水の入った円筒タンクの水平振動実験
鹿児島大学工学部
中村 達哉
はじめに水の入った円筒タンクに周期的な水平方向の外力を加えると、円筒の断面が正円でなくなる周方向の高次振動モード（周方向フーリエ展開次数 N=2,3…）が生起する現象が観測される。また、ある特定の振動数領域において、外力振動数の1/2倍などの分数調波振動が大振幅の振動として分岐する現象など、線形の振動応答では説明できない振動現象が観測される。これらの原因を明らかにするために、広範囲の外力振動数領域のもとで、この円筒タンクに水平方向周期外力を加える振動実験が行なわれている。
皆川は、幾何学的非線形を考慮した理論解析により、これらの現象が生起することを報告していると同時に、水平振動実験および理論解析から得られた結果の比較も行なっている。ここでは、詳細な振動実験から得られた結果を示し、分数調波振動が生起する要因について述べる。
キーワード：タンクの振動 水平振動実験 振動モード

84.4

10Displacement Meter

900°-Top
Strain Gage
(16 Points)

200Displacement Meter

1001280°-Middle
Strain Gage
641．実験概要
電磁式の加振器、振動台（寸法200mm×200mm）および測定装置から構成される実験装置に、円筒タンク供試体を設置して、実験を行なった。
1‑1．供試体
供試体は厚さ0.51mmの塩化ビニール・フィルムを用いて作製された直径 84.4mm、高さ 200mm の円筒シェルである。供試体上部には厚さ8mmのアクリル製のふた、下部にはアルミニウム製の基盤が取り付けられた。塩化ビニール・フィルム製の円筒シェルとアクリル製のふた、およびアルミニウム製の基盤とは、アクリル樹皮系の接着剤を用いて接合した。また、塩化ビニールフィルムの接着には、シアノアクリレート系接着剤が用いられた。アクリル製のふた、およびアルミニウム製の基盤が取り付けられた供試体は、ボルトを用いて振動台に接合された。本実験で用いた供試体（Mv24）の寸法および重量を Table 1 に示す。
1‑2．測定位置
変位、およびひずみの測定位置を Fig.1 に示す。
タンク、および振動台の変位応答は非接触型の微小変位計を用いて、4箇所で測定された。振動台の加振方向のタンク底部から高さ 1 9 0 m m （0 °Top）、および 100mm（0°-Middle）の位置、加振方向と直角の位置にある タンク 底部から高さ100mm（90°-Middle）の位置、および振動台であ分数調波振動(16 Points)

Shaking
SystemShaking Table

Acc.
Pick Up

Shaking Direction
Displacement Meter

90°

Displacement Meter
Shaking

0°180°
TankSystem

Acc.
Pick Up

Shaking Table

Shaking Direction
270°

Fig.1 Points of measurement of Displacement and Strain

る。タンクのひずみ応答は、タンク底部から高さ64mm、および 128mmの位置にそれぞれ等間隔に16枚ずつ貼付されたひずみゲージを用いて測定さTable 1 Size and Mass of Specimen(Mv24)
れた。また、振動台の加速度は圧電式の加速度計
Size(mm)
Mass(g)を用いて測定された。
Overlap
Overlap
Acrylic Aluminium
Diameter HeightThickness
Shell
Total 1‑3．測定手法
WidthThickness
LidBase84.4 200.0 5.0
0.5
5.0
38.7 51.3 543.4 655.2
測定装置の関係をFig.2に示す。供試体への加振1:Prob(IWATSU ST-0505)
2,3,4:Prob(IWATSU MDC-641)
5:Pick up(RION PV-90A)-6(×10 )Midimeter
IWATSU
MD-31U

Linearrizer
IWATSULA-1

Displacement MeterIWATSU
ST-3501
13523024

ω12N=0482402522(Hz)0-6(×10 ) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
10N=28454520
4004826Chage Amplifier
RION
VM-27N308

4204684240
284138 170
600(Hz)0-6(×10 ) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
20N=3Tank

