計測自動制御学会東北支部 第 210 回研究集会 (2003.7.16)
資料番号 210‑2

離散コサイン変換による計算機ホログラムのデータ圧縮
Data Compression for Computer Generated Holography
based on Discrete Cosine Transform○小原 泰平*，大坊 真洋*，田山 典男*○Taihei Obara*, Masahiro Daibo*, Norio Tayama**岩手大学工学部*Faculty of Engineering Iwate University
キーワード: 計算機ホログラム (Computer Generated Holography)，基底 (Base)
離散コサイン変換 (Discrete Cosine Transform), 圧縮 (Compression)
連絡先: 〒020‑8551 盛岡市上田 4‑3‑5 岩手大学 工学部 大坊 真洋
Tel.: (019)621‑6983, Fax.: (019)621‑6983, E‑mail: daibo@iwate‑u.ac.jp

は物体にレーザ光を当て，その反射，あるい
現在，物体を立体的に表示させる方法で， は透過した散乱波(物体光)と，参照光とを干最も用いられているものは二眼立体視であ 渉させた縞を記録したものである．CGH は，る．しかしながら，二眼立体視は，特殊な眼 記録する干渉縞を計算によって，数値データ鏡を使用しなければならず煩わしさがあり， として求める手法である．このデータとしてさらに，人間が立体を認識する際の視差，輻 求めたものを画像化し，電気的に光の波面を輳，調整といった生理的要因のバランスが悪 制御できるデバイスを使用して，その数値データに対応して波面を制御すれば，即時に立く疲労を感じる．
一方，物体を立体的に表示させる別の方法 体像を再現することが可能となる．また，通として，ホログラムが知られている．一般的 常のホログラムの場合，実際に存在する物体，な写真は振幅情報のみを記録したものであ あるいはその模型を作成しなければならいるが，ホログラムは，物体の振幅情報の他に のに対し，CGH は例えその物体がそこに存在位相情報をも記録したものである．記録した しなくても，その物体の数値データさえあれホログラムは一見しただけでは何が映って ばホログラムが生成可能である．
しかしながら，ホログラムには，一般に非いるのかわからない．しかし，生成したホロ常に高い解像度が要求される．また，本研究
グラムに再生光を当てると，干渉縞により回折された光が立体像を瞬時に映し出す．この の CGH はフレネル型 CGH であるため，物体の像は，記録した物体と等価の波面を再現して 標本点と，ホログラムの標本点の全組み合わおり，人間の立体認識の要因を全て満たすた せを計算する必要があり，その膨大な情報量め，違和感がなく，究極の立体表示法の一つ の処理は避けられない．
そこで，本研究では，この問題を解決するとされている．
また，ホログラフィ技術の一つとして，計 ために，画像圧縮技術等に使われる離散コサ算機ホログラフィ(CGH)がある．ホログラム イン変換(DCT)の基底に注目し，2 次元 DCT の基底画像をホログラムに変換する基底ホロ

1. まえがき1グラムを提案する．そして，対象となる画像信号に最適な分だけの基底ホログラムでホログラムを合成することで，情報圧縮されたホログラムを生成する新しい CGH の情報圧縮法を提示する．また，その再生画像に対して，PSNR(Peak Signal‑to‑Noise Ratio)による定量的評価を行い，本方法の有効性を示す．
2. 本方法の原理

係数の量子化ステップ値を，低周波側は小さく，高周波側は大きくすることにより，画像劣化を抑えながら情報圧縮が可能となる．
そして，量子化した DCT 係数と，メモリに蓄えておいた基底ホログラムを，各々に対応させ，掛け合わせることで最終的に 1 枚のホログラムにする．この場合，全ての種類の基底ホログラムを取り出す必要はなく，再生に最適な分だけ取り出せばよい．

