（様式 20）成果報告書

TSUBAME 共同利用 平成 29 年度 学術利用 成果報告書

利用課題名 廃棄物最終処分場における間隙内流体挙動の数値解析
英文：Numerical analyses of fluid dynamics in pores of landfill waste layer
利用課題責任者 鈴木和将
Kazuyuki Suzuki所属 埼玉県環境科学国際センター
Affiliation Center for Environmental Science in Saitama
URL http://www.pref.saitama.lg.jp/cess/index.html

邦文抄録
本研究では、廃棄物最終処分場内部の水やガスの流れ問題の高品質な計算スキームの開発を目的として、数値流体解析の検討を行った。具体的には支配方程式に Navier‐Stokes 方程式を用いて SUPG/PSPG 法に基づく安定化有限要素法により離散化した。さらに,GPGPU コンピューティングによる計算の高速化を試みた。連立一次方程式の求解には GPBi‐CG 法を導入し、マルチ GPU を利用して高速並列計算によるシミュレーションを行った。
英文抄録
The purpose of this study is to establish a numerical simulation model of fluid flow in a landfill layer
with high quality and high precision. A 3D finite element method is a powerful tool for flows having
complex geometry such as porous media in landfill. However, it leads a huge amount of computation
cost. In this study, we examined to accelerate the 3D FEM by using the Graphics Processing Unit as a
general-purpose use (GPGPU).

Keywords: landfill, Numerical simulation, FEM, Navier-Stokes equations, GPGPU

背景と目的

析においても有用な方法ではあるが、要素数が多く我々はこれまで、廃棄物最終処分場内部の水や大規模な流れ解析を行う場合、計算量が増加し、計ガスの流れ問題の高品質な計算スキームの開発を算に莫大な時間を要することなる。実問題に適用し目的として、埋立廃棄物のコアサンプル等の CT 画ていくためには、大規模化に伴う、計算の高速化が像から間隙形状を抽出する三次元モデリングを行い、求められている。

実際の形状を反映した内部の流れ解析を検討してき近年、画像処理を目的に開発されてきた GPU

た 1,2)。モデル化した間隙は複雑な形状をしており、(Graphics Processing Unit) を画像表示の目的でこのような中の流れ解析においては、任意形状の適はなく、科学技術計算に利用する GPGPU(General合性に優れた有限要素法による数値解法が有効でPurpose Graphics Processing Unit)の研究が、天ある。しかし、非圧縮性粘性流体の支配方程式であ体や気象等様々な分野で盛んに行われている。

る Navier-Stokes 方程式と連続式に対して有限要GPU 上には、数多くの演算コアが搭載されており、素法を適用すると、移流項の卓越や非圧縮性に起これらのコアを用いた並列計算を行うことにより、大因して数値的に不安定な挙動を生じることがある。

規模な問題に対して計算時間を大幅に短縮すること本研究では、この数値的な不安定性を取り除く手法が可能となってきた。数値流体解析においても、このとして Tezduyar ら 3,4)によって提案された SUPG

ような GPGPU コンピューティングを利用した高速化(Streamline Upwind/Petrov-Galerkin) / PSPGへの試みが図られてきている。非圧縮性流体(Pressure Stabilizing/Petrov Galerkin)法に基づ

Navier-Stokes 方程式を解析する際、解は係数行く安定化有限要素法を適用して離散化を行った。安

列が大規模疎行列となるような連立一次方程式を反定化有限要素法は、汎用性が高く、間隙内の流れ解復解法で解くことで求まるが、このプロセスが計算処（様式 20）成果報告書
理の最も重い部分となりやすい。このため、連立一次方程式の求解の高速化が重要な課題であり、

𝜕𝑢𝜕𝑞𝑛𝑖𝜕𝑢𝜕𝑝𝑗𝑖𝑖GPU による高速化が望まれる。

0,

そこで、本研究では、安定化有限要素法を適用し𝜕𝑢𝑒𝑙∫𝛺 𝑞 𝜕𝑥𝑖 𝑑𝛺 + ∑𝑒=1
∫𝛺 (𝜏 𝜕𝑥 ) ( 𝜕𝑡𝑖 + 𝑢̅𝑗 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑥 ) 𝑑𝛺 =(4)

ここで、 wi , q は、それぞれ式(1),(2)に対するた廃棄物埋立層内の流れ解析に対して、GPU スパ

Galerkin 項の重み関数である。また、 u i は移流速度

コン TSUBAME を用いた計算の高速化を試みた。

を表し、  は安定化パラメータを表している。これら(3),(4)式に対して Crank-Nicolson 法により時間方向の離散化を行うことで、有限要素方程式が導かれる。

