平成 19 年度水理 B 及び同演習試験（H19.7.18）
番号

名前：注意：電卓のみ持込可である．1 問の解答は問題用紙の裏表を使ってすること．2 枚以上必要な場合は申し出ること．全ての解答用紙に学籍番号と名前を記入すること．
下の文章の空欄 a から d に適当な数値，記号，語句を入れよ．ただし，１つの空欄に複数１の解答が必要な場合もあるので注意せよ．

カリブ海一の高速帆船ブラックパール号*が「世界の果て」**を目指す際，その針路の正確さが問われることになる．しかし，極地において高精度のコンパスによって設定した針路通りに赤道付近までの距離（10,000km）を，最高速度（20m/s）で移動すると，コリオリの力を受けて幾分かの誤差を生じることになる．この誤差を知りたい．
問題を簡単にするため，この現象に関連した物理量を帆船の速度 V(m/s)，地球の自転の周波数Ω(=1.0×10-5)(1/s)，目的地からのずれΔ(m)，出発地点から目的地点までの距離 L(m)とする．
これらの物理量を構成する基本量は， aパラメータはbのc個であり，この現象を記述するための必要な無次元個である．目的地までの誤差を非常に単純な模型実験によって求める．25m のターンテーブル上で模型の船を中心から外周上の目標に向かって 0.5m/s で移動させる．このときの相似則を成立させるためには，ターンテーブルの周波数を d1/s にする必要がある．精密な測定の結果，そのずれが 2.5mm であった．このとき，ブラックパール号が赤道付近に到着したときのずれは eｍであることになる．

* 映画パイレーツ・オブ・カリビアンに登場する帆船．問題に直接関係ないので知らない場合は無視してよい．
** 映画パイレーツ・オブ・カリビアンの 3 作目のタイトルになっている死者の世界．問題に直接関係ないので知らない場合は無視してよい．

解答
a:

b:

c:

d:

e:

a. ２個．（長さ，時間）(5)∆ = kΩ α V β Lχ ,重さがないのに注意！

1 L[ L] = k[ ]α [ ] β [ L] χT T

L: 1 = β + χαT: 0 = −α − βα

∆ = kΩ Vよってよって無次元パラメータは，b.

∆Lと−α∆⎛ ΩL ⎞= k⎜⎟ が得られる．
L⎝ V ⎠1+αL⎛ ΩL ⎞⎜⎟⎝ V ⎠の

c.

2 個．

バッキンガムの定理でも物理量 4 から基本量 2 を引けば 2 個の無次元量が得られることがわかる．

ΩL 10 −5 ⋅ 10 7 Ω T ⋅ 25==，よって d. Ω T = 0.1 (1/s)
V
200.5∆ 2.5 × 10 −3 ∆ e== 7 ，よって ∆ e = 10 325L
10

無次元パラメータe. 誤差は 1000mVはロスビー数と呼ばれ，地球物理学でよく用いる．
2ΩL平成 19 年度水理学 B 及び同演習試験（H19.7.18）
番号

２

名前

以下の図のような並列円管路をもつ水路の流量を知りたい．下の問に従って求めよ．

なお，管路は十分に長く，損失は摩擦（摩擦損失係数は f）しか考慮されない．（曲がり，入口，出口損失は無視）

12U34H1DH4(1) 以下の空欄を埋めよ．
それぞれの区間のベルヌイ式は，v122
H 1 − E 2 = f12=D12 2 ga1

λ12 Q 2E 2 − E3 = λU QU = λ D QD22E3 − H 4 = λ34 Q

2

また，連続の式は， Q = QU + Q D = QU （b）となる．

但し，それぞれの添字 2 文字は区間を示し，f は摩擦損失係数，E はエネルギー水頭，lは管長，D は管径，Q は流量とする．λは係数を表す．
(2)係数λは管の性質を示す他の係数からどのように記述されるか？
(3) (1)の問を考慮して両端の水位とλを用いて流量を表せ．

