《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

मֶ࢜Ґ࿦จ

ͭͳ͕Γͱॳ‫ظ‬৚͕݅‫͢΅ٴ‬ྲྀߦ‫ݱ‬৅΁ͷӨ‫ڹ‬Eﬀects of Connections and Initial Conditions
on Spreading Phenomena

ฏ੒ 24 ೥౓޿ҬՊֶઐ߈૬ؔ‫ૅج‬Պֶ‫ܥ‬ֶੜূ൪߸ 31-116903‫ؠ‬Ҫ ३࠸

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i͸͡Ίʹࢲͷम࢜࿦จΛ෺ੑ‫ڀݚ‬ɾిࢠ൛ʹ‫͚͍ͩͨͯ͠ࡌܝ‬Δͱͷ͜ͱɼେม‫͢·͍ࢥ͘͠خ‬ɽ

2013 ೥ 6 ݄ 1 ೔

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ii

͸͡Ίʹ

ʲཁࢫʳͭͳ͕Γͱॳ‫ظ‬৚͕݅‫ݱߦྲྀ͢΅ٴ‬৅΁ͷӨ‫ڹ‬ֶ੶൪߸ 31-116903 ‫ؠ‬Ҫ ३࠸ࢦಋ‫ڭ‬һ ෱ౡ ޹࣏˙ং࿦ ࠷΋‫ײ͍ݹ‬છ঱ͷ਺ཧ໛‫ܕ‬͸ 1927 ೥ʹ McKendrick ΒʹΑͬͯ༩͑ΒΕͨ

[1]. ͜ͷϞσϧ͸‫ݸ‬ʑͷਓͷঢ়ଶΛ S(݈߁),I(‫ײ‬છ),R(࣏༊) ͷ 3 ঢ়ଶͱͯ͠, ͦΕͧΕͷঢ়ଶͷਓ਺ S, I, R ͕ຬͨ͢ඍ෼ํఔࣜͱͯ͠༩͑ΒΕΔ.

͜ͷ໛‫ܕ‬͸೚ҙͷ I ͕೚ҙͷ S Λ‫ײ‬છͤ͞Δ͜ͱ͕ՄೳͰ͋Δͱͨ͠શ݁߹໛‫͋Ͱܕ‬Δ͕, ࣮ࡍʹ۩ମతͳ‫ײ‬છ঱΍ίϯϐϡʔλ΢Οϧε౳Λ೦಄ʹ͓͚͹, ‫ݸ‬ମಉ͕࢜઀৮ͨ͠ͱ
͖ʹ‫ײ‬છ͢Δͱߟ͑Δͷ͕ଥ౰Ͱ͋Ζ͏. ‫ݸ‬ମಉ࢜ͷͭͳ͕Γํ͸ඇৗʹෳࡶͰ͋Δ. ͦ͜ͰʮෳࡶωοτϫʔΫʯͱ͍͏֓೦͕ొ৔͢Δ. ෳࡶωοτϫʔΫ͸, ਤ

1.1 ͷΑ͏ʹແ਺ͷϊʔυ (̋) ΛΤοδ (ʵ) ʹΑͬͯෳࡶʹͭͳ͍ͩਤͰද͞ΕΔ.
ͦͯ͠, ΤοδʹΑͬͯͭͳ͕Εͨ (ྡ઀ͨ͠) ϊʔυؒͰ‫ײ‬છ͕޿͕͍ͬͯ͘. ͜ͷΑ͏ʹ,SIR ໛‫ܕ‬ΛωοτϫʔΫ্ʹҠͨ͠໛‫ܕ‬ΛωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ͱܕ‬͍͏.
ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ͷύϥϝʔλ͸, ୯Ґ࣌ؒͷ‫ײ‬છ֬཰ λ Ͱ͋Δ. N ϊʔυ͔ΒͳΔωοτϫʔΫʹ͓͍ͯ, ͨͩ 1 ͭͷ I ϊʔυͱ N − 1 ͷ S ϊʔυ͔Βελʔτ͢Δͱ,λ ʹ͸͋Δᮢ஋͕ଘࡏ͠, ͦͷᮢ஋Λ௒͑ͨ

ਤ1‫ײ‬છ঱ωοτϫʔΫ [2]ͱ͖ʹ‫ײ‬છ͕ϚΫϩʹ޿͕Δ૬సҠ‫ݱ‬৅͕‫ݟ‬ΒΕΔ. ͜ͷ‫ݱ‬৅ͷ਺ཧతͳ‫ڵ‬ຯ͔Β, ͜ͷ໛‫ܕ‬͸੝Μʹ‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔ. ಛʹ 2002 ೥ Moreno Β [3] ʹΑͬͯ, ࣍਺ (֤ϊʔυͷྡ઀ϊʔυ਺) ͷ෼෍͕΂͖৐ͳωοτϫʔΫ (εέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫ) Ͱ͸సҠ఺͕λ ∼ 0 ͱͳΔ͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔͳͲ, ‫Ͱ·ࡏݱ‬εέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫΛର৅ͱͨ͠‫ݚ‬‫͕ڀ‬ඇৗʹଟ͍.
˙࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨ໛‫ܕ‬͔͠͠, ͋ΒΏΔ‫ײ‬છ঱ͷ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏͕εέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫͰ‫ه‬ड़Ͱ͖Δͱ͸ࢥ͑ͳ͍. ྫͱͯ͠‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβΛ೦಄ʹஔ͖, ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ͷॳ‫ظ‬৚݅ͱωοτϫʔΫͷͭͳ͕ΓΛมߋͨ͠৔߹, ‫ײ‬છ఻ൖͷৼΔ෣͍ʹͲͷΑ͏ͳӨ‫͕ڹ‬දΕΔͩΖ͏͔. ओʹ਺஋࣮‫ͱݧ‬σʔλղੳʹΑͬͯௐ΂ͨ.
ओͳ݁Ռͱͯ͠͸, ॳ‫ײظ‬છऀ਺͕ఆ਺ͷ৔߹ͱ‫ܥ‬ͷαΠζʹൺྫ͢Δ৔߹Ͱ͸, ฏߧঢ়ଶ (ऴঢ়ଶ) ʹ͓͚Δ R ͷ༳Β͗ͱऴঢ়ଶʹࢸΔ·Ͱʹֻ͔Δ࣌ؒͷ༳Β͗ʹҧ͍͕‫ݟ‬ΒΕͨ. ·ͨ, ωοτϫʔΫͷมߋʹରͯ͠͸, ‫࣮ݱ‬ͷ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏Λ໛ͨ͠ωοτϫʔΫͷํ

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iii
͕ϥϯμϜʹΤοδΛுͬͨωοτϫʔΫΑΓ΋‫ײ‬છ͕޿͕Γʹ͍͘ͱ͍͏݁ՌΛಘͨ.
˙‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ༧ଌෆՄೳੑ

·ͨ, ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ͷ૬సҠ‫ݱ‬৅͸, ྲྀߦ૬ʹ͓͍ͯඞͣྲྀߦ͢Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͸ͳ͘, ྲྀߦ͠ͳ͍ࣄ৅͕ʮ0 Ͱ΋ 1 Ͱ΋ͳ͍༗‫ݶ‬஋ʯͷ֬཰Ͱੜ͡Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ [4, 5]. ͜ͷ‫ݱ‬৅͸, Πδϯά໛‫ܕ‬΍ύʔίϨʔγϣϯͱ͍ͬͨ, ೤ྗֶ‫ ཰͍͓֬ͯʹݶۃ‬1 Ͱ෺ཧྔ͕ܾఆ͞ΕΔඪ४తͳ౷‫ֶྗܭ‬໛‫ܕ‬ͷ‫ݱ‬৅ͱ͸ੑ࣭͕ҟͳΓ, ඇৗʹ‫ڵ‬ຯਂ͍. ઌߦ‫Ͱڀݚ‬͸཭ࢄ࣌ؒ໛‫Ͱܕ‬ͷ‫ݱ‬৅࿦తٞ࿦͕ͳ͞
Ε͍ͯΔ͕, ͦͷϝΧχζϜͷղ໌΍౷‫ֶྗܭ‬తͳҙຯ෇͚͸ͳ͞Ε͍ͯͳ͍. ͜ΕΛ֬
1.5

λ=0.5
1.2

཰ඍ෼ํఔࣜΛ࢖ͬͯٞ࿦ͨ͠.
1

0.5

U(Y)

ղੳͷ֓ཁΛࣔ͢.N → ∞, ࣌ࠁ t  O(N ) ͷ৚݅ͷ΋ͱͰ͸, ฏ‫ۉ‬৔తͳ SIR μΠφϛΫε͸ I ঢ়ଶͷ❍0❍ϊʔυ਺ͷฏํࠜ Y Λม਺ͱͨ͠ϥϯδϡόϯํఔࣜẎ = −∂Y U (Y ) +

√

Y*

-0.5

2Dξ

(1)

-1

0

0.5

1

ਤ2

1.5

Y

2

2.5

3

U (Y ) ͷ֓‫ܗ‬Ͱ‫ه‬ड़Ͱ͖Δ. ͨͩ͠, D = (λ + 1)/8 Ͱ͋Γ, ϙςϯγϟϧ U (Y ) ͸

1
1
U (Y ) = − (λ − 1) Y 2 + (λ + 1) log(Y )
4
8

(2)

Ͱ͋Δ. ਤ 3.3 ʹࣔͨ͠௨Γ, U (Y ) ͸ λ ≤ 1 ͷͱ͖୯ௐ૿Ճؔ਺Ͱ͋Γ, ղ Y (t) ͸ඞͣ

0 ʹ‫ٵ‬ऩ͞ΕΔ. ͢ͳΘͪ֬཰ 1 Ͱྲྀߦ͠ͳ͍. λ > 1(ྲྀߦ૬) ͷͱ͖͸ U (Y ) ͸ Y∗ ʹϐʔΫΛ͕࣋ͭ, ղ͕ϊΠζʹ‫ۦ‬ಈ͞ΕͯϐʔΫΛ௒͑,Y → ∞(ྲྀߦঢ়ଶ) ͱͳΔͷ͸ຊ࣭తʹ֬཰తͰ͋Δ. ͜ͷΑ͏ʹ U (Y ) ͷ֓‫͔ܗ‬Β෼‫ݱذ‬৅Λ໌ղʹཧղ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖
ͨ. ߋʹసҠ఺ۙ๣Ͱྲྀߦঢ়ଶͱͳΔ֬཰Λఆྔతʹٞ࿦ͨ͠ [6].
˙ଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷ෼ྨʹ޲͚ͯ ߋʹ, ର৅Λ‫ײ‬છ঱ͷྲྀߦ‫ݱ‬৅͔Β޿͛ͯ, ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫Ͱܕ‬͸ද‫ݱ‬ग़དྷͳ͍Α͏ͳ, άοζ΍ϑΝογϣϯͳͲͷจԽʹ‫ݟ‬ΒΕΔྲྀߦ΋‫ؚ‬Ίͨଟ༷ͳ‫ݱ‬৅Λࣔ͢໛‫ܕ‬ΛఏҊͨ͠.
ʲँࣙʳຊ‫ڀݚ‬ΛਐΊΔʹ౰ͬͯ͸,2012 ೥ 10 ݄຤·Ͱͷ (ͦͯ͠ࠓ೔·Ͱࣄ্࣮ͷ) ࢦಋ‫ڭ‬һͰ͋ΔࠤʑਅҰ‫ڭ‬तʹ͝ࢦಋΛࣀΓ·ͨ͠. ͜͜ʹ‫ँײ‬ͷҙΛද͠·͢.

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v

໨࣍

ୈ1ষ

ংষ

1

1.1

‫ڵ‬ຯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

ෳࡶ‫ܥ‬ͷ੍‫ޚ‬Մೳੑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

ωοτϫʔΫ্ͷ‫ײ‬છ঱఻ൖ໛‫ ܕ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ ܕ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

ઌߦ‫ ڀݚ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5ͦͷଞͷ໛‫ ܕ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1
1.4

1.4.1

ຊम࢜࿦จͷߏ੒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6ࢀߟจ‫ ݙ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

ୈ2ষ

࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬

92.1

ΠϯτϩμΫγϣϯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92.2

Ϟσϧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.1

ॳ‫ظ‬৚݅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.2

‫ײ‬છωοτϫʔΫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11ೱ͍ਓؒؔ܎ͷωοτϫʔΫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11ബ͍ਓؒؔ܎ͷωοτϫʔΫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.1

਺஋࣮‫݁ݧ‬Ռ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3.2

ղੳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷ λc ͷཧ࿦తಋग़ . . . . . . . . . . .

13

λ → ∞ ʹ͓͚Δ tf , σ(tf )2 ͷཧ࿦తಋग़ . . . . . . . . . . . .

15

2.4

m=1 ͷ৔߹ͷ, ༷ʑͳωοτϫʔΫͰͷ࣮‫݁ݧ‬Ռ . . . . . . . . . . . . .

20

2.5

m ∝ N ͷ৔߹ͷ, ༷ʑͳωοτϫʔΫͰͷ࣮‫݁ݧ‬Ռ . . . . . . . . . . .

20

2.6

͜͜·Ͱͷߟ࡯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.7

ΧεϓΤΫεϙʔωϯτͷධՁʹ޲͚ͯ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

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vi

໨࣍਺஋࣮‫݁ݧ‬Ռ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

݁࿦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

ࢀߟจ‫ ݙ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.7.1
2.8

ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

27

3.1

ΠϯτϩμΫγϣϯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Ϟσϧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

ղੳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.4

݁࿦ͱ஫ऍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.5

௥Ճઆ໌ɾٞ࿦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

SIR ໛‫ͱܕ‬ϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷؔ܎ . . . . . . . . . . . . .

36

Newman ͷϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷཧ࿦ . . . . . . . . . . . .

37

ϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷ‫ີݫ‬ղ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

SIR ໛‫ͱܕ‬ͷൺֱͱߟ࡯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.5.2

ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͷղੳղΛ‫ٻ‬ΊΔͨΊͷࢼߦࡨ‫ޡ‬

. . .

47

3.5.3

ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͱϥϯδϡόϯํఔࣜͷؔ܎ . . . . . .

47

3.5.4

ϥϯδϡόϯํఔࣜͷม਺ม‫ ׵‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.5.5

ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͷ਺஋ղ. . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.5.6

Q(Y, t) ͷϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜ (3.10) ͷผಋग़ . . . . . . .

54

3.5.7

SIS ໛‫ܕ‬ϥϯδϡόϯํఔࣜͷٞ࿦͸Ͱ͖Δ͔ʁ . . . . . . . . . .

54

ࢀߟจ‫ ݙ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.5.1

ୈ4ষ

4.1

4.2

ଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷ෼ྨʹ޲͚ͯ

59ΠϯτϩμΫγϣϯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.1.1

എ‫ ܠ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.1.2

໨ඪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

ϞσϧʢҊʣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.2.1

֤ϊʔυ͕औΓ͏Δঢ়ଶ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.2.2

μΠφϛΫεϧʔϧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.2.3

ωοτϫʔΫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

ߟ࡯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64ࢀߟจ‫ ݙ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.3

ୈ5ষ

݁࿦ͱల๬

67

5.1

݁࿦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5.2

ల๬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

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vii
෇࿥ A

A.1

A.2

ँࣙ

ϓϩάϥϜΞϧΰϦζϜ

69

ωοτϫʔΫੜ੒ΞϧΰϦζϜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

A.1.1 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

A.1.2 ϥϯμϜάϥϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

SIR ໛‫ܕ‬ΞϧΰϦζϜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

A.2.1 ඪ४తͳ໛‫ ܕ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

A.2.2 §4 ͷ໛‫ܕ‬ʢҊʣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72
73

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1

ୈ1ষ

ংষ
ຊষͰ͸ຊम࢜࿦จͷংষͱͯ͠, ࢲ͕म࢜՝ఔʹ͓͍ͯߦͳͬͨ‫ڀݚ‬ͷಈ‫ػ‬Λઌߦ‫ݚ‬‫ڀ‬Λަ͑ͳ͕Βઆ໌͠, ຊम࢜࿦จͷߏ੒Λઆ໌͢Δ. ͜ͷम࢜࿦จͰ͸, ࢦಋ‫ڭ‬һͷํ਑௨Γ, ࢲ͕म࢜՝ఔͰ‫಺͖ͨͯ͠ڀݚ‬༰Λ΄΅શͯॻ͍ͨ. ͦͷͨΊ, ෆ‫׬‬શͳ෦෼, ಺༰ͷؔ࿈ੑ͕ബ͍෦෼͕ଟʑ͋Γ, ·ͱ·Γ੾Βͳ͍ͱ͜Ζ͕͋Δ͕, ྃ͝ঝ௖͖͍ͨ.

1.1 ‫ڵ‬ຯ͜ͷ 2 ೥ؒΛৼΓฦΕ͹, ࢲࣗ਎ʹʮੋඇ͜ΕΛ໌Β͔ʹ͍ͨ͠ʯͱ͍͏͜ͷ 2 ೥ؒ؏పͨ͠‫ڵ͍ڧ‬ຯ͕͋ͬͨΘ͚Ͱ͸ͳ͘, ‫ڭ‬Պॻɾ࿦จɾ਺ࣜɾϓϩάϥϜͱٔΕͳ͕Β, ໨ͷલͷษ‫ڧ‬ɾ‫ڀݚ‬ΛਐΊΔதͰนʹͿ͔ͭΔ౓ʹࢦಋ‫ڭ‬һʹ૬ஊ͠, ͦͷ౓ʹద੾ʹ࣍ͷεςʔδ΁ಋ͍ͯ΋Β͍, ·ͨٔΕ, นʹͿ͔ͭΓ, ࢦಋ‫ڭ‬һʹ૬ஊ͠ʜͱ͍͏ͷΛ‫܁‬Γฦ͍ͯͨ͠Α͏ʹࢥ͏. ͦΜͳঢ়‫͔ͩگ‬Β, ၆ᛌͯ͠ʮࢲͷ‫ڵ‬ຯ͋Δ‫ݱ‬৅͸͜ΕͩʯͱҰ‫ݴ‬Ͱ‫͏ݴ‬ͷ͸೉͍͕͠, ‫͑ݴ‬Δࣄ͕͋Δͱ͢Ε͹,ʮਓؒࣾձʹؔΘΔ‫ݱ‬৅ʹ‫ڵ‬ຯ͕͋Δʯͱ
͍͏͜ͱͰ͋Δ. ग़དྷΕ͹, ͦΕʹΑͬͯࣾձ໰୊ͷղܾʹͭͳ͕Δ͕ࣔࠦಘΒΕΔΑ͏ͳ‫ڀݚ‬, ΋ͬͱ‫͑ݴ‬͹, ૉਓʹ΋໘ന͞Λཧղͯ͠΋Β͑Δ೿खͳ‫ڀݚ‬Λ͍ͨ͠, ͱࢥ͍ͬͯͨ. ͔ͨ͠Ӄࢼͷ໘઀Ͱ‫ڵ‬ຯͷ͋Δ෼໺Λฉ͔Εͯʮौ଺ͷ౷‫ֶྗܭ‬ʯͱ౴͑ͨ‫͕͢ؾ‬Δ. ֶ෦࣌୅ࡏ੶͍ͯͨ͠େࡕେֶͷ‫ڭ‬һΒͷ‫[ ڀݚ‬1] ͩ. ϚχΞοΫͳઐ໳Ո͚͕ͩ෼
͔Δ਺ཧతͳ໘ന͞ʮ͚ͩʯͰ͸ҙຯ͕͋Δͱ͸ࢥ͑ͳ͍. ֶज़తʹ΋ҙຯ͕͋Γ, ࣾձతʹ΋ҙຯ͕͋Δ, ૉ๿ʹ໘ന͍͜ͱΛ͔ͨͬͨ͠. ͦͷ͋ͨΓͷੑ޲Λࢦಋ‫ڭ‬һʹ΋Α͘ཧղ͍͍ͯͨͩͯ͠, ଟগ్தឯ༨‫ͤʹͨ͠ંۂ‬Α, ͜ͷ 2 ೥ؒͷम࢜՝ఔͰऔΓ૊ΜͩʮωοτϫʔΫ্ͷྲྀߦ‫ݱ‬৅໛‫ܕ‬ͷղੳʯͱ͍͏ςʔϚͷઃఆ͸ਃ͠෼ͳ͔ͬͨͱࢥ͏.

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2ୈ 1 ষ ংষ1.2 ෳࡶ‫ܥ‬ͷ੍‫ޚ‬Մೳੑଟ਺ͷཁૉ͕བྷΈ߹ͬͨෳࡶͳ‫޼͕ܥ‬Έʹ੍‫͞ޚ‬Ε͍ͯΔ‫ݱ‬৅͸, ࣗવքʹ͓͍ͯ਺ଟ
͘‫ݟ‬ΒΕΔ. ྫ͑͹ਓମ͸ଟ਺ͷࡉ๔͕ෳࡶʹ૬‫͢༻࡞ޓ‬Δ͜ͱʹΑͬͯ͋Δఔ౓҆ఆͨ͠Ұͭͷੜ໋ମΛ‫͍ͯͬ࡞ܗ‬Δ. ҰͭҰͭͷࡉ๔΋, ͦͷதͰ͸ෳࡶͳԽֶ൓Ԡ͕བྷΈ߹ͬͯࡉ๔ͱͯ͠ͷ‫ػ‬ೳΛൃ‫͍ͯ͠ش‬Δ [2]. ·ͨ, ͜ΕΒͷෳࡶ‫ܥ‬͸ଟগͷϊΠζʹ͸଱͑͏Δఔ౓ʹ͸҆ఆͰ͋Δ. ྫ͑͹ੜ໋ମ͸ଟগͷ‫ؾ‬ԹͷมԽ΍ٌᰳʹૺ۰ͯ͠΋, ؆୯ʹ໋Λམͱͣ͞ੜଘ͠ଓ͚Δ. ͜ͷΑ͏ʹ֎քͱͷ૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ରͯ҆͠ఆੑΛൃ‫͢ش‬Δͨ
Ίʹ͸, ԿΒ͔ͷ಺తͳ੍‫͕ޚ‬ඞཁͱͳΔͩΖ͏. ੍‫͠ޚ‬Α͏ͱ͢Δ‫͕ܥ‬ෳࡶͳͨΊ, ͦͷ੍‫ޚ‬͸Ұ‫ݟ‬ඇৗʹ೉͘͠ࢥ͑Δ͕, ࡉ๔಺Ͱ͸ͦΕΛࣗಈతʹߦͳ͍ͬͯΔ͜ͱΛߟ͑Δͱ, ෳࡶ‫ܥ‬ͷ੍‫ޚ‬ՄೳੑΛఆྔతʹ‫͢ڀݚ‬Δ͜ͱʹΑ༷ͬͯʑͳࣗવ‫ݱ‬৅ΛཧղͰ͖Δ͔΋͠Εͳ͍. ·ͨ, ਓ޻෺ʹ͓͍ͯ΋ෳࡶ‫ܥ‬ͷ੍‫ޚ‬͸ॏཁͰ͋Δ. ྫ͑͹ߤۭ‫ػ‬΍ࣗಈं͸ߴ౓ʹෳࡶͳ੍‫ʹޚ‬Αͬͯ҆ఆ૸ߦ͠, ࣄ‫ނ‬Λະવʹ๷͍Ͱ͍Δ. ͦͯ͠, ෳࡶͳγεςϜʹ͸‫ނ‬ো͕෇͖෺Ͱ͋Δ͕, Ͳͷఔ౓‫ނ‬োͨ͠ͱ͖ʹ੍‫ޚ‬ͷͨΊͷίετͷ૿Ճఔ౓ͷධՁ΍, ଟগ‫ނ‬োͯ͠΋શମͷ੍‫͕ޚ‬ෆՄೳʹͳΒͳ͍γεςϜઃ‫ܭ‬͸, ࣄ‫ނ‬Λ๷͗γεςϜΛਖ਼ৗʹಈ࡞ͤ͞ΔͨΊʹॏཁͰ͋Δ. Ұࡢ೥ͷ݄̏̍̍೔ͷ਒ࡂͰ͸ఀిʹΑͬͯ࿍৺Λྫྷ΍ͨ͢Ίͷྫྷ٫ਫΛૹΔ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͘ͳΓ, ‫ޚ੍͕ॴిൃྗࢠݪ‬ෆೳʹͳΓେࣄ‫[ ͕ͨͬܨʹނ‬3]. ͜ΕΒෳࡶ‫ܥ‬ͷ੍‫ޚ‬໰୊͸ॏཁͰ͋Δ.
ͱ͜ΖͰ, ۙ೥ωοτϫʔΫΛෳࡶ‫ܥ‬ͷϞσϧͱͯ͠ఆٛ͢ΔࢼΈ͕ͳ͞Ε͍ͯΔ.
ωοτϫʔΫͱ͸, ϊʔυͱΤοδʢϘϯυͱ΋͍͏ʣͷू߹Ͱ͋Δ. Τοδ͸ 2 ͭͷϊʔυΛ‫͙ܨ‬. ‫͕ͨͬܨ‬ϊʔυಉ࢜͸‫ʹ͍ޓ‬ʮྡ઀͍ͯ͠Δʯͱ͍͏. ωοτϫʔΫ G(V, E)͸ϊʔυͷू߹ V = v1 , v2 , · · · , vN ͱΤοδͷू߹ E = e1 , e2 , · · · em ʹΑͬͯ‫ه‬ड़͞Ε
Δ. ei ͸ϊʔυΛ 2 ͭ‫ؚ‬Ήू߹Ͱ͋Γ,ei = {j, k} ͳΒ͹ϊʔυ j ͱϊʔυ k ͕ྡ઀ͯ͠
͍Δ͜ͱΛද͢. ֤ϊʔυͷྡ઀ϊʔυ਺Λ࣍਺ͱ͍͏. N × N ͷྡ઀ߦྻ A ͸ΤοδͷॏΈ͕Ұఆͷ৔߹
Aij =1 f or0 f or∃k, ek = {ij}∀k, ek = {ij}(1.1)

ͱ͢Δ. ͢ͳΘͪ 2 ͭͷϊʔυ i, j ͕ྡ઀͍ͯ͠Δ৔߹ Aij = 1, ྡ઀͍ͯ͠ͳ͍৔߹

Aij = 0 ͱͳΔ. ΤοδͷॏΈ͕Ұఆग़ͳ͍৔߹͸, i, j ͕ྡ઀͍ͯ͠Δ৔߹͸ Aij ͸ͦͷॏΈͷ஋ΛऔΔ. ྡ઀͍ͯ͠ͳ͍৔߹͸ Aij = 0 ͱͳΔ. ઌͷྫʹ౰ͯ͸ΊΕ͹, ϊʔυ͸ࡉ๔΍Խֶ෺࣭Λද͠, ྡ઀ؔ܎͸ԿΒ͔ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λ͍࣋ͬͯΔ͜ͱΛද͢. ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ෳࡶ‫ܥ‬ΛωοτϫʔΫʹΑͬͯϞσϧԽ͢Δ. ҎԼʹ঺հ͢Δͷ͸, Ұࡢ೥ͷ݄̑ʹࢦಋ‫ڭ‬һ͔Β঺հ͍͍ͯͨͩͨ͠, ෳࡶωοτϫʔΫʹ͓͚Δ੍‫ޚ‬ՄೳੑΛ࿦ͨ͡࿦จ

[4] Ͱ͋Δ. ࢲͷम࢜աఔʹ͓͚Δ‫ڀݚ‬͸͜ͷ࿦จ͔Βελʔτͨ͠.

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1.2 ෳࡶ‫ܥ‬ͷ੍‫ޚ‬Մೳੑ˙ෳࡶωοτϫʔΫʹ͓͚Δ੍‫ޚ‬Մೳੑ (ϨϏϡʔ)Liu ΒͷωοτϫʔΫʹ͓͚Δ੍‫ޚ‬Մೳੑʹؔ͢Δ࿦จʮControllability of complex networks[4]ʯΛઃఆͷΈ؆୯ʹ঺հ͢Δ. ओுࣗମ͸࿦จΛ‫ͯݟ‬΋Β͍͍ͨ.
͜ͷ࿦จͰ͸, ޻ֶͷ੍‫ޚ‬ཧ࿦ͷ֓೦Ͱ͋ΔʮՄ੍‫ޚ‬ʯΛωοτϫʔΫ্ͷμΠφϛΫ
εʹస༻͍ͯ͠Δ. ॏΈ෇͖ωοτϫʔΫ G(V, E) Λ༩͑Δ. ϊʔυ i ͸࿈ଓྔ xi Λ΋͍ͬͯͯ, ‫ܥ‬શମͷঢ়ଶ͸ϕΫτϧྔ x Ͱࢦఆ͞ΕΔ. ϊʔυؒͷ૬‫༻࡞ޓ‬͸ҎԼͷํఔࣜ
ʹै͏:

dx(t)
= Ax + Bu(t)
dt

(1.2)

͜͜Ͱ A ͸ G ͷྡ઀ߦྻͰ͋Γ,N × M ߦྻ B ͸ೖྗߦྻͱ‫ݺ‬͹ΕΔߦྻͰ N ≤ M ,M ੒෼͔ΒͳΔ u ͸ೖྗϕΫτϧͰ͋Δ. Մ੍‫( ޚ‬controllablity) ͷఆٛ͸,N × N M ߦྻͰ͋ΔՄ੍‫ ྻߦޚ‬C = (B, AB, A2 B, · · · AN −1 B) ʹ͍ͭͯ rank(C) = N ͱͳΔ͜ͱ
Ͱ͋Γ, ͜Ε͸೚ҙͷॳ‫ظ‬৚݅ x(0) ͔ΒॳΊͯ͋Δ࣌ࠁ τ ʹ͓͍ͯ೚ҙͷঢ়ଶ x(τ ) Λ࣮‫͢ݱ‬Δೖྗ u ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱͱಉ஋Ͱ͋Δ. ͜ΕΛ΋ͬͯωοτϫʔΫ G ͸Մ੍‫Ͱޚ‬
͋Δͱ͢Δ.

m ͕Մ੍‫͔͏Ͳ͔ޚ‬Λ਺஋తʹ‫͢ࢉܭ‬Δʹ͸ 2N − 1 ͷ૊Έ߹ΘͤΛ‫͢ࢉܭ‬Δඞཁ
͕͋Γ, N ͕େ͖͍ͱ͖͸‫͕ࢉܭ‬೉͍͠. ͦ͜Ͱ, Մ੍‫ޚ‬ͷ֓೦Λ֦ு͠, ߏ଄Մ੍‫ޚ‬(structural controllability) Λఆٛ͢Δ. ͜Ε͸༩͑ΒΕͨ A ʹରͯ͠,0 Ͱͳ͍ A ͷ੒෼ͷॏΈΛࣗ༝ʹௐઅͯ͠, rank(C) = N ͱͳΔ N × M ߦྻ B ͕ଘࡏ͢Δࣄͱ͢Δ. ͦͯ͠ߏ଄Խ੍‫ͳͱޚ‬Δ B ͷ͏ͪ࠷খͷ M Λ”maximum matching”ʹΑܾͬͯఆ͠, ͦΕΛʮυϥΠόʔϊʔυͷ਺ ND ʯͱ͢Δ. ND ͷશϊʔυ਺ N ʹର͢Δׂ߹ nD ΛͦͷωοτϫʔΫͷ੍‫ޚ‬ͷ೉͠͞ͷࢦඪͱ͢Δ. M ͸ಠཱͳೖྗ੒෼ u(t) ͷ਺Ͱ͋Δ͔Β,ΑΓখ͍͞ M Ͱ੍‫͖Ͱޚ‬ΔωοτϫʔΫ΄Ͳ, ੍‫͕ޚ‬༰қͰ͋ΔͱղऍͰ͖Δ.
˙ҙຯͷ͋ΔʮωοτϫʔΫͷ੍‫ޚ‬ʯʹ޲͚ͯ͜ͷ࿦จΛಡΜͰ·ͣࢥͬͨ͜ͱ͸, ͜ͷʮ੍‫ޚ‬ʯ͕ԿΛҙຯ͍ͯ͠Δͷ͔͕Θ͔Βͳ͍, ͱ͍͏ࣄͰ͋Δ.ʮՄ੍‫ޚ‬ʯͷఆٛࣗମ͸޻ֶͰ௕͍ྺ࢙Λ࣋ͭ΋ͷͰ͋Γ, ༝ॹਖ਼͍͠ఆٛͩͱߟ͑ΒΕΔ͕, ޻ֶ෼໺ͷʮ੍‫ޚ‬࿦ʯ͸਺ཧϞσϧͷ੍‫ޚ‬Λ‫͢ڀݚ‬Δ෼໺Β͘͠, ྫ͑͹ੜ෺΍Խֶ൓Ԡɾ‫ൃݪ‬΍ߤۭ‫ػ‬ɾࣗಈंͷ੍‫ޚ‬ͷΑ͏ͳϞσϧͩͱ͸ߟ͑ʹ͍͘. ·ͨ, Մ੍‫ޚ‬ͷ֓೦Λߏ଄Մ੍‫ʹޚ‬·Ͱ޿͛Δ͜ͱʹΑͬͯ,B ͕೚ҙʹͳΔͨΊ, ඇ‫࣮ݱ‬తͳઃఆ͕Մೳʹͳ͍ͬͯΔ. ྫ͑
͹,ND = 1 ͱͨ͠··, ҰͭͷೖྗΛ, ͢΂ͯͷϊʔυʹ࡞༻ͤ͞Δ͜ͱ΋ՄೳʹͳΔ.
‫࣮ݱ‬ͷ‫ܥ‬ͷ੍‫͕ࢲͯ͠ͱޚ‬Πϝʔδ͢Δͷ͸, શମͷϊʔυ਺ʹൺ΂Δͱ͘͝গ਺ͷϊʔυʹ࡞༻͢Δ͜ͱʹΑͬͯ, ‫ܥ‬શମͷ෺ཧྔΛ੍‫͢ޚ‬Δ, ͱ͍͏Α͏ͳ΋ͷͰ͋ΔͨΊ, ͜ͷ࿦จͷ ND ͷ਺͑ํ͸ࢲͷΠϝʔδͱ͸߹க͠ͳ͍. ͜ͷΑ͏ͳυϥΠόʔϊʔυͷ਺͑ํ͕ҙຯͷ͋Δ‫࣮ݱ‬ͷ‫ܥ‬͸Ռͨͯ͠ଘࡏ͢ΔͩΖ͏͔ʁࢲ͸۩ମతͳ‫ʹ࣮ݱ‬ଘࡏ͢Δର

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ୈ 1 ষ ংষ৅ͷ੍‫ͯؔ͠ʹޚ‬͸, ผͷ੍‫ޚ‬ͷఆٛΛߟ͑Δඞཁ͕͋ΔΑ͏ʹࢥͬͨ.
ͦ͜Ͱ, ωοτϫʔΫ্ͷμΠφϛΫεͷ੍‫ͯ͠ͱޚ‬, ‫࣮ݱ‬ͷ໰୊ͱͯ͠Πϝʔδ͠΍͍͢΋ͷΛ୳ͨ݁͠Ռ, ‫ڀݚ‬Λʮ‫ײ‬છ঱఻ൖͷ੍‫ޚ‬ʯʹϑΥʔΧε͢Δ͜ͱʹͨ͠. ࣍અ§1.3 Ͱ, ωοτϫʔΫ্ͷ‫ײ‬છ঱఻೻໛‫͍ͯͭʹܕ‬ͷઆ໌Λߦ͏.

