計測自動制御学会東北支部 第 294 回研究集会 (2015.5.29)
資料番号 294-10

複数のリセット則を伴うリセットシステムの安定解析
Stability analysis of reset system with multiple reset laws
○佐藤哲朗，佐藤淳○ Tetsuro Sato，Atsushi Satoh岩手大学

Iwate University
キーワード : リセットシステム,LMI アプローチ, ハイブリッドシステム
連絡先 : 〒 020-8551 岩手県盛岡市上田 4-3-5
岩手大学大学院 工学研究科 機械システム工学専攻
佐藤1.

淳，Tel: 019-621-6404，E-mail: satsushi@iwate-u.ac.jp

諸言バ 5)6) などさらなる応用がみられる．

リセットシステムは連続的なダイナミクスと，離散的なダイナミクスとを併せ持つことから，ハイブリッドシステムの一種に位置づけられる．
リセットシステムの振る舞いとしては，通常は連続的な遷移 (フロー) しているが，状態量がある条件を満たすとき，リセットというイベントに伴う状態の不連続な遷移 (ジャンプ) が発生する．実際の物理例としてはバウンドするボールなど，状態が瞬間的に変化するような物体の衝突現象をリセットシステムとしてみなすことができる．
また，既存の研究として，Baker et al.1) によってリセットシステムに関するリアプノフベースでの初めての安定解析が，Nesic et al.2) によりリセットシステムの L2 安定，および指数安定性が示されている．また，Satoh.4) によって LMIアプローチによる指数安定性の十分条件が示されている．さらにリセットシステムはリセット

上で述べたような結果は全て状態空間内において，不連続な遷移が発生する集合であるジャンプセットが 1 つであり，それを伴うリセット則も 1 つであるようなシステムが対象とされていた．しかしながら，リセット動作を伴う制御器であるリセットコントローラを含むシステムに対し，さらにリセットコントローラをフィードバック結合していく場合や，リセットシステムをリセットオブザーバによって状態を推定するような場合，それぞれのリセットシステムは同期的にリセットが生じ，また同じようにジャンプが発生するとは限らない．この場合，各リセットシステムはそれぞれのリセット則に従っており，システム全体としては複数のリセット則が存在していると考えることができる．これらに既存の結果を適応させるとき，プラントとオブザーバやコントローラが常に同期的にリセットする必要があり，この仮定は制約に厳しい．

動作を含むオブザーバであるリセットオブザー–1–

そこで本論文では Nesic et al2) の結果に基づき，その拡張として複数のリセット則を伴うリτ̇ = 1,ẋ = Ax + Bd,
τ + = 0,x+ = Ar x,
y = Cx

セットシステムの指数安定条件を示す．また，得られた条件に基づき，LMI アプローチによる十分条件を示す．
本論文中において，行列 A に対して行列の補集合を Ā，行列の転置を AT ，行列の全ての固有値の集合を eig(A) と表記する．また行列A(n × n) の要素を aij とした時，aij = 0(i ̸= j)
で aii が正方行列である正方のブロック行列をdiag[a11 , a22 , · · · , ann ] と表記する．

導入

2.1

線形リセットシステム(2)

この操作により x ∈ J である場合でも，τ >=ρの関係を満たしていない限りジャンプは発生しないことに注意する．

3.

問題設定

ムとして m 個持つ次の (3) 式の場合を考える．

線形リセットシステムの状態方程式は次のようである．

if x ∈ F,
if x ∈ J ,(1)x ∈ Rn であるものとする．ここで，A はフロー行列，Ar はジャンプ行列と呼ぶ．

F, J は適当な状態空間の部分集合で，F をフ合，一方 J をジャンプセットと呼び，状態の不ẋ1 = A1 x1 + B1 d1 ,x+
1 = Ar1 x,..
.

if x1 ∈ F1 ,if x1 ∈ J1 ,..
.

ẋm = Am xm + Bm dm ,x+m = Arm x,

if xm ∈ Fm ,if xm ∈ Jm ,され，それぞれのジャンプセット Ji は共通する部分を持ち得るとする．
このようなシステムは個々のリセットシステムの併合系として次のように表される．

ẋ = Ax + Bd,
x+ = AR1 x,
x+ = AR2 x,..
.

