《修士論文》

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௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔҰ࣍‫ݩ‬ϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬ͷμΠφϛΫε ∗ɹ‫౎ژ‬େֶ‫ૅج‬෺ཧֶ‫ॴڀݚ‬ଠాɹ୎‫† ݟ‬֓ཁ୺ʹ Majorana θϩϞʔυΛ࣋ͬͨ‫͚͓ʹܥ‬Δ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷޮՌͱμΠφϛΫεΛௐ΂ΔͨΊʹ, ࣍ۙ઀૬‫༻࡞ޓ‬ΛՃ͑ͨ Kitaev ໛‫ܕ‬Λ਺஋తʹղੳ͢Δ. ۩ମతʹ͸, ‫ີݫ‬ର֯Խͱ inﬁnite time evolving block decimation (iTEBD) ͷํ๏Λ༻͍, Τϯλϯάϧϝϯτ
εϖΫτϧ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ, ͦͯ͠૬ؔؔ਺ͷ࣌ؒґଘੑͱ‫཭ڑ‬ґଘੑΛ‫͢ࢉܭ‬Δ. ·ͣ, τϙϩδΧϧͳ‫د‬༩Λ༩͑Δ૬‫͕༻࡞ޓ‬ଘࡏ͢Δͱ͖ͷ૬ਤΛܾఆ͠, ͦΕΒͷ૬ΛΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͱτϙϩδΧϧෆมྔͰಛ௃͚ͮΔ. ࣍ʹ, ྟք఺Λ
௨ա͢ΔΑ͏ʹ‫ܥ‬ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λ࣌ؒతʹมԽ (ε΢Οʔϓ) ͤ͞, ‫ܥ‬ͷ࣌ؒൃలΛௐ΂Δ. ε΢Οʔϓͷ଎౓Λม͑Δͱ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͱ, τϙϩδΧϧ૬Λಛ௃෇͚Δඇ‫ॴہ‬తͳετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ࣌ؒ‫཭ڑͼٴ‬ґଘੑ͕มԽ͢Δ. ൺֱతΏͬ͘Γͱͨ͠ε΢ΟʔϓΛߦ͏ͱɺετϦϯά૬ؔؔ਺ͱΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ‫཭ڑ‬ґଘੑʹप‫ظ‬తͳߏ଄͕‫ݱ‬ΕΔ. ͜Ε͸ྟք఺ۙ๣Ͱྭ‫͞ى‬Εͨ௿ΤωϧΪʔͷ Bogoliubov ४ཻࢠʹ‫ى‬Ҽ͢Δ͜ͱ͕෼͔ͬͨ. ·ͨ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࣌ؒൃలʹ஫໨͢Δ. ૬‫ޓ‬࡞༻Λε΢Οʔϓ͢Δ͜ͱʹΑΓ, Majorana θϩϞʔυ͸όϧΫͷϞʔυͱ݁߹͠, ίώʔϨϯεΛࣦ͏͜ͱ͕༧૝͞ΕΔ. ྟք఺ۙ๣Ͱྭ‫͞ى‬Εͨ Bogoliubov ४ཻࢠʹΑΓ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷॖୀ਺͕࣌ؒతʹมԽ͢Δ͜ͱ͕෼͔ͬͨ.

∗ ౰֘࿦จ͸, म࢜࿦จͷҰ෦Λमਖ਼ͨ͠΋ͷͰ͋Δ.
† E-mail: takumi@yukawa.kyoto-u.ac.jp

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໨࣍
ಋೖ

3

1.1

എ‫ ܠ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Τϯλϯάϧϝϯτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

४උ

10

2.1

ϑΣϧϛΦϯ໛‫ ܕ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

‫ີݫ‬ର֯Խ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Inﬁnite time evolving block decimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

૬ਤ

28

1

2

3
3.1

ΤωϧΪʔ෼ࢄ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

ٖεϐϯͱτϙϩδΧϧෆมྔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3

Τϯλϯάϧϝϯτͱடংύϥϝʔλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33μΠφϛΫε37

4.1

Bogoliubov ४ཻࢠྭ‫ ى‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.2

૬‫༻࡞ޓ‬ε΢Οʔϓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5

·ͱΊ

45

෇࿥ A

Schmidt ෼ղ

46

෇࿥ B

AKLT ໛‫ܕ‬

47

෇࿥ C

Majorana θϩϞʔυ

48

4

෇࿥ D ૒ରੑ

49

෇࿥ E

50

Bogoliubov ‫ج‬ఈঢ়ଶ

2

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1 ಋೖ
1.1 എ‫ܠ‬͜ͷࡾे೥ͷؒ, ྔࢠ Hall ‫ܥ‬΍εϐϯӷମʹ୅ද͞ΕΔΑ͏ͳ, τϙϩδΧϧ૬ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ૬͕ൃ‫͞ݟ‬Ε, ੎ྗతʹ‫ߦ͕ڀݚ‬ΘΕ͍ͯΔ. ͦͷ૬͸ Landau ྲྀͷ‫ॴہ‬తͳடংύϥϝʔλʹΑͬͯ͸ಛ௃෇͚ΒΕͣ, ඇ‫ॴہ‬తͳετϦϯάடংύϥϝʔλ΍ɺ‫ܥ‬ͷ୺ʹ‫ݱ‬ΕΔྭ‫ʹى‬Αͬͯಛ௃෇
͚ΒΕΔ͜ͱ͕෼͔͖ͬͯͨ [1–8]. ۙ೥, Τϯλϯάϧϝϯτͱ͍͏ඇ‫ॴہ‬తͳ૬͕ؔτϙϩδΧϧ૬Λಛ௃෇͚Δ͜ͱ͕෼͔͖ͬͯͨ [9–12]. Τϯλϯάϧϝϯτͷࢦඪͱͯ͠τϙϩδΧϧ
ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͕࢖ΘΕ͖͕ͯͨ, Li ͱ Haldane [13] ʹΑͬͯఏҊ͞ΕͨΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ͸, τϙϩδΧϧΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔΑΓ΋ଟ͘ͷ৘ใΛ‫ؚ‬ΜͰ͍ΔͷͰ, Τϯλϯάϧϝϯτͷࢦඪͱͯ͠࢖ΘΕΔΑ͏ʹͳͬͨ. ൴Β͸, ෼਺ྔࢠ Hall‫ܥ‬ͷΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ͸‫ܥ‬ͷ୺ʹ‫ݱ‬ΕΔ௿ΤωϧΪʔྭ‫ى‬ͷεϖΫτϧͱରԠͯ͠
͍Δ͜ͱΛൃ‫ͨ͠ݟ‬. ͦΕҎ߱, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ͸τϙϩδΧϧ૬ͷ‫࢖ʹڀݚ‬ΘΕ
ΔΑ͏ʹͳ͖ͬͯͨ [14–24]. Ұྫͱͯ͠, ΤϯλϯάϧϝϯτΛ༻͍ͨྔࢠεϐϯ‫͚͓ʹܥ‬Δ૬సҠʹ͍ͭͯ঺հ͢Δ. εϐϯ 1 ͷ൓‫࣓ڧ‬ੑεϐϯ࠯͸τϙϩδΧϧ૬Λࣔ͠, Τϯλϯάϧϝϯ
τεϖΫτϧ͸‫ܥ‬Λ෼ׂͨ͠ͱ͖ʹ‫ݱ‬ΕΔΤοδϞʔυΛද͍ͯ͠Δͱ͍͏ใࠂ͕͋Δ [14]. ·ͨ, ೋ࣍‫ݩ‬ਖ਼ํ֨ࢠ‫ͼٴ‬๘ͷ૥֨ࢠ্ʹఆٛ͞Εͨ Valence Bond Solid (VBS) ঢ়ଶΛ‫ڸ‬өରশ࣠Ͱ෼ׂͨ͠৔߹ͷΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ͕, Ұ࣍‫ࢠྔݩ‬εϐϯ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔεϖΫτϧ
ͱରԠ෇͚ΒΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ [16, 17]. ߋʹ, ఐࢠ֨ࢠ্ͷྔࢠ֨ࢠ‫ؾ‬ମ໛‫͍͓ͯʹܕ‬΋,͜Εͱಉ༷ͷؔ܎͕஌ΒΕ͍ͯΔ [20]. ·ͨ, Τϯλϯάϧϝϯτͷ‫͔఺؍‬Β AdS/CFT ͷॾ෼໺͕։୓͞Ε͍ͯΔ (޿ൣғͳ෼໺ΛऔΓѻͬͨ೔ຊ‫ޠ‬จ‫ͯ͠ͱݙ‬, [25] ͕͋Δ. ӳ‫ޠ‬൛͸ [26]).
Ұ࣍‫ݩ‬ϑΣϧϛΦϯ໛‫ࢠྔͰܕ‬૬సҠΛࣔ͢࠷΋؆୯ͳ໛‫ܕ‬͸, ࠷ۙ઀૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔεϐϯϨ
ε p ೾௒఻ಋମͷ Kitaev ໛‫͋Ͱܕ‬Δ [27]. ͜ͷ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸τϙϩδΧϧ૬Λࣔ͢. ։์୺৚݅ͷԼͰ, τϙϩδΧϧ૬Ͱ͸‫ܥ‬ͷ֤୺ʹθϩΤωϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕Ұ‫ͭͣݸ‬
ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ೋॏʹॖୀ͢Δ. ͦͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷ਺͸‫ܥ‬ͷΪϟοϓ͕ด͡Δ·ͰҰఆͰ͋Γ, τϙϩδΧϧ૬Λಛ௃෇͚Δ. ͜ͷ Kitaev ໛‫ܕ‬͸௒఻ಋମͷۙ઀ޮՌ [28, 29] ʹΑ࣮ͬͯ‫͖Ͱݱ‬Δ͕, ࣮ࡍͷྔࢠࡉઢͷ࣮‫Ͱݧ‬͸, ిࢠͷ೾ಈؔ਺΍ Cooper ରͷࠞ੒ͷ‫཭ڑ‬͸༗‫͋Ͱݶ‬ΔͨΊ, ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷޮՌΛߟྀͨ͠໛‫ܕ‬ͷ‫ݕ‬౼͸ॏཁͳ՝୊Ͱ͋Δ. ͦͷޮՌΛߟ͑Δͱ, ‫ܥ‬ͷ୺ʹଘࡏ͢Δ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷ਺͕มԽ͠, ৽͍͠τϙϩδΧϧ
૬͕ग़‫͏͠ݱ‬Δ. ͦͷͨΊ, ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬Λߟ͑Δ͜ͱ͸ཧ࿦తͳ‫͔఺؍‬Β΋‫ڵ‬ຯਂ͍.
࣍ۙ઀૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋Δ Kitaev ໛‫ܕ‬ΛεϐϯΛ༻͍ͯද‫͢ݱ‬Δͱ, Ϋϥελʔ໛‫ݺͱܕ‬͹ΕΔεϐϯ໛‫ͳʹܕ‬Δ [30]. ࣍ۙ઀૬‫ࢧ͕༻࡞ޓ‬഑తͰ͋Δͱ͖, ͦͷ‫ܥ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸τϙϩδΧϧ૬ʹଐ͠, Ϋϥελʔঢ়ଶͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔ. Ϋϥελʔঢ়ଶ͸ඇ‫ॴہ‬తͳετϦϯάடংύϥϝʔλͰಛ௃͚ͮΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ։์୺৚݅ͷԼͰ‫͕ܥ‬Ϋϥελʔঢ়ଶͷͱ͖, ‫ܥ‬ͷ֤୺ʹ͸ೋ‫ݸ‬ͷ

Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕ଘࡏ͠, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸࢛ॏʹॖୀ͢Δ. Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬͸౷‫ܭ‬෺ཧֶ΍෺
3

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ੑ෺ཧֶ͚ͩͰ͸ͳ͘, ྔࢠ৘ใͷ‫͔఺؍‬Β΋ॏཁͰ͋Δ. Ϋϥελʔঢ়ଶ͸ߴ͘Τϯλϯάϧ͓ͯ͠Γ, ଌఆ‫͚͓ʹࢉܭࢠྔܕ‬ΔϦιʔεঢ়ଶͱͯ͠༻͍ΒΕΔ [31–33]. ߋʹ, Ϋϥελʔঢ়ଶ͸ Localizable entanglement [34] ͷ‫͢ࢄൃ͕཭ڑ‬Δ͜ͱͰ΋ಛ௃͚ͮΒΕ, ͦΕ͸ετϦϯάடংύϥϝʔλ͕༗‫͋Ͱݶ‬Δ͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δ. ߋʹ, Ұ࣍‫ݩ‬Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬͸, ޫֶ֨ࢠ্ͷྫྷ٫‫Ͱܥࢠݪ‬ͷ࣮‫ؔ͢ʹݱ‬Δٞ࿦͕͋Δ [35, 36]. ࡾ֯ఐࢠ֨ࢠʹࡾεϐϯ૬‫༻࡞ޓ‬Λಋೖ͢Δͱ͍͏ఏҊͰ͋Δ.
ྔࢠଟମ‫ܥ‬ͷඇฏߧతͳੑ࣭͕ؔ৺ΛूΊ͍ͯΔ. ಛʹ, ྟք఺Λ௨ա͢ΔΑ͏ʹ‫ܥ‬ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λ࣌ؒతʹมԽ (ε΢Οʔϓ) ͤͨ͞ͱ͖ͷμΠφϛΫε͸‫͞ڀݚʹൃ׆‬Ε͍ͯΔ [37–39]. ྟք఺Ͱ؇࿨͕࣌ؒൃࢄ͢ΔͨΊʹ, ঢ়ଶ͸அ೤తʹมԽ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͣ, ऴঢ়ଶʹ͸༗‫ݶ‬ͷ֬཰Ͱ͕ܽؕଘࡏ͢Δ. ε΢Οʔϓͷ࣌ؒͱͦͷີ౓ͷؒʹ͸ Kibble–Zurek εέʔϦϯάؔ܎͕ࣜ੒
Γཱͭ [40]. ͔͠͠, τϙϩδΧϧ૬ʹ‫ݱ‬ΕΔΤοδϞʔυͷμΠφϛΫε͸τϙϩδΧϧͳੑ࣭ʹґଘ͠, Kibble–Zurek ͷ෺ཧͱҟͳΔ͜ͱ͕ࢦఠ͞Εͨ [41–43].
͜ͷ࿦จͰ͸, ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔҰ࣍‫ݩ‬ϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬ͷτϙϩδΧϧͳੑ࣭ʹ஫໨͢Δ. ۩ମతʹ͸, Majorana ϑΣϧϛΦϯͷ݁߹ͷ࢓ํ͕ҟͳΔ༷ʑͳ૬‫༻࡞ޓ‬ΛՃ͑ͨͱ͖ͷ૬ਤΛܾఆ͢Δ. ߋʹ, ྟք఺Λ௨ա͢ΔΑ͏ʹ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλΛε΢Οʔϓ͠, ‫ܥ‬ͷμΠφϛ
ΫεΛௐ΂Δ. ͦͷࡍ, ྭ‫ى‬ঢ়ଶͷετϦϯά૬ؔؔ਺ͱΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ‫཭ڑ‬ґଘੑ΍, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࣌ؒൃలʹ஫໨͢Δ.
͜ͷ࿦จͷߏ੒͸ҎԼͷ௨ΓͰ͋Δ: ͜ͷষͷ࢒Γ͸, Ұ࣍‫ܥࢠྔݩ‬Λྫʹ‫͛ڍ‬, Τϯλϯά
ϧϝϯτͷઆ໌Λߦ͏. 2 ষͰ͸, ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬Λಋೖ͢Δ. ·ͣ,

Jordan–Wigner ม‫׵‬Λ༻͍ͯ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷ໛‫͑׵͖ॻʹܕ‬Δ͜ͱͰΤοδϞʔυͷଘࡏΛࣔ͠, ༷ʑͳ૬ؔؔ਺ͷ਺஋తͳ‫ํࢉܭ‬๏ (‫ີݫ‬ର֯Խ) Λઆ໌͢Δ. ͞Βʹ, ແ‫Ͱܥݶ‬ͷ਺஋‫͍༻ʹࢉܭ‬Δ inﬁnite time evolving block decimation (iTEBD) ͷํ๏Λ঺հ͢Δ. 3 ষͰ͸૬‫༻࡞ޓ‬ΛՃ͑ͨͱ͖ͷ૬ਤΛܾఆ͠, ֤૬ΛτϙϩδΧϧෆมྔͱΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτ
ϧͰಛ௃͚ͮΔ. 4 ষͰ͸૬‫༻࡞ޓ‬ͷε΢ΟʔϓΛߦ͍, μΠφϛΫεΛௐ΂Δ. ૬ؔؔ਺ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑͱΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࣌ؒґଘੑʹ஫໨͠, ͦΕΒΛ४ཻࢠྭ‫ى‬Λ༻͍ͯ෺ཧ
తʹཧղ͢Δ͜ͱΛࢼΈΔ. 5 ষͰ͸·ͱΊͱকདྷͷల๬Λड़΂Δ. ඞཁͳ‫ࢉܭ‬ͷৄࡉͳͲ͸෇࿥
ʹ·ͱΊͨ.

1.2 Τϯλϯάϧϝϯτ
Τϯλϯάϧϝϯτͱ͸ྔࢠྗֶʹ͓͚Δඇ‫ॴہ‬తͳ૬ؔͰ͋Δ (࠷ۙͷ೔ຊ‫ޠ‬ϨϏϡʔจ‫ݙ‬ͱͯ͠͸ [44, 45] ͳͲ͕͋Δ). ౷‫ܭ‬෺ཧֶ, ෺ੑ෺ཧֶ, ྔࢠ৘ใཧ࿦, ྔࢠ৔ͷཧ࿦ͳͲͷ޿͍෼໺ʹΘͨΔ‫Ͱڀݚ‬Τϯλϯάϧϝϯτ͕༻͍ΒΕ͍ͯΔ. ΤϯλϯάϧϝϯτΛ௨ͯ͡, ྔࢠతͳ৘ใΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ྫ͑͹, ౷‫ܭ‬෺ཧֶͰ͸ΤϯλϯάϧϝϯτΛ௨ͯ͡ྔࢠ૬సҠΛௐ΂Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ [46]. ಛʹ, ྔࢠ Hall ঢ়ଶ΍εϐϯӷମͷΑ͏ʹ, Landau ྲྀͷ‫ॴہ‬తͳடংύϥϝʔλͰ͸‫ه‬ड़Ͱ͖ͳ͍૬ͷಛ௃෇͚ʹΤϯλϯάϧϝϯτ͕༗ޮͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔͍ͬͯΔ.
·ͨ, ྔࢠଟମ‫ܥ‬ͷ਺஋‫ʹࢉܭ‬΋Τϯλϯάϧϝϯτ͸༗༻Ͱ͋Δ. ೾ಈؔ਺ΛςϯιϧͷੵͰද4

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ਤ 1.1‫ܥ‬ͷ෼ׂ: શ‫ܥ‬Λೋͭͷ෦෼‫ ܥ‬A, B ʹ෼ׂ͠, ෦෼‫ ܥ‬A ͷ௕͞Λ Lsub ͱ͢Δ.

͠, ͦͷςϯιϧΛ࠷దԽ͢Δ͜ͱͰ਺஋తʹ‫ج‬ఈঢ়ଶΛಘΔ͜ͱΛߟ͑Δ. ྔࢠ৘ใͱͷؔΘΓ͔Β, ͦͷ࠷దԽ໰୊͸ΤϯλϯάϧϝϯτΛ࠷େԽ͢Δ͜ͱͰղ͚Δ͜ͱ͕෼͔ͬͨ [47]. ͦͷࣄ࣮Λ༻͍ͨͷ͕ inﬁnite time evolving block decimation (iTEBD) [48] ΍ີ౓ߦྻ‫܁‬ΓࠐΈ‫[ ܈‬49] ͳͲͷํ๏Ͱ͋Γ, ͦΕΒͷํ๏͸Ұ࣍‫ܥࢠྔݩ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶΛಘΔͨΊͷޮ཰ͷྑ͍਺஋‫ํࢉܭ‬๏ͱͯ͠ೝࣝ͞Ε͍ͯΔ.
ΤϯλϯάϧϝϯτΛఆྔԽ͢ΔͨΊʹ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔΛಋೖ͢Δ. શ‫ܥ‬Λೋͭͷ෦෼‫ ܥ‬A, B ʹ෼ׂ͠, ͦΕΒͷؒͷΤϯλϯάϧϝϯτΛ‫͠ࢉܭ‬Α͏ (ਤ 1.1). ෦෼‫ ܥ‬Aͷ௕͞Λ Lsub ͱ͢Δ. ͜ͷ‫ʹࢉܭ‬͸, Schmidt ෼ղ (෇࿥ A) Λ࢖ͬͯ, શ‫ܥ‬ͷ‫֨ن‬Խ͞Εͨ೾ಈؔ਺ |ΨAB  Λ A ͷ೾ಈؔ਺ͱ B ͷ೾ಈؔ਺ͷੵͰॻ͘ͱศརͰ͋Δ:|ΨAB  =χ

λi |φi A |ψi B .

