《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

一次元光学格子中における中性冷却 Bose 原子気体系の非平衡緩和過程
早稲田大学大学院基幹理工学研究科 山中由也研究室

桑原 幸朗

目次
1

諸言

1

2

Thermo Field Dynamics (TFD)

3

2.1

平衡 TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42.2

非平衡 TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

ハミルトニアン9

3.1

自由ハミルトニアンの対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2

時間依存の完全系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12量子輸送方程式の導出

13

4.1

伝播関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

4.2

自己エネルギー. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.3

量子輸送方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3

4

数値計算

17

5.1

物理量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5.2

数値計算結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

6

まとめと今後の課題

21

付録 A

時間依存の完全系

22

5

1 諸言
近年，実験的にも理論的にも注目されている系に中性冷却原子気体系がある．この系は，光のDoppler 効果を利用したレーザー冷却や，エネルギーの高い原子を選択的に追い出し熱緩和によって系の温度を下げる蒸発冷却といった冷却法により，磁気トラップや光学トラップによって捕捉された中性原子気体を nK〜µK オーダーの極低温へ冷却した系である．特に，Bose 原子系
では転移温度以下で巨視的な数の粒子が最低エネルギー状態を占める Bose-Einstein 凝縮 (BEC)1《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）という相転移現象が生じる [1–4]．この中性冷却原子気体系の BEC では，例えば 2 つの凝縮体の干渉稿が観測された実験が報告されており [5]，本来微視的なスケールのため観測困難な量子現象
を巨視的なスケールで観測することができるなど，実験・理論の両分野において量子系における非常に興味深い系として扱われている．
また，中性冷却原子気体系にはトラップの形状や相互作用の強さなどの実験パラメータを高い制御でコントロールできるという特徴がある．例えばトラップの形状に関しては光学格子がある．これは対向レーザーによる定在波で作られる周期的ポテンシャルであり，これにより欠陥のない理想的な結晶格子を擬似的に作り出すことができる．また，相互作用の強さを Feshbach 共
鳴 [6, 7] という技法を使うことでコントロールでき，斥力と引力の変換も可能である．このように中性冷却原子気体系は，実験制御性の高さから理論計算と実験結果の比較を行いやすく，そのため理論検証の場として優れている．
さらに，系の密度は 1013 〜1015 /cm3 程度で通常の気体に比べると非常に希薄で，相互作用が弱いため熱緩和がゆっくりで非平衡状態を観測しやすいという特徴があり，非平衡系の量子論において魅力的な系である．熱緩和に関する実験や理論研究として，例えば捕捉トラップを微小に揺らすことで原子気体の集団励起を観測した実験 [8] やそれに対する理論研究 [9–12] がある．また，蒸発冷却も熱緩和の遅い過程の一つであり，そのダイナミクスに関する理論研究も行われている [13]．
量子多体系を記述する理論である場の量子論は，素粒子論や宇宙論，物性物理，量子光学など
様々な分野で用いられる基礎理論であり，熱場の量子論は熱的状況に対する場の量子論である．熱場の量子論の定式化の一つに，実時間正準形式の定式化である Thermo Field Dynamics (TFD)[14] がある．有限温度における物理量の期待値は，通常は密度行列を用いたトレース演算による混合状態期待値で表されるが，TFD では自由度を倍加することで純粋状態の期待値として表現される．この時現れる真空を熱的真空と呼び，この熱的真空の上に空間を構築していくため，TFD
は準粒子描像が明確に定義されるという特徴がある．そのため，粒子描像が本質的である場合，例
えば系が非一様な空間分布を持つような場合などに対して有利である [15]．また，TFD は非平衡な場合への拡張も行われており (非平衡 TFD) [14]，明確な準粒子描像が定義されるという特徴は非平衡の状況にもあてはまる．非平衡 TFD では時間依存の分布関数が未知関数として導入されるが，これは自己無撞着な繰り込み条件によって決定され，その際，量子輸送方程式が導出される [14, 16]．

TFD の研究は発展途上にあり，研究の余地がある．例えば時空に依存するモデルに対するTFD はまだ十分に研究されていない．そこで本論文では，時空に依存するモデルとして一次元光学格子中の中性冷却 Bose 気体系を採用し，その系に対して非平衡 TFD の立場で量子輸送方程式を導出する．そして，導出された量子輸送方程式を数値的に解くことで系の非平衡状態から平衡状態への緩和過程を示す．
第 2 章では具体的な系に対する計算を行う事前準備として TFD についての概要を説明する．

2

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

最初に熱平衡状態に対する定式化である熱平衡 TFD を概説する．密度行列による混合状態期待値が自由度を倍加することで熱的真空による純粋状態の期待値で表現できることを示す．また熱的真空を消去する演算子として，もともとの生成消滅演算子と熱的 Bogoliubov 変換によって結ばれる演算子を導入する．Fermion 系に対しても同様な定式化ができるが，本論文では boson 系
しか扱わないため説明は boson 系に対する定式化のみとする．次に，今回時空依存モデルを考えるので，分布関数が時間に依存する非平衡系に対する定式化である非平衡 TFD を概説する．この時，未知関数として導入された時間依存の分布関数により，もともとの演算子と熱的真空を消去する演算子は異なる時間発展をし，非摂動ハミルトニアンに熱的カウンター項が現れることを示す．そして，時間依存の分布関数と熱的カウンター項を自己無撞着に決定する on-shell 繰り込
み条件を課す [17–19]．この on-shell 繰り込み条件から量子輸送方程式が導出されるが，実際に量
子輸送方程式を導出するのは本論文で扱う系のハミルトニアンを記述した後に行う．
第 3 章ではハミルトニアンの記述を行う．まず，本論文で扱う一次元光学格子中の中性冷却

Bose 気体系の時空依存モデルを与え，そのモデルに対するハミルトニアンを考える．その際，光学格子中の中性冷却 Bose 気体系の解析に用いられる Bose-Hubbard ハミルトニアン [20] を記述する．本論文で扱うモデルは t < 0 の場合と t ≥ 0 の場合で外場が異なるので，それぞれの場合に対して場の演算子を展開する．t < 0 では自由ハミルトニアンの対角化を利用し，t ≥ 0 では時間依存の完全系で展開する [15, 18, 19]．
第 4 章では，第 3 章で記述するハミルトニアンに対する量子輸送方程式を非平衡 TFD の立場で実際に導出する．まず，非平衡 TFD の手順に従って自由度を倍加し，熱的真空を消去する演算子を導入する．次に，伝播関数を定義し，その伝播関数による Dyson 方程式で自己エネルギーを定義する．そして，第 2 章で考える on-shell 繰り込み条件を課すことで一次元光学格子中の中性冷
却 Bose 気体系に対する量子輸送方程式を導出する．この時，自己エネルギーの計算は Feynman
ダイアグラム法を用いて 2 次のループまで計算する．また，結果的に導出される量子輸送方程式
は衝突項に過去の時間の分布関数も含まれる non-Markov 型の量子輸送方程式となっている．さらに，分布関数の時間依存性を現在の時間で代表させる Markov 近似を行うことで，Markov 型の量子輸送方程式も導出する．
第 5 章では，第 4 章で導出される量子輸送方程式を数値的に解くことにより系の非平衡緩和過程を示す．その際，非平衡緩和の様子を重心とその速度の時間変化を通して示す．また，

non-Markov 型，Markov 型のそれぞれの輸送方程式を用いた計算結果を比較する．
第 6 章でまとめと今後の展望を述べる．

2 Thermo Field Dynamics (TFD)
この章では有限温度系の場の量子論の定式化の一つである TFD について概説する [14, 16]．なお，本研究では boson 系しか扱わないので boson 系に限って考える．また本論文では，~ = 1 の3

