計測自動制御学会東北支部第163回研究集会t19g軋10・18J9）
資料番号163−：≧1

多変数ファジィ制御とその応用

ApplicationoftheMultivariableFu2：町Control○小沼裕一っ大久保垂範
OYuichiKonuma・，ShigenoriOkubo
山形大学
Yama・gataUIliversity
キーワード＝ ファジィ制御（FuzzyControl），多変数（Multivariable），メン′（−シップ関数（Membership
Fu】lCtiq11）．
学習〔1earming），フィードバック制御（FbedbackColltrOJ）

連縮先：〒992 山形県米沢市城南4−3−16
山形大学工学部機械システム工学科大久保研究室小沼裕一
恥1∴（0238）26−3246，臨x・＝（0238）24一朗4も］臣mail＝k。n皿a門○血p34TO・yヱ・y姐agata−u．a亡．jp

1． はじめに

2． ファジィ推論
2．1 Product，Sum重心法を用いたファファジィ制御1）において、制御器の設計を行う

ジィ推論

際に試行錯誤を伴う場合が多い。これは制御ルー
ルやメンバーシップ関数の形状を同定するときな

本研究では、以下に示すようなPuroduct＿Sllm

ど設計者の経験などに棺らぎるを待ないからであ垂心法を用いる。

る。 そのため、設計者に頼らないような制御手法
月むJe塵＝ け∬1五島Ailαmd∬2査占d出肌d・・・の研究が盛んに行われている。最近ではファジィ
αmdェm砧・A血塊印封由月i（五＝1，・・・，m）（1）

推論を多層型ニューラルネットワーク（以下ⅣⅣ）のような構造にすることで、ファジィ制御ルール（1）式で、Aijは前件部メンバーシップ関数を示の自動生成封やメンバーシップ関数のパラメーし、昂は後件部メンバシップ関数、添字嘉はルー

タを学習させる手法3ト句がいくつか提案されてル番号、添字jは入出力変数の番号を示す。

いる。

1）各規則の適合度叫を計算する。

本研究では、制御対象を倒立振子としてそのメ叫＝匹A l（諾1−）×〃Aiコ（ご2＋）x‥・ンバシップ関数をOn−Li11e学習させるファジィ制
御とファジィ制御を補償器として用いた場合の結X仙血（ヱm★） （2）果を示すn2）各規則の権件部の推論結果民事を計算する。

丁場−（訂）＝叫XJ柑．（封）
−1−

（3）

3）各規則の推論結果を統合して、規則全体の推論結果月tを計算する。
〝月■（封）＝∑／咄−（封）（4）4）推論結果β攣の重心を計算する。
入力層l中間層i中間層i出力層J脚月十（山砲（5）J、佃一回励（ここで、ヱ1♯，r2漉，…，ごm∵がは、非ファジィFigr2 NeuralNetworkDescriptionorFuzzyIn−値とする。）

ference3．2 学習アルゴリズムⅠ

2．2 三角型メンバーシップ関数

本研究では、ファジィ推論ルールの調整に、NN

Fig．1にファジィ推論ルールでよく用いられる二等辺三角型メンバーシップ関数を示す。の学習則である鼻息降下法を使用する。最急降下牡とは、評価関数の値が最も小さくなる方向に学習を繰り返し最適に近い解を得る方法である。こ鞘≠智j瑞こで、前件部と接伴部のメンバーシップ関数の学■」iJ＝− （ニ￣

習は、Fig．1に示すような形状を決定するパラメータを学習させることである。
最急降下法において、学習方向を決定する評価関数を以下に示す。

且＝（r一拍2（7）∫ノn【Il ・一■一占り

T ＝ 封＋＋Aふ＋△ム＝・♂＋cl△ふ ＝Jit棚1tl〔Fig・1lsosl＝el〔慧Trial−gularMembersllipRlllCtion（8）dl♂

∬＋r2△ム ＝ ムtallll（d2よ

rは評価基準、訂tはファジィ出力値であり、Jl，ん

3． NNによる学習

Cl，匂，dl，屯は定数である。（8）…（10）式は、教師

3．1 Product−Sum重心法のNN表現なしアルゴリズムを示している。この教師なしアルゴリズムは、倒立振子独自のアルゴリズムであ本研究では、ファジィ推論ルールの調整においI

