数理解析研究所講究録983 巻 1997 年 171-174171

分岐特性 Cauchy 問題の解の真性特異点
HIDEsHI YAMANE 山根英司 1\S 1. 結果
Sと Kを$\mathbb{C}_{x}^{n},$$x=(x_{1}, \ldots, x_{n})=(x_{1}, x_{2}, x’)$の超曲面で, それぞれ$x_{1}=x_{2}^{q}$と $x_{1}=0$で定義されるものとする。 ここで q は 2 以上の整数。 $x=0$ における多価関数のクラス

Nq,K を導入する。 その定義は$f(x) \in N_{q,K}\Leftrightarrow f(x)=\sum^{-1}f_{j(X}j=0q)Xj1^{/q}$$f_{j}$’

は $x=0-$ の近傍で正貝 L

また,$\lambda_{q,K}^{rl}=${ $f(x)\in N_{q},K$ ;$f$

は $S$ 上で$l$回消える}$(l\geq 0)$とおく。 さらに次のようにおく:$\sum_{j=0}^{q-1}x^{j/}\lim_{\ni}q\mathcal{O}(X\backslash 1K)_{\circ}x0arrow$$\tilde{N}_{q,K}$

は多価関数や真性特異点を持つ関数を含む。 Cauchy 問題を設定するために次のクラスを導入する:$\tilde{N}_{q,K}^{l}=${$f\in\tilde{N}_{q,K;}$$f$

は $S$ 上で$l$回消える}$(l\geq 0)$。

次が主定理である。
定理 1. $P(x, D)$ を原点の近傍で定義された微分作用素で次の形のものとする:$P(x, D)=D_{12}^{A_{1}}D^{A_{2}}- \sum_{2|\alpha|<1+A}D^{\alpha}a\alpha(X)A$ ’

ここで$a_{\alpha}(x)$は原点の近傍で正則で$v(x)\in D_{1,K}^{A_{1}}N_{q}^{A_{1}}$に対し,$\tilde{N}_{q,R^{+}}^{A_{1}A_{2}}$’$x_{1}$と$x_{2}$$A_{1}\geq 0,$$A_{2}\geq 0_{\mathrm{o}}$について多項式とする。 この時, 任意のの元 $u(x)$ がただ–つ存在して$Pu=v$が成り立つ。
注意.

$\text{もし}\sum|\alpha|<A1+A2aD^{\alpha}\alpha(x)$が$D_{1}$に関して高々 $A_{1}-1$ 階ならば, 解$u$は$N_{q,K}^{A_{1}+A_{2}}$に属する。

1Department of Mathematics, Chiba Institute of Technology, 2-1-1 Shibazono, Narashino, Chiba 275,
Japan. e-mail address:BYY03467@niftyserve.or ip(冒険小説&ノ$\backslash -$ドボイルドフォ一ラム)

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定理 2. (岡田靖則-山根) $A_{1}\geq 1$ と仮定する。 この時 .
$(A)X_{1q,K}^{-g_{\frac{-1}{q}}}N\subset D_{1,R}^{A_{1}}N_{q}^{A_{1}},$$(B)$もし $l\geq q$ ならば$\sim$. さらに $A_{1}=1$ の時は等号が成り立つ。

$X_{1}^{-\frac{l}{q}}\not\in D_{1}^{A_{1}}N_{q}^{A_{1}},K$。

\S 2. 浜田の例
浜田$([\mathrm{H}|)$は次の例を与えた。
$(D_{2}^{2}-D_{1})u(x)=0$$\{$$u|_{S}=\gamma_{1}x_{2}^{3},$$D_{1}u|_{S}=\gamma_{2}x_{2\circ}$

ただし$S=\{x_{1}=x_{2}^{2}\}$,$\gamma_{1}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{\Gamma(m-\frac{3}{2})}{(2m)1}$,$\gamma_{2}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)m+1\frac{\Gamma(m-\frac{1}{2})}{(2m)1}\text{。}$解 $u(x)$ は$u(x)= \sum(-1)^{m2m}\infty\frac{\Gamma(m-\frac{3}{2})}{(2m)1}x^{\frac{3}{12}-}mx2$$m=0$で与えられる。 これは分岐しており, さらに真性特異点を持っている。 この現象を我々の観点から解釈しよう。 まず問題を次の形のものに帰着する:$(D_{2}^{2}-D_{1})u(x)=v(x)$ ,$\{$$u|s=0$ ,$v\in \mathcal{O}_{x=0}$

