計測自動制御学会東北支部第242回研究集会（2008．5，13）
資料番号242−5

速応性を考慮したSVD−RHCの重み決定について
InversedesignofweightingmatricesinSVD−RHCfortransientperformanceimprovement
O熊谷崇，佐藤淳
OTakashiKumagai，AtsushiSatoh岩手大学

IwateUniversity
キーワード：過渡応答（Transientresponse），重み行列（Weightingmatrix），

LQ最適フィードバック（LQoptimalfeedback）
連絡先：〒020−8550 岩手県盛岡市上田4−3−5 岩手大学大学院
工学研究科機械工学専攻航空宇宙システム制御部門佐藤研究室

熊谷崇，Tel／Fax．：（019）621L6404，E−mail：t3407010＠iwate−u．aC．jp

1 緒言
現実のシステムにはアクチュエータへの入力電圧や機器の動作範囲の限界といった拘束が存在し，拘束システムの一種と考えられる．システムの持つ拘束を考慮せずに制御系を設計すると，実装時の不安定化や機器の破損等の好ましくない現象を生じるため，拘束システムの制御は重要な問題である．
拘束システムに対する実用的制御手法の一つとして，近年SVD−RHC（SingularValueDecomposition−RecedingHorizonControl）接が提案されている1）．拘束付きLQ（LinearQuadratic）最適制御の近似解法に基づき，少ない計算量でRHC入力の構成が可能である．低速な組み込みコントローラ等では，サンプル周期内に拘束を考慮した最適制御入力を求めることは困難な場合があるが，SVD−RHC法はヘツシアンの特異ベクトルを利用し，最適制御に十分近い準最適制御入力を比較的少ない計算量で生成する．

また設計パラメータはLQ最適制御と同様な状態及び入力重みとなるが，重みの選択と速応性の関係に注目した研究は筆者らの知る限り無い．

一九 LQ最適制御系における速応性と関係の深い研究としてILQ（InverseLinearQuadratic）法
2っ3）があげられる．これは何らかの重み行列について，指定した極配置を達成するような最適フィードバックゲインを構成する手法であり，速応性を含む過渡応答整形に有効な手法である．

そこで本研究では多項式ILQ法4）の発想に基づ

き，SVD−RHC法における，速応性を考慮した重み行列の決定手法の一つを提案する．前述の通り〕

SVD−RHC法は拘束付き離散時間LQ最適制御の近似解法に基づいており，LQ制御と同様な二次形式評価関数を用いていることを考えれば，このような発想は自然だと思われる．

また，状態量が平衡点を含むある不変集合0∞（与えられた拘束に対応した，LQ最適フィードバッ
ク系における最大出力許容集合）内に遷移した後は通常の（拘束無し）LQ制御と等しい時不変な制御則を用いる．

そこで本研究では重み行列の決定はLQ制御における極配置と同様の方針で行うことを考える．これ
によりシステムの拘束を破らない範囲で，速応性を考慮した制御が可能になると期待される．

