講義の予定

数理モデリングチュートリアル

1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具

非線形現象の数理モデリング
入門

1.
2.
3.

4.

長山 雅晴
北海道大学 電子科学研究所

2

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

附属社会創造数学研究センター 人間数理研究分野
JST CREST

力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識
化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）

3

講義の予定
1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具
1.
2.
3.

4.

実験室で見られるリズム現象

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

4

力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識
化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）

51

ロウソク振動子

ロウソク振動子

実験室でなくても見られます．

１本のロウソクは
定常燃焼

6

7

実験結果

ペットボトル振動子（北畑裕之氏（千葉大学））

8

３本のロウソクを近づけると振動燃焼

Real time92

塩水振動子（密度差振動子）

塩水振動子（密度差振動子）

塩水の下降流と純水の上昇流が交互に現れる
流体の非線形振動現象
塩水
Light

純水
下降流

Tracing
paper

上昇流

5倍速

Camera（堀江正信氏（千葉大学））

1011

これらの振動子にみられる特徴

12・

初期状態によらず，最終的に振幅や周期が一定になる

・振動が止まることはない（ある一定時間）

・非平衡系となっている（エネルギーの流入・流出）

同期現象

13

3

ロウソク振動子の同期現象

ロウソク振動子間の距離が近いとき
l = 20 mm

l = 20mm

l = 40mm

1415

ロウソク振動子間の距離が遠いとき

ペットボトル振動子の同期現象

l = 40 mm（北畑裕之氏（千葉大学））

16

17

4

ペットボトル振動子の同期現象

18

メトロノーム振動子の同期現象

19

Belousov-Zhabotinsky反応

燃焼合成反応定常燃焼波Combustion wave

(in laboratory)
大柳満之氏（龍谷大学）（北畑裕之氏（千葉大学））

20

21

5

螺旋燃焼波の痕跡

自走粒子系の運動（自己駆動系）

大柳満之氏（龍谷大学）(in laboratory)

Signature of helical combustion wave

2223

水面上での界面活性（樟脳）粒子の運動24

水面上での界面活性（樟脳）粒子の運動256水面上での界面活性（樟脳）粒子の運動

界面活性剤粒子運動の模式図
表面張力
γA＞γB？

昇華
駆動力
F =γA-γB

γA
界面活性粒

γB

空気
水

界面活性
分子膜
解離

[ Side View ]26

27

直線状水路での界面活性粒子運動(mPa･s)4

粘性

3.5 M グリセリン水溶液，
R = 35 mm

実験

静止

水，R = 35 mm

振動 * グリセリン

水溶液の濃度

3

3.5 M*

2

2.5 M*
1 M*
水

1
0
10

20

30

40

系のサイズ R

樟脳船運動の実験

50 (mm)

図 9 : 実験から得られた相図 .

最大 / 最小速度の平均が 30 mm/s 以下のとき、“静止” と定義した .

3.5 M グリセリン水溶液，
R = 45 mm

樟脳粒

プラスチックボート（小谷野由紀氏（千葉大学））

28

29

7

樟脳船運動の模式図
表面張力
γA＞γB

樟脳運動の実験例（樟脳舟）

昇華

８の字運動
駆動力
F =γA-γB

γA

γB

プラスチック
ボート

空気
水

樟脳粒子

樟脳分子
解離

[ Side View ]3031

樟脳船の相互作用32

１８０度で固定

９０度で固定先頭が入れ替わる振動

先頭が入れ替わらない振動

樟脳酸船の振動運動

リン酸緩衝水溶液上での樟脳酸船の運動

338中和反応系船

錯体反応系
硫酸第一鉄水溶液 5 m mol/l

茶褐色：フェロイン

振動運動

34

樟脳酸粒子の間欠運動と同じ

35

液滴の自励運動

自励往復運動0.5 hour
SDS : 20mM → 小さい振幅

サリチル酸ブチル（BS）

SDS : 60mM → 大きい振幅

3.0 hour
ドデシル硫酸ナトリウム水溶液（SDS）→振幅の異なる往復運動

SDS : 5mM 停止

SDS濃度が異なる？

状況を簡単にするために細長い水槽で実験

36

BS液滴が形状を保たない

37

9

ＯＨＰ樟脳舟の運動

自励往復運動SDS : 20mM → 小さい振幅

・水槽の長さを変えても振幅に目立った変化は見られない。
・円環の水槽を用いても同じ振幅の運動をする。
壁が影響しないSDS : 60mM → 大きい振幅→

・水槽の長さに対応して振幅の大きさが変化する。
・円環の水槽を用いると一方向にのみ進む。
L：水槽の長さ→

壁が影響する停止
往復運動（壁なし）
往復運動（壁あり）
38/25

38

39

Ｘが長いと・・

40

Ｘが短いと・・

41

10

距離Ｘと運動速度の関係

自走粒子の集団運動

4243

樟脳船の基本図

樟脳船の渋滞現象

Homogeneous region Inhomogeneous
regionN = 40Flow rate

N = 30N.J.Suematsu et al. Physical Review E (2010)

Density = N(Number of camphor boat)/L

44

渋滞

非渋滞

Number of camphor boats
Flow rate : the number of camphor boats/ time
N.J.Suematsu et al. Physical Review E (2010)4511樟脳円板の集団運動

実験結果

円形のろ紙を樟脳飽和メタノール溶液に浸し，乾かした樟脳ろ紙を下図のようなリング上の水路に浮かべる．テフロンは強い疎水性であるため，
水がOHPリング上に集まって水路を形成する．
10mm
乾かす
円形のろ紙

樟脳飽和メタノール溶液 * 樟脳ろ紙
1.1g/mL

テフロン板

20mm

mm

リング状に切り抜いた OHP フィルム

蒸留水

樟脳ろ紙7個の場合

樟脳ろ紙14個の場合後ろの樟脳ろ紙に押されて動き出し，前の樟脳ろ紙とぶつかって停止する（玉突き）．

前方にスペースができると樟脳ろ紙が動き出し，前方にある樟脳ろ紙に追いつくと停止する（渋滞）．

Yumihiko S. Ikura, Eric Heisler, Akinori Awazu, Hiraku Nishimori, and Satoshi Nakata, Phys. Rev. E 88, 012911 (2013)*S. Soh, M.Branicki, and B. A. Grzybowski, J. Phys. Chem. Lett., 2011, 2, 770-774.

46

47

自走系集団運動の例1

集団運動の例２2次元円盤領域における集団運動
個数が少ないとき
個数が11個：振動運動が見られる

樟脳ゲル
20個

樟脳円板
20個

末松 J. 信彦(明治大学), 2015

個数が40個：クラスター化がみられる
松田唯(広島大学), 2015
松田唯(広島大学), 2015

48

49

12

液滴の集団運動

液滴運動

50

51

ペンタノール液滴運動

油滴運動

油水系

実験：永井 健氏（北陸先端大学）

水相•水相・1 mM Stearyl Trymethyl
Ammonium Chloride (STAC) 溶液
油相

ガラス基板 •油相・KI飽和5 mMヨウ素ニトロベ
ンゼン溶液•ガラス基板STAC

52

実験：住野 豊氏（東京理科大学）

53

13

ガラス基板上での往復運動

表面エネルギーによる駆動
表面の界面活性剤濃度の差により、前後の水、油ーガラス界面張力に違いが生じていると条件を平面1次元状のガラス基板に変更すると、油滴は、1次元的な往復運動を示す。
30 m lgw-g.r go-g.r

油滴はガラス基板の上が好き！！

1/6 sec per
frame

go-g.f gw-g.f

奥行きをwとし変形を無視すると、1次元の時には

Fsur=wDg=w{(gw-g.f-go-g.f)-(gw-g.r-go-g.r)}となり、 Fsurの値が正の時、運動方向に駆動力が発生し運動が持続する

この運動は30秒程続く

Reactive Droplet

実時間の1/2

54

c.f. Brochard, F. Langmuir 5, 432 (1989).

55

運動メカニズム

階段を登る油滴

60 µl

油滴を階段型の基板上にセットすると、油滴は階段を自発的に駆け上ることが解った。また、油滴の運動方向が階段を上る向きのみに制限
できることも示された。

油水系においては、他の反応性液滴の系と異なり水相中にSTA+が含まれているためガラス界面が、素早く（ｍsec 程度で）回復する

リズミックで反復的な動きが可能となる
56

57

14

宙返りする油滴

化学的表面処理境界での油滴の動き

20 µl

3M の硫酸を綿棒でガラス表面に塗布する

実時間の1/2
油滴を環状の基板の中にセットすると環内を周回し宙返りする回転モードが現れる．この宙返りは最高で３周したのが観察された．

58

純水によってすすぐ

59

化学処理境界での油滴の振る舞い

液滴のブレミング運動

液滴：パルミチン酸テトラデカン(濃度Cp = 1〜20 mM)
水相：塩化ステアリルトリメチルアンモニウム(STAC)水溶液(濃度Cs = 1 〜 100 mM)
パルミチン酸は水に溶けず，STACは油滴に溶けない．
パルミチン酸とSTACは油水界面においてゲル状会合体を形成する．

60

61

15

液滴のブレビング運動

講義の予定
1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具

3倍速

1.
2.
3.

4.

62

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Sumino et al., 2009.
自らが生成した会合体に圧迫され変形が起きる．
会合体は液滴の界面張力を下げる界面活性剤である．
会合体がなくなると液滴の界面張力の増加により変形が収縮する．

力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識
化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）

63

数理モデリングとは何か？

数理モデルとは何か？

自然現象（生命現象）

数理モデルとは現象の数式による模倣と抽象化である．
抽象化し現象を模倣することによって，「現象の法則」を明らかにする道具

理学
３つの手法

自然現象を科学的に理解する
実験科学

理論科学

．

計算科学

モデル化

抽象化

数理モデリング
数理モデリングは理論的な理解を与えるための道具である．
現象の定性的な再現は必要条件である．
理論的方法によって未知の部分が理解できなければ意味がない．
数理モデルに正解はない（40点〜80点程度）
理解できれば，実験に対する予測ができる．
よい数理モデルができれば，数学の問題へと定式化ができる．

64

BZ反応（現象）モデルから得られた結果
法則の発見抽象化したモデル

どのようなモデルを考えればよいか？（立場によるが）現象の定性的性質を保持してる程度まで抽象化した数理モデルを考えたい．
そのような数理モデルは現象の法則を記述してハズ（信念！）数理モデルは現象を数学で取り扱えるようにする道具ともいえる．

65

16

数理モデルはどのように作るか？

数理モデリングの心得
数理モデルは現象を理論的に理解する道具である現象を再現するだけでは意味がない（似て非なるものを作る可能性）
数理モデルはそれだけで単独の研究とはなり得ない現象に潜む普遍性を取り出す道具となるべきである→モデリング過程で見えてくる現象の予言とその実験検証を繰り返すことで，よりよいモデルとなる→実験系との連携は不可欠
よい数学モデルは数学として解析することに意味が出てくる→数式に潜む普遍性を数学によって取り出す

log

cn (an )cn+1)) a f (a n数理モデル（漸化式，微分方程式）nnbc n +1s(⇢
co n b n
an+1 an = f (an , bn ),h(a a an cn g(an , bn )n, bbn+1 bn = g(an , bn ).
bn+1n)
数理モデルは)bn)n(b n cos(a どのように作るの？ n = 0, 1, 2, · · ·
g
o
l

sin

)
(a n

an

数理モデルには100点もなければ0点もない．せいぜい80点〜40点．
要するに正解もなければ不正解もない
真面目過ぎる人には無理かも…

bn

66

67

私とっての数理モデルを作る基本原理

似て非なるもの

重要

単位時間当たりの（量，もの）の変化量＝ 流入量 ー 流出量＝ 入ってくる（もの）ー 出て行く（もの）＝ 生成されるもの ー 消費されるもの(もの) ＝ 化学物質濃度，密度，温度，力 etc.
数理モデルはこの基本原理によって記述されていると思ってよい．
「流入するもの」と「流出するもの」をいかにして見つけるのかが重要！
いいかえると「“ルール”をいかにして見つけ出すか」がポイント

68

69

17

数理モデリングに必要な道具

数理モデルの構成
・知りたい現象（実験結果）

力学系の基礎知識
常微分方程式系の平衡解の線形化安定性解析
相図
簡単な分岐現象・自然科学言語を用いて現象の説明をする
・数式で表現（微分方程式，漸化式など）

数値計算法の基礎
常微分方程式の数値計算法
熱方程式の数値計算法（できれば）反応拡散系の数値計算

・無次元化［変数，定数の持つ単位を「1」にする］

No・数値計算による現象再現の評価（数理モデルの評価は？）
Yes

・数理モデルを用いた実験の予測現象再現しただけでは数理モデルを評価した
ことにならない．

・実験系の提案

70

71

数式を作るための道具

講義の予定
1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具

・物理法則（力学，電磁気学，熱力学，統計力学，連続体力学）
・化学反応速度論
・質量作用の法則 ← 今日の話はここだけわかればできる？！
・質量保存則（正確には正しくない）

1.
2.
3.

→

4.

