第22回 信号処理シンポジウム
2007年11月7日〜9日（仙台）

連続時間伝達特性を考慮した filtered-xLMS アルゴリズム
Filtered-xLMS algorithm considering continuous-time behavior
永原 正章 †山本 裕 †† 京都大学大学院情報学研究科

Masaaki NAGAHARA†
Yutaka YAMAMOTO††Graduate School of Informatics, Kyoto University
アブストラクト

従来の filtered-xLMS アルゴリズムの散時間システムである．現在の filtered-x 適応アルゴリズ

解析では，2 次経路の伝達特性は離散時間システムとしてムのほとんどは，2 次経路を離散時間システムと仮定して扱われる．しかし，例えばアクティブ消音のシステムを議論が進められている（例えば，[2], [5] など）．しかし，考えると，2 次経路は連続時間システムである．したがっ現実には 2 次経路は連続時間システムであり，アクティブて，そのようなシステムは，連続時間システムと離散時

消音システムは，連続時間システムと離散時間システム，間システム，およびＡＤ／ＤＡ変換回路を含むハイブリッおよびＡＤ／ＤＡ変換回路を含むハイブリッドシステム

ドシステムとして扱う必要がある．本稿では，サンプルとなる．したがって，それらの連続/離散時間特性を考慮

値制御理論におけるリフティングの技法を用いて，2 次経した解析や設計が望ましい．このような観点からの設計

路の連続時間特性を考慮した新しい filtered-xLMS アル

方法は，いくつか提案されている．文献 [6] では，この方ゴリズムを提案する．

法は，アナログフィルタと適応ディジタルフィルタの両方

Abstract Analysis of filtered-xLMS algorithm is conventionally done by assuming that the transfer functionin the secondary path is a discrete-time system. However, in real systems such as active noise control thesecondary path is a continuous-time system. Therefore,such a system should be analyzed as a hybrid system
including discrete- and continuous- time systems andAD/DA devices. In this article, we propose a new algorithm taking account of continuous-time behavior of
the secondary path via lifting technique in sampled-data
control theory.

を用いることにより，2 次経路の変化に対してロバストな1消音システムを設計する方法である．しかし，アナログフィルタを実際に用いることは，システムの信頼性や保守性の面から，あまり歓迎されない．また，[4] では，参照信号を有限個の正弦波の重ね合わせで表現できると仮定し，連続時間システムの周波数応答を用いることにより適応アルゴリズムを導出しており，周波数選択型アルゴリズムと呼ばれる．この方法は，参照信号の周波数がわかっている場合は非常に有効な方法であるが，考慮していない周波数の入力に対してはノイズ除去ができない．
また，周波数の数が多くなればなるほど制御器が複雑になる．

はじめに近年のディジタル技術の発展により，信号処理ではディいっぽう，制御理論の分野では，連続時間で動作するシジタル機器を用いて処理を行うのが一般的である．特に， ステムに対する離散時間コントローラの厳密な設計法と本研究で考察するアクティブ消音システムでは，高速かして，リフティングと呼ばれる数学的手法を基礎とした

つ高性能の DSP を用いることによって，高度な適応アルサンプル値制御理論が 90 年代初めに提案された [8]．こゴリズムを採用することが多い [2], [4]．

れにより，ディジタル制御系の厳密な解析や設計が可能

アクティブ消音システムにおける適応システムでは，通となった [1]．また，制御系だけでなく信号処理系への応常の適応フィルタの場合 [3] と異なり，制御出力（スピー用も盛んで，有効性が示されている [9]．そこで，本研究カ）から誤差信号を測定するマイクまでの 2 次経路に伝では，このリフティングを用いて，2 次経路の連続時間特達特性が存在する．この 2 次経路による特性の変化を補性を考慮した filtered-xLMS アルゴリズムの構成法を提償するために，参照信号をフィルタリングした信号を適案する．このような観点からの研究は，文献 [10] によっ応アルゴリズムに用いる方法があり，filtered-x 適応アルて提案されており，本研究は，この研究に動機付けられゴリズムと呼ばれる [5]．ここで用いられるフィルタは，2たものである．文献 [10] では，リフティングの概念が陽次経路の伝達関数をモデル化したものであり，通常は離には用いられていないが，本研究ではリフティング作用‑ 483 ‑

xc (t)Axc (t)