2 問題設定

ここで￡トHたは時刻たにおいて予測された，時刻2．1 離散時間システム

た＋fにおけるシステムの状態ベクトルを表す．重
み行列のQ（状態重み）と月（入力重み）は対称か

次のような離散時間線形システムを考える．

つ正定であるとする．また，終端重み行列Pは次
勘叶1＝A現＋月視た，た＝0，1，…

（1）式で表される離散時間代数リカッチ方程式の正定対称解であるとする．また，〟はLQ制御における∬た∈R乃は状態ベクトルでuた∈只↑乃は入力ベクト

最適フィードバックゲインに対応する．

ルである．対（4β）は可安定であり，一般性を失P＝Q＋ATj〕A−∬r（月＋βTpβ）∬，（6）

わず以下の構造を持つと仮定する．

〟＝（月＋月Tf）β）￣1がPA （7）A＝［三三綽＝［‡］（2）

2．4 有限ホライズン最適化問題

2．2 拘束条件

次の有限ホライズン最適化問題を考える．
祝0（諾）＝αγタm哀れん（ごっ叫（1）式のシステムに対し，次のような拘束条件の・、・ノリ‥Jト存在を考える．

J〃（∬）：

uん＋f∈U，ま＝0，1，…Ⅳ−1

入力拘束は■、−￡た＋抑た∈0∞

なお∬∈0∞が満たされた場合㌧玩（諾）最適制御

視た＋t∈U， f＝0，1，…

（3）

入力はu＝−．打∬で与えられる．

終端状態拘束はご頼Ⅳん∈0∞（4）と表される．ただし，入力拘束集合Uはm次元実

3 SVD−RHC法
SVD−RHC法は，評価関数JN（x，u）のへシアンベクトル空間の部分集合で，凸かつコンパクトなの特異値分解1）により得られる特異ベクトルから集合であるとする．また0∞はシステム（1）式に（8）式の問題に対する最適制御入力を近似的に構成ついてのLQ最適フィードバック系に対し，拘束条する．
（5）式は次のように表せる．

件（3）式を与えた場合に対応する最大出力許容集合であり，RHCスキームの安定性保証に用いられる．

ん（∬，視）＝∬Ty諾＋祝rガ視＋21▲TFご，（9）Ⅳは予測ホライズンであり正の整数とする．また，

y：＝Q＋ATQA∈月mXm，

ご頼叫烏は時刻たにおいて予測された，時刻た＋〃ガ：＝月＋rT（汀∈月ⅣmxⅣm，におけるシステムの状態ベクトルを表す．

（10）

F‥＝rTQA∈屈Ⅳmxm

2．3 二次形式評価関数

ただし，Q：＝dぬタ（Q，‥・，Q，P），兄：＝d五叩（月，…，月〉，

SVD−RHC法では与えられた拘束を満たしつつ，0︶Aβ⁚・βA∧7−1ββ2〃A・・．イ、J／・．′・▲．、．

（5）

β0 0JⅣ（緋）＝貰帆帰帆十王た…Lt触十f］

1卜⁚︑十次の評価関数を最小化する入力列の生成を考える．

いる．

uた＝刀加古γd（ご），行列Aとrはシステムの状態のⅣステップ予測時間発展を決める．

（17）

β＝［㍍Omx（Ⅳ−1）m］

J〃（ご，u）のへシアンガの特異値分解を次式で与（step3）アルゴリズムの初期化初期状態ご0∈ズ〃

える．

を選択する．初期状態は指定されたホライズン（スガ＝VgVr
行列5∈月〃mx〃mテップ数）で，拘束を満たしつつ0∞内へ遷移す（12）

るRHC入力列が存在するという意味で，許容されは正定であり方の特異値（Ji）慧を対角成分に持つ．V∈RⅣm′×Ⅳmる状態集合ズⅣ（許容領域）内にあるとする．の列はガの特異ベクトルからなり，Vは直行行列すなわち3−a）祝＊：＝加古℃d（ご0）V了「l′＝VVT＝J〃mが成立する．

3−b）（9）式を使い，関数V＊（ご）（リアプノフ関数の候補）を初期値にセット．つまりⅤ＊（如）＝

SVD−RHC法では制御入力uをHの特異ベクトん（諾0，u5Ud（和））ルの線形結合として構成する．
．＼ r＝

祝＝Ⅴ屯＝ ∑叫趨j＝13−C）た＝1に設定（ホライズンの更新）（13）（step4）kステップ目のとき

ここで机パ∈（1，2，…，Ⅳm）はⅤの列（特異ベク4−a）∬たgズⅣのときstep5にいく．

トル）であり，毎は拘束無しのLQ最適制御入力ベ4−b）￡た∈ズⅣのときん（ご）を解き，祝ざγd（ごた）をクトル元の要素である．
求める．

SVD−RHC法を用いることで，拘束付きLQ最適4−C）ん（∬た，uぶγd（ヱん））≧V＊（ごた1）ならstep5に制御問題の最適解を，拘束無しLQ最適制御解を利いく．
用して近似できる．

