2020.03.27公開

Reprint from: RAD-IT21 WEBマガジン 「この感染は拡⼤か収束か」（⾨ 信⼀郎）

この感染は拡⼤か収束か︓再⽣産数 R の物理的意味と決定〜単純なモデル⽅程式に基づく⾏動変容の判断のために〜
⾨信⼀郎（京都⼤学エネルギー理⼯学研究所）1

1. はじめに2019年末、中国湖北省武漢で発⽣した新型コロナ肺炎（後にCOVID-19と命名）は、2020
年2-3⽉現在、世界的な猛威を振い[1]、3⽉12⽇には、（遅きに失した感もあるが）世界保健機関（WHO）がパンデミック（世界的⼤流⾏）を宣⾔した[2]。
初期の報告で、潜伏期間が平均5⽇、最⼤12⽇と聞き、渡航者も⼈員交流も多い⽇本の検閲をくぐり抜け、いずれ⼊ってくることは多くが予期していたであろう。
中国では初動に遅れ、爆発的な拡⼤（エピデミック、流⾏病、疫病）になってしまったが、その後、徹底的な隔離と外出禁⽌、消毒などの施策により、現在は「現在の患者数（現有確診病例）」が低下している。（当事者には気の毒ではあるが）これは我々の⾏動のあり⽅の参考とすべきモデルケースであるといえよう。
実際の⼈間の⾏動もウイルスの特性も多種多様であり、（仮にできるとして）それを模擬するには、⼤規模なシミュレーション（模擬計算）、ビッグデータが必要なのは想像に難くない。しかし、「シミュレーション結果で〇〇だから、ああせよ、こうせよ、」といわれても、なんだか機械に使われているようで得⼼がいかないのではないだろうか（︖）
そこで本稿は、最も単純な疫学の数理モデルに基づく⽅程式をもちいて、⾃分がおこなっている、あるいは社会が課している⾏動規範がどのような意味をもち、要求される⾏動変容がどの程度の効果をもっているものなのか、理解、納得するための指針となることを⽬的にまとめた。その点で、本稿は新しい成果や研究ではなく、既存のモデルやデータから読み取れる内容を⾮専⾨の筆者から、⾮専⾨の読者に伝えることを試みたものである。その中で具体的な値は、実験物理の⼿法をもちいて決定することが可能であることを⽰した。
本稿は、指数・対数関数と微分⽅程式の基本的なところを学んだ⾼校後半や⼤学⽣、疫学を専⾨とはしない広い範囲の理系の読者を想定した内容にしたつもりである。しかし、そのような基礎知識がなくとも、図やデータを眺めながら7章まで読み進めていただければ、等⽐級数的に進⾏するウイルス感染の「⾒⽅」「考え⽅」を深めていただけるのではないかと考えている。
2. SIRモデル（ケルマック・マッケンドリック・モデル ）⼈⼝が⼀定の「閉じた空間」（実⽣活の感染リスクとして⽤いられる「閉鎖空間」でなく、⼈の出⼊りを考えないモデル上の領域のこと）での状態が刻々と変わっていく遷移のダイナ
ミクス（時間的な動き）を考えてみる。
1著者︓佐賀県⽴伊万⾥⾼等学校出⾝。京都⼤学理学部卒。九州⼤学⼤学院総合理⼯学研究科修了。博⼠（⼯学）。

⾃然科学研究機構核融合科学研究所助⼿（現助教）、東京⼤学⾼温プラズマ研究センター、東京⼤学⼤学院⼯学系研究科原⼦⼒国際専攻准教授を経て2013年2⽉より現職（宇治キャンパス）。専⾨︓プラズマ理⼯学、核融合学、プラズマ計測、分光学。科学教育。趣味︓ピアノ。囲碁。元フィギュアスケート選⼿。５回転ジャンプと核融合
発電、⼈類はどちらを先に⼿にするでしょうか。世代を超えた継続的かつ効率的な育成システム構築が重要でしょう。
URL: http://www.iae.kyoto-u.ac.jp/complex/
SNS: https://twitter.com/plasmankado

1

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状態としては、感受性⼈⼝S（Susceptible︓感染する可能性のある⼈) 、病例数I（Infectious︓
感染して病気になった⼈，潜伏期間はここでは無視）、快復数R（Recovered/Removed︓快復
または隔離された⼈）の3つのみを定め、それらの時間変化を記述する。特に時間tの関数であることを明⽰するには、それぞれ S(t) 、 I(t)、 R(t)と書く。
ここでいう「隔離」とは治癒による免疫獲得または死亡であり物理的な隔離ではない。死亡率が⽐較的低い今のCOVID-19のような場合では死亡率は快復率に繰り込んでよい。全⼈⼝N= S(t) + I(t) + R(t) = [⼀定] であり、転出・転⼊・この感染以外による死亡は考えない、いわゆ
る局所モデルである。
このモデルは「ケルマック・マッケンドリック・モデル︓Kermack and McKendrick (1927) 」と呼ばれる。同じモデルが変数S・I・Rから「SIRモデル」とも呼ばれる[3]。最も単純化されたモデルであるが、複雑なモデルも、これを基本にした拡張と考えると理解しやすい。⾮常に汎⽤的な⽅程式なので、検索するとかなり詳しい解説もインターネット上で⼊⼿できる[4]。
筆者の専⾨である、プラズマ分光学の分野には奇しくも「コロナモデル」という、原⼦や分⼦の状態間遷移のダイナミクスを記述して、太陽コロナの発光強度を求める⽅程式系がある。「コロナモデル」や「SIRモデル」のような形の⽅程式（微分⽅程式、あるいはレート⽅
程式）⾃体は、様々な分野で使われる⼀般的なものである。ここではイメージしやすいように、原⼦のエネルギー準位に⾒⽴てた図1の配置で記載することをご容赦いただきたい。

図 1︓単純モデル（ケルマック・マッケンドリッ
ク︔SIR モデル）の状態間遷移と速度係数の概念
図（原⼦のエネルギー準位に⾒⽴てている）。原
⼦内電⼦の「励起」（感染・発症）と「脱励起」（快復）の「レート⽅程式」（微分⽅程式）の解に対応。

＜微分⽅程式＞
微分⽅程式といっても、このモデルで使っているのは、ある時間における物理量の変化率（接線）がどのような物理過程に基づいているかを定式化した単純なものである。例えば、
位置xの時間 t に対する変化率は速度vであり、速度の時間変化率は加速度aである。このとき、dx/dt = v, dv/dt = a とかける、ということは⽐較的馴染みがあるのではないだろうか。
ニュートンの運動⽅程式は、微分⽅程式の１つである。
簡単な例を考えよう。浴槽に毎分10 Lの速度（レート）でお湯を張るが、栓の閉め⽅が悪くて、毎分10%の割合で抜けていくとする。このとき、浴槽中のお湯の量Qの時間変化は
dQ/dt = [流⼊速度] – [流出速度] = 10 – 0.1 Q
で与えられる。⽔量Qが少ないうちは（10 に⽐べて 0.1 Q は⼩さいので）順調に溜まっていくかに思える。しかし最終的にはdQ/dt = 0（Qが変化しない条件）から得られる定常

