計測自動制御学会東北支部 第 229 回研究集会 (2006.6.9)
資料番号 229-8

低折返し マルチレベル FIRフィルタのための非最大間引きフィルタバンクの設計と実装
Design and Implementation of Oversampled Filter Banksfor Multilevel FIR Filters with Low Aliasing○河野健，高沢剛史，阿部正英，川又政征○ Ken Kouno, Takashi Takazawa, Masahide Abe, Masayuki Kawamata
東北大学大学院工学研究科

Graduate School of Engineering, Tohoku University
キーワード : 非最大間引きフィルタバン ク（ oversampled ﬁlter bank ），マルチレ ベルフィルタ（ multilevelﬁlter ），不等分割フィルタバン ク（ nonuniform ﬁlter banks ），反復最小 2 乗法（ iterative least-squares technique ），低折返し（ low-aliasing ），低遅延（ low-delay ），音響信号処理（ acoustic signal processing ）連絡先 : 〒 980-8579 仙台市青葉区荒巻字青葉 6-6-05 東北大学大学院 工学研究科 電子工学専攻 川又研究室
河野健，Tel.: (022)795-7095，Fax.: (022)263-9169，E-mail:1.

バン クが 一般的に使用され る 2, 3) ．

はじめに一般的なフィルタバン クでは ，入力信号はフィフィルタバンクは，並列接続された複数のディジルタにより複数の周波数帯域に分割され ，間引き
タルフィルタで構成され，信号の周波数成分分析とと伸張の操作の後，フィルタを通し て出力信号が処理を目的とするシステムである．人間の聴覚シ
再構成され る．多くの場合，再構成された信号にステムは一種のフィルタバンクのように振る舞い，は 3つの基本的な歪み—折返しと振幅歪み，位相歪低域周波数ほど 高分解能になるという対数的な周波数分解能をもつことが知られている1) ．したがっみ—が 含まれ る．これらの歪みを発生させないシ
ステムは完全再構成システムとよばれる．音響信て，そのようなフィルタバンクは音響信号の分析に号のための分析シ ステムでは ，フィルタバン クの有用である．対数的な周波数分解能をもつ分析シ
各周波数帯域のゲ インを独立に変更することがしステムの例とし て最もよく知られるのがオクター
ばしば 必要になる．すなわち，各周波数帯域のゲブ バンド フィルタバン クである．オクターブ バン
インを自由に調節できるデ ィジタルフィルタが 要
ド フィルタバンクの設計は帯域分離フィルタの縦続求され る．このような特徴をもつフィルタはマル
接続構造（ 木構造フィルタバンク）に基づき，そのチレ ベルフィルタとよばれ る．最大間引きフィル
帯域分離フィルタとして QMF （ quadrature mirror
タバン クにおけるゲ インの変更は更なる折返し を

ﬁlter ）バンクなど の 2チャネル最大間引きフィルタ
発生させる．フィルタバン クにおいて，ゲ インの–1–

変更により発生し た折返し を完全に除去すること

x(n)v0 (n)

H0 (z)S0

H1 (z)S1

HL−1 (z)SL−1は不可能である．高沢ら 4, 5) は，非最大間引きフィv1 (n)

ルタバン クを用いてこの問題を解決し た．非最大間引きフィルタバン クにおけるゲ インの変更は折vL−1 (n)S0F0 (z)S1

F1 (z)

SL−1

FL−1 (z)x̂(n)

Analysis bank

返しを低減させることができる．更に，文献 6)でSynthesis bank

図 1 フィルタバン ク構造

は ，非最大間引きフィルタバン クの設計のために

Fig. 1 Structure of ﬁlter banks.

反復最小 2 乗法 7, 8) に基づく設計アルゴ リズムが導入された．このアルゴ リズムは，フィルタバンクの実際の応答と理想の応答の間の誤差によって決ま

において，再構成された信号は文献 8)により(1) 式で与えられ る．

る重み付き目的関数を最小化し ，大きな阻止域減X̂(z) =

衰量と低遅延特性をもつ近似的な完全再構成フィ
ルタバン クを効率的に設計することができる．し

L−1
l −1
 S


 

