交互作用interaction

一般化線形モデル
Generalized Linear Models
2009.3盛岡

粕谷 英一（九大・理・生物）

交互作用
ある説明変数の効果が、他の説明変数の値によりちがう

yb1x1

b2x2
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用
ある説明変数の効果が、他の説明変数の値によりちがう交互作用がないとき＝独立

y＝b 0 ＋ b1 x1＋b 2 x 2
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用なし

0x2

1

交互作用
あり

0

交互作用
あり

1x2

0x2

1x1＝0のとき
x1＝1のとき粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

やや昔話

正規線形モデルの時代
回帰（重回帰）：交互作用は見ないのが普通
分散分析：交互作用を見る粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用とは交互作用の意味とリンク
GLMでの交互作用の扱い方
交互作用と主効果minefieldmuch confusion
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交互作用
GLM

ある説明変数の効果が、他の説明変数の値によりちがう

３つの構成要素線形予測子
linear predictor

リンク関数（目的関数の期待値）
link function
目的関数の観察値（データ）誤差構造
error structure粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用

要因Ａが要因の存在ない あるにより0.4減る
ない
0.8
0.4
要因Bがある 0.4
0
要因の存在

要因Ａがあるないにより半分にない
0.8
0.4
要因Bがなるある 0.40.2
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交互作用

要因Ａがない ある
identityリンク
ない
0.8
0.4
要因Bがある 0.4
0
要因Ａがlogリンク

ない あるない
0.8
0.4
要因Bがある 0.40.2
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用がない場合ー独立
identityリンク
0.8
0.4
0.4
0logリンク
0.80.40.4
0.2

logitリンク0.80.40.40.1

比例ハザード0.80.40.40.023
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交互作用がない場合ー独立リンク関数により異なる交互作用が意味するところ
リンク関数により異なる交互作用の有無や大きさ
リンク関数により異なる
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GLMでの交互作用の扱い方

粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

GLM

３つの構成要素線形予測子
linear predictor

リンク関数（目的関数の期待値）
link function
目的関数の観察値（データ）誤差構造
error structure粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用
交互作用がないときー独立

y＝b 0 ＋ b1 x1＋b 2 x 2
線形予測子そのもの
これでは交互作用は扱えない・・・
説明変数で一工夫

GLMにおける交互作用＝説明変数の積粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

GLMにおける交互作用＝説明変数の積x1 x2
1.2 0.5
2.3 -1.0
2.0 2.2
5.5 1.2

積
0.6
-2.3
4.4
6.6

これを説明変数として使う
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

GLMにおける交互作用
説明変数の積 正規線形モデル
Call: glm(formula = y1 ~ x1:x2)
Coeﬃcients:(Intercept)
x1:x2-0.50719
0.06401
Call: glm(formula = y1 ~ I(x1 * x2))
Coeﬃcients:(Intercept) I(x1 * x2)-0.50719
0.06401

交互作用積

さらに試して・・・粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

GLMにおける交互作用
説明変数の積 正規線形モデル
交互作用

Call: glm(formula = y1 ~ x1 * x2)
Coeﬃcients:(Intercept)
x1
x2
x1:x2
-0.4088
0.3493-0.2506-0.1684
Call: glm(formula = y1 ~ x1 + x2 + I(x1 * x2))
Coeﬃcients:(Intercept)
x1x2 I(x1 * x2)-0.4088
0.3493-0.2506-0.1684

積もっと試して・・・
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

GLMにおける交互作用
説明変数の積 ロジスティック回帰
Call: glm(formula = cbind(yp01, yp02) ~ xp01:xp02,family = binomial)
Coeﬃcients:(Intercept) xp01:xp02
0.52420.2517

交互作用

Call: glm(formula = cbind(yp01, yp02) ~ I(xp01 * xp02),
family = binomial)
Coeﬃcients:(Intercept) I(xp01 * xp02)
0.52420.2517積粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

さらにさらに試して・・・

GLMにおける交互作用
ポアソン回帰説明変数の積Call: glm(formula = yp01 ~ xp01 * xp02, family = poisson)
Coeﬃcients:(Intercept)
xp01
xp02 xp01:xp02
1.90555-0.09924-0.13358
0.02532

交互作用
Call: glm(formula = yp01 ~ xp01 + xp02 + I(xp01 * xp02), family = poisson)
Coeﬃcients:(Intercept)
xp01
xp02 I(xp01 * xp02)
1.90555-0.09924-0.13358
0.02532
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

積

さらに試して・・・

GLMにおける交互作用
どのリンクでもどの誤差構造でも主効果が両方入っていても、片方でも、交互作用単独でも説明変数の積粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

