量子力学 I 中間レポート
提出期限 : 2024 年 6 月 9 日 / 提出先 : 理学研究科 Y 棟 B230 レポートボックス or jinno@phys.sci.kobe-u.ac.jp
学籍番号

氏名

以下の問いに答えよ。計算過程を適宜記述すること。100 点以上を得た場合、得点は 100 点に調整される。
本講義では、まず量子論の発見に至るまでの過程を説明した。粒子のエネルギー E および運動量 p が波の角振動数 ω お
よび波数 k と粒子に関連する量








E = ℏω
p = ℏk











波に関連する量p2によって関連付いているという示唆、および粒子のエネルギーと運動量についての関係式 E = 2m + V (x) から、e i(kx−ωt)に成り立つ方程式の一般化として時間に依存する Schrödinger 方程式iℏ∂Ψ(t, x) = HΨ(t, x),
∂t

H =−

ℏ2 ∂2+ V (x),2m ∂x2hを推測した。ここで ℏ は換算 Planck 定数 ℏ := 2πであり、Planck 定数は h ≃ 6.63 × 10−34 kg m2 /s である。これについて以下の問いに答えよ。

[問 1](配点 : 5 + 5 + 5)

(1) λ = ph を de Broglie 波長と言う。速度 v = 1.00 × 106 m/s で動いている金属中の電子の de Broglie 波長を有効数字 2 桁で求めよ。電子の質量は m ≃ 9.11 × 10−31 kg である。

(2) 宇宙空間は温度 T ≃ 2.73 K の分布を持つ光子で満たされていることが知られているa (宇宙背景放射 = Cosmichν3.
Microwave Background)。温度 T の分布を持つ光子の単位周波数あたりのエネルギー密度 U(ν, T ) = 8πhν(e kB T −1)
c3が hν ≃ 2.82kB T でピークを取ることを用いて、このピークに対応する周波数 ν 、波長 λ、およびエネルギー E を有効数字 2 桁で求めよ。光速は c ≃ 3.00 × 108 m s−1 、ボルツマン定数は kB ≃ 1.38 × 10−23 J K−1 である。

(3) 原子核の大きさ a は a ≃ 1 fm = 10−15 m 程度である。原子核の構造を光子を用いて調べるには、光子の波長が原子核の大きさ程度かそれ以下でないといけない。光子にどの程度のエネルギーが必要か、オーダー評価で求めよ。
a Planck 衛星による宇宙背景放射の精密測定により、インフレーション理論の性質が絞り込まれている [1]。

[問 2]

(配点 : 5 + 5 + 5 + 5)

時刻 t = 0 における波動関数がip0 xΨ(t = 0, x) = Ae ℏ2− x22a,で与えられているとする。ただし A, a は正の定数であり、p0 は実数の定数である。
R∞(1) 規格化条件 −∞ dx |Ψ(t, x)|2 = 1 より、A を他の定数で表せ。
p(2) この時刻における ⟨x⟩ , ⟨x2 ⟩ , σx := ⟨(x − ⟨x⟩)2 ⟩ を求めよ。ただし、x の任意の関数 f (x) の時刻 t における期1

R∞
待値は ⟨f ⟩ = −∞ dx Ψ ∗ (t, x) f (x) Ψ(t, x) で与えられる。
p(3) この時刻における ⟨p⟩ , ⟨p 2 ⟩ , σp := ⟨(p − ⟨p⟩)2 ⟩ を求めよ。ただし、p の任意の関数 f (p) の時刻 t における期R∞∂
待値は ⟨f ⟩ = −∞ dx Ψ ∗ (t, x) f −iℏ ∂xΨ(t, x) で与えられる。
(4) この時刻において不確定性関係 σx σp ≥ 2ℏ が満たされていることを示せ。

本講義では次に、時間に依存しない Schrödinger 方程式を導入した。上記の時間に依存する Schrödinger 方程式の解は、変数分離型の解 Ψ(t, x) = ψ(x)φ(t) の満たす方程式iℏ∂φ(t) = Eφ(t),∂tHψ(x) = Eψ(x),の解 φ(t) = φn (t) = e −iEn t/ℏ および ψ(x) = ψn (x) の重ね合わせとして Ψ(t, x) =Pn cn ψn (x)φn (t) と書かれる。このうちHψ(x) = Eψ(x) を時間に依存しない Schrödinger 方程式と呼ぶ。これについて、以下の問いに答えよ。

[問 3](配点 : 5 + 5 + 3 + 4 + 3 + 10)

無限井戸型ポテンシャルを考える。解くべき方程式は以下である。

Hψ(x) = Eψ(x),H =−ℏ2d22m dx 2+ V (x),(0 ≤ x ≤ a), 0
V (x) = 
 ∞ (x < 0 or a < x).