C

Bd(t)

P (s)

w(t)
e(t)

ADx−

F (s)

DAK(z)e(t)ShyHhx[n]

K(z)

y[n]

図 1: アクティブ消音システム
図 2: アクティブ消音システムのブロック線図

素のユニタリ性を陽に用いて，適応アルゴリズムの導出を行う．得られる適応アルゴリズムは連続時間信号の有限区間での積分表現を含むが，リフティングされた連続時間システムの状態空間表現を用いて，積分の近似計算によってモデル化する．また，DA 変換器は周期 h で動作するゼロ次ホールドを行うアルゴリズムを導出する．

Hh : `2 3 y 7→ yc ∈ L2 ,yc (t) :=記号β0 (t − kh)y[k],k=0とする．ここで β0 (t) はホールド関数であり，次式で定義

本論文では，以下の記号を用いる．

される．

Rn : R （実数体）上の n 次元ベクトル空間`2 : 2 乗可和分の実数列の集合
2

L : 区間 [0, ∞) 上で 2 乗可積分な実関数の集合
L2loc: 区間 [0, ∞) 上で局所 2 乗可積分な実関数の集合

L2[0,h): 区間 [0, h) 上で 2 乗可積分な実関数の集合1,β0 (t) :=0,otherwise.

問題 1 次の評価関数

Z ∞J=|e(t)|2 dt(1)0を最小化する適応フィルタk · kX : ノルム空間 X のノルム
A> : 行列 A の転置

K[n](z) =図 1 のアクティブ消音システムを考える．この図において，xc (t) はダクトに入力する雑音（参照信号）であり，連続時間信号である．この信号を A 点に設置したマイクにより測定し，AD 変換器によりディジタル信号に変換する（これを x とする）．フィルタ K(z) により，この信号が処理され，DA 変換器を介してスピーカ B から音n = 0, 1, 2, . . .

(2)

この問題は，従来の適応フィルタの問題と異なり，連続時間の評価関数を最適化する離散時間フィルタを求める問題である．このような問題に対するアプローチとして，次節で述べるサンプル値制御理論が有効である．

3の処理系 K(z) をうまく設計することで，C 点での誤差3.1

信号 e(t) をなるべく小さくすることである．
このシステムのブロック線図を図 2 に示す．この図において，P (s) は図 1 の A 点から C 点までの一次経路の伝達関数，また，F (s) は B 点から C 点までの二次経路の伝達関数であり，ともに連続時間システムである．AD

k = 0, 1, 2, . . . ,ak [n]z −k ,を求めよ．

として出力される．このシステムの目的は，ディジタル変換器は，サンプル周期 h で動作する理想サンプラ

N
X
k=0

filtered-xLMS アルゴリズム(Sh xc )[k] := xc (kh),t ∈ [0, h),

本研究では，以下の問題を考える．

h·, ·iX : Hilbert 空間 X の内積

2∞X

サンプル値制御理論とリフティング
リフティング作用素

連続時間で動作するシステムに対する離散時間コント
ローラの厳密な設計法として，リフティングと呼ばれる数学的手法を基礎としたサンプル値制御理論が 90 年代初めに提案され [8]，ディジタル制御系の厳密な解析や設計が可能となった [1]．また，制御系だけでなく信号処理系への応用も盛んで，有効性が示されている [9]．ここでは，サンプル値制御理論におけるリフティングを紹介し，リ‑ 484 ‑フティングを用いて，連続時間信号と離散時間信号を統一的に扱う手法について述べる．
連続時間信号 f (t) を考える．f ∈ L2loc とする．このとき，リフティング作用素 L を次式で定義する．

(Lf )[k] := f [k] := {f (kh + θ), 0 ≤ θ < h},k = 0, 1, 2, . . . .

