計測時動制御学会東北支部第177回研究集会（199乱10．30−31）
薯料番号177−10

制御系設計への遺伝的アルゴリズムの応用
ApplicationofGeneticAlgorithmstoControISystemsDeslgn○小松健 工郎★，石原正★，猪岡光貴
OKen・ichirouKomatsu，TadashiIshihara，HikaruInooka

貴東北大学★TbhoknUniversity
キーワ←ド：制御系設計（controIsy畠temSdesign）∴遺伝的アルゴ1）ズム（FenCticalgorithnl），
ラ7ルタ主義（IJamarCkism），適合原理（principIcofmatching）．

連絡先：〒981・85T9宮城県仙台市青葉区荒巻字青葉01
東北大学大草院情報科学研究科知能削御システム学講座（借問研究妄）小松健一帆恥1．＝（022）217−7021，F弧▲：（022）217−7019，
E−mail：ko皿且tSu＠control，is．tc．hoku．ac．jp

1．緒言
遺伝的アルゴリズムは，環境へ適応し進化する系としての生物に着想を程，生物が有する遺伝・自然淘汰・突然変異といった機序を模擬Lた，問題解決の一手はである．工学的には，遺伝的アルゴリズムは最適化手法の一種と看傲す事が山来る．例えば，設計問題に於ける，既定の設計モデルを具体化し，且つ，設計目的に最適化された設計パラメータの探索等に用いられる．
制御系設計も遺伝的アルゴリズムの応用対象の一つであり，制御系設計解の探索手段に用いる事を試みたという報告が幾つかある．
然L，系の設計問題を最適化問題として解決する事には，特有な問題が内在している．
設計目的を与え，設計モデルを規定すれば，最適化手法で設計モデルを最適に具体化する設計パラメータを探索する市は出来る．だが，最適化手法を用いて設計モデルに蕃連な設計パラメータを与えたとLて，其れが，設計仕様を捕たし，設計者を補足させられる設計解であるか否かに就いては，保証されていないのである．遺伝的アルゴリズムも最適化手法の−−・−一つである為に，そうした問題からは逃れられない．

其処で，本発表では，制御系設計に於いて遺伝的アルゴリズムを部分要素から制御系を再情成Lて得る手法として利用出来する事に就いて述べる．必要に応じて設計モデルに相当する構造を可変させる事は，より広範な設計解探索領域を確保する手段となる．

2．遺伝的アルゴリズムを応用した制御系設計
従来の遺伝的アルゴリズムは，予め設計モデルを規定し，設計モデルを具体化するパラメータを探．索する事を行っていた．

今臥制御系の伝達関数形式での記述を，伝達要素の組合せで構成する．其為，以下の様な作用素んを与える・但L，作用素んは，先ず，ん（可＝ん（1）如（2．1）

んOJり（ロ）＝ん化．′（州＝ん（1）xん（1〕糊

（2．2）の性質を有するとする．但L，けは過当な形式の伝達関数とする．次いで，ん（1）＝g」（2，3）

rl

ん，（1）＝小ん3（l）＝伸一α。

（2．4）
（2．5）

J＼■■ノヰ￠しJAbrノh軋＋宝＋ mβ

榊ん乍（1）＝▲トナfl

（2．6）

（2．7）

ん6（1）＝トR叫もー1叫凍＝も2−2醐f石∫＋桓eの様な性質も有するとする・以上を作用素んfの定義とする．佃・し，此処でαとナは正の実数であるとし，βと占は複素数であり複素平面上第］象限の放であるとする．
今度は，作用素んを遺伝子gりでコードする方法を与える・コードの方法は，ムー・に就いては遺伝子が存在Lている事のみをコードし，んとんとんに就いては夫々町とq（ヨ＿Sl

