計測自動制御学会東北支部 第 280 回研究集会 (2013.5.29)
資料番号 280-12

むだ時間を含む線形リセットシステムの安定解析
Stability analysis of linear reset system with delay○八木智広，佐藤淳○ Tomohiro Yagi，Atsushi Satoh岩手大学

Iwate University
キーワード : リセットシステム (reset system), むだ時間システム (delay system),
LMI アプローチ (LMI approach)

連絡先 : 〒 020-8551 岩手県盛岡市上田 4-3-5 岩手大学大学院 工学研究科 機械システム工学専攻
佐藤 淳，Tel: 019-621-6404，E-mail: satsushi@iwate-u.ac.jp

1.

諸言

ステムである．遠隔操作のような入出力間に遅リセットシステムは連続的なダイナミクスと，ある条件において状態量の一部が不連続に遷移する離散的なダイナミクスを併せ持つハイブリットシステムである．リセットシステムに関する研究は Clegg4) による線形積分器にリセット動作を加えた Clegg Integrator の提案が始まりとされ，近年は Beker et al.6) により超平面型リセットシステムの二次安定条件や，Nesic et al．2) により二次錐型のリセット条件を持つ線形リセットシステムに対する L２ 安定条件および指数安定条件が示されるなど，リセットシステムの安定性についての研究が進展している．また，連続時間の制御対象にリセットフィードバック動作を加えることにより優れた制御性能を得る可能性があることが知られており，このようなリセット制御の実現に際しても，リセットシステれが発生するシステムや，化学プラントなどの複雑かつ大規模なダイナミクスを持つシステム
はむだ時間システムとしてモデル化されることが多い．むだ時間システムの制御は古くから研究されているが，近年の通信ネットワークを用いた制御との関係性も深い．
むだ時間を含むリセットシステムの安定性について Banõs et al．1) は超平面型のリセットシステムに対する漸近安定条件を示しているが，この結果は異なるタイプのリセットシステムである二次錐型のリセットシステムに直接適用することはできない．
本研究ではむだ時間を持つ二次錐型のリセットシステムについて，Nesic et al．の条件に基づく漸近安定性の十分条件を LMI アプローチにより導出することを目的とする．

ムの安定解析は重要である．
むだ時間システムとは物体の移動，情報ある
いは信号が伝達する際の時間的な遅れを含むシ–1–状態量 x の遷移の例を図 1 に示す．x ∈ F にお

2.

導入

2.1

基本システムの説明

いてシステムの状態は連続的に遷移し，x ∈ Jのときリセットが発生し，状態量は瞬間的に不線形リセットシステムとは連続的なダイナミ連続な遷移 (ジャンプ) をする．

クスを持つ線形システムと，状態のジャンプでリセットシステムでは，有限時間内にリセッある離散的なダイナミクスが組み合わされたハト間隔がゼロに収束し，リセット回数が有限時イブリットシステムである．
{ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), if x(t) ∈ Fx+ = Ar x(t)if x(t) ∈ J間で発散する解 (ゼノ解) や，リセット間隔がゼロになり連続的遷移が行われない解 (beating) が(1)

A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p , C ∈ Rq×n , Ar ∈ Rn×n

存在する可能性がある．

2.2

フローセット，ジャンプセットの定義

式 (1) において x+ はリセット直後の状態量を表すものとする．式 (1) の A および Ar をそれぞれフロー行列，ジャンプ行列と呼ぶ．状態空間の部分集合 F, J をそれぞれフローセット，ジャンプセットと呼び，F ∪ J は状態空間全体を覆うものとする．ここで，状態量 x はリセットによって変化しない np 個の状態量 xp ∈ Rnp ，リセットによってジャンプ可能な nr 個の状態量xp ∈ Rnr から構成され，n = np + nr とする．
すると状態ベクトル x は一般性を失わずに次のようにとることができる．

x = [xTp , xTr ]T

図2

超平面型

図3

二次錐型(2)

