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数学の世界には法則がある.

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...

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黒木玄
東北大学数学教室

2010 年 10 月 13 日

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

1 / 67

数学上達のコツ (1)いきなり難しいことに挑戦せずに易しいことから順番に練習する。
九々をマスターせずに二桁以上の掛け算に挑戦するのは無謀
単独の一次方程式が解けないのに連立一次方程式に挑戦するのも無謀
難問に出会ったときに関連のより易しい問題を解いてみることは常套手段 (基本中の基本!)

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

2 / 67

数学上達のコツ (2)繰り返しの練習によって意識しなくてもできることを増やす。
九々
高校レベルでは特に連立方程式が重要
自動的に答が頭の中に浮かんだり、考えなくても手が勝手に動いてくれる問題が増えると、じっくり考えることによって解ける問題の範囲が広がる。

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

3 / 67

数学上達のコツ (3)自分のやり方の欠点を修正遠回りをしていないか？
近道するために苦労していないか？
効率の悪い計算の仕方をしていないか？
一般的な理論を十分に理解しているか？
面白い例をたくさん知っているか？
問題の本質を理解しているか？

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

4 / 67

数学上達のコツ (4)成功するまでがんばり続ける
数学は難しいのでくじけそうになることがよくある
過去の成功の経験がくじけそうになった心を支える経験に支えられた楽観「結局、理解できるに決まっている」には理屈を超えた強さがある.

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

5 / 67

上達のコツが似ていること
上達のコツは多くの分野で似ている..... 易しいことから順番に練習. 繰り返しの練習によって意識しなくてもできることを増やす.. 意識して自分の欠点を修正する...
. 成功するまでがんばり続ける
1
2

3
4

ある分野で身に付けたコツの他分野への応用は難しいが、似ているという認識は重要
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

6 / 67

私が特別に数学を研究する理由？
好きだからたくさんの驚くべき法則
不思議な世界への旅成功したときの快感
理解力のパワーアップによる余得
100 年後の世界を変えているかも

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

7 / 67

私が特別に数学を研究する理由？
好きだからたくさんの驚くべき法則
不思議な世界への旅成功したときの快感
理解力のパワーアップによる余得
100 年後の世界を変えているかも

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

7 / 67

数学は世界を変えて来た
例 1: テレビのデジタル化
動画と音声の圧縮技術
フーリエ解析＋無駄な情報の削除

例 2: GPS を使ったカーナビ
一般および特殊相対性理論
時空の幾何学 (リーマン幾何学)

例 3: デジタル式の携帯電話
符号理論 (通信の信頼性の確保)
暗号理論 (プライバシーの確保)
これらは整数論の応用

これからも世界を変えて行くだろう
黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

8 / 67

数学の法則たちが応用されている
例 1: フーリエ解析 (多くの技術の基礎)
あらゆる波形は正弦波の和で表現可能
フーリエは 18〜19 世紀の人例 2: リーマン幾何学 (時空の幾何)計量だけで時空の曲がり方を表現可能
19 世紀中頃に大数学者リーマンが創始
20 世紀初頭にアインシュタインが応用

例 3: 整数論 (数学の女王, 大昔からある分野)
数の世界には様々な法則がある
携帯電話が使えるのは整数論のおかげ
黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

9 / 67

教訓
数学における驚くべき法則の発見は我々の暮らしを変えて来たが、応用されるまでには時間がかかる。
19 世紀もしくはそれ以前に法則を発見した数学者たちが現代の応用先を予想できていたはずがない。

結論: 応用とは無関係に研究を進めることも重要。
黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

10 / 67

未発見の法則がたくさんあるはず
新しい数学的法則のどれかは将来の暮らしを豊かにするだろう。
しかし数十年〜数百年の時間が必要になるかもしれない。
未発見の法則が残っている証拠:
現在でも新しい法則が発見され続けている。
例: クラスター代数(フォーミン＆ゼレヴィンスキーが 2001 年頃に発見した)
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

11 / 67プラトンの正多面体の分類

すべての面は互いに合同な正多角形
すべての頂点に接する面の数は互いに等しい
正多面体は上の５種類に限る (プラトン学派の成果らしい)
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日12 / 67