2

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なお湯の量は（条件 10 – 0.1 Q = 0 を解いて、Q = 10/0.1 = 100）、すなわちQ = 100 L で、それ以上増えなくなる。
蛇⼝を閉めると、毎分10%ずつお湯が減っていく。このような減り⽅をする特徴的な時間を「減衰の時定数」という。
この状況をイメージし、以下のモデルを読み進めてほしい。

本稿で扱う微分⽅程式では、特に状態[I]への流⼊と流出に着⽬する（物理学でいうフラックス︔[⼈s-1]）。
[I ]への流⼊、すなわち感染は [S]×[I ]×[感染確率β] である。βの単位は[⼈-1s-1]であり、その閉じた空間に感染者[I ]と有感受性者[S]が増えると⽐率βによって爆発的（等⽐級数的、指数関数的）に拡⼤する。[I ]への流⼊は同時に[S]からの流出を表す。潜伏期間も不顕性感染も（とりあえず）無視しているので、感染者と発症者は等しい。物理学では、[Sβ]は[I ]という粒⼦が[S]に⼊射された場合の衝突周波数[s-1]、[1/(Sβ) ]は衝突周期に類似できる。
[I ]からの流出は快復（と死亡）によって[R]に流⼊する。その速度係数はγである（単位[s-1]）。
免疫が獲得できない場合は[S]に戻ることになるが、この単純モデルでは（とりあえず）無視する。すると⽅程式系は

dS(t)= −I(t)S(t)βdtdI(t)= I(t)S(t)β − I(t)γdtdR(t)= I(t)γdt
N = S(t)+ I(t)+ R(t)(1)

とかける。感染初期でS ≒ Nであれば、2つめの微分⽅程式は単独に解けて、dI= N β − γ dt
I
ln I(t) = const.+ N β − γ t

(

)
(

((

)

))

I(t) = I(0)exp N β − γ t(2)⎛ ⎛ Nβ ⎞ ⎞= I(0)exp ⎜⎜γ ⎜−1⎟t ⎟⎟
⎠ ⎠
⎝ ⎝ γ

((

))

= I(0)exp γ R0 −1 tを得る。ただし、

R0 =

Nβ
γ

(3)

である。
ここで、R0は基本再⽣産数（basic reproduction number; R nought, アールノート)といい、ウイルスの感染⼒の強さの指標として引⽤される[5]（しばしばその意味、性質が混乱して⾔及されているように思われる）。感染初期なので、何の対策もしていない場合の値である。

3

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式(2)の指数関数の性質が (R0 –1) の正負で変わることからわかるように、R0 < 1なら[I ]は指数関数で減衰するので感染は収束トレンドへ、R0 > 1 なら指数関数的（等⽐級数的）に感染が爆発する（感染初期）。
このR0の中⾝に着⽬すると、ある閉じた空間（国だったり、地域だったり、学校だったり、家庭だったり、、）内の⼈⼝Nに依存しているので、⼈⼝が密集すると⼤きくなる。同時にこのR0はβにも依存しているので、感染する機会（⾏動、⽣活習慣、⽂化など︔濃厚接触と⾔われる）にも依存する。よって、発⽣した場所の状況によって幅があることに注意すべきである。
N < γ/β であれば常にR0 < 1であるので、感染が拡⼤する⼈⼝密度の臨界値Ncrが存在する（、、、がNβの形で扱うので、実⽤上はあまり有⽤ではないように思われる）。
3. エピカーブ〜単純モデルと実際〜
SIRモデルの微分⽅程式を実際に解いたものを 図2に⽰す。このような曲線をエピカーブ（エピデミック・カーブ、流⾏曲線）と呼ぶ。

図 2︓エピカーブの例。縦軸は N
に対する S または I または Rの割合。初期の感染者 I(0)が Nの 0.1%の⼈数発⽣し、感染が拡⼤する。基本再⽣産数 R0 = 2 を例にした。快復が増え、⼈々が免疫を獲得すると、この感染が終息に向かう。

係数βとγには、R0が2となるように適当な数値がいれてある（半減期9）。この例では、[I ]のピーク値で⼈⼝の15%ぐらいの⼈が感染しているような結果になっている。このピーク値は初期値や変数の調整で変更できる（⾃分でやってみると感覚が確かめられる）。
感染発⽣からしばらくたつと、快復者（や死亡者）がでてくる（図2中の緑⾊の曲線）。[S]が[N]ではなくなり、[I ]への流⼊が減る。[I ]の時間変化は快復者があるのでなだらかになり、[S]が減ることによりやがてピークを迎える。
このときの再⽣産数Rを、基本再⽣産数R0と同様に定義すると

R=

Sβ S
= R0
γ
N

(4)

と表せる。これは実効再⽣産数と⾔われる（快復数の変数R(t)と混同せぬよう）。さらに、この頃には、政府や個⼈も対策をとっているであろうから、その効果(efficacy)をc で表すこと42020.03.27公開

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R=

Sβ
S
(1− c) = R0 (1− c)
γ
N

(5)

と書くのを推奨したい。こうすれば、⾵習を変えること（専⾨家会議[6]のいう「市⺠の⾏動変容」）によるβの低減率も(1-c)に含まれると考えられるからである。
図 2 とは別のパラメータ（βとγの別の値）および初期感染者数 I(0)を⽤い、ピークを 30％程度にあわせた場合の、c の値への依存性を図 3 に⽰す。
アウトブレイク後に医療体制を整えて許容数を増やしていくイメージを、図 3に加筆した（図3の⾚点線）。有効な予防策や⾏動変容(c = 30%, 50%)を実施すると「ピークを遅らし、下げることによって、医療崩壊を防ぐ」ことができる、という意味がつかめるであろう。
専⾨家会議[6] では感染者の指数関数的な増加により医療体制の許容量を超えることをオーバーシュートと呼び(3⽉19⽇)、その後「2〜3⽇で累積患者数が倍増する程度のスピードが継続して認められるもの」と再定義（4⽉1⽇）した。オーバーシュートは物理学や⼯学の分野では、過渡応答などで、ある基準を⾏き過ぎてしまう現象を指すのが⼀般的である（逆はアンダーシュート）。⾊々な物理量の速すぎる増加は「サージ」を⽤いることが多いように思う（サージ電流など）。疫学の専⾨誌でも「最初に感染を抑えすぎて集団免疫が不⾜で、アウトブレイクの第2波がきて、結果として最適な免疫獲得よりも⾏き過ぎた感染者を出してしまう状況」を指してovershootとする例[6 補⾜]があるため、限定的な⽤法であることに注意しておくべきだであろう。感染症流⾏時の医療体制の過渡的な容量のことはsurge capacityと⾔われる。医療従事者に感染が広がると、この容量が増やせずに医療崩壊のリスクが⾼まる。

