計測自動制御学会東北支部第163回研究集会（19弧10」引
資料番号183−2

ロバストモデルマッチンヴ問題の一解法
Asolutiontotherobust model−matChingproblem○熊田康一■，渡部慶二＊，山田功1，斎藤周次一
OK，Kumada＋，K．Watanabe轟，K．YELlⅡ1adill＊，S．Saitoh♯＊山形大学＊YamagataUniversity
キーワード：モデルマッチング（m占del−matChillgPrObleln），内部モデル制御（ill十・eLl Iln｛）（1eLmactlling〕，ロバスト安定（rf）lmststal〕ility），

連絡先：〒992 米沢市城南4−み16山形大学工学部電子情感工学科
熊田康一・Tbl・＝（0238）26−33261Fax・：（0238）24−2甲2，E−Lna・il＝kumada鮎血y・yZ・ya皿agata−u・aC・jp

1． はじめに考えていく。

制御対象のモデルをもとに、制御対象をモ

2．ロバストモデルマッチング問題

デルに完全に一致させて目標入力に出力を近Fig・1においてC…（・雪）i−よ規範モデル，C（占）づけることをexact modelmatchingという。

しかし、実際の設計においては制御対象にモは制御対象である〔G（占）が安定で不安定零点デルを完全に一致できない問題、外乱があっを持たないとする．〕（ただし、G・ l（β）とC（占）た場合の問題，不安定極についての安定性なの相対次数は等しいとする．，）

ど様々な問題が生じる。
感度を下げるには制御器のゲインを大きくしてやれば良いが、モデルの誤差や制御対象⊥［喪］−−−一斗垂下・の変動で制御系が不安定になる。つまり，モデル誤差のもとで、安定性を保って、いかに速く、誤差の小さい制御（ロバスト制御といF暗・1 ExaCl・九・Iodelh血・Ct五11gう）を実現するか課題となっている。

入力†・から出力少吏での伝達関数は

本報告ではモデル誤差があった場合においても安定性を保ちモデルに］致させさらに感票郎）＝〔榊度をできるだけおさえるロバストモデルマッとなり入日．1力伝達関数をG 1（占＝こ合わせるこ

チング問題について内部モデル制御を用いてとができる小 しかし、C（占）が不安定零点をもー1−（1）外乱dから出力封までの伝達関数はっときは内部不安定になるので上記の方法は

G（．号）

二打Vrd

使えなト㌔そこでG（占〕をインナアウタ分解す（5）

1＋G（￡）C（占）るとG（占）＝G吏（占トG。（占）lC㈲→∞lにすれば慧→0にできる0（2）

つぎに制御対象が変動したときの影響を考

ただし，Gi（β）＝インナ関数，G。（占）＝アウタ関える。まず、変動がないときの干からyまでの数とする。

伝達関数はFig．2を構成する。
C（ざ）r（占）〝（6）〒 1トG（占）C（・与）制御対象C〔占）がG（可（1＋△（・号））に変動したとI」器訂」「竺■y・する。ただし、△Hはモデル誤差で不安定極の数は変わらないとする。
干から甘までの伝達関数はFig12 ExactModelMactlling

C（β）C（占）（1−ト△（β））

育＝
戸

1＋G（占）C（可（1一手−△（可）入力rから出力封までの伝達関数は

1＋△（占）

C（占）C（占）1＋G同仁（り1＋望・票嘩）＝柚）・和）（3）になる。となる。Gホ）の部分は安定のためやむを得な

モデル誤差の入出力伝達特性への影響を示い部分と考える。

す尺度として制御系の感度関数β（占）をしかし，外乱が入った場合や正確な制御対要せと旦国象のモデリングができない場合はGm（占）G轟）ガ（占）∫（占）二（8）とはならない。
そこでFig，3の制御系を考える。G（占）i■ま制と．ご定義すると御対象、C（占〕は制御器である。

）

・G干からyのフィードバック系の（8〕式はぶ＝

t恒嵐当（9〕1＋〔ご（￡〕C（占）であり、γから封までの伝達関数は
封丁・Fjg．3〔ご l〔1＋仁一占）〔丁（占））G（．号ド丁（月）（了。（月）〔丁（β）．1．＋G（．与）C（占〕

1＋△（占）

Gm．（占トβ→0とすれば旦→G，−．（占）鞘占）になりモデ

1＋G（β）C（占） G（占）C（占〕

ーー

G。（占）C（β）1＋G（月）C（占）＝ Gm（β）Cホ）（10）

1＋（1−∫）△（占）入力†、から出力封までの伝達関数はルマッチング可能である。
（4）

つぎに安定性について考える。

干からyまでのナイキスト緑園による安定判別法は以下になり、C，れ（占）Gi（占）にできる。
−2一

の通りである。C（占）G（占）で占＝如とおき、山さくするには∫（且）を小さくする必要がある。

を−∞から＋∞まで変化させ、β平面でのナ

しかし、（恥（12）式の間にはイキスト軌跡を描く。この軌跡が点ト1＋jO）

卵占）＋r（月）＝l（16）のまわりに反時計方向に月回回転したとする。の関係があり両者を同時に小さくできない。

C〔占）G（占）の極のうちで実数部が正になるののそこでモデル誤差け一一般に低周波で誤差の絶数をPとしたとき対値を1より小さくすることは可能であるが、高周波では難しい．⊃ したがって低周波で感度

