2006/Dec. @理論懇シンポ

高次元重力の展開

田中貴浩 (京大理)Compactifiation
素粒子論のモデル

Superstring theory (10次元) 、 M-theory (11次元)

我々の宇宙は４次元→ Compactification!
Basic idea:
xµflaty

もし余剰次元が非常にコンパク
トならば、我々はその存在を全く感知できない。

高次元bulk
identify2

Kaluza-Klein コンパクト化xµ

例えば５次元のMinkowski
 y~y+R 同一視

flaty

y=0

φ = ∑ψ m (x µ ) um ( y )identify

5D bulky=R(□( ) −m )ψ = 0(∂ + m )u = 0
44d-part 余剰次元依存性

2m2y□φ = 0 スカラー場2m

変数分離の分離定数 m2 が４次元のmassの役目を果たす。

こちらの固有値方程式がm2 を決定する。
解： um ( y ) = sin (my + δ )同一視 um ( y ) = um ( y + R )mR = 2π j

One massless mode (j=0)
Mass gap ＝ O(1/R)

Kaluza-Klein tower 3

新しいコンパクト化の方法(braneworld)

青：電気力線
F∝1/r2

赤：重力の力線
F∝1/rD-2(近距離）
1/r2 (遠距離）Kaluza-Klein
コンパクト化
高次元方向には一様

重力は時空の力学なので、高次元時空があれば、そこを重力が伝わるのは自然。
重力に対する観測的制限が弱い為、余剰次元の大きさが比較的大きくても無矛盾。 〜0.1mm

Branworld
重力のみが高次元時空中を伝播
Standard modelの場はブレーンに局在-局在させないと実験と完全に矛盾
4

逆２乗則からのずれに対する制限
Short rage forceGm1m2[1 + α exp(− r12 / λ )]U =−r12Capner et alhep-ph/0611184

5Large extra dimensions (ADD model)

Arkani-Hamed, Dimopoulos and Dvali (199８)??

14n
S=dxdy − gR∫∫
16πGn + 4
余剰次元方向に一様を仮定

余剰次元の体積
４次元時空×２次元トーラス

階層性問題
特に n=2 の場合,
M6 をelectroweak scale
1TeV= 103GeVにとると余剰次元のスケールがd=1mm ≈ (10-13GeV)-1(1019GeV)2 ≈ (103GeV)4 (10-13GeV)-2Vn
4(4 ) (4 )−dxgR∫
16πGn + 4

この部分が有効ニュートン
重力定数とみなせる~1/16π GN

M pl2 ≈ M nn++42 d n

余剰次元のlength scale
6coincidence
Large Hadron Collider (LHC)

7TeV+7TeVの2proton衝突 (’07完成？)
M pl1019 GeV~(TeV )2 = 106 GeV 2 = 10 −13 GeV = 10 −4 eV ≈ 10 −3 eV
1mm
逆２乗則

cosmologicalconstant

weakスケールでの重力を含む力の統一？
consistentな低エネルギーでの重力理論変更の可能性
あまり検討されていない新たなコンパクト化⇒未知の現象や効果への期待
7

Warped extra dimension
Randall Sundrum I model (1999)

階層性問題をwarpによって説明しようという提案(22−2 y / λµν
ds=dy+eηdxdx
５Ｄ anti-de Sitterµν

λ : AdS 曲率スケール+σZ2-symmetry

6 ５次元のΛ5 = − 2
λ 負の宇宙項
3σ=ブレーンの4π G5λ tension−σ)
??

µx
Λ5y

positivetension
brane

AdS
Bulky+dnegativetension
braney−8４次元の有効理論は、ラフには 金太郎飴configurationを代入することでわかる. ds 2 = dy 2 + e −2 y / λ g (4 )dx µ dxν

()µνM 53
4S=dydx − g {R + 2Λ 5 }∫∫2
代入yS ⊃ M ∫ dy e − 2 y / λ ∫ d 4 x − g (4 ) R (4 )35y−(λM 53 − 2 y+ / λ − 2 y− / λe−e2)

この部分が有効重力定数を与える
negative tension brane に住む場合

M2
pl

金太郎飴

y+(= e(1019GeV)22d / λ)y+y−d

positive tension brane に住む場合−1 M λ35(TeV)2d~40Uで階層性を解決()

M pl2 = 1 − e −2 d / λ M 53λ階層性問題は解決しないが、d →∞ でも有限のMpl⇒新しいコンパクト化 （RSII）
9

RSII braneworld における重力と宇宙論
何故 RSII modelが盛んに研究されてきたのか?
通常、コンパクト化すると４次元の有効理論としてはコンパクト化のサイズに対応したmassless scalar fieldが現れる。有害（第５の力）1δgµν ∝□  Tµν − gµν T 2−1

この係数は4次元一般相対論では1/2だが、余分なscalar場の自由度があると1/2からずれる
current bound <10-5
無害にするため、コンパクト化のサイズを固定 (stabilization)するメカニズムを加える⇒ massiveになり短距離力になるため無害

