計測自動制御学会東北支部 第165回研究集会（1粥吼12・13）
資料番号165−14

スプール井内流れの動特性のモデル化
ModelingofTraJISientChara仁teristicthroughaSpoo）Valve
O夏 兢鵬＊，早瀬 敏幸＊，林 叡＊

OYupengXIA＊，ToshiyukiHAYASE＊andSatoruHAYASHI＊＊東北大学 流体科学研究所＊InstituteofFluidScience，TohokuUniverslty
キーワード：数値解析（NumericalAllaLysis），流体過渡現象（FluidTransients），スプール弁（SpooIValve），QUICKスキーム（QUICKSclleIne），時定数（TilneCoJIStalll）・
連絡先＝〒粥0−77仙台市青葉区片平 束北大学流体科学研究所 流動場制御研究室
Tel：（022）217−5255，Fax：（022）217−5311，E−11−ail：EOO14＠reynolds・if岳・tOllOku▼aC・jp

1．はじめにい場合も多い．そこで本研究では，実験が困難な高圧下における非定常流れ場の数値解析の油圧制御機器の基本的構成要素であるスプ結果に基づいて，スプール弁勤特性のモデル化

ール弁は，従来より機械工学の分野で実験的，を行うことを目的とする．著者らは既に，基本理論的研究が盛んに行われている．最近のスプ的な管オリフィスの軌特性が二つの時定数にール弁内の流れの数値解析においては，定常流よって記述できることを示し，その数学モデルに限らず，非定常流の数値解析も行われているを与えた（4）．さらに単純化した形状のスプール＝）．築地らは，スプール弁の閉口に伴う流れ場弁について，実際の使用条件に比べて小さな圧の変化を離散渦法によりメ捌斤し，噴流と渦領域力範囲内で，その勤特性が上述した管オリフィの形成に関する知見を得たほ）．また大路らは，スの数学モデルを拡張して説明できることをスプール弁移動時の流体力の変化に注目して，示した（5）．

数値解析を行い，弁の移動と流体九噴流角度の関係を明らかにした（3）．
さて、油圧制御系のモデリングにおいて，ス

本研究では，スプール形状及び動作圧力範囲ともに，実際の使用条件に近い場合について非定常数値解析を行う．まず，得られた数値解析

プール弁軋通常静的要素としてモデル化され結果に基づき，スプール井内流れの動特性を表るが，近年の油圧制御機器の高速化・高精度化

す数学モデルについて，すでに得られている低の要求に伴い，その軌特性が実際上無視できない圧力範囲での結果と比較して検討する．

おもな記号A ＝ スプールの流路面積＝れ2−r∫1ユ．数値計算法
計算の対象額域及び座標系を図1に示す．軸

木 ＝2五J

対称円筒座標系（r，ヱ）をとり，対応する速度成分

木 ‥ スプールの開口面積＝ム町。r

を（乙川）とする．旋回速度成分はないものと仮c。：流量係数定する．流体は非圧縮とし，ナビェ・ストーク

坑 水力直径＝2（㌔一巧）

ス式と連続式を基礎式にとる．

力〔わヱ：デ，Z方向の格子間隔
J スプールランド幅工 ニ スプール長さ

曾 二

流量＝す／（硯）＋ 〟 −∂Jル′：運動量

札凡 J■，Z方向の格子数〔「JJ（・フナJ−∂打＋lリ ー∂ヱ∂J■＿＋ −−−∂r ∂rコr ∂r釦∂w−＋ 打−♂J＿旦塾」＋一どIt・∂ヱ1∂w＋ −＋ ＋．

