = mc(βγ ) ∫ χ′dχ

図 5：整数共鳴条件を満たした場合の位相空間でのビーム粒子の軌跡。
2.7.1

二極誤差磁場の影響（整数共鳴）

此処までは、閉軌道の回りで生じるベータトロ(73)

ン振動を取り扱ったが、此処では、閉軌道が論点となる。式中の(βγ)はローレンツファクターを示となる。誤差磁場が存在しない時の閉軌道は、設す。此処で、新しい量として、規格化エミッタン

計軌道と一致するが、二極磁場の誤差が存在する

スと呼ばれると、振動中心である閉軌道に歪みが生じ、ビーム∫ χ′dχ = (βγ )εε = (βγ )nπ粒子の運動は、その歪んだ閉軌道とその回りのベ(74)を導入する。式(73)より、εn は、加速過程で不変量となり、前節で定義したエミッタンスεと

ε=

1
1
εn ∝
(βγ )
p

(75)

ータトロン振動として描写される。
手 始 め に 、 設 計 軌 道 上 の s=s0 に 蹴 り 角
θ = ΔBds / Bρ の二極誤差磁場が存在すると仮定する。設計軌道を基準曲線に選んだ直交曲線座標系における s=s0 での歪んだ閉軌道の位相空間座

標を(χ0,χ0’)とすると、閉軌道の条件は、以下のよ
うに与えられる。

⎛ χ0 ⎞⎛χ ⎞ ⎛ 0⎞⎜⎜ ⎟⎟ = M⎜⎜ 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎝ χ′0 ⎠
⎝ χ′0 ⎠ ⎝ θ ⎠2.7.2

四極誤差磁場の影響（半整数共鳴）

収束作用を担う四極磁場に誤差が生じた場合には、チューンやベータ関数に影響が現れる。

(76)

四極誤差磁場κ(s)が存在する場合の Hill の方程

此処で、M は、誤差磁場の無い理想的な条件下でのリング一周の輸送行列である。輸送行列(28)を式は、

χ′′ + (k (s) + κ(s))χ = 0(81)

用いて上式を解くと、s=s0 での閉軌道変形は、となる。二極誤差磁場の場合と同様に、手始めに

β 0 cos πν⎛ χ0 ⎞⎞θ ⎛⎜⎜ ⎟⎟ =⎜⎜⎟⎟
⎝ χ′0 ⎠ 2 sin πν ⎝ sin πν − α 0 cos πν ⎠s=s1 の微小領域に四極誤差磁場が存在すると仮定(77)となる。又、任意の位置 s での閉軌道変形は、s0から s への輸送行列 M(s|s0)を用いて、

⎛χ ⎞
⎛χ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = M(s | s 0 )⎜⎜ 0 ⎟⎟,⎝ χ′ ⎠ co⎝ χ′0 ⎠
χ co (s) =する。この誤差磁場の輸送行列は、式(47)に薄レ
ンズ近似を行うと、

1
0⎞
⎛
⎟⎟
m(s1 ) = ⎜⎜⎝ − κ(s1 )ds1 1 ⎠と与えられる。この誤差磁場が存在する場合のリング一周分の輸送行列は、上式と誤差磁場が存在

β(s)β(s 0 )2 sin πν× θ(s 0 ) cos(πν− | ϕ(s) − ϕ(s 0 ) |)(78)と表わせる。上式は、単一キックθで生じる閉軌
道変形の式となるが、実際の加速器では、誤差磁
場は、周回軌道に沿って分布する。その場合の閉しない場合のリング一周分の輸送行列 M0 より、(83)
M (s1 ) = M 0 (s1 )m(s1 )となり、誤差磁場により生じる位相進みの変化量
は、cosμ=1/2(Tr M)の関係より、

cos μ − cos μ 0 = Δ(cos μ)=−

軌道変形は、式(78)をリング一周に亘り積分する
ことで、

β(s)
ΔB( t )
χ co (s) =β( t )∫
2 sin πνBρ× cos(πν− | ϕ(s) − ϕ( t ) |)dt

(79)

導かれる誤差磁場がある場合の Hill の方程式

⎧ − ΔB y (if χ = x ),ΔB = ⎨⎩ ΔB x (if χ = y)(80)を満足する。
又、式(79)より、チューンが整数に近づくと、閉軌道変形が発散することが導かれる。こうした

ν = l（整数）となった際に生じる不安定性を整数共鳴と呼ぶ。この現象は、図 5 に示す様に、チューンが共鳴条件を満たすと、二極キックの影響がターン毎に積み上がる為に生じる。

(84)

sin μ 0β(s1 ) κ(s1 )ds12

即ち、と与えられる。当然ながら、上式は、式(15)より

ΔB
χ′′ + k (s)χ =
,
Bρ

(82)

1
Δμ = β(s1 ) κ(s1 )ds12(85)となる。従って、誤差磁場によるチューンのシフ
ト量は、

Δν =

Δμ 1
=
β(s1 ) κ(s1 )ds1
2π 4π

(86)

となり、又、誤差が全周に亘り分布している場合
は、式(86)を s について積分することで、

Δν =

Δμ 1
=
β(s1 ) κ(s1 )ds1
2π 4π ∫

(87)と与えられる。
次に、四極誤差磁場により生じるベータ関数変調を議論する。此処でも、s=s1 の微小領域に四極誤差磁場が存在すると仮定して議論を始める。先程は、s=s1 での 1 ターン輸送行列 M(s1)を求めた
が、今回は、s=s2 での 1 ターン輸送行列 M(s2)を求める。

M (s 2 ) = M (s 2 | s1 )m(s1 )M (s1 | s 2 )(88)

となり、リングに誤差が分布している場合は、

1
Δβ(s)
=−
κ(s1 )β(s1 )β(s)2 sin 2πν 0 ∫(92)

× cos 2(πν 0 − | ϕ(s1 ) − ϕ(s) |)ds1と与えられる。
又、式(92)から、チューンが整数、若しくは、半整数に近づいた場合にベータ関数の変調が発散することが導かれる。この現象は、 2ν = l の場
合に起こるので、半整数共鳴と呼ばれている。図6 に示す通り、整数共鳴の場合と同様に、ビーム粒子が共鳴条件を満たすと、四極キックの影響がターン毎に積み上がる。
2.8 分散関数
此処までは、中心運動量を持った粒子の運動を取り扱ってきたが、実際の加速器では、様々な運動量を持ったビーム粒子が周回しており、それぞれが、その運動量に従って異なった閉軌道を形成する。本節では、中心運動量からδ=Δp/p だけ異なった運動量を持つ粒子の運動を論じてゆくが、一般に、偏向作用の無い鉛直方向 y の運動は、一次近似の範囲で中心運動量を持つ場合の運動と同じなので、此処での議論は、水平方向 x の運動に特化する。
運動量がδだけ離れた粒子に対する x 方向の運図 6：半整数共鳴条件を満たした場合の位相空間でのビーム粒子の軌跡。上図は、チューンが半整数、下図は、整数の場合を示す。

動方程式は、式(15)の 2 次以上の項を省略すると、

此処で、行列要素(1,2)に関して、誤差磁場が存在しない場合の M0(s2)との差を取ると、ΔM12 = − κ1ds1β1β 2 sin(ϕ1 − ϕ 2 )× sin( 2πν 0 + ϕ 2 − ϕ1 )となる。又、 M12 = β sin 2πν なので、
ΔM12 = (Δβ 2 ) sin 2πν 0+ β 2 cos 2πν 0 ( 2πΔν)

1(94)x ′β′ + ( 2 + k1 (s)) x β = 0,
ρ
1
1
(95)
D′′ + ( 2 + k1 (s))D =ρρ
を満足する x β (s) と D(s)δ の線形結合(89)という関係も与えられ、式(86), (89), (90)より、誤x = x β (s) + D(s)δ

(96)

として求め、粒子の運動を、δにより生じる新たな差により生じるベータ関数の変化量は、

× κ1ds1β1 cos 2(πν 0 − | ϕ1 − ϕ 2 |)(93)と与えられる。此処で、方程式(93)の解を、

(90)

Δβ 2
1
=−
β2
2 sin 2πν 0δ1x ′′ + ( 2 + k1 (s)) x = ,ρρ
1 ∂B yk1 (s) =Bρ ∂x

閉軌道 D(s)δとその回りのベータトロン振動 xβ(s)(91)

として取り扱う。式(95)は、

δ
ΔB⇒, Dδ ⇒ χρBρd ( Δν y )

(97)

dδ

=−

1
β y (s)Δk y (s)ds
4π ∫

(102)

と置き換えれば、二極磁場誤差が存在した場合のは、運動量変位で生じるチューンの変化を特徴づ

運動方程式(80)と一致する。言い方を変えれば、ける量で、クロマティシティーと呼ぶ。

運動量変位δの影響を、加速器中を周回するビーム粒子には運動量にΔBδds = dsBρρ(98)

ばらつきがある為、クロマティシティーが 0 でなという二極キックと見做すことができる為、閉軌

ンに広がりが生じてしまう。このチューンの広が道変形の式(79)に対し、(97)の置き換えを行うこりは、ビーム運動の不安定要素となる様々な共鳴とにより、δを持つ粒子の閉軌道は、現象（2.7, 2.10 節）を避けるという点で不利にな

β x (s)

る可能性もあり、その場合には、六極電磁石を用

D(s)δ = δ

2 sin πν ∫xい場合には、ビームの運動量分布に従ってチューβ x (t)ρ(99)

いてクロマティシティーを補正するのが一般的である。六極磁場は、式(18)より、

× cos(πν x − | ϕ(s) − ϕ( t ) |)dtと与えられる。D(s)は分散関数と呼ばれ、運動量変位によって生じる閉軌道変位を特徴づける。
2.9 色収差
前節では、運動量と閉軌道の関係を論じたが、

ΔB y

=

k2 2
( x − y 2 ),
2

Bρ
ΔB x
= k 2 xy,
Bρ

(103)

k 2 = (∂ 2 B y / ∂x 2 ) |x = y =0 / Bρ

運動量の違いにより、収束作用も変化する。このと表わせる。上式に、式(96)を代入し、閉軌道 D(s)δ

効果を色収差と呼ぶ。運動方程式(93)~(95)は、δ

とその周りのベータトロン振動 xβ(s)という系で、について高次の微小量を省略しているので、色収

ビーム粒子の感じる磁場を表わすと、差の効果を含んでいないが、高次の項を含めて水ΔB y平・鉛直方向の閉軌道回りの振動の運動方程式をBρ

書き直すと、

1x ′β′ + ( 2 + k 1 (s) + Δκ x (s)) x β = 0 ,ρ
y′β′ + (Δκ y (s) − k1 (s)) y β = 0 ,2− k1 (s))δ = −Δk x (s)δ ,ρ2(100)
Δκ y (s) ≈ k1 (s)δ = −Δk y (s)δとなる。即ち、δの影響は、Δκ x , y (s) という四極磁場の誤差と見做せ、δにより生じるチューンのずれd ( Δν x )1= − ∫ β x (s)Δk x (s)ds ,
dδ
4π

(104)

となる。つまり、六極電磁石は、運動量誤差δを持
つビーム粒子に対して、等価的な四極磁場成分（上式右辺第二項）

Δκ x = k 2 Dδ,Δκ y = −k 2 Dδ

(105)を持つと見做せ、この成分により生じるクロマテ

は、式(87)より、となる。上式の括弧に現れるk222( x β − y β ) + ( k 2 Dδ ) x β
2k+ 2 D 2δ2 ,2

ΔB x= k 2 x β y β + (k 2 Dδ) y β
BρΔκ x (s) ≈ (−⎛ 1⎞
Δν x = ⎜ −β x (s)Δk x (s)ds ⎟δ ,
∫
⎝ 4π
⎠
⎛ 1
⎞
Δν y = ⎜ −β y (s)Δk y (s)ds ⎟δ
∫
⎝ 4π
⎠

=

ィシティーは、(101)d (Δν x ) 1=
β x (s)k 2 (s)D(s)ds,dδ
4π ∫d ( Δν y )1= − ∫ β y (s)k 2 (s)D(s)ds
dδ
4π

(106)

となる。即ち、リング内の分散の存在する場所に六極電磁石を上手く配置することで、クロマティ

シティー補正が可能となり、補正後のクロマティ

分の軌道上の分布をフーリエ展開した時の次数シティーは、式(102), (106)より、（ハーモニクス）を示す。

d (Δν x )1
= − ∫ [β x (s)(Δk x (s)dδ4π− k 2 (s)D(s))]ds,
d (Δν y )1
= − ∫ [β y (s)(Δk y (s)dδ4π+ k 2 (s)D(s))]ds

本節では、一般の加速器で代表的な、ねじれ四極磁場成分によって誘起される線形結合共鳴と、六極磁場で励起される三次共鳴について詳細を
議論する。
(107)

2.10.1 ねじれ四極磁場の影響（線形結合共鳴）
ハミルトニアン(11)に対し、x/ρを微小量と見做となる。

し、又、p=p0（中心運動量）と仮定する。又、そ2.10 ベータトロン共鳴のハミルトニアンを p0 で割って、定数項を省略

既に 2.7 節で、整数・半整数共鳴について議論

し、

x ′ = dx ds ≈ p x / p 0 ,y′ = dy ds ≈ p y / p 0

した通り、チューンがある条件を満たした時、急激に振動が不安定になる現象を共鳴と呼ぶ。実際(110)の加速器では、主成分である二極磁場・四極磁場の置き換えを行う。又、As ついて、式(17)より、の誤差に加え、更に次数の高い磁場成分やねじれ

二極（b0）
・四極磁場（b1）とねじれ四極磁場（a1）

成分を持った磁場が、誤差や補正量として存在すを考慮すると、ハミルトニアンは、以下のようにる。高次磁場成分としては、前節で述べたクロマ

表わされる。

H 3 ( x , x ′, y, y′; s)ティシティー補正に使用する六極磁場が代表格として挙げられ、又、四極磁場や高次の磁場成分

1 2
1( x ′ + k x x 2 ) + ( y′ 2 + k y y 2 )22+ Sk1 ( xy),=が電磁石の設置誤差等の原因で中心軸の回りに僅かでも回転していると、ねじれ成分を持った磁場が発生する。

Sk1 = −

こうした磁場成分は、ベータトロン振動に様々な影響を及ぼす。高次の磁場成分があると、ベータトロン振動が非線形振動となる。非線形振動
は、振動の振幅がある一定値を超えると、急激に振動が不安定になるという特徴を持つ。又、四極磁場のねじれ成分や高次磁場が存在すると、x 方
向と y 方向の振動が独立でなくなり、結合振動が出現する。この場合は、x 方向と y 方向の振動振幅が交換したり、又は、一方的に増大したりといった現象が起こる。こうした非線形振動や結合振動は、チューンが、mν x + nν y = l （ m, n, l =整数）

(108)

(111)

