G6n6ration dё s groupes de Liepar les cOnstantes de structure
島 倉紀 夫 (Nbrio SHIMAKURA)(構造 定数 か ら Lie群を生 成す る こと, 偏微 分方程 式姫 路研 究集 会 ,2 0 1 6 有1 3 月 2 日‑ 4 日 )Je rernercie cordialellnent aux organisateurs du Colloque de Hillnai surla th6orie des 6quations aux d6riv6es partielles de nl'avoir ert
o beaucoup
d'occasions de faire con rence.
mes les plus pr6cis qui contiennent
Je voudrais pr6senter l'un des th6orё

les constantes de structuresuiavant
Ё.Cartan口ti641(voir aussi 121).
,η
Th6orё me

Etant donn6s deux groupeS de Lie,supposons que

les espaces de paramё

tres soient tous les deux silnplement con‐nexes. Les deux groupes sont alors biunivoquement isomorphes
si et seulement s'1ls ont les lnemes constantes de structure.
Soient C un groupe de Lie r6el de dimensions r etωl(α,αα),…。
,ωr(α,αα)les composantes relatives de d6placement inflnit6silnal de ses repёres mo¨q1571。
paramё
biles 11,ηLe groupe de・tres de C fait ces r fOrmesωs in―varianteso C'ёst―
卜dire,si nous transformons un point variable tt de C
p a r l a c o m p o s i= t島i 義o na島
V e c u n p o i n t d ei x c6 ,島l e s c o m p o s a n t e s
relatives de 46plaCement du point tt satiSfOnt aux 6
ωs(η,α,α,r)。
η)=ωs(ξξ) (S=1,… ・(1)Prenons deux symboles 6changeables de ditt6rё
ntiation d et
δ,nous avons
流ら(η,δ,δ,αη)一δω3(η,αη)=α ωs(ξξ)一δωs(ξξ) (S=1,… 。
,r)。 (2)Et donc,le groupe de paramё
tres fait invariant non seulement ω
less maisaussi leurs d6r市
6es ext6rieures
ωl・Chacune des ωs(ξ,αξ)6tant une forme
lin6aire de ,ladξ d6r市
6e ext6rieureωl(ξ,(,δξ)est une forme bilin6aire

altern6e αdeδ
ξet deξ.

gに,αO=Σ %gsC)[%に,δO ,ωC ll,4に,(,δ0)

1≦p<9≦ rot les%gS(ξs(ξ)SOnt des quantit6s qui satisfont
a %93(ξcの )et a)=―g O,δЪδ軋0,α→=Σ %9θO )[%0,αり,ω
→]・ 0り1≦pく9≦r

Les 6quations(2)repr6Sentent que les premiers membres de(3)et de(3′sont 6gaux.LeS Seconds membres le sont aussi.Les%gS(η))SOnt alors

6gales termes a termes aux%gS(ξ)quelS que soientξet ηdC Pespace deparamёtres.Les%gs(ξ)S6nt donc ind6pendantes des variables・・ξl,・,0。
La d6r市6e ext6rieure du me血
bre a droite de(3)6tant nulle,nous avonsr】E ] ( C β γs C θαん

卜C γ
卜α3 C 3 β ん C αβs C s γん) = 0(4)3ヨquelles que soient lesα
indices,β,γetんvariant de l a ro EoCartan appellel e s sq ηc o n s t a n t e s d e s t r u c t u r e d e C . E l l e s rs2o)n/t2 .a u n o mNous ccr市ons les 6quations(3)briё
Vement commeω
ち:=Σ %9sレ→P,ω
』 0=1,∵)

1≦p<9≦ rgυ
e t a p p e l o n s ( 5 )sJびθαι ηs αθ s t t t c t % αθ″α% 「θαt t αη.
̀ο′=α ″+b(α >0)
Exemple l Groupe des substitutions lin6aires″

L e s c o m p o s a n t e s r e lω
alt=iαvαs, ωnbt/ ,αe t l e s 6 q u a t i o n s d e2s=oα/eαstructure sont