(1.1)

i=1

͜ ͜ Ͱ, {|φi A } ͱ {|ψi B } ͸ ͦ Ε ͧ Ε A ͱ B ͷ ਖ਼ ‫ ن‬௚ ަ ‫ ͋ Ͱ ܥ‬Γ, ඇ ෛ ͷ ࣮ ਺ {λi } ͸χ2
i=1 λi= 1 Λຬͨ͢. ͜ͷ χ ͸ Schmidt ਺ͱ‫ݺ‬͹Ε, dimHα (α = A, B) Λ෦෼‫ ܥ‬α ͷHilbert ۭؒͷ࣍‫͢ͱݩ‬Δͱ, χ ≤ min{dimHA ,dimHB } Λຬͨ͢. શ‫ܥ‬ͷ೾ಈؔ਺Λ͜ͷΑ͏ʹද‫͢ݱ‬Δͱ, ෦෼‫ ܥ‬A ͷॖ໿ີ౓ߦྻ ρA ͸༰қʹ‫͖Ͱࢉܭ‬,ρA = TrB |ΨAB ΨAB |=χ

λ2i |φi A φi |A

(1.2)
(1.3)

i=1

ͱͳΔ. ͜͜Ͱ, ෦෼‫ ܥ‬B ʹؔ͢ΔτϨʔε͸, ෦෼‫ ܥ‬B ͷࣗ༝౓ΛӅ͢͜ͱΛද͍ͯ͠Δ. ‫؍‬ଌ͢Δ෦෼‫ ܥ‬A ͱ, Ӆ͞Εͨ෦෼‫ ܥ‬B ͷؒͷΤϯλϯάϧϝϯτΛఆྔԽ͢ΔͨΊʹ, ॖ໿ີ౓ߦ
ྻ ρA ʹର͢Δ von Neumann Τϯτϩϐʔͱͯ͠, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔΛఆٛ͢Δ:

SA = −

χ

λ2i ln λ2i .

(1.4)

i=1

༰қʹ෼͔ΔΑ͏ʹ, SA ͸ B ͷॖ໿ີ౓ߦྻ ρB ʹର͢ΔΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ SB
ͱҰக͢Δ. ͭ·Γ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸෦෼‫ ܥ‬A, B Ͱ͸ͳ͘, Ή͠ΖͦΕΒͷ‫ڥ‬քʹؔ܎ͨ͠ྔͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δ. ؆୯ͳྫͱͯ͠, ೋ‫ݸ‬ͷεϐϯ͔ΒͳΔ௚ੵঢ়ଶͱγϯάϨοτঢ়ଶΛ‫ͯݟ‬ΈΑ͏. Ұ‫ݸ‬໨ͷεϐϯ͕෦෼‫ ܥ‬A, ೋ‫ݸ‬໨ͷεϐϯ͕෦෼‫ ܥ‬B ʹଐ͢Δͱ͢

5

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Δ. ௚ੵঢ়ଶ

|Ψ = | ↑1 | ↑2 

(1.5)

Ͱ͸ χ = 1 Ͱ͋Γ, λ1 = 1 ͳͷͰ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸ 0 Ͱ͋Δ. Ұํ, γϯάϨοτঢ়ଶ1|Ψ = √ (| ↑1 | ↓2  − | ↓1 | ↑2 )
2

(1.6)

Ͱ͸ χ = 2 Ͱ͋Γ, λ1 = λ2 = √12 ͳͷͰ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸ ln 2 Ͱ͋Δ. ͜ͷྫ͔Β, ͔֬ʹΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸‫ܥ‬ͷྔࢠྗֶతͳ૬ؔΛఆྔԽ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕෼͔Δ.
Ұ࣍‫͚͓ʹܥࢠྔݩ‬Δ૬సҠͷ‫͍͓ͯʹڀݚ‬Τϯλϯάϧϝϯτ͕༻͍ΒΕ͍ͯΔ [46]. ‫ʹܥ‬ΤωϧΪʔΪϟοϓ͕͋Δͱ͖, શ‫ܥ‬Λ෼ׂͯ͠Ͱ͖ͨೋ‫ݸ‬ͷ෦෼‫ܥ‬͸‫ڥ‬քͷपลͰ͔͠૬ؔ͠ͳ
͍. ͦͷͨΊ, ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ Lsub Λ௕ͯ͘͠΋, ‫ܥ‬ͷ࢒Γͷ෦෼ͱͷΤϯλϯάϧϝϯτ͸มԽ͠ͳ͍ͱ‫ظ‬଴͞ΕΔ. ࣮ࡍ, ೤ྗֶ‫Ͱݶۃ‬ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸ఆ਺ʹͳΔ. ͜ͷࣄ࣮͕എ‫͋ʹܠ‬ΔͨΊ, ΤωϧΪʔΪϟοϓ͕͋Δ‫ܥ‬ͷ৔߹ʹ͸, iTEBD ΍ີ౓ߦྻ‫܁‬ΓࠐΈ‫܈‬ͷΑ͏ͳ਺஋‫ࢉܭ‬Λޮ཰Α͘ߦ͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ. Ұํ, ‫ྟ͕ܥ‬քతͰ͋Δͱ͖, ΤϯλϯάϧϝϯτΤ
ϯτϩϐʔͷ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ґଘੑ͸ର਺తʹͳΔ [46, 50]. ͜ͷ͜ͱ͸࣍ͷΑ͏ʹઆ໌Ͱ͖Δ: ྟք఺Ͱ͸ΤωϧΪʔΪϟοϓ͕θϩʹͳΓ, ૬ؔ௕͸ൃࢄ͠, ‫ܥ‬͸εέʔϧରশੑΛಘΔ. ͦͯ͠,Ұ࣍‫Ͱܥࢠྔݩ‬͸͜ͷεέʔϧରশੑ͕‫ܗڞ‬ରশੑʹ্֨͛͞ΕΔ͜ͱʹΑΓ, Τϯλϯάϧϝϯ
τΤϯτϩϐʔʹର਺ґଘੑͱͯ͠‫ݱ‬ΕΔ. ྫ͑͹, ྔࢠ૬సҠΛࣔ͢࠷΋؆୯ͳεϐϯ໛‫͋Ͱܕ‬Δԣ࣓৔ Ising ໛‫ܕ‬HTFIM = −Nxσix σi+1
−h

i=1

N


σiz

(1.7)

i=1

͸, ྟք఺ h = 1 ʹ͓͍ͯΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͕ର਺తʹৼΔ෣͏ (ਤ 1.2). Ұൠʹ,

(1+1) ࣍‫ܗڞݩ‬৔ཧ࿦Ͱ͸, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸, ෦෼‫ ܥ‬A ͷ௕͞Λ Lsub ͱͨ͠ͱ͖ʹ

SA (Lsub ) ∼cln Lsub3(1.8)

ͷΑ͏ʹৼΔ෣͏ [51]. ͜͜ʹ‫ݱ‬ΕΔ c ͸ηϯτϥϧνϟʔδͱ‫ݺ‬͹Ε, ‫ܗڞ‬৔ཧ࿦Λ෼ྨ͢Δී
วతͳྔͰ͋Δ. ྫ͑͹, ࣗ༝Ϙιϯ͸ c = 1, ࣗ༝ϑΣϧϛΦϯ͸ c = 21 Ͱ͋Δ. ·ͨ, ԣ࣓৔Ising ໛‫ܕ‬ͷྟք఺͸ c = 12 Ͱಛ௃͚ͮΒΕ, ࣗ༝ϑΣϧϛΦϯʹ෼ྨ͞ΕΔ.
ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔҎ֎ͷΤϯλϯάϧϝϯτͷࢦඪͱͯ͠Τϯλϯάϧϝϯτ
εϖΫτϧ͕‫͛ڍ‬ΒΕΔ [13]. ॖ໿ີ౓ߦྻ ρA ͸

ρA =

χ


λ2i |φi A φi |A

(1.9)

i=1

= exp(−HE )(1.10)

ͱද͢͜ͱʹΑΓ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸Թ౓͕ 1, ʮϋϛϧτχΞϯʯ͕ HE Ͱ༩͑ΒΕΔ‫ܥ‬ͷ೤ྗֶతͳΤϯτϩϐʔͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͦͷʮϋϛϧτχΞϯʯͷ‫ݻ‬༗஋ͱ

6

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

SA(Lsub)《修士論文》

1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4

h=0.6
h=0.8
h=1.0

0

50

100

150

200

250

Lsub

ਤ 1.2

։์୺৚݅Ͱͷԣ࣓৔ Ising ໛‫ʹܕ‬ର͢ΔΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ґଘੑ [46]: h = 0.6, 0.8 ͸ΤωϧΪʔΪϟοϓ͕։͍͓ͯΓ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯ
τϩϐʔ͸ఆ਺ʹͳΔ. Ұํ, ྟք఺ h = 1 ʹ͓͍ͯΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ґଘੑʹର਺తͳৼΔ෣͍͕‫ݟ‬ΒΕΔ. αΠτ਺͸ 503, ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞͸ 249.

ͯ͠ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧΛఆٛ͢Δ:

ξi = − ln λ2i .

(1.11)

͜ͷྔ͸ʮϋϛϧτχΞϯʯͷΤωϧΪʔߏ଄Λද͠, {λi } ͷ࿨ʹΑͬͯද͞ΕΔΤϯλϯάϧ
ϝϯτΤϯτϩϐʔΑΓ΋ଟ͘ͷ৘ใΛ‫ؚ‬Ήͱ‫ظ‬଴͞ΕΔ. ࣮ࡍʹ, ྔࢠ Hall ޮՌͷ‫͍͓ʹڀݚ‬ͯ, Li ͱ Haldane ͸ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͱ௿ΤωϧΪʔͷΤοδͷྭ‫ى‬ϞʔυͱͷରԠΛ‫ݟ‬ग़ͨ͠ [13]. ͦͷ࿦จͰ͸, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ४Ґߏ଄͕, ྔࢠ Hall ‫ܥ‬ͷΤοδʹ‫ݱ‬ΕΔ‫ܗڞ‬৔ཧ࿦ͷࢦඪͱରԠ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕ࣔ͞Εͨ. ͦΕҎ߱, Τϯλϯάϧϝϯτ
εϖΫτϧͷ‫͔఺؍‬Β, ༷ʑͳྔࢠ‫ܥ‬ͷ૬సҠͷ‫͕ڀݚ‬੝ΜʹߦΘΕΔΑ͏ʹͳͬͨ [14–24].
Ұ࣍‫͍͓ͯʹܥࢠྔݩ‬, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͱΤοδϞʔυͱͷؔ܎Λ‫ͯݟ‬ΈΑ͏.
‫ܥ‬Λೋ෼ׂ (ਤ 1.3) ͨ͠ͱ͖ͷ੾அͨ͠Օॴʹ஫໨͢Δ. ૬‫༻࡞ޓ‬ͷύλʔϯʹΑͬͯ͸, ‫ܥ‬Λ੾அͨ͠ՕॴʹΤοδϞʔυͱ‫ݺ‬͹ΕΔಛ௃తͳϞʔυ͕‫ݱ‬ΕΔ. εϐϯ 1 ͷ൓‫࣓ڧ‬ੑεϐϯ࠯ʹ‫ݱ‬ΕΔ Haldane ૬ [52, 53] ͷ৔߹, ΤοδϞʔυͱͯ͠Ծ૝తͳεϐϯ 12 ͕‫ݱ‬ΕΔ (෇࿥ B). ͜ͷࣗ༝౓͸, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґͷॖୀ਺ʹରԠ͢Δ [14]. ਤ 1.4 ʹ‫ج‬ఈঢ়ଶ͕ Haldane ૬Λࣔ͢εϐϯ 1 ͷ౳ํతͳ൓‫࣓ڧ‬ੑεϐϯ࠯

H=

N


Si · Si+1(1.12)

i=1ͷΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧΛࣔ͢. ·ͨ, 2.1.1 અͰಋೖ͢Δ Kitaev ໛‫ܕ‬ͷ৔߹, ΤοδϞʔυͱͯ͠ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕‫ݱ‬ΕΔ. ͜ͷࣗ༝౓΋ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ
࠷௿४Ґͷॖୀ਺ͱͯ͠‫ݱ‬ΕΔ (3.3 અ).
Ұ࣍‫ݩ‬ͷτϙϩδΧϧ૬͸ඇ‫ॴہ‬తͳடংύϥϝʔλͰಛ௃͚ͮΒΕΔ. Haldane ૬Λಛ௃෇
͚Δྔ͸ετϦϯάடংύϥϝʔλ [1] ͱ‫ݺ‬͹Ε, ετϦϯά૬ؔؔ਺ Oα (L) ͷ‫ͯ͠ͱݶۃ‬ఆٛ

7

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 1.3‫ܥ‬ͷ෼ׂ: શ‫( ܥ‬ແ‫ )ܥݶ‬ΛҰΧॴͰ੾அ͠, ೋͭͷ෦෼‫ ܥ‬A, B (൒ແ‫ʹ )ܥݶ‬෼ׂ͢

Δ. εϐϯ 1 ͷ౳ํత൓‫࣓ڧ‬ੑ Heisenberg ໛‫( ܕ‬1.12) ʹ‫ݱ‬ΕΔ Haldane ૬ʹ͓͍ͯ, ੾அ͠ξiͨՕॴʹԾ૝తͳεϐϯ͕‫ݱ‬ΕΔ.

20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

ξi
0

5

10

15

20
i

25

30

35

40

ਤ 1.4

ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ: Haldane ૬Λࣔ͢εϐϯ 1 ͷ౳ํత൓‫࣓ڧ‬ੑ
Heisenberg ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶʹର͠, iTEBD Λ༻͍ͨແ‫ܥݶ‬ͷ‫ࢉܭ‬Λߦͬͨ. Ϙϯυ࣍‫ݩ‬(2.3.1 અ) χb Λ 40 ͱͨ͠. ֤४Ґ͕‫਺ۮ‬ॏʹॖୀ͍ͯ͠Δ. ࠷௿४Ґͷೋॏॖୀ͸, ਤ 1.3 ʹࣔͨ͠Ծ૝తͳεϐϯͷࣗ༝౓ʹରԠ͍ͯ͠Δ.

͞ΕΔ.

Oα = lim Oα (L),
L→∞

 L−1

Oα (L) = S1αexp(iπSkα )SLα ,(1.13)
forα = x, y, z.

(1.14)

k=2

εϐϯ 1 ͷ౳ํత൓‫࣓ڧ‬ੑ Heisenberg ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶʹର͠, ετϦϯά૬ؔؔ਺Λ iTEBD Ͱ‫͢ࢉܭ‬Δͱ, ͔֬ʹ௕‫Ͱ཭ڑ‬༗‫ݶ‬ͷ஋ʹऩଋ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕෼͔Δ (ਤ 1.5) . ։์୺৚݅ͷͱ͖,͜ͷடংύϥϝʔλ͸ඇ‫ॴہ‬తͳϢχλϦม‫׵‬ͷ΋ͱͰ, ‫ॴہ‬తͳ‫࣓ڧ‬ੑடংύϥϝʔλʹม‫͞׵‬
ΕΔ [3]. ·ͨ, ϋϛϧτχΞϯ͸େҬతͳ཭ࢄతରশੑ Z2 × Z2 Λ࣋ͭϋϛϧτχΞϯʹม‫͞׵‬
ΕΔ. ͜ͷϋϛϧτχΞϯͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸࢛ॏʹॖୀ͢Δ͕, ͜Ε͸ม‫͢׵‬ΔલͷϋϛϧτχΞϯͷ
‫ج‬ఈঢ়ଶ͕ࣔ͢ΤοδϞʔυʹରԠ͢Δ.

8

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

String correlation function《修士論文》

0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0

Ox
20

ਤ 1.5

40

60

80

100
L

120

140

160

180

200

ετϦϯά૬ؔؔ਺: Haldane ૬Λࣔ͢εϐϯ 1 ͷ౳ํత൓‫࣓ڧ‬ੑ Heisenberg ໛‫ܕ‬

(1.12) ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶʹର͠, iTEBD Λ༻͍ͯ‫( ͨ͠ࢉܭ‬χb = 40). ௕‫Ͱ཭ڑ‬༗‫ݶ‬ͷ஋ʹऩଋ͍ͯ͠Δ.

9

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

2 ४උ
2.1 ϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬͜ͷ࿦จͰѻ͏ϋϛϧτχΞϯΛ঺հ͢Δ. 2.1.1 અͰ͸τϙϩδΧϧ૬Λࣔ͢໛‫͋Ͱܕ‬
Δ Kitaev ໛‫ͱܕ‬Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬ͷઆ໌Λͨ͠‫ޙ‬, 2.1.2 અͰͦΕΒΛ Majorana ϑΣϧϛΦϯදࣔ͠, ‫ܥ‬ͷ୺ʹθϩΤωϧΪʔͷΤοδϞʔυ͕‫ݱ‬ΕΔ͜ͱΛࣔ͢. 2.1.3 અͰ͸τϙϩδΧϧ૬Λಛ௃෇͚Δඇ‫ॴہ‬తͳ૬ؔؔ਺Λఆٛ͢Δ. ҎԼͰ͸, αΠτ਺Λ N ͱ͠, प‫ظ‬αααα‫ڥ‬ք৚݅ͷͱ͖, Pauli ߦྻ͸ σN+1 = σ1 , σN +2 = σ2 (α = x, y, z), ։์୺৚݅ͷͱ͖,αασN+1 = σN +2 = 0 (α = x, y, z) ͱ͢Δ.

2.1.1 ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬Ұ࣍‫ݩ‬ԣ࣓৔ Ising ໛‫ ܕ‬HTFIM ͸, Jordan–Wigner ม‫׵‬
i−1


ci =
(−σjz )σi− ,
j=1

c†i =

i−1


(−σjz )σi+

(2.1)

j=1

ʹΑΓ, Kitaev ໛‫( ܕ‬εϐϯϨε p ೾௒఻ಋମ) HKitaev ʹม‫͞׵‬ΕΔ [27]:

HTFIM = −Nx(σix σi+1+ λσiz )

(2.2)

i=1

=−

N 


(c†i − ci )(c†i+1 + ci+1 ) + 2λc†i ci


(2.3)

i=1

= HKitaev .
†

(2.4)

†

† †

†

͜͜Ͱ, ci ci+1 (ci ci+1 ) ͷ߲͸ϗοϐϯά߲, ci ci+1 (ci ci+1 ) ͷ߲͸௒఻ಋϖΞϦϯά߲, ci ci ͷ߲͸Խֶϙςϯγϟϧ߲ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ. Kitaev ໛‫ܕ‬͸τϙϩδΧϧ૬Λࣔ͢໛‫͋Ͱܕ‬Δ. 2.1.2 અͰ
આ໌͢ΔΑ͏ʹ, ͜ͷτϙϩδΧϧ૬Ͱ͸‫ܥ‬ͷ୺ʹθϩΤωϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕‫͢ࡏہ‬Δ. ݁߹ఆ਺ λ ͷେখʹΑΓ, ೋ‫ݸ‬ͷҟͳͬͨ૬͕‫ݱ‬ΕΔ. λ < 1 ͷऑ݁߹ྖҬ͸τϙϩδ
Χϧʹඇࣗ໌ͳ૬ (τϙϩδΧϧ૬) Ͱ͋Γ, ԣ࣓৔ Ising ໛‫ܕ‬ͷ‫࣓ڧ‬ੑ૬ʹରԠ͢Δ. ͜ͷͱ͖,‫ܥ‬ͷ୺ʹθϩΤωϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕‫͠ࡏہ‬, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ೋॏʹॖୀ͢Δ. Ұํ,λ > 1 ͷ‫ྖ߹݁ڧ‬Ҭ͸τϙϩδΧϧʹࣗ໌Ͱ͋Γ, ԣ࣓৔ Ising ໛‫ܕ‬ͷແடং૬ʹରԠ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ‫ܥ‬ͷ୺ʹθϩΤωϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕‫ͣͤࡏہ‬, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ॖୀ͠ͳ͍.
࣍ʹ, ࡾεϐϯ૬‫༻࡞ޓ‬Λ‫ؚ‬ΉΫϥελʔ໛‫ ܕ‬HC

HC = −Nzx
J XZX σix σi+1
σi+2

(2.5)

i=1

Λߟ͑Α͏ [30, 54]. Kitaev ໛‫ͱܕ‬ಉ༷ʹ, Jordan–Wigner ม‫ʹ׵‬ΑΓ, Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬͸ࣗ༝ͳ

10

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ϑΣϧϛΦϯ໛‫ʹܕ‬ม‫͞׵‬ΕΔ:

HC = −Nzx
J XZX σix σi+1
σi+2

(2.6)

i=1

=

N


J XZX (c†i − ci )(c†i+2 + ci+2 ).

(2.7)

i=1

͜ͷ໛‫ܕ‬ͷ૬‫( ༻࡞ޓ‬Ϋϥελʔ૬‫ )༻࡞ޓ‬ΛϑΣϧϛΦϯԽ͢Δͱ௕‫཭ڑ‬ͷ૬‫ͳʹ༻࡞ޓ‬Δ. ͭ·Γ, Ϋϥελʔ૬‫༻࡞ޓ‬Λ Kitaev ໛‫ʹܕ‬Ճ͑Δ͜ͱͰ, ௕‫཭ڑ‬ͷϗοϐϯά߲ͱ௒఻ಋϖΞϦϯά߲Λ࣋ͬͨ p ೾௒఻ಋମ͕ಘΒΕΔ. ௕‫཭ڑ‬૬‫͕͋༻࡞ޓ‬Δ৔߹, ‫ܥ‬ͷ୺ʹଘࡏ͢ΔθϩΤω
ϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ਺͕มԽ͢ΔͨΊ, Ϋϥελʔ૬‫༻࡞ޓ‬͸τϙϩδΧϧʹඇࣗ໌ͳޮՌΛ༩͑Δ.

2.1.2 Majorana ϑΣϧϛΦϯදࣔ
Kitaev ໛‫ܕ‬Λ Majorana ϑΣϧϛΦϯΛ༻͍ͯಛ௃෇͚Α͏. Majorana ϑΣϧϛΦϯ͸
c̄2i−1 = c†i + ci ,c̄2i = i (ci − c†i ),i = 1, 2, ʜ, N

(2.8)ͷΑ͏ʹఆٛ͞Ε, ͜ͷ c̄ ͸ΤϧϛʔτԋࢉࢠͰ, ࣍ͷ൓ަ‫܎ؔ׵‬Λຬͨ͢:c̄i = c̄†i ,{c̄i , c̄j } = 2δij .