1 −mr
湯川型のポテンシャル er
しかし、(mass scale)-1〜(compact化のサイズ) 以上では影響がほとんどない。
逆に、そのサイズ以下ではstabilizationのメカニズムに依存
10一方、RSIIではwarped geometryの効果でeffectiveにコンパクト化が実現されている。

??

xµy=∞
Brane

y=0
Stabilizationを必要としないため、逆に重力がnon-trivial!
11一般相対論からのずれ
Shiromizu Maeda & Sasaki (2000)
Effective Einstein eq.
 RSII (infinite extra-dimension) における長波長での補正
Garriga & Tanaka (2000)Black holeの古典的蒸発（AdS/CFT対応）Tanaka (2003), Emparan et al (2002)

宇宙論的な効果
H 2 = ρ + ρ 2 Friedmann方程式の変更,
 dark radiation
Mukohyama (2000)
 bulk inflaton
Himemoto & Sasaki (‘01)
 inflationの起こる時期のinflatonの期待値を小さくする効果
Maartens, Wands, Bassett and Heard (2000)
 cosmological perturbationに対する高次元の影響
Hiramatsu, Koyama & Taruya (’04,’05), Ichiki & Nakamura (’04),
Kobayashi & T.T. (’05,’06), Kobayashi (’06),
Hiramatsu & Koyama (’06)
12Black hole 生成 @TeV スケール
加速器でblack hole生成が可能かも？
通常は不可能ＢＨが生成される条件は：量子重力が効くfundamentalスケールよりもSchwarzschild半径が大

2M
1
Rs = 2 >M pl M pl

E ≈ M > M plとするとMplを超える重心系でのエネルギーが要求される

重力のfundamentalスケール ~ TeV ならば同様の理屈で必要な重心系エネルギーはTeV程度 これなら実現可能かも？
13

Black hole生成とは言うものの…
考えているのはこんな状況
ローレンツ因子 γ 〜１０３０1kgのレンガ1km離して1kgのレンガ片方のレンガから見たとき、もう一方のレンガのeffective massは γM ≈ 1033 g

Schwarzschild半径が1km衝突？したときには既にhorizonの中なのでＢＨができるしかない
より厳密な取り扱いshockwave solutionの衝突でapparent horizonが形成されることを確認
Eardley & Giddings (’02), yoshino & Nambu (’03, ’04), etc.
14

BH 生成から蒸発までのシナリオ
ホライズンの形成 E D −2
散乱断面積 ≈ rg ≈  D −3  MDD−2
D −3


重力波

重力波放出 ⇒Kerr BHHawking 輻射

重力波Hawking輻射

大半がブレーン上の粒子として放出される.
Emparan, Horowitz & Myers (2000)⇒ Hawking 輻射のspectrumが観測される???
Kodama & Ishibashi (’03), Ida, Oda & Park (’03,’05,’06)
Harris & Kanti (’05), etc.
ひょろひょろBraneからの離脱 T.T. & Flachi (’05)

15ブレーン無しの高次元black holeの研究も進んだ

16

宇宙項問題と高次元重力Originalの宇宙項問題）
何故、宇宙項の値は小さいのか？
Λ~ (10-3 eV)4
 加えて、Coincidence 問題
何故、現在ΩΛ〜１なのか?

人間原理観測される物理定数の確率分布に観測者の存在確率の重みをかけるという考え方。

観測確率 ＝銀河の生成率 × 先見的確率

先見的確率
は初期宇宙の物理で決まるべきもの。しかし、Λ=0が特別でないならば、Λの小さな範囲を問題にする限り一様確率分布が自然。

If

先見的確率〜 一様観測確率〜 銀河の生成率17一様なΛの先見的確率分布を得るメカニズム：
3-form 場: AνρσSF = ∫ d 4 x − gFµνρσ F µνρσFµνρσ;µ=0Fµνρσ = ∂[ µ Aνρσ ]完全反対称F µνρσ = cε µνρσ∂c= 0 cが積分定数µ∂xstring理論のcontextではcは量子化されている。
量子化されている間隔が大きすぎる[grid problem] 沢山の3-formが出てくることで解決される。
Bousso & Polchinski (2000)112
Λ = Λ bare + ∑ Fa =Λ bare + ∑ n a2 qa2
2218

観測確率

〜銀河の生成率

銀河の生成率：Λの大きな宇宙では、早くから加速膨張が始まる⇒ 密度ゆらぎの成長が止まり銀河ができにくい。
Λが負の宇宙では、すぐに宇宙がcollapseしてしまう。
銀河の生成率

このような状況になっていれば人間原理で宇宙項問題は説明可能

現在の値

Λ

銀河の生成率の評価の問題 1012M の銀河が必要とすると上のような状況になる。
particle cosmologyの問題というよりも(超?)銀河進化の問題

solGarriga & Vilenkin (’03)
106Msolの銀河で十分なら Λ < 500 Weinberg (’89)
密度ゆらぎのamplitudeも確率的だとすると
Garriga & Vilenkin (’06)
19宇宙項問題は問題でないのかもしれないが、別の解決策があるかもしれない。

理論屋としては、その他の問題とセットで解決できることを夢見る。
Dark matter, Baryon number, inflatonの起源, etc.

