《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

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4

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5

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6

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10

2.3

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10

2.4

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11

2.5

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15

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15

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15

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21

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21

4.2

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22

4.3

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24

4.3.1

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25

4.3.2

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27

4.3.3

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27

ୈೋষ

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3.1

3.1.1
3.2

3.2.1
3.3
ୈ࢛ষ

4.4

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31

4.5

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32

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35

5.2

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35

5.3

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36

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36

5.3.2

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36

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39

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39

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39

A.1.2 ϏϦΞϧఆཧ͔Β͍͑Δ͜ͱ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

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40

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41

A.2.1 ϛΫϩΧϊχΧϧղ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

A.2.2 ΧϊχΧϧղ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

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45

B.1

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45

B.2

ಉ࣍വ਺‫ܕ‬ͷ৔߹

46

A.1

A.2

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1

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ୈҰষ

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ୈҰষ

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《修士論文》

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ୈҰষ

͸͡Ίʹ

͸ͲͷΑ͏ʹ͢Ε͹Α͍ͩΖ͏͔ʁ͍͔ͭ͘ͷํ๏͕ߟ͑ΒΕΔ͕ɺ͜͜Ͱ͸ҰൠతʹΑ͘஌ΒΕ͍ͯΔ(i) Tsallis ͷεέʔϦϯάଇ ͓Αͼ (ii) Kac ͷॲํᝦ ͷೋͭͷํ๏Λ঺հ͢Δɻ

1.4.1 Tsallis ͷεέʔϦϯάଇ୹‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬͸Ұཻࢠ͋ͨΓͷϙςϯγϟϧΤωϧΪʔ͕Ұఆͱ͍͏ৼΔ෣͍ (U/N = (const.))ΛΈͤΔͨΊɺ͜ΕΛҰఆͱ͢Δ‫ݶۃ‬Λߟ͑Ε͹Α͍ɻͱ͜Ζ͕௕‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬͸ 1.3 અͰ‫ੵݟ‬΋ͬͨΑ͏ʹ U/N ͕‫ܥ‬ͷେ͖͞ͷ૿େʹରͯ͠ൃࢄͯ͠͠·͏ͱ͍͏ৼΔ෣͍ΛΈͤΔɻͦͷͨΊ U ∝ N ͱ͠ͳ͕Β‫ܥ‬ͷେ͖͞Λ૿େͤ͞Δ͜ͱ͸෺ཧతʹ͸͋·Γҙຯͷͳ͍΋ͷͱͳͬͯ͠·͏ͷͰ͋ͬͨɻͦ͜Ͱ

U ∝ N ͱ͢ΔͷͰ͸ͳ͘ɺԿΒ͔ͷద੾ͳ N ∗ (N ) Λ༻͍ͯ U ∝ N N ∗ (N ) ͱ͢Ε͹͍͍ͷͰ͸ͳ͍͔ͱ͍
͏‫ظ‬଴͕ੜ·Εͨ [9]ɻͦͷ‫ޙ‬ͷଟ͘ͷղੳతɾ਺஋తͳ‫ʹڀݚ‬ΑΕ͹ɺ͜ͷ U ∝ N N ∗ (N ) ͱ͍͏εέʔϦϯά͸͔ͳΓͷਫ਼౓Ͱ੒ཱ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ͜ͷεέʔϦϯάΛҎԼͰ͸࠷ॳͷఏҊऀͷ໊લΛ‫ ͯ͠ף‬T s a l l i s ε έ ʔ Ϧ ϯ ά ͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δɻ͜ͷখઅͰ͸ Tsallis εέʔϦϯάͷৄࡉΛड़΂Δɻ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
1.3 અͰ‫ੵݟ‬΋ͬͨΑ͏ʹɺ௕‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬͸Ұཻࢠ͋ͨΓͷϙςϯγϟϧΤωϧΪʔ͸‫ܥ‬ͷେ͖͞ͷ૿େʹରͯ͠

U∝ Ld−α + (const.) ∝ N 1−α/d + (const.)
N

(1.5)

ͱ͍͏ৼ෣͍ΛΈͤΔɻͨͩ͠ N ͸‫ܥ‬ͷཻࢠ਺Ͱ͋Γɺ࠷‫ޙ‬ͷม‫Ͱܗ‬͸ཻࢠ਺ N ͱ‫ܥ‬ͷମੵ V = Ld ͕ਖ਼ൺྫ͢Δͱͨ͠ɻ͜ͷ͜ͱ͔ΒϙςϯγϟϧΤωϧΪʔ͸U ∼ N N ∗U ∗(1.6)

ͱεέʔϧͤ͞Ε͹Α͍ͱ‫ظ‬଴Ͱ͖Δɻͨͩ͠ U ∗ ͸ཻࢠ਺ N ʹґΒͳ͍ఆ਺*12 Ͱ͋ΓɺN ∗ := N 1−α/d(1.7)Ͱ͋Δɻ͜ͷεέʔϦϯάଇ͕ (ϙςϯγϟϧΤωϧΪʔʹର͢Δ) Tsallis εέʔϦϯάͰ͋ΔɻͦΕͰ͸Թ౓ T ΍શΤωϧΪʔ E ͸ͲͷΑ͏ʹεέʔϧͤ͞Ε͹Α͍ͩΖ͏͔ʁ·ͣɺ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬‫Ͱܥ‬΋ΧϊχΧϧ෼෍͕࣮‫͞ݱ‬ΕΔ*13 ͱ͢Ε͹ K = (D/2)N T ͕੒Γཱͭ͜ͱʹ஫໨͢Δɻ͜͜Ͱ D ͸ӡಈͷࣗ༝౓ͷ਺ (ਖ਼४࠲ඪͷ਺) Ͱ͋ΔɻैͬͯશΤωϧΪʔ͸

E =K +U =D
N T + N N ∗U ∗
2

(1.8)

͢ͳΘͪ

E
D T
=
+ U∗
NN∗
2 N∗

(1.9)

ͱͳΔɻैͬͯɺ͜ͷࣜͷ֤߲͕ҰఆͱͳΔͨΊʹ͸E ∼ N N ∗E ∗, T ∼ N ∗T ∗(1.10)

ͱεέʔϧͤ͞Ε͹Αͦ͞͏Ͱ͋Δɻ༷ʑͳ೤ྗֶྔʹରͯ͠΋ಉ༷ͷٞ࿦ʹΑͬͯεέʔϦϯάଇΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻҰཡΛද 1.1 ʹࣔ͢ɻ
*12

U ∗ ͸ N ʹ͸ґΒͳ͍͕ɺԹ౓ T ͳͲʹ͸ґଘͯ͠΋ߏΘͳ͍

*13௕‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬΋ΧϊχΧϧ෼෍͕࣮‫͞ݱ‬Ε͏Δ͜ͱ͸ɺҎԼͷΑ͏ʹਖ਼౰ԽͰ͖Δɻ௕‫཭ڑ‬૬‫ܥ༻࡞ޓ‬Λ୹‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ͷΈ͕ಇ͘ɺ௕‫཭ڑ‬૬‫ܥ༻࡞ޓ‬ΑΓ΋ඇৗʹେ͖ͳ೤ཋʹ઀৮ͤ͞ɺे෼௕͍ؒ์ஔ͢Δɻ͢Δͱ‫ܥ‬શମ͸ฏߧঢ়ଶ͕࣮‫͞ݱ‬Ε͍ͯΔͱߟ͑ΒΕΔͷͰɺ೤ཋʹରͯ͠े෼খ͞ͳ௕‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬͸ɺ೤ཋͷԹ౓Ͱࢦఆ͞ΕΔΧϊχΧϧ෼෍ (ͱ౳Ձͳঢ়ଶ) ͕࣮‫͞ݱ‬Ε͍ͯΔɻͳ͓ɺ೤ཋʹ઀৮ͤ͞ͳ͍৔߹ʹ͸Ұൠʹ͸ΧϊχΧϧ෼෍ (ͱ౳Ձͳঢ়ଶ) ʹ͸ͳΒͳ͍͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ (cf. Ξϯαϯϒϧͷඇ౳Ձੑ)《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

7

1.4 εέʔϦϯάଇ
ද 1.1୹‫཭ڑ‬૬‫͚͓ʹܥ༻࡞ޓ‬ΔεέʔϦϯάଇͱ Tsallis ʹΑΔ௕‫཭ڑ‬૬‫͚͓ʹܥ༻࡞ޓ‬ΔεέʔϦϯάଇ୹‫཭ڑ‬૬‫ܥ༻࡞ޓ‬௕‫཭ڑ‬૬‫ܥ༻࡞ޓ‬ΤωϧΪʔ EE ∼ NEE ∼ N N ∗E ∗Թ౓ T

T ∼ (const.)

T ∼ N ∗T ∗ମੵ V

V ∼ NVV ∼ NVΤϯτϩϐʔ S

S(E, N ) ∼ N s(E/N )S ∼ N s∗ (E/N N ∗ )ࣗ༝ΤωϧΪʔ F

F (T, N ) ∼ N f (T )F (T, N ) ∼ N N ∗ f ∗ (T /N ∗ )࣓Խ M

M (H, N ) ∼ N m(H)M (H, N ) ∼ N m(H/N ∗ )1.4.2 Kac ͷॲํᝦͪ͜Βͷํ๏΋௕‫཭ڑ‬૬‫ܥ༻࡞ޓ‬ಛ༗ͷΤωϧΪʔͷ૿͑ํʹͦͬͯ‫ܥ‬ͷେ͖͞Λ૿΍͍ͯ͜͠͏ɺͱ͍
͏ൃ૝Ͱ͋Γɺͦͷ఺Ͱ͸ Tsallis ͷεέʔϦϯάଇͱ‫ڞ‬௨͍ͯ͠ΔɻҟͳΔ఺͸ɺ‫͔ޙ‬ΒΤωϧΪʔ΍Թ౓Λ࿔ΔͷͰ͸ͳ͘ɺҰ൪࠷ॳʹ Hamiltonian Λมߋͯ͠͠·͍ɺͦͷमਖ਼͞Εͨ Hamiltonian ͷ΋ͱͰ೤ྗֶ‫ݶۃ‬Λߟ͑Δɺͱ͍͏ͱ͜ΖͰ͋Δɻྫ͑͹΋ͱͷ Hamiltonian Λ

H :=

N

p2
i

2m
i=1 

+

K

N
1
1 
2
||ri − rj ||αi=j=1(1.11)

U

ͱ͢Δͱɺϙςϯγϟϧ U ͸ઌ΄Ͳͷٞ࿦ΑΓ N ∗ := N 1−α/d ͱͯ͠ O(N N ∗ ) ͷྔͰ͋ΔɻҰํɺϙςϯγϟϧ͕୹‫཭ڑ‬తͰ͋Ε͹ͦΕ͸ O(N ) ͷྔͱͳΔ͸ͣͰ͋Δ͔Βɺͦͷ෼ϙςϯγϟϧΤωϧΪʔΛิਖ਼
ͯ͠
N
1
1 1 
H :=
+ ∗
2m N 2||ri − rj ||α
i=1
∗

N

p2
i

(1.12)

i=j=1

ͱ͍͏ Hamiltonian Λߟ͑Α͏ɻ͢ΔͱɺN ∗ ͷϑΝΫλʔͷ͓͔͛Ͱ͜ͷ Hamiltonian ͔Β‫ٻ‬ΊͨΤϯτϩϐʔ S ∗ ͸௨ৗͱಉ༷ʹS ∗ (E, N ) ∼ N s∗ (E/N )(1.13)

ͱ͍͏ؔ܎͕੒Γཱͭ͜ͱ͕‫ظ‬଴Ͱ͖ɺ఻౷తͳ೤ྗֶ΍౷‫ֶྗܭ‬ͷٞ࿦͕ͦͷ··ద༻Ͱ͖ΔͩΖ͏ɻ͜ͷΑ͏ͳख๏Λ K a c ͷ ॲ ํ ᝦ (Kac prescription) ͱ͍͏ [10]ɻ

˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜ϙςϯγϟϧ͕Ұछྨ͔͠ͳ͍৔߹ʹ͸ɺ
Tsallis ͷεέʔϦϯάଇͱ Kac ͷॲํᝦ͕ಉ݁͡ՌΛಋ͘͜ͱΛࣔͦ͏ɻ·ͣɺ΋ͱͷ Hamiltonian H ͓Αͼ Kac ͷॲํᝦద༻‫ޙ‬ͷ Hamiltonian H ∗ ͔Βܾ·Δঢ়ଶ਺ΛͦΕͧΕ

W (E, N ) :=W ∗ (E, N ) :=ͱ͓͘ɻ͜͜ͰΘ(E − H(Γ))dΓ(1.14)

Θ(E − H ∗ (Γ))dΓ(1.15)dΓ ͸͢΂ͯͷঢ়ଶʹ౉Δੵ෼ʢ૬্ۭؒͷੵ෼ʣͰ͋Δ*14 ɻ·ͨɺΤϯτϩϐʔΛঢ়ଶ਺ͷର਺Ͱఆٛ͢Δɻ

*14

ྔࢠ‫ͳܥ‬ΒτϨʔεʢ੻ʣΛͱΔૢ࡞ͩͱࢥ͑͹Α͍

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

8ୈҰষ

S(E, N ) := ln W (E, N )∗͸͡Ίʹ(1.16)∗S (E, N ) := ln W (E, N )(1.17)

·ͣ H ∗ ͔Βܾ·Δঢ়ଶ਺ W ∗ (E, N ) Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱɺ∗

W (E, N ) ==͜͜Ͱ P :=√Θ(E − K − U/N ∗ )dΓ

(1.18)

Θ(N ∗ E − N ∗ K − U )dN rdN p(1.19)N ∗ p ͱ͍͏ม਺ม‫׵‬Λߦ͏ͱɺW ∗ (E, N ) =Θ(N ∗ E − K − U )dN r

√

N∗

−N d

= (N ∗ )−N d/2 W (N ∗ E, N )dN P(1.20)(1.21)

ΛಘΔɻैͬͯɺ྆ลͷର਺ΛͱΔ͜ͱͰ

ND
ln N ∗
2ND
ln N ∗
S(E, N ) = S ∗ (E/N ∗ , N ) +2

S(N ∗ E, N ) = S ∗ (E, N ) +(1.22)(1.23)

ͱ͍͏ؔ܎͕੒Γཱͭ͜ͱ͕෼͔Δɻ্Ͱड़΂ͨΑ͏ʹ S ∗ (E, N ) ∼ N s∗ (E/N ) ͱ͍͏ؔ܎͕੒ΓཱͭͳΒ͹ɺ࠷‫ޙ‬ͷࣜ͸

S(E, N ) ∼ N s∗ (E/N N ∗ ) +ND
ln N ∗
2(1.24)

ͱͳΔ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δɻ͜ͷࣜ͸ӈลୈೋ߲ͷཻࢠ਺ͷΈʹґଘ͢Δ߲Λআ͚͹*15 ɺTsallis ͷεέʔϦϯάଇͷͱ͜ΖͰड़΂ͨΤϯτϩϐʔͷ઴ۙ‫ܥ‬ͷදࣜͱ‫׬‬શʹҰக͓ͯ͠ΓɺKac ͷॲํᝦͰ‫ٻ‬ΊͨΤϯτϩϐʔີ౓ͱɺTsallis ͷεέʔϦϯάଇ͕༧૝͢ΔΤϯτϩϐʔͷ઴ۙදࣜ͸શ͘ಉҰͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ

*15

͜ͷ߲͸ཻࢠ਺ͷΈʹґଘ͢ΔͨΊɺ௨ৗ͸ແࢹ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻྫ͑͹Թ౓Λ‫ٻ‬ΊΔ৔߹ʹ͸ΤϯτϩϐʔͷΤωϧΪʔඍ෼Λ‫͢ࢉܭ‬Ε͹Α͍ͨΊɺ͜ͷ߲͸݁Ռʹશ͘Ө‫͍ͳ͠ڹ‬《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

9ୈೋষಈ‫ͱػ‬എ‫ܠ‬͜ͷষͰ͸ຊ‫ڀݚ‬ͷಈ‫ͨͬͳͱ͚ͮػ‬ʮෳ਺ͷႈΛ࣋ͬͨ૬‫͕ࠞ͡༻࡞ޓ‬Γ͍͋ɺΫϩεΦʔόΛ‫͢͜ى‬Α͏ͳ௕‫཭ڑ‬૬‫ܥ༻࡞ޓ‬ʯʹ͍ͭͯߟ͍͑ͯ͘ɻ

