ニュートリノ振動研究の現在と未来
首都大学東京 · 都市教養学部 · 理工学系 · 物理学コース
安田 修

はじめに

1

この講演ではニュートリノ振動研究の現状について触れた後、将来の長基線実験の展望とその現象論、高エネルギー宇宙におけるニュートリノ振動、新たな物理があった時に現れる CP 位相等について簡単に解説した。ニュートリノ振動に関する日本語の解説としては過去の記事 [1, 2, 3] があるので詳細はこれらの記事を参照して頂きたい。

2

基礎的知識

2.1

二種類間のニュート リノ振動

真空中のスピン 1/2(運動量 p~ の固有状態) の粒子に対する相対論的な運動方程式(ディラック方程√ 2~ + m2 ) となるので、正エネルギーの一成分だけ式) のエネルギー固有値は E, E, −E, −E (E ≡ pを取り出すと 1iqdp~ 2 + m2 ψ(t)
ψ(t) =
dt(1)となる。今ニュートリノに質量があり、質量固有状態 ν1 (質量 m1 ) 、ν2 (質量 m2 ) とフレーバー固有状態 νe 、νµ が直交行列でÃνe (t)
νµ (t)

!

=U

Ã

!

ν1 (t)
ν2 (t), U≡Ã

cos θ sin θ− sin θ cos θ!

と関係付けられていると (クォークの混合行列が CKM 行列と呼ばれるのに対し 、ニュートリノの混合行列は MNS 行列と呼ばれている) 、(1) は

d
i
dt

Ã

νe (t)
νµ (t)

!

=U

Ã

E1 0
0 E2

!

U

−1

Ã

νe (t)
νµ (t)!

(2)qと書ける (Ej ≡ p~ 2 + m2j (j = 1, 2))。(2) は簡単に解け、t = 0 から t = L まで経過する間に (超相対論的な場合には t = L は距離 L だけ走ったことと同じとなる) νe から νµ のフレーバーに変わる確率はP (νe → νµ ) = sin2 2θ sin2 (∆EL/2)
で与えられる (∆E ≡ E2 − E1 )。ニュート リノは相対論的と考えて良いので最後の sin の引数は∆m2 ≡ m22 − m21 とおいて ∆EL/2 ' ∆m2 L/4|~p| ' ∆m2 L/4E と書ける。
さて太陽ニュートリノ等物質密度の高い環境では物質中でのディラック方程式を考える必要が出て来る。物質中では物質中の電子とニュートリノ νe 、νµ 、ντ の間の中性カレント相互作用 (Z ボゾンが媒介する) の他に、物質中の電子と νe の間の荷電カレント相互作用 (W ± ボゾンが媒介する) があり、その寄与を考慮すると (2) は

d
i
dt
1

Ã

νe (t) (ν̄e (t))νµ (t) (ν̄µ (t))

!

"

= U

Ã

E1 0
0 E2

!

U

−1

±

Ã

ACC (t) + AN C (t)00
AN C (t)!# Ãνe (t) (ν̄e (t))νµ (t) (ν̄µ (t))

荷電レプトン · ニュートリノの質量行列が対角的ではない基底からのちゃんとした導出については後述。

1

!

(3)

q
√
となる (ACC (t) ≡ 2GF Ne (t) 、AN C (t) ≡ − 1/2GF Nn (t) はそれぞれ荷電カレント相互作用、中性カレント相互作用によるポテンシャルを表し 、Ne (t) 、Nn (t) は物質中の電子、中性子の密度、ν̄ に対してはポテンシャルの符号が逆転する)。これらのポテンシャルが一定の場合には、(3) の右辺の行列は直交行列 eiθ̃σ2 により eiθ̃σ2 diag(Ẽ1 , Ẽ2 ) e−iθ̃σ2 と対角化でき、振動確率はP (νe → νµ ) = sin2 2θ̃ sin2 (∆ẼL/2)(4)と求まる。但し θ̃ は物質中の実質的混合角度、∆Ẽ は物質中の実質的エネルギー固有値の差である：

tan 2θ̃ ≡ ∆E sin 2θ/(∆E cos 2θ − ACC )∆Ẽ ≡ Ẽ2 − Ẽ1 = [(∆E cos 2θ − ACC )2 + (∆E sin 2θ)2 ]1/2 .