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

単位系を用いる．

2.1 平衡 TFD
まず，平衡 TFD について概説する．簡単のため 1 自由度の場合で説明するが多自由度でも同様である．
有限温度系での物理量の期待値は混合状態の期待値で与えられる．TFD ではこの混合状態期待値を，Fock 空間を倍加することで純粋状態の期待値で表す．以下このことを具体的に見ていく．
まず∑

ρ = (1 − f )f m |m⟩ ⟨m|

(2.1)

m

で定義される規格化された密度演算子 ρ による混合状態での期待値⟨A⟩ = Tr[Aρ] = (1 − f )∑f m ⟨m|A|m⟩

(2.2)

m

について考える．ただし，非摂動ハミルトニアン H0 を対角化するような生成消滅演算子を a† , aとすると，すなわち，H0 = ωa† a とすると |m⟩ , ⟨m| は1|m⟩ = √ a†,m |0⟩ ,m!

1⟨m| = √ ⟨0| am
m!

(2.3)

である．f は平衡状態では Boltzmann 因子 f = e−βω (非平衡状態では 0 ≤ f < 1 を満たす因子)である．ただし，β ≡ 1/kB T であり，kB は Boltzmann 定数である．また，A は a, a† で記述される演算子である (A = A[a, a† ])．
ここで，次のように自由度を倍加することでチルダ演算子を導入する．

a −→ a ⊗ 1, 1 ⊗ ã

(2.4)

a† −→ a† ⊗ 1, 1 ⊗ ã†(2.5)|m⟩ −→ |m⟩ ⊗ |n⟩(2.6)

ただし表記簡略のため，今後 1 ⊗ • や • ⊗ 1 は省略する．このとき，非チルダ演算子 a, a† とチル
ダ演算子 ã, ã† に対する交換関係は[a, a† ] = [ã, ã† ] = 1
†

†

(2.7)
†

†

[a, ã] = [a, ã ] = [a , ã] = [a , ã ] = 0(2.8)

で定義される．ここで，次の熱的真空を導入する．

|0⟩ = (1 − f )α∑

f mα |m⟩ ⊗ |m⟩

(2.9)

m

⟨0| = (1 − f )

1−α

∑
m

4

f m(1−α) ⟨m| ⊗ ⟨m|(2.10)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

ただし，α は 0 ≤ α ≤ 1 を満たす自由度である．このとき⟨0|0⟩ = (1 − f )∑f m(1−α) f nα (⟨m| ⊗ ⟨m|)(|n⟩ ⊗ |n⟩)(2.11)f m ( = Tr[ρ] )(2.12)mn= (1 − f )

∑
m

=1

(2.13)であることがわかる．式 (2.9)，(2.10) の熱的真空を用いて A[a, a† ] の期待値をとると⟨0|A|0⟩ = (1 − f )∑f m ⟨m|A|m⟩(2.14)m= ⟨A⟩(2.15)となり，混合状態期待値を純粋状態の期待値で表せることがわかる．ここで，最初の等式変形でA には ã が含まれないことを利用した．なお TFD でのハミルトニアンは，非チルダ演算子とチルダ演算子の両方の時間発展をさせるため，H ではなく Ĥ ≡ H − H̃ で定義される Ĥ である．

2.1.1 チルダ共役則
ここでは前節で導入したチルダ演算子に関連して，チルダ共役 (AÃ) を次のチルダ共役則に従って定義する．

(A1 A2 )∼ = Ã1 Ã2(2.16)(c1 A1 + c2 A2 )∼ = c∗1 Ã1 + c∗2 Ã2(2.17)(A† )∼ = Ã†(2.18)(Ã)∼ = A

(2.19)∼|0⟩ = |0⟩(2.20)∼⟨0| = ⟨0|(2.21)

ただし，Ai は任意の演算子であり，ci は任意の c-数である．

2.1.2 熱的 Bogoliubov 変換式 (2.9)，(2.10) で定義される熱的真空はゼロ温度でなければ a 演算子に対する真空ではない．
すなわち

a |0⟩ ̸= 0 ,ã |0⟩ ̸= 0 ,⟨0| a† ̸= 0 ,⟨0| ã† ̸= 0

(2.22)

ξ |0⟩ = 0 ,ξ˜ |0⟩ = 0 ,⟨0| ξ † = 0 ,⟨0| ξ˜† = 0(2.23)である．そこで5《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）となるような，熱的真空 (2.9)，(2.10) に対する生成消滅演算子である ξ 演算子を導入する．ただし，ξ 演算子は交換関係

˜ ξ˜† ] = 1[ξ, ξ † ] = [ξ,˜ = [ξ, ξ˜† ] = [ξ † , ξ]˜ = [ξ † , ξ˜† ] = 0[ξ, ξ](2.24)(2.25)

を満たすものとする．このとき，熱的二重項表記

( )µ
a
a =
,
ã†
( )µ
ξ
µ
ξ = ˜†,
ξµ(āν = a†)ν−ã(2.26)(ξ¯ν = ξ †)ν−ξ˜

(2.27)

を導入すると，熱的 Bogoliubov 行列

[
B

µν

sσ3

)]µν
1
−f α
−f 1−α
1
)
]µν
fα √
−sσ3
1+n e
1

√
1+n

= e
[(
1
−1,µν
B
=
1−α
f

(

(2.28)(2.29)

を用いて a 演算子と ξ 演算子は熱的 Bogoliubov 変換

aµ = B −1,µν ξ ν ,āν = ξ¯µ B µν

(2.30)

で結ばれる．ただし，n は n ≡ ⟨0|a† a|0⟩ で定義される分布関数であり，平衡状態では Bose-

Einstein 分布n=1eβω − 1(2.31)

である．前述の f とは

n=

f
1−f

(2.32)の関係がある (非平衡状態でも式 (2.32) は n と f を関係づける式である)．また，s は Bogoliubov
変換におけるスケール変換に対応するパラメータであり，σ3 は Pauli の第 3 行列である．ここで，上付き添え字が繰り返されるとき暗黙的に和をとっている (今後も特に断らない限り同様である)．
なお，非摂動ハミルトニアン Ĥ0 は

Ĥ0 = H0 − H̃0µ µ= ωā a= ω ξ¯µ ξ µ(2.33)(2.34)(2.35)

なので，a 演算子に対しても ξ 演算子に対しても対角的になっている．したがって，a 演算子と ξ演算子の相互作用描像における時間依存性は

aµ (t) = aµ e−iωt(2.36)

ξ µ (t) = ξ µ e−iωt(2.37)

