量子Ising模型における新奇な非平衡量子多体現象
濱崎立資（理研CPR白眉/iTHEMS）
統計物理学懇談会
2022/3/10-11 @ online
共同研究者
吉永敦紀（東大/産総研）、箱嶋秀昭（大阪大）、井元隆史（産総研）、松崎雄一郎（産総研）中川大也（東大）、芳賀大樹（大阪府立大）、上田正仁（東大）

Refs.
*A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]*R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).
*R. Hamazaki, M. Nakagawa, T. Haga, M. Ueda, in preparation.

非平衡統計力学の舞台としての人工量子系
平衡量子統計力学e −βH
Z

非平衡量子統計力学を理解したい
人工量子系（冷却原子系など）：非平衡現象の探索の舞台
ミクロな自由度を制御 → 多体ダイナミクスの観測

1原子レベルでの測定& リアルタイムでの制御
H. Bernien et al., Nature (2017)

孤立量子系は熱平衡化するか？
?
ユニタリー時間発展

ミクロカノニカル分布（量子力学）（平衡統計力学）
https://en.wikipedia.org/
wiki/John_von_Neumann#/media/File:JohnvonNeumannLosAlamos.gif

von Neumannに始まる問題 (1929)
実験的な観測1

ミクロカノニカル期待値
0.5

S. Trotzky et al., Nat. Phys.(2012).

奇数サイトの粒子密度0time (ms)
0

1

2

3

8

12

16

20

Eigenstate thermalization hypothesis (ETH)
ETH（熱平衡化の十分条件）：
ハミルトニアンのエネルギー固有状態 | Eα⟩ 自身が「熱的」十分高いエネルギーを持つ任意の | Eα⟩と任意の局所領域 A について、

̂ (Eα)]
TrA[ | Eα⟩⟨Eα | ] ≃ TrA[ρmicA

A への縮約密度行列A→ 固有状態のエンタングルメントエントロピーの体積則なども従う

SA( | Eα⟩) ∝ VA

*局所保存則がある場合、その値を指定した部分空間内で議論（粒子数保存や電荷保存など）*（相互作用距離が長すぎない）典型的な並進対称多体系での数値的検証
S. Sugimoto, R. Hamazaki, M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 126 (12), 120602 (2021).
S. Sugimoto, R. Hamazaki, M. Ueda, arXiv:2111.12484

非平衡多体現象
ETHを超えた非自明な非平衡物理を探索したい！
①熱平衡化しない系*Many-body localization(MBL)②緩和過程の物理*動的量子相転移③散逸の加わった系*散逸離散時間結晶

timeM. Schreiber et al.,Science (2015)*量子多体スカー*ヒルベルト空間分割

P. Jurcevic et al., PRL (2017)

H. Keßler et al., PRL (2021)*動的スケーリング則*プレサーマル時間結晶*観測誘起相転移*MBLの融解

非平衡多体現象
ETHを超えた非自明な非平衡物理を探索したい！
①熱平衡化しない系*Many-body localization(MBL)②緩和過程の物理

本発表の主題*動的量子相転移③散逸の加わった系*散逸離散時間結晶

量子多体系の最も基本的なモデルの一つである、
量子Ising模型における新奇な非平衡多体現象を議論する
time
z z
x
z
̂
̂
̂
̂
̂
H
=
J
σ
σ
+
g
σ
+
h
σ
M. Schreiber et al.,i i H. Keßler et al., PRL (2021)
i
i j et al.,P.
Jurcevic
PRLi (2017)∑∑
Science (2015)⟨i,j⟩*量子多体スカー*ヒルベルト空間分割i*動的スケーリング則*プレサーマル時間結晶*観測誘起相転移*MBLの融解

