サンプル値 H ∞ 制御による繰り返し制御

Repetitive Control via Sampled-Data H ∞ Control
ジョージ オオイ (テキサス・インスツルメンツ), ○永原 正章 (京都大学), 山本 裕 (京都大学)

G. Ooi∗ , M. Nagahara∗∗ , Y. Yamamoto∗∗ ,Texas Instruments∗ , Kyoto University∗∗Abstract
Repetitive control has been implemented in various industrial applications to allow
systems to track or reject unknown periodic signals with a fixed period. Repetitive controllers areusually implemented by digital computers, in which undesired ripples may occur between sampling
instants. In this work, we approach this problem via sampled-data H ∞ control. We show that ourapproach significantly attenuates the ripples without sacrificing the tracking performance.

1

はじめにe

繰り返し制御とは，周期的な参照信号への追従や周期的な外乱の抑制を目的とした制御であり，さまざまな応用がある [7]．例えば，陽子シンクロトロン加速器の電r−

W (s)
F (s)

ew

Sh

Q[z]

K[z]

Hh

P (s)

y

源制御 [4] や，周期的な動作を行なうロボットマニピュレータの制御 [8] などである．
実際の応用では，ディジタル機器を用いて繰り返し制御器を実装することが多い．この場合，繰り返し制御系を離散時間制御系とみなして，解析や設計がおこなわれる [7]．しかしプラントは一般に連続時間系であり，その連続時間出力信号がサンプル点間でも参照信号に追従しているかどうかは，離散時間制御系での解析だけではとらえられない．実際，ディジタル繰り返し制御系では，出力信号のサンプル点間に定常リップルが生じることが知られている [7, 3]．
そこで本論文では，繰り返し制御系の設計にサンプル値制御理論 [1] を導入する．サンプル値制御理論を用いることによって，サンプル点間の応答を含めた設計が可能となり，定常リップルの低減が可能となる．このようにサンプル値制御理論を繰り返し制御に導入する研究

図 1: 繰り返し制御系
る．P (s) は連続時間で動作するプラント，F (s) はサンプリングのためのアンチエリアシングフィルタ，W (s)は追従誤差 e を評価する際の周波数重み関数とする．プ
ラント P (s) は厳密にプロパーとし，フィルタ F (s) および重み関数 W (s) は厳密にプロパーかつ安定とする．
また，Sh と Hh はそれぞれ，サンプル周期 h の理想サンプラおよびゼロ次ホールドである．
図 1 のブロック線図において，制御器は二種類ある．
一つは次の Q[z] であらわされる繰り返し制御器である．

Q[z] =1zM − 1.

(1)は，誘導パワーノルムを用いる方法 [6] や周期時変制御

ここで M は M = T h を満たす自然数である．もう一器による方法 [5] が知られているが，本研究では，リッつの制御器は，フィードバック系を安定化し，トラッキプルの低減にサンプル値 H ∞ 最適制御を用い，線形時ング性能を改善する K[z] である．ここで，K[z] はプ不変の制御器を求める方法を提案する．また，最適な制ロパーで線形時不変とする．

御器を求める手法としてファーストサンプル・ファース
トホールド近似手法 [11] を導入し，近似離散時間系の設計公式を導出する．さらに，設計例によって提案手法の有効性を示す．

2問題設定
図 1 の繰り返し制御系を考える．ここで，r は周期的な参照信号（周期を T とする），y はプラント出力であ

この制御系における制御目的は次のとおりである．

• 定常トラッキング誤差 e(t) をサンプル点上 t = kh(k ∈ Z) で 0 にする．
• サンプル点間のリップルを減少させる．
一つ目の制御目的は，繰り返し制御器 (1) によって達成される．すなわち次の定理が成り立つ．

ewedrG(s)efew

Sh/Nr

T

Hh/Nrdu
図 3: FSFH 近似ShHhQ[z]⎡0⎤0⎥0 ⎦,AW−BW C⎤⎡⎡⎤0B⎥⎢⎢⎥
B1 = ⎣ BF ⎦ , B2 = ⎣ 0 ⎦ ,⎢Ac = ⎣ −BF Cuk

K[z]

