ISSN2188－1200

2022年度採択分 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究集会

材料科学における幾何と代数III

編集 : 松谷茂樹，
落合啓之，井上和俊，小磯深幸，佐伯修，

白井朋之，垂水竜一，内藤久資，中川淳一，
濵田裕康，松江要，加葉田雄太朗
九州大学マス・フォア・インダストリ研究所

MI Lecture Note Vol.89 : Kyushu University

2022年度採択分 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究集会

材料科学における幾何と代数 III

編集：松谷 茂樹，落合 啓之，井上 和俊，小磯 深幸，佐伯 修，白井 朋之，
垂水 竜一，内藤 久資，中川 淳一，濵田 裕康，松江 要，加葉田 雄太朗

AAbout MI Lecture Note Series
The Math-for-Industry (MI) Lecture Note Series is the successor to the COE Lecture
Notes, which were published for the 21st COE Program “Development of Dynamic
Mathematics with High Functionality,” sponsored by Japan’s Ministry of Education,
Culture, Sports, Science and Technology (MEXT) from 2003 to 2007. The MI Lecture Note Series has published the notes of lectures organized under the following two
programs: “Training Program for Ph.D. and New Master’s Degree in Mathematics as
Required by Industry,” adopted as a Support Program for Improving Graduate School
Education by MEXT from 2007 to 2009; and “Education-and-Research Hub for
Mathematics-for-Industry,” adopted as a Global COE Program by MEXT from 2008 to2012.
In accordance with the establishment of the Institute of Mathematics for Industry (IMI)in April 2011 and the authorization of IMI’s Joint Research Center for Advanced andFundamental Mathematics-for-Industry as a MEXT Joint Usage / Research Center in
April 2013, hereafter the MI Lecture Notes Series will publish lecture notes and proceedings by worldwide researchers of MI to contribute to the development of MI.
October 2022
Kenji Kajiwara
Director, Institute of Mathematics for Industry

IMI Workshop of the Joint Usage Research Projects

Geometry and Algebra in Material Science III
MI Lecture Note Vol.89, Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University
ISSN 2188-1200
Date of issue: December 7, 2022
Editors: Shigeki Matsutani, Hiroyuki Ochiai, Kazutoshi Inoue, Miyuki Koiso, Osamu Saeki,
Tomoyuki Shirai, Ryuichi Tarumi, Hisashi Naito, Junichi Nakagawa, Hiroyasu Hamada,Kaname Matsue, Yutaro Kabata
Publisher:
Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University
Graduate School of Mathematics, Kyushu University
Motooka 744, Nishi-ku, Fukuoka, 819-0395, JAPANTel +81-(0)92-802-4402, Fax +81-(0)92-802-4405
URL https://www.imi.kyushu-u.ac.jp/

Bはじめに
本研究集会 ,, は，研究集会 ,,「結晶のらせん転位の数理」（ 年），研究集会 ,「結晶の界面，転位，構造の数理」（ 年），研究集会 ,,「結晶の転位の先進数理解析」（年），研究集会 ,,「結晶の界面，転位，構造の先進数理解析」（ 年）
，研究集会 ,,「材料科学における幾何と代数 ,」（ 年）の継続と位置付けられる研究会である．
これら研究会の成果を踏まえ，また，特に一昨年，昨年実施の「材料科学における幾何と代数 ,」「材料科学における幾何と代数 ,,」を継続して，本研究会は材料科学と幾何学や代数学との交流を目指した．この背景には，  技術の発展により産業界で求められる仕様が大きく変貌したこと，  観測装置や作成装置が発展し，例えば原子レベルでの構造の制御や観測等が可能になったこと，  これらにより，従来材料科学で使われてきた数学だけでは表現できない新たな観測事実や現象が生じていることがある．本研究集会では，幾何学，代数学に関わる材料科学の研究者と，幾何学，代数学の研究者が議論する場を提供し，相互理解のきっかけを得ることを目的とした．昨年までの交流をより一般化し，哲学に関わるもの
や一般位相幾何の応用，企業研究者からの報告も含め，以下のような  講演が行われた．
  企業の現場で数学モデル化の特徴と課題について 松谷茂樹（金沢大学），  技術と数学の関係，暗黙知に関して哲学の視点からの考察について 鈴木俊洋氏（崇城大学）， ）
マテリアル・インフォマティックスの研究について 野田祐輔氏（岡山県立大学），  企業の現場での計算化学，量子計算などの数理的な活用事例と，データサイエンス活用における数学について 増子貴子氏（京セラ（株））高橋卓大氏（京セラ（株）），  水素原子の量子力学的取り扱いの数理学的研究について 伊藤裕斗氏（電気メーカー），）一般位相幾何を応用することによる材料科学で観測される形状に関する研究について 大森祥輔氏（早稲田大学），  格子・電子欠陥による局所対称性の破れとトポロジカル・マルチフェロイクス
の創出の研究について 嶋田隆広氏（京都大学），  ポリアセチレンの物性での位相幾何，
代数的構造について 中原幹夫氏（近畿大学），  曲がった量子系に関する理論研究について 平久夫氏（北海道教育大学），）曲がった量子系の量子効果に関するカーボン系での実験的実証について 尾上順氏（名古屋大学），  ミルフィーユ構造を持つ系での均質化法に関する数学的研究と，数値計算について .DUHO6YDGOHQND 氏（京都大学），） 単純な均一化法がうまく機能しない例があることなども含め，ランダム媒質の電磁場物性の均質化法の研究について 五十嵐一氏（北海道大学）， ）電磁場物性の均質化に関わる連分数
表示の数学的意味付けとその最近の成果について 比留間真悟氏（京都大学），  柔軟な
線・面形状ロボット関連における曲面の取り扱いに関する研究について 岩本憲泰氏（信州大学），   /DJUDQJLDQ(XOHULDQ のハイブリッド連続体力学解析に関して  垂水竜一氏（大阪大学），） 近藤・甘利理論による結晶転位の塑性の数値計算の研究について 小林舜典
氏（大阪大学 ，）東大数理のＦＭＳＰ社会数理実践研究における材料科学への数学応用
ついて 中川淳一氏（東京大学）．

i

7ZLWWHU による宣伝などにより，企業研究者などの現場の技術者も含め，  名という多人数の参加者となった．講演の後の質問時間や現地開催でのフリーディスカッションなどの交流の機会を確保したことにより，昨年よりも，講演，議論を通じて，数学者と数学活用者との交流の礎・足場となり，本研究集会の目標は達成されたと考えている．言葉としての数学に還元すると，異なる科学分野において予想以上の共通点があることも体感できたと考える．
 世紀に入って幾何・代数の研究が材料科学において急速に必要となっており，更なる加速が期待される．本研究会はその礎・足場として期待に応えるものとなったと考え，ここに報告をする．

組織委員代表 松谷茂樹  年  月  日 組織委員          
松谷茂樹     金沢大学  
井上和俊      東北大学  
落合啓之      九州大学  
加葉田雄太朗 長崎大学 
小磯深幸      九州大学 
佐伯修       九州大学  
白井朋之      九州大学
垂水竜一      大阪大学  
内藤久資      名古屋大学中川淳一     東京大学  濵田裕康     佐世保高専
松江要       九州大学  


ii

材料科学
幾何
代数
と
における
III
Geometry and Algebra in Material Science III

2022年度 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用・共同研究 一般研究‒研究集会（I）

Program
９月８日(木)
12:50-12:55
12:55-13:55
14:05-15:05
15:05-15:25
15:25-16:25
16:35-17:45

オープニング松谷 茂樹（金沢大学） 産業現場での数学モデル化（現実と数学）について
鈴木 俊洋（崇城大学） 数学の現象学と専門知論休憩野田 祐輔（岡山県立大学） インフォマティクス支援ナノスケール材料計算の活用事例
増子 貴子（京セラ（株）） 京セラにおける材料科学への数理解析技術の適用事例
高橋 卓大（京セラ（株））

９月９日(金)

9:40-10:40 伊藤
10:50-11:50 大森
12:00-13:00 嶋田祐斗（電気メーカー） Cliﬀord 代数を用いた水素原子の隠れた対称性の解釈
祥輔（早稲田大学） 一般位相空間論を用いた物質の幾何学的構造の表現について
隆広（京都大学）
格子・電子欠陥による局所対称性の破れとトポロジカル・マルチフェロイ
クスの創出

13:00-14:20 昼休憩
14:20-15:20 中原 幹夫（近畿大学）
Polyacetylene: Past and Present
15:20-15:35 休憩::
久夫（北海道教育大学） 曲面量子系の多様なナノ物性
15 35-16 35 平
順（名古屋大学） 1次元凹凸曲面構造を有するフラーレンポリマーの新奇な物理と化学
16:45-17:45 尾上

98 10

2022.

木

九州大学マス・フォア・インダストリ研究所

ハイブリッド開催

Zoom＆九州大学IMIオーディトリアム
(ウエスト1号館D棟4階413号室)

参加にあたっては、
下記の参加申込をお願いします。
URL:https://forms.gle/H3rA1D7EmHMGKQtC6

９月１０日(土)9:30-10:30
10:40-11:40
11:50-12:50
12:50-14:10
14:10-15:10
15:20-15:50
16:00-16:30
16:40-17:10
17:10-17:15

Karel Svadlenka（京都大学）構造材料の弾塑性変形の変分的アプローチによるモデリング五十嵐 一（北海道大学） 静的および準静電磁界におけるランダム媒質の均質化について
比留間真悟（京都大学） 均質化における連分数表示の活用
昼休憩
岩本 憲泰（信州大学） ロボティクスから挑戦する制御できる曲面
垂水 竜一（大阪大学） リーマン多様体上の弾性理論とその応用
小林 舜典（大阪大学） 転位を含む結晶の連続体力学：微分幾何学と変分法に基づく数値計算
中川 淳一（東京大学）
ＦＭＳＰ社会数理実践研究（東大数理）： 結晶の配位数列は準多項式型
クロージング研究代表者・組織委員【研究代表者】 松谷【組織委員】

落合
井上
小磯
佐伯

茂樹（金沢大学）
啓之（九州大学）
和俊（東北大学）
深幸（九州大学）
修（九州大学）

白井 朋之（九州大学）
垂水 竜一（大阪大学）
内藤 久資（名古屋大学）
中川 淳一（東京大学）

濵田 裕康（佐世保工業高等専門学校）
松江
要（九州大学）加葉田 雄太朗（長崎大学）

主催機関:九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所
E-mail : imikyoten@jimu.kyushu-u.ac.jp

https://joint.imi.kyushu-u.ac.jp/post-6250/

iii

土【申込フォーム】

IMI Workshop II: 材料科学における幾何と代数 III(Geometry and Algebra in Material Science III)

九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
ハイブリッド 研究会 (Zoom ＆九州大学 IMI オーディトリアム (ウエスト 1 号館 D 棟 4 階 413 号室))
(2022 年 9 月 8 日 (木) – 10 日 (土))1

Program

９月８日 (木)12:50-12:55 オープニング

12:55-13:55

松谷茂樹（金沢大学）

産業現場での数学モデル化（現実と数学）について

14:05-15:05
15:05-15:25
15:25-16:25
16:35-17:45

鈴木俊洋（崇城大学）

数学の現象学と専門知論休憩
野田祐輔（岡山県立大学）

インフォマティクス支援ナノスケール材料計算の活用事例

増子貴子（京セラ（株））

京セラにおける材料科学への数理解析技術の適用事例

高橋卓大（京セラ（株））
９月９日 (金)9:40-10:40 伊藤祐斗（電気メーカー）

10:50-11:50
12:00-13:00

大森祥輔（早稲田大学）

13:00-14:20
14:20-15:20
15:20-15:35
15:35-16:35
16:45-17:45

昼休憩

嶋田隆広 (京都大学）

Cliﬀord 代数を用いた水素原子の隠れた対称性の解釈
一般位相空間論を用いた物質の幾何学的構造の表現について
格子・電子欠陥による局所対称性の破れとトポロジカル・マルチフェロイクスの創出

中原幹夫（近畿大学）

Polyacetylene: Past and Present休憩
平久夫 （北海道教育大学)

曲面量子系の多様なナノ物性

尾上順（名古屋大学）

１次元凹凸曲面構造を有するフラーレンポリマーの新奇な物理と化学

９月 10 日 (土)9:30-10:30 Karel Svadlenka（京都大学)

構造材料の弾塑性変形の変分的アプローチによるモデリング10:40-11:40
11:50-12:50
12:50-14:10
14:10-15:10

五十嵐一（北海道大学）

静的および準静電磁界におけるランダム媒質の均質化について

比留間真悟（京都大学）

均質化における連分数表示の活用

岩本憲泰（信州大学）

ロボティクスから挑戦する制御できる曲面

15:20-15:50
16:00-16:30
16:40-17:10
17:10-17:15

垂水竜一（大阪大学）

リーマン多様体上の弾性理論とその応用

昼休憩

小林舜典（大阪大学）

転位を含む結晶の連続体力学：微分幾何学と変分法に基づく数値計算

中川淳一 (東京大学）

ＦＭＳＰ社会数理実践研究 (東大数理): 結晶の配位数列は準多項式型

クロージング参加にあたっては，下記の参加申込をお願いします．

URL : https://forms.gle/H3rA1D7EmHMGKQtC6

1

iv

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
Hybrid conference (Zoom & West W1-D-413 room in Kyushu University)
September 8 (Thu) – 10 (Sat), 2022
September 8 (Thu)
12:50-12:55 Opening
13:05-13:55

Shigeki Matsutani (Kanazawa Univ.)

14:05-15:05
15:05-15:25
15:25-16:25
16:35-17:45

Toshihiro Suzuki (Sojo Univ.)
Tea time
Yusuke Noda (Okayama Pref. Univ.)
Takako Mashiko (Kyocera Corp.)
Takuhiro Takahashi (Kyocera Corp.)

On mathematical modeling (reality and mathematics)
in industrial research and development
Phenomenology of mathematics and the theory of expertise
Case studies of informatics-aided nanoscale materials simulation
Applying mathematical analysis to material science in Kyocera

September 9 (Fri)
9:40-10:40 Yuto Ito (Electrical Manufacturer)
10:50-11:50
12:00-13:00

Shousuke Ohmori (Waseda Univ.)
Takahiro Shimada (Kyoto Univ.)

13:00-14:20
14:20-15:20
15:20-15:35
15:35-16:35
16:45-17:45

Lunch
Mikio Nakahara (Kinki Univ.)
Tea time
Hisao Taira, (Hokkaido Univ. Educa.)
Jun Onoe (Nagoya Univ.)

Interpretation of the hidden symmetry ofhydrogen atoms using Cliﬀord algebra
General topological approach to geometric patterns of matters
Topological multiferroics induced by local/quantum
symmetry breaking via lattice/electron defects
Polyacetylene: past and present
Various nanophysical properties of curved quantum systems
Novel physicochemical properties of
1D periodic uneven structured C60 polymer

September 10 (Sat)9:30-10:30 Karel Svadlenka（Kyoto Univ.)
10:40-11:40

Hajime Igarashi (Hokkaido Univ.)

11:50-12:50

Shingo Hiruma (Kyoto Univ.)

12:50-14:10
14:10-15:10

Lunch
Noriyasu Iwamoto（Shinshu Univ.）

15:20-15:50

Ryuichi Tarumi（Osaka Univ.）

16:00-16:30

Shunsuke Kobayashi（Osaka Univ.）

16:40-17:10

Junichi Nakagawa (The Univ. of Tokyo)

17:10-17:15

Closing

Variational approach to modeling ofelastoplastic deformation of structured materials
On homogenization of random media instatic and quasi-static electromagnetic ﬁelds
Application of continued fraction to homogenization methodin numerical analysis of the electromagnetic ﬁelds
Controllable surfaces challenging from robotics
Theory of elasticity on Riemannian manifolds
and its applications
Continuum mechanics of crystals with dislocations: diﬀerential
geometry and numerical analysis based on calculus of variations
Mathematical research on real-world problems is an
educational program for doctorate course students
in FMSP of the University of Tokyo：
Coordination sequences of crystals are of quasi-polynomial type

2

v

vi

vii

Table of contents
はじめに���������������������������������� iポスター��������������������������������� iii
プログラム�������������������������������� iv
集合写真��������������������������������� vi
産業現場での数学モデル化（現実と数学）について
（On mathematical modeling in industrial research and development）

松谷 茂樹，Shigeki Matsutani（Kanazawa University）
�������������� 1

数学の現象学と専門知論

（Phenomenology of mathematics and the theory of expertise）
鈴木 俊洋，Toshihiro Suzuki（Sojo University）
����������������� 31

インフォマティクス支援ナノスケール材料計算の活用事例

（Case studies of informatics-aided nanoscale materials simulation）
野田 祐輔，Yusuke Noda（Okayama Prefectural University）����������� 51

京セラにおける材料科学への数理解析技術の適用事例

（Applying mathematical analysis to material science in Kyocera）
増子 貴子，Takako Mashiko  （Kyocera Corp.）
高橋 卓大，Takuhiro Takahashi（Kyocera Corp.）���������������� 77

Clifford 代数を用いた水素原子の隠れた対称性の解釈

（Interpretation of the hidden symmetry of hydrogen atoms using
Clifford algebra）
伊藤 祐斗，Yuto Ito（Electrical Manufacturer）
���������������� 107

一般位相空間論を用いた物質の幾何学的構造の表現について

（General topological approach to geometric patterns of matters）
大森 祥輔，Shousuke Ohmori（Waseda University）
�������������� 127

格子・電子欠陥による局所対称性の破れとトポロジカル・マルチフェロイクスの創出

（Topological multiferroics induced by local/quantum symmetry breaking via lattice/electron defects）
嶋田 隆広，Takahiro Shimada（Kyoto University）��������������� 145

Polyacetylene: Past and Present

中原 幹夫，Mikio Nakahara（Kinki University）���������������� 167

曲面量子系の多様なナノ物性

（Various nanophysical properties of curved quantum systems）
平 久夫，Hisao Taira（Hokkaido University of Education）
����������� 189

１次元凹凸曲面構造を有するフラーレンポリマーの新奇な物理と化学
（Novel physicochemical properties of 1D periodic uneven structured C60 polymer）

尾上 順，Jun Onoe（Nagoya University）������������������� 213

viii

構造材料の弾塑性変形の変分的アプローチによるモデリング

（Variational approach to modeling of elastoplastic deformation of structured materials）
Karel Svadlenka（Kyoto University）
��������������������� 229

静的および準静電磁界におけるランダム媒質の均質化について

（On homogenization of random media in static and quasi-static electromagnetic fields）
五十嵐 一，Hajime Igarashi（Hokkaido University）�������������� 245

均質化における連分数表示の活用

（Application of continued fraction to homogenization method in numerical analysis of theelectromagnetic fields）
比留間 真悟，Shingo Hiruma（Kyoto University）��������������� 271

ロボティクスから挑戦する制御できる曲面

（Controllable surfaces challenging from robotics）
岩本 憲泰，Noriyasu Iwamoto（Shinshu University）
�������������� 293

リーマン多様体上の弾性理論とその応用

（Theory of elasticity on Riemannian manifolds and its applications）
垂水 竜一，Ryuichi Tarumi（Osaka University）���������������� 319

転位を含む結晶の連続体力学：微分幾何学と変分法に基づく数値計算

（Continuum mechanics of crystals with dislocations: differential geometry and numericalanalysis based on calculus of variations）
小林 舜典，Shunsuke Kobayashi（Osaka University）
������������� 335

FMSP 社会数理実践研究（東大数理）：結晶の配位数列は準多項式型

（Mathematical research on real-world problems is an educational program for doctorate
course students in FMSP of the University of Tokyo: Coordination sequences of crystals
are of quasi-polynomial type）
中川 淳一，Junichi Nakagawa（The University of Tokyo）����������� 345

ix

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, JapanOn mathematical modelingin industrial research and development
Shigeki MATSUTANIKanazawa University, JapanThe speaker had been engaged in the application of mathematics in the manufacturing industry for 27 years and at about the same time, has been involved in researchon pure mathematics related to the Abelian theory of functions for 20 years, exploring the mathematical description of objects in the real world from the standpoint ofpure mathematics as well. The problems that arise when describing real-world objects
mathematically are a subject that the late philosopher Husserl addressed in his later
years. The various issues that Husserl pointed out also appear in the application ofmathematics to reality in industrial research and development. In his youth, Husserl’sknowledge of optics, which was outstanding, helped him understand the limitationsof applying mathematics to reality through the optics of telescopes, and he studied
the frontiers of mathematics in the XIX-th century, such as Abelian function theory
and variational problems, under Weierstrass, before pursuing his philosophical studies.
Based on these experiences, he seemed to have developed a philosophical consideration of reality and mathematics. Casimir, a researcher in mathematical physics who
published a number of deeply fascinating results related to the nature of mathematics,
also spent time as an engineer at Phillips after the age of thirty-three and presented acrisis in the latter half of the 20th century regarding the relationship between academia
and industrial research and development, including mathematics. In Japan, where oursociety does not tolerate changing professions in academia and industry, compared toEurope and the U.S., the essential problems in the relation between mathematics, science, and the real world, as indicated by Husserl and Casimir, are rarely addressedin mathematics and science-related academia. The speaker believes that one of thereasons for the stagnation of Japanese industry over the past 20 years may lie in thisrelation and this situation. The speaker believes that the problem in the use of mathematics in industrial settings is the problem of “mathematics as a language,” which isalso an aspect of the problem presented by Husserl. By recognizing “mathematics asa language” properly, the speaker believes that “handling the correspondence between
mathematics and reality well” will lead to the development of the industry. At thesame time, he also considers that “handling it well” is itself a profound problem; what
”handling it well” means.

1第１節．イントロダクション
昨年，福井県の生涯学習センターから依頼を受け，「ようこそ数学の世界へ ～日常のなかの数学を眺めてみれば～」という題目で，生活の中での数学についてシニア向けの講演を行いました．
その中で，「りんごが４つ，みかんが２つ，ぶどうが２房と１粒ありました．くだものは何個ですか？」という問いを出しました．本日お話をする内容のすべてがここにあると思っています．
つまり，この問題はとても難しいということです．ぶどう１粒といっても，ルビーロマンという１粒 500円もするぶどう１粒の場合と１房数百円のぶどう１粒の場合とでは答えは異なります
し，どのような立場で「くだもの」を認識するのかによっても答えは変わってきます．
日常において「数を数える」対象は，りんごもあれば，みかんもあります．一房のぶどうということも，一粒のぶどうということもあります．日常での対象は個性がありますが，数学の世界には個性がありません．「１は１」であり，その起源は問いません．そのために四則演算ができるようになるのです．
「日常生活における対象を如何に数学の世界の対象に対応させるか？」「数学の世界で考察した結果を如何に日常の世界の現象として解釈するか？」 この２つがこの講演の主題です．この観点で見直せば，日常において「数を数える」ということでさえ，とても困難な状況を生みます．何を同一とみるか，何を整数に対応させるのか，分数と対応させるのか，そういったことは，自明なようでとても難しいのです．福井県での講演の例題は，その典型的なものなのです．
この講演ではその対応を，「数学は言葉である」とする立場に立って，対象と言葉との関係として捉えようと考えています．言語学では，
言葉を状況から独立させて考察してはいけないという考え方があります．大野晋は「日本語の文法を考える」[1]の中で，当時，流行した「象は鼻が長い」「象は鼻は長い」といった「が」と「は」の論争で，「これから取り扱いたいと思うハとガの使い方については，最近いろいろな考えが表明されている．しかし，事実の文脈の中で，話し手が事柄をどう扱い，相手に向かって，どう表現しているかに十分の注意を払いながら，その使い方を吟味しないと，適切な理解ができないことが多い．その点がよく理解されていないように思われる．」と述べています．

2

言葉としての数学も同じものだと私は理解しています．文脈や使われる用途と共に考えなければ見誤るということです．
例えば，無限大は，加法の不動点として定義されることがあります．∞＋１＝∞です．例えば，999 円のショートケーキと，998 円のチョコレートケーキを購入する際には，1 円の違いを考慮に入れません．大きな数に比較して小さな量は些末なものとして無視するという事象です．これは∞＋１＝∞の日常的な対応物です．物理学で検討されているマルチスケール解析などの考え方は正にこれに立脚して構築されています．しかし，この「大きな数」というものは状況に強く依存します．例えば，３０名のバスの団体旅行では，休憩の後に必ず点呼をしますが，４名ならしません．３０名くらいの見知らぬ人が集まると，３０と２９との差は理解しづらいのです．つまり，大きな数（加法の不動点としての無限大の対応物）は日常の生活の中に散在しており，その値自体は，状況によって大きく異なるのです．
もちろん，現代数学における無限大には，ヒルベルトの無限ホテルに象徴されるように，無限大のパラドックススが存在します．この事実は古来から知られていました．少なくともガリレイは，n と n2の個数を考えた際に，無限を許すと不可思議なことが起きることに気づいていました[2]．つまり，∞＋１＝∞の類似物は日常に存在するものの，厳密な無限大は日常には存在しないということを示しています．
この立場で考えると，デデキントが述べたような実数すら「現実の世界に存在すること」は極めて疑わしいことに気づきます．「位相幾何が教える厳密な意味の連続性は，人間の思考の中以外の日常の中にも実際に存在するのか」という問いは，極めて非自明な問となるのです．上述のくだものの数え方の問題での「数の対比」や，「数学の無限大と日常の中の無限大の類似物の対比」と，「実数，実ユークリッド空間，実リーマン多様体などと，物理学者が考えるそれぞれの対象物との対比」とには，本質的な違いはない事にも気づきます．
それらを分かつものは，「用途」にすぎません．それぞれは，対象とする現象を数学の言葉に変換し，変換した数学的推論により得られたものを現実に戻す過程の事例と認識できます．しかし，常に伝わらないのが，言語の生来の本質です．伝わらないことを前提にして，厳密科学であるという数学の特性を上手く活用することで，「言葉としての数学」の役割がより効果的に果たせる方法を
この講演で論じたいと思っています．
この研究会でこのような話題に取り上げようと考えたのは，２１世紀は数学の時代と言われながら，数学の効果的な活用方法や活用の可能性に関する議論が，数学者のコミュニティでも社会全体でも十分なされていないからです．企業（製造業）の現場において言葉としての数学を活用してきた3

経験を基に，「言葉としての数学」の視点から，活用方法や活用の可能性について幾つかの事実と提案を提示したいと思います．また，これらは極めて哲学的な課題を含むので，哲学の専門家の現在の知見を傾聴することが数学者や数学活用者にとってとても重要であると考えました．それがこの企画を考えた主たる理由でもあります．

第２節．言葉としての数学の歴史
ガリレイは「偽金鑑識官」［3］ で「哲学（自然） は，〈中略〉巨大な書（すなわち，宇宙）のなかに，書かれているのです．〈中略〉その書は数学の言語で書かれており」と述べました．これは，神の書である聖書は預言者を通して人間の言葉で書かれているが，同じ神が創った宇宙という書は「数学で書かれている」と理解すべきです．
この節では，議論の前提・準備として，科学の歴史の概略を振り返ってみたいと思います[4,5]．
中世以降の西洋において数学や科学はキリスト教と共に発展してきたことが，近年知られるようになりました． ガリレイの研究の動機には「神が創った聖書は人間の言葉で書かれており，それを教会で研究するがごとく，神が創った自然が『どのようになっているのか？』を知ることが，自分の役目である」という強い宗教心があったようです．ガリレイと教会とが対立したというのは，ガリレイの研究のある側面に過ぎなかったのです．
例えば，ガリレイの単振り子の等時律の発見は，少なくとも逸話では，自分の脈と教会のランプの振り子の周期との比較によってなされたと言われています．ランプの揺れを非線形振り子と考え
ると，等時律は周期である第一種楕円積分 K のそのモデュラ
イパラメータ k の依存性が k=0 の近傍でほぼ無視できるという数理的な事実に相当します．揺れが大きければ（より厳密には微小の揺れでも揺れが有限であれば），等時律は物理的に間違った法則です．それを発見したのです．
哲学者，エトムント・フッサールは「ヨーロッパ諸学の危機と超越論的現象学」[9]において「ガリレオは，発見する天才であると同時に隠蔽する天才であるのだ」と述べました．その一例がこの等時律の発見と解釈することができます．神の存在抜きにして（つまり神が創った自然は美しくあるという思い込みなくして），楕円積分の立場では間違いである周期の一定性は発見できません．ガリレイが，誤りを真実として位置付けたことは，正に真実の隠蔽です．もちろん，この等時律が振り子時計という技術を生んだわけですから，真実の隠蔽の全てが非難されるべきことと思いませんが，フッサールの指摘を言い当てているよい例であると考えています．
フッサールの科学者としての経歴はライプツィヒ大学で天文を学んだことから始まります．その際に，手に入れた光学メーカーのツァイス社の望遠鏡を丹念に分析し，望遠鏡の欠陥（収差）を発見

4

し，ツァイス社にその欠陥について手紙で指摘しました．アッベ収差で知られる光学研究者アッベがその手紙を見てフッサールにツァイス社への就職を勧める程，その分析は秀逸なものでありました．それがフッサールの技術と数学の原体験であったと考えられます．「技術の背景に数学がある」という事実を，その時心に刻んだと思われます．光学は，解像度という微小単位を常に意識する学問であり，ガウス光学に象徴される数学応用が成功した学問です．現代においても 19 世紀中盤においても，現実と数学の対比を明示的に理解するには，光学という学問は最適の装置です．その後，１８７８年にベルリン大学に移り，ワイエルシュトラスの指導の下アーベル関数論や変分原理を研究をしました．光学における最小原理の根源的理解もその目的の一つと推察されます．ベルリン
大学ではクロネッカーの素朴な数の理解とワイエルシュトラスの厳密性への指向とを学びました．その後に数学から哲学へ研究題材を移しました[10]．アーベル関数を学びワェイルシュトラスの下で楕円関数の応用を学んだであろうフッサールにとっては，例えば，ガリレイの等時律の発見など，非常に乱暴な「数学化」に見えたのではないかと想像されます．
この数学（理念の世界）と現実の対応を精緻に考察したのはデカルトでした．フッサールもデカルトを様々な観点から研究しました．ここでは，数学を活用したことで現実の理解を明示的に行った最初の数学者，自然科学者としてデカルトを取り上げます．
1637 年に，デカルトは『みずからの理性を正しく導き，
もろもろの学問において真理を探究するための方法についての序説およびこの方法の試論（屈折光学・気象学・幾何学）』[11]を著しました．この書は以下のように４部構成です．
１． 方法序説：「我思う故に我あり」が書かれた，新たな研究をする際の方法（姿勢）はどのようにあるべきかを問う章
２． 屈折光学：光の屈折の様子を幾何学的に考察し，人間の眼球も，光の屈折によって像を認識していることなどを示した章（デカルトが目指していたものは，「人」と「獣」との違いの解明であったとも言われています．アムステルダムでデカルトは多数の動物の解剖を行ったようです．そして，少なくとも物理的な機能に関しては，
それらに大きな差異がないことを，幾何と代数（算術）によって解き明かしました．つまり，人間の機能が物理法則に従っていることを示したのです[12]．これにより機械論的な自然観と，「人間の人間たる由縁としての霊魂と機械」との二元論に落ちついて行きました．）
３． 気象学：雲のでき方などの考察の後，「空中の雨粒」と「屈折光学」とにより，「虹がどのよう5にできるのか」の原理を数学的に示した章（天空の事象が，地上や人体の物理法則と同じ法則に従っていることを示し，これがニュートンに引き継がれ，万有引力の発見の発端となったといわれています．焦線という特異点の原典でもあります．）
４． 幾何学：y3-2ay2-a2y+2a3 とする
代数式による代数の考察（そのことにより体積＋面積＋長さの和を許容）とグラフによる形状の表現を示した章（先の３章分の印刷の期間に，この幾何学部が書かれたと言われています．デカルトは 1628 年には 「人々に知られている学問のう
ちで，算術と幾何学だけがすべての虚偽と不確実さから免れている」として，この代数（算術）と幾何学による解析手法を活用することを生涯の方針としました．
そして，先の屈折光学や虹の焦線などを考察したのです[12]．）
このように数学により屈折光学（単色）を記述
し，人間の眼球の光学系が物体の光学系と同一であること，天空の現象（虹の生成）が焦線という数学的事象を含みながらも地上の現象と同一であることを解き明かしました．つまり，現実の世界を数学（幾何と代数）の言葉で表現し，数学の世界で考察し，その知見を現実の世界に還元すると従来判らなかったこと（神の姿）が判るのです 1．デカルトは「このような考えが私を算術と幾何学の個数学という語の正確な意味と，なぜす別研究から数学一般への探究へと導いたので，私はまず，数でに述べたふたつの学問だけでなく，音楽，光学，機械学なども数学の一部門とみなされているかを追求した……」と述べています．
ガリレイもそうでしたが，デカルトの考察も神の存在を示すためのものでした．近年の研究によると，ニュートンも原理的な聖書主義者であり，聖書に書かれた年代を「科学的」に推定するために様々な自然科学の研究を行ったと言われています[6]．また，オイラーやベルヌーイが活躍したバーゼルはカルヴァン主義のカルヴァンが逃れた地でした．オイラーの父親はカルヴァン主義の牧師でした．
彼らにあるものは，「自然がどうなっているのか？」という視点でした．これは「なぜモノが落ちるのか？」に答えようとしたアリストテレスの視点とは質的

1

キリスト教の下での自然の研究の目的は，自然の中に刻まれた「神の姿を知ること」が最大の目的でした．これは画期的な方法でした．

6

に異なります．
今日，科学の起源をギリシャ哲学に求める傾向がありますし，科学とは「なぜ」が重要であるというような記述も多く流布されています．しかし，現代物理が記述しているものは，「なぜ」ではなく常に「どうなっているか」であり，それを利用して構築されたのが１８世紀以降，特に産業革命以降の西洋の技術です．
そして，その「どうなっているか？」を記述するのが「数学」です．神が創った自然をなぞることが神を知ることであり，その言葉は数学でした．その事を明示的かつ直接的述べたのはデカルトでした[12]．ダ・ヴィンチくらいまでは遡れる考え方のように思われます．デカルトもダ・ヴィンチも解剖に明け暮れ，どうなっているかを追求しました．これはデカルトの姿勢を批判したニュートンなどにも見受けられる傾向です．
彼らは，神が創った自然をなぞることが神を知ることであり，自然を学ぶ使命と考えました．自然
現象を数学で記す研究方法が「神と同じようにすれば何かを生み出せる」という近代の科学技術の考え方と極めてマッチしました．特にプロテスタンティズムやピューリタニズムとマッチし，これらのアプローチは技術の発展に寄与しました[7]．産業革命から始まる科学技術の発展にはこのような背景があったということが最近知られるようになっています [4-7,12]．
しかし，ヤーウエを一神教とする宗教が，ユダヤ教，キリスト教，イスラム教を生み，更に細かい宗派を生み，ときにいがみ合ったように，これらの科学の流れも分化，細分化されました．ガリレイ，ニュートンらの流れは自然科学として受け継がれ，アカデミアの研究に繋がりました．企業での研究ス
タイルを述べるために，まずはそうしたアカデミックの研究スタイルについて言及したいと思います．
第３節．アカデミックでの研究スタイル
トーマス・クーンが「科学革命の構造」[13]で示したパラダイムの考え方をここで紹介します．パラ
ダイムとは，アカデミックに存在する多数の専門家集団の慣習や用語，暗黙の知識や常識などを指すものです 2．
クーンは，科学の研究において個々の研究は専門分野に細かく分割され，それぞれ異なるパラダイムを築くことを示しました．野家啓一は「パラダイムとは何か」[14]において次のような文章でパラダイムとは何かということを示しました．
「現実の科学者は基本用語の抽象的な定義から出発するのではなく，典型的な問題の解法を学ぶことによって具体的に仕事を進める．「力」や「化合物」といった用語の意味は明示的

