H28 国家一般職 ミクロ経済学

クレアール公務員講座 島本 昌和【No.31】所得の全てを X 財と Y 財に支出する、ある消費者の効用関数が次のように与えられているとする。
u＝（2x+y）y

u：効用水準、ｘ：X 財の消費量、ｙ：Y 財の消費量

X 財の価格は２，Y 財の価格は４、所得が 180 であるとき、この消費者の貨幣１単位あたりの限界効用はいくらか。
１20２30３60

４120

５180

正答２
貨幣１単位あたりの限界効用は、均衡における各財の限界効用をそれぞれの価格で割れば求められます。
（荷重限界効用）
まず、均衡点を求めましょう、
問題より、予算制約線は２x＋４y=180x＋2y=90x＝90－２y これを、効用関数に代入して
u＝{2(90 − 2𝑦𝑦) + 𝑦𝑦}𝑦𝑦u = (180 − 3𝑦𝑦)𝑦𝑦u = 180y − 3y2

効用最大化の一階条件より𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑= 180 − 6𝑦𝑦 = 0y＝30

このとき
x＝90－2×30＝30
u＝（2x+y）y ＝2xy + y2
MUｘ＝2yより u を x で偏微分して x の限界効用 Mux を求めると

y＝30 より

MUｘ＝60ｘ財の価格が２より、貨幣１単位あたりの限界効用は
60÷2＝30

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クレアール公務員講座 島本 昌和【No.32】所得の全てを X 財と Y 財に支出する、ある消費者の効用関数が次のように与えられているとする。
u＝x＋y

u：効用水準、ｘ：X 財の消費量、ｙ：Y 財の消費量

当初、X 財の価格は 2、Y 財の価格は 4、名目貨幣所得は 24 であった。いま、Y 財の価格と名目所得は、それぞれ 4 と 24 のまま、X 財の価格が上昇して３になったとする。価格上昇
後の効用水準を価格前と同じにするために必要な所得の増加分はいくらか。
１０２６３12４24５36

正答 ３
補償変分なので、補償所得を求めれば良いのですが、この問題は効用関数が右下がりの直線となります。つまり、コーナー解となるケースです。そのあたりが普通と異なりますので注意が必要です。
グラフに書いて確認しながら求めていきましょう。
u＝x＋y より
y＝－x＋ｕ ：無差別曲線
2x＋4y＝24 ：予算制約線
1y＝ − 2 x + 6

これを図に書くと次のようになります。青い線が無差別曲線です。このとき、この消費者は

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y無差別曲線ｘ０12

したがって、効用水準 u＝12 となります。
次に x 財の価格が 3 になったときの予算制約線を書いてみましょう。保証所得を求めたい
ので所得は I しておきます。
ｘ財の価格が 3 のとき
3x＋4ｙ＝I3I

y＝− 4 𝑥𝑥 + 43

この予算制約線の傾きの− は、無差別曲線の傾きよりもなだらかなので、補償所得のもと4での最適消費点は次のようになります。

y無差別曲線

補償所得のもとでの予算制
約線

０ｘ12

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この様に、効用を一定に保ったときの予算制約線は（12、0）を通るはずなので3I

y＝− 4 𝑥𝑥 + 4に x=12、ｙ＝０を代入してI

０＝－9＋4I＝36

36 の所得があれば、効用を以前と同じに保つことができます。
よって、必要な所得の増加分は36－24=12☆e カウンセリング ～メールで質問＆相談～
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クレアール公務員講座 島本 昌和【No.33】完全競争の下で、ある産業における市場全体の私的限界費用がPTC＝2q2＋10

PTC：私的総費用の大きさ、q：財の生産量で表されるものとする。
この財を生産するに当たって,外部不経済が存在し、C：外部不経済による費用C＝q2の費用が追加的に生じるとする。
一方、この市場の需要関数が1q = − 2p＋48

p:財の価格で表されるものとする。
いま、政府が、社会的余剰を最大化するために、この産業に対し生産物１単位あたりの課税を行った。この場合の税収の大きさはいくらか。
１144２192３256４288５384

正答 4
図を書いて求めていきましょう。
私的限界費用 PMC は、私的総費用を生産量で微分すれば良いからPMC＝4q
一方、社会的総費用 STC は PTC に外部性を加えたものなのでSTC＝2q2＋10＋q2 ＝3q2＋10

