（様式 20）成果報告書

TSUBAME 共同利用 平成 23 年度 学術利用 成果報告書

利用課題名 : TSUBAME2 GPU による 𝜂 − 𝜂′ 中間子質量の計算
英文 ： 𝜂 − 𝜂′ masses using TSUBAME2 GPU

利用課題責任者 石塚成人
Naruhito Ishizuka所属 筑波大学 数理物質系
Division of Physics, Faculty of pure and applied sciences,
University of Tsukuba
URL : http://www.ph.tsukuba.ac.jp

邦文抄録（300 字程度）
強い相互作用を記述する量子色力学（ＱＣＤ）では、ゲージ場のトポロジーに関連して興味深い現象が予言されている。その予言のひとつとして、フレーバー一重項擬スカラー中間子の質量の起源がある。本研
究ではこの現象を理論的に第一原理から理解するため、格子ＱＣＤの方法を用いて 𝜂 − 𝜂′ 中間子系の質量の計算を計算した。PACS-CS による𝛽 = 1.90, 𝑐𝑠𝑤 = 1.715, 𝜅𝑢𝑑 = 0.13770, 𝜅𝑠 = 0.13640 のゲージ配位約 500 個を用いて計算を行った。中間子演算子として 4 種類を組み合わせ4 × 4の大きさの二点相関関数行列を計算し、その固有値から𝜂と 𝜂′中間子質量を導出した。4 × 4相関行列からのシグナルは統計的に不十分であったが、そのサブセットの2 × 2相関行列からは予備的な値を得た。
英文抄録（100 words 程度）
The strong interaction among hadrons is described by Quantum Chromodynamics(QCD) intheoretical particle physics. There are several interesting phenomena related to the
non-trivial topological configuration of the gauge field of QCD. One of them is the origin of theflavor-singlet meson mass. In this work we explore the flavor-singlet 𝜂 − 𝜂′ meson masses.
We employ ~500 configurations generated by the PACS-CS collaboration at 𝛽 = 1.90, 𝑐𝑠𝑤 =1.715, 𝜅𝑢𝑑 = 0.13770, 𝜅𝑠 = 0.13640. Four types of interpolating operator for the singlet meson
are combined to form a 4 × 4 two-point correlation matrix from which we extract the massesof 𝜂 and 𝜂′ mesons. Although we could not extract a clear signal from the 4 × 4 correlation
matrix, we obtain a preliminary result from the reduced 2 × 2 correlation matrix.

Keywords: ５つ程度
格子ＱＣＤ、大規模連立方程式、GPU による数値計算
背景と目的𝜂 − 𝜂′ 中間子系の質量の計算にはフレーバー1 重項強い相互作用を記述する量子色力学（ＱＣＤ）では、粒子に特有な非連結ダイアグラムと呼ばれる、クォークゲージ場のトポロジーに関連して興味深い現象が予言ペアが生成した時空点と消滅した時空点が分離したダされている。その一つとしてフレーバー一重項擬スカライアグラムの寄与がある。この分離したループの時間ー中間子 ( 𝜂′ 中間子) の質量の起源がある。QCD

相関が、量子的に存在する背景ゲージ場の非自明なトでは、この中間子が余分な質量をゲージ場のトポロジポロジー配位の揺らぎに呼応して質量を生成すると考ーの寄与により獲得し、そのため他の擬スカラー中間えられている（図 1）。

子より大きい質量をもつ事が予言されている。本研究ではこの現象を理論的に第一原理から理解するため、格子ＱＣＤの方法を用いて𝜂 − 𝜂′ 中間子系の質量の計算を目的とする。

中間子質量はこの二点相関関数 𝐶(𝑦, 𝑥) の関数形から以下のように決定される。
∑ 𝐶(𝑦, 𝑥) →𝑦⃗|𝑦0 −𝑥0 |→∞𝐴𝑒 −𝑚|𝑦0−𝑥0 | ,（様式 20）成果報告書
ムを含む計算は非常にコストのかかる計算となっている。
本研究では Tsubame2 の GPU を利用した高速な連立方程式ソルバーを用いてこの非連結ダイアグラム
図 1 フレーバー一重項二点相関関数の計算に現れるダを含む物理的にも重要な 𝜂 − 𝜂′ 中間子系の質量の計イアグラム。線はクォークの伝搬を表す。

