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計算を用いたフットステップ錯視アートの創作とその実用化に向けて
友枝

明保＊Computational Creation of Footsteps Illusion Art and its
Practical Applications
Akiyasu Tomoeda＊
Key words: Computational Illusion, Visual Illusion, Footsteps Illusion, Illusionary Art

で，様々な図形や塗りデザインを容易に描くことが可

1．はじめに能となり，また，その情報を容易に取得することがで目の錯覚である「錯視」に関する研究は古く，かつき る よ う に な っ た た め， 近 年 の 錯 視 研 究 は， コ ン

新しい．どういうことかと言うと，誰もが目にしていピューターグラフィックスや情報処理を中心とした工るであろうミュラー = リヤー錯視（図 1）1）やデルブー学分野にまで，大きく広がってきている3）．特にごく

2）と言った幾何学的錯視に関する研究は，
フ錯視（図 2）

最近では，JST CREST「数学」領域において，「計算19 世紀中後半から主に心理学の分野を中心として発錯覚学の構築」プロジェクトが採択されるなど，錯視展していた．しかし，20 世紀の終わりから爆発的に現象に対する数理的アプローチも期待され，新しいア普及したコンピューター，インターネットのおかげプローチが盛んに試みられている．錯視現象を数理的に扱うことの一番のメリットは，錯視現象を数量化することで，数理モデルとして表現できるようになることであり，これが成功すると，例えば，あるパラメーターを変化させた際に，錯視量がどのように変化するか，ということを予測し，制御することが可能となる点にある． パラメーターを変化させて錯視の効果を

図1

ミュラー＝リヤー錯視．線分の両端に外向きに矢羽を付けると長く見え（上），内向きに矢羽を付けると短く見える（下）．

最小化することができれば，例えば，交通シーンでは，交通事故の防止や交通渋滞を緩和するといった安全かつ快適な道路環境を作る指針を示すことができる．一方で，錯視の効果を最大化することができれば，錯視現象を積極的に利用していくことが可能となり，宣伝広告における利用やエンターテイメントの新しい一つの表現方法として利用できる可能性もある．
今までは偶発的に，あるいは経験的な知見に基づいて

図2*

デルブーフ錯視
リングの中の円は同じ大きさであるが右の方が左よりも大きく見える．
武蔵野大学/JST, CREST/MIMS
Musashino University/JST, CREST/Meiji Institute forAdvanced Study of Mathematical Sciences

平成 27 年 6 月

錯視現象が発見・創作されていたが，数理モデルを用いることで，「誰もが」・「意図的に」錯視現象と関わることができようになる．このように錯視現象に対する数理的アプローチは大変新しい研究スタイルであり，まさに始まったばかりの新しい研究分野と言える．

― 49 ―

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図3

図4

フットステップ錯視の刺激（左）と知覚（右）．（左）明るい灰色と暗い灰色のオブジェクトの運動方向を矢印で示しており，等速で並進していることを表す．（右）明るい灰色と暗い灰色のオブジェクトのそれぞれの位置に対して，知覚したスピードを太い矢印で示し，オブジェクトの位置によって知覚するスピードが変わることを意味している．

オブジェクトの進行方向に対する「前エッジ」と「後エッジ」の定義

図5

フットステップ錯視の二種類の動きを見せるオブジェク
トと背景の大きさの関係

本稿では，錯視現象への数理的アプローチの一つとこのフットステップ錯視については，上のコントラして，フットステップ錯視と呼ばれる錯視現象をアー

スト差が要因であるという仮説に対する視覚心理実トに応用した研究成果について紹介する．

験7）や FitzHugh-Nagumo 方程式を用いた数理モデル研究も行われている8）．さらに，中心視野よりも周辺視2．フットステップ錯視とは？

野で知覚した方が錯視の効果が大きくなるといったこ

フットステップ錯視とは，2001 年に S.Anstis 氏がとも報告されている5）．本稿では，フットステップ錯報告した錯視現象4）であり，図 3 に示すように黒と白視のキーはコントラスト差であるということを前提との縞模様の背景の上を，明るい灰色と暗い灰色の二つして，オブジェクトの色及び背景のストライプの色はの長方形（オブジェクトと呼ぶ）が同時に等速運動して白と黒に統一して話を進めていくことにする．