1
Fl (z)Hl zWSml X zWSml (1)Sl
l=0 m=0 Tl,m (z)かし ながら ，設計されたフィルタバン クが 規定さ

ここで，X̂(z)と X(z)はそれぞれ x̂(n)と x(n)の z 変れた設計仕様を満たすことは保証されていない．

換であり，WSl は変調因子e−j(2π/Sl )である．シフト

本論文では，文献 6)の反復アルゴ リズムを用いされた X(zWSml )は間引きと伸張の操作により発生て非最大間引きフィルタバン クを設計し ，新たにする項であり，m次の折返し項とよばれる．Tl,m (z)定義された 3 つの尺度によりその性能を評価する．

は各チャネル lにおける異なる m 次の折返し 項の伝

この結果により，フィルタバンクの性能と目的関数達関数である．折返しを消去するためには，m > 0

における重みパラメータの関係を示す．更に，フィの折返し 項が 零，つまり，

ルタバン クの規定された設計仕様に基づき，フィTl,m (z) = 0,ルタの次数と遅延の様々な組合せに対する性能のm = 1, . . . , Sl − 1

限界を明らかにする．この結果から ，反復アルゴ
リズムを用いて設計された分析システムについて，
音響信号のための実用的な分析システムに対するれば ，(1) 式は簡単になり (3) 式で書かれ る．

X̂(z) =L−1
l=0

フィルタバンクシステム(2)とならなければ ならない．もし (2) 式が 満足され適用可能性を検討する．

2.

l = 0, . . . , L − 1,

1
Fl (z)Hl (z)X(z)Sl(3)

し たがって，全体の伝達関数は (4) 式となる．

図 1は ，分析バン クと合成バン クで構成され るT (z) =

フィルタバン クの一般的な構造を示す．分析側では，入力信号 x(n)は ，分析フィルタ Hl (z)により L
個の周波数帯域に分割された後，因子 Sl で間引かれ，帯域分割信号vl (n)が生成される．合成側では，伸張器により帯域分割信号間に零値サンプルが 挿

l=0

力信号x̂(n)を得る．図 1に示されるフィルタバンク

1
Fl (z)Hl (z)Sl(4)

フィルタバンクは，まだ 2つの基本的な歪み—振幅
歪みと位相歪み—をもっている．もし |T (ejω )|が一定値でなければ 振幅歪みがあり，もし T (z)が 非線
形位相をもてば 位相歪みがある．

入され ，合成フィルタにより補間サンプルに変換される．最後にすべてのチャネルの合計により，出L−1


もし 折返しが 完全に消去され ，T (z)が 遅延のみ
（ すなわ ち，T (z) = cz −K , c = 0 ）とな るよ うに

Hl (z)と Fl (z)が 設計されれば ，そのシ ステムは 折–2–

返し と振幅歪み，位相歪みをもたない．そのようば，元の帯域分割信号は間引きにより不可逆的に変なシ ステムは x̂(n) = cx(n − K)を満足し ，それゆ

えられてし まう．つまり，折返しが発生する．そのえ 完全再構成シ ステムとよばれ る．文献 3)では ，標本化定理を満足するためには，l 番目のチャネル

これらの歪みのいくつかあるいはすべてが 除去さにおいて，間引きされていない信号の帯域が (6) 式

れ るようにフィルタバン クを設計できるというこの 2 つの連続する周波数点間に 完全に 収まることとが 示されている．

が 要求され る．

3.

ω
i
= ,
π
Sl

低折返しマルチレベルフィルタ

i = 1, 2, . . . , Sl − 1(6)

これは ，すべての分析フィルタ Hl (z)が 次の 2 つのマルチレ ベルフィルタは典型とし て次のような応答をもつ：周波数軸が無数の領域に分割される，条件を満足するように周波数領域に位置し なければ ならないことを意味する：

