不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

ステップ１

整数が２個の問題①１ 次の式の□と○にあてはまる整数について考えます。⑴⑵は（）にあてはまる数を求め、⑶は表に答を書きこみなさい。

11×□＋13×◯＝360⑴360 が 11 の倍数でも 13 の倍数でもないので、□と○にあてはまる数は、簡単には分かりません。そこで、11 か 13 のどちらか一方の数、ここでは 11 で割った余りに注目して考えます。

11 は 11 で割ると（）余ります。13 は 11 で割ると（ります。360 は 11 で割ると（）余ります。この結果をまとめると下のようになります。

11×□＋13×◯＝360
11 で割った余り

０×□＋２×◯＝ ８⑵⑴より、○＝（）余）と分かります。答の１つです。

1

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用⑶⑵の結果を利用して、□と○の組み合わせをすべて求めなさい。

11×□＋13×◯＝3602

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

２ 次の式の□と○にあてはまる整数の組み合わせをすべて求めなさい。
13×□＋17×◯＝610

3

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

３ 次の式の□と○にあてはまる整数の組み合わせをすべて求めなさい。
23×□＋19×◯＝1023

4

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

ステップ２

４ （
⑴

割り算の余り）にあてはまる数を書きなさい。

５で割ると１余る数は、５で割ると６余る数、５で割ると 11 余る数、５で割ると 16 余る数、・・・とも言えます。同様に、10 で割ると１余る数は、10 で割ると（10 で割ると（⑵と（）余る数、６で割ると（）余る数、）余る数、６で割る）余る数、・・・とも言えます。

⑴と同様に、13 で割ると１余る数は、13 で割ると（13 で割ると（ると（）余る数、）余る数、・・・とも言えます。

⑴と同様に、６で割ると１余る数は、６で割ると（６で割ると（⑶）余る数、10 で割ると（）余る数、13 で割ると（）余る数、・・・とも言えます。

5）余る数、）余る数、13 で割不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

ステップ２

整数が２個の問題②５ 次の式の□と○にあてはまる整数について考えます。⑴〜⑶は（）にあてはまる数を求め、⑷は表に答を書きこみなさい。

11×□＋13×◯＝410⑴

11 で割った余りに注目して考えます。11 は 11 で割ると（ります。13 は 11 で割ると（（★

）余）余ります。410 は 11 で割ると）余ります。この結果をまとめると下のようになります。

11×□＋13×◯＝410
11 で割った余り

０×□＋２×◯＝ ３⑵

ここで、前のページの考え方を使うと、11 で割ると（★
数は、11 で割ると（）余る）余る数とも言えます（★は同じ数が入ります）。

この結果をまとめると次のページのようになります。

6

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

11×□＋13×◯＝410
11 で割った余り

０×□＋２×◯＝ ３、14＋11⑶⑵より、○＝（）と分かります。答の１つです。

⑷⑶の結果を利用して、□と○の組み合わせをすべて求めなさい。

11×□＋13×◯＝4107

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

６ 次の式の、□と○にあてはまる整数の組み合わせをすべて求めなさい。
13×□＋17×○＝665

8不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

７ 次の式の、□と○にあてはまる整数の組み合わせをすべて求めなさい。
29×□＋23×○＝1060

9

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

ステップ３

整数が３個の問題

８ 次の式の□と○と△にあてはまる整数について考えます。あとの（）にあてはまる数を求めなさい。ただし、□と○と△は０以外の整数とします。

７×□＋14×○＋17×△＝86⑴

７と 14 が７の倍数なので、７で割った余りに注目して考えます。７は７で割ると（）余ります。14 は７で割ると（17 は７で割ると（）余ります。

）余ります。86 は７で割ると（★

）余ります。この結果をまとめると下のようになります。

７×□＋14×○＋17×△＝86
７で割った余り０×□＋ ０×◯＋３×△＝ ２⑵

７で割ると（★
割ると（）余る数は、７で割ると（）余る数、７で割ると（）余る数、７で）余る数、７で割ると（余る数とも言えます（★は同じ数が入ります）。この結果をまとめると次のページのようになります。