2

私は，異なる複数の分野の研究テーマを渡り歩き，複数の分野の研究会に出席し，複数の異なる分野の雑誌で論文を出版する等の経験をしました．この経験から見ると，クーンのパラダイム論は，非常に的を射たものであると感じますし，実質的です．このような経験は，企業研究者と素人研究者として長らく同時に行ったことによって得られました．アカデミックから遠いところに居たのでアカデミックを俯瞰できたと思っています．特に，無名のまま分野の査読付き論文誌に論文を出すと，各分野の常識（パラダイム）の違いは身に沁みました．

7

に定義されるわけではなく，そうした「標準例(standard examples)」を通じて文脈的に理解されるのである．この標準例は「教科書」を通じていわば天下り式に与えられるのであり，科学者たちはそれを手本に具体的問題に取り組む．そこにあるのは「合意」や「一致」ではなく，むしろ「訓練」である」専門家集団が伝承により形成されて行く姿が見て取れます．各専門家集団の言葉や慣習がパラダイムになりますが，そのパラダイムが各専門家集団で伝承され，専門家集団の構成員を増やし，集団を形成するのです．
このような伝承の効果は，定義や定理によって議論が進む数学においても真であると考えます．
例えば，各パラダイムにおいて「小さい」とする量は全く異なります．宇宙物理では光年単位で長さを測りますが，天気予報などの気象学では数 100m から数 km が最小単位だったりします．多くの化学プラントの流体力学では数 10μm から数 mm は無視すべき長さとなることもあるでしょうし，量子化学では数サブ nm が重要かもしれません．
つまり，同じ数学の微分方程式を取り扱う場合でも，分野によって対応する距離の単位などが全く異なるわけです．それぞれの分野において微小な距離などを含む常識が定まっています．各分
野の研究者は，研究者になった後，実数直線の連続性に関わる「デデキントの切断」などということは気にしません．暗黙の了解の下で，各専門に適した「連続」という概念をそれぞれ定め，各自の専門分野の発展に邁進します．
パラダイム論の観点では，「各専門家集団は，お互いに交わらず，個々の慣習に沿って，専門家集団内の固有の重要課題を探求するもの」であり，大学の専門分野は住み分けながら個々の科学の発展のために寄与するとするのがクーンが示した科学の姿です．
・各分野での「重要課題（puzzle)」の解決を目指す．
・すべての課題が解決した際，パラダイムシフトが起きる・パラダイム間の交流は不可能である（通約不可能性）
ことが示されます．
第４節．企業での研究スタイル
アカデミックでの研究スタイルを記したので，次に企業の研究スタイルについて触れることにします[15]．
企業とアカデミックの研究の関係については，技術の上流であるアカデミックで開発・構成されたものが技術の下流である企業に渡って社会に還元されるという描像（イメージ）が，社会，特にアカデミックで今もまだ強く根付いているように思います．確かに，１９世紀の化学材料，
２０世紀中盤の半導体デバイスなどはそうでしたし，現在でも，重工産業や製薬などでは，このビジョンが有効であるものがあります．重工産業に関わる分野では，企業のある部署が大学の研究室と密に連携し，アカデミックから生産への流れを，関連学会を企業と大学で共同で運営しながら決定8

しているというものが存在していたのも確かです．
しかし，技術が複合化しシステム化されてきた２０００年以降に，このビジョンで技術全体を捉え語ることはほとんど意味がありません．例えば，GAFA と呼ばれる一大勢力がこのビジョンに従って構築されたかと言えば答えは No です．
カシミール演算子，カシミール効果で有名な理論物理学者（数理物理学者）ヘンドリック・カシミール（1909-2000)は，第二次大戦前後からフィリップス研究所に勤務し所長，取締役まで務めた人
物です．カシミールは，アカデミックと企業の在り方に関して，このような上流と下流という捉え方をして政策的に産業を育成しようとしてもうまく行かないだろうと述べています；「技術や科学の進歩は資本主義企業によって決定されるべきというモデルについて： この
やり方では，大学教授の人事に影響を与え，ある種の仕事に補助金を出し，産業界が規定する方向に特化しなければ，科学者は仕事を見つけるのが難しいことを明らかにすることによって，資本主義は科学プログラムをしっかり管理します．一見，ある程度の「自由」な研究を認めているように見えても，それは「抑圧的寛容」政策の一部となります．その擬似的な自由は，精神的な自由を強化するどころか，むしろ弱める働きをします．
このモデルは，いわゆる進歩的な学生たちがほとんどパラノイア的な熱意をもって提唱した時期もありましたが，（中略）現実には近くありません．（中略）量子力学が半導体の理論につながり，エレクトロニクスとデータ処理のまったく新しい時代を切り開くことになるとは，物理学者も技術者も，ましてや産業界のリーダーたちも，誰も予見していなかったのです．」[16]
これらの言及は，どちらかと言えば科学者向けに述べられたものですが，文中の「現実に近くない」という指摘が重要であると考えています．
企業での研究 スタ イルを端的に表 しているのは，
NIKKEI BP 総研 2018 年に掲載されたノーベル賞受賞者の田中耕一氏の記事[17]の言葉です．キーワードは「異分野融合」です．そこから引用します．
「（機器の開発では）化学，物理，電気・電子，ソフトウエア，数学など様々な学問の知見を集めて作ります．つまり，こうした機器を開発する現場では，日常的に異分野融合が行われています．」「異分野融合の素地となる場は，大学より企業に，企業の中でもものづくりの現場でより生まれやすいと考えています．そして，それぞれの専門性を持つ人たちによる，チームワークが大切になります．チームワークという面では，日本は欧米よりも本来ずっと得意なのだと思っています．」「日本の現場が独創性の発揮を阻害している．そんな先入観を抱いて，闇雲に欧米の手法をまねようとしている動きがあるように感じます．私は，欧米とは違う日本独自の独創性を生み出す手法があってよいと考えています．」「異分野連携の場は，忖度し合う仲良しクラブではありません．異なる観点を持つ人同士が9

真剣に向き合うことで，一人ひとりの知恵や常識の限界を突破できる場だと思います．」
何らかの達成目標があって，異分野の技術者が集まり協力してそれを達成するという企業活動の特徴は，大学にはないものです．私もまたキヤノンにおいて異分野融合によって製品開発を支えてきました．
このよう異分野融合の「成功例」として象徴的に挙げられるのがマンハッタン計画です．とても皮肉なことです．微分方程式を解くアナログコンピュータ
である微分解析機の研究をした数理工学者でもあったヴァニーヴァー・ブッシュはＭＩＴの工学部の部長を務めた後，戦時下，戦後の科学・技術政策の主導的な役割を果たしました．異分野の研究者を集めてプロジェクトを成功させるというようなビジョンは彼の考えの下で示されたのです．米国
はこのようなプロジェクトの成功例をプロトタイプとして保持しているのです．
ここで，企業の研究スタイルとアカデミックでの研究スタイルを対比しておきたいと思います[15]．

第５節．企業での数学活用の在り方
私がキヤノン（株）に在籍した当時の組織は図のようなものでした． 私の属していたのは数理工学研究部という部署で，最後はその部長を務めました．
この部署の役割は，「最先端のデバイスや材料開発において，市販の汎用シミュレーションツールで計算するだけでは判らないことがあるので，デバイ
ス・材料の物理現象を数学を使って表現することで，物理現象を予測し機能の発現を制御できるようにする．」というものでした．

10

私の部のメンバーは，各自が１～３つ程度のプロジェクトに属し，そこで数理の専門家として，プロジェクトの推進の役割を果たしていました．
ここで大事なことは，数学はプロジェクトの推進に非常に寄与するが，「数学が単独で成果を出すことは有り得ない」ということです．これが技術の言葉としての数学ということでもあります[18]．
5.1 数理連携の３要素
このような数学と現実を結びつける数学モデル化というプロセスを未知の対象に対して実施する際には，「数学」だけでは何もできないことを認識することが肝要です．「数学は役に立つ」として，数学のみで何かを成すことを目指す動きも見受けられますが，ＩＴにおいても，情報工学や情報科
学と結びついて初めて価値と言われるものが具現化されるのです．数学と他分野との連携を意識することが肝要です．
ＩＴも含め，現実世界への数学活用において注意すべき点は，数学の枠内には微小量という基準すら存在しないことです．現実との対応を考えるためには，その数学の中に何等かの基準を取り込んでいく仕組みが必要となります．
キヤノンに私が在籍していた当時，数学活用の場，すなわち数理科学の専門家が参加するプロジェクトでは，必ず，３つの「部門（研究者）」が異分野融合の一部として関わっていました．
１つめの部門（研究者）は，動機や目的（数学活用の用途）を持った部門（研究者）です．「知りたいこと」「したいこと」などの動機と，現象の制御など「どこまでのことをどう行いたいか」の基準を持っています．また，多くの場合，実施された際の現象を実際に再現する能力も持っています．
２つめの部門（研究者）は，数理解析を行う部門（研究者）です．必要となる数学的知識と，数学的知識により現象をモデル化する能力と，モデル化したものを，数値シミュレーションなどに
より数値化する能力とを持っています．モデル化だけをするだけではなく，それにより「どのようになるか？」を可視化，グラフ化，数値化する能力が必須です．

11

３つめの部門（研究者）は，数学と現実を比較できる技能，つまり，現象の計測を行う技能を持った部門（あるいは研究者）です．数学
化されたものが現実に起きるか等，モデ
ル化した現象を検討する能力を持っています．数学モデル化したものの模擬的な実験をしたり，様々な境界条件や物性
値のパラメーターの取得等もできる必要もあります．
これら３つの部門が協力した数理連携によって，はじめて「言葉としての数学」が意味を持ちます．
３つの部門は，異分野融合の一部を構成します．１つめの部門も異分野融合のプロジェクトの専門家の一つですが，プロジェクトのベクトル方向の方向を提示するという中心的な役割を示します．
こうした数理連携を行うことにより，現象を数学という言葉を通して制御できるようになることが期待されます．つまり，
１． 異なる分野を数学という言葉で結びつけることが可能となります．
２． 数値シミュレーションなどにより現象をより詳細に定量化・可視化し，グループ内で共有できることが可能となります．（共通言語である数学の言葉で記述することで，数学的考察ができ，その結果を現実に反映させることができるようになります．）
３． これらにより異なる専門家間の議論，意思統一，方向性の決定が可能となり，目的とした現象が制御できるようになります．
このような異分野融合が成功していることは驚くべきことです．クーンが不可能であるとしたパラ
ダイム間の通約不可能性が，企業の異分野融合の中ではこのように解消されているのです．通約不可能性が解消される理由は，科学論では議論されない価値判断のためです．この価値判断は，
アカデミックとは異なるもので，企業の研究スタイルでの特徴の一つです．プロジェクトが成功されることで評価されますから，プロジェクトの成功はメンバーにとっての内的な動機付けになります．彼らは率先して通訳不可能性を克服しようと努力をします．
これは，ギボンズの提唱したモード論[20]とも異なる理由です．このような企業の異分野融合の現場では，大学での専門性は否定されません．専門を持ちながら，異分野との融合を許容する研究者が望まれます．２つ以上の専門を持つ研究者は望まれますが，アカデミックの持つピア・レヴュ
ウによる先鋭化のフルイの洗礼を避けた研究者が望まれているわけではありません．専門性があいまいな研究者は，異分野融合では専門が生かせないがために戦力とならないのです 3．

3

ドイツでは２つ以上の専門を持つことが推奨されていますが，日本では専門性を否定した大学教育が推奨されていたりしているように思えます．それは，技術が高度化し高度な専門性が要求されている現状を打開するものとは思えません．

12

そして，このような異分野融合の場で異分野融合の場の共通言語と成り得るものが「技術の言葉としての数学」ということです．
異分野融合のプロジェクトにおける数理技術者の研究の動機付けの一つは，様々な分野の数学や理論を学ぶ機会があるということです．多くの課題は課題ごとに求められる数学や理論が異なりますので，それを何とかして学び，理解し，ツールとして使ってアウトプットを出さなければならないのです．その過程は非常に刺激的です．２つ目としては，アカデミック等のメインストリームでは誰も扱ってこなかったような課題を数学化できることです．既によく知られた問題で解決できるものもあれば，そうでないものもあります．そうでないものの多くは，誰も扱っていなかった問題であったりします．この新たな現象の数学化では，深い自然観と直結することが多いため，数理技術者の内的な強い動機付けとなります．誰も言葉にしていなかった現象を数学で記述することの喜びです．小ぶりであれ，自分の理論体系を構築できるのです 4．恐らくは数学でも一分野に留まることは稀であろうと思っています．これらの多くは機密の問題もありますし，審査できる審査員が不在のために，論文になることはまずありません．しかしながら，アカデミックでは決して得られない深みです．論文
による評価がないために，企業で行われる数学は低級なものであるという誤解が，アカデミック，特に後で述べるように人的流動性が少ない日本のアカデミックに強くあるのはとても残念なことだと思っています．
5.2 産業現場で，対象を数学で表現するとは？
技術の言葉としての数学の特徴は，ターゲット指向であることです．
まず，行いたいことがあり，それを上手く機能させるために数学があります．「表現したいものに対応して手段を選択する」ことが最大の特徴であると言えます．
例えば，乾いた空を背景とするボストンの街並みを表現したいときに，それはペン画や水彩画がよいのか，油絵のようなペインティング系がよいのかという検討が必要です．
近代的な建物と，古いドイツの建物との場合で表現方法は変更してよいものだと考えます．表現したいもの，対象から受ける印象，どの部分を強調したいか等によって，その表
現方法を選択するべきものと考えます．
4

そのような問題は数年に一度程度出会うかどうという非日常的な問題かもしれませんが，数学的な課題を企業の現場で取り扱っていると，必ず出会うように私は思っています．

13

何を表現したいのか，
また，何の目的のために，それを表現するのか？用途や文脈の中でそれらの手法は選択されるべきなのです．
富士山を表現するな
ら，ましてやそれを海外の研究者に共有するのなら，日本画的なものである方がよいかもしれません．
洋画家は洋画しか書きませんし，日本画家は日本画しか書きませんが，そのように，手法やスタイルが先天的に定まった洋画家や日本画家が描くものとは，上記の状況は大きく異なっているのです．
手法を選ぶ前に，表現したい対象に着目して，それに応じて手法を定めるのです．手法やスタイルに拘っていては，対象の本質を抉ることはできません．このような考え方は，広告などの企業の現場にあるもので伝統的画壇や古典的な美術教育にはない考え方です． 広告の例であれば，日本画風に仕上げたい場合は，日本画家に発注すればよいのです 5．表現したい手法を持った専門家を選択する力があり，そのような専門性を持ったプロが存在すれば，この問題は解決します．
技術においても同じですし，技術に関わる数学でも同じです．大学の尖った専門知識を持った専門家を適切に選択し発注する力があれば，企業ですべてを自前でやる必要はありません．他方，
例えば，「応用数学」というある時点で応用に寄与したと認定された数学分野を行っていても，それが常に現場の問題に適用するかどうかも判りません．
日本画画壇の中では日本画を， 洋画画壇の中では洋画を研究・表現することが求められるように，アカデミックの中では数学の各分野の分科会の中で認知され評価されるよう各分野の研究を行うことが求められます．それはクーンのパラダイムの構造由縁のことです．しかし，技術が発展した近年，数学のある分野のみで，技術の課題を表現できるわけではありません．解析学も重要ですが，代数や幾何が重要になることもあります．逆に幾何的な課題に対しても解析手法が適切な方法であったりもします．何が最も適切な手法であるかは，課題を持った者，つまり企業の研究者
のみが理解できるのです．そのことは第７節で説明をします．

5

美術大学などでは既にこのような考え方に対応しているように思われます．

14

第 6 節．技術の言葉としての数学の特徴（フラクタルの例）
晩年，フッサールは先に述べた「ヨーロッパ諸学の危機と超越論的現象学」[9]の補遺として「幾何学の起源」を記しました．この「幾何学の起源」において，幾何学が測量技術者の言葉の極限操作として得られたことを示しました．鈴木俊洋は「数学の現象学」[19]においてワィエルシュトラスや
カントール，デデキントとの関係を論じながらフッサールの数学的思考を検討し，その中で，「技術からの数学」に関して詳細に考察しています．
ここでは，産業現場での言葉としての数学の立場で「技術からの数学」について考えてみます．フッサールが述べるように「幾何学が測量技術者の言葉の極限操作として得られた」とすると，それを再度日常生活の理解に援用するためには極限操作というものをどのように考えればよいのか？という問いについての考察です．
例えば，日常における線には太さがあり，線の右側にノコギリの刃を入れるか，中央か，左側かで椅子がうまくできたりできなかったりします．太さがないものに太さの概念を付随させることには困難があります．
これは一つの専門領域（一つのパラダイム）で研究者人生を終えるアカデミックでは出会わない困難さかもしれません．例えば，１nm が小さいと考える分野では，1nm 以下は無視する事を暗黙の前提としますし，1km が小さいという学問分野では，常に，その事実は暗黙に定まっています．従って，何かの領域を区別する際の境界線はその微小量の太さを前提とします．
他方，異分野融合の場では，異なる常識（パラダイム）を持つ者が集まり，あるベクトル方向のプロ
ジェクトを実施するために，明示的に差異を理解しなければなりません．これは所謂ε-δ法のε（あるいはδ）を用途に応じて定め，共有することに対応します． 実際，田口玄一が提唱し，海外ではタグチ・メソッドと知られている品質工学[21]においては，このε-δ法が工学的な言葉で述べられ，生産の現場で活用されています．
この数学の世界の結果を現実に反映する際の考え方を，フラクタルと海岸線，加えてそこを通る道路を例に考察します[22]．

15数学においては微小という概念がありません．どこから以下が小さいという視点がないのです．フッサールがは「幾何学は測量技術者の極限操作」と述べましたが，極限操作をした言葉を現実の対象に適用するためには，この逆の操作をしなければなりません．
そのことをフラクタル図形を例に考察します．
フラクタル図形の典型的な例として，コッホ曲線というものがあります．第一世代という基本系を縮小して第一世代の各辺に埋め込ませる（置き換える）ことで，第二世代を構成し，その第二世代の各辺を基本系を更に縮小したものと置き換える，という操作を無限回繰り返して得られる図形（∞世代のもの）です．その長さは，各世代，１世代を増すごとに，4/3 倍となるために，∞世代では∞の長さを持つことが知られています．
このフラクタルを発見したのはマンデルブローですが，彼は海岸線の弧長の研究によりこの幾何学的な概念に到達しました[23]．従って，リアス式海岸はこのフラクタル図形の典型例として挙げられます．フラクタル図形の一般の定義は容易ではありませんが，無限大の性質を活用して，ある部分が全体と相似であるということで定義されます．所謂入れ子状の幾何です．
現代数学の特徴ですが，数学には微小という概念が内在しません．正確にいうと「何か」をもって微小と評価すると際の，その「何か」という概念がないのです．そのため，入れ子状の幾何を定義する際にも，どのスケールでも（どんなに拡大しても）同じ形状のパターンの繰り返しとして定義されます．フラクタル図形であるコッホ曲線も極限操作により構成されるのです．
ところで，福井県の若狭湾は入れ子状の図形の特徴を持っています．その海岸線はフラクタル
図形によく似ています．
フラクタル図形はコッホ曲線のように，その弧長は無限になることが知られています．ならば，この海岸線に道路を通すと「その長さは無限になるのか？」という素朴な疑問がわきます．
答えは当然 No です．ところがその様子は，フラクタル図形から現実の海岸線がズレるものより遥かに恣意的に有限であることが判ります．つまり，高速道路と，国道，県道，一般道で，その道路の長さが異なるのです．
Google マップで眺めてみると，高速道路は，その曲率半径が細かくならないように，海岸線から随分離れたところを通っていることが判ります．他方国道は，それよりも海岸線側を通りながらも，やはり海岸線から距離がある凸凹に入り込まないように建造されています．県道はそれより海岸線側を細かく通るのです．遊歩道は更に細かい

16

ところを通るということも調査することなく推測できます．
これは，丁度，コッホ曲線の世代に相当するものです．第１世代を高速道路に割り当てみると，
国道は第二世代くらいに，県道はもう少し細かい
第三世代に相当するように建造されていることが判ります．
自明なことですが，高速道路を通ると目的地に早く着くのは，高速で移動できるからだけではな
く，距離が国道より短いからです．高速道路で渋滞にあっても，無暗に高速道路に降りてはいけな
いという理由は，このコッホ曲線の考察から判ります．
ここから学ぶべきは，極限操作された数学を現実の建造物に適用する際には，用途に応じて，経験的にそこに微小量を導入しているということです．高速道路の速度と操作性により高速道路の平均曲率半径は自然と定まり，その半径は国道のものより長いことも自明に判ります．そして，この平均曲率半径を微小量として，それを基に，フラクタル的なリアス式海岸の形状を緩やかなものに置き換え，道路の形状は定まっているのです．それぞれの用途に応じて，微小量を定め解像度を決めその形状が定まるということです． （もちろん，地形の凹凸も考慮しなければなりませんが，ここでは省略しました．）
この道路に関する検討は，フッサールが考えた「極限操作」の逆の操作を，適当な微小量を導入することで，我々は日常においてすでに行っているということを意味しています．更に，その微小量はそれぞれの用途（仕様）により，恣意的に定まっており，それは数学の枠組みの中には存在していません．微小量が数学の枠外から定まるのです．このことはとても重要です．
前述した数学連携の三部門において仕様を決める部門が必須であったのは，この事実に対応します．小さければ小さい程よいとか，厳密であれば厳密である程よいという発想は，日本人にあり勝ちですが，詳細はここでは省きますが，オーバースペックは様々な意味で弊害を生みます．
同様に，極限操作によって得られた数学を現実の問題に適用するには，常に逆の操作を意識する必要があります．その際，用意される基準は，日常側（技術の適用の際の要望や仕様を提示する側）にある「用途」や状況の中で定まります．そういうことを認識すべきなのです．
「数学と技術」を論じる際に，数学が言葉であるという事を加味する必要があります．大野晋が「しかし，事実の文脈の中で，話し手が事柄をどう扱い，相手に向かって，どう表現しているかに十分の注意を払いながら，その使い方を吟味しないと，適切な理解ができないことが多い．」と述べたよ
うに，数学も文脈の中で考えなければなりません．つまり，数学内の無矛盾性など言葉の内部での厳密性は重要ではありますが，「生活世界」（あるいは技術）の言葉として数学を使う段になった場
合には，その用途で何が適切なのかを「数学外」の基準で吟味しなければなりません．何が微小量

17なのか，何を無視するのか（同一視するのか）を，用途・目的に応じて判断し，数学的に得られたことを解釈し，現実に適用するのです．
第 7 節．企業における技術の言葉としての数学の特徴 （事例紹介）
企業の研究はターゲット指向であるという話をしました．そのために，どのような数学を使うべきか
は先天的に定まっていないことは先に強調した通りです．幾何的な対象だからと言って，幾何学がよいとは限りません．解析的な対象だからと言って，解析学のみでよいとも限りません．
デカルトが虹の研究で精密な焦線を議論できたのは，代数的な取り扱いを幾何学に導入したからです．フッサールは「代数的計算においては，幾何学的意味はおのずから斥けられる」と述べていますが，代数計算により，より抽象的に幾何学が取り扱えるようになったのです．幾何を幾何のまま取り扱っていては，焦線を数学的に取り扱うことは困難でした．デカルトは幾何と代数（算術）を融合しその課題に取り組むことで，困難を乗り越えられたのです．
対象と用途に適した言葉を導入し記述するという行為は，デカルト，オイラー，ガウスらに共通する秀でた特徴であり，当然，これらは見習うべきです．以下，それに関する例を挙げます．
７．１ インクジェットプリンターと特異点論
インクジェットプリンターのヘッドの物理的なシミュレーションを行う際の数学モデル化に関する例です[24, 25]．これは，特異点論を使いました[26]．液体・気体・固体の三相界面を如何にモデル化するという話題です． 実質的には，
2000 年頃に検討した話です．幾何学的な話題ですが，フェーズ場モデルという解析幾何を活用してモデル化をしました．更に別の物理モデル（物理的な機構や性質）も付与するため，幾何学的にはロバストなモデルであるフェーズ場モデルを活用しました．その際，特異点論の考え方を導入してエネルギーの評価を行ったのです．このような分野を跨ぐ研究は大学ではできないものかもしれません．特異点論は，幾何学でも少し手の込んだ研究者が手掛けるものですし，他方，フェーズ場理論などは，
数値計算屋が主に研究しています．
[25]の特許を執筆した 2002 年の時点では特異点論に関して言及していません．当時はまだ特異点論の言葉を数学的に明確に操れるようにはなっていませんでした．しかし，基本的な部分はつかめていました．既に，電子放出素子の研究において特異点論の現象に出会っていました．電子放出素子のような連続的なパラメーター付きの光線の18

軌道においては焦線という現象が必ず起きます．そうした焦線という特異点論で議論される現象に，その軌道解析を通して出会っていたのです[27]．そのトポロジカルな性質などの特異点論を数理物理枠内で勉強していたので，数理物理の枠内では特異な幾何学は十二分に理解していました．
しかし，三相界面の数学モデル化を，数学的にきっちりと言及するためには，数学の言葉を探し出し修得をするための時間が必要でした．
その後，私の個人的研究テーマであるワィエルシュトラスが手掛けたアーベル関数論を通し，ヤコビ多様体内の特異部分代数多様体のフィルトレーションを取り扱うために，特異点論の手法を純
粋数学の枠組みで勉強し，論文を出版できるレベルになりました[28]．それらの知見を活用することで，数学的表現[26]ができました．つまり，２０００年に行っていたことを[26]で数学的に認識できるようになるのに１０年を要しました．ここで使った手法は特異点論でも極めて初等的なものでした．が，それなしではこの手法の正当性は完全に表現することはできなかったと考えています．数学的に記述できるようになると，理論の適用限界なども自ずから評価できるよ
うにできますし，専門家と議論することも可能となりました．
また，このモデル化により素子が設計できるようになりました．実際，キヤノンではこの手法を活用して，インクジェットプリンターが開発されていました[29]．現在も同様の手法を使っているものと思われます．
7.3 ナノ材料とパーコレーション
次に，レーザービームプリンターや複写機に関わる例について紹介します． ある機能性材料の物性を，ナノ微粒子を活用して制御しようとするものです．その設計指針を数学を活用して提示し，より高性能なものを構成しようとしました[30]．
ここでも，擬等角写像，フラクタル，パーコレーション，数値計算など，様々な手法を活用しました．実は２００５年頃に，取り組んでいた電子放出素子の素子形成の解析において，この課題に出会っていました．一部数値計算をベースとしていますが，２０１５年の時点でのベストアンサーを提出するまで，１０年という期間を要しました．この１０年の間，ほぼ３ヵ月に一度，それぞれ時期に微妙に異なる課題（テーマ）を解決するための指針を提示し続けていました．つまり，主に数値計算とその結果の理論解析によって，小さな結果は常に出し続けていたのです．対象を数学の問題としてモデル化し，それを数学の世界で考察し，どのようにすれば目指している機能を実現するかという指針を出し，個々の課題の解決に貢献しました．幾つかは極めて大きな効

19

果を上がました．
しかし，この問題の核心に挑むには時間が掛かりました．所謂統計物理でのパーコレーション理論の理解だけでは，目的とする課題解決に辿り着けないことを，ある時点（早い時期）に見抜きました．１９７０年から１９９０年代に，極めて性能の悪い計算機での数値計算といわゆる理論解析で得られた結果は，対象とする課題には何の役にもたちませんでした．伝統的な数値計算の数学モデ
ル（素直に微粒子サイズより小さなメッシュサイズに分割するモデル）と，２０００年代の計算機で基礎から計算し直した大規模数値計算の結果は，実験グループが行った実験データとつじつまのあうものでした．他方，数多ある材料系の関連する論文の幾つかは，対象とする課題に関しては，数値計算結果や実験データ結果と矛盾するものもありました．性能の悪い計算機で計算できるようモデル化をした古い計算結果やそれに基づいた理論の多くは何の役にも立ちませんでした．
そこで厳密に示せることのみを示すことができる現代数学を活用した定式化が必要と考えました．
特に，測度論に立脚した厳密な確率論が必須と考え，確率論から学ぶことを選択しました．数年間かけて確率論を勉強し，点過程の初歩も理解できるようになりました．
重要なことは，素子が微細化していく中で，いわゆる熱力学的極限のような微粒子数Ｎの無限大の極限は，現場の問題としては幾分重要でなくなっているということです．統計物理でも，確率論でも，通常は微粒子数の無限大の極限を取り，そのユニバーサリティや均質化を議論してきました．しかし，技術の現場では，そのような概念自体が破綻していることに気づいたのです．このような現象を明確に記述する概念や言葉がありませんでした．
そのような背景の下で，目の前にある数理的対象を如何に言葉にするかというのがその当時の課題でした．その課題を解決するためには，厳密性のある数学の言葉（数学での確率論や点過程，
擬等角写像など）で何が言えて，何が言えないかを明らかにすることが必要でした．そのために，
現代数学の枠組みでの確率論を研究室の若い同僚と勉強し始めたのでした．使えそうな言葉として，点過程（広くは確率論），Γ収束なども勉強しました．
そのようにしてできた論文が[30]です．論文化できたとは言え，まだ，その本質を概念として明確に提示できたわけではありません．
何を示せば現象の本質を表現できたと言えるのか？ この問題は，確率論的に与えられた事象を境界とする境界値問題です．確率論と解析の両方に関わるものです．結果はある種の幾何学的な特徴を示しているので，広い意味の幾何学とも関わります．
確率論では確率的現象を取り扱いますが，その上の解析学に言及することは極めて稀です．他
方，解析学でも，確率的な事象を境界値とする問題を取り扱うことはほぼありません．解析学と確率論に跨った問題は取り残されています．所謂，数学の中のパラダイムの通約不可能性です．しかし数学を厳密には使わずに構成された統計物理の枠内では，どこまでが真でどこからが微妙な事実であるかさえ判りにくくなるのです．そこで，厳密性のある数学で表現することにしました．

20

このような問題の背景には，現実の技術において，従来中心的課題とされた均質化やユニバー
サリティという概念が，素子の微小化などの変化により，ある状況では中心的役割を果たさない場合が生じていることがあります．このように，時代の変化とは無関係に推進される数学的興味として提出される数学的考察は，数学としての重要性は失いませんが，技術の方向とはマッチしなくなるのは仕方ありません．構造上の問題です．
フォン・ノイマンは「The Mathematician」 [31]の中で「数学の学問が経験的な源から遠く離れると，あるいはさらに，「現実」から来るアイデアに間接的に触発されただけの第二世代，第三世代であれば，非常に重大な危険に悩まされることになる．ますます純粋に美学的になり，ますます純粋に「芸術のための芸術」になってしまうのである．このことは，その分野が，より経験的なつながりの深い，相関する主題に囲まれていたり，その学問が，特別に発達した趣味を持つ人々の影響下にある場合には，悪いことではありません．しかし，対象が最も抵抗の少ない線に沿って発展し，源流から遠く離れた流れが多数の取るに足らない枝に分離し，学問が細部と複雑さの無秩序な塊になってしまうという重大な危険があるのだ．つまり，経験的な源流から大きく離れたところ，あるいは「抽象的」な近親交配が行われた後では，数学のテーマは退化の危機に瀕しているのである．最初のうちは古典的なスタイルが多いが，バロック的なスタイルになる兆しが見えたら，
危険信号である．例を挙げて，バロックや超高度バロックへの具体的な進化をたどるのは簡単だが，これもまた専門的になりすぎてしまう．」と警告をしていました．深刻か軽微かの判断は分かれると思いますが，その兆候の一つであることは疑う余地はありません．[30]のような現象を数学的にとらえ，表現する言葉（概念）を構築するということは今後の課題であると考えます．
7.4 様々な情報科学的な発明
数値計算を実施するために，ホモロジー代数を活用したメッシ
ュの生成アルゴリズム[32]や，圏論を活用したクラス設計手法[33]など，様々な発見を行いました．
第 8 節．企業における技術の言葉としての数学の特徴と今後の課題「企業における技術の言葉としての数学」の特徴を少しまとめておきます．
１． 対象や用途によって，手法は選択される（手法ありきでは NG）
２． 数学の中でも様々な数学を融合して活用するのが基本である
３． 数学の論文誌に掲載されにくい研究テーマが多い（レフリーできる人がいない）

21

４． 数学はそれだけで何か役に立つものではない（プロジェクトの一つの要素にすぎない）
５． 用途や仕様に応じて，微小量などの数学での基準を，数学外の判断で決定して，数学を適用してゆく．（数学と現実の乖離を認識する）
６． 数学と現実との乖離を認識しながら，対象を数学化し，数学的な枠組みで考察を行った後に，その結果により現実を解釈・制御する操作により，技術の進歩に効果的に貢献できる．（雛形はデカルトの幾何の代数化による幾何光学の研究）
この特徴を考えると，数学活用は，低迷していると言われている日本の製造業の救世主となり得ると考えています．そこで，「如何に現場で数学を活用できるようにするか？」について考察をした
いと思います．
数学活用を現場で実現するためには，・現場の課題をよく理解し・言葉としての数学を，用途に応じて，操れることができ，・必要に応じて数学を学び適用できる人材を育成することに尽きると考えています．
数学を言葉として捉えると，言葉を使って扱う内容を持っていなければなりません．例えば，外国語を学習しても，話す機会や話したい内容がなければ習った語学を使うことはありません．まず，表したい対象や話したい対象を持つことが重要です．その上で，語学と同様に言葉を，数学を操る能
力を磨くべきなのです．
それは，「りんごが４つ，みかんが２つ，ぶどうが２房と１粒ありました．くだものは何個ですか？」という問いに対して，状況に応じて現実的に対応ができる人材でもあります．
欧米に比較して，人的交流が少ない日本では，企業とアカデミックの両方を知る人材が極めて少ないのが現状です．社会的リーダーや企業の管理職の中にもあまり居ません．そのため，上記の要請に対応した人材育成は困難を抱えていると考えています．その事を，数学と企業の対比より，
もう少し広い，高等教育と企業の対比として考察します．

8.1 アカデミックと企業との人的交流の現状 （欧米との比較）
日本と欧米との比較を行い，今，何をしなければならないかを述べたいと思います．
ここまでの考察に従えば，パラダイムやスタイルに縛られたアカデミックは必ずしも万能ではありません．だからと言って，専門性やパラダイムを否定したモノをアカデミックに求めることも正解でない
ことも指摘しました．
ここで言う専門性とは，異分野融合の場での専門性です．分科会レベルの違いは抜きにして，物理学会，化学学会，数学会というような学会に属していれば，それぞれを物理，化学，数学の専門家であるという程度の専門性です．異分野融合においては，各分野の専門教育を通しそれぞれ

