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iRep.K
anazawaUniv.
l27，No1pp.1‑
3Vo.
June1982Repres
母国tationM od.
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h.eAugumentationI
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YoshiomiFURUTA andHiroshiYAMASHITA~Deρartment0
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pril26，1982). Fo
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roupGandaG‑moduleA，thestructureofl"A/ln+1AIsAbstracthere1isth巴a
曙 umentationidealofthegrou
pringZ[GJ.
studied，w

1. LetG beaf
initegTOUpandA beaG‑module. Denoteby1theaugumentationi
deal
GJ ofG wit
hrespecttotheringofintegers. PutGo=Gj[G，GJ，ofthegroupring Z[where[G，GJstandsforthecomm叫 atorsubgroupo
fG. Denote Gア'thεtensorproductGoQ9…包)Goo
fo
fGo・ ThenPAjp+1A istoafactorgroupof 匂(AjIA).Thisisshownin[lJ togetherwithothercohomologicalrelationshi
pbymeanso
fstheGaloisgroupo
faGaloisextensionK ofanalgebraicclassf
ieldtheor
y，whenG isacongruentidealclassgroupo
fK.
numberfieldkandA i
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esentpaperi
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heaboveresult.

etJ beasabovεthe2， Lidealofthegroup

Z[CJLEMMA1. Weluw
ethelollo
ω仇gcongru
ωcesin Z[CJ lora
ηyσ andτ01G:(j)ぴ τ‑1==(σl)‑+(τ‑1)
mod.J2(i)τ(σ‑1)三 σ‑1
mod.J2グ τσ1τ1‑1mod.J2
PROOF. (i)and(ii)arei
mpliedfrom(σ‑1)(τ1) = (στ‑1)一(σ‑1)一(τ1) andτ
(σ 1)‑(σ 1) τ( 1)ぴ(‑1).Moreover(i)impliesσ( 日十 (σ‑1‑1) 三 σσ'‑1 三 Omod.
12. Henceσ1‑1 三(σ‑1)mod.J2. Thisimplies(iii) using(i)again。
三二LEMMA2. Let'P beama
戸，戸ng0/Co 包)(A/IA)toq
フ(死ヲ α)三 σ( 1)amod.12A，*Pr
日sentaddress:Kanazaw
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Voman's]uniorColiege.
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URUTAandHiroshiYAMASHITA2ホωhere，i'jandααreelernentst'cρresentedand

σ Ganda A。
ノア11enrpinducesa

PROOF. Let品ニThenthereexistsanelementρof [G，suchthatO2二 例ρ andweseethatぬ ー ] 三 ( 尚 一 1)十(P‑l)豆 ぴJ'‑1mod，J2by(i)andofLemmaLI¥1oreoverl}a ==n(σ ‑1)amod.J2A forany{iiofLemma1n. Hence伊1isvvelldefined andit18dearthat伊 inducesasuri.
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ehomomorphism.
句.
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3. WedenotebγG"thedirecffG ofdimensionnw
it
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印E②凶 μ:11)definedηf)二③…②fn③i.
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ゴTr‑IEOREi¥ιf'(τ1，PROOF. ApplyingLemma2repeatedly，wehavea
G?"@凶 /IA)to1吐 /In+lA，v，枕11Sdefinedl(あ②一③tcn② α) 三 (σ'1‑1)

伊(均mod， I"トIA日

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図的 inG ofeachclassofGobefixe
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L NowletofandletrepreselementsofA/IAsuchthatψ 偲ぬ②…②弘@α(ま)) = O. Then~ 同 ‑1).
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esntationModulesandtheAugumentationIdealofaFiniteg
roup，3P)runsoverall(ρ)suchthat(ρ1，.
， ρ'n)=τ(，r'"'， 'Z'n). Put f(九 … ，'Z'n)二 a(司 ‑whereb(おb or‑bZacωdingasτ
(1> ・・，'Z'n)=(0"1> ，・ の)for悶 ne(O")ornot. ThenfeRn叩tM町oreoverweha
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finition.
Referencesilpotentf
actorsofcongruentidealc
1assg
roupsofGaloisextensions，NagoyaMath[lJ Y.Furuta，Onn，.
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