2.1 ‫ݹ‬య֨ࢠ‫ܥ‬ຊ୊ʹೖΔલʹɺҎ߱ͷٞ࿦ͰͲͷΑ͏ͳϞσϧΛߟ͑Δͷ͔Λ۩ମతʹड़΂͓ͯ͘ɻʮ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬ʯͱฉ͘ͱɺॏྗଟମ‫ܥ‬΍ Coulomb ଟମ‫ܥ‬ͷΑ͏ʹۭؒதΛࣗ༝ʹಈ͖·ΘΔ͜ͱͷͰ͖Δཻࢠ͕ɺ‫ ∼ ʹ͍ޓ‬G · mM/r 2 ͷΑ͏ͳ௕‫཭ڑ‬૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΓҾ͖߹͍ͳ͕Βʢ·ͨ͸൓ൃ͠ͳ͕ΒʣӡಈΛ͍ͯ͠Δ༷ࢠΛ૝૾͢Δ͔΋͠Εͳ͍ɻ΋ͪΖΜͦͷΑ͏ͳ‫ܥ‬΋௕‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬͸͋Δͷ͕ͩɺ‫ݱ‬ঢ়Ͱ͸ͦͷΑ͏ͳ‫ܥ‬ͷฏߧঢ়ଶΛௐ΂Δ͜ͱ͸ղੳతʹ΋਺஋తʹ΋ඇৗʹ೉͍͠ɻͦ͜Ͱ௕‫཭ڑ‬૬‫༻࡞ޓ‬‫ܥ‬ͷٞ࿦ʹ͓͍ͯ͸͍ΘΏΔʮ‫ݹ‬య֨ࢠ‫ܥ‬ʯͱ͍͏ɺղੳతʹ΋਺஋తʹ΋ൺֱత؆୯ͳ*1 ϞσϧͷΈʹߜͬͯٞ࿦Λ͢Δ͜ͱ͕ଟ͍ɻͦͷͨΊɺຊ‫͍͓ͯʹڀݚ‬΋௕‫ྗ཭ڑ‬Λ΋ͭ‫ݹ‬య֨ࢠ‫ʹܥ‬ͷΈߜͬͯٞ࿦Λߦ͏΋ͷͱ͢Δɻ͜͜Ͱ‫ݹ‬య֨ࢠ‫͏͍ͱܥ‬ͷ͸ɺ‫ܥ‬Λߏ੒͢Δཻࢠ͸֨ࢠ఺্ʢҰ࣍‫࠯ݩ‬΍ೋ࣍‫ݩ‬ਖ਼ํ֨ࢠ͕ଟ
͍ʣʹ‫ݻ‬ఆ͞Ε͓ͯΓɺۭؒతʹ͸ಈ͘͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍͕ɺ͔ΘΓʹཻࢠͷ಺෦ࣗ༝౓—ྫ͑͹εϐϯͷ֯
౓ͳͲ—ͷΈ͕࣌ؒൃల͢Δɺͱ͍͏ϞσϧͰ͋Δɻ௕‫཭ڑ‬ੑ͸ͲͷΑ͏ʹೖΕΔͷ͔ͱ͍͏ͱɺ௨ৗ͸࠷ۙ઀ཻࢠؒͰͷΈ૬‫༻࡞ޓ‬Λߦ͏ͱԾఆ͢Δ͜ͱ͕ଟ͍͕ɺ͜ΕΛ͢΂ͯͷཻࢠ͕‫ʹ͍ޓ‬૬‫༻࡞ޓ‬Λ͢ΔΑ
͏ʹมߋ͢Ε͹Α͍ɻྫ͑͹͢΂ͯͷཻࢠ͕શ͘ಉ͡େ͖͞Ͱ૬‫༻࡞ޓ‬Λ͢Δ৔߹ʹ͸ʮฏ‫ۉ‬৔Ϟσϧʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ௕‫཭ڑ‬ϞσϧʹͳΔɻ͔͠͠ͳ͕Β͜ͷΑ͏ͳϞσϧͰ͸͋·Γ෺ཧతͰ͸ͳ͍ͨΊʹɺҎ߱ͷٞ࿦Ͱ͸ཻࢠϖΞͷۭؒతͳ‫ ཭ڑ‬R ʹରͯ͠ 1/Rα ͷΑ͏ʹɺ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ‫ʹ཭ڑ͕͞ڧ‬ରͯ͠ႈతʹ‫ݮ‬ਰ͢Δ
Α͏ͳϞσϧΛओʹऔΓѻ͏ɻैͬͯ Hamiltonian ͷҰൠ‫ܗ‬͸ɺi ൪໨ͷཻࢠͷ৐͍ͬͯΔ֨ࢠ఺ͷҐஔΛද͢ҐஔϕΫτϧΛ Ri ʢ࣌ؒతʹҰఆͳఆ਺ʣɺཻࢠͷ಺෦ࣗ༝౓ͷ࠲ඪʢਖ਼४࠲ඪʣΛද͢ม਺Λ qi (t)ɺ͜Εͱ‫ڞ‬໾ͳӡಈྔʢਖ਼४ӡಈྔʣΛ pi (t) ͱ͢Δͱɺ

H=

N

p2
i

2m
i=1

+

N
u(qi , qj )J 
2||Ri − Rj ||α(2.1)

i=j=1ͷΑ͏ͳ‫͋Ͱܗ‬ΔɻHamiltonian ͷࣜʹ‫ݱ‬Εͨ α ͕͜ͷϞσϧ͕୹‫ͳ཭ڑ‬ͷ͔௕‫ͳ཭ڑ‬ͷ͔ΛܾΊΔύϥϝʔλͰ͋Γɺ֨ࢠͷฒΜͰ͍Δۭؒͷ࣍‫ݩ‬Λ d ͱ͢Δͱ α  d ͷͱ͖ʹ௕‫ͳͱ཭ڑ‬Γɺα > d ͷͱ͖ʹ͸୹‫ͳͱ཭ڑ‬Δɻಛʹ α → ∞ ͷ‫ݶۃ‬Λߟ͑Δͱɺ཭Εཻͨࢠಉ࢜ͷ૬‫༻࡞ޓ‬͸࠷ۙ઀֨ࢠͱͷ૬‫༻࡞ޓ‬ͷେ͖͞ͱൺ΂ΔͱແࢹͰ͖ΔΑ͏ʹͳΔͨΊɺ͜ͷ৔߹ʹ͸௨ৗͱಉ༷ͷྡ઀֨ࢠؒʹͷΈ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ͋ΔϞ
*1͜͜Ͱʮ؆୯ʯͱ͍͍ͬͯΔͷ͸ɺॏྗଟମ‫ͱͲͳܥ‬ൺֱ͢Ε͹؆୯Ͱ͋Δɺͱ͍͏ҙຯͰ͋Γɺ‫ݹ‬య֨ࢠ‫ܥ‬ͷΈʹߜ͔ͬͨΒͱ͍ͬͯղੳ‫Ͳ΄͏·͖ͯ͠Ͱ͕ࢉܭ‬؆୯ʹͳΔ͜ͱ͸ඇৗʹগͳ͍ɻ࣮ࡍɺႈ‫ݮ‬ਰΛߦ͏௕‫ݹ཭ڑ‬య‫͋Ͱܥ‬Δఔ౓‫ີݫ‬ղΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱͷͰ͖ΔϞσϧ͸ႈ‫ݮ‬ਰ‫ܕ‬ͷ Hamiltonian mean ﬁeld (HMF) Ϟσϧ΍௕‫ ཭ڑ‬Ising ϞσϧͳͲɺ਺͑Δఔ౓͔͠ଘ
ࡏ͠ͳ͍

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

10ୈೋষ ಈ‫ͱػ‬എ‫ܠ‬σϧͱΈͳͤΔɻҰํ α = 0 ͷ৔߹ʹ͸͢΂ͯͷཻࢠ͕શ͘ಉ͡େ͖͞ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λ΋ͭΑ͏ʹͳΔͨΊɺ͜ͷ৔߹͸͍ΘΏΔʮฏ‫ۉ‬৔ϞσϧʯΛߟ͍͑ͯΔ͜ͱʹͳΔ͜ͱʹ஫ҙ͓ͯ͘͠ɻ

2.2 Ϟσϧ
͜ΕҎ߱Ͱ͸‫ʹ͍ޓ‬ҟͳΔೋͭͷႈ‫ݮ‬ਰΛߦ͏૬‫༻࡞ޓ‬ϙςϯγϟϧ͕଍͋͠Θͬͨ͞Α͏ͳϞσϧΛߟ͑ɺ͜ͷϞσϧ͕௨ৗͷऔΓѻ͍Ͱ͸ͲͷΑ͏ʹഁ୼͢Δͷ͔ΛΈ͍ͯ͘ɻ·ͣ͸͡ΊʹɺҎ߱Ͱ༻͍Δม਺΍‫߸ه‬Λఆ͓ٛͯ͜͠͏ɻ• ཻࢠͷ‫ ਺ݸ‬N
‫ܥ‬Λߏ੒͢Δཻࢠʢ֨ࢠ఺ʣͷ૯਺Λ N ͱ͓͘ɻྫ͑͹ೋ࣍‫ࢠ֨ݩ‬Λߟ͍͑ͯΔ৔߹ʹ͸Ұลͷ֨ࢠ఺਺Λ L ͱ͓͘ͱ N = L2 Ͱ͋Δ• ֨ࢠ఺ͷ࠲ඪ Ri
i ൪໨ͷཻࢠ͕৐͍ͬͯΔ֨ࢠ఺ͷ࠲ඪΛ Ri ͱ͓͘• ۭؒ࣍‫ ݩ‬d֨ࢠ఺Λߏ੒͍ͯ͠Δۭؒͷ࣍‫ݩ‬Λ d ͱ͔͘ɻྫ͑͹ೋ࣍‫ࢠ֨ݩ‬Λߟ͍͑ͯΔ৔߹ʹ͸ d = 2 Ͱ͋Δ• ਖ਼४࠲ඪ qii ൪໨ͷཻࢠʹுΓ෇͍͍ͯΔਖ਼४࠲ඪ (ྗֶม਺) Λ qi ͱ͓͘ɻྫ͑͹‫ݹ‬యεϐϯ‫ܥ‬Λߟ͍͑ͯΔ
ͷͰ͋Ε͹ qi ͸ i ൪໨ͷཻࢠͷεϐϯͷ֯౓ (޲͖) Λද͍ͯ͠Δ• ӡಈͷࣗ༝౓ Dཻ֤ࢠʹுΓ෇͍͍ͯΔਖ਼४ม਺ͷ࣍‫ݩ‬Λ D ͱ͓͘ߟ͑Δͷ͸લઅͰղઆͨ͠௕‫ݹ཭ڑ‬య֨ࢠϞσϧͰ͋Δ͕ɺ͜ΕΛগ͠มߋͯ͠ɺ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ‫཭ڑ͕͞ڧ‬ʹରͯ͠ α ৐Ͱ‫ݮ‬ਰ͢Δ߲ͱɺβ ৐Ͱ‫ݮ‬ਰ͢Δ߲Λ଍͠߹Θͤͨ࣍ͷΑ͏ͳ Hamiltonian Λߟ͑Δɿ

HN :=

N

p2
i

2m
i=1

N

N

+ Uα { qi }i=1 + Uβ { qi }i=1

(2.2)

N
A
J 
u(qi , qj )2||Ri − Rj ||α

(2.3)

N
B
J 
u(qi , qj )2||Ri − Rj ||β

(2.4)

ͨͩ͠ɺ
N

Uα { qi }i=1 :=i=j=1NUβ { qi }i=1 :=i=j=1

Ͱ͋Δɻ·ͨҎԼͰ͸ α < β ͔ͭ α < dɺ͢ͳΘͪ Uα ͷํ͕ Uβ ͱൺֱͯ͠ΑΓ௕‫Ͱ·཭ڑ‬ಇ͖ɺ·ͨUα ͸௕‫཭ڑ‬తͰ͋Δͱ͢ΔɻUβ ʹ͍ͭͯ͸ɺ୹‫཭ڑ‬తͳ৔߹ͱ௕‫཭ڑ‬తͳ৔߹ͷ྆ํΛߟ͑Δɻ

2.3 εέʔϦϯάଇΛߟ͑Δ
͜ͷͱ͖ɺ1.4.1 અͰड़΂ͨ Tsallis ͷεέʔϦϯάଇʹొ৔ͨ͠ N ∗ ͕ͲͷΑ͏ʹ༩͑ΒΕΔ͔Λߟ͑ͯΈΑ͏ɻ‫े͕ܥ‬෼େ͖ͳ৔߹ʹ͸ɺΑΓ஗͘‫ݮ‬ਰ͢Δ Uα ͕ࢧ഑తʹͳΔ͸ͣͰ͋ΔɻUα ͸ 1/rα ͱ͍͏‫ݮ‬ਰͷ࢓ํΛ͍ͯ͠Δ߲Ͱ͔͋ͬͨΒɺN ∗ = N 1−α/d ͱબ΂͹Α͍ͷͰ͸ͳ͍͔ͱ༧૝Ͱ͖ΔͩΖ͏ɻͱ͜ΖͰ UαUβ ͱͳΔͷ͸‫ܥ‬ͷཻࢠ਺ N ͕Ͳͷ͘Β͍େ͖͘ͳͬͨͱ͖Ͱ͋Ζ͏͔ʁ͜ͷᮢ஋ NCΛ‫ੵݟ‬΋ͬͯΈΑ͏ɻͦͷͨΊʹ·ͣ͸ Uα , Uβ ͷେ͖͞Λ‫͢ࢉܭ‬Δɻ·ͣ Uα ʹ͍ͭͯ͸ 1.3 અͰߦͬͨ

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

11

2.4 ۩ମྫ
΋ͷͱಉ༷ͷ‫ࢉܭ‬Λߦ͏ͱ

 L

Uα

ρJAΩd δ d−αJA dρJAΩd d−αd−αL
N 1−α/d − 1 N
N
=
d
r
=
−
δ
α
r
d
−
α
d
−
α
δ
ρJAΩd δ d−α 2−α/d
N
∼
d−α
N

ρ

(2.5)
(2.6)

ͱ‫ੵݟ‬΋ΕΔɻ͜͜Ͱ δ ͸ཻࢠؒͷయ‫ܕ‬తͳ‫཭ڑ‬ɺρ ͸ີ౓ͷҰൠԽ (ͭ·Γɺߟ͍͑ͯΔϞσϧʹԠ࣭ͯ͡ྔີ౓΍ిՙີ౓ͳͲʹରԠ͢Δ)ɺΩd ͸ d ࣍‫͚͓ʹݩ‬Δཱମ֯ɿΩ1 = 2, Ω2 = 2π, Ω3 = 4π, · · · , Ωd =2π d/2Γ(d/2)(2.7)

Ͱ͋ΔɻUβ ΋ಉ༷ʹ‫ੵݟ‬΋Δͱɺ⎧ρJBΩd δ d−β 2−β/d
⎪
⎪
⎪
N
⎨
d−β
Uβ ∼
⎪ ρJBΩd δ d−β
⎪
⎪
⎩
N
d−β
ΛಘΔɻैͬͯ UαN

β < d (௕‫཭ڑ‬తͳ৔߹)(2.8)
β > d (୹‫཭ڑ‬తͳ৔߹)Uβ ͱͳΔͷ͸ɺ͜ͷೋͭͷΤωϧΪʔͷେ͖͞ͷ‫ੵݟ‬ΓΛ‫ݟ‬ൺ΂ͯ⎧  d/(β−α)
1 B
⎪
⎪
⎪
⎨ δd ANC := d/(d−α)
⎪
⎪
1
B
⎪
⎩
d(β−α)/(d−α)
Aδβ < d (β ͕௕‫཭ڑ‬తͳ৔߹)(2.9)
β > d (β ͕୹‫཭ڑ‬తͳ৔߹)ͱͳΔ৔߹Ͱ͋Δɻ͜ͷࣜʹొ৔͢Δ B/A ͱ͍͏߲ʹ஫໨͢ΔͱɺA ΋ B ΋ϞσϧΛಛ௃෇͚ΔύϥϝʔλͰ͋Δ͔Βɺͦͷൺ B/A ͸͍͘ΒͰ΋େ͖ͳ஋ʹͳΓ͏Δɻ͜Ε͸ͭ·Γ NC ͕͍͘ΒͰ΋େ͖͘ͳΓ͏Δ͜ͱΛ͓ࣔͯ͠ΓɺB/A ͕ඇৗʹେ͖ͳ‫Ͱܥ‬͸ NC ͕զʑͷ‫ڵ‬ຯͷ͋ΔαΠζΑΓେ͖͘ͳͬͯ͠·͏৔߹͕͋Δ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δɻ

2.4 ۩ମྫ
Ҏ্Ͱ UαUβ ͱͳΔΑ͏ͳ‫ܥ‬ͷཻࢠ਺ͷԼ‫ ݶ‬NC ͕͍͘ΒͰ΋େ͖͘ͳΓ͏Δͱ͍͏͜ͱΛΈ͕ͨɺ࣮ࡍͷ‫Ͱܥ‬͸Ͳͷ͘Β͍ͷେ͖͞ʹͳΔͷͩΖ͏͔ʁͦͷ۩ମతͳେ͖͞Λ Lennard–Jones ϙςϯγϟϧͱॏྗ͕ಇ͍͍ͯΔ෼ࢠʹରͯ͠‫ٻ‬ΊͯΈΑ͏ɻҎԼͷ Hamiltonian Λߟ͑Δɻ

U (r) = −

Gm2
+ 4
r



σ
r

12

−

σ
r

6


(2.10)

Lennard–Jones ϙςϯγϟϧ͸‫ر‬Ψε‫( ࢠݪ‬෼ࢠ) ͷ van der Waals ྗΛΑ͋͘ΒΘ͢ϞσϧͰ͋Δ͔Βɺ‫ر‬Ψε‫ࢠݪ‬ͷҰͭͰ͋ΔʮωΦϯʯʹରͯ͠ NC ͷ஋Λਪఆ͍ͯ͘͠ɻ
ࠓߟ͍͑ͯΔ Hamiltonian ͸ r −1 , r −6 , r −12 ͱ͍͏ࡾͭͷႈ͕‫ʹ͍ޓ‬଍͋͠Θͬͨ͞΋ͷͰ͋Δ͕ɺର৅͕े෼ബ͚Ε͹ (௿ີ౓Ͱ͋Ε͹) 1/r 12 ͷ߲͸ແࢹͰ͖Δͱߟ͑ΒΕΔɻैͬͯઌ΄Ͳ‫ٻ‬Ίͨ NC ͷදࣜʹରͯ͠ α = 1, β = 6, A = Gm2 , B = 4σ 6 Λ୅ೖ͢Ε͹Α͘ɺNC =1
δ 15/2



4σ 6
Gm2

3/2
=: NCneon(2.11)

