数理解析研究所講究録 1410 巻 2005 年 9-29

9Gelfand 対の分類について
On a classification of Gelfand pairs)
京都大学大学院理学研究科 菊地克彦 (Katsuhiko Kikuchi)
Department of Mathematics, Faculty of Science, Kyoto University

51. ffを局所 compact unimodular 群, $K$ を $G$ の compact 部分群とする. このとき, 対 $(G, K)$ が Gelfand 対であるとは, $G$ 上の K-不変な可積分函数全体のなす-代数 $L^{1}(K\backslash G/K)$ が可換代数となることである. 今回は, $G$ を連結 Lie$K$
を $G$ の連結 compact 部分群となる場合について, Gelfand 対の分類の現在
群,までの戒果を報告する. 特に, $G$ が compact Lie 群 $K$ と連結, 単連結幕零 Lie 群 $N$の半直積 $G=K\ltimes N$ となる場合について, indecomposable という仮定の下で分類する.
ます, 対 $(G, K)$ が Gelfand 対であるかの判定を, 構造が分かりやすい Gelfand
対の判定に帰着させる. これについて,Yakimova が有用な判定条件を与えた.
$G$$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}*$命題 1([Y1]). 対 $(G, K)$ を, $G/K$ が単連結て, $K$ が $G/K$ に効果的に作用するものとする. このとき, $(G, K)$ が Gelfand 対であるためには, $G$ が半直積群の構造をもち, 以下の性質を満たすことが必要十分である;はを含む簡約 Lie 群,(1)$N$
は高々 2-step の連結かつ単連結な幕零 Lie 群,(2)を $N$ の Lie 代数とするとき, 任意の(3)について $L\cdot x=K\cdot x$ ,(4) 任意のとについて, における $L,$ $K$ の固定部分群をそれぞれ$(L_{x},K_{x})$
は Gelfand 対,
おくとき,をそれそれ $L,$ $K$ の Lie 代数とし,を の【におけ(5)
る適当な $K$ -不変実内積に関する直交補空間とするとき, 任意のについて$G=L\ltimes N$
$L$

$K$

$\mathfrak{n}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(N)$$x\in \mathfrak{n}$$x\in \mathfrak{n}$$\mathfrak{l}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(L),$$x$$L_{x},$$\not\in=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(K)$$\mathrm{m}$$K_{x}$$\mathrm{g}$$y\in \mathrm{m}$$(K_{y}\ltimes N, K_{y})t\mathrm{h}$Gelfand$\text{対}$.

定義 1. Gelfand 対 $(G, K)$ が簡約型であるとは, $G$ が簡約 Lie 群であることとし, Heisenberg 型であるとは, $G$ が compact Lie 群 $K$ と幕零 Lie 群 $N$ の半直積で表されることとする.

簡約型 Gelfand 対の典型例は (非)compact Riemann 対称対であり, Heisenberg
型 Gelfand 対の典型例は compact LIe 群 $K$ と vector 群 $V$ の半直積 $K\ltimes V$ と $K$ の
対 $(K\ltimes V, K)$ である. 命題 1 は Gelfand 対の分類が簡約型および Heisenberg 型のGelfand 対の分類に帰着されることを示している. Heisenberg 型 Gelfand 対の構造に関しては [BJLR] [BJRI] [BJR2] [C][HR][Kikl] [Ko] [KR][Lal][La2] [Lep] [N] [V1]
等で調べられ, さまざまな例や反例が与えられている. 簡約型 Gelfand対の分類は既に [Br][Kr][M][Y2] で完成している. 一般の Gelfand 対についてはで考察されている. また, が compact 群と可解 Lie 群の半直積[V1] [Y1]になる場合に [BJRl][Kik2] で必要十分条件と例が与えられている. 今回は, ます$[\mathrm{V}2][\mathrm{Y}4][\mathrm{Y}5]$$[\mathrm{Y}3][\mathrm{Y}5]$

$G$

10
Heisenberg 型および簡約型の Gelfand 対の分類を行い, さらに, それらを用いて一般の場合について Gelfand 対の構造を調べる. 以下では, Gelfand 対 $(G, K)$ について, 次のことを仮定する.
(1) $G/K$ は単連結,(2)の中心とし, $F=K\cap Z$ ( G) とするとき, $F$ は有限であり, $K/F$
は $G/K$ に効果的に作用する.

$Z$( G) を$G$

このとき, 対 ( $G/F,$ $K$ /F) が命題 1 の仮定を満たす Gelfand 対になるが, $K$ およびの $N$ への作用を見易くするために必要に応じて適当な $F$ を選んで Gelfand 対$(G, K)$ を実現することにする.

$L$

52. Heisenberg 型 Gelfand 対.

この節ては常に $G$ は連結 compact 群 $K$ と高々 2-step の連結かつ単連結な幕零-代数 $L^{1}(K\backslash K\ltimes N/K)$
Lie 群 $N$ との半直積群 $G=K\ltimes N$ であるとする.
は $N$ 上の $K$ -不変な可積分函数全体のなす-代数(N) と自然に等長同型となる. 特に, $N$ が可換のときは明らかに(N) は可換代数になり, $(K\ltimes N, K)$ はGelfand 対になる. よって, $N$ が 2-step のとき Gelfand 対を分類することが問題になる. 以下では $N$ を 2-step と仮定する. なお, $K$ が連結でないときは, $K$ の単位元の連結成分をとするとき, $(K\ltimes N, K)$ が Gelfand 対であることと $(K_{0}\ltimes N, K_{0})$が Gelfand 対であることが同値であることに注意する ([BJLR][BJR2]).
$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}*$$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}*$$L_{K}^{1}$$L_{K}^{1}$$K_{0}$

2.1. Heisenberg Lie 群の場合.
最も構造が分りやすい 2-step 幕零 Lie 群は Heisenberg Lie 群である. ここを以下のように実現する. 集合としてはて, $(2n+1)$ -次元 Heisenberg Lie 群とし, 積を次のように定義する.
$H_{n}$$H_{n}=\mathbb{C}^{n}\cross \mathbb{R}$,$(z, t) \cdot(z’, t’):=(z+z’,t+t’-\frac{1}{2}\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{C}z\overline{z}’))$,.

に自己同型として作用する連結 compact Lie
において適当な共役群をとることによの自己同型群
り群の部分群とみなすことができる.
上の自然な内積に関する unitaryへの作用は次のように表される.
すると, $K$ の

ただし,群であるのて,$z,$$z’\in \mathbb{C}^{n},$$t$$t’\in \mathbb{R}$$K$

は$H_{n}$$H_{n}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H_{n})$$\mathrm{U}(n)$$\mathbb{C}^{n}$$H_{n}$$k\cdot(z,t):=(kz,t)$ ,ただし, $k\in K,$

.

を
の中に実
について, その複素化$P$現することができる. $V$ を 上の有限次元 vector 空間とするとき, (V) を $V$ 上のすべての正則多項式全体のなす環とする.
$z\in \mathbb{C}^{n},$$\mathrm{t}\in \mathbb{R}$$K$$K\mathrm{c}$$\mathrm{G}\mathrm{L}(n, \mathbb{C})$$\mathbb{C}$

定義 2. 複素簡約代数群 $G$ が$\mathbb{C}$上の有限次元 vector 空間 $V$ に multiplicity-

free に作用するとは, (V) を -加群として既約分解したとき, 各既約成分が高々重複度 1 で現れることとする.
$P$

$G$

このとき, 以下のことが知られている.

命題 2 ([BJRI]).
$P$

が Gelfand 対であるためには, $K$ の複素化 K。が$(K\ltimes H_{n})$(Cn) に multiplicity-free に作用することが必要十分である.

multiplicity-free な作用の分類は, K。のへの作用が既約のとき Kac により与えられ, 可約のときは Benson-Ratcliff および Leahy により独立に与えられた.
にもなお, K。が に multiplicity-free に作用するとき, K。は の双対空間に作用することに注意しておく,
multiplicity-freeが既約のときは, 以下のように分類される ([Ka]).
$\mathbb{C}^{n}$

$V$

$V$

$V^{*}$$V$(I) $K$ の中心が 1 次元のとき.

は $V$ に scalar 倍で作用するとする.

$\mathrm{T}$(1)$K=\mathrm{T}\cross$(2)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=S^{2}\mathbb{C}^{n},$$n\geq 2$,(3)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=\Lambda^{2}\mathbb{C}^{n},$$n\geq 3$,(4)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{O}(n),$$V=\mathbb{C}^{n}$(5)$K=\mathrm{T}\cross$Sp(n),$V=\mathbb{H}^{n}\simeq \mathbb{C}$(6)$K=\mathrm{T}\cross$SU(n)$\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$(7)$K=\mathrm{T}\cross$SU(2)Sp(n),$V=\mathbb{C}^{2}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{H}^{n}$, $n\geq 2$ ,(8)

$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(3)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$V=\mathbb{C}^{3}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{H}^{n}$, $n\geq 2$ ,(9)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=\mathbb{H}^{2}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^{n}$, $n\geq 4$ ,SU(n),$V=\mathbb{C}$$\cross$n}, $n\geq 3$ ,$V=\mathbb{C}^{8}$(11)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9),$$V=\mathbb{C}^{16}$(12)$K=\mathrm{T}\cross$

27,

(14)

$V=\mathbb{C}$7,$K=\mathbb{T}\cross G2,$

ここで,$E\epsilon,$$G$,

2 は compact 例外単純 Lie 群を表す

次対称 tensor, 2 次交代 tensor 全体のなすては$\mathbb{H}^{n}$を$\mathbb{C}$上の vector 空間とみなし,の vector 空間の tensor 積を表す

(II) $K$ の中心が 0 次元のとき,(1)$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=\mathbb{C}^{n},$(3) $K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2m+1),$(5), $n\geq m\geq 2$ ,,$V=\mathbb{C}^{16}$$V=\mathbb{C}$, $n\geq 2$ ,,$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7),$(13) $K=\mathrm{T}\cross E6,$$n$

$V=\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m}$(10)

Spin(10),2$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$n\geq 2$,$V=\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2m+1}$

2$V=\mathbb{H}^{n}\simeq \mathbb{C}$$n$,, $n\geq 2$ ,$\mathbb{C}$また,$S^{2}\mathbb{C}^{n},$$\Lambda^{2}\mathbb{C}^{n}$はそれぞれ 2上の vector 空間を表す さらに, ここ
n は
上

n,

$\mathbb{C}^{2}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{H}$$\mathbb{C}^{3}\otimes \mathrm{c}\mathbb{C}$n,$\mathbb{H}^{2}\otimes \mathrm{c}\mathbb{C}$$\mathbb{C}$

12
(6)

$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$(9)$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$(12)$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(10),$, $n>m\geq 2$ ,$V=\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m}$$V=\mathbb{H}2\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^{n}n)\geq 5$$V=\mathbb{C}$,16.

