計測自動制御学会東北支部第163国研究集会（1996■10▲19）
資料番号163−4離散時間系の2ディスク混合感度問題の一解法
A SolutiontoTwoDiskMixed SensitivityProbremof
Discrete−Time System○北岡信洋■，渡部慶ニヰ，山田功＊，斎藤周次−
ON．Kitaoka♯，K．Wata・nabe＊，K．Yar111ada．＊，S．Sait（）ll♯＊山形大学＊YamagataUniversity

キ，ワード：離散時間系（discrete−tinle■sy畠tem），混合感度問題（twodiskt・yI）el11ixe（JsellSit・ivit．yrobrem），ロバスト制御（roIJtlSt・〔Onf・1・Ol）

連絡先：〒992 米沢市城南4−3−16山形大学大学院工学研究科電子情報二L苧専攻渡部研究室
北岡信洋，恥1・＝（0238）26−3326，Fax∴（0238）24−2て陀 E−】ma・il‥皿9占018鮎ie・yヱ．yamagata−u．aC．jp

場合、2つの点者考えなくてはならない。一1． はじめにつは、目標追従性を良くしたり外乱の影響を近年、マイクロプロセッサの発達により、減らすために、感度を低くする必要があるこ

ディジタル型の制御装置が用いられることがと。もう・−−一つは、モデル誤差があっても制御多くなってきている。ディジタル型の制御装置

系を安定にするために、相補感度を低くする

は、設定した周期で測定値を二晩り込み（サン必要があるということである。しかし感度とプリング）、計算横内で操作量を決定するとい相補感度の間にはトレードオフか存在し、両うプロセスであるため、連続時間系の制御装者を共に小さくする当引ま不可能である。そこ

置と異なり、断続的な動作をするものとなる。

で、感度関数・与てヱ）、相補感度関数r（ヱ）のそ

この時、連続時間系から離散時間系への変れぞれに重み関数町ゴ（ヱ）、町止りを導入し、換か必要であり、これはz変換や状態方程式か
IlⅥ㌧（ニ）・∫〔ヱ）帖＜1と＝竹（ニ）r（ヱ）‖00＜1ら求められる。

を同時に満たす事のできる制御器を求める2離散時間で記述された制御対象に対してディスク混合感度問題が検討されてきた。

制御系を設計する方法はいろいろあるが、不本発表では、以上のような理由により、離確実さを持たない制御対象は基本的に存在し散時間系における2ディスク混合感度問題のない事から、モデル誤差を考慮にいれた制御解法か必要であると考え、〜ロバスト制御〜が重要視されている。このような事を考慮にいれて制御系の設計を行う−1一

そのu−・解法を示す。

2．離散時間系への変換という状態方程式か得られる。以下では占を省
略して連続時間系でのプラントの状態方程式がユ車＋1）＝■4d坤）＋むJ・叶り叫）＝A坤）＋h（り ＝A（乃X可，上申Xl）（（5）

訂い）＝Ⅲ車〕：亡（1xm）

訂（り＝亡坤）という形で表記する事にする。ただし（1）で与えられているとする。（1）式の状態方程式

Ad＝仁 A古を解くと占。＝ぷe坤一丁）むdT：む。い∫一Xl〕：AJ（T才′XTl）（6）である。

㈱＝eA叫＋上土e榊叫0）dT〔2）

ここで、ダ（占）＝￡【JH）］というラプラス変が得られる。これを離散時間系に変換する事換を定義すると、遅れ⊥を持つ場合の変換はを考える。

￡［．f（ト上）］＝坤）f・￣止サンプリング周期を∂とする。

離散時間系におけるプラントへの人力は、（7）となる。（7）式においてヱ＝e止とおき、人力

Fig．1のようにインパルスを0次ホールドを通可z）をした形とする。

可g）＝叫0）＋可1）ヱ￣1＋可2）z￣2＋．‥（8）同様に、状態∬（z）、出力計（ご）をそれぞれ
諾（z）＝∬（0トト可1）ヱ￣1＋諾（2Jヱ￣2＋．．．
訂（z）＝扉0）＋封（1）‡￣1＋y（2〕z叫コ＋…