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12ୈೋষ ಈ‫ͱػ‬എ‫ܠ‬Ͱ͋Δͱ෼͔Δɻॏྗఆ਺ G ΍ωΦϯͷ࣭ྔ͓Αͼ Lennard–Jones ύϥϝʔλ [11] ͸ҎԼͷΑ͏Ͱ͋Δɻ

G = 6.67 × 10−11 m3 s−2 kg−1

(2.12)

σ = 0.274 nm(2.13)−21

 = 0.500 × 10
20.18
g
m=
NA
NA = 6.02 × 1023

J

(2.14)(2.15)(2.16)

·ཻͨࢠؒͷయ‫ܕ‬తͳ‫ ཭ڑ‬δ ͸ɺ0◦ C, 101.325 kPa ʹ͓͚ΔωΦϯͷ࣭ྔີ౓ ρ = 900 g/m3 Λ༻͍Δͱ


δ=

m
ρ

1/3
= 3.34 nm(2.17)

ͱ‫·ٻ‬ΔɻैͬͯҎ্ͷ਺஋Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰɺ

NCneon = 1.42 × 1038 = 2.36 × 1014 mol(2.18)

ΛಘΔɻ͜Ε͸ॏ͞‫Ͱࢉ׵‬͸໿ 48 ԯτϯ΄Ͳɺ௕͞‫Ͱࢉ׵‬͸*2 17km ΄ͲͰ͋Γɺ͍ܰখ࿭੕ఔ౓ͷେ͖͞
ͱͳΔ*3 ɻ2.5 ໨ඪ
Ҏ্ͷ݁Ռ͔ΒɺॏྗͷޮՌ΋ߟ͑ͯωΦϯͷੑ࣭Λٞ࿦͢Δ৔߹ʹ͸ɺ௕‫཭ڑ‬૬‫఻Ͱܥ༻࡞ޓ‬౷తʹ༻͍ΒΕ͍ͯΔ N ∗ ∝ N 1−α/d ͱ͍͏εέʔϦϯάΛͦͷ··ద༻͢ΔͱɺNC ΑΓ΋‫ڊ‬େͳ‫ʹܥ‬ରͯ͠͸ਖ਼͍݁͠ՌΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ͕ɺ‫͜ʹٯ‬ΕΑΓ΋খ͞ͳ‫ܥ‬ͷٞ࿦Λߦ͏৔߹ʹ͸ԿΒ͔ͷमਖ਼ΛߦΘͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɻͦΕͰ͸ɺͲͷΑ͏ʹमਖ਼Λߦ͑͹Α͍ͩΖ͏͔ʁ·ͣɺ‫ܥ‬ͷେ͖͕͞ NC ΑΓ΋ඇৗʹখ͞ͳ৔߹ʹ͸͍͔ࣗ͞͞໌Ͱ͋Δɻ೔ৗϨϕϧͷେ͖͞Ͱ͸ॏྗͷޮՌ͸ Lennard–Jones ϙςϯγϟϧ (෼ࢠؒྗ) ʹൺ΂ͯԿܻ΋খ͘͞ɺॏྗͷޮՌΛແࢹͯ͠͠·ͬͯΑ͍ͩΖ͏ɻLennard–Jones ϙςϯγϟϧ͸
୹‫཭ڑ‬తͰ͋Δ͔ΒɺॏྗΛແࢹ͢Δۙࣅͷ΋ͱͰ͸͜ͷ‫ܥ‬͸୹‫཭ڑ‬૬‫͋Ͱܥ༻࡞ޓ‬ΓɺE ∝ N ͱ͍͏௨ৗ
ͷεέʔϦϯά͕੒Γཱͭ͸ͣͰ͋Δɻैͬͯ͜ͷ৔߹ʹ͸ N ∗ = 1 ͱ͢Ε͹Α͍ɻͦΕͰ͸͜ΕΒͷؒͷྖҬɺͭ·ΓॏྗͷޮՌͱ Lennard–Jones ϙςϯγϟϧͷޮՌ͕ಉఔ౓Ͱޮ͍ͯ
͓Γɺ͜ΕΒೋͭͷޮՌ͕ΫϩεΦʔό͍ͯ͠ΔΑ͏ͳ৔߹ʹ͸ͲͷΑ͏ͳεέʔϦϯά͕੒ΓཱͭͩΖ͏
͔ʁ N ∗ = 1 ͱ N ∗ = N 1−α/d ͷؒΛ͏·ͭ͘ͳ͙Α͏ͳద੾ͳ N ∗ Λ࠾༻͢Ε͹Αͦ͞͏ͩͱߟ͑ΒΕΔ͕ɺ۩ମతʹ͸ͲͷΑ͏ͳ N ∗ Λऔͬͯ͘Ε͹Α͍͔͸ࣗ໌Ͱ͸ͳ͍ɻ্ͰΈͨ۩ମྫ͔Β෼͔Δ௨Γɺॏྗ૬‫༻࡞ޓ‬ͷΑ͏ͳඇৗʹऑ͍௕‫཭ڑ‬૬‫͕༻࡞ޓ‬ಇ͘‫Ͱܥ‬͸ɺ‫ܥ‬ͷαΠζ͕͔ͳΓେ͖͘ͳΒͳ͍ͱ௕‫཭ڑ‬૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΔ‫د‬༩͕ࢧ഑తʹͳΒͣɺզʑͷ஌Γ͍ͨେ͖͞ͷ‫Ͱܥ‬͸୹‫཭ڑ‬తͳޮՌͱ௕‫཭ڑ‬తͳޮՌ͕‫ʹ͍ޓ‬ΫϩεΦʔόͯ͠͠·͏ɺͱ͍͏͜ͱ͕‫͖ى‬Δ৔߹͕͋Δɻ‫ܥ‬ͷେ͖͕͞ඇৗʹେ͖͘ɺ௕‫཭ڑ‬తͳ‫د‬༩͕ࢧ഑తͳ৔߹ʹ͸εέʔϦϯάϑΝΫλͱͯ͠ N ∗ = N 1−α/dΛ࠾༻͠ɺ‫ܥʹٯ‬ͷେ͖͕͋͞·Γେ͖͘ͳ͘ɺ୹‫཭ڑ‬తͳ‫د‬༩͕ࢧ഑తͳ৔߹ʹ͸௨ৗͷεέʔϦϯάʹରԠ͢Δ N ∗ = 1 Λ࠾༻͢Ε͹Α͔͕ͬͨɺ͜ͷೋͭͷதؒྖҬͰ͸ͲͷΑ͏ͳεέʔϦϯάଇ͕੒Γཱͭ
ͩΖ͏͔ʁ

*2
*3

ཱํମͷ༰‫ʹث‬٧Ίͨ৔߹ͷ֓ࢉ஋ͨͩ͠ɺ͜͜Ͱ͸͔ͳΓ୯७ͳ‫ੵݟ‬ΓΛߦ͍ͬͯΔͨΊɺ͞΄Ͳਖ਼֬ͳ஋Ͱ͸ͳ͍͜ͱΛ஫ҙ͓ͯ͘͠

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2.5 ໨ඪ

13͜ͷٙ໰ʹ౴͑ΔͨΊɺ؆୯ͳ௕‫ݹ཭ڑ‬య֨ࢠϞσϧΛ਺஋తʹγϛϡϨʔγϣϯ͢Δ͜ͱͰɺΤωϧΪʔ΍Թ౓ͷؒͷؔ܎Λ‫ٻ‬Ίɺ୹‫཭ڑ‬తͳޮՌͱ௕‫཭ڑ‬తͳޮՌ͕‫ʹ͍ޓ‬ΫϩεΦʔό͢ΔΑ͏ͳྖҬʹ͓͍ͯ੒ΓཱͭεέʔϦϯάଇΛղ͖໌͔͢͜ͱΛ࠷ऴ໨ඪͱͯ͠‫ڀݚ‬Λߦͬͨɻ

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15

ୈࡾষ

Ϟσϧͱख๏
͜ͷষͰ͸‫͍ͨ༻ʹڀݚ‬Ϟσϧ Hamiltonian ΍۩ମతͳ‫ࢉܭ‬ख๏ʹ͍ͭͯղઆΛߦ͏ɻ

3.1 Ϟσϧ
ຊ‫Ͱڀݚ‬͸ೋͭͷҟͳΔϞσϧΛ࠾༻͠ɺͦΕͧΕʹରͯ͠਺஋γϛϡϨʔγϣϯΛߦͬͨɻͲͪΒͷϞσϧ΋લষͱಉ༷ʹ‫ݹ‬య֨ࢠ‫͋Ͱܥ‬ΓɺHamiltonian ͸ͦΕͧΕҎԼͷΑ͏ʹ༩͑ΒΕΔɻ


N 
0.01
1
1 
[cosh(qi − qj ) − 1]
Hsd-cosh :=
+
+
+
2
2
2
||Ri − Rj ||0.5||Ri − Rj ||3
i=1
i=1
N

p2
i

N

q2
i

(3.1)

i=j=1


N 
1 
0.01
1
+
[1 − cos(qi − qj )]+Hsd-HMF :=2
2||Ri − Rj ||1||Ri − Rj ||3
i=1
N

p2
i

(3.2)

i=j=1ͨͩ͠ɺ‫਺͏ߦʹޙ‬஋తͳղੳͱ௚઀݁ͼ෇͚ΒΕΔΑ͏ʹɺదٓແ࣍‫ݩ‬ԽΛߦ͍ͬͯΔ*1 ɻલऀ͸ਖ਼४࠲ඪqi ͕‫ ʹ͍ޓ‬cosh ‫ܕ‬ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λߦ͍ͳ͕Β −∞ < qi < ∞ ͷൣғΛಈ͖ճΔΑ͏ͳϞσϧͰ͋ΔɻҰํɺ‫ऀޙ‬ͷਖ਼४࠲ඪ͸ −π < qi < π ͷൣғΛಈ͘‫ݹ‬యεϐϯϞσϧͰ͋Γɺฏ‫ۉ‬৔ Hamiltonian ϞσϧʢHMFϞσϧʣΛႈ‫ݮ‬ਰ‫ʹܕ‬मਖ਼ͨ͠΋ͷͱͳ͍ͬͯΔɻ
ͳ͓ɺ֨ࢠ͸ೋ࣍‫ݩ‬ʢd = 2ʣͷਖ਼ํ֨ࢠঢ়ͱͨ͠ɻ·ͨ‫ڥ‬ք৚݅ʹ͍ͭͯ͸ɺ(i) ࣗ༝‫ڥ‬քͱ͢Δํ๏ͱɺ(ii) प‫ڥظ‬քͱͯ͠ ||Ri − Rj || Λτʔϥε্ͷ࠷୹ͷ‫͢ͱ཭ڑ‬Δํ๏ͷೋ௨Γ͕ߟ͑ΒΕΔ͕ɺࠓճͷ‫ࢉܭ‬Ͱ͸྆ऀͷϞσϧͱ΋ࣗ༝‫ڥ‬քͰ͋Δͱͯ͠‫ࢉܭ‬Λߦͬͨɻ֨ࢠͷฒͿ࣮ۭؒͷ࣍‫ݩ‬͸ 2 ͕ͩɺӡಈͷࣗ༝౓Λ͋ΒΘ͢ਖ਼४࠲ඪͷ࣍‫ݩ‬͸ 1 Ͱ͋ΔͷͰɺ྆ऀͷ࣍‫ݩ‬Λࠞಉ͠ͳ͍Α͏஫ҙ͞Ε͍ͨɻҎ߱Ͱ͸ɺલऀͷϞσϧΛʮsd–cosh Ϟσϧʯɺ‫ऀޙ‬ͷϞσϧΛʮsd–HMF Ϟσϧʯͱ‫ݺ‬শ͢Δ͜ͱͱ͢Δɻ͜͜Ͱ “sd” ͸ “slowly decaying” ͢ͳΘۭͪؒతͳ‫ݮ‬ਰ͕ႈతͰ͋Γ஗͘‫ݮ‬ਰ͢Δ͜ͱΛ͋ΒΘ͍ͯ͠Δɻ

3.1.1 NC ʹ͍ͭͯ࣍ͷઅʹҠΔલʹɺ2.3 અͰৄ͍ٞ͠࿦ΛߦͬͨΫϩεΦʔόͷ‫͜ى‬Δయ‫ܕ‬తͳ‫ܥ‬ͷେ͖͞ NC ͕ɺ͜ΕΒೋͭͷϞσϧͰ۩ମతʹͲͷఔ౓ʹͳΔͷ͔ΛΈͯΈΑ͏ɻࠓճͷϞσϧͰ͸ɺ(2.9) ࣜͷ֤छύϥϝʔλ͸ d = 2, δ = 1, A = 0.01, B = 1 Ͱ͋Δ͔Βɺ͜ΕΒͷ஋Λ
୅ೖ͢Δ͜ͱͰ NC ͷ஋͸ͦΕͧΕ

*1ྫ͑͹࣭ྔ͸ m = 1ɺ֨ࢠִؒ͸ ||Ri − Ri+1 || = 1 ͳͲͱ͍ͯ͠Δ

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16ୈࡾষ Ϟσϧͱख๏NCsd-cosh464.2
21.5 × 21.5

NCsd-HMF

(3.3)

10000
100 × 100

(3.4)

Ͱ͋Δͱ෼͔Δɻ‫࣮ݱ‬తͳ࣌ؒ಺Ͱ‫ࢉܭ‬Λߦ͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ‫ܥ‬ͷେ͖͞͸࠷େͰ 128 × 128 ఔ౓Ͱ͋ΔͨΊɺϞσϧͷࣜʹ͋ΒΘΕΔ 0.01 ͱ͍͏܎਺͸ NC ͕ 128 × 128 ͱಉఔ౓ͱͳΔΑ͏ʹબΜͰ͍Δɻ

3.2 ೤ཋ
্Ͱ༩͑ͨ Hamiltonian ΛͦΕͧΕ਺஋తʹղ͍͍͖ͯɺΤωϧΪʔͳͲΛ‫͢ࢉܭ‬Ε͹Α͍ͷ͕ͩɺ͜ΕͰ͸ 1 ‫ܥ‬Λ‫ཱͩͨͯͤ͞ݽ‬଴͚ͭͩͰ͸ͳ͔ͳ͔ฏߧ؇࿨͠ͳ͍ɺ 2 ਺஋γϛϡϨʔγϣϯ͚ͩͰ͸‫ܥ‬ͷԹ౓ΛͲ͏΍ͬͯ‫͢ࢉܭ‬Ε͹ྑ͍ͷ͔͕෼͔Βͳ͍ɺͱ͍ͬͨ໰୊͕ൃੜ͢Δɻͦ͜Ͱຊ‫ڀݚ‬ͷγϛϡϨʔγϣϯͰ͸‫ʹܥ‬ରͯ͠೤ཋΛ઀৮ͤ͞Δ͜ͱͰ͜ΕΒͷ໰୊Λճආͨ͠ɻ
೤ཋͷϞσϧͱͯ͠͸ɺࢦఆͨ͠Թ౓ T ͷ Maxwell ෼෍Ͱ༩͑ΒΕΔ଎౓Λ΋ͬͨ (‫ܥ‬ͷཻࢠͱ͸ҟͳΔ) ཻࢠ (ʮ೤ཋཻࢠʯͱ‫ )Ϳݺ‬Λɺ‫ܥ‬ͷཻࢠʹিಥͤ͞Δɺͱ͍͏΋ͷΛ࠾༻ͨ͠ɻ
ΑΓ۩ମతʹ͸ɺ֤‫ࢉܭ‬εςοϓʹ͓͍ͯ‫ܥ‬ͷཻࢠͷ଎౓ vi Λ

vi →

m−M
2M
vi +
Vi
m+M
m+M

(3.5)

ͷΑ͏ʹมߋ͢Ε͹Α͍ɻͨͩ͠ m, M ͸ͦΕͧΕ‫͓ܥ‬Αͼ೤ཋཻࢠͷ࣭ྔɺVi ͸ i ൪໨ͷ֨ࢠʹিಥ͢Δ
೤ཋཻࢠͷ΋ͭ଎౓Ͱ͋Γɺͦͷ֬཰෼෍͸‫ٯ‬Թ౓ β Ͱࢦఆ͞ΕΔ Maxwell ෼෍Pr (Vi = V ) dV =



Mβ
1
2
dV
exp −β · M V
2π
2

(3.6)

Ͱ༩͑ΒΕΔɻ࣮ࡍͷ‫Ͱࢉܭ‬͸‫ܥ‬ͷ࣭ྔ͸ m = 1 Ͱ͋Γɺ೤ཋཻࢠͷ࣭ྔ͸ M = 0.1 ͱͨ͠ɻ·ͨɺ࣌ࠁ͕͓Αͦ t = 104 ·Ͱ͸શͯͷཻࢠͱ઀৮ͤ͞ɺͦΕҎ߱͸ೋ࣍‫ݩ‬ਖ਼ํ֨ࢠ্ͷҰลʹͷΈ઀৮ͤ͞Δɺͱ͍͏͜ͱΛߦͬͨɻͳͥ͜ͷΑ͏ͳํ๏Λ࠾ͬͨͷ͔ͱ͍͏ͱɺ‫͕ܥ‬ฏߧঢ়ଶʹۙͮͨ͘Ίʹ͸ͳΔ΂͘೤ཋͱͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λେ͖͘͢Δํ͕౎߹͕ྑ͍ͨΊɺॳ‫ظ‬ͷࠒ͸͢΂ͯͷཻࢠʹରͯ͠೤ཋΛ઀৮͍ͤͯ͞Δɻ͔͠͠ͳ͕Β͢΂ͯͷཻࢠʹରͯ͠઀৮͍ͯ͠ΔͷͰ͸‫ͱܥ‬೤ཋͷؒͷ૬‫͕༻࡞ޓ‬େ͖͘ͳͬ
ͯ͠·͍ɺਅͷฏߧঢ়ଶͱ͸͔͚཭Εͨঢ়ଶʹͳͬͯ͠·͏ͨΊɺ࠷ऴతʹ͸‫ܥ‬ͷද໘—ࠓճ༻͍ͨϞσϧ͸ೋ࣍‫ͳݩ‬ͷͰҰล—ʹͷΈ઀৮ͤ͞ΔΑ͏ʹͨ͠ɻ