22

の専門性を伝授された研究者が集うのです．
その上で，各研究者は各分野の最小分科会程度の細かく尖った専門的知識を持ち合わせているということも大切です．そういう少し広いレベルの専門性の代表者と，自分の尖った専門知識を取り扱う専門家，二つの顔を持ち合わせる研究者が必要なのです．そのような異なる分野の研究者が寄り集まり，忖度せずに，課題を解決するのが，異分野融合というものです．
数学者も，数学全般のぼんやりとした知見と，解析分野や幾何分野の中のより狭い尖った専門性に基づく知見の両者を持つことは必須です．
後者の尖った専門性の知見は重要ですが，それが異分野融合の場での課題とマッチするとは必ずしも限りません．それでも尖った専門的知見を持った経験は必要なのです．尖った研究の経験を通して，解析方法やデータのハンドリング，論文・書籍などの過去のデータや知見の取り扱い
方，式の評価の仕方などの手法を会得できるのです．それらの手法は，多くの類似の専門研究と共通点を持ちます．逆に言えば，各専門でのピア・レヴュウによる論文審査の洗礼も受けていない
研究者は高度な専門性を持った専門家と言えないと考えています．
尖った研究方法を獲得した研究者の能力が社会へ還元することが必要ですが，人的流動性が低い日本では欧米に比較して大きな困難を抱えています．ここでは，そのことをまず俯瞰します[34]．
科学技術指標２０１８／科学技術・学術政策研究所発行の「主要国の高等教育レベル（ISCED
レベル 5～8)における教員の年齢階層構成」[35]を眺めましょう．ここからは，2005 年と 2015 年の高等教育レベル教育機関に属する教員の各年齢層がどのように変化しているかを読み取ることができます．重要なことは，25～39 歳の年齢層が，10 年後 40～49 歳の枠にシフトしているか否かです．年齢区間の違いを考慮に入れてですが，シフトしていれば，彼らは高等教育レベルの教育機
関にそのまま残っていることを意味します．もちろん，多少のメンバーの入れ替わりはあるとは思いますが，日本はその通りになっています．ほとんど 2015 年の年齢構成は 10 年前に決まっているのです．
他方， ドイツ，英国では日本と異なり，そうはなっていません 6． つまり，外に出て行っているということです．外とは海外と見ることもできますが，ある程度は民間企業を含む社会と考えるのが妥当です．これは，これらの国において，25～39 歳の年齢層の大学教員がその後，民間企業など社会に出て行け

6

フランスも日本と異なる傾向を持っています．

23

るシステムや文化があることを物語っています．
高等教育レベルの教育機関の価値を理解した者が，民間に出て行ける社会であるということは，
民間から高等教育レベルの教育機関に戻ってくる割合もある程度期待できます．戻ることができれば，企業の研究スタイルを知った者が，アカデミックにも少数であってもある程度存在することを意味します．そのうちの幾割かは社会的なリーダーとして，社会をリードできるということです．
8.2 アカデミックと企業との人的交流の日本の現状と解決の糸口
ここで，日本の現状に目を向けると更に，日本の危機が鮮明となります．日本では，現在でも，産官学のプロジェクトの場で，企業経験が全くない研究者（企業との共同研究をやったことがある，とか，インターンシップに参加したことがある程度）が，企業側の代弁者を自任して，発言する場面が往々に見られます．企業経験者が皆無の会議においては，「アカデミックは上流で企業は下流」という合意を前提に議論が進みます．[17]に述べられたような異分野融合の発想を見ることはまずありません．企業研究の内情は想像の域を越えませんので，その背景に企業課題などはアカデミックの手にかかれば片手間に解決できるだろうとする偏見がないとはいえません．
科学技術について政策的議論をする見識者の中に，論文にならない研究の社会的価値を認識したリーダーが不在なことは最大の問題です．国別の科学技術を問う場面で，論文のサイテーショ
ン力の差異を持ち出した議論などは，「論文にならない技術＝低級」という誤った理解です．官民の高低や企業の技術者は大学より低級とする意識の露呈にすぎません．人的交流が少ない中で，ミスリードをしているとしか思えない状況を自ら認識できる人材すら欠如しているのです．
実際に現在，技術に関わっている研究者の意見を傾聴するという姿を，大学ではあまり見かけません．企業の意見の傾聴といえば，アカデミックに近い企業研究所の若手の意見など，企業の現場を知っているとは思えない人材の意見や，経営層の意見を聞くことに留まっており，企業の本当の現場をアカデミック側は知ろうとはしているようには思われません．
また，「大学は企業の問題を解決してあげる」という立場で，産官学連携がなされていたりします．
上記の考察から判るように，余程，企業側の技術者が課題の本質と対応する大学の専門性を認識し，大学の専門分野にマッチした問題として切り取りでもしないと，十分な成果は得られません．が，多くの場合，課題を解決した研究者がより称賛され勝ちです．共同研究をすることで「大学の研究レベルの方が上位である」という誤解が生まれるのもこのためです．上記の考察，特に絵画の高校に関する例において，よい表現方法の作品を得るためには，企業側が課題を認識し，専門家に発注することになります．その作品がよい表現方法になるか否かは，発注時点でどの専門家を選ぶかによって方向性が定まっているということです．技術の場合も同様です．企業側の技術者が大学の専門性をよく認識し，大学の専門分野にマッチした問題を上手く切り取ることが必須です．つまり，大学との共同研究の結果は大きな歯車の中の一つのピースにすぎません．つまり，問題を解くことは称賛されるべきことですが，切り取った側の能力の方をより称賛すべきなのです．問題として切り取る方が遥かに困難です．共同研究は，共同作業ですが，大学側からは本の一部のことしか見えてきません．それにも関わらず，共同研究をたくさん行ったから「企業の研究スタイルをよく判って24

いる」というような言動がアカデミックでは平然と流布されています．この言動の不正確さを理解できる研究者がアカデミックに極めて少ないということも残念なことではあり，ミスリードを誘っています．
もちろん，「優秀な学生は大学に残り，そうでないものは企業に行けばよい」というような雰囲気が，大学だけではなく，企業にも社会にも多く残っていることも事実です．そのため，社会，特に，企業の経営層は，「大学が優秀な人材の宝庫である」という過剰な思い込みを持ちがちです．個別の技
術課題よりも，一般論を問われる際に，大学を万能な特効薬だと考え，その社会利用として大学にとって不得意な事を求めていたりするように思われます．これが，更に悪循環を生んでいるように見受けられます．
また，企業側も，高度な教育を受けた研究者の受け入れをためらっていたりするようにも思われます．企業の研究の価値や企業の研究スタイル（文化）のアカデミックとの差異を，長らくアカデミッ
クでのみ研究を受けた研究者に，平たく説くことのできる管理者（管理職，サブリーダーレベルの者）
が存在しなければ，高度な教育を受けた研究者の受け入れは難しいのです．労働寿命より，技術革新による技術プロジェクトの寿命が短い時代に，細かい専門性に拘泥されては困るというのが本音だったりします．ある分野の専門家として採用された研究者が５年後に異なる専門分野の業務を行うということが企業ではよくあることです．特に人的流動性の低い日本では，業務内容の変更に寛容であるか否かは，人材登用の際の重要な項目となります．
異分野融合を前提として，求められている専門性はもう少し領域の広いものであるので，微妙な専門性の違いは重要ではありません．また，個々の細かい専門性というよりも，企業では（異分野融合の場では），課題解決能力に長けた者が求められていることの方が多いのです．これは，パラダイムの考え方とは相容れません．ましてそこで長く過ごした研究者にとっては「専門性よりも課題解決能力が重要と言われる」と屈辱的な要請のように思えるかもしれません．
その事実を，高度な教育を受けた研究者に，平たく粘り強く説くことは必須と思われます．その上で，異分野融合の場で得られる科学や技術の知見は，決してアカデミックで得られるものに見劣りしないばかりか，遥かに凌駕するものであることを説くことです．（複合的ではありますが，少なくとも，
平均的な博士１年程度が書く論文などより遥かに高度なものです． 7） 欧米のように，すでに，高度7

もう少し明確に言えば，企業のキーテクノロジーに関しては，アカデミックと企業の技術力の差は歴然

25

な教育を受けた研究者の成功例が企業内に存在するならばそれを一つのモデルとして，どう対処するかが判ります．日本の社会ではそのような文化が醸成さているとは言えません．日本では企業研究者に対する尊厳がなく，「大学に残れなかった者」というネガティブな考え方もある状況です．
その中で，管理者（管理職，サブリーダーレベルの者）が説明し，研究者が違和感を持つならば，納得するまでその問題をケース・バイ・ケースで解決するしかないのです．管理者の力量が試されている状況です．この認識を社会全体が持つべきと考えています．
間違っても，博士の数を倍増すれば，なんとかなるというような主張は，私は誤りだと考えています．
しかし，何はともあれ，理想状態として，アカデミックが，企業との研究スタイルの差異や大学の役割をもう少し適切に理解できるようになり，また，企業が，高度な教育を受けた技術者を受け入れられるようになると，好循環が生まれることも明らかだと思います．
２０００年以降の日本の低成長の原因の一つが，そうした人材の活用がうまくいっていないことにあることは明白です．技術が高度化している中で，高度な研究手法を学んでいな
い研究者や専門性の低い研究者だけでは，既にそうなっている欧米や韓国と比較して，新たな技術が生まれる確率は低くなることは異分野融合のやり方を知らない人達が集まっても，欧米の真似や新新
自明なことだからです．また，異規を主張できる論文等は生み出せても，進進歩性のある技術が生まれる確率は低いことも事実と思われます．少なくとも，企業での異なる分野の専門家が集まって異分野融合を経て技術を作り上げて行く姿を知る者にとっては，当然なことのように感じます．
従って，広くは高等教育を受けた研究者が企業で活躍できるようにすること，本話題に関してみれば，数学をできる研究者が企業で活躍できるようにすることが必須です．
そのためには，企業は，高等教育を受けた研究者や数学を操れる研究者を採用し，各現場で活躍できるようにするべきです．しかし，その状況に移行するためには，文化の違いを理解し，彼ら／
彼女達をマネージメントできる管理者（管理職，サブリーダーなどの）人材が必須なのです．

としています．論文になっているものと，あまりに重要なので論文にしない技術（それは他社の製品などを通しても推測される技術ですが）との差は比較になりません．このような事実は公になることは稀なので公知されることはありませんが，日本の社会，特に日本のアカデミアでは，各企業にはそのような技術が存在し，技術が成立していることを認知できていないように思われます．例えば，米国の HP(旧Hewlett-Packard)社などのプリンティングの技術は非常に高く，緻密で学術的にも深い知見や理論に裏付けられていると思われますが，論文になったものは見たことがありません．

26

高度な技術を理解し，マネージメントできる管理者人材は，少なくとも若いときに技術者・研究者であったはずです．そのことを考えると，まずは，大学と企業の違いや，数学と現場の課題の両方を理解した人材を，企業側にまず育成するのが第一のステップです． （企業研究者は，少なく
とも学生として大学文化に触れた者ですので，幾分かは大学の文化も理解しているはずです．）
人的交流がない中では，言葉によってその違いを理解し，乗り越えるしかないと考えています 8．オ
ブラートに包んだようなものではなく，企業とアカデミックの優劣ではなく，その特徴やシステムの差
異・長短を俯瞰的に理解し，うまく利用することが求められています．そのような事実を理解した技
術者，研究者の幾割かは１０年後，両者を知る管理者・経営者となるのです．急いでいるからこそ，
遠回りが必要です．
8.3 産業での数学活用人材の育成に向けて再度，話題を数学活用に戻しますが，数学活用が企業においてうまく機能するためには，企業の課題を理解している（特に中堅に以上の）研究者の数学の学びのサポートすることが重要です．
・現場の課題を既によく理解した人材で，・言葉としての数学を，用途に応じて，操れるポテンシャルを持ち，数学を学びたいと考えている
人材に対して数学を学ぶ機会を提供するのです．そのために私は[15, 21]を書きました．
コロナ禍のオンラインコミニュケーションの普及のお陰もあり，現在，SNS を通して，企業の研究者が独自にコミュニティを形成し，数学の学びを行っています．アカデミックに過度に頼らない自学の体制を自ら構築しています．これは 10～11 世紀の大学の成立に類似した状況です．これらの動きを社会がサポートすること事はとても大事だと思っています．個々の課題は現場の研究者しか判らないのですから，最前線の彼ら／彼女達の知識の向上を通して貢献することが最良であろうと考えます．（私もそのような会で話をさせて頂くことができました[36]．）
パラダイムや企業の壁を乗り越える社会的ムーブメントを後押しして行く時期に来ていると考えます．数学が万能の技術の言葉であることは普遍的な事実です．数学はこのようなムーブメントの中心的役割を果たすことが可能です．業種や分野に異存しない共通課題として取り上げることが可
8

高等教育を受けた研究者（本論では数学者）で既に，企業の現場に送り出された第一世代はよいプロト

タイプがいないがために苦悩をしていることも予想されます．その場合も行っている業務の社会的価値や学術的深さを外部から何度も伝えることが重要と考えます．状況によっては，例えば，フォン・ノイマン
が指摘した些末な新規な研究などよりも遥かに社会的価値があることなどを早期に自覚できるような状況を社会が作ることはとても大事だと考えています．

27

能だからです．そうして，数学的思考が，企業の現場で根付くようになると，進歩性も伴った新たな技術が生まれる確率が大きく向上するように考えます．
また，数学を通して，企業の技術者や研究者が，アカデミックの長短やアカデミックのシステムの企業のものとの違いを理解できれば，アカデミックを適切に利用できるようになると考えます．将来
または現時点でも，両者を理解し適切に活用できる管理者・経営者にもなり得ます．尖った解析手法や数学的思考の有用性と，企業の現場の問題の両方を扱うことができるのであれば，若い数学者あるいは高度な教育を受けた研究者を管理・育成できる管理者になる可能性もあります．
そういう状況が実現して初めとなるかもしれませんが，現状でも，数学を活用し，現場の課題に対峙している技術者は多数，各企業に存在していると考えています．そこでは，前半に論じた数学の世界と日常の関係についての困難を常に感じていると予想されます．
その際，第６節で述べたように，技術と数学の両者を理解したフッサールの様々な考察は，現代においても有効であり，再評価されるべきものと認識しています．「数学と現実（生活世界）」との対応を基として，「数学と現実との乖離を認識しながら，数学化することにより数学的な枠組みで考察を行った後に，現実を理解すると，極めて有効な技術の進歩をもたらすことがある．」という事実は，哲学的な内容を含みます．
本講演では，限定的なところのみを記載しましたが，「数学を如何に社会で活用するのか」ある
いは「数学と如何に人類は対峙するのか」は２１世紀の大きなテーマであると考えています．例えば，ワィエルシュトラスが考察した解析接続をベースとしたと思われるフッサールの「多様体」による
日常と数学の対応など，学ぶべきことは，まだまだたくさんあると考えます．これらは，単に「数学の産業応用」ということだけではなく，２１世紀の科学観，自然観，技術観に変質を伴うかもしれないものでもあると考えています．
第９節 まとめ
企業における技術の言葉としての数学の特徴は以下の通り：
1

対象や用途によって，手法は選択される（手法ありきでは NG）

2

数学の中でも様々な数学を融合して活用するのが基本である

3

数学の論文誌に掲載されにくい研究テーマが多い （レフリーできる人がいない）

4

数学が独立で何か役に立つものではない （プロジェクトの一つの要素にすぎない）

5

数学と現実との乖離を認識しながら，対象を数学化し，数学的な枠組みで考察を行った後に，その結果により現実を解釈・制御する操作により，技術の進歩に効果的に貢献する．
数学を言葉として操ることの（哲学的，人材的）困難さを，理解・認識し，それを克服することが緊急の課題として社会的に求められていると考えています．

28

【参考文献】[1] 大野晋 日本語の文法を考える 岩波新書 1978
[2] A. D. アクゼル (青木薫訳) 「無限」に魅入られた天才数学者たち ハヤカワ文庫 2015[3] G. ガリレイ 偽金鑑識官 1624 年（「ガリレオ」責任編集豊田利幸） 世界の名著 21 中央公論新社 1973 年[4] 岡崎勝世 科学 vs. キリスト教世界史の転換 講談社現代新書 2013 年[5] 岡崎勝世 聖書 VS. 世界史 講談社現代新書 1996 年[6] F・E マニュエル（竹本健訳）ニュートンの宗教 法政大学出版局 2007 年[7] R. ホーイカース, D. グッドマン, G. ロバーツ,C. ロウレス, N. コーリ, 藤井清久訳 理性と信仰―科学革命とキリスト教 すぐ書房（2007）[8] Ｊ．Ｈ．ブルック(田中靖夫訳) 科学と宗教 工作舎 2005
[9] E. フッサール（細谷恒夫，木田元訳）ヨーロッパ諸学の危機と超越論的現象学 中央公論社 1995 年[10] 田島 節夫 フッサール 講談社学術文庫 1996[11] R. デカルト (三宅徳嘉, 原亨吉, 小池健男, 青木靖三, 水野和久, 赤木昭三訳)「デカルト著作集〈1〉」 白水社 2001 『みずからの理性を正しく導き，もろもろの学問において真理を探究するための方法についての序説およびこの方法の試論（屈折光学・気象学・幾何学）』[12] D. C. Goodman （大谷隆昶訳）デカルト哲学における神と自然 C.A.ラッセル編「OU 科学史 I-宇宙の秩序」創元社 1983
[13] T. クーン（中山茂訳） 科学革命の構造 みすず書房
1971 年[14] 野家啓一 パラダイムとは何か クーンの科学史革命 (講談社学術文庫) 2008[15] 松谷茂樹 ものづくりの数学のすすめ 技術革新をリードする現代数学活用法 現代数学社 2017[16] H. Casimir, Haphazard Reality: Half a Century of Science, Harpercollins 1984[17] 田中耕一 「イノベーションに天才は不要，異分野融合の場こそが重要」 NIKKEI BP 総研 2018 2018.08.30／2018.09.10[18] 松谷茂樹 「数学 Libre: 産業数理の発展に向けて Ⅰ-V」 現代数学 2019 年 5 月-9 月[19] 鈴木俊洋 数学の現象学: 数学的直観を扱うために 生まれたフッサール現象学 法政大学出版局 2013 年[20] M. ギボンズ（小林信一監訳） 現代社会と知の創造 ―モード論とは何か 丸善ライブラリー 1997[21] 田口玄一 品質工学の数理 日本規格協会 1999[22] 松谷茂樹 線型代数学周遊 現代数学社 2013[23] B. Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Science 156,（ 1967）, 636–638 .大野晋 日本語の文法を考える 岩波新書 1978[24] 堤 大地, 新庄 克彦, 浅井 朗 界面形状解析方法，界面形状解析装置，制御プログラム，及び媒体 特開 2003-287487[25] 松谷茂樹 表面張力計算方法 特開 2006-30060[26] S. Matsutani, K. Nakano, K. Shinjo, Surface tension of multi-phase flow with multiple junctions governed by the variational
principle, Math. Phys. Analy. Geom. 14 (3) (2011)237-278[27] M. Okuda, S. Matsutani, A. Asai, A. Yamano, K. Hatanaka, T. Hara and T. Nakagiri, Electron trajectory analysis ofsurface conduction electron emitter displays(SEDs) (invited talk), SID 98 Digest, (1998) 185-188 (The Society for
Information Display), Apr 1, 1998.
[28] S. Matsutani and E. Previato, Jacobi inversion on strata of the Jacobian of the Crs curve
yr = f(x) I, II, J. Math. Soc. Jpn. 60 (4) (2008) 1009-1044, 66 (2014) 647-691[29] 浅井朗 バブルジェットプリンタの開発 ながれ 24（2005）603－608.
[30] Matsutani, Y. Shimosako, On homogenized conductivity and fractal structure in a high contrast continuum percolation
model, Appl. Math. Modelling 39（2015） 7227 -7243.
[31] J. von Neumann wrote The Mathematician, Works of the Mind Vol. I no. 1 (University of Chicago Press, Chicago, 1947),
180-196[32] S. Matsutani, Hierarchical lattice generating method, apparatus, and storage device storing a program thereof, US 6,995,766
B2, 2006.
[33] S. Matsutani and A. Asai, Finite element method library, finite element method program and storage medium, US 7,197,440
B2, 2007[34] 松谷茂樹 「数学 Libre: 産業数理の発展に向けて Ⅰ-VI」 現代数学 2019 年 5 月号‐10 月号[35] 科学技術指標 2018 文部科学省 科学技術・学術政策研究所 科学技術・学術基盤調査研究室，2018 年[36] 平鍋健児 https://learning-data-science-from-youtube.connpass.com/event/240989/

29

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Phenomenology of mathematics
and the theory of expertise
Toshihiro SUZUKI
Sojo University, Japan
Mathematics is a formal science. However, those who have performed mathematics
know that performing mathematics not only means following formal rules, but it also
involves something that can be called intuition. Then, what is mathematical intuition
involved when one performs mathematics? The modern philosophy of mathematics
has not addressed this kind of question seriously. Husserl’s phenomenology makes it
possible to consider mathematical intuition philosophically.
Within the framework of phenomenology, founded by Husserl, we are able to talkabout grasping mathematical objects in an analogy with external perception.
Moreover, the phenomenological framework allows us to discuss the “ origins ” ofmathematical objects. Husserl ’s thoughts on geometry in his later years describe how
geometrical concepts arise from the technique of geodesy.
Finally, the framework for analyzing mathematical objects can be applied to an
analysis of the expertise that experts are supposed to have in various fields. We canuse this as an important tool for considering the expertise of science and technology.

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the objective existence of the outer world.“䛂ᩘᏛⓗ┤ほ䛾ᑐ㇟䛾ᐈほⓗᐇᅾ䛾ၥ㢟䛿䚸እⓗୡ⏺䛾ᐈほⓗᐇᅾ䛾ၥ㢟䛾䝺䝥䝸䜹䛷䛒䜛䚹䛃“What is Cantor‘s continuum problem?”(1964)
In Gödel, Collected Workes, Vol.II, 1990, 254-270.

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IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Case studies of informatics-aided nanoscalematerials simulation
Yusuke NODA
Okayama Prefectural University, Japan
Recently, techniques of information science (informatics) are widely used in various
situations in academia and industry. Especially in the ﬁeld of materials science, following “empirical science” as the ﬁrst paradigm, “ theoretical science” as the second
paradigm, and “computational science” as the third paradigm, “data-driven science” asthe fourth paradigm is drawing much attention, which develops data-driven approaches
such as extracting new ﬁndings and information, and searching for unknown materials
and structures with utilizing statistical and machine-learning techniques. In this presentation, I will introduce research examples that combined informatics and nanoscalematerials simulation, which are used for diﬀerent purposes, with the keywords “utilization of crystal structure database ”, “optimization”, and “prediction model”.

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IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Applying mathematical analysis to material sciencein Kyocera
Takako MASHIKO, Takuhiro TAKAHASHI
Kyocera Corp., Japan
We introduce six topics related to simulations for material science that our company
has been working on.
A molecular explanation of thermal phase transition phenomena using principal
component analysis, which is one of the coordinate transformation methods of linear
algebra, is presented. We show an example of the phase transition phenomena between
α-silica and β-silica[1]. Next, we introduce an example in which we regarded the
D-Wave quantum annealing machine as an isolated many-body physical machine tocalculate the thermalization phenomena of integrable and non-integrable systems.
A chemical solution can generally be described as an undirected graph, but a solution mainly composed of hydrogen bonds can be described as a directed graph. From
this point of view, we introduce an example of improving the reaction eﬃciency bycontrolling the hydrogen-bonding network of molecules in the solvent, and discuss thewater cluster splitting problem[2]. We also report two application examples of data
analysis in Kyocera: the optimization of our products using machine learning andmulti-objective optimization, and the search method for important parameters to improve product characteristics. Finally, we touch on how we are promoting mathematics
in Kyocera.
References[1] T. Mashiko, Journal of Computer Chemistry, Japan, 2018, 17, 5, 196-198[2] Japan patent JP2021-112283A

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[1] Jonas Richter, et al., SciPost Phys. 9, 031 (2020)15

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21© 2022 KYOCERA Corporation

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26

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27© 2022 KYOCERA Corporation

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Step 4੸৬৑ৼ൩੿৷ग़ॿঝॠ‫॑ش‬ఈभ੎ाधखञॢছইଡୗ॑ଡണ

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ॖ४থॢঁ঑ঝॺॽ॔থ॑੿ਛघॊ૑ਏऋँॊ
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Step 6.

९ইॺक़ख़॔ :GAMESS 2018
:HF-D3, MP2, B3LYP-D3, wB97XD
ੑ઴ু১:6-31G*੦ೲঢ়ਯྃᄘ஍ટ:gas phase, PCM (water)ীસ੥ટ॑ખ಩औचञFMO2ध
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34

94© 2022 KYOCERA Corporation੥ટ‫ॢ؟‬ছইীસभ஘৕‫ق‬ীસभ੥ટ‫ك‬਷भী৕ૐ੮भীસ੥ટ ෤ஒ஧້᧹హ࿏஥෤ ଽ๕ੑ઴
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D-wave':DYHभ্ऋऌोःपীસखथःॊेअपाइॊ
35© 2022 KYOCERA Corporation੥ટ‫؟‬ग़ॿঝॠ‫୷ش‬भૻຎ ‫ڴ‬ীસभ੥ટ‫ ܧ‬୅୐୐ െ ‫ ܧ‬୊୑୓ଶ (kcal/mol)ϓϧήϟϱφ෾ׄ͹੠ౕ

Step 6. ௬੼ ‫ق‬FMO2ध৸ਉ৕ੑ઴भग़ॿঝॠ‫ૻ॑୷ش‬ຎ‫ݻ‬ఱ‫ࢋܯ‬

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[1] Liaw D-J, Huang C-C, Sang H-C, Wu P-L. Polymer, 2000; 41, 6123. [2] Liaw D-J, Lee W-F, Whung Y-C. J Appl. Polym. Sci., 1987; 34, 999. [3]Biegle A, Mathias A, Galin J-C. Macromol Chem. Phys., 2000; 201, 113. [4] Wang H, et al. Eur. Polym. J. 40, 2004, 2287-2290.
40

97© 2022 KYOCERA Corporation৯৓

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Restrained ElectrostaticPotential (RESP) charge
calculated by B3LYP/6-31G(d)ਈ৵৲ੑ઴‫ྃق‬ସٔྃᄘ‫ك‬0'ੑ઴ੰෲ৿ྫྷীഘঢ়ਯ
44

99© 2022 KYOCERA Corporationੑ઴ถ಍‫ੰ؟‬ෲুದ৐૪৶৬஋॑ৰୡभഡ২ऊैৠ৒ख‫ੂؚ‬਋ଡୗ੿ਛ

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B

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C

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45

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46

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48

101© 2022 KYOCERA Corporation੥૛

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49© 2022 KYOCERA CorporationṸʮἍἻఇࡸ˟ᅈ
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51© 2022 KYOCERA Corporation

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103© 2022 KYOCERA Corporation

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1. ਎७ছदभॹ‫ੰॱش‬ෲহ୻੣඾ಝ੓̐ଡ໪ద࠹నԿͲͺʰ͵ͧͨ͹մ͗ྒྷ͏͖ʱͶ౶͓ΔΗ͵͏ʃ‐΍ͮͳୱ९Ͷʰυʖν఼͹໪ඬ྘Ү͖Δ͹‫཯ړ‬Ν౹‫ܯ‬దͶմੵʱЌʁ໪ඬ྘Ү ൔ֋ۢؔΝ૟ఈ
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104© 2022 KYOCERA Corporation

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105

© 2022 KYOCERA Corporation

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58

106

© 2022 KYOCERA Corporation

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Interpretation of the hidden symmetry of hydrogenatoms using Cliﬀord algebra
Yuto ITOTokyo, Japan
Researches on hydrogen atoms have played an important role in the development oftheoretical physics. The development of quantum mechanics and quantum ﬁeld theory are good examples. Apart from the major developments in theoretical physics,
interesting mathematical structures have been found in hydrogen atoms by incorporating ﬁndings from various mathematical ﬁelds. One such mathematical structure is“hidden symmetry”. Hydrogen atoms are known to be highly degenerate under thenon-relativistic approximation. This high degree of degeneracy cannot be explained by
the three-dimensional rotational symmetry, which is easily assumed from the potential
shape of hydrogen atoms, but can only be explained using a larger symmetry, fourdimensional rotational symmetry [1]. Such a high degree of symmetry is often referred
to as a hidden symmetry or a dynamical symmetry. In this talk, the interpretation of
the hidden symmetry of hydrogen atoms using Cliﬀord algebra will be discussed. In
general, Lie groups and Lie algebras are the most famous tools to describe such symmetries and in comparison, interpretations using Cliﬀord algebras are minor. However,I found some useful points in this interpretation, therefore I will present it.
References[1] M. Bander and C. Itzykson, Group theory and the hydrogen atom (I). Rev. Mod. Phys. 38, 330(1966). https://doi.org/10.1103/RevModPhys.38.330.

107

Cliﬀord 代数を用いた

水素原子の隠れた対称性の解釈
2022年9月9日 9:40-10:40
伊藤祐斗
＠材料科学における幾何と代数III

本講演のキーワード
材料科学における幾何と代数

水素原子
元素周期表

コンパクト化
立体射影
Hopf ﬁbration

Lie代数・Lie群
Cliﬀord 代数

対称性
108

2

目次

3

1. イントロ：水素原子の隠れた対称性とは？
※非相対論的水素原子の束縛状態に限定します

隠れた対称性を見出す二つの手法
2. コンパクト化
立体射影

3. 線形化
Hopf fibration

4. Clifford代数による解釈

目次

4

1. イントロ：水素原子の隠れた対称性とは？
隠れた対称性を見出す二つの手法
2. コンパクト化
立体射影

3. 線形化
Hopf fibration

4. Clifford代数による解釈

109

球対称な系のエネルギー5球対称性を持つポテンシャルに対する Schrödinger 方程式ℏ2 ∇2− V(r) Ψ(r) = EΨ(r)
]
[ 2me
−

球極座標において変数分離することが可能であり解はEn,l = n, l の関数

Ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ)n, l ≥ 0, m = − l, − l + 1,⋯, l − 1,lと書かれる．Ylm は球面調和関数，Rnl は動径方向関数（V に依存する），
同じエネルギーを持つ状態は複数ある（＝縮退）．
縮退数は 2l + 1．

水素原子のエネルギー
非相対論的水素原子の Schrödinger 方程式は以下である．
ℏ2 ∇2 κe2−
Ψ(r) = EΨ(r), κ =
r]
4πϵ0
[ 2me
−

束縛状態のエネルギー（ < 0）は次のようになる．
κ 2me
1
En,l = −, n, l ≥ 02(n + l + 1)2 ℏ2
Ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ)m = − l, − l + 1,⋯, l − 1,lと書かれる．Rnl は Laguerre 陪多項式を用いて書かれる．

110

6水素原子における偶然縮退
一般の球対称ポテンシャルの場合

水素原子の場合

En,l = n, l の関数
E3,0
E2,0

E2,1

E1,2

E1,1

E0,2

En,l = −
E0,3

E0,1

E1,0

7

E0,0

κ 2me
1
, n, l ≥ 02(n + l + 1)2 ℏ2

E3,0

E2,1

E1,2

E2,0

E1,1

E0,2

E1,0

E0,1

E0,3

E0,0

水素原子の場合，n + l が同じならば同じエネルギー（= 縮退）．
球対称性では説明できない高度な縮退＝偶然縮退がある．

どれくらい縮退するか？
水素原子のエネルギーは N = n + l + 1 に依存する．
En,l = −κ 2me
1, n, l ≥ 0, m = − l, − l + 1,⋯, l − 1,l2(n + l + 1)2 ℏ2

l=0
S軌道

l=1
l=2
P軌道 D軌道

l=3
F軌道

N=1

1

N=2

1

3

N=3

1

3

5

N=4

1

3

5

7

N =5

1

3

5

7

111

l=4
G軌道

9

縮重度 スピン軌道数
2N2
N2
1

2

4

8

9

18

16

32

25

50

8

偶然縮退と周期表の関係

9周期表の構造に水素原子における縮重度が反映されている！

2
8
8
18
18
32
32

※実際には原子は多体系なので水素原子の結果以上のことが必要．
1s → 2s → 2p → 3s → 3p → 4s → 3d → 4p → 5s → 4d → 5p → 6sの順で大まかには収容されていく．

隠れた対称性10

偶然縮退が生じる理屈は何だろうか？

一般には対称性があると縮重度が大きくなる．

球対称性より大きい隠れた対称性が示唆される．
E3,0

E2,1

E1,2

E2,0

E1,1

E0,2

E1,0

E0,1

E0,0

112

E0,3

目次

11

1. イントロ：水素原子の隠れた対称性とは？
隠れた対称性を見出す二つの手法
2. コンパクト化
立体射影

3. 線形化
Hopf fibration

4. Clifford代数による解釈

角運動量保存則とSO(3)対称性
球対称性を持つポテンシャルに対する Schrödinger 方程式ℏ 2 ∇2HΨ = −− V(r) Ψ(r) = EΨ(r)[ 2me]
角運動量ベクトル

L=r×p
角運動量保存則

Lx =[H, Li] = HLi − LiH = 0

so(3) Lie 代数の生成元となる．

[Li, Lj] = LiLj − Lj Li = iℏϵijk Lk
113

ℏ
∂
∂
x
−y
(
i
∂y
∂x )

12

LRL ベクトル保存則と?対称性

13水素原子に対する Schrödinger 方程式ℏ2 ∇2 κHΨ = −−
Ψ(r) = EΨ(r)r][ 2me
LRL ベクトルM=1κr( p × L − L × p) −2mer

LRLベクトル保存則[H, Mi] = HMi − MiH = 0
これらは有限次元 Lie 代数とはならない．

[Li, Lj] = iℏϵijk Lk, [Mi, Lj] = iℏϵijk Mk, [Mi, Mj] = − iℏ2Hϵijk Lkme

保存則の古典力学的解釈
(2)
(1)
(2)

(2)

(1)

(1) 角運動量保存則の意味• 方向：運動する平面の法線方向，大きさ：面積速度に比例→運動する平面が不変，面積速度が一定．

• 三成分の保存はエネルギー保存と独立な情報(2) LRLベクトル保存則の意味• 方向：原点から近日点を指す向き，大きさ：離心率と比例（M = eκ）→近日点が不変，離心率が一定．

• 特に「近日点が不変」は角運動量及びエネルギー保存と独立な情報
トータルで５つの独立な保存量→最大超可積分系の代表例
11414水素原子に潜むso(4)対称性

15エネルギー E < 0 の部分空間に制限→演算子 H をスカラー E と見なせる．
添字に対して反対称となる形式的な記号
L23 =

L
M̃
L1
L
M̃
M̃
, L31 = 2 , L12 = 3 , L14 = 1 , L24 = 2 , L34 = 3
iℏ
iℏ
iℏ
iℏ
iℏ
iℏ
但し，M̃ = Mme
−2Eを導入すると，[Lμν, Lσρ] = δμσ Lνρ + δνρLμσ − δμρLνσ − δνσ Lμρとなるが，これは Lie 代数 so(4) を成すことを表す．
力学的対称性，隠れた対称性，等と呼ばれることがある．

立体射影とコンパクト化

16

水素原子の Schrödinger 方程式を運動量空間で書くと積分方程式になる．
ψ̃ (p′)meκdp′= ψ̃( p), p02 = − 2meE < 0
2
2ℏ ∫
2
2
π
R3
(p + p0 )p − p′
1

立体射影変換でコンパクト多様体である超球面 S 3 上の積分方程式となる．
p2 − p2
2p0
u = 02n+p, Ψ̃(u) =p0 + p 2
p02 + p 2Ψ̃(u) =

2

2π 2 p02 + p 2
1
ψ̃( p), G (x) =2p0 ( 2p0 )4π 2 x2meκdΩ (u′) Ψ̃ (u′) G (u − u′)p0ℏ ∫S3

