令和６年度

筑波大学大学院
システム情報工学研究群
社会工学学位プログラム
サービス工学学位プログラム
博士前期課程（一般入学試験１ー２月期）
試験問題

専門科目

令和６年１月２５日

筑波大学大学院 システム情報工学研究群
社会工学学位プログラム サービス工学学位プログラム
令和６年度入学試験 学力検査問題
令和６年１月２５日実施
専門科目(1) この冊子には下表に示す３つの出題分野の問題が含まれています．社会工学学位プログラ
ムの受験者はその中から１つの出題分野を選択して解答しなさい．サービス工学学位プ
ログラムの受験者は数学の問題に解答しなさい．
(2) 各答案用紙の上部に，必ず受験番号を記入しなさい．
(3) 解答の初めに，必ず出題分野と問題番号（例えば，数学 I. ）を示しなさい．問題ごとに別の答案用紙に解答しなさい．

出題分野
数学
ミクロ経済学
都市・地域計画

University of Tsukuba
Graduate School of Science and Technology
Degree Programs in Systems and Information Engineering
Policy and Planning Sciences / Service EngineeringENTRANCE EXAMINATION
January 25, 2024
Major Subjects(1) This package contains problems from the 3 subject areas shown in the following table.
Applicants for the Master’s Program in Policy and Planning Sciences should choose one
subject area to answer. Applicants for the Master’s Program in Service Engineering
should answer the problems in Mathematics.
(2) Write your application number on the top of each answer sheet.
(3) Write the subject area and the problem number (e.g., Mathematics I. ) on the top ofyour answer. Use a separate answer sheet for each problem.

Subject AreasMathematicsMicroeconomics
Urban and Regional Planning数学問題 I と II の両方に答えよ．問題ごとに別々の答案用紙を使用せよ．
以下では，実数全体の集合を R とする．

I. 次の 3 × 3 の実対称行列 A を考える．
−1 −1 1A = −1 1 −1 .
1 −1 −1
また，線形写像 f : R3 → R3 を f (x) = Ax と定義する．ここで，x ∈ R3 は 3 次元列ベクトルである．
以下の問 (1)–(5) に答えよ．

(1) f の合成写像 g を次のように与える．
g(x) = f ◦ f (x) = f (f (x)).
この合成写像は g(x) = Bx と表すことができる．行列 B を行列 A を用いて表せ．

(2) 以下の v 1 , v 2 , v 3 は行列 A の固有ベクトルである．
   −111   v 1 =  0  , v 2 = 1 , v 3 = −2 .
111
各ベクトルに対応する固有値をそれぞれ答えよ．

(3) 行列 P を (2) の v 1 , v 2 , v 3 を用いて次のように定義する．
−1 1 1P = (v 1 , v 2 , v 3 ) =  0 1 −2 .
1 1 1
この行列の逆行列 P −1 は，ある行列 X を用いて P −1 = X tP と表わされる．行列
X を求めよ．ただし，tP は P の転置行列である．

(4) 実数パラメータ a, b, c を用いて，ベクトル x が x = av 1 + bv 2 + cv 3 と表されるとき， a Ax = P Y  b cを満たす行列 Y を求めよ．ただし，v 1 , v 2 , v 3 および P は (2)-(3) で用いたベクトルおよび行列である．

(5) f を 5 回合成した写像 h(x) = f ◦ f ◦ f ◦ f ◦ f (x) = f (f (f (f (f (x))))) は，(3) の行列 P を用いて h(x) = (P Z tP )x と表すことができる．行列 Z を求めよ．
II. 以下の問 (1) 及び (2) に答えよ．
()(1) 実数関数 f (x) = exp x2 /2 (x ∈ R) とする．f (n) (x) (n = 1, 2, . . . ) は f (x) の n 階導関数である．ただし，f (0) (x) = f (x) とする．以下の問いに答えよ．
(a) 次式を示せ．
i) f (1) (x) = xf (x),ii) f (2) (x) = xf (1) (x) + f (x).

(b) 任意の自然数 n について，次式を示せ．
f (n+1) (x) = xf (n) (x) + nf (n−1) (x).
(c) 次の値を求めよ．
i) f (2023) (0),ii) f (2024) (0).

