研伸館の藤原です。強者の戦略 HP 物理ページ第６３回（問題編），第６４回（解答編）を担当させてもらいます。
２０２０年から大学入学希望者へのテスト形式が変化します。この原稿を書いている２０１７年１２月の段階では，理科については新しいテスト形式においてどの様な出題の形になるのか，まだ情報は公開されておりません。
他教科の情報や，統一的な主題である「主体的・対話的な深い学び」の観点から，理科に関しては下の２点のような出題が多くなるかと予想されます。
（１） 具体的な実験などをテーマに，実験データから必要・不必要な情報を見分けたり，データから導かれる結論を考察したり，実験結果を変えるために必要な要素を検討させる問題。
（２） 高校の履修範囲以外の科学的テーマについて，必要な知識は与えた上でその場で検討させる問題。
昨年度の強者の道の物理ページでは，（２）にまつわる問題を出題させてもらいましたが，今回は（１）にまつわる問題として，「ミリカンの実験」を紹介させて頂きたいと思います。
（１）の様な「結果から法則を考察する」タイプの出題は，生物においては従来の入試問題においても非常に多く出題されてきました。化学においては「結果から法則を考察する」タイプと「法則から実験結果を予想する」タイプの出題のバランスがとれていると思います。一方で，物理は現状の入試問題において，「結果から法則を考察する」タイプの出題はほぼ見受けられません。物理で最も有名な実験「ヤングの実験」においても，出題されるときは「条件を変えた場合の結果を予想する」タイプの出題が大半を占めます。
２０２０年度以降，理科の中で最も出題形式が変化しそうなのは物理ではないか？と個人的には危惧しています。（数学との融合も危惧しています）。今のうちから備えとして，化学，生物，地学などの出題の方法論を学び取り，物理にそれらのエッセンスを取り込むにはどうしたら良いか，といった事を考えています。
今回は現状の物理の入試問題においてほぼ唯一の，「実験データを必ず扱う」問題である「ミリカンの実験」を紹介させて頂きます。教える側にとって，現状で最も興味を持っている問題ですが，受験生の皆様にとっても，解き慣れた「原因→結果」を問う問題だけでなく「結果→原因」も扱う問題ですので，出題されたときに戸惑いやすい人も多いかと思います。是非挑戦してみて下さい。
【問題】ミリカンの実験 『出典：２００５年度

早稲田大学理工学部』（考察時間：３０分）

図 1 はミリカンが電気素量を測定した実験装置の断面である。絶縁体で作られた円筒 A の上端と下端は金属電極 M と N でふせがれていて，電極間の距離は h である。円筒の上部で霧吹きにより多数の球形の油滴を作り，その 1 つを電極 M の中央にあけられた微小な穴 P を通して，円筒内に導いた後，P を閉じる。円筒内の油滴の動きは側面から顕微鏡で観察できる。また，電池とスイッチ S を用いて，電極 M を電極 N に対して同電位にしたり任意の電位 V にする事ができる。これを用いてミリカンは次のような測定をした。

2(1)まず，電池を切り離しておくと油滴は重力でゆっくり下降する。運動中の油滴は空気の抵抗を受けるが，油滴の半径を r，速度を v としたときに，抵抗力は運動方向に反対に働き，その大きさは 6pkrv である。（kは空気の抵抗を表す比例定数である。）油滴の質量は小さいので，油滴に働くすべての力はすぐにつり合って落下速度 vg は一定になる。このとき鉛直距離 L を落下するのに要する時間 tg を測定する。
(2)

次に，油滴が下部電極 N に到達する前に，スイッチを入れて，電極間に電位差 V をかける。油滴は噴霧されるときの摩擦によりわずかに帯電するので，その電気量 q の極性と電極間に加えられる電位差の極性によって，上または下方向の力を受ける。したがって，上向きの力になるような極性で電位差を十分大きくすれば，油滴は重力に逆らって上昇する。そして，(1) と同様な理由で上昇速度は一定の v f になる。
このとき，鉛直距離 L だけ上昇するのに要する時間 tf を測定する。
(3)