1.3 ωοτϫʔΫ্ͷ‫ײ‬છ঱఻ൖ໛‫ܕ‬‫ײ‬છ঱఻ൖͷ໛‫ͯ͠ͱܕ‬ωοτϫʔΫ্ͷ‫ײ‬છ঱໛‫͞ڀݚ͕ܕ‬Ε͖ͯͨ. ਓͱਓͱͷͭͳ͕ΓΛωοτϫʔΫͰද‫( ͠ݱ‬ਤ 1.1), ͦͷ্Ͱ‫ײ‬છ঱͕఻ൖ͍ͯ͘͠Ϟσϧ͸௚‫ײ‬తʹཧղ͠΍͍͢. ·ͨ, ͦͷ੍‫ͯ͠ͱޚ‬͸‫ײ‬છ঱͕ຮԆ͢Δ͜ͱΛ๷͙͜ͱ, ຮԆΛ஗ΒͤΔ͜ͱ͕ߟ͑ΒΕ, ந৅తͳ੍‫ޚ‬࿦Ͱ͸ͳ͍ͨΊ, ࢲ͸۩ମతͳΠϝʔδΛ࣋ͭ͜ͱ͕Ͱ͖ͨ. ҎԼʹωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ͷఆٛͱઌߦ‫ڀݚ‬Λ঺հ͢Δ.

1.3.1 ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫͍ͯͭʹܕ‬આ໌͢Δ.
˙ఆٛ ॳΊʹ‫ݸ‬ʑͷϊʔυͷঢ়ଶʹ͍ͭͯઆ໌͢Δ. ༩͑ΒΕͨωοτϫʔΫʹ͓͍ͯ, ֤ϊʔυ͸ 3 ঢ়ଶ S,I,R
Λ࣋ͭ. S ͸݈߁ͳঢ়ଶ,I ͸‫ײ‬છͯ͠ྡ઀͢Δ S ঢ়ଶͷϊʔυΛ‫ײ‬છͤ͞ΔೳྗΛ࣋ͬͨঢ়ଶ, R ͸ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕࣏ͬͯͦΕҎ্มԽ͠ͳ͍ঢ়ଶΛද͢. ͦΕͧΕ

ਤ 1.1‫ײ‬છ঱ωοτϫʔΫ [5]Susceptible,Infected,Recoverd ͷ಄จࣈͰ͋Δ.
࣍ʹμΠφϛΫεϧʔϧΛઆ໌͢Δ. S ঢ়ଶͷϊʔυͱ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ྡ઀͍ͯ͠Δ৔߹, ͢ͳΘͪ S-I ϖΞ͕ଘࡏ͢Δͱ͖, Ϩʔτ λ Ͱ S ͸ I ʹมԽ͠,I-I ϖΞͱͳΔ. ͜Ε͕‫ײ‬છࣄ৅Ͱ͋Δ. ‫ײ‬છࣄ৅͸ S-I ϖΞ͝ͱʹಠཱʹ‫͜ى‬Δ. ·ͨ,I ঢ়ଶͷϊʔυ͸Ϩʔτ μ Ͱࣗൃతʹ R ঢ়ଶʹมԽ͢Δ. ͜Ε͸࣏༊ࣄ৅Ͱ͋Δ. ͜ΕΒͷࣄ৅͸ͦΕͧΕ͕ಠཱͳϙΞιϯաఔʹै͏. ͢ͳΘͪ, λ ͸୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓͷ‫ײ‬છ֬཰Ͱ͋Γ, ࣌ࠁ t
ͱ t + Δt ͷؒͷඍখ࣌ؒ Δt ʹ͓͍ͯ೚ҙͷ S-I ϖΞ͕ I-I ϖΞʹมԽ͢Δ֬཰ dPI ͸

dPI = λΔt + O(Δt2 ) Ͱ͋Δ. ·ͨ, ೚ҙͷ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ R ঢ়ଶʹมԽ͢Δ֬཰ dPR
͸ dPR = μΔt + O(Δt2 ) Ͱ͋Δ. Δt → 0 ʹ͓͍ͯ O(Δt2 ) ͸ແࢹͰ͖Δ.
˙ઃఆҰൠతͳઃఆͱͯ͠͸,N ϊʔυ͔ΒͳΔωοτϫʔΫʹ͍ͭͯ, ॳ‫ظ‬৚݅͸ 1ͭϥϯμϜʹબΜͩϊʔυΛ I ঢ়ଶͱ͠, ࢒Γ N − 1 ϊʔυΛ S ঢ়ଶͱ͢Δ. ‫ܥ‬͸༗‫ݶ‬ͷ࣌ؒͰ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ͳ͘ͳΓ,S ঢ়ଶͱ R ঢ়ଶ͚ͩʹͳΔ. ͜ΕΛऴঢ়ଶͱ‫Ϳݺ‬. ऴঢ়《修士論文》

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1.4 ઌߦ‫ڀݚ‬ଶʹ͓͚Δ R ঢ়ଶͷׂ߹Λ nR ͱ͓͖, ͜ΕΛ‫ײ‬છຮԆͷࢦඪͱ͢Δ. ॳ‫ײظ‬છϊʔυ਺Λ N ʹൺྫ͢ΔҰఆׂ߹ͱ͢Δઃఆ΋‫͞ڀݚ‬Ε͸͡Ίͨ [6] ͕, ௕Β͘ओྲྀͰ͸ͳ͔ͬͨ.
ॳ‫ײظ‬છऀີ౓Λඍখʹ༻ҙ͠, ‫ײ‬છऀ͕ϚΫϩʹ޿͕ͬͨঢ়ଶΛʮྲྀߦঢ়ଶʯͱ‫Ϳݺ‬ͷ͸ࣗવʹࢥ͑Δ͕, ೤ྗֶ‫ݶۃ‬, ͢ͳΘͪϊʔυ਺ N Λ N → ∞ ͱ͢Δ৔߹, ॳ‫ײظ‬છऀີ౓ͷ‫ʹ࡞ૢݶۃ‬͸ཧ࿦తͳ೚ҙੑ͕࢒Δ. ͢ͳΘͪ, ॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ N ͱ͠,N → ∞ͱͨ͠‫ →  ʹޙ‬0 ͱ͢Δ৔߹ͱ, ॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ N ʹΑΒͳ͍ఆ਺ m ͱ͢Δ৔߹Ͱ͋
Δ. ઌߦ‫ڀݚ‬͸ѹ౗తʹॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ 1 ͱͨ͠΋ͷ͕ଟ͘, গͳ͘ͱ΋͜ͷ̎ͭͷ‫ݶۃ‬ૢ࡞ͷ۠ผ͕ͳ͞Ε͍ͯΔจ‫ݙ‬Λ‫͍ͳ͕ͱͨ͜ݟ‬. ྫ͑͹ Boguñá Β [7] ͸ m = 1 ͱͯ͠

N → ∞ ͷͱ͖ॳ‫ײظ‬છऀີ౓ ρ0 Λ‫ܥ‬ͷαΠζʹґଘͨ͠‫ Ͱܗ‬ρ0 = 1/N ͱද‫͍ͯ͠ݱ‬Δ͚ͩͰ͋Γ, ρ0 Λ N ʹΑΒͣʹ ρ0 =  ͱͨ͠৔߹ʹ͍ͭͯ͸‫͍ͳ͍ͯ͠ٴݴ‬. ͜ͷ͜ͱʹ͍ͭͯ͸ §3 Ͱٞ࿦͢Δ.

1.4 ઌߦ‫ڀݚ‬
ؔ࿈͢Δઌߦ‫͢؍͍֓ͯͭʹڀݚ‬Δ.
˙‫ݹ‬యత SIR ໛‫ܕ‬ωοτϫʔΫ͕ಋೖ͞ΕΔલͷ, ‫ݹ‬యతͳ SIR ໛‫ܕ‬͸ 1927 ೥ͷ

McKendrick Βͷ࿦จʹ࢝·Δ [8]. ͜ͷϞσϧ͸ S,I,R ͦΕͧΕͷঢ়ଶͷϊʔυͷ਺Λ
S, I, R ͱ͠, ͜ΕΒ͕ຬͨ͢ඍ෼ํఔࣜͱͯ͠༩͑ΒΕΔ.
⎧−λSI⎨ Ṡ =˙
I = λSI − μI
⎩
Ṙ =
μI

(1.3)

ͨͩ͠ S + I + R = N Λຬͨ͢. ͜Ε͸શ݁߹ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ʹܕ‬ରԠ͢ΔͱࢥΘΕΔ.
˙ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬‫ײ‬છ঱໛‫ܕ‬Λ্‫ه‬ͷશ݁߹ωοτϫʔΫ͔ΒҰൠతͳωοτϫʔΫ্ʹ࣋ͪࠐΜͩͷ͸ Mollison[9] ΍ Grassberger[10] Β͍͠. ಛʹ 1998 ೥Ҏ߱,εϞʔϧϫʔϧυϞσϧͷൃ໌ [11] ΍εέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫͷൃ‫ݟ‬΍ωοτϫʔΫϞσϧʢ̗̖Ϟσϧʣͷൃ໌ [12] ͳͲ͔Β, ۙ೥ͷωοτϫʔΫՊֶ͕ຄ‫ͨ͠ڵ‬. ʮεέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫʯͱ͸, ֤ϊʔυͷ࣍਺ k ͷ෼෍ P (k) ͕ P (k) ∼ k −γ Ͱ༩͑ΒΕΔΑ͏ͳωοτϫʔΫͷ͜ͱͰ͋Δ. ਖ਼ํ֨ࢠ౳‫ن‬ଇతͳωοτϫʔΫʹൺ΂ͯ͜͜Ͱఆٛ͞Εͨͷ͸τϙϩδʔ͕ඇৗʹෳࡶͳωοτϫʔΫͰ͋Γ, ͜ΕΒͷωοτϫʔΫΛ૯শͯ͠ʮෳࡶωοτϫʔΫʯͱ‫Ϳݺ‬. ʮෳࡶωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ʯͷ࢝·Γ͸֬ೝग़དྷͳ͔͕ͬͨ, Ұൠతʹ‫ײ‬છϨʔτͱ࣏༊Ϩʔτͷൺ λ/μ ͷ஋ʹ͸ᮢ஋͕͋Γ, ᮢ஋ҎԼͷ৔߹͸ nR = 0 ͱͳΓ, ᮢ஋Λ௒͑Δͱ nR ͸ 0 ͔Β࿈ଓతʹ্ཱ͕ͪΔ૬సҠ‫ݱ‬৅͕‫ݟ‬ΒΕΔ͜ͱ͕֬ೝ͞ΕΔ. ‫ ʹط‬2002 ೥ʹ͓͍ͯ, Moreno Β [13] ʹΑͬͯసҠ

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ୈ 1 ষ ংষ఺ʹ͍ͭͯৄࡉͳղੳ͕ͳ͞Ε͍ͯΔ. ಛʹ͜ͷ࿦จ͕஫໨͞Εͨͷ͸, εέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫͰ͸సҠ఺͕ λ/μ ∼ 0 ͱͳΔ͜ͱͰ͋Δ. ͢ͳΘͪεέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫͰ͸ඇৗʹখ͍͞‫ײ‬છϨʔτ λ Ͱ͋ͬͯ΋‫ײ‬છ͕ຮԆ͢Δ, ͱ͍͏ओு͕ཧ࿦తʹͳ͞Εͨ͜ͱʹͳΔ. ͜ͷ͜ͱʹؔͯ͠͸, ࣅͨ‫ײ‬છ঱໛‫ܕ‬ʢSIS ໛‫ܕ‬ʣʹ͓͍ͯεέʔϧϑϦʔͳ࣍਺෼෍ΛωοτϫʔΫʹ༩͑Δࡍͷ‫ݶۃ‬ͷऔΓํʹ͍ͭͯٞ࿦͞Ε͍ͯΔ [14]͜ͱΛߟ͑Δͱ, సҠ఺͕‫ ʹີݫ‬0 ͔Ͳ͏͔͸ٞ࿦͕ଓ͍͍ͯΔΑ͏Ͱ͋Δ. ͜ͷΑ͏ʹ,ಛʹ෺ཧ‫ܥ‬ͷωοτϫʔΫՊֶͷ෼໺Ͱ͸, εέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫ͕ඇৗʹଟ͘ௐ΂ΒΕ͍ͯΔ [15].

1.4.1 ͦͷଞͷ໛‫ܕ‬ͦͷଞωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ͨࣅʹܕ‬໛‫ܕ‬Λ঺հ͢Δ.
˙SIS ໛‫ܕ‬

SIR ໛‫ܕ‬͸ I ঢ়ଶ͔Β࣏༊͢ΔͱͦΕҎ্มԽ͠ͳ͍ R ঢ়ଶʹͳ͕ͬͨ,SIS ໛‫Ͱܕ‬͸࣏༊ͨ͠ͱ͖ʹ S ঢ়ଶͱͳΓ, ࠶౓‫ײ‬છ͢Δ͜ͱ΋‫͢ڐ‬ϞσϧͰ͋Δ. SIR໛‫ܕ‬͸͍ͬͨΜ໔Ӹ͕Ͱ͖Δͱೋ౓ͱ͔͔Βͳ͘ͳΔ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹ͓͍͓ͯΓ, SIS ໛‫ܕ‬͸໔Ӹ͕ग़དྷͣෳ਺ճ‫ײ‬છ͢ΔՄೳੑͷ͋Δ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹ͓͍͍ͯΔ.
˙཭ࢄ࣌ؒ SIR ໛‫ܕ‬্‫ه‬Ϟσϧ͸‫ݸ‬ʑͷϊʔυͷঢ়ଶมԽΛϙΞιϯաఔʹै͏΋ͷͱ͕ͨ͠, ΦʔτϚτϯతʹ୯Ґ࣌ؒΛఆٛͯͦ͠ͷ࣌ؒεςοϓ͝ͱʹঢ়ଶมԽͤ͞Δ໛‫ܕ‬΋‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔ [16]. §3 ʹ͓͍ͯ΋ॏཁͳ‫ڀݚ‬Λ঺հͨ͠. ཭ࢄ࣌ؒ໛‫͚͓ʹܕ‬Δ λ ͱϙΞιϯաఔ໛‫ܕ‬ͷ λΔt ͕Ұக͢Δ‫͕ݶۃ‬Ұக͢Δ͸ͣͰ͋Δ. ͜ͷ࿦จͰ͸ѻΘͳ͍͕, ࣌ؒͷ཭ࢄͱ࿈ଓͷҧ͍͕μΠφϛΫεʹ༩͑ΔӨ‫͍ͯͭʹڹ‬͸ஶऀ͸‫ڵ‬ຯΛ͍࣋ͬͯΔ.
˙ͦͷଞͦͷଞ, ‫ײ‬છ͔ͯ͠Β঱ঢ়Λൃ঱͠ S ঢ়ଶͷϊʔυΛ‫ײ‬છͤ͞ΔՄೳੑͷ͋Δ

I ঢ়ଶʹมԽ͢Δ·Ͱʹ͕͔͔࣌ؒΔ‫ײ‬છ঱ͷ໛‫ ͯ͠ͱܕ‬SEIR ໛‫[ ܕ‬17] ΍, ੜ·ΕͨΓࢮΜͩΓ͢Δ͜ͱͰৗʹ໔ӸΛ࣋ͨͳ͍ϊʔυΛ৽ͨʹಋೖ͢Δ໛‫[ ܕ‬18] ΋͋Δ.

1.5 ຊम࢜࿦จͷߏ੒͜ͷम࢜࿦จͷߏ੒Λઆ໌͢Δ.

§2§2 Ͱ͸, ‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβΛ೦಄ʹஔ͍ͨ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏ωοτϫʔΫΛఆٛ͠, ͦͷ্Ͱͷ SIR μΠφϛΫεΛ਺஋࣮‫Ͱݧ‬ௐ΂ͨ. nR ͱऴঢ়ଶʹࢸΔ·Ͱͷ࣌ؒ tf Λ‫ܭ‬ଌ͠,

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ࢀߟจ‫ݙ‬
ॳ‫ظ‬৚݅΍ωοτϫʔΫΛมԽͤͨ͞ͱ͖, ͦͷҧ͍ͷಛ௃෇͚ΛࢼΈͨ.

§3§3 Ͱ͸,SIR ໛‫ܕ‬ͷྲྀߦ૬ʹ͓͍ͯྲྀߦ͢Δ͔൱͔͕Ұҙʹఆ·Βͳ͍‫ݱ‬৅ʹ͍ͭͯղ
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Ͱ͋Δ. ॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ‫ܥ‬ͷαΠζʹΑΒͣఆ਺ʹͨ͠৔߹, ೤ྗֶ‫ܥ͍͓ͯʹݶۃ‬ͷঢ়ଶ͕Ұҙʹఆ·Βͳ͍ͱ͍͏ಛҟͳ‫ݱ‬৅ʹ͍ͭͯ, SIR μΠφϛΫεΛϥϯδϡόϯํఔࣜʹۙࣅ͢Δ͜ͱʹΑͬͯղੳͨ͠.

§4§4 Ͱ͸,SIR ໛‫Ͱܕ‬͸ද‫͖͠ݱ‬Εͳ͍‫࣮ݱ‬ͷଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅Λ෼ྨ͢΂͘, ৽ͨͳμΠφϛΫεϞσϧΛߟҊͨ͠. ͨͩ͠, ࣌ؒͷ౎߹্ߏ૝ʹऴΘͬͨ෦෼΋ଟ͍. S ঢ়ଶͷϊʔυͷ‫ײ‬છϨʔτ΍ I ঢ়ଶͷϊʔυͷ࣏༊ϨʔτΛ, ͦͷϊʔυʹྡ઀͢Δ I ঢ়ଶͷϊʔυͷ਺ʹؔ͢Δඇઢ‫ʹ਺ؔܗ‬Αͬͯ༩͑Δͱ, ैདྷͷ SIR ໛‫ͱܕ‬͸ҟͳΔৼΔ෣͍Λࣔ͢ͷͰ͸ͳ͍͔. ·ͨͦͷؔ਺ͷύϥϝʔλΛมԽͤ͞Δ͜ͱʹΑͬͯଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅Λ෼ྨͰ͖ΔͷͰ͸ͳ͍͔ͱߟ͑ͨ.

§5§5 Ͱ͸, ຊम࢜࿦จͷ·ͱΊͱల๬Λ‫ͨ͠ه‬.

෇࿥࠷‫෇ʹޙ‬࿥ͱͯ͠, ਺஋࣮‫ݧ‬ͷϓϩάϥϜͷΞϧΰϦζϜΛ؆୯ʹઆ໌ͨ͠.

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9ୈ2ষ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬
2.1 ΠϯτϩμΫγϣϯ
ωοτϫʔΫ্ͷ‫ײ‬છ঱໛‫ܕ‬ͷ‫ڀݚ‬͸, ಛʹεέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫʹ஫໨͞Ε͖ͯͨ [1]. Barabasi[2] ʹΑΕ͹, Ҩ఻ࢠൃ‫ݱ‬ωοτϫʔΫ΍ WWW ʹ͸εέʔϧϑϦʔ
ੑ͕͋Δͱ͍͏. ·ͨ, ੑ‫ײ‬છ঱ωοτϫʔΫ [3] ΍ίϯϐϡʔλʔωοτϫʔΫ, өըആ༏ͷ‫ڞ‬ԋωοτϫʔΫ, ࿦จͷ‫ڞ‬ஶωοτϫʔΫ [4], ϝʔϧͷωοτϫʔΫ [5], SNS ͷωοτϫʔΫ [6] ͸εέʔϧϑϦʔੑ͕͋Δͱ͍ΘΕ͍ͯΔ. ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏͕ੑަবͷ৔߹͸,
͋Δఔ౓૬ख͕‫ݶ‬ఆ͞Ε͍ͯΔͱߟ͑ͯ΋Αͦ͞͏ͩ. ·ͨ,E ϝʔϧΛհͨ͠ίϯϐϡʔλ΢Οϧεͷ‫ײ‬છ֦େͷ৔߹΋, ૬ख͕‫ݶ‬ఆ͞Ε͓ͯΓ, ͦͷωοτϫʔΫ͕εέʔϧϑϦʔͰ͋ΔͳΒ͹, εέʔϧϑϦʔωοτϫʔΫ্Ͱͷ‫ײ‬છ঱໛‫ܕ‬Λௐ΂Δ͜ͱʹҙຯ͕͋ΔͱࢥΘΕΔ.
Ͱ͸, ͦͷଞͷ‫ײ‬છ঱఻ൖωοτϫʔΫ͸εέʔϧϑϦʔͩΖ͏͔ʁ͢΂ͯͷ‫ײ‬છ঱ͷ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏ωοτϫʔΫ͕εέʔϧϑϦʔੑΛ͍࣋ͬͯΔͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍. ਎ۙͳྫͱͯ͠,ϊϩ΢Οϧεͱ‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβΛߟ͑ͯΈΔ. ϊϩ΢Οϧε͸͸ң௎ԌΛҾ͖‫͜ى‬͢‫ײ‬છ঱Ͱ, ͦͷ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏͸৯தಟ, ‫ऀױ‬ͷᅅు෺΍ฅศ͕‫ס‬૩͠คਖԽͨ͠΋ͷͰ͋Δ[7]. ৯தಟ͸Ԛછ͞Εͨ৯ࡐͱӴੜঢ়‫گ‬ͷѱ͍ҿ৯ళ͕૊Έ߹Θͬͨ࣌͞ʹ‫͜ى‬ΔͰ͋Ζ
͏͔Β, ৯ࡐྲྀ௨ωοτϫʔΫ΍ਓͷҿ৯ళར༻ωοτϫʔΫͳͲΛߟ͑Δඞཁ͕͋Δ.
·ͨ, ᅅు෺ͷคਖΛ‫ࠐ͍ٵ‬ΉՄೳੑ͕ߴ͍ͷ͸ᅅు෺Λॲཧͨ͠ਓͰ͋Γ, Ո଒΍ӺһͳͲ͕ߟ͑ΒΕΔ. ҰํΠϯϑϧΤϯβ [8] ͸ඈລ‫ײ‬છΛ‫͢͜ى‬. ಉۭؒ͡ʹΠϯϑϧΤ
ϯβʹ‫ײ‬છͨ͠ਓ͕͍ͯ, ͦͷਓ͕֏͖ࠐΜͩͱ͖ʹ์ग़͞Εͨඈລ͕‫؟‬΍‫ޱ‬ͷ೪ບʹ৮ΕΕ͹, ‫ײ‬છ͕‫͜ى‬Δ. ͜ͷ৔߹, Ոఉ΍৬৔Ͱͷؔ܎ͷີͳਓͱͷ઀৮ωοτϫʔΫ΍,Ӻ΍γϣοϐϯάηϯλʔͳͲ, ͨ·ͨ·ͦͷ࣌ͦͷ৔ॴʹ‫߹ډ‬Θͤͨਓෆಛఆͳωοτ

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ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ϫʔΫΛߟ͑Δඞཁ͕͋ΔͩΖ͏. ͜ΕΒͷωοτϫʔΫ͕εέʔϧϑϦʔੑΛ͍࣋ͬͯΔ͔͸ࣗ໌Ͱ͸ͳ͍.
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ϯβ͕શࠃಉ࣌ଟൃతʹൃੜ͍ͯ͠Δ͜ͱ͔Β, ԿΒ͔ͷ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏Ͱ 10 ݄·Ͱʹಉ͡‫ܕ‬ͷΠϯϑϧΤϯβ͕શࠃʹ޿͕͍ͬͯΔ͜ͱ͕ࣔࠦ͞ΕΔ͕, Ͳͷ࣌‫Ͳʹظ‬ͷΑ͏ʹͯ͠‫ײ‬છ͕޿͕͍ͬͯΔ͔͸໌Β͔ʹ͞Ε͍ͯͳ͍ [9]. ରࡦͱͯ͠ϫΫνϯ઀छΛߟ͑Ε͹,
ྲྀߦ͢Δ‫ܕ‬Λ͍ͪૣ͘ಛఆ͢Δ͜ͱ͕ϫΫνϯͷྔ࢈ʹؔͯ͠ॏཁͰ͋Δ. ҰํͰ, ‫ݶ‬ΒΕͨϫΫνϯΛ࠷దʹ෼഑͢Δ໰୊Λߟ͑Δ্Ͱ, ͨͩҰਓͷॳ‫ײظ‬છऀΛಛఆ͢Δͷ͸
೉͍͠. େΒ͔ʹ஍Ҭ͝ͱͷྲྀߦΛೝࣝͨ͠ 10 ݄લ‫ޙ‬ͷஈ֊Ͱ, ϫΫνϯͷ෼഑໰୊Λߟ
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Δͱߟ͑ΒΕΔ. Ͱ͸, ͜ͷΑ͏ͳ‫ײ‬છ঱ͷྲྀߦΛ๷͙ͨΊʹ, ͲͷΑ͏ͳରࡦ͕ޮՌత
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ͱͯ͠ผͷ΋ͷΛߟ͑Δඞཁ͕͋ΔͩΖ͏.
Ҏ্Λ౿·্͑ͨͰ, ຊষͰ͸, ಛʹ‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβΛ೦಄ʹஔ͍ͨ‫ײ‬છ঱ϞσϧΛఏҊ͠, ͦͷ໛‫ܕ‬ͷৼΔ෣͍Λղੳͨ݁͠ՌΛใࠂ͢Δ. ॳ‫ײظ‬છऀ਺ͱωοτϫʔΫΛύϥϝʔλͱͯ͠มԽͤ͞, ऴঢ়ଶʹ͓͚Δ‫ײ‬છׂ߹ nR ͱऴঢ়ଶʹࢸΔ·Ͱʹ͔͔Δ࣌ؒ tf ΁ͷӨ‫ڹ‬Λ‫ͨ͠ূݕ‬. ॳΊʹϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑʹ͓͍ͯॳ‫ײظ‬છऀ਺

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2.2 Ϟσϧ
ͷҧ͍ͷӨ‫ڹ‬Λ‫ͨݟ‬. nR ͷΞϯαϯϒϧฏ‫ ۉ‬nR ͸‫ײ‬છϨʔτ λ ʹ͍ͭͯ, ͋Δᮢ஋λc ΑΓখ͍͞ൣғͰ 0,λc ΑΓେ͖͍ൣғͰ࿈ଓతʹ༗‫ݶ‬ͷ஋ΛऔΔ, ૬సҠ‫ݱ‬৅͕‫ݟ‬ΒΕΔ. ͜ͷసҠ఺Λཧ࿦తʹಋग़ͨ͠. ·ͨ,λ → ∞ ʹ͓͚Δ tf , σ(tf )2 Λཧ࿦తʹಋग़
ͨ͠. ࣍ʹॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ m = 1 ͱͨ͠ͱ͖ͷ༷ʑͳωοτϫʔΫͰ nR , tf Λ࣮‫ݧ‬తʹଌΓ, ωοτϫʔΫͷҧ͍ʹΑΔऴঢ়ଶ΁ͷӨ‫ڹ‬Λ‫ͨݟ‬. ࠷‫ײظॳʹޙ‬છऀ਺Λ‫ܥ‬ͷେ͖͞ N ʹൺྫ͢Δ‫Ͱܗ‬ಋೖͨͨ͠͠ͱ͖, ωοτϫʔΫͷҧ͍ʹΑΔ‫ײ‬છׂ߹΁ͷӨ‫ڹ‬Λ‫ͨ͠ূݕ‬. ಛʹ, ॳ‫ײظ‬છऀ਺͕‫ܥ‬ͷେ͖͞ N ʹൺྫ͢Δ৔߹ʹ͸, nR ͷ༳Β͗ͱ tf ͕ಛ௃తͳৼΔ෣͍ΛΈͤΔͷͰ, ͦͷ෦෼Λߋʹৄ͘͠‫͠ূݕ‬, ωοτϫʔΫͷҧ͍ʹΑΔӨ‫ڹ‬ͷఆྔతධՁΛࢼΈͨ.

2.2 Ϟσϧ
‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβΛ೦಄ʹஔ͍ͨ‫ײ‬છ঱ϞσϧΛ, ॳ‫ظ‬৚݅ͱ‫ײ‬છωοτϫʔΫʹ෼͚ͯఏҊ͢Δ.

2.2.1 ॳ‫ظ‬৚݅ઌʹड़΂ͨ௨Γ, ͨͩҰਓ͔Β‫ײ‬છ͕࢝·Δ͜ͱΛ೦಄ʹஔ͍ͨઃఆͱͯ͠ॳ‫ײظ‬છऀ਺ m = 1 ͱ͞ΕΔ͜ͱ͕Ұൠతͩ. ͦΕͱൺֱͯ͠, ‫ײ‬છ͕͋Δఔ౓޿͕ͬͨঢ়ଶͱ͠
ͯ,m = N ͱ͢Δॳ‫ظ‬৚݅Λߟ͑ͯΈΔ. ͨͩ͠   1 Ͱ͋Δ.

2.2.2 ‫ײ‬છωοτϫʔΫN ϊʔυ͔ΒͳΔωοτϫʔΫϞσϧΛߟҊ͢Δ. ‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβͷ‫ײ‬છωοτϫʔΫͱ͸ͲͷΑ͏ͳ΋ͷͩΖ͏͔. ࢲ͸ʮೱ͍ਓؒؔ܎ʯͱʮബ͍ਓؒؔ܎ʯͷ 2 ͭʹ෼͚ͯϞσϧΛߟ͑ͨ. ࣮ࡍͷ‫ײ‬છωοτϫʔΫ͸, ҎԼͰઆ໌͢Δʮೱ͍ਓؒؔ܎ʯͱ
ʮബ͍ਓؒؔ܎ʯͷॏͶ͋ΘͤͰ͋Δͱߟ͑ΒΕΔ.
ೱ͍ਓؒؔ܎ͷωοτϫʔΫ৬৔΍ֶߍɾՈ଒ͱͷਓؒؔ܎Λʮೱ͍ਓؒؔ܎ʯͱఆٛ͢Δ. ଟ͘ͷࣾձਓ΍ֶੜ͸,೔த͸ֶߍ΍࢓ࣄ৔ͰಛఆͷνʔϜʢֶ‫ڃ‬΍ϫʔΩϯάάϧʔϓʣͰա͕࣌ؒ͝͠௕͘,·ͨՈʹ‫ؼ‬Ε͹༦ํ͔Βேʹ͔͚ͯՈ଒ͱͱ΋ʹա͕࣌ؒ͢͝௕͍ͩΖ͏. ͭ·Γ, னؒͱ໷ؒͦΕͧΕͰ, ൺֱతগਓ਺ͷίϛϡχςΟʹॴଐ͍ͯ͠Δ. ͜ΕΛωοτϫʔΫϞσϧʹ͢Δͱ, ҎԼͷΑ͏ʹͳΔ. Hi , i = 1, 2, · · · n Λ i ൪໨ͷனͷίϛϡχςΟʢֶ‫ڃ‬ɾνʔϜʣͱ͠, Yj , j = 1, 2, · · · n Λ j ൪໨ͷ໷ͷίϛϡχςΟʢՈ଒ʣͱ͢Δ. ֤ίϛϡχςΟ಺ͷϊʔυ͸શ݁߹ͱ͢Δ. ֤ίϛϡχςΟͷϊʔυ਺͸ c ʹ‫ݻ‬ఆ͢Δ. ρ1 (l), ρ2 (l)11《修士論文》

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12

ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬

ਤ 2.1

‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβͷྲྀߦͷ༷ࢠ
ਤ 2.2

HY ωοτͷ࡞ΓํΛͦΕͧΕ [1, 2, 3, · · · N ] → [1, 2, 3, · · · N ] ͷϥϯμϜͳஔ‫͢ͱ׵‬Δ.σ(a, b) Λ a Λ b Ͱׂͬͨ঎ͱ͢Δ. ϊʔυ l, l = 1, 2, · · · N ͸ Hσ(ρ1 (l),c) , Yσ(ρ2 (l),c) ʹॴଐ͢Δ΋ͷͱ͢Δ.

l ͕ॴଐ͢Δ 2 ͭͷίϛϡχςΟ Hσ(ρ1 (l),c) Yσ(ρ2 (l),c) ʹ͸શ͘૬ؔ͸ͳ͘, ֤ίϛϡχςΟ H, Y ʹ͸ͦΕͧΕ c ‫ݸ‬ͷϊʔυ͕ॴଐ͠, ίϛϡχςΟ಺ͷϊʔυ͸શ݁߹Ͱ͋Δ
ωοτϫʔΫ͕࡞ΒΕΔ. ͜ΕΛ HY ωοτͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δ. ‫ײ‬છϨʔτ͸ΤοδҰຊ͋ͨΓ λ ͱ͢Δ. ਤ 2.2 ͸ c = 4 ͷͱ͖ͷωοτϫʔΫͷ࡞ΓํΛ໛ࣜతʹදͨ͠΋ͷͰ
͋Δ.
ബ͍ਓؒؔ܎ͷωοτϫʔΫެ‫ަڞ‬௨‫ؔػ‬΍঎‫ࢪۀ‬ઃͰͨ·ͨ·͢Εҧ͏, Ұఆ࣌ؒಉۭؒ͡ʹଘࡏ͢Δ, ͳͲͷਓؒؔ܎Λʮബ͍ਓؒؔ܎ʯͱఆٛ͢Δ. ͜ͷਓؒؔ܎ʹΑͬͯ࡞ΒΕΔ‫ײ‬છωοτϫʔΫ͸‫ײ‬છྗͷখ͍͞Τοδ͕ແ਺ʹҾ͔Ε, ࣌ؒมԽΛ൐͏ඇৗʹෳࡶͰ͋Δ͜ͱ͕༧૝͞
ΕΔ. ͜ΕΛࢥ͍੾ͬͯ‫ײ‬છϨʔτΛΤοδҰຊ͋ͨΓ λ/N ͱ͢Δશ݁߹ωοτϫʔΫͰۙࣅ͢Δ. ͢ͳΘͪฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫͰ͋Δ.