この方向きが SMC なので、微分してSMC＝6q
また、需要関数よりp＝－2q＋96
以上の関係を図に書いてみると次のようになります。

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SMC

PMC
ab０q

余剰を最大にするには、図の a 点で数量と価格が決定される必要があります。問題より、これを従量税（１個あたり税）で達成せよ、とのことですから、PMC を平行移動させて、a 点を通るように課税することになります。
（従量税だと平行移動します）
このときの税額は図の a-b にあたります。
したがって、a 点と b 点の座標を求めましょう。
a 点は、SMC と需要曲線の交点です。交点では SMC＝ｐなので6q＝－2q＋96
8q＝96q＝12
このとき、需要曲線よりp＝－2×12+96＝72
a 点は（12、72）です。
一方 b 点は q=12 の PMC 上ですから、PMC＝4×12＝48
ｂ点の座標は（12、48）
したがって、a と b の幅は 72－48＝24
よって、一個当たりの税が 24 で数量が 12 なので、税額は 12×24＝288
参考までに余剰分析をすると次のようになります。

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SMC
PMC+tPMC
a①②④

b③０q

消費者余剰 ①
生産者余剰 ②
政府税収 ③+④
外部性④

したがって、総余剰は①+②＋③＋④－④＝①+②＋③☆社会人のための公務員転職セミナー（無料）
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クレアール公務員講座 島本 昌和【No.34】X 財を生産する企業１と Y 財を生産する企業２の間には外部性が存在し、企業１は企業２に外部不経済を与えているとする。
企業１の費用関数は
c1 = 2x 2ｘ：企業１の生産量、c1：企業１の総費用で表されるものとする。

他方、企業２の費用関数は
c2 = 2y2 + 8xｙ：企業２の生産量、c2：企業２の総費用で表わされ、企業２は企業１の生産量ｘに影響を受け、損害（追加的費用）を受けているとする。
X 財と Y 財の価格は完全競争市場において決定され、X 財の価格は 80、Y 財の価格は 60 とする。
いま、二企業間で外部性に関して交渉が行われ、二企業の利潤の合計を最大化するように生産量を決めることが合意された場合、企業１の生産量ｘはいくらになるか。なお、交渉のための取引費用は一切かからないものとする。
１10２15３18４20５24

正答 3
外部性がありますが、普通の共謀と同じ計算パターンで解くことができます。
全体の利潤をπとするとπ＝80x－2x 2 +60y－2y2 − 8x

このπを最大にするように、企業１はｘを決めるのでπをｘで微分して０とおくと
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥= 72 − 4𝑥𝑥 = 0x＝18

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クレアール公務員講座 島本 昌和【No.35】ある財の市場は、先に生産量を決定するリーダーの企業 A と、それを受けて生産量を決定するフォロワーの企業 B の二社による寡占市場となっている。
この市場における逆需要関数は、P=380－3（X A + X B ）であるとする。ここで、P は財の価格、X A は企業 A の生産量、X B は企業 B の生産量を表す。

また、二企業とも費用関数は、Ci = 20X i + 50であるとする。ここで、Ciは、企業 i（i=A、B）の総費用、X iは企業 i(i＝A、B)の生産量を表す。

このとき、シュタッケルベルグ均衡における企業 A の生産量はいくらか。
１30２40３45４60５90

正答 4
シュタッケルベルグ均衡では、リーダー（先導者）はフォロワー（追随者）の反応関数を知ったうえで最適化行動をとります。
したがって、まずフォロワーである企業 B の反応関数を求めて、それを企業 A の利潤関数に代入して、企業 A の生産量を求めます。
企業 B の利潤関数はπB = {380 − 3(𝑋𝑋𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐵𝐵 )}𝑋𝑋𝐵𝐵 − 20𝑋𝑋𝐵𝐵 − 50

= 380X B − 3X A X B − 3𝑋𝑋𝐵𝐵2 − 20𝑋𝑋𝐵𝐵 − 50

企業 B はπB が最大になるようにX B を決めるので∂π B= 360 − 3 X A − 6 X B = 0∂X B

XB = −：企業 B の反応関数

1X A + 60
2

これを企業 A の利潤関数に代入します。企業 A はこの反応関数を知ったうえで自己の生産量を決めるからです。
1πA = �380 − 3 �𝑋𝑋𝐴𝐴 − 𝑋𝑋𝐴𝐴 + 60�� 𝑋𝑋𝐴𝐴 − 20𝑋𝑋𝐴𝐴 − 50
32πA = 380X A − 𝑋𝑋𝐴𝐴2 − 180𝑋𝑋𝐴𝐴 − 20𝑋𝑋𝐴𝐴 − 50
2

企業 A はπA が最大になるようにX A を決定するので
𝜕𝜕𝜋𝜋𝐴𝐴𝜕𝜕𝑋𝑋𝐴𝐴= 180 − 3𝑋𝑋𝐴𝐴 ＝0X A ＝60