図 3︓感染者動向の予防効果率 cへの依存性。R0 = 3、半減期 4.5 、初期感染者 100 万⼈に 1 ⼈を仮定。予防効果（c の値）が増えると、ピークの到来が遅れ、ピー
ク値が下がることがわかる。ただし、終息（集団免疫を獲得する）には時間がかかる。アウトブレイ
ク時の現有感染者の倍増時間は
時定数の逆数の差の逆数(1/1.5 –1/4.5)-1 =2.25 で表せる。

S/Nは抗体⾮獲得率ともいえ、多くの⼈が感染して抗体をもつと[S]が⼩さくなる。たとえば⿇疹や⾵疹などのように終⽣免疫を持つ⼈が増えれば[S]が⼩さくなり実効再⽣産数Rが下がる。
ワクチン摂取率がcであれば、Rをさらに(1-c)倍にすることができる。これを集団免疫という。
感染初期で抗体をもつ⼈がさほどいなく、ワクチンも完成していなければ[S]の低下（集団免疫）は期待できない。このため[S]がほぼ[N]で⼀定のままエピカーブが進展すると解釈してもよい。

5

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[S]が減らないということは、何かの機会に、別のある集団や地域（広い意味での「閉じた空間」）で初期感染が発⽣する、ということになる。これは「クラスター」と表現されている。上記単純モデルは、このクラスターが複数発⽣しても、発⽣数[I ]を数え上げて累計値を求めていくことで、適⽤することができる利点がある（と筆者は考える）。
＜指数関数・対数関数の時定数＞ pz¡ 7PƂɾQȣ£/Źʗ/ ǋ Č¬ǔ
指数関数の時定数は関数がe倍、または1/e倍になる時間である。実⽤上は時定数を、倍増、半値に変換できるようにしておくと便利である（e= 2.71828… は⾃然対数の pz¡ 7PƂɾQȣ£/Źʗ/ ǋ Č¬ǔ底、ネイピア数でln(e) =ln(x)1である）。それには⾼校数学の対数関数の底の変換公式をlogx=
⽤いて（もちろん導出もできる）
、式(6)
2
ln(2)
(6)

( )

⎛ ln(x)⎞x⎜ ln(x)
=
xlog
= 2^
⎟ = exp ln(x)2ln(2)⎝ ln(2)⎠⎛ ln(x) ⎞x = 2^ ⎜⎟ = exp ln(x)⎝ ln(2) ⎠( )/aŎYc
から求まる。
ln(x)ln(x)= t/τJ.3J= t/τとおくと/aŎYc

(

)

(

)

(6)

⎛

⎛t ⎞
t ⎞
(7)
⎟ = exp ⎜ ⎟⎝ τ ln(2) ⎠
⎝τ ⎠
⎛ t ⎞
⎛t ⎞
を得る。τ
> 0なら増⼤、τ< ⎟0なら減衰である。関数値が⼀定のままであれば時定数τgńcτ> 0Laĸ£τ
2^ ⎜ = 0 La¬Æτ= exp ⎜ ⎟< 0LaĲ˴I*cln(2)(7)= 0.67… LPIŗĲö⎝ τ ln(2)⎠ なので、半減期=減衰の時定数τ×⎝τ ⎠は無限⼤である。ln(2)= 0.69…
0.69、倍増時間＝増ln(x) = t/τJ.3J 2^ ⎜=Ĳ˴PÂÆēτ× 0.67ĸɥÂÅ%ĸ£PÂÆēτ× 0.67I*c!ÐēQ¾<I]ÂÅ˔PÞ
⼤の時定数τ×0.69である（関数は同じでも、時間軸の⽬盛りの切り⽅が、「時定数」
gńcτ
> 0Laĸ£τ
= 0 La¬Æτ < 0LaĲ˴I*cln(2) = 0.67… LPIŗĲöȺbPŦbÁ0#ÂÆē$8JM1/eɥYBQeɥ/a#ŗĲö$8JM1/2ɥYBQ#ĸ
ごとに1/e倍またはe倍から、「半減期」ごとに1/2倍、または「倍増時間」ごとに2倍=Ĳ˴PÂÆēτ× 0.67ĸɥÂÅ%ĸ£PÂÆēτ× 0.67I*c!ÐēQ¾<I]ÂÅ˔PÞ
にかわると考えると理解しやすい）。
ɥÂÅ$8JM2ɥM/fcJŘ-cJäŇ;^=+"ȺbPŦbÁ0#ÂÆē$8JM1/eɥYBQeɥ/a#ŗĲö$8JM1/2ɥYBQ#ĸɥÂÅ$8JM2ɥM/fcJŘ-cJäŇ;^=+"
4. ŀ§ţ»üē R PßåÇLŎ\Á!ʳˈŗĲöØ"4. 基本再⽣産数 R00の実⽤的な求め⽅（仮称︓半減期法）
ʜ±gǬ[ĺäì±QƂɾP̃ì^lk{ìPˁɒgŋaL++f_cȶȘǋĦIQ
4.筆者を含む物理学者は、感染の疫学やウイルス学の詳細を知らない、いわゆる⾮専⾨家でŀ§ţ»üē R0 PßåÇLŎ\Á!ʳˈŗĲöØ"*c;/;ßǘĺäìPÁØg]D+HªōP`,L˒µÁǴŽPŰēgÒÆ=c7JQ
はある。しかし実験物理学の⽅法をもちいて上記のような微分⽅程式の係数を決定すること
ʜ±gǬ[ĺäì±QƂɾP̃ì^lk{ìPˁɒgŋaL++f_cȶȘǋĦIQ
は、頻繁に⾏っている。むしろ、先⼊観を排することによる知⾒も意味があるかもしれない。
̅ʸM®EH+c[;eİ¿Ȟgʛ=c7JM`cŋ¸]ýȖ0*c/];dL+*c;/;ßǘĺäìPÁØg]D+HªōP`,L˒µÁǴŽPŰēgÒÆ=c7JQ
たとえば、基本再⽣産数R
BJ-Rŀ§ţ»üēR00の値はこれまでのインフルエンザや⿇疹の値が引⽤されるが、上PǲQ7dYIPk¡m¡x^ˋ̑Pǲ0Đå9dc0ª
述のように[N]やβ、すなわち集団の規模や習慣によって全く異なることもあり得る。
̅ʸM®EH+c[;eİ¿Ȟgʛ=c7JM`cŋ¸]ýȖ0*c/];dL+ȅP`,M[N]^β=LfDƄŅPƍȈ^ɍ˜M`EHæ3ɇLc7J]*bńcではどうすればR0を求めることができるだろうか。本稿では2章に述べた単純モデルに従う
BJ-Rŀ§ţ»üēR0PǲQ7dYIPk¡m¡x^ˋ̑Pǲ0Đå9dc0ª
IQK,=dRR0gŎ\c7J0I1cCe,/§˺IQ2ʼMȅVBȾʵMȬ,0が、限られた情報から初期的な評価を⾏う場合には、このモデルを基本とするのが妥当だろȅP`,M[N]^β=LfDƄŅPƍȈ^ɍ˜M`EHæ3ɇLc7J]*bńcう。設定条件が複雑になればなるほど、「イメージ」をつかむのが難しくなることも想像にƬadBŉĞ/aĢöÇLȚŒg®,·²MQ7Pgŀ§J=cP0˥õCe,
難くない。ただし、係数の物理的意味を逸脱するような仮定には慎重にならなければならな
IQK,=dRR0gŎ\c7J0I1cCe,/§˺IQ2ʼMȅVBȾʵMȬ,0
ąÆƇņ0ʅʰMLdRLcWK#kz$gF/[P0ǒ;3Lc7J]ǡʙMǒ3い。
ƬadBŉĞ/aĢöÇLȚŒg®,·²MQ7Pgŀ§J=cP0˥õCe,
L+BC;ŰēPĺäÇýȖg˵ʍ=c`,LʳÆMQʧīMLaL5dRLaL+
初期（S≒ Nの時期）における[Nβ]は、[I ]が与えられた時のdS/dt の変化率（減少率）である
ąÆƇņ0ʅʰMLdRLcWK#kz$gF/[P0ǒ;3Lc7J]ǡʙMǒ3（式(1)の第1式を参照）。[I]が増えると、その分[S]が減る。よって[I]の発⽣を数え上げて（発Ģö!S  NPÂö"M.5c[Nβ]Q[I ]0Ʈ-adBÂPdS/dt Pƈàƒ!ĲƉƒ"I*c
症者の積算数）いけば、それは[S]の減少をみていることになる。
L+BC;ŰēPĺäÇýȖg˵ʍ=c`,LʳÆMQʧīMLaL5dRLaL+!Ž(1)Pė1Žgƌʯ"[I]0ĸ-cJ@Pµ[S]0Ĳc`EH[I]P¹»gē-ª6H!¹
Ģö!S  NPÂö"M.5c[Nβ]Q[I ]0Ʈ-adBÂPdS/dt Pƈàƒ!ĲƉƒ"I*c6
ʩ±PǮųē"+5R@dQ[S]PĲƉgZH+c7JMLc
!Ž(1)Pė1Žgƌʯ"[I]0ĸ-cJ@Pµ[S]0Ĳc`EH[I]P¹»gē-ª6H!¹s{~P¹»Q[S]PĲƉgʳÆ;L+PI*cÂĉt0/atYIP¹ʩ±PǮųē!˰
ʩ±PǮųē"+5R@dQ[S]PĲƉgZH+c7JMLc
ĭē"[J]Q2020.03.27公開