2.3 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ
ϦϑΝϨϯεͱͯ͠·ͣ͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑʹ͓͍ͯॳ‫ײظ‬છऀ਺ͷҧ͍ʹΑΔऴঢ়ଶ΁ͷӨ‫ڹ‬Λௐ΂Δ. ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ͸֤ϊʔυͷ࣍਺ k Λ‫ݻ‬ఆͯ͠,ΤοδΛϥϯμϜʹுͬͨωοτϫʔΫͱͯ͠ఆٛ͢Δ.

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2.3 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ

2.3.1 ਺஋࣮‫݁ݧ‬ՌॳΊʹ, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͰͷ਺஋࣮‫݁ݧ‬ՌͱղੳΛࣔ͢. ॳ‫ײظ‬છऀ਺Λm ʹର͢Δ࠷ऴঢ়ଶͷ NR ͱͦͷ࣌ࠁ tf Λ‫؍‬ଌͨ͠.· ΛΞϯαϯϒϧฏ‫ۉ‬Λද͢‫ه‬߸,σ(A)2 Λ A ͷ෼ࢄ A2 − A 2 Λද͢‫߸ه‬, Σ(A)2 = N σ(A)2 = σ(N A)2 /N ͱ͢Δ.

nR ʹ NNR ͱͯ͠ nR , σ(nR ), Σ(nR ), tf , σ(tf ) Λࢉग़͠, ͦΕͧΕ λ ʹ͍ͭͯදࣔͨ͠.
ਤ 2.3 ͸ k = 3, m = 1 ʹ‫ݻ‬ఆͯ͠ N = 1024, 2048, 4096, 8192 ͱͯ͠ N ͷऩଋͷ༷ࢠΛ‫ͨݟ‬΋ͷͰ͋Δ. nR , σ(nR )2 ͸ N ʹ͍ͭͯऩଋ͍ͯ͠Δ. tf ͸ λ < λc ʹ͓͍ͯ͸ऩଋ͓ͯ͠Γ, λ → ∞ ʹ͓͍ͯ N ʹґଘͨ͠஋ʹऩଋ͍ͯ͘͠Α͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. σ(tf )2 ͸

λc ෇ۙͰൃࢄ͠, ͦͷ‫ޙ‬ऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ਤ 2.4 ͸ N = 8192, m = 1 ʹ‫ݻ‬ఆͯ͠ k = 3, 4, 5 ͱͯ͠ k ͷҧ͍Λ‫݁ͨݟ‬ՌͰ͋Δ. ਤ 2.3 ͷ݁Ռ͔Β λc ≈ 1/(k − 2) ͕ࣔࠦ͞ΕΔ. ·ͨਤ 2.5 ͸ k = 3 ʹ‫ݻ‬ఆͯ͠ m = N/256, N = 1024, 2048, 4096, 8192 ͱ
ͯ͠ N ʹؔ͢ΔऩଋΛ‫݁ͨݟ‬ՌͰ͋Δ. ਤ 2.4 ͷ݁Ռ͔Β Σ(nR )2 ͕ N → ∞ ʹ͓͍ͯΧεϓ‫ʹܕ‬ऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ͜͜Ͱ஫໨͍ͨ͠ͷ͸ m = 1 ͷ৔߹͸ਤ 2.3.1 ʹ
2
ΑΕ͹ (NR− NR 2 )/N 2 ͕ m = N/256 ͷ৔߹͸ਤ 2.4 ʹΑΕ͹ (NR2 − NR 2 )/N͕ N → ∞ ʹ͓͍ͯऩଋ͍ͯ͠Δ͜ͱͰ͋Δ. ඪ४తͳΠδϯά໛‫͍͓ͯʹܕ‬͸ 1 ཻࢠ͋ͨΓͷྔ (͜ͷ৔߹͸༳Β͗) ͕೤ྗֶ‫͍͓ͯʹݶۃ‬ऩଋ͢ΔͨΊ,m = N/256 ͷ৔߹͕౰ͯ͸·Δ. Ͱ͸ m = 1 ͷ৔߹͸Կ͕‫͍ͯͬ͜ى‬ΔͷͩΖ͏͔.§3 ʹ͓͍ͯʮঢ়ଶͷ෼‫ذ‬‫ݱ‬৅ʯͱͯ͠ѻ͏.

2.3.2 ղੳϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑʹ͓͚Δ λc ͱ tf , σ(tf )2 Λཧ࿦తʹղੳͨ͠.
ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷ λc ͷཧ࿦తಋग़
࣍਺ k ͷϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͰॳ‫ײظ‬છऀ਺ m = 1 ͱͨ͠ͱ͖ͷ λc Λཧ࿦తʹ
ಋग़͢Δ. ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑΛπϦʔۙࣅ͢Δ. πϦʔͱ͸֤ϊʔυͷ࣍਺͕ kͰ‫ݻ‬ఆ͞Εͨ, ϧʔϓͷͳ͍ωοτϫʔΫͰ͋Δ. ͜ΕΛϨΪϡϥʔϥϯμϜωοτϫʔΫͷۙࣅͱ͢Δ. ͜ͷϞσϧͰ͸ S-I ϖΞ͕ I-I ϖΞʹͳΔϨʔτΛ λ ͱ͠,I ͕ R ʹͳΔϨʔτΛ 1 ͱ͍ͯ͠Δ. ͋Δ࣌ࠁ t Ͱͷ S,I,R ͦΕͧΕͷঢ়ଶͷϊʔυͷ਺Λ S, I, R ͱ
ද͢.I ∼ O(N ) ͷ࣌ʹ dI/dt ͕ਖ਼Ͱ͋Δ৚͕݅͢ͳΘͪྲྀߦ͕ੜ͡Δ৚݅ͱͯ͠ఆٛ͢
Δ. ͜Ε͸͍ͬͨΜ I ∼ O(N ) ͱͳΔ·Ͱ I ͕૿Ճͨ͠ͱ͖ߋʹ I ͕૿Ճ͢Δ৚݅Ͱ͋Γ, I ∼ O(N ) ͷ҆ఆ৚݅ͱͳ͍ͬͯΔ. Αͬͯ I ∼ O(N ) ͷͱ͖ʹ dI/dt = 0 ͱͳΔ λ13

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

14

ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬

1

0.16

m=1,N=1024
N=2048
N=4096
N=819218

N=1024
N=2048
N=4096
N=81920.14

500

N=1024
N=2048
N=4096
N=8192

16

0.8
0.12

400
350

12
0.1

0.4

2

300

σ(tf)

10

tf

nR

σ(nR)2

0.6

0.08

8
6

0.02

λ

3

4

0

5

0

1

ਤ 2.3

1

0.1
0.08

0.04

0.2

λ

3

4

0

5

1

0

1

2

λ

3

4

14

350

12

300

10

200

6

150

2

λ

3

4

ਤ 2.4

k = 3, 4, 5, N = 8192

40

N=1024
N=2048
N=4096
N=8192

0

5

2

λ

3

4

5

2

λ

3

4

5

N=1024
N=2048
N=4096
N=8192

90

70

2

60

σ(tf)

20

0

1

30

25

<tf>

Σ(nR)2
1

0

80

20

50
40
30

10
20
5

5

0

k=3
k=4
k=5

100

N=1024
N=2048
N=4096
N=8192

35

10

0.1

5

(d) σ(tf )2

15

0.2

4

50

1

15

0.3

3

100

0

25

0.4

λ

250

8

30

0.5

2

450
400

0

5

35

0.6

1

500

k=3
k=4
k=5

(c) tf 

40

0.7

0

(d) σ(tf )216(b) Σ(nR )245

N=1024
N=2048
N=4096
N=8192

0.8

0

5

2

(a) nR 

0.9

4

4

0.02

0.1

λ

3

18

0.06

0.3

2

2

20

k=3
k=4
k=5

<tf>

σ(nR)2

nR

0.4

1

50

1

k = 3, m = 1, N = 1024, 2048, 4096, 8192

0.12

0.5

0

100

0

(c) tf 

0.14

0.6

nR

0

5

0.16

0.7

0

4

0.18

k=3
k=4
k=5

0.8

0

λ

3

(b) σ(nR )2(a) nR 

0.9

2

2

2

2

σ(tf)

1

150

4

0.2

0

250
200

0.06

0.04

0

N=1024
N=2048
N=4096
N=8192

450

14

0

1

2

λ

3

4

5

0

10

0

1

(b) Σ(nR )2(a) nR 

ਤ 2.5

2

λ

3

4

5

0

0

(c) tf 

1

2

λ

3

4

5

(d) σ(tf )2

m = N/256, N = 1024, 2048, 4096, 8192

Λ‫ٻ‬ΊΕ͹Α͍.

dI= [೚ҙͷ S ϊʔυ͕ I ʹͳΔ଎౓] − [೚ҙͷ I ϊʔυ͕ R ʹͳΔ଎౓] (2.1)
dtͰ‫·ٻ‬Δ.ʮ଎౓ʯΛʮϨʔτʯʹಡΈ௚ͯ͠Α͍. ʮ೚ҙͷ S ϊʔυ͕ I ʹͳΔ଎౓ʯʹ͍ͭͯ͸, ͦͷ࣌ࠁͰͷ[S − I ϖΞͷ਺] × λ(2.2)

Ͱ‫·ٻ‬Δ. ʮ೚ҙͷ I ϊʔυ͕ R ʹͳΔ଎౓ʯʹ͍ͭͯ͸, ͦͷ࣌ࠁͰͷ

I

(2.3)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

15

2.3 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ
͕ͦΕʹ͋ͨΔ. Αͬͯ S-I ϖΞͷ਺Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕ඞཁͰ͋Δ. ωοτϫʔΫ্ʹ Rϊʔυ͕ଘࡏ͠ͳ͍ͱߟ͑ΒΕΔ࣌ؒྖҬ t  O(1) ʹ͓͍ͯ, ϊʔυ͸ S ͔ I Ͱ͋Γ, Iϊʔυ͸ m = 1 ͔Β࢝Ί͍ͯΔͷͰ 1 ͭͷΫϥελΛ‫ܗ‬੒͍ͯ͠Δ. ͜ͷΫϥελʹྡ
઀͢Δ S ϊʔυͷ਺Λ‫ٻ‬ΊΔ. I ϊʔυΫϥελͷ૯࣍਺͸ kI Ͱ͋Δ. ͜ͷ͏ͪΫϥελ಺ʹுΒΕ͍ͯΔΤοδͷ਺͸ I − 1 Ͱ͋Γ, Τοδ 1 ͭʹରͯ࣍͠਺͕ 2 ‫ݸ‬ରԠ͢ΔͷͰ, Ϋϥελʹྡ઀͢Δ S ϊʔυͷ਺͸kI − 2(I − 1)ͱͯ͠ಘΒΕΔ. ࣜ (2.2),(2.3) Λࣜ 2.1 ʹ୅ೖ͢Ε͹dI= λ [kI − 2(I − 1)] − I
dtͱͳΔ. Αͬͯ dI/dt = 0 ͱͳΔ৚݅ͱͯ͠

λc [kI − 2(I − 1)] = I
1⇒ λc =
k − 2(1 − 1/I)͕ಘΒΕΔ.N → ∞ ʹ͓͍ͯ 1/I → 0 ͔ͩΒ

λc =

1
k−2

(2.4)

͕ಘΒΕΔ. ࣜ (2.4) ͷ݁Ռ͸ਤ 2.4 ͷ݁ՌʹΑ͘߹͍ͬͯΔ.

λ → ∞ ʹ͓͚Δ tf , σ(tf )2 ͷཧ࿦తಋग़
N ϊʔυ͔ΒͳΔωοτϫʔΫʹ͓͚Δ tf N tf , σ(tf )2N = σ(tf )2 ͷ N ґଘੑΛཧ࿦తʹղੳ͢Δ. ͦΕͧΕ͢΂ͯͷ λ ʹ͓͍ͯධՁ͢Δͷ͸೉͍͠ͷͰ, λ  λc ʹ͓͚Δ tf ΛධՁ͢Δ͜ͱʹ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ॳ‫ײظ‬છऀ਺ m ≥ 1 ʹ͓͍ͯॠ࣌ʹ͢΂ͯͷϊʔυ͕ I ঢ়ଶͱͳΔ. ͜ͷۙࣅͷ΋ͱͰ͸શ࿈݁ωοτϫʔΫͰ͋Ε͹ͭͳ͕ΓʹΑΒͳ͍. Αͬͯ m = N Λॳ‫ظ‬৚݅ͱͯ͠, શһ͕ R ঢ়ଶʹͳΔ·Ͱͷ࣌ؒ tf ͷ෼෍

PN (tf ) Λ‫ٻ‬ΊΔ. 1 ͭͷϊʔυ͕ I ঢ়ଶ͔Β R ʹͳΔ·Ͱͷ࣌ؒ t ͷ෼෍ؔ਺Λ p(t) ͱ͢Δ. ·ͣ͸͜ΕΛ‫ٻ‬ΊΔ. ϙΞιϯաఔͷఆٛΑΓ, Ϩʔτ μ Ͱ‫͜ى‬Δࣄ৅͕࣌ؒ δt ͷؒʹ‫͜ى‬Δ֬཰͸ μδt Ͱ͋Δ. Αͬͯࣄ৅͕࣌ؒ δt ͷؒʹ‫͜ى‬Βͳ͍֬཰͸ 1 − μδt Ͱ
͋Δ. ࣌ؒ t ͷؒʹࣄ৅͕‫͜ى‬Βͳ͍֬཰͸, ࣌ؒ t Λ δt ͷ෯Ͱ۠੾ͬͨ tδt ‫ݸ‬ͷ۠ؒͦΕͧΕͰ‫͜ى‬Βͳ͍֬཰ͷੵͱͯ͠‫ٻ‬ΊΒΕΔ. ଈͪ (1 − μδt)ͷ‫ॳʹޙ‬Ίͯࣄ৅͕‫͜ى‬Δ֬཰ p(t) ͸p(t) = lim (1 − μδt)
δt→0
−μt

= μe

t/δt

tδt

ͱͳΔ. Αͬͯ࣌ؒ t

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

16

ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬Ͱ༩͑ΒΕΔ.
࣍ʹ PN (tf ) Λ‫ٻ‬ΊΔ. ϊʔυ i ͕ R ঢ়ଶʹͳΔ·Ͱʹ͔͔Δ࣌ؒΛ ti ͱஔ͘ͱ,PN (tf )͸PN (tf ) =dt1 dt2 · · · dtN p(t1 )p(t2 ) · · · p(tN )0≤ti ≤tf ,M ax[ti ]=tf
 tN
 tN −1
 t2

= N!
0

dtN −1dtN −2 · · ·00dt1 p(t1 )p(t2 ) · · · p(tN )ͱॻ͖ԼͤΔ.i = j ͷͱ͖ ti = tj ଈͪಉ࣌ʹ R ঢ়ଶʹͳΒͳ͍͜ͱͱ, ͦͷ্Ͱ0 < t1 < t2 < · · · < tN = tfΛԾఆͨ͠ͱ͖ͷ෼෍ؔ਺Λॻ͖Լ͠,PN (tf ) ͸ͦͷ N ! ഒͱͳΔ͜ͱΛར༻ͨ͠.
ࣜ 2.5 Λ‫͢ࢉܭ‬ΔͨΊʹ,pi (t) ΛҎԼͷΑ͏ʹఆٛ͢Δ.

p1 (t) = p(t) tpi (t) =pi−1 (t )p(t )dt0

PN (t) ͸ pi (t) Λ࢖ͬͯPN (t) = N !pN (t)ͱॻ͚Δ. ͦ͜Ͱ pi (t) Λॱʹ‫͢ࢉܭ‬Δ.

p1 (t) = μe−μt
 t
p2 (t) =μe−μt dt μe−μt0= 1 − e−μt
 t
1 − e−μt dt μe−μt
p3 (t) =0

1
2=
1 − e−μt μe−μt
2
..
.
1
N −1
pN (t) =μe−μt
1 − e−μt(N − 1)!
Αͬͯ

PN (t) = N 1 − e−μt͕ಘΒΕΔ.

N −1

μe−μt

(2.5)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

17

2.3 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ
͜ͷ෼෍ؔ਺͔Β tf N , σN (tf )2 Λ‫ٻ‬ΊΔ.

tf N =

 ∞tPN (t)dt

0

 ∞

N
=
μ

0

x 1 − e−x

N −1 −xx 1 − e−x

N −1 −xedx

X = e−x ʹม਺ม‫͢׵‬Δ.
 xN
tf N =
μ

0

 0

N
=
μ

1

(1 − X)

N −1

e

dx

logXdX0
N −1(1 − X)
logXdX ʹ෦෼ੵ෼Λࢪͯ͠‫ࢉܭ‬ΛਐΊΔͱ
1

 0
1

(1 − X)

N −1

logXdX = (1 − X)
−

 0

 0
=
1

1

N −1

(N − 1)(−1) (1 − X)

(N − 1) (1 − X)

= (N − 1) 0
1+(N − 1)⇔N 0
1(1 − X)

N −1

X (logX − 1)

N −2

− (1 − X)

 0
1

1

N −2

X (logX − 1)

X (logX − 1)

N −1

− (1 − X)
N −20logXdX dX

N −2

X + (1 − X)

N −2

logX dX

N −2

logXdX = (N − 1) − (1 − X)
X + (1 − X)
logX dX


 0
1
N −2
(1 − X)
logXdX= (N − 1)+
N (N − 1)
1
 0
1
N −2
(1 − X)
logXdX=+ (N − 1)N11⇔ tf N =+ tf N −1
μN

Αͬͯ

11
tf N =
μ j=1 jN

͕ಘΒΕΔ.

(2.6)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

18

ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬͜ͷ݁Ռ͸ҎԼͷΑ͏ʹߟ͑ͯ΋ଥ౰Ͱ͋Δ. ಠཱࣄ৅ͷϨʔτ͸଍͠ࢉͰ͖Δ. Αͬͯ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ N ‫ݸ‬ଘࡏ͢Δॳ‫ظ‬ঢ়ଶ͔Β 1 ‫ ͕ݸ‬R ঢ়ଶʹͳΓ N − 1 ‫ݸ‬ͷ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ଘࡏ͢Δঢ়ଶʹͳΔ·Ͱʹ͔͔Δ࣌ؒͷฏ‫ۉ‬஋͸ ∞tN μe−N μt dt =

0

1
μN

ͱͯ͠ಘΒΕΔ.I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ N − 1 ‫ݸ‬ͷঢ়ଶ͔Βऴঢ়ଶ·Ͱʹ͔͔Δ࣌ؒΛ tf N −1
ͱஔ͘ͱ, ࣜ 2.6 ͕ಘΒΕΔ.
ಉ༷ʹ t2f N Λ‫ٻ‬ΊΔ.

t

2

 ∞
N = μN 0∞

1 − e−μt

N −1 −μtedtNN −1 −xx2 1 − e−x
e dx
2
μ 0
 1
 ∞
2
N −1
2
−x N −1 −xx 1−ee dx =(logX) (1 − X)
dX
=

0

0

్த X = e−x ʹม਺ม‫ͨ͠׵‬.
22

2(logX) dX = X (logX) − 2logX + 2= −(1 − X) (logX) − 2logX + 2 +2(logX) − 2logX + 2 Λ࢖ͬͯ‫ࢉܭ‬ΛਐΊΔ.
 1
0

2

(logX) (1 − X)

N −1



2

(logX) dX (1 − X)

dX =

 1

N −1

1
0

2

N −2

(logX) dX (1 − X)
+ (N − 1)
dX
0
 1


2
N −1
N −2
dX
(logX) − (1 − X)
+ (1 − X)= (N − 1)
0

 1
+2
0

logX (1 − X)

 1
+2
⇔N

 1
0

0
2

(logX) (1 − X)

N −1

dX = (N − 1)

− (1 − X)

 1
0

N −1

N −1

2

− logX (1 − X)

+ (1 − X)(logX) (1 − X)

N −2

N −2

0





dX

 1
2 (N − 1)
N −1
logX (1 − X)
dX
+
N
N
0
 1
N −2
logX (1 − X)
dX
−2 (N − 1)
2
+
N

N −2

dX


dX

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

19

2.3 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ͔ͩΒ

2 (N − 1)22
t N + t N −1 + 2
μN
μ
μ N
2
= t2 N −1 +
t N
μN
N
21
2
⇔ t N =t i
μ i=1 it2 N = t2 N −1 −2 11= 2
μ i=1 i
k
k=1
⎡⎛
⎤
⎞2
N
N
 1⎥
1 ⎢  1⎠+= 2 ⎣⎝
2⎦
μ
j
j
j=1
j=1
i

N

͕ಘΒΕΔ. Αͬͯ෼ࢄ σN (tf )2 ͸σN (tf )2 = t2 N − t 2N
⎡
⎤ 
2
2
N
N
N


1
1⎦
1 ⎣
11
= 2
+
−
μ
k
k2
μ i=1 i
k=1

k=1

͔ͩΒ

1  1
σN (tf ) = 2
μ j=1 j 2
2

N

(2.7)

ͱͳΔ.
ࣜ (2.6),(2.7) ͷ݁ՌΛ࣮‫ͱݧ‬ൺֱ͢Δ. μ = 1, N = 1024, 2048, 4096, 8192 ͷͱ͖ͷࣜ(2.6),(2.7) ʹ͓͚Δ tf N , σN (tf )2 Λ‫ٻ‬ΊΔ. HN,n =N

k=1 1/knΛʮௐ࿨਺ (harmonic

number)ʯͱ͍͏Β͍͠. MathWorld[12] ʹΑΔͱ n = 1 ͷͱ͖͸
HN,1 ∼ lnN + γ(2.8)ͱۙࣅͰ͖ΔΒ͍͠. ͨͩ͠ γ  0.577 ͸ΦΠϥʔఆ਺. ࣜ (2.8) Λ࢖͏ͱ

H1024,1  7.51, H2048,1  8.20, H4096,1  8.90, H8192,1  9.59
H1024,2  1.64, H2048,2  1.64, H4096,2  1.64, H8192,2  1.64

͕ಘΒΕ, ਤ 2.3,2.4,2.5 ͦΕͧΕͷ (c),(b) ݁Ռͱໃ६͠ͳ͍. ॻྨ্ͷࢦಋ‫ڭ‬һͰ͋Δ෱ౡઌੜ͔Βʮࣜ (2.6),(2.7) ͷಋग़‫ࢉܭ‬͸ͪΐͬͱ͍͍Ճ‫͔ݮ‬΋ʯͱίϝϯτΛ௖͍ͨ.
‫݁ࢉܭ‬Ռࣗମ͸ mathematica ͷ݁ՌͱҰக͍ͯ͠Δ͕, ฼ؔ਺a ͷඍ෼‫ ͭ׌‬a = 0 Ͱࢉग़͢Δํ๏΋͋ΔΑ͏ͩ.

∞dteat PN (t) Λ‫ٻ‬Ίͯ
0

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

20

ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬

2.4 m=1 ͷ৔߹ͷ, ༷ʑͳωοτϫʔΫͰͷ࣮‫݁ݧ‬Ռॳ‫ײظ‬છऀ਺ m = 1 ͱ༷ͯ͠ʑͳωοτϫʔΫͰ࣮‫݁ͨ͠ݧ‬ՌΛࣔ͢. ਤ 2.6, ਤ 2.7,
ਤ 2.9 ͸ͦΕͧΕϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ, ϥϯμϜάϥϑ,HY ωοτͰͷ݁ՌͰ͋Δ.
ϥϯμϜάϥϑͱ͸, ฏ‫ ਺࣍ۉ‬k Λ‫ݻ‬ఆ্ͨ͠ͰΤοδΛϥϯμϜʹுͬͨωοτϫʔΫͰ͋Δ. ΤϧσγϡϨχʔάϥϑͱ΋‫*͏ݴ‬1 .
˙nR ʹ͍ͭͯ ਤ 2.4,2.6,2.7,2.8 Λ‫ݟ‬Δͱ, nR ͸͋Δᮢ஋ λc Λ‫ ʹڥ‬0 ͔Β্ཱ͕ͪΓ༗‫ݶ‬ͷ஋ʹͳΓ, ୯ௐ૿Ճ͠ͳ͕ΒͳͩΒ͔ʹ nR = 1 ʹऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ.

λc ͷ஋͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͱϥϯμϜάϥϑʹ͓͍ͯ΄΅౳͘͠ λc  0.25,HYωοτʹ͓͍ͯ λc  0.35 ఔ౓Ͱ͋Γ, ωοτϫʔΫτϙϩδʔ (‫͕ܨ‬Γํ) ʹର͢Δґଘੑ͕‫ݟ‬ΒΕΔ.
˙σ(nR )2 ʹ͍ͭͯਤ 2.4,2.6,2.7,2.8 Λ‫ݟ‬Δͱ, σ(nR )2 ͸ λc Λ‫ ʹڥ‬0 ͔Β্ཱ͕ͪΓωοτϫʔΫτϙϩδʔʹΑΒͣ λ  0.6 ͋ͨΓͰϐʔΫΛ࣋ͪ, ͦΕҎ߱͸ͳͩΒ͔ʹ‫ݮ‬গ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ.
˙tf ʹ͍ͭͯਤ 2.4,2.6,2.7,2.8 Λ‫ݟ‬Δͱ, tf ͸ λc ෇ۙͰ‫૿ʹܹٸ‬Ճͯ͠ϐʔΫΛ΋ͪ, ͦͷ‫ͩͳޙ‬Β͔ʹ‫ݮ‬গ͠ͳ͕Β N ʹґଘͨ͠஋ʹऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ.
˙σ(tf )2 ʹ͍ͭͯ ਤ 2.4,2.6,2.7,2.8 Λ‫ݟ‬Δͱ, λ < λc ʹ͓͍ͯ 0 Ͱ͋Γ,λc ʹ͓͍ͯӶ͍ϐʔΫΛ࣋ͬͨ‫ݮʹܹٸʹޙ‬গͯ͠ 0 ʹऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ϐʔΫͷ஋͸ Nʹґଘͯ͠େ͖͘ͳ͓ͬͯΓ, ൃࢄ܏޲ʹ͋ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ.

2.5 m ∝ N ͷ৔߹ͷ, ༷ʑͳωοτϫʔΫͰͷ࣮‫݁ݧ‬Ռॳ‫ײظ‬છऀ਺ m = N ͱ༷ͯ͠ʑͳωοτϫʔΫͰ࣮‫݁ͨ͠ݧ‬ՌΛࣔ͢. ਤ 2.10, ਤ

2.11, ਤ 2.12, ਤ 2.13 ͸ͦΕͧΕϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ, ϥϯμϜάϥϑ,HY ωοτͰͷ݁ՌͰ͋Δ. ͨͩ͠  = N/128 ͱͨ͠.
˙nR ʹ͍ͭͯਤ 2.5,2.10,2.11,2.12 Λ‫ݟ‬Δͱ, nR ͸͋Δᮢ஋ λc Λ‫ ʹڥ‬0 ͔Β্ཱ͕ͪΓ༗‫ݶ‬ͷ஋ʹͳΓ, ୯ௐ૿Ճ͠ͳ͕ΒͳͩΒ͔ʹ nR = 1 ʹऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. λc ͷ஋͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͱϥϯμϜάϥϑʹ͓͍ͯ΄΅౳͘͠λc  0.25,HY ωοτʹ͓͍ͯ λc  0.35 ఔ౓Ͱ͋Γ, ωοτϫʔΫτϙϩδʔʹର͢Δ*1 ҰൠతͳΤϧσγϡϨχʔάϥϑ͸, ֤ϊʔυϖΞ͝ͱʹ֬཰ p ͰΤοδΛுΔϞσϧͰ͋Δ͕,N → ∞ʹ͓͍ͯ kN/2 = N C2 p ͕੒ཱ͢Ε͹ੜ੒͞ΕΔωοτϫʔΫ͸‫ʹີݫ‬Ұக͢ΔΒ͍͠ [13].

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

2.5 m ∝ N ͷ৔߹ͷ, ༷ʑͳωοτϫʔΫͰͷ࣮‫݁ݧ‬Ռ

20

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0.18

0.7

0.14

14

0.6

0.12

12

0.5
0.4

tf

16

0.1
0.08

8

0.06

6

0.2

0.04

4

0.1

0.02

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

ਤ 2.6

1.6

1.8

0

2

400

200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.14

0.6

0.12

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(d) σ(tf )2(c) tf 

16

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0.16

0.7

600

ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͰͷ݁Ռ

0.18

m=1,N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0.8

1.4

800

(b) σ(nR )2(a) nR 

0.9

1.2

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

1000

10

0.3

0

1200

N=8192
N=16384
N=32768
N=6553618

0.16

σ(nR)2nR

0.2

m=1,N=8192
N=16384
N=32768
N=655360.8

σ(tf)2

1
0.9

21

700

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

14

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

600

12
500

σ(tf)2

0.4

0.1

tf

σ(nR)2

nR

10
0.5

8

0.08

400

300

6
0.3

0.06

0.2

0.04

0.1

0.02

200

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

(b) σ(nR )2(a) nR 

ਤ 2.7

1

100

2

0.25

m=1,N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0.8

0.2

0.6

0.15

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(d) σ(tf )2(c) tf ϥϯμϜάϥϑͰͷ݁Ռ

16

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

1000

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

14

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

900
800

12

0.4

0.1

600

σ(tf)2tfnR

σ(nR)2

700
10

8

500
400

6

300
4
0.2

0.05

200
2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

ਤ 2.8

1

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(d) σ(tf )2(c) tf 

25

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0.16

1600

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

1400

20

0.14

0.7

1200

0.12

0.5
0.4

1000

15
0.1

tf

σ(nR)2

0.6

nR

0

2

ฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫͰͷ݁Ռ

0.18

m=1,N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0.8

0.08
10

800

600

0.06

0.3

400

0.04

0.2

5
200

0.02

0.1
0

1.8

(b) σ(nR )2(a) nR 

0.9

1.6

σ(tf)2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

(a) nR 

1.8

2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

(b) σ(nR )2(c) tf ਤ 2.9

HY ωοτͰͷ݁Ռ

1.8

2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

(d) σ(tf )2

1.8

2

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

22

ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ґଘੑ͕‫ݟ‬ΒΕΔ.
˙Σ(nR )2 ʹ͍ͭͯਤ 2.5,2.10,2.11,2.12 Λ‫ݟ‬Δͱ, Σ(nR )2 ͸ λc Λ‫ ʹڥ‬0 ͔Β্ཱ͕ͪΓωοτϫʔΫτϙϩδʔʹԠͨ͡Ӷ͍ϐʔΫΛ࣋ͪ, ͦΕҎ߱͸ͳͩΒ͔ʹ‫ݮ‬গͯ͠0 ʹऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ϐʔΫͷ஋͸ N ʹґଘ͍ͯ͠ͳ͍Α͏ʹ‫͑ݟ‬Δ.
˙tf ʹ͍ͭͯਤ 2.5,2.10,2.11,2.12 Λ‫ݟ‬Δͱ, tf ͸ λ < λc ʹ͓͍ͯ N ʹґଘ͠ͳ͕Β૿Ճͯ͠ λc ෇ۙͰ‫૿ʹܹٸ‬Ճͯ͠ϐʔΫΛ΋ͪ, ͦͷ‫ͩͳޙ‬Β͔ʹ‫ݮ‬গ͠ͳ͕Β Nʹґଘͨ͠஋ʹऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ͜ͷϐʔΫͷ஋͸ N ʹ͍ͭͯൃࢄ܏޲͕͋
ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ.
˙σ(tf )2 ʹ͍ͭͯਤ 2.5,2.10,2.11,2.12 Λ‫ݟ‬Δͱ, λ < λc ʹ͓͍ͯ 0 ͔Β૿Ճ͓ͯ͠

Γ,λc ʹ͓͍ͯӶ͍ϐʔΫΛ࣋ͬͨ‫ݮʹܹٸʹޙ‬গͯ͠Ұఆ஋ʹऩଋ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬
Δ. ϐʔΫͷ஋͸ N ʹґଘ͍ͯ͠ͳ͍Α͏ʹ‫͑ݟ‬Δ.

2.6 ͜͜·Ͱͷߟ࡯˙సҠ఺ λc

࣍਺ k ͷϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͱϥϯμϜάϥϑͷసҠ఺ λc ͸

λc = 1/(k − 2) ͱͯ͠ಘΒΕΔ. ͜Ε͸ਤ 2.6,2.10 ͷ݁Ռͱ֓ͶҰக͍ͯ͠Δ. HY ωοτͷ৔߹,k¯2 , k̄ ͷ஋͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͱ౳͍͕͠, సҠ఺͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑΑΓ΋େ͖͍. ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷసҠ఺Λཧ࿦తʹಋ͘ࡍ, ʮϧʔϓͷͳ͍ωοτϫʔΫʯΛԾఆͨ͠. ͜Ε͸ωοτϫʔΫ͕ϕʔς֨ࢠͷͱ͖ʹ‫ʹີݫ‬੒ཱ
͢Δ.HY ωοτ͸άϧʔϓ಺͸‫׬‬શάϥϑͰ͋Δ͔Β͜ͷԾఆ͕੒Γཱͨͳ͍ͨΊ, సҠ఺͕ͣΕΔͱߟ͑ΒΕΔ. ϥϯμϜάϥϑ͸సҠ఺ۙ๣Ͱ͸ʮϧʔϓͷͳ͍ωοτϫʔΫʯͱߟ͑ͯ΋Α͍ۙࣅʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ΋෼͔Δ.
˙m = 1 ʹ͓͚Δ σ(NR )2 ͷҟৗੑΣ(nR )2 ͱ σ(nR )2 ͷҧ͍ʹ஫ҙͯ͠, ਤ 2.4,2.6,2.8

ͷ݁Ռ͸, m = 1 ͷͱ͖ʹ σ(NR )2 ≈ N 2 Ͱ͋Δ͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δ.

