PolynOmes Blorthogonaux sur le Simplexe
Norio SHIMAKURA(島 倉紀夫)
(単 体の上の双直交多項式,偏微分方程式17F路 研究集会,2018年 2月 21日 (水 )22日 (木 ))Nous avons introdl,it deux systё mes de polyn6mes de n variables qui
sOnt biOrthogonaux sur le silnplexe et nous avons construit les fonctions
de Green des ёquations provenant de la g6n6tique de populations IS,1977]
Dans ce man■ lscrit,1lous voudrions envisager encore ces systё ュles de poly―n61nes et obtenir des nOuvellos fonctions g6n6ratricos(3)et(25)Soient{ら }夕 =o llne sllito des■ ombres r6els qlli satisfOnt aux conditions
λp≧:(0≦P≦ζη)Ct λo+ん 1>l si n=1(1)Soient,Af I'ensemble de tous les cntiers non-n6gati{s et,A/":J4fn-1 x JV'pour n > 2. "A,/" est l'ensemble des a: (ar,. . ., a") des composants entiers
rron-n6gatifs. Nous appelons ]"|=Di=r"i la longueur de a.

1 Polyn6me P"(z) Pour tout a€,A/"', nous dtifinissorts un polvn6mea (,) : (fr ,,.o, x g#)ig, ;,*n,-'7 avec rg - *f ;1;i (2)1de variables 'a:(r1,...,x,-) et de degr6 la 1S,p.306,(B.t)] analoguement ir
une formule de R.odrigues, oir as: lcl par d6finition.

Th6orEme Nous auon,s une iden,tit6.

I {rrr..;r;nI4#;;} e*61-fiin'-t(-tp)(3)

o les 6,.'.,€" sont d,es nornbres corn,pleres arbitra'ires,ZS
iv(、 /τ″o=1つEE"ξ o=IΣ tt αらレ)=Σ sll(stz+ 1) zu/2

Jヨ'判

ざ=0)

(4)

D6monstration R66crivons (2) comme&(,,)

t rm#h,1"-o fir6!ffi^r*s,,(b)oi nous d6finisso ns a - P - (o, - 0r,'', o, - 0,,) € Nn si rt, - l3i 2 O pottr
tout 1 :! j S n. Soit t/ le premier membre de (3).

,-P {FGr;rI,r{#a}**,\-\-_4:%I#fi#H6'tl"f'*'(no*@-'Nous exprimons U d'nne manidre plus simple en posant'l:a- I :o[*]trp,##o,,_r\_" ( j r(ho+ lrl)
u,.

yErv

Nous avons alors premiirement-t._q{,ilB'. :Tt,, t( €iri) pour r!j<n.
flL^B,llllt'i+P;lDeuxiimement, puisque

F=I# i(l"I-|t-ar"'rrous avons analoguement ). la pr6c6dente,, #r[* Zfr#*- 2,.-r(-(. co)

U se r6duit donc au produit de n*1 s6ries :

u:flrn,t1,1oro1.
P:0
2

c.q. f.d.

Nous d6duisons de (5) une borne sup6rieure dans Ie domaine complexe
IFし (・ )￨≦ん。

(IIX9・ )(I15::1手 )IIXPα′

F+た ‑1,≦η)et Xo=1+Σ ‰為為 判Z′ ￨(1≦ プ

0さ(6)Nol1s obtenons une in6galit6 qrri est valable iu tout point (r, () de C"x C"

X'0‐に引りlPaq≦
メ諦響赫ぷ咀 虫よ[/ est donc une fonction ertiirc de fl.+l variables complexes {zo}ff=o qd
conticnt r+l paramil-res {hp}i-ot
U:U(Izp)i=o; {he}l=o) avec zp--€prp (p:0, 1,"',n).
Soit G le groupe de permutations de n *1 num6ros 0,1,...,n- G fait f)invariant. I1 est le seul groupe lin6aire qui fait O invariant. Aucun groupede Lie lin6aire autre que {1} ne le fait. Nous avonsu({zt p}l=o; {h" ,}l=) =u({zo}i=o; {ho}i=o)quel que soit 1€ G. La fonction U a l'apparence d'€tre symdtriqrrc parrapport iu r et (. Mais elle ne 1'est pas parce que

Di=uro:t tandis que Ito {r: o.
Nous savons qlue X,(z) est une fonction 6l6mentaire si ct seulement si
2u - 7 est, un entier paire.

