Proceedings of the 5th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 33rd Linear Accelerator Meeting in Japan (August 6-8, 2008, Higashihiroshima, Japan)

Development of the Continuously Adjustable Permanent Magnet Quadrupole
Takanori SugimotoA), Yoshihisa IwashitaA), Masahiro IchikawaA), Masako YamadaA),A)A)
B)
Akihisa Wakita , Ichiro Kazama , Toshiaki Tauchi
A)
Institute for Chemical Research Kyoto University
Gokasho, Uji, Kyoto, 611-0011
B)
High Energy Accelerator Research Organization
1-1 Oho, Tsukuba, Ibaraki, 305-0801
Abstract
A permanent magnet quadrupole (PMQ) with continuous strength adjustability has been fabricated. It has a fiveringsinglet structure, which was originally proposed by R.L.Gluckstern. Its small overall diameter allows an outgoing beamline to be installed pass close by the magnet. Since the permanent magnet pieces do not have any mechanical vibration
source in themselves, this magnet could be suitable as a quadrupole in a final focus doublet.
In this report, such a quadrupole system is presented.

強 度 可 変 4極永久磁石の開発
１．導入
近年における永久磁石の技術発展にはめざましいものがあり、以前では考えられなかった高強度の磁場を実現できるようになった。それに伴って、特に加速器の分野では、より高いエネルギーをもった粒子の運動を永久磁石で扱うことができるようになった。
しかしながら、そのためには実際やってくるビームのエネルギーに応じて磁場強度の微調を行わなければならない。Glucksternが提唱した5つの4極磁石のdiscを組み合わせた複合磁石[1][2]を用いればこの問題は解決でき、この複合磁石は一つの強度可変な4極磁石のように振る舞う。この際、それぞれのdiscをお互いに傾けることによって磁場の強度を変化させるが、傾きによって生じるx-y couplingの効果は複合磁石が持つ鏡面対称性をもって消し去ることができる(Figure 1)。この複合磁石を実際に製作したときには製作誤差や運転誤差、配置誤差などにより、上で述べたx-y couplingの効果を完全には消し去れず、x平面とy平面でbeamのサイズや角度が大きく異なる（例えば、International Linear Collider (ILC)最終集束系）ような光学系では命取りになりかねない。
我々はILCのInteraction Point (IP)における影響を、最終集束磁石としてGluckstern型磁石を用い、かつその磁石に誤差、特に回転誤差や磁石長誤差、軸ズレがあった場合について見積もった。同時に、我々はこの型の磁石を実際に製作しており、各discについては内部の磁場分布を測定し、多重極成分の大きさを求め、軸ズレの大きさを見積もった。
現在のILCのベースラインでは最終集束用磁石には超伝導磁石が用いられることになっているが、Cryostat内を通過する液体Heによって、またそれを送り出すポンプによって、磁石に振動が伝えられる可能性がある。ILC最終集束系にはIPでのbeam同士の交差角が14mradと非常に浅く、磁石を配置するスペースを十分に確保できないという難点もある。
Gluckstern型4極磁石はILCが要求するその2つの厳しい条件を満たすことができるという点で、超伝導に変わり得る十分な利点を持ったものである。我々はまず、Accelerator Test Facility 2 (ATF2) でのbeam実
験を念頭に研究を進めている。

図1:Gluckstern型4極磁石

２．誤差の推定
まず、それぞれのdiscに生じる3つの誤差、すなわち運転時における回転誤差、磁石長の製作誤差、磁石の磁場中心とbeam軸とのズレ、によって齎されるx-y couplingの影響を見積もった。この影響の推定にはfringe fieldや4重極より高次の多重極成分を無視した転送行列計算を用いた。
計算の単純化のため、まず図1の中のパラメターのうち、角度の絶対値が等しいと仮定する。

θ ≡ θ1 = −θ 2 = θ 3 (1)次に、磁石長に集束力の可変範囲の下限を定める
拘束条件

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2s1 − 2s2 + s3 = C (2)Proceedings of the 5th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 33rd Linear Accelerator Meeting in Japan (August 6-8, 2008, Higashihiroshima, Japan)を与える。式(2)の中のCは集束力の下限を表す定数であり、計算を簡単にするため、これを0とおく。
（この値は計算の過程に何ら特別な条件を付加しないので、実際には必要に応じてその値を変えて同じ計算を行える。）ここで4極磁石によるbeamの集束力が磁石の長さに比例するという近似を用いた。これらの仮定は実際上、x-y couplingを打ち消すのに何ら問題とならない。式の見易さのため、以下のパラメターを導入する。

