HIGHER-ORDER NONLINEAR CORRECTION OF ELECTRON BUNCHCOMPRESSION TOWARD LASER POWER ENHANCEMENT AT SACLA
Kazuaki Togawa #, Toru Hara, Hitoshi Tanaka
RIKEN SPring-8 Center
1-1-1 Kouto, Sayo, Hyogo 678-5148, Japan

Abstract
In order to increase pulse energy of an x-ray free-electron laser light, the electrons that contribute x-ray laser
emission must be increased, namely the bunch length of the electron beam must be expanded longitudinally whilekeeping a high peak current and low slice emittance. For this purpose, longitudinal phase space distribution of theelectron beam must be linearized by correcting the nonlinearities that are generated in the RF acceleration- and thebunch compression-processes. At SACLA, the second-order nonlinearity is corrected by a C-band correction cavity thatis located at the end of the injector section; however, the third-order nonlinearity has not been corrected concretely. In
this paper, we propose a new method to correct the third-order nonlinearity of the longitudinal phase space by anoctupole magnet that is inserted at a dispersive section of a bunch compressor chicane.

SACLA における電子バンチ圧縮の高次非線形補正によるレーザー高出力化
1.

はじめに

2.

縦方向バンチ圧縮の１次元モデル

X 線自由電子レーザー施設 SACLA は、昨年 6 月
１次元モデルでは、バンチャー部出口を出発点とに最初のレーザー発振を成功させた後、精密な加速 し、RF 加速と磁気バンチ圧縮で生じる非線形効果器調整によって 5 keV から 15 keV 程度の広い波長範 を３次まで取り扱う。モデル化した SACLA の加速
囲で 100-400μJ/pulse のパルスエネルギーを実現し、 器システムを図１に示す。
高出力レーザー光を実験ユーザーに提供している[1-3]。
しかしながら、より高いパルスエネルギーが必要であるといった要望が出ていることも事実であり、その為には、電子ビームのバンチ長を広げてレーザー発振に有効な電子数を増強しなければならない。
SACLA では、電子銃で発生したピーク電流 1 A の電子ビームをバンチャー空洞による速度変調バンチングと 3 台の磁気バンチ圧縮器を用いて、最終的に3 kA 以上の高ピーク電流を実現しているのであるが、 図１：モデル化した SACLA 加速器のレイアウト。
電子ビームの特性を損なうことなく有効なパルス幅
第 n バンチ圧縮器（BCn）前後の縦方向座標をそを広げる為には、エネルギーチャープの高次非線形
れぞれ
zn-1、zn とすると、縦方向座標および規格化エ項（２次および３次）を最小化して、可能な限りエ[5, 6]。
ネルギー偏差は以下の様に表される
ネルギーチャープを線形にする必要がある。
23$"SACLA では、C-band 補正空洞を導入することに(1)
zn = zn−1 − #rnδn ( z0 ) + tnδn ( z0 ) + unδn ( z0 ) %より、２次の非線形項の最小化を行っているが [4] 、E ( z ) + ΔEn−1 ( zn−1 )３次非線形項については積極的な補正を行ってこなδn = n−1 0−1(2)En ( 0 )かった。そこで、縦方向の運動に関する一次元モデルの定式化を行い、これを用いてエネルギーチャー ここで、rn、tn、un はそれぞれ BCn の１次、２次、プ補正の解析を行った。まず、RF パラメータの組 ３次のモーメンタムコンパクションである。En-1(z0)
み合せによる高次補正を試みたが、この方法では２ は BCn の直上流に位置する加速モジュール（Mn-1）
次項と３次項を同時に補正する解を見出すことが困 のエネルギー初期値、ΔEn-1(zn-1)は Mn-1 によるエネル難であることが分かった。次に、バンチ圧縮器の分 ギー利得、En(0)は BCn での基準粒子のエネルギー散部に８極電磁石を導入することを試みた。その結 である。
果、３次非線形項を２次とは独立に補正できる可能 	  δn を z0 に関して多項式展開して zn に代入するので性があることを見出した。本稿では、SACLA にお あるが、これを BC1 から逐次繰り返すことで、BCn
ける電子バンチ圧縮の高次非線形補正に関する最初 出口における縦方向座標および規格化エネルギー偏の計算結果を報告する。
差を z0 の多項式（ここでは３次まで）で表すことが____________________________________________#出来る。

togawa@spring8.or.jp- 1018 -	  zn = α n z0 + β n z02 + γ n z03
2n 0(3)3n 0(4)	  δn = an z0 + b z + c z
式(3)は、電子の初期座標と n 段目の圧縮後の座標との関係を表すので、SACLA の場合 β3 と γ3 がゼロとなる条件で電子バンチが線形に等倍圧縮されることになる。	  尚、SACLA では M0 に L-band 加速管と C-band 補正空洞、M1 に S-band 加速管、M2 に C-band 加速管を用いている。これらの RF パラメータと３台の BCパラメータおよび電子ビームの初期パラメータを合計すると 15 個の独立パラメータがあり、式(3)、(4)の係数はこれらの関数となっている。

3.