連続な遷移が発生する集合である．その和集合

F ∪ J は状態空間のすべてを覆うものとする．
F, J はそれぞれ閉集合で，フローセットとジャンプセットは境界だけを共有しているものとする．また，x = 0 はこのシステムの平衡点の一つである．

時間正則化

リセットシステムには有限時間でリセット間隔がゼロに収束し，リセット回数が発散してしまうゼノ解や，ジャンプのみが連続的に発生す(3)

各サブシステムのフローセットはそのジャンプセットの補集合 J¯i によって Fi = cl(J¯i ) と表ローセットと呼び，状態が連続的に遷移する集2.2if x ∈ J and τ >= ρ,(1) 式のようなリセットシステムをサブシステ

2.

ẋ = Ax + Bd,
x+ = Ar x,
y = Cx

if x ∈ F or τ <= ρ,if x ∈ F̂,if x ∈ Jˆ1 ,if x ∈ Jˆ2 ,..
.

(4)

この時 x = [x1 , · · · , xm ]T とし，F̂, Jˆj は Jiに依存して決まる．また，ARj もそれぞれのジャンプ行列 Ari に依存して決まる．Jˆj の個数はそm∑m!の組み合わせの数 β =となる ∗ ．
i!(m − i)!
i=1
F̂ と Jˆj は次のように定義される．
(n)()∩∩∩F̂ := clJ¯i , Jˆj := clJiJ¯i(5)i=1i∈Bji∈B̄jる離散解が存在する．このような解を取り除く

ここで Bj は Ji の添え字集合で，Bj ⊆ A，手法の一つとして時間正則化が Zaccarian et al.3)

A := {1, · · · , m}，∀ j = 1, · · · , β である．また，によって示されている．

Bj の要素は次のように決定する．

(1) 式を時間正則化したシステムは次のように表せる．ただし ρ > 0 とする．

∗ ˆ
Jj の中には空集合となるものが存在し得ることに注

意する

–2–

1<=j <
= m の時，A の要素から 1 つ選択し，4.

これを要素とする集合を Bj とする．

m+1 <=j<= m + m C2 の時，A の要素から 2つ選択し，これを要素とする集合を Bj とする．
..
.
∑m−1∑< < mr=1 m Cr + 1 = j =r=1 m Cr の時，A の要素から m 個選択し，これを要素とする集合をBj とする．
例として m = 3 の場合を考える．各サブシス
テムのジャンプセットは J1 , J2 , J3 であり，併合系のジャンプセット Jˆj の数は β = 7 だけ存在し指数安定条件

システム (6) 式の x = 0 の指数安定性について考える．以下の仮定 1 は Nesic et al.2) のAssumption 1 において内部安定性を議論するため y = d = 0 とおき，複数のジャンプセットの場合に拡張したものである．
仮定 1
システム (6) 式が与えられ，ηj ∈ (0, 1) と正数

λk (k = 1, · · · , 4) が存在し正定関数 V (·) : Rn →R>は以下の (7) 式を満たすものとする．
=0得る．また m = 3 なので，A = {1, 2, 3} であり，(5) 式より併合系のフローセット F̂ = J¯1 ∩J¯2 ∩J¯32
λ1 |x|2 <= V (x) <= λ2 |x| ,(7a)⟨∇V (x), Ax⟩ <= λ3 V (x),∀x, (7b)を定義できる．添え字集合 Bj と Jˆj を以下の⟨∇V (x), Ax⟩ <= −λ4 V (x),Table .1 に記す．

V (ARj x) <= ηj V (x),Table 1j1
234
567Bj
[1]
[2]
[3]
[1,2]
[1,3]
[2,3]
[1,2,3]

添え字集合 (m = 3)

ˆ( Jj)
cl(J1 ∩ J¯2 ∩ J¯3 )cl(J2 ∩ J¯1 ∩ J¯3 )cl(J3 ∩ J¯1 ∩ J¯2 )cl(J1 ∩ J2 ∩ J¯3 )cl(J1 ∩ J3 ∩ J¯2 )cl(J2 ∩ J3 ∩ J¯1 )cl J1 ∩ J2 ∩ J3

