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部分空間同定法による楽器音合成

Sound Synthesis by Subspace Identification
京都大学○ 佐藤 健治, 永原 正章, 山本 裕
Kenji Sato, Masaaki Nagahara and Yutaka Yamamoto

Kyoto UniversityAbstract
Sound synthesis is used for simulating musical instrument sound by computers. FMand PCM synthesis, for example, are currently adopted. The former is an application of frequency
modulation in communication theory and oﬀers no theoretical methodology for parameter identiﬁcation. The latter is based on digital recording and needs very large memory size. For the reasonsmentioned above, this paper presents a new method based on linear system theory. By applying
subspace identiﬁcation, we propose a systematic method for parameter identiﬁcation. We illustrateby a numerical example that our method is eﬀective with less memory.

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逆に，楽器音のスペクトルを解析したとしても式 (1) をはじめに
本稿では，ギターを対象として部分空間同定法による楽音モデル構築を行う．

フーリエ正弦展開した際の展開係数がベッセル関数 [4]となるため [6]，パラメータ推定が非常に困難である．

楽器のモデリングは携帯電話の着信音といった小規PCM 方式 PCM 方式とは，アナログ信号をデジタル模なものから，さまざまな音色を生成できるシンセサイ信号に変換して記録し，再生する方式である．現行のザーにいたるまで広く利用されている．従来手法には，周シンセサイザーのほとんどが PCM 音源を搭載してい波数変調 (Frequency Modulation) を用いた FM 方式や，る．これは厳密に言えば音作りの方式ではなく録音再録音再生による PCM 方式 (Pulse Code Modulation) な

生の技術であるが，実在する音の再現という分野では，どがある．しかし FM 方式ではモデルパラメータ推定のわれている．他方，PCM 方式ではすべての波形を記録PCM 音源は他の方式に比べて圧倒的に有利である．しかし，すべての波形を記録するため大きなメモリを必要とするという欠点もある．例えば，CD と同じサンプリするため膨大なメモリが必要になる．

ング周期の 44.1kHz でサンプリングした場合，0.01 秒

系統的な方法がなく，勘と経験に頼ったモデリングが行

本稿では，楽音生成モデルとして線形システムモデル(A2=110Hz，およそ 1 周期分の長さ) に対して 441 点のを採用する．これは，部分空間同定法 [1, 3] による系統情報を記録する．実際のシンセサイザーでは，圧縮技術的なパラメータ推定，平衡実現 [2] を使ったモデル低次などを用いることによりデータを削減しているが，それ元化によって，上記の問題を解決しうるためである．

でもなお，膨大な量のメモリが必要になる [5]．

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従来手法

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提案手法に先立ち，従来手法について一部簡単に説明する．これらの解説は文献 [6] が詳しい．

FM 方式

本稿では，線形システム理論に基づく手法を提案する．
これは，この分野で既に確立されているシステム同定理

これは，メモリーに記憶されている正弦波の読み出し方をさまざまに変化させることによって複雑な倍音構成を作り出す方式である．FM 方式の基礎式は次のようなものである [6]:y(t) = A sin(ωc t + I sin ωm t).

提案手法

(1)

論 [1, 3] を利用し，系統的にモデルパラメータを決定できるためである．また，平衡実現 [2] によるモデル低次元化により，PCM 方式と比較して格段に少ないメモリ使用量のモデルがえられることも分かる．
提案モデル

本稿で提案するモデルは，線形時不変シス

テムの状態空間表現である:

A は振幅，ωc は搬送周波数，I は変調指数，ωm は変調周波数とよばれる．この方式は，金属音や打楽器に含まれる非整数倍音を作るのに向いているが，パラメータの設定からその結果出てくる倍音を予想するのは難しい．

− 79 −x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) + Du(t).

(2)

ただし，状態 x の次元は未知，入出力の次元は 1 で，

A, B, C, D の次元は適切に定められているとする．
同定方法

หቯ㖸㍳㖸


システム同定手法は種々提案されている [1]ᝄ᏷

が，今回は特に部分空間同定法を用いる．部分空間同定法は，システムの状態空間表現を与えられた入出力関係から直接導くもので，平衡表現による低次元化が効率̂

よく行える．以下，本実験の詳しい同定方法について述べる．

̂

録音により得られたデータは出力のみの信号であるが，
ᤨ㑆=ࠨࡦࡊ࡞?



出力をインパルス応答と仮定し，システム (2) の同定問題として扱えることを説明する．自律系の状態空間表現

x(t + 1) = Ax(t),y(t) = Cx(t),(3)
一部をプロットしたものが図 1 である．このインパルスおよび初期状態 x(0) に対し，応答 yaut がyaut = Cx(0), CAx(0), CA2 x(0), CA3 x(0), . . .

図 1: 実験結果

応答がギター音をシミュレートしたものになっている．

(4)として一意に定まる．従って，録音により得られる音声データは式 (3) が表すシステムの未知の初期状態 x(0)に対する初期値応答である．一方，式 (2) のインパルス

同定された 6,000 サンプルのデータと録音データとの二乗平均誤差を取るとおよそ 5.98 × 10−4 という結果が得られた．

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応答 H は，
H = D, CB, CAB, CA2 B, . . .

おわりに今回実施した実験は，特定の高さの音を発生させるモ(5)デルを決定するものである．同一のモデルから別の音程を生成するための方法を考えることは実用上重要な課題であるので，式 (4) と比較することにより，B = x(0) とである．また，ギターのような減衰音ではなく，管楽器すれば，yaut = σH(σ はシフト作用素), が成り立つことのような持続音などの楽器に対しても提案手法の適用をが分かる．そこで，適当に D を補ってやることで，自試みる．

律系の同定問題を，システム (2) のインパルス応答からの実現問題に帰着できる．

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参考文献[1] 片山徹: システム同定 —部分空間法からのアプロー
チ—, 朝倉書店, 2004.

実験結果
ギターのモデリングにシステム同定アルゴリズムを適[2] 前田肇: 線形システム, 朝倉書店, 2001.

用するため，マイクを通して計算機上にギター音を録音した. 簡単のためギターから A/D 変換器までをあわせ[3] Ivan Markovsky: Exact and Approximate Modeling

たシステムを考える．同定対象となるシステムには，音in the Behavioral Setting, PhD thesis, Katholieke
Universiteit Leuven, 2005.

を伝播する空気などが暗に含まれている．
録音 (サンプリング周波数 960kHz) で得られたデー
タの先頭の 6,000 サンプル (時間にして 6.25 秒) に対し[4] 森口繁一, 宇田川 久, 一松信: 岩波 数学公式 III,岩波書店, 1960.て，インパルス応答から実現を求めるアルゴリズム [3,Algorithm 7.8] を適用した．これにより，15 次のシステムモデルを得た．このモデルではシステムの極と零点をあわせた 30 点をメモリ上に記録すればギターの音色が再現できる．データ圧縮を用いない単純なサンプリン
グでは 960Hz の場合，6,000 個のデータが必要になるた[5] 長嶋 洋一他（編）: コンピュータと音楽の世界 基礎からフロンティアまで, 共立出版, 1998.

[6] Curtis Roads: The Computer Music Tutorial, MITPress, 1992.

め，提案手法ではメモリ使用量が格段に低減できていることが分かる．次に，このシステムのインパルス応答の− 80 −