(5)

ここで、AN C は単位行列に比例するするため、全体の位相にしか寄与せず、振動確率には影響しないことに注意されたい。(5) 式からわかるように、真空中での混合角度 θ が小さくても ∆E ' ACCが満たされる場合には物質中の実質的混合角度 θ̃ は大きくなりうる。この現象は MSW 効果として知られ、当初、太陽ニュートリノデータに対して最も良いフィットを与えていたのが小混合角 MSW
解 (sin2 2θ ' 0.006) であったため、非常に注目を集めた。しかし 、最終的には太陽ニュートリノ問
題は大混合角 MSW 解で解決されており、この現象は太陽ニュートリノに関する限りアカデミックにしか関係しないことになっている。さらに、(3) はポテンシャルが断熱的に変化する場合 (つまりθ̃(t) の t 微分が無視できる場合) にも解析的に扱うことができる。(3) の両辺に U (t)−1 をかけて t = 0
から t = L まで積分すると
Ãνe (L)νµ (L)!

"= Ũ (L) exp −i

Z L
0

´

³

P (να → νβ ) =

−1

Ã

Z L

diag Ẽ1 (t), Ẽ2 (t) dt Ũ

を得る。これから振動確率は ∆Ẽjk ≡ Ẽj − Ẽk として
X#

Ũ (L)βj Ũ (L)∗βk Ũ (0)∗αj Ũ (0)αk exp

j,k

−i

0

(0)

Ã

!

νe (0)
νµ (0)!

∆Ẽjk (t)dtと求まるが 、太陽ニュートリノ観測のように|∆EL| À 1 という状況を考えると、はげしい振動は³´
RL
平均化され (exp −i 0 ∆Ẽjk (x)dx → δjk ) 、かつ t = 0 では物質効果が大、t = L ではほとんど 真
空、とすると、P (να → νβ ) =

¯2
¯2 ¯
¯2
X ¯¯
X ¯¯
¯
¯ ¯
¯
2
¯Ũ (0)αj ¯ |Uβj |¯Ũ (0)αj ¯ ¯Ũ (L)βj ¯ =jjとなる。このようにして、太陽ニュートリノ実験で測定している P (νe → νe ) は次のように求まる：

P (νe → νe ) = cos2 θ cos2 θ̃(t = 0) + sin2 θ sin2 θ̃(t = 0)

ここでニュートリノの生成点での実質的混合角 θ̃(t = 0) は次のように与えられ 、非自明なエネル
ギー依存性を持っていることに注意されたい：Ãcos2 θ̃(t = 0)
sin2 θ̃(t = 0)!

"1
∆E cos 2θ − ACC (t = 0)=
1±
2[(∆E cos 2θ − ACC (t = 0))2 + (∆E sin 2θ)2 ]1/2#

太陽ニュートリノでは、7 Be のエネルギー領域 E ∼1 MeV で、物質中の混合角 θ̃ (この場合、物質中3というのは太陽中心付近で、ρ ∼100 g/cmと想定している) と真空中の混合角 θ とのずれが顕著にな√2ることから、∆E ≡ ∆m /2E ∼ ACC = 2GF Ne により ∆m2 ∼ O(10−5 eV2 ) となることがわかる。
−5
2
KamLAND 実験 (E ∼4 MeV 、L ∼O(100 km)) で欠損が見えることからも ∆m2 >∼ 10 eV でなければならないことがわかる。又大気ニュートリノでは E ∼1 GeV 、L ∼1000 km でその天頂角分布が顕著になることから ∆m2 L/4=1.27 (∆m2 /eV2 ) (L/km) /(E/GeV)∼ O(1) により ∆m2 ∼ O(10−3 eV2 )となることが理解できる。一方、ロスアラモスの LSND という実験 [4] では E ∼50 MeV 、L ∼30 m
で ν̄µ → ν̄e の振動が起こっていると主張されており、それが本当であるとすると ∆m2 ∼ O(1eV2 )でなければならない。この LSND の結果に関しては Fermilab における MiniBooNE という実験で追試をしており、2006 年には結果が出ると期待されている。

2

m22
m21

m23
(a)

(b)

m22
m21

m23

図 1: 2 つの質量パターン : 順ヒエラルキー (a), 逆ヒエラルキー (b) はそれぞれ ∆m232 > 0, ∆m232 < 0 に対応する。

2.2

3 フレーバー間のニュート リノ振動

軽いニュートリノは 3 種類あることが知られているので本来 3 種類のフレーバー間の振動を議論する必要がある。(3) を 3 フレーバーの場合に拡張すると、








νe (t)νe (t)



d 



i  νµ (t)  = M  νµ (t) dtντ (t)
ντ (t)M ≡ [U diag(E1 , E2 , E3 )U −1 + diag(ACC (t), 0, 0) + AN C (t)1]

c12 c13s12 c13s13 e−iδ


iδ
U ≡
c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ
s23 c13  −s12 c23 − c12 s23 s13 eiδiδ
s12 s23 − c12 c23 s13 e−c12 s23 − s12 c23 s13 e
c23 c13(6)となる (sjk ≡ sin θjk , cjk ≡ cos θjk ; 反ニュートリノ ν c = C(γ 0 )T ν ∗ に対しては U を U ∗ に、ACC (AN C )を −ACC (−AN C ) にそれぞれ置き換える)。ここでは詳細を省略するが、太陽ニュートリノ実験、KamLAND 実験、大気ニュートリノ実験のそれぞれの肯定的結果と CHOOZ の原子炉実験 (E ∼4MeV,
L ∼1km) の否定的結果を組み合わせると MNS 行列 U は次のようになることが言える：