いるとき（図 3 左），二つのオブジェクトがあたかも交互に動いているように見えてしまう錯視現象である

3．フットステップ錯視の度合いの数値化（図 3 右）．このフットステップ錯視のカラクリは，前章でも述べたように，フットステップ錯視はオブ

動くオブジェクトと背景のストライプとのコントラス

ジェクトの前・後のエッジがストライプにかかった際ト差にあると報告されている4〜6）．つまり，暗い灰色のコントラスト差によって生じている錯視現象であっのオブジェクトは，コントラスト差が小さくなる黒いた．本章では，オブジェクトの幅とストライプの幅のストライプ上では速度が遅くなるように見え，一方，関係性を計算することにより，フットステップ錯視の明るい灰色のオブジェクトは，コントラスト差が小さ度合いを数値化し，最も錯視が効果的に観察できる条

くなる白いストライプ上で速度が遅くなるように見え件を求めてゆく．

るというわけである．

まず，図 6 のように，オブジェクトの幅 x，ストラ

特に，進行方向に対してオブジェクトの前エッジ，イプの幅 ω と設定する．さらに，x を変数とした無次後エッジを図 4 のように定義すると，オブジェクト

元 量 T (x) を， ス ト ラ イ プ 1 周 期 分 に か か る 時 間の前と後ろのエッジが同じタイミングでストライプに(∝ 2ω) に対して両端が黒いストライプに乗っているかかる場合は，あたかも止まっているように見え（（狭時間 (∝ x − ω) と定義する．つまり， ω ≤ x ≤ 2ω の範義の）フットステップ錯視），オブジェクトの前と後の囲では，エッジが逆相でストライプにかかった場合は，オブT (x) = x − ω ,2ω

ジェクトが伸び縮みし，長さが変わっているように見える（インチワーム錯視）（図 5）．

(ω ≤ x ≤ 2ω)（1.1）と定義する．すると，無次元量 T (x) が最大になると― 50 ―

シミュレーション第 34 巻第 2 号

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図6

図8

二つのオブジェクトがあるときの設定．画像下部の矢印は進行方向を表す．

表1

二つのオブジェクト x1, x2 及びそれらの間隔 d に関する分類と，見かけの動きのパターン．

オブジェクトの幅 x とストライプの幅 ω の設定

pattern
12345678
図7x1

Even
Even
Odd
Odd
Even
Even
Odd
Odd

Widthx2

Even
Even
Odd
Odd
Odd
Odd
Even
EvendEven
Odd
Even
Odd
Even
Odd
Even
Odd

O1

Footsteps
Footsteps
Inchworm
Inchworm
Footsteps
Footsteps
Inchworm
Inchworm

Apparent motion

O2
TimingFootsteps Synchronously
Footsteps
Alternately
Inchworm Alternately
Inchworm Synchronously
Inchworm Synchronously
Inchworm Alternately
Footsteps
Alternately
Footsteps Synchronously

T(x) のグラフ．

ある場合について考えてみることにしよう．
きは，（狭義の）フットステップ錯視の効果が最も大き二つのオブジェクトを考えるときは，図 8 に示す

く観察される時で，無次元量 T (x) が最小となるときように，二つのオブジェクト O1 , O2 の幅をそれぞれは，インチワーム錯視の効果が最も大きく観察される

x1 , x2 とし，その両者の間隔を d と設定する．二つの時であることがわかる．以上のことから， x = 2ω のオブジェクトが重なる場合は，重なり合っている部分ときに T = 1/2 が最大値となり， x = ω のときに T = 0を d と定義する．オブジェクトの幅 x1 , x2 がストライが最小値となることがわかる．同様に 2ω ≤ x ≤ 3ω のプ幅の偶数倍（Even）か奇数倍（Odd）かで二つのオブ範囲では，T (x) = 3ω − x ,2ω(2ω ≤ x ≤ 3ω)（1.2）

