第７９回に引き続き，藤原です。第８０回目は第状態にすることを目指す場合，「教科書に書かれて７９回で紹介した問題の解説です。

いる事を見直す」事が一番過不足のない最適な学習法であると思います。

今回のテーマは「内部エネルギー」でしたが，問題の解説を始める前に，教科書では「内部エネル

では，解説を見て行きましょう。

ギー」を，どのように説明しているかを確認したいと思います。
出版社によって多少表現の差異はありますが，お 【解答解説】
おむね下の３点が記されています。

※熱力学の問題は，「状態量（物質量，圧力，体積，絶対温度など）」のうち，未知数 (?) がいくつあるか

物体は内部で原子や分子が熱運動しているたを確認した上で計算を始める方が，混乱が少なく解め，運動エネルギーを持つ。また分子間には保存きやすくなります。以下の解説は，その未知数の確力が働きあっており，その保存力による位置エネ認も行いながら進めます。

(1)

ルギーも存在する。「内部エネルギー」とは，これらの運動エネルギー＋位置エネルギー（＝力学問1的エネルギー）の物体全体の総和を表す。
(2)

気体定数 R，物質量 n モル
（時刻 t0 ≤ t ≤ t1）

理想気体においては，分子間力が無視できるぐ

圧力 p0，液体体積 nvL，温度 Tらい小さいため，その位置エネルギーは 0 とし，「内部エネルギー」は運動エネルギーの総和とみなせ

与式より，温度 T c の液体状態における A の内部る。
(3)エネルギー Uc [J] として，単原子分子理想気体においては，気体分子運動

Uc = - nf0

論より，内部エネルギー U の値は，物質量 n，気内部エネルギー [J]3
体定数 R，絶対温度 T を用いて，U =nRT と20表される。

Uc
DU = Q(1) と (2) の定性的な説明は，物理基礎／物理のどUL

ちらの教科書にも記載が見られます。(3) は物理の教科書に書かれている公式です。

液体状態においては仕事が 0 であるため，温度を今回の問題は普段見慣れない法則や公式が登場しT( ≤ T c ) から T c まで変化させる間に A に与える熱ていて，人によっては「この問題はフェアなのか？」 Q=n C (T - T) が，A の内部エネルギー U と U のcLcという疑問が湧くかも知れないのですが，「教科書 差 DU に等しい。 すなわち，に書かれている事を前提に，入試問題は出題する」というルールから考えれば，十分フェアな出題だと

DU = Q⇔

Uc - UL = n C (Tc - T)

∴ UL = -n{f0 + C (Tc - T)}言えます。

（注：モル比熱 C の単位は [J/mol・K]）

典型的な入試問題に慣れた後，より学力を万全な1

エネルギーだけを考える（U > 0）。一方で，液体状< 問 1：参考 >態のときは分子間力が働き，また分子どうしが十分液体状態における内部エネルギーが負の値をとるに離れていない状態なので，内部エネルギー U（＝ことについて，類するテーマで，内部エネルギーよ運動エネルギー＋位置エネルギー）は負の値となるりも高校生が慣れている例を上げると「万有引力に(U<0)。

よる運動」がある。
問2（時刻 t2）

天体M

物体mvv∞

圧力 p0，気体体積 V2 (?)，温度 Tc0r

（無限遠点）

時刻 t2 において，A は全て気体になっているとみなせる。理想気体の状態方程式より，

万有引力

p0V2 = nRTc

上図のように，質量 M の天体の中心から，距離 rnRTcp0

また，A は単原子分子理想気体であるので，内部の位置で速さ v で運動している質量 m の物体があエネルギー U2 について，る場合，その力学的エネルギー E は，E=

∴ V2 =1Mm
mv2 - G2r

U2 =3nRTc2と表される。ここで，万有引力による位置エネルギー- GMm
は，無限遠点 (r →∞ ) を基準点 ( 位置エネr

問3（時刻 t1 ≤ t ≤ t2）

ルギー 0) としている。

圧力 p0，温度 Tc

また，この物体が無限遠点に達したときの速さを

液体：物質量 n-nG(?)，体積 (n-nG)vL (?)

v ∞とすると，力学的エネルギー保存則より，
E=

気体：物質量 nG(?)，体積 V'(?)

1Mm
1mv2 - G= mv ∞ 2 - 02r2

E ≥ 0 のときは，物体は実際に無限遠点に達する事が出来るが，E<0 のときは，無限遠点に達するこ

状態方程式

p0V'=nGRTc

また，体積の和

V=V'+(n-nG)vL

すると，
p0{V-(n-nG)vL} = nGRTc

同様の話が，万有引力でなく静電気力（クーロン力）でも登場する。分子間力は静電気力の一種で，∴ nG =粒子間の距離が非常に近いときを除くと引力にな0 として負の値となる。

…22 ⇔ V'=V-(n-nG)vL を，1 に代入して，V' を消去とは出来ない。

る。引力の場合，その位置エネルギーは無限遠点を…1p0 (V − nvL )RTc − p0 vL（注意点）
今回の問題は「液体の体積を無視しない」問題で気体状態のときは，粒子同士が十分遠方に離れてあるので，「容器の体積≠気体の体積」であることいるとみなせ，分子間力は非常に弱く，その位置エに注意すべき。

ネルギーも 0 とみなして，内部エネルギー U は運動2

問4

∴L=

今回，外気圧は p0 で一定であり，ピストンに働く重力は無視できる（ほど小さい）ので，内部気＜問 5：参考＞

体が外部に対してした仕事 W は，定圧変化とみな外部に対する仕事 W が 0 でない過程において，気して，体が吸収するエネルギー Q と内部エネルギー変化

W = p0DV =p0(V2 - nvL)
問 2 の V2 =5
RTc + f0 - p0vL2

DU は一致せず，Q=DU+W の関係が成り立つ（熱力nRTcを代入して，p0学第一法則）。
蒸発W = nRTc - p0nvL

熱に関しても，内部エネルギーの変化に用いられる値だけを考えるのではなく，同時に起こる外部に対する仕事の値もあわせて，「どれくらい（注意点）のピストンの断面積を S，移動距離を Dx とすると，熱エネルギーが必要か？」を考えている。

内部気体が外部に対してした仕事 W は，
W = p0SDx
問6であり，SDx はピストンが動いた部分の体積と一致する。

問 5 の式より，f0 = L-5
RTc + p0vL2

この式に，Tc = 4.00 ¥ 102 [K]，L = 4.03 ¥ 104 [J/mol]，問5

R = 8.3 [J/(mol･K)]，vL ™ 0 を代入して，

問 1，2 より，物質 A 全体が，温度 T c の液体か

f0 = 3.20 ¥ 104 [J/mol]

ら気体に変化する間の内部エネルギー変化を DU として，

了

3
DU = U2 - Uc = nRTc + nf0
2
内部エネルギー [J]【最後に】冒頭にも書きましたが，入試に必要な物理の知識

U2を最も適切に身につける事が出来るのは教科書でDU = Q-Wす。

0

ただ一方で，教科書だけで勉強を進めても，「各物理法則がどの様に役に立つのか？」という点がピUc

ンと来ない事も多いですので，具体的な実践演習も物理学習には不可欠と言えます。
またこの間に物質 A に与える熱エネルギー Q
理論学習→実践演習→理論学習→実践演習→……

(=nL) について，熱力学第１法則よりの繰り返しが，物理の学習において最もバランスがQ = DU + W⇔nL= (良いと思います。

3nRTc + nf0)+(nRTc - p0nvL)
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