19

イソウクウ

質を考察することもある．
）

学の基本概念である．また，代数多様体の*ザリス

2 つの空間が同相であるか否かを判定するには，*オイラー標数，*ホモロジー群，*基本群などの*位相不変量が用いられる．すなわち，これらは，

キー位相など，通常の空間とは少し違った概念を定式化する言葉としても，位相空間を用いること
ができる．

図形
（位相空間）に対して数や群を対応させ，図形

位相構造は，線形構造，群構造などと並び，集合が同相であれば，対応する数・群も同じ（同型）
での上に公理系を設定して理論を形成していく数学的あるという性質を持っている．

構造の代表的例でもある．位相空間の概念は 1914

ポアンカレは，微分方程式の*定性的理論への応

年に出版されたハウスドルフ（F. Hausdorﬀ）の用を目的の 1 つとして，位相幾何学を研究した．

書物（“Grundzüge der Mengenlehre”（集合論概また，曲面の位相幾何学によって，リーマン面上要））に初めて現れた．

の複素関数論についての諸事実に対する，幾何学

位相空間の公理系にはいろいろなものが知られ的で明快な説明が与えられた．これは，多変数のている．以下には開集合を指定するものを述べる．

複素関数論と高次元（複素）多様体の幾何学の関係

ほかに，*閉集合を指定するもの，*近傍系を用いとして，20 世紀中頃以後大きく発展した．

るものなどがあり，互いに同値であることがわかっ

位相幾何学は 20 世紀以降の代表的な幾何学とている．
集合 X と，その部分集合の族 O の組 (X, O)

して現在高度に発展している．

が次の条件を満たすとき位相空間といい，また Oの元を開集合と呼ぶ．

位相空間（1）空集合 ? と全体集合 X は O に属する．

topological space（2）U1 , U2 ∈O に対して，U1 ∩U2 ∈O.

われわれの周りに広がる空間の性質の中から，（3）{Uα } を O の元からなる族とするとき，S
Uα ∈O.

「遠近」の定性的性質を取り出し抽象化した空間概
念が位相空間である．

α

平面の 2 点 (x, y), (x , y  ) 間の 2 種類の距離

d1 , d2 を
d1 ((x, y), (x , y  )) =q(x − x )2 + (y − y  )2 ,d2 ((x, y), (x , y  )) = |x − x | + |y − y  |で定める．このとき，d1 = d2 であるが，平面上の（2）から有限個の開集合の共通部分は開集合であることがわかるが，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らない．一方，（3）は無限個の開集合の和集合が開集合であることを意味する．
（連続
上記の位相空間の概念の下に，*連続写像
関数の一般化），*コンパクト性，*連結性などを点列 {pn } (n=1, 2, · · · ) に対して lim d1 (pn , p)

論じることができる．

=0 であることと， lim d2 (pn , p)=0 であるこ

位相空間 X の元の列 {ai } (i=1) に対して，{ai }

n→∞

n→∞

とは，同値である．このことを，2 つの距離 d1 ,位相空間には点列の極限が自然に導入される．
が a∈X に収束するとは，a を含む任意の開集合 U

d2 は同じ位相を定めるという．
一方，関数列 {fn (x)} (n=1, 2, · · · ) に対して，
fn (x) が各点収束していても，fn (x) が一様収束に対して，N が存在して，i>N ならば，ai ∈U

するとは限らない．このことを，一様収束の位相である（㌖ 距離の定める位相）．R の非可算無限個と各点収束の位相は異なるという．
すなわち，集合 X 上の位相あるいは位相構造であることをいう．
距離空間は位相空間であり，その最も重要な例の直積に*直積位相を与えたものは，距離空間ではない位相空間の例である．

とは，それを X に与えることによって，X の元位相空間における収束で，病的な現象が起きるからなる点列の収束が意味をもつようになる*構のをさけるためにさまざまな*分離公理が考えられ造のことで，後述のような公理系を用いて定義さている．⑸ ハウスドルフ空間

れる．集合に位相構造を与えたものを位相空間という．位相空間は幾何学，解析学で重要な役割をする．位相空間は一見病的な空間（例えば*カントや，*連続関数全体の空間
ル集合，*コッホ曲線）

位相空間（力学における）phase spaceのように非常に大きい空間，さらには*p 進数の全

phase space の訳語として位相空間という言葉

体など，非常に広い範囲の空間概念を含む現代数が物理学では用いられるが，topological space の

33

イプシロン

極限 lim log log N (ε)/ log(1/ε) を ε エントロ

べばよい．この定義も「任意の正の数 ε に対しピーという．ここで ε 網とは，有限集合であっ（条件）：て，次の条件を満足する δ が存在する．

ε→0て，その ε 近傍が X 全体を含むものをいう．な|x−a|<δ ならば |f (x)−f (a)|<ε が成り立つ」とお， lim log N (ε)/ log(1/ε) は*ハウスドルフ次

読みかえるとわかりやすい．

ε→0

元である．

ε-δ 論法の源は，*エウドクソスによる*取り尽
くし法
（積尽法）
にあり，*ダランベールによる「無" 近傍ε-neighborhood
距離 d を持つ距離空間 X において，X の 1 点
a からの距離が正の数 ε より小さい点の集まり，
すなわち集合 {x∈X|d(x, a)<ε} を a の ε 近傍という．

"-‹ 論法ε-δ method

限大」「無限小」の取り扱いを経て，*コーシーによって確立された．19 世紀後半に解析学の厳密化の過程で日常的に用いられるようになった．

ε-δ 論法を用いなくても，多くの場合，直観的な
論法で収束
（極限）
を扱うことができるが，場合によっては直観に頼ると間違った結論に達することもある．また，結果が正しい場合にも，ε-δ 論法
を用いることにより論点が明確になることもある．
∞
Pa(ν)
例 1 「無限級数の族
n (ν=1, 2, · · · ) に
n=1
∞
P

a(ν)
が収束し，各項n「エプシロン・デルタ論法」と読むことも多い．

おいて，各 ν に対して

微分積分学において「任意の ε に対して，ある δa(ν)
が ν→∞ のとき an に収束していれば，級n∞P
数an も収束する」．

が存在して · · · 」「任意の ε に対して，自然数 Nが存在して · · · 」というような命題が登場する．

n=1

n=1

このような表現は，数列や関数の極限について厳これはコーシーが言明した命題であり，直観的に密な叙述や証明を与えるために必須な形式である．

はもっともらしい．しかし，正しくない．例えば，(

この形式に基づいて極限に関する性質を示す方法

(ν)
n

a

を，ギリシア文字の ε や δ が現れることに因んで

ε δ 論法という．
例えば，数列 {an }∞n=1 が a に収束するとは「任意の正の数 ε に対し，ある自然数 N が存在
し，任意の n=N について |an −a|<ε が成り立つ」ことである，と定義される．これは数学特有=

1 (n 5 ν)
0 (n > ν)とおけば，これが反例を与える．
例2数列 {xn }∞n=1 が a に収束するとき，sn =1(x1 + · · · + xn )nの表現法で慣れると便利であるが，日本語としてとして定義した数列 {sn }∞（チ
n=1 も a に収束するはわかりづらい．これは次のように読みかえるとェザロの定理）．これは直観的な極限論法で示すのわかりやすい．「任意の正の数 ε に対して，次のが困難な最も簡単な例である．ε-δ 論法による証条件を満足するように自然数 N を選ぶことがで明は次のように行う．任意の ε>0 に対して，きる．（条件）：任意の n=N について |an −a|<εが成り立つ」．命題の意味するところは，図のよう|sn − a| < εがすべての n=N に対して成立するような N がに a を中心として幅 2ε の区間を考えるとき，ど存在することを示したい．まず，{xn }∞n=1 が収束のように ε を小さくとっても，十分大きい n につ列であることから，xn は有界，すなわちすべて

いては an がすべてこの小さな区間に入ってしまの n について |xn |<K となる正数 K が存在する

う，すなわちほとんどすべての an はこの小さなことがわかる．次に区間に入ってしまう，ということである．

|xn − a| < ε/3(n = N0 )となる N0 をとる．この N0 に対して，また関数 f (x) が x=a で連続であるとは，「任
意の正の数 ε に対し，ある正の数 δ が存在し，|x−a|<δ ならば |f (x)−f (a)|<ε が成り立つ」ことであると定義される．このとき δ は ε ごとに選KN0εN0 |a|
ε
< ,
<
N
3
N
3
となるような N (>N0 ) をとることができる．すると，n=N に対して
˛ 1
˛
˛
˛
˛ (x1 + · · · + xn ) − a˛
n

34

イリジスウ

˛1
˛
= ˛ (x1 + · · · + xN0
nわかる．
岩澤分解は一般の*半単純リー群の，コンパクト˛˛+ xN0 +1 + · · · + xn ) − a˛群，Rn の形の加法群およびべき零群への分解に

˛1˛= ˛ (x1 + · · · + xN0 )n1{(xN0 +1 − a) + · · · + (xn − a)}
+
n
N0 ˛˛
−
a˛
n
1
(|x1 + · · · + xN0 |)5n1(|xN0 +1 − a| + · · · + |xn − a|)+nN0 |a|+
nn − N0 ε
N0 |a|
KN0
+
+
5
n
n
3
n

拡張される．

岩澤予想
Iwasawa conjecture
岩澤主予想のこと．⑸ 岩澤理論

岩澤理論
Iwasawa theory*ゼータ関数は解析的な対象であり，*代数体の*イデアル類群は代数的な対象である．19 世紀に得られた類数公式（㌖ 類数公式，ディリクレの類
数公式）
は，異質なこの 2 つの重要な対象を結びつける．岩澤理論は，類数公式で扱える類数（イ
デアル類群の位数）だけでなく，*円分体 K のイ

< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

デアル類群に有理数体上の*ガロア群 Gal(K/Q)となるから， lim sn =a が証明された．
n→∞例3関数の連続性と*一様連続性の違いは，ε-δ論法による定義により明らかになる．

が作用している様子も，ゼータ関数からわかるという理論であり，ゼータ関数
（解析学）
とガロア理
論
（代数学）
の結びつきを与えている．岩澤健吉により，1950 年代後半から始められた．

入次数*リーマンのゼータ関数 ζ(s) は，ζ(0)=−1/2,
ζ(−1)=−1/12 など，0 以下の整数において有理数の値をとる．19 世紀にクンマーは，それらの値

in-degree「いりじすう」と読む．⑸ 次数と円分体のイデアル類群の関係を研究した．例え

色付き雑音ば，ζ(−11)=691/(23 ·32 ·5·7·13) であるが，クcolored noise

ンマーの研究からわかることは，ここに 691 が現スペクトル分解したときに一様な密度関数をもれることが，1 の 691 乗根を有理数体に添加してつ雑音を白色雑音と呼ぶのに対して，非一様なス得られる円分体の類数が 691 で割り切れることをペクトル密度関数をもつ雑音を色付き雑音という．

示しているということである．さらに岩澤理論か数学としては近年研究され始めた「雑音の同型問

らわかることは，ここに −11 が現れることも，そ題」においては若干異なった意味で用いられる．

の体のイデアル類群へのガロア群の作用の仕方として理解できるということである．

岩澤分解

p を素数とするとき，ζ(s) の 0 以下の整数でのIwasawa decomposition（例えば ζ(−11) が 691 で割り値の p 進的な性質

2 次の*特殊線形群 SL(2, R) の任意の元は 3 つ

切れるように，p の何乗で割り切れるかというよう

の行列の積
»

cos θ − sin θ
sin θ cos θ

–»

a 0
0 a−1

–»

1 x
0 1

–

な性質）
は，久保田 レオポルドの p 進ゼータ関数というものの理論にまとめられる．解析的な対象である「p 進ゼータ関数の零点の分布」と，代数的なの形に表示できる．ここで (θ, a, x) は −π<θ5

対象である「さまざまな円分体 K のイデアル類群

π, a>0 を満たす実数，x は任意の実数である．

の p べき部分の，Gal(K/Q) が作用する可換群とこのような表示はただ一通りに定まる．これをしての構造」の間には，きれいな関係が見出され，

SL(2, R) に対する岩澤分解という．この分解により SL(2, R) は円周 R/Z（これは SL(2, R) の*極大コンパクト部分群），半直線 R>0 ={a∈R|a>0}
および実数全体 R の直積に位相同型であることがと岩澤主予想と呼ばれたが，メイザー（B. Mazur）
によって証明された．
ワイルス（A. Wiles）
岩澤理論は，リーマンのゼータ関数だけでなく，楕円曲線のゼータ関数など，さまざまなゼータ関

54

エンシュウ

を得た．直径 1 の円に内接する正 n 角形の周の長さを pn ，一般に外接する正 n 角形の周の長さを弧といい，\P XQ を弧 P Q に対する円周角，ま対する円周角はすべて等しい．また円の中心を O

Pn とすると
pn < p2n < · · · < p2m n < · · ·< π < · · · < P2m n < · · · < P2n < Pnとすると円周角は対応する中心角 \P OQ の半分であり次の関係式が成り立つ．

”

”

”

”

直線 P Q に関して X と反対側にある円周上の点と P と Q からなる弧 P Q を \P XQ に対するたは弧 P Q の上に立つ円周角という．弧 P Q に

である．

P2n =

2pn Pn,p n + Pnp2n =ppn P2n .

これを使うことによって円周率の近似値を求めることができる．オランダの数学者ルドルフ・ファン・コーレン（L. van Ceulen, 1540 1610）は生
涯をかけて n=262 まで計算し，小数点以下 35 桁まで正しい円周率を計算した．ドイツでは円周率のことをルドルフ数ということがある．また，江戸時代の鎌田俊清（かまたとしきよ，1678 1747）は円周等分の問題 cyclotomic problem ⑸ 正多角形の作図

n=244 まで計算して小数点以下 24 桁まで正しい値を求めた．
（りゅうき，260 頃）
は，内中国三国時代の*劉徽

円周率

接正多角形を考えるだけで円周率の上と下からのratio of circumference of circle to its diameter

評価ができることを示し，不等式

円の直径と円周の長さの比を円周率といい π（パ314イ）と記す．すなわち直径の長さを l とすると円64
169< 100π < 314625625

周の長さは πl である．また，半径 r の円の面を得た．中国南北朝時代の*祖冲之（そちゅうし，積 =πr 2 ，半径 r の球の表面積は 4πr 2 ，体積は480 頃）はさらに精密な円周率を求め，円周率の近似値として 355/113 を得た．これは小数点以下 6

4πr 3 /3 である．π はギリシア語の「周」を表す「πρίµτ ρς 」の頭文字である．
円周率 π は*無理数であることは 1761 年ラン
ベルト（J. H. Lambert）によって示され，*超越（C. L. F.
数であることは 1882 年にリンデマン
Lindemann）によって証明された．
π の小数点以下 99 桁までの展開は，
π = 3.141592653589793238462643383279502
88419716939937510582097494459230781
6406286208998628034825342117067 · · ·桁まで正しい近似値を与える．祖冲之はこれを密率と呼んだ．
鎌田俊清を除く江戸時代の和算家は，円周率の計算に内接正多角形のみを用いたが，数列の*加速法を用いて円周率のさらによい近似値を求める（せきたかかず）は内接ことに成功した．*関孝和
正 217 角形までの周の長さを求め，エイトケン加速（㌖ 加速法）を用いて円周率を小数点以下 12 桁
（たけべかまで正確な値を求めた．また*建部賢弘
（㌖ 加
たひろ）
は am =p22m にリチャードソン加速で与えられる．記号 π はイギリスの W. ジョーン

速法）
を適用して m=10，すなわち正 1024 角形

ズ（W. Jones, 1675 1749）が 1706 年に出版したまでの計算で小数点以下 41 桁まで正確な円周率著作で使ったのが最初であるが，オイラーが用いを求めた．これらの加速法は 20 世紀になって数たことにより本格的に使われるようになった．

値計算の分野で活用された．

円周率は昔から多くの数学者の関心を引き，その値を求める試みが数学の進展に寄与してきた．
文献に残る最初の円周率の計算は古代ギリシアの円周率は 3 角関数と密接に関係している．これは

pn = n sinπ,nPn = n tanπn*アルキメデス（紀元前 250 頃）であり，円に内接および外接する正 96 角形の周の長さを比較計算と書けることからも推測される．*ヴィエト（1593）

することによって

は，角数を倍々にふやしていく方法を，次のよう

223
22
<π<
71
7

（㌖ 無限積）で表した．
な π の無限積表示

55

2
π
π
π
= cos
· cos
· cos
···
π
4
8
16
s
r
r
1
1
1
1
=
·
+
2
2
2
2
v
s
u
r
u
1
1
1
1
t1
+
+
···
·
2
2
2
2
2
実際，この等式は，極限公式（㌖ 3 角関数）

lim 2n sin

n→∞

エンシュウ

4

π=

1

1+

9

2+
2+

25
49
2+
2 + ···（2）逆正接関数の無限級数展開とマチンの等式（1706）π1
1= 4 arctan− arctan
4
5
239

π
=π
2n

と正弦関数，余弦関数の倍角公式（㌖ 2 倍角の公を組み合わせることによって，円周率を求める計式）
から得られる．

算は短時間にたくさんの桁まで計算できるように円周率を*無限級数を使って表すことは 14 世紀後半から 15 世紀に活躍した南インドの数学者マーなった．

ダヴァによって最初に与えられた．彼は*逆正接関（まつながよしすけ，
建部賢弘（1722）や*松永良弼1739）らは，数値計算に基づいて逆 3 角関数の級数 arctan x のテイラー展開

数展開に相当する無限級数を見出し，それを用い

11
11arctan x = x− x3 + x5 − x7 + x9 −· · ·3579て松永良弼は小数点以下 51 桁まで正しい π の小数展開を得た．

を幾何学的考察によって求め，x=1 のときの特殊（3）最近得られた表示式として，次のようなも値として，次の π の無限級数表示を得た．

のもある（ベイリー，ポールヴィル，ブラウフ，

π
1
1
1
1
=1−
+
−
+
− ···
4
3
5
7
9
この級数は，ヨーロッパではグレゴリー ライプ

1995）．
π=∞P1nn=0 16„

ニッツの級数といわれている（グレゴリー，1671;
ライプニッツ，1674）．

42−
8n + 18n + 4«1
1−−
8n + 58n + 6

こうした無限級数の発見は，*微分積分学の発展

この級数を用いると，円周率の 16 進小数展開のを促し，今日では無限級数，無限積などを使った

任意の桁に現れる数値をそれ以前の桁の数値を計

円周率のたくさんの表示が知られている．

算することなく，短時間で計算することができる．

（1655）（㌖ ウォリスの公式）（1）ウォリスの等式

円周率は数学の種々の場面で登場する．*ゼー2
1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 9···=π
2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · 8···∞ 4n2 − 1
Q
=
4n2
n=1

タ関数 ζ(s) の s=2 での特殊値として，次のオイ

R π/2

は In = 0

sinn xdx とおくとき，次の 3 個の等式を組み合わせて得られる．

1 · 3 · · · (2m − 1) π,
2 · 4 · · · (2m)22 · 4 · · · (2m),I2m+1 =
1 · 3 · 5 · · · (2m + 1)
I2m
= 1.
lim
m→∞ I2m+1
I2m =

ラーの等式
（1735）が有名である．

1
1
1
π2
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ···
6
2
3
4
5
さらに，s が正の偶数値 2m に等しいとき，πの 2m べきと関係する同様な関係式がある（㌖ ベ
ルヌーイ数）．
また，*オイラーの関係式

eπi = −1は円周率と*自然対数の底 e との関係を与えている．さらに積分Z ∞2e−x dx =√π*ガンマ関数 Γ (x) の無限積表示を用いれば，こ√（スターリンの等式は Γ (1/2)= π と同等である
グ，1730）．

は*ガウス積分と呼ばれ，多くの分野に登場する．

ブラウンカー卿（英国王立協会初代会長）
は，ウォの無限に関わる近代数学への道を拓いた．しかし，リスによる上記の π の表示に触発されて次の*連

現在ではコンピュータと関係して円周率計算のた

分数表示を与えた．

めの効率のよいアルゴリズムが研究の対象になっ−∞以上のように，円周率の計算は微分積分学など

56

エンジュン

ている．
近年，スーパーコンピュータを利用して，π の近似値の精度は飛躍的に高まった．インドの天才
数学者*ラマヌジャンによる*モジュラー方程式か（1914）がそのきっかけにら導かれる π の表示式なっている．ボルウィン兄弟（1987），チュドノフ
スキー兄弟（1989）や金田康正（1991）らはラマヌ
ジャンの表示式をさらに精密化し，種々の効率のよい*アルゴリズムを開発し，現在，小数点以下 1兆桁以上が計算されている．⑸ 円理

円順列
circular permutation
順列の一種．円周上に n 個のものを並べて，反
時計まわりに順列として考えたとき，回転を無視

cy 2 +dx+ey+f の零点集合として表される曲線
なので，*2 次曲線ともいう．

したものである．例えば n=3 のとき通常の*順列

円錐曲線は円の次に自然に現れる曲線図形としabc に対して bca，cab，abc は同じ順列と考えたて古代ギリシアで研究された．*アポロニオスの円

ものが円順列である．その並べ方の総数はn!
= (n − 1)!
nとなる．n=3 の場合の円順列は下図の 2 つだけ

錐曲線論が有名であり，*ケプラー，*ニュートン
による惑星の運動の研究に応用された．太陽から重力を受けて運動する物体の軌道は円錐曲線をなす（㌖ ケプラーの法則）
．

である．

円積問題
quadrature of circle「与えられた円と等しい面積を持つ正方形を定規とコンパスだけを用いて作図せよ」という問題
を円積問題という．古代ギリシアの 3 大作図問
題の 1 つである．円周率 π は超越数であるから，
この作図は不可能である（リンデマン C. L. F.