非平衡多体現象
ETHを超えた非自明な非平衡物理を探索したい！
①熱平衡化しない系*Many-body localization(MBL)②緩和過程の物理*動的量子相転移③散逸の加わった系*散逸離散時間結晶

timeM. Schreiber et al.,Science (2015)*量子多体スカー*ヒルベルト空間分割

P. Jurcevic et al., PRL (2017)

H. Keßler et al., PRL (2021)*動的スケーリング則*プレサーマル時間結晶*観測誘起相転移*MBLの融解

高次元量子Ising模型のダイナミクス
Ĥ = Ĥ DW + hx∑iĤ DW = −σ ̂ xi（超立方格子を仮定）

∑
⟨i,j⟩

σ ̂ziσ ̂zj

ドメイン壁のエネルギー

一次元：可積分系、ETHの破れ

ドメイン壁

高次元：非可積分系と考えられている二次元系の有限系の数値計算 (N ≤ 20)

R. Mondaini et al., PRE (2016)→ | hx | ∼ 1ならETHが成立（熱平衡化）（ | hx | ≪ 1, | hx | ≫ 1ではcontroversial）

モチベーション
高次元量子Isingモデルは解けないと考えられているが、特定のレジームで熱平衡化の有無を議論できるか？

結果
Yes. 横磁場Ising模型（次元 d ≥ 2）の弱磁場極限で、ヒルベルト空間分割(HSF)が起こってETHが破れ、非熱的ダイナミクスが現れる
A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

モデルとセットアップ
横磁場Ising模型
Ĥ = Ĥ DW + hx

ドメイン壁のエネルギー∑iσ ̂ xiĤ DW = −∑⟨i,j⟩σ ̂ziσ ̂zj

弱磁場極限 hx → 0での実効モデル（やはり非可積分）Ĥ 1 = Ĥ DW + hx∑
iσ ̂ xiQ̂ i

Q̂ i ：サイトiの周りの磁化の和がゼロなら1,
それ以外は0への射影

ダイナミクスは非自明な制限を受ける
A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

モデルとセットアップ
横磁場Ising模型
Ĥ = Ĥ DW + hx∑

ドメイン壁のエネルギーσ ̂ xiĤ DW = −∑σ ̂ziσ ̂zj⟨i,j⟩i
Ĥ DWが横磁場に比べ、支配的で保存する
d ≥ 2 なら hx ∼ 1 の時、十分に非可積分的の時、非可積分的…ETH & 熱平衡化
（全エネルギー以外に局所保存量はĤ DWのみ）

弱磁場極限 hhx →→ 00での
弱磁場極限
xドメイン壁のエネルギーを変えない遷移のみ存在
実効モデル（やはり非可積分）Ĥ = Ĥ DW + hx
σ ̂ xiQ̂ i∑
i✖
̂Qi ：周りの磁化の和がゼロなら1,
それ以外は0への射影

ダイナミクスは非自明な制限を受ける
A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

凍った領域Ĥ 1 = Ĥ DW + hx∑
iσ ̂ xiQ̂ i

ダイナミクスの制限により、ハミルトニアンによって遷移が起こらない「凍った」領域が存在し、系を空間的に分断

二次元の場合の例
三次元以上でも同様な議論が可能

A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

Hilbert空間分割 (HSF)とETHの破れ
凍った領域による空間の分断により、HSFが起こる→ Ĥ DWの保存量を指定しても、ETHが破れる
体積則を満たさない低エンタングルド固有状態

HDW

HSF：局所保存量を指定した後のセクターがさらに（指数的個数に）分割
A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

Hilbert空間分割 (HSF)とETHの破れ
凍った領域による空間の分断により、HSFが起こる→ Ĥ DWの保存量を指定しても、ETHが破れる
Volume lawを満たさない低エンタングルド固有状態

Note：・先行研究の典型的なHSFは
局所保存量が全エネルギー以外に二つ以上必要
・我々の模型は局所保存量が全エネルギー以外に一つのみ（ドメイン壁のエネルギー）でHSFが起こる
HDW

HSF：局所保存量を指定した後のセクターがさらに（指数的個数に）分割
A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

非熱的なダイナミクス
ドメイン壁のエネルギー、全エネルギーが同じ値となる

全磁化の平均値

二つの初期状態の時間発展→初期状態に依存したダイナミクス、熱平衡化が起こらない
A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