6

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）となる．

2.2 非平衡 TFD
ここでは，前節の nℓ を nℓ (t) へ変更することで非平衡 TFD への拡張を概説する．ただし，現段階では nℓ (t) は未知関数であり，自己無撞着な繰り込み条件により決定される．そしてその際，量子輸送方程式が導出される．なお，第 3 章で具体的なモデルを提案後，そのモデルに非平衡

TFD を適用することを踏まえて，この節では多自由度の場合で説明する．
2.2.1 a 演算子と ξ 演算子の時間発展
まず，aℓ と ξℓ 演算子の相互作用描像での Heisenberg 方程式について考える．非摂動ハミルト
ニアンを ĤQ (t) とすると aℓ 演算子の Heisenberg 方程式はi∂t aµℓ (t) = [aµℓ (t), ĤQ (t)](2.38)

で与えらえる．一方，nℓ (t) の時間依存性により Bogoliubov 変換は

aµℓ (t) = Bℓ−1,µν (t)ξℓν (t) ,āνℓ (t) = ξ¯ℓµ (t)Bℓµν (t)(2.39)のように熱的 Bogoliubov 行列に時間依存性が入ってくるため，ξℓ 演算子の Heisenberg 方程式はi∂t ξℓµ (t) = [ξℓµ (t), ĤQ (t) + Q̂(t)](2.40)となり，aℓ ，ξℓ 演算子でそれぞれ時間発展の仕方が異なることがわかる．ただしQ̂(t) = −i

]µν
∑ µ [
ξ¯ℓ (t) Bℓ (t)Ḃℓ−1 (t)ξℓν (t)(2.41)ℓである．ここで，TFD は時間依存しない真空の上に理論を構築するので，「ĤQ (t) + Q̂(t) は ξℓ 演
算子に対して対角的」という要請をする．すなわちĤ0 (t) =∑ωℓ (t)āµℓ (t)aµℓ (t) =ℓ∑ωℓ (t)ξ¯ℓµ (t)ξℓµ (t)(2.42)ℓと表される自由ハミルトニアン Ĥ0 (t) を用いると，式 (2.38)，(2.40) より

ĤQ (t) = Ĥ0 (t) − Q̂(t)(2.43)となる (ωℓ (t) は時間依存のエネルギー繰り込み条件のため一般に時間依存する．本論文では時間依存のエネルギー繰り込み条件は扱わないが，今後の展望のため ωℓ (t) を用いる)．この Q̂(t) を熱的カウンター項と呼ぶ．このとき，摂動ハミルトニアンはĤI (t) = Ĥint (t) + Q̂(t)7(2.44)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

である．
ところで，熱的 Bogoliubov 行列 (2.28)，(2.29) には α, s という自由度が残っていた．ここでは，後に Feynman ダイアグラムによる摂動計算をすること，かつ最終的に得られる輸送方程式がエントロピー則と矛盾しないようにすることを踏まえて，αℓ = 1, sℓ = log√
1 + nℓ (t) を要請す

る．このとき熱的 Bogoliubov 行列は

Bℓµν (t) =(1 + nℓ (t)−1−nℓ (t)
1

)µν

(
)µν
1
nℓ (t)
1 1 + nℓ (t)(2.45)ξℓν (t)(2.46)

Bℓ−1,µν (t) =,となり，熱的カウンター項はQ̂(t) = −i∑ṅℓ (t)ξ¯ℓµ (t)

ℓ

(
0
0

1
0

)µν

となる．

2.2.2 On-shell 繰り込み条件
現段階では nℓ (t) は未知関数である．そのため，Q̂(t) も ṅℓ (t) が含まれるので未知である．しかし，ĤQ (t) には Q̂(t) が含まれているので，Q̂(t) が決まらなければ nℓ (t) も決まらない．したがって，nℓ (t) と Q̂(t) は自己無撞着に決定しなければならない．そこで，次のように自己無撞着な繰り込み条件を課す [14, 16–19]．
まず，ξℓ 演算子に対する Dyson 方程式gℓµν(t1 , t2 ) = dµνℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) +
1 ℓ2

∑∫

′

′ ′

′

µν
ν ν
ds1 ds2 dµµℓ1 m1 (t1 , s1 )Sm1 m2 (s1 , s2 )gm2 ℓ2 (s2 , t2 )(2.47)

m1 m2
µν

µν

µν

で自己エネルギー Sℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) を定義する．ここで，dℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ), gℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) はそれぞれ自由伝
播関数，全伝播関数であり，µ¯νdµνℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[ξℓ1 (t1 )ξℓ2 (t2 )]|0⟩g µν (t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[ξ µ (t1 )ξ¯ν (t2 )]|0⟩ℓ1 ℓ2(2.48)(2.49)

Hℓ2

Hℓ1と定義される．ただし，下付き添え字 H は Heisenberg 表示の演算子を意味する．この自己エネ
ルギーに対して∫Sℓµν[k0 , t] =
1 ℓ2

[
]
∫t
∫
µν
i t−τ
ds k0 (s)i tt+τ ds k0 (s)dτ θ(τ )Sℓµν
(t,
t
−
τ
)e
+
θ(−τ
)S
(t
+
τ,
t)e
ℓ1 ℓ2
1 ℓ2
(2.50)µνで定義される k0 表現を採用する．また，自由伝播関数 dℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) にも自己エネルギーと同様に

k0 表現を定義する：(∫
dµνℓ1 ℓ2 [k0 , t] = δℓ1 ℓ2

dτ

)µν

∫t

−iθ(τ )ei t−τ ds[k0 (s)−ωℓ1 (s)]
0
8

∫ t+τ

iθ(−τ )ei t0
ds[k0 (s)−ωℓ1 (s)](2.51)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）µν

12
この dℓℓ [k0 , t] の極 k0 (t) = ωℓ (t) で on-shell を定義し，Sℓℓ[k0 , t] に on-shell 繰り込み条件
12Sℓℓ[ωℓ , t] = 0(2.52)を課すことで，最終的に nℓ (t) の時間依存性を決定する量子輸送方程式が導出される．輸送方程式
導出までの具体的な計算は，今回扱うモデルのハミルトニアンについての説明をしてから行う．

3 ハミルトニアン
この章では対象とする系とそのハミルトニアンを記述する．
対象とする系は次のような系である．まず，調和振動子トラップポテンシャルに Bose 気体を捕捉し，光学格子を掛け，t < 0 で平衡状態を用意しておく．ただし，簡単のため一次元系とする．
次に，t = 0 でトラップを xd だけずらす．このとき系は非平衡状態となる．一連の操作の概略図を図 1 に示す．

Bose gas

図1

モデル概略図

今回，この系のハミルトニアンを強結合近似の施された一次元 Bose-Hubbard モデル [20] を用いて記述する．ハミルトニアンは次のようになる．
Is [∑H(t) =−Jψi† (t)(ψi+1 (t) + ψi−1 (t)) + {(i − Ic + θ(−t)d)2 V − µ}ψi† (t)ψi (t)i=1U+ ψi† (t)ψi† (t)ψi (t)ψi (t)2]= H0 (t) + Hint (t)

(3.1)
(3.2)

Is [
]
∑
H0 (t) =−Jψi† (t)(ψi+1 (t) + ψi−1 (t)) + {(i − Ic + θ(−t)d)2 V − µ}ψi† (t)ψi (t)