サッカーボール・クイズ
問題: サッカーボールには黒の五角形と白の六角形がそれぞれ幾つあるか？
(制限時間 10 秒)

ヒント: 正十二面体と正二十面体との関係
黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

13 / 67

サッカーボール・クイズの解答
五角形は 12 個 (正十二面体の面の個数)
六角形は 20 個 (正二十面体の面の個数)

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

14 / 67

温故知新
正多面体の分類論の現代的復活
ディンキン数学
多くの種類の数学的対象がディンキン図形で分類される！
正多面体は例外型 E6 , E7 , E8 に対応
特異点の分類
有限次元単純 Lie 代数の分類
他にもたくさんある
最近の例: 有限型クラスター代数(フォーミン＆ゼレヴィンスキーが分類 (2003 年出版))

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

15 / 67ディンキン図形
n は ◦ の個数
A n, B n, C n, D n の
4 種の無限系列
は古典型と呼ばれている
E6,7,8 , F4 , G2 の5 つは例外型と呼ばれている
基本は ADE 型
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

16 / 67

E. ディンキン (1924–)

http://owpdb.mfo.de/detail?photo id=973

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2010 年 10 月 13 日

17 / 67

E 型ディ図形と正多面体の対応• の数と • の数 (左側の長さと右側の長さ)←→ 各面の辺の数と各頂点に接する辺の数(3,3) E6 ←→ 正四面体(3,4) E7 ←→ 立方体 (と正八面体)(3,5) E8 ←→ 正十二面体 (と正二十面体)

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

18 / 67

E 型ディンキン図形の拡大図(3,3) E6(3,4) E7(3,5) E8

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

19 / 67

A 型,D 型ディ図形と正多角形の対応正多角形の対称性
正 n 角形で裏返し禁止 ←→ A n−1 型
正 n 角形で裏返し許可 ←→ D n+2 型

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

20 / 67

フリーズ (frieze) とはフリーズ (frieze) ＝ 装飾のある横壁(実例を紹介するが主題ではない)(数学における) フリーズ (パターン)= ある単純な計算で得られる
装飾横壁に似た数字のパターン(この話の主題)

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

21 / 67

フリーズ (装飾横壁) の実例 (1)The Frieze of Parnassus
encircles the base of theAlbert Memorial in London
and consists of 169 life-sizefull-length sculptures ofindividual artists fromhistory. The total length of
the frieze is approximately
210 feet.
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Decorative emblems The Circus Bath.jpg

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

22 / 67

フリーズ (装飾横壁) の実例 (2)Frieze of animals,
mythologicalepisodes at thebase of
Hoysaleswara
temple, India

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Halebid6.jpg

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

23 / 67

フリーズ (装飾横壁) の実例 (3)The Circus (Bath), UK.
Architectural detail ofthe frieze showing thealternating triglyphs
and metope. (JohnWood, the Elder,architect).
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Albert Memorial Friese Collage - May 2008-edit1.jpg

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

24 / 67

フリーズ
1970 年代にコンウェイとコクセターはちょっとした数遊びで作れる繰り返しパターン (コンウェイ・コクセター・フリーズと呼ばれる) が面白い性質を持っていることを示した。
21 世紀の始めにフォーミンとゼレヴィンスキー
はクラスター代数の概念を発見した。コンウェ
イ・コクセター・フリーズは A 型のクラスター
代数の特殊化になっている。

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

25 / 67

J. H. コンウェイ (1937–)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:John H Conway 2005.jpg

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2010 年 10 月 13 日

26 / 67

H. S. M. コクセター (1907–2003)

http://cms.math.ca/Prizes/info/images/coxeter.jpg

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

27 / 67

コンウェイ・コクセター・フリーズの例

11132111253

12374111234
951

153271143211953

114211111211132112111

ここでは理由を説明しないが, コンウェイ・コクセター・フリー
ズはディンキン図形による分類では A 型に相当する.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

28 / 67

A 型のフリーズ・パターンの作り方 (1)まず, 以下のように 1 を並べる:
111111111111111111111

最上段と最下段は一直線.
左端の 1 の並びはもっとジグザグしていても構わない.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

29 / 67

A 型のフリーズ・パターンの作り方 (2)そして, 次のルールで数字を埋めて行く.

badad = bc + 1ca, b, c から d を d = (bc + 1)/a で定める.
(逆に d, b, c から a を a = (bc + 1)/d で定めることもできる.)

