あるクラスの無限次元アナログ特性に対するサンプル値 H ∞ 最適フィルタの設計法
Design of Sampled-Data H ∞ Optimal Filters for a Class of Infinite-Dimensional Analog Characteristics

永原 正章 (京都大学),○ 銭谷 謙吾 (京都大学),

山本 裕 (京都大学)

Masaaki Nagahahara (Kyoto University), Kengo Zenitani (Kyoto University),
Yutaka Yamamoto (Kyoto University)
Abstract
Sampled-data H ∞ optimal ﬁlters have been designed under the assumption that theoriginal signals are generated by L2 signals ﬁltered by a ﬁnite-dimensional linear time-invariantsystem. In application to image processing, we should treat signals which cannot be modeled bysuch ﬁnite-dimensional analog characteristics. In this study, we propose a new design method fora class of inﬁnite-dimensional analog characteristics.

1

はじめにe−mhsw

これまでのサンプル値制御理論にもとづくディジタル+e−F

フィルタの H ∞ 最適設計においては，原信号のアナロ

FaS

↑MKHP

グ特性を有限次元線形時不変システムにより仮定している [3]．しかし，画像処理などでは，有限次元では表現しきれない特性があらわれる．具体的には，ローパスフィ

図 1: フィルタ設計のための誤差系．F はコンパクト台ルタの減衰特性が −20dB/dec の自然数倍ではなく，例のインパルス応答を持つ線形時不変システムである．

えば −30dB/dec のような減衰特性を仮定する必要がある．そこで，本研究では，そのような減衰特性を持つ無S はサンプリング周期 h の理想サンプラとする．↑ M はまず，元信号のアナログ特性が有界台のインパルス応答M 倍のアップサンプラ，K はディジタルフィルタ，Hはサンプリング周期 h/M のゼロ次ホールド，P は安定でプロパーな有限次元線形システムとする．

を持つシステムであるとして，FSFH (fast sampling/fast

有界台のインパルス応答 f (t) を持つシステムを FSFHhold) の手法 [2, 3] により離散化する．離散化されたシ(fast sampling/fast hold) [2, 3] により離散化すると，そステムは FIR (Finite Impulse Response) フィルタとなの離散時間システム Fd (z) は次の FIR (Finite Impulseる．これにより近似的に有限次元問題に帰着され，最適Response) フィルタで表される．

限次元の線形システムに対するサンプル値 H∞

最適フィルタの設計法を示す．

フィルタを求めることができる．次に安定な非有理伝達Fd (z) =関数に対して離散化を行う．この伝達関数のインパルスL
f (nh/N )z −n .

(1)

n=0

応答の台は一般に有界ではないが，インパルス応答が十分小さくなるところで打ち切ることにより有界台インパ

ただし，h はサンプリング周期，N は FSFH の分割数

ルス応答の問題に帰着でき，上記の方法により最適フィであり，L は τ ≤ Lh/N を満たす最小の自然数とする．

ルタが計算できる．

これより，図 1 の誤差系において，F = 1 とおいてサン2プル値系を FSFH により離散化し，それに上で求めた

有界台インパルス応答を持つ無限次元システムの離散化

FIR フィルタ Wd (z) を結合することにより，近似離散時間系が得られ，H ∞ 最適フィルタ K(z) が計算できる．

図 1 に本稿で考察するサンプル値 H ∞ 最適フィルタ設計のための誤差系のブロック線図を示す．ここで，Fは元のアナログ信号の特性をモデル化したものであり，
従来法 [3] では有限次元線形時不変システムで与えられていたが，本稿ではこの F を，コンパクト台のインパルス応答 f (t) を持つ線形システムとする．このとき，ある τ > 0 が存在して，supp(f ) ⊂ [0, τ ] が成り立つ．Faは安定で厳密にプロパーな有限次元線形システムとし，3安定な非有理伝達関数の離散化
アナログ特性 F として次の伝達関数を持つシステムを考える．

F (s) =1,(T s + 1)α

T > 0,, α ≥ 1.