（9）とする。〔9）式より、離散時間系で各時刻での状態方程式を考えると1｝（り ＝ 4挿（0）＋むが上（0）∂2 ∂ ・・・t可2）＝ Adユ‥（1）＋毎可1）（10）

昔（托＋1）＝ AdJ車）＋占J・可可Fig．1離散時間系における入力
Fig．1において、入力叫）はサンプリング周であり、（1叫式の各式の両辺にご■町を掛け、全期占の間隔で一定である事を考慮にいれると、ての式を足し合わせると（2）式より可1）＋ご（2）z￣l＋．．．

項）＝eA㌔（0）＋ぷe坤￣巾か可0）＝Ad（可0）＋可1）ヱ￣1＋…）叫占）＝eA叫∂けぷeA（占￣丁）占か可占）（3〕十転（w（0）＋可1）z■1＋…）となる。（11）式において、左辺に‡エビ（0トz諾（0）とでき、（3）式をまとめるとを加えて整理すると

諾（盲11∂）＝Ad坤占）＋♭泄〔捕）呈巾∂）＝C坤占）（4）

Z苫（z）一之ご（0）＝4挿（z）＋ム抑〔ニ）（12〕

2山（11）

茸（0）＝0とすると、（12）式はg∬（z）＝Ad諾（g）＋毎車）（13）となり、〔5）式より封（z）＝膵（ヱ）であるから、このプラントの伝達関数はFig．2 直列補償器を含む制御系＝C（ヱトAd）￣1占d（14）Fig．2より、直列補償詣の状態方程式はと求められる。
ユ・諭斗1）＝ 諾占〔り＋品目

ここでプラントに対する人力がFig．1の形＝ ∬古川＋dトヱ巾）Jで与えられていることを考えると、人力は1＝ j：古（り一旺申）

つ遅れていると考えられるので、（14）式に遅れ分才一1を加えた空也（18）と表せ、拡大制御対象は＝亡いトAd）￣l占dZ￣l ご ・（15）

叫こ】

ニ申＋1）

▲4亡J O

右車＋1）

一声（、・1J車）1J￡（i）が実際のプラントとなり、その状態方程式はほ州＋輌￣1）（16）・）【巾hl）

巾］≡．i二吾＋叫才一L）∴4（いよ＋1）xいけ川川いけ1Jxl）となる。

（19）

距［ 守撞］

この系に対するフィードバック系の感度を∫（ヱ）、相補感度をT（ヱ）とし、∫、rに対する＝可1封恒＋川≡≡C∬

重み関数をⅥ与（z）、Ⅵ与（ヱ）とする。この時、（20）となる。（■19）式において、j一占fを安定にす

IIWg（z）∫（g）‖00＜1、一Il町（ヱ）r（ヱ〕‖∞＜1をる状態フィードバック別は同時に満たす制御系の構成を考える。

帖一［′叫ト叫）｝

3．直列補償器を含む制御系の設である。ここで、（21）式では、人力を現在の計人力とするために、右辺の状態を1つ進めて﹇﹈﹈

l＝町〔z）利之）ll00く1を満たすために感度いる。〔21）式に（19）式を代入するとユ、（り■・■−1∬︵亡り■上r′rJ毎0一毎﹈トて勒（g）＝盲室で与えたとすると、直列補償

ト．1f坤）＝−いム］

リング周期が∂であることから、これを利用し0 1の重みに穏分器眉用いることにする。サンプ器Gゴ（ヱ）は−〔．rAd一ム叫項）1か占（り−J転亡小」り
占G5（ヱ）＝エー1一九項）−ム揖〔り−Jむd叶ト1）（17）（22）と与えられる。これにより制御系はFig．2のよとなる。

