Weyl 群双有理作用と τ 函数の量子化
量子化された τ 函数の正則性
黒木玄(東北大学大学院理学研究科数学専攻)∗

1. Weyl 群双有理作用と τ 変数の量子化
Noumi-Yamada [2] はべき零 Poisson 代数から Weyl 群双有理作用を構成し, その作用を τ 函数まで拡張した. 筆者は [1] でべき零 Poisson 代数から得られる Weyl 群双有理作用を量子化した. この節ではその量子化を τ 函数まで拡張する.
まず, べき零 Poisson 代数の量子化を導入する.
[aij ]i∈I は対称化可能一般 Cartan 行列 (GCM)) であるとし, それが定める Weyl 群,
C 上の Kac-Moody Lie 代数の下三角部分の普遍展開環, C(q) 上の量子展開環の下三角部分をそれぞれ W = ⟨si |i ∈ I⟩, U − = U (n− ), Uq− = Uq (n− ) と書く. U − と Uq− のChevalley 生成元をどちらも同じ記号 {fi }i∈I で表わす.
e Aeq と書く. それら
U − , Uq− の剰余整域 (零因子を持たない剰余代数) をそれぞれ A,は Noumi-Yamada [2] におけるべき零 Poisson 代数の自然な量子化である. fi のそれ
e の中では Serre 関係式らにおける像も同じ記号 fi で表わすことにする. fi たちは A
eq の中では q-Serre 関係式を満たしている. 以下では簡単のために fi の A,
e Aeq にをAおける像はどれも 0 にならないと仮定することにする (本質的な仮定ではない).
e Aeq は常に Ore 整域になる ([1]). どちら
GCM が有限型またはアフィン型ならば A,e Aeq が Ore 整域になると仮定しておくことにする. 一般に Ore 整でもない場合には A,域 A は自然な分数斜体 Q(A) = { as−1 | a, s ∈ A, s ̸= 0 } を持つ. 分数斜体 Q(A) への群の代数自己同型作用は可換整域の Spec への群の双有理作用の量子版とみなせる.
これが Ore 条件を仮定した理由である.
次に, パラメーター変数と τ 変数を導入しよう.
記号 αi∨ (i ∈ I) から生成される自由 Z 加群を Q∨ と表わし, 記号 Λi (i ∈ I) から生成される自由 Z 加群を P と表わす. それらのあいだの内積 ⟨ , ⟩ : Q∨ × P → Z を∑⟨αi∨ , Λj ⟩ = δij によって定める. αj = i∈I aij Λi とおく. このとき ⟨αi∨ , αj ⟩ = aij が成立する. αi∨ , αi , Λi をそれぞれ単純 coroot, 単純 root, 基本ウェイトと呼ぶ. さらに∑P + = i∈I Z≧0 Λi とおき, その元をドミナント整ウェイトと呼ぶ.
Q∨ , P には Weyl 群が si (h) = h − ⟨h, αi ⟩αi∨ (h ∈ Q∨ ), si (µ) = µ − ⟨αi∨ , µ⟩αi (µ ∈ P )によって自然に作用する. これらの作用は上の内積を保つ.
生成元 αi∨ , τi±1 (i ∈ I) と以下の基本関係式で定義される C 上の代数 (ある種の差分作用素環) を D と表わす:
αi∨ αj∨ = αj∨ αi∨ ,τi τj = τj τi ,

τi αj∨ τi−1 = αj∨ + δij .

∨生成元 q ±αi , τi±1 (i ∈ I) と以下の関係式で定義される C(q) 上の代数 (ある種の q 差分作用素環) を Dq と表わす:
∨∨

∨

∨

q αi q αj = q αj q αi ,τi τj = τj τi ,∨∨∨

τi q αj τi−1 = q αj +δij = q δij q αj .

