令和６年度

筑波大学大学院システム情報工学研究群
社会工学学位プログラム
サービス工学学位プログラム
博士前期課程（一般入学試験８月期）
試験問題

専門科目

令和５年８月２４日

筑波大学大学院 システム情報工学研究群
社会工学学位プログラム サービス工学学位プログラム
令和６年度入学試験 学力検査問題
令和５年８月２４日実施
専門科目(1) この冊子には下表に示す３つの出題分野の問題が含まれています．社会工学学位プログラ
ムの受験者はその中から１つの出題分野を選択して解答しなさい．サービス工学学位プ
ログラムの受験者は数学の問題に解答しなさい．
(2) 各答案用紙の上部に，必ず受験番号を記入しなさい．
(3) 解答の初めに，必ず出題分野と問題番号（例えば，数学 I. ）を示しなさい．問題ごとに別の答案用紙に解答しなさい．

出題分野
数学
ミクロ経済学
都市・地域計画

University of Tsukuba
Graduate School of Science and Technology
Degree Programs in Systems and Information Engineering
Policy and Planning Sciences / Service Engineering
ENTRANCE EXAMINATION
August 24, 2023
Major Subjects(1) This package contains problems from the 3 subject areas shown in the following table.
Applicants for the Master’s Program in Policy and Planning Sciences should choose one
subject area to answer. Applicants for the Master’s Program in Service Engineering
should answer the problems in Mathematics.
(2) Write your application number on the top of each answer sheet.
(3) Write the subject area and the problem number (e.g., Mathematics I. ) on the top ofyour answer. Use a separate answer sheet for each problem.

Subject Areas
Mathematics
MicroeconomicsUrban and Regional Planning数学問題 I と II の両方に答えよ．問題ごとに別々の答案用紙を使用せよ．
以下では，実数全体の集合を R とする．

I. α ∈ R とする．次の 3 つの 4 次元実ベクトルを考える．
   011
−1
0
1   v1 =   v2 =   v3 =  
α
−1
0
011
また，ベクトル v 1 , v 2 , v 3 を列ベクトルとする行列を A = (v 1 , v 2 , v 3 ) とする．
以下の問 (1)–(5) に答えよ．

(1) ベクトル v 1 , v 2 , v 3 が一次独立となるための α の条件を示せ．
(2) 行列 tAA に関する以下の (a)〜(c) のそれぞれについて，記述が正しいか否かを理由とともに答えよ．ただし，tA は行列 A の転置行列である．
(a) 行列 tAA は対角化可能である．
(b) 行列 tAA の i 行 j 列要素は v i と v j の内積である．
(c) α = −1 のとき，行列 tAA は正則行列である．
 x (3) y = y ，q = xv 1 + yv 2 + zv 3 とする（x, y, z ∈ R）．2 次形式 ty(tAA)y をベクz
トル q を用いて表せ．
(4) ゼロベクトルでない任意の y について ty(tAA)y > 0 となる条件を α を用いて表せ．
(5) 互いに直交する 3 つの 4 次元実列ベクトル w1 , w2 , w3 を考える．ベクトルの長さはそれぞれ，|w1 | = 3，|w2 | = 5，|w3 | = 2 である．また，w1 , w2 , w3 を列ベクトルとする行列を B = (w1 , w2 , w3 ) とする．行列 tBB の固有値をすべて求めよ．
II. 以下の問 (1) 及び (2) に答えよ．
√(1) 実数関数 f (x) = 1/ 1 + x (x > −1) とする．f (n) (x) (n = 1, 2, . . . ) は f (x) の n 階導関数である．以下の問に答えよ．
(a) 次の値をそれぞれ求めよ．
i) f (1) (0)(b) 次の極限を求めよ．

ii) f (2) (0)iii) f (3) (0)f (x1/3 ) − 1 + 12 x1/3x→0x2/3i) lim

1 − 21 x1/3 + 38 x2/3 − f (x1/3 )x→0xii) lim(2) 実数関数 g(x) は以下のように定義される．
{2xe−x /2 x ≥ 0g(x) =0x<0√∫∞2以下の問に答えよ．ただし， −∞ e−x /2 dx = 2π を証明なしで使ってもよい．
∫∞(a) −∞ g(x)dx を求めよ．
∫∞(b) −∞ xg(x)dx を求めよ．
∫∞(c) −∞ x2 g(x)dx を求めよ．
∫∞(d) 自然数 n ≥ 1 に対して，µn = −∞ xn g(x)dx とする．次の値を求めよ．
i)µ2nii) µ2n+1