= 一[ ωωl = 0 , ωちl,ω
2]。

(6)

placerlllent inflnit6sillnalExe]mple 2 Groupe projetifdu plan Le dёdu repёre lnobile est(ααス = ω O 。
1 + ωo 2 ( a ) ■2,) 五十ω0 1 ( a ) ス( a ) ス+ ω l l ( αα■1 = ω l 。
) ス1 + ω1 2 ( α)42,
α■2 = ω 2 0 ( a ) A + ω2 1 ( a ) ス
1 + ω2 2 ( α) ス2 ,(7)

avec

(8)

ω00(a)十 ωll(a)+ω 22(a)=0。

Les 6quations de structure sont= [ ωt o , ωω: プOブ1,ωl′。
2,ω
2ブ] + レじ] 十[ ω] ( づ = 0 , 1 , 2 ; ノ= 0 , 1 , 2 ) 。 ( 9 )Exemple 3Groupe amne de R3 Le repё

re lllobile est constitu6par un pointス
ёt trois vecteurs lin6airement ind6pendants,島.Les l,鳥12 composantes relatives
ωづre sont d6flnies par les 6quations,ωり du repё

α1+ω
212+ω
3f3,4=ωl」(10)=1,2,3)。
α+ωを
馬二ωを
1■
2島+ω
(づ̀j二(11)

En exprimant que 島dδ
一δα島 = 0 , n O u s o b t e n o n s l e s p r ermeisё n e u f d e s
6quations de structure

ω;J=[ω
1,ωlブ
づ2,ω2Jl+[ωづ,3,ω3J]]十[ω(づ=1,2,3;J=1,2,3)。 (12)Par la relation 4‑δdδ αノL=0,nous en avons encore trois

島)=o.
か疏一ωλαΣ (ω(13)ん=1quations(12)dansatt pOur avoirSubstituons
ёlesω:=Iω l,ωlを1+[ω2,ω2づl+[ω3,ω3̀](づ =1,2,3).

Les(12)et(14)d6inissent ensemble la structure du groupe amne de R3.
Exemple 4Groupe des subtitutions homographiques″→α″十b+α(αα bC>0)。

D6inissons les paramё
tres du groupe(″,し,υ)par2/包″―(1/しα″―(1/包しωl=しα″υ
2=2υ
3=(υ, ω, ω)α)α)α(14)

q 1 6 1 , ηl 1 0 8 , ( 9 ) ] ・Alors,nous avё
ns[1,η=2[αυ″し,α″ωl=[α,α1, ωち1,2)[α υし,α″υω3=(2υ,α/υ/鶴)2[αl十(1/υ し,α]・)[αd― (υOr[ωl,ω21=[αし,α″], Iωl,ω31=Iαυ,α″l,2)Iα υし%;α″2,ω3]=(2υ,α]十(1/し し,α)[αd一 (υ/し)2[α]・/しIω
Les 6quations de structure sont donc

ωl=[ωl,ω2,ωl,ω
21, ωち31, ω:=Iω
31・・2[ω(15)mes de PfafF Le th6orё
me cit6
2 Un th6oreme relatif aux systё
§?16刻).
au dёb ut du manuscrit s'obtient par le suivant(VOir[1,ηωl(αα),…。
Th6orёme Soient r formes lin6airement ind6pendantes,,α。
ωl(しし),…・αl,…,αωr(ααr et encore r formes,α,ω,d%),α「(し)a r variables・
mes de formesa ρvariables%1,…
≦r).SuppOsons que les deux systё
,しρ(ρωs etωξv6rinent les memes 6quations de structurey=Σ〕%gSI弓ω,ω,r),,ω
:=Σ)%9slω
P,ω』: 1 (S=1,…
1≦p<9≦ r
1≦p<9≦ r
nt des constanteso Nous pouvons alors choisir d'une maniё reot les cP9s s°・・…,αr des fonctions deし1,・
et d'une seule pour a71デ,υρqui satisfont hし) ( S = 1 , …
α) = ω : ( % , αωs ( α,α。
,r)

(16)°
O arbitrairement donn6。
et qui associent un point α ゝun point υD6monstrationo

Consid6rons un point d6pendant d'un paramё
coinOidant avec鶴 O pour t==0。Le systёme di郎6rentiel(υ(ι鶴(ιωs(αα,α),α)))=ωξpeut etre r6S01i par rapport aux di■・:,ααl,・r,ι,at.