S ≡ 2s1 + 2s2 + s3とした。MQ 、MQ*は4 4行列であり、m11 ~m22 は22行列である。
表1：ILCのパラメターsλ ≡ 1 µ ≡ kS (3)S

ここで式中k[L-1]は4重極成分の大きさを表す定数で、

k=

€B′
Bρ

Value

Max Energy

GeV

250 (500)

Distance from IP to first Quad

m3.5-(4.5)

Crossing Angle at IP

mrad

14

Beam size at IP, σ , x/ynm

639/5.7

Beam divergence at IP, θ , x/yµrad

32/14

€

各discに δθ なる回転の誤差がある場合の誤差を、€磁石の全体長が220mmに固定して見積もった。そので定義される。
結果、ΔXをXの10パーセント以下に抑えるためにはこれによりx-y couplingを打ち消すための各磁石長各discの回転誤差を表2のようにしなければならないの比が他のパラメターにより一意的に決まることに€なる。事実、
θ1 ~ θ3 、s1 ~s3 の6つのパラメターのう ことがわかった。
表2：許される回転誤差の最大値
ち、式(1)、(2)の3つの条件により、一次独立となる変数を3つに減らすことができるので、 θ1~θ3、s1Disc
Optimum length
Nominal δθ [rad][mm]~s3は式(3)によって導入したパラメターλ、µとθを用いて書き直すことができる。Gluckstern型4極磁石
First17.33< 2.2 * 10-4
全体の転送行列はそのまま扱うには非常に複雑なのSecond55.00< 7.0 * 10-5で、µが十分小さいとして3次以上の項を無視する近€似を用いた。例えば、我々が実際に製作した磁石のThird
75.34< 5.3 * 10-5µは0.090（kが0.41[m-1]、Sが0.22[m]）となっている。
55.00< 7.6 * 10-5
表1にILC計画が要求するIPでのパラメターを示す。 Forth
これを用いれば、IPでの最終集束磁石に誤差がある
Fifth
17.33
< 2.5 * 10-4場合のIPでのbeamサイズや角度に与える影響について見積もることができる。具体的に、最終集束磁石
2.2 磁石長誤差の直前でのbeamサイズや角度を表すベクターをX0、同様にΔXをXの10パーセント以下に抑えるためにIPでの誤差なしのベクターをX、誤差ありのベクは各discの磁石長誤差をおおよそ100µm以下に抑えターをX*として、誤差なしの最終集束磁石の転送行る必要があることがわかった。
列をMQ、誤差ありの磁石の転送行列をMQ*とする。
また、Drift Sectionを表す転送行列をMDSとしておく
2.2 軸ズレ（図2参照）。
各discの軸ズレはIPでのx-y couplingにほとんど影響しなが、仮想的なIPでのbeam位置に影響することがわかった。誤差によるIPでの位置のズレを1nm以下に抑えるためには軸ズレをおおよそ1µm以下に抑えなければならないことがわかった。

３．磁場測定と多重極成分の推定

それらの関係は、

X = M DS MQ X 0(5)*X * = M DS MQ X 0であるから、*−1−1

ΔX = X − X * = M DS (E − M Q M Q )M DS X (6)とできる。ただし、€m m11 0 m12 *M Q =  11 MQ =  (7) m21 m22 
 0 m22 

我々は4つのdiscを製作し（図3参照）、個々に磁場測定を行い、その多重極成分を推定した。別に現在、磁石をより精密に組み立てるための固定具を製作しており、それが出来上がり次第5つ目のdiscの組み立てを行う予定である。
表3に磁場測定を行い推定した多重極成分の値を記した。個々のdiscについて、半径が4mm、8mm、12mmとなるような円周上の36点で動径方向の磁場強度をホール素子によって測定し、磁場が2極、4極、6極の和で表されると仮定してフィッティングを行い、平均をとって各値とした。より高次の多重極成分はここで行ったフィッティングでは無視している。
-952-

€

Units

2.1 回転誤差(4)