化学反応系モデル（BZ反応モデル等）
物理現象モデル（自走粒子系モデル）

72

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

生態学系モデル
生理学系モデル
生命科学系モデル（Proneural Wave，INMモデル）

力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識
化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）

8818Belousov-Zhabotinsky反応

化学反応の数理モデル
最終目標
BZ反応の数理モデルをつくる（北畑裕之氏（千葉大学））

89

90

振動現象（リズムの発現）

化学反応素過程のモデリング

酸化状態
Constant of stoichiometry
Reaction rate constant

還元状態
マグネチックスターラー（磁石式の攪拌機）で混ぜ続けています

Reaction order

91

92

19

反応素過程の数理モデル

反応素過程の数理モデル
k

A!P

１次反応

d[A]
=
dt
2次反応

d[A]
=
dt

ただし[･]は濃度を表す

3次反応

d[P ]
= k[A]
dt

k[A],

d[A]
=
dt

k

2k[A]2 [B],

d[B]
=
dt

k[A]2 [B],d[P ]= k[A]2 [B]dt

A+B !Pk[A][B],

d[B]
=
dt

k[A][B],d[P ]= k[A][B]
dt

93

94

Autocatalytic reaction
自己触媒反応

３次の自己触媒反応モデルk

X + Y ! 2X
d[X]
= k[X][Y ]dtd[X]= 2k[X][Y ]
dt

95

k

2A + B ! Pk

2X + Y ! 3X

d[X]
= k[X][Y ]
dt

96

20

Simple reaction process
単純反応過程の場合

単純反応と複合反応
同じ化学反応式
2A + B → P

8
d[A]
>
>
= 2k1 [A]2 [B],
>
>
dt
>
>
<
d[B]
= k1 [A]2 [B],
>
dt
>
>
>
>
>
: d[P ] = k [A]2 [B].
1dt

であっても中間生成物質を考える逐次反応（複合反応）
A+B→C
A+C→P
と単純反応
2A + B → P
ではモデル方程式が異なることに注意する．

97

98

Sequential reaction process
逐次反応過程の場合

Sequential reaction process 2
逐次反応過程の場合 2kもし，反応過程で中間生成物質の濃度が一定（準平衡状態仮説）となっているならば

1
A+B !
C

k

2
A+C !
P

99

8
d[A]
>
>
= k1 [A][B] k2 [A][C],
>
>
dt
>
>
>
>
> d[B]>>= k1 [A][B],
<
dt
>
d[C]
>
>
= k1 [A][B] k2 [A][C],
>
>
>
dt
>
>
>
>
>
: d[P ] = k2 [A][C].
dt

従って

8
d[A]
>
>
= 2k1 [A][B],
>
>
dt
>
>
<
d[B]
= k1 [A][B],
>
dt
>
>
>
>
>
: d[P ] = k [A][B].
1dt

2次反応となる．

10021Belousov-Zhabotinsky反応

問題1
次の素過程を記述する微分方程式を記述してください（北畑裕之氏（千葉大学））

101

103

FKNメカニズム

Belousov-Zhabotinsky反応のモデル化
R.J.Field（フィールド）E.Körös（ケレス）
R.M.Noyes（ノイエス）

セリウム

104

臭素酸

マロン酸

硫酸

105

22

Simplify of Elementary Process
素過程の簡略化

Belousov-Zhabotinsky反応の素過程

Field, Noyse

生成物質
自己触媒反応106

107

BZ反応の３変数モデル

無次元化された数理モデル

A, B は時間変化しないと仮定する（実験から）以下の無次元化を行う：

108

109

23

３変数モデルに対する断熱消去（特異摂動法）

3.5

ｗ

3
2.5

3変数モデルを数値計算してみると
ｗ以外はほとんど変化していない

2
1.5

ｖ

1

u

0.5
0

とすると第3式から

2e-05

4e-05

6e-05

8e-05

0.0001

t

3.5

ｗ

3

となるので，第1式と第2式に代入すると2.5

初期値からの変化を拡大してみる

2
1.5

ｖ
u

1

正しいのか？

0.5
0

110

⇥

1.5e-05

2e-05

t

スケール変換後のモデルについて
初期値：(u, v, w)(t) = (u0 , v0 , w0 ) とすると

とすると

uT =

(aw

uw + u(1u)(au(T ) = u0 ,

b)),

から

vT =

(u

v),

wT =

aw

uw + f v

0⇥v(T ) = v0

f v0
a + u0より

0 から

lim w(T ) =

aw

は平衡点

T

平衡点の漸近安定性が重要：（漸近安定）

vT = 0,wT =w(T ) =T =uT = 0,

112

1e-05

111

時間スケール変換
T =

5e-06

T !1

uw + f v

このモデルでは w =f v0
a + u0

fv
としてよい
a+u

113

24

BZ反応モデルを用いた振動現象の再現

２変数Belouzov-Zhabotinsky反応モデル
✓
8
du
1
a u
>
>
=
fv
+ u(1
< dt
"
a+u
dv
>
>
=u v
:
dt

u)

◆

⌘

オレゴネーターモデル

✓
8
du
1
a u
>
>
< dt = " f v a + u + u(1
dv
>
>
=u v
:
dt

1
F (u, v),"

⌘ G(u, v).

v

1
F (u, v),"

⌘ G(u, v).

f = 2.0, a = 0.02, " = 0.01

114

115

モデル方程式の性質
興奮系

uf = 3.0, a = 0.02, " = 0.01

116

⌘

振動性

u
f = 3.0, a = 0.02, " = 0.01

v

u)

◆

v

シャーレ上でのBZ反応モデル
✓
8
@u
1
a u
>
>
= Du u +
fv
+ u(1
<
@t
"
a+u
@v
>
>
= Dv v + u v.
:
@t

振動系

◆

u) ,

u
f = 2.0, a = 0.02, " = 0.01

117

25

FHN type equation

単安定興奮系

FitzHugh-Nagumo nonliearlity
Parameter : a = 0.2,γ= 0.5

118

119

化学反応数理モデル構成のポイント

2次元スパイラルパターン

化学反応の素過程を知ること
単純反応，逐次反応
質量作用の法則によって素過程から微分方程式を構成
反応次数は化学量論定数と同じにする
反応次数が化学量論定数と異なると判断したら実験家と相談する→
数値シミュレーション等で現象の再現
次のステップへ

120

121

26

発熱反応のモデル化

発熱反応のモデル化

熱の発生による温度上昇

Arrhenius reaction rate
Activation energy
Gas constantPre-exponential constantAbsolute temperature

122

123

数理モデルの基本原理

化学反応系によく出てくる項

化学反応に対する数理モデルの構成行ったが，これ以降考える
数理モデルの構成方法は次の基本原理によって構成されている．
決定論かつ現象論から作られた数理モデルはこの基本原理に基づいている．

供給項：
放熱効果（対流による）：

重要

単位時間当たりの（量，もの）の変化量＝ 流入量 ー 流出量＝ 入ってくる（もの）ー 出て行く（もの）＝ 生成されるもの ー 消費されるもの

放熱効果（輻射による）：(もの) ＝ 化学物質濃度，密度，温度，力 etc.

124

125

27

参考文献

酵素反応系
k1

S+E

k

k

1

2
C !
P+E

S：基質，E：酵素，C：複合体，P：生成物

126

127

酵素反応系モデル1
S+E

k1
k

1

酵素反応系モデル2

k

2
C !
P+E

k

8
d[S]
>
>
= k1 [S][E] + k 1 [C],
>
>
dt
>
>
>
>
>
d[E]
>
>
= k1 [S][E] + k 1 [C] + k2 [C],
<
dt
>
d[C]
>
>
= k1 [S][E] k 1 [C] k2 [C],
>
>
>
dt
>
>
>
>
> d[P ]:
= k2 [C].
dt

128

k1

S+E

d[E] d[C]
+
=0
dt
dt
Cは準平衡状態にある

[C] =

k

1

2
C !
P+E

! [E](t) + [C](t) = E0
!

d[C]
=0
dt

k 1 E0[S]
k1 [S] + (k 1 + k2 )

129

28

知ってれば得する知識

Michaelis-Menten 則

k

8
E0
>
> d[S] = k1 [S][E] + k 1
[S],
>
>
>
dt
[S] + Km>>< d[E]
E0= k1 [S][E] + Km
[S],
>
dt
[S]
+ Km
>
>
>
>
d[P ]
E0
>
>
= k2
[S].
:
dt
[S] + KmKm =ｍA + B → (ｍ＋1)A
Positive feedbackk(T)A + O → P + Heat(k 1 + k2 )k1130

どちらも似たようなパターンが出ると予測される→
m 2の場合は正しい

131

3次自己触媒反応系(Gray-Scott model)

Gray-Scottモデルのダイナミクス

Supply2U + V → 3U : 3次の自己触媒反応
U → P : 1次反応
単安定興奮系

132

133

29

反応拡散系モデル(Gray-Scott model)

パルス進行波ダイナミクス

Supply2U + V → 3U : Cubic autocatalytic reaction
U → P : First order reaction

134

135

Second order autocatalytic
reaction-diffusion system

2D Pattern formation

空間一様解が安定になる…

136

137

30

発熱反応拡散系

発熱反応モデルのダイナミクス

供給

k(T)

A + O → P + Heat
対流による放熱

Mono-stable excitable system
138

138

139

2次元パターンダイナミクス

パルス波ダイナミクス

d=2.0

140

d=3.1

d=4.5

141

31

講義の予定1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具
1.
2.
3.

4.

材料科学への応用
燃焼合成反応力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）

143

144

定常燃焼波
Combustion wave

Experiments(in laboratory)

Ti + Ni → TiNi
145

146

32

燃焼反応のモデル方程式

らせん燃焼波の痕跡

温度上昇u= D u + v N f (u; Eapp ),tv= v N f (u; Eapp ).
t(in laboratory)

0,

u ：温度 f (u; Ev ：固形燃料密度

Signature of helical combustion wave

147

exp

Eapp
u0 + u

,

u

uig .

148

数理モデルの導出２

数理モデルの導出１mA + nB
基本数理モデル 8k(T )! P + Heat>at = mk(T )am bn ,>><bt = nk(T )am bn ,>>>:C ⇢T = !k(T )am bn .
pt

モデル方程式から

nat mbt = 0
Z tdd(n a m b)dt = 0
dt
dt
0
na(t)

mb(t) = na(0)mb(0)

燃焼合成が終わったとき，すべての材料が生成物質に変化しなければならい

lim (na(t)t!1<latexit sha1_base64="smnCTlCEvWQZensvWc39fJyzxAY=">AAADd3ichVHdahNBFD5J/KnrT6OCCF44mDSk0G5n64UiFaol4k2xTTdtIBOW2c1ks2T/2J2ExmVfwBfwwisFL8Qb38EbX0CwjyBeVhDBC082C8EW6Qwz880333f27Dlm6DqxpPSoUCydO3/h4sIl5fKVq9cWy9dv7MfBKLJEywrcIGqbPBau44uWdKQr2mEkuGe64sAcbk3fD8Yiip3A1+UkFF2P277TdywukTLKn6pVogzr+jJ5TJgr+pIlhJnCdvyERxGfpInrpgrrhTEZGpQwcRhmsjpZZf2IW0nDSJjH5SDyEh6GaZomTT0lLHLsgVxeITWiE2YLos9ljp2mK4x17nteV6EzycZJgaow4ffyHPJwqlKtKka5QlWaDXIaaDmoQD52gvI3YNCDACwYgQcCfJCIXeAQ4+yABhRC5LqQIBchcrJ3ASko6B2hSqCCIzvE3cZbJ2d9vE9jxpnbwq+4uCJ0EliiX+kHeky/0I/0O/3z31hJFmOaywRPc+YVobH46vberzNdHp4SBnNX5nAwsxB9EnVr0Mr8Ee5rWcY2rknm58jo0IA2GLANT2ALmvACue08qpEhC70BqMgIODyjKhL68DCrxjyHaZ2sWYbjl6+P9x41l5IafUd/YIXe0iP6GWvkj39a73dF8w1MW6ydbOhpsL+ualTVdtcrm0/zZi/AHbgHdezoA9iE57CDf24VbhU2Co3Cs+Lv0t1SrVSfSYuF3HMT/hkl7S/QzdgF</latexit>

149app ) =u < uig ,mb(t)) = 0

150

33

数理モデルの導出３

数理モデル

従って

a(0) : b(0) = m : nna(t) = mb(t)燃焼反応時間においては固体拡散は無視することができるので熱拡散のみを考慮する

8>< at =

第一式に代入すると

da=dtmk(T )am (

n n n
) a
m

>
:Cp ⇢Tt = dT

従って，基本モデルは次のようになる

8>< at =
151

mk(T )>:Cp ⇢Tt = dT

⇣ n ⌘nam+n ,⇣ n ⌘nT + !k(T )
am+n
m
m

⇣ n ⌘nam+n ,m⇣ n ⌘nT + !k(T )am+nm<latexit sha1_base64="smnCTlCEvWQZensvWc39fJyzxAY=">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</latexit>

152

無次元化された燃焼合成モデル

数理モデル
Ti + Cmk(T )k(T )! TiC + Heatに対する数理モデルは以下のようになる：

8< at =k(T )a2 ,<latexit sha1_base64="SGssXfBnO9UFSMnDSsDF60m8fnk=">AAADiXichVHNbtNAEB7X/BQXaIALEpcVSVEQkK7DgaoIqVAqcSm0adNEygZr7Wwcq/7TehMRLL8AL8CBE0gcEG8BF14AiT4C4lgkLhyYOJYKRNBZ7c7st/N9Hs/Yse8litIDbU4/cfLU6fkzxsLZc+cXSxcu7iXRUDqi6UR+JNs2T4TvhaKpPOWLdiwFD2xftOz99cl7ayRk4kXhrhrHohtwN/T6nsMVQlbpQ6VCmC/6iqWE2cL1wpRLycdZ6mcG68UJYX3JnZTFXJFhNvUqI/dIj7CHwlecDMkNwqJAuJyMntZJvzq8SzaslAVcDWSQ8jjOsus3GevcDoLujObod81b/1MwmAh7RXWESc8dqJpRqRhWqUxrNDcyG5hFUIbCtqLSF2DQgwgcGEIAAkJQGPvAIcHVARMoxIh1IUVMYuTl7wIyMJA7xCyBGRzRfTxdvHUKNMT7RDPJ2Q5+xcctkUlgiX6m7+gh/UTf06/05z+10lxjUssYvT3lithafHF558exrAC9gsERK2d4WFmMPIV5y9DM+RLP5bxiF/c453NEdmED2mDBJtyHdWjAE8Q2C1UrjxzkRlBDRMCzY7qioA8reTeOapj0yZlWOHr+8nBntbGUXqNv6Dfs0Gt6QD9ij8LRd+fttmi8gsmIzb8HOhvs1WsmrZnb9fLag2LY83AFrkIVJ3oH1uARbOGfO1pVe6y1tLa+oJv6ir46TZ3TCs4l+MP09V8Jcd6p</latexit>:C ⇢T = dptT

T + !k(T )a2<latexit sha1_base64="3+kcpQSaeEq5Fw1IWpTnDg/VjDk=">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</latexit>

u：Temperature（温度）v：Density of solid fuel（固体反応物質密度）<latexit sha1_base64="smnCTlCEvWQZensvWc39fJyzxAY=">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</latexit>

