計測自動制御学会東北支部 第 273 回研究集会 (2012.6.29)
資料番号 273-7

PID 制御則を利用した立位姿勢制御能力の評価
Stability estimation of standing posture using PID control law○後藤博哉 ∗ ，佐川貢一 ∗○ Hiroya Goto∗ , Koichi Sagawa∗*弘前大学大学院理工学研究科*Graduate School of Science and Technology, Hirosaki University
キーワード : 姿勢制御 (Postural control)，安定性 (Stability)，倒立振り子 (Inverted pendulum)，PID 制御 (Proportional-integral-derivative control)，安定判別 (Stability distinction)

連絡先 : 〒 036-8561 青森県弘前市文京町 3 弘前大学大学院 理工学研究科 佐川研究室
後藤 博哉，Tel/Fax.: (0172)39-3691，E-mail: h11gs614@stu.hirosaki-u.ac.jp

1.

緒言

現在、身体運動の障害を持つ患者や高齢者を対象として、徒手により立位姿勢制御能力を定性的に検査する理学療法が実施されている。その方法は簡便ではあるが姿勢制御能力を定量的に評価できないため、治療や指導の方法を正しく作成できないという問題が指摘されている。
従来、このような問題を解決するため、矢状面内の倒立振り子モデルを使用して、随意傾斜運

そこで本報告では、人の立位姿勢制御能力を解析するために、身体の動的姿勢制御を行った時の足関節トルクが時変 PID 制御に従うとして仮定して、リンク下端に回転軸を有する 1 自由度の倒立振り子モデルに近似し、時変立位姿勢制御則パラメータの逐次推定を行い、制御パラメータの時間変化から立位姿勢制御能力の定量評価につながる指標の導出を試みる。

動から立位姿勢のトルクが時変 PD 制御に従うと仮定し、傾斜運動時の足関節パラメータと制2.

原理

御系の極の時間変化を求める方法が提案されて2.1

倒立振り子モデルいる。その結果、パラメータと制御システムの極
本報告では、人の立位姿勢制御能力を解析す実部の時間変化が筋力などの影響を反映し、これらの指標が立位姿勢制御能力の定量評価に有効である可能性が示唆された 1) 。一方、立位姿勢の静的モデル構築 2) − 6) に関しては、Kimura
ら 2) は PID 制御を利用していることから、積るために、立位時の身体を Fig.1 に示す倒立振り子モデルに近似する。そして、人が行う制御を PID フィードバック制御則に従うと仮定する
2) − 8) 。矢状面での足関節まわりの慣性モーメン分要素も安定化制御に組み込むことが可能なの

トを J 、体重から足部質量を除いた重量を m、ではないかと考えられる。

足関節角度を θ 、重力加速度を g 、sin θ ≈ θ と–1–

適さない入力信号、すなわち周波数成分が乏しい信号が持続した場合に、推定に必要とされる過去情報が忘却されてしまい、得られる推定結果が不安定になる 9 ) 10) 。本報告のように、静止傾斜-静止のような一連の運動を解析の対象とする場合は、逐次最小二乗法は利用できない。そのため、固定トレース法 10) を使用して時変パラメータ推定を行った。固定トレース法の時間更新
式は、推定対象が、時刻 k のときの出力を y(k)、推定するパラメータベクトルを A(k)、回帰ベク
トルを x(k) とした線形モデル y(k) = A(k)x(k)で表されるとき、

Fig. 1 Inverted pendulum model of standing
posturey(k) = J θ̈(k)(4)hiTRx(k) = −θ(k) −θ̇(k) − θ(k)dt 1

すると、運動方程式は

τ = J θ̈ − mglg θ(5)A(k) =(1)hKP (k) KD (k) KI (k) Ci(6)立振り子を制御するトルクが、身体角度を制御

C(k) = KP (k)θd (k) + KD (k)θ̇d (k)Z+ KI (k) θ(k)dt

する能動的トルクと、重力による傾斜トルクにA(0) = A0

初期推定値(8)対抗する受動的トルクで構成されると仮定する

P (0) = γI

初期行列ゲイン(9)