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クラスターの発⽣は[S]の減少を仮定しないので、ある時点t0からtまでの発症者の積算数（累計数）[J]は、J (t) =t

∫ I(t)dt = N1β I exp( N βt) − const.
0

t0

(8)

ln J (t) = const.+ N βtのように表せる。従って、発症者の積算数あるいは累計数（式(8)）の対数グラフの直線部分の傾きから、時定数1/Nβを求めることができる。同様に、施策や⾏動変容を含めた実効的な時定数は(Nβ (1-c))-1とかける。

図 4︓中国における COVID-19の感染動向[7]を⽰す⽚対数グ
ラフ。直線部分の傾きの逆数か
ら時定数（ここでは倍増時間;
doubling time に換算）がわかる。

中国におけるCOVID-19の発症者および快復・死亡者のエピカーブを図4に⽰す。データ[7]は、感染初期(1⽉22〜28⽇)では1.8⽇毎に累計病例が倍増している。
式(6)の換算を⽤いて、累計症例の時定数τJ = (1/Nβ) = 1.8/0.69 = 2.6 を得る。これでR0 の分⼦
Nβが得られた。
次はR0の分⺟γである。これは快復率なので、感染初期から求めることができない。その後の中国では、[I]の累計数の増加率が倍増時間で3.7⽇、さらに10⽇へと順調に減り、快復者も増えてきた。[I]への流⼊が⼩さくなり、[I]からの流出が⼤きくなると、時間変化はほとんど快復率で記述できる。このため、対数グラフに直線部分が現れれば、それが時定数となる。
快復数[R]の増加も同等であるが、現有数[I]が増加から減少へと転じるロールオーバ付近（2⽉17⽇前後）では、[R]の直線部分の特定はまだはっきりしていなかった。
もちろん、式(1)の第3式

dR(t)= I(t)γdt(9)から、快復数（+死亡数であるが影響は無視できる）[R]の時間微分をとって、I(t)で割ればγが出る。しかし、単純モデルに⽐べると時間遅れや対数グラフの利点が活かせないなどを気にすると、その時点ではあまり乗り気がしなかった（⾃信がなかった、というべきか）。結果として振り返ると、R = Iとなる時間（2⽉29⽇）における対数グラフの傾きはどちらもほぼ同じであるので、快復期であれば近い値を与えそうである。