115

超球面 S 3 上自由粒子との等価性
積分核 G (x) = (4π 2 x )
2

−1

17

の正体は S 3 上自由粒子の Green 関数．

ΔS3G(u − u′) = − δ(u − u′) |S3
ここで ΔS3 は S 3 上の Laplace-Beltrami 作用素．
Δℝ4 =

ΔS 3
1 ∂
3 ∂
u
+
u 3 ∂u ( ∂u ) u 2

Stokesの定理等より，S 3 上の自由粒子の Schrödinger 方程式に帰着．
ΔS3Ψ̃(u) = ΛΨ̃(u)Laplace-Beltrami 作用素 ΔS3 と前述の Lμν の関係
ΔS 3 =∑

L̃2μν,

1≤μ<ν≤4(p02 + p 2)−2L̃μν(p02 + p 2)2 = Lμν

L̃μν は変換後の空間 ℝ4 あるいは S 3 の回転生成子である．

目次

18

1. イントロ：水素原子の隠れた対称性とは？
隠れた対称性を見出す二つの手法
2. コンパクト化
立体射影

3. 線形化
Hopf fibration

4. Clifford代数による解釈

116

線形化の歴史19■ 天体力学が起源• 古くは Euler が１次元上の３体問題の解析に使った．（18C）• 時間・空間の変数変換により力の発散を取り除く．（正則化）• 調和振動子の運動方程式に変換される．（線形化）■ ２次元バージョンの発見（19C~20C前半）• Goursat, Bohlin, Levi-Civita らによる
• 共形変換の一種を用いることで2D Kepler → 2D 調和振動子■ 高次元化の取り組み（20C中盤まで）• 長らく３次元バージョンは見つからず．
• 3D Kepler → 3D 調和振動子 は可能？

Kustaanheimo-Stiefel 変換
1960s に発明された３次元バージョン．

20

Kustaanheimo-Stiefel（KS）変換は三次元を四次元に埋め込む変換．

ΦKS : ℝ3 × S 1 → ℝ4 : (x1, x2, x3, σ) ↦ (q1, q2, q3, q4)
x1 = r cos θ
x2 = r sin θ cos ϕx3 = r sin θ sin ϕr > 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ σ < 4π

q1 =

r cos

q2 =

r cos

q3 =

r sin

q4 =

r sin

σ+ϕ
θ
cos
( 2 )
(2)
σ+ϕ
θ
sin
( 2 )
(2)

σ−ϕ
θ
cos
( 2 )
(2)
θ
σ−ϕ
sin
(2)
( 2 )

Cylindrical 座標

球極座標

Euler の四次元座標117

どんな変換か？

21

r = 1, θ = 0, σ = 0 で固定して考える−ϕ+ϕq3 = cos
( 2 )
( 2 )
−ϕ
+ϕ
q = sinq2 = sin( 2 )( 2 ) 4x1 = 0x2 = cos ϕx3 = sin ϕ

q1 = cos

ϕ=0
ϕ = 2πϕ = 2πϕ=0

一周しても戻れない，戻るには二周する必要．

Hopf ﬁbration
KS変換（の r = 1 への制限）ΦKS |r=1 : S 2 × S 1 → S 3はねじれがある
S 2 × S 1 と S 3 は局所的には似ているが全体としては異なることを示唆．

→ こういった状況を記述するのがファイバー束

Hopf ﬁbration: S 1 ↪ S 3 → S 2
ファイバー, ファイバー束, 底空間

球面 S 2 の各点に円周 S 1 があるが，それらがねじれて繋がっている※ Hopf ﬁbrationにはファミリーがある．
S 0 ↪ S 1 → S 1 ← Levi-Civita 変換に相当
S 3 ↪ S 7 → S 4 ← 5次元水素原子-8次元調和振動子対応
S 7 ↪ S 15 → S 8 ← 9次元水素原子-16次元調和振動子対応

118

22

ℝ 上調和振動子との等価性
423

水素原子 Schrödinger 方程式ℏ2 ∇2 κHΨ(r) = −−Ψ(r) = EΨ(r)r][ 2me
に対して変数 k = −

8meE
8m κ
, λ = 2e を導入して KS 変換を行うと，
2ℏℏ

４次元調和振動子の Schrödinger 方程式に帰着する．
22[− ∇q + kq ] Ψ(q) = λΨ(q)波動関数が σ に陽によらないという拘束条件から以下の式も成立する．
∂∂∂∂
Ψ(q) = 0
− q2
+ q3
− q4
∂q1
∂q4
∂q3 )
( ∂q2
q1

SO(4) 対称性は何処にあるか？

24

四次元調和振動子のSchrödinger方程式
22[− ∇q + kq ] Ψ(r) = λΨ(q)の対称性は su(4) ≃ so(6) である（n次元調和振動子は su(n)）．

so(2) ⊕ so(4) ⊂ so(6)拘束条件の生成元
q1

∂
∂
∂
∂
− q2
+ q3
− q4
∂q2
∂q1
∂q4
∂q3

からなる部分 Lie 代数

4D調和振動子の対称性

拘束条件の生成元と可換な演算子（中心元）からなる部分 Lie 代数
水素原子の対称性に相当する

119

二つの手法の比較
手法

コンパクト化

線形化

舞台

運動量空間

位置空間

幾何学

立体射影変換Hopf fibration

行先

S3

ℝ4

帰着するモデル

自由粒子

調和振動子

25

両手法ともに低次元空間から高次元を発想する手法である．
そもそもなぜ高次元発想の仕組みを解釈したい

目次

26

1. イントロ：水素原子の隠れた対称性とは？
隠れた対称性を見出す二つの手法
2. コンパクト化
立体射影

3. 線形化
Hopf fibration

4. Clifford代数による解釈

120

Cliﬀord代数とは

30■ 内積空間 ℝn（反対称テンソル代数）

e1, e2, ⋯, en, ⟨ei, ej⟩ = δij （正規直交基底）■ 外積代数 ⋀ (ℝn){ei1ei2⋯eik | 0 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ⋯ ≤ ik ≤ n} を基底とする線形空間（量子化）

eiej = − ejei (i ≠ j) （反対称性）■ Clifford 代数 Cln
線形空間としては外積代数と同型（ℝ 上代数としては異なる）
ei2 = − ⟨ei, ei⟩ = − 1 を課す（量子化）
内積・外積が代数の内部演算に組み込まれている（cf. ⟨ei, ej⟩ ∈ Cln ）→ 面積・体積・回転，といった幾何学的な量・操作を統一的に扱える

Cliﬀord代数の例■ 例1 Cl1 ≃ ℂ （複素数体との ℝ 上代数同型）

基底：0重ベクトル 1, 1重ベクトル e1 に対して，
e12 = − 1（量子化の式）が成立する．
例えば，以下のようにとると矛盾がない．
e1 = i（ i は ℂ の虚数単位元）■ 例2 Cl2 ≃ ℍ（四元数体との ℝ 上代数同型）

基底：0重ベクトル 1, 1重ベクトル e1, e2, 2重ベクトル e1e2 に対して，
e12 = e22 = − 1, (e1e2)2 = e1e2e1e2 = − e12e22 = − 1 （量子化の式）が成立する．
例えば，以下のようにとると矛盾がない．
e1 = i, e2 = j, e1e2 = k（ i, j, k は ℍ の虚数単位元）
12132

ℝ 上代数同型のまとめ
Cliﬀord 代数

同型な代数

Cll0

ℝ
ℂ
ℍ
ℍ⊕ℍ
ℍ(2)
ℂ(4)
ℝ(8)
ℝ(8) ⊕ ℝ(8)
ℝ(16)

Cl1

Cll2
Cll3

Cll4

Cll5

Cll6

Cll7

Cl8

33

代表的な応用：回転の表現

34

eiej
θ
θ
Euler の式の拡張 exp θ= cos + eiej sin を用いて回転を表現できる．
( 2 )
2
2
eiej
eiej
θ
θ
θ
θ
exp θ
eiexp −θ= cos + eiej sin
ei cos − eiej sin
( 2 )
(
2 ) (
2
2) (
2
2)
θ
θ
θ
θ
− sin2e + 2 sin cose22) i (22) j= (cos θ)ei + (sin θ)ej
=

(

cos2

eiej
eiej
exp θ
e exp −θ= (−sin θ)ei + (cos θ)ej
( 2 ) j
(
2 )

in
(− s

θ )e i

ej

s θ)

co
+(

ej
s
(co

θ )e i

1重ベクトル ei は n 次元ベクトル2重ベクトル eiej は n 次元空間の回転生成子（ so(n) を構成）
exp(eiej /2) の随伴表現は n 次元空間の回転表現（ SO(n) を構成）
122

θ

sin
+(

θ )e jei

Cliﬀord 代数における高次元化

36

Cl3 を考える．
2重ベクトルたち：L23 =111
e2e3, L31 = e3e1, L12 = e1e2222[Lμν, Lσρ] = δμσ Lνρ + δνρLμσ − δμρLνσ − δνσ Lμρ, 1 ≤ μ, ν, σ, ρ ≤ 3
so(3) を構成する．
1重ベクトルたち：L14 =を加えると，1
1
1
e1, L24 = e2, L34 = e3222[Lμν, Lσρ] = δμσ Lνρ + δνρLμσ − δμρLνσ − δνσ Lμρ, 1 ≤ μ, ν, σ, ρ ≤ 4
so(4) を構成する．

一段高い回転を表現可能．

水素原子 so(4) のおさらい
角運動量：L = r × p, L23 =L
L1
L, L31 = 2 , L12 = 3
iℏ
iℏ
iℏ

[Lμν, Lσρ] = δμσ Lνρ + δνρLμσ − δμρLνσ − δνσ Lμρ, 1 ≤ μ, ν, σ, ρ ≤ 3
so(3)を構成する．
LRLベクトル：M̃ =L14 =を導入すると，meκr1( p × L − L × p) −−2E [ 2me
r ]
M̃
M̃1
M̃
, L24 = 2 , L34 = 3
iℏ
iℏ
iℏ

[Lμν, Lσρ] = δμσ Lνρ + δνρLμσ − δμρLνσ − δνσ Lμρとなるが，これは Lie 代数 so(4) を成すことを表す．
一段高い次元に持ち上がるのが立体射影と関係．
12338

水素原子 so(4) とCliﬀord代数 Cl3 の対応 39■ 水素原子におけるso(4)空間反転に対する振る舞いの異なる三次元空間の物理量，
L = r × p は「極性ベクトル」（空間反転で奇）M=

κr1
は「軸性ベクトル」（空間反転で偶）( p × L − L × p) −2mer

これらを混合することで高次元の代数 so(4) の構造が見えてきた．
■ Clifford 代数 Cl3

空間反転に対する振る舞いの異なる元
1重ベクトル e1, e2, e3 は「極性ベクトル」（空間反転で奇）2重ベクトル e1e2, e2e3, e3e1 は「軸性ベクトル」（空間反転で偶）を混合した演算が可能である．
これらを混合することで高次元の代数 so(4) の構造が見えてきた．

Cliﬀord 代数を用いたHopf ﬁbration
Cl2 ≃ ℍ のノルム1の要素の集合は S 3 と見做せる．
この要素は，θθθ
Q = exp(−ψk) sin cos ϕi + sin sin ϕj + cos k
(
2
2
2 )
= sin ψ cosと書ける．

Euler の四次元座標θθθθ+ cos(ϕ − ψ)sin i + sin(ϕ − ψ)sin j + cos ψ cos k2222
0 ≤ ψ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π

θ
θ
θ
θ
θ
θ
Q̄kQ = − sin cos ϕi + sin sin ϕj + cos k k sin cos ϕi + sin sin ϕj + cos k
(
)
(
2
2
2
2
2
2 )
= sin θ cos ϕi + sin θ sin ϕj + cos θk
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ πを考えると，これの全体は S 2 と見做せる．
写像 f(Q) = Q̄kQ は S 3 から S 2 への写像と見做せる．
さらに Ker( f ) = S 1 より， Hopf fibration と見做せる．
124

40

Cliﬀord 代数を用いたHopf ﬁbration

41

Cl2 ≃ ℍ のノルム1の要素の集合は S 3 と見做せる．
この要素は，θθθ
Q = exp(−ψk) sin cos ϕi + sin sin ϕj + cos k
(
2
2
2 )
= sin ψ cosと書ける．

Euler の四次元座標θθθθ+ cos(ϕ − ψ)sin i + sin(ϕ − ψ)sin j + cos ψ cos k2222
0 ≤ ψ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π

θ
θ
θ
θ
θ
θ
Q̄kQ = − sin cos ϕi + sin sin ϕj + cos k k sin cos ϕi + sin sin ϕj + cos k
(
2
2
2 ) (
2
2
2 )
三次元極座標= sin θ cos ϕi + sin θ sin ϕj + cos θk
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ πを考えると，これの全体は S 2 と見做せる．
写像 f(Q) = Q̄kQ は S 3 から S 2 への写像と見做せる．
さらに Ker( f ) = S 1 より， Hopf fibration と見做せる．

スピン群による Hopf ﬁbration の解釈
Cl2 ≃ ℍ では 1~3次元のスピン群を考えることができる．
G = Spin(3) = {h ∈ ℍ | | h | = 1} ≃ SU(2) ≃ S 3
H = Spin(2) = {e kt | 0 ≤ t < 2π} ≃ U(1) ≃ S 1
K = Spin(1) = {1, − 1} ≃ O(1) ≃ ℤ2
G は e1, e2, e1e2 より生成，H は e1e2 より生成．
ここで，G ≥ H ≥ K, G ▹ K, H ▹ K ⇒ G/K ≃ (G/H)/(K/H)

あることを用いると，（群同型定理に似ているが違う）
SU(2)/U(1) ≃ (SU(2)/ℤ2)/(U(1)/ℤ2) ≃ SO(3)/SO(2)したがって，

S 3 /S 1 ≃ SU(2)/U(1) ≃ SO(3)/SO(2) ≃ S 2

125

42

スピン群による Hopf ﬁbration の解釈

43

Cl2 ≃ ℍ では 1~3次元のスピン群を考えることができる．
G = Spin(3) = {h ∈ ℍ | | h | = 1} ≃ SU(2) ≃ S 3
H = Spin(2) = {e kt | 0 ≤ t < 2π} ≃ U(1) ≃ S 1
K = Spin(1) = {1, − 1} ≃ O(1) ≃ ℤ2
G は e1, e2, e1e2 より生成，H は e1e2 より生成．
ここで，

微分同相

G ≥ H ≥ K, G ▹ K, H ▹ K ⇒ G/K ≃ (G/H)/(K/H)

あることを用いると，（群同型定理に似ているが違う）
SU(2)/U(1) ≃ (SU(2)/ℤ2)/(U(1)/ℤ2) ≃ SO(3)/SO(2)したがって，

S 3 /S 1 ≃ SU(2)/U(1) ≃ SO(3)/SO(2) ≃ S 2
1,2重ベクトルが生成するスピン群（高次元化）

2重ベクトルが 1,2重ベクトルに生成するスピン群 よる回転表現（高次元化）

2重ベクトルによる回転表現まとめ■ 水素原子は高度な準位縮退があり，背後に隠れた対称性がある．
■ 隠れた対称性は四次元回転対称性 SO(4) である．
■ 隠れた対称性を見出す手法として，
１）コンパクト化（立体射影），2）線形化（Hopf fibration）
を紹介したが，いずれも高次元を経由する手法である．
■ Clifford 代数は高次元を発想する機能を持つ．
■ 立体射影の方は Cl3 の構造から説明できる．

■ Hopf fibrationの方は Cl2 の構造から説明できる．

126

44

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

General topological approach to geometric patterns
of matters
Shousuke OHMORI
Waseda University, Japan
Characteristic geometrical patterns of matters in solid and liquid states, such as thegraphic structure of polymers, the clusterized structure of molecular liquids, or thedendritic structure in solidiﬁcation, have been hugely studied from the viewpoint ofdisordered physics [1,2]. To investigate geometric patterns, several mathematical methods using topological concept, e.g., persistent homology theory [3], have been also developed. In my talk, the studies about characterizing geometric patterns based on
general topology (point-set topology) are reviewed and the recent results of this topological approach are introduced [4,5].
The geometric patterns can be discussed in the context of continuum theory, which
is one of the ﬁeld of general topology [6]. A topological space is called a continuum if
it is a connected compact Hausdorﬀ-space, and a geometric pattern is speciﬁed by acontinuum or a direct sum of continua.
For instance, a geometric pattern with dendritic structure is described as a topological dendrite that is a locally-connected continuum (a Peano-continuum) without
simple closed curve. These continua corresponding to the geometric patterns can be
represented universally based on a set of equivalence classes for a speciﬁc topologicalspace X. In the present talk, adapting a Cantor cube ({0, 1}Λ , τ0Λ ) as X, the universally
representations of continua are shown and their geometrical relations are discussed.
References[1] J. M. Ziman, Models of Disorder (Cambridge University Press, Cambridge, 1979).
[2] N. E. Cusack, The Physics of Structurally Disordered Matter: An Introduction(University Sussex Press, Brighton, 1987).
[3] Y. Hiraoka, T. Nakamura, A. Hirata, E. G. Escolar, K. Matsue, and Y. Nishiura,
PNAS. 113, 7035 (2016).
[4] A. Kitada, S. Ohmori, and T. Yamamoto, J. Phys. Soc. Jpn. 85, 045001 (2016).
[5] S. Ohmori, Y. Yamazaki, T. Yamamoto, and A. Kitada, Phys. Scr. 94, 105213(2019).
[6] S. B. Nadler Jr., Continuum Theory (Marcel Dekker, New York, 1992).

127୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶
General Topological Approach to Geometric Patterns of Matters

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← G.T.䛷䛾ᗄఱᏛ䚸ᮏⓎ⾲䛾䝯䜲䞁

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃౛䠖Sorgenfrey ┤⥺9 ᐇᩘ┤⥺䛾఩┦✵㛫(Sorgenfrey ┤⥺)Sorgenfrey ┤⥺ (R1, τS)

R1 : ᐇᩘ඲య䛾㞟ྜ䠄ᐇᩘ┤⥺䠅
τS 䠖 ॏ ൌ ሼॏሺܽሻǢ ܽ ‫ א‬R1ሽ䛜㏆ഐ⣔䜢ᡂ䛩఩┦, where ॏ ܽ ൌ ሼ ܽǡ ܾ Ǣ ܽ ൏ ܾሽ౛䠖Note : 䝴䞊䜽䝸䝑䝗఩┦τ|䞉|䛿ॏ ൌ ॏ ܽ Ǣ ܽ ‫ א‬R1 ǡ ॏ ܽ ൌ ሼሺܽ െ ߝǡ ܽ ൅ ߝሻǢ Ͳ ൏ ߝሽ 䛜㏆ഐ⣔䜢ᡂ䛩䠄⤯ᑐ್㊥㞳䜢⏕ᡂ䠅

R1
g

V

ሻ

ሻ

f

ሻ

f -1(V)ሻሾg -1(V)

R1

R1

f 䛿㐃⥆

ሾ

0

ሾ

ሾ

V

R1

0

g䛿୙㐃⥆䠄௵ព䛾Ⅼ䛷䠅‫׊‬

Note: ݂ǣ ܺǡ ߬ ՜ ܻǡ ߬Ԣ 䛜㐃⥆(continuous) ֞ ܸ ‫ ߬ א‬ᇱ ǡ ݂ ିଵ ሺܸሻ ‫߬ א‬

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

129

౛䠖Sorgenfrey ┤⥺9 (R1, τS)䛾ᛶ㉁R1•0-dimensional (0ḟඖ✵㛫)•

perfect (᏶඲) i.e., ୍Ⅼ䛛䜙䛺䜛㞟ྜ䛜㛤㞟ྜ䛷䛿䛺䛔

•T1+T4ศ㞳බ⌮䜢‶䛯䛩(i.e., normal space)•㊥㞳໬୙ྍ⬟✵㛫ሾᐃ⩏䠖 ఩┦✵㛫(X,τ)䛜0-dim (0ḟඖ✵㛫)䛷䛒䜛

䖃я xѮX, xѮѦU Ѯ τ, ѩuѮ τ ∩ ࣠, s.t., x ѮuӨU
0-dim 䛾౛䠖 ㊥㞳✵㛫ୖ䛾Ⅼิ (1Ⅼ䜒ྵ䜐)(X,τd) : ㊥㞳✵㛫, X ={xn} 䛿 0-dim䛷䛒䜛(τS ≠ τ|䞉|)

u

x

U

࣠ǣ 㛢㞟ྜ䛾඲య

[ㄝ᫂]
‫׌‬

ሻ

‫׊‬

‫ܺ א ݌‬ǡ ܷ ‫݀߬ א ݌‬ܵௗ ‫݌‬ǡ ߝ ؔ ‫ܺ א ݕ‬Ǣ ݀ ‫݌‬ǡ ‫ ݕ‬൏ ߝ ǡ ‫ݏ‬Ǥ ‫ݐ‬Ǥ ܵௗ ‫݌‬ǡ ߝ ‫݌ ܷ ؿ‬‫ ܦ‬ൌ ሼ݀ ‫݌‬ǡ ‫ݔ‬௡ Ǣ ݊ ‫ܰ א‬ሽ ‫ͳܴ ؿ‬䛸䛩䜛䛸,‫׌‬ߜ ‫ݏ ͳܴ א‬Ǥ ‫ݐ‬Ǥ ǡ Ͳ ൏ ߜ ൏ ߝǡ ߜ ‫ܦ ב‬䛣䛾䛸䛝, ܵௗ ‫݌‬ǡ ߜ ‫࣠ ת ߬ א‬䛜♧䛥䜜䜛䛾䛷,‫ܵ א ݌‬ௗ ‫݌‬ǡ ߜ ‫ܵ ؿ‬ௗ ‫݌‬ǡ ߝ ‫݌ ܷ ؿ‬

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

㐃⥆య⌮ㄽ
ѩ?f

9 Question :㛢༊㛫[0,1]䛛䜙[0,1]㽢[0,1]䛾ṇ᪉ᙧ䜈㐃⥆඲ᑕ䛿Ꮡᅾ䛩䜛䠛1

continuous, onto
01i.e., [0,1]䛷[0,1]㽢[0,1]䛿ᇙ䜑䛴䛟䛫䜛䠛

0

Yes

1

Hahn-Mazurkiewicz Theorem

locally-connected䛺㐃⥆య䛿㛢༊㛫[0,1]䛾㐃⥆ീ䛷䛒䜛
i.e., X : locally-connected, continuum э ѩf : [0,1]→X, continuous, ontoᐃ⩏䠖 ఩┦✵㛫(X, τ)䛜㐃⥆య(continuum)я (X, τ) 䛿connected, compact, Hausdorff (䜎䛯䛿㊥㞳)-✵㛫䜎䛯, locally-connected, continuum䜢Peano-continuum䛸䛔䛖
locally-connected䛷䛺䛔
continuum
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃130⮬ᕫ┦ఝ䝣䝷䜽䝍䝹
9 ⮬ᕫ┦ఝ䝣䝷䜽䝍䝹䛾ḟඖܰሺߝሻ ‫ି ߝ ׽‬஽ߝ : 䝇䜿䞊䝹ኚ᥮ᗘྜ, ܰሺߝሻ : ✵㛫䜢そ䛖
Cantor ୰ኸ1/3㞟ྜ(CMTS)

䜚䛾ಶᩘ, ‫ ܦ‬: 䝣䝷䜽䝍䝹ḟඖ
Koch᭤⥺ Ͷͳ͵ൌ ͳǤʹ͸ ǥ

䞉
䞉
䞉
‫ܦ‬ൌെ

‫ܦ‬ൌെ

 ʹ
ൌ ͲǤ͸͵ ǥͳ͵

ᯇୗ㈉䚸䛂䝣䝷䜽䝍䝹䛾≀⌮(I)䛃䚸 ⳹ᡣ (2002)
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃䝣䝷䜽䝍䝹ᵓ㐀䛾≉ᚩ䛵䛡
9 ୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯⮬ᕫ┦ఝ䝣䝷䜽䝍䝹ᐃ⩏ (Hata (1985)) 䠖 ㊥㞳✵㛫(X,τd)䛛䜙䛭䜜⮬㌟䛾෗ീ݂ǣ ܺ ՜ ܺ䛜݀ ݂ ‫ ݔ‬ǡ݂ ‫ݕ‬൑ ߙሺ‫ݐ‬ሻ݀ ‫ݔ‬ǡ ‫ ݕ‬ǡ ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ܺ א ݕ‬ሻ䜢‶䛯䛩䛸䛝݂䜢(⦰ᑠಀᩘߙሺ‫ݐ‬ሻ䛾)ᙅ䛔⦰ᑠ෗ീ(weak contraction)䛸䛔䛖
where ߙሺ‫ݐ‬ሻ 䛿ᐃ⩏ᇦ‫ ݐ‬൒ Ͳ䛾ᐇᩘ್㛵ᩘ䛷Ͳ ൑ ߙሺ‫ݐ‬ሻ ൏ ͳ䜢‶䛯䛩
Note : ߙሺ‫ݐ‬ሻ䛜ᐃ್㛵ᩘ䛾䛸䛝㏻ᖖ䛾⦰ᑠ෗ീ

Hutchinson (1981), Hata (1985), Nakamura, et.al.,(1995)(X,τd) : ᏶ഛ㊥㞳✵㛫䛻ᑐ䛧䛶⦰ᑠ෗ീ⣔ሼ݂௝ ǣ ܺ ՜ ܺǢ ݆ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݉ ሺʹ ൑ ݉ ൏ λሻሽ䛜୚䛘䜙䜜䜛 э ‫ ܺ ؿ ܵͳ׌‬s.t. 㞟ྜຊᏛ⣔㛵ಀᘧ ܵ ൌ ‫ڂ‬௠௝ୀଵ ݂௝ ሺܵሻ䛜ᡂ❧䛩䜛.

䛣䛾䛸䛝, ܵ 䜢⮬ᕫ┦ఝ㞟ྜ䛸䛔䛖.

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃131

䝣䝷䜽䝍䝹ᵓ㐀䛾≉ᚩ䛵䛡ᐃ⩏䠖 䝁䞁䝟䜽䝖䛺఩┦✵㛫(X, τ)䛜఩┦ⓗ⮬ᕫ┦ఝ(topological self-similar, TSS)䛸䛿
௨ୗ䛾஧䛴䜢‶䛯䛩䜒䛾䜢䛔䛖;
1. ㊥㞳໬ྍ⬟ i.e., ѩd : metric s.t., τ = τd2. 1.䛷ᐃ䜑䛯㊥㞳 d 䛻ᑐ䛧䛶ᙅ䛔⦰ᑠ෗ീ⣔ሼ݂௝ ǣ ܺ ՜ ܺǢ ݆ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݉ ሺʹ ൑ ݉ ൏ λሻሽ䛜Ꮡᅾ䛧䛶㞟ྜຊᏛ⣔㛵ಀᘧ ܺ ൌ ‫ڂ‬௠௝ୀଵ ݂௝ ܺ 䛜ᡂ❧䛩䜛 (ሼ݂௝ ሽ-TSS)

Sierpinski 䜹䞊䝨䝑䝖

Cantor ୰ኸ1/3㞟ྜ(CMTS)

䞉
䞉
䞉

䞉
䞉
䞉
Note: CMTS䜔SC䛿universality䜢䜒䛴(ex. 0-dim, compact㊥㞳✵㛫䛿CTMS䛻ᇙ䜑㎸䜎䜜䜛)
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃䝣䝷䜽䝍䝹ᵓ㐀䛾≉ᚩ䛵䛡
Questions • TSS䛿䛹䛾䛟䜙䛔䛾኱䛝䛥䛛䠛•← ᗘㄽⓗ㆟ㄽ

TSS䛿䛹䛾䜘䛖䛺ᙧ䜢䛧䛶䛔䜛䛾䛛䠛←఩┦✵㛫ㄽⓗ㆟ㄽ

Hutchinson (1981), Hata (1985)(X,τd)䠖䝁䞁䝟䜽䝖㊥㞳✵㛫䛾⦰ᑠ෗ീ⣔ሼ݂௝ ǣ ܺ ՜ ܺሽ 䛜(i)ྛ݂௝ 䛿one to one,(ii) σ௠௝ୀଵ ݂݅݊௧வ଴ ߙ௝ ሺ‫ݐ‬ሻ ൐ ͳ䜢‶䛯䛩э௨ୗ䛾ఱ䜜䛛䛾㐃⤖䛺ሼ݂௝ ሽ-TSS䛜Ꮡᅾa) 䝆䝵䝹䝎䞁ᘼ (䝁䝑䝩᭤⥺ etc.)b) ↓㝈ಶ䛾end point䜢ᣢ䛴 (dendrite etc.)c) TSS䛿༢⣧㛢᭤⥺䛸ྠ┦䛺㒊ศ✵㛫䜢ྵ䜐 (Sierpinski 䜹䞊䝨䝑䝖 etc.)

䝅䝎-ᵓ㐀(dendrite)

Hutchinson (1981), Kitada (2002)(X,τd)䠖䝁䞁䝟䜽䝖㊥㞳✵㛫䛾⦰ᑠ෗ീ⣔ሼ݂௝ ǣ ܺ ՜ ܺǢ ݆ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݉ ሺʹ ൑ ݉ ൏ λሻሽ௨ୗ䛾᮲௳䜢‶䛯䛩䛸䛝 0-dim, perfect䛺 ሼ݂௝ ሽ-TSS䛜Ꮡᅾ䛜䛜௨ୗ䛾᮲௳䜢‶䛯䛩䛸䛝,(i)ྛ݂௝ 䛿one to one(iii) σ௠௝ୀଵ ݂݅݊௧வ଴ ߙ௝ ሺ‫ݐ‬ሻ ൏ ͳ(ii) Card‫ڂ‬௠௝ୀଵሼ‫ܺ א ݔ‬Ǣ ݂௝ ‫ݔ‬(ྛߙ௝ ሺ‫ݐ‬ሻ䛿݂௝ 䛾⦰ᑠ෗ീಀᩘ)ൌ ‫ݔ‬ሽ ൒ ʹ

1
f2
f1
0
1
f1(x)=1/3x, f2(x)=1/3x+2/3

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃132⮬ᕫ┦ఝ䛸㝵ᒙᛶᐃ⩏䠖 (Ɗ,τ(Ɗ))䛜఩┦✵㛫(X,τ)䛾ศゎ✵㛫(ཪ䛿⢒ど໬)(decomposition space)я Ɗ : partition of X, i.e., X =‫ ڂ‬Ɗ, D∩D’ ≠ ‫( ׎‬D, D’ѮƊ)τ(Ɗ) ={ƲӨƊ;ҐƲѮτ} : decomposition topologyD’( π : X → Ɗ, x հ D Ѯ Ɗ where ѩ1D s.t., xѮD 䜢 natural map䛸䛔䛖)

D
X

Kitada (2012)(X,τ) : 0-dim, perfect, T0-space, or Peano-continuumэ ѩnon-trivial sequence {X, Ɗ1, Ɗ2,…} of decomposition spaces s.t.,each Ɗ௜ is a 0-dim, perfect, T0-space, or Peano-continuum, respectively

Corollary(X,τ) : 0-dim, perfect, TSS 䛿, ஫䛔䛻ྠ┦䛺TSS䛾ศゎ✵㛫ิ{X, Ɗ1, Ɗ2, …}䜢䜒䛴
i.e., X ؄ Ɗ1 ؄ Ɗ2 ؄…

Note 䞉 TSS䛻ྠ┦䛺✵㛫䜒䜎䛯TSS
䞉 connected, T.S.S э Peano-continuum

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃⮬ᕫ┦ఝ䛸㝵ᒙᛶ
9 (X,τ) 䠖0-dim, perfect, T0-space, or Peano-continuum

CMTS✵㛫䛾↓㝈ศ๭䛜ྍ⬟䞉䞉䞉• X 䠖0-dim, perfect, T0-space‫׊‬‫׌‬݊ ൒ ʹǡ ‫ܺ׌‬௜భ ǡ ǥ ǡ ܺ௜೙ Ѯ(τ ∩ ࣠ሻ െ ሼ‫׎‬ሽ ‫ݏ‬Ǥ ‫ݐ‬Ǥ ǡ ܺ௜ ൌҐj ܺ௜ೕ , ܺ௜ೕ ∩ܺ௜೗ =‫( ׎‬j ≠ l)

䞉
䞉
䞉

‫׊‬

‫׌‬

݊ ൒ ʹǡ ‫ܺ׌‬ଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ Ѯ(τ ∩ ࣠ሻ െ ሼ‫׎‬ሽ ‫ݏ‬Ǥ ‫ݐ‬Ǥ ǡ ܺ ൌҐi ܺ௜ , ܺ௜ ∩ܺ௝ =‫( ׎‬i ≠ j)ೖǥ

• X 䠖Peano-continuum

‫׊‬

‫׌‬

‫׌‬

‫׌‬

‫׌‬

䠖0-dim, perfect, T0
Koch᭤⥺ߝ ൐ Ͳǡ ܺଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ Ѯ࣠ െ ሼ‫׎‬ሽ ‫ݏ‬Ǥ ‫ݐ‬Ǥ ǡ ܺ ൌҐi ܺ௜ , ݀݅ܽ ܺ௜ ൏ ߝߝ ൐ Ͳǡ ܺ௜భ ǡ ǥ ǡ ܺ௜೙ Ѯ ࣠ െ ሼ‫׎‬ሽ‫ݏ‬Ǥ ‫ݐ‬Ǥ ǡ ܺ௜ ൌҐj ܺ௜ೕ , ݀݅ܽ ܺ௜ೕ ൏ ߝ

䞉
䞉
䞉

‫׊‬

ྛ ܺ௜ೕ

ྛ ܺ௜ೕ

ೖǥ

䠖Peano-continuum

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃133

⮬ᕫ┦ఝ䛸㝵ᒙᛶ• X 䠖0-dim, perfect, T0-space
‫׊‬

‫׌‬

݊ ൒ ʹǡ ‫ܺ׌‬ଵ ǡ ǥ ǡ ܺ௡ Ѯ(τ ∩ ࣠ሻ െ ሼ‫׎‬ሽ‫ݍ‬ଶ‫ݏ‬Ǥ ‫ݐ‬Ǥ ǡ ܺ ൌҐi ܺ௜ , ܺ௜ ∩ܺ௝ =‫( ׎‬i ≠ j)ܺଵFix ‫ݍ‬ଶ ǡ ǥ ǡ ‫ݍ‬௡ ‫ܺ א‬ଵfor ‫ܺ א ݔ‬ଵ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ܺଷ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݍ‬ଶ for ‫ܺ א ݔ‬ଶ
䞉
䞉
䞉

‫ݍ‬ଷ

‫ݍ‬ଶ

ܺଶ

f

ܺଵ

‫ݍ‬ଷ

continuous ontoX1䛾㒊ศ䜢ᣑ኱ (⢒ど໬)䛧䛯䛔

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݍ‬௡ for ‫ܺ א ݔ‬௡݂ǣ ܺ ՜ ܺଵ , continuous, quotient, onto (not one to one)

䠄Peano-continuum䛾ሙྜ䜒ྠᵝ䠅Def. ඲ᑕ f : (X,τ) → (Y,τ’) , quotient (ၟ෗ീ) я τ’ = τf ≡{UӨY, f -1(U)Ѯτ}
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃⮬ᕫ┦ఝ䛸㝵ᒙᛶ
9 ศゎ✵㛫(⢒ど໬)䜢స䜛䛯䜑䛾ᐃ⌮