10）

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

７×□＋14×○＋17×△＝86
７で割った余り０×□＋ ０×◯＋３×△＝ ２、＋7 ＋7 ＋7 ＋7

９,16,23,30⑶⑵より、△＝（⑷⑶のとき、）と分かります。ただ１つの答えです。

７×□＋14×○＝（）

両辺（＝の両側のこと）を７で割って１×□＋２×○＝（）

このとき、□と○にあてはまる整数の組み合わせは、⑸(□、○)＝（、）、（、）※□と◯は０以外の整数⑶⑷より、□と○と△の組み合わせは、(□、○、△)＝（、、）、（、、）となります。

11

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

９ 次の式の、□と○にあてはまる整数の組み合わせをすべて求めなさい。
ただし、□と○と△は０以外の整数とします。

13×□＋17×○＋26×△＝18912

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

10 次の式の、□と○にあてはまる整数の組み合わせをすべて求めなさい。
ただし、□と○と△は０以外の整数とします。

16×□＋19×○＋24×△＝21213

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

■

解答

１ ⑴

■
０、２、８８ ⑴⑵ ４⑶ 28⑷（□、◯）＝（28、４）（15、15）（２、26）⑵⑶⑷⑷
２ （□、◯）＝（43、３）０、０、３、２
２、９、16、23、30
３35、５、（３、１）（１、２）（３、１、３）（１、２、３）（26、16）（９、29）

９ （□、◯、△）＝（６、５、１）

３ （□、◯）＝（４、49）（４、５、２）（２、５、３）（23、26）（42、３）

10 （□、◯、△）＝（１、４、５）

４ ⑴
⑵
⑶
５ ⑴

（４、４、３）（７、４、１）

11、21、31
７、13、19、25
14、27、40、53０、２、３⑵ ３、14⑶ ７⑷（□、◯）＝（29、７）（16、18）（３、29）
６ （□、◯）＝（42、７）（25、20）（８、33）
７ （□、◯）＝（８、36）（31、７）

14

不定方程式⑵ - 割り算の余りの利用

■

解説

■

９ 13×□＋17×◯＋26×△＝189･･･①

10 16×□＋19×◯＋24×△＝212･･･①

13 と 26 が 13 の倍数なので、13 で割った余りで考える。
13÷13＝１余り０17÷13＝１余り４26÷13＝２余り０
189÷13＝14 余り７①を 13 で割った余りで置き換えて、16 と 24 が８の倍数なので、８で割った余りで考える。
16÷８＝２余り０19÷８＝２余り３24÷８＝３余り０
212÷８＝26 余り４①を８で割った余りで置き換えて、０×□＋４×◯＋０×△＝７･･･②０×□＋３×◯＋０×△＝４･･･②ここで、13 で割って７余る数は、13 で割って 20 余る数、33 余る数、・・・とも言えるから、ここで、８で割って４余る数は、８で割って 12 余る数、20 余る数、・・・とも言える
から、

０×□＋４×◯＋０×△＝７,20,33,46,59,72,･･･ ･･･③

０×□＋３×◯＋０×△＝４,12,20,28,36,･･･ ･･･③

③より、

③より、

○＝５、18、・・・○＝４、12、・・・①より、△＝18 は不適。よって、①より、○＝12 は不適。よって、

○＝５

○＝４

このとき、①より、

このとき、①より、13×□＋26×△＝104･･･④

16×□＋24×△＝136･･･④④の両辺を 13 で割って、④の両辺を８で割って、１×□＋２×△＝８･･･⑤

２×□＋３×△＝17･･･⑤⑤より、□と△の組み合わせは、⑤より、□と△の組み合わせは、（□、△）＝（２、３）
（４、２）
（６、１）

（□、△）＝（１、５）
（４、３）
（７、１）

よって、□と○と△の組み合わせは、

よって、□と○と△の組み合わせは、（□、◯、△）＝（２、５、３）（４、５、２）（６、５、１）（□、◯、△）＝（１、４、５）（４、４、３）（７、４、１）15