3.2

連続時間システムのリフティング

次の状態空間表現を持つ連続時間システム F を考える．
(ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)(4)
F :y(t) = Cx(t),t ∈ [0, ∞),(3)x(t) ∈ Rn

この入出力信号 u と y に対して，リフティングをほどこ

ただし，h はサンプリング周期である．インデックス kす．すなわち，u := Lu，w := Ly とおくと，連続時間シを固定すると，f [k] は L2[0,h) の関数となる．すなわち，fは L2[0,h) の関数列

ステム F のリフティング F := LF L−1 の状態空間表現©
ªf = f [0], f [1], f [2], . . .
であることがわかる．これは，関数を値にもつ離散時間信号である．

は次式で与えられる [1]．
(
ξ[n + 1] = Ad ξ[n] + Bu[n]F :w[n] = Cξ[n] + Du[n]ここで，Ad は次式で与えられる n × n の行列である．

Ad := eAh

このリフティング作用素は，マルチレート信号処理におけるポリフェーズ表現 [7] を連続時間信号に拡張したものと解釈することもできる．すなわち，ポリフェーズ表
現では，複数のサンプリングレートが存在するとき，ポいっぽう，B, C, D は作用素であり，次式で与えられる．
Z h
B : L2[0,h) → Rn : u 7→eA(h−τ ) Bu(τ )dτ

リフェーズ分解によって最も低いレートで統一する．同C:R様に，リフティングによって，連続時間信号を離散時間信
このリフティング作用素に対して，以下の補題が成りCeA(θ−τ ) Bu(τ )dτ0

すなわち，リフティングによって連続時間システムが離散補題 1 f ∈ L2 とする．このとき，k=0Z θθ ∈ [0, h)

立つ [1]．

kLf k2 :=02→ L[0,h) : x 7→ CeAθ x

D : L2[0,h) → L2[0,h) : u 7→号として表現することになる．

∞Xn

時間システムとして表現できることがわかる．ただし，リk(Lf )[k]k2L2[0,h)フティングされたシステム F は無限次元システムとなる<∞ことに注意する．また，上式から明らかなように F は線形時不変 (LTI, Linear Time Invariant) システムである．

この補題より，`2 を拡張した次の空間が自然に定義される．

次に，本研究で用いる，ゼロ次ホールド Hh を含むシ©
ª`2 := LL2 = Lf : f ∈ L2

ステム F Hh のリフティングを考える．このシステムのこの空間 `2 は Hilbert 空間であり，その内積 h·, ·i`2 はしたがって，出力をリフティングすることにより，F Hh

入力は離散時間信号であり，出力は連続時間信号である．

次式で定義される．

hu, vi`2:=∞X

hu[k], v[k]iL2[0,h) ,u, v ∈ `2k=0

リフティング作用素には，次の補題に示すように非常に重要な性質がある．
補題 2 リフティング L は，L2 から `2 への作用素で内積を保存する．すなわち，任意の u, v ∈ L2 に対して，のリフティング F Hh の状態空間表現が得られる [1]．
(
ξ[n + 1] = Ad ξ[n] + Bd u[n]F Hh(5)w[n] = Cξ[n] + Dd u[n]ただし，Ad と C は F の状態空間表現における行列または作用素と同じであるが，Bd（行列）と Dd（作用素）は次式で与えられる．
Z h
Bd =eA(h−τ ) Bdτ ∈ Rn0ÃZhu, viL2 = hLu, Lvi`2

Dd : R → L2[0,h) : u 7→が成り立つ．さらに，L は全単射であり，したがってユθ ∈ [0, h)

ニタリ作用素である．

!