Mathematics
Answer both problems I and II. Use a separate answer sheet for each problem.
In what follows, let R denote the set of all real numbers.
I. Let α ∈ R. Consider the following three 4-dimensional real vectors.
   01
1
−1
0
1   v1 =   v2 =   v3 =  
−1
α
0
01
1
Let A = (v 1 , v 2 , v 3 ) denote a matrix whose column vectors are v 1 , v 2 , v 3 .
Answer the following questions (1)–(5).
(1) Find the condition of α such that the vectors v 1 , v 2 , v 3 are linearly independent.
(2) For each of the following (a)–(c) about the matrix tAA, answer whether the statement is correct or not with a reason. Here, tA denote the transpose of A.
t(a) The matrix AAis diagonalizable.

(b) The (i, j)-th element of the matrix tAA is the inner product of v i and v j .
(c) For α = −1, the matrix tAA is a regular matrix.
 x (3) Let y = y  and q = xv 1 + yv 2 + zv 3 (x, y, z ∈ R). Express the quadratic formzty(tAA)y using the vector q.
(4) Find the condition of α that ty(tAA)y > 0 holds for all nonzero vector y.
(5) Consider three 4-dimensional real column vectors w1 , w2 , w3 that are mutually orthogonal. The norms of these vectors are |w1 | = 3, |w2 | = 5, |w3 | = 2, respectively.
Let B = (w1 , w2 , w3 ) denote a matrix whose column vectors are w1 , w2 , w3 . Find
all eigenvalues of the matrix tBB.
II. Answer the following questions (1) and (2).
√(1) Define f (x) = 1/ 1 + x (x > −1). Let f (n) (x) (n = 1, 2, . . . ) denote the n-th
derivative of f (x).
Answer the following subquestions.
(a) Find the following values.
i) f (1) (0)ii) f (2) (0)iii) f (3) (0)(b) Find the values of the following limits.
f (x1/3 ) − 1 + 12 x1/3x→0x2/3i) lim

1 − 21 x1/3 + 38 x2/3 − f (x1/3 )x→0xii) lim(2) A real function g(x) is defined as follows.
{2xe−x /2 x ≥ 0g(x) =0x<0
Answer the following subquestions. Here,out proof.
∫∞(a) Find the value of −∞ g(x)dx.
∫∞(b) Find the value of −∞ xg(x)dx.
∫∞(c) Find the value of −∞ x2 g(x)dx.

∫∞−∞ e−x2 /2 dx =√2π can be used with-∫∞(d) For natural number n ≥ 1, define µn = −∞ xn g(x)dx. Find the followingvalues.
i) µ2nii) µ2n+1

ミクロ経済学問題 I と II の両方に答えよ. 問題ごとに別々の答案用紙を使用せよ.

I. 企業 A と企業 B の 2 企業が存在し，企業 A は財 1 を yA 単位生産し，企業 B は財 2 を yB単位生産する. 財 1 の市場価格は 90 円, 財 2 の市場価格は 100 円で一定の値をとるとする．
2 + y · y + 100, 企業 B の費用関数を C = y 2 + 100
また，企業 A の費用関数を CA = 21 yA
A BBBとする．但し，これらの費用関数は貨幣「円」単位で表されている．
以下の問 (1)-(6) に答えよ．