P (k − 1)x(k)1 + x(k)T P (k − 1)x(k)(10)

で表される。τ は足関節トルクである。また、倒5) 。制御トルクの比例ゲインを K 、目標角度
P

K(k) =を θd 、微分ゲインを KD 、目標角速度 θ̇d 、積分

事前誤差

(11)

推定値

(12)

ゲインを KI とすると、生成される足関節トルe(k) = y(k) − x(k)T A(k)クτ はA(k) = A(k − 1) + K(k)e(k)τ = KP (θd − θ) + KD (θ̇d − θ)
Z+KI (θd − θ)dt − mglg θQ(k) = P (k) − K(k)x(k)T P (k − 1)trQ(k)
trP (k)Q(k)P (k) =λ(k)λ(k) =(2)で表すことができる。結局、倒立振り子モデルの運動方程式は次式のようになる。

J θ̈ = KP (θd − θ) + KD (θ̇d − θ)
Z+KI (θd − θ)dt

(7)

忘却ゲイン(13)(14)(15)で記述される。また、(8)(9) 式で表される各初期値は、(3)

A0 = [0 0 0 0]
γ = 1032.2

固定トレース法とした。固定トレース法は、推定に適さない入固定忘却ゲインを導入した逐次最小二乗法は時変パラメータ推定が可能である 9) が、推定に力信号が持続している場合には、可変忘却ゲイン λ(k) を高く維持し過去情報を記録しておく–2–ことで、比較的安定した推定値を得ることができる。一方、推定に適する信号が持続して利用できる場合は λ(k) を小さい値に調節することで過去の情報を素早く忘却し、推定値の変動に追従することができる。 (4)∼(7) 式から姿勢制御
則パラメータ KP 、KD 、KI を推定することで、立位姿勢制御能力の定量評価が可能であると考えられる。

2.3

極配置を利用した安定判別

姿勢制御系を伝達関数で表すことで、制御工Fig. 2 Performed motion to investigate contol parameters

学的な安定判別が可能である。入力を目標角度

θd 、出力を身体角度 θ とした姿勢制御系の伝達関数 G(s) は、初期値を θ(0) = 0、θd = 0 として (3) 式を Laplace 変換すると

1
KD s + K P + KIsG(s) =1
Js2 + KD s + KP + KIs

2

Js + KD s + KP s + KI = 0

CON 460, VICON MOTION SYSTEM) を使用して 120[Hz] で測定し、角速度および角加速度は測定した角度データを数値微分して求めた。これ(16)

らの身体運動データと (4)∼(7) 式から、(8)∼(13)式の固定トレースアルゴリズムを使用して制御パラメータの時間変化を推定した。さらに、推で表される。この制御系の特性方程式は3

足関節角度は光学式モーションキャプチャ(VI-定した制御パラメータを (17) 式に代入して極配(17)置の時間変化を求めた。となる。この方程式の実根の値は系の収束性を表しており、極が虚軸の左側にある場合は系の減衰を示し、右側にある場合は発散を示すこと
から、複素平面上の極配置の時間変化が姿勢制

4.

結果と考察

4.1

姿勢制御パラメータ推定結果

Fig.3 は、被験者 1 名の足関節実測角度 θ 、比例御系の安定性の時間変化を表していると考える

ゲイン KP 、微分ゲイン KD 、積分ゲイン KI のことができる。

8 回の運動の平均波形である。θ のピークが 0[s]3.になるよう時間軸を調整した。この推定結果よ

測定と解析

り、KP は −1.5[s] の付近で上昇した後、−1.2[s]対象とする動作は Fig.2 のように股関節を曲付近で減少を始めてから 0.8[s] まで減少を続け、げずに常に足裏を接地させた状態で、静止直立1[s] 付近で再び上昇してから初期値に戻ってい姿勢から前方にできるだけ傾斜して静止姿勢にる。KD は −2[s] から減少を始めて負の値とな戻るという動作である。また、不安定を模擬すり −1.2[s] 付近で上昇してほぼ 0 となり、1[s] 付るため、立位条件は両足立位の状態 (条件 1:健近で減少してから上昇して、1.5[s] 付近から一定常な状態) と、アイマスクを着用した状態 (条件の値を保つようになる。また、KI は −1.5[s] か2:視覚障害を模擬)、左脚だけで立ち右脚はシーら緩やかに減少し、0[s] から 1[s] にかけてほぼソーのように自由に傾斜する補助台にのせた状