454

16128

Strain Amplifier
KYOWA
DPM-613B

40-652218440220624050308(Hz)AD Convertor (×10 ) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
130N=4MICRO SCIENCE
10445478
ADM-681PCI52-6(×10 )Amplifier
CROWNDC300A

ω

811812524402
6308184(Hz)0-6(×10 ) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
150182
N=11209060304Shaking System
BOKUSUI BROWN
VG100-6454

Function Generator
AtexG5100

Personal Computer
DELL
DIMENSION4100

Fig.2 Connection of Experiment Devices

は、ファンクション・ジェネレーターから正弦波を発振させ、それをアンプで増幅させた後、電磁式加振装置へ入力し、振動台を振動させて行なった。水平振動台、および円筒タンク供試体の応答は、パソコンで制御された3枚のAD変換ボードでデジタル量に変換された後、キャリブレーションデータを用いて即座に応答量に変換された。円筒タンクのひずみゲージのデータは、FFT を利用して有限フーリエスペクトルに分解された。
2．実験結果円筒タンク内の水高を0mmから190mm、振動数領域[720-30]（Hz）を2Hz刻みで変化させて振動実験を行なった。振動台の外力加速度は0.5g、1.0g、および 2.0g とした。ここでは、円筒タンクの周方向のフーリエ展開次数N=0から7までの振動モードと、基本振動成分、および1/2倍の分数調波振動成分を組み合わせた応答曲線を示す。
2‑1．基本振動成分
円筒タンク内の水高を 70mm とし、外力加速度の実効値を 0.5g としたときの、基本振動成分（外力と同一の振動数を有する振動成分）のひずみ応答曲線、および変位応答曲線をFig.3、Fig.4に示す。
応答曲線の縦軸は、ひずみ応答曲線では振幅（µ）、変位応答曲線では変位（mm）であり、横軸は振動数（Hz）である。ひずみ応答曲線の記号○、および▽は、それぞれタンク底部から高さ64mm、および128mmの位置に貼付されたひずみ応答に対応している。
以後に示されるひずみ応答曲線において、すべて同様の記号を用いる。図中のω12 は、解析か

26
182 204402520(Hz)030 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
100454
N=5806040182492

240

520
20404
204(Hz)0(×10 ) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
454
70
N=656-6308
522
422814182 204(Hz)0-6(×10 ) 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
45490
N=740272543648218182(Hz)030 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720

Fig.3 Strain-Frequency Curves for each N of the Fundamental Oscilation Component(Mv24,Shell Diameter 84mm,Water Height70mm,Shaking Table Acceleration 0.5g)
(mm)
0.20
0.16

0.12
0.08
0.04
(Hz)
0.00
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
(mm)
0.15
0.12

Displacement-Frequency Curves of the Fundamental Oscillation Component
Component at θ=0°at 190mm Height

0.09
0.06
0.03(Hz)
0.00
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720
(mm)
0.05
0.04
0.03

Displacement-Frequency Curves of the Fundamental Oscillation Component
Component at θ=0°at 100mm Heightω11ω12

ω81

0.02
0.01(Hz)
0.00
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720

Displacement-Frequency Curves of the Fundamental Oscillation Component
Component at θ=90°at 100mm HeightFig.4 Displacement Responses of the Fundamental Oscillation Component(Mv24,Shell Diameter 84mm,Water Height 70mm,Shaking Table Acceleration 0.5g)

ら得られた周方向展開次数N=1の2番目の固有振動数、ω81 は実験結果をもとに推定した、周方向展開次数N=8の最小固有振動数に対応している。応答曲線から、周方向展開次数 N=1,3,4,5,6,7 の振動モードに対応する最小固有振動数は、それぞれ182Hz、206Hz、204Hz、240Hz、308Hz、402Hz と算定された。その他の水高においても同様に、実験から得られたデータから作成された応答曲線を

Water Height (mm)Water Height (mm)(×10 ) 15-6200

12N Mv24
0180

Mv711600400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)-6(×10 ) 352314028567100