Part IIのまとめ
弱磁場極限の高次元量子Ising模型において、（全エネルギー以外に）局所保存量が一つのみでヒルベルト空間分割が起こることを示した

ヒルベルト空間分割が起こり、ETHが破れ、初期状態に大きく依存したダイナミクスが現れる

A. Yoshinaga, H. Hakoshima, I. Imoto, Y. Matsuzaki, and R. Hamazaki [arXiv:2111.05586]

非平衡多体現象
ETHを超えた非自明な非平衡物理を探索したい！
①熱平衡化しない系*Many-body localization(MBL)②緩和過程の物理*動的量子相転移③散逸の加わった系*散逸離散時間結晶

timeM. Schreiber et al.,Science (2015)*量子多体スカー*ヒルベルト空間分割

P. Jurcevic et al., PRL (2017)

H. Keßler et al., PRL (2021)*動的スケーリング則*プレサーマル時間結晶*観測誘起相転移*MBLの融解

「動的」自由エネルギー
非平衡状態と、ある状態の重なり ⟨ψf | ψ(t)⟩ = ⟨ψf | e −iHt | ψi⟩1
F = − log | ⟨ψf | e −iHt | ψi⟩ |動的自由エネルギーL[M. Heyl et al. Phys. Rev. Lett. 110, 135704 (2013)]*平衡自由エネルギーに類似*解析接続 β → it

一般化期待値1
Feq = − log Tr[e −βH ]L⟨A⟩gexp =[E. Canovi et al., Phys. Rev. Lett. 113, 265702 (2014)]⟨ψf | Ae −iHt | ψi⟩⟨ψf | e −iHt | ψi⟩

Tr[Ae −βH ]cf) ⟨A⟩ =Tr[e −βH ]通常の局所物理量の期待値ではないが干渉実験などで原理的にアクセス可能な量動的量子相転移(DQPT)
DQPT: 熱力学極限における動的自由エネルギーFの特異性[M. Heyl et al. Phys. Rev. Lett. 110, 135704 (2013)]

典型的な例：

F が時間の関数としてカスプを持つdFcf) Im[⟨H⟩gexp] = −
はジャンプ
dt

F

tc

t

Im[⟨H⟩gexp]

実験的検証
*イオン系
[P. Jurcevic et al., Phys. Rev. Lett. 119, 080501 (2017)]

研究の目的DQPTの有限時間での相転移とみなせるが、未知な点が多い
対称性の破れやそれに伴う普遍性は存在するか？

結果
Yes. ユニタリー周期駆動された量子Isingモデルにおいて、非ユニタリー行列に特有の「対称性の破れ」により、例外点に起因した普遍性を伴うDQPTが起こる[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

研究の目的DQPTの有限時間での相転移とみなせるが、未知な点が多い
対称性の破れやそれに伴う普遍性は存在するか？

結果
Yes. ユニタリー周期駆動された量子Isingモデルにおいて、非ユニタリー行列に特有の「対称性の破れ」により、例外点に起因した普遍性を伴うDQPTが起こる「時空間双対」に非ユニタリー性が潜む！
[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

非ユニタリー行列の数理：反ユニタリー対称性と例外点

非ユニタリー行列 X(g)
Xが反ユニタリー対称性を持つ：
あるユニタリーVとϕ ∈ ℝに対し、 VX*V † = e iϕ X が成立→ X の複素平面上のスペクトルは傾きϕの直線に関し対称「反ユニタリー対称性の破れ」
パラメータgの変化で、直線上の二つの固有値がg = gcでぶつかり（＝例外点）、ペアをなす固有値間の差は典型的に∼| g − gc | の特異性（普遍性）

Im[E]

ϕ
Re[E]

モデルとセットアップ
Ti

m

e

周期駆動された一次元系| ψ(T )⟩ = U T | ψ⟩

U=e

L

L

L

z
−i ∑j=1 bσjx −i ∑j=1 Jσjzσj+1−i ∑j=1 hσjz

e

スピン回転

イジング相互作用+ 縦磁場（周期駆動系に対する）ETHを満たす→定常状態は自明な無限温度

Space

動的自由エネルギー
1↓↑
FL,T = − log | ⟨ ↓ ⋯ ↓ | U T | ↑ ⋯ ↑ ⟩ |L

一般化期待値

Tr[AU T ]⟨A⟩gexp =Tr[U T ]1
1sT
FL,T = − log | ⟨ψ | U | ψ⟩ | = − log | Tr[U T ] | + log 2 （初期状態平均）L

