1. gyakorlat - Végtelen sorok
2016. március 2.
1. Határozza meg az alábbi végtelen sorok összegét!
(a)∞
Xe2n − enn=1(b)e3n=∞X

e−n −n=1∞
X
4n + 5nn=1

6n+1

∞
X

e−2n =

e−1
e−2
1e1
−
=
= 2− 2−1−2e−1 e −1 e −1
1−e1−e∞!nn=1

1X 4=6 n=1 6∞

1X 5+6 n=1 6!n=2 5 7+ =6 6 6(c)!
!
!
∞NX
X
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1=−=lim−=lim
1−=2−1
N→∞
N→∞ 2
22n−
12n+
1
22n−
12n+
12N+
1
24nn=1n=1
n=1∞
XAz (a) és (b) feladatban a geometriai sor összegképletét kellett használni, míg a(c) részben előbb parciális törtekre bontottunk, majd kihasználtuk az így kapottösszeg teleszkópikus voltát.
2. Állapítsuk meg a gyök és hányadoskritériumot használva, hogy az alábbi sorok
közül melyek konvergensek és melyek divergensek!
(a)∞Xn2nn=1

3nA konvergencia eldöntésére hányadoskritériumot használunk.
an+1 (n + 1)2n+1 3n2=→an
3
3n+1 n2n
A kapott hányados értéke 1-től kisebb, tehát a végtelen sorunk konvergens.
(b)

∞
X
2009n
n=1

1n2009

A konvergencia eldöntésére gyökkritériumot használunk.
rn
√n
2009
n 2009an == √n
→ 2009n2009
n2009
A kapott n-dik gyök értéke 1-től nagyobb, tehát a végtelen sorunk divergens.
(c)
∞
X

31−n
n=1! n2

A konvergencia eldöntésére gyökkritériumot használunk.
s! n2!nn
√n
3
3
an =
1−= 1−→ e−3nn
A kapott n-dik gyök értéke 1-től kisebb, tehát a végtelen sorunk konvergens.
(d)∞X
2n + 6nn=2

3n + 7n

A konvergencia eldöntésére gyökkritériumot használunk, de előbb egy becslést hajtunk végre a könnyebb számoláshoz.
2n + 6n 6n + 6n≤
3n + 7n
7n
s!npn
√n 6
66n
bn = 2= 2 →7
7
7
A kapott n-dik gyök értéke 1-től kisebb, tehát sorunkat sikerült felülről becsülni egy konvergens sorral, tehát a majoráns kritérium alapján az eredeti
sorunk is konvergens.
(e)

∞
X
2n
n=3n!

A konvergencia eldöntésére hányadoskritériumot használunk.
an+1
2n+1 n!
2==→0an(n + 1)!2n n + 1
A kapott hányados gyök értéke 1-től kisebb, tehát a végtelen sorunk konvergens.

2

(f)

∞
Xn!
n=1

nn

A konvergencia eldöntésére hányadoskritériumot használunk.
 n nan+1(n + 1)!nn==→ e−1an
n+1(n + 1)n+1 n!
A kapott hányados gyök értéke 1-től kisebb, tehát a végtelen sorunk konvergens.
3. Mely "a" esetén konvergens a következő sor?
∞
X
n=1

a
1
−n+2 n+4!

Megoldás: Csak az a = 1 esetén konvergens.
4. Az alább megadott végtelen sorok közül melyek konvergensek, és melyek divergensek?
(a)∞
X

11+n2
n=2

A konvergencia eldöntésére majoráns kritériumot használunk.
11≤
1 + n2 n2P
1Azt pedig tudjuk, hogy a ∞n=1 n2 sor konvergens, így a majoránskritérium
alapján az eredeti sor is konvergens.
(b)
1n ln nn=2

X

A konvergencia eldöntésére integrálkritériumot használunk. Minden x ≥ 2esetén az f (x) = x ln1 x függvény pozitív és szigorúan monoton csökkenő.
Z∞

1dx = [ln ln x]∞
2 =∞x ln x2A sor tehát az integrálkritérium alapján divergens.
(c)1n(lnn)2n=2

X3

A konvergencia eldöntésére integrálkritériumot használunk. Minden x ≥ 2esetén az f (x) = x(ln1 x)2 függvény pozitív és szigorúan monoton csökkenő
(ez egyszerű deriválással látható).
Z∞

11dx = [−(ln x)−1 ]∞2 =2
ln2x(ln x)

2

A sor tehát az integrálkritérium alapján konvergens.
(d)