ジェクト O1 , O2 の見かけの動きが決まり，その両者の間隔 d により，動くタイミングを決めることができる．これらを分類すると， x1 , x2 , d についてそれぞれと 定 義 し， 各 条 件 を 求 め る と， x = 2ω の と き に偶数倍か奇数倍かの 2 パターンがあり，それらの組みT = 1/2 で最大となり， x = 3ω のときに T = 0 で最小合わせを考えることで，見かけの動きは表 1 のようとなる．繰り返し考えていくと，オブジェクトの幅 xな 8 パターンに分類することができる．ここでは二つに対して，図 7 のようなグラフが得られる．すなわのオブジェクトについてだけを分類したが，三つ以上ち， k = 1, 2, 3, · · · に対して，のオブジェクトの場合も同じように全ての組み合わせ（ i ）x = 2kω のときを考えれば，その見かけの動きを予測することができ⇔オブジェクトの幅がストライプ幅の偶数倍のときる．これらの基本的なみかけの動きを組み合わせるこ→（狭義の）フットステップ錯視の効果が最も大きいとで，フットステップ錯視アートを創作することが可（ii）x = (2k − 1)ω のとき

能となる．

⇔オブジェクトの幅がストライプ幅の奇数倍のとき→インチワーム錯視の効果が最も大きいという条件が得られる ．

4．フットステップ錯視アート
ここでは，いくつかの代表的なフットステップ錯視

9）

このように，無次元量 T (x) を導入することにより，アート作品について紹介する．アートデザインと共（狭義の）フットステップ錯視とインチワーム錯視，そに，youtube 動画へのリンク情報を持つ二次元バー

れぞれの効果が最も大きくなる条件を求めることがでコードも載せておくので，興味のある読者はアクセスきた．さて，ここまでは単一のオブジェクトの幅につして是非とも動画でご覧いただきたい．

いての計算であったので，次は二つのオブジェクトが平成 27 年 6 月― 51 ―

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作品 1．「幼虫」

作品５．「ドライブ」

幼虫が伸び縮みして葉っぱの上を動く作品であ伸び縮みして見えるタイミングをずらすことによる ．

り，平行 移動だけで 回転 運動を表現 した作 品 であ10）

る14）．この作品を含む平行移動を用いて回転運動を表現する作品群「Rotation Generated by Translation」は，Best Illusion of The Year Contest 2013（Vision Science Society（VSS）の 年 次 総 会 の 併 設 イ ベ ン ト ）に お い て，First Prize を受賞した15）．

作品 2「海と陸」
背景のストライプパターンを変化させることで，場所によってカメの動きが変わり，カメが海から陸へ上がる様子を描いた作品である11）．

5．フットステップ錯視アートの実用化に向けて
フットステップ錯視アートは，回転運動するオブジェクトについてもデザインを創作することができる．例えば，図 9 のように，秒針をオブジェクトと考えれば，背景のストライプの中心角に対して，秒針の中心角を偶数倍に設定すれば，フットステップ錯視
作品 3．「満月のこうもり」の効果が最も大きくなり，奇数倍のとき，インチワー

背景のストライプを二次元格子へと拡張し，コウモム錯視の効果が最も大きくなることが容易に想像でリが羽ばたいて飛んでいく様子を表現した作品であき，不思議な動きをする錯視時計 1 を作ることもできる12）．