1 ⎛ ∂Bx ⎞⎜⎟Bρ ⎝ ∂x ⎠上式右辺の第一項・第二項が x 方向と y 方向の線
形独立な振動を与える主要項で、第三項がねじれ
四極磁場成分に由来する摂動項（xy 結合項）である。
此処で、2.5 節で行った様に、母関数

F1 ( x, y, ϕ x , ϕ y )x2β′(tan ϕ x − x )
2β x
2
β′y
y2
(tan ϕ y − )
−
2β y
2

=−

(112)

という条件を満たした時に強く励起され、ベータを用いて、Action-Angle 変数へ正準変換を行う。

トロン振動が不安定となる。こうした現象をベー

正準変数の変換式

タトロン共鳴と呼ぶ。此処で、(109)
q =| m | + | n |は、共鳴の次数であり、2q 極磁場が q 次共鳴の主原因となる。又、 l は、共鳴の原因となる磁場成

px =

∂F1
∂F
, Jx = − 1 ,
∂x
∂ϕ x

py =

∂F1
∂F
, Jy = − 1
∂y
∂ϕ y

(113)

Vlc = J x J y [ β x β y ⋅ Sk1

つまり、× (cos(ϕ x − ϕ y ) + cos(ϕ x +ϕ y ) )]x = 2β x J x cos ϕ x ,px = −

2J x(sin ϕ x − α x cos ϕ x ),βxy = 2β y J y cos ϕ y ,py = −2J yβyとなる。ねじれ四極成分に由来する Vlc の角括弧(114)(sin ϕ y − α y cos ϕ y )+1, −1,l

JxJy

∑ (G
2R

1,1, leej ( φ x − φ y − lθ + ξ )j ( φ x + φ y − lθ + ξ )+ c.c.)+ c.c.)(119)となる。此処で、フーリエ係数 G は、
(115)

J
= x + + β x β y J x J y ⋅ Sk1
βx βy

G1, −1,l e jξ =×e× (cos(ϕ x − ϕ y ) + cos(ϕ x + ϕ y ) )

×e

(120)

j( ψ x + ψ y − ( ν x + ν y − l ) θ )ds

若しくは、 ν x + ν y = l の近傍で遅い関数となり、その積分で示されるフーリエ係数 G は、その条件を用いて正準変換を行う。此処で、 θ = s / R で、R は基準軌道の平均半径である。以下の変換式
s 1∂F
φ x = ~2 = ϕ x − ∫ds + ν x θ
0 β
∂ Jx
x

下で有意な値をとり、ベータトロン振動に強く寄与する。ν x − ν y = l 近傍で出現する現象を線形結合差共鳴、又、 ν x + ν y = l 近傍での不安定性を線形結合和共鳴と呼ぶ。
又、そのフーリエ係数 G は、線形結合共鳴のソ= ϕ x − ψ x + ν x θ,ースであるねじれ四極磁場が、加速器の対称性 Pと同じ周期性を持って分布している場合は、(117)

l = nP （n:整数）という関係が成り立つ際に有意な値を持ち、l ≠ nP の場合は 0 となるという特徴を持つ。 l = nP の条件下では、各周期の積分への寄与が一方的に足し込まれ、一般に、G は大きな

= ϕ y − ψ y + ν y θ,

値を持ち、ベータトロン振動に大きな影響をもた∂F ~J y = 2 = Jy
∂ϕ yらす。この状況下で出現する共鳴を構造共鳴と呼ぶ。一方、共鳴のソース磁場が、加速器の対称性

より、新たなハミルトニアンは、とは無関係にランダムに分布している場合、即H 5 (φ x , J x , φ y , J y ; s )∂F2 ν x J x ν y J y=++ Vlc ,
R
R
∂s

ds,

で与えられる。上式右辺の振動項は、ν x − ν y = l 、

(116)

s 1
∂F
φ y = ~2 = ϕ y − ∫ds + ν y θ
0 β
∂ Jy
y

j( ψ x − ψ y − ( ν x − ν y − l ) θ )1
G1,1,l e =β x β y ⋅ Sk1
2π ∫

~ ~
F2 (ϕ x , ϕ y , Jx , Jy )∂F ~J x = 2 = Jx ,∂ϕ x

1β x β y ⋅ Sk1
2π ∫

jξ

となる。上式を更に、母関数= H4 +

∑ (G
2R
l

∂F1
∂s
Jy

1
~
= (ϕ x − ∫ ds + ν x θ) Jx
0 β
s1~+ (ϕ y − ∫ ds + ν y θ) Jy
0 β

JxJy

l

H 4 (ϕ x , J x , ϕ y , J y ; s )sエ展開して表記すると、

Vlc =より、新たなハミルトニアンは、= H3 +の中は、s の周期関数となり、その部分をフーリ

ち、四極電磁石の設置誤差（中心軸の回りの回転(118)誤差）等の場合には、一般に G の値は小さいが、全ての整数 l で 0 以外の値を持つ。こうした共鳴を非構造共鳴と呼ぶ。このフーリエ係数 G は、共鳴の強度を示す量であり、共鳴の driving term と呼ばれる。以上の G の特徴は、線形結合共鳴だけ
でなく、以下の節で議論する三次共鳴等、全ての共鳴現象で成立する。
以下で、差共鳴と和共鳴の特徴を詳細に議論す
る。

Jx =

∂F2
= J1 ,
∂φ x

φ2 =

∂F2
= φy ,
∂J 2

Jy =

∂F2
= J 2 − J1
∂φ y

(123)

より、新たなハミルトニアンは、

H 7 (φ1 , J1 , φ 2 , J 2 ; θ)∂F2
∂θ
= Ha + Hb ,= H6 +(124)

H a = δ1J1 + G1, −1,l J1 (J 2 − J1 ) cos φ1 ,Hb = νyJ2 ,δ1 = ν x − ν y − lとなる。上式は、 φ 2 と θ を含まないので、J2 とH7 は不変量となる。

H a = E = const.,
J 2 = J x + J y = const.

(125)

又、式(124)より、ハミルトン方程式は、

J& 1 = G1, −1,l J1 (J 2 − J1 ) sin φ1 ,φ& 1 = δ1 + G1, −1,lJ 2 − 2 J1
cos φ1
2 J1 ( J 2 − J1 )(126)

図 7： δ1 = ν x − ν y − 1 ≈ 0 での単粒子トラとなり、上記の 2 式より、 J1 についての運動方程ッキングで得られた線形結合振動の様子。

式が導かれる。

&J& + λ2 J = λ2 J ,11＜線形結合差共鳴＞

λ = δ12 + G12, −1,l ,上記の議論を考慮すると、ハミルトニアン(118)~(120)は、 ν x − ν y = l 近傍で、

J = (2δ1E + G12, −1,l J 2 ) / 2λ2

H 6 (φ x , J x , φ y , J y ; θ)≈ νx J x + ν yJ y

(121)

(127)

此処で、λは実数なので、上式は、

J1 = J x(128)+ G1, −1,l J x J y cos(φ x − φ y − lθ + ξ)

= J 2 − E 2 / λ2 cos(λθ + ζ ) + Jという振動解を与える。つまり、 ν x − ν y = l 近傍と近似される。此処で更に上式を、母関数のビーム振動は、J 2 = J x + J y = const. という条件

F2 (φ x ,φ y , J1 , J 2 )= ( φ x − φ y − lθ + ξ ) J 1 + φ y J 2を用いて正準変換する。変換式

φ1 =

∂F2
= φ x −φ y −lθ + ξ,
∂J1

(122)

に従って、x 方向と y 方向のベータトロン振幅が交換し合い、その振幅交換のチューンが λ で与えられる。図 7 に、 δ1 = ν x − ν y − 1 ≈ 0 で、 J x ≠ 0 ,J y = 0 という初期値で行った単粒子トラッキン
グの結果を示す。式(128)からも明らかであるが、この場合は、初期値で与えた x 方向の振幅が、完際限なく増大するといった不安定性を導く。式

全に y 方向へ移行する。

(132)より、ハミルトン方程式は、

J& 1 = G1,1,l J1 (J 2 + J1 ) sin φ1 ,＜線形結合和共鳴＞
和共鳴の場合も、差共鳴と同様の手続きを行う。式(118)~(120)より、ν x + ν y = l 近傍でのハミルトニアンは、≈ νxJx + νyJ y(129)+ G1,1,l J x J y cos(φ x + φ y − lθ + ξ)
F2 (φ x ,φ y , J1 , J 2 )= ( φ x + φ y − lθ + ξ) J 1 + φ y J 2(130)を用いて正準変換する。変換式∂F
J x = 2 = J1 ,
∂φ x

(135)

J = (2δ1E + G12,1,l J 2 ) / 2λ2
δ12 + G12, −1,lが実数であった為、J1 は振動解となったが、和共鳴の場合、 λ =

δ12 − G12,1,l は、(136)の際に虚数となる。即ち、和共鳴の不安定性の条(131)

件は、式(136)で与えられ、その場合、ベータトロン振動の振幅は、J y − J x = const. という関係に従って指数関数的に増大する。

∂F
φ2 = 2 = φ y ,∂J 2∂F
J y = 2 = J1 + J 2∂φ y

2.10.2 六極磁場の影響（三次共鳴）
次に、加速器中に、六極磁場が存在する場合を考察する。この場合も、前節と同様の手続きを行より、ハミルトニアン(129)は、

H 7 (φ1 , J1 , φ 2 , J 2 ; θ)う。As ついて、式(17)より、二極（b0）・四極磁場（b1）と六極磁場（b2）を考慮すると、式(111)に(132)

対応するハミルトニアンは、以下のように表わされる。

H 3 ( x, x′, y, y′; s)H a = δ1J1 + G1,1,l J1 (J 2 + J1 ) cos φ1 ,Hb = ν yJ2 ,δ1 = ν x + ν y − lと変換される。上式は、 φ 2 と θ を含まないので、
J2 と H7 は不変量となる。

J 2 = J y − J x = const.

λ = δ12 − G12,1,l ,| δ1 |< G1,1,l∂F
φ1 = 2 = φ x +φ y −lθ + ξ,∂J1

H a = E = const.,(134)となり、上式より、 J1 についての運動方程式は、と与えられる。差共鳴の場合は、λ =となる。次に、上式を、母関数∂F2∂θ= Ha + Hb ,J 2 + 2 J1
cos φ1
2 J1 ( J 2 + J1 )&J& + λ2 J = λ2 J ,11

H 6 (φ x , J x , φ y , J y ; θ)

= H6 +

φ& 1 = δ1 + G1,1,l(133)

差共鳴の場合には、J x + J y が運動の定数であったが、和共鳴では、 J y − J x が不変量となる。即ち、
和共鳴は、x 方向と y 方向のベータトロン振幅が、

1 2
1( x′ + k x x 2 ) + ( y′2 + k y y 2 )22k+ 2 ( x 3 − 3xy 2 ),6
2
1 ⎛⎜ ∂ B y ⎞⎟k2 =Bρ ⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎠
=

(137)

次に、母関数(112)と(116)を用いて正準変換を二回行うと、上式は、

H 5 (φ x , J x , φ y , J y ; s )=H+∂F2 ν x J x ν y J y=++ V3 ,
∂s
R
R

(138)

2 3 3J x β x ⋅ k 2 [cos 3ϕ x + 3 cosϕ x ]122−
J x J 2y β x β 2y ⋅ k 2 [2 cosϕ x
4+ cos(ϕ x +2ϕ y ) + cos(ϕ x −2ϕ y )]V3 =と変換される。前節での議論から察しがつく通り、六極磁場は、以下の共鳴を誘起する。

cos 3ϕ x → 3ν x = l,cos ϕ x → ν x = l,cos(ϕ x − 2ϕ y ) → ν x − 2ν y = l,(139)

cos(ϕ x + 2ϕ y ) → ν x + 2ν y = l

各現象を考察する為の手続きは、全て同様なので、此処では、六極磁場により励起される特徴的な三次共鳴 3ν x = l と ν x − 2ν y = l について以下
で詳細を検討する。
図 8： 3ν x = l 共鳴のセパラトリクス。

＜ 3ν x = l 共鳴＞
此処では、

V3 = J 3x [2 3
β x ⋅ k 2 cos 3ϕ x ]
12

(140)

に着目し、x 方向の運動に出現する 3ν x = l 共鳴について議論する。先ず、s の周期関数である上式の角括弧の中をフーリエ展開する。

V3 =

J 3x
(G 3, 0,l e j(3φ x −lθ+ ξ ) + c.c.),
∑
2R l

(141)

2
β3x ⋅ k 2 e j( 3ψ x −(3ν x −l ) θ) ds∫
24π
上式において、 3ν x = l 近傍で有意な項のみ考慮
G 3 , 0 , l e jξ =すると、ハミルトニアンは、

H 6 (φ x , J x ; θ)≈ νxJx(142)+ G 3, 0,l J cos(3φ x − lθ + ξ)
3xと表わせる。此処で、 G 3, 0,l が、この 3 次共鳴の強度を示す driving term である。更に、母関数lξF2 (φ x , J ) = (φ x − θ + )J
33を用いて正準変換する。変換式(143)

図 9：3νx=20 近傍での単粒子トラッキン
グで得られたビーム粒子の軌跡。

∂F2lξ= φx − θ + ,
∂J
3
3
∂F
Jx = 2 = J
∂φ x

φ=

(144)

を用いて、ハミルトニアン(142)は、

H 7 (φ, J; θ) = H 6 +∂F2∂θとなる。この座標系で、ufp は、

1 3(ζ, η) ufp = (−1,0), ( , ),
2 2
1
3
( ,−
)
2
2

(145)

= δJ + G 3, 0,l J cos 3φ,lδ = νx −33と変換される。上式は、θを含まないので、H7 は不変量となる。

δJ + G 3,0,l J 3 cos 3φ = E = const.

