切り替えサンプラによる信号圧縮と H ∞ 最適復元
森正憲 永原正章 山本裕 （京都大学）

Digital Signal Compression Using Nonuniform Sampler
and Its Reconstruction via H ∞ Optimization
M. Mori, M. Nagahara, and Y. Yamamoto (Kyoto University)
Abstract– In this paper we consider a signal reconstruction problem from signals compressed with a classof nonuniform sampling. The compression system is composed of several decimators and a switch which
compares filtered signals to the uniformly sampled signal for every fixed interval. We design a digital filter
and an interpolator which reconstruct the original analog signal via sampled-data H ∞ optimization.
Key Words: Nonuniform sampling, Signal reconstruction, Sampled-data H ∞ control, Optimal hold1rd

はじめにサンプリングは，ディジタル信号処理において本質的な操作である．サンプル間隔が短いほど処理精度は向上するが，処理すべきデータ量は増大する．したがって，サンプル間隔が一定であれば，処理精度と処理すべきデータ量との間にトレードオフの関係が生じる．そこで，入力信号に応じてサンプル間隔を適応的に変化させる方法が提案されている [15]．すなわち，低周波の信号に対してはサンプル間隔を長く，また高周波の信号に対してはサンプル間隔を短くとる．このような考え方は Wavelet 解析における多重解像度解析として理論的に確立され，マルチレート信号処理の方法を用いて容易に実現できる [11, 13]．MPEG や JPEG などの情報圧縮技術はこれを基礎としており [11]，現在のディジタル信号処理において非常に重要な概念である．
本研究では，この多重解像度解析の考え方を基礎とし，信号がどの解像度に属するかを信号のサンプル値から推定し，その解像度で信号をサンプリングすることによってデータを圧縮する方法を提案する．多重解
像度解析における基底関数として，従来は完全帯域制限関数（ sinc 関数）や区分的多項式関数（スプライン）などが用いられてきたが [11]，これらの基底関数
は，Shannon のサンプリング定理 [9, 12] における理論的な制約（完全帯域制限）をもとにして考えられたものであり，現実の信号をモデル化したものとは言いがたい．いっぽう，本研究では，サンプル値制御理論 [2]を導入し，帯域制限の仮定を満たさないより現実的なモデルをもとに解像度を推定する手法を提案する．
さらに，提案手法によって圧縮された信号を復元するために，サンプル値 H ∞ 制御理論を導入する．すなわち，連続時間信号と離散時間信号をともに含むサンプル値系として信号復元系をモデル化し，その誤差系の H ∞ ノルムを最小化する（準）最適なディジタルフィルタと一般化ホールドを設計することを提案する．
サンプル値制御の枠組みでの H ∞ 最適制御器と一般化ホールドの設計は [6, 3, 7] で示されているが，本研究では，遅れ信号復元問題 [5] に対する設計公式を導出し，ディジタルフィルタおよび一般化ホールドを数値的に求めることが可能であることを示す．

Um
Rd1↓ M1..
.

..
.

Rdn

↓ Mn

yd1

ydnỹd

Θ

↑ M1

Fd1..
.

..
.

↑ Mn

Fdn

ip

ud1

udn

EFig. 1: Nonuniform sampler

2

切り替えサンプラによる信号圧縮

2.1 切り替えサンプラの構成
本研究で考察する切り替えサンプラの構成を Fig. 1に示す．ただし
0 < M1 < M2 < · · · < Mn ,Mi ∈ N,

i = 1, . . . , nに対して ↓ Mi と ↑ Mi はそれぞれダウンサンプラとアップサンプラ，Rdi はデシメーションフィルタ，Fdi は補間フィルタである．また E と Θ はそれぞれ動作周期T ∈ N の評価器と選択器，U m （m ∈ N）は m ステップの遅れである．遅れ U m は 2.2 節で述べる補間フィ
ルタ Fdi の性能を向上させる目的で設定してある．
いま Fig. 1 における入力 rd は，対象とする連続時間
信号 rc を周期 h > 0 の理想サンプラ Sh で等間隔サンプリングした信号である．この rd をデシメータ (↓ Mi )Rdiで各々間引いた信号 ydi を一定間隔（フレーム）毎に切り替えて出力し，rd を不等間隔に間引きたい．
ただしデシメータによって失われる高周波域を考慮するため，ydi をインターポレータ Fdi (↑ Mi ) で補間した信号 udi と U m rd とをフレーム毎に比較評価し，信号 ydi を切り替えて出力する．この評価規範として，本手法ではフレーム毎に SN 比 γp,i ：P2k∈fp |rd [k − m]|2,k∈fp |rd [k − m] − udi [k]|γp,i := 10 log10 P

