解答編です。さっそく解答解説に移りましょう。
問1

点電荷 B の電気量が +Q のとき，求める電位を V1 として，
V1 =1Q
1Q
1 Q+=4 pe 0 a − 0 4 pe 0 2a − a 2pe 0 a

また，点電荷 B の電気量が -Q のとき，求める電位を V2 として，
V2 =1Q
1−Q+=04 pe 0 a − 0 4 pe 0 2a − a

電気量 +Q と +Q の 2 つの点電荷があるとき，合成電位が 0 となる位置は無限遠しかありませんが，電気量 +Q と -Q の 2 つの点電荷があるときは，それぞれの点電荷から等距離にある位置でも電位が 0 となります。これが本問の第一のポイントですね。
問2x = a において，その電位を 0 にするのを実現するのは，問 1 の結果より，「電気量 -Q の点電荷を(1)x = 2a に置く」である。
(2)(1) の結果より，原点 O の点電荷は x = 2a にある電気量 -Q の点電荷から静電気力を受けると考えてよい。その向きは x 軸正の向きであるので，求める静電気力を F として，
F =+

1 +Q × −Q
1 Q2
1 Q2==
22
4 pe 0 (2a − 0)
4 pe 0 4 a16pe 0 a 2

電気量 -Q の想像上の点電荷は，原点 O の点電荷と x = a に対して対称の位置にあります。これは光学でいうと x = a に鏡を置いたときの像の位置に対応しますね。問題文にもある通り，導体板表面の電位を0 にする役割を果たす想像上の点電荷を，その性質から鏡像電荷といい，このような鏡像を考える方法を鏡像法といいます。本問の第二のポイントです。ただし，鏡像を取ると，電荷の正負が入れ替わることに注意しましょう。
問3導体板 <導体板 ;#I%Y2

問題図1pp)Y3

さて，ここからが本番です。問題図 3 のような状況ではどのように考えるべきでしょうか。本問では，
x = a と x = −a の電位がともに 0 である条件を満たす必要があります。
まずはじめに，図 1 を見てください。この図は，まず x = a の電位を 0 にするために，点電荷の導体板X による鏡像 A1 を配置することからスタートしています。こうすると，問 2 までの議論により，確かにx = a の電位を 0 にすることができます。しかし，この鏡像 A1 の影響により， x = −a の位置に電位が生じてしまいます。 x = −a でも電位は 0 になるわけですから，この位置で鏡像 A1 の影響は打ち消しておくべきでしょう。そのために，A1 の x = −a に対する鏡像 A2 を配置します。こうすると，確かに x = −aにおいて A1 と A2 の作る電位は打ち消すことができます。しかし，この鏡像 A2 の影響により，今度はx = a の位置に電位が生じてしまいます。そこで，この影響を打ち消すために，A2 の x = a に対する鏡像A3 をさらに配置しましょう。こうすると，確かに x = a において A2 と A3 の作る電位は打ち消すことができます。しかし，この鏡像 A3 の影響により，x = −a の位置にまたまた電位が生じてしまいます。そこで，この影響を打ち消すために・・・（以下略）。
もうわかりましたね。ちょうど光学でいう合わせ鏡のように，次々と鏡像ができていくのです。
また，さきほどの図 1 はまず点電荷の導体板 X による鏡像 A1 を考えましたが，図 2 のように，点電荷の導体板 Y による鏡像 B1 も考えなければなりません（これにより， x = −a の電位を 0 にすることができます）。ただし，この場合も，B1 によって x = a に電位が生じるため，これを打ち消すために鏡像 B2を考え・・・（以下略），という風に，同じく次々と鏡像が発生していきます。
以上より，導体板 X，Y による影響は，鏡像 A1，A2，A3，… と 鏡像 B1，B2，B3，… のすべての電荷からの影響として表現することができます。
+Y%p)

+Y%p)

$*#I%,Y#p)

2%Y$+#I$)%I%Ip)