(1)l12 v122a. H 1 − E 2 = f 12= λ12 Q 2D12 2 g⎛⎜⎝

連続の式は， Q = QU + Q D = QU ⎜1 +(2) fl v2l Q2l= f= f2
D 2g
D 2 gA
DよってλU ⎞⎟λ D ⎟⎠Q2⎛ πD ⎞⎟⎟
2 g ⎜⎜4⎝⎠
228 flgπ 2 D 5⎧⎫⎪
⎪
⎪
⎪⎪
λU2⎪
(3) H 1 − H 4 = Q ⎨λ12 ++λ34 ⎬2⎛⎞⎪⎪λ⎜1 + U ⎟⎪⎪⎜λ D ⎟⎠⎪⎩⎪⎭⎝

Q=H1 − H 4⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪λU
λ+⎨λ12 +⎬342⎛⎞⎪⎪
λ⎜1 + U ⎟⎪⎪⎜λ D ⎟⎠⎪⎩⎪⎭⎝

b=8 flQ225gπ D平成19年度

水理学Bおよび同演習

期末試験(2007.7.18)

学籍番号

３

氏名

粗度が n=0.02 の水路に単位幅流量 ｑ＝ 3.13m2/s が流れている．
この水路の勾配が上流 1/1000 から下流 1/100 に急変している．この場合に以下の問いに答えよ．
１）限界水深はいくらか．
２）上流の等流水深はいくらか？

この水路は緩勾配水路か？

それとも急勾配水路か？

３）下流の等流水深はいくらか？

この水路は緩勾配水路か？

それとも急勾配水路か？

４）上流水路・下流水路ともに十分長いものとすると急変点での水深はどうなっているか？
上流に見られる水面形のタイプはなにか？
下流に見られる水面形のタイプはなにか？
水面形の概略を示せ．

平成19年度

水理学Bおよび同演習

期末試験(2007.7.18)

学籍番号

４

氏名

水の流れの中に糸に付けた球形のおもりをぶら下げたところ 30 度傾いて釣り合った．
１．おもりに作用する力を全て挙げ，その大きさを示せ．
２．図 9-7 を利用して流れの流速を求めよ．
ただし，糸に作用する流体力は無視できるものとする．
おもりの比重は 1.5，おもり（球形）の直径は 2cm である．
また，水の密度は 1000kg/m3 ，動粘性係数は 10-6m2/s とせよ．
πd 3
参考までに 球の体積は6である．

単位を明示すること．
有効数字（桁数）を意識して答を書くこと．

３ 解答１ ） hc =q2
g

13に ｑとｇの値を代入して

hc ＝ 1.00 ｍ２）マニング式より計算すると
hn ＝ 1.51 m
hn > hc だから緩勾配水路３）マニング式より計算すると
hn ＝ 0.75 m
hn < hc だから急勾配水路
４）上下流十分長いので急変点で限界水深，上流で M2，下流で S2 の水面形になる
水面形の概略スケッチは省略

４ 解答

球に作用する力は球の体積を V と書くと糸の張力：Tρs V ｇ

球に働く重力：ρw V ｇ
球に働く流体力：Fd
球に働く浮力：

力の釣り合いより
T cos θ ＝ （ρs −ρw ） V ｇ
T sin θ ＝Fd与えられた条件を使うと V は 4.19・10-6 m3
重力は 61.6・ 10-3 N
浮力は 41.1・10-3 N
張力 T は重力と浮力の差 20.5・ 10-3 N を cos θ で割って流体力 Fd は 張力 T に sin θ をかけて23.7・10-3 N

11.85・ 10-3 N

これらから 図の上にある補助軸の値を計算するとRe Cd = 5.5 ･ 10 3
この値から右下に延びる線をたどり， Cd 〜 Re の曲線との交点での Re の値を読むとRe ＝ 7.2・103程度
これをｄ で割り，νをかけると流速になる．

結果は 3.6・10-1 m/s