とナfとをIEの実数1つでコードL，んとんに就いては夫々Aと占ノとを動梓■偏角を未硯する正の実数2つでコードするものとする・そLて・遺伝子鈷を・其れがコードする

作用素J七，〜の塩類軌二次式の様にまとめ，（2．9）

亡上＝（g頼g＝，…，g町…g叫）
此を染色体亡鬼とする．
染色体c上のから系の伝達関数を再構成するに当たっては，先ず，染色体亡上に含まれる㌔番目の遺伝子粘￠が発現するか否かを決屈し・発現Lた遺伝子g上，′kを作用素ん上へとデコードtノっ得られたん上を適当に組み合わせる・付し，遺伝子鈷−が発現し，得られる作用弄んlに依り系を再構成する際には，系がプロバーとなる事を前提とする為，染色体cたから発現する遺伝子gりたの致を円上とLて・
柁コ＋柁〕＋ユ托4＜Ⅲ5＋加6（2．10）の関係が満たされているものとする．
次いで・（2■1叫式の制約の下，遺伝子gり上の発現調節国子に従って党規する遺伝子gた，√を快走する・門＝叫＋抑ユ＋町＋乃4十乃5＋柁占偶の遺伝子が発現するとL，ノ番目に発現する遺伝子をg員．′上とし・其れにより得られる作用素をん⊥とする・その時，遺伝子g叛や作用意ん上を特定する割こpノ＝（た・いを与え・Pノで遺伝子ヰ作用素を夫々g′∫Jヤプpjの様に記述する．そLて，発現遺伝丁■全ての組合せ，若Lくは，発現遺伝子により得られている作用素全ての組合せは，Pjの組合せで表現出丸
ダ＝（凸，釣，・■・，〃ノー．，Pノ，・・・，恥」，軋）（2．11）

で与えるとする．但し．実際には，先に組み合わせpを定め，其れに従って発硯遺伝ナや作用素を決定する．

そして・組合せpに拠り，染色如上のから遺伝子gノブ∫が発規し・遺伝子gp一から狩られる作用素ん」に依り・系G（叩）の記述が以下の様に構成されるとする−G（∫津）＝んoJ♪コ0′′，与0…OJ■凸＿10ん0ん．．0川0∫′JいコOJ。バ10ノ■p【（1）（2．12）

そして，（2・1卜（2・朝式に示される作用軋f′Jノの性質から，（2・12）は・J。．OJp⊇OJp−。…OJ机Dん0ん＋10…0ん＿20J仙OJ′，町（りG持，P）＝PL（l■［口片p】‡ごに漂瑞錨‡ユーユR亡吼4・汗Re∂p盲−Ⅰ扁謙一良云βph・−m古畑用R∈β山一Imβp4J

Re軋十Imβmノ（2．13）と記述出来る．此の（2．13）式のG（∫，f小ま，伝達間数形式に依る糸の一般的な記述を構成している．

表現形として，以上の様な作用素に依り構成される伝達関数で制御器を党規する遺伝的アルゴリズムを構成する事で，特定の設計モデルに縛られる草の少ない制御系設計解探索が行われる可能件がある．次の第3節以降に，実際に制御系設計解探索に用いた例を述べる．

此処迄で，遺伝子と作用素という考え中心に詩を進めたが，実際には，（望．11）式に挙げた作用素へとデコードLて利用する遺伝子の組合せ〃を決定する事も看要である．染色体上の遺伝子には冗長性が与えられていて，一部の発現Lた遺伝子のみを作用素へとデコードL表硯形を決定している様に遺†云子形と表現形とが1体1対応Lない．その私 達伝了・形から表現形を得るには，遺伝子形と表現形との対応関係の情報の不足を遺伝子の組合せβで埋める必要がある．此の発現する遺伝子の組合せpの決定では，遺伝子に其の発現を調節する田子を仮定L，其の制御の十に遺伝子発現の有無が定まり，遺伝子の組合せ〝も決定きれるものとする．