(3.3)

i=1
s
U∑
ψi† (t)ψi† (t)ψi (t)ψi (t)
2 i=1

I

Hint (t) =(3.4)

H0 (t), Hint (t) はそれぞれ自由ハミルトニアン，相互作用ハミルトニアンである．ただし，i はサ

9

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）†

イト番号を表し，ψi (t), ψi (t) は同時刻交換関係[ψi (t), ψj† (t)] = δij(3.5)[ψi (t), ψj (t)] = 0(3.6)[ψi† (t), ψj† (t)] = 0(3.7)

を満たす場の演算子である．Is , Ic は全サイト数，中心サイトをそれぞれ表し，Ic = (Is − 1)/2
である．J, µ, U, V はそれぞれホッピング項，化学ポテンシャル，オンサイトの接触相互作用定数，調和トラップの強さである．また d はトラップのずらし幅を表す量であり，光学格子を作るレーザーの波長を λopt として d = 2xd /λopt である．ハミルトニアン (3.1) において，最初の−Jψi† (t)(ψi+1 (t) + ψi−1 (t)) はサイト間の移動のしやすさを表す項であり，ここでは隣接サイトへ†の移動のみを考慮している．また，(i − Ic + θ(−t)d)2 V ψi (t)ψi (t) は調和トラップの効果を表し，

θ(−t)d は時刻 t = 0 でトラップが d だけずれることを表す．最後の項

U †ψi (t)ψi† (t)ψi (t)ψi (t) は2

粒子間相互作用を表す項で，ここではサイトをまたがった相互作用の効果は考えないものとする．

3.1 自由ハミルトニアンの対角化
まず，式 (3.3) より t < 0 における自由ハミルトニアンはIs []∑
H0 (t) =−Jψi† (t)(ψi+1 (t) + ψi−1 (t)) + {(i − Ic + d)2 V − µ}ψi† (t)ψi (t)

(3.8)

i=1

である．ここでは H0 (t) の対角化を考える．H0 (t) を書き直すと

H0 (t) = ψ † (t)A0 ψ(t)(3.9)

となる．ここで， 0−J0ν1 − µ
 −J−J
ν20 − µ0A ≡ 0−J
ν30 − µ

 .
..
..
 ..
.
.
0
···
0
νi0 ≡ (i − Ic + d)2 Vψ1 (t)
 ψ2 (t) (†ψ(t) =  .  , ψ (t) = ψ1† (t) .. ψIs (t)
10

···
..
.
..
.
..
.
−J

0
..
.
..
.










−J 
νI0s − µ(3.10)(3.11)

ψ2† (t)···ψI†s (t))(3.12)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

である．したがって，H0 (t) の対角化を考えることは次の固有値問題を考えることに帰着する．

A0 uℓ = ωℓ0 uℓ
ここで，


u1ℓ
 u2ℓ 
uℓ =  .  ,.
 . (3.13)

(utℓ = u1ℓ

u2ℓ

···

uIs ℓ

)

(3.14)

uIs ℓ
は 1 に規格化されているものとする．すなわち，∑

uiℓ uiℓ′ = δℓℓ′

(3.15)iとする．また完全性条件は∑

uiℓ ujℓ = δij(3.16)ℓで与えられる．このとき，

 tu1
ut2 
W =  ,..
.

(W −1 = u1

u2

···

)

(3.17)

で与えられる W を用いると，式 (3.9) はH0 (t) = ψ † (t)W −1 W A0 W −1 W ψ(t)(3.18)= a† (t)W A0 W −1 a(t)∑ωℓ0 a†ℓ aℓ=(3.19)(3.20)ℓのように対角化される．ここで，a(t) = W ψ(t) ,a† (t) = ψ † (t)W −1(3.21)である．また，式変形では式 (3.15)，(3.16) から得られる(W W −1 )ℓℓ′ = δℓℓ′

(3.22)(W −1 W )ij = δij(3.23)

を用いた．なお，式 (3.20) で aℓ の時間依存性がないのは

aℓ (t) = aℓ e−iωℓ t
011(3.24)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）††のように，aℓ (t) の時間依存性を変数分離できるためである．また，aℓ , aℓ は ψi (t), ψi (t) の同時
刻交換関係 (3.5)〜(3.7) および {uiℓ } の正規直交条件 (3.15) より，交換関係[aℓ , a†ℓ′ ] = δℓℓ′

(3.25)[aℓ , aℓ′ ] = 0(3.26)[a†ℓ , a†ℓ′ ] = 0(3.27)

を満たす．

3.2 時間依存の完全系
次に t ≥ 0 のときのハミルトニアンは
Is [
]
∑
†
†
2
H0 (t) =−Jψi (t)(ψi+1 (t) + ψi−1 (t)) + {(i − Ic ) V − µ}ψi (t)ψi (t)(3.28)i=1†= ψ (t)Aψ(t)(3.29)

である．ただし，ν1 − µ


 −J


A≡ 0

 .
 ..
0

−J

0

ν2 − µ

−J

−J
..
.

ν3 − µ
..
.

···

0

···
..
.
..
.
..
.
−J

0
..
.
..
.










−J 
νIs − µ(3.30)

νi ≡ (i − Ic )2 V

(3.31)

である．今回扱う系は外場が (t = 0 で) 時間依存するので，時間依存する正規直交完全系 {viℓ (t)}を用いて場の演算子 ψi (t) を

ψi (t) =∑viℓ (t)aℓ (t)(3.32)ℓのように展開する [18, 19]．ここで，aℓ (t) の外場による時間依存性をすべて完全系に押し付けるように展開すると，{viℓ (t)} は Schrödinger 方程式に従って時間発展する．すなわちi∂t viℓ (t) =∑Aij vjℓ (t)(3.33)j††である (付録 A 参照)．また，ψi (t), ψi (t) の同時刻交換関係 (3.5)〜(3.7) より，aℓ (t), aℓ (t) に対して同時刻交換関係[aℓ (t), a†ℓ′ (t)] = δℓℓ′

(3.34)[aℓ (t), aℓ′ (t)] = 0(3.35)[a†ℓ (t), a†ℓ′ (t)] = 0(3.36)

12

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

を得る．
†

ここで，分布関数を展開係数 {aℓ (t)} を用いて nℓ (t) ≡ ⟨0|aℓ (t)aℓ (t)|0⟩ と定義する．このとき，完全系 {viℓ (t)} の初期条件として前節の {uiℓ } を用いて viℓ (0) = uiℓ と与えると，nℓ (t) の初期条
件はnℓ (0) = ⟨0|a†ℓ aℓ |0⟩ =1(3.37)

0eβωℓ − 1

で与えられる．

4 量子輸送方程式の導出
この章では非平衡 TFD を用いて，3 章で考えた系の量子輸送方程式を実際に導出する．

4.1 伝播関数
まずは非平衡 TFD に従って，自由度を倍加する．

)µ
ψi (t),
ψ̃i† (t)()µ
aℓ (t)µaℓ (t) =,ã†ℓ (t)(ψiµ (t) =ここで

ψiµ (t) =∑(ψ̄iν (t) = ψi† (t))ν−ψ̃i (t)(4.1)(
āνℓ (t) = a†ℓ (t))ν−ãℓ (t)(4.2)∗(t)āνℓ (t)
viℓ

