計測自動制御学会東北支部第177回研究集会（199鼠1n．31）
賓科番号17丁−15

非標準混合感度問題の解法
ASolutiontotheUnstandardMixedSensitivityProblem○山根亜希子♯，渡部慶二♯
OAkikoYamane●，KeijiWatanabe書＊山形大学院工学研究科♯YamagataUniversity
キーワード＝ 混合感度（mixed8enSjtivity），ロバスト安定（robaBtBtabllity），感度関数（8eI18itivityfunction），相補感度関数（tx）nPlemet血ry8en5itivityhrLCtion）．極配置（pole朋8ignme叫
連絡先：〒99ユーロD3呂 山形県米沢市城南￠ふ16山形大学工学部電子情報工学科渡部研究室
山根亜希子，恥1．＝（023印問336．知．：〔0238）24−27揖．8m乱jl＝yam皿紬甘at且．y之．y姐agatall．aC．jp

1． はじめに感度問題の設計仕様を、人力側感度関数と出力側相補感度関数の周波数特性による図的表現より設計する設計法を提案する。

今日の産業において、様々な分野で制御技術の重要性がますます増大Lている。
制御器の設計には、通常、制御対象モデルを使用するため、モデル誤差が生じる。フィードバック制御

本設計法では、解の候補として、感度関数の重み関数を接続Lた拡大系に対するオブザーバを用いた
状態7イ〟ドバックと、自由パラメータqを使って系の設計において、目標追従特性、外乱除去特性を良くし、モデル誤差の影響を受けにぐくするためには、低感度にする必要がある。また、より大きなモデル制御系を考える。その際、感度の大枠の設定をオブザーバの極で、ロバスト安定を状態フィードバック誤差があっても制御系を安定にするためにはロバスいるかどうかを感度関数及び相補感度関数の最大特異値をプロットすることで、その特性を見ながら効率よく設計を行う。本設計法の応用とLて倒立振子の極を用Vlて設計L、制御器が設計仕様を満たしてト安定を考える必要がある。しかし、両者にはトレードオフが存在し、この要請を同時に満たすことはできない。そこで、感度関数坤）、相補感度関数r（β）
を定義し、それぞれに適当な重み関数一帖（β），l町（β）に適用L、その有効性を示すものとする。

を導入し、IlⅣ云（占）β（可＝∞く1，lfl竹中）r（可‖∞く12．非標準混合感度問題を同時に満たす制御器を求める問題が検討されてきた。この間邁を混合感度問題という。

別御対象を次式で表す。

また、一般に多変数系と呼ばれるシステムのうち、入力の致よりも出力の致のほうが多いときには、非標準混合感度問題となる。この時には、ロバスト安Cp（占）＝（J＋△（占）1G（占）定を出力側で考えなくてはならない。しかし、出力

ただし、G（ざ）∈見川m（占），（r≧叫公称数式モデル

倒感度関数の最小値を1よりも小さくすることが出来ないので制御性能の良い制御器を設計することがで、G（ざ）は虚軸上に零点を持たず、G（占）＝C（占トA）￣1β出来ない。そこで、制御対象の入力例感度関数を用いることでこれらの問題を解決しようと考えた。
本稿では、多変数系システムにおける非標準混合A∈片肌皿、月∈肝Xm、C∈屈「柵、（A，月）可制御、〔C，A）可観測、また、砧（β），ロ（可の不安定極の数はー1−（1）〔2〕等しVlとする。さらに、制御対象の状態方程式におである。〔12）式から0から叫ぶまでの可℃（j山）】卍1にいて、月行列を1列ごとに分割する。

おく必要があり、ここが限界である。限界近くに設定するには次のようにする。了1（占）を

β＝匝1‥・占ml（3）

れ（占）＝n（β）乃（β）

このとき
J︼

あるいは
苅〔占）＝鞄（占）れ（β）

bi≠ 0

ヽ■■′

︷−．ロCA巧￣1．・l−■′︵Cノ中￣1占i＝ ロ，ブ＝1，2，…，均一2と分解する。ただL、れ〔可は真にプロパでヽJ︵蔦U〃＝ min（∫ノ1，・・・，〃m）

