データ解析で出会う統計的問題:
角度や時間など
循環する変数の統計モデリング

生態学にはcircularなデータがたくさんある粕谷英一
かすや（九大・理・生物）

普通の量的なデータ
circular大小

一周すると元に戻る

一周すると元に戻る
１年の中の時期

１日の中の時刻

方位方向

circular DNA
冬
秋

春
夏

北０18612西東南

一周すると元に戻る
360 一周2πラジアン
一周 国際単位系(SI)
24時間 一周
約365日 一周など

方位 方向
北西東南

circular

一周すると戻ってくるから

angulardirectional
検索するときなどは実用的に重要角度だから方向だから

１カ所を切って開き、直線にする

データ点の数が少なく、ばらつきも小さいとき以外は行き詰まりやすい

どこで”切り開くか”困るπ2π+3π20扱い方
平面上のベクトルだと考える

扱い方 平面上のベクトルだと考える
合計

合成ベクトル扱い方 平面上のベクトルだと考える
平均

平均合成ベクトルの方向
合成ベクトルの長さを(1/データの個数）倍に

扱い方 平面上のベクトルだと考える
平均合成ベクトル（xの合計、yの合計）

y

長さを(1/データの個数）倍にx
直交座標

平均合成ベクトル

平均

circularなデータ

特別な場合がある
合成ベクトルの長さがゼロ
平均がゼロであるというのとは異なる

平均

circularなデータ

リニアな変数とちがう点

平均の平均

２つのデータセット
リニアな量

それぞれでの平均全体の平均

それぞれのデータの個数

circular

それぞれでの平均全体の平均
それぞれのデータの個数
合成ベクトル（平均合成ベクトルでもよい）の長さ

circularなデータ
回転方向（rotation）

0

数学などの角度：反時計回り

平均合成ベクトル
ばらつきが大きいと短いばらつきの指標
circular variance=
1­（平均合成ベクトルの長さ）
全データがみな同じ（ベクトルが同じ方向）のときゼロになるcircular median
円周を半分データの個数が等しい

データの多数が、ちょうど反対側よりもその点に近いばらつきの指標
circular dispersion

1 < R2δ=22RR=平均合成ベクトル長R2=角度を２倍にしたベクトルの平均合成ベクトル長

circular standard deviation{-2log（ 平均合成ベクトルの長さ）}の平方根
circular range
すべてのデータを含む円周上の弧のうち最短のものの長さ頻度分布のグラフ
ヒストグラムなどにあたる

π80100π2π26012024014020160

108642180ππ++0π+

00340

2000320220300

240

3π2260280

10080

3π2601203π24014020160rose diagram

1086421800340

200

320220300

240260280

Histogram of data.vm.n4030
1010202030

Frequency

2π+0001234560data.vm.n123456data.vm.n1

Histogram of data.vm.n056060

Histogram of data.vm.n15

3π301010202030

Frequency

40405050

200

Frequency

Frequency

π40505060

Histogram of data.vm.n10123data.vm.n05

4560

123data.vm.n15

4560Histogram of data.vm.n60

Histogram of data.vm.n15050

π2030

Frequency

30201010π+0001234560data.vm.n123456data.vm.n1

Histogram of data.vm.n05

3π6060

Histogram of data.vm.n1530

rose diagram

001010202030

Frequency

40405050

2Frequency

Frequency

4040

20123data.vm.n05

4560123data.vm.n15

4560

Histogram of data.vm.n30

Frequency

30
2020π

1010

200

1234

5

60data.vm.n1

2

3

45

data.vm.n1

Histogram of data.vm.n05

6060

5050

Histogram of data.vm.n15

Density circular

06π+

0230

kernel densityプロット

00

1010202030

Frequency

4040

3π
Frequency

Frequency

4040505060

Histogram of data.vm.n1012

3
data.vm.n05

4

560

1

2

3
data.vm.n15

456circularなデータの解析を主なテーマとした本（”６冊だけ” Pewseyら2014）

Mardia(1972)
Statistics in Directional Data

Mardia&Jupp(2000)
Directional Statistics

Fisher(1993)
Statistical Analysis of Circular Data

Circular Statistics in R
Pewseyほか(2014)

Ferrari(2010)
Circular Data Bayesian Modeling
Jammalamadaka&Sengupta(2001)

Upton&Fingleton(1989)
Batschelet(1981)
Spatial Data Analysis bei Example2 Topics in Circular Statistics
Circular statistics in biology

circularなデータの解析を主なテーマとした本
Zar
Biostatistical Analysis

Mardia(1972)
Statistics in Directional Data

Mardia&Jupp(2000)
Directional Statistics

Fisher(1993)
Statistical Analysis of Circular Data

Circular Statistics in RPewseyほか(2014)

Ferrari(2010)
Circular Data Bayesian Modeling
Jammalamadaka&Sengupta(2001)

Upton&Fingleton(1989)
Batschelet(1981)
Spatial Data Analysis bei Example2 Topics in Circular Statistics
Circular statistics in biology

相関circular-linear
それぞれ専用の相関係数など
circular-circularlinear-linear

散布図

circular-linear
円

円柱の表面

直線

RのパッケージNPCirccircular-linear

円柱の表面

RのパッケージNPCirccircular-circular
円

トーラス（ ドーナツ状）の表面

円

RのパッケージNPCirccircular-circular
円

トーラス（ ドーナツ状）の表面

円RのパッケージNPCirc

分布
一様分布
von Mises分布
ラッピング

一様分布
帰無仮説的な役割

例．Rayleighの検定
一様分布が帰無仮説
平均合成ベクトル長が検定統計量
平均合成ベクトル長がゼロになるようなパターンは検出できない
一山でない分布の検出には向かないvon Mises分布
確率密度関数g cos( x < µ )ef (x) =2/ I 0 (g )平均µ分散の指標

g（ただし大きい方がばらつきが小さい）von Mises分布
g cos( x < µ )ef (x) =2/ I 0 (g )平均µ分散の指標12/me2

正規分布と比べてみる

g（ただし大きい方がばらつきが小さい）

x<µ)(<2m22

0.8

von Mises分布
κ=30.6

κ=1,2,3,4

κ=4
κ=20.4π2κ=100.2+3π20.0π-3-2-10x

123ラッピング
リニアな変数の確率分布

長方形のラップ（あるいは紙）

0.2
0.1
0.0

dnorm(x)0.30.4

円柱に巻き付けることによりcircularな変数の分布-6-4-20x246

正規分布

分布の比較

0.40.5wrapped normal

von Mises分布

0.3

実線

0.0

0.1

0.2

wrapped Cauchy-3-2-10x1

23

Rのパッケージ

circularNPCirc
CircStats
CircNNTSR
isocirc
circular DNA関係のパッケージ

グラフ

Circosグラフ

RCircos

plotrix

circularなデータは、circularなデータ用の方法で分析