定義 1 の F ，J を伴うリセットシステムを超
図1

リセットシステムの状態遷移平面型リセットシステムと呼ぶことにする．

二次のリセットシステムの状態空間における–2–

定義 1

定義 3

Ch := {ϕ : [−h, 0] → Rn | ϕ は ϕ(t̄− ) および

行列 C 1×n ̸= 0 に対して，以下のような集合をϕ(t̄+ ) が存在し，かつ ϕ(t̄− ) = ϕ(t̄) であるよう定義する．

FC := {x ∈ Rn |Cx ̸= 0}
JC := {x ∈ Rn |Cx = 0}

な有限個の点 t̄ を除き，いたるところで連続 }(3)

ただしϕ(t+ ) := lim ϕ(τ ), ϕ(t− ) := lim ϕ(τ )τ →t+0τ →t−0

一方，定義 2 の F ，J を伴うシステムを二次錐型リセットシステムと呼ぶことにする．
式 (5) のシステムにおいて，u = 0 とおいた

仮定 1

M は厳密に負な最小固有値と厳密に正な最大固有値を持つ対称行列である．

自律システムの x = 0 まわりの漸近安定性を考えるとき，式 (5) はむだ時間の項 Ad x(t − h) を持つことから，x(t + θ), ∀ θ ∈ [−h, 0] 全ての値

定義 2の収束について考慮する必要がある．

仮定 1 を満たす M について，以下のような集合を定義する．

FM := {x ∈ Rn |xT M x >
= 0}
n T<
JM := {x ∈ R |x M x = 0}

むだ時間システムの漸近安定性を考えるにあたり，Lyapunov-Krasovskii 汎関数 3) を利用する(4)

ことが多い．これは区分的連続関数 xt ∈ Ch と対称行列 P, Q について次のように定義されるものである．

∫ 0

超平面型，二次錐型リセットシステムの F ，JV (xt ) := xTt (0)P xt (0) +は二次の状態空間ではそれぞれ図 2，図 3 のよ−hxTt (θ)Qxt (θ)dθ

うに区分される領域で表される．

(6)

本研究では，二次錐型のリセットシステムについて考える．

2.3

また xt ∈ Ch のノルムは次のような，内積から誘導されるノルムを用いる．
∫ 0∥xt ∥2 := |x(0)|2 +|xt (θ)|2 dθ

遅れ型むだ時間系−h

遅れ型むだ時間系とは，状態にむだ時間が含まれるむだ時間システムである．
{ẋ(t) = Ax(t) + Ad x(t − h) + Bu(t)x(t) = ϕ(t)t ∈ [−h, 0](7)V (xt ) の正定性を次のように定義する．
定義 4(5)式 (5) のシステムの x(0) は初期関数 ϕ に依存し，以下の条件を満たすとき，V (xt ) は正定であるという．

またむだ時間の項 Ad x(t−h) の存在から，式 (5)V (xt ) > 0, xt ̸= 0の遷移は現在の状態 x(t) だけでなく過去の状態V (xt ) = 0, xt = 0x(t − h) に依存する．
定義 3 のような区分的連続関数の集合を考える．

補題 1

P > 0, Q > 0 であることと，V (xt ) が正定であることは等価である．

–3–次に必要条件を示す．P ̸> 0 または Q ̸> 0 か

証明十分条件を示す．P > 0, Q > 0 と仮定すると，つ，V が正定であると仮定する．P ̸> 0 のときこれらの最大固有値および最小固有値を用いてP はゼロ以下の固有値を少なくとも一つは持つ次の式が成立する．

ため，xt ̸= 0 かつ xt (θ) = 0, ∀ θ ∈ [−h, 0) においてT
λmin (P )|xt (0)|2 <= xt (0)P xt (0)V (xt ) = xTt (0)P xt (0) = 02<= λmax (P )|xt (0)|(9)を満たす xt (0) ̸= 0 が存在し，これは V が正定

Tλmin (Q)|xt (θ)|2 <= xt (θ)Qxt (θ)の仮定に矛盾する．また Q ̸> 0 のときも同様に2<= λmax (Q)|xt (θ)|

矛盾する．よって V が正定ならば P > 0 かつQ > 0 である．

■0 < λmin (P ) <= λmax (P ),0 < λmin (Q) <= λmax (Q)

問題設定

3.