Theoremѩf : (X,τ) → (Y,τ’) : quotient, onto э h : (Y,τ’) ؄ (Ɗ,τ(Ɗ)),

y հ f -1(y) : ྠ┦

where, (Ɗ,τ (Ɗ)) : decomposition space of X, (the space of fibers)Ɗ = { f -1(y)ӨX ; yѮY }, τ(Ɗ) ={ƲӨƊ;ҐƲѮτ}•݂ǣ ܺ ՜ ܺଵ , quotient, onto (not one to one) э h : X1 ؄ Ɗ(Ɗ,τ (Ɗ)) : 0-dim, perfect, T0-space or Peano-continuumX ՜ Ɗ1 ՜ Ɗ2՜ … 䠖⢒ど໬ิ䠄ྛƊi 䛿ྠ䛨఩┦ᵓ㐀䠅• X 䠖 0-dim, perfect, TSS э 䛩䜉䛶䛾Ɗi 䛿CMTS䛻ྠ┦

X ؄ Ɗ1 ؄ Ɗ2 ؄ … 䠖ྠ┦⢒ど໬ิ

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃134

⮬ᕫ┦ఝ䛸㝵ᒙᛶ
9 ఩┦ⓗ⮬ᕫ┦ఝ䛾㝵ᒙᵓ㐀㐀

Xe
X : 0-dim, perfect TSS or connected
TSS
ܺൌራ

௠

௝ୀଵ

݂௝ ሺܺሻ

Ɗ1 : decomposition TSS of X

Ɗ1 ൌ ራ

( ሼ݂௝ ሽ-TSS )௠௝ୀଵ݂௝ଵ ሺƊ1ሻ

Ɗ1

Ɗ2

௠

௝ୀଵ

݂௝ଶ ሺƊ2ሻ(ሼ݂௝ଶ ሽ-TSS )

䠖ྠ┦෗ീ

h2

fj

Ɗ2
h3

f j3

Ɗ3

䞉
䞉
䞉

Ɗʹ ൌ ራ

Ɗ3

݂௝ଶ ൌ ݄ଶ ‫݂ ל‬௝ଵ ‫݄ ל‬ଶିଵ

Ɗ1

䠖⦰ᑠ෗ീ

2

h3

Ɗ2 : decomposition TSS of Ɗ1h2 : Ɗ1 ؄ Ɗ2

f j1

h2

(ሼ݂௝ଵ ሽ-TSS )

X
h1

h1

݂௝ଵ ൌ ݄ଵ ‫݂ ל‬௝ ‫݄ ל‬ଵିଵ

h1 : X ؄ Ɗ1

fj

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀ᾮయ⡿ἑᐩ⨾Ꮚ䛂୙つ๎⣔䛾≀⌮䛃ᒾἼ᭩ᗑ㻔㻞㻜㻝㻡㻕

จ⦰⣔≀㉁
ᅛయ

⤖ᬗ 㻔୪㐍ᑐ⛠ᛶ㻕㠀⤖ᬗᅛయ 㻔㠀ᬗ㉁㻘㻌䜰䝰䝹䝣䜯䝇㻘㻌‽⤖ᬗ㻕(a) ⨨᥮ᆺ䛾஘䜜 (୙つ๎ྜ㔠䛺䛹)(b) ఩⨨䛾஘䜜 (ᾮయ䛺䛹)(c) 䛴䛺䛜䜚䛾஘䜜 (ศᏊᛶᾮయ䚸㧗ศᏊ) (d) 㐃⥆ⓗ䛺஘䜜 (จᅛ䚸⤖ᬗᡂ㛗)୙つ๎⣔䛾จ⦰⣔≀㉁䛻ぢ䜙䜜䜛ཎᏊ䚸ศᏊ䛚䜘䜃䚸䛭䜜䜙䛾จ㞟య䛜స䜛ᵝ䚻䛺ᗄఱᏛᵓ㐀((b)-(d))䛻╔┠IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃135

ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧
9 ୍⯡఩┦✵㛫ㄽ(㐃⥆య⌮ㄽ)䛻䜘䜛䜰䝥䝻䞊䝏୙つ๎⣔≀㉁䛜స䜛ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䠄Topology Structure of Matters(TSM))䛻ᑐ䛩䜛(⤖ᬗᏛ䛻䛚䛡䜛⩌ㄽ䛾䜘䛖䛺)⤫୍ⓗ䛺ᩘ⌮ᥥീ䞉ศ㢮䛿ྍ⬟䛛䠛• continuum 䜎䛯䛿 direct sum of continua 䛺䜛఩┦✵㛫䛸䛧䛶≉ᚩ䛵䛡• 䝧䞊䝇䛸䛺䜛఩┦✵㛫 X 䜢⏝䛔䛶≀㉁䛾ヲ⣽䛻౫䜙䛺䛔㼀㻿㻹䛾⾲⌧䜢᥈䜛

X
Y1

Y2

Y3 䞉䞉䞉 䠖 TSM(continua)X 䜢௓䛧䛯TSM䛾⤫୍ⓗ㆟ㄽ

S. Ohmori, et.al., Phys. Scr., 94 105213 (2019)

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧•╔᝿䠖 ㏫✵㛫䛻䜘䜛≀㉁䛾≉ᚩ䛵䛡→ᵓ㐀ゎᯒ䠖≀㉁䛭䛾䜒䛾䜢ぢ䜛䛾䛷䛿䛺䛟㏫✵㛫䜢㏻䛧䛶䜏䜛(㏫✵㛫䛜ᐇయ䛸䛺䜛)

•

㟁Ꮚ⥺
X-⥺

㟁Ꮚ㓄ิ
(≀㉁)

㏫✵㛫
(ほ )

X䛻䜘䜛⾲⌧᪉ἲ䠖ศゎ✵㛫䛷䛾≀䛾ぢ᪉X

decomposition space Ɗ of X
(quotient)equivalence relation

X

Ɗ1 ؄

Ɗ2 ؄
Ɗ3 ؄

䞉䞉䞉
Ɗ : TSM䛾఩┦⾲⌧

Y1
Y2
Y3
Y : TSM

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃136

ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧
Hausdorff-Alexander theorem(X,τ) : 0-dim, perfect, compact, Hausdorff-space, (Y,τd) : compact metric spaceэ ѩ f : (X,τ) → (Y,τd) , continuous ontoh : (Y,τd) ؄ (Ɗ,τ (Ɗ)), y հ f -1(y)(Ɗ,τ (Ɗ)) : decomposition space of X,

where, Ɗ = { f -1(y)ӨX ; yѮY }, τ(Ɗ) ={ƲӨƊ;ҐƲѮτ}X(the space of fibers)

f

Ɗ

Y
h

→ TSM䛿, 0-dim, perfect, compact, Hausdorff-space䛺䜛X䛾
decomposition space Ɗ䛸䛧䛶఩┦⾲⌧䛷䛝䜛
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧Cantor cube model(X,τ) = ({0,1}Λ, τ0 Λ)(Card Λ Ӎℵ0)({0,1}Λ, τ0 Λ) : Λ-product space of the discrete space ({0,1}, τ0 ){0,1}Λ = {s䠖Λ→{0,1}}, τ0 : discrete topology for {0,1},
Λ = N, R, etc.,

9 0-dim, perfect, compact, Hausdorff-space
9 Card Λ=ℵ0 (ex. Λ = N)䠗
ஶ(X,τ) is a Cantor set (τ = τd , d(x, y) = ߑ௜ୀଵ|xi-yi|/2i )IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

137

TSM䛾
䛾continuum䛻䛻䜘䜛ศ㢮ศᏊᛶᾮయ䛾䝛䝑䝖䝽䞊䜽ᵓ㐀
T. Morishita,
Phys. Rev. Lett.
87 105701 (2001)

1. finite graph : a continuum that is the union offinitely many arcs two of which are either disjoint orintersect only one or both their end points•arc䠖 a topological space homeomorphic to [0,1](䝛䝑䝖䝽䞊䜽ᵓ㐀඲⯡䠖ศᏊᛶᾮయ, 㧗ศᏊ䛺䛹)㧗ศᏊ䝛䝑䝖䝽䞊䜽(㧗ศᏊ䝖䝫䝻䝆䞊)
Y. Tezuka, et.al., J. Am. Chem.
Soc. 123 11570 (2001)

2. tree : a graph which contains no simple closed curve(䝕䞁䝗䝷䜲䝖, DLA䛺䛹)

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃TSM䛾
䛾continuum䛻䛻䜘䜛ศ㢮
3. dendrite : a Peano-continuum(locally connected, continuum) that contains nosimple closed curve(䝣䝷䜽䝍䝹, 䝅䝎-ᵓ㐀䛺䛹)

Note : a tree implies a dendrite䝅䝎

4. direct sum of continua䠖䠖
௦
௦
ሺْ௜ୀଵ
Ci , ْ௜ୀଵ
τi)

௦
௦
ْ௜ୀଵ
τi ={UӨ ْ௜ୀଵCi , U∩CiѮ τi , i=1,..,s}where, each Ci is a continuum(䜽䝷䝇䝍䞊ᵓ㐀, ከ⤖ᬗయ, ᭷㝈Ⅼิ䛺䛹)
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

138

఩┦⾲⌧
TSM = Y : arc

ѩF: Y ؄ [0,1]Ybஶܾ ᇱ ‫ א‬ሾͲǡͳሿ䛾஧㐍ᑠᩘ⾲♧: ܾ ᇱ = ߑ௜ୀଵki/2i , kiѮ{0,1}, i = 1,2,…

M = {l/2nѮ[0,1] ; n = 1,2,…, l = 1,2, .. ,2n-1}•

ܾ ᇱ ‫Ͳ א‬ǡͳ െ ‫ܯ‬bѮY я h(b) = {sѮ{0,1} Λ ; sλ1= k1, sλ2= k2, …} Ѯ Ɗ
•

F
-(1)

0

({λ1, λ2, …, }ӨΛ)ܾᇱ ‫ܯ א‬b’ = F(b)bѮY я h(b) = {sѮ{0,1} Λ ; sλi= ki, i=1, … , n, sλn+1= 0,sλn+2= 1, sλn+3= 1, …}
Ґ {sѮ{0,1} Λ ; sλi= ki, i=1, … , n,, sλn+1= 1, sλn+2=0, sλn+3= 0, …} Ѯ Ɗ1

b’ 1

-(2)

9 arc Y 䛾Cantor cube ({0,1}Λ, τ0 Λ)䛻䜘䜛఩┦⾲⌧ :(Ɗ, τ(Ɗ))Ɗ = {Sb : bѮY1} (τ(Ɗ) ={ƲӨƊ;ҐƲѮτ0Λ})b ؐ Sb =(1), ‫Ͳ א ܾ ܨ‬ǡͳ െ ‫ܯ‬

h

Y ؄Ɗ

“ ؐ ” 䠖 b䛸h(b)䜢ྠ୍ど(2), ‫ܯ א ܾ ܨ‬

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃఩┦⾲⌧
TSM = Yg : graphYg = E1ҐE2Ґ䞉䞉䞉ҐEn
Ei : arc ( ؄ [0,1] ), Ei ∩ Ej = end point or Φ(✵){0,1}Λ = A1Ґ䞉䞉䞉Ґ An䠖┤࿴ศ๭ (Ai : topological cone)
A1 = {0}ξ1㽢{0,1}Λ-{ξ1}

arc

E1

Ej

E2

b
x

Ei
end points

Ai = {1}ξ1㽢{1}ξ2 㽢…㽢{0}ξi㽢{0,1}Λ-{ξ1,.., ξi} (i=2,…,i-1)
An = {1}ξ1㽢…㽢{1}ξn㽢{0,1}Λ-{ξ1,.., ξn}h

9 graph Yg䛾఩┦⾲⌧ Ɗg௤x ؐ ‫ڂ‬௝ୀଵ [Atj∩Stjx ] , b ؐ Ai∩Sib

Yg ؄ Ɗg

X = {0,1}Λ

• Atj : Ygෆ䛾arc Etj䛾Ⅼ䛷䛒䜛䛣䛸䜢♧䛩㡯• Sjb : Ejෆ䛾఩⨨䜢♧䛩㡯

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

139

఩┦⾲⌧
TSM = Yc : direct sum of continuab௦௦Yc = (ْ௜ୀଵCi , ْ௜ୀଵ
τ i)

Ci : finite graph, i=1,…,s (s :䜽䝷䝇䝍䞊䛾ᩘ){0,1}Λ = J1Ґ䞉䞉䞉Ґ Js : ┤࿴ศ๭(Ji : cone)
Ji я Ci

x

C2

C1
C3

(i=1,…,s)ྛCiෆ䛾graph䛻ᑐ䛩䜛┤࿴ศ๭

9 direct sum Yc䛾఩┦⾲⌧ Ɗc௤x ؐ Ji0∩ ‫ڂ‬௝ୀଵ [Atj∩Stjx ] , b ؐ Ji0∩ [Aj∩Sjb]•

Ji0 : b䛜䜽䝷䝇䝍䞊Ci0䛻ྵ䜎䜜䛶䛔䜛䛣䛸䜢♧䛩㡯•[…] : b䛜Ci0䛾graph୰䛾Ⅼ䜢⾲⌧䛩䜛㡯

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃఩┦⾲⌧䛭䛾௚䛾⾲⌧
TSM = Yt : tree఩┦⾲⌧ ƊD
9 tree Yt䛾఩┦⾲⌧௤x ؐ ‫ڂ‬௝ୀଵ [Atj∩Stjx ] , b ؐ Ai∩Sibbx

TSM = Yf : ୍Ⅼ䛾䜏䛛䜙ᡂ䜛䜽䝷䝇䝍䞊(᭷㝈Ⅼิ)௦௦
Yf = ْ௜ୀଵ
Ci = ْ௜ୀଵ
{xi} = {x1,…, xs}

9 Yf䛾఩┦⾲⌧ Ɗf

Ɗf = {J1 ,…, Js},xi ؐ Jixi

xj

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

140

఩┦⾲⌧
9 dendrite⤖ᬗ䛻䜘䛳䛶స䜙䜜䜛ከ⤖ᬗయ
Q. dendriteᵓ㐀䜔⮬ᕫ┦ఝᵓ㐀䜢䜒䛴⤖ᬗ䛻䜘䛳䛶䚸䛭䜜䜙䛾㞟ྜయ䛷䛒䜛ከ⤖ᬗ䜢ᇙ䜑䛴䛟䛩䛣䛸䛜䛷䛝䜛䛛䠛(tiling ၥ㢟)

Z
Ɗi

Ɗ1

Ɗi

Ɗ2

Ɗn

Ɗ䡆

Z : ␗䛺䜛dendrite(tree)䛾direct sum䛸䛧䛶䜏䛺䛩

Cantor cube model䜢㐺⏝䠖

9 dendrite⤖ᬗཬ䜃ከ⤖ᬗ䛾఩┦⾲⌧ƊZ =ْ௡௜ୀଵ Ɗi
Ɗi = {x ؐ Ji∩[‫ڂ‬௜ୀଵǡǥǡ௤ሺAti∩Sti‫ݔ‬ሻ]; xѮY id}Ґ{b ؐ Ji∩ Aj∩Sjx; bѮY id}( Ɗi : dendrite䜢♧䛩఩┦⾲⌧)

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃఩┦⾲⌧
TSM = YD : fern-structure

p0
䞉䞉䞉

YD

{0,1}Λ 䠖
X1 = {0}λ1㽢{0,1}Λ-{λ1}Xi = {1} λ1㽢{1} λ2 㽢…㽢{0} λi
㽢{0,1}Λ-{λ1,.., λi} ,(i=1,2,…)0
X = {1} λ1㽢{1} λ2 㽢…㽢{0,1}Λ-{λ1,..}

l4

F3

l2

l3

p3

F2
p2

F1

p1

9 YD䛾఩┦⾲⌧ p ؐ (Xi∩S )Ґ(Xi+1∩S0 ) , p ؐ X0
i
pi
0
pi
䞉 R2 : Euclid metric space
F1 : arc with end points l1, l2,
F2 : arc with end points l3, p’,
F1 ѱp1, h1(p1) = 1/2

b ؐ Xi ∩Sib

h1 : F1 ؄ [0,1]h2 : F2 ؄ [0,1](dia F2 < dia F1 )

l1

l2

F2

F1
p1

f1 : {p1} →F2, f1(p1)=p’ 䜢⏝䛔䛶, F12 = F1Ґf F2䛺䜛᥋╔✵㛫l1→ 䛣䜜䜢⥆䛡䜛 ({p0}=Lim Fi)

l3

F12

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃141ศゎ✵㛫䛾㡰ᗎ
9 Cantor cube X ={0,1}Λ 䛾ศゎ✵㛫䛸䛧䛶ᵝ䚻䛺ᗄఱᏛⓗ䝟䝍䞊䞁䜢⤫୍ⓗ䛻⾲⌧

9 X 䜢ኚ䛘䛯䛸䛝䛾⾲⌧䛾ኚ໬Յ

• X ={0,1} ଴ : Cantor set(⮬ᕫ┦ఝ)䛸䛭䛾⦰ᑠ෗ീ䜢⏝䛔䛯ሙྜ• X =Peano continuum 䛾ሙྜ

9 ఩┦⾲⌧䛥䜜䛯continuum䜔direct sum of continua䛾㛵ಀᛶ 䠄⌧ᅾ䛾⯆࿡䠅→ ྛ఩┦⾲⌧(ศゎ✵㛫)䛾㛫䛻㡰ᗎ䜢ᑟධ

X
Ɗ1

Ɗ2

Ɗ3

䞉䞉䞉 䠖 ఩┦⾲⌧䛥䜜䛯䝟䝍䞊䞁Ɗi䛾㛵ಀᛶ
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃ศゎ✵㛫䛾㡰ᗎᐃ⩏䠖 Ɗ 䜢 X 䛾ศゎ✵㛫䛸䛧䛶, 䛭䛾≉ᚩ㔞 S(Ɗ) 䛾㡰ᗎ䜢௨ୗ䛷ᐃ⩏䛩䜛䠖S(Ɗ2) ൑ S(Ɗ1) я ѦD1ѮƊ1, ѩD2Ѯ Ɗ2, s.t. D1ӨD2

where Ɗ1, Ɗ2 Ѯ2Ɗ ‫{ ؝‬ƊӨ2X-{ϕ}; Ɗ 䛿 X 䛾ศゎ✵㛫}

X
Ɗ1

Ɗ2

Note •  2Ɗ = {{x}; xѮX},  2Ɗ = {X}඲㡰ᗎ䛷䛿䛺䛔ஸ• Ɗ1, Ɗ2 Ѯ2Ɗ䛻ᑐ䛧䛶, π1 : X → Ɗ1, π2 : X → Ɗ2 : natural map䛸䛩䜛

Ɗ2

•

ஸ

䛔䛟䛴䛛䛾୍⯡ⓗᛶ㉁ѩg: Ɗ

1 → Ɗ2 , continuous, onto, s.t., π2 = g䖚 π1

я S(Ɗ2) ൑ S(Ɗ1)π2• Ɗ1 : continuum, Ɗ2 : usc decomposition space of (X, τ) s.t. S(Ɗ2) ൑ S(Ɗ1)

gXэ Ɗ2 is a continuum

Def. : a decomposition Ɗ of (S, T) is said to be upper semi-continuous (usc) provided that wheneverDѮƊ, UѮT, and DӨU, there exists VѮT with DӨV such that if AѮƊ and A∩V≠ ϕ, then AӨU

Note : Cantor cube model 䛾఩┦⾲⌧䛸䛧䛶ᚓ䜙䜜䛶䛔䜛ศゎ✵㛫䛿ᚲ䛪usc䛷䛒䜛
IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

142

Ɗ1
π1

ศゎ✵㛫䛾㡰ᗎ
9 ᗄఱᏛⓗ䜲䝯䞊䝆䛟䛳䛴䛟㻔㼍㼠㼠㼍㼏㼔㼕㼚㼓㻕䛸 S(Ɗ)䛿ᑠ䛥䛟䛺䜛
F

Ɗ1

Ɗ2

Ɗ’
F

Ɗ1

Ɗ’

Ɗ2
Ɗ’= Ɗ1 ራ Ɗ2

Ɗ = Ɗ1ْƊ2ி䠖direct sum of continua: Ɗ1-Ɗ2䛾F䛻䜘䜛attaching spaceS(Ɗ) ൒ S(Ɗ’))

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃㛫ศゎ✵㛫䛾㡰ᗎ
9 ᗄఱᏛⓗ䜲䝯䞊䝆ᯞ䛜ῶ䜛䛸 S(Ɗ)䛿ᑠ䛥䛟䛺䜛

Ɗ’Ɗ

S(Ɗ) ൒ S(Ɗ’)Ɗ’Ɗ

S(Ɗ) ൒ S(Ɗ’) ൒ S(Ɗ’’)Ɗ’’

IMI ◊✲఍䛂ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII䛃 9/9/2022 䛂୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䜢⏝䛔䛯≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧䛻䛴䛔䛶䛃

143

䜎 䛸䜑
9 ୍⯡఩┦✵㛫ㄽ(General Topology)䛾⤂௓

9 䝣䝷䜽䝍䝹⛉Ꮫ䛸୍⯡఩┦✵㛫ㄽ䠄㐃⥆య⌮ㄽ䠅䛸䛾㛵䜟䜚9 ≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗᵓ㐀䛾⾲⌧•㐃⥆య⌮ㄽ䜢⏝䛔䛯ᗄఱᏛⓗᵓ㐀(䝟䝍䞊䞁)䛾≉ᚩ䛵䛡

•

Cantor cube model䜢⏝䛔䛯䝟䝍䞊䞁䛾఩┦⾲⌧•≉ᚩ㔞䜢⏝䛔䛶఩┦⾲⌧䜢ศ㢮

X
Ɗ1

Ɗ2

Ɗ3

䞉䞉䞉 䠖 TR(≀㉁䛾ᗄఱᏛⓗ䝟䝍䞊䞁)

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144

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Topological multiferroics induced by local/quantum
symmetry breaking via lattice/electron defects
Takahiro SHIMADA
Kyoto University, Japan
Realization of ultrasmall ferroics with nontrivial topological field textures such as vortices, skyrmions, and merons holds promise in novel technological paradigms. Suchnontrivial ferroelectric orders and their functionalities, however, inevitably disappear
below a critical size of several nanometers. In addition, very few topological structures
can exist in ferroelectrics due to the lack of non-collinear interaction among electric
dipoles, unlike the Dzyaloshinskii-Moriya interaction among spins in ferromagnetics.
Here, we demonstrate from first-principles that “Atomic-scale Multiferroics” and “Polar Skyrmions and Merons” can be formed by engineering lattice defects and electron
defects (i.e., polarons) in heterostructures of perovskite oxides. Doped (excess) electrons are localized and form a polaronic state in the heterostructures (surfaces andgrain boundaries), and give rise to skyrmionic and meronic dipole moments aroundthe polaron formation sites due to the cooperative symmetry breaking of polarons andheterostructures. We further show that the topological number of polaronic state canbe tailored by applied mechanical strain, i.e., strain engineering for polar topologies.
Our discovery overcomes physical limitations of the critical size of 3-10 nm where ferroelectricity disappears and the inability to form topological field (skyrmions, merons)of polarization due to absence of chiral interaction among electric dipoles, and realizes unique polar topological orders at ultimately electron(polaron)-scale. The clarified
mechanism that local symmetry breaking via polaron formation coupled with heterostructures provides a novel approach to realize ultimate miniaturization of ferroic
materials and opens up new fields to create the polar topological objects. Our result
therefore adds a new class of functional polaron families as “Topological Polarons”.

145

IMI Workshop II: 材料科学における幾何と代数III（2022年9⽉9⽇）

格⼦・電⼦⽋陥による局所対称性の破れとトポロジカル・マルチフェロイクスの創出
Topological multiferroics induced by local/quantum symmetry breaking via lattice/electron defects

嶋⽥ 隆広
京都⼤学 ⼤学院⼯学研究科 機械理⼯学専攻៽ shimada@me.kyoto-u.ac.jp

略歴
嶋⽥ 隆広
京都⼤学 ⼤学院⼯学研究科 機械理⼯学専攻第⼀原理解析、分⼦動⼒学、Phase-field
シミュレーションなど

 ナノスケール材料の強度特性
 ナノ物質の電⼦物性（強誘電性・磁性）と変形とのカップリング効果
 原⼦・電⼦系での⼒学理論と解析
技術開発
 量⼦機械実現に向けた取り組み
材料物性学研究室HP: https://material.me.kyoto-u.ac.jp/

2146

強誘電体(圧電体)とマルチフィジックス
強誘電体(圧電体) (代表例: PbTiO3, BaTiO3, PZT, etc)
Pध

Pb2+

O2-

Pऩ

Ti4+

電場

PbTiO3Eଯ

陽(Pb,Ti)・陰(O)イオンが⾃発的に逆変位

नP : ⾃発分極機械(⼒学的)
エネルギー

外⼒

圧電性

強誘電性

ਓ঵ૢ৷‫؟‬崊崗崩嵍崐嵤崧‫؜‬崣嵛崝嵤‫؜‬ಓਗ਼ಞ৕‫ਂ؜‬ม৅ਙ嵉嵊嵒‫؜‬etc.

応⼒・
ひずみ

強誘電体

分極

電気的
エネルギー

電場

機械(⼒学的)エネルギーと電気的エネルギーの相互変換が単⼀要素で可能
機械⼯学の観点から，複雑な機械・運動機構を構造的に組み込むことが困難なナノレベルで電気機械駆動を可能にするナノ機械材料として重要
3

低次元ナノ強誘電体のマルチフィジックス特性
形状効果

2次元
(⾯状)

表⾯
A Visinoiu et al., Appl.
Phys. A, 80, 229(2005).

⼩C. Thompson et al,
Appl. Phys. Lett,93, 182901 (2008)

ナノ薄膜

T.Shimada, et al., PRB, 81, 144116 (2010)
T.Shimada, et al., ActaMech, 224, 1261 (2013)

表⾯

1次元
(線状)

T.Shimada, et al., JPCM, 24, 045903 (2012)
T.Shimada, et al., PhysicaB, 410, 22 (2013)

ナノワイヤ

Jeffrey J.Urban et.al.,
Adv.Mater, 5, 15(2003).

F.D.Morrison et.al.
Microelectron Eng.,66, 591 (2003).

ナノ
チューブ

ナノワイヤ・チューブ

0次元
(点状)

表⾯
ステップ

ナノ薄膜

(表⾯効果)

T.Shimada, et al., PRB, 79, 024102 (2009)
T.Shimada, et al., Nano Lett., 16, 6774 (2016)

T.Shimada, et al., PRL, 108, 067601 (2012)
T.Shimada, et al., PRB, 89, 144102 (2014)

表⾯
M.J. Polking et.al.
Nat. Mater., 11, 700(2012).

ナノドット・粒⼦

⼤T.Shimada, et al., J.Appl.Phys., 123, 114101 (2018)
T.Shimada, et al., Sci.Rep., 7, 45373 (2017), etc.

4147

形状効果 と 分極の幾何学的秩序
表⾯ステップ

ナノスプリンググ

Top view
H

200nm

複雑化

R

M.Suzuki, Y.Taga,
JJAP, 40, L358 (2001)

トロイダル
モーメント

gșlocal

ハイパートロイダルモーメント
T.Shimada, et al., Sci. Rep., 6, 35199 (2016)

⾼
次
構
造
化

ナノドット

渦状分極

ナノ形状固有の分極秩序

無秩序

H

固有分極

200nm

M.Suzuki, et al.,APL, 78, 3968 (2001)

1
R  gșlocal dsl C

T.Shimada, et al., Sci. Rep., 6, 35199 (2016)

⾼次秩序変数

メタマテリアル ナノポーラス材
H. Masuda, et al.,AdvMater (2001)

X.Wang,T.Shimada,et al.,JAP,123,114101 (2018)嵆崗嵕౫‫؟‬超らせん状の階層化

L.Lich, T.Shimada, et al.,Acta Mater., 113, 81 (2016)
L.Lich, T.Shimada, et al.,Nanoscale, 9, 15525 (2017)

L.Lich, T.Shimada, et al.,Acta Mater., 125, 202 (2017)

負の圧電効果多重ヒステリシス応答
圧電の構造設計(マクロ材は単⼀応答)

形状・⼨法・表⾯構造がナノ材料の物性・機能を⽀配‫ ܯ‬嵆崗嵕౫‫؟‬஄૾嵣࿡১峕ൂோ峅峄⼀定値

5マルチフェロイクス⼩型化の物理的限界
集積デバイス

ମ 構成要素を⾼密度に集積ମ ⼤容量化、⾼速化

構成要素の⼩型化が重要

マルチフェロイクスの強誘電性や磁性ମ ⼨法が数ナノメートル程度になると消失*1,2
材料を加⼯ ମ 臨界サイズ以下のマルチフェロイクスを作製
物理的に不可能*1 Y.zhang, et. al., Phys. Rev. B, 90, 184107 (2014).

148*2 N.J.Polking, et. al., Nat. Mater., 11, 700 (2012).

6

マルチフェロイクス（磁性強誘電体）
強誘電体 (৻਀୻‫؟‬PZT, PbTiO3)磁性体 (৻਀୻‫؟‬Fe, Ni, Co)Pb

up-spin down-spin

Ti

M

P

O

原⼦の相対変位 ମ 電荷の偏り

P : ⾃発分極

スピンの偏り ମ ⼀⽅向に揃う

強誘電性・圧電性

磁性ૢ৷୻‫؟‬

ૢ৷୻‫؟‬
磁気ヘッド

強誘電メモリ

磁気ディスク

MEMSのアクチュエータ

強誘電性と磁性を同時に⽰す材料 ମ
相互作⽤

M : ⾃発磁化

マルチフェロイクス

ମ ૢ৷୻‫؟‬崡崼嵛崰嵕崳崗崡崯崸崌崡‫؜‬ਗ਼ਞ჌ਞ崯崸崌崡7

究極の機械-電気-磁気機能材料を⽬指して（単⼀要素で⼒場-電場-磁場すべてと作⽤）৯৓‫؟‬超微⼩な機械-電気-磁気機能材料の創出
ମ最も⼩さく多機能な「機械」を創る

⼒場 F

⼒学特性
Ĳı
ਖ਻‫؟ڭ‬ਘාਗ਼ਙ峒჌ਙ峙共存し得ない
強誘電性: d0電⼦配置 (例: Ti4+ in PbTiO3)

相反する電⼦的起源
磁性: 部分的に占有された d 軌道状態 (例: Fe)

P
強誘電性
電場 E

電⼦論

ナノ構造

M
磁 性
磁場 H

ਖ਻‫؟ڮ‬機能限界⼨法の存在ある臨界ナノサイズで材料機能が失われる
構造的な安定性も損なわれる* Y.zhang, et. al., Phys. Rev. B, 90, 184107 (2014).
N.J.Polking, et. al., Nat. Mater., 11, 700 (2012).
‫؟୻ق‬౫મ࿡১岶 3-10 nm 程度で強誘電性が消失*）T.Shimada, et. al. Phys. Rev. B, 79, 024102 (2009).
8149

強誘電体における磁性発現とその要因

PbTiO3: ⾮磁性材料

外部磁場-磁気モーメントのヒステリシス

PbTiO3ナノ多結晶

PbTiO3に磁性が発現*1*1 M.Wang, et. al., J. Am. Ceram. Soc., 93,

2151 (2010).

Oxygen vacancies

Grain Boundaries

Dislocation cores

Magnetization*2T.Shimada, Nano Lett., 15, 27 (2015).

T.Shimada, Phys.Rev.Lett., 115, 107202 (2015).
T. Shimada, Nano Lett., 16, 454 (2016).
T.Shimada, Adv.Elect.Mater., 2, 1600113 (2016).
T.Shimada, Nano Lett., 17, 2674 (2017).

結晶粒界や表⾯に偏析した原⼦空孔や転位などのが格⼦⽋陥が磁性を担うことを解明*2

格⼦⽋陥を⼯学利⽤することで原⼦スケールのマルチフェロイクス
を創出できる可能性

格⼦⽋陥を利⽤した「原⼦」スケール機能性材料

10

150

強誘電体における磁性発現とその背景
強誘電体PbTiO3 ମ⾮磁性
外部磁場-磁気モーメントのヒステリシス

PbTiO3ナノ粒⼦

⾮磁性のはずのPbTiO3に磁性が発現*1*1 M.Wang, et. al., J. Am. Ceram. Soc.,

93, 2151 (2010).

੒਋峅峄ਠ島峉჌ਙ峘କ౺峙‫ء‬嵉崓崳崢嵈峙‫ء‬਀એଡୗ岵‫ء‬ਉ৕૬ሠ峮ಳี岵‫౎ء‬峘౤৕…‫ء‬

第⼀原理解析による理論研究はいずれも実験結果と整合せず（後述），
磁性の起源を特定できず，メカニズムも不明のまま…
11

格⼦⽋陥の電⼦状態と従来解析の⽋点
伝導帯(CBM)
Band gap
Egap
3.4 eV
(実験値)

VO

⽋陥準位

Ti4+
Pb2+

価電⼦帯(VBM)

格⼦⽋陥（原⼦空孔）

୻‫؟‬෷ಞ૬ሠ

O2-

格⼦⽋陥固有の電⼦状態（⽋陥の性質を特徴づける）

従来の第⼀原理解析

伝導帯(CBM)Egap
3.4 eV(実験値))CBMDFT

⽋陥準位
⽋陥準位
Egap-DFT
1.6~2.0 eV

VBMDFT
価電⼦帯(VBM)

バンドギャップを過⼩評価

格⼦⽋陥の電⼦状態が再現できない12151

ハイブリッド汎関数を⽤いた⾼精度解析਀‫؟‬జਟ峘ਸ਼঳ਉ৶ੰෲ峒ম崷崌崾嵒崫崱ሑঢ়ਯ১峕峲峵PbTiO3物性の理論値と実験値

LDA
a

3.86

GGA
GGAsol GGA+U
従来法（⼀般的な交換相関近似）
3.85
3.88
3.90

c

4.04

4.84

4.15

4.01

4.14

4.15

c/a

1.043

1.257

1.070

1.028

1.072

1.071

Egap

1.6

1.8

2.0

2.5

3.4

3.4

本解析*1

実験値

3.86

3.88

密度汎関数法における⼀般化密度勾配近似とハートリー・
フォック交換エネルギーによるハイブリッド汎関数法により，
PbTiO3の結晶構造・強誘電性・電⼦状態を厳密に再現→⽋陥準位の記述が可能に

O

c

Ti

Pb

a

*1.T.Shimada, et al. Phys.Rev.B, 87, 174111 (2013).

