線形行列不等式による ∆Σ 変調器の最適設計

Optimal Design of ∆Σ Modulators via Linear Matrix Inequalities
永原正章 ∗ ，山本裕 ∗∗Masaaki NAGAHARA, Yutaka YAMAMOTO
京都大学大学院情報学研究科
Graduate School of Informatics, Kyoto University∗

nagahara@ieee.org, ∗∗ yy@i.kyoto-u.ac.jp

あらまし本論文では，線形行列不等式による ∆Σ 変調器のFIR (finite impulse response) filter, we can reducethe design to linear matrix inequalities and can besolved efficiently.

新しい設計法を示す．従来の ∆Σ 変調器では，積分器（加算器）1/(z − 1) をフィードバックループ内に構成し，量子化雑音の削減をはかっている．いっぽう，本論文では，変調器が安定となるすべてのルー1

はじめにプフィルタを求め，信号伝達関数 (STF) および雑∆Σ 変調器は，高性能の AD および DA 変換器に音伝達関数 (NTF) の周波数特性を整形するために用いられ，計測やディジタル音声処理，無線通信なH ∞ 設計を行う．フィルタを FIR と仮定することにより，設計は線形行列不等式で記述され，計算機を用いて用意に最適解を得ることができる．

どに用いられる [5, 7, 6, 8]. オーバーサンプリング処理と ∆Σ 変調器を組み合わせることによって，低ビット（通常は１ビット）の量子化にもかかわらず高解像度を持つ変換器を構成できる．
図 1 に ∆Σ 変調器のブロック線図を示す．ここでAbstract
In this paper, we propose a new method for designing ∆Σ modulators via H ∞ optimal control. In∆Σ modulators, the accumulator 1/(z − 1) is conventionally used in a feedback loop to attenuate
quantization noise. In contrast, we give all stabilizing controllers for the modulator, and propose

H = [H1 , H2 ] は 2 入力 1 出力の線形システムであり，Q は量子化器である．システム H の役割は，入力 u から出力 y までのシステムの伝達関数（信号伝達関数, STF, Signal Transfer Function）の周波数uHψQan H ∞ design to shape the frequency response of
the signal transfer function (STF), the system fromthe input to the output, and the noise transfer function (NTF), the system from the quantization noiseto the output. Assuming that the controller is an

図 1: ∆Σ 変調器y特性をオールパスまたはローパスとし，量子化誤差nun := Qψ − ψ から出力 y までのシステムの伝達関数（雑音伝達関数, NTF, Noise Transfer Function）の周波数特性をハイパスにすることである．これによHψ

y+り，出力への量子化誤差の影響が高周波側に集まるので，もとのサンプリング周波数（例えばオーディオＣＤでは 44.1KHz）の整数倍（8 倍や 16 倍から
図 2: ∆Σ 変調器の線形化モデル数百倍まで）でオーバーサンプリングすることにより，元信号を低周波側へ，量子化誤差を高周波側へu分離することが可能となる．分離後，ローパスフィ−ルタにより元信号を取り出せば元の信号が復元でき

zz−1ψ

Qyる．また，無線通信等において変調波を入力信号とするシステムでは，量子化ノイズや他の帯域の変調波（混信ノイズ）を入力信号から分離するために NTF

図 3: 1 次 ∆Σ 変調器をバンドパス特性にする場合もある [6, 8]．
このような ∆Σ 変調器における周波数整形にはここで，Tyu (z) を信号伝達関数 (STF)，Tyn (z) を∞H 制御が適している．そこで本論文では，図 1 の 雑音伝達関数 (NTF) と呼ぶ．たとえば 1 次の ∆Σ∆Σ 変調器を 2 自由度制御系ととらえ，STF および 変調器（図 3）では，H1 (z) = z/(z − 1), H2 (z) =NTF の周波数整形問題を離散時間 H ∞ 制御問題と −1/(z − 1) であり，して定式化する．さらに，制御器 H1 , H2 をともに
y = u + (1 − z −1 )nFIR フィルタと仮定することにより，設計問題が線形行列不等式に帰着されることを示す．となる．このとき，図 4 に示すように Tyn (z) = 1 −z −1 はハイパス特性を持つため，量子化誤差 n は高周波側に寄ることになる．これからわかるように，
2 ∆Σ 変調器における周波数整形 一般に，雑音伝達関数 T (z) の役割は誤差 n からyn
ここでは ∆Σ 変調器における線形システム H = 出力 y までのシステムの周波数応答をハイパスにす[H1 , H2 ] の役割について考える．ここで，量子化器 ることである．また，信号伝達関数 Tyu (z) は入力 u
Q は非線形システムであるので，解析を容易にする から出力 y までのシステムをオールパスまたはローパスにする役割がある．
ために線形化モデルを導入する．量子化誤差をn := Qψ − ψとおき，この量子化誤差 n が入力 ψ に依存しない3ループフィルタの特徴付けと仮定すると，図 2 の付加雑音線形モデルが得られ∆Σ 変調器が安定であるためには，少なくとも線る．このモデルを用いれば，∆Σ 変調器の入出力関形化モデルは内部安定でなければならない．そこで係は次のようになる．