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

30 / 67

A 型のフリーズ・パターンの作り方 (3)最初のステップ
1111111111111111121111(1 × 1 + 1)/1 = 2

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

31 / 67

A 型のフリーズ・パターンの作り方 (4)次のステップ
111111111111111113213111(1 × 2 + 1)/1 = 3(2 × 1 + 1)/1 = 3

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

32 / 67

A 型のフリーズ・パターンの作り方 (5)その次のステップ
11111111111111113215314111(3 × 3 + 1)/2 = 5(3 × 1 + 1)/1 = 4

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

33 / 67

A 型のフリーズ・パターンの作り方 (6)さらにその次のステップ
111132111111111111125317
41511(1 × 5 + 1)/3 = 2(5 × 4 + 1)/3 = 7(4 × 1 + 1)/1 = 5

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

34 / 67

A 型のフリーズ・パターンの作り方 (7)次の形まで計算できたとする.
11113211253137413911111111112112451121111

赤い 1 の部分は青い 1 の上下をひっくり返した形.
A 型フリーズ・パターンのルールは上下の反転で不変.
よって残りの部分は繰り返しの形になる.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

35 / 67

A 型フリーズ・パターンの作り方 (8)最後に残りの部分を繰り返しで埋める.
1311121125312374112349511153271143211953114211111211132
112

111

赤い部分は青い部分の上下を反転した形になっている.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

36 / 67

何が不思議かクイズ
問題: 何が不思議なのか？ (制限時間 30 秒)
1111132

12533
1

123

744

9121b

ルール:

a1d97

1
1453

1242
1153

111111511232

132

1112

111

d = (bc + 1)/ac

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

37 / 67

何が不思議かクイズ解答不思議なことが二つある.
.. (整数性) なぜかすべて割り切れて1計算結果が整数になる.

.

7495

(7 × 5 + 1)/4 = 9のようにうまく割り切れまくった!

... (有限反復性) 有限個の数字を計算すれば2残りの部分はその繰り返しになる.
黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

38 / 67他の例で検証: A2 型
最上段と最下段を除いて 2 段の場合
1112112311111132112111

やはり整数性と有限反復性が成立している.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

39 / 67他の例で検証: A3 型
最上段と最下段を除いて 3 段の場合
11121113521123112111135211123111111

やはり整数性と有限反復性が成立している.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

40 / 67他の例で検証: A4 型
最上段と最下段を除いて 4 段の場合
1112112311234123451111111154321114321132112111

やはり整数性と有限反復性が成立している.

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

41 / 67

練習問題 [1]他の場合にも整数性と有限反復性が成立していることを具体例の計算で確認せよ.
(一般的に成立することを証明しなくてもよい. 証明は難しいと思う.)黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

42 / 67

練習問題 [1] つづき
たとえば次のような 1 の並びから出発して数字を埋めていって整数性と有限反復性が成立していることを確認せよ.
1111111111111111

黒木玄 (東北大学数学教室)

111

数学の世界には法則がある

111

2010 年 10 月 13 日

143 / 67どうして A 型か始めの 1 の並びの左端の部分に注目

◦
◦

／

1

1111111＼1

◦

←−＼11

◦1＼◦

この例では A5 型のディンキン図形が得られる.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

44 / 67

A 型以外の型への一般化
各ディンキン図形ごとに整数性と有限反復性を持つフリーズ・パターンのルールを定めることができる！
ディンキン図形をさらに一般化すると整数性は成立するが, 有限反復性を持たないフリーズ・パターンのルールも構成できる.

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

45 / 67

D 型のフリーズ・パターンの例
以下最上段と最下段の 1 の並びは省略する.

121231234117131955161144

1533

12211

整数性と有限反復性が成立している. すべて整数. 左端と右端の形が同じなので残りは繰り返し.

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

46 / 67

D 型のルール (1)
まず 1 を以下のように並べる.
.

11.

111.
.

.
.
.

.
.

.
.
.

.
.

.
.
.

.
.

.
.
.

.

.
.

左端の 1 の並びはもっとジグザグであってもよい

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

47 / 67

D 型のルール (2)そして次のルールにしたがって数を埋めて行く.

a′abb′ccde

黒木玄 (東北大学数学教室)

.
′.