(146)

式(145)より、ハミルトン方程式は、

J& = 3G 3,0,l J 3 sin 3φ,となり、その ufp を通過する以下の 3 つの直線

1
1
ζ= , η=(ζ + 1),2
3
1
η=−(ζ + 1)
3(154)

がセパラトリクスを与える（図 8）。このセパラト(147)

3
φ& = δ + G 3, 0,l J cos 3φ
2

(153)

リクスの外側に存在した場合、即ち、2と与えられ、J についての運動方程式は、&J& + 9δ 2 J − 27 G 2 J 2 = 9δE3, 0 , l2(148)となる。上式は、非線形振動を与える式であり、⎛ 2δ ⎞⎟ < J,
J ufp = ⎜⎜
⎟
3
G
l
3
,
0
,
⎝
⎠
3G 3, 0,l 1/ 2
| δ |<
J2(155)

振幅がある一定値を超えた場合に、ビーム振動がの条件下で、ビーム振動が不安定となり、ビーム

不安定になるといった特徴を持つ。ビーム振幅のの振幅は発散する。図 9 に、単粒子トラッキング

安定・不安定領域の境界（セパラトリクス）は、計算の結果を示す。これは、様々な J に対するビ

ハミルトニアンが与える極大点（unstable fixedーム粒子の軌跡であるが、J が Jufp を越えた場合

point; ufp）より求まる。ハミルトニアン(145)のに、ビーム振幅が増大してゆく様子がわかる。実

ufp は、 δH 7 = 0 、つまり、 J& = 0, φ& = 0 より、
2⎛ 2δ ⎞⎟ ,J ufp = ⎜⎜
⎟
3
G
3
,
0
,
l
⎝
⎠
⎧ 0, ± 2π / 3 (if δ / G 3,0,l < 0),
φ ufp = ⎨⎩ π, ± π / 3 (if δ / G 3,0,l > 0)

れるセパラトリクス上の運動方程式(149)

解を与える。

(150)

J
J ufp

cos φ, η =

J
J ufp

sin φ

へ変換すると、

1(2ζ − 1)(η −(ζ + 1))3
1× (η +(ζ + 1)) = 0
3＜ ν x − 2ν y = l 共鳴＞
次は、

V3 = J x J 2y [−此処で上式を、規格化座標系

ζ=

(156)

は、右辺三番目の非線形項により、指数関数的な点を通過する式(146)の軌跡となる。

δ
J ufp
3

&& − 3δ 2 K − 6 δ K 2 = 0
K
J ufp
2

と与えられ、セパラトリクスは、上の 3 つの極大

δJ + G 3,0,l J 3 cos 3φ = E ufp =際、式(148)へ、K=J−Jufp, E=Eufp を代入して得ら

(151)

2
β x β 2y k 2 cos(ϕ x −2ϕ y )]4(157)に着目し、 ν x − 2ν y = l 共鳴を考える。この共鳴についても上と同様の手続きを行う。先ず、上式の角括弧の中をフーリエ展開する。

(152)

V3 =

J x J 2y

∑ (G
2R
l

1, −2 ,lej ( φ x − 2 φ y − lθ + ξ )+ c.c.),

G1, −2,l e jξ = −×e2
β x β 2y k 2
8π ∫j( ψ x − 2 ψ y − ( ν x − 2 ν y − l ) θ )

(158)

ds

式(138), (158)より、ν x − 2ν y = l 近傍でのハミルトニアンは、

H 6 (φ x , J x , φ y , J y ; θ)≈ ν x J x + ν y J y + G1, −2,l J x J 2y

(159)

× cos(φ x − 2φ y − lθ + ξ)となる。此処で、G1, −2,l が、この 3 次共鳴の driving
term である。更に上式を、母関数

F2 (φ x ,φ y , J1 , J 2 )= ( φ x − 2φ y − lθ + ξ ) J 1 + φ y J 2(160)を用いて正準変換する。正準変数の変換式

φ1 =

∂F2
= φ x − 2φ y − lθ + ξ,
∂J1

Jx =

∂F2
= J1 ,
∂φ x

(161)

∂F
φ2 = 2 = φ y ,
∂J 2
Jy =

図 10： ν x − 2ν y = l 近傍でのビーム粒子の軌跡。

1
φ& 1 = δ1 + G1, −2,l J1−1/ 2 (J 2 − 6J1 ) cos φ1
2

H 7 (φ1 , J1 , φ 2 , J 2 ; θ)H a = δ1J1 + G(164)となる。又、
ハミルトニアン(162)の ufp は、J& 1 = 0 ,より、ハミルトニアンは、∂F2∂θ= Ha + Hb ,(162)より、ハミルトン方程式は、

J& 1 = G1, −2,l J11/ 2 (J 2 − 2J1 ) sin φ1 ,∂F2
= J 2 − 2 J1
∂φ y

= H6 +

跡から、結合振動が出現する条件を調査する。式(162)

J (J 2 − 2J1 ) cos φ1 ,1/ 2
1, −2 ,l 1

φ& 1 = 0 より、
J
J1 = 2 ,2
φ1 = ± arccos(

δ1
G1, −2,l 2J 2

)

(165)

Hb = ν yJ2 ,と与えられる。上記の ufp を通過する粒子の軌跡

δ1 = ν x − 2ν y − lは、式(163)より、と変換される。上式は、 φ 2 と θ を含まないので、

δ1J1 + G1, −2,l J11/ 2 (J 2 − 2J1 ) cos φ1= E ufp =J2 と H7 は不変量となる。

H a = E = const.,

J 2 = 2J x + J y = const.

(163)

この共鳴近傍の粒子運動では、 2J x + J y が保存量となる。つまり、線形結合差共鳴の場合と同様の
x 方向と y 方向の結合振動が導かれる。此処で、ハミルトニアン(162)の ufp を通過する粒子の軌

δ1
J2
2

(166)

で与えられ、以下の規格化座標系

ζ=

2 J1
cos φ1 , η =J2

2 J1
sin φ1J2(167)へ変換すると、(1 − ζ 2 − η2 )(1 − G1, −2,l 2J 2 ζ / δ1 ) = 0 (168)

Jx =

J2
2

(172)

一方、ufp に到達し、式(170)の直線部に導かれると、その x 方向の振幅は、 2J x + J y = const. の関係に従って、y 方向へ移行する。その際の x 方向の最小振幅は、η=0 で、

δ12
Jx =
4G12− 2,l

(173)と な る 。 図 11 に 、 δ1 = ν x − 2ν y + 6 ≈ 0 で 、

J x = 0 , J y ≠ 0 という初期値で行った単粒子トラッキングの結果を示す。この場合、式(170)は、
ζ ≈ 0 となるので、x 方向の振幅は、0 から J2/2の範囲で振動する。
2.10.3 共鳴の補正
エミッタンス増大やビーム損失の原因となっている共鳴の次数とハーモニクスが既知であれ
ば、共鳴の次数と同じ極を持つ補正磁石を使って、その共鳴を相殺することができる。此処では、
J-PARC RCS での三次構造共鳴νx−2νy=−6 を例に挙げて、共鳴の補正手法を概説する。
RCS での三次共鳴のソースは、クロマティシテ
図 11：δ1 = ν x − 2ν y + 6 ≈ 0 での単粒子トィー補正に使用する六極電磁石と二極電磁石のラッキングで得られた非線形結合振動の様子。

磁場に内在する六極磁場成分である（詳細は、5.2節）。六極電磁石の励磁量は、我々が設定すべきものであり、又、二極電磁石が作る六極磁場成分となる。つまり、粒子の軌跡は、

ζ + η = 1,
δ1
ζ=2J 2 G1, −2,l
2

2

(169)
(170)

という円と直線で表わされ、その交点が ufp に対の強度についても、磁場測定によって定量評価されているので、それらが励起するνx−2νy=−6 共鳴の driving term は、式(158)を用いて簡単に計算できる。

G1, −2, −6 e jξ = 1.032 + j0.082(174)

応する（図 10）。結合振動は、その ufp が存在す

つまり、この driving term の実部と虚部が共に 0

る場合、つまり、上の円と直線が交わる条件下、となるように、共鳴補正用の六極電磁石を励磁す

δ1< 1,
2J 2 G1, −2,lればよい。RCS では、将来、共鳴補正等を行う為(171)

δ1 < 2J 2 G1, −2,lに、各長直線部の両端（図 18）に、補正電磁石を導入する為のスペースを残している。この 6 箇所のスペースに、上記の driving term を打ち消す為で発生する。その場合、粒子は、式(169)の円孤上の六極電磁石を設置したと仮定すると、共鳴補正で、x 方向の振幅が最大となる。

に必要な励磁量は、クロマティシティー補正用六極電磁石の磁場強度の 1/5 程度となる。図 12 に、

y = ε y / γ y , y′ = 0を持つ粒子が、フィジカルアパーチャ内で安定に5000 ターンまで周回可能な初期エミッタンスの最大値（ ε x = ε y ）をプロットしたもので、各チューンでの振動の安定領域の広さを示す。此処で示した 2 つの結果は良く一致し、共鳴補正によって、共鳴幅が狭くなり、振動の安定領域が拡幅しているのが分かる。

3

シンクロトロン振動（縦方向振動）
本章では、ビーム加速に伴って生じるシンクロ

トロン振動を概説する（縦方向運動の詳細は、田村氏のテキストを参照）。
図 12：共鳴補正前後でのνx−2νy=−6 の共鳴幅。

ビーム加速は、軌道上に高周波加速空胴を設置し、その加速ギャップに、高周波電場を印加して周回毎に行う。此処で、磁場 B に対して p=eBρを満たし、中心軌道上を周回する粒子を考える。
加速ギャップに、この粒子の周回周波数に同期した周波数を持つ加速電場を印加した場合、この粒子と加速電場の位相は一致し続け、安定に加速される。こうした常に高周波と同調する粒子を同期粒子と呼ぶ。但し、実際のビーム粒子は、エネル
ギーにばらつきがあり、又、高周波電場に対する位相も一定ではない。こうした同期条件から外れた粒子は、同期粒子の回りを振動しながら加速されてゆく。こうした非同期粒子が、エネルギーと位相を軸に取った縦方向位相空間で行う振動をシンクロトロン振動と呼ぶ。本章では、シンクロ
トロン振動の安定性（位相安定性の原理）に焦点を絞って議論する。

図 13：単粒子トラッキングで得られた共鳴補正前後での各チューンにおける振動の安定領域の広さ。

3.1 周回周期の運動量依存性
本節では、シンクロトロン振動の安定性を議論する上で必要な知識となる周回周期の運動量依

共鳴補正前後での共鳴幅（式(171)で与えられる結合振動が出現する領域）を、又、図 13 に、単粒
子トラッキングで得られた結果を示す。後者の結果は、初期条件

ビーム粒子は、運動量に対して、それぞれ閉じた軌道を持つ。このような閉軌道を、それぞれの運動量を持つ粒子の平衡軌道と呼ぶ。
此処で、運動量 p を持つ粒子の平衡軌道長を C、

εx = εy ,x = ε x / γ x , x ′ = 0,

存性について説明する。前章で議論したように、(175)

又、運動量変位Δp に対する平衡軌道長のずれをΔC と置く。微小変位の場合、Δp とΔC の関係は、

ΔC
Δp
=α
C
p

周回軌道上のθ=s/R=0 の位置に、ギャップ間距(176)

離が微小な加速ギャップが存在すると仮定すると表わせる。上式の係数αは、運動量圧縮係数とと、s 方向の高周波電場は、デルタ関数を用いて、呼ばれ、加速器中の磁場分布により決定される定Vδ(θ) sin(hωs t + φs )(181)
Rと表わせる。 ωs は同期粒子の周回周波数、即ち、此処では、高周波電場の周波数を ωs の h（整数：数である。次に、周回周期 T と粒子の速度 v の関係を考える。T=C/v より、それぞれの微小変位の関係を求めると、

ΔT ΔC Δv=−
TC
v

ハーモニックナンバー）倍として扱う。又、R は、(177)

中心軌道の平均半径を示す。式(181)のデルタ関数となる。又、粒子の運動量と速度の間には、

Δp
Δv
= γ2
p
v

1 Δp
ΔT
Δp
= (α − 2 )
=η
T
p
γ p

は、2πの周期関数であるので、それをフーリエ展開すると、式(181)は、(178)という関係が成り立つので、式(176)～(178)より、

V∑ [sin(hωs t + nθ + φs )2πR n
+ sin(hωs t − nθ + φs )]ε(θ, t ) =(179)という関係を得る。此処で、γは、粒子の全エネル
ギーを静止エネルギーで規格化した量であり、 ηは、phase slip factor と呼ばれ、周回周期の運動量依存性を特徴づける値である。又、上式の括弧内が 0 となるエネルギー

1
γt =
α

ε(θ, t ) =(180)

をトランジッションエネルギーと呼ぶ。粒子のエネルギーがγt よりも小さい時、即ち、式(179)の括
弧が負の場合は、運動量の増加に対し、周回周期が短くなる。一方、粒子のエネルギーがγt を上回った場合は、括弧の中が正となり、運動量増加に(182)となる。上式より、加速電場は、位相速度± hωs / nを持つ様々な進行波の重ね合わせと解釈できる。
これら進行波の中で加速に寄与するのは、中心軌道を周回する粒子と等しい位相速度を持った進行波である。従って、実効的な加速電場は、V
sin φ,
2πR
φ = hωs t − hθ + φs

ε=

(183)

となる。
式(183)より、同期粒子が、t=0 で、θ=0 に位置するギャップを通過した際に受ける加速電場は、

ε=Vsin φs2πR(184)

対し、周回周期が遅くなる。前者は、速度の増加となる。此処で、ベータトロン振動の振幅は小さ率が軌道長の増加率を上回る為であり、一方、後く、粒子の軌道が中心面の近傍に存在している場

者の場合は、エネルギーが高くなると粒子の速度合を想定し、粒子の運動量の時間的変化が、s 方が光速に近づく為に、運動量の増加に対する速度向の電場のみに依存すると仮定すると、中心運動の応答が鈍るので、前者での関係が逆転する。又、量 ps を持つ同期粒子の運動方程式は、粒子のエネルギーがγt と一致した場合には、運動量が変わっても周回周期が変化しないという状

dp s
eV
=
sin φsdt 2πR(185)

況が出現する。

となる。同期粒子の加速電場に対する位相 φs を同

3.2 シンクロトロン振動の運動方程式

期位相と呼ぶ。先にも述べたように、同期粒子は、

本節では、加速電場により生じる非同期粒子の位相振動とエネルギー振動を与える運動方程式を導く。

常に、加速電場に同調して同じ位相にあり、式(185)に従って加速される。一方、ps からΔp だけ離れた粒子の方程式は、d(p s + Δp) eV
=
sin φ
dt
2πR

(186)

となるので、式(185)と(186)の差をとることによ

此処で、上式の左辺括弧内の係数が短い時間内でり、Δp について、一定、即ち、係数が大幅に変化しない程度の短い

d(Δp) eV=(sin φ − sin φs )
dt
2πR

(187)

という方程式を得る。更に、上式を、
ΔE = v s Δp
(188)という関係を用いて書き直すと、エネルギー変位
ΔE について、d(ΔE / ωs ) eV=
(sin φ − sin φs )
dt
2π

(189)

E s d 2 φ heV=(sin φ − sin φs ) (195)ηω02 dt 22πと変形できる。此処で、ω0 = ωs / βs は光速粒子の周回周波数である。上式は、非同期粒子が、同期
位相 φs の回りで行う振動を記述する。位相が振動した場合には、式(193)より、エネルギーも中心エ
ネルギーEs の回りで振動することが分かる。以上という関係式を得る。
次に、位相について考える。此処で、同期位相からの変位の位相方向、エネルギー方向の振動をシンクロト
ロン振動という。
式(195)は、非線形振動を導く方程式であり、振Δφ = φ − φs動の安定性が振幅に依存するという特徴を持つ。

を導入すると、式(183)より、

d (Δφ)= hωs − hθ&dt= − h (ω − ωs ) = − hΔω

此処では、こうした非線形振動を取り扱う前に、(190)という関係が得られる。此処で、 ω は、非同期粒子の周回周波数、又、 Δω = ω − ωs は、同期粒子の周回周波数からのずれを示す。上式は、式(179)から導かれる