Lindemann，1882）．⑸ 作図問題
はヒポクラテス（Hippokrates，450 B.C. 頃）「直角 3 角形 ABC (\A= 直角) の 3 辺を直径
conic sectionとする円から，図のようにできる 2 つの月形の面
円錐を平面で切ったときに現れる曲線，すなわ
積の和は，ABC の面積に等しい」という定理
ち，円，楕円，放物線，双曲線を円錐曲線という．
を証明した．
座標を使えば，2 変数の 2 次関数 ax2 +bxy+

円錐曲線

曲線で囲まれたこのように単純な図形の面積が，直線で囲まれた図形の面積に等しいという当時の驚きが，円積問題の背景にあるという．
は，次アンティポン（Antiphon，430 B.C. 頃）のような論法で円積問題が解けると主張した．
「円に内接する正方形を作り，その辺を底辺として，

57

頂点を円周上に持つような 2 等辺 3 角形を作る．
さらにその辺上に 2 等辺 3 角形を作って，以下こ

エントロピ

エントロピー
entropyと面積が等しい正方形が作図できるから，結局円

エントロピーという用語はクラウジウス（R.
J. E. Clausius，1865）に始まり，ギリシア語のτ ρoπη（tropē，変化）に由来し，変化容量を意味と同じ面積を持つ正方形が作図できる」．

する造語であり，熱力学において不可逆性を定量

れを繰り返すと正多角形の列ができ，辺が多くなるにつれて，円周に近づいていく．一方，多角形

的に表す量（エントロピーの増加）として導入された（㌖ エントロピー（熱力学の））．その後，古典統
計力学におけるボルツマンの研究（1877）において，巨視的状態に対応する微視的状態の数の対数としてエントロピーが捉えられ，不確定性を定量的に表す量という視点が誕生する（㌖ エントロピー
（統
計力学の）
）
．ボルツマン（L. Boltzmann）が導いたエントロピーh=−

この作図には無限回の操作を必要とするので作図問題の通常のルールでは許されないが，このよnPpi log pi

i=1（㌖ エントロピー（確率の））
は，1948 年に情報量うな論法は「*取り尽くし法」の原型となり，*エ（㌖
として*シャノンが導入した量と同じ形でありウドクソスや*アルキメデスによる「無限」の適切エントロピー（情報理論の）），情報量を，不確定な処理が現れる背景となった．

性の減少を表す量として捉える視点が誕生する．
さらに，1958 年に*コルモゴロフは*測度論的エ

円柱座標
cylindrical coordinates

3 次元ユークリッド空間の点を表すのに，直交座標 (x, y, z) の代わりに xy 平面の極座標表示
x = r cos θ, y = r sin θを用いて，空間の点を座標 (r, θ, z) (r=0, 05θ<
2π, −∞<z<∞) で表すことができる．曲面 r=（一定）は z 軸に平行な円柱を表すので，この座標を円柱座標という．

ントロピーを導入し，力学系の不変量としてのエントロピーはその後の力学系理論・エルゴード理論の発展，また統計力学の数学的理論の展開に大きな寄与をすることとなった（㌖ エントロピー（力
学系の））．さらに，コルモゴロフは関数空間の大
（エ）
プシロン）
エントロ
きさを測る量として*ε（イピーを導入し，また，晩年には，有限列に対する
コルモゴロフの複雑度の概念も導入した．このよ
うに，エントロピーはさまざまな研究の動機付けにおいて大きな役割を果たしてきているが，数学

延長（常微分方程式の解の）prolongation

としてはそれぞれ別の概念であり，とくに，熱力学のエントロピーとそれ以外のものはその性格が著

常微分方程式 du/dt=f (t, u) の 2 つの解 u(t),e(t) がそれぞれ区間 I, Ie 上で定義されていて，u

しく異なることに留意するべきである．⑸ エントe(t) が成り立つとき，ueI ⊂ Ie，かつ I 上で u(t)= u
は u の延長であるという．解 u の延長が u 自身に限るとき，延長不能解という．例えば du/dt=u2 ,u(0)=C (C >0) の解 u(t)=C/(1−Ct) は定義区
間 −∞<t<1/C をこれ以上広げることができず，ロピー増大の原理，位相的エントロピー，相対エ

延長不能解である．どのような解も，それを延長して延長不能解にすることができる．⑸ コーシーの存在と一意性定理（常微分方程式の）延長不能解 nonprolongable solution ⑸ 延長（常微分方程式の解の）ロピー（分割の），エントロピー（言語の），エント
ントロピー，コルモゴロフ シナイのエントロピー

エントロピー（確率の）entropy
確率ベクトル p=(p1 , · · ·, pn )（すなわち，pi =0, p1 +· · ·+pn =1）に対して，
H(p) = −(p1 log p1 + · · · + pn log pn )をそのエントロピーという．ただし，0 log 0=0と定める．H(p) は，p1 , · · ·, pn について対称な連続関数であり，p1 =· · ·=pn =1/n のとき最大値
log n をとり，pi =1, pj =0 (j= i) のとき最小値

ガイセキ

74

である．

与したものの 1 つは，ライプニッツの導入した記

u, v, w はベクトル，a, b は実数として，外積は v×w=−w×v, (au+bv)×w=a(u×w)+b(v×w), w×(au+bv)=a(w×u)+b(w×v)
を満たす．外積 × と内積 · の間には，(u×v)·w=(v×w)·u=(w×u)·v なる関係がある．(u×v)·
w をスカラー 3 重積という．(u×v)·w は u, v,
w を 3 辺とする*平行 6 面体の体積である．
ま た，u×(v×w)+v×(w×u)+w×(u×v)=0, u×(v×w)=(u·w)v−(u·v)w なる関係も成り立つ．u×(v×w) をベクトル 3 重積と

号 dx,

いう．

R

である．それらは独立に実体のある対象を指すものではないが，計算上極めて自然なこともあって，その後の解析学の発展を促した．特に*ベルヌーイ一族の数学者や*オイラーらにより，ライプニッツの記法の下で微分積分学は多岐にわたって応用され，変分学や微分方程式論が花開いた．中でもオイラーの果たした役割は大きい．
しかし，解析学の中心的概念である関数の一般的定義は，19 世紀半ばまで，明確に与えられることはなかった．関数（function）という言葉は，最初ライプニッツにより用いられた．曲線に関係する接線や法線などの直線が定直線を切り取ること

外積（線形空間の） exterior product ⑸ 外積代数

によって得られる線分を表すのにこの言葉を用い

外積（微分形式の） wedge product ⑸ 積（微分形式されたが，「解析的な式で表される変動する量」と．その後，関数概念は次第に拡張た（1670 年代）の）いう考え方が大勢であった．
関数概念に真正面から立ち向かう契機は，偏微解析学

分方程式の解の表現の問題から起こった．1747 年

analysis

により，波動方に，ダランベール（d’Alembert）*関数の性質を微分積分学を用いて研究する分野

程式を総称して解析学という．常微分方程式論，偏微分方程式論，変分学，複素関数論など，多岐にわたる分野を含む．
その手段である解析的手法は，図形の面積・体

∂2u
∂2u
=
2
∂x
∂t2
の解 u(t, x) が，境界条件 u(t, 0)=u(t, L)=0 の下で積を求めるために*エウドクソスと*アルキメデスu(t, x) = f (t + x) − f (t − x)

（積尽法）まで遡ることが開発した*取り尽くし法

により与えられることが示された．ここで，f はができる．17 世紀になって*デカルトらによる解周期 2L の「任意の」周期関数である．一方，D.

析幾何学が現れ，解析学の発展の基礎が与えられベルヌーイにより，上の波動方程式の解が 3 角

た．*フェルマは，関数の極大・極小を求めるの

級数おけば f (x) の極大または極小を与える x を得る

„
«
∞
P
kπx
kπx
a0
ak cos++ bk sin2
LL
k=1

ことを発見した．また，フェルマとバロー（Bar-を使って表現できることが示された．彼らの結果に，(f (x+ε)−f (x))/ε を整理した後に ε=0 とrow）は，曲線の接線を求めるのに，同様なアイから，「任意の」関数の意味，そして，3 角級数のデアを用いた．しかし，解析学の真の出発点は，収束の意味，さらには関数がいつでも 3 角級数で*ニュートンと*ライプニッツにより創始された微「表現」できるかが問題になった．これらの問題

分積分学である．微分積分学は別名「無限小解析」

は，1807 年に*フーリエが*熱方程式に関連して，ともいわれ，曲線の接線や曲線に囲まれた図形の任意の関数 f (x) の*フーリエ級数が f (x) を表現

面積を計算する強力な手段を与えたのである．中することを主張したことにより，明確な形で当時でも理論的に重要な発見は，いわゆる*微分積分学の数学者の注意を喚起したのである．

の基本定理である．これは，微分の操作と積分の*コーシーは，フーリエの主張の問題点を認識操作が，互いに逆操作であることを主張する．こし，級数の収束，関数の連続性，微分可能性，積の基本定理は，単に積分計算を実行するのに便利

分可能性の概念を導入した．関数の最初の一般的であるということに留まらず，「局所」と「大域」

定義は，1837 年に*ディリクレにより与えられた．

をつなぐ理念的定理として，解析学の発展の過程

ディリクレは，フーリエ級数に関する論文の中でで常に中心的役割を果たしてきた．

「区間 [a, b] 上の関数 y は，全区間で同一の法則

技術的事柄であるとはいえ，解析学の発展に寄にしたがって変数 x に関係する必要はなく，その

75

カイセキセ

関係が数学的算法により表される必要もない」と複素多様体であるリーマン面であるが，多変数の言明し，関数とは結局は「対応」にほかならない

解析関数の場合は，特異点を持つ多様体を考えると主張した．

のが自然である．さらに多変数正則関数系の共通

ディリクレの観点は，*カントルによる集合論

零点や，複素領域を双正則同型群の離散部分群（㌖

によりさらに強固なものになった．そして，フラ離散群）で割った商空間などを考える際には，特異，ルベーグ（Lebesgue）らにンスのボレル（Borel）

点を持つ複素多様体の概念を避けて通ることはで

より集合論に基づいた解析学が展開された．中できない．

もルベーグの創始した積分論（ルベーグ積分論）
は，解析空間を扱うには，*付環空間の概念を用いる．

フーリエ級数論を原型とする*関数解析学の勃興を

なお*ボレル集合の一般化に解析集合と呼ばれるも促すきっかけとなった．

のがあり，この意味で解析空間ということもある．

関数解析学は，*ヒルベルトによる積分方程式論の研究にも源を持ち，その整理の過程で抽象的な関数空間の理論，例えば*ヒルベルト空間や*バ
ナッハ空間の理論が確立した．他方，関数概念の一般化が，数理科学からの刺激の下で試みられ，

L. シュワルツ（Schwartz），*佐藤幹夫らによる超関数の理論に結実した．

解析関数
analytic function
関数 f (z) が，複素平面上の点 z=z0 の近傍で収束する z−z0 の*べき級数に展開できるとき，

f (z) は z0 で解析的であるという．各点で解析的な関数を解析関数という．実変数の範囲で考える
場合にはそれぞれ*実解析的，実解析関数という．
*初等関数をはじめとして，われわれが普通に出会う具体的な関数はたいてい解析関数である．
複素平面の領域で定義された複素変数の関数について，複素関数の意味で微分可能であることと解析的であることは同値になる（㌖ 正則関数）．実
解析関数は実変数の関数として何回でも微分可能であるが，複素関数の場合と異なり逆は成立しない．
与えられた解析関数を*解析接続していくことによって，最大の存在域を持つ（一般には多価の）関数に到達する．これを大域的解析関数と呼ぶ．

解析幾何

解析接続
analytic continuation
複素平面のある領域で定義された*正則関数をより大きな領域上の正則関数に拡張していく手続き
を解析接続という．
領 域 D と そ の 上 の 正 則 関 数 f (z) の組 (f (z), D) を 関 数 要 素 と い う．関 数 要 素(f (z), D)，(g(z), D  ) について，D∩D  が空でなく，かつ D∩D  上で f (z)=g(z) が成り立っているとき，(g(z), D  ) は (f (z), D) の D  への直接解析接続であるという．このとき*一致の定理により g(z) は f (z) からただ 1 つに定まる．*曲線 C : z=z(t) (05t51) の各点 a に関数が与えられて要素 (fa (z), Da )（ただし a∈Da ）いて，|a−b| が十分小さければ (fb (z), Db ) が(fa (z), Da ) の直接解析接続になっているとき，fz(0) (z) は曲線 C に沿って解析接続可能であるといい，fz(1) (z) は fz(0) (z) の C に沿う解析接続であるという．
あらゆる解析接続を考えることにより最も広い
定義域 D を持つ関数が得られる．この関数を関数
要素 (f (z), D) の定める大域的解析関数といい，(f (z), D) をその解析関数の D における分枝という．
例えば D: |1−z|<1, f (z)=−∞P(1−z)n /nn=1
itanalytic geometryで定まる関数要素を曲線 z=(1/2)e座標を使い図形を式を使って調べる幾何学を解

t=0 から解析接続していくと，無限に多くの分
枝 f (z)+2πin (n∈Z) が得られる．これが複素（㌖ 対数関数（複素関数とし対数関数 log z であるての））．このように大域的解析関数は一般には*多析幾何という．*デカルトに始まる．座標幾何学ともいう．*円錐曲線は解析幾何学の立場では 2 次曲線となる．

に沿って価関数になる．多価解析関数は複素平面の領域の解析空間
analytic space

上に広がった*リーマン面上の*1 価関数とみなすことができる．解析接続の実際的な手続きとして「特異点」の存在を許した*複素多様体の一般化は関数方程式や積分表示，*鏡像原理などが用いらをいう．1 変数の解析関数の定義域は，1 次元の

れる．

81

カイヘイホ

開部分群

5

open subgroup55*位相群の部分群が開集合であるとき，開部分群という．開部分群は同時に閉部分群になる．位相群の単位元を含む*連結成分は開部分群である．

外部問題
exterior problem
例えば球の外側の領域のように，補集合 Rn \D
が有界であるような空間領域 D⊂Rn の上で定義される*境界値問題を外部問題という．これと対比

55
10

extraction of square root
正数 a の平方根

61

6
6

5

6

31
25

61

6
6

61
36

59

a の小数展開を求める計算のことをいう．
法（*アルゴリズム）
実際には，公式 (x+y)2 =x2 +(2x+y)y を使っ√

次に 661−636=25 を求めて，その右に一番上
より 59 を下ろす．さらに左側では 106+6=112

a の一番高い桁から順次数値を求めていく．
√
316159 の近似値を求めるには次のようにする．まず 316159 を 1 の位から 2 桁ずつ区√
切って 31 | 61 | 59 とする．これから， 316159の整数部分は 3 桁であることがわかる（3 は 2 桁を計算する．

ずつ区切ったときのブロックの個数である）
．平方

10

6
6

11

2

て

6

59

を求める．

問題と呼ばれる．

√

61

次に左側で 5+5=10 を求め，(100+x1 )x1 が661 以下であるような最大の整数 x1 =6 を求め，
61 の上に 6 を記し，さらに左側の 10 の右側に 6を記し，さらに 6 の下に 6 を記して 106×6=636

して，有界領域上の境界値問題は，しばしば内部

開平法

31
25

例えば

5
5

して 31 を超えない最大の正整数は 5 である．したがって√

316159 = 500 + a1 ，0 < a1 < 100の形になる．この式の両辺を 2 乗すると316159 = 250000 + (1000 + a1 )a1を得る．書き換えると 66159=(1000+a1 )a1 となる．そこで (100+x1 )x1 が 661 を超えない最大の整数 x1 を求めると x1 =6 であることがわか

5

6

31
25

61

6
6

61
36
25

59

59

次に (1120+x2 )x2 が 2559 以下で最大である
整数 x2 =2 を求め，一番上の数 59 の上に 2 を記し，さらに左側の 112 の右側に 2 を記し，この 2の下に 2 を記して 1122×2=2244 を 2559 から引く．

る．これより√316159 = 560 + a2 ，0 < a2 < 10と書けることがわかる．すると

316159 − 5602 = 2559 = (1120 + a2 )a2が成り立つ．(1120+x2 )x2 が 2559 を超えない最大の整数は 2 であることがわかる．したがって√316159 = 562 + a3 ，0 < a3 < 1が成り立つ．以下，同様の考察を行えば小数点以

5
5
10

6
6

11

2

2
2

5

6

2

31
25

61

59

6
6

61
36
25
22

59
44

下必要な桁数まで求めることができる．
実際の計算は次のように行うとわかりやすい．

これで，求める平方根の整数部分は求まったの平方して 31 を超えない最大の正整数 5 を 31 ので，562 の後に点を打って，以下，小数点以下の上と 316159 の左に記し，さらにその 5 の下に 5数値の計算を同じ方法で行う．小数点以下でも 2を記して 5×5=25 を 31 から引いて 6 を得，さ桁ずつ区切って議論することに注意する．小数点らに 61 を 6 の右に下ろす．

以下 2 桁まで計算した結果を以下に記す．

82

カイリッポ

5
5
5

31
25

10

6
6

6
6

11

2

2
2

11

2

4

2
2

11

2

4

4

8
8

6
61

2.

2

8

567 に一番近い小数点 1 桁の数は 0.4 である．し
たがって

59

√
3

9828 = 21.4 · · ·であることがわかる．以下同様の操作を続ければ，

61
36

小数点以下必要な桁数まで求めることができる．
⑸ 開平法

25
22

59
44

3
2

15
24

00
84

90
89

16
95

00
84

20

16

回路
circuit(562.28)2 =316158.7984 となるので，平方根物理的な電気回路を指すことが多い．その数学モ
デルは，素子の接続関係を表す有向グラフ (V, A)と，素子の物理特性で与えられる．ここで，各辺は素子を表し，素子特性は辺 a を流れる電流 ξa と
電圧 ηa の満たすべき関係によって記述される．例のよい近似値が求められたことがわかる．⑸ 開

えば，線形抵抗の場合にはオームの法則 ηa =Ra ξa

立法である（Ra は抵抗値）．グラフ (V, A) の*接続行

開立法

に従い，電圧ベ
キルヒホフの電流保存則（N ξ=0）

列を N とすると，電流ベクトル ξ=(ξa |a∈A) は
クトル η=(ηa |a∈A) はキルヒホフの電圧保存則

extraction of cubic root
正数 a の小数展開が与えられているとき，立方(∃p: η=pT N ) に従う．素子特性，電流保存則，

a の小数展開を求める計算法（*アルゴリズ

電圧保存則から回路全体の電流と電圧が定められ

根√
3る．なお，これとは別に，グラフにおける*閉路をム）のことをいう．

回路と呼ぶこともある．

実際には(x + y)3 = x3 + (3x2 + 3xy + y 2 )y√を使って 3 a の一番高い桁から順次数値を求めていく．

カヴァリエリCavalieri, Bonaventura√

例えば 3 9828 を求めるには，9|828 のように

1598 1647 イタリアの数学者．神父であり，1 の位から 3 桁ずつ区切ると，ブロックの数が 2√であるので 3 9828 の整数部分は 2 桁の数である
ことがわかる．事実，203 =8000 であるので√
39828 = 20 + a1 , 0 < a1 < 10

ガリレオに認められて微分積分学の誕生期に*カであることがわかる．

び，面積や体積は「不可分」の方法（method of
39828 = (20 + a1 )= 8000 + (1200 + 60a1 + a21 )a1
より (1200+60y+y 2 )y が 1828 (=9828−8000)

ヴァリエリの原理を見出し，積分論の進展に寄与した．平面図形は無数の平行線分からなる全体者と見て，これらの線分を平面図形の不可分者と呼indivisible）により計算されるとした．これは，面積は線分から構成され，体積は面積から構成されるという考え方である．この考え方に基づき，同じ高さの 2 つの平面図形を平行線で切るとき，切以下であり，かつ 1828 に一番近くなるように整数

り口の線分の長さの比が常に一定値 k であれば，

y を選ぶと y=1 であることがわかる．したがって√
3
9828 = 21 + a2 , 0 < a2 < 1

図形の面積の比は k である，立体図形に対しても類似の性質が成り立つ，というカヴァリエリの原であることがわかる．

理を示した．

次に9828 = (21 + a2 )3= 9261 + (1323 + 63a2 + a22 )a2

カヴァリエリの原理
Cavalieri’s principle「2 つの立体図形 A, B を平面上におくとき，底より面（図形をおいた平面）から同じ高さにある平面に(1323 + 63a2 + a22 )a2 = 567であるので (1323+63y+y 2 )y が 567 以下でかつの体積は B の体積に等しい」という原理をいう．

