平成 22 年度水理 B 及び同演習試験（H22.8.4）
番号

名前：注意：電卓のみ持込可である．1 問の解答は問題用紙の裏表を使ってすること．2 枚以上必要な場合は申し出ること．全ての解答用紙に学籍番号と名前を記入すること．
１

趣味で映画の撮影をする人がいるとする．高さ 50m のビル屋上から物体が落ちるシーンを撮影することになった．しかし，実際のビルから物を落とすのは危ないので，高さ10cm の小さな模型を使って，撮影しようと考えた．撮影のための条件を，力学的な観点から以下のように検討せよ．ただし重力加速度は 9.8m/s2 とする．
(1) 初速度がゼロで物体が落下するとして，高さ 50m からの落下時間 T0 および高さ 10cm からの落下時間 T1 を求めよ．
(2) 模型で落下する様子が，実物で落下する現象のように見えるためには，相似則を考慮する必要がある．どのような無次元数を考えれば良いか．理由と合わせて述べよ．
(3) 相似則を考慮した場合の模型における落下時間 TM を求めよ．
(4) 模型における物体の落下が，実物における現象のように見えるようにするためには，どのような工夫をしたらよいか述べよ．

【解答例】(1) 初速度がゼロなので，T0=3.194…，T1=0.1428…と求まる．
答：T0=3.2 秒，T1=0.14 秒．
（両方合っていて 5 点）(2) 重力にしたがって落下する現象であるので，重力と速度（慣性項）の比を示すフルード数を用いた相似則を考慮すればよいと考えられる。
（フルード数＝5 点，理由＝5 点）(3) 実物(p)と模型(m)とでフルード数が等しいと置けば，

up=gH pumgH mである．これに高さ H について，それぞれ値を代入して，落下速度 u の関係式に直すと，

um =up
10 5である．この関係を使って，落下時間を求める。この場合，落下速度がu=gt と書かれることに対応する．
10 5

これを積分した式から 0.1 =1
g 2
ｴt と求めることができ，TM=0.6755…が得られる．
2 10 5

答：TM=0.68 秒．
（5 点）(4) 落下時間を遅らせることができればよいと考えられる．
エレベータのような上下に加速する装置を使って，慣性力の効果で見かけの重力を変化させる．浮力の効果で物体に働く見かけの重力を減らす（あるいは落下する際の物体への抵抗を増やす）ために，水中で模型を使う。映画であると割り切って，見えにくい糸で物体をつるして，落下速度を調節する。など（5 点）

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２

名前

図のように 3 つの貯水池が，分岐した管路で連結している．貯水池 2 の水位は，貯水池 1 より H2=5.0m だけ低下しており，貯水池 3 の水位は，貯水池 1 より H3=7.0m だけ低下しているとする．このとき以下の問に答えよ．

(1) 損失を考慮して，貯水池間の流れについてのエネルギー線を図中に記入せよ．
(2) 各管路の条件が，表のように分かっているとする．また分岐点における全水頭を計測したところ，貯水池 1 から 2.0m の損失が生じていることが分かった．管路 1 の摩擦損失係数および各管路内の流速を求めよ．ただし，摩擦損失以外の損失は無視できるとし，重力加速度は 9.8m/s2 とする．なお解答は表の対応するマスへ記入せよ．

H2
貯水池1貯水池2H3管路1管路2分岐点

貯水池3管路3管径(m)管路長(m)

摩擦損失係数

管路 10.40200

管路 20.30

1500.022

管路 30.20

2000.027

流速(m/s)【回答例】

H2
貯水池1貯水池2H3管路1管路2分岐点

貯水池3管路3

配点：入口損失：3 点，出口損失（両方正解で）：3 点，分岐の損失：3 点
分岐におけるヘッド：3 点，合計 12 点
(2) それぞれの管路での損失水頭を hLi と書けば（ここで i=1～3）
hL1=2.0m，hL2=3.0m，hL3=5.0m である。
したがって，ダルシー・ワイスバッハの式より，管路 2 と管路 3 におけるそれぞれの流速
v2，v3 が求まり，
v2≒2.31 m/s，v3≒1.91 m/s である。
さらに連続式を考慮すると

v1 =D2 2 v2 + D32 v3
より
D12v1≒1.77 m/s と求まる。さらに，ダルシー・ワイスバッハの式より
f1=0.025 と求めることができる。
答：v1=1.8 m/s，v2=2.3 m/s，v3=1.9 m/s， f1=0.025
配点：v2 と v3 は各 2 点，v1：5 点，f1：4 点，合計 13 点，有効数字の配慮が無いと減点平成 22 年度水理年
B 及び同演習試験（H22.8.4）
番番号名前：注意：のみ持込可でである．1 問の解答は問
問
問題用紙の裏裏表を使ってすること．22 枚以上必要
要な場
電卓の合は申し出ることと．全ての解解答用紙に学学籍番号と名名前を記入すすること．
３