りⅣNのOn−Line学習に用いられるものである。て、NN学習機能を利用するために、（1）〜（5）式

これを、メンバーシップ関数のパラメータ学習にで示されたファジィ推論の各演算をNNの各機能適応させるものとする。に割り当てることで、ファジィ推論の過程をⅣⅣ
次に、メンバーシップ関数の各学習手順におけのように表現できる。この過程を、Fig．2に示す。

るパラメータの学習式を以下に示す。

直1）＝拍卜打y・−2−（1りここで、打1，∬ヱ，…，軋は学習係数である。（6）叫直＋1）＝研一打皿り2）式を変形させると、

刷＋1）二研一恥（13）∬j＞勘jの場合（11）〜（13）式の好打，打α，垢は学習係数である。

毎（現rl）
エゴ＝叫j￣（2）〜（6）式を使用して∂且／∂机∂耳／∂勒，∂β／∂毎（22）を計算すると、ニ些軸里

彗＝旬の場合J脚β事〔掴封（r一打■）（14）
J■〃β蓼（封）軸0二0）

（23〕

ー

J卯月＋（両軸（r一打★）∬Jく叫の場合
2■1■1■画中刊）
J脚月−㈲働二（r肘封†）毎（Aij−1）

エゴ＝α再＋（24）、J、仙◆（ェJ）巾となる。

1一月盲J・1・1・（16）メンバーシップ関数の各学習手順における′ぺラとなる。（14）…（16）式をそれぞれ（11）〜（13）式メ一夕の学習式を以下に示す。に代入すると、刷＋1）＝鞘j（り一打￠・封（1＋1）＝ 呈出ト∬y・（r−が）（25）

榔＋1）＝毎M一風・（叫山地他）和（17）

J粕♯（山砲（25），（26）式の軋，∬むは学習定数である。（21），αjj（け1）＝ αjj（り−j㌔・（r一打†）（24）式から、仇〃∂α小∂J／∂占ijを計算すると、

J脚β禍）d封

訂j＞叫の場合

・1・1・叩（冊j川8）∂J転串＋1）＝ 毎（り一桁・（r一計ヰ）∂J脚βt（両軸∂滝J〃β他）d訂＝ 2■耳ブ・勺（27）

キメ・勺・（Aiゴー1）（28）−1−ノlり・1・1・（19）工j＝叫の場合となる。ここで、爪印は次のような関数である。

Om O ll〃1nU Oヴm

く 二 ＞

︷二ヱ

P．

（20）

〃﹂

∬jく二瑚の場合

3．3 学習アルゴリズムⅠⅠ
2・耳ゴ■ヱj

次に、On−Lhe学習の2番目として評価関数を以下のようにしたNⅣ表現ではない形の最急降（31）＝ 耳ゴ・ごj・（Aij仙1）（：与2）

下括を使用する。
（27）N（32）式を（25），〔26）式に代入すると、
J＝打1・J茸＋打2・∬≡＋・・・＋軋・撹 （21〕3各記号の物理的意味は、

エゴ＞α揖の場合

叫（t＋1）＝ 瑚（り−2・打瓜旦ブ・∬j〟：台車の質量
rrl：振子の質量（33）毎（け1）＝ わjj（り一桁・耳J・ごJ・（Aij−1）

昔：台車の移動距離
J：振子重心と支点間の距離（34）

β：振子の振れ角

Jj＝αjjの場合
叫j（け1）＝ ｛恒M（35）毎府＋1）＝ 毎（り（36）F：プーリ等の摩擦係数
G：電力増幅器の利得係数
山：制御入力電圧∬j・く旬の場合

J：振子の慣性モーメント
叱直＋1）二 叫（り−2・片山

C：振子の回転軸摩擦係数
・耳ブ・∬J（37〕g：重力加速度t

転（豪＋1）＝ 毎回−∬む・∬jである。

・彗・〔Aiゴー1）（3即

4．2 二王倒立振子の構成となる。

4． プラントの概要
4．1 倒立振子の構成

Fig14 Seri田−t・yPeDoub】eIllVertedpell（lululn

二重倒立振子をFig．4に示す。二重倒立振子の運動方程式は、ラグランジュの方程式により次Fig▲3Invertedpendulllmのように表される。

倒立振子をFig・3に示す。倒立振子の運動方（〃＋ml＋打12錘＋（ml＋2m2）JICOS両1程式は、ラグランジュの方程式により次のように＋m2上2CO珂誠一（ml＋加12）上1Sill如12表される。