よって，本研究では，次のむだ時間を含む二次錐型リ∫ 0λmin (P )|xt (0)|2 + λmin (Q)−h∫ 0T<= xt (0) P xt (0) +−h

セットシステムの漸近安定性について考える．

|xt (θ)|2 dθ ẋ(t) = Ax(t) + Ad x(t − h), if x(t) ∈ Fx+ (t) = Ar x(t),if x(t) ∈ J
 x(t) = ϕ(t),t ∈ [−h, 0]

xTt (θ)Qxt (θ)dθ∫ 02<= λmax (P )|xt (0)| + λmax (Q)−h|xt (θ)|2 dθ(10)以下のように λ1min , λ2max をおく．

A ∈ Rn×n , Ad ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p ,λ1min := min{λmin (P ), λmin (Q)} > 0

C ∈ Rq×n , Ar ∈ Rn×n

λ2max := max{λmax (P ), λmax (Q)} > 0
また本研究では以下の仮定を導入する．
以上から次の式が成立する．

仮定 2式 (10) のシステムはゼノ解や beating を持たな

2λ1min ∥xt ∥2 <= λmin (P )|xt (0)|∫ 0+ λmin (Q)|xt (θ)|2 dθい．

−h

仮定 2 より，式 (10) のシステムの解は，区分的連続関数 xt ∈ Ch で表され，次のようにかける．

∫ 0λmax (P )|xt (0)|2 + λmax (Q)−h ẋt (0) = Axt (0) + Ad xt (−h), if xt (0) ∈ Fxt+ (0) = Ar xt (0),if xt (0) ∈ J x (0) = ϕ(t),t ∈ [−h, 0]t|xt (θ)|2 dθ2<= λ2max ∥xt ∥(11)
2λ1min ∥xt ∥2 <= λ2max ∥xt ∥= V (xt ) <(8)よって xt ̸= 0 のときに V (xt ) > 0，xt = 0 のと
き V (xt ) = 0 である．

式 (11) のシステムの状態がフローセット/ジャンプセットのどちらに存在するかは，xt の右端の値のみによって決定されることに注意する．

–4–

xt = 0 のとき，式 (11) は次のようになりフ

4.

ローセット/ジャンプセット両方で不変であるか
ら，これは式 (11) のシステムの平衡点である．

漸近安定条件

Nesic et al．2) による二次錐型線形リセットシ
ステムの指数安定性と L2 安定性に関するリアẋt (0) = Axt (0) + Ad xt (−h) = 0

プノフベースの結果を用いて，式 (11) のシステ

xt+ (0) = Ar xt (0) = 0

ムの xt = 0 まわりの漸近安定性を考える．
なお, 対象となるシステムは異なるものの，定以下では平衡点 xt = 0 まわりの漸近安定を考え

理 1 の条件は参考文献 2) の仮定 1 において y =ることにする．

d = 0 とおいた場合に対応するとみなせる．

V (xt ) のフローセットにおける式 (11) のシステムの軌道に沿った時間的変化率は次のようになる．

定理 1
式 (11) のシステムを考える．正の実数 λi (i =1, · · · , 3) および η ∈ (0, 1] について, 以下の条

dV (xt )dt= V̇ (xt )(d=xT (t)P x(t)dt)∫ 0
T+x (t + θ)Qx(t + θ)dθ

件を満たす正定関数 V (·) : Ch → R が存在すれば，式 (11) のシステムは xt = 0 について大域的漸近安定である．

−h= xT (t)P ẋ(t) + ẋT (t)P x(t)2λ1 ∥xt ∥2 <= V (xt ) <= λ2 ∥xt ∥ ,(16)2 ∀V̇ (xt ) <= −λ3 ∥x̂∥ , xt (0) ∈ F(17)∀V (xt+ ) <= ηV (xt ), xt (0) ∈ J(18)+xT (t)Qx(t) − xT (t − h)Qx(t − h)= xTt (0)P (Axt (0) + Ad xt (−h))

証明

T+(Axt (0) + Ad xt (−h)) P xt (0)平衡点 xt = 0 の近傍 Ω に対し，β >= 0 について+xTt (0)Qxt (0) − xTt (−h)Qxt (−h)