c¯
s¯
²
√
√
√ 


U '  −s¯ / 2 c¯ / 2 1/ 2 √√√ s¯ / 2 −c¯ / 2 1/ 2

(7)大気ニュートリノからは (|∆m232 |, sin2 2θ23 ) ' (2.5×10−3 eV2 , 1.0) が、太陽ニュートリノ+KamLAND
からは (∆m221 , sin2 2θ12 ' sin2 2θ¯ ) ' (8×10−5 eV2 , 0.8) が、CHOOZ からは sin2 2θ13 ' 4²2 <∼ 0.15 が結論される。(7) は太陽ニュートリノのフレーバー転換の約半分が νe → νµ 、残りの約半分が νe → ντで、又大気ニュートリノのフレーバー転換のほとんどすべてが νµ → ντ で、それぞれ説明されることを意味している。
太陽ニュート リノではつねに ∆m2¯ > 0 を仮定して太陽ニュート リノの混合角が θ¯ > π/4 かθ¯ < π/4 かを問題にするのに対し (実は太陽ニュートリノでは ν̄e はなく νe のみで物質効果が重要であるため θ¯ < π/4 が選ばれることが言える) 、大気ニュートリノでは主なチャンネルが νµ → ντ で物質効果の寄与が小さいため ∆m2atm > 0 と ∆m2atm < 0 のど ちらが良いかを知ることは難しい。したがって 3 フレーバーの枠組みでは現在の所図 1 の (a) と (b) のど ちらもパターンも許されている。
ということで、現在の所未定のパラメーターは、θ13 、CP 位相 δ 、∆m232 の符号である。

2.3

4 フレーバー以上の間のニュート リノ振動

LSND をもニュートリノ振動で説明する試みについては詳しくは触れないが 、簡単に現状について説明しておこう。太陽ニュートリノ · 大気ニュートリノ ·LSND の結果をすべてニュートリノ振動
3によるものとすると、3 つの異なる質量スケールが必要となることから、少なくとも 4 種類以上のニュートリノが必要となる。一方、弱い相互作用をする軽いニュートリノの数は LEP の加速器実験から 3 であることがわかっているので、3 種類の活性ニュートリノ (νe , νµ , ντ ) 以外は、標準理論のゲージ群について量子数のない不活性ニュートリノ (sterile neutrino) でなければならない。一番簡
単な 1 種類の不活性ニュートリノのシナリオには ∆m2LSND によって隔てられる質量固有状態が 3 つと 1 つのもの ((3+1)–スキーム) と 2 つずつのもの ((2+2)–スキーム) があるが 、太陽ニュートリノ
と大気ニュートリノからの不活性ニュートリノに対する制限が強くなってきたため、そのど ちらも
既にほとんど 排除されている [5]。その次に簡単な 2 種類の不活性ニュートリノを入れた (3+2)–ス
キーム [6] は現在の所排除されておらず、現時点で LSND の結果を含めて説明できるものととして知られている唯一のシナリオである2 。

2.4

θ13 に対する理論的予言

理論的にはこれまで色々な模型が提唱されており、さまざ まな θ13 の値が予言されている。それぞれの予言値のうちいくつかがまとめられている表が [7] の 18 ページに与えられているので、そちらを参照されたい。

将来の長基線実験の現象論

3

MNS 行列が (7) のようにほぼ決まった訳であるが、未定のパラメーターとして θ13 、sign(∆m232 ) 、δ があり、これらは将来の長基線実験で決定されると期待されている。
|∆m221 L/E| ¿ 1 の時、νµ → νe の振動確率は(

P (νµ → νe )P (ν̄µ → ν̄e )となる。ここでtan 2θ̃13

(±)

≡

(±)

≡

∆Ẽ32

)



(∓)



∆Ẽ32 L (∓)
' s223 sin2 2θ̃13 sin2 
2(8)∆E32 sin 2θ13
∆E32 cos 2θ13 ± ACC

q(∆E32 cos 2θ13 ± ACC )2 + (∆E32 sin 2θ13 )2 .