∞
X

12n − 1n=1

A konvergencia eldöntésére minoráns kritériumot használunk.
11≥2n − 1 2nP
1Azt pedig tudjuk, hogy a ∞n=1 2n sor divergens, így a minoráns kritérium
alapján az eredeti sor is divergens.
(e)

∞
X

1

n=1

n2 + 2n + 4

A konvergencia eldöntésére majoráns kritériumot használunk.
1n2 + 2n + 4

≤

1
n2

P
1
Azt pedig tudjuk, hogy a ∞n=1 n2 sor konvergens, így a majoránskritérium
alapján az eredeti sor is konvergens.
(f)

∞
X

1
3−4
n
n=1

A konvergencia eldöntésére majoráns kritériumot használunk. n ≥ 2 esetén1n3 − 4≤1
3n3 − n2=2
n3P2
Azt pedig tudjuk, hogy a ∞n=1 n3 sor konvergens, így a majoránskritérium
alapján az eredeti sor is konvergens.
(g)
∞
X
1
n2n
n=1

A konvergencia eldöntésére gyökkritériumot használunk.
r
√n
1
1
n
an =→nn2
2
4

A kapott n-dik gyök értéke 1-től kisebb, tehát a gyökkritérium alapján az
eredeti sor konvergens.
(h)

∞
X
ln n
n=1

n

A feladat megoldása kétféle módon történhet. A konvergencia eldöntésére
minoráns kritériumot használunk. n ≥ 3 esetén
ln n 1≥nn
P 1
Azt pedig tudjuk, hogy a ∞n=1 n sor divergens, így a minoránskritérium
alapján az eredeti sor is divergens.
VAGY A konvergencia eldöntésére integrálkritériumot használunk. x ≥ eesetén az f (x) = lnx
x függvény pozitív és szigorúan monoton csökkenő (ezegyszerű deriválással látható).
Z∞e" 2 #∞
ln x
ln x
=∞
dx =x
2 2A sor tehát az integrálkritérium alapján divergens.
(i)

∞ √Xn
n=2

ln n

A konvergencia eldöntésére minoráns kritériumot használunk. n ≥ 2 esetén
√
11n
≥
≥
ln n ln n n
P∞ 1
Azt pedig tudjuk, hogy a n=1 n sor divergens, így a minoránskritérium
alapján az eredeti sor is divergens.
(j)∞X1(−1)nnn=1

Ez a sor Leibniz típusú, hisz az általános tag abszolút értékben monoton
csökkenőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapján a fenti sor konvergens.
(k)∞Xn=1(−1)nn+1
n+2

A sor nem Leibniz típusú, ugyanis az általános tag abszolút értékben nemtart monoton csökkenőleg a 0-hoz.
|an | → 15

Azaz nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele, így az eredeti sordivergens.
(l)

∞
X

(−1)n√

n+1−

√ 
nn=1

Gyöktelenítéssel a sor a következő alakra hozható:∞
X(−1)n√n+1−n=1∞√  X(−1)nn =√√n+1+ nn=1

Ez pedig már egy Leibniz típusú sor, ugyanis az általános tag abszolút értékben monton csökkenőleg tart a 1-hoz. Így a megfelelő tétel alapján a sor
konvergens.
5. Az alábbi sorok közül melyek az abszolút konvergensek, feltételesen konvergensek, illetve divergensek?
(a)∞X(−1)n+1 0.1nn=1Ez a sor Leibniz típusú, ugyanis az általános tag abszolút értékben monoton csökkenőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapján a fenti sor
konvergens. Ha abszolút konvergenciát vizsgálunk, akkor egy 1-től kisebb
hányadosú geometriai sort kapunk, ami szintén konvergenes. Így a feladatbeli sor abszolút konvergens.
(b)∞
X
n=1

(−1)n+1

35+n

Ez a sor is Leibniz típusú, hisz az általános tag abszolút értékben monoton
csökkenőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapján a fenti sor konverP
1gens. Ha abszolút konvergenciát vizsgálunk, akkor a ∞n=1 6n sorral minorálható a sorunk, ami divergens. Így a feladatbeli sor nem abszolút, csakfeltételesen konvergens.
(c)∞X1(−1)n 2n +4n=1

Ez a sor is Leibniz típusú, hisz az általános tag abszolút értékben monoton
csökkenőleg tart a 0-hoz. Így a megfelelő tétel alapján a fenti sor konverP
1
gens. Ha abszolút konvergenciát vizsgálunk, akkor a ∞n=1 n2 sorral majorálható a sorunk. Így a feladatbeli sor abszolút konvergens.

6