3.2.1 ೤ཋͷଥ౰ੑ࣍ʹ͜ͷ೤ཋ͕ʮ͏·͘ಈ࡞͢Δ͜ͱʯ͢ͳΘͪɺ‫ܥ‬ͷ଎౓෼෍͕೤ཋͷ‫ٯ‬Թ౓ β Ͱࢦఆ͞ΕΔ Maxwell෼෍ʹͳΔ͜ͱΛΈΑ͏ɻ࿩Λ؆୯ʹ͢ΔͨΊʹ‫ܥ‬ͷ૬‫༻࡞ޓ‬͸ແࢹͰ͖Δ΋ͷͱ͢Δ*2 ɻ*2ҎԼͷٞ࿦ʹΑΕ͹ɺ૬‫͕͋༻࡞ޓ‬Δ৔߹Ͱ΋‫ܥ‬ͷ଎౓෼෍ͷ҆ఆ఺͸ɺ΍͸Γ೤ཋͷ‫ٯ‬Թ౓ β Ͱࢦఆ͞ΕΔ Maxwell ෼෍Ͱ
͋Δ͜ͱ͕෼͔ΔͨΊɺ૬‫͏͍ͱ͍ͳ͕༻࡞ޓ‬Ծఆ͸ɺ࣮͸ͦΕ΄Ͳେ͖ͳԾఆͰ͸ͳ͍

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17

3.2 ೤ཋ
ୈ n εςοϓͰ‫ܥ‬ͷ଎౓͕ vin *3 Ͱ͋ͬͨͱ͖ʹɺୈ n + 1 εςοϓͰ‫ܥ‬ͷ଎౓͕ vin+1 ʹͳΔ֬཰͸Pr

vin → vin+1

dvin+1 =ͨͩ͠

vin+1 =

Mβ1
exp −β · M V (vin , vin+1 )2 dV
2π
2

(3.7)

m−M n
2M
vi +
V (vin , vin+1 )
m+M
m+M

(3.8)

Ͱ͋Δɻैͬͯɺୈ n εςοϓͰͷ‫ܥ‬ͷ଎౓ͷ֬཰෼෍Λ fin (v) ͱ͓͘ͱɺ

fin+1 (v) =

 ∞
−∞


=

fin (v  ) Pr(v  → v)dv 

Mβ m + M
2π 2M

 ∞
−∞

(3.9)




1
−β M
2

fin (v  ) exp

m+M
2M

2 

m−M 
v
v−
m+M

2 

dv 

(3.10)(3.11)

ͱ͍͏઴ԽࣜΛಘΔɻ࣍ʹ଎౓෼෍ͷ Fourier ม‫׵‬Λߟ͑Α͏ɻ

 ∞
1
n
˜
fi (κ) := √e−iκv fin (v)dv
2π −∞
 ∞
1
fin (v) = √eiκv f˜in (κ)dκ
2π −∞(3.12)(3.13)

͢Δͱ઴Խࣜ͸ɺm+M
f˜in+1 (κ) =
4π

 ∞
−∞

 ∞
dv

−∞

dv





 ∞
−∞

dκ



2 
2  

m
−
M
1
m
+
M
v−
e−iκv+iκ v f˜in (κ ) exp −β M
v
2
2M
m+M


 ∞
 ∞
2M κ2
m−M 
1

 iκ v  ˜n 
v
dv
dκ e
− iκ
=
fi (κ ) exp −2π −∞β(m + M )2
m+M
−∞




 ∞
m−M
2M κ2


n 
˜
κ fi (κ ) exp −dκ δ κ −=m+Mβ(m + M )2
−∞




m−M
2M κ2
= f˜inκ exp −m+Mβ(m + M )2

 

(3.14)(3.15)(3.16)(3.17)

ͱͳΔɻ͜ͷ઴Խࣜ͸؆୯ʹղ͘͜ͱ͕Ͱ͖ͯɺ

2l−2 2M
m−M
f˜in (κ) = f˜i0κ2β(m + M )2 m + M
l=1


n 

2n  

1
m
−
M
m
−
M
0
1−
κ2
= f˜i
κ exp −
m+M
2βm
m+M


m−M
m+M

 n
n 

κ exp −

(3.18)(3.19)

ͱͳΔɻैͬͯɺ‫ࢉܭ‬εςοϓ਺ n ͕े෼େ͖͍‫͍͓ͯʹݶۃ‬͸



κ2
∞
0
˜
˜
fi (κ) = fi (0) exp −
2βm


κ2
1
= √ exp −
2βm
2π
*3

ҎԼͰ͸֨ࢠ఺ͷఴࣈΛԼ෇͖Ͱɺ࣌ؒͷఴࣈ (εςοϓ਺) Λ্෇͖Ͱ͋ΒΘ͢

(3.20)(3.21)

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18ୈࡾষ Ϟσϧͱख๏

ͱͳΔ͔Βɺ‫ ٯ‬Fourier ม‫׵‬Λͯ͠΋ͱͷ଎౓෼෍വ਺ʹ໭͢ͱɺ
fi∞ (v) =



βm
1
2
exp − βmv
2π2(3.22)

ͱͳΔ͜ͱ͕෼͔Δɻ͜Ε͸໌Β͔ʹ‫ٯ‬Թ౓ β Ͱࢦఆ͞ΕΔ Maxwell ෼෍ͷࣜͰ͋Δɻ

3.3 ਺஋ੵ෼๏
ଟ͘ͷ਺஋ੵ෼๏*4 ͸‫ܥཱݽ‬ͷ‫ࢉܭ‬Λߦ͏ͱɺอଘྔ (ୈҰੵ෼) Ͱ͋Δ͸ͣͷ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔ͕ɺ਺஋
‫ࠩޡ‬ͷͨΊʹࢦ਺తʹൃࢄ΋͘͠͸‫ݮ‬ਰ͍ͯͬͯ͠͠·͏ɺͱ͍͏ੑ࣭Λ΋ͭɻྫ͑͹࠷΋؆୯ͳҰ࣍ͷ

Euler ๏ɿq n+1 = q n + pn Δt
pn+1 = pn −∂V n(q )Δt∂qʹରͯ͠ɺௐ࿨ৼಈࢠ‫ܕ‬ͷϙςϯγϟϧ

V (q, p) =q2
2

(3.23)(3.24)(3.25)

Λߟ͑Δͱɺୈ n + 1 εςοϓ໨ͱɺୈ n εςοϓ໨ͷΤωϧΪʔͷࠩ͸ɺ



1
∂V n
pn −
(q )
2
∂q
1
= (q 2 + p2 )Δt2 > 0
2

H(q n+1 , pn+1 ) − H(q n , pn ) =(3.26)(3.27)

Ͱ͋Δ͔Βɺ͜ͷ৔߹ʹ͸‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔ͸ࢦ਺తʹ૿େ͍ͯͬͯ͠͠·͏͜ͱ͕෼͔Δɻ
ैͬͯɺ͜ͷΑ͏ͳ਺஋ੵ෼๏Λ༻͍ͨ৔߹ʹ͸࣌ؒࠁΈ෯ Δt Λे෼খ͘͞ͱΔ͜ͱͰɺ‫͍ͯ͠ࢉܭ‬Δ
࣌ؒͷൣғ಺ʹ͓͍ͯ͸ΤωϧΪʔ͕͋·ΓมԽ͠ͳ͍Α͏ʹ͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɻͱ͜Ζ͕ɺࠓճͷ໨తͰ͸‫͕ܥ‬೤؇࿨͢Δ΄Ͳे෼௕͍ؒ࣌ؒൃలΛͤ͞Δͱ͍͏͜ͱΛ͍ͨͨ͠Ίɺ࣌ؒࠁΈ෯Λ͔ͳΓখ͘͞ͱΒͳͯ͘͸ͳΒͣɺ‫͕ؒ࣌ࢉܭ‬๲େͱͳͬͯ͠·͏ɻͱΓΘ͚௕‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬͸‫ܥ‬ͷશͯͷཻࢠϖΞʹରͯ͠ྗΛ‫͚ͳ͠ࢉܭ‬Ε͹ͳΒͳ͍ͨΊɺͳΔ΂͘গͳ͍εςοϓ਺Ͱ‫͖Ͱࢉܭ‬ΔΑ͏ʹ͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɻͦ͜Ͱɺຊ‫Ͱڀݚ‬͸‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔΛ΄΅Ұఆʹอͭͱ͍͏ஶ͍͠ੑ࣭Λ΋ͭ਺஋ੵ෼๏Ͱ͋Δγ ϯ ϓ Ϩ˜˜˜˜˜˜˜*˜˜5˜˜˜˜˜˜˜Ϋ ς Ο ο Ϋ ੵ ෼ Λ༻͍ͨɻγϯϓϨΫςΟοΫੵ෼ͱ͍͏ͷ͸ɺͦͷ໊ͷ௨ΓγϯϓϨΫςΟοΫੑ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜

dq n ∧ dpn = dq n+1 ∧ dpn+1(3.31)*4෼ࢠಈྗֶ‫Ͱࢉܭ‬͸ Gear ͷ༧ଌࢠɾमਖ਼ࢠ๏΍ Störmer–Verlet ๏ͳͲ͕Α͘༻͍ΒΕΔɻ͜ΕΒͷ਺஋ੵ෼Λ‫ܥཱݽ‬ͷ‫ࢉܭ‬ʹ༻͍Δͱɺ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔ͸ࢦ਺తʹ‫ݮ‬ਰ͍ͯͬͯ͠͠·͏ɻैͬͯɺΤωϧΪʔ͕‫ݮ‬ਰ͢Δయ‫ܕ‬తͳ࣌ؒεέʔϧ͕े෼খ͞
͘ͳΔΑ͏ʹ਺஋ੵ෼ͷύϥϝʔλΛௐ੔͢Δ (࣌ؒࠁΈ෯Λे෼খ͘͢͞Δ) ඞཁ͕͋Δɻͨͩ͠ɺ೤ཋ΍֎৔ɾࢄҳͳͲʹΑ
Δ‫͍ڧ‬ΤωϧΪʔྲྀग़ೖ͕͋ΔΑ͏ͳ৔߹Ͱ͸ɺΤωϧΪʔ͕‫ݮ‬ਰͯ͠͠·͏͜ͱ͕༨Γ໰୊ʹͳΒͳ͍͜ͱ΋͋Δ*5 γϯϓϨΫςΟοΫੑͷఆٛʹ͸͍͔ͭ͘ҟͳΔ‫͕͋ܗ‬Δɻྫ͑͹ɺҰεςοϓͷ࣌ؒൃలΛදࣸ͢૾ Ψ(q n , pn ) =(q n+1 , pn+1 ) ͷ Jacobi ߦྻΛ⎡∂q n+1⎢ ∂q n∂Ψ := ⎢
⎣ ∂pn+1∂q n⎤∂q n+1∂pn ⎥⎥∂pn+1 ⎦
∂pn

(3.28)

ͱॻ͖ɺ·ͨγϯϓϨΫςΟοΫߦྻͷਖ਼ ४ ߏ ଄ ߦ ྻ (canonical structure matrix) Λ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜

J :=



0
−I

I
0

(3.29)

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19

3.3 ਺஋ੵ෼๏

Λอͭੵ෼ํ๏ͷ૯শͰ͋Δ [12]ɻ͜͜Ͱʮ∧ʯ͸΢Σοδੵͱ‫ݺ‬͹ΕΔϕΫτϧؒͷೋ߲ԋࢉͰ͋Γɺ࣍ͷੑ࣭Λຬͨ͢ɻ

• ަ୅ଇʢskew-symmetryʣɿda ∧ db = −db ∧ da

(3.32)• ૒ઢ‫ܗ‬ੑʢbilinearityʣɿ೚ҙͷ α, β ∈ R ʹର͠(αda + βdb) ∧ dc = αda ∧ dc + βdb ∧ dc

(3.33)

γϯϓϨΫςΟοΫੵ෼ͰಘΒΕͨղ‫ي‬ಓ͸΋ͱͷ Hamiltonian ʹඇৗʹ͍ۙผͷ Hamiltonian HΔt = H+

O(Δt) ͷ‫ي‬ಓͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻHΔt ͷ͜ͱΛӨͷ Hamiltonianʢshadow Hamiltonianʣͱ͍͏ɻ͜ͷ͜ͱ͔ΒɺΤωϧΪʔͷ‫ࠩޡ‬͸೚ҙͷ࣌ࠁʹ͓͍ͯߴʑ O(Δt) ʹͳΔ͜ͱ͕อূ͞ΕΔ͜ͱ͕Θ͔ΔɻγϯϓϨΫςΟοΫੵ෼ͷҰͭͷྫͱͯ͠ɺΧ Τ ϧ ͱ ͼ ๏ (leapfrog method) ·ͨ͸଎ ౓ Verlet ๏˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜[13]˜˜ ɻ(velocity Verlet method) ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ࣍ͷ਺஋ੵ෼Λߟ͑Α͏˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜

1 ∂V n(q )Δt2
q n+1 = q n + pn Δt −2 ∂q
1 ∂V n∂V n+1(q ) +(q
pn+1 = pn −
) Δt
2 ∂q
∂q

(3.34)(3.35)

͜ͷੵ෼๏͕γϯϓϨΫςΟοΫੵ෼Ͱ͋Δ͜ͱ͸؆୯ʹ͔֬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ
1
dq n+1 ∧ dpn+1 = dq n + Δtdpn − ∂q2 V Δt2 dq n
2



1 2
1 2
1 2
n
n
n
n
2
n
∧ dp − ∂q V Δtdq − ∂q V Δt dq + Δtdp − ∂q V Δt dq
2
2
2
n
n
= dq ∧ dp(3.36)(3.37)

ҰൠతʹγϯϓϨΫςΟοΫੵ෼ͷӨͷ Hamiltonian Λղੳతʹ‫ٻ‬ΊΔͷ͸ඇৗʹࠔ೉Ͱ͋Δ*6 ͕ɺϙςϯγϟϧ͕ௐ࿨ৼಈࢠ‫ܕ‬ͷΧΤϧͱͼ๏ͷӨͷ Hamiltonian ʹؔͯ͠͸‫ٻ‬ΊΒΕ͍ͯΔ [14]ɿ

HΔt =

p2
q2
+
2m(Δt)2ͨͩ͠
m(Δt) := 1 −Δt
2(3.38)

2(3.39)

࣮ࡍʹ‫ͯ͠ࢉܭ‬ΈΔ͜ͱͰɺ͜ͷ͕ࣜӨͷ Hamiltonian ͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͸༰қʹ͔֬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

ͱॻ͘ͱɺࣸ૾ Ψ ͕γϯϓϨΫςΟοΫੑΛ΋ͭͱ͍͏ͷ͸ɺ(∂Ψ)T J(∂Ψ) = J*6(3.30)

Λຬͨ͢͜ͱͰ͋Δɺͱ͍ͯ͠Δจ‫ݙ‬΋ଟ͍Өͷ Hamiltonian Λ HΔt (q, p) = H +H1 Δt+H2 Δt2 +· · · ͱ Taylor ల։͠ɺHΔt (q n+1 , pn+1 ; Δt) = HΔt (q n , pn ; Δt)ͱͳΔΑ͏ʹ Taylor ల։ͷ֤࣍਺ H1 , H2 , · · · Λॱ൪ʹܾఆ͢Ε͹ɺ‫ݪ‬ཧతʹ͸‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͔͠͠ͳ͕Βɺ͜ΕΑΓ΋ચ࿅͞Εͨ౷Ұతͳ‫ํࢉܭ‬๏͸ຆͲ஌ΒΕ͍ͯͳ͍

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20

ୈࡾষ Ϟσϧͱख๏

HΔt (q n+1 , pn+1 ) =pn − q n Δt/2 − (1 − Δt2 /2)q n + pn Δt Δt/2
2 1 − (Δt/2)2(Δt3 /4 − Δt)q n + (1 − Δt2 /2)pn=
2 1 − (Δt/2)2
=

2

2

2

+

q n + pn Δt − q n Δt2 /2
2(3.40)(1 − Δt2 /2)q n + pn Δt+2(pn )2(q n )2+
2(1 − (Δt/2)2 )2

2(3.41)(3.42)

ैͬͯɺΧΤϧͱͼ๏Ͱௐ࿨ৼಈࢠΛ਺஋తʹղ͘͜ͱ͸ɺ(3.38) ࣜͰ༩͑ΒΕΔɺ΋ͱͷ Hamiltonian ͔Β࣭ྔ͕ 1 − (Δt/2)2 ͚ͩͣΕͨผͷ Hamiltonian Λ‫* ʹ ີ ݫ‬7 ղ͍͍ͯΔ͜ͱʹͳ͍ͬͯΔɻैͬͯ͜ͷ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜৔߹ʹ͸Өͷ Hamiltonian HΔt ͷ஋͸ৗʹҰఆ஋ΛͱΔ͜ͱ͕෼͔ΓɺӨͷ
Hamiltonian ͱ΄΅౳͍͠ɺ΋ͱͷ Hamiltonian ΋ɺ΄΅Ұఆ஋ΛͱΔ͜ͱ͕෼͔Δɻࠓճͷ‫ੵ͍ͨ༻Ͱڀݚ‬෼๏͸ɺγϯϓϨΫςΟοΫੵ෼ͷ͏ͪ࠷΋؆୯ͳҰ࣍ͷγϯϓϨΫςΟοΫ Euler๏Ͱ͋Δɻ

q n+1 = q n + pn+1 Δt
pn+1 = pn −

∂V
(q)Δt
∂q

(3.43)(3.44)