153

154

34

3次元円柱領域

Eapp : Small

Ignition（点火）

定常燃焼波は安定である<latexit sha1_base64="tC8q3c+SyM3CcVauIfrXQH3TJDc=">AAAC3XichZHPThRBEMY/RkQcFRZNjAmXjQuG01LDRcMJISReCLCwsAlLJj1N7zph/mWmd+OyevRCjFcOniTxYPAtvPgCJvIIxiMmXDhY0zsJUWLoTndXf12/mpoqLwn8TBOdDlk3hm+O3Bq9bd+5e29svDRxfyuLO6lUdRkHcdrwRKYCP1J17etANZJUidAL1La3v5S/b3dVmvlxtKl7idoNRTvyW74UmiW39HBqym4mQpebq6FqC7dms2DbbqlCVTKjfNVwCqOCYqzFpR9oYg8xJDoIoRBBsx1AIOO5AweEhLVd9FlL2fLNu8Ib2Mx22Euxh2B1n/c233YKNeJ7HjMztOSvBLxSJsuYpu/0mc7oG53QT7r4b6y+iZHn0uPTG7AqcccPH22cX0uFfGq8vKQM4XNmCXOa/WZRN3zK+6zJuM2rZ3jByiaW0YCLFTzHEmpYZW2liOoaSzIbo8qKwqtrqqLRwjNTjcsc8jrJQYbdg6OzjfnadP8JHdMvrtBHOqWvXKOo+1t+Wle1D8hb7Pzb0KvG1lzVoaqzPldZWCyaPYpJPMYMd/QpFvACa/znEq9xjBN8sVzrrfXOej9wtYYK5gH+GtbRH6ddos0=</latexit>

R0<latexit sha1_base64="LPIdQceXMbIGQuLwEiCHG0prOdM=">AAAC6XichVFNaxRBEH0Zv+L4kVUvgpchm4inTU0uiiBEg+AlmGyyyUI2DD1t72bY2Zmhp3dxXfYu3jwpelLxIIJXvXvxDwjmJ4jHCF48WNM7EDRIuumu16/q1dRUhVkc5YZob8o5dvzEyVPTp90zZ8+dn6lcuLiZp30tVUOmcaqbochVHCWqYSITq2amleiFsdoKu8uFf2ugdB6lyYYZZmqnJzpJ1I6kMEwFldm5ObfV1kKOWpkwXn88sXrs3fLIZafrBpUq1cgu7zDwS1BFuVbTyje08AApJProQSGBYRxDIOe9DR+EjLkdjJjTjCLrVxjDZW2foxRHCGa7fHf4tV2yCb+LnLlVS/5KzEez0sM8faV3tE9f6D19p9//zTWyOYpahmzDiVZlwcyTy+u/jlT12BrsHqisIuLKMtYZjltAw+o13wu24g6fodULZjZwF00EWMFtLKOO+8ytlFkDiyRrU9SYUXh4RFcM2rhhu3FQQ9EnOalw8OjZ/vrN+vzoKr2mH9yhV7RHn7lHyeCnfLum6i9RjNj/d6CHweZizaeav7ZYXbpTDnsaVzCLazzR61jCPazyn0s8xgd8xCen6zx1njsvJqHOVKm5hL+W8+YPGRenjA==</latexit><latexit sha1_base64="zaL58QM6NFATImsaoY8c3lvoe6M=">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</latexit>

155

156

Eapp : Large

らせん燃焼波の出現

R0 が小さいとき，脈動進行波が出現する

temperature distribution

157

158

35

等温面表示らせん燃焼波の痕跡

放熱効果の導入159¶u= -l u¶r

160

らせん燃焼波(1998)
進行波

数理モデルから数学モデルへ

脈動進行波
進行波から脈動（周期振動）進行波への分岐現象を起こすことが3次元でのらせん進行波を生み出すのか？
Higher apparent
activation energy

らせん波の痕跡

燃焼合成反応モデル以外にもそのような例はあるか？

Larger diameter ofcylindrical sample

Introductionof heat-loss

らせん波

161

162

36

自己触媒反応系（Metcalf et al.1994）

らせん波の出現進行波

脈動進行波<latexit sha1_base64="a4qMk7dFVja+DywTe7Vjcpbp75k=">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</latexit><latexit sha1_base64="DPnZEQzbCmnRtIKJyu7H4h2wWZk=">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</latexit><latexit sha1_base64="ts7SC/1lRcKodI/sdyke1LAh4So=">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</latexit>

ｍ＝7

ｍ＝8

163

164

もっと簡単な非線形項

数値計算結果 (1)piecewise linear

planer traveling wave

helical wave

piecewise constantplaner traveling wave

165

helical wave

166

37

数値計算結果 (2)planer traveling wave

螺旋進行波の出現する新しい非線形項

helical wave

Distribution of uplaner traveling wave

helical wave¶u¶v
= Du + vf (u ),= -vf (u )¶t¶tpropagation failure

167

Distribution of v

1u - u0f (u ) = (1 + tanh
)
2
d

168

Extremely simple case
(1-step function)

Traveling wave for 1-step function
進行波解の構成<latexit sha1_base64="XE2HKqZoU198SK5DWYGqlDsxkck=">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</latexit>u(t , x) = U ( x - st ), v(t , x) = V ( x - st )<latexit sha1_base64="nW6Go2ucHTlYnBTNboINV9aYeJo=">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</latexit><latexit sha1_base64="8cisyQGCs3ysmK1sTvJ46gL/OYw=">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</latexit>u(t ,-¥) = 1, v(t ,-¥) = 0, u(t , ¥) = 0, v(t , ¥) = 1<latexit sha1_base64="8cisyQGCs3ysmK1sTvJ46gL/OYw=">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</latexit>s = ( F / uig - F )1/ 2
s2
U ( z) = 1 - 2
e Fz / s , V ( z ) = e Fz / s
s +F
平面進行波

169

U ( z ) = uig e -sz , V ( z ) = 1

らせん波の出現( z < 0)( z > 0)17038

Eigenvalue problem in the 2D band
shaped domain(periodic B. C. for the y-direction)

ìj xx + j yy + sj x + Fy = ljíîsy x - Fy = lyìj xx + j yy + sj x = ljíîsy x = ly

For the 2D band shaped domain
Since 0 < y < L and the periodic boundary condition for the y - direction,
we put~ ( x), y ( x, y ) = eiky y~ ( x)j( x, y ) = eiky j( x < 0, 0 < y < L)~, y Þ y~jÞj
( x > 0, 0 < y < L)ìj x (+0, y ) - j x (-0, y ) = wj(0, y )íîs(y(+0, y ) - y(-0, y )) = -wj(0, y )k=2pn(n = 0,1,2,...)
Lj¢¢ - k 2 j + sj¢ + Fy = lj, sy¢ - Fy = ly

(0 < y < L )j¢¢ - k 2 j + sj¢ = lj, sy¢ = ly

( x < 0)( x > 0)j¢(+0) - j¢(-0) = wj(0), s(y(+0) - y(-0)) = -wj(0)w = - F /( suig )

171

172

Critical eigenvalues

For the 3D cylindrical domain
3D cylindrical domain {( x, r, q) : x Î R,0 £ r < R,0 £ q < 2p}

jnm : m-th root of

dJ n
=0
dr

If l = 0 then k = 0, j = U ¢, y = V ¢( J n (r ) :1st kind Bessel function)

There are three critical eigenvalues including the above one, andthey are determined byjj
ϕ (x,r,θ ) = e inθ J n ( nm r)ϕ! (x), ψ (x,r,θ ) = e inθ J n ( nm r)ψ! (x)
R
R
jnm
~
~
j Þ j, y Þ yk=(n = 0,1,!; m = 1, 2,!)l = k( k - 1) s 2 - k 2
where k is a solution ofRj¢¢ - k 2 j + sj¢ + Fy = lj, sy¢ - Fy = lyj¢¢ - k 2 j + sj¢ = lj, sy¢ = ly{(1 - uig ) k 2 + uig (1 - k 2 / F )}{2 - uig - 2(1 - uig ) k} - uig = 0( x < 0)( x > 0)j¢(+0) - j¢(-0) = wj(0), s(y(+0) - y(-0)) = -wj(0)

173

174

39

Critical eigenvalues

Hopf 分岐曲線

The eigenvalue corresponding to l = 0 for k = 0 has a negative real part.
The others are compex conjugate, and behave as follow :The problem is that the function uig* (k ) is monotone increasing,or it has a minimum value at some k > 0.
2pn
n: number of reaction spotsk=(n = 0,1,2,...)
L

Re l < 0 if uig is small, Re l increases with uig ,l acrosses the imaginary axis at uig* = uig (k )M ovem ent of eigenvalue (k = 0)

The H opf bifurcation point (F = 1)

0.5

k

0.8

W ave num ber

Im aginary part

0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.3

1

planer travelingwave is stable

0.6
0.4

planer travelingwave is unstable

0.2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0
0.85

0.4

0.86

0.87
Ignition tem perature

Real p175

0.88

uig* (k )176

数値的にチェック

まとめ
数理モデル（燃焼合成反応モデル）<latexit sha1_base64="3+kcpQSaeEq5Fw1IWpTnDg/VjDk=">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</latexit><latexit sha1_base64="+Z4KugXSkMrqaK85HyNVOEIHA1s=">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</latexit>

進行波→脈動進行波→らせん波
数学モデル<latexit sha1_base64="DPnZEQzbCmnRtIKJyu7H4h2wWZk=">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</latexit>

Distribution of uDistribution of u<latexit sha1_base64="CFX1zg1H8Y1VqeMMHwGv6aG9mCQ=">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</latexit>¶u¶v= Du + vf (u ),= -vf (u )
¶t
¶t

177

1
u - u0f (u ) = (1 + tanh)2d<latexit sha1_base64="ts7SC/1lRcKodI/sdyke1LAh4So=">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</latexit><latexit sha1_base64="nW6Go2ucHTlYnBTNboINV9aYeJo=">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</latexit>

分岐解析：波数に依存したHopf分岐（Wave 分岐）17840

講義の予定1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具
1.
2.
3.

4.

力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識

ロウソク振動子の数理モデル

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）細胞サイズの有限性重要

179

180

ロウソク振動子の作り方

１本のロウソクは
定常燃焼

181

実験結果

３本のロウソクを近づけると振動燃焼

182

41

なぜ振動するのか？

ロウソク振動子の引き込み現象

ロウソクの振動燃焼現象は，次のように起こると考えられている．
①ロウの供給が過剰により，反応促進②酸素不足により反応抑制③酸素不足が解消

①

②

２ｃｍ

③

５ｃｍ

183

184

ロウソク振動子の数理モデル

ロウソク振動子の数理モデル

1組のロウソク振動子は，次のような数理モデルで再現できる．

放射による相互作用
熱輸送

酸素供給

185

燃焼による熱生成

放射熱

燃焼による損失項

186

42

今回は物語
ロウソク振動子の同期振動現象に対する数理モデルの構成について話します．
特に，数理モデルを構成した思考過程を話します！
その思考過程が同期振動現象の数理的理解を与えることになるだろうと期待！
数理モデルの構成が“現象の本質探し”になるハズ！！

187

188

ロウソク引き込み現象の機構は何か？
• 燃焼（発熱）反応
固体ロウ → 液体ロウ → 気化ロウ ＋ 酸素 → 熱生成• 拡散現象（熱拡散，酸素拡散）• 流体現象 （熱輸送と酸素輸送，対流現象）• その他の作用（熱放射）

反応項の数理モデル化• 燃焼（発熱）反応
固体ロウ → 液体ロウ → 気化ロウ ＋ 酸素 → 熱生成• 拡散現象（熱拡散，酸素拡散）• 流体現象 （熱輸送と酸素輸送，対流現象）• その他の作用（熱放射）

流れのない微小重力下においてもロウソクは燃焼するが実験条件が非常に厳しい（すぐ消えてしまう）
実験的検証から同期現象を解明するのは困難！
→
数理モデルを作りながら要因の切り分けを行っていけば
逆位相同期現象の機構がわかるのではないか？

189

ロウの液化→毛管現象→気化→芯の部分で反応
を省略する

190

43

数理モデル化

拡散現象の数理モデル化• 燃焼（発熱）反応
固体ロウ → 液体ロウ → 気化ロウ ＋ 酸素 → 熱生成• 拡散現象（熱拡散，酸素拡散）• 流体現象 （熱輸送と酸素輸送，対流現象）• その他の作用（熱放射）
流れ効果を無視してモデルを作る
反応拡散系モデルの極意（最小限の要素だけで現象の再現を目指す）
注意：再現されたとしても現象の本質を記述してるとは限らない！

ある領域内だけで燃焼反応が起きると仮定する

191

192

反応拡散系モデル

境界条件zx
栄−三村の結果からパラメータを適切に選ぶことで振動現象を再現することが可能だろう！

193

194

44

栄・三村の結果

大きな反応領域を２つ置く<latexit sha1_base64="0vCS5EnIuLRPkVkUsWpBjh7yLOo=">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</latexit><latexit sha1_base64="zKpKEU9Qxc7DWu1TBS2SN6B4Tt8=">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</latexit>

低温定常解

振動解

高温定常解

195

196

２本のロウソク振動子モデル（ＰＤＥ）
拡散相互作用のみ

数値シミュレーション
まず検証すべきこと
実験：１本のロウソクは定常燃焼する→
モデル：反応半径が小さいときは定常解あるいは２つの反応領域の距離が遠いと定常解
実験：２本のロウソクを近づけると振動燃焼→
モデル：２つの反応領域を近くすると振動解
以降の数値計算はすべて無次元化した方程式を用いている

197

198

45

距離に依存して逆位相同期現象が再現されるか？

２つの反応領域の距離に依存した現象

いくら計算しても同位相同期現象しか再現されませんでした
逆位相同期現象が見つからない！

199

200

放射相互の入った
ロウソク振動子モデル（ＰＤＥ）

拡散＋放射の数理モデル化• 燃焼（発熱）反応
固体ロウ → 液体ロウ → 気化ロウ ＋ 酸素 → 熱生成• 拡散現象（熱拡散，酸素拡散）• 流体現象 （熱輸送と酸素輸送，対流現象）• その他の作用（熱放射）
拡散相互作用だけでは無理なら放射を入れる！
あくまでも流れ効果を無視してモデルを作る（無視したい）（最小限の要素だけで現象の再現を目指す）

201

202

46

なんと…

強引に縮約化したPDEモデル
z方向に一様だと仮定して（細長い，ｚ方向の拡散が十分大）
変数ｚに対して平均を取るもならない！
どうしても同位相同期現象しか出ません．
何故だろう…

203

204

放射と拡散相互作用のある
ODEモデル

逆位相同期が出現！

初期値を適当に選べばほとんど逆位相同期に収束する
ようにパラメータを選ぶことができる

205

206

47

適当に拡散相互作用があるとほとんどの初期値に対して同位相同期

Autoによる分岐解析

すべての領域で同位相同期解は安定である領域(a)で逆位相同期解と同位相同期解が共に安定となっている
非常にうまく初期値を選べば逆位相同期現象が見られる→ 物理現象としてほとんど観測されないハズ！