7

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すなわち、この時点（2⽉29⽇）以降では、[I]への流⼊が抑えられているので、現有の[I]の時間変化は快復数[R]への流出とバランスする。よって、両者が同程度の9⽇で、倍増、半減する。この半減期を時定数(1/γ)に換算すればγを求められ、⽬的の基本再⽣産数R0 の評価が可能となった。
半減期を直接求め、それ以前にさかのぼってR0を求め、その後の時間変化であるRを追う⽅針を特徴づける意味で、これを仮に「半減期法」と呼称したい。この⽅法は、後に述べる「（仮称）発⽣間隔計数法」や「（仮称）ロールオーバ法」に⽐べ信頼度が⾼いが、現在進⾏中のエピデミック（この場合は中国）の施策評価にリアルタイムで反映するのは難しい。半減期を⽤いる利点は、国際⽐較における判定基準の差異にかかわらず、それぞれの国内で類似した基準で判断されていれば、現有感染者が減っていく時定数は同じと⾒なせるところである。
5. 各国の再⽣産数 R0 および R の値と予防の効果
再⽣産数（R0およびR）の物理的な意味は、「ある⼀⼈の患者が⼈⼝Nの「閉じた空間」に⼊ったとき、その感染可能な期間において何⼈に感染させるか」である。
累計数の倍増時間(doubling time, 倍加時間)と半減期(half decay time)を⽤いる（上記のような）「（仮称）半減期法」は、この解釈と親和性がよい。あるクラスターの1⼈の患者が倍増
時間のうちに2⼈になる、つまり1⼈に感染させる。そのとき別のクラスターにいた2⼈の患者の半分、すなわち1⼈が快復する。このとき再⽣産数R = 1である。
より厳密には、指数関数では、快復時間の(R-1)倍の割合で指数関数的に感染が広がると考えると理解しやすい。
＜単純モデルによる実効再⽣産数 R の意味＞
現有患者の半減期（実効的快復時間）単位で
R = 1︓1⼈が2⼈になる間に2⼈が1⼈に減る（現状維持）
R = 2︓1⼈が4⼈になる間（半減期×2）に4⼈が2になる（2倍ずつ）Rのとき︓2R倍になる間（半減期×R）に1/2になるので 半減期毎に2R-1倍ずつ
先例がないと半減期が出ないが、中国のデータで9⽇を得ている。重症化率や死亡率、発症率などは集団規模や⽣活習慣によって異なるが、治療法がない時点での⾃然治癒率はさほど集団によっても差がないと思ってよいのではないか、と考え、採⽤した。
時定数（半減期）の⽐を⽤いる⽅法（上記4章の「（仮称）半減期法」）は、分⼦、分⺟とも同じファクター（k倍、k分の1になる時間）をつかえば、半減期なのか、時定数なのか、の換算は気にしなくてよい。よって、中国における基本再⽣産数R0 (@中国)

R0 =

Nβ 9
=
=5
γ
1.8

(10)

を得る。やはり感染⼒が強いことがわかる。
欧州のデータでは、アウトブレイク初期において、連⽇25-35%程度の割合で増加している。
これを倍増時間に変換すると、欧州における基本再⽣産数R0 (@欧州) = 3.1~ 2.3を得る。これ
が（なにもしなかったときの）初期の値であろう。R0 単位で予測すると、R0= 3であれば9⽇毎に症例数が4倍になるので、3半減期経った27⽇後には2(3-1)×3 = 64倍になり、瞬く間に医療の許容量を超えてしまう。

8

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図 5︓⽇本における累計の症例報告の時間的推移。中国の現有患者半減期 9 ⽇を⽤いると、累計病例の倍増時間を 9 ⽇よりも⼩さくすると R < 1 を達成し、収束へ向かうと推定できる。

⼀⽅、図5に⽰した⽇本では、2⽉中旬は累計の症例数が倍増時間5.9⽇で増加していた[8]。
このとき、⽇本における基本再⽣産数R0 (@⽇本)

R0 =

9
=1.5
5.9

(11)

である。中国や欧州におけるR0に⽐べ、有意に⼩さい。おそらく、それまでに、中国のデー
タやクルーズ船[9]の状況をみて、国⺠の危機意識が⾼まってきた効果が⼤きいと思う。指数関数のトレンドに乗っているので、⼀部で噂されている、検査数制限による、いわゆる隠蔽的な状況ではないことが予想されたし、その後のトレンド、死亡数のアウトブレイクがはっ
きりしないことにも⽭盾しない。それでも、その割合で増加すると、27⽇後には2(1.5-1)×3 = 2.8倍になる（治癒者は除いた現有病例である）。等⽐級数的拡⼤は侮れないことがわかる。
3⽉に⼊り、さらに倍増時間がゆるやかになり、本稿執筆のきっかけとなった3⽉15⽇時点
までの累計病例の倍増時間に約8.5⽇を⽤いるとR = (1− c)R0 =

9
=1.06
8.5

(12)

に下がっていることがわかる。
これは専⾨家会議の評価[6]などにもとづき、イベント⾃粛や全国を通じて学校の休校措置な
どがなされたり、国⺠の予防意識がさらに⾼まったことによると解釈できる[10]。その効果率
cは31%である。つまり、様々な犠牲と努⼒により、3割の予防効果を発揮したと⾔えるであろう。
結局、累計発症者数の倍増時間を、快復の半減期である9⽇よりも、緩やかにすれば、R < 1となり、その後、終息（収束）に向かうことが⽰唆される。これは⽇々の増加率8%に相当す
る（1.08の9乗 ~ 2 ）。1週間で約1.7倍である。
2020年3⽉19⽇の専⾨家会議の会⾒[6]によると、概ねR < 1に抑えられているとする⾒解であり、本稿の評価とは（評価⽅法は異なるであろうが）ほぼ同様の⾒解に思える。

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前⽇までの症例が⼤きくなればなるほど、新規の発症数（や死亡者数）も⼤きくなるのは
この⽅程式からも当然である。報道等では新規患者がどんどん増えていることが強調されがちであるが、何%の増加率かに着⽬して注視されたい。
6. 対数グラフの有⽤性
対数グラフの便利さは以下にある 。
1) 微分⽅程式の係数は敷居が⾼いが、半減期や倍増時間ならイメージがしやすい。
2) 1桁減/増からも、グラフに物差しをあてて時間幅から、同じ結果が得られる。
例えば、図5において、対策後の実効再⽣産数Rは快復の1桁減と⽇本の1桁増の読み取り値から、30/28=1.07であることがわかる。（半減/倍増から9.0/8.5=1.06）
仮に２つのクラスターが現有の感染者I(t)において⽀配的だった場合は、aを定数として、

(

)

(

)
= ( Aexp (−at ) + Bexp (−at )) exp (at ) + C= A'exp (at ) + C

I(t) = Aexp a(t −t0 ) + Bexp a(t −t1 ) + C
1(13)

ln I(t) ≈ const + at

(14)

0

なので、定数Cが⼩さければである。
同じ増加率であれば、発⽣時期が異なっていても、対数グラフの傾きには影響ないが、定数Cが⼤きくなれば、誤差になり得る。これは例えば、いったん⼀つのクラスターが終息（収束）して、累計値が落ち着いた後、さらに別のクラスター発⽣により上昇を始めるような場合が想定される。その場合は、収束部分を定数(オフセット)として累計値から差し引いた後、対数をとることで回避できる。
快復時間と（本来の定義での）感染性時間を等価と考えてよいか、という疑問もあるだろう。仮に快復時間と感染性時間に時間差があったとしても、指数関数の減衰時間は、基礎⽅
程式(1)に従っているγであるので、むしろ、減衰時間を快復時間と呼ぶのか、感染性時間と呼ぶのか、と解釈するのが適切であろう。
実⽤⾯に⽬を向けると、厳密には感染(検査で陽性)と発症(症状有り)とは異なる。無症状の⼈は検査にでてこない可能性があり、タイムラグ（潜伏期間と検査のタイミングによる誤差や不顕性感染）もあるので、症状の出た⼈を数えていくほうが好ましい。ただし、発症率等が⼀定であれば、対数グラフの傾きは変わらないので、ある程度の期間平均すると、タイムラグの影響は⼩さくなっていくことが期待できる。
7. 実効再⽣産数 R < 1 を⽬指すために
これまでの章で⾒てきたことから考えると、結局、実効再⽣産数R < 1を⽬指すためには、R=