(垣戸こおける番号は (I) に対応するように付けている. 特に, (1y よ $n=1,$ (3) はなしでは Gelfand 対にならないこと
が偶数, (6) は $n=m,$ (9) は $n=4$ のときに注意する.
可約なときの multiplicity-free な作用を分類する前に , indecomposable な加群を定義する.
$n$$\mathrm{T}$

定義 3. $K$ を連結かつ単連結な compact 半単純 Lie 群とし) $V$ を (または R)
上の $K$ -加群とする. このとき, $V$ が decomposable てあるとは, $K=K_{1}\cross K_{2}$ ,はに自明に作用する$V=V_{1}\oplus V_{2}$ と分解され, かつ $i\neq j$ のとき( K2, ) が存在することとし, decomposable で({1}, {0}) なる 2 つの組ないとき indecomposable であるという. $K$ が一般の連結 compact Lie 群のとdecomposable, あるいは indecomposable(または ) 上の $K$ -加群
き,は$K$
で $\tilde{K}=T\cross$ Ks’ ただし $T$ は torus,の適当な被覆群であるとは,$V$ を Ks-加群とみなし
単連結 compact 半単純 Lie 群となるものをとったとき,て decomposable, あるいは indecomposable であることとする.
$\mathbb{C}$$K_{\iota’}$$(K_{1}, V_{1}),$$V_{2}$$V\mathrm{B}^{\mathrm{S}}$$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$$(K_{i}, V_{\acute{l}})\neq$$V_{j}$$\tilde{K}$$K_{s}$

明らかに既約 $K$ -加群は indecomposable である. indecomposable て既約てな. これらの例はすべて既約威分が 2 個であい場合は以下て与えられるることに注意する.
は既約成分に scalar 倍として独立に作用すると(I) $K$ の中心が 2 次元のとき.
$([\mathrm{B}\mathrm{R}][\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{a}])$$\mathrm{T}^{2}$

する.

, $n\geq 2$ ,(1)

$K=\mathrm{T}2\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=\mathbb{C}^{n}\oplus \mathbb{C}^{n}$(1)’$K=\mathrm{T}2\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=(\mathbb{C}^{n})^{*}\oplus \mathbb{C}^{n},$(2)$K=\mathrm{T}2\cross$SU(n),$V=\mathbb{C}^{n}\oplus$(2)’$K=\mathrm{T}2\cross$SU(n),$V=(\mathbb{C}^{n})^{*}\oplus\Lambda^{2}\mathbb{C}^{n},$(3)$K=\mathrm{T}2\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$(3)’$K=\mathrm{T}2\cross$

SU(n)

(4)

$K=\mathrm{T}2\cross$SU$\cross$

SU(m),

A2 n,$K=\mathrm{J}\Gamma 2\cross$SU$K=\mathrm{T}2\cross$

$V=$

Sp

,

$(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m})$,$(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m)$$n\geq m\geq 2$$(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$,,, $n,m\geq 2$ ,$(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$$(\mathbb{H}^{n}\otimes \mathrm{c}\mathbb{C}2)\oplus$$n\geq 5$, $n,m\geq 2$ ,$V=(\mathbb{C}^{n})^{*}\oplus(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m}),$$V=(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{2})\oplus(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathrm{c}\mathbb{H}^{m})$(6),$n\geq 4_{1}$$\mathbb{C}$$V=\mathbb{C}^{n}\oplus$$V=(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{2})\oplus(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{m}),$(5)$n\geq 3$$(\mathbb{C}2\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{H}^{m})$,, $n,m\geq 2$ ,$n\geq 3,$ $m\geq 2$

,

13
(7)

$K=\mathrm{T}2\cross$Sp(n),(8)$K=\mathrm{T}2\cross$Spin(8),(II)$V=\mathbb{H}^{n}\oplus \mathbb{H}_{:}^{r\iota}n\geq 2$$V=\mathbb{C}8\oplus \mathbb{C}$の中心が 1 次元のとき.
として作用するとする.
$K$

$a,$

$b$

8,

を整数とし,(1)$K=\mathbb{T}\cross$SU(n),$V=\mathbb{C}^{n}\oplus \mathbb{C}^{n}$(1)’$K=\mathrm{T}\cross$SU(n),$V=(\mathbb{C}^{n})^{*}\oplus \mathbb{C}^{n},$

2

,

2

$n\geq 3,$(2);$V=(\mathbb{C}^{2m})^{*}\oplus\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2m},$$(2)_{\mathit{0}}K=\mathrm{T}\cross$

SU $(2m+1),$$(2)_{\mathit{0}}’ K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2m+1),$

(3)
(3)’

(4)

$a$

(4)

$\mathbb{C}2m+1$, V=(Cn 戸$3\leq n<m,$ $a$ \neq O または$m\geq 2,$ $n\geq\prime m+2,$SU$(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$$a$$m\geq 2,$ $a\neq mb$,,\neq b,$\oplus(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m})$,$a\neq-b$,$V=(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{2})\oplus(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{m})$,$K=\mathbb{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$$K$,, $m\geq 2,$ $a\neq-mb$ ,$V=\mathbb{C}^{n}\oplus(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m})$$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m)$$K=\mathrm{T}\cross$,$m\geq 3,$ $b\neq 0$\neq 0 または $m\geq 2,$ $n\geq m+2,$$n\geq 3,$ $m\geq 2,$ $b\neq 0$

(III)

A2

$b\neq 0$$V=(\mathbb{C}^{2m+1})^{*}\oplus\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2m+1},$$n\geq 3,$ $n\geq m\geq 2,$ $b\neq 0$(5)$\mathbb{C}$$V=\mathbb{C}2m+1\oplus$$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$$2\leq n<m,$$m\oplus\Lambda$$a\neq-b$ ,2m, $m\geq 2,$$V=\mathbb{C}$SU(2m),$(t^{a}, t^{b})$。

$t$, $n\geq 3,$ $a\neq b$ ,$(2)_{e}K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2m),$$K=\mathrm{T}\cross$

が $V=V_{1}\oplus V_{2}$ に$\mathrm{T}$,$V=(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{2})\oplus(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathrm{c}\mathbb{H}^{m})$,,の中心が 0 次元のとき.

$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$ $V=(\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{2})\oplus(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{m})$$n>m\geq 3$ .

,(II), (III) における番号は (I) t こ対応して付けている. (II) において, (2)。としているのは, それぞれ (I) (2) の が偶数, 奇数になる場合に様相が異なるので区別している. また, 番号に’ が付いているものについて)のへの作への自然な作用の反傾表現を表す
用は,一般の multiplicity-free な作用は次のようにして構成される ([BR]).
(1) 有限個の indecomposable である multiplicity-free な作用の組$V=\oplus_{i=1}^{r}V$ とする. すると, K。はに multiplicity-bee
をとり,i$(2)_{e}$$n$$\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$$(\mathbb{C}^{n})^{*}$$\mathbb{C}^{n}$$\{((K_{i})_{\mathbb{C}}, V_{\dot{l}})\}_{i=1}^{f}$$V$$K= \prod_{i=1}^{r}K_{i},$に作用する.

の中心の単位元の連: $Karrow K_{i}$ を自然な射影とする. 各 について,をは高々 2 次の torus であり,結成分の半直積因子とするとてある.
を連結閉部分群とするとき, ある連結閉部分群が存在し, ( (\eta ) Ki’)。が に multiphcity-free に作用し, 自

(2)

$i$

$p_{i}$$Z(K_{\dot{l}})_{0}$$K_{i}=Z(K_{i})_{0}\cross K_{i}’$$T_{i}\subset T$$K_{i}$$K_{i}^{/}\subset K_{i}$$T \subset\prod_{i=1}^{r}Z(K_{i})_{0}$$p_{i}$$\cross$$V_{i}$$K_{i}$

14
然な準同型が局所同型になるとき, かつそのときに限り$V$に multiphcity-丘 ee に作用する.
{はこのようにして, $N$ が Heisenberg Lie 群 $H$, のときの Gelfand 対 $(K\ltimes H_{n}, K)$
はすべて分類される.
$\prod_{i=1}^{r}T_{i}arrow T$$T \cross\prod_{i=1}^{r}K($

2.2.

reduced な場合.
ここからは $N$ が一般の 2-step 幕零 Lie 群の場合を考える.
に対して双対とし, $N$ の既約 unitary 表現$\pi\in\hat{N}$だし}$\hat{N}$を $N$ の unitary$N_{\pi}:=N/(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi)$0 とする. たの次元の単位元の連結戒分を表す$\dim\pi$ は$\dim\pi=\infty$$\dim\pi=1$
の
のとき
または
であるが,
であり,
1
ときは
はある Heisenberg Lie 群と同型になる. $K$ はに自然に作用する.
にはこの作用に関する における $K$ の固定部分群をで表すとすると,自己同型として作用する. これらを用いて, Heisenberg 型 Gelfand 対の分類において最も有効な方法である localizafion を与えることができる.
$(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi)_{0}$は$K$の表現としての核$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi$$\pi$$N_{\pi}\simeq \mathbb{R}$$\infty$$\hat{N}$$H_{n}$$N_{\pi}$$\pi$$K_{\pi}$$K_{r\mathrm{r}}$$N_{\pi}$

命題 3(Localization Lemma) ([BJRl][BJR2][Kik1][N]). 対 $(K\ltimes N, K)$ がが Geffand 対について
Gelfand 対であるためには, 任意の$\pi\in\hat{N}$$(K_{\pi}\ltimes N_{\pi}, K\pi)$になることが必要十分てある.
のときは明らかに $(K\pi\ltimes NK\pi\}\pi)$ は Gelfand 対なので,が Heisenbergの作用が multiplicity-free になるかを調べる
Lie 群になるような について,$N_{\pi}$$N_{\pi}\simeq \mathbb{R}$$K_{\pi}$$\pi$

ことにより $(K\ltimes N, K)$ が Gelfand 対になるかが判定できる. さらに,てはにおいて一般的な位置にあるものについて判定すれば十分てある.