そLて，遺伝子の発現を制御する調節国子に就いては，個体の有する遺伝子が党規Lた際に表現形にもたらす影響を評価した結果を反映Lたもので，発現する遺伝子の組合せに就いて色々と試行錯誤する過程に得られるものとする．或る遺伝了−の組合せを試行した際，其れが表現形への評価を下げるなら其の遺伝子の組合せの発現頻度を押さえ，評価を高めるなら発現頻度を高める軌 道伝子の発現を制御する調節国子を操作する．
染色体上の遺伝了一には，遺伝子の発現を制御する調節閑子として，表現形に対して設計目的に合致した作用素を与えるか再かが記録されているとも云える．其処で，新たな世代の個体を発生させる際，此の遺伝子の党規を制御する調節因子を利用して，遺伝子に対する突然変異の発生確率を調整する．突然変異を利用して，表現形に対して設計目的に合致Lた作用素を与える遺伝子は出来るだけ染色体上に温存Lつつ，そうでない遺伝子は早々に染色体上から排除するのである．そうした操作は，新たな世代の個体が無駄な試行錯誤を繰り返す事を減じると共に，それ迄に試行した事の無い作用素をコードした遺伝子を導入L新たな遺伝子の組合せを試行出来る事になる．
献上記の様な表現形上の望ましい形質を継承しつつ，望まLくない形質を排除していき，子には望ましいとして残っている形質を継承させていく機序は，用不用の法則や獲得形質の遺伝といった，ラマルク主義的な生物進化に類似した効果をもたらす概序であると云える．

3．制御系設計例1
制御系設計問題の例とLて，凶1に示す，ハードディスクドライブの磁気ヘッド位置決め制御系を適合制御系とLて設計する問題を採り上げる．

凹1ハードディスクドライブのブロック線同ハードディスクドライ7卓に正確な情報が記録・再生されるには，磁気ヘッドのトラッキングエラーが許容値以￣Fに押さえられている必要がある．然し，実際に其れを使用する際には，温度変化に因る構成部材の伸縮，回路へのノイズの混人，磁気ヘッドを支持する梁の振動等がある．其処で，実際の性f那引二必要な性能が保証される事を白的に，磁気ヘッドの位置決め制御系を適合制御系とLて設計される必要がある．
制御対象を円盤径5．25玩rゐ，トラック密度Ⅰ200什〟C如／血班のハードディスクドライ
ブ磁気ヘッドとする．其の伝達間数P（カは，次式の様になる．
一呂ヨ29，7P（∫）＝（3．1〕∫2（∫十10000）

そLて，トラッキングエラーの許容値を±45世血油，ボイスコイルモーターへの電流指令他の絶対値の最大を2■OAとすれば，許容入力集合㌔が次の様に定義出来る．

㌔…む∈F：帖（∫軋≦￡い∫＝1，ユi（3．2）

但L，l︑igl〔J，／）＝
ビュ（r，J）＝叫）

〔3．3）

であり，
ど】＝4．5x10￣5
ど2＝ 2．0（3．4〕である．

生起可能人力集合F岬）に就いては，特に，外乱要因として大きい，構成部材の熱膨張・熱収縮，及び．磁気ヘッドを支える梁の振動を補償する為の入力を考慮する．温度変化の時々刻々と変化Lていぐ性質から，構成部材の熱膨張・熱収縮を補償する人力に就いては，持続的な入プ」と看催す．磁束∧ツドを支える梁の振動を補惜する入力に就いては，振動が2次形式の減衰振動である事から，過渡的な人力と看促す．そして，F岬）を，以卜に定義される．人力の変化率のみに削限のある人力集合とLて拭う．

F（叫≡む：J＝いJ2，J．∈た岬】），ノー2∈ろ（町i（3．5）

此処で．凸は非負の実数の柑か≡岬．〜β2）を表L，た岬l）≡レ：llJ‖Ⅷ腑≦恥J（0）＝Oj

餉2）≡レ＝州ユ≦β2，州＝OJ

（3．6）

（3．7）

である．

ハードディスクドライブの温度の最大変化率を8口付鳥，構成部材の熱膨張に困る変形華を叫加叫肛み−Ocと仮定L，
tlJ】…

≦q＝5．78×10￣茜 正小（3．8）とする．梁の振動に就いては，固有振動数を40fた，減衰率を0．1と仮定L，llJ；（l）ll2≦β2＝4・61xが叫∫1ノ2（3．9）とする．

