〔№ 11〕

正答

３

条件 A～E より，3 人が食べた寿司ネタについて表を作ると，次のようになる。
Ⅰ (1 つまで)Ⅱ (2 つ)トロ

ウニ ヒラメ エビ

父○

○

長男×

次男

××××

Ⅲ

タイ マグロ イカ

タコ

○

○

×

○

○

○

○

○

アジ アナゴ 玉子

きゅうり

個数5つ××○○7つⅠのネタは 1 つまでなので，父はウニおよびヒラメを食べておらず，Ⅱのネタは 3 人とも 2 つ食べているので，父はマグロを食べず，長男はエビを食べたことになる。また，長男がⅠのネタを食べなかったとすると，長男はⅡおよびⅢのネタを合わせて 7 つ食べたことになるが，長男はタイ，タコ，きゅうりを食べていないので，ⅡおよびⅢのネタを 7 つ食べている可能性はない。したがって，長男はⅠのネタであるウニまたはヒラメのどちらかを食べ，全部で 5 つのネタを食べたことになる。
Ⅰ (1 つまで)Ⅱ (2 つ)Ⅲトロ

ウニ ヒラメ エビ

タイ マグロ イカ

タコ

父○××○

○×○

長男

×

どちらか○

○

×○

○

次男

×××

○

○

○

×

アジ アナゴ 玉子

きゅうり個数5つ×○

×

5つ

○

7つ

条件 D より，長男と次男が共通して食べたネタはマグロおよびイカの 2 つであるので，条件 E の「3 人全員が共通して食べたネタ」はイカということになり，長男は玉子を食べていないことになる。さらに，長男はアジまたはアナゴのどちらかを食べていることになるが，条件 D より長男が食べたネタは次男が食べていないことになるので，次男はタコを食べていることになる。
Ⅰ (1 つまで)Ⅱ (2 つ)Ⅲトロ

ウニ ヒラメ エビ

タイ マグロ イカ

タコ

アジ アナゴ 玉子

父○××

○

○

×○

○

×

長男

×

どちらか○○×○○×

次男×××○○○○××

きゅうり

個数××

5つ○/× ×/○××

5つ×/○ ○/×

○

○

7つ

よって，ア～オのうちで確実にいえるのは，イの「乳はアジを食べなかった」，ウの「長男はⅠのネタを食べた」，エの「次男はタコを食べた」である。

〔№ 12〕正答

３

図 2 の立体を真上から見たとき，2 点 A，B を結ぶ直線は次の図のようになる。
BA

この直線 AB が上下方向に 4 段に等分されることから，各段について直線 AB が通過する立方体の数を数えると，次のようになる。
上から1段目A

1個

上から2段目

B

A3個

よって，正答は選択肢 3 の「8 個」である。

上から3段目B

A

2個

上から4段目

B

A2個

B

〔№ 13〕

正答

１A を基準(±0)として，B～E の勝ち点を樹形図で表すと，次のようになる。
D (＋9）

E (＋3）

D (－3）

B (＋3）
A (±0）

D (＋3）

E (－3）

D (－9）

B (－3）

C (＋7）
C (－1）
C (＋1）C (－7）

2点差

C と D の勝ち点差が 2 であることから，A から E の勝ち点は次の 4 通りとなる。
AB

C

DE

①±0 (5 位)＋3 (3 位)

＋7 (2 位)

＋9 (1 位)

＋3 (3 位)②±0 (3 位)＋3 (1 位)

－1 (4 位)

－3 (5 位)

＋3 (1 位)③±0 (5 位)－3 (3 位)

＋1 (2 位)

＋3 (1 位)

－3 (3 位)④±0 (1 位)－3 (2 位)

－7 (4 位)

－9 (5 位)－3 (2 位)