Δω
Δp
= −η
ωs
ps

時間のみを扱うと仮定すると、式(194)は、極小点（stable fixed point; sfp）近傍で、線形振動として近似可能な微小振動を先ず議論する。
Δφ = φ − φs を微小量と仮定すると、式(195)は、以下のような単振動を与える方程式となる。

d 2 Δφ heVηω02 cos φs−
Δφ = 0dt 2
2πE s
この単振動の振動数は、(191)

Ω s = ω0 −と、運動量とエネルギーの微小変位の関係

Δp 1 ΔE=p s βs2 E s

ω ΔE
d(Δφ)
= hη 2sdt
βs E s

本節では、式(195)より導かれる非線形振動を取(193)速で規格化した値である。
式(189), (193)より、位相方向の振動方程式は、り扱う。式(195)を積分することにより、エネルギ
ー積分E s ⎛ dφ ⎞⎜ ⎟2ηω02 ⎝ dt ⎠

2

heV
+
(cos φ + φ sin φs ) = C12π以下のように与えられる。

heV(sin φ − sin φs )
2π

(197)

3.3 シンクロトロン振動の安定性と表わせる。此処で、βs は、同期粒子の速度を光d ⎛ βs2 E s d(Δφ) ⎞⎜⎟dt ⎜⎝ ηωs2 dt ⎟⎠heVη cos φs
2πE sとなり、これをシンクロトロン振動数と呼ぶ。

(192)

より、

=

(196)

(194)

(198)

を得る。上式より、位相振動は、下記のポテンシャルエネルギー U (φ) の中の質量 M を持つ質点の振動と等価であると解釈される。

に不安定な状況が出現する。こうした非線形振動の安定・不安定領域の境界を示すセパラトリクス
は、ベータトロン振動の非線形共鳴を取り扱った場合と同様に、ポテンシャルエネルギーU が持つufp を通過する式(200)の軌跡で与えられる。ポテ
ンシャルエネルギーU の極点は、dU/dφ=0より、

φs (sfp),⎧φ=⎨⎩ π − φs (ufp)(201)と与えられる。ufp を通過する軌跡の C0 値は、
φ = π − φs , ΔE = 0 を式(200)へ代入して、

C 0 = − cos φs + (π − φs ) sin φs(202)と与えられる。又、セパラトリクス上のΔE の最大値は、式(202)を式(200)へ代入し、 φ = φs と置くことにより、eVE sβs2π
ΔE = 2− cos φs + ( − φs ) sin φs
2πhη
2
(203)
となる。このΔE が、シンクロトロン振動が安定でありえる最大のエネルギー誤差となる。セパラ
トリクスで囲まれた安定領域は、rf bucket と呼ば
図 14：シンクロトロン振動のポテンシャルと縦方向位相平面上でのビーム粒子の軌跡。

れ、式(203)で与えられる rf bucket の高さを、

heV(cos φ + φ sin φs ),2πには、加速されるエネルギーは 0 となる

U(φ) = ±（stationary bucket）。ビーム加速を伴わないスト

Es
,
(199)
ηω02
⎧ + if η > 0,sign = ⎨⎩ − if η < 0
η > 0 の場合を考えると、式(193), (198)より、以M=±下の関係を得ることができる。

レージリングでは、こうした stationary bucketを使って、縦方向にビームをバンチ化させている。一方、 φs が π / 2 に近づくほど、1 ターンあたりのエネルギーゲインは増加するが、セパラトリ
クスの面積は狭くなり、 φs = π / 2 で 0 となる。
以上では、主に、 η >0、つまり、粒子のエネル
ギーが、トランジションエネルギーの上部に位置

2πhη
ΔEeVE sβs2= ± 2(C 0 − (cos φ + φ sin φs )) ,bucket height という。セパラトリクスの面積は、
η >0 の場合、 φs = π で最大となるが、この場合する場合について扱ったが、式(199)より、ポテン
シャルエネルギーU の形状は、トランジションエ(200)

C1 = (heV / 2π)C 0

ネルギーの上部・下部に位置する場合で異なる。
従って、シンクロトロン振動の安定領域も、トラ

上式は、縦方向位相空間 (φ, ΔE) 上での粒子の軌

ンジッションエネルギーを境に変化する。図 15

跡を与える。図 14 で示されるように、式(200)は、に示す通り、それぞれ同期位相を、

定数 C0 が、ある閾値以下の場合、閉じた軌跡を形成するが、それ以上の場合には、軌跡が閉じず

0 < φs < π 2 (if γ < γ t ),π 2 < φs < π (if γ > γ t )(204)と選んだ場合に、 φs の回りに安定領域が出現す2hηω02 ⎛ ΔE ⎞ eV cos φs⎜⎜⎟⎟ −(Δφ) 2 = C 2 (206)
2E s ⎝ ωs ⎠4πる。この条件は、式(197)で与えられるシンクロト
ロン振動数が実数になる為の条件と一致する。強
収束シンクロトンの場合、加速途中でトランジッ

上式の軌跡（楕円）の面積である作用積分は、

8πE s C 22
I=π −heVηω02 cos φs

ションエネルギーを通過することがあるが、その場合、シンクロトロン振動の安定領域は、トラン(207)

ジションエネルギーを境に、加速高周波の上昇部となる。上式の C2 を式(206)へ代入すると、楕円から下降部へとジャンプする。

の式は、
2hηω02 ⎛ ΔE ⎞ eV cos φs⎟⎟ −⎜⎜(Δφ) 22E s ⎝ ωs ⎠4π=±

heVηω02 cos φs
I
−
,
π
8πE s

(208)

⎧ + if η > 0,sign = ⎨⎩ − if η < 0となり、位相振幅の最大値（ ΔE = 0 の時の Δφ ）、エネルギー振幅の最大値（ Δφ = 0 の時の ΔE ）は、
1/ 4⎛ 2I 2hηω02 ⎞⎟⎟
Δφ max = ⎜⎜ −⎝ π eVE s cos φs ⎠1/ 4

⎛ I 2 eVω02 cos φs ⎞⎛ ΔE ⎞⎟⎟⎟⎟ = βs ⎜⎜ − 3⎜⎜hηE 3s⎠⎝ 2π⎝ E s ⎠ max(209)と与えられる。シンクロトロン振動の振幅は、上式に従って加速と共に減衰する。

4
図 15：γt の上部・下部でのシンクロトロン振動のポテンシャル。

空間電荷効果前章迄は、ビーム粒子間の相互作用が無視できる状況を想定してきた。つまり、外部収束磁場が定める互いに独立な個々のビーム粒子の運動に

3.4 シンクロトロン振動の断熱減衰着目し、ビーム運動を、それらの単なる重ね合わ

本節では、3.1.1 節で議論した微小振動の場合をせとして扱ってきた。但し、ビーム強度が上がる

例に挙げて、シンクロトロン振動の断熱減衰を議と、粒子間に作用するクーロン力の影響が顕著と論する。微小振動の式(196)を与えるハミルトニア

なり、上記のような独立粒子的な取り扱いでは、

ンは、ビームの挙動を正しく表現できなくなる。こうし2hηω02 ⎛ ΔE ⎞ eV cos φs
⎜⎜
⎟⎟ −
Hs =
(Δφ) 2 (205)
2E s ⎝ ωs ⎠4πと表わせる。此処で、 ( Δφ, ΔE / ωs ) が正準変数とた粒子間に働くクーロン力の影響により、ビーム
粒子の運動が、ビーム強度やビーム分布に依存して変化する現象を空間電荷効果と呼ぶ。本章では、ベータトロン振動の安定性という観点から横なる。上記のハミルトニアンは、独立変数 t を含方向の空間電荷力を計算し、ビームへの影響を調まないので、Hs は不変量となる。

査する（大強度ビームでは、ビームを取り囲む
様々な装置との電磁的な相互作用によって引き起こされる各種不安定性も顕在化する。そうしたとなる。此処で、μ0 は透磁率である。従って、電現象は、菖蒲田氏のテキストで扱われる）。

磁場(210), (211)が作る r 位置でのローレンツ力
は、 ε 0μ 0 = 1 / c という関係を用いて、
2

4.1 ラスレットチューンシフト
ビームは、同一荷電粒子の集合体である為、空rr
Fsc = e(E r − β cBθ )e r=

間電荷力は、発散力として働き、電磁石系が作る収束力を打ち消す方向に作用する。その為、空間電荷力は、外部収束力から決まるチューン（ベア=チューン）を下方へ変位させる。本節では、横方rλe 2 r(1 − β 2 )e r22πε0 arr
λe 2 ( xe x + ye y )2πε0 γ 2

(212)

a2

様分布とし、対称性から電場は生じないと仮定）、と与えられる。此処で、β, γは、ローレンツファr
クターであり、 e r は、径方向の単位ベクトルを示

それにより生じるチューンシフトを導く。当然なす。上式より、粒子が加速されてβが 1 に近づく

がら、空間電荷力は、ビームの分布にも依存すると、電流が作る磁場が電場の影響を相殺するのので、分布の取り方により、チューンシフトの様で、空間電荷力による発散作用は弱まることがわ

相も異なる。本節では、横方向について、一様分

かる。つまり、シンクロトロンなどでは、入射エ布とガウス分布の場合を取り扱う。

ネルギー領域で、空間電荷力が最も顕著となる。

向の空間電荷力を計算し（縦方向については、一ニュートンの運動方程式

d 2χ
(213)
= Fχ
dt 2
は、 ds = βcdt より、mγ

β 2 γmc 2

d 2χ
= Fχ
ds 2

(214)

となるので、空間電荷力は、以下のように、Hillの方程式に取り込まれる。
図 16：横方向に一様に分布し、進行方向に
粒子線密度λを持つ半径 a の円柱ビーム。
4.1.1

一様分布の場合（KV 分布）

図 16 に示す半径 a の円柱ビームを考え、粒子は、横方向に一様に分布していると仮定する。又、粒子の縦方向の線密度（単位長あたりの粒子数）をλとする。この円柱ビームが作るビーム内半径 r
位置での径方向の電場は、ガウスの法則から、

Er =

λe r
2πε0 a 2(210)と求まる。此処で、ε0 は誘電率である。又、電流が作る s 軸回りの回転方向の磁場は、アンペールの法則より、Bθ =μ 0 λe
r
βc 2
2π
a

(211)

χ′′ + k (s)χ =1
× (space charge force)
β γmc 22(215)
式(215)より、空間電荷力(212)を含む Hill の方程式は、

χ′′ + k (s)χ =2λrp
a 2β 2 γ 3e2rp =4πε o mc 2

χ,
(216)

となる。又、上式を与えるハミルトニアンは、

H 3 (χ, χ′; s)1 2(χ′ + k x χ 2 ) + ΔH sc ,2
1 2λrp 2
ΔH sc = −χ2 a 2β 2 γ 3
=

(217)

となる。此処で、rp は陽子の古典半径である。式(216), (217)より、空間電荷力(212)の影響は、

以上では、進行方向に一様なビームを取り扱ってきたが、此処では、バンチ化されたビームについて考える。厳密に言えば、この計算は 3 次元の問題なので、式(219)のような二次元での取り扱いはできない。但し、一般に、陽子ビームは、口径に対して非常に長いバンチ構造を持つので、進行方向の電場は無視でき、良い近似で二次元的取り扱いが可能となる。従って、空間電荷力は、式(212)で与えられると仮定し、進行方向の線密度へ s 依存性を導入すれば良い。式(219)は、全粒子数 n t と
リ ン グ 一 周 に 亘 る 平 均 の 線 密 度 λ av と の 関 係

n t = 2πRλ av 、 又 は 、 バ ン チ ン グ フ ァ ク タ ー
Bf = (平均電流／ピーク電流)を導入すると、以下の様に表わせる。

Δν = −

n t rpλ2πβ γ ε λ av
2 3

n t rp1=−2 32πβ γ ε Bf(220)

上式で与えられる量を、狭義のラスレットチュー
ンシフトと呼ぶ（真のラスレットチューンシフト
は、ビームを取り巻く境界条件の効果を取り入れたもの）。
以上の解析より、横方向に一様な粒子分布を仮定した場合、空間電荷力は、式(212)で与えられる
図 17：線形な空間電荷力によるラスレット
チューンシフト（上図）。非線形力が加わると、チューンシフトは、ベータトロン振幅の関数となり、各粒子のチューンは、ベアチューンの下方に広がりを持つ（下図）。

Δκ = −2λrp
a 2β 2 γ 3ることが示された（図 17 の上図）。
此処で、上で扱った二次元実空間で一様な粒子
分布が、位相空間でどのような分布関数になるか変数として、式(72)の規格化座標系(x,Px,y,Py)を選(218)

ぶ。実空間での対称性を考慮すると、位相空間で2λrp
1
βχ 2 2 3 ds
∫
4π
aβγ
λr R
= − 2 p3 ,β γ εχ

の分布は、四次元の球面関数 f となり、∫チューンシフトは、式(87)より、

x 2 + Px2 + y 2 + Py2 ≤ a 2

Δν χ = −となる。

式(220)で与えられる同じ量だけ下方へ変位させを考察しておく。二次元の実空間に対応する位相という四極誤差磁場と見做せ、空間電荷力による

a = βχ ε χ

線形力となり、全てのビーム粒子のチューンを、

f ([ x 2 + Px2 + y 2 + Py2 ] / a 2 )dPx dPy= const.
(221)
(219)

という関係を満足する。以下の新たな変数

Px = r cos θ,
Py = r sin θ(222)を用いると、式(221)は、

∫

x 2 + y 2 + r 2 <a 2

f ([ x 2 + y 2 + r 2 ] / a 2 )rdrdθ

(223)= const.

y′′ + k y (s) y =∫a −x −y2=f ([ x 2 + y 2 + q] / a 2 )dq

0

(225)

= const.
となり、位相空間での分布関数は、以下のように、δ関数で与えられる。

f ([ x 2 + y 2 + q ] / a 2 )= const. ⋅ δ([ x 2 + Px2 + y 2 + Py2 ] / a 2 − 1)
又、上式は、Action-Angle 変数へ変換すると、

4λe 2J x 2J y
δ(
+
− 1)
ε2
ε
ε

a = βx ,yε ,∫∫ f (J , J )dJ dJ = λe
x

y

x

(228)

y

Action-Angle 空間では、以下の直線となる。又、Action-Angle 空間での分布関数は、

f (J x , J y )=4λ e 2 J x 2 J y
δ(
+
− 1)
εxεy εxεy

らは、ビーム断面が円の場合と同様に、線形力と
なる。
4.1.2

ガウス分布の場合

次に、ガウス分布の場合を考える。以下の電荷

(229)