2.1 情報量圧縮の原理

2.2 離散コサイン変換の行列表現

Fig.1 に本方法による CGH の情報圧縮のモデル図を示す．まず，2 次元 DCT には，直流成分から高周波成分までそれぞれ，8 × 8 画素の基底画像が全部で 64 種類存在する．これ
らの基底画像の各成分をホログラムに変換する．この変換したホログラムをここでは基底ホログラム と呼ぶことにする．計算した基底ホログラムはメモリに蓄えておく．
ここまでは(同図で点線により囲んでいる部分)は，事前に計算可能である．
次に実行時の処理は，始めに，3 次元の仮想物体から，ある奥行きの 2 次元の画像を取り出す．そしてその画像を，8 × 8 画素を 1 ブロックとした画像ブロックに分割する．この処理は，画像ブロック毎に独立して行うことができる．
次に，画像ブロックに DCT を施し，画像ブロックの DCT 係数を求める．ここで，一般に画像信号に DCT を行うと，低周波側に値が集中する．また，人間の眼は，低周波の変換に敏感であることに対し，高周波の変化には鈍感である．このことを利用すると，DCT離散コサイン変換(DCT)は，離散フーリエ変換(DFT)同様に，信号の分解法の 1 つとされている．DCT は，画像圧縮技術に対し，非常に相性の良い変換法である．その理由の 1
つは，DFT では，実数の信号を処理する場合，複素数演算が必要となるが，DCT では，信号が実信号(実数値)であるならば，全て実数演算で実行することが可能であるからである．
さらに，DCT には，高速フーリエ変換(FFT)のような高速演算アルゴリズムが存在し，その応用性は広いと考えられる．
ここでは，後に本方法に DCT を適用するための準備として，DCT を行列表現する．
DCT の変換式は，式(1)のように表される．

X j =N −12c j ∑ p i b ij
Ni=0(1)

ただし， ( 2i + 1) jπ bij = cos 
 2N

3‑D Virtual Image
2‑D Image

DCTQuantization

8x8 Image

Data

Block Divition

Re‑Quantization

2‑D DCT base
image

Basis
Hologram・・・

Memory・・・

Pre‑computable∑
Fig.1 Modeling of data compression for CGH.
2Data Compression
Hologram01, j = 1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅, N − 1
cj =  1
 2,j=0123456701

ここで，Xj :DCT 係数，N :信号数，cj:重み係数，pi:信号値である．DCT には，bij のコサイン関数のサンプル値，重み係数， 2 / N のスケーリング係数からなる，基底をもっている．
画像は，2 次元に分布した輝度の情報をもつ離散点の集まり，つまり画素で表現される．
画像に DCT を適用するために，式(1)を 2 次元に拡張する必要がある．DCT には可分性という性質があり，多次元の DCT を単に 1 次元DCT の繰り返しとして実行することができる．
このことにより，容易に式(1)を 2 次元に拡張できる．今，N1 × N2 の画素をもつ 2 次元画像 pi1i2 に対する 2 次元 DCT は式(2)となる．

234567Fig.2 Base image of 2-D DCT.

ここでは，仮想物体を，標本点上に多数の点光源が分布し，それらの集合によって構成
2 c j 1 c j 2 N 1 −1 N 2 − 1
されているものとする．この物体から発生すX j1 j 2 =p i1i 2 b1i1 j 1b 2 i 2 j 2 (2)∑∑る物体光は，各点光源から発せられる球面波
N 1 N 2 i1 = 0 i 2 = 0の総和であると考えて，ホログラム面にはフ
ただし，レネル回折光 Wn が到達する．よって，その振 (2i1 + 1) j1π  (2i1 + 1) j1π  幅分布は式(4)により計算できる．

b1i1 j1 = cos2N1

, b1i1 j1 = cos

2N1

ここで，8 × 8 画素の画像を対象とした場合の，2 次元 DCT の基底画像を Fig.2 に示す．
全 64 個の各基底画像は対応する周波数はそれぞれ異なり，基底画像の 1 番左上の成分を直流成分(DC 成分)，その他の成分は交流成分(AC 成分)となっている．DCT の基底は固定基底であり，任意の画像は基底の線形結合として表現される．
式(2)を見ると，画像の濃度値とコサイン関数のサンプル値の項が積和される形式となっている．そこで，画像の濃度値と，基底の部分とを分けて行列表現にすると式(3)のようになる．
X = BP(3)
ここで， X は DCT 係数ベクトル，P は画像濃度ベクトル， B は DCT 基底行列である．