これらのうち，首位のチームと 4 位のチームとの勝ち点差がもっとも大きくなるのは，④の A が首位の場合の「7 点」である。
よって，正答は選択肢 1 である。

〔№ 14〕

正答

３

条件ウより，C は D より東に住んでいるので，C は北ハイツ，東ハイツ，南ハイツのいずれかである。ところが，C が東ハイツに住んでいる

北ハイツとすると，条件エより A が南ハイツに住んでいることになり，条件アと矛盾する。したがって，C は北ハイツまたは南ハイツのいずれかに住ん西ハイツでいることになり，D が西ハイツに住んでいることになる。
条件イより，D の家から A の家へは中央交差点を直進するので，A は東ハイツ東ハイツに住んでいることになり，条件アより B が南ハイツ，条件エより C が北ハイツに住んでいることになる。
よって，確実にいえるものは選択肢 3 の「A は東ハイツに，C は北ハイツに住んでいる」である。

南ハイツ

〔№ 15〕

正答

２

A～D はそれぞれ 3 種類のスートを持っており，スートのパターンはすべて異なっているので，4 人はそれぞれ異なる 1 つのスートを持っていないことになる。
条件オより，B は S 大生ではなく，条件アおよびエより C と A も S 大生ではないので，S 大生は D である。
したがって，条件オより B と D はスペードとダイヤのカードを持っていることになる。また，条件アより Cはスペードのカードを持っているので，A はスペードのカードを持っていないことになる。この時点で，A が持っているカードはハート，ダイヤ，クラブであるとわかる。さらに，ダイヤを持っているのは A，B，D の 3人となるので，C が持っているカードはスペード，ハート，クラブの 3 種類である。
ここまでに判明した事実を表にすると，次のようになる。
PS

スペード

ハート

ダイヤ

クラブ

A××○○○B×○

C×○○○

D×Q×R×○○×○○

条件ウより，Q 大生はダイヤとクラブのカードの両方を持っていることはないので，A は Q 大生ではなく，条件エより A は P 大生でもないので，A は R 大生である。また，条件イより P 大生はダイヤとクラブのカードを持っているので，B が P 大生となって B が持っているカードはスペード，ダイヤ，クラブの 3 種類となる。
ここから，C は Q 大生であり，D が持っているカードはスペード，ハート，ダイヤの 3 種類となる。
PQRS

スペード

ハートダイヤクラブA××○××○○○

B○×××○×○○

C×○××○

○×○

D×××

○

○○○×

よって，確実にいえるものは選択肢 2 の「B は P 大生で，スペード，ダイヤ，クラブのカードを持っている」である。

〔№ 16〕

正答４6問題の式の形から，「三平方の定理」を利用すればよいと考えられる。

2240「13 2＋2 2＝173」より，「 173 」は直角をはさむ 2 辺の長さが13 および 2 である直角三角形の斜辺の長さであり，「6 2＋2 2＝40」
より，「 40 」は直角をはさむ 2 辺の長さが 6 および 2 である直角三角形の斜辺の長さであることがわかる。さらに，「(13＋2) 2＋(6＋2) 2＝17 2」より，「17」は直角をはさむ 2 辺の長さが 13＋2および 6＋2 である直角三角形の斜辺の長さであることもわかる。

173

13＋2
1713

これらのことから，右のような図を描くと，求める三角形の面積は，2 辺の長さが 15 および 8 である長方形の面積から，3 つの直角三角形および 1 辺の長さが 2 の正方形の面積を引けばよいことがわかる。
したがって，求める面積は，15×8－(15×8× 1 ＋13×2× 1 ＋6×2× 1 ＋2×2)
222＝120－(60＋13＋6＋4)＝120－83＝37となる。

6＋2〔№ 17〕

正答４

問題の正四面体を図示すると，次のようになる。
A2BD③C①H

図 1 のように，正三角形 ACD について，A から CD に下ろした垂線の足を E とすると，E は CD の中点であるので DE＝1 であり，H は CD を 1：3 に内分する点であるから CH＝2×1 ＝ 1 である。したがって，HE1＋32＝ 1 となるので，△AHE についての三平方の定理より，AH＝ 13 となる。また，△ACH≡△BCH より BH＝2213 となるので，切断面 ABH は，図 2 のように，AH＝BH＝ 13 ，AB＝2 の二等辺三角形となる。
22図1