r占 計算額域の外周半径

た ㍉J・コJ■▲ スプールの軸半径−＋ −＋ −㌔∂J■ r ∂ヱ

∂1J 捏ヱ′ ♂ユ〟−rr J■ ∂zユ＋lt■∂rJ■。：＋はく離流線の再付着点rの位置

スプール半径（長さの代表量）

1〔？JJ旦＋塾竺√ユIl・r 升 虎ユ∂w

＝ 0…．………．．．．
（1）

月 再付着点距離＝r。イ。

凡 レイノルズ数＝仔川β山川
J 時間＝㌻／托2／∇）

本論文では長さの代表量をスプール半径子。，速度の代表量を尭として，これ隼流体の密度（岬） ′一，Z方向の速度成分＝（首，呵／（Ⅴ／引声を代表量として加えて，諸量を無次元化して−γ′，．＝ 断面平均軸速度＝す／」z示す．［ただし，毒は動粘度，圧力の代表量はα ＝ 時定数て。のモードの割合』P 上流と下流境界の圧力差＝几一賞咄コ，時間の代表畳は討となる・有次元量は全て〜を付して示した．］』f 計算時間刻みv

流体の軌粘度β：噴流の流出角

声 流体の密度
ち 流量の時間変化に対応する時定数の理論値

ち 再付着点距離の時間変化に対する時定数の理論値
首 スプール変位

下付き添え字s 正常値
上付き添え字〜L

有次元塵

Fig．1Geometryandcoordinatesystel11

非定常計算の初期条件としては，初期時刻

不等間隔格子系におけるqUICKの係数は表声0において，すべての流体は静止しているも1に示すように座標の関数になる．等間隔の格のとした．境界条件は，壁面上では滑りなし，子系の場合には，式（2）は既報の結果と一致す

Fr占における上流と下流の断面では，各速度成る川分のr方向の勾配が看であるとし，上流端断面iも 式（2）中の下線を付した項が生成項として上では圧力古まdP，下流端断面上では圧力は0取り扱われ，反復計算の過程で前回の計算結果とした．

を用いて評価されることにある．この表式は，．従来のqUICKの表式との本質的な違い

Pata止arの四つの基本ルール（6）より求めた等

本論文で用いた数値解析手法について，以下に述べる．不等間隔のスタガード格子系を用

間隔格子系の表式け）を拡張したものである．こい，有限体積法に基づいて塵礎方程式を離散化の取り扱いにより，反復計算の過程において，する．得られた差分方程式群は，SIMPLER法

コントロール・ボリューム界面での流東町連続（6）に類似の手法により解かれる．この数値計算性が保証されるため，数値計算全体の安定性が法は基本的には前報（5）と同じものである．

向上した．数値角牢析手法の詳細については既報

本月牢析手法の主な変更点は，対流項の取り（与）で述べているので，ここでは省略する．

扱いで，二次精度のqUICKスキームを不等間TablelCoefncientsinQUICKschemeof110n−隔格子系に拡張したことである．すなわち，図unifbrmrectangulargridsystem

2の不等間隔格子系におけるコントロール・ボ
リューム境界での変数￠の値れおよび或は上流側の2点と下流側の1点における値を用いて，Aei

式（2）で表現できる，

Ug＞0，Uw＞0，Ug＜0，UⅥ一＜0，（1仁一ズ．）（∫…−Jf）（∫f−∫￠）（斗吊−∫ビ）（J∫−∫ト■・）（∫山一∫ト】） （∬ゴー∬江2）（ズ山一エf＋コ）（ち＿1−エビ）（∫吊一丈e）

Bぢj（ェf＿l−エ≠）（∫f．l−エf） （∫f一方吊）（ズf＋コー∫山）

Uビ＞0，UH」＞0：

C。i軋＝￠I＋現れ1＋（βニー1）￠′＋Cよ吼＋．

（∫ゴーエゼ）（ズ．・＋コー∫f〕（ごf＿1−∫ ）（∫才一ち）（ち吊−∫。）（∫h2−∫β）（よト】−エ吊）〔圭一エ吊） （∬i−エf＋ユ）（千両−∬i＋2）

Awi

軋＝￠H＋」ニれユ＋（月二一l）れ＋〔こ￠≠（＃ト】−∫w）（ち一方w） （∫ト】−∫H．）〔∬一・−ズⅥ．）（工ト】−∫ト2）（ェf−￡トユ） （キト1−∫吊）（∫f−∬什−）U￠＜0，UH＜0：