たす τ > t0 をとれば，任意の t ≥ τ に対して，f (t) ≤ 0.50.45となる．なお， > 0 が与えられたときの τ の値は，次0.4で計算できる．
命題 1 パラメータ  > 0 が与えられたとき，f (τ ) = 0.35を満たす τ > t0 = T (α − 1) は次式で与えられる．
1T
τ = −t0 W−1 − (T Γ(α)) α−1 .
(3)
t00.30.250.20.15

ただし，W−1 は Lambert の W 関数 [1] である．

0.10.05
t00

証明

τ

00.5

11.522.533.5

方程式 f (τ ) =  は等価的に以下の方程式に変形できる．

4−1ττ
1e− T (α−1) = −(T Γ(α)) α−1 .
T (α − 1)
α−1(4)

この方程式の解は 2 つあるが，τ > t0 の解は，Lambert

図 2: インパルス応答 (T = 1, α = 1.5)．の 2 つの W 関数のうち値域が (−∞, −1) の関数 W−1を用いれば求まる．すなわち，(4) は W−1 を用いて
1τ1α−1= W−1 −(T Γ(α))−T (α − 1)
α−1

この伝達関数の周波数応答ゲインは20 log10 |F (jω)| = −20α log10

T 2 ω2 + 1となるので，ω  1/T の周波数範囲でのゲイン曲線のと変形でき，この両辺に −t0 = −T (α − 1) を掛ければ，傾きは −20α dB/dec となる．パラメータ α を例えば(3) を得る．□

α = 1.5 ととると，−30dB/dec の傾きを持つゲイン曲線が得られ，アナログ特性の高周波での減衰率を詳細にモデル化できる．

図 2 のインパルス応答に対して， = 0.05 として，(3)の公式で τ の値を計算すると τ ≈ 3.782 となる．
時刻 τ 以降の f (t) を 0 とおくことで，[0, τ ] に台を持パラメータ α が整数でなければ F (s) は無限次元シスつインパルス応答が得られる．また，α ≥ 1 であるので，テムとなる．また T > 0 であれば F (s) は右半平面で有f (t) は [0, ∞) で有界である．実際，任意の t ∈ [0, ∞)に対して，f (t) ≤ maxt∈[0,∞) f (t) = f (t0 ) となる．し
たがって，(1) の FIR フィルタ Fd (z) の係数は有界とな界な解析関数となり，H∞に属することがわかる．伝達関数 F (s) のインパルス応答は次で与えられる [4]．
t1e− Tf (t) =T Γ(α)

 α−1t.
Tり，前節の FSFH 手法が適用できる．なお，もし α > 1(2)ただし，Γ(α) はガンマ関数であり，次式で定義される．
 ∞Γ(α) :=
tα−1 e−t dt.
0

このインパルス応答の台は有界ではない．前節での方法をこのシステムに用いるために，f (t) が十分 0 に近くなったところ，すなわち十分小さな  > 0 を与えて，f (t) ≤  となるところで打ち切ることを考える．まず，
f (t) の微分 f  (t) は α−2 tt1

− Tt
e−α+1
f (t) = 2T Γ(α)
TTとなるので，f (t) は t = t0 := T (α − 1) で最大値をとり，t > t0 で f  < 0，すなわち単調減少であることがわかる．図 2 に T = 1, α = 1.5 のときの f (t) のグラフを示す．インパルス応答 f (t) が t = t0 = T (α − 1) = 0.5 で最大値をとることがわかる．したがって，f (τ ) =  を満であれば必ず f (0) = 0 となるので，Fd (z) は厳密にプロパーとなる．

参考文献[1] F. Chapeau-Blondeau and A. Monir, Numericalevaluation of the Lambert W function and application to generation of generalized Gaussian noisewith exponent 1/2, IEEE Trans. Signal Processing, Vol. 50, No. 9, pp. 2160–2165, 2002.
[2] T. Chen and B. A. Francis, Optimal Sampled-Data
Control Systems, Springer, 1995.
[3] 山本，藤岡，原，サンプル値制御理論 VI — ディジ
タル信号処理への応用, システム/制御/情報, vol.
44, no. 6, pp. 336–343, 2000.
[4] A. H. Zemanian, Distribution Theory and Transform Analysis, Dover, 1965.