図2AH2313232132C12H12E1DAB12

図 2 より，△ABH の高さは 3 となるので，その面積は 2× 3 × 1 ＝ 3 である
2222

〔№ 18〕

正答

４

A の発言から，5 人のメールのやり取りのようすは右の図のようになっていると考えられる。
B，D，E の発言から，この 3 人は C からメールを受け取っていないので，C からメールを受け取ったのは A ということになる。このとき，C の発言から，C がメールを受け取った相手は D となり，B の発言から，B がメールを受け取った相手は Eとなるので，5 人のメールのやり取りのようすは次の図のようになる。
CA

D

EB

よって，確実にいえるのはイの「C が送った相手は B である」およびエの「C は D から受け取った」となるので，正答は選択肢 4 である。

〔№ 19〕

正答

２条件オより，E は全員と知り合いであるので，条件イより B は E のみと知り合いということになり，A，C，D の 3 人は B と知り合いではないことになる。そうすると，条件エより D は B 以外の 3 人，すなわち A，C，E の 3 人と知り合いということになり，C が知り合いである 2 人は D よび E となる。したがって，A と C は知り合いではないことになる。
AA

BC

DE

(人数)

××

○

○

2人××

○

1人○

○

2人

○

3人

B×C××

D○×○

E○○

○○

4人

条件アより，A の両隣はいずれも A の知り合いではないので，A の両隣は B と C である。ところが，両隣とも知り合いでないのは A だけであるから，B は A と E の間，すなわち A の左隣に座っていることになる。よって，A の右隣に座っているのは C である。

〔№ 20〕

正答４

各問題の正答率は， 正答者数 で求めることができる。また，2 題合わせた正答率は，問 1 の正答率と問 2 の生徒数正答率の算術平均を取ることで求められる。
条件アより，2 題合わせた正答率は 3 クラスとも同じであるが，条件エより A の問 1 の正答率は他の 2 クラスよりも高いので，A の問 2 の正答率は他の 2 クラスよりも低いはずである。ところが，条件ウより，A と Bの問 2 の正答者数は同じであるので，A のほうが B よりも正答率が低くなるためには，A の生徒数が B の生徒数よりも多くなければならない。
また，条件イより A の問 1 と問 2 の正答者数が同じであるので，A の問 1 の正答者数と B の問 2 の正答者数は同じである。一方で，A の問 1 と問 2 の正答率は等しいはずであるから，これを a とすると，B の問 1 の正答率は a より低く，B の問 2 の正答率は a より高いことになる。したがって，B の問 1 の正答率は B の問 2 の正答率よりも低いことになるので，B の問 1 の正答者数は B の問 2 の正答者数より少なく，同時に A の問 1 の正答者数よりも少ないことがわかる。
ここで，条件オより，C の問 1 の正答者数は A より多いことになるが，条件エより C の問 1 の正答率は A よりも低いはずであるので，C の生徒数は A の生徒数よりも多くなければならない。
よって，生徒数が多い順に「C→A→B」となるので，正答は選択肢 4 である。
なお，仮に A の生徒数を 30 人，A における問 1 および問 2 の正答率を 50％とした場合，たとえば次のような人数であれば，すべての条件を満たしている。
人数

問 1 の正答者数問 2 の正答者数

合計の正答率A

30 人

15 人(正答率 50％)

15 人(正答率 50％)

50％

B

25 人

10 人(正答率 40％)

15 人(正答率 60％)

50％

C40 人

18 人(正答率 45％)

22 人(正答率 55％)50％

〔№ 21〕

正答１

A～C のそれぞれについて，正誤を検討してみると，次のようになる。
A

4 m の 1 の位は，4 1＝4，4 2＝16，43=64，44＝256，…というように，4 と 6 しか現れない。また，6 n の 1の位は，6 1＝6，6 2＝36，6 3＝216，64＝1,296，…というように，すべて 6 となっている。したがって，4 m6 nの 1 の位は，4×6＝24 の「4」または 6×6＝36 の「6」のいずれかである。よって正しい。
3 m7 n の 1 の位が 3 となるのは，3×7＝21 より，3 m7 n＝3 n＋1×7 n＝3 n×7 n×3 1＝21 n×3 となる場合，すなわB