算を行った。

ここで、𝑥, 𝑦 は 4 次元時空点で 4 次元格子上に離散化概要されている。2 点相関関数の点 𝑥 と点 𝑦 の間の時刻

格子ＱＣＤ計算において最も時間がかかるのはクォ間隔 |𝑦0 − 𝑥0 | を十分離したときの指数減衰の重み𝑚ーク伝搬関数を求めるための大規模連立方程式の解がこのチャンネルに現れる基底状態の中間子質量に法である。本計算では以下の連立方程式を解く。

対応する。ここで、終点 𝑦 において空間座標 𝑦 につ𝐷𝑥 = 𝑏,いての総和があるが、これはこのチャンネルに現れる状態をゼロ運動量に射影し静止質量を得るために必要な操作である。一般的にこの二点相関関数を計算することで様々な粒子の質量を計算することができる。しかしながら、𝜂 − 𝜂′ 中間子状態については以下のように非連結ダイアグラムが計算を難しくしている。

(1)𝑎,𝑏𝑎,𝑐(𝑛)𝐷𝛼,𝛽(𝑛,𝑚)= 𝛿 𝑎,𝑏 𝛿𝛼,𝛽 𝛿(𝑛,𝑚) − 𝜅𝐹𝛼,𝛾4× ∑ [𝑈𝜇𝑐,𝑏 (𝑛)(1 + 𝛾𝜇 )𝛾,𝛽 𝛿(𝑛+𝜇̂ ,𝑚)
𝜇=1(2)∗+ (𝑈𝜇𝑐,𝑏 (𝑚)) (1 + 𝛾𝜇 )𝛾,𝛽 𝛿(𝑛−𝜇̂ ,𝑚) ],ここで、𝑥, 𝑏 はカラーとスピン、および 4 次元格子点番

二点相関関数 𝐶(𝑦, 𝑥) の計算ではクォーク伝搬関号を添え字に持つ複素ベクトル。𝑎, 𝑏, 𝑐はカラーの自由数を計算して組み合わせる。クォークの伝搬に対応す度 1～３を表し、𝛼, 𝛽, 𝛾 はスピンの自由度 1～４を表し、る線は大規模連立方程式の解に対応する。図１の左側

𝑛, 𝑚 は 4 次元時空格子点番号を表す。 𝑈𝜇𝑐,𝑏 (𝑛) はの連結ダイアグラムにおける点 𝑥 から点 𝑦 への線は下字リンク場と呼ばれ3 × 3ユニタリー行列の 4 元ベクト連立方程式に現れる係数行列の逆行列の(𝑦, 𝑥) 成分ル場である。に対応する。格子ＱＣＤにおいて一般的な格子の大きさTSUBAME2 において連立方程式(1)は 4 次元時空は323 × 64程度であるので、係数行列の次元は内部の 𝑥, 𝑦 方向で MPI 並列できるように実装されている。

自由度も含めて 2500 万次元となり全ての 𝑥, 𝑦 につ各ノードの GPU は、ノード内の格子点のうち 𝑥 方向をいて逆行列の成分を求めることは、現在の最先端の計さらに分割した領域を担当するように実装した。GPU は算機を用いても不可能である。

Nvidia による CUDA 言語を用いて実装した。CPU コード

幸い連結ダイアグラムに関しては始点 𝑥 については Fortran90 言語を用いた。

数点求めるのみで良いため、連立方程式の右辺ベクト

GPU アーキテクチャでは単精度による計算が非常にルを数本用意して各配位毎に数回連立方程式を解くこ

高速なため、式(1)に対する前処理として式(1)を単精とで必要な (𝑦, 𝑥) 成分が得られる。

度で解くソルバーを実装し、倍精度の解は CPU による

一方、非連結ダイアグラムに関しては、点 𝑦 にお反復改良を行うことで、単精度計算による GPU の計算

いて点 𝑦 から点 𝑦 へ伝搬する成分が必要なため逆時間がほぼ 90%以上を占めるようにしつつ倍精度の解行列の全ての (𝑦, 𝑦) 成分、もしくは各時刻の空間和が得られるように実装した。