(d) 次の極限を求めよ．
f (x) − 1 − x2 /2,x→0x4i) lim

f (x) − 1 − x2 /2 − x4 /8.
x→0x6ii) lim(2) 実数関数 g(x) は以下のように定義される．
{)(√ 1 exp − 1 (ln x)2(x > 0),22πxg(x) =0(x ≤ 0).
√()∫∞
以下の問いに答えよ．ただし， −∞ exp −x2 /2 dx = 2π を証明なしで使ってもよい．
∫∞(a) −∞ g(x)dx を求めよ．
∫∞(b) −∞ xg(x)dx を求めよ．
∫∞(c) −∞ xn g(x)dx を求めよ．ただし，n は自然数である．

Mathematics
Answer both problems I and II. Use a separate answer sheet for each problem.
In what follows, let R denote the set of all real numbers.
I. Consider the following 3 × 3 real symmetric matrix A.
−1 −1 1A = −1 1 −1 .
1 −1 −1
We also define a linear mapping f : R3 → R3 as f (x) = Ax, where x ∈ R3 is a3-dimensional column real vector.
Answer the following questions (1)–(5).
(1) Let g be the composition of the mapping f given byg(x) = f ◦ f (x) = f (f (x)).
This composite mapping is represented as g(x) = Bx. Express the matrix B using
the matrix A.
(2) The following vectors v 1 , v 2 , and v 3 are the eigenvectors of the matrix A．
   −111   v 1 =  0  , v 2 = 1 , v 3 = −2 .
111
Find the eigenvalue for each vector.
(3) Let P be the matrix defined by−1 1 1P = (v 1 , v 2 , v 3 ) =  0 1 −2 ,1 1 1

where v 1 , v 2 , and v 3 are the vectors introduced in (2). The inverse P −1 of thismatrix is expressed as P −1 = X tP , where X is a matrix. Find the matrix X.
Here, tP denotes the transpose matrix of P .
(4) With real parameters a, b, and c, let the vector x be expressed as x = av 1 + bv 2 +cv 3 . Find the matrix Y satisfying the following equation.
 a Ax = P Y  b  .
cHere, v 1 , v 2 , v 3 , and P are the vectors and the matrix introduced in (2) and (3).

(5) The 5 times repeated composition of f , h(x) = f ◦f ◦f ◦f ◦f (x) = f (f (f (f (f (x))))),
is expressed as h(x) = (P Z tP )x using the matrix P introduced in (3). Find thematrix Z.
II. Answer the following questions (1) and (2).
()(1) Let f (x) = exp x2 /2 (x ∈ R). We denote by f (n) (x) (n = 1, 2, . . . ) the n-th
derivative of f (x). Here, f (0) (x) = f (x). Answer the following subquestions.
(a) Prove the following formulas．
i) f (1) (x) = xf (x),ii) f (2) (x) = xf (1) (x) + f (x).

(b) Provef (n+1) (x) = xf (n) (x) + nf (n−1) (x),for any natural number n.
(c) Find the following values．
i) f (2023) (0),ii) f (2024) (0).

(d) Find the following limits.
f (x) − 1 − x2 /2,x→0x4i) lim

f (x) − 1 − x2 /2 − x4 /8.
x→0x6ii) lim(2) A real function g(x) is defined as follows.
{()√ 1 exp − 1 (ln x)2(x > 0),22πxg(x) =0(x ≤ 0).
√()∫∞Answer the following subquestions. Here, −∞ exp −x2 /2 dx = 2π can be usedwithout proof.
∫∞(a) Find the value of −∞ g(x)dx.
∫∞(b) Find the value of −∞ xg(x)dx.
∫∞(c) Find the value of −∞ xn g(x)dx, where n is a natural number.

ミクロ経済学問題 I と II の両方に答えよ. 問題ごとに別々の答案用紙を使用せよ.

I. 以下の消費者に関する問題 [A] および企業に関する問題 [B] について答えよ.
[A]
ある人が予算制約のもとで効用を最大化するように財 X と財 Y の組み合わせを選ぶとする．その消費者の効用関数は
1
U = 5XY 2 + 20で与えられる．また, 財 X の価格は 1, 財 Y の価格は 3 である．以下の問 (1) と (2) に答えよ．

(1) 貨幣所得を M とするとき, 各財の需要量を求めよ．
(2) 貨幣所得が 100 である場合, この消費者にとっての貨幣の限界効用を求めよ．

[B]
市場には n 個の企業が存在し, 製品差別化が可能である財を販売している．企業 j が生産する財に対する需要関数は∑80i̸=j Pi+− Pj
Dj =nn−1で与えられる．このとき Dj は企業 j の財に対する需要量, Pj は企業 j の財の価格で,
j = 1, · · · , n とする．また, 企業 j の費用関数は