∀x ∈ F , (7c)∀x ∈ Ĵj , (j = 1, · · · , β) (7d)ARjdiag[Ar1 , I, I]
diag[I, Ar2 , I]diag[I, I, Ar3 ]diag[Ar1 , Ar2 , I]diag[Ar1 , I, Ar3 ]diag[I, Ar2 , Ar3 ]diag[Ar1 , Ar2 , Ar3 ](4) 式で表されるシステムにおいて，リセット

上記，仮定 1 の正定関数 V (x) は (7c) 式よりフローセット内で状態軌道に沿った傾きは負であり，(7d) 式より ηj ∈ (0, 1) であることからジャンプによっても状態は減少する．このことから正定関数 V (x) はシステム (6) 式のリアプノフ関数に相当するものである．
定理 1

発生タイミングが全てのリセットシステムにお仮定 1 を満たすような V (·) が存在するならば，いて同期している場合は既存の結果 2)4) に対応

時間正則化を伴うシステム (6) 式の x ダイナミする．

クスの原点は大域的指数安定である．

以上から複数のリセット則を伴うリセットシ

すなわち，どのような x(0) に対しても |x(t)| <=ステムは次のように 1 つのフロー方程式と β 個

c|x(0)| exp(−λt)，∀t >= 0 が成り立つような正数のジャンプ方程式より表される．

c, λ が存在する．

ẋ = Ax,x+ = ARj x,

if x ∈ F̂,if x ∈ Jˆj(6)A ∈ Rn×n , ARj ∈ Rn×n とし，A はフロー行列，ARj はジャンプ行列である．また，x = 0はこのシステムの平衡点の一つである．
以後，(6) 式の F̂, Jˆj のことを単にフローセッ

証明
以下に続く証明は，Nesic et al.2) の T heorem 1の証明を y = d = 0 としたものにほぼ対応する
為，複数のジャンプセットに対応させた部分以外に関しては省略する．
関数 W (·, ·) : Rn × R>
→ R>
を以下のよう=0=0

ト，ジャンプセットと呼ぶことにする．に定義する．ただし，L > 0 である．

W (x, τ ) := exp(−L min{τ, ρ})V (x)–3–(8)

t<= 0 において，全ての x に対して W (x, τ ) がここで Mi は，その固有値に正のものと負のも非増加であることを示す．x ∈ F または τ <=ρの時，(7b),(7c) 式より，W (x, τ ) は非増加であのを持つ non-def inite な行列であるとする．またこの時フローセット F と Jˆj は以下のようにることが示せる．

定義できる．

次にジャンプによる W の変化を考える．まず，x ∈ Jˆ1 の時を考える．(7d) 式を使う事で，F以下の関係が成り立つ．

W (AR1 x, 0) <= η1 exp(Lρ)W (x, τ )∗ρ<= ρ1 の関係を得る．

exp(Lρ) <=1
η1log

ρ <=Jˆi =(9)

ρ を η1 exp(Lρ) <= 1 となるよう選択し，以下の={k cl( n∩J¯k,(13a)k=1)}(k cl∩Jk∩J¯k)
k∈B̄jk∈Bj, (13b)定理 2システム (6) 式, 並びに (13) 式を考える．あるτFi ,τJj i >= 0 について以下の (14) 式を満たす P =( )1
η1= ρ∗1

P T > 0 が存在するならば，仮定 1 を満たすリ
(10)

L
ˆ
同様に x ∈ Jj (j = 2, · · · , β) の場合で ρ∗j を導き，∗ρ∗min = min{ρ∗1 , · · · , ρ∗β } とし，ρ を ρ <= ρmin をアプノフ関数 V (x) := xT P x が存在する．
n∑
AT P + P A +τFi Mi < 0,(14a)i=1満たすように選択する．この時，以下の関係がATRj P ARj − P −成り立つ．