(1) n 番目 (n = 1, 2, 3, · · · ) の波動関数 ψn (x) およびエネルギー固有値 En を求めよ。ψn (x) は実数の範囲で考えれR∞ば十分である。波動関数は −∞ dx |ψn (x)|2 = 1 で規格化すること。
(2) ψn (x) (n = 1, 2, 3) の概形を描け。
有限井戸型ポテンシャルを考える。ただし V0 は正の定数とする。解くべき方程式は以下である。

Hψ(x) = Eψ(x),H =−ℏ2 d 2+ V (x),2m dx 2
 −V0V (x) =  0(−a ≤ x ≤ a),(x < −a or a < x).

(3) この系に現れるエネルギー固有状態は (a) 束縛状態のみ、(b) 散乱状態のみ、(c) 束縛状態および散乱状態、のいずれであるか。

(4) −V0 < E < 0 の場合について考える。解を
Ae −κx + Be κx(x < −a),ψ(x) = C sin(lx) + D cos(lx) (−a < x < a),
Fe −κx + Ge κx(a < x),と置こう。ただし κ, l は正とする。それぞれの領域で ψ(x) が Schrödinger 方程式の解であるという条件から、κ, lを V0 および E で表せ。

(5) 本問のようにポテンシャルが偶関数 V (−x) = V (x) である場合、ψ(x) は偶関数 ψ(−x) = ψ(x) または奇関数
ψ(−x) = −ψ(x) の範囲で考えれば十分である。偶関数の ψ(x) を考える場合、ψ(x) が x → ±∞ で発散しないという条件も合わせて考慮すると、A, B, C, D, F, G のうち 0 となるものはどれか。

2

(6) 引き続き偶関数の ψ(x) を考える。波動関数の接続条件から κ と l の間に成り立つ関係式を求めよ。その結q
8ℏ2果を元に、a = mVの場合に、偶関数の束縛状態の個数を答えよ。
0本講義では次に、Schrödinger 方程式を複素 Hilbert 空間 (= 内積が定義され、極限も適切に存在する複素ベクトル空間)の元 |Ψ(t)⟩ に対する方程式として一般化した。

iℏ∂|Ψ(t)⟩ = Ĥ |Ψ(t)⟩ .
∂tp̂ 2|Ψ(t)⟩ は「系の状態」と呼ばれる。この一般化により、例えば Hamiltonian を Ĥ = 2m + V (x̂) とすれば以前の 1 次元空間中の粒子に対する Schrödinger 方程式が得られ、また別の Hamiltonian を考えれば別の系も記述可能であるため、理論の適用範囲が広がった。これについて以下の問いに答えよ。

[問 4](配点 : 5 + 5 + 10)

2 準位系と呼ばれる、系の状態 |Ψ(t)⟩ が 2 成分ベクトルを取る系を考える。2 つの正規直交基底を
 1 
 ,|1⟩ = 
0 
 0 
 ,|2⟩ = 
1 とし、Hamiltonian は
 0 ϵ  ,Ĥ = 
ϵ 0 で与えられるとする。ここで ϵ は正の実数である。時刻 t = 0 において系の初期状態は |Ψ(t = 0)⟩ = |1⟩ である。この系が Schrödinger 方程式iℏ∂|Ψ(t)⟩ = Ĥ |Ψ(t)⟩ ,∂tに従って発展するとき、任意の時刻 t における状態 |Ψ(t)⟩ を求めたい。

(1) |Ψ(t)⟩ を Ĥ の固有状態の重ね合わせで表そう。Ĥ の固有状態を求める式、すなわち時間に依存しない
Schrödinger 方程式
Ĥ |s⟩ = E |s⟩ ,を解くことで、2 つの固有値 E+ , E− および正規化されたエネルギー固有状態 |s+ ⟩ , |s− ⟩ を求めよ。