fp := {m + pT + k}k=0,...,T −1 ,p ∈ Z+ ,i = 1, . . . , n(1)wc

Sh W crdUm
Rdi↓ Miydi↑ Mi

Fdi

udi edi−0th
Fig. 3: An example of rc (solid line), ỹd = S̃d Sh rc (◦),
and yd = H̃dzoh ỹd (×)

Fig. 2: Interpolator design problem
を計算し，適当に定めた閾値 γR ∈ R に対して

γp,i > γR(2)を満たす最大の i = ip ∈ {1, . . . , n} を求める（そのような ip が存在しない場合は最小の倍率 ip = 1 を選択する）ことでデシメータの出力 ydi を切り替える．
以上の構成により，等間隔の離散時間信号 rd を不等間隔に間引くことで圧縮した信号 ỹd を得る．圧縮率は設定した閾値 γR によって変化させることができる．

2.2 補間フィルタの設計
Fig. 1 の切り替えサンプラの構成において，デシメータで失われる高周波域はどのように補間すべきであろうか．文献 [15] では完全帯域制限の仮定の下で線形補間や Lagrange 補間などを用いるとしていた．しかしこ
れでは仮定は現実的ではないばかりか，原信号 rc の周波数特性を考慮した補間であるとはいえない．
これに対し本手法では，各 i = 1, . . . , n についてFig. 2 のような誤差系を考え，補間フィルタの出力 udiと信号 U m rd との差 edi ができるだけ小さくなるような補間フィルタ Fdi を設計する．ただし Wc は伝達関数が厳密にプロパーかつ安定である有限次元の連続時間線形時不変システムであり，連続時間信号 rc の周波数特性を表すものとする．
いま切り替えサンプラは補間フィルタの出力 udi と信号 U m rd との SN 比を各フレームにおいて比較評価することに注意すると，補間フィルタ Fdi は全周波数帯域において平均的な性能を持つことが望ましいと考えられる．そこで本手法においては評価規範として H 2ノルムを用いることとし，さらに比較評価が離散時間で行われることを踏まえて次のようにフィルタ設計問題を定式化する．
問題 1. 各 i = 1, . . . , n について Fig. 2 の誤差系を考え，wc から edi までの作用素を Tew,i とする．このとき，kTew,i δk`2 を最小化する因果的かつ線形時不変の離散時間フィルタ Fdi を求めよ．
問題 1 は離散時間リフティング [2] を用いることで標準的な離散時間 H 2 最適制御問題に帰着できる．

30thFig. 4: Disturbance nd of Fig. 3

定義 2. 信号 {ũd [tk ]}tk ∈Z+ は時刻 τk = tk h，h > 0 に値を持ち，かつ任意の k ∈ Z+ に対して tk < tk+1 を満たすとする．このとき，次の作用素

H̃dzoh : (H̃dzoh ũd )[l] := ũd [tk ],を離散時間ゼロ次ホールドという．
原信号 rc （実線），切り替えサンプラの出力 ỹd （◦印），および離散時間ゼロ次ホールドの出力 yd（× 印）の例を Fig. 3 に示す．次に，原信号を等間隔サンプリングした信号 rd = Sh rc と，切り替えサンプラの出力をゼロ次補間した信号 yd = H̃dzoh ỹd との差を nd ：nd := yd − rd = H̃dzoh ỹd − Sh rcとする．Fig. 3 の例に対する nd を Fig. 4 に示す．
ここで信号 nd を外乱と見なし，その影響を小さく抑える復元処理系を設計することとする．このために信号 rc および nd に次の周波数特性モデルを仮定する．
仮定 3. 連続時間信号 rc は，伝達関数が厳密にプロパーかつ安定である有限次元の連続時間線形時不変システ
ム Wc を用いてrc = Wc wc ,wc ∈ L2 (R+ )と書ける．
仮定 4. 離散時間信号 nc は，伝達関数がプロパーかつ安定である有限次元の離散時間線形時不変システム
Wnd を用いてH ∞ 最適復元