うにおける。

−3］

次に、諾の値が正確にはわからない場合がタ．fを求める際に状態フィードバックパラメー多い事から、オブザーバは以下のような手法を用いる。

軸（f＋1）＝Ad瑚（り＋抽項−1）

巨トA＋占月 （mxm）（26）＋たi訂一仁和（り）（23）＝（Ad一加）軸（りであるとする。

＋ふdて申エ1）＋軸（り制御対象が零点を持たない場合にはを用いる。

（ごコー2だ￣謝cos卸ニ＋仁一血j）号
rIl：仁UeTl

以上のフィードバックとオブザーバをまとlヱトA＋刷＝めると、制御系はFig」‡で与えられる。

（ェ2←2e￣謝cos講占ニ＋e￣血バ）半x（エーピ叫≠斤）

nl：Odd（27）を満たすように極を設定する。これは連続時間系においてβ2十1花山m占＋u几2を用いて設計する手法を離散時間系に拡張したものである。
制御対象が零点を持つ場合、安定零点（α＋）
ならば、同じ極を持つように設定し、不安定
Fig．3 制御系零点（α−）ならば、離散時間系におけるインナ関数がこれを整理すると、Fig．4のような制御系

ヱ＋αヱ＋α ヱ

エー1＋αヱ＋吉 什■が得られる。

●（2呂）である事を考慮にいれ（ヱ2−2E￣卸co甥占ニ＋「凋項）寺X（ヱ＋土）（ヱ＋叫）
lヱトA＋川＝T−：仁■U仁‖．

（ヱ2−2e￣訝cos：郡ニ＋「√玩dヴX〔ヱーe￣山mバ）（ニ十土）（ヱ＋叫）

r：OdrJ（29）

Fig．4 制御系を満たすように極を設定する。ただし安定な場合、た＝0とおけるため、感度と丁・＝丁和一（〃捏叩かkrウノg打0）

相補感度はFig，4よりとする。
1＋Cl〔T2fI
lzトAdl】ヱー1

基本的に、周波数が山rに達する前に相補感こト．1．i ￣1占d壬￣1＋J占dヱ￣1度関数Tが減少を始めれば、ロバスト安定に関する設計仕様は満たされることになる。rの折

r（ヱ）＝超崇話−ム占亡α府（乙r−Ad）占dZ￣1

れ点周波数を叫1とすると、はじめは叫．＝山rlヱトj十拍と求められる。

として、設計仕様を調べる。この時各ゲイン

読Tが、Od月と交差する周波数をuTとする0

繰回が0〜〕TまでITlを1に近イ以させておくために、−4−〔30）となっている場合は、叫iを山7「より少し大きくd日とり、設計仕様を確認する。
この作業を設計仕様が満たされるまで繰り返し、制御系を設計する。

不安定な場合、た≠0であり、感度関数と相補感度関数はFig．右より1＋J．ど（ヱトdd＋七亡I￣1占ポ￣l＋Jbdヱ￣1＝トA＋り（：il）

T〔z）＝諾轄詰

Fig．5 設計仕様の確認

さJ−Ad＋七亡−J5占十（ヱー1三上−AJlニトA十占Jl（32）のようになっていれば、設計仕様を満たす制となる。ただし、安定な場合に近づけるため、御器が設計できたことになる。またIlた11か小さくなるように
ユ（A）い（A）l＜1−T十1（A）人（A）＝1

叫A−ん亡）記7＋・入（A）人（A）＝−1
1 可耳戸l入（州＞1l：tこりという条件でたを求める。
また、この場合の状態フィードバックパラメータ．fは、ん＝0の時と同様の方法によって求める。
以上が本発表で提案する、離散時間系におFig．6 設計仕様の確認

ける2ディスク混合感度問題を連続時間系とのようであれば、Uれの値をurより少し小さく同様に解き、制御系を設計する方法である。

とり、もう一度、設計仕様を確認する。Fig．6とは逆に

4．数値例

d8

制御対象
Gl，（占〕＝・中一2）（1＋0．01占）モデル
G l（占）＝（35）

占（占−2）とする。サンプリング周期占＝0．01で離散時間化すると制御対象（0．旧聞ヱ2＋0．1272‡＋0朋購）xlO￣二jGp（ヱ）＝Fig．7 設計仕様の確認

z：ラー2．：憎削ヱ2十1．7ti二i4ヱ＋−0．：1753
（ニi6）

一5−

モデル
G。l（之）■＝（0．1510ヱ＋0．1与20）xlO￣3ヱ2−2．0202ヱ・＋1．0202（37）となる。

（36）、（37）式より、重み関数は㌔−1．96ヱ＋0．961lヰケ（z）＝0．005ヱ＋0．005
占l悔（ヱ）＝

エー1lOIl01l■■l0lq巾叩叶■一再＝＝Jとする。
Fig．9 モデル誤差と重み関数のゲイン制御対象とモデルのゲイン線国はとなり、モデル誤差が重みで抑えられているー■0事がわかる。

