付録

ベクレルとシーベルトとの間の変換に使える便利な式

p3p2p1

放射線の線源の大きさ（単位はBq）と被曝する放射線量（GyやSv）との関連を知る必要に迫られる場合がある（例えば，地表に降り積もったセシウムの放射能濃度とモニタリングポストでの空間線量率との関係、大気の放射濃度と地表に居る人の被ばく量との関係，あるいは、肺に吸い込んだセシウム微粒子の放射能と周りの細胞の被ばく量との関係など）．
このことに関して数理物理学・統計物理学が専門の学習院大学理学部の田崎晴明教授の文書 http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/housha/docs/BqToSv.pdf
を要約し、少し付け足す．
⑦γ線の散乱・吸収と距離減衰⑧・ 137Csは半減期30年でベータ崩壊し，そのときγ線も放出する
・ γ線は波長の短い“光”だが，エネルギーを持った“粒”（光子）でもある
・ １回の崩壊で放出される光子は η 個で，137Csの場合 η ≓ 0.85・ 光子１個のエネルギーは ℏω （ℏ は換算プランク定数，ω は角周波数）．
** 137Cs からのγ線では， ℏω ≓ 0.66MeV ≓ 1×10-13 J・ 光子の流れに垂直な単位面積を単位時間に通過する光子の数を流束 I という・ 流束に垂直に置いた面積 A の板に t 時間に入射する光子の数は，IAt
・ 板を通過する時，光電効果，コンプトン散乱などで，光子の一部は板の物質にエネルギーを与えて消滅・ 消滅する光子の数 Nint は，流束，板の厚さ dx，および密度 ρ に比例するので， Nint = ζ(IAt)ρdx ------ (1.2)
ζ は消滅する光子の数に関した比例定数で，質量減衰係数 と呼ばれる（次元は L2/M）
A，dx，t がいずれも単位量のとき， Nint = (ζρ) I．この比例定数 ζρ を線減衰系数と呼び，μで表わす（次元は1/L）
・ 光子の流れは平行光線だとする（上の図）
板に入射する光子の総数は AtI(x)，右から出て行く光子の総数は AtI(x+dx)
その差は板の物質に散乱・吸収された光子の個数 Nint に等しいのでAtI(x) - AtI(x+dx) = AtζρI(x)dx ．整理して d I(x) /dx = - μ I(x) ．この解は，I(x) = I(0) exp[- μx] ------------- (2.3)
すなわち，γ線の流束は，物質による散乱・吸収によって，距離とともに指数関数的に減衰する** 空気の線減衰係数 μair （= ζairρair ） ≓ 1.00×10-2 /m距離減衰をエネルギー吸収として見た場合・ 板に吸収されるγ線のエネルギー Eabs は，ℏω と Nint に比例するので，Eabs = ℏωζen It (Adxρ) ---(1.4)
カッコ内は質量で、比例定数の ζenは質量エネルギー吸収系数（次元はL2/M）．
・ A，dx，t がいずれも単位量のとき， Eabs = ℏω (ζen ρ) I
この比例定数 ζenρ を μen で表わし、線エネルギー吸収系数と呼ぶ．

・ 単位時間・単位質量当たりの吸収エネルギー єabs は，≡ ℏω ζenI --------(1.5)єabs を吸収線量率または線量率と呼ぶ．単位は (J/kg)/s, または Gy/s. γ線の場合は，そのまま Sv/s になるєabs×t を吸収線量または単に線量と呼ぶ．
** 水の質量エネルギー吸収系数 ζenwaterは，3.3×10-3 m2/kg で， ℏω ζenwater ≓ 3.5×10-16 Jm2/kg （またはSvm2）

幾何減衰

r

・ 真空中（質量エネルギー吸収系数 ζ がゼロ）に強度 PBq のγ線の点線源があり、それを中心とする半径 r の球を想定する・ 光子は球面に垂直に等密度で通過するので，流束 I は，I = ηP/(4πr2) ----- (3.2)
球面上に質量エネルギー系数 ζenwater の水（人間）が在るとすると，
式(1.5) に従って， єabs= ℏω ζenwater ηP/(4πr2) ------------------------ (3.3)