が必要となる。対角成分のみを厳密に求める有効な方

ゲージ配位は、PACS-CS collaboration[1] により生法はなく、モンテカルロ法で対角和をとる方法がとられ成 さ れ た 格 子 サ イ ズ 323 × 64 の 𝛽 = 1.90, 𝑐𝑠𝑤 =ている。対角和をモンテカルロ法で見積もる方法におい1.715, 𝜅𝑢𝑑 = 0.13770, 𝜅𝑠 = 0.13640 の 550 配位をても、やはり連立方程式をモンテカルロの試行回数分用いて計算を行った。この計算は 550 配位中、206 配だけ解く必要があるため、このような非連結ダイアグラ位の計算は TSUBAME2 で行い、残りの配位の計算（様式 20）成果報告書は筑波大学の T2K と東京大学の T2K で分担して計算した。ここで 𝜅𝑢𝑑 はアップとダウンクォークの質量に関するパラメータで 𝜅𝑠 はストレンジクォーク質量に関するパラメータである。 𝜅 は小さいとクォーク質量が大きくなる。
𝜂 − 𝜂′ 中間子系の質量の計算に必要な 2 点相関関数は、連結ダイアグラムについては始点の時刻を 4点取り、非連結ダイアグラムの計算には𝑍2 ノイズ法を用い各配位について 10 回のノイズによる平均でトレース（空間和）を評価した。中間子演算子にはフレーバー

図 2. 対 角 化 後 の 𝟒 × 𝟒 行 列 二 点 相 関 関 数 （ 𝜿𝒖𝒅 =の組み合わせと波動関数の組み合わせそれぞれに 2𝟎. 𝟏𝟑𝟕𝟕𝟎）。

種類用意し、合計で 4 種類の演算子による次の4 × 4相関関数行列を計算した。
𝐶𝑖𝑗 (𝑡) ≡ ∑[〈𝑂𝑖† (𝑦)𝑂𝑗 (𝑥)〉],

(3)

𝑦⃗

𝑂1 (𝑥) = 𝑛̅(𝑥)𝛾5 𝑛(𝑥),(4)𝑂2 (𝑥) = ̅̅̅̅𝜙𝑛(𝑥)𝛾5 𝜙𝑛(𝑥),(5)𝑂3 (𝑥) = 𝑠̅(𝑥)𝛾5 𝑠(𝑥) ,(6)𝑂4 (𝑥) = 𝜑𝑠̅̅̅̅(𝑥)𝛾5 𝜑𝑠(𝑥),(7)𝜙𝑛(𝑥) = ∑ 𝜙(𝑥 − 𝑦)𝑛(𝑦, 𝑥0 )

(8)

𝑦⃗

𝜑𝑠(𝑥) = ∑ 𝜑(𝑥 − 𝑦)𝑠(𝑦, 𝑥0 )(9)

図 3. 対 角 化 後 の 𝟐 × 𝟐 行 列 二 点 相 関 関 数 （ 𝜿𝒖𝒅 =𝟎. 𝟏𝟑𝟕𝟕𝟎）。

𝑦⃗𝜙(𝑥 ) = 𝐴𝑒 −𝐵|𝑥| ,𝜑(𝑥 ) = 𝐴′𝑒−𝐵′|𝑥 |

.