Cas particulier 1: h6=/11: .'-h":L12.

=酔 扇
瓢
→
瀞ぷ輔Ъ豊
2: lts:h1:...:h.:312.
‐口満
辮
ふ論 自ム

(8)

Cas particulier{(9)Cas particulier 3:ん。=ん 1=… =ん 2=1″

(T:F墓 :;:)E費 (・ )=IIZЭ (― ら 2)

(10)

αcい√れ

2 Op6rateur sur le simplexe. Soit
Q: {r: (a;1,. . ., z") eR"; l'1>0,...,r,,}0, z6}0}.

(11)

Nous nous int6ressons i. rrn op6ratcur aux d6r'iv6es partielles du tvpe ellip-tique dans f,I. Nos polyndmes P"(c) g6n6ralisent Ies poiyndmes de Jacobi
d'une variable et ils sont fonctions propres d'un op6ratcurん=弓 Σ ん(らZ′Z′ rん)∂十Σ]{(￨::んπ。
∂た′P)″ ,一ん′:i}ラ(12)qui contient des nombres ihr)|:6 ind6pendants de r et satisfont I (1).
C applique un polyn6me d un po1yn6me.

3 Spectre de.C. Nous 6crivots dbs maintcnant
nん=‑1+Σ
Eん p (κ >0)
p=0

Un champ de vecteur

7 :l\(13)\ri, rr0l
nous permet de savoir le spectre de 4. Si en effet ?L est urr polynOmc dedegr6 s, alors Tu-su. et Lu-(s2+ns)u sont de degr6 s-1 at1 plus. Donc,l":s2*rcs(s:0, 1,2,. . .)(14)

sont des valeurs propres de f,. Elles sont distinctes sous l'hypothbse (1).

D6finition. Soit €" I'espace oectoriel .formi pat tolltes les fonctiort s i.
ualeurs compleres u:u(r) qui, satist'ont d, l'6quati'on Lu=1"u.

t" est forrn6 par des polyn6mes. {r"}30 engendrent tom les polyn6mes.
Nous voyons quedim θs=(s+n -1)!
(η ‑1)!St4(15)

Ce nombre est 6gal au coefficient de ls dans le d6veloppement de Ia s6rierfrtr\rI r. r,r/7=l],, -.. -,.-r =(t-')-''

II est 6gal au nombre des a e.A/" de longueur s ou encore au nombre dcs
mon6mes rf'. ..r:- de degr6 s. Dimt, : 1 pour tout s si n: 1, tandis
que dimt, s'augmcnte ind6finiment avec s si n)2.

4 Forrnation d'un 6l6rnent g6n6ral de t". puisque

L:r2+nr-M ^,"" M,=i(",ffi*n,ff1, (16)l'6quation L(u"-1. . .-lut+uo): L(us+. . .+rr+ro) s,6crit de Ia manidre ques1l")"o- Mup+r } =0.
L{(lop:oSi ur11 est homogbne de degr6 p*1, Muo41 cst homogbne de dcgr6 2 et,Mu^'.
up_'-#tP- t"(p=s- t..... r,0).

6tant donn6 un polyn6me homogdne quelconquc u" de degr6 s, nous pouvons diterminer les u s_l,. . ., 1r1, u0 et enfin un 6l6ment de t, :s- 1s-l

P--O

' q-P

u-,"+l([ Jr)r"-,*"q "s'(iz)5 Repr6sentation int6grale complexe Soicnt
p(x1, ",x"):\r!'-1,rtv(r):p(ry...,dr^)d"x1 ..d.r^.

(18)

P=O

Nous avons dans O

I fP"(d- (2,nlyp(,Jf fi t(t -r, -... u,)u.il*,

J't"ltt ffidu1"

dun' (te)L'int6gration est faite sur'{]tr1-e;11:d}x...x{ ?n zal:d}(CCn. orient6 deIa maniErc que P0(r):1) avec un 5 tel que 0<d<urin(lrsl,lztJ,..., lr.l).