よる A,B の切断面の面積が常に一致すれば，Aガロアグン110のガロア拡大ではない．
ガロア拡大については，上の自己同型群 G は L

ζ = cos

2π
2π+ i sin
5
5の K 上の*ガロア群と呼ばれ Gal(L/K) と書かとする．これらの根の置換 σ がガロア群の元をれる．ガロア拡大においてはガロア理論が展開さ定義するためには，σ(ζ)=ζ m であれば σ(ζ k )=れる．⑸ ガロア理論，ガロア理論の基本定理

σ(ζ)k =ζ km が成立しなければならないことがわ
かる．すなわち，ζ の行き先 σ(ζ) によってガロガロア群（ガロア拡大の）Galois group
拡大体 L/K に対して，体 L の体 K 上の自己同型 σ はσ(α + β) = σ(α) + σ(β) (α, β ∈ L),σ(αβ) = σ(α)σ(β) (α, β ∈ L),
σ(a) = a (a ∈ K)を満足する L から L への全単射である．L の K
上の自己同型全体は写像の合成によって*群をなす．恒等写像がこの群の単位元である．L/K が有限次*ガロア拡大のときこの群を L/K のガロア群と呼び，Gal(L/K) と記す．Gal(L/K) の位数は，拡大次数 [L:K] に等しい．

ア群に属する置換は決定されてしまう．さらに，有理数体 Q にこの方程式の根を添加してできる体Q (ζ) の元は
ξ = a1 ζ + · · · + a4 ζ 4 (ai ∈ Q)と一意的に書けるので，σ(ζ)=ζ m (15m54) はσ(ξ) = a1 ζ m + a2 ζ 2m + · · · + a4 ζ 4mと定義することによって Q 上の体としての自己同型 σ を定める．これより，方程式（2）のガロア群
は (Z/5Z)× と同型であることがわかる．
方程式の根の置換群はラグランジュによって考察されたが，体の同型との関係をもとにガロア群を初めて定義したのはガロアである．

ガロア対応
Galois correspondence

ガロア群（方程式の）*ガロア拡大 L/K のガロア群を G と記す．拡

Galois group

大 L/K の中間体 M（すなわち K ⊂M ⊂L とな

体 K の元を係数に持つ n 次方程式

る体）
に対して

xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0 （1）の根を α1 , α2 , · · ·, αn と記すとき，体 K にこれらの根を*添加してできる体 L=K(α1 , · · ·, αn )は K の*正規拡大体であり，さらに*分離拡大のとき*ガロア拡大である．このとき，L/K のガロ（1）のガロア群という．
ア群 Gal(L/K) を方程式
σ∈Gal(L/K) に対して σ(αi ) は方程式（1）を満足するので，ガロア群の各元は方程式（1）の根

H = { g ∈ G | すべての元 a ∈ Mに対して g(a) = a}とおくと，H はガロア群 G の部分群である．逆に G の部分群 H に対して
M = { a ∈ L | すべての元 h ∈ Hに対して h(a) = a }とおくと，M は拡大 L/K の中間体である．そして M →H, H →M は互いに逆の対応であり，の間の置換を引き起こす．したがって，ガロア群

L/K の中間体と G の部分群の間の 1 対 1 対応

から根の置換群としての n 次の*対称群 Sn へを与える．この対応をガロア対応という．ガロアの群の*準同型写像 ι: Gal(L/K)→Sn ができる．

対応について*ガロア理論の基本定理が成立する．

この準同型写像は単射であり，この写像によっての根の置換群の方程式（1）のガロア群を方程式（1）ガロア理論

部分群と見ることができる．言い換えると，方程Galois theoryの根の置換のうちで，拡大体 L の K 上の式
（1）

ガロア理論は方程式の*根の公式を求める努力か

自己同型を引き起こすもの全体が方程式のガロアら生まれた理論である．3 次，4 次方程式の根の群である．このことから，n 次方程式のガロア群

公式にならって 5 次方程式の根の公式を求める努は n 次対称群 Sn の部分群と同型であることがわ

力が行われたが成功しなかった．ラグランジュはかる．

方程式の根の公式を求める方法と方程式の根の置

例えば，方程式

x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0（2）の根は {ζ, ζ 2 , ζ 3 , ζ 4 } で与えられる．ここで ζ は1 の原始 5 乗根換との間に関係があることを見出し，アーベルは一般の 5 次方程式ではその係数からべき根を使った根の公式を見出すことはできないことを示した．
ガロアはラグランジュとアーベルの観点を高い立

112

カンケイ

P

（3）
（分配律） 任意の元 a, b, c∈R に対して

a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.
環の定義では積に関する単位元の存在を仮定す（a）に加えさらに次る場合も多い．その場合は
（2）

i

i

ai1 ···in x11 · · · xinn = 0を考えることができる．この考えを代数体 K 上定義された*射影多様体 V の定義方程式に適用することによって，体 OK /p=k で定義された射影多様体（射影的集合となることもある）V が構成での条件を課す．

きる．V を，p を法として V を還元してできた（b）任意の元 a∈R に対して a·1=1·a=a が成射影多様体という．

）
り立つ元 1∈R が存在する．（1 を単位元と呼ぶ．
環 R の任意の 2 元 a, b に対して常に ab=baとなるとき環 R は可換環であるという．ab= ba

函手，関手となる元が存在するときは非可換環という．整数

functorの全体 Z は可換環であり，環であることを強調す

いう．1∈R のときは部分環といえば，その 1 が位相空間 X に対して，その上の連続関数全体をC(X) と書くと，C(X) は可換環になる．また，連続写像 F : X →Y が与えられると，連続関数の*引き戻しによって，環の準同型写像 f →f ◦F :C(Y )→C(X) が対応する．
位 相 空 間 X に 対 し て，そ の*ホ モロ ジ ー 群H∗ (X) を対応させることができる．さらに，位相空間の間の連続写像 f : X →Y に対して，そのホモロジー群の間の準同型写像 H∗ (X)→H∗ (Y )S に含まれることを要求することが多い．⑸ イデが対応する．

るときは*整数環という．R あるいは体 K の元を成分とする n×n 行列の全体 M (n, R) あるいはM (n, K) は行列の加法，乗法に関して n=2 のとき非可換環である．
環 R の空でない部分集合 S が R の加法と乗法に関して閉じている，すなわち a, b∈S であれば

a+b∈S, ab∈S であるとき，S を R の部分環とアル，準同型写像，剰余環，多項式環

このように，ある数学的対象に対して，別の数学的対象を組織的に対応させる対応を函手
（かん
しゅ）
と呼ぶ．

関係

連続関数全体を対応させる函手の場合には，対relation
例えば*同値関係 x∼y や*順序関係 x5y のよ
うに，集合 X の 2 つの要素 x, y の間に関係

xRy があるとき，直積集合 X ×X の部分集合
R={(x, y)|xRy} が決まり，(x, y)∈R と xRy は同値になる．すなわち，X の 2 つの要素の間の関係とは，X ×X の部分集合 R のことである，と定義する．一般に，直積 X1 ×· · ·×Xn の部分集
合 R を X1 , · · ·, Xn の上の n 項関係という．とくに，n=2 のとき X ×X の部分集合 R を 2 項
関係という．⑸ 推移律，反射律

応する写像の向きが逆向きになるので，反変函手と呼び，ホモロジー群を対応させる函手の場合には，対応する写像の向きがもとの写像と一致する
ので，共変函手と呼ぶ．
正確には次のように定義される．C1 , C2 を*圏とするとき，C1 から C2 への共変函手とは，C1 の対象全体 Ob(C1 ) から C2 の対象全体 Ob(C2 ) への写像 F と，A, B∈Ob(C1 ) に対する写像

FA,B : Hom(A, B) → Hom(F (A), F (B))
であって，（1）FB,C (g)◦FA,B (f )=FA,C (g◦f )，還元（素イデアルを法とする）
reduction整数を係数とする方程式（例えば，10x+3y=5,x2 =10 など）を，素数を法とする*合同式として考えることの一般化．

*代数的整数環 OK の元を係数とする方程式
Piai1 ···in x11 · · · xinn = 0 (ai1 ···in ∈ OK )iに対して，OK の素イデアル p を法として

ai1 ···in = ai1 ···in (mod p)
を OK /p の元とみると OK /p を係数にもつ方程式（2）FA,A (1A )=1F (A)なるものをいう．ここで 1X ∈Hom(X, X) は恒等
射（㌖ 圏）である．また C1 から C2 への反変函手とは，Ob(C2 ) から Ob(C1 ) への写像 F と，A,

B∈Ob(C1 ) に対する写像
FA,B : Hom(A, B) → Hom(F (B), F (A))
であって，（1）FA,B (f )◦FB,C (g)=FA,C (g◦f )，（2）FA,A (1A )=1F (A)なるものをいう．
以下 FA,B (f )=F (f ) と略記する．

113

集合を対象とし，集合間の写像を射とする圏（集カンスウカ

function合の圏）
を (Sets) と記す．圏 C の対象 X に対ある変量 x の値に応じて変量 y の値が定まるとして函手 hX : C→(Sets) を，Y ∈Ob(C) に対し

き y は x の関数であるといい，x を独立変数またて hX (Y )=Hom(X, Y ) と定義し，射 f : Y →Z

は単に変数，y を従属変数という．

に対して hX (f ): Hom(X, Y )→Hom(X, Z) を関数は一般に y=f (x) のように表す．2 次関

h →f ◦h によって定義すると hX は共変函手となる．一方，hX (Y )=Hom(Y, X) と置くことによって反変函手 hX : C→(Sets) が定義できる．
圏 C1 から圏 C2 への共変函手 F , G に対して F から G への函手の射あるいは自然変換 ϕは，C1 の各対象 A に対して写像 ϕ(A): F (A)→
G(A) が対応し，C1 の任意の射 f : A→B に対して G(f )◦ϕ(A)=ϕ(B)◦F (f ) を満足するものと

数 f (x)=ax2 +bx+c や 3 角関数 f (x)=sin x はして定義される．すなわち図式
ϕ(A)F (A) −−−−−→ G(A)?
?
?
?G(f )F (f )yyϕ(B)関数の例である．関数を考えるときは f (x)=x2(05x51) のように変数の動く範囲を指定し，これを関数の定義域という．定義域が明示されていないときは，できるだけ広い範囲にとるのが普通である．例えば f (x)=1/(x−1)(x+2) の定義域
は x=1, −2 を除くすべての実数である．独立変
数や従属変数として複素数を考えることもある．
また多くの変数 x=(x1 , · · ·, xn ) を持つ関数を考えることもあり f (x1 , · · ·, xn ) のように表す．
（整式），*3 角関数，*指数関数，
古くは*多項式*対数関数などの具体的な式で表されるものだけが関数として扱われていたが（㌖ 初等関数），解析学

F (B) −−−−−→ G(B)の厳密化にともなって 19 世紀末に関数の概念はが可換となるものである．反変函手間の射あるい

つぎのように明確にされた．集合 X の各元 x には自然変換も同様に定義できる．

（または複素数）f (x) を対応させただ 1 つの実数

共変函手 F から G への射の全体を Hom(F, G)る規則を関数と呼ぶ．この意味での関数は写像のと記す．圏 C から (Sets) への共変函手 F と C の特別なものである．例えば数列 {an }∞n=1 は集合

対象 X が与えられたとき，X が定める共変函手

X ={1, 2, · · · } の上で定義された関数 f (n)=anと見ることができる．さらに Rn 値関数や Cn 値

hX から F への函手の射 ϕ: hX →F に対して恒等射 1X ∈Hom(X, X) ＝ hX (X) の像 ϕ(X)(1X )∈F (X) を対応させることによって Hom(hX , F )から F (X) への写像が決まる．この写像は同型
Hom(hX , F )∼=F (X) である（米田の補題）．
さらに，圏 C から (Sets) への共変函手 F に対して，F から C の対象 X から定まる共変函手 hXへの同型な射が存在するとき，函手 F は表現可能であるといい，X を函手 F を表現する対象であるという．表現可能である函手はグロタンディッ関数などを考えることもある．現在ではさらに一般化された関数の概念が考えられている（㌖ 超関
数，汎関数）．
上で述べた関数の定義では，x に対してただ 1
つの値 f (x) が対応するが，場合によっては，複数の値をとるものも関数ということがある．このような関数を多価関数といい，上で定義した通常の関数を 1 価関数と呼ぶ．逆 3 角関数や複素数を変数とする*対数関数は多価関数の例である．

クの*スキーム理論で重要な働きをする．

関数解析学
干渉性
coherence

functional analysis
微分方程式や積分方程式などの問題を，何らか

2 つ以上の波がぶつかるとき，合成波として個々の*関数空間上の方程式として定式化し，関数空の波と異なる波の成分が現れることが多い．これを間のさまざまな幾何学的あるいは代数的性質を用

干渉（interference）といい，2 つの波が干渉できる

いて方程式の解の存在やその構造を論じる学問でことを干渉性を持つという．例えば，光などの回ある．歴史的には，20 世紀初頭に*ヒルベルトと折（diﬀraction）は散乱波の干渉によると解釈され

シュミット（E. Schmidt）が，*積分方程式に関するが，これを波動方程式の問題と考えると，通常の仕事を無限次るフレドホルム（E. I. Fredholm）と異なる漸近挙動が現れ，数学的にも興味深い．

元の関数空間上の問題として定式化し，その背景の代数的構造を明らかにしたことに始まる．つま関数，函数り，関数解析学は，*線形代数学の無限次元版とし

キカガク

122

幾何学

の観点から統一的に整理しようとする試みが*クラgeometry

インによってなされた（*エルランゲン・プログラ

図形に関する数学．ほとんどの古代文明で，測ム）．さらに*カルタンは，クラインの考え方を多量などの経験から得られる知識として，個別的な図様体の接空間に適用し，幾何学的構造をより広い形の性質が知られていたが，それらを演繹的な体系

立場から見ることを提唱した．20 世紀後半の微分にまとめたのが古代ギリシアの幾何学である（ギリ

幾何学の発展は，カルタンの考え方の延長線上に

シア語の幾何学を表す言葉である geometria が，ある．一方，19 世紀末には図形の位相的性質を探土地を意味する geo と，測量を表す metria の合求する位相幾何学が誕生し，20 世紀数学の進展に成語であることは，幾何学の成り立ちを示してい大きな影響を与えた．

（ユークリッる）．その集大成が，*エウクレイデスド）の著した『原論』であり，公理系を理論の出発点とする『原論』のスタイルは，数学のみならず
広く学問のあり方の規範となった．『原論』に見られるように，古代ギリシアの幾何学は，主として直線図形と円に関する幾何学であったが，*ア
ポロニオスらは円錐の平面による切り口として，

幾何級数
geometric series*等比級数の別称．a, r を 0 でない定数として，
N∞PP
ar n または
ar n のことをいう．⑸
級数
n=0

n=0

級数

楕円，放物線，双曲線の幾何学を展開し，*ケプ
ラー，*ニュートンによる惑星の運動の解明において大切な役割を果たすこととなった．

幾何光学
geometrical optics

17 世紀まで大きな変化を受けることのなかった古代の幾何学は，*デカルトの登場により大幅境界面で屈折や反射をする．これらの現象に着目な進歩を遂げる機会を得た．実際，デカルトによし，回折や干渉など波動特有の現象は無視する光

光は等質な媒質の中では直進し，異なる媒質のる「代数的手法」は解析幾何学に発展し，幾何学学の部門を幾何光学という．幾何光学は波長が 0のみならず解析学の発展にも大きく寄与したのでに近づく極限での光学現象を正確に表している．

ある．その途上，微分積分学の応用として登場し光の経路の決定には*フェルマの原理が用いられた曲面論は，*ガウスによってさらに深められた．

る．⑸ 波動光学

一方で，エウクレイデスの時代から続いていた平行線の公理の証明の試みから，非ユークリッド幾何学が誕生した．このような時代の息吹の中で，幾何代数
geometrical algebra*リーマンは多様体とその上の計量を定義して，3

古代ギリシアの数学者は，幾何学を体系的な学

次元空間内に制限されていた従来の幾何学を，一問として確立したが，代数学はまったくといって般次元で考えることができる枠組みを提供した．

いいほど発達させることはなく，現代の立場ではリーマンのこの考えは，後に*アインシュタインに代数に属する問題を，すべて幾何学，特に作図のよる一般相対性理論の基盤を与えることとなった問題として捉えていた．この理由から，古代ギリのである．リーマンはまた，解析関数の解析接続

シアの数学のこの部分を，幾何代数と呼ぶことがが存在する場として，現在リーマン面と呼ぶ曲面ある．

を考察し，複素関数論の諸事実に明快な幾何学的

例えば 2 次方程式 ax−x2 =b の解法も，次の説明を与えた．多様体の概念は*ワイルやホイット

作図問題として与えられている．「線分 AB と正ニー（H. Whitney）らにより次第に整理され，20

方形 K を考える．このとき，AB 上の点 C を，

世紀以後の幾何学の主役の位置を占めることとな

AC, CB に等しい辺を持つ長方形 L の面積が K

る．デカルトに始まる解析幾何学は，別の方向への面積と等しくなるように作図せよ」．

の道も拓いた．すなわち，投影図法の研究に由来する射影幾何学やリーマン面の理論と結びつき，
多変数代数方程式の解として表される図形を代数的手法で扱う代数幾何学に発展したのである．
射影幾何学や非ユークリッド幾何学など，19 世
紀に一挙に花開いたさまざまな幾何学を，変換群

この解は次のように与えられる．線分 AB の中

146

キョウヤク

共役調和関数共役類を [g] により表す．
例 G を X ={1, 2, · · ·, n} の置換全体からな

conjugate harmonic function*正則関数の実部および虚部は常に*調和関数になる．与えられた実数値調和関数 u(x, y) に対し，u(x, y)+iv(x, y) が z=x+iy の正則関数となるような実数値関数 v(x, y) を u(x, y) の共役調
和関数という．v(x, y) は u(x, y) から*コーシー
リーマンの方程式 ∂v/∂x=−∂u/∂y ，∂v/∂y=∂u/∂x を解いて定まる．u(x, y) の定義されている領域 D が単連結ならば，共役調和関数は定数を加えるだけの任意性を除いてただ 1 つ存在する．
共役点

る群
（置換群）
とする．各 σ∈G は互いに共通の文字を含まない*巡回置換の積(j1(1) , · · ·, jl(1))(j1(2) , · · ·, jl(2)) · · · (j1(k) , · · ·, jl(k) )12kに順序を除いて一意的に表すことができる．l1 5

l2 5· · ·5lk であるようにするとき，(l1 , l2 , · · ·, lk )を置換 σ の型と呼ぶ．置換 σ, τ ∈G が同じ共役類に属するための必要十分条件は，同じ型を持つことであることが知られている．

協力ゲーム

conjugate point
球 面 {(x, y, z)∈R | x +y +z =1} の 北 極
3

2

2

2

(0, 0, 1) を通る 2 つの（任意の）*測地線すなわ
ち大円は，南極 (0, 0, −1) で再び交わる．このように，曲面 Σ の 1 点 p∈Σ を通る測地線の族 ls : [0, L]→Σ (ls (0)≡p) であって，l0 (L)=q,
dls (L)/ds|s=0 =0 なるものがあるとき，q を（pの測地線 l0 に沿った）
共役点という．一般のリーマン多様体でも同様に定義される．⑸ ヤコビ場

cooperative game
プレイヤー間で協定（提携（coalition）と呼ばれる）を結ぶことができるという状況設定のゲームである．提携の結果得られる利得は，プレイヤーの部分集合に実数を対応させる関数（特性関数）によって表現される．協力ゲームにおいては，提携の結果得られた利得をどのように配分するのが合理的か（あるいは，合理的な配分が存在するか）が中心的な問題となる．凸ゲームと呼ばれるクラスの協力ゲームは*マトロイド理論と関係が深い．⑸
ゲーム理論

行列
matrix数や文字を長方形の表のように配列したもので，例えば，連立 1 次方程式を，あたかも単独の方程式 ax=b のように扱う手段として使われる．19

共役複素数 conjugate complex number ⑸ 複素数

世紀後半に，ハミルトン，グラスマン，ケイリー，
シルベスターらによって完成された概念である．

共役部分群
conjugate subgroup
群 G の 2 つの部分群 H1 , H2 について，あるg∈G により，
H2 = gH1 g −1 (= {ghg −1 | h ∈ H1 })となるとき，H1 , H2 は G の中で互いに共役（きょうやく）といわれる．またこのとき，H1 と H2 はG の共役部分群であるという．
共役類
conjugacy class
群 G 上の*同値関係 ∼ を「a∼b⇐⇒a=gbg −1となる g∈G が存在する」により定義するとき，
この関係の同値類を共役類という．g∈G を含む（ア）行列の定義
未知数 x1 , x2 , · · ·, xn に関する m 個の方程式からなる連立 1 次方程式

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2······
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bmを考える．これを単独の 1 次方程式 ax=b に似た形にするため，2

a11 a12
6 a21 a22
6
A=6 .
..
4 ..
.
am1 am2

および，

3
a1n
a2n 7
7
.. 7
···
. 5
· · · amn

···
···

（1）

147

2

3

2

3

x1
b1
6 7
6 7
6 x2 7
6 b2 76 7
6 7
x = 6 . 7, b = 6 . 7
6 .. 76 .. 7
4 5
4 5
xn
bm
とおく．そして，A と x に対して，y=Ax を
2
3

