時変通信路にたいする通信システムの最適設計

Optimal Design of Communication Systems
with Time-Varying Channels
安福大輔 (新日本製鉄), ○永原 正章 (京都大学), 山本 裕 (京都大学)

D. Yasufuku∗ , M. Nagahara∗∗ , Y. Yamamoto∗∗ ,Nippon Steel Corporation∗ , Kyoto University∗∗
Abstract The paper proposes a new design methodology for transmitting/receiving ﬁlter, basedon the sampled-data H ∞ control theory. The channel we consider is time-varying, which is modeled
as the convex hull of several time-invariant channels. The sampled-data system is descretized by
fast-sampling method, and the problem is described as Linear Matrix Inequalities (LMIs) by using
the bounded real lemma.

設計問題に帰着でき，さらにポリトピック LPV システ

1ムの有界実補題 [1] により線形行列不等式に帰着される．

はじめにインターネットや携帯電話等の急速な普及によりディジタル通信の技術はますます重要になっている [4]．こ2問題設定
ディジタル通信システムのブロック線図を図 2 に示す．

ここでは簡単のため１入力１出力の場合を考える．
情報源

送信装置

通信路

受信装置

出力信号
wc

Fc

yc

ShKT

図 1: ディジタル通信システム．のディジタル通信における信号の流れを図 1 に示す．音声や画像などの情報は，送信装置によってディジタル信

Hdzc

Pc

HhKR

nd号へと変換され通信路へと伝送される．通信路を通ることにより歪みや雑音が加えられた信号は受信装置によっ

図 2: ディジタル通信システム．て復元され復元信号となる．
近年，サンプル値制御理論を用いることで，情報源の連続時間信号 wc にたいして連続時間低域通過フィル連続時間特性を考慮に入れた送信装置，受信装置の設計

タ Fc を作用させ連続時間信号 yc を得る．ここで Fcが可能となり，その有効性が確認されている [3]．

は伝送すべき元信号の先見情報であると考えることがで

しかし，これらの結果は通信路の時不変性を仮定する

きる．連続時間信号 yc は周期 h で動作する理想サンプ

ため，例えば携帯電話や汎用通信回線のように通信路がラ Sh によって離散時間信号に変換され，送信フィルタ時間変動する場合や不確かさを含む場合には必ずしも性KT (z) から通信路 Hd に送信される．
通信路の特性は一般には非線型現象も含み線形時不変能を補償するとは限らない．
そこで本論文では時変通信路のモデルとして時不変離モデルとして記述するのは困難である．そこで本論文で散時間システムの時変凸結合を採用する．これは任意のは，時変性並びに不確かさも含むモデルとして r 個の時変 FIR フィルタを含むクラスであることから時変通信

離散時間システム Hd1 , . . . , Hdr の凸結合としてあらわ路のモデルを十分に表すことができると考えられる．こすことができる場合を考える:のような通信路モデルのもとで，サンプル値 H ∞ 最適化を用いた送受信フィルタの設計を行う．このサンプル値フィルタ設計問題は，ファーストサンプル・ファース
トホールド近似 [5] をもちいることにより，離散時間のHd =ri=1

θi Hdi .

ここで θ := (θ1 , . . . , θr ) は時変パラメータにたいしてθ∈Θθ ∈ r ::=とき任意の時変パラメータ θ ならびに，ある正数 γ > 0rθi = 1, 0 ≤ θ ≤ 1, i = 1, . . . , r (Tew , Ten ) 2∞ :=ec 2L2222 <γ22 wc  2 + nd  2wc ∈L ,nd ∈lLlsupθ∈Θi=1を満足するような KR を求めよ．

である．
通信路 Hd の後には雑音 nd が付加される．これは実際の通信路における雑音や同定モデルとのモデル化誤差3

設計問題の分割をあらわす．雑音を含んだ受信信号は受信フィルタ KR

問題 1 は送受信フィルタの同時設計問題であるが, こを通り，周期 h で動作する零次ホールド Hh により連こでは文献 [3] と同様に受信フィルタを設計した後に送続時間信号に変換された後，連続時間低域通過フィルタ信フィルタを設計する 2 段階設計法を行う．送信フィル

Fc によって平滑化されて出力信号 zc となる．

タ KT では雑音 nd を除去することができないので雑音設計対象である送受信フィルタ KT , KR はそれぞれ雑音除去以外に劣化した信号の復元も行う必要がある．

nT , nR 次の FIR フィルタとする:
KT (z) :=nT
αT,j z −j ,除去は受信フィルタ KR によって行う．受信フィルタはKR (z) :=j=0nR

そのためもとの信号を復元しつつ雑音を除去するような

αR,j z −j .