これらの式から、θ13 が非常に小さくない限り、νµ → νe の振動が見えることが期待される。又、物質効果により ∆m232 > 0 (∆m232 < 0) であれば P (νµ → νe ) (P (ν̄µ → ν̄e )) が P (ν̄µ → ν̄e ) (P (νµ → νe ))に比べて大きくなるので両者のチャンネルの振動確率を比較することにより ∆m232 の符号がわかるはずである。但し 、物質効果が顕著になるのは比較的長距離 ( >∼ O(1000 km)) の長基線実験においてなので ∆m232 の符号を高い信頼度で決定するには長距離の基線が必要となる3 。
一方、CP 位相の δ は真空中では、ニュートリノと反ニュートリノの差を見ることによりわかる((6) でニュートリノと反ニュートリノの MNS 行列が U と U ∗ で与えられることに注意):

P (να → νβ ) − P (ν̄α → ν̄β ) = 4

X

j<k

³

´

∗
∗
Im Uαj UβjUαkUβk sin (∆Ejk L)= 4 J [sin (∆E12 L) + sin (∆E23 L) + sin (∆E31 L)] .
2(9)

しかしながら [6] の中で与えられている (3+2)–スキームのベストフィット点は、[5] における大気ニュートリノからの不活性ニュートリノ混合に対する制限と抵触している。したがって [5] の結果を考慮した場合には、ベストフィット
点の位置はずれるはずで、修正されたベストフィット点でのフィットの confidence level は悪くなると予想される。
3
物質効果が顕著になるということは 、定義から |∆E32 | ∼ ACC となる必要がある。ところが 、この条件が満たさ(∓)(±)
れている時には 、|∆Ẽ32 L| ∼ |∆EL| ∼ ACC L ¿ 1 であると仮定すると、(8) の sin の引数が展開でき、sin2 2θ̃13 =(±)(∆E/∆Ẽ32 )2 sin2 2θ13 であることから、P (νµ → νe ) = P (ν̄µ → ν̄e ) = s223 sin2 2θ13 ((∆E32 L/2)2 となってしまい、物
質効果が消えてしまうことがわかる。したがって、ρ ' 3g/cm3 とした時に ACC '1/(2000km) であるので、物質効果> O(1000 km) であることが必要となる。
が顕著になるには L ∼4

3

1/s223

2.5
2
1.5
1
0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

2

sin 2θ13
図 2: ８重パラメーター縮退：P (νµ → νµ ) からは sin2 2θ23 の値がわかるので、厳密に θ23 = π/4 でない限り、sin2 θ23 の値には２通りの解(θ23 の真の値が水平な黒い細い直線、偽の値が灰色の細い直線) がある (θ23 ↔ π/2 − θ23 の不定性)。P (νe → νµ ) と P (ν̄µ → ν̄e ) を同時に指定して得られる曲線はこのプロット [9] の中では双曲線となり (双曲線は２次曲線であるため、一般に直線との交点は２つあり、これは θ13 − δ の固有の不定性と呼ばれる) 、∆m232 の符号が正しい場合 (黒色の太い直線) と符号が誤っている場合 (灰色の太い直線) の２通りがある (∆m232 ↔ −∆m232の不定性)。これらの線が交差する場所は、２重の不定性が３種類あることから、一般に 23 = 8 点あり、そのうちの一点 (黒点) のみが真の解、それ以外の七点 (白点) は偽の解である。

∗∗
ここで J ≡ Im(Uα1 Uβ1Uα2Uβ2 ) = (c13 /8) sin 2θ12 sin 2θ13 sin 2θ23 sin δ はヤルスコーグ因子と呼ばれる量で、θ12 、θ13 、θ23 がわかっていれば J から sin δ を知ることが出来る。
しかしながら、一般に長基線実験では物質効果が無視できなくなり、物質効果も CP を破っている
ため、P (να → νβ ) − P (ν̄α → ν̄β ) を求めても δ による寄与と物質効果による寄与が複雑に混じって見通しが良くならない。そこで実質的には 3 フレーバーの理論的予言と実験値を比較し 、δ の値を推定するという方法をとる。その際、２つの点に注意する必要がある。実際問題として大気ニュート
リノ振動や太陽ニュートリノ振動のパラメーターには実験的誤差が存在する。δ を決めるには δ とそ
れらパラメーター間の誤差の相関を考慮して δ の値を推定する必要がある。さらに、パラメーター
縮退の問題と呼ばれる原理的な問題がある。パラメーター縮退の問題とは、振動確率 P (νµ → νµ ) 、P (νµ → νe ) 、P (ν̄µ → ν̄e ) が一定の単色エネルギーと基線に対して与えられた時、(θ23 ,θ13 ,δ) を一意的に決めることが出来るかというもので、一般に８個の可能な解があるため、答えは否である (図2 参照)。これまでにこの問題を解決するためにさまざ まなアイデアが考え出されている：(a) 大気
ニュートリノ振動が最大となる条件 (|∆m232 L/4E| = π/2) で実験をする、(b) 原子炉による θ13 の測定をする、(c) 異なる L/E での長基線実験を組み合わせる、(d) いわゆるシルバーチャンネル (νe → ντ )を使う。これらのいくつかを組み合わせれば縮退の問題が解決することが知られている。
現在稼動している、あるいは現在建設中の長基線実験には、アメリカの MINOS 、ヨーロッパのCNGS 、日本の T2K 実験がある。特に T2K はビームパワー 0.75MW を目標とする大強度加速器による次世代の振動実験 (いわゆるスーパービーム実験) である。さらに、これらの次の計画を考えようとすると、振動パラメーターのさらなる精密測定を行うことが要求される。そのためには格段に高い統計を稼がなければならないので大強度のニュートリノビームが必須となる。加速器によるものとしては、主として (1)π 中間子の崩壊からの従来型ニュートリノビーム (従来型ビームの大強度版ということでスーパービームと呼ばれる) 、(2) 蓄積リングで加速したミューオンからのニュート
リノビーム (ニュートリノファクトリーと呼ばれる) 、(3) 蓄積リングで加速した放射性原子核からのニュートリノビーム (ベータビームと呼ばれる) 、が提案されている4 。これら近未来・遠未来の計画の θ13 に対する感度は図 3 に与えられている。図 3 の左図の中には、加速器以外の計画として原子炉による θ13 測定実験5 [7] もプロットされている。
4