3.1 問題設定
2 節で述べた切り替えサンプラの処理系を S̃d とする．
本節では，切り替えサンプラの出力 ỹd = S̃d rd = S̃d Sh rc
から原信号 rc を復元する処理系を設計する問題を考える．
このためには信号 ỹd の不等間隔性の解析が不可欠であるが，その解析は一般に困難である．そこで本手法
では，まず不等間隔信号 ỹd を次に定義する離散時間ゼロ次ホールド H̃dzoh を用いてサンプル周期 h の等間隔信号 yd := H̃dzoh ỹd に変換する．

l = tk , . . . , tk+1 − 1

nd = Wnd wnd ,wnd ∈ `2 (Z+ )と書ける．
以上の準備の下で Fig. 5 の誤差系を考える．ただし
Wc は仮定 3 に現れる連続時間システム，Wnd は仮定 4に現れる離散時間システムである．また Kd は離散時間コントローラ，Hh はホールド関数 φH のホールド：

Hh : (Hh ud )(kh + θ) := φH (θ)ud [k],θ ∈ [0, h),k ∈ Z+(3)wcWcrcDhl
ShydrdndKd

Hhuc ec−WndwndFig. 5: Signal reconstruction problemec
ShwcGcrcuc
KdydHhを満たすコントローラ Kd とホールド Hh を求める問
題に帰着する1 ．これはサンプル値 H ∞ 制御問題の枠組みで扱うことができ，リフティング [16] とループシ
フティング [7] を用いると，次の補題により得られる離散時間系 Gf に関する離散時間 H ∞ 制御問題に帰着する．
補題 6 ([14]). Lh をリフティング作用素として·¸
Wc−I
Gc0 :=, Wc := Lh Wc L−1
h ,Sh Wc 0

Sh := Sh L−1
h ,とおき，udFig. 6: Linear fractional transformation representation of Fig. 5 (wnd = 0)
である．さらに，Dhl = Dlh は遅れ時間 lh（l ∈ N）の遅れ作用素である．この Dhl はコントローラ Kd の性能を向上させる目的で設定してある．
この誤差系において，下の信号路からは仮定 3 および仮定 4 を満たす信号 rc および nd に対して yd =nd + Sh rc をコントローラ Kd で処理し，そのサンプル点間をホールド Hh で補間した連続時間信号 uc が出力される．ここでホールド Hh ，すなわちサンプル点間の補間式が与えられた場合，コントローラ Kd の設計は文献 [5] のような遅れ付き信号復元問題に帰着する．これに対して本手法では，コントローラ Kd およびホールド Hh を設計パラメータとすることでサンプル点間を最適に補間する問題を以下のように定式化する．
問題 5. Fig. 5 の誤差系において，wc から ec までの作用素を Tew ，wnd から ec までの作用素を Ten とおく．
このとき，与えられた γ > 0 に対して°£¤°° Tew , Ten °2 := supkec k2L2222 <γ2 kwc k 2 + kwnd k 2wc ∈L ,L`wnd ∈`2を満たす因果的かつ線形時不変の離散時間コントロー
ラ Kd およびホールド Hh を求めよ．
問題 5 において γ を最小化する Kd および Hh を求めることにより，不等間隔信号 ỹd から原信号 rc を最適に復元する信号 uc をuc = Hh Kd H̃dzoh ỹdとして得る．

3.2 主要結果
スケーリングにより γ は Wc , Wnd に含めることができるので，以下では γ = 1 とおいた問題 5 を考える．
いま Fig. 5 において wnd = 0 とすると，問題 5 はFig. 6 においてkFl (Gc , Hh Kd Sh )kL2 -induced < 1,· l¸Dh Wc −I
Gc :=Wc0Hh := Lh HhAĜc0 (z) := C1Cc1

