計軸制御学会東北支部第174回研究集会（1998息8）
資料番号174−14

非可微分関数を含むバックステッビング法

Backstepplngwithnonsmoothfunction白
井前 譲＊，○尾形 秀規♯＊
JoeImae＊， O HidekiOgata＝♯岩手大学工学部，＊＊岩手大学大学院

FacultyofEnglneering，IwateUniversity
キーワード：非可微分関数，パックスチッビング，リアプノブ関数，Clarkeの一般化微係数，関数近似
連絡先：〒020盛岡市上田4・昌一5，岩手大学工学部機械工学科
井前 譲Tbl．：019（621）6401，Email：jimae＠iwateru，aC．jp

1．緒言

2．バックステツビング法

近年，不確定要素を含む非線形システム

まず微分可能な場合のバックステッビンに対する設計手法の開発において，バックグ法について説明する．バックステッビン

スチッビング法が注目を集めている．バッグ法とは対象システム

クスチッビング法とは，ある種の単純な制如

御器構成手順を，対象システムに繰り返し適用することにより安定化制御半を設計す‡る手法である〔2章に詳述〕．ところで，例′〔叩）＝0，J∈月咋，γ∈月1

えば飽和要素を含む場合，システムの動特性は急に変化する．このようなシステムに対してバックスチッビング法は一般には適（1）を漸近安定させる制御器〟＝V〔J，γ〕を求めるとき，システム（1）の部分システム用できない．最近，Kokotovicら1）はCl且rke

丘＝′（∫，可〔2）の一般化方向微係数を用いて，必ずしも微分可能ではない関数（以後，非可微分関数との制御器封＝〃（∫）とリアプノフ関数打（∫）

いう〕を含む場合のパックステッビング法をにより制御畢甜＝V（J，γ）を構成する手経で提案した．しかし，その制御器設計は複雑ある．

であり，かつ試行錯誤的である．
本論文では新たな非可微分バックステγ

具体的には，システム（1）のリアプノブ閑

却：U（二∫，再を，
ユビング法を提案する．非可微分関数の近似関数を利用することにより比較的簡単な制御器設計法となっているのが特徴である．

嘲り坤）＋三レ一両J〔3）とおき，（3）式の時間微分を負にすることでとおく．このとき，次の条件を満たす場合，次式の制御器を得る．

システム（1）を漸近安定にする制御器〟＝V（J，カが存在する．

v（よ，γ）＝一拍−〃（∫）ト〆（エげ（J，カ（a）r（可は常に正で，〃（0）＝0である．

ー叩）f〟（J，カ（4）（b）咋（和ま常に負である−

ここで，定数斤＞0，かつ（c）（9）式を満たすrOの正値関数可∬〕砕か†三吉 仙勅＋山（舶が存在する．

′（∫，γ）＝′（∫，〝（可）＋ト刷1ん（J，γ）

空知2l仙州i 2（5）

≦一覧（J）（9）3．非可微分バックステツビング法［証明］ システム（1）のリアプノブ関数．r（∫，γ王「（J），〝（J）をLiIX止山腹連続な非U（J，力を（3）式のようにおくと∂U（J，γ）は可微分関数（CO）とする．ここで，「（叫こ紺（J，再⊂抑（小‡0‡

対するClaTkeの一般化勾配郡′（ェ）と一般化＋♭−〃叫】【〔軸（功x‡1‡］

方向微係数咤（∫）を定義する■すなわち肝（∫）は微分できる点では勾配打回を表で与えられる1）．また，U（よ，カの一般化方

し，微分できない点ではその点における勾向微係数を配の集合を表す．また，Uヱ（ェ，γ）＝UO虹カ；爪エ，血巾，カ）愕（可＝げ（∫；′け，〃（瑚）＝m弧∂F（Jげ〔J，〃（J））（6）＝maX∂U（∫，γ） ［黒雲卜10）である，（6〕式が常に負であることは，微分可能な場合の時間微分が常に負であることとおくと（11）式が得られる．に対応する．

