重力崩壊型超新星爆発関係の理論の覚書
ノート

原田 了

概要
本稿は筆者が修士論文としてまとめたものの議論を拡充し、重力崩壊型超新星爆発に関する理論を(筆者の必要に応じて) ノートとしてまとめたものである。そのため内容は不完全であり、読みにくい所等も非常に多くあると思われるが、多少なりとも初学者の学習の助けになればと思い webにアップしたものである。内容は筆者の勘違いにより間違っている可能性も大いにあるので、何かご指摘等あれば web ページの方の連絡先等にご連絡を頂ければ幸いである。また、用語は筆者が適当に日本語訳をしたため通常使われているものとは異なる場合もあるが、その場合もご指摘頂けると幸いである。修論を拡充したものであるため、話の流れとしてわかりづらい部分も多々あるが、ご寛恕頂ければと思う。
重力崩壊型超新星爆発の中心メカニズムは、初期のシミュレーションから約 50 年間研究されてきたが、まだ確定的な答えは得られておらず、宇宙の重大な未解決問題の一つである。現在はニュートリノ加熱メカニズムによる爆発が最も有望視されているが、その妥当性を確かめるシミュ
レーションでは多くの近似や不定性が残っている。これに対し、できるだけ近似を排した計算を行うことが必要であるが、その準備のためニュートリノ加熱メカニズムのレビューを行う。
ニュートリノ加熱メカニズムの概要は以下の通りである。中心に鉄コアを作るような大質量の星は、鉄の光分解などによって重力崩壊を起こす。自己相似解からも確かめられるように、崩壊中のコアは亜音速で収縮する内部コアと超音速で落下する外部コアからなっている。重力崩壊に従って密度が高くなると、ニュートリノは散乱によって閉じ込められ、拡散のタイムスケールでゆっくり抜け出すようになる。原子核密度程度まで潰れると、内部コアは強い核力で跳ね返され、超音速で落下する外部コアとの間にバウンス衝撃波を作る。バウンス衝撃波は物質を核子に解離することなどにエネルギーを消費し、いずれ停滞する。バウンスした後の内部コアと衝撃波を通過してきた物質は中心に原始中性子星を作り、解放した重力エネルギーをニュートリノとして放出するが、このニュートリノは停滞した衝撃波背後の物質にごく一部 (数%) 吸収される。ニュートリノ吸収によって衝撃波はエネルギーを獲得し、また対流や定在衝撃波不安定性 (SASI) などの流体不安定性がその加熱効率を上げることで、停滞した衝撃波はまた外部に伝搬しはじめる。この復活した衝撃波はやがて星の表面を突き抜け、超新星爆発を起こす。対流は加熱の結果生じる
エントロピー勾配によって起こるが、SASI は移流音響サイクルというメカニズムによって起こると考えられている。
超新星爆発をシミュレーションするためには、三次元一般相対論的ニュートリノ輻射流体方程式を解かなければならない。これは現在の計算機性能では難しいので、次元を落とす他にも様々な近似がされている。一般相対論効果の近似として、計量に局所的な空間平坦性を仮定する共形平坦近似や、重力のモノポール成分だけを一般相対論的なものに置き換える近似などがされている。
また、原子核程度の密度の物質については状態方程式にまだ不定性があり、しばしば液滴モデルに基づくものや相対論的平均場近似に基づくものなどが使われている。ニュートリノ輸送のためには Boltzmann 方程式を解かなければならないが、これにも多くの近似が考案されている。もっとも先端的なものとしては、Boltzmann 方程式のモーメントを考える可変 Eddington 因子法、分布関数を現象論的に二成分に分割する等方拡散源近似 (IDSA) などが考えられている。しかし、採用する近似や入力物理によって結果が変わることがあり、計算量が多くとも Boltzmann 方程式を直接離散化して解き、近似をできるだけ排する必要があると考えられる。

ニュートリノ加熱メカニズムは重力崩壊する星の奥深くで起こるので、光学観測よりも相互作
用しにくいニュートリノや重力波の観測の方がより一次的な情報を得られる可能性がある。実際、メカニズムの大枠は SN1987A のニュートリノ観測から確かめられている。ただし、ニュートリノ
観測はニュートリノ振動によるフレーバー変換を考える必要があり、まだ不定性がある。重力波
はメカニズムによって放射される波のパターンが変わると考えられるので、ニュートリノ加熱メ
カニズムを確かめる上で重要な観測となりうる。
今後は、既に開発されている特殊相対論的ニュートリノ輻射流体コードを基に一般相対論的なコードを構築し、上述のとおり直接シミュレーションを行うことを目標とする。

2

目次

第 1 章 序論

2

第 2 章 重力崩壊

5

2.1

星の安定性

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

重力崩壊の原因 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

重力崩壊の自己相似解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4

ニュートリノ閉じ込め . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

第 3 章 重力崩壊型超新星の爆発メカニズム

12

3.1

バウンス衝撃波および原始中性子星の形成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2

ニュートリノ加熱メカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.3

流体不安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.3.1

対流不安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.3.2

定在降着衝撃波不安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3.3

ニュートリノ加熱への影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

その他の爆発メカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.4.1

音響メカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.4.2

磁気流体力学メカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.4

第 4 章 基礎物理過程とシミュレーション手法

4.1

34

流体シミュレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.1

一般相対論的流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.2

数値相対論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.3

Newtonian 極限流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4.1.4

計算機による流体力学の近似解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

第 5 章 観測的兆候

105

5.1

ニュートリノ観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2

重力波観測

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

第 6 章 まとめと展望

114

1

第 1 章 序論

超新星爆発 (supernova) は宇宙の爆発現象であり、Baade and Zwicky (1934) が最初にその存在を指摘した。超新星の最大光度は Baade and Zwicky (1934) の推定では ∼ 1041 erg/s、一般的には ∼ 1010 L⊙ で、光度曲線は数ヶ月続く。運動エネルギーは ∼ 1051 erg で、全エネルギー (運動＋輻射＋ニュートリノ) は ∼ 1053 erg に達する。
観測的には、超新星はスペクトルや光度曲線に現れる特徴からいくつかの種類に分けられる。図1.1 にはその分類をまとめた。まず、スペクトルに水素の吸収線が存在しない超新星は I 型と分類される。存在するものは II 型と呼ばれる。I 型の中でも、ケイ素の吸収線があるものは Ia 型と呼ばれる。ケイ素の吸収線がない I 型の中でも、ヘリウムの吸収線があるものは Ib 型と呼ばれ、ない
ものは Ic 型と分類される。II 型の中では吸収線が狭く爆発放出物質の速度が小さいものを IIn 型とよび (Filippenko 2000)、初期はスペクトルに水素吸収線があるため II 型に分類されても、後期段階ではむしろ Ib/c 型に近いスペクトルを示すものを IIb 型とよぶ。II 型はさらにスペクトルだ
けでなく光度曲線からも分類され、プラトー (光度が時間的に一定である状態) があるものが IIP
型、時間に対して等級が線型に落ちていくものを IIL 型と呼ぶ。
観測的な観点から超新星を分類すると以上のようになるが、物理的な分類としては爆発のメカ
ニズムの観点から二つの型に分けられる。一つは熱核暴走型 (たとえば、レビューとして Howell

図 1.1: 超新星爆発の観測的な分類。スペクトルの吸収線の特徴や光度曲線の様態から分類されるが、その分類のフローチャートとして示した。また、爆発メカニズムの観点からは、黄緑色で示したものは熱核暴走型であり、水色で示したものは重力崩壊型である。

2

(2011) がある) で、もう一つは重力崩壊型 (レビューとして Janka (2012) がある) である。
熱核暴走型超新星爆発は、観測的な分類では Ia 型に対応する。これは質量が増加することによって炭素-酸素 (CO) 白色矮星が圧縮され、炭素が暴走的に核融合し、そのエネルギーによって爆発する超新星である。白色矮星は水素外層をもたないため、スペクトルからは水素の吸収線が見つからずに Ia 型として観測されるのである。他に白色矮星の爆発である根拠として (Howell 2011,

Trimble 1982)、古い銀河でも観測されること、核融合で解放されるエネルギーがちょうど白色矮星の束縛エネルギーと Ia 型超新星の爆発エネルギーの和に同程度であることなどがある。
核融合は点火する場所から周囲に広がっていくが、それが衝撃波を伴う場合は爆轟波、伴わない場合は爆燃波と呼ばれる。爆轟波は核燃焼によるエネルギーで衝撃波を保持するのである。もし熱核暴走型超新星が爆轟波によって起こるならば、中心が高密度の状態で核燃焼が起こるので、鉄を中心とした重元素が合成される (Arnett 1969)。しかしこの場合、作られる元素の量を観測結果と比較すると鉄が多すぎ、また中程度の質量の元素が少なすぎる。その一方で爆燃波によるな
らば、核燃焼が進行する前に星が少し膨張して密度が下がるので、中程度の質量の元素が合成される (Nomoto et al. 1984)。だがこの場合には、Gamezo et al. (2003) が示したように、星の中心部に核燃焼しないままの物質が残ってしまい、観測事実とそぐわない。現在のところは、燃焼の最初期は爆燃波が発生し、何らかの時点で爆轟波に変化する遅延爆轟 (delayed detonation) が起
こるのではないかと考えられている (Gamezo et al. 2005)。このシナリオでは観測結果は説明されるが、爆燃波が爆轟波に変化するメカニズムがまだわかっていない。
質量が増加する原因としては、白色矮星が連星系を成していて、伴星から質量を獲得することが考えられている。これにも二種類のモデルが考えられており、それぞれ Single Degenerate (SD)モデル (Whelan and Iben 1973) と Double Degenerate (DD) モデル (Webbink 1984, Iben andTutukov 1984) と呼ばれる。SD モデルは連星系をなす二つの星のうち縮退星である白色矮星は一つだけで、もう一つは主系列星や赤色巨星であるモデルである。この場合、白色矮星は伴星から外層物質を剥ぎ取ることによって質量を増やす。一方、DD モデルは連星の両方が白色矮星である
モデルで、両者が重力波放射などにより接近して合体する際に爆発する。SD モデルと DD モデルのどちらが実現しているのかは現在議論がなされているが、どちらのシナリオも一長一短である。
例えば SD シナリオは発見数の問題がある。伴星から降着した水素は順次核融合して炭素、酸素を作り、CO 白色矮星の質量を増加させていく。しかしそのような場合には核融合のエネルギーは超
軟 X 線として放出されるため、観測可能であるが、宇宙の超軟 X 線源は白色矮星の数を説明できるだけの数はない (Di Stefano 2010)。DD シナリオの場合は、そもそも爆発するかどうかという問題がある。二つの白色矮星に質量の違いがあれば、合体はまず質量が小さい方の白色矮星が破壊されて大きい方の周りに降着円盤をつくり、それがだんだん降り積もるという過程を経て起こると考えられる。しかしその場合には、暴走的ではない核燃焼になってしまう (Saio and Nomoto1985)。どちらの白色矮星の質量もほぼ同じであれば片方が破壊されてもう片方にゆっくり降り積
もることはなく、シミュレーションでも実際に爆発が確認されている (Pakmor et al. 2010) が、そ
もそも質量がほぼ同じという状況がそう多く達成されるかは定かでない。SD/DD どちらのシナリ
オにせよ、全ての観測事実を説明することは難しく、最近ではむしろどちらのシナリオも起こるという可能性も考えられてきている。
重力崩壊型超新星爆発は、Ia 型以外の他の型として観測され、8 M⊙ 以上の大質量星の進化の最終段階で起こる爆発であると考えられている。これは重力崩壊によって解放される束縛エネル
ギーが何らかのメカニズムで爆発のエネルギーに転化するもので、Colgate et al. (1961) や Colgate

and White (1966) といった初期のシミュレーション以来約 50 年間研究されてきたが、まだその3

詳しい機構は完全にはわかっていない。現在のところもっとも有力な仮説はニュートリノ加熱メ
カニズムというものであり、その基本的なシナリオとしては以下のようなものが考えられている。
何らかの過程によって星のコアが重力崩壊を起こすと、潰れるにつれて中心密度は増大していく。
いずれは中心密度が原子核密度程度になり、核力によってそれ以上の崩壊が止められる。その一方で、周りの物質はほとんど自由落下によって超音速で中心に向かって降ってくるため、中心の止められた物質との間に衝撃波を形成する。この衝撃波はエネルギーを失いながら外側に進んでいき、やがて停滞する。その後、中心からのニュートリノによる加熱と流体不安定性によって衝撃波は復活し、衝撃波面が星の表面を突き抜けた時に爆発が起こる。Wilson (1985) はニュートリ
ノ加熱によって爆発することをシミュレーションによって初めて主張した。彼らのシミュレーショ
ンには非物理的な過程が用いられていたこともあり、その妥当性自体には疑問が残るが、この主張以来ニュートリノ加熱メカニズムは有用なメカニズムであると期待され、多くの研究がなされてきた。球対称モデルでは爆発するシミュレーションは報告されなかったが、最近は多次元シミュ
レーションによって爆発する例が出始めている。しかしながら、様々な点で精度がどの程度良いかわからない近似がされていること、状態方程式など入力物理に不定性があること、短時間しかシ
ミュレーションができず爆発エネルギーが確定しないこと、及び推定される爆発エネルギーが観測されているエネルギーよりも小さくなっていそうなことなど、まだわからないことも多い。また、爆発の結果中心に中性子星ができると考えられているが、中性子星は高速回転するほか、超新星残骸に対して非常に大きな並進速度を持っており (パルサーキック)、その原因がまだわかっていない。このような未解決問題はまだ多く、さらに詳しく調べるためには様々な不定性を減らしてより強固な結果を構築していく必要がある。
重力崩壊型超新星爆発は、さらにいくつかの分類がある。爆発のエネルギーを親星の主系列星
開始時 (zero-age main-sequence, ZAMS) の質量に対してプロットする (野本プロット、Nomoto

et al. (2006)) と、二つの分枝が現れる。すなわち、ZAMS 質量が大きくなると運動エネルギーも1052 -1053 erg 程度に大きくなる極超新星 (hypernova) 分枝と、ZAMS 質量が大きくなってもエネ
ルギーはむしろ小さくなる暗い超新星 (faint supernova) 分枝に分かれる。これらの特殊な超新星の起源はよくわかっていないが、極超新星については高速回転する星が重力崩壊して発生する超新星爆発である可能性が指摘されている。しかし、実際にその可能性が正しいかどうかを確かめるためには、ともかくまず通常の重力崩壊型超新星爆発のメカニズムを知る必要があるだろう。
以上のような状況に対して、著者はニュートリノ加熱メカニズムを理解するためにできる限り近似を排したシミュレーションを行うことを目指している。本論文はその準備として、ニュート
リノ加熱メカニズムの概要と問題点をレビューするものである。まず第 2 章では重力崩壊の力学を議論し、続けて第 3 章でニュートリノ加熱メカニズムについて解説する。次の第 4 章ではそこまで説明してきた物理シナリオを支える基礎物理過程、およびシミュレーションに用いられる手法を説明し、第 5 章ではニュートリノ加熱メカニズムから予想される観測シグナルについて議論する。最後に第 6 章ではまとめと、今後の研究計画について議論する。

4

第 2 章 重力崩壊

2.1

星の安定性

主系列星などの星は、自己重力を圧力勾配で支えている。このような星は収縮すると重力より先に圧力の方が強まるので、力の釣り合いを保ちながら準静的に重力収縮していく。しかしながら、何らかの原因で重力の方が強まるのが早くなると、圧力で支えきれずに重力崩壊を起こす。この境目を決めるパラメータについて考察する。
簡単のため、星は球対称だとする。自己重力を圧力勾配で支える静水圧平衡にあるので、自己
重力

−

Gm
ρ
r2

(2.1)

dP
dr

(2.2)

と、圧力勾配−が釣り合う。ただし、r は半径、P は圧力、ρ は密度、G は万有引力定数、そして m は質量座標、
すなわち半径 r 内に存在する内包質量 (enclosed mass) である。また、実効断熱指数 γ をγ≡∂ ln P∂ ln ρ


(2.3)
Sとする。ただし添字はエントロピー S を止めた偏微分であることを表す。いま、質量座標 m の質
量殻が収縮することによって密度に摂動が加わり、

ρ → ρ(1 + ϵ)

(2.4)

になったとする。ただし、ϵ は無次元の微小量である。この時、圧力は実効断熱指数 γ を用いて

P → P (1 + γϵ)(2.5)

dm = 4πρr3 dr(2.6)となる。質量座標は固定しているので、の左辺は変わらない。従って、ρ(式 (2.4)) の変化の最低次の項を打ち消すためには質量座標 m に対応する半径は
1
r →r 1− ϵ3(2.7)と変化しなければならない。これによって、自己重力 (2.1) は



 
Gm
2
Gm
ϵ
− 2 ρ→− 2 ρ 1+ 1+
r
r
3

5

(2.8)

と変化し、圧力勾配 (2.2) は

dP
dP
−
→−
dr
dr



 
1
1+ γ+
ϵ
3

(2.9)

と変化する。もしこの摂動によって圧力勾配 < 自己重力となれば星はさらに潰れ、重力崩壊を起こす。この条件は実効断熱指数が

γ<

4
3

(2.10)となる時に満たされる。すなわち、断熱指数が小さいために、小さくなって重力が大きくなる効
果が圧縮されて圧力が大きくなる効果よりも強くなり、重力崩壊が起こるのである。

2.2

重力崩壊の原因

2.1 節の議論から、実効断熱指数が 4/3 より小さくなると重力崩壊が起こる。断熱指数が 4/3 より小さくなる原因には、大きく分けて電子捕獲と鉄の光分解がある。
大質量星の中でも、比較的軽い星は酸素-ネオン-マグネシウム (O-Ne-Mg) コアを作り、それは電子の縮退圧によって支えられる。コアの収縮にともなって密度が上昇すると、電子の化学ポテンシャルが増大していく。化学ポテンシャルがある値を超えると、e− + p → νe + n によって電子捕獲反応が起こるようになる。ただし e− 、p、νe 、n はそれぞれ電子、陽子、電子ニュートリノ、
中性子である。この反応によって電子の数密度が小さくなると縮退圧が低下し、星が重力崩壊を起こすのである。この現象は電子捕獲型重力崩壊と呼ばれる (e.g. Poelarends et al. 2008)。
その一方で、星の質量が十分大きい場合は中心に質量 1 − 2 M⊙ 程度、ほぼ Chandrasekhar 質
量の鉄コアを作る。零温度の電子の縮退圧だけではコアの自己重力を支えられないが、電子の温度が有限であること及び鉄原子核の熱圧力もそれに加わることで、自己重力を支えている。この
鉄コア内部では核統計平衡 (強い相互作用と電磁相互作用によって各核種が一つの温度を共有した
平衡分布に従う状態) が成り立っており、丁度鉄の量が最も多くなっている。しかしながら、収縮によってさらに温度が上がっていき、O(MeV) 程度になると十分高エネルギーのガンマ線があらわれ始め、鉄原子核を光分解し始める。すると、平衡状態が鉄を中心とした組成からヘリウムを中心とした組成に変化する。ここで、最も存在量の多い元素が鉄であるかヘリウムであるかを分ける密度 ρ-温度 T 平面上の境界線は


log10

ρ
8
10 g/cm3
= 11.62 + log10T
7.888 × 109 K

3/2

− 39.17T
7.888 × 109 K

−1(2.11)となる。この反応は結局
56

Fe ↔ 134 He + 4n − 125 MeV(2.12)というものであり、吸熱反応なのでコアの圧力を減少させ、最終的に重力崩壊する (Burbidge et al.

1957)。この現象は鉄の光分解型重力崩壊と呼ばれる。ただし、この場合は電子捕獲が起こらないという意味ではなく、密度が上がると上述の機構と同様に電子捕獲が起こり、コアは重力的により不安定になる。コアがさらに圧縮されて ρ ≥ 1010 g/cm3 となるとさらにヘリウムの光分解反応4

He ↔ 2p + 2n − 28.3 MeVも右に傾き、吸熱反応でより不安定化し、最終的にコアには自由核子が残される。

6(2.13)

2.3

重力崩壊の自己相似解

重力崩壊のシミュレーションにおいては、崩壊中はエントロピーが変化せず、断熱的に起こることが知られている (Bethe et al. 1979)。このような場合には断熱指数 γ を用いて状態方程式がP = κργ と表せて、系の支配方程式で次元を持った物理量が κ と G の二つだけになる。このような場合には、Backingham の Π 定理から解を自己相似解で表せることが知られている。自己相似解とは、系の振る舞いを記述するための独立変数が、一般的な場合の独立変数の組 (球対称な場合
は (r, t)) ではなく、それらを組み合わせて作られたより少数の無次元独立変数の組であるような解である。重力崩壊型超新星爆発の文脈で重力崩壊の自己相似解を 6/5 ≤ γ ≤ 4/3 の場合に求めたのは Yahil (1983) である。ここでは彼に従い、重力崩壊の自己相似解を議論する。
系を支配する唯一の独立変数はX ≡ κ−1/2 G(γ−1)/2 r(−t)γ−2(2.14)である。ただし、t(負とする) は星全体が一点に潰れるまでの時間である。実際にはその前に核力で崩壊は止められるが (3.1 節)、ここではその効果は考えない。また、従属変数も無次元化する
Rr
Rr
ことができ、密度 ρ、速度 v 、内包質量 m = 4π 0 drr2 ρ、全エネルギー E = 4π 0 drr2 ρ(v 2 /2 +p/(γ − 1)ρ − Gm/r) に対してそれぞれを無次元化した量 D(X)、V (X)、M (X)、E(X) はD(X) ≡ G(−t)2 ρ(2.15)V (X) ≡ κ−1/2 G(γ−1)/2 (−t)γ−1 v(2.16)

M (X) ≡ κ−3/2 G(3γ−1)/2 (−t)3γ−4 m(2.17)

E(X) ≡ κ−5/2 G(5γ−3)/2 (−t)5γ−6 E(2.18)

ただし、

Z X
dxx2 D(x)M (X) = 4π0(2.19)Z X
2

E(X) = 4π

dxx D(x)0

V (x)2 D(x)γ−1 M (x)+−2(γ − 1)x(2.20)となる。いま、t → 0− の極限 (同時に 6/5 ≤ γ ≤ 4/3 なので X → ∞ の極限) を考える。その場
合でも、ρ、v 、m、E が全ての r で発散したり 0 になったりするわけではない。この条件から、無次元量 D、V 、M 、E は X  1 の極限でD(X)

∝ (−t)2 ∝X 2/(γ−2)(2.21)V (X)∝ (−t)γ−1 ∝X (γ−1)/(γ−2)(2.22)

M (X) ∝ (−t)3γ−4 ∝ X (3γ−4)/(γ−2)(2.23)

E(X) ∝ (−t)5γ−6 ∝ X (5γ−6)/(γ−2)(2.24)と振る舞う。はじめに断熱指数を 6/5 ≤ γ ≤ 4/3 の範囲に制限したのは、これらの漸近形が X → ∞で発散しない場合に着目するためである。特に γ ' 4/3 の場合、ほぼ V (X) ∝ X −1/2 すなわちv ∝ r−1/2 となり、自由落下と似たような振る舞いを示す。また、無次元化した連続の式と Euler

7

方程式は

D′
V
+ V ′ = −2 − 2
D
X
M
γ−2 ′
′
γD
D + [V + (2 − γ)X]V = − 2 − (γ − 1)VX[V + (2 − γ)X]

(2.25)(2.26)となる。ただし ′ は X に関する微分を表す。ここでU = V + (2 − γ)X(2.27)という新しい変数を使うと、以上の方程式系は

D′
2U+ U ′ = 4 − 3γ −
D
X
M
γ−2 ′
′
γD
D + U U = − 2 + (γ − 1)(2 − γ)X + (3 − 2γ)UX
U

(2.28)(2.29)となる。式 (2.28) は積分して4πX 2 DU = (4 − 3γ)M

(2.30)を与える。ここで、X → 0 で D が定数として振る舞えば、(2.28)、(2.29) からU=となる。これは V に直すと


4
−γ X
3

2
V =− X3(2.31)(2.32)となり、X  1 では重力崩壊によって相同収縮することがわかる。さらに、無次元化音速 A =γ 1/2 D(γ−1)/2 は X → 0 では D → const. となり 0 でない有限の値に近づくので、十分内側では物
質は亜音速で運動する。その一方で、X → ∞ では式 (2.21) により A ∝ X (1−γ)/(2−γ) となり、Vも A もどちらも 0 に収束する。この場合に物質が超音速で運動するか亜音速で運動するかは、実際に解の振る舞いを見るのがわかりやすい。
解を求めるためには式 (2.28)、(2.29) から U ′ を消去して D′ を求める式にし、また式 (2.19) より

M ′ = 4πX 2 D となるのでこれら二式を連立させて解けばよい。U は式 (2.30) で求める。この際、D′の方程式には U が音速と等しくなる点が特異点として現れる。X → 0 の極限では A → const. 6= 0、|U | → 0 であること、また X → ∞ の極限では A → 0、|U | → ∞(Pf. X → ∞ では V → 0、これと (2.27) から) であることから、解としてはこの U の遷音速点を通るものを考えなくてはならない。従って、様々な初期値 D0 から始めて、正則性条件 (U の遷音速点で D′ の特異性が消えるという条件) を満たす D0 を探し、そのような D0 について十分大きな X まで計算を進めることで解を得る。図 2.1 には γ = 1.3 での V (X) および A(X) を載せる。この場合には、D0 = 1.75 であった。V (X) は赤実線で表し、A(X) は緑破線で表している。これを見ると、X  1 では X に比例(左方の黒い二点鎖線) し、X  1 では X (1−γ)/(2−γ) ' X −0.43 に比例 (右方の黒い二点鎖線) していることがわかり、確かに式 (2.22)、(2.32) が成立していることがわかる。また、この図から明らかなように、X  1 では V は超音速となっている。さらに、相同収縮からずれ始める点と V の遷音速点、及び V が最大値を取る点 (X = 2.96、黒い点線) は全て近傍に存在している。V が最大値を取る点より内側は内部コア (inner core)、外側は外部コア (outer core) と呼ばれ、重力崩壊中の星のコアは亜音速で相同収縮する内部コアと超音速で落下する外部コアに分けられるといえる。

8

図 2.1: γ = 1.30 の場合の速度に関わる量の自己相似解。赤実線は物質の速度で、緑破線は音速、
青一点鎖線は自由落下速度を表し、全て無次元化した量で示している。また、物質の速度と自由落
下速度は内側に向くため負の量だが、プロットする上で符号を反転させた。黒二点鎖線は X  1の場合及び X  1 の場合の漸近形が従う冪を表し、黒点線は物質の速さが最大になる位置を表す。黒点線より内側の領域は内部コアと呼び、外側は外部コアと呼ぶ。内部コアはほぼ亜音速かつ速度と半径が比例する相同収縮するのに対し、外部コアは超音速で落下する。Yahil (1983) にあるのと同様の図であるが、特に一点に潰れる前の自己相似解に着目し、また参考のため冪乗則に従う線をいくつか入れた。
また、無次元化自由落下速度p
2M/X も図に青一点鎖線で示してある。ここから、超音速で落下する外部コアであってもその速度は自由落下よりは遅く、実際には圧力によるブレーキが無視できないことがわかる。
ここで、γ = 1.30 の場合の内部コアの次元付き質量 MIC を簡単に見積もる。自己相似解においては常に X = 2.96 が内部コアの端なので、無次元化質量は M (X = 2.96) = 5.99 を考えればよい。これを次元のある量に直すためには、時刻と κ も指定しなくてはならない。時刻は r = 0 の場合の式 (2.15) により、中心密度 ρc を定めることで −t = (Gρc /D0 )−1/2 と指定できる。また、状態方程式が P = κργ で表せる簡単な例は、電子縮退圧である。相対論的な電子縮退圧を考えると、
4/3

γ = 4/3、κ ∝ Yeとなる。ただし、Ye ≡ ne /n は電子存在比 (ne は電子の個数密度で n は核子の個数密度) である。γ の値は違うが、この時の κ を見積もりに用いる。いま、ρ0 = 1012 g/cm3 、Ye = 0.35 の場合を考えると

MIC = 0.48 M⊙

Ye
0.35

2 

ρ0
12
10 g/cm3 3γ−4 
2

D0
1.75

− 3γ−42M
5.99(2.33)

程度となる。この質量は、式 (2.17) にあるように、時間に対して (−t)4−3γ = (−t)−0.1 の冪で増加9していく。
この自己相似解は実際の解を大まかに近似するに過ぎないが、重力崩壊中のコアが亜音速で相同収縮する内部コアと超音速でほぼ自由落下する外部コアに分けることができること、および内部コア質量が ∼ 0.7 M⊙ であることは詳細な数値計算でも確かめられている。

2.4

ニュートリノ閉じ込め

重力崩壊は再度断熱指数が 4/3 より大きくなるまで続く。崩壊中のコアでは電子捕獲反応が進
み、中性子過剰核が作られていくが、あまりに中性子過剰な原子核は不安定であり、中性子が原子核からこぼれてしまう。この現象は中性子ドリップと呼ばれる。こぼれた中性子は圧力を増加させ、その結果断熱指数が 4/3 より大きくなって重力崩壊が止まる様子がシミュレーションで見つかっていた。しかし、この振る舞いは現在では否定されている。ニュートリノの存在によって、電子捕獲反応が抑制されるからである。ニュートリノは弱い相互作用しかしないので発生したらそれ以上反応せずコアから抜け出していくと考えがちだが、実際には重力崩壊によりコアは非常に高密度になるので、ニュートリノは反応するようになるのである。これをニュートリノ閉じ込
め (Sato 1975) という。
重力崩壊中の星のコアにおいては、重要なニュートリノ反応は原子核とのコヒーレント散乱

ν + A → ν + A である。ただし ν はニュートリノを表し、質量数 A の原子核を単純に A と表した。以下では特に電子ニュートリノ νe に着目する。この反応の断面積 σA は原子番号を Z として

σA =

σ0
16

'

σ0
4




ϵνe
me c2
ϵνe
me c2

2
(2 sin2 θW A + (1 − 2 sin2 θW )(A − 2Z))2(2.34)

sin4 θW A2(2.35)

2となる。ただし、

σ0 ≡4G2F (me c2 )2(ℏc)2 = 1.75 × 10−44 cm2π(2.36)

は弱い相互作用の典型的な断面積で、c は光速、ℏ は換算 Planck 定数、GF は Fermi 結合定数、meは電子の静止質量で θW は Weinberg 角、ϵνe は電子ニュートリノのエネルギーである。(2.35) では A ' 2Z として近似した。いま、この反応の平均自由行程 ℓmfp ≡ (σA nA )−1 を考える。ただしnA = ρ/(mu A) は原子核 A の数密度で、mu は原子質量単位である。電子ニュートリノは電子捕獲反応によって生成されるので、その際の原子核の反跳を無視すれば電子ニュートリノのエネル
ギーは電子の Fermi エネルギー程度と見積もれる。すなわち、

1/3

2 ρYe
ℏc
ϵνe ' 3πmu

(2.37)

ただし Ye は電子存在比。ここから、平均自由行程は

1ℓmfp =' 5 × 107 cm
σA nA



ρ
10
10 g/cm3

−5/3 Ye26/56

−2/3 A56

−1
(2.38)となる。コアの半径は数百 km 程度なので、1010 g/cm3 程度以上になると電子ニュートリノも散乱されるようになるのである。密度がさらに上昇すると平均自由行程はさらに短くなり、散乱を多数繰り返してコア内でランダムウォークにより拡散するようになる。この段階で、電子ニュー

10トリノがコアから出て行くタイムスケールはtdiﬀ ≡

2
3Rcore= 30 msℓmfp cρ1011 g/cm3



Ye
26/56

2 

A
56


(2.39)となり、密度と共に長くなる。ただし、


Rcore =

3Mcore4πρ1/3(2.40)

はコア半径で、コア質量 Mcore は Chandrasekhar 質量MCh ' 1.256 M⊙

Ye
26/56

2
(2.41)

で与えた。一方、重力崩壊にかかるタイムスケールは力学的タイムスケールrtdyn ≡

1' 10 msGρρ
11
10 g/cm3

−1/2(2.42)となり、密度が大きくなると短くなる。これらにより、ある値 (上記のスケーリングからは約1011 g/cm3 ) より大きな密度では電子ニュートリノは重力崩壊の間コアから抜け出すことができず、閉じ込められることになる。後述するように、ニュートリノ閉じ込めが起こることは SN1987A の観測によって確かめられた。
ニュートリノ閉じ込めが起こると、崩壊中はニュートリノの密度が上がっていく。すると一つの配位空間点上でニュートリノが運動量空間に占める体積が大きくなり、Pauli の排他律によって電子捕獲反応によるニュートリノ放出が阻害される。さらに、ニュートリノが大量に存在するた
めに電子捕獲反応の逆反応も起こり、物質が β 平衡になることも電子捕獲反応が阻害される原因である。また、ニュートリノ閉じ込めはより閉じ込められる方向にフィードバックも及ぼす。これは、縮退したニュートリノの密度が上がると Fermi エネルギーが上がって散乱断面積 (∝ ϵ2νe ) が大きくなり、また電子捕獲反応とそれに続く中性子ドリップが抑制されるため核子の質量数が大
きいままで、散乱断面積 (∝ A2 ) が小さくならないからである。
ニュートリノがランダムウォークして外に抜け出ていくという描像は、恒星から光子が抜け出ていく描像に似ている。それゆえ、恒星の光球と同様にニュートリノ球というものが定義できる。
これはニュートリノが閉じ込められるだけの密度 (電子ニュートリノの場合は 1011 g/cm3 ) となる半径で定義されることもあるし、ニュートリノの光学的深さが 2/3 となる半径で定義されることもある。ニュートリノ球は、まず外部コアにできる。本節の以上の議論は、野本 et al. (2009) を参考にしている。

11

第 3 章 重力崩壊型超新星の爆発メカニズム

本章では、重力崩壊した星のコアがどのように外向きの爆発を引き起こすかというメカニズムを議論する。以下の議論は、野本 et al. (2009) や Janka (2012) なども参考にしている。

3.1

バウンス衝撃波および原始中性子星の形成

2.4 節で説明したように、ニュートリノ閉じ込めによって電子捕獲反応は抑制され、中性子ドリッ
プによっては崩壊を止めることはできない。その結果、コアは中心が原子核程度の密度になるまで崩壊を続けることになる。原子核程度の密度になると強い斥力である核力が働き、断熱指数が4/3 を超えて再び自己重力を圧力で支えられるようになるのである。2.3 節で述べたように、内部
コアは亜音速で収縮しているため、中心がそれ以上潰れなくなるとその情報が音波として伝わることができ、全体的に減速していくことになる。その一方で、外部コアは超音速で落下している
ため音波で情報が伝わらず、減速する内部コアにぶつかって初めて減速する。このような状況下
では、内部コアと外部コアの境界に衝撃波が生じる。この衝撃波のことをバウンス衝撃波と呼ぶ。
バウンス衝撃波ははじめニュートリノ球より内側に形成されるが、外側に伝搬し 10 ms 程度経つ頃に電子ニュートリノ球を突き抜ける。この時に電子ニュートリノ光度が急激に増大する。これには大きく二つの原因がある。一つは、衝撃波直後の非常に高温で β 平衡にある領域がニュート
リノに対して不透明な領域から透明な領域に進出するために電子ニュートリノが放出されることであり、もう一つは衝撃波がニュートリノ球手前の物質を分解することで散乱断面積 (∝ A2 ) が小
さくなり、それまで内側にいて外に出られなかったニュートリノが飛び出すようになることである。この電子ニュートリノ光度の増大は電子捕獲反応による中性子化を伴うので、中性子化バーストと呼ばれる。これにより、バウンス後 10 ms 程度で電子ニュートリノ光度に急峻なピークが現れる。
バウンス衝撃波のエネルギー源は内部コアの重力エネルギーである。崩壊前の重力エネルギーからバウンス時の重力エネルギーを差し引くと



2 
2 
GMIC
GMIC
∆E ' −− −' 1.3 × 1053 erg
Rini
Rﬁn

(3.1)

程度となる。ただし、内部コア質量 MIC = 0.7 M⊙ 、内部コア初期半径 Rini = 108 cm、内部コアバ
ウンス時半径 Rﬁn = 106 cm とした。これらのエネルギーのうち、バウンス衝撃波には約 5×1051 ergのエネルギーが注入される。残りのエネルギーは原始中性子星の内部エネルギーとなる。原始中性子星とはバウンスした内部コアと衝撃波を通過してきた外部コア物質や外層が中心に降り積もってできた構造であり、その半径はニュートリノ球にほぼ等しい。内部コアはニュートリノ閉じ込
めによって電子捕獲が抑制されるため、原始中性子星形成段階では中性子化は十分進んでいない。
観測されている中性子星は陽子の割合が全体の約 10% と言われているが、形成直後の原始中性子星では約 30% である。ここから拡散タイムスケールでニュートリノがゆっくり抜けていくことで原始中性子星は内部エネルギーを外に放出し、また電子捕獲を進めて中性子星へと進化していく。

12

これを原始中性子星の冷却という。原始中性子星のサイズを RPNS とすると、原始中性子星から
ニュートリノが抜けていくタイムスケールは
2
3RPNS
tdiﬀ == 4sℓmfp c



RPNS
10 km

2 

ρ
14
10 g/cm3ϵν 2
10 MeV(3.2)

程度になる。ただし原始中性子星の大きさは中性子星と同程度とした。また、放出されるニュート
リノの平均エネルギーは ∼ 10 MeV 程度であることが知られている。実際に超新星からのニュートリノを観測した例は SN1987A のみであるが、カミオカンデ II (Hirata et al. 1987) で検出した
ニュートリノ信号の継続時間は約 12 秒、IMB 実験 (Bionta et al. 1987) で検出した継続時間は約5 秒であり、この拡散時間と整合するので、ニュートリノ閉じ込めが実際に起こっていることが確かめられた。また、これらの観測からニュートリノが持ち出す全エネルギーは ∼ 1053 erg であると見積もられており、(3.1) の値と一致する。