Bwi

軋＝れ＋4藩＋2＋（乾−1）れ】＋G￠．

（エト2一方Ⅳ）（∫f−エw） （∫ト】−＃、γ）（方山一芳w）（隼＿ユー￡ト1）（∬上−∫ト1） （∫トl−∫J（∫山一芳f）￠Ⅵ．j＝￠】・＋亮丑十．＋（月ニf−1）￠一＋CニFれい・‥（ユ）Cwi〔∫トコーズ岬）（∫i＿−一方w） （芳∫−∫w）（ェ山一芳川）（∫トユー羊）（∫ト】−ち）かi−2Tab）e2 ComputationaLconditions
ホi−1ト1W（圭一∫トl）（ヱ．．1−∫トl）

7．0

35．Orn11111

Spool rod radius r,

0．5

2．5【m叫Spoolradius r。

1．05．Ormlll

Outer boundary radius rb

呂．0

40．Ormml

il妻E

Fig．2ControIvolumeofo11e−di111enSional

non−uLlifurmgridsystem

Spoollength L

Pressuredil：托renceAP

Residual at convergence

3．2×10丁 ヨ．4「MPal0．023．計算結果と考察

非定常計算を行った．計算格子系は表〕に示すようになる．上で述べた予備計算の結果に基づ

3．1非定常計算
計算条件を衰2に示す．以下の計算はすべて

き，流れ場が局所的に急激に変化するメータリ

無次元量を用いて行ったが，参考のためスプー

等間隔格子系を用いた．

ングオリフィス近傍に格子点を集中させた不ル半径を5【nu−−】，動粘度を5．5×10￣5［11一類］，密スプール閉度∈0．05の場合の流線の時間変度を呂TO［kg／mユ】とした場合の有次元畳も表2中化を図ヨ（a）〜（c）に示す・時間tが小さい間は，に併記した．

はく離は生じないが固3（a）】，やがてメータリ

非定常計算に先立って，本計算手法の計算

ングオリブイスの下流側面からはく離渦が発精度と有効性を確認するための予備計算を行生する【囲コ（b）］．流量は時間とともに増加し，った．まず，三種類の等間隔格子系脾此；（A）

J＝0．0005においてほぼ定常値に達しているが，50×町（B）100×1叫（C）200x3ユ0を用いて定常 渦領域は時間とともにさらに拡大し，時刻計算を行った．スプール弁開口部周囲の流線に／＝0．01ではほぼ定常状態となる．

ついて，（A）と（B）ではかなりの差が見られた

一方，スプール閉魔の大きい≠0．2［囲4（a）が，（B）と（C）の結果には差はほとんど見られな〜（c）】の場合は，時間′が小さい間は，≠0月5かった．次に流れ場が局所的に急激に変化するの場合と流線の形状に大きな差は見られない

メータリングオリフィス近傍に格子点を集中が［図3（b）と図4の（b）］，時間の経過とともに，させた不等間隔格子系（印55x110を用いて定流線は複雑に変化する［図4（c）］．メータリング

常計算を行った結果，格子系（B），（C）と同一・のオリフィス部に注目すると，時刻巨0．00ユでは流線が得られた．

スプール開口下流側から渦が発生しており，時スプール開度ぐ＝0．025，0朋，0，1，0．2の場合間の経過とともに流れ方向に移動しながらについて，時刻J＝0において，すべての流体が徐々に発達する．声0月14において，下流側の静止しているものとして，圧力差』Pを0から計算領域がほとんど渦領域になり【図4（c）】，渦3．2XlOT（無次元）にステップ状に変化させ，領域はさらに下流側に発達する．