A

図 2: サンプル値系 T
定理 1 制御器 K[z] によって，図 1 のフィードバック系が内部安定化されているものとする．このとき，

lim e(kh) = 0


C1 =AF0BW0C00

CW00

, C2 =0 CF0である．(Ac , B2 ) を可安定，(C2 , Ac ) を可検出とする．

k∈Zk→∞

問題 1 のサンプル値 H ∞ 最適化制御問題を解くためが成り立つ．に，ファストサンプル・ファストホールド（FSFH）手

証明は付録参照．二つ目の制御目的を達成するために，

法 [11] を導入する．FSFH 手法はサンプル値制御系をサンプル値 H ∞ 制御により制御器 K[z] を設計する．す離散時間系で近似する方法であり，その手順は以下のと

なわち，設計問題を以下のように設定する．

おりである（図 3 参照）．

問題 1 図 1 において r から ew までのシステムを Tとおく．フィードバック系を内部安定化し，かつT  := supr∈L2

T r
r

サンプル値 H ∞ 制御による定常リップル低減
プラント P (s)，フィルタ F (s)，重み関数 W (s) の状

態空間実現をそれぞれ

A BAFP (s) :=, F (s) :=C 0CF
AW BWW (s) :=CW0

BF0

ント形式に書き直す．ここでW (s) −W (s)P (s)G(s) =
F (s) −F (s)P (s)⎤⎡Ac B1 B2⎥⎢=: ⎣ C1 00 ⎦,00

ここで N は正の整数である．十分大きな N にたいして，離散化された信号は連続時間信号の良い近似となり，サンプル点間のリップルをとらえることが可能となる．
さらに次の定理を得る．
定理 2 図 2 のサンプル値系 T にたいして，離散時間系 {TN : N = 1, 2, . . . } が存在して，,とおく．図 1 のフィードバック系を図 2 の一般化プラC2ルドを用いて離散化する．

• 連続時間出力 ew をサンプル周期 h/N の理想サンプラを用いて離散化する．

を最小化する線形時不変の制御器 K[z] を求めよ．

3• 連続時間入力 r をサンプル周期 h/N のゼロ次ホーlim T  = TN N →∞が成り立つ．
証明は文献 [11] を参照．離散時間系 TN の状態空間実現は以下のように与えられる (図 4 を参照)．

TN = Fl (GdN , KQ),
⎡
Ad
B1dN
⎢GdN [z] = ⎣ C1dN D11dN
C20Bd

⎤

⎥
D12dN ⎦ ,0edrdedrd

GdN [z]GdN [z]
Q[z]

Q[z]

K[z]

K[z]

図 4: 近似離散時間系 TN

Ad := eAc h , Bd :=⎡C1⎢⎢ C1 AdN
C1dN := ⎢..
⎢⎣
.
⎡⎢
⎢
D11dN := ⎢⎢⎣⎡⎢⎢
D12dN := ⎢⎢⎣⎤0

Steady State ResponseeAc t B2 dt,

N −2AdN
BdN

1...

0.8,

BdN

0.60.4

⎥
⎥⎥,
⎥
⎦

0.2

Amplitude

B1dN :=

N −1BdN
AdNh

図 5: 制御器 K[z] 設計のための離散時間系

N −1C1 AdN

0...

C1 BdN
..
.

0..
.

...
..
.

⎥0 ⎥.. ⎥⎥,. ⎦N −2C1 AdN
BdN

N −3C1 AdN
BdN

...

0⎤0

⎤

00
⎥
C1 BdN⎥⎥,..
⎥⎦.
N −2ii=0 C1 AdN BdN

AdN := eAc h/N , BdN :=0-0.2h/N
0eAc t B1 dt.

-0.4-0.6-0.8-12020.521Time [sec]

21.5

22

図 6: 定常応答: 参照信号 (点線)，提案法 (実線)，従来法 (破線)また参照信号 r を次の周期信号とする．
⎧0 ≤ t < 1/4,⎪⎨ 4t,r(t) =図 4 における繰り返し制御器 Q[z] をプラント側に移動させ，図 5 を得る．これにより，線形時不変の最適制⎪⎩−4t + 2,1/4 ≤ t < 3/4,4t − 4,3/4 ≤ t < 1