(4.3)

viℓ (t)aµℓ (t) ,ψ̄iν (t) =

∑

ℓ

ℓ

である．また，aℓ 演算子と熱的真空を消去する ξℓ 演算子は熱的 Bogoliubov 変換

aµℓ (t) = Bℓ−1,µν (t)ξℓν ,āνℓ (t) = ξ¯ℓµ Bℓµν (t)

(4.4)

(
ξ¯ℓν = ξℓ†(4.5)

で結ばれる．ただし

ξℓµ =

( )µ
ξℓ
,
ξ˜ℓ†

ξℓ |0⟩ = 0 , ⟨0| ξℓ† = 0 ,()µν
1 + nℓ (t) −nℓ (t)µνBℓ (t) =
,
−1
1

−ξ˜ℓ

)ν

⟨0| ξ˜ℓ† = 0()µν
1nℓ (t)
−1,µν
Bℓ
(t) =
1 1 + nℓ (t)ξ˜ℓ |0⟩ = 0 ,

(4.6)
(4.7)

である．ここで，ξℓ 演算子の時間依存性は，外場の時間依存由来のものは完全系 {viℓ (t)} に，{nℓ (t)} 由来のものは {aℓ (t)} に押し込めた．また，このとき熱的カウンター項 Q̂(t) は式 (2.46)
よりQ̂(t) = −i∑ṅℓ (t)ξ¯ℓµ

ℓ

13

(
0
0

1
0

)µν
ξℓν

(4.8)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

である．
次に，ψi , aℓ , ξℓ 演算子それぞれに対する全伝播関数および非摂動伝播関数を定義する．まとめ
て書くと
µ
ν
∆µν
i1 i2 (t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[ψi1 (t1 )ψ̄i2 (t2 )]|0⟩

(4.9)

µ
ν
Gµν
i1 i2 (t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[ψHi1 (t1 )ψ̄Hi2 (t2 )]|0⟩µν∆µνℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[aℓ1 (t1 )āℓ2 (t2 )]|0⟩µνGµνℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[aHℓ1 (t1 )āHℓ2 (t2 )]|0⟩µ¯νdµνℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[ξℓ1 (t1 )ξℓ2 (t2 )]|0⟩µνgℓµν(t1 , t2 ) ≡ −i ⟨0|T[ξHℓ(t1 )ξ¯Hℓ(t2 )]|0⟩2
1 ℓ2
1(4.10)(4.11)(4.12)(4.13)(4.14)である．また，相互作用描像の ξℓ 演算子は時間依存性がないが，式 (4.13) 中の ξℓ (t) は T 積の順序を指定するために表記したものである．ここで，各伝播関数の間の関係を表しておくと式(4.3)，(4.4) より∆µν
i1 i2 (t1 , t2 ) =∑∗vi1 ℓ1 (t1 )∆µν
ℓ1 ℓ2 (t1 , t2 )vi2 ℓ2 (t2 )(4.15)∗
vi1 ℓ1 (t1 )Gµν
ℓ1 ℓ2 (t1 , t2 )vi2 ℓ2 (t2 )(4.16)ℓ1 ℓ2

Gµν
i1 i2 (t1 , t2 ) =

∑

ℓ1 ℓ2
′

′ ′

′

′

′ ′

′

−1,µµ
∆µν
(t1 )dµℓ1 ℓν2 (t1 , t2 )Bℓν2 ν (t2 )ℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) = Bℓ1(4.17)−1,µµGµν(t1 )gℓµ1 ℓν2 (t1 , t2 )Bℓν2 ν (t2 )ℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) = Bℓ1
∑
′
′ ′
′
∆µν
(t
,
t
)
=
vi1 ℓ1 (t1 )Bℓ−1,µµ(t1 )dµℓ1 ℓν2 (t1 , t2 )Bℓν2 ν (t2 )vi∗2 ℓ2 (t2 )i1 i2 1 2
1

(4.18)(4.19)ℓ1 ℓ2

Gµν
i1 i2 (t1 , t2 ) =

∑

′

′ ′

′

vi1 ℓ1 (t1 )Bℓ−1,µµ(t1 )gℓµ1 ℓν2 (t1 , t2 )Bℓν2 ν (t2 )vi∗2 ℓ2 (t2 )1(4.20)

ℓ1 ℓ2

となる．

4.2 自己エネルギー
次に，自己エネルギーを Dyson 方程式によって定義する．すなわちµνGµνi1 i2 (t1 , t2 ) = ∆i1 i2 (t1 , t2 ) +

∑∫

′

′ ′

′

µν
ν ν
ds1 ds2 ∆µµi1 j1 (t1 , s1 )Σj1 j2 (s1 , s2 )Gj2 i2 (s2 , t2 )(4.21)j1 j2gℓµν(t1 , t2 ) = dµνℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) +
1 ℓ2

∑∫

′

′ ′

′

µν
ν ν
ds1 ds2 dµµℓ1 m1 (t1 , s1 )Sm1 m2 (s1 , s2 )gm2 ℓ2 (s2 , t2 )

m1 m2

14

(4.22)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

µν

µν

µν

µν

で自己エネルギー Σi1 i2 (t1 , t2 ), Sℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) を定義する．このとき，Σi1 i2 (t1 , t2 ), Sℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) の
関係は

Sℓµν
(t1 , t2 ) =
1 ℓ2

∑

′

′ ′

′

ν
vi∗1 ℓ1 (t1 )Bℓµµ(t1 )Σµi1 iν2 (t1 , t2 )Bℓ−1,ν
(t2 )vi2 ℓ2 (t2 )1
2(4.23)

i1 i2

である．

図2

2 ループ自己エネルギーのダイアグラムµν

あとは自己エネルギー Sℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) の k0 表現をとり，on-shell 繰り込み条件 (2.52) を課せばよい．そこで，自己エネルギーを S = Sloop + SQ のようにループからの寄与と熱的カウンター項からの寄与に分割し，それぞれの自己エネルギーを計算する．まず，自己エネルギーへのループの寄与を考える．今回は図 2 のようなダイアグラムを計算する．このとき，対応する自己エネル
ギーは
µν
νµ
2 µ ν µν
Σµνloop,i1 i2 (t1 , t2 ) = −2U ε ε ∆i1 i2 (t1 , t2 )∆i1 i2 (t1 , t2 )∆i2 i1 (t2 , t1 )となる．ただし

{
1
ε =
−1
µ

(µ = 1)(µ = 2)µν(4.24)(4.25)µνである．この Σloop,i1 i2 (t1 , t2 ) を計算していくために，まず dℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) を計算し，式 (4.19) を利µνµν

用し ∆i1 i2 (t1 , t2 ) を求める．dℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) は式 (4.13) より()µν−iθ(t1 − t2 )00iθ(t2 − t1 )[{ }µ { }ν
{ }µ { }ν ]1
100
= −iδℓ1 ℓ2 θ(t1 − t2 )− θ(t2 − t1 )
0
0
1
1

dµν
ℓ1 ℓ2 (t1 , t2 ) = δℓ1 ℓ2である．ただし，{}µ という表記は{ }µ {aa=bb(µ = 1)(µ = 2)(4.26)(4.27)(4.28)