(2.9)

i ൪໨ͷαΠτ্ͷ Jordan–Wigner ϑΣϧϛΦϯ ci Λೋ‫ݸ‬ͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ c̄2i−1 , c̄2iʹ෼ղ͢Δ༷ࢠΛਤ 2.1 ʹද͢. Majorana ϑΣϧϛΦϯͰ Kitaev ໛‫ܕ‬ͷϋϛϧτχΞϯΛද
͢ͱ
N 


†
†
†
(ci − ci )(ci+1 + ci+1 ) + 2λci ci
HKitaev = −(2.10)

i=1

= −i

N


(c̄2i c̄2i+1 − λc̄2i−1 c̄2i )(2.11)

i=1

ͱͳΔ. ։์୺৚݅ͷԼͰ, Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕૬‫͢༻࡞ޓ‬Δ༷ࢠΛਤ 2.2 ʹද͢. ੺৭ͷઢ͕ΦϯαΠτ૬‫( ༻࡞ޓ‬c̄2i−1 c̄2i ), ੨৭ͷઢ͕࠷ۙ઀૬‫( ༻࡞ޓ‬c̄2i c̄2i+1 ) ʹରԠ͍ͯ͠Δ.

λ = 0 ͷͱ͖, ϋϛϧτχΞϯʹ c̄1 ͱ c̄2N ͕‫ݱ‬Εͳ͍ͨΊ, ΤωϧΪʔʹӨ‫ڹ‬Λ༩͑ͳ͍. ͦͷͨΊ, ‫ܥ‬ͷ୺ʹθϩΤωϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕‫͢ࡏہ‬Δ. λ < 1 ͷऑ݁߹ྖҬ (τϙϩδΧϧ૬) Ͱ͸, ਤ 2.2 ͷ੨৭ͷઢͰද͞ΕΔ૬‫ࢧ͕༻࡞ޓ‬഑తʹͳΓ, ‫ܥ‬ͷ୺ʹθϩΤωϧ
Ϊʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕ࢦ਺ؔ਺తʹ‫͢ࡏہ‬Δ (෇࿥ C). ͜ͷθϩϞʔυ͕ଘࡏ͢ΔͨΊʹ, ͜ͷ૬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ೋॏʹॖୀ͢Δ. Ұํ, λ > 1 ͷ‫ྖ߹݁ڧ‬Ҭ (ඇτϙϩδΧϧ૬) Ͱ͸,ਤ 2.2 ͷ੺৭ͷઢͰද͞ΕΔ૬‫ࢧ͕༻࡞ޓ‬഑తʹͳΓ, ‫ܥ‬ͷ୺ʹθϩΤωϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕‫͍ͳ͠ࡏہ‬.

11

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

Majorana ϑΣϧϛΦϯදࣔ: Jordan–Wigner ϑΣϧϛΦϯ ci Λ Majorana ϑΣϧϛΦϯ c̄2i−1 , c̄2i ʹ෼ղ͢Δ.

ਤ 2.1

ਤ 2.2

Kitaev ໛‫ܕ‬ͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯදࣔ: ઢͰ݁͹Εͨ Majorana ϑΣϧϛΦϯ
͕૬‫͍ͯ͠༻࡞ޓ‬Δ. ੺৭ͷઢ͕ΦϯαΠτ૬‫( ༻࡞ޓ‬c̄2i−1 c̄2i ), ੨৭ͷઢ͕࠷ۙ઀૬‫༻࡞ޓ‬(c̄2i c̄2i+1 ) ʹରԠ͍ͯ͠Δ. ੨৭ͷ૬‫ࢧ͕༻࡞ޓ‬഑తͰ͋Δͱ͖ (λ ͕খ͍͞ͱ͖), ‫ܥ‬ͷ୺ʹ‫ͨ͠ࡏہ‬θϩϞʔυ͕ଘࡏ͢Δ.

࣍ʹ, Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬Λߟ͑Δ. ࣜ (2.5) Ͱ༩͑ΒΕΔΫϥελʔ໛‫ܕ‬ͷϋϛϧτχΞϯΛ

Majorana ϑΣϧϛΦϯ {c̄i } දࣔ͢Δͱ
HC = iNJ XZX c̄2i c̄2i+3(2.12)i=1ͷΑ͏ʹॻ͚Δ. ͜ΕΛਤ 2.3 ʹਤࣔ͢Δ. ਤதͷࣼΊͷઢ͸ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λද͍ͯ͠Δ. प‫ڥظ‬ք৚݅ͷͱ͖, 2N ‫ݸ‬ͷશͯͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕ೋ‫ྡݸ‬ͷαΠτͷ

Majorana ϑΣϧϛΦϯͱϖΞΛ૊ΜͰ૬‫͍ͯ͠༻࡞ޓ‬Δ. Ұํ, ਤ͔Β෼͔ΔΑ͏ʹ, ։์୺৚݅ͷͱ͖͸‫ܥ‬ͷ྆୺ʹ૬‫( ͍ͳ͍ͯ͠༻࡞ޓ‬ϋϛϧτχΞϯʹ‫ݱ‬Εͳ͍) Majorana ϑΣϧϛΦϯ
͕ೋ‫ͭͣݸ‬ଘࡏ͢Δ. ͜ͷ࢛‫ݸ‬ͷࣗ༝ͳ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ (Ϋϥελʔ૬) ͷ࢛ॏॖୀͷ‫ݪ‬ҼͰ͋Δ. 2.2.1 અͰड़΂Δํ๏Λ༻͍Δͱ, Majorana ϑΣϧϛΦϯ
ͷৼ෯͕෼͔Δ. ྫͱͯ͠, θϩΤωϧΪʔͷೋ‫ݸ‬ͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷৼ෯Λਤ 2.4 ʹࣔ12《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 2.3

Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬ͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯදࣔ: ઢͰ݁͹Εͨ Majorana ϑΣϧϛΦ

ϯ͕૬‫͍ͯ͠༻࡞ޓ‬Δ. ։์୺৚݅ͷͱ͖, ‫ܥ‬ͷ྆୺ʹ૬‫ ͍ͳ͍ͯ͠༻࡞ޓ‬Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕ଘࡏ͢Δ.

ਤ 2.4

θϩΤωϧΪʔΛ࣋ͭ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷৼ෯: Majorana ϑΣϧϛΦϯ c̄1(੺ઢ), c̄2N −2 (੨ઢ) ͸‫ܥ‬ͷย୺ʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δ (N = 101).

͢. ͔֬ʹ‫ܥ‬ͷ୺ʹ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δ͜ͱ͕෼͔Δ.

3 ষͰ͸ Kitaev ໛‫ͱܕ‬Ϋϥελʔ໛‫ʹܕ‬૬‫༻࡞ޓ‬ΛՃ͑, τϙϩδΧϧ૬ͷ҆ఆੑ΍ྔࢠ૬సҠΛٞ࿦͢Δ. ͦΕΒͷ૬‫ ͯ͠ͱ༻࡞ޓ‬Ising ૬‫ͱ༻࡞ޓ‬Ϋϥελʔ૬‫༻࡞ޓ‬Λ༻͍Δͱ, ߟ͑ΔϋϛϧτχΞϯ͸

H=

N


x
z
x
(−hσiz + J XX σix σi+1
− J XZX σix σi+1
σi+2(2.13)

i=1yyz+ J Y ZY σiy σi+1
σi+2)
+ J Y Y σiy σi+1

ͱͳΔ. ͜ΕΒͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λ Majorana ϑΣϧϛΦϯͰॻ͘ͱ, ϋϛϧτχΞϯ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔ:

H =i

N


(hc̄2i−1 c̄2i + J XX c̄2i c̄2i+1 + J XZX c̄2i c̄2i+3

i=1− J Y Y c̄2i−1 c̄2i+2 + J Y ZY c̄2i−1 c̄2i+4 ).

(2.14)

૬‫༻࡞ޓ‬ͷ༷ࢠΛ Majorana ϑΣϧϛΦϯΛ༻͍ͯਤࣔ͢Δͱ, ਤ 2.5 ͱͳΔ.
θϩΤωϧΪʔͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ (θϩϞʔυ) Λௐ΂Δͷʹదͨ͠‫ʹܗ‬ม‫͠ܗ‬Α͏.

13

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 2.5

༷ʑͳ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ Majorana දࣔ: ࠨͷ݁߹ఆ਺ʹରԠ͢Δ Majorana ϑΣϧϛΦϯ

ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λӈʹॻ͍ͨ. ઢͰ݁Μͩ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͕૬‫͍ͯ͠༻࡞ޓ‬Δ.

Ψ = (c̄1 , c̄2 , . . . , c̄2N −1 , c̄2N )T ͱ͍͏‫ج‬ఈΛ༻͍Δͱ, ϋϛϧτχΞϯ͸
⎛

0
−h

⎜
⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎜
YY
i⎜
H= ⎜ J
2⎜⎜0⎜⎜⎜ −J Y ZY
⎝
..
.

h
0

J XX

−J Y Y
0

−J XX

0

h

0

−h
..
.

0

0

−J XZX

0
J XZX
..
.
..

..

0
..
.

J Y ZY
0
..

.

..

.

.

.

⎞
...
... ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

(2.15)

ͱ͍͏ 2N ࣍ͷަ୅ߦྻʹͳΔ. θϩϞʔυ͸, ߦྻ (2.15) ͷθϩ‫ݻ‬༗஋Λ΋ͭ‫ݻ‬༗ϕΫτϧͰ͋Δ (෇࿥ C). ྫ͑͹, J Y Y = J Y ZY = 0 ͷͱ͖, θϩϞʔυͷຬͨ͢΂͖ํఔࣜ͸཭ࢄ࣌ؒͷ‫ݮ‬ਰௐ࿨ৼಈࢠͷํఔࣜʹͳΔ [59]. ैͬͯ, ͦͷํఔࣜʹ‫֨ن‬ԽՄೳͳղ͕ଘࡏ͢Δͱ͖, θϩϞʔυ͸‫ܥ‬ͷ୺ʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δ͜ͱ͕෼͔Δ.

2.1.3 ετϦϯά૬ؔؔ਺
2.1.2 અͰ͸, Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ Majorana θϩϞʔυʹΑͬͯಛ௃෇͚ΒΕΔ͜ͱΛ‫ͨݟ‬. Ұํ, ͦͷτϙϩδΧϧͳੑ࣭͸ඇ‫ॴہ‬తͳετϦϯά૬ؔؔ਺Λ༻͍ͯ΋ಛ௃෇͚ΒΕΔ. Ϋϥελʔ໛‫ʹܕ‬ରͯ͠ετϦϯά૬ؔؔ਺Λఆٛ͢Δ.
Ϋϥελʔ૬Ͱ͸, ‫ ཭ڑ‬L ͚ͩ཭Εͨೋ఺ؒͷඇ‫ॴہ‬తͳετϦϯά૬ؔؔ਺⎛OXZX (L) = (−1)

L

σ1x σ2y ⎝

L−2


⎞
y
x
σjz ⎠ σL−1
σL

(2.16)j=3

͕௕‫͍͓ͯʹ཭ڑ‬༗‫ݶ‬ͷ஋ʹऩଋ͢Δ [54]. ͦͷ‫ݶۃ‬஋OXZX = lim OXZX (L)L→∞

14(2.17)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ΛετϦϯάடংύϥϝʔλͱఆٛ͢Δ.
։์୺৚݅ͷͱ͖, Ϋϥελʔ Ising ໛‫ܕ‬H(λ) =

Nyzx(−σix σi+1
σi+2
+ λσiy σi+1)(2.18)i=1͸૒ରม‫׵‬xμzi = σix σi+1
,

μxi =

i


σjz ,

x
σN
+1 = 1(2.19)j=1ʹΑΓࣗ‫ݾ‬૒ରͰ͋Δ (෇࿥ D). ͜ͷม‫ʹ׵‬ΑΓ, ετϦϯά૬ؔؔ਺͸ μ Λ༻͍ͯOXZX (L) = (−1)L μy1 μyL−1(2.20)

ͱॻ͚Δ. Haldane ૬ͷετϦϯά૬ؔؔ਺ͱಉ༷ʹ, ඇ‫ॴہ‬తͳม‫ʹ׵‬Αͬͯ, ඇ‫ॴہ‬తͳ૬ؔؔ਺ (2.16) ͕, ‫ॴہ‬తͳ૬ؔؔ਺ (2.20) ʹͳͬͨ.
Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬Λ z ࣠पΓʹ π ճసͤͨ͞໛‫ܕ‬

HC∗ =

N


y
z
σiy σi+1σi+2(2.21)i=1Λ૒ରͳΫϥελʔ໛‫Ϳݺͱܕ‬. ͜ͷ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ (૒ରͳΫϥελʔ૬) ͸࢛ॏʹॖୀ͢Δ.
Ϋϥελʔ໛‫ͱܕ‬ಉ༷ʹ, ετϦϯά૬ؔؔ਺ΛOY ZY (L) =⎛σ1y σ2x ⎝

L−2


⎞



y
x
σjz ⎠ σL−1
σL

(2.22)

j=3

ͱఆٛ͢Δ͜ͱʹΑΓ, ૒ରͳΫϥελʔ૬Λ‫ݕ‬ग़͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ.

2.2 ‫ີݫ‬ର֯Խ
2.2.1 અͰ͸, Lieb–Schultz–Mattis [55] ͷٞ࿦ʹै͍, εϐϯ‫ܥ‬ΛϑΣϧϛΦϯ໛‫ʹܕ‬ม‫͠׵‬,‫ີݫ‬ର֯Խͷํ๏Λࣔ͢. ͦͯ͠, ͜ͷํ๏Λ༻͍, ΤϯλϯάϧϝϯτΛ‫͢ࢉܭ‬Δํ๏Λࣔ͢.

2.2.2 અͰ૬ؔؔ਺Λ‫͢ࢉܭ‬Δ. 2.2.3 અͰ͸, ࣌ؒґଘͨ͠ Bogoliubov ม‫׵‬ͷํ๏Λઆ໌͠, ‫ܥ‬ͷμΠφϛΫεΛௐ΂Δ४උΛߦ͏.

2.2.1 ࣗ༝ϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬ͷΤϯλϯάϧϝϯτ
Ұ࣍‫ࢠྔݩ‬εϐϯ໛‫ܕ‬ͷதʹ͸, Jordan–Wigner ม‫ʹ׵‬ΑΓࣗ༝ϑΣϧϛΦϯ໛‫ʹܕ‬Ҡ͞ΕΔ
΋ͷ͕͋Δ. ͦΕΒͷ໛‫ܕ‬ΛҰൠʹѻ͏ํ๏Λ঺հ͠, ‫ج‬ఈঢ়ଶͷΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩ
ϐʔͱΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ਺஋‫ํࢉܭ‬๏ [46, 55] Λࣔ͢. εϐϯ‫ܥ‬ΛϑΣϧϛΦϯද‫ʹݱ‬ม‫͢׵‬ΔͨΊʹ, Jordan–Wigner ม‫׵‬Λࢪ͢:

ci =

i−1


(−σjz )σi− , c†i =

j=1

i−1

j=1

15

(−σjz )σi+ .

(2.23)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

͜ͷม‫ʹ׵‬ΑΓ, ྫ͑͹

σiz = 2c†i ci − 1,

(2.24)xσix σi+1= (c†i − ci )(c†i+1 + ci+1 ),yσiy σi+1= −(c†i + ci )(c†i+1 − ci+1 ),zxσix σi+1
σi+2= −(c†i − ci )(c†i+2 + ci+2 ),yzσiy σi+1σi+2= (c†i + ci )(c†i+2 − ci+2 )(2.25)(2.26)(2.27)(2.28)

ͱͳΔͷͰ, ԣ࣓৔ Ising ໛‫ܕ‬HTFIM = −Nx
(Jσix σi+1
+ hσiz )(2.29)i=1

΍ XY ໛‫ܕ‬

HXY =

N


y
x
(J XX σix σi+1
+ J Y Y σiy σi+1)(2.30)

i=1΍Ϋϥελʔ໛‫ܕ‬HC = −Nzx
J XZX σix σi+1
σi+2(2.31)yz
J Y ZY σiy σi+1
σi+2(2.32)i=1΍૒ରͳΫϥελʔ໛‫ܕ‬HC ∗ =N
i=1ͳͲ͸શͯϑΣϧϛΦϯͷೋ࣍‫͚ॻͰࣜܗ‬Δ. ҎԼͰ͸, ࣍ͷ‫ܗ‬Λͨ͠ N αΠτͷҰൠతͳϋϛϧτχΞϯΛѻ͏:

N 


1 †
†
†
∗
ci Bij cj + ci Bji cj .
H=
ci Aij cj +2i,j=1

(2.33)

͜͜Ͱ, A ͸ N ࣍ͷ࣮ରশߦྻ, B ͸ N ࣍ͷ࣮ަ୅ߦྻͱԾఆ͢Δ. ΋ͪΖΜ, ݁߹ఆ਺͕αΠτʹґଘ͢ΔΑ͏ͳ৔߹Ͱ΋Α͍. ͜ͷ‫ܗ‬ͷϋϛϧτχΞϯ͸ Bogoliubov ม‫׵‬

ηj =

N 

φij + ψij
i=1ʹΑΓର֯ԽͰ͖Δ:

H=

2

N


φij − ψij †
ci +
ci
2

1
Eμ (ημ† ημ − ),
2
μ=1



Eμ ≥ 0.

(2.34)(2.35)

ͨͩ͠, φμ , ψμ ͸ͦΕͧΕ N ࣍ߦྻ φ, ψ ͷୈ μ ྻ੒෼Ͱ, ࣍ͷ࿈ཱํఔࣜͷղͰ͋Δ:Eμ ψi = (A + B)φμ ,Eμ φi = (A − B)ψμ .
16(2.36a)(2.36b)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

Ҏ্ʹΑΓ, ‫ج‬ఈঢ়ଶ |GS ͸ Bogoliubov ਅۭημ |GS = 0,

μ = 1, 2, ʜ, N

(2.37)

Ͱ༩͑ΒΕΔ.
࣍ʹ, Majorana ϑΣϧϛΦϯʹม‫͢׵‬Δ:c̄2i−1 = c†i + ci ,c̄2i = i (ci − c†i ),i = 1, 2, ʜ, N.

(2.38)

͜ΕΛ༻͍Δͱ, Bogoliubov ԋࢉࢠ ημ ͸1
ημ =(φiμ c̄2i−1 − iψiμ c̄2i )2 i=1
N(2.39)

ͷΑ͏ʹॻ͚, i ൪໨ͷαΠτʹ͓͚Δ μ ൪໨ͷྭ‫ʹى‬ର͢Δ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷৼ෯͸

φiμ ͱ ψiμ Ͱ͋Δ. c̄ ͸
⎧
N



⎪
⎪
†
⎪
=
φ
+
η
c̄
η
,
⎪
2i−1
iμ
μ
μ
⎪
⎨
μ=1
N
⎪

⎪


⎪
⎪
=
i
ψiμ ημ − ημ†
c̄
⎪
⎩ 2i

(2.40a)(2.40b)μ=1ͱॻ͚Δ. ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ Bogoliubov ਅۭͳͷͰ, ημ |GS = 0 (∀μ) Ͱ͋Δ͜ͱ͔Β, Majorana ϑΣϧϛΦϯͷ૬ؔؔ਺͸c̄2i−1 c̄2j−1  =N
φiμ φjμ = δij ,(2.41)

μ=1

c̄2i c̄2j  =Nψiμ ψjμ = δij ,(2.42)

μ=1

c̄2i c̄2j−1  = −c̄2j−1 c̄2i  = iN

ψiμ φjμ(2.43)

μ=1

ͱͳΔ. ͜ͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯͷ૬ؔؔ਺͸࣍ͷ‫ͱ͘ॻʹܗ‬, ΤϯλϯάϧϝϯτΛௐ΂ΔࡍʹศརͰ͋Δ:c̄i c̄j  = δij + i ΓA
ij .

(2.44)

͜ͷߦྻ ΓA ͸ 2N ࣍ͷަ୅ߦྻͰ͋Δ. Wick ͷఆཧΛద༻͢Δ͜ͱʹΑΓ, ͜ͷߦྻ͔Β෺ཧྔͷ‫͕ࢉܭ‬ՄೳͰ͋Δ. Ұൠʹ, Մ‫ ͳٯ‬2N ࣍ަ୅ߦྻ A ͸, 2N ࣍ͷಛघ௚ަߦྻ W Λ༻͍ͯ,࣍ͷ‫ܗ‬ͷϒϩοΫߦྻʹͰ͖Δ:†

W AW =

N



νi

i=1

17

0 1
−1 0


.

(2.45)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

͜ͷ͜ͱΛ༻͍ͯ, ΓA ΛϒϩοΫର֯Խ͢Δ:† A

W Γ W =

N



νi

i=1

ΓC ͷߏ଄͸, ϑΣϧϛΦϯ c̃2i−1 =



0 1
−1 0

= ΓC .