レベル集合 Ωβ := {xt ∈ Ω : V (xt ) <= β} と平衡= x̂T N x̂(12)

点 xt = 0 を中心とする半径 r の円 Br := {xt ∈Ω : ∥xt ∥ <= r} を定義する．
ある Ωc , c > 0 が与えられとき，∀ xt ∈ Ωc にx̂ : = [xTt (0), xTt (−h)]T(13)][TA P + P A + Q P Ad
N: =(14)
ATd P−Q

ついて，V (xt ) は t に関して非増加であることを示す．

また x̂ = 0 のとき，V̇ (xt ) = 0 となる．式 (15)のような x̃t ̸= 0 を考えれば

x̃t (θ) ̸= 0, ∀ θ ∈ (−h, 0)x̃t (0) = 0, x̃t (−h) = 0(i) xt (0) ∈ F のとき(a) 十分小さな ϵ > 0 について xt+ϵ (0) ∈ Fのとき，式 (17) より V (xt ) は非増加である．

(15)

式 (12) より V̇ (x̃t ) = 0 となるので，xt = 0 以外でも V (xt ) の値が変化しない t の区間が存在す(b) どのように小さな ϵ > 0 についても
xt+ϵ (0) ∈ J のとき，式 (18) より V (xt )は非増加である．

る可能性があることに注意する．

(ii) xt (0) ∈ J のとき，式 (18) より V (xt ) は非増加である．

–5–よって V (xt ) の正定性より t → ∞ のとき(i) x̂ ̸= 0 のとき

V (xt ) → c∞ となる c∞ >= 0 が存在する．c∞ > 0

λ3 > 0 が存在してと仮定すれば V (xt ) の正定性より d > 0 が存在V̇ (xt ) < −τF xTt (0)M xt (0) − λ3 ∥x̂∥2(22)して∀t>= 0, ∥xt ∥ >=d(19)

定義 2 より xTt (0)M xt (0) >= 0 であるからが成立する．一方，∀ t >= 0，xt ̸= 0 ならば十分V̇ (xt ) < −λ3 ∥x̂∥2 ,長い t の区間において ∥x̂∥ ̸= 0 となる時刻が存在するため，式 (17) より十分大きな有限時刻 t1∀

xt (0) ∈ F(23)(ii) x̂ = 0, すなわち xt (0) = 0 ∈ F のときにおいて V (xt ) < 0 となり V (xt ) の正定性に矛盾する．よって c∞ = 0 であり，式 (11) のシスV̇ (xt ) = 0

テムは xt = 0 について漸近安定である．
さらに V (xt ) は式 (16) から半径方向に非有界以上の (i)(ii) より，式 (17) が成立する．
式 (21) に対して左右から xt (0) ̸= 0 を掛けるであり，c は任意に大きく選択可能である．よって式 (11) のシステムは xt = 0 について大域的漸近安定である．

5.と，以下の式が成立する．

■

LMI アプローチによる漸近安定性の十分条件

定理 2
式 (11) のシステムを考える．ある τF , τR >= 0に

xTt (0)(ATr P Ar − P )xt (0)− τR xTt (0)M xt (0) < 0 (24)
式 (11) のシステムにおけるジャンプ前後の V の差を考えると，∀ θ ∈ [−h, 0) においてxt+ (θ) = xt (θ) かつ xt+ (0) = Ar xt (0) より

ついて以下の式を満たす P > 0, Q > 0 が存在V (xt+ ) − V (xt )すれば，式 (6) の V が存在し定理 1 の条件を満たす．
[AT P + P A + Q + τF M
ATd P

P Ad−Q=−hxTt (θ)Qxt (θ)dθ}{∫ 0T
T− xt (0)P xt (0) +xt (θ)Qxt (θ)dθ]<0=(20)

ATr P Ar − P − τR M < 0∫ 0xTt+ (0)P xt+ (0) +(21)−hTT
xt+ (0)P xt+ (0) − xt (0)P xt (0)= xTt (0)(ATr P Ar − P )xt (0)上式から式 (24) は以下と等価である．