−m．2J2Si鴫由ヱ＋Ⅲ＝仇（41）囲＋m．匝＋Fよ＋m慮cos由mコJ2COSβ2立＋2m2glJ2COS（β1一軋画

叫m．J占コsinβ ＝ 仇（39）

一叫扉示illβ2−加12兢占1㌔ill岬1一叫

汀IJ翫osβ＋（J＋打l〜2）∂＋由＋汀12J22∂這＋瑚2一打l）＝0（42）

一Tn・Jgsinβ ＝ 0 （40）−4−

1 2〔ml＋打榊（ml＋2m2）上1COSβ1烹＋4〜＋2Tn2〜1g2COS〔β1−鞄）d這＋（Cl＋坑）dl＋2m2Jlら由ヱsin岬1−叫［G毎u（m，l＋2rTL2）9llSil101＝0（43〕gl：振子1重心と支点間の距離
J2 振子2重心と支点間の距離＝一斗−1「叫一斗一虞〟0 −〟2d〟叫仙y如打

β1・振子1の振れ角
Fig・6 MeInhershipFhllCt・ioIl♂2 振子2の振れ角Cl 振子1の回転軸摩擦係数

M 0・G28（kg） In 0・1735〔kg）

坑 振子2の回転軸摩擦係数

口 0・2465（m） F 4・01（kg／s）
団 3，1呂（N／V） g 9．8（m／㌔）

これ以外の記号は倒立振子の記号と同じとする。

C0・00378（k研一ヱ／s）

Thblel Para）net・erSOfInvertedpell〔1uluIn

4．3 ルールペース
ファジィのルールペースをFig・5に示す。

態方程式を作り疋田の方法より求めた。ここで、状態方程式は出力叫卜状態変数坤）とすると
叫βお〃β∫〟l（44）式のようになる（坤）＝【r，帰湖㌧坤）二V∬ 〟∫ gロ P∫ P〟 ♪月【∬，軋β2，よ，∂1，瑚T，A，月は定形数行列）。

P月 ∫ロ P∫ P〟 Pβ fIβ月 fⅦ月 湖∂叫＝叫）＋叫）♪β 〃〝 」Ⅴ∫ gロ P∫ P〟 P月 f唱β（44）田

倒立振子の閉ループ系の極をl−1，−2，−3，−4】に配置し一V∫ ∧℡β 〟β 〃〟 〃∫ gβ P∫ P〟〟コたとき、フィードバック係数F（叫）＝爪車 はⅣ8 憫 ∧聾王β 八唱β 」Vβ Ⅳ〟 〃∫ g（フ〔45）式となる。
F＝【0・1G99，4・9町川18，0．7呂叫

Fig・5 RuleBase（45）

二重倒立振子の閉ループ系の極をト3，ヰー5，−6，−7，4．4 メンバーシップ関数−8＝こ配置したとき、フィードバック係数F（叫）＝拍嘲）は（4G〕式となる。

メンバーシップ関数をFig．6に示す，前件部を7分割、後件部を9分割とする。

F＝【−109．003，15．790，−365．：511，−84，962，−5軋758，−54．285】

4．5 線形フィード／くック制御
倒立振子、二重倒立振子の各パラメーターを、1もble，1，2に示す。フィードバックは倒立振子の運動方程式β，β1，β2まわりで線形近似して状ー5−（・1tりM0，42（kg）