(2) Schrödinger 方程式に左から ⟨s± | を掛けることで、|s± ⟩ 表示の波動関数 ⟨s± |Ψ(t)⟩ に対する Schrödinger 方程式iℏ∂⟨s |Ψ(t)⟩ = E± ⟨s± |Ψ(t)⟩ ,∂t ±が得られる。この微分方程式を解くことで、⟨s± |Ψ(t)⟩ を初期値 ⟨s± |Ψ(t = 0)⟩ を用いて表せ。

(3) 任意の時刻 t における状態 |Ψ(t)⟩ を ϵ を用いて表せ。

本講義では次に、調和振動子の演算子法を取り扱った。これについて以下の問いに答えよ。

3

[問 5](配点 : 5 + 5 + 5)

調和振動子に対する時間に依存しない Schrödinger 方程式

Ĥ |ψ⟩ = E |ψ⟩ ,Ĥ =p̂ 2+ V (x̂),
2mV (x̂) =1mω 2 x̂2 ,2を考える。消滅演算子 â および生成演算子 â† は1(−i p̂ + mω x̂) ,â† := √2ℏmω

1(i p̂ + mω x̂) ,â := √2ℏmωで定義される。

(1) x̂ と p̂ の間に成り立つ正準交換関係 [x̂, p̂] = iℏ を用いて [â, â† ] を求め、また Ĥ を â, â† を用いて表せ。交換子は [Â, B̂] := ÂB̂ − B̂Â で定義される。

(2) 調和振動子の基底状態 (= エネルギー固有値が最低の状態) |ψ0 ⟩ は、â |ψ0 ⟩ = 0,で与えられる。これを |x⟩ 表示することで ψ0 (x) = ⟨x|ψ0 ⟩ に対する微分方程式を導き、ψ0 (x) =1mω 4 − mω x2e 2ℏ ,πℏR∞が得られることを示せ。ただし解は −∞ dx |ψ0 (x)|2 = 1 により規格化し、規格化定数は正の実数とした。
(3) |ψ0 ⟩ に生成演算子を作用させることで、第 1 励起状態 |ψ1 ⟩ および第 2 励起状態 |ψ2 ⟩ の |x⟩ 表示の波動関数R∞ψ1 (x), ψ2 (x) を求めよ。ただし解は −∞ dx |ψn (x)|2 = 1 により規格化すること。

以下は発展的内容である。

[問 6](配点 : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4)

調和振動子の議論を一般化することで、超対称量子力学 (supersymmetric quantum mechanics = SUSY QM) について学ぼう (文献 [2] 第 2 節)。演算子 Â, Â† をp̂
Â = i √+ W (x̂),
2mp̂Â† = −i √+ W (x̂),
2mで定義し、2 種類の Hamiltonian をĤ1 := Â† Â =p̂ 2+ V1 (x̂),
2mĤ2 := ÂÂ† =p̂ 2+ V2 (x̂),
2mで定義する。W (x̂) は superpotential と呼ばれ、(W (x̂))† = W (x̂) を満たしているとする。

(1) V1 (x̂), V2 (x̂) を W (x̂) で表せ。任意の f (x̂) に対し [f (x̂), p̂] = iℏf ′ (x̂) であることに注意せよ (第 5 回演習)。
(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(2) Ĥ1 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ のとき Ĥ2 Â |ψn ⟩ = En Â |ψn ⟩ であること、および Ĥ2 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ のとき(2)(2)(2)Ĥ1 Â† |ψn ⟩ = En Â† |ψn ⟩ であることを示せ。
(1)

(1)

この結果は Ĥ1 に対する |ψn ⟩ と Ĥ2 に対する Â |ψn ⟩ が (0 ベクトルでない限り) 同じ固有値の固有状態として対(2)(2)

応し、Ĥ2 に対する |ψn ⟩ と Ĥ1 に対する Â† |ψn ⟩ も同様に (0 ベクトルでない限り) 対応することを示している。

4つまり Hamiltonian Ĥ1 , Ĥ2 は、異なるポテンシャルを持つにも関わらず同じエネルギー固有値を持つ。ただし、
(1)