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
6 a x + a22 x2 + · · · + a2n xn 7
y = 4 21 1
5 （2）······
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

ギョウレツ

B=[bjk ] に対して，(m, p) 型の行列 C =[cik ] を次の式で定める．

cik =

n
P

aij bjk

j=1

C を A と B の積という．すなわち C =AB ．Cの (i, k) 成分 cik は，A, B の図の斜線部にある成分の積を足しあわせたものである．

とおくことにより定義する．このとき，上記の連
立 1 次方程式は，Ax=b と表すことができる．
を，(m, n) 型の行列という．m×n 行列，（1）
m 行 n 列の行列ともいう．(m, n) を行列 A の型（またはサイズ）という．行列 A を構成する mn個の数を，行列 A の成分（component）または要素（element, entry）という．また，aij を A の(i, j) 成分という．(i, j) 成分が aij であるような行列を [aij ] (ただし，15i5m, 15j5n) と表
す．略して [aij ] と表すこともある．(n, n) 型行
列は，n 次の正方行列ともいう．上の x は (n, 1)型の行列であるが，n 項（または n 次）
列ベクトル
あるいは縦ベクトルともいう．さらに，(1, n) 型の行列

[x1 , x2 , · · ·, xn ]行列の積で B が (m, 1) 型の行列，すなわち m
次列ベクトル x である場合は，積 Ax は（ア）の式（2）で定まる y である．
行列の積は次の性質を持つ．
（結合律） (m, n) 型の行列 A，(n, p) 型の（1）
行列 B ，(p, q) 型の行列 C に対して，(AB)C =A(BC)．
（分配律） (m, n) 型 の 行 列 A, A1 , A2 ，（2）(n, p) 型の行列 B, B1 , B2 に対して A(B1 +B2 )=AB1 +AB2 , (A1 +A2 )B=A1 B+A2 B ．
一方，交換法則 AB=BA は一般には成り立たない．また，零行列 O は OA=AO=O を満たす．
*行列が定める線形写像を考えることにより，行をn項（または n 次）
行ベクトルあるいは横ベク

列の積の定義の背景が明らかになる．

トルという．また上の行列 A で横の成分の並び（オ）単位行列(ai1 , ai2 , · · ·, ain ) をこの行列の第 i 行といい，縦の成分の並び

0a 1
1j
B a2j C
B . C
@ . A
.
amj

n 次正方行列で，(i, i) 成分（i=1, · · ·, n）がすべて 1 で，他の成分がすべて 0 である行列を単位行列と呼び In , En などと表す．単に I, E と書く場
合もある．すなわち，
2

1
60
6
In = 4 ..
.
0

を第 j 列という．
（イ）行列の相等

0
1
..
.
0

3
··· 0
··· 0 7
. . .. 7
.
. . 5
··· 1

2 つの行列 A, B の型が等しく，A, B の対応す

(m, n) 型の行列 A に対して，AIn =Im A=A

る成分がすべて等しいとき，A と B は等しいとが成り立つ．すなわち，単位行列は数の 1 と同様いう．

な役割を果たす．

（ウ）行列の和（カ）転置行列

A=[aij ], B=[bij ] を同じ型の行列とするとき，
和 A+B を，[aij +bij ] として定義する．
(m, n) 型の行列で，すべての成分が 0 である
ものを，零行列といい，Om,n または O により表
す．(m, n) 型の行列 A に対して
A + O = O + A = A.
すなわち，零行列は数における 0 の役割を果たす．
（エ）行列の積(m, n) 型の行列 A=[aij ] と (n, p) 型の行列(m, n) 型の行列 A=[aij ] に対して，(i, j) 成
分が aji であるような (n, m) 型の行列を A の転置行列と呼び tA または AT と表す．このときt(AB)=tB tA が成り立つ．
（キ）可逆な行列と逆行列

n 次正方行列 A に対して，n 次正方行列 B で，
AB=BA=In となるものが存在するとき，A を可逆（あるいは正則）であるという．

n 次正方行列 A が可逆であるための必要十分条

148

ギョウレツ

件は，AB=In となる B が存在することである．

とき，n 次列ベクトルのなす線形空間 Rn から，

この条件は，BA=In を満たす B が存在するこm 次列ベクトルのなす線形空間 Rm への写像 TA :Rn →Rm がTA (x) = Axととも同値である．このような B は A に対して一意的に決まる．B を A−1 と記し，A の逆行列という．

によって定まる（右辺は行列の積である）．このとA が可逆であるための必要十分条件は，A の*行列式 det A が 0 と異なることである．
A の逆行列 A−1 が求められると，連立 1 次方
程式 Ax=y を，左から A−1 を掛けることにより，x=A−1 y と解くことができる．ただし，実き，写像 TA は線形写像になる．つまり，任意の際の数値計算において逆行列を用いることはなく，*LU 分解を経由して x を求める（㌖ LU 分解）．
逆行列は，*掃き出し法で求めることができる．
また，*余因子行列を行列式で割ったものは逆行列ベクトル x1 , x2 ∈Rn と定数 a, b に対してTA (ax1 + bx2 ) = aTA (x1 ) + bTA (x2 )が成り立つ．この TA を行列 A が定める線形写像という．

A を (m, n) 型行列，B を (n, p) 型行列とする．このとき，写像の合成 TA ◦TB について

(TA ◦ TB )(x) = TA (TB (x)) = A(Bx)= (AB)x = TAB (x)に一致する．
−1

(AB)

=B

−1

A

−1

,

t

−1

( A)

t

= (A

−1

)

が成り立つ．つまり，TAB = TA ◦ TBが成り立つ．
（ク）体の元を成分とする行列であり，行列の積は，線形写像の合成に対応する．

行列の成分としては，実数や複素数をとること

単位行列 E が定める線形写像 TE は*恒等写像
I であり，可逆な正方行列 A の逆行列 A−1 が定める線形写像は TA の逆写像である．すなわち，
TE =I, TA−1 =(TA )−1 ．⑸ 行列表示の元を考えることが多いが，*代数系（とくに*体）
もできる．F を実数の体 R や複素数の体 C あるいは一般の体とする．M (m, n; F ) により，F の元を成分とする (m, n) 型行列の全体を表す．F の元を成分とする n 次正方行列の全体 M (n, n; F ) を，

M (n, F ) または Mn (F ) と表す．M (n, 1; F ) は
F の元を成分とする n 項（n 次）列ベクトルの全体であり，M (1, n; F ) は F の元を成分とする n項（n 次）行ベクトルの全体である．簡単のため，
M (n, 1; F ) や，M (1, n; F ) を F n と表すことが多い．
実数を成分とする行列を実行列，複素数を成分行列環
matrix ring
成分が整数，有理数，実数，複素数（あるいは一般の可換環の元）の n 次の正方行列の全体は，行列の加法，乗法により（非可換）環をなす．ただし，その零元は零行列で，単位元は単位行列であ（多元る．成分が体の元の場合は，行列環は*代数
環）になる．

とする行列を複素行列という．
より一般に，多項式や*微分作用素を成分とする
行列も，しばしば有用である．

行列式
determinant
関孝和（1683），ライプニッツにより導入され，行列が定める線形写像

解析幾何学の発展の中でクラメールらにより定義

linear mapping defined by matrix

された概念である．行列の理論に先行して研究さ*行列を与えれば*線形写像が定まり，逆に，線れた．歴史的には，関やクラメールは高次連立方

形写像は行列によって表現される（㌖ 行列表示）．

程式の変数を消去するための*終結式の理論から行列のさまざまな性質は，線形写像の性質に言い

行列式の考え方に到達した．一方，ライプニッツ

換えることによって，行列の性質の幾何学的意味は連立 1 次方程式の解法から行列式の考えに到達が理解される．逆に，線形写像は，行列の形に表した．

現することによって，具体的な計算が可能になる．

（ア）行列式の定義

線形写像という抽象的対象と行列という具体的対

未知数と方程式の数が同じ連立 1 次方程式

象を同時に「両にらみ」すると，より深い構造的

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = u1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = u2······

理解とより広い応用可能性が得られる．
例えば，(m, n) 型の実行列 A を考える．このキョスウジ162

虚数乗法
complex multiplication
例えば*楕円曲線 E: y 2 =x3 −x を考えると，(x, y)∈E なら (−x, iy)∈E であり，この写像(x, y)→(−x, iy) は，E から E への楕円曲線としての準同型になる．一般に E を楕円曲線とする
とき，E から E への準同型は，整数 n について
n 倍写像しかないのがふつうだが，上の写像は n倍写像ではない．楕円曲線 E が整数倍写像でない準同型 E→E を持つとき，E は虚数乗法を持つという．

n 次元*ユークリッド空間の 2 点 x=(x1 , · · ·,xn ), y=(y1 , · · ·, yn ) の間の距離を
snPd(x, y) =(xj − yj )2
j=1とすれば，次の（1）（2）（3）
が成り立つ：（1）d(x, y)=0．d(x, y)=0⇐⇒x=y ．
（2）対称性 d(x, y)=d(y, x)．
（3）3 角不等式

d(x, z)5d(x, y)+d(y, z)．

一般に，集合 X の任意の 2 点 x, y に対して実（1）（2）（3）が成り立つと
数 d(x, y) が与えられ，楕円曲線 E は，解析的には，C/(Z+Zτ )（τ は（1）（2）（3）を距離き，これを X 上の距離といい，実数でない複素数）の形に表されるが，準同型 E→の公理という．d は X ×X の関数と考えられるE とは，解析的には，複素数 α で α(Z+Zτ )⊂(Z+Zτ ) を満たすものについての α 倍写像 C/(Z+Zτ )→C /(Z+Zτ ) である．E が虚数乗法を持つ
ことと，τ が*虚 2 次体に属することが同値である．τ が虚 2 次体に属せば，α は虚 2 次体 Q (τ )に属し，この楕円曲線は虚 2 次体 Q (τ ) に虚数乗法を持つ，といわれる．例えば楕円曲線 y 2 =x3 −x は解析的には C/(Z+Zi) であり，上の準同型 (x, y)→(−x, iy) は，解析的には，i 倍写像
C/(Z+Zi)→C/(Z+Zi) であり，この楕円曲線はQ (i) に虚数乗法を持つ．整数倍写像でない楕円曲線の準同型は解析的には虚数 α を掛けることにので距離関数ということもある．距離があれば収なるので，虚数乗法の名がある．⑸ クロネッカーの青春の夢

束の概念が定義できる（㌖ 距離空間）．⑸ ノルム，
距離空間，擬距離

距離（集合間の）distance
距離 d(x, y) を持つ距離空間の中の 2 つの集合
A, B 間の距離は
inf
d(a, b) で定義される．
a∈A, b∈B⑸ 距離空間距離化定理
metrization theorem*第 2 可算公理を満たす正規空間（㌖ 分離公理）
は，ある距離空間と同相である．ウリゾンに

虚数単位 imaginary unit ⑸ 虚数，複素数，i

よって証明されたこの定理を距離化定理またはウ
リゾン ティホノフの定理という．⑸ ウリゾンの

虚数部 imaginary part = 虚部．⑸ 複素数

補題

虚 2 次体

距離関数 metric function, distance function ⑸ 距離

imaginary quadratic field√
D を負の整数とするとき，Q 上で純虚数 D√
により生成される体 Q ( D ) を虚 2 次体という．
有理数体の 2 次拡大体のうちで，実数でない元を持つものである．⑸ 2 次体

距離空間
metric space
ユークリッド幾何学における 3 角不等式「3 角形 ABC において AB+BC >AC が成り立つ」
を基礎においた抽象的空間概念で*距離が定義され

虚部
imaginary part複素数 z=x+iy (x, y∈R) に対して y を z の（距離）を量的に計た空間をいう．2 点間の「遠近」ることのできる空間である．
集合 X とその上の距離 d の組 (X, d) を距離空

虚部または虚数部といい，Im z により表す．⑸

間という．

複素数

n 次元ユークリッド空間 Rn において，x=(x1 , · · ·, xn ), y=(y1 , · · ·, yn ) に対して
nPd(x, y)={ (xi −yi )2 }1/2 と お く と，d(x, y)

距離
metric

例 1

i=1

163
n

は距離を定める．この距離空間 (R , d) はユーク
リッド空間にほかならない．
例2

区間 [0,1] 上の連続関数の全体からなる集

ギリシアノd の Y ×Y への制限をやはり d と書くと，(Y, d)
は距離空間になる．とくに，n 次元ユークリッド
空間の部分集合は距離空間である．

合を C 0 ([0, 1]) と書く．このとき f, g∈C 0 ([0, 1])に対して d(f, g)= max |f (t)−g(t)| とおくと，
t∈[0,1]0(C ([0, 1]), d) は距離空間である．
例 3 他の距離の例として*p 進距離がある．pを素数とし，整数 n, m に対して，n−m が pd
では割り切れるが，pd+1 では割り切れないとき，d(n, m)=p−d とおくと，d は距離（p 進距離という）
を定め，(Z, d) は距離空間である．
例 4 集合 A の元を文字とする長さ n の語の全体 An にお い て x=(a1 , · · ·, an ), y=(b1 , · · ·,bn ) (ai , bi ∈A) に対して，d(x, y)={i | ai = bi }（ai = bi である i の個数）とおくと距離になる．この距離を*ハミングの距離という．これは，*情報理論において重要な役割を果たす．
距離空間 X の点列 {xn }∞n=1 および点 x に対して， lim d(xn , x)=0 であるとき，{xn }∞n=1 は xn→∞に収束するといい， lim xn =x と記す．このと
n→∞き，x は点列 {xn } の極限であるともいう．
距離空間 X の点列 {xn } は，

距離づけ可能な空間
metrizable space
距離空間と同相な位相空間のこと．⑸ 距離化定理

距離の定める位相
topology induced by metric
距離空間 (X, d) の点 x と正数 ε に対して，
U (x, ε)={y∈X | d(x, y ）＜ε} とおいて，x の ε
近傍あるいは中心が x，半径 ε の球という．ε>0と x∈X をすべて動かしたときの U (x, ε) 全体は，*基本近傍系の性質を満たすから，これにより X
は*位相空間になる．
X の点列 {xn }∞n=1 およ び点 x に対 して，
lim d(xn , x)=0 であるとき，{xn }∞n=1 は x にn→∞収束するといい，あるいは，x は点列 {xn } の極限であるといい， lim xn =x と記す．
n→∞

X の部分集合 A が次の性質を満たすとき，*閉集合といわれる．

lim d(xn , xm ) = 0n,m→∞

A に含まれる任意の収束する点列 {xn }∞n=1 について， lim xn =x は A に含まれる．

が成り立つとき，*コーシー列という．より正確には，任意の正の数 ε に対して m, n>M であれ
ば d(xm , xn )<ε が成り立つような M を見出すことができるとき，点列 {xn } をコーシー列という．これは通常の実数の数列の場合のコーシー列の拡張である．すべてのコーシー列が極限を持つ
とき，距離空間 X は*完備であるという．ユーク
リッド空間は完備である．一方，例 3 の p 進距離．例 2 の空間 (Z, d) は完備ではない（㌖ p 進数）

C 0 ([0, 1]) の距離は，連続関数列が*一様収束すれば極限関数は連続であるので，完備な距離空間である．
距離空間 (X, d) から距離空間 (Y, ρ) への写像

f が ρ(f (x), f (y))=d(x, y) を満たすとき，f は等距離的あるいは等長的であるという．等距離写n→∞

また X の部分集合 B の各点 x に対して，x のε 近傍が B 内に存在するとき，B は開集合という．閉集合の補集合は開集合であり，その逆も正しい．

X の閉（開）集合の全体は，閉（開）集合の公理を満たす．距離空間は，この位相の下で位相空間と考える．
距離空間は，正規空間（㌖ 分離公理）でかつ*第1 可算公理を満たす（㌖ 距離化定理）．
X の部分集合 Y が有界であるとは，実数の集合{d(x, y)|x, y∈Y } が有界であることをいう．一般の距離空間では，有界閉集合がコンパクト集合とは限らない．⑸ 全有界，コンパクト（集合あるいは位相空間が），アスコリ アルツェラの定理

像は連続である．
距離空間では距離を使って*近傍や*開集合，*閉

ギリシアの数学

集合を定義することができ，*位相空間と考えるこ

Greek mathematicsとができる（㌖ 距離の定める位相）．
距離空間の概念や，その上での収束や連続性は，位相空間に一般化される．
距離空間 (X, d) と X の部分集合 Y に対して，伝説によれば，紀元前 6 世紀頃に活躍したと伝えられるタレスがエジプトで測量術を学び，それを幾何学に高めたとされる．また*ピュタゴラス
とピタゴラス教団が紀元前 6 世紀頃から紀元前 4

188

ケン
2

yj = xj /rp(j = 1, · · ·, n, r = x21 + · · · + x2n )の も と で，v(y)=r n−2 u(x) と お く と ∆y v=
r n+2 ∆x u が成り立つ．ここで ∆x , ∆y はそれぞ
れ変数 x, y に関する*ラプラシアンを表す．v を
u のケルヴィン変換（Kelvin transform）という．
特に u が調和関数であれば v も調和関数となる．

のことを元または要素という．x が集合 A の元であることを，x∈A と表し，そうでないことを，x∈A と表す．⑸ 集合
言語
language
数学でいう言語とは，文法（文字の繋がり方の規則）に従った文字列の集まりのことである．詳圏

しくいえば，有限個の文字からなる集合（アルフ

categoryァベットという）から，文字を与えられた規則にベクトル空間 V とその双対空間 V ∗ とは同型

従って有限個選んで並べて得られる列（語といなであるが，V と V ∗ の間の*カノニカル（自然）う）の集合を考えたとき，この集合の部分集合を（数同型の取り方は定まらない．一方，双対空間の双理）言語という．例えば，{0, 1} をアルファベッ

対空間 V ∗∗ と V の間には自然な同型が定まる．

トとするとき，0 と 1 が交互に並び，最初と最このような違いを明らかにするには，「カノニカ

後が 0 であるという規則に従う有限列の全体ルな同型」という概念を明確に定式化する必要が{0, 010, · · ·, 0101 · · · 10, · · · } は言語である．あある．このような必要から生まれてきたのが圏論る言語を定義する方法には，大別して，その生成とマックレー
で，アイレンバーグ（S. Eilenberg）

規則を与える方法と，与えられた文字列がその言

ン（S. MacLane）によって創始された．

語に属するかどうかを判定する手順（アルゴリズ

厳密には次のように定義する．圏 C とは集合

ム）を与える方法の 2 つがある．正規言語と呼ば

Ob(C), A, B, C ∈Ob(C) に対して集合 Hom(A,B)，お よ び 写 像 ◦: Hom(B, C)×Hom(A, B)→Hom(A, C) が定まり次の性質を持つことをれる言語のクラスは有限オートマトンによって認

いう．

原始関数

（1）f ∈Hom(A, B),g∈Hom(B, C), h∈
Hom(C, D) に対して，h◦(g◦f )=(h◦g)◦f ．
（2）A∈Ob(C) に対して，1A ∈Hom(A, A) が存在する．かつ f ∈Hom(A, B) に対して 1B ◦f =f ◦1A =f が成り立つ．
Ob(C) の元を圏 C の対象（object），Hom(A,B) の元を A から B への射（morphism），◦ を射（圏論では Ob(C) をの合成，1A を恒等射と呼ぶ

識される言語のクラスと一致する．

primitive function
区間 I 上で定義された関数 f (x) に対して，導関数が f (x) となる関数，つまり F  (x)=f (x) を満たす I 上の関数 F (x) を f (x) の原始関数という．すなわち，原始関数を求めることは微分する
操作とは逆の操作である．

F (x) が f (x) の原始関数であるとき，任意の定数 C に対し F (x)+C も原始関数である．逆に集合論の意味での集合とは仮定せず類であるとすf (x) の任意の原始関数 G(x) はある定数 C  を用ることが多い．これは例えば，集合全体の圏を考いて G(x)=F (x)+C  と表される．

えると Ob(C) が集合にならないからである．そ（smallの立場では Ob(C) が集合である圏は小圏

category）と呼ばれる）．
圏の間に*函手という概念を考えることができ

f (x) の原始関数の全体をZ
f (x)dxと表し，これを f (x) の不定積分（indeﬁnite in-る（また函手の間の同型が定義される）．このとき最tegral）という．f (x) の原始関数のひとつを F (x)（反変）函初に述べた例は，V を V ∗ に対応させるとするとき，不定積分をZ

手は，V を V に対応させる函手と同型でないが，

f (x)dx = F (x) + C

V を V ∗∗ に対応させる函手は，V を V に対応させる函手と同型である，というように理解される．

のように表すことが多い．C を積分定数という．

元
element

関 数 の 和 に 対 す る 微 分 の 公 式 (aF1 (x)+bF2 (x)) =aF1 (x)+bF2 (x) から，f (x), g(x) の原始関数が存在すれば，f (x)+g(x) の原始関数も集合とは「もの」の集まりであり，その「もの」