N=1211470400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)-6(×10 )30
N=2244120

N=0963181280

60400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)(×10 ) 30
N=3241860-640
20050100

150200250

300

350

400

4505001260400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)-6(×10 )75
N=46055045The Lowest Frequency(Hz)30150400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)-6(×10 ) 650
N=5520

The Lowest Freqency(Hz)Fig.5 Water Heights vs the Lowest Frequencies Each Circumferental Fourier
Number N (Mv24)

390
もとに固有振動数を算定した。
260
130
0
2‑2．水高の変化に伴う固有振動数の推移
400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)(×10 )
100
N=680
外力加速度を0.5gとし、円筒タンク内の水高を60400mmから190mmまで10mm刻みで変化させ振動実20験を行い、得られたデータをもとに作成された応 (×10 )250400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)N=720答曲線から算定された周方向展開次数 N=0 から 71510までの最小固有振動数をFig.5に示す。また、過去
50400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)に行なわれた実験結果 2)（Mv7）から算定された最 Fig.6 Strain-Frequency Curves for each N of the 1/2-subharmonic Oscilation Component
Diameter 84mm,Water Height 70mm,Shaking Table Acceleration 1.0g)
小固有振動数もあわせて示す。グラフの縦軸はタ (×10(Mv24,Shell) 20
N=016ンク内の水高（mm）、横軸は振動数（Hz）である。
128
図中の大きな記号による散布図は、今回の実験結40(Hz)果（Mv24）より算定された最小固有振動数である。 (×10 )50400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600
N=14030
周方向展開次数N=6以外の最小固有振動数は、過2010去の実験結果と比較的近い値を示していることが0
400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)(×10 )
40
グラフから読み取れる。
N=23224
2‑3．1/2 倍の分数調波振動成分
1680
円筒タンク内の水高を 70mm とし、外力加速度
400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)(×10 )
55
N=344を 1.0g、2.0g としたときの、1/2倍の分数調波振動
3322成分（外力振動数の1/2倍の振動数を有する振動成11分）のひずみ応答曲線を Fig.6、Fig.7 に示す。これ (×10 )2750400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)N=4220ら 2 つの応答曲線より、外力振動数 494Hz 近傍に165
110おいて、周方向展開次数N=5を主要のモードとす
550400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)(×10)
る1/2倍の分数調波振動の生起がみられた。
そのと850
N=5680510
きの最大のひずみ応答は、外力加速度1.0gのもと
340
170で 633（µ）、外力加速度 2.0g のもとで 826（µ）ま0400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)(×10 )
120で達している。加速度の増加に伴い、最大のひず
N=69672
み応答も増加していることがわかる。
482402‑4．1/2 倍の分数調波振動の分布
400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)(×10 )
25N=7外力加速度 2.0g のもとで観測された 1/2 倍の分201510数調波振動が生起した領域（不安定領域）をFig.8
50
400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600(Hz)に示す。グラフの縦軸はタンク内の水高（mm）、横Fig.7 Strain-Frequency Curves for each N of the 1/2-subharmonic Oscilation Component
軸は振動数（Hz）である。図中の右下斜線、左下(Mv24,Shell Diameter 84mm,Water Height 70mm,Shaking Table Acceleration 2.0g)-6-6-6-6-6-6-6-6-6-6

Water Height (mm)