各領域では応答がある一定値をとる，これらの領• フィルタ出力信号が帯域通過信号のための標域間には遷移帯域がある．それゆえ，マルチレ ベ

本化定理に反することなく，

ル応答は低域通過応答や帯域通過応答の一般化であるといえる．マルチレ ベルフィルタを設計する• 入力信号の再構成のために すべての周波数

一方法は，対応する応答をもつフィルタバンクを設

点が 少なくとも 1 つのフィルタで覆われ る．

計することである．しかしながら，そのようなフィ
実際のシ ステムでは ，理想的なフィルタの実装

ルタバン クを設計する場合，折返し 誤差が 必ず発生する．この問題を解決するために ，非最大間引きフィルタバンクが用いられる 4, 5) ．本章では，非最大間引きフィルタバン クを用いた低折返し マル
チレ ベルフィルタの設計法を説明する．また，音響信号のための分析シ ステムを 設計するために ，木構造フィルタバン クに基づ く不等分割フィルタは不可能であるので ，分析フィルタは阻止域に ス
ペクトル成分をもつ．それゆえ，帯域通過信号のための標本化定理は厳密には満足されない．通常は ，十分大きな阻止域減衰量をもつフィルタを使用することで，許容できるレベルまで不要な成分を減らし て折返し を低減することができる 8) ．
マルチレ ベルフィルタは ，フィルタバン クのサ

バン クの設計法を説明する．そし て，文献 4, 5)により提案された 1/2オクターブバンド フィルタバン

ブバンド に導入されたゲ イン 因子により容易に実装され る．フィルタバン クのサブ バンド ゲ インのクについて概説する．

変更は図 2に示され るような振幅応答を与え ，す3.1

べてのフィルタの阻止域成分を少なくとも増幅さ非最大間引きフィルタバンク

せることはなく，むし ろ減衰させる．非最大間引
非最大間引きフィル タバン クは (5) 式を 満足す
る間引き因子をもつ．
L−1

l=0

きフィルタバン クの場合，これは折返し の減少に
つなが り，結果とし て低折返し マルチレ ベルフィ

1
≥1
Sl

(5)

更に ，非最大間引きフィルタバン クは ，帯域通過

ルタが 設計され る．

3.2

不等分割フィルタバンク

信号のための標本化定理を満たし ，折返し を避け
多分割フィルタバン クには ，等分割フィルタバ

るように注意深く設計されなければ ならない．
もし 帯域通過信号のための標本化定理に反すれ

ンクと不等分割フィルタバンクがある．等分割フィ–3–

Magnitude response in dB

x(n)

l−1

0

l+1
l

H0 (z)

2

2

F0 (z)

H1 (z)

3

3

F1 (z)

H2 (z)

2

2

F2 (z)x̂(n)(a) 3チャネル非最大間引きフィルタバン ク(a) Three-channel oversampled ﬁlter bank.
Frequency

図 2 フィル タバン クのサブ バンド ゲ イン の変更

Fig. 2 Modiﬁcation on subband gains of a ﬁlter bank.
x(n)ルタバン クではすべてのチャネルの帯域幅が 等し

H0 (z)

2

H1 (z)

3

H2 (z)

2

H0 (z)

2

H1 (z)

3

H2 (z)

2

H0 (z)

2

H1 (z)

3

H2 (z)

2(b) 3レ ベル木構造フィルタバン ク

い．実用上の観点から見れば ，等分割フィルタバ(b) Three-level tree-structured ﬁlter bank.

ン クは FFT (fast Fourier transform) を使って実装

図 3 1/2オクターブバンド フィルタバン クのできるため非常に魅力的であり，周波数分析器な例

Fig. 3 Example of half-octave-band ﬁlter

どに広く利用されている．一方，不等分割フィルタ

banks.

バンクを利用する必要がある応用もいくつかある．
これらのシステムでは，与えられたスペクトルは異なる帯域幅のサブ スペクトルに分割される．特に ，対数的な周波数分解能をもつフィルタバン ク
は信号の多重解像度解析に有用である．その例とし て最もよく知られ るのがオクターブ バンド フィ

バン クシ ステムはより高い周波数分解能をもつ．
すなわち，木構造フィルタバン クは ，低次のフィルタを縦続接続することで高次のフィルタと同等の分解能をもつシ ステムを構成できる．し たがって，木構造フィルタバン クは与えられたスペクト

ルタバン クである．
不等分割フィルタバン クの実装には ，FFTのよ
うに効率的な変換手法は存在し ない．しかし ながら ，多くの場合，不等分割フィルタバン クは木構造（ またはマルチステージ技術 ）を用いて効率的

ルの多帯域分割を 効率的に 実装するのに 役立つ．
もし 帯域分離フィルタとし て同一の分析（ または合成 ）バン クが 再帰的に使用されれば ，多帯域分
割はより効率的に実装され る．
対数的な周波数分解能をもつフィルタバンクは，に実現できる．このようなシ ステムを木構造フィルタバン クという．木構造フィルタバン クは分析または 合成バン クの縦続接続に より構成され る．
ここで ，分析（ または合成 ）バン クは特に帯域分離フィルタとよばれる．分析木では，帯域分離フィ
ルタからの各出力信号は追加された帯域分離フィ
ルタに入力され る．ここで，追加された帯域分離
フィルタは必ずし も同一の分析バン クであるとは限らない ．合成木も逆順で 同様の木構造をもつ．