0 を維持するようになり、1[s] から 1.5[s] にかけ態 (条件 3:下肢筋力低下を模擬) の 3 条件とした。て上昇し、それ以降で 0 に戻る。

–3–

KP に注目すると、条件 1 に比べて条件 2 と条件 3 は、−1.8[s] 付近での上昇を始める時間が遅Both legs, Eye opened
Both legs, Eye closed
One leg, Eye openedθ [rad]0.2

い。また、KI における −1.5[s] 以降のパラメー
タ減少時と 1[s] 以降におけるパラメータ上昇時

KP [N⋅m/rad]の変化量が少ない。また、どちらの場合も条件1 に比べて条件 2 と条件 3 はパラメータ変化の様子が緩やかである。これは、足や視覚に障害

KD [N⋅m⋅s/rad]がある場合は、身体目標角度の設定や、身体の傾きを感知するための感度が低下していることを示している考えられる。

KP 、KD 、KI は足関節で発生する制御トルク

K [N⋅m/s⋅rad]τP ID への、角度、角速度、角度の積分値の寄与の程度を表す。大きい KP は、目標角度に追従

0−0.1−31000−2−13p1023232323p4p2−500−3500−2−101d2d1dd5d34−500−31000

1p500

00−2−101i2i30i1Iするために比例制御が強く行われていることを

0.1−1000−3意味し、小さい KP は比例制御が殆ど行われず−2−10Time [s]1

目標角度へ追従しないことを意味している。KDの正値は、目標角速度に追従するするために微分制御が行われていることを示し、 KD の負値

Fig. 3
Averaged waveforms of estimation
results: θ, KP , KD and KI .

は角速度を増す微分制御が行われていることを示す。また、KP や KI に比べて KD は −2[s] 付−0.5[s] 付近で 0 へと戻り、1[s] 付近で急速に負近で早期に減少していることから、前方傾斜はの方向に増加してからすぐに元に戻り、その後角速度を発散させることで実現していると予想は緩やかに負の方向に増加してから 0 へと戻っされる。ていく。τI は −1[s] 付近から 0[s] 付近の間で正の値をとり、0[s] 付近から 1[s] 付近の間で負の4.2値をとり、1[s] 付近で少しだけ正の値をとって足関節トルクの変化から、2[s] 付近まで負の値をとって最後に 0 へ

Fig.4 は足関節で生成されたトルクを示してと戻る。

おり、τP ID は PID 制御トルク、τP は比例制御

以上から、−2[s] 付近で微分制御により傾斜運トルク、τD は微分制御トルク、τI は積分トルク動が開始され、 −1[s] 付近から 0[s] 付近まで比を表す。また、各トルクは以下の式で表される。

例制御によって前方傾斜が抑制され、 1[s] 付近から比例制御が静止姿勢を維持しようとしていτP ID = τP + τD + τI

(18)

τP = KP (θd − θ)

(19)

また、片足では踏ん張りが効きにくいため、

τD = KD (θ̇d − θ̇)ZτI = KI (θd − θ)dt

(20)

条件 3 は他の条件に比べてトルク上昇時の変化(21)

量が少なく、変化の様子も緩やかである。

τP に注目すると、−1.5[s] 付近で負の方向に増加してから、0[s] 付近で 0 に戻り、1[s] 付近でると考えられる。

4.3

伝達関数の極の時間変化

正の方向に増加してから、緩やかに 0 へと戻っ

Fig.5、Fig.6、Fig.7 は、被験者 1 名の極配置ていく。τD は、−2[s] 付近で正の方向に増加し、の各条件における平均軌跡を 1 秒間ごとに示し–4–

θ[rad]Both legs, Eye opened
Both legs, Eye closed
One legs, Eye opened−2−10123−2−101230−20−3τD[N⋅m]