御器 K[z] は，標準的な離散時間 H ∞ 設計のアルゴリ

ここで，参照信号の周期は T = 1.0 [sec] である．サンズムを用いて求めることができる．

プリング周期を h = 0.05 [sec] とし（M = T /h = 20），FSFH 近似の分割数を N = 4 とする．

4設計例
ここでは，提案手法の有効性を確かめるために，従来法（離散時間 LQR 設計 [7]）と比較する．
プラント P (s)，フィルタ F (s)，重み関数 W (s) を次のように設定する．

201, F (s) =,P (s) =(s + 1)(3s + 1)
0.01s + 1
1W (s) =.
2s + 1

図 6 はプラント出力 y(t) の定常応答，図 7 は定常誤差 e(t) (ともに 20 ≤ t ≤ 22) である．従来法では，サンプル点間のリップルが見られるが，提案法のサンプル値設計によってリップルが低減されていることがわかる．

5おわりに
本論文では，繰り返し制御系の設計にサンプル値 H ∞最適制御を用いることを提案し，FSFH 近似離散時間系

参考文献

Steady State Error

0.1[1] T. Chen and B. Francis: Optimal Sampled-Data
Control Systems, Springer (1995)

0.08
0.06

Amplitude

0.04[2] G. F. Franklin and A. Emami-Naeini: Design of0.02

ripple-free multivariable robust servomachenisms,
IEEE Trans. Autom. Control, AC-31, pp. 661–

0-0.02664 (1986)-0.04[3] S. Hara, M. Tetsuka and R. Kondo: Ripple attenuation in digital repetitive control systems, Proc.

-0.06
-0.08
-0.1

29th IEEE CDC, pp. 1679–1684 (1990)
2020.5

21
Time [sec]

21.5

22

[4] T. Inoue, M. Nakano, and S. Iwai: High accuracy
control of servomechanism for repeated contouring, Proc. 10th Annual Symp. Incremental Motion Control, Systems, and Devices, pp. 258–292

図 7: 定常誤差: 提案法 (実線)，従来法 (破線)の公式を与えた．また設計例によって，提案手法の有効(1981)性を示した．

A[5] H. Ishii and Y. Yamamoto: Periodic compensation for sampled-data H ∞ repetitive control,

定理 1 の証明

周期 T の参照信号 r(t) を Fourier 級数展開する．

r(t) =∞
cm ejmω0 t ,m=−∞

ω0 =[6] A. Langari, B. A. Francis: Sampled-data repetitive control systems, Proc. ACC, pp. 3234–3235

2π.
T

インパルス変調公式 [10] を用いると，この周期信号にたいする出力 y(t) の定常応答 yss (t) は次式で与えられる:

yss (t) =∞∞1  P (jωn,m )Hh (jωn,m )h n=−∞ m=−∞Sd (ejmω0 h(2) jmω0 h )cm ejωn,m t ,)K(e−1,K(z):= K(z)Q(z), Sd (z) := [1 + K(z)Pd (z)]h AtAhe Bdt
e0,Pd (z) := (Sh P Hh )(z) =C0

Hh (s) :=1 − e−sh2πn, ωn,m := mω0 +.
sh

ここで次の補題が成り立つ．
補題 1 jω0 h ) = Pd (ejω0 h )−1 .
Sd (ejω0 h )K(e証明は省略する．(2) に t = kh (k = 0, 1, 2, . . . ) を代入
し，補題 1 を用いて整理すると

yss (kh) =∞cm ejmω0 kh = r(kh)m=−∞が得られる．すなわち定理 1 が成り立つ．

Proc. 37th IEEE CDC, pp. 331–336 (1998)(1998)[7] 中野, 井上, 山本, 原: 繰り返し制御, 計測自動制御
学会編, コロナ社 (1989)[8] T. Omata, S. Hara and M. Nakano: Nonlinear
repetitive control with applications to trajectory
control manipulators, Journal of Robotic Systems,
Vol-4, pp. 631–652 (1987).
[9] S. Urikura and A. Nagata: Ripple-free deadbeat
control for sampled data systems, IEEE Trans.
Autom. Control, AC-32, pp. 474–482 (1987)[10] Y. Yamamoto and M. Araki: Frequency responses
for sampled-data systems — their equivalence andrelationships, Linear Algebra and Its Applications,205-206, pp. 1319–1339 (1994)[11] Y. Yamamoto, A. G. Madievski and B. D. O. Anderson: Approximation of frequency response forsampled-data control systems, Automatica, 35-1,
pp. 729–734 (1999)