れ（JO）＝J，lln〔β川閲≦1とすると、（5）式を集めた行列を◎＝［CA〝1￣1占1叫を満たし、範〔占）は残りの部分でIII梅（占楓（占川00＜1CAレm￣1転】（7）r肌抽＝ mを満たすためにぶ再）＝J−℃（占）がⅣ．（畠）の極付近の零点を持ち、かつ範（J叫＝Jを満たすように決定（8）する。とする。この条件は制御対象のインナ・アウタ分解

このような準備のもとで、叫一咄可］を扁前のための条件である。の近傍にもっていく。次に斤【範（．才u）］のOdB平坦部分△（β）はモデル誤差でを徐々に伸ばL叫一咄山）苅（川く同古河を満た

庁【△（J」J）】くlⅥ与（j山）l，∀山≧0

すようにする。このとき、㌔（月）が（10）式を満たせ（9〕ば解であり、満たせないときは解がなレ㌧とする。ただL、1／l仲ゝ（占）lは安定で、相対次数は〃を超えないものとする。

ロバスト安定にするには、出力側相補感度関数
㌔（β〕が

∀山≧0

百【㌔（Ju〕】＜（10）l什ゝ（jLJ）lを満たすことである。また、制御性能を良くするには感度を小さくすることである。Lかし、多変数系で人力の数よりも出力の数のほうが多い場合、出力側感度の最小値を1以下にできず、応答の調整ができなくなる。そこで入力例の感度関数坑（占）を使い、Fig．1可解条件

重み関数Ⅳ云（g〕を導入し庁匝（ju）1＜∀u≧ロ4．設計（11）

け侮（j山）l可解条件をふまえた設計法を与える。

を満たすことを考える。

4．1制御系の構成

3．非標準混合感度問題の可解条件

Fig■2の制御系を考える。
感度関数風車）に対する、相補感度関数を苅〔β）とする。Ⅳ王府），l町〔ぷ）のOdB交叉周波数をそれぞれ叫，叫1（叫くUT）とする。ロバスト安定は〔10）式を満たすために百机（j可】をuTより低いところから下げることである。低くしすぎると可れ（j可】も下がり、古匪（j刷が大き〈なり（11）式を満たせなくなる。低くできる限界は感度の必要条件から決まる。
すなわち、感度仕様の必要条件は（11）式より＋1＞庁【れ（j亡」）］，∀山≧0 （12）」Ⅳ云（j山）1

ー2−

γ瓜m紳＝m（24）とする。また、岳の疑似逆行列を以下とする。
畠＋＝（餌畠「1丘・T（25）ある山〟に対して肋入（A）≧一山打
ミニ 月eA（劫＜一唖（豆＝1，2，…，P〕（（26〕として、安定多項式を以下のようにおく。
占レ ＋叫1㌔ト1＋…＋α兢＝

巧−p：偶数のとき

Fig．2 制御系（㌔＋2亡唖β＋山左）キ巴（β＋山ml卜・（頼叫岬）

ここでG〔占）＝e〔占J−A）￣1βは制御対象の公称
巧−p：奇数のとき

数式モデル、Cg（βトAざ）】1助は感度の重み関数で（β2＋2如叶描）旦L寺±〔旺唖）（β＋仙ト〔山叩）巫）± C（占トA〕−1β・q〔βトAぶ）−1βg＝ C（βトA）￣1丘（13）（27）とする。封∈肝，r≧mでqは自由パラメータでまた、ある。

中＝【A叫占1＋叫1Å舌1￣1ふ1＋・‥＋α叫む、・・・

この閉ループ異における出力側相補感度関数㌔（症A丘m占m＋αmlA軋rl古m＋…＋αm。m占m】〔2呂）

人力側感度関数耳直小人力側相補感度間数℃（可を算出すると、以下のようになる。

n＝成叩［軸1・‥n〔占）＝ 轟トj＋舶）￣1虐α岨］（29）とする。

・悼＋け−q真（正一j十丘七）【1現14）「捕誼」β再）＝【J十耳（βトA）￣均￣1

A一由＋eが虚軸上に固有値を持たないとする

・け＋（β−Qe）（古トA＋舟e）【唱（15）と、リカッチ方程式了拒）＝【J＋極トA＋丘β）【1（軸−し軸・￠e（正一j＋舟e）」虐f（ムー骨壷＋e）T＋（j一拍＋e）P〔16）

