岡本による，いたるところ微分不可能な関数について
小林健太（一橋大学商学研究科）

いたるところ微分不可能な関数としては，ワイエルシュトラス関数や高木関数などが知られていますが，ここでは，岡本久（元京都大学数理解析研究所教授，現学習院大学教授）が考案した，興味深い関数を紹介します．以下，この関数を岡本関数と呼ぶことにします．
岡本関数は，以下の (i)〜(iv) によって定義される関数列 {fn } の極限として定義されます．

(i) f0 (x) = x,(ii) fn+1 (x) は [0, 1] で連続,)
( )
(k3k
= fn
,(iii) fn+1n+133n()( )[ ()( )]
3k + 1kk+1kfn+1= fn+ a fn
− fn
,n+1nn3333n()[ ()( )( )]3k + 2kk+1kfn+1= fn+ (1 − a) fn− fn,n+1nn3333n())(3k + 3k+1
fn+1
= fn
,3n+13n(iv)ただし k = 0, 1, · · · , 3n − 1,
[ k k+1 ], 3n+1 で一次関数（ただし k = 0, 1, · · · , 3n+1 − 1）.
fn+1 (x) は各区間 3n+1

ここで，a は 0 < a < 1 なる定数です．

[]
図 1 に，区間 3kn , k+1における fn (x) と fn+1 (x) のグラフを示します．ただし，k は 0 以3n[]n
上 3 未満の整数とします．区間 3kn , k+1
において，fn (x) は直線になりますが，fn+1 (x)3nは 3 つの折れ線で構成されることになります．

(x + ∆x, y + ∆y)(x + ∆x, y + ∆y)y + a∆yfn (x)

fn+1 (x)y + (1 − a)∆y(x, y)(x, y)
図 1: 区間[k3nx + ∆x
3x + 2∆x3]における fn (x)（左）および fn+1 (x)（右）の様子．
, k+1n
3
1

1
0.8
0.6
0.4
0.2
01
0.8
0.6
0.4
0.2
01
0.8
0.6
0.4
0.2
0f0 (x)00.2 0.4 0.6 0.8

110.8
0.6
0.4
0.2
0f2 (x)00.2 0.4 0.6 0.8

1f1 (x)00.2 0.4 0.6 0.8

1f3 (x)00.2 0.4 0.6 0.81

図 2: a = 2/3 のときの f0 (x) ∼ f3 (x)図 2 に，a = 2/3 のときの f0 (x) ∼ f3 (x) の全体像を示します．このようにして構成していった {fn } に対し，岡本関数 Fa (x) をFa (x) = lim fn (x)n→∞と定義します．
次のページの図 3 に，様々な a の値に対する岡本関数 Fa (x) のグラフを示します．a の値によって滑らかさが大きく変わることが見て取れます．また，Fa (x) は，a = 1/3 のときは一次関数，a = 1/2 のときは Cantor の特異関数（悪魔の階段），a = 2/3 のときは Bourbakiの関数，a = 5/6 のときには Perkins の関数となります．
岡本関数の滑らかさについてはHisashi Okamoto, A remark on continuous, nowhere diﬀerentiable functions,Proceedings of the Japan Academy, Series A, Vol.81 (3), 2005, pp.47-50.
で詳しく調べられており，それによると，a0 = 0.559216 · · · を 54a3 − 27a2 − 1 = 0 の実数解とすると，(i) 0 < a < a0 のとき Fa (x) は，ほとんどいたるところ微分可能．
(ii) a0 < a < 2/3 のとき Fa (x) は，ほとんどいたるところ微分不可能．
(iii) 2/3 ≤ a < 1 のとき Fa (x) は，全ての点で微分不可能．となることが知られています．

2

10.8
0.6
0.40.201
0.8
0.6
0.4
0.2
01
0.8
0.6
0.4
0.2
01
0.8
0.6
0.4
0.2
01
0.8
0.6
0.4
0.2
01
0.8
0.6
0.4
0.2
0a = 0.1

00.2 0.4 0.6 0.8

1

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0a = 1/3

00.2 0.4 0.6 0.8

1

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

a = 1/2

00.2 0.4 0.6 0.8

1

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0a = 0.57

00.2 0.4 0.6 0.8

1

10.8
0.6
0.4
0.2
0a = 5/6

00.2 0.4 0.6 0.81a = 1/6

00.2 0.4 0.6 0.8

1

a = 0.400.2 0.4 0.6 0.8

1

a = 0.55

00.2 0.4 0.6 0.8

1

a = 2/3

00.2 0.4 0.6 0.8

1

a = 0.900.2 0.4 0.6 0.81

図 3: a = 0.1, 1/6, 1/3, 0.4, 1/2, 0.55, 0.57, 2/3, 5/6, 0.9 のときの岡本関数3つまり，a = a0 を境に，微分不可能な点の測度が 0 から 1 へ劇的に変化するということです．図 3 のグラフを見ても，a = 0.55 と a = 0.57 のグラフに大きな違いは見られないのですが，滑らかさは大きく異なっているということになります．
ところで，前掲の岡本による論文では，a = a0 のときに微分不可能な点の測度がどうなるかは未解決でしたが，私は，a = a0 のときには，ほとんどいたるところ微分不可能であることを証明しました．その結果はKenta Kobayashi, On the critical case of Okamoto’s continuous nondiﬀerentiable functions, Proceedings of the Japan Academy, Series A, Vol.85(8), 2009, pp.101-104.に掲載されています．
岡本関数はフラクタル的な構造を持ちますので，そのフラクタル次元を求めてみたいと思います．フラクタル次元にも色々あるのですが，ここではボックスカウティング次元を用います（おそらくハウスドルフ次元とも一致すると思います）．k を整数とし，xk = k/3n とすると，
xk < x < xk+1 において Fa (xk ) < Fa (x) < Fa (xk+1 ) もしくは Fa (xk ) > Fa (x) > Fa (xk+1 )が成り立ちます．よって，[0, 1]2 を一辺 3−n の正方形に分割し，グラフの通る正方形の個数を数えることにより，岡本関数のフラクタル次元は( 3n −1)∑1log 3n|Fa (xk+1 ) − Fa (xk )|Da = limn→∞ log 3nk=0とあらわすことができ，具体的に計算すると()( )n∑
1nk nkn−k
Da = lim
log 32a |1 − 2a|n→∞ log 3nkk=0()1nnlog3(2a+|1−2a|)= limn→∞ log 3nlog(2a + |1 − 2a|)=1+log 3となります．つまり，a ≤ 1/2 のときには Da = 1 となり，a > 1/2 では a が 1 に近づくにつれて Da は 2 に近づいていきます．a ≤ 1/2 のとき Da = 1 となることは，Fa (x) が単調非減少でグラフの長さが有限になることからもわかります．

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