対数的な木を用いて実装できる．対数的な木では，帯域分離フィルタの最も低域の出力信号だけが 追加された帯域分離フィルタに入力される．文献 4,5)では，図 3(b)に示された対数的な木構造フィルタ
バン クを 用いて 1/2 オ クターブ バンド フィル タバ
ン クが 設計された．図 3(b)では，同一の帯域分離
フィルタとして図 3(a)に示された 3チャネル非最大
間引きフィルタバン クが 用いられている．

木の段（レ ベル ）が 増えるほど ，全体のフィルタ

–4–

4.

反復最小2乗法に基づくフィル

し て (9) 式で表され る．

タバンクの設計法

t(n) =

L−1
l=0

文献 6)では，非最大間引きフィルタバン クを設計するために反復最小2乗法7, 8)が用いられた．フィルタバン クの実際の応答と理想の応答の間の誤差1(fl (n) ∗ hl (n))Sl(9)

ここで，∗はたたみ込みを示す．行列表現では，全体の インパル ス応答は (10) 式で表され る．

⎡

で 定義された目的関数を反復最小 2 乗法により最小化することで ，所望の応答特性をもつフィルタ

t=

f0

⎤

⎥
⎢
⎢ f1 ⎥⎢. . . SL−1 H L−1 ⎢ . ⎥⎥⎣ .. ⎦

1
1
S0 H 0 S1 H 1

1バン クが 設計され る．本章では ，目的関数の定義

f L−1と反復アルゴ リズム 6) を概説する．そし て，例と

= Hf

(10)

して図 3(a)に示された 3チャネル非最大間引きフィ
ルタバン クをこの手法により設計し ，図 3(b)と同

ここで，行列H l とベクトル f l はそれぞれ以下で与様にして 1/2オクターブバンド フィルタバンクを設えられ る．

⎡hl (0)⎢⎢hl (1)
Hl = ⎢
⎢ ..
⎣ .

計する．

4.1

目的関数の定義⎡

所望の応答特性をもつ非最大間引きフィルタバ

され る．

0

hl (0)
..
.

...
..
.

0
..
.

0

...

hl (N )

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

fl (N )

(7)

ここで，E1 と E2 ，E3 はそれぞれ再構成誤差と阻止⎤...

fl (0)⎢⎥f⎢ l (1) ⎥⎢fl = ⎢ . ⎥⎥⎣ .. ⎦

ン クを設計するために ，目的関数は (7) 式で 定義

E = E1 + αE2 + βE300

よって，再構成誤差は (11) 式で与えられ る．

域エネルギ ー，隣接遷移域合成誤差であり，αと βE1 = Hf − v2(11)は両方とも正の重みである．
本論文では，文献 6)におけるフィルタバン クの設4.1.1計と同様に，合成フィルタ f は分析フィルタ hと同再構成誤差

じ であるとする．
再構成誤差は ，フィルタバン ク全体の インパル
ス応答 tと指定された遅延 2kd をもつ単位インパル
ス信号 v の間のユークリッド 距離とし て定義され ，

4.1.2

阻止域エネルギー

分析バン クの阻止域エネルギ ーは ，分析フィル(8) 式で表され る．

タ hl (n)の阻止域エネルギーの和として (12) 式で表E1 = t − v

2

(8)

され る．

もし 折返しが 十分低減されれば ，フィルタバン

E2 =

l=0

ク全体の伝達関数は近似的に (4) 式で与えられる．


 Hl (ejω ) 2
 √
 dω

Sl 
ωSB

L−1


(12)