存在して

230

サヨウソノ

A = limt↓01(Tt − I)tれる位相がザリスキー位相である．代数多様体の上の*層を定義するにはザリスキー位相を用いる．

を考え，Tt =exp(tA) と考えたいところだが，一アフィン代数多様体 V の座標環を R とすると

般には右辺の極限は存在せず，また何らかの意味

き，R のイデアル J から定まる V に含まれる*代

で極限が考えられても，A は有界作用素になると数的集合を V の閉集合と考えることによって位相は限らない．⑸ ヒレ 吉田の定理

を入れることができる．これをアフィン代数多様体のザリスキー位相という．一般の代数多様体 V

作用素ノルムはアフィン代数多様体の貼り合わせと考えること

operator normができるので，アフィン代数多様体のザリスキー*ノルム空間の間の*線形写像（作用素）T : X →Y

位相から V のザリスキー位相を定めることができる．ザリスキー位相は*ハウスドルフ位相ではなに対して，T  =

supx∈X, x=0

T xYxX

とおく．ここで，·X , ·Y は，それぞれ空間

X, Y のノルムとする．T が連続であるための必要十分条件は，T <∞ となることである．T を，T の作用素ノルムという．
X から Y への連続な線形写像全体 B(X, Y )い．⑸ 射影多様体，代数多様体

散逸性
dissipativity
物理学の用語としては，熱平衡の対極にあるもの
で，摩擦を伴う力学などのように，力学的なエネ
ルギー等が熱に変わり失われていく不可逆過程を散は，作用素ノルムに関してノルム空間になる．さ逸的という．数学では，エネルギーや測度などがらに，Y が*バナッハ空間であるときは，このノ減少する方程式，確率過程，力学系などについて，

ルムに関して B(X, Y ) もバナッハ空間である．

保存的に対比して，散逸的という言葉を使う．

特に X =Y のときは，作用素 T, S∈B(X, X) の積
（合成）T S に関して不等式 T S5T  S が
成り立つ．

3 角関数
trigonometric function
直角 3 角形の頂点の角度を使って辺の長さの比作用量を表すのが*3 角比である．これらを角度の関数と考えたものが 3 角関数である．原点を O とする

action*解 析 力 学 の 用 語 で，滑R b ら か な 曲 線 C : x=x(t) (a5t5b) に対して a L(ẋ(t), x(t))dt の形（上の式で ẋ=で与えられた*汎関数のことである
dx/dt）．作用量積分，作用積分，作用などともいう．被積分関数 L をラグランジュ関数またはラグ
ランジアンという．位置エネルギー U (x1 , x2 , x3 )が定める力のもとで運動する質点の場合には
«
Z b„
a

m 2
(ẋ1 + ẋ22 + ẋ23 ) − U (x1 , x2 , x3 ) dt
2である．⑸ ラグランジアン，最小作用の原理，ラグランジュ形式（力学の）作用量積分 action integral = 作用量

座標平面において，単位円周上の点 P =(x, y) をとる．正の x 軸と直線 OP とのなす角を*弧度法で測ったものを θ (05θ<2π) とするとき，余弦
関数，正弦関数，正接関数はそれぞれ

x = cos θ,

y = sin θ,tan θ =

sin θ
cos θ

で定義される．*一般角の考え方を用いてこれらの関数を任意の実数 θ に広げて考えたものを，3 角関数という．

3 角関数は次の*周期性を持つ．
sin(θ + 2π) = sin θ, cos(θ + 2π) = cos θ,tan(θ + π) = tan θ.
さらに 3 角関数について加法定理が成り立つ（㌖）．
加法定理（3 角関数の）ザリスキー位相
Zariski topology
複素数体上の*代数多様体には，複素数の位相を

極限公式

lim

θ→0

sin θ
=1
θ

用いて位相が定まる．それ以外の体，例えば有限は最も基本的なものである．この公式から 3 角関数

体上の代数多様体にも位相を定義し，より幾何学の*微分公式 (d/dθ) sin θ=cos θ, (d/dθ) cos θ=

的に研究することが可能である．そのとき用いら− sin θ が得られる．

231

3 角関数は*指数関数，*対数関数とともに，*多項式や*分数式，*無理式では表されない関数の代表的な例である（㌖ 初等関数）．
フーリエに始まるフーリエ級数は，任意の周期関数を 3 角関数の無限和で表すもので，解析学の基本的な手段である（㌖ フーリエ級数）．

3 角関数は複素数を変数とする関数にも拡張すサンコウゼtan），正割（セカント，sec），余割（コセカント，
cosec），余接（コタンジェント，cot）の総称である．直角 3 角形 ABC で角 BCA が直角，角ABC が θ ，辺 AB, BC, CA の長さがそれぞれ
c, a, b のとき，sin θ=b/c，cos θ=a/c，tan θ=
b/a，sec θ=c/a，cosec θ=c/b，cot θ=a/b で
ある
（図）
．

ることができる（㌖ オイラーの公式）．

3 角級数 trigonometric series ⑸ フーリエ級数
3 角行列
triangular matrix
上または下 3 角行列のことをいう．⑸ 上（下）3角行列，LU 分解

3 角比を用いることで，3 角形の内角，辺，面積3 角形分割 triangulation = 単体分割．などの間の関係を調べることができる（㌖ 3 角法）⑸ 3 角関数

3 角数
3 角不等式

triangular number
初項 1，公差 1 の*等差数列の n 項までの和n(n+1)/2 を n 番目の 3 角数という．これは石を図のように 3 角形の形に並べたときの和となる．

triangle inequality

3 角形 ABC の辺の長さに関する不等式 AB<
BC +CA のことをいう．平面（空間）の中の一般の点 A, B, C に対しては AB5BC +CA が成り立ち，等号は C が線分 AB 上にあるときのみ成立する．
ユークリッドの『原論』においては，3 角不等を使わずに導かれる
式は平行線の公理（第 5 公準）定理である．また，2 点を結ぶ曲線のなかで，直線が最短線を与えることを意味する定理である．

*距離の公理の 1 つである，不等式 d(x, z)5d(x, y)+d(y, z) は，上の 3 角不等式を抽象化したものである．ヒルベルトは，この 3 角不等式を

3 角多項式
trigonometric polynomial
フ ー リ エ 級 数 が 有 限 和 で あ る 場 合 で，a0 +a1 cos x+b1 sin x+a2 cos 2x+b2 sin 2x+· · ·+nP
ck eikx の
an cos nx+bn sin nx，あるいは
k=−n形の関数のことをいう．後者の形で見れば，eixと e−ix の多項式である．
周期 2π の任意の連続関数は 3 角多項式によって一様に近似できることが知られている．⑸ フー
リエ級数，ワイエルシュトラスの多項式近似定理

公理系の中心に据えた幾何学の研究を提案した（㌖ヒルベルトの問題）．

3 角法
trigonometry*3 角比を用いて図形を調べること．3 角形の 3辺の長さ，2 辺の長さとその挟む角の大きさ，1辺の長さとその両側の角の大きさ，のどれかが与えられたとき，残りの辺の長さ，角の大きさを計などがその例である．
算する方法（3 角形の解法）

3 角比
trigonometric ratio
正弦（サイン，sin），余弦（コサイン，cos）および そ れ ら か ら 導 か れ る，正 接（タ ン ジ ェ ン ト，

3 項漸化式
three-term recurrence
数列 {un } に対して un =aun−1 +bun−2（a, bサンジキョ

は定数）の形の関係式を 3 項漸化式という．

232が知られている（ポアンカレ球面）．より強く基本

例えば，*フィボナッチ数列は 3 項漸化式 un =群が 3 次元球面と同じであるとすると，そのよう

un−1 +un−2 から決まる数列である．このような数列の一般項は，2 次方程式 z 2 =az+b の 2 根をα, β として，un =Aαn +Bβ n（A, B は定数）となる．ただし，重根の場合は，un =(A+Bn)αnな多様体がすべて 3 次元球面と同相かどうかは，となる．

3 次と 4 次の方程式の解法発見の歴史
3 次と 4 次の代数方程式の解法に関しては，そ2000 年の時点で未解決問題で，*ポアンカレ予想と呼ばれる．

un がベクトル値の場合や係数 a, b が n に依存する場合を考えることもある．*直交多項式は一般に 3 項漸化式を満たす．

の発見について少々複雑なドラマがあるので年表

3 次曲線点を使って 3 次方程式の正の根を幾何学的に表示

風に簡単に解説する．なお，以下の出来事以前にアラビアの*オマル・ハイヤームが 2 次曲線の交cubic curve

していた．その成果を受けて 3 次方程式を代数的

複素射影平面 P 2 (C) 内で 3 次斉次式の零点にどのように解くかが 15 世紀末から 16 世紀にかF (x0 , x1 , x2 )=0 で定義される代数曲線 C を 3
次曲線という．3 次曲線 C が特異点を持たないとけてイタリア人の間で考えられ解決された．
登場人物 （すべてイタリア人）

シ ピ オ ー ネ・デ ル・フ ェ ッ ロ（Scipione delx0 x22 − 4x31 + g2 x20 x1 + g3 x30 = 0 （∗） Ferro）（1465 頃 1520） ボローニャ大学教授に直すことができる．ここで g23 −27g32 = 0 が成り
ア ン ト ニ オ・マ リ ア・フ ィ オ ー レ（Antonio
Maria Fiore） デル・フェッロの弟子立つ（すなわち（∗）で定義される代数曲線が特異点を持たないための必要十分条件は g23 −27g32 = 0 がジ ロ ラ モ・*カ ル ダ ノ（Girolamo Cardano）
成り立つことである）．非特異 3 次曲線には*アー（1501 76） ボローニャ大学教授
ベル群の構造を導入することができ，*楕円曲線
ニッコロ・タルターリャ（Niccolo Tartaglia）になる．上記の標準形では無限遠点 (0:0:1) が群（1500 頃 57）の零元 0 になり，直線と 3 次曲線との交点を P1 ,ル ド ビ コ・フ ェ ラ ー リ（Ludovico Ferrari）
P2 , P3 とすると P1 +P2 +P3 =0 となる．また， （1522 65） カルダノの弟子
P =(a0 :a1 :a2 ) がこの非特異 3 次曲線の点であれ
1514 年以前 デル・フェッロによる x3 +ax=
b の解法の発見．ただし，その解法を公にせず，ば P の逆元 −P は点 (a0 :a1 :−a2 ) で与えられ1520 年に世を去る．
る．一般の体の場合にも類似の理論が展開できる．
1514 年（あるいは 1515 年） デル・フェッロ⑸ 楕円曲線
きは射影変換によって標準形の弟子フィオーレがデル・フェッロから解法を教3 次元空間3-dimensional space
座標 x, y, z で表される自由度 3 のユークリッ
ド空間のこと．

わる．

1535 年 タルターリャが x3 +ax2 =b の解法を発見したことを公表．これを聞いたフィオーレ
がタルターリャに数学試合を申し込む．実際には，そのときタルターリャは x3 +ax2 =b の不完全な解

3 次元多様体法しか持っていなかったが，試合期間（50 日）の最

3-dimensional manifold

終日の 10 日前に完全な解法を発見，その翌日 x3 =曲面は穴の数（種数）と向きづけ可能性で，同相

ax+b の解法も発見した．その結果，タルターリャの意味で分類される（㌖ 曲面の位相幾何）．これはの勝利となる．しかし，その解法を公にすること*ポアンカレが位相幾何学を創始する以前，19 世紀に実質的には知られていた．3 次元の場合へのは拒んだ．

その一般化は，位相幾何学の誕生とともにポアン

拗に知りたがり，他には決して漏らさないというカレによって問題とされた．2 つの曲面が互いに誓約の下でタルターリャの方法を伝授された．

同相であるかどうかは，*ホモロジー群によって判定できる．しかし，ホモロジー群が 3 次元球面と同じでも，3 次元球面と同相でない 3 次元多様体

1539 年 カルダノがタルターリャの解法を執1541 年 タルターリャが一般の 3 次方程式の解法を得た．

1545 年以前 カルダノの弟子フェラーリが 4

233

サンジュツ

次方程式の解法を発見．

を満たすものを取れば，（1）は（2）の右辺の形にな

1545 年 カルダノが『*アルス・マグナ』を出版．フェラーリによる 4 次方程式の解法も載せられた．その中でタルターリャへの誓約を破って 3

るから，根は次方程式の解法を公にした．タルターリャが激怒
し，カルダノの背信行為を責める．

1547 年 カルダノに代わって，フェラーリがタルターリャと論争．両者の間で数学試合が行われるが引き分け．

3 次方程式ωY + ω 2 Z, ω 2 Y + ωZにより与えられる．一方，（3）により，Y 3 , Z 3 は2 次方程式
t2 + qt − p3 = 0
Y + Z,の根であるから，√ 2
q + 4p3.
2根の公式はこれから導かれる．⑸ 3 次と 4 次の方
−q ±

Y3 =

程式の解法発見の歴史

cubic equation

a0 x3 +a1 x2 +a2 x+a3 =0 (a0 = 0) を 3 次方程式という．解法（カルダノの公式）
については，*3

3 重積（ベクトルの）
triple product3 次元のベクトルが 3 つ与えられたとし，それ次方程式の根の公式を参照．
解法発見にまつわる経緯については，*3 次と 4らを縦ベクトルで表し V 1 , V 2 , V 3 とする．これらを横に並べると 3×3 行列 [V 1 , V 2 , V 3 ] ができ

次の方程式の解法発見の歴史の項を参照．

る．その行列式 det[V 1 , V 2 , V 3 ] のことを 3 重積または，スカラー 3 重積と呼ぶ．*内積 · と*外

3 次方程式の根の公式

積 × を用いると，

formula giving roots of cubic equation
カルダノの公式と呼ばれる．まず，一般の 3 次

det[V 1 , V 2 , V 3 ] = V 1 · (V 2 × V 3 )が成り立つ．

方程式

ax3 + bx2 + cx + d = 0
において，両辺を a で割り，未知数 x=X −b/3aとおくことにより，2 次の項がない 3 次方程式
X 3 + 3pX + q = 0（1）を得る．この方程式に対する根の公式を求めればよ
い．p=0 なら根は，−q のすべての 3 乗根である．
以下 p= 0 とする．A を q 2 +4p3 の 1 つの平方根，

B を (−q+A)/2 の 1 つの 3 乗根，C =−p/B とおく（p= 0 と仮定したので，B= 0 であり，p/B

√

がとれる）
．ω=(−1+ 3 i)/2 とするとき，（1）の3 つの根は，
B + C, ωB + ω 2 C, ω 2 B + ωC

3 重対角行列 tridiagonal matrix ⑸ ヤコビ行列
算術幾何平均arithmetic-geometric meana>b>0 に対し a0 =a, b0 =b, an+1 =(an +√bn )/2, bn+1 = an bn (n=0) と定めると 0<b0 <b1 <· · ·<bn <· · ·<an <· · ·<a1 <a0 が成り立ち，∞{an }∞
n=0 , {bn }n=0 は共通の極限値に急速に収束する．この極限を M (a, b) で表し，a, b の算術幾
何平均という．
ガウスは等式である．
3

例 X +6X +2=0 は次のように解かれる．こπ=
2M (a, b)

Z π/2
p
0

dϕ
a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕの場合 p=q=2．A として 22 +4·23 =36 の平方（∗）

根 6 がとれ，B として，(−2+6)/2=2 の 3 乗が成り立つことを発見し，これを 1 つの契機として

根

楕円関数・モジュラー関数に到達した．ガウスの√√√
32 がとれ，C =−2/ 3 2 =− 3 4 ．よって 3

根は，

√
3

√
√
√
√
√
2 − 3 4, ω 3 2 − ω 2 3 4, ω 2 3 2 − ω 3 4．の根の公式の導き方を説明する．
上に述べた
（1）

等式を示すだけならば次のランデン（Landen）変換を使えば容易である．
（∗）の右辺を I(a, b) とする．

sin ϕ =

次の因数分解を使う．

X 3 − Y 3 − Z 3 − 3XY Z = (X − Y − Z)×(X − ωY − ω 2 Z)(X − ω 2 Y − ωZ) （2）Y, Z として
Y 3 + Z 3 = −q,

とおいて積分変数を ϕ から φ へ変換するとp

Y Z = −p（3）2a sin φa + b + (a − b) sin2 φdϕ

a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ

242

シスウ

f (x) は x=a において極小となり，(0, 0, n) ならると，Pχ(M ) = ippが成り立つ．ここで，右辺は特異点 p 全体をわた

ば極大となる．r=0 かつ pq= 0 のときは極大でも極小でもない．また，r= 0 の場合には指数だけ
からは判定できない．⑸ モース関数

る和を表し，χ(M ) は M のオイラー数を表す．
これをホップの指数定理と呼ぶ．
上で使った用語を以下説明する．ベクトル場の指数型分布族
exponential family of distributions

特異点とはベクトル場が 0 になる点を指す．ベク

例えば，指数分布やガウス分布，ポアソン分布

トル場 V を特異点 p の周りで，座標を使って表P（p は (x1 , · · ·, xn )=し，V = V i ∂/∂xi とするなどのように，密度関数が exp f (x; c) の形で，

f (x; c) がパラメータ c をうまくとると 1 次式で(0, · · ·, 0) に対応するとする）．特異点 p が非退化とは，i, j 成分が (∂V i /∂xj )(0) である行列が逆行列を持つことをいう．非退化な特異点 p に対し書けるような確率分布の族をいう．ただし，x やて，この行列の実部が負の固有値の数（重複度を込いられる．

c はベクトルでもよい．数理統計で最も扱いやす
い確率分布族で，モデルの推定などにしばしば用めて数える）
を d としたとき，p でのベクトル場

V の指数 ip は (−1)d である．
2 次元の場合には，安定および不安定な特異点では指数は 1，*鞍点では指数は −1 である．
退化した場合も含めて特異点 p の指数は，次のように定義する．p を含む小さい球体の境界である n−1 次元球面 Sεn−1 を考え，x∈Sεn−1 に対次数環 graded ring = 次数つき環
指数関数
exponential function
正の数 a が与えられたとき，−∞<x<∞ に対して定義される正値連続関数 f (x) で

f (x1 + x2 ) = f (x1 )f (x2 ), f (1) = a

して，

V (x)
= F (x) ∈ S n−1
V (x)
とおく．F : S

n−1
ε

→S

n−1

の*写像度を p での Vの指数と呼ぶ．

指数（有限群の）となるものが一意的に存在する．そのような関数

f (x) を a を底とする指数関数といい ax と記す．
a0 =1 であり，x が正整数 n に等しいとき，an =a·a · · · a（n 個の積），また x=n/m（m, n は正√整数）ならば，an/m = m an である．
指数関数のグラフは次のようになる．

exponent
有限群 G のすべての元 g に対して g n =e，e は

G の単位元，を満足する最小の正整数 n を G の指数，またはべき指数という．

指数（臨界点の）index
点 x=a が C 2 級の関数 f (x) (x=(x1 , · · ·, xn ))の臨界点であるときには 2 次近似式 f (x)=f (a)+Q(x−a)+o(x−a2 ) が成り立つ．ここで，
n
1 P
∂2f
Q(ξ) =(a)xi xj
2 i,j=1 ∂xi ∂xj
である．この 2 次形式 Q(x) を定める対称行列，
つまり，(∂ 2 f /∂xi ∂xj )(a) を (i, j) 成分にもつの固有値の正のもの，0 に等し行列（*ヘッセ行列）

特に a=e（*自然対数の底）のときが最も基本的である．

ex = lim

“

n→∞

1+

x ”n
n

が成り立つ．さらに −∞<x<∞ で

ex = 1 + x +1 2
1 n
x + ··· +x + ···2!
n!

いもの，負のものそれぞれの（重複度を込めた）個と*べき級数展開される．指数関数 ex を exp x と（㌖ シル
数の組 (p, r, q) を臨界点 a の指数という表すこともある．⑸ 指数関数
（複素関数としての），. なお，r=0 のときは，qベスターの慣性法則）

指数関数（行列の）を指数ということもある．指数が (n, 0, 0) ならば

365

ダイスウガ

に対して成り立つテンソルが対称テンソルである．

上の n 変数多項式環 k[x1 , · · ·, xn ] は k 代数であ

計量テンソル gij などが代表的な例である．⑸ テ

る．また，可換体 k の元を成分として持つ n×n

ンソル行列の全体 M (n, k) も k 代数である．⑸ 構造定数

対称マルコフ過程
symmetric Markov process*マルコフ連鎖は，推移確率行列（㌖ 推移確率）が*対称行列のとき，対称という．一般には，推移作
対称なことをいう．
用素が（適当な*L2 空間上で）代数学
algebra
古代の数学ですでに，数値計算によって必要な答えを見出しただけでなく，方程式を立てそれを解くことによって答えを見出す努力がなされた．

対称律

その際に，問題を幾何学的に表現して解くことがlaw of symmetry

行われた．古代中国では連立 1 次方程式の係数を*2 項関係 xRy において，
xRy =⇒ yRx

算木を使って表すことによって，連立方程式を記が成り立つこと．⑸ 関係，同値関係

わないことを除けば，今日の連立方程式の解き方

述し，消去法によって方程式を解いた．文字を使と実質的に同一であるが，問題解法のアルゴリズ

対心点定理 antipodal point theorem ⑸ ボルスークの対蹠点定理ムとしてのみ捉えられ，それ以上の進展はなかった．方程式を一般的に表現する方法が確立してから方程式論に本質的な進展があったと考えられる．

対数
logarithm

文字式は，紀元 3 世紀頃アレキサンドリアで活躍したと伝えられる*ディオフォントス，インド

1 と異なる正の数 a が与えられたとき，任では 5 世紀に*ブラフマグプタによって導入され，意の正の数 x に対して ay =x を満足する実数

中国では南宋から元にかけての時代につくられた．

y がただ 1 つ存在する（㌖ 指数関数）．これを，a を底とする x の対数といい，y=loga x と記
す．また y を変数 x の関数と見て対数関数と
い う．loga 1=0, loga a=1 であり，加法公式
loga (x1 x2 )=loga x1 +loga x2 (x1 , x2 >0) が成り立つ．単に log x と記したときは，数学では*自特に，南宋から元の時代の中国の方程式論は，1変数高次方程式の係数を並べることによって方程式を記述し，さらに算木を使って方程式の根を望むべき精度で求めることができるほどに，高度に発達したものだった．ただ，ここでも，方程式の解法のアルゴリズムのほうが重要視された．

然対数を意味することが多いが，理工学分野では

今日の代数学はアラビアの数学者*アル フワーリ

*常用対数の意味に使い，自然対数は ln x で表すことが多い．*情報量については log2 x を単に log x

ズミーに始まると考えられる．彼は言葉を使って方と書くことが多い．
対数は 1614 年*ネピアによって，掛け算を簡単

程式を表現し，方程式の移項や項の簡約の概念を導入した．そして 2 次方程式をいくつかの標準形に直して，図形を用いてその正の根を求めた．アル フに計算するための手段として導入された．天文学

ワーリズミーの著書『アル ジャブルとアル ムカバ

での計算の他に，当時盛んになった航海術の計算のラの計算』（Kitāb ﬁ al-jabr wa al-muqābala）に使われ，またたく間にヨーロッパに普及した．

移項を意味する al-jabr から algebra という代数

実際の対数計算には，1617 年にブリッグス（H.