(1) 企業間での交渉がない場合における各企業の生産量および利潤を求めよ.
(2) 企業間で取引費用なしで生産状態に関する自由な交渉が可能であるとする．この場合，各企業は財をそれぞれ何単位生産するか．また，そのとき各企業の利潤はどのようになるか．
(3) 問 (1) と (2) の場合の生産量を比較しながら，(1) と (2) の解が異なる，もしくは，同一となる理由を 100 字以内で説明せよ．
(4) 経済厚生の観点から最適となる各企業の生産量を求めよ．
「経済厚生の観点から最適」とはどのような意味か，また，あなたの解答した生産量が最適である理由を説明せよ．
(5) 政府は財 2 の生産に対し生産量 1 単位当たり t 円を課税するとする. 政府は経済厚生を最大化することを目的とし，各企業は個別に利潤最大化を行う場合，政府は t をどのように設定すべきか.
(6) 企業間で取引費用なしで生産状態に関する自由な交渉が可能であるとする．政府が企業 B に生産量１単位当たり t 円を課税し，企業 A には企業 B の生産量 1 単位当たり s 円の補助金を給付する政策は厚生にどのような影響を与えるか説明せよ. 但し，t, s > 0 とする．

II. 以下の 3 ステップで進行する展開形ゲーム（いわゆる、シグナリング・ゲーム）に関する問 (1)-(9) に答えよ．
ステップ１：自然 (N ) がプレイヤー１ (P1) のタイプを θ1 と θ2 から選ぶ．θ1 が選ばれる確率を p と表す．
ステップ２：P1 がシグナルを s1 と s2 から選んで提示する．ただし，シグナル s1 を発するためには，P1 のタイプに依存してコストを負担しなくてはならないと仮定す
る．タイプ θ1 の場合にそのコストは 8 ドルであり，タイプ θ2 の場合には 20 ドルであるとする．
ステップ３：プレイヤー２ (P2) が P1 のシグナルを観察した上で行動を a1 と a2 から選び，以下の表の通り P1 のタイプに依存して経済価値が生じるとする．

a1a2

θ180 ドル
40 ドル

θ20 ドル
24 ドル

P2 は生じた経済価値の中から，自身の選択した行動に応じて以下の通り P1 に報酬を支払い，残りを P2 自身が受け取る．
a1 を選んだ場合
a2 を選んだ場合→→40 ドルを P1 に支払う．
24 ドルを P1 に支払う．

(1) 問題文のシグナリング・ゲームを適切に表した図を次ページの (A)〜(D) から一つ選べ．
(2) 問 (1) で選んだ図の空欄 (a) 〜 (d) に当てはまる利得の組をそれぞれ答えよ．ただし，利得の組の左の数は P1 の利得，右の数は P2 の利得を表す形式で書くこと．
(3) 以下では p = 12 と仮定する．本ゲームを戦略形ゲームで表せ．
(4) 問 (3) で描いた戦略形ゲームに基づいて，ベイジアンナッシュ均衡を２つ挙げよ．
(5) シグナリング・ゲームにおける，一括均衡と分離均衡の違いを説明せよ．
(6) 問 (4) で挙げた 2 つのベイジアンナッシュ均衡がそれぞれ一括均衡か分離均衡かを理由を付して答えよ．さらに，一括均衡にはどのような問題点があると考えられるか指摘せよ．
(7) 不完備情報下の動学的ゲームにおいて，信念の体系 (あるいは単に，信念とも呼ばれる) とは何か説明せよ．
(8) ベイジアンナッシュ均衡は，一定の条件を満たす信念の体系が存在するときに完全ベイジアン均衡であるといわれる．どのような条件か説明せよ．
(9) 問 (4) で挙げた 2 つのベイジアンナッシュ均衡が，完全ベイジアン均衡であるか否かそれぞれ理由を付して答えよ．

Microeconomics
Answer both problems I and II. Use a separate answer sheet for each problem.