デメリット‫؟‬జਟ峘ਸ਼঳ਉ৶ੰෲ峘約５〜１０倍に及ぶ計算負荷の増加
13

磁性発現因⼦の理論的特定
本解析結果‫؟‬PbTiO3表⾯/内部の各原⼦空孔の磁気モーメントMと⽋陥形成エネルギーEvf
表⾯上

空孔の種類

O

M (ȝB)

2.0

Evf (eV)

2.04

Ti

Pb

O

0

0

6.16

4.98

表⾯上の酸素空孔が磁性を発現し，最も安定に存在するমੰෲ‫਀؟‬એ঱峘෷ಞ૬ሠが磁性発現の主要因

結晶内部
Ti

Pb

O

0

4.0

0

Pb

2.94

11.16

5.81

既往実験

Total energy of thesystem with vacancy

Ti

⽋陥形成エネルギー
Chemicalpotential

Total energy of theperfect system

No. ofvacancies

1. ナノ粒⼦の平均粒径が⼩さくなるにつれて，単位体積あたりの磁気モーメント値も増加する*1*1 M.Wang et al., J.Am.Ceram.Soc., 93, 2151 (2010)“表⾯積” の関与を⽰唆
2. ⼤気中でアニールしたサンプルは，真空中で⾏った
サンプルよりも⼤幅に磁気モーメントが低下する*2

実験事実と整合*2 Z.Zhang et al., Solid State Sci., 13, 1391 (2011)

本解析により，初めて磁性発現の現象を捉え，起源の特定に成功*“酸素空孔”の関与を⽰唆*T.Shimada*T
Shimada et alal., Phys
Phys. Rev
Rev. Lett
Lett., 115,
115 107202 (2015).
(2015)
14152

表⾯空孔＝「原⼦スケールのマルチフェロイクス」
材料全体が強誘電性を有する

表⾯の酸素空孔の磁気モーメント分布＋

磁性は酸素空孔部の原⼦スケール領域のみに発現

磁気モーメント

空孔の原⼦スケールの領域が酸素
空孔

磁性強誘電体（マルチフェロイクス）

ਖ਻‫؟ڭ‬ਘාਗ਼ਙ峒჌ਙ峙共存し得ないਙ峒჌ਙਖ਻‫؟ڮ‬機能限界⼨法の存在
界⼨法
原⼦スケールPbTiO3表⾯*T.Shimada et al.,Phys. Rev. Lett., 115,
107202 (2015).

P
強誘電性

⼒学特性

突破
Ĳı

電⼦論

原⼦スケールの磁性強誘電体M
磁 性

15

空孔機能の外場応答の存在
FE (P :[100])

FE (P :[010])

or

外部電場による
分極反転
PE (No Polarization)
FE (P :[001])

負の磁気モーメント
酸素
空孔

正の磁気モーメント

常磁性(強磁性)

反強磁性

⾮磁性

⾮磁性

⾃発分極⽅向の電場反転に伴い，空孔に磁気相転移が⽣じる=> 原⼦空孔にも関わらず電気磁気効果(外場応答)が存在**T.Shimada et al., Phys. Rev. Lett., 115, 107202 (2015).
16153

磁性発現の電⼦的起源の解明
結晶内部の酸素空孔
酸素
空孔

表⾯の酸素空孔

酸素
空孔

表⾯部での⽋陥電⼦状態の「対称性の破れ」
が磁性を発現させることを解明
酸素
空孔*T.Shimada et al., Phys. Rev. Lett., 115, 107202 (2015).

酸素
空孔

17

磁性機能の⼒学的制御のアイディア
結晶内部の原⼦空孔 ମ 「対称性の破れ」が無いため，磁性は現れない

酸素
空孔

ひずみ負荷

ひずみ負荷によって結晶対称性を⼒学的に破る→ 結晶内部の原⼦空孔にも磁性発現の可能性
18154磁性機能の⼒学的創出
PbTiO3内部の酸素空孔

等方

常磁性 反強磁性
酸素空孔 (強磁性)

⾮磁性

常磁性
（強磁性）

全体の
材料特性

強誘電
体

磁性強誘電体

磁性強誘電体酸素
空孔

基板৻਀৓੦ഝ‫؟‬
NdGaO3(NGO), LaGaO3(LGO),
SrTiO3(STO), DyScO3(DSO),
GdScO3(GSO), NdScO3(NSO)

酸素
空孔

酸素
空孔

無負荷時 ମ⾮磁性
引張負荷 ମ常磁性（または強磁性）
圧縮負荷 ମ反強磁性・常磁性

⽋陥磁性を⼒学的に発現・制御** T.Shimada, et al., Phys.Rev.B, 92, 104106 (2015)
T.Shimada, et al., Adv.Elec.Mater., 2, 160011 (2016)19

格⼦⽋陥の電機磁気的機械機能
本成果をもとに，2020年には海外研究グループにより実験的観察もなされた
Nano Lett (I.F.: 12.3), 20, 881 (2020)

20

155

らせん転位(HRTEM像)
HRTEM像*各原⼦の密度*・b[001], すべり⾯(010)のらせん転位
・らせん転位芯のTi-O列に空孔が存在*C L. Jia, et al., Phil. Mag. Lett., 86, 11, 683 (2006)

21

解析モデル（らせん転位）
SrScrew dislocation

TiOy[010]
x[100]z[001]

O vacancyLine vector

・b[001], すべり⾯(010)のらせん転位
・Dipoleモデル（原⼦数〜500個）

y[010]
x[100]z[001]

Burgers circuit
Burgers vector b
156

・3次元周期境界条件
・酸素空孔を導⼊
22

らせん転位の強誘電特性
Sr
Ti
O
įFE

P
0.2 Հ

b

x[100]

x[100]
y[010]

y[010]z[001]

Burgers circuit

Dislocation linez[001]

渦

Dislocation line

⼀⽅向SrTiO3らせん転位
らせん
バーガース回路に沿ったらせん状分極の発現

強誘電性の発現領域
強誘電変位分布įFE

強誘電変位 įFE (Հ)

0.20
0.15

d

0.10
0.05

y[010]

0x[100]z[001]

転位芯からの距離の増⼤

0

0

5
10
転位芯からの距離 d(Հ)

15

強誘電変位減少

強誘電性は転位芯近傍の局所のみに発現
24

157

SrTiO3のひずみによる強誘電相転移
ペロブスカイト型酸化物SrTiO3 (STO)

ひずみ負荷

無負荷

Sr
Ti
O

y[010]z[001]
x[100]

P
負荷⽅向に⾃発分極を発現*1
強誘電相

分極を⽰さない
常誘電相*1 A..Antons, et. Al., Phys. Rev. B, 71, 024102 (2005).

25

せん断ひずみ場と強誘電性の対応
強誘電変位 įFE 分布

せん断ひずみ Ȗxz 分布
Ȗxz (％)

įFE

+15.0

-15.0

y[010]
x[100]z[001]

せん断ひずみȖxz

x⽅向強誘電変位
対応
26

158

せん断ひずみ場と強誘電性の対応
強誘電変位 įFE 分布

せん断ひずみ Ȗyz 分布
Ȗyz (％)

įFE

+15.0

-15.0

y[010]
x[100]z[001]

せん断ひずみȖyzy⽅向強誘電変位
対応

らせん転位のせん断ひずみ集中場ମ強誘電性発現27

らせん転位の磁気特性
磁気密度分布磁気モーメント
気モー
転位
転位芯のTi原⼦に
局
局在化

Sr
Ti
O
O Vacancy

異符号・同密度ラインベクトル⽅向に交互に整列

positive

negativex[100]
y[010]

反強磁性(AFM)

z[001]

SrTiO3らせん転位 磁性発現
28

159

磁性発現のメカニズム
SrTiO3らせん転位
不定⽐性による余剰電⼦存在

Up-spinDown-spin

Sr
伝導帯

Ti
O

x[100]

余剰電⼦準位
バンドギャップ

y[010]z[001]

価電⼦帯

Up-spin，Down-spin
それぞれ異なるTi原⼦に局在化

スピン分極

磁性発現
29

SrTiO3のらせん転位におけるマルチフェロイクス特性創出
SrTiO3らせん転位

強誘電性 / 磁性 を同時に⽰す

マルチフェロイック転位

1次元原⼦スケール
マルチフェロイクス

強誘電性

磁性

(格⼦⽋陥)
外部負荷によりすべり⾯上を可動
可動なマルチフェロイクス
傾⾓粒界やねじり粒界の作製
マルチフェロイクスの周期構造化

30

160

格⼦⽋陥⼒学による「原⼦」磁性強誘電体
点⽋陥 (0次元構造)

線⽋陥 (1次元構造)

原⼦空孔

⾯⽋陥 (2次元構造)

転 位

結晶粒界
ドメイン壁

酸素
空孔

結晶粒界
転位

T.Shimada, et al., Phys.Rev.Lett., 115, 107202 (2015)
T.Shimada, et al., Phys.Rev.B, 92, 104106 (2015)
T.Shimada, et al., Adv.Elec.Mater., 2, 160011 (2016)

⽋陥構造

T.Shimada, et al., Nano Lett., 17, 2674 (2017)
T.Shimada, et al., Phys.Chem.Chem.Phys., 21, 22756 (2019)

⼒学的負荷

T.Shimada, et al., Nano Lett., 15, 27 (2015)
T.Shimada, et al., Nano Lett., 16, 454 (2016)

機能限界⼨法を超えた原⼦スケール機能創出

幾何学・⼒学的観点（幾何と⼒学）によって，
材料そのものでは実現し得ないナノ機能を実現
31

電⼦⽋陥を利⽤した
トポロジカル強誘電体

32

161

研究背景｜トポロジカルな秩序の考え⽅
トポロジー 連続的な変形で遷移できる 2 つの図形は同じと考える
連続的な変形で遷移できる秩序をグループ化（ホモトピー）=

ホモトピーの違いで連続変形によって遷移可能かどうかを表現
トポロジカルチャージ‫ਂق‬૗୤‫؟ك‬Skyrmion number nsk で特徴づけられる
強磁性

nsk = 0Meron

nsk = 1/2

Skyrmion

nsk = 1

⾮零な nsk を持つ秩序は連続的に nsk = 0 の秩序に戻ることができない

nsk によってトポロジカル秩序を特徴づけられる
33

致命的問題①｜強誘電体のトポロジカルな秩序
磁性体中のスピン

強誘電体中の分極 強磁性相互作⽤ ⻑距離相互作⽤
クーロン⼒によって

平⾏なスピン配置を好む

イオンの相対変位を引き起こす

競合

の駆動⼒
強磁性の駆動⼒

強誘電性の駆動⼒h Dzyaloshinskii-Moriya
(DM)
⽤
相互作⽤

‫ܧ‬ୈ୑ = ݀ୈ୑ ෍ ‫ݑ‬௜௝ ‫࢓ ڄ‬௜ × ࢓௝

 電気双極⼦モーメントを௜,௝

を
スピンをねじる（トルク）ねじる相互作⽤は存在しない

トポロジカルな秩序の駆動⼒ 無

トポロジカルな秩序の駆動⼒ 有①強誘電分極でトポロジカルな秩序を創出するのは不可能
34

162

致命的問題②│強誘電体の臨界サイズ
材料
⼨法

++++

100〜
数⼗nm

î îîî

分極

反電場

表⾯の影響が材料全体に及ぶ
表⾯電荷による反電場が分極を抑制
反電場の影響を最⼩化するため，分極は表⾯に平⾏（渦状分極）
原⼦間⻑距離相互作⽤（強誘電性の駆動⼒）弱まる
強誘電分極 消失

数 nm

ナノドットの臨界サイズ‫؟‬3〜5 nm*1, 2②強誘電体の超微細化は物理的に不可能*1 I. I. Namov, et. al., Nature, 432, 737 (2004).

*2 N. J. Polking, et. al., Nat. Mater., 11, 700 (2012). 35

研究⽬的

本研究の⽬的ਖ਻⋇‫ॺ؟‬এট४ढ़ঝ໾๰भਂ૭ચਙ
ਖ਻⋈‫؟‬ಏੀ१ॖ६भோ૔
という強誘電体の物理的限界を克服した
原⼦スケール・トポロジカル強誘電体の創出

36

163

⼿法の提案│材料中の余剰電⼦
余剰電⼦｜空孔，転位，粒界（格⼦⽋陥）などにより材料中に存在余剰電⼦の注⼊EDLTによるSrTiO3への電荷注⼊*2

⼀部の絶縁体に対し，電⼦の濃度・分布を制御した電荷注⼊⽅法が開発されている・⾼電圧の印加*1
・EDLT*2（Electric-Double-Layer-Transistors）など*1 A. Q. Jiang, et.l al., J. Appl. Phys, 102, 074109 (2007). *2 A. Z. Bisri, et. al., Adv. Mater., 29, 1607054 (2017).

余剰電⼦ Polaron

第⼀原理計算結果

局所格⼦ひずみを伴って材料中の 1 点（特定の原⼦サイト）に局在化

⾛査型トンネル顕微鏡像*3

⼀致

例｜TiO2*3，SrTiO3*4，…
‫ܧ‬୮୭୪ = ‫ܧ‬ୣ୪ െ ‫ܧ‬ୱ୲

*3 M.Setvin, et. al., Phys. Rev. Lett., 113, 086402 (2014). *4 X.Hao, et.al., Phys. Rev. B, 91, 085204 (2015).

37

⼿法の提案│対称性から⾒る Skyrmion の特徴
Skyrmion
⾯内⽅向｜放射状の構造
⾯外⽅向｜中⼼部で上向き
周縁部で下⽅向
分極｜単位体積あたりの電気双極⼦モーメント（定義）
陽イオンと陰イオンの相対変位に起因

⾯内⽅向の

⾯外⽅向の

放射状変位

変位

強誘電

Skyrmion ?

SrTiO3 (001) 表⾯の対称性によって実現可能 ?
38164

⼿法の提案│対称性の破れの掛け合わせ
Polaron（局在化した電⼦）

Sr

Ti

O

局所分極

Polaron 近傍の原⼦スケール領域で陽イオンと陰イオンが相対変位
局所的な⼒場による対称性の破れ
放射状の原⼦スケール局所分極発現

TiO2 終端 SrTiO3 (001) 表⾯
⾯外⽅向に陽イオンと陰イオンが相対変位（Rumpling）
⺟材の結晶対称性の破れ

Polaron
局所⼒場

表⾯
結晶対称性

強誘電
Skyrmion39

⼿法の提案│対称性から⾒る Meron の特徴
Meron
⾯内⽅向｜渦状の構造
⾯外⽅向｜中⼼部で上向き
周縁部で⾯内⽅向
分極｜単位体積あたりの電気双極⼦モーメント（定義）
陽イオンと陰イオンの相対変位に起因

⾯内⽅向の

⾯外⽅向の

渦状変位

変位

強誘電

Meron ?

SrTiO3 Ʒ  ねじり粒界の対称性によって実現可能 ?
40165

⼿法の提案│対称性の破れの掛け合わせ
Polaron（局在化した電⼦）

Ti

Sr

O

局所分極

Polaron 近傍の原⼦スケール領域で陽イオンと陰イオンが相対変位
局所⼒場による対称性の破れ
放射状の原⼦スケール局所分極発現

SrTiO3 Ʒ  ねじり粒界
 ⾯内に渦状の変位
 鏡⾯対称性の破れによる
⾯外⽅向の変位
⺟材の結晶対称性の破れ

Polaron
局所⼒場

ねじり粒界
結晶対称性

強誘電
Meron
41

本研究のまとめ
0
100
3

1

¨

±1/2

±1

（代表例*）（代表例**）

nsk

強誘電体
本発表

磁性体

サイズ [nm]

臨界サイズとトポロジカルな秩序という物理的限界を克服
さらに多様なトポロジカル秩序の創出へ*X. Z. Yu, et. al., Nature, 564, 95-98 (2018).

166**X. Z. Yu, et. al., Nature, 465, 901-902 (2010).

42

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Polyacetylene: past and present
Mikio NAKAHARA
Kinki University, Japan
Polyacetylene (C2 H2 )n has attracted attention of chemists, physicists and mathematicians since its synthesis in 1970s due to its characteristic behaviors. It was eventuallyawarded the Nobel Prize in Chemistry in 2000.
In my talk, I will start with a short review of the Su-Schrieﬀer-Heeger model ofpolyacetylene [1,2]. Then show that the SSH model has two phases characterized by
diﬀerent topological indices [3].
References[1] W. P. Su, J. R. Schrieﬀer and A. J. Heeger, Solitons in polyacetylene, Phys. Rev.
Lett. 42, 1698 (1979). doi:10.1103/PhysRevLett.42.1698.
[2] W. P. Su, J. R. Schrieﬀer and A. J. Heeger, Soliton excitations in polyacetylene,
Phys.Rev. B 22, 2099 (1980). doi:10.1103/PhysRevB.22.2099.
[3] R. Shankar, Topological Insulators – A review, arXiv:1804.06471,
https://doi.org/10.48550/arXiv.1804.06471.

167

168

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187

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Various nanophysical properties of curved quantum
systems
Hisao TAIRA
Hokkaido University of Education, Japan
The present study shows theoretical and numerical analysis of quantum transportphenomena in nanostructures with curvature. In nanoscale thin ﬁlms with curvature,eﬀective scalar potentials arise due to geometric curvature. Nanoscale materials with
twisted atomic structures also give rise to eﬀective vector potentials due to geometrictorsion. These eﬀective potentials indicate that the transport properties of electronsand other materials with geometric curvature and torsion change signiﬁcantly from ﬂat
systems. In this study, we clarify what kind of properties are manifested by these geometric eﬀects. Speciﬁcally, we focus on deformed nanocylinders and twisted quantum
rings, and show that the spatial proﬁle of the wavefunction changes and that a quantum phase shift due to torsion occurs. We report in particular the peculiar quantum
transport phenomena induced by the quantum phase shift due to torsion.

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R. Y. Chiao et al.,Phys. Rev. Lett. 57 (1986) 937.

Berry఩┦䛻㉳ᅉ
M. Onoda et al.,Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 083901.

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A. V. Krasheninnikov et al., J. Appl. Phys. 107, (2010) 071301.

᭷㝈᭤⋡䜢ᣢ䛴ᨃ୍ḟඖ⣔䖃 SiO2䝘䝜䝽䜲䜰䖃 ከᒙ䜹䞊䝪䞁䝘䝜䝏䝳䞊䝤
F. Banhart et al., Phys. Rev. B 71 (2005) 241408(R).

B. Charlot et al. Proc. of DTIP (2008) 254.

192

䝢䞊䝘䝑䝒ᆺ䝣䝷䞊䝺䞁䝫䝸䝬䞊C60

㔠ᒓJ. Onoe et al., Appl. Phys. Lett. 82, 595 (2003)

䝢䞊䝘䝑䝒ᆺ䝣䝷䞊䝺䞁䝫䝸䝬䞊C60䛾TLLᣦᩘ
H. Shima et al., Phys. Rev. B, 79 (2009) 201401(R).
C60䝣䝷䞊䝺䞁䞉䝫䝸䝬䞊㐃⥆యGr୍ḟඖ⣔ → 㟁Ꮚ┦㛵䛒䜚
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193

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S. Ono & H. Shima, PRB 79 (2009) 235407. Prinz, pss(b) 243 (2006) 3333.

2§k T · h㟁Ẽ᢬ᢠ⋡ρ䛻≉ᐃ䛾᣺ᖜ䛷㣕䜃䛜⏕䛨䜛 U UC ¨¨ B ¸¸ 2© EF ¹ e⾲㠃ኚㄪ䛻䜘䜛㟁Ẽ᢬ᢠ⋡䛾㣕䜃᭤㠃䛻ᣊ᮰䛥䜜䛯Dirac䝣䜵䝹䝭䜸䞁Bao et al., Nature Nanotech. (2009)

Isacsson et al, PRB 77 (2008) 035423.

194䛽䛨䜜⋡ㄏ㉳☢ሙ
S. Takagi and T. Tanzawa, Prog. Theor. Phys. 87 (1992) 561 .
K. A. Mitchell, Phys. Rev. A 63 (2001) 042112.
L. I. Magarill and M. V. Éntin, J. Exp. Theor. Phys. 96 (2003) 766.

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Oshima et al., PRL 91 (2003) 205503.

Elizondo et al., PRB 73 (2006) 045431.

Ono & Hirose, PRL 94 (2005) 206806.
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Y. Tatewaki et al., Chem. Asian. J. 4 (2009) 1474.

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Williams et al., Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 255502.

䖃 䜹䞊䝪䞁䝘䝜䝁䜲䝹䜢ఙ㛗
X. Chen et al., Nano. Lett. 3 (2003) 1299.

196ືᶵ䛸┠ⓗືᶵ㟁Ꮚ≧ែ䛾ᗄఱㄏ㉳㟁☢ሙ䛻ᇶ䛵䛟㆟ㄽ䛜༑ศ䛺䛥䜜䛶䛔䛺䛔䚹┠ⓗ㟁Ꮚ≧ែ䛜ᗄఱㄏ㉳㟁☢ሙ䛻䜘䜚䛹䛖ኚ໬䛩䜛䛛䜢ᐃ㔞ⓗ䛻᫂䜙䛛䛻䛩䜛䚹᭤㠃⣔ 䠖 ᗄఱᏛⓗ᭤⋡ຠᯝ䛜㟁Ꮚ᮰⦡≧ែ䛻䛹䛾⛬ᗘാ䛟䛛䜢ㄪ䜉䜛䚹

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S. Takagi and T. Tanzawa, Prog. Theor. Phys. 87 (1992) 561.

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J. Phys.: Condens. Matt., 22 (2010) 245302.
J. Phys.: Condens. Matt., 22 (2010) 075301.

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202

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211

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Novel physicochemical properties of 1D periodic
uneven structured C60 polymer
Jun ONOE
Nagoya University, Japan
We have reported that electron-beam-irradiation (3-7 keV) of a C60 ﬁlm results information of a 1D C60 polymer with a concavo-convex periodic curved structure [1],and the polymer exhibits physical properties arising from 1D metal [2]. The behaviorof the free electrons on the curved surface is given by the Hamilton operator of thefollowing equation (quantum mechanics of submanihold).
[
]
(
)
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2
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∂
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gg ij j + (h2 − k)H√2m∗
g i,j=1 ∂q i
∂qHere, g = det[gij ] represents the metric tensor. The ﬁrst term is an operator of the
kinetic energy of electrons, and the second term consisting of the mean curvature hand the Gaussian curvature k appears like a scalar potential (the second term does
not appear in the 1D plane surface). So far, it has been a mystery whether or not thiscurvature term aﬀects the behavior of electrons since 1950s. We theoretically predict
the eﬀect of the geometric curvature term on the electronic behavior of the above 1DC60 polymer [3] and then experimentally demonstrate it [4]. In this symposium, I will
introduce novel physicochemical properties [5, 6] emerged by the quantum mechanics
of submanihold of the 1D C60 polymer.
References[1] H. Masuda, H. Yasuda, and J. Onoe, Carbon 96, 316 (2016).
[2] H. Shima and J. Onoe, “ The Role of Topology in Materials ” (S. Gupta and A.
Saxena eds.), Springer, Chap. 3, pp. 53-84 (2018) and references therein.
[3] H. Shima, H. Yoshioka, and J. Onoe, Phys. Rev. B 79, 201401 (R) (2009).
[4] J. Onoe, T. Ito, H. Shima, H. Yoshioka, and S. Kimura, Europhys. Lett. 98, 27001(2012)[5] S. Ryuzaki and J. Onoe, Appl. Phys. Lett. 104, 113301 (2014).
[6] M. Nakaya et al., Adv. Sustain. Sys. 5, 2000156 (2021). [Press release]

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220

221

222

223

224

225

226

227

228

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Variational approach to modeling ofelastoplastic deformation of structured materials
Karel SVADLENKA
Kyoto University, Japan
Structured materials, such as metallic alloys with atomic-scale layers, show peculiar
deformation patterns, which may have signiﬁcant implications on material properties.
In this talk, we discuss one possible approach to modeling and understanding of thiskind of pattern formation through the so-called rate-independent evolution in the variational setting of ﬁnite-strain elastoplasticity [3]. Besides mentioning connections tohomogenization via Gamma-convergence [1], we present the underlying mathematicaltheory and show numerical simulations in comparison to experimental measurements[2].
References[1] Fabian Christowiak and Carolin Kreisbeck, Homogenization of layered materials with rigid components in single-slip ﬁnite crystal plasticity, Calculus of Variations 56:75 (2017).
[2] Daria Drozdenko, Michal Knapek, Martin Kružı́k, Kristián Máthis, Karel Svadlenka and Jan
Valdman, Elastoplastic deformations of layered structure, accepted for publication to Milan Journalof Mathematics (2022). https://arxiv.org/abs/2207.01986[3] Alexander Mielke and Tomáš Roubı́ček, Rate-Independent Systems: Theory and Application,
Springer, New York (2015).

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

On homogenization of random media instatic and quasi-static electromagnetic fields
Hajime IGARASHI
Hokkaido University, Japan
In this talk, we consider the homogenization of materials with ﬁne structure such as soft
magnetic composite (SMC), multi-turn coil and Litz wire. It is shown that the classicalOllendorﬀ formula for static ﬁelds, which is equivalent to Clausius-Mossotti relationand Maxwell-Garnett formula, can be extended for magneto-quasi-static ﬁelds by introducing complex permeability. We show experimental validations for this method.
We also show that this method does not work well for a dense medium. In the latter
half of this talk, we present a homogenization method for SMC that is a random-dense
medium by using discrete element method for dynamical simulation of iron particles
and ﬁnite element method for evaluation of electromagnetic properties. From experimental results, we conjecture that the homogenized permeability of random media ishigher than that of periodic media.

245㟼ⓗ䛚䜘䜃‽㟼㟁☢⏺䛻䛚䛡䜛䝷䞁䝎䝮፹㉁䛾ᆒ㉁໬䛻䛴䛔䛶On homogenization of random media in magnetostatic andmagneto-quasi-static fields
ᖺ, 9᭶
᭶10᪥
᪥䠈 ஑ᕞ኱Ꮫ
2022ᖺ
䝬䝇䞉 䝣 䜷䜰 䞉 䜲 䞁䝎䝇䝖 䝸 ◊ ✲ ᡤ஬༑ᔒ ୍໭ᾏ㐨኱Ꮫ ᝟ሗ⛉Ꮫ◊✲㝔

What is homogenization?

Ⓨ⾲䛾ὶ䜜(1)䝖䝫䝻䝆䞊᭱㐺໬䠖⮬ᕫ⤂௓䛻௦䛘䛶
(2)ᆒ㉁໬䛸䛿(3)ከ㔜ᕳ䛝⥺䛾ᆒ㉁໬
(4)ᅽ⢊☢ⰺ(㌾☢ᛶ」ྜᮦᩱSMC)䛾ᆒ㉁໬

246

1

What is homogenization?

2

ᙧ≧᭱㐺໬

䝖䝫䝻䝆䞊ᙧ≧᭱㐺໬䝟䝷䝯䞊䝍ᙧ≧᭱㐺໬䞉タィ䝟䝷䝯䞊䝍䜢ㄪᩚ䛧䛶᭱㐺໬
a1

a1

a2

䞉ᑐ㇟䛾ᙧ≧䜢⮬⏤䛻ኚ໬䛥䛫䜛䛣䛸䛷᭱㐺໬(✀ᩘ(genus)䜒ኚ໬ྍ⬟)

a3

a2
a4

a3

䞉タィ⪅䛜䝟䝷䝯䞊䝍䜢タᐃ䠊䞉ᶵჾ䛾タィ䛻ά⏝䛥䜜䛶䛔䜛䠊a4䞉᩾᪂䛺ᙧ≧䛜ᚓ䜙䜜䜛䠊䞉ᐇ⏝໬䛿䛣䜜䛛䜙䛷䛒䜛䠊

What is homogenization?

Ọ ஂ ☢ ▼ 䝰 䞊 䝍 䛾 䝖 䝫 䝻 䝆 䞊 ᭱ 㐺໬Current phase angle[degree]
Current amplitude [A]Phasespoles
Coil Turnsཧ↷䝰䝕䝹᭱㐺໬ᑐ㇟䛾䝰䞊䝍䛸䜺䜴䝇ᇶᗏ䛾㓄⨨䠊

247

40.0
10.0
3 phases
4 poles35

3What is homogenization?

4ཧ↷䝰䝕 䝹

7RUTXH>1P@





















(OHFWULFDQJOH>GHJUHH@

5HIPRGHOཧ↷䝰䝕䝹䛾䝖䝹䜽᭤⥺

What is homogenization?

᭱㐺໬㐣⛬Proposed method
S. Hayashi, H. Igarashi, Parameter-Topology Hybrid Optimization of Electric Motor with Multiple Permanent Magnets, Presented at ISEM2022

248

5

What is homogenization?

෇ᰕᑟయ䛾⾲⓶ຠᯝ䜰䞁䝨䜰䛾ἲ๎
䝣䜯䝷䝕䞊䛾ἲ๎rot࡮ = ߤߪࡱ߲‫ܧ‬௭= ݆߱‫ܤ‬ఏ߲‫ݎ‬݀ ଶ ‫ܧ‬௭ 1 ݀‫ܧ‬௭+ ܽ ଶ ‫ܧ‬௭ = 0+݀‫ ݎ‬ଶ‫ݎ݀ ݎ‬(4)䜘䛳䛶㟁ὶᐦᗘ䛿0ḟ䛾䝧䝑䝉䝹㛵ᩘ䛷⾲⌧䛷䛝䜛䠊‫ܬ‬௭ = ߪ‫ܧ‬௭ ‫= ݎ‬

‫ݎ‬

‫ܤ‬ఏ

Fig.1 ༙ᚄ ܴ 䛾ᑟయ෇ᰕ䜢ὶ䜜䜛஺ὶ㟁ὶ䛸ㄏᑟ䛥䜜䛯☢⏺

(3)

ܽଶ ‫ ؠ‬െ݆߱ߤߪ

‫ܬ‬௭ = ߪ‫ܧ‬௭

ܴ
ߠ

(2)

(2)䛛䜙䛴䛞䛾䜘䛖䛻䝧䝑䝉䝹䛾ᚤศ᪉⛬ᘧ䜢ᑟ䛡䜛
䛯䛰䛧

ߤ, ߪ

(1b)

(1)䜢Fig.1䛾෇⟄ᗙᶆ䛷⾲♧䛩䜛䛸1߲‫ܤݎ‬ఏ = ߤߪ‫ܧ‬௭‫ݎ߲ ݎ‬‫ݖ‬(1a)rotࡱ = െ݆߱࡮6ܽ‫ܫ‬‫)ݎܽ( ܬ‬
ʹߨܴ ଴

(5)

What is homogenization?

7෇ᰕᑟయ䛾⾲⓶ຠᯝ
5.00E+03

1000Hzcurrent density [J/m^3]

4.00E+03

50Hz⾲㠃䛛䜙⾲⓶ཌ ߜ 䛾⠊ᅖ䛻㟁ὶ䛜㞟୰䛩䜛䠊

3.00E+03
2.00E+03
1.00E+03
0.00E+00
0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02
r [m]ܴ = 1cm
ߪ = 6 × 10଻ SΤm , ߤ = ߤ଴ = Ͷߨ × 10ି଻ [HΤm]
Frequency [Hz]

ߜ

50

1 cm

1000

2 mm

249

ߜ=

2
[m]
ߤ߱ߪ

What is homogenization?

Eddycurrent࡮ = ߤሶ ߱ ࡴ࡮Non-laminated࡮
Laminated

What is homogenization?

ᆒ㉁໬(homogenization)

≉ᚩ

㏆ఝ

䝉䝹ἲ

࿘ᮇ䝉䝹䛻ቃ⏺᮲௳䜢୚䛘
䜛

࿘ᮇᛶ

₞㏆ᒎ㛤ἲ
Two-scale convergence࿘ᮇᛶ䜢௬ᐃ䛧䠈2䛴䛾䝇䜿䞊䝹䛾ẚ䛷ᒎ㛤࿘ᮇᛶ

Ollendorff
Clausius-Mosotti
Maxwell-Garnett

እሙ䛸⮬ᕫሙ䛜↓▩┪䛻䛺䜛䜘䛖䛻Ỵᐃ

እሙ䛾୍ᵝᛶ᪉ἲ⢏Ꮚἲ8⣔䛾㒊ศ䝰䝕䝹䜢ゎᯒ(brute force)250㒊ศ䛜඲య䛾ᛶ㉁䜢᭷䛩䜛

9

What is homogenization?

Litz-wire coil

10

Soft magnetic composite (SMC)

Materials composed of fine elements

Homogenization of multi-turn coil

Skin EffectProximity Effect

251

11

Homogenization of multi-turn coil

12

What is homogenization?

13

㏆᥋ຠᯝ

㟁ὶᐦᗘ䛾ศᕸ

䝬䜽䝻㏱☢⋡䠖Ollendorff䛾ᘧ

Macroscopic fieldsࡴ௟௢௖ = ࡴ + ܰࡹࡴ௜௡ = ࡴ௟௢௖ െ ܰࡹ௜௡ࡹ௜௡ = ߤ௥ െ 1 ࡴ௜௡ࡹ௜௡ =ߤ௥ െ 1ࡴ
1 + ܰ(ߤ௥ െ 1) ௟௢௖࡮, ࡴ, ࡹ
ࡴ௟௢௖
ࡴ௜௡
ࡹ௜௡

F. Ollendorff, “Magnetostatik der Massekerne,” Arch. f. Electrotechnik., 25, pp. 436-447, 1931

252

What is homogenization?

14䝬䜽䝻㏱☢⋡䠖Ollendorff䛾ᘧ䝬䜽䝻☢໬ࡹ = ߟࡹ௜௡ =ߟ(ߤ௥ െ 1)ࡴ
1 + ܰ(ߤ௥ െ 1) ௟௢௖

ࡹ௜௡

ᵓᡂ㛵ಀᘧ

Volume fraction ߟ࡮ = Ɋ଴ (ࡴ + ࡹ)

䝬䜽䝻㏱☢⋡䠖Ollendorff䛾ᘧߤ௥ = 1 +ߟ(ߤ௥ െ 1)
1 + ܰ(1 െ ߟ)(ߤ௥ െ 1)

Homogenization of multi-turn coil」⣲㏱☢⋡䛾ᑟධ
ࡴ଴

ࡹ=2

ࡹ

Cylinder in static field

ࡴ଴ e

୨ఠ௧

ߤ௥ െ 1ࡴߤ௥ + 1 ଴‫ܬ‬ଵ ‫ݖ‬
െ1‫ܬݖ‬ଵ Ԣ(‫)ݖ‬
ࡹ=2ࡴ଴‫ܬ‬ଵ ‫ݖ‬ߤ௥
+1‫ܬݖ‬ଵ Ԣ(‫)ݖ‬ߤ௥ࡹ

Cylinder in time-harmonic field

253

ߤሶ ௥

‫ ܽ = ݖ‬െ݆߱ߤߪ = (1 െ ݆)

ܽ
ߜ

15

Homogenization of multi-turn coil✀䚻䛾ᙧ≧䛾」⣲㏱☢⋡࡮଴‫ ܽ = ݖ‬െ݆߱ߤߪ = (1 െ ݆)

Cylinder*ߤሶ ௥ ߱ = ߤ௥Sphere**ߤሶ ௥ (߱) =Plate***‫ܬ‬ଵ ‫ݖ‬‫ܬݖ‬ଵᇱ ‫ݖ‬

16

ܽ
ߜ

2ߤ௥ ‫ ݖ‬െ tan ‫ݖ‬(1 െ ‫ ݖ‬ଶ )tan ‫ ݖ‬െ ‫ݖ‬ߤሶ ௥ (߱) = ߤ௥tan ‫ݖ‬‫ݖ‬* H. Igarashi, IEEE Trans. Magn, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 53, no. 1, Art. 7400107, 2017.
** A. Berthault, D. Rousselle, G. Zerah, Journal of Magnetism and Magnetic Materials, vol. 112, pp. 477-480, 1992.
*** e.g. Y. Shindo, O. Noro, IEEJ Trans. Fundamentals and Materials, vol. 134, no. 4, pp. 173-181, 2014.