χ N β (1− c) τ γ
=
<1
γ
τJ

(15)

の各係数を⾒ながら、以下のような施策、⾏動変容をとる必要がある、という⽅針に得⼼がいくのではないだろうか（ここでχは免疫⾮獲得率）。

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＜施策・⾏動変容の考え⽅＞
1) 密集を避け、感染可能初期⼈⼝Nを減らして感染レート（率）Nβを減らす。
2) 濃厚接触をさけ、換気・消毒などの環境整備で感染確率βを⼩さくする。
3) ワクチン、⼿洗いなど施策や予防により、感染確率βをβ(1-c) に落とす。
（効果率0 < c < 1)4) 治療法を確⽴し、快復確率γを増⼤する（時定数を短くする）。
5) 集団免疫をつけ、 N → χN （ 免疫⾮獲得率χ = S/N を下げる) とする。
ただし、感染者ピークを下げれば下げるほど、⻑期戦になる。
どの対策にも、経済や⾏動制限などの代償が伴う。
これは、放射線防護で使われるALARA (As Low As Reasonably Achievable) の原則[11]と同様、「社会的・経済的要因を考慮に⼊れながら合理的に達成できる限り」密集を少なく保ち、かつ各⾃の防護対策に留意し、快復者の時定数よりも緩やかな累計症例報告数となるようコ
ントロールすることが肝要と思える(with a growth rate as low as reasonably achievable; ALARA)。
この場合の⽬標値は、「クラスター毎に累計症例の倍増時間が9⽇よりも緩やか」である。
8. 基本再⽣産数R0を求める他の⽅法︓別法1〜（仮称）発⽣間隔計数法
基本再⽣産数R0の定義の元となる式(2)より、I(t)の時間変化は

⎛
⎛
⎛t ⎞
⎛ t
⎞
1 ⎞ ⎞
⎟⎟
exp γ R0 −1 t = exp ⎜⎜ N β ⎜⎜1− ⎟⎟t ⎟⎟ = exp ⎜⎜ ⎟⎟ = 2^ ⎜⎜⎝ R0 ⎠ ⎠⎝τ I ⎠⎝ τ I ln(2) ⎠
⎝

((

))

(16)

と変形できる(^は累乗を表す)。ここで式(7)の時定数変換式を使った。よってI(t)の時間変化（時定数τI）と、Nかγのどちらかが決定できればR0を求めることができる。
感染拡⼤初期においてはγが不明であろうから、感染者・被感染者のペアを追跡し、感染伝達の⾼度なモデリングと統計処理を⽤いて係数を推定する。感染動態のモデリングにおいては、発⽣間隔（serial interval）を特定することが重要な課題となっている。そこで本稿ではこの⽅法を「（仮称）発⽣間隔計数法」とよぶ。
発⽣間隔は「１次感染者が２次感染を引き起こすまでの時間間隔」と説明される。ここで、筆者もこの誤解をしてしまったのだが、SIRモデルによる発⽣間隔は初期の発⽣頻度を表す係数[1/Nβ]ではない。世代間隔（generation interval）と⾔い換えられることもあるようで、平均的にはγに近い物理量に対応する。
単純なSIRモデルよりも進んだ、潜伏期間などを⼊れたSEIRモデル（E: Exposed; 潜伏期間中）などを⽤いて評価されたりしているが、その分、推定すべき微分⽅程式の係数が増えてしまう。統計的な信頼度を上げるために、モンテカルロ計算やベイズ統計などの統計処理を⽤い、確率密度や潜伏期間に相当する時間遅れを推定することになる。どの⼿法で発⽣間隔を求めたかが⽐較の争点になり、それ⾃体が重要な研究テーマになっているため、詳細は専⾨家の⽅々による他所に譲りたい（学術雑誌であるが[12]のような報告もある）。
いくつかの報告を調べると、たとえば、SARS（2003年に報告されたコロナウイルスによる
重症急性呼吸器症候群; Severe Acute Respiratory Syndrome）の発⽣間隔を仮定して、COVID-19のR0を推定したものなどが⽬についた
誤解例を１つ⽰したい[13]（これは[12]の⽐較リストにも含まれるものである）。
仮に、物理学における衝突周期との類推で、

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・患者数の倍増時間7.4⽇をτI = (Nβ-γ) -1×0.69
・患者の発⽣頻度平均7.5⽇（SARSのもの）を (Nβ) -1と対応させてしまうと、⎛ 1 ⎞ ln2
⎛ 0.69 ⎞1
1=1− ⎜=1− 7.5 × ⎜⎟⎟ = 0.30 =R0
3.4⎝ Nβ ⎠ τI⎝ 7.4 ⎠

(17)であり、その後の感染拡⼤を表さない。というより、そもそも、アウトブレイク直後の中国での倍増時間 1.8 ⽇を採⽤すると、負の値になってしまう。単純モデルによる（⾮専⾨家の）「直感」「イメージ」とその分野の係数定義の対応関係を定量的に取り扱うには、やや敷居が⾼いとも⾔える。
⼀⽅、発⽣頻度を初期の発⽣間隔を⽤いず、快復の半減期 9 ⽇を⽤いることができたとす
ると、 R0の定義を式変形し