概要

マイクロフォーカス X 線 CT 装置を用いて撮影した埋立廃棄物のコアサンプル等の CT 画像を画像処

導かれた連立一次方程式の解法には GPBi-CG 法を適用した。

理ソフトウェアに読み込み、モデル間隙形状の作成

本研究では、計算の高速化を達成するために、を行った。さらに、作成した間隙形状のデータを STL

GPGPU を用いた並列計算を取り入れ、NVIDIA 社ファイルへ変換し、この STL ファイルを基に、自動メの統合開発環境である CUDA とそれらのライブラリ

ッシュ生成ソフトウェア Gmsh を用いて有限要素メッ(cuBLAS, cuSPARSE)を用いて GPBi-CG 法を適用しシュの生成を行った。三次元モデリングを行った結た。

果を図 1 に示す。
結果および考察

埋立処分場間隙内の流れの数値シミュレーションを行った。時間刻み幅を 1.0×10-2sec として 100 ステップを計算し、解析対象とした有限要素メッシュは、節点数 99,560、要素数 437,386 である。計算効率を検討するために、CPU1 コア(1CPU)、 CPU1 コアと図 1 三次元間隙構造モデル

GPU1 コア(1CPU+1GPU)、CPU2 コア(2CPU)、CPU2コアと GPU2 コア(2CPU+2GPU)のそれぞれを用いた支配方程式には、非圧縮性 Navier-Stokes 方程式、連続の式を用いた。に示す。

u iu ip1   u i u j in , (1)u jt
x j
x i Re x j  x j x i u i
 0 inx i

. (2)

ここで、 u は流速、 p は圧力、Re は Reynolds 数、
 は計算領域である。
上記(1),(2)の支配方程式に対して、安定化有限要素法（SUPG/PSPG 法）を適用すると以下のように弱形式が導かれる。
∫ 𝑤𝑖 (𝛺𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑤𝑖+ 𝑢̅𝑗) 𝑑𝛺 − ∫𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗𝛺 𝜕𝑥𝑖
1 𝜕𝑤𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗(+)𝜕𝑥𝑖
𝛺 𝑅𝑒 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗+∫𝑛𝑒𝑙+ ∑𝑒=1̅̅̅𝑘∫𝛺 (𝜏𝑢𝜕𝑤𝑖𝜕𝑥𝑘)(𝜕𝑢𝑖𝜕𝑡

時の解析に要した時間を計測した。計測結果を表 1+ 𝑢̅𝑗𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗+𝜕𝑝𝜕𝑥𝑖) 𝑑𝛺 = 0 ,(3)表 1 計測結果
数値計算環境計算時間(sec)

1CPU

1.48×105

1CPU+1GPU

1.65×104

2CPU

7.69×104

2CPU+2GPU

9.06×103

1GPU では、1CPU と比較して 9.0 倍高速化を実現した。2GPU+2CPU では、2CPU と比較して 8.5 倍、1CPU と比較して 16.3 倍と大幅に高速化した。また、
図 2 に数値シミュレーション結果を示す。速度ベクトルの様子は、GPU、CPU どちらも同じ結果となった。
以上の結果より、埋立層間隙内流れ問題を対象とした流体解析において GPU 並列計算の有用性を確認

（様式 20）成果報告書できた。

図 2 数値シミュレーション結果（上図：1CPU+1GPU計算結果、下図：1CPU 計算結果）

まとめ、今後の課題今後、より長期で広い空間の将来予測を高品質で可能とする数値解析手法の枠組みを構築していく。
参考文献
1)

2)

3)

4)

鈴木和将, 水藤寛: 廃棄物最終処分場内部における間隙構造の可視化と間隙中流れの数値的研究、第 26 回
廃棄物資源循環学会研究発表会講演原稿, 441-442(2015)
鈴木和将, 水藤寛: 廃棄物最終処分場における埋立層間隙内の気液二相流数値解析、第 27 回廃棄物資源循
環学会研究発表会講演原稿, 451-452 (2016)
Tezduyar, T.E.: Stabilized finite element formulations forincompressible flow computations, Advanced in AppliedMechanics, 28, 1-44(1991)
Tezduyar, T.E., Mittal, S., Ray, S.E. ＆ Shih, R.:
Incompressible flow computations with stabilized bilinear
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