207

208

放射相互作用だけのODEモデル

Autoによる分岐解析

すべての領域で同位相同期解は安定である
領域(a)で逆位相同期解と同位相同期解が共に安定となっている

209

210

48

逆位相同期が再現される

初期値の位相差による同期の違い

適当にパラメータを選べば，ほとんどの初期値に対して逆位相同期に収束する→
物理現象として再現される可能性が高い！

211

212

拡散相互作用とわずかな熱放射

213

逆位相同期解だけが安定な領域の出現

214

49

何故だろう…

仮説検証 その１• 縮約PDEでは逆位相同期を起こす初期値を見つけることができた• ｘ軸方向の拡散係数を非常に小さくした数値計算を行えば，逆位相同期は出るはず！
• 非常に離れた２本のロウソクを仮定することになっているので現実の系では起こりえないが…

拡散相互作用はないように見える• 放射相互作用ODEモデルでは逆位相同期に漸近する初期値の範囲が広くとれる
ただし，同位相同期解は常に安定• 放射項が入った拡散相互作用ODEモデルでは逆位相同期だけが安定な場合がある
ただし、拡散相互作用係数は小さい• ２次元PDEモデルでは逆位相同期を起こす初期値の発見が困難
拡散相互作用が逆位相同期現象を不安定化させている？

215

216

流れ効果の導入（するしかない）

数値計算結果移流効果を導入することで熱輸送や酸素輸送を大きくして、ｘ軸方向の拡散相互作用を弱くする

217

218

50

流速Vを図のように与える

仮説検証 その２• 移流効果により熱をｚ軸方向に輸送する• また，ｘ軸方向は各ロウソク向けて冷たい空
気と酸素を輸送する
熱対流方程式を結合する前段階のモデルに対応してるはず

219

220

まとめ（状況証拠の積み重ね）
数値実験を信じると数値計算結果• 流れの効果
ロウソク間の熱拡散や酸素濃度の拡散相互作用を弱くする• 逆位相同期の機構
放射による相互作用＋流れの効果
弱い拡散相互作用＋放射＋流れの効果• 実験的検証の課題
放射相互作用をなくしても逆位相同期が起こるか？

• 数理モデルによる検証課題
熱対流と結合したモデルでも逆位相同期が再現できるのか？

221

222

51

ロウソク振動子の引き込み現象

ロウソク振動子の数理モデル
1組のロウソク振動子は，次のような数理モデルで再現できる．

熱輸送

２ｃｍ

酸素供給

燃焼による熱生成

放射熱

燃焼による損失項

４ｃｍ

223

227

数理モデルによるの同期現象の再現

三組のロウソク振動子の相互作用

輻射相互作用を仮定した場合距離が近い場合
同位相同期解228

距離が離れている場合
逆位相同期解229

52

ロウソク振動子の同期現象

ロウソク振動子の同期現象

1.5
1.3
1.1
0.9
0.7
0.5

0

230

0
.
5

231

３組のロウソク振動子モデル

数理モデルから得られた結果

放射による相互作用
相互作用が強い場合相互作用が弱い場合相互作用が非常に弱い場合

232

233

53

水面上での界面活性粒子の運動

自己駆動粒子の数理モデル

等速運動
234

235

界面活性剤粒子運動の模式図
表面張力
γA＞γB？

About camphor disk
The basic mechanisms of the camphor disk motion:

昇華
駆動力
F =γA-γB

γA
界面活性粒

Camphor
disk

γB

空気
水

界面活性
分子膜

air
phase
解離

surface[ Side View ]<side view>236bulk phase

237

54

About camphor disk

About camphor disk

Surface tension
γA＞γB

Acceleration
F =γA-γB

γA

238

γB

239

About camphor disk

About camphor disk

Acceleration
F =γA-γB

γA

Sublimation(昇華）γBDissociation

240

241

55

樟脳船運動の実験

樟脳船運動の模式図
表面張力
γA＞γB

昇華
駆動力
F =γA-γB

γA

γB

プラスチックボート

樟脳粒

プラスチック
ボート

242

空気
水

樟脳粒子

樟脳分子
解離

[ Side View ]

243

重要な変数
説明
樟脳粒子から樟脳膜が展開される．
樟脳膜の密度ゆらぎによって表面張力が樟脳円板周囲で異なる．
円板周囲で膜密度の最も低いところが表面張力は強いので，その方向に樟脳円板は動く

244

粒子運動モデルの1例

245

56

樟脳膜モデル固体樟脳モデル化

昇華<latexit sha1_base64="emL/+WnTfg2qttFPjcSaN0dXZmA=">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</latexit>@u= du u
@t

界面活性膜
（粒子）
の拡散

ku + F (x, xc (t), ⌦s (t)), x 2 ⌦, t > 0.
界面活性剤からの供給<latexit sha1_base64="lZ2dUfRW0910X99VHxmo0P7JRCI=">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</latexit>:質量， g :表面張力，：粘性抵抗，u :樟脳膜密度(a)

F (x, xc (t); ⌦s ) =(b)<latexit sha1_base64="ayfGNPutesnE1UnwvP8vsNh6Lus=">AAAEPHiclVLPaxNBFH7Z9UdNq416EbwsxpYKJZn04i+EalG8iG3a2EBTwu50GpdudpfdSWkM+Qf8Bzx4UuhB/BM8ePDiPyBY8OpBiqeKXjz4zctSbaMUZ9idN2/e971v3hsvDvxUC7GTs+xjx0+cHDmVHx07fWa8cPbcozTqJFLVZBRESd1zUxX4oappXweqHifKbXuBWvY25sz58qZKUj8Kl3Q3VqtttxX66750NVxR4Q1dxszTPZqiBnnUpi2aJmffbpLEiaYrdJO9D+FV1CIXJym8Dt1ifwDvOuIa1MM+z3gT51MIj0sJpktd6mMXYPYR42Cm4BFYO7yazJN/ZDeWYXD+knvqgMaBZk2PEaE5QkLdNHyNLNOAfZg/pAiI7SzP/2dxOI+5sQLD2qHbmvgE3C1gNJUQx/VuFoqiJHg4w0YlM4qUjfmo8BFEa5AqUao2p9KwA6RJMVeoggvG8K1mAjSSSm5Ln8V1EKUQ4cK7gX8Lu5XMG2JvOFNGS2QJ8CUsf0J8EK/EnngvXosv4uc/uXrMYbR0sXoDrIqb408vLP44EtXGasq6j2KEaUkMnEZcmWqMT/Avs+IWl9hlbJmW6C7V0ZAHdJvmqIo2lmEPWJtsSWAjtECDZeuIqmg85mtcjd8aTJ3kQOHmk2d7izeqE71J8VLsokIvxI54hxqFm9/k9oKqPucWVw43dNiozZSul8TCTHH2TtbrEbpIl/DuKnSVZuk+zePiMvfJsqxRa8x+a3+2d+2vg1Arl2HO04Fhf/8Fmp3amw==</latexit>⇢s 0 u0 ,0,x 2 ⌦s (xc , ✓c ),x 62 ⌦s (xc , ✓c ),

y

x

246

247

自己駆動粒子モデル

形状依存の運動<latexit sha1_base64="lZ2dUfRW0910X99VHxmo0P7JRCI=">AAADU3ichZPNbtNAEMf/SfgogdJQLiAuqyYF50C6yYWChFSokOBQtU0bGqlurLWzSa36S/YmIlh5ASTOHDiBxAHxGFx4ARB9BMQxSFx6YOwYVaVCXcu7s/+d3+x4RjYDx44U54e5fOHc+QsXZy4VL1+ZvTpXujb/PPIHoSVblu/4YdsUkXRsT7aUrRzZDkIpXNORO+bBanK+M5RhZPvethoFcs8Vfc/u2ZZQJBml15VKUe8GEXvG9F4orLjbaTBd7UslDGscd5nqNMbsIdNtTxmxHgjF9HVX9oURaao6ZnpfuK7QBlWmMd10Q2JtV0aJ7WmJcKfKqt2I3WW6O+jEWkjM35tO3jMuVipGqcxrPB3stFHPjDKyseGXvkNHFz4sDOBCwoMi24FARM8u6uAISNtDTFpIlp2eS4xRJHZAXpI8BKkHNPdpt5upHu2TmFFKW3SLQ29IJMMi/8o/8gn/wj/xH/zov7HiNEaSy4hWc8rKwJh7dWPr95mUS6vC/jGVEjZlFhCnyG8JrZQPaV5KM+7TO0p5Qco2nqANA2t4hFU0sU7aWhbVSC2LWB81UiRenFEVhR6W02oc55DUyZpmOHz5ZrL1oLkY3+bv+U+q0Dt+yD9TjbzhL+vDpmy+RZFaXP+3oaeNVqN2v8Y3G+WVx1mvZ3ALC9CoofewgqfYoA+3MMndzC3kyvlv+aMC/SVT13wuY67jxCjM/gG/9Mrl</latexit>@u= du u@t

ku + F (x, xc (t), ⌦s (t)), x 2 ⌦, t > 0.
⇢
s0 u0 , x 2 ⌦s (xc , ✓c ),F (x, xc (t); ⌦s ) =0,x 62 ⌦s (xc , ✓c ),<latexit sha1_base64="emL/+WnTfg2qttFPjcSaN0dXZmA=">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</latexit><latexit sha1_base64="ayfGNPutesnE1UnwvP8vsNh6Lus=">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</latexit><latexit sha1_base64="BWQMu4myPWpW0ZVUDLCVOnCQQzY=">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</latexit>

248

249

57

形状依存運動２250

形状依存運動３251

形状依存運動４

自己駆動粒子モデル<latexit sha1_base64="lZ2dUfRW0910X99VHxmo0P7JRCI=">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</latexit>@u= du u@t

ku + F (x, xc (t), ⌦s (t)), x 2 ⌦, t > 0.
⇢
s0 u0 , x 2 ⌦s (xc , ✓c ),F (x, xc (t); ⌦s ) =0,x 62 ⌦s (xc , ✓c ),<latexit sha1_base64="emL/+WnTfg2qttFPjcSaN0dXZmA=">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</latexit><latexit sha1_base64="ayfGNPutesnE1UnwvP8vsNh6Lus=">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</latexit>

252

253

58

１次元運動モデルの導出
yc +樟脳円盤の運動方程式 ＋ 樟脳濃度の拡散方程式y<latexit sha1_base64="Z8v+dnQ1dCQ8I9a4ng8lI1V2WE8=">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</latexit>

xc

xc + RR<latexit sha1_base64="nIGx/PezeMxH4mYg0nENTg785dA=">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</latexit>

１次元樟脳円板の数理モデル<latexit sha1_base64="1mzwTqMVKr7gQxTnzJrwuRD8lMk=">AAAC0nichVFBS9xAFP6M2tqt1tVeCr0srkpB2H3rpbYnqwheRF2NLlgNyXTcBrNJSGYX18WDeBPvFjwpeCj9GV76Bwr1J4hHBS8efJkNSCviDDPzzTfve/nynhN6bqyILjqMzq7uFy97XmVe9/a96c8ODK7EQT0S0hSBF0QVx46l5/rSVK7yZCWMpF1zPLnqbE0n76sNGcVu4C+rZijXa3bVdzddYSumNoaHM9uWyI3lyhmGVjZPBdIj9xiUUpBHOhaC7F98xTcEEKijBgkfirEHGzHPNZRACJlbR4u5iJGr3yV2kWFtnaMkR9jMbvFe5dtayvp8T3LGWi34Kx6viJU5jNAf+knX9Jt+0SXdPZmrpXMkXpp8Om2tDK3+g3dLt8+qanwqfH9QaYXLzkLWKY4rwtT6iPeidlzl1dR6m5llzKACC3P4gmmUMc/cXJrV0kiwNkCBGYntZ6qisIkJXY0HD0mdRNthY+foeulzeaQ1Sqd0xRU6oQs65xr5jRtxtijLx0haXPq/oY+BOV74VKDF8fzkVNrrHrzHED5wQz9iErNY4B9PrP/ACU4N02gZe8Z+O9ToSDVv8c8wDu8BVXKfSw==</latexit><latexit sha1_base64="bytmC6Cf8NNHwdIV01xHMk4RW2Y=">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</latexit>yc

y<latexit sha1_base64="cM8Z7frYfvn9V9EMuSe9rqMXATc=">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</latexit>u(t, ·) 2 C 1<latexit sha1_base64="AORbRiiliT0v3JSnubyfgEp5VRE=">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</latexit><latexit sha1_base64="mUsWEepLUIjwaBdgbp15F3o5pEg=">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</latexit>：樟脳円盤の直径，：樟脳円盤の中心，<latexit sha1_base64="a8Mzmq2G+jWDH3Hze/Mf/I9wqT4=">AAACyHichZHPSxtBFMe/bq2N8UdSeyn0Io2WnuJLLlVPaUNBEFFjUgOphN3pmC5udre7k2gaevHowWsKPVXwIP4ZvfQfKJg/ofSo4KUH304WQiviLDPz5jvv8/bNe5bv2KEi6o8YD0Yfjj1KjCcnJqemU+nHM+9CrxUIWRGe4wVVywylY7uyomzlyKofSLNpOXLb2itG99ttGYS255ZVx5c7TbPh2ru2MFUkzeVLc/V0hrKkx+xtIxcbGcRjw0tf4D0+wINAC01IuFBsOzAR8ldDDgSftR10WQvYsvW9xBckmW2xl2QPk9U9Xht8qsWqy+coZqhpwX9xeAZMzmKeftEZXdJPOqff9PfOWF0dI8qlw7s1YKVfTx093bq+l2ryrvBxSGnC5sx85hT7LaCi+YDXBZ1xg2dH8yYrZbxFFXWs4TWKKGGdtbU4al1bglkPWVYkDu6pisIuFnU1hjlEdRKDDNufe5dby6X57gs6oT9coe/Upx9cI7d9JU43Zekbktzi3P8NvW1U8tmlLG3mM4U3ca8TeIbneMkNfYUCVrDBDxf8iGP08NVYNT4Z+0Zn4GqMxMwT/DOMwxtjfJ0O</latexit>：樟脳濃度uに依存した水の表面張力，：樟脳円盤の密度，：水の粘性係数，<latexit sha1_base64="bytmC6Cf8NNHwdIV01xHMk4RW2Y=">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</latexit>：樟脳の拡散係数，：樟脳粒から供給される樟脳膜の表面濃度，<latexit sha1_base64="h56I51LYYkUivRpbbOLkswWpZxU=">AAACyXichVG/TxRBGH2sP8BD5dDGxIZwYKyO72hQKpSYUEiEg5VLkGx2h+HYsLe72Z27cFys7Gws0VhpYmH8M2z8B0jkTzCUmNhY+G5uE6LEMJOZefPme9++/b4gjcLciBwPOZcuX7k6PHKtNHr9xs2x8vit53nSzpR2VRIlWSPwcx2FsXZNaCLdSDPtt4JIbwR7i/33jY7O8jCJ10031VstvxmHO6HyDSl3attrT3nlilTFjonzoFaACoqxkpS/4wW2kUChjRY0YhjiCD5yzk3UIEjJbaFHLiMK7bvGS5SobTNKM8Inu8e9ydtmwca893PmVq34lYgro3IC03Ikn+VUvskX+SG//5urZ3P0vXR5BgOtTr2x13fWfl2oavE02D1TWUVIZyl1hnEzcK0+4z5jHTe5ulbvk1nHEzTgYRmPsIg6npFbLrJ6FilqE1TJaOxfUBWDHTyw1Tjz0K+TGjjsHByers3Xp3v35KOcsEIf5Fi+skZx56f6tKrr71Fii2v/NvQ8cGerD6uyOltZeFz0egR3MYn7bOgcFrCEFf64oo03eIt3zlMnc/adg0GoM1RobuOv4bz6Azdincw=</latexit>：樟脳粒子の供給，

