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計測自動制御学会東北支部第 28
1回研究集会 (
2013.
6.
21)
資料番号 281‑
9

離散フーリエ変換の不確定性原理から見た位相限定栢関関数の性質
PropertiesofPhase‑onlyCorrelationFu
nctionsthroughthe
UncertaintyP
rinciplefo
rtheDiscreteFourierTransforms0)
1
1又政征場

o!
v
lasayukiKawamata**東北大学*TohokuUniv
ersityキーワード: 離散フーりエ変換 (discrete‑Fouriertransform). 不確定性原理 (uncertaintyprinciple)，位相限定相関関数 (phase‑onlycorrelationfunction)

連絡先:干980・8597 仙台市青葉区荒巻字青葉 6‑
6・05東北大学大学院工学研究科電子工学専攻

l.
:(022)
7
95・7057，Fax.
:(022)
2
63・94
11，E‑
mail:kawamata<Oecei.tohoku.ac.jp
川又政征. TeIX(k)lei9k k=0，1，2，・・・ N ‑1(2)1. はじめに
位相限定相関関数は，信号，画像，映像のマッチ

ここでングなどに用いられる優れた相関関数である(たと一=低吋えば文献 1)，2)，3)，4)，5)).ここでは，位相限定相関

町関数の優れた性質を離散フーリエ変換の不確定性原は回転因子である.また ，X(k)は周波数スベクト

理から眺めてみる.従来，信号とフーリエ変換の不X(k)1は振幅スベクトル，(Jkは位相ルとも呼ばれ，I確定性原理の記述は，連続時間信号とフーリエ積分の立場から議論されることがほとんどであった.しかし，ここでは離散時間信号と離散フーリエ変換についての不確定性原理を導入し 6)，7)，これによってeχ

j9k は位相因子と呼ばれる.
スベクトルと呼ばれる .eX(k)の離散フーリエ逆変換は次式によって与えられる.

x(n)2. 離散フーリエ変換と位相限定相(4)k=0，1，2，...N‑1(5)同様に，長さ N の複素信号 y(n)に対しても，離関関数

散フーリエ変換(周波数スベクトル)
Y(k)，振幅スベ2.
1 離散フーリエ変換

クトル IY(k)l，位相スベクトル仇，位相因子♂φk

長さ N の複素信号 x(η)の離散フーリエ変換は以を求めることができる.

下のように定義される.
N‑lX(k)N‑l

方 EX(k町噌

位相限定相関関数の優れた特徴を明らかにする.

方 ζx(n)吋 仰‑1‑、、2.
2 位相限定相関関数

クトルの差は αk = ‑2rrskjNであり，位相因子はexp(‑j2何 kjN)となり，位相限定相関関数 r(n)は長さ N の複素信号♂刈(η吋)と y(:吋ηn以下のように推移されたデルタ関数となる.

ベ数 T(吋n)を以下のように定義する.

方噌E..
n︐︐︑︐︐T︑・IDFTr. ~(k)Y*(k~\(6)方Zd(い(7)¥IX(k)IIY(k)1)r(n)

n=0.1.2・・ .N‑lZe‑jhsk/NWK♂
(N‑lk)wpk?

N‑l01

π=sのときn=/:0のとき(1ηJ万d(n‑s)

(8)

(16)

(18)

ただし .X(k)Y(k)ヂ0である.ここで，二つの信

このとき ，r(n)の離散フーリエ変換(周波数スベク号の位相スベクトルの差を ω = (}k一 仇 と お け ばトノレ) は︐︐v
y'︑︑︑T..

︐︐tt

U
方誌

E ησzγ:

R(k)

N‑l♂
官♂
戸仰叫
α州川k町
IV古Jnexp(‑j21iSkjN)
J.~(19)=0，1，2" 'l
V‑ 1，J唱EA

JE‑‑nU﹄︑

n=O1.2.
".
1'1{一1(9)であり . IR(k)1= 1である.