L[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]周期駆動Ising系におけるDQPT
π
熱力学極限において、J = − に固定、b を変化させる
4

s
F∞,T
に多くの特異性があるが、b = bc ≃ 0.026πでのみ微分( ∝ Im[⟨σ1x⟩gexp] )が発散
例外点的 DQPT
s
F1,T

例外点的DQPT:− 12

通常のDQPTでは∂b<latexit sha1_base64="1+3IA27oP5rhyf2J4piu3AbSjgM=">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</latexit>[b < bcのみ]
s∂F∞,T

はジャンプのみ示す

1
2<latexit sha1_base64="yUM3ivBUvWISEYF5yjkhYEueaFM=">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</latexit>Im[h∼ (bc − b)x
1 igexp ]∂b<latexit sha1_base64="pWlmfkKK6OOhwuFUdr8YJBrZuOY=">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</latexit>

臨界点周りでs∂F∞,Th = 3, T = 6

(bc

b)

bc
<latexit sha1_base64="zNKcZivOWS/WOLT6ByHvrlWcuEA=">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</latexit>b<latexit 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/⇡[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

時空間双対性
多体の転送行列を用いた厳密なマッピング[M. Akila et al. J Phys. A (2016)][B. Bertini et al. PRL (2018)]

1= − log | Tr[ŨL] |
L

T
1
Tr[U
]
s
FL,T = − log
L
2LŨ = CeT−i ∑τ=1 b̃στx

e

T
T
z
˜ τzστ+1−i ∑τ=1 Jσ−i ∑τ=1 hστzb̃ = − π/4 − i log(tan J )/2,J˜ = − π/4 − i log(tan b)/2 ∈ ℂ

空間方向へ伝搬する非ユニタリーなTスピンの演算子
熱力学極限
s
F∞,T
= − log | λM |λM: Ũ の固有値のうち絶対値が最大のもの

Im[λ]

Re[λ]

λM

Ũのスペクトル動的量子相転移のメカニズムs
熱力学極限 F∞,T = − log | λM |通常のDQPT: 絶対値最大の固有値が入れ替わる

b < bcb = bcb > bc

例外点的なDQPT: 最大固有値がぶつかり、例外点を通る
必要条件: Ũに反ユニタリー対称性(class AI)が隠れていること

π nπs←J=− +の場合), T = 2m (n ∈ ℤ, m ∈ ℕ) が Uについて成立(F∞,T42

b < bcb = bcb > bc[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]動的量子相転移のメカニズムs
熱力学極限 F∞,T = − log | λM |通常のDQPT: 絶対値最大の固有値が入れ替わる

Note：b < b

b = bccb > bc1 最大固有値がぶつかり、例外点を通る
例外点的なDQPT:↓↑
F = − log | ⟨ ↓ ⋯ ↓ | U T | ↑ ⋯ ↑ ⟩ | がL,T
L
必要条件: Ũに反ユニタリー対称性(class
AI)が隠れていること

π nπ
例外点的DQPTを持つ必要条件も同様に示せる
s←J=− +の場合), T = 2m (n ∈ ℤ, m ∈ ℕ) が Uについて成立(F∞,T42（実験的によりアクセスしやすい）

b < bcb = bcb > bc[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

一般化期待値の発散

典型的には、二つの固有値の差は | b − bc | 1/2*一般化期待値Im[⟨σ1x⟩gexp] ∝

s
dF∞,T

db

d log | λM |=−db

b < bcb = bcb > bc

反ユニタリー対称性の破れていない相でのみ発散<latexit sha1_base64="1+3IA27oP5rhyf2J4piu3AbSjgM=">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</latexit>

−1/2
(b
−
b)
(b < bc)xcIm[⟨σ1 ⟩gexp] ∼(b > bc){finiteIm[h 1x igexp ]動径方向の変化：対称性が破れていない場合 (b < bc) のみ急激に変化<latexit sha1_base64="R5Qxy2I2wLyj0mkt6tRIBAho4fU=">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</latexit><latexit sha1_base64="HujnzKL5CfJDHY+JbQWHsKtvB7o=">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</latexit>

bc /⇡

b/⇡

[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

Part IIIのまとめ
ユニタリーな周期駆動量子Ising模型において、新しいタイプの普遍的な動的量子相転移を発見した

この動的量子相転移の特異性は、元のダイナミクスの時空間双対の演算子に潜む
反ユニタリー対称性の破れ（例外点の普遍性）に起因[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