Pn1n 2  2πexpi
r + φ n1n 2  (4)l1= 0 l 2 = 0 r λ
L1 −1 L2 −1

Wl1l 2 = ∑ ∑ただし，r = ( x n − xl ) 2 + ( y n − y l ) 2 + z 2
ここで，Pn1n2:仮想物体の(n1,n2)番目の点
光源から発せられる物体光の振幅，r:仮想物体の(n1,n2)番目の標本点とホログラムの( l 1, l 2) 番 目 の 標 本 点 間 の 距 離 ， φ n1n2:(n1,n2)番目の物体光の初期位相，λ:レーザ光の波長である．
参照光は WR とし，再生した像と重ならないように， y 方向にθ傾かせた方向から入射させたとすると，式(5)のようになる．

 2π

WR = AR exp  iyl1 sin θ  λ
ここで，AR:参照光の振幅である．

2.3 計算機ホログラムの行列表現(5)物体光と，参照光が干渉可能とすると，ホFig.3 でフレネル型の計算機ホログラム
ログラム面には振幅の絶対値の 2 乗が記録さ(CGH)モデルを示す．3 次元仮想物体，参照光，れる．
ホログラムの位置関係が示されている．
2hl1l 2 = WO + W R

3

= Re(WO ) + Re(WR ) + i{Im(WO ) + Im(WR )}2θ

Re は実数部，Im は虚数部を，*は複素共役を意味している．式(6)の第 1 項と第 2 項は像の再生には無効なものであり，ホログラムを形成するダイナミックレンジを無駄にするので，省略し式(7)を得る．

Z

hl1l 2 ≈ Re(WOW )= AR ∑ ∑ψ Pn1n 2(7)l2 2π(r − yl sin θ ) + φ n1n 2 cos λψ =r2.4 計算式の統合
これまで計算した DCT の変換式と，CGH の変換式は，式(3)と，式(8)で示したようにどちらも行列表現が可能である．また，行列 Bと Ψ はどちらも定数の行列である．従って，行列の掛け算によって統合することが可能である．
まず，DCT の変換式に，基底ホログラムの重み係数を行列にした行列 ∆ を掛ける．この行列をここでは 基底ホログラム量子化行列 と呼ぶことにする．
X = ∆−1BP(9)
ただし，

⋅⋅
⋅

aOHologram⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅0 ⋅ 0 δ N−11 × N 2 ⋅⋅⋅⋅は，(n1,n2)番目成分の量子化ステップ値の基本値である．そして， q は量子化のレベル値であり，ここでの量子化レベルの値は任意に変化させることができ，これによって圧縮率の調整が可能となる．
2 次元 DCT の逆変換の式は式(10)となる．
P = B T∆X(10)
ここで， B が転置行列であるのは，DCT の基底は正規直交基底であるので，その逆行列と転置行列が等しくなるからである．
CGH での仮想物体の振幅値とは，DCT での 2次元画像の濃度値と等価なものと考えることができる．そこで，DCT の逆変換の式(9)と CGH の変換式(8)から行列 P を消去し，式(11)が得られる．
h = G∆X(11)ただし，n1n2式(7)を見ると，物体光の振幅と位相項が積和される形式であるので，行列表現が可能である．
h = ΨP(8)
ただし，AR は，参照光の振幅であり，一定であるので，省略した．ここで， h は，ホログラムベクトルであり， P は，仮想物体の振幅ベクトルである．そして， Ψ は，位相行列である．

δ 2−1

hl1l2

δ = Qn1n 2 × q
ここで，δ は量子化ステップ値であり， Q

ただし，0X

Fig.3 Modeling of CGH based onFrenel type hologram.