$\pi\in\hat{N}$とし$\hat{N}$を幕零 Lie 代数とする. ただし,
例 1.
#よ $(2n+1)$ 次交代行列全上の vector 空間,
は行 vector 全体のなす体のなす 上の vector 空間とみなし, 括弧積は $[z, w]=(z^{t}w-w^{t}z, -{\rm Im}(^{t}z\overline{w}))$とする. $N=\exp \mathfrak{n}$ を を Lie 代数にもつ連結かつ単連結な幕零 Lie 群とする.
$\mathbb{C}^{2n+1}$$\mathfrak{n}=\mathbb{C}^{2n+1}+(\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2n+1}\oplus \mathbb{R})$$2\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{p}$$\mathrm{A}^{2}\mathbb{C}^{2n+1}$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}$$\mathfrak{n}$はに scalar 倍で作用する. ここに自然に作用し,にで上の線型写像として作用し, ことすると, $K$ はの作用から誘導して馬そして $N$ に自己同型として作用する. このとき, $(K\ltimes N, K)$が Gelfand 対であることを示す 命題 3 より, $N$ の既約 unitary 表現 に対してが Gelfand 対であることを示せぱよい. [Kir] より $N$ の unitary 双と 1 対 1 に対応する. さらに, 上は対の余随伴軌道全体のなす空間
を と同一視することができに自然に K-不変な実内積を入れることにより,$N$る. よって,に既約 unitary 表現は の元で表すことができる. 特に, $N$ の無限の元 $(x, r)$ で表される. これをと書くこ次元既約 unitary 表現はとしては K-軌道から 1 つすつ選べばよとにする. さらに,$K$を K-軌道から 1 つ選にはい. しかも ,が自明に作用するから,
べばよいことになる.
は任意てよい. 最も一般的な位置にあるは行列の直和として次のように表される.
$\mathrm{S}\mathrm{U}(2n+1)$は$\mathbb{C}^{2n+1}$$\mathrm{T}$$\mathbb{C}^{2n+1}$$\mathbb{C}^{2n+1}$$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2n+1)$$\mathbb{C}$$\pi$$(K\pi\ltimes N_{\pi}, K\pi)$$\hat{N}$$\mathfrak{n}^{*}$$\mathfrak{n}^{\mathrm{r}}/N$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}^{*}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2n+1}\oplus \mathbb{R}$$\pi_{x,r}$$(x, r)\in\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2n+1}\oplus \mathbb{R}$$x\in\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2n+1}$$\mathbb{R}$$x\in\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2n+1}$$r\in \mathbb{R}$$(\begin{array}{ll}0 -a_{1}a_{1} 0\end{array})\oplus(\begin{array}{ll}0 -a_{2}a_{2} 0\end{array})\oplus\cdots\oplus(\begin{array}{ll}0 -a_{n}a_{n} 0\end{array})$

ただし, $a_{1}>a_{2}>,$ .

$\mathrm{t}>a_{n}>0$とする. すると,$N_{o\pi_{e,r}}\simeq H_{2n+1}$$\oplus(0)$で,,$K_{\pi_{\Phi,P}}$

の単位元

15
の連結成#は Sp(1)”と同型になる. よって, (対になる. 従って, $(K\ltimes N, K)$ は Gelfand 対である.
$\cross \mathrm{T}$$K_{o\pi_{e,r}}\ltimes N_{o\pi_{e,\mathrm{r}}},$

を $N$ の Lie 代数とする. すると\pi x,r) は Gelfand$K$

上の $K$ -加群である. よって) 上には K-不変な実内積が入る.
n, をそれぞれ の中心) 導来 idealとする. すると,
n, はともに の 上の $K$ -部分加群であり, が 2-stepであるから Z(n)\supset [馬 ] となる. いま, $Z$ (n) の における直交補空間を $V,$ n,の $Z$ (n) におけ 6
交補空間を とおき, $W:=V\oplus a$ とする. このとき, $W$ は [馬 ]$\mathfrak{n}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(N)$$\mathfrak{n}$$Z(\mathfrak{n}),$$Z(\mathfrak{n}),$$[$$\mathfrak{n}]$$[$は$\mathfrak{n}$$\mathbb{R}$$\mathfrak{n}]$$\mathfrak{n}$$\mathbb{R}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$[$$\mathfrak{n}]$$\alpha$$\mathfrak{n}$の$\mathfrak{n}$における直交補空間であり,となる. よって, $K$ の $N$$[\mathfrak{n}, \mathfrak{n}]=[V, V]=[W, W]$への作用は $W$ への作用で決まる.

E 義 5.

$N$が reduced であるとは,となること, 即ち$Z(\mathfrak{n})=[\mathfrak{n}, \mathfrak{n}]$ということとする.

定義 6.

$a=\{0\}$を Gelfand 対とし, $Z\subset N$ を $N$ の中心 $Z$ ( N) に含まれる K-不変な連結閉部分群とする. このとき, $K$ は $N/Z$$(K\ltimes N, K)$に自己同型として作用し,Gelfand 対になる. このような Gelfand 対 $(K\ltimes(N/Z), K)$ を$(K\ltimes N, K)$ の central
reduction と呼ぶ. Gelfand 対 $(K\ltimes N, K)$ が他の Gelfand
対の central reduction として得られないとき極大であるという.
$(K\ltimes(N/Z), K)$ もが既約のときは $N$ は reduced であり, $W=V$ となる. $W$ が既約な Gelfand
対は Vinberg により得られた. そのうち極大な Gelfand 対は以下の通りである. それ以外はこれらの central reduction で得られる ([V1] [V2]).
$W$

(1)
(2)

$K=\mathrm{S}\mathrm{O}(n),$,$V=\mathbb{R}^{n}$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7),$8,$V=\mathbb{R}$$[V, V]=\Lambda^{2}\mathbb{R}^{n},$$[V_{1}V]=\mathbb{R}$,7,7) $[V, V]=\mathbb{R}$7,(3)$K=G_{2},$$V=\mathbb{R}$(4)$K=\mathrm{T}\cross$SO(n),$V=\mathbb{C}^{n}$(5)$K=\mathrm{T}\cross$SU(n),$V=\mathbb{C}^{n},$(5)’$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2m),$(6)$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2m+1),$ $V=\mathbb{C}2m+1$(7)$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2m+1),$(8)$n\geq 2$$V=\mathbb{C}$,$[V, V]=\mathbb{R}$, $n\geq 3$ ,$[V, V]=\Lambda^{2}\mathbb{C}^{n}\oplus \mathbb{R},$2m, $[V, V]=\Lambda$ 2 2$V=\mathbb{C}$$\mathbb{C}$, $[V, V]=\Lambda$ 2

2yn $+1,$,$m\oplus \mathbb{R}$$[V, V]=\mathbb{R}$$n\geq 2$,$\mathbb{C}2m+1$,$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=\mathbb{C}^{n}$(9)$K=(\mathbb{T}\cross)\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$V=\mathbb{H}^{n},$(10)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=S^{2}\mathbb{C}^{n},$$[V, V]=\mathbb{R}$, $n\geq 2$$(11)K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$V=\Lambda^{2}\mathbb{C}^{n},$$[V, V]=\mathbb{R}$, $n\geq 3$ ,(11)’ $K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2m+1),$,$[V, V]=H\Lambda^{2}\mathbb{C}^{n},$$n\geq 2$,$[V, V]=HS_{0}^{2}(\mathbb{H}^{n})\oplus \mathbb{H}_{0}$$V=\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2m+1},$$[V, V]=\mathbb{R}$

,

,

,

16
(12)

$K=\mathrm{T}\cross$Spin(7),$V=\mathbb{C}$

8,

(13)

$K=\mathrm{T}\cross$Spin(9),$V=\mathbb{C}$

16,

(14)

$[V, V]=\mathbb{R}7\oplus \mathbb{R}$$V=\mathbb{C}$$K=(\mathrm{T}\cross)\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(10),$$[V, V]=\mathbb{R}$16,$K=\mathrm{T}\cross E_{6}$,$V=\mathbb{C}$27,$[V, V]=\mathbb{R}$(16)$K=\mathrm{T}\cross G2,$

$V=\mathbb{C}$7,$[V, V]=\mathbb{R}$(17)$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$V=\mathbb{H}^{n}$(18)$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$V=\mathbb{H}2\otimes$(19)$K=\mathrm{T}\cross$(19)’$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$(20)$K=\mathrm{T}\cross$(20)’$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$(21)$K=\mathrm{T}\cross$(22)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(3)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n),$(23)$K=\mathrm{T}\cross$(23)’$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$SU$(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(m),$

SU(2)

SU(2)

Sp

$\cross$$\cross$,, $[V, V]=\mathbb{H}$0, $n\geq 2$ ,H$\mathbb{H}^{n}$,$(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$[V, V]–H\Lambda^{2}\mathbb{H}^{2}$$V=\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m}$,,$[V, V]=\mathbb{R}$$[V, V]=\mathbb{R}$$V=\mathbb{C}2\otimes \mathbb{C}^{n}$$V=\mathbb{C}2\otimes \mathbb{C}^{n},$Sp(n),,,$V=\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{m}$

SU(n),,$[V, V]=\mathbb{R}$

(15)