500−50−350−2−10123

1.200.73

0.98
0.67

1.020.58て高くなっている。一方、不安定な立位条件でいすぎないように、健常時よりも消極的な制御を行ったことを反映していると考えられる。虚部は、制御系の振動特性を表しており、大きく−50

τI[N⋅m]Real part
Imaginari partは、被験者が能力の低下を予測して安定性を失0−3100500−50−3Table 1 Standard deviation of pole.
Condition
123

ら 0[s] における実部の最大値が他の条件に比べ

τP[N⋅m]τPID[N⋅m]

0.20.10−0.1−320−2−10123

なるほど系が振動的となり、小さい値では振動数が減少する。−2[s] 付近と 0[s] 付近で虚部の値が減少するのは、傾斜時と復元時には身体を−2−10123Time [s]振動させず、過減衰の状態とするためであると考えられる。 −1 ∼ 0[s] の間と 1[s] 付近で値がFig. 4
Averaged waveforms of estimation
results: θ, τP ID , τP , τD and τI .

大きくなるのは被験者が目標角度を定め、それに対する早い応答を実現するためであると考えられる。−2[s] より前の時間で、条件 3 は他の条た図である。運動開始後、虚軸の左側にあった件に比べて虚部の値が大きくなっていることか極は右側へ大きく移動し、最大傾斜角で虚軸付ら、不安定な立位条件では静止状態における身近に戻り、直立静止姿勢に戻るときに左側へ推体の振動が強くなると考えられる。また、Table移していることがわかる。しかし、これでは極1 は極から求めた標準偏差値をまとめたものでの推移と安定性の関係がわかりにくい。そこで、ある。この表から、不安定な立位条件では標準

3 つの極のうち、システムの挙動に最も影響を偏差が少なくなっていることがわかる。このこ与えると考えられる、最も右側に位置する極のとから、不安定な立位条件では、慎重な制御が実部と虚部の動きから安定性との関係について行われているため、極の変化が小さくなってい考察する。結果を Fig.8 に示す。

ると考えられる。

−2 ∼ −1[s] の間で実部が虚軸の右側へ推移することから、制御工学的観点から系は不安定である。これは被験者があえて不安定な状態に4.4

特徴点の多重比較検定結果と考察なって前方に加速しているためであると考える

立位条件によるパラメータの違いを比較することができる。そして、1 ∼ 2[s] の間で実部はため、複数被験者の各条件間に差があると予想

主に虚軸の左側を推移しており、直立姿勢へ戻した値を以下のように定義する。

る制御によって運動が安定化され、系が安定と

p1 : KP の −2 ∼ 0[s] の最大値なるものと考えることができる。

p2 : KP の −1 ∼ −0.5[s] の平均値

Fig.8 の実部の時間変化では、正の値で制御系が不安定となり、値が大きいほど不安定の度合いが増すものと考えられる。条件 1 は −2[s] かp3 : KP の −2 ∼ −1[s] の最小値と −2 ∼ 0[s]の最大値の差

p4 : KP の −2 ∼ 0[s] の最大値と 0 ∼ 1[s] の最小値の差–5–−3∼−2[s]0∼1[s]

442200−2−2−4−4−202−2∼−1[s]4442200−2−2−4−4−20−1∼0[s]24442200−2−2−4−4−2024−2021∼2[s]42200−2−2402∼3[s]2Real0202−2∼−1[s]−4442200−2−24−202−1∼0[s]−44442200−2−2−4−2−24−4−20∼1[s]4−4Imaginary

Imaginary−3∼−2[s]−202−44−201∼2[s]24−2022∼3[s]4−204Real4Real

Fig. 5 Example of pole assigment of the control system in condition 1.

Fig. 7 Example of pole assigment of the control system in condition 3.

62200−2−2Imaginary02−2∼−1[s]4−4442200−2−2−4−4−20−1∼0[s]24442200−2−2−4−4−202Real44Real Part

4−201∼2[s]2202∼3[s]2402−10122Reali11ssi2−2−101i32Fig. 8 Example of pole assiment of the control system in three exprimental conditions:real part and imaginary part.