I. There exist two ﬁrms, ﬁrm A and ﬁrm B. Firm A produces yA units of good 1, and ﬁrm B
produces yB units of good 2. The price of good 1 and the price of good 2 are always 90 yen and2
100 yen, respectively. The cost function of ﬁrm A is CA = 21 yA+ yA · yB + 100, while the cost
2function of ﬁrm B is CB = yB
+ 100. Note that these cost functions are represented in the unitof money ‘yen.’Answer the following questions (1)-(6).
(1) Assume that ﬁrms do not negotiate with each other regarding production. How many unitsof good 1 and/or good 2 do ﬁrm A and ﬁrm B, respectively, produce? What is the proﬁt
level of each ﬁrm?
(2) Assume that ﬁrms can negotiate with each other regarding production with no transaction
cost. How many units of good 1 and/or good 2 does each ﬁrm produce? How is the proﬁt
level of each ﬁrm determined?
(3) Explain the reason why the quantities of goods produced diﬀer or are the same in youranswers for questions (1) and (2) with less than 250 words.
(4) What is the optimal level of production for each ﬁrm from welfare economics point of view?
Explain the meaning of ‘optimal level of production from welfare economics point of view’and the reason why your answer is optimal.
(5) The government imposes a tax on the production of good 2. Speciﬁcally, a producer isrequired to pay t yen per unit of good 2 it produces. Assume that each ﬁrm maximizes
its own proﬁt. What is the rate ‘t’ that the government should impose to maximize theeconomic welfare?
(6) Assume that ﬁrms can negotiate with each other regarding production with no transaction
cost. For the production of good 2, the government imposes a tax on ﬁrm B at the rate oft yen per unit, and oﬀers a subsidy to ﬁrm A at the rate of s yen per unit. What is thewelfare consequence of this policy? Explain your answer. Note that t, s > 0.

II. Answer the questions (1)-(9) about an extensive form game, so-called signaling game, which
proceeds in the following three steps.
Step 1: Nature (N ) selects the type of player 1 (P1) from θ1 and θ2 . Let p be the probability
that N selects θ1 .
Step 2: P1 chooses a signal from s1 and s2 . Assume that P1 bears the cost of giving thesignal s1 depending on P1’s type. The cost is 8 dollars under the type θ1 , while it is 20
dollars under the type θ2 .
Step 3: Player 2 (P2) observes P1’s signal and then chooses an action from a1 and a2 .
Depending on the choosen action and P1’s type, the economic value is generated as thefollowing table shows.
θ1

θ2

a1

80 dollars

0 dollara240 dollars

24 dollars

The generated money goes to P2, while he/she pays P1 according to his/her own action.
P2’s action is a1 .

→P2 pays 40 dollars to P1.

P2’s action is a2 .

→P2 pays 24 dollars to P1.

(1) Choose a ﬁgure from (A)-(D) in the next page that represents the given signaling game.
(2) Answer the payoﬀ pairs that apply to the boxes (a)-(d) in the ﬁgure selected in question(1). In your answer, the left number should repsesent P1’s payoﬀ while the right one shouldrepresent P2’s.
(3) In the following, suppose that p = 21 . Show the strategic form representation of the given
signaling game.
(4) Point out two Bayesian Nash equilibria based on the strategic form game described inquestion (3).
(5) Explain the diﬀerence between a pooling equilibrium and a separating equilibrium in asignaling game.
(6) Answer whether the two Bayesian Nash equilibria pointed out in question (4) are a poolingor separating equilibrium, respectively. The answers should also include reasons. Moreover,point out a diﬃculty pertaining to a pooling equilibrium.
(7) What is a system of beliefs, or simply beliefs, in dynamic games of incomplete information?
(8) A Bayesian Nash equilibrium is called a perfect Bayesian equilibrium if there exists a systemof beliefs satisfying certain conditions. What are the conditions?
(9) Answer whether the two Bayesian Nash equilibria pointed out in question (4) are a perfect
Bayesian equilibrium, respectively. The answers should also include reasons.

都市・地域計画
問題ⅠからⅢより２題選択して答えよ。問題ごとに別々の答案⽤紙を使⽤せよ。
I.

都市における公園の管理運営に関する以下の問(1)−(3)に答えよ。
(1) 都市における公園の役割を３つあげ、解説せよ。
(2) 近年、⺠間事業者の資⾦やノウハウを活⽤した公園の管理運営が⾏われるようになってきている。そこには、どのような背景があると考えられるか、具体的に説明せよ。また、⺠間事業者の参⼊を可能とするための⽅法を１つあげ、その内容を説明せよ。
(3) A 市は、DID 地区に位置する⾯積約 4ha の地区公園の管理運営について、⺠間事業者の参⼊を試みることとなった。この公園は、これまでは緑地（⾃然の池を含む）と簡単な遊具があるだけであった。
この地区公園において、⺠間事業者により緑地を活かした施設を導⼊する場合、その具体的な⽤途として考えられるものを１つ提案し、理由とともに説明せよ。また、この施設を実現するにあたっての、近隣への影響に対する留意点を１つあげて説明せよ。

II.

