数理解析研究所講究録
第 1874 巻 2014 年 190-197

190

Parity result on the partial Mordell-Tornheim
double zeta function
岡本卓也

立命館大学理工学部
Mordell-Tornheim 型と部分 Mordell-Tornheim 型多重ゼータ関数．
Matsumoto [2] は Tornheim [7] や Mordell [3] によって導入された 2 重ゼータ関数を多重化した Mordell-Tornheim 型多重ゼータ関数$\zeta_{MT,r}(s_{1}, \ldots, s_{r};s_{r+1})=\sum_{m_{1},\ldots,m_{r}=1}^{\infty}m_{1}^{-s_{1}}m_{2}^{-s_{2}}\cdots m_{r}^{-s_{r}}(m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{r})^{-s_{r+1}},$を与え，Mellin-Barnes 積分を用いて，その解析的性質を考察しました．また，この関数の正の整数点での値は興味深い対象であり，様々な数学者により研究されています．
Tsumura [9] は正の整数$\zeta_{MT,r}(p_{1}, \ldots,p_{r};p_{r+1})$

示しました．ただし，結果の拡張であり，$p_{1},$$\ldots,p_{r+1}$に対して，$p_{1}+\cdots+Pr+1\not\equiv rmod 2$ ならば，が $\zeta_{MT,k}(q_{1}, \ldots, q_{k};q_{k+1})$ の積の有理線形結合で表されることを$q_{1},$$\ldots,$$\zeta_{MT,r}$$q_{k+1}$

は正の整数で $k<r$ とします．これは Tornheim [7] のの Parity resultと呼ばれています．また，Huard, Williams

and Zhang [1] や Onodera [5] は独立に，この結果の明示公式を与えています．
また，Subbarao and Sitaramachandrarao [6] は交代 Mordell-Tornheim 型 2 重ゼータ関数$S_{2}^{j}(s_{1}, s_{2}, s_{3})= \sum_{m_{1},m_{2}=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m_{j-1}+m_{j}}}{m_{1}^{s_{1}}m_{2}^{s_{2}}(m_{1}+m_{2})^{s_{3}}} (j=1,2)$(1)のある特定の正の整数点での値を考察し，そのときは Parity result が成り立つことをみています．さらに，Tsumura [8] は，$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(s_{1}, s_{2}, s_{3})$$= \sum_{m_{1},m_{2}=0}^{\infty}(2m_{1}+b_{1})^{-s_{1}}(2m_{2}+b_{2})^{-s_{2}}(2m_{1}+2m_{2}+b_{1}+b_{2})^{-s_{3}}$(2)を導入し $(ただし，b_{1}, b_{2}\in\{1,2\})$ , (2) の Parity result の明示公式を与えることによ191
り，(1) の Parity result の明示公式を与えました．また，Nakamura [4] や Zhou, Cai
and Bradley [10] も独立に (1) の Parity result の明示公式を与えています．
このような Parity result はリーマンゼータ関数の古典的に知られている$\zeta(2n)=\frac{|B_{2n}|(2\pi)^{2n}}{2\cdot(2n)!} (n\in \mathbb{N})$という性質の拡張と捉えることができ，この性質を持つ多重ゼータ関数はよい型の多重ゼータ関数と見なすことができます．つまり，どのような型の多重ゼータ関数がこのParity result という性質を持つかを考察することは大切となります．
今回は，(2) の多重化である部分 Mordell-Tornheim 型多重ゼータ関数$\mathfrak{T}_{b_{1},\ldots,b_{r}}(s_{1}, \ldots, s_{r+1})$$= \sum_{m_{1},\ldots,m_{r}=0}^{\infty}(2m_{1}+b_{1})^{-s_{1}}\cdots(2m_{r}+b_{r})^{-s_{r}}$(3)$\cross(2m_{1}+\cdots+2m_{r}+b_{1}+\cdots+b_{r})^{-s_{r+1}}$

について考察し得られた結果を紹介したいと思います $(ただし，b_{1}, \ldots, b_{r}\in\{1,2\})$ .

2 重，3 重の (3) の Parity result の明示公式．
の Parity result を証明するために用いた方法を応用することOnodera [5] がで，2 重，3 重の場合の (3) の Parity result の明示公式を与えることができました．2 重の場合は，上でも述べたようにこれまでに知られていますが，これまでとは別の方法で与えることによって，次のような簡潔な明示公式を与えることができました:$\zeta_{MT,r}$

Theorem 1. (2 重の Parity result の明示公式) $p_{1}+p_{2}+p_{3}\in 2\mathbb