GLMにおける交互作用

説明変数の積を新しい説明変数として使用それでいいのか？
x1 x2 積x1 x2 積0 0.5 05 0.5 2.5
1 -1.0 -1
6 -1.0 -6
x1に+5
0.5 6 3.0
6.5 6
39-1.5 -2 3.0
3.5 -2 -7.0
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交互作用と主効果
much confusion
混乱minefield
地雷原粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

説明変数に交互作用だけが入っている場合
x1-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5

x2
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5

y＝x1+x21
交互作用なし、2残差０
34
説明変数に5交互作用だけで6分析してみる粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用なし、残差０説明変数に交互作用だけで分析
glm(formula = y1 ~ x1:x2, family = gaussian)x1:x2

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)0.54759 0.05713 9.585 0.000662

交互作用はないのに、強い交互作用検出粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用があるときの主効果

y＝b 0 ＋ b1 x1＋b 2 x 2＋ 交互作用
主効果

交互作用

main effect

説明変数の値が定数だけ変化すると
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交互作用があるときの主効果

x2x2

そもそも

どこで主効果をみるか粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

ない0 ある1
ダミー変数

ない­0.5

ある＋0.5対比（線形対比）粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

説明変数に主効果のみ

xxbb
y＝b0 ＋ 1 1 ＋ 2 2

説明変数の値が定数だけ変化しても切片の項の変化で”吸収”される
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説明変数に交互作用のみ
交互作用の効果の大きさが変化する

x10と1x20と1(Intercept)
x1:x2-0.1128-0.1117Residual Deviance: 14.58 AIC: 56.44
x1 -0.5と0.5

x2-0.5と0.5(Intercept)
x1c:x2c-0.14068
0.05534
Residual Deviance: 14.62 AIC: 56.49
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説明変数に交互作用のみ交互作用の大きさが変化ー内容的にも

x10と1

x20と1

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)x1:x2-0.1117 0.4648 -0.240 0.813
Df Deviancex1:x2 1 0.0468
x1 -0.5と0.5 x2 -0.5と0.5
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)x1c:x2c0.05534 0.80617 0.069 0.946
Df Deviancex1c:x2c 1 0.0038
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説明変数に交互作用と主効果主効果の大きさが変化する

x1
x1x2
x1:x2

0と1x2

交互作用は変化なし

0と1

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)-0.01141 0.59996 -0.019 0.985-0.23915 0.59996 -0.399 0.695
0.05534 0.84847 0.065 0.949

x1 -0.5と0.5 x2 -0.5と0.5
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)x1c0.01626 0.42424 0.038 0.970
x2c-0.21148 0.42424 -0.498 0.625
x1c:x2c 0.05534 0.84847 0.065 0.949
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説明変数に交互作用と主効果交互作用による尤度変化の大きさ：変化なし

x10と1x20と1

Df Deviancex1:x2 1 0.0038

x1 -0.5と0.5 x2-0.5と0.5

Df Deviancex1c:x2c 1 0.0038
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

説明変数に交互作用と主効果
主効果による尤度変化の大きさが変化する

x1x20と1x2

Df Deviance
1 0.143x1 -0.5と0.5 x2

x20と1-0.5と0.5

Df Deviance
1 0.2236
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説明変数の値が定数だけ変化
説明変数に交互作用のみ
交互作用の効果：内容的に変化
説明変数に交互作用と主効果
主効果：内容的に変化
交互作用の効果：変化なし
粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

[交互作用＆主効果のモデル]での主効果

ダミー変数型(0,1)はここでみる対比型(-0.5,0.5)はここでみる

どこで主効果をみるか粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

説明変数に交互作用と主効果主効果があらわすもの自分が見たいものと主効果異なる可能性

自分の分析目的と合っているかーチェック必須粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用があるときの主効果
未解決ー 分散分析（正規線形モデル）での論争(1) 主効果は扱わないー（主効果＋交互作用）を扱う
Searle1971[2144+](2) まず交互作用を検定し、有意なら主効果は扱わず、有意でなければ交互作用なしのモデル
Seber1977[1047+]

Snedecor&Cochran1967[19830+](3) 主効果をどこで評価するか決めておく Arnold1981[221+]
Yates1934[239+](4) サンプルサイズに応じ主効果をどこで評価するか決める Scheffe1959[4752+]統計学の外の問題がある粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

主効果というものの内実(あ) なんらかの平均の比較(い) 特定のところの比較（他の説明変数の値）(う) 区間全体で、上／下にある(え) 効果はばらつくが平均は＋／−（効果を正規分布で表現して、母平均が正／負）粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

交互作用
あいまいな取り扱い→意味の薄い結論
ない

交互作用の意味を量的につかんでおく必要
影響は交互作用だけではなく主効果にも分析目的のはっきりしない、漠然とした主効果の検討→何を見ているのかわからない粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡

粕谷 英一（九大・理・生物）2009.03.17盛岡