ҰํͰਤ

2

2.5,2.10,2.12 ͷ݁Ռ͸, m = N ͷͱ͖ʹ σ(NR ) ≈ N Λҙຯ͍ͯ͠Δ. NR ͕Ұൠతͳ෼෍, ྫ͑͹Ψ΢ε෼෍ʹै͏৔߹,σ(NR )2 ≈ N ͱͳΔ͸͔ͣͩΒ,m = 1 ͷ৔߹ NR ͸ಛҟͳ෼෍Λ͍ͯ͠Δࣄ͕ࣔࠦ͞ΕΔ. ͜ͷ໰୊ʹ͍ͭͯ͸ §3 ʹͯৄ͘͠औΓѻ͏.
˙λ → ∞ ʹ͓͚Δ tf ͷऩଋ஋ਤ 2.4,2.6,2.8, 2.5,2.10,2.12 ͷ݁Ռ͸, λ → ∞ ʹ͓͍ͯ tf ͷ N ʹґଘ͢Δऩଋ஋͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠Δ. ͜Ε͸ 2.3.2 ʹ͓͍ͯཧ࿦తʹ‫ٻ‬Ίͨ.
˙m = N ʹ͓͚Δ Σ(nR )2 , σ(tf )2 ͷಛҟੑ ਤ 2.5,2.10,2.12 ͷ݁Ռ͸, Σ(nR )2 ͷϐʔΫҐஔ΍ϐʔΫ஋͕ N ʹ͍ͭͯऩଋ͍ͯ͠Δ༷ࢠ͔ΒΧεϓγϯΪϡϥϦςΟΛ࣋ͭ͜

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

23

2.6 ͜͜·Ͱͷߟ࡯1

18m=1,N=8192
N=32768
N=65536

0.9

0.7

12

35

10

30

0.4

8

25

6

20

4

15

2

10

40

30

0.3
0.2
0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

ਤ 2.10

1

1.6

1.8

5

2

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(d) σ(tf )2(c) tf ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͰͷ݁Ռ

12

m=1,N=8192
N=32768
N=65536

0.9

1.4

20

(b) Σ(nR )2(a) nR 

45

N=8192
N=32768
N=6553680

N=8192
N=32768
N=65536

40

N=8192
N=32768
N=65536

70

10

0.8
0.7

35

60

30

50

0.4

6

σ(tf)2

Σ(nR)2

0.5

tf

8

0.6

25

40

20

30

15

20

4

0.3
0.2

2
10

0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

(b) Σ(nR )2(a) nR ਤ 2.1115

20m=1,N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

60

14

10

1.8

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(d) σ(tf )2120

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

50

100

40

80

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

30

60

8
20

6
0.2

1.6

12

tf

Σ(nR)2

nR
0.4

1.4

ϥϯμϜάϥϑͰͷ݁Ռ

16

0.6

λ

1.2

(c) tf 

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

18

0.8

1

σ(tf)2nR

60

σ(tf)20.5

0N=8192
N=32768
N=6553670tf

Σ(nR)2nR

40

80N=8192
N=32768
N=65536

45

14

50

0.6

0

50

N=8192
N=32768
N=65536

16

0.8

4

40

10

20

2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

λ

0.3

0.35

0.4

0.45

0

0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

λ

0.3

0.35

ਤ 2.121

20m=1,N=8192
N=32768
N=65536

0.7

14

0.6

12

0.4

0.1

2

1

λ

1.2

1.4

1.6

(a) nR 

1.8

2

0.25

λ

0.3

0.35

0.4

0.45

0

0

0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

λ

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

(d) σ(tf )250

80

N=8192
N=32768
N=6553645

N=8192
N=32768
N=65536

70

40

60

35
50

8

4

0.8

0.2

25

0.2

0.6

0.15

30

6

0.4

0.1

ฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫͰͷ݁Ռ

10

0.3

0.2

0.05

tf

0.5

0

0

(c) tf 

16

Σ(nR)2nR

00.5

N=8192
N=32768
N=65536

18

0.8

0

0.45

(b) Σ(nR )2(a) nR 

0.9

0.4

σ(tf)2

0

40

30
20
20

15

10

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

(b) Σ(nR )2(c) tf ਤ 2.13

HY ωοτͰͷ݁Ռ

1.8

2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

(d) σ(tf )22

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ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ͱ͕ࣔࠦ͞ΕΔ. ·ͨ, ਤ 2.5,2.10,2.12 ͷ݁Ռ͔Β΋ಉ༷ʹ σ(tf )2 ͕ΧεϓγϯΪϡϥ
ϦςΟΛ࣋ͭ͜ͱ͕ࣔࠦ͞ΕΔ. ͜ͷಛҟੑͷࢦ਺ʹωοτϫʔΫͷͭͳ͕Γͷҧ͍͕‫ݱ‬
ΕΔ͔. §2.7 Ͱௐ΂ͨ.

2.7 ΧεϓΤΫεϙʔωϯτͷධՁʹ޲͚ͯϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ, ϥϯμϜάϥϑ, ฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫ,HY ωοτΛΧεϓ
ΤΫεϙʔωϯτͰ۠ผͰ͖Δ͔. ΑΓৄࡉͳ਺஋࣮‫ݧ‬Λߦͬͨ.

2.7.1 ਺஋࣮‫݁ݧ‬Ռ
ਤ 2.142.15 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ, ϥϯμϜάϥϑ, ฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫ,HY ωοτͦΕͧΕʹ͓͍ͯ,m = N ͱͨ͠ͱ͖ͷ Σ(nR )2 , σ(tf )2 ͷ λ ґଘੑΛ λc ۙ๣Ͱϓϩοτͨ͠.k = 6, N = 16384, 32768, 65536. ‫ػࢉܭ‬ͷεϖοΫͷ໰୊Ͱ N < 70000
ͷൣғͰ͔͠਺஋࣮‫ݧ‬ग़དྷͳ͍. ͜ͷൣғͰ͸ N ʹ͍ͭͯऩଋ͓ͯ͠Βͣ,λ ≈ λc Ͱͷࢦ਺Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͸ग़དྷͳ͔ͬͨ*2 .

2.8 ݁࿦ຊষͰ͸, ‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβͷྲྀߦΛ೦಄ʹஔ͍ͨ SIR ໛‫ܕ‬ͷ਺஋࣮‫ʹݧ‬Αͬͯ‫ͨ͠ূݕ‬. ॳ‫ײظ‬છऀ਺ m ͕ m = 1 ͷ৔߹ͱ m = N ͷ৔߹Ͱ͸ nR , tf ͷ༳Β͕͗ҟͳΔৼΔ෣͍Λࣔ͢͜ͱΛࣔͨ͠. ·ͨ, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ, ϥϯμϜάϥϑ,ฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫ,HY ωοτͷ 4 छྨͷωοτϫʔΫͰͷৼΔ෣͍ͷҧ͍ʹ͍ͭͯ͸,ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ, ϥϯμϜάϥϑ, ฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫͷҧ͍͸໌ࣔతʹ͸ࣔ͢͜ͱ͕ग़དྷͳ͔ͬͨ. HY ωοτ͸ଞͷ 3 ͭͷωοτϫʔΫʹൺ΂, సҠ఺ λc ͕େ͖ͳ஋Λ࣋ͭ͜ͱ͕Θ͔ͬͨ. ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑʹؔͯ͠͸ λc ,λ → ∞ ʹ͓͚Δ

tf , σ(tf )2 Λཧ࿦తʹಋग़ͨ͠. m = N ͷͱ͖,σ(nR )2 , σ(tf )2 ͸సҠ఺ۙ๣ͰΧεϓͷΑ͏ͳৼΔ෣͍Λ͕ࣔͨ͠, ͦͷࢦ਺Λ਺஋తɾཧ࿦తʹ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͸ग़དྷͳ͔ͬͨ.
਺஋࣮‫ʹݧ‬ΑͬͯసҠ఺ۙ๣ͷৼΔ෣͍Λ‫ݟ‬ΔͨΊʹ͸, ΑΓେ͖ͳ N Ͱ‫ࢉܭ‬ग़དྷΔΑ
͏ͳΞϧΰϦζϜͷ޻෉ͳͲ͕ඞཁʹͳΔ. ·ͨ, ෺ཧྔͷ༳Β͗ʹؔ͢Δཧ࿦తߟ࡯͸ख෇͔ͣͰ͋Γ, ͜ΕΒ͸ࠓ‫ޙ‬ͷ՝୊Ͱ͋Δ.

*2 ʮ༗‫ݶ‬αΠζεέʔϦϯά͸΍ͬͯΈ·͔ͨ͠ʯͱ͍͏ࢸ‫ۃ‬ਅͬ౰ͳ͝ࢦఠΛ͍͕ͨͩ͘, ࠓͷࢲͷϓϩάϥϛϯάೳྗͰ͸, Χεϓಛҟੑͷ༗‫ݶ‬αΠζεέʔϦϯάΛ͢Δ͜ͱ΋··ͳΒͳ͔ͬͨ݁ՌͰ͋Δ.

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ࢀߟจ‫ݙ‬

20

16

N=8192
N=16384
N=32768
N=6553618

20

N=8192
N=16384
N=32768
N=6553614

25

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

18

16

16

N=8192
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N=32768
N=65536

20

12
14

8

8

2

12

Σ(nR)

10

Σ(nR)21012

Σ(nR)2

Σ(nR)2

14

10
8

6

6

15

10

6
4

4

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2

2
0

0

0.1

0.2

0.3

λ

0.4

0.5

0.6

0

0.7

5

2

0

0.1

(a) ϨΪϡϥʔϥϯ

0.2

0.3

λ

0.4

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0
0.12

0.7

0.14

80

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0.22

λ

0.24

0.26

0.28

120

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

70

0.2

0.3

0.32

0

0.34

0

0.1

0.2

0.3

0.4

λ

0.5

0.6

0.7

0.8

(d) HY ωοτΣ(nR )2

ਤ 2.14800.18(c) ฏ ‫ ۉ‬৔ ω ο τϫʔΫ(b) ϥϯμϜάϥϑ

μϜάϥϑ

90

0.16

80

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

70

100
70

60

60

60

80
50

40

σ(tf)240

σ(tf)2σ(tf)2

σ(tf)

2

50
50

60

30

40

30

30

40
20

20

20
20

10

10

0

0

0

0.1

0.2

0.3

λ

0.4

0.5

0.6

0.7

(a) ϨΪϡϥʔϥϯ
μϜάϥϑ

10

0

0.1

0.2

0.3

λ

0.4

0.5

0.6

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0
0.12

0.14

(b) ϥϯμϜάϥϑ

ਤ 2.15

0.16

0.18

0.2

0.22

λ

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

(c) ฏ ‫ ۉ‬৔ ω ο τ
ϫʔΫ

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

λ

0.5

0.6

0.7

0.8

(d) HY ωοτσ(tf )2ࢀߟจ‫ݙ‬[1] S.N. Dorogovtsev, A.V. Goltsev, and J.F.F. Mendes. Critical phenomena incomplex networks. Reviews of Modern Physics, Vol. 80, No. 4, p. 1275, 2008.
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[7] ੢ඌ࣏, ळࢁඒึ, Ѫ໦ஐ߳ࢠ, ਿࢬਖ਼໌, ෱ా৳࣏, ੢ా஌ࢠ, ২໦༸, ೖ୩ల߂, ࣰ‫ݪ‬ඒઍ୅, ໦ଜതҰ. ϊϩ΢ΠϧεʹΑΔ৯தಟʹ͍ͭͯ. ৯඼Ӵੜֶࡶࢽ, Vol. 46,

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ୈ 2 ষ ࣮ࡍͷ఻છੑ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬

No. 6, pp. 235–245, 2005.
[8] ࢁ୩ກ༤. ‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβ (ಛू࠷ۙͷ‫ײ‬છ঱ʹͲ͏௅Ή͔)–(࠷ۙ஫໨͞Εͯ
͍Δ‫ײ‬છ঱΁ͷରԠ). ਍அͱ࣏ྍ, Vol. 98, No. 8, pp. 1287–1291, 2010.

[9] ࠃཱ‫ײ‬છ঱‫ײ ॴڀݚ‬છ঱৘ใηϯλʔ୩‫ࣨޱ‬௕ (2012 ೥‫ )ࡏݱ‬ΑΓ, ϝʔϧʹͯ‫͑ڭ‬͍͍ͯͨͩͨɽ

[10] Y. Chen, G. Paul, S. Havlin, F. Liljeros, and H.E. Stanley. Finding a better
immunization strategy. Physical Review Letters, Vol. 101, No. 5, p. 58701, 2008.
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ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ͜ͷষ͸ࣄ্࣮ͷࢦಋ‫ڭ‬һͰ͋ΔࠤʑਅҰ‫ڭ‬तͱͷ‫ڞ‬ஶ࿦จ [1] ͷ೔ຊ‫ʹߘ૲ޠ‬આ໌ΛՃචͨ͠΋ͷͰ͋Δ. ਺ߦͰ௥ՃͰ͖Δ΋ͷ͸ຊจதʹ, આ໌͕௕͘ͳΓͦ͏ͳ΋ͷ͸࠷ऴষ §3.5 ʹ‫ͨ͠ه‬. ·ͨ, म࢜࿦จఏग़‫ʹޙ‬จ‫ࡧݕݙ‬Λͨ݁͠Ռ, ֬཰աఔͷ‫ڀݚ‬෼໺ʹ
͓͍ͯ 1950ʙ70 ೥୅ʹ͔͚ͯ੝Μʹ‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯͨ͜ͱ͕Θ͔ͬͨ. ৄ͘͠͸‫ڞ‬ஶ࿦จͰઆ໌͢Δ͕, ؔ࿈ੑ͕‫ڀݚ͍ڧ‬Λ·ͱΊͨϨϏϡʔ͸͜Εͩ [2].

3.1 ΠϯτϩμΫγϣϯ
‫ײ‬છ঱ͷྲྀߦ͕ੜ͡Δલʹ૝ఆ͞ΕΔ‫ײ‬છऀ਺Λ‫ੵݟ‬Δ͜ͱ͸, ͦͷରࡦΛߟ͑Δ্Ͱ
ॏཁͰ͋Δ. ͔͠͠, ࣮ࡍͷࣾձʹ͓͍ͯ͸ਓͱਓͱͷ༷ʑͳλΠϓ͕઀৮͕͋ΔͷͰ, ‫ײ‬છ͕޿͕͍ͬͯ͘ਖ਼֬ͳ਺ཧϞσϧΛఏҊ͢Δ͜ͱ͸؆୯Ͱ͸ͳ͍. ͦΕͰ͸, ‫ײ‬છͷ޿͕ΓํΛ୯७ͳϞσϧͰ‫ه‬ड़ͨ͠ͱ͖ʹ͸, ‫ײ‬છ঱͕ྲྀߦ͢Δ͔Ͳ͏͔ʹ͍ܾͭͯఆతͳ
༧‫ݴ‬Λ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔͩΖ͏͔. ͦͷ৔߹Ͱ΋, ྫ͑͹,1 ਓͷ‫ײ‬છऀ͔Βελʔτͨ͠৔߹, ‫ײ‬છ཰͕ߴͯ͘΋, ͦͷਓ͕ͨ·ͨ·୭ʹ΋‫ײ‬છͤ͞Δ͜ͱͳ࣏͘༊͢Ε͹, ӡྑ͘ྲྀߦ͕‫͜ى‬Βͳ͍͜ͱ΋͋ΓಘΔ. ͭ·Γ, ॳ‫ظ‬ͷ‫ײ‬છͷ޿͕Γํ͕े෼͕࣌ؒ‫ޙͨͬܦ‬ͷঢ়ଶʹେ͖ͳӨ‫ڹ‬Λ༩͑ಘΔ.
΋ͬͱ΋୯७ͳ‫ײ‬છ঱఻ൖͷϞσϧͱͯ͠ϙΞιϯաఔ SIR ϞσϧΛߟ͑Δ. ਓͱਓͷ઀৮ΛωοτϫʔΫʹΑͬͯද‫͠ݱ‬,SIR ϞσϧͷύϥϝʔλͰ͋Δ‫ײ‬છϨʔτ λʢ୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓͷ‫ײ‬છ֬཰ʣ͕‫ۉ‬Ұͩͱ͢Δ. ͜ͷϞσϧ͸, ۙ೥Ͱ͸, ༷ʑͳωοτϫʔΫͰ‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔ [3]. ྫ͑͹, ༷ʑͳωοτϫʔΫʹ͓͍ͯ‫͜ى‬Δීวతͳ‫ݱ‬৅ͱͯ͠ ,λ ͕͖͍͠஋ λc Λ௒͑Δͱ‫ײ‬છ঱͕ϚΫϩʹ޿͕Γྲྀߦ͕ൃੜ͢Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ.
ͭ·Γ, ྲྀߦͷൃੜ͕૬సҠ‫ݱ‬৅ͱͯ͠‫ه‬ड़͞ΕΔͷͰ͋Δ. ͜ͷ‫ݱ‬৅͸౷‫ֶྗܭ‬ͷ໰୊

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ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

ͱͯ͠‫͞ڀݚ‬Ε, ฏ‫ۉ‬৔ཧ࿦ [4, 5], ࣍਺෼෍ͷ฼ؔ਺Λ࢖ͬͨཧ࿦ [6, 7] ʹΑͬͯղੳ͞Ε͍ͯΔ.

SIR ໛‫ܕ‬ͷ૬సҠ‫ݱ‬৅͸, ྫ͑͹, ύʔίϨʔγϣϯͷ૬సҠͱ͸ҟͳ༷ͬͨ૬Λ΋ͬ
͍ͯΔ.SIR ໛‫ܕ‬Λ૬సҠ‫ݱ‬৅ͱͯ͠Έͨͱ͖ͷடংม਺͸࠷ऴ‫ײ‬છऀ਺ີ౓ nR Ͱ͋Γ,ඇྲྀߦൃੜ૬ʢλ > λc ʣͰ͸ 0 ͷ஋ΛͱΓ,λ = λc ʹ͓͍ͯθϩ͔Β࿈ଓతʹ͕ͨͪ͋Δ. ͜Ε͸ύʔίϨʔγϣϯͱಉ͡Ͱ͋Δ͕, ύʔίϨʔγϣϯʹ͓͍ͯ͸, ೤ྗֶ‫ʹݶۃ‬͓͍ͯ֬཰ 1 Ͱடংม਺͕֬ఆͨ͠஋Λ΋ͭ. ͦΕʹରͯ͠, SIR ໛‫Ͱܕ‬͸೤ྗֶ‫ʹݶۃ‬͓͍ͯ࠷ऴ‫ײ‬છऀ਺ີ౓͕Ұҙʹఆ·Βͳ͍ͷͰ͋Δ. ࣮ࡍ, ωοτϫʔΫ্ͷ཭ࢄ࣌ؒ

SIR ໛‫͍͓ͯʹܕ‬͸, ྲྀߦ૬ʹ͓͍ͯடংม਺͕ 0 ͱ༗‫ݶ‬஋ʹ෼‫͢ذ‬Δ‫ݱ‬৅͕ੜ͡Δ͜ͱ
͕ใࠂ͞Ε [8], ࠷ऴ‫ײ‬છऀͷ෼෍͕ཧ࿦తʹߟ࡯͞Ε͍ͯΔ [9]. ·ͨ,SIR ໛‫ܕ‬Ҏ֎ͷ‫ײ‬છ঱໛‫͍͓ͯʹܕ‬΋ಉ༷ͷ‫ݱ‬৅͕֬ೝ͞Ε͍ͯΔ [10, 11]. டংม਺ͷ෼‫ذ‬͸,Ising ໛‫ܕ‬ͷ௿Թ૬ͰΈΒΕΔΑ͏ʹ, ରশੑͷഁΕΛ൐͏ͱ͖͸ࣗ໌ʹཧղͰ͖Δ. ͔͠͠, ͜ͷ໰୊͸ରশੑͷഁΕͱͯ͠ཧղ͞ΕΔ΋ͷͰ͸ͳ͍ͩΖ͏͠, ඇྲྀߦ૬Ͱͷ஋Ͱ͋Δ̌ͱ༗‫ݶ‬஋ͷ෼‫ذ‬ͷྫ͸ඪ४తͰͳ͍. ͭ·Γ, ͜ͷ෼‫ʹ͖ͱͨͬ͜ى͕ذ‬͸, ೤ྗֶ‫͚͓ʹݶۃ‬Δ‫ײ‬છऀີ౓ͷ஋Λʮ0 Ͱ΋ 1 Ͱ΋ͳ͍༗‫ݶ‬ͷ஋ʯͷ֬཰Ͱ͔ܾ͠ఆͰ͖ͳ͘ͳΔ. ͜Ε͸, ͍Θ͹,ʮωοτϫʔΫ্ͷ‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑʯͱ΋͍͏΂͖‫ݱ‬৅Ͱ͋Δ. ͨͩ͠, ͜ͷΑ͏ͳ৔߹Ͱ΋, ྲྀߦ૬ʹ͓͍ͯ‫ײ‬છऀີ౓ͷ஋͕ 0 ΛͱΔ֬཰Λߟ͑Δ͜ͱ͸ՄೳͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͍ͨ͠.
ຊ࿦จͰ͸,SIR ໛‫ܕ‬ͷ૬సҠ‫ݱ‬৅ʹ͓͍ͯ, டংม਺ͷ෼‫͜ى͕ذ‬Δ໌᏷ͳඳ૾Λ༩͑
͍ͨ. ·ͣ, ΋ͬͱ΋؆୯ͳωοτϫʔΫͷͻͱͭͰ͋ΔͰ͋ΔϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥ
ϑΛߟ͑Δ. ͦͷ্Ͱఆٛ͞ΕΔϙΞιϯաఔ SIR ໛‫ʹܕ‬ରͯ͠, ྲྀߦ૬ʹ͓͍ͯ͜ͷ෼‫͜ى͕ذ‬Δ͜ͱΛ਺஋తʹ֬ೝ͢Δ. ࣍ʹ, ໛‫ܕ‬Λฏ‫ۉ‬৔ۙࣅʹΑͬͯ‫ײ‬છͷͻΖ͕ΓͷμΠφϛΫεΛ̎ม਺ͷϚελʔํఔࣜͰॻ͘. ‫ܥ‬ͷαΠζ͕े෼େ͖͍৚݅ԼͰ, ͦͷৼΔ෣͍Λ͞Βʹ Langevin ํఔࣜͰ‫ه‬ड़͢Δ. ͜ͷ Langevin ํఔࣜΛղੳ͢Δ͜ͱͰ෼‫͕ذ‬ੜ͡Δ‫ߏػ‬Λཧղ͠, సҠ఺ۙ๣Ͱ‫ײ‬છऀ਺ີ౓ͷ஋͕ 0 ΛͱΔ֬཰Λ‫͢ࢉܭ‬Δ.

3.2 Ϟσϧ
ɹɹɹɹɹɹɹɹɹ

N ϊʔυ͔ΒͳΔ࣍਺ k ͷϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ G Λߟ͑Δ. ֤ϊʔυ x ∈ ̜ʹରͯ͠, ྡ઀͢Δ k ‫ݸ‬ͷϊʔυͷू·ΓΛ B(x) ͱ‫͢ه‬. ֤ϊʔυʹ͸ঢ়ଶ σ ͕ఆٛ͞Ε,σ = S, I, and R ͷ̏ঢ়ଶΛͱΓ, ͦΕͧΕ,Susceptible, Infectible, ͦͯ͠,Recovered Λද͢΋ͷͱ͢Δ. ‫ܥ‬શମͷঢ়ଶ͸,[σ(x)]x∈G Ͱࢦఆ͞Ε, ҎԼ, ͜ΕΛ σ ͱίϨΫςΟϒʹ͋ΒΘ͢. ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ͱܕ‬͸,σ ʹରͯ͠ભҠ཰ W (σ → σ  )͕༩͑ΒΕͨ࿈ଓ࣌ؒϚϧίϑաఔͰ͋Δ. ͜͜Ͱ, ભҠ཰ W ͸,I ঢ়ଶʹ͋Δྡ઀ϊʔυ

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3.3 ղੳ
͔Βͷ‫ײ‬છ཰ λ ͱ I ঢ়ଶʹ͋Δϊʔυ͔Βͷࣗવ࣏༊཰ μ Λύϥϝʔλͱͯ͠,W (σ → σ  ) =



w(x),

x∈G

w(x) = λ[δ(σx , S)δ(σx , I)δ(σy , I)] + μδ(σx , I)δ(σx , R)

(3.1)

y∈B(x)

ͱ༩͑ΒΕΔ. ҎԼͰ͸ҰൠੑΛࣦ͏͜ͱͳ͘ μ = 1 ͱ࣌ؒΛແ࣍‫ݩ‬Խ͢Δ. ༩͑ΒΕͨ೚ҙͷαϯϓϧ࣌‫ʹྻܥ‬ରͯ͠, े෼ʹ͕࣌ؒͨͭͱ, άϥϑ G ͔Β I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ͳ͘ͳΓ, ͦΕҎ্࣌ؒมԽ͠ͳ͘ͳΔ. ͜ͷঢ়ଶΛऴঢ়ଶͱΑͿ. ऴঢ়ଶʹ͓͚Δ R ঢ়ଶͷϊʔυ਺ͷ N ʹର͢Δׂ߹ nR Λʮ࠷ऴ‫ײ‬છऀ਺ີ౓ʯͱΑͼ, ‫ײ‬છ঱ͷຮԆ౓߹͍ͷࢦඪͱͯ͠࢖͏. ॳ‫ظ‬৚݅ͱͯ͠, ϊʔυΛϥϯμϜʹͻͱͭબͼͦͷϊʔυΛ I ঢ়ଶͱ͠, ͦͷଞͷશͯͷϊʔυ͸ S ঢ়ଶʹ͋Δͱ͢Δ.
ྫͱͯ͠,k = 3, N = 8192 ͷ৔߹, ༷ʑͳ λ ʹରͯ͠, ਺஋࣮‫ݧ‬Λߦ͍, ࠷ऴ‫ײ‬છऀ਺ີ౓Λௐ΂Δ. ࢼߦ͝ͱʹ nR ͷ஋͸ҟͳΓ, ͦͷස౓෼෍ p(nR ; λ) ΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ
͖Δ. ਤ 3.2 ͸ log p ͷΧϥʔදࣔͰ͋Γ,λ ͕͋Δᮢ஋Λ௒͑ͨͱ͜Ζ͔Β࠷ऴ‫ײ‬છऀ਺͕༗‫ͳʹݶ‬Δ͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠Δ. ஫໨͢΂͖͸, ͜ͷΑ͏ͳ૬ʹ͓͍ͯ΋,nR ͕θϩͷۙ͘ʹ΋༗‫ݶ‬ͷස౓Λ΋͍ͬͯΔ͜ͱͰ͋Δ. ਤ 3.2 ͷૠೖਤʹ͸ λ = 1.5 ͷ৔߹ͷlog p ͷάϥϑ͕ࣔ͞Ε͓ͯΓ, ෼‫͍ͯ͠ذ‬Δ༷ࢠ͕͸͖ͬΓ‫͑ݟ‬Δ. ಉ͡Α͏ͳάϥϑ͸,[10] ౳Ͱఏࣔ͞Εͨ. ͜ͷස౓͕೤ྗֶ‫࢒Ͱݶۃ‬Δ͜ͱΛ͔֬ΊΔͨΊʹ, ਤ 3.2 ʹ͓͍ͯ,nR < 1/16 ͷස౓ͱ λ ͷؔ܎ͷαΠζґଘੑΛࣔͨ͠. ͜ͷ݁ՌʹΑΔͱ, ೤ྗֶ‫ۃ‬‫͍͓ͯʹݶ‬, ͋Δ λc ͕ଘࡏ͠, ͦΕҎԼͰ͸֬཰ 1 Ͱ nR = 0 ͱͳΔ͕, ͦΕҎ্Ͱ͸͋
Δ༗‫ݶ‬ͷ֬཰ q(λ) ͕֬ఆ͠, ͦͷ֬཰Ͱ nR ͸θϩͰͳ͍͋Δ஋ΛͱΓ,1 − q(λ) ͷ֬཰Ͱ nR = 0 ͱͳΔ͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠Δ. ͜ͷ࿦จͰཧղ͍ͨ͠ͷ͸, ͜ͷ‫ݱ‬৅Ͱ͋Δ.

3.3 ղੳ
զʑ͕ཧղ͍ͨ͠‫ݱ‬৅͸ωοτϫʔΫͷߏ଄ͷৄࡉʹґଘ͠ͳ͍ͱ༧૝͠, s ≡x δ(σx , S)/N ͓Αͼ i ≡x δ(σx , I)/N ʹ͍ͭͯͷ࿈ଓ࣌ؒϚϧίϑաఔʹΑͬͯۙࣅతʹ‫ه‬ड़ͯ͠΋ௐ΂͍ͨ‫ݱ‬৅͸มΘΒͳ͍ͱ‫ظ‬଴͢Δ. ۩ମతʹ͸,(s, i) → (s, i−1/N )ͷભҠ཰͸ N i Ͱ༩͑ΒΕΔͷͰ, (s, i) → (s − 1/N, i + 1/N ) ͷભҠ཰Λ λkN sψ ͱ͓͖, ψ ΛҎԼͷΑ͏ʹԾఆ͢Δ. ·ͣ,ψ ͸, ೚ҙʹબΜͩ σx = S ͱͳΔϊʔυ x ʹର͠,σy = I ͱͳΔ y ͕ x ʹྡ઀͍ͯ͠Δ֬཰Ͱ͋Δ. ͱ͜ΖͰ, ঢ়ଶ I ʹ͋ΔαΠτ͸‫ݽ‬
ཱ͢Δ͜ͱ͸ͳ͘ॳ‫ײظ‬છͷϊʔυ͔ΒͻΖ͕͍͖ͬͯ, ϥϯμϜάϥϑͷ loop ͷେ͖͞͸ O(log(N ) ͷΦʔμʔͳͷͰ, ͜ͷͻΖ͕Γ͸πϦʔঢ় (‫ॴہ‬తʹϕʔς֨ࢠঢ়) Ͱ͋
Δ. ͜ͷπϦʔঢ়ʹͻΖ͕ͬͨঢ়ଶ̞ͷΫϥελʔ͔ΒͰ͍ͯΔϘϯυͷ૯਺͸ۙࣅతʹN i(k − 2) ͱͰ͖Δ [12], ैͬͯ,ψ ΛશϘϯυͷ૯਺ N k ʹର͢Δ͜ͷϘϯυ਺ͷൺͱ͠

《修士論文》

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30

ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

1

5

N=8192
N=16384
N=32768
N=65536

0

4

0.8

λ=1.5

-4
-6

-2

log(p)
-4

-8
-10

3

λ

-12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-6

1

nR

2

-8
1

-10

0

p(nR<1/16)

0
-2

0.6

0.4

0.2

-12
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

nR

0.6

0.7

0.8

0.9

1
0

(a)

ਤ 3.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

(b) λλ− p(nR < 1/16)

1.8

2ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ͷ਺஋࣮‫݁ݧ‬Ռ. ࠨͷਤ͸, ԣ࣠ nR ,ॎ࣠ λ,log p ΛΧϥʔදࣔͨ͠. λ ͕ᮢ஋Λ௒͑ͨͱ͜ΖͰ log p ͕༗‫ݶ‬ͷ஋ΛͱΔ͜
ͱ͕෼͔Δ. ࠨͷਤͷૠೖਤ͸, ԣ࣠ λ, ॎ࣠ log p.λ = 1.5. ෼‫͍ͯ͠ذ‬Δ༷ࢠ͕෼͔
Δ.N = 8192, m = 1. ӈͷਤ͸, ԣ࣠ λ, ॎ࣠ p(nR < 1/16). N → ∞ ʹ͓͍ͯ΋, ྲྀߦ૚ʹ͓͍ͯ nR < 1/16 ͱͳΔ֬཰͕༗‫ʹݶ‬ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δ.

ͯ༩͑Δ. ҎԼ,k = 3 ͱ͢Δ.
͜ͷϚϧίϑաఔʹ͓͍ͯ, ࣌ࠁ t ʹ͓͍ͯ (s, i) ͷ஋ΛͱΔ֬཰Λ P (s, i, t) ͱ͢Δ.
͜ͷͱ͖,P (s, i, t) ͸Ϛελʔํఔࣜ!