Table3 ComputationalgridSIcadγ（Test）
Calculalion

A B C

UllSleadY

D
什2

0．0ユ5

0．05

0．1

0．2

ヰユOxlOO

2（iOxlO（）

ユ鼠Ox130x13014（1100

八丁r′打入J＝x邑055xllOxl（；01／2叩≦r＜4）

GridJT′L 1／川 1／20 1／40

1ノ5（4≦r＜8）

Size

lノ5（0≦z＜3）

1／2口（0≦r＜4）

1／20（0≦r＜6）

1／5（4≦r＜8）

1／5（G≦r＜呂）

1／5（0≦z＜5）

1／5（0≦z＜5） 1／5（0≦zく5）
1／ユ0ム∫ 1／10 1／20 1／40

CPUliLne［s】

ユ．3 乳3 15．ワ

2×10￣d1xlOd10ユ0』／

コ．2

ユ1．了

13．5

17．7

軋8丁．0

□．D

8．b

丁．ロ

0．0

3．5

（c）t＝0．01（q＝1紺9，37）
Fig，3Streamlinefbrtimedepe11dentcalculation（∈＝0・05）（a）t＝0．0001（q＝979．51）（b）t＝0■0005（q＝1906■54）

r．0（a）t＝0．0002（q＝2255▲78）（b）t＝0・0014（q＝6850・22）

0．D（C）t＝0．014（q＝5956．甜）Fig，4StreamlillefbrtiLTICdepe11delltCalculation（ち＝0．2）

3．エ スプール弁動特性の理論モデル
スプール閉度亡の種々の値に対して，スプー

では，メータリングオリフィス下流端面から満額域が達する半径方向の最大位置までの距離

ル閉度亡と加数との関係を図5に示す・rをを再伺■着点距離と定義する．そのため，流れが増すとレイノルズ致すなわち定常流量が増加

定常状使に落ち着く場合は，既報と同じようなする．本計算条件では，仁0．2以上で，メータ結果が得られる．流れ状態が定常とならない場

リングオリフィス部で発生した渦領域が次々合は，渦額域が半径方向に広がって行くため，に半径方向に移動するようになり，流れは定十分時間が経過した複メータリングオリブイ常状態におちつくことはない．前報（5）において，ス下流側すべての流れ領域は渦領域になる．再レイノルズ数の比較的小さい場合には，流れ場

付着点拒郎几．と亡の関係を図6に示す・再付の捕造の変化に対応する時定数が，定常状憮の着点距離はどの増加とともに増加するのが分

はく離流線の再付着点拒離を用いて表せるこかる．とを示したが，流れ状傾が定常とならない本計

流量曾と再何￣着点拒離凡Jの時間変化を，そ算条件の範囲では，上記のモデルをそのままのれぞれの定常値（添字Sを付した）で正規化形で用いることはできない．そこで，本論文して図7（a），（b）に実線で示す（破線で示した理丁．0最大半径まで増加し．定常値におちつくことはない．

前報では，スプール弁における流量曾と再付着点距離J〜の‖榔円変化を峠定数ち．ちを持つ2つの指数関数で良好に近似できることを示
した亡5）

甘∫

T＝q＝000．05

0．1

0．15

D．ヱ

0．25

∈

r王＝仁君

Fi岳．5Re］ationbetweenspooIstroke〔d・ここでJ■は帖性長と呼ばれ．次式で表される．

atldJい1しIlnber

描＋射律詩＋三In

甘仰しかし，このモデルでは2つのモードの割合を任意定数として含んでいるた軌数学モデル
00．05

0．15

0．10．2∈n．ユ5の具体的な表式を得るためには数Il酬相子結果を必要としていた．そこで，本鞘では，前軸の結果をふまえた上で，任意定数を含まない形のFig・6Relatio）1be［wecJldistallCeOFrea【【aachmentPOint軋即00Ⅰ由Okeち

数学モデルを与える．

まず，統監については．ちのモードの寄与は諭モデルの結果については後で述べる）．スプール関度≠0朋の場合は，流量甘が速やかに小さいとして次式が成り立つものとする（＊を付した迅はラプラス変換昆を表す）