同時にゼロにするパラメータを探し出すことは非常に困難であると考えられる。また、仮に見出すことが出来たとしても、実際の加速器でその状態を実現する為のビーム調整の見通しが良くない。２次非線形項は C-band 補正空洞の RF パラメータによりほぼ独立に制御できる。従って、何らかの方法で３次非線形項も独立に制御が出来れば、実際のビーム調整の見通しが非常に良くなる。そこで、次章では、８極電磁石を用いて３次非線形項を独立に制御する方法を議論する。

RF 位相による高次非線形項の制御

まず、RF 位相の調整によってバンチ圧縮の２次と３次の項を最小化することを試みた。パラメータ探索は、BC による全バンチ圧縮係数（CB=1/α3）を約 150 とし、コヒーレント放射の影響を小さくするために、圧縮係数の分配を上流からおおよそ CB,1~3、CB,2~10、CB,3~5 に保つ、といった制約条件の下で行った。
表１に示すベースパラメータを出発点として、まず、S-band 加速管と C-band 加速管の位相をスキャンした。図２に S-band の位相（φS）に対するβ3 とγ3の変化を示す。これより、S-band と C-band の位相だけではβ3 とγ3 のどちらもゼロにすることが出来ないことが分かる。そこで両係数が最小となる位相（φS=-17°）に固定して、次に、上流の L-band 加速管と C-band 補正空洞の位相スキャンを行った。図３に L-band の位相（φL）に対するβ3 とγ3 の変化を示す。これより両係数をゼロにする解は存在しないことが分かる。片方の係数をゼロにした時の位相空間分布とバンチプロファイルを図４に示すが、何れも非線形効果が残留し、一様な電流分布が得られていない。

図２：S-band 位相に対する高次項係数の変化。

図３：L-band 位相に対する高次項係数の変化。

表 1：計算に用いた電子ビームの初期条件、BC パラメータ、RF のベースパラメータ
初期エネルギー(b)

(c)

(d)

1 MeV

初期エネルギーチャープ

全ての次数でゼロ

BC のモーメンタムコンパ
クション（r1, r2, r3）-41 mm, -37 mm, -7.5 mm

L-band 加速管電圧

(a)

40 MV

L-band 加速管位相-28.5°

C-band 補正空洞電圧

5.5 MVC-band 補正空洞位相-180°

S-band 加速管電圧

400 MeVS-band 加速管位相-18°

C-band 加速管電圧

1385 MV

C-band 加速管位相-25°以上のパラメータ探索は一例に過ぎないのであるが、RF パラメータのみで２次と３次の非線形項を

図４：高次項補正後の位相空間分布（圧縮前後の座標関係）と電流分布。(a), (c):２次項ゼロ、(b),(d):３次項ゼロ。

- 1019 -4.

８極電磁石による３次非線形項の制御
８極電磁石の磁場は以下の様に表される。
1 ! ∂3 B $Bx = # 3x & y 3 − 3x 2 y
6 " ∂y %0()(5)

以上より、８極電磁石を挿入した時の BC 前後の縦方向座標の関係は、
zn = zn−1 − "#rnδn + tnδn2 + unδn3 $% − Δz	 (11)= zn−1 − "#rnδn + tnδn2 + (un + K ) δn3 $%となる。
1 " ∂3 B %By = $ 3x ' (3xy 2 − x 3 )(6)	  ８極電磁石の効果を調べる為に、RF パラメータ
6 # ∂y &0を調整して BC3 出口において２次の非線形項がゼ
ここで、添字の 0 は磁場中心の値であることを表す。
ロで 3 次非線形項が際立って大きい図６の様な分布
この８極電磁石の磁場が空間に対する３次項を含んを作り、この非線形項を BC3 の分散部に挿入した８でいることに着目する。８極電磁石を BC の分散部
極電磁石で補正する場合の磁場強度を求めた。補正に挿入すると、エネルギーに依存して水平方向に分すべき３次項の係数は、散した電子が、位置の 3 乗に比例したキックを受け(12)	  γ 3 = γ 2 − r3c3 − 2t3a3b3 − u3a33 = −852 (m-2)
ることになる。このキックにより、BC 部での軌道である。８極電磁石を挿入した時の係数は、長が変化すれば、位相空間の 3 次非線形項を補正す(13)	  γ 3 = γ 2 − r3c3 − 2t3a3b3 − (u3 + K ) a33
ることが出来る。	  図５に示す様に８極電磁石でΔx’のキックを受け で あ る の で 、 BC3 の パ ラ メ ー タ 、 LB=0.4 m 、るとする。このキックを受けた電子の基準粒子に対 θ=1.41°、η=0.155 m、 γ =3250 と数値計算で得られする軌道長の差分は近似的に次の式で表される。
た係数 a3=-2.99 (m-1)を代入すると、必要な８極電磁2LB石の磁場積分が、
Δx"(7)	  Δz ≈sin θ" ∂3 Bx %-2(14)	 
$ 3 ' L8 = 8800 (Tm )ここで、LB は偏向電磁石の長さ、 θ は偏向電磁石に# ∂y &0
よる基準粒子の偏向角である。計算を簡略化する為に、BC に入射する電子ビームのサイズを無視する と求まる。と、分散部では純粋に水平方向のキックだけが生じることになるので、ローレンツ方程式より、
e 1 ! ∂3 Bx $3(8)	  Δx" ≈ −# 3 & L8 ( Δx )γ mec 6 " ∂y %0が得られる。ここで、 γ はローレンツ因子、e は素電荷、me は電子の静止質量、c は光速、L8 は８極電磁石の有効長、Δx は磁場中心からの位置である。また、分散関係は、ΔE(9)	  Δx = −η= −ηδEと表される。式(7)-(9)より、８極電磁石による行路差と規格化エネルギー偏差との関係が次式の様に求められる。
e $ ∂3 Bx '1 LB
3 33(10)	  Δz ≈&) L8η δ ≡ Kδ
3 sin θ γ me c % ∂y 3 (0図６：８極電磁石による補正前後の位相空間分布（圧縮前後の座標関係）。赤実線が補正前、青点線が補正後。