で定義されるテンソル表記である．式 (4.19) よりν∆µνi1 i2 (t1 , t2 ) = −iε∑ℓ

vi1 ℓ (t1 )vi∗2 ℓ (t2 )[{ }µ {}ν1
1 + nℓ (t2 )θ(t1 − t2 )1nℓ (t2 ){}µ { }ν ]nℓ (t1 )1+θ(t2 − t1 )1 + nℓ (t1 )1

15(4.29)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）µν

となる．したがって，Σloop,i1 i2 (t1 , t2 ) は

∑

2 ν
Σµν
loop,i1 i2 (t1 , t2 ) = − 2iU εvi1 ℓ1 (t1 )vi1 ℓ2 (t1 )vi∗1 ℓ3 (t1 )vi∗2 ℓ1 (t2 )vi∗2 ℓ2 (t2 )vi2 ℓ3 (t2 )ℓ1 ℓ2 ℓ3[{ }µ {}ν1(1 + nℓ1 )(1 + nℓ2 )nℓ3× θ(t1 − t2 )nℓ1 nℓ2 (1 + nℓ3 )1}µ { }ν ]{1nℓ1 nℓ2 (1 + nℓ3 )+θ(t2 − t1 )(4.30)(1 + nℓ1 )(1 + nℓ2 )nℓ3
1min(t ,t )12となる．ただし，[ ]min(t1 ,t2 ) は [ ] の中の nℓ の引数が t1 , t2 のうち小さい方であることを意味する．なお，式 (4.24)，(4.29)，(4.30) において µ, ν についての和はとらない．

4.3 量子輸送方程式µν

ここで，繰り込み条件 (2.52) を課すために，前節で求めた Σloop,i1 i2 (t1 , t2 ) から繰り込み条件
12に必要な Sloop,ℓℓ(t1 , t2 ) を式 (4.23) を用いて計算する．すると
12(t1 , t2 ) = 2iU 2
Sloop,ℓℓ∑−1,ν2(t2 )vi2 ℓ (t2 )vi∗1 ℓ (t1 )Bℓ1µ (t1 )Σµν
loop,i1 i2 (t1 , t2 )Bℓ(4.31)

i1 ,i2= 2iU 2∑Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t1 )Cℓ∗1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t2 )Rℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (min(t1 , t2 ))(4.32)ℓ1 ℓ2 ℓ3となる．ここでCℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t) ≡

∑

∗
∗
(t)
viℓ1 (t)viℓ2 (t)viℓ(t)viℓ3(4.33)iRℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t) ≡ nℓ1 (t)nℓ2 (t)(1 + nℓ3 (t))(1 + nℓ (t)) − (1 + nℓ1 (t))(1 + nℓ2 (t))nℓ3 (t)nℓ (t) (4.34)
である．一方，式 (4.8) の熱的カウンター項 Q̂(t) の自己エネルギーへの寄与は，繰り込み条件(2.52) に必要な成分だけ書き出すと
12
SQ,ℓℓ(t1 , t2 ) = −iṅℓ (t1 )δ(t1 − t2 )(4.35)である．さらに，式 (4.32)，(4.35) の k0 表現は式 (2.50) よりそれぞれ
12
Sloop,ℓℓ[k0 , t] = 2iU 2∑ [∫ ∞ℓ1 ℓ2 ℓ3

0

∫ 0

+
−∞

= 4iU 2 Re∫tdτ Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t + τ )Cℓ∗1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)Rℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t + τ )e−i t+τ ds k0 (s)∑∫ tℓ1 ℓ2 ℓ3∫tdτ Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)Cℓ∗1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t − τ )Rℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t − τ )ei t−τ ds k0 (s)−∞∫tdτ Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)Cℓ∗1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (τ )Rℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (τ )ei τ ds k0 (s)

12
SQ,ℓℓ
[k0 , t] = −iṅℓ (t)](4.36)(4.37)

16

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）となる．したがって，on-shell 繰り込み条件 (2.52) を課すと量子輸送方程式
2ṅℓ (t) = 4U Re∑∫ tℓ1 ℓ2 ℓ3 0

ds Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)Cℓ∗1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (s)Rℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (s)(4.38)

が導出される．ただし，aℓ , ξℓ の時間依存性は完全系 {viℓ (t)} に押し込めているので，今の場合

on-shell は k0 (t) = 0 である．また，t < 0 では調和トラップをずらす前なので nℓ は平衡分布であり，そのため，式 (4.38) の積分範囲は 0 以上である．
この量子輸送方程式は衝突項に過去の時間の分布関数も含まれる non-Markov 型の量子輸送方
程式である．また nℓ1 nℓ2 (1 + nℓ3 )(1 + nℓ ) − (1 + nℓ1 )(1 + nℓ2 )nℓ3 nℓ という項は粒子の 2 体散乱の過程を表す項である．式 (4.38) にはエネルギー保存を表す項がないが，これは non-Markov 型の量子輸送方程式を通して見たときの衝突から衝突までのタイムスケールが，エネルギーが不確定となるくらい十分短いためである．なお，1 + n は Bose 統計性の現れで，古典極限 (n ≪ 1) では 1 + n → 1 となる．
なお，式 (4.38) に分布関数の時間依存性を現在の時刻で代表させる (nℓ (s) → nℓ (t)) ような

Markov 近似を施すと
ṅℓ (t) = 4U 2 Re∑

Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)Cℓ∗1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)Rℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)(4.39)ℓ1 ℓ2 ℓ3となる．ここで∫ t
Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t) ≡ds Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (s)(4.40)

0である．Markov 型の量子輸送方程式を通して見たときの衝突から衝突までのタイムスケールは，
エネルギーが確定するには十分の長さであり，Re Cℓ1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t)Cℓ∗1 ℓ2 ;ℓ3 ℓ (t) はエネルギー保存に対応する項である．

5 数値計算この章では，前章で導出した量子輸送方程式を数値計算した結果を示す．具体的には完全系の時間発展方程式 (3.33) と non-Markov 型量子輸送方程式 (4.38) または Markov 型量子輸送方程式 (4.39) とを連立することで nℓ (t) と viℓ (t) を時間発展させ，得られた nℓ (t), viℓ (t) から物理量を計算する．なお，nℓ (t), viℓ (t) の初期条件をそれぞれ第 3 章より

nℓ (0) =10eβωℓ − 1viℓ (0) = uiℓで与える．ただし，ωℓ0 , uiℓ は式 (3.13) で与えられる．

17

(5.1)
(5.2)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

5.1 物理量系の非平衡緩和過程を見るうえで重心とその速度を計算した．重心は以下の式によって計算した．

x̄(t) =

Is∑(i − Ic ) ⟨ψi† (t)ψi (t)⟩

i=1
Is ∑
∑
=
(i − Ic )nℓ (t)|viℓ (t)|2
i=1

(5.3)

ℓ

また，重心の速度は式 (5.3) の時間微分として計算した．
Is ∑dx̄(t) ∑∗=(i − Ic ){ṅℓ (t)|viℓ (t)|2 + 2Re nℓ (t)viℓ(t)v̇iℓ (t)}
dt
i=1

(5.4)