255：樟脳の昇華率と溶解率の和．

256

樟脳濃度に依存した表面張力について

樟脳の供給について<latexit sha1_base64="bytmC6Cf8NNHwdIV01xHMk4RW2Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="bytmC6Cf8NNHwdIV01xHMk4RW2Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="AORbRiiliT0v3JSnubyfgEp5VRE=">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</latexit><latexit sha1_base64="AORbRiiliT0v3JSnubyfgEp5VRE=">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</latexit>

樟脳濃度に依存した表面張力には次の様な単調減少関数を用いる：

樟脳の供給について，次のように樟脳粒から一定の供給があると仮定する：

140
120

m=2

100
80

：純水の表面張力，：樟脳飽和時の水の表面張力，：任意の正定数．

<latexit sha1_base64="mUsWEepLUIjwaBdgbp15F3o5pEg=">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</latexit>：樟脳の供給率，60：樟脳粒から供給される一定量の樟脳分子．

40
20
0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1
<latexit sha1_base64="rDGR6MWFpBtaFIvGGLl+dnLTRuE=">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</latexit><latexit sha1_base64="P5EU7mvnmVLWinilTxgPZJonTl0=">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</latexit>

257

258

59

数理モデルの無次元化

数理モデルの無次元化２

先ほどのモデルに対して，無次元化を行うために次のような無次元化変数を導入する：

ここでモデル方程式は

であり

である．

となる．

259

260

１次元樟脳円板の無次元化モデル

定常解の構成１次元樟脳円盤モデルを動座標系に変換，その他のパラメータをそれぞれ元の変数，パラメータに置き直すと，
次の様な１次元樟脳円盤の無次元化モデルが得られる．

<latexit sha1_base64="/2O8Gw6GsLidT4U+73wdEy06pjA=">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</latexit><latexit sha1_base64="N/4V3gezqgI8SGkeNWjzCHjCz8s=">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</latexit><latexit sha1_base64="Os7avwpRTrQzdQIJe6EhVoxYEzU=">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</latexit><latexit sha1_base64="GZliNpWH54L8mHmst2TT77EVvh4=">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</latexit>

動座標系発展方程式の次の定常問題を考える<latexit sha1_base64="FvFs6K6Xz1XuNV8too+KoV7fSZU=">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</latexit><latexit sha1_base64="hadW7HOFLGbIwowXN5F3L92UyYQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="BWQMu4myPWpW0ZVUDLCVOnCQQzY=">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</latexit><latexit sha1_base64="MfMioQPNWjyXjYkmXMu3OZeYENE=">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</latexit>

261

262

60

等速運動解の存在定理（岡本，後藤田，N）

等速運動解の存在

速度 c 0 に対して，パラメータR, L, c を一組定めるごとに<latexit sha1_base64="iy0AT/p+bXA0ua4x/82bK3bIimk=">AAADIXichVFNaxRBEH0Zv+L6kVUvgpfGTWQXyaZnL4oiRIPoJZhMssliNgw9nd51yHwxM7u4GfYP+Ac8eFLxIP4JwYveRBAM3gXxoBDBiwdregdCDCHVdPer1/VqaqqcyHOTlPPtMePI0WPHT4yfLJ06febsRPnc+ZUk7MVSNWXohXHLEYny3EA1Uzf1VCuKlfAdT606m3P5+2pfxYkbBsvpIFLrvugGbseVIiXKLj+cnCxxdovdq7b93k0ma4RZe6MTC5m1u8L3RZU1q1u2ZFeZVWO1abaXndYsG2YNa8jIoyyMSVaitHa5wutcG9sPzAJUUNhCWP6CNjYQQqIHHwoBUsIeBBJaazDBERG3joy4mJCr3xWGKJG2R1GKIgSxm3R2yVsr2ID8PGei1ZK+4tGOSckwxT/z13yHv+dv+Hf+98Bcmc6R1zKg2xlpVWRPPLm49OdQlU93ike7Kq1wqbKIdCnFzaCp9TGdM7riLu2B1gtilnEXLdiYx23MwcID4uaLrLZGkrQh6sQoPD6kKyk6uK67sVtD3ic5qrC/9XRn6YY1lV3hL/gP6tBzvs3fUY+C/m/5alFZz5CP2Px/oPvBSqNu8rq52KjM3imGPY5LuIwqTfQaZnEfC/TnEm/xDT/xy3hpfDA+Gp9GocZYobmAPWZ8/QehxLdz</latexit>u(zc +R) =<latexit sha1_base64="4hFCeCG4hgLemJBx6CU2dM/Hkfs=">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</latexit>u(zc R) =<latexit sha1_base64="7sGRWCsca/0D/UPwD5IEvjwYxMY=">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</latexit>

✓

0 (1

✓

0 (1

e2 + Re2 + L )e2 + L )⇣e2 + L +⌘e2 + (L R) +

1

10

+
0 (1

e2
+

0 (1

e2

e2

L)

L)

⇣

L

e2

e2

(L R)

◆
+ 1 S0R◆⌘
1 + 1 S0 .

<latexit sha1_base64="iy0AT/p+bXA0ua4x/82bK3bIimk=">AAADIXichVFNaxRBEH0Zv+L6kVUvgpfGTWQXyaZnL4oiRIPoJZhMssliNgw9nd51yHwxM7u4GfYP+Ac8eFLxIP4JwYveRBAM3gXxoBDBiwdregdCDCHVdPer1/VqaqqcyHOTlPPtMePI0WPHT4yfLJ06febsRPnc+ZUk7MVSNWXohXHLEYny3EA1Uzf1VCuKlfAdT606m3P5+2pfxYkbBsvpIFLrvugGbseVIiXKLj+cnCxxdovdq7b93k0ma4RZe6MTC5m1u8L3RZU1q1u2ZFeZVWO1abaXndYsG2YNa8jIoyyMSVaitHa5wutcG9sPzAJUUNhCWP6CNjYQQqIHHwoBUsIeBBJaazDBERG3joy4mJCr3xWGKJG2R1GKIgSxm3R2yVsr2ID8PGei1ZK+4tGOSckwxT/z13yHv+dv+Hf+98Bcmc6R1zKg2xlpVWRPPLm49OdQlU93ike7Kq1wqbKIdCnFzaCp9TGdM7riLu2B1gtilnEXLdiYx23MwcID4uaLrLZGkrQh6sQoPD6kKyk6uK67sVtD3ic5qrC/9XRn6YY1lV3hL/gP6tBzvs3fUY+C/m/5alFZz5CP2Px/oPvBSqNu8rq52KjM3imGPY5LuIwqTfQaZnEfC/TnEm/xDT/xy3hpfDA+Gp9GocZYobmAPWZ8/QehxLdz</latexit>を満たすただ一つのμ>0 が存在する．

10

R:小

5

R:大

5

c0

c0

-5

-5

-10
0.5

-10
0.5

1

1.5

(a)

2

2.5

3

1

1.5

(b)

263

2

2.5

3

264

定常解の安定性解析
次の定常問題の線形化固有値問題を考える．

線形化固有値問題
線形化固有値問題は次のようになる：<latexit sha1_base64="FguM0QFY2noszlcFpMl3ki9w8Io=">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</latexit><latexit sha1_base64="JMNxEnjX3w3eqkMLXWb9qoUw+m4=">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</latexit>

with jump condition:<latexit sha1_base64="MfMioQPNWjyXjYkmXMu3OZeYENE=">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</latexit><latexit sha1_base64="5/whWHwJp+8NzL7qsUxDqzrCt9c=">AAADBXichVHPaxNBFP66/qrrj8Z6KXgZTCoVbfq2l4pgqRbBS7FNmzbQlGV2nSZLN7vL7iaYBM+C/4AHT4oeRLyJVw9exKsW2j9BPFbw4sG3k4WiofQNM/PNN+978+Y9J/K9JCXaHzFOnDx1+szoWfPc+QsXxwqXxteTsB27quqGfhjXHJko3wtUNfVSX9WiWMmW46sNZ2cxu9/oqDjxwmAt7UZqqyUbgbftuTJlyi7Ml0rCrEs/akq7N9WzSUyLirgh6DqDIX464++IetT0bgqzVDLtQpHKpE0MAysHReS2HBb2UMcjhHDRRgsKAVLGPiQSHpuwQIiY20KfuZiRp+8VnsBkbZu9FHtIZnd4bfBpM2cDPmcxE612+RWfZ8xKgUnapbd0QF/oHf2gP0fG6usYWS5d3p2BVkX22LOJ1d/Hqlq8p2geqrTC48wi1qXsN4Oq1se8zuiMGzy7Wi+ZWcN91GBjCXexiAoeMreUR7U1clkbosyMwuNjqpJiG7d0NQ5zyOrkDjLs9J4frN6uTPav0Sv6yRV6Sfv0mWsUdH65b1ZU5QWyFlv/N3QYrM+WLSpbK7PFhXt5s0dxBVcxxR2dwwIeYJl/7uI1vuIbvhtPjffGB+PjwNUYyTWX8Y8Zn/4CPFquZQ==</latexit><latexit sha1_base64="XE2OjBGqdS02v8de/+xrVSdnF1s=">AAADB3ichVFNaxRBEH0Zv+L4kVUvgpfB3UhEs6nJRRGE1SB4CSabbLKQhKGn7ew2mZ0ZZmYXdxd/gP4BD54UFMSDN/EqXjx4jZifIB4jePFgTe9A0EVSTXe/flWvpqbKjwOdZkR7E9aRo8eOn5g8aZ86febsVOnc+bU06iZSNWQUREnTF6kKdKgamc4C1YwTJTp+oNb9nYXcv95TSaqjcDXrx2qrI1qh3tZSZEx5pVql4tibIojbwhvMDDxyrjl13nTVmXXG+Nmcv5174ra+7tiViu2VylQlY844cAtQRmFLUekbNvEQESS66EAhRMY4gEDKawMuCDFzWxgylzDSxq/wGDZruxylOEIwu8Nni18bBRvyO8+ZGrXkrwS8E1Y6mKZdekP79Jne0nf6/d9cQ5Mjr6XPtz/Sqtibenpx5dehqg7fGdoHKqPQXFnMuozj5tAw+oTPOVNxi3ff6AUzq7iHJjws4g4WUMcD5haLrJ5BkrURqswoPDqkKxm2cdN046CGvE9yVGFv8Gx/5VZ9eniFXtIP7tAL2qNP3KOw91O+Wlb158hH7P470HGwNl91qeouz5drd4thT+ISLmOGJ3oDNdzHEv+5xGt8wS6+Wk+sd9Z768Mo1JooNBfwl1kf/wBUMq7C</latexit>

265

266

61

樟脳濃度の拡散方程式の線形化

線形化固有値問題
次の複素変数・樟脳濃度の拡散方程式の線形化<latexit sha1_base64="HRIgjJO3jsrW6/BE5TASgnsRekY=">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</latexit>

に対する非線形問題の解をすべて求めればよい

が不連続なので，弱形式を与え，jump conditionを導く．
<latexit sha1_base64="X8k0W7mv9Wnoie6AWvutjjqAgug=">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</latexit>

複素Newton法によって求める

得られる線形化方程式は次のようになる：

with jump condition:<latexit sha1_base64="5/whWHwJp+8NzL7qsUxDqzrCt9c=">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</latexit><latexit sha1_base64="XE2OjBGqdS02v8de/+xrVSdnF1s=">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</latexit>

267

268

樟脳船の数理モデル
x1 (t) = xc (t) + l,<latexit sha1_base64="uR/TJhKPgXBfiK0p/lfGr5VwsPc=">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</latexit>

x2 (t) = xc (t)

l

x2
樟脳

樟脳船モデルの分岐現象
xc

x1<latexit sha1_base64="BXAq5HwEqE+lZ6FNlzC2ofWd9R0=">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</latexit>u(zc +l) =<latexit sha1_base64="wNgqjLntxerhcf/tRrUW2OsN7So=">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</latexit><latexit sha1_base64="2Hc84xornKjKiCvIm3xfNjSff5U=">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</latexit>u(zc l) =2<latexit sha1_base64="2yMtkT8fUzMh9SAk4thXTNdQ+a0=">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</latexit>

@u
@ u
=
@t
@x2

u + F (x, x2 ; R),<latexit sha1_base64="FvFs6K6Xz1XuNV8too+KoV7fSZU=">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</latexit>

F (x, x2 (t); R) =<latexit sha1_base64="k0lakLgFeIe+uD+2zmtcyjDl7kk=">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</latexit>

⇢

S0 ,
0,

|x
|x

x 2 I, t > 0<latexit sha1_base64="O2HQrvf9vA+JtKAPOLt97bLW+n0=">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</latexit>(x2 + R)|  R,
(x2 + R)| > R,<latexit sha1_base64="BWQMu4myPWpW0ZVUDLCVOnCQQzY=">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</latexit>

269

✓

✓

0 (1

0 (1

e2 + L )⇣e2 + L )e2 + l⌘e2 + (L+l R) +⇣⌘e2 + (L R) +

1

+

10

5

5

c0

c0

-5

-5

-10
0.5

-10
0.5

1.5

(a)

2

2.5

3

L)

+
0 (1

10

1

e2

0 (1

e2

1

L)

⇣

⇣

e2

(L+l R)

e2

(L R)

1.5

(b)

2

e2

l

⌘

◆
+ 1 S0◆⌘1 + 1 S0 .

2.5

3

270

62

等速運動解の存在定理（岡本，後藤田，N）
速度 c > 0 に対して，パラメータR, l, L, c を一組定めるごとに講義の予定
1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具
1.
2.
3.

力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識<latexit sha1_base64="BXAq5HwEqE+lZ6FNlzC2ofWd9R0=">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</latexit>

4.
を満たすただ一つのμ>0 が存在する．
速度0の解はR=l の時のみ存在する.