L1 −1 L2 −1

δ 1−1 0−1∆ = ⋅ ⋅ 0

WO

Virtual Object

*Rl1

Y

WR
(6)

= WO + W R + 2 Re(WOW R* )220⋅

G = ΨB T
ここで， G は CGH の位相行列と，DCT の基底行列の掛け算，つまり，基底ホログラムを表している．この行列の Ψ と B は、どちらも定数行列であるため、あらかじめ計算が可能である．
3. 実験及び再生画像の評価
実際に，本方法による情報圧縮したホログ
ラムを生成し，どの程度の圧縮効果があるかを評価した．また，計算機上の再生シミュレーションにより，生成したホログラムの再生像を求め，その定量的評価を行った．
3.1 基底ホログラムの生成

4まず，本方法の準備段階である，2 次元 DCTの基底ホログラムを生成する．基底ホログラ
ムを生成するというのはつまり，2 次元 DCTの各成分の基底画像を再生するホログラムを生成することである．Fig.4 に基底ホログ
ラムの一例として，DC 成分のものと，一番右下の AC 成分のものを示す．
Low freqency

3.2 サンプル画像による評価

Fig. 4 Examples of Basis Hologram− Fn1n 2 ]2n1n 250
403020ABC

10000.5

11.5

2

Quantization levelFig.6 Relation between quantization level andnumber of trancation.

PSNR[dB]

RMSE =∑ ∑[ f6030

ただし，

n1= 0 n 2 = 0(C)Fig.5 Sample image of three types

 255 PSNR = 10 log10  (12)
 RMSE N1 −1 N 2 −1

(B)

(A)

Number of trancation

始めに，画像を画像ブロックに分割した時の 1 ブロックに相当する，8 × 8 画素の画像を数種類用意し、それぞれに対して，本方法によるホログラムを生成し，その再生画像を評価した．Fig.5 は，今回用意した 3 種類のサンプル画像である．(A)は高周波画像，(B)は低周波画像，(C)はランダム画像である．
Fig.6 はそれぞれの画像に対し，情報圧縮したホログラムを生成した際に，式(9)における量子化レベル値 q の値を 0.0 から 2.0 まで増加させた時の，切り捨てられる基底ホログラム数との関係を示したものである．今回，量子化ステップ値の基準となる値は，JPEG で採用されている量子化テーブルを用いた．このテーブルの特徴としては，画像構成に重要な低周波側に，値を小さく，高周波側に向かうほど値を大きくとっている．
Fig.7 はそれぞれの量子化レベルで生成した，情報圧縮ホログラムを再生し，そのときの再生像と，通常ホログラムの再生像の比較である．なお，今回使用した，評価法は，PSNR(Peak Signal‑to― noise ratio)によるものである．以下に PSNR の式を示す．

High freqency

N1 × N 2

ここで，N1 × N2 は，画像の画素数，f n1n2 は，元の画像濃度で，この場合は，通常ホログラムの再生画像濃度である．そして，F n1n2 は，再生画像濃度である．
Fig.6 からわかる様に，全体的に，量子化レベルを増加させていくと，切り捨てられる
520ABC10000.5

11.5

2

Quantization level
Fig.7 Relation between quantization level andPSNR.

1

基底ホログラムの数が増加し，すなわち圧縮率が高くなる．しかしながら，Fig.7 に示している様に，それに伴い再生像も劣化する．
高周波成分の多い画像(A)や(C)のは，係数の成分が低周波側に集中せず，高周波側にも及ぶため，量子化レベルをある程度大きくしないと圧縮効果が期待できない．特に，タイプ(C)のような画像においては，再生のために多くの基底ホログラムが必要となるため，圧縮効果が低くなっている．しかし，タイプ(B)のような低周波の画像は，量子化レベルを小さくしても，高い圧縮効果が得られ，再生像の劣化も少ないことがわかる．

234567812345678

Sorce image

Block divided images

Fig.8 Sorce image and Block divided images.