D6monstration de (19). Introduisons une fonction

π0督進等 0,・(20))鳥

oir les (1,. . ., (,, sout des nombres complexes ind6pendants dc r et la somme

est 6tendue par rapport i o sur.A/" enticr. L'6quation (20) implique

け れ "締 喜⊆早トtρ(→Nous avons d'aprbs unee formule
formule de Lagrange[PSI,IIIAbschn.,207llP-S I,III Abschl
2(0,ξ )=(2π l)η ρ(・ )//eXp(を 6%:b)硬摩車場響七話万d,zy. - dzn,rir /,3 r j)-r dz1 ...dzn. oi u;, ri -{izi.
,a,)lliz1-\t-lox)ui| lzlut.
tf' ,i)A-l

Par Ie changerrent de variables 21,+ti (1<j<n) ) nous avons|p(ut, ',p")dat dt,"[...1l2ri)aplr1,....r^\J J IIj-1{,,;-11-(t .![_,u1)(;a;f1>r, F\=,er,\'11

Diff6rentiations successives (AlA4)",.. (DlA€")"" suivies par substitutions {1:.

.:1":0 rrous aminent n (19). c.q.f.d.

lroici une 6galit̀

lsllげpdy(″)={II「 ('p・んの (ΣE(99Tん 。
/Γ}ノ))(22)

qui est valable pour toute suite des nombres non-n6gatifs {gr}i-r. Soit#(9) Ia r6ciproque du membrc i" droite.

k(e):r(I(es+ h,,)) f llt(s"+hp).
q:0?:O(23)

6 Polyn6mes Q.(e;). Pour tout oe "A/n, nous d6finissons
Q. (r) :,(-1; r.r 61tal, cv)

ta, t,+I ( ll ol- | ' o" r, Ifl","' } 1za;
{fl.rr:''i=ti-l
P-l r-l'

1S,p.306, (B.Z)]. Q.(z) est unni=;)1polyn6me qui fait partie de 61o1'

L'ensemble {Q"(")}f"l=" engenth'e t". Tout polvndme peut 6tre exprim6
comme une combinaison lin6aire et une seule des Q"(z).

7 Une fonction g6n€ratrice des {Q"(z)}. Pour tous lcs (r," ,4"
ind6pendants de z et pour tout cltier non-n6gatif s, nous avons: (E,,d'? ([tr-=^),'z' ([e,' )'1n,I,t,ln"
E#[(25)

8 Biorthogonalite. Le facteur (-t;t"t61,",,", dans 1'6quation (24)est choisi de la manlire que nous ayonsr(1si (o,r,. ..,o") -1A.,,...,A"),
Q6)
J,,e"@1eB@)av(,l=t;; si (o1,...,o.)l(0t,...,0_)pour tous les o,Be "A/' 17, p.291,(3.2)] (par int6gration par parties)'
Remarquons qu'il n'existe aucun ordrc qul convient iL aliguer 1es P"(r)d'une m€me longueur de o si n)2. Nous avorrs

r.'p,av.:$ c"Q7)

parce que le sous-espace de tous les polyndmes est dense dals .L2(fl, dV)'
Nous retrouvons les m6mes systdmes de polyn6mes que les n6tres dans leIivrc de C.Dunkl and Y.Xu avec les U"(r) [D-X,p'a9] au lieu de nos P"(r)et avec Ies V"(r) lD-X,p.a7l au lieu de nos Q.'(z).

7BibliographielD― 刈C Dunkl― Y Xu:Orthogonal P01y■ omials of Sevcral Vabiables,

mbr̀む oυ ■ Pで Sら 2001
θα1P― SI'υG P61ya― G Szegё :Auf3aben und Lehrsatze aus dcr Analysis I,D,c θrllη ご7θ みγ
じηderЛ ′αιλ″η
sscη sCλ 可をθ
η,3イ 19,,prれ ,C「 143riα ク,1925
1SI N Shilnakura l Ёquations dif6renticllos provellant de la g6nё tiqtle despopulttions,rδ λ。ん色 ]′αι力 J29‐ 2(1977),287318
2018 Hin● ji3. 20180113送 つた〕〔8