,

,

, $n\geq m\geq 3$ ,, $n>m\geq 3$ ,$[V, V]=H\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2},$$[V, V]=H\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2},$$V=\mathbb{C}2\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{H}^{n}$,,$n\geq 2$$n\geq 3$$[V, V]=H\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2},$,$n\geq 2$$V=\mathbb{C}3\otimes \mathbb{C}\mathbb{H}^{n},$$[V, V]=\mathbb{R}$, $n\geq 2$ ,,$[V, V]=\mathbb{R}$, $n\geq 4$ ,$V=\mathbb{H}2\otimes \mathrm{c}\mathbb{C}^{n}$$V=\mathbb{H}2\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^{\mathrm{n}}$,,, $[V, V]=\mathbb{R}$ , $n\geq 5$ ,の虚部全体のなす 上の vector 空間,
はそれぞれの元を戒分にもつ歪 Heirmte 行列全体のなす 上の vector 空間,
はが 0 である Hermite 行列全体のなす 上の vectorの元を成分にもち,空間とする. なお, (5)’, (11)’, (19)’, (20)’, (23)’ はそれぞれ (5), (11), (19), (20),(23) から を除いたものであるが, (5) では 力埼数, (11) では が偶数, (19) でここて,$\mathbb{C},$$\mathbb{H}_{0}$は$\mathbb{H}$$\mathbb{R}$$H\Lambda^{2}\mathbb{C}^{n},$$\mathbb{H}$$H\Lambda^{2}\mathbb{H}^{2}$$\mathbb{R}$$\mathbb{H}$$HS_{0}^{2}\mathbb{H}^{n}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathbb{R}$$\mathrm{T}$$n$は $n=m$ , (20) ては $n=2,$ (23) ては $n=4$ のとき$n$$\prime \mathrm{F}$なしでは Gelfand 対にならないことに注意する.
次に, $N$ が reduoed で (=W) が可約な場合を考える. $V=V_{1}\oplus V_{2}$ と K-加群として分解されたとする. すると $[V_{1}, V_{2}]=\{0\}$ となる.
は reduced なので,$[V_{i}, V_{i}]\neq\{0\}$ $(i=1,2)$
は $K$ -不変な のとなり,[ $V$i] とおくと部分 Lie 代数となる.
に対応する $N$ の解析部分群とする. する
l| を
$K$
$N$
は
$(K\ltimes
N_{i}, K)$ も Gelfand 対になる. そこて,不変なと,の部分群になり,
新しい Gelfand 対を得るために, 以下のように新し V) 対 $(K\ltimes N, K)$ を構成する.
$K$i)} から直積
(1) 幾つかの Gelfand 対 {i,i を構成
し, Gelfand 対
を得る.
$K$
をと
(2)
の閉部分群
6. さらに, 必要 {\breve \rightarrow 応じて の中心に含まれる
K-不変な閉部分群 $Z\subset Z$ (N) をとり) $N:=\tilde{N}/Z$ として対 $(K\ltimes N, K)$ が Gelfand
対であるかを判定する.
$V$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}_{i}:=V_{i}+$$N_{i}:=\exp \mathfrak{n}$$V_{i},$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}_{i}$$\mathfrak{n}_{i}$$N_{i}$$(K_{i}\ltimes N_{i},$$\tilde{K}=\prod_{i}K$$\tilde{N}=\prod_{i}N$$(\tilde{K}\ltimes\tilde{N}, K\tilde)$$\tilde{K}$$\tilde{N}$$Z(\tilde{N})$17
このように構成した対で重要なのは, がに indecornposable に作用す6 ときである. このようなとき, Gelfand 対 $(K\ltimes N, K)$ を indecomposable と呼$K$$V=\oplus_{i}.V_{i}$

ぶことにする.

定理 1. $N$ が reduced, $V$ が可約で indecomposable である極大な Gelfand 対は
以下の 2 通りである.

(I) $V=V_{1}\oplus V_{2}$ ( $K$ -加群としての既約分解), $K$ の ( V) への作用は multipricityfree,, 即ち, $N$ は 2(固の Heisenberg Lie 群の直積,(II) 次のいすれか$P$$\mathfrak{n}=(V_{1}+\mathbb{R})\oplus(V_{2}+\mathbb{R})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$(1)$K= \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross\prod_{i=1}^{r}\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{i}),$(2)$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\cross$(3) $K=$ 垣沖,

垣沖 1$V=\oplus_{i=1}^{r}\mathbb{H}^{n:},$$\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{i}),$Y$\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{i}),$

$=1$

,

$V=\oplus_{i=}^{r}1$(6)$K=\mathrm{T}$.

$\cross$SU(m)$(\mathbb{H}^{m}\oplus \mathbb{H}^{m})\oplus;=1$$[V, V]=\mathbb{R}\oplus\Delta(\mathbb{H}_{0}),$

垣沖 1$m\geq 3$$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross$$[V, V]=\mathbb{R}\oplus\Delta(\mathbb{H}_{0})$.,$\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{j})$12,$(\mathbb{H}_{0})\oplus\Delta_{34}(\mathbb{H}_{0})$,$\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{i}),$$V=(\mathbb{C}^{m}\otimes \mathbb{C}^{2})\oplus\oplus_{i=1}^{r}\mathbb{H}^{n_{i}}$

,

垣沖 1

$\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{i}),$,$V=(\mathbb{C}^{m}\otimes \mathbb{C}^{2})\oplus\oplus_{i=1}^{\tau}\mathbb{H}^{n_{*}}.$,$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross$(8)$[V, V]=\Delta$$\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross\prod_{i=1}^{r}\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{i}),$$[V, V]=\mathbb{R}\oplus\Delta(\mathbb{H}0)$(7)$\mathbb{H}^{n_{\mathrm{j}}},$,$V=(\mathbb{H}^{m}\oplus \mathbb{H}^{m})\oplus\oplus_{i=1}^{t}\mathbb{H}^{n_{*}}$$K= \prod_{i=1}^{r}\mathrm{S}\mathrm{p}(l_{i})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross\prod 8=1$$\mathbb{H}l:\oplus$,,$[V, V]=\Delta_{12}(\mathbb{H}_{0})\oplus\Delta_{23}(\mathbb{H}_{0})$$K= \mathrm{T}.\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross\prod$(5)$[V, V]=\Delta(\mathbb{H}_{0})$$\mathrm{S}\mathrm{p}(m_{i})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross\prod_{j=1}^{s}\mathrm{S}\mathrm{p}(nj)$$[V, V]=\mathbb{R}\oplus\Delta(\mathbb{H}0)$

0r,

$V$

$V=\mathbb{R}^{3}\oplus\oplus_{i=1}^{r}.\mathbb{H}^{n}:,$$V=\oplus_{i=1}^{r}\mathbb{H}^{m:}\oplus \mathbb{H}\oplus_{j=1}^{s}\mathbb{H}^{n_{j}},$(4)[ , V]=(H,,$V=(\mathbb{H}^{m}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^{2})\oplus\oplus_{i=1}^{r}\mathbb{H}^{n}:$,は H 架に対角線状に含まれる部分
ここて,(1)-加群を表す (2) において, 上の自然な SO(3)-加群
およびその 2 次交代 tensorを被覆写像
を通して SpO)-加群とみなす (3) では, 1 っ目 )はnj および\Delta お
m:, およびはに, 2 つ目のに作用する. (5) においては, 1 っ目のは $V$ において’ および 1 っ目のnj に作用するものとする.
は 2 っ目のに, 2 つ目のおよび$\Delta(\mathbb{H}_{0})$$\mathrm{S}\mathrm{p}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^{3}$$\Lambda^{2}\mathbb{R}^{3}$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\simeq \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)arrow \mathrm{S}\mathrm{O}(3)$$\oplus_{i=1}^{r}\mathbb{H}$$\mathbb{H}$$\sigma$$\Delta_{12}(\mathbb{H}_{0})$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$\mathbb{H},$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$(\mathbb{H}_{0})$$\oplus_{i=1}^{r}\mathbb{H}$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$\mathbb{H}^{m}$$\oplus_{j=1}^{s}\mathbb{H}$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$\mathbb{H}^{m}$$\oplus_{j=1}^{s}\mathbb{H}$2.3. reduced てない場合.
続いて, $N$ が reduced てない場合を考える. $W=V\oplus a,$ l $:=V+[V, V]$ とす
ると, 上の $K$ -加群としての直和分解
は Lie 代数としての直和分解に$1$$\mathbb{R}$$\mathfrak{n}=\mathfrak{n}_{1}\oplus a$

もなる.

ると,

$N_{1}=\exp \mathfrak{n}$$N=N_{1}\cross A$

1, $A=\exp a$ をそれぞれに対応する $N$ の解析部分群とすと直積分解される. このとき, $(K\ltimes N, K)$ が Gelfand 対である$\mathfrak{n}_{1},$$a$ためには, 任意の $a\in A\simeq a$ について, における $K$ の固定部分群を K。で表すと$K$a) がき, (Gelfand 対になることが必要十分てある. 特に, $(K\ltimes N, K)$が Geffand 対ならば, $(K\ltimes N_{1}, K)$ も Gelfand 対である.
$a$$K_{a}\ltimes N_{1},$

18
定義 7.

を簡約 Lie 群, $Z$ (L) を の中心,の単純因子とし,
r を$L=Z$ (L)と直積分解できるとする. また , $K$ を の compact 部
分群, $Z$ (K) を $K$ の中心, $V$ を 上の -加群とし,を $V$ の L-加群としての既約分解とする. このとき, $V$ が principal であるとは, 以下の条件が成り立つことである.
$L$

$L$

$L$

$L_{1},$$L$$\ldots,$$\cross L_{1}\cross\cdot\cdot \mathrm{I}\cross L_{r}$

$L$

$L$

$\mathbb{R}$

(1)
(2)

$Z(K)=Z(L)\cross(Z(K)\cap L_{1})\cross$$Z(L)=(Z(L)\cap \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{1}))\cross$定義 8.

$\cdot$$V=V_{1}\oplus\cdots\oplus V_{s^{\backslash }}$$\cross(Z(K)\cap L_{r})$,$\cdot\cross(Z(L)\cap \mathrm{G}\mathrm{L}(V_{s^{\backslash }}))$

を定義 7 と同じものとし,.