本節では，∆Σ 変調器を 2 自由度制御系ととらえ，フィードバック系を内部安定化する制御器（ループy = Tyu u + Tyn n,H1,Tyu (z) :=1 − H2 (z)1Tyn (z) :=.
1 − H2 (z)フィルタ）を特徴付ける．
まず，図 2 の 2 自由度フィードバック制御系を考える．図 2 のフィードバック系を内部安定化するす

1−z−1u

2R11.8ψ++yQ

1.6− +1.4

Gain

1.2
1R2

0.8
0.6
0.4
0.2
00

0.2

0.4
0.6
Frequency (rad/sec)

0.8

図 5: 設計パラメータ R1 ∈ S, R2 ∈ S 0 を用いた

1∆Σ 変調器の構成

H ∞ 制御によるループフィルタ
設計4

図 4: Tyn (z) = 1 − z −1 の周波数応答
べてのコントローラ H(z) = [H1 (z), H2 (z)] は，従来から制御理論でよく知られた手法で求まる [2, 3]． 4.1

周波数応答の整形

Lemma 1. 図 2 のフィードバック系が well-posed
ここでは，Lemma 1 を用いて，図 1 の ∆Σ 変調であり，かつ内部安定化するすべての H1 (z) および 器の設計を行う．まず，以下のように問題を定式化
H2 (z) は次で与えられる．
する．
R1 (z)
R2 (z)
H1 (z) =, H2 (z) =Problem 1. 安定な重み伝達関数 WSTF (z) と1 + R2 (z)1 + R2 (z)WNTF (z) が与えられたとき，次の不等式を満たす
R1 (z) ∈ S, R2 (z) ∈ S 0(1)R1 (z) ∈ S および R2 (z) ∈ S 0 を求めよ．
ここで， S は安定かつプロパーな有利伝達関数の集合であり，S 0 は安定かつ厳密にプロパーな有理伝達k(1 + R2 )WNTF k∞ < 1 (3)

これは，1 ブロックの離散時間 H ∞ 制御問題であ関数の集合である．
これらのパラメータ R1 ∈ S ，R2 ∈ S 0 を用い，

H1 (z) = R1 (z)/(1 + R2 (z)), H2 = R2 (z)/(1 +R2 (z)) とすれば，図 2 のシステムの入出力関係は以下で与えられる．
y = R1 u + (1 + R2 )n
ここで，R1 (z) = 1 ∈ S, R2 (z) = −z

kR1 WSTF k∞ < 1,り，最適解は従来法 [2, 3] により容易に解くことができる．
また，ディジタルフィルタの実装には FIR (FiniteImpulse Response) フィルタがよく用いられるので，
R1 (z), R2 (z) を FIR フィルタとし，(2)−10∈ S とおけ

R1 (z) =R2 (z) =を陽に用いて ∆Σ 変調器を構成すれば，図 5 のようになる．このブロック線図より，R1 は入力信号

ak z −k ,k=0ば，従来の 1 次 ∆Σ 変調器（図 3）となる．
さらに，これらの設計パラメータ R1 ∈ S, R2 ∈ S 0N1X

N2X(4)
bk z −k ,b0 = 0k=0とおく．このとき，R1 (z) ∈ S ，R2 (z) ∈ S 0 が満たの周波数整形を行う前置フィルタ，R2 は量子化誤差される．不等式 (3) はフィルタ係数 a0 , a1 , . . . aN1 おQψ − ψ に対するフィードバックゲインであると解よび b1 , . . . , bN2 を変数とした線形行列不等式で書く釈できる．

ことができる [9]．

yInput Signal NTF53ω

1−4 −2 0−1 2

ψ
4−3−5

図 6: バンドパス ∆Σ 変調器のノイズ整形

4.2零点の付加

無線通信等において変調波を入力信号とするシス

図 7: 一様量子化器 Q

テムでは，量子化ノイズや他の帯域の変調波（混信n = Qψ − ψノイズ）を入力信号から分離するために，図 6 に示5すように，雑音伝達関数 (NTF) をバンドパス特性に3する場合もある．このとき，変調波の周波数を NTFの零点とすることで，効率の良い分離が可能となる[6, 8]．
この零点の付加は，以下に示すとおり，R2 を (4)の FIR フィルタとすることにより，設計パラメータ

1−4 −2 0−1 2

ψ
4−3−5a1 , . . . , aN1 の線形拘束式として表すことができる．
PNすなわち nH (z) := z N − k=1 ak z N −k と定義すると，Tyn (z) が M 個の零点を z = z0 に持つための
図 8: 量子化誤差 n = Qψ − ψ
必要十分条件は，¯
Assumption 1. ある M > 0 と δ > 0 が存在して，
dk nH (z) ¯¯= 0, k = 0, 1, . . . , M − 1,dz k ¯z=z0
もし |ψ| ≤ M ならば |Qψ − ψ| ≤ δ が成り立つ．
で表される．ここで，d0 nH (z):= nH (z) と定義する．
dz 0