本研究は科研費 (課題番号:23540003) の助成を受けたものである.
∗e-mail: kuroki@math.tohoku.ac.jp
web: http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/index-j.html

∨∨以上において τi−1 , q −αi がそれぞれ τi , q αi の逆元になるという関係式は省略した.
∨αi∨ ∈ D (および q αi ∈ Dq ) をパラメーター変数と呼び, τi をτ変数と呼ぶ. τ変数は本質的にパラメータ変数の正準共役変数 (の指数函数) である.
∏∏∨⟨α∨ ,ν⟩h ∈ Q∨ と ν ∈ P に対して q h と τ ν を q h = i∈I (q αi )⟨h,Λi ⟩ , τ ν = i∈I τi i と定める. (ν ∈ P + 以外の場合にこの τ ν はあとで導入する本質的に重要な τ 函数 τν = w(τ µ )(ν = w(µ) ∈ W P + ) と一致しないので, 混同しないように注意せよ.)
Weyl 群は代数 D, Dq に代数自己同型として自然に作用する. すなわち w ∈ W の自e
然な作用を we と書くと, w(h)e= w(h), w(qe h ) = q w(h) (h ∈ Q∨ ), w(τe ν ) = τ w(ν)(ν ∈ P ).
∏−aki
たとえば s̃i (τi ) = k̸=i τk /τi かつ s̃i (τj ) = τj (i ̸= j).
e Aeq が Ore 整域になるという仮定より, A,A = Ae ⊗ D, Aq = Aeq ⊗ Dq とおく. A,e D のそAq も Ore 整域になる. よって分数斜体 Q(A), Q(Aq ) が自然に定義される. A,e ⊗ 1, 1 ⊗ D を同一視し, Aeq , Dq のそれぞれと Aeq ⊗ 1, 1 ⊗ Dq を同一視す
れぞれと Ae への作用に自明な方法で拡張したものも w
る. D, Dq への w ∈ W の作用を A, Aeと書くことにする: w(fe i ) = fi .
定理 1 (量子化された Weyl 群双有理作用). Weyl 群の Q(A), Q(Aq ) への代数自己同型作用を次のように構成することができる:
α∨−α∨isi (x) = fi i s̃i (x)fi(x ∈ Q(A) または x ∈ Q(Aq )).
α∨−α∨i(Q(A) と Q(Aq ) の代数自己同型 x 7→ fi i xfiがうまく定義されることを含む.)

たとえば si の τ 変数への作用は次のように計算される: si (τj ) = τj (i ̸= j) でかつ∏∏∏−aki−aki−akiττ∨∨ −α∨ +1α∨−ααkkk̸=ik̸
=ik̸=i τkiiii
si (τi ) = fi
fi
= fi fi= fi.
τiτiτi2. 量子化された τ 函数の定義と正則性µ ∈ P + と w ∈ W に対して w(τ µ ) は ν = w(µ) ∈ W P + だけから決まる. そこで量子τ函数 τν = τw(µ) を τν = τw(µ) = w(τ µ ) によって定める.
予想 (量子 τ 函数の正則性). すべての量子 τ 函数 τw(µ) (µ ∈ P + , w ∈ W ) は A また
は Aq に含まれる (すなわち fi に関して多項式になる).
この予想は category O の translation functors の理論が利用できる場合にはただちに証明される. Noumi-Yamada [2] はこの予想の古典版を一般的に証明している. しかし証明法は互いにまったく異なる.
定理 2. Kac-Moody Lie 代数の場合に上の予想は常に成立する. 量子展開環の場合には上の予想は有限型の場合および A∞ 型などの場合に成立する.

参考文献[1] Kuroki, Gen. Quantum groups and quantization of Weyl group symmetries ofPainlevé systems. Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol. 61, 2011. Exploring New Structures and natural Constructions in Mathematical Physics. pp. 289–325.
arXiv:math/0808.2604[2] Noumi, Masatoshi and Yamada, Yasuhiko. Birational Weyl group action arising froma nilpotent Poisson algebra. Physics and combinatorics 1999 (Nagoya), 287–319, World
Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001. arXiv:math.QA/0012028