θCeA(θ−τ )Bdτu0

これも無限次元の離散時間 LTI システムである．
‑ 485 ‑

4

リフティングを用いた filtered-x アルゴリズムの解析

4.1

d(t)
x(t)

適応アルゴリズムの導出

ShxK(z)yHh

本節では，評価関数 (1) を前節のリフティングを用いて計算し，適応アルゴリズムを導出する．(1) より

HhJ = he, eiL2w(t)
F (s)
−e(t)

u AdaptiveFb(s)Algorithm= he, ei`2
= hd − w, d − wi`2

図 3: filtered-x 適応システム= hd, di`2 − hw, di`2 − hd, wi`2 + hw, wi`2
また最適値 Jopt は

ここで，内積および作用素 F Hh の線形性より

Jopt = hd, di`2 − a>opt Tudhw, di`2 = hF Hh y, di`2= hF HhNXak z−k= hd, diL2 − a>opt Tudx, di`2k=0=NXとなる．
最適係数 aopt は行列の積で求められるが，それぞれのak hF Hh z −k x, di`2

要素は k = 0, 1, 2, . . . にわたる無限和（または，無限区k=0

間 [0, ∞) における積分）の計算が必要なため，アクティ= hd, wi`2

ブ消音のような応用には用いることができない．また，2hw, wi`2 = hF Hh y, F Hh yi`2=N XNX

次経路 F (s) を厳密に知ることは不可能であり，その推定値（モデル）Fb (s) を用いることになる．以上のことから，

ak al hF Hh z −k x, F Hh z −l xi`2

現実には以下の LMS アルゴリズム [3] を使用することとk=0 l=0となる．これより，評価関数 J を am (m = 0, 1, 2, . . . , N )なる1 ．

a[n + 1] = a[n] + µTbue [n]で微分し，勾配を求めると∂J= −2hF Hh z −m x, di`2
∂am
N
X+2
al hF Hh z −m x, F Hh z −l xi`2

ただし，ub := FbHh x として，

NX

al hz −m u, z −l ui`2l=0= −2hz= −2−m∞Xu, ei`2である．この適応則による filtered-xLMS 適応システムのブロック線図を図 3 に示す．この図からわかるように，
ホールド要素 Hh を含めた 2 次経路のコピー Fb Hh を参hu[n − m], e[n]iL2[0,h)n=0となる．ただし，u := F Hh x である．この勾配をゼロとおき，最適な係数 a := [a0 , a1 , . . . , aN ] を求めると，−1aopt = Tuu
Tud

...
hu, ui`2−1
 hz u, ui`2 . . .
Tuu := ..
..
.
.
−Nhz u, ui`2 . . .
hu, di`2
 hz −1 u, di`2 Tud := ..
.
−Nhz u, di`2

hbu[n], e[n]iL2[0,h) hbu[n − 1], e[n]iL2[0,h) 
Tbue [n] := 

..

.
hbu[n − N ], e[n]iL2[0,h)l=0= −2hz −m u, di`2 + 2(6)−Nhu, z ui`2hz −1 u, z −N ui`2 ..

.
−N−Nhz u, z ui`2

照入力（のサンプル値） x に対して施すことになる．

4.2

近似アルゴリズムLMS アルゴリズム (6) を実行するためには，行列 Tbueの要素の L2[0,h) -内積を計算する必要があるが，この値を厳密に計算することは現実的に不可能である．したがって，この内積（積分）を近似的に計算するアルゴリズムを考える．まず，区間 [0, h) を L 個の小区間 [0, h/L),[h/L, 2h/L), . . ., [h − h/L, h) に分割する．この小区間上
1 LMS は「最小二乗平均 (Least Mean Square) の略であるので，(1) の評価関数を用いるこのアルゴリズムは LMS とは言えない．しかし，全区間での評価 (1) の代わりに，その瞬時値を用いる手法は一般的な LMS アルゴリズムと同様であり，ここでも LMS アルゴリズムと呼ぶこととする．

‑ 486 ‑

で e[n](θ) がほぼ一定であると仮定すると2 ，a[n]xc (t)hb
u[n − m], e[n]iL2[0,h)Z h=e[n](θ)> ub[n − m](θ)dθ=0
L−1
X Z (l+1)h/L=e[n](lh/L)>ub[n − m](θ)dθlh/Llh/L!