し たがって，フィルタバン ク全体の インパル ス応

ここで ，ωSB は 阻止域の周波数範囲を 示す．分析

答は分析フィルタと合成フィルタのたたみ込みとフィルタ hl (n)の阻止域エネルギ ーは行列表現によ–5–

り (13) 式で表され る．

行列表現では，隣接遷移域合成誤差は (16) 式で


⎡
⎤⎡
⎤2

hl (0) 
1 e−jωl,0 . . . e−jωl,0 N



⎢
⎥⎢
⎥
 1 ⎢1 e−jωl,1 . . . e−jωl,1 N ⎥ ⎢ hl (1) ⎥⎢⎥ ⎢ . ⎥E2,l = ..
..
..
 √S ⎢ ..
⎥ ⎢ . ⎥l ⎣.
.
⎦ ⎣ . ⎦.
.
hl (N ) 
1 e−jωl,m . . . e−jωl,m N
2


 1

=  √ P l hl 
(13)

Sl

表され る．
⎡
 √
Q Q
...
 S00 √S01 0
⎢
⎢
Q1
Q1 √
⎢ 0 √
⎢S1
S2
E3 = ⎢ .
..
..
⎢ ..
.
.
⎢
⎣
QL−2
 0 ... 0 √


⎤2
u0 

⎢
⎥
⎢ u1 ⎥⎥
−⎢⎢ .. ⎥⎣ . ⎦
uL−2 
⎡ここで，N はフィルタの次数を示す．また，ωl,m は
分析フィルタ hl (n)の阻止域全体を覆う周波数点を示し ，それゆえ行列 P l は分析フィルタ hl (n)の周波数仕様を表す．(13) 式から ，分析バン クの阻止域

SL−2

⎤

⎡
⎤
⎥ h0
⎥⎢
⎥ ⎢ h1 ⎥⎥⎥⎢⎥⎢ . ⎥. ⎥0 ⎥⎥⎣ . ⎦
⎦
Q
hL−1
√ L−2
0
..
.

SL−1

= Qh − u2(16)

エネルギ ーは (14) 式で表され る．
ここで，行列 Ql とベクトル ul はそれぞれ以下で与E2 = P h

2

(14)

えられ る．

⎡
1⎢⎢1
Ql = ⎢⎢ ..
⎣.

√ここで，行列 P は，行列 P l / Sl を対角要素にもつ行列とし て以下で与えられ る．
P0P√ 1 ...
P = diag √
S0
S1

4.1.3

P
 L−1
SL−1



e−jωl,0...

e−jωl,1
..
.

...
..
.

1 e−jωl,m . . .
⎡ −jω k ⎤e l,0 d⎢ −jωl,1 kd ⎥⎢e⎥⎥ul = ⎢
..
⎢
⎥
⎣
⎦
.

隣接遷移域合成誤差⎤⎥
e−jωl,1 N ⎥
⎥
..
⎥
⎦
.
e−jωl,m N

e−jωl,m kd

低遅延特性をもつフィルタバンクを設計する際，分析フィルタと合成フィルタの振幅応答にこぶ状

e−jωl,0 N

また，ωl,mは周波数範囲ωTBを覆う周波数点を示す．

の隆起が 発生することが 報告されている 7) ．著者
らの実験でも，フィルタの遷移域において同様の4.2

こぶ状隆起の発生が 確認された．以下では ，このこぶ状隆起を遷移域誤差とよぶ．この問題を解決するために ，(15) 式で 表され る第 3 の項が 目的関数に追加され る．
2L−2 H (ejω ) H (ejω )


 l

l+1
E3 =
+ 
− e−jωkd  dω
 √


Sl
Sl+1
l=0 ωTB(15)最小化のための反復アルゴリズム

上記の定義を用いて (7) 式を行列表現に 書き直し ，分析フィルタと合成フィルタが 等し いとすると，目的関数は (17) 式で表され る．
⎡
⎤
⎤2
⎡
 H
v 
 √

⎢
⎥
⎥
⎢
E = ⎣ αP ⎦ h − ⎣ 0 ⎦
 √

√

βQ
βu 

(17)

目的関数 E を最小化するために ，表 1に 示された

本論文では，(15) 式で表される項を隣接遷移域合反復最小 2 乗法に 基づ く設計アルゴ リズムが 用い

成誤差とよぶ．ここで ，ωTB は 隣接するフィルタ

られ る．表 1において，εは 許容誤差であり，τ は間の遷移域の周波数範囲を示す．すなわち，もし平滑化パラ メータ（ 0 < τ < 1 ）である．Step 3にチャネル l + 1のフィルタがチャネル l のフィルタよ

おいて E の最小点は (20) 式で得られ る．

−1hmin = H T H + Re αP H P + βQH Q× H T v + Re βQH u(20)