ヒルベルト空間分割（HSF）
スピン1模型Ĥ =Xh

Sn+ Sn+1

2+
Sn+2+ H.c.

ni

S. Pai et al., PRX (2019); P. Sala et al., PRX (2020)

許される遷移| ⋯0 + 0⋯⟩ ↔ | ⋯ + − + ⋯⟩| ⋯ − +0⋯⟩ ↔ | ⋯0 − + ⋯⟩| ⋯0 + − ⋯⟩ ↔ | ⋯ + −0⋯⟩

| ⋯ − + − ⋯⟩ ↔ | ⋯0 − 0⋯⟩

局所保存量はĤ 以外に二つのみ

Q̂ =

L

∑
i=1

Szî

“電荷”

P̂ =

L

∑
i=1

(i − i0)Szî

“双極子モーメント”

̂
保存量であるH,̂ Q,̂ Pの値を指定すればETH・熱平衡化が成立するか？

ヒルベルト空間分割（HSF）
̂
H,̂ Q,̂ Pの値を指定すればETH・熱平衡化が成立するか？
No! 局所保存量を指定しても熱平衡化は起こるとは限らない
S. Pai et al., PRX (2019); P. Sala et al., PRX (2020)

系が空間的に分割される| ψA⟩: |0000+0000++0000+0000>→壁が時間発展でも不変（凍る）| ψB⟩: |0000++0-0++0-0++0000>→壁が時間発展で溶ける⟨H⟩̂ A = ⟨H⟩̂ B, ⟨Q⟩̂ A = ⟨Q⟩̂ B, ⟨P⟩̂ A = ⟨P⟩̂ B だが̂S10

̂ ⟩A ≠ ⟨S10
̂ ⟩B 初期状態依存性！
1 = ⟨S10⋯ : 長時間平均| ψA⟩ と | ψB⟩が時間発展で張る部分空間は分離しているヒルベルト空間分割（HSF）（局所保存量を指定した後の）ヒルベルト空間ℋが、
初期product stateの時間発展により張られる
指数的な個数の部分空間に分割
K

ℋ=

⨁
j=1

𝒦j

𝒦j = spant{e−iHt̂| ψj⟩}| ψj⟩ : product stateK ∼ exp(O(N)) → Hilbert空間分割
ℋ

Hij :

ℋ

局所保存量によるブロック対角化

𝒦j

指数的個数に分割

HSFによるブロック対角化

時空間双対性
多体の転送行列を用いた厳密なマッピング[M. Akila et al. J Phys. A (2016)][B. Bertini et al. PRL (2018)]
T
1
Tr[U
]
s
FL,T = − logL2L

sin 2b
Tr [U T ] =( 2i )

LT/2{sτ, j}Ũ = CeeT

L（二次元・古典分配関数）1= − log | Tr[ŨL] |L
T∑−i ∑τ=1 ∑j=1 (Jsτ, j sτ, j+1 + J′sτ, j sτ+1, j + hsτ, j)TTz
˜ τzστ+1−i ∑τ=1 b̃στx −i ∑τ=1 Jσ−i ∑τ=1 hστzeb̃ = − π/4 − i log(tan J)/2, J˜ = − π/4 − i log(tan b)/2 ∈ ℂ