!
1
P s, i + , t − N iP (s, i, t)
N
!
!
!
1
1
1
1
i−
P s + , i − , t − N λsiP (s, i, t)(3.2)+N λ s +N
NNN∂P (s, i, t)
=N
∂t

1
i+
N

Λຬͨ͢. ͜͜Ͱ,N ͕े෼େ͖͍ͱ͍͏৚݅Λ՝ͯ͠, ͜ͷϚελʔํఔࣜΛ 1/N Ͱల
։͠,





"
∂P (s, i, t)(λs + 1) i
λsi
= −∂i [(λs − 1) iP (s, i, t)] − ∂iP (s, i, t) + ∂s
P (s, i, t)
∂t
2N
2N




"
λsi
λsi
P (s, i, t) + ∂i
P (s, i, t)(3.3)−∂s − [λsiP (s, i, t)] − ∂s
2N
2N
!
1
(3.4)
+O
N2
ΛಘΔ.O(1/N 2 ) ͷ৒༨߲ΛແࢹͰ͖ΔͱԾఆ͢Δͱ, ͜Ε͸ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͰ͋Δ [13]. ͜ͷϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜʹ͍ͭͯ, ࠓճͷ෼‫ݱذ‬৅Λࣔ͢ղੳղ͸‫ݟ‬

《修士論文》

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31

3.3 ղੳ
͔͍ͭͬͯͳ͍. ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͷ਺஋ղ΍, ղੳղΛ‫ٻ‬ΊΔࢼߦࡨ‫ޡ‬ͷৄࡉʹ͍ͭͯ͸ 3.5.2 Λࢀরͷ͜ͱ.
͜ͷϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜ (3.4) ͸, ࣍ͷϥϯδϡόϯํఔࣜͷ֬཰ີ౓ͷ࣌ؒൃలͱͯ͠༩͑ΒΕΔ͜ͱΛ௚઀తͳ‫͔֬Ͱࢉܭ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ‫ࢉܭ‬ͷৄࡉ͸ 3.5.3 Λࢀরͷ͜ͱ. ͜͜ʹ͸݁Ռ͚ͩࣔ͢ͱ,⎧#⎨ ṡ(t) = −λsi − λsi · ξ1#N#i
⎩ i̇(t) = λsi − i + λsi · ξ1 +N
N · ξ2(3.5)

ͱ ͳ Δ. ͨ ͩ ͠ ξi ͸ Ψ ΢ γ Ξ ϯ ϗ Ξ Π τ ϊ Π ζ ͋ Γ, ξi (t)= 0, ξi (t) ξj (t ) =δij δ (t − t ) Λຬͨ͢. (3.5) ࣜʹ͓͍ͯ ξ1 , ξ2 ͷલʹ͋Δ · ͸ҏ౻ͷҙຯͰͷੵΛද͢.
͜ͷϥϯδϡόϯํఔࣜ (3.5) ͷ਺஋࣮‫݁ݧ‬ՌΛࣔ͢. ࣜ (3.5) Λ਺஋࣮‫ݧ‬ͷͨΊʹ཭
ࢄԽ͢Δͱ

⎧
#
⎨ s(t + Δt) = s(t) − λs(t)i(t)Δt − λs(t)i(t) ΔtN (0, 1)
1
N #
#
(3.6)
⎩ i(t + Δt) = i(t) + (λs(t)i(t) − i(t))Δt + λs(t)i(t) ΔtN (0, 1) + i(t) ΔtN (0, 1)
1
2
NNͱͳΔ. ͨͩ͠ Ni (0, 1) ͸ฏ‫ ۉ‬0, ෼ࢄ 1 ͷΨ΢εཚ਺. ਤ 3.2 ʹॳ‫ظ‬৚݅Λ (s0 , i0 ) =(1 − 1/N, 1/N ) ͱͨ͠ͱ͖ͷ࣮‫݁ݧ‬ՌΛࣔͨ͠. SIR ໛‫ݟͰܕ‬ΒΕͨ΋ͷͱಉ͡෼‫ݱذ‬৅͕‫ݟ‬ΒΕΔ. ैͬͯ,(3.5) ࣜΛղੳ͢Δ͜ͱͰ෼‫ݱذ‬৅Λཧղ͢Δ͜ͱʹ‫ؼ‬ண͞Εͨ.
࣍ʹ, ม਺ Y =$√iN Λಋೖͯ͠,(3.5) Λॻ͖ͳ͓͢ͱ,√ṡ = N1 −λsY 2 − λsY 2 · ξ1√√%&Ẏ = 12 (λs − 1) Y − 14 (λs + 1) Y1 + 12 λs · ξ1 + 12 1 · ξ2

(3.7)

ΛಘΔ.(3.5) ࣜʹ͋ͬͨϊΠζ ξ1 , ξ2 ͱม਺ i ͷ৐ࢉ͕,(3.7) ࣜʹ͸දΕͳ͍͜ͱʹ஫ҙͤΑ. ϥϯδϡόϯํఔࣜͷม਺ม‫͍ͯͭʹ׵‬͸ 3.5.4 Λࢀߟͷ͜ͱ. ͜ͷࣜʹ͓͍ͯ, ࠷ऴঢ়ଶʹ͓͚Δ nR ͷ֬཰෼෍͕෼͔Ε͹Α͍͕, ͜ΕΛ௚઀‫ٻ‬ΊΔͷ͸·ͩ؆୯Ͱ͸ͳ
͍. ͦ͜Ͱ, ೤ྗֶ‫ ͍͓ͯʹݶۃ‬nR ɹ > 0 ͱͳΔ֬཰ q(λ) Λߟ͑Δ.nR = 0 ͷ৔߹ʹ͸,
͋Δ࣌ࠁͰ Y  O(N 1/2 ) ͱͳ͍ͬͯΔ. ͕ͨͬͯ͠, (3.7) ࣜʹ͓͍ͯͦͷࣄ৅͕ൃੜ͢
Δ֬཰Λ‫ٻ‬ΊΔ.
ͱ͜ΖͰ, ࣜ (3.7) ͸ s ͷಛ௃తͳ࣌ؒई౓͕ Y ͷಛ௃తͳ࣌ؒई౓ͷ N ഒͰ͋Δ͜ͱΛ͍͍ͬͯΔ. ͕ͨͬͯ͠,N ͕े෼େ͖͍ͱ͖, Y ͕ӡಈ͍ͯ͠Δͱ͖ s ͸΄ͱΜͲมԽ͠ͳ͍ͱߟ͑ͯΑ͍. ಛʹ, ͕࣌ؒ O(N ) ΑΓ୹͍ൣғͰ͸,s = 1 ͱ͓͍ͯΑ͍. ͜ͷ࣌ؒൣғʹ͓͍ͯ͸, ࣜ (3.7) ͸ Y ͷΈͷϥϯδϡόϯํఔࣜẎ = −∂Y U (Y ) +

√

2Dξ

(3.8)

《修士論文》

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32

ୈ3ষ

0.8

0.25

N=512
N=1024
N=2048
N=4096
N=81920.7‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

14

N=512
N=1024
N=2048
N=4096
N=8192400

N=512
N=1024
N=2048
N=4096
N=819212

N=512
N=1024
N=2048
N=4096
N=8192

350

0.2
0.6

300
10

0.3

250

0.1

8

2

0.15

sig (tf)

0.4

<tf>

sig2(nR)

nR

0.5

6

200

150
4

0.2

100
0.05
2

0.1

0

1

2

λ

3

4

0

5

0

1

2

3

λ

4

0

5

5

4

λ

3

2

λ

3

4

0

5

0

1

2

3

λ

4

5

(d) σ(tf )2

1-2

N=1024
N=2048
N=4096
N=81920.8-3log(p)

-4
-5
0.2

2

-1

λ=1.5

0

1

(c) < tf >

0
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10

50

0

(b) σ(nR )2(a) < nR >

0.4

0.6

0.8

-6

1

-7
1

p(nR<1/16)

0

0.6

0.4

-8
-9

0

0.2

-10
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

nR
(e) log p ͷ Χ ϥ ʔ ද ࣔ.N = 1024, ૠ ೖ ਤ ͸

0

0

0.2

0.4

0.6

N = 8192.

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(f) p(nR < 1/16)

ਤ 3.2
ϥ ϯ δ ϡ ό ϯ ํ ఔ ࣜ (3.5) ͷ ਺ ஋ ࣮ ‫ ݁ ݧ‬Ռ.m = 1, N =1024, 2048, 4096, 8192. ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑʹ͓͚Δ SIR ໛‫ܕ‬ͷ݁Ռ ( ਤ
2.3,3.2,3.2) ͱಉ͡෼‫ݱذ‬৅͕‫͜ى‬Δ͜ͱΛ֬ೝͨ͠.

ͱ͔͚Δ. ͨͩ͠, D = (λ + 1)/8 Ͱ͋Γ, ϙςϯγϟϧ U (Y ) ͸

1
1
U (Y ) = − (λ − 1) Y 2 + (λ + 1) log(Y )
(3.9)
4
8
√
Ͱ͋Δ.ξ ͸ϊΠζ‫ ౓ڧ‬1 ͷΨ΢εϊΠζͰ͋Γ, ϊΠζͷ߹੒ λ/2 · ξ1 + 1/2 · ξ2 =√λ + 1/2 · ξ Λߦͬͨ. ॳ‫ظ‬৚݅͸ Y (0) = 1 Ͱ͋Δ.(3.8) ࣜ͸ N ʹґଘ͠ͳ͍͜ͱʹ஫ҙ͍ͨ͠. ͕ͨͬͯ͠, ͜ͷํఔࣜͰ Y → ∞ ͱͳΔղ͸,(3.7) ࣜʹ͓͍ͯ Y  O(N 1/2 )ͱͳΔࣄ৅͕ੜ͡Δ͜ͱʹ૬౰͢ΔͩΖ͏. ҎԼͰ͸,(3.8) ࣜʹ͓͍ͯ Y → ∞ ͱͳΔղ͕ੜ͡Δ֬཰Λ q(λ) ͱಉҰࢹ͠, ͜ͷ֬཰Λٞ࿦͢Δ.

3.5.5 ʹϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜ (3.4) ʹ͓͍ͯ s = 1, I = N i ͱͨ͠਺஋ղΛࡌͤͨ.
࣌ࠁ t Ͱ Y ͷ஋ΛͱΔ෼෍Λ Q(Y, t) ͱॻ͘ͱ,Q(Y, t) ͸∂t Q(Y, t) = −∂Y [{∂Y U (Y )} Q(Y, t)] + D∂Y 2 Q(Y, t)(3.10)

《修士論文》

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33

3.3 ղੳ
Λຬͨ͢. ॳ‫ظ‬৚݅͸ Q(Y, 0) = δ(Y, 1) Ͱ͋Δ. ࣜ (3.10) ͸ࣜ (3.4) ʹ͓͍ͯ s = 1, Y =√N i ͱͯ͠΋ಋ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δ.3.5.6 Λࢀরͷ͜ͱ.

·ͣ, ϙςϯγϟϧͷ U (Y ) ͷ֓‫ܗ‬Λௐ΂Δ. ͢΂ͯͷ λ ʹ͓͍ͯ lim U (Y ) = −∞Y →+0

Ͱ͋Δ.λ < 1 ͳΒ͹ U (Y ) ͸୯ௐ૿ՃͰ lim U (Y ) → ∞ Ͱ͋Δ.1 < λ ͳΒ͹Y →∞lim U (Y ) = −∞ Λຬͨ͠,Y = Y∗ ʹϐʔΫΛ࣋ͭ. ͜͜Ͱ

Y →∞

1
Y∗ =
2

'

λ+1
λ−1

(3.11)

Ͱ͋Δ. ࢀߟͷͨΊʹ,λ = 0.5, 1.2 ͷͱ͖ͷͷ֓‫ܗ‬Λਤ 3.3 ʹࣔ͢.
࠷ॳʹ,λ < 1 ͷ৔߹Λௐ΂Δ. ͜ͷͱ͖,U (Y ) ͸ Y ͷ୯ௐ૿Ճؔ਺Ͱ͋Γ, ϥϯδϡό
ϯํఔࣜ (3.8) ͷղͰ Y → ∞ ͱͳΔ֬཰͸θϩͰ͋Ζ͏. ࣮ࡍ, े෼ʹ͕࣌ؒͨͯ͹֬཰

1 Ͱ‫ي‬ಓ͸ Y = 0 ʹ‫ٵ‬ऩ͞ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δ. ͭ·Γ,q(λ) = 0 ͱͳΔ.
࣍ʹ,λ > 1 ͷ৔߹Λௐ΂Δ. ϥϯδϡόϯํఔࣜ (3.8) ͷղͰ΋͠ Y ͕ Y∗ Λ௒͑ͨΒ, Y → ∞ ͱͳΔ֬཰͸ߴ͍. ਤ 3.3 ʹ͓͍ͯ, Y ͕ Y∗ ·Ͱࢸͬͨͱ͖ʹ Y → ∞ ͱͳΔ֬཰Λࣜ (3.8) ͷ਺஋࣮‫Ͱݧ‬, ॳ‫ظ‬৚݅Λ Y = Y∗ ͱͨ͠ͱ͜Ζ͔Β࢝Ίͯ Y → ∞ͱͳΔ֬཰ͱͯ͠‫ٻ‬Ίͨ. ͜ͷ݁Ռ͔Β, ͦͷ֬཰͕ λ ʹΑΒͳ͍ͱԾఆ͠, Y ͕ Y∗ Λ͍͔ͭ͸௒͑Δ֬཰ΛධՁ͢Δ. Y = 1 ͔Β Y = Y∗ ΁ͷભҠϨʔτΛ W ͱ͢Δͱ,t = 0 Ͱ Y = 1 ʹ͍Δͱ͖,t = τ Ͱ Y = Y∗ ʹ͍Δ֬཰ p(Y (τ ) = Y∗ |Y (0) = 1) ͕p(Y (τ ) = Y∗ |Y (0) = 1) = W τ ͱͷΑ͏ʹ τ ʹൺྫ͢ΔΑ͏ͳ τ ͷൣғ͕͋ΔͩΖ͏.
ਤ 3.4 ʹࣜ (3.8) ͷ਺஋࣮‫ Ͱݧ‬τ ͷ෼෍Λ‫ٻ‬Ίͯϓϩοτͨ͠.λ ≈ λc ʹ͓͍ͯϐʔΫΛ΋ͪ, ໌Β͔ʹ p(Y (τ) = Y∗ |Y (0) = 1) = W τ ͱͳΔ τ ͷྖҬ͕͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜ͷτ ͷྖҬʹ͓͍ͯ, ‫ݩ‬ͷ SIR ໛‫ܕ‬Λߟ͑Ε͹ Y = 1 ͔Β Y = 0 ͸࣏༊Ϩʔτ 1 ͰભҠ͓ͯ͠Γ, ଞํϨʔτ W Ͱ Y∗ Λӽ͑ΔͷͰ,q = W/(1 + W ) ͱ‫ٻ‬ΊΒΕΔ. ͜͜Ͱ, ֬཰q(λ) ͸ 0 Ͱ΋ 1 Ͱ΋ͳ͍༗‫ݶ‬ͷ஋ΛͱΔ. ͜ͷΑ͏ʹྲྀߦ૬ʹ͓͚Δ෼‫ݱذ‬৅Λ໌շʹཧղ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͨ. సҠ఺ λc ͸,

λc = 1(3.12)

Ͱ͋Δ. ਤ 3.3 ͸ϥϯδϡόϯํఔࣜ (3.8) ͷ਺஋࣮‫ݧ‬Λ‫܁‬Γฦ͠,Y = 1 ͔Βελʔτͯ͠ Y∗ ʹࢸΔׂ߹Λ λ ʹ͍ͭͯϓϩοτͨ͠. ͜ͷׂ߹͸సҠ఺ۙ๣Ͱ͸ઢ‫্ཱ͕ͪʹܗ‬Γ,Y∗ < 1 ͱͳΔ λ > 5/3 ʹ͓͍ͯ 1 ͱͳ͍ͬͯΔ.
࠷‫ʹޙ‬, ఆྔతʹ q(λ) Λ‫͢ࢉܭ‬Δ. ͨͩ͠, Ұൠతͳ৔߹Ͱ͸ͳ͘, λ = λc +  ͱ͓͍ͯ  ͕খ͍͞ਖ਼ͷ਺ͷ৔߹Λߟ͑Δ. ͜ͷͱ͖ Y∗  O(−1/2 ), U (Y∗ )  O(log )ͱ͍͏  ґଘੑΛ࣋ͭ.(Y∗ , U (Y∗ )) ͱ (1, U (1)) Λ݁Ϳ௚ઢͷ܏͖͸  → 0 ʹ͓͍ͯU (Y∗ ) − U (1))/(Y∗ − 1) √

 → 0 Ͱ͋Δ͔Β, ɹ Y = 1 ͔Β Y = Y∗ ΁ͷભҠ͸, ֦ࢄ܎਺ D = (λ + 1)/8 ͷࣗ༝ϒϥ΢ϯӡಈʹΑΔͱߟ͑ͯΑ͍. ͕ͨͬͯ͠, ભҠ࣌ؒ τtr ͸

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

34

ୈ3ষ

1.5

0.012

λ=0.5
1.2

λ=1.004
λ=1.008
λ=1.016λ=1.020.01

p(Y(τ)=Y*|Y(0)=1)

1

U(Y)

0.5

❍
0

❍

Y*

-0.5

-1

0.008

0.006

0.004

0.002

0

0.5

1

ਤ 3.3

1.5

2

Y

2.5

0

3

0

5

U (Y ) ͷུ֓ਤ.λ = 0.5 ͷͱ͖

ਤ 3.4

20

25

τ

30

35

40

ϥϯδϡόϯํఔࣜ (3.8) ͷ਺͕ؒͨͯ͹֬཰ 1 Ͱ‫ي‬ಓ͸ Y = 0 ͱͳΔ.

ભ Ҡ ʹ ͔ ͔ Δ ࣌ ؒ τ ͷ ෼ ෍ pp(Y (τ ) =λ = 1.2 ͷͱ͖ʢgreen lineʣ, Y∗ = 11/2ʹϐʔΫΛ΋ͪ, Y ͕ Y∗ Λ௒͑ͨΒ Y →∞ ͱͳΔ֬཰͸ߴ͍.

Y∗ |Y (0) = 1) Λ ‫ ٻ‬Ί ͨ.
໌Β͔ʹpp(Y (τ ) = Y∗ |Y (0) = 1) ∝ W τ ͱͳΔ
τ ͷྖҬ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δ.

1

p(Y-> ∞|Y=Y*)p(Y-> Y*|Y(t=0)=1)

0.8

0.6

0.4

0.2

1

15

஋ ࣮ ‫Ͱ ݧ‬, Y = 1 ͔ Β Y = Y∗ ΁ ͷ

1

0

10

ʢred lineʣ, Y ͷ୯ௐ૿Ճؔ਺Ͱ͋Γ, ࣌√p(Y-> ∞|Y(t=0)=Y*)‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

1.2

ਤ 3.5

1.4

λ

1.6

(a)

1.8

2

p(Y=Y*|Y=1)

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1

1.2

1.4

λ

1.6

1.8

(b)

ࠨͷਤ͸ϥϯδϡόϯํఔࣜ (3.8) ͷ਺஋࣮‫͚͓ʹݧ‬Δ֬཰ p(Y∗ → 0).λ >λc ʹ͓͍ͯ λ ʹΑΒͣ p(Y∗ → 0) = 0.4 ఔ౓Ͱ͋Δ. ӈͷਤ͸ϥϯδϡόϯํఔࣜ(3.8) ͷ਺஋࣮‫݁ݧ‬Ռ. ‫܁‬Γฦ࣮͠‫ݧ‬Λߦ͍,Y = 1 ͔Β࢝Ίͯ೚ҙͷ࣌ؒͰ Y∗ ʹࢸΔ
ׂ߹ p.

2

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35

3.4 ݁࿦ͱ஫ऍ
Y∗2 /(2D) = 1/ + O(0 ) ͱධՁ͞ΕΔ. ભҠϨʔτ W ͸ͦͷ‫ͳ਺ٯ‬ͷͰ,W =  + O(2 )ΛಘΔ. ैͬͯ,q(λ) =  + O(2 ).

(3.13)

ΛಘΔ. ਤ 3.4 ͸ࣜ (3.7) ͷ਺஋࣮‫͔ݧ‬Βಘͨ nR > 0.003 ͱͳΔස౓ p(nR > 0.003)(

q(λ)) Λ  = λ − 1 ͷؔ਺ͱͯ͠ϓϩοτͨ͠. ͦͷ݁Ռ͸, ղੳ͔Β‫ظ‬଴͞ΕΔ݁Ռ
p(nR > 0.003) =  + O(2 ) ͱҰக͍ͯ͠Δ. ਤ 3.4 ͸ࣜ (3.7) ͷ਺஋࣮‫͔ݧ‬Βಘͨ
nR > 0.003 ͱͳΔස౓ p(nR > 0.003)( q(λ)) Λ  = λ − 1 ͷؔ਺ͱͯ͠ϓϩοτͨ͠.
ࣜ (3.13) ͱಉ͡ p(nR > 0.003)  1 ͷ݁Ռ͕ಘΒΕͨ.

3.4 ݁࿦ͱ஫ऍ
͜ͷ࿦จͰ͸, զʑ͸‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑʹ͍ͭͯ, ͦͷৼΔ෣͍
Λ༗ޮతʹ‫ه‬ड़͢ΔϥϯδϡόϯํఔࣜͷղੳʹΑͬͯ৽͍͠஌‫ݟ‬Λಘͨ. ͢ͳΘͪ, ྲྀߦ૬ʹ͓͍ͯ͸, ϙςϯγϟϧ U (Y ) ͸‫ۃ‬େ఺Λ΋ͪ, ղ͕ແ‫ʹݶ‬ಀ૸͢Δ͔θϩʹऩଋ
͢Δ͔ʹ෼‫͢ذ‬Δ‫ݱ‬৅ͱͯ͠ఆࣜԽ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͨ. ͦͷඳ૾ʹ΋ͱ͍ͮͯ, సҠ఺ۙ๣Ͱ‫ײ‬છ঱͕ྲྀߦ͢Δ֬཰Λ‫ͨ͠ࢉܭ‬.
͜ͷ࿦จͰ͸, ΋ͬͱ΋؆୯ͳঢ়‫گ‬Λௐ΂͕ͨ, ༷ʑͳ໛‫ʹܕ‬ద༻͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔͩΖ
͏. ྫ͑͹, ͜ͷ࿦จͰ͸ॳ‫ײظ‬છऀ਺ m Λ 1 ʹ‫ݻ‬ఆ͕ͨ͠, Ұൠͷ৔߹Λ֦ு͢Δͷ͸༰қͰ͋Δ. ໰୊ͷຊ࣭͸ Y∗ ͷଘࡏʹ͋ΔͷͰ, ॳ‫ײظ‬છऀ਺͕ N ͱಠཱͳ༗‫਺ݶ‬ͷ৔߹Ͱ΋݁࿦͸มΘΒͳ͍. ͨͩ͠,m = cN ͷΑ͏ʹ, ॳ‫ײظ‬છऀ਺͕શମͷ਺ʹൺྫͯ͠
ੜ͡Δ৔߹ʹ͸,Y (0) ͕ແ‫ݶ‬ͷ൴ํʹͱͿ͜ͱʹͳΓ, ‫ٵʹ఺ݪ‬ண͞ΕΔ͜ͱ͸ͳ͍. ͭ·Γ, ෼‫ݱذ‬৅͸ੜ͡ͳ͍. ྫ͑͹, ਤ 3.4 ͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ͷ਺஋࣮‫Ͱݧ‬,c = 1/2561 ͱͨ͠ͱ͖ͷ nR < 1/16 ͱͳΔස౓ p ͱ λ ͷؔ܎ͷαΠζґଘੑΛࣔͨ͠. λ ͕ᮢ஋Λ௒͑Δͱ q(λ) = 1 ͱͳΓ, ෼‫ى͕ذ‬Βͳ͍͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δ.
͞Βʹ͸, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑҎ֎ͷωοτϫʔΫʹ͍ͭͯௐ΂Δ͜ͱ΋ॏཁͰ
͋Ζ͏. ͜ͷ৔߹, ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅʹΑΔ‫ࢉܭ‬ͷଥ౰ੑ͸ࣗ໌Ͱ͸ͳ͍͕, গͳ͘ͱ΋ಉ͡Α͏ͳߟ͑ํΛద༻͢Δ͜ͱ͸Ͱ͖ΔͩΖ͏. ·ͨ, ΑΓ‫࣮ݱ‬తͳωοτϫʔΫʹରͯ͠, ྲྀߦͷ֬཰తൃੜʹ͍ͭͯ‫ݶ‬ΒΕͨσʔλ͔Β༧‫͢ݴ‬ΔͨΊͷํ๏Λ‫͢ڀݚ‬Δ͜ͱ΋ॏཁͰ͋Ζ͏. ͜ΕΒʹ͍ͭͯ͸, ࠓ‫ޙ‬ͷ‫ڀݚ‬ͷൃలʹҕͶ͍ͨ.

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物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

36

ୈ3ষ

1

1

N=16384
N=32768
N=65536fit (λ-1)1‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

1

N=131072
N=262144
N=2097152
N=16777216
fit (λ -1)1

N=8192
N=16384
N=327680.8

nR

p(nR<1/16)

0.1

nR

0.1

0.01

0.01

0.6

0.4

0.2

0.001
0.001

0.01

λ-1

0.1

1

0.001
0.001

(a)

ਤ 3.6

0.01

0.1

λ-1

0

0

(b)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(c)

ࠨͷਤ͸, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ্Ͱͷ SIR γϛϡϨʔγϣϯͰ, m = 1

ͱͨ͠ͱ͖ͷ਺஋࣮‫݁ݧ‬ՌͰ, p(nR > 0.003) ͷ  = λ− 1 ґଘੑ. p(nR > 0.003) < ͱͳ͍ͬͯΔ͕, ༗‫ݶ‬αΠζޮՌͩͱࢥΘΕΔ. தͷਤ͸, ϥϯδϡόϯํఔࣜ (3.7)ͷ਺஋࣮‫݁ݧ‬ՌͰ, p(nR > 0.003) ∼ q(λ) ͷ  = λ − 1 ґଘੑ. N → ∞ ʹ͓͍ͯq(λ)   ͕ࣔࠦ͞ΕΔ. ӈͷਤ͸, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ্Ͱͷ SIR γϛϡϨʔγϣϯͰ, m ʹ N/128 ͱͨ͠ͱ͖ͷ nR < 1/16 ͱͳΔ౓਺ p ͷ λ ґଘੑ. λ ͕ᮢ஋Λ௒͑Δͱ֬཰ 1 Ͱ q(λ) = 1 ͱͳΔ͜ͱ͕ࣔࠦ͞ΕΔ.

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦
3.5.1 SIR ໛‫ͱܕ‬ϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷؔ܎
Newman ͸ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬ΛϘϯυύʔίϨʔγϣϯʹϚοϓͯ͠ཧղ͠
Α͏ͱͨ͠ [6] ͕, ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬͸ύʔίϨʔγϣϯͱ͸ຊ࣭తʹҟͳΔ‫ݱ‬৅Ͱ͋Γ,Newman ͸͋͘·Ͱ΋ϘϯυύʔίϨʔγϣϯʹۙࣅ͚ͨͩ͠Ͱ, ຊ࣭తʹҰରҰʹରԠ͢Δ΋ͷͰ͸ͳ͍ͱߟ͍͑ͯΔ. ࢲͷ‫ݴ‬༿Ͱද‫͢ݱ‬Ε͹,SIR ໛‫͚͓ʹܕ‬Δແ
‫ݶ‬ճࢼߦͰ‫ٻ‬Ίͨ nR ͷ෼෍ͱϘϯυύʔίϨʔγϣϯʹ͓͚ΔϥϯμϜʹࢦఆͨ͠ϊʔυΛ‫ؚ‬ΉΫϥελαΠζͷ෼෍͸ஔ͖‫͑׵‬Δࣄ͕Ͱ͖Δ. ͢΂ͯͷ৘ใΛಘΔͨΊʹແ‫ݶ‬ճͷࢼߦ͕ඞཁ͔, 1 ճͷࢼߦͰࡁΉ͔͕ຊ࣭తͳҧ͍Ͱ͋ΔͱࢥΘΕΔ.
͔͠͠ͳ͕Β, ແ‫ݶ‬ճͷࢼߦͱ 1 ճͷࢼߦͷରԠؔ܎͸͋Δͷ͔΋஌Εͳ͍. ͜ͷઅͰ‫ͯ͠ূݕ‬ΈΔ. ࢝Ίʹ Newman ͷϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷཧ࿦ͷϨϏϡʔΛ͢Δ. ͜ͷཧ࿦ͷൣғͰ͸, গͳ͘ͱ΋ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷ λc Λਖ਼֬ʹ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖
Δ. ࣍ʹ, ϕʔς֨ࢠʢ࣍਺͕ҰఆͰϧʔϓͷଘࡏ͠ͳ͍ϊʔυແ‫ݶ‬ͷωοτϫʔΫʣʹ͓͚ΔϘϯυύʔίϨʔγϣϯʹ͓͚ΔʮϥϯμϜʹબΜͩಛఆͷϊʔυ͕ແ‫ݶ‬Ϋϥελʹ
‫·ؚ‬ΕΔ֬཰ʯΛ‫ٻ‬ΊΔ. ͜ͷ֬཰͸ λ < λc ʹ͓͍ͯ 0,λ > λc ʹ͓͍ͯ 1 ΑΓখ͍͞༗‫཰֬ݶ‬Λ࣋ͭ. ͜ͷʮಛఆϊʔυ͕ແ‫ݶ‬Ϋϥελʹ‫·ؚ‬ΕΔʯͱ͍͏ઃఆ͸͜ͷষͰٞ

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3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦
࿦͖ͯͨ͠ʮॳ‫ײظ‬છऀ਺ 1 ͷ SIR ໛‫ܕ‬ʯʹରԠ͢ΔΑ͏ʹҰ‫͑ࢥݟ‬Δ͕,SIR ໛‫ܕ‬ͷ࣮‫݁ݧ‬Ռ͸ύʔίϨʔγϣϯͷཧ࿦తղੳͱఆྔతʹ͸Ұக͠ͳ͍. ͜ͷҧ͍͸,SIR ໛‫ܕ‬ΛύʔίϨʔγϣϯʹϚοϓ͢Δࡍʹ, ຊདྷ͸ࢦ਺෼෍ʹै͏͸ͣͷ, ࣏༊͢Δ·Ͱ࣌ؒ τΛฏ‫Ͱͱ͜ࣅۙͯ͠ͱؒ࣌ۉ‬ੜ͡Δͷ͔, ͦΕͱ΋ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑΛϕʔς֨ࢠʹۙࣅͨ͜͠ͱʹΑΔͷ͔ʢ͢ͳΘͪ༗‫ݶ‬αΠζޮՌͳͷ͔ʣ, ߟ࡯ͨ͠.

Newman ͷϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷཧ࿦
Newman[6] ͱ Durrett[14] ʹΑΔͱ, ωοτϫʔΫ্ͷ SIR Ϟσϧ͸ۙࣅతʹωοτϫʔΫ্ͷϘϯυύʔίϨʔγϣϯʹϚοϓͰ͖Δͱ͍͏. ͦͷཧ࿦Λ֬ೝ͢Δ.
˙ۙࣅϊʔυ i, j ͕ྡ઀͓ͯ͠Γ,i ͕ I ঢ়ଶ,j ͕ S ঢ়ଶͱ͢Δ. i ͔Β s ʹ‫ײ‬છ͢Δ

ϨʔτΛ γij ͱ͢ΔͷϙΞιϯաఔͰ͋Δ͜ͱΛԾఆ͠,i ͕࣏Δ·Ͱʹ͔͔Δ࣌ؒΛ τi ͱ
͢Δ. i ͔Β j ʹ‫ײ‬છͤͣʹ i ͕࣏༊͢Δ֬཰Λ 1 − Tij ͱஔ͘ͱ1 − Tij = lim (1 − γij δt)τi /δt = e−γij τiδt→0(3.14)

ͱͳΔ. Αͬͯ i ͕ j ʹ‫ײ‬છͤ͞Δ֬཰ Tij ͸

Tij = 1 − e−γij τi(3.15)

ͱͳΔ.
೚ҙͷ i, j ʹ͍ͭͯ γij ͱ τi ͸‫ ʹڞ‬i, j ʹΑΒͣ, ͦΕͧΕಠཱʹ෼෍ P (γ), P (τ ) ʹै͏ͱۙࣅ͢Δ. Αͬͯ T (γ, τ ) = 1 − e−γτ ͱ͢Δ. ࣮ࡍͷ SIR ໛‫Ͱܕ‬͸‫ײ‬છϨʔτ λ,࣏༊Ϩʔτ 1 ͷϙΞιϯաఔͰ͋Δ͔Β,P (γ) =P (τ ) =ͱ͢Ε͹, ฏ‫ۉ‬తͳ‫ײ‬છ֬཰ͱͯ͠ T =

δ(λ − γ)1 − e− τ )dγ(3.16)dτ T (γ, τ ) ͕ಘΒΕΔ. ࣮ࡍʹ‫͢ࢉܭ‬

Ε͹

 ∞

 ∞

dγ
dτ P (γ)P (τ )(1 − e−γτ )
0
 ∞0
=1−
dτ P (τ )e−(λ+1)τ

T =

0

=1−
=

1
λ+1

λ
λ+1

ͱͯ͠ಘΒΕΔ. ҎԼ T = T (γ, τ ) ͱॻ͘.

(3.17)

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ୈ3ষ

˙Ұൠͷ࣍਺෼෍Λ࣋ͭωοτϫʔΫͷ৔߹‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

ωοτϫʔΫ͸࣍਺෼෍ p(k) ͕༩͑ΒΕͨίϯϑΟάϞσϧͱ͢Δ. ίϯϑΟάϞσϧͱ͸༩͑ΒΕͨ࣍਺෼෍Λ࣮‫͢ݱ‬ΔΑ͏ʹϥϯμϜʹϘϯυΛுͬͨϊʔυ਺ N → ∞ ͷωοτϫʔΫϞσϧͰ͋Γ, ͢΂ͯͷϊʔυ͕౳ՁͰ͋Δ. ͜ͷϞσϧͰ͸༗‫ݸݶ‬ͷྡ઀ϊʔυΛͨͲͬͯࣗ෼ࣗ਎ʹ‫ؼ‬Δύε͕΄ͱΜͲଘࡏ͠ͳ͍, ͢ͳΘͪ༗‫ݶ‬ͷϧʔϓͷ਺͕ඇৗʹগͳ͍, ͱ͍͏‫ͳྗڧ‬ԾఆΛೝΊΔ.
˙࣍਺෼෍ͷ฼ؔ਺͜ͷϞσϧ্Ͱ࣍਺෼෍ͷ฼ؔ਺ G0 (x) ΛҎԼͷΑ͏ʹఆٛ͢Δ.

G0 (x) =

p(k)xk

(3.18)k͜ͷ฼ؔ਺ͷඍ෼Λ࢖ͬͯ < k >, < k 2 > ͳͲΛ࡞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ.