一戸dT（壷十）Tr舶十ep＝0

また、了1（古）を彗（占）＝罷（β隅（占）と分解する。

は安定化解P＝PT≧0を持つ。この解を用いて

範〔可 ＝＝ け＋轟トA＋磨蔚）￣1（血㌻1一点川1丁）
れ（β）＝ 扉（占トÅ＋斤e）￣1丘由＋＋PeT〔針）Tr粕＋ （31）（柑）

町1（0）鵬＋4．2 設計準備

（32）

とおくと、

丘行列を1列ごとに分割する。
巌［呂1・・・（30）k］

n〔占）＝qe（βトA＋煎e）￣1丘＝叫叫（β）（33）（19）

が成り立つ。ただし、亡早まインナ関数でこのとき、lJ︵nU l22dAj￣1占i＝ 0，J＝1，2，…，功一2叫β〕＝トロ針e（正一j＋舟e）￣1per〔針〕Tn︶

．1

ワ︼
つ︼

舌＝ min†み1，■・■，葺mI．ヽ■■一′≠ 0︹1氏鎮−1畠tA（β）＝d盲叩

占叫＋叫1ぶ叫＋・・・＋叫呵である。とすると、（21）式を集めた行列を

畠＝［eÅ叫1・・・eA軋−1畠机］（叫（23）［3−叫巧

ある値叫F＞0に対L、叩兢叫巨1（0く山くT肋1e・1の各パラメータ値よi）、制御対象モデルの叫とするために、入（ムー点耳）を以下のように設定

状態方程式は以下で、これは可制札町観測である。

する。
坤〕＝ A坤）＋飢刷・叫j）の不安定庵をすべて一叫とする・項）の安定極を絶対値の小さい方から巧−ヴ個を一哩とする（甘：Aの不安定極致）

00100011∬（り0 −1．2415 −47月886 0．0027
0 23．6603 1ロ2．61貼 一0．0511

4．3 設計手順

0Stepl（27）式で亡＝去とおき、帖を叶から出発L

011．0144て小さくLていく0叫−れU可］が同所の 1叫）（36）−23．6023

近傍になる唖を決定する。

訂（り ＝〔k（り6tep2uFを山5より小さい方から出発し、

1 0 0

叶卜耳拍叫爪（醐＜両手研を満たす叫を決（37）

口 1 0

定する。

設計に使用する重み関数I町（占＝帖（占〕を以下のよ

Step3百【㌔（如）】が、（10）式を満たせば設計終了であうに設定した。

り、満たさない場合は解なしである。

（占＋6〕25．設計例

840
0．04

次に設計例として、「倒立振子」を制御対象に解Ⅵ与，一輪のクロスオーバー角周波数は、それぞれ析を行う。

叶＝25・Orrαd／β］，叫＝0・0叶αd／￡】（40）である。次に、感度の重み関数を接続した拡大系を求めると、巧＝カ1＝3となり、（23）式を計算すると

吋e叫＝［芸］（41）となり、この行列の階数はr仇mた缶＝1（42）である。また、〔27）式は㌔＋叫1㌔＋叫2∫＋叫3＝㌔＋48．233㌔＋13．60鮎＋1．918（43）となり、（2日）式，〔29）式より以下のようになる。