(10)

4 つの量子状態の時間相関が引き出されている。図 3(11)は4 × 4相関行列のうち、𝜂 − 𝜂′ 状態に重なりが大きい

ここで、𝑛(𝑥) と 𝑠(𝑥) はそれぞれ、アップダウンクォーと思われる、2 × 2の大きさの部分行列から相関行列をク演算子とストレンジクォーク演算子である。式(3)にて作成し、その固有値から 2 つの量子状態の時間相関をこれらの演算子を縮約すると図 1 のように連結グラフと見たものである。

非連結グラフが現れる。式(10),(11)はクォーク演算子′

図 2 から、質量の重い 2 つの状態(相関の減衰の速を 改 良 す る 波 動 関 数 で あ る 。 𝐴 = 𝐴 = 1.2, 𝐵 =いもの：緑と青の点)の弁別がうまくできていないことが0.09, 𝐵′ = 0.21 を用いた。

分かる。したがって、これらの固有値の弁別が不十分

プログラ ムは MPI- ４並列で実行し 、各ノードのGPU を２つ用いた。CPU は各ノードの 2 コアを使用した。

なため、残りの 2 つの固有値にも影響があると考える。
一方、図 3 では 2 つの固有値が得られている。
理想的には相関関数は指数関数的減衰をしながら、統計誤差が徐々に増加していく振る舞いが期待される。

結果および考察

図 2 では分離できた赤と黒のデータについても期待さ

図 2 ～図 3 に二点相関関数の図を示す。縦軸は相れる振舞いからの乖離が見られる。図 3 では時刻 4 か関関数の大きさ、横軸は時間間隔 𝑡 = |𝑦0 − 𝑥0 | で

ら 5 までは期待される振る舞いを示すがそれ以降は励ある。 図 2 では 4 × 4相関行列を対角化した時間相起状態（赤の点）の統計誤差の振る舞いが期待と外れ関を表し 4 つの固有値からこの相関関数に含まれるている。以上のように、相関関数の振る舞いが期待さ（様式 20）成果報告書れる振る舞いではないため、結果は統計的に不十分な参考文献計算である可能性がある。

[1] PACS-CS Collaboration, S. Aoki et al.,𝜂 − 𝜂′ 系状態は、この相関関数に現れる最も減衰の遅いものが 𝜂 に対応し、その次に減衰の遅いものが 𝜂′ に対応する。 𝜂 − 𝜂′ 系質量はこの減衰の速さをフィッティングすることで決めることができる。当初予定であった4 × 4相関行列からの質量の導出は上述したように固有値の弁別がうまくいっておらず、統計を増やすとともに演算子の基底の取り方や数を（式(10),(11)の選び方を）増やす必要があると考える。
予備的な値であるが2 × 2 行列の相関関数から得られたデータを指数関数でフィットし得た質量を表 1 に示す。誤差は統計誤差のみを表す。 𝜂 − 𝜂′ 系の質量の階層性は再現できているが、上記で述べたような系統的な誤差があると考えられる。また統計誤差が𝜂′ 質量に対しては 2 割もあるので、統計を上げる必要がある。

表 1

𝜅𝑢𝑑 = 0.13770
𝜅𝑠 = 0.13640

実験値

𝜂0.616(53)0.547853(24)𝜂′1.05(24)0.95778(6)𝜼 と 𝜼′ の質量。単位は[GeV]。格子間隔 𝒂 の値は 𝒂−𝟏 = 𝟐. 𝟏𝟕 [GeV]を用いた。実験値は文献[2]より引用した。両質量の導出には時刻範囲 [2~5]を用いた。

まとめ、今後の課題
今 回 計 算 し た ク ォ ー ク 質 量 の 軽 い と こ ろ （ 𝜅𝑢𝑑 =0.13770）での計算は統計的にまだ不十分である。また、
4 × 4 相関行列を使った計算は演算子セットの選定に問題があるようである。本課題では TSUBAME2 の計算機と他サイトの計算機を用いたゲージ配位数、約500 セットを使った計算結果が得られた。TSUBAME2の GPU を用いた計算は非常に効果的であった。今後は統計数を増やすとともに、比較的計算やシグナルの良いクォーク質量の重いところにおいても、ここで行った計算手法の妥当性について系統的および高精度の計算を行いたい。

Phys. Rev. D 79, 034503 (2009), Phys. Rev.
D 81, 074503 (2010).
[2] Particle

Data[http://pdg.lbl.gov/]

Group(PDG),