R0 =

τγ
τI

+1 =

9
+1 = 61.8(18)を得る。こちらの場合は、快復時間の時間差が SIR モデルには含まれないため、現有患者数の増加率と累計数の増加率はほぼ等しく、単純な評価では R0を 1 だけ過⼤評価してしまう。
このように、発⽣初期のデータとモデリングから詳細に推定をおこなおうとする場合、発⽣間隔などの物理量の定義を定量的に確認して、SIR モデルの係数と対応するのかどうかを、慎重に確認することが必要であろう。（ここは専⾨家の⽅々の評価に譲りたい）。この⼿法の利点は、感染者の発⽣をリアルタイムに追跡するため、実効再⽣産数 R の時間変化（あくまで⼀定期間過去の統計平均）の鋭敏な推定、特異な感染形態（いわゆるスーパースプレッダー）の存在特定等にも適⽤可能なことであろう。
ただし、感染者・被感染者のペアを追跡するのが困難な場合もあり、その数が少ない段階
では、精度が極端に落ちてしまうこともあるであろう。
9. 基本再⽣産数R0を求める他の⽅法︓別法２〜（仮称）時間差法
筆者は初期においては1/γに相当する「感染可能時間」として、中国のデータで快復者が、感染者と同じ倍増時間1.8⽇で、同じ⼈数で増加していくあたりの時間差である12⽇に着⽬した。これを「（仮称）時間差法」と呼ぶ。ある⽇発症した⼈が、平均すると、12⽇後に退院したことを意味すると想定したためである。潜伏期間や発病から⼊院までの時間も（ざっくり）加味して安全側に14⽇を仮定していた。今思えば、快復から退院までも数⽇あると考え、12⽇程度が妥当だったかと思っている。
倍増時間14⽇に相当するγの時定数は 14/0.69 = 20 ⽇である。R0は、分⼦、分⺟とも倍増、半減期を⽤いて R0 = 14/1.8 = 7.8 となり、これが本当ならとてつもなく感染⼒の強いウイルスとなる（⿇疹(12~18)ほどではないが、⾵疹(5~7)や天然痘(5~7)並み [5]）。
これもあくまで、感染拡⼤初期の仮評価と捉えるほうがよいと思える。
10. R0 を求める他の⽅法︓別法３〜（仮称）ロールオーバ法
R0を求めるもう⼀つの⽅法として、もう少し[I]の時間的動向が緩やかになったころに（もし採⽤するならば）適⽤できる⽅法が思いつく。本稿では「（仮称）ロールオーバ法」と呼ぶ。

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SIRモデル計算例の図2をみると、時間単位42のところで、I(42) の微分係数が0となっている。このときのRの計算値は1を横切っていることが確認できる。快復の半減期を求めた後は、半減期法と同等の扱いで、さかのぼってR0を求め、その後のRを追跡することができる。
図4に⽰した中国では2⽉17⽇頃を境にして、増加と減少が⼊れ替わる、いわゆるロールオーバ（あるいはピークアウト）と⾔われる状況に達した。このときdI/dt = 0であるので、微分⽅程式からはまだN ≒ Sと考えると、実効再⽣産数R = 1である。この時点でNβ = γであるので、[I]の累計数（式(8)における[J]）の対数の傾きの逆数をγの時定数とみなすことができる。
残念なことに、この付近で武漢の統計⽅法が修正され、データが不連続となっていて、傾きが出せない。概ね10–17⽇に収まるのでは︖という程度で、「（仮称）時間差法」での感染可能時間(12–14⽇)でも⼤きな⽭盾はなさそうだ、という感触であった。ただし、図5の⽇本の規模では、件数が少なく、地域やクラスターを含む、統計的なバラツキが⼤きいので、この⽅法は適さない。
この⽅法は、半減期を直接求める⽅法よりも若⼲早く評価をすることができる。しかし、
もともとピーク⽇の決定や傾きの評価、快復と退院の時間差は不確実である。加えて、そのころは累計病例数の増加率も変化しやすいところでもある。従ってこの⽅法「（仮称）ロールオーバ法」は「（仮称）半減期法」に⽐べると精度は落ちる。
11. 詳細な感染モデル
本稿では最も単純な感染モデル（「ケルマック・マッケンドリック・モデル」あるいは「SIRモデル」）を⽤いた。これは今現在の状況と、今現在とれる施策の提案・評価には有⽤であると思っている。しかし実際、⻑期的動向の予測を⾏うには、様々な要素を加えなければならない。その⼀例を図1と同様な原⼦の輻射過程に類似した準位図で図6に⽰す。

図6︓様々な状態と速度係数を追加したモデル例。
[I]からの流出先は3通り、[E]からの⾏き先は2通りあり、その係数⽐は物理学分野では「分岐⽐(branching ratio)」といわれる。放射線防護や薬物の⼈体内の移動過程をあらわす⽬的にも、同じようなモデルがもちいられる（コンパートメントモデル）。

これを解くには、プラズマ分光学の分野で、コロナモデルを⼀般化した、衝突輻射モデルというものが使われる。各⼈⼝への流⼊・流出を表すレート⽅程式（微分⽅程式の連⽴⽅程式系）は、以下のような⾏列⽅程式の形にかけることが気づくだろう。

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⎛ n(1) ⎞ ⎛ X11⎜⎟ ⎜d ⎜n(2) ⎟ ⎜ X12=⎜
dt ⎜ n(3) ⎟ ⎜ X
13⎜⎟⎝ ! ⎠ ⎜⎝ !

X 21
X 22
X 23
!

X 31 " ⎞⎟⎛ n(1) ⎞ ⎛ F (1) ⎞⎜⎟ ⎜⎟X 32 " ⎟⎜n(2) ⎟ ⎜ F (2) ⎟
+
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
X 33 " ⎟⎜ n(3) ⎟ ⎜ F (3) ⎟⎟!
! ⎠⎝ ! ⎠ ⎝ ! ⎠(19)

ここで⾏列要素Xnmの対⾓成分Xpp は状態pからの流出、⾮対⾓成分は状態間の遷移。後ろの項F(p)は⼈⼝動態に相当する。通常、原⼦過程の場合F(p)の項は、再結合により別の電離状態から束縛準位へと流⼊してくる成分を表す。疫学モデルであれば、死亡率や出⽣率など、ある状態の密度に対する割合ではなく、⼀定⼈数が別の「閉じた空間」と⾏き来する動きに相当する。それを無視すれば、この微分⽅程式の連⽴⽅程式は⾏列の対⾓化により容易に解ける。
さらに、例えば年齢によって係数が異なるような場合には、⾏列の次元を増やすことにより、拡張することができる。
ただし、それぞれの⾏列要素を、物理的に意味ある値の範疇で決定するのは必ずしも容易ではない。
12. まとめ
本稿では、⼀般⼈（⾮専⾨家）が⼊⼿可能な情報を⽤いて、i) 感染の特性、 ii) 施策、⾏動の指針に対し、⾃⾝や家族ができるかぎり納得しうる「物差し」を実験物理学の⽴場から提供することを試みた。重要な物理量は、基本再⽣産数R0、実効再⽣産数R、であり、それを算出する係数としては、累計症例数の増加率（倍増時間）、新規症例が減少した後の現有症例の半減期、現有症例ピーク時の累計症例の増加率である。
⼿法をまとめると、1) 半減期がわからない場合、2)半減期が求められる場合に⼤別されるであろう。
＜基本再⽣産数R0・実効再⽣産数Rの求め⽅＞
1) 半減期がわからない場合◯発⽣間隔計数法︓ 発症者の発⽣頻度と[I]の増加率からR0を求める- 発⽣頻度は過去の流⾏データを仮定する（定義に注意）。
- 快復時間を臨床的に調べる。
- より⾼度な数理・統計⼿法を駆使する（モデリングと連携）。
◯時間差法︓発症者の数の増⼤率が快復者の数の増⼤率と⼀致する時間差を仮定する。
◯モデリング︓⾼度な感染形態や⼈⼝動態を考慮したコンパートメントモデルを⽤いる。
2) 半減期が求められる場合◯ロールオーバ法︓ dI/dt = 0となる時間における累計値[J]の倍増時間から半減期を得る。
◯半減期法︓ 収束期の半減期を直接求める。 （本稿での採⽤、推奨法）
これらの係数には⼿法による違いや、誤差も含まれるので、絶対値は⽬安と考え、施策や予防によるその経時変化を注視しつつ⾏動を⾒つめ直すことが肝要に思える。