,r)(S=1,…・tre t et(17)6rentielles αals en fonctions de・・,αr(ιIl existe une solution et une seule αl(ι),・)telle
OoLepointαα(ιque αl(0),。
…,αr(0)SOient les coordonn6es de),qui a

・・
pour coordonnё es αl(ι,αr(ι),・), est l'homologue deυ(ι)dans la corre―

spOndance Cherch6e,si celle― ci est possible,Supposons maintenant que lepoint tt d6pende non seulement deι, Inais aussi d'un second paramё tre:La composantes∂αθθduサecteur∂a/∂θs'。
btiennent en int6grant les/∂me(17)dittrenti6systё

ωs(Q挙:(Ъ)=島島ω挙)・(10Ces 6quations(18)constituent,par rapport aux α
inconnues∂
θs(t,θ,un)/∂me di∬6rentiel lin6aire;les valeurs initiales de ces inconnues sont
systё

α
∂
3(0,2=0。
∂θPuisque les deux 6rentiations∂dit et∂θSOntё
changeables, nous/∂/∂s les 6quations de structure
ЁoCartandeavons d'aprёωg← ,ヽ■ ■ ノr

猟鋤一ωθsC紛=Σ%T%←紛
しリー島ω
島器

ξ
眈しり=Ё%Tω
ぉしリー
し紛ω
ルリ・島ω
島(0,∂D'aprёs(17),les derniers
ω9(αfacteurs
α0/∂ιι,∂/∂)etωじ)SOnt 6gaux.
Les 6quations(16)peuvent donc sでcrireωp)←sC)=ωs←χ,%)一χ)+Σ
:し%"χ
:ω
しり=Q Ot島%)。
:。
a73/∂
θde
χ3(0)=0。
χs(ι)est nul quel que soit t parcequeLes solutions∂(18)s'obtiennent donc en r6solvant le mesystё

ω
30紛=ω
ICり。

(19)

quations(19)prouVent que le point α(ιCes ё)asSOCi6、 un pointし(ι)■Xe′(ιreste nxe quand on modine continament les points包)COrreSpOndant aux

′di ёvaleurs ιrentes de O et de t: la correspondance qui existe entre lespoints υ(ι)et α(ι)OSt dOnc univoque. En outre(19)eXprilne que cettecorrespondance satisfait aux 6quations(16)。

Nous avons dtta constat6qu'ellètait la seule possible. Le th6orё
me est ainsi 6tabli.

§3]D6monstration du th6orё me au d6but du manuscritt res de deux groupes Gl et 6;2Supposons cue les espaces de paramё
simplement connexes.Soientsoient tous les delⅨ

ωl(α…,ωr(α,αα),αα):・。
et ωl(し%),…
し)les COmpOsantes relat市
es des d6placements des,α,ω,α「(しrepёres lnobiles de(31 et celles de(32,reSpectivement. I)'aprё
s le th6orёme
au§2,nous pouvons faire correspondre chaque point α de(31 a un point%
re que l'on ait
et un seul de(32 de la maniё。
(しωs ( ,αααυ) ( S = 1 , …
,α,r)。
)=ω」σl est caract6ris6 par la propri6t6 qu'il fait invariantes les formes
ωs etθ2eSt Caract6ris6 par la prOpri6t6 qu'il fait invariantes les
ωき,nOusformespouvons passer du point α de Cl au pointしde(3,pour 6tablir une applica―tion biunivoque de(31a(32・ Les deux groupes sont donc biunivoquement
isomorphes.
R6ciproquement,deux groupes biunivoquement isomorphes ont le lneme
espace de paramёtres et les lnemes constantes de structure.
re, c123 par eXemple, des constantes cP9,Signalons que l'une particuliё
n'a aucune signifltation, mais que c'est l'ensemble de toutes les cP9: qui
d61nit une structure inflnit6simale de groupe.
R6長 ,rences

Ctttan:La Th6orie des Groupes Finis et Continus et la G6om6‑・11]Ё
trie Di■6rentielle,Pαrts,θαυιんjθr‑77i′
JαT,1937.

pl Ё・
me th6orёme fondamental de Lie,θ
Cartan:Le troisiё
.R.ス
cα。
α。
190(1930),914‑916. [2016Him●i, 2015120151
Sc。
,ι