(2.46)

N

j=1 W2i−1,j c̄j ͸ϑΣϧϛΦϯ c̃2i =N

j=1 W2i,j c̄j ͱ͔͠૬ؔ͠ͳ͍͜ͱΛҙຯ͢Δ. ͜ͷࣄ࣮Λ༻͍ͯ, ৽͍͠ϑΣϧϛΦϯ (Dirac ϑΣϧϛΦϯ) Λಋ
ೖ͢Δ:

di =

1
(c̃2i−1 + i c̃2i ).
2(2.47)

Ҏ্ͷม‫ʹ׵‬ΑΓಘΒΕͨϑΣϧϛΦϯ d ͷ૬ؔؔ਺͸d†i dj  = δij

1 − νi2(2.48)

Ͱ͋Δ. ͜ͷ͜ͱ͸, N ‫ݸ‬ͷϑΣϧϛΦϯ͕૬͍ؔͯ͠ͳ͍͜ͱΛҙຯ͢Δ. ͭ·Γ, શ‫ܥ‬ͷີ౓ߦྻ͸֤αΠτͷີ౓ߦྻͷ௚ੵͰ͋Δ. ௕͞ Lsub ͷ෦෼‫ܥ‬ͷΤϯλϯάϧϝϯτߏ଄͸୯७Ͱ͋Γ, ॖ໿ີ౓ߦྻ ρ ͸୯ͳΔ௚ੵρ = ρ1 ⊗ ρ2 ⊗ ʜ ⊗ ρLsub(2.49)

ͱͳΓ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸S(Lsub ) =

L
sub


[−pi ln pi − (1 − pi ) ln (1 − pi )] ,

pi =

i=1

1 − νi2(2.50)

Ͱ༩͑ΒΕΔ. ॖ໿ີ౓ߦྻͷ‫ݻ‬༗஋ {λi (Lsub )} ͸ 2Lsub ‫͋ݸ‬Γ, [p1 + (1 − p1 )]ʜ[pLsub + (1 −pLsub )] ͷల։ʹ‫ݱ‬ΕΔ߲Ͱ͋Δ. ͭ·Γλj (Lsub ) =

L
sub


i
p1−s
(1 − pi )si ,i

si = 0, 1(2.51)i=1ͱ͍͏‫ܗ‬Λ͍ͯ͠Δ. Ҏ্ͷखॱΛ·ͱΊΔͱਤ 2.6 ͷΑ͏ʹͳΔ.

2.2.2 ૬ؔؔ਺ྔࢠঢ়ଶΛಛ௃෇͚ΔͨΊʹΤϯλϯάϧϝϯτΛ༻͍Δํ๏͕͋Δ͕, Ұํ, ఻౷తʹ༻͍ΒΕ͖ͯͨ૬ؔؔ਺Λ༻͍Δํ๏͕͋Δ. ૬ਤͷܾఆʹ͸૬ؔؔ਺Λ‫͢ࢉܭ‬Δඞཁ͕͋Δ. ֤૬Λಛ௃෇͚Δͷ͸‫ॴہ‬తͳ૬ؔؔ਺Ͱ͋ͬͨΓ, ͱ͖ʹ͸ඇ‫ॴہ‬తͳ૬ؔؔ਺Ͱ͋ͬͨΓ͢Δ. ͜͜Ͱ͸ࣗ༝ϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶʹؔ͢Δ૬ؔؔ਺ͷ‫ํࢉܭ‬๏Λ঺հ͢Δ [55].
ྫͱͯ͠, Ϋϥελʔ૬Λಛ௃෇͚Δ૬ؔؔ਺Λ‫ͯ͠ࢉܭ‬ΈΑ͏. ͦΕ͸ετϦϯά૬ؔؔ਺ͱ
͍͏ඇ‫ॴہ‬తͳ૬ؔؔ਺Ͱ͋Γ,OXZX (L) = (−1)Lσ1x σ2y

L−2

k=3

18


σkz

y
x
σL−1
σL

(2.52)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 2.6

ࣗ༝ϑΣϧϛΦϯ໛‫ʹܕ‬Ҡ͞ΕΔεϐϯ໛‫ʹܕ‬ରͯ͠ΤϯλϯάϧϝϯτΛ‫ٻ‬ΊΔखॱ.

Ͱ༩͑ΒΕΔ [54]. ͜ΕҎ߱ͷ‫ࢉܭ‬ͷศٓͷͨΊ, A ͱ B ͱ͍͏ԋࢉࢠΛఆ͓ٛͯ͘͠:Ai = ci + c†i = c̄2i−1 ,(2.53)Bi = ci − c†i = −ic̄2i .

(2.54)

Wick ͷఆཧʹΑΓ, ૬ؔؔ਺ͷ‫ʹࢉܭ‬ඞཁͳॖ໿͸
Ai Aj  = δij ,(2.55)

Bi Bj  = −δij ,(2.56)

Bi Aj  =Nψiμ φjμ = D(i, j)(2.57)

μ=1

Ͱ͋Δ. A ͱ B Λ࢖͏ͱ, ετϦϯά૬ؔؔ਺͸OXZX (L) = (−1)L+1 B1 B2 A3 B3 ʜAL−2 BL−2 AL−1 AL 

(2.58)

ͱͳΔ. Wick ͷఆཧΛ༻͍ͯ͜ΕΛల։͢Δͱ, ্‫ه‬ͷॖ໿͕੒෼ͱͳΔަ୅ߦྻͷ Pfaﬃan Ͱ༩͑ΒΕΔ͜ͱ͕෼͔Δ. ࠓͷ৔߹, ετϦϯά૬ؔؔ਺ʹ͸ఴ͑ࣈ͕ಉ͡ A (B) ͸‫ݱ‬Εͳ͍ͷͰ, ަ୅ߦྻͷߏ଄͕୯७Խ͞ΕΔ. ͦͷͨΊ, Pfaﬃan ͷ‫ࢉܭ‬͸ߦྻࣜ!
! D(1, L)!
!
! D(2, L)OXZX (L) = !!
..
!
.
!
! D(L − 2, L)

D(1, 3)...

D(2, 3)
..
.

...
..
.
...

...

!
D(1, L − 1) !!
!
..
!
.
!
!
..
!
.
!
D(L − 2, L − 1) !

(2.59)

ͷ‫ؼʹࢉܭ‬ண͞ΕΔ.
ԣ࣓৔ Ising ໛‫ܕ‬ͷ‫࣓ڧ‬ੑ૬Λಛ௃෇͚Δ૬ؔؔ਺ͷ‫ࢉܭ‬΋ಉ༷ʹՄೳͰ͋Δ. Jordan–Wignerม‫׵‬ͷඇ‫ॴہ‬తͳੑ࣭ͷͨΊʹ, ೋεϐϯͷ‫ॴہ‬తͳ૬ؔ͸ඇ‫ॴہ‬తͳ΋ͷʹͳΔ. ྫ͑͹, ‫཭ڑ‬L ͚ͩ཭Εͨೋεϐϯ૬ؔؔ਺x
OXX (L) = σ1x σL

19(2.60)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

Λௐ΂Α͏. ಉ༷ʹ‫͢ࢉܭ‬Δͱ

OXX (L) = B1 B2 A2 B2 ʜBL−1 AL−1 AL !
!
! D(1, 2)
!
D(1,
3)
.
.
.
D(1,
L)
!
!
!
!
..
! D(2, 2)!
D(2, 3) . . .
.
!
!
=!
!
.
.
.
.
..
..
..
..
!
!
!
!
! D(L − 1, 2)...
. . . D(L − 1, L) !

(2.61)(2.62)

ͱͳΔ. ೋεϐϯͷ‫ॴہ‬తͳ૬ؔؔ਺͸ L − 1 ࣍ͷߦྻͷߦྻࣜͰ༩͑ΒΕΔ͜ͱ͕෼͔Δ.

2.2.3 ࣌ؒґଘ Bogoliubov ม‫׵‬‫ܥ‬ͷ૬‫༻࡞ޓ‬ΛมԽͤͨ͞‫ޙ‬ͷ࣌ؒൃలʹ஫໨͠, ྔࢠଟମ‫ܥ‬ͷඇฏߧμΠφϛΫεΛௐ΂Δ.
͜͜Ͱ͸ Jordan–Wigner ϑΣϧϛΦϯ c ͷೋ࣍‫͔ॻͰࣜܗ‬Εͨ, ࣌ؒґଘͨ͠ϋϛϧτχΞϯΛ
ѻ͏. ͢ͳΘͪ
N 


1 †
†
†
∗
ci Bij (t)cj + ci Bji (t)cj
H(t) =
ci Aij (t)cj +2i,j=1(2.63)

Λߟ͑Δ. ͨͩ͠, ݁߹ఆ਺͸࣌ؒґଘΛ͍࣋ͬͯΔ. ͜ͷΑ͏ͳ‫ܗ‬ΛԾఆ͢Δཧ༝͸, Heisenbergදࣔͷ Jordan–Wigner ϑΣϧϛΦϯ {ci,H (t)} ͕ै͏ Heisenberg ӡಈํఔ͕ࣜઢ‫ͳͱܗ‬Δ͔Β
Ͱ͋Δ:

N 


d
Aij (t)cj,H (t) + Bij (t)c†j,H (t) .
i ci,H (t) =dt
j=1(2.64)

ॳ‫ظ‬ͷ࣌ࠁ tin Ͱ H(tin ) Λର֯Խ͢Δ Bogoliubov ԋࢉࢠΛ ημin , ରԠ͢Δ‫ݻ‬༗ϕΫτϧΛ φin
μ,ψμin ͱ͠,
uin
μ =

in
φin
μ + ψμ,2vμin =inφin
μ − ψμ2(2.65)Λఆٛ͢Δ. ͜ͷ Heisenberg ӡಈํఔࣜ͸ cH (t) ͷ‫ܗ‬Λ

ci,H (t) =

N



∗
(t)ημin†ui,μ (t)ημin + vi,μ



(2.66)

μ=1ͱԾఆͯ͠, uμ (t), vμ (t) ͕ॳ‫ظ‬৚݅

uμ (tin ) = uinμ,vμ (tin ) = vμin

(2.67)

ͷ΋ͱͰ࿈ཱҰ࣍ඍ෼ํఔࣜ

⎧N⎪⎪ i d u (t) =  (A (t)u (t) + B (t)v (t)) ,
⎪
⎪
i,μ
ij
j,μ
ij
j,μ
⎪
⎨ dt
j=1

(2.68a)

N
⎪

⎪ d
⎪
⎪
i
v
(t)
=
−
(Aij (t)vj,μ (t) + Bij (t)uj,μ (t))⎪⎩ dt i,μj=1(2.68b)20

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

Λຬͨ͢ͱղ͚Δ [56].
࣌ࠁ t Ͱͷ෺ཧྔͷ‫ࢉܭ‬Λ͠Α͏. ͜͜Ͱ, Schrödinger දࣔͱ Heisenberg දࣔͷؔ܎Ψ(t)|O(ci , c†i )|Ψ(t) = Ψ(tin )|O(ci,H (t), c†i,H (t))|Ψ(tin )

(2.69)

Λࢥ͍ग़ͦ͏. ॳ‫ظ‬ঢ়ଶ |Ψ(tin ) ͱͯ͠ Bogoliubov ਅۭΛ༻͍ͨͷͰ, ‫ظ‬଴஋͸ Wick ͷఆཧΛ༻͍ͯ༰қʹ‫͖Ͱࢉܭ‬Δ. ࣌ؒґଘੑ͸ uμ (t), vμ (t) ͚ͩʹೖ͍ͬͯΔͷͰ, ෺ཧྔͷ࣌ؒൃల͸,uμ (t), vμ (t) ͷ࣌ؒൃలʹ‫ؼ‬ண͞ΕΔ.
࣌ؒґଘͨ͠Τϯλϯάϧϝϯτͷղੳํ๏͸, ࣗ༝ϑΣϧϛΦϯ໛‫ʹܕ‬ର͢Δํ๏ͱಉ༷Ͱ
͋Δ. ֤࣌ࠁ t Ͱ Dirac ϑΣϧϛΦϯΛߏ੒͠, ࣌ؒґଘͨ͠ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔS(Lsub , t) ͱΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ {λi (Lsub , t)} ͕ಘΒΕΔ.

2.3 Inﬁnite time evolving block decimation
ࠓ·Ͱ͸‫ີݫ‬ର֯Խͷํ๏Λ༻͍ͯྔࢠεϐϯ‫ܥ‬Λղੳ͖͕ͯͨ͠, ͦͷํ๏Ͱ͸༗‫ݶ‬αΠζޮՌ͕໰୊ͱͳΔͷͰ, inﬁnite time evolving block decimation (iTEBD) Λ༻͍ͯ͜ͷ໰୊Λճආ͢Δ. ͜ͷํ๏͸ΤϯλϯάϧϝϯτΛར༻͠, ‫ܥ‬ͷαΠζ͕ແ‫͋Ͱݶ‬ΔҰ࣍‫ܥࢠྔݩ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶΛޮ཰తʹ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱΛՄೳʹ͢Δ. ·ͣ, iTEBD ͷ‫ͳͱૅج‬Δߦྻੵঢ়ଶΛಋೖ͠,

iTEBD ͷΞϧΰϦζϜΛ঺հ͢Δ.
2.3.1 ߦྻੵঢ়ଶ
ྔࢠ‫ܥ‬ͷ೾ಈؔ਺ |ψ ͸, ߟ͍͑ͯΔ‫ܥ‬ͷ Hilbert ۭؒͷ‫ج‬ఈ {|i} Λ༻͍ͯ

|Ψ =



Ci |i

(2.70)iͷΑ͏ʹ༩͑ΒΕΔ. ࿨ͷ্‫( ݶ‬Hilbert ۭؒͷ࣍‫ )ݩ‬͸ߟ͍͑ͯΔ‫ʹܥ‬ґଘ͠, ྔࢠ‫Ͱܥ‬͸‫ܥ‬ͷαΠζʹؔͯ͠ࢦ਺తʹେ͖͘ͳΔ. ͜ͷͨΊ, ྔࢠ‫ܥ‬ͷ਺஋‫Ͱࢉܭ‬͸‫ࢉܭ‬ίετʹ໰୊͕ੜ͡Δ.
͜ͷ໰୊Λղܾ͢ΔͨΊʹ༷ʑͳํ๏͕ఏҊ͞Ε͖ͯͨ. iTEBD ΍ີ౓ߦྻ‫܁‬ΓࠐΈ‫܈‬͸Ұ࣍‫ܥࢠྔݩ‬ͷ਺஋‫͍͓ͯʹࢉܭ‬੒ޭΛऩΊ͖ͯͨ. ͜ΕΒͷํ๏Ͱ͸೾ಈؔ਺Λߦྻͷੵ|ΨαL βR =

AαL ,β1 (m1 )ʜAαi ,βi (mi )ʜAαN ,βR (mN )|m1 ʜ|mi ʜ|mN (2.71){mi },{α},{β}Ͱද͢. ͨͩ͠, |mi  ͸ i Ͱࢦఆ͞Εͨ Hilbert ۭؒ (෺ཧۭؒ) ͷ‫ج‬ఈͰ͋Γ, ͦͷ࣍‫ݩ‬Λ෺ཧ࣍‫ͼݺͱݩ‬, di Ͱද͢. ·ͨ, {αi }, {βi } ͸ิॿతͳۭؒʹରԠ͠, ͦͷ࣍‫ݩ‬ΛϘϯυ࣍‫ͼݺͱݩ‬,χb,i Ͱද͢. di ͱ χb,i ͸ i ʹґଘ͢ΔྔͰ͋Δ͕, ҎԼͰ͸؆୯ͷͨΊʹ, ෺ཧ࣍‫ͱݩ‬Ϙϯυ࣍‫ݩ‬
Λ i ʹґଘ͠ͳ͍ͱԾఆ͠, ͦΕΒͷ஋ΛͦΕͧΕ d, χb ͱ͢Δ. Ϙϯυ࣍‫ݩ‬ͷ χb ͷେ͖͞͸໛‫ܕ‬ͷΤϯλϯάϧϝϯτͷఔ౓ʹґଘ͠, े෼େ͖͚Ε͹, ͜ͷ೾ಈؔ਺͸ਅͷ೾ಈؔ਺ʹର͢Δྑ͍ۙࣅͱͳΔ. ͜ͷ೾ಈؔ਺ΛਤͰද͢ͱਤ 2.7 ʹͳΔ. ͜ͷΑ͏ʹॻ͔Εͨ೾ಈؔ਺Λߦྻੵঢ়ଶ (Matrix Product State, MPS) ͱ‫Ϳݺ‬.

21

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 2.7

ߦྻੵঢ়ଶ: ࢛֯‫ܗ‬ͷശ͕ςϯιϧ A Ͱ͋Δ. ্޲͖ͷ଍͕෺ཧۭؒ, ԣ޲͖ͷ଍͕ิॿతͳۭؒʹରԠ͍ͯ͠Δ.

೾ಈؔ਺ΛߦྻੵͰද͢ར఺͸Τϯλϯάϧϝϯτʹ͋Δ. ߦྻੵঢ়ଶ͕Τϯλϯάϧϝϯτ
Λ޼Έʹར༻͍ͯ͠Δ͜ͱΛ‫ݟ‬ΔͨΊʹ, εϐϯ 12 ͷγϯάϨοτঢ়ଶΛྫͱͯ͠ߟ͑Δ. γϯάϨοτঢ়ଶ͸࠷େΤϯλϯάϧঢ়ଶͰ͋Δ:1|Ψ = √ (| ↑1 | ↓2  − | ↓1 | ↑2 )
2(2.72)

͜ͷঢ়ଶ͸ೋ‫ݸ‬ͷঢ়ଶͷ௚ੵঢ়ଶʹ͸෼ղͰ͖ͳ͍. ͢ͳΘͪ,

|Ψ =



C1,i |i1 C2,j |j2 (2.73)

i,j=↑,↓

Λຬͨ͢܎਺ {C} ͸ଘࡏ͠ͳ͍. Ұํ, ςϯιϧΛ

1
1
A(↑1 ) = ( √0),A(↓1 ) = (0 √
),
4
4
2
2
1 T
1
) , A(↓2 ) = (− √0)TA(↑2 ) = (0 √4422(2.74)(2.75)

ͱ͢Ε͹, γϯάϨοτঢ়ଶΛߦྻੵ೾ಈؔ਺Ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͭ·Γ, ߦྻͷੵͱ͍͏ૢ࡞
ʹඇ‫ॴہ‬తͳ૬ؔޮՌΛऔΓೖΕΔ͜ͱ͕Ͱ͖͍ͯΔ. ·ͨ, ͜ͷΑ͏ͳߦྻੵͰද͢͜ͱͷ਺ֶతͳར఺͸, Schmidt ෼ղ (෇࿥ A)

|Ψ =



λα |ψα |φα (2.76)αΛ௨ͯ͡, ‫ܥ‬ͷΤϯλϯάϧϝϯτͷߏ଄͕໌շʹͳΔ͜ͱͰ͋Δ. ͜ͷ͜ͱΛҎԼͰઆ໌͢Δ.

Schmidt ෼ղΛ༻͍ͯߦྻੵঢ়ଶΛॻ͖‫͑׵‬Δ [57]. ·ͣ, r − 1 ൪໨ͷαΠτͱ r ൪໨ͷαΠτͷؒͰ Schmidt ෼ղ͢Δ (ਤ 2.8):

|Ψ =

χb


λ[r−1]|ψα[r−1] |ψα[r] .
α(2.77)α=1[r−1]

͜͜Ͱ, r − 1 ൪໨ΑΓࠨͷ೾ಈؔ਺Λ |ψα

[r]

[r−1]

, r ൪໨ΑΓӈͷ೾ಈؔ਺Λ |ψα  ͱͨ͠. λα[r]͸ର֯ߦྻͰ͋Γ, ର֯੒෼͸ඇෛͷ࣮਺Ͱ͋Δ. ͜ͷ |ψα  Λߋʹ r ൪໨ͷαΠτͱ r + 1 ൪

22

《修士論文》

ਤ 2.8

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

Schmidt ෼ղ: ೾ಈؔ਺ |Ψ Λ r − 1 ൪໨ͷαΠτͱ r ൪໨ͷαΠτͷؒͰ Schmidt ෼ղ͢Δ.

ਤ 2.9

ਤ 2.10Schmidt ෼ղ: ςϯιϧ Γ[r] Λಋೖͨ͠.

ߦྻੵঢ়ଶ: ೾ಈؔ਺͕ {Γ} ͱ {λ} ʹΑΓද͞ΕΔ.

໨ͷαΠτͷؒͰ Schmidt ෼ղ͢Δ:|ψα[r]  =

χb 
d


[r]

[r]

[r+1]Γαβ (mr )|mr λβ |ψβ.

(2.78)

β=1 mr =1

ͨͩ͠, r ൪໨ͷ೾ಈؔ਺Λ r ൪໨ͷ Hilbert ۭؒͷ‫ج‬ఈͰల։͠, ͦͷల։܎਺Λ Γ[r] ͱ͍͏ςϯιϧͰදͨ͠ (ਤ 2.9). ͜ͷૢ࡞Λࠨӈͷ೾ಈؔ਺͢΂ͯʹରͯ͠ߦ͑͹, ࠷ऴతͳ೾ಈؔ਺͸|ΨαL βR ={mi },{α},{β}

[1]

[1]

[i]

[i]

[N ]

ΓαL β1 (m1 )λβ1 α2 ʜΓαi βi (mi )λβi αi+1 ʜΓαN βR (mN )|m1 ʜ|mi ʜ|mN (2.79)

ͱͳΓ, ਤͰද͢ͱਤ 2.10 ͱͳΔ. ઌ΄Ͳͷ‫ͱܗ‬ҧ͍, {A} Ͱ͸ͳ͘ {Γ} ͱ {λ} ʹΑΓ೾ಈؔ਺͕ද͞Εͨ. ͜ͷ {λ} ͕ॖ໿ີ౓ߦྻͷ‫ݻ‬༗஋, ͭ·ΓΤϯλϯάϧϝϯτͷ৘ใΛ͓࣋ͬͯΓ,ͦͷ஋͕େ͖͍΄Ͳ೾ಈؔ਺ʹେ͖ͳ‫د‬༩Λ͢Δ.