.
′de′.

.
.
.

aa′ = b + 1
bb′ = a′ c + 1cc′ = b′ de + 1
dd′ = c′ + 1ee′ = c′ + 1

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

48 / 67どうして D 型か◦＼.

1

◦＼1
◦
\

←−＼＼.

1
11

◦
◦

.
.

.
.
.

.
.

この例では D5 型ディンキン図形が得られる.

黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

49 / 67

E6 型のフリーズ・パターンの例
最上段と最下段の 1 の並びは省略する.
121231234117131955163423653495
161143214523626
37489231112111

ちょっと分かりにくいが有限反復性も成立している.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

50 / 67

E6 型のルール
次のルールにしたがって数を埋めて行く.

a′

abb′

c.
c′

de.

.
′de′
f.
f′.
.
.

aa′ = b + 1bb′ = a′ c + 1
cc′ = b′ de + 1dd′ = c′ + 1ee′ = c′ f + 1f f ′ = e′ + 1

上の方に段を増やして E7,8 型ルールも定義される.

E7,8 型でも整数性と有限反復性が成立している.
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

51 / 67どうして E6 型か◦＼◦

.

1＼◦
\1＼＼

←−◦◦
＼

黒木玄 (東北大学数学教室)

.

1
1
1.
.

.

.
.
1 .

.
.

◦

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

52 / 67

B n, C n, F4, G2 型の場合
詳しくは説明しないが, B n, C n, F4, G2 型のフリーズ・パターンのルールの自然な定義があって, 整数性と有限反復性が成立している.
ディンキン図形の 2 重 (3 重) 矢印に対応する部分に 2 乗 (3 乗) するというルールを適切に追加することになる.

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

53 / 67

A(1)型のフリーズ・パターン (1)1(1)
型ルールと呼ぶ.
1

次のルールを A
a′abb′.

.

.

aa′ = b2 + 1bb′ = a′2 + 1.

A(1)型のフリーズ・パターン:
1
12
1

13
5

89
34

610
233

4181
1597

有限反復性は成立していない.
しかし次ページの良い性質を持つ.
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

54 / 67

A(1)型のフリーズ・パターン (2)1A(1)
型のフリーズ・パターンを構成する数列
1
1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, . . .
は漸化式 a n+2 − 3a n+1 + a n = 0 を満たしている. すな
わち数列中の連続する 3 つの数字において両端の数の和は真ん中の数の 3 倍に等しい:
1, 1, 2
1, 2, 52, 5, 13···−→ 1 + 2 = 3 × 1,−→ 1 + 5 = 3 × 2,−→ 2 + 13 = 3 × 5,······

漸化式を a n+2 = 3a n+1 − a n と書きなおせばA(1)型の場合にも整数性が成立することがわかる.
1
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

55 / 67

練習問題 [2]前ページの漸化式を示せ. すなわち以下を証明せよ.
数列 a1 , a2 , a3 , a4 , . . . を次のように定める:

a1 = 1,a n+2 =a2 = 1,a2n+1 + 1
an(n = 1, 2, 3, . . .).

このとき a n+2 − 3a n+1 + a n = 0 が成立する.
−1
ヒント: K n = a−1
a−1 + a n+1 a−1n + a n+1 a n とおくと
n+1 n

K n+1 = (a n+2 + a n)/a n+1 = K n = · · · = K1 = 3 となる.
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

56 / 67

クラスター代数とはフォーミンとゼレヴィンスキーは 2002
年出版の論文でクラスター代数を導入した.
フリーズ・パターンでは最初の出発点を「1 の並び」に取るのであった.
クラスター代数とは, 大雑把に言って, 出発点の「1 の並び」における「左端」を変数に置き換えたもの.
(これは非常に正確ではない説明なので注意)
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

57 / 67

A2 型の場合
111xy
111から出発して A 型フリ・パタのルールで計算すると

1

1y+1xxy

1x+y+1xy

1x+1yyx11

分母が x a y b の形になり, 有限反復性が成立!
黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