図５：BC 分散部に挿入した８極電磁石による３次非線形項の補正。規格化エネルギー偏差δの電子は８極電磁石によりδの３乗に比例した行路差が与えられ、３次非線形項の補正が行われる。	 	  次に、BC2 分散部に挿入した８極電磁石により、BC3 出口の 3 次非線形項を補正する場合を考察する。
BC2 のパラメータは、LB=0.4 m、θ=3.13°、η=0.345m、 γ =796 であり、BC3 と比較して分散関数が大きくエネルギーも低い。また、規格化エネルギー偏差が大きいので、係数 a2 も-7.28 (m-1)と大きい。これらの効果により、BC2 で補正する場合の８極電磁石の強度は大幅に低減することができ、- 1020 -" ∂3 B %	  $ 3x ' L8 = 44 (Tm-2)# ∂y &0(15)となる。	  最後に、８極電磁石のキックで生じるエミッタンスの増加を概算で求める。Δx’のキックを受けた電子の BC 出口における位置のシフトは、近似的に(16)	  δ x ≈ (l + ΔL + 2LB ) Δx#となる。また、キック角は BC 出口でもそのまま保存され、(17)	  δ x! ≈ Δx!
である。以上よりエミッタンスの増加分は、(18)	  Δε ≈ γδ x#δ x# = γ (l + ΔL + 2LB ) Δx#2

して 3 次の非線形項を２次とは独立に調整する新しい方法を考案し、１次元のモデル計算により、現実的な磁場強度で補正が可能であることを確認した。	  今回は、電子ビームのビームサイズを無視して計算を行ったが、より厳密にはビームサイズを考慮した計算により、どの程度のビームサイズまでが適応可能であるかを調べる必要がある。今後、ビームサイズの効果等を調査し、実用化を目指したシステムの設計を行う予定である。

参考文献[1] T. Ishikawa, et al., “A Compact X-ray Free-electron Laser
Emitting in the Sub-angstrom Region”, Nature Photonics 6,2012, pp. 540-544.と表される。ここで BC2 のパラメータを代入すると、 [2] H. Tanaka, “The SPring-8 Compact Free Electron Laser(SACLA)”, Proceedings of IPAC2012, New Orleans,
l+ΔL+2LB~7 m であることから、Δε~0.02 µm が得らLouisiana, USA, 2012, pp. 2106-2110.
れる。これは、電子ビームのエミッタンス（~1 µm）[3] T. Hara et al., “SACLA 電子ビーム性能向上に向けてのと比較して、無視出来る程十分に小さい量である。
取り組み”, 本学会プロシーディングス.
[4] K. Togawa, et al., “Electron-bunch Compression Using a
5. まとめと今後の予定
Dynamical Nonlinearity Correction for a Compact X-ray
Free-electron Laser”, Phys. Rev. ST Accel. Beams 12, 2009,	  X 線自由電子レーザー施設 SACLA においてレー080706.
ザー出力を増強することを目的として、電子ビーム [5] M. Dohlus et al., “Electron Bunch Length Compression”,のエネルギーチャープを線形化する方法について考ICFA Beam Dynamics Newsletter 38, 2005, pp. 15–37.
察を行った。その結果、RF 加速と磁気バンチ圧縮 [6] I. Zagorodnov, et al., “Semianalytical Modeling ofMultistage bunch Compression with Collective Effect”,の過程で発生する高次の非線形項を、RF パラメー
Phys. Rev. ST Accel. Beams 14, 2011, 014403.

タのみで補正することは非常に困難であることが分かった。そこで、８極電磁石を BC の分散部に挿入- 1021 -