3.2

ニュートリノ加熱メカニズム

3.1 節で述べたバウンス衝撃波がそのまま星の表面まで到達すれば、超新星爆発が起こると期待されていた。しかしながら、このようなバウンス衝撃波メカニズムだけでは超新星爆発は起こらない。衝撃波は伝搬しながらエネルギーを消費し、星の表面まで到達せずに止まることがシミュ
レーションで確かめられている。エネルギーを失う原因としては、鉄の分解とニュートリノによる損失がある。鉄コアの主要な成分である 56 Fe の核子１つあたりの結合エネルギーは 8.8 MeV であるが、衝撃波で熱化した物質がこれ以上の熱エネルギーを持っていた場合、鉄は陽子と中性子に分解される。この鉄解離反応が起こるのに十分な運動エネルギーを獲得する半径を鉄の解離半径と呼び、GMPNS mu /Rdiss = 8.8 MeV で定義される。ただし MPNS は原始中性子星質量で、これを 1.5 M⊙ とすると Rdiss ' 240 km となる。衝撃波がこれより内側にある限り、通過した物質は核子にまで分解されることになる。また、自由陽子・自由中性子の電子捕獲反応の断面積は鉄などの原子核のものに比べて非常に大きく、衝撃波を通過して乖離した核子はさらに電子捕獲でニュートリノを放出する。このように、衝撃波はエネルギーを物質の解離とニュートリノ放出によって失い、伝搬を止めてしまうのである。この止まった衝撃波を定在降着衝撃波 (standing accretion

shock, SAS) と呼ぶ。このとき、衝撃波半径 Rs は 200 km 程度で停滞する。
ところが、別の物理過程によって SAS にはエネルギーが注入されることがわかってきた。最も有力な過程はニュートリノ加熱である。原始中性子星内部では高エネルギーのニュートリノが閉じ込められている。このニュートリノが拡散によって原始中性子星から滲み出し、前節で見たように ∼ 1053 erg のエネルギーを持ち出す。ニュートリノは (重力を除けば) 弱い相互作用でのみ物
質と反応するため、大多数は反応せずに星から抜け出していく。しかしその一部が衝撃波直後の物質に吸収されるとそこで物質を加熱し、衝撃波にエネルギーを与える。Wilson (1985) はニュートリノ加熱によって球対称シミュレーションで星が爆発したと主張した。このシミュレーションは人工的で非物理的な仮定も多く、そのままそれが正しいと受け取ることはできないが、ニュートリノ加熱メカニズムの有用性を示した点で重要である。
このメカニズムでは ∼ 1053 erg のニュートリノエネルギーのうち ∼ 1% が物質を加熱するのに使われれば、観測される ∼ 1051 erg のエネルギーの爆発が起こる。この現象をシミュレーションで捉えるためには ∼ 1% よりも誤差は小さく抑えなければならず、非常に高い精度を必要とする
難しい問題である。そのため、今日に至るまで精度の高いニュートリノ輸送シミュレーションを

13

図 3.1: ゲイン半径の模式図。中心に白い半円で表した原始中性子星 (proto-neutron star, PNS)があり、その半径はニュートリノ球半径 Rν にほぼ等しい。原始中性子星から波線で表したニュートリノが放出される。その大半は衝撃波半径 Rs の外側に抜けていくが、一部は衝撃波より内側の物質に吸収され、エネルギーを与える。衝撃波より内側の物質は中心ほど高温のためむしろニュートリノ黒体輻射で冷却されるが (図中水色で示した冷却領域)、外にいくにつれ低温になっていく
ためニュートリノ吸収で加熱されるようになる (図中赤色で示した加熱領域)。冷却・加熱領域の境目となるのがゲイン半径 Rg である。
行うために非常に多くの研究がなされている。
ニュートリノ加熱メカニズムで重要な概念として、ゲイン半径 Rg というものがある。原始中性子星のすぐ外側の物質はまだ高温なため、ニュートリノを吸収することによる加熱よりもニュートリノを放出することによる冷却の方が優っている。しかし、より外側にいくにつれて温度は下がり、ニュートリノ吸収による加熱が優るようになる。この、冷却優勢領域と加熱優勢領域の境
目をゲイン半径と呼ぶ。図 3.1 にはゲイン半径の模式図を載せる。物理的な描像としては以下のようになる。すなわち、外部から物質が落下し、半径 Rs の衝撃波を通過してゆっくりと中心に移流する。ゲイン領域 (衝撃波半径 Rs からゲイン半径 Rg までの領域) を流れる間は、主に電子ニュー
トリノおよび反電子ニュートリノの吸収反応で加熱され、ゲイン半径 Rg を過ぎると冷却が優勢になる。このゲイン領域での加熱が衝撃波にエネルギーを与え、復活させるのである。
ここでこの先、ゲイン半径の大きさやニュートリノ加熱メカニズムのエネルギーの見積もりを議論するために、球対称の場合の密度、温度がそれぞれ半径の −3 乗、−1 乗に比例すること、及び衝撃波による圧縮率が O(10) となることを示す。ここでの議論は Janka (2001) に従う。
重力崩壊を起こした星のコアの中心部は非常に高密度であるが、衝撃波のすぐ背面では密度はそこまで大きくない。しかしながら、鉄を核子に解離できるくらい非常に高温であるため、圧力は核子ではなく光子および相対論的な電子と陽電子が担う。そのような場合、流体の状態方程式
4は輻射密度定数 aγ を用いて P = Pe± + Pγ = 11
12 aγ T となる。一方、相対論的流体の断熱指数は4/3 なので、P = κρ4/3 とも書ける。いま、原始中性子星からの重力とこの相対論的流体の圧力がつりあって静水圧平衡 dP/dr = −GMPNS ρ/r2 になっているとすれば、ρ ∝ r−3 となる。また、状14

態方程式の関係から ρ ∝ T 3 なので、T ∝ r−1 となる。
さらに、衝撃波の圧縮率について考える。いま、Rankine-Hugoniot 条件は衝撃波上流での量にu、下流での量に d という添字をつけると
ρu uu = ρd ud(3.3)

Pu + ρu u2u = Pd + ρd u2d1 2
1 2
u + hu − qu =u + hd
2 u
2 d

(3.4)
(3.5)

となる。ただし、h = (P + e)/ρ は比エンタルピーで、e は内部エネルギー密度、u は衝撃波に対する速度、q は衝撃波通過後に原子核の解離に使われる単位質量あたりのエネルギーである。ここで Pd  Pu 、hd  hu という強い衝撃波を考える。また前述の通り、衝撃波通過後の流体では状態方程式は相対論的に振る舞うので P = e/3、h = 4P/ρ となることを考えると、衝撃波による圧縮率は

ρd2qu ρu
'7+
ρu
Pu

(3.6)

となる。したがって、相対論的流体の衝撃波通過後の圧縮率は O(10) である。γ = 4/3 の場合の強い衝撃波の圧縮率に加え、原子核の解離にエネルギーを使う分さらに密度が上がるのである。
以上の準備を利用して、ニュートリノ加熱メカニズムで得られるエネルギーを見積もる。そのためにはゲイン半径の大きさも知らなければならないので、まずはこれを大雑把に見積もる。ニュートリノ加熱反応で重要なのは β 反応 νe + n ↔ e− + p と逆 β 反応 ν¯e + p ↔ e+ + n なので、この節ではこれらの反応に絞って議論する。中心の原始中性子星ではニュートリノが熱平衡にあり、そこから黒体輻射によりニュートリノが光度 Lνe = πRν2e aν cTν4e で放出されるとする。ただし、Rνeは電子ニュートリノ球半径、aν = 87 aγ はニュートリノの「輻射密度定数」で、Tνe は電子ニュートリノ球での温度である。核子あたりのニュートリノによる加熱率 qν+e は局所的なニュートリノフ
ラックスに比例するので、中心からの距離が r である点では

qν+e '

Lνe σνe (Tνe )Yn
4πr2

(3.7)

となる。ただし中性子存在比 Yn は全核子数密度に対する中性子数密度の比である。また、σνe (T ) =hϵ2νe i
3a2 + 1σ0
4
(me c2 )2(3.8)

は温度 T のニュートリノが吸収される反応の断面積の熱平均である。ただし、エネルギーの最低次のオーダーのみ取った。

a = 1.26(3.9)

は軸性ベクトル結合定数で、σ0 は弱い相互作用の典型的な断面積 (式 (2.36)、ただしここでは弱い相互作用に伴うクォークの混合は無視した)、me c2 = 0.511 MeV は電子の静止エネルギーである。

h·i は物理量 · のエネルギーを重みとした平均を表し、ニュートリノが化学ポテンシャルを 0 とする Fermi-Dirac 分布に従うとすれば、ニュートリノエネルギーの二乗の平均は

hϵ2νe i =Γ(6)F5 (0)(kB T )2 ' 21(kB T )2
Γ(4)F3 (0)15(3.10)

となる。ただし、kB は Boltzmann 定数で1
Fn (x) ≡Γ(n + 1)

Z ∞
0

tn
dt
exp(t − x) + 1(3.11)

は完全 Fermi-Dirac 積分、Γ(x) はガンマ関数である。また、核子あたりの電子捕獲ニュートリノ
放出による冷却率 (正の時に物質が冷却されると定義) は

qν−e = σνe (T )aν cT 4 Yn

(3.12)となる。ただし、qν+e はニュートリノ球での温度 Tνe に依存していたのに対し、qν−e は局所的な温度 T に依存していることに注意せよ。σνe (T ) ∝ T 2 なので σνe (T )/σνe (Tνe ) = T 2 /Tν2e となり、加熱率と冷却率は差し引き(
qν+e − qν−e = qν+e



1−

2r
Rνe

2 

T
Tνe

6 )
(3.13)となる。これが 0 になる位置がゲイン半径である。ここで先ほどの議論により、温度プロファイ
ルは衝撃波から半径に反比例して上がっていくので、

T = TsRsr(3.14)となる。ただし Ts は衝撃波すぐ内側の温度である。これはゲイン半径の内側まで続くので、s
(2Rs )3 Ts 3Rg =(3.15)RνeTνeとなる。ここで、シミュレーションで得られる典型的な値として kB Tνe = 4.8 MeV、kB Ts = 1 MeV、Rs = 200 km、Rνe = 80 km を用いると、Rg = 85 km 程度となる。以下では Rg = 100 km として扱う。
ゲイン半径の大きさがわかったので、ゲイン領域にニュートリノがエネルギーを加える効率を考える。σνe (T ) を用いて opacity は κνe ,abs = σνe (T )Yn /mu であるから、ニュートリノの光学的深
さは

τ≡

Z Rs
drκνe ,abs ρ =Rg

3a2 + 1 σ0 hϵ2 i Yn
4
(me c2 )2 mu

Z Rs
drρ

(3.16)Rgである。ここで、前述のとおり衝撃波背面の流体においては ρ ∝ r−3 であると近似できる。いま、この密度分布の比例係数を別のパラメータで表す事を考える。衝撃波のすぐ上流での質量降着率Ṁ = 4πRs2 |vu |ρu はおおまかに 0.1 M⊙ /s と見積もれる。ここで、vu は衝撃波上流での速度だが、p
物質が自由落下すると考えれば MPNS を原始中性子星の質量として vu = − 2GMPNS /Rs である。また、衝撃波による圧縮は前の議論により ρu ' ρd /10 程度になる。ρ ∝ r−3 という関係は衝撃波の内側で成り立つため、ρd を用いて ρ = ρd (Rs /r)3 となる。以上の関係を用いると、密度分
布は

ρ=

3/2

Ṁ Rs

5
√

1/2 3
2π 2G MPNSr

16

(3.17)

と見積もれる。これを用いて、光学的深さ、すなわちエネルギー吸収率は!3/2 
−2 
RgkB Tνe 2
ṀRs
MPNSτ ' 0.035
4 MeV
0.1 M⊙ /s
200 km100 km
1.5 M⊙(3.18)となる。ただし、シミュレーションから得られた典型的な値を用いており、積分の上限は Rs でなく ∞ で近似した。これによると電子ニュートリノがエネルギーを落とす割合は数%であり、反電子ニュートリノも同様の計算により同じだけの割合のエネルギーを物質に与える。ここで、全
ニュートリノエネルギーは ∼ 1053 erg であるが、これは各フレーバーのニュートリノに分配され、電子ニュートリノおよび反電子ニュートリノはそれぞれ 2 × 1052 erg 程度のエネルギーを原始中性子星から持ち出すと仮定すると、上の光学的深さによる吸収では ∼ 1051 erg のエネルギーを物質に与える。
しかし、この議論は球対称で静水圧平衡である流体にニュートリノが照射される場合のものである。実際には衝撃波背面の物質は中心に降り積もり続けるので、時間が経つとゲイン領域から流れ出てしまう。そのような場合には、単位時間あたりゲイン領域に加えられるエネルギーを考えるほうがよい。これは電子ニュートリノの核子あたりの加熱率 qν+e と同様に反電子ニュートリノ
の核子あたりの加熱率 qν+¯e (断面積は平均エネルギー以外同じなので、Lνe → Lν¯e 、Yn → Yp と置き換えればよい) を用いて++Q+ν ≡ (qνe + qν¯e )Mgmu(3.19)となる。ただし Mg はゲイン領域にある質量である。ここで、反電子ニュートリノの平均エネル
ギーは電子ニュートリノの平均エネルギーより少し大きいが、ゲイン領域にある物質は陽子のほうが少し少ないので、それを差し引きして

qν+e + qν+¯e =Lνe σνe (Tνe )
4πr2(3.20)と近似する。これにより、ここでも多次元シミュレーションでの典型的な値を用いて

51
Q+
ν ' 9.4 × 10 erg/skB Tνe
4 MeV

2 

Lνe
3 × 1052 erg/sMg
0.01 M⊙Rg
100 km−2(3.21)となる。また、単位時間あたり加えられるエネルギーともう一つ重要なのは、物質の滞在時間 tdwellである。これはMg
tdwell ≡= 0.1 sṀMg
0.01 M⊙Ṁ
0.1 M⊙ /s!−1(3.22)

で定義し、示したように典型的には 0.1 s である。物質が得るエネルギーは以上より

Lνe' 9.4 × 10 erg/s
3 × 1052 erg/s
!
−1 

2
−2
Rg
Mg
Ṁ
×
0.01 M⊙
0.1 M⊙ /s
100 kmE ≡ Q+
ν tdwell50

kB Tνe
4 MeV

2 (3.23)となる。実際にはここでは無視していた冷却の効果があるので 20-30%程度小さな値となるが、それでもニュートリノ加熱メカニズムによりこれだけのエネルギーを与えることができ、爆発が起こる可能性がある。
また、上のスケーリングではエネルギーを落とす割合は Q+
ν /(Lνe + Lν¯e ) ' 0.16 となり、(3.18)17より大きな値になっている。これは、後に述べる流体不安定性により衝撃波半径が広がったりす
るなどの効果が働くために、多次元シミュレーションでは球対称静水圧平衡を仮定した場合よりもゲイン領域の質量 Mg が大きくなることが大きな理由である。Mg が大きくなると、ニュートリノが吸収される標的が増えること、および滞在時間が増えることの二つの効果が働いて衝撃波に与えるエネルギーが大きくなる。これは (3.23) でエネルギーがゲイン領域内質量の二乗に比例することに現れている。

3.3

流体不安定性3.2 節で述べたニュートリノ加熱による爆発は Wilson (1985) の後多くのグループによって追試が行われたが、一次元計算ではどんなに入力物理を精緻化しても爆発を再現することができなかった (Liebendörfer et al. 2001, Rampp and Janka 2000, Sumiyoshi et al. 2005, Thompson et al.

2003)。親星の質量が非常に小さい場合のみ、爆発を上から押さえつける質量降着が小さいため一
次元でも爆発することが確かめられたが (Kitaura et al. 2006)、それは大質量星の最期としては例
外的である。最近の研究ではニュートリノ加熱の他にもまだいくらかの物理過程、特に多次元性が重要になる流体不安定性が衝撃波を復活させるために必要だと考えられている。特に Herant et al.

(1992) は初めて二次元でのシミュレーションを行うことで、対流不安定性による物質循環が重要であることを示した。この対流不安定性には前述のとおりゲイン領域の質量を増やす効果などがある。また、対流不安定性はニュートリノ加熱によって起こるが、ニュートリノ加熱がない場合にもまた別の不安定性が発生することも発見された (Blondin et al. 2003)。この不安定性は衝撃波面が大スケールで振動するもので、定在降着衝撃波不安定性 (standing accretion shock instability,

SASI) と呼ばれる。SASI も、対流不安定性と同様にニュートリノ加熱の効率を上げる。以下では、超新星爆発における対流不安定性の発生をまず述べ、次に SASI について簡単なトイモデルで発生メカニズムを説明する。最後に流体不安定性がどのように衝撃波復活に影響を与えるかを議論
する。

3.3.1

対流不安定性

流体不安定性として最もよく研究されてきたのは、対流不安定性である。Wilson (1985) のシ
ミュレーションでも、対流不安定性は考慮されている。対流不安定性を引き起こすのは、エント
ロピー勾配が重力と逆方向を向いていることである。この不安定性条件は Schwarzschild の条件と呼ばれる。また、物質の組成の勾配も考える場合の条件は Ledoux の条件と呼ばれる。以下では、これらの条件を導く。簡単のために平面平行流を考え、物理量が z のみに依存する一次元系を考える。また、系を定める物理量としては密度、圧力、エントロピー、そして平均分子量を考える。今、平衡状態だった流体に摂動が加わり、密度、エントロピー、平均分子量がそれぞれ ρ(z)、S(z)、µ(z) である流体片が位置 z から z + ∆z に変化したとする。この時、温度が放射冷却などで変化する前に圧力は瞬時に z + ∆z での値に等しくなるとすれば、密度は圧力の変化に従って断熱的に変化する。その変化量を ρ(z) + ∆ad ρ と書く。一方で、周囲の密度の変化量を ρ(z) + ∆sur ρと書くと、重力加速度 −g のもとではこの流体片には −g(∆ad ρ − ∆sur ρ) だけの浮力が働く。ここ
で、流体片が断熱的に上昇したこと、及び内包する物質は変化しないことからその密度変化は


dP
∂ρ
∆ad ρ =∆z(3.24)∂P S,µ dz

18であり、周囲の密度変化は


 
 
∂ρ
dP
∂ρ
dS
∂ρ
dµ
∆sur ρ =
∆z +
∆z +
∆z
∂P S,µ dz∂S P,µ dz∂µ P,S dzとなる。よって、この場合の浮力は
( 
)
 
∂ρ
∂ρ
dS
dµ
g
+
∆z
∂S P,µ dz∂µ P,S dz(3.25)(3.26)となる。対流不安定になるのは ∆z > 0 のとき浮力が正になることなので
 
 
dS
∂ρ
dµ
∂ρ
+
>0
∂S P,µ dz∂µ P,S dz(3.27)の時である。これを Ledoux の条件という。また、µ の勾配が無視できる場合は、(∂ρ/∂S)P,µ < 0なので対流不安定条件は

dS
<0
dz

(3.28)

すなわち負のエントロピー勾配の存在となる。これを Schwarzschild の条件という。
ここまでは摂動の変位に関して式を線形化して不安定性を議論していた。さらに議論を進めて、線型化した摂動の運動方程式は

ρ

d2 ∆z
=g
dt2



∂ρ dS
∂ρ dµ
+
∂S dz
∂µ dz


∆z

(3.29)となる。ここから、線形成長率 N は
v (
)
u
 
u g  ∂ρ 
dS
∂ρ
dµ
N ≡t
+
ρ
∂S P,µ dz∂µ P,S dz(3.30)となる。もし対流安定、つまり平方根の中身が負であれば、これは Brunt–Väisälä 振動数を与える。さらに、


dρ =

∂ρ
∂S




dS +

P,µ

∂ρ
∂P




dP +

S,µ

∂ρ
∂µ


dµ

より、µ の勾配が無視できる場合は

 

∂ρ
dS
dρ
∂ρ
dP
dρ
ρ dP
=
−
=
−
∂S P,µ dz
dz∂P S,µ dz
dz γP dzなので、(3.31)

P,S(3.32)sN=と表せる。ただし、

g dρ
g dP
−
ρ dz γP dz
γ=∂ ln P∂ ln ρ

(3.33)

(3.34)
S,µである。
以上の議論は周囲の環境が静的な場合に限っていたが、実際の超新星では常に衝撃波に降着してきた物質が中心の原始中性子星に流れてきており、静的な状況ではない。そのような状況では、

19

対流不安定性の条件としては Ledoux や Schwarzschild の条件よりも、Foglizzo et al. (2006) が提案した χ パラメータχ≡Z shock
N
gain

dz
vz

(3.35)

が多く用いられる。これは、大雑把には (ゲイン領域を物質が流れるのにかかる時間)/(対流不安
定性が成長するのにかかる時間) という量である。すなわち、χ が小さいと、対流不安定性が成長する前に物質はゲイン領域を流れ切ってしまい、対流に対して安定になる。ニュートリノ加熱を考えた一次元流体方程式を摂動に関して線形化し、モード解析をしようとすると、安定モード/不安定モードの振動数に関する固有値問題になる。Foglizzo et al. (2006) はこの固有値問題を逆に、振動数が 0 となる場合に χ がどのような値を取るか調べることで、χ に関する対流不安定性条件> 3 の場合に対流不安定性が発達することを主張した。単純に考えるとを調べた。その結果、χ ∼χ > 1 で対流不安定性は発達しそうだが、なぜ 1 でなくて 3 なのか、その物理的理由はまだわかっていない。また、この条件はあくまで線型解析の結果であり、非線形効果まで考えるシミュレー
ションでは χ がいくつ以上で不安定になるかは議論の余地がある。

3.3.2

定在降着衝撃波不安定性

3.3.1 節で説明したように、ゲイン領域を物質が流れきるのにかかるタイムスケールが短い場合には対流不安定性は発達しない。しかしながら、これは流体不安定性が何も発生しないということは意味しない。むしろ、しばしば別の不安定性である定在降着衝撃波不安定性、SASI が生じる

(Müller et al. 2012a)。
SASI とは、衝撃波面の形が大スケールで振動する不安定性である。もともとブラックホールへ物質が降着する時に発生する不安定性として提唱されたが (Foglizzo 2002)、Blondin et al. (2003)
が超新星爆発を模した二次元シミュレーションでも発生することを示した。Blondin et al. (2003)によると、衝撃波面は動径方向の摂動に対しては安定であるが、角度方向の摂動に対しては不安定となる。さらに、三次元シミュレーションでも同様の不安定性が発生することも見つかっている(Blondin and Mezzacappa 2007)。SASI による衝撃波面変動の模式図を図 3.2 に示す。いま、中心の原始中性子星は黒い丸で表し、様々な時刻の衝撃波面を赤、青、緑の線で示す。左側は SASIの sloshing モードという特に二次元シミュレーションでよく見られるパターンを表し、赤と青の間を振動する双極型の動きになる。右側は SASI の spiral モードという特に三次元シミュレーショ
ンでよく見られるパターンを表し、赤 → 青 → 緑 → 赤 · · · というふうに衝撃波面の歪みが回転する。定量的には、衝撃波面の形を二次元なら Legendre 多項式 Pℓ 、三次元なら球面調和関数 Yℓmで展開し、その ℓ = 1, 2 モードの係数の振動で特徴付けられる。sloshing モードは軸対称な m = 0
モードに対応し、spiral モードは m = ±1 モードに対応する。二次元の場合はもちろん sloshing
モードしか現れないが、三次元の場合には摂動の加わり方によって sloshing モードと spiral モードのどちらも表れうる (Iwakami et al. 2014)。また、振動や回転のタイムスケールは後で述べる移流音響サイクルのタイムスケールで特徴づけられる (式 (3.92))。SASI により衝撃波面に大スケー
ル (小 ℓ) の周期的な振動が現れるのに対し、対流不安定性では小スケールの泡状構造が浮力で持ち上がることで衝撃波を突き上げるので、それに伴う衝撃波変形はもっと大きな ℓ のモードとな
り、はっきりした周期も現れない (Müller et al. 2012a)。

SASI が発達する仕組みは、移流音響サイクルというものであると考えられている。衝撃波の形に角度方向の摂動が加わると、動径方向から降ってくる物質からみると斜め衝撃波になり、衝撃

20

Spiral mode

Sloshing mode

図 3.2: 定在降着衝撃波不安定性の模式図。中心に示した黒い丸は原始中性子星を表し、赤、青、緑の線はある時点ごとの衝撃波面を表す。左の図は sloshing モードを表し、これはある軸 (二次元超新星シミュレーションでは回転対称軸) に沿って上下に振動する動きを示す。右の図は spiral
モードを表し、衝撃波面の歪みが回転する動きを示す。
波通過前後で角度方向の速度にジャンプが生じる。衝撃波面変形が一様ではない場合は速度の角度成分のジャンプも一様にはならず、そこで渦度が生じる。この渦度が中心に移流していき、原始中性子星表面で散逸される。このときに音波が発生し、この音波が逆に衝撃波面に向かって伝搬
し、衝撃波面をさらに歪める。このようなサイクルを移流音響サイクルという。実際、シミュレー
ションでは角度方向の速度摂動が衝撃波面で生じてそれが下流に流されていき、また圧力摂動が中心から衝撃波に向かって伝搬していく様子が見られる。それに対して、衝撃波面で発生する音
波が原始中性子星で跳ね返され、それがまた衝撃波面で跳ね返され、ということを繰り返して成長するメカニズムは純音響サイクルと呼ばれる。純音響サイクルは現在のところ SASI の支配的なメカニズムにはならないと考えられている。以下では、簡単なモデル (Foglizzo 2009, Foglizzo

et al. 2006, Yamasaki and Foglizzo 2008) を用いて移流音響サイクルが SASI の発達に支配的であること、および SASI が大スケールモードで発達することを議論する。
いま、球状の定在衝撃波の代わりに、図 3.3 に示すような z − x 平面上の平面平行流を考える。
非摂動定常状態 (基本状態) では x 方向には一様とし、物質は z 負方向に流れるとする。衝撃波の平均位置を zsh とし、流体は簡単のため手で与えたポテンシャル
z − z∇∆Φtanh −+1
Φ(z) =
2
H∇ /2(3.36)

によって、z∇ を中心とする幅 H∇ の領域で減速するとする。衝撃波 zsh と減速領域中心 z∇ の間の幅は H ≡ zsh − z∇ であり、そこでは流体は自由に流れる。系を支配する方程式は連続の式∂ρ+ ∇ · (ρv) = 0∂t
21(3.37)

図 3.3: 移流音響サイクル及び純音響サイクルを考えるために簡略化した定在衝撃波の図。z − x
平面での平面平行流を考え、x 方向については長さ Lx ごとに周期境界条件を課す。衝撃波は平均
衝撃波位置 zsh を中心として振動し、その変位を ∆ζ とする。流体は中心 z∇ 、幅 H∇ の領域で減速する。その間 H = zsh − z∇ の領域では非摂動流は一様とし、摂動は渦度に伴う移流成分 (例えば
Bernoulli 関数の摂動なら δf S )、下向きの音波による成分 (δf + )、上向きの音波による成分 (δf − )に分解する。衝撃波上流の物理量には添字 1 を、衝撃波直後では添字 sh、減速領域の始まる点では添字 in、終わる点では添字 out をつけることとする。渦度の摂動が減速領域で音波に変換される効率を Q′∇ 、その音波が衝撃波面で渦度を作る効率を Qsh とし、音波が減速領域で反射される
効率を R′∇ 、衝撃波面で反射される効率を Rsh とする。Foglizzo (2009) の図を改変。
と Euler 方程式



∂u
1 2
a2
+∇
u +
+Φ +w×u=0(3.38)∂t2γ−1pである。ただし、v は速度で a ≡ γP/ρ は音速、γ は断熱指数、w ≡ ∇ × u は渦度。基本状態の解は∂(ρv) = 0∂z (3.39)= 0(3.40)


a2
∂ v2
+
+Φ
∂z 2
γ−1

を満たす。ここで、v は v の z 成分とする。これに exp(−i(ωt − kx x)) に比例する摂動を加えるが、系の x 方向の幅は Lx として周期境界条件を考えることにし、整数 nx を用いて kx = 2πnx /Lx という条件を課す。また、速度、密度、音速の摂動 (それぞれ δv 、δρ、δa、以下では特に添字で指定しない限り δv は z 方向の速度の摂動とする) の代わりに Bernoulli 関数、質量フラックス、エント

22

ロピーの摂動 (それぞれ δf 、δh、δS) を考える。ただしエントロピーは



 
1
P
ρsh γ
S≡
log
γ+1
Psh
ρ

(3.41)と定義する。ただし、添字 sh は衝撃波直後での量であることを表す。摂動はそれぞれ、互いに

δf

2
aδa
γ−1
δv δρ
+
v
ρ
2 δa δρ−γ−1 aρ

= vδv +δh =
δS =(3.42)(3.43)(3.44)

および

δv
v
δρ
ρ
δa2
a2

=
=
=



1
δf
δh + δS − 2
1 − M2a
1
δf
2−M δh − δS + 2
1 − M2
a


γ−1
δf
2
2
−
M
δh
−
M
δS
1 − M2 a2(3.45)(3.46)(3.47)という関係で結ばれている。ただし M = −v/a は Mach 数。摂動の一次までの方程式として、

Euler 方程式の z 成分から
iωv
∂δf
=
∂z
1 − M2




δh +

1
−1+γ
M2



δS δf
− 2
γ
a


(3.48)

連続の式から




2
∂h
iω
ωev
δf
kx δK
2
=
1− 2
− M δh − δS +(3.49)22∂zv(1 − M )ωaωv√
を得る。ただし ωev ≡ kx a 1 − M2 であり、δK は摂動によって加わった y 方向の渦度 δwy を用いてδK ≡ ikxa2
δS − vδwyγ(3.50)である。あとで示すように、この量は 0 となる。また、エントロピー方程式は∂δSω= i δS∂zv(3.51)となる。
さらに、δK が 0 となることを示す準備として、δK が従う方程式を導く。Euler 方程式の x 成
分から δvx を x 方向の速度の摂動として−iωδvx + vδwy + ikx δf − ikxa2δS = 0γ(3.52)

であるから、

δK = ikx δf − iωδvx

23(3.53)

とも書ける。この式から、

∂δf
1 ∂δK
ω ∂δvx=+∂zikx ∂zkx ∂z(3.54)となり、渦度の定義から

δwy =

∂δvx
− ikx δv∂z

(3.55)であることを用いると

∂δf
1 ∂δK
ω
=
+ δwy + iωδv∂zikx ∂zkx(3.56)となる。また、式 (3.48) を簡単のために

∂δf
ω a2
= iωδv + i
δS
∂z
v γ

(3.57)と書いておく。これは式 (3.50) を用いて δS を置き換えて

∂δf
ω
ω
=
δK + δwy + iωδv
∂z
vkx
kx
となる。以上より、



∂
iω
−
∂z
v

(3.58)


δK = 0(3.59)と δK が従う方程式がわかる。これは δK の Lagrange 微分が 0 であるということであり、δK の値は衝撃波位置での境界条件で与える値にいたるところ等しいということを示している。
次に、δf 、δh、δS の境界条件を考える。衝撃波面は摂動によって基本状態の場合の位置 zsh から変動するので、それを zsh + ∆ζ とする。また、衝撃波面の速度を ∆v とすると、∆v = −iω∆ζとなる。衝撃波静止系での Rankine-Hugoniot 条件は、この速度も考えて

ρ1 (v1 − ∆v) = (ρsh + δρsh )(vsh + δvsh − ∆v)(3.60)
22a(ash + δash )ρ1 (v1 − ∆v)2 + ρ1 1 = (ρsh + δρsh )(vsh + δvsh − ∆v)2 + (ρsh + δρsh )(3.61)γγ(v1 − ∆v)2
a21
(vsh + δvsh − ∆v)2 (ash + δash )2+=+(3.62)
2γ−1
2γ−1となる。ただし、下付き添字の 1 と sh はそれぞれ衝撃波のすぐ上流とすぐ下流での量を表す。これらの条件は zsh + ∆ζ でのものなので、全てを zsh での量に直すとすると、Taylor 展開によって∂∂
ρ1 v1 δhsh − (ρsh − ρ1 )∆v = ∆ζ
(3.63)(ρv)1 −
(ρv)sh∂z∂za22ρsh ash δash + δρsh sh
γ
γ


 

2
a
a2
∂
∂
2
2
ρv
+ ρ
ρv + ρ−= ∆ζ∂zγ 1 ∂z
γ sh
  2

 2
 
2
∂ v
a
∂ v
a2
δfsh − (vsh − v1 )∆v = ∆ζ
+
−
+
∂z 2
γ − 1 1 ∂z 2
γ − 1 sh2
vsh
δρsh + 2ρsh vsh δvsh +(3.64)(3.65)となる。ここで、式 (3.39) から式 (3.63) 右辺の括弧内は消え、式 (3.40) から式 (3.65) の右辺の括
弧内は ∂Φ/∂z のジャンプになるが、これも 0 である。一方で式 (3.64) の右辺の括弧内は −ρ∂Φ/∂zのジャンプになり、これは ρ がジャンプするため一般には消えずに残る。ただし今考えている系

24

では衝撃波面ではポテンシャル勾配自体が無視できるので、その結果




1
1
1
1
δhsh =−∆v = −iω−∆ζ
vsh v1
vsh v1




v1 ∆v
δSsh
vsh 2 iωv1 ∆ζ
vsh 2
= − 2
1−
=
1−
γ
v1
v1
ash
a2sh

δfsh = (vsh − v1 )∆v = −iω(vsh − v1 )∆ζ(3.66)(3.67)(3.68)

が衝撃波面での境界条件となる。
また、δK の境界条件を考える。変形した衝撃波は z 軸方向に降ってくる物質にとっては斜め衝撃波になっているので、通過した直後の x 方向の速度のジャンプは

δvx,sh = (v1 − vsh )∂∆ζ= ikx (v1 − vsh )∆ζ∂x(3.69)となる。これらから、δK の衝撃波直後の値は

δKsh = ikx δfsh − iωδvx,sh = 0(3.70)となる。式 (3.59) の議論もあわせて、δK はいたる所 0 となることが示された。加えて、その帰結
として

kx a2
δS
v γ
kx
δf
ω

δwy = i(3.71)

δvx =(3.72)となり、エントロピー摂動の移流は渦度の移流を伴うことがわかる。
下流での境界条件を書き下すために、δf および δh を物質の移流に伴う成分 δf S 、δhS と音波による成分 δf ± 、δh± (複号は + が流体と同じ方向に向かう成分、− が逆方向に向かう成分) とに分解する。まず移流に伴う成分は、Lagrange 微分すると 0 になる。すなわち、z 微分すると係数として iω/v が出てくる。従って、次の方程式系

iω S
δf
=
v
iω S
δh =
v





iωv
1
δS δf S
S
δh +
−1+γ
− 2
1 − M2
M2
γ
a

 S

2
iω
ωev δf2
S
1− 2− M δh − δSv(1 − M2 )ω
a2

(3.73)(3.74)の解が δf S 、δhS である。具体的に書くと、

δf S =δhS =1 − M2 2 δSa
1 − µ2 M2γ
2µδf S − δS
a2(3.75)(3.76)

2 /ω 2 。移流に伴う成分の添字を S にしたのは、エントロピー摂となる。ただし、µ2 = 1 − ωev

動に比例しているからである。式 (3.48)、(3.49) へのエントロピー摂動の寄与は全て δf S 、δhSに含まれるので、音波による成分は δS = 0 とした方程式系の解になる。この場合、z 依存性を25

δf ± , δh± ∝ exp(ikz± z) とすると、非自明解を得る条件は
kz± =

ω M∓µ
a 1 − M2

(3.77)である。ただし、µ の符号は Re(µ2 ) < 0 ならば Im(kz+ ) < 0、Re(µ2 ) > 0 ならば Re(kz+ ) < 0 となるように選ぶ。また、

δf + + δf − = δf − δf Sとそれを z 微分した

δf + − δf − =Ma2(δh + δS) − µMδf Sµ(3.78)(3.79)から、

1Ma2
1 ± µM Sf±(δh + δS) −
δf
2
2µ
2
µ
= ±
δf ±
Ma2

δf ± =(3.80)

δh±(3.81)と書ける。
以上のように分解することで、下流での境界条件を書き下すことができる。いま、下流ではより下流側からは摂動が伝播してこないという条件を課すので、式 (3.80) からµout 1 − M2out
δSout
µout
− γ+
− δhout = 0
Mout
Mout 1 + µout Moutγ

(3.82)

が境界条件となる。ただし添字 out は減速領域のすぐ下流での量であることを表し、以下で用いる添字 in は減速領域のすぐ上流での量であることを表す。
摂動の移流成分と二つの音波成分は全て互いに独立であるが、境界条件を課した衝撃波面と減速領域では互いに結びつく。衝撃波で上向きの音波が下向きの音波に反射される効率を Rsh 、移流成分に変換される効率を Qsh とし、減速領域で下向きの音波が上向きの音波に反射される効率を R′∇ 、移流成分が上向きの音波に散逸される効率を Q′∇ とする。このとき、−+= Rsh δfsh
δfsh

(3.83)−Sδfsh= Qsh δfsh

(3.84)+−
S+ R′∇ δfin
δfin
= Q′∇ δfin

(3.85)である。衝撃波面と減速領域での摂動は移流または伝搬によって、kz0 = ω/v として
0

S
S
δfsh
= eikz H δfin

(3.86)+
δfsh= eikz+ H+δfin(3.87)−
δfsh= eikz− H−δfin(3.88)という関係で結ばれる。ここから、
−
+
S
δfsh
= Q∇ δfsh+ R∇ δfsh

26(3.89)

とかける。ただし Q∇ ≡ Q′∇ eiωτQ 、R∇ ≡ R′∇ eiωτR と定義され、

H
1 + µin Min= τaacω
1 + Min
H
2µin
H≡ (kz− − kz+ ) =ω
ain 1 − M2in

τQ ≡ (kz− − kz0 )(3.90)

τR(3.91)である。τaac は移流音響サイクルのタイムスケールであり、衝撃波面で発生した摂動が減速領域まで移流し、そこで瞬間的に散逸されて発生した音波摂動が衝撃波面に帰ってくるまでの時間となる。すなわち、τaac ≡

H1
ain Min (1 − Min )(3.92)

である。式 (3.83)、(3.84)、(3.89) から R ≡ Rsh R∇ および Q ≡ Qsh Q∇ は

R+Q=1

(3.93)という関係がある。R は一サイクルあたりの純粋な音波による摂動の成長効率、Q は移流音響サ
イクルの効率になる。
まず衝撃波面での変換効率を考えるために、波面での摂動の各成分の値を考える。基本状態のRankine-Hugoniot 条件から、上流と下流の速度の比および音速の二乗の比は
vsh
v1

=

(γ − 1)M21 + 2(γ + 1)M21(3.94)

a2sh
a21

=

{(γ − 1)M21 + 2}{2γM21 − (γ − 1)}(γ + 1)2 M21(3.95)となる。これらを用いて衝撃波面での摂動の境界条件 (3.66)、(3.67)、(3.68) を書き直すと、

δSsh = −4γ(M21 − 1)2 a21 ∆v(γ + 1)2 M21 a2sh v1∆v
2a21(M21 − 1)
γ+1
v1
2
2
2 a1 M1 − 1 ∆v
γ + 1 a2sh M21 v1

δfsh = −δhsh + δSsh =(3.96)(3.97)(3.98)となる。ここから、(3.80) より (3.75) も用いて

Msh a2sh
1
1 ± µsh Msh S
fsh ±(δhsh + δSsh ) −
δfsh
2
2µsh
2
−2
2
γ + 1 a2sh δSsh Msh µ2sh ∓ Msh µsh (2 − M−2
1 + Msh /M1 ) + M1
= ∓4γ 1 − M−2µsh
1 ∓ µsh M2
1

±
δfsh
=

(3.99)

衝撃波上流での Mach 数が十分大きいとすると、これは
±
δfsh
=∓

γ + 1 a2sh δSsh Msh µ2sh ∓ 2Msh µsh + M−21
4γ 1 − M−2
µ
1
∓
µ
M
2
sh
sh
1

(3.100)となる。この表式から、Rsh は

Rsh =δf+,shµ2 − 2Msh µsh + M−2
1 1 + µsh Msh= − 2sh−2
δf−,shµsh + 2Msh µsh + M1 1 − µsh Msh
27(3.101)