系の応答占ノ（F（印，P川＝1，2）を占∫（F（恥p）≡β．1恒恒）lい刀工llピ湖，P）llユ，よ＝l，2（3．川）とすれば，許容人力集合㌔と人力集合F（叫とで，通告集件F（印⊆ちは，P⊆ち⇔占′（P）≦￡い f＝1，2（3．11）

に依り等価に表現される、第2節に概説Lた手順を其優に探り入れた遺伝的アルゴリズムに依り，（3．11〕式の適合条件を満たすハードディスクドライブ磁気ヘッドの位置決め削御系の設計解を探索する．
探索の結果として得られた剛御器は，−9・39426xlO7〔汁呂謂7．59）（s＋卵価62）C（∫）＝（s＋304ヨ・0后）（S＋154ウ朋±J7卵．324）（3．12）の様なものであった，此の削御器の評価関数に依る評価他は，

き．（F（印）＝4．4482xlO5≦4．5xlOr5占2（F岬））＝0．ココ呂785≦2．0（3．13）

であり，（3．11）式の適合条件を満たしている．
前節で起案した遺伝的アルゴリズムでも，一応の探索は行える辛が実証された．
但し，此処で得られている利得が非常に高く，余り良い制御器とは云えない，しかも，計算に要された資源は，設計解の探索とLては非常に大きいものであった．本節の制御系
設計解探索に於いて，設計解到達迄に要する時間は，概ね16時間程度である．利用した計算機は，概略として，CPuMMXPentium200MHz，memOry64Mbytes，OSWindowsNT，1anguageMATLABを其の構成に含んでいる．
又，（3．12〕式の解を得る道の過程に於いて，適合条件を満足せず，解とはならない答
ではあるが，以下の（3．14ト〔3．19）式の様な答を表現形とLて返す個体も発生Lた．
C（可＝ーl．51902〉く107（3．14〕∫十76ヨ1．06−呂朋239xlOT（∫＋7244．9）
C（∫）＝（∫十6622±J3．4954）−9．4214xlOT（∫＋93．05叫C（∫）＝（3．15）〔3．16〕（J・＋9079．9冗∫＋4758．8）（∫＋2137．ヨ）

一臥165引xlO7（∫＋915乱9〕（∫＋呂52．48）
C（∫）＝

〔3，17〕（∫＋7543・呂炬＋4占2・5ヨ±ノエコ9．37）−7．85681xIO7（S十91粥．37）（s＋呂5ユノ柑）
r（∫）＝∫（∫＋90ヨ3．6炬十8171．6）

此等の伝達関数を見れば判る様に，従来の遺伝的アルゴリズムでのパラメータ探索では決して得られない，極■零点の数や組合せに多様性が生じている．
斯うした遺伝的アルゴリズムをパラメータ探索から作用薫の探索へと変更する事に依り，探索可能な削御器の形式が格段に広華削二なっている．その為，パラメータ探索を行った場合に較べ．設計者の要求する仕様i・二合致した性能の制御系が得られない事態は減る雪が期待される．

（3．18〕

4滞り御系設計例2
第3節に，制御系設計解の探索に対Lて単純に遺伝的アルゴリズムを適用し，適令条件を満たす制御器を得た例を示Lた．隼L，此の探索で得られた制御器は利得が非常に大きく，問題のある制御器であると云わぎるを得ない，Lかも，探索に投入すべき計算機の資源には非常なものがある．

其処で，梅零相殺を考慮Lて制御系設計を行える，極零配置法を加味Lて制御系設計解を探索する事を試みる．制御系設計に於いて，極零相殺は一般に設計問題を単純化するとされる事から，先程行った遺伝的アルゴリズムを応閏した制御系設計解の探索に較ぺ，制御系設計解の探索を容易にL，使用する計算の為の資源を庄縮する可能惟がある．