ち m＝n＋1 となる場合である。このとき，3 n7 m の 1 の位は，3 n×7 n＋1＝3 n×7 n×7 1＝21 n×7 より，かならず7 となる。よって正しい。
C

3 m について，m＝1 から順に書き並べてみると，次のようになる。
3 1＝3，3 2＝9，3 3＝27，3 4＝81，35＝243，36＝729，3 7＝2,187，3 8＝6,561，……
したがって，s を 1 以上の整数とすると，m＝4s－3 のとき 3 m の 1 の位は 3，m＝4s－2 のとき 3m の 1 の位は 9，m＝4s－1 のとき 3 m の 1 の位は 7，m＝4s のとき 3 m の 1 の位は 1 となっていることがわかる。
同様に考えると，8 n の 1 の位は，t を 1 以上の整数として，n＝4t－3 のとき 8 n の 1 の位は 8，n＝4t－2 のとき 8 n の 1 の位は 4，n＝4t－1 のとき 8 n の 1 の位は 2，n＝4t のとき 8 n の 1 の位は 6 となっていることがわかる。
ここで，m＋n＝33 であるとき，m＝4s－3 とすれば，n＝33－m＝33－(4s－3)＝36－4s＝4(9－s)＝4t と考えることができる。このとき，3 m8 n の 1 の位は，3×6＝18 の「8」である。同様に，m＝4s－2 のときは n＝33－m＝33－(4s－2)＝35－4s＝4(9－s)－1＝4t－1 となるので 3 m8 n の 1 の位は 9×2＝18 の「8」となり，m＝4s－1 のときは n＝33－m＝33－(4s－1)＝34－4s＝4(9－s)－2＝4t－2 となるので 3 m8 n の 1 の位は 7×4＝28 の「8」となり，m＝4s のときは n＝33－m＝33－4s＝4(9－s)－3＝4t－3 となるので 3 m8 n の 1 の位は 1×8＝8 の「8」となる。よって正しい。
以上より，A～C はすべて正しいので，正答は選択肢 1 である。

〔№ 22〕

正答

４

A～C の 3 人の移動のようすをダイヤグラムで表してみると，次のようになる。ただし，B が出発した地点をZ としている。
16分

YCB
Z8km
XA
30分

15分 15分

A の速さを a km/時，B の速さを b km/時，C の速さを c km/時とすると，A は 30 分で B に追いついたので，1 (a－b)＝82∴b＝a－16

また，A と C は 45 分後に出会っているので，XY 間の距離は 3 (a＋c)km と表すことができる。したがって，
4B と C が 1 時間後に出会っていることから，
1×(b＋c)＝ 3 (a＋c)－84→4(a－16＋c)＝3(a＋c)－32∴

c＝32－a

よって，XY 間の距離は，3 (a＋c)＝ 3 (a＋32－a)＝ 3 ×32＝24(km)44
4
B と C の到着時刻の差が 16 分であることから，

24 ＋ 16 ＝ 24 - 860
a - 1632 - a
この方程式を数学的にきちんと解くのは現実的ではないので，a に選択肢の値を順に当てはめてみると，a＝22 のときに等式が成立することがわかる。
よって，正答は選択肢 4 である。

〔№ 23〕正答

４A は「2 分間点灯したのちに 3 分間消灯」するので 5 分ごとのパターンであり，B は「1 分間消灯したのちに3 分間点灯」するので 4 分ごとのパターンである。したがって，5 と 4 の最小公倍数である 20 分ごとに，A，Bがともに消灯している時間が何分あるかを調べればよい。
0AB