密度分布

案した人の名を取って、K-V 分布と呼ばれる。
以上の議論では、半径 a の円柱一様ビームを仮定したが、より一般化されたビームの断面が楕円(230)である場合の式を最後に纏めておく。楕円ビームの作る空間電荷力は、

r
r
λe 2
x
ex
Fsc =
(
2
πε0 γ a x (a x + a y )
r
y
+
ey )
a y (a x + a y )(231)と与えられ、式(215)より、Hill の方程式は、

4λrp

f ( x , y) =λee2πσx σ y

−

x2
y2
− 2
2
2σ x 2σ y(235)

が作るローレンツ力は、

1
λe 2
Fx =
(
x
2
2πε0 γ σ x (σ x + σ y )2xy+ 2 =1
2
ax ay

(234)

向と y 方向で異なる空間電荷力を与えるが、それに沿った一様分布となる。この分布は、最初に提

2

(233)

と表わされる。ビーム断面が楕円の場合は、x 方という関係を使った。実空間での一様分布は、

Jx Jy 1
+ =
ε
ε 2

⎞ 2
1 ⎛ 4λrp1⎟y− ⎜ 2 32 ⎜⎝ β γ a y (a x + a y ) ⎟⎠(227)と表わされる。此処では、

1
1 2( x ′ + k x x 2 ) + ( y′ 2 + k y y 2 )22+ ΔH sc ,⎞ 2
1 ⎛ 4λr
1⎟x
ΔH sc = − ⎜ 2 p3
2 ⎜⎝ β γ a x (a x + a y ) ⎟⎠(226)

= const. ⋅ δ([ x 2 + y 2 + q ] / a 2 − 1)f (J x , J y ) =(232)

H 3 ( x , x ′, y, y′; s)を導入すると、
21yβ γ a y (a x + a y )2 3となり、上式を与えるハミルトニアンは、となる。更に、以下の変数(224)
q = r224λrp

1x ′′ + k x (s) x = 2 3x,
β γ a x (a x + a y )−1 2σ x + σ yx3
3! σ3x (σ x + σ y ) 2−

11
xy 2 + L),
2
2! σ x σ y (σ x + σ y )

λe 2
1
Fy =
(
y
2
2πε0 γ σ y (σ x + σ y )−1 σ x + 2σ yy33
23! σ y (σ x + σ y )−11x 2 y + L)
2
2! σ x σ y (σ x + σ y )

(236)

+

と与えられる。従って、式(215)の関係より、運動

+

方程式は、

x ′′ + k x (s) x =y′′ + k y (s) y =Fx,
β γmc 2
Fy
2

+

(237)

β 2 γmc 2となり、ハミルトニアンは、以下のように与えら

2σ x + σ y
3σ (σ x + σ y ) 23x

β 2x J 2x cos 4 ϕ x

2β x β y J x J y cos 2 ϕ x cos 2 ϕ yσ x σ y (σ x + σ y ) 2
σ x + 2σ y
3σ (σ x + σ y )3y2

β 2y J 2y cos 4 ϕ y + L)(239)となる。ハミルトン方程式より、位相進みの変化は、れる。

dϕ x ∂H 4 dϕ y ∂H 4=,=
ds
∂J x ds∂J y

H 3 ( x , x ′, y, y′; s)1
1 2( x ′ + k x x 2 ) + ( y′ 2 + k y y 2 )22+ ΔH sc ,λrpx2
ΔH sc = 2 3 (−β γ Bfσ x (σ x + σ y )=+Δν x =x4

x 2 y22σ x σ y (σ x + σ y ) 2
12σ 3y (σ x + σ y )計算する。Action の一次の項については、

λrp 2β x cos 2 ϕ x
1ds
Δν x = − ∫ 2 3
2 π β γ B f σ x (σ x + σ y )(238)

y + L)
2

λは、リング一周に亘る平均の線密度を意味する。
次に、式(114)を用いて Action-Angle 変数へ正準変換を行うと、新たなハミルトニアンは、

H 4 (ϕ x , J x , ϕ y , J y ; s )

=

∂F1
∂s
Jy

−

λrp
β γ Bf2 3(−

2β x J x cos 2 ϕ x
σ x (σ x + σ y )2β y J y cos 2 ϕ y
σ y (σ x + σ y )n t rpβ x

(242)

1

2πβ2 γ 3 Bf σ x (σ x + σ y )となり、σx=σy=σの場合は、Δν x = −n t rpβ x14πβ γ Bf σ 2
2 3

(243)

n t rp1=−2 34πβ γ Bf εと表わせる。一方、2 次の項については、Δν x =Jx+ + ΔH sc ,βx βy

ΔH sc ==−

4

此処では、λ⇒λ/Bf と置き換えた。つまり、上式の= H3 +(241)

1 ∂ΔH spds
Δν y =
2π ∫ ∂J y

以下で、Action の次数ごとにチューンシフトを

12σ3x (σ x + σ y ) 2

σ x + 2σ y

1 ∂ΔH spds,
2π ∫ ∂J x

で与えられる。

2σ x + σ y++となり、空間電荷力によるチューンシフトは、

y2
σ y (σ x + σ y )

−

(240)

λrp
1
[
2 3
∫
2π β γ Bf
4σ x + 2σ y

3σ (σ x + σ y )
3
x

+

=

2

β 2x J x cos 4 ϕ x

2β x β y J y cos 2 ϕ x cos 2 ϕ yσ x σ y (σ x + σ y ) 2

n t rp[]ds

2σ x + σ y

2πβ γ Bf 4σ (σ x + σ y )
2 3

3
x

(244)

2

β 2x J x+1
β xβ y J y ]2σ x σ y ( σ x + σ y ) 2となり、σx=σy=σの場合は、

n t rp3 2
1
Δν x =
β J + 4 β xβ y J y ]
[
2 3
4 x x
2πβ γ Bf 16σ
8σ
n t rpχ′′ + k (s)χ =k sc =k sc(χ − χ ) + f (θ),
a2

(247)

2λrp
β2 γ 3

此処で、右辺の第一項が、線形な空間電荷力、第二項が、二極誤差磁場で位置 χ に依存しない。空31
J + 2 Jy ]2 x2πβ γ Bf 16ε8ε

間電荷力については、ビーム重心 χ からの距離の(245)と表わせる。式(242), (244)では、以下の近似を使合には、閉軌道変形が生じ、ビームの重心と座標

=

[

2 3

った。
2

x

(246)

4

x

2

x

の原点が一致しないので、空間電荷力を取り入れる際には、上記の取り扱いが必要となる。

∫ cos ϕ ds ≈ πR ,∫ cos ϕ ds ≈ 3πR / 4,
∫ cos ϕ cos ϕ ds ≈ πR / 22関数として導入した。二極誤差磁場が存在する場y

粒子の分布が非一様になると、空間電荷力は、非線形力を持つようになり、チューンシフトの量
は、ベータトロン振幅の関数となる。一般に、分布の内側の粒子は、強い線形力を感じる為に大きなチューンシフトを起こすが、外側に行くにつれて粒子の受ける力は弱まり、チューンシフトも減式(247)を全ビーム粒子で平均化（分布関数を掛けて積分）すると、ビーム重心 χ についての運動方程式が求まる。

χ′′ + k (s) χ = f (θ)(248)

上式より、空間電荷力は、ビーム重心の運動（コヒーレント運動）へは寄与しないという結果が導かれる。次に、式(247)と(248)の差をとって、ビーム重心を基点にした運動方程式を導く。

(χ − χ )′′ + k (s)(χ − χ ) =k sc(χ − χ )a2(249)

少する。この様に、非一様分布になると、粒子集上式より得られる結論は、ビーム重心を基点にし団としてのビームは、粒子毎に個別のチューンをた各粒子の運動（インコヒーレント運動）には、持つようになり、チューンスペース上では、外部二極誤差磁場の影響が現れないということであ収束磁場で定義されるベアチューンの下方に広る。つまり、空間電荷力によって下方へシフトしがりを持つようになる（図 17 の下図）。
4.2 チューンシフトとラティス共鳴
2 章で論じた外部収束磁場が励起する共鳴（ラたチューン（インコヒーレントチューン）が整数に到達しても共鳴現象は発生しない。二極誤差磁場による整数共鳴は、コヒーレント運動のチューン（コヒーレントチューン）が整数になった時にティス共鳴）から離れた場所に、ベアチューンを発生し、その場合は、2.7 節で議論した通り、閉設定しても、空間電荷効果によって各粒子のチュ軌道の変形が発散する。

ーンは下方へ広がった領域を作るので、そのチュ

此処迄は、空間電荷力として線形力を仮定したーンスプレッドが共鳴線に掛った際に、粒子の運が、上記の結論は、空間電荷力が非線形力の場合動が不安定になる可能性がある。本節では、共鳴にも当てはまる。i 番目と j 番目の粒子間に働く空源として、二極誤差磁場（整数共鳴）と四極誤差

間電荷力を Fsc ij とすると、i 番目の粒子の運動方

磁場（半整数共鳴）を仮定し、チューンシフトし程式は、た粒子が各共鳴から受ける影響を議論する。
4.2.1

整数共鳴

χ′i′ + k (s)χ i = ∑ Fsc ij + f (θ)

(250)

j

となり、上式を i で平均化し、又、Fsc ij =−Fsc ji と整数共鳴の共鳴源として二極誤差磁場を含み、いうニュートンの第三法則を適用すれば、式(248)

又、空間電荷力として線形な式(216)を考慮した場と同じコヒーレント運動の方程式を得る。又、先合の運動方程式は、以下のようになる。

程と同様に、インコヒーレント運動の方程式は、
式(250)と(248)の差から、(χ i − χ )′′ + k (s)(χ i − χ ) = ∑ Fsc ij

(251)

j

となる。この様に、一般化された空間電荷力に対~χ = w ε χ へ変換すると、ビームサイズ ~χ についての方程式を得る。

ε χ2
~
~
′
′
χ + k (s)χ − ~ 3 = 0
χ

(255)

しても、式(248), (249)と等価な運動方程式が導か

上式に対し、式(216)の線形な空間電荷力を考慮す

れる。

ると、

4.2.2

ε χ2
k
~
χ′′ + k (s)~χ − ~sc − ~ 3 = 0
χ χ

半整数共鳴

次に、共鳴源として、四極誤差磁場が存在すると仮定する。先ずは、整数共鳴の場合と同様の考察を行う。四極磁場誤差を含み、又、式(216)の線
形な空間電荷力を想定した場合の運動方程式は、

χ′′ + k (s)χ =k sc(χ − χ ) + f (θ)χ
a2

(252)

となる。此処で、右辺の第二項が、四極誤差磁場に由来する項で位置 χ に比例する。上式より、式(248), (249)に相当する運動方程式が、以下のように導かれる。

χ′′ + k (s) χ = f (θ) χ,(χ − χ )′′ + k (s)(χ − χ )k= sc2 (χ − χ ) + f (θ)(χ − χ )
a

(253)
(254)

となる。次に、k(s)の s 依存性を排除する為に、

η=~χ / ε χβχ (s) ,s

φ = ∫ ds /(βχ ν)

運動へも寄与することが分かる。つまり、インコ

(257)

0

へ変換する。

d 2η
ν2
2
+
ν
η
=
2
ν
Δ
ν
+
sc
dφ 2
η3
此処で、 a =(258)ε χβχ (s) は、空間電荷の影響が無い

場合のビームサイズ、つまり、 η は、規格化されたビームサイズであり、又、 φ は、加速器を一周すると 2πだけ進む位相関数である。又、此処では、
式(219)から導かれる以下の関係を使った。

2νΔν sc = k sc

式(254)より、四極誤差磁場が、インコヒーレント

(256)

R2
a2

(259)

此処で、 ν はベアチューン、 Δν sc はラスレットチ

共鳴条件を満たした場合に共鳴現象が出現し、ビューンシフトの絶対値を表わし、又、この式を得る際、ベータ関数の平均値 βχ = R / ν を使ってそーム運動が不安定になるという結論が導かれるの s 依存性を置き換えた。 Δν sc / ν << 1 を仮定すが、この現象のより正確な理解を得るには、もうると、誤差磁場が無い場合の方程式(258)は、以下

少し注意深い解析が必要となる。今までは、ビーの解を与える。

ムサイズは与えられる量として空間電荷力を計

η =1+

ヒーレントチューンが、2.7 節で得られた半整数

算し、それを運動方程式に取り込んできたが、ベ

Δν sc
2ν

(260)

ータ関数の変形を伴う半整数共鳴近傍では、ビー

又、上式より、空間電荷力によるベータ関数の変ムサイズが劇的に変化する。空間電荷力は、ビー

化量は、

ム強度の関数であると共に、ビーム分布にも依存するので、その効果を取り込んだセルフコンシス

Δν sc
ν

(261)

となる。

テントな解析が必須となる。
以下では、式(24)で示されたエンベロープ（ビームサイズ）方程式を用いた解析を説明する。先ずは、空間電荷力を考慮した場合のエンベロープ
方 程 式 を 導 く 。 式 (24) に 対 し 、Δβ χ = β χεχ を 掛 け 、次に、式(258)へ四極誤差磁場を導入する。

d 2η
ν2
2
+
ν
η
=
2
ν
Δ
ν
+
+ f (θ)η
sc
dφ 2
η3
此処で、方程式(262)の解を、(262)

η =1+

Δν sc
+δ
2ν

m=1

(263)
k=1

と置いて、解(260)からの微小変位δについての方
程式を作る。

d 2δ
+ (4ν 2 − 6νΔν sc )δ = f (θ)
2dφ

上式より、半整数共鳴の起こる条件は、(265)
4ν 2 − 6νΔν sc = n 2となり、もう少し見栄え良く書くと、

ν−n 3= Δν sc
2 4

4

5

3/4
9/8

7/8

4
5

3

0

2
3

(264)

2

17/16
65/64

59/64
133/128

121/128

表 1：共鳴モード(m,k)に対する係数 Cmk(266)

表 1 に、論文[10]の中で、一次元の取り扱いによと表わせる。上式は、空間電荷力によるチューンって導出された mν = l 共鳴の係数 Cmk を纏めてシフトが、ベアチューンと半整数までの距離のおく。此処で、共鳴モードを示すマトリックス

4/3 に達した時に半整数共鳴が出現することを示(m,k) は 、 共 鳴 の driving term の 次 数す。又、ビームが共鳴条件を満たした際には、ビ（ Jームエンベロープ振動のチューン、つまり、コヒーレント四極振動が整数値を取る。
4.2.3

k

β k cos mϕ ）に対応する。

4.3 空間電荷力が誘起する共鳴
前節では、空間電荷効果によってチューンシフ

高次共鳴

トした粒子がラティス共鳴から受ける影響を調

本節では、比較的容易に解析できる線形な空間査した。即ち、共鳴源として、外部収束力を仮定

電荷力を仮定して、一次元の取り扱いで、整数・したが、本節では、空間電荷力それ自身が励起す

半整数共鳴を議論した。この解析から、ビームがる共鳴に着目する。

共鳴条件を満たした場合は、共鳴の次数 m に対応

粒子分布として、ガウス分布を仮定した場合、する 2m 極のコヒーレント振動のチューンが整数に掛ることが分かった。整数共鳴の場合は、コヒ

空間電荷力に由来する部分のハミルトニアンは、式(238)の ΔH sc で与えられるが、再度、以下に書ーレント二極振動、即ち、ビーム重心（1 次モー

き下す。

∫

メント： < χ >= χ ⋅ ρdχdχ′ ,・・）振動のチューンが整数となり、半整数共鳴の場合は、コヒーレ
ント四極振動、即ち、ビームエンベロープ（2 次∫モーメント： < χ >= χ ⋅ ρdχdχ′ ,・・）振動の22チューンが整数となる。此処で、ρは、粒子の分布関数を示す。こうした関係は、三次共鳴など、