2005 年 9 月から 2006 年 9 月の 1 年間にわたり、今後の大強度長基線実験に関する将来計画の国際的スタデ ィ[11]が行われている所であり、今後の長基線実験の計画の最適化、長基線実験で可能な物理 (ニュートリノ振動だけでなく標準模型を超える物理なども含めて) に関する調査・検討が行われている。
5
現在の所、フランスの Double CHOOZ 、日本の KASKA 、アメリカの Braidwood 、中国の Daya Bay 、ブラジルの
Angra 、韓国の RENO などが提案されている。

5

250

200

-1

CP coverage @DegreesD

Chooz excluded2

Sin 2θ 13 (90%CL)

T2HK

Minos

10

CNGS
Double Chooz

-2

10

150
NuFact-II

100

NuFact-II+T2HK

50

T2K
World Limit

NuFact-II+NuFact-IIMB
0
2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

10-4

2014

Year

10-3
10-2
True value of sin2 2Θ1310-1

図 3: θ13 (と δ) に対する感度 (左：近い将来に稼動する長基線実験 [8]) 、(右：将来に向けて提案されている長基線実験 [10]；縦軸は CP 位相 δ に対する測定誤差；T2HK は T2K のアップグレード 版で、ビームパワー 4MW 、測定器が 1Mt のハイパーカミオカンデを想定したもの、NuFact-II
はビームパワー 4MW 、ミューオン数 5 × 1020 を仮定したニュートリノファクトリー、MB は Magic Baseline を表し 、L=6300km では CP 位相の効果が消えることを逆手に使っている)。

ee●

no osc ★

µ

●

Fτ

●

Fµ
Fe

●

τ

µ

τ

図 4: 3 フレーバーニュートリノ振動の枠組みによる高エネルギー宇宙ニュートリノのフレーバー比：(左：フレーバー比を表すプロット；星印がニュートリノ振動のない場合の比；正三角形の中点が 1:1:1 に対応) 、(右：大気ニュートリノ・太陽ニュートリノ・原子炉ニュートリノの制限の範囲
内で θ23 、θ13 をふって可能なフレーバー比をプロットしたもの [13] で、その許容領域の中点からのずれは小さい)。

6

高エネルギー宇宙ニュート リノにおけるニュート リノ振動

4AGN やガンマ線バースト等からの高エネルギーニュートリノは 、大気ニュートリノのバックグ
ラウンドが少ないため、今後のニュートリノ観測装置で観測されることが期待されている。これらの高エネルギーニュートリノは、生成された場所でのフラックスの絶対値がよくわかっていない一方、ニュートリノの各フレーバーの識別は実験的に可能だと思われているため、地上で観測する際には、ニュートリノのフレーバーに比を測定することがポイントであると考えられている。しかしながら、3 フレーバー混合の枠組みでニュートリノ振動の効果を考慮すると、地上で観測されるフラックスのフレーバー比は F (νe ) : F (νµ ) : F (ντ ) = 1 : 1 : 1 となることが知られている [12]。その議論の前提条件は、ニュートリノの源が 、大気ニュートリノと同じように π 中間子の崩壊によるものであるということと、ニュートリノ振動の枠組みが 3 フレーバーによるもので sin2 2θ13 ¿ 1 、| sin2 2θ23 − 1| ¿ 1 であるということである。前者の仮定からニュートリノの生成点でのフレーバー
比は F 0 (νe ) : F 0 (νµ ) : F 0 (ντ ) = 1 : 2 : 0 となり、後者の仮定から |Uµj |2 ' |Uτ j |2 が成立する。一方、真空中で天文学的距離を振動した後では、はげしい振動が
sin2 (∆Ejk L/2) → 1/2 と平均化されて、P
Pαβ ≡ P (να → νβ ) = j |Uαj |2 |Uβj |2 となるため、以下を得る：
F (νe ) = F 0 (νe )(Pee + 2Pµe ) = F 0 (νe )(1 − Pτ e + Pµe ) = 1
F (νµ ) = F 0 (νe )(Peµ + 2Pµµ ) = F 0 (νe )(1 − Pτ µ + Pµµ ) = 1
F (ντ ) = F 0 (νe )(Peτ + 2Pµτ ) = F 0 (νe )(1 − Pτ τ + Pµτ ) = 1