4−d）ん（￡た，祝∂むd（ごた））＜Ⅴ＊（ごん一1）なら視＊＝むgγd（ごん），V＊（ご長：）＝ん（ごた，祝￡℃d（￡た））とする．

4 SVD−RHCアルゴリズム4−e）て上た＝か祝＊4−f）k＝k＋1にしstep4に戻る．（ホライズンの（stepl）各時刻毎に，現在の状態ご＝ごんが得られ，（14）式の最適化問題を解く．
ん（ご）：m㌘ごγ更新）（step5）鵜￠ズ狛ん（∬た，㍊5Ud（諾た））≧Ⅴ＊（∬た＿1）の（14）とき拘束を破るため，祝＊を拘束を満たすように構Subjectto

成する．

r∈（1，2，…，Ⅳm），

5−a）祝＊の次の要素を利札γ

視5γd（ご）‥＝且両7，uC（ご），視た＝［Omxmん−Omx（〃一2）m］祝＊（15）5−b）∬ん‥＝f（厄た＋rl↓＊）

祝5Ud（￡）∈U，∬んは終端時刻た＋Ⅳのときの予測されたシステム（16）の状態．
f（A諾＋rl▲ざγd（ズ））∈0∞（祝＊は1ステップ前の入力ベクトルだが，視＊の2番

ここでf＝［Omx（Ⅳ−1）mJれ］である・なるべく多く目の要素は1ステップ前に予測された現在の入力．）の特異ベクトルの線形結合で入力ベクトルを構成．

5−C）1ステップ前に求めた入力ベクトル祝＊の第（step2）制御入力列usvd（x）の第一要素を入力に用二要素から第Ⅳ要素をずらし，空いた第Ⅳ要素に3

一軋症を加え，祝＊を更新する．

（step7）離散時間最適フィードバックゲイン∬：＝エA＋㊤上が求まる．

餌＊：＝［祝；Tげ…祝紅1（−軋症）T］T（18）（step8）（6）式において月＝Jとおき，正定解

P＝PT＞0と状態重みQ＝Qr＞0を逆算する．

5−e）た＝た＋1にしstep4に戻る．（ホライズンのこれはLMI問題として解ける．

更新）

6 数値例

5 離散時間多項式IIQ法に基づく重み決定

6．1 システムと制御目的（5）式の重み行列Q，P，月を離散時間最適フィー

離散時間システムは次のように与える．

ドバックゲイン∬から求めるため，離散時間多項

0．0142
ごた＋1＝式ILQ法の部分極配置ゲインを利用する．なお，多0．1972

0．1673−0．8363 −0．3203、Itん＋0．1673

項式ILQ法では入力重み月＝Jに固定するため，ホライズンⅣ＝5，拘束条件は次式で与えられる

決定すべき重みはQとPだけである．とし，（8）式の問題を満たす制御入力列を求める．

（stepl）（2）式において，Al−A2エ1の極を指定

uトH∈U：＝ト11い＝0，1，…，4極（m∵−†れ個）へ配置するエ1を求める．（mは状態の次元，mは入力の次元）

勘叶5た∈0∞（step2）エ＝［ェ1∫］とする・ただし上β＝∫・（step3）G‥＝（エA￣1β）￣1を求める．

6．2 極配置による速応性の比較（step4） α＞0（1）となるようなαを選ぶ．
離散時間システムは複素平面上の単位円内に全てここで，0（z）：＝J＋Ⅴ〜（z）V（z）−の極があるとき安定なシステムとなる．原点に極がlllポ匪］⊥ニ：

近いほどシステムの応答は速くなり，単位円周に最V（z）：＝も近い極（主要極）は応答に最も影響を与える．こ＝C（zJ−A）￣1β，の例ではれ一肌＝1個の極が指定できるので，指定極をp＝0．01およびp＝0．89に配置するような＝（C（z￣1トA）￣1β）r，重みを逆算し，SVD−RHC法を用いた初期値応答の結果から速応性の比較を行う．