る16）．本デザインを採用していただける企業がおられたら是非ともご一報いただきたい．

図9

作品 4．「家族」
オブジェクトのエッジを斜めにすることにより，エ錯視時計のデザイン

6．さいごにイが泳ぐ様子を表現した作品である13）．

本稿では，小野隼氏，杉原厚吉氏との共同研究 17）に基づいて，数理的に創作したフットステップ錯視アートについて解説した．フットステップ錯視は，オブジェクトと背景のストライプのコントラスト差によって生じているという特徴を理解したうえで，錯視の度合いについて，無次元量 T (x) を指標として導入
1― 52 ―

特願 2012-173418，特願 2013-110085

シミュレーション

第 34 巻第 2 号

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することにより，（狭義の）フットステップ錯視の効果が最も大きく観察される条件，及び，インチワーム錯視が最も大きく観察される条件を数理的に導いた．さ5）S．Anstis，Moving objects appear to slow down at low contrasts, Neural Networks，16，933-938（2003）.
6）S．Anstis，Factors affecting footsteps：contrast can change theapparent speed, amplitude and direction of motion, Vision Re-

らに，オブジェクトと背景のストライプの組み合わせ

search 44, 2171 − 2178（2004）.

により，二つのオブジェクトの場合は，動きを 8 パ

7）P. D. L. Howe, P. G. Thompson, S. M. Anstis, H. Sagreiya, andターンに分類することに成功し，その組み合わせを用

M. S. Livingstone, Explaining the footsteps, belly dancer, Wenceslas, and kickback illusions, Journal of Vision, 6, 12, 1396-1405

いて狙った振る舞いを表現し，様々なフットステップ錯視アートを創作した．本稿では，その一部の作品を紹介したが，Youtube 上では，他の作品も掲載されて（2006）.
8）K. Miura, A. Osa, and H, Miike, A simulation of the footsteps illusion using a reaction diffusion model, 電気学会論文誌 C（電いるので，是非ともその見え方を楽しんでいただきた

子・情報・システム部門誌），129, 1156-1161（2009）.
9）Ono jun, youtube 動画「フットステップ錯視の説明」：

い．
最後に，これらのアート作品の動画を創作するにあたり，杉原陽子氏にバックミュージックを提供していただきましたこと，心より感謝いたします．

https://www.youtube.com/watch?v=puWYJqFxPLM
10）Ono jun, youtube 動画「幼虫」：
https://www.youtube.com/watch?v=L9mu5gpPYQo11）Ono jun, youtube 動画「海と陸」：
https://www.youtube.com/watch?v=DUIEzEvXl6Y

参考文12）Ono jun, youtube 動画「満月のこうもり」：

献https://www.youtube.com/watch?v=4Bh_b1kTsco

1）Müller-Lyer, F. C., Optische Utreilstäuschungen, Archiv fürAnatomie und Physiologie, Physiologische Abteilung, 2, 263-270,（1889）.
2）Delboeuf, M. J., Note sur certains illusions d’optique: Essai d13）Ono jun, youtube 動画「家族」：
https://www.youtube.com/watch?v=JOsFGdWqHgA14）Ono jun, youtube 動画「ドライブ」：
https://www.youtube.com/watch?v=eoJAl6lXmcc

une théorie psychopshysique de la manière dont l’oeuil apprécie15）Best Illusion of The Year Contest（2013）les distances et les angles, Bulletin de l’Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, II Série, 19,16）Ono jun, youtube 動画「錯視時計」：

195-216,（1865）
3）数学セミナー vol.50, no.3（2011 年 3 月号），日本評論社，p.8
4）S. Anstis, Footsteps and inchworms, Perception, 30, 785-794

http://illusionoftheyear.com/cat/top-10-ﬁnalists/2013/https://www.youtube.com/watch?v=6nNrl4XWtBE17）小野（2001）.

平成 27 年 6 月― 53 ―

隼，友枝明保，杉原厚吉， フットステップ錯視アー

トの設計法 ，和文論文誌「日本応用数理学会論文誌」，23
巻 3 号（2013），pp.585-600.