0−I 0B1D110と書く2 ．いまγh := kD11 ΠB kL2 [0,h)-induced ,(4)ΠB := I − B1∗ (B1 B1∗ )† B1とおくと3 ，γh < 1 のとき次の 2 つは等価である：• kFl (Gc , Hh Kd Sh )kL2 -induced < 1 である．
• システム Gf ：· −1/2¸∆
Gf 11 −∆−1/2
Gf :=,Sh Wc0(5)∗∆ := I − D11 ΠB D11,

Gf 11 := D11 B1∗ (B1 B1∗ )† U l B1 + C1 U l WA B1 ,¸·A IŴA (z) :=I 0に対して kFl (Ĝf , Hh K̂d )k∞ < 1 である．
式 (5) の Gf は

AGĜf (z) =  ∆−1/2 CG1CG2

0−∆−1/2 0

BG100(6)と書ける．しかしこれは無限次元作用素 BG1 ，CG1 ，∆−1/2 を含んでおり，このままでは離散時間 H ∞ 制御問題を解くことは困難である．
ここで Gf について H ∞ 制御問題の正則性に関する次の仮定をおく．
仮定 7. 式 (6) の Gf について，任意の θ ∈ [0, 2π) に対して
1 システム G と K の下側線形分数変換を F (G, K) と表す．
l2 システム G の伝達関数を Ĝ と表す．また·Ĝ(z) = D + C(zI − A)−1 B =:ACBD¸と書く．
3 行列 A の Moore-Penrose 型擬似逆行列を A† と書く．

·¸AG − ejθ I0は左可逆であり，かつ∆−1/2 CG1 −∆−1/2·¸AG − ejθ I BG1•は右可逆である．
CG20•

すると文献 [10] による解の表現を用いることにより次の定理 [8] が成り立つ．この定理が本研究の主要結果である．
定理 8. 式 (4) の γh に対して γh < 1 であり，かつ式 (6) の Gf は仮定 7 を満たすとする．このとき，kFl (Ĝf , Hh K̂d )k∞ < 1 を満たす Hh Kd の 1 つは，ある有限次元の離散時間線形時不変システム Kd0 を用いてHh Kd = CG1 Kd0(7)で与えられる．さらに∗>BG1 BG1= B̄G1 B̄G1,¸· ∗−1∗
CG1 ∆ CG1 −CG1∆−1 CG1∗∗−CG1∆−1 CG1 CG1∆−1 CG1"#>¤£C̄G1C̄G1 D̄G12=>
D̄G12(8)(9)を満たす任意の行列 B̄G1 , C̄G1 , D̄G12 を用いて，有限次元の離散時間線形時不変システム Gd をAG
Ĝd (z) := C̄G1CG2B̄G1000



D̄G12 0(10)と定義すると，次の 2 つは等価である．

• kFl (Ĝf , Hh K̂d )k∞ < 1 である．
• kFl (Ĝd , K̂d0 )k∞ < 1 である．
式 (8) および式 (9) の左辺の行列は文献 [6] に掲げられている 2 点境界条件付システム（STPBC：Systemwith Two-Point Boundary Condition）表現の公式を組み合わせることで計算できる．さらに式 (3) の（最適）ホールド関数 φH はある行列 AH , BH , CH を用いて

φH (θ) = CH eAH θ BH ,θ ∈ [0, h)と表現できる [8]．
さて定理 8 を用いることで式 (10) の等価離散時間システム·¸
Gd11 Gd12
Gd =Gd210を得る．これに Fig. 5 の離散時間入力信号 wnd を戻し，
¸·
Gd110
Gd12
G0d =Gd21 Wnd0とする．定理 8 のコントローラ Kd0 はこの離散時間シス
テム G0d に対する標準的な離散時間 H ∞ 制御問題 [10, 4]を解くことにより求められる．また，MATLAB 等を用いると数値的に解くことができる [1]．

4

おわりに

本稿では信号を不等間隔サンプリングにより圧縮し，原信号に復元する手法を提案した．圧縮には信号の周波数特性を考慮してサンプル周期を変更する切り替えサンプラを用いた．さらにコントローラとホールドを設計パラメータとした信号復元問題を考え，離散時間H ∞ 制御問題に帰着することを示した．なお具体的な設計例は発表時に紹介する．
謝辞 本研究に関して数々のご協力（特に定理 8 の証明に関するご助言）を戴きました藤岡久也准教授（京都大学）に感謝の意を表します．

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