の各単純成分 で $V$ に自明に作用するものすべての直積を , 非自明に作用するものすべてと $Z$ (L) の直積をとお <| このとき, $V$ が-satureted であるとは, 以下の条件を満たすことで
$L,$

$K,$

$V$

$L$

$L_{i}$$P$$L^{0}$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$

ある.

(1)
(2)

の Sp(y-単純因子は $P$ またはに含まれる.
:
を自然な射影とする. もし, ある および一般の位置にある $x\in V$
でがおける固定部分群の像乃である.
と一致したら,$L^{i}:=Z$(3)とする. もし, の部分加群 $V’$ で(L) \Pi え’iが非自明に作用し,かつ Li-加群として既約となるものが存在すれば,は $V’$ の補空間に自明に作用$K$$p_{i}$$L^{0}$$Larrow L_{i}$$i$$x1_{-}^{}$$(L_{x})$$L_{x}$$L_{i}\subset K$$L_{1i}$$V$$L_{k}$$\cross$$L_{i}$$L_{i}$

する.

Gelfand 対 $(K\ltimes N, K)$ は, $V$ が principal, Sp(l)-saturated てあるとき, それぞれ principal, Sp(l)-saturated と呼ぶ. Yakimova は indecomposable, principal,
かつ Sp(l)-saturated である極大な Heisenberg 型 Gelfand 対を分類した ([Y4]それらのうち reduced でなくて, $K$ の中心が極大, 即ち $K$ に[Y5]).

$\mathrm{T}$

えられらないものは以下の通りてある.

(1)$K=\mathrm{T}\cross$(2)$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(4),$(3)$K=\mathrm{T}\cross$

SU

(4)

$K=\mathrm{T}\cross$

SU(4)

(5)

$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross K’\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$(6)$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross K’,$

(7)

$K=\mathrm{T}\cross$Spin(7),$\mathfrak{n}=(\mathbb{R}^{8}+\mathbb{R}^{7})\oplus(\mathbb{R}^{7}\otimes \mathbb{R}^{2})$(8)$K=\mathrm{T}\cross$Spin(7),$\mathfrak{n}=(\mathbb{C}^{8}+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{7}$,(9)$K=\mathrm{T}\cross$Spin(7),$\mathfrak{n}=(\mathbb{C}^{7}+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{8}$

,

(10)
(11)
(12)

SU(n),,$\mathfrak{n}=(\mathbb{C}^{n}+\mathbb{R})\oplus \mathit{5}\mathrm{u}(n)$$\mathfrak{n}=(\mathbb{C}^{4}+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{6}$$(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(4),$$\cross$

SU(n),SU(n),$\mathfrak{n}=((\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{4})+H\Lambda^{2}\mathbb{C}^{2})\oplus \mathbb{R}^{6}$,$K’=\mathrm{S}\mathrm{p}(1),\mathrm{T},$$\mathrm{T},$$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2),$$\mathfrak{n}=(\mathbb{H}^{n}$十町$\oplus(\mathbb{H}^{n}\otimes_{\mathbb{H}}\mathbb{H}^{m})$$\mathfrak{n}=(\mathbb{H}^{n}+\mathbb{H}_{0})\oplus HS_{0}^{2}\mathbb{H}^{n}$$\mathfrak{n}=(\mathbb{C}^{16}+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{10}$$\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2),$,$\mathfrak{n}=((\mathbb{C}^{4}\otimes \mathbb{C}^{n})+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{6}$$K’=\mathrm{S}\mathrm{p}(1),$$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(10),$$K=\mathrm{T}\cross$をそれ以上付け加,,,$\mathfrak{n}=((\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}^{2})+\mathbb{R})\oplus ff\mathrm{u}(2),$$\mathfrak{n}=((\mathbb{H}^{n}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}2)+\mathbb{R})\oplus$$n\geq 2$,

su(2), $n\geq 2$

,

19
(13)

$K=\mathrm{T}2\cross$(14)$K=\mathbb{T}2\cross$$n\geq 2$

(15)

(16)

Sp

$\mathfrak{n}=((\mathbb{C}^{n}\otimes \mathbb{C}2)+\mathbb{R})\oplus$

6,$((\mathbb{C}2\otimes \mathbb{C}4)+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}$$(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(4),$$\mathfrak{n}=((\mathbb{H}^{n}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^{2})+\mathbb{R})\oplus((\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{4})+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{6}$$K=\mathbb{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(4)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2),$$\mathfrak{n}=\mathbb{R}6\oplus$$((\mathbb{C}4\otimes \mathbb{C}2)+\mathbb{R})\oplus$

Uu(2),,$K=\mathrm{T}2\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(4)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(4)$$((\mathbb{C}4\otimes \mathbb{C}2)+\mathbb{R})\oplus$$K=\mathrm{T}2\cross$(18)

SU(4),$\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross$,$\mathfrak{n}=\mathbb{R}6\oplus$

(17)

SU(n)

SU(4),$K=\mathrm{T}^{2}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(4),$

ただし,

m は

$((\mathbb{C}2\otimes \mathbb{C}4)+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}$,$\mathfrak{n}=(\mathbb{C}^{4}+\mathbb{R})\oplus(\mathbb{C}^{4}+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{6}$$\mathfrak{n}=(\mathbb{C}^{4}+\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}^{6}\otimes \mathbb{R}^{2}$

6,,をそれぞれ斜体 上の右加群, 左加群とみなした
ときの tensor 積である
上の vector 空間である. また,にょ ,6 に作用する.
なお, $(5),(6)$ では $K’=\{1\}$ でも Gelfand 対になる. (7)は がなくても Gelfand 対てある,
さらに)(4) では $n\geq 5,$ (11) ては $n\geq 3$ のとき, がなくても Gelfand 対になる. (13) では, $n\geq 3$ のの第 2 成\mbox{\boldmath $\theta$}への作$\mathbb{H}^{n}\otimes_{\mathbb{H}}\mathbb{H}$$\mathbb{H}^{m}$$\mathbb{H}^{n},$$\mathbb{H}$$\mathbb{R}$$\mathrm{S}\mathrm{U}(4)\simeq \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(6)$$\mathfrak{y}$$\mathrm{S}\mathrm{U}(4)\#\mathrm{h}\mathbb{R}$$\mathrm{T}$$\mathrm{T}$$\text{とき},$$\mathrm{T}$用が自明でなけれぱ Gelfand 対になる.

-saturated でない Gelfand 対を分類するには, $K$ の被覆群 が Sp(l) を
単純 E 子にもち, その Sp(l)-因子が $V,$ $a\simeq A$
いすれにも非自明に作用する状況を考える必要がある. ます, 簡単のために Gelfand 対 $(K\ltimes N, K)$ につぃて $V,$
ともに既約であるとする. 必要に応じて $K$ をその中心拡大と取り替えることにょ
り, $K$ の閉部分群
は に,
は
が存在し,
にそれぞれ自明に作用し,$K=K_{1}’\cross$ Sp(1), と直積分解される. $K_{1}:=K_{1}’\cross$ Sp(l),とおく. このとき,も Gelfand 対 [こなる. 逆{こ, reduced な Gelfand
対
$A,$
に対して,
をとり, 任意の $a\in A$ につぃて K。を求めて,$K$a) が(Gelfand 対になれば $(K\ltimes N, K)$ も Gelfand 対になる.
はに自明に作用するから, Ka=Kl (K2)。である.
$fs$:を自然 射影&する.
はに自明 |\breve \rightarrow 作用するので,が Gelfand 対になるかが問題になる. そこで, $a\in A$
が一般の位置 \brev \leftrightar ow あるとき((K2)a) の単位元の連結成分がどのようになるかにょりを分類する.
(I)のとき.
$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$\tilde{K}$$a$$K_{1}’,$$K_{2}’$$K_{1}’$$a$$K_{2}’$$V$$\cross K_{2}’$$K_{2}:=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross K_{2}’$$(K_{1}\cross N_{1}, K_{1})$$(K_{1}\ltimes N_{1}, K_{1})$$K_{2}’$$K_{a}\ltimes N_{1},$$K_{1}’$$\cross$$p_{2}$$K_{2}’$$V$$A$$K_{2}arrow \mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$((K_{1}’\cross p_{2}((K_{2})_{a}))\ltimes N_{1}, K_{1}’\cross p_{2}((K_{2})_{a}))$$\text{の}$$p_{2}$$K_{2},$$A$$p_{2}((K_{2})_{a})_{0}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$\mathrm{o}K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n),$(II)$p_{2}((K_{2})_{a})_{0}=\mathrm{T}$n.

$A=\mathbb{H}$

のとき.

3,

$A=\mathbb{R}$$\mathrm{o}K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{O}(3),$,$\mathrm{o}K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross(\mathrm{T}\cross)\mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$A=\mathbb{C}2\otimes \mathbb{C}^{n}$$\mathrm{o}K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross(\mathrm{T}\cross)\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$A=\mathbb{C}2\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{H}^{n}$.

(III) $p_{2}((K_{2})_{a})_{0}=\{1\}$ のとき. それ以外の $(K_{2}, A)$ .
これ に対し , reduced な Gelfand 対 $(K_{1}\ltimes N_{1}, K1)$につぃて,$\check{\mathrm{b}}$に取り替えたときに Gelfand 対になるかを分類することにょり,まる.
およびは以下のように分類される.
$K_{1}$(1) ($K_{1}’\aleph N_{1},$$N_{1}$$Krightarrow$が Gelfand 対.

$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$K_{1},$$K_{2}$を$\mathrm{T},$$\{1\}$

の組が決

,

20
$\mathrm{o}K_{1}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n))\mathfrak{n}1=\mathbb{H}^{n}+\mathbb{H}$(2)$((\mathrm{T}\cross K_{\mathrm{I}}’)\ltimes N_{1},\mathrm{T}\cross K_{1}’)$0,が Gelfand 対だが, ( $K_{1}’\ltimes N1,$

$K\circ$

は Gelfand 対ではない.
$\mathrm{o}K_{1}=\mathbb{T}\cross$$(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$K_{1}=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$\bullet$$\mathrm{o}K_{1}=\mathrm{T}\cross$

(3) (

SU

SU

,

$n\geq 3$$\mathfrak{n}1=(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{n})+\mathbb{R},$$(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$(\mathrm{I}\cross K_{1}’)\ltimes N_{1},\mathrm{I}$$\mathfrak{n}1=(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{n})+\mathbb{R}$$\mathfrak{n}_{1}=(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}\mathbb{H}^{n})+\mathbb{R}$,, $n\geq 2$ .