を意味する言葉が生まれたといわれる．

Briggs）が提唱した常用対数が用いられた．

アラビアの方程式論はルネッサンス期のヨーロッパに輸入され，タルターリャ，*カルダノによる 3

代数
algebra次方程式の解法，フェラーリによる 4 次方程式の解法が見出された．この時点ではまだ文字方程式*単位元 1 を持つ*可換環 K が*環 A に*作用の記法は確立していなかった．文字式は*ヴィエト

し 1a=a (a∈A), λ(a+b)=λa+λb, (λ+µ)a=の試みを受けて*デカルトによってほぼ今日と同λa+µa，お よ び λ(ab)=(λa)b=a(λb) (λ, µ∈K, a, b∈A) が成り立つとき A は K 代数であるという．K 多元環ということもある．可換体 k

じ形の記法が確立し，その後の数学の進展に大きく貢献した．特に，デカルトは解析幾何学を創始
し，ある種の幾何学の問題が方程式を使って解く

ダイスウガ366

ことができることを示し，代数学の進展を促した．

研究態度はさらに，ある特徴をもった数学的な対フェラーリ以降，長い間 5 次方程式の解法の研

象全体をひとまとめにして圏として捉え，圏の間究が行われたが成功しなかった．*ラグランジュの関係を函手として表現する手法へと発展し，今は 3 次，4 次方程式の解法を分析して，根の置換

日の数学の基本的な考え方の 1 つとなっている．

の概念に到達し，ガロア理論の誕生を準備した．

また，代数的な手法は代数学を越えて数学の種々

一般の 5 次方程式は方程式の係数から四則演算との分野で重要な働きをしている．

べき根を取る操作によって解く（代数的に解く）
ことができないことが*アーベルによって示された．
さらに，アーベルは代数的に 5 次方程式が解ける
十分条件として，今日の言葉を使えば，方程式の*ガロア群がアーベル群であることを見出した．
アーベルの理論は*ガロアによって明確にされた．ガロアは有理数体 Q に方程式の係数を添加してできる体（正確には 1 のべき根を添加しておくK を考え，体 K に方程式の根を添加必要がある）
してできる体 L の体 K での同型写像として方程式の根の置換を捉えることによって，方程式の代代数学の基本定理
fundamental theorem of algebra*複素数を係数に持つ 1 変数*多項式
f (z) = z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + anは複素数内に必ず*根を持つ．これを代数学の基
本定理という．この事実は，複素数を係数にもつ*代数方程式f (z) = z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = 0
は複素数内に必ず解を持つと言い換えることもできる．このとき，*因数定理により数的な解法の意味を明確にした．このガロアの考

f (z) = (z − α1 )m1 · · · (z − αl )ml

察によって，群や体などの代数系が数学の研究対と因数分解できる．*体論の言葉を使えば，代数学象となっていった．

の基本定理は，複素数体は*代数的閉体であること

ガロアの理論とともに*ガウスによる数論の研を意味する．

と代数学の基本究（特に 2 次体と 2 次形式の研究）

代数学の基本定理は，ダランベールにより不完定理の証明も，その後の代数学の進展に重要な働全な形で証明され（1746），*ガウスにより厳密にによきをした．さらにクンマー（E. E. Kummer）

証明されたが（1798），当時は複素数の概念が一般る理想数はデデキントによってイデアル論としてには認知されていなかったこともあり，ガウスは書き直され，*ヒルベルトはガロア理論とイデアル

次のような形で表現した．

論とを使って代数的整数論を構築し，数論のその「実係数多項式 a0 xn +· · ·+an−1 x+an は実係後の進展のみならず，代数学の進展にも大きく貢数の 1 次式と 2 次式に因数分解される」

献した．

19 世紀には不変式論が盛んであり，不変式の具

a0 (x − α1 ) · · · (x − αh )× {(x − β1 )2 + γ12 } · · · {(x − βk )2 + γk2 }体的な基底を求め，それが有限個であることを示

一方，*アーベルとガロアの定理によれば，5 次

すことが研究の中心であった．ヒルベルトは，ヒ以上の代数方程式は係数の加減乗除と*根号によるルベルトの基底定理を証明して，不変式の基底を根の公式を一般には持たない．この事実は代数学

直接求めなくても，それが有限個であることを証の基本定理に反しない．根が存在することと，根明し，当時の数学界に衝撃を与えた．一方，*リーが根号という特別な手段を用いて表されるかどうマンによる代数関数論は代数幾何学の進展を促し，かということは，別のことだからである．

ヒルベルトの不変式論とともに多項式環の理論が進展する契機をもたらした．
このように，具体的な方程式を解くことや不変

代数関係式
algebraic relation

式の具体的な基底を求める研究から，方程式一般

代 数 的 な 関 係 式 を 略 し て，代 数 関 係 式 と いや群，環，体などの代数系を考察する研究に代数う．例えば，数または量 x, y, z, · · · が*多項式学の関心が移っていき，20 世紀初頭に抽象代数学

f (x, y, z, · · · ) を用いた関係式 f (x, y, z, · · · )=0が誕生した．

を満たすとき，代数関係式という．

今日では，代数学は代数系を研究する学問であるということができる．そこで重要な役割をする

対数関数のは代数系のもつ構造を明らかにし，対象間の関logarithmic function

係として同型や準同型を考えることである．この一般に，a>0, a= 1 として，a を底とする x

485

ピーシンス

非再帰性

また，こ の距離から定まる位相（㌖ 距離の定

transience

める位相）に関して a を中心とする閉円板 {x∈*再帰性を持たないことをいう．⑸ 再帰性

Q | dp (x, a)5r} (r>0) は閉集合かつ開集合である．同様に a を中心とする円 {x∈Q | dp (x, a)=r}

微視的 microscopic ⑸ 巨視的も閉集合かつ開集合であり，通常の位相とは様相が異なっている．さらに，この距離空間は位相空非巡回グラフ間としては*完全不連結である．
代数体 K の素イデアル p を使って同様に p 進

acyclic graph*有向閉路を持たない*有向グラフのことをいう．
*無閉路グラフともいう．

距離を導入することができる．
さらに一般に，体 K が非アルキメデス的乗法付値 v（㌖ 非アル キメデス 的付値）を持てばp 乗可積分p-summable
実数空間 R 上の実数値または複素数値の*可測R∞
関数 f (x) が −∞ |f (x)|p dx<∞ を満たすとき，
f (x) は R 上で p 乗可積分であるという．⑸ Lp
空間p 乗総和可能p-summable
p を正数とする．実数列または複素数列 {an }∞P(n=1) であって|an |p <∞ であるとき，{an }n=1

は p 乗総和可能であるという．p=1 ならば，これらの数列のなす集合は線形空間になる．⑸ ミンコフスキーの不等式，lp 空間

p シロー部分群 p-Sylow subgroup ⑸ シローの定理

dv (x, y)=v(x−y) とおくことによって K に距離を入れることができる．これは p 進距離の一般化である．⑸ p 進絶対値

p 進数
p-adic number
素数 p に関して無限和
p + p2 + p3 + p4 + · · · + pn + · · ·は通常の実数 R の*位相では収束しないが，*p 進
絶対値 |·|p では n 項までの和 an に対して m= n
ならば |an −am |p =p−min{m,n} となり，*p 進距離に関して {an } は*コーシー列になる．この数列pになる．もっの p 進位相に関する極限値はp−1と一般に k∈Z, ck , ck+1 , ck+2 , · · ·∈Z に対し
ck pk + ck+1 pk+1 + ck+2 pk+2 + · · ·は p 進距離に関して通常の実数ではなく，有理数体 Q を p 進距離で*完備化してできる*p 進数体の元に収束する．このような数を p 進数という．すなわち，有理数の数列 {an } が p 進距離に関して
コーシー列になるとき，その極限値を p 進数という．なお計算機科学では数を 2 進法で表現したとき，その数を 2 進数ということがある．この場合は数の表記法であり，上で説明した p 進数の p=2の場合ではない．⑸ 2 進法，記数法

p 進距離p-adic distance
素数 p に対して有理数体 Q に p 進付値 vp を次のように定義する．整数 m に対しては m が pa で割りきれるが pa+1 で割りきれないとき vp (m)=a，m/n に対しては vp (m/n)=vp (m)−vp (n) と定義する．ただし 0 に対しては vp (0)=∞ と定義す
p 進数体
る．vp を p 進付値という．
p-adic number field
dp (x, y) = p−vp (x−y)とおくと dp は有理数体 Q 上の*距離となる．こ有理数体の*p 進距離 |·|p に関する*完備化を p
進数体といい Qp と記す．p 進距離 |·|p の性質にれを p 進距離という．言い換えれば p 進距離は*p
進絶対値から定まる距離である．p 進距離では通より，p 進数体の元 x は 0, 1, · · ·, p−1 を係数と常の*3 角不等式より強いしてdp (x, y) 5 max{dp (x, z), dp (z, y)}x = ak pk + ak+1 pk+1 + ak+2 pk+2 + · · ·が成り立ち，x, y, z 間の距離は少なくとも 2 つ（k∈Z）と 書 く こ と が で き る．ak = 0 の と き
vp (x)=k とおくと，Qp 上の付値が定義できる．
は等しい．すなわち，任意の 3 角形は 2 等辺 3 角形になる．
これは Q の p 進付値の p 進数体への自然な拡張

505

位時間あたりの拡散量 J は，その方向の濃度 c の勾配に比例する．つまり，その方向を x 方向とす
れば，J =−D∂c/∂x が成り立つ．これをフィッ
クの第 1 法則といい，比例定数 D を拡散係数と呼ぶ．したがって，濃度の時間変化は，∆ を*ラ
プラス作用素として，∂c/∂t=D∆c に従う．これ

フィールズ

√
√
1 ““ 1 + 5 ”n “ 1 − 5 ”n ”
an = √−
225√のように 5 が必要になる．
an+1 /an は n→∞ のとき，*黄金比に収束する．なおフィボナッチ数列の定義として a0 =a1 =1を採用する流儀もある．⑸ 母関数

をフィックの第 2 法則という．数学的には，熱伝導に関する*フーリエの法則とまったく同じ内容である．⑸ 拡散方程式，熱方程式

フィールズ賞
Fields Medal

1924 年にカナダのトロントで開催された*国際フィッシャー情報行列において，「会議の開催される
数学者会議
（ICM）

Fisher information matrix

4 年ごとに傑出した業績を挙げた 2 人の数学者に，

母数（パラメータ）θ=(θ1 , · · ·, θp ) で決まる確率

金メダルを授与する」という決議がなされ，その密度関数 f (x, θ) について，
Z∂(log f ) ∂(log f )Iij =f (x, θ)
dx
∂θi
∂θj
Z
∂ 2 (log f )= − f (x, θ)dx∂θi ∂θjがときの書記であったフィールズ氏（J. D. Fields）
寄付した基金をもとにして始められた賞である．
「現在の研究で，かつ将来に発展が見込めるもの」
を賞の対象にするというフィールズ氏の意思に合わせるため，受賞者としては会議の時点で 40 歳

を (i, j) 要素とする p 次行列 I =[Iij ] (ただし，を超えない数学者に制限することになった．1966

i, j=1, · · ·, p) をフィッシャー情報行列またはフ

年には，数学者の人口が増えたこともあって，そィッシャー情報量という．フィッシャー情報行列

れぞれの会議で 4 人を上限にして賞を授与するこは非負定値対称行列であり，これを計量として確とが決まった．

率分布の空間に微分幾何学的な構造を考えることが以下の受賞者リストに名前と共にあげてあるもできる（㌖ 情報幾何）．確率変数の実現値に基づいのは受賞時までの主要な業績であり，公式な受賞て母数 θ の値を推定するときの精度の限界を与え理由とは限らない．

．
る重要な量である（㌖ クラメール ラオの不等式）

受賞者リスト⑸ 尤度

1936 年
Lars Valerian Ahlfors（1907 96） 被覆面のフィッシャー情報量 Fisher information ⑸ フィッシャー情報行列理論

Jesse Douglas（1897 1965） プラトー問題の解決

フィボナッチFibonacci

1170 頃 1250 頃 別 名をピサのレオナルド．イタリアのピサ出身の数学（Leonardo Pisano）
者．エジプト，シリア，ギリシア，シチリアなどに旅行し，その間にアラビア数学を含む多くの知識を吸収した．著書『算板の書』（Liber abacci）はインド記数法をヨーロッパに紹介した先駆的な書物である．⑸ ヨーロッパ・ルネッサンスの数学

1950 年
Laurent Schwartz（1912 ） 超関数の理論
Atle Selberg（1917 ） 素数定理の初等的証明
1954 年
小平邦彦（1915 97） 調和積分論
Jean-Pierre Serre（1926 ） 位相幾何学とくにホモトピー論に関する業績

1958 年
Klaus Friedrich Roth（1925 ） ディオファ
ントス近似

フィボナッチ数列
Fibonacci’s sequence
漸化式 a0 =0, a1 =1, an =an−1 +an−2 (n=2)
によって定まる数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · をフィボナッチ数列と呼ぶ．an はすべて整数である
が，一般項を表すにはRené Thom（1923 ） 微分多様体のコボルデ
ィズム理論

1962 年
Lars Hörmander（1931 ） 偏微分方程式の一般論に関する業績

John Willard Milnor（1931 ） 球面の微分構

フィルター

506

造および Hauptvermutung（ 基本予想）に関する業績

1966 年
Michael Francis Atiyah（1929 ） 楕円型作用素の指数定理

Paul Joseph Cohen（1934 ） 連続体仮説の独立性の証明Alexander Grothendieck （1928 ） スキーム
理論の建設

Stephen Smale（1930 ） 5 次元以上のポアン
カレ予想の解決

1970 年
Alan Baker（1939 ） 超越数論
広中平祐（1931 ） 複素代数多様体の特異点の解消

Serge Novikov（1938 ） 微分トポロジーにおける研究John Griggs Thompson（1932 ） 有限群の研究

1974 年
Enrico Bombieri（1946 ） 素数分布・曲面・
微分方程式の理論に関する業績

David Bryant Mumford（1937 ） 幾何学的
不変式論など代数幾何学に関する業績

1978 年
Pierre René Deligne（1944 ） ヴェイユ予想の解決

Charles Louis Feﬀerman（1949 ） 古典解析
学の諸結果

Gregori Alexandrovitch Margulis（1946 ）セルバーグ予想の解決

Daniel G. Quillen（1940 ） アダムスの予想などの解決

1982 年
Alain Connes（1947 ） 作用素環論（Ⅲ型ファクターの構造と分類）の研究

Vladimir Drinfeld（1954 ） ラングランズ予想および量子群に関する業績

Vaughan F. R. Jones（1952 ） 作用素環論
および結び目のジョーンズ多項式の発見など
森重文（1951 ） ハーツホーン予想の解決および 3 次元代数多様体の極小モデル理論への貢献

Edward Witten（1951 ） 理論物理学の方法の数学への応用に関する業績

1994 年Jean Bourgain（1954 ） バナッハ空間に関する研究

Pierre-Louis Lions（1956 ） 非線形偏微分方
程式に関する業績

Jean-Christophe Yoccoz（1957 ） 力学系に関する業績

Eﬁm Zelmanov（1957 ） 制限バーンサイド問題に関する業績

1998 年
Richard E. Borcherds（1959 ） ムーンシャ
イン予想の解決

W. Timothy Gowers（1963 ） 組合せ論を用いた関数解析学の研究への貢献など

Maxim Kontsevich（1964 ） 場の量子論の発想に基づく幾何などの研究

Curtis T. McMullen（1958 ） 複素力学系に関する業績
なお，1998 年の*ICM では Andrew J. Wiles（1953 ）
は 40 歳を超えていたため，フィールズ賞に準じる特別賛辞が与えられた．

2002 年
Laurent Laﬀorgue（1966 ） 関数体のラング
ランズ予想の解決

Vladimir Voevodsky（1966 ） モチーフとモ
チビックコホモロジーに関する業績

フィルター

William P. Thurston（1946 ） 葉層構造論および 3 次元多様体の研究
Shing-Tung Yau（1949 ） 微分幾何学に現れのである．集合 X の部分集合の族 Φ が次の性質

る非線形偏微分方程式の研究を持つとき，X のフィルターと呼ばれる．

1986 年
Simon K. Donaldson（1957 ） ゲージ理論の 4 次元位相幾何学への応用
Gerd Faltings（1954 ） モーデル予想の解決
Michael H. Freedman（1951 ） 4 次元ポア
ンカレ予想の解決

1990 年

filter
位相空間における近傍系の概念を一般化したも（1）空集合 ? は Φ に属さない．
（2）A⊂B⊂X で，A が Φ に属すとき，B もΦ に属す．
（3）A, B が Φ に属すとき，A∩B も Φ に属
す．

526

フーリエケ

で与えられる．⑸ フーリエ解析，フーリエ変換，y)g(y)dy は次のように簡単な変換を受ける．

高速フーリエ変換，固有関数展開，ディリクレ核，d b\f (ξ),(xf(x))(ξ) = (−2πi)−1
dξ
„\«
df
(ξ) = 2πiξ fb(ξ),
dx\g (ξ).
(f∗ g)(ξ) = fb(ξ)b

フェイエールの定理

フーリエ係数 Fourier coefficient ⑸ フーリエ級数
フーリエ積分Fourier integral

f (x) が偶関数のときフーリエ変換 fb(ξ) も偶関数

直線 (−∞, ∞) 上の関数 f (x) を用いて，
Z ∞fb(ξ) =
f (x)e−iξx dx

であって

−∞

fb(ξ) = 2

Z ∞f (x) cos(2πξx)dx,
0

√

Z ∞

の形に書かれた積分をいう．ただし i= −1 で，f (x) = 2

パラメータ ξ は実数とする．この積分を ξ の関数

fb(ξ) cos(2πξx)dξ0と見たものが実質的に*フーリエ変換である．なおが成り立つ．同様に f (x) が奇関数のときはフー

形式的には，区間 [−L, L] 上で関数 f (x) の*フーリエ変換 fb(ξ) も奇関数であってZ ∞fb(ξ) = −2i
f (x) sin(2πξx)dx,

リエ係数

cn =

1
2L

Z L

f (x)e−πinx/L dx

0

Z ∞

−L

f (x) = 2iを考え，L→∞, n→∞, nπ/L→ξ として 2Lcnの極限をとれば，上のフーリエ積分 fb(ξ) が得ら

fb(ξ) sin(2πξx)dξ0

れる．⑸ フーリエ級数となる．なおフーリエ変換の定義として
Z1
fb(ξ) = √f (x)e−iξxフーリエの法則を採用することもある．⑸ フーリエ解析，フーリ

2π

R

エ級数

Fourier’s law
熱伝導に関する基本法則をいう．等方的な物質内の空間座標 x，時刻 t における温度分布を θ(x, t)

以下にフーリエ変換の例をかかげる．a>0 とする．

とするとき，各点における熱の流れ q は温度勾配

Fourier transformation

R 上の可積分関数 f (x) に対してZ
fb(ξ) =
f (x)e−2πiξx dx√

2e−x /a(フーリエ変換（1 変数の）

fb(ξ)

f (x)

∇θ に比例し，q=−K∇θ と表される．この比例定数 K を熱伝導率と呼ぶ．⑸ 熱方程式

1/(x2 +a2 )
e−ax

(x>0)

0

(x50)

(

sin axxR2 2aπ e−aπ ξ
π −2πa|ξ|ea
1a+2πiξ

π(|ξ|<a/(2π))

0(|ξ|>a/(2π))