そして，油滴が上部電極 M に到達する前に，電池の接続を切って再び油滴を落下させ，(1) に戻り測定をくり返す。

表は，ミリカンの測定結果の一部であり，ある油滴について多数回くり返し測定したうちの，9 回目から13 回目までの結果である。この実験について以下の問に答えよ。ただし，重力加速度の大きさを g とする。
表
測定回

ミリカンの測定結果
tg〔s〕

tf〔s〕

922.911.0

1022.417.41122.814.3

1222.812.2

1322.812.33

問1

油滴の質量を m としたときに，落下速度 v g を求めよ。ただし，空気の密度は小さいので浮力は無視できるとする。
問2

油滴の電荷を -q（q>0）とすると，測定 (2) で電極 N に対する電極 M の電位 V をいくらより大きくすれば，油滴は上昇するか。
問3

V が問 2 の条件を満足するとき，q を V，h，k，r，vg および上昇速度 vf で表せ。

問4

油滴の半径 r は小さいので精密に測定するのは困難である。そこで，油滴の密度を s として r を消去し，q を L，V，h，s，g，k および測定値 tg，tf で表すと，q=となる。

6 phk 9 kL×V2 sgtgに入るべき文字式を示せ。

実験結果の表を見ると，t g はほとんど変わらないが，t f はしばしば大きく変化しており同じ油滴でも測定ごとに電荷 q が変わっていることがわかる。図 2 は，ミリカンの論文にあるこの油滴の測定値から求められた q の値の出現回数をグラフにしたものである。これから，q は連続的であるというようりは，とびとびの値をとり，特定の値 e（電気素量）の整数倍で表わせそうである。つまり，n を整数として，q=ne と書ける。
ミリカンは計算結果をよく見て，各測定について，n を推定して e の実験値を求めた。
問5

ミリカンによれば，表の 11 回目の測定は n=10 である。これから，この実験における電気素量の値を有効数字 2 桁で計算せよ。ただし，s = 9.0 ¥ 102 kg/m3，k = 1.8 ¥ 10-5 N·s/m2，L = 1.0 ¥ 10-2 m，
h = 1.6 ¥ 10-2 m，V = 7.9 ¥ 103 V，g = 9.8 m/s2，とする。
ミリカンは，1 つの油滴について 4 時間以上この測定をくり返した。この間に油滴は 100 回以上，下降と上昇をくり返した。1911 年の論文には，32 個の油滴に関する測定結果が書かれている。ミリカンの実験の誤差についても考察しているが，ここでは次のような誤差について考えよう。
問6k の値を実際より Dk だけ大きく見積もってしまった場合，q の測定値と真の値との差を Dq とした

とき，DqDkをで表せ。ただし，は 1 に比べて非常に小さいと考えてよい。また，1 に比べて非常にqk小さい値 x について，(1+x)a ™ 1+ax という近似が成り立つものとする。
問7q が Dq だけ増加したときの vf の変化 Dvf を，V，h，k，r，Dq を用いて表せ。

問8ミリカンの実験では，速度を求めるために油滴が一定距離 L を通過する時間を測定しているが，ストップウォッチの精度を 10 分の 1 秒とすると，表の 11 回目の測定では真の t f は 14.25 s 以上 14.35 s
1.0 × 10−2 1.0 × 10−2−14.25
14.35™ 5.0 ¥ 10-6 で〔m/s〕である。この場合，q の測定値の不確かさ Dq を 1.0 ¥ 10-20 C 以下にするために未満となる。すると，L の値が正しいとすれば，v f の測定値の不確かさ Dv f は，の油滴の半径 r に関する条件を問 7 の結果を用いて求めよ。ただし，実験の定数の値は問 5 と同じとし，vg の値は正しいと仮定する。

4このように基本的な物理量の値を求めるには，このほかにも様々な誤差要因を考察しなければならない。
ミリカンは，装置の工夫と実験精度の検討を行いながら，油や水銀を用いた実験をくり返し，電気素量の値を求めたのであるが，この業績と光電効果に関する研究により 1923 年にノーベル物理学賞を受賞した。

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