2.3.2 ‫ൃؒ࣌ڏ‬ల͜ͷߦྻੵঢ়ଶΛ࢖ͬͯ iTEBD ͷΞϧΰϦζϜΛ঺հ͢Δ. iTEBD Ͱ͸ϋϛϧτχΞϯ HͷฒਐରশੑΛԾఆ͢Δ. ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ௕͕͞ n αΠτͷͱ͖͸ n αΠτΛ୯Ґͱ͢Δ. iTEBD ͸

23

《修士論文》

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ແ‫ܥݶ‬Λѻ͏‫ࢉܭ‬ख๏Ͱ͋ΔͨΊ, ༗‫ݶ‬αΠζޮՌΛߟ͑ͳͯ͘΋Α͍. ඞཁͳςϯιϧ͸ n ‫ݸ‬ͷ {Γ} ͱ {λ} Ͱ͋Δ. ͜ΕΒΛ·ͱΊͯ iMPS (inﬁnite matrix product state) ͱ‫Ϳݺ‬. ·ͣ͸iMPS ͷ੒෼ͷ஋ΛϥϯμϜʹ༩͑, ॳ‫ظ‬ঢ়ଶ |Ψ0  Λ࡞Δ. ͦͯ͜͠ͷঢ়ଶΛ‫ൃؒ࣌ڏ‬లͤ͞Δ
͜ͱͰ, ‫ج‬ఈঢ়ଶ |Ψ ΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ:|Ψ = limexp(−Hτ )|Ψ0 

τ →∞ | exp(−Hτ )|Ψ0 |.

(2.80)‫ൃؒ࣌ڏ‬లͤ͞Δͱ͍͏ૢ࡞͸ iMPS ͷߋ৽ʹଞͳΒͳ͍. ૬‫ ͕༻࡞ޓ‬n αΠτʹ‫͖ͱͿٴ‬, ࣌
ؒ dt ͷ‫ൃؒ࣌ڏ‬లԋࢉࢠ

U = exp(−Hdτ ),dτ1(2.81)ͷ࡞༻͸, ླ໦–Trotter ෼ղ [30] Λ༻͍Δͱ؆ུԽ͞ΕΔ. ͜͜Ͱ͸આ໌ͷ౎߹্, ૬‫͕༻࡞ޓ‬࠷ۙ઀Ͱ͋ΔϋϛϧτχΞϯͷΈΛߟ͑, ೋαΠτΛ୯Ґͱ͢Δ. iMPS ͸ Γ[A] , λ[A] , Γ[B] , λ[B]Ͱ͋Δ. ϋϛϧτχΞϯ͕ೋ‫ݸ‬ͷ෦෼

H = HA + H B =

H i,i+1 +even i

H i,i+1(2.82)odd iʹ෼͚ΒΕΔ৔߹Λߟ͑Α͏. ͜ͷͱ͖, Ұ࣍ͷླ໦–Trotter ෼ղ


n
1
1
exp H = lim exp( HA ) exp( HB )n→∞nn

(2.83)

Λ༻͍ͯ, iMPS ʹ UA = exp(−HA dτ ) ͱ UB = exp(−HB dτ ) Λॱʹ࡞༻ͤ͞Δ (ਤ 2.11). ͜ΕͰ‫ ؒ࣌ڏ‬dτ ͚ͩਐΜͩঢ়ଶ͕ಘΒΕΔ. ߋ৽ͷৄࡉ͸‫ʹޙ‬ड़΂Δ͕, ͜ͷૢ࡞ΛΤωϧΪʔ͕ऩଋ͢Δ·Ͱ‫܁‬Γฦͤ͹, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͕ಘΒΕΔ. ΋ͪΖΜ, iMPS ͷߋ৽ͷࡍʹ, ରশతͳೋ࣍ͷླ
໦–Trotter ෼ղ

n

1
1
1
exp H = lim exp( HA ) exp( HB ) exp( HA )
n→∞
2n
n
2n

(2.84)

Λ༻͍ͯ΋Α͍. ਺஋‫ࢉܭ‬ͷࡍʹ͸, n Λ༗‫ݶ‬ͷ஋ͱ͢Δ. ͦͷͨΊ, Ұ࣍ͷླ໦–Trotter ෼ղͷ‫ࠩޡ‬͸ n1 ఔ౓, ೋ࣍ͷླ໦–Trotter ෼ղͷ‫ࠩޡ‬͸ n12 ఔ౓ʹͳΔ.

iMPS ͷߋ৽ͷৄࡉΛड़΂Δ. ·ͣ, UA Λ࡞༻ͤͨ͞ͱ͖Λߟ͑Δ. ͜ͷͱ͖ͷߋ৽͸࣍ͷ࢛εςοϓΛ౿Ήඞཁ͕͋Δ. ͜ͷखॱΛਤʹ·ͱΊͨͷ͕ਤ 2.12 Ͱ͋Δ.

step1
UA Λ࡞༻ͤ͞Δ. UA ͸ Γ[A] , Γ[B] ͷ෺ཧۭؒͷ଍ʹ࡞༻͢Δ.
step2
Γ[A] , λ[A] , Γ[B] , λ[B] , UA ͷ଍Λॖ໿͠, ςϯιϧ M Λ࡞Δ:
Mαijβ =

d


χb


[A]

[A] [B]

[B]

[A]

λ[B]
αγ Γγδ (k)λδ Γ ζ (l)λζβ Uij;kl .

k,l=1 γ,δ, ,ζ=1࿨͸ॖ໿͞Εͨશͯͷ଍ͷରͯ͠ߦ͏.

step3
24

(2.85)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 2.11

ླ໦–Trotter ෼ղ: શϋϛϧτχΞϯ H ʹΑΔ‫ൃؒ࣌ڏ‬లԋࢉࢠ U Λ, ೋ‫ݸ‬ͷϋϛϧτχΞϯ HA , HB ʹΑΔ‫ൃؒ࣌ڏ‬లԋࢉࢠ UA , UB ʹ෼ղ͢Δ

෺ཧۭؒͱิॿతͳۭؒͷςϯιϧੵΛͱΓ, M Λ dχb × dχb ࣍‫ݩ‬ͷߦྻͱΈͳ͠, ಛҟ஋෼ղΛߦ͏:Mαi;βj =

dχb


[A]

[B]

Mαi;γ Λγδ Mδ;βj .

(2.86)γ,δ=1ߦྻ Λ ͸ର֯੒෼͕ඇෛͷ dχb ࣍‫ݩ‬ͷର֯ߦྻͰ͋Δ. ‫ݩ‬ʑͷߦྻͷେ͖͞ʹ໭ͨ͢Ίʹ, dχb‫ݸ‬ͷಛҟ஋͔Βେ͖͍ಛҟ஋Λ χb ‫͚ͩݸ‬બͿ. ߦྻ Λ ͔ΒͦΕΒͷಛҟ஋ʹରԠ͢Δߦྻ੒෼ΛऔΓग़͠, ͦͷߦྻΛ λ̃[A] ͱ͢Δ. ·ͨ, ͦͷಛҟ஋ʹରԠ͢Δߦ (ྻ) Λ dχb ࣍ߦྻ M [A](M [B] ) ͔ΒऔΓग़͠, ςϯιϧۭؒΛ෺ཧۭؒͱิॿతͳۭؒʹ໭͢. ͜͏ͯ͠ಘΒΕͨςϯιϧΛ X (Y ) ͱ͢Δ.

step4
X ͷࠨ͔Β 1 = λ[B] λ[B]−1 , Y ͷӈ͔Β 1 = λ[B]−1 λ[B] Λ͔͚,λ̃[A] = λ[B]−1 X,

λ̃[B] = Y λ[B]−1(2.87)

ͱ͢Δ͜ͱͰ‫ݩ‬ʑͷ iMPS ͱಉ‫ ͳܕ‬iMPS {Γ̃[A] , λ̃[A] , Γ̃[B] , λ̃[B] } ΛಘΔ.
ɹҎ্ʹΑΓ UA ͕࡞༻ͨ͠ͱ͖ͷ iMPS ͷߋ৽͕ऴΘΔ. ಉ༷ʹ UB ͷߋ৽Λߦ͏. ·ͨ, ࣍ۙ઀૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔϋϛϧτχΞϯΛѻ͏ͱ͖͸ࡾαΠτͱ୯Ґͱ͢Δ͕, iMPS ͷߋ৽ͷखॱ͸શ͘ಉ͡Ͱ͋Δ.

2.3.3 ࣮࣌ؒൃల
‫ൃؒ࣌ڏ‬లʹΑΓ‫ج‬ఈঢ়ଶ |Ψ(0) ͕‫ͨͬ·ٻ‬. ॳ‫ظ‬ঢ়ଶΛͦͷ‫ج‬ఈঢ়ଶͱ͠, ࣮࣌ؒํ޲ͷ࣌ؒൃలΛߦ͏. ࣌ࠁ t Ͱͷ೾ಈؔ਺͸|Ψ(t) = exp(−iHt)|Ψ(0)
25(2.88)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 2.12

iMPS ͷߋ৽: ‫ൃؒ࣌ڏ‬లԋࢉࢠΛ࡞༻ͤͨ͞‫ޙ‬ͷ iMPS ͷ‫ݩ͕ܗ‬ͷ iMPS ͷ‫ͱܗ‬ಉ͡ʹͳΔΑ͏ʹม‫͢ܗ‬Δ.

Ͱ༩͑ΒΕΔ. ͜ͷঢ়ଶΛ‫ٻ‬ΊΔͨΊʹ͸, ‫ൃؒ࣌ڏ‬లͷͱ͖ͱಉ༷ʹ iMPS Λߋ৽͍͚ͯ͠͹Α͍. ΋ͪΖΜ, ͜ͷϋϛϧτχΞϯ͸࣌ؒʹґଘ͍ͯͯ͠΋Α͘, ࣌ࠁ t Ͱͷ೾ಈؔ਺͸ " t
|Ψ(t) = exp −i
H(t)dt |Ψ(0)

(2.89)

0Ͱ༩͑ΒΕΔ.

2.3.4 ෺ཧྔͷ‫ࢉܭ‬ಘΒΕͨ‫ج‬ఈঢ়ଶͷ೾ಈؔ਺·ͨ͸࣌ؒൃలͨ͠೾ಈؔ਺Λ࢖͍, ༷ʑͳ෺ཧྔΛ‫͢ࢉܭ‬Δ.
΋ͬͱ΋؆୯ͳͷ͕ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ S ͱΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ {ξi }Ͱ, iMPS ͔Β௚ͪʹ෼͔Δ:

S=−

χb


λ2i ln λ2i ,(2.90)i=1

ξi = − ln λ2i .

(2.91)

࣍ʹ, ૬ؔؔ਺Λߟ͑Δ. i ൪໨ͷαΠτʹ͚ͩ࡞༻͢Δԋࢉࢠ O [i] Λ‫͢ࢉܭ‬Δ. ͜Ε͸, Schmidt‫ج‬ఈͷ௚ަੑ͔ΒΨ|O[i] |Ψ =(λα )2 Γα,β Oj,k (Γα,β )∗ (λβ )2
[j]

[i]

[k]

(2.92)

α,β,j,kͱ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ (ਤ 2.13). i ൪໨ͷαΠτʹԋࢉࢠ O [i] ͕͋Γ, ͦΕΛ iMPS ͷςϯιϧ
Ͱ‫ڬ‬ΜͩΑ͏ͳߏ଄Λ͍ͯ͠Δ. ಉ༷ʹ, i ൪໨ͱ j ൪໨ͷαΠτؒͷ૬ؔؔ਺΋ಉ༷ʹ‫͖Ͱࢉܭ‬Δ (ਤ 2.14). ࣮ࡍͷ‫Ͱࢉܭ‬͸, iMPS ͔ΒඞཁͳςϯιϧΛ |i − j| ‫ݸ‬ఔ౓ฒ΂, ͦΕΒͷςϯιϧ
ͷॖ໿Λߦ͏͚ͩͰΑ͍.

26

《修士論文》

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ਤ 2.13i ൪໨͚ͩʹ࡞༻͢Δԋࢉࢠͷ‫ظ‬଴஋.

ਤ 2.14i ൪໨ͱ j ൪໨ͷαΠτؒͷ૬ؔؔ਺.

27

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3 ૬ਤ
2.1 અͰ͸, Kitaev ໛‫઀ۙ࣍ʹܕ‬૬‫( ༻࡞ޓ‬Ϋϥελʔ૬‫ )༻࡞ޓ‬ΛೖΕΔ͜ͱͰ, Majorana θϩϞʔυͷ਺Λม͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ͜ͱΛ‫ͨݟ‬. ͜ͷষͰ͸, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧʹ஫໨͠, ҰൠԽ͞ΕͨΫϥελʔ໛‫ܕ‬

HGC =

N


y
y
z
z
x
+ J Y Y σiy σi+1
+ J Y ZY σiy σi+1
σi+2)(−J XZX σix σi+1
σi+2

(3.1)

i=1

ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶʹؔ͢Δ૬ਤΛௐ΂Δ. 3.1 અͰ, प‫ڥظ‬ք৚݅ͷͱ͖ͷΤωϧΪʔ෼ࢄ͔ΒΪϟοϓ
Ϩεྭ‫͕ى‬ଘࡏ͢ΔྖҬΛܾఆ͠, 3.2 અͰ, ͦͷྖҬͰ෼͔ͨΕͨྖҬ (૬) ͰτϙϩδΧϧෆมྔΛ‫͢ࢉܭ‬Δ. 3.3 અͰ͸, ֤૬Λடংม਺ͱΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͰಛ௃͚ͮΔ.

3.1 ΤωϧΪʔ෼ࢄ
Lieb–Schultz–Mattis [55] ͷํ๏ʹΑΓ, Ұൠͷࣗ༝ϑΣϧϛΦϯ͸ର֯Խ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͨ.
͜͜Ͱ͸‫͕ܥ‬Ұ༷, ͢ͳΘͪ݁߹ఆ਺͕αΠτʹґΒͣʹҰఆͷ৔߹Λߟ͑, प‫ظ‬త‫ڥ‬ք৚݅ͷԼͰ Fourier ม‫ ͱ׵‬Bogoliubov ม‫׵‬Λ༻͍ͯΤωϧΪʔ෼ࢄΛܾఆ͢Δ.
Ϋϥελʔ໛‫ ͱܕ‬XY ໛‫ܕ‬Λಉ࣌ʹѻ͏ͨΊʹ, ࣍ͷҰൠతͳϋϛϧτχΞϯΛߟ͑Δ:

H=

N


y
y
x
z
x
z
(−hσiz + J XX σix σi+1
− J XZX σix σi+1
σi+2
+ J Y Y σiy σi+1
+ J Y ZY σiy σi+1
σi+2). (3.2)i=1प‫ظ‬త‫ڥ‬ք৚݅Λ՝͠, ͜ͷϋϛϧτχΞϯʹ Jordan–Wigner ม‫׵‬Λࢪͨ͠‫ޙ‬, Fourier ม‫͢׵‬
Δͱ

H=2

 

k (c†k ck + c†−k c−k ) + iδk (c†k c†−k + ck c−k )


(3.3)

0≤k≤π

ͱͳΔ. ͨͩ͠

k = (J XZX − J Y ZY ) cos 2k + (J XX + J Y Y ) cos k − h,(3.4)

δk = (J XZX + J Y ZY ) sin 2k + (J XX − J Y Y ) sin k(3.5)

Ͱ͋Δ. ͜ͷ‫ܗ‬ͷϋϛϧτχΞϯ͸ Bogoliubov ม‫ʹ׵‬ΑΓର֯ԽͰ͖Δ. ͢ͳΘͪθkθkck − i sin c†−k ,22†{ηk , ηk } = δkk ,ηk = costan θk = −

δk
k

28

(3.6)
(3.7)
(3.8)

《修士論文》

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Λ༻͍ͯϋϛϧτχΞϯΛ



H=

†
Δk (ηk† ηk + η−kη−k ),

(3.9)

0≤k≤π

#
Δk = 2 2k + δk2(3.10)

ͷΑ͏ʹର֯ߦྻͰද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ (෇࿥ E). ‫ج‬ఈঢ়ଶ |GS ͸ Bogoliubov ਅۭηk |GS = 0,∀k(3.11)†

Ͱ༩͑ΒΕ, ྭ‫ى‬ঢ়ଶ͸‫ج‬ఈঢ়ଶʹ Bogoliubov ४ཻࢠ (Ϙΰϩϯ) ηk ΛՃ͑ͨ΋ͷͰ͋Δ. ͜ͷ

Δk ͕ΤωϧΪʔΪϟοϓʹରԠ͠, Δk = 0 ͱͳΔ k ͕ଘࡏ͢Δͱ͖, ‫ܥ‬ͷྭ‫ى‬͸ΪϟοϓϨε
ʹͳΔ. ҎԼʹ, ࣜ (3.2) ͷ͋ΔύϥϝʔλྖҬʹ͓͍ͯ, ΪϟοϓϨεͳ఺Λ‫ٻ‬ΊΔํ๏Λઆ໌͢Δ.
ྫ̍: XY ໛‫ܕ‬

HXY =

N


y
x
(σix σi+1+ J Y Y σiy σi+1)(3.12)i=1ͷྭ‫͕ى‬ΪϟοϓϨεʹͳΔ৚݅Λ‫ٻ‬ΊΑ͏. ͜Ε͸ࣜ (3.2) Ͱ h = 0, J XX = 1, J XZX =0, J Y ZY = 0 ͷ৔߹ʹରԠ͢Δ. ͜ͷͱ͖,k = (1 + J Y Y ) cos k,(3.13)

δk = (1 − J(3.14)

YY) sin kͰ͋ΔͷͰ

1. k = 0, π ͷͱ͖δk = 0 ͳͷͰ, Δk = 0 ͱͳΔͷ͸ J Y Y = −1
2. k = π2 ͷͱ͖k = 0 ͳͷͰ, Δk = 0 ͱͳΔͷ͸ J Y Y = 1
3. k = 0, π2 , π ͷͱ͖Δk = 0 ͱͳΔ k ͸ଘࡏ͠ͳ͍.
Αͬͯ J Y Y = ±1 ͷͱ͖ͷΈྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ͸ΪϟοϓϨε (ઢ‫ܗ‬෼ࢄ) ʹͳΔ.
ྫ 2: ҰൠԽ͞ΕͨΫϥελʔ໛‫ܕ‬

HGC =

N


y
y
z
x
z
(−J XZX σix σi+1
σi+2
+ J Y Y σiy σi+1
+ J Y ZY σiy σi+1
σi+2)(3.15)i=1ͷྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ͕ΪϟοϓϨεʹͳΔ৚݅Λ‫ٻ‬ΊΑ͏. ͜Ε͸ࣜ (3.2) Ͱ h = 0, J XX = 0 ͷ৔߹ʹରԠ͢Δ. ྫ̍ͱಉ༷ͷํ๏Λ࢖͏. J XZX = 1 ͷͱ͖, ྭ‫͕ى‬ΪϟοϓϨεʹͳΔύϥϝʔλྖҬΛਤࣔ͢Δͱਤ 3.1 ͷΑ͏ʹͳΔ. ಛʹ, (a) J Y Y /J XZX = 0, J Y ZY /J XZX = 1 ͱ (b)J Y Y /J XZX = −1, J Y ZY /J XZX = 0 ͷྟք఺ͰͷΤωϧΪʔ෼ࢄΛਤ 3.2 ʹࣔ͢. ΤωϧΪʔ͕θϩͷ೾਺ͷपΓͰΤωϧΪʔ෼ࢄ͸ઢ‫͋Ͱܗ‬Δ.

29

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 3.1

ҰൠԽ͞ΕͨΫϥελʔ໛‫( ܕ‬3.15) ͷ૬ਤ: ‫ۂ‬ઢ্Ͱྭ‫͕ى‬ΪϟοϓϨεʹͳΔ. ֤૬͸ 3.3 અͰ‫͢ࢉܭ‬ΔடংύϥϝʔλΛ༻͍ܾͯఆͨ͠. C ͸Ϋϥελʔ૬, C∗ ͸૒ରͳΫϥελʔ૬, AF ͸൓‫࣓ڧ‬ੑ૬, F ͸‫࣓ڧ‬ੑ૬, P ͸ύϥ૬Λද͍ͯ͠Δ. ‫ހׅ‬ͷதͷΞϧϑΝ
ϕοτ͸εϐϯ͕ଗ͏޲͖Λද͍ͯ͠Δ.

3.2 ٖεϐϯͱτϙϩδΧϧෆมྔ
Fourier ม‫ͨ͠׵‬ϋϛϧτχΞϯ͸ࣜ (3.3) Ͱ༩͑ΒΕΔ͕, ͜ͷ‫ܗ‬͸ Bogoliubov–de GennesϋϛϧτχΞϯ HBdG (k) Ͱ͋Δ:


HBdG (k) =

k
−iδk

iδk
−k


.