Cj = 2Xj + 25で与えられる．このとき Cj は企業 j の総費用, Xj は企業 j の生産量である．各企業は他企業の財の価格を所与として, 利潤最大化するように価格を決定するとする．以下の問 (1)と (2) に答えよ．

(1) 市場全体には 2 企業のみが存在する場合, 短期均衡における各企業の生産量および財の価格を求めよ．
(2) 長期均衡における企業数, 各企業の生産量および財の価格を求めよ．

II. 以下の利得表は，囚人のジレンマ・ゲームを表しているとする．ただし，s1 と s2 はプレイヤー 1 (P1 ) とプレイヤー 2 (P2 ) の戦略を表している．また，表中の利得の組においては、1 つ目の記号が P1 の利得を，2 つ目の記号が P2 の利得を表している．このゲームを以下では G と呼ぶ．以下の問 (1)–(8) に答えよ．
P1 \ P2s1s2

s1(a, a)(b, 0)

s2(0, b)(c, c)(1) 利得 a, b, c が満たす条件として適切なものを以下の (A)–(D) から一つ選べ．以降の設問では，ここで選んだ条件を G は満たすと仮定する．
(A) a > b > 0 > c(B) a > 0 かつ b > c(C) 0 > a かつ c > b(D) 0 > c > a > b(2) G におけるナッシュ均衡を指摘し，それが G の唯一のナッシュ均衡であることを証明せよ．
(3) 一般に，繰り返しゲームにおける戦略とは何か説明せよ．
(4) 一般に，繰り返しゲームにおいてトリガー戦略とはどのような戦略か説明せよ．
(5) 一般に，繰り返しゲームにおいてしっぺ返し戦略とはどのような戦略か説明せよ．
(6) G を 2 回繰り返すゲーム G2 について考える．ただし，割引因子 δ は 0 < δ < 1 を満たすとする．以下の (A)–(D) から正しい文章を一つ選び，理由を説明せよ．
1(A) δ ≥ a−cの時に，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G2 におけるナッシュ均衡である．

(B) δ ≥ ac の時に，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G2 におけるナッシュ均衡である．
(C) δ ≥ ac の時に，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G2 におけるナッシュ均衡である．
(D) 任意の δ に対して，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G2 におけるナッシュ均衡ではない．

(7) G を 3 回繰り返すゲーム G3 について考える．ただし，割引因子 δ は 0 < δ < 1 を満たすとする．以下の (A)–(D) から正しい文章を一つ選び，理由を説明せよ．
1(A) δ ≥ a−cの時に，しっぺ返し戦略を出し合う戦略プロファイルは G3 におけるナッシュ均衡である．

(B) δ ≥ ac の時に，しっぺ返し戦略を出し合う戦略プロファイルは G3 におけるナッシュ均衡である．
(C) δ ≥ ac の時に，しっぺ返し戦略を出し合う戦略プロファイルは G3 におけるナッシュ均衡である．
(D) 任意の δ に対して，しっぺ返し戦略を出し合う戦略プロファイルは G3 におけるナッシュ均衡ではない．
(8) G を無限回繰り返すゲーム G∞ について考える．ただし，割引因子 δ は 0 < δ < 1を満たすとする．以下の (A)–(D) から正しい文章を一つ選び，理由を説明せよ．
1(A) δ ≥ a−cの時に，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G∞ におけるナッシュ均衡である．

(B) δ ≥ ac の時に，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G∞ におけるナッシュ均衡である．
(C) δ ≥ ac の時に，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G∞ におけるナッシュ均衡である．
(D) 任意の δ に対して，トリガー戦略を出し合う戦略プロファイルは G∞ におけるナッシュ均衡ではない．

Microeconomics
Answer both problems I and II. Use a separate answer sheet for each problem.

I. Answer the following questions about a consumer’s issue [A] and questions about ﬁrms’ issue[B].
[A]
An individual chooses the consumption bundles of good X and good Y to maximize his/herutility under his/her budget constraint. The consumer’s utility function is1

U = 5XY 2 + 20.
The price of good X is 1, and the price of good Y is 3. Answer the following subquestions (1)and (2).
(1) Suppose that monetary income of the individual is M . Answer the quantity demanded foreach good.
(2) Suppose that monetary income of the individual is 100. What is the marginal utility withrespect to money?