λrpx2
ΔH sc = 2 3 (−β γ Bfσ x (σ x + σ y )−+高次の共鳴へも一般化される。例を挙げると、

3ν = l 共鳴の場合には、コヒーレント六極振動、
3
3
つまり、3 次モーメント（ < χ >= ∫ χ ⋅ ρdχdχ′ ,・・）+

振動のチューンが整数値を取ることになる。

+

又、共鳴条件についても、以下のように一般化(268)

2σ x + σ y12σ (σ x + σ y )
3
x

2

x4

x 2 y22σ x σ y (σ x + σ y ) 2
σ x + 2σ y
12σ (σ x + σ y )3y2

y 4 + L)

一方、式(11), (17)より、ラティスの四極から八極される。

n= ν − C mk Δν sc
my2
σ y (σ x + σ y )(267)

磁場成分迄をハミルトニアンで表わすと、

H mag =1 ⎛ 1 ∂B y ⎞ 2⎜⎜⎟⎟( x − y 2 )2! ⎝ Bρ ∂x ⎠1 ⎛ 1 ∂ B y ⎞⎟ 3
+ ⎜( x − 3xy 2 )2 ⎟⎜3! ⎝ Bρ ∂x ⎠
2

Hb =
(269)

3
1 ⎛⎜ 1 ∂ B y ⎞⎟ 4+(x − 6x 2 y 2 + y 4 )3 ⎟⎜4! ⎝ Bρ ∂x ⎠となる。式(268), (269)の比較より、ガウス分布により作られる空間電荷力が、線形力である四極成× (cos 2(ϕ x + ϕ y ) + cos 2(ϕ x − ϕ y )+ 2 cos 2ϕ x + 2 cos 2ϕ y + 2)),Hc =24σ 3y (σ x + σ y ) 2

ϕx = φx + ∫s0

β 2y J 2y(270)1ds − ν x θβx= φ x + ψ x − ν x θ,

る。又、式(268)を更に高次の項まで書き下すと、むことが分かる。4.1 節では、空間電荷力の線形

σ x + 2σ y× (cos 4ϕ y + 4 cos 2ϕ y + 3),分に加え、非線形な八極成分を含むことが分か
全ての偶数成分（四極、八極、十二極・・）を含

1
β x J xβ y J y
4σ x σ y (σ x + σ y ) 2

ϕy = φy + ∫s01
ds − ν y θβy= φy + ψ y − ν yθ

力成分は、全ての粒子に対して、同じ量のチュー
ンシフトを与える原因、一方の高次成分は、チュとなる。上式より、以下の共鳴が励起されることーンシフトの振幅依存性からチューンスプレッが分かる。

ドを作るソースとして取り扱ったが、当然ながcos 4ϕ x → 4ν x = l,ら、空間電荷力の各成分は、ベータトロン共鳴源

cos 4ϕ y → 4ν y = l,としての側面も持つ。こうした共鳴は、全て構造共鳴（ l = nP ）として出現するが、ラティスのベ

cos 2(ϕ y + ϕ y ) → 2ν x + 2ν y = l,ータ関数やビーム分布に変調が生じた場合には、

cos 2(ϕ y − ϕ y ) → 2ν x − 2ν y = l,

ラティスの対称性 P とは異なったハーモニック成cos 2ϕ x → 2ν x = l,

分 l でも共鳴が励起されることになる。こうした

cos 2ϕ y → 2ν y = l

状況になると、空間電荷力により励起された共鳴に、チューンシフトしたビーム粒子が引っかかるといた現象が現れる。こうした空間電荷力が励起する共鳴は、大強度加速器で顕在化し、到達可能(271)

此処では、以下の項に着目する。

2σ x + σ yλrp
ΔH sc = J 2x [ 2 3β γ Bf 24σ 3x (σ x + σ y ) 2(272)とになるが、特に、最低次の非線形力である八極× β cos 4ϕ x ]上式で励起される 4ν x = l 共鳴の driving term

成分の影響が大強度加速器では顕著となる。

は、角括弧の中をフーリエ展開することで、なビーム強度に対して、究極的な制限を与えるこ

以下で、その八極成分が誘起する四次共鳴のdriving term を導いておく。導出の際の手続きは、
2.10 節でのそれと同様である。先ず、ハミルトニ
アン(268)を、母関数(112)と(116)を用いて、正準変換を 2 回行う。新たなハミルトニアンは、

ΔH sc =Ha =λrp

(H a + H b + H c ),β 2 γ 3 Bf
2σ x + σ y

24σ3x (σ x + σ y ) 2

2
x

J 2x
(G sc4,0,l e j( 4 φ x −lθ + ξ ) + c.c.),
∑
2R l
1 λrp
G sc4,0,l e jξ =2π β 2 γ 3 Bf
ΔH sc =

×∫

2σ x + σ y
24σ3x (σ x + σ y ) 2

β e
2
x

j( 4 ψ x − ( 4 ν x − l ) θ )

(273)

ds

と表わされる。

β J

2 2
x x

× (cos 4ϕ x + 4 cos 2ϕ x + 3),

こうした空間電荷力に由来する共鳴について
も、2.10 節で述べた手法で共鳴補正を行うことができる。今の場合には、八極電磁石を使用することになるが、この八極電磁石が励起する 4ν x = l

ュールに、入射機器・コリメータ、出射機器、及の driving term は、上記と同様の手法で導くこと

び、加速空胴を配置している。此処で、DOFO は、ができ、水平方向に発散(D)作用を持つ四極電磁石と水平1 β 2x ⎛⎜ ∂ B y ⎞⎟ j( 4 ψ x −( 4ν x −l ) θ)eds
2π ∫ 48 ⎜⎝ ∂x 3 ⎟⎠
3

jξ
=
G mag
4, 0,l e(274)と表わされる。つまり、式(274)で、式(273)の実部と虚部を打ち消すように、八極電磁石を励磁す
れば良い。

5

大強度ビームへの道
J-PARC のような大強度加速器では、メンテナ

ンスの自由度を十分に確保する為に、機器の放射化を最小限に抑え込む必要があり、ビーム強度の方向に収束(F)作用を持つ四極電磁石を組み合わせたラティスの基本セルを意味し、アークモジュ
ールでは、O の部分に偏向作用を担う二極電磁石が入り、一方の直線モジュールでは、単なる自由空間となる。但し、各アークモジュールには、
DOFO の O 部分に入るべき二極電磁石を抜いた
特別なセル構造（missing-bend cell）を作り、その領域の x 方向に約 6 m の分散を発生させている。こうした大きな分散を発生させることで、式(180)で与えられるトランジションエネルギーを
9 GeV 領域へと押し上げ、加速中でのトランジシ
ョンエネルギー通過を回避している。又、その位増強と共に生じるビーム損失の低減が最重要の置に設置した六極電磁石を使ってクロマティシ

研究課題となる。

ティー補正を行っている。

本章では、J-PARC RCS を例に挙げて、今までに実際に行われてきたビーム損失の低減・ビームの大強度化への取り組みを概説し、その中で得られたビーム試験結果や対応するシミュレーショ
ン結果を、上で議論したビーム力学の基礎知識を使って解説する。
5.1 RCS の概要とビーム物理学上の課題
本題へ入る前に、先ず、RCS の概要とビーム強度を上げて行く際に想定されるビーム物理学上の課題について説明する。
表 2 に RCS の設計パラメータを示す。RCS は、
ミュオン生成標的、及び、中性子生成標的へのビーム供給と、MR の入射器という二つの役割を担っている。RCS では、25 Hz という速い繰り返
しで陽子を 400 MeV から 3 GeV へと加速し、最終的には 1 MW という大出力でのビーム供給を目指している。但し、現在の入射エネルギーは 181
MeV であり、その低い入射エネルギーに対し、0.3
MW の出力を実現することが、現段階での目標となっている。
図 18 に示す様に、RCS は、周長 348.333 m の三回対称のラティス構造を持つ。各周期は、二つの 3-DOFO ア ー ク モ ジ ュ ー ル と 分 散 の 無 い
3-DOFO 直線モジュールから成立ち、各直線モジ

Circumference

348.333 m

Super-period

3

Injection energy

400 MeV(181 MeV at present)

Extraction energy

3 GeV

Repetition

25 Hz

Ramping pattern

Sinusoidal

Harmonic number2

Number of bunches2

Output beam power

1 MW

Particles/pulse

8.3×1013

Transition energy

9.2 GeV

Momentum acceptance±1%

Transverse paint area

216π mm mrad

Collimator aperture

324π mm mrad

Ring aperture

486π mm mrad

Bunching factor

0.4(at injection)
Laslett tune shift−0.15(at injection)

表 2：RCS の設計パラメータ。

図 18：RCS の機器配置図。
既に述べたように、RCS のような MW 級の大対する口径の比率が大きくなってしまう。こうし

強度陽子加速器では、ビーム増強と共に生じるビ

た場合、電磁石の出入り口に有意なフリンジ磁場ーム損失の低減が、ビーム物理学上の最重要の研が発生し、その磁場の非線形性（六極・八極磁場究課題となる。ビーム損失の原因は多様に存在す

成分等）の影響が無視できない。

るが、その中で、空間電荷力それ自身や、空間電この様に、RCS は、空間電荷や磁場の非線形力

荷力と周期的な外部収束力とが絡み合って生じが強くビームに寄与する非線形なマシンとしてる様々な共鳴現象が、エミッタンスの増大やビー

特徴づけられる。上で議論したように、非線形力

ム損失の主原因の一つに挙げられる。

が寄与すると、三次・四次などの高次共鳴が励起

RCS では、空間電荷効果を出来る限り緩和する

され、ビーム振動が非線形振動となる。つまり、

為に、横・縦両方向でペイント入射を行う。このビーム粒子の振動の安定領域が振幅に依存し、あペイント入射は、位相空間の広い範囲に出来る限る一定値を超えるとビーム振動が急に不安定な

り一様に粒子を分布させて空間電荷密度を制御るといった現象が顕在化する。上で述べたようする、つまり、式(220)の分母に現れるビームエミに、RCS では、空間電荷効果を軽減する手段としッタンスとバンチングファクターを共に大きくて、ペイント入射を採用しているが、この手法でさせることで、空間電荷効果を軽減させる手法では、原理的に大振幅を持つ粒子が増えるので、チあるが、後述する様に、その最適化はそう単純でューンの選択が悪いと、そうした大振幅粒子の非はない。

線形な振る舞いが問題となり、ペイント入射によ

又、RCS のような大強度加速器では、十分なフってビーム損失が逆に増加する可能性もある。ペィジカルアパーチャの確保が必要不可欠となる

イント入射の能力を最大限に引き出すには、強いが、一方で、大口径電磁石群によってもたらされ共鳴を避け、ビーム振動の安定領域を十分に確保る不利益も存在する。特に、RCS のようなコンパ

しておくことが大前提となるが、非線形な空間電クトなマシンでは、どうしても電磁石の磁極長に荷力で生じるチューンスプレッドの為に、その最適化も単純ではない。こうした非線形な磁場や空間電荷力が絡み合うマシンでは、現象の理解も複雑になり、そのビーム調整には、研究的要素が多分に含まれる。兎も角、その調整の第一歩は、空間電荷力の寄与の少ない低電流ビームを用いて、実験・計算の両面からビームの単粒子的振る舞いをしっかりと押さえることであり、その後は、
徐々にビーム電流を上げて行き、各効果の電流依存性を調べ、その都度、最適なパラメータを探索するといった地道な調整が必要となる。
5.2 低電流ビームを用いた各種調整・試験
前節で述べた通り、空間電荷効果の寄与が少な
い低電流ビームの単粒子的振る舞いを通して、加速器の基本性能をしっかりと把握することが大
強度ビーム実現への第一歩となる[12]。以上は、ベータ関数、チューン、分散関数、クロマティシテ
ィーといった光学系パラメータの調整、又、共鳴源となる電磁石系に内在する非線形磁場成分やリングに亘って分布する各種誤差磁場など、磁場の不完全性を同定して、そのビームへの影響を評価することと等価な意味を持つ。本節では、先ず、光学系パラメータの測定手法や調整結果を示し、その後で、RCS での磁場の不完全性とそれらが励起する共鳴について解説する。
5.2.1

光学系パラメータの測定・調整

RCS でのビーム調整は、主に、以下の二つの運
転モードから構成される。
・181 MeV ストレージモード
・3 GeV 加速モード

図 19：調整後のベータ関数（上図）と分散関数（下図）の実測値。●が x 方向、○が y 方向の実測結果であり、実線が設計値を示す。

181 MeV ストレージモードは、ビーム加速を行わないストレージリングのような運転モードであ系パラメータの測定手法やその調整について解る。RCS では、このストレージモードで、光学系説する。

等の基本パラメータの調整を先行して行い、その先ずは、ベータ関数の測定について説明する。

調整結果を使って、加速モードでの運転パラメー

RCS では、x 方向に収束作用を持つ各四極電磁石

タの初期値を構築するといった方針を採用しての隣に、x 方向の閉軌道補正の為の二極電磁石が、いる為、ビーム試験期間の約半分は、ストレージ

又、y 方向に収束作用を持つ各四極電磁石の隣に、モードでの調整試験に割り当てられている。本小

y 方向の閉軌道補正の為のねじれ二極電磁石が、節では、ストレージモードで実施されている光学

各 26 台配置されており、又、その各補正電磁石のギャップ中に、ビーム位置検出器（BPM）がチューン、ベータ関数、分散関数の一連の測定を行い、設定値に対してずれが観測されれば、その補正が次の課題になる。RCS では、SAD[13]ベースで構築した RCS の計算モデルの四極電磁石の磁場強度を変数にして、最小二乗法で一連の測定結果を fit する。元々の四極電磁石の設定値と、上述の fitting で得られた四極電磁石の磁場強度の差分が補正量となる。その補正量は、±数%の範囲内であり、電流-磁場の関係式の誤差に由来すると考えられる。RCS では、この手法で、効率的な光学系パラメータの補正を実現させている。図19 に、ベータ関数、分散関数の調整後の測定結果を示す。
光学系パラメータが決まった後は、クロマティ
シティーの測定・補正へ進むことになる。クロマ
図 20：クロマティシティーの測定結果。
設置されている。その為、補正電磁石とその中のBPM との位相差は 0 と見做すことができ、その関係を使うと、式(79)より、以下の式が導かれる。