Homogenization of multi-turn coil」⣲㏱☢⋡䛾㐃ศᩘᒎ㛤dࢊ݆߱(a)

ߤ, ߪ

݀

ࡴ଴
ߤሶ ௥ tan ‫ݖ‬
=
=
ߤ௥
‫ݖ‬
1െ
(c)

ʹܽ

ࡴ

3െ

ߤ, ߪ
ࡶ଴

ܴௗ௖ ߪሶ 2‫ܬ‬ଵ (‫)ݖ‬== =ܴ௔௖ ߪ ‫ܬݖ‬଴ (‫)ݖ‬

2െ

1

݀
‫݇ =ݖ‬
2
‫ݖ‬ଶ

‫ݖ‬ଶ
‫ݖ‬ଶ
5െ7െ‫ڮ‬‫݇ܽ = ݖ‬
䠍
ߨܽଶ ߪ

ܴௗ௖ =
2

‫ݖ‬ଶ
‫ݖ‬ଶ
4െ
‫ݖ‬ଶ
6െ
8െ‫ڮ‬

(b)
ʹܽ

ߤሶ ௥ =ߤ, ߤߪ௥‫ܬ‬ଵ ‫ݖ‬‫݇ܽ = ݖ‬‫ܬݖ‬ଵᇱ ‫ݖ‬ࡴ଴ߤሶ ௥‫ܬ‬ଵ ‫ݖ‬
1
= ᇱ
=
‫ݖ‬ଶ
ߤ௥ ‫ܬݖ‬ଵ ‫ݖ‬
1െ
1
‫ݖ‬ଶ
4െ
=
ିଵ
‫ݖ‬ଶ
‫ܬ‬ଵ ‫ݖ‬
6െ
െ1
8െ‫ڮ‬
‫ܬݖ‬଴ ‫ݖ‬
(d)

ʹܽ

ߤ, ߪ

ࡴ଴

‫݇ܽ = ݖ‬tan ‫ݖ‬
2 1െ
ߤሶ ௥
‫ݖ‬
=
=
ߤ௥ (1 െ ‫ ݖ‬ଶ ) tan ‫ ݖ‬െ 1
2െ
‫ݖ‬

254

2

‫ݖ‬ଶ
‫ݖ‬ଶ
5െ
‫ݖ‬ଶ
7െ
9െ‫ڮ‬

17

Homogenization of multi-turn coil18ᣑᙇ䛥䜜䛯Ollendorff䛾ᘧOllandorff formula* for static magnetic fieldߟ(ߤ௥ െ 1)
ߤ௥ = 1 +
1 + ܰ(1 െ ߟ)(ߤ௥ െ 1)

ߟ: filling factor
ܰ: demagnetization constant*F. Ollendorff, Arch. f. Eledtrotechnik., 25, pp. 436-447, 1931.

Extended Ollandorff formula** for eddy current fieldߤሶ ௥ (߱) = 1 +2ߟ ߤሶ ௥ (߱) െ 1
2 + 1 െ ߟ ߤሶ ௥ (߱) െ 1

ߤሶ ௥ ߱ = ߤ௥** H. Igarashi, IEEE Trans. Magn, vol. 53, no. 1, Art. 7400107, 2017.

‫ܬ‬ଵ ‫ݖ‬‫ܬݖ‬ଵᇱ ‫ݖ‬

Homogenization of multi-turn coil」⣲㏱☢⋡䛾࿘Ἴᩘ≉ᛶ
1.20

0.00

1.00

2

4

6

-0.10

0.80

-0.20

0.60
0.40

-0.30

0.20

-0.40

0.00

0

0

2

4

6

8

10

-0.50

normalized radius

ᐇ㒊

⹫㒊

255

8

10

19

Homogenization of multi-turn coil

ᐇ㦂⤖ᯝ

20

Re ܼ

12.00
10.00

MeasuredComputed

8.00
6.00
4.00
50-turn enameled copper coil,with conductor radius 0.15 mm,cover thickness 0.03 mm.

2.00
0.00

0

0.5

1

1.5

2

2.5

frequency 10ହ [Hz]H. Igarashi, IEEE Trans. Magn, IEEE Trans. Magnetics, vol. 53, no. 1, Art. 7400107, 2017.

Homogenization of Soft Magnetic Composite

Soft Magnetic Composite (SMC)
Measured macroscopic permeability of SMC is larger than those computedfrom the Ollendorff formula and cell method assuming rectangular particles.
We consider the inhomogeneity in particle size andpossible magnetic and electric contact.

‫ܤ‬଴ ݁ ି௝ఠ௧particle

air

PHDVXUHG)(0 UHFWDQJXODU 
2OOHQGRUII

1 

‫ݕ‬
Cross section of SMC*

Macroscopic permeability(filling rate: 0.87)‫ݔ‬
FEM model of
SMC

Ollendorff formulaߤ௥ = 1 +* Y.Ito, H.Igarashi, M.Suzuki, Y.Iwasaki, K.Kawano, “Effect of Magnetic Contact on Macroscopic
Permeability of Soft Magnetic Composite”, IEEE Trans. Magn, vol. 52, no. 3, pp. 1-4, March 2016.

256

ߟ(ߤ௥ െ 1)
1 + ܰ(1 െ ߟ)(ߤ௥ െ 1)

21

Homogenization of Soft Magnetic Composite

22

Ollendorff䛾ᘧ䛾㝈⏺
Macro reparive permeability

30

50%

25

60%

20

80%

70%
90%

15
10
5
0

1

10
100
1000
relative permeability of particle

10000

Filling factor and macroscopic permeability

Homogenization of Soft Magnetic Composite

Brute Force: Discrete Element Method (DEM)
DEM analyzes particle motion considering collision andslipping:
Equation of motion
࢛݉ሷ + ߟ ࢛ሶ + ‫ ࢛ܭ‬+ ݉ࢍ = 0‫ࣘ ܫ‬ሷ + ߟ‫ ݎ‬ଶ ࣘሶ + ‫ ݎܭ‬ଶ ࣘ = 0
݉ : mass
࢛ : displacementߟ : viscosity const.
‫ ܭ‬: spring const.

ࢍ : gravitational acceleration‫ ܫ‬: moment of inertia‫ ݎ‬: particle radiusࣘ : angular displacement

257

23

Homogenization of Soft Magnetic Composite

24

We analyze free-falling particles which have random initial positionand obey the Gaussian distribution in size. A mass wall (blue) presses the particles.

Gaussian distribution(ߤ = ȝPߪ =1.2 ȝP)

A. Maruo, H. Igarashi, IEEE Transactions on Magnetics,
B. 2002205, vol. 55, no.6, 2019

Particle motion

Homogenization of Soft Magnetic Composite

1st

2nd

4th

3rd

5th

We performed five DEM simulations to consider dependence ofthe result on random number.

258

25

Homogenization of Soft Magnetic Composite

26

Conditionst= ȝP ߟ =0.86)

t= ȝP ߟ = 0.75)

Applied field

1T

Particle ߤ௥100

Equivalence in Energyt= ȝP ߟ = 0.81)‫ܤ‬ଶ (࢞)‫ܤ‬଴ଶ |ȳ|݀ܵ =ߤஐ ߤ(࢞)

න

macroscopic
permeabilityt= ȝP ߟ = 0.69)

Magnetic flux lines

ߤ =The filling rate ߟ is controlled by changing thickness of insulation layer ‫ݐ‬.

‫ܤ‬଴ଶ |ȳ|‫ܤ‬ଶ (࢞)‫׬‬ஐ ߤ(࢞) ݀ܵ

Homogenization of Soft Magnetic Composite

Ollendorff vs DEM
60

Present method

Relative permeability

50

Ollendorff
Measured value [1]40ከ㡯ᘧ (Present method)

30
20
10
0

0.6

0.65

0.7

0.75
Filling rate

0.8

0.85

0.9

Macroscopic permeability v.s. filling rate[1] Y.Ito, H.Igarashi, M.Suzuki, Y.Iwasaki, K.Kawano, “Effect of Magnetic Contact on Macroscopic
Permeability of Soft Magnetic Composite”, IEEE Trans. Magn, vol. 52, no. 3, pp. 1-4, March 2016.

259

27

Homogenization of Soft Magnetic Composite

ȳ

28

ȳ
Uniform SMC

Non-uniform SMC

To study the effect of inhomogeneity, another SMC model composedof uniform particles is generated using DEM.

Homogenization of Soft Magnetic Composite

୙ᆒ㉁ᛶ䛾ຠᯝ‫= ݐ‬0.2 ȝPNon-uniform SMC‫ = ݐ‬0.2 ȝP

Uniform SMC‫ = ݐ‬0.4 ȝP‫ = ݐ‬0.4 ȝP

The magnetic fluxes of uniform SMC are rather uniform incomparison with those of non-uniform SMC.

260

29

Homogenization of Soft Magnetic Composite

30

୙ᆒ㉁ᛶ䛻䜘䜚䝬䜽䝻㏱☢⋡䛿ቑຍ䛩䜛

Relative permeability

50
Non-uniform SMC
Uniforms SMC
Ollendorff
Measured value*

40
30
20

Non-uniform SMC

10
0

0.6

0.65

0.7

0.75
0.8
Filling rate

0.85

0.9

Uniform SMC

Dependence of macroscopic permeabilityof SMC on filling rate

* Y.Ito, H.Igarashi, M.Suzuki, Y.Iwasaki, K.Kawano, “Effect of Magnetic Contact on Macroscopic Permeabilityof Soft Magnetic Composite”, IEEE Trans. Magn, vol. 52, no. 3, pp. 1-4, March 2016.

Homogenization of Soft Magnetic Composite

31

Eddy current effectEquivalence in Powerන ݆߱ஐ(a) ܽ/ߜ = 0.5(c) ܽ/ߜ = 1.5(b) ܽ/ߜ = 1.0(d) ܽ/ߜ = 2.0

complexmacroscopic
permeability|࡮|ଶ (࢞)‫ܤ‬଴ଶ |ȳ|+ ߪ ࡱ ଶ ݀ܵ = ݆߱ߤ(࢞)ߤሶ ‫כ‬ߤሶ =݆߱‫ܤ‬଴ଶ |ȳ||࡮|ଶ (࢞)‫׬‬ஐ ݆߱ ߤ(࢞) െ ߪ ࡱ ଶ ݀ܵ

The magnetic flux concentrates near the surface of the particle due to the skin effect.

261

Homogenization of Soft Magnetic Composite

32

The eddy current loss computed from‫݌‬௘ =1‫ܤ‬ଶ
Re ݆߱ࡴ‫ = ࡮ ڄ כ‬Re ݆߱
22 ߤሶ ‫כ‬¾ The eddy current loss increases quadratically with respect to the normalized
particle radius.

Joule Loss [W/m3]

1E+13

ȝm
ȝm
ȝm

8E+12
6E+12
4E+12
2E+12
0

0

1

Dį

2

3

Joule loss

Homogenization of Soft Magnetic Composite䠏ḟඖDEM

Parameters for DEM

Time per step (s)Steps (-)
Average of radii (Ɋ)Standard deviation of radii(Ɋ)Number of particles (-)

Domain:ȝP㽢ȝP㽢ȝP1 × 10ିଷ

1.6 × 10ହ

5.0

1.8

200

H. Sato, A. Maruo, H. Igarashi, "Analysis of Nonlinear Magnetic Properties of Soft Magnetic Composite Using Discrete Element Method,"
ISEM2019, 98, Nanjing, China, Sep., 2019.

262

33

Homogenization of Soft Magnetic Composite

34

Treatment of insulating layer‫ݎ‬௜ᇱ = ‫ݎ‬௜ െ ‫ݐ‬‫ ݐ‬: thickness of
insulating layer‫ݎ‬௜

2-D model(80 particles)‫ݐ‬

3-D model(200 particles)‫ݎ‬Ԣ௜

Homogenization of Soft Magnetic Composite䠏ḟඖ䝰䝕䝹 vs 䠎ḟඖ䝰䝕䝹
Magnetic flux density B (T)

3.5
3
2.5
2
1.5

3D_0.2ȝm_71%
2D_0.2ȝm_80%
2D_0.4ȝm_74%
2D_0.6ȝm_68%

10.5
00.00E+00

5.00E+05
1.00E+06
Magnetic field H (A/m)

263

1.50E+06

35

Homogenization of Soft Magnetic Composite36䠏ḟඖ䝰䝕䝹 vs 䠎ḟඖ䝰䝕䝹
3
2.5
2
1.5

1.6

1
0.5
0
0.00E+00

Magnetic flux density B (T)Magnetic flux density B (T)

3.5

1.4

3D_0.2ȝm_71%
2D_0.2ȝm_80%
2D_0.4ȝm_74%
2D_0.6ȝm_68%

5.00E+05
1.00E+06
Magnetic field H (A/m)

1.2

1.50E+06

1
0.8
0.6

3D_0.2ȝm_71%
2D_0.2ȝm_80%
2D_0.4ȝm_74%
2D_0.6ȝm_68%

0.4
0.2

0
0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05
Magnetic field H (A/m)

0.2T-1T: High Permeability in 3-D model

Homogenization of Soft Magnetic Composite
Measured characteristic
Computed by 2-D model2-D by FEM vs. 3-D Measured**C. Cyr, P. Viarouge, S. Cienet and J. Cros, "Methodology to Study the Influence of the Microscopic Structure of Soft Magnetic Composites on
Their Global Magnetization Curve," in IEEE Transactions on Magnetics, vol. 45, no. 3, pp. 1178-1181, 2009.

264

37

Homogenization of Soft Magnetic Composite

38

SMC䝰䝕䝹䛾ᅇ㊰䝰䝕䝹䞉☢Ẽ᢬ᢠ䛿䠈⢏Ꮚ㛫䛾⤯⦕ᒙ(䜼䝱䝑䝥)䛜ᨭ㓄ⓗ䞉᱁Ꮚ≧䛾☢Ẽ᢬ᢠ䜢⪃䛘䠈☢Ẽ᢬ᢠ䜢䝷䞁䝎䝮䛻ᚤᑠኚ໬䛥䛫䛯䛸䛝䛾ຠᯝ䜢ぢ䜛䞉඘ሸ⋡䜢୍ᐃ䛻䛧䛶⪃䛘䜛䛯䜑䠈䜼䝱䝑䝥䛾☢Ẽ᢬ᢠ䛾⥲࿴䜢୍ᐃ䛻䛩䜛

Homogenization of Soft Magnetic Composite䝷䞁䝎䝮᱁Ꮚᅇ㊰䛾᢬ᢠ݊ × ݊ nodes‫ݎ‬௜ = ‫ ݎ‬+ ߜ௜‫ ݎ‬+ ߜ௜ߜ௜ ~ࣨ 0, ߜ ଶ௡෍ ߜ௜ = 0௜ୀଵܸ=1When resistance ‫ ݎ‬is uniform,
the toral resistance ܴ equals the parallel resistance:

265

ܴ=

݊െ1
‫ ݎ‬՜ ‫ ݎ‬as ݊ ՜ λ݊

39Homogenization of Soft Magnetic Composite40䝷䞁䝎䝮᱁Ꮚᅇ㊰䛾඲య᢬ᢠ䛾ศᩓ౫Ꮡᛶ

2D lattice circuit (݊ = 5)

2D lattice circuit (݊ = 20)

ܴ ߜ is independent of the circuit size ݊.
The deviation in ܴ ߜ decreases as ݊ increases.

Homogenization of Soft Magnetic Composite

᭤⥺㏆ఝ

Resistance ܴ reduces with ߜ ଶ .

266

41

Homogenization of Soft Magnetic Composite

42䝷䞁䝎䝮୪ิᅇ㊰䛾඲య᢬ᢠ
When ߜଵ , ߜଶ ~ࣨ 0, ߜ ଶ , ߜ ‫ݎ ا‬

11
ߜଵ + ߜଶൎ ‫ݎ‬+
1
1
2
2+‫ ݎ‬+ ߜଵ ‫ ݎ‬+ ߜଶ‫ݎ‬‫ ܴܧ‬ൎ
2‫ ݎ‬+ ߜଵܴ=‫ ݎ‬+ ߜଶWhen ߜଵ + ߜଶ = 0 is imposed in such a way thatߜଵ = ߳, ߜଶ = െ߳,ܴ=߳~ࣨ 0, ߜ ଶ ,

1
ൎ
1
1
+
‫ ݎ‬+ ߜଵ ‫ ݎ‬+ ߜଶ‫ ܴܧ‬ൎ

‫ݎ‬ଶ െ ߳ ଶ

ߜ‫ݎا‬

ʹ‫ݎ‬

‫ ݎ‬1
‫ߜ ݎ‬ଶെ ‫߳ ܧ‬ଶ = െ
2 ʹ‫ݎ‬
2 2‫ݎ‬

Homogenization of Soft Magnetic Composite

Topology Optimization Problem 1
Find a permeability distribution ߤ ‫ ݔ‬such that the macroscopic permeability
in a two-dimensional domain ȳ is maximized that is,ߤ =subjected to‫ܤ‬଴ଶ |ȳ|՜ max.
‫ܤ‬ଶ (࢞)‫׬‬ஐ ߤ(࢞) ݀ܵ1න ߩ ࢞ ݀ܵ ൑ ߩ଴|ȳ| ஐߤ ࢞ = ߤߩ ࢞ ௣ + ߤ଴ 1 െ ߩ ࢞
‫݌‬൒2

267

‫ܤ‬଴
ȳ
௣

‫ܤ‬଴

43

Homogenization of Soft Magnetic Composite

44

Topology Optimization Problem 2
Find a permeability distribution ߤ ‫ ݔ‬such that the macroscopic permeability
in a two-dimensional domain ȳ is maximized and loss is eddy current loss is
minimized that is,‫ܤ‬଴ଶ |ȳ|at ߱ = 0՜ max.
ߤ =‫ܤ‬ଶ (࢞)‫׬‬ஐ ߤ(࢞) ݀ܵ‫݌‬௘ = Re ݆߱

subjected to‫ܤ‬ଶ՜ min.
2 ߤሶ ‫כ‬at ߱ = ߱௔௖ ് 01
න ߩ ࢞ ݀ܵ ൑ ߩ଴|ȳ| ஐߤ ࢞ = ߤߩ ࢞ ௣ + ߤ଴ 1 െ ߩ ࢞ߪ ࢞ = ߪߩ ࢞ ௣ + ߪ଴ 1 െ ߩ ࢞

‫݌‬൒2

‫ܤ‬଴
ȳ

‫ܤ‬଴

௣

௣

Homogenization of Soft Magnetic Composite᳨ウ஦㡯 ḟඖᅇ㊰࡜ḟඖᅇ㊰࡛㸪ܴ(ߜ)ࡣ␗࡞ࡿ࠿㸽ḟඖᅇ㊰ࡢ᪉ࡀ㟁ὶ⤒㊰ࡀከ࠸ࡢ࡛㸪ߜ࡟ᑐࡍࡿῶᑡ⋡ࡀ኱ࡁ࠸ࡔࢁ࠺ ܴ(ߜ)ࢆ⌮ㄽ࡛ᑟฟ࡛ࡁࡿ࠿㸽 ݊ ࡀ኱ࡁ࠸࡜ࡁࡢ᣺ࡿ⯙࠸ ↓㝈⮬⏤ᗘ⣔ 㐃⥆⣔㸸㟁ὶሙ㸪㟼㟁⏺㸪㟼☢⏺ ࡢゎᯒ᢬ᢠ⋡㸪ㄏ㟁⋡㸪㏱☢⋡ࡢᦂࡽࡂ࡟ࡼࡾ㸪᢬ᢠ㸪࣐ࢡࣟㄏ㟁⋡࣭㏱☢⋡ࡣቑຍࡍࡿ࠿㸬Ѝ60&ࡢሙྜࡣቑຍ㸬 ࣐ࢡࣟ㏱☢⋡ࡀ᭱኱࡜࡞ࡿᵓ㐀ࡣ㸽ࢺ࣏ࣟࢪ࣮᭱㐺໬࡟ࡼࡾ㸪ࡑࡢࡼ࠺࡞ᵓ㐀ࢆồࡵࡿ㸬 ࣐ࢡࣟ㏱☢⋡᭱኱࣭㟁ὶ᭱ᑠࡢᵓ㐀ࡣ㸽 ↓㝈࡟ᑠࡉ࡞ᵓ㐀㸽

268

45

Conclusions䜎䛸䜑ከ㔜ᕳ䛝⥺䞉䝸䝑䝒⥺䛾ᆒ㉁໬ゎᯒ:㏆᥋ຠᯝ䜢⪃៖䛧䛯ᣑᙇ䛥䜜䛯Ollendorff䛾ᘧ䛻䜘䜚䠈䝬䜽䝻」⣲㏱☢⋡䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䠈ᐇ 䛸䜒ྜ䛖⤖ᯝ䛜ᚓ䜙䜜䜛䠊ᅽ⢊☢ⰺ䛾ᆒ㉁໬ゎᯒ(SMC)㠀࿘ᮇⓗ䠄୙ᆒ㉁䠅䛺⢏Ꮚ䛻䜘䜚䠈䝬䜽䝻㏱☢⋡䜢ቑຍ䛷䛝䜛
DEM䛻䜘䜚䝰䝕䝹໬䛩䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䠊䜎䛯䛭䛾⤖ᯝ䜘䜚䠈䝬䜽䝻」⣲㏱☢⋡䜢ᚓ䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䠊䝖䝫䝻䝆䞊᭱㐺໬䝭䜽䝻䛺ᵓ㐀䜢᭱㐺໬䛩䜛䛯䜑䛻䠈䝖䝫䝻䝆䞊᭱㐺໬䛜౑䛘䜛䛾䛷䛿䛺䛔䛛䠛䜎䛯ゎᯒⓗ䛺䜰䝥䝻䞊䝏䛻䜘䜚ゎ䜢ồ䜑䜛䛣䛸䛜䛷䛝䜛䛛䠛

269

46

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Application of continued fraction tohomogenization methodin numerical analysis of the electromagnetic fields
Shingo HIRUMA
Kyoto University, Japan
In the numerical analysis of the electromagnetic ﬁelds, the materials such as magnetic
steel sheets, coils, and soft magnetic composites are sometimes modeled as bulk materials to reduce the number of unknowns and computational costs. Since this kind ofmodeling loses information about the ﬁeld distribution in the materials, it is diﬃcult
to compute the losses in the material. The homogenization method aims at obtaining
the macroscopic property of such materials to calculate the losses. In some cases, theanalytical expression of the macroscopic property is obtained from the analytical solution of Maxwell ’s equations, which is the frequency-dependent complex function. The
continued fraction expansion of the macroscopic property leads to the Cauer equivalentcircuit. The continued fraction expansion can be formulated more generally throughorthogonal basis generation of the solution space. The error of the equivalent circuit
is obtained by considering the geometrical relationship between the dual formulationof Maxwell ’s equations.

271‫࣯ۋ‬ԿͶ͕͜Ζ࿊෾਼නࣖ͹‫༽׈‬‫౐ښ‬୉ָ ు‫ָ޽ـ‬઒ߊർཻؔਇ‫ޝ‬

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272

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275

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IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Controllable surfaces challenging from robotics
Noriyasu IWAMOTO
Shinshu University, Japan
Surfaces can model the outer layers of objects at various scales, such as buildings,
clothing, epidermis, and vesicles. In each of these ﬁelds, the ability to control its
shape is expected to be one of the research topics in the future, and the technology
of controllable surfaces will be helpful. This technology includes, for example, active
materials that are controllable by temperature and magnetic ﬁelds, and the numberof researches in robotics is steadily increasing. However, as in computer graphics,
scenarios in which the spatial position of a surface point can be directly manipulated
are limited. From a robotics perspective, the robot’s shape and the position of points
must be calculated from the robot’s state or control variables. This corresponds torecovering the surface shape from its ﬁrst and second fundamental quantities or fromthe elongations of lines along the surface, which is not an easy calculation. To solve
this problem, we should not only develop the robot’s mechanism but also based onmathematical concepts. In particular, we focus on the idea that the theory of robotic
surfaces can be simpliﬁed by assuming conformality in its local coordinate system. In
this talk, we will introduce two types of robots and one model developed in ActuatedDiﬀerentiable Manifold Laboratory [1]: a robotic S-isothermic surface [2], a boundarycontrolled robotic surface that mechanically solves Plateau’s problem, and a piecewise
constant mean curvature surface model. We also introduce the Willmore ﬂow describedby mean curvature half-density [3], which is expected to be utilized as a feedback control
theory for the robotic surface.
References[1] Actuated Diﬀerentiable Manifold Laboratory, Shinshu University Web Page:
http://www.fiber.shinshu-u.ac.jp/iwamoto/index.html[2] Noriyasu Iwamoto, Daiki Kusakabe, Takuya Umedachi, Planar Conformal Deformation of Robotic
S-Isothermic Surface, IEEE Robotics and Automation Letters, 7(4)(2022) 1153111536[3] K. Crane, U. Pinkall, and P. Schöder, Robust Fairing via Conformal Curvature Flow ACM Transactions on Graphics, 32(4)(2013)293ᮦᩱ⛉Ꮫ䛻䛚䛡䜛ᗄఱ䛸௦ᩘIII
2022.9.10

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S. Follmer et al.,IEEE 2015

A. A. Stanley et al.,ICRA, 2016

H. Habibi et al.,IROS, 2018

D.-Y. Lee et al.,https://www.youtube.com/
watch?v=uhRwqCT09KM Soft Robotics, 2017

Y. Funabora,
SII, 2017

E. Steltz et al.,IROS, 2009

U. Culha et al., Robotics:
Science and Systems, 2020

W. Hu et al., Nature, 20185ၥ㢟ព㆑- ᭤㠃ࡢᚤศᗄఱࡀ㞴ࡋ࠸- ๛యࣟ࣎ࢵࢺࡢ㐠ືᏛࡀࡑࡢࡲࡲ౑࠼࡞࠸

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S. Sechelmann et al. , “Quasiisothermic Mesh Layout”,
Advances in Architectural Geometry, 2012

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D.-Y. Lee et al.,https://www.youtube.com/
watch?v=uhRwqCT09KM Soft Robotics, 2017
304

Y. Funabora,
SII, 2017

E. Steltz et al.,IROS, 2009

22

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Paraboloid

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G. Dziuk and J. E. Hutchinson, ``The Discrete
Plateau Problem: Algorithm and Numerics’’,
Mathmatics of Computation,1999.

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I. M. Mladenov and M. T. Hadzhilazova, “Geometry of the anisotropic minimal surfaces”,
Analele Universitatii Ovidius Constanta - Seria Matematica, vol. 20(2), pp. 79-88, 2012䛯䛰䛧䠈ୖ䛾᭤㠃䜢┤᥋㈞䜚ྜ䜟䛫䜛䛣䛸䛿䛷䛝䛺䛔ᴟᑠ᭤㠃䠄୚䛘䜙䜜䛯ᯟ䛻ᙇ䜛㠃✚䛜᭱ᑠ䛾᭤㠃䠅䠖ᖹᆒ᭤⋡䛿䛔䛯䜛䛸䛣䜝䛷䝊䝻31༊ศⓗ䛻ᖹᆒ᭤⋡୍ᐃ䛺᭤㠃⇾⇻⇮⇻⇹⇱⇯⇴⇞⇜⇞⇞

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G. Kamberov et al., “Bonnet pairs and isothermic surfaces”, Duke Mathematical Journal, 1998

K. Crane et al., “Spin Transformations of Discrete
Surfaces”, Transaction on Graphics, 2011

Zi Ye, et al., “A unified discrete framework for
intrinsic and extrinsic Dirac operators forgeometry processing”, Computer Graphics Forum,
2018

K. Crane et al., “Robust Fairing via Conformal
Curvature Flow”, Transaction on Graphics, 2013

Zi Ye et al., “A curvature and density-based
generative representation of shapes”, Computer
Graphics Forum, 2020

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318

49

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Theory of elasticity on Riemannian manifolds andits applications
Ryuichi TARUMI
Osaka University, JapanThe theory of elasticity is the mathematical basis for analyzing the mechanical properties of materials and structures. Recently, our research group has generalized thetheory from Euclidean spaces to Riemannian manifolds and then implemented it into
the numerical analysis. Elasticity on the Riemannian manifold enables us to analyze
the mechanical property of soft materials whose morphology is controlled by residual
stresses. In this study, we present a brief overview of the elasticity theory, implementation of the material point method, and some examples including plant morphology
analyses.

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IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Continuum mechanics of crystals with dislocations:diﬀerential geometry and numerical analysis
based on calculus of variations
Shunsuke KOBAYASHI
Osaka University, Japan
Dislocations in crystalline materials are linear lattice defects that play a central role in
the plastic deformations and the strength of materials. Various studies have been conducted focusing on the geometrical characteristics of dislocations and their inﬂuence on
the mechanical properties of materials. The theory of continuous distribution of dislocations is one such attempt to introduce defect structures into continuum mechanics
analysis by considering dislocations as tensor ﬁelds on smooth manifolds. This theory,
proposed independently by Kondo [1], Bilby et al. [2] and Kröner and Seeger [3] in the
1950s, was the ﬁrst attempt to incorporate diﬀerential geometry into continuum mechanics to describe the natural state of a crystal, a seemingly contradictory state thatis stress-free but contains dislocations. Amari subsequently brought these independentstudies together in a uniﬁed manner, focusing on the theory of distant parallelism [4].
The natural state is described as a smooth manifold with a Riemann metric and anaﬃne connection, but it is generally characterized by the fact that it cannot be isometrically embedded in three-dimensional Euclidean space. The state of a real crystal
with internal stress is obtained by embedding this natural state in Euclidean space.
While such attempts have been greatly advanced in subsequent studies, it is diﬃcult to
directly determine this natural state for the complex dislocation distribution observedin real crystals.
In this study, we developed a method for determining the natural state of crystals
for arbitrary dislocation distributions using an approach based on continuous distribution dislocation theory and the calculus of variations. In this method, Cartan’s ﬁrst
structure equation and Helmholtz decomposition are used in the construction of thevariational problem [5,6]. The natural state of the crystal can be calculated directlyfrom the solution to this problem. To verify the validity of the framework developed
here, we performed numerical analyses for several dislocation distributions. The mechanical state of the crystal including dislocations can be calculated by embedding thenatural state into a three-dimensional Euclidean space.
References[1] K. Kondo, RAAG Memoirs of the Unifying Study of Basic Problems in Engineeringand Physical Sciences by Means of Geometry, 1, pp. 6-17 (1955).
[2] B. A. Bilby, R. Bullough and E. Smith, Proc. R. Soc. Lond. A: Math. Phys. Sci.,
231, pp. 263-273 (1955).
[3] E. Kröner and A. Seeger, Arch. Ration. Mech. Analysis, 3, pp. 97-119 (1959).
[4] S. Amari, RAAG Memoirs of the Unifying Study of Basic Problems in Engineeringand Physical Sciences by Means of Geometry, 3, pp. 99-108 (1962).
[5] A. Yavari and A. Goriely, Arch. Ration. Mech. Analysis, 205, pp. 59-118 (2012).
[6] J. Wenzelburger, J. Geom. Phys., 24, pp. 334-352 (1998).
335

転位を含む結晶の連続体力学：微分幾何学と変分法に基づく数値計算
Continuum mechanics of crystals with dislocations: differential geometry and numerical analysis based on calculus ofvariations

大阪大学

小林舜典

背景
弾性変形

 金属材料の変形

荷重

 弾性変形：可逆 塑性変形：不可逆 塑性変形の原因

 結晶の配列のずれた領域，転位が無数に存在
荷 降伏点に達すると転位が移動し，除荷しても移動後の位置に留まる

降伏点

塑性変形

加工硬化

変位

 金属材料の強度

 降伏：転位が移動開始
形
 加工硬化：転位同士が相互作用し変形
抵抗が増加
完全結晶

336

転位を含む
不完全結晶

背景

Burgersベクトル

 転位の幾何学的特徴 転位＝結晶格子の不整合が線状に連なった領域で実態はない
 転位の普遍的な性質
転位線：格子不整合を連ねた領域
Burgersベクトル：不整合の度合い 転位が存在することで結晶の形はBurgersベクトル程度変形  ねじれたナノワイヤ*

 転位による結晶のずれが結晶全体をねじる効果
 Eshelbyツイスト

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背景
 連続体力学

物体を（可微分）多様体として扱う
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切断面


Burgersベクトル

 連続体力学における転位のモデル化

 Volterraのモデル(4) 円筒を一部切断してずらし，再び結合させて力のつり合いを見る 線形化による無限小変形の仮定
転位による結晶の変形を線形化をせずに
幾何学的に厳密に取り扱う

1.
2.
3.
4.

337

線形
非線形

W. Noll, Arch. Rational Mech. Anal. 2 (1958), pp. 197-226.
W. Noll, Arch. Rational Mech. Anal. 27 (1967), pp. 1-32.
C.-C. Wang, Arch. Rational Mech. Anal. 27 (1967), pp. 33-94.
V. Volterra, Ann. Sci. de l'Ecole Norm. Superieure, 24 (1907), pp. 401-517.

微分幾何学と弾性理論
埋め込み 

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可微分多様体 

参照状態

弾性変形

現状態

 参照状態：変形前の物体の状態（givenなもの）
 現状態 ：加えられた力とつり合うように変形した状態
変形量：各状態の“微小領域”に着目して定義する
各点の接空間の基底微小領域の形状結晶格子の形

微分幾何学と弾性理論
埋め込み 

可微分多様体 

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誘導計量

参照状態

弾性
弾性変形

現状態

弾性理論における変形量の定義

 変形の前後で対応する各点周りの接空間の関係に着目する    の基底を埋め込みで写すと埋め込み先での基底となる 埋め込み先のEuclid計量により各基底の大きさや角度がわかる
素朴な見方
微分幾何学

（変形後の基底の大きさと角度）ー（変形前の基底の大きさと角度）!   / !-  !   / !-  Greenひずみテンソル
0


338

微分幾何学と弾性理論
埋め込み 



可微分多様体 

参照状態

弾性
弾性変形

現状態

局所的な“力”の定義

 物体に外から力を加えると力がつり合うように変形：現状態
 変形した物体に発生する局所的な“力”：応力 応力を用いて変形している物体の力のつり合いを記述する

  )*+, +, )  *

力のつり合いを記述

微分幾何学と弾性理論
埋め込み 



可微分多様体 

参照状態

弾性
弾性変形

弾性理論における変分原理

 エネルギーを停留させる変形が実現


& 

  

)*

)*  ひずみエネルギー

停留条件



外力のする仕事

物体の弾性変形：Riemann多様体339

  

現状態

連続体力学への転位の導入？
埋め込み 



可微分多様体 

弾性
弾性変形

参照状態

現状態

 転位：結晶の格子不整合＋格子不整合を緩和するように結晶格子が変形
 転位分布を多様体上でどう表現するか？
 転位分布からRiemann計量をどう決定するか？


 

 微分幾何学の導入

1950年頃にKondo(1)，Bilbyら(2)，KrönerとSeeger(3)Amariにより統一的にまとめられ，動的問題まで拡張(5-6)

 
 
 

$#$  ) ' $#)$!  !*(!       %% -  &+#& &     %%
-
"&   ) ' $#)$!  "& #(##  %%   

微分幾何学による転位のモデル化
Burgersベクトル

 転位の幾何学的特徴 転位＝結晶格子の不整合が線状に連なった領域で実態はない
 転位の普遍的な性質
転位線：格子不整合を連ねた領域
Burgersベクトル：不整合の度合い 微分幾何学における捩率 Burgersベクトルと同様の幾何構造
 多様体上のアフィン接続    に付随するテンソル場

捩率=0   '   (         Riemann多様体＋アフィン接続




340

捩率 0





転位による物体の変形の問題



問題設定

given: 参照状態，捩率（転位の分布））
find : 現状態？

Riemann計量の決定

 物体の弾性：Riemann多様体
 与えられた捩率→Riemann計量※Riemann計量→Levi-Civita接続と逆の問題

 Cartanの第一構造方程式により決定*





捩率2形式







双対枠（上の1形式の組）

     Arch. Ration. Mech. Analysis, 205 (2012), pp. 59−118.