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多くの⽅法があって⼾惑うが、実際、⼿法の精度や適⽤可能性、結果を⽐較、評価するのも重要な学術研究に位置づけられる。
理系の⼤学⽣以上であれば、現実の動態を簡易化（モデル化）して記述する微分⽅程式の考え⽅を学ぶよい題材となるであろうし、対数関数を学ぶ⾼校⽣にも、グラフの読み取り⽅、数学の知識が活かされる具体例を学ぶ場となることを願う。
その観点で、⽂献も筆者を含む⾮専⾨の読者が⼊⼿しやすい、webに公開されているものを中⼼に挙げた。当然、より精密な評価は、疫学の専⾨誌や学術雑誌、いわゆる専⾨家の⽅々の解析結果が優先されるべきことに留意すべきである。本稿で紹介した実験物理学的な⼿法
は、単純なモデルをもとに政府発表や報道内容、研究機関からの発表や提⾔[14]を理解する「⾒⽅」の⼀例を提供するものとして若⼲でも有⽤となれば幸いである。
謝辞
SNSへの投稿(@plasmankado)をきっかけに、
本稿の執筆の機会をくださいました京都⼥⼦⼤学の⽔野義之名誉教授(@y_mizuno)に感謝いたします。また、⽇本国内の感染者データを早期よりまとめていただいておりました三重⼤学の奥村晴彦名誉教授(@h_okumura)のデータを使わせていただきました。ここに感謝いたします。
参考⽂献・サイト︓[1] アメリカCDC、COVID-19のページ︓https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-nCoV/index.html(2020.3.18閲覧)[2] “WHO Director-General’s opening remarks at the media briefing on COVID-19 – 11 March2020”, https://www.who.int/dg/speeches/detail/who-director-general-s-opening-remarks-at-the-media-briefi
ng-on-covid-19—11-march-2020[3] 原論⽂︓W. O. Kermack and A. G. McKendrick, “A Contribution to the Mathematical Theory of
Epidemics,”Proc. Roy. Soc. of London. Series A, Vol. 115, No. 772 (Aug. 1, 1927), pp.
700-721 doi:10.1098/rspa.1927.0118
https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1927.0118[4] SIRモデルについて(wikipedia)︓https://ja.wikipedia.org/wiki/SIRモデル(2020.3.18閲覧)https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology(2020.3.18閲覧)[5]基本再⽣産数について(wikipedia)︓
https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number (2020.3.18閲覧)https://ja.wikipedia.org/wiki/基本再⽣産数 (2020.3.18閲覧)[6]厚⽣労働省︓（リンクが変わることがあるので要注意）- 新型コロナウイルス感染症について︓(2020.3.18閲覧)https://www.mhlw.go.jp/stf/seisakunitsuite/bunya/0000164708_00001.html- 新型コロナウイルス感染症対策専⾨家会議の⾒解等（2020年3⽉19⽇）︓(2020.3.21閲覧)https://www.mhlw.go.jp/stf/seisakunitsuite/bunya/0000121431_00093.html- 新型コロナウイルス感染症対策の状況分析・提⾔（2020年4⽉1⽇）︓(2020.4.4閲覧)[補⾜]疫学専⾨誌でのオーバーシュート
https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspb.2006.0015[7]中国のデータ︓中華⼈⺠共和国国家衛⽣健康委員会が毎⽇更新している疫学データ。
http://www.nhc.gov.cn/xcs/yqtb/list_gzbd.shtml(2020.1.11報告分より参照)

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[8]⽇本のデータ︓三重⼤学奥村晴彦名誉教授によるまとめサイトを利⽤。
https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/python/COVID-19.html
本ページの下部には他の有⽤なまとめサイトが掲載されており、有名な感染者マップも含まれる。
https://jagjapan.maps.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/641eba7fef234a47880e1e1dc4de85ce[9] ダイヤモンドプリンセス現場からの概況︓ダイアモンドプリンセス号におけるCOVID-19症例(2020年2⽉19⽇掲載)]
https://www.niid.go.jp/niid/ja/diseases/ka/corona-virus/2019-ncov/2484-idsc/9410-covid-dp-01.html(2020.3.18閲覧)[10]⾸相官邸︓新型コロナウイルス感染症対策本部
https://www.kantei.go.jp/jp/singi/novel_coronavirus/taisaku_honbu.html[11] 原⼦⼒百科事典「ATOMICA」より︓ALARAの原則。
https://atomica.jaea.go.jp/data/detail/dat_detail_09-04-01-05.html[12]COVID-19のR0を複数の論⽂間で⽐較し、SARSのR0よりも⼤きいとした報告。
https://academic.oup.com/jtm/article/27/2/taaa021/5735319[13] Med QLM et al. Early Transmission Dynamics in Wuhan, China, of Novel Coronavirus–Infected
Pneumonia. NEJM 2020 Jan 29. DOI: 10.1056/NEJMoa2001316
https://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa2001316[14]国⽴感染症研究所
https://www.niid.go.jp/niid/ja/diseases/ka/corona-virus/2019-ncov.html(2020.3.18閲覧)

元記事︓ https://rad-it21.com/サイエンス/kado-shinichiro_20200327/[ 短縮 URL:
https://bit.ly/RADIT21KD20200327 ]（ 2020 年 3 ⽉ 19 ⽇投稿、3 ⽉ 27 ⽇公開; rev.2︓4 ⽉ 5 ⽇）
引⽤︓
「⾨ 信⼀郎︓この感染は拡⼤か収束か︓再⽣産数 R の物理的意味と決定, RAD-IT21 WEB マガジン (2020.03.27) 」

rev.2: 図 2,3 内の係数値誤記を訂正、きりの良い値のものに差し替えた。オーバーシュート補⾜。

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