Y *Y%p).Y%p)pY%p) Y%p)
-Y%p)

-Y%p)
図)

+Y#p)
%+%I%)%I%.Y%p)%*Y%p)

+Y#p)
%*#I

#I
2%Yp)

Y,Y#p)

Y#p)

Y#p)

-Y#p)

-Y#p)
図*2pそれでは，以下に解答を続けていきましょう。
先述の議論と図 1，図 2 より，鏡像 A1：

電気量 -Q， 座標 x = 2a − x1

鏡像 A2：

電気量 +Q， 座標 x = −4 a + x1

鏡像 A3

：

電気量 -Q， 座標 x = 6 a − x1

鏡像 A4：

電気量 +Q， 座標 x = −8 a + x1

鏡像 B1

：

電気量 -Q， 座標 x = −2a − x1

鏡像 B2

：

電気量 +Q， 座標 x = 4 a + x1

鏡像 B3

：

電気量 -Q， 座標 x = −6 a − x1

鏡像 B4

：

電気量 +Q， 座標 x = 8 a + x1…

…
座標 x1 の点電荷は，上記の鏡像電荷すべてから静電気力を受ける。
まず，鏡像 A1，A2，A3，A4，… から受ける静電気力の合力を，x 軸正の向きを正として FA とする。各鏡像電荷から受ける静電気力はすべて正であるので，
FA ==1Q21Q21Q21Q2++++ ⋅⋅⋅222
4 pe 0 (2a − 2 x1 )4 pe 0 (4 a)
4 pe 0 (6 a − 2 x1 )4 pe 0 (8 a)2”’Q21
1
11++++ ⋅⋅⋅222
16pe 0 (a − x1 )(2a)(3a − x1 )(4 a)2

次に，鏡像 B1，B2，B3，B4，… から受ける静電気力の合力を，x 軸正の向きを正として FB とする。各
鏡像電荷から受ける静電気力はすべて負であるので，
FB = −=−

1Q21Q21Q21Q2−−−−⋅⋅⋅2224 pe 0 (2a + 2 x1 )4 pe 0 (4 a)
4 pe 0 (6 a + 2 x1 )4 pe 0 (8 a)2”’

Q21111++++ ⋅⋅⋅222
16pe 0 (a + x1 )(2a)(3a + x1 )(4 a)2

求める合力を F として，
F = FA + FB
=

”’

Q2
1
1
1
1++++ ⋅⋅⋅
222
16pe 0 (a − x1 )(2a)(3a − x1 )(4 a)2−”’Q21
111++++ ⋅⋅⋅16pe 0 (a + x1 )2 (2a)2 (3a + x1 )2 (4 a)2”’

=Q21111−+−+ ⋅⋅⋅222(a + x1 )16pe 0 (a − x1 )(3a − x1 )(3a + x1 )2=

Q2
16pe 0 a 2”ª1 − xa º −ª1 + xa º + 31 ª1 − 3xa º − 31 ª1 + 3xa º + ⋅⋅⋅’−21−2−21−21212

ここで近似を用いて，

3

”ª1 + 2ax º −ª1 − 2ax º + 31 ª1 + 23xa º − 31 ª1 − 23xa º + ⋅⋅⋅’2x1 2xQ=”++ ⋅⋅ ⋅’3 a8pe aaQx=” 1 + 31 + ⋅⋅⋅’4pe a 1F™

Q2
16pe 0 a 2111122211230213330™

Q 2 x1
4pe 0 a 3

いかがだったでしょうか？最後の式に出てくる以降や B5 以降を考えれば，容易に” 11 + 31 + ⋅⋅⋅’ の部分は，さきほどの議論で省いた鏡像 A335” 11 + 31 + 51 + 71 ⋅⋅⋅’ となるのがわかるはずです。2 つの導体板の影響
3333を合わせ鏡のように考える方法はなかなか興味深いですね。
本日はここまで。次回またお会いしましょう。

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