すなわち，位相限定相関関数は二つの信号の位相ス(14)および (18)式の性質により ，x(n)を送信信ベクトルの差の位相因子 d向の離散フーリエ逆変換

号(参照信号)，y(叫を受信信号(対象信号)とし(吋である.明らかに rて，二つの信号のマッチングが可能となり，またマッチングした信号の時間差を求めることができる.

噌司︐︐.
置︑︑

Jαk，e
k= 0，12、...N‑1'EA︑.
︐︐EAR(k)であり， とくに IR(k)1=1であることに注意する.

3. 離散フーリエ変換の不確定性原

理2.
3 位相限定自己相関関数の重要な性質

フーリエ変換の不確定性原理について記述してし、位相スペクトルの差が αk =0，k=0，1，2，"'， lV‑

るほとんどの信号処理の教科書や論文では，連続時1のとき，すなわち位相因子 dα k = 1のとき，位相間信号とそのフーリエ積分の立場から不確定性原理(n)は以下のように振幅 JNのデル限定相関関数 rを議論している.しかし本稿では，離散時間信号をタ関数 d(π)となる.

扱っているため，離散フーリエ変換に関する不確定t︑.
︐︐n︑︐︐T

N一1マ方誌(E}d♂Or刈町v
Jn性原理を導入する.
(12)1)のサポート supp9を以下のように定義する.

(f(13)

ゾ万d(n)(14)n=Oのときη=/:0のとき

いま，長さ N の複素信号 g(η)(n=0，1，2，'••，N‑

supp9= η{Ig(n)=/:O}(20)

Isuppglによって supp9の要素数を表すものとすr(n)の離散フーリエ変換(周波数スベクこのとき .'る.このとき， Isuppg
lは信号 g(n)のある種の時間トノレ) は幅とみなすことができる.

R(k)1，k=0，1，2・， "lV‑1

同様に，長さ N の複素信号 g(n)の離散フーリエ(15)(k)(k=0，1，2，・，'N ‑1)に対して変換 GtsuppGである.位相スペクトルの差が αk =0，k=0，1，2，と IsuppGI を定義することができ・，' N‑1となるのは，たとえば x(吋 と y(n)が等(k)のある種の帯域幅とみなすこ
波数スベクトル Gしいときである.とができる.

またty(n)=x(n‑s)のように ，y(n)が x(n)tIsuppGIは周長さ N の複素信号 g(n)とその離散フーリエ変換G(k)に関して以下の不等式が成立する.

を S 時刻だけ推移させた信号であるとき，位相スベ
ハノ‑4. 位相限定相関関数の時間幅と周定理 1 6ノ，

18叩 pgllsuppGI孟 N(21)

この不等式は，信号の時間幅 Isuppg
lとその周波数スベクトルの帯域幅 IsuppGIの積が一定値 (N)以上であることを示しており，離散時間信号とその離散フーリエ変換の不確定性原理である.
一方，離散フーリエ変換に関して以下の不等式が

波数帯域幅
いま，長さ N の二つの複素信号 x(n)と y(n)の位相スベクトルが等しい場合を考える.このとき，前述のように，二つの位相スベクトルの差は αkであり，位相限定相関関数 r(n)とその周波数スベク(k)は以下のようになっている.
トル R成立する.

，0，'"，0]r(n) = [♂， 0定理 2 6)Nが素数であり .g(n)が恒等的に 0でなR(k)

いならば

01
[，1:1，'・.，1)

初)
(31)

(30)式から，複素信号(位相限定相関関数)'r(η)の時
Isupp91+IsuppGI孟 N+1(22)問幅は極めて狭く .R(k)の帯域幅は極めて広いという状態となっていることは明らかである.

この不等式は，信号の時間幅 Isupp91とその周波数

これを不確定性原理の不等式を使って眺めてみる.

