数理解析研究所講究録
921 巻 1995 年 1-81

回転円盤流における二種類の不安定性について

航技研

1.

伊藤信毅

(

$\mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{t}$a$\mathrm{k}\mathrm{e}$I$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{h}$)

はじめに

最近筆者

1). は,. 後退翼上の三次元壌界層において$\cdot$$\cdot$$\backslash \backslash$*流 線曲率の存在そのものに基づく新しい遠心力型不安定が発生することを発見した。本論文では問題に適用し,$\text{、}$その解群手法を回転円盤流のこの流れにおいても流線曲率不安定が発生し得るかどうかを調べる。

2撹乱方程式と境界条件

静止流体中に置かれた半径の十分大きい円盤が$\omega_{\mathrm{D}}$

らは.

$-$

$\text{、}$で反時計方向に回転している場合を考え$\text{、}$

$-$

定角速度

円盤の表面か様速度の吸込みが行われているものとする。吸込み速度
無次元パラメタ動粘性係数)$\text{ー}$$\mathrm{a}$

.

を用いて

$\mathrm{V}_{\mathrm{z}}(0)=-\mathrm{a}_{S}\sqrt{\nu\omega_{\mathrm{D}}}$$\text{、}$($\nu$はと表わされる。円盤と同じ回転角速度で回転する円筒座標系を用い$\text{、}$外部非粘性流の速度$\mathrm{Q}_{\mathrm{B}}$と境界層厚さ$\delta$2を用いて諸量を無次元化するとき$=\sqrt{\nu}/\omega_{\mathrm{D}}$ズ数はを重ね合せて連続の式とナビエスト
れば$\text{ー}$クス方程式に代入す線形撹乱方程式が導かれる。本論文では$\text{、}$局所レイノルで定義される。基本流と微小な波動型撹乱

$/\nu$$\mathrm{R}=\mathrm{Q}_{\mathrm{B}}\delta$$\text{、}$分撹乱方程式を,その主要項だけ残すことによ厳密な偏微$\text{、}$て,$\text{っ}$簡単な常微分型モデル方程式に帰着させる。後退翼境界層の安定解1)析における考察$\{_{\llcorner}^{arrow}$

従いしないことを考慮すると回転円盤流では境界層厚さが変化$\text{、}$モデル方程式は次式で与えられる。

$\text{、}$[ $( \alpha^{2} +\beta^{2} )\{\frac{1}{\mathrm{R}}(\mathrm{D}^{\mathrm{a}} -\alpha^{2} -\beta^{2} )+\mathrm{i}(\omega -\alpha \mathrm{U} -\beta \mathrm{V})\}-2\alpha$(U-1)lu$\kappa$$\{\frac{1}{\mathrm{R}} (\mathrm{D}^{\mathrm{a}} -\alpha^{2} -\beta^{2} )+\mathrm{i}(\omega -\alpha \mathrm{U} -\beta \mathrm{V})\}\mathrm{D}$$-[\mathrm{i}\alpha$$( \beta \mathrm{U}’ - \alpha \mathrm{V}’ )]\mathrm{w}=0$$+\beta$$[$$\beta$,$\{\frac{1}{\mathrm{R}} (\mathrm{D}^{2}- \alpha^{2} - \beta^{2} )+\mathrm{i}(\omega - \alpha \mathrm{U}-\beta \mathrm{V})\}(\mathrm{D}^{2}- \alpha^{2} - \beta^{2} )$$+\mathrm{i}$ただし関数$\mathrm{F}$”$\mathrm{F}$$(\alpha \mathrm{U}’’ + \beta \mathrm{V}’’ )$$\mathrm{D}=\mathrm{d}/\mathrm{d}\zeta$$\text{、}${+2$\zeta)$$\mathrm{F}\mathrm{F}$

および
’

$-$

$(\mathrm{F}$$\mathrm{F}(0)-\mathrm{a}_{*}/2=\mathrm{F}$’’,$\mathrm{G}$1$\mathrm{w}$基本流は$(\zeta)$$\alpha$$\kappa$$\mathrm{U}=-\mathrm{G}$a $=0$ ,(0) $=\mathrm{G}(0)=\mathrm{F}$ ’$\text{、}$$\mathrm{i}\beta$$\{(\mathrm{U} - 1)\mathrm{D}+\mathrm{U} ’ \}\mathrm{u}=0$$(\zeta )$,$\mathrm{V}=\mathrm{F}’(\zeta )$.