極零配置法では，図1に示すハードディスクドライブ磁気ヘッドの位置決め制御系の様な，1人力1出力の直結フィードバック系に対し，特定の栖零相殺を達成・回避Lた制御器設計を行う手法を与えている．制御対象P（．−）の伝達関数は厳常にプロパーな実有理開放であり，
占＋（∫沖＿〔∫）（4．1）P（∫）＝
β＋（∫）d（∫）の形式で記述されるものと仮定する．ロ．（∫）及びム」∫〕は制御器の零点及び極に阿り相殺される制御対象の多項式であり．d＿（∫〕及びれ（∫）は制御器の零点及び極に因っては相殺されない制御対象の多項式であるとする・但し，占J∫）と軋（函（・−）は互いに煮であり，軋（∫）と〟十（∫〕恥（∫）も互いに素であると仮定する．丈，占＋（∫卜虹（∫）いずれも∫＝0の根を持たない事も仮定する．

制御器の伝達関数C（∫＝ま．プロパーであり，設計者により指定されたJ個の積分器を含み，P（∫）の〟十（∫）及びわ．（∫）を相殺しつつα「〔∫）及び占」▲中土相殺LなV￣一事を仮定する．

以上の仮定の下，制御系を，目標値「（r）から出力ユ巾）迄の閉ループ伝達関数r（∫）が，g（∫沖＿（∫1（4．2）r（∫）＝J（∫）となる様に設計する．付し．∫（∫〕とg（∫＝ま設計者が任意に定められる多項式である．削御器はCい），（4．2）式と制御器に関する仮定とから
g（函＋（巾＿（∫〕C（∫）†J（∫）−g（∫軋（可1占．（∫）（4．3）

g（∫）α＋（∫〕山（∫沖十〔∫）の様に与えられる．そLて，此の（4．3）式が成立Lている為の条件とLて，次式のJ（∫）＝g（∫沖＿（∫）＋∫∫軋（∫）d（∫）

Diophantine方程，［Eと呼ばれる式が満足されていなければならなし一．但L，（4．3）式の制御（4．4）

話がプロパーである為の条件等から，実質的には，／p（・り≡J何−gp（∫）占」∫〕（4．5）となる様，∫′，（∫）とg♪（∫〕を任意に与え・Jp（∫）＝∫J軋（即日＋gr（岨（∫）（4．6）の方程式を満足する缶「（∫〕，d（轟を得る必要がある．そLて，g（∫）に就いては，（4．7）g（∫）＝gp（∫）＋gr（∫）

である．

制御系設計に以⊥の極零配置法を用いての制御系設計解探索を遺伝的アルゴリズムで行う，例題は，第3節と同軌 ハードディスクドライブ磁気ヘッドの位置決め制御系を適合制御系とLて設計する設計問題である．

其の設計問題では，（3．1）式の制御対象における∫＝−10（X粕の桓を相殺する零点を有L，（3，11）式の適合条件を満たす系を与える制御器を設計する事を試みる．
上述した極零配置法に於いては，設計者は（4・5）式の／p（∫）とg〃（∫）とを任意に設定出来

る■黙L，今回の例題に対する設計解の探索では，諸事情からJp（∫）を2九gp（∫）を0次で固定するとL，Jp（∫）のみを遺伝的アルゴリズムに依る探索対象とする・

今回の探索に於いて・条件から，差（叩）のみを再構成出来ればよいtJp（叩）の一般

齢甘心肌

㌔㌔
一一＝ニfp（叩〕

価恥

的な形式を1次や2次の伝達要素を用いて記述すれば，次の様になる．

二二吏：

ノカ

但L．αは正の実数であり，βは複素数であり複素平面上第Ⅱ象限の数である．そして，Jp（叩）を再構成するには，（2t7）凡及び（2・8）式と同様の作用素のみを用いればよい．

以卜の様に遺伝了・■染色体から制御器を再構成する方法を定め，（3，11）式の適合条件を満たL，且つ，ハードディスクドライブ磁気ヘッドに於ける∫＝−10（犯0の極を相殺する様，其の位置決め制御系の設計解を遺伝的アルゴリズムに依り探索したところ，（4月）