࣮ࡍͷ‫Ͱࢉܭ‬͸ Δt = 0.01 ͱ͠ɺ107 εςοϓ΄Ͳ‫ࢉܭ‬Λߦͬͨɻ

*7

΋ͪΖΜ࣮ࡍͷ‫Ͱࢉܭ‬͸ɺ‫్ࢉܭ‬தͰ‫ؙ‬Ί‫ࠩޡ‬΍ଧͪ੾Γ‫Ͳͳࠩޡ‬͸ൃੜ͠͏Δ͕ɺͦͷ‫ࠩޡ‬͸௨ৗɺඍ෼ํఔࣜΛࠩ෼Խͨ͠
͜ͱʹΑΓൃੜ͢Δ‫ʹࠩޡ‬ൺ΂ͯඇৗʹখ͘͞ɺ࣮༻తʹ͸ແࢹͰ͖ΔͨΊɺ(ਫ਼౓อূ෇͖‫Ͳͳࢉܭ‬ͷ෼໺Ҏ֎Ͱ͸) ී௨͸ͦͷΑ͏ͳ਺஋‫ࠩޡ‬͸ߟ͑ͳ͍ɻ͜͜Ͱʮ‫ີݫ‬ʯͱ͍͍ͬͯΔͷ͸ɺΧΤϧͱͼ๏ʹΑͬͯࠩ෼Խͨ͠ํఔࣜ (઴Խࣜ) ͷղ͕ɺӨͷ Hamiltonian (3.38) ࣜͰ༩͑ΒΕΔਖ਼४ํఔࣜ (ඍ෼ํఔࣜ) ͷղͱղੳతʹҰக͢Δɺͱ͍͏͜ͱΛ͍͍ͬͯΔ

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21

ୈ࢛ষ

‫݁ڀݚ‬Ռ
͜ͷষͰ͸લষͰઆ໌ͨ͠Ϟσϧͱ‫ࢉܭ‬ख๏ʹΑͬͯಘΒΕͨ݁ՌͱɺͦΕʹؔ͢Δߟ࡯Λड़΂Δɻ

4.1 ฏߧ؇࿨
զʑ͕஌Γ͍ͨͷ͸ɺฏߧঢ়ଶͷੑ࣭Ͱ͋Δ͔Βɺ‫͕ܥ‬ਖ਼͘͠ฏߧ؇࿨͍ͯ͠Δ͔Ͳ͏͔Λௐ΂Δඞཁ͕
͋Δɻͦ͜ͰϚΫϩྔͷ࣌ؒతͳมԽ΍଎౓෼෍͕ Maxwell ෼෍ʹͳΔ͔Ͳ͏͔Λ͔֬Ίͨɻ·ͣɺϚΫϩྔͷ࣌ؒൃలΛΈͨͷ͕ਤ 4.1 Ͱ͋Δɻ͜ͷ࣌ؒεέʔϧʹ͓͍ͯ͸ͲͷϚΫϩ෺ཧྔ΋࣌ؒతʹ΄΅Ұఆ஋Λͱ͓ͬͯΓɺਖ਼͘͠೤؇࿨͍ͯ͠Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ࣌ࠁ͕͓Αͦ t = 104 ·Ͱ͸‫ܥ‬ͷશͯͷཻࢠʹରͯ͠೤ཋΛ઀৮͍ͤͯ͞ΔͨΊɺશΤωϧΪʔ͸ൺֱతܹ͘͠ৼಈ͓ͯ͠ΓɺͦΕҎ߱͸ೋ࣍‫ݩ‬ਖ਼ํ֨ࢠ্ͷҰลͷཻࢠʹͷΈ೤ཋΛ઀৮ͤͨͨ͞ΊɺશΤωϧΪʔͷৼಈ͸ൺֱతམͪண͍͍ͯΔɻϬஓ⏤␉␧⏪⍬ .
ਖ఼⏤␉␧⏪⍬ 8ERXQG
ૠ֜๸‫ ۽‬8αૠ֜๸‫ ۽‬8β⏤␉␧⏪⍬ૠ֜๸‫ ۽‬8α8βু␙␂␯⏳␟␧⏤␉␧⏪⍬ 8ERXQG8α8βু⏤␉␧⏪⍬ .8ERXQG8α8β







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











ߗ‫܌‬

sd–cosh Ϟσϧͷ༷ʑͳϚΫϩ෺ཧྔͷ࣌ؒൃలͷ༷ࢠɻ‫ܥ‬ͷେ͖͞͸ 128 × 128ɺԹ౓͸T = 1ɻͲͷϚΫϩ෺ཧྔ΋࣌ؒతʹ΄΅Ұఆ஋ʹམͪண͍͍ͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻͳ͓ɺશΤωϧΪʔ͕ਤ 4.1

Ұఆͱͳ͍ͬͯͳ͍ͷ͸ɺ೤ཋ͔ΒͷΤωϧΪʔྲྀग़ೖ͕͋ΔͨΊͰ͋Δ

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ୈ࢛ষ

‫݁ڀݚ‬Ռ


߹‫ٲ‬ખ
␑⏟⏿␄


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









Ϭஓຟ

sd–cosh Ϟσϧͷ t = 105 Ͱͷ଎౓෼෍ɻ‫ܥ‬ͷେ͖͞͸ 128 × 128ɺ೤ཋͷԹ౓͸ T = 1ɻ྘৭ͷ‫ۂ‬ઢ͸ Maxwell ෼෍ f (v) ∝ exp(−v 2 /2T ) ͰϑΟοτͨ͠΋ͷͰ͋ΓɺϑΟοςΟϯάύϥϝʔλ͸ T = 1.00017 ± 0.00158 Ͱ͋Δɻ೤ཋͷԹ౓Ͱ༩͑ΒΕΔ Maxwell ෼෍ʹඇৗʹ͍ۙ଎౓෼෍ͱͳͬ

ਤ 4.2

͍ͯΔ͜ͱ͕෼͔Δ࣍ʹɺγϛϡϨʔγϣϯ࣌ؒͷҰ൪࠷‫Ͱޙ‬ͷӡಈྔ෼෍Λϓϩοτͨ͠΋ͷ͕ਤ 4.2 Ͱ͋Δɻ੺͍ശͰࣔ
ͨ͠΋ͷ͕਺஋‫ʹࢉܭ‬ΑΔ݁ՌͰ͋Γɺ͜ΕΛ Maxwell ෼෍p2
f (v) = a exp −
2T


(4.1)

ͰϑΟοςΟϯάͨ͠΋ͷ͕྘৭ͷ‫ۂ‬ઢͰ͋Δɻͨͩ͠ɺϑΟοςΟϯά͸ gnuplot Λ༻͍͓ͯΓ*1 ɺϑΟοςΟϯάύϥϝʔλ͸a = 652.809 ± 0.4388(4.2)

T = 1.00017 ± 0.00158(4.3)Ͱ͋ͬͨɻ͜ͷ͜ͱ͔Βɺ೤ཋͷԹ౓ T = 1 Ͱ༩͑ΒΕΔ Maxwell ෼෍ʹඇৗʹ͍ۙ଎౓෼෍ʹͳ͍ͬͯΔͨΊɺ͔֬ʹ‫ܥ‬͸ฏߧ؇࿨͍ͯ͠Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ

4.2 ؇࿨࣌ؒ
γϛϡϨʔγϣϯ։࢝࣌ͷ༷ࢠΛਤ 4.3 ʹࣔ͢ɻ͜͜Ͱฏ‫ ۉ‬μɺඪ४ภࠩ σ ɺ࿪౓ γ1 ɺઑ౓ γ2 ͸

*1gnuplot ͸ Levenberg–Marquardt ΞϧΰϦζϜ [15, 16] Λ༻͍ͨ࠷খೋ৐๏ͰϑΟοςΟϯάΛߦ͍ͬͯΔ [17]

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23

4.2 ؇࿨࣌ؒ
ച‫ה‬μವࡵഫܴσ
໵୞γ



জ୞γ




Ϭஓຟ


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

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
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









ߗ‫܌‬

(a) ೤ཋ͕ͳ͍৔߹




ച‫ה‬μವࡵഫܴσ
໵୞γ



জ୞γ

Ϭஓຟ







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














ߗ‫܌‬

(b) ೤ཋ͕͋Δ৔߹

sd–cosh Ϟσϧͷ೤ཋ͕ͳ͍৔߹ (্ஈ) ͱ೤ཋ͕͋Δ৔߹ (Լஈ) Ͱͷɺӡಈྔ෼෍ͷฏ‫ ۉ‬μ(੺)ɺඪ४ภࠩ σ (྘)ɺ࿪౓ γ1 (੨) ͓Αͼઑ౓ γ2 (ࢵ)ɻ‫ܥ‬ͷେ͖͞͸ 128 × 128ɺ೤ཋͷԹ౓͸ T = 10
ͱͨ͠ɻ·ͨ೤ཋ͕ͳ͍৔߹ʹ͸ॳ‫ظ‬ͷӡಈΤωϧΪʔ͕ K = (1/2)N T ͱͳΔΑ͏ʹॳ‫ظ‬৚݅Λ༩͑
͍ͯΔɻMaxwell ෼෍ʹ͓͍ͯ͸ฏ‫ ۉ‬μɺ࿪౓ γ1 ɺઑ౓ γ2 ͸શͯ 0 ͱͳΔɻ೤ཋ͕͋Δ৔߹ʹ͸͜ΕΒͷྔ͸͙͢͞· 0 ʹͳ͍ͬͯΔ͕ɺ೤ཋ͕ͳ͍৔߹ʹ͸ઑ౓ γ2 ͸ 0 Ͱ͸ͳ͍஋Λͱ͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼
ਤ 4.3

͔Δ

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ୈ࢛ষ

1 
pi
N i=1


N
1 
σ := 
(pi − μ)2
N i=1
N
N −1 i=1 (pi − μ)3
γ1 :=
σ3
N
−1
4
N
i=1 (pi − μ)
γ2 :=
−3
σ4

‫݁ڀݚ‬Ռ

N

μ :=

(4.4)

(4.5)

(4.6)
(4.7)

Ͱ༩͑ΒΕΔྔͰ͋Δ*2 ɻMaxwell ෼෍Ͱ͸͜ΕΒͷ஋͸μ = γ 1 = γ2 = 0
√
σ= T

(4.9)
(4.10)

ͱͳΔɻάϥϑʹ͓͍ͯ೤ཋ͕͋Δ৔߹ (Լஈ) ʹ͸ฏ‫ۉ‬ɺ࿪౓͓Αͼઑ౓͸͙͢͞· 0 ʹ͍ۙ஋ʹͳ͓ͬͯΓɺ·ͨඪ४ภࠩ΋

√

T =

√
10

3.16 ʹ͍ۙ஋ʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻैͬͯɺ೤ཋ͕͋Δ৔߹ʹ͸ɺ‫ܥ‬શମ͕ඇৗʹૉૣ͘ฏߧঢ়ଶʹ؇࿨ͯ͘͠Ε͍ͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻͱ͜Ζ͕೤ཋ͕ͳ͍৔߹ (্ஈ) ΛΈͯΈΔͱɺฏ‫ۉ‬΍࿪౓͸͙͢ʹ 0 ʹ͍ۙ஋ʹͳ͍ͬͯΔ͕ɺάϥϑͷൣғ಺ͷ࣌ؒͰ͸ઑ౓ γ2 ͸ 1.5 ෇ۙͷ஋ʹͱͲ·͓ͬͯΓɺt = 100 ఔ౓Ͱ͸ฏߧԽ͸͍ͯ͠ͳ͍͜ͱ͕෼͔Δɻ

4.3 εέʔϦϯάҎԼͰ͸‫ʹࢉܭ‬Αͬͯ‫ٻ‬ΊΒΕͨΤωϧΪʔͱԹ౓ͷؔ܎ʹରͯ͠ɺ༷ʑͳεέʔϦϯάଇΛద༻͠ɺͦ
ΕΒΛۛຯ͠ͳ͕Βൺֱͯ͠ΈΑ͏ɻ·ͣɺϞσϧ Hamiltonian ͷ૬‫༻࡞ޓ‬ϙςϯγϟϧ෦෼Λࢥ͍ग़͢ͱɺ

N [cosh(qi − qj ) − 1] sd-cosh
1 
1
0.01
U :=
+
α
3
2
||Ri − Rj ||||Ri − Rj ||[1 − cos(qi − qj )]sd-HMFi=j=1(4.11)

ͱ͍͏‫ͨͬ͋Ͱܗ‬ɻ
ͦ͏͢Δͱɺߟ͑ΒΕΔεέʔϦϯάଇͱͯ͠͸ҎԼͷࡾ௨Γ͕͋ΔͩΖ͏ɻέʔε A (઴ۙ‫ܗ‬Λ༻͍ͨ৔߹)ϙςϯγϟϧʹ‫·ؚ‬ΕΔ௕‫߲཭ڑ‬͸૯࿨ͷୈҰ߲ͷ

0.01||Ri − Rj ||α(4.12)

Ͱ͋Δɻ‫े͕ܥ‬෼େ͖͚Ε͹௕‫཭ڑ‬తͳ߲͕ࢧ഑తʹͳΔͨΊɺ͜ͷ߲ͷႈͷେ͖͞ͷΈͰεέʔϦϯά͸ܾ·Δ͸ͣͰ͋Δ͔Βɺશ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔ E ͱԹ౓ T ͱͷؔ܎͸

E(N, T )∗∗N Nasym
Easym





T
∗
Nasym

∗
ͨͩ͠ Nasym:= N 1−α/d(4.13)

ͱ͍͏εέʔϦϯάଇΛ΋ͭɻ
*2

ઑ౓Λ

β2 :=

N −1

N
4
i=1 (pi − μ)
σ4

(4.8)

ͱ͢Δఆٛ΋ଘࡏ͢Δ͕ɺຊ࿦จͰ͸ γ2 = β2 − 3 Λઑ౓ͱ͍ͯ͠Δ͜ͱʹ஫ҙ͞Ε͍ͨɻγ2 Λ༻͍ΔͱɺGauß෼෍ͷઑ౓͕0 ͱͳΓ౎߹͕ྑ͍ͨΊɺγ2 ͷํΛ༻͍ΔఆٛΛ࠾༻ͨ͠ɻʢβ2 Λઑ౓ͱͯ͠༻͍ΔͱɺGauß෼෍ͷઑ౓͸ β2 = 3 Ͱ͋Δʣ

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4.3 εέʔϦϯάέʔε B (‫ݸ‬ผʹΈͨ৔߹)ϙςϯγϟϧͷ૯࿨෦෼ΛୈҰ߲ͱୈೋ߲ʹ෼ղ͠ɺͦΕͧΕΛ
N
0.01
1 
Ul.r. :=
2||Ri − Rj ||α[cosh(qi − qj ) − 1]
[1 − cos(qi − qj )]sd-coshsd-HMF(4.14)[cosh(qi − qj ) − 1] sd-cosh[1 − cos(qi − qj )]sd-HMF(4.15)

i=j=1N
1
1 
Us.r. :=
2||Ri − Rj ||3i=j=1ͱॻ͘͜ͱʹ͢Δɻ·ͣɺUs.r. ͸ႈ͕ 3 ৐Ͱ͋Γɺۭؒ࣍‫ ݩ‬d = 2 ΑΓ΋େ͖ͳႈͰ͋ΔͷͰɺ͜ͷ

Us.r. ͱ͍͏߲͸୹‫཭ڑ‬తͳ߲Ͱ͋Δɻैͬͯ Us.r. ͷΈʹ஫໨͢Ε͹Us.r. (N, T ) = N Us.r. (T )(4.16)

ͱ͍͏εέʔϦϯάΛ࣋ͭɻ࣍ʹ Ul.r. ʹ஫໨͢Δͱɺ͜ͷ߲͸ۭؒ࣍‫ ݩ‬d = 2 ΑΓ΋খ͞ͳႈΛ࣋ͭ௕‫཭ڑ‬తͳ߲Ͱ͋Δ͔ΒɺUl.r.
͸∗
Ul.r. (N, T ) = N Nindv
Ul.r.