Δχ
βχ = 2 tan(πν χ ) × co
Δθχ

(275)

ティシティーは、式(102)より

Cχ =

Δν χ

(Δp / p0 )(278)となるので、上述の分散関数の測定と同様に、加速空胴の周波数をノブにして、運動量変位に対するチューンの応答を観測すれば、その傾きがクロマティシティーとなる。本章の導入で述べたよう

RCS では、上式を利用して、補正電磁石の蹴り角に対する閉軌道の応答（ Δχ co Δθχ ）とチューンに、RCS の主電磁石系には、有意な非線形磁場が（ ν χ ）という二つの測定量から各 BPM 位置でのる六極磁場成分が有意であり（後述）、その成分

ベータ関数を導出している。チューンについてが、クロマティシティーへ寄与している為、そうは、BPM のターン毎の位置データの FFT スペク

した磁場の非線形性を正しく取り込んだ計算モ

トル上で、周回周波数のサイドバンドとして観測デルを構築しないと、実測と計算で良い一致を得される（詳細は、林氏のテキストを参照）。
次は、分散関数である。分散関数 D χ は、式(99)られない。後述するように、RCS の計算モデルに

より、

Dχ =

Δχ co
(Δp / p 0 )(276)であるので、運動量変化に対する閉軌道の応答を、各 BPM 上で観測すれば、その傾きが分散関数となる。運動量については、式(179)から得られ
る

Δp
1 Δω
=−
ps
η ωs

は、実測磁場から評価した磁場の非線形性を取り込んでいるので、実測（Cx/Cy =−10.3/−7.2）と計算（−10.4/−6.8）が良く一致し、又、その計算モ
デルから得られたクロマティシティー補正に必要な六極電磁石の励磁量で十分な補正を実現させることができた。図 20 に、補正前後のクロマ
ティシティーの測定結果を示す。
5.2.2

(277)

という関係を利用して、加速高周波の周波数を使って変化させる。

存在している。特に、二極電磁石の磁場に内在す

磁場の不完全性の同定

RCS での主だった磁場の不完全性のソースは、
以下の通りである。
(a) 主電磁石磁場の非線形性

(b) 電磁石の個体差て an=0 と置くと、By は、x の多項式となる。つ(c) 電磁石の設置誤差

まり、図 21 の下図の分布を、その多項式で fit す(d) 出射ビームラインからの漏れ磁場

れば、各項の係数から多極磁場成分を見積れる。

(e) 入射バンプ電磁石のエッジ収束

一般に、電磁石の各磁場成分の強度は、設計軌最初の三つについては、磁場測定データや測量デ

道に沿って磁場の存在領域（−L～L）を積分したータから非線形磁場成分や誤差磁場が見積もら

以下の形式で表わされる。

れ、残りの二つについては、実際のビームを使って、その磁場強度を定量評価した。本節では、それらの評価手法とその結果を概説する。

1 L ⎛⎜ ∂ B y ⎞⎟ds
Bρ ∫−L ⎜⎝ ∂x n ⎟⎠
n

Kn =

(279)

此処で、Kn は、2(n+1)極磁場成分の強度を示す。
RCS で最も強い非線形磁場のソースは、当然ながら、クロマティシティー補正用の六極電磁石（|K2|~0.4 m−2）であるが、二極電磁石の磁場に内在する六極磁場成分も、六極電磁石の 1/4 程度の強度を持つ。

図 21：二極電磁石の磁場測定結果。上図が設
計軌道 s に沿った By（x=y=0）分布、下図が∫By を設計軌道に沿って積分した ByL= B y ds（y=0）の x 方向の分布。
＜非線形磁場成分＞

図 22：二極電磁石の shuffling 前後での閉軌
道変形（上図）と四極電磁石の shuffling 前
後でのベータ関数変調（下図）の計算結果。
＜電磁石の個体差＞

電磁石系に内在する高次磁場成分については、

RCS の主電磁石系は、24 台（1 ファミリー）のトンネルへの設置前に実施した一連の磁場測定

二極電磁石と 60 台（7 ファミリー）の四極電磁石から得られた実測分布を用いて定量評価した。図から構成される。ファミリーごとに同一の電磁石

21 に、一例として二極電磁石の実測磁場分布を示となるが、それらは、製作誤差に起因した個体差、す。上図は、設計軌道 s に沿った By（x=y=0）の即ち、磁場強度のばらつきを持つ。磁場測定より、分布であり、下図は、By を設計軌道に沿って積分

二極電磁石の個体差は±8×10−4、四極電磁石のそ∫した B y ds（y=0）の x 方向の分布を示す。式(18)れは、ファミリー毎に異なるが、±5×10−4～±1より、y=0、又、ねじれ磁場成分は無いと仮定し×10−3 であった。二極電磁石の個体差は、閉軌道

変形を引き起こし、四極電磁石の個体差は、ベータ関数の変調の原因となる。
閉軌道変形の式(78)から明らかなように、各二極電磁石の設置場所での位相進みと磁場のばらつきの組み合わせを上手く選ぶことで、個体差の影響を打ち消すことができる。RCS では、24 箇所の二極電磁石設置場所を、位相差がπとなるよ
うな組み合わせに分けることができ、その各組に同程度の誤差を持つ二極電磁石を割り振り、個体差による閉軌道変形を最小化した（図 22 の上図）。
四極電磁石についても、式(92)に従って同様の
shuffling を行い、ベータ関数の変調を最小化した（図 22 の下図）。
＜電磁石の設置誤差＞
電磁石の設置誤差も、誤差磁場の原因となる。

図 23：出射ビームラインからの漏れ磁場が作る閉軌道変形。●が実測値、□が計算値。

電磁石設置後に行ったアライメント作業により、
主電磁石系の x 方向、y 方向の位置誤差は、±0.1
mm 以下、又、s 軸回りの回転誤差は、±0.1 mm
rad 以下へ抑え込まれた。これら設置誤差が作る
閉軌道変形は、±1.2 mm、ベータ関数変調は、±0.7%と見積もられた。一方、線形結合の発生源とK0=−0.00114 rad、又、そのねじれ成分は、skew
K0=−0.00012 rad と見積もられた。
次は、漏れ磁場中の四極磁場成分である。四極
磁場は、光学系パラメータ、つまり、チューン、
ベータ関数、分散関数を変位させるので、出射ラなる四極電磁石の回転から生じるねじれ成分のインの電磁石群をオン・オフして、その変位量を影響は、次節で述べるとおり、この程度の回転誤

実測することで、その磁場強度を見積もれる。結差であれば、ビームへの影響は少ない。

果は、K1=0.0048 m−1 で、四極電磁石の 1%程度の＜出射ビームラインからの漏れ磁場＞
RCS の初期調整において、RCS 直下の出射ビ
ームラインに設置された DC 電磁石（出射セプタ
ム電磁石やその直後の二極電磁石等）の磁場がリングへ漏れ込み、その漏れ磁場が、閉軌道の変形
や、半整数や線形結合和共鳴の強い発生源になっていることが発見された。この実験結果は、漏れ
磁場中には、少なくとも、二極磁場成分に加え、有意な四極磁場成分とそのねじれ成分が存在していることを示唆する。
図 23 に示されるように、この漏れ磁場は、x強度であった。
一方、そのねじれ成分については、xy 結合の観測からその強度を見積もることができる。式(18),(80)より、ねじれ四極磁場を含む運動方程式は、

1x ′′ + ( 2 + k1 ) x = Sk 1 y,
ρy′′ − k1 y = Sk 1x,
Sk 1 =(280)

1 ⎛ ∂B x ⎞⎜⎟Bρ ⎝ ∂x ⎠となり、上式右辺により、x 方向と y 方向の運動が結合することが分かる。x 方向の閉軌道がΔxco方向に±10 mm、y 方向に±2 mm の閉軌道変形

だけ変位した場合は、y 方向には、Sk1Δxco のねじを作る。この実測結果を、計算モデルで fit した

れ二極キックが働き、y 方向の閉軌道にも変位が結果、漏れ磁場中の二極磁場成分の強度は、生じることになる。式(79)より、その y 方向に生じる閉軌道変形は、

Δy co (s) =β y (s)2 sin πν y ∫β y ( t ) (Sk 1Δx co )× cos(πν y − | ϕ y (s) − ϕ y ( t ) |)dt
(281)と表わせる。漏れ磁場中のねじれ四極磁場成分
は、上式の関係を利用して見積もられた。図 24に x 方向の閉軌道を変化させた時に生じる y 方向の閉軌道変位の実測結果を示す。この測定値を、数で大きな変調が観測されている。又、この変調に起因するチューン変位の測定結果は、(Δνx,Δνy)= (−0.002,0.013) であった。以上のローカルバン
プによって生じる光学系パラメータの変位量を、計算モデルのエッジ収束の強度を変数にして fit
した結果、エッジ収束の強さは、端面あたり
K1=−0.0033 m−1 と見積もられ、式(50), (59)を使った計算結果と良く一致した。

計算モデルで fit した結果、ねじれ四極磁場の強度は、skew K1=−0.00112 m−1 と見積もられた。

図 25：ビーム入射の為のローカル
バンプ軌道。

図 24：x 方向の閉軌道を変化させた時に生じる y 方向の閉軌道変位。●が実測値、□が計算値。
＜入射バンプ電磁石のエッジ収束力＞
RCS では、マルチターン入射方式を採用しており、0.5 ms の入射時間でビームを積み上げて行く。そのビーム入射の際に、四台のパルス二極電磁石を使ってローカルバンプ軌道を形成するが、その間、ビームは、それらパルス電磁石の端面（図25 の点線で囲まれた端面）に対し傾いた軌道を作る。その際、2.4 節で議論したように、ビームは、
それら端面領域で四極電磁石と等価なエッジ収
束力を感じることになる。このエッジ収束力の効
果は、何れも、x 方向が発散、y 方向が収束となるが、x 方向については、二極電磁石が作る収束作用と相殺される。即ち、y 方向に残ったエッジ
収束力が、局所的な誤差磁場として y 方向のビー
ム運動に影響を与える。
図 26 に、ローカルバンプ軌道が立っている場
合と立っていない場合でのベータ関数の測定結果を示す。図で示される通り、y 方向のベータ関

図 26：入射バンプ軌道が立っている時のベータ関数の実測値。●が x 方向、○が y 方向の実測結果であり、点線が計算結果を示す。実線は、入射バンプが立っていない時の計算値を示す。
5.2.3

不完全磁場が励起する共鳴

本小節では、上で示された磁場の非線形性や各種誤差磁場を取り込んだ計算モデルを使って、それらが励起する共鳴を調査する。

図 27 に、単粒子トラッキングの結果を示す。
この図は、2.10.3 小節の図 13 と同様の計算結果
で、各チューンでの振動の安定領域の広さを色の濃淡で示したものであり、線状の色の薄い部分が共鳴線に相当する。図 27 の上段図は、5.2.2 小節
で示した(a)～(c)を考慮した場合の計算結果である。この計算で、ν=6～7 領域で観測された共鳴は、

ν x − 2ν y = −6,4ν x = 27,
4ν y = 27,(282)2ν x − 2ν y = 0,2ν x + 2ν y = 27
といった三次・四次の構造共鳴であり、リングに沿ってシステマティックに分布するクロマティ
シティー補正用の六極磁場と二極電磁石の磁場に内在する六極磁場成分が一次、又は、二次の効
果[14]で励起している共鳴群である。(b)と(c)に由来するランダムな四極誤差磁場やそのねじれ成分の影響は、半整数共鳴、線形結合共鳴、そして、様々な高次の非構造共鳴を励起し得るが、それらは有意な強度では観測されておらず、(b)と(c)のビームへの影響は少ない。つまり、機器配置の際のshuffling と高精度のアライメントにより(b)と(c)の影響は上手く最小化されたと結論づけられる。
図 27 の中段図は、(d)の漏れ磁場を更に取り込んだ場合の結果である。この漏れ磁場は、以下の非構造共鳴を付加的に励起する。

ν x + ν y = 13,2ν x = 13,2ν y = 13,(283)

3ν x = 19,
3ν y = 20
線形結合和共鳴は、漏れ磁場中のねじれ四極磁場成分によって、又、半整数共鳴は、四極磁場成分によって、それぞれ直接的に励起された共鳴である。一方の三次共鳴のソースは、システマティッ
クに分布する六極磁場である。つまり、ラティスの対称性が完全に保たれていれば、式(141)で与えられる driving term の積分は 0 となり、こうした

図 27：単粒子トラッキングで得られた各チ
ューンにおける振動の安定領域の広さ。上段が 5.2.2 小節で示した(a)～(c)を含めた計算
結果、中段が(a)～(d)、下段が(a)～(e)を取り込んだ場合の結果。

非構造共鳴が励起されることはない。但し、現状た。現状は、主として、図 27 の下段の白丸領域

は、漏れ磁場中の四極誤差磁場によって、driving

で、各種大強度試験を実施している。

term 中のベータ関数や位相進みの対称性が歪め

又、上記のような検討は、共鳴補正など、各種られている為に、driving term の積分が 0 とはな

補正機器の導入を議論する際の基礎データにもらずに値が残る。つまり、この三次共鳴は、四極なる。

誤差磁場によって生じた加速器対称性の歪みを通して励起された非構造共鳴である。

5.3 大強度ビーム試験

図 27 の下段図は、更に、(e)を取り込んだ場合

前節で示した磁場の不完全性の定量評価やその計算結果である。前節で議論した通り、入射バ

れらが励起するラティス共鳴の調査等の基礎検ンプ電磁石のエッジ収束力は、y 方向のベータ関討を経て、2009 年 12 月より、本格的な大強度ビ

数変調、つまり、y 方向の加速器対称性を歪めるーム試験を開始した。

原因となり、

入射エネルギーが 181 MeV である間の我々の2ν y = 13,

当面の目標は、300 kW 出力を実現することであν x − 2ν y = −7,る。この運転と、我々の最終目標である 400 MeV

ν x + 2ν y = 19,(284)

ν x + 2ν y = 20,2ν x + 2ν y = 25の入射エネルギーで 1 MW 出力という運転では、入射エネルギー領域での（ビーム強度／β2γ3）値がほぼ一致、つまり、両者の空間電荷効果は、ほぼ等価な関係となる。RCS でのビーム損失の許容といった y 方向の運動と結びついた非構造共鳴が範囲は、現状の 4 kW というコリメータの許容値

励起、又は、エンハンスされる。

で決まる。その 4 kW を、1 MW 運転時のビーム

以上の通り、誤差磁場の取り込み方によってチ損失率に換算すると 3%（入射エネルギーで換算）ューンスペースの状況は一変する。RCS では、ビとなる。つまり、現状の 300 kW 運転時のビームーム入射の為に、最初の 1 ms
（ビーム入射 500 μs、