58 / 67

A2 型の場合の詳しい計算
1xx′y1y1′x′′1′′x′′′

y
1

1y+1,
xx+y+1x′ + 1=,y′ =yxyy′ + 1(x + 1)(y + 1) xx+1x′′ =,==′xyyxy+1xyx+y+1x′′ + 1y′′ == x,=′yyx+y+1y′′ + 1x′′′ == y.
x′′x′ =

黒木玄 (東北大学数学教室)

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2010 年 10 月 13 日

59 / 67

A3 型の場合
1

1

1

1

1

1xyz
から出発して A 型フリ・パタのルールで計算すると

1

1y+1xxy

1x+yz+zxyz
1x+z
yxy+x+yz+zxyz

1y+1z

xy+x+zyz

zyx
1

分母が x a y b z c の形になり, 有限反復性が成立!
黒木玄 (東北大学数学教室)

数学の世界には法則がある

2010 年 10 月 13 日

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A3 型の場合の計算の一部
1xx′y1y′zx′′′1y′′z1x′′′′′1y′′′z
1y+1
x + yz + z
x′ z + 1, y′ =
=
,
xy
xy
y′ + 1xy + x + yz + z
z′ =
=
,
z
xyz
y′ + 1xy + x + yz + z x
x+z
=
x′′ =
=
,
xy
yx′
y+1
xy
xy + y + z(x + yz + z)(xy + y + z)
x′′ z′ + 1
=
,
y′′ =
=
2
x+yz+zyz
y′xy zx′ =z′′ , x′′′ , y′′′ を自力で求めてみよ.
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クラスター代数の不思議
分子分母の複雑な因子が打ち消しあって, 分母がx a y b や x a y b z c のような簡単な形 (単項式) になる. (ローラン現象. フリーズ・パターン( x = y = z = 1) の場合の整数性の一般化)
ディンキン図形に対応するクラスター代数では有限反復性が成立している. (実はフォーミン＆ゼレヴィンスキーによって逆も成立することがわかっている. 有限型クラスター代数の分類)
これも非常に正確でない説明の仕方なので注意!

計算結果の分子にマイナス記号が出て来ない.
(正値性. 証明はとても難しい. まだ完全解決されていない.)
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練習問題 [3]次の形から出発して A 型フリーズ・パターンのルールにしたがって残っている部分を埋めよ.

11111···xyzw
1111 ···(1) 分母が単項式になること, (2) 有限反復性が成立していること, (3 ) 計算結果の分子にマイナス記号が出て来ないことを確認せよ.
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理論の発展のまとめ
20 世紀に 2000 年以上前の成果である「正多面体の分類」の話が「ディンキン数学」の形で復活した。
1970 年代に発見されたコンウェイ・コクセターによるフリーズ・パターンの理論もまたディンキン数学の一部とみなせる (A 型の場合).
21 世紀になってからフリーズ・パターンの理論がクラスター代数の理論に一般化され, 大流行した.
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驚くべき法則性のまとめ
フリーズ・パターンでは奇跡的に割り切れてすべてが整数になり, しかもディンキン図形に対応する場合には有限反復性が成立している.
クラスター代数の場合. 計算の途中で分子分母の複雑な因子が奇跡的にキャンセルしあって分母に単項式だけが残り, しかも分子にマイナス記号が現われないということになっている (ようだ).
有限反復性を持つクラスター代数がディンキン図形で分類される (クラスター代数もディンキン数学の一種).
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練習問題 [4]... 省略した計算を埋めよ.
... インターネットで「正多面体」について12検索してみよ.
.3. インターネットで「ディンキン図形」について検索してみよ.
.4. インターネットで「クラスター代数」について検索してみよ.

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現代数学の世界へようこそ!
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連絡先, 参考文献
メールアドレス: kuroki@math.tohoku.ac.jp
ウェブ: http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/
コンウェイ・コクセター・フリーズ入門:
J.H. コンウェイ, R.K. ガイ 共著, 『数の本』, シュプリンガー・フェアラーク東
京 (2001/12) にコンウェイ・コクセター・フリーズに関する話も書いてある.
http://www.amazon.co.jp/dp/4431707700 で立ち読みできる.

クラスター代数入門:
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/˜kenkyubu/kokai-koza/nakajima.pdf
http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/cluster_algebra_rank2.pdf

この文書の版: 2010/12/27 Version 1.6
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