–6–3sTime [s]4Fig. 6 Example of pole assigment of the control system in condition 2.

−230−3−2sr3−2−34−2sr1

sr204Imaginary Part

4−2Both legs, eye opend
Both legs, eye closed
One leg, eye opend0∼1[s]−3∼−2[s]−42Real3d1 : KD の −1 ∼ −0.5[s] の平均値
d2 : KD の 0 ∼ 0.5[s] の平均値

Table 2 Result of multiple comparison test
and suject quantity. (Tukey-Kramer:p < 0.05,
NS:Not Significant, ():subject qty..)Parameter Subject Total

d3 : d1 と d2 の差
d4 : KD の −3 ∼ −2[s] の平均値と −2 ∼ 0[s]の最小値の差

d5 : KD の 0 ∼ 2[s] の最小値と 1[s] 以降のp1p2最大値の差

i1 : KI の −3 ∼ −2[s] の平均値と −2 ∼ 0[s]Kpの最小値の差

i2 : KI の 0 ∼ 1[s] の平均値

p3p4d1i3 : KI の 0 ∼ 2[s] の最小値と 1[s] 以降の最大値の差

sr1 : 運動全体の極実部の変化幅
sr2 : −3 ∼ 0[s] の極実部の変化幅
sr3 : 0 ∼ 3[s] の極実部の変化幅

KD

si1 : 運動全体の極虚部の変化幅

d2d3d4si2 : −3 ∼ 0[s] の極虚部の変化幅
si3 : 0 ∼ 3[s] の極虚部の変化幅
上記の特徴点の値について、11 人の被験者で多重比較検定を行い、有意さが認められた条件

KIとパラメータとその個数を Table 2 に示す。検定の結果、p3 、d3 、d4 の条件 1-3 間について、半分以上の被験者で有意差が見られた。

d5i1i2i3sr1sr2

ここで、有意差が認められた特徴点と安定性について考察する。安定性が低下する課題を実施した場合、KP での特徴点 p3 と KD での特徴Pole

点 d3 、d4 が有意に変化している。これらのパラメータは、身体が前方へ傾斜運動を行っている時の値であり、安定性の評価では前方傾斜運動

sr3
sr4
si1si2si3si4時の動作が重要であるとが考えることができる。

4.5

3 < 1(2)
3 < 1(3)3 < 2(3)3 < 1(6)
3 < 2(3)NS
1 < 2(3)
1 < 3(5)
2 < 3(3)NS
1 < 3(6)
2 < 3(3)2 < 1(3)3 < 1(7)
3 < 2(4)NS
3 < 1(2)NSNS
3 < 2(2)
2 < 1(2)3 < 2(2)NSNS
3 < 2(2)3 < 2(2)
1 < 2(2)
3 < 1(2)3 < 2(2)2690110914020024002224

定量指標の信頼性調査

定量指標の信頼性とは、同じ被験者、同じ検査条件、同じ検者で複数回測定したときに同じ結果が得られるか、つまり定量指標の再現性であると考えることができる。信頼性を定量化するための信頼性度数として、級内相関係数 (In-traclass Correlation Coeffcients:ICC) が知られている 11) 。信頼性度数は Table 3 のように信–7–

Table 3

Criterrion of reliability using ICC.
ICC
Judgement
0.0 ∼ 0.20
0.21 ∼ 0.40
0.41 ∼ 0.60
0.61 ∼ 0.80
0.81 ∼ 1.0

slightfairmoderate
substantial
almost perfectICC of KP

0.9400.9060.898

0.950
0.887
0.884

0.8
0.60.40.20−31

ICC of KD

0.938
0.922
0.888

p3d3d4

Both legs, Eye opened
Both legs, Eye closed
One legs, Eye opened

1Table 4 Criterrion of reliability using ICC.
Parameter condtion1 condtion2 condtion3

頼性について類別されている。ここでは、前節で得た定量指標 についての信頼性を調査する指標として、検者内信頼性 ICC(1, k) を計算する。

ICC of KI

して k = 8 とした。

Fig.9 は KP と KD 、KI について時間ごとにICC(1, k) を計算した結果である。KP 、KI に注0123−2−10123−2−101230.6
0.4
0.20.80.60.4
0.20−3