円形コンクリート下水管管において，雨水を流すす際の設計勾勾配を知りたたい．以下のの問に従っって求めよ．
(1) 右図のような円形水路のの場合，水深深 h はいくららか？
(2) 通水面積 A はいくらか？
(3) 潤辺 S はいくらか？
(4) 径深 R はいくらか？
粗度係数（nn）が 0.016 の下水管
(5) 直径 1.2m，Manning の粗って 1.3m3/s の雨水を直直径の 85%（（1.7r）の水深深で流すによっ場合，，下水管の勾勾配をいくららにしたらよよいか？

【解答例】

θ(1)

h = r (1 − cos )2(2)A=(3)

S = rθ

(4)

R=(5)(1)の答えより 1.2 × 0.85 = 0.6(1 − cos→1 211θθr (θ − sin θ ) = r 2θ − r 2 sin cos
22222Aθ − sin θ=rS2θθ2) ， cosθ2= −0.7 ，θ=269.8°

θ=4.70 radian，sinθ=－1.0

A=

1 2
1r (θ − sin θ ) = 0.6 2 (4.70 + 1.0) = 1.026
22m2

R=

θ − sin θA
4.70 + 1.0=r= 0 .6= 0.3638
S2θ
2 × 4.70m

マニングの式より， Q = Av = A ×I=

1 2 / 3 1/ 21R I= 1.026(0.3638) 2 / 3 I 1 / 2n0.016

n 2Q 20.016 2 ×1.3 2==1.58×10-3
2 4/324/3
A R
1.026 × 0.3638

配点：各 5 点

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番号

４

名前

下の図のように単位幅水路にゲートを途中まで閉めた．このときに生じる段波の波速を，文の空欄を埋めながら求めよ．なお，重力加速度は g，水の密度はρとして，必要なら用いよ．

cⅡⅠh1v1h2v2

簡単のため一様幅広長方形断面を考えると，I と II で囲まれた部分の連続の式は，I 断面から入る量 v1h1，II 断面から出る量分に増える量(1)，段波によって増える部分すなわち h2－h1 の部の収支で求めることができる．すなわち，(2)v1 h1 −(1)＝(2)運動方程式も同様に，I と II で囲まれた部分を見れば，I と II 両側の静水圧のつり合いが，ρgh122－(3)と表現され，運動量のつり合いは，いま c で移動している座標系で眺め

れば，ρh2 (v 2 + c) －(4)となる．この式に h2 を消去するように連続式を代入すると，

ρh2 (v 2 + c) － (4)=ρh1 (v1 + c)(v2 − v1 ) となる．静水圧の差を加えて，さらに連22続式を用いて v2 を消去すると，最終的にc=(5)－v1を得ることができる．
ここで c=0，つまり段波が水路で移動しなくなった場合，単位幅流量 q を用いると，

q2=h1 h2(6)となり，跳水の共役水深を求めた式と同じになる．つまり，共役水深になった場合，段波は静止し跳水となり，それ以外では跳水は移動しながら生じることがわ
かる．

【解答例】

v1 h1 − v 2 h2 = c(h2 − h1 ) が連続式． (1)(2)ρgh12
2−ρgh222= ρh2 (v 2 + c) 2 − ρh1 (v1 + c) 2 が運動式

(3)(4)

連続式を変形すると

h2 =

ρg2

ρg2c + v1
h1c + v2

これを運動式の右辺に代入すると(h12 − h22 ) = ρh1c + v1
(v 2 + c) 2 − ρh1 (v1 + c) 2
c + v2(h12 − h22 ) = ρh1 (c + v1 )(v 2 − v1 )別に連続式を変形した

v2 =

h1
h −hv1 − 2 1 ch2h2ρgを上の式に代入すると，

hh −h(h12 − h22 ) = ρh1 (c + v1 ) ⋅ ( 1 v 2 − 2 1 c − v1 )
2h2h2

ρg2

ρg2
c=

(h12 − h22 ) = ρh1 (c + v1 ) ⋅ (h1 − h2 )(v1 + c)
(h1 + h2 ) = ρh1 (c + v1 ) 2
gh2( h1 + h2 ) − v12h1(5)ここで c=0 だと

q2
g= (h1 + h2 )h1 h2 2

配点：(1)(2)(3)(4) 各 5 点(6)(5)3 点，(6)2 点