空間方向へ伝搬する非ユニタリーなTスピンの演算子

双対演算子と動的自由エネルギー
T
1
Tr[U
]
1
s
L
|
FL,T = − log
=
−
log
Tr[
Ũ
]|
L
L
2
L

熱力学極限
s
F∞,T
= − log | λM |λM: Ũ の固有値のうちŨのスペクトルλM

絶対値が最大のもの

通常のDQPT:
絶対値最大の固有値が入れ替わる

b < bcb = bcb > bc[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

例外点的なDQPTのメカニズム
例外点的なDQPT: 最大固有値がぶつかる

X : [X, X †] ≠ 0

b < bcb = bcb > bc

このような固有値の衝突（例外点）は、
反ユニタリー対称性を持つ非ユニタリー行列の数理に起因

例外点的なDQPTのメカニズム
例外点的なDQPT: 最大固有値がぶつかり、例外点を通る
必要条件: Ũに反ユニタリー対称性(class AI)が隠れていること

π nπs←J=− +の場合), T = 2m (n ∈ ℤ, m ∈ ℕ) が Uについて成立(F∞,T
4
2
T

(∏
τ=1

e

i π2 στy

)

Ũ*

T

(∏
τ=1

e

i π2 στy)†iϕ= e Ũ

T

(∏
τ=1

e

i π2 στy

T

) (∏
τ=1

*

e

i π2 στy)=𝕀↓↑
例外点的DQPTがF∞,Tで起こる条件も示せる

b < bcb = bcb > bc[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]

局所物理量による例外点的DQPTのサイン
1
1
2
T
FL,T = −log | ⟨ψf | U | ψi⟩ | = −log⟨ψi(T ) | Pf | ψi(T )⟩ Pf = | ψf ⟩⟨ψf |2L
2L

Pf は非局所な射影→ 局所物理量における兆候はないか？

1
1
2
↓↑
T
FL,T = −log | ⟨ ↓ ⋯ ↓ | U | ↑ ⋯ ↑ ⟩ | = −log⟨ ↑ ⋯ ↑ (T ) | Pf | ↑ ⋯ ↑ (T )⟩
2L
2L

1
M,↓↑
FL,T = −log | ⟨ψi(T ) | PfM | ψi(T )⟩ |2M
M = 2,3,4,5,10,∞

DQPT

DQPT

i=1

| ↓i ⟩⟨ ↓i |（局所物理量）

DQPT

db

通常の

∏

に関し、
M≪L

通常の

M,↓↑
dFL,T

例外点的

M,↓↑
FL,T

下から

PfM =

M

b

上から
M = 2,3,4,5,10,∞

例外点的
DQPT

b

局所物理量による例外点的DQPTのサイン
1
1
2
T
FL,T = −log | ⟨ψf | U | ψi⟩ | = −log⟨ψi(T ) | Pf | ψi(T )⟩ Pf = | ψf ⟩⟨ψf |2LMを増やしていくとその微分に鋭いピーク
2L
は系のサイズ L とともに指数減衰
Pf は非局所な射影→
F
L,T
例外点的DQPTのサイン（強い特異性に起因）

1
1
2
↓↑
T
FL,T = −log | ⟨ ↓ ⋯ ↓ | U | ↑ ⋯ ↑ ⟩ | = −log⟨ ↑ ⋯ ↑ (T ) | Pf | ↑ ⋯ ↑ (T )⟩
2L
2L

1
M,↓↑
FL,T = −log | ⟨ψi(T ) | PfM | ψi(T )⟩ |2M
M = 2,3,4,5,10,∞

DQPT

DQPT

i=1

| ↓i ⟩⟨ ↓i |（局所物理量）

DQPT

db

通常の

∏

に関し、
M≪L

通常の

M,↓↑
dFL,T

例外点的

M,↓↑
FL,T

下から

PfM =

M

b

上から
M = 2,3,4,5,10,∞

例外点的
DQPT

b

一般化相関関数と相関長の発散zz
C(r) = | ⟨σ1zσr+1⟩gexp − ⟨σ1z⟩gexp⟨σr+1⟩gexp |

*一般化相関関数
C(r) ==

Tr [ŨL−rστzŨrστz]
Tr [ŨL]−

Tr [ŨLστz]( Tr [ŨL] )c1e −r/ξcor, ξcor ∼ (bc − b)−1/2
a + c2 cos ( ξ

r

osc

+ θ0)

2

Ũをスペクトル分解し、例外点周りの特異性を解析(b < bc) 反ユニタリー対称性の破れξosc ∼ (b − bc)−1/2 (b > bc) →振動的な長距離秩序[R. Hamazaki, Nature Communications 12, 5108 (2021).]