T



∗
ͨͩ͠ Nindv:= N 1−α/d

∗
Nindv

(4.17)

ͱ͍͏εέʔϦϯάΛ࣋ͭɻέʔε C (૯࿨Λ༻͍ͨ৔߹)ϙςϯγϟϧʹ͸୹‫཭ڑ‬తͳ߲ͱɺ௕‫཭ڑ‬తͳ߲ͷ྆ऀ͕‫·ؚ‬Ε͍ͯΔɻ‫ܥ‬ͷେ͖͕͞ඇৗʹେ͖ͳ৔߹ (খ࿭੕΄Ͳͷେ͖͞ͷ৔߹) ʹ͸௕‫཭ڑ‬తͳ߲ͷΈ͕ࢧ഑తʹͳΔͨΊɺ୹‫཭ڑ‬తͳ߲͸ແࢹͯ͠͠
·ͬͯεέʔϦϯάΛߟ͑Ε͹ྑ͍͔΋͠Εͳ͍͕ɺ೔ৗϨϕϧͷେ͖͞Ͱ͸୹‫཭ڑ‬తͳޮՌ΋ൺֱతେ͖͘ɺແࢹ͢Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ͩΖ͏ɻͦ͜Ͱ௕‫཭ڑ‬తͳޮՌͱɺ୹‫཭ڑ‬తͳޮՌͷ྆ऀΛऔΓೖΕͯɺ
∗
Nsum
:=


N 
0.01
1 
1
+
N
||Ri − Rj ||α||Ri − Rj ||3

0.01C(α)N 1−α/d + C(3),(4.18)

i=j=1

C(m) :=

⎧
N
⎪
1 
1
⎪
⎪
lim
⎪
⎨N →∞ N||Ri ||m

m>d

i=1

N

⎪
1
1
⎪
⎪
⎪
⎩Nlim
→∞ N N 1−m/d||R ||mii=1(4.19)m<dͱ͍͏ྔΛߟ͑ɺ͜ΕΛ༻͍ͯ

U (N, T )∗∗N Nsum
Usum



T
∗
Nsum


(4.20)

ͱ͍͏εέʔϦϯάΛߟ͑Ε͹Α͍ɻҎԼͰ͸ɺ͜ΕΒࡾ௨ΓͷεέʔϦϯάํ๏ʹैͬͯɺ਺஋‫ʹࢉܭ‬ΑͬͯಘΒΕͨ݁ՌΛͦΕͧΕϓϩοτ͍ͯ͜͠͏ɻ

4.3.1 ઴ۙ‫ܗ‬Λ༻͍ͨ৔߹
έʔε A ͷ઴ۙ‫ܗ‬Λ༻͍ͨ৔߹Λߟ͑ɺάϥϑΛ࡞੒͢Δͱਤ 4.4 ΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖ͨɻ

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26

4

ୈ࢛ষ

‫݁ڀݚ‬Ռ

3.5

4

N = 16 × 16
N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

3.5

3E/NN*asym

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

T/N*asym(a) sd–cosh Ϟσϧ
0.3

N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

0.25

E / NN*asym

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

T / N*asym(b) sd–HMF Ϟσϧ∗∗
Hsd-cosh ͓Αͼ Hsd-HMF ʹରͯ͠ E/N Nasym
ର T /NasymΛϓϩοτͨ͠΋ͷɻͨͩ͠∗
1−α/dNasym := Nɻ্ਤ͕ sd–cosh ϞσϧɺԼਤ͕ sd–HMF Ϟσϧͷ‫݁ࢉܭ‬ՌͰ͋ΔɻΤϥʔόʔ͸

ਤ 4.4࣌ؒతͳΤωϧΪʔมԽྔ (೤ΏΒ͗) Λϓϩοτ͍ͯ͠Δ

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27

4.3 εέʔϦϯά·ͣ sd–cosh Ϟσϧͷάϥϑ (ਤ 4.4(a)) ʹ஫໨͢Δͱɺ‫ܥ‬ͷେ͖͕͞ N = 96 × 96 ͓Αͼ N = 128 × 128
ͷ΋ͷ͸΄΅ॏͳ͍ͬͯΔ͕ɺͦΕΑΓ΋খ͞ͳ΋ͷ (N = 16 × 16, 32 × 32, 64 × 64) ͸‫ܥ‬ͷେ͖͞ʹΑͬͯҧ͏‫ۂ‬ઢʹͳͬͯ͠·͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻैͬͯ sd–cosh Ϟσϧͷ৔߹ʹ͸‫ܥ‬ͷେ͖͕͞ N = 96 × 96ΑΓ΋େ͖͍৔߹ʹ͸ɺ઴ۙ‫ܗ‬Λ༻͍ͨεέʔϦϯάଇ͕Α͘੒Γཱ͕ͭɺͦΕΑΓ΋খ͞ͳ‫ʹܥ‬ରͯ͠͸੒Γཱͨͳ͘ͳͬͯ͠·͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻͳ͓ɺsd–cosh Ϟσϧ͕ΫϩεΦʔόΛ‫ܥ͢͜ى‬ͷେ͖͞ͷ‫ੵݟ‬Γ஋͸ 3.1.1 અʹΑΕ͹ɺ͓͓Αͦ NC

22 × 22 ఔ౓Ͱ͋Δ͔Βɺ͜ͷ‫ੵݟ‬Γ஋ͱಉఔ౓ͷΦʔμͰ࣮ࡍʹΫϩεΦʔό͕‫͍͖ͯى‬Δ͜ͱ͕෼͔ΔͩΖ͏ɻ࣍ʹ sd–HMF Ϟσϧͷάϥϑ (ਤ 4.4(b)) ʹ஫໨͠Α͏ɻͪ͜Βͷάϥϑ͸ sd–cosh ͷ৔߹ͱൺ΂Δͱ‫ܥ‬ͷαΠζґଘੑ͕͔ͳΓ‫ݦ‬ஶʹ‫ݱ‬Εͯ͠·͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻಛʹɺ࣮‫࠷ͨ͠ݧ‬େͷαΠζͰ͋Δ

N = 128 × 128 Ͱ͋ͬͯ΋·ͩऩଋ͓ͯ͠Βͣɺ͔ͳΓ‫ڊ‬େͳ‫ܥ‬Λ༻ҙ͠ͳ͍‫ݶ‬Γ઴ۙ‫ܗ‬Λ༻͍ͨεέʔϦϯάଇͰ͸ਖ਼͍͠༧‫ݴ‬Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠Δɻಛʹ sd–HMF ͷ NC ͸͓͓Αͦ

NC

100 × 100 Ͱ͔͋ͬͨΒɺ128 × 128 ఔ౓Ͱ͸ऩଋ͠ͳ͍͜ͱ͸ NC ͷ‫ੵݟ‬Γ஋ͱ΋ໃ६͍ͯ͠ͳ͍

͜ͱ͕෼͔ΔɻҎ্ͷ݁Ռ͔Βɺ‫ܥ‬ͷେ͖͕͞઴ۙྖҬʹୡ͢Δ΄Ͳे෼େ͖͍৔߹ (ྫ͑͹ɺ࿭੕ఔ౓ͷେ͖͞ͷ৔߹)∗ʹ͸઴ۙ‫ ܗ‬Nasym:= N 1−α/d Λ༻͍ͨεέʔϦϯάଇ͕े෼ͳਫ਼౓Ͱ੒Γཱͭ৔߹Ͱ΋ɺզʑ͕஌Γ͍ͨ‫͕͜ܥ‬ΕΑΓ΋খ͞ͳαΠζͰ͋Δ৔߹ʹ͸ɺ͜ͷεέʔϦϯάଇͰ͸ෆे෼Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ

4.3.2 ‫ݸ‬ผʹΈͨ৔߹ϙςϯγϟϧΤωϧΪʔΛ௕‫཭ڑ‬త߲ͱɺ୹‫཭ڑ‬త߲ʹ෼͚ͨ৔߹Λߟ͑Α͏ɻ·ͣ sd–cosh Ϟσϧʹରͯ͠ϓϩοτΛߦ͏ͱਤ 4.5 ΛಘΔɻ͜ͷάϥϑʹΑΔͱɺ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Ul.r ʹ͍ͭͯ΋ɺ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Us.r. ʹ͍ͭͯ΋‫ܥ‬ͷαΠζʹେ͖͘ґଘ͓ͯ͠ΓɺͲͪΒͷ৔߹΋༧૝͞ΕΔεέʔϦϯά͸શ͘੒Γཱ͍ͬͯͳ͍͜ͱ͕෼͔Δɻ

sd–HMF Ϟσϧʹؔͯ͠΋ಉ༷ʹάϥϑΛ࡞੒͢Δͱਤ 4.6 ͷΑ͏ʹͳΔɻ͜ͷ৔߹ʹ΋‫ܥ‬ͷৼΔ෣͍͸‫ܥ‬ͷαΠζʹେ͖͘ґଘ͓ͯ͠Γɺ‫ݸ‬ผʹ‫ͨݟ‬৔߹ʹ͸εέʔϦϯά͕੒Γཱ͍ͬͯͳ͍͜ͱ͕෼͔Δɻͳ
͓ sd–HMF Ϟσϧ͸εϐϯϞσϧͰ͋Δ͔ΒɺΤωϧΪʔ͸༗քͰ͋Γ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ͸ߴԹͷ৔߹ʹ͸΄΅Ұఆ஋ʹऩଋ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕‫ͯݟ‬औΕΔɻ
ͲͪΒͷ৔߹΋ Ul.r. , Us.r. ͸‫ܥ‬ͷαΠζʹେ͖͘ґଘͯ͠͠·͓ͬͯΓɺεέʔϦϯά͸੒Γཱ͍ͬͯͳ
͍͜ͱ͕෼͔Δɻಛʹ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Us.r. ͕ O(N ) Ͱεέʔϧ͠ͳ͍ɺ͢ͳΘͪ Us.r. ∝ N ͱ͸ͳΒͳ͍͜ͱʹ஫ҙ͞Ε͍ͨɻ௕‫͕ྗ཭ڑ‬શ͘ແ͍৔߹ʹ͸୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ͸‫ܥ‬ͷαΠζʹൺྫ͢Δ͸
ͣͰ͋Δ͕ɺ௕‫͍͕ͯͬࠞ͟ྗ཭ڑ‬Δ৔߹ʹ͸௕‫ྗ཭ڑ‬ͷӨ‫ʹڹ‬Αͬͯ୹ ‫ ཭ ڑ‬త ͳ ϙ ς ϯ γ ϟ ϧ ͸ O(N )˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜ͷ ྔ ͱ ͸ ͳ Β ͳ ͍ ͷͰ͋Δɻ͜Ε͸௕‫͕͋ྗ཭ڑ‬Δ৔߹ʹ͸‫ܥ‬ͷαΠζͷ૿େʹ൐ͬͯ‫ܥ‬શମͷӡಈ͸ౚ˜Γ͍͍ͭͯͬͯ͠·͏ͨΊʹɺ୹‫཭ڑ‬తͳϙςϯγϟϧ͸˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
0 ʹ޲͔ͬͯ‫ݮ‬ਰ͍ͯͬͯ͠͠·͏ͨΊͩͱߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

4.3.3 ૯࿨Λ༻͍ͨ৔߹
∗∗∗࠷‫ʹޙ‬έʔε C Ͱఆٛͨ͠ NsumΛ༻͍ͯ E/N Nsum
ର T /NsumΛϓϩοτͨ͠΋ͷΛਤ 4.7 ʹࣔ͢ɻsd–cosh Ϟσϧʹରͯ͠΋ɺsd–HMF Ϟσϧʹରͯ͠΋ɺ‫ܥ‬ͷαΠζ͕େ͖͍ͱ͜Ζ͔Βখ͍͞ͱ͜Ζʹ౉ͬͯඇৗʹΑ͍ਫ਼౓ͰεέʔϦϯάΛ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕‫ͯݟ‬औΕΔɻͳ͓ɺsd–HMF Ϟσϧͷάϥϑʢਤ

4.7(b)ʣʹ͓͍ͯ N = 128 × 128 ͷ΋ͷ͕ζϨͯ͠·͍ͬͯΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δͷ͸ɺσʔλ఺͕଍Γͳ͍ͨΊͰ͋Γɺσʔλ఺ͷ͋Δͱ͜ΖͰ͸ଞͷ‫ۂ‬ઢͱಉ͡ॴʹ৐͍ͬͯΔ͜ͱΛ஫ҙ͓ͯ͘͠ɻ

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28

0.06

ୈ࢛ষ

‫݁ڀݚ‬Ռ

0.35

0.4

90

100

N = 16 × 16
N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

0.05

Ul.r./NN1-α/d

0.04

0.03

0.02

0.01

0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

1-α/d

T/N

(a) ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Ul.r.
25

N = 16 × 16
N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

20

Us.r./N

15

10

5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

T

(b) ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Us.r.

sd–cosh Ϟσϧͷ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Ul.r. (্ਤ) ͓Αͼ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Us.r. (Լਤ)∗Λϓϩοτͨ͠΋ͷɻ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ͸ɺۭؒత‫ݮ‬ਰͷႈ͕ α = 0.5 ͳͷͰɺNindv:= N 1−α/d =
0.75
∗
∗
N
ͱͯ͠ Ul.r. /N Nindv ର T /Nindv Λϓϩοτͨ͠ɻ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ͸ɺ௨ৗͷ৔߹ͱಉ༷ʹUs.r. /N ର T Λϓϩοτͨ͠ਤ 4.5

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29

4.3 εέʔϦϯά

0.016

N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

0.014

0.012

Vl.r. / NN

1-α/d

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

1-α/d

T/N

(a) ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Ul.r.
4.5

N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

4
3.5

Us.r. / N

3
2.5
2
1.5
1
0.5
0

0

1

2

3

4

5
T

6

7

8

9

10

(b) ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Us.r.

sd–HMF Ϟσϧͷ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Ul.r. (্ਤ) ͓Αͼ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ Us.r. (Լਤ)∗Λϓϩοτͨ͠΋ͷɻ௕‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ͸ɺۭؒత‫ݮ‬ਰͷႈ͕ α = 0.5 ͳͷͰɺNindv:= N 1−α/d =
0.75
∗
∗
N
ͱͯ͠ Ul.r. /N Nindv ର T /Nindv Λϓϩοτͨ͠ɻ୹‫཭ڑ‬తϙςϯγϟϧ͸ɺ௨ৗͷ৔߹ͱಉ༷ʹUs.r. /N ର T Λϓϩοτͨ͠ਤ 4.6

《修士論文》

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30

ୈ࢛ষ

3

‫݁ڀݚ‬Ռ

N = 16 × 16
N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

2.5

E/NN*sum

2

1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5
T/N*sum

22.5

3(a) sd–cosh Ϟσϧ
1.1

N = 32 × 32
N = 64 × 64
N = 96 × 96
N = 128 × 128

1
0.9
0.8

E / NN*sum

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
T / N*sum

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(b) sd–HMF Ϟσϧ

ਤ 4.7

∗
∗
sd–cosh Ϟσϧ (্ਤ) ͓Αͼ sd–HMF Ϟσϧ (Լਤ) ʹରͯ͠ NsumΛ༻͍ͯ E/N Nsumର∗
T /NsumΛϓϩοτͨ͠΋ͷɻ‫ܥ‬ͷαΠζʹґΒͣɺ‫΅΄ʹ͍ޓ‬Ұఆͷ‫ۂ‬ઢΛඳ͍͓ͯΓɺ͔ͳΓਫ਼౓ͷΑ͍εέʔϦϯάͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻ

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31

4.4 ΤωϧΪʔͷ‫఺ݪ‬Ҏ্Ͱ 1 έʔε A ઴ۙ‫ܗ‬Λ༻͍ͨ৔߹ɺ 2 έʔε B ‫ݸ‬ผʹΈͨ৔߹ɺ 3 έʔε C ૯࿨Λ༻͍ͨ৔߹ɺͱ
͍͏௚‫ײ‬తʹ͸ਖ਼ͦ͠͏ͳ૬ҟͳΔࡾ௨Γͷํ๏Λ༻͍ͯεέʔϦϯά͕੒Γཱ͔ͭͲ͏͔ΛνΣοΫͨ͠ɻͦͷ݁Ռɺগͳ͘ͱ΋զʑ͕ௐ΂ͨϞσϧͷൣғ಺Ͱ͸ 1 ͓Αͼ 2 Ͱ͸͏·͘εέʔϧ͠ͳ͔͕ͬͨɺ 3 ͷ૯࿨Λ༻͍ͨ৔߹ʹ͸ඇৗʹΑ͍εέʔϦϯά͕ಘΒΕΔ͜ͱΛ֬ೝ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͨɻ

4.4 ΤωϧΪʔͷ‫఺ݪ‬∗Ҏ্ͷ݁Ռ͔Βɺগͳ͘ͱ΋ຊ‫Ͱڀݚ‬औΓѻͬͨϞσϧʹؔͯ͠͸‫ܥ‬શମͷΤωϧΪʔʹؔͯ͠ NsumΛεέʔϦϯάϑΝΫλʔͱͨ͠εέʔϦϯάଇΛద༻͢Δͱɺඇৗʹਫ਼౓ͷྑ͍εέʔϦϯάΛಘΒΕΔ͜
∗ͱ͕Θ͔͕ͬͨɺ‫ʹٯ‬ΤωϧΪʔͷ‫఺ݪ‬ͷબͼํͷ೚ҙੑͷٞ࿦͔ΒɺεέʔϦϯάϑΝΫλͱͯ͠ NsumΛ༻ ͍ ͳ ͚ Ε ͹ ͍ ͚ ͳ ͍ ͜ͱ͕͍͑Δɻ˜ϛΫϩͳཧ࿦Ͱ͋ΔྗֶͷൣᙝͰ͸ɺ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
Hamiltonian ʹ͸ਖ਼४ม਺Λ‫͍ͳ·ؚ‬೚ҙͷ߲Λ෇͚Ճ͑ͯ΋ӡಈํఔࣜ͸มΘΒͳ͍ͨΊɺΤωϧΪʔͷ‫఺ݪ‬͸೚ҙʹબͿ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻͱ͜Ζ͕ɺ೤ྗֶ΍౷‫ֶྗܭ‬ͷΑ͏ʹ‫ܥ‬ͷཻࢠ਺ N Λඇৗʹେ͖͘ͱͬͨͱ͖ͷ‫ݶۃ‬Λߟ͑Δ৔߹ʹ͸ɺHamiltonian ʹ N Λ‫ؚ‬Ή߲Λ෇͚Ճ͑ͯΤωϧΪʔͷ‫఺ݪ‬ΛͣΒͯ͠͠·͏ͱෆ౎߹͕ੜ͡Δ͜ͱ͕͋Δɻྫ͑͹୹‫཭ڑ‬తͳ Hamiltonian Λ

H −→ H  := H + N 2(4.21)