(3.16)

ͨͩ͠k = (J XZX − J Y ZY ) cos 2k + (J XX + J Y Y ) cos k − h,(3.17)

δk = (J XZX + J Y ZY ) sin 2k + (J XX − J Y Y ) sin k(3.18)

Ͱ͋Δ. ͜ͷ৔߹, ࣌ؒ൓సରশੑ͸ഁΕ͍ͯͳ͍.
ϋϛϧτχΞϯ (3.16) ʹରͯ͠τϙϩδΧϧෆมྔΛఆٛ͠Α͏. Anderson [58] ͷٖεϐϯ(pseudospin) d(k)d(k) = k êz + δk êy(3.19)HBdG (k) = d(k) · τ(3.20)

Λ༻͍Δͱ, ϋϛϧτχΞϯ͸

30

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ਤ 3.2

ྟք఺ͰͷΤωϧΪʔ෼ࢄ: (a) ͸ J Y Y /J XZX = 0, J Y ZY /J XZX = 1, (b) ͸

J Y Y /J XZX = −1, J Y ZY /J XZX = 0 ͰͷΤωϧΪʔ෼ࢄΛද͍ͯ͠Δ.

ͷΑ͏ʹॻ͚Δ. ͜͜Ͱ, êy , êz ͸ y, z ํ޲ͷ୯ҐϕΫτϧ, τ ͸ೆ෦ۭؒʹ࡞༻͢Δ Pauli ߦྻ
Ͱ͋Δ. τϙϩδΧϧෆมྔͷఆٛʹ͸, Anderson ͷٖεϐϯΛ‫֨ن‬Խͨ͠ϕΫτϧd̂(k) =d(k)= cos θk êz + sin θk êy|d(k)|(3.21)

Λ༻͍Δ. ೾਺ k ͸ Brillouin κʔϯ (ԁ) ͷ஋Λ࣋ͪ, d̂(k) ͸ yz ฏ໘಺ͷ୯Ґԁप্ʹ஋Λ࣋ͭ. ͢ͳΘͪ, ԁ͔Βԁ΁ͷࣸ૾Ͱ͋Δ. τϙϩδΧϧෆมྔ͸͜ͷࣸ૾ͷ‫ج‬ຊ‫͋Ͱ܈‬Δ‫͖ͭר‬
͖਺ W

"
W =

dθk
B.Z. 2π(3.22)

ͱͳΔ. ‫ͱ਺͖͖ͭר‬͸, ೾਺ k Λ Brillouin κʔϯͷ୺͔Β୺·ͰมԽͤ͞Δؒʹ d(k) ͕ yzฏ໘ͷ୯Ґԁपʹ‫͖ͭ͘ר‬ճ਺Ͱ͋Γ, ੔਺஋Ͱ͋Δ. ΤωϧΪʔΪϟοϓ͕θϩ, ͢ͳΘͪk = δk = 0 ͷͱ͖, ‫਺͖͖ͭר‬͸ఆٛͰ͖ͳ͍.
‫Ͱ਺͖͖ͭר‬૬Λಛ௃͚ͮΑ͏. ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλΛมԽͤ͞, Ұ౓ΤωϧΪʔΪϟοϓ͕ดͯ͡ҟͳΔ૬ʹҠΔͱ͖ͷΈ, ‫਺͖͖ͭר‬͸มԽ͠͏Δ. ैͬͯ, ૬ਤͷ֤ྖҬʹ͓͍ͯ‫͖͖ͭר‬਺͸ҰఆͰ͋Δ. ͋Δ૬Ͱͷ‫਺͖͖ͭר‬͸, ͦͷ૬ʹଘࡏ͢Δ Majorana θϩϞʔυͷ਺ͱରԠ͕
͋Δ [59]. ྫͱͯ͠ਤ 3.1 ͷ֤ྖҬͰ‫਺͖͖ͭר‬Λ‫ͯ͠ࢉܭ‬ΈΑ͏. yz ฏ໘಺ͷٖεϐϯͷ޲͖31

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ਤ 3.3‫਺͖͖ͭר‬: ੨৭ͷઢ͕ k , ੺৭ͷઢ͕ δk ͷ஋Ͱ͋Δ. ٖεϐϯͷ޲͖Λ໼ҹͰࣔͨ͠. ‫ ਺͖͖ͭר‬W ͸ٖεϐϯͷઌ୺͕୯ҐԁपΛपΔճ਺Ͱ͋Δ. ਤ͸ͦΕͧΕਤ 3.1 ͷ (a)J Y Y /J XZX = 0, J Y ZY /J XZX = 0 (Ϋϥελʔ૬), (b)JJ Y Y /J XZX =−2.0, J Y ZY /J XZX = 0 (‫࣓ڧ‬ੑ૬), (c)J Y Y /J XZX = −1, J Y ZY /J XZX = −1 (ύϥ૬) ͱ͍͏఺ʹରԠ͍ͯ͠Δ.

Λਤ 3.3 ͷࠨଆʹද͢. ೾਺ k Λ −π ͔Β π ·ͰมԽͤͨ͞ͱ͖ʹ, ٖεϐϯͷ޲͖͕ͲͷΑ͏ʹมԽ͢Δ͔Λਤ 3.3 ͷӈଆʹද͢. (a) ͸ೋճ, (b) ͸Ұճ‫͖͖ͭר‬, (c) ͸‫ͱ͍͜ͳ͍͍͖ͯͭר‬
͕෼͔Δ.

32

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3.3 Τϯλϯάϧϝϯτͱடংύϥϝʔλ3.1 અͰ͸ྭ‫ى‬ΤωϧΪʔ͕ΪϟοϓϨεʹͳΔύϥϝʔλྖҬΛ‫ۂ‬ઢͰࣔͨ͠. ‫ۂ‬ઢͰִͨΕ֤ͨྖҬ͸͋ΔடংύϥϝʔλͰಛ௃෇͚ΒΕΔ૬Ͱ͋Δ. ҰൠԽ͞ΕͨΫϥελʔ໛‫ܕ‬

HGC =

N


y
y
z
x
z
(−J XZX σix σi+1
σi+2
+ J Y Y σiy σi+1
+ J Y ZY σiy σi+1
σi+2)(3.23)i=1ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶͷ૬ਤΛਤ 3.4 ʹࣔ͢ (J XZX = 1). ͜ͷ૬ਤͷ֤ྖҬΛௐ΂Α͏. ͦͷͨΊʹ, ‫ີݫ‬ର֯Խͱ iTEBD ͷํ๏Λ༻͍Δ. ྫ͑͹, ਤ 3.4 ͷ੺৭ͷഁઢͷྖҬ (J Y Y /J XZX ∈ [−1.5, 0],

J Y ZY /J XZX = 0.5) ͰடংύϥϝʔλΛ‫͢ࢉܭ‬Δ. Ϙϯυ࣍‫ ݩ‬χb Λ 60 ͱͯ͠ετϦϯά૬ؔؔ਺ͱೋεϐϯ૬ؔؔ਺⎛OXZX = lim (−1)LL→∞

σ1x σ2y ⎝

L−2


⎞
y
x
σjz ⎠ σL−1
σL

,(3.24)j=3x
OXX = lim σ1x σL
,
L→∞
y

OY Y = lim σ1y σL
L→∞(3.25)(3.26)

Λ‫͢ࢉܭ‬Δ. ͦͷ݁ՌΛਤ 3.5 ʹࣔ͢. ྟք఺Λ‫ʹڥ‬டংύϥϝʔλ͕༗‫ݶ‬ͷ஋ʹͳΓ, ֤૬Λಛ௃෇͚͍ͯΔ͜ͱ͕෼͔Δ. ͜͜Ͱ, ࣮ࡍͷடংύϥϝʔλͷ‫Ͱࢉܭ‬͸ L = 200 ͱ͕ͨ͠, े෼ʹऩଋ͍ͯ͠Δ͜ͱ͸֬ೝͨ͠.
͜ͷ૬ਤΛΤϯλϯάϧϝϯτͷ‫͔఺؍‬Β‫ͯݟ‬ΈΑ͏. Τϯλϯάϧϝϯτͷ‫ʹࢉܭ‬͸‫ີݫ‬ର֯Խͷํ๏Λ༻͍, ։์୺৚݅Λ༻͍ͨ. ·ͣ, ਤ 3.4 ͷ੨৭ͷഁઢͷྖҬ্ͰύϥϝʔλΛมԽͤ͞Δ. J Y Y /J XZX = 0, J Y ZY /J XZX = −0.5 ͷͱ͖, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґ͸࢛ॏॖୀ͍ͯ͠Δ. J Y Y /J XZX Λ 0 ͔Βେ͖͍ͯͬͨ͘͠ͱ͖, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫ
τϧͷॖୀ਺͸ J Y Y /J XZX = 0.6 ෇ۙͰมԽ͢Δ (ਤ 3.6). ૬ਤΛ‫ݟ‬Δͱ, ͦͷ఺ͷۙ͘ʹྟք
఺͕͋Δ. ͭ·Γ, ྟք఺ͰΤωϧΪʔΪϟοϓͱಉ༷ʹΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷΪϟοϓ͕ด͡Δ. ͜ͷྟք఺ͰΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷॖୀߏ଄͸ͳ͘ͳΓ, ॖୀ਺͕มԽ͢
Δ. ͜ͷྟք఺Λ‫ʹڥ‬, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸Ϋϥελʔ૬ (C ૬) ͔Βύϥ૬ (P ૬) ʹมԽ͢Δ. ͜ͷύϥ૬Ͱ͸ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґ͸ॖୀ͍ͯ͠ͳ͍. ߋʹ J Y Y /J XZX Λେ͖͘
͢Δͱ J Y Y /J XZX = 1.5 ෇ۙͰ࠶ͼΤωϧΪʔΪϟοϓ͕ด͡, ४Ґͷ૊Έ‫͍͖ͯى͕͑׵‬Δ.
ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґʹೋॏॖୀͷߏ଄͕‫ݱ‬ΕΔ͕, ͜Ε͸ (y ํ޲ͷ) ൓‫ڧ‬࣓ੑ૬ (AF(y) ૬) Ͱ͋Δ.
࣍ʹ, ਤ 3.4 ͷࢵ৭ͷ఺ઢʹ஫໨͢Δ. Ϋϥελʔ૬ͱ૒ରͳΫϥελʔ૬ (C∗ ) ʹ͓͍ͯ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґ͸‫࢛ʹڞ‬ॏॖୀ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δ (ਤ 3.7). ͜ΕΒͷ૬Ͱॖୀ਺͸ಉ͡Ͱ͋Δ͕, ྟք఺ J Y ZY /J XZX = 1 ͰҰ౓ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷΪϟο
ϓ͕θϩʹͳΓ, ४Ґͷ࠶ߏங͕ߦΘΕΔ.

33

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 3.4

ҰൠԽ͞ΕͨΫϥελʔ໛‫( ܕ‬3.23) ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶͷ૬ਤ: J XZX = 1 ͱ‫ݻ‬ఆͨ͠. C ͸Ϋϥελʔ૬, C∗ ͸૒ରͳΫϥελʔ૬, AF ͸൓‫࣓ڧ‬ੑ૬, F ͸‫࣓ڧ‬ੑ૬, P ͸ύϥ૬Λද͍ͯ͠Δ. ‫ހׅ‬ͷதͷΞϧϑΝϕοτ͸εϐϯ͕ଗ͏޲͖Λද͍ͯ͠Δ. ੺৭ͷഁઢ্Ͱ iTEBDͷํ๏Ͱ૬ؔؔ਺Λ‫( ͨ͠ࢉܭ‬ਤ 3.5). ੨৭ͷഁઢͱࢵ৭ͷ఺ઢ্Ͱ‫ີݫ‬ର֯Խͷํ๏ͰΤϯ

Order parametersλϯάϧϝϯτΛௐ΂ͨ (ਤ 3.6, 3.7).

1

OXZX
OXX
OYY

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

JYY/JXZX

ਤ 3.5

ட ং ύ ϥ ϝ ʔ λ: iTEBD ͷ ํ ๏ Λ ༻ ͍, ਤ 3.4 ͷ ੺ ৭ ͷ ഁ ઢ (J Y Y /J XZX ∈[−1.5, 0], J Y ZY /J XZX = 0.5) ͷ্Ͱ༷ʑͳடংύϥϝʔλΛ‫( ͨ͠ࢉܭ‬χb = 60). ੺৭ͷ఺͕ετϦϯά૬ؔؔ਺ OXZX , ੨৭ͷ఺͕ X ํ޲ͷ‫࣓ڧ‬ੑடংύϥϝʔλ OXX , ࠇ৭ͷ఺͕ Y ํ޲ͷ‫࣓ڧ‬ੑடংύϥϝʔλ OY Y Λද͢.

34

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

5

ξ1
ξ2
ξ3
ξ4

ξi

4
3
2
1
0
0

0.5

1

1.5

2

JYY/JXZX

ਤ 3.6ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ: ਤ 3.4 ͷ੨৭ͷഁઢ্Ͱ‫ࢉܭ‬Λߦͬͨ. ྟք఺Λ‫ʹڥ‬ॖୀ਺͕มԽ͍ͯ͠Δ. (N =503 ͷ‫ີݫ‬ର֯Խ)݁‫ہ‬, ֤૬͸ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґͷॖୀ਺Ͱಛ௃͚ͮΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ͜ͱ
͕෼͔ͬͨ. ͭ·Γ, Ϋϥελʔ૬Ͱ͸࢛ॏॖୀ, ‫࣓ڧ‬ੑ૬ͱ൓‫࣓ڧ‬ੑ૬Ͱ͸ೋॏॖୀ, ύϥ૬Ͱ͸ॖୀ͠ͳ͍. ֤૬Ͱͦͷॖୀߏ଄͸มΘΒͣ, ྟք఺ʹ͓͍ͯॖୀߏ଄͕ͳ͘ͳΓ, ४Ґͷ૊Έ‫͜ى͕͑׵‬Δ. ͔͠͠, ॖୀߏ଄͚ͩͰ͸‫࣓ڧ‬ੑ૬ͱ൓‫࣓ڧ‬ੑ૬Λ۠ผͰ͖ͣ, ߋʹ͸Ͳͷ޲͖ʹεϐϯ͕ଗ͍ͬͯΔ͔͢Β෼͔Βͳ͍. ैͬͯ, ૬ؔؔ਺ͷ‫ࢉܭ‬΋ඞཁͰ͋Δ.
ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґͷॖୀ਺͸‫ج‬ఈঢ়ଶͷॖୀ਺ͱؔ܎͕͋Δ. ͢ͳΘͪ, ֤૬ʹ͓͍ͯ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґͷॖୀ਺͸‫ج‬ఈঢ়ଶͷॖୀ਺ͱҰக
͢Δ. ͜ͷ͜ͱ͸ਤ 2.2, 2.3, 2.5 ͷ૬‫༻࡞ޓ‬ͷύλʔϯ͔ΒཧղͰ͖Δ. ྫ͑͹, Ϋϥελʔ૬‫ޓ‬࡞༻ J XZX ͕ࢧ഑తͰ͋Δͱ͖Λߟ͑Δ. ։์୺৚݅ͷͱ͖, ‫ܥ‬ͷ୺ʹ࢛‫ݸ‬ͷ‫ͨ͠ࡏہ‬θϩϞʔυ͕‫ݱ‬Ε, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͕࢛ॏʹॖୀ͢Δ (ਤ 2.3). ‫ܥ‬Λ෦෼‫ ܥ‬A ͱ B ʹ෼ׂ͢Δͱ, ͦͷ‫ڥ‬քʹ͸‫ہ‬ࡏͨ͠θϩϞʔυ͕࢛‫ݸ‬ଘࡏ͢Δ. ͜Ε͕ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґͷॖୀʹ‫ݱ‬Ε͍ͯΔ.
ߋʹ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґͷॖୀ਺͸‫ͱ਺͖͖ͭר‬΋ؔ܎͕͋Δ. ਤ 3.3
ʹࣔ͢Α͏ʹ, ‫਺͖͖ͭר‬͸, Ϋϥελʔ૬Ͱ͸ 2, ‫࣓ڧ‬ੑ (൓‫࣓ڧ‬ੑ) ૬Ͱ͸ 1, ύϥ૬Ͱ͸ 0 Ͱ
͋Δ. ͭ·Γ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґͷॖୀ਺͸τϙϩδΧϧෆมྔͰ͋Δ‫ר‬͖͖ͭ਺ͱҰக͢Δ.
૬ਤͷྟք఺Λௐ΂Δ. ਤ 3.4 ͷ੨͍௚ઢ (J Y ZY /J XZX = J Y Y /J XZX + 1) ্ͷྖҬͰ͸೾਺ k = 0 Ͱ, ੺͍௚ઢ (J Y ZY = −J Y Y + 1) ্ͷྖҬͰ͸೾਺ k = ±π Ͱ, ԫ৭͍‫ۂ‬ઢ
2

YY

2

J
(J Y Y − (1 − J Y ZY )(1 + J Y ZY ) = 0) ্ͷྖҬͰ͸೾਺ k = arccos 2(1+JY ZY ) ͰΤωϧΪʔΪϟοϓ͕ด͡Δ. ͨͩ͠, (J Y Y /J XZX , J Y ZY /J XZX ) = (0, −1) ͷ఺Ͱ͸೾਺ k = ± π4 , ± 3π
4ͰΤωϧΪʔΪϟοϓ͕ด͡Δ. ͦΕΒͷྟք఺Ͱ͸ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ґଘੑ͸ର਺తʹͳΔ. ಛʹ‫ڵ‬ຯਂ͍ͷ͸ J Y Y /J XZX = 0, J Y ZY /J XZX = 1 ͷྟք఺Ͱ͋Δ. ࣮ࡍʹΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ґଘੑ (ਤ 3.8) Λ‫ݟ‬Δͱ,35

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

6

ξ1
ξ2
ξ3
ξ4
ξ5

5

ξi

4
3
2
1
0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

JYZY/JXZX

ਤ 3.7

(J

YY

/J

Τ ϯ λ ϯ ά ϧ ϝ ϯ τ ε ϖ Ϋ τ ϧ:
XZX

,J

Y ZY

/J

XZX

ਤ 3.4 ͷ ࢵ ৭ ͷ ఺ ઢ ্ Ͱ ‫ ࢉ ܭ‬Λ ߦ ͬ ͨ.

) = (0, 1) ͷྟք఺ͷ྆ଆͰ࢛ॏॖୀ͍ͯ͠Δ. (N =503 ͷ‫ີݫ‬ର֯Խ)ର਺తͳৼΔ෣͍͕‫ݱ‬Ε, ηϯτϥϧνϟʔδ͸ 2 Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δ. ͜ͷ͜ͱ͸, ਤ 3.2(a)ʹࣔ͢Α͏ʹ, ΤωϧΪʔ෼ࢄʹ࢛ຊͷ Ising ෼ࢄ͕͋Δ͜ͱ͔ΒཧղͰ͖Δ (4 × 12 ). ·ͨ,(J Y Y /J XZX = 1, J Y ZY /J XZX = 0) ͷྟք఺͸จ‫[ ݙ‬54] Ͱௐ΂ΒΕ͓ͯΓ, ηϯτϥϧνϟʔδ͸ 32 Ͱ͋Δ. ͜ͷ͜ͱ͸ΤωϧΪʔ෼ࢄʹࡾຊͷ Ising ෼ࢄ͕͋Δ͜ͱ͔ΒཧղͰ͖Δ (3 × 21 ).
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5

SA(Lsub)
2/3log(Lsub)+0.952
0

50

100

150

200

250

Lsub

(J Y Y /J XZX , J Y ZY /J XZX ) = (0, 1) ͷྟք఺ͰͷΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ґଘੑ: ର਺తͳৼΔ෣͍Λ͠, ηϯτϥϧνϟʔδ͸ 2 Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δ.
(N =503, Lsub = 249 ͷ‫ີݫ‬ର֯Խ)
ਤ 3.8

36

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

4 μΠφϛΫε
͜ͷষͰ͸, ҰൠԽ͞ΕͨΫϥελʔ໛‫ܕ‬

HGC =

N


y
y
z
x
z
(−J XZX σix σi+1
σi+2
+ J Y Y σiy σi+1
+ J Y ZY σiy σi+1
σi+2
)

(4.1)

i=1

ͷμΠφϛΫεΛௐ΂Δ. ·ͣ, 4.1 અͰϘΰϩϯΛՃ͑ͨͱ͖ͷ૬ؔؔ਺ͷ‫ࢉܭ‬Λߦ͏. 4.2 અͰ͸૬‫༻࡞ޓ‬Λ༗‫ݶ‬ͷ࣌ؒΛ͔͚ͯมԽͤͨ͞ͱ͖ͷμΠφϛΫεΛௐ΂Δ. ͦͷࡍ, ૬ؔؔ਺ͱΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ෦෼‫ܥ‬ͷ௕͞ґଘੑ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࣌ؒมԽʹ஫໨͢Δ.