この線形拘束は，前節の線形行列不等式条件と連立させることができ，零点の付加を含めた設計を容易に行うことができる．

例えば，Fig. 7 の一様量子化器の場合，M = 6,

δ = 1 となる（Fig. 8 を参照）． このとき，安定性の十分条件の一つとして，以下の H ∞ ノルムによる安定条件が知られている [4]．
kR2 k∞ ≤

4.3

安定条件

1(M − kuk∞ ).
(2N2 + 1)δ

フィルタ R2 (z) を FIR とすれば，この条件も有界

前節までで議論した安定性は，線形化システム（図 実補題を用いて，線形行列不等式で記述することが2）の安定性である．しかし，実際の ∆Σ 変調器は， できる．
図 1 のようにフィードバックループ内に非線形要素
また，1 ビットの変調器において，従来よりよく使である量子化器 Q を含む非線形システムであり，非われる安定条件 (Lee Criterion [1, 7]) k1 + R2 k∞ <線形システムとして安定性を議論する必要がある． 1.5 も同様に R2 を FIR とすることによって，線形まず，量子化器 Q に対して，以下の仮定をおく．

行列不等式条件となる．ただし，この条件はシミュ !"$#&% '()*'+"$#%&('*) +,-+.

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図 9: 重み関数 WNTF (z) の Bode 線図

図 10: フィルタ R2 (z) の Bode 線図

レーションによる経験則であり，安定性のための必めなければならない．もしあらかじめ NTF の周波要条件でも十分条件でもないことに注意する．

数応答の理想的な形が（例えば IIR フィルタの形式で）決まっていれば，その形を最適に近似するよう5設計例
ここでは，前節で提案した線形行列不等式および線形拘束式によって ∆Σ 変調器を設計する．まず，に R2 (z) を設計することもできる．すなわち，最適化条件 (3) のかわりに，G1 (z)，G2 (z) をそれぞれ

R1 (z) (STF), 1 + R2 (z) (NTF) の理想的な応答として，∆Σ 変調器の設計パラメータを以下のように設定すk(G1 − R1 )W1 k∞ → min,る．フィルタ R1 (z) = 1 とし，R2 (z) は 8 タップ
k(G2 − (1 + R2 ))W2 k∞ → minの FIR フィルタとする．また，雑音伝達関数 (NTF)
1+R2 (z) は z = 1 （すなわち，周波数が 0）に零点をの H ∞ 最適化を考えればよい．この最適化も線形行持つものとする．また，安定条件として，kR2 k∞ < 2列不等式を用いて定式化できる（[9] を参照）．
を採用する．さらに R2 (z) 設計のための重み関数
次に ω = π/2 に零点を持つ ∆Σ 変調器の設計例
WNTF (z) は図 9 に示すようなローパスフィルタとする．得られた最適フィルタ R2 (z) の周波数応答を を示す．このとき，零点の条件は
図 10 に示す．この図より，R2 (z) の H ∞ ノルム（すなわち Bode ゲイン線図における最大値）が 2 (約6 dB）に制限されていることがわかる．また，図 11に雑音伝達関数 (NTF) 1 + R2 (z) の Bode 線図を

1 + R2 (ejπ/2 ) = 0,

1 + R2 (e−jπ/2 ) = 0となり，複素係数の線形拘束式となるが，共役複素示す． この図から，NTF が周波数 0 で零点を持っ 数の性質を使うことにより，実数係数の線形拘束式ていること，および，ハイパス特性となっているこへ等価的に変換することができる．図 12 に設計しとがわかる．なお，この特性は，重み関数 WNTF (z)たバンドパス ∆Σ 変調器の NTF を示す．この図よの形に大きく依存する．NTF の形を精密に整形すり，ω = 2/π にゼロ点を持ち，バンドパスの特性をるためには，試行錯誤的に重み関数 WNTF (z) を決持つことがわかる．

"$#%'&)(+* ,-'.,'/#%$&')(+* ,-.,/              !

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図 11: 雑音伝達関数 (NTF) 1 + R2 (z) の Bode 線図

6むすび
本論文では ∆Σ 変調器におけるループフィルタを 01. '23'457698.,&;:=<7'57>

図 12: バンドパス ∆Σ 変調器の NTF[3] 前田, 杉江, アドバンスト制御のためのシステム制御理論, システム制御情報ライブラリー, 朝倉書店∞H 制御により設計することを提案した．まず，線形化モデルを用いて，フィードバック系を安定化するフィルタを特徴付けた．また，信号伝達関数 (STF)および雑音伝達関数 (NTF) の周波数整形を H ∞ 最適化により定式化し，ループフィルタが FIR フィル
タの場合，その問題が線形行列不等式による最適化に帰着することを示した．また，零点や安定条件も線形拘束式または線形行列不等式として記述することができることを示した．最後に数値例を示し，本手法の有効性を確認した．

参考文献[1] K. C. H. Chao, S. Nadeem, W. L. Lee andC. G. Sodini, A higher order topology for interpolative modulators for oversampling A/D[4] 永原, 山本, H ∞ 制御を用いた ∆Σ 変調器の設計, 第 35 回制御理論シンポジウム予稿集, SICE,
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