∑τJj i Mii∈Bj+W (AR1 x, 0) <= W (x, τ ),∀x ∈ Jˆ1 and τ >=ρ∑τJj i Mi < 0(14b)i∈B̄j(11)状態が Jˆ1 からジャンプするとき，W (x, τ ) が非増加であることが得られる．x ∈ Jˆj (j = 2, · · · , β)証明の場合に関しても同様の関係が成り立ち，状態n∪がJi からジャンプするとき，W (x, τ ) が非下の証明に関しては，Satoh.4) の Lemma 1 の同i=1増加であることが得られ，t <= 0 において，全ての x に対して W は非増加であるといえる．
この後，(7a),(7c),(8) 式を用い |x| の指数上界を導出する

定理 2 が仮定 1 の各式を満たすことを示す．以様の流れで示せるため，概要のみを示す．

(7a) 式について
P の正定性より，(7a) 式が成立する．
(7b) 式について(14a) 式に左右から xT , x をかける．
n∑−τFi xT Mi xxT (AT P + P A)x = V̇ (x) <=i=1

5. LMI アプローチによる指数安定性の十分条件

x ∈ F ，x ∈n∪(15)
Ji を満たす x についてそれぞ

i=1

線形行列不等式 (LMI) を用いて，定義 1 で示したリアプノフ関数 V (x) が存在するための十分条件を示す．
以下では，ジャンプセット Ji が次のように定義される場合について考える．

Ji = {x ∈ Rn |xT Mi x <= 0}

れ考えることで (7b) 式が成立する．

(7c) 式についてx ∈ F を満たす x について，(15) 式が成り立つとき，以下の (16) 式を満たす ϵ > 0 が存在する．

(12)

xT (AT P + P A)x +n∑2τFi xT Mi x <= −ϵ|x|i=1(16)–4–(7a),(16) 式より以下を得る．
n∑ϵxT (AT P + P A)x + V (x) <−τFi xT Mi x=λ2
i=1(17)

リセットオブザーバは以下のように与える．
x̂˙ p = (Ap + Gp Cp )x̂p + Bp up − Gp yp ,if (x̂p , yp ) ∈ Fo+x̂p = (Ar + Gr Cp )x̂p + Br ur − Gr yp ,if (x̂p , yp ) ∈ Jo

ここで λ4 := λϵ2 とおくと，ϵ > 0, λ2 > 0 よŷp = Cp x̂p ,e = xp − x̂p

り λ4 > 0 となる．x ∈ F を満たす全ての x について，(7c) 式が成立する．

(7d) 式についてx ∈ Jˆj を満たす x について考える．(14b) 式(21)(20)，(21) 式の状態方程式の併合系は以下のようである．ただし (6) 式に合わせるため up , ur =i∈B̄jϵ
ここで η := 1 − λ1 < 1 とおけば，(19) 式の右0 とした．この時 m = 2, β = 3 である．
[]
Ap∅npẋ =x = Ax−Gp Cp Ap + Gp Cp[]A∅
rx+ =x = AR1 x∅ I np][I∅nnppx = AR2 x (22)x+ =−Gr Cp Ar + Gr Cp[]A∅
rnpx+ =x = AR3 x−Gr Cp Ar + Gr Cp[]Cp∅lp ×npy=x = Cx
∅lp ×np
Cp

辺が負定であることから，(7d) 式が成立する．

ここで x = [xp xo ]T とし Fo と Jo は以下の場合の左右から xT , x をかけ，その時以下の (18) 式を満たす ϵ > 0 が存在する．
∑xT ATRj P ARj x − xT P x −τJj i xT Mi x+∑i∈Bj2
τJj i xT Mi x <= −ϵ|x| (18)i∈B̄j(7a) 式, (18) 式より，
(ϵ ) Tx PxxT ATRj P ARj x − 1 −λ1∑∑<τJj i xT Mi x −τJj i xT Mi x (19)
=i∈Bj

6.