K{) が Gelfand 対てはない. それ以外の$\cross$$(K_{1}, N_{1})$.

なる組 $(K_{2}, A),$ $(3)$(1) のときはすべての組 $(K_{2}, A)$ について, (2) のときはのときは $(K_{2}, A)=$ (n) のみ $(K\ltimes N, K)$ が Gelfand 対になる.
を可約とするとき, $V=V_{1}\oplus V_{2}$ とし, $i=1,2$ について,をの生成する の部分 Lie 代数, $N_{i}=\exp$ 馬をに対応する $N$ の解析部分群とすると, $(K\ltimes(N_{i}\cross A), K)$ も Gelfand 対になる. このことと定理 1 を組み合わせると, が可約で indecomposable のとき, 次の Geffand 対およひその central
reduction だけが (1) の場合となり, 他はすべて (3) の場合となる.
$(\mathrm{I}),(\mathrm{I}\mathrm{I})$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\mathrm{x}\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$\mathbb{H}$$V$$\mathfrak{n}_{i}=V_{i}+[V_{i}, V_{i}]$$V_{i}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}_{i}$$V$.

$\mathrm{o}K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross\prod_{i=}^{r}$$\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{i}),$$1$$V=\oplus$

L1$\mathbb{H}^{n_{i}},$

[V, ]
$V$

$=(\mathbb{H}_{0})^{\oplus r_{1}}$のが可約のときを考える. ます, が indecomposable で(y-単純因子がただ 1 つ作用するとき, 上の (I) を満たすものは以下のものてある.
$K_{2}$$a$$a$$\mathrm{o}K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross$$\mathrm{S}\mathrm{p}$

,

垣 ri

$=1 \mathrm{S}\mathrm{p}(l_{i})\cross\prod^{s}j=1\mathrm{S}\mathrm{p}(\prime mj)\cross\prod_{k=1}^{t}(\mathrm{S}\mathrm{p}(n_{k})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n_{k}’))$,$a=\oplus_{i=1}^{r}\mathbb{H}^{l_{1}}\oplus\oplus_{j=1}^{s}(\mathbb{H}^{m_{j}}\oplus H\dot{S}_{0}^{2}\mathbb{H}^{mg})\oplus\oplus_{k=1}^{t}(\mathbb{H}^{n_{k}}\oplus(\mathbb{H}^{\mathrm{n}_{k}}\otimes_{\mathbb{H}}\mathbb{H}^{n_{\acute{k}}}))$

ただし,$l_{i},$$mj,$ $n$ ” $n_{k}’>1$. (II) を満たすものは以下のものてある.

$\mathrm{o}K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross(\mathrm{T}\cross)\mathrm{S}\mathrm{U}(4),$$a=(\mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{4})\oplus \mathbb{R}^{6}$.

他はすべて (III) を満たす
$V,$

$a$

ともに indecomposable な成分が 1 つすつのときは, (I), (II), (III) と (1),(2), (3) の組み合わせは既約のときと同じてある. ただし, (3) なる組 $(K_{2}, a)$ は複の Sp(y-単純因子が 2 個
数組み合わさることを許すに非自明に作用するを考える.
以上あるものを構成するために, 以下の組
$V$

$K_{2}$$(K_{2}, a)$$\mathrm{o}K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1),$$\bullet$$a=\mathbb{H}$,$K_{2}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1),$$a=\mathbb{H}^{n}\oplus \mathbb{H}^{n}$.

これらに現れる Sp(l)-単純因子を indecomposable につないていくと樹木がてきる. これらの先端に上の (1), (2), (3) を満たす $V$ の indecomposable な因子や (I),(II), (III) を満たす

$a$の indecomposable な因子がつながるが, それが Gelfand 対となるのは以下のときてある.
$\bullet$(3) が 1 個て他が (I),

(2) が 1 個) (II) が高々 1 個で他が (1) または (I),$\bullet$$V$$\bullet$の因子はすべて (1) で$a$の因子は任意.

reduced でない Sp(l)-saturated な因子があるときは, 組(i]) を が indecomposable な場合に準じて分類すれば同様の方法で Gelfand 対が分類できる.
が indecomposable で Sp(l)-saturated なもののうち (1) を満たすのは分類における (5), (6) の場合であり, (2) を満たすのは分類における (4) において $n=2$ となるときのみである. 他で Sp(y-単純因子を持っものはすべて (3) を満たす
$W=V\oplus a$ に

$K_{1},$$W_{i}+[W_{i},$ $W$$W_{i}$$V$$W_{i}$\S 3. 簡約型 Gelfand 対.
が簡約 Lie 群である Gelfand 対で最も基本的なものは 半単純 Riemann 対称対 $(G, K)$ である. これは, 半単純 Lie 群 $G$ と $G$ の compact 部分群 $K$ で, 等質
空間 $G/K$ が Riemann 対称空間となるものである. 既約な半単純 Riemann 対称$G$対の分類はよく知られている. そこで, $G$ をより一般の簡約 Lie 群とし, $G/K$ がRiemann 対称空間にならないような Gelfand 対 $(G, K)$ を分類するこどをこの節の目的とする.
定義 9.

$G$を複素簡約代数群, $H$ を の部分代数群とする. このとき, 対 $(G, H)$の Borel 部分群について $G/H$ 内に稠密な B-軌道$G$が spherical てあるとは,をもつことである.

$G$

$B$

$\cdot$

簡約型 Gelfand 対と spherical な対には次のような関係がある.
$K$
命題 4([AV]). $G$ を簡約 Lie 群, $K$ を $G$ の compact 部分群とし,C をそれぞれ $G,$ $K$ の複素化とする. このとき, $(G, K)$ が Gelfand 対であるためには,$G_{\mathbb{C}},$$(G_{\mathbb{C}}, K\mathbb{C})$が spherical であることが必要十分である.

が半単純
spherical な対の分類は, が単純 Lie 群のとき Kr\"amer により,て $G/K$ への作用が principal のとき Mikityuk と Brion {こより分類された.
$G$が compact 単純 Lie 群て $G/K$ が Riemann 対称空間でない Gelfand 対 $(G, K)$は以下で与えられる ([Kr]).
$G$

$G$

$1\leq m<n$ ,(1)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(m+n),$(2)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2n+1),$ $K=\mathrm{T}$(3)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2n+1),$(4)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1),$(5)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(2n+1),$ $K=\mathrm{U}(n),$ $n\geq 2$(6)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(4n+2),$ $K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2n+1),$ $n\geq 2$(7)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(10),$$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$.

$\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$n\geq 2$$n\geq 2$$K=\mathrm{I}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n),$,$n\geq 2$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)\cross \mathrm{S}\mathrm{O}(2)$

,

,

,

,

,

22
(8)

$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(9),$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)$(9)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(8),$$K=G_{2}$,(10)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(7),$$K=G_{2}$,(11) $G=E_{6}$ ,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(10)$(12) $G=G_{2},$$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$

$G$

,

,

.

が非 compact 単純 Lie 群のときは次のようになる ([Y2] 参照).

(1)

$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(m,n)$,$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$(2)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2n, 1)$,$K=\mathrm{I}$(3)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2n, 1),$(4)

$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n, 1)$(5)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{o}(2n, 1)$(6)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}^{*}(4n+2),$ $K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2n+1),$(7)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}_{0}(8,2),$(8)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{o}(8,1)$,(9)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}_{0}(7,1)$, $K=G_{2}$ ,(11) $G=E_{6(-14)},$,.

$n\geq 2$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$K=\mathrm{T}\cross$$n\geq 2$$\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$1$\leq m,$\ovalbox{\tt\small REJECT} n$,,

Sp(n), $n\geq 2$ ,, $K=\mathrm{U}(n),$ $n\geq 2$ ,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(10)$,SO(2),$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)\mathrm{x}$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)$$n\geq 2$,.

番号は compact 単純 Lie 群に合わせている. (10), (12) に対応する Gelfand 対は存在しない.
$G$ が半単純で単純てはないとき,$G/K$ が対称空間でない indecomposable な
Gelfand 対 $(G, K)$ は次のように分類される.

(1)

(2)

$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{O}(n,\mathbb{C})\cross$SO$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{O}(n, \mathbb{C})$(1-1)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{O}(n+1),$ $K=\mathrm{S}\mathrm{O}(n),$(1-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{O}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{o}(n, 1),$$n\geq 5$,$K\mathrm{c}=\mathbb{C}^{\mathrm{x}}$.

$g\vdash\succ(g, g\oplus 1)$,,$\mathrm{S}\mathrm{L}(n, \mathbb{C})$, $n\geq 2$ ,

,

(2-1)

$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n+1),$(2-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n, 1)$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})\cross$, $n\geq 5,$$K=\mathrm{S}\mathrm{O}(n)\}n\geq 5$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{L}(n, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{L}(n+1,\mathbb{C})$$(z,g)\vdasharrow(g, zg\oplus z^{-n})$(3),$(n+1, \mathbb{C})$,$K=\mathbb{T}$$K=\mathrm{T}$SL(n $+2,$ ),$\mathbb{C}$$(z,g_{1},g_{2})\vdash+(g_{1}, z^{n}g_{1}\oplus z^{-2}g\mathrm{z})$

,

.

.