∂x G0 (1) = < k >∂x2 G0 (1) = < k 2 > − < k >ωοτϫʔΫ্ͷ೚ҙͷϊʔυͷ࣍਺෼෍ͷ฼ؔ਺͸ G0 (x) Ͱ͋Δ. ͦͷϊʔυʹྡ઀͢Δϊʔυͷ࣍਺෼෍Λߟ͑Δ. ೚ҙͷϊʔυΛୈ 0 ੈ୅, ͦͷϊʔυ͔Β‫ ཭ڑ‬n ͷϊʔυΛୈ n ੈ୅ͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δ. ೚ҙͷϊʔυʢୈ 0 ੈ୅ͷϊʔυʣͷҰͭͷϘϯυͷઌʹ࣍਺ k ͷϊʔυʢୈ 1 ੈ୅ͷϊʔυʣ͕ྡ઀͍ͯ͠Δ֬཰ p1 (k) ͸, ୈ 1 ੈ୅ͷϊʔυͷ࣍਺ k ͱ࣍਺෼෍ p(k) ʹൺྫ͢ΔͷͰ,

p1 (k) ∝ kp(k)ͱͳΔ. ͜Ε͕੒ཱ͢Δͷ͕ίϯϑΟάϞσϧͰ͋Δͱߟ͑ͯ΋Α͍. ֬཰Λ‫֨ن‬Խ͢Δͱ

p1 (k) = 

kp(k)
kp(k)
=


<k>
k k p(k )(3.19)

ͱͳΔ. Αͬͯ p1 (k) ͷ฼ؔ਺͸kx
k kp(k)x=<k>

k kp(k)x

G0 (1)k−1=x

G0 (x)
G0 (1)(3.20)

ͱͳΔ. ୈ 1 ੈ୅ͷϊʔυ͕ୈ 0 ੈ୅ͷϊʔυҎ֎ͷϊʔυʢୈ 2 ੈ୅ͷϊʔυʣͱྡ઀
͍ͯ͠Δ࣍਺͕ k ͱͳΔ֬཰ p1 (k) ͸, ୈ 1 ੈ୅ͷϊʔυͷ࣍਺͕ k + 1 Ͱ͋Ε͹Α͍ͷͰ (k + 1)p(k + 1) ʹൺྫ͢ΔΑͬͯ p1 (k) ͸(k + 1)p(k + 1)
(k + 1)p(k + 1)p1 (k) = =G0 (1)k (k + 1)p(k + 1)

(3.21)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

39

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦
ͱͳΔ.p1 (k) ͷ฼ؔ਺ G1 (x) ͸G1 (x) =k (k + 1)p(k + 1)xG0 (x)G0 (1)k

G0 (1)=(3.22)

ͱͳΔ.
࣍ʹୈ 2 ੈ୅ͷϊʔυͷ࣍਺͕ k ͷ֬཰ p2 (k) ͷ฼ؔ਺ G2 (x) Λ‫ٻ‬ΊΔ. ࣜͰॻ͘ͱ

p2 (k) =G2 (x) =p2 (k)xk =



k

 
k



p(n)

=

k1

p(n)

n

=

=





p(n)



n

i=1 ki







p(n)




kn

p1 (k1 )xk1

k1
n 
(

n

=

k2

···





k1

(3.23)p1 (k1 )p1 (k2 ) · · · p1 (kn )xk(3.24)

k1 +k2 +···+kn =k

k1 +k2 +···+kn =k Λ

n





p(n)

n

k

ͱͳΓ, ࣜ (3.24) ͷ

G2 (x) =p1 (k1 )p1 (k2 ) · · · p1 (kn )k1 +k2 +···+kn =k

n





p(n)

k2 · · ·kn ʹॻ͖௚͢ͱ

p1 (k1 )p1 (k2 ) · · · p1 (kn )xk1 +k2 +···+kn

p1 (k2 )xk2 · · ·k2p1 (kn )xkn

kn

p1 (ki )xkinp1 (k)xk

kp(n)G1 (x)nn

= G0 (G1 (x))͕ಘΒΕΔ. ݁‫ہ‬͸ G0 (x) ͷ x ͕ୈ 1 ੈ୅ͷϊʔυҰͭʹରԠ͍ͯ͠Δͱߟ͑ͯ, ୈ 1 ੈ୅ͷϊʔυͷୈ 0 ੈ୅ͷϊʔυʹ‫਺͍࣍ͳ͍͕ͯͬܨ‬ͷ෼෍ͷ฼ؔ਺ G1 (x) Λ x ʹ୅ೖͨ͠‫ͳʹܗ‬Δ.
˙T (γ, τ ) Λ༩͑ͨͱ͖ͷ࣍਺෼෍ͷ฼ؔ਺ ࣍ʹ, ༩͑ΒΕͨ T (γ, τ ) ʹ͍ͭͯΫϥελͷ࣍਺෼෍ͷ฼ؔ਺Λߟ͑Δ. ωοτϫʔΫ্ͷͦΕͧΕͷϘϯυΛ֬཰ T (γ, τ ) Ͱਁಁ͢ΔϘϯυʹ͠, ֬཰ 1 − T (γ, τ ) Ͱਁಁ͠ͳ͍Ϙϯυʹ͢Δ. ਁಁ͢ΔϘϯυͷΈͷ࿈݁Ͱ࡞ΒΕͨωοτϫʔΫͷ࣍਺෼෍ͷ฼ؔ਺Λ G0 (x; T ) ͱ͢Δͱ k ຊͷϘϯυͷ͏ͪ mຊ͕ਁಁ͢ΔϘϯυʹͳΔ֬཰͸k Cm Tm(1 − T )k−m

(3.25)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

40

ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

Ͱ͋Δ.G0 (x; T ) ͸

G0 (x; T ) =

∞ 
k


p(k)k Cm T m (1 − T )k−m xm

k m=0

=

∞


p(k)

k=0

k


k Cm (xT )m(1 − T )k−m

m=0

͔ͩΒ

G0 (x; T ) =∞p(k) (1 − T + xT )k

(3.26)m=0

ͱͳΔ.G1 (x; T ) Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱ



∞

k
(k + 1)P (k + 1) m=0 T m (1 − T )k−m xm∞
G1 (x; T ) = k=0
k=0 (k + 1)P (k + 1)
∞k(k + 1)P (k + 1) (1 + (x − 1)T )= k=0G0 (1)

ͱͳΔ.< a >=∞ap(T )dT ͱ͢Δͱ G̃0 (x) =< G0 (x; T ) >, G̃1 (x) =< G1 (x; T ) > ͸0$G̃0 (x)=G̃1 (x)

=

<

∞

k
p(k) (1 + (x − 1)T ) >k=0
p(k)k(1+(x−1)T )k−1
< k>
G0 (1)(3.27)

ͱͳΔ.
˙ΫϥελαΠζ෼෍ͷ฼ؔ਺ ୈ 0 ੈ୅ͷϊʔυΛ‫ؚ‬ΉύʔίϨʔγϣϯΫϥελαΠ
ζ͕ s ͱͳΔ෼෍Λ P0 (s) ͱ͢Δͱ, ͦͷ฼ؔ਺ H0 (x) ͸

H0 (x) =

P0 (s)xs(3.28)sͱͳΔ. ୈ 1 ੈ୅Ҏ߱ͷੈ୅ʹΑͬͯ‫ܗ‬੒͞ΕΔΫϥελͷαΠζ͕ s ͱͳΔ෼෍ͱͦͷ฼ؔ਺Λ P1 (s), H1 (x) ͱ͢ΔͱH1 (x) =

P1 (s)xs(3.29)sͱͳΔ. Ϙϯυ͕‫͕ͨͬܨ‬ΫϥελͷαΠζ͕ O(N ) ͱͳΔ৚݅Λߟ͑Δ. ίϯϑΟάϞ
σϧΛԾఆ͢Ε͹, ୈ 1 ੈ୅Ҏ߱ͷϊʔυʹΑͬͯ‫ܗ‬੒͞ΕΔ෦෼ΫϥελʔαΠζ s ͷ෼෍ͱ, ୈ 2 ੈ୅Ҏ߱ͷͦΕ͕Ұக͢Δ. ୈ 1 ੈ୅ʹྡ઀͢Δୈ 0 ੈ୅Ҏ֎ͷϊʔυ਺ͷ෼෍ͷ฼ؔ਺͸ࣜ (3.22) Ͱ༩͑ͨ G1 (x) Ͱ͋Δ. ୈ 2 ੈ୅Ҏ߱ͷϊʔυʹΑͬͯ‫ܗ‬੒͞ΕΔ෦෼ΫϥελʔαΠζ s ͷ෼෍͸ P1 (s) ͱҰக͢Δ. ͜ΕΛ࢖ͬͯ H1 (x) Λ

H1 (x) = xG̃1 (H1 (x))(3.30)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

41

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦ͱ ද ͢ ͜ ͱ ͕ Ͱ ͖ Δ . ୈ 1 ੈ ୅ ͷ ϊ ʔ υ Λ 1 ͭ ‫ ؚ‬Ή ͨ Ί ʹ x Λ ֻ ͚ ͨ.

H0 (x) ΋

H1 (x), G̃0 (x) Λ࢖ͬͯH0 (x) = xG̃0 (H1 (x))(3.31)

ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ಉ༷ʹୈ 0 ੈ୅ͷϊʔυΛ‫ؚ‬ΉͨΊʹ x Λֻ͚ͨ.
˙ฏ‫ۉ‬ΫϥελαΠζฏ‫ۉ‬ΫϥελαΠζ < s > ͷදࣜΛ‫ٻ‬ΊΔ. ࣜ (3.31) Λ࢖͏ͱ< s > = H0 (1)= G̃0 (H1 (x)) + G̃0 ([H1 (x)]x=1 ) H1 (x)= G̃0 (1) + G̃0 (1) H1 (x)

x=1

x=1

͔ͩΒ

< s > = 1 + G̃0 (1) H1 (1)(3.32)

ͱͳΔ. ·ͨࣜ (3.30) Λ࢖͏ͱ

[H1 (x)]x=1 = G̃1 ([H1 (x)]x=1 ) + G̃1 (H1 (x)) H1 (x)=1 + G̃1 (x)H1 (x)

x=1

x=1

Αͬͯ

H1 (1) =1
1 − G̃1 (1)(3.33)

Ͱ͋Δ͔Βࣜ (3.32),(3.33) Λ࢖ͬͯ
=1+G̃0 (1)
1 − G̃1 (1)(3.34)

ͱͳΔ.G̃0 (1), G̃1 (1) Λ‫͢ࢉܭ‬Δ.<> ͱ ∂x ͸ަ‫͢׵‬Δ͜ͱΛ࢖͏.

G̃0 (1) = G̃0 (x)
=
=

∞

k=0
∞


x=1
k

p(k) < ∂x (1 + (x − 1)T ) >p(k)k < (1 + (x − 1)T )

k−1

=

k=0

= T

kp(k)

k−1

m=0

∞

k=0

kp(k)

k−1 Cm [(x − 1)

T >
x=1

k=0
∞


x=1

m

]x=1 < T m+1 >《修士論文》

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42

ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

Αͬͯ

G̃0 (1) = T G0 (1)(3.35)

ͱͳΔ. ͦͯ͠

G̃1 (1) = G̃1 (x)
x=1
)
*

k−1
p(k)k
(1
+
(x
−
1)T
)
= ∂x < k>G0 (1)
) 
* x=1
k−1
p(k)k∂x (1 + (x − 1)T )= < k>G0 (1)
x=1
) 
*
k−2
p(k)k(k
−
1)T
(1
+
(x
−
1)T
)
= < k
>
G0 (1)
) 
*x=1
k−2
p(k)k(k − 1)T m=0 (x − 1)m T m= < k>G0 (1)
x=1
k−2

m
m+1
p(k)k(k − 1) m=0 [(x − 1) ]x=1 < T>= k
G0 (1)
k−2

p(k)k(k − 1) m=0 [(x − 1)m ]x=1 < T m+1 >= k
G0 (1)T
k p(k)k(k − 1)=G0 (1)
͔ͩΒG̃1 (1) =T G0 (1)G0 (1)(3.36)

ͱͳΔ. ࣜ (3.35),(3.36) Λ (3.34) ʹ୅ೖ͢Δ. G0 (1) =< k 2 > − < k >, G0 (1) =< k >Ͱ͋ΔͷͰ
=1+=1+

T G0 (1)1−T G0 (1)G0 (1)

T < k >2>−<k>)
1 − T (<k<k>ͱͳΔ.< s > ͕ಛҟతʹͳΔ T = Tc ͷ৚݅͸1−

Tc (< k 2 > − < k >)=0<k>⇔ Tc =<k>< k2 > − < k >(3.37)

《修士論文》

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43

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦
ͱͳΔ. ࣜ (3.37),(3.17) Λ࢖ͬͯ < s > ͕ಛҟతʹͳΔ λ Λ < k > ͷؔ਺ͱͯ͠‫ٻ‬Ί
Δͱ

<k>

λc
λc + 1<k>⇔ λc =
2< k > −2 < k >< k2 > − < k >=(3.38)͕ಘΒΕΔ.
˙ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷ৔߹ͷΫϥελαΠζ෼෍ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷ৔߹͸ < k >= k, < k 2 >= k 2 Ͱ͋Δ͔Β, సҠ఺͸

λc =

1
k−2

(3.39)

ͱͯ͠ಘΒΕΔ. ͜Ε͸ࣜ (3.12) ΍ 2.3.2 ͷ݁ՌͱҰக͍ͯ͠Δ. ϥϯμϜάϥϑ (ΤϧσγϡɾϨχʔάϥϑ) ͷసҠ఺΋͜ͷ‫݁ࢉܭ‬Ռͱ֓ͶҰக͍ͯ͠Δ͜ͱ͕ §2 ͷ݁Ռ͔Β෼͔Δ.
·ͨ,p(k  ) = δ(k − k  ) Ͱ͋Δ͔Βࣜ (3.27) ͔Β G̃0 (x), G̃1 (x) ͕໌ࣔతʹ‫·ٻ‬Γ,$G̃0 (x)G̃1 (x)==k(1 + (x − 1)T ))k−1
 k(1+(x−1)TG (1)(3.40)

0·ͨࣜ (3.35) ΑΓG̃0 (1) = T k

(3.41)

ͱͳΔ. ͜ΕΒΛ࢖ͬͯࣜ (3.30),(3.31) Λ‫͢ࢉܭ‬Ε͹[1 + (H1 (x) − 1) T ]H1 (x) = x
T

k−1

H0 (x) = x[1 + (H1 (x) − 1) T ](3.42)

k(3.43)

ࣜ (3.42) ͸ k ͷ஋ΛܾΊͳ͚Ε͹‫ࢉܭ‬ΛਐΊΒΕͳ͍. ͜͜Ͱ k = 3 ͷ৔߹Λߟ͑Ε͹,+1 − 2(1 − T )x − 1 − 4(1 − T )x
H1 (x)k=3 =2T x(3.44)

ͱͳΓ,

H0 (x)k=3 =1−3+
1 − 4(1 − T )x8x2

(3.45)

《修士論文》

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44

ୈ3ষ
͕ಘΒΕΔ. ྫ͑͹ x = 1 ͷͱ͖ʹ H0 (1) =‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ
s P0 (s) = 1 ͱͳΔ͸͕ͣͩ, ࣮ࡍʹ୅ೖ͢Δͱ

√
1 − 2T + 4T − 3
H1 (1)k=3 =2T√
1 − 2T + 4T − 3
H0 (1)k=3 =8(3.46)(3.47)

ͱͳΓ,T ≥ 3/4 ͢ͳΘͪ λ ≥ 2 Ͱ͔͠ఆٛ͞Ε͍ͯͳ͍͜ͱʹͳΔ. ͔࣮͠͠ࡍʹ͸λ > 0 ʹ͓͍ͯΫϥελαΠζ෼෍͸ఆٛ͞ΕΔ͸ͣͳͷͰ, ͳʹ͔͕͓͔͍͠. ҎԼ, ແ‫ݶ‬ΫϥελʹͳΔ෼෍Λ‫͢ࢉܭ‬ΔผͷΞϓϩʔν [15] Λ঺հ͢Δ.
ϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷ‫ີݫ‬ղωοτϫʔΫ্ͷϘϯυύʔίϨʔγϣϯΛߟ͑Ε͹, ਁಁ཰͕సҠ఺ΑΓ΋େ͖͍ͱ͖, ͢ͳΘ্ͪ‫ه‬ٞ࿦ʹ͓͍ͯ T > Tc ͷͱ͖, ֬཰ 1 Ͱແ‫ݶ‬Ϋϥελ͕Ͱ͖Δ. ͔͠͠,ϥϯμϜʹબΜͩಛఆϊʔυΛ‫ؚ‬ΉΫϥελ͕ແ‫ݶ‬ΫϥελʹͳΔ֬཰͸ 1 Ͱ͸ͳ͍༗‫ݶ‬
֬཰Ͱ͋Ζ͏. ͜ͷઃఆ͸, Ұ‫ݟ‬,SIR ໛‫ײظॳ͍͓ͯʹܕ‬છϊʔυ਺Λ 1 ͱͨ͠ͱ͖ͷऴঢ়ଶʹ͓͚Δ R ঢ়ଶͷϊʔυ਺͕ແ‫ݶ‬େʹͳΔ֬཰͕ 1 Ͱͳ͍͜ͱ, ͢ͳΘͪ SIR ໛‫ܕ‬ʹ͓͍ͯ෼‫ݱذ‬৅͕‫͜ى‬Δ͜ͱͱରԠ͢ΔΑ͏ʹࢥΘΕΔ. ࣍਺ k ≥ 3 ͷϕʔς֨ࢠ͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷۙࣅͱͯ͠࢖͑, ·ͨແ‫ݶ‬Ϋϥελ͕ಛఆϊʔυΛ‫ؚ‬Ή֬཰Λ‫͖Ͱࢉܭʹີݫ‬Δ [15] ͨΊ, ͜ΕΛ঺հ͢Δ.
˙͋ΔϘϯυͷઌʹແ‫ݶ‬Ϋϥελ͕ੜ͡Δ֬཰

3.5.1 ʹशͬͯ, ͋ΔϘϯυͷઌʹແ‫ݶ‬Ϋϥελ͕ଘࡏ͢Δ֬཰Λߟ͑Δ. ࣍਺ k ͷϕʔς֨ࢠΛߟ͑Δ. Ϙϯυ͕։֬͘཰Λ্ͷٞ࿦ʹशͬͯ T ͱ͢Δ. ೚ҙͷϘϯυͷઌʹແ‫ݶ‬Ϋϥελ͕ੜ͡ͳ͍֬཰Λ q ͱ͢
Δ. q ͸, ͦͷϘϯυ͕ด͍ͯ͡Δ֬཰ 1 − T ͱ, ͦͷϘϯυͷઌʹ͍͍ͭͯΔϊʔυ͔Βల։͢Δ k − 1 ‫ݸ‬ͷϘϯυͦΕͧΕʹ͍ͭͯ, ͦͷઌʹແ‫ݶ‬Ϋϥελ͕ੜ͡ͳ͍֬཰

T q k−1 ͷ࿨Ͱ‫ٻ‬ΊΒΕΔͷͰ,q = 1 − T + T q k−1⇔ (1 − q) − T (1 − q k−1 ) = 0⇔ (1 − q)(1 − Tk−2qj ) = 0(3.48)

j=0

ͱͳΔ. Αͬͯ q ͸ k ≥ 3 ʹ͓͍ͯ 1 ͱͦΕҎ֎ͷਖ਼ͷղΛ 1 ͭ࣋ͭ. 1 Ҏ֎ͷղΛ q∗ ͱ͓͘.
˙ಛఆͷϊʔυ͕ແ‫ݶ‬Ϋϥελʹ‫·ؚ‬ΕΔ֬཰

ಛఆͷϊʔυ͕ແ‫ݶ‬Ϋϥελʹ‫·ؚ‬Εͳ͍֬཰Λ 1 − p ͱ͢Δ. p ͸, ͦͷϊʔυ͕΋ͭ k ‫ݸ‬ͷϘϯυશͯͷઌʹແ‫ݶ‬Ϋϥελ͕

《修士論文》

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45

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦
ੜ͡ͳ͍֬཰Ͱ͋Δ͔Β

p = qk

1
⇒p=
q∗k

f or
f or

q=1
q = q∗(3.49)

Ͱ͋Δ.
˙۩ମྫ:k = 3 ͷ৔߹۩ମྫͱͯ͠ k = 3 ͷ৔߹Λߟ͑Δ. ࣜ (3.48) ͷղͱͯ͠q = 1,

1 − TT(3.50)͕ಘΒΕΔ. ͜ΕΛࣜ (3.49) ʹ୅ೖ͢Ε͹ p ͸

$
p=



1
1−T
T

3

f or

q=1

f or

q = 1−TT(3.51)

ͱͳΔ.q = 1, p = 1 ͷղ͸ T < Tc ͢ͳΘͪ λ < λc ʹରԠ͓ͯ͠Γ, q = q∗ , p = q∗3 ͸
1T > Tc ͢ͳΘͪ λ > λc ʹରԠ͍ͯ͠Δ.

perc
SIR

0.8

SIR ໛‫ͱܕ‬ͷൺֱͱߟ࡯

p0.6

ࣜ (3.17) ΑΓ

0.4

λ
T =
(3.52)
λ+1
3

1−T
͕ಘΒΕ͍ͯΔ. ͜ΕΛ p =
ʹ୅ೖ͢
T
Ε͹


p=

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

ਤ 3.7

0.8

1

λ

1.2

1.4

1.6

1.8

2

੺͍ઢ͸ࣜ (3.53) ʹ͓͚Δ p. ͢ͳΘͪϕʔς֨ࢠ্ͷ

1

1 3
λ

f or
f or

λ < λcλ > λcϘϯυύʔίϨʔγϣϯʹ͓͍ͯ(3.53)

ಛఆϊʔυ͕ແ‫ݶ‬Ϋϥελʹ‫·ؚ‬ΕΔ֬཰.k = 3. ྘ͷϙΠϯτ

͕ಘΒΕΔ. ͜ΕΛϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ্͸ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ্ͷͷ SIR ໛‫ܕ‬ͷ݁Ռ (ਤ 3.2) ͱൺֱͨ͠ (ਤ 3.7).

SIR ໛‫ܕ‬ͷऴঢ়ଶʹ͓͍ͯ nR <1/16 ͱͳΔׂ߹ p(nR < 1/16).
k = 3, m = 1, N = 65536.

λ > λc ʹ͓͍ͯϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷ݁Ռͷํ͕ p ͕খ͍͞. ͢ͳΘͪແ‫ݶ‬Ϋϥελʹ‫·ؚ‬ΕΔ֬཰͕େ͖͍. ͜Ε͸ϧʔϓͷӨ‫͋Ͱڹ‬Ζ͏ͱࢥΘΕΔ. ϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷղੳ͸ϕʔς֨ࢠ্Ͱߦͬͨ. ϕʔς֨ࢠ͸ϧʔϓ͕ଘࡏ͠ͳ͍. ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥ
ϑ͸ϧʔϓ͕ଘࡏ͢Δ. ϧʔϓ͕ଘࡏ͢Δͱ, Ұͭͷ S ঢ়ଶͷϊʔυʹରͯ͠ෳ਺ͷͷ Iঢ়ଶͷϊʔυ͔ΒϘϯυ͕ுΒΕ͍ͯΔΑ͏ͳঢ়‫͜ى͕گ‬Δ. ͜ͷঢ়‫گ‬͸,λ > λc ʹ͓͍ͯ༗‫͜ىͰ཰֬ݶ‬ΔͩΖ͏. ͜ͷ৔߹,S ঢ়ଶͷϊʔυ͕͋Δ I ঢ়ଶͷϊʔυ a ʹ‫ײ‬છͤ͞

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

46

ୈ3ষ

1

N=8192,lam=0.4
N=4096,lam=0.4
N=2048,lam=0.4
N=1024,lam=0.4
N=512,lam=0.4

0.01

0.001

0.0001

0.01

0.001

1

10

100

NR

1000

(a) λ = 0.4

10000

0.0001

1

N=8192,lam=2.0
N=4096,lam=2.0
N=2048,lam=2.0
N=1024,lam=2.0
N=512,lam=2.0

0.1

P(NR)

0.1

P(NR)

P(NR)

0.1

1

N=8192,lam=1.0
N=4096,lam=1.0
N=2048,lam=1.0
N=1024,lam=1.0
N=512,lam=1.0

0.01

0.001

1

10

100

NR

1000

(b) λ = 1

10000

0.0001

N=8192,lam=3.0
N=4096,lam=3.0
N=2048,lam=3.0
N=1024,lam=3.0
N=512,lam=3.0

0.1

P(NR)

1

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

0.01

0.001

1

10

100

NR

1000

(c) λ = 2

10000

0.0001

1

10

100

NR

1000

10000

(d) λ = 3ฏ‫ۉ‬৔ SIR ໛‫ܕ‬ͷ NR ͷώετάϥϜͷ਺஋࣮‫݁ݧ‬Ռ. m = 1, N =1024, 2048, 4096, 8192.

ਤ 3.8

ΒΕͯ I ঢ়ଶʹมΘΔલʹ, ଞͷ I ঢ়ଶͷϊʔυ b ͕‫ײ‬છͤͨ͞৔߹, a ͕ S ঢ়ଶͷϊʔυΛ‫ײ‬છͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͘ͳͬͯ͠·͏. ͦΕͧΕͷϘϯυʹ͓͚Δ T a , T b ͸ಠཱͰ͸ͳ͘ͳΓ, ‫ײ‬છͷ޿͕Γ΍͕͢͞ϧʔϓ͕ଘࡏ͠ͳ͍৔߹ʹൺ΂ͯখ͘͞ͳͬͯ͠·͏. ͦͷӨ‫ Ͱڹ‬λ > λc ʹ͓͍ͯ‫ײ‬છ͕ຮԆ͠ͳ͍֬཰͕ϕʔς֨ࢠΑΓ΋খ͘͞ͳΔͱࢥΘΕΔ.
͔ٙ͠͠໰͕࢒Δ. ͔ͨ͠ʹऴঢ়ଶʹ͓͚Δ‫ײ‬છຮԆ཰ nR ͷ஋͸ϧʔϓͷӨ‫ڹ‬Λ͏͚ͯ, ϕʔς֨ࢠΑΓ΋ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷํ͕খ͘͞ͳΔͰ͋Ζ͏. ͔͠͠, ‫ײ‬છ͕ຮԆ͠ͳ͍৔߹͸ I ঢ়ଶͷϊʔυͷνΣʔϯʹΑͬͯ S ঢ়ଶͷϊʔυ͕‫ڬ‬Έܸͪʹ͞ΕΔΑ͏ͳ͜ͱ͕͞΄Ͳ‫͜ى‬ΔͩΖ͏͔. ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑͷϧʔϓͷେ͖͞ͷฏ‫ۉ‬஋͸ O(logN ) Ͱ͋Δ͔Β, ೤ྗֶ‫ ݶۃ‬N → ∞ ʹ͓͍ͯϧʔϓͷӨ‫ڹ‬͸ແࢹͰ͖Δ.
ਤ 3.2) Λ‫ݟ‬Ε͹ N ʹؔͯ͠े෼ऩଋ͍ͯ͠ΔͷͰ, ༗‫ݶ‬αΠζޮՌͱ͸ࢥ͑ͳ͍. ਤ 3.8
ʹฏ‫ۉ‬৔ SIR ໛‫ܕ‬ͷ NR ͷώετάϥϜ p(NR ; λ, N ) Λࣔͨ͠. ͜ΕΛ‫ݟ‬Δͱ λ > λc ʹ͓͍ͯ N ґଘੑ͸‫ݟ‬ΒΕͳ͍. ͜ͷ݁Ռ͔Β΋༗‫ݶ‬αΠζޮՌͷӨ‫ͱڹ‬͸ࢥ͑ͳ͍.
΋͏Ұͭ‫ͳʹؾ‬Δͷ͸࣏༊࣌ؒͷۙࣅͰ͋Δ. ϙΞιϯաఔͰ͸ͳ͘ͳͬͯ͠·͏. ࢲ͸͜ͷۙࣅ͸ଥ౰Ͱ͸ͳ͘, ͦͷ݁Ռͱͯ͠ SIR ໛‫ͱܕ‬ϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷҧ͍͕‫ݱ‬ΕΔͷͰ͸ͳ͍͔.SIR ໛‫ܕ‬ͷ৔߹,τ ͸ͦΕͧΕͷ I ঢ়ଶͷϊʔυͰҟͳΔ஋ΛऔΔ͕, ͜ͷۙࣅ͸‫ ʹޙ‬τ ͷ෼෍ؔ਺ P (τ ) Λ༻͍ͯ τ Λฏ‫ۉ‬Խ͢Δ͜ͱͰ,ʮશͯͷ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ฏ‫ۉ‬తͳ࣌ؒͰ࣏Δʯ͜ͱΛԾఆ͢Δ͜ͱʹͳΔ. ͜Ε͸‫ײ‬છ΋࣏༊΋ϙΞιϯաఔͱ͢Δ SIR ໛‫ܕ‬ͷఆٛͱ͸ҟͳ͍ͬͯΔ. ͜ΕʹΑͬͯҧ͍͕‫ݱ‬Ε͍ͯΔͷͰ͋Ε
͹,SIR ໛‫ͱܕ‬ϘϯυύʔίϨʔγϣϯ͸ແ‫ݶ‬ճࢼߦͱ 1 ճࢼߦͰҰରҰରԠ͢Δ΋ͷͰ͸ͳ͘, ຊ࣭తʹҟͳΔ‫ݱ‬৅Ͱ͋Δͱ͍͏݁࿦͕ಘΒΕΔ. ͔͠͠ͳ͕Β, ࣮ࡍͷ‫ײ‬છ঱ͷ࣏༊Λ೦಄ʹ͓͚͹, ࣏༊ʹ͔͔Δ࣌ؒ͸ࢦ਺෼෍ΑΓ΋ฏ‫ۉ‬஋ʹ‫ͨ͠ࡏہ‬Ψ΢ε෼෍ʹ͍ۙ෼෍Λ࣋ͭͱࢥΘΕΔͨΊ, ͦͷҙຯͰ͸‫ײ‬છ঱໛‫ͯ͠ͱܕ‬͸ଥ౰ͳͷ͔΋͠Εͳ͍.

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

47

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦

3.5.2 ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͷղੳղΛ‫ٻ‬ΊΔͨΊͷࢼߦࡨ‫ޡ‬ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜ (3.4) ͷఆৗղ͸ i = 0 ʹ͓͍ͯಛҟੑ͕͋Γ, ղੳղ, ਺஋ղ‫ٻʹڞ‬ΊΔ͜ͱ͕೉͍͠. ͜͜ʹ͸ղੳղΛ‫ٻ‬ΊΔࢼߦࡨ‫ޡ‬Λ͜͜ʹࣔ͢.
ࣜ (3.4) ͷఆৗղΛ P (s, i) ͕ຬͨ͢ํఔࣜ͸







"
(λs + 1) iλsi
0 = −∂i [(λs − 1) iP (s, i)] − ∂iP (s, i) + ∂s
P (s, i)
2N
2N




"
λsi
λsi
P (s, i) + ∂i
P (s, i)(3.54)−∂s − [λsiP (s, i)] − ∂s
2N
2N
ͱͳΔ. ‫ݩ‬ͷ SIR ໛‫͑ߟ͍͓ͯʹܕ‬Ε͹, ఆৗঢ়ଶʢऴঢ়ଶʣͷఆٛͱͯ͠ i = 0 Ͱ͋Δ.
͢ͳΘͪఆৗղ͸ i > 0 ʹ͓͍ͯ P (s, i) = 0 ͱͳΔ. ΑͬͯP (s, i) = P (s) δ(i − )

(3.55)

ͱ͓͍ͯΈΔ. ͨͩ͠ i = 0 ʹ͓͍ͯಛҟతͰ͋ΔͨΊ, i =  ʹ͓͍ͯͷΈ P (s, i) ͸ਖ਼ͷ஋Λ࣋ͭ͜ͱʹ͠, ղΛ‫ٻ‬Ίͨ‫ →  ʹޙ‬0 ͱ͢Δ͜ͱΛߟ͑Δ. ͜ΕΛࣜ (3.54) ʹ୅ೖͯ྆͠ลΛ i Ͱੵ෼͢Δ. i ͷఆٛҬ͸ [0, 1] Ͱ͋Δ.





"i=1
(λs + 1) i
λsi
f (s) = − [(λs − 1) iP (s) δ(i − )] − ∂iP (s) δ(i − ) + ∂s
P (s, i)
2N
2N
i=0




"
 1
λsi
λsi
−
di∂s − [λsiP (s) δ(i − )] − ∂sP (s) δ(i − ) + ∂i
P (s) δ(i − )
2N
2N
0


"
λs
P (s)
(3.56)= −∂s − [λsP (s)] − ∂s2NͱͳΔ.f (s) ͸೚ҙؔ਺ͳͷͰ, ͜ͷ··Ͱ͸ P (s) Λղ͘͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍. f (s) = 0 ͷ৔߹Λߟ͑Δͱղ͸ఆ਺ c Λ࢖ͬͯP (s) = ce−2N ss(3.57)͕ಘΒΕΔ͕, ͜Ε͸‫ݱ‬৅Λද͢ղͰ͸ͳ͍. i = 0 ʹ͓͚ΔಛҟੑΛ δ(i) ͱ͓͍ͯ΋‫ܭ‬ࢉ্͕ख͍͔͘ͳ͍͜ͱ͕෼͔ͬͨ.

3.5.3 ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͱϥϯδϡόϯํఔࣜͷؔ܎
2 ม਺ͷϥϯδϡόϯํఔࣜͱϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͷؔ܎Λಋ͘. ҏ౻ͷԋࢉ๏ଇʹ‫ ͍ͨͮج‬2 ม਺ x(t), y(t) ʹؔ͢ΔϥϯδϡόϯํఔࣜͷҰൠ‫ܗ‬Λẋ(t) = ax + bxx · ξx + bxy · ξyẏ(t) = ay + byx · ξx + byy · ξy(3.58)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

48

ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

ͱͯ͠༩͑Δ. ξi ͸Ψ΢γΞϯϗϫΠτϊΠζͰ͋Γ, ҎԼͷੑ࣭Λຬͨ͢.

ξi = 0ξi (t)ξj (t ) = δij δ(t − t )(3.59a)(3.59b)ξj ͷલͷ · ͸ҏ౻ੵΛද͢. ·ͨ,2 ม਺ x, y ʹؔ͢ΔϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͷҰൠ‫ܗ‬Λ∂t P (x, y, t) = −∂x [P Ax + ∂x P Bx + ∂y P Cx ] − ∂y [P Ay + ∂y P By + ∂y P Cy(3.60)]
ͱͯ͠༩͑Δ. ͜ͷͱ͖ x, y ͷؔ਺ ax , ay , bxx , bxy , byx , byy ͱ Ax , Bx , Cx , Ay , By , Cy ͷؔ܎ࣜΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕໨తͰ͋Δ.
˙ؔ܎ࣜͷಋग़ ֬཰ີ౓ P (x, y, t) ͸ x, y Λ࢖ͬͯҎԼͷΑ͏ʹॻ͖ԼͤΔ.

P (x, y, t) = δ(x − x(t))δ(y − y(t))(3.61)< · > ͸Ξϯαϯϒϧฏ‫ۉ‬Λද͢. P (x, y, t + Δt) Λ Δt ʹ͍ͭͯల։͢Δ. ·ͣ,xi (t +Δt) = xi (t) + Δxi ͱͯ͠ Δxi ΛҎԼͷΑ͏ʹ‫ٻ‬ΊΔ.
Δxi = xi (t + Δt) − xi (t)= [ai + byj · ξj ] Δt + O(Δt3/2 )(3.62)

Δt → 0 ʹ͓͍ͯ O(Δt3/2 ) ͷ߲͸ແࢹͰ͖Δ.
࣍ʹ P (x, y, t + Δt) = δ(x − x(t + Δt))δ(y − y(t + Δt)) Λࣜ (3.62) Λ࢖ͬͯॻ͖
Լ͢.