スベクトルの帯域幅 IsuppGIの和が一定値 (N+1)，2:3の式を評価すると以下の値が得られる.
定理 1以上であることを示しており，これもある種の不確‑定理 1において定性原理である.
さらに，以下のような量を定義する.

ι = 乞Ig(η)
12=乞I
G(k)
121(32)

Is¥明 )RIN(33)

IsupprllsuppR
IN(34)(23)

knIsupprl

sf= よ乞￨仰向(21)式の下限)

nSS=L 写剛何(~小)附イーIS;
121(26)

σるー IS~12
ここで，.定理 2においてIsupprl1(35)(27)

IsuppRIN(36)σ;は，信号 g(n)の時間幅， σ
ちは周波数スIsupprl+IsuppR
I

N +1(37)(k)の帯域幅とみなすことができる.
ベクトル G((22)式の下限)(n)とその離散フーリエ変換
長さ N の複素信号 g
さらに，G(k)に関して以下の不等式が成り立つ.
定理 3 7)(かぽかσ(る+M3)(28)

孟 M3(1+W3)(29)

E9=N(38)

sf=1(39)S2=0
σj=0(40)(41)σ主 =(42)

この関係は，信号の時間幅とその周波数スベクトルの帯域幅の積(すこし余分な項もあるが)が一定値以上であることを示しており

離散時間信号とその離散フーリエ変換の不確定性原理である.となるので，‑定理 3において︒
︒(σμω 号)(l1h+ば号)(43)

(1+ tan 号会))
=tan 1~ (1+ tan 会)
2=(0+tan22(44)2(45)((29)式の下限)以上の計算例から，位相スベクトルの差が Oの場
合，位相限定相関関数 r(n)の時間幅と周波数スベクトルの帯域幅に関して以下のことが分かる.
‑位相限定相関関数 r(n)の時間幅は最小である(32)式. (35)式， (41)式が示している)•‑位相限定相関関数の周波数スベクトル R(k)の33)式， (36))式. (42)式
帯域幅は最大である (が示している).
‑位相限定相関関数 γ(n)の時間幅と周波数スベ4)K. Miyazawa，K.Ito，T. Aoki，K. Kobayashi，andH.Nakajima，AnEffectiv
eApproachforIrisRecognitionUsingPhase‑basedImageMatching，"IEEEτ'rans.PatternAnal.Mach.
.Intell.，30‑10，1741/1756(2008).
5)S.Yam叫d，J.Odagiri，M. Abe，M. Kawamata，
EffectsforSむochasticPhaseSpectrumDifferencedonP
hase‑
onlyCorrelationFunctions，Part1:Sta‑
自 fortionallyConstantP
hasseSpectrumD
ifferencFrequencyIndices，Proc.fIEEEInt.Conf.onNet‑
workInfrastructur
eandD
igitalContent，
360/364(2012).
6)Ostrow
skiLecture: The unifor
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7/04/
15/ostrowski‑lecture‑the‑uniform‑
uncertainty‑
principle‑and‑compressed‑sensing/7)G.¥V.Forbes and M. A.A
lonso，ConsistentanalogsoftheFourieruncertaintyrelation，Am.
J.Phys.69‑10，1091/1095(2001).

(k)の帯域幅の積(あるいは和)は下
クトル R限となっている.すなわち，不確定関係の不等式において等号が成り立っている (34)式， (37)
式. (45)式が示している).

5. おわりに
本稿では，位相限定相関関数の性質を離散フーリ
エ変換の不確定性原理から眺めた.位相限定相関関数を用いて二つの信号が理想的にマッチングされる状態である位相スベクトルの差が Oの場合，位相限定相関関数の時間幅は最小であり，位相限定相関関数の周波数スベクトルの帯域幅は最大となり，かっこれらの時間幅と帯域幅の積(あるいは和)は下限となり，不確定性の不等式の等号が成り立っているいることを明らかとした.

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‑4‑