を考える．

数値例]
Mp Mp2
M=TMp2
Mp3
T
Fo := {x|x C T M Cx >= 0}TT
Jo := {x|x C M Cx <= 0}定理 2 に基づく安定解析の例を示す．以下のFig .1 のブロック線図で表されるシステムを考える．

Fig. 1[(23)以上より M1 , M2 ,J1 , J2 次のようである．
[]
CpT Mp Cp ∅M1 =, M2 = C T M C∅∅(24)
J1 := {x|xT M1 x <= 0}
J2 := {x|xT M2 x <= 0}定理 2 より F̂, Jˆj (j = {1, 2, 3}) が求まる．
F̂ = cl(J¯1 ∩ J¯2 ), Jˆ1 = cl(J1 ∩ J¯2 ),(25)
Jˆ2 = cl(J2 ∩ J¯1 ), Jˆ3 = cl(J1 ∩ J2 )線形リセットシステムに対するリセットオブザーバ

プラントであるリセットシステムを以下のように与える．

ẋp = Ap xp + Bp up , if xp ∈ Fp
if xp ∈ Jpx+
p = Ar xp + Br ur ,yp = Cp xp ,Fp := {xp : xTp CpT Mp Cp xp >= 0}
TT
Jp := {xp : xp Cp Mp Cp xp <= 0}(20)(20),(21),(25) 式の各行列を以下のように与える場合を考える．
[]−7.9867 9.1867
Ap =,−8.9867 7.1867
[]
[]
1 0.2
1 0
Cp =
, Ar =,
1.4 1.1
0 0–5–

[][]
0 1
0.6752 −0.4061
Mp =, Mp2 =,1 0−0.4061 0.2669][−0.1485 0.0707
Mp3 =,0.0707 −0.1492[]
0.2090 5.0297
Gp =,5.1142 −7.7033[]−1.2552 0.1888
Gr =0.1688 −0.0862

e1

1-1-2

00.2

0.4

00.2

0.4

0.6

0.8

10.6

0.8

1e21

このシステムに対して P ,τFi , τJj i についての LMI0-1である (14) 式を解くと以下のように求められた．

2.5412 −1.9534 −0.2474 −0.0372
−1.9534 2.4812
0.0521 −0.1698


P =
−0.2474 0.0521
0.2200 −0.0043

−0.0372 −0.1698 −0.0043

0-2time[s]Fig. 37.

0.2100推定誤差

結言

本研究では，複数のリセット則を伴うリセッτF1 = 0.0311, τF2 = 0.0330, τJ11 = 1.9450,
τJ12 = 1.3066, τJ21 = 0.4759, τJ22 = 0.2581,
τJ31 = 0.4977, τJ32 = 0.2790

トシステムに関するリアプノフベースでの指数安定条件を導出した．また LMI アプローチによまた eig(P ) = {0.1175,0.2084,0.6490,4.4775}

る指数安定性の十分条件を導出した．
今後は結果の L2 安定性への拡張，導出したであり，P > 0 であることがわかる．システム

条件に基づく制御系の設計を考えていきたい．

x p (1)0

参考文献-2plantreset observer-400.20.4

0.60.812) D. Nesic, A. R. Teel and Zaccarian, On necessary and sufficient conditions for exponential
and L2 stability of planer reset systems, Proc.
of ACC2008, (2008), pp.4140-4145.

10x p (2)1) O. Beker, C. V. Hollot, Y. Chait, and H. Han,
Fundamental properies of reset control systems, Automatica, vol.40, pp.905-915, 2004.

-1-2-3-400.20.4

0.60.8

1time[s]Fig. 2

初期値応答(22) 式について xp (0) = [1.1 − 0.8]T , x̂p (0) =[0 0]T , τ (0) = 0, ρ = 0.05[s] とした初期値応答
は Fig .2 のようになり，状態が平衡点 xp = 0 に収束していることが確認できる．なお推定誤差

3) L. Zaccarian., D. Nesic, and A. R. Teel, First
order reset elements and the Clegg integrator
revisited, Proc. of ACC2005, (2005), pp. 563568.
4) A. Satoh, Synthesis of Continuous-time Linear Reset Feedback System with L2 Stability,
Proc. of SICE2010, (2010), pp. 1100-1105.
5) 伊藤陽介, 佐藤淳, 線形リセットオブザーバの設計及び実装, 第 55 回自動制御連合講演会, 同講演論文集 (CD-ROM)2D405:p11761180p (2012) 78-81.
6) D.Paesa, C.Franco, S.Llorente, G.LopezNicolas, C.Sagues,Reset observers applied toMIMO systems,Journal of Process Control
21(2010) 613-619. ,も Fig .3 に示すのように収束している．

–6–