ー11！柏7．9（∫＋1000〔））（∫＋25．27輔）

（4．9）

C（∫）＝

（∫十1021．04±J195．6ユ）の様な制御器を得た．此の削御器の評価関数に依る評価値は，占】（F（印）＝3．91025×105
占コ（F岬））＝0．504728≦24・5xlO￣5．0（4．10）‡であり．（3．11）式の適合条件を満たしている事が判る．

尚，本節の削御系設計解探索に於いて，前節の制御系設計解探索に利用した機体での設計解到達迄に要する時間は，概ね9時間程度である．
此の探索で得た（4．9〕式の制御系を有するハードディスクドライブ磁気ヘッドの位置決め制御系の特性に就いて，生起可能入力集合F岬）に属する人力ノ を与え，Jに対する系の応答の様子を以下に示す．囲2に示した1は（3・6）式の持続的な入力の集合た岬】）に属する入力の倒であり，凶3・囲4は入力ムに対する系の応答ピ．（J，1トビ王（りi）である■

国5に示Lたムは（3．7）式の過渡的な人力の集合F三岬z）に属する入力の一例であり，圃
6・図7はムに対する系の応答ピ．（r，ム〕■β2（f，ム）である・

15【帽剃】
T■【阜‡細亡l

図2持続的な人プノの例1

1弧］

a：山口
Tlm甘I純利25a］

岡3J．に対する応答ピl（J，1）

3∝山

j与ユD

宣ニー√亘リー1月ヒOU

5∝11珊

15：O Hに心26山〕

∃抑謝コ

ロ1

T■m■し印Gl

q．5

q．8

T・m書匝 l回4Jil・こ村する応答ビュ（r，貞）

囲5過渡的な人力の刷上

一一

室蔓︒一−己∪二旦∪8ロ一口506¶「†帽〔邑OCl

図6 ムに対する応答g】（r，ム）

固7J2に対する応答ピヱ（J，．た）5．括言
今岨の発表では，先ず，従来からの遺伝的アルゴリズムを応用Lた最適な制御系設計解の探索の恕所を挙げ，対策の一つとLて遺伝的アルゴリズムをパラメータ探索から作用素の探索へと変更する事を提案した．次いで，遺伝的アルゴリズム変更の提案に基づいた制御系設計解の探索を試み，設計目的に掠った削御系設計解を得る事で，遺伝的アルゴリズ
ムに依る作用素の探索という考え方でも制御系設計解の探索は可能である事を示Lた．そして，設計効率向上を目的に棒零配帯法を加味Lた場合でも，提案した遺伝的アルゴリズ
ムでの設計解探索は叶能である車を示した．

尚，今後の課題とLて，先ず，極零配置法を削御系設計に組み込んだ場合の，探索出来る制御器の次数に関して，其の自由度を確保する方策の検討が必要な辛が挙げられる．次いで，作成Lたプログラムに依る制御系設計解探索に際Lて屡々観察された，個体の表硯
形の多様性が急速に尖われ極少数の種類に収束してしまう現象を解決する必要がある．此の現象の解決は，遺伝的アルゴリズムを用いて多目的問題を扱う際に重要な，パレート解の探索を考えた場合，非常に重要な課題である．

参考文献
1）三富信夫．喜多・・，玉置久．岩本貴司：遺伝的アルゴリズムと最適化，朝倉書店〔199釦2）市川惇信編：多臼的の理論と方法，計測自動制御学会〔19呂0）
3）中村弘隆，谷野背三：多目的計画法の理論と応札 計測自動制御学会〔1994）
4）木村資牛：生物進化を考える，岩波書店（19呂呂）5）四方哲也：眠れる遺伝子進化論，講談什（1997）5）佐藤俊之：適合の原理に基づく制御系設計に関する研究，東北大学学位論文（1996）

6）劉東官：多目的遺伝的アノレゴリズムを用いた制御系設計に関する研究．東北大学学位論文〔1997）