ℓ

5.2 数値計算結果
5.2.1 無次元化
パラメータは調和振動子エネルギー ~ω を用いて以下のように無次元化した (ここでは次元がわ
かりやすいよう ~ を明記する)．

T ′ = kB T /~ω
′t = tω
′

(5.5)
(5.6)

J = J/~ω

(5.7)

V ′ = V /~ω

(5.8)

U ′ = U/~ω(5.9)µ′ = µ/~ω

(5.10)

5.2.2 U ′ = 0 の結果
まず，相互作用定数が U ′ = 0 の結果を図 3, 図 4 に示す．その他のパラメータは以下にまとめた．

N = 5, Is = 21, T ′ = 0.1, J ′ = 0.2, V ′ = 0.1(5.11)

U ′ = 0 では分布関数は時間発展しない．したがって，時間発展は完全系による式 (3.33) のみとな
り緩和の様子は見られない．図 3, 図 4 から重心にうなりの様子が見られるが，光学格子を掛けていない通常の調和振動子系では単振動となるため [21]，このうなりは光学格子による効果である
ことがわかる．

18

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

1

Uʼ =0

0.5

᣻࣎

0

-0.5

-1
0

100

200

図3

300

400

500

重心の時間変化 (U ′ = 0)

0.25

Uʼ =0

0.2

0.1

᣻࣎Ʒᡮࡇ

0

-0.1

-0.2
-0.25
0

100

200

300

400

500

図 4 重心の速度の時間変化 (U ′ = 0)

5.2.3 相互作用の効果
次に，Markov 型量子輸送方程式 (4.39) を用いて計算した U ′ = 0.01 と U ′ = 0.02 の結果を図5, 図 6 に示す．パラメータは U ′ = 0 の時と同じで式 (5.11) である．図 5, 図 6 から重心および重心の速度の振動が，時間とともにうなりながら減衰していることがわかる．つまり，非平衡状態から平衡状態へ系の緩和が起きていることがわかる．うなりは U ′ = 0 の時と同様に光学格子の効果であり，一方減衰は量子輸送方程式 (4.39) による効果である．また，計算結果の図 5, 図 6 を見ると U ′ の大きい方が速く緩和している様子がうかがえるが，これは相互作用が大きい方が散乱が起きやすくなるためである．

19

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

1

Uʼ =0.01
Uʼ =0.02

0.5

᣻࣎

0

-0.5

-1

0

100

200

300

400

500

図 5 重心の時間変化
0.25

Uʼ =0.01

0.2

Uʼ =0.02

0.1

᣻࣎Ʒᡮࡇ

0

-0.1

-0.2
-0.25
0

100

200

図6

300

400

500

重心の速度の時間変化

5.2.4 Non-Markov 型と Markov 型の比較
最後に non-Markov 型量子輸送方程式 (4.38) 用いて計算した結果を，Markov 型量子輸送方程式 (4.39) の結果とともに図 7, 図 8 に示す．なおパラメータはこれまで同様に式 (5.11) とし，相互作用定数は U ′ = 0.01 とした．結果を比較すると non-Markov 型の方が Markov 型に比べて速く緩和することがわかる．これは non-Markov 型の方はエネルギー非保存の散乱過程も含むので，Markov 型に比べ散乱しやすいためである．

20

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

1

Markov
non-Markov

0.5

᣻࣎

0

-0.5

-1
0

100

図7

200

300

400

500

Non-Markov 型と Markov 型の比較 (重心)0.25

Markov
non-Markov

0.2

0.1

᣻࣎Ʒᡮࡇ

0

-0.1

-0.2
-0.25
0

100

200

300

400

500

図 8 Non-Markov 型と Markov 型の比較 (重心の速度)

6 まとめと今後の課題
本論文では時空に依存する TFD を研究するため，時空に依存するモデルとして一次元光学格
子中の中性冷却 Bose 原子気体系を採用し，その系に対する量子輸送方程式を非平衡 TFD の立場で導出した．
第 2 章では平衡 TFD と非平衡 TFD の概説をした．平衡 TFD では，自由度を倍加することで混合状態期待値を純粋状態期待値で表せることを述べた．その際，熱的真空を消去する ξ 演算子を導入し，もともとの a 演算子と熱的 Bogoliubov 変換で結ばれることを述べた．非平衡 TFD
では分布関数が時間依存するため a 演算子と ξ 演算子の時間発展が異なり，それによって熱的カ
ウンター項 Q̂(t) が現れることを述べた．このとき，分布関数 nℓ (t) は未知関数として導入され，

21

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

Q̂(t) には ṅℓ (t) が含まれることから，nℓ (t) と Q̂(t) は自己無撞着な繰り込み条件によって決定さ12
れなければならなかった．そこで，on-shell 繰り込み条件 Sℓℓ[ωℓ , t] を課し，それにより量子輸送

方程式が導出されることを述べた．
第 3 章では時空依存のモデルについて説明した．時空依存のモデルとして一次元光学格子中の中性冷却 Bose 原子気体系を採用し，そのハミルトニアンを導出した．今回のモデルでは t < 0 とt ≥ 0 とで外場が異なっており，各場合に対する場の演算子の展開として，t < 0 ではハミルトニアンの対角化を利用し，t ≥ 0 では Schrödinger 方程式に従う時間依存の完全系で展開した．
第 4 章では非平衡 TFD の手順に従って，第 3 章で導出したハミルトニアンに対する量子輸送
方程式を導出した．このとき導出された量子輸送方程式は，衝突項に過去の時間の分布関数も含まれる non-Markov 型であった．また，non-Markov 型の量子輸送方程式に Markov 近似を施す
ことで Markov 型の量子輸送方程式も導出した．
第 5 章では，第 4 章で導出した non-Markov 型および Markov 型の量子輸送方程式を数値的に解くことで系の非平衡緩和過程を示した．その際，物理量として重心とその速度を計算した．また，相互作用なしだと緩和しないことや相互作用を強くすることで緩和が速くなることを確認した．さらに，non-Markov 型と Markov 型の量子輸送方程式の結果を比較した．
今回の計算で系が緩和する様子が見られた．しかし，重心は初期位置に収束するという結果となり，これはずらした後の調和ポテンシャルの中心に重心が緩和するという直観に反するものである．今回の計算結果だけではこの原因は掴めなかったので，その解析は今後の課題である．また，今回はエネルギーの繰り込みは行わなかったため，エネルギーに対する相互作用の補正を考えていない．したがって，エネルギーの繰り込みを行うことで結果がどのように変わるか検証したい．また，緩和時間の計算や non-Markov 型と Markov 型のさらなる比較などを通して，時空依存 TFD の研究の発展に役立てたい．

付録 A

時間依存の完全系

第 3 章では，t ≥ 0 において場の演算子を時間依存の完全系で展開した．その際，「aℓ (t) の外場
による時間依存性をすべて完全系に押し付けるように展開すると，{viℓ (t)} は Schrödinger 方程式に従って時間発展する」と述べたが，この付録ではその点について説明する [18, 19]．
まず，場の演算子 ψi (t) を

ψi (t) =∑viℓ (t)aℓ (t)

(A.1)

ℓ

のように展開する (ただし，この段階では「aℓ (t) の外場による時間依存性を完全系に押し付ける」ということは考えていない)．ここで，{viℓ (t)} は時間依存する正規直交完全系であり，したがっ22

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）†て，ψi (t), ψi (t) の同時刻交換関係 (3.5)〜(3.7) より[aℓ (t), a†ℓ′ (t)] = δℓℓ′(A.2)

[aℓ (t), aℓ′ (t)] = 0(A.3)[a†ℓ (t), a†ℓ′ (t)] = 0(A.4)

を得る．また，{viℓ (t)} の初期条件を viℓ (0) = uiℓ ととる．ψi (t) の時間発展は Heisenberg 方程式より

i∂t ψi (t) = [ψi (t), H0 (t)]∑=Aij ψj (t)

(A.5)
(A.6)

j

で与えられる．ここで，ν1 − µ

−J

···
..
.
ν2 − µ−J..
.
−J
ν3 − µ
..
..
..
.
.
.
···
0
−J


 −J


A≡ 0

 .
 ..
0
であり，二段目への式変形では

0

0
..
.
..
.