271

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）細胞サイズの有限性重要283

樟脳酸船の振動運動

振動運動の数理モデル
中和反応を伴う自己駆動系
The velocity profile ofcamphoric acid boat

樟脳酸船
plastic
boat

284

樟脳酸

285

63

振動運動のメカニズム

振動運動のメカニズム

樟脳酸
溶解
リン酸
リン酸

リン酸水溶液（リン酸緩衝液）
樟脳酸

リン酸

樟脳酸

k

C8 H14 (COOH)2 + 2HPO24 !2 C8 H14 (COO )2 + 2H2 PO4
中和反応

286

リン酸
k

C8 H14 (COOH)2 + 2HPO24 !2 C8 H14 (COO )2 + 2H2 PO4287

振動運動のメカニズム

振動運動のメカニズム

樟脳酸
溶解

リン酸
樟脳酸

リン酸
k

C8 H14 (COOH)2 + 2HPO24 !2 C8 H14 (COO )2 + 2H2 PO4

288

樟脳酸

リン酸
k

C8 H14 (COOH)2 + 2HPO24 !2 C8 H14 (COO )2 + 2H2 PO4

289

64

目的

実験事実

数理科学的視点から振動運動メカニズムに対する必要かつ十分条件を見つけたい．
(すくなくとも十分条件)

水中の分子拡散は水面分子の拡散より非常に遅い．
→ 水中からのリン酸の供給はない！？

そのために中和反応を伴う樟脳酸船の数理モ
デルを作る．

わずかな界面活性粒子密度では表面張力は変化しない．

290

反応が生じるのは気水界面近傍だけである．

291

中和反応を伴う樟脳酸船の数理モデル

界面活性剤濃度と表面張力の関係

k

C8 H14 (COOH)2 + 2HPO24 !2 C8 H14 (COO )2 + 2H2 PO4@u@2u= du 2 ku + F (x, x2 (t); r) k2 uv 2 , t > 0, 0 < x < L,
@t
@x
@v
@2v
= dv 2 2k2 uv 2 ,@t@x(u(t, x1 ))(u(t, x2 ))⇢ẍc =µẋc2l

わずかな界面活性剤濃度では表面張力は変化しない

(u) =
0

0a

n

an + un(0) = 0 for n+Langmuir (1917)

surface tention γu(t, x) : 水面上の樟脳酸膜濃度
the concentration of camphoric acid layer,v(t, x) : 水面近傍のリン酸濃度
the concentration of phosphoric acid,xc (t) : thecenter of camphoric acid boat.
樟脳酸船の中心点

1.

2<latexit sha1_base64="fLtXhxBpMmsTiUQmhoobHugeSGw=">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</latexit>

concentration of surfactant u<latexit sha1_base64="BWQMu4myPWpW0ZVUDLCVOnCQQzY=">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</latexit>

293

294

65

初期条件と境界条件

仮定

初期条件

u(0, x) = 0, v(0, x) = v0 ,0xAssumption : 0 < dv ⌧ duL,

xc (0) = x0 , ẋc (0) = 0.
v0：リン酸初期濃度
境界条件

u
v
(t, x) =(t, x) = 0,xxt > 0, x = 0, L.

295

296

中和反応を伴う樟脳酸船の数理モデル@u@2u= du 2 ku + F (x, x2 (t); r) k2 uv 2 , t > 0, 0 < x < L,
@t
@x
@v
@2v
= dv 2 2k2 uv 2 ,@t@x(u(t, x1 ))(u(t, x2 ))u(t, ·) 2 C 1⇢ẍc =
µẋc
2l
n
0a
+ 1.
(u) = nu(0, x) = 0, v(0, x) = v0 , 0 x L,
a + un<latexit sha1_base64="fLtXhxBpMmsTiUQmhoobHugeSGw=">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</latexit>

xc (0) = x0 , ẋc (0) = 0.
uv(t, x) =(t, x) = 0,xxt > 0, x = 0, L.

数値計算結果
船
の
速
度

time

time

船
の
速
度

0 < dv ⌧ d u

v0 = 150time

リン酸の初期濃度v0に依存して樟脳酸舟の運動がどのように変化するか数値計算によって調べる.

297

v0 = 1.0

船のv0 = 20.0
樟脳酸船の速度変化
速度

v0 : Initial value of the concentration of the phosphoric acid

298

66

振動運動について疑問

中和反応によって振動運動することは正しいだろう．

反応次数が異なっていても，振動現象は現れるのだろうか？
→ 自然に思いつくと思いますか！！

仮定 0 < dv << du は必要条件
もし dv / du が１に近ければ，振動運動は起きなくなる．

表面張力関数 γ(u)に対して γʼ(0)=0 は停止と運動を繰り返す現象を再現するには重要な性質である．
もし γʼ(0) が０でないならば，振動現象は起こるが，実験で見られるような停止と運動を繰り返す運動は現れなくなる．

実験 : difficult(樟脳酸­リン酸系以外の反応系を見つける必要がある．)

数理モデリング : easy
(数理モデルの反応次数を変更するだけである．)

299

300

反応次数を一般化した数理モデル@u@2u= du 2@t@x@v@2v= dv 2@t@x

数値計算
u(0, x) = 0, v(0, x) = 100,

ku + F (x, x2 (t); r) m1 k2 um1 v m2 ,m2 k2 uv

xL,xc (0) = x0 , ẋc (0) = 0.

t > 0, 0 < x < L,
m1 m2

0

,

u
v
(t, x) =(t, x) = 0,xxt > 0, x = 0, L.

<latexit sha1_base64="fLtXhxBpMmsTiUQmhoobHugeSGw=">AAADUnichZHNbtNAFIWPE36KKTSUBUhsBtJWqQjpJJsiEKhQgdhUtGnTRqory3YnqVXHtsaTKMHNC8ADsGAFEgvEY7DhAUCij4BYoSIhIRZcO5YqWlUdyzN3zpzv+vqOHXpupDjf13L5M2fPnR+7oF8cv3R5onBlcj0KutIRDSfwAtm0rUh4ri8aylWeaIZSWB3bExv27mJyvtETMnIDf00NQrHVsdq+23IdS5FkFl5NTelPS/0y65u1kpq9z+Qse8AMT7SUETPdsEXb9WNLSmswjD1vqDMWmZx1TV5mM2yP9dkdViKW3SZyLwGZLBsG2ciQOI4YHtKxbgh/O8vJDOm2d1RFpzrMQpFXeDrY8aCaBUVkYzkofIOBbQRw0EUHAj4UxR4sRPRsogqOkLQtxKRJitz0XGAIndguuQQ5LFJ3aW7TbjNTfdonOaOUdugrHr2SSIZp/pV/4Af8M//Iv/O/J+aK0xxJLQNa7RErQnPi5fXV36dSHVoVdg6plHCpspA4Rb45NFJe0jyXVtymd5DyFilreIImTCzhERZRx3PSlrKsZho5xAaokCLQP6UrCi3cTbtxWEPSJ2dUYe/F64PVe/XpeIa/4z+oQ2/5Pv9EPfJ7v5z3K6L+BskVV49e6PFgvVap8kp1pVZceJxd9hhu4BZKdKPzWMAzLNOfO/ipXdOYdjP3Jfcnr+XzI2tOy5ir+G/kx/8BXPnDLg==</latexit>⇢ẍc =(u) =301(u(t, x1 ))n0a+na + un(u(t, x2 ))2l
1.

µẋc , t > 0.

フリーパラメタ­ : m1, m2u(t, ·) 2 C 1

302

67

反応次数をパラメータとした数値計算結果

数理モデルからの示唆
数理モデルが中和反応を伴う振動現象を定性的に再現しているならば，中和反応系であったとしても反応次数によって振動しない実験系があるはず．

U：等速運動O：振動運動樟脳酸­リン酸系に対応

数値計算からの示唆：
数理モデルが中和反応を伴う振動現象を定性的に再現しているならば，中和反応系であったとしても反応次数によって振動しない実験系があるはず．

303

304

2次反応をともなう中和反応系（カンファン酸船）
Camphoric acid –phosphoric acid reaction

Campharic acid –phosphoric acid reaction

m1 = 1, m2 = 2

m1 = 1, m2 = 1

H 3C

H 3C

CH3
CH3

CH3

H 3C

COOH
COOH

実験結果

カルボキシル基が２個

低濃度 : 一定速度

O=
O

The motion of boat in
the low concentration

COOH

カルボキシル基が1個リン酸濃度を徐々に高くすると，
カンファン酸船の速度は徐々に遅くなる

振動運動は起こるだろうか？

高濃度 : 振動速度

305

The motion of boat in
the high concentration

振動現象は決して起きない

306

68

結果
数値計算結果を支持する実験結果を得ることができた．

まとめ
中和反応を伴う樟脳酸船の数理モデルを提案し，振動運動が生じる機構を示唆した．
仮定 0 < dv << du は必要条件．

我々の提案した数理モデルは中和反応を伴う自己駆動系の実験を定性的によく再現していると考えられる

表面張力関数 γ(u)に対して γʼ(0)=0 は停止と運動を繰り返す現象を再現するには重要な性質である．
それに加え，反応次数も振動現象にとって必要条件である．

307

308

講義の予定
1. 実験系の紹介
2. 数理モデリングとは
3. 必要な道具
1.
2.
3.

4.

樟脳船渋滞現象の数理解析

数理モデリングの例
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

309

力学系の基礎数値計算の基礎（必要に応じて）物理学，化学，生物学の基礎知識
化学反応モデル（BZ反応等）
燃焼合成反応ロウソク振動子
自走粒子運動の数理モデル
樟脳酸­リン酸系モデル
集団運動
表皮細胞モデル
Proneural wave（反応拡散系の応用）細胞サイズの有限性重要

310

69

樟脳船の渋滞現象
N = 30樟脳船渋滞における基本図

N = 40N.J.Suematsu et al. Physical Review E (2010)
流量：単位時間当たりにある点を通る樟脳船の数
Density = N(Number of camphor boat)/L

Suematsu et al. Physical Review E (2010)

311

312

一次元樟脳船の数理モデル

車両渋滞における基本図

樟脳船の1次元集団運動モデル• 基本図に人型– 渋滞状態と非渋滞
メタ安定状態流量@u= du uxx@t

状態が共存．
– この時の車両密度をメタ安定領域．

ku +NX

F (x, xi2 ; R),

i=1<latexit sha1_base64="CWzkMESA1hyZlGCtJxN+ZgBIB7c=">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</latexit>x 2 [ L, L) , t > 0x2 xc x1u(·, t) 2 C 1 [ L, L),<latexit sha1_base64="f8OoaIeLBBSDmG434a1k3Gnuv98=">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</latexit>

F (x, xi2 (t); R) =<latexit sha1_base64="bFuepCPDnExsEpoC+lCtVnHjZIs=">AAADU3ichZPNbtNAEMf/SfgohtK0XEBcVk1bpSKkm1z4EqhQgbhUtElDI9XFst1NuqpjW/YmSnDzAkicOXACiQPiMbjwAiD6CIhjkLj0wNixVEGEutbuzs7+f+PxjGz5jgwV50eZbO7M2XPnpy5oFy9NX57Jz849D71uYIuG7Tle0LTMUDjSFQ0llSOafiDMjuWIbetgLb7f7okglJ67pQa+2O2YbVe2pG0qchn51wsL2pNiv8T6RvWFLKrle6y2zO4z3REtpUdM0y3Rlm5kBoE5GEaOM9QYqxu8xJbYIeuzm6yYkOwGcYcxxmolXScRSWLNhOQBCTRduHtpTKYHsr2vyhplYuQLvMyTwSaNSmoUkI4NL/8dOvbgwUYXHQi4UGQ7MBHSs4MKOHzy7SIiX0CWTO4FhtCI7ZJKkMIk7wGtbTrtpF6XznHMMKFteotDMyCSYZF/5R/5iH/hn/gPfvzfWFESI85lQLs1ZoVvzLy6Wv99KtWhXWH/hEoISZn5xCnSraCR8AGtK0nGbZqDhDfJs4XHaMLAOh5iDTU8I996GtVILJtYD2XyCPRPqYpCC7eTapzkENfJHmfYe/lmVL9bW4yW+Hv+kyr0jh/xz1Qjt/fL/rApam8Rt7jyb0MnjUa1fKfMN6uF1Udpr6dwHfMoUkNvYRVPsUEfbmOUuZaZzxSy37LHOfpLxtJsJmWu4K+Rm/4DNmjDhg==</latexit>⇢: 樟脳船の数:|x|x(xi2 + R)|  R,
(xi2 + R)| > R,

: 区間長

: 樟脳船の全長

番目の樟脳船の慣性中心
:

車両密度

S0 ,
0,

番目の樟脳船の船尾: 樟脳飽和時の表面張力: 樟脳船の密度:: 水の粘性抵抗番目の樟脳船の船首: 定数係数du : 樟脳粒子の拡散係数: 水の表面張力: 昇華と分解係数<latexit sha1_base64="xzaiowi9aFPWe1oak+iRCG+75Uw=">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</latexit>

Y.Sugiyama et al. NewJournal of Physics (2008)313: 樟脳粒の半径: 樟脳の供給係数: 樟脳の供給率<latexit sha1_base64="XezdSp8Mg0txOIqgrR2PBoo55Ks=">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</latexit>

314

70

Flux

樟脳船モデルに見られる基本図
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0

数値計算結果（時空間プロット）
1000

1000

1000

1000

双安定
渋滞状態

非渋滞

双安定
非渋滞

0

2

4

6
8 10 12 14
Number of boats

1000
-20

16

18

315

20

1000
-20

20

(a)

(b)

Homogeneous(非渋滞解)

Inhomogeneous
(渋滞解)

1000
-20

20

(c)

1000

-20

20

(d)

双安定（メタ安定）

316

渋滞の動画

樟脳船モデルにみられる基本図
200
Flow rate(average velocity)