定剛直に達して，定常状態におちつく．再付着点距離の変化はそれに比べて鯉やかであり．十分時間が経過した後定常他になる∴二の結果は，

ヴ●1』〆

（う）

．‖．

ヴ∫ 1＋㍉・i■』pJ

既報（5）に指摘したように，2つの時間スケールの存在による．しかし．高レイノルズ数の戸0．2の場合において流量がほぼ一定値に達した後も振軌的に変化し続ける，流れの捕造に関しては，綱領域が半径方向に広がって行くため．再付着点距離は時間の経過とともに計算脚或のまた，耐寸蕃点拒離は．流塵の変化に対して．

1次遅れ系として次式で表されるとする．

Ji●l 〟一 ヴ（6）．…．．

月。．1十rヱ・rヴ．−

式（5），（7）で圧力のステップ変化を考えAP＋仏P五＝1／sとおいて，ラプラス逆変換すると

九■ヽ﹈

0

岩出壷hⅥb盲＝1αピトα・g 九−（l−α・）ピザト…岬）nV

α ＝1（9）

．‖…．．

0．00ユ

00．004

0．0鋸

D．00呂

0．01

t

㍉．

T可一丁ヱ

（a）E＝0．05

式（8）はqとRの変化に対して，前報と同一の衷式を与えるが，て。のモードの割合を与える係数α，α，は本モデルでは任意定数ではなく，式（9）で与えられる点が異なっている．仁0．05おとモードの割合を求めた結果を表ヨに，またこれらの値を式（町こ用いてqとRの時間変化をくJ
nV

S感銘云㌫b盲

よぴ0．ユの場合について，式（ヨ），（4），より時定数求めた結果を図7中に破線で示した．

Table4TiJllCCOllStanSftol1111umericalcaLcuatioJlnU

0．00ユ0D．004

0．OD占

0．008

0．01t（t））ち＝0・ヱFig・7 Variatiol−Ofnowrateanddistance

OfreatlachlTICatpOllll

図7（a）の告0．05の場合では，流量と耐寸着点拒離ともに理論モデルの結果は，計算結果と式（5），（6）が，任意定数を含まないスプール弁動特性の数学モデルである．式（5）を式（6）に代入
するとよく山致している．隠7（b）の≠0．2の場合では．
再付着点距離の数値計算結果はほぼ線形ド伽こ増加して，定剛直に落ち着くことはないが，本J（●月∫ （1＋一三∫）（1十r。∫）』β∫』p■ ＿．…‥（7）数学モデルは平均速度場による再付着点距離凡打までの耐寸着点距離の時間変化を定性的に説明できることを示している．

4．轄
油圧制御系の基本構成要素であるスプール弁を対象として，実際の使用条件に近い形状および圧力範囲の場合について，ステップ状の圧力変化に対する流れの非定常数値解析を行った．スプール弁の非定常特性を2つの時定数を用いて表現する数字モデルを任意定数を含まない形で導出し，その有効性を数値解析結果との比較により検証した．
参考文献（1）住軋 スプール井内流れのCFD解析，油圧と空気圧，ユユー2（1991），13g−142．

（2）築地，曽篠，米沢，スプール弁が開閉動作する場合の二次元流れ，油圧と空気圧，エコー7，（1992），呂23一呂29．

（3）大路，上野，岡島，韮，スプール弁内流れの数値シミュレーション，秋季油空圧講演会論文集，（1995），53−56．

（4）早瀬・程・林，管オリフィス流れの過渡特性に関する数値解析（第1報，非定常流れの特定数），概論，59−560，B（1卵3），102ヨー1029．

（5）早瀬，程，林，スプール弁内の非定常流に関する数値解析，機論，占1−584，B（1995），
13Rユー1ヨ8軋（6）Patankar，S．V．，NumericalHeatTransftrandF）uidFlo刊・，（1980），131，McGraw−Hill．
（7）Hayase，TりHumpllrey，J，A．C，andGreitR・，A

ConsistentlyFormulatedQUICKScllel−1efbrFast
andStableCollVerBenCeUsingFinite−Volume
TterativcCalculationProcedures，］．ComputLPhys・，
98−1（1卵孔10臥