■﹁

0

与えられたモデルのパラメータを、離散時−■リ間系に変換するとtq且■tコ≡l︻一．・lミJ＝10202 00．010110．0101〔40）

0．0001

3］
10I

10■

椚■

旺∴となる。この時の極および零点は

d■巾●○■l■■dJ■■8】

poJ亡＝

Fig．8 制御対象とモデルのゲイン

1．02021．0000］（叫才erロ＝−1．00G7となる。この時のモデル誤差△を離散時間系にである。（4り式より、極が不安定である事か変換したものと、相補感度の重みt竹（z）のゲら、（33）式を用いて極をイン線図はPロJF＝0．9798
0．9999〔42）に移動させる。（ここで、7＝0．0001とした。）

それにより得られるたは（43）となる。
次に、拡大系を考える。（40）式で求めたパ−6−

以上で求めたパラメータをFig．4に代人しラメ一夕より
1A＝0て、感度と相補感度、および与えられた重み−0．03

0 1，02020関数のゲイン線図を描くと、Fig．11となる。

0 0．0101 10＝（44）0．01010．0001

占＝rO O3］■琶一●

それを考慮にいれ、極の一つをゴ蔽＝コ▼i亡一である。（41）式より、不安定零点をもつから、−0・9934で与える。
与えられた重み関数の逆数のゲイン愚図をFig．10に示す。

F壇・11 設計仕様の確認

このゲイン線図より」設計仕様は満たされ■q且■マコ≡血F■

一・ていない事かわかる。ここで前述したように〕陀の値を9・O T・丘叶維eより小さく取ることを考え、5．0丁て誼／占e亡として再度設計イ：ヒ様の確認を行う。
Um＝5・O Tt 可躍eの時、新たに配置する
川I

10■

川l

柑ld巾■t■い■d／■■可極は0．9G47十0．0：i41・f

Fig．10 重み関数（感度と相補感度）の逆数ノ…J′＝のゲイン線図

O．96∠17＋0．0二Ⅰ4山（47）一（】．99：i4

Fig・10より、重み関数Ⅵ与〔ヱ）のゲインがとなる。これにより求められる状態フィ帽ド

Od月と交差する点は10．0γαd／郎亡弱であるのバックパラメータJはで、山花＝9．Orαd／βeCに設定すると、配置す

f＝［−1587・41軌41貼1］（叫る3つの極は0．9364＋0．0597去

poJe＝0，9364＋0．0597ゴである。

以上のパラメータによる各ゲイン線図は（45）

ー0．9934となる。これにより求められる状態フィード
バックパラメー

タJはf＝ト4999・9199・42509■1］（46）である。
「7T

が解ける事が確認できた。
ただし考慮すべき点として、半周朋、つまり告以上の周波数において、各ゲイン線図の百p了−コ苫nF一挙動がおかしくなることが挙げられる。これ
により、この周辺の周波数帯での制御が行えるかどうかは今のところ不明であるので、今後はこのような点についても考慮していきた
いと思う。
川■

1ll

O【叩■Ir■d／■●可参考文献

Fig．12 設計仕様の確認【1］美事 軌原 辰軋近藤 良：基礎ディジ
タル制御，コロナ社となり、今回は設計仕様が満たされていることがわかる。

【2］我妻，連取高橋，山肌極配置に基づく混この時のステップ応答を、Fig．1：主に示す。

合感度問題の一解法．
計測自動制御学会論文集，Vol．ご与2，No旦1）p．13∠15−1：亨与3，1996

＝沌

i沌■

コけ0
叶○＿○†S■mp●lFig．13 ステップ応答
Fig．13より、求めたパラメータにより制御系が安定な動作をしていることがわかる。

5． おわりに
本発表では、離散時間系における2ディスク混合感度問題を、連続時間系と同様の方法で解くための手法を示した。
数値例より、離散時間系においても連続時間系と同様の方法で2ディスク混合感度問題−8−