−J 
νIs − µH0 (t) = ψ † (t)Aψ(t)

(A.7)

(A.8)

を使った．今，{viℓ (t)} の時間依存性により aℓ (t) の時間発展演算子が H0 (t) とは限らない．そこで，aℓ (t) の時間発展演算子を Ha (t) とする．すなわち

i∂t aℓ (t) = [aℓ (t), Ha (t)](A.9)

とする．ここで，Ha (t) に対して「aℓ (t) について対角的」という要請をする．この要請は時間依存しない準粒子描像のためである．したがって，∑

λℓ (t)a†ℓ (t)aℓ (t)(A.10)[(i∂t viℓ (t)) aℓ (t) + λℓ (t)viℓ (t)aℓ (t)](A.11)Ha (t) =ℓを要請する．このとき，式 (A.1) よりi∂t ψi (t) =

∑
ℓ

(←
)
]
∑∑[
−
∗
=
viℓ (t) i ∂t + λℓ (t) vjℓ (t) ψj (t)j(A.12)ℓとなるが，式 (A.6) と比べることで

Aij =

∑[

(←
)
]
−
∗
viℓ (t) i ∂t + λℓ (t) vjℓ (t)ℓ23(A.13)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）とわかる．両辺に vjℓ (t) をかけて j で和をとり整理すると

i∂t viℓ (t) =∑(Aij − δij λℓ (t))vjℓ (t)(A.14)jとなる．
さて，ここでviℓ (t) → viℓ (t)ei∫tds λℓ (s)(A.15)Aij vjℓ (t)(A.16)∗
ψi (t)viℓ(t)(A.17)∑[]∗∗Aij ψj (t)viℓ(t) − ψi (t)vjℓ(t)Aji(A.18)という置き換えをすると式 (A.14) は∑i∂t viℓ (t) =jとなることがわかる．したがって，aℓ (t) =∑iの時間発展は式 (A.6)，(A.16) よりi∂t aℓ (t) =ij=0(A.19)となり，aℓ (t) は時間発展しない，すなわち aℓ (t) = aℓ であることがわかる (ただし，分布関数由来の時間依存性は残る．この付録ではそれは表記しない)．これは式 (A.15) のような置き換えを行ったためであり，aℓ (t) の時間依存性を完全系 {viℓ (t)} に押し込めたことを意味する．
なお，{viℓ (t)} の正規直交完全性は保存する．実際

i∂t

[
∑

]
∗
viℓ
=
′ (t)viℓ (t)i∂t(A.20)

ij

i

[
∑

∑[
]
∗
∗
viℓ
′ (t)Aij vjℓ (t) − vjℓ′ (t)Aji viℓ (t)]=0viℓ (t)vi∗′ ℓ (t) =

ℓ

∑∑[
]
∗
Aij vjℓ (t)vi∗′ ℓ (t) − viℓ (t)vjℓ(t)Aji′ℓ=∑j[δi′ j Aij − δij Aji′ ]j=0と示せる．ただし，計算では Aij = Aji を用いた．

24(A.21)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）

謝辞
本研究を進めるにあたり，熱心なご指導をしてくださいました山中由也教授に深く感謝いたします．また，小林恵太博士，中村祐介助教，井上智喜氏には沢山の有意義な議論と助言を頂きました．高橋淳一氏とは場の理論，TFD 等様々な内容に関して議論させて頂きました．また，中村
充志氏，朝比奈毅典氏，小嶋祐介氏，清田俊輔氏との議論も本研究の助けとなりました．本研究に携わった皆様方へ厚く御礼申し上げます．

参考文献[1] A.Einstein, Sitzber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 261 (1924); Sitzber. Kgl. Preuss. Akad.
Wiss. 3 (1925).
[2] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, and E. A. Cornell,
Science 269, 198 (1995).
[3] K. B. Davis, M. -O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M.
Kurn,and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995).
[4] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Huket, Phys. Rev. Lett. 75,
1687(1995).
[5] M. R. Andrews, C. G. Townsend, H. -J. Miesner, D. S. Durfee, D. M. Kurn, and W.
Ketterle,Science 275, 637 (1997).
[6] H. Feshbach, Ann. Phys. (N.Y.) 5, 357 (1958).
[7] H. Feshbach, Ann. Phys. (N.Y.) 19, 287 (1962).
[8] D. S. Jin, M. R. Matthews, J. R. Ensher, C. E. Wieman, and E. A. Cornell, Phys. Rev.
Lett. 78, 764 (1997).
[9] B. Jackson and E. Zaremba, Phys. Rev. Lett. 88, 180402 (2002).
[10] S. A. Morgan, M. Rusch, D. A. W. Hutchinson, and K. Burnett, Phys. Rev. Lett. 91,
250403 (2003).
[11] S. A. Morgan, Phys. Rev. A 72, 043609 (2005).
[12] A. Bezett and P. B. Blakie, Phys. Rev. A 79, 023602 (2009).
[13] M. Yamashita, M. Koashi, and N. Imoto, Phys. Rev. A 59, 2243 (1999).
[14] H. Umezawa, Advanced Field Theory − Micro, Macro, and Thermal Physics (AIP,New York, 1993).
[15] 中村祐介，桑原幸朗，山中由也，日本物理学会 2011 年秋季大会，21pEE-12 (2011).
[16] H. Chu and H. Umezawa, Int. J. Mod. Phys. A 10, 163 (1995).
25

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol, 1, No. 1, 011602 （2012年5月号）[17] Y. Nakamura, T. Sunaga, M. Mine, M. Okumura, and Y. Yamanaka, Ann. Phys. (N.Y.)
325, 426 (2010).
[18] Y. Nakamura and Y. Yamanaka, Ann. Phys. (N.Y.) 326, 1070 (2011).
[19] Y. Nakamura (2011). Formulation of Nonequilibrium Thermo Field Dynamics for BoseEinstein Condensates of Cold Neutral Atomic Gases. PhD Thesis, Waseda University
Graduate School of Advanced Science and Engineering.
[20] D. Jaksh, C. Burder, J. I. Cirac, C. W. Gradiner, and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 81,
3108 (1998).
[21] 江沢洋, 量子力学 (I) (裳華房, 2002).

26