は紆＝に：］A［＿∵］

重み決定の手順としては，多項式ILQ法から極配置ゲイン∬を求め，入力重み月＝Jを固定する．

（step5）〟（z）＝

AェーZJ Oβ⊥C三「C上 トzA言方ムーギ

次に（6）式から終端状態重みP及び状態重みQを決定する．

zβ言 （α−1）ト」甘仇乱‥＝−（CェA云1）T＋CZ「ヱ）⊥（1）指定極が異なると極配置ゲイン∬が異なるが全てのIzl＝1において正則となるαを選ぶ．

ため，結果的に許容領域ズ〃と最大出力許容集合（step6） ∑＝diag（Jl，…，Jm）とおき，任意の0∞も異なる．そのため，各ズⅣの共通範囲から打た＞α，た＝1，…，mを決めてから，◎＝−∑￣1G

初期値諾。を選ぶ．今回はェ0は次のようにおく．

を求める．

4uん（19）■0806（2）状態遷移の様子を全体図と0∞付近の拡大図で

0∠1

示す．

0．2 ■

くコ≒ 旨 0・l、l（3）状態ベクトル∬＝の，ご1と∬2についコ ー0．2−0 1￡2て指定極が異なる場合の速応性を比較する

−06
−0β

−1

重み（P，Q）の逆算方法

5010152025

コ035k（5teP）

Casel 主要極p＝0．01に配置するゲインを使用
主要極でない極β＝−0．0000135
Case2 主要極p＝0．89に配置するゲインを使用

図3：主要極p＝0・01のときの入力（入力拘束−1≦‰≦1）

主要極でない極β＝−0．000028

10．80604400

̲ 02300⊂〕
ミ き 0

コ ー0．2200−0∠1て ■Ly−06
−0〔享、−一 Jl■−1005010152025k（step）−200

図4：主要極p＝0．89のときの入力（入力拘束−1≦ー3ひ〕一利氾

ー10010机≦1）X，（state〉

図1：主要極p＝0．01のときのズⅣと状態軌道
4DD30D2〔〕0ど10D （ロロー100−2DD10515k（5teP）

20−300−400−40−3ロー20−10D l〔I

図5：状態量ご1X，（state）

図2：主要極p＝0．89のときのズ〃と状態軌道
420︵ββS︶ ×2N7 結言−4−6−8本研究では，多項式ILQ法の発想に基づき，速応性を考慮したSVDqRHC法の評価関数の重み決定のための一手法を提案した．

−10246810 12 1 qk（step〉

図6：状態量￡21625

数値例では二つの異なる閉ループ主要極配置に対応する重み行列を決定し，SVD−RHC法における初期値応答を比較した（図6，7）．
図6，7の通り，LQ制御において主要極をより原点近くに指定するような重みを用いる場合，予想されたように速応性が向上している．これは，SVD−RHC法は拘束付き離散時間LQ最適制御の近似解法に基づく手法であることを考えれば自然な結果であると思われる．

参考文献［1］0．］．Rojas，M．M．SeronandG．C．Goodwin：SVD
basedrecedinghorizoncontrolforconstrained
linearsystems‥Stabilityresults，Proceedingof
the42ndIEEE Conference on Decision andControl，3695／3700（2003）［2］藤井，水島＝LQ設計への新しい試み一最適サーボ系設計への応用−，計測自動制御学会論文集，23−
2，129／135（1987）［3］杉本謙二，井上昭：多項式行列の規約分解を用いたILQ最適サーボ系の設計システム制御情報学会論文誌，8−6，242／248（1995）［4］佐藤淳，杉本謙二：離散時間レギュレータの多項式ILQ設計とサンプル値LQ制御の逆問題，
計測自動制御学会論文集，34−9，1198／1204（1998）

6