123点灯

4567点灯点灯

点灯

8910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20点灯
点灯

点灯
点灯

点灯

図で示したように，20 分間に A，B がともに消灯している時間は 3 分ある(図の斜線部分)。よって，60 分間のうちで A，B がともに消灯している時間は 3× 60 ＝9(分間)である。
20

〔№ 24〕正答

４

正方形が長方形の内部を滑らずに転がるときの頂点 P の軌跡は，次のようになる。

P10 2 cm10cm

よって，軌跡の長さは，10×2×π× 1 ×2＋ 10 2 ×2×π× 1 ＝(10＋ 5 2 )π(cm)44となる。

〔№ 25〕

正答

４

黒く塗られたマスが図 2 のようになるためには，最初のサイコロで 3 以外の目が出る必要がある。そこで，最初のサイコロの目が 1，2，4，5，6 であるそれぞれの場合について考えると，次のようになる。
①

最初に 1 が出た場合黒く塗られたマスは右の図のようになるので，図 2 のようになるためには，24回目に 1，4，5，6 のいずれかの目が出ればよい。このときの確率は 1 × 4 ＝ 16691，5，6である。
②

最初に 2 が出た場合黒く塗られたマスは右の図のようになるので，図 2 のようになるためには，24，5回目に 4 または 5 のいずれかの目が出ればよい。このときの確率は 1 × 2 ＝ 11866である。
③

最初に 4 が出た場合黒く塗られたマスは右の図のようになるので，図 2 のようになるためには，2回目に 1 または 6 のいずれかの目が出ればよい。このときの確率は 1 × 2 ＝ 118661，6である。
④最初に 5 が出た場合黒く塗られたマスは右の図のようになるので，図 2 のようになるためには，2回目に 1，2，5，6 のいずれかの目が出ればよい。このときの確率は 1 × 4 ＝ 1669である。

⑤

最初に 6 が出た場合黒く塗られたマスは①と同じになるので，このときの確率は 1 × 4 ＝ 1 である。
669よって，求める確率は 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 4 である。
1818999
9

1，2，65

〔№ 26〕

正答

３

演算が「＋」および「×」であった場合には，計算結果がかならず正の整数となるので，計算結果が整数とならない場合および負となる確率を求めるには，演算が「－」および「÷」の場合のみを考えればよい。
演算が「－」の場合，演算結果はかならず整数となるが，負となるものが「1－2」，「1-3」，「1－4」，「2－3」，「2－4」，「3－4」の 6 通りある。また，演算が「÷」の場合，演算結果はかならず正となるが，整数とならないものが「1÷2」，「1÷3」，「1÷4」，「2÷3」，「2÷4」，「3÷2」，「3÷4」，「4÷3」の 8 通りある。また，すべての演算の場合の数は 4 3＝64 通りである。
よって，求める確率は 6＋8 ＝ 7 である。
6432

〔№ 27〕

正答

５A～C について検討してみると，次のようになる。
A

平成 22 年度の産婦人科医療費は，(平成 19 年度の産婦人科医療費)×(1－0.0022)×(1－0.0225)×(1＋0.0079)≒(平成 19 年度の産婦人科医療費)×0.983 となり，平成 19 年度を下回っている。よって誤りである。

B

全診療科医療費に占める産婦人科医療費の割合は，平成 23 年度が 2.95％，平成 24 年度が 2.97％であり，平成 24 年度は前年の割合を上回っている。よって誤りである。

C

全診療科医療費は，産婦人科医療費で求めることができる。ここで，平成
全診療科医療費に占める産婦人科医療費の割合

23 年度の産婦人科医療費を f とすると，平成 23 年度の全診療科医療費は診療科医療費は率は，fとなり，平成 24 年度の全0.0295

1.0103fとなる。したがって，平成 23 年度に対する平成 24 年度の全診療科医療費の増加
0.02971.0103ff
÷＝ 1.0103 ×0.0295＝1.0103× 0.0295 ≒1.0035 よりおよそ 0.35％となり，1％を下0.02970.02970.0295 0.0297

回っている。よって誤りである。
以上より，A～C はすべて誤りであるので，正答は選択肢 5 である。