ͷΑ͏ʹมߋ͢Δͱɺ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔີ౓͸

E(T ) :=

E(N, T )E  (N, T )−→ E  (T ) :== E(T ) + N
NN(4.22)

ͷΑ͏ʹͳΓɺ୹‫཭ڑ‬૬‫ͯͬ͋Ͱܥ༻࡞ޓ‬΋ΤωϧΪʔͷ‫఺ݪ‬Λมߋͨ͠‫ޙ‬ͷΤωϧΪʔີ౓ E  (T ) ͸ҰఆͱͳΒͣɺ΋͸΍ O(N ) ͷྔʹͳͬͯ͠·͏ɻ͔͠͠ͳ͕Β͜ͷ໰୊͸୹‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬͸͋·Γຊ࣭తͰ͸ͳ͍ɻͳͥͳΒ͹ɺHamiltonian ʹΘ͟Θ͟ O(N ) ΑΓ΋େ͖ͳ߲Λ෇͚Ճ͑Δͱ͍͏άϩʔόϧͳมߋΛਓ޻తʹՃ͑ͨ৔߹ʹ͔͠ൃੜͤͣɺೋ
ମϙςϯγϟϧ u(qi , qj ) ͷ‫఺ݪ‬Λมߋ͢Δͱ͍ͬͨϩʔΧϧͳมߋͰ͸ߴʑ O(N ) ఔ౓ͷҧ͍͔͠ൃੜ͠
ͳ͍ͨΊͰ͋ΔɻͦΕͰ͸௕‫཭ڑ‬૬‫Ͱܥ༻࡞ޓ‬΋ಉ͜͡ͱ͕͍͑ΔͩΖ͏͔ʁ΋ͪΖΜɺHamiltonian ʹ N ͷ೚ҙവ਺f (N ) ΛՃ͑Δͱ͍͏άϩʔόϧͳมߋΛߦͳͬͯ͠·͏ͱҰൠʹ͸΋ͱͷ Hamiltonian ͷ΋ͭεέʔϦϯάଇ͔ΒมΘͬͯ͠·͏ͷ͸໌Β͔Ͱ͋Δ͕ɺೋମϙςϯγϟϧΛఆ਺͚ͩͣΒ͢ͱ͍͏ϩʔΧϧͳมߋΛߦͬͨ৔߹ʹ͸Ͳ͏ͩΖ͏͔ʁࠓ·Ͱͱಉ༷ʹɺೋͭͷҟͳΔႈ‫ݮ‬ਰΛ΋ͭ࣍ͷ Hamiltonian Λߟ͑Α͏ɻ


N 
!
J 
A
B
+
u(qi , qj ) + 
H=
+
α
β
2m
2
||Ri − Rj ||||Ri − Rj ||
i=1
N

p2
i

(4.23)

i=j=1ୈೋ߲ʹ‫ݱ‬ΕΔ  ͕͜ͷ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔͷ‫఺ݪ‬ΛܾΊ͍ͯΔͱߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻͦ͜Ͱ͜ͷ  Λ‫ؚ‬Ή߲ͷΈΛൈ͖ग़ͯ͠ΈΔͱɺ

E0 :=


N 
A
J ∗
J 
B
=
+
N
2
||Ri − Rj ||α||Ri − Rj ||β
2 sum(4.24)i=j∗ͱ෼͔Δɻ͜͜Ͱ Nsum͸ (4.18) ࣜͰఆٛͨ͠εέʔϦϯάϑΝΫλͰ͋Δɻैͬͯɺ ͕ 0 ͷ৔߹ͱ 0 Ͱͳ͍༗‫ݶ‬ͷେ͖͞Λ΋ͭ৔߹Ͱͷ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔͷେ͖͞Λൺ΂ͯΈΔͱɺ

E(N, T ; ) = E(N, T ;  = 0) +

J ∗
N
2 sum

(4.25)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

32

ୈ࢛ষ

‫݁ڀݚ‬Ռͱ ͍ ͏ ؔ ܎ ͕ ੒ Γ ཱ ͭ ɻ͜ ͜ Ͱ ε έ ʔ Ϧ ϯ ά ϑ Ν Ϋ λ Λ N ∗ (N ) ͱ ͠ ͯ Tsallis ͷ ε έ ʔ Ϧ ϯ ά ଇ

E(N, T ; ) = N N ∗ E ∗ (T /N ∗ ; ) Λߟ͑Δͱɺ
N N ∗ E ∗ (T /N ∗ ; ) = N N ∗ E ∗ (T /N ∗ ;  = 0) +

J ∗
N
2 sum

(4.26)

ΛಘΔͨΊɺ͜ͷ͕ࣜ͢΂ͯͷ N ʹରͯ͠੒Γཱͭ*3 ͨΊʹ͸ɺ∗N ∗ = Nsum

(4.27)

Ͱ͋Δඞཁ͕͋ΔͱΘ͔Δɻैͬͯɺೋ ମ ϙ ς ϯ γ ϟ ϧ ͷ ‫ ఺ ݪ‬Λ ఆ ਺ ͩ ͚ ͣ Β ͢ ͱ ͍ ͏ ϩ ʔ Χ ϧ ͳ ม

˜˜˜˜ϧ
˜˜˜˜Ϊ
˜˜˜˜ʔ
˜˜˜˜ʹ
˜˜˜˜ର
˜˜˜˜͠
˜˜˜˜ͯ
˜˜˜˜ε
˜˜˜˜έ
˜˜˜˜ʔ
˜˜˜˜Ϧ
˜˜˜˜ϯ
˜˜˜˜ά
˜˜˜˜ଇ
˜˜˜˜͕
˜˜˜˜੒
˜˜˜˜Γ
˜˜˜˜ཱ
˜˜˜˜ͭ
˜˜˜˜ͨ
˜˜˜˜Ί
˜˜˜˜ʹ
˜˜˜˜͸
˜˜˜˜ɺ
˜˜˜˜ຊ
˜˜˜˜‫ݚ‬˜˜˜˜‫ڀ‬˜˜˜ߋ Λ ߦ ͬ ͨ ͱ ͠ ͯ ΋ ɺ ‫ ܥ‬શ ମ ͷ Τ˜
ω

˜ͷ
˜˜˜˜ఏ
˜˜˜˜Ҋ
˜˜˜˜͢
˜˜˜˜Δ
˜˜˜˜˜˜N˜˜˜˜∗˜˜˜˜˜˜˜˜Λ
˜˜˜˜༻
˜˜˜˜͍
˜˜˜˜ͳ
˜˜˜˜͚
˜˜˜˜Ε
˜˜˜˜͹
˜˜˜˜͍
˜˜˜˜͚
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3
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(5.3)

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(5.4)

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5.3 ల๬

37࣮ࡍͷ෺࣭Ͱ͸౰વൺ೤͸ਖ਼Ͱ͋Δ͔ΒɺͲ͔͜ʹໃ६఺΍ɺ‫ͱ࣮ݱ‬ͷᴥᴪ͕͋Δ͜ͱ͸໌നͰ͋Δɻ۩ମతʹ͸͜ͷఆཧͷͲ͕ؒ͜ҧ͍ͬͯͨͷͰ͋Ζ͏͔ʁؒҧ͍͕‫͖ͨى‬ཧ༝ͷҰͭ໨ͱͯ͠ɺূ໌ͷ్தͰϏϦΞϧఆཧΛ࢖͍ͬͯΔ͜ͱʹ஫໨ͯ͠ΈΑ͏ɻϏϦΞϧఆཧͰ͸ཻࢠ͕ಈ͖·ΘΔ͜ͱͷͰ͖ΔྖҬ͕༗‫͋Ͱݶ‬Δ͜ͱΛ҉ʹԾఆ͍ͯ͠Δ͕ɺిՙͷූ߸͕Ұॹͷཻࢠಉ࢜ʹ͸‫͕ྗੱʹ͍ޓ‬ಇ͍͍ͯΔͨΊɺ͜ͷԾఆ͕࣮͸੒Γཱͨͳ͍ɻҰํͰɺ༰‫ث‬ͷதʹด͡ࠐΊͯ͠·͑͹ӡಈ͢ΔྖҬ͸༗‫ͳͱݶ‬Δ͏͑ʹɺͦͷํ͕‫࣮ݱ‬తͳঢ়‫ʹگ‬ଈ͍ͯ͠ΔͱࢥΘΕΔ͔΋͠Εͳ͍ɻͱ͜Ζ͕ɺࠓ౓͸ϏϦΞϧఆཧ͸੒Γཱͭ΋ͷͷɺ͜ͷͱ͖ʹ͸༰‫ͱث‬ՙిཻࢠͷؒͰͷϏϦΞϧΛ
ߟྀʹೖΕͳ͚Ε͹ͳΒͣɺ΍͸Γ͜ͷ৔߹Ͱ΋্ͷূ໌͸్தͰഁ୼Λ͖ͨͯ͠͠·͏ɻ͜ͷఆཧͷ໰୊఺ͱͯ͠΋͏ҰͭߟྀʹೖΕͳ͚Ε͹͍͚ͳ͍͜ͱ͸ɺྔࢠྗֶతͳޮՌͰ͋Δɻಛʹ‫ڽ‬ॖ‫ܥ‬Λߟ͑Δ৔߹ʹ͸ɺిࢠ΍ཅࢠ͕ྔࢠྗֶతͳޮՌΛߟ͑ͳ͚Ε͹͍͚ͳ͍΄Ͳ‫͍ͯۙ͠઀ʹ͍ޓ‬ΔͨΊɺ͜ͷิਖ਼͸ඇৗʹେ͖͍ͱࢥΘΕΔɻ
ͱ͜ΖͰɺੜͷ Coulomb ૬‫༻࡞ޓ‬͸௕‫཭ڑ‬૬‫͋Ͱ༻࡞ޓ‬Δ͔Βɺిࢠͱ‫͔ࢠݪ‬Βߏ੒͞ΕΔ਎ͷճΓͷ෺࣭͸ඇ૬ՃతͰ͋ͬͯવΔ΂͖Ͱ͋Δ͕ɺզʑͷ೔ৗ‫͔ݧܦ‬Β͸΄ͱΜͲ͢΂ͯͷ෺࣭͕૬Ճతʹͳͬͯ
͍Δͱ͍͏ͷ΋ɺΑ͘ߟ͑ͯΈΕ͹ෆࢥٞͰ͋Δɻਖ਼ిՙͱෛిՙ͕ಉఔ౓͋Δ৔߹ʹ͸εΫϦʔχϯά͕‫͜ى‬ΔͨΊʹ༗ޮతʹ͸୹‫͏·ͯͬ͠ͳʹ཭ڑ‬ɺͱ؆୯ʹઆ໌͞Εͯ͠·͏͜ͱ͕ଟ͍͕ɺྫ͑͹ϓϥζϚ
Խ͢Δ΄ͲߴԹʹͳͬͯ͠·͑͹௕‫཭ڑ‬తͳޮՌ͕ແࢹͰ͖ͳ͘ͳͬͯ͘Δ͜ͱ͕༧૝͞ΕΔͨΊɺ౷Ұతʹཧղ͞Ε͍ͯΔͱ͸ͱͯ΋‫͍ݴ‬೉͍ɻ͜ͷ৔߹ʹ͸Թ౓ʹΑͬͯ୹‫཭ڑ‬తͳྖҬ͔Β௕‫཭ڑ‬తͳྖҬ΁ͷΫϩεΦʔό͕‫͍͖ͯى‬Δͱߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰ͸ͳ͍ͩΖ͏͔ɻ

*2Τϧΰʔυੑ͕೤ྗֶ΍౷‫ֶྗܭ‬ͷ‫Ͱ͚ͮૅج‬͸ͳ͍͜ͱ͸Α͘஌ΒΕ͍ͯΔ͕ɺͦΕ͸Τϧΰʔυੑ͕ඞཁͳ৚݅Ͱ͸ͳ͍ͱओு͍ͯ͠Δ͚ͩͰ͋ΓɺΤϧΰʔυੑΛཁ੥͢Δ͜ͱ͸೤ྗֶ΍౷‫ֶྗܭ‬ͷ‫ؔ͢ʹ͚ͮૅج‬Δٞ࿦ͱ͸ԿΒໃ६͠ͳ͍͜ͱʹ஫ҙ͞Ε͍ͨ

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39

෇࿥ A

‫ີݫ‬ղ
۩ମతͳ௕‫཭ڑ‬Ϟσϧͷ‫ີݫ‬ղΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͸Ұൠʹ͸ඇৗʹࠔ೉Ͱ͋Δ͕ɺ͍͔ͭ͘ͷϞσϧʹରͯ͠͸‫ີݫ‬ղΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜͜Ͱ͸‫ີݫ‬ղͷ஌ΒΕ͍ͯΔ͍͔ͭ͘ͷϞσϧΛ঺հ͠Α͏ɻͳ͓ɺ௕
‫཭ڑ‬૬‫ܥ༻࡞ޓ‬ͷ‫݁ͳີݫ‬Ռʹ͍ͭͯৄ͘͠ॻ͔ΕͨϨϏϡʔͱͯ͠ [20] Λ͓͋͛ͯ͘ɻ

A.1 ಉ࣍വ਺‫ܕ‬ϙςϯγϟϧ͕ಉ࣍വ਺‫ܕ‬Λ͍ͯ͠Δ৔߹ʹ͸‫ີݫ‬ղΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

A.1.1 ϞσϧҎԼͷ Hamiltonian Ͱ༩͑ΒΕΔ‫ݹ‬యਖ਼ํ֨ࢠ*1 ‫ܥ‬Λߟ͑Α͏ɻ
N

p2

N
J  |qi − qj |b
H=
+
2m
2
||Ri − Rj ||α
i=1
i

(A.1)

i=j=1

ͨͩ͠ Ri ͸ i ൪໨ͷ֨ࢠ఺ͷҐஔΛ͋ΒΘ͓ͯ͠ΓɺҎԼͰ͸֨ࢠִؒ a := ||Ri − Rj ||ʢͨͩ͠ɺRi ͱ

Rj ͸‫͍ͯ͠઀ྡʹ͍ޓ‬Δ֨ࢠ఺ʣΛཅʹऔΓѻ͏ͨΊʹ୯Ґ֨ࢠϕΫτϧΛ ri := Ri /a ͱ͓͘ɻ·ͨ m΍ J ͸ 1 ͱͯ͠΋ҰൠੑΛࣦΘͳ͍͜ͱʹ஫ҙ͠ 1 ʹઃఆ͢Δɻd Λۭؒ࣍‫͢ͱݩ‬Δͱɺα  d ͷ৔߹ʹ͸͜ͷϞσϧ͸௕‫཭ڑ‬૬‫ͳʹܥ༻࡞ޓ‬Δɻ

A.1.2 ϏϦΞϧఆཧ͔Β͍͑Δ͜ͱ
Hamiltonian ͷϙςϯγϟϧ෦෼͸ਖ਼४࠲ඪʹؔͯ͠ಉ࣍വ਺‫͋Ͱܕ‬Δ͔ΒɺϏϦΞϧఆཧʢ෇࿥ B ࢀরʣɿK=͕੒Γཱͭɻ͜͜Ͱ

b
V
2

(A.2)

͸௕࣌ؒฏ‫ۉ‬Λ͋ΒΘ͢ɻैͬͯશΤωϧΪʔ͸ɺ

b+2
K
(A.3)
b
ͱͳΔɻΞϯαϯϒϧฏ‫ͱۉ‬௕࣌ؒฏ‫͕ۉ‬Ұக͢ΔͷͰ͋Ε͹ (Τϧΰʔυੑ͕੒ΓཱͭͷͳΒ͹)ɺ௕࣌ؒ
E =K +V =ฏ‫ۉ‬ΛΞϯαϯϒϧฏ‫ۉ‬ ʹஔ͖‫͑׵‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɺ·ͨ଎౓෼෍͕Թ౓ T ͷ Maxwell-Boltzmann ෼෍ʹै͍ͬͯΔ͜ͱʢΤωϧΪʔ౳෼഑ଇʣΛԾఆ͢Δͱɺ K = (1/2)N T Ͱ͋Δ͔Βɺ

E =
*1

b+2
NT
2b

ҎԼͷٞ࿦͸ਖ਼ํ֨ࢠͰͳ͘ͱ΋΄΅ಉ͜͡ͱ͕‫͑ݴ‬Δ͕ɺ͜͜Ͱ͸؆୯ͷͨΊਖ਼ํ֨ࢠʹ‫ݶ‬ఆͨ͠࿩Λ͢Δ͜ͱʹ͢Δ(A.4)

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40

෇࿥ A ‫ີݫ‬ղ͕͍͑Δɻैͬͯ͜ͷ‫ܥ‬ͷ֨ࢠ఺Ұͭ͋ͨΓͷൺ೤͸ɺ

1
c=
N



∂E
∂T


=
V,N

b+2
2b

(A.5)

Ͱ͋ΔͱΘ͔Γɺ͜ͷ஋͸ α ʹΑΒͳ͍ɻ͜Ε͸ͨͱ͑௕‫཭ڑ‬తͳύϥϝʔλྖҬ (α < d) Ͱ΋੒Γཱͭ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɻ͜ͷ݁Ռ͸ɺҎԼͰ‫ٻ‬ΊΔϛΫϩΧϊχΧϧ෼෍͓ΑͼΧϊχΧϧ෼෍ʹΑΔ‫݁ࢉܭ‬Ռͱໃ६͠ͳ͍͜ͱ
͕؆୯ʹ෼͔Δɻ