りも高域側に通過域をもつならば ，ωTB の範囲は，
チャネル l + 1のフィルタの低域側阻止域端からチャネル l のフィルタの高域側阻止域端までである．

–6–

表 1 反復アルゴ リズムの手順

20

Step 1:

Magnitude response in dB

Table 1 Procedure of the iterative algorithm.
フィルタ係数の初期値を h(0) とする（ i = 0 ）．

Step 2:h から H

Step 3:
Step 4:

E の最小点 hmin を計算する．
(18) 式で終了条件を確かめる．

(i)

(i)

を形成する．
(i)

(i)


2
 (i)
(i) 
h − hmin  < ε

(18)

−20
−40
−60
−80
−100
0

もし (18) 式が 真なら結果とし て h(i)を出力し 終了する．

Step 5:

0

0.2

0.4
0.6
Frequency ω/π

0.81(a) 分析フィルタの振幅応答(a) Magnitude responses of analysis ﬁlters.

(19) 式によりフィルタ係数を更新す
る．
(i)

41

h(i+1) = (1 − τ )hmin + τ h(i) (19)i = i + 1とし て Step 2へ．
Group delay

40.5

ここで，Tは転置を示し，Hは共役転置を示す．hminの導出については文献 6)を参照されたい．

40

39.5

この反復アルゴ リズムの収束性について，厳密な証明はまだ示されていない．著者らの実験にお39
0いて，フィルタ係数の初期値として遅延kd をもつ単位インパルス信号を用いると，多くの場合に対し

0.2

0.4
0.6
Frequency ω/π0.81(b) フィルタバン クの群遅延(b) Group delay of the ﬁlter bank.

てこのアルゴ リズムは収束することが確認された．

図 4 3チャネル非最大間引きフィルタバン ク

4.3

の応答

1/2 オクターブ バンド フィルタバン
クの設計例

Fig. 4 Responses of a three-channel oversampled ﬁlter bank.

上記の反復アルゴ リズムによる設計の例として，
図 3(a) に 示された 3 チャネル非最大間引きフィル設計されたフィルタバン クの周波数応答は図 4にタバン クを設計する．更に，図 3(b)と同様の木構示され る．図 4(a)は分析フィルタの振幅応答を示造を用いて 1/2オクターブバンド フィルタバンクのす．この図において振幅応答は正規化されている．

設計例を示す．

また，図 4(b)はフィルタバンクの群遅延を示す．こ

3 チャネル 非最大間引きフィル タバン クの 設計に用いられたパラ メータの設定は以下のとおりでの結果から ，設計されたフィルタバン クは近似的に線形位相をもつことが 分かる．

ある．

N = 70,設計されたフィルタバンクを同一の帯域分離フィ

kd = 20,

ε = 1.0×10−15 ,α = 100,

ルタとし ，4レベル木構造をもつ1/2オクターブバン

β = 2.0×10−5 ,ド フィルタバンクが設計された．木構造は，図 3(b)

τ = 0.5と同様に ，最も低域のフィルタ出力信号だけを追フィルタバンクの設計は 40回の反復計算を要した．

–7–

数 N と遅延 kd の様々な組合せに対し て性能の限界

20Magnitude response in dBを調べる．この結果から ，反復アルゴ リズムを用
0

いて設計された分析システムについて，音響信号−20のための実用的な分析システムに対する適用可能−40

性を検討する．

−60

5.1

−80
−100
0

0.2

0.4
0.6
Frequency ω/π

0.8

フィルタバンクの性能尺度

フィルタバンクの性能評価のために 3つの尺度—

1

最大再構成誤差と最小阻止域減衰量，最大遷移域
誤差—を以下で定義する．

図 5 4レ ベル木構造をもつ 1/2 オクターブ バ
ンド フィルタバン クの振幅応答• 最大再構成誤差（ maximum reconstruction er-

Fig. 5 Magnitude responses of a half-octaveband ﬁlter bank with a four-level treestructure.

ror; MRE ）
MRE = max 20 log10 T (ejω )

(21)

ω

加された帯域分離フィルタに入力する．結果とし• 最小阻止域減衰量（ minimum stopband at-て得られた分析フィルタの振幅応答は図 5 に示さtenuation; MSA ）

れ る．





 Hl (ejω ) 
MSA = min min 20 log10  √
ω∈ωSB
l
S 


l

5.