図−１〜３は、⽇本における特徴の異なる３つの市街地である。これらの地図を⾒て、市街地整備に関する以下の問(1)−(3)に答えよ。なお、地名は灰⾊の四⾓形で隠している。地図の⽅位はすべて上が北である。
(1) 図−１〜３の３つの地区がそれぞれどのように市街地として形成されてきたかを地区ごとに論ぜよ。その際、図−１の A 地区については具体的な整備⼿法を、図−２の B 地区については都市計画の分野でどのように呼ばれているかをあわせて記すこと。
(2) ⾏政における都市計画担当者の⽴場から、図−２のＢ地区が抱える都市計画上の具体的な問題を３つ箇条書きにして説明せよ。
(3) 図−３のＣ地区で⽣じている、もしくは今後⽣じる可能性がある暮らしの上での課題を、居住者の視点から論ぜよ。

図−１

Ａ地区

図−３

Ｃ地区

出典：いずれも国⼟地理院発⾏ 2.5 万分 1
地形図を加⼯図−２B 地区

III. 脱炭素化に関する以下の問(1)−(5)に答えよ。
(1) 脱炭素化の⽬的を述べよ。
(2) CO2 排出の負の外部性について説明せよ。
(3) 脱炭素化プロセスにおいて議論される公平性にはどのようなものがあるか、１つあげ説明せよ。
(4) 負の外部性を解消するための税⾦としてピグー税がある。この税の定義を述べよ。
また、CO2 の排出に対するピグー税を⼀般に何と呼ぶか答えよ。
(5) 原⼦⼒発電や再⽣可能エネルギーに対する補助⾦はピグー税に⽐べると経済学的に⾮効率であると⾔われている。その理由を論ぜよ。

Urban and Regional Planning
Choose two problems from the following problems Ⅰ-Ⅲ to answer. Use a separate sheet for eachproblem.
I.

Answer the following questions (1)-(3) regarding the management and operation of urban parks.

(1) List three functions of urban parks, and explain them.
(2) In recent years, parks are increasingly being managed and operated with the resourcesand expertise of private operators. Explain in detail what you think the background is.
In addition, identify a method to allow private operators to enter the management andexplain its details.
(3) City A has decided to involve a private operator in the management and operation of a
district park of about 4 hectares located in the DID district. This park currently has only
a green area (including a natural pond) and some basic playground equipment.
Suppose that a new facility in combination with the existing green area is to be
introduced in this district park by the private operator. Suggest a possible specific use
for this facility and explain why. In addition, identify and explain one issue that should
be considered in the implementation of this facility in terms of its impact on theneighborhood.

II.

Figures 1 to 3 show three urban areas with different characteristics in Japan. Looking at thesefigures, answer the following questions (1)-(3) on urban development issues. Note that theplace names are hidden by gray rectangles. All figures are oriented with north at the top.
(1) Discuss how each of the three districts in Figures 1 to 3 was formed as an urban area. Inthe discussion include the description the specific development method for District A inFigure 1, and the name for District B in Figure 2 in the field of city planning.
(2) From the standpoint of a city planning officer in the government, list three specificproblems in city planning that District B in Figure 2 has and explain them.
(3) Discuss, from the residents' point of view, the problems that have arisen or are expected toarise in the future in District C in Figure 3.

Figure 1: District A

Figure 3: District Ｃ

Source: All maps are processed from 1:25,000
topographic maps issued by the Geospatial
Information Authority of Japan

Figure 2: District B

III. Answer the following questions (1)-(5) regarding decarbonization.
(1) Describe the objective of decarbonization.
(2) Explain the negative externalities of CO2 emissions.
(3) Explain one issue of equity discussed in the decarbonization process.
(4) State the definition of “Pigouvian tax”. In Addition, answer the general term of the
Pigouvian tax on CO2 emissions.
(5) Discuss why subsidies for nuclear power generation or renewable energy are considered
economically inefficient compared to Pigouvian taxes.