月＝Pを小さ〈することを考え、重み関数Ⅳゴ（占）をのときのみ漸近安定となる。
導入し（7）式の分母はげ（β）卜二1＋G（β）C（占）け＋△〔βHを満たすことを考える。．（17）式は〃ふノルム＝（1＋G（占）C（占））（1＋r（占）△（叫（11）を用いてただし，r（占）（相補感度関数）をllg（占）町9〔可‖LX，く11＋G（占）C（β）（18）となる。

G（占）C（占）r＝（17）llトヾ（川（12）3．内部モデル制御法とする。

G（占）C（占）の不安定極数だけ点ト1＋州をモデル誤差に対しロバスト安定性を保ちつ反時計方向に月回っている。そのためにr（占）△（β）

つ感度を小さくする設計を考える．・．感度，相のナイキスト軌跡は点い＋jO）を反時計方向に補感度と制御器の関係が見やすい内部モデル回ってはならない。

制御を考える。すなわち、制御器C（占）をllr（占）△（可‖血く1（13）〔丁＝（19〕l−り〔Jならば安定である。ここで，摂動△（占＝ま重みとしてパラメトリゼーションする。ただし、関数Ⅵ与（占）でおさえられているとすると別可は自由パラメータとする。Fig」うを等価変換するとFig．4になる．こ．

l△（占）lく】一明1（珊（14〕を満たす、すべての摂動△（占）に対し（13）式を満たす必要十分条件はllr（占）Ⅳr（占川∞く1

鮎局Q（d 子iJ十（15）である。相補感度関数のゲインIr（J山）lを小さモーig．⊥l

くすると大きなモデル誤差に対しても安定性
入力T・から出力〃の伝達関数古〔工が保持できる。
封ロバスト安定性にはr（占〕を小さくする必ハ要があり、モデル誤差の伝達特性への影響を小1′、

C打1（占トC。（月）q（占）G 1（坤封回−3−・C（書柑〔月〕（20）

4．インナアウタ分解の内部モデで前と同じである。Fig，4の安定性を考える。
戸，diから・＝脚までの伝達関数は次式で与えらル制御れる。

（21）式より定常偏差を0にするためには［臣［晋（1認G ］［芸］（21）叫月）＝〔1−G（占）q（瑚（30）（21）式のすべての要素が安定のとき閉ループ系は安定となる。また、フィードフォワード部がG。（月〕の不安定極（書＝plTp2】…⊃pJと重み分1岬。Qの安定のためqは不安定零点を持関数Ⅵ与（書〕の不安定極（β二戸1泡，…コ戸封）をたないことが必要となる。（12）式の相補感度零点に持てばよい。
そのために丁−＝二r＋γを考慮してq（β）を関数は

r（β）＝G（占）Q（β）

帥）＝≠

（22）

〔31〕

）

（9）式の感度関数はJ（￡）＝ん（書）几〔月〕

卵占）＝1−G（方柏（β）（23）

ム（方）＝である。（23）式は出力側の外乱d。に対する伝達関数であり、入力側外乱d虚に対して，
旦＝（トロ（可q（珊瑚）几（．ヾ】（1＋T叶J

Cl＋q持＋‥・＋亡1．占γ￣1（34）（1＋r占ド1のように分割する。ただし、好まq（．与）をプロ（24）d壷

パにするのに必要な整数，Tlは重み関数l仇（月）となる。例えばG（．号）が原点に極を持つ場合，とG。（月）不安定極数の和とする。
G（占）＝（25）（34）式のパラメータCl了〔丁2，…コrニト1は占（月＋α）