(22)

低遅延フィルタバンクの性能• 最大遷移域誤差（ maximum transition-band

フィルタ設計において ，設計されたフィルタがerror; MTE ）規定された仕様を満たすことを保証することは重 Hl (ejω ) 
MTE = max max 20 log10  √
ω
l
Sl 
(23)


要である．4 章の反復アルゴ リズムでは，4 つのパ
ラ メータ—N と kd ，α，β—によりフィルタバン ク

の性能が 決定され る．しかし ながら ，設計されたフィルタバン クが 規定された仕様を満たすことを

ここで ，3 つの尺度の単位は dBである．
反復アルゴ リズムは ，再構成誤差と阻止域エネ保証するパラ メータの組合せを見つけることは難し い．それゆえ，設計に用いられ るパラ メータとフィルタバン クの性能の関係を明らかにすること

ルギー，隣接遷移域合成誤差をそれぞれ重み 1と α，β により最小化し ，結果とし て対応する性能をもつフィルタバン クが 設計され る．もちろんこの性が 要求され る．
本章では ，はじ めに ，フィルタバン クの性能を評価するための尺度を定義する．そし て，この性能尺度を 用いて 重み α と β の組合せと 性能の関係を示す．次に ，フィルタバン クの適切な設計仕様を与える．この仕様を満たすことを保証するパラメータの組合せを見つけるために ，フィルタの次

能はフィルタの次数 N と遅延 kd にも依存する．もし 次数と遅延に制限がある場合において厳し い仕様が 与えられれば ，すべての仕様が 満足されるとは限らない．これは，3つの性能が互いにトレード
オフの関係にあるためである．固定された次数と遅延をもつフィルタバン クにおける性能のトレ ー
ド オフを調べるため，重み αと β の組合せに対する–8–

表 2 音響信号のための分析シ ステムの設計

MTE
1

38

0.75
0.75
0.4
0.4
40

0.5

34

32 0.2

30

26

25
0.

22

24

28

38

β

Table 2 Design speciﬁcation of analysis systems for acoustic signals.

1

36

34

32
0.2

0.5

30

5

仕様

38

30

1

0.7

28

1086
18 14
12
20
16
18
20
22
22
24
24
26
26

28

0.75

10

MSA

32
0.2
34
36

MRE
−4

0.4
0.6
36

0.6

00.5.6
0.5
40
0.8

遅延時間

20 ms 以内

標本化周波数16 kHz周波数分析

0.8

対数的な周波数分解能，
最も低域から 2 番目のフィルタ

−5

10

−4

−3

10

10

−2

α

10

の中心周波数 = 500 Hz−110

図 6 重みパラ メータと性能の関係を示す等
高線プ ロット

Fig. 6 Contour plots of relationships between weighting parameters and performance.

MRE

1 dB 以内MSA

40 dB 以上

MTE

2 dB 以内

レベルの木構造が必要になる．(24) 式から，4レベ
ル 木構造をもつ分析シ ステムの遅延時間が 20 ms

3 つの性能の値が 測定された．図 6は ，N = 70とkd = 10 をもつフィル タバン ク（ 図 3(a) ）の性能以内であるためには，kd ≤ 10を満足すればよいことが 分かる．

の等高線プ ロット を示す．ここで ，MRE と MSA，

MTEはそれぞれ 0.25 dBと 2 dB，0.2 dB の間隔を5.3置いて表示されている．この等高線プ ロットは 3つフィルタバンクシステムの性能の限界の性能におけるトレ ード オフの関係を明示し ，固フィルタバン クシ ステムが 表 2 の仕様を満たす

定された次数と遅延をもつフィルタバン クの設計ことを保証するパラ メータの組合せを見つけるたにおいて重みパラ メータの最良の組合せを決定す

め，以下の手順で実験を行った．まず，次数N と遅るのに役立つ．

延 kd の様々な組合せをもつ帯域分離フィルタを設計する．それぞれの組合せに対し て，図 6と同様

5.2

フィルタバンクシステムの設計仕様

音響信号のためのフィルタバン クシ ステムの設計仕様が 表 2 に与えられる．対数的な周波数分解能をもつ分析シ ステムとし て 1/2 オクターブ バン
ド フィルタバン クが 設計される．図 3(b)と同様のSレベル木構造をもつ 1/2オクターブバンド フィルに ，重み α と β に 対する 3 つの性能の等高線プ ロッ
トを作成する．得られた等高線プ ロットを用いて，表 2における MREと MTE の両方の仕様を満たす
範囲で，MSAの上限を測定する．結果として，様々な次数N をもつ帯域分離フィルタの遅延kd と MSAの上限の関係が図 7に示される．この図において，
破線は ，全体の分析シ ステムの仕様（ 表 2 ）に 対