160

Free

双安定

Jamming

120

渋滞状態

80

非渋滞

40
0

0

10

20

30

40

Number of Boats

50

60（corresponding to density）

317

318

71

双安定性のチェック

319

自動車による実験（西成研究室）

320

双安定性のチェック

なぜ渋滞が起こるのか？

渋滞発生あり水面の樟脳密度が低いと船の前後で表面張力差が大きい→ 速度速くなる．
水面の樟脳密度が高くなると船の前後で表面張力差が小さい→ 速度遅くなる．

実際の自動車による試験もで起こりうることがわかった

321

渋滞発生なし水面の樟脳密度に関係なく船の前後での表面張力差はほぼ同じ→ 速度ほとんど変化しない．

322

72

この数理モデルでは最近の実験データ@u= du uxx
@t

ku +

N
X

F (x, xi2 ; R),

i=1<latexit sha1_base64="CWzkMESA1hyZlGCtJxN+ZgBIB7c=">AAADRXichVFPaxNBFH/Z+qemamNVELw8TCsV03SSi/+oVIviodU2bWwg2y6TzSQdstldd2fDxmXx7hfw4EnBg/gxvPQLCPYDeBDBS4teBH3ZLAQt0jfMzG9+835v3rzXcC3pK8b2MtrYseMnTo6fyk6cPnN2Mndu6qnvBJ4pqqZjOV6twX1hSVtUlVSWqLme4N2GJTYbnaXB/WZPeL507A3Vd8VWl7dt2ZImV0QZuRfT01m95XEz0l3uKcktDOIRVvECNo0AAyMKwxhxDjsY4HXU/aBrRHKhFG9Hj2N8OBsWMDTK2/IOVq4VUH8W8CaGqEsbdUu0VB3nlgu4rHuyvaPIQeFdZFl628jlWZElhodBKQV5SG3VyX0GHZrggAkBdEGADYqwBRx8GnUoAQOXuC2IiPMIyeReQAxZ0gbkJciDE9uhtU2nesradB7E9BO1Sa9YND1SIsywT+w922e77AP7yn79N1aUxBjk0qe9MdQK15h8eWn955GqLu0KdkaqRCEpM5d0ivzmoZroPVrnk4zbNPuJnhOzAQ+gBgaswD1Yggo8IW4ljWokyCStA0ViBIRHVEVBC24m1RjlMKiTOcyw9/zV/vrtykx0lb1l36hCb9ge+0g1snsH5rs1UXkNgxaX/m3oYVAtF28V2Vo5v3g/7fU4XIYrMEsNvQGL8AhW6eMmfMlMZC5kLmq72nftQPsxdNUyqeY8/GXa7z9EoMZ7</latexit>

Flow Rate / min

200

x 2 [ L, L) , t > 01u(·, t) 2 C [ L, L),<latexit sha1_base64="f8OoaIeLBBSDmG434a1k3Gnuv98=">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</latexit>

F (x, xi2 (t); R) =<latexit sha1_base64="bFuepCPDnExsEpoC+lCtVnHjZIs=">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</latexit>⇢(xi2 + R)|  R,
(xi2 + R)| > R,

|x
|x

S0 ,
0,

150

100

50

0
0

10

20

30

40

50

60

70

Number of Camphor boats

表面張力関数γ(u)の関数形が本質的要因である．
でも… 双安定性って本当に実験で見ることができるのか？

323

N.J.Suematsu (2012)

324

Flux

樟脳船モデルに見られる基本図

325

双安定

0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0

非渋滞解の定義
定義：非渋滞解（Homogenous solution）

双安定1) すべての船は同じ一定速度で動く
2) 隣り合う船間距離はすべて等しい

渋滞状態

非渋滞

双安定
非渋滞

0

2

4

6
8 10 12 14
Number of boats

16

18

327

73

非渋滞解の解を求める

z¨ci = (u(t, z1i )

z=x(u(t, z2i ))ct, zc (t) = xc (t)

200

ct

Free solution160µ(z˙ci + c), (i = 1, 2, · · · , N )Flow rate

動座標系（ｃは速度）

非渋滞解の存在u(t, ·) 2 C 1<latexit sha1_base64="PhwZE8HeNyTUwGRSh29YdAHwLm8=">AAADRHichZHNbtNAEMf/Nl9t+GhoL0hcViRFRUC6zgUEqlSoQFwKbdq0kerGcrabYNWxLXsdkVh+AV6AAyeQOCAeAwnxAkj0zAnBLSAuCDFxLAoU1LW8O/uf+Y3HM63AdSLF+Z6mHzl67PiJicnCyVOnz0wVz05vRH4cClkXvuuHjZYdSdfxZF05ypWNIJR2t+XKzdbu0si/2ZNh5PjeuuoHcrtrdzyn7QhbkWQV03KZFcydIGJmO7RFYga2YnE6PlXK2MJvjmb1l2vQrKbsMhP/wgYpu8pi8ppR3LUSZ8FIm8n99O7c4AobWKLp3GS1S5VCuVywiiVe4dliBw0jN0rI14pffA8TO/AhEKMLCQ+KbBc2Inq2YIAjIG0bCWkhWU7ml0hRIDamKEkRNqm7tHfotpWrHt1HOaOMFvQVl96QSIZZ/o6/5EP+lr/iH/n3/+ZKshyjWvp0tsasDKypx+fWvh1KdelUeLhPZYRDlQXEKYqbRz3jQ9rns4o79PYz3iZlHXfQgIVl3MISanhA2nKe1cosQayPCikSjw7pikIb17Nu7Ncw6pMYV9gbPBmu3ajNJhf5c/6JOvSM7/HX1COv90W8WJW1pxiN2Ph7oAeNjWrF4BVjtVpavJ0PewLncQFzNNFrWMQ9rNCfC3zQJrVpbUZ/o3/Wh/rXcaiu5cwM/lj6j58YAMep</latexit>

with periodic boundary condition

Jamming solution
Free solution

120
80
40

定常問題
u(·) 2 C 1

0<latexit sha1_base64="PhwZE8HeNyTUwGRSh29YdAHwLm8=">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</latexit>

0 = (u(t, z1i )(u(t, z2i ))µc, (i = 1, 2, · · · , N )

10

20

30

40

50

安定性を調べる

329

フリーパラメーターの変更
船数 N から区間長 L

数値計算結果1
N=2Fundamental

1

diagram

N (L : Fix)

L (N : Fix)

1.2
非渋滞解

0.6

→

0

流量の連続変化を見ることができる

Jamming

Stable0.4

unstable

0.8
0.6
0.4

完全渋滞解

0.2

船の個数 N : 固定
区間長 L : フリーパラメータ1

unstable

Free

0.8

Flow rate

diagram

→

N=4

1.2

Flow rate

Fundamental

330

60

Number of boats(corresponding to density)

非渋滞解が存在with periodic boundary condition

328

0

0

5

10

15

Stable0.2
20Distance between two boats(L/N(=2))

25

0

0

5

10

15

20

Distance between two boats(L/N(=4))

25= 1/density

331

74

数値計算結果2

非渋滞解の安定性解析

N=8

N =2, 4, 8に対して，区間長に依存した定常解が存在し，分岐点を２つ持つ基本図が得られる．

1.2
1
Flow rate

0.8

Free

unstable

0.6
Stable0.4

少なくとも， 任意の船数に対して
基本図は2つの分岐点を持つだろう！！

Jamming

0.2
0

0

5

10

15

20

Distance between two boats(L/N(=8))

N=2に対して安定性解析を行う．

25

332

333

定常解の構成線形化安定性解析
u(t, z) = u0 (z; c) + ✏↵(t, z),zci = z0i + ✏ i (t),<latexit sha1_base64="81Fg5aocq4+miObmEU8Vjp8bvco=">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</latexit>

yci = ✏ i (t),i = 1, 2は次の定常問題の解with periodic boundary condition<latexit sha1_base64="dbeZxSKoORXC9sJYlb9zfPxB4CM=">AAADs3ichVHNbtNAEJ40/BTz0wAXJC4rkqJEpOnaCIFAlQoViEtFmzZtpGxirZ1Nuqr/ZDtRE8sHOPICHDiBxAHxGFx4AST6CAhuReLCgbHjKtCq6q5299tv5pudnTE8SwYhpfu5mfyZs+fOz15QLl66fGWucPXaVuAOfFM0TNdy/abBA2FJRzRCGVqi6fmC24Ylto3dlcS+PRR+IF1nMxx5om3zviN70uQhUnrhZ6lEmCV6IYsIM0RfOhH3fT6KIytWWNcLCCVLhPW5bfNyozzWtY4kd4hVqZCFo/TCIW0PiFllrHXXtttKoh/rtCOr5JCaxu353IyYx8OORhpxisi4o8X4hPmPdWqLMX4DrSwY2Hokl9S4E2nxs/K4StIkHpF6paow4XSzfxDmy/5OWFNKJUUvFGmNpoMcB2oGipCNNbfwDRh0wQUTBmCDAAdCxBZwCHC2QAUKHnJtiJDzEcnULiAGBbUD9BLowZHdxb2Pt1bGOnhPYgap2sRXLFw+KgnM06/0Iz2gX+gn+p3+OTFWlMZIchnhaUy0wtPnXt/Y+H2qysYzhJ2pKlVIzMxDXYh+i9BI9T7ui2nGfVyjVM+R2YSn0AQdVuExrEAdXiC3mkXVU2Si1oUaMgL2TqlKCD14kFZjmkNSJ3OS4XD85mDjYX0+uk3f0x9YoXd0n37GGjnDX+aHdVF/C0mL1aMNPQ62tJpKa+q6Vlx+kjV7Fm7CLShjR+/DMjyHNfy5mavn9nIvc6/y9/KtvJHvTlxncpnmOvw38vZfBpbndw==</latexit><latexit sha1_base64="LPSW920YNDPi0yc61F5gUmufaWo=">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</latexit>

から定常解を構成する．
最終的にNewton法を使って速度cを求める．

<latexit sha1_base64="+n3Eo5ALVOW+hcA1IxqUTylTnlo=">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</latexit><latexit sha1_base64="LPSW920YNDPi0yc61F5gUmufaWo=">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</latexit>

334

335

75

固有値問題の定式化1

樟脳膜モデルの線形化問題<latexit sha1_base64="CprcfOyLJJ2r7DNDwYKFCHorGUU=">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</latexit><latexit sha1_base64="CprcfOyLJJ2r7DNDwYKFCHorGUU=">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</latexit>

Periodic boundary condition↵( L) = ↵(L), ↵z ( L) = ↵z (L)Continuity condition↵( L + r0 ) = ↵( L + r0+ ), ↵( r0 ) = ↵( r0+ )↵(r0 ) = ↵(r0+ ),↵(Lr0 ) = ↵(L

r0+ )Jump condition↵z ( L + r0+ )↵z (r0+ )2,↵z ( r0+ )r0+ )↵ z ( r0 ) =↵z (Lr0 ) =

2

1337

非渋滞解の安定解析結果

固有値問題の定式化2( ( + µ)

1(

)+

2(

)) ( ( + µ)0
max Re(λ)

where

D2

Hopf分岐 ●●)2()) = 0

1.2
1
0.8

-0.5

0.6

Jamming
solution-1Freesolution

-1.5
-2

1(

D1

0.5

338

1,

↵z (L

0

5

0.4

stableFlow rate336↵ z ( L + r0 ) =↵z (r0 ) =

0.2
10

15

Density(L/N(=2))

20

0
25

340

76

2艘の渋滞現象

非渋滞解

2001年(小平-中田-N.)10年も昔(2001年)に異なる数理モデルを作って現象を再現した．
（流体効果を考えたつもりのモデル）
この現象も渋滞と考えられる．
→ 渋滞現象モデルが2つ存在する…，マズイ！！
→ 共通点は何か？

渋滞解

341

342

2001年の数理モデル

まとめと課題まとめ
樟脳船渋滞の基本図にも双安定性がある．
→ 実験でも確認
非渋滞解は常に存在する．
1次元樟脳船モデルおける非渋滞解はある密度領域でHopf分岐を起こし不安定化する．

渋滞発生なし課題
渋滞解の存在とその安定性
渋滞波が前進する現象の再現とその機構の理解

水面の樟脳密度に関係なく船の前後での表面張力差はほぼ同じ→ 速度ほとんど変化しない → 渋滞は起こらない→ 表面張力に依存した流速変化が影響している？！

344

完全渋滞時に流量が増加する現象の再現と理解

345

77

集団運動の実験

自走粒子の集団運動解析

346

樟脳ろ紙7個の場合

樟脳ろ紙14個の場合後ろの樟脳ろ紙に押されて動き出し，前の樟脳ろ紙とぶつかって停止する（玉突き）

前方にスペースができると樟脳ろ紙が動き出し，前方にある樟脳ろ紙に追いつくと停止する（渋滞）347

実験系の紹介

実験結果

円形のろ紙を樟脳飽和メタノール溶液に浸し，乾かした樟脳ろ紙を下図のようなリング上の水路に浮かべる．テフロンは強い疎水性であるため，
水がOHPリング上に集まって水路を形成する．

3

3

2

10mm

2

3

1

2

2
1

1

1

3

乾かす
円形のろ紙

樟脳飽和メタノール溶液 * 樟脳ろ紙
1.1g/mL

テフロン板

10 mm

20mm

2

樟脳ろ紙7個の場合
3

1
2

1

樟脳ろ紙14個の場合

2前方にスペースができると樟脳ろ紙が3
3
動き出し，前方にある樟脳ろ紙に追いつく
10 mmと停止する（渋滞）．

何故このような集団運動が見られるのだろうか？

蒸留水

Yumihiko S. Ikura, Eric Heisler, Akinori Awazu, Hiraku Nishimori, and Satoshi Nakata, Phys. Rev. E 88, 012911 (2013)

集団運動の発生機構が知りたい！！

*S. Soh, M.Branicki, and B. A. Grzybowski, J. Phys. Chem. Lett., 2011, 2, 770-774.