4.1 Bogoliubov ४ཻࢠྭ‫ى‬͜Ε·Ͱߟ͖͑ͯͨϋϛϧτχΞϯͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ Bogoliubov ४ཻࢠ (Ϙΰϩϯ) ͷਅۭ, ͭ·Γ, Ұ‫ݸ‬΋Ϙΰϩϯ͕ଘࡏ͠ͳ͍ঢ়ଶͰ͋ͬͨ. ૬ؔؔ਺͸͜ͷਅۭʹؔͯ͠‫ظ‬଴஋ΛͱΔ͜ͱͰ
‫͞ࢉܭ‬Ε͍ͯͨ. ྭ‫ى‬ঢ়ଶ͸͜ͷਅۭʹϘΰϩϯΛՃ͑ͨঢ়ଶͰ͋Δ. ૬‫༻࡞ޓ‬Λ࣌ؒతʹมԽͤͨ͞ͱ͖ͷμΠφϛΫεͰ͸, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͔Βྭ‫ى‬ঢ়ଶͷભҠ͕‫͜ى‬ΔͷͰ, ௿ΤωϧΪʔͷϘΰϩϯྭ‫ى‬Λߟ͑ͳͯ͘͸ͳΒͳ͍. ͜͜Ͱ͸Ұ‫ݸ‬ͷϘΰϩϯ͕ྭ‫͞ى‬Εͨঢ়ଶʹ͓͚Δ༷ʑͳ૬ؔ
ؔ਺ͷ‫ํࢉܭ‬๏Λ঺հ͢Δ. ঘ, ෳ਺ͷϘΰϩϯྭ‫ʹى‬ର͢Δ֦ு͸༰қʹͰ͖Δ.
‫ٻ‬Ί͍ͨ෺ཧྔͷԋࢉࢠ͕ 2L ‫ݸ‬ͷϑΣϧϛΦϯ৔ͷੵ͔ΒͳͬͯΔͱ͢Δ. ͜ͷԋࢉࢠͷ‫ج‬ఈঢ়ଶͰͷ‫ظ‬଴஋

P2L = Ψ1 Ψ2 ʜʜΨ2L−1 Ψ2L (4.2)

͸ Pfaﬃan Ͱ༩͑ΒΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ. ͜ͷ৔߹ͷ Pfaﬃan ͸ೋ‫ݸ‬ͷ৔ͷԋࢉࢠͷॖ໿Pij = Ψi Ψj 

(4.3)

͕੒෼Ͱ, ࣍ͷΑ͏ͳࡾ֯ͷ‫Ͱܗ‬දࣔ͞ΕΔ:

P2L =



(−1)π Pπ(1)π(2) Pπ(3)π(4) ʜʜPπ(2L−1)π(2L)

(4.4)

<
π∈S2L

!
! P1,2
!
!
!
!
!
!
!
!
= !!
!
!
!
!
!
!
!
!

P1,3
P2,3

. . . P1,L... ...
..
.
..

.

P1,L+1
P2,L+1..
.
..
.
PL,L+1

P1,L+2
...

...
...

...

...

...
PL,L+2...
...

PL+1,L+2
..

.

P1,2L
P2,2L
..
.
..
.
PL,2L
..
.
..
.
P2L−1,2L

37

!
!
!
!
!
!
!
!
!
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(4.5)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）<
͜͜Ͱ, S2L
͸ 2L ࣍ͷରশ‫ ܈‬S2L ͷཁૉ͔ΒͳΔ, ࣍ͷΑ͏ʹॱং͚ͮΒΕͨ෦෼ू߹Ͱ͋Δ:

π(2i − 1) < π(2i) ͔ͭ π(2i − 1) < π(2j − 1),

1 ≤ i < j ≤ L.

(4.6)

͜ͷ Pfaﬃan ͷॏཁͳੑ࣭ʹ࣍ͷ΋ͷ͕͋Δ: (4.5) ͷࡾ֯ͷ෦෼Λඇର֯੒෼ʹ࣋ͬͨ 2L ࣍ͷަ୅ߦྻ A ʹର͠

det A = (P2L )2(4.7)

͕੒Γཱͭ. ͜ͷࣄ࣮͸਺஋‫ࢉܭ‬ͷࡍʹ΋༗༻Ͱ͋Δ.
Ͱ͸࣮ࡍʹ μ ൪໨ͷϘΰϩϯ ημ ΛҰ‫ݸ‬Ճ͑ͨঢ়ଶ

|k = ημ† |0(μ = 1, 2, . . . , N )(4.8)

Ͱͷ૬ؔؔ਺Λ‫ͯ͠ࢉܭ‬ΈΑ͏. ԋࢉࢠ͸ A ͱ B ͔ΒͳΓ, ߹‫ݸ਺ۮܭ‬ͷੵͱͳ͍ͬͯΔ (2.2.2
અ). ྫ͑͹, Ϋϥελʔ૬ͷετϦϯά૬ؔؔ਺͸ (2L − 2) ‫ݸ‬ͷԋࢉࢠ A, B ͷੵͰηk B1 B2 A3 B3 ʜʜAL−2 BL−2 AL−1 AL ηk† (4.9)

ͱॻ͚Δ. ͜ΕΛ (2L − 2) ࣍ͷަ୅ߦྻʹ͢Δ. ͦͷͨΊʹඞཁͳॖ໿͸

Ai Aj  = −Bi Bj  = δij ,Ai Bj  = −Nφiν ψjν ,(4.10)(4.11)

ν=1

Bi Aj  =Nψiν φjν ,(4.12)

ν=1

ημ Ai  = Ai ημ†  = φiμ ,(4.13)

ημ Bi  = −Bi ημ†  = −ψiμ ,(4.14)

ημ ην†  = δμν(4.15)

Ͱ͋Δ. η Λ‫ؚ‬Ήॖ໿͕Ϙΰϩϯྭ‫ʹى‬ΑΔิਖ਼߲Ͱ͋Δ. ຊষͰ͸, ։์୺৚݅Λ༻͍, ෺ཧྔͷ௕͞ґଘੑΛ‫͢ࢉܭ‬Δࡍ, ਤ 4.1 ͷΑ͏ʹத৺͔ΒଌΔ. ϋϛϧτχΞϯ (4.1) ͷύϥϝʔλΛ(J Y Y /J XZX , J Y ZY /J XZX ) = (0, 0.5) ͱͨ͠ͱ͖, ‫ج‬ఈঢ়ଶͱྭ‫ى‬ঢ়ଶʹରͯ͠ετϦϯά૬ؔؔ਺Λ‫( ͨ͠ࢉܭ‬ਤ 4.2, ਤ 4.3). ͜ͷύϥϝʔλʹ͓͚Δ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸Ϋϥελʔ૬ʹଐ͠, ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸࢛ॏॖୀ͢Δ͕, ͜Ε͸Ұ൪໨ͱೋ൪໨ͷϘΰϩϯ (η1 , η2 ) ͷΤωϧΪʔ͕ 0 Ͱ͋Δ͜ͱ
†

†

† †

ʹ༝དྷ͢Δ. ͢ͳΘͪ, ࢛‫ݸ‬ͷঢ়ଶ |0, η1 |0, η2 |0, η1 η2 |0 ͸‫ج‬ఈঢ়ଶͰ͋Δ. ΋ͪΖΜ, ͜ͷθϩΤωϧΪʔͷϘΰϩϯΛྭ‫͖ͱͨͤ͞ى‬ͷετϦϯά૬ؔؔ਺͸, Bogoliubov ਅۭͷ΋ͷͱҰக͢Δ (ਤ 4.3 ͷ੺ઢ). ਤ 4.3 ʹࡾ൪໨ (੨ઢ) ͷϘΰϩϯ͕ଘࡏ͢Δ৔߹ͷετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑΛࣔ͢. ༗‫ݶ‬ͷΤωϧΪʔΛ࣋ͬͨϘΰϩϯΛՃ͑ͨͱ͖, ετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ‫ڑ‬཭ґଘੑʹ࢛αΠτΛप‫ߏͨ͠ͱظ‬଄͕‫ݱ‬ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δ. ͜Ε͸, ༗‫ݶ‬ͷ೾਺Λ࣋ͬͨϘΰϩϯʹΑΓ, ඇ‫ॴہ‬తͳ෺ཧྔʹप‫ظ‬ੑ͕‫ݱ‬Εͨ͜ͱΛࣔࠦ͢Δ.
࣮ࡍʹ, प‫ظ‬త‫ڥ‬ք৚݅ͷԼͰͷΤωϧΪʔ෼ࢄΛ‫ͯݟ‬ΈΑ͏. ਤ 4.4 ʹ, ϋϛϧτχΞϯ (4.1)ͷύϥϝʔλ͕ (J Y Y /J XZX , J Y ZY /J XZX ) = (0, 0.5) ͷͱ͖ͷΤωϧΪʔ෼ࢄΛࣔ͢. Τωϧ38

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 4.1

෺ཧྔͷ௕͞ґଘੑͷ‫ํࢉܭ‬๏: ‫ܥ‬ͷத৺͔ΒଌΔ.

1OXZX(L)

1st Bogolon excited state

0
0

10

20

30

40

50

L
ਤ 4.2

(J

YY

Bogoliubov ਅۭʹର͢ΔετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑ: ։์୺৚݅Ͱͷ C ૬/J XZX , J Y ZY /J XZX ) = (0, 0.5) ʹ͓͍ͯ‫ͨ͠ࢉܭ‬. N =101.

1
OXZX(L)

1st Bogolon excited state
3rd Bogolon excited state

0
0

10

20

30

40

50

L
ਤ 4.3
YY

ྭ ‫ ى‬ঢ় ଶ ͷ ε τ Ϧ ϯ ά ૬ ؔ ؔ ਺ ͷ ‫ ཭ ڑ‬ґ ଘ ੑ:
XZX

Y ZY

։์୺৚݅Ͱͷ C ૬

XZX

(J /J
,J
/J
) = (0, 0.5) ʹ͓͍ͯ‫ͨ͠ࢉܭ‬. Ұ൪໨ͷϘΰϩϯ (ΤωϧΪʔθϩ) Λྭ‫ͨͤ͞ى‬ঢ়ଶͷετϦϯά૬ؔؔ਺͸ Bogoliubov ਅۭͷ΋ͷ (ਤ 4.2) ͱҰக͢Δ.
༗‫ݶ‬ͷΤωϧΪʔΛ࣋ͬͨࡾ൪໨ͷϘΰϩϯΛྭ‫ͤ͞ى‬Δͱ, ‫࢛ͯؔ͠ʹ཭ڑ‬ഒप‫ظ‬ͷߏ଄͕‫͑ݟ‬Δ. N =101.

Ϊʔ͕࠷খͱͳΔ೾਺͸ k = 0, ± π2 , ±π Ͱ͋Δ. ͭ·Γ, ͜ΕΒͷ೾਺Λ࣋ͬͨྭ‫ى‬͸, ۭؒతʹ࢛αΠτΛप‫ߏͨ͠ͱظ‬଄Λ͍࣋ͬͯΔ.

4.2 ૬‫༻࡞ޓ‬ε΢Οʔϓ͜ͷઅͰ͸૬‫༻࡞ޓ‬Λ༗‫ݶ‬ͷ࣌ؒΛ͔͚ͯมԽͤ͞, ྟք఺Λ௨աͤͨ͞‫ޙ‬ͷμΠφϛΫεΛ
ௐ΂Δ. ྟք఺ۙ๣Ͱ؇࿨͕࣌ؒେ͖͘ͳΓ, ঢ়ଶ͸அ೤తʹมԽͰ͖ͣ, ྭ‫ى‬ঢ়ଶ͕ੜ੒͞ΕΔ.

39

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 4.4

प‫ظ‬త‫ڥ‬ք৚݅Ͱͷύϥϝʔλ (J Y Y /J XZX , J Y ZY /J XZX ) = (0, 0.5) ʹ͓͚ΔΤ

ωϧΪʔ෼ࢄ: ೾਺ k = 0, ± π2 , ±π ʹ͓͍ͯ࠷খ஋Λ࣋ͭ.

ͦͷ݁Ռ, ऴঢ়ଶʹ͸༗‫ݶ‬ͷ͕ܽؕ‫·ؚ‬ΕΔ. ͦΕΒͷྭ‫͕ى‬ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ, ͦͯ͠ετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ࣌ؒ·ͨ͸‫཭ڑ‬ґଘੑʹ༩͑ΔޮՌΛௐ΂Δ.
͜͜Ͱ͸Ϋϥελʔ૬ (C ૬) ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶΛ࣌ؒґଘͨ͠ϋϛϧτχΞϯͰ࣌ؒൃలͤ͞Δ. ۩ମతʹ͸,

H1 (t) = −J

XZX

N


z
x
σix σi+1
σi+2+ J(t)

i=1

J(t)/J

XZX= 2t/τ,N

yz
σiy σi+1σi+2,(4.16a)i=1t ∈ [0, τ ](4.16b)ͷΑ͏ʹΫϥελʔ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ܎਺Λ༗‫ݶ‬ͷ଎౓ͰมԽͤ͞Δ. τ = 0 ͕ΫΤϯνʹ૬౰͢Δ. ॳ‫ظ‬ঢ়ଶͱͯ͠, ࣌ࠁ t = 0 Ͱͷ Bogoliubov ਅۭΛ༻͍Δ. ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλ͸, C ૬ͱ૒ରͳ
Ϋϥελʔ૬ (C∗ ૬) ͷؒͷྟք఺ (J Y Y /J XZX , J Y ZY /J XZX ) = (0, 1) Λ࣌ࠁ t = 0.5τ ʹ௨ա͢Δ (ਤ 4.5, 4.6). ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ, ͦͯ͠ετϦϯά૬ؔؔ਺Λ‫͠ࢉܭ‬, ε΢Οʔϓ଎౓Λม͑ͨͱ͖ͷͦΕΒͷ࣌ؒ·ͨ͸ۭؒґଘੑͷҧ͍Λௐ΂Δ. ૬‫༻࡞ޓ‬ε΢Οʔϓͷ‫Ͱࢉܭ‬͸ N =101 αΠτͱ͠, ։์୺৚݅Λ༻͍Δ.
·ͣ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࣌ؒൃలΛௐ΂Δ. ࣌ࠁ t

0.5τ ͷͱ͖, ॳ‫ܥʹظ‬ͷ୺ʹ‫ ͍ͨͯ͠ࡏہ‬Majorana ϑΣϧϛΦϯ͸‫ܥ‬ͷ୺ʹ‫͋Ͱ··ͨ͠ࡏہ‬Γ, ैͬͯ, Τϯλϯάϧϝ
ϯτεϖΫτϧͷ࠷௿४Ґ͸࢛ॏʹॖୀ͍ͯ͠Δ (ਤ 4.7). ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλ͕ྟք఺Λ௨ա͢
Δͱ͖, ͜ͷ Majorana ϑΣϧϛΦϯ͸όϧΫͷϞʔυͱ݁߹͠, ‫ܥ‬શମʹ޿͕Γ࢝ΊΔ. ࣌ؒൃలͨ͠ঢ়ଶʹ͸ྟք఺Ͱੜͨ͡ྭ‫ى‬ঢ়ଶ͕༗‫ݶ‬ͷ֬཰Ͱ‫·ؚ‬ΕΔͨΊ, ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫ
τϧ͸ৼಈ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δ.
ྟք఺Ͱੜͨ͡ྭ‫ى‬ঢ়ଶͷͨΊʹ, ෺ཧྔʹۭؒతͳߏ଄͕‫ݱ‬ΕΔ. ྫͱͯ͠, ε΢Οʔϓ͕࣌ؒ 25, 200 ͷͱ͖ͷετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑΛ‫ͯݟ‬ΈΑ͏. ·ͣ, τ = 25 ͷͱ͖, ྟք఺Λ௨աͨ͠‫ޙ‬ͷετϦϯά૬ؔؔ਺Λ‫͢ࢉܭ‬Δ (ਤ 4.8). ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλ͕େ͖͘ͳΔʹै͍, ૒ରͳετϦϯά૬ؔؔ਺͸େ͖ͳ஋Λ࣋ͭ͜ͱ͕෼͔Δ. ͦͷ૬ؔؔ਺͸‫͖΂ͯؔ͠ʹ཭ڑ‬తʹ‫ݮ‬ਰ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δ.

40

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ਤ 4.6
ਤ 4.5

૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλͷ࣌ؒมԽ: ࣌ࠁ
t = 0.5τ ʹ͓͍ͯ, C ૬ͱ C∗ ૬ͷؒͷྟք఺Λ௨ա͢Δ.

ҰൠԽ͞ΕͨΫϥελʔ໛‫( ܕ‬4.16) ͷ૬ਤ: ࠇ৭ͷ໼ҹʹԊͬͯ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλΛε΢Οʔϓͤ͞Δ.

࣍ʹ, τ = 200 ͷͱ͖Λௐ΂Δ (ਤ 4.9). ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλ͕େ͖͘ͳΔʹै͍, ετϦϯά
૬ؔؔ਺͸‫࢛ͯؔ͠ʹ཭ڑ‬ഒप‫ظ‬ͷߏ଄Λ࣋ͭ͜ͱ͕෼͔Δ. ͜ͷೋͭͷ৔߹ͷҧ͍͸ε΢Οʔϓͷ଎͕ͩ͞, ͦͷҧ͍͸ྟք఺ۙ๣Ͱ‫ݦ‬ஶʹͳΔ. ε΢Οʔϓͷ଎͕͞଎͍΄ͲߴΤωϧΪʔྭ‫͕ى‬ଟ͘, ε΢Οʔϓͷ଎͕͞஗͍΄Ͳ௿ΤωϧΪʔྭ‫ى‬ͷΈ͕ࢧ഑తʹͳΔͷͰ, τ = 25 ͷํ͕ΑΓ௿ΤωϧΪʔͷྭ‫͞ىྭ͕ى‬Ε͍ͯΔ. ͱ͜ΖͰ, τ = 200 ͷ৔߹ͷ࢛ഒप‫ߏظ‬଄͸ਤ 4.3 Ͱ‫ݟ‬ΒΕͨ΋ͷͱಉ͡Ͱ͋Δ. ͭ·Γ, ࣌ࠁ τ Ͱͷঢ়ଶ͸௿ΤωϧΪʔͷϘΰϩϯΛՃ͑ͨঢ়ଶʹ͍ۙ͜ͱ͕෼͔Δ. Ұํ, τ = 25 ͷ৔߹΋Ϙΰϩϯ͸ྭ‫͞ى‬Ε͍ͯΔ͕, ε΢Οʔϓ͕଎͍ͨΊʹ,ෳ਺ͷϘΰϩϯ͕ྭ‫͞ى‬Ε, ͸͖ͬΓͱ࢛ͨ͠ഒप‫ߏظ‬଄͕‫ݱ‬Εͳ͍.
Ҏ্ΑΓ, ετϦϯά૬ؔؔ਺ͷप‫ߏظ‬଄͸ϘΰϩϯʹΑΔ΋ͷͩͱ෼͔ͬͨ. ໘ന͍͜ͱʹ,͜ͷप‫ߏظ‬଄͸ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔʹ΋‫ݱ‬ΕΔ. ਤ 4.10 ʹ͋ΔΑ͏ʹ, ε΢Οʔϓ଎౓Λ஗͍ͯ͘͘͠ʹͭΕͯΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ‫཭ڑ‬ґଘੑʹप‫ظ‬తͳߏ଄͕‫ܗ‬੒͞Ε͍ͯΔ. ͜ͷ͜ͱ͸ྭ‫ى‬ঢ়ଶʹ͓͚ΔΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͱετϦϯά૬ؔؔ਺ͷؒͷؔ܎Λࣔࠦ͢Δ.

41

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）(a)-(d) τ = 25, 50, 100, 200 ͷͱ͖ͷΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࣌ؒൃల. ྟք఺Λա͗Δ·Ͱ͸࢛ॏॖୀ͕อͨΕ͍ͯΔ. ྟք఺Λ௨ա͢Δͱॖୀ͕ղ͚, ࣌ؒతʹৼಈ
͢Δ.
ਤ 4.7

t=0.6τ
t=0.8τ
t=τ

0.5

1
OYZY(L)OYZY(L)1

t=0.6τ
t=0.8τ
t=τ

0.5

0
0

10

20

30

40

50
0

L

0

10

20

30

40

50

L

ਤ 4.8

τ = 25 ͷͱ͖ͷ, ࣌ࠁ t Ͱͷ૒ରͳ
τ = 200 ͷͱ͖ͷ, ࣌ࠁ t Ͱͷ૒ରͳετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑͷεφοϓ

ਤ 4.9

γϣοτ: ྟք఺Λ௨ա‫ޙ‬, ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑͷεφοϓ

λ͕େ͖͘ͳΔʹै͍, ૒ରͳετϦϯά૬ؔγϣοτ: ྟք఺Λ௨ա‫ޙ‬, ௕͞ґଘੑʹ࢛ഒؔ਺͸େ͖ͳ஋Λ࣋ͭ. ௕͞ґଘੑʹ͸͖ͬΓप‫ߏظ‬଄͕‫ݱ‬ΕΔ.

ͱ࢛ͨ͠ഒप‫ߏظ‬଄͕‫ݱ‬Εͳ͍.

42

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

4

τ=25
τ=50
τ=100
τ=200

3.5

SA(L)

3
2.5
2
1.5
0

10

20

30

40

50

L

ҟͳΔε΢Οʔϓ଎౓ʹର͢Δऴঢ়ଶ (t = τ ) ͰͷΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔਤ 4.10ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑ: ε΢Οʔϓ଎౓Λ஗͘͢ΔͱΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ‫཭ڑ‬ґଘੑʹ࢛ഒप‫ߏظ‬଄͕‫ݱ‬ΕΔ.

ε΢ΟʔϓதͷΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ஋Λਤ 4.11 ʹࣔ͢. ε΢ΟʔϓͷॳΊͷ࣌ࠁͰ͸ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸୯ௐʹ૿Ճ͍ͯ͠Δ. ࣌ࠁ t = 0.5τ ʹྟք఺Λ௨ա͠,ͦΕҎ߱ͷ࣌ࠁͰ͸࣌ؒతͳৼಈ͕‫͑ݟ‬Δ. ͜Ε͸, ྟք఺Ͱྭ‫͞ى‬ΕͨϘΰϩϯྭ‫ʹى‬ΑΔ΋ͷ
Ͱ͋Δ. ε΢Οʔϓͷ଎౓Λ஗͘͢Δʹै͍, ঢ়ଶͷ࣌ؒൃల͸அ೤తʹมԽͨ͠΋ͷͱۙ͘ͳΔ. ࣮ࡍʹ, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ֤࣌ࠁͰͷ஋͸, ͦͷ࣌ࠁʹରԠ͢Δ૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλͰͷΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ஋ʹۙͮ͘ (ਤ 4.12).