V (xt+ ) < V (xt ) + τR xTt (0)M xt (0)証明
ある τF , τR >= 0 に対し式 (20)，(21) を満たす

P > 0, Q > 0 が存在すると仮定する．すると正定義 2 より xTt (0)M xt (0) <= 0 であるから

V (xt+ ) < V (xt ), ∀xt (0) ̸= 0 ∈ J

λ2 := λ2max とおけば，式 (16) が満たされる．
xt (0) ∈ F のとき，式 (13) の x̂ を式 (20) の左右から掛けると以下が導かれる．

(26)

xt (0) ̸= 0 ∈ J のとき，定な汎関数 (6) が存在する．
補題 1 の証明から, 式 (8) において λ1 := λ1min ,(25)(27)

さらに xt (0) = 0 のとき，xt+ (0) = xt (0) = 0 より V (xt+ ) = V (xt ) となり，以上から式 (18) が満たされる.

–6–■

数値例

6.

以上の A, Ad , Ar , M について，定理 2 の式 (20)，例として，図 4 のようなブロック線図で示されるシステムについて考える．

(21) を満たす P, Q, τF , τR を求めれば，次のものが存在する．

τF = 0.5755 >= 0, τR = 0.4704 >=0[P =図4(32)]1.2535 0.1189> 0,0.1189 0.8665[]
1.0957 0.0186
Q=> 0 (33)0.0186 2.0332

以上よりシステムは xt = 0 まわりに漸近安定でブロック線図あることがわかる．
式 (30) のシステムについて，むだ時間 h = 2，

このとき，プラントの状態空間表現は以下のよ初期関数 ϕ = [1, 1]T , ∀ t ∈ [−2, 0] とした場合うになる．の状態量 x の応答は図 5，図 6 のようになり，x˙p = −xp + xr − Adp x(t − h)(28)xt = 0 まわりの漸近安定性が確認できる．

コントローラーの状態空間表現は以下のようになる．

x˙r = −Ac xr − xp − Acp xr (t − h)(29)
1

式 (28)，式 (29) から][]−1 1xp (t)=−1 Acdxr (t)[][]Apd 0xp (t − h)+(30)
0 Acdxr (t − h)ẋp (t)ẋr (t)][0.5xr[reset systembase system

0-0.5

状態ベクトル x と係数行列 A, Ad を以下のようにおく．

[x =[A =[Ad =xpxr-1-1]]−11=−1 −2.6] []0−0.5 0=Acd
0−2−1 1−1 AcApd0Ar =1 00 000.5xp][図5また行列 Ar および仮定 1 を満たす M を次のようにおく．
[-0.5][, M=

1 00 −1](31)–7–状態空間での応答

15) D. Nešić, L. Zaccarian, and A. R. Teel,1”Stability properties of reset systems,” inreset systembase systemxpP roc. 16th IF AC0W orld Congress,Prague, Czech Republic, July 3-8, 2005, [CD-1024681012146) O. Beker, C. V. Hollot, Y. Chait, and H. Han,

1reset systembase system”Fundamental properies of reset control sys-rxROM].

0tems,” Automatica, vol.40, pp.905-915(2004)-102468101214time [s]

図67.

時間応答

結言

本研究では，むだ時間を持つ二次錐型リセットシステムについて考え，むだ時間に依存しない漸近安定条件を示した．またその十分条件をLMI アプローチより導出した．
今後はゼノ解および beating を回避するためにタイマー要素を導入し，時間正則化を行ったシステムの漸近安定条件について考えたい．

参考文献
1) Alfonso Banõs and Antonio Barreiro, ”DelayIndependent Stability of Reset System,” IEEE
Trans. Automat. control, vol.54, no.2, (2009)
pp. 341-346,
2) D.Nesic, A.R.Teel and L.Zaccarian.On necessarily and sufficient conditions for exponential
and L2 stability of planer reset systems. Proc.
of ACC2008, 4140-4145, (2008)3) 阿部直人，児島晃，むだ時間・分布定数系の制御，コロナ社 (2007)

4) J. C. Clegg, ”A nonlinear integrator for servomechnizms,” Trans. A.I.E.Em, Part II, ,vol.
77,pp.41-42, 1958.

–8–