汀120．2（kg）

J20・2（l11）g9．8（lll／β2）G29（N／V）

F

1・87（kg／s）

打tl

0・4（kg）

0．3（m）︵p旦 中

Table 2 ParalneterS Df SeriES−type doubleIn−

二一旦云Cl 0．0054（kg†丁†・2／s） G 0．00368（k許12／s）

Vert既IpeIldtllし1In

4．6 ブロック緑園
初期角度β；45席，初期位虻x華0．n

Fig．7にOn−Lille学習アルゴリズムのプロツ．
ク線図を示す。

Fig・9 0L11yRIZZyCbllt．L・Ol︵p呈屯二王火Fig，7 日lockDiagramofLearIllngnlZ叩ControI

SystelnFig．8にファジィ・フィードバック制御のブロッ
ク繰回を示す。

Fig・10 Lear111ngFuzzyColltrOlI＼Il−−1■＝￣￣￣￣
1−−−−−1−−I■■1︵p已︶中 二且X

Fig・指 Blo亡k Diagram ofFuzzy and Feedback

ー・・・・8l（ICont・rOISystem

ユOTim亡（皇e亡）初期角度8㍉り度＼初期位置x三Om

5．シミュレーション結果
Fig・11LearI11IlgFuzzyControlII
Fig．9〜13にシミュレーション結果を示す。サFig・9では、ファジィ制御のみの応答を示した。

ンプリングタイムは0．01としシミュレーションを−6−

バックだけでは制御できない角度からの収束が可︵召上屯．︷阜首能である。しかし、ファジィ制御の入力が0近傍でかなりの影響を与えるため収束に時間がかかる欠点も見られた。

二重倒立振子の制御系において、ファジィ制御のみの場合、♂1＝β2＝1度からも制御することができず、Oll−Lille学習は不可能であった。Fig．

13は、線形フィードバックとファジィ制御の融合に初期角度8＝68庫，初期位置大≡Omlよる制御系であり、収束性の改善が確認された。。

6．おわりにFig．12 nlZZyan（lFe餌1backColltrOl

3通りのファジィ制御に関するシミュレーショ
nU

数同様に試行錯誤を必要とした。本研究で提案し∧U︵p呈M屯．︵p且l屯ンを行ったわけだが、学習係数もメンバシップ関た制御系は改善の余地がある。

今後は、学習アルゴリズムⅠに関して、評価関二言ご数のパラメータの選定法、見直しを課題としたい。
学習アルゴリズムⅠⅠに関しては応答の振動を初期角度8．≡l〕庶，臼1コlユ度初期位置x＝0■nl より抑えられるような学習係数が必要であると思われる。
線形フィードバックとファジィ制御を融合する

Fig・13 nlZZyandFee｛1ba止Control

方法については、十分に補償器として使用できる
これによりFig・10，11とを比較してみると、学可能性があることが認められた。しかし、角度が習アルゴリズムⅠの方ではファジィ制御のみの場大きくなるほど大きな接伴部メンバーシップ関数

合の応答よりも位置、角度ともに収束が遅〈なっを必要とするため収束に時間がかかりすぎる欠点ている。NNの場合と同じ評価関数を使用したわが挙げられる。

けだが学習係数やパラメータを変えた場合に発散がしばしば確認された。グラフを拡大させてみる参考文献と、応答の振動がファジィ制御のみの応答に比べ

1）藤吉 敏生＝ファジィ制御，日刊工業新聞社（1993）
2）石丸 伊知朗＝ファジィニューラルネットワークのて大きいことが分かる。

構築法とファジィルールの自動生成．電気学会論文誌C，984／972，（1998）

学習アルゴリズム11の方は、ファジィ制御の3）山口 亨＝連想記憶によるファジィルールの推論■

みの場合と比べるとかなりの早さで位置、角度と学習，電気学会論文誌C，207／215，（1990）
4）増田 達也：ファジィ・ニューラルネットワークによるメンバシップ関数および推論ルールの獲得手も収束している。しかし、応答の振動を抑えるこ

配電気学会論文誌C，118与／11軋（1994）とまではできなかった。

5）大木 誠：折れ線型メンバーシップ関数を用いた

Fig・12は、線形フィードバックとファジィ制

ファジィルールの自助チューニン久電気学会論文

誌C，776／7軋（199G）

御を融合させた系での応答であり、線形フィード−7−