は既知$D_{1}u|_{S}=0$ 。

マイクロ微分作用素$(D_{2}^{2}-D_{1})^{-1}=(1-D_{1}D_{2}^{-}2)-1D^{-2}2$$= \sum_{j=0}^{\infty}(D1D^{-2})^{j}2D^{-2}2=\sum_{j=0}^{\infty}D_{1}jD_{2}-2j-2$を用いて, 解を
$u(x)= \sum D_{1}^{j}D_{2}-2j-2v(x)$$j=0$のように表示できる。
$z=x_{1}^{1/2}$

とおくと, 次を得る:$u(z, x_{2}2, \prime x)=\sum_{j=0}^{\infty}(\frac{1}{2z}D_{z})^{j}D_{2}^{-2}j-22,,)v(\mathcal{Z}x_{2,\ldots n}X$

。

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分岐は $D_{2}^{-2j-2}$ のために起きる (\leftarrow 次のセクション参照)。真性特異点が現れるのは$( \frac{1}{2z}D_{Z})^{J}$という因子のせいである。

\S 3. マイクロ微分作用素と多価関数$D_{2}^{-1}$の$\mathcal{O}_{x=0}$への作用を定義しよう。 $f(x)\in \mathcal{O}_{x=0}$ に対して

$D_{2}^{-1}f$は次の式で定義される:$D_{2}^{-1}f(x)= \int_{x_{1}^{1/q}}^{L2}.f(x1, y_{2}, X)\prime dy_{2}\mathrm{o}$積分の始点がこのようであるから,f(x) が–価正則であっても, $D_{2}^{-1}f(x)$ は–価とは限らない。 なお $D_{2}^{-1}f(x)$ は$x_{2}=X_{\mathrm{I}}1/q$の上で$D_{2}^{-1}$:$0$になることに注意しよう。 こうして$\mathcal{O}_{x=0}arrow N_{q,K}^{1}$が定義された。 多価関数が気持ち悪ければ $z=x_{1}^{1}/q$ と置いてやって$D_{2}^{-1}$:$\mathbb{C}\{z^{q}, X_{2}, x’\}arrow \mathcal{O}_{(z,x_{2},x}^{1}’)=0=\{g(z, x_{2}, x’)\in \mathcal{O}(z,x_{2},x’)=0 ; g|_{z=x_{2}}=0\}$と書けば良い。積分表示は容易に判る。こう書くと評価がしゃすいし, また,$D_{2}^{-2},$$D_{2}^{-3},$$\ldots$の定義もしゃすい。 結局$D_{2}^{-1}$:$N_{q,K}^{l}arrow N_{q,K}^{l1}+$が定義される。

定理 1 も\S 2 と同様に微分作用素の逆を用いて証明される。 詳細は [Y2] をご覧下さい。

REFERENCES[Bou-Kr] Boutet de Monvel, L. and Kre\’e, P., Pseudodifferential operators and Gevrey classes, Ann.
Inst. Fourier, 17-1 (1967), 295-323.

[D]

Dunau, J., Un Probl\‘eme de Cauchy Caract\’eristique, J. Math. pures et appl. 69 (1990),

369-402.
[G-K-L]$\mathrm{G}^{\mathrm{O}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$, L., Kotake, T. and Leray, J., Probl\‘eme de Cauchy, I bis et VI, Bull. Soc. Math. deFrance 92 (1964), 263-361.
[H]

Hamada, Y., Les singularit\’es des solutions $du$ probl\‘eme de Cauchy \‘a donn\’ees holomorphes,

Recent developments in hyperbolic equations (Pisa, 1987), Longman, 1988, pp. 82-95.
[K-K-K] Kashiwara, M., Kawai, T. and Kimura, T., Foundation of Algebraic Analysis, Kinokuniya,

1980 (in Japanese) ; English translation from Princeton, 1986.

174

[L]

Leray, J., Uniformisation de la solution $du$ probl\‘eme lin\’eaire analytique de Cauchy pr\‘es dela vari\’et\’e qui porte les donn\’ees de Cauchy, Bull. Soc. math. France 85 (1957), 389-429.
[N-S]

Nakamura, G. and Sasai, T., The singularities of the solutions of the Cauchy problem forsecond order equations in case the initial manifold includes characteristic points, T\^ohoku

Math. Journ. 28 (1976), 523-539.
[O-Y]

Okada, Y. and Yamane, H., A characteristic Cauchy problem in the complex domain, toappear in J. Math. pures et appl.

[Y]

Yamane, H., Branching of singularities for some second or third order microhyperbolic oper-ators, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 2 (3) (1996).
[Y2]

Yamane, H., The Essential Singularity of the Solution of a Characteristic Cauchy Problem,

Publ RIMS, Kyoto Univ. 32 (1996), 541-556.