受信フィルタの設計を行い (図 4)，得られた受信フィル
タを用いて送信フィルタを設計する (図 5)．

j=0

ここで

wc

Fc

yc

ShKT

Hd

αR := (αR,0 , . . . , αR,nR ), αT := (αT,0 , . . . , αT,nT )が設計パラメータとなる．
wc

Fc

yc

−ShKT

Hd

Pc

Hh

HhPc

zc

KR

図 4: 受信フィルタ設計の誤差系
wc

−zc

ec
nde−Lsec

nde−Ls

yc

Fc

ShKT

Hd

Pc

HhKRKRe−Ls

図 3: ディジタル通信システムの誤差系．

−ec

zc

ディジタル通信では通信路や雑音によって劣化した受図 5: 送信フィルタ設計の誤差系

信信号から元の信号を復元することが必要となる．そこで復元信号 zc ともとの信号 yc とを比較するために図3 のような誤差系を考える．
ここで送受信フィルタによる復元過程にはある程度の時間遅れが許容されるため，もとの信号に時間遅れ要素e−Lhs を作用させた信号と復元信号とを比較する．
このブロック線図において (wc , nd )T から誤差信号 ecまでの作用素を (Tew , Ten ) とおく．このとき送受信フィルタの設計問題を以下のように定式化する．
問題 1 連続時間低域通過フィルタ Fc と Pc ，通信路Hd ，ならびに時間遅れ Lh が与えられたとする．この問題 2

設計 1: 図 4 の誤差系にたいしTR 2∞ :=ec 2L2
222 <γ22 wc  2 + nd  2wc ∈L ,nd ∈l ,Llsupθ∈Θを満足するような KR を求めよ．
設計 2: 図 5 の誤差系にたいしTT 2∞ :=ec 2L2
22 <γ2w
c L2wc ∈L ,θ∈Θsupを満足するような KT を求めよ．

4

近似離散時間問題への帰着

態空間実現を (A, B, C, D) とおくと Fd の状態空間表現

問題 2 は連続時間と離散時間との混在するサンプル値系の設計問題となるがファーストサンプルファーストホールド近似手法 [5] を用いることにより近似離散時間系におけるフィルタ設計問題に帰着される．
ファーストサンプルファーストホールド近似手法とは，周期 h のサンプル値系の連続時間入出力 wc , ec を周期は以下で与えられる:⎛ÃN
ÃN −1 B̃⎜⎜CD⎜⎜ C ÃC B̃
Fd = ⎜⎜..
..
⎜.
.
⎝N −1N −2B̃ C ÃB̃C ÃÃN −2 B̃

...

0D..
.

...
...
..
.

C ÃN −3 B̃...

B̃⎞⎟0⎟⎟0⎟⎟,.. ⎟⎟.⎠
Dh/N (N は自然数) で動作するサンプラと零次ホールドによって離散化し，離散時間信号 wd , ed により近似すÃ := eAh/N , B̃ :=る方法である．さらに離散時間リフティング LN を用いて w̃d := LN (wd ), ẽd := LN (ed ) と変換する．この
とき十分大きな N にたいして wc L2 ≈ h/N w̃d l2 ,ec L2 ≈ h/N ẽd l2 が成立する．また雑音 nd にたいしてスケーリング ñd := N/h nd を行う．

5h/N0eAτ Bdτ.

線形行列不等式による可解条件の導出
本節では近似問題 3 にたいして線形行列不等式による可解条件を与える．可解条件は有界実補題を直接適用

上記の関係式を用い，wc , ec , nd を離散時間信号 w̃d ,することで無限個の線形行列不等式によって特徴づけるẽd , ñd に置き換えることで TR ∞ , TT ∞ の近似評価ことができるが，この数値計算を実行するのは困難であを得ることができ，問題 2 は以下の近似離散時間問題にる．しかし時変システムの各システム行列は定数行列の帰着される．

凸結合として表すことができることから，十分条件として有限個の線形行列不等式によって特徴づけることがで問題 3近似設計 1:きる．

ẽd 2l2
TR 2∞ := sup22w̃d ,ñd ∈l2 , w̃d l2 + ñd l2θ∈Θ< γ2を満足するような KR を求めよ．
近似設計 2:TT 2∞ :=まず TR,i , TT,i を設計パラメータ αR , αT に関して線形な系に変換する．
補題 1 適当な時不変離散時間システム T1R , T1T , T2R,i ,T2T,i 並びに αR , αT にたいしそれぞれ線形な定数行列
W (αR ), W (αT ) が存在してẽd 2l2
22 <γw̃d ∈l2 ,θ∈Θ w̃d l2

TR,i = T1R + W (αR )T2R,i ,supTT,i = T1T + W (αT )T2T,i ,i = 1, . . . , rを満足するような KT を求めよ．
近似離散時間系 TR , TT の伝達関数を以下に示す．

TR :=rθi TR,i , TR,i := G11R + G12R KR G21R,i ,KR における αR を分離するためにTKR = αR V, V := 1 z −1 . . . z −nRθi TT,i , TT,i := G11T + G12T,i KT G21T ,と表す．これによって TR,i は次の式で表すことができる．

証明i=1TT :=r
i=1

G11R :=と表すことができる．

z −L Fd0,

G11T := z −L Fd ,G12R := −Pd , G12T,i := −Pd KR Hd,i ,
G21R,i := Hd,i KT Fd
h/N , G21T := Fd ,Fd := LN Sh/N Fc Hh/N L−1
N ,Pd := LN Sh/N Pc Hh/N L−1
N HN ,T

HN := (1, . . . , 1) ,i = 1, . . . , r.