ここで F 0 (νµ ) = 2F 0 (νe ) であることと、ユニタリー性から出る条件 Peα +2Pµα = (Peα +Pµα )+Pµα =1 − Pτ α + Pµα = 1 を使った。実際には θ13 と θ23 は、CHOOZ の制限 (sin2 2θ13 < 0.15) 、大気ニュートリノの制限 (1 − sin2 2θ23 < 0.1) の範囲内である程度の大きさを持つことが出来るが、それを考慮してもほとんど 1 : 1 : 1 からずれないことが知られている (図 4 参照)。
このように、1 : 1 : 1 からのずれが観測されれば標準的な 3 フレーバー混合からのずれを意味す
るため、高エネルギー宇宙ニュートリノにおけるニュートリノ振動の現象は人々の興味を引いてきている。1 : 1 : 1 からのずれを予言する理論もいくつか提唱されており、３つのニュートリノの質量固有状態のうちの重い質量固有状態が軽い質量固有状態とマヨロンというスカラー粒子に崩壊するシナリオ (比 = α : 1 : 1 (α =1.4〜6))[14] 、擬デ ィラックニュートリノ状態の存在するシナリオ (比= α : 1 : 1 (α =2/3〜14/9))[15] 、π 中間子やミューオンが電磁相互作用でエンルギー損失を起こして生成点でのフレーバー比が 1 : 2 : 0 からずれるシナリオ (比 = α : 1 : 1 (α =1/1.8〜1))[16] 、等がある。

CP 位相について5

真空中における混合行列 U は、(6) を変形して








c13
0 e−iδ s13
c12 s12 0
1
0
0










U =  0 c23 s23  010  −s12 c12 0 
0
0 1
0 −s23 c23−eiδ s13 0
c13と書け、δ 依存性がつねに sin θ13 という小さい数に伴って現れることから、CP 位相の効果は真空中では小さいと考えられる。ここではその CP 位相の項が物質効果によって増幅される可能性について議論する。

5.1

密度一定の物質中での T 非保存

密度が一定である場合には 、物質中でも [U diag(E1 , E2 , E3 )U −1 + diag(ACC + AN C , AN C , AN C )]は形式的にユニタリー行列 Ũ により Ũ diag(Ẽ1 , Ẽ2 , Ẽ3 )Ũ −1 と対角化出来て、P (να → νβ ) = δαβ − 4X∗∗
Re(Ũαj Ũβj
Ũαk
Ũβk ) sin2 (∆Ẽjk L/2)

j<k7

P(νµ→νe) – P(νe→νµ)

0.05
0.04

with matter
w/o matter

0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03

small angle MSW

-0.04
-0.05
0.001

0.01

0.1
1
Eν / GeV

10100

図 5: T 非保存項の増幅の例 (旧太陽ニュートリノ小混合角度解 (∆m221 = 5.4 × 10−6 eV2 , sin2 2θ12 = 0.006) で地球の直径を貫通した場合の振る舞いを数値的に求めたもの [18])。

+2

X

∗
∗
Im(Ũαj Ũβj
Ũαk
Ũβk ) sin(∆Ẽjk L),

(10)

j<k

と表せる (∆Ẽjk ≡ Ẽj − Ẽk )。(10) の右辺第一項と第二項は時間反転 (να → νβ を νβ → να に変える
操作) に関して偶 (不変) 、第三項は奇 (符号逆転) であるため、それぞれ T 保存、T 非保存の項と呼ばれる。ここで T 非保存を考えると