$\mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$\mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$K_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}^{\mathrm{x}}-$$n\geq 2$$n\geq 2$(SL(2,,,$\mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{L}(n,$$\mathbb{C}$

)),

,

23
(3-1)
(3-2)

(4)

$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1, \mathbb{C})$$(g_{1}, g_{2})\vdasharrow(g_{1}, g_{1}\oplus g_{2})$

(5)

(6)

$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1),$(4-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, m),$

$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$,$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(2, \mathbb{C})\cross$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n+2),$(5-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2,n),$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)$$\mathrm{S}\mathrm{p}(m+1, \mathbb{C})$,$K_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}^{\mathrm{x}}$$(z, g_{1},g_{2},g_{3})\vdash+(z^{2}g_{1}\oplus z^{-n}g_{2},g_{2}\oplus g_{3})$(7)$G^{\cdot}=\mathrm{S}\mathrm{U}(n+2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1),$(6-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(n+2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,m),$$K=\mathbb{T}$(6-3)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(n, 2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1),$$K=\mathrm{T}$(6-4)$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(n, 2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, m),$

$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1),$(7-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,m),$(7-3)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n, 1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,m),$,,$\mathbb{C}$$\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{C})\cross$Sp(m, )),$\mathbb{C}$

.

.
.

,

$(\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m))$,,$(\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m))$$(\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m))$$(\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m))$,$n\geq m$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,1)\cross$,$n\geq m$$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)$Sp(1),,,

Sp$(m, \mathbb{C})$$(g_{1},g_{2}, g_{3})\vdasharrow(g_{1}, g_{1}.\oplus g_{2}, g_{2}\oplus g_{3})$,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1,\mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1, \mathbb{C})$$(1, \mathbb{C})\cross$

,

,

,

,

,
,

(9-1)

$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1),$(9-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1),$ $K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$(9-3)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}$(9-4)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,m),$p $(1, m)$ ,,$n\geq 1,$ $m\geq 1$

,

(8-2)

Sp

,

$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1),$$\cross$,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$(8-1)$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})$$(n, \mathbb{C})$$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m, \mathbb{C})$$(2, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})$$(g_{1}, g_{2})\ulcorner*(g_{1},g_{1}\oplus g_{2},g_{2})$

(9)

Sp

,

(7-1)

Sp

,

,

.(SL(n, ) x.

$K=\mathrm{T}$$K=\mathrm{T}$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1\mathbb{C}\})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1, \mathbb{C})$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1,\mathbb{C})\cross$$(m, \mathbb{C})$

,

(6-1)

$(g_{1}, g_{2}, g_{3})\vdasharrow(g_{1}\oplus g_{2}, g_{2}\oplus g_{3})$

(8)

Sp

$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, \mathbb{C})\cross$

,

,

(5-1)

x

$(\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n))$,$K=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(2, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n+2, \mathbb{C})$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{L}(n+2, \mathbb{C})$,$(\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n))$

,

(4-1)

$(g_{1}, g_{2})\vdasharrow(g_{1}, g_{1}\oplus g_{2})$.

$K=\mathrm{T}$$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2, n),$.

$K=\mathbb{T}$$G=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n+2),$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$

,

,

,

24
(10)

$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1, \mathbb{C})\cross$Sp

Sp $(m+1, \mathbb{C})$ ,$(2, \mathbb{C})\cross$$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m, \mathbb{C})$(10-1),$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$(10-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,1)\cross$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, m)$$n\geq m$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross$(11-1)(11-2)(12)Sp$(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})$(12-2)(12-3)(12-4)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1),$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, l),$

$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross$

Sp $(l+1),$,$g\vdash\Rightarrow(g, g,g)$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, l),$,,$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1,\mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l,\mathbb{C})$$\mathbb{C}$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l)$Sp(m $+1,$ )$\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l+1, \mathbb{C})$Sp$(l,\mathbb{C})$,$m\geq l$Sp$(n,\mathbb{C})\cross$

Sp

,

,

,

$m\geq l$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1, \mathbb{C})\cross$$\cross$,$m\geq 1,$ $l\geq 1$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, l)$$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})$,,$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, l)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l),$,,$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l+1)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l),$,,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l),$

(14)

,

,

$(g_{1},g_{2},g_{3})\vdasharrow(g_{1},g_{1}\oplus g_{2},g_{1}\oplus g_{3})$(13-3)$n\geq m$$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$K_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m, \mathbb{C})\cross$(13-2),$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l+1),$ $K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l)$$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1,\mathbb{C})\cross$(13-1)$n\geq m$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1),$ $K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$(g_{1},g_{2})\}arrow(g_{1},g_{1},g_{1}\oplus g_{2})$

(13)

,

$G_{\mathbb{C}}=\mathrm{S}\mathrm{p}(1,\mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,\mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l+1,\mathbb{C})$(12-1),Sp $(1, 1)\cross$ Sp $(1, m)$ ,$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n, 1)\cross$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$(11)$n\geq 1,$ $m\geq 1$,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$(10-6),,$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, m)$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n, 1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,m)$,$n\geq 1,$ $m\geq 1$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(\prime m),$(10-5),,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$(10-4)$n\geq m$

Sp $(m+1)$ ,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m),$(10-3),,$(g_{1},g_{2}, g_{3}, g_{4})-+(g_{1}\oplus g_{2}, g_{2}\oplus g_{3},g_{3}\oplus g_{4})$Sp,$(l+1, \mathbb{C})$$(m, \mathbb{C})\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l,\mathbb{C})$,$(g_{1},g_{2},g_{3},g_{4})\vdash\not\simeq(g_{1}\oplus g_{2}, g_{1}\oplus g_{3},g_{1}\oplus g_{4})$

,

,

,

,

,

,

25
(14-1) $G=$ Sp$(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l+1)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l),$(14-2)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, l)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l),$(14-3)$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1,m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, l)$,,,$l\geq 1$,$n\geq 1,$ $m\geq l\geq 1$,$n\geq m\geq 1,$,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l),$(14-4),$n\geq m\geq l$$G=\mathrm{S}\mathrm{p}(1, n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1, l)$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(m)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(l)$.

$n\geq m\geq l$,

ここで, 番号 $(1)-(14)$ は [Br] [M] て分類された単純でない複素半単純群$G_{\mathbb{C}}$

とその

部分群
の対とその埋め込み方を表し,) $(*- 1)$ , . . . は対応する実形を表してぃる.
特に $(*- 1)$ のみが $G$ が compact Lie 群となるものである. また, (3), (6) は $n\geq 3$
はなくてもよい. ここで与えられた Gelfand 対はすべて principalのとき,てあることに注意する.
decomposable な簡約型 Gelfand 対は以下のようにして構成される.
(1) indecomposable な簡約型 Gelfand 対
‘よひ
をとり,
とする
.
は簡約型
(G,
対であ
すると
,
)
\Pi 沖 1
Gelfandi$K\mathrm{c}$$\mathbb{C}^{\mathrm{x}}$$\mathrm{T}$)$\{G_{i}, K_{i}\}_{i_{-A}^{-}}^{r}k$$T_{0}$$G_{i}, \tilde{K}=T_{0}\cross\prod_{i=1}^{r}K$$\cross$$\tilde{G}=$$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{s}T_{0}$$\tilde{K}$

る.

(2)

の中心の単位元の連結成分を , 半単純因子をとする. 必要があれば並べ替えることにより,
が 1 次元で, $(G_{i}, K/)$ は Gelfand$1\leq i\leq r$

なる

$i$

について

$K_{i}$$T_{i}$$K_{j}’$$T_{i}$

対にならないものたちがちょうど $1\leq i\leq t$ に現れるとしてよい.
$\{1,2, \ldots, r\}$ にとし,: $Tarrow T_{i}(0\leq i\leq r)$ を自然な射影とする. さらに,ついて ps : $T arrow\prod_{i\in S}T$i を自然な射影とする. いま $T’\subset T$ を連結閉部分群とす$T=T_{0} \cross\prod_{i=1}^{r}T_{i}$$S\subset$$p_{i}$る.

このとき,$( \tilde{G}, T\prime\prime\prod_{i=1}^{r}K_{i}’)$が Gelfand 対となるのは, 任意のについて 市 m $p_{S}(T’)$ が $S$ の元の個数定を満たすためには,
例 2.

$p_{0}(T’)=T_{0}$$G=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2),$$\# S$

かっ,$K=\Delta(\mathrm{T})$$\{1,2, \ldots, t\}$と一致することてある. さらに,
ロが有限である必要がある.

$T’$

51 の仮

$T_{0}$とする. このとき,は Riemann 対称空間であり,$S\subset$$G_{1}=\mathrm{S}\mathrm{U}(2),$$K_{1}=T_{1}=\mathrm{T}$

ともに
となり,
全射で,
1 点である. よって, $(G, K)$ は \S 1 の仮定を満たす簡約型 Gelfand
対で principal ではないものである.
で$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)/\mathrm{T}$$T_{0}$$T_{0}=\mathrm{T},$$T’=\Delta(\mathrm{T})$$p_{0},$$p_{1}$

寡 $T’$ は\S 4. 一般の Gelfand 対.

最後に,が一般の連結 Lie 群である Gelfand 対 $(G, K)$ の分類について現在までの結果を報告する. $G=L\ltimes N$ において, $L=K$ のときは $(G, K)$ は Heisenberg型である. また, $N=\{1\}$ とすると $(G, K)$ は簡約型となる. そこで, $L\neq K$ かっ$N\neq\{1\}$ とする.
$(G, K)$ を Gelfand 対とすると, $(L, K)$ も Gelfand 対である. ここて, $(G, K)$ が\S 1 の仮定を満たしていても, $(L, K)$ が満たしているとは限らない.
例 3.

$G$

を の Lie 代数とし, $K$ をを連結かつ単連結な可解 Lie 群,に自己同型として効果的に作用する連結 compact Lie 群とする. を の幕零根基とし, $N$ を鱈こ対応する の解析部分群とする. このとき, $(K\ltimes S, K)$ が Geffand$S$$\epsilon=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}S$

$S$

$S$

$\mathfrak{n}$

$S$

$g$

26
に同
対であるためには, $(K\ltimes N, K)$ が Gelfand 対であり, が $N$ と vector 群
型な の解析部分群 の半直積 $S=A\ltimes N$ となり, $K$ は に自明に作用し, 任意のについてとなることが必要十分である. さらに, $L=K\cross A$
とおくと, は簡約 Lie 群になり, $K\ltimes S=L\ltimes N$ となる ([BJRI] [Kik2]).
$S$$\mathbb{R}^{r}$

$A$

$A$

$S$

$A\cdot x\subset K\cdot x$$x\in \mathfrak{n}$$L$

例 3 において, $K$ が有限 abel 群でなければ $(L, K)$ は肘の仮定を満たさない.
そこで, $(L’, K)$ も仮定を満たすような の部分群 $L’$ を探し, 今までの議論に帰着$L$させる方法を与える.