ここで Fd , Pd はそれぞれ N 入力 N 出力, 1 入力 N
出力の離散時間時不変システムとなる．例えば Fc の状

TR,i = G11R,i + G12R,i αR V G21R,i .
さらに αR に関して線形な系へと変換を行う．

G12R,i αR= (αR,0 G12R,i , . . . , αR,nR G12R,i )= (αR,0 IN , . . . , αR,nR IN )diag(G12R,i , . . . , G12R,i )=: W (αR )G12R,i .
ただし IN は N 次の単位行列である．ここで T1R :=G11R , T2R,i := W (αR )G12R,i G21R,i とすると求めるべき等式となる．2離散時間系 T1R , T1T と T2R,i , T2T,i の状態空間実現を次式で表す:
A1R
T1R =:C1R
A1T
T1T =:
C1T

B1R
D1R
B1T


, T2R,i =:, T2T,i =:D1T



A2R,iB2R,iC2R,iA2T,iD2R,i

B2T,iC2T,i

D2T,i,,TT,i :=⎛BT,iCT,i (αT )DT,i (αT )

A1T
⎜=⎝ 0
C1T0

解条件を求めた．

A2T,iB1T,B2T,iW (αT)C2T,i

D1T +W (αT)D2T,i動をすべて考慮して設計された時不変なフィルタである．しかし，無線通信など通信路の変動が非常に大きい
場合，この設計では保守的すぎて十分な性能を得ることは難しい．したがって，このような大きな変動にも対応⎞⎟⎠,

D1R +W (αR)D2R,iAT,i制御問題として定式化を行い，線形行列不等式による可提案法によって得られるフィルタは，時変通信路の変ことにより次式で表すことができる:

AR,iBR,iTR,i :=CR,i (αR ) DR,i (αR )
⎛
A1R
0B1R,
⎜=⎝ 0
A2R,iB2R,iW (αR)C2R,iテムでの送受信フィルタの設計法を示した．通信路のモデルを時不変離散時間系の凸結合と定義し，サンプル値

このとき系 TR,i , TT,i の状態空間実現は補題 1 を用いる

C1R

おわりに
本論文では時変通信路にたいするディジタル通信シス

i = 1, . . . , r.



6

⎞
⎟
⎠,

i = 1, . . . , r.
ここで CR,i (αR ), DR,i (αR ), CT,i (αT ), DT,i (αT ) はそ
れぞれ αR , αT に関してアフィンな行列となる．

するために，適応フィルタの設計を考えるのが今後の課題である．

参考文献
1) P. Apkarian and P. Gahinet, “A convex characterization of gain-scheduled H∞ controllers,” IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. 40, no. 5,
pp. 853–864, 1994.
2) P. Apkarian, P. Gahinet and G. Becker, “Selfscheduled H∞ control of linear parameter-varying
systems: a design exsample,” Automatica, vol. 31,
no. 9, pp. 1251–1261, 1995.

ポリトピック LPV システムの有界実補題 [2] を直接用

3) 永原, 山本, “ディジタル通信システムのサンプル値いることで問題 3 の解が存在するための十分条件としてH ∞ 設計,” システム制御情報学会論文誌, Vol. 16,
No. 1, pp. 38–43, 2003.

線形行列不等式による表現が得られる．
定理 1 以下の r + 1 個の線形行列不等式を満足するよ
うな αR 行列 XR が存在するならば，そのような αRは近似設計問題 1 の解となる．
T
XR = XR> 0,⎛ATR,i XR AR,i −XR
T X A⎝BR,iR R,iCR,i (αR )T (α ) ⎞CR,iR
T (α ) ⎠ < 0,DR,iR−γI

ATR,i XR BR,iT X B
BR,iR R,i −γIDR,i (αR )i = 1, . . . , r.

さらに，以下の r + 1 個の線形行列不等式を満足するような αT 行列 XT が存在するならば，そのような αTは近似設計問題 2 の解となる．
⎛⎝

XT = XTT > 0,AT
T,i XT AT,i −XTT X A
BT,iT T,iCT,i (αT )ATT,i XT BT,iT
BT,i XT BT,i −γIDT,i (αT )T (α ) ⎞CT,iTT (α ) ⎠ < 0,DT,iT−γIi = 1, . . . , r.

注意 1 通信路のモデルが複雑な場合や，設計フィルタの次数を高くとる必要のある場合などは，LMI のサイズが大きくなり，数値計算が困難となる場合がある．このような場合には，十分条件ではあるが，制約付きの切除平面法による解法が有効である [6]．

4) J. G. Proakis, Digital Communications, McGrawHill Series in Electrical and Computer Engineering,
1995.
5) Y. Yamamoto, A. G. Medievski and B. D. O.
Anderson, “Computation and convergence of frequency response via fast sampling for sampled-data
control systems,” Automatica, vol. 35, no. 4, pp.
729–734, 1999.
6) 安福, “時変要素を含むサンプル値制御系とその最適設計,” 京都大学大学院情報学研究科修士論文, 2003.