(2. 1)と表わされ、は常微分方程式$)\mathrm{s}+(1+\mathrm{G})$の解である。また-2と$\beta$“$\mathrm{G}$+2$\mathrm{F}\mathrm{G}$’$-2\mathrm{F}$’$(1+\mathrm{G})=0$(2. 2)$(\infty )=\mathrm{G}(\infty )+1=0$

は局所的な境界層厚さ化された周方向と半径方向の波数$\omega$$\text{、}$は複素数で,$\delta$$\text{、}$

で無次元
その実部

3が振動数を虚部が時間的増幅率を表わす。回転円盤流では、$\text{、}$

流れ場の曲率を表わすパラメタ’に等しくなるが$\text{、}$$\text{ー}$$\kappa$がレイ. ノルズ数の逆数$\mathrm{R}$

本論文では仮想的に両者を独立な量として扱う。

境界条件は適当な高さに境界層の外縁$\text{、}$

そこでの接合条件を考慮すると$\mathrm{u}$$=$$\mathrm{w}’$$=$$\mathrm{w}$$\underline{\mathrm{i}\alpha}_{2}$$\mathrm{u}’+$

a

$0$

$=$

$\mathrm{t}$$\zeta$

$=0$

乙を設定し

$\text{、}$

つぎのように表わされる。

$\text{、}$,$(\mathrm{w}’’+ \rho_{1} \mathrm{w}’)=0$$\mathrm{u}$$\rho_{1}$$=$$\zeta$,.
$\rho_{2}$但$(2 \rho_{1} + \rho_{2} )\mathrm{w}^{\kappa}+$$\mathrm{w}’’’$$+$$\mathrm{w}’’+$$( \rho_{1} + \rho_{2} )\mathrm{w}’+$$\text{、}$$=$$\rho_{1}$($\alpha^{2}$$+\beta^{2}$$\rho_{1}$$( \rho_{1} +2 \rho_{2} )\mathrm{w}’+$$\rho_{1}\rho_{2}\mathrm{W}$$-\mathrm{i}\omega$$\mathrm{R}+\mathrm{i}\alpha$a$=0$R)1/$’$,$\beta \mathrm{z}$$=0$$\rho_{1}^{2}\rho_{2}\mathrm{W}$$\mathrm{t}$$=$$\zeta$$\zeta_{\epsilon}$,,(2. 3)である。

$=( \alpha^{2} +\beta^{2} )1/\mathrm{a}$以上の方程式と境界条件で定義される固有値問題は振動数$\omega$を波数れるパラメタ

界層外縁$\text{ー}$$\alpha$a,と$\text{、}$$\beta$$\text{、}$レイノルズ数

流線曲率の適切な位置は$\zeta_{\mathrm{e}}$$\kappa$$\text{、}$$\mathrm{R}$$\text{、}$複素および基本流に含まの関数として定める。なお境予備計算の結果にしたが$\text{っ}$て乙 =10 に 選ばれた。

3.

曲率の効果に関する検討

この節ではなパラメタ$\text{ー}$$\text{、}$レイノルズ数$\mathrm{R}$と流線の曲率$\kappa$を互いに独立として扱う。実際の回転円盤流では$\mathrm{R}=$$\kappa^{-1}$の関4係が成り立つから$\text{、}$

計算結果のうちこの関係を満たすものだ

けが現実の流れ場に対して意味を持ち想的な流れに対するものである。またに変えるために物体表面から$\text{、}$$-$$\text{、}$$\text{、}$

それ以外の結果は仮横流れの強さを自由様な吸い込みのある場合を考える。流れの安定特性を定量的に表わす最も簡単で有意義な量は臨界レイノルズ数であるからズ数の吸込み量
図1には$\mathrm{a}$.