入力外乱dJ占）を ■坤帖鴫＝0⊃

ミf：ミ、十 β（叫（‡≡ミ1告∴芸（26）を満たすように選ぶ。とする。

ふ（．号）が不安定零点をもたなければ安定なQ（g）をFig．5の系を構成する．・

叶り・凸〕
q（苫）＝可1＋T占）2（27）とすると−】
相（月）」r｛】干窓］中略

土モ忠y（り盟中一帥）嘩））G（・号）頼）
1
たi−コ（1−（1＋T占）2J占（月＋α）

Fig・5丁（占・j−2）たli†ll；二6（1＋T占）2月」−α

相補感度関数は2Tた〔Ⅰ

了 （．9）＝G（β掩（・写）＝イ何・爪木）となり、定常偏差が残る。
−4−（3G）

6．数値例

感度関数は利点）＝1−G（占）Q（占〕＝1−J（占トGi（占）（37）

制御対象に台車を選んだ数値例をあげる。
Fig．6にシステムの概略図を示す。

入出力伝達関数は
1Gm（βトイ両（坤乱国

Gm（占）Gホ）（38）となる。

5．設計
Fig．6 台車の概略図

次の手順で設計を行う。

右側の車輪には直流サーボモーターが取りstepl摂動△（如）を見積もり重み関数I顆（J山）付けられてあり、コンピュータからのデジタを決める。

ルコードをアナログ竃耳に変換して出力する。

呂ねp2ボード線図上に1／lⅥ㌔（占旺1／岡与（瑚また、ベルトを介してプーリに接続されておを描く。1／l叩s（占）ト1／l挿与（占）lのOdb周．

り台車が移動するとプ・一りが回転しパルスエ

波数をそれぞれ山β，叶とする。

ンコーダに伝わり台車の位置が測定できる。

6teP3制御対象モデルC（β）をGi，杭にインナ台車のモーター出入力電圧から台車の出力アウタ分解する。

位置までの制御対象と制御対象のモデルをそ
step4時定数丁を丁＝2／（昭＋山T）を満たすよ

れぞれうに決定する。
176」＝Cp（占）＝（39）β（￡2」−5鮎＋駆01）

step5ム／G。がプロパーになるようにムの相対次数qを決める。

〔プ（音）二 杭（占ト〔Jけ（β）

27

石tep81惰の不安定極数とC。の極数の和が1−1・（40）月（β＋−113）

G直）ム（占）鬼（β）の零点と等しくなるようとする。に鬼を求め，q（占）をQ（占）＝1／C。（占卜規範モデルC†−1（．q）を入力を力、出力を位出占兢（占）とする。

置としたインピ←ダンスモデ／レに選び
呂tepアポード線図上に感度関数g（占）と相補感C7−．（占）二度関数r（占）を描き、それぞれの重み関数の下側になっていることを確認する。

＃2−ト4占＋5（41〕とするり‡事l町何丁（可‖00く1を満たさない場合は摂動l△（・川をおさえるように重み関数Il町（占）l

丁を大きく、l世㌢（占）利可‖皿＜1を満たさない場合はTを小さく調整してstep5一明車）二からやり直す。

【5¶￡−ト3070〔42）とする。
T．1／Wt．S．1／Wsl△（j副，lI町（j山）lをFig・7に示す。

Angリl即F「印Uen亡Y匝dノse⊂】

Fig．8 1川町（占）l，川Ⅳざ（・写≠r（占），∫（占）lll梅（占）珊00＜1鼎町（・叶れl∝，く1を満たFig．7l△＝l巧11

し設計仕様を満たしている．〕
Gm（占），苫小、の応答をFig．別こ示す。

ただし、＋を摂動匝（J山川 −をl拓与（J山）lとする。l△（j山）lくIt勒・（j山）lを満たしている。

また、重み関数Il侮（占）lをtヰ錘）＝占とする。
時定数丁，フィルターん（占），ふ（ぷ）を丁＝0．05（44）

D

ふ（β）＝

（Tβ＋1）2

T占＋1

1

1．5
仙l可SetS】：己25（45）

Fig・9 stepre＄Pロn6eOfGma・ndcontroIsys−

3T占＋1
ふ（占）二O．5（46）tenlのように決める。

＋は規範モデルの応答で実線は制御系の応1／但／丁（翔，1／lt侮（占）l，r（占），∫（占）をFig・引こ答である。追従していることがわかる。

示す。

また、ステップ外乱が入ったステップ応答をFig．10に示す。

6−

ために制御対象をインナアウタ分解し内部モデル原理を用いた設計法を提案した。良好なモデル追従特性をもつ制御系を構成することができた。

参考文献

1）紆，渡部：内部モデル制御系のモデルと補償器の一体化計測自動制御学会予稿
00．5

11．5
仙1亘SeCSl

2．5

23

乳43／44（1994）

2）美多勉＝制御基礎理論：昭晃堂（1982）■Fig，10 step response ofGm and controI3）伊藤正美＝ システム制御理論，昭晃堂

SyStemWithdist11rbance（1卯3）＋は規範モデルのステップ応答，実線はステップ外乱が入ったステップ応答である。外乱を除去していることがわかる。
つぎに，ステップ外乱に対してのシステム ′の応答をFig．11に示す。

q（コ51

1．5
timetse亡i】

Z2．53

Fig. II step response of disturbance
外乱の影響も受けないことがわかる。

7．おわりに
本報告ではロバストモデルマッチング問題を低感度でロバスト安定な制御系を構成する

一7−