(2)

Â |ψn ⟩ や Â† |ψn ⟩ が 0 ベクトルとなってしまう場合は固有ベクトルとして不適格なので、そのような場合は対応する状態がないこともある。

(3) Ĥ1 の基底状態 (= エネルギー固有値が最低の状態) を |ψ0 ⟩ とする。仮に Â |ψ0′ ⟩ = 0 を満たす 0 ベクトルでない状態 |ψ0′ ⟩ が存在するとしたら、この |ψ0′ ⟩ こそが基底状態 |ψ0 ⟩ である。なぜなら、任意の状態 |ψ⟩ に対して
2⟨ψ| Ĥ1 |ψ⟩ = Â |ψ⟩ ≥ 0 であるために Ĥ1 の固有値は全て 0 以上である一方、Ĥ1 |ψ0′ ⟩ = Â† Â |ψ0′ ⟩ = 0 |ψ0′ ⟩ より |ψ0′ ⟩(1)

は Ĥ1 の固有値 E0 = 0 の状態であるからである。さて、基底状態が Â |ψ0 ⟩ = 0 を満たすとして、この式を |x⟩ 表示することで、W (x) を ψ0 (x) を用いて表せ。

(4) V1 (x̂) に対する V2 (x̂)、あるいはその逆を、SUSY partner potential と言う。無限井戸型ポテンシャルの SUSY
partner potential を求めよう。[問 3](1) で求めた ψ1 (x) が本問の基底状態 ψ0 (x) に相当することに注意して、(3)の結果を使うことによりまず W (x) を求めよ。[問 3](1) で求めた ψ1 (x) は、井戸の深さを定数分だけずらした
 V0V (x) =  ∞(0 ≤ x ≤ a),(x < 0 or a < x).

に対しても Schrödinger 方程式の解になっていることに注意して、W (x) から求めた V1 (x) が上記のポテンシャル形となることを確認し、SUSY partner potential V2 (x) を求めよ。0 ≤ x ≤ a の範囲だけ考察すれば十分である。

(5) Hamiltonian Ĥ1 , Ĥ2 および演算子 Â, Â† を 2 × 2 行列に配置した Ĥ1Ĥ := 00  ,Ĥ2 
 0Q̂ := Â
0  ,0  0 Â† † ,Q̂ := 
0 0 を考える。交換関係および反交換関係[Ĥ, Q̂] = [Ĥ, Q̂† ] = 0,{Q̂, Q̂† } = Ĥ,{Q̂, Q̂} = {Q̂† , Q̂† } = 0,を示せ。交換関係は [Â, B̂] := ÂB̂ − B̂Â、反交換関係は {Â, B̂} := ÂB̂ + B̂Â で定義される。

(6) superpotential W (x̂) によっては、基底状態 |ψ0 ⟩ が Â |ψ0 ⟩ = 0 を満たさないこともある。実際、W (x̂) = g x̂2 + x̂(g は実数) とすると、√Â |ψ0 ⟩ = 0 となるような |ψ0 ⟩ は存在せず、Hamiltonian Ĥ1 の最低エネルギーは 0 < g ≪ 1−2に対して E0 ≃ √1 e 3g 2 程度の値を持つ。W (x̂) = g x̂2 + x̂ について Â |ψ0 ⟩ = 0 を満たす状態が存在しない理由を2π
 |ψ0 ⟩  , 0 とな
考察せよ (文献 [3] 第 6 節)。このように、Â |ψ0 ⟩ = 0 を満たさない基底状態 (言い換えると、Q̂ 0 る基底状態) |ψ0 ⟩ を SUSY が破れた状態と言う。

参考文献[1] Planck Collaboration, Y. Akrami et al., “Planck 2018 results. X. Constraints on inﬂation,” Astron. Astrophys. 641 (2020) A10,
arXiv:1807.06211 [astro-ph.CO].
[2] F. Cooper, A. Khare, and U. Sukhatme, “Supersymmetry and quantum mechanics,” Phys. Rept. 251 (1995) 267–385,
arXiv:hep-th/9405029.
[3] E. Witten, “Dynamical Breaking of Supersymmetry,” Nucl. Phys. B 188 (1981) 513.

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