$\mathrm{a}_{*}$と流線曲率$\kappa$$\mathrm{s}$以下では臨界レイノルに対する変化を調べる。

をいくつかの値に固定した場合についてに対する変化を示した。細い点線は曲線がこの点線と交わるときに$\text{、}$$\kappa^{-1}$$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}=$$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$の曲線での$\kappa$

臨界$\text{、}$

その値が現実の回転円盤流における臨界値を与える。破線は横流れ不安定に対する臨界曲線を表わす。特に

a$\mathrm{s}=0,$$\kappa$$=0$の点ではオルゾンマ

ルト方程式から得られる臨界レイノルズ数$\mathrm{a}*=0$

点で界値に対する破線は$\backslash$$\kappa$$\mathrm{R}_{\text{。}}=177$

に対して単調に上昇し$\text{、}$に

フ$\text{ー}$$-$$\text{ェ}$致する。

点線と交わる

現実の回転円盤流に対して流線曲率の効果を含めた臨$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}=250$に達する。すなわち$\text{、}$回転円盤流においては,流線曲率が横流れ不安定に対して安定化の効果をもたらす。 $-$方$\text{、}$

実線は横流れ不安定とは明らかに異なるもう$-$定性が存在することを示す。この新しい臨界曲線は近づくにつれてさいところでは$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$が急激に大きくなる性質を表わし$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}=$$\kappa^{-1}$曲線より下方に$\kappa$$\text{、}$つの不安$\kappa$

が$\kappa$$\text{、}$$0$にが小が十分大きいと

5

ころではそれより上方に位置する。これらの曲線は吸込みを増すと比較的緩やかに上昇し$\kappa^{-1}$$=$$\mathrm{R}$。

$\text{、}$$\kappa$を$-$定にしたときの R 。を$\mathrm{a}$.

tこ.

曲線との交点で与えられる現実的な臨界レイノルズ数はそれに伴
図 2 には$\mathrm{a}$$\text{っ}$て高くなる。

対して描いた。横流れ不安定の臨界値は吸込みに対して二次関数のような急激さで高くなるが$\text{、}$これは横流れ速度が小さくなると流れが安定になることを表わす。壁面からの吸込みが横流れ不安定を抑制するのに極めて有効であることを示している。実線の方はこれに比べてず$’\supset$と緩やかな増加を示し$\text{、}$新しい不安定性が横流れの強さにそれほど敏感でないことを意味している。
図 1の実線はほぼりる$\sqrt{\kappa}$$\mathrm{U}.\mathrm{O}$$\mathrm{R}_{\text{。}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{t}$1.

.

で特徴づけられる.

。

,

この

$\mathrm{U}$$\text{ロ}.,\text{ロ}.\mathrm{v}\kappa\cross 10^{2}$

図 1

臨界レイノルズ数の図 2

臨界レイノルズ数の曲率に対する変化吸い込みに対する変化

6

事実は$\text{、}$第二の不安定性が$\text{、}$ゲルトラ

不安定と同様に$\text{、}$

曲率に支配されたものであることを意味する。実際この不安定
撹乱を記述する撹乱方程式において ‘、 曲率項が本質的な役割を果たしていることを示す他の証拠も旧い出されている。

4.

回転円盤上の増幅撹乱の特性

ここでは実際の回転円盤流を考えて$\mathrm{R}=$$\kappa^{-1}$$\text{、}$の条件を課したときの吸込みのない流れの安定特性を議論する。既に見たように$\text{、}$回転円盤流では横流れ不安定と流線曲率不安定が発生する。流線曲率不安定の臨界レイノルズ数は非常に低いために,本研究が対象としている 100以上のレイノルズ数領域