図2：ILCのIP付近の光学系€ParameterProceedings of the 5th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 33rd Linear Accelerator Meeting in Japan (August 6-8, 2008, Higashihiroshima, Japan)

表3：各discにおける多重極成分の大きさ
Disc(length)

Dipole(STD DV)[G]Quadrupole(STD DV)[G/cm]

Shift(Error) [µm]First(20mm)

13.4 (7.45)

1740 (113)76.8 (47.9)

Third(70mm)

5.87 (1.31)

2960 (27.7)

19.8 (4.62)

Forth(55mm)

99.0 (19.4)

2690 (97.3)

369 (85.4)

Fifth(20mm)

15.1 (2.70)

1670 (91.2)

90.1 (21.1)

差の所為であると思われ、事実4番目のdiscに関してはその組み立て時の配置ズレが肉眼で確認できた。

製作するdiscの厚みがボーア径に比べ小さい場合には磁力線が十分に内部に集中せず、無限長を仮定して行う2次元磁場計算と比べて磁場強度が弱くなる傾向がある[3][4]。

€４．結論と展望

まず、我々はGluckstern型強度可変4極磁石について転送行列を用いて、現実に生じ得る誤差の推定を行った。その際、磁場にfringe fieldや6極以上の多極成分を無視する近似を用いた。結果、各discに許容される誤差として、回転誤差については数十µrad以下、磁石長誤差については100µm以下、軸ズレについては1µm以下に抑える必要があることがわかった。
次に、我々は実際に磁石を設計し、4つdiscについては組み立てて、内部の磁場測定を行い、その多極成分の大きさを見積もった。結果として、まず磁石の長さが短いもので磁場強度がかなり小さくなっていることがわかった。これは解析的に十分説明でき、長さに対してボーア径が大きいために起こる磁束密
図3：製作した厚み20mmのdisc度の減少のためとわかった。次に4番目のdiscで軸ズレが非常に大きくなっていることがわかった。これ
表3中において、磁石長が短いほど4極成分の値が小さいのはそのためであると考えられる。具体的に、 は主に組み立て時の配置誤差による影響と思われ、無限長を仮定したときの内部の磁場強度をBmax とす
現在組み立て時に使用する固定具を新たに考案し、ると、有限長sの磁石内部の磁場強度B(s)はBmaxを用調整を進めている。
いて、3次元磁場計算によるbeam tracking simulationを用
B(s) = {F(z − s 2)− F(z + s 2)}Bmax (8)いた誤差の推定を行う予定である。また、磁場測定と書ける。ただし、F(z)はz=0からz=-∞の領域に磁石に関してはホール素子による測定が必要とする精度があるとしたときのz軸方向の磁場の最大値に対すを十分に保証できない可能性があることが指摘される比の分布、B(s)/Bmaxを表し、ているので、rotation coilあるいはcoilを固定して、
 v 2 v 2 ( v 2 + v v + v 2 + 4 + 8 v v ) 磁石を回転することによる磁場測定の機構の製作を
1z 1 1
1 21
1 22
1 2F(z) = 1−  +  (9)進めている。
2  8  r r v +v
1212と書ける。ここで、viは€

図4：有限長磁石内部の磁場分布

vi =

参考文献

11+ ( z ri )2(10)であり、r1は磁石の内径、r2は外径を表す。
磁 石 長 を 20mm 、 55mm 、 70mm と し た と き のB(z)/Bmaxは図4のような分布を示す。この効果により、磁石の長さの違いによる4極成分の大きさの違いを€おおよそ説明できることがわかる。
この測定によって、4番目のdiscの軸ズレが他に比べ大きいことがわかった。これは組み立てによる誤-953-[1] R.L.Gluckstern et al, “Variable Strength Focussing with
Permanent Magnet Quadrupole”, Nucl. Instrum. Meth., 187,119, (1981)[2] R.L.Gluckstern et al, “Adjustable Strength REC
Quadrupole”, IEEE Trans. on Nucl. Sci., 30, 3226, (1983)[3] K. R. Crandall et al, “TRACE 3-D Documentation, ThirdEdition”, Los Alamos National Laboratory, (1997)[4] K. Halbach, “Physical and Optical Properties of REC
Magnets”, Nucl. Instrum. Meth., 187, 109-117, (1981)