[B]
There exist n ﬁrms in the market where ﬁrms sell diﬀerentiated products. The demand function
for good that ﬁrm j produces is given by∑80i̸=j Pi
Dj =+− Pj ,nn−1
where Dj is the demand for the good that ﬁrm j produces, and Pj is the price of good that ﬁrm
j produces, for j = 1, · · · , n. The cost function of ﬁrm j is given by
Cj = 2Xj + 25,
where Cj is the total cost of ﬁrm j ，and Xj is quantity of good ﬁrm j produces. Each ﬁrmchooses its price to maximize its proﬁt given the prices of goods other ﬁrms produce. Answer
the following subquestions (1) and (2).
(1) Suppose that there are only two ﬁrms in the market. What are quantity and price of eachﬁrm’s good in the short-run equilibrium?
(2) What are the number of ﬁrms, quantity and price of each ﬁrm’s good in the long-runequilibrium?

II. Suppose that the following table represents a Prisoner’s dilemma game, where s1 and s2 are
strategies of players 1 (P1 ) and 2 (P2 ). For each payoﬀ vector in the table, the ﬁrst and second
coordinates represent P1 ’s and P2 ’s payoﬀ, respectively. In the subsequent part, we call the gameG. Answer the following subquestions (1)–(8).
P1 \ P2s1

s2s1(a, a)(0, b)

s2(b, 0)(c, c)(1) Choose an alternative from (A)–(D) that represents a suitable condition on payoﬀs a, b, c.
In the subsequent part, we assume that G satisﬁes the condition you choose here.
(A) a > b > 0 > c(B) a > 0 and b > c(C) 0 > a and c > b(D) 0 > c > a > b(2) Point out a Nash equilibrium of G. Moreover, prove that it is the unique Nash equilibriumof G.
(3) In general, explain a strategy of a repeated game.
(4) In general, explain the grim-trigger strategy in a repeated game.
(5) In general, explain the tit-for-tat strategy in a repeated game.
(6) Let G2 be a repeated game in which G is repeated twice. Assume that the discount factor
δ satisﬁes 0 < δ < 1. Choose a correct alternative from (A)–(D). Moreover, provide anexplanation why it is correct.
1, the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger(A) When δ ≥ a−cstrategy is a Nash equilibrium of G2 .
(B) When δ ≥ ac , the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger
strategy is a Nash equilibrium of G2 .
(C) When δ ≥ ac , the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger
strategy is a Nash equilibrium of G2 .
(D) For any δ, the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger strategy
is not a Nash equilibrium of G2 .

(7) Let G3 be a repeated game in which G is repeated three times. Assume that the discountfactor δ satisﬁes 0 < δ < 1. Choose a correct alternative from (A)–(D). Moreover, provide
an explanation why it is correct.
1(A) When δ ≥ a−c, the strategy proﬁle in which both players play the tit-for-tatstrategy is a Nash equilibrium of G3 .
(B) When δ ≥ ac , the strategy proﬁle in which both players play the tit-for-tat strategy
is a Nash equilibrium of G3 .
(C) When δ ≥ ac , the strategy proﬁle in which both players play the tit-for-tat strategy
is a Nash equilibrium of G3 .
(D) For any δ, the strategy proﬁle in which both players play the tit-for-tat strategy isnot a Nash equilibrium of G3 .
(8) Let G∞ be a repeated game in which G is repeated inﬁnitely many times. Assume that thediscount factor δ satisﬁes 0 < δ < 1. Choose a correct alternative from (A)–(D). Moreover,provide an explanation why it is correct.
1, the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger(A) When δ ≥ a−cstrategy is a Nash equilibrium of G∞ .

(B) When δ ≥ ac , the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger
strategy is a Nash equilibrium of G∞ .

(C) When δ ≥ ac , the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger
strategy is a Nash equilibrium of G∞ .

(D) For any δ, the strategy proﬁle in which both players play the grim-trigger strategy
is not a Nash equilibrium of G∞ .

都市・地域計画
以下の問題ⅠからⅢより 2 題選択して解答しなさい。問題ごとに別々の答案用紙を使用せよ。
Ⅰ．図は、いずれもル・コルビュジエの代表的な建築・都市計画案である。図をよく見て、以下の問(1)-(3)に答えよ。

(1)これらの計画の提案の背景にあった都市問題と、これに対するル・コルビュジエの建築・都市計画思想について説明せよ。
(2)都市を構成する要素である①「建物」、②「道路」、③「緑地」、④「周辺市街地との接合部」のそれぞれについて、ル・コルビュジエの建築・都市計画思想がこれらの計画の中でどのように表現されているか、具体的に説明せよ。

(3)ル・コルビュジエの建築・都市計画思想が現代の都市計画に及ぼしている影響と、それに対する批判について論ぜよ。

Ⅱ．以下の 2 つの図は、日本の都市の市街化区域人口密度と自動車による CO2 排出量の関係について異なる時点で見たものである。図をよく見て、以下の問(1)-(3)に答えよ。