A.1.3 ϛΫϩΧϊχΧϧղঢ়ଶ਺ Ωα,b (E, V, N ) ͸ҎԼͷࣜͰ͋ΒΘ͞ΕΔਤ‫ܗ‬ͷ಺ଆͷମੵͰ͋Δɻ
N

p2

N
1  |qi − qj |b
=E
+ α
2
2a
||ri − rj ||α
i=1
i

(A.6)

i=j=1ैͬͯɺb + 2 −N (ln N +cα,b (N ))e(aα E)N/b E N/2
Ωα,b (E, V, N ) =
2b

(A.7)

b + 2 −N (ln N +cα,b (N ))
e
2b

(A.8)



͜͜Ͱɺ

͸ҎԼͷࣜͰද͞ΕΔਤ‫ܗ‬ͷ಺ଆͷମੵͰ͋Δɻ
N

P2

N
1  |Qi − Qj |b=1+
2
2||ri − rj ||α
i

i=1

(A.9)

i=j=1ैͬͯϛΫϩΧϊχΧϧ෼෍͔Β‫͞ࢉܭ‬ΕΔΤϯτϩϐʔ͸ෆཁͳఆ਺Λআ͍ͯɺ



b+2 E
α
V
S(E, V, N ) = Nln+ln− cα,b (N )
2b
N
bd N


(A.10)

Ͱ͋Δɻ

A.1.4 ΧϊχΧϧղ෼഑വ਺͸ɺ

ZK = N  N/2p2
2πdp
exp −β
=
2
β


⎡

⎤

N
|qi − qj | ⎦ &dqi||ri − rj ||α i=1i=j=1⎡⎤ α N/b 
N
N
b

&
|q
−
q
|
2a
i
j
⎦
exp ⎣−
dqi=
β||ri − rj ||α i=1i=j=1=: exp(−N ccan
(N
))
α,b

ZV =

exp ⎣−

β2aαN(A.11)b(A.12)(A.13)

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A.2 ฏ‫ۉ‬৔ Hamiltonian Ϟσϧͱ͢Δͱɺ

Z = ZK Z V(A.14)

Ͱ༩͑ΒΕΔɻैͬͯ Helmholtz ͷࣗ༝ΤωϧΪʔΛແ࣍‫ݩ‬Խͨ͠ Φ(T, V, N ) := − ln Z ͸ෆཁͳఆ਺Λ
আ͍ͯɺ



b+2
α
V
Φ(T, V, N ) = N −ln T −
ln+ ccanα,b (N )2bbd N(A.15)

ͱΘ͔Δɻ࠷‫ޙ‬ͷ ccanα,b (N ) ͱ͍͏߲͸ɺΞϯαϯϒϧͷ౳Ձੑ͔ΒϛΫϩΧϊχΧϧղͰग़͖߲ͯͨ cα,b (N )ͱ઴ۙతʹҰக͠ͳͯ͘͸ͳΒͳ͍ɻ͢ͳΘͪɺccan
α,b (N ) ∼ cα,b (N )(A.16)

͕੒Γཱͭɻ

A.2 ฏ‫ۉ‬৔ Hamiltonian ϞσϧҎԼͷ Hamiltonian Ͱ༩͑ΒΕΔฏ‫ۉ‬৔ϞσϧΛฏ‫ۉ‬৔ Hamiltonian (Hamiltonian mean ﬁeld; HMF)Ϟσϧͱ‫Ϳݺ‬ɻ

H=

N

p2
i

i=1

2m

+

J 
[1 − cos(qi − qj )]2N i,j=1(A.17)

͜ͷϞσϧ͸ϛΫϩΧϊχΧϧΤϯτϩϐʔ΍ࣗ༝ΤωϧΪʔͷ۩ମతͳදࣜΛղੳతʹ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱͷͰ͖
Δ਺গͳ͍ྫͰ͋Γɺଟ͘ͷղੳ‫ࢉܭ‬΍਺஋࣮‫ߦ͕ݧ‬ΘΕ͍ͯΔɻύϥϝʔλ J ͕ਖ਼ͷ৔߹ʹ͸‫࣓ڧ‬ੑతͱͳΓɺෛͷ৔߹ʹ͸൓‫࣓ڧ‬ੑతͱͳΔɻ͜͜Ͱ͸ J > 0 ͷ‫࣓ڧ‬ੑతͳ৔߹ʹͷΈ‫ͯͬݶ‬࿩ΛਐΊΔɻ

A.2.1 ϛΫϩΧϊχΧϧղϛΫϩΧϊχΧϧղ͸େภࠩཧ࿦Λ༻͍Δ͜ͱͰ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ [21] ͕ɺલఏ஌͕ࣝଟ͘ඞཁͰ͋Γ൥ࡶͰ΋͋ΔͷͰɺৄࡉ͸ࢀߟจ‫ʹݙ‬ৡΔ͜ͱʹ͠ɺ͜͜Ͱ͸ৄ͘͠ղઆ͠ͳ͍ɻ

A.2.2 ΧϊχΧϧղΧϊχΧϧ෼෍Λ༻͍ͨ‫ࢉܭ‬͸ Hubbard–Stratonovich ม‫[ ׵‬22, 23] Λ༻͍Δ͜ͱͰ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖
Δ [24]ɻ෼഑വ਺Λӡಈྔ෦෼ͱ࠲ඪ෦෼ʹ෼͚Δͱɺ

Z = ZK Z V(A.18)ZK = N  N/2p2
2πdp
exp −β
=
2
β



 π



ZV = exp −

βJN
2





−π

⎛
exp ⎝

N
βJ 

(A.19)⎞
cos(qi − qj )⎠2N i,j=1

I

N
&
i=1

dqi


(A.20)

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෇࿥ A ‫ີݫ‬ղͱॻ͚Δɻ͜͜ͰεϐϯϕΫτϧΛ

cos qimi :=sin qi(A.21)

ͱఆٛ͢Δͱɺࡾ֯വ਺ͷՃ๏ఆཧ͔Βcos(qi − qj ) = cos qi cos qj + sin qi sin qj = mi · mj

(A.22)

͕͍͑Δɻैͬͯɺੵ෼ I ʹ͋ΒΘΕΔೋॏ࿨͸ɺ࿨ͱੵͷॱংΛऔΓସ͑Δ͜ͱʹΑͬͯN

cos(qi − qj ) =

i,j=1

N 
N


mi · mj(A.23)

i=1 j=1

=

N


⎞
 ⎛N

mi · ⎝
mj ⎠

i=1

=

N


2

(A.24)

j=1

mi(A.25)

i=1ͱॻ͖ͳ͓͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ΕΑΓੵ෼ I ͸

⎡

 π
I=

exp ⎣

−π

N
βJ 
2N

2 ⎤ N
&
mi ⎦
dqi

i=1

(A.26)i=1ͱม‫͖Ͱܗ‬Δɻ
͜͜Ͱ Hubbard–Stratonovich ม‫[ ׵‬22, 23]


exp

ax2
2



1
=
2πa


y2
+ x · y dy
exp −
2a
−∞


 ∞

(A.27)Λద༻͢Δͱɺ


N
N 2 
y +
dqi
dy exp −mi · y2βJ−π i=1−∞i=1
 N  π


 ∞
N
N 2 &
=
dy exp −dqi exp (mi · y)y
2πβJ −∞2βJ−πi=1  π

N
 ∞
N
N 2
y
=
dy exp −dq exp (||y|| cos q)
2πβJ −∞
2βJ
−π


 ∞
N 2
N
N
y [2πI0 (||y||)]dy exp −=2πβJ −∞
2βJ


 ∞
N 2
N N
dy exp −= (2π)y I0 (y)N
βJ −∞
2βJ
 

 ∞
1 2
N N
dy exp N −= (2π)
y + ln I0 (y)
βJ −∞
2βJ

N
I=
2πβJ

 π &
N



 ∞

ͨͩ͠ I0 (x) ͸ୈҰछม‫ ܗ‬Bessel വ਺Ͱ͋Δɻ

1
I0 (x) :=π(A.28)(A.29)(A.30)(A.31)(A.32)(A.33) π
exp(x cos θ)dθ

(A.34)

0ཻࢠ਺ N ͕े෼େ͖͍৔߹Λߟ͑ΔͱɺLaplace ͷํ๏ʢҌ఺๏ʣ+e

N f (x)

dx

inf
x

2π
eN f (x)N |f  (x)|(A.35)

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A.2 ฏ‫ۉ‬৔ Hamiltonian Ϟσϧ͕࢖͑ͯɺI ∝ (2π)

N N

βJ


inf exp N
y



1 2
−
y + ln I0 (y)2βJ

(A.36)

ͱධՁͰ͖Δɻैͬͯɺࣗ༝ΤωϧΪʔΛແ࣍‫ݩ‬Խͨ͠ Φ(β, N ) := βF (β, N ) = − ln Z(β, N ) ͸ O(N ) ະຬͷ߲͓Αͼෆཁͳఆ਺Λআ͍ͯβJ
1
ln(βJ) ++ inf
Φ(β, N ) = Ny22ͱ‫·ٻ‬Δɻy2− ln I0 (y)2βJ

(A.37)

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45

෇࿥ B

ϏϦΞϧఆཧ
͜͜Ͱ͸‫ݹ‬యྗֶͰΑ͘஌ΒΕ͍ͯΔϏϦΞϧ*1 ఆཧ

1K=−qi · Fi
2 i=1
NΛূ໌͢Δɻͨͩ͠ K =N

2
i=1 pi /2 ͸ӡಈΤωϧΪʔͰ͋Γɺ(B.1)
͸௕࣌ؒฏ‫ۉ‬Λ͋ΒΘ͢ɻಛʹ૬‫༻࡞ޓ‬ϙςϯγϟϧ͕ಉ࣍വ਺‫ܕ‬U (q1 , · · · , qN ) =Na ||qi − qj ||n+1
2

(B.2)

n+1
U
2

(B.3)

i=j=1

Ͱ͋Δ৔߹ʹ͸ɺ

K=͕੒Γཱͭ͜ͱ΋ࣔͦ͏ɻ

B.1 ূ໌
ϏϦΞϧఆཧͷূ໌ͷํ਑͸ɺϏϦΞϧ (virial)

G :=

N


qi · pi

(B.4)

i=1

ͷ࣌ؒมԽͷ௕࣌ؒฏ‫ ͕ۉ‬0 ʹͳΔ͜ͱΛࣔ͢͜ͱͰ͋Δɻ·ͣϏϦΞϧͷ࣌ؒඍ෼Λ‫͢ࢉܭ‬ΔͱɺNN

dG  dqi
dpi
qi ·=· pi +
dt
dt
dt
i=1
i=1

=

N

p2
i

i=1

m

= 2K ++

Nqi · F i

(B.5)

(B.6)

i=1

N


qi · F i

(B.7)

i=1

*1

ʮϏϦΞϧʯͱ͍͏୯‫ޠ‬͸ɺʮྗʯ΍ʮΤωϧΪʔʯͱ͍ͬͨҙຯΛ΋ͭϥςϯ‫“ ޠ‬vis” ͕‫͓ͯͬͳͱݯޠ‬Γɺ1870 ೥ʹ Rudolf

Clausius ʹΑΓ໋໊͞Εͨ [25]

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෇࿥ B

ϏϦΞϧఆཧ

Ͱ͋Δ͔Βɺ͜ͷࣜͷ௕࣌ؒฏ‫ۉ‬ΛͱΔ͜ͱΛߟ͑Δͱɺࠨล͸

1
lim
t→∞ t

 t

dG
G(t) − G(0)dt = lim
=0
t→∞
t
0 dt

(B.8)

Ͱ͋Δͱ෼͔Δɻͨͩ͠࠷‫ޙ‬ͷ౳߸Ͱ͸ϏϦΞϧ͕༗քͰ͋Δ͜ͱΛԾఆͨ͠ɻ͜ΕΑΓ

0 = 2K +Nqi · Fi

(B.9)

i=1



͕੒Γཱͭɻ͜Ε͸ϏϦΞϧఆཧʹ΄͔ͳΒͳ͍ɻ

B.2 ಉ࣍വ਺‫ܕ‬ͷ৔߹૬‫༻࡞ޓ‬ϙςϯγϟϧ͕ಉ࣍വ਺‫ܕ‬ͷ৔߹ʹ͸Fi = −∇qi U(B.10)N

(qi − qj )||qi − qj ||n−1(B.11)

Fi,j(B.12)

Fi,j := −a(n + 1)(qi − qj )||qi − qj ||n−1 = −Fj,i(B.13)= −a(n + 1)j=i

= −a(n + 1)

N

j=i

͕੒Γཱͭɻͨͩ͠

ͱͨ͠ɻैͬͯϏϦΞϧఆཧ͔Β1 K=−qi · Fi,j2
N(B.14)

i=j=1

͕͍͑Δɻӈลͷೋॏ࿨Λ i < j ͷ࿨ͱ j < i ͷ࿨ʹ෼ׂ͠ɺఴࣈΛೖΕସ͑Δ͜ͱͰN
qi · Fi,j =qi · Fi,j +i<ji=j=1==qi · Fi,j +(B.15)



qj · Fj,i(B.16)

qj · Fi,j(B.17)

i<jqi · Fi,j −i<j=qi · Fi,j

i>j

i<j






i<j

(qi − qj ) · Fi,ji<j= −(n + 1)

a||qi − qj ||n+1(B.18)(B.19)i<j= −(n + 1) U (q1 , · · · , qN )(B.20)

͕੒Γཱͭɻ͜ΕΑΓ

K=
ΛಘΔɻ

n+1
U
2

(B.21)


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47

ࢀߟจ‫ݙ‬[1] P. Hertel and W. Thirring, A soluble model for a system with negative speciﬁc heat, Annals ofPhysics 63, 520 (1971).
[2] D. H. Gross and E. Votyakov, Phase transitions in ʠsmallʡsystems, The European PhysicalJournal B-Condensed Matter and Complex Systems 15, 115 (2000).
[3] F. Leyvraz and S. Ruﬀo, Ensemble inequivalence in systems with long-range interactions, Journalof Physics A: Mathematical and General 35, 285 (2002).
[4] W. Thirring, Systems with negative speciﬁc heat, Zeitschrift für Physik 235, 339 (1970).
[5] D. Lynden-Bell and R. Wood, The gravo-thermal catastrophe in isothermal spheres and the onsetof red-giant structure for stellar systems, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 138,
495 (1968).
[6] A. Campa, A. Giansanti, D. Mukamel, and S. Ruﬀo, Dynamics and thermodynamics of rotatorsinteracting with both long-and short-range couplings, Physica A: Statistical Mechanics and its
Applications 365, 120 (2006).
[7] A. Ramı́rez-Hernández, H. Larralde, and F. Leyvraz, Systems with negative speciﬁc heat in thermal
contact: Violation of the zeroth law, Physical Review E 78, 061133 (2008).
[8] A. Ramı́rez-Hernández, H. Larralde, and F. Leyvraz, Violation of the zeroth law of thermodynamics
in systems with negative speciﬁc heat, Physical review letters 100, 120601 (2008).
[9] C. Tsallis, Nonextensive thermostatistics and fractals, Fractals 3, 541 (1995).
[10] M. Kac, G. Uhlenbeck, and P. Hemmer, On the van der waals theory of the vapor-liquid equilibrium.
i. discussion of a one-dimensional model, Journal of Mathematical Physics 4, 216 (1963).
[11] ೔ຊ‫ػ‬ցֶձ, editor, ‫ػ‬ց޻ֶศཡ ‫ૅج‬ฤЋ 6 ‫ֶྗࢉܭ‬, ೔ຊ‫ػ‬ցֶձ, 2007.
[12] B. Leimkuhler and S. Reich, Simulating hamiltonian dynamics, volume 14, Cambridge University
Press, 2004.
[13] W. C. Swope, H. C. Andersen, P. H. Berens, and K. R. Wilson, A computer simulation method
for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules:
Application to small water clusters, The Journal of Chemical Physics 76, 637 (1982).
[14] J. Gans and D. Shalloway, Shadow mass and the relationship between velocity and momentum insymplectic numerical integration, Physical Review E 61, 4587 (2000).
[15] K. Levenberg, A method for the solution of certain non-linear problems in least squares, Quarterlyof Applied Mathematics 2, 164 (1944).
[16] D. W. Marquardt, An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters, Journal of
the Society for Industrial & Applied Mathematics 11, 431 (1963).
[17] gnuplot 4.6 – an interactive plotting program, page 62, http://www.gnuplot.info/docs_4.6/
gnuplot.pdf.

《修士論文》

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物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

ࢀߟจ‫ݙ‬[18] S. A. Cannas, A. De Magalhães, and F. A. Tamarit, Evidence of exactness of the mean-ﬁeld theory
in the nonextensive regime of long-range classical spin models, Physical Review B 61, 11521 (2000).
[19] T. Mori, Analysis of the exactness of mean-ﬁeld theory in long-range interacting systems, PhysicalReview E 82, 060103 (2010).
[20] A. Campa, T. Dauxois, and S. Ruﬀo, Statistical mechanics and dynamics of solvable models withlong-range interactions, Physics Reports 480, 57 (2009).
[21] J. Barré, F. Bouchet, T. Dauxois, and S. Ruﬀo, Large deviation techniques applied to systems withlong-range interactions, Journal of statistical physics 119, 677 (2005).
[22] R. L. Stratonovich, On a Method of Calculating Quantum Distribution Functions, Soviet Physics
Doklady 2, 416 (1957).
[23] J. Hubbard, Calculation of partition functions, Physical Review Letters 3, 77 (1959).
[24] M. Antoni and S. Ruﬀo, Clustering and relaxation in hamiltonian long-range dynamics, PhysicalReview E 52, 2361 (1995).
[25] R. Clausius, Xvi. on a mechanical theorem applicable to heat, The London, Edinburgh, and Dublin
Philosophical Magazine and Journal of Science 40, 122 (1870).

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032603 （2014年5月号）

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