Gelfand 対とすると, 命題 1 より $G=L\ltimes N$ と半直積に分解される.
の半直積因子をしかも , は の $K$ -不変な部分群としてとることができる.
$K$
はの簡約な正規部分
も -不変になる. $L_{0}:=KL$ s とすると,
とおくと,
$G/K$
は可換群になる.
が単連結であることから, ある vector 群
群になり,$(G, K)$ を

$L$

$G$

$L$

$L$

$L_{0}$$L_{s}$$L_{s}$$L/L_{0}$が存在して $L=A\cross L_{0}$ と直積分解する. いま, $S=A\ltimes N$ とおくと,は可解 Lie 群になり, $K$ は A に自明に作用し, $K\ltimes S=(K\cross A)\ltimes N$ となる.

$A\simeq \mathbb{R}^{r}$$S$の連結な compact 部分群て, $K$ を含む簡約なの幕零根基 に対応する $G$ の解析部分群 $N$
により $G=L\ltimes N$ と半直積分解され, しかも, は vector 群 A と $K$ を含む簡約との直積になると仮定する. このとき, $(G, K)$ が Gelfand 対であるため
Lie 群には, $(L_{0}\ltimes N, K)$ および $((K\cross A)\ltimes N, K)$ が Gelfand 対になることが必要十分てある.
命題 5. $G$ を連結 Lie 群, $K$ は部分群 と $G$ の Lie 代数
$L$

$L$

$\mathfrak{g}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(G)$$\mathfrak{n}$$L$$L_{0}$の中心 $Z$ (L0) は の定義により $K$に含まれる. よって,の半単純因子はの中心の連続準同型像となるから torus である. $K_{0}:=Z$ (L0)K とし, $K’:=K_{0}\cap L_{s}$とする. さらに, 必要があればの被覆群をとることにより, $(L_{s}, K’)$ は principal
な簡約型 Gelfand 対および compact 単純 Lie 群からなる自明な対 $(Kj, Kj)$ たちのについて, が $N$ に自明に作用
直積(L,, ) になる. 各すれば, $(L_{i)}K_{i})$ は Gelfand 対 $(L_{0}\ltimes N, K)$ の直積因子となる. よって, が $N$ に
非自明に作用する場合が問題になる. ここで, すべての が $N$ に非自明に作用するとする.
とすると, 命題 1 の条件 (3) より の K-加群としての既約
を K-加
(n),
分解は -加群としての既約分解にもなる.
群としての分解とし, $W=V\oplus a$ とする. $W$ の $K$ -加群としての indecomposableに非自明に作用するな加群たちへの直和分解を $W=W_{1}\oplus\cdots\oplus Wt$ とする.
$W$j] を[たちの直積を, 対応する たちの直積を K(力とし,に対応する $N$ の解析部分から生成される の部分 Lie 代数,
j を$K$ (j)) も$K$ (j)) は Gelfand 対{こなる. このとき, (群とすると, ($K$ j) となる.
(
Gelfand 対になり, $(L_{0}\ltimes N, K)$ は Gelfand 対の直積
そこで, 以下ては $G=L\cross N,$ は半単純, $(L, K)$ は indecomposable な Gelfand
対て, $K$ は $N$ に indecomposable に作用すると仮定する.
上の仮定の下では, まだ Gelfand 対の分類は完成していない. しかし, 幾つかの仮定の下ては分類されている. そのようなものを 2 つ挙けて終わることにする.
が $N$ に効果的に作用する principal で極大な Geffand 対は以下で与え$L\neq K$ で$K$

$L_{0}$$L_{0}$$L_{0}$$L_{s}$$(L_{1}, K_{1})\cross\cdot\cdot$[$\cross$$(L_{i}, K_{i})$$K_{r}$$L_{i}$$L_{i}$$L_{i}$$\mathfrak{n}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(N)$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}=V\oplus Z$$L$$Z(\mathfrak{n})=a\oplus[\mathfrak{n}, \mathfrak{n}]$$W_{j}$$L^{(j)}$$L_{i}$$N_{j}=\exp \mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathfrak{n}_{j}=W_{j}+$$K_{i}$$\mathfrak{n}_{j}$$K^{(j)}\ltimes N_{j},$$L^{(j)}\ltimes N_{j},$$L^{(j)}\ltimes Nj,$$\prod_{J^{=1}}^{t},$

$L$

$L$

られる ([Y3] [Y5]).

(1)$L=(\mathbb{T}\cross)\mathrm{S}\mathrm{U}(2n),$$W_{j},$$K=(\mathrm{T}\cross)\mathrm{S}\mathrm{p}(n),$$N=H_{2n},$ $n\geq 2$

,

27
2)

$L=\mathrm{S}\mathrm{O}(7),$3)$L=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7),$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(6)\simeq \mathrm{S}\mathrm{U}(4),$4)$L=\mathrm{S}\mathrm{O}(2n),$$K=\mathrm{U}(n),$5)$L=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{O}(8),$6)$L=\mathrm{S}\mathrm{O}(8),$$K=G_{2)}N=fl7,$$N=\mathbb{R}^{2n}\simeq \mathbb{C}^{n}$$K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7),$$K=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7),$例 4. 上の (1) (,,$N=\mathbb{C}^{8}$,$N=\mathbb{R}^{8}\otimes \mathbb{R}^{2}\simeq \mathbb{R}^{8}$(1) において, 51 の仮定を満たすために,含まれないとする. さらに, $N$ の中心$H_{2n}/\mathbb{R}\simeq \mathbb{C}^{2n}\simeq \mathbb{H}^{n}$$N=\mathbb{R}^{8}\simeq \mathbb{C}^{4}$$$\mathbb{R}^{8}$.

は $L,$ $K$ にともに含まれるか, ともに$Z(N)\simeq \mathbb{R}$ についての central reduction$N$にとっても Gelfand 対になる.
を新たに$\mathrm{S}\mathrm{U}(2n)\ltimes H_{2n}$$\mathrm{T}$, Sp(n)) が Gelfand 対であることを確認する. 命

題 1(3) は容易に確認できる.
において一般的な位置にあるについて L。,
を求めると, それぞれ $L_{x}=\mathrm{S}\mathrm{U}(2n-1),$ $K_{x}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n-1)$ てあ$K$x) も Gelfand 対である.
るから (これにより, (4) が示された. (5) について
において一般的な位置にあるとして対角行列をとることがては,き,となるから, $(K_{y}\ltimes H_{2n}, K_{y)})$ も Gelfand 対である. 以上により, (, Sp(n)) は Gelfand 対である.
, Sp(n) のかわりに, それぞれとしてもよい
.
のみを
ただし,
Sp(n)
に変えると Gelfand 対にはなるが 51 の仮定 (1) を満たさない.
$x\in \mathfrak{h}_{2n}$$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(H_{2n})=\mathfrak{h}_{2n}$$K_{x}$$L_{x},$$\mathrm{m}\simeq \mathfrak{l}/\mathrm{t}$$y\in \mathrm{m}$$K_{y}\simeq \mathrm{S}\mathrm{p}(1)^{\mathrm{x}n}$$\mathrm{S}\mathrm{U}(2n)\ltimes H_{2n}$$\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2n),$$\mathrm{S}\mathrm{U}(2n)$$\mathrm{T}$$\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(2n)$$\mathrm{S}\mathrm{U}(2n)$$\cross$

が reductive, $(L, K)$ が indecomposable で $L$ の $N$ への作用は局所的に効果的ではないが, $K$ の $N$ への作用が局所的に効果的となる Gelfand 対で Sp(l)$L$

saturated で極大なものは以下で尽くされる.

(1)$L=\mathrm{S}\mathrm{O}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{O}(n),$(2)$L=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n)\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$ $K=\mathrm{T}\cross \mathrm{S}\mathrm{U}(n),$(3)$K=\mathrm{S}\mathrm{O}(n),$$L=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2),$$N=\mathbb{H}^{2}$$k\vdash+(k, k),$

$N=\mathbb{R}^{n},$$n\geq 5$,$(t, k)\vdash+(t, k, k),$ $N=H_{n},$ $n\geq 3$,$(k_{1}, k_{2})-+(k_{1}, k_{2}, k_{2})$,$K=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2),$.

は $N$ に自明に作用
ただし, それぞれの例について, 2 つ目の SO (n),するとする. また, $L,$ $K$ のあとの写像は $K$ の への埋め込まれ方を表している.
$\mathrm{S}\mathrm{U}(n),$$\mathrm{S}\mathrm{p}(2)$$L$

fflJ 5.

$-\llcorner \text{の}(3)((\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2))\ltimes \mathbb{H}^{2}, \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2))\mathrm{B}^{\mathrm{S}}$Gelfand$\text{対}\mathrm{r}$はの 2 つ目のに自明あることを示す
いまは加法群と考えているかに作用するから定理 1(3) は明らかに成り立つ.
の 0 でない元ら (5) は自明.
,
Sp(l)
について,
の
への埋め込まれ方は $(k_{1}, k_{2})-t$ (k1, , (k1, ))で,$(L_{X},
K_{X})$
は Gelfand 対 (こなる. 従って,である. よって,は Gelfand 対になることが分かる.
$L=\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)$$\mathrm{S}\mathrm{p}(2)$$N=\mathbb{H}^{2}$$\mathbb{H}^{2}$$x\in \mathbb{H}^{2}$$\mathbb{H}^{2}$$K_{X}\simeq \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(1)$$K_{X}$$L_{X}$$L_{x}\simeq \mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross$$\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)$$k_{2}$$k_{2}$$((\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2))\ltimes$$\mathbb{H}^{2},$$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cross \mathrm{S}\mathrm{p}(2))$

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