δ(xi − xi (t + Δt)) = δ(xi − xi (t) − Δxi )1= δ(xi − xi (t)) − δ  (xi − xi (t))Δxi + δ  (xi − xi (t))Δx2i2= δ(xi − xi (t)) − δ (xi − xi (t)) [ai + byj · ξj ] Δt12
+ δ  (xi − xi (t)) [ai + byj · ξj ] Δt2(3.63)
2

《修士論文》

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49

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦
Ͱ͋Δ͔Βࣜ (3.59) Λ࢖ͬͯ δ(x − x(t + Δt))δ(y − y(t + Δt)) Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱ

δ(x − x(t + Δt))δ(y − y(t + Δt))


1 
2

2
= δ(x − x(t)) − δ (x − x(t)) [ax + bxj · ξj ] Δt + δ (x − x(t)) [ax + bxj · ξj ] Δt
2


1 
2

2
× δ(y − y(t)) − δ (y − y(t)) [ay + byj · ξj ] Δt + δ (y − y(t)) [ay + byj · ξj ] Δt2
= δ(x − x(t))δ(y − y(t))
12−δ(x − x(t))δ  (y − y(t)) [ay + byj · ξj ] Δt + δ(x − x(t)) δ  (y − y(t)) [ay + byj · ξj ] Δt22
12−δ(y − y(t))δ  (x − x(t)) [ax + bxj · ξj ] Δt + δ(y − y(t)) δ  (x − x(t)) [ax + bxj · ξj ] Δt22+δ (x − x(t))δ (y − y(t)) [ax + bxj · ξj ] [ay + byj · ξj ] Δt2(3.64)͕ಘΒΕΔ. ͨͩ͠ j ͸ j = x, y ͷ࿨ΛऔΔ. ࣜ (3.64) ͷ྆ลͷΞϯαϯϒϧฏ‫> · < ۉ‬ΛͱͬͯP (x,y,t+Δt)−P (x,y,t)Λ‫͢ࢉܭ‬Δ.
Δtࣜ (3.64) ͷӈล͸ Δt ͷҰ߲͚࣍ͩΛ࢒ͤ͹Α͍ͷͰ,δ  (xi − xi (t))δ  (xj − xj (t)) = ∂xi ∂xj P (xi , xj , t)
ξj Δt = 0ξj ξj Δt = 1(3.65a)(3.65b)(3.65c)Λ࢖ͬͯ‫͢ࢉܭ‬Δ.Δt → 0 ͷ‫͍͓ͯʹݶۃ‬∂P (x, y, t)
∂P ax
∂P ay
=−
−
∂t
∂x
∂y
2
2
2
2
1 ∂ 2 P byx + byy
1 ∂ 2 P bxx + bxy
+
+
2
∂y 2
2
∂x2
∂ 2 P (bxx byx + bxy byy )++ O(Δt1/2 )∂x∂y(3.66)∂∂͕ಘΒΕΔ.O(Δt1/2 Λແࢹ͢Ε͹, ͜Ε͸ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͰ͋Δ. ∂y, ∂xͰͬͯ͘͘੔ཧ͢Δͱ
- 1∂P (x, y, t)
1 ,2
2− ∂y [P (bxx byx + bxy byy )]= −∂x P ax − ∂x P bxx + bxy
∂t
2
2


- 1
1 ,
2
2
− ∂y [P (bxx byx + bxy byy )](3.67)−∂y P ay − ∂y P byy + byx
2
2

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

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ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

ͱͳΔ. Αͬͯ

Ax = ax1
Bx = − bxx 2 + bxy 2
21
Cx = − (bxx byx + bxy byy )2
Ay = ay1
By = − byy 2 + byx 221
Cy = − (bxx byx + bxy byy )2(3.68a)(3.68b)(3.68c)(3.68d)(3.68e)(3.68f)͕ಘΒΕΔ.
˙ࠓճͷ‫ ࢉܭ‬x → s, y → i ͱͯࣜ͠ (3.4) ʹࣜ (3.68) Λ౰ͯ͸ΊΕ͹−λsi = as11−(λs + 1)i = − bss 2 + bsi 22N211
λsi = − (bss bis + bsi bii )2N2(λs − 1)i = ai
11
λsi = − bii 2 + bis 22N211
λsi = − (bss bis + bsi bii )2N2(3.69a)(3.69b)(3.69c)(3.69d)(3.69e)(3.69f)͕ಘΒΕΔ. ͜Ε͔Β as , ai , bss , bsi , bis , bii ʹ͍ͭͯղ͘. as , ai ͸஋͕֬ఆͯ͠

as = −λsiai = (λs − 1)i(3.70a)(3.70b)

ͱͳΔ.bss , bsi , bis , bii ʹ͍ͭͯ͸஋͕֬ఆ͠ͳ͍͕, ྫ͑͹ղͷ૊ͱͯ͠'bss = −λsiN

bsi = 0'(3.71b)bis =(3.71c)

λsi
N
'
i
bii =
N

͕ଘࡏ͢Δ.

(3.71a)(3.71d)《修士論文》

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51

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦

3.5.4 ϥϯδϡόϯํఔࣜͷม਺ม‫׵‬x, y Λม਺ͱ͢Δϥϯδϡόϯํఔࣜʹ͍ͭͯ,(x, y) Λ (u(x, y), v(x, y) ʹม਺ม‫͢׵‬
Δ. x, y ͷϥϯδϡόϯํఔࣜΛẋ(t) = ax + bxx · ξx + bxy · ξyẏ(t) = ay + byx · ξx + byy · ξy(3.72)

ͱͯ͠༩͑Δ.
˙४උ४උͱͯ͠,dx(t), dy(t) ΛҎԼͷΑ͏ʹ༩͑Δ.



dx(t)
dy(t)

=
=

ax dt + bxx · ξx dt + bxy · ξy dt + O(dt3/2 )ay dt + byx · ξx dt + byy · ξy dt + O(dt3/2 )(3.73)

͜ͷઌ࢖͏ͨΊʹ,dx2 , dy 2 , dxdy Λ dt1 ·Ͱ‫͢ࢉܭ‬Δ.

⎧ 2
⎨ dx
dy 2
⎩
dxdy
˙ม਺ม‫׵‬===(b2xx + b2xy )dtO(dt2 )(b2yx + b2yy )dt + O(dt2 )(bxx byx + bxy byy )dt + O(dt2 )(3.74)ͯ͞, ࣮ࡍʹ u, v ͕ຬͨ͢ํఔࣜΛಋ͘.du, dv Λม਺ x, y ͷશඍ෼‫Ͱࣜܗ‬

༩͑.



du =
dv =

ux dx + 12 uxx dx2 + uy dy + 12 uyy dy 2 + uxy dxdy
vx dx + 12 vxx dx2 + vy dy + 12 vyy dy 2 + vxy dxdy

(3.75)2∂ uͨͩ͠ఴࣈ͸ภඍ෼Λද͢. ͨͱ͑͹ uxy = ∂x∂y౳ͱ͢Δ. ࣜ (3.74) Λ୅ೖͯ͠੔ཧ͢

Δͱ

⎧
du
⎪
⎪
⎨

=

dv
⎪
⎪
⎩

=

,
ux ax + 12 uxx (b2xx + b2xy ) + uy ay + 12 uyy (b2yx + b2yy ) + uxy (bxx byx + bxy byy ) dt+(ux bxx + uy byx ) · ξx dt + (ux bxy + uy byy ) · ξy dt + O(dt3/2 ),vx ax + 12 vxx (b2xx + b2xy ) + vy ay + 12 vyy (b2yx + b2yy ) + vxy (bxx byx + bxy byy ) dt+(vx bxx + vy byx ) · ξx dt + (vx bxy + vy byy ) · ξy dt + O(dt3/2 )(3.76)

ͱͳΔ. ྆ลΛ dt ͰׂΔͱ u, v ͷϥϯδϡόϯํఔ͕ࣜಘΒΕΔ.

⎧
u̇ =
⎪
⎪
⎨
v̇
⎪
⎪
⎩

=

ux ax + 12 uxx (b2xx + b2xy ) + uy ay + 12 uyy (b2yx + b2yy ) + uxy (bxx byx + bxy byy )+(ux bxx + uy byx ) · ξx + (ux bxy + uy byy ) · ξy + O(dt1/2 )1vx ax + 2 vxx (b2xx + b2xy ) + vy ay + 12 vyy (b2yx + b2yy ) + vxy (bxx byx + bxy byy )+(vx bxx + vy byx ) · ξx + (vx bxy + vy byy ) · ξy + O(dt1/2 )(3.77)

ux bxy + uy byy , vx bxy + vy byy ͕ u, v ͷؔ਺ͱͳΒͳ͍Α͏ͳม਺ม‫׵‬Λ‫͚ͭݟ‬Ε͹, ղੳ͕༰қʹͳΔ.

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

52

ୈ3ষ

˙ࠓճͷ‫ ࢉܭ‬x → s, y → i ͱͯ͠ u = s, v =‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

√N i ʹม਺ม‫͢׵‬Δ.

us = 1
uss = ui = uii = usi = 0
vs = vss = vsi = 0
'
1 N
N1
vi =
=
2
i
2 v
'
1 N
N2 1
=
−
vii = −
4 i3
4 v3

(3.78a)(3.78b)(3.78c)(3.78d)(3.78e)Ͱ͋Δ͔Βࣜ (3.70),(3.71) Λ࢖͑͹

$

u̇

=

v̇

=

√

1
2
λuv 2 · ξ1 + O(dt1/2 )N −λuv −√λu−1
λu+1 1
λu
1
1/2
)
2 v−
8 v + 2 · ξ1 + 2 · ξ2 + O(dt(3.79)

ͱͳΔ. ࣜ (3.7) ͸ࣜ (3.79)(u, v) Λ (s, Y ) ʹஔ͖‫ͦࣜͨ͑׵‬ͷ΋ͷͰ͋Δ.

3.5.5 ϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜͷ਺஋ղ˙ϞσϧϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜ (3.4) ʹ͓͍ͯ s = 1, I = N i ͱ͢Ε͹∂t P (I, t) = −∂I (λ − 1)IP (I, t) − ∂I(λ + 1)IP (I, t)2

(3.80)͕ಘΒΕΔ. ͜ΕΛ਺஋తʹղ͘. ࣜ (3.80) Λ֬཰อଘͷࣜͱΈͳͤ͹,$∂t P (I, t)=

J(I, t)=−∂I J(I, t)(λ − 1)IP (I, t) − ∂I(λ+1)IP (I, t)2

(3.81)ͱͳΔ.
˙཭ࢄԽ࢝ΊʹۭؒΛ཭ࢄԽ͢Δ. ∂+ f (x) = (f (x + Δx) − f (x))/Δx, ∂− f (x) =(f (x) − f (x − Δx))/Δx ͱͯ͠, ࣜ (3.81) ʹ͓͍ͯ$−∂+ J(I, t)∂t P (I, t) =J(I, t)=(λ − 1)IP (I, t) − ∂−(λ+1)IP (I, t)2

(3.82)

ͱ͢Δ. ࣌ؒΛ཭ࢄԽ͢Δ.

P (I, t + Δt) = P (I, t) − ∂+ J(I, t)Δt

(3.83)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

53

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦

11

lam=0.5,t=0
t= 1.2t= 2.4t= 3.6t= 4.8t= 6.0t= 7.2t= 8.4t= 9.6t=10.8

0.1

0.1

P(I)

P(I)

0.01

0.001

0.001

0.001

0.00010.00010.0001

1e-005

0

2

4

6

8

10

I

12

14

16

18

20

lam=2,t=0
t=0.3
t=0.6
t= 0.9t= 1.2t= 1.5t= 1.8t= 2.1t= 2.4
t=2.7

0.1

0.01

P(I)

0.01

1

lam=1,t=0
t=0.6
t=1.2
t=1.8
t=2.4
t=3.0
t=3.6
t=4.2
t=4.8
t=5.4

1e-005024(a) λ = 0.5

6

8

10

I

12

14

16

18

20

1e-0050(b) λ = 1

2

4

6

8

10

I

12

14

16

18

20

(c) λ = 2

֤ λ ʹ͓͚ΔϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜ (3.80) ͷ਺஋ղ. ϙΠϯτͷ৭͸ͦ

ਤ 3.9

ΕͧΕͷ࣌ࠁΛද͢. ࠨͷਤ͸ λ = 0.5 ͷͱ͖. ֬཰͕࣌ؒ‫ܦ‬աͱͱ΋ʹ I = 0 ʹཷ·͍༷ͬͯ͘ࢠ͕෼͔Δ. தͷਤ͸ λ = 1, ӈͷਤ͸ λ = 2 ͷͱ͖.λ Λେ͖͘͢Δͱ֬཰͕Ұఆఔ౓ I = L ʹ΋ཷ·Γ࢝ΊΔ༷ࢠ͕෼͔Δ.

˙‫ڥ‬ք৚݅

I ͷఆٛҬ͸ຊདྷ [0, ∞] Ͱ͋Δ͕, े෼େ͖͍ L Λ࢖ͬͯ [0, L] ͱ͢Δ.

I = 0, I = L ʹ͓͍ͯ൓ࣹ‫ڥ‬քͱͨ͠. ͢ͳΘͪJ(0, t) = 0
J(L, t) = 0(3.84)

Λຬͨ͢. ࣜ (3.82) Λ࢖͑͹⎧
⎨ J(0, t)=[(λ − 1)IP (I, t)]I=0 −(λ+1)I(λ+1)(I−ΔI)P (I − ΔI, t)
2ΔI P (I, t) −2ΔI
I=0(λ+1)I(λ+1)(I−ΔI)
P
(I,
t)
−
P
(I
−
ΔI,
t)
2ΔI
2ΔI
I=L

⎩J(L, t) = [(λ − 1)IP (I, t)]
I=L −$P (−ΔI, t) =0⇔(λ+1)/2
L−ΔI
P (L, t)= (λ−1)Δt−(λ+1)/2 L P (L − ΔI, t)(3.85)͕ಘΒΕΔ. ͜Ε͕‫ڥ‬ք৚݅Ͱ͋Δ.
˙ॳ‫ظ‬৚݅, ‫ܥ‬ͷઃఆॳ‫ظ‬৚݅͸ I ͷൣғ [0, 2] ʹ͓͍ͯฏ‫ ۉ‬μ = 1, ෼ࢄ σ 2 = 0.1 ͷΨ΢ε෼෍, ͦΕҎ֎ͷൣғͰ 0 ͱ͢Δ.ΔI = L/128, L = 20, Δt = 1/4096, N = 128 ͱͨ͠.

λ = 0.5, 1, 2 ͱͨ͠ͱ͖ͷ݁ՌΛਤ 3.9 ʹࣔͨ͠.

《修士論文》

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54

ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

3.5.6 Q(Y, t) ͷϑΥοΧʔϓϥϯΫํఔࣜ (3.10) ͷผಋग़ࣜ (3.4) ͔Β s = 1, Y =√N i ͱͯࣜ͠ (3.10) Λಋग़͢Δ. s ΛࢭΊΔ.s = 1 ͱͯ͠,sͰͷඍ෼͸ 0 ͱ͢Δ. P (i, t) = P (1, i, t) ͱ͢Δ.

"∂P (i, t)1= −∂i [(λ − 1) iP (i, t)] −∂i [(λ + 1) iP (i, t)]
∂t
2N
Y =

(3.86)√NN i ʹม਺ม‫͢׵‬Δ. ∂i = 2Y
∂Y , P (i, t)di = Q(Y, t)dY ͢Δͱ Q(Y, t) =2Y
Y2
N P ( N , t) ͱͳΔ.Q(Y, t) ͷํఔࣜΛ‫ٻ‬ΊΔ.



∂P

Y2
N ,t

∂t



N
=−
∂Y
2Y



Y2
(λ − 1)
P
N

Y2
,t
N

!


Y2
1 N
−
∂Y (λ + 1)
P
2N 2Y
N

!"
Y2
,t
N
(3.87)

྆ลʹ 2YN Λ͔͚Δ. ࠨล͸ ∂t Q(Y, t) ͱͳΔ.






!
!"
λ − 1 2Y
2Y
Y2
λ+1
Y2
= −∂Y
Y
P
,t −
∂Y Y
P
,t
∂t
2
N
N
8Y
N
N

"

λ−1
∂Q (Y, t)
λ+1= −∂YY Q (Y, t) −∂Y [Y Q (Y, t)]
∂t
2
8Y




"
λ+1
∂Q (Y, t)
λ−1λ+1Q (Y, t) −∂Y Q (Y, t)(3.88)
= −∂Y
Y −
∂t
2
8Y
8

∂ 2Y
N P

Y2
N ,t



͜ͷ݁Ռ͸ࣜ (3.10) ͱҰக͍ͯ͠Δ.

3.5.7 SIS ໛‫ܕ‬ϥϯδϡόϯํఔࣜͷٞ࿦͸Ͱ͖Δ͔ʁSIS Ϟσϧฏ‫ۉ‬৔Ϛελʔํఔࣜ͸Ṗ (I, t) =λλ(S + 1) (I − 1) P (I − 1, t) − SIP (I, t)
NN+ (I + 1) P (I + 1, t) − IP (I, t)I
1
ͱͳΔ. S = N − I, i = N
ͱͯ͠ N
ల։͢Δ.



Ṗ (i, t) = −∂i(λ(1 − i) + 1) i(λ(1 − i) − 1) iP (i, t) − ∂iP (i, t)2N

(3.89)(3.90)

(3.91)

Ұൠ࿦ͱͯ͠b2i̇ = a + b · ξ ⇔ Ṗ (i, t) = −∂ aP (i, t) − ∂i P (i, t)2

(3.92)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 2, No. 3, 023602 （2013年8月号）

55

3.5 ௥Ճઆ໌ɾٞ࿦
͔ͩΒࣜ (3.91) ͔Βa(i) = (λ(1 − i) − 1) i'(λ(1 − i) + 1) ib(i) =
N(3.93)(3.94)͕ಘΒΕΔ.
ϊΠζͱม਺ͷ৐ࢉΛফ͢ม਺ม‫׵‬͸ 3.5.4 Λࢀߟʹ͢Δ.

1
df (i) = f  di + f  di2
2
df (i)
1= f  a + f  b2 + f  b · ξdt2f  (i)b(i) = const. ͱͳΔ༷ͳม਺ม‫ ׵‬y = f (i) ͱͯ͠/iy(i) = ArcT anλ+1
λ −ii(y) =

λ+1
sin2 (y)λ(3.95)(3.96)(3.97)(3.98)

͕ଘࡏ͢Δ. ͜ͷͱ͖(λ + 1) (λ − 3 + (λ + 1)cos(2y)) sin2 (y)2λ(λ + 1) cos(y)sin(y)√b(i(y)) =λNλf  (i(y)) =2 (λ + 1) cos(y)λ2 1 − 2sin2 (y)f  (i(y)) = −24 (λ + 1) cos3 (y)sin3 (y)a(i(y)) =(3.99)(3.100)(3.101)(3.102)(3.103)

ͱͳΔ. ߋʹ f  (i(y))a(i(y)), f  (i(y))b(i(y))2 , f  (i(y))b(i(y)) Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱ

sin(y)(λ − 3 + (λ + 1) cos(2y))
4cos(y)λcos(2y)f  (i(y))b(i(y))2 = −4N sin(y)cos(y)1 λf  (i(y))b(i(y)) =2Nf  (i(y))a(i(y)) =(3.104)(3.105)(3.106)

ͱͳΔ. Αͬͯ y ͷϥϯδϡόϯํఔࣜ͸1ẏ = f  (i(y))a(i(y)) + f  (i(y))b(i(y))2 + f  (i(y))b(i(y)) · xi
(3.107)2
λcos(2y)sin(y)11 λ=(λ − 3 + (λ + 1) cos(2y)) −+· xi (3.108)
4cos(y)2 4N sin(y)cos(y) 2 N《修士論文》

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ୈ3ষ

‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛ʹؔ͢Δ༧ଌෆՄೳੑ

ͱͳΔ.u(y) Λ‫ٻ‬ΊΔͱ

u(y) =((1 + λ)N cos(2y) + (λ − 8N )log(cos(y)) + λlog(sin(y)))tan(y)(3.109)8N tan(y)ͱͳΔ. ·ͨఆৗ෼෍͸ Q(y) ∝ e

P (i) ͸ P (i) = Q(y) dy
di ͱͳΔ.

−

u(y)
λ
8N

ͱͳΓ, ϠίϏΞϯΛ͔͚ͨม਺ i ͷ෼෍ؔ਺͜ͷΑ͏ʹඇৗʹෳࡶͳදࣜͱͳΓ, ؆୯ʹධՁ͢Δ͜

ͱ͕Ͱ͖ͳ͍.

ࢀߟจ‫ݙ‬[1] ࠤʑ‫ڭ‬त͸ 2012 ೥ 11 ݄ΑΓ‫౎ژ‬େֶʹ੶ΛҠͨ͠ɽ࿦จ͸ஶऀͷम࢜աఔमྃ·Ͱʹ౤ߘ͢Δ͜ͱΛ໨ࢦ͠ɼ୞ࠓࣥචதͰ͋Δ (2012 ೥ 12 ݄‫)ࡏݱ‬ɽ

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ଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷ෼ྨʹ޲͚ͯ‫ײ‬છ঱Λ೦಄ʹஔ͍ͨωοτϫʔΫ্ͷμΠφϛΫε໛‫ͯ͠ͱܕ‬, SIR ໛‫ܕ‬ΛऔΓ্͖͕͛ͯͨ, ͜ͷষͰ͸, ର৅Λ޿͛ͯάοζ΍ϑΝογϣϯͳͲͷจԽʹ‫ݟ‬ΒΕΔଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅Λର৅ͱ͢Δ. ‫ࣗڀݚ‬ମ͸ίϯϓϦʔτग़དྷ͍ͯͳ͍ͷͰ,ʮʙʹ޲͚ͯʯͱ͍͏
ষ୊ͱͨ͜͠ͱΛ͓‫͍͍ͨئ͠ڐ‬.

4.1 ΠϯτϩμΫγϣϯ
4.1.1 എ‫ܠ‬άοζ΍ϑΝογϣϯͳͲͷྲྀߦ‫ݱ‬৅͸, ςϨϏ΍ࡶࢽͳͲͷϝσΟΞ͔Βಘͨ৘ใ΍͓ళͳͲͰ࣮ࡍʹ‫ݟ‬ฉ͖ͨ͠৘ใΛ, ࣾձͷߏ੒ϝϯόʔ͕‫͍߹͠׵ަʹ͍ޓ‬, ‫͍ޓ‬Λ໛฿͢Δ͜ͱʹΑͬͯੜ͡Δඇৗʹෳࡶͳ‫ݱ‬৅Ͱ͋Δ. ॠ࣌ʹࣾձશମʹ޿·Δ΋ͷ΍, ࣌ؒΛ͔͚ͯΏͬ͘Γͱ޿·Δ΋ͷ, ͙͢ʹഇΕͯ͠·͏΋ͷ΍, ௕‫ܧؒظ‬ଓ͢Δ΋ͷ, গ਺ͷίϛϡχςΟ͚ͩͰྲྀߦͯ͠ดͯ͡޿͕ΓΛ‫͍ͳͤݟ‬΋ͷͳͲ, ྲྀߦʹ͸༷ʑͳύλʔϯ͕͋Δ. ґવςϨϏͷӨ‫ྗڹ‬͸ඇৗʹ‫ڧ‬େͰ͋ΔͱࢥΘΕΔ͕, ࡢࠓ͸ΠϯλʔωοτͷӨ‫͕ྗڹ‬େ͖͘ͳ͓ͬͯΓ, ωοτ্ͷΫνίϛʹΑͬͯҿ৯ళͷച্͕ࠨӈ͞ΕͨΓςϨϏͷࢹௌ཰͕େ͖ͳӨ‫ڹ‬Λड͚ΔͳͲ, ৽ͨͳ‫ݱ‬৅΋ੜ·Ε͍ͯΔ.
ྫ͑͹ΩϟϥΫλʔάοζ΍ϖοτϘτϧҿྉͷྲྀߦΛߟ͑Δͱ, ‫ʹ࣮ݱ‬͸৽ͨʹੜΈग़͞Εͨ঎඼ͷத͔Β΄ΜͷҰ෦͕ྲྀߦ͠, ΄ͱΜͲͷ৔߹͸ྲྀߦͤͣʹഇΕͯ͠·͏.
ͦͯ͠, ϝʔΧʔ͸༷ʑͳࠩผԽΛਤͬͯ͸͍Δ͕, ফඅऀଆͷཱ৔͔Β͢Δͱ, ྲྀߦ͠ͳ͔ͬͨ΋ͷʹରͯ͠ྲྀߦͨ͠΋ͷࣗମʹ໌Β͔ͳ༏Ґੑ͕͋ΔΑ͏ʹ͸ࢥ͑ͳ͍. Ή͠ΖͲΕ͕ྲྀߦͯ͠΋͓͔͘͠ͳ͍தͰ, ݁Ռతʹಛఆͷ঎඼͚͕ͩྲྀߦ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹࢥΘΕΔ৔߹΋ଟ͍. ͜ΕΒͷྲྀߦΛཧղ͢ΔͨΊʹ, ෳࡶͳਓؒؔ܎ͷதͰͷ৘ใ͕ͲͷΑ͏ʹ఻ൖ͍͔ͯ͘͠΍, ςϨϏ΍ࡶࢽɾΠϯλʔωοτͳͲͷ๲େͳ৘ใΛਓʑ͕ͲͷΑ

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ୈ4ষ

ଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷ෼ྨʹ޲͚ͯ͏ʹར༻͍ͯ͠Δ͔͕, ඇৗʹॏཁͰ͋Δͱߟ͑ΒΕΔ.

3 ·Ͱʹ‫͖ͨͯݟ‬Α͏ʹ, ྲྀߦʹؔ͢Δઌߦ‫ͯ͠ͱڀݚ‬, ωοτϫʔΫ্ͷ SIR Ϟσϧ·ͨ͸ SIS Ϟσϧ͕੝Μʹ‫͞ڀݚ‬Ε͖ͯͨ. ͔͜͠͠ΕΒͷϞσϧ͸ྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷϛχϚϧ
ϞσϧͰ͋Γ, ୯७ͳ‫ݱ‬৅͔͠આ໌Ͱ͖ͳ͍. ‫࣮ݱ‬ͷྲྀߦ‫ݱ‬৅ʹ໨Λ޲͚ͯΈΔͱ, ͜ΕΒͷϞσϧ͕ࣔ͢୯७ͳ݁ՌͰ͸ͳ͘, ઌͷྫͷΑ͏ͳଟ༷ͳৼΔ෣͍Λࣔ͢.
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͍Δ. ԣ࣠͸࣌ؒ, ॎ࣠͸ͦͷॠؒʹ͓͚Δྲྀߦͷ౓߹͍Ͱ͋Δ. େখͷϐʔΫ͕‫܁‬Γฦ͞Ε, ඇৗʹෳࡶͳྲྀߦ‫ݱ‬৅͕‫ݟ‬ΒΕ͍ͯΔ.
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2007 ೥ࠒ͔Β༗‫ݶ‬ͷ஋Λ࣋ͪ͸͡Ί, ͦͷ··΄ͱΜͲ૿‫͍ͯͬࢸʹࡏݱʹͣͤݮ‬Δ. ҰํͤΜͱ͘Μͷ‫ࡧݕ‬ස౓͸ 2008 ೥ࠒʹେ͖ͳϐʔΫΛ࣋ͪ, ͦͷ‫ޙ‬΋খ͞ͳϐʔΫΛ਺ճ‫܁‬Γฦ͍ͯ͠Δ. ͜ͷΑ͏ͳ‫ࡧݕ‬ස౓࣌‫ྻܥ‬ͷҧ͍͸, ϚείϛʹΑΔӨ‫ىʹڹ‬Ҽ͢Δ෦෼͕େ͖͍ͱߟ͑ΒΕΔ. Χϐόϥ͞Μ͸ΫϨʔϯήʔϜͷ‫ܠ‬඼ͱͯ͠஀ੜ͠ [4], ঃʑʹਓ‫ؾ‬Λതͨ͠. ओʹ‫ܠ‬඼Λ໨ʹͨ͠ਓ͔Β‫ޱ‬ίϛͰྲྀߦͨ͠΋ͷͱࢥΘΕΔ. ҰํͤΜͱ͘Μ͸ฏ৓ભ౎ 1300 ೥ࡇʢભ౎ࡇʣͷެࣜΩϟϥΫλʔͱͯ͠஀ੜͨ͠ [5]. ભ౎ࡇ։
࠵ 2 ೥લͷ 2008 ೥ʹެࣜΩϟϥΫλʔͱܾͯ͠ఆͨ͠௚‫͔ޙ‬ΒϚείϛʹେ͖͘ใಓ͞
Ε, ஌໊౓͕Ұ‫্ʹؾ‬ঢͨ͠ [6].
্Ͱ‫ͨݟ‬Α͏ͳ SNSɾ‫ޱ‬಄ͷ‫ޱ‬ίϛɾϚείϛͳͲ͕ؔΘΔෳࡶͳྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷϞσϧԽΛߟ͑ͨͱ͖, ݁‫ہ‬͸৘ใ఻೻ͷμΠφϛΫεͱωοτϫʔΫͷ 2 ͭΛࢦఆ͢Δ͜ͱʹͳ
Δ. ͜ͷόϦΤʔγϣϯ͕ଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅͕࣮‫͍ͯ͠ݱ‬Δͱߟ͑ΒΕΔ. Ͱ͸, μΠφϛΫ
εͱωοτϫʔΫͷ༷ʑͳ૊Έ߹ΘͤͰ࣮‫͢ݱ‬ΔྲྀߦύλʔϯΛ۠ผ͠෼ྨ͢Δ͜ͱ͸ՄೳͩΖ͏͔. ͦͯͦ͠ͷ݁Ռ͔Β, ‫࣮ݱ‬ͷྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷઆ໌͕Ͱ͖ΔͩΖ͏͔.

4.1.2 ໨ඪຊ‫ڀݚ‬ͷ໨ඪ͸, ωοτϫʔΫ্ͷμΠφϛΫεͷϞσϧΛ༻͍༷ͯʑͳྲྀߦύλʔϯΛઆ໌͢Δ͜ͱͰ͋Δ. ଟ༷ͳ‫ݱ‬৅Λࣔ͢ϞσϧΛ࡞ΔͨΊʹ, ैདྷͷωοτϫʔΫ্ͷ

SIR ϞσϧΛग़ൃ఺ͱͯ͠, ҎԼͷ༷ͳޮՌΛϞσϧʹऔΓೖΕ͍ͨ.

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4.1 ΠϯτϩμΫγϣϯ

(a) twitter ͰͷσϚ֦ࢄͷ࣌‫ྻܥ‬. ӳࠃͷ৽ฉʮΨʔσΟΞϯʯͷ‫[ ࣄه‬7] ΑΓҾ༻.

(c) ʮΧϐόϥ͞Μ[2]ʯ(d) ʮ ͤ(b) google ‫ࡧݕ‬τϥϑΟοΫ [8]. ԣ࣠͸࣌ؒ, ॎ࣠͸‫ࡧݕ‬ස౓Λද͢.

˙ ஌ਓ͔ΒͷӨ‫ڹ‬ͷޮՌ

Μͱ͘Μ
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ͦΕͧΕͷਓؒ͸पΓͷਓؒͷৼΔ෣͍Λ‫͕ͳݟ‬ΒࣗΒ͕ྲྀߦʹ৐Δ͔Ͳ͏͔Λ൑அ͍ͯ͠Δͱߟ͑ΒΕΔ. ஌ਓͷ͏ͪଟ͘ͷਓ͕ྲྀߦʹ৐͍ͬͯΔ
ͱࣗ෼΋৐ͬͯ͠·͏͜ͱ΋ଟ͍Ͱ͋Ζ͏. Ճ͑ͯ, ஌ਓͷଟ͕͘ྲྀߦʹ৐͍ͬͯͨΒࣗ෼͚͕ͩ๞͖ͯ͠·ͬͯ΋΍ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍ͱ͍͏͜ͱ΋ߟ͑ΒΕΔ. ΦϑΟειϑτͳͲ͸‫ݦ‬ஶͳྫͰ͋Δ.
˙ਓؒͷ‫͕ܨ‬ΓํͷӨ‫ڹ‬ͷޮՌ࣮ࡍʹ৘ใަ‫͢׵‬Δਓؒಉ࢜ͷ‫͕ܨ‬Γ͸ͲͷΑ͏ͳߏ଄͔. ൺֱతେ͖ͳӨ‫ྗڹ‬Λ΋ͭΦϐχΦϯϦʔμʔͷଘࡏ΍, ϩʔΧϧͳίϛϡχςΠͷ
ଘࡏͳͲ͕ߟ͑ΒΕΔ.
˙ϚείϛͷӨ‫ڹ‬ͷޮՌϚείϛ͕ൃ৴͢Δ৘ใ͸ଟ͘ͷਓʹϦʔν͠, ઈେͳӨ‫ྗڹ‬Λ͍࣋ͬͯΔͱࢥΘΕΔ. ͦͯͦ͠ͷ৘ใ͸, গ਺ҙ‫ͯ͠ͱͨͬ͋Ͱݟ‬΋, ͔͋ͨ΋ͦΕ͕

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ୈ4ষ

ଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷ෼ྨʹ޲͚ͯଟ͘ͷਓؒͷҙ‫͋Ͱݟ‬Δ͔ͷΑ͏ʹղऍ͞ΕΔ͜ͱ͕͋Δ [9]. ͜ͷʮগ਺ҙ‫͔͕ͨ͋ݟ‬΋ଟ਺ҙ‫ݟ‬ͷΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δʯͱ͍͏ҙຯʹ͓͍ͯ, Πϯλʔωοτ΋ಉ༷ͷੑ࣭Λ͍࣋ͬͯΔͱࢥΘΕΔ.
˙ΠϯλʔωοτͷӨ‫ڹ‬ͷޮՌগ਺ҙ‫͕ݟ‬ΫϥελΛ࡞Δ͜ͱͰ౫ଡ͞Εʹ͍͘ੑ࣭͕

͋Δͱߟ͑ΒΕΔ. ͔ͳΓϚχΞοΫͳझຯͰ΋ωοτ্Ͱ͸؆୯ʹಉ͡झຯΛ࣋ͭਓΛ‫͚ͭݟ‬ΒΕ, ͦͷ݁Ռ, গ਺ҙ‫͕ݟ‬౫ଡ͞Εʹ͘͘ͳΔޮՌ͕͋ΔͱࢥΘΕΔ.