Fig．3 倒立櫨子

Fig．3の各係数を恥ble．1に示す。

中＝［ぷ丘＋叫1舶十α12舶＋咄車］
0．1494

1もble．1各パラメータ値

振子の質量 m0・270 触‡

台車の質量 M

1・531［kg】

振子の長さの1／21−0．2772

0．0128−19．8408

0・350［m】

電庄一力変換係数．a 17−6055【N／V］

0．0767台車の粘性風致．仇 76▲5与00【Ⅳs／ml】

n ＝ d豆叩tα13】＝1．9180

振子の粘性係数1坊
重力加風茸 g〔44）0・002 睡m2／s】
9・8［m／β2］−4−（45）

叫卜萄（山中宜如）】をプロットLた囲をFig．5に示す。

〔stepl）

山打＝叫1＝25・0から出発Lて山片を小さくLていき、坤トれ（州が冠詞近傍となる唖を決定する。
叫＝0・2のときの坤㌧れ（J可】をプロットした図をFig．4に示す。

Fi苫・5 叩一端（ル甘拍叫】（叫＝0・04）
Fig■5より〔11）式が満たされてい山一ので、岬を大きくLて再度廓を求める。
山甘＝1g・0のときに（11）式を満たすことができ
Fig−4 叫−れ（j山）］（唖＝0．2）

たロその際の状態フィードバック係数は以下となった。

次に、A一中か∂を計算すると、虚軸上に固有値

転［−162醐¶160畠30−71750−349301540］を持たないので、（30）式のリカッチ方程式は安定化〔51〕解P＝Pγ≧0を持つロこの安定化解を用いて（31）（或ep3）

式を計算すると、オブザーパゲイン互は印拍刷，叩も（j刷をプロットLた囲をFig刷こ示す。

ー0．0442 0．0947−1．9684 4．2136＝

0．0：170 −0．0793（46）−12．0738 25．呂724−0．0311 0．Ofi67
また、（32）式より︻中U︼u葛ロ

q＝トm851・6683］（47〕となる。
（stepコ）

通行別の固有値は次のようになる。
抽＝［004・580−4・5742−47・9505］（48）

叫＝叫＝0・04とする。ノト」拍の固有値を以下のように設定する。

A（j一叫＝［−0朋−0・D41−0．042−4．5742 −47，9505

Fig・6 即β），孔（β〕の周波数特性
Fig・8より（10）式を満たしているので設計終了］（叫である。

極配置法により状態フィードバック係数βは以下のようになる。

転［−0・002−1212・1−511・9−261・7117・7］（叫−516・シミュレーション結果

・振子を手で軽くたたく〔約6桓］）

次に、設計Lた制御系を用いてシミュレーションを行ったDサンプリング間隔を0．02【seclとし、初期・白車を傾ける脚17r6eC】）

条件とLて振子の触れ角を0坤ad】傾けてスタートさせている0以下にその時の台車の位置と振子の触れ角、及び入力電圧の変化を示す。

105201与25コ≦

加¶mliI叫】

Fi苫−9 白車の位置と振子の触れ角の変化

Fig・7 缶車の位置と振子の触れ角の変化¶1（l51520Time【e叫2巨：叩Fig．10 人力電圧の変化

乱．．由わりにFig・8 人力電圧の変化

本研究では、多変数系において、とくに人力の数より出力の数の方が多いシステムにおける非標準混合感度問題の制御器の設計法を提案Lた。また、

7．実験結果
最後に実験結果を以下に示す。サンプリング間隔

この設計法の応用例とLて倒立振子に適用し、状態

血嘩珂で、振子の角度、台車の位置を読み取りフィードバック係数、オブザーパ、自由パラメータコンピュータ制御を行ってしlる。

を用いて制御系を構成し、シミュレーション・実験

ここでは削御中の倒立振子・台車系に外乱を与えにおいても良好な結果を得た。

たときの挙動を見てみる0外乱として次の2つを与えた。

−6−

ヨ5参考文献
1）中野、美田＝制御工学基礎理乱161／191，照晃堂（19叫

2〕古田、川路、美田、原：メカニカルシステム別事凱7／17．オーム社（1耶叫3）美輯 勉＝‰剛凱44／53，照晃貴（1994）4）古川、井村＝現代削御論，107／130，照晃堂（1994）
占J熊川 恒志：3ディスク混合感度問題に関する研究，計測自動制御学会東北支部第177回研究集会．（19叩−7−