P (να → νβ ) − P (νβ → να ) = 4

X

j<k

h

³

´

³

´

∗
∗
Ũαk
Im Ũαj Ũβj
Ũβk sin ∆Ẽjk L

³

´

³

´

³

´i

= 4 J˜ sin ∆Ẽ12 L + sin ∆Ẽ23 L + sin ∆Ẽ31 L,∗∗となる。J˜ ≡ Im(Ũα1 Ũβ1
Ũα2
Ũβ2 ) は物質中でのヤルスコーグ因子であり、∆E12 ∆E23 ∆E31
JJ˜ =∆Ẽ12 ∆Ẽ23 ∆Ẽ31(11)という関係式 [19] が成立することが知られている。これから、T 非保存の項は sin δ に比例し 、物質中での有効エネルギーの差 ∆Ẽjk が小さくなる時に増幅されることがわかる6 。実際、今となっては現実的な解ではないが 、以前太陽ニュートリノの解の一つであった小混合角度解に対し 、ニュート
リノが地球の直径を走った場合の T 非保存を計算すると、真空中の場合にくらべて増幅されることがわかる (図 5 参照)。

5.2

新物理がある場合の荷電レプトンセクターからの CP 位相

実は (1) で使った式は質量が異なる質量固有状態のデ ィラック方程式から厳密に導出したものではなく、超相対論的な極限で成り立つ近似式であることが知られている。[20] ではデ ィラック方程式から出発して、通常の谷-Foldy 変換とは逆に mj /|~p| に関する超相対論的な摂動で最初の数項までを求め、真空中や物質中、磁気遷移と磁場の結合がある場合等のニュートリノの運動方程式を求め
6

密度一定の物質中のニュートリノ振動に対して、T 非保存の項に関する式 (11) は、1991 年の Naumov 以来、他に再発見をしているグループもあり、よく知られているが、T 保存の項をも含めて見通しの良い解析的厳密な表式を与えたのは木村–高村–横枕の仕事 [17] である。[17] の結果によると、∆Ẽjk が分母に現れるという現象は T 保存の項にも起こっていることがわかる。

8ている。その結果は真空中では従来使われている (1) と、又、磁気遷移と磁場の結合がある場合には 1980 年代後半に太陽ニュートリノの文脈で議論された方程式 [21] とそれぞれ mj /|~p| の最低次で一致している。簡単のためここではマヨラナニュートリノの場合について議論すると、その最低次
での式は

d
i
dx
M ≡

Ã

νL
(νL )c



!

=M

Ã

νL
(νL )c!
~ ⊥ |µ|B,1|~p| + 2|~mm† − Ap|

1m† m + A|~p| + 2|~p|~ ⊥ |µ
|B





νe



νL ≡  ν µ ντ

のようになる。ここで A ≡ diag(ACC + AN C , AN C , AN C ) 、µαβ は Lmag = µαβ (ναL )c σρσ F ρσ νβL + h.c.
~ ⊥ はニュートリノの進行方向に対して垂直な磁場の成分である。今で与えられる磁気遷移であり、Bクォークにおける小林−益川の位相の導出 [22] を思い出して、レプトンセクターに対しても同様の処方を施すことを考える。荷電レプトンの質量を対角化した後でニュートリノの質量行列 m が次のように書けたとする (ここではマヨラナニュートリノを議論しているので質量行列 m は複素対称行列)：

m = V ∗ diag(m1 , m2 , m3 ) V † .
√ユニタリー行列 V はさらに λ3 ≡ diag(1, −1, 0) 、 3λ8 ≡ diag(1, 1, −2) として
V

√

0

√

0

= eiα eiβ λ3 e 3iγ λ8 U e− 3iγλ8 e−iβλ3というように、ニュートリノセクターの方に吸収されるべき位相 β, γ と荷電レプトンセクターに吸収されるべき位相 β 0 , γ 0 、全体の位相 α に因子化され、残りの U が MNS 行列となる。これらを使うと M に現れる m† m 、mm† はそれぞれ次のようになり、荷電レプトンに吸収されるべき位相 β 0 , γ 0のみが残る7：0000m† m = V diag(m2j ) V † = eiβ λ3 eiγ λ8 U diag(m2j ) U † e−iγ λ8 e−iβ λ3
0

0

0

0

mm† = V ∗ diag(m2j ) V T = e−iγ λ8 e−iβ λ3 U ∗ diag(m2j ) U T eiβ λ3 eiγ λ8
したがって M は、Φ ≡ β 0 λ3 + γ 0 λ8 として

M=

Ã

eiΦ 0
0 e−iΦ

!Ã~ ⊥ |µ e−iΦU DU −1 + e−iΦ A eiΦe−iΦ |B~ ⊥ |µ eiΦ
eiΦ |BU DU −1 − eiΦ A e−iΦ!Ãe−iΦ 00 eiΦ

!