348

2

1

後ろの樟脳ろ紙に押されて動き出し，
3
前の樟脳ろ紙とぶつかって停止する（玉突き）．

mm

リング状に切り抜いた OHP フィルム

1

349

78

実験 (２つの樟脳円板)

１次元樟脳円版モデル
樟脳ろ紙の運動方程式 ＋ 樟脳濃度の拡散方程式

The number of camphor disk: 2：i 番目の樟脳ろ紙の中心，：樟脳ろ紙の直径，：樟脳濃度uに依存した水の表面張力，：樟脳ろ紙の密度，

Channel length : 短い

振動的運動

：水の粘性係数，

Channel length : 長い

回転運動

：樟脳粒から供給される樟脳膜の表面濃度，

水路長によって異なる運動が見られる！

：樟脳粒子の供給，

350：樟脳の拡散係数，：樟脳の昇華率と溶解率の和．

351

樟脳濃度に依存した表面張力について

樟脳の供給について

樟脳濃度に依存した表面張力には次の様な単調減少関数を用いる：

樟脳の供給について，次のように樟脳粒から一定の供給があると仮定する：

140
120

m=2

100

：純水の表面張力，：樟脳飽和時の水の表面張力，：樟脳の供給率，80：樟脳粒から供給される一定量の樟脳分子．

60
40：任意の正定数．

20
0

352

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

353

79

数理モデルの無次元化

無次元パラメータ

モデルに対して，無次元化を行うために次のような無次元化変数を
導入する：

ここで

<latexit sha1_base64="Z4RokQM6wYdTfpBNDnkhp9tV/8s=">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</latexit>

そして，変数変換を行うと

であり

となる．
である．

354

355

１次元樟脳円版の無次元化モデル

慣性項を無視したモデル，その他のパラメータをそれぞれ元の変数，パラメータに置き直すと，
次の様な１次元樟脳円版の無次元化モデルが得られる．

初期条件：
境界条件：
正則条件：

356

358

80

：停止

数値計算結果（相図）

0.12
0.1
0.08

数値計算により得られる相図．縦軸は水の粘性係数，横軸は1つの樟脳円版が占有する領域．パラメータは
．

0.06
0.04
0.02

0.12

2つの樟脳ろ紙が動かずに止まった状態．

0.1

：停止

0.08

：回転運動

0

0

10

20

30

40

50

60

：対称振動運動

：クラスター運動

2つの樟脳ろ紙の振幅は等しく，重心は移動しない．

2つの樟脳ろ紙が等速度で回転するが，等間隔には
ならない

：回転運動

0.06

：対称振動運動0.04：クラスター運動

0.02
0

0

10

20

30

40

50

2つの樟脳ろ紙が等速度
等間隔で回転する．

60

359

360
：回転振動運動

数値計算結果（相図２）

0.025

0.02

0.015

0.01

：停止

0.025

0.005

：回転運動
0.02

：対称振動運動
：クラスター運動0.015

2つの樟脳ろ紙が渋滞を起こす．
２つの樟脳ろ紙の運動ですら非常に複雑な運動がみられる．
0

0
2
4
6
8
10
12
これらの運動を理解するためにはどうしたらよいのか？

：非対称回転振動運動：非対称振動運動：不規則運動：非対称振動運動0.01：非対称回転振動運動：振動回転運動0.005：不規則運動
0

361

0

2

4

6

8

10

12

2つの樟脳ろ紙が振動しながら移動していく．

2つの樟脳ろ紙の重心は移動しないが，振幅が異なる．

2つの樟脳ろ紙が不規則な運動をする．

362

81クラスター解の存在・非存在定理（岡本，後藤田，N）

定常解の構成と安定性解析
数値計算から得られた相図を理解するために動座標系における定常解の構成と解の安定性解析を行う．具体的に以下の手順を踏む．
・１次元樟脳円盤モデルを動座標系に変換

・定常問題から定常解を構成し，速度 に関する方程式の導出．Newton法を用いて速度 を求める．

周期境界条件速度0のクラスター解は存在しない．
表面張力関数γが線形単調減少関、あるいは下に凸の単調減少関数
ならばクラスター解は存在しない．
表面張力関数γが上に凸の単調減少関数で，RとCがある条件を満たすならば，ただ一つのμに対してクラスター解が存在する．
全空間の場合<latexit sha1_base64="ev2pCTbPCOsH3iY6v3fQZnjX6Jo=">AAADonichVHdahNBFD7pqq3rT6PeCN4MJpUE2+0kXihKobUoIhSbtGkLnWaZTCfbpfvn7KSYLPsCvoAXXil4IT6GN76AYPEJxMsK3njhyXYhqUV6lpn55jvnO3P2nE7kubGm9LAwYZw7f2Fy6qJ56fKVq9PFa9c34rCnhGyJ0AvVVofH0nMD2dKu9uRWpCT3O57c7OwvD/2bB1LFbhis634kd3zuBG7XFVwjZRe/l8uEebKrWUJYRzpukHCleD9NvNRku1FMKFkgzOG+zyutysAW5C5Rs0RXq2TuJD83xvs9ImYZ277n+ztjabqKi4RFXLfrpJVmiAza9RRzijHvyJdishZ6Wdzz7cRdqKXtpJ4+rQxmCT7Zdh8RVbVMJoPdvGzClOvsacssl027WKIWzYycBrUclCC31bD4DRjsQggCeuCDhAA0Yg84xPhtQw0oRMjtQIKcQuRmfgkpmKjtYZTECI7sPu4O3rZzNsD7MGecqQW+4uFSqCQwQ7/Sj/SIfqGf6A/657+5kizHsJY+np1jrYzs6dc3136fqfLx1LA3UmUKFyuLUKcxbh5amV7hPp9V7ODqZ3qOzDo8gS2wYQWWYBma8AK5lTyrnSGB2hAsZCS8OqMrGrrwIOvGqIZhn8RxhQeDN0drD5szyR36nv7EDr2jh/Qz9ig4+CU+NGTzLQxHXPt3oKfBRt2qUavWqJcWH+fDnoJbcBsqONH7sAjPYBX/XBSWCk4hKrw0ysZzo2GsHYdOFHLNDThhBvsL66/iMA==</latexit>

・構成した定常解の安定性を調べるために，動座標系に変換したモデルに対して線形化固有値問題を構築する．

det

1,1 (

1,2 (

, µ)
)

2,1 (

2,2 (

)
, µ)

速度0のクラスター解は存在しない．
表面張力関数γが線形単調減少関数，あるは下に凸の単調減少関数
ならばクラスター解は存在しない．
表面張力関数γが上に凸の単調減少関数で，RとCがある条件を満たすならば，ただ一つのμに対してクラスター解が存在する．

= 0.

363

364

線形化固有値問題２

線形化固有値問題1
更に整理すると動座標系における定常解の安定性を調べる

従って，固有値 が満たすべき方程式は次のようになる：<latexit sha1_base64="3YHKYVE9dSz1dHE0cN8U7pdiLak=">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</latexit>(*)に対して線形化固有値問題を構築する．

<latexit sha1_base64="X5LHkjKfCiWNrviDP8kkQzJJKGA=">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</latexit>とする．ここで は十分小さい正の実数，である．次に<latexit sha1_base64="zKoDVUVDnMCLud/By/3k0QTXm8o=">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</latexit>は定常問題より求まる定常解

Newton法を用いてを数値的に調べる．

・樟脳濃度の拡散方程式の線形化

det・樟脳ろ紙の運動方程式の線形化をそれぞれ行う．

370

1,1 (

における上記の方程式を解き，定常解の安定性

, µ)
)

2,1 (

1,2 (

2,2 (

)
, µ)

= 0.

371

82

The solution structure at L/N = 3.0

25

Hopf分岐点
Pitchfork分岐点

50

Rotating Solution

(RS)

40

30

+N 実部が正の固有値の数+020Motionless Solution

15

Hopf bifurcation

渋滞運動

10

20

Drift bifurcation

5

+2

10

対称振動運動

+3

0

0

0

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.002

+2
0.004

0.006

0.008

+0
0.01

0.012

0.014

0.014

（MS）
The solid and dotted lines show stable and unstable solutions, respectively.

372

373

The solution structure at L/N = 5.0
さらに上にHopf分岐があり、渋滞運動の解はそこに繋がる

50

25

Rotating Solution

(RS)

40

+0

Motionless Solution

Hopf分岐点

渋滞運動

Saddle-node分岐点
Pitchfork分岐点

20+N 実部が正の固有値の数

3020

間欠対称運動(常に等間隔だが加減速する)

15

Saddle-node bifurcation point
Drift bifurcation point

10+2対称振動運動

10
5

+4

0

+2

0

0.005

0.01

0.015

0.02

+3

0.025

0

+0
+2

0

Hopf bifurcation point

374

+3

0.005

0.01

0.015

0.02

375

83

The solution structure at L/N = 7.0
50

25

(RS)

40

Hopf分岐点

間欠対称運動Rotating Solution

Saddle-node分岐点

Motionless Solution

Pitchfork分岐点

20+N 実部が正の固有値の数

30

Saddle-node bifurcation point

15

+2

20
10

Hopf bifurcation point
10

+4
5

対称振動運動

+3

0
0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Drift bifurcation point

+3

0
0

0.005

+0

+2
0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

（MS）

376

377

The solution structure at L/N = 40.0
50

25

Pitchfork
bifurcation point

40

Saddle-node分岐点
Pitchfork分岐点

20+N 実部が正の固有値の数

Motionless Solution
15

30

Saddle-node bifurcation point

+0
10

20

(RS)
+2
+3

5

10
Hopf bifurcation
point

+3

0

0.02

0.04

Drift bifurcation point

0.06

0.08

0.1

0.12

0

0.14

+2

+2

0

0

378

Hopf分岐点+1

Cluster Rotating solution
Rotating Solution

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

（MS）

379

84

区間長に依存した２つの樟脳円盤運動
0.025

0.12

0.02

0.1
0.08

0.015

0.06

0.01

like oscillatory motion

Oscillatory rotating motion

Cluster rotating motion

Rotating motion

0.04
0.005

0

0.02

0

2

4

6

8

10

0

12

0

10

20

30

40

50

60

Coexistence

0.12
0.1

Rotation motion と cluster motion の区別を実験的に区別することは非常に難しい．

0.08
0.06
0.04

実験による理論の検証は非常に困難であるが，一部は理論の結果をサポートしてくれる．

0.02
0

380

0

10

20

30

40

50

60

381

樟脳円版7個における玉突き

ここまで
数理モデルを用いて2個の樟脳円盤の運動について数理解析を行った．
区間長の違いによって回転運動や振動運動が起こる現象のメカニズムは数理モデルの分岐解析によって理解できた．

7個の樟脳円盤が等速度で回転している
ときに1つだけ逆向きの速度にすると玉突きが発生する．また，対称振動が出ないパラメータ領域では玉突きが発生しなかった．

0.12
0.1
0.08
0.06
0.04

玉突き運動や渋滞運動の再現はできるが，残念ながら，その出現機構については未解決
3

3

2

2

3

1

0.02

回転と振動が共存することが重要だろう

2

1

2

1

10

20

30

40

50

60

1

3

10 mm

2

0

2
1

1

0

1

＋

1

2
3
3

3

2
3
10 mm

：回転運動

382

：対称振動運動樟脳円盤7個における玉突き

383

85

樟脳円版14個における渋滞

分岐構造のγ依存性
0.08

300

樟脳円盤2個において一様流が不安定化し渋滞が発生する

250

渋滞解
回転解

0

0

5

10

15

20

25

0.025

0.02

0.02

0.015
0.01

0.01

0.01

クラスター解

0.03
0.025

0.015

0.02

100

0.035

0.03

0.03

50

樟脳円盤2個に
おける渋滞

0.06

0.04

150

0

0.04
0.035

0.05

200

が等しくなるようにパラメータを選べば樟脳円盤14個においても同様に渋滞が発生するだろう．

0.045

0.07

0.005

0.005
0

2

4

6

8

0

10

0

2

a = 2.5

30

4

6

8

4

0.02

6

8

10

渋滞発生

a2
(u) = 2+a + u2

0.015

1

a = 1.0
a = 0.5
a = 0.07
a = 0.05

0.9
0.8

0.01

0.7

0.01

0.6

0.005

0.5

0.005

0

2

a = 0.06

0.025

0.015

0

a = 0.07

0.025

0.02

0

10

0

1

2

3

4

樟脳円盤14個における渋滞

5

6

0

0.4

a = 0.05

0.3
0.2

0

2

4

6

8

10

12

0.1
0

384

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

385

疑問

Reaction-Diffusion system樟脳円盤（樟脳円盤）はパルス波のようなもの→
我々の理解が正しければ，反応拡散系のパルス波でも玉突き運動 → 進行パルス波の反射
渋滞運動 → 進行パルス列のHopf分岐vが出現するのではないか？

1.0

u

R
u=h- (s)
s
P

386

Q

u=h0(s)u=h+(s)

v

u
-0.4
-25

Ћ
x
25

387

86

Singular limit equations

Assumption: パルス幅一定と仮定: assumption

v

1.0

u

R
u=h- (s)sPQu=h0(s)u=h+(s)

Ћ

v

u
-0.4
-25

x
zL(t) zR(t)

25

388

390

仮定を満たす反応拡散系

Singular limit equationsv

Krischer and Mikhailov (1994)au：積分量の保存条件
より
この条件から特異極限方程式では進行パルス波の幅が

391

となる

392

87

Singular limit equations

393

Singular limit equations

394

Gray-Scott model

特異極限方程式と樟脳運動モデル

8 @u
1
>
= u+
au + vu2 ,<@t">: @v = d v + h(1 u) vu2 .
@tReflection of
two travelling pulses

395

396

88

Gray-Scott modelの玉突き現象

3変数反応拡散系
Purwins et al. (97，ʼ00), Mimura (97)

8
1
@u
>
>
= du u +ru u3 k1 v k2 w ,
>
>
@t
"
>
>
<
@v
= v+u
1 v + h1 ,
>
@t
>
>
>
>
>
: @w = dw w + 1 (u2 w + h2 ) .
@t!

400000300000200000100000activator
inhibitor 1
inhibitor 2

where du , dw , r, k1 , k2 , h1 , h2 , 1 , 2 , ", ! are positive constants

0

0

100

200

300

400

398

397

398

3変数反応拡散系の玉突き現象

200

200

160

160

120

120

80

80

40

40

0

399

3変数反応拡散系の渋滞現象

0

10

20

30

40

0

50

0

5

10

15

20

25

30

400

89

まとめと今後の課題

問題1

実験で見られた樟脳円盤7個や14個の集団運動を理解するために樟脳円盤2個で数理モデルを用いて数値計算，また定常解の安定性解析を行った．その結果から，渋滞は一様流の不安定化から発生し，玉突きは回転と振動の共存が本質であるということがわかった．
その理解を確認するために反応拡散系で数値計算を行った．

次の素過程を記述する微分方程式を記述してください樟脳円盤2個における大域的解構造を調べる．
反応拡散系での渋滞現象の出現機構を調べる．
流体との相互作用を取り入れることで実験で観察される渋滞現象が再現できるか調べていく．

401

413

問題2

問題3
メトロノーム運動の数理モデルを作りなさい．
ただし，ゼンマイの力Nsと摩擦力Nfを加えること．

つぎの微分方程式を無次元化しなさい．

：固定錘の振れ角：遊錐の質量：固定錘の質量：軸から遊錐までの長さ：軸から固定錘までの長さ
（ただし，
遊錐の位置

）
固定錘の位置と表し，ラグランジュの運動方程式を用いて重力のみを考慮した運動方程式を導出する．

414

415

90

問題4

問題3（ゼンマイの力と摩擦力）

ゼンマイの関数

赤：ゼンマイ
緑：摩擦

講義の感想を書いてください．

赤：ゼンマイ
緑：摩擦摩擦の関数

ただし， ， ， ， ， は正の定数とする．

416

417

91