をそのフーリエ変換（Fourier transform）という．
この操作のこともフーリエ変換（Fourier transfor-

mation）という．f (x) が*急減少関数ならば逆変

フーリエ変換（多変数の）Fourier transformation

換の公式

Z

fb(ξ)e2πiξx dξ

f (x) =
Rが成り立つ．L2 関数に対してもこれらの式は意 味 を 持 ち（㌖ 平 均 収 束），L2 ノ ル ム f 2 =“R
”1/2
|f (x)|2 dx
はフーリエ変換で不変に保たRれる：fb2 =f 2 . 関数 f (x) の x 倍 xf (x)，導R

関数 (d/dx)f および合成積 (f ∗g)(x)= R f (x−Rn 上の*可積分関数 f (x)∈L1 (Rn ) (x=(x1 ,· · ·, xn )) に対して，関数 fb(ξ) をZ
fb(ξ) =
f (x)e−2πix,ξ dxRnと定義し，f (x) のフーリエ変換（Fourier trans-form）という．ここで ξ=(ξ1 , · · ·, ξn )，また x, ξ
は内積 x1 ξ1 +· · ·+xn ξn を表す．このとき|fb(ξ)| 5 f  1 (ξ ∈ Rn )
L

527

ブルバキ

が成り立つ（·L1 は L ノルム）．

り立つ．

f (x) が，台がコンパクトな滑らかな関数のとき，fb(ξ) も滑らかな関数で L1 (Rn ) に属する．

ブール代数

1

そしてフーリエ逆変換の公式
Zf (x) =
fb(ξ)e2πix,ξ dξBoolean algebra
集合 A の*べき集合 X =2A には，x+y=x∪y（*和集合），x·y=x∩y（集合の共通部分）
によって

Rn

係数の線形偏微分方程式を解析する強力な手段と2 項演算 +, · を定義することができ，（1）x+y=y+x, x·y=y·x （交換律）（2）x+(y+z)=(x+y)+z,
x·(y·z)=(x·y)·z （結合律）（3）x+(y·x)=(x+y)·x=x （吸収律）（4）x+(y·z)=(x+y)·(x+z),x·(y+z)=(x·y)+(x·z) （分配律）が成り立つ．さらに，空集合を 0，全体集合 X
を 1 とおき，1 項演算 x →x を x =xc（補集合）によって定義すると，任意の元 x∈X に対し．一般に，て，x+x =1, x·x =0 となる（相補律）
集合 X に，上のような性質を持つ 2 つの 2 項演
算 (x, y)→x+y, x·y と 1 項演算 x →x が与えなっている．

られたとき，これをブール代数という．ブール代が成り立つ．また等式ZZ|f (x)| dx =2

Rn|fb(ξ)| dξ
2

Rn

（∗）

が成り立つ．これを*プランシュレルの定理という．
フーリエ変換の定義はより一般に f (x)∈L2 (Rn )に対して拡張され，（∗）
が成り立つ．

*急減少関数の空間 S に属する f (x) のフーリ
エ変換 fb(ξ) は再び S に属し，f (x) の*導関数はfb(ξ) の*多項式倍に，f (x) の多項式倍は fb(ξ) の導関数の定数倍に写される．また，フーリエ変換は S  と呼ばれるクラスの超関数の空間に拡張される．これらの性質のため，フーリエ変換は定数

なお，フーリエ変換の定義として，
Z
−n/2

(2π)

f (x)e−ix,ξ

dx

Rnを採用することもある．

数 X において，x+y=y のとき xy と定義す
ると， は X 上の順序となり，1 がその最大元，

0 がその最小元となる．ブール代数はブール（G.
Boole）が論理計算をモデルとして導入した代数系
である．

プリュッカー座標
Plücker coordinates
例えば，2 次元複素ベクトル空間 C2 の 1 次元線形部分空間 L は，1 次元*複素射影空間 P 1 (C) の点と次のように 1 対 1 に対応する．(a1 , a2 ) を Lの基底とするとき，L に P 1 (C) の点 (a1 :a2 ) を対応させる．これを一般化して，n 次元ベクトル空“n”−1
間 Cn の r 次元線形部分空間 L に，m=r
として，L のプリュッカー座標と呼ばれる m 次元
複素射影空間 P m (C) の点を対応させることがで, ·”· ·, x1n ), · · ·, x(r) =きる．L の基底 x(1) =(x11“n(xr1 , · · ·, xrn ) をと り，=m+1 個 の行 列˛˛r
˛ x1i1 · · · x1ir ˛˛˛
˛ x2i1 · · · x2ir ˛˛˛（ここで，15i1 <i2 <式の系 ˛ .
.
. ˛˛
˛ ..
···
. ˛
˛
˛ xri · · · xrir ˛
1· · ·<ir 5n）の*連比が定義する P m (C) の斉次座
標をプリュッカー座標という．Cn の 2 つの r 次
元部分空間 L, L のプリュッカー座標が一致すれ
ば L=L である．プリュッカー座標の間には，プ
リュッカーの関係式と呼ばれる 2 次の関係式が成フルネ セレの方程式 Frenet-Serret formula ⑸ 曲線の微分幾何ブルバキ
Bourbaki, Nicolas
ニコラ・ブルバキは，1934 年フランスにおいて『数学原論』刊行の共同作業に加わった数学者
集団のペンネームである．1939 年に最初の巻が出版されて以来，集合論，代数学，実 1 変数関数論，位相線形空間，積分，リー群とリー環，可換環，スペクトル理論，可微分多様体，解析多様体についての巻が継続的に出版されたが，現在は一応終止符が打たれている．しかし，ブルバキ・セ
ミナーの名のもとに，現在でも最先端の数学について質の高い報告が行われており，セミナーノートの出版が続いている．
初期のブルバキのメンバーは，アンリ・カル，クロード・シュタン（Henri Cartan, 1904 ），ジャ
ヴァレー（Claude Chevalley, 1909 84），ジャン・デルサ
ン・クーロン（Jean Coulomb），ジャン・デュルト（Jean Delsarte, 1903 68）

ヘンカング

556

変換群
transformation group空間に群が作用しているとき，この群のことを変換群という．⑸ 群，作用
（群の）

変曲点
point of inflection
実 1 変数の実数値関数 f (x) について，その凹凸が変わる境目の点のことをいう．f (x) が C 2 級とし，x<a で f  (x)>0，x>a で f  (x)<0 が成り立つならば，x=a が変曲点である．（x>a で

f  (x)>0，x<a で f  (x)<0 の場合も x=a は変曲点である．
）例えば，f (x)=x3 の変曲点は 0．

変数
variable

偏差，平均 2 乗偏差などがある．

x2 −1 は x に実数や複素数を代入することができる．このように*集合 X の元を自由に代入できる文字 x（x の代わりに他の文字を用いてもよい）
を変数といい，X をその変域という．このとき X の特定の 1 つの元を表す文字を定数という．
一般に*関数 f : X →R を y=f (x) と表すとき xを独立変数，y を従属変数という．

偏差値

変数分離（常微分方程式の）f (x)=xn の場合は，n が奇数であれば，x=0 が変曲点で，偶数であれば変曲点は存在しない．

偏差deviation
平均的な値からのずれ，偏り．絶対偏差，平均

standard score

separation of variables

選抜試験の成績の相対的な順位などを判定する

微分方程式

ための目安として用いられる数値で，得点などをP (y)*標準偏差を 10，平均が 50 となるように換算しRdy= Q(x)dx（∗）

R

P (y)dy= Q(x)dx と解くたものである．数値の換算は
得点 − 平均点
× 10 + 50
偏差値 =
標準偏差

の形に微分方程式を書き直すことを変数分離と（∗）

で与えられる．本来は，正規分布に従う（とみなしいう．微分方程式の初等的な解法としてもっともてよい）
統計データに対して，平均から標準偏差よく用いられる．⑸ 求積法

は両辺を積分してを変数分離形といい，ことができる．方程式（∗）の何倍ずれているかを示す数値のことである．本
来正規分布に従わないものについて偏差値を用いると，誤った結論を導くことがあるので注意を要する．

ベン図
Venn diagram
集合の演算を図示する方法．

変数分離法
method of separation of variables
偏 微 分 方 程 式 ∂ 2 u/∂x2 =∂u/∂t に お い て，u(x, t)=f (x)g(t) と仮定して方程式に代入すると
f  (x)g  (t)
=
f (x)
g(t)
が 得 ら れ る．左 辺 は x の み，右 辺 は t の みの 関 数 で あ る か ら，両 辺 は 定 数 で な け れ ば な
ら ず，こ れ を −λ と お い て 解 け ば u(x, t)=√√
λ x+b sin λ x) (a, b は定数) という 解 が 見 つ か る．こ の よ う に (x1 , x2 , · · ·, xn )の 関 数 f (x1 , x2 , · · ·, xn ) に 対 し て 積 の 形
f1 (x1 ) · · · fn (xn )（fi (xi ) は xi だけに依存する
e−λt (a cos関数）を仮定して解を探す方法を変数分離法という．方程式が線形のときはしばしばこの形の解を

559

ペンローズ

研究を機に，多くの力学の問題を変分法の観点か用いるのと同様な意味で，例えば上の（2）の第 2 式ら見なおし，その結果「最小作用の原理」の考えをにモーぺルテュイと独立に到達した．さらに，抵どを変分と呼ぶことも多い．

抗媒質の中の運動を例外として，多くの力学的問

一 般 に，Rn 内 の 曲 線 y=y(x)=(y1 (x), · · ·,yn (x)) に対して，上と同様に始点と終点を固定
Rb
して汎関数 J[y]= a F (x, y(x), y  (x))dx を考え題の答えが，この原理の下に説明できることを示した（1744）．そして，モーぺルテュイの形而上学

Rba{Fy δy(x)+Fz δy  (x)}dx と表して，δy な的な観点に批判的であったダランベール（J. R.

れば，臨界点を与える関数（停留関数）
が満たすべ

d’Alembert）による研究を媒介として，「最小作用きオイラー ラグランジュ方程式はの原理」を純粋に力学の原理として定式化したのが（1834）でラグランジュ
（1760 年代）とハミルトン

Fyi (x, y, y  ) −dFz (x, y, y  ) = 0
dx iある．⑸ 変分法(i=1, · · ·, n) となる
さらに，例えば*極小曲面の問題のように曲面な

変分法

どの汎関数に関する変分法も研究されている．変分法は，*最速降下線を求める問題を契機として誕

calculus of variations
関数や曲線などを変数とする関数（*汎関数）に関生し，18 世紀のオイラーやラグランジュの時代にする微分法，とくに汎関数の極大極小問題（*変分はさまざまな問題に適用された．しかし無限次元問題）の解法を変分法という．

空間における関数の最大値の存在はむずかしい問

例えば，始点 A と終点 B を固定した平面曲線の題をはらんでおり（㌖ ディリクレの原理），現代的うちで，長さが最小のものは，線分 AB である．

な意味での変分法は 20 世紀後半になって完成し

一般に，F (x, y, z) を滑らかな関数として，始点た. この結果，偏微分方程式を変分問題に置き直(a, a )，終点 (b, b ) の曲線 c: y=y(x) (a5x5b)

して解の存在などを議論することもしばしば用いについて，汎関数
Z bられる手法となっている．このような方法も変分

J[y] =

法（variational method）という．⑸ 変分原理

F (x, y(x), y (x))dxaの極大極小問題を考えると，*臨界点（または停留点）y=y(x) は，dFy (x, y, y ) −Fz (x, y, y  ) = 0
dx


変分問題
variational problem（1）*極大極小（あるいは最大最小）問題のことをいう．変分問題という場合は，多くは，無限次元空を満たす必要がある．ただし Fy , Fz は変数 y, z間上の関数すなわち汎関数に対する極大極小問題に 関する偏微 分を表す．この方程 式
（1）
を オイ

である．⑸ 変分法

ラー ラグランジュ方程式または単にオイラーの方
程式という．
実際，曲線 y=y(x) が臨界点ならば，境界条件

y1 (a)=y1 (b)=0 を満たす滑らかな関数 y1 (x) を任意に選び，この方向に h だけずらした曲線の族
y=y(x)+hy1 (x) (a5x5b) を考えれば，h=0 がJ[y+hy1 ] の臨界点となるから，˛˛dJ[y + hy1 ]˛˛
dh
h=0
Z b
=
{Fy y1 (x) + Fz y1 (x)}dx
a
„
«
ﬀ
Z b
d
=
Fy y1 (x) −Fz y1 (x) dx
dx
a
=0
（2）
が成り立つ（㌖ ガトー微分）．y1 (x) は任意だから，が導かれる（㌖ デュボア レイモンの
これより
（1）
補題）
．なお，通常の微分法で微分 dx, dy などを

偏連続
partially continuous
関数 f (x)=f (x1 , · · ·, xn ) が，他の変数を固定してある変数 xi について連続なとき，f (x) は xiについて偏連続という．多変数関数としての連続性よりも弱い概念である．⑸ 連続関数
（多変数の）

ペンローズのタイル張り Penrose tiling ⑸ タイ
ル張り

576

ホモロガス

C(X, Y ) に同値関係を定める．∼ の同値類をホモトピー類と呼ぶ．

ホモロガス
homologous

2 つの k 次元サイクルが同じホモロジー類に属することをいう．⑸ ホモロジー

ホモロジー

n 次 元 の 球 面 S n の ホ モ ロ ジ ー 群 は，
Hk (S n ; Z)=Z (k=0, n) で，その他の次数では 0である．また，*種数が g の向き付け可能な閉曲面 Σg のホモロジー群は H0 (Σg )=H2 (Σg )=Z,
H1 (Σg )=Z2g で，その他の次数では 0 である．
向き付け可能で境界のない n 次元コンパクト連結な多様体 M について，Hn (M )=Z である．さらに，同型 Hk (M ; Q)∼=Hn−k (M ; Q) が成り立つ．これをポアンカレの双対定理と呼ぶ．
単体複体のホモロジー論，*特異ホモロジー論

homology
曲面 Σ に対して，Σ に含まれる 2 つの向きの付などさまざまなホモロジー論の定義の仕方がある

いた閉曲線 γ, γ  を考える．γ と γ  がホモロガス

が，通常の空間上ではすべて同一のホモロジー論とは，領域 D が存在し，その境界である（γ∼γ  ）を与えることが知られている．

が γ と −γ  であることをいう．ここで，−γ  は同相な空間のホモロジー群は同型であるから，γ  の向きを逆にしたものを指す（この定義は γ とγ  が交わっているときは多少不正確である）．曲ホモロジー群を計算することで，2 つの空間が同面の向きの付いた閉曲線の集合に，ホモロガスな

なわち，ホモロジー群は位相不変量である．（さらものを同値として同値関係を定めたとき，同値類に，*ホモトピー同値な空間のホモロジー群は同型全体は群になる．これを曲面の 1 次のホモロジー

である．
）ホモロジー群は空間を与えると多くの場群という．より一般に，空間 M に含まれる k 次合計算可能であり，ホモロジー群を用いた同相で元の境界のない図形全体を考え，k+1 次元の図形

ないことの判定は多くの状況で有効である．

相でないことを示すことができる場合がある．すの境界になっているものは 0 として同値関係を入れたのが，k 次のホモロジー群である．

ホモロジー代数
homological algebra
ホモロジー代数とは，*鎖複体（すなわち加群 Ciと準同型 ∂: Ci →Ci−1 の列で，∂∂=0 を満たす
もの）などを用いて，種々の代数系などを研究する分野を指す．鎖複体は位相幾何学の誕生時において，ホモロジー群の定義に現れた．ホモロジー代
数という名前は，特定の対象を研究する分野とい上の説明で「k 次元の図形」と漠然と述べたが，うより，研究手法をいう．

正確に定義するには，いくつかのやり方がある．

ベクトル空間を扱う線形代数を，環の上の加群

空間 M を*3 角形分割してその k 次元*単体の集に一般化するとき現れる諸問題の研究はホモロジーkk
合を {∆k1 , · · ·, ∆N } としたとき，∆i の整数係数P
ai ∆ki を「k 次元の図形」としたの代数の典型例である（㌖ 平坦加群，射影加群，移の 1 次結合入加群）．ホモロジー代数学は*圏論などとも結び

が，*単体複体のホモロジー論である．また，k 単

ついて，幾何学の諸分野，代数幾何学，整数論，

体から M への連続写像 σ: ∆k →M を特異 k 単Pai σi を体と呼び，特異 k 単体 σi の 1 次結合i「k 次元の図形」とみなしたのが特異ホモロジー論

代数解析学など現代数学の多くの分野で重要な役割を果たしている．⑸ 鎖複体，ホモロジー，コホモロジー

である．どちらの場合にも，境界の概念が決まり，*鎖複体が定まる．
空間 X の k 次ホモロジー群を Hk (X) または
Hk (X; Z) と書く．上では，整数係数の 1 次結合

ボヤイを考えたが，その代わりに，有理数係数，実数係

チェフスキーと並んで，非ユークリッド幾何学の数あるいは一般の可換環 R を係数とした 1 次結

発見者の一人．彼の父 Wolfgang も幾何学者であBolyai, János

1802 60 ハンガリーの数学者．ガウス，*ロバ

合を考えることができ，そのときは，Hk (X; Q)，り，1832 年に出版された父の本の付録として，非Hk (X; R)，Hk (X; R) と書く．

ユークリッド幾何学を発表した．すでに 1823 年

583

マトロイド

ずみ，1704 72）によるといわれている．⑸ 和算

1
1
0
0

マップ
map

*地図あるいは*写像のこと．

2
0
1
0

3
0
0
1

4
1
1
0

5
0 = [a1 , · · ·, a5 ]1
1のとき，V ={1, · · ·, 5} である．列ベクトルの線
形独立性に着目して，V の部分集合 X を独立集合

まつわり数
linking numberと従属集合に区別する．すなわち，{aj |j∈X} が線形独立，従属に応じて X を独立集合，従属集合と呼ぶ．独立集合の全体を I と書く．独立集合の

2 つの交わらない（向きのついた）*結び目 K1 ,K2からなる絡み目のまつわり数 Lk(K1 , K2 ) とは，
K1 を K2 から遠く離すとき，途中で K2 と交わ部分集合は独立集合であるから，独立集合のうちる数を，符号を含めて数えた総数である．正確に目して基と呼び，基の全体を B と書く．同様に，

は次のように定義する．K1 の*ザイフェルト膜を

従属集合を含む集合は従属集合であるから，極小Σ としたとき，Lk(K1 , K2 ) は Σ と K2 の*交
点数，すなわち交点 Σ∩K2 の数を符号を含めて従属集合に着目してサーキットと呼び，サーキッ

数えたものである．

B = {{1, 2, 3}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5},{1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}},C = {{1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {1, 3, 4, 5}}

包含関係に関して極大なもの（極大独立集合）に着トの全体を C と書く．上の例では，である．
独立集合族 I は次の組合せ的な性質を持っている：（I1）空集合は I に含まれる．
（I2）Y ∈I かつ X ⊆Y ならば X ∈I ．
（I3）X, Y ∈I かつ |X|<|Y | ならば X ∪{y}∈Iを満たす y∈Y \X が存在する．
（同時）
交換公理と呼ばれる次の性質
基族 B は，

Lk(K1 , K2 )=−Lk(K2 , K1 ) が成り立つ．ホを持っている：ップ絡み目（㌖ 絡み目）のまつわり数は 1 である．

（B）任意の B, B  ∈B と i∈B\B  に対して，あ

まつわり数は*ガウス クロネッカーの積分と一致

る j∈B  \B が存在して (B\{i})∪{j}∈B

する．

かつ (B  ∪{i})\{j}∈B ．
サーキット族 C は，次の性質を持っている：

マトリックス matrix = 行列

（C1）空集合は C に含まれない．

マトロイド（C3）任意の相異なる C, C  ∈C と任意の i∈C ∩（C2）C, C  ∈C かつ C ⊆C  ならば C =C  ．
matroid
ベクトル空間における線形独立な要素の集合や，グラフにおける木に共通する組合せ的な性質を表現する，抽象的な離散構造である．マトロイドは単純な公理によって定義されているが，豊かな構C  に対して，C  ⊆(C ∪C  )\{i} を満たす
C  ∈C が存在する．
列ベクトルの線形独立性は，

ρ(X) = rank{aj | j ∈ X}

(X ⊆ V )で定義される階数関数 ρ:2V →Z によっても表現

造（㌖ エドモンズの交わり定理）をもっており，いされる．階数関数には次の性質がある：

ろいろな分野で基本的な離散構造と考えられてい（R1）05ρ(X)5|X|．

る．とくに，離散最適化の分野においては，マト（R2）X ⊆Y =⇒ ρ(X)5ρ(Y )．

ロイド構造と効率的なアルゴリズムの存在は不可（R3）ρ(X)+ρ(Y )=ρ(X ∪Y )+ρ(X ∩Y ).