では既に増幅撹乱が現れている。したが横流れ不安定の臨界値$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$$\text{っ}$てレイノルズ数がより低いところでは流線曲率不安定から生じる撹乱だけが存在し$\mathrm{R}$$\text{、}$が$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$を超えると二つの異なるタイプの撹乱が共存する状態になる。そこで本節ではレイノルズ数において最大増幅率を与える撹乱と$\mathrm{R}$$\text{、}$$\text{、}$各を固定したときの波数平面上における中立安定曲線の形状を調べる。
図 3には最大増幅率を持つ撹乱の波数と振動数のレイノルズ数に対する変化を示してある。波数$\alpha$

周する間に存在する波の個数$\mathrm{n}$円盤を$-$方向となす角度$\phi$と($\beta$$=\alpha$の計算結果から、R) と波頭の円周を知ることができる。横流れ撹乱では$\mathrm{R}$が7300 から 600 に変る間に$\mathrm{n}$は 30 から固定されている。これに対して$\phi$$=-7^{\mathrm{O}}\sim$$-2^{\mathrm{O}}$とな

らに回転数との比$\text{っ}$て$\text{、}$$\dot{\mathrm{f}}=2\pi$$\text{、}$59 に変化し$\phi$$\text{、}$は約 16

流線曲率撹乱では$\mathrm{O}$$\mathrm{n}=7\sim$に$3_{\text{、}}$

両者の間には大きな違いがある。さ$\mathrm{f}/$$(= \omega_{\mathrm{r}} \mathrm{R})$$\omega_{\mathrm{D}}$で表わした振動数でも、横流れ撹乱は流線曲率撹乱と逆符号のやや小さい値を持つ。
図 4にはいくつかのレイノルズ数に対して中立曲線を重ねて描いた。

$\mathrm{R}$が横流れ不安定の臨界値以下の場合には流線曲率不安定に対する中立曲線だけが存在し$\alpha$$\mathrm{R}$てと$\beta$$\mathrm{R}=200$$\text{、}$ではそれがの正の領域を中心にかなり大きな範囲を占めているが、が増すにつれてその領域は緩やかに縮小する。これに対し$\text{、}$

横流れ不安定は臨界侮を越えると急激に領域を拡げ$\mathrm{v}\cdot-$

図 3$\sim\cdot-$

回転円盤流における図 4.

$\nu$

..

$-$

$\mathrm{v}.\mathrm{p}$$\text{、}$臨$\mathrm{v}.\mathit{0}$$\alpha \mathrm{v}\cdot 1$

波数平面上の中立安

最大増幅率撹乱の性質定曲線

8界点を中心とした同心の楕円形状を示す。の中立曲線は$-$部分で接続し$-$ほぼ維持しながら線の形状は$\text{、}$$\mathrm{R}$が400では二つそれぞれの増幅領域の形状を$\text{、}$本の曲線に退化する。このよ’ うな中立曲

既にいくつかの文献とほとんど同じであり’$\mathrm{p}$$\text{、}$a a11$[]_{\check{\mathrm{c}}}$$\mathrm{e}1$$\mathrm{r}$)$*$$\mathrm{s}$’与えられているもの

不安定と呼ばれていたものが流線曲率不安定であることを意味する。

5.

むすび

回転円盤流には全く性質の異なる二種類の不安定性が存在$-$する。その曲率の影響は二義的であ$\text{、}$つの不安定は後退翼境界層の研究で発見された流$-$る。もうつは横流れ不安定で線曲率不安定に属するもので遠心力が不安定の力学機構に$\text{、}$

本質的な役割を果たす。従来の$\mathrm{P}$a a11$\mathrm{r}$$\mathrm{e}1$’

不安定は後者と同じものである。

参考文

献

1)

I, N.

(1994)

2)$\mathrm{L}\mathrm{i}11\mathrm{y}$3)$\mathrm{F}$$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{h}$a11, D. K.

$\mathrm{e}\mathrm{r}$, A. J.

$\mathrm{F}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{d}$(1966}(1991)J. A

J.

$\mathrm{D}\mathrm{y}\mathrm{n}$.

$\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}$$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}$.

$\mathrm{F}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{d}$$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{i}$. 14, 353-366.
.

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$23,481-494.

. 230, 245-269.