Uヱ≦堤＋maXレー〃（可】ト（∫，カ

さて，「（∫），〃〔J）の可微分近似関数（Cl）をそれぞれり（J），項エ）とし，ー如何′（∬，再十肝（J坑（J，ユ井11）

1imト1（∫）＝「回，1imJ小∫）＝函J）ノ→迫

ここで，亘∫，J′）をノ→弧巾，γ）＝一方（J，γ）レー〟回卜坤，γ）とする．このとき，次の定理を得る．

叫ニ（J）′い，叶−り（∫）ん（∫・カ（12）［定理］あるノに対し，ある定数y＞0，∂＞0を

咋m孤】叩一叩叫

とおく・ただし現時点では，∬（J，γ），（7）

且（∫，γ）はいずれも決定されていないとする．
（12）式を（11）式に代入して，

拍maxl小卜∂由）（8）

ユ亡′抽）≦愕一帖ルー舶】

4．例題
非可微分な2次元システムをとりあげる．

ーL什〟（可］坤，力叫州＋叫−〃（J）肝（J，〃（叫（19）‡＋柚一両】2匝可＋小一由）皿（J，再ここに，（13）を得る．ここで，（13）式の第4項に相加．

．仲，可＝∫ユ＋J＋21可−l打l（2〔））次に，リアプノフ関数が可微分な場合と非可微分な場合とに分けて検討する．

相乗平均を適用して，（9）式を用いると叫一両可lけ（村仲朝（1）F（ユ）＝Jユとする可微分な場合

2≦トリ巾）】一1榊）（14〕まず，システム（20）を漸近安定きせる〃（J）を求め・′￠，〃（瑚・堤（可などを計であり，また，g（∫，∫）を算する．

γ−〃（J）γ≠甘匝）

且（∫，∫）＝∫＝〟（∫）〟回＝maXい，叫可・4J‡（21）′い，〟（棚＝一可l＋l叫

（22）

（15）

とおくと

∂r（J）＝コ∫h刷恥由軒瀬兢（J，γ）

愕（可＝−2∫ヱ（叫湘（16）である・したがって，片〔J，γ）をん（∫，γ）
l 恥再三・両＋鴫（Jフγ）（17）

とおくとき，（14）式，（16）式，（17）式より∫＞O（13）式を変形して，

J＝02

二一−−＝一三‡J＜0（1郎叫≦拍一言卜耐］

ここで・F（可は可微分なので㌧（ェ）＝F（J）となる．これより，制御器（12）を用いるときシステム（1）は漸近安定であることが言えとする・また近似隙数朽（可∈Clを次のように構成する（図1）．

る．
（証明終了）（24）

2．ーユ＋4∫．∬≧A

Rokobvicらの方法に比べ比較的簡単な手順をとりながらも同様な性能傾向を示し朽（∫）＝ており興味深い．

2 ロトA・）一見・≦∫≦Å（25）0∫≦一見−
0．15
0．4

ただし，A→0（ノ→叫であり，0．苫

0．3

A

0．25

A●＝＿L

皿ヱl＋且

ヨ． 0．15
0．1

したがって，maX0．岱

○ ■．缶r二（J）−∂「（∫）」＝0．皿1

4．彷m（6O

吼IJ

ma中二回￣∂〟回≦2．5

図1・〃（∫）と朽（可であることにより，町＝0，∂＝2，5 とする．
以上より，本定敷こよりシステム（19）を漸近安定させる制御器亘∫，J小まl 瑚＝可可可片（J，力＝9＋叫l
とおくことにより，1

ユ：！

ー5

15time
図2．状態量（本手法）

巾，γ巨−（9＋71り♭」〃（司＋巧（J）′（J，γトユズん（Jぅ再で与えられる． ここで，参考のため

Kokotovicらの方法により制御器を構成し，Jの初期値を0．4，γの初期値を望月として数値計算による比較を行った（図2，囲3）．

なお．∬（J，再，V（J，J小こ対応する君（現れF（エ，カを以下のように与えた・

和，再三4・5（1・仰＋叩＋榊ヨ

132time＋；（l＋肺ユ回3．状態皇（旺okotovicらの方法）

F（J，γ）＝一宮（J，γ）♭−〝回］（27）

ここで，且（J，γ）が不連続関数になってい（2）F（可＝l∫‡とする非可微分な場合るために，図6においてチャタリングが現れている．

細分システムを漸近安定させる〃（J）をなお，Eokotovicらの方法では，制御器（21）式のようにおく・また，∂円叫まの構成は極めて阻難と考えられる．
J＞0∂1］

輔∫＝0（28）Jく0となる．ゆえに（22），（28）式より
堤（∫）トト叫1＋l叫が得られる・ここで・凸（∫）∈亡Ⅰは前述と同じとし・近似関数町回∈Clを0．1

D．【6O■▲t石エJ1rl（・T）＝1J】≧Å⊥ J＋2A

図4・r（∬）と（J）（29）

回2とする（囲4）．このとき，m肪恒（小抑叫≦1・5であることにより，町＝1．5とおく．また，（1）の場合と同様に β＝2．5とおく．

以上より，システム（19）を漸近安定させ†る制御器γ匝，γ）は

コ

コd5

15time

図5．状態皇けr∬1＝l刷

J（J）＝印，γ巨3＋71珊瑚）γ−〟（∫）

g（∫，再＝面相い≠抽）け−J巾）lO∫＝〃（∫）（：1（））

とおくことにより，（12）式で与えられる．

ここで，（1）の場合と同様の数値計算を行い，状態皇∫．∫を園5に，操作皇vな．力を図8に示す．

1：≧3time

囲6．操作量（rr」rl＝l封）

また実用面からはチャタリング現象の回避が望まLく，一つの方法として，（30）式を

γ−〃（カ肯（重力＝1．51伽叫

lγ−〃（カトββ：十分小さい定数（31）

15

13；！

とおくことによって，チャタリング現象をtime回避することができる（図7，図8〕．

図7．状態量（チャタリング回避）
5．緒言
新たな非可微分パックステッビング法を提案した．そしてKokotovicらの方法では制御器を見つけることが極めて困難な例題を取り上げ本手法を適用Lた．その結果，た．

耳．．さ＞

本手法がより有効であることを明らかにしなお，チャタリング現象回避については今後の課題としたい．
1

参考文献王ヨ4time1）R．A．FreemanandP．VKokotovic，
Back占tePpingI〕e白ignwithNon呂mOOth
Nonlinearitie8，NonlearControISy邑tem8
De占ign1995，TahoeCity，1995

図8．操作量（チャタリング回避〕5