分の関係にある（㌖ 貪欲算法）．
マトロイドの概念を具体的な行列に即して説明する．行列が 1 つ与えられたとして，その列番号の集合を V とする．例えば，行列が最後の（R3）は劣モジュラー性と呼ばれる（㌖ 劣モ
ジュラー関数）．
このように，1 つの行列から列ベクトルの線形独立性の組合せ的側面を表現する I, B, C, ρ が定義

マハーヴィ

584

でき，上に述べた性質（I）
（B），
，
（C）
（R）
，
を持つ．
（B）
（ C）
，
（R）
，
は，もとの行列にここで，性質（I），
言及することなく述べられているので，それぞれ，有限集合 V の上の集合族 I ，集合族 B，集合族

C ，集合関数 ρ に関する条件として意味をなす．さ（B）を満たす B，（C）を満らに，（I）を満たす I ，を満たす ρ は，離散構造としては同たす C ，（R）

2

7

6

9

5

1

4

3

8

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

値であって，互いに他を一意的に定めることが知られている．例えば，B が与えられたとき，I=で，右側はデューラーの版画「メランコリー」の{I |I を含む B∈B が存在する} によって I が定
まり，集合族 {S|S を含む B∈B が存在しない}の 極 小 元 の 全 体 と し て C が 定 ま り，ρ(X)=max{|X ∩B| |B∈B} によって ρ が定まるという
（B）
，
（C）
（R）
，
具合である．この意味で，条件（I），中に描かれている魔方陣である．

は同一の離散構造の表現である．これをマトロイド

立した，*ウィーナー空間上の微分積分学およびマリアヴァン解析
Malliavin calculus
マリアヴァンが提唱し（1978），1980 年代に確と呼び，(V, I), (V, B), (V, I, B, C, ρ), (V, I, ρ)

それに基づく解析学である．*ガウス測度に関すなどと書き表す．また，V を台集合，I を独立集

る*部分積分の公式がこの理論の構築の鍵であっ合族，B を基族，C をサーキット族，ρ を階数関た．他の無限次元空間での解析学と比べて，微分数と呼ぶ．

と積分が自然につながるところに特徴があり，す（の辺集合）のグラフ G に対して，その*極大木

べての方向への微分を考えず，カメロン マーチ（B）を満たす．したがって，G
全体 T は上の条件ン空間と呼ばれるヒルベルト空間の方向だけの微の辺集合を台集合とし，T を基族とするマトロイ

分を考えることが，それを可能にした．退化した

ドが定まる．このマトロイドにおけるサーキット*楕円型方程式の解の*正則性や，*アティヤ シン（サーキット）に対応は，G における単純な*閉路

ガーの指数定理に対する確率論的な証明に応用さしている．

れたことでその有用性が示された．⑸ 確率解析

マハーヴィーラ
Mahāvı̄ra
9 世紀のインドの数学者．インドの数学者には

マルコフ

珍しく天文学の研究はしなかった．ジャイナ教で業績が著しい．プーシキンの小説『エフゲニー・必要とされた大きな数の計算，順列・組合せなど

オネーギン』を素材に，文章中に現れる文字間のから発展したジャイナ教の数学を集大成した．著

つながりについての統計的な分析を行い，文字の書『ガニタ・サーラ・サングラハ』（計算・真髄・系列などのように事象が相次いで起こるとき，各集成）のなかでは零に関する演算，分数の除法を逆事象の起こる確率がそれに先行する事象の影響を数の乗法で行うこと，2 次方程式，不定方程式な受ける場合を考察する必要があることを見出し，どが扱われ，この本はジャイナ教の数学について

マルコフ過程の概念を導入した．

Markov, Andrei Andreevich

1856 1922 ロシアの数学者．確率論におけるサンスクリットで現存する唯一の専門的な文献である．⑸ インドの数学

マルコフ過程Markov process

魔方陣

未来の事象の確率が，現在のみで決まり，過去

magic squareの履歴に依存しないという性質（マルコフ性）をもっ1 から n2 までの数を n 行 n 列の枡に区切られた確率過程をいう．ランダムな運動を記述する確た正方形に配列し，各行および各列の数の和が一率モデルとして用いられ，*ブラウン運動はその代定の値 n(n2 +1)/2 となっているとき，この配列表例である．*マルコフ連鎖の場合と同様に，マルを魔方陣という．通常は，さらに対角成分の和もコフ過程は*推移確率を与えれば決定される．

それらと同じ値になるようなものを魔方陣ということが多い．左側は古代中国で知られていたもの

マルコフ鎖 Markov chain = マルコフ連鎖

635

ϕ (x1 , · · ·, xn ) (−∞<t<∞) は領域の体積を保tつ，すなわち領域 D に対して ϕt (D) と D の体積が等しい」という定理．
一般のベクトル場 v に沿う流れ ϕt に対して，
ϕt (D) の体積の t による時間微分が，積分Z
div v(x)dx1 · · · dxn
ϕt (D)

で計算されることから示される．このことから，
ハミルトン系が保存系であることが従う（この事
実をリウヴィルの定理と呼ぶこともある）．⑸ 発散（ベクトル場の），力学系，1 径数変換群

リー環

リーカン

Ker f は g1 のイデアルである．
F 上の線形空間 V に対して，リー環の準同型
写像 ρ: g→gl(V ) を g の V への表現という．ここで gl(V ) は線形空間 V の自己準同型全体に括
弧積を [X, Y ]=XY −Y X (X, Y ∈gl(V )) によって定めたリー環を表す．
体 F 上のリー環 g のイデアル a, b に対して，[X, Y ] (X ∈a, Y ∈b) の形の元の有限個の F 上の線形結合の全体を [a, b] と記すと，[a, b] もリー環
g のイデアルとなる．特にg = [g, g], g = [g , g ], · · ·,g(i+1) = [g(i) , g(i) ]はリー環 g のイデアルの減少列になる．

体 F の元を成分とする n 次の正方行列全体

g(k) ={0} となる k が存在するとき，g を可解リー環という．リー環 g は最大の可解イデア

を M (n, F ) とする．[A, B]=AB−BA (A, B∈

ル（リー環とみたとき可解リー環であるイデアル）を

Lie algebra

M (n, F )) と置くと以下の性質が成り立つ．
（線形性）
（1）
[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z] (a, b ∈ F ),（2）
（反対称性） [X, Y ] = −[Y, X],（3）（ヤコビの恒等式）[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0.
一般に，F 上の線形空間 g に対して g×g から
g への双線形写像(X, Y ) → [X, Y ]が与えられ，上記の性質
（1）
（2）
，
（3）が成り立つ，
とき，この線形空間 g をリー環（あるいはリー代数）という．[·, ·] をリー括弧積あるいは単に括弧積という．F が実数体 R のとき，g は実リー環，
F が複素数体 C の場合は複素リー環と呼ばれる．
とくに，M (n, F ) を括弧積 [A, B]=AB−BA に持つ（可解イデアル全部の和はまた g の可解イデアルである）．これを g の根基という．
根基が 0 であるとき，g は半単純といわれる．
0 と異なる半単純リー環 g のイデアルが g と 0 以
外にないとき，g を単純という．⑸ 単純リー環，リー環（リー群に付随する），リー群とリー環

リー環（無限次元の）Lie algebra
ベクトル空間としての次元が無限大であるような*リー環を無限次元リー環という．有限次元の場合（㌖ リー環（リー群に付随する））とは異なって対応するリー群は必ずしも存在しないが，無限次元リー環はそれ自体で独自の豊かな世界を作って（R. V.
いる．カッツ（Victor G. Kac）とムーディよりリー環とみなしたものを一般線形リー環といMoody）は 1960 年代後半に，単純リー環の一般

い，gl(n, F ) により表す．括弧積が恒等的に 0 で化として，生成元と関係式を使ってカッツ ムー

あるリー環を可換なリー環という．

ディ・リー環と呼ばれる無限次元リー環を定義し，リー環 g の部分集合 a が，g の線形部分空間

その性質を調べた．下記のアフィン・リー環はそで，しかも，括弧積について閉じている（X, Y ∈aの重要な例である．無限次元リー環は，物理や数であれば [X, Y ]∈a）とき，a を g の部分リー環と学における対称性を記述する基本的な言葉である

いう．a は g の括弧積に関してリー環になる．さことが見出され，近年その研究が急速に進展してらに，任意の X ∈a, Y ∈g に対して，[X, Y ]∈a でいる．

あるとき，a を g の*イデアルという．イデアル

例1

a について，商線形空間 g/a には，自然にリー環の構造が入る．これを a による g の商リー環と{an }n∈Z と c を基底とするベクトル空間 H をいう．

ハイゼンベルク代数

考え，括弧積を[an , am ] = nδn+m,0 · c,[c, an ] = [c, c] = 0

リー環の間の写像 f : g1 →g2 が，線形写像であと定義すると，H はリー環の構造をもつ．ここでり，かつ f ([X, Y ])=[f (X), f (Y )] (X, Y ∈g1 )

δi,j は*クロネッカーのデルタである．リー環 H
を*ハイゼンベルク代数という．
以下の例でも，元 c と任意の元 x の括弧積はを満たすとき，f を*準同型写像という．準同型
写像 f の像 f (g1 ) は g2 の部分リー環であり，核

636

リーカン

[c, x]=0 と定める．
例 2 ヴィラソロ代数（Virasoro algebra）{Ln }n∈Z と c を基底とするベクトル空間 V を考え，次の括弧積を導入する．

n3 −n[Ln , Lm ] = (n − m)Ln+m +δn+m,0 · c.
12
この括弧積により V はリー環の構造をもつ．このリー環はヴィラソロ代数と呼ばれる．
例3

アフィン・リー環（aﬃne Lie algebra）

複素単純リー環 g に対してb
g = g ⊗C C[t, t−1 ] ⊕ Ccとおき，g の括弧積を使って bg の括弧積を次のように定義する．

AB−BA∈g が成立し，[A, B]=AB−BA と定めることにより g はリー環になる．g を G に付随するリー環という．
一般のリー群 G の場合には，そのリー環 g は
G 上の左不変ベクトル場の全体として定義される．
g はベクトル場の*括弧積についてリー環になる．
また G の単位元 e における接空間を Te (G) とすると，X ∈g に e における値 X(e)∈Te (G) を対応させることによって，線形空間としての同型gTe (G) が得られる．したがって g の線形空間
としての次元は G の多様体としての次元と一致する．
リー群に関する情報はほとんど，それに付随す[X ⊗ tn , Y ⊗ tm ]= [X, Y ] ⊗ tm+n + n(X, Y )δm+n,0 · c.
ここで (X, Y ) は g の*キリング形式である．こg はリー環の構造をもち，g にの括弧積によって bるリー環に含まれており，リー群に関する多くの付随するアフィン・リー環と呼ばれる．

群の研究をするのに，付随するリー環を研究する

ことがらがリー環に関する事柄に翻訳される（㌖
リー群とリー環）．またリー群よりもリー環のほうが代数的な扱いができて理解しやすいので，リーことが有益である．

リー環（リー群に付随する）
リー環は，リー群を「線形化」した代数系であ
る．

例1

特殊線形群

SL(n, R) = {g ∈ GL(n, R) | det g = 1}

Lie algebra

»

– »
–
0 −θ
cos θ − sin θ
exp θ 0 = sin θ cos θのように，行列の*指数関数 exp は，n 次の交代のリー環は

sl(n, R) = {X ∈ gl(n, R) | tr X = 0}
により与えられる（ただし，gl(n, R) は一般線形リー環を表す）．
例2直交群

O(n) = {g ∈ GL(n, R) | t gg = In }を n 次の直交行
行列（tA+A=0 を満たす行列）に移す．（上には n=2
列（tAA=In を満たす行列）

および特殊直交群（回転群）の場合を明示した）．これは，リー群とリー環の間SO(n) = {g ∈ GL(n, R) | t gg = In , det g = 1}の関係の例であり，n 次直交行列のなすリー群にのリー環は，交代行列全体

付随するリー環が，n 次交代行列全体のなすリー環であることを主張している．
行列の指数関数 exp は，数の指数関数と異な

so(n) = {X ∈ gl(n, R) | t X + X = O}
により与えられる．
例3は複素正方行列 A, B について

1
A + B = lim
log(exp(xA) exp(xB))
x→0 x

ユニタリ群

U (n) = {g ∈ GL(n, C) | g ∗ g = In }り，和を積に移すわけではないが，n 次の実またのリー環はu(n) = {X ∈ gl(n, C) | X ∗ + X = O}
により与えられる（X ∗ は行列 X の*随伴行列をが成立する．ここに log は，行列の*対数関数で表す）．

ある．また，

例 4 特殊ユニタリ群
SU (n)={g ∈ GL(n, C) | g ∗ g = In , det g = 1}

1×x→0 x2AB − BA = limのリー環はlog(exp(xA) exp(xB) exp(−xA) exp(−xB))

su(n)={X ∈ gl(n, C) | X ∗ + X = O, tr X = 0}が成立する．このように，exp を通じて，和が積により与えられる．

に対応し，AB−BA が*交換子積に対応する．
行列からなるリー群 G に対し，すべての実数
x について exp(xA)∈G となる行列 A の全体を g とする．このとき A, B∈g ならば A+B∈g，

力学
mechanics
物体間に働く力と物体の運動との関係を論じる

ワク

672

枠

算は数学の理論を深化させる以上に，おもしろい

frame

図形の研究やおもしろい問題を作って解くことに線形空間の基底を順番も含めて考えたものをい関心が集中した．その結果，全国各地に和算の愛う．枠を与えると空間の*向きが決まる．

好家を輩出し，数学の教授で生活することのできる数学者が出現した．

和算

また，和算愛好家は新しい問題の作成とその解Japanese mathematics

法を競い，多くの人が集まる神社や寺に算額とし

江戸時代に日本で独自に発達した数学．商業活て掲げて得られた結果を発表し，全国的な規模で動がアジア全体に拡がった室町時代末期に明時代の交流があった．また，和算関係の著書も多数印の中国からそろばんが輸入され，そろばんに習熟刷され，文化史的に世界的にも類を見ない文化現することが求められた．そこでそろばんの学習書

象をもたらした．

が必要とされるようになり，明時代の中国から数著名な和算家としては関孝和の他には彼の弟子で学書が輸入され学習された．さらに秀吉による朝（たけべかたひろ，1664 1739）があった*建部賢弘

鮮侵攻によって，朝鮮で使われていた中国の数学いる．建部は著書『綴術算経』（てつじゅつさんけ

書が日本にもたらされ，そろばんに関連して注目い）
およびそれとほとんど内容が変わらない『不休を引くようになった．

綴術』の中で自己の数学観を語った．兄の賢明とと1627 年に初版が発行された*吉田光由によるもに関孝和に協力して『大成算経』を著した．こ『塵劫記』は単なるそろばんの学習書を超えた数

れは関と建部を中心とした数学の集大成であった．

学の優れた入門書として，多くの人が数学に興味*松永良弼（まつながよしすけ，1692 頃 1744）を持つきっかけを作った．また，当時 800 年近く

は 3 角関数や逆 3 角関数の無限級数展開と実質使われていた宣明暦（唐の徐昂の撰した太陰太陽（くるしまよしひ
的に同じものを得，*久留島義太

暦）に天体現象から 2 日ほどのずれが生じている

ろ，? 1757）は独創的な数学者として，行列式のことから，改暦のために数学の研究が行われるよ*ラプラス展開，*オイラーの関数の発見などが伝うになった．そのためには高次方程式，不定方程

えられている．和算は関孝和とかれの弟子の系統

式，さらには補間法の研究が必要とされ，暦法の以外にも多くの流派があり，互いにその技を競っ

研究は数学の進展に大きな刺激を与えた．江戸時ていた．関孝和が与えた免状の写しも伝えられて代の改暦に関しては多くの和算家が関係した．

いるが，免許制度を整備し関流を作り上げたのは，

数学的には宋・元時代の中国の数学，特に方程松永や久留島に学んだ山路主住（やまじぬしずみ，

式論（天元術と呼ばれた）を受け継ぎ，天元術の文

1704 72）であった．また，久留米藩主であった有（せきたか
字式の記法を改良・拡張して，*関孝和

馬頼 （ありまよりゆき，1714 83）は『拾かず，1640 頃 1708）によって任意変数の方程式（しゅうきさんぽう）
を著し，関流の秘伝を公開し，の記述法（傍書法と呼ばれた）が創始され，和算興

和算の進歩に貢献した．

隆の基礎を作った．
和算では円周率の計算（円理）やそれと関連した算法』（あじまなお山路主住に和算を学んだ*安島直円
のぶ，1732 98）は極限操作を 2 回行う円理二次3 角関数や逆 3 角関数の無限級数展開に対応する綴術を創始し，2 重積分の概念の近くまで到達し無限級数展開（綴術）や種々の図形の面積の計算な（ふじたさだすけ，
た．1781 年には関流の藤田貞資

どが発達した．行列式の誕生やいくつかの無限級

1734 1807）が『精要算法』を著し，その序文の中数の発見，また数値計算でのエイトケン加速やリで「無用の用」としての数学の存在を主張した．会

チャードソン加速の適用など，個々の数学的な業

田安明（あいだやすあき，1747 1817）は藤田をは

績では当時のヨーロッパ数学よりも進んだ面もあっじめとする関流と争い，自ら最上流（さいじょうたが，数学概念を体系的に発展させることはでき

りゅう）を作って関流に対抗した．この論争を通しなかった．

て会田は和算の記号を改良し，和算の整理を行い，江戸時代の社会は平和が続き，大きく変化する

多くの弟子を育てた．

こともなく，そのために文化的に繁栄することが江戸末期の和算家としては定積分の表を作できたが，自然科学の発達をそれほど必要とせず，った和田寧（わだやすし，1787 1840）が著名で数学を暦学と測量術以外で自然科学を活用する必ある．また，関流の長谷川寛（はせがわひろし，

要性が社会からは出てこなかった．そのため，和1782 1838）が主宰する長谷川道場では『算法新673書』を出版し，関流の数学を詳しく解説して，和ワーリング

n+m になることをいう．

算はさらに全国的に拡がることになった．
和算では関数概念が発達せず，文字式は方程式としてのみ取り扱われ，多項式の概念はほとんど誕生せず，また無限級数も数値を精密に求めるための手続として取り扱われた．また数学の論理に対する関心が乏しかった．そのため，明治時代になって西洋の科学技術を輸入するために明治政府
が西洋数学を学校数学に取り入れることとなり，和算は自然消滅する道をたどった．ただ，高度な割当問題
assignment problem
行列 [wij ] (ただし，i, j=1, · · ·, n) が与えられnPたとき，{1, · · ·, n} の置換 σ の中でwiσ(i) をi=1最小にするものを求める問題である．*2 部グラ
フと各辺 a の重み w(a) が与えられたとき，完全Pw(a) がマッチング M の中で重み w(M )=a∈M

数学への愛好や，理論を論理的に理解するよりは最小となるものを求める問題として記述されるこ問題を解くことによって自然に納得する和算の特とも多い．2 つの頂点集合をそれぞれ「人」の集

徴は今なお学校数学に引き継がれている．⑸ 円理，合，「仕事」の集合と解釈するとき，マッチングは

円周率，中国の数学，朝鮮の数学「人」を「仕事」に割り当てることを表現するので

和事象 union ⑸ 事象

チにおける基本的な問題の 1 つである．

和集合

割り算定理

割当問題の名がある．*オペレーションズ・リサー

uniondivision algorithm theorem

2 つの集合 A, B に対して，A または B に属する元全体のなす集合を，A, B の和集合または合併集合といい，A∪B により表す．
2 つ以上の集合があるとき，すなわち，おのおのの λ∈Λ に対して集合 Xλ が定まっているときS
Xλ をは，その和集合Sλ∈Λ

Xλ = {a | a ∈ Xλ となる λ ∈ Λ が存在する}

λ∈Λで定義する．⑸ 集合，共通部分与えられた自然数 m, n に対して，

m = qn + r (0 5 r < n)を満たす整数 q, r が一意的に存在する．実際，

0, n, 2n, 3n, · · ·という列を考えれば，qn5m<(q+1)n となるよ
うな数 q がただ 1 つ存在することが結論される．
この q を用いて，r=m−qn とすればよい．この定理を割り算定理という．q は商，r は余り（あるいは剰余）といわれる．
多項式についても，次の割り算定理が成り立
つ．f (x), g(x) を 2 つの多項式とするとき，も和田寧 わだやすし
Wada, Yasusi

し g(x)= 0 であれば，

f (x) = g(x)q(x) + r(x) (deg r < deg g)

R 11787 1840 幕末期の和算で活躍した数学者．
xp (1−x)q dx などの定積分の表を 100 以上作
0となる多項式 q(x), r(x) が一意的に存在する（deg

成したことで有名である．当時盛んに考えられて余りといわれる．

は次数を表す）．このときも，q(x) は商，r(x) は

いた図形の面積や曲線の長さを求める問題が，こ割り算定理が成り立つような一般の代数系が考の定積分の表を使って簡単に求めることができる

えられる（㌖ ユークリッド環）．⑸ 剰余定理，因数

ようになった．定積分は被積分関数の無限級数展定理

開を項別積分することによって求めた．無限級数が収束域を持つことに気づいた最初の和算家であワーリングの問題

る．⑸ 和算Waring’s problem

和の法則「k を 1 より大きい自然数とする．すべての自次の問題をワーリングの問題という．
sum rule
数え上げの原理の 1 つで，ある事柄について 2

然数 n をn = xk1 + · · · + xkg(x1 , · · ·, xg は整数)

種類の場合があり，それぞれについての場合の数の形に表すことができるような g は存在するか」が n, m のとき，その事柄についての場合の数はこの特別な場合として，k=2 の場合を考える