図-1

1987 年における市街化区域人口密度と一人当たり自動車 CO2 排出量

図-22015 年における市街化区域人口密度と一人当たり自動車 CO2 排出量(1)図－２に着目し、このような右肩下がりの分布になっている理由について、図中の都市の特徴に触れながら説明せよ。
(2)1987 年と 2015 年の間にどのような変化が生じたかを説明せよ。また、地方圏都市を対象に、なぜそのような変化が生じたか、原因を具体的に解説せよ。
(3)都市において自動車 CO2 排出量削減のために実際にどのような方策が考えられるかを、図も参考にして 3 つあげ、それぞれの内容について解説せよ。

III. 地価と地代に関する以下の問(1)-(5)に答えよ。なお、𝑃 は𝑡期の期首における地価、𝑖は市場利子率とする。また、𝑡期の地代𝑟 は、𝑡期の期末に手に入るものとする。
(1)地価と地代の定義を述べよ。
(2)地価が短期均衡条件を満たすとき、以下の式が成り立つことが知られている。式 𝑎 における左辺と右辺の意味を述べよ。
𝑟𝑃

𝑃𝑎𝑖𝑃

(3)地価が長期均衡条件を満たすとき、以下の式が成り立つ。以下の問いに答えよ。
𝑃𝑟1𝑖𝑟
1 𝑖𝑟1 𝑖⋯①

右辺第 1 項の意味を述べよ。

②右辺の意味を述べよ。

③

この時の𝑃 のような長期均衡条件を満たす価格のことを何と呼ぶか。

𝑏(4)式 𝑎 と式 𝑏 を用いて、長期均衡条件が満たされるとき、短期均衡条件が満たされることを示せ。
(5)式 𝑏 において地代が一定である場合、地価はどのような値になるか求めよ。

Urban and Regional Planning
Select and answer two of the following questions I to III. Use a separate answer sheet for eachproblem.
I. The figures are all representative architectural and urban planning proposals by Le
Corbusier. Look at the figures carefully and answer the following questions (1)-(3).

(1) Explain the urban problems behind the proposals and Le Corbusier's philosophy ofarchitecture and urban planning in response to these problems.
(2) For each of components of cities ① "buildings", ② "roads", ③ "green spaces", and ④"relation with the surrounding area”, explain in detail how Le Corbusier's philosophy ofarchitecture and urban planning is expressed in these proposals.

(3) Explain the influence of Le Corbusier's philosophy of architecture and urban planning oncontemporary urban planning. Then, discuss the criticisms against it.

Ⅱ．The following two figures show the relationship between population density ofurbanization promotion areas and automobile CO2 emissions in different years. Look atthese figures carefully and answer questions (1)-(3) below.

Figure-1

Population

densityofFigure-2

Population

density

ofurbanization promotion areas and per

urbanization promotion areas and per

capita automobile CO2 emissions in 1987

capita automobile CO2 emissions in 2015

(1) Focusing on Figure-2, explain the reason for the downward sloping distribution byreference to the characteristics of the cities in the figure.
(2) Explain what changes have occurred from 1987 to 2015. Also, explain in detail why suchchanges have occurred for the local city group.
(3) Referring to these figures, list three possible measures to reduce automobile CO2
emissions in cities, and explain the content of each.

III. Answer the following questions (1)-(5) regarding land price and land rent. Let 𝑃 be the land priceat the beginning of period 𝑡 and 𝑖 be the market interest rate. Moreover, the land rent, 𝑟 for period
𝑡 is assumed to be received at the end of period 𝑡.
(1) State the definition of land price and land rent.
(2) It is known that when land prices satisfy the short-run equilibrium condition, the following
equation holds. Explain the left-hand side and right-hand side in Equation 𝑎 .
𝑟𝑃

𝑃𝑎𝑖𝑃

(3) When land prices satisfy the long-run equilibrium condition, the following equation holds. Answer
the following subquestions.
𝑃𝑟
1𝑖

𝑟
1 𝑖𝑟
1 𝑖

⋯

𝑏①

Explain the first term on the right-hand side.

②

Explain the right-hand side.

③

What is the term used to describe the land price, 𝑃 , that satisfies long-run equilibrium
conditions?

(4) Show that short-run equilibrium is satisfied when long-run equilibrium conditions is satisfied using
Equations 𝑎 and 𝑏 .
(5) Calculate the land price when the land rent is constant in Equation 𝑏 .