#

#

#

自然状態

可微分多様体 

Cartanの第一構造方程式の数値計算
 双対枠のHelmholtz分解*

完全形式成分









  が捩率 に寄与

 変分問題定式化
 Cartanの第一構造方程式の残差 $  02

 / 

 双対完全形式の条件/   ):( EC=31>,    8BJ@"!-D#2;<6):5/
    EH3C=31   
 EI+H3C=31            4K)
     .!GK)  A7!F90?&$%'*

  0  "を満たし，$  . %   を停留させる 3 4を探せば良い%   0 2    

  0  "  

341

 !! 

転位による物体の変形の問題
埋め込み 
#

可微分多様体
体

問題設定





#

# 自然状態

参照状態

弾性
弾性変形

現状態

given: 参照状態，捩率（転位の分布）
分布）
find : 現状態①：捩率から自然状態を決定②：現状態を決定

数値計算の例
参照状態

0



0













/




転位の分布関数



静水圧

0
 0 
せん断応力

     1  0 

：転位線からの距離342

数値計算の例


物体のサイズ大物体のサイズ小 直方体中央部にらせん転位を一本配置
 Burgesベクトル と物体の代表寸法の比に応じてねじれ量が変化：Eshelbyツイストを再現

まとめ 幾何学的に厳密な定式化の下で，転位が結晶に生じさせる変形を数値計算
 刃状転位の例：線形化されたモデルの応力場をよく再現 らせん転位の例：Eshelbyツイストを再現

343

IMI Workshop I: Geometry and Algebra in Material Science III
September 8 - 10, 2022, West W1-D-413, Kyushu University, Fukuoka, Japan

Mathematical research on real-world problems is an
educational program for doctorate course students
in FMSP of the University of Tokyo：
Coordination sequences of crystals are ofquasi-polynomial type
Junichi NAKAGAWA
The University of Tokyo, Japan
Mathematical research on real-world problems is an educational program for doctorate course students in FMSP (Leading Graduate Course Frontiers of Mathematical
Science and Physics) of the University of Tokyo. The academic-Industry collaboration
Program ‘ Mathematical Innovation in Data Science ’ has started up in April 2018provided Nippon Steel Corporation with funds, aﬃliated with the Graduate School ofMathematical Science, the University of Tokyo has proposed themes for the program,and provided several themes for doctoral students who mainly major in algebra or
geometry.
The coordination sequences of periodic graphs are predicted to be of quasi-polynomial
type by Grosse-Kunstleve et al. (1996). After that, various mathematical methods tocalculate coordination sequences have been developed and they are actually calculated
in many speciﬁc cases as in the work of Conway & Sloane (1997), Eon (2002, 2012),
Goodman-Strauss & Sloane (2019), O ’Keeﬀe (1995, 1998), Shutov & Maleev (2018,2019, 2020). And, we were able to give the aﬃrmative answer [NSMN21] to the question posed by Grosse-Kunstleve et al. [GKBS96] using monoid theory. On the other
hand, Crystals in real world are observed to be quasi-polynomial in many cases. In
SGW2022, we hope to study that what mathematical conditions on quasi-polynomial
type make it quasi-polynomial, in the view points of mathematics and numerical calculation in graph theory.
References[GKBS96] R. W Grosse-Kunstleve, G. O Brunner, and N. J. A Sloane, Algebraic
description of coordination sequences and exact topologicaldensities for zeolites, Acta
Cryst. A 52 (1996), no. 6, 879-889.
[NSMN] Y. Nakamura, R. Sakamoto, T. Mase, J. Nakagawa, Coordination sequencesof crystals are of quasi-polynomial type, Acta Cryst. (2021). A77, 138-148345‫ ھۂھ‬:RUNVKRS‫؟‬౫મఐ৾पउऐॊ࿥୦ध৻ਯ⋝౨‫ښ‬୉ָ୉ָӅ਼ཀྵՌָ‫ڂݜ‬Ռ౨‫ښ‬୉ָ୉ָ
ָ୉ָָӅ਼ཀྵՌָ‫ڂݜ‬Ռ
)063ऀऀճ਼ཀྵࣰભ‫ڂݜ‬)063ऀճ਼ཀྵࣰભ‫ڂݜ‬ʰ݃ধ͹ഓҒ਼྽ͺ६ଡߴࣞ‫ܗ‬ʱ݃ধ͹ഓഓҒ਼྽ͺ६ଡߴࣞ‫ܗ‬ഓҒ2022ফ9া10঩ূ਎প৾ প৾੹ਯ৶ఐ৾ଢ଼஢ఐ
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346

౨‫ښ‬୉ָ୉ָӅ਼ཀྵՌָ‫ڂݜ‬Ռ )063ऀճ਼ཀྵࣰભ‫ͳڂݜ‬ͺ౨‫ښ‬୉ָ୉ָӅ਼ཀྵՌָ‫ڂݜ‬Ռ͹)063 /HDGLQJ*UDGXDWH&RXUVH)URQWLHUV
RI0DWKHPDWLFDO6FLHQFHDQG3K\VLFV ͹αʖη‫گ‬ү͹ͽͳͯʀ̧̝̤̪αʖηਫ਼͹චਤՌ໪ͳ͢ͱ)\͖Δ֋࢟ʀ݆̕Ͷ̓ʛ̔‫͗ۂة‬໲ୌΝ఑Ҍʀଲেͺദ࢞՟ఖɽ ̏ൟͶ̐ʛ̑໌ʀ݆͖̏̎Δ̏೧͖ؔ͜ͱ‫׈‬ಊɽ‫ڂݜ‬੔ՎΝɼ݆̔Ͷ஦ؔๅࠄɼ
݆̏̎Ͷ੔Վๅࠄɼ݆̑Ͷ਼ཀྵՌָࣰભϪνʖͳ͢ͱ࿨ชԿʤࠬಣ͍Εʥʀ֦‫ۂة‬͹໲ୌͶखΕૌ΋ͪΌ͹ࢩԋର੏ͺɼঁ‫໌̐گ‬ʤτʖϜ୴౲कࠬɼ ಋ෯कࠬʥɼࢨ಍‫گ‬द̏ʛ̐໌͖Δ͵Ζɽ౲ൟ͹ର੏कʁ஦ଞঁ‫گ‬ʤେ਼‫ش‬Ձʥɼ෯ʁؔੋঁ‫گ‬ʤՆ੷෾ʥɼࢦี‫گ‬दʤ਼࿨‫ش‬Ձʥ஦ઔʤࢊ‫਼ָۂ‬ʥ෼ࣁʀࡒྋՌָ͹ࠞ‫ݱ‬ద໲ୌ݃ধ‫ࢢݬ‬͹࿊݃͹࢕๏Νେ਼ָదͶ݃͹࢕๏Νେ਼ָదͶ௒௒΄Ζ‫ڂݜ‬ʤࠕյ͹՟ୌʥ

347

3

Ϩ. ᮏㄢ㢟䛾ືᶵ௜䛡

5

ᮾ኱ Study Group 2013
Materials Informaticsपउऐॊਯ৾ૢ৷
⤖ᬗ䛾ᅗᙧ䛸䛧䛶䛾ᵓ㐀䜢ዴఱ䛻ᩘ್໬䛩䜛䛛
ZnO

CsCl

䞉⤖ᬗ᱁Ꮚ䛜␗䛺䜛䞉ཎᏊ㓄⨨䛜␗䛺䜛⥺ᙧᅇᖐ䛻䜘䜛⤖ྜ䜶䝛䝹䜼䞊䛾ィ⟬⤖ᯝ
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0

etc.

➨୍ཎ⌮ィ⟬䛾⤖ᯝ䛷䛒䜛䛂⤖ᬗ䛾⤖ྜ䜶䝛䝹䜼䞊䛃䜢┿್䛸䛧㧗⢭ᗘ䛷⥺ᙧᅇᖐ䛩䜛䛯䜑䛾⤖ᬗᅗᙧ䛾グ㏙Ꮚ໬-1.0㼜㼞㼑㼐㼕㼏㼠㼕㼛㼚 㼑㼞㼞㼛㼞㻜㻚㻝㻤㻥㻟㻞㻝
-1.0

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0.5

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1.5

2.0

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ᮾ኱SG2013
NaCl

CsCl

β-BeO

ZnS

⤖
ᬗ
᱁
Ꮚ
䛸
ᑐ
⛠
ᛶ
䛾
␗
䛺
䜛
஧
✀
ཎ
Ꮚ
䛛
䜙
䛺
䜛
ඵ
✀
㢮
䛾
⤖
ᬗ

⤖ᬗ᱁Ꮚᅗᙧ䛾⾲⌧᪉ἲ

ศᏊ✀

⤖ᬗ᱁Ꮚ

NaCl

ᑐ⛠ᛶ

Growth ᩘ䠄Coordination Sequences)䠄 Ⅼ ⩌䛾
఩ᩘ䠅

1st

2nd

3rd

4th

❧᪉ᬗ

48

6

18

38

66

CsCl

❧᪉ᬗ

48

8

26

56

98

β-BeO

ṇ᪉ᬗ

16

4

11

18

41

ZnS

❧᪉ᬗ

24

4

12

24

42

ZnO

භ᪉ᬗ

12

4

12

25

44

α-PbO

ṇ᪉ᬗ

16

4

8

12

16

TlI

┤᪉ᬗ

8

7

22

47

82

NiAs

භ᪉ᬗ

24

6

20

42

74

ᮦᩱศ㔝䛷౑䜟䜜䛶䛔䛯㓄఩ᩘ䠄1st Growth)䜢
䜢ᩘᏛ䛷ᬑ㐢໬䛩䜛Growth䛾䛾ᥦ᱌䛒 䜚
ZnO

α-PbO

TlI

348

NiAs

Zn
ZnO
nO
the 1st ggrowth=4

䠄䠄corresponding
to coordination number)ZnO
the 2ndd growth=12

2nd growth

1st growth

349

ZnO
the 3rd growth=25

Rings are observable suchthat they sharethe same kind of atom.

ZnO
the 4th growth=44

350

11

଍஄৚షঔॹঝ
• This problem can be viewed as a regression problem• Predictors: information of atoms and crystal structure• Response variable: energy of compound㏻ᖖ䛾㔜ᅇᖐᘧ

regression model:ㄝ᫂ኚᩘ䠄グ㏙Ꮚ䠅 xi

Atomic number
Electron affinity
Ionization Energy
Atomic mass
Radius┠ⓗኚᩘ ࢟

Position of periodic table
Electronegativity
Number of electrons
Growthth䜢䜢᪂つ㏣ຍ⤖ᬗᅗᙧ䛾ᵓ㐀䛻㛵䛩䜛グ㏙Ꮚ
12

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0
1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Energy+ 3rd growth㻵㼚㼜㼡㼠㼏㼛㼛㼞㼐㼋㼚㼡㼙㼎㼑㼞㻞㼚㼐 㼓㼞㼛㼣㼠㼔㼓㼞㼛㼣㼠㼔㻦 㻞㼚㼐㻛㻝㼟㼠㻝㼟㼠㼋㼕㼑㻝㻾㼏㼛㼢㻝㻟㼞㼐 㼓㼞㼛㼣㼠㼔㼓㼞㼛㼣㼠㼔㻦 㻟㼞㼐㻛㻞㼚㼐㼜㻙㼢㼍㼘㼡㼑
㻡㻚㻤㻜㻱㻙㻜㻥
㻡㻚㻟㻥㻱㻙㻜㻤
㻠㻚㻟㻞㻱㻙㻜㻥
㻜㻚㻜㻜㻜㻠㻤㻠
㻜㻚㻜㻞㻜㻜㻣㻟
㻞㻚㻥㻞㻱㻙㻜㻣
㻝㻚㻣㻤㻱㻙㻜㻣

ᅇᖐ䛾⤖ᯝ

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

1.0
-0.5

2.0

Energy-0.5㼜㼞㼑㼐㼕㼏㼠㼕㼛㼚 㼑㼞㼞㼛㼞㻜㻚㻝㻠㻞㻡㻥㻞㻝-1.0

Estimate value㼜㼞㼑㼐㼕㼏㼠㼕㼛㼚 㼑㼞㼞㼛㼞㻜㻚㻝㻡㻝㻜㻥㻠㻢

-1.0

-1.0

-1.0

+ 2nd growth㻵㼚㼜㼡㼠㼜㻙㼢㼍㼘㼡㼑
㼏㼛㼛㼞㼐㼋㼚㼡㼙㼎㼑㼞㻢㻚㻠㻠㻱㻙㻝㻞㻞㼚㼐 㼓㼞㼛㼣㼠㼔㻞㻚㻜㻜㻱㻙㻝㻢
㼓㼞㼛㼣㼠㼔㻦 㻞㼚㼐㻛㻝㼟㼠 㻞㻚㻜㻜㻱㻙㻝㻢㻝㼟㼠㼋㼕㼑㻝
㻜㻚㻜㻜㻝㻥
㻾㼏㼛㼢㻝㻜㻚㻡㻟㻜㻢

0.5

Estimate value

1.0
0.5
0.0

㼜㼞㼑㼐㼕㼏㼠㼕㼛㼚 㼑㼞㼞㼛㼞㻜㻚㻝㻤㻥㻟㻞㻝

-0.5

Estimate value

1.5(Before SG2013)㼜㻙㼢㼍㼘㼡㼑
㻞㻚㻜㻜㻱㻙㻝㻢
㻜㻚㻜㻜㻞㻝㻞
㻜㻚㻜㻝㻟㻣㻣

0.0

2.0

1st growth㻵㼚㼜㼡㼠㼏㼛㼛㼞㼐㼋㼚㼡㼙㼎㼑㼞㻝㼟㼠㼋㼕㼑㻝
㻾㼏㼛㼢㻝

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Energy䛔䛪䜜䛾ሙྜ䜒䚸Growth䛾p್䛜ୖ఩䛻䛒䜚䚸⤫ィᏛⓗ䛻㔜せ䛺ᅉᏊ䛷䛒䜛䛣䛸䛜ุ᫂351

SGW2014

㻳㼞㼛㼣㼠㼔

Counting Out of # of Growth Using Computer

䃐㻙㻼㼎㻻

㼓㻝
㼓㻞
㼓㻟
㼓㻠
㼓㻡
㼓㻢
㼓㻣
㼓㻤
㼓㻜
㼓㻝㻜
㼓㻝㻝
㼓㻝㻞
㼓㻝㻟
㼓㻝㻠
㼓㻝㻡
㼓㻝㻢
㼓㻝㻣
㼓㻝㻤
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㻤㻜

ᡃ䚻䛾㛵ᚰ䛿 g∞.

㻯㼟㻯㼘
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352

14

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1 x
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2
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1  x 1  3x  x 2
31 x

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2
1 x 1 x2

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353

16

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355

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Definition 2.8

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Proof of Theorem 2.2.

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Bruns & Gubeladze, 2009, Theorems 6.38 and 6.39

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359

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MI レクチャーノートシリーズ刊行にあたり
本レクチャーノートシリーズは、文部科学省 21 世紀 COE プログラム「機能数理学の構築と展開」（H15-19 年度）において作成した COE Lecture Notesの続刊であり、文部科学省大学院教育改革支援プログラム「産業界が求める数学博士と新修士養成」（H19-21 年度）および、同グローバル COE プログラ
ム「マス・フォア・インダストリ教育研究拠点」（H20-24 年度）において行われた講義の講義録として出版されてきた。平成 23 年 4 月のマス・フォア・イ
ンダストリ研究所（IMI）設立と平成 25 年 4 月の IMI の文部科学省共同利用・共同研究拠点として「産業数学の先進的・基礎的共同研究拠点」の認定を受け、今後、レクチャーノートは、マス・フォア・インダストリに関わる国内外の研究者による講義の講義録、会議録等として出版し、マス・フォア・インダ
ストリの本格的な展開に資するものとする。
2022 年 10 月
マス・フォア・インダストリ研究所
所長

梶原 健司

2022年度採択分 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究集会

材料科学における幾何と代数 III
発
編

行
集

発

行

印

刷

2022年12月７日
松谷茂樹，落合啓之，井上和俊，小磯深幸，佐伯 修，白井朋之，垂水竜一，
内藤久資，中川淳一，濵田裕康，松江 要，加葉田雄太朗
九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
九州大学大学院数理学府〒819-0395 福岡市西区元岡744
九州大学数理・IMI 事務室
TEL 092-802-4402 FAX 092-802-4405
URL https://www.imi.kyushu-u.ac.jp/
城島印刷株式会社〒810-0012 福岡市中央区白金 2 丁目 9 番 6 号
TEL 092-531-7102 FAX 092-524-4411

シリーズ既刊
Issue

Author／Editor

Title

Published

COE Lecture Note

Mitsuhiro T. NAKAO
Kazuhiro YOKOYAMA

Computer Assisted Proofs - Numeric and Symbolic Approaches 199pages

August 22, 2006

COE Lecture Note

M.J.Shai HARAN

Arithmetical Investigations - Representation theory, Orthogonal
polynomials and Quantum interpolations- 174pages

August 22, 2006

COE Lecture Note Vol.3

Michal BENES
Masato KIMURA
Tatsuyuki NAKAKI

Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2005
155pages

COE Lecture Note Vol.4

宮田

辺要素有限要素法による磁界解析 - 機能数理学特別講義 21pages May 15, 2007

COE Lecture Note Vol.5

Francois APERY

Univariate Elimination Subresultants - Bezout formula, Laurent series
and vanishing conditions - 89pages

September 25, 2007

COE Lecture Note Vol.6

Michal BENES
Masato KIMURA
Tatsuyuki NAKAKI

Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2006
209pages

October 12, 2007

COE Lecture Note Vol.7

若山 正人
中尾 充宏

九州大学産業技術数理研究センター キックオフミーティング
138pages

October 15, 2007

COE Lecture Note Vol.8

Alberto PARMEGGIANIIntroduction to the Spectral Theory of Non-Commutative Harmonic
Oscillators 233pages

January 31, 2008

COE Lecture Note Vol.9

Michael I.TRIBELSKY

Introduction to Mathematical modeling 23pages

February 15, 2008

COE Lecture Note Vol.10

Jacques FARAUT

Infinite Dimensional Spherical Analysis 74pages

March 14, 2008

COE Lecture Note Vol.11

Gerrit van DIJK

Gelfand Pairs And Beyond 60pages

August 25, 2008

COE Lecture Note Vol.12

Faculty of Mathematics,
Kyushu University

Consortium “MATH for INDUSTRY” First Forum 87pages

September 16, 2008

COE Lecture Note Vol.13

九州大学大学院
数理学研究院

プロシーディング「損保数理に現れる確率モデル」― 日新火災・九州大学 共同研究2008年11月 研究会 ― 82pages

February 6, 2009

健治

October 13, 2006

シリーズ既刊
Issue

Author／Editor

Title

Published

COE Lecture Note Vol.14

Michal Beneš,
Tohru Tsujikawa
Shigetoshi Yazaki

Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2008
77pages

February 12, 2009

COE Lecture Note Vol.15

Faculty of Mathematics,
Kyushu University

International Workshop on Verified Computations and Related Topics
129pages

February 23, 2009

COE Lecture Note Vol.16

Alexander Samokhin

Volume Integral Equation Method in Problems of Mathematical Physics February 24, 2009
50pages

COE Lecture Note Vol.17

矢嶋
及川
梶原
辻
福本

非線形波動の数理と物理 66pages

February 27, 2009

COE Lecture Note Vol.18

Tim Hoffmann

Discrete Differential Geometry of Curves and Surfaces 75pages

April 21, 2009

COE Lecture Note Vol.19

Ichiro Suzuki

The Pattern Formation Problem for Autonomous Mobile Robots―Special Lecture in Functional Mathematics― 23pages

April 30, 2009

COE Lecture Note Vol.20

Yasuhide Fukumoto
Yasunori Maekawa

Math-for-Industry Tutorial: Spectral theories of non-Hermitian
operators and their application 184pages

June 19, 2009

COE Lecture Note Vol.21

Faculty of Mathematics,
Kyushu University

Forum “Math-for-Industry”
Casimir Force, Casimir Operators and the Riemann Hypothesis
95pagesNovember 9, 2009

COE Lecture Note Vol.22

Masakazu Suzuki
Hoon Hong
Hirokazu Anai
Chee Yap
Yousuke Sato
Hiroshi Yoshida

The Joint Conference of ASCM 2009 and MACIS 2009:
Asian Symposium on Computer Mathematics Mathematical Aspects ofComputer and Information Sciences 436pages

December 14, 2009

COE Lecture Note Vol.23

荒川 恒男
金子 昌信

多重ゼータ値入門

February 15, 2010

COE Lecture Note Vol.24

Fulton B.Gonzalez

Notes on Integral Geometry and Harmonic Analysis

COE Lecture Note Vol.25

Wayne Rossman

Discrete Constant Mean Curvature Surfaces via Conserved Quantities
130pages

May 31, 2010

COE Lecture Note Vol.26

Mihai Ciucu

Perfect Matchings and Applications

July 2, 2010

徹
正行
健司
英一
康秀

111pages

66pages

125pages

March 12, 2010

シリーズ既刊
Issue

Author／Editor

Title

Published

COE Lecture Note Vol.27

九州大学大学院
数理学研究院

Forum “Math-for-Industry” and Study Group Workshop
Information security, visualization, and inverse problems, on the basisof optimization techniques 100pages

October 21, 2010

COE Lecture Note Vol.28

ANDREAS LANGERMODULAR FORMS, ELLIPTIC AND MODULAR CURVESLECTURES AT KYUSHU UNIVERSITY 2010 62pages

November 26, 2010

COE Lecture Note Vol.29

木田 雅成
原田 昌晃
横山 俊一

Magma で広がる数学の世界

December 27, 2010

COE Lecture Note Vol.30

原
松井
廣島

Mathematical Quantum Field Theory and Renormalization Theory
201pages

January 31, 2011

COE Lecture Note Vol.31

若山 正人
福本 康秀
高木
剛
山本 昌宏

Study Group Workshop 2010 Lecture & ReportFebruary 8, 2011

COE Lecture Note Vol.32

Institute of Mathematics
for Industry,
Kyushu University

Forum “Math-for-Industry” 2011
“TSUNAMI-Mathematical Modelling”
Using Mathematics for Natural Disaster Prediction, Recovery andProvision for the Future 90pages

September 30, 2011

COE Lecture Note Vol.33

若山 正人
福本 康秀
高木
剛
山本 昌宏

Study Group Workshop 2011 Lecture & Report

October 27, 2011

COE Lecture Note Vol.34

Adrian Muntean
Vladimír Chalupecký

Homogenization Method and Multiscale Modeling

COE Lecture Note Vol.35

横山夫
林

計算機代数システムの進展

COE Lecture Note Vol.36

Michal Beneš
Masato Kimura
Shigetoshi Yazaki

Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2010
107pages

COE Lecture Note Vol.37

若山 正人
高木
剛
Kirill Morozov
平岡 裕章
木村 正人
白井 朋之
西井 龍映
栄 伸一郎
穴井 宏和
福本 康秀

平成23年度 数学・数理科学と諸科学・産業との連携研究ワーク February 20, 2012
ショップ 拡がっていく数学 ～期待される “見えない力” ～154pages

隆
卓
文生

俊一
紀恵
卓也

157pages

128pages

140pages

72pages

210pages

October 28, 2011

November 30, 2011

January 27, 2012

シリーズ既刊
Issue

Author／Editor

Title

Published

COE Lecture Note Vol.38

Fumio Hiroshima
Itaru Sasaki
Herbert Spohn
Akito Suzuki

Enhanced Binding in Quantum Field Theory

COE Lecture Note Vol.39

Institute of Mathematics
for Industry,
Kyushu University

Multiscale Mathematics: Hierarchy of collective phenomena andinter­relations between hierarchical structures 180pages

March 13, 2012

COE Lecture Note Vol.40

井ノ口順一
太田 泰広
筧
三郎
梶原 健司
松浦
望

離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル2012

March 15, 2012

COE Lecture Note Vol.41

Institute of Mathematics
for Industry,
Kyushu University

Forum “Math-for-Industry” 2012
“Information Recovery and Discovery”

COE Lecture Note Vol.42

佐伯
若山
山本

Study Group Workshop 2012 Abstract, Lecture & Report

178pages

November 19, 2012

COE Lecture Note Vol.43

Institute of Mathematics
for Industry,
Kyushu University

Combinatorics and Numerical Analysis Joint Workshop

103pages

December 27, 2012

COE Lecture Note Vol.44

萩原学

モダン符号理論からポストモダン符号理論への展望

107pages

January 30, 2013

COE Lecture Note Vol.45

金山

寛

Joint Research Workshop of Institute of Mathematics for Industry(IMI), Kyushu University“Propagation of Ultra-large-scale Computation by the Domaindecomposition-method for Industrial Problems (PUCDIP 2012)”
121pages

February 19, 2013

COE Lecture Note Vol.46

西井 龍映
栄 伸一郎
岡田 勘三
落合 啓之
小磯 深幸
斎藤 新悟
白井 朋之

科学・技術の研究課題への数学アプローチ―数学モデリングの基礎と展開― 325pages

February 28, 2013

COE Lecture Note Vol.47

SOO TECK LEE

BRANCHING RULES AND BRANCHING ALGEBRAS FOR THE
COMPLEX CLASSICAL GROUPS 40pages

March 8, 2013

COE Lecture Note Vol.48

溝口
脇
平坂
谷口
島袋

博多ワークショップ「組み合わせとその応用」 124pages

March 28, 2013

修
正人
昌宏

佳寛
隼人
貢
哲至
修

204pages

March 12, 2012

152pages

October 22, 2012

91pagesシリーズ既刊
Issue

Author／Editor

COE Lecture Note Vol.49

照井
小原
濱田
横山
穴井
横田

MI Lecture Note Vol.50

章
功任
龍義
俊一
宏和
博史

Title

Published

マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究集会 II
数式処理研究と産学連携の新たな発展 137pages

August 9, 2013

Ken Anjyo
Hiroyuki Ochiai
Yoshinori Dobashi
Yoshihiro Mizoguchi
Shizuo Kaji

Symposium MEIS2013:
Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis

October 21, 2013

MI Lecture Note Vol.51

Institute of Mathematics
for Industry, Kyushu
University

Forum “Math-for-Industry” 2013
“The Impact of Applications on Mathematics”

MI Lecture Note Vol.52

佐伯
岡田
髙木
若山
山本

Study Group Workshop 2013 Abstract, Lecture & Report
142pages

November 15, 2013

MI Lecture Note Vol.53

四方 義啓
櫻井 幸一
安田 貴徳
Xavier Dahan

平成25年度 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
共同利用研究集会 安全・安心社会基盤構築のための代数構造～サイバー社会の信頼性確保のための数理学～ 158pages

December 26, 2013

MI Lecture Note Vol.54

Takashi Takiguchi
Hiroshi Fujiwara

Inverse problems for practice, the present and the future

January 30, 2014

MI Lecture Note Vol.55

栄 伸一郎
溝口 佳寛
脇
隼人
渋田 敬史

Study Group Workshop 2013 数学協働プログラム Lecture & Report
98pages

February 10, 2014

MI Lecture Note Vol.56

Yoshihiro Mizoguchi
Hayato Waki
Takafumi Shibuta
Tetsuji Taniguchi
Osamu Shimabukuro
Makoto Tagami
Hirotake Kurihara
Shuya Chiba

Hakata Workshop 2014
~ Discrete Mathematics and its Applications ~March 28, 2014

MI Lecture Note Vol.57

Institute of Mathematics
for Industry, Kyushu
University

Forum “Math-for-Industry” 2014:“Applications + Practical Conceptualization + Mathematics = fruitful
Innovation” 93pages

October 23, 2014

MI Lecture Note Vol.58

安生健一
落合啓之

Symposium MEIS2014:
Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis

November 12, 2014

修
勘三
剛
正人
昌宏

154pages

October 30, 2013

97pages

93pages

141pages

135pagesシリーズ既刊
Issue

Author／Editor

MI Lecture Note Vol.59

西井
岡田
梶原
髙木
若山
脇
山本

龍映
勘三
健司
剛
正人
隼人
昌宏

MI Lecture Note Vol.60

西浦博

MI Lecture Note Vol.61

Title

Published

Study Group Workshop 2014 数学協働プログラム
Abstract, Lecture & Report 196pages

November 14, 2014

平成26年度九州大学 IMI 共同利用研究・研究集会（I）
感染症数理モデルの実用化と産業及び政策での活用のための新たな展開 120pages

November 28, 2014

溝口 佳寛
Jacques Garrigue
萩原
学
Reynald Affeldt

研究集会
高信頼な理論と実装のための定理証明および定理証明器
Theorem proving and provers for reliable theory and implementations(TPP2014) 138pages

February 26, 2015

MI Lecture Note Vol.62

白井朋之

Workshop on “β-transformation and related topics”

March 10, 2015

MI Lecture Note Vol.63

白井朋之

Workshop on “Probabilistic models with determinantal structure”
107pages

August 20, 2015

MI Lecture Note Vol.64

落合
土橋

啓之
宜典

Symposium MEIS2015:
Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis

September 18, 2015

MI Lecture Note Vol.65

Institute of Mathematics
for Industry, Kyushu
University

Forum “Math-for-Industry” 2015
“The Role and Importance of Mathematics in Innovation”

MI Lecture Note Vol.66

岡田 勘三
藤澤 克己
白井 朋之
若山 正人
脇
隼人
Philip Broadbridge
山本 昌宏

Study Group Workshop 2015 Abstract, Lecture & Report
156pages

MI Lecture Note Vol.67

Institute of Mathematics
for Industry, Kyushu
University

IMI-La Trobe Joint Conference“Mathematics for Materials Science and Processing”
66pages

February 5, 2016

MI Lecture Note Vol.68

古庄
小谷
新甫

英和
久寿
洋史

結び目と Grothendieck-Teichmüller 群
116pages

February 22, 2016

MI Lecture Note Vol.69

土橋
鍛治

宜典
静雄

Symposium MEIS2016:
Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis

MI Lecture Note Vol.70

Institute of Mathematics
for Industry,
Kyushu University

Forum “Math-for-Industry” 2016
“Agriculture as a metaphor for creativity in all human endeavors”
98pagesNovember 2, 2016

MI Lecture Note Vol.71

小磯
二宮
山本

Study Group Workshop 2016 Abstract, Lecture & Report

November 21, 2016

深幸
嘉行
昌宏

59pages

124pages

74pages

October 23, 2015

November 5, 2015

82pages

143pages

October 24, 2016

シリーズ既刊
Issue

Author／Editor
朝雄
泉
文生

Title

Published

MI Lecture Note Vol.72

新井
小嶋
廣島

MI Lecture Note Vol.73

穴田 啓晃
Kirill Morozov
須賀 祐治
奥村 伸也
櫻井 幸一

Secret Sharing for Dependability, Usability and Security of Network
Storage and Its Mathematical Modeling 211pages

March 15, 2017

MI Lecture Note Vol.74

QUISPEL, G. Reinout W.
BADER, Philipp
MCLAREN, David I.
TAGAMI, Daisuke

IMI-La Trobe Joint Conference
Geometric Numerical Integration and its Applications

March 31, 2017

MI Lecture Note Vol.75

手塚
田上
山本

Study Group Workshop 2017 Abstract, Lecture & Report

MI Lecture Note Vol.76

宇田川誠一

Tzitzéica 方程式の有限間隙解に付随した極小曲面の構成理論―Tzitzéica 方程式の楕円関数解を出発点として― 68pages

August 4, 2017

MI Lecture Note Vol.77

松谷 茂樹
佐伯
修
中川 淳一
田上 大助
上坂 正晃
Pierluigi Cesana
濵田 裕康

平成29年度 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
共同利用研究集会（I）
結晶の界面，転位，構造の数理 148pages

December 20, 2017

MI Lecture Note Vol.78

瀧澤 重志
小林 和博
佐藤憲一郎
斎藤
努
清水 正明
間瀬 正啓
藤澤 克樹
神山 直之

平成29年度 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
プロジェクト研究 研究集会（I）
防災・避難計画の数理モデルの高度化と社会実装へ向けて
136pages

February 26, 2018

MI Lecture Note Vol.79

神山
畔上

平成29年度 AIMaP チュートリアル
最適化理論の基礎と応用 96pages

February 28, 2018

MI Lecture Note Vol.80

Kirill Morozov
Hiroaki Anada
Yuji Suga

IMI Workshop of the Joint Research Projects
Cryptographic Technologies for Securing Network Storage
and Their Mathematical Modeling 116pages

March 30, 2018

MI Lecture Note Vol.81

Tsuyoshi Takagi
Masato Wakayama
Keisuke Tanaka
Noboru Kunihiro
Kazufumi Kimoto
Yasuhiko Ikematsu

IMI Workshop of the Joint Research Projects
International Symposium on Mathematics, Quantum Theory,
and Cryptography 246pages

September 25, 2019

MI Lecture Note Vol.82

池森

令和 2 年度 AIMaP チュートリアル
新型コロナウイルス感染症にかかわる諸問題の数理
145pages

March 22, 2021

集
大助
昌宏

直之
秀幸

俊文

Mathematical quantum field theory and related topics

133pages

71pages

118pages

January 27, 2017

October 20, 2017

シリーズ既刊
Issue

Author／Editor

Title

Published

MI Lecture Note Vol.83

早川健太郎
軸丸 芳揮
横須賀洋平
可香谷 隆
林
和希
堺
雄亮

シェル理論・膜理論への微分幾何学からのアプローチとその建築曲面設計への応用 49pages

July 28, 2021

MI Lecture Note Vol.84

Taketoshi Kawabe
Yoshihiro Mizoguchi
Junichi Kako
Masakazu Mukai
Yuji Yasui

SICE-JSAE-AIMaP Tutorial
Advanced Automotive Control and Mathematics

December 27, 2021

MI Lecture Note Vol.85

Hiroaki Anada
Yasuhiko Ikematsu
Koji Nuida
Satsuya Ohata
Yuntao Wang

IMI Workshop of the Joint Usage Research Projects
February 9, 2022
Exploring Mathematical and Practical Principles of Secure Computationand Secret Sharing 114pages

MI Lecture Note Vol.86

濱田 直希
穴井 宏和
梅田 裕平
千葉 一永
佐藤 寛之
能島 裕介
加葉田雄太朗
一木 俊助
早野 健太
佐伯
修

2020年度採択分 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
共同利用研究集会
進化計算の数理 135pages

February 22, 2022

MI Lecture Note Vol.87

Osamu Saeki,
Ho Tu Bao,
Shizuo Kaji,
Kenji Kajiwara,
Nguyen Ha Nam,
Ta Hai Tung,
Melanie Roberts,
Masato Wakayama,
Le Minh Ha,
Philip Broadbridge

Proceedings of Forum “Math-for-Industry” 2021
-Mathematics for Digital Economy- 122pages

March 28, 2022

MI Lecture Note Vol.88

Daniel PACKWOOD
Pierluigi CESANA,
Shigenori FUJIKAWA,
Yasuhide FUKUMOTO,
Petros SOFRONIS,Alex STAYKOVPerspectives on Artificial Intelligence and Machine Learning inMaterials Science, February 4-6, 2022 74pages

November 8, 2022

110pages九州大学マス・フォア・インダストリ研究所

九州大学大学院 数理学府
URL http://www.imi.kyushu-u.ac.jp/