斜線、および水平線は、それぞれ周方向展開次数
N=4、5、および 6 に対応する不安定領域をあらわしている。また、周方向展開次数 N=4、5、6 の最小固有振動数を2倍した振動数の曲線（ωN1*2）と、N=1 の小さいほうから 2 番目の固有振動数（ω12）、およびN=8の最小固有振動数（ω81）をあわせて示す。ω12、および ω81 に対応する曲線が、各モードの 2 倍の固有振動数（ωN1*2）の曲線に接近している場合、その近傍において不安定領域が現れる傾向がみられた。ω12 と ωN1*2（N=4、5）の曲線が接近する水高 60mm から 80mm の 500Hz 近傍では、N=4および5を主要なモードとする1/2倍の分数調波振動が生起するのが観測された。また、ω81 とω61*2 の曲線が接近する、水高が 120mm を超える実験においては、外力振動数500Hz近傍において、周方向展開次数 N=6 を主要なモードとする 1/2 倍の分数調波振動が生起するのが観測された。
2‑5．1/2 倍の分数調波振動と外力加速度の関係1/2倍の分数調波振動が観測された水高60mmから 80mm の 500Hz 近傍において、不安定領域の分布と外力加速度の関係を Fig.9 から Fig.11 に示す。
縦軸は外力加速度の実効値（g）、横軸は振動数（Hz）である。図中の斜線部分は、Fig.8 と同様である。それぞれの不安定領域内での塗りつぶされている振動数は、ひずみ応答が領域内で最大値であることを表す。今回の実験では、外力加速度の実効値を0.5g、1.0g、および2.0gとした。
水高60mm、および水高 70mm のグラフから、加速度の増加に伴い、不安定領域の生起の分布が拡大していることがわかる。また、ω51*2 と ω12 の振動数がほぼ一致している水高 80mm（Fig.11）では、前者の 2 つよりも低い外力加速度（0.5g）においても、1/2 倍の分数調波振動の生起がみられた。
3．まとめ
ω12 とN=4および5の最小固有振動数の2倍の振動数（ωN1*2）が接近する振動数領域近傍に、不安定領域がみられた。また、ω81 と ω61 の 2 倍の振動数が近接する振動数領域において、N=6のモードを有する1/2倍の分数調波振動の出現がみられた。
これらのことからω12 とω81 が不安定領域の生起に関係していると推測される。今回の実験結果をもとに推測した ω81 が、周方向展開次数 N=8 に対応するモードであることが、ポテンシャル流体と容器との動的相互作用場の解析1)から判明している。
今後は、円筒タンクのひずみゲージの枚数を増やし、このモードを水平振動実験のデータから確認する必要がある。

200

ω41 ∗ 2
ω51 ∗ 2180

ω61 ∗ 2160

ω12

ω81140120100806040200
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 9501000
Freqency(Hz)N=4 1/2 Subharmonic Oscillation
N=5 1/2 Subharmonic Oscillation
N=6 1/2 Subharmonic Oscillation

Fig.8 Water Heights vs Instability Regions for SubharmonicOscillation Components (Mv24,2.0g)
Acceleration(g)ω 12ω 41∗ 22.0ω 81

ω51∗ 21.00.5

Maximum of Strain450460470

480490500510

520

530

540

550 560 570
Frequency(Hz)Fig.9 Acceleration Magnitude vs Instability Regions for Subharmonic
Oscillation Components (Mv24,Water Height60mm)
Acceleration(g)ω12ω 41 ∗2

ω 812.0

ω 51 ∗ 2

1.00.5

Maximum of Strain

390 400 410 420 430

440 450 460 470 480 490 500 510 520 530
Frequency(Hz)Fig.10 Acceleration Magnitude vs Instability Regions for Subharmonic
Oscillation Components (Mv24,Water Height70mm)
Acceleration(g)ω 12ω 51 ∗ 2
2.0
1.00.5

Maximum of Strain
400410420430

440450460470

480490500
Frequency(Hz)Fig.11 Acceleration Magnitude vs Instability Regions for Subharmonic
Oscillation Components (Mv24,Water Height80mm)

参考文献
1) 皆川洋一:日本建築学会構造系論文報告集第 435 号、
pp.91-107、1992 年 5 月
2)末広康之、皆川洋一:日本建築学会大会学術講演梗概
B-1 構造Ⅰ、pp.553-554、1995 年 10 月
3)嶋本耕三、皆川洋一:日本建築学会九州支部研究報告
第 44 号、pp.561-564、2005 年 3 月
4)中村達哉、皆川洋一:日本建築学会大会学術講演梗概
B-1 構造Ⅰ、pp.829-830、2005 年 9 月