目すると、0.5[s] 付近で 0.8 以上の高い信頼性が−10.80−31

また、1 人の被験者が行った実験動作の回数と−2Time [s]出ている。KD に注目した場合は、−1 ∼ −0.5[s]の間と 0.5[s] 付近で 0.8 以上の高い信頼性が出ている。いずれも 0.5[s] 付近で高い信頼性が出ており、4.2 節の τP 、τD 、τI がほぼ一定の値で安定している箇所であることから、身体を傾斜状態から復元している場所では、制御パラメー
タが 0 に近い値で安定しており、複数回の実験における値のばらつきも少ないことがわかる。
ただし、KD における 0.5[s] 付近では大きく変化している場所であり、必ずしも 0 に近い値で安定している箇所だけ信頼性が高くなる、というわけではない。

Fig. 9Result of ICC(1, k): KP , KD and KI .

せて直立静止姿勢に戻る運動から姿勢制御則パラメータの逐次推定を行い、制御系の極の時間変化を求めた。それらの結果、立位条件によってパラメータの変化に違いが出ることを確認した。また、KP 、KD の時間変化が立位姿勢制御能力の定量評価に有効である可能性が示唆された。今後は定量評価の方法についてさらなる考察を加え、診断に応用する方法について考える予定である。

Table 4 は 4.4 節で提案した各定量指標 p3 、d3 、d4 の各条件についての ICC(1, k) の計算結果で参考文献ある。この結果より、全ての定量指標が ICC(1, k)> 0.8 を満たしているため、提案した全ての定量指標が高い信頼性を有すると考える。

5.

1) Akifumi Goto, Mizuri Ishida, Koichi Sagawa:
Temporal parameter change of human postural control ability during upright swing using
recursive least square method, Proceedings ofSPIE, Vol.7500, 75000H1-9 (2009)
2) Kimura Hidenori, Yufa Jiang: A PID Modelof human Balance Keeping, IEEE Control System Magazine, 26-6, 18/23 (2006)

結言

本報告では、人の立位姿勢位制御能力を定量化し、立位姿勢制御能力の定量指標を導出することを目的として、人の立位姿勢制御能力を時変 PID 制御された足関節トルクによる倒立振り子モデル化した。そして、全身を前方に傾斜さ–8–3) Christoph Maurer, Robert J. Perterka: A New
Interpretation ofSpontaneous Sway Measures
Based on a Simple Model of Human Posture Control, J Neurophisiol, Vol.93, 189/200(2005)
4) 斯琴, 長崎幸雄, 江依法, 加藤義弘, 吉田善伯,
松岡敏男: 立位姿勢時の身体動揺制御および視覚の影響について, 体力力学, Vol.55, 469/476(2006)

5) Alessadra Bottaro, Maura Casadio, Pietro
G.Morasso, Vittorio Sanguineti: Body sway
during quiet standing: Is it the residual
chattering of an intermittent stabilization
process?, Human Movement Science, Vol.24,588/615 (2005)
6) 政二慶, 阿部匡樹: バイオメカニクス的手法を用いた静止立位制御機構の解析, バイオメカニ
クス研究, Vol.9, No.1, 10/17 (2005)
7) Robert J.Peterka, Patrick J.Loughlim: Dynamic Regulation of Sensorimotor Integrationin Human Posture Control, J Neurophysiol,Vol.91, 410/423 (2004)
8) Lennart Ljung: SYSTEM IDENTIFICATION, Prentice Hall PTR, 197/211 361/397(1999)
9) 足立修一: MATLAB による制御のためのシス
テム同定, 東京電気大学出版局, 115-119 (2002)
10) 新中新二: 脳波を用いた 3 次元運動計測システ
ム，適応アルゴリズム-離散と連続 真髄へのア
プローチ，産業図書 (1990)
11) 対馬栄輝: SPSS で学ぶ医療系データ解析, 東京
図書, 195-214 (2007)–9–