4.2 ϞσϧʢҊʣϞσϧͷࠎ֨ͱ֤ͯ͠ϊʔυͷऔΓ͏Δঢ়ଶ, ྡ઀ؔ܎ͷؔ਺ͱͯ͠ͷঢ়ଶભҠͷμΠφϛΫεϧʔϧ, ϊʔυͷྡ઀ωοτϫʔΫͷτϙϩδʔͷ 3 ͭʹ෼͚ͯϞσϧΛઆ໌͢Δ. ཱ֬ͨ͠ϞσϧͰ͸ͳ͘, ߏ૝ɾҊͷఏࣔͰऴΔ.

4.2.1 ֤ϊʔυ͕औΓ͏Δঢ়ଶ֤ϊʔυ͕औΓ͏Δঢ়ଶ͸, ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ͱܕ‬౳͍͠ͱ͢Δ. ͢ͳΘͪ, ωοτϫʔΫ্ͷͦΕͧΕͷϊʔυ͕ S,I,R ͷ̏ঢ়ଶΛͱΓ, S ͸௨ৗͷঢ়ଶ,I ͸‫ײ‬છͯ͠ྲྀߦʹ৐͍ͬͯΔঢ়ଶ,R ͸๞͖ͯೋ౓ͱ‫ײ‬છ͠ͳ͍ͨଶΛද͢. S ঢ়ଶͷϊʔυ͸ I ঢ়ଶͷϊʔυ͕ྡ઀͍ͯ͠Δ৔߹ʹ‫ײ‬છͯ͠ྲྀߦঢ়ଶ I ʹͳΔ.I ঢ়ଶͷϊʔυ͸ࣗൃతʹ R ঢ়ଶʹͳΔ (ਤ 4.1). ͜ͷաఔ͸ϙΞιϯաఔͱ͢Δ.

4.2.2 μΠφϛΫεϧʔϧྡ઀ϊʔυؒͷ‫ײ‬છμΠφϛΫεϧʔϧͱͯ͠, ඇઢ‫ܗ‬ϧʔϧΛఏҊ͢Δ. ઌʹ঺հͨ͠ʮ஌ਓ͔ΒͷӨ‫ڹ‬ͷޮՌʯΛ࣮‫͢ݱ‬ΔϧʔϧͰ͋Δ.
ඇઢ‫ܗ‬ϧʔϧͰ͸, ‫ײ‬છϨʔτ λ, ࣏༊Ϩʔτ μ Λ, ͦͷϊʔυͷ࣍਺ k ͱྡ઀͢Δ I
ঢ়ଶͷϊʔυͷ਺ kI ͷൺ k̃I kkI ͷؔ਺ λ(k̃I ), μ(k̃I ) ͱ͢Δ. λ(k̃I ), μ(k̃I ) ͷؔ਺‫ܕ‬Λਤ

4.2.1 ͷΑ͏ʹ k̃I ʹؔͯ͠ඇઢ‫ʹܗ‬༩͑Δ. ͜ͷΑ͏ͳؔ਺‫ܕ‬Λ࣮‫͢ݱ‬Δ؆୯ͳؔ਺ͱ
ͯ͠

⎧
⎨

λk
2

λ(k̃I ) =



k̃I
cλ



α

λ α
1−k̃I
1−cλ
α μ λ⎩λk − λk2⎧⎨μ − μ k̃I 2 cμαμ(k̃I ) =⎩ μ 1−k̃I μ21−cμf or k̃I ≤ cλ

(4.1)

f or k̃I > cλf or k̃I ≤ cμ
f or k̃I > cμͳͲ͕ߟ͑ΒΕΔ. ͨͩ͠ 0 ≤ cλ ≤ 1, 0 ≤ cμ ≤ 1, αλ ≥ 0, αμ ≥ 0 ͱ͢Δ.

(4.2)

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4.2 ϞσϧʢҊʣ

ਤ 4.1

Ϟσϧͷࠎ֨. தͷຒ·ͬͨ໼ҹ͸࣌ؒ‫ܦ‬աΛ, ఺ઢͷ໼ҹ͸ঢ়ଶભҠΛද͢.

(a) λ(k̃I ), μ(k̃I )(b) ϚείϛʹΑΔӨ‫ͱ )ࠨ( ڹ‬ΠϯλʔωοτʹΑΔӨ‫( ڹ‬ӈ) ͷ֓೦ਤ.

ਤ 4.2

্ӈͷਤ (a) ͸ λ(k̃I ), μ(k̃I ) ͷུ֓ਤ. α > 1. Լͷਤ (b) ͸ωοτϫʔΫͷ

ུ֓ਤ. ࠨͷਤ͸ϚείϛʹΑΔӨ‫ڹ‬Λද͍ͯ͠Δ. ಛఆͷগ਺ҙ‫ݟ‬ΛશମʹϑΟʔυόοΫ͢ΔωοτϫʔΫͰ͋Δ. ӈͷਤ͸ΠϯλʔωοτʹΑΔӨ‫ڹ‬Λද͍ͯ͠Δ. ௚઀ྡ઀͍ͯ͠ͳ͍ಉ͡ҙ‫ݟ‬Λ࣋ͬͨϊʔυؒʹ৽ͨͳΤοδʢࢵ໼ҹʣͷ௥Ճɾுସ͑
͕‫͜ى‬ΔωοτϫʔΫͰ͋Δ.

௨ৗͷ SIR ໛‫Ͱܕ‬͸,S ঢ়ଶͷϊʔυ j ʹྡ઀͢Δ I ঢ়ଶͷϊʔυͷ਺Λ kI ͱ͢Δͱ,j ͕ྡ઀͢Δ I ঢ়ଶͷϊʔυͷ͍ͣΕ͔͔Β‫ײ‬છͯ͠ I ঢ়ଶʹมԽ͢Δ‫ײ‬છϨʔτ͸
λkI

(4.3)

ͱͳΓ, ྡ઀͢Δ I ঢ়ଶͷϊʔυͷ਺ʹൺྫ͢Δ. ·ͨ,I ঢ়ଶͷϊʔυ͕࣏༊͢ΔϨʔτ͸, ͦͷྡ઀ϊʔυʹΑΒͣ μ ͰҰఆͰ͋Δ . ͜Ε͸ࣜ (4.2) ʹ͓͍ͯ cλ = 1/2, αλ =1, cμ = 1, αμ = 0 ͱ͢Δ͜ͱʹରԠ͢Δ.

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ୈ4ষ

ଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅ͷ෼ྨʹ޲͚ͯ

4.2.3 ωοτϫʔΫ˙‫ޱ‬ίϛʹΑΔ৘ใ఻ൖωοτϫʔΫ࣮ࡍͷ‫ޱ‬ίϛʹΑΔ৘ใ఻೻ωοτϫʔΫ͸

2.2.2 Ͱఆٛͨ͠ HY ωοτ͕‫ج‬ຊʹͳ͍ͬͯΔͱࢥΘΕΔ. ͳͥͳΒՈ଒ͱ৬৔ͷϫʔΩϯάάϧʔϓ͸ຖ೔‫إ‬Λ߹Θͯ͠৘ใަ‫͢׵‬Δ͜ͱ͕ଟ͍ͱࢥΘΕΔ͔ΒͰ͋Δ. Ճ͑ͯ, ͲͪΒʹ΋ॴଐ͠ͳ͍৴པग़དྷΔ༑ਓͷଘࡏ΋େ͖͍ͱࢥΘΕΔͷͰ, HY ωοτʹՃ͑ͯ, εϞʔϧϫʔϧυϞσϧ [10] ͷΑ͏ʹϥϯμϜʹΤοδΛுΓ͔͑ͨωοτϫʔΫΛߟ͑ͯ΋Α͍.
˙ϑΟʔυόοΫ

ಛఆͷগ਺ҙ‫ݟ‬Λબ୒ͯ͠ωοτϫʔΫશମʹϑΟʔυόοΫ͢Δޮ

ՌΛಋೖ͢Δ. ਤ 4.2.1 ͷࠨͷਤ͸, ಛఆϊʔυͷঢ়ଶΛશମʹϑΟʔυόοΫ͢Δ֓೦ਤ
Λࣔͨ͠. ྫ͑͹ I ঢ়ଶΛશମʹϑΟʔυόοΫͯ͠, ֬཰తʹ S ঢ়ଶͷϊʔυΛ‫ײ‬છͤͯ͞ I ঢ়ଶʹมԽͤͨ͞Γ,R ঢ়ଶΛશମʹϑΟʔυόοΫͯ͠, ֬཰తʹ I ঢ়ଶͷϊʔυΛ R ঢ়ଶʹมԽͤͨ͞Γ͢Δ͜ͱ͕ߟ͑ΒΕΔ. ಛఆϊʔυΛͲͷΑ͏ʹಛఆ͢Δ͔ʹ͸೚ҙੑ͕͋Δ.
˙Τοδͷ௥Ճɾுସ͑ ௚઀ྡ઀͍ͯ͠ͳ͍ I ঢ়ଶͷϊʔυಉ࢜Λ, Τοδͷ௥Ճɾுସ͑Λߦͳͬͯྡ઀ͤ͞ΔޮՌΛಋೖ͢Δ. ਤ 4.2.1 ͷӈͷਤ͸ͦͷ֓೦ਤΛࣔͨ͠. I ঢ়ଶϊʔυಉ࢜Λྡ઀ͤ͞Ε͹, ্ͷμΠφϛΫεϧʔϧʹ͓͍ͯ,μ(k̃I ) ͕খ͘͞ͳΓ,R ঢ়ଶ΁ͷมԽ͕͠ʹ͘͘ͳΔͱࢥΘΕΔ. ͲͷΑ͏ͳ৚͕݅ଗͬͨͱ͖ʹ৽ͨʹΤοδΛ௥Ճɾுସ͑͢Δͷ͔ʹ͸೚ҙੑ͕͋Δ.

4.3 ߟ࡯
͜ΕΒͷϞσϧΛ࣮૷͢Ε͹, ͔ͳΓଟ͘ͷόϦΤʔγϣϯͷྲྀߦ‫ݱ‬৅͕‫ݟ‬ΒΕΔͷͰ͸ͳ͍͔ͱߟ͍͑ͯΔ͕, ͦͷ‫ূݕ‬΍ϞσϧͷϒϥογϡΞοϓΛ͢Δʹ͸म࢜ͷ̎೥ؒͱ͍͏ͷ͸͋·Γʹ΋୹͔ͬͨ.

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ୈ5ষ

݁࿦ͱల๬
5.1 ݁࿦
§2 Ͱ͸, ‫ق‬અੑΠϯϑϧΤϯβΛ೦಄ʹஔ͍ͨ‫ײ‬છ‫ܦ‬࿏ωοτϫʔΫΛఆٛ͠, ͦͷ্Ͱͷ SIR μΠφϛΫεΛ਺஋࣮‫Ͱݧ‬ௐ΂ͨ. nR ͱऴঢ়ଶʹࢸΔ·Ͱͷ࣌ؒ tf Λ‫ܭ‬ଌ͠,ॳ‫ظ‬৚݅΍ωοτϫʔΫΛมԽͤͨ͞ͱ͖, ͦͷҧ͍ͷಛ௃෇͚ΛࢼΈͨ. ઌߦ‫Ͱڀݚ‬͸ओʹ nR ͷฏ‫ۉ‬஋͹͔Γ‫ܭ‬ଌ͞Ε͍ͯͳ͔͕ͬͨ, ຊ‫Ͱڀݚ‬͸ nR ΍ tf ͷ༳Β͗Λ‫ܭ‬ଌ͢
Δ͜ͱʹΑΓ, ॳ‫ײظ‬છऀ਺ͷҧ͍Λ໌ղʹࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ͨ. ·ͨ, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑʹ͓͍ͯసҠ఺ λc ͱ λ → ∞ ʹ͓͚Δ tf, σ(tf )2 Λཧ࿦తʹಋग़ͨ͠. ͜ΕΒͷ݁Ռ͸࣮‫݁ݧ‬Ռͱ֓ͶҰகͨ͠. ͦͯ͠, ωοτϫʔΫͷҧ͍ʹؔͯ͠͸, ॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ

N ͱͨ͠ͱ͖ͷ nR ͷ༳Β͕͗ΧεϓγϯΪϡϥϦςΟΛ΋ͪ, ΧεϓΤΫεϙʔωϯτʹΑͬͯಛ௃͚ͮΛࢼΈ͕ͨ, ༗‫ݶ‬αΠζͷޮՌʹΑͬͯΧεϓΤΫεϙʔωϯτΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕ग़དྷͣஅ೦ͨ͠.

§3 Ͱ͸,SIR ໛‫ܕ‬ͷྲྀߦ૬ʹ͓͍ͯྲྀߦ͢Δ͔൱͔͕Ұҙʹఆ·Βͳ͍‫ݱ‬৅ʹ͍ͭͯղ
ੳͨ͠. ωοτϫʔΫ্ͷ SIR ໛‫ܕ‬͸ύʔίϨʔγϣϯʹϚοϓͰ͖Δͱ͍͏ཧղ͕ͳ
͞Ε͍͕ͯͨ, ຊ‫Ͱڀݚ‬͸, ͜Ε·Ͱ஫໨͞Εͯདྷͳ͔ͬͨ, ॳ‫ײظ‬છऀ਺Λఆ਺ͱ͢Δ͔‫ܥ‬ͷαΠζʹൺྫ͢Δ‫Ͱܗ‬༩͑Δ͔ͷҧ͍ʹΑͬͯे෼͕࣌ؒ‫ޙͨͬܦ‬ͷঢ়ଶ΁ͷӨ‫ڹ‬Λ໌Β͔ʹͨ͠. ಛʹॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ 1 ͱͨ͠৔߹͸, ೤ྗֶ‫ܥ͍͓ͯʹݶۃ‬ͷঢ়ଶ͕Ұҙʹఆ·Βͳ͍͜ͱΛϥϯδϡόϯํఔࣜͷղੳʹΑͬͯཧղͨ͠. ۩ମతʹ͸ϥϯδϡ
όϯํఔࣜͷϙςϯγϟϧ U (Y ) ͕ λ > 1 ͷͱ͖ Y

= 12

#

λ+1
λ−1 ʹϐʔΫΛ࣋ͪ, ॳ‫ظ‬஋

Y = 1 ͔Βελʔτͨ͠ํఔࣜͷղ͕, ͜ͷϐʔΫΛ௒͑Δ͔൱͔͕ nR = 0 ʹͳΔ͔nR > 0 ʹͳΔ͔Λܾఆ͍ͯ͠Δ͜ͱΛཧղͨ͠. ͦͯ͠, సҠ఺ۙ๣ (λ = λc + ) Ͱͷ‫ײ‬છ͕ຮԆ͢Δ֬཰ q() ͸ཧ࿦తʹ q() =  ͱಋग़Ͱ͖ͯ, ͜Ε͸ϥϯδϡόϯํఔࣜͷ࣮‫݁ݧ‬ՌͱҰகͨ͠. ௥Ճͷٞ࿦ͱͯ͠, ·ͣ, ϕʔς֨ࢠ্ͷϘϯυύʔίϨʔγϣϯʹ͍ͭͯͷղੳΛ঺հ͠, ͦͷ݁ՌΛൺֱΛͨ͠. ͜ͷͱ͖సҠ఺ۙ๣Ͱ͸྆ऀͷ݁Ռ͕

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ୈ5ষ

݁࿦ͱల๬

΄΅‫ʹີݫ‬Ұக͢Δ͕, λ ͕େ͖͘ͳΔͱҟΔ݁ՌͱͳΔ. ͜Ε͸ϘϯυύʔίϨʔγϣϯͷղੳ͕ϕʔς֨ࢠͷͱ͖ͷ‫ͳີݫ‬ղੳͰ͋Γ, ϧʔϓ͕ଘࡏ͢ΔϨΪϡϥʔϥϯμϜά
ϥϑͱ͸ҟͳΔͨΊͩͱࢥΘΕΔ. ·ͨ,SIS ໛‫Ͱܕ‬ϥϯδϡόϯํఔࣜͷٞ࿦͕Ͱ͖Δ͔
‫͕ͨ͠ূݕ‬, ͕ࣜ൥ࡶʹͳͬͯ SIR ໛‫্Ͳ΄ܕ‬ख͍͔͘ͳ͔ͬͨ.

§4 Ͱ͸,SIR ໛‫Ͱܕ‬͸ද‫͖͠ݱ‬Εͳ͍‫࣮ݱ‬ͷଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅Λ෼ྨ͢΂͘, ৽ͨͳμΠφϛΫε໛‫ܕ‬ΛߟҊͨ͠. ۩ମతʹ͸,S ঢ়ଶͷϊʔυͷ‫ײ‬છϨʔτ,I ঢ়ଶͷϊʔυͷ࣏༊ϨʔτΛͦΕͧΕྡ઀͢Δ I ঢ়ଶͷϊʔυ਺ʹؔ͢Δඇઢ‫ͨ͠ͱ਺ؔܗ‬໛‫͋Ͱܕ‬Δ. ·ͨ,ಛఆͷগ਺ϊʔυΛબ୒ͯͨͩ͠͠, ࣌ؒͷ౎߹্, ͦͷ໛‫ܕ‬Λ‫͠૷࣮Ͱ্ػࢉܭ‬, ༗ޮͳσʔλΛಘΔʹ͸ࢸΒͳ͔ͬͨ.

5.2 ల๬
ຊ‫ޙࠓ͍ͯͭʹڀݚ‬ͷల๬Λ͜͜ʹ‫͢ه‬.

§2 ʹ͓͍ͯॳ‫ײظ‬છऀ਺Λ‫ܥ‬ͷαΠζʹൺྫ͢Δ‫Ͱܗ‬ಋೖͨ͠৔߹, nR , tf ͷ༳Β͗ʹΧεϓγϯΪϡϥϦςΟ͕‫ݟ‬ΒΕ͕ͨ, ͦͷࢦ਺Λ਺஋తʹ΋ཧ࿦తʹ΋͸͖ͬΓͤ͞ΒΕ͍ͯͳ͍. ͜ͷࢦ਺Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱʹΑͬͯ, ͜Ε·Ͱ۠ผग़དྷ͍ͯͳ͔ͬͨ, ฏ‫ۉ‬৔ωοτϫʔΫ, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ, ϥϯμϜάϥϑͷ۠ผ͕ՄೳʹͳΔ͔΋͠Εͳ͍.
·ͨ,§3 ʹ͓͍ͯ͸, ྲྀߦͷ֬཰తൃੜʹ͍ͭͯ, ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑҎ֎ͷωοτϫʔΫͰ͸݁Ռ͕ͲͷΑ͏ʹͳΔ͔͸Θ͔͍ͬͯͳ͍. ͦͯ͠,SIS Ϟσϧʹ͓͍ͯ΋ಉ༷ͷٞ࿦͕Ͱ͖ΔͩΖ͏͔. ߋʹ͸, ྲྀߦͷ֬཰తൃੜʹ͍࣮ͭͯσʔλ͔Β༧‫͢ݴ‬Δ͜
ͱ͕࠷ऴ໨ඪʹͳΔͩΖ͏.
ͦͯ͠ §4 ʹؔͯ͠͸, ఏҊͨ͠໛‫ܕ‬Λ‫͠ূݕͰݧ࣮ػࢉܭ‬, ύϥϝʔλΛมԽͤ͞Δ͜
ͱͰଟ༷ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅Λ͔ࣔ͢Ͳ͏͔ͷ‫ͱূݕ‬໛‫ܕ‬ͷվྑ͕ඞཁͰ͋Δ. ࠷ऴతʹ͸, ྲྀߦʹӨ‫ڹ‬Λ༩͑ΔޮՌͱͯ͠ओͳ΋ͷΛಛఆ͠, ͦͷޮՌͷ૊Έ߹ΘͤͰͲͷΑ͏ͳྲྀߦ‫ݱ‬৅͕ੜ͡Δ͔, ͋ΓಘΔύλʔϯΛશͯࣔ͠, ‫࣮ݱ‬ͷྲྀߦ͕Ͳͷύλʔϯʹଐ͢Δ͔Λ෼ྨ͢Δ͜ͱ͕໨ඪͰ͋Δ.
ͦ΋ͦ΋ͷ͖͔͚ͬ͸,§1 ʹॻ͍ͨ௨Γʮෳࡶ‫ܥ‬ͷ੍‫ޚ‬ՄೳੑʯͰ͋ͬͨ. Θ͔Γ΍͍͢ର৅ͱͯ͠‫ײ‬છ঱ͷ੍‫ޚ‬ՄೳੑΛ୳Δͭ΋ΓͰ‫ڀݚ‬Λελʔτ͕ͤͨ͞, ͜Εʹؔͯ͠͸Կͷओு΋ग़དྷ͍ͯͳ͍. ؔ࿈͢Δ §3 ͔Βͷ‫ͯ͠ͱ݁ؼ‬ʮॳ‫ظ‬৚݅ʹΑͬͯ͸, ‫ײ‬છ঱ྲྀߦͷ‫ن‬໛͸֬཰తʹ͔͠༧‫ݴ‬ग़དྷͳ͍ʯͱ͍͏ओு͸, ‫ײ‬છ঱ͷ੍‫͕ޚ‬ΑΓ೉͍͠΋ͷͰ
͋Δ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠ΔΑ͏ʹ΋ࢥ͑Δ. গͳ͘ͱ΋༩͑ΒΕͨ໛‫ܕ‬ͷൣғͰ͸, ԿΛ͢Ε͹‫ײ‬છऀ਺Λ‫ݮ‬ΒͤΔ͔, ·ͨ͸Ͱ͖Δ͚ͩૣ͘ྲྀߦΛ཈͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ͔, ͱ͍͏໰୊͸໰ͱͯ͠੒ཱ͢Δ͠, ‫͍ۙʹ࣮ݱ‬ωοτϫʔΫ΍μΠφϛΫεΛϞσϧʹͯٞ͠࿦͢
Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͋Δ. ͜ΕΒͷ໰୊ʹ͍ͭͯ͸, ࠓ‫ޙ‬ͷൃలʹୗ͍ͨ͠.

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෇࿥ A

ϓϩάϥϜΞϧΰϦζϜ
͜ͷষͰ͸, ਺஋࣮‫ͨͬ࢖ʹݧ‬ϓϩάϥϜͷΞϧΰϦζϜͷ֓ཁΛ‫͢ه‬.

A.1 ωοτϫʔΫੜ੒ΞϧΰϦζϜ
ωοτϫʔΫͷσʔλ͸Ұ࣍‫ݩ‬഑ྻʹ֨ೲ͢Δ. N ϊʔυ͔ΒͳΔฏ‫ ਺࣍ۉ‬k ͷ৔߹, ૯Ϙϯυ਺͸ k N/2 ͱͳΔ. ҰͭͷϘϯυʹରͯ͠ରԠ͢Δ྆୺ͷϊʔυΛ഑ྻʹ‫ه‬࿥͍ͯͨ͘͠Ί, ഑ྻͷཁૉ਺͸ k N ඞཁͰ͋Δ. ྫ͑͹ N = 4 Ͱ, ϊʔυ 1 ͱϊʔυ 2,3 ͱ 4, ϊʔυ 1 ͱ 3 ͕ྡ઀͍ͯ͠Δ৔߹ʹ͸, ഑ྻ͸ {1, 2, 3, 4, 1, 3} ͱͳΔ.

A.1.1 ϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑ
N ϊʔυ͔ΒͳΔ࣍਺ k ͷϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑΛ࡞ΔΞϧΰϦζϜΛઆ໌͢Δ.
࣍਺ͷ੍‫ݾࣗͱݶ‬ϧʔϓ΍ೋॏϘϯυΛ࡞Βͳ੍͍‫ݶ‬Λཱ྆ͤ͞ΔΞϧΰϦζϜ͸গʑෳ
ࡶͰ͋Δ. ࠓճ঺հͨ͠΋ͷ͸,k  N ʹ͓͍࣮ͯ༻্໰୊ͳ͍͕,k  N ͷ৔߹͸্ख͘ωοτϫʔΫ͕ੜ੒͞Εͳ͍৔߹΋༗ΓಘΔͱߟ͑ΒΕΔͷͰ஫ҙ͕ඞཁͩϊʔυ i ͸ k ‫ݸ‬ͷྡ઀ϊʔυΛ࣋ͭ.i ͷྡ઀ϊʔυϦετΛ ei [j], j = 0, 1, · · · k − 1
ͱ͢Δ. f [i] Λ i ͷϘϯυͷ͏ͪ, ྡ઀ϊʔυͷ൪߸͕ܾ·͍ͬͯͳ͍΋ͷͷ਺ͱ͢Δ.
֤ϊʔυͷ࣍਺͸ k Ͱ‫ݻ‬ఆ͞Ε͍ͯΔͨΊ, ॳ‫ظ‬৚݅ͱͯ͠ f = k, k, · · · , k ͱͳΔ.

g Λྡ઀ϊʔυ͕ܾ·͍ͬͯͳ͍Ϙϯυͷϊʔυ൪߸ͷϦετͱ͢Δ. ॳ‫ظ‬৚݅Ͱ͸0, 1, · · · , N − 1 ͕ͦΕͧΕ k ଘࡏ͢Δ kN ੒෼Λ࣋ͭ. rand(j) Λ 0 ∼ j ͷҰ༷ཚ੔਺
ͱ͢Δ. ఆΊΔ΂͖ϘϯυͷϖΞ͸ kN/2 ‫ݸ‬ଘࡏ͢Δ.

1. j = 0 ͱ͢Δ.
2. ҎԼͷॱংͰ j ൪໨ͷϘϯυϖΞΛܾఆ͢Δ.
3. 0 ≤ i ≤ N − 1 ʹ͓͍ͯ f [i] ͕ f ͷ੒෼ͷதͰ࠷େͱͳΔ i Λ‫͚ͭݟ‬, ͦΕΛ imax

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෇࿥ A ϓϩάϥϜΞϧΰϦζϜ

450

2500

N=1024
N=2048
N=4096

400

k=3
k=4
k=5

2000

350
300

sec.

sec.

1500
250
200

1000
150
100

500

50
0

0

10

20

30

ਤ A.1

40

50

k

60

70

80

90

100

0

0

10000

(a)

20000

30000

N

40000

50000

60000

70000

(b)

༷ʑͳ N, k ͰϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑΛੜ੒͢Δͷʹ͔͔Δ࣌ؒΛ‫ܭ‬ଌͨ͠.

ͱ͢Δ.

4. r = rand(kN − 2j − 1) ͱ͢Δ.
5. g[r] ͕ eimax ʹ‫·ؚ‬Εͳ͘ͳΔ·Ͱ, ·ͨ r = imax ʹͳΒͳ͘ͳΔ·Ͱ 4 Λଓ͚
Δ. ͦͷ r Λ j  ͱ͢Δ.

6. eimax ͷཁૉͷҰͭͱͯ͠ j  ΛՃ͑,ej  ͷཁૉͷҰͭͱͯ͠ imax ΛՃ͑Δ.f [imax ]ʹ −1 Λࢪ͢. g ͔Β imax , j  Λফ͢. ͜ͷ (imax , j  ) ϖΞ͕ྡ઀ϖΞͰ͋Δ. ഑ྻͳͲʹ‫ه‬࿥͢Δ.

7. f [imax ] = 0 ͳΒ͹ 4 ʹ໭Δ. f [imax ] = 0 ͱͳΕ͹ j+ = 1 ͱͯ͠ 2 ʹ໭
Δ.j = kN/2 ͱͳΕ͹ऴྃ.

c++ Ͱ͸ g Λ [multiset] Ͱ,ei Λ [set] Ͱ࡞ͬͨ.f [i] = k − ei .size() ͱͳΔ. ࣗ‫ݾ‬ϧʔϓ΍ೋॏϘϯυ͕ੜ͡ʹ͍͘Α͏ʹ,f ͕࠷େͷ΋ͷ͔Βྡ઀ϊʔυΛܾఆ͍ͯ͘͠.

k  N ʹ͓͍ͯ͸࣮༻্໰୊ͳ͍͕, ͜ͷΞϧΰϦζϜͰ΋্ख͘ϘϯυΛுΕͳ͍৔߹͕ߟ͑ಘΔͷͰ,2∼7 ͷ‫܁‬Γฦ͠ճ਺͕ N ΑΓे෼େ͖͘ͳͬͨͱ͖ʹॳΊ͔Β΍Γ௚͢, ͱ͍͏ϧʔϓΛՃ͓͑ͯ͘ํ͕҆શͰ͋Δ. ਤ A.1 ʹ, ༷ʑͳ N, k ͰϨΪϡϥʔϥϯμϜάϥϑΛੜ੒͢Δͷʹ͔͔Δ࣌ؒΛࣔͨ͠. ྫ͑͹զ͕‫ࣨڀݚ‬ͷ‫Ͱػࢉܭ‬͸,N = 65536, k = 3 Ͱ໿ 15 ෼,N = 32768, k = 40 Ͱ໿ 8 ࣌ؒ, N = 16384, k = 80 Ͱ໿ 7࣌ؒͰ͋Γ, ຊम࢜࿦จͷ‫ڀݚ‬ͷ࣮༻ʹ͸े෼଱͑͏Δ.

A.1.2 ϥϯμϜάϥϑ
ϥϯμϜάϥϑͷ৔߹ͷΞϧΰϦζϜ͸࣍਺ͷ੍‫͍ͨͳ͕ݶ‬Ίʹ೉͘͠ͳ͍.

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A.2 SIR ໛‫ܕ‬ΞϧΰϦζϜ
1. j = 0 ͱ͢Δ.
2. ҎԼͷॱংͰ j ൪໨ͷϘϯυϖΞΛܾఆ͢Δ.
3. 2 ͭͷཚ਺ r0 = random(N − 1), r1 = random(N − 1) Λੜ੒͢Δ.
4. r0 = r1 ͔ͭ er0 ͷཁૉʹ r1 ͕ଘࡏ͠ͳ͘ͳΔ·Ͱ 3 Λ‫܁‬Γฦ͢.
5. er0 ͷཁૉͷҰͭͱͯ͠ r1 Λ,er1 ͷཁૉͷҰͭͱͯ͠ r0 ΛՃ͑Δ. ͜ͷ (r0, r1)ϖΞ͕ j ൪໨ͷྡ઀ϖΞͰ͋Δ. ഑ྻͳͲʹ‫ه‬࿥͢Δ.

6. j+ = 1 ͱͯ͠ 2 ʹ໭Δ.j = kN/2 ͱͳΕ͹ऴྃ.

A.2 SIR ໛‫ܕ‬ΞϧΰϦζϜ
A.2.1 ඪ४తͳ໛‫ܕ‬࣏༊Ϩʔτ͸ I ϊʔυʹ͍ͭͯϨʔτ 1, ‫ײ‬છϨʔτ͸ S-I ϖΞͦΕͧΕʹ͍ͭͯϨʔτ λ Ͱ͋Δ. I ϊʔυͷ਺ I ͸؆୯ʹΘ͔ΔͷͰ, ࣏༊Ϩʔτͷ߹‫ܭ‬͸ I ͱͳΔ. ͔͠
͠ S − I ϖΞͷ਺͸؆୯ʹ͸Θ͔Βͳ͍ͷͰ, I ϊʔυͷ࣍਺ͷ߹‫ ܭ‬P [I − 1] Λ࢖ͬͯλP [I − 1] ͱ͢Δ. P [i] Λྦྷੵ࣍਺ P [i] =i0 k[Ilist[i]] ͱͨ͠.

ͨͩ͠,I ϊʔυʹ͸৽ͨʹ 0 ∼ I − 1 ͷ൪߸ΛৼΓͳ͓͠, શϊʔυʹৼΒΕ͍ͯΔϊʔυ൪߸ j ͱͷରԠΛ

j = Ilist[i] ͱ͢Δ.
1. ॳ‫ظ‬৚݅ͱͯ͠ I = m, S = N − I ͱ͢Δ. ॳ‫ײظ‬છϊʔυ͸ϥϯμϜʹબ
Ϳ.P, Ilist Λ֨ೲ͢Δ.

2. I = 0 ͱͳΕ͹ऴྃ. શࣄ৅ͷϨʔτͷ࿨ rate Λ‫ࢉܭ‬Λ͢Δ. rate = λP [I − 1] + IͱͳΔ.

3. ‫ܦ‬ա࣌ؒΛ‫͢ࢉܭ‬Δ. Ϩʔτ rate ͷϙΞιϯաఔͷ଴ͪ࣌ؒ෼෍͸ࢦ਺෼෍ͳͷͰ, ଴ͪ࣌ؒ τ ͸ൣғ (0, 1) ͷҰ༷ཚ࣮਺ r Λ࢖ͬͯ τ = −log(1 − r)/rate ͱͳ
Δ. τ ͚ͩ࣌ؒൃలͤ͞Δ.

4. (0, rate) Ұ༷ཚ࣮਺ rrate Λൃੜͤ͞,rrate < I ͷ࣌͸ 5 ʹਐΉ. rrate ≤ I ͷͱ͖͸ 6 ʹਐΉ.

5. ϊʔυ൪߸ Ilist[(int)(rrate ) ͷϊʔυΛ R ঢ়ଶʹ͢Δ. Ilist, P, I Λ࠶‫͢ࢉܭ‬Δ.2
ʹ໭Δ.

6. P [ir ] ≥ (rr ate − I)/λ < P [ir + 1] ͱͳΔ ir Λ‫ٻ‬ΊΔ.
7. ϊʔυ Ilist[ir ] ʹྡ઀͢ΔϊʔυΛϥϯμϜʹҰͭબͿ.
8. બ ͹ Ε ͨ ϊ ʔ υ ͕ S ঢ় ଶ Ͱ ͳ ͚ Ε ͹ 2 ʹ ໭ Δ. S ঢ় ଶ Ͱ ͋ Ε ͹ I ঢ় ଶ ʹ ͢
Δ.Ilist, P, I Λ࠶‫͢ࢉܭ‬Δ.2 ʹ໭Δ.

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෇࿥ A ϓϩάϥϜΞϧΰϦζϜ

A.2.2 §4 ͷ໛‫ܕ‬ʢҊʣ‫ج‬ຊతͳΞϧΰϦζϜ͸ඪ४తͳ໛‫ͱܕ‬ಉ͡ͳͷͰ, ͜͜Ͱ͸͜͜Ͱ͸ҧ͍ʹ͍ͭͯઆ
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