ÃZ(l+1)h/L= ed [n]> u
bd [n − m]ÃZ(l+1)h/L

ここで，=
e[n](0)> e[n](h/L)> ed [n] := ..
.
>e[n](h − h/L)e(nh)>
 e(nh + h/L)> 
=..


.

D(θ)dθ x[n]!
CeA(θ−τ ) Bdτ dθ x[n]0[0,h)の近似計算は，次のアルゴリズムによって実現できる．
(
ξ[n + 1] = Ad ξ[n] + Bd x[n]bFdu
bd [n] = Cd ξ[n] + Dd x[n]
 R h/LCeAθ dθ0 R 2h/L Aθ h/L Ce dθ Cd := ..
.
 R
hAθ
Cedθ
h−h/L
 R h/L R θA(θ−τ )
Cedτdθ
0R0θ A(θ−τ ) R 2h/LCedτ dθ h/L0
Dd := 
..
.
 R

R θ A(θ−τ )hCedτdθh−h/L 0(7)すなわち，連続時間の誤差 e(t) をサンプル周期 h/L でサンプリングした信号 ed [n]，および，参照信号 xc (t) をサンプル周期 h でサンプリングし，それを (7) で表される離散時間線形システム（これを Fbd (z) とおく）でフィルタリングした信号 ud [n] によって filtered-xLMS アルゴリズムは実現できる（図 4 を参照）．

5ub[n](θ) = C(θ)ξ[n] + D(θ)x[n]C(θ) := CeAθ ,!

(l+1)h/Ldθ ξ[n]したがって，hbu[n − m], e[n]iL2

ξ[n + 1] = Ad ξ[n] + Bd x[n]0(l+1)h/L Z θlh/L

で与えられる（式 (5) を参照）．

Bd :=Aθ+とおくと（式 (4) を参照），Fb Hh の状態空間表現は次式

Ad := eAh ,e(t)

lh/L!
CeÃZ

b[n] =
次に上式の ub[n] の積分について考える．いま，u(FbHh x)[n] であり，Fb の状態空間表現の行列を {A, B, C}Z hÃZlh/Le(nh + h − h/L)>
 R h/L[n−m](θ)dθub0
 R 2h/Lb[n − m](θ)dθ  h/L u
ud [n] := ..
.
 R
hub[n−m](θ)dθh−h/L R h/Lub(nh + θ)dθ0
 R 2h/Lb(nh + θ)dθ  h/L u

=
..
.
 R

hub(nh+θ)dθh−h/L

FbHhSh/LC(θ)dθ ξ[n] +=lh/L(edAdaptiveAlgorithm

これより，
Z (l+1)h/L
ub[n](θ)dθZ (l+1)h/L

l=0

Fbd (z)ubd

図 4: filtered-xLMS アルゴリズムの実現

e[n](θ)> ub[n − m](θ)dθlh/Ll=0L−1XShx

おわりに
本論文では，サンプル値制御理論におけるリフティングの手法を用い，2 次経路の連続時間特性を考慮した filtered-xLMS アルゴリズムを提案した．厳密なアルゴリズムは

eAt Bdt
Z θD(θ) :=有限区間 [0, h) の積分計算が必要となるが，これを近似計算する手法を，リフティングしたシステムの状態空間

CeA(θ−τ ) Bdτ

表現にもとづき導出した．このアルゴリズムの安定性や

02 これは，d(t) がこの仮定を満たす程度にゆっくり振動する，すなわちあまり高周波成分を含まないということである．

ロバスト性の解析，また統計的信号処理の枠組みでのリフティングアプローチは今後の課題である．

‑ 487 ‑

参考文献

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‑ 488 ‑