~ ⊥ |µ が ∆E と同程度の大きさになる場合や、新のように書き直せるので、磁気遷移と磁場の結合 |B
しい物理のために A の非対角成分が 0 でなくて、かつその効果が小さくない場合には、これらの位
相 β 0 , γ 0 の効果も考慮する必要がある。

おわりに

6

ここでは主に 3 フレーバー混合の枠組でニュートリノ振動を簡単に解説した。これからの長基線実験の目的は、B ファクトリーにおけるクォークセクターの CP 非保存の精密測定と基本的に同じ
ニュートリノ振動に 、いわゆるマヨラナ位相 β, γ が現れないのは 、m† m 、mm† の中で相殺していることによっている。これは以下の述べる磁気遷移と磁場の結合がある場合や、新しい物理のために¯¡A の非対角成分が 0 でない場
¢ ¯合にも言えることである。これに対し 、無ニュートリノ二重崩壊に現れる量は hmee i ≡ ¯ V diag(m1 , m2 , m3 )V T ee ¯ =¯¯¯m1 c212 c213 ei(β+γ) + m2 s212 c213 ei(−β+γ) + m3 s213 e−2i(δ+γ) ¯ で、α, β 0 , γ 0 が相殺するかわりに β, γ が残る。
7

9

ものである。B ファクトリーにおいては、第一段階で CP 非保存の存在を検証し 、第二段階で標準模型からのずれの有無を調べることにより標準模型を越える物理の探索が行われている。前述の大強度長基線実験に関する将来計画の国際的スタディ[11] では、B ファクトリーの第二段階のように、レプトンセクターにおける 3 フレーバーからのずれを測定する可能性について検討が行われている。
標準模型を越える物理がある場合には、長基線実験でも何らかの兆候が見えることが期待されるが、天体物理学的対象からのニュートリノからも、兆候が得られるかもしれない。それらの点については今後の研究に期待したい。

参考文献[1] 南方久和, ニュートリノ振動研究の現状, 日本物理学会誌 53 (1998) 743.
[2] 戸塚洋二, 日本物理学会誌 58 (2003) 314 と同特集号 (第 58 巻第 5 号) の諸記事.
[3] 安田修, 平成１３〜１５年度科学研究費補助金 (基盤研究Ｃ (２)) 研究成果報告書第一章
http://theory1.phys.metro-u.ac.jp/˜yasuda/kaken-2003-1.pdf とその中の参考文献.
[4] A. Aguilar et al. [LSND Collaboration], Phys. Rev. D 64 (2001) 112007 [arXiv:hep-ex/0104049].
[5] M. Maltoni, T. Schwetz, M. A. Tortola and J. W. F. Valle, New J. Phys. 6 (2004) 122 [arXiv:hepph/0405172].
[6] M. Sorel, J. M. Conrad and M. Shaevitz, Phys. Rev. D 70 (2004) 073004 [arXiv:hep-ph/0305255].
[7] K. Anderson et al., arXiv:hep-ex/0402041.
[8] A. Guglielmi, M. Mezzetto, P. Migliozzi and F. Terranova, arXiv:hep-ph/0508034.
[9] O. Yasuda, New J. Phys. 6 (2004) 83 [arXiv:hep-ph/0405005].
[10] P. Huber, M. Lindner and W. Winter, JHEP 0505 (2005) 020 [arXiv:hep-ph/0412199].
[11] http://www.hep.ph.ic.ac.uk/iss/.
[12] J. G. Learned and S. Pakvasa, Astropart. Phys. 3 (1995) 267 [arXiv:hep-ph/9405296].
[13] H. Athar, M. Jezabek and O. Yasuda, Phys. Rev. D 62 (2000) 103007 [arXiv:hep-ph/0005104].
[14] J. F. Beacom, N. F. Bell, D. Hooper, S. Pakvasa and T. J. Weiler, Phys. Rev. Lett. 90 (2003)
181301 [arXiv:hep-ph/0211305].
[15] J. F. Beacom, N. F. Bell, D. Hooper, J. G. Learned, S. Pakvasa and T. J. Weiler, Phys. Rev.
Lett. 92 (2004) 011101 [arXiv:hep-ph/0307151].
[16] T. Kashti and E. Waxman, Phys. Rev. Lett. 95, 181101 (2005) [arXiv:astro-ph/0507599].
[17] K. Kimura, A. Takamura and H. Yokomakura, Phys. Lett. B 537 (2002) 86 [arXiv:hepph/0203099].
[18] O. Yasuda, Acta Phys. Polon. B 30 (1999) 3089 [arXiv:hep-ph/9910428].
[19] V. A. Naumov, Sov. Phys. JETP 74 (1992) 1 [Zh. Eksp. Teor. Fiz. 101 (1992) 3].
[20] W. Grimus and T. Scharnagl, Mod. Phys. Lett. A 8 (1993) 1943.
[21] 例えば J.N. Bahcall, R. Davis, Jr., P. Parker, A. Smirnov, R. Ulrich eds., SOLAR NEUTRINOS:
the first thirty years, Reading, Mass., Addison-Wesley, 1994.
[22] 例えば T.-P. Cheng and L.-F. Li, Gauge theory of elementary particle physics, Clarendon Press,
1984.
10