・ 線源から球面までの空間に空気があれば，幾何減衰に加えて，式(2.3)の質量減衰作用で流束 I が減少する．すなわち， I = exp(- μair r) ----------------------- (3.4)
式(3.3)を用いれば，吸収線量率は，єabs= ℏω ζenwater exp(- μair r) ηP/(4πr2) ------------------- (3.5)⑨P

⑩・ 吸い込んだセシウム微粒子の回りの内部被曝の場合
137Cs からのγ線に関しては ℏω ≓ 0.66MeV， η ≓ 0.85， μwater ≓ 8/m なので、式(3.5)は，
єabs= (3.5×10-16 Jm2/kg) exp(- 8 r) 0.85P/(4πr2) ≓ 0.24×10-16 P[exp(-8 r)]/r2
微粒子の回り1㎜程度までの被曝を考えれば、距離減衰の効果を無視できて、 єabs ≓ 0.24×10-16 P/r2
例えば P = 1,000Bq （単位は s-1 であることに注意）だと，
r =10, 100, 1,000 μm で，εabs はそれぞれ 240, 2.4, 0.024 μGy/s または 0.86, 0.0086, 0.000086 Gy/h

平面状の線源と空間線量率との関係
・ 円の中心から r だけ離れた地点に微小な面積 ΔS (= 1×dr) ある
そこのγ線の強度密度はpで，線源強度が pΔS
円の中心の真上 h に水（人間）が在って， ΔS からのγ線を浴びている式(3.5)を用いれば，水の吸収線量率は
єabs= ℏω ζenwaterηp exp[- μair (r2 + h2)1/2] dr/[4π(r2 + h2)]

・ 幅 dr の円周上に一様に強度密度 p の線源がある場合には， 2πr を掛け，整理して， єabs= (ℏω ζenwaterηp) {exp[(- μair (r2 + h2)1/2] rdr/[2(r2 + h2)]} ----------- (3.6)
・ 地表に一様に強度密度 p の放射能が分布してγ線を放出している場合は，式(3.6)を r で数値積分する．
h = 1mの場合には｛ ｝の中の積分値がほぼ 2.0 になるので，式(3.6)は，近似的には， єabs ≓ 6.0×10-16×p （єabsの単位はSv/s，pの単位はBq/m2）
pをBq/m2 の単位で，єabsを μSv/h の単位で表わす時には，єabs ≓ 2.2×10-6×p --------- (3.7)

drhが任意の値の時の近似式はεabs = (ℏω ζenwater/4) log[(Lair/h)2 + 1] ηp ≓ 2.7×10-7 log[(69m/h)2 + 1]×pεabs の単位はμSv/h, pの単位はBq/m2，Lair は大気中でのγ線の半減距離で，69m.

大気が均質に放射能を帯びている場合の地表での空間線量率
・ 内半径と外半径がそれぞれ r と r+dr の半球殻が線源になっている場合を想定する
ただし，簡単化のため，前ページの図で h=0 とする
式(3.5)の右辺に半球の表面積 2πr2 を掛けて整理すると
єabs= (1/2)ℏω ζenwaterηp exp(- μair r ] dr ------------------------- (3.8)
・ 大気が均質に放射能を帯びている状態は，式(3.8)を r で積分して，
єabs= [-(ℏω ζenwaterη)/(2μair)] p exp(- μair r) -------------------- (3.9)
r が 0.1m 程度から∞まで定積分値が地表での空間線量率となる
exp(- μair r) は r = ∞ で 0 で，r = 0.05m で 0.999，r = 0.5m で 0.995, r = 5.0m であっても 0.951
故に 1 に近似して良い・ したがって，p を Bq/m3 の単位で，єabs を Sv/s の単位を表わせば，
єabs = [(ℏω ζenwaterη)/(2μair)] p ≓ 1.5×10-14 p
p を Bq/m3 の単位で，єabs を μSv/h の単位を表わせば，
єabs ≓ 5.3×10-5 p ---------------- (3.10)⑪