更に、検証可能なpredictionがあれば申し分ない。
他方、４次元のeffective theoryの範囲ではかなり調べられているが、宇宙項のfine tuningを避けるideaはひとつも成功していない⇒ 高次元重力に活路を見いだそうという試み
別の方向性としてはLorentz violation
206次元 braneworld モデルにおける self-tuning（おそらく失敗例）
主張：brane上に導入されたc.c.を打ち消すよ
うにdeficit angleが変更される。
「宇宙項は４次元を曲げるためではなく余次元を曲げる為に使われる。」

余剰次元が２次元

反論：本当は特別なdeficit angleにtuningしたときにc.c.が打ち消されるだけで、c.c.にあわせてadjustされるわけではなかった。
Garriga & Porrati (‘04)

次なる主張：単純なモデルはだめだけどsupersymmetricなモデルはうまくいく。
反論：見事にWeinbergの No-go theorem (‘89)に抵触してしまっている。
Garriga & Porrati (‘04)
tuning mechanismを対称性に求めるとpotentialとして−ασV =e~V (φi ) が得られてしまう。

fine tuning 無しにV=0になるのはσ →∞。
このときには全てのcouplingが０の不毛な理論になってしまう。

21

Dvali-Gabadadze-Porrati model(Phys. Lett. B485, 208 (2000))
4次元のEinstein-Hilbert作用を加えたbraneworldのモデル(S = M 53 ∫ d 5 x g R + ∫ d 4 x g (4 ) M 42 R (4 ) + Lmatt)

M 53 = M 42 / 2rc
Critical length scaleが存在??

xµy
Brane

MinkowskiBulk

y=constantBulkは無限に広がっているが、 r<rcでは4次元の項が効いて重力は４次元的になる。逆に、長波長では５次元的。
線形解析からは４次元のEinsteingravityではなくω =0注のBransDicke理論のようにふるまう。
即ち、光の曲がり角が25%小さい。
ところが、非線形効果が効いて、Einstein gravityからのずれが小さくとどまるという不思議な性質がある。
注）千葉君に間違いを指摘してもらい修正しました。
22

DGP modelの宇宙論変更された Friedmann eq.

ε = +112
ρ=H− ε rcH
23M 4

ε = −1ε の正負に対応した二つのブランチが存在
宇宙初期 H >> rc−1

では普通と同じ。

後の時刻でブランチ間の差が出る

Minkowskibulk

ε = +1 のブランチではρ → 0の極限でH → rc−1

self-acceleration
Deffayet (’01)

23DGP modelのpathology
線形では4次元Einstein重力と異なるが、非線形効果で4次元Einstein重力に近いものが出現する。
Veinstein機構

Porrati (‘02), Gruzinov(’05), Tanaka (’04) etc.

４次元の理論にreductionしたとき、Kulza-Klein tower にmasslessgravitonが含まれていない。
massive gravitonのつくるmetric perturbation

δgµν ∝1 1

TgT−
µν
2  µν
□+ m 3
½と違うのでmassless極限でも一般相対論からずれる
van Dam-Veltman-Zakharov discontinuity

理論がプランク長よりずっと長い波長(rc2 lpl)1/3〜1000kmで強結合になる。
強結合＝loop補正が大きくなり無視できなくなる。
Luty, Porrati & Rattazzi (’03)<24DGP modelのpathology
self-acceleration ブランチではghostが出現する。
ghost＝逆符号で作用関数に入ってくる粒子、負のエネルギーを持つ

Snormal = ∫ − (∇φ ) − V (φ )2Sghost = ∫ (∇φ ) + V (φ )2ghostとnormalな粒子の対生成が爆発的に起きて理論として破綻！？
ghost

話せば長いことながら、このghostは普通のghostとは少し違う
Luty, Porrati & Rattazzi (’03), Nicoils & Rattazzi(’04), Charmousis et al (‘06)
Gorbunov, Koyama & Sibiryakov (’05), Izumi et al hep-th/0610282

staticな星のまわりの摂動を考えると、超光速で伝播するモードが存在する。

「単純な4次元effective theoryになってしまうのでは、今までと同じ、少々のおかしなことはむしろ必要。」
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まとめ
ブレーンワールドに端を発して高次元重力に関する知識は爆発的に増えた。
特に、高次元重力の直感的理解に必要な基礎が少しづつではあるができ始めてきている。
主としてブレーンがないただの高次元重力や、ブレーンを含めた系では一様等方宇宙と線形摂動明らかにブレーンを伴う系における非線形重力に関してはわかってないことが多い。

更に、次にどのような展開が待っているかなかなか予想がつかない。
個人的には、細かいことをやっているように見えても、別の大きな問題と繋がっているということがありそうな予感がする。

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