5

τ=25
τ=50
τ=100
τ=200

SA(t/τ)4
3
2
1
0

ਤ 4.11

(J

YY

/J

0.25

0.5
t/τ

0.75

1

Τ ϯ λ ϯ ά ϧ ϝ ϯ τ Τ ϯ τ ϩ ϐ ʔ ͷ ࣌ ؒ ґ ଘ ੑ:
XZX

,J

Y ZY

/J

XZX

) = (0, 0), t = τ ͕ (JԠ͍ͯ͠Δ.

43

YY

/J

XZX

,J

Y ZY

/J

XZX

t = 0 ͕) = (0, 2) ʹର物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

SA(Lsub)《修士論文》

3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6

SA(Lsub)

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

YZY

J

ਤ 4.12֤૬‫༻࡞ޓ‬ύϥϝʔλͰͷΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ: அ೤‫ݶۃ‬ͷε΢ΟʔϓʹରԠ͢Δ. N = 103, Lsub = 49.

44

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

5 ·ͱΊຊ࿦จͰ͸, τϙϩδΧϧͳΤοδϞʔυͷμΠφϛΫεΛௐ΂ΔͨΊʹ, Ұ࣍‫ݩ‬εϐϯϨε p೾௒఻ಋମͷ Kitaev ໛‫ܕ‬ΛҰൠԽͨ͠, ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔҰ࣍‫ݩ‬ϑΣϧϛΦϯ໛‫ܕ‬Λ਺஋తʹղੳͨ͠. ·ͣ, ‫ີݫ‬ର֯Խͷํ๏ͱ iTEBD ͷํ๏Λ༻͍ͯ, ۙ઀૬‫઀ۙ࣍ͱ༻࡞ޓ‬૬‫༻࡞ޓ‬
͕͋Δͱ͖ͷ૬ਤΛܾఆͨ͠. ࣍ʹ, ྟք఺Λ௨ա͢ΔΑ͏ʹ૬‫༻࡞ޓ‬Λε΢Οʔϓ͠, ‫ܥ‬ͷμΠφϛΫεΛௐ΂ͨ. ΤϯλϯάϧϝϯτεϖΫτϧͷ࣌ؒతͳৼಈ͸ྟք఺Ͱྭ‫͞ى‬ΕͨϘΰϩϯʹΑΔ΋ͷͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔ͬͨ. ߋʹ, ྟք఺Ͱͷ࣌ؒεέʔϧΑΓΏͬ͘Γͱͨ͠ε΢Οʔϓ଎౓ͷͱ͖, ετϦϯά૬ؔؔ਺ͷ‫཭ڑ‬ґଘੑʹप‫ظ‬తͳߏ଄͕‫ݱ‬Εͨ. ͜Ε͸ྟք఺ʹ͓͍ͯྭ‫͞ى‬ΕͨϘΰϩϯʹ‫ى‬Ҽ͢Δ͜ͱ͕෼͔ͬͨ. ಉ༷ͷߏ଄͸ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔͷ௕͞ґଘੑʹ΋‫ݱ‬Εͨ.
ຊ‫Ͱڀݚ‬͸τϙϩδΧϧ૬Λࣔ͢؆୯ͳ໛‫ܕ‬Λ༻͍͕ͨ, ྭ‫ى‬ঢ়ଶʹର͢ΔετϦϯά૬ؔؔ਺ͱΤϯλϯάϧϝϯτߏ଄ͷؔ܎Λ໌Β͔ʹ͢ΔͨΊʹ, τϙϩδΧϧ૬Λ༷ࣔ͢ʑͳ໛‫ܕ‬Λѻ͍, ͦΕΒͷؔ܎Λ໌Β͔ʹ͢Δ͜ͱ͕ࠓ‫ޙ‬ͷ՝୊ͱͯ͠‫͛ڍ‬ΒΕΔ.

45

《修士論文》

෇࿥ A

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

Schmidt ෼ղશ‫ܥ‬ͷ‫֨ن‬Խ͞Εͨ೾ಈؔ਺ |Ψ ͕༩͑ΒΕͨͱ͖, શ‫ܥ‬Λೋ‫ݸ‬ͷ෦෼‫ ܥ‬A, B (ͦͷ Hilbertۭؒ͸ HA , HB ) ʹ෼ׂ͢Δ. ͜ͷͱ͖, |Ψ ͸ A, B ͷਖ਼‫ن‬௚ަ‫ج‬ఈΛ༻͍ͯ

|Ψ =

χ


λα |φα A |ψα B ∈ HA ⊗ HB

(A.1)

α=1

ͱॻ͚Δ. ͜ͷ λα ͸ Schmidt ܎਺ͱ‫ݺ‬͹Ε, ඇෛͷ࣮਺Ͱ͋Γ,χ

λ2α = 1,χ ≤ min(dim HA , dim HB )

(A.2)

α=1

Λຬͨ͢. ͜ͷ෼ղΛ Schmidt ෼ղͱ͍͏.
ྫ1


√
√
1 
|Ψ = √ |00 + 3|01 + 3|10 + |11
2 2
√
√
3+1
3−1
√ |φ1 A |ψ1 B + √ |φ2 A |ψ2 B .
=
2 2
2 2

(A.3)
(A.4)

ͨͩ͠

1
|φ1 A = √ (|0A + |1A ) ,2

1|φ2 A = √ (|0A − |1A )
2

(A.5)

1
|ψ2 B = √ (−|0B + |1B )
2

(A.6)

͸෦෼‫ ܥ‬A ͷਖ਼‫ن‬௚ަ‫͋Ͱܥ‬Γ,1|ψ1 B = √ (|0B + |1B ) ,2͸෦෼‫ ܥ‬B ͷਖ਼‫ن‬௚ަ‫͋Ͱܥ‬Δ.
ྫ2

1
1
i
i
|Ψ = √ |00 + √ |01 − √ |10 − √ |11
3
6
3
6
√
1
= √ (|0A − i|1A )( 2|0B + |1B )
6

(A.7)
(A.8)

͸௚ੵঢ়ଶͰ͋Δ.
͜ͷ {λα } ͸෦෼‫ؒܥ‬ͷΤϯλϯάϧϝϯτΛද͢. ͦͷҰͭͷࢦඪͱͯ͠ΤϯλϯάϧϝϯτΤ
ϯτϩϐʔ S ͕͋Γ,

S=−

χ


λ2α ln λ2α

(A.9)

α=1

Ͱ༩͑ΒΕΔ. S ͸௚ੵঢ়ଶʹରͯ͠ 0 Ͱ͋Δ. ࠷େΤϯλϯάϧঢ়ଶ (maximally entangledstate), ͭ·Γશ Schmidt ܎਺͕౳͍͠ঢ়ଶʹରͯ͠࠷େ஋ΛͱΓ, ͦͷ஋͸ ln χ Ͱ͋Δ.
46

《修士論文》

෇࿥ B

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

AKLT ໛‫ܕ‬

εϐϯ 1 ͷ൓‫࣓ڧ‬ੑεϐϯ࠯͸ Haldane ૬ͱ‫ݺ‬͹ΕΔτϙϩδΧϧ૬͕ग़‫͢ݱ‬Δ. ͜ͷ૬Λղੳతʹௐ΂ΔͨΊʹ, ࣍ͷ AKLT (Aﬄeck, Kennedy, Lieb, and Tasaki) ໛‫[ ܕ‬52, 53] Λௐ΂Δ:

H=

N 

i=1


1
2
2
.
Si · Si+1 + (Si · Si+1 ) +
3
3

(B.1)

͜ͷ໛‫ܕ‬͸, i αΠτͱ i + 1 αΠτͷྡΓ߹ͬͨεϐϯ 1 Λ߹੒εϐϯ Stot = 2 ʹࣹӨ͢Δԋࢉ2
ࢠ Pi,i+1ͷ࿨Ͱॻ͚ΔͷͰ, AKLT ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸ Valence Bond Solid (VBS) ঢ়ଶͰ͋Δ.

AKLT ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸Ϙϯυ࣍‫ ݩ‬2 ͷߦྻੵঢ়ଶͰॻ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ·ͣ, 2 ‫ݸ‬ͷεϐϯ 21Λ֤αΠτ্ʹஔ͘. ࣍ʹ, ྡΓ߹͏εϐϯʹγϯάϨοτΛ૊·ͤΔ. ͢ͳΘͪ, εϐϯ |α ͱ‫ڞ‬໾ͳεϐϯΛ |α̃ ͱ͠,

2


2


|α|α̃ =α=1

Rαβ |α|β

(B.2)

α,β

͕γϯάϨοτͱͳΔΑ͏ʹߦྻ R ΛܾΊΔ. ࣍ʹ, 2 ‫ݸ‬ͷεϐϯ 12 ͔Β S = 1 ΁ͷࣹӨΛߟ͑Δ. ͦͷԋࢉࢠ͸Â(iL , iR ) =Bαβ (mi )|mi αβ|(B.3)

Âβγ (mi )|mi γ̃β|,(B.4)

α,β,mi=

β,γ,mi

1
B=√
2

 √

2|1
|0

√ |0
2| − 1


(B.5)

ͱͳΔ. ैͬͯ, VBS ঢ়ଶͷߦྻੵද‫ݱ‬͸1Âαβ (i) = √
2



|0
√
− 2|1

√2| − 1
−|0


(B.6)

ͱͳΔ. iMPS (2.3.1 અ) ͸0
Γ(1) =−1
0
Γ(−1) =
0

0
0
1
0


,

,



1
1 0
Γ(0) = √
,
0 −1
2


1
1 0
λ= √
0 1
2

(B.7)
(B.8)

Ͱ͋Δ. ͜ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶʹରͯ͠, ΤϯλϯάϧϝϯτΤϯτϩϐʔ͸ ln 2 Ͱ͋Γ, ࠷େΤϯλϯά
ϧঢ়ଶͰ͋Δ.

47

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

෇࿥ C

Majorana θϩϞʔυ

Kitaev ໛‫( ܕ‬ԣ࣓৔ Ising ໛‫[ )ܕ‬27]
H=

N 


−(c†i ci+1 + c†i+1 ci ) − (c†i c†i+1 + ci+1 ci ) − 2hc†i ci

(C.1)

i=1

ͷθϩϞʔυΛߟ͑Α͏. ·ͣ, Bogoliubov ม‫׵‬

ημ =

N 

φiμ + ψiμφiμ − ψiμ †
ci +
ci
2

2

i=1


(C.2)

Λߦ͏. ͜͜Ͱ, N ࣍ͷྻϕΫτϧ φμ , ψμ ͸ͦΕͧΕ N ࣍ߦྻ φ, ψ ͷୈ μ ྻ੒෼ (μ =1, 2, . . . , N ) Ͱ͋Γ, ࣍ͷ࿈ཱํఔࣜ (Heisenberg ͷӡಈํఔࣜ) ͷղͰ͋Δ:Eμ ψμ = (A + B)φμ ,(C.3a)

Eμ φμ = (A − B)ψμ .

(C.3b)

ͨͩ͠, A ͱ B ͸ N ࣍ߦྻ

⎛

−2h

⎜
⎜ −1
⎜
⎜
A=⎜ 0
⎜
⎜ .
⎝ ..
0

−1

0

−2h

−1
..
.

−1
..
.
...

..

.
...

⎛
⎞
0 −1
...
0
⎜
.. ⎟
..
⎜ 1 0
.
. ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
..
..
,
B
=
⎜ 0 1
⎟
.
. ⎟
⎜
⎜ . .
⎟
..
..
⎝ ..
. −1 ⎠−1 −2h
0 ...

0
−1
..
.
..

.
...

...
..
.
..
.
..
.
1

0
..
.
..
.

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
−1 ⎠
0

(C.4)

Ͱ༩͑ΒΕΔ. ਖ਼४ަ‫܎ؔ׵‬ΑΓ, ߦྻ φ ͱ ψ ͸௚ަ͢Δ:

φT φ = I N ,ψ T ψ = IN .

(C.5)

࣍ʹ, θϩϞʔυͷղΛ‫ٻ‬ΊΑ͏. ͋Δ m ʹର͠ Em = 0 ͱͳΔͱ͖, ࿈ཱํఔࣜ (C.3) ͸ೋ‫ݸ‬ͷಠཱͨ͠ํఔࣜʹͳΔ:

0 = (A + B)φm ,0 = (A − B)ψm .

(C.6a)(C.6b)

͜ΕΒ͸, 0 ≤ h < 1 ͷͱ͖ʹղ

φm = (1, −h, (−h)2 , . . . )T ,

ψm = (. . . , (−h)2 , −h, 1)TΛ΋ͪ, ‫ܥ‬ͷ୺ʹࢦ਺ؔ਺తʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δ͜ͱ͕෼͔Δ.

48

(C.7)

《修士論文》

෇࿥ D

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

૒ରੑ։์୺৚݅ͷͱ͖, Ϋϥελʔ Ising ໛‫ܕ‬H(λ) =

Nyzx(−σix σi+1
σi+2
+ λσiy σi+1
)

(D.1)

i=1

͸ԣ࣓৔ Ising ໛‫ͱܕ‬ಉ༷ͷ૒ରੑΛ΋ͭ (Kramers–Wannier ૒ରੑ). ͢ͳΘͪ,x
μzi = σix σi+1
,

μxi =

i


σjz ,

x
σN
+1 = 1(D.2)

j=1ͱ͍͏૒ରม‫ʹ׵‬ΑΓzx−σix σi+1
σi+2= μyi μyi+1 ,yσiy σi+1= −μxi−1 μzi μxi+1 ,μx0 = 1

(D.3)

ͱͳΔ. ͦͷͨΊ, ϋϛϧτχΞϯ͸૒ରੑ

H

dual

 
1
(λ) = λH
λ(D.4)

Λ࣋ͭ [54]. ྟք఺ λ = 1 ͸ࣗ‫ݾ‬૒ରͳ఺Ͱ͋Δ.
ɹಉ༷ʹ, Ϋϥελʔ૬‫( ༻࡞ޓ‬XZX) Λ z ࣠पΓʹ π ճసͨ͠૬‫( ༻࡞ޓ‬Y ZY ) ΛΫϥελʔ໛‫ʹܕ‬Ճ͑ͨϋϛϧτχΞϯ

H(λ) =

N


y
z
x
z
(−σix σi+1
σi+2
+ λ σiy σi+1
σi+2
)

i=1

͸ z ࣠पΓͷ π ճసʹର͠, ໌Β͔ʹࣗ‫ݾ‬૒ରͰ͋Δ.

49

(D.5)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

෇࿥ E

Bogoliubov ‫ج‬ఈঢ়ଶԣ࣓৔ Ising ໛‫ܕ‬Λ Jordan–Wigner ม‫͢׵‬Δͱ

HTFIM = −Nx(σix σi+1+ λσiz )

(E.1)

i=1

=−

N 


(c†i − ci )(c†i+1 + ci+1 ) + λ(2c†i ci − 1)

(E.2)

i=1

=−

N 


1
(c†i ci+1 + c†i+1 ci ) + (c†i c†i+1 + ci+1 ci ) + 2λ(c†i ci − )



2

i=1

(E.3)

ͱͳΓ, ҎԼͰ༩͑ΒΕΔεϐϯϨε p ೾௒఻ಋͷ Kitaev ໛‫͋Ͱܕ‬Δ:N 


HKitaev =−t(c†i ci+1 + c†i+1 ci ) − (Δc†i c†i+1 + Δ∗ ci+1 ci ) − μc†i ci ,

(E.4)

i=1

t = Δ = Δ∗ = 1,

μ = 2λ.

(E.5)͜ͷϋϛϧτχΞϯ͸ύϦςΟԋࢉࢠP = (−1)N†
i=1 ci ci(E.6)ͱՄ‫͋Ͱ׵‬Δ. P 2 = 1 ΑΓ P = ±1 Ͱ͋Δ. ύϦςΟ͕‫ )ح( ۮ‬ͷͱ͖‫ڥ‬ք৚݅͸൓प‫ظ‬త (प‫ظ‬త) Ͱ͋Δ.
प‫ظ‬త‫ڥ‬ք৚݅ͷͱ͖ʹԣ࣓৔ Ising ໛‫ܕ‬Λղ͜͏. ·ͣ, Fourier ม‫׵‬1cj = √
2π" π−πdk eikj ck(E.7)

Λߦ͏ͱ, ϋϛϧτχΞϯ͸" π
HTFIM = 2−πdk (− cos k − λ)c†k ck − 2i" π−πdk (sin k ck c−k − sin k c†−k c†k )(E.8)

ͱͳΔ. ࣍ʹ, Bogoliubov ม‫׵‬$ηk = ck cos θk − i c†−k sin θk ,(E.9a)†
η−k= −i ck sin θk + c†−k cos θk(E.9b)

δk
k(E.10)

Λࢪ͢. ͨͩ͠

{ηk , ηk†  } = δkk ,tan 2θk = −Ͱ͋Δ. Ҏ্ͰϋϛϧτχΞϯ͸ର֯ԽͰ͖, ΤωϧΪʔ෼ࢄ͸#
(k) = 2 (cos k + λ)2 + sin2 k
50(−π < k ≤ π)

(E.11)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ͱͳΓ, ‫ج‬ఈঢ়ଶ |Ψ0  ͸ η-ਅۭͰ, BCS ‫ܕ‬ͷ೾ಈؔ਺ͱͳΔ:|Ψ0  =

(cos θk + sin θk c†k c†−k )|0c .

(E.12)k>0͜ͷ |0c ͸ c-ਅۭͰ͋Δ.
Ұൠͷ Bogoliubov ม‫׵‬Λߟ͑Δ. ೾਺ۭؒදࣔͷ Bogoliubov ม‫ ׵‬UB ͸%
UB = exp −i&θk (c−k ck − c†−k c†k )(E.13)k>0Ͱ༩͑ΒΕΔ. Baker–Campbell–Hausdorﬀ ͷެࣜ

eA Be−A = B + [A, B] +1
[A, [A, B]] + . . .
2!

(E.14)

ͱަ‫ͱ܎ؔ׵‬൓ަ‫܎ؔ׵‬ͷؔ܎ࣜ

[AB, C] = A{B, C} − {A, C}B(E.15)

Λ༻͍Δͱ, ࣮ࡍʹ UB ͸ Bogoliubov ม‫׵‬Λ༩͑Δ͜ͱ͕෼͔Δ:

UB−1 ηk UB = ck .

(E.16)‫ج‬ఈঢ়ଶ |GS ͸ Bogoliubov ਅۭͰ͋Γ, ϑΣϧϛΦϯ c ͷਅۭ |0c Λ༻͍ͯ

|GS = UB |0c

(E.17)

ͱͳΔ.
࣮ۭؒදࣔͷ Bogoliubov ม‫ ׵‬WB Λ۩ମతʹॻ͜͏. ͦͷͨΊʹ, ௚ަߦྻ φ ͱ ψ ͷੜ੒ࢠW± Λ༻͍Δ. W± ͸ަ୅ߦྻͰ͋Γ,φ = exp W+ ,

ψ = exp W−(E.18)

Ͱ͋Δ. ͜ΕʹΑΓ, Bogoliubov ม‫ ׵‬WB ͸⎡
WB = exp ⎣
ͱॻ͚Δ:


N 
1  W+ − W−
2 i,j=1

2

ij(ci cj + c†i c†j ) +

⎤


N 

W+ + W−
i,j=1

2

ij

WB−1 ηi WB = ci .

c†i cj ⎦(E.19)(E.20)‫ج‬ఈঢ়ଶ |GS ͸ Bogoliubov ਅۭͰ͋Γ, ϑΣϧϛΦϯ c ͷਅۭ |0c Λ༻͍ͯ

|GS = WB |0c
ͱͳΔ.

51

(E.21)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

ँࣙຊ‫ڀݚ‬͸‫౎ژ‬େֶ෺ੑ‫ૅج‬࿦‫ڽ‬ॖ‫͍͓ͯʹࣨڀݚܥ‬, ‫ށ‬௩‫ܓ‬հ।‫ڭ‬तͷࢦಋͷԼͰߦΘΕ·ͨ͠. ࿦จͷࣥචʹ͋ͨΓ, ٞ࿦Λ௨ͯ͡਺ଟ͘ͷࢦಋΛഈड͠·ͨ͜͠ͱʹਂ͘‫ँײ‬Λਃ্͛͠·͢. ·ͨ, ஈԼҰฏॿ‫ڭ‬, ాதफ༷ʹ͸, සൟʹ‫ڀݚ‬ͷٞ࿦Λͯ͠௖͖, ඇৗʹͨΊʹͳΔҙ‫ݟ‬΍ΞυόΠεΛࣀͬͨ͜ͱʹଟେͳΔ‫ँײ‬Λ͍ͯ͠·͢. ฒͼʹ, ೔ࠒ͔Βθϛ΍ηϛφʔͳͲͷ‫ڀݚ‬ࣨͷੜ‫͍͓ͯʹ׆‬, େม͓ੈ࿩ʹͳΓ·ͨ͠෺ੑ‫ૅج‬࿦‫ڽ‬ॖ‫ܥ‬άϧʔϓͷਿຊߴେ༷, ৽৓Ұ໼༷,୩ຊ࿨඙༷ʹ͸‫͢·͠ँײ‬. օ༷ʹ͸͜ͷ৔ΛआΓ͓ͯྱਃ্͛͠·͢.
࠷‫ͳʹޙ‬Γ·͕ͨ͠, ೋे࢛೥ؒ΋ͷؒ, Թ͔͍໨Ͱ‫ݟ‬कͬͯͩͬͨ͘͞Ո଒ͷօ༷ʹ৺ΑΓ‫ײ‬
ँ͠·͢.

52

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 4, 044601 （2015年11月号）

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