タバン クの遅延時間は (24) 式で表され る．

応する帯域分離フィルタの仕様を示す．すなわち，
S+1

tdelay = (2− 2)kd /fs [sec](24)

ここで，fs は標本化周波数を示し ，単位は Hzである．分析シ ステムに おいて最も低域から 2 番目のフィルタの中心周波数を 500 Hz にするためには，4設計された分析シ ステムが 表 2 の仕様を満足する
ためには，図 7の破線で区分された左上の領域（ 破線上も含む）に帯域分離フィルタの MSAが存在しなければならない．この結果から，次数 N ≥ 40を–9–

Minimum stopband attenuation in dBについて，音響信号のための実用的な分析システ

100
10th
20th
30th
40th
50th
60th
70th
80th
90th
100th

80
60
40

ムに対する適用可能性を検討し た．

参考文献
1) B. Gold and N. Morgan: SPEECH AND AUDIO SIGNAL PROCESSING—Processing and20

Perception of Speech and Music—, John Wiley
0
0

10

20

kd

30

40

50

& Sons, Inc. (2000)
2) R. E. Crochiere and L. R. Rabiner: Multirate

図 7 フィル タの遅延と 最小阻止域減衰量のDigital Signal Processing, Prentice-Hall (1983)

関係

Fig. 7 Relationship between ﬁlter delays andminimum stopband attenuations.

3) P. P. Vaidyanathan: Multirate Systems and Fil-

もつ帯域分離フィルタを設計すれば ，全体の分析

4) 高沢剛史, 阿部正英, 川又政征: 低折り返し 雑システムは表 2の仕様を満足できることが分かる．

音で 所望周波数特性を 実現するフィル タバン

図 7は ，以下に示され るように分析シ ステムのク, 計測自動制御学会東北支部第 215 回研究集

ter Banks, Prentice-Hall (1993)

会講演資料, 215-7 (2004)

仕様の変更にも対応できる．もし 遅延時間が 10 ms以内に制限されれば ，帯域分離フィルタの遅延の

5) 高沢剛史, 阿部正英, 川又政征: 非最大間引き

条件は kd ≤ 5となる．あるいは ，もし 分析シ ステ

木構造フィルタバン クに基づく 1/2オクターブ

ムにおいて最も低域から 2番目のフィルタの中心周

分割マルチレベルフィルタの設計, 電子情報通

波数が 250 Hzであることが 要求されれば ，5レ ベ

信学会技術研究報告, EA2004-42 (2004)

ルの木構造が 必要になり遅延の条件は kd ≤ 5とな
る．し かし ながら ，図 7から ，ど ちらの場合にお6) 高沢剛史: 非最大間引きフィル タバン クを 用

いても MSAの仕様は満足されないことが 分かる．

いたマルチレ ベルフィル タに 関する研究, 修士論文, 東北大学大学院工学研究科電子工学専

6.

攻 (2005)

むすび

反復最小 2 乗法に 基づ く設計アルゴ リズ ムを 用

7) H. Xu, W.-S. Lu and A. Antoniou: Eﬃcient
iterative design method for cosine-modulated

いて非最大間引きフィルタバン クを設計し ，新たQMF banks, IEEE Trans. Signal Processing,に 定義された 3 つの尺度によりその性能を評価し44-7, 1657/1668 (1996)

た．この結果により，フィルタバンクの性能と目的関数における重みパラ メータの関係を示し た．更8) M. Harteneck, S. Weiss and R. W. Stewart: De-に ，フィルタバン クの規定された設計仕様に基づ

sign of near perfect reconstruction oversampled

き，フィルタの次数と遅延の様々な組合せに対す

ﬁlter banks for subband adaptive ﬁlters, IEEEる性能の限界を明らかにし た．この結果から ，反Trans. Circuits Syst. II, 46-8, 1081/1085 (1999)

復アルゴ リズムを用いて設計された分析システム– 10 –