損失を、入射エネルギー領域のみで 3%以下に抑立下げ 500 μs）、入射バンプ軌道を立ち上げるのえ込むことが、その後の 1 MW 出力実現への大きで、図 27 の下段図は、その間のチューンスペー

な試金石となる。

スに相当し、又、図 27 の中段図が、入射バンプ

本節では、300 kW 相当のビームを用いて精力

立下げ直後の状況に対応する。又、出射ラインか的に行ってきたペイント入射によるビーム損失

らの漏れ磁場は、静磁場であるので、加速と共に低減について、実験データと対応するシミュレー

その影響は減衰してゆく為、図 27 の中段図の状

ション結果を交えて解説する。

況は、ビーム加速に従って、図 27 の上段図の状
況へ移行する。

5.3.1

ペイント入射の概要

こうした検討結果を基に、大強度ビーム加速に本題に入る前に、RCS で採用している横方向と適したチューンを探索した。ビーム振幅が際限なく増大する和共鳴 ν x + ν y = 13 , 2ν x + 2ν y = 27

縦方向のペイント入射について概説しておく（詳を完全に回避する。又、半整数 2ν x , y = 13 や全ての高次のオーダーが共鳴条件を満たす整数ライン ν x , y = 6 からは、インコヒーレントチューンス
プレッドの幅を考慮して十分な距離を取る等の制限のもと、幾つかの候補地を見出し、それらを初期値にして、実際の大強度ビーム試験を行っ

細は、原田氏と田村氏のテキストを参照）。
＜横方向ペイント入射[15][16]＞図 28 に、横方向ペイント入射の概念図を示す。
横方向ペイント入射では、入射期間中（0.5 ms）、
周回閉軌道と入射ビーム軌道の相対関係を、入射点で時間的に変位させてビームを横方向位相空間の広い範囲に分布させる。x 方向については、ペイントが可能である。ペイントエミッタンス（ペイント範囲）を ε tp とすると、x 方向ペイントと前者の y 方向ペイントの組み合わせは、
ε x − ε y = 0 に 沿 っ た 分 布 と な り 、 correlated
paint と呼ばれ、一方、後者の y 方向ペイントを組み合わせた場合は、 ε x + ε y = ε tp という関係となり、anti-correlated paint と呼ばれる。
＜縦方向ペイント入射[17]＞図 29 に、縦方向ペイントの概念図を示す。縦方向ペイント入射では、入射期間中、加速空胴の周波数にオフセットを加えることで、位相空間の広い範囲にビーム粒子を分布させてゆく。この周
波数オフセットは、式(277)より明らかな通り、運動量オフセットと等価である。その際、位相振動
ポテンシャルの形状を平坦化させるための二倍高調波の重畳や、その二倍高調波成分の位相をスイープさせて、入射期間中の位相振動ポテンシャ
図 28：横方向ペイント入射の概念図。

ルの形状を動的に変化させる等の操作を組み合わせて、より効果的な縦方向の電荷密度制御を実現している。
5.3.2

ペイント入射によるビーム損失低減[18]2009 年 12 月に、表 3 に示される様々なビーム
強 度 や ペ イ ン ト 入 射 の パ ラ メ ー タ（data-(1)~(10)）を用いて、系統的な大強度ビー
ム試験を実施した。図 30 に、その際に測定されたビーム損失量を示す。ペイント入射を行わない
センター入射（位相空間の中心にビームを詰め込む）でのビーム損失（data-(1)~(5)）は、主に空間
図 29：縦方向ペイント入射の概念図。

電荷効果の最も厳しい入射エネルギー領域で検出され、その量は、ビーム強度（60～300 kW 相当）に依存して 0.5～7%であった。300 kW 相当

周回閉軌道の位置 x と角度 x’を時間的に制御しのビームの場合、ビーム損失量は 7%に達したが、て、周回ビームのビーム楕円の長軸上に沿って、

data-(6)~(9)で示されるように、横方向のペイント

その中心から外側へとビームをペイントする。一入射（ペイントエミッタンス：100π mm mrad／方、y 方向については、入射点での入射ビームのcorrelated paint）によって 5%へ改善し、更に、

角度 y’を時間的に変化させて、周回ビームの楕円

縦方向のペイント入射（二倍高調波の振幅：基本の y’軸上に沿ってビームをペイントする。y 方向

波の 80%／2 倍高調波成分の位相スイープ：−80

については、y’軸に沿って、ビーム楕円の中心か～0 度／周波数オフセット：−0.2% in Δp/p）を組

ら外側、若しくは、外側から中心という二通りのみ合わせることで、最終的に、1%以下のレベルに

表 3：大強度ビーム試験での入射ビーム条件・ペイント入射パラメータの一覧。
までビーム損失を低減させることに成功した。図31 に、3 GeV 加速終了直後に出射ラインで測定した横方向の rms ビームサイズ、又、図 32 に、入射エネルギー近傍（最初の 2 ms）でのバンチング
ファクターの測定結果を示す。横方向の rms ビー
ムサイズは、ビーム強度に従って、又、横方向のペイント入射の導入によって広がるが、縦方向のペイント入射を導入すると一転して減少傾向を示す。これは、縦方向のペイント入射によって、バンチングファクターが改善されると共に、横方向の空間電荷力が軽減された為と解釈される。
5.3.3

シミュレーション[18]図 30~32 には、各実験条件に従って実施したシ

図 30：表 3 の各条件でのビームサバイバル率。実線と●が実測値、点線と○が計算値。

ミュレーションからの結果も合わせて載せているが、それらは、概ね一連の実験結果を再現して回ビームが荷電変換フォイルをヒットした際にいる。此処で使用した simpsons（開発者：町田

起こる散乱現象も取り込まれた。以下に、シミュ慎二氏）と呼ばれるシミュレーションコードは、

レーションに考慮された各種不完全性を、再度、particle-in-cell 法という空間電荷力の計算手法を纏めておく。

採用したビームトラッキングコードである[19]。こ(A) 電磁石磁場の非線形性のシミュレーションには、前節で述べた磁場の不(B) 入射バンプ電磁石のエッジ収束

完全性に加え、ビーム入射中に、入射ビームや周(C) 電磁石の個体差、設置誤差

(D) 出射ビームラインからの漏れ磁場減されている。又、図 34 に、入射終了後から 500(E) フォイル散乱

ターン分の横方向位相空間分布から求めたビー
ムモーメントの FFT スペクトルを示す。上述の通り、ビームが共鳴条件を満たした場合には、その共鳴の次数に対応するビームモーメント振動のチューンが整数値を取る。センター入射の場合には、＜x2＞, ＜y2＞, ＜x3＞, ＜x4＞, ＜x2y2＞,＜y4＞の各ビームモーメントのスペクトルの整数位置に有意なピークが出現しているが、ペイント
入射によって、そのピーク強度が十分に軽減され

図 31：表 3 の各条件での取り出しビームのrms ビーム幅。●が実測値、○が計算値。

ていることが分かる。つまり、センター入射の場
合には、そうしたビームモーメントの次数に対応
する共鳴、特に、空間電荷力が強い発生源になり得る偶数次の共鳴（2νx,y=12, 4νx,y=24 等）がビー
ム損失へ大きく寄与し、又、そうした影響が、ペイント入射によって軽減されたことで、ビーム損失の低減につながったと解釈される。

図 32：表 3 の各条件でのバンチングファク
ター。実線が実測値、点線が計算値。

図 33：表 3 の data-(5)と data-(9)でのインコ
ヒーレントチューンシフトの計算結果。
図 33 は、300 kW のビーム強度を想定したシミュレーションで得られた入射終了直後のインコ

図 34：表 3 の data-(5)と data-(9)でのシミュレーション結果から求めたビームモーメ
ントの FFT スペクトル。

ヒーレントチューンシフトで、左図がセンター入射（data-(5)）、右図がペイント入射（data-(9)）

図 35, 36 に、シミュレーションから得られた規の場合の計算結果である。ペイント入射によっ

格化エミッタンスの時間依存性を示す。此処でて、チューンシフト量は、−0.6 から−0.4 程度へ軽は、上記の各種不完全性のエミッタンス増大への寄与をそれぞれ調査する為に、以下の系統だった
5 つ組み合わせで不完全性を取り込んだ計算結果を併記している。
(i) ⇒ (A)～(E)(ii) ⇒ (A)～(D)(iii) ⇒ (A)～(C)(iv) ⇒ (A)～(B)(v) ⇒ (A)又、そのエミッタンス増大の様子を詳細に観測する為に、この計算では、ビーム損失を定義するコ
リメータアパーチャを導入していない（図中の点線がコリメータリミットに相当する）。図 35 のセンター入射の場合（data-(5)）には、上記の共鳴現象に由来すると予想されるビーム積上げ過程
から加速初期に亘る急激なエミッタンス増大、又、その後に、漏れ磁場に起因する緩やかなエミ
ッタンス増大が観測されている。図 36 のペイン
図 35：表 3 の data-(5)でのシミュレーシ
ョンから得られた規格化エミッタンスの
時間依存性。

ト入射導入時（data-(9)）の計算結果から明らかなように、上記のエミッタンス増大は、ペイント
入射によって十分に軽減され、その際にコリメー
タリミットを越える粒子の殆どは、ビーム入射過程でのフォイル散乱で発生する大角度イベントに由来するものである。つまり、シミュレーショ
ンによる検討では、300 kW 運転時のビーム損失
量は、概ね最小化できたと結論づけられる。
5.4 今後の計画と課題
現状の RCS の供用運転時の出力ビームパワー
は、120 kW であるが、本年の夏季メンテナンス
期間に実施する幾つかのハードウェアの改善作
業（フォイル散乱を最小化する為の小さな荷電変換フォイルの導入、クロマティシティー補正用六極電磁石電源のパターン電源化、等々）を経て、本年秋以降から徐々にビームパワーを増強してゆく予定である。又、来年の夏季メンテナンス期
間迄に、300 kW 出力での連続運転デモンストレ

図 36：表 3 の data-(9)でのシミュレーシ
ョンから得られた規格化エミッタンスの
時間依存性。

ーションを実現させることが、我々の当面の目標となっている。
又、現状の入射エネルギーで、更なる大強度化（～600 kW 相当）を目指したビーム試験も実施予定である。その際も、ビーム増強と共に増加する

ビーム損失の低減が課題となるが、その鍵を握るを補正する新たな補正系（四極電磁石系）の導入のが横方向のペイント入射である。現状は、300を視野に入れた検討も進めている。

kW 相当のビームに対し、ペイントエミッタンス
100π mm mrad の横方向ペイント入射と縦方向
ペイント入射の組み合わせで、ビーム損失を最小化させている。縦方向に関しては、設計通りのペイント入射が実現されているが、一方の横方向ペイント入射では、そのペイントエミッタンスは、
設計値（216π mm rad）の半分にも至っていない。
図 33 に、インコヒーレントチューンシフトの計
算結果を示したが、ペイント入射によって、そのチューンスプレッドが劇的に改善されていないのは、この小さなペイントエミッタンスに由来する（設計通りのペイント入射を実施すれば、チューンシフトスプレッドは、−0.2 以下へ改善される）。図 30 の data-(10)が、300 kW 相当のビームに対して、設計通りの横方向ペイント入射を組み合わせた時のビーム損失の実測値と計算値であ
図 37：表 3 の data-(10)でのシミュレーシ
ョンから得られた規格化エミッタンスの
時間依存性。

るが、この場合は、10%程度の大きなビーム損失が発生してしまう。図 37 に、その際のシミュレ
ーションから得られた規格化エミッタンスの時
間依存性を示す。此処では、図 35, 36 と同様に、
5 つの組み合わせで各種不完全性を取り込んだ場

謝辞

合の計算結果を併記している。各結果の比較から

本テキストの最後に紹介した一連の RCS ビー

明らかなように、入射バンプ軌道を立てた際に生ム試験は、RCS グループが中心となって行ったもじるエッジ収束と漏れ磁場が有意なエミッタンのですが、Linac、MR、MLF のターゲットグル

ス増大を引き起こし、それがビーム損失の主原因

ープ等、多くの方々の支援を受けて実現したものになっていることが分かる。つまり、そうした四です。この場をお借りして、深い感謝の意を表し

極誤差磁場によって加速器の対称性が歪められ、ます。又、今回、講師という貴重な機会を与えてその結果として励起される各種非構造共鳴によくださった KEK の古屋貴章教授、山崎良成名誉って、ビーム振動の安定領域が狭められているの教授へも深くお礼申しあげます。

が、横方向ペイントエミッタンスのフレキシビリ
ティに強い制限が掛っている主原因と考えられ参考文献る。今後、300 kW 相当以上のビーム強度を目指

第 1～3 章す上で、横方向のペイントエミッタンスの拡幅[1] 大西幸喜、”単粒子力学入門”、OHO’00 (2000).

が、その際に生じるビーム損失低減のための重要[2] 神谷幸秀、”加速器の原理 シンクロトロン及びストレージング”、OHO’84 (1984).

なノブになると予想される。上記の現象は、ベア
チューンの選択にも強く依存するので、実験と計算の両面からチューンの最適化を図ることが第一の課題であるが、それと共に、加速器の対称性[3] M. Ellison, et al., Phys. Rev. E50, 4051 (1994).
[4] S. Y. Lee, “Accelerator Physics”, World
Scientific.

[5] H. Wiedemann, “Particle Accelerator Physics II”,
Springer.
[6] 木原元央・亀井享、”加速器科学”、丸善.
第4章[7] 町田慎二、”空間電荷効果”、OHO’00 (2000).
[8] 町田慎二、”ラティス・空間電荷効果”、OHO’96(1996).
[9] R. Baartman, “Betatron Resonances with Space
Charge”, AIP Conf. Proc. No. 448, p.56 (1998).
[10] F. Sacherer, “Transverse Space Charge Effects in
Circular Accelerators”, Lawrence Rad. Lab.
Report UCRL-18454.
[11] F. Sacherer, “RMS Envelope Equations withSpace Charge”, IEEE Trans. Nucl. Sci., NS-18,
No.3, p.1105 (1971).
第5章[12] H. Hotchi, et al., Phys. Rev. ST. Accel. Beams 12,040402 (2009).
[13] SAD home page:
http://acc-physics.kek.jp/SAD/sad.html.
[14] J. Liu, et al., “Fourth-Integral Resonance Studyon Aladdin at SRC”, Argonne Nat. Lab. LS Note214.
[15] P.K. Saha, et al., Phys. Rev. ST. Accel. Beams 12040403 (2009).
[16] H. Harada, KEK Report 2009-7.
[17] F. Tamura, et al., Phys. Rev. ST. Accel. Beams 12,041001 (2009).
[18] H. Hotchi, et al., “High-Intensity BeamOperations in the J-PARC 3-GeV RCS”, Proc. ofIPAC10, MOPEC068 (2010).
[19] S. Machida and M. Ikegami, “Simulation ofSpace Charge in a Synchrotron”, AIP Conf. Proc.
No. 448, p.73 (1998).