3.3 自然画像による評価
Fig.8 に今回使用した 64 × 64 画素の原画像508(lenna)と，その画像を，画像ブロックに分40割したものを示す．Fig.9 は，Fig.8 で分割630した画像ブロックそれぞれの位置に対して，42量子化レベルが 0.5 の場合での，切り捨てら4れた基底ホログラム数を 3 次元的に表したも26のである．グラフを見ると，画像ブロックの場所によって切り捨てた基底ホログラム数8に差があることがわかる．高周波成分を多く
Fig.9 Distribution of number of trancated base含む画像ブロック，例えば髪の毛の部分では
hologram. Quantization level is assumed
切り捨てられた基底数が比較的少ない．対しto be 0.5 in this case.て，低周波成分を多く含む画像ブロック，例
えば顔の部分においては，切り捨てられた基され，ホログラムの再生像とを比較した PSNR底数は大きくなっている．なお，切り捨て可は，それぞれ，約 29.72[dB]，29.69[dB]，能な数は，最大のブロックで 59/64，最小な29.32[dB]であった．良好な再生像が得られブロックで 25/64 であった．このように自然たが，量子化レベル 1.0 以上の再生像にはブ
画像は，多数の画像ブロックで構成されておロック歪みが目立ってくる．これについては，り，様々な性質の画像ブロックが混在してい画像ブロックを重複して変換する対策が考る．このため，画像ブロック毎にみれば，そえられる．
れぞれの圧縮量に差が生じる．しかしながら，一般に自然画像の多くは，画素間の相関性が 4. まとめ高いとされているため，画像全体でみれば，今回，2 次元 DCT による CGH の新たな情報低周波成分の割合が大きいことで，圧縮効果 圧縮法を提示した．そして，その再生像の定が期待できる．
量的評価を行った．DCT の基底は，固定基底用意した自然画像に本方法を適用したホロ であるので、その基底画像をホログラムに変グラムと，圧縮無しの方法で作成したホログ 換する，いわゆる基底ホログラムをあらかじ
ラムの例を Fig.10 に示す．そして，量子化 め計算しておくことが可能である．これが，レベルをそれぞれ，0.5，1.0，1.5 と変化さ 本方法のアイディアであり，それによって，せた時の情報圧縮ホログラムの再生画像を 画像を再構成するのに適当な成分のみでホFig.11 に示す．生成されたホログラムの情報 ログラムを合成するので，その分の情報圧縮量は，それぞれ，約 1/4，1/5，1/6，に圧縮 が可能となる．また，同一奥行きにある画像
6ならば，64 種類の基底ホログラムを用いて再現することが可能である．さらに，画像ブロック毎の並列処理が可能であり，数式は単純な積和演算の繰り返しによるもので，ハードウェア化も容易であり，高速化にも適していると考えられる．本方法により得られた再生像の評価の結果，1/4〜1/6 程度までは，良好な画質(PSNR ≈ 29[dB])で圧縮できることを確認した．
今後の課題としては，ホログラムの視域の拡大が挙げられる．
(a)

参考文献
1)

M.Daibo, N.Tayama, Visualization of
x‑ray computer tomography using
computer generated holography, SPIE
Proc, vol.3457, pp.134‑145, 1998.
2) 大坊真洋, 田山典男, 計算機ホログラ
ムと X 線計算機断層法を統合した 3 次元可視化,
電子情報通信学会論文誌 D‑Ⅱ, vol.J82‑D‑Ⅱ, no.9, pp.1420‑1428,
1999.
3) M.Rabbani, P.W.Jones, Digital Image
Compression Techniques, SPIE PRESS,
vol.TT7, pp.102‑128, 1991.

(b)
Fig.10 Example of hologram (a) without compression and (b) with compression.

Without compression

Quantization level 0.5

Quantization level 1.0

Quantization level 1.5

Fig.11 Compression of reconstructed images.

7