と計算でき、また Qsh を計算すると

δfS,sh2 1 − M2shQsh ==
δf−,shMsh 1 + γM2sh



M2sh
1−
M21



µsh
2
(1 − µsh Msh )(µsh + 2µsh Msh + M−2
1 )(3.102)となる。さらに減速領域での変換効率を考えるが、ここでは減速領域の厚さが無限小であると近似する (コンパクト近似)。これが成り立つ条件は摂動の z 方向の波長 2π/kz が減速領域の幅より十分大きいことである。特に、移流成分の波長 kzS = ω/v から近似が成り立つ条件として

2π
 τ∇ ≡
ωZ z∇ + H ∇2Hz∇ − 2∇dz|v|(3.103)−+を要請する。まず R′∇ を考える。δfin,R≡ R′∇ δfinは上向き音波の摂動のうち、下向きの音波が減速領域で反射された時に生じる成分であると解釈できる。同様に、下向き音波の反射と透過に関する量は添字に R を付けて表すことにすると、音波の反射は減速領域の前後で
+
−
+
δfin
+ δfin,R= δfout,R(3.104)+−δh+in + δhin,R = δhout,R(3.105)と書ける。δh の式は (3.81) からµout Min a2in +δfµin Mout a2out out,R(3.106)µin Mout a2out − µout Min a2inµin Mout a2out + µout Min a2in

(3.107)−+=− δfin,Rδfinとなるので、R′∇ =−
S を上向き音波摂動のうち、摂動の移流成分が減速領≡ Q′∇ δfinを得る。次に Q′∇ を考える。δfin,Q域で散逸された時に生じる成分であると解釈できる。移流成分の散逸に関する量は添字 Q をつけて表すものとすると、エネルギーの保存および質量保存から
+
−
S
S
δfin
+ δfin,Q= δfout+ δfout,Q(3.108)+S
δhSin + δh−in,Q = δhout + δhout,Q(3.109)となり、(3.76)、(3.81) および減速領域の前後でエントロピー摂動は変化しないことから−+SSδfin,Q− δfout,Q= δfout− δfin−+µin δfin,Qµout δfout,Q+
2
Min ain
Mout a2out= µ2in(3.110)SSδfout
2 δfin
−
µ
out 2
a2in
aout

(3.111)

Sと書き換えられる。さらに、δfin,out
はどちらも δS で書けるので、それを用いてQ′∇ =Mout + µout
1 + µout Mout µ

1a2in
out a2out

out+ µin MMin



k 2 a2a2
1 − 2in + x 2in (M2in − M2out )
ω
aout


(3.112)と計算できる。これら Q′∇ 、R′∇ にそれぞれ exp(iωτQ )、exp(iωτR ) をかけたものが Q∇ 、R∇ である。コンパクト近似を用いた場合と、近似を用いずに H∇ /H = 0.1 とした場合の |Q∇ |、|R∇ |の数値解は Foglizzo (2009) の図 5、6 で比較されている。コンパクト近似をする場合としない場

28

合とは ωτ∇ ∼ 1 より小さいところではよく一致している。これはコンパクト近似が成立する範囲であるが、そこから外れると数値解はコンパクト近似解より小さくなっていく。これは、コンパクト近似ではどの波長の摂動も減速領域 z∇ の一点で散逸、反射されるが、減速領域が有限の大きさを持っている場合は領域内の各点から散逸、反射された音波が位相がずれて重なりあい、ある程度打ち消し合ってしまうからだと考えられる。
これらから、純音響サイクルの効率

R=−

2
2
1 + µin Min µ2in − 2µin Min + M−2
1 µin Mout aout − µout Min ain
exp(iωτR )−2
2
2
1 − µin Min µ2in + 2µin Min + M1 µin Mout aout + µout Min ain(3.113)と移流音響サイクルの効率
kx2 a2in(M2in − M2out )
4 µin
ω2
out
γ + 1 Min (1 − µin Min )(µ2in + 2µin Min + M−2
1 )−2
2(1 − Min )(1 − M1 )Mout + µout
exp(iωτQ )1 + µout Mout µout a2in /a2out + µin Mout /Min
a2

Q =
×

1 − a2in +(3.114)が求まる。Foglizzo (2009) の図 7 には、二つのサイクルの効率 |Q|、|R| が示されている。その図を見るとわかるように、純音響サイクルは特定の振動数の摂動を加えた時以外は効率が非常に小さく、効率が大きくなる時でも 1 より大きくはならないため、不安定性は成長しない。一方で、移流音響サイクルは効率が 1 を超える成長モードが存在する。しかしながら、コンパクト近似を用いた場合は kz が大きい場合でも成長するモードがあるが、減速領域が有限の幅を持つ場合はある程度以上 kz が大きいと成長モードがない。これは、Q∇ についての議論と同様の理由である。
移流音響サイクルが成長するためには、コンパクト近似が成立して音波が打ち消し合わないことが必要である。この条件は Re(ω) < ω∇ = 1/τ∇ である。また、kz− には虚部が存在するため、伝搬に従って減衰する。減速領域で発生した音波が減衰しきらずに衝撃波面に到達しなければ移流音響サイクルは成長しない。この観点からの成長する条件は Im(kz− H) < 1 である。これらを組み合わせると、

kx2 <

2
ω∇
1 − M2in+
H2
a2in (1 − M2in )(3.115)を得る。ここで、簡単のために M2in  1 を無視すると、無次元化して


n2x <

Lx
2πain τ∇



2
+

Lx
2πH

2
(3.116)となる。ここまでは平面平行流で移流音響サイクルを考えてきたが、これを単純に超新星の定在衝撃波に適用するとした場合、nx の代わりに多重極モーメント指数 l を用い、また系のサイズとして Lx の代わりに衝撃波の円周長 2πRs を用いることができると仮定すると、


2

l <

Rs
ain τ∇

2


+

Rs
H

2
(3.117)となる。いま、尤もらしい値として Scheck et al. (2008) のシミュレーションの結果を取ってくると、Rs ∼ 110 km、H ∼ 50 km、Rs /ain ∼ 5 ms、τ∇ ∼ 15 ms となる。これらから計算した場合、

l < 2.2 となり、SASI では大スケールのモードが発達することが示唆される。小スケールのモードは渦度が散逸して音波を作る時に打ち消しが起こり、また減衰も速いため、発達できないのである。

29

Blondin et al. (2003) ではニュートリノ加熱の寄与は無視し、全体が等エントロピーであるという仮定のもとでのシミュレーションがなされており、ニュートリノ加熱も整合的に考えた場合のシ
ミュレーションでは近年になるまで SASI の発達が見られなかったが、Müller et al. (2012a) は初
めてニュートリノ加熱まで考えた場合にも SASI が発達するシミュレーションを示した。彼らはさらに、式 (3.35) の χ パラメータが 3 より小さくなることが SASI が発生する条件であるとし、そのためには鉄コアの周りのケイ素シェルが厚く、質量降着率が大きいことが必要であると主張した。
また、三次元でニュートリノ Boltzmann 方程式を解いた場合にも SASI が生じる様子が Takiwaki

et al. (2012) などで確かめられている。

3.3.3

ニュートリノ加熱への影響

ここまで超新星爆発で生じる流体不安定性について議論してきたが、ここではそれらがどのよ
うにニュートリノ加熱の効率を高めるかを議論する。ただし、現在までに複数の効果が指摘されており、一つに定められるようなものではない。今後新たな過程が発見される可能性もある。
対流不安定性に伴う Reyleigh-Taylor 不安定性による流体片の運動は、加熱効率を高める過程のひとつである。この運動は高温の流体片をゲイン領域の深い所から衝撃波のすぐ後ろまで運び、また衝撃波通過直後の低温の流体片をゲイン領域の深くまで運ぶ。ゲイン領域深部はニュートリノ
加熱率は大きいので、流体片はより効率よく加熱される。また、ゲイン領域深くの高温の流体片は不安定性なしにはすぐに冷却領域に流れ込み、ニュートリノを放出して冷えてしまうが、この流体運動でゲイン領域に留まることでニュートリノ放出による冷却が抑えられる。
衝撃波が十分加熱されて膨張し始めると、原始中性子星に降着する物質の量が減ってニュート
リノ光度が下がり、また衝撃波が冷えてしまう。しかしながら、流体不安定性による非球対称な衝撃波膨張では物質の降着も同時に起こるため、ニュートリノ光度を保ちつつ衝撃波も膨張することができる。この点も、ニュートリノ加熱メカニズムには有利である。
対流か SASI かに拘らず、流体不安定性は線型段階を超えて非線形段階まで発達すると、いずれ乱流を生じるようになる。こうした乱流にも Reyleigh-Taylor 不安定性と同様の効果がある。つまり、乱流運動により長時間ゲイン領域に滞在して tdwell (式 (3.22)) を伸ばすのである。実際、流体片の運動はゲイン領域で複雑な軌道を描き、長時間そこに留まる様子が Takiwaki et al. (2012) の図 11 から見て取れる。また、ゲイン領域内での流体片の運動は定在衝撃波の内側にもう一つ衝撃
波を作ることがある (二次衝撃波)。この二次衝撃波での散逸によって熱化がさらに進み、もともとの定在衝撃波にエネルギーを与えるという機構も指摘されている。
加えて、乱流は乱流圧力 (Reynolds 応力) を生じ、衝撃波を外に押し出す。衝撃波が押し出されると、その分ゲイン領域が広がるため、3.2 節での議論に従いニュートリノ加熱の効率が上がる。Reynolds 応力によって衝撃波半径が広がる様子は Murphy et al. (2013) によって調べられている。対流か SASI かにかかわらず、流体不安定性が起こると衝撃波面が大きく歪むが、Reynolds
応力を考慮しない場合は平均衝撃波半径を正しく説明できない。Reynolods 応力とは、速度場 u
を Reynolds 平均 v とそこからのゆらぎ v ′ に分解した時、ゆらぎ v ′ から作られる応力 v ′ v ′ をさらに Reynolds 平均したものである。Reynolds 平均とは、流体の物理量を乱流渦が一回転するタイ
ムスケールで平均したもので、以下の議論ではさらに全立体角についての平均も取る。衝撃波の位置は、Rankine-Hugoniot 条件を満たす場所として定義できる。いま、運動量フラックスのジャ
ンプ条件[P + ρv 2 + ρRrr ] = 030(3.118)

を考える。ただし、熱圧力 P と動圧 ρv 2 に加えて Reynolds 応力 ρRrr まで考えてある。衝撃波の上流では物質は自由落下してくるので、運動量フラックスとしては動圧のみを考えればよく、また r の適当な冪で記述できる。一方で衝撃波の下流は全てのフラックスの和を考えなければならないが、これも適当な冪で記述できる。そこで、シミュレーション結果から上流の動圧が従う冪と下流の運動量フラックスの従う冪とをフィッティングし、それを中間領域まで外挿し、ジャンプ
条件を満たす位置を衝撃波の位置と考える。Murphy et al. (2013) の図 7 では上記の議論から推定した衝撃波半径とシミュレーションでの実測値とが比較されている。そこでは、実際に両者が精度よく一致している様子、および乱流圧力を無視して推定した衝撃波半径がシミュレーションの
それより小さくなっている様子が見て取れる。面白いことに、この乱流を無視した衝撃波推定位
置は、衝撃波最小半径とよく一致することも同時に確かめられている。Murphy et al. (2013) は、
最小衝撃波半径は乱流がゆらぎによって瞬間的に無視できるような位置で達成される可能性を指摘している。
いずれにせよ、多次元でのみ生じる流体不安定性はニュートリノ加熱を助け、ニュートリノ加熱メカニズムにおいて重要な役割を果たす。

3.4

その他の爆発メカニズム

本論文ではニュートリノ加熱メカニズムに主に着目するが、重力崩壊型超新星爆発には他のメカニズムも考えられている。ここではそれらのメカニズムの概要を Janka (2012) に従って紹介する。

3.4.1

音響メカニズム

ニュートリノ輸送を考えたシミュレーションであっても、その輸送の扱いやその他の入力物理によってはニュートリノ加熱による爆発はしない場合もある。しかしながら、Burrows et al. (2006a,

2007b) はそのような場合でニュートリノ加熱由来でない爆発を発見した。バウンス後 1 秒程度以
上経ってから中心の原始中性子星で ℓ = 1 モードの g-モード振動、浮力を復元力とする星震が起こる。これは流体不安定性による非等方的な降着流によって発生する。この原始中性子星の振動を波源として音波が外側に伝搬していくが、外に行くにつれて密度が小さくなっていくので位置によって伝搬速度が変わり、音波は衝撃波に変化する。この衝撃波への散逸がバウンス衝撃波にエ
ネルギーを加え、爆発を起こす。Burrows et al. (2007a) ではこの音波によるエネルギー注入率は∼ 0.5 × 1051 erg/s と見積もられているが、この見積もりには不定性がある。また、長時間シミュ
レーションはできていないため爆発のエネルギーは確定できていないが、あまり大きくはないと推測される。これまでのところ他のグループでこのメカニズムを再現できたところはない (Marek

and Janka 2009) が、それは Burrows et al. (2006a, 2007b) の手法が不正確なのか、1 秒程度以上の長時間シミュレーションをしているグループがないからなのかは不明である。

3.4.2

磁気流体力学メカニズム

Wilson (1985) のニュートリノ加熱メカニズムによる爆発の前から、磁気流体力学 (magnetohydrodynamics, MHD) が関わるメカニズムでの超新星爆発も研究されてきた (e.g. Meier et al.
1976)。特に星の回転エネルギーが磁場エネルギーに転化して爆発する磁気回転メカニズムというものが 1970 年代から考えられてきている。

31

超新星物質の抵抗率は無視することができ、磁力線凍結により重力崩壊とともに磁場は B ∝−2 ∝ ρ2/3 と増大し、それに伴うエネルギー (∝ B 2 ) も増大する。重力崩壊の開始時は磁場は
Rcore∼ 109 G であり、それは崩壊によって 1000 倍以上に大きくなるが、そのままでは依然磁気圧がガス圧より小さいのであまり爆発に影響を及ぼさない。
しかしながら、磁場が何らかの機構でさらに増幅されることで、爆発に影響するようになる。
この場合、増幅のエネルギー源としては中心の中性子星の持つ回転エネルギーがある。角運動量 Jcore の流出が無視できるとした場合、コアの収縮によってその回転エネルギー Erot は Erot ∝
2 /(M
2
Jcore
core Rcore ) のように大きくなる。最終的に原始中性子星が高速回転している場合、その回

2 
−2

MPNS
PPNS
RPNS
程度となり、超新星爆発のエネ
転エネルギーは Erot = 2.4 × 1052 erg 1.5
M⊙
10 km
1 ms

ルギー源として十分な大きさである。ただし、原始中性子星の各物理量の典型的な値としてパルサーの典型的な値を用いた。
磁場の増幅機構としては、磁力線の巻き込みと磁気回転不安定性 (magnetorotational instability,

MRI) の二つが考えられている。前者は、太陽のダイナモ理論と同様に、もともと存在していたポロイダル磁場を差動回転によって巻き込んでトロイダル磁場に変換し、さらにそれを何重にも巻き込むことで磁場を強めていくというものである。この場合は巻き込みに応じて線型に磁場強度が増幅していく。後者は同じ磁力線に貫かれたプラズマ同士が磁気張力によって角運動量を交換し、軌道が離れていくことで両者を結ぶ磁力線が束ねられて磁場が強まるというものである。この場
合は時間に対して指数関数的に磁場強度が増幅していく。MRI の成長スケール vA /(dΩ/d ln r)(た√だし vA = B/ 4πρ は Alfvén 速度で Ω は角速度) は磁場と共に大きくなり、これが半径 r が同程度になった時にそれ以上成長できなくなると考えれば、最終的に得られる磁場は
B 2 ∼ 4πρr2 Ω2d ln Ω
d ln r2(3.119)となる。この値は 1015 − 1016 G (Akiyama et al. 2003) と見積もられている。
以上のように増幅された磁場は磁気圧や散逸による加熱によって周囲の物質にエネルギーを与え、放出させる。この放出物質は細く絞られたジェットとして、回転軸の両極の方向に吹き出す。
そのエネルギー放出率はĖMHD ∼ 1052 erg/s

B
1016 G

2 

r 3
10 km



Ω
103 rad/s(3.120)程度となる (Akiyama et al. 2003)。
磁場を増幅するのに十分な回転エネルギーを得るには、親星のコアが周期 1 秒程度で回転していなければならない。しかしながら、磁場が存在している場合はそれを通じて角運動量が外部に輸送されてしまうため、親星コアの回転周期は 100 秒程度以上になってしまう。そのような低速回転コアでも磁場を増幅させるために様々なメカニズムが考えられているが、それらのメカニズ
ムで必要な磁場を得るにはそもそも初めから大きな磁場を持っていなくてはならない。
それゆえ、MHD によるメカニズムは非常に高速回転している親星に対して重要なメカニズムであって、通常の II 型超新星というよりも極超新星などのメカニズムではないかと考えられている。これは、ニュートリノ加熱メカニズムでは降着物質の分解でエネルギーを消費して爆発エネル
ギー自体は小さくなってしまうが、MHD メカニズムはそのようなエネルギー消費がないため大きなエネルギーの爆発になると考えられるからである。しかし、磁場は本質的に三次元効果が重要な現象なので、シミュレーションの計算量を減らすために次元を落とすわけにはいかない。また、

32

MRI などの成長スケールが非常に小さいこと、また Alfvén 速度は大きいため計算の時間刻みは小さくしなければいけないことなどから、非常に大きな計算機パワーが必要な難しい問題である。

33

第 4 章 基礎物理過程とシミュレーション手法

究極的には、超新星爆発を理解するためには配位空間三次元の一般相対論的流体力学方程式∇µ (ρuµ ) = 0∇µ T µν(4.1)= −C ν

(4.2)∇µ (ne uµ ) = Γ(4.3)

Gµν = 8πT µν(4.4)

および Einstein 方程式

を、位相空間六次元のニュートリノ輸送 Boltzmann 方程式
 
dpµ ∂fδfdxµ ∂f+=dτ ∂xµdτ ∂pµδτ col(4.5)と連立させて解かなければならない。ただし c = G = ℏ = kB = 1 とする単位系を用いており、以下この節では同様とする。∇µ は時空座標 xµ と計量 gµν に関する共変微分である。よく使われる
ように、本論文ではギリシャ文字を時空四成分を表す添字とし、アルファベットを空間三成分を表す添字とする。計量の符号は (−, +, +, +) となるように取る。また、ρ は静止エネルギー密度、

uµ は四元速度、T µν はエネルギー運動量テンソル
T µν = ρhuµ uν + P g µν

(4.6)

で、h = 1 + ε + P/ρ は比エンタルピー、ε は比内部エネルギー、P は圧力、ne は電子数密度、Gµν
は Einstein テンソル、そして C µ と Γ はそれぞれ流体のエネルギー運動量、および電子数に対すµν

るニュートリノ反応の寄与である。ここで、ニュートリノのエネルギー運動量テンソルを T(ν) とµνすれば、C ν = ∇µ T(ν) で与えられる。さらに pµ は運動量空間座標、f はニュートリノの分布関数、

τ はニュートリノのアフィンパラメータ、(δf /δτ )col は衝突項である。ニュートリノには非常に小さな質量があると考えられているが、超新星のエネルギースケールはそれを遥かに上回るため、質量はないものとして扱う。質量の影響は観測されるニュートリノ信号にニュートリノ振動として現れるが、これについては 5.1 節で議論する。以上に加えて、圧力などを密度、温度、電子存在比の関数として表す状態方程式 (equaion of state, EOS) も方程式系を閉じるのに必要である。これ
らの方程式系の解析解を得ることは不可能なので、数値シミュレーションを利用することになる。
以下では、超新星爆発のシミュレーションに必要な物理過程や計算手法について説明する。

34

4.1

流体シミュレーション

4.1.1

一般相対論的流体

計算機で一般相対論を取り扱うにあたっては、いわゆる 3 + 1 分解 (Arnowitt et al. 1962) という定式化がよく使われる。この定式化においては、計量は

ds2 = −α2 dt2 + γij (dxi + β i dt)(dxj + β j dt),(4.7)

と表される。ただし、α はラプス関数、β i はシフトベクトルである。これらの量は四次元時空において、二つの三次元超曲面 (時刻座標が一定である点の集合)Σt と Σt+dt の間の関係を表すものである。まず Σt 上のある点 A(t, xi ) と、Σt+dt 上で A と空間座標値が同じ点 B(t + dt, xi ) を考える。
また、点 A において Σt の単位法線ベクトル nµ を考え、この法線ベクトルを伸ばした直線と Σt+dtの交点を点 C(t + dt, x′i ) を考える。以上のような状況の下で、αdt は nµ に沿って測った場合の二つの超曲面 Σt と Σt+dt の間の距離を表し、β i dt は Σt+dt 上の二点 B(t + dt, xi ) と C(t + dt, x′i ) の
空間座標の差 (つまり、β i dt = xi − x′i ) を表す。以上から、点 A における反変単位法線ベクトルは


µ

n =

βi
1
,−
α
α


.

(4.8)

と表され、共変ベクトルは規格化条件 nµ nµ = −1 から

nµ = (−α, 0) .

(4.9)

となる。また、γij は空間三次元計量 γµν = gµν + nµ nν の空間成分である。Einstein 方程式を解くには、時空四次元計量を以上のラプス関数 α、シフトベクトル β i 、空間三次元計量 γij に分解し、数値相対論の手順に従って時間発展を計算する必要がある。近似解法についてはこの節の最後に議論する。いま、四元速度 uµ から三元速度 v i を

vi =

ui
ut

(4.10)

で定義する。γµν は法線ベクトル nµ に直交するので、γ µ ν は反変四元ベクトルを空間成分だけを持つ反変ベクトルに射影する演算子となる。これを用いると空間反変ベクトルである三元速度は
さらに

vi =

g iµ uµ(γ iµ − ni nµ )uµγ ij uj − nµ uµ ni
γ ij uj
wβ i
=
=
=
−
ut
ut
ut
ut
αut

(4.11)となる。ただし、w は Lorentz 因子で w = −nµ uµ = αut なので、これは結局

v i = −β i + γ ij

uj
ut

(4.12)となる。
いま、流体の運動を記述する式を導く。連続の式 (4.1) から g 、γ をそれぞれ計量 gµν 、γµν の行
列式として

ここから

√
1
√ ∂µ ( −gρuµ ) = 0−g(4.13)√√∂µ ( −gρuµ ) = ∂µ (α γρuµ ) = 0(4.14)

35

となる。ただし ∂µ = ∂x∂ µ 。ここで、三元速度と Lorentz 因子の定義を用いれば√√∂t ( γρw) + ∂i ( γρwv i ) = 0となる。さらにここで

ρ∗ =

√

γρw

(4.15)(4.16)と定義すれば、連続の式は∂t ρ∗ + ∂i (ρ∗ v i ) = 0(4.17)T µν = ρ0 nµ nν + J µ nν + J ν nµ + S µν

(4.18)

ρ0 := Tµν nµ nν

(4.19)J µ := −Tνρ nν γ ρµ(4.20)

S µν(4.21)となる。
エネルギー運動量テンソルはと分解できる。ただし、:= Tρσ γ ρµ γ σνさらに、記法として

Si :=
S0 :=

√
√

γJi

(4.22)

γρ0(4.23)

を定義しておく。エネルギー運動量テンソル (4.6) を用いると、これらはSi =(4.24)

S0√γρhwui√=γ(ρhw2 − P )(4.25)

Sij= ρhui uj + P γij(4.26)

γi µ ∇ν T ν µ = −γi µ Cµ(4.27)となっている。
式 (4.2) の空間射影を整理して Euler 方程式を導く。γi µ = δi µ + ni nµ = δi µ だから


 1
√
√
√
√
1
1
γi µ ∇ν T ν µ = √∂t ( −gT t i ) + ∂j ( −gT j i ) −Γµiν T ν µ = √∂t ( −gT t i ) + ∂j ( −gT j i ) − T µν ∂i gµν−g−g
2(4.28)
ただし

√
√
√
√
√
Si = − γγij Tµν nµ γ νj = − γγij T µ ν nµ γ νj = α γγij T t k γ kj = α γT t i = −gT t i(4.29)

および

S j k = γ j µ γkν S µν = γ j µ γkν γ µρ γ νσ Tρσ = γ j µ γkν γ µ ρ γ νσ T ρ σ = γ j ρ δkσ T ρ σ = γ j ρ T ρ k
36(4.30)

j

さらに γ j ρ = δρ + nj nρ を用いて

S j k = T j k + nj nρ T ρ k = T j k − αnj T t k = T j k − nj Jk(4.31)

T j i = S j i + nj Jj(4.32)T µν ∂i gµν = (ρ0 nµ nν + J µ nν + J ν nµ + S µν )∂i gµν(4.33)となることからを得る。ここでであり、n が単位ベクトルであることから

2nµ nν ∂i gµν = −2nµ ∂i nµ = − ∂i αα(4.34)J µ nν ∂i gµν = J µ ∂i (nν gµν ) − J µ gµν ∂i nµ = J µ ∂i nµ − Jµ ∂i nµ(4.35)

またであるが、構成から J t = 0 であり、

J µ nν ∂i gµν = −Jt ∂i nt − Jk ∂i nk =Jt
Jk β kJkJk∂α−∂i α + ∂i β k = −g tµ Jµ ∂i α + ∂i β k (4.36)
i
α2
α2
α
α

により

J µ nν ∂i gµν =Jk∂i β kα(4.37)である。さらに、S µν は空間空間成分しか存在しないので、逆行列の性質 0 = γ jk ∂i γkm + γkm ∂i γ jk
より ∂i γjk = −γjℓ γkm ∂i γ ℓm を用いればS µν ∂i gµν = S jk ∂i γjk = −S jk γjℓ γkm ∂i γ ℓm = −Sjk ∂i γ jk

(4.38)

以上によりT µν ∂i gµν =1(−2ρ0 ∂i α + 2Jk ∂i β k − αSjk ∂i γ jk )α

(4.39)となる。これらから

11√γi ∇ν T µ = √ (∂t Si + ∂j (α γS j i − β j Si )) +
α γ
α
µ

ν



1
ρ0 ∂i α − Jk ∂i β + αSjk ∂i γ jk2k

= −γi µ Cµ(4.40)を得る。これを整理すると

1 √√√∂t Si + ∂j (α γS j i − β j Si ) = −S0 ∂i α + Sj ∂i β j − α γSjk ∂i γ jk − α γγi µ Cµ2(4.41)という Euler 方程式を得る。
エネルギー運動量テンソル (4.6) を適用すると、式 (4.24-4.26) を用いて

√
√
√
√
√
α γS j i − β j Si = α γT j i = α γ(ρhuj ui + P δij ) = α γ(ρhut ui v j + P δij ) = Si v j + α γP δij(4.42)となり、完全流体の Euler 方程式

1 √√√∂t Si + ∂j (Si v j + α γP δij ) = −S0 ∂i α + Sj ∂i β j − α γSjk ∂i γ jk − α γγi µ Cµ237(4.43)

を得る。
最後にエネルギー保存則については、式 (4.2) を時間射影nµ ∇ν T ν µ = −nµ Cµ(4.44)nµ ∇ν T ν µ = ∇ν (nµ T ν µ ) − T ν µ ∇ν nµ = ∇ν (nµ T ν µ ) − T νµ ∇ν nµ(4.45)

して得る。これはであるが、ここで後述の外的曲率 (4.138) とエネルギー運動量テンソルの分解表示を用いると

nµ ∇ν T ν µ = −∇ν (ρ0 nν + J ν ) + T µν (Kµν + nν Dµ (ln α))(4.46)

ここで

1
1
√
√
−∇ν (ρ0 nν + J ν ) = − √ ∂ν (α γρ0 nν + α γJ ν ) = − √ (∂t S0 + ∂k (−S0 β k + αS k )) (4.47)
−g
−g
および

T µν (Kµν +nν Dµ (ln α)) = T µν γ σ µ γ ρ ν Kσρ +T µν nν γ σ µ Dσ ln α = S µν Kµν −J σ Dσ ln α = S ij Kij −J i Di ln α
(4.48)
であるから、エネルギー保存の式は√√∂t S0 + ∂k (−S0 β k + αS k ) = α γS ij Kij − Si Di α + α γnµ Cµ(4.49)となる。
エネルギー運動量テンソル (4.6) を適用すると、式 (4.24-4.26) を用いて√√
−S0 β k + αS k = − γ(ρhw2 − P )β k + αγ kℓ γρhwuℓ√√√= − γρhw2 β k + γP β k + α γρhwut (v k + β k )√√√= − γρhw2 β k + γP β k + γρhw2 (v k + β k )√√=γρhw2 v k + γP β k√= S0 v k + γP (v k + β k )(4.50)(4.51)(4.52)(4.53)(4.54)となるので、これを用いて完全流体のエネルギー保存則∂t S0 + ∂k (S0 v k +√√√γP (v k + β k )) = α γS ij Kij − Si Di α + α γnµ Cµ(4.55)を得る。応用上は、このエネルギーに静止エネルギーが入っていると数値的に取り扱いが難しくなるので、式 (4.17) を差し引いた∂t (S0 − ρ∗ ) + ∂k ((S0 − ρ∗ )v k +√√√γP (v k + β k )) = α γS ij Kij − Si Di α + α γnµ Cµ

を用いる。

38

(4.56)

以上をまとめると、∂t ρ∗ + ∂i (ρ∗ v i ) = 0(4.57)1√ j√√∂t Si + ∂j (α γS i − β j Si ) = −S0 ∂i α + Sj ∂i β j − α γSjk ∂i γ jk − α γγi µ Cµ2(4.58)√√√∂t (S0 − ρ∗ ) + ∂k ((S0 − ρ∗ )v k + γP (v k + β k )) = α γS ij Kij − Si Di α + α γnµ Cµ(4.59)という双曲型方程式を得たことになる。ただし、

Si =(4.60)

S0√γρhwui√=γ(ρhw2 − P )(4.61)

Sij= ρhui uj + P γij(4.62)

さらに、連続の式のに出てくる静止質量密度を電子の数密度に置き換え、右辺にニュートリノ反応の寄与を加えることで electron fraction についての式も得られる。これらが一般相対論における流体方程式である。
計量の時間発展を解くためには Einstein 方程式 (4.4) を解く必要があり、そのためには数値相対論が必要である。これは次節で議論する。

4.1.2

数値相対論

本節では数値相対論の詳細なスキームと必要な理論を説明する。基本的には?の内容に従うが、記法はこの文章全体に合うように直したりしている。ここでの目標は BSSN スキームを理解することである。BSSN スキームとは発展方程式∂⊥ K = −e∂⊥ Āij−4ϕ

1∂⊥ ϕ = (D̄i β i − αK)
6(4.63)

2∂⊥ γ̄ij = −2αĀij − D̄k β k γ̄ij
3(4.64)



K2
D̄i D̄ α + 2D̄i ϕD̄ α + α 4π(E + S) + Āij Ā +
3
i

i



ij

(4.65)

2= − Āij D̄k β k − 2αĀik Ākj + αĀij K3TF+e−4ϕ −2αD̄i D̄j ϕ + 4αD̄i ϕD̄j ϕ + 4D̄(i αD̄j) ϕ − D̄i D̄j α + α(R̄ij − 8πSij )(4.66)
2
1∂⊥ Λ̄i = γ̄ jk D̂j D̂k β i + ∆Γi D̄j β j + γ̄ ik D̄k D̄j β j
3
3
4−2Ājk (δ i j ∂k α − 6αδ i j ∂k ϕ − α∆Γi jk ) − αγ̄ ij ∂j K − 16παγ̄ ij Sj
339(4.67)

を constraint equations

2 2
K − Āij Āij + e−4ϕ (R̄ − 8D̄i ϕD̄i ϕ − 8D̄2 ϕ) − 16πE = 03(4.68)

2
D̄j Āij + 6Āij D̄j ϕ − D̄i K − 8πSi = 03(4.69)

det(γ̄ij ) = γ̂(4.70)

γ̄ ij Āij = 0(4.71)

Λ̄i + D̂j γ̄ ij = 0(4.72)と Ricci テンソル1R̄ij = − γ̄ kl D̂k D̂l γ̄ij + γ̄k(i D̂j) Λ̄k + ∆Γk ∆Γ(ij)k + γ̄ kl (2∆Γm k(i ∆Γj)ml + ∆Γm ik ∆Γmjl ) (4.73)
2の下で解く手法である。ただし、∂⊥ 、γ̄ij 、ϕ、D̄i 、γ̂ 、D̂i 、K 、Āij 、R̄ij 、Γ̄i 、E はそれぞれ ∂t −Lβ 、共形空間計量、共形因子、γ̄ij に関する共変微分、背景計量 (の行列式)、背景計量に関する共変微分、外的曲率のトレース、外的曲率テンソルのトレースレス部分、共形 Ricci テンソル、ガンマベ
クトル、そして全エネルギー密度 T µν nµ nν である。定義は以下でおいおい述べる。また、Lβ は βに沿った Lie 微分であり、上付き添字 TF とは γ̄ij による trace が 0 である成分のことを指す。
以下では、まず Einstein 方程式の 3 + 1 分解を定式化する。これは超曲面上の曲率を表す各量の時間発展の方程式を求めるものである。次にその Einstein 方程式を共形分解という方法で書き直す。この方が初期値の設定をする上で便利だからである。最後に超曲面の取り方について議論する。

超曲面と foliation
相対論の 3 + 1 分解では、時空多様体 M を foliation と呼ばれる方法で分割する。即ち、時空M には滑らかかつ勾配が決して 0 にならないスカラー場 t があって、これが一定である点の集合として定義される超曲面 Σt の集合で M が被覆されると仮定し、

M = ∪t∈R Σt(4.74)と捉える。そして、各 Σt 上での空間曲率の時間発展を追う。時間座標と超曲面の選び方はゲージの自由度であり、どうするのが良いかは後述する。いま、スカラー場 t を「時間座標」とし、各超曲面 Σt には「空間座標」xi を張る。このとき、計量がどう表わされるかを考える。
まず、Σt 上の点 A(t, xi ) を考える。この点で、Σt に垂直な時間的単位ベクトル nµ を考え、これが超曲面 Σt+∆t と交わる点を B(t + ∆t, x′i ) とする。このとき、AB を結ぶベクトルの長さ(超曲面同士の間の距離) を ∆tα とすると、ベクトル自体は ∆tαnµ となる。一方で、Σt+∆t 上の点 C(t + ∆t, xi ) を考えると、AC を結ぶベクトルは ∆t(∂/∂t) であり、BC を結ぶベクトルは

40

(xi − x′i )(∂/∂xi ) = ∆tβ i (∂/∂xi ) と表す。すると、∆t∂∂= ∆tαn + ∆tβ i i∂t∂x(4.75)と表せる。計量の tt 成分は ∂/∂t 同士の内積で得られるので、

gtt =

∂ ∂
∂
∂
∂
·
= α2 n · n + 2αβ i n · i + β i β j i · j
∂t ∂t
∂x
∂x ∂x

(4.76)

であるが、定義より n · n = −1、n · (∂/∂xi ) = 0 であり、また (∂/∂xi ) · (∂/∂xj ) は超曲面 Σt の空間計量の成分 γij を与えるので、

gtt = −α2 + β i β j γij(4.77)となる。同様にして、txi 成分は

gti =

∂
∂
∂
∂
∂
· i = αn · i + β j j · i = β j γji
∂t ∂x
∂x
∂x ∂x

(4.78)∂∂· j = γij
i∂x ∂x

(4.79)

であり、xi xj 成分はgij =である。まとめると、gµν =−α2 + β i β j γij

γij β jγji β iγij!
(4.80)

であり、線素で書くと

ds2 = −α2 dt2 + γij (dxi + β i dt)(dxj + β j dt)である。また、逆行列は
βi
α2

− α12

g µν =

βj
α2(4.81)!
j

γ ij − βαβ2i(4.82)である。ただし、γ ij は γij の逆行列である。
次に単位法ベクトル nµ の成分を求めていく。法ベクトルなので、Σt 内の任意のベクトル v µ に対して nµ v µ = 0 であるから、nµ は第 0 成分のみを持つ。そこで nµ = (a, 0, 0, 0) と置くと、逆行列から nµ = (−a/α2 , aβ i /α2 ) である。さらに時間的単位ベクトルであることから nµ nµ = −1 より −a2 /α2 = −1、よって a = ±α。nµ の第 0 成分が t の増大する方向を向いているとしたいので、

a = −α ととれば、


µ

n =

1
βi
,−
α
α

nµ = (−α, 0)(4.83)(4.84)となる。
さらに、四次元時空上のベクトルやテンソルを三次元超曲面に接するものに射影するテンソル41

として γ µ ν = δ µ ν + nµ nν を考える。実際、これが射影テンソルであることはγ µ ν γ ν ρ = (δ µ ν + nµ nν )(δ ν ρ + nν nρ )
µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

(4.85)ν= δ ρ + n nρ + n nρ + n nν n nρ= δ ρ + n nρ = γ ρ(4.86)(4.87)と示され、さらに超曲面に接することはγ µ ν nν= δ µ ν nν + nµ nν nν

(4.88)= nµ − nµ = 0(4.89)およびγ µ ν nµ = δ µ ν nµ + nµ nν nµ= nν − nν = 0(4.90)(4.91)

であるから、何らかのテンソルをこれで射影したあと法ベクトル n との内積をとると 0 になることから示される。
また、三次元超曲面上で定義されたテンソルを四次元時空上のものに拡張することがある。これもこの射影テンソルによって定義できる。即ち、添字をまとめて µ = µ1 · · · µp 、ν = ν1 · · · νq 、

i = i1 · · · ip 、j = j1 · · · jq として表すと、三次元超曲面上のテンソル T i j を四次元時空上のテンソ
ルに拡張したものは T µ ν = T i j γ µ i γ j ν である。ここで、γ µ i = γ µ1 i1 · · · γ µp ip の略記であり、γ j ν
も同様である。この拡張は、三次元テンソル T のベクトルの引数に関しては四次元時空のベクト
ルを三次元超曲面に射影したものにとり、余ベクトルの引数に関しては射影したベクトルを引数に取るような余ベクトルにとるということである。特に、三次元計量 γij をこのようにして拡張したものは γµν と書くことにし、

γµν = gµν + nµ nν

(4.92)となる。1
三次元超曲面 Σt 上の曲率等は四次元中の一般相対論における曲率と同様 (ただし計量の符号には注意すること) に γij から定義される。これは特に内的曲率 (intrinsic curvature) と呼ばれる。その一方で、四次元時空に埋め込まれていることから別種の曲率を考えることもできる。この曲率
は外的曲率 (extrinsic curvature) K̃ と呼ばれるものであり、二階の共変テンソルである。定義としては、超曲面に接するベクトルの組 (u, v) に対して

K̃(u, v) = −u · ∇v n

(4.93)

であり、法ベクトルの変化の仕方を記述するものである。即ち、法ベクトルを四次元時空の計量のもとで平行移動し、移動した先の Σt 上の法ベクトルとのずれを表すものである。勿論、∇ は時

1
実際、四次元時空で定義された二つのベクトル u、v に対して、埋め込み写像 ι : Σ → M の誘導写像 ι∗ : Tp (Σ) →Tp (M) で γu = ι∗ ū などとなるような三次元ベクトル ū、v̄ を考える。ここでは三次元計量は γ̄ で表すが、g の誘導計量 ι∗ g と一致する。ただし ι∗ : Tp∗ (M) → Tp∗ (Σ)。このとき、γ(u, v) = g(γu, γv) = g(ι∗ ū, ι∗ v̄) = ι∗ g(ū, v̄) = γ̄(ū, v̄)であるので、γ(u, v) = γ̄(ū, v̄) となる。この意味で、γ は誘導された計量である。

42

空多様体上の共変微分である。また、これは二つのスロットに対して対称である。なんとなれば、

u · ∇v n = uµ v ν ∇ν nµ(4.94)= v ∇ν (u nµ ) − nµ v ∇ν u
ν

µ

ν

µ

(4.95)= −nµ u ∇ν v + nµ u ∇ν v − nµ v ∇ν u
ν

µ

ν

µ

ν

µ

(4.96)である。ただし、超曲面上のベクトルに関しては µ = 0 の成分が 0 であるような時空上のベクトルと見直し (超曲面を時空に埋め込む写像に誘導される写像)、また二行目から三行目で uµ ⊥ nµであることを用い、さらに足すと 0 になる項を挿入した。ここで nµ = −α∇µ t であることから

nµ uν ∇ν v µ − nµ v ν ∇ν uµ ∝ ∇µ tuν ∇ν v µ − ∇µ tv ν ∇ν uµ(4.97)= u (∇ν (∇µ tv ) − v ∇ν ∇µ t) − v (∇ν (∇µ tu ) − u ∇ν ∇µ t)
ν

µ

µ

ν

µ

µ

(4.98)= u v (∇ν ∇µ t − ∇µ ∇ν t)(4.99)= 0(4.100)ν µを得る。ただし ∇µ t ⊥ u(v)µ であること、及び接続係数 Γi jk が下付き添字について対称となることを用いた。これを利用すると

u · ∇v n = −nµ uν ∇ν v µ(4.101)= −uν ∇ν (nµ v µ ) + uν v µ ∇ν nµ(4.102)= uν v µ ∇ν nµ(4.103)と対称性を示せる。ここでは再び v µ ⊥ nµ を用いた。
上記の K̃ は三次元超曲面に接するベクトルを引数に取るので、これを四次元時空上のベクトルを引数にとるようなテンソル K に拡張する。その方法は上で定義した通りであり、超曲面のベク
トル u の代わりに四次元時空上のベクトルを超曲面に射影した γ µ ν uν = (u + (n · u)n)µ を用いればよい。これは確かに µ = 0 の成分が 0 であるようなベクトルであり、K̃ の引数に取って差し支えない。これにより、

K(u, v) = K̃(u + (n · u)n, v + (n · v)n)(4.104)= −(uµ + nν uν nµ )(v σ + nρ v ρ nσ )∇σ nµ(4.105)= −uµ v σ ∇σ nµ − nν uν nµ v σ ∇σ nµ − uµ nρ v ρ nσ ∇σ nµ − nν uν nµ nρ v ρ nσ ∇σ n(4.106)µを得る。ここで、∇µ を挟んで添字の上げ下げは自由に行えるので nµ ∇ν nµ = ∇ν (nµ nµ )−nµ ∇ν nµ =−nµ ∇ν nµ = 0 である。よって、
K(u, v) = −uµ v σ ∇σ nµ − uµ v ρ nρ nσ ∇σ nµ(4.107)となる。ここから、Kµν = −∇ν nµ − nν nσ ∇σ nµ を得る。即ち、∇µ nν = −Kνµ − nµ nσ ∇σ nν

43(4.108)である。これを超曲面に射影すれば、

γ µ σ γ ν ρ Kµν = −γ µ σ γ ν ρ ∇ν nµ(4.109)Kµν = γ i µ γ j ν K̃ij

(4.110)γ µ σ γ ν ρ Kµν = γ µ σ γ ν ρ γ i µ γ j ν K̃ij = γ i σ γ j ρ K̃ij = Kσρ(4.111)Kµν = −γ σ µ γ ρ ν ∇ρ nσ(4.112)であるが、構成からなので、である。即ち、となる。
また、上で述べた通り nµ = −α∇µ t であり、これを利用すると

nσ ∇σ nµ = nσ ∇σ (−α∇µ t)(4.113)= −nσ ∇σ α∇µ t − αnσ ∇σ ∇µ t = −nσ ∇σ α∇µ t − αnσ ∇µ ∇σ t


1 σ
1
σ
=
n ∇σ αnµ − αn ∇µ − nσ
α
α
1 σ
1
=
n ∇σ αnµ + nσ ∇µ nσ − nσ ∇µ αnσαα= α−1 (∇µ α + nµ nσ ∇σ α)(4.114)= α−1 (δ σ µ + nσ nµ )∇σ α(4.118)= α−1 γ σ µ ∇σ α(4.119)(4.115)(4.116)(4.117)となる。ここで、二行目で ∇ が torsion-free であること、また最後に射影テンソルの定義を用いた。
いま、γ σ µ ∇σ は空間計量 γµν で定義する共変微分 Dµ に等しい。即ち、四次元時空で定義された任意のテンソル T で n に垂直なものに対して

Dµ T α1 α2 ···αp β1 β2 ···βq = γ α1 µ1 · · · γ αp µp γ ν1 β1 · · · γ νq βq γ σ ρ ∇σ T µ1 ···µp ν1 ···νq(4.120)が成り立つ。ただし、Dµ は四次元時空で定義されたテンソルのうち n に垂直なものと縮約を取る
ものとする。ここで Dµ は次の性質を満たす微分作用素であり、一意に決まるものである：

1. 線形性2. Leibnitz 則
3. 縮約との交換
4. スカラー場への作用はただの微分
5. 捩率 06. γµν に作用すると 0 になる
そこで、右辺がこれらの条件を満たすことを示せばよい。
線形性は ∇µ の線形性から明らか。

44

Leibnitz 則に関しては、
Dϵ (T α β S γ ϵ ) = γ α µ γ ν β γ γ ρ γ λ δ γ σ ϵ ∇σ (T µ ν S ρ λ )
α

ν

σ

µ

γ

λ

(4.121)ρ= γ µ γ β γ ϵ (∇σ T ν )γ ρ γ δ S λ+γ α µ γ ν β T µ ν γ γ ρ γ λ δ γ σ ϵ ∇σ S ρ λ
α

γ

α

γ

= (Dϵ T β )S δ + T β (Dϵ S δ )(4.122)(4.123)と ∇µ の Leibnitz 性から示される。
縮約との交換に関しては、Dσ T µ µ = Dσ (T µ µ ) を示す。さらに高階の場合の拡張は明らか。

Dσ T µ µ = γ µ α γ β β γ γ σ ∇γ T α β(4.124)= γ β α γ γ σ ∇γ T α β(4.125)= γ γ σ ∇γ (γ β α T α β ) − γ γ σ T α β (nβ ∇γ nα + nα ∇γ nβ )(4.126)= γ γ σ ∇γ (T µ µ ) = Dσ (T µ µ )(4.127)となる。ただし、二行目から三行目にかけて ∇γ γ β α = nβ ∇γ nα + nα ∇γ nβ を用いたスカラー場への作用がただの微分となることは、uµ を四次元時空の n に垂直なベクトル、f を
四次元時空のスカラー場としてuµ Dµ f = uµ γ ν µ ∇ν f = uν ∂ν f

(4.128)と示される。ただし、∇ν がそのような性質を持っていることを用いた。
捩率が 0 であることは、以下のように示す。即ち、時空上の関数 f に対し、二度続けて微分作
用素を作用させるとDµ Dν f= γ λ µ γ ρ ν ∇λ (γ σ ρ ∇σ f )(4.129)= γ λ µ γ ρ ν (∇λ γ σ ρ ∇σ f + γ σ ρ ∇λ ∇σ f )(4.130)= γ λ µ γ ρ ν (nσ ∇λ nρ + nρ ∇λ nσ )∇σ f + γ λ µ γ ρ ν ∇λ ∇σ f

(4.131)= γ λ µ γ ρ ν ∇λ nρ nσ ∇σ f + γ λ µ γ ρ ν ∇λ ∇σ f

(4.132)となる。ただし、途中で γ σ ρ = δ σ ρ + nσ nρ であることや γ と n が直交することを用いた。さらに、

γ λ µ γ ρ ν ∇λ nρ = −Kµν であり、これは対称テンソルである。∇σ そのものが捩率 0 の共変微分なので、∇µ ∇ν f も対称テンソルであり、上式は第一項も第二項も µ と ν について対称である。よって、

Dµ Dν f − Dν Dµ f = γ λ µ γ ρ ν ∇λ (γ σ ρ ∇σ f ) − γ λ ν γ ρ µ ∇λ (γ σ ρ ∇σ f ) = 0 となり、捩率は 0 である。
最後に計量に作用させると 0 になることを示す。これは、

γ µ α γ ν β γ ρ σ ∇ρ γµν

= γ µ α γ ν β γ ρ σ (nµ ∇ρ nν + nν ∇ρ nµ )(4.133)= γ ρ σ (γ µ α nµ γ ν β ∇ρ nν + γ µ α γ ν β nν ∇ρ nµ ) = 0(4.134)というように示される。ここで、∇σ gµν = 0 および γ と n の直交性を用いた。
以上により式 (4.121) が示されたので、

α−1 γ σ µ ∇σ α = α−1 Dµ α

45

(4.135)

が示されたことになり、

nσ ∇σ nµ = α−1 Dµ α

(4.136)Kµν = −∇ν nµ − α−1 (Dµ α)nν(4.137)を得る。ここから、となる。

Einstein 方程式の 3 + 1 分解
時間発展を記述するのに便利なのは、Lie 微分である。まず、射影テンソルの αn に沿った Lie
微分は2Lαn γ µ ν

= αnσ ∇σ γ µ ν − γ σ ν ∇σ (αnµ ) + γ µ σ ∇ν (αnσ )(4.141)= αn ∇σ (n nν ) − γ ν n ∇σ α − αγ ν ∇σ n + γ σ n ∇ν α + αγ σ ∇ν n
σ

µ

σ

µ

σ

µ

µ

σ

µ

σ

(4.142)= αn ∇σ (n nν ) + γ ν (αK σ + nσ D α − n ∇σ α) − γ σ (αK ν + nν D α − nσ ∇ν α)
σ

µ

σ

µ

µ

µ

µ

σ

σ

(4.143)= nν D α + n Dν α + αK ν − n Dν α − αK ν − nν D α = 0
µ

µ

µ

µ

µ

µ

(4.144)となる。ただし、二行目から三行目にかけて式 (4.138) とを用い、三行目から四行目にかけて式(4.137) と式 (4.121)、及び γ と n の直交性を用いた。この関係式を用いると、超曲面に接するテンソルは αn が生成する流れに沿った Lie 微分もまた超曲面に接するということを示すことができる。すなわち、例えば (p, q) 型の超曲面に接するテンソル T µ ν (添字はまとめて µ と ν で表す) は、

γµσ γρν T σ ρ = T µν

(4.145)Lαn (γ µ σ γ ρ ν T σ ρ ) = Lαn (T µ ν )(4.146)という性質を満たす。ゆえに、であるが、左辺はLαn (γ µ σ γ ρ ν T σ ρ ) =Xi+γ µ1 σ1 · · · Lαn γ µi σi · · · γ µp σp γ ρ ν T σ ρXγ µ σ γ ρ1 ν1 · · · Lαn γ ρj νj · · · γ ρq νq T σ ρj+γ µ σ γ ν ρ Lαn T µ ν= γ µ σ γ ν ρ Lαn T µ ν2(4.147)(4.148)共変微分の tortion free 性を用いれば

Lαn γ µ ν=

αnσ ∂σ γ µ ν − γ σ ν ∂σ (αnµ ) + γ µ σ ∂ν (αnσ )=αnσ ∇σ γ µ ν − αnσ Γµ σλ γ λ ν + αnσ Γλ σν γ µ λ − γ σ ν ∇σ (αnµ ) + γ σ ν Γµ σλ αnλ + γ µ σ ∇ν (αnσ ) − γ µ σ Γσ νλ αnλ=αnσ ∇σ γ µ ν − γ σ ν ∇σ (αnµ ) + γ µ σ ∇ν (αnσ )(4.138)(4.139)46(4.140)であるから、

γ µ σ γ ν ρ Lαn T µ ν = Lαn T µ ν(4.149)が成り立つ。即ち、T を αn に沿って Lie 微分しても超曲面に接することは変わらないことが示された。ゆえに、超曲面に接するテンソルの垂直な方向への時間発展は Lie 微分で記述すると便利である。そこで、超曲面に垂直な方向への微分演算子 ∂⊥ を∂⊥ := Lαn = L∂t − Lβ(4.150)で定義する。このとき、たとえば L∂t を (1, 1) 型テンソル T µ ν に作用させることを考えると、∂tは時間方向の座標基底ベクトルなので、成分は δ µ 0 となる。つまり時間成分のみ 1 で他の成分は0。よって、
L∂t T µ ν = δ σ 0 ∂σ T µ ν − T σ ν ∂σ δ µ 0 + T µ σ ∂ν δ σ 0 = ∂t T µ ν(4.151)

他の型のテンソルも同様なので、垂直方向への微分演算子は∂⊥ = ∂t − Lβ(4.152)= αnσ ∇σ γµν + γσν ∇µ (αnσ ) + γµσ ∇ν (αnσ )(4.153)となる。
空間計量 γµν の時間発展は∂⊥ γµν

= αnσ ∇σ (nµ nν ) − γσν (αK σ µ + nµ Dσ α − nσ ∇µ α) − γµσ (αK σ ν + nν Dσ α − nσ ∇ν α)(4.154)= nµ Dν α + nν Dµ α − αKνµ − nµ Dν α − αKµν − nν Dµ α = −2αKµν(4.155)と超曲面の外的曲率で記述できる。導出方法は射影テンソルの Lie 微分と同様で、さらに ∇µ gσρ = 0を用いた。特に、重要なのは計量テンソルの空間成分なので∂⊥ γij = −2αKij(4.156)を考えればよい。
以上のように、計量の時間発展を求めるには外的曲率が必要になるため、外的曲率の時間発展も知らなくてはならない。これを与えるのが Einstein 方程式を超曲面上に射影した式になる。Einstein
方程式は1Rµν − Rg µν = 8πT µν2であるが、これと等価な

1Rµν = 8π Tµν − T gµν
2(4.157)(4.158)を考える。ただし T = g µν Tµν であり、全エネルギー密度 E := Tµν nµ nν 、応力テンソル Sµν :=Tσρ γ σ µ γ ρ ν とそのトレース S := γ ij Sij = g µν Sµν を用いる3 と T = g µν Tµν = γ µν Tµν − nµ nν Tµν =3

上付きの γ µν を γµν の逆行列ではなく

γ µν = g µν + nµ nν

47(4.159)γ ρσ γ µ ρ γ ν σ Tµν − E = γ ρσ Sρσ − E = S − E を得る。Einstein 方程式に γi σ γj ρ をかけて4 超曲面に
射影すると



1
R.H.S. = 8π Sij − (S − E)γij
2(4.161)

L.H.S. = γi σ γj ρ Rσρ

(4.162)となる。左辺を求めるために、ここで (縮約)Gauss の関係式を導く。
いま、共変微分 Dµ によって導かれる Riemann テンソルを Qµ νσρ とする。即ち、n に直交する
任意のベクトル v に対して

Dσ Dρ v µ − Dρ Dσ v µ = Qµ νσρ v ν(4.163)と定義する。本来、これが曲率として意味があるのは v だけでなく σ 、ρ と縮約を取るベクトルもn に直交するベクトルの場合だけであるが、いま、これらの引数を四次元ベクトルに拡張することを考える。四次元時空の接空間の任意のベクトル場 v に対して、γ µ ν v ν は n に直交するので Dµを作用させることができる。全てのベクトルの引数 (この場合は ν 、σ 、ρ と縮約を取るもの) についてそのように四次元時空のベクトルを n と直交するように射影したものにするとして、拡張する。σ 、ρ と縮約をとるものについては、Dσ の定義に既に γ α σ が入っているため以下の計算には影響しない。一方、ν と縮約を取るベクトル v に関してはDσ Dρ γ µ ν v ν − Dρ Dσ γ µ ν v ν = Qµ νσρ v ν(4.164)となる。ここで、γ µ ν = δ µ ν + nµ nν 、γ σ ν nσ = 0、v µ nµ = 0、(4.113) を用いるとDσ Dρ γ µ ν v ν= γ α σ γ β ρ γ µ γ ∇α (γ δ β γ γ ν ∇δ (γ ν σ v σ )(4.165)= γ α σ γ β ρ γ µ γ (nδ ∇α nβ γ γ ν ∇δ (γ ν σ v σ ) + nν ∇α nγ γ δ β ∇δ (γ ν σ v σ ) + γ δ β γ γ ν ∇α ∇δ (γ ν σ v σ ))(4.166)= γ α σ γ β ρ γ µ γ (nδ ∇α nβ γ γ ν ∇δ (γ ν σ v σ ) − γ ν σ v σ ∇α nγ γ δ β ∇δ nν + γ δ β γ γ ν ∇α ∇δ (γ ν σ v σ ))(4.167)= −Kσρ γ ν n ∇δ (γ σ v ) − K σ Kρν v + γ σ γ ρ γ ν ∇α ∇δ (γ σ v )
µ

δ

ν

σ

ν

µ

α

δ

µ

ν

σ

(4.168)となる。ただし、一行目では式 (4.121)、一行目から二行目にかけては γ µ ν = δ µ ν +nµ nν と γ σ ν nσ =0、二行目から三行目にかけては nµ v µ = 0、三行目から四行目にかけては式 (4.113) とを用いた。
共変微分の添字を入れ替えれば、K の対称性と四次元の Riemann テンソルの定義 ∇µ ∇ν (γ ρ σ v σ )−∇ν ∇µ (γ ρ σ v σ ) = Rρ σµν γ σ λ v λ も用いて、結局(Kσν K µ ρ − Kρν K µ σ )γ ν λ v λ + γ τ σ γ φ ρ γ µ λ Rλ ντ φ γ ν θ v θ = Qµ νσρ v ν(4.169)と定義する。Sµν は T を射影したものなので n とは直交するため、g µν Sµν = γ µν Sµν 。さらに、成分表示すると()
00γ µν =(4.160)ij
0 γであるから、γ µν Sµν = γ ij Sij = S となる。
4即ち δi σ δj ρ 。

48

を得る。ここで、Kσν は n には直交するので射影テンソルを作用させても変わらず、γ τ σ γ φ ρ γ µ λ γ θ ν Rλ θτ φ v ν = Qµ νσρ v ν + Kρν K µ σ v ν − Kσν K µ ρ v ν(4.170)となる。v は任意であったからγ τ σ γ φ ρ γ µ λ γ θ ν Rλ θτ φ = Qµ νσρ + Kρν K µ σ − Kσν K µ ρ(4.171)を得る。これをを Gauss の関係式という。さらに、µ と σ について縮約を取ると

γ τ λ γ φ ρ γ θ ν Rλ θτ φ = (δ τ λ + nτ nλ )γ φ ρ γ θ ν Rλ θτ φ

(4.172)= γ φ ρ γ θ ν Rθφ + nτ nλ γ φ ρ γ θ ν Rλθτ φ(4.173)= γ φ ρ γ θ ν Rθφ + nτ nλ γ φ ρ γ θ ν Rθλφτ

(4.174)

φ

θ

τ λ φ

θ

= γ ρ γ ν Rθφ + n n γ ρ γθν R λφτ

(4.175)となる。ただし、二行目から三行目にかけて Riemann テンソルの反対称性を用いた。ここから添字を整理することで、Ricci テンソルについての関係式

γ σ µ γ ρ ν Rσρ + γµσ nρ γ λ ν nτ Rσ ρλτ = Qµν + KKµν − Kµσ K σ ν(4.176)を得る。ただし Qµν = Qσ µσν 。これを縮約 Gauss の関係式という。さらに、Riemann テンソル Rの部分は定義から

γµσ nρ γ λ ν nτ Rσ ρλτ = γµσ nτ γ λ ν (∇λ ∇τ nσ − ∇τ ∇λ nσ )(4.177)である。これをさらに展開していくと、

γµσ nτ γ λ ν (∇λ ∇τ nσ − ∇τ ∇λ nσ ) = γµσ nτ γ λ ν [−∇λ (K σ τ + nτ nρ ∇ρ nσ ) + ∇τ (K σ λ + nλ nρ ∇ρ nσ )](4.178)= γµσ nτ γ λ ν [−∇λ (K σ τ + nτ α−1 Dσ α) + ∇τ (K σ λ + nλ α−1 Dσ α)](4.179)= γµσ γ λ ν [K σ τ ∇λ nτ + ∇λ (α−1 Dσ α) + nτ ∇τ K σ λ+α−1 Dλ αα−1 Dσ α + nτ nλ ∇τ (α−1 Dσ α)](4.180)= γµσ γ λ ν K σ τ (−K τ λ − nλ α−1 Dτ α) + Dν Dµ (ln α)+γµσ γ λ ν nτ ∇τ K σ λ + Dν ln αDµ ln α(4.181)= −Kµτ K ν + Dν Dµ (ln α)τ+γ σ µ γ λ ν nτ ∇τ Kσλ + Dν ln αDµ ln α(4.182)となる。ただし、一行目では式 (4.138)、二行目から三行目で K µ σ nσ = 0 と nσ ∇ν nσ = 0、三行目
から四行目で再度式 (4.138) と γ と n の直交性、四行目から五行目では ∇µ gνρ = 0 を用いた。最後にまとめると、

γµσ nρ γ λ ν nτ Rσ ρλτ = −Kµσ K σ ν + α−1 Dν Dµ α + γ σ µ γ ρ ν nλ ∇λ Kσρ49(4.183)

を得る。一方で、∂⊥ Kµν = αnσ ∇σ Kµν + Kσν ∇µ (αnσ ) + Kµσ ∇ν (αnσ )(4.184)を γ µ λ γ ν ρ で射影すると左辺は式 (4.150) から変わらず ∂⊥ Kµν 。ゆえにこの等式は γµν の時と似たような計算の後、射影操作で∂⊥ Kλρ = αγ µ λ γ ν ρ nσ ∇σ Kµν + γ µ λ Kσρ (nσ ∇µ α + α∇µ nσ ) + γ ν ρ Kλσ (nσ ∇ν α + α∇ν nσ )(4.185)= αγ µ λ γ ν ρ nσ ∇σ Kµν + γ µ λ Kσρ α(−K σ µ − nµ nτ ∇τ nσ ) + γ ν ρ Kλσ α(−K σ ν − nν nτ ∇τ nσ )(4.186)= αγ µ λ γ ν ρ nσ ∇σ Kµν − 2αKρσ K σ λ(4.187)を得る。これを Riemann テンソルの式に入れると、

γµσ nρ γ λ ν nτ Rσ ρλτ = α−1 ∂⊥ Kµν + α−1 Dµ Dν α + Kµσ K σ ν(4.188)となり、これを縮尺 Gauss の関係式に入れると

γ σ µ γ ρ ν Rσρ = −α−1 ∂⊥ Kµν − α−1 Dµ Dν α + Qµν + KKµν − 2Kµσ K σ ν(4.189)となる。ここで、µ = i、ν = j と空間成分を考えるとまさに超曲面に射影した Einstein 方程式の左辺に他ならないので、これらを整理して∂⊥ Kij = −Di Dj α + α(Qij + KKij − 2Kik K k j + 4π[(S − E)γij − 2Sij ])(4.190)を得る。ここで Kiµ K µ j = Kik K k j を用いた。
さらに、超曲面に垂直な方向への射影を考える。これは Hamiltonian constraint と呼ばれるものである。これはもともとの Einstein 方程式を考えたほうが見通しがよく、

1Rµν nµ nν + R = 8πT µν nµ nν
2(4.191)である。いま、上で求めた縮約 Gauss の関係式の γ による trace を取ると、左辺の項はγ µν γ σ µ γ ρ ν Rσρ = (g µν + nµ nν )Rµν = R + Rµν nµ nν

γ µν γµσ nρ γ λ ν nτ Rσ ρλτ(4.192)= nρ nτ γ λ σ Rσ ρλτ(4.193)= nρ nτ Rρτ + nρ nτ nλ nσ Rσ ρλτ(4.194)= Rµν nµ nν

(4.195)となる。ただし、最後は Riemann テンソルの反対称性を用いた。これにより、関係式は

R + 2Rµν nµ nν = Q + K 2 − Kij K ij

(4.196)となる。これは Hamiltonian constraint の左辺の丁度 2 倍なので、結局 Hamiltonian constraint と

50

して

Q + K 2 − Kij K ij − 16πE = 0(4.197)を得る。
最後に超曲面とそれに垂直な方向それぞれについて一回ずつ射影したものを考える。これはmomentum constraint と呼ばれる。nµ γµν = 0 なのでRσρ nσ γ ρ µ = −8πSµ(4.198)である。ただし、Sµ = −Tσν nσ γ ν µ は運動量密度である。この左辺を計算するためには、縮約

Codazzi 方程式というものが必要になる。いま、四次元時空上の Riemann テンソルの定義から(∇µ ∇ν − ∇ν ∇µ )nσ = Rσ ρµν nρ

(4.199)であるが、これを超曲面上に射影すると

γ σ µ γ ρ ν γ λ τ Rτ θσρ nθ = γ σ µ γ ρ ν γ λ τ (∇σ ∇ρ nτ − ∇ρ ∇σ nτ )(4.200)である。簡単な計算により

γ σ µ γ ρ ν γ λ τ ∇σ ∇ρ nτ

= γ σ µ γ ρ ν γ λ τ ∇σ (−K τ ρ − nρ nα ∇α nτ )(4.201)= −Dµ K λ ν − γ σ µ γ ρ ν γ λ τ (∇σ nρ nα ∇α nτ + nρ ∇σ nα ∇α nτ + nρ nα ∇σ ∇α nτ )(4.202)= −Dµ K λ ν + γ σ µ γ ρ ν γ λ τ (Kρσ nα ∇α nτ + nσ nβ ∇β nρ nα ∇α nτ )(4.203)= −Dµ K λ ν + Kµν (nσ ∇σ )nλ(4.204)という式を得られ、これを µ と ν について反対称化することで

γ σ µ γ ρ ν γ λ τ Rτ θσρ nθ = −Dµ K λ ν + Dν K λ µ(4.205)という Codazzi の関係式を得る。さらにこれで λ と µ を縮約すると左辺は Riemann テンソルの反対称性を用いてγ σ µ γ ρ ν γ µ τ Rτ θσρ nθ = Rθρ γ ρ ν nθ + γ ρ ν nθ nσ nτ Rτ θσρ = Rθρ γ ρ ν nθ

(4.206)γ ρ µ nσ Rσρ = Dµ K − Dσ K σ µ(4.207)となるので、という縮約 Codazzi の関係式を得る。momentum constraint に再度戻ると、重要なのは空間成分だけなので、結局

Di K − Dj K j i + 8πSi = 0(4.208)となる。ただし、K σ µ nσ = 0 なので K 0 µ = 0 であることを用いた。
ここで、自由度の勘定をしておく。もともとの Einstein 方程式は

1Rµν − Rgµν = 8πTµν
251(4.209)

で、10 本の方程式だった。そのうえ、これは変数 gµν の二階の方程式である。このうち、Bianchiの恒等式 (またはエネルギーと運動量の保存則) から自由度は 4 つ減り、座標の定め方から自由度
は 4 つ減り、独立なのは 2 本分つまり自由度は 2 である。一方で、3 + 1 分解したあとの方程式は∂⊥ γij と ∂⊥ Kij の計 12 本の一階微分方程式であり、これとは別に Hamiltonian と momentum のconstraint があるので 4 つ自由度が減り、さらに座標の定め方 (ラプスとシフトの定め方) から 4 つ
減る5 ので、独立なのは 4 本分つまり自由度は 4 である。ここでは二階微分方程式 2 本分の自由度と一階微分方程式 4 本分なので、その自由度の勘定は同じになる。

Einstein 方程式の共形分解
ここまでで Einstein 方程式の 3 + 1 分解自体はできているが、いまの形式では初期条件のセッティングが難しい。これを解決するために、共形分解という手法を用いる。具体的にここからどう初期条件を設定するかは後述する。
共形分解では、空間計量をγ̄ij = e−4ϕ γij(4.210)と書き直す。この γ̄ は曲がった空間の計量ではあるが、行列式は平坦計量のもの γ̂ と一致するように取る。即ち、

det(γ̄ij ) = γ̂(4.211)である。この γ̄ij を conformally related metric、ϕ を共形因子 (の exponent) と呼ぶ。また、γ̂ij は背景計量と呼ぶ。conformally related metric の逆行列 γ̄ ij ともともとの空間計量の逆行列 γ ij はγ̄ ij = e4ϕ γ ij

(4.212)という関係にある。この conformally related metric に関する共変微分 D̄i と、もともとの空間計
量 γij に関する共変微分 D̃i とは、それぞれで定義される Christoﬀel 記号 Γ̄i jk と Γ̃i jk の差 C i jk =

Γ̃i jk − Γ̄i jk を用いて関連づけられる。ただし、D̃i は超曲面の接空間・余接空間の元に作用するよう定義されている、普通の意味での超曲面上の共変微分である。6 即ち、例えばベクトルに対してはD̃i v j = D̄i v j + C j ik v k(4.213)であり、その他の一般のテンソルに関しても同様である。この定義から明らかなように、C i jk はテンソルである。いま、D̄i も D̃i も対称接続なので、C i jk = C i kj である。また、D̃i を γij に作用させると 0 になることから

0 = D̃i γjk = D̄i γjk − C l ij γlk − C l ik γjl(4.214)

これは添字が ijk だが、さらに jki としたものを足して kij としたものを引くことで、

1
C i jk = γ il (D̄j γlk + D̄k γjl − D̄l γjk )2

5(4.215)

ラプスとシフトの値そのものと時間微分を定めるので二階微分方程式を 4 つ、一階微分方程式なら 8 つ潰せるだけの拘束条件だが、時間微分は方程式に出てこないので結局 4 つ分減らすことにしかならない。
6
四次元時空の接空間・余接空間の元で n に直交するものに作用する Dµ とは似ているが、とりあえず今は違うもの。

52

を得る。ここで、γ ik γkj = δ i j を用いた。さらに、D̄i は γ̄ij と交換することから、式 (4.211) から

0 = D̄i γ̄jk = D̄i (e−4ϕ γjk ) = −4e−4ϕ γjk D̄i ϕ + e−4ϕ D̄i γjk(4.216)D̄i γjk = 4γjk D̄i ϕ(4.217)であり、を得る。これを用いて具体的に C の表式を求めると、

C i jk = 2(δ i j D̄k ϕ + δ i k D̄j ϕ − D̄i ϕγ̄jk )(4.218)となる。ただし、第三項は γ il γjk = γ̄ il γ̄jk という関係式を用い、D̄i = γ̄ ij D̄j と D̄j の添字の上下を γ̄ ij でおこなった。
後で利用するので、ここで Ricci テンソルの共形版を求めておく。式 (4.165) で定義された Rie-mann テンソルは四次元で Dµ によって定義されたものなので、三次元で D̃i によって定義される
Riemann テンソル 3 Ri jkl との関連を示す。具体的には、座標表示した Qµ νρσ の空間のみの成分は
3 Riµ
jkl に一致することを示す。式 (4.165) の左辺は定義により n に直交するので、nµ Q νσρ = 0。
よって、Q0 νσρ = 0 となる。ここから、Ricci テンソルを求めると

Qij = Qσ iσj = Qk ikj(4.219)と空間成分の縮約を取るだけでよいので、空間成分 Qi jkl だけを考えるのでよい。
これは具体的には、

Qi jkl = hdxi , Dek Del ej − Del Dek ej i

(4.220)で計算できる。ただし、h i は双対ベクトルをベクトルに作用させることを表し、ej は座標基底である。いま n に直交する空間座標基底を考えているので、Dµ を作用させてよい。また、D も空間成分、即ち空間座標基底方向への共変微分にしている。これを求めるために、共変微分 Dei を座
標基底 ej に作用させることを考え、接続係数 Gµ ij を求める。7 いま、接続係数の定義により

Dei ej = Gµ ij eµ(4.221)である。8 ここでは、左辺が e0 成分を持つ可能性も考えて µ には 0 も許しているが、

G0 ij = hdx0 , Dei ej i ∝ hn, Dei ej i = 0(4.222)より、µ = 0 の場合は実際には 0 となる。ただし、n は n を計量で双対ベクトルに移したものであり、また D を作用させたテンソルは n に直交するようになることを用いた。すなわち、Dei ej = Gk ij ek(4.223)四次元の接続係数 Γµ νρ は、∇eν eρ = Γµ νρ eµ で定義されていた。
D が微分として作用する相手は n に直交している必要があり、D 自体の足も n に直交するベクトルとの縮約しか取れない。なので、G の下付きの足は空間成分のみを考えている。下付きの足が 0 を含む場合に拡張することもできる
が、上付きの足が 0 の時は G が 0 になることをここで示しているので、二階微分の左側の D が e0 に作用することはないこと、また、Q も空間成分を考えているので e0 と縮約を取ることもないことから、ここでは考えないことにする。
7

8

53

であるから、

hdxi , Dek Del ej i = hdxi , Dek (Gm lj em )i= hdx , Dek (Gi= hdx , ∂k (G
i

i

m

m

lj )em + Glj )em + G= ∂k (G lj ) + G(4.224)mm

lj Dek em i

(4.225)lj G km en i

(4.226)mnilj G km

(4.227)

ただし、ek が n に直交するベクトルのため Dek をスカラー場に作用させるとただの k 方向への偏微分になることを用いた。ゆえに、Riemann テンソルはQijkl = ∂k Gi lj − ∂l Gi kj + Gm lj Gi km − Gm kj Gi lm(4.228)で計算できる。
さらに、接続係数を計量で表す。γµν に Dµ を作用させると 0 になったので、このテンソルの純空間成分を考えると90 = Di γjk = ∂i γjk − Gl ij γlk − Gl ik γjl(4.229)である。ひとたび最右辺の表式を得れば、これは成分の表式なので γµν の純空間成分と考えても超曲面の空間計量 γij と考えても良い。また、これは添字が ijk であるが、jki としたものを加え、kij としたものを引くと∂i γjk + ∂j γki − ∂k γij − 2Gl ij γlk = 0(4.230)

1
Gi jk = γ il (∂j γlk + ∂k γlj − ∂l γjk )2(4.231)となる。ここから、を得る。従って、成分の比較から純空間成分については Gi jk = Γ̃i jk となる。D̃i で定義される

Riemann テンソルはお馴染みの計算により
3

Ri jkl = ∂k Γ̃i lj − ∂l Γ̃i kj + Γ̃m lj Γ̃i km − Γ̃m kj Γ̃i lm(4.232)となるので、Qi jkl = 3 Ri jkl を得る。さらに前述の議論により、Qij = 3 Rij である。
さらに、超曲面上の Ricci テンソルと conformally related metric の Ricci テンソルを関係づける。超曲面上、D̃i に関する Ricci テンソルは Riemann テンソルの定義を縮約して、超曲面の接空間の任意のベクトル v によって3

Rij v j = D̃j D̃i v j − D̃i D̃j v j

9(4.233)共変微分の作用と接続係数の関係を考えておく。n に直交するベクトル場 v と u に対し、これは ei (i = 1, 2, 3) によって展開できるため、Du v = Du (v j ej ) = (Du v j )ej + ui v j Dei (ej ) となる。いまは v j はただのスカラー関数で u はn に直交するベクトルなので Du v = ui (∂i v j )ej + ui v j Gk ij ek であり、ここで成分表示により Di v j = ∂i v j + Gj ik v kを得る。ここから Leibnitz 則等を用いて n に直交する双対ベクトルへの作用は Di ωj = ∂i ωj − Gk ij ωk である。計量γµν への作用も同様に拡張できる。

54

となる。この D̃i を D̄i に書き換えると、
3

Rij v j

= D̄j (D̃i v j ) + C j jk D̃i v k − C k ji D̃k v j − D̄i (D̃j v j )(4.234)= D̄j (D̄i v j + C j ik v k ) + C j jk D̄i v k + C j jk C k il v l − C k ji D̄k v j − C k ji C j kl v l − D̄i (D̄j v j + C j jk v k )(4.235)= D̄j D̄i v j + (D̄j C j ik )v k + C j ik D̄j v k + C j jk D̄i v k + C j jk C k il v l−C k ji D̄k v j − C k ji C j kl v l − D̄i D̄j v j − (D̄i C j jk )v k − C j jk D̄i v k(4.236)= D̄j D̄i v j − D̄i D̄j v j + (D̄j C j ik )v k − C k ji C j kl v l + C j jk C k il v l − (D̄i C j jk )v j

(4.237)であるから、D̄i で定義される共形版 Ricci テンソル R̄ij とは3

Rij = R̄ij + D̄l C l ij − C k li C l kj + C l lk C k ij − D̄i C k kj

(4.238)という関係で結ばれる。これを共形因子で表すと、

C k ki = 2(3D̄i ϕ + D̄i ϕ − D̄i ϕ) = 6D̄i ϕ(4.239)D̄l C l ij = 2D̄i D̄j ϕ + 2D̄j D̄i ϕ − 2γ̄ij D̄l D̄l ϕ(4.240)であることからC k li C l kj

= 4(3D̄i ϕD̄j ϕ + D̄i ϕD̄j ϕ − D̄i ϕD̄j ϕ
D̄i ϕD̄j ϕ + D̄i ϕD̄j ϕ − γ̄ij D̄l ϕD̄l ϕ−D̄i ϕD̄j ϕ − γ̄ij D̄k ϕD̄k ϕ + D̄i ϕD̄j ϕ)(4.241)= 20D̄i ϕD̄j ϕ − 8γ̄ij D̄k ϕD̄ ϕ(4.242)C l lk C k ij = 12D̄i ϕD̄j ϕ + 12D̄j ϕD̄i ϕ − 12γ̄ij D̄k ϕD̄k ϕ(4.243)

D̄i C k kj = 6D̄i D̄j ϕ(4.244)

Rij = R̄ij − 2D̄i D̄j ϕ − 2D̄k D̄k ϕγ̄ij + 4D̄i ϕD̄j ϕ − 4D̄k ϕD̄k ϕγ̄ij(4.245)kとなり、これらをまとめることで3となる。trace を求めておくと、
3R(= γ ij 3 Rij ) = e−4ϕ (R̄ − 8(D̄k D̄k ϕ + D̄k ϕD̄k ϕ))(4.246)である。このとき、R̄ = γ̄ ij R̄ij である。さらに、式 (4.197) に出てくる Q は

Q = γ µν Qµν = γ ij Qij = γ ij 3 Rij = 3 R(4.247)と上記のスカラー曲率に等しいことがわかるので、Hamiltonian constraint の Q は上式の R̄ を用いた式で表せたことになる。

55

外的曲率も共形版にする。ここで、外的曲率の trace が 3 + 1 分解した方程式に現れていたことから、外的曲率の成分を trace と traceless 部分に分解する:

1
Aij = Kij − Kγij
3(4.248)これは γ ij で trace を取ると 0 になる。この traceless 部分の共形版はある程度の任意性があるが、ここではĀij = e−4ϕ Aij(4.249)というスケーリングで共形版を定義する。これも γ̄ による trace は 0、γ̄ ij Āij = 0 という条件を満たす。
空間計量の時間発展は2∂⊥ (e4ϕ γ̄ij ) = −2αAij − Kγij
3(4.250)∂⊥ (e4ϕ γ̄ij ) = 4e4ϕ γ̄ij ∂⊥ ϕ + e4ϕ ∂⊥ γ̄ij

(4.251)である。ここでにおいて、γ̄ ij をかけると第二項はγ̄ ij ∂⊥ γ̄ij = ∂⊥ ln det(γ̄ij ) = ∂⊥ ln γ̂ = −Lβ ln γ̂ = −Lβ ln det(γ̄ij )(4.252)となる。ただし ∂t γ̂ = 0 である。これはさらに−Lβ ln det(γ̄ij ) = −γ̄ ij Lβ γ̄ij = −γ̄ ij (β k D̄k γ̄ij + γ̄ik D̄j β k + γ̄kj D̄i β k ) = −2D̄i β i(4.253)となる。10 これを利用すると、共形因子の時間発展を求められる:

1∂⊥ ϕ = (D̄i β i − αK)
6(4.257)

ただし、γ̄ij = e−4ϕ γij と Āij の traceless 性を用いた。さらに、空間計量の時間発展からこの共形
因子の時間発展を差し引くと conformally related metric の時間発展が求まる。つまり、

2∂⊥ γ̄ij = −4γ̄ij ∂⊥ ϕ − 2αĀij − K γ̄ij
3(4.258)2∂⊥ γ̄ij = −2αĀij − D̄k β k γ̄ij
3(4.259)Lβ γ̄ij = β k ∂k γ̄ij + γ̄ik ∂j β k + γ̄kj ∂i β k(4.254)より

10

β は第 0 成分がないのでであるが、微分の足も作用しているものも n に直交しているので D による共変微分に書きなおすことができて (計算としては普通の Lie 微分を ∇ で書きなおした時と同様)

β k Dk γ̄ij + γ̄ik Dj β k + γ̄kj Di β k(4.255)

さらに、今は空間成分だけを考えるので接続係数の一致する D̃ で書き直すことができて

β k D̃k γ̄ij + γ̄ik D̃j β k + γ̄kj D̃i β k
加えて、式 (4.214) を用いて D̄ で書き直すことができる。

56(4.256)

また、Āij := γ̄ ik γ̄ jl Ākl を定義すると

2−2αĀij − D̄k β k γ̄ ij
3= γ̄ ik γ̄ jl ∂⊥ γ̄ij

(4.260)= γ̄ ik (∂⊥ (γ̄ jl γ̄ij ) − γ̄ij ∂⊥ γ̄ jl )(4.261)= γ̄ ik ∂⊥ (δ l i ) − δ k j ∂⊥ γ̄ jl(4.262)= −∂⊥ γ̄ kl(4.263)なので、2∂⊥ γ̄ ij = 2αĀij + D̄k β k γ̄ ij
3(4.264)である。この式は後で使う。
外的曲率の trace の時間発展は∂⊥ Kij = ∂⊥ (Kij γ ij ) = Kij ∂⊥ γ ij + γ ij ∂⊥ Kij = ∂⊥ (Kij γ ij ) = 2αKij K ij + γ ij ∂⊥ Kij(4.265)なので11 外的曲率の時間発展の式の γ ij による trace を取るとL.H.S. = γ ij ∂⊥ Kij = ∂⊥ K − 2αKij K ij

(4.269)R.H.S. = −Di Di α + α(Q + K 2 − 2Kij K ij + 4π(3(S − E) − 2S))

(4.270)∂⊥ K = −Di Di α + α(Q + K 2 + 4π(S − 3E))

(4.271)及びからとなる。さらに Hamiltonian constraint Q + K 2 = Kij K ij + 16πE から∂⊥ K = −Di Di α + α(4π(S + E) + Kij K ij )(4.272)を得る。これを更に共形版にすると、まず空間成分しか考えていないことから

Di Di α = D̃i D̃i α = D̃i (γ ij D̃j α) = D̄i (γ ij D̃j α) + C i ij γ jk D̃k α= D̄i (e−4ϕ γ̄ ij D̄j α) + 6e−4ϕ γ̄ jk D̄j ϕD̄k α(4.273)(4.274)= −4e−4ϕ D̄i ϕγ̄ ij D̄j α + e−4ϕ D̄i D̄i α + 6e−4ϕ γ̄ jk D̄j ϕD̄k α = e−4ϕ D̄i D̄i α + 2e−4ϕ γ̄ jk D̄j ϕD̄k α(4.275)を得て、さらに traceless 性を用いて



1
1
1
1
ij
ij
ij
Kij K = Aij + Kγij
A + Kγ= Aij Aij + K 2 = Āij Āij + K 2
3
3
3
3(4.276)11

γ ik γ jl ∂⊥ γij = γ ik ∂⊥ (γ jl γij ) − γ ik γij ∂⊥ γ jl = −∂⊥ γ kl

(4.266)

γ ik γ jl Kij = K kl

(4.267)∂⊥ γ ij = 2αK ij(4.268)

及び
から
となる。

57

を得る。K の式では Āij = e4ϕ Aij を用いた。これらを組み合わせて、
K2∂⊥ K = −e−4ϕ (D̄i D̄i α + 2D̄i ϕD̄i α) + α 4π(E + S) + Āij Āij +3(4.277)を得る。
続けて traceless 部分の時間発展を求める。

∂⊥ Kij1
1= ∂⊥ Aij + ∂⊥ Kγij + K∂⊥ γij
3
3
1
2= ∂⊥ Aij + ∂⊥ Kγij − αKKij
33(4.278)(4.279)

ここで、∂⊥ K = ∂⊥ (Kij γ ij ) = Kij ∂⊥ γ ij + γ ij ∂⊥ Kij(4.280)

2
1∂⊥ Aij = ∂⊥ Kij − γij ∂⊥ K + αKKij
33(4.281)からである。この第二項には上で求めた ∂⊥ K の式を、第一項には Einstein 方程式の空間射影を代入することで∂⊥ Aij= −Di Dj α + α(Qij + KKij − 2Kik K k j + 4π((S − E)γij − 2Sij ))1
2− γij (−Di Di α + α(Q + K 2 + 4π(S − 3E))) + αKKij(4.282)
3


3 

1
1
1
5
k
k
2
= − Di Dj α − γij Dk D α + α Qij − γij Q + α
KKij − 2Kik K j − γij K
3
3
3
3


1
−8πα Sij − γij S(4.283)3となる。このとき、第三項はさらに traceless 部分に分解することで





5
1
5
1
1
1
1
k
2
k
k
KKij − 2Kik K j − γij K =K Aij + Kγij − 2 Aik + Kγik
A j + Kδ j − γij K 2
3
3
3
3
3
3
3
(4.284)


5 2
1
1
1
1
5
=
KAij + K γij − 2 Aik Ak j + Aij K + KAij + K 2 γij − K 2 γij
3
9
3
3
9
3
(4.285)1=(4.286)
KAij − 2Aik Ak j
3とできる。
以上の式をまとめると、

1∂⊥ Aij = αKAij − 2αAik Ak j + (−Di Dj α + αQij − 8παSij )TF
3(4.287)と書くことができる。ただし上付き添字 TF は traceless 部分 (trace free) であることを表し、なんらかの二階共変テンソル Tij の TF 部分は Tij − 13 T γij で表す。
さらにこれを conformally related metric による諸量で表す。左辺は2∂⊥ Aij = ∂⊥ (e4ϕ Āij ) = e4ϕ ∂⊥ Āij + 4e4ϕ Āij ∂⊥ ϕ = e4ϕ ∂⊥ Āij + e4ϕ Āij (D̄i β i − αK)
358(4.288)である。右辺は各項毎に、Di Dj α = D̃i D̃j α = D̃i D̄j α(4.289)= D̄i D̄j α − C ij D̄k αk(4.290)= D̄i D̄j α − 2(D̄j ϕD̄i α + D̄i ϕD̄j α − γ̄ij D̄ ϕD̄k α)
k(4.291)より
1= −D̄i D̄j α + 2(D̄j ϕD̄i α + D̄i ϕD̄j α − γ̄ij D̄k ϕD̄k α)− Di Dj α − γij Dk Dk α31+ γ̄ij (D̄i D̄i α + 2γ̄ jk D̄j ϕD̄k α)(4.292)3= −(D̄i D̄j α)TF + 2(D̄j ϕD̄i α)TF + 2(D̄i ϕD̄j α)TF (4.293)= −(D̄i D̄j α − 4D̄(j ϕD̄i) α)TF

(4.294)

ここでの TF は γ̄ ij についての trace が 0 になるという意味である。以下でもこれは同様。さらにRicci テンソル Qij は式 (4.246) により
1
Qij − Qγij
31
= R̄ij − 2D̄i D̄j ϕ − 2γ̄ij D̄k D̄k ϕ + 4D̄i ϕD̄j ϕ − 4γ̄ij D̄k D̄k ϕ − γ̄ij (R̄ − 8(D̄k D̄k ϕ + D̄k ϕD̄k ϕ))
3(4.295)TF= R̄ij− 2(D̄i D̄j ϕ)TF + 4(D̄i ϕD̄j ϕ)TF

(4.296)

加えて、

1
1
1
TF
Sij − Sγij = Sij − Skl γ kl γij = Sij − Skl γ̄ kl γ̄ij = Sij
3
3
3(4.297)

Aik Ak j = γ kl Aik Alj = e−4ϕ γ̄ kl e4ϕ Āik e4ϕ Ālj = e4ϕ Āik Āk j(4.298)である。さらに、である。
以上を総合することで、∂⊥ Āij

2= − D̄k β k Āij + αK Āij − 2αĀik Ak j3+e−4ϕ (−D̄i D̄j α + 4D̄(i αD̄j) ϕ + α(R̄ij − 2D̄i D̄j ϕ + 4D̄i ϕD̄j ϕ − 8πSij ))TF
(4.299)となる。

Ricci テンソルの計算方法は後述することにして、今度は constraints の共形版を導く。Hamiltonian constraint は
2 2
K − Āij Āij − 16πE + e−4ϕ (R̄ − 8D̄k D̄k ϕ − 8D̄k ϕD̄k ϕ) = 0
3(4.300)であり、momentum constraint は

Di K = D̃i K = D̄i K

59(4.301)



1
1
j
j
Dj K i = D̃j K i = D̃j A i + Kδ i = D̃j Aj i + D̃i K
3
3
j

j

(4.302)

さらにD̃j Aj i = D̄j Āj i + C j jl Āl i − C l ji Āj l(4.303)= D̄j Ā i + 6Ā i D̄l ϕ − 2Ā l δ j D̄i ϕ − 2Ā i D̄j ϕ + 2Āij D̄ ϕ
j

l

j

j

j

l

j

j

= D̄j Ā i + 6Ā i D̄j ϕ(4.304)(4.305)を用いて、

2D̄i K − γ̄ik D̄j Ājk − 6γ̄ik Ājk D̄j ϕ + 8πSi = 03(4.306)となる。

BSSN 形式
BSSN 形式の最後のピースとして、Ricci テンソルの表式を求める。Qij = 3 Rij と R̄ij を結びつけた時のように、R̄ij と平坦空間の Ricci テンソル R̂ij (= 0) を結びつける。平坦空間の Christoﬀel
記号 Γ̂i jk を用いて ∆Γi jk = Γ̄i jk − Γ̂i jk を定義すると、

0 = D̄k γ̄ij = D̂k γ̄ij − ∆Γl ki γ̄lj − ∆Γl kj γ̄li

(4.307)に、添字を ijk にしたものを足して jki にしたものを引くと

1∆Γi jk = γ̄ il (D̂j γ̄lk + D̂k γ̄jl − D̂l γ̄jk )2(4.308)と書ける。D̄i についての Ricci テンソルは Christroﬀel 記号 Γ̄i jk で書くとR̄ij = ∂k Γ̄k ij − ∂i Γ̄k kj + Γ̄l lk Γ̄k ij − Γ̄k li Γ̄l kj(4.309)である。ここから、R̄ij= ∂k (Γ̂k ij + ∆Γk ij ) − ∂i (Γ̂k kj + ∆Γk kj )+(Γ̂l lk + ∆Γl lk )(Γ̂k ij + ∆Γk ij ) − (Γ̂k li + ∆Γk li )(Γ̂l kj + ∆Γl kj )(4.310)= ∂k Γ̂ ij − ∂i Γ̂ kj + Γ̂ lk Γ̂ ij − Γ̂ li Γ̂ kj
k

k

l

k

k

l

+∂k ∆Γk ij + Γ̂l lk ∆Γk ij − Γ̂k li ∆Γl kj−∂i ∆Γk kj + Γ̂k ij ∆Γl lk − Γ̂l kj ∆Γk li+∆Γl lk ∆Γk ij − ∆Γk li ∆Γl kj(4.311)= R̂ij+∂k ∆Γk ij + Γ̂l lk ∆Γk ij − Γ̂k li ∆Γl kj − Γ̂l ki ∆Γk lj−∂i ∆Γk kj − Γ̂l kj ∆Γk li + Γ̂k ij ∆Γl lk + Γ̂l ki ∆Γk lj+∆Γl lk ∆Γk ij − ∆Γk li ∆Γl kj

60(4.312)

最後の表式に移るときには足すと 0 になる自明な項を挿入した。また、最後の表式は二行目と三行目が D̂i による共変微分になっているのでR̄ij = D̂l ∆Γl ij − D̂i ∆Γk kj − ∆Γk li ∆Γl kj + ∆Γl lk ∆Γk ij(4.313)となる。∆Γijk = γ̄il ∆Γl jk とすると

∆Γijk = ∆Γikj(4.314)D̂i γ̄jk = ∆Γjki + ∆Γkji(4.315)とが成り立つ。よって、第一項はD̂k ∆Γk ij

1
D̂k (γ̄ kl (D̂i γ̄jl + D̂j γ̄il − D̂l γ̄ij ))2
1= D̂k γ̄ kl ∆Γlij + γ̄ kl (D̂k D̂i γ̄jl + D̂k D̂j γ̄il − D̂k D̂l γ̄ij )2=(4.316)(4.317)

ここで、0 = D̂k (δ i j ) = D̂k (γ̄ il γ̄lj ) = γ̄ il D̂k γ̄il + γ̄il D̂k γ̄ il を用いると

D̂k γ̄ ij= −γ̄ il γ̄ jm D̂k γ̄lm

(4.318)= −γ̄ il γ̄ jm (∆Γlmk + ∆Γmlk )(4.319)= −γ̄ jm ∆Γi mk − γ̄ il ∆Γj lk(4.320)となるので、121D̂k ∆Γk ij = γ̄ kl (D̂k D̂i γ̄jl + D̂k D̂j γ̄il − D̂k D̂l γ̄ij ) − γ̄ kl ∆Γm kl ∆Γmij − ∆Γl ij ∆Γk kl
2(4.321)となる。第二項は

1
1D̂i γ̄ kl D̂j γ̄kl + γ̄ kl D̂j D̂i γ̄kl
2
2
1 km
1
= − (γ̄ ∆Γl mi + γ̄ lm ∆Γk mi )(∆Γklj + ∆Γlkj ) + γ̄ kl D̂j D̂i γ̄kl
2
2
1 kl
k
l
kl
m
=
γ̄ D̂j D̂i γ̄kl − ∆Γ lj ∆Γ ki − γ̄ ∆Γ lj ∆Γmki
2

D̂j ∆Γk ki =(4.322)(4.323)(4.324)となるので、

1R̄ij = γ̄ kl (D̂k D̂i γ̄jl +D̂k D̂j γ̄il −D̂k D̂l γ̄ij −D̂i D̂j γ̄kl )+γ̄ kl (∆Γm lj ∆Γmki −∆Γm kl ∆Γmij ) (4.325)
2となる。このままでは二階微分に非 Laplace 的な項が含まれてしまい、波動方程式のような解きやすい時間発展方程式に書くことができない。そこで、非 Laplace 的な項を新しい変数の一階微分の項として表し、方程式を波動方程式に似た形に変形する。これが BSSN 形式である。
具体的には、第一、第二、第四項の二階微分を接続ベクトル ∆Γk := γ̄ ij ∆Γk ij で書き直す。

12

D̂k γ̄ kl = −γ̄ lm ∆Γk mk − γ̄ km ∆Γl mk

61

0 = D̂i (δ j k ) = D̂i (γ̄ jl γ̄lk ) = (D̂i γ̄ jl )γ̄lk + γ̄ jl D̂i γ̄lk を用いて
∆Γk := γ̄ ij ∆Γk ij
1 ij kl=γ̄ γ̄ (D̂i γ̄lj + D̂j γ̄il − D̂l γ̄ij )2√
1
1= − γ̄ ij γ̄lj D̂i γ̄ kl − γ̄ ij γli D̂j γ̄ kl − γ̄ kl D̂l ln γ̄22√= −D̂l γ̄ kl − γ̄ kl D̂l ln γ̄

(4.326)(4.327)(4.328)(4.329)を得る。これを利用すれば第一項は

1 klγ̄ D̂k D̂i γ̄jl =
2
=
=

=

=

1
1
(4.330)D̂k (γ̄ kl D̂i γ̄jl ) − D̂k γ̄ lk D̂i γ̄jl
2
2
√
1
1
1
− D̂k (γ̄jl D̂i γ̂ kl ) + ∆Γk D̂i γ̄jl + γ̄ kl (D̂k ln γ̄)D̂i γ̄jl
(4.331)
2
2
2
√
1
1
1
1
− D̂k γ̄jl D̂i γ̄ kl − γ̄jl D̂i D̂k γ̄ kl + ∆Γk D̂i γ̄jl + γ̄ kl (D̂k ln γ̄)D̂i γ̄jl
2
2
2
2
(4.332)√
1
1(∆Γjlk + ∆Γljk )(γ̄ km ∆Γl im + γ̄ lm ∆Γk im ) + γ̄jl D̂i (∆Γl + γ̄ lm D̂m ln γ̄)
2
2
√
1
1 kl
k
+ ∆Γ D̂i γ̄jl + γ̄ (D̂k ln γ̄)D̂i γ̄jl
(4.333)22
1
1γ̄ km ∆Γl mi ∆Γjlk + γ̄ km ∆Γl mi ∆Γlkj + ∆Γl mi ∆Γm lj
2
2
√
1
1
1
1
l
l
γ̄lj D̂i ∆Γ + D̂i D̂j ln γ̄ + ∆Γ ∆Γjil + ∆Γl ∆Γlij(4.334)2222となる。ただし、途中で D̂i が平坦計量に関する共変微分のため、交換することを用いた。第二項はこれで i ↔ j としたものになり、第四項は

1
11− γ̄ kl D̂i D̂j γ̄kl = − D̂i (γ̄ kl D̂j γ̄kl ) + D̂i γ̄ kl D̂j γ̄kl
(4.335)2
2
2√
1= −D̂i D̂j ln γ̄ − (γ̄ km ∆Γl im + γ̄ lm ∆Γk im )(∆Γklj + ∆Γlkj ) (4.336)
2√= −D̂i D̂j ln γ̄ − ∆Γl mi ∆Γm li − γ̄ km ∆Γl mi ∆Γlkj(4.337)以上を足すと、√
1 kl
11γ̄ D̂k D̂i γ̄jl + γ̄ kl D̂k D̂j γ̄il − γ̄ kl D̂i D̂j γ̄kl = γ̄ km ∆Γl m(i ∆Γj)lk + γ̄l(i D̂i) ∆Γl + D̂i D̂j ln γ̄222+∆Γl ∆Γ(ij)l + γ̄ km ∆Γl km ∆Γlij(4.338)を得る。
「いま、新しい変数 Λ̄k を導入し、これは constraint Λ̄k − ∆Γk = 0 を満たすものとする。」
すると、これを Ricci テンソルの式に代入すれば

1
R̄ij = − γ̄ kl D̂k D̂l γ̄ij + γ̄k(i D̂j) Λ̄k + ∆Γk ∆Γ(ij)k + γ̄ kl (2∆Γm k(i ∆Γj)ml + ∆Γm ik ∆Γmjl ) (4.339)2を得ることができる。これを Āij の方程式に代入すれば発展を記述できるようになるが、そのためにはさらに Λ̄k の発展方程式が必要になる。

62

ここで、γ̄ = γ̂ を用いれば√
Λ̄k = −D̂l γ̄ kl − γ̄ kl D̂l ln γ̄
p= −D̂l γ̄ kl − γ̄ kl D̂l ln γ̂
1( = −D̂l γ̄ kl − γ̄ kl γ̂ ij D̂l γ̂ij )2= −D̂l γ̄ kl(4.340)(4.341)(4.342)(4.343)である。そこで、式 (4.265) を D̂j によって divergence を取ると、∂⊥ γ̄ ij = ∂t γ̄ ij − β k D̂k γ̄ ij + γ̄ kj D̂k β i + γ̄ ik D̂k β j(4.344)であるから、D̂j ∂t γ̄ ij= ∂t D̂j γ ij = −∂t Λ̄i(4.345)= (D̂j β k )D̂k γ̄ ij + β k D̂k D̂j γ̄ ij − (D̂j γ̄ kj )D̂k β i − γ̄ kj D̂j D̂k β i − (D̂j γ̄ ik )D̂k β j22−γ̄ ik D̂k D̂j β j + 2(D̂j α)Āij + 2αD̂j Āij + (D̂j D̂k β k )γ̄ ij + D̂k β k D̂j γ̄ ij
3
3(4.346)= 2Āij D̂j α + 2αD̂j Āij + Λ̄k D̂k β i − β k D̂k Λ̄i − γ̄ kj D̂j D̂k β i
21− γ̄ ik D̂k D̂j β j − D̂k β k Λ̄i3
3(4.347)

となり、

∂ Λ̄i
2
1
= −2αD̂j Āij −2Āij D̂j α+β k D̂k Λ̄i −Λ̄k D̂k β i + Λ̄i D̂k β k +γ̄ jk D̂j D̂k β i + γ̄ ij D̂j D̂k β k (4.348)∂t33を得る。β k D̂k Λ̄i − Λ̄k D̂k β i = Lβ Λ̄i であること、det(γ̄ij ) = γ̂ であることから D̂k β k = ∂k β k +Γ̂k kj β j = ∂k β k + 12 ∂j ln γ̂β j = ∂k β k + 12 ∂j ln det(γ̄kl )β j = ∂k β k + Γ̄k kj β j = D̄k β k 、スカラー量への作用は D̂j も D̄j も ∂j を与えること、それにD̄j Āij = D̂j Āij + ∆Γi jk Ākj + (Γ̄j jk − Γ̂j jk )Āik = D̂j Āij + ∆Γi jk Ākj

(4.349)かつ momentum constraint

2
D̄j Āij = γ̄ ki D̄k K − 6Āji D̄j ϕ + 8πγ̄ ik Sk
3(4.350)

を用いて

2
4
1
∂⊥ Λ̄i = γ̄ jk D̂j D̂k β i + ∆Γi D̄j β j + γ̄ ik D̄k D̄j β j −2Ājk (δ i j ∂k α−6αδ i j ∂k ϕ−α∆Γi jk )− αγ̄ ij ∂j K−16παγ̄ ij Sj
3
3
3(4.351)を得る。
以上が最初にまとめた通りの BSSN 形式である。

63

初期条件の生成法
ここでは初期条件の生成法を述べる。もともとの 3 + 1 分解の解くべき変数 γij と Kij はどちらも対称テンソルのため自由度は 6 + 6 = 12 のようであるが、Hamiltonian 1 本と momentum 3 本の constraint によって実質的な自由度は 8 になっている。そのため、初期条件として γij と Kij の全てを自由に決めることはできない。以下で考える初期条件生成法は、自由に決めていい初期条件 8 個と constraint で決まる 4 個の条件をどう分けるかということを議論する。

• Conformal transvers-traceless method
ここでは、traceless extrinsic curvature Aij の共形版を、

Ãij = e10ϕ Aij = e6ϕ Āij

(4.352)で定義する。この Ãij を γ̄ ij で反変テンソルにし、transverse 成分と longitudinal 成分に分ける：

Ãij = (L̄X)ij + Ãij
TT

(4.353)ij

ただし、ÃTT は transverse 成分で、traceless 条件

γ̄ij Ãij
TT = 0(4.354)

D̄j Ãij
TT = 0(4.355)と transverse 条件

を満たすものとする。さらに、L̄X は longitudinal 成分で、共形 Killing 作用素 L̄ をある三次元ベ
クトル X に作用させた

2(L̄X)ij := D̄i X j + D̄j X i − D̄k X k γ̄ ij
3(4.356)と定義される。これは γ̄ij (L̄X)ij = 0 である。Ãij の divergence を取ると

D̄j Ãij = D̄j (L̄X)ij

2= D̄j D̄j X i + D̄j D̄i X j − D̄i D̄k X k32= D̄j D̄j X i + D̄i D̄j X j + R̄i j X j − D̄i D̄k X k
3
1 i
j i
j
i
j
= D̄j D̄ X + D̄ D̄j X + R̄ j X
3(4.357)(4.358)(4.359)となる。ただし、D̄i D̄j X k − D̄j D̄i X k = Rk lij X l から D̄j D̄i X j − D̄i D̄j X j = R̄i j X j を用いた。こ¯ L X i と呼ぶ。の最後の表式は共形ベクトル Laplacian ∆Hamiltonian constraint を Ã を用いて書き直すと、
11eϕ D̄k D̄k ϕ + eϕ D̄k ϕD̄k ϕ − R̄eϕ + Ãij Ãij e−7ϕ − K 2 e5ϕ + 2πEe5ϕ = 0812(4.360)となる。また、momentum constraint は

2 6ϕ
e D̄i K − γ̄ik D̄j Ãjk + 8πe6ϕ Si = 03(4.361)¯ L X i − 2 e6ϕ D̄i K = 8πe6ϕ γ̄ ik Sk∆
3(4.362)で D̄j Ãjk を書きなおして

64

ij

となる。これらは ϕ および X i の方程式と見なすことができて、γ̄ij 、ÃTT 、K 、および物質場の量を自由に与え、constraints から ϕ と X i を求めることで二つの constraint を満たす初期条件を構成することができる。この方法を conformal transverse-traceless method と呼ぶ。13• Conformal thin-sandwich method
Conformal transverse-traceless method では γ と K の初期値を与えたが、ここでは γ と ∂t γ の初期値を与えるような初期条件構成法を考える。

2∂⊥ γ̄ ij = 2αĀij + D̄k β k γ̄ ij
3(4.363)であるが、2Lβ γ̄ ij = β k D̄k γ̄ ij − γ̄ ik D̄k β j − γ̄ kj D̄k β i = −γ̄ ik D̄k β j − γ̄ kj D̄k β i = −(L̄β)ij − γ̄ ij D̄k β k (4.364)
3から、Āij =

1∂t γ̄ ij + (L̄β)ij
2α(4.365)であり、Āij = e−6ϕ Ãij であるから、conformal lapse ᾱ := e−6ϕ α を用いると

Ãij =

1∂t γ̄ ij + (L̄β)ij
2ᾱ

(4.366)となる。これを momentum constraint

2 6ϕe D̄i K − γ̄ik D̄j Ãjk + 8πe6ϕ Si = 03(4.367)

に入れると

4 6ϕ
e D̄i K − γ̄ik D̄j3



1∂t γ̄ ij
α̃





1
(L̄β)ijα̃+ 16πe6ϕ Si = 0(4.368)4− e6ϕ D̄i K − 16πe6ϕ γ̄ ij Sj = 03(4.369)+ γ̄ik D̄jとなる。つまり
D̄j1(L̄β)ij
α̃




+ D̄j

1
∂t γ̄ ijα̃という表式を得る。ここから、∂t γ̄ ij 、K 、Sj 、そして ϕ を与えれば shift vector β が求まり、外的曲率を決定できる。ϕ は Hamiltonian constraint から conformal transverse-traceless method と同様に求める。以上のようにして γ̄ij 、∂t γ̄ ij 、K 、α̃ と E 、Si を自由に決めて、ϕ と β i を constraintから求める手法のことを conformal thin-sandwich method と呼ぶ。
ここで、(conformal) lapse を自由に決めるとしたが、どう決めればいいかという問題は簡単で

13
変数 (自由度) と表すと、3 + 1 分解では式は γij (6) と Kij (6) に関する発展方程式が計 12 個。これを ϕ(1)、γ̄ij (5)、ii
K(1)、Ãij
TT (2)、X (3) の 12 の変数に分割し、ϕ と X を Hamiltonian constraint と momentum constraint から決ij
める。残りの 8 個の変数 γ̄ij (5)、K(1)、ÃTT (2) のうち、α と β i を勝手に決めて良いというところから自由度を 4 個減らせる。例えば、β i の 3 つの自由度を利用して ∂⊥ γ̄ij = −2αĀij − 32 D̄k β k γ̄ij から γ̄ij の三つの非対角成分を、α の1 つの自由度を利用して ∂⊥ K = −Di Di α + α(3 R + K 2 + 4π(S − 3E)) から K を、それぞれ常に一定であるように設定できる。これは実質、超曲面の形 (α) と座標の張り方 (β i ) を決めたことに対応する。こうすると、残った自由度は
γ̄ij に 2 個と Āij に 2 個の計 4 個となる。ただし、ゲージの自由度を γ̄ij や K の自由度を減らすのではなく、座標特
異点を消したりするのに使うようにすると、その分解くべき方程式は増えて 8 個とかになる。

65

はない。そこで、代わりに ∂t K を決めて、α̃ はそこから導くという手法が提案されている。恒等式

D̄i D̄i α + 2D̄i ϕD̄i α = e−ϕ (D̄i D̄i (αeϕ ) − αD̄i D̄i eϕ )(4.370)を用いると、∂⊥ K の式は∂⊥ K = −e

−5ϕ



K2
ij
(D̄i D̄ (αe ) − αD̄i D̄ e ) + α 4π(E + S) + Āij Ā +
3
i

ϕ

i ϕ

(4.371)となる。ここにさらに αeϕ = α̃e7ϕ と Hamiltonian constraint を用いて

15 2 4ϕ 7i
7ϕ
7ϕij −8ϕ4ϕD̄i D̄ (α̃e )−(α̃e )R̄ + K e + Ãij Ã e
+ 2π(E + 2S)e+(∂t K−β i D̄i K)e5ϕ = 08
128(4.372)を得る。ここでは、γ̄ij 、∂t γ̄ ij 、K 、∂t K と物質場に伴う量 E 、S 、Si を与えて ϕ、α̃、β を求めており、この手法を extended conformal thin-sandwich method と呼ぶ。

ゲージの定め方
以上までで BSSN 形式と初期条件の求め方を議論したが、ゲージの自由度の定め方はまだ議論していない。Lapse と shift は自分で好きなように定めてよいので、ある特定のゲージを定めることで、そのゲージ条件を満たすように Lapse と shift の時間発展を定めることにする。ここでは、超曲面の張り方に伴うゲージ条件 (geodesic slicing、maximal slicing、harmonic slicing、1 + log slicing)をまず議論し、続けて座標の張り方に伴うゲージ条件 (normal coordinates、minimal distortion、Gamma freezing、Gamma driver) を議論する。
• geodesic slicing
最も簡単な α の選び方は、

α=1(4.373)とする geodesic slicing である。ただし、これは座標特異点を形成してしまうためあまり使われない。α = 1、β i = 0 とすると、∂t K = 4π(E + S) + Kij K ij ≥ 0(4.374)

K = −γ µν ∇µ nν = −g µν ∇µ nν − nµ nν ∇µ nν = −g µν ∇µ nν = −∇µ nµ(4.375)となり、K は単調増大となる。

より K が大きいと n はどんどん集中していくことになる。14 特に β = 0 とした場合、n の方向は

∂t の方向に一致するため、いずれ時間座標軸が一点に集中して特異点を形成してしまう。
ここで、測地線の「束」を考え、その接ベクトル uµ の四次元 divergence の意味を考える。今は測地線の aﬃneparameter を適当に定めることで timelike unit vector になるようにしておく。また、測地線の束として時空の全ての点を通るように束を集めておくと、uµ はベクトル場をなす。いま、時空の各点における「時間」座標を、その点を通る測地線のその点における aﬃne parameter とし、同じ時間座標を持つ点を集めて三次元超曲面を張る。各超曲面において、同じ測地線に乗る点同士は同じ空間座標を持つものとする。また、aﬃne parameter には原点の取り方の自由度があるが、uµ が超曲面の normal vector になるように各測地線の aﬃne parameter の原点を定める。これは少なくとも一つの超曲面をそうなるように定めれば、他の時刻の超曲面でもそうなるように定まる。まずこれを示す。いま、近傍にある異なる二本の測地線を選び、等しい aﬃne parameter を持つ点同士をつなぐことで deviation vector ξ µ を作る。deviation vector はその構成から Lu ξ = 0 である。なんとなれば、u は unit vector のため、時刻 t + ∆t での ξの始点と終点はそれぞれ時刻 t での ξ の始点と終点を ∆tu だけ動かしたものになっているからである。この Lie 微分
1466• maximal slicing
maximal slicing というのは、
K=0(4.385)と定めるゲージ条件である。これはゲージの自由度で変数を消せる一例である。これは Lapse に直すと、∂⊥ K = 0 でもあるので、K の発展方程式から



Di Di α = α 4π(E + S) + Kij K ij

(4.386)という楕円形方程式になる。これを満たすようにする限り、K = 0 を保ちつづける。さらに、これは∇µ nµ = 0(4.387)を導き、特異点の形成を防いでくれるため、長時間発展させられる。ただし、楕円形方程式を解かなければならないため計算時間がかかる。

• harmonic slicing
harmonic slicing は、時間座標について調和条件∇µ ∇µ t = 0(4.388)の関係から、uµ ∇µ ξ ν = ξ µ ∇µ uν という関係を得る。これを用いて、時刻 t + ∆t における u と ξ の内積を評価すると

u · ξ(t + ∆t)=u · ξ(t) + ∆t∂t (u · ξ)

(4.376)=u · ξ(t) + ∆tu ∇µ (u · ξ)

(4.377)=u · ξ(t) + ∆tuν uµ ∇µ ξ ν(4.378)=u · ξ(t) + ∆tuν ξ ∇µ u

(4.379)=u · ξ(t)µµν(4.380)となる。ただし unit vector であることから uµ ∇ν uµ = 0 を用いた。ここから、ある時刻で u · ξ = 0 となるように選べば他の時刻でも成り立ち、また ξ は構成から超曲面に接するため、u は常に超曲面に垂直であり続ける。この超曲面
を leaf とする foliation を作り、そこで計量を 3 + 1 分解すれば、lapse と shift、空間計量を定義できる。ただし、こ√の場合 lapse は 1 であり、shift は 0 である。いま、測地線上のある点 (時刻 t) における微小体積要素は γ(t)d3 x であり、次の時刻 t + ∆t では
(
)
√
√
∆t
γ(t + ∆t)d3 x =γ(t) +∂t γ d3 x(4.381)2γとなる。いま、lapse が 1、shift が 0 なので、∂t γij = −2Kij となり、この trace を取るとγ ij ∂t γij =1∂t γ = −2K
γ(4.382)となり、本文中の議論と合わせて√

γ(t + ∆t)d3 x

=
=

(√
)
γ(t) − K∆t d3 x(√)γ(t) + ∇µ uµ ∆t d3 x

(4.383)(4.384)となる。即ち、timelike unit vector 場の四次元 divergence は、それに沿った空間体積の変化を表す。K が大きいとこの空間体積がどんどん小さくなり、やがて特異点を形成するということになる。

67

を満たすというものである。これを式展開していくと、


√
1
√ ∂µ
−gg µν ∂ν t
−g

√
1
√ ∂µ
−gg µν δ 0 ν
−g

√
1
√ ∂µ
−gg µ0−g∇µ ∇µ t =
=
=
より

∂µ
ここで

√

√

(4.389)(4.390)(4.391)−gg µ0 = 0(4.392)√−g = α γ であるから、15 座標表示して
∂
−
∂t

√ 

√
γ
γ i
∂
+ i
β =0
α
∂x
α

(4.393)であり、これを整理すると

∂
−
∂t

√ 
√

γ
γ i
∂
+ i
β
=
α
∂x
α
=

=
から

√

√
√
√
√
γ ∂α
γ i ∂αγ ∂β i β i ∂ γ
1∂ γ
−
− 2β
+
+
(4.394)
α2 ∂t
α ∂t
α
∂xi
α ∂xi
α ∂xi

√ 
√
√
γ ∂α
α ∂ γ
α i∂ γ
∂β i
i ∂α
−β
−√
+√ β
+α i
α2 ∂t
∂xi
γ ∂t
γ ∂xi
∂x
(4.395)

√
√ 
γ ∂α
∂
γ
∂α
α
α
∂
√
− βi i − √+√( γβ i ) (4.396)
α2 ∂t
∂x
γ ∂t
γ ∂xi



√
1 ∂ γ
∂α
i ∂α
i
−β
−α √
− Di β = 0
∂t
∂xi
γ ∂t

(4.397)∂⊥ γij = −2αKij(4.398)

ここで、の trace を取るとγ ij ∂⊥ γij= γ ij ∂t γij − γ ij Lβ γ ij

(4.399)= ∂t ln γ − γ (β Dk γij + γik Dj β + γkj Di β√
= 2∂t ln γ − 2Dk β kijk= −2αKkk(4.400)(4.401)(4.402)となるので、調和条件の式は∂⊥ α = −α2 K(4.403)となる。これが harmonic slicing を満たすために α が従う方程式である。もし β = 0 とすると、

harmonic condition は
∂
∂t

√ 
γ
=0
α

(4.404)g00 の余因子は小行列式 γ であり、また余因子行列は行列式かける逆行列なので、gg 00 に等しい。g 00 = −α−2 であるから、g = −α2 γ となる。
15

68

から、空間座標の任意関数 C(xi ) を用いて√
α = C(xi ) γ(4.405)となる。γ が小さくなって特異点が近づくと α は小さくなるため、特異点にはなかなか近づかず避けることができる。

• 1 + log slicing
harmonic slicing の方程式を一般化して ∂⊥ α = −Kα2 f (α) とし、f (α) = 2/α としたのが 1 + log
slicing である。即ち、α が従う方程式は∂⊥ α = −2αK

(4.406)∂t α − Lβ α = ∂t ln γ − 2Di β i(4.407)∂t α = ∂t ln γ

(4.408)

α = 1 + log γ(4.409)である。これはと表され、β = 0 のときはよりという解を取れることが名前の由来である。この関数形は harmonic slicing の√γ より γ が小さくなったときの減少程度が大きく、より特異点を避けやすい。
以下では座標の定め方を議論していく。

• normal coordinates
最も簡単なのは、単に

βi = 0(4.410)とする normal coordinates である。これは特異点を作ることもないが、coordinate shear、つまり座標の歪みを抑えるという点でより良いゲージの取り方が存在する。

• minimal distortion
まず、歪みテンソル Qij を γij の時間微分の traceless 部分として定義する：16

Qij :=∂γij
1∂γkl− γ klγij∂t3∂t(4.412)

これは traceless なため 5 つの独立な成分があるが、shift の 3 つの自由度を使ってこれを出来る限り小さくしたい。そこで、さらにこれを (Aij の時と同様に)transverse 部分と longitudinal 部分に
16

三次元超曲面において、座標基底で張る平行六面体の体積はが ∆t だけ離れた二つの超曲面の間で、この体積は√γ(t + ∆t) −√γ(t) =√

γ となる。ただし γ は空間計量の行列式。時間座標

∆t ij
∆t 1
∂t γ =γ ∂t γij
2 γ
2(4.411)だけ変化する。この通り、∂t γij の γ ij による trace は体積の時間変化率に関係するので、∂t γij の traceless 部分は形の歪みの時間変化率に関係する。

69

分ける。まずベクトル X i を

Dj (LX)ij = Dj Qij(4.413)2(LX)ij = Di Xj + Dj Xi − Dk X k γij
3(4.414)

QTT
ij = Qij − (LX)ij(4.415)を満たすように選ぶ。このとき、である。この X i を用いて、

jと transverse 部分 QTT
ij を選ぶ。minimal distortion とは、この分解で X = 0、すなわち D Qij = 0と選ぶことである。

γij の発展方程式から、
1
Qij = −2αKij + Lβ γij − γij (−2αK + 2Dk β k ) = −2αAij + (Lβ)ij
3(4.416)を得る。minimal distortion 条件は適当に添字を上げ下げして−2αDj Aij − 2Aij Dj α + Dj (Lβ)ij = 0となる。ここで、momentum constraint は


1 j
j
Di K − Dj A i + δ i K + 8πSi = 03(4.417)(4.418)より

2
Dj Aji − Di K − 8πS i = 03(4.419)4− αDi K − 2Aij Dj α − 16παS i + Dj (Lβ)ij = 03(4.420)となるので、ここからとなり、さらに共形ベクトル Laplacian の時と同様に

1
Dj (Lβ)ij = Dj Dj β i + Di Dj β j + Ri j β j3(4.421)

1
4
Dj Dj β i + Di Dj β j + Ri j β j = 16παS i + αDi K + 2Aij Dj α
3
3

(4.422)であるから、まとめるとを得る。これが minimal distortion 条件における β の方程式である。このゲージは coordinate shearを抑えるという点で便利だが、一方で楕円型方程式を解くのに時間がかかる。

• Gamma freezing
いま、conformally related metric ともともとの計量との関係を考えよう。

γ̄ij = e−4ϕ γij

70(4.423)

であったので、det(γ̄ij ) = e−12ϕ det(γij )(4.424)ln det(γij ) = 12ϕ + ln γ̂

(4.425)γ ij ∂t γij = ∂t ln det(γij ) = 12∂t ϕ + ∂t ln γ̂ = 12∂t ϕ(4.426)となる。det(γ̄ij ) = γ̂ だったので、となる。従って、という関係が得られる。ここから、先ほどの歪みテンソルは conformally related metric とは

Qij = ∂t γij − 4γij ∂t ϕ = ∂t (e4ϕ γ̄ij ) − (∂t e4ϕ )γ̄ij = e4ϕ ∂t γ̄ij

(4.427)と関係することがわかる。そこで、先ほどの Dj Qij = 0 に似た条件として、

D̂j (∂t γ ij ) = 0(4.428)という Gamma freezing 条件を考える。これは minimal distortion を近似するような歪みを抑える性質を持ち、なおかつ発展方程式が一つ簡単になる。なぜなら、既に導いたように

0 = D̂j (∂t γ ij ) = ∂t (D̂j γ ij ) = −∂t Λ̄i(4.429)と Λ̄i が時間変化しないという条件になるからである。constraint が満たされる限り∂t ∆Γk = 0(4.430)と Delta Gamma が凍結されるので、Gamma freezing と呼ばれる。これを満たすよう β を決める
式は式 (4.352) の D̄j を D̂j に書き換えて17 ∂t Λ̄i = 0 とすれば得られる。具体的な表式は省くが、これもまだ楕円形方程式になっている。

• Gamma driver
楕円形方程式を解く代わりに、適当な正の関数 k を用いて

∂t β i = k∂t ∆Γi(4.431)とすると時間発展の方程式となり、速く解ける。ただし、この右辺は β の空間二階微分を含むため、放物型 Gamma driver と呼ばれる。
これを解きやすい双曲型にした∂t2 β i = k∂t ∆Γi − (η − ∂t ln k)∂t β i(4.432)は双曲型 Gamma driver と呼ばれる。これは二階の偏微分方程式の形ではなく、

17∂t β i = kB i

(4.433)∂t B i = ∂t ∆Γi − ηB i

(4.434)D̄j β j = D̂j β j71

という形で解かれる。k = 3/4 とすることが多いが、これによって特性速度をほぼ光速にできるらしい。

• puncture gauge
ここまで様々な形のゲージ条件を紹介してきたが、ブラックホールのシミュレーションなどで最もよく使われるのは 1 + log slicing と双曲型 Gamma driver を組み合わせた puncture gauge である。超新星シミュレーションでも、まずこれを使うことを考える。

質量、運動量、角運動量 (準備中、まだ議論は途中で止まっています)

Gourgoulhon (2007) に従い、漸近的平坦性から議論する。これは孤立系の周囲の時空の性質を模そうとしている。
漸近的平坦の定義は以下の性質を満たす背景計量 γ̂ij が存在することである:• 限られたコンパクトな領域 B を除いて γ̂ij は平坦である。
• B の外部では γ̂ij = diag(1, 1, 1) となる座標系 (x, y, z) があり、r :=p
x2 + y 2 + z 2 が任意に大きな値を取ることができる。

• r → +∞ の極限で
γij
∂k γij= γ̂ij + O(r−1 )(4.435)= O(r−2 )(4.436)を満たす。

• r → +∞ の極限で
Kij

= O(r−2 )(4.437)∂k Kij= O(r−3 )(4.438)を満たす。
これはもちろんどのような foliation を使うかに依存するが、別の foliation を考えてもそれらの間が座標変換

x′α = Λα µ xµ + cα (θ, ϕ) + O(r−1 )(4.439)で結ばれる限り以上の条件を保つ。boost と並進からなる Poincaré 変換はここで cα (θ, ϕ) = const.
としたものに対応する。また、cα (θ, ϕ) 6= const. は角度に依存する並進変換であり、超並進変換と呼ぶ。
まずはエネルギーにあたる ADM mass を導くため、一般相対論を境界項付き作用によって記述する。作用を変分する際には境界で力学変数の変分を 0 に止めるが、境界項がない場合は力学変数の微分の変分も 0 に止める必要がある。境界項を加えることで、このような制約を無視して議論できる。
一般相対論を導く Einstein-Hilbert 作用は境界項以外は
Z√
S=−gRd4 xU

72

(4.440)で与えられる。U は積分する時空領域である。実際にこれを変分する。力学変数は gµν なのでその変分 δgµν を本来であれば考えるが、それよりも δg µν = −g µσ g νρ δgσρ 18 の方が便利であるため、こちらを使う。すると、
Z
Z
√
√
√
√
µν
4
δS =
δ(g Rµν −g)d x = (δg µν Rµν −g + g µν δRµν −g + Rδ −g)d4 xU(4.441)

Uとなる。ここで考えている計量は変分前の g µν と変分後の g µν + δg µν であるが、ある点 P において g µν についての局所 Lorentz 系に移ると、その時の Ricci テンソルの変分は

δRµν = δ(∂ρ Γρ µν − ∂µ Γρ ρν ) + δΓρ ρσ Γσ µν + Γρ ρσ δΓσ µν − δΓσ ρµ Γρ σµ − Γσ ρµ δΓρ σµ(4.442)であるが、g µν についての局所 Lorentz 系であることから Γµ νρ = 0 であり、

δRµν = δ(∂ρ Γρ µν − ∂µ Γρ ρν ) = ∂ρ (δΓρ µν ) − ∂µ (δΓρ ρν )(4.443)

であり、再び局所 Lorentz 系であることから

δRµν = ∇ρ (δΓρ µν ) − ∇µ (δΓρ ρν )(4.444)である。今、δΓρ µν は計量 g µν と g µν + δg µν の接続係数の差なのでこれはテンソルであり、局所

Lorentz 系での評価は一般の座標系でも成り立つ。再度 ∇µ は g µν に関連する接続なのでg µν δRµν = ∇α (g µν δΓα µν − g να δΓβ βν ) = ∇α v α(4.445)と、とあるベクトル v α の divergence として表せる。また、√
1√1√
δ( −g) =−gg µν δgµν = −−ggµν δg µν
22(4.446)であるから、結局変分は



Z
√
1
µν
δS =
d x −g Rµν − Rgµν δg +d4 x −g∇α v α
2


ZU
ZU
√
1
=
d4 x −g Rµν − Rgµν δg µν +ℓβ ℓβ v α ℓα dΣ
2
U
∂U
Z

4

√

(4.447)(4.448)となる。ここで ℓα は ∂U 上の「外向き」単位法線ベクトルで dΣ は上の体積形式である。ただし、Gauss の定理は本来√−gdx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3(4.449)√dVµνρσ = 4! −gdx0[µ dx1ν dx2ρ dx3σ](4.450)dV =という 4-形式およびその成分表示

を用いて

Z
U

18 µσ

g

√
d4 x −g∇α v α =ZZdVµνρσ ∇α v α =v α dVαµνρ
∂UUgσν = δ µ ν を変分すると δg µσ gσν + g µσ δgσν = 0 となるため。

73(4.451)

であり、∂U 上の座標 y を用いて体積形式dΣ =p|h|dy 1 ∧ dy 2 ∧ dy 3

(4.452)p1
3|h|dy[µdyν2 dyρ](4.453)とその成分表示dΣµνρ = 3!

を用いると (hµν = gµν − ℓβ ℓβ ℓµ ℓν は ∂U 上に誘導された計量で h はその行列式)1ℓβ ℓβ ℓ[α dΣµνρ] = dVαµνρ
4(4.454)となることから19ZZv α dVαµνρ =∂UZℓβ ℓβ v α ℓα dΣµνρ =∂Uℓβ ℓβ v α ℓα dΣ(4.461)∂Uとした。20いま、δg µν は境界で 0 になるので、もしその微分まで 0 になるならば境界で v α = 0 となり、変分 = 0 とおいて真空の Einstein 方程式が出て来る。しかしながら、変分にそういう条件を課さな
いと boundary 項が残るので、これをキャンセルするような項が必要になる。

19

いま、∂U はある関数 Φ(x0 , x1 , x2 , x3 ) が 0 になる点の集合として定義することができる。この関数の勾配 1-形式

dΦ =

∂Φ 0
∂Φ 1
∂Φ 2
∂Φ 3
dx +
dx +
dx +
dx
∂x0
∂x1
∂x2
∂x3

(4.455)を dy 0 と表し、これと直交する余接空間の基底を三つ dy 1 、dy 2 、dy 3 集めると余接空間を張ることができる。余接空間の基底を dxµ から dy µ に変換しても体積 4-形式は変わらず√
dV = −g ′ dy 0 ∧ dy 1 ∧ dy 2 ∧ dy 3
(4.456)と表すことができる。この dy 0 は包含写像 ι : ∂U → M の引き戻しで 0 になり、dy 1 、dy 2 、dy 3 は包含写像の引き戻しでそのまま ∂U 上の座標 y の勾配 1-形式に一致させられる。dy 0 は ∂U の法線方向を向いており、∂U の外向き単位0
法線ベクトルの双対 ℓµ と並行である。この場合は “lapse”関数 N を用いて ℓβ ℓβ ℓα = N dyαと表せる。ℓβ ℓβ の因子は
βℓ が外向きになること、つまり座標値の増大する方向を向くことを保証するためのものである。これを用いると、√
013ℓβ ℓβ ℓ[α dΣµνρ] = 3!N |h|dy[αdy[µdyν2 dyρ]](4.457)√0
1
2
3= 3!N |h|dy[α dy[µ dyν dyρ]](4.458)
1 √
0
1
2
3
=
N |h|(dy ∧ dy ∧ dy ∧ dy )αµνρ
(4.459)41√ ′1=−g (dy 0 ∧ dy 1 ∧ dy 2 ∧ dy 3 )αµνρ = dVαµνρ
(4.460)44√√
ただし、余因子を用いれば −g ′ = α |h| となることを用いた。
20
具体的に ℓ[α dΣµνρ] を展開して dΣ の反対称性を用いると、ℓ[α dΣµνρ] =1(ℓα dΣµνρ − ℓµ dΣανρ + ℓν dΣαµρ − ℓρ dΣαµν )4(4.462)となるから、ℓβ ℓβ v α ℓα dΣµνρ=ℓβ ℓβ v α (ℓµ dΣανρ − ℓν dΣαµρ + ℓρ dΣαµν ) + 4ℓβ ℓβ v α ℓ[α dΣµνρ](4.463)=ℓβ ℓβ v α (ℓµ dΣανρ − ℓν dΣαµρ + ℓρ dΣαµν ) + v α dVαµνρ

(4.464)であるが、ここで積分はこの４次元中の 3-形式を包含写像の引き戻しによって ∂U 上の体積形式に直してから行い、この引き戻しの際 ℓµ = 0 となるために∫∫ℓβ ℓβ v α ℓα dΣµνρ =v α dVαµνρ
(4.465)
∂U

∂U

となる。

74

ここで、

vα ℓα = ℓα g µν (∇ν (δgαµ ) − ∇α (δgµν ))(4.466)= ℓ h (∇ν (δgαµ ) − ∇α (δgµν ))(4.467)= −ℓ h ∇α (δgµν )(4.468)

α µν

α µν

である。ただし、また ∂U 上 δgµν = 0 であることから ∇α (δgµν ) は ∂U に垂直であることを用いた。一方で、∂U の外的曲率の trace Y は

Y = hµ ν ∇µ ℓν(4.469)であるが、これを変分すると、Y が ∂U 上で定義されていることから hµ ν の変分はなく、

δY= hµ ν (δΓν µρ )ℓρ1= hµ ν ℓρ g νσ (∇µ (δgσρ ) + ∇ρ (δgσµ ) − ∇σ (δgµρ ))2
1 ρ µσℓ h ∇ρ (δgσµ )=
2(4.470)(4.471)(4.472)となる。従って、

Z1µνd x −g Rµν − Rgµν δg − 2ℓβ ℓβ δY dΣ
δS =
2
U
∂U
Z



√

4

となる。この項をキャンセルするために、もともとの作用に境界項を加えておいてZZ√
4Y ℓβ ℓβ dΣS=−gRd x + 2
U(4.473)(4.474)∂Uとすれば微分を固定しない一般の変分法によって Einstein 方程式を導出することができる。ただし、これは ∂U が r → ∞ を含む場合発散してしまうため、計量が平坦な場合の ∂U 上の外的曲率の trace Y0 を用いて

Z
S=

√

Z
−gRd4 x + 2

U(Y − Y0 )ℓβ ℓβ dΣ(4.475)∂Uとすればこの問題を避けることができる。
さて、次に Hamiltonian による定式化を考える。今、U を foliate して U = ∪t Σt としよう。この foliation 上に lapse 関数 α と shift ベクトル β i を定義すると、縮約 Gauss の関係式の trace から

R = Q + K 2 − Kij K ij − 2Rµν nµ nν

(4.476)となり、また、Rµν nµ nν= nν Rσ µσν nµ(4.477)= nν (∇σ ∇ν − ∇ν ∇σ )nσ(4.478)= ∇σ (nν ∇ν nσ ) − ∇σ nν ∇ν nσ − ∇ν (nν ∇σ nσ ) + ∇σ nσ ∇ν nν

(4.479)= K 2 − Kij K ij − ∇ν (nν K) + ∇σ (nν ∇ν nσ )(4.480)75である。ゆえに、作用の体積項はZ√−g(Q − K 2 + Kij K ij + 2∇ν (nν K) − 2∇σ (nν ∇ν nσ ))d4 x =
U
Z
Z
Z
√
2
ij 4
ν
β
−g(Q − K + Kij K )d x + 2
Kn ℓν ℓβ ℓ dΣ − 2(nν ∇ν nσ )ℓσ ℓβ ℓβ dΣ
∂UU(4.481)∂Uとなる。
いま、∂U を timelike な部分と spacelike な部分に分割して考えると、spacelike な部分では ℓµ = nµRであるため第二項は 2 ∂Uspacelike KdΣ を与え、第三項は n が単位法線ベクトルであることから(nν ∇ν nσ )nσ = 0 となることから寄与しない。また、式 (4.476) 中の ∂U の spacelike 部分からの寄R
与は −2 ∂Uspacelike KdΣ になるため、丁度キャンセルする。
一方で、timelike な部分では ℓν は spacelike なベクトルであり、nν とは直交するため第二項の寄与はない。第三項は

Z

Z

−2

ℓσ (nν ∇ν nσ )dΣ = 2nσ nν ∇ν ℓσ dΣ∂Utimelike(4.482)∂Utimelikeとなる。Y = hµν ∇µ ℓν = (g µν − ℓµ ℓν )∇µ ℓν であったことを思い起こせば、式 (4.476) の境界項と合わせると

Z(g µν − ℓµ ℓν + nµ nν )∇µ ℓν dΣ

2(4.483)∂Utimelikeとなる。さらに、この timelike な部分は ∂Utimelike = ∪t St 、ただし St = ∂Utimelike ∩ Σt 、と foliate
でき、その法線ベクトルは nµ と ℓµ である。従って g µν − ℓµ ℓν + nµ nν は St 上に誘導された計量

σ µν であり、被積分関数
σ µν ∇µ ℓν = k(4.484)は St を Σt に埋め込まれた超曲線とみなした際の外的曲率の trace である。
以上により、この foliation における作用はZ
Z
S = (Q − K 2 + Kij K ij )dV + 2
U(k − k0 )dΣ(4.485)∂Utimelikeと書ける。ここで spatial infnity での発散を繰り込んだ k0 も加えた。いま、積分測度としてはdΣ =であるが、σµν = hµν + nµ nν であるため、

1
S=
16π

√

Z

(Q − K + Kij K )α γd y + 2
2dt(4.486)pp|h| = α |σ| となる。ゆえに、この作用積分は

Z

Z t2
t1

p
|h|dtd2 z

ij

Σt

3

St

p
(k − k0 )α |σ|d2 z(4.487)となる。ここで、gµν + nµ nν = γµν は空間計量なのでもともとの記法で表し、Noether current とenergy-momentum tensor との対応をつけるために 1/16π のファクターも加えた。
さらに、この作用から Hamiltonian を導く。力学変数 γij の時間微分は、発展方程式 L⊥ γij =−2αKij から∂t γij = −2αKij + Di βj + Dj βi

76(4.488)ここから、

pij =
ただし

∂L
∂Kkℓ ∂L=∂(∂t γij )∂(∂t γij ) ∂Kkℓ

(4.489)√√L = (Q − K 2 + Kij K ij )α γ = (Q − (γ ij γ kℓ − γ ik γ jℓ )Kij Kkℓ )α γ

(4.490)は Lagrangian 密度であり、ここから

pij

1 √
= − α γ(−(γ ij γ kℓ − γ ik γ jℓ )Kkℓ − (γ kℓ γ ij − γ ki γ ℓj )Kkℓ )2α√=γ(Kγ ij − K ij )(4.491)(4.492)を得る。これを用いると、Hamiltonian 密度 H は

16πH = pij ∂t γij − L√=
γ(α(−Q − K 2 + Kij K ij ) + 2(Kγ ij − K ij )Di βjであり、これを空間積分して境界項を足せば Hamiltonian H を求められる:Z√α(Kij K ij − K 2 − Q) − 2βj Di (Kγ ij − K ij ) γd3 x16πH =ΣtZ
p(k − k0 )α − βi (K ij − Kγ ij )rj−2|σ|d2 y(4.493)(4.494)(4.495)

St

ただし部分積分 (Kγ ij − K ij )Di βj = Di ((Kγ ij − K ij )βj ) − βj Di (Kγ ij − K ij ) を用いた。
真空中においては、Einstein 方程式に従う計量は Hamiltonian constraint と momentum con-straint を満たす。従って、Hamiltonian の値は境界項のものだけが残り、その場合のエネルギー
は

1
H=−
8π

Z
St

(k − k0 )α − βi (K ij − Kγ ij )rj

p|σ|d2 y(4.496)となる。

共形平坦近似以上で述べたような数値相対論シミュレーションは、例えば Kuroda et al. (2012) で行われている。ただし、これは非常に短時間しかシミュレーションされておらず、ニュートリノ加熱メカニ
ズムを確かめられるシミュレーションにはなっていない。その一方で、現在最先端の爆発シミュ
レーションコード (Dimmelmeier et al. 2005, Müller et al. 2010) では計量の時間発展に関しては
共形平坦近似 (Wilson et al. 1996, Isenberg 2008) という近似が用いられている。これは、系が球対称から極端にずれない、かつ重力波で放出されるエネルギーが小さいという条件のもとで空間計量をγij = ϕ4 γ̂ij

(4.497)という形に近似するものである。ただし、γ̂ij は平坦時空の空間計量である。いまは Dimmelmeier

et al. (2005) の記法に従って共形因子を定義している。

77

これらの式はさらに共形平坦近似を適用することで
Kij K ij52ˆ∆ϕ = −2πϕ ρhW − P +16π
7Kij K ij
52ˆ∆(αϕ) = 2παϕ ρh(3W − 2) + 5P +16π 
ˆ i = 16παϕ4 S i + 2K̂ ij ∇
ˆ j α − 1∇
ˆ i∇
ˆ kβk
∆β
ϕ6
3

(4.498)(4.499)(4.500)ˆ 、∇
ˆ はそれぞれ平坦時空でのという楕円形方程式になる (Dimmelmeier et al. 2005)。ただし、∆Laplacian、微分である。この 5 つの式を解くことで (α, β i , ϕ) が求まり、時空の計量が決まる。この近似の結果得られる重力波は共形平坦性を仮定しない場合の計算とよく似たものになっており(Shibata and Sekiguchi 2004)、この近似の妥当性を示している。また、これらの方程式は楕円形なので、Courant 条件を満たさない場合に生じる数値不安定性のようなものは生じないという利点もある。ただし、その分解くのに時間がかかることには注意せねばならない。

4.1.3

Newtonian 極限流体

ここまでは一般相対論的な枠組みを述べてきたが、実際のシミュレーションにおいては非相対論的な場合を考えて計算することも多い。以下では非相対論的な極限 (Newtonian 極限)、特に球座標系で座標系が並進加速度運動している場合を考えていく。いま、弱場近似の球座標系では!
−(1 + 2ψ) + (1 − 2ψ)fij β i β j (1 − 2ψ)fij β j(4.501)gµν =(1 − 2ψ)fij β i(1 − 2ψ)fij
ただし fij は平坦計量、ψ は Newton potential で ψ ∼ P ∼ |v 2 |  1 である。ここから、支配方程式を |v 2 | を微小パラメータとして展開していく。まず、lapse 関数は

α'1+ψ

(4.502)pp√−g = α γ ' (1 + ψ)(1 − 3ψ) f ' (1 − 2ψ) f(4.503)次に計量の行列式は√である。ついでに空間計量に限っておくとqp√γ = (1 − 2ψ)3 r4 sin2 θ ' (1 − 3ψ) f(4.504)となる。ただし f = r4 sin2 θ。四元速度の時間成分はgµν uµ uν = −1

(4.505)より(−α2 + γij β i β j )(ut )2 + 2(ut )2 v i γij β j + (ut )2 γij v i v j11(ut )2 = 2
'
i
i
j
j
α − (v + β )(v + β )γij
1 + 2ψ − (1 − 2ψ)(v + β)2

78

= −1
'

(4.506)1
1 + 2ψ − (v + β)2(4.507)

ただしベクトルの二乗は平坦計量で計算する。ここからこれにより Lorentz 因子は

1
ut = 1 − ψ + (v + β)22(4.508)1
w = αut ' 1 + (v + β)22(4.509)また、

v i = −β i + γ ij

uj
ut

(4.510)に注意しておく。
連続の式は∂t ρ∗ + ∂k (ρ∗ v k ) = 0(4.511)

であり、

ρ∗



p
1
√
2
:=
γρw ' f (1 − 3ψ)ρ 1 + (v + β)
2


p
1
=
f ρ 1 − 3ψ + (v + β)2
2

なので、





 
p
p
1
1
2
2
∂t
f ρ − 3ρψ + ρ(v + β)+ ∂kf ρ − 3ρψ + ρ(v + β) v k = 022(4.512)(4.513)(4.514)となる。この最低次の項を残すと

pp∂t ( f ρ) + ∂k ( f ρv k ) = 0(4.515)を得る。
運動量保存は

1 √√√∂t Si + ∂k (Si v k + P α γδik ) = −S0 ∂i α + Sk ∂i β k − α γSjk ∂i γ jk − α γGµ γµi2である。ただし(4.516)

Z
µ

2

G =ϵ

Srad pµ dΩfr

(4.517)はニュートリノとの相互作用から来る項であり、これも十分小さいとする。すると

Gµ γµi = Gµ gµi + Gµ nµ ni = Gµ gµi = Gi

79

(4.518)

各微小量を展開すると

Si =
'
'

'
'

√

γρwhui(4.519)p1(1 − 3ψ) f 1 + (v + β)2 (ρ + e + P )ut (v j + β j )γij
(4.520)
2




p
1
1
2
2
(1 − 3ψ) f 1 + (v + β) (ρ + e + P ) 1 − ψ + (v + β) (v j + β j )(1 − 2ψ)fij
2
2(4.521)p
2
jjf (ρ − 6ρψ + ρ(v + β) + e + P )(v + β )fij
(4.522)pjjf ρ(v + β )fij
(4.523)pf (ρ − 6ρψ + ρ(v + β)2 + e + P )(v j + β j )v k )p' ∂k (fij f ρ(v j + β j )v k )(4.524)p√∂k (P α γδik ) ' ∂k (P (1 + ψ)(1 − 3ψ) f δik )p' ∂k ( f P δik )(4.526)∂k (Si v k ) ' ∂k (fij√γ(ρhw2 − P )p' (1 − 3ψ) f (ρ + e + P ) 1 + (v + β)2 − Pp'f ρ − 3ρψ + ρ(v + β)2 + e

S0 =

'

p
p

(4.527)(4.528)(4.529)(4.530)pf ρ − 3ρψ + ρ(v + β)2 + e ∂i ψp
= − f ρ∂i ψ(4.531)f (ρ − 6ρψ + ρ(v + β)2 + e + P )(v j + β j )fkj ∂i β k(4.533)f ρ(v j + β j )fkj ∂i β k(4.534)−S0 ∂i α ' −S k ∂i β k '(4.525)p
1 √1− α γSjk ∂i γ jk ' − (1 + ψ)(1 − 3ψ) f (ρ + e + P )uj uk ∂i γ jk22p1
− (1 + ψ)(1 − 3ψ) f P γjk ∂i γ jk
2

(4.532)(4.535)ここで、

γjk ∂i γ jk = ∂i (γjk γ jk ) − γ jk ∂i γjk(4.536)= 0 − ∂i ln γ

(4.537)' −∂i ln(1 − 6ψ) − ∂i ln(f )(4.538)80

及びuj uk ∂i γ jk = (ut )2 γjℓ γkm (v ℓ + β ℓ )(v m + β m )∂i γ jk

(4.539)= (u ) (v + β )(v + β )γjℓ (∂i (γkm γ ) − γ ∂i γkm )(4.540)= −(u ) (v + β )(v + β )∂i γmℓ(4.541)

t 2

ℓ

t 2

ℓ

ℓ

m

ℓ

m

m

jk

jk

m

( = −(u ) (v + β )(v + β )∂i γjk )
t 2

j

j

k

k

(4.542)= −(u ) (v v ∂i γjk + 2v β ∂i γjk + β β ∂i γjk )
t 2

j k

j k

j k

(4.543)' −(1 − 2ψ + (v + β) )(v v ∂i γjk + 2v β ∂i γjk + β β ∂i γjk )(4.544)j k' −(v v ∂i fjk + 2v β ∂i fjk + β β ∂i fjk )(4.545)p
1(1 + ψ)(1 − 3ψ) f (ρ + e + P )2
×(v j v k ∂i fjk + 2v j β k ∂i fjk + β j β k ∂i fjk )p1+ (1 + ψ)(1 − 3ψ) f P (∂i ln(1 − 6ψ) + ∂i ln(f ))21p'f ρ(v j v k ∂i fjk + 2v j β k ∂i fjk + β j β k ∂i fjk )2
1p+
f P ∂i ln(f )2(4.546)

2

j k

j k

j k

j k

j k

を用いると

1 √
− α γSjk ∂i γ jk '2

(4.547)となるから、これらすべてをまとめて運動量保存則はppp∂t ( f ρ(v j + β j )fij ) + ∂k (fij f ρ(v j + β j )v k + f P δik )p
p= − f ρ∂i ψ + f ρ(v j + β j )fkj ∂i β k
p
1p
1p
+
f ρ(v j v k ∂i fjk + 2v j β k ∂i fjk + β j β k ∂i fjk ) +f P ∂i ln(f ) − f Gi (4.548)
22
さらにこれを展開すると

ppp∂t ( f ρv j fij ) + ∂t ( f ρ)β j fij + f ρ∂t (β j fij )pppp+∂k ( f ρv j v k fij ) + ∂k ( f ρv k )β j fij + f ρv k ∂k (β j fij ) + ∂k ( f P δik )p
pp= − f ρ∂i ψ + f ρv j fkj ∂i β k + f ρβ j fkj ∂i β kp1p1pf ρ(v j v k ∂i fjk + 2v j β k ∂i fjk + β j β k ∂i fjk ) +f P ∂i ln(f ) − f Gi (4.549)+
22
左辺 1 行目第二項と左辺 1 行目第二項を組み合わせると

 pp
β j fij ∂t ( f ρ) + ∂k ( f ρv k )(4.550)となり、これは連続の式から 0 になる。次に、β j β k ∂i fjk = ∂i (β j β k fjk ) − β j fjk ∂i β k − β k fjk ∂i β j = −2β j fjk ∂i β k(4.551)を用いると、右辺 1 行目第三項と右辺 2 行目第三項が打ち消し合う。さらに、右辺 1 行目第二項と81

右辺 2 行目第 2 項を組み合わせるとppf ρv j (fkj ∂i β k + β k ∂i fjk ) = f ρv j ∂i (β k fkj )(4.552)となる。ここから、ppf ρv j fij ) + f ρ∂t (β j fij )ppp+∂k ( f ρv j v k fij ) + f ρv k ∂k (β j fij ) + ∂k ( f P δik )
p
p
p
1p
1p
= − f ρ∂i ψ + f ρv j ∂i (fkj β k ) +f ρv j v k ∂i fjk +f P ∂i ln(f ) − f Gi (4.553)
2
2
∂t (

これを再度整理してpppp∂t ( f ρv j fij ) + ∂k ( f (ρfij v j v k + P δik )) = − f ρ∂t (β j fij ) − f ρ∂i ψ
p
p
1p
1p
+ f ρ(v j ∂i (fkj β k ) − v k ∂k (fij β j )) +f ρv j v k ∂i fjk +f P ∂i ln(f ) − f Gi (4.554)
22
この右辺第三項 (2 行目第一項) はv × (∇ × β)(4.555)v × rot β(4.556)β̇i := ∂t (fij β j )(4.557)の形になっているため、形式的にと書くことにする。また、

とすると

∂t (

p
p
p
f ρv j fij ) + ∂k ( f (ρfij v j v k + P δik )) = − f ρ∂i ψ
p
p
p
1p
1p
+ f ρv × rot β +f ρv j v k ∂i fjk +f P ∂i ln(f ) − f ρβ̇i − f Gi (4.558)
22を得る。いま、shift ベクトルとして空間全体が並進する加速度系を取ると、shift ベクトル場は

irrotational になるので rotβ = 0 となるので
pp∂t ( f ρv j fij ) + ∂k ( f (ρfij v j v k + P δik )) =
p
p
p
1p
1p
− f ρ∂i ψ +f ρv j v k ∂i fjk +f P ∂i ln(f ) − f ρβ̇i − f Gi22

(4.559)となる。あとは vi := fij v j としてこれを成分毎に書き下すと



p
p
p
p
2P
k
k
θ 2
2
ϕ 2
˙
∂t ( f ρvr ) + ∂k ( f (ρvr v + P δr )) =f ρ −∂r ψ + r(v ) + r sin θ(v ) +− βr − f G r
ρr(4.560)pppp
cos θP∂t ( f ρvθ ) + ∂k ( f (ρvθ v k + P δθk )) =f ρ −∂θ ψ + r2 sin θ cos θ(v ϕ )2 +− β˙θ − f Gθρ sin θ(4.561) pppp∂t ( f ρvϕ ) + ∂k ( f (ρvϕ v k + P δϕk )) =f ρ −∂ϕ ψ − β˙ϕ − f Gϕ
(4.562)82

最後に、エネルギー保存は√√√∂t (S0 − ρ∗ ) + ∂k ((S0 − ρ∗ )v k + P (v k + β k ) γ) = α γSij K ij − Si Di α + α γGµ nµ(4.563)である。同様に微小量で展開していくとp= (1 + ψ)(1 − 3ψ) f γ iℓ γ jk Sij Kℓkp= (1 + ψ)(1 − 3ψ) f γ iℓ γ jk (ρhui uj + P γij )Kℓk

(4.564)

1
1∂⊥ γij = − (∂t γij − β k ∂k γij − γkj ∂i β k − γik ∂j β k )2α2α(4.566)√
α γSij K ij

(4.565)である。ここでKij = −を用いる。

P γ ij Kij

1
1
P γ ij ∂t γij +P (γ ij β k ∂k γij + γ ij γkj ∂i β k + γ ij γik ∂j β k )
2α
2α
1
1
√
= − P ∂t ln γ + P (β k ∂k ln γ + ∂k β k )2αα11= − P ∂t ln γ + P Dk β k2αα' P Dk β k= −(4.567)(4.568)(4.569)(4.570)ただし ∂t ln γ は ψ の時間微分になり、微小量になることを用いた。

ρhui uj γ iℓ γ jk Kℓk = ρh(ut )2 (v i + β i )(v j + β j )Kij
(4.571)t
2
ρh(u )=((v i + β i )(v j + β j )(β k ∂k γij − ∂t γij ) + 2(v i + β i )(v j + β j )γik ∂j β k )2α(4.572)1'
ρ((v i + β i )(v j + β j )(β k ∂k fij − ∂t fij ) + 2(v i + β i )(v j + β j )fik ∂j β k )2(4.573)となるので、これらから


p
1
√
ij
i
i
j
j
k
k
k
α γSij K ' f
ρ(v + β )(v + β )(β ∂k fij − ∂t fij + 2fik ∂j β ) + P Dk β
2
また、

−Si Di α = −Si γ ij Dj α = −Si γ ij ∂j α 'pf ρ(v i + β i )∂i ψ(4.574)(4.575)となる。さらに、密度の展開式 (4.514) を用いるとS0 − ρ∗12
ρ − 3ρψ + ρ(v + β) + e − ρ − 3ρψ + (v + β)
2


p
1
=
f
ρ(v + β)2 + e
2
p
'
f



2

83

(4.576)(4.577)

であるから、






 
p
p
1
1
2
2
∂t (S0 − ρ∗ ) + ∂k ((S0 − ρ∗ )v ) ' ∂tfρ(v + β) + e+ ∂kfρ(v + β) + e v k22(4.578)k以上から、エネルギー保存の左辺は



p
1 2
1 i j
i j
ρv + ρv β fij + ρβ β fij + e
LHS ' ∂t
f
2
2




p
p
1 2
1 i j
i j
k
k
+∂k
f
ρv + ρv β fij + ρβ β fij + e + P v + f P β
2
2


 



p
p
1 2
1 2
ρv + e+ ∂k
ρv + e + P v k
= ∂t
f
f
2
2

p
p

+∂t
f ρv i β j fij + ∂kf ρv i β j fij v k
p 1 i jp 1 i jpk+∂tf ρβ β fij + ∂kf ρβ β fij v + ∂k ( f P β k )
2
2





 
p
p
1 2
1 2
ρv + e+ ∂k
ρv + e + P v k
= ∂t
f
f
2
2
n p
p

o
+β j ∂tf ρv i fij + ∂kf (ρv i fij v k + P δik )p
p
p+ f ρv i ∂t (fij β j ) + f ρv i fij v k ∂k β j + f P ∂k β k
n p
o
p
1
+ β i β j fij ∂t ( f ρ) + ∂k ( f ρv k )
2


p
p
1 i j
i
j
k
β β fij+ f ρβ ∂t (β fij ) + f ρv ∂k2(4.579)(4.580)(4.581)

ただし平坦計量 fij は時間に依存しないことを用いた。ここでさらに最低次の連続の式 (4.516) と運動量保存の式 (4.559) を用いると






 
p
p
1 2
1 2
LHS ' ∂tf
ρv + e+ ∂kf
ρv + e + P v k
2
2


p
p
p
p p
p
1p
i
j k
+β − f ρ∂i ψ + f ρ(v × rot β)i +f ρv v ∂i fjk + f P ∂i ln f − f ρβ̇i − f Gi2ppp
+ f ρv i fij ∂t β j + f ρv i fij v k ∂k β j + f P ∂k β k


p
p
1 i j
i
j
k
+ f ρβ ∂t (β fij ) + f ρv ∂k(4.582)β β fij
2
赤字の項同士はキャンセルし、青字の項は２つ合わせて P Di β i になるので、





 
p
p
1 2
1 2
LHS ' ∂tf
ρv + e+ ∂kf
ρv + e + P v k
2
2

p
1
P
+ f ρ −β i ∂i ψ + β i (v × rot β)i + v j v k β i ∂i fjk + Di β i
2
ρ



1 i
+v i ∂t βi +vi v k ∂k β i + v k ∂kβ βi − β i Gi /ρ284(4.583)

ここで、エネルギー保存の右辺を考えると√√RHS = α γSij K ij − Si Di α + α γGµ nµp
1 i j k1'fρv v β ∂k fij + v i β j β k ∂k fij + β i β j β k ∂k fij
22+vi v j ∂j β i + vi β j ∂j β i + βi v j ∂j β i + βi β j ∂j β i

P
i
i
i
t
+ Di β − v ∂i ψ−β ∂i ψ − G /ρρ

(4.584)(4.585)となる。この同じ色の項同士はキャンセルするので、





 
p
p
1 2
1 2
∂t
f
f
ρv + e+ ∂k
ρv + e + P v k
2
2




p
1 i
i
i
k
i
β βi − β Gi /ρ+ f ρ β (v × rot β)i + v ∂t βi + v ∂k2p
1 i j k
i j k
j
i
j
i
j
i
i
t
=
f ρ v β β ∂k fij + β β β ∂k fij +vi β ∂j β +βi v ∂j β +βi β ∂j β − v ∂i ψ − G /ρ2
(4.586)
赤字の項についてはv i β j β k ∂k fij + vi β j ∂j β i = v i β k ∂k (β i fij ) − v i fij β k ∂k β i + vi β j ∂j β i = v i β k ∂k βi(4.587)

青字の項については

βi v j ∂j β i = v j ∂j (βi β i ) − β i v j ∂j βi(4.588)

マゼンタの項については

1 i j kβ β β ∂k fij + βi β j ∂j β i =
2

1 i k
1
β β ∂k (fij β j ) − β i fij β k ∂k β j + βj β k ∂k β j
2
2
1 i k
1
=
β β ∂k βi + βi β k ∂k β i
2

2
i
β
β
i
= β k ∂k2

以上により、エネルギー保存の式全体は





 
p
p
1 2
1 2
∂t
f
f
ρv + e+ ∂k
ρv + e + P v k
2
2

p  i
i
i
i k
i k
f ρ −v ∂i ψ − v ∂t βi − β (v × rot β)i +v β ∂k βi − β v ∂k βi
=





p
βi β iβi β i+ f ρ v k ∂k
+ β k ∂k22p
+ f (β i Gi − Gt )85

(4.589)(4.590)(4.591)(4.592)

ここで、赤字の項は

v i β k ∂k βi − β i v k ∂k βi = v a β b ∂c βd (δad δbc − δac δbd )= −v β ∂c βd Eeab E
a b

ecd

= −(v × β)e (∇ × β)e

= −(v × β) · rot β(4.593)(4.594)(4.595)(4.596)である。ただし、テンソル E は Levi-civita 記号に体積要素 (の逆数) をかけた完全反対称テンソ
ル密度。さらに

Gt − β i Gi = g tµ Gµ − β i Gi = g tt Gt + g ti Gi − β i Gi = −

1
βi
G
+
Gi − β i Gi ' −Gttα2α2も使うことで、エネルギー保存則は





 
p
p
1 2
1 2
∂t
f
ρv + e+ ∂kf
ρv + e + P v k
2
2
p

=
f ρ −v i ∂i ψ − v i ∂t βi − β i (v × rot β)i − (v × β) · rot βppβi β ikk+ f Gt+ f ρ(v + β )∂k2(4.597)(4.598)

ここで、座標系全体が並進する場合を考えると、shift ベクトルは irrotational であり、またその大きさは場所によらないので

rot β = 0(4.599)i(4.600)∂k (βi β /2) = 0

であるから、最終的なエネルギー保存則





 
p
p
p
1 2
1 2
∂t
f
f
ρv + e+ ∂k
ρv + e + P v k = f (−ρv i ∂i ψ − ρv i ∂t βi + Gt ) (4.601)22を得る。
また、電子密度に関する式は電子存在比 Ye を用いて



∂ p
∂ p
f ρYe + if ρYe v i = 0∂t∂x(4.602)となる。
さらに、Einstein 方程式を展開して Newton 重力ポテンシャルの Poisson 方程式を導く。これは式 (4.273) (再掲)∂⊥ K = −Di Di α + α(4π(S + ρ0 ) + Kij K ij )(4.603)1
1(∂t γij − Di βj − Dj βi ) = − (∂t γij − 2D(i βj) )2α
2α(4.604)を用いる。外的曲率は、

Kij = −

86

とも書ける。ただし、テンソル Tij に対して

1
T(ij) = (Tij + Tji )2(4.605)はこれを対称化したもの。これにより、

K = γ ij Kij = −1(∂t ln γ − 2Dk β k )2α(4.606)

および、∂t γij = −2fij ∂t ψ であることから、最低次の項までで

K ij Kij ' D(i βj) D(i β j)(4.607)である。また、S = γ ij Sij= γ ij (ρhwui uj + P γij )(4.608)t 2= ρhw(u ) (v + β) + 3P

(4.609)' ρ(v + β) + 3P

(4.610)22であるから、式 (4.273) はDi Di α = 4πα(S + ρ0 ) + αK ij Kij − ∂⊥ K

(4.611)から、α ' 1 + ψ も用いて
1k(4.612)
Di D ψ ' 4π(1 + ψ)(ρ + 2ρ(v + β) + e + 3P ) + D(i βj) D β − ∂t − ∂t ln γ + Dk β
2
i

2

(i j)

となり、この最低次の項を残してDi Di ψ ' 4πρ

(4.613)を得る。この左辺は ψ の三次元 Laplacian にほかならないので∆ψ = 4πρ(4.614)となる。
以上の Newtonian 流体方程式を解くにあたり、計量を求めるところまではいかなくとも一般相
対論的効果を簡単に補正する手法もある。式 (4.615) は Newtonian での重力ポテンシャルを求める式であるが、この解 ϕN に対して

ϕeﬀ = ϕN + (ϕ̄TOV − ϕ̄N )(4.615)という補正重力ポテンシャル ϕeﬀ を考えるのである。ここで、ϕ̄ は球座標において角度方向を平均化した重力ポテンシャルを表し、ϕ̄TOV は一般相対論的な球対称静水圧平衡を記述する Toleman-

Oppenheimer-Volkof 方程式から求める重力ポテンシャルで、
Z r
ϕ̄TOV (r) =′′3m(r ) + 4πr P
∞





P
1+ϵ+
ρ

87



2m(r′ )
1 + vr2 −
′
r

−1

dr′
r′2

(4.616)

である。ただし、vr は動径方向の速度、

Z rm(r) =

ρ(1 + ε)4πr′2 dr′(4.617)0は重力質量である。この補正は、M を星の質量、Qij を四重極モーメントとして重力ポテンシャ
ルを多重極展開した

ϕN = −

3 XM− 3xi xj Qij − · · ·r
2r(4.618)の各項のうち、モノポール成分だけを一般相対論的なものに置き換えたものである。この手法は、
例えば Marek et al. (2006) で用いられている。一般的ではないが、便宜上本論文ではこの手法をTOV monopole 法と呼ぶことにする。

4.1.4

計算機による流体力学の近似解法

本節では流体シミュレーション自体のスキームについて述べる。重要なのは近似 Riemann 解法と呼ばれる手法で、これは差分化した物理量の場を、cell 境界で衝撃波管 (shock tube) 問題になっているとして解くものである。最も直接的なものは Godunov 法であり、これを近似する方法として Roe 法が多く使われる。

Riemann 問題
簡単のため 1 次元 (t, x) で考える。これに対して、系を記述する物理量の基本変数で構成するベクトルを U(以下、勝手に物理量セットと呼ぶ) とし、N 成分とする。例えば、密度、速度、圧力を基本変数として



U=



ρ
ρu
1
P
2
2 ρu + γ−1(4.619)としたりする。今、流体力学方程式系は一般に保存系で∂U ∂F(U)
+
=0
∂t
∂x

(4.620)と書ける。ただし F(U) は物理量が U の時の流束ベクトルで、F(U) =  ρuρu2 + P
1P
2
2 ρu + γ−1 + P







(4.621)uなどと表される。式 (4.621) はさらに∂U∂U
+ A(U)=0∂t∂x(4.622)

A(U) = ∇U F(U)(4.623)と表される。ここで、は流束 Jacobian 行列と呼ばれる。解の局所的な振る舞いは流束 Jacobian 行列から知ることができ、特に準線型な方程式なので特性曲線法で解くことができる。ただし、今のままでは一般に A

88

が対角行列でないのでそれは見づらい。よって、A の右固有ベクトルと固有値を j ∈ [1, N ] に関して定義する:

A(U)rj (U) = λj (U)rj (U)(4.624)

λ1 (U) < λ2 (U) < · · · < λN (U)(4.625)かつ

ただし、流束 Jacobian 行列は物理量セットに依存するので、固有値も固有ベクトルも物理量セットに依存する。また、固有ベクトルは物理量セットがなす空間の元である。右固有ベクトルを並べてつくる直交行列 R(U) を用いれば


RAR−1 = 

λ1 (U)
0
..
.
0



···

0

λ2 (U) · · ·
..
..
.
.

0
..
.

0

···

0




 = Λ(U)(4.626)

λN (U)となり、簡単に rj が (t, x) によらないとすると

∂RU
∂RU
+Λ
=0
∂t
∂x

(4.627)となり、量 RU の j 成分は dx
dt = λj (U) の特性曲線に沿って伝わる特性変数になる。また、j 番目の特性曲線について、常に (rj · ∇U )λj = 0 の場合を線型縮退といい、常に (rj · ∇U )λj 6= 0 の場
合を真性非線型という。必要に応じて固有ベクトルの正負を反転させることで、真性非線型の場合は常に (rj · ∇U )λj > 0 とできる。今、(4.628) は特性変数についての方程式なわけだが、固有値の特性変数に対する依存性を見てみよう。直交行列の成分は

Rij = (ri )j(4.628)wi = (ri )j Uj = Rij Uj(4.629)であり、i 番目の特性変数 wi はとなるが、R は直交行列だから R−1 = t R となって

Uj = Rij wi(4.630)

∂Uk
= Rik
∂wi

(4.631)となるため、となる。また、固有値の特性変数に対する依存性は∂λj (U)∂λj (U)∂λj (U)∂Uk ∂λj (U)== Rik= (ri )k= (ri · ∇U )λj∂wi∂wi ∂Uk∂Uk∂Uk(4.632)となり、i = j なら線型縮退の場合固有値は対応する特性変数に依存せず、(4.628) は特性変数に対する線型の波動方程式になる。一方真性非線型の場合常に正なので特性変数に対し単調に増加する。すると (4.628) は非線形の波動方程式になる。よって、線型縮退の場合特性曲線は波動出発点の周辺 (近いが異なる特性変数を持つ) で時空間において平行な線となり、真性非線型の場合集合するか離散する。物理的な描像としては、平行な場合はもし出発点に物理量の不連続があって89

もそれをそのまま運ぶ。集合する場合、特性曲線上一定である特性変数が multi-value になってしまう衝撃波が発生する。衝撃波は明らかに不連続解である。離散する場合膨張波か膨張衝撃波をつくる。あとで述べるが、膨張衝撃波はエントロピーが下がるため非物理的な解として除外する。
膨張波は出発点の不連続を引き伸ばしていく解なので、解は連続になる。すなわち、j 番目の特性曲線を x の小さい方から大きい方にまたぐ前後で物理量セットが U0 から U1 に変化したとする。
このとき、λj (U0 ) < λj (U1 ) となっていれば (なるのは真性非線型の場合だけだが)、それは膨張波となる。λj (U0 ) = λj (U1 ) なら接触不連続面、λj (U0 ) > λj (U1 ) なら衝撃波になる。

Riemann 問題は初期条件(
U(0, x) =UL(x < 0)(4.633)UR (x > 0)のもとで式 (4.621) を解く問題である。今、この解を構成することを考え、それと特性曲線の関係を調べる。式 (4.621) はスケール変換 (t, x) 7→ (at, ax) に対して不変であるから、初期条件に何かスケールが入らない限り自己相似解で書ける。Riemann 問題の初期条件はスケール不変なので、解は自己相似解で書ける。また、この自己相似解は不連続点を許す。つまり、連続な解を不連続点でつないだような解を考えて良い。その連続な部分も、一様な部分 (微分してゼロ) と非一様な部分からなる。つまり、連続一様解、連続非一様解、不連続解をつなぎ合わせることで全体の解を構成できる。
まず連続一様解を考える。この場合、

∂U
∂t
∂U
∂x

= 0

(4.634)= 0(4.635)となることで保存形方程式を満たすので、流束 Jacobian 行列に関係なく、つまり特性曲線を伴わない解を構成できる。
次に、連続非一様解を考える。いま、解は自己相似解で表せるので、そのような解として U(x, t) =V(x/t) を考える。V の連続性を仮定すると (4.623) はA (V (x/t)) V′

x
t

=

x
t

V′

x
t

(4.636)となる。V′ = 0 を考えているので、ある特性曲線 j に対して

λj (V(x/t)) = x/t
V′ (x/t) = f (x/t)rj (V(x/t))(4.637)(4.638)となることを示している。ただし、f は未知スカラー関数。この二式は N 成分未知関数 V と 1 成
分未知関数 f を N + 1 本の式で決定する連立微分方程式である。また、この連続解の伝搬速度は

x/t = λj なので、これは j 番目の特性波で運ばれる解である。ここで、(4.638) を ξ = x/t で微分すると


1 = V′ · ∇U λj (V(x/t)) = f (x/t) (rj (V(x/t)) · ∇U ) λj (V(x/t))(4.639)となり、線型縮退な場合はこの条件を満たせない。一方で真性非線型の場合は連続で非一様な解を構成できて、(4.638) から x が小さい方から大きい方にまたぐと固有値 λj (V(x/t)) は大きくなるため物理的な描像から予想される通りに膨張波となる。また、この場合、関数 V(x/t) は物理量セットが張る空間上の曲線となり、(4.639) からこれは j 番目の固有ベクトル場による積分曲線上

90

に乗る。さらに、x/t が一番小さい点に対応する物理量セット U0 から出発し、x/t の増大に伴って λj の大きくなる方向に伸びる半曲線となる。Riemann 問題の上で重要で基本的な解としては、
この非一様自己相似解と一様解をつなげて


U0



Uex (t, x) =(x < λj (U0 )t)

V (x/t, U0 ) (λj (U0 )t < x < λj (U1 )t)U1(4.640)(λj (U1 )t < x)となる。これは、左側の物理量を決めれば (自動的に膨張波の head の速度が決まり)、膨張波のtail の速度を定めれば特性曲線を通り過ぎた後の物理量を定める方程式になっている。
さらに、不連続解を考える。不連続な場合は微分形の方程式 (4.621) ではなく、方程式の積分形を使って Rankine-Hugoniot 関係式を構成すればよい。これは、不連続面の速度を s として

s[U] = [F(U)](4.641)となる。これも、左側の物理量を決め、さらに不連続面の速度を定めれば右側の物理量を定める
方程式になっている。ここで、この不連続面の速度 s はある種の特性曲線の速度となっている。というのも、[F(U)] = F(U) − F(UL ) = [F(UL + τ (U − UL ))]ττ =1
=0 =

Z 1

∇U F(UL + τ (U − UL ))dτ (U − UL )0(4.642)であり、Z 1
G(U) =∇U F(UL + τ (U − UL ))dτ(4.643)0と定義すれば Rankine-Hugoniot 関係式は

G(U)[U] = s[U](4.644)となり、s は行列 G(U) の固有値となるからである。この G は流束 Jacobian 行列 A のある種の平均値になっており、以下では勝手に平均流速行列と呼ぶことにする。また、不連続面前後の物理量の跳びが十分小さければ平均流速行列は流速 Jacobian 行列に十分近く、G の固有値つまり不連続面の速度は流束 Jacobian 行列の特性速度の番号と対応付けることができる。いま、この G の固有値を µj (U)、対応する右固有ベクトルを Rj (U) とすると、µj (UL ) = λj (UL )(4.645)

Rj (UL ) = rj (UL )(4.646)s = µk (U)(4.647)[U] k Rk (U)(4.648)およびである。この記法ではある k に対しであり、また91である。ここで、パラメータ δ で第二式をUk − UL = Rk (U)δ(4.649)と書くことができ、この δ でパラメトライズされた曲線 Uk (δ) 上では特性速度は sk = µk (U(δ))とパラメトライズできる。このとき、δ = 0 とすると

Uk (0) = UL , sk (0) = µk (UL ) = λk (UL )(4.650)となる。
ここで、不連続面の速度が G の j 番目の固有値に対応する場合、さらに対応する A の j 番目の固有値が線型縮退しているとする。このとき、UL を通る j 番目の固有ベクトル場による積分曲線

V(ξ) はV′ (ξ) = rj (V(ξ))(4.651)

V(0) = UL(4.652)であり、これは Uj (δ) に一致する。これを示そう。まず、線型縮退であることから

dλj (V(ξ)) = (V′ (ξ) · ∇U )λj (V(ξ)) = (rj (V(ξ)) · ∇U )λj (V(ξ)) = 0dξ(4.653)より、積分曲線上固有値は変わらない。ゆえに

λj (V(ξ)) = λj (UL )(4.654)d{F(V(ξ)) − λj (UL )V(ξ)} = {λj (V(ξ)) − λj (UL )}rj (V(ξ)) = 0dξ(4.655)である。さらにであることから、F(V(ξ)) − λj (UL )V(ξ) = F(UL ) − λj (UL )UL(4.656)となる。これを変形するとF(V(ξ)) − F(UL ) = G(V(ξ))(V(ξ) − UL ) = λj (UL )(V(ξ) − UL )(4.657)λj (UL ) = µj (V(ξ))(4.658)V(ξ) − UL k Rj (V(ξ))(4.659)となり、かつである。すなわち、ある関数 c(ξ) を用いてV(ξ) − UL = c(ξ)Rj (V(ξ))

92(4.660)と表せる。この c(ξ) を δ とすると、ξ = 0 で δ = 0 になること及び逆関数が存在する21 ことから

V(c−1 (δ)) − UL = δRj (V(c−1 (δ))(4.661)となり、V(c−1 (δ)) は曲線 Uj (δ) に一致する。従って、A の j 番目の固有値が線型縮退している場
合、不連続面の速度 sj (δ) はsj (δ) = µj (Uj (δ)) = µj (V(c−1 (δ))) = λj (UL )(4.662)となり、不連続面を挟んでジャンプした物理量は A の j 番目の積分曲線上に乗る。また、この不連続面を挟んでも特性速度は変わらない (λj (Uj (δ)) = λj (V(c−1 (δ))) = λj (UL )) ので、これは接触不連続面であり、j 番目の特性曲線で運ばれる解である。
これに対して、j 番目の固有値が真性非線型だった場合、不連続を挟んで固有値が大きくなる場
合と小さくなる場合がある。これはそれぞれ、δ が正の場合と負の場合に対応する。というのも、十分小さな |δ| に対して

(
δ>0
(
δ<0

λj (UL ) < sj (δ) < λj (Uj (δ))λj−1 (Uj (δ)) < sj (δ) < λj+1 (UL )λj (Uj (δ)) < sj (δ) < λj (UL )λj−1 (UL ) < sj (δ) < λj+1 (Uj (δ))(4.663)(4.664)となるからである。これを示す。まず、δ = 0 では sj (0) = µj (UL ) = λj (Uj (0)) より

λj−1 (Uj (0)) < sj (0) < λj+1 (Uj (0))(4.665)となる。よって、十分小さな |δ| をとれば

λj−1 (Uj (0)) = λj−1 (UL ) < sj (δ)
sj (δ) < λj+1 (Uj (0)) = λj+1 (UL )λj−1 (Uj (δ)) < sj (δ)
sj (δ) < λj+1 (Uj (δ))(4.666)(4.667)(4.668)(4.669)となり、それぞれの二つ目の式は成り立つ。また、F(Uj (δ)) − F(UL ) = sj (δ)(Uj (δ) − UL )(4.670)s′′j [U] + 2s′j U′j + sj U′′j = {∇U F(Uj )}′ U′j + (U′′j · ∇U )F(Uj )(4.671)を δ で二階微分するととなり、Uj (0)′ = rj (UL ) であるから、δ = 0 では

2s′j (0)rj (UL ) + λj (UL )U′′L = {∇U F(Uj )}′ (0)rj (UL ) + (U′′j · ∇U )F(Uj )(4.672)

ξ = 0 のとき V(0) = UL ゆえ c(0) = 0、また導関数は V′ (ξ) = c′ (ξ)Rj (V(ξ)) + c(ξ)Rj (V(ξ))′ であり、ξ = 0のときは rj (UL ) = c′ (0)Rj (UL ) = c′ (0)rj (UL ) より c′ (0) = 1 となり、c(ξ) は ξ = 0 近傍で逆関数をもつ。
21

93

となる。さらに ∇U F(Uj (δ))rj (Uj (δ)) = λj (Uj (δ))rj (Uj (δ)) を δ で微分して δ = 0 とすると{∇U F(Uj )}′ (0)rj (0) + ∇U F(UL )∇U rj (UL )rj (UL )= {(rj (U) · ∇U )λj (UL )}rj (UL ) + λj (UL )(rj (UL ) · ∇U )rj (UL )(4.673)を得るので、以上二式を整理して{∇U F(UL )−λj (UL )}{U′′j (0)−(rj (UL )·∇U )rj (UL )} = {2s′j (0)−(rj (UL )·∇U )λj (UL )}rj (UL )(4.674)となる。これに左固有ベクトル ℓj (U) s.t. ℓj (U)∇U F(U) = λj (U)ℓj (U) をかけると{2s′j (0) − (rj (UL ) · ∇U )λj (UL )}ℓj (UL )rj (UL ) = 0(4.675)1s′j (0) = (rj (UL ) · ∇U )λj (UL ) > 02(4.676)となり、を得る。ここまでで示した s′j (0) > 0 という条件から、

sj (|δ|) > sj (0) = λj (UL ) > sj (−|δ|)(4.677)であり、さらに

1d(λj (Uj (δ)) − sj (δ))= (rj (UL ) · ∇U )λj (UL ) − s′j (0) = (rj (UL ) · ∇U )λj (UL ) >(4.678)
0
dδ
2
δ=0
かつ λj (UL ) − sj (0) = 0 であるので、(

λj (Uj (δ)) > sj (δ) (δ > 0)
λj (Uj (δ)) < sj (δ) (δ < 0)となることを考え合わせると、(
λj (Uj (δ)) > sj (δ) > λj (UL ) (δ > 0)

λj (Uj (δ)) < sj (δ) < λj (UL ) (δ < 0)(4.679)(4.680)という示したかった式の一つ目の式を得る。(4.664) は不連続を飛び越えて膨張する膨張衝撃波であり、これはエントロピーを減らすため非物理的である。一方で (4.665) は不連続を飛び越えて圧縮される衝撃波であり、こちらだけを考えればよい。また、衝撃波の速度 sj は j 番目の特性速度にごく近いので、これはこの j-特性曲線に運ばれると見て良い。
ここまで、特性曲線を挟んで物理量が変化する様子を見てきたが、どの波の場合もその変化は一つのパラメータ (ξ または δ) で特徴づけることができた。その上、膨張波の場合は物理量セットが張る空間上で半曲線 (膨張波曲線) を描き、衝撃波の場合も δ < 0 に限られるので半曲線 (衝撃波曲線) を描き、どちらも始点は波の左側の物理量である。従って、これら二つの曲線はつなげて一つの曲線にすることができると期待できる。膨張衝撃波は非物理的なため無視すれば、物理的に真性非線型な特性曲線を挟んだ物理量の変化はある曲線上に乗る。この曲線は実際に滑らかな曲線であることは示すことができる。まず膨張波曲線については、(4.638) と (4.639) で定義される

94

が、その解の独立変数を δ =Rξ′′λj (UL ) f (ξ )dξ なる δ に取り替えると、解 Ǔj (δ) はǓj (0) = UL ,dǓ(δ)= rj (Ǔ(δ))
dδ(4.681)を満たすようになる。この時、dλj (Ǔj (δ))
=
dδ





dǓj (δ)· ∇U λj (Ǔj (δ)) = rj (Ǔj (δ)) · ∇U λj (Ǔj (δ)) > 0dδ(4.682)であり、膨張波を左から右にまたぐと特性速度は大きくなるので、半曲線 Ǔj (δ) は δ > 0 の領域に対応する。また、一階微分はdǓj (δ)= rj (UL )dδ
δ=0(4.683)二階微分はd2 Ǔj (δ)
d=rj (Ǔj (δ))
=
dδ 2
dδ
δ=0
δ=0




dǓj (δ)· ∇U rj (Ǔj (δ))= (rj (UL ) · ∇U )rj (UL )dδ
δ=0(4.684)である。一方で衝撃波曲線は (4.650) の δ < 0 の場合で定義される。衝撃波曲線上の物理量セットを Ûj (δ) と定義すると、ここからまずÛj (δ = 0) = UL

(4.685)である。また、(4.650) を δ で微分すると

dÛj (δ)=
dδ
δ=0dRj (Ûj (δ))
Rj (Ûj (δ)) + δdδ!
= Rj (UL ) = rj (UL )(4.686)δ=0を得る。さらに二階微分を考えるが、これは (4.675)、(4.677) から{∇U F(UL ) − λj (UL )}{Û′′j (0) − (rj (UL ) · ∇U )rj (UL )} = 0(4.687)となることから、Û′′j (0) − (rj (UL ) · ∇U )rj (UL ) は固有ベクトルであり、

d2 Ûj (0)= (rj (UL ) · ∇U )rj (UL ) + σj rj (UL )dδ 2(4.688)σとなる。このとき、δ = τ − 2j τ 2 と変数を取り替えることを考える。これに対して Ūj (τ ) = Ûj (δ(τ ))と定義すればŪj (τ = 0) = Ûj (δ = 0) = UL

(4.689)およびdÛj (δ(τ ))dŪj (τ )dδ dÛj (δ(τ ))== (1 − σj τ )= rj (UL )
dτ
dτ
dδ
dδ
τ =0
τ =0
τ =0

95

(4.690)であり、さらに

d2 Ūj (τ )
=
dτ 2
τ =0

d2 δ dÛj (δ(τ ))
+
dτ 2
dδ



dδ
dτ

2

d2 Ûj (0)
dδ 2

!
τ =0

= −σj rj (UL ) + (rj (UL ) · ∇U )rj (UL ) + σj rj (UL )= (rj (UL ) · ∇U )rj (UL )(4.691)となる。このようにパラメータを取り直したものを改めて Ûj (δ) とおけばこれはÛj (δ = 0) = UL

(4.692)dÛj (δ)= rj (UL )dδ
δ=0(4.693)d2 Ûj (δ)= (rj (UL ) · ∇U )rj (UL )
dδ 2
δ=0

(4.694)および

さらにとなり、膨張波曲線の場合と二階微分まで一致する。したがって、二つの曲線は滑らかにつながることがわかる。
以上により、Riemann 問題の解は連続一様解、と特性曲線に運ばれる３つの波 (膨張波、接触不連続面、衝撃波) で構成することができる。具体的には、一番左側の物理量から始めて特性曲線をまたいだ物理量を決め、そこからさらに特性曲線をまたいで次の物理量を決め、というのを繰り返して最後に一番右側の物理量に一致するようにそれらの物理量の変化を定める。以下では、断熱理想気体の Euler 方程式についてこの手順で実際に解を構成する。手順としては、まず各特性曲線が運ぶ波の種類を特定し、それぞれの波をまたいだ後の物理量の変化を 1 つのパラメータで表せるよう、真性非線型な場合は膨張波-衝撃波曲線、線型縮退なら固有ベクトル積分曲線を構成し、一番左右の物理量をうまくつなげるパラメータの組を探す。
まず、断熱理想気体 Euler 方程式は




ρu
ρ



∂ 
2+P

+ ∂ ρuρu ∂x  
 =0
∂t 
1
P
2
1
P
2
2 ρu + γ−1 + P u
2 ρu + γ−1であるが、基本変数を取り替えて準線型化すると

 



u ρ
0
ρ
ρ

 


∂ 
 u  +  0 u 1/ρ  ∂  u  = 0






∂t
∂x
0 γP
u
P
P
となる。この流束 Jacobian 行列の固有値を求めると、


u−λ
ρ
0


γP
3
det 
u − λ 1/ρ 
 = (u − λ ) − (u − λ) ρ = 0
 0
0
γP
u−λ

96

(4.695)(4.696)(4.697)

より大小に従って昇順に

sγPρλ1 = u − a, λ2 = u, λ3 = u + a /w a =(4.698)を得る。a は音速である。さらに、各固有値 λj に対応する右固有ベクトル rj は







ρ





1


ρ


 ′
  ′



 


r′1 =  −a  , r2 =  0  , r3 =  a γP
0γP(4.699)ととることができる。ただし、プライムが付いているのは規格化の不定性が残っているからであ
り、実際

s
!


∂
∂
∂
γP
γ+1
′
(r1 · ∇U )λ1 = ρ
−a
+ γP
u−
=−
a<0
∂ρ
∂u
∂P
ρ
2

(4.700)であるから、以下 1 番目の固有ベクトルとしては r1 = −r′1 を用いる。また、他の固有ベクトルについては(r′2 · ∇U )λ2 =(r′3 · ∇U )λ3 =

∂u
=0
∂ρ
γ+1
a>0
2

(4.701)(4.702)となるので、r2 = r′2 、r3 = r′3 とする。また、以上から 1, 3-特性曲線は真性非線型、2-特性曲線は線型縮退である。
真性非線形である 1, 3-特性曲線について、それをまたいだ物理量の変化を考える。真性非線型なので膨張波の場合と衝撃波の場合がある。まず膨張波の場合、式 (4.638)、(4.639) は x/t = ξ としてs
λ1, 3 (V(ξ)) = u(ξ) ∓γP (ξ)=ξρ(ξ)(4.703)

および

dρ
dξ
du
dξ
dP
dξ

= ∓f (ξ)ρ(ξ)
sγP (ξ)= f (ξ)ρ(ξ)(4.704)= ∓γf (ξ)P (ξ)(4.706)(4.705)である。ここ及び以下では、複号は上に付いている方が 1-特性曲線の場合、下に付いている方が2-特性曲線の場合である。(4.704) を ξ で微分すると
dλ1, 3
du
a dP
a dρ
=
∓
±
=1
dξ
dξ
2P dξ
2ρ dξ

(4.707)

であるから

af +

γ
a
af − f = 122
97(4.708)

より

2 1
γ+1a

(4.709)

du
2
=
dξ
γ+1

(4.710)2(ξ − λ1, 3 (UL ))γ+1(4.711)

f=
ここから

よって

u = uL +である。また、

da
a dP
a dρ
γ
1
1−γ
=
−
= ∓ af ± af = ±
dξ
2P dξ
2ρ dξ
2
2
1+γ

より

a = aL ±1−γ(ξ − λ1, 3 (UL ))1+γ(4.712)(4.713)

となって

2
ρ
dρ
=−
dξ
1 − γ ξ − λ1, 3 (UL ) ∓ γ+1
γ−1 aL

(4.714)

dP
2
P
= −γ
dξ
1 − γ ξ − λ1, 3 (UL ) ∓ γ+1
γ−1 aL

(4.715)

および

から

ρ
=
ρL

ξ − λ1, 3 (UL ) ∓ γ+1
γ−1 aLP=PL

ξ − λ1, 3 (UL ) ∓ γ+1
γ−1 aL2! γ−1(4.716)∓ γ+1
γ−1 aL

と

2γ
! γ−1

∓ γ+1
γ−1 aL

(4.717)となる。式 (4.712)、(4.717)、(4.718) はパラメータ ξ を膨張波の右端の速度と読みかえれば、そのようなパラメータに応じて膨張波の左右の物理量の間の関係を定める膨張波曲線であるが、これを衝撃波曲線とつなげるためにパラメータを

Z ξ

Z ξ

2
dξ ′
2
δ=
f dξ ′ = ∓
=∓
ln
γ+1
′
γ−1
λ1, 3 (UL )λ1, 3 (UL ) γ − 1 ξ − λ1, 3 (UL ) ∓ γ−1 aL

γ+1ξ − λ1, 3 (UL ) ∓ γ−1
aL

∓ γ+1
γ−1 aL
(4.718)と取り直せばρ = ρL e∓δ(4.719)P = PL e∓γδ(4.720)γ−12aL (e∓ 2 δ − 1)
γ−1(4.721)および

さらに

u = uL ∓となる。どちらも δ > 0 で特性曲線は増大するので、そのような領域が膨張波曲線となる半曲線
を与える。

98

!

一方で衝撃波は Rankine-Hugoniot 関係から導く。この場合、式 (4.723) から



s



ρ
ρu
1
P
2
2 ρu + γ−1



 
=
  



ρu
ρu2 + P
1P
2
2 ρu + γ−1 + P







(4.722)uである。この第一、二式から s を消去すると[ρ][ρu2 + P ] = [ρu]2(4.723)であるが、一般に[AB] = A[B] + [A]BL = AL [B] + [A]B =A + ALB + BL[B] + [A][A]
2
2

(4.724)を用いれば

ρL ρ[u]2 = [ρ][P ](4.725)を得る。また、第一、三式から s を消去すれば[ρ][ρBu + P u] = [ρu][ρB] /w B =

u2
P
+
2
(γ − 1)ρ

(4.726)となり、を得る。いま、ρL ρ[u][B] = [ρ][P u](4.727) 
1
Pu + uL 2[u] +[u][u][B] =2
γ−1
ρ

(4.728)であるから

 u + uLρL ρ
P
P + PLu + uL2ρL ρ[u] +[u]= [ρ][P u] =[ρ][u] +[ρ][P ]2γ−1ρ22である。以上より、

 
ρL ρ
P
P + PL[u]=[ρ][u]
γ−1ρ
2(4.729)(4.730)を得る。ここで、[u] 6= 0 を背理法で示す。[u] = 0 とすると、連続の式の Rankine-Hugoniot 条件
は(s − uL )[ρ] = 0(4.731)となる。しかし、真性非線型な不連続解の速度は s 6= λ2 (UL ) = uL なので [ρ] = 0、よって[ρu2 + P ] − s[ρu] = u2L [ρ] + [P ] − suL [ρ] = [P ] = 0(4.732)であるが、これは不連続解にはならないので矛盾し、[u] 6= 0 となる。すると



P
ρL ρ
ρ


= θ(P + PL )[ρ] /w θ =

99

γ−1
2

(4.733)

となり、これを P について解いてP = PL(1 + θ)ρ − θρL(1 + θ)ρL − θρ

(4.734)となる。ここで、衝撃波の強さを決めるパラメータとして ξ = ρ/ρL を用いることにすれば

P(1 + θ)ξ − θ=PL
1 + θ − θξ

(4.735)[ρ][P ]
(1 − ξ)2 1 γPL=ρρL
1 + θ − θξ ξ ρL

(4.736)と表される。さらに、(4.726) より[u]2 =
であるから、(ξ − 1)u = uL ± aL p
ξ(1 + θ − θξ)(4.737)を得る。ここで、今考えているのは 1, 3-特性曲線なので、衝撃波速度[ρu]ρu − ρL uLuρL ξ − ρL uL
s=
=
=
=
[ρ]
ρ − ρLρL (ξ − 1)uL ξ − uL ± aL √ξ−1ξξ(1+θ−θξ)ξ−1s= uL ± aL

ξ
1 + θ − θξ
(4.738)が、特性曲線をまたいで物理量が変わらない極限で 1, 3-特性速度に一致しなくてはならない。物理量が変わらない極限は ξ → 1 にならなくてはならない。そのような極限では

s → uL ± aL

(4.739)となるので、1-特性曲線に対応する衝撃波をまたいだ場合複号は負を、3-特性曲線に対応する衝撃
波をまたいだ場合は正を取る。すなわち、(ξ − 1)u = uL ∓ aL p
ξ(1 + θ − θξ)(4.740)を得る。ただし膨張波の場合と同様に、複号は上が 1-特性曲線、下が 3-特性曲線を表す。これとρ = ρL ξ, P = PL

(1 + θ)ξ − θ
1 + θ − θξ

(4.741)が衝撃波の左右の物理量の関係を与える。さらに、これが 1, 3-特性曲線で運ばれることがわかったが、今採用しているパラメータ ξ と一般論で議論した δ の関係はよくわからない。そこで、pξ − 1 + (1 + θ)ξ − θp
λ1, 3 (U(ξ)) = uL ∓ aL
ξ(1 + θ − θξ)(4.742)であるから、

s1, 3 (ξ) − λ1, 3 (U(ξ)) = ∓ p
= ∓p

aL



ξ(1 + θ − θξ)aL
ξ(1 + θ − θξ)100ξ − (ξ − 1) −1−p
(1 + θ)ξ − θp(1 + θ)ξ − θ(4.743)

括弧の中身を g(ξ) と置くと、

g(ξ = 1) = 0(4.744)

dg
1+θ
=−
<0
dξ ξ=12(4.745)およびである。従って、少なくとも ξ = 1 の近傍では s1, 3 (ξ) − λ1, 3 (U(ξ)) > 0 となるのは 1-特性曲線の場合 ξ > 1 で 3-特性曲線の場合 ξ < 1 である。さらに、

λ1, 3 (UL ) − s1, 3 (ξ) = ∓ √

p
p 
aL
1 + θ − θξ − ξ
1 + θ − θξ

(4.746)の括弧の中身を h(ξ) と置くと、

h(ξ = 1) = 0(4.747)

dh
1+θ
=−
<0
dξ ξ=12(4.748)およびとなるので、少なくとも ξ = 1 の近傍では λ1, 3 (UL ) − s1, 3 (ξ) > 0 となるのは 1-特性曲線の場合

ξ > 1 で 3-特性曲線の場合 ξ < 1 である。以上より、1-衝撃波を得るのは ξ > 1 の場合、3-衝撃波
は ξ < 1 の場合である。
ここで、衝撃波となるときに δ < 0 となるようにパラメータを ξ から δ に取り替える。特に膨張波曲線とつなげることも意識して、ξ = e∓δ を取ってみると確かに上の条件を満たし、






ρL e∓δ
ρL
∓δ




u ∓ aL √ ∓δ(e −1) ∓δ  →  uL Û1, 3 (δ) = 
 L



e (1+θ−θe )(1+θ)e∓δ −θ
PL
PL 1+θ−θe∓δ(4.749)となり、e∓δe∓δ − 1e∓δ − 1
1
θe∓δ
√
√
−
+
√
2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ
2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ 3e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ

du
= aL
dδ

!
(4.750)は δ = 0 で aL となり、

d2 u
dδ 2

= ∓aL
+

√

e∓δ

e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ

+

−e∓δ
−e∓δ
1
θe∓δ
√
−
√
2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ
2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ 3−e∓δe∓δ − 1e∓δ − 1
1
1
θe∓δ
√
√
+
−
√
2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ
4 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ
4 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ 3

θe∓δ
−e∓δ
e∓δ − 1e∓δ − 1θe∓δ 13θ2 e∓δ√√−+√
2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ
4 2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ
4 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ 5!
θe∓δe∓δ − 1+(4.751)√2 e∓δ/2 1 + θ − θe∓δ 3−は δ = 0 で ∓ γ−1
2 aL となり、どちらも膨張波曲線のものと一致する。さらに、

dP
= ∓PL
dδ



(1 + θ)e∓δ(1 + θ)e∓δ − θ ∓δ+θe
1 + θ − θe∓δ
(1 + θ − θe∓δ )2101


(4.752)

は δ = 0 で ∓γPL となり、

d2 P
= PL
dδ 2



3(1 + θ)e∓δ − θ ∓δ
(1 + θ)e∓δ − θ 2 ∓2δ(1 + θ)e∓δ+θe + 2θ e∓δ∓δ
2
1 + θ − θe
(1 + θ − θe )(1 + θ − θe∓δ )3

(4.753)は δ = 0 で γ 2 PL となり、どちらも膨張波曲線のものと一致する。以上から、1-膨張波-衝撃波曲線

U1 はパラメータを δ として





e−δ

ρL



U1 (δ) =  uL − aL α1 (δ) PL β1 (δ)(4.754)と表すことができる。ここで、


α1 (δ) =e−θδ −1θ−δ√ −δe −1 −δ
e (1+θ−θe )



および

(
β1 (δ) =(δ > 0)(δ < 0)e−γδ

(δ > 0)(1+θ)e−δ −θ
1+θ−θe−δ(δ < 0)である。また、3-膨張波-衝撃波曲線 U3 は同様にパラメータを δ として


ρL eδ



U3 = 
u
+
a
α
(δ)
3
L
L


PL β3 (δ)
と表せる。ここで、


α3 (δ) =およびeθδ −1θδ√ δ e −1 δe (1+θ−θe )(β3 (δ) =(4.755)(4.756)(4.757)(δ > 0)(δ < 0)eγδ(δ > 0)(1+θ)eδ −θ
1+θ−θeδ(δ < 0)(4.758)(4.759)である。

2-特性曲線は線型縮退しているので、不連続解だけを考える。この不連続解は挟んでも特性速度が変わらないので [λ2 ] = [u] = 0 であり、さらに s = λ2 (UL ) = uL である。これを用いると、Euler 方程式の Rankine-Hugoniot 条件は
s[ρu] = u2L [ρ](4.760)[ρu2 + P ] = u2L [ρ] + [P ](4.761)

およびによって [P ] = 0 となる。この解は不連続解なので [ρ] 6= 0 でなくてはならないが、ここで ρ/ρL = ξとしておこう。以上より、これが接触不連続面であることが確かめられ、

ρ
u
P
= ξ,
= 1,
=1
ρL
uL
PL

102

(4.762)

が左右の物理量の関係を与える。
ここまでで特性曲線を挟んだ物理量の跳びが一つのパラメータで表せたので、最後にそれらをつないで解を構成する。ここで、Riemann 問題は最初に左右の物理量を与えるので、一番右側の3-特性曲線については左側の物理量を決めて右側の物理量を求めるよりも右側の物理量を決めて左側の物理量を求める方が問題としてはやりやすい。そこで、(4.758) を書き換えることを考える。
実際にこれを計算してみると、

ρL = ρR e−δ(4.763)uL = uR + aR α1 (δ)(4.764)

PL = PR β1 (δ)(4.765)およびさらにとなる。こうして 3-特性曲線を挟んだ右から左への物理量の変化がわかると、2-特性曲線が接触不連続面すなわち速度と圧力が変わらない不連続面であるために解を構成できる。即ち、一番左側の物理量から 1-特性曲線を挟んで変化した物理量を一つのパラメータで表し、一番右側の物理量から 3-特性曲線を挟んで変化した物理量を一つのパラメータで表し、それらの速度が等しくなる条件と圧力が等しくなる条件の二つの条件を課すことでそれぞれのパラメータを決めるのである。そのような場合に結果として生じる密度のジャンプが接触不連続面の運ぶ密度不連続である。
実際これは、連立方程式(

uL − aL α1 (δ1 ) = uR + aR α1 (δ2 )(4.766)

PL β1 (δ1 ) = PR β1 (δ2 )を解くことによって得られる。これは δ1 > 0、δ2 > 0 のとき β1 (δ1 ) = τ1 として
θ
2θ+1

τ
uL − aL 1−1θ

= uR + aR

PL
PR τ1



θ
2θ+1

−1

(4.767)θ

δ1 > 0、δ2 < 0 のとき
uL − aL

PR
PL τ2



θ
2θ+1

θ

−1

τ2 − 1= uR + aR p((1 + θ)τ2 + θ)(1 + 2θ)(4.768)

δ1 < 0、δ2 > 0 のときτ1 − 1uL − aL p= uR + aR((1 + θ)τ1 + θ)(1 + 2θ)

PL
PR τ1



θ
2θ+1

−1

θ

(4.769)

δ1 < 0、δ2 < 0 のときLτ1 − 1PR τ1 − 1uL − aL p= uR + aR q((1 + θ)τ1 + θ)(1 + 2θ)((1 + θ) PL τ1 + θ)(1 + 2θ)P(4.770)PRと分類できる。実際にこれを解いた様子を図 4.1 に載せる。これは初期条件としては

ρL = 1.0, ρR = 0.125, uL = 0.0, uR = 0.0, PL = 1.0, PR = 0.1

103(4.771)rho
1.2"riemannrho.dat"

1

rho

0.8

0.6

0.4

0.2

-3

-2

-1

0
x/t

1

2

3

u
1
"riemannu.dat"

0.8

u

0.6

0.4

0.2

0

-3

-2

-1

0
x/t

1

2

3

pressure
1.2"riemannpress.dat"

1

p

0.8

0.6

0.4

0.2

0
-3

-2

-1

0
x/t

1

図 4.1: Riemann 問題の解を与えた。

Godunov 法
Roe 法

104

2

3

第 5 章 観測的兆候

ここでは、ニュートリノ加熱メカニズムが実際に働いているとしたら、観測にどのような兆候が現れるかを議論する。このメカニズムは星の奥深くで起こるので、光学観測よりニュートリノ
や重力波による観測の方がより直接的な情報を取り出せる。それゆえ、ここではニュートリノと重力波に限って議論する。また、この章でも簡単のため c = G = ℏ = 1 という単位系をとる。

5.1

ニュートリノ観測

超新星の内部の情報を探る上で、透過力の高いニュートリノを観測することは有用である。この手法に関しては、大マゼラン雲で爆発した SN1987A からのニュートリノを捉えたカミオカンデ

II (Hirata et al. 1987) 及び IMB 実験 (Bionta et al. 1987) の結果がその有用性を示している。3.1
節で述べたとおり超新星内部でニュートリノ閉じ込めが起こっていることは、これらの観測からから示されたのである。他にも、検出された信号から放出されたニュートリノの全エネルギーや、

Fermi-Dirac 分布を仮定した場合の温度を求めることができる。例えば、Spergel et al. (1987) で推定されたエネルギーを、六種類のニュートリノ全てが同じエネルギーを持っているとして換算
すれば ' 3.7 × 1053 erg となり、また温度は ' 4.2 MeV と推定された。このとき、SN1987A までの距離は 50 kpc とした。これはここまで説明してきた超新星の標準的な描像と一致する。また、
ニュートリノ加熱メカニズムが正しいとすれば、爆発の前にニュートリノが大量に放出されることになる。これを地上のニュートリノ検出器で検出して、望遠鏡でフォローアップ観測ができれば、超新星爆発の特に始めのフェーズに関して重要な観測結果を得ることができるであろう。

IceCube やカミオカンデなどのニュートリノ検出器では、ニュートリノ反応によってエネルギーを得た荷電粒子からの Cherenkov 光を光電子増倍管で検出する。このとき、荷電粒子は電子散乱(??) 及び逆 β 崩壊 (??) によってエネルギーを得るが、逆 β 崩壊の断面積は電子散乱の断面積より
約 100 倍大きいため、主として逆 β 反応で生じる陽電子を考えればよい。単純には、ニュートリ
ノフラックスと反応断面積、及び検出器の設計からカウントレートがわかり、逆にカウントレー
トから超新星ニュートリノフラックスを求められる。このニュートリノフラックスをシミュレー
ションからの結果と比較することでニュートリノ加熱メカニズムなどをテストすることができる
が、実際上では超新星から検出器までニュートリノが伝搬してくる効果を考える必要がある。
ニュートリノが伝搬する間には、ニュートリノ振動現象によってニュートリノのフレーバーが変わってしまう。ニュートリノ振動自体はスーパーカミオカンデによる大気ニュートリノの観測によって 1998 年に確認された。ニュートリノ振動は、ニュートリノに質量が存在することを示し、弱い相互作用の固有状態と質量の固有状態が一致しないことで起こると考えられている。まず簡単のため、Fukugita and Yanagida (2003) と同様にして二つのフレーバーのニュートリノ間の振動を考える。
いま、弱い相互作用の固有状態 |νe i、|νµ i および質量の固有状態 |ν1 i、|ν2 i を考える。固有状態|ν1 i および |ν2 i の質量はそれぞれ m1 、m2 とし、m1 < m2 とする。これらの固有状態はそれぞれ

105

同じ空間の別の基底なので、ユニタリ行列 U を用いて

|να i =

X

Uαi |νi i

(5.1)

i

と書ける。ただし弱い相互作用の固有状態は添字 α = e, µ で表し、質量の固有状態は添字 i = 1, 2で表した。この 2 × 2 のユニタリ行列は実数 θ を用いて

U≡

cos θ

!

sin θ

(5.2)

− sin θ cos θと表せる。すなわち、|νe i = cos θ|ν1 i + sin θ|ν2 i(5.3)|νµ i = − sin θ|ν1 i + cos θ|ν2 i(5.4)

である。いま、ニュートリノの状態 |ν(t)i = νe (t)|νe i + νµ (t)|νµ i = ν1 (t)|ν1 i + ν2 (t)|ν2 i に関する

Schrödinger 方程式はi∂
|ν(t)i = (H0 + V )|ν(t)i
∂t

(5.5)

である。ただし、H0 は自由粒子の Hamiltonian で V は相互作用によるポテンシャル。基底状態
として弱い相互作用の固有状態を選ぶと! (!
νe (t)
E1 0
∂
= U
U† +
i
∂t
νµ (t)
0 E2

Ve

0

0

Vµ

!)

νe (t)!
(5.6)

νµ (t)となる。ただし、Ve は弱い相互作用によって電子ニュートリノが感じるポテンシャルで、Vµ は µ
ニュートリノに対するポテンシャルであり、Ei は質量固有状態|νi i (i = 1, 2) のエネルギーである。
q

ここで、ニュートリノの質量が十分小さいとすると Ei =p2 + m2i ' p + m2i /2p ' E + m2i /2E となる。ただし p はニュートリノの運動量である。この場合、∆m2 ≡ m22 − m21 として Hamiltonian
全体 H ≡ H0 + V はE+

m21 +m22
+ VNC
4E

!

0

0

E+

2

+

m21 +m22
+ VNC
4E

∆m2
4E sin 2θ
∆m2
4E cos 2θ

− ∆m
4E cos 2θ + VCC∆m2
4E sin 2θ

!
(5.7)となる。ただし Ve = VCC + VNC 、Vµ = VNC と分解しており、VCC は荷電カレントによるポテン
シャル、VNC は中性カレントによるポテンシャルである。
いま、真空中でのニュートリノ振動を考えると、Ve = Vµ = 0 であるから、

νe ′ (t)!

νµ′ (t)  
m21 + m22
= exp i E +t
4Eνe (t)!
(5.8)

νµ (t)と置くと、Schrödinger 方程式は∂i∂t

νe ′ (t)νµ′ (t)!
=H

νe ′ (t)νµ′ (t)

!
,

∆m2
H=
4E

106

− cos 2θ sin 2θ
sin 2θ

cos 2θ

!
(5.9)

となり、この解は!
νe ′ (t)νµ′ (t)= exp(−iHt)=

νe ′ (0)!

νµ′ (0)




∆m2 t
∆m2 t
cos
− i sin
4E
4E− cos 2θ sin 2θ
sin 2θ

!!

cos 2θ

νe ′ (0)νµ′ (0)!
(5.10)となる。例えば、t = 0 において電子ニュートリノであったとすると、νe ′ (0) = 1、νµ′ (0) = 0 とな
るから、一般の時刻においては (5.8) も用いてνe (t)
νµ (t)!

  
m2 + m22= exp −i E + 1
t
4E

2

2

t
∆m t
cos ∆m4E + i sin 4E cos 2θ

!

2t−i sin ∆m
4E sin 2θ

(5.11)となり、振動の結果フレーバーが νe から νµ に変換される確率

P (νe → νµ ) ≡ |νµ (t)|2 = sin2

∆m2 t
sin2 2θ
4E(5.12)

および、変換されない確率

P (νe → νe ) = 1 − P (νe → νµ ) = 1 − sin2

∆m2 t
sin2 2θ
4E(5.13)

を得る。すなわち、観測確率は周期的に変動する。ここで、ニュートリノを観測するまでの時
間 t はニュートリノが発生した場所から観測点までの距離を光速で割ったものになるので、距離4πE/∆m2 = 2.48 m(E/1 MeV)(∆m2 /1 eV)−1 進むごとにあるフレーバーとして観測される確率が振動するのである。この距離のことを振動長と呼ぶ。
また、物質中でのニュートリノ振動を考える。(5.7) に見られるように、中性カレントによるポテンシャル VNC は |νe i と |νµ i の両方に同様に寄与するので、(5.8) で E + (m21 + m22 )/4E に VNCを加えることになる以外の影響はない。一方で、荷電カレントによるポテンシャル VCC は |νe i にしか影響しないので、二つのフレーバー間の相対位相を変えるのに影響する。いま、荷電カレントが関わる実効的な Lagrangian LCC は、ψνe 、ψe をそれぞれ電子ニュートリノ、電子の Dirac ス
ピノルとしてGF
LCC = − √ (ψ̄νe γµ (1 − γ 5 )ψe )(ψ̄e γ µ (1 − γ 5 )ψνe )2GF= − √ (ψ̄νe γµ (1 − γ 5 )ψνe )(ψ̄e γ µ (1 − γ 5 )ψe )2(5.14)となる。ただし Fierz 変換を用いた。ここで、ニュートリノにとって電子を相互作用する外部の系と考え物質静止系で期待値を取ると、右巻き電子と左巻き電子が同数存在するとして√
LCC = − 2GF ne ψ̄νe ,L γ0 ψνe ,L(5.15)となる。ただし、ne は電子の数密度であり、ψνe ,L はニュートリノを表すスピノルの左巻き成分である。現在のところ弱い相互作用をするのは左巻きニュートリノだけで右巻きニュートリノは見√つかっていないため、ここでも左巻き成分だけを考える。ここから VCC = 2GF ne を得る。これを用いると先ほど議論した真空中のニュートリノ振動の諸式は変更される。特に Hamiltonian H

107

を対角化するユニタリ行列が変化し、

Um ≡cos θm!

sin θmw/ tan 2θm ≡− sin θm cos θm∆m2 sin 2θ
√∆m2 cos 2θ − 2 2GF ne E

(5.16)

m2m1,2+ VNC
2E(5.17)となる。これにより、
†
HUm =
Um

Em1

0

0

Em2

!
w/ Em1,2 ≡ E +ただし、添字の 1, 2 はそれぞれ複号の −, + に対応させて
mm1,2 ≡
であり、また∆m2m ≡

m21 + m22 √1+ 2GF ne E ∓ ∆m2m
22

(5.18)

q √(2 2GF ne E − ∆m2 cos 2θ)2 + (∆m2 sin 2θ)2

(5.19)である。この場合、弱い相互作用の固有状態とエネルギー固有状態との混合角が物質の密度によって変わる。特に、θm = π/4 となる∆m2 cos 2θ
√
2 2GF E

ne =(5.20)という状況を共鳴という。質量密度にすると
ρ = 1.3 × 10 g/cm
7

3

Ye
0.5

−1 

∆m2
1 eV2



E
1 MeV

−1
cos 2θ

(5.21)となる。超新星のニュートリノ球の密度は ∼ 1011 g/cm3 なので、ニュートリノは原始中性子星から放出され超新星から脱出するまでの間にこの共鳴点を通ることがわかる。
エネルギー固有状態の時間発展を調べると!
νe (t)

νµ (t)= Um

νm1 (t)!
(5.22)

νm2 (t)であるから、Schrödinger 方程式は∂i∂tνm1 (t)νm2 (t)!
==Em1 −iθ̇m
iθ̇m

!

Em2

Em1 + Em2+2

νm1 (t)!

νm2 (t)
2

m
− ∆m
4E

iθ̇m

−iθ̇m
∆m2m
4E

!!

νm1 (t)νm2 (t)!
(5.23)となる。ここで、もし非対角成分が対角成分より十分小さければエネルギー固有状態は混ざり合
わずに時間発展し、フレーバーの振動は真空中と同じように記述されるが、そうでない場合はさらにエネルギー固有状態同士の間での遷移も起こるようになる。エネルギー固有状態が変化しな
いということを断熱的であるというが、この断熱条件は共鳴点で ∆m2m /4E  |θ̇m | であり、

γ≡

∆m2 sin2 2θ ne
1
2E cos 2θ dne /dr(5.24)とも書ける。断熱的でない場合は、exp(−πγ/2) の確率でエネルギー固有状態間の遷移が起こる。

108

ここまでは簡単のためニュートリノのフレーバーを二つとしてきたが、以下では標準的に信じら√れている三世代の場合を考える。荷電カレントによるポテンシャル 2GF ne も考えると、フレーバーの時間発展の方程式は

 


 √
 

νe ′
2GF ne 0 0
νe ′
0
0
0


 †

 

∂  ′ 
 = UMNS  0 ∆E21
U  ν ′  (5.25)

i 
+
ν
0
0
0
0

 MNS   µ ∂t  µ  
ντ′
0
0
∆E31
0
0 0
ντ′
となる。ただし、∆Eij =

m2i − m2j
2E

(5.26)

であり、式 (5.8) のように全てのニュートリノに共通する位相因子を取り込んだ波動関数 νe ′ 、νµ′ 、

ντ′ を用いた。UMNS は MNS(牧・中川・坂田) 行列であり (Maki et al. 1962)、




cos θ12 sin θ12 0
cos θ130 e−iϕ sin θ13
1
0
0




  − sin θ12 cos θ12 0 
UMNS = 
0
1
0
0
cos
θ
sin
θ
23
23




0
0
1
−eiϕ sin θ13 0
cos θ130 − sin θ23 cos θ23(5.27)と三つの混合角 θ12 、θ13 、θ23 で表される。ϕ は CP 対称性の破れを表すパラメータであるが、0 として扱われることが多い。
ここで扱ったいくつかのパラメータは実験的に決められたものもあるが、すべてわかっているわ
けではない。特に、質量の階層性が m1 < m2 < m3 なのか、m3 < m1 < m2 なのかはまだ不明である。前者を質量順階層、後者を質量逆階層という。もし順階層であれば、∆m221 = m22 − m21 > 0
かつ ∆m32 = m23 − m22 > 0 なので、式 (5.20) と同様に共鳴が起こる密度を考えるとそれは正となる。また、∆m221 = 7.6 × 10−5 eV2 < |∆m223 | = 2.4 × 10−3 eV2 (Nakamura and Particle Data

Group 2010) であるから、質量固有状態 ν2 と ν3 の間の共鳴は ν1 と ν2 の間の共鳴よりも高密度側で起こる。一方で、質量逆階層の場合は ν2 と ν3 の間の共鳴が起こる密度は式 (5.20) では負になってしまうため、共鳴が起こらない。ただし、ここまでの議論は正粒子の場合であり、反粒子を考える場合にはポテンシャルの符号を変える必要がある。すなわち、質量逆階層では ∆m212 > 0 であることは順階層と変わらないので正粒子の ν1 と ν2 の間で共鳴振動が起こるが、∆m223 < 0 となるので反粒子の間での振動に共鳴が起こる。ここで重要なのはエネルギー固有値がより近い ν̄1 と

ν̄3 との間の振動であり、共鳴が起こると全ての反電子ニュートリノは ν̄3 に変化する。一方、質量順階層の場合は反電子ニュートリノのうち cos2 θ12 ' 0.70 の割合は変換されずに残る。
結局、検出器で観測されるニュートリノはほとんどが反電子ニュートリノであり、質量逆階層の場合はそれはすべて反 µ、τ ニュートリノが変換されたもので、質量順階層の場合はそれは超新星で作られた反電子ニュートリノ 70%、反 µ、τ ニュートリノ 30% の混合物である。
超新星ニュートリノは原始中性子星で作られたものが超新星物質を通り抜けて伝搬し、最終的に地上で検出されることになるが、この過程の多くは球対称的である。すなわち、重力崩壊が始まってからバウンス衝撃波が停滞するまでは球対称を仮定した計算でも十分な精度があるし、爆発後に原始中性子星がニュートリノを放出しつつ冷却していく状態も球対称計算で調べられる。このことを利用して、衝撃波停滞までと爆発後のそれぞれについての球対称ニュートリノ放出計算
をつなげることで超新星ニュートリノを推測する研究もなされている (Nakazato et al. 2013)。
その一方で、最新の三次元シミュレーションから超新星ニュートリノを予測しようという研究もある (Tamborra et al. 2013, 2014)。ここで使っているシミュレーションはニュートリノ輸送を

109

可変 Eddington 因子法かつ RbR+近似で扱ったものだが、爆発には至らなかった。しかしながら、親星モデルに応じて対流不安定性や SASI が発生することはわかっており、そのような流体不安定性が放出される超新星ニュートリノにどのような影響を及ぼすかを調べることはできる。その結果、対流不安定性はニュートリノ光度に明確な痕跡を示さないが、SASI は観測者の方向によっては SASI のタイムスケールを周期とし、比較的大きな振幅でニュートリノ光度を振動させる可能性が示唆された。特に、SASI のタイムスケールは数 10 ms であるが、IceCube の検出器の不感時間
は ∼ 250 µs なので、バックグラウンドに観測を邪魔される可能性を考えても十分振動を分解する
だけの時間分解能がある。
以上に示した超新星ニュートリノの観測に関する研究はほんの一部に過ぎず、前者は球対称を仮定している点、後者は爆発しないシミュレーションから信号を予測しようとしている点で妥当性は慎重に考えなければならないが、超新星爆発メカニズムの観測的な証拠を与えるためには、多様な方法で観測量である超新星ニュートリノを調べることが重要である。

5.2

重力波観測

本節では超新星から放射される重力波について議論するが、まず簡単に重力波そのものについて議論する (e.g. 中村 et al. 1998)。計量 gµν を Minkowski 計量 ηµν = diag(−1, 1, 1, 1) とそこからの微小なずれ hµν によって gµν = ηµν + hµν に分解する。Einstein 方程式 (4.4) を hµν の一次の項までで線形化すると、h ≡ hα α として−∂α ∂ α hµν − ∂ν ∂µ h + ∂α ∂ν hµ α + ∂α ∂µ hν α − ηµν (−∂λ ∂ λ h + ∂ β ∂ α hαβ ) = 16πTµν(5.28)となり、さらに1ψµν ≡ hµν − ηµν h2(5.29)という新しい変数を用い、かつ Lorentz ゲージ ∂ν ψ µν = 0 を取ると上式は∂α ∂ α ψµν = 16πTµν(5.30)∂α ∂ α ψµν = 0(5.31)となる。真空中ではとなるが、これはソース項なしの波動方程式で一般解は hµν で書けば

hµν = eµν exp(ikλ xλ )(5.32)となる。これが重力波であり、eµν は重力波の偏極テンソルである。簡単のため、z 方向に伝搬する重力波を考え、k 1 = k 2 = 0、k 0 = k 3 = k とする。この場合に、Lorentz ゲージ条件は1kν eµ ν − kµ eα α = 02(5.33)

であるが、Lorentz ゲージを満たす範囲で、e00 = e0i = 0 となるように座標を選べるので、

1ke3µ − kµ (e11 + e22 + e33 ) = 02

110(5.34)

となり、

e11 + e22 = 0, e3l = 0(5.35)となる。このようなゲージの取り方を TT ゲージ (Transverse-Traceless ゲージ) と呼ぶ。計量の摂動の空間成分を考えると




h+

h×

0





hTT
ij =  h× −h+ 0 000(5.36)となるが、ここに示した二つの自由度 h+ 、h× は重力波の二つの偏極を表し、それぞれ重力波のプラスモード、クロスモードと呼ぶ。
いま、超新星から放射される重力波を考える (e.g. 中村 et al. 1998)。(5.30) をグリーン関数

G(t − t′ , x − x′ ) ≡を用いて解くとZd3 x′

ψµν (t, x) = 4

δ(t − t′ − |x − x′ |)4π|x − x′ |(5.37)Tµν (t − |x − x′ |, x′ )|x − x′ |(5.38)となる。ただし真空解は自由に加えられるが、ここではそれは無視する。いま、x′ は重力波源に関する座標であるが、波源 Tµν が 0 でない領域はせいぜい ∼ 1000 km 程度であるのに対して超新星から観測者までの距離は短くとも ∼ 10 kpc スケールなので、|x − x′ | ' r − n · x′ と展開できる。
ただし r = |x| で n = x/r である。さらに、この方程式の TT 成分を取り出すことにすれば
TT
ψij
= hTT
ij

Z
4
d3 x′ TijTT (t − r + n · x′ , x′ )r
Z
4d3 x′ TijTT (t − r, x′ )r''(5.39)となる。また、二行目では n · x′ に関する零次の項までを取った。ここで、Z
Tij d3 x =

1 ∂2
2 ∂t2

Z
d3 xρxi xj =

1 ∂2
Iij
2 ∂t2

(5.40)と計算できる。Iij は質量四重極モーメントであるが、TT 成分をとったものは還元質量四重極モーメントと呼び、Z
IijTT ≡12d xρ xi xj − δij x
3
3(5.41)となる。これらにより、重力波の四重極公式

hTT
ij (t, x) =2G ∂ 2 TT
I (t − r)
c4 r ∂t2 ij(5.42)を得る。ただし、最後だけ c = G = 1 としていた単位系を戻した。もし超新星が球対称である場
合には、四重極モーメントは存在しないので、重力波も発生しないことになる。ニュートリノ加熱メカニズムでは流体不安定性によって球対称性は破れているが、例えば軸対称の時の極軸方向のように系が対称に見える方向には重力波は放出されない。従って、観測者の方向によって重力波の強弱は変わる。また、四重極公式をシミュレーションでの典型的な値からオーダーで評価す

111

ると
2
2G MPNS RPNS
ϵasym
c4 D
t2dyn

−1 

 

D
MPNS
RPNS 2 tdyn −2  ϵasym −21∼ 2 × 10
10 kpc
1.4 M⊙
10 km
1 ms
0.1

h ∼

(5.43)となる。ただし、ϵasym は系の非対称性を表すパラメータで上限値をとっており (e.g. Müller et al.

2012a)、D は観測者から超新星までの距離で、tdyn は系の力学的タイムスケールである。
さらに、超新星ニュートリノ由来の重力波を考える。いま、Epstein (1978) に従ってニュートリ
ノのエネルギー運動量テンソルをLν (t − r)Tν,ij (t, x) = ni nj
f (Ω, t − r) = ni nj r−2
r2

Z ∞
−∞

dt′ Lν (t′ )f (Ω, t′ )δ(t − t′ − r)

(5.44)Rとする。ただし f はニュートリノ放射の非等方性を表すもので、 dΩf = 1 と規格化される。ニュー
トリノ起源の重力波の TT 成分 hTT
ν,ij はZ

TT (t − |x − x′ |, x′ )
Tν,ij
d3 x′
(5.45)|x − x′ |Pとなるが、いま、デルタ関数の性質 δ(f (x)) = i δ(x − ai )/|f ′ (ai )|(ただし ai は関数 f (x) の零点)

hTT
ν,ij (t, x) = 4などを用いれば

Z t−r
hTTν,ij (t, x) = 4

dt′

Z

−∞

dΩ′

4π

(ni nj )TT Lν (t′ )f (Ω′ , t′ )t − t′ − r cos θ′(5.46)となる。この表式から、ニュートリノ由来の重力波はニュートリノ光度の時間積分を含むため、コ
アからのニュートリノ放出が終わっても重力波は消えない。これをメモリー効果という。ここで、ニュートリノ輻射の非等方性が重力波に及ぼす影響を
′

Z

dΩ′

αij (t , x) ≡ 2
4π

としてまとめると、

2G
hTT
ν,ij (t, x) = 4

Z t−r

c r

(ni nj )TT f (Ω′ , t′ )t−t′′r − cos θ(5.47)

dt′ Lν (t′ )αij (t′ , x)(5.48)0と書ける。こちらについてもシミュレーションの値からオーダー評価すると

hν2GLν ∆tαc4 D
−21∼ 5 × 10∼D
10 kpc

−1 

Lν
52
10 erg/s



∆t
1s



α 
0.1

(5.49)となる。ただし、α は式 (5.47) の典型的な値で上限値を取っており (e.g. Tamborra et al. 2014)、∆t はニュートリノ輻射の継続時間である。
ニュートリノ由来の重力波は式 (5.43) で評価した物質由来の重力波と同程度の大きさなので、超新星からの重力波は物質由来のものとニュートリノ由来のものの両方を考える必要がある。しかしながら、その振る舞いには違いがある。Müller et al. (2004) の図 3 などに典型的な重力波の例が載っているが、物質由来の重力波は非常に細かい振動を示すのに対し、ニュートリノ由来の重力波は比較的ゆっくりとした変動を示す。従って、超新星からの重力波は高周波成分は物質由

112

来が、低周波成分はニュートリノ由来が支配的である。また、同様に Müller et al. (2004) によると、親星モデルによるが重力波の信号は Advanced LIGO (Fritschel 2003) で検出できる可能性がある。また、Müller et al. (2004) では LIGO、Advanced LIGO の観測しか考えていないが、日本の次世代重力波検出器 KAGRA (Somiya 2012) の感度は Advanced LIGO と大きくは変わらず、

Müller et al. (2004) で計算された重力波信号は KAGRA でも同様に検出できる可能性がある。
ニュートリノ加熱メカニズムで爆発する場合、流体不安定性が重要であり、対流や SASI に伴う重力波が重要となる。これは、比較的長時間続き、スペクトルも広いものになる。その一方で、3.4.2 節で述べた磁気流体メカニズム、正確にはそれに不可欠な高速回転する星の重力崩壊では、また違った重力波が得られる。回転が無視できる場合にはバウンスは球対称に起こるため重力波は発生しないが、親星が高速回転していると重力崩壊とそれに伴うバウンスは球対称からずれ、それによって重力波が発生するのである。これをバウンス重力波といい、バウンスの瞬間に非常に強い重力波を出してその後減衰していく。この様子は Shibata et al. (2006) などで見られる。また、音響メカニズムで爆発する場合には物質由来の重力波はニュートリノ加熱メカニズムの場合より若干大きくなり、ニュートリノ由来の重力波は 1/5 程度に小さくなるというシミュレーショ
ン結果がある (Ott et al. 2006)。特に、物質由来の重力波は Advanced LIGO だけでなく現行の

LIGO でも検出できるという。さらに、Ott et al. (2006) で直接調べられているわけではないが、Advanced LIGO と同程度の感度を持つ KAGRA でも検出できると考えられる。
以上のように、重力波はメカニズムによって放出される波形が変わると考えられるので、重力崩壊型超新星爆発のメカニズムを調べる上では非常に有用な手段である。しかしながら、一般相対論の力学に対する影響は TOV monopole 法や共形平坦近似を用いて近似的に扱って重力波は四重極
公式 (5.43) などから計算するシミュレーションも多く、信頼できる結果を得るには数値相対論を用いた三次元シミュレーションを行う必要がある。爆発するかどうかを判定できるほど長時間ではないが、Kuroda et al. (2014) ではそのようなシミュレーションがバウンス後 ∼ 50 ms 程度まで行われている。そこでは LIGO、Advanced LIGO、そして KAGRA での重力波観測可能性が物質由来のものに限って議論されており、10 kpc 離れた超新星からの重力波は KAGRA と Advanced

LIGO で検出できる可能性が示されている。ニュートリノ由来の重力波は Kuroda et al. (2014) がシミュレーションしている時間範囲では振幅が小さいままだが、メモリー効果によりさらに時間が経った後の重力波振幅は大きくなっている可能性もあるため、KAGRA などでも検出できないかどうかはわからない。

113

第 6 章 まとめと展望

超新星爆発は大質量星の最期の姿であり、特に II 型及び Ib/c 型として観測される重力崩壊型超新星爆発はその爆発メカニズムが初期のシミュレーションから約 50 年に渡って調べられてきた。
中心に鉄コアを作るような大質量星は鉄の光分解や電子捕獲によって重力崩壊を起こし、中心部の密度が非常に大きくなっていく。そこではニュートリノが散乱反応によって閉じ込められ、また中性子化とそれに伴う中性子ドリップによる圧力上昇を抑えることで、最終的にコアは原子核程度の密度になるまで潰れていく。その段階で、強い核力によって崩壊は止められ、亜音速で収縮す
る内部コアと超音速で落下する外部コアの間にバウンス衝撃波を形成する。このバウンス衝撃波
は外側に伝搬するにつれ、降着物質を核子に分解したり、ニュートリノを放出することによってエネルギーを失い、やがて停滞する。バウンス後に中心に形成された原始中性子星は解放された重力エネルギーをニュートリノとして放出し、その一部は衝撃波背面のゲイン領域で吸収され物質を加熱する。このニュートリノ加熱は、さらに対流や SASI などの非球対称流体不安定性によって効率が高くなる。こうして加熱された結果十分なエネルギーを獲得すれば、停滞していた衝撃波は復活し、やがて爆発に至る。これが現在重力崩壊型超新星爆発のメカニズムとしてもっとも有力視されている、ニュートリノ加熱メカニズムである。このメカニズムを確かめるためには流体力学方程式系とニュートリノ輸送 Boltzmann 方程式を組み合わせた一般相対論的な三次元シミュ
レーションを行うことが必要である。しかしながら、これは非常に計算コストがかかるため、流体に関しては一般相対論的効果を完全に無視する Newtonian 近似、重力のモノポール項だけを置き換えるモノポール近似、空間計量を平坦空間に比例させる共形平坦近似などが使われる。また、核物質の状態方程式はまだ不定性が大きく、現実的なものとして Lattimer & Swesty の状態方程式や Shen の状態方程式などがよく用いられるが、どのような状態方程式が自然をうまく表しているかはよくわかっていない。さらに、Boltzmann 方程式を解くにはモーメント法や IDSA などの近似で解く方法がよく用いられ、またニュートリノ輸送以外の物理が与える影響を系統的に調べるためにニュートリノ輸送を手で与えるライトバルブ近似などが使われる。
超新星爆発シミュレーションは日本、Max Planck 研究所、Princeton 大学、Oak Ridge 国立研究所などといったいくつかのグループによって行われている。各グループでニュートリノ輸送の近似法や状態方程式などの入力物理は違い、結果は必ずしも一致しない。二次元シミュレーションでは、
日本は Newtonian 極限重力–LS (Lattimer & Swesty) 状態方程式–IDSA ニュートリノ輸送で爆発し (Takiwaki et al. 2014)、Max Planck 研究所は共形平坦近似–LS 状態方程式–可変 Eddington 因子法ニュートリノ輸送で爆発 (Müller et al. 2012b)、Princeton 大学は Newtonian 極限重力–Shen
状態方程式–マルチグループ FLD ニュートリノ輸送で爆発しない (Dolence et al. 2014) か音響メ
カニズムで爆発 (Burrows et al. 2007b)、Oak Ridge 国立研究所は TOV monopole 法重力–LS 状態方程式–マルチグループ FLD ニュートリノ輸送法で爆発している (Bruenn et al. 2013)。このよ
うなグループ間の違いは、親星が同じモデルの場合でも存在する。これは 3.2 節でも述べたように、ニュートリノ加熱メカニズムでは 1053 erg のニュートリノエネルギーのうち数%を物質の加熱に用いるため、この数%を解像できる非常に高い精度のシミュレーションが必要であるが、近似法
や入力物理の違いによって結果がそれだけずれてしまうからである。そのような状況である以上、114

現在いくつも存在している不定性をなるべく少なくしていくことが必要である。状態方程式などの入力物理の不定性は取り除くのに時間がかかり、現在ではどのモデルを考えればよいかは簡単にわかることではないが、近似法は近似前の方程式に立ち返れば確実により現実的な計算に近づくと考えられる。そこで、著者は一般相対論的 Boltzmann 方程式及び流体力学方程式系を解くにあたっての近似を排することを目標にしていく。特に、Boltzmann 方程式は直接解法により、移流に関して離散化以外の近似を取り除く。多次元シミュレーションで使われているニュートリノ輸
送はどれも Boltzmann 方程式を直接解くものではなく、比較によってそれぞれの近似法の相対的な傾向は調べられても1 、最も基本的な Boltzmann 方程式の解をどの程度よく再現できるかを調べることは難しい。それゆえ、近似法が結果にどのように影響するかを調べ、決定的な結果を与えるためには Boltzmann 方程式を直接解く必要があるのである。また、単に Boltzmann 方程式の直接解法を目指すだけではなく、一般相対論的 Boltzmann 方程式を考えるのは、一般相対論的効
果が与える影響も無視するわけにはいかないからである。一般相対論的効果を大雑把に見積もると、超新星の典型的な長さスケールである中性子星半径 ∼ 10 km に対して中性子星質量 ∼ 1.5 M⊙の Schwartzschild 半径が ∼ 4 km なので、シミュレーション結果の諸量には ∼ 10% 程度の違いが出ると考えられる。前述の通り、この程度の違いでも爆発するかどうかが変わる可能性があるため、一般相対論的効果も考える必要があるのである。
本論文??節では Boltzmann 方程式の直接解法は Newtonian 極限に限って議論したが、現在の最先端としては特殊相対論的な Boltzmann 方程式の直接解法が Nagakura et al. (2014) で開発されている。例えば、モーメント法 (??節) については特殊相対論的効果を O(v/c) の一次の項まで
で取り入れていたが、特殊相対論的直接解法はそのような微小量の一次の展開ではなく、全ての次数を考慮した定式化になっている。これは流体静止系と慣性系の二つの座標系を用意し、その間で実際に Lorentz 変換を行うことによって達成されている。一般相対論的 Boltzmann 方程式を解く計算コードは、この特殊相対論的 Boltzmann コードを基礎として構成する。また、計量を発展させる Einstein 方程式を解くコードは開発されており (Baumgarte and Shapiro 1999, Shibata

and Nakamura 1995)、特殊相対論的流体力学方程式系のシミュレーションコードも開発されている (Nagakura et al. 2011) ので、一般相対論的流体力学方程式系もこれらを組み合わせて構成する。さらに開発したコードを組み合わせることで、一般相対論的 Boltzann-流体シミュレーションを実行していく。Boltzmann 方程式の解を得るのに近似法を使う大きな理由は、計算コストがかかることである。直接解法は多少の計算コストがかかることは許容する代わりに適用した解像度の範囲で信頼できる計算結果を得ることを目的とするが、それでも三次元シミュレーションは現
実的ではない。しかしながら、京コンピュータのような巨大スーパーコンピュータを用い、シミュ
レーションの空間次元を二次元軸対称に限定すれば可能であると考えられる。いま、必要な計算量を見積もる。計算メッシュとしては、半径 5000 km の球を動径方向に Nr = 256 個、角度方向には Nθ = 64 個のメッシュに分割し、また運動量空間についてはエネルギー 300 MeV までの球をエネルギーの大きさについて Nϵ = 20 個、角度方向については Nθν = 10 個、Nϕν = 6 個に分割する。この場合、電子散乱まで考えると衝突項に関する行列反転は衝突前後の二つの bin のカッ
プリングを考えるので (Nϵ × Nθν × Nϕν )2 に比例する演算量が必要で、配位空間に関する行列反転には疎行列の反転計算のため Nr × Nθ に比例する演算量がかかる。すると、時間ステップ一回につき Nr × Nθ × (Nϵ × Nθν × Nϕν )2 に比例する演算量になる。さらに、爆発が起こる典型的なタイムスケールは ∼ 1 s であるが、ひとまずバウンス後 0.5 秒間程度計算するには、時間ステップ
幅を 5 × 10−7 s とすると 106 回程度の計算ステップが必要となる。京コンピュータを 1000 ノード
1

各グループは計算コードを公開していないため、近似法同士の比較も実際上は簡単ではない。

115

使った場合の演算性能は約 100 TFLOPS であるが、並列化しても効率は必ずしも並列数に比例しないことなどを考えると、以上の設定で特殊相対論的 Boltzmann-流体シミュレーションを実行するには約 40 日かかる。一般相対論的な場合は計算量が約 2 倍程度になると考えれば、約 80 日と比較的長時間ではあるが現実的な時間で計算できることになる。アルゴリズム次第で数倍のファクターがかかる可能性なども考えるとこの通りの計算量になるとは限らないが、必要に応じて多少解像度を落とすことで計算可能であると見積もれる。以上の一般相対論的 Boltzmann 方程式直接解法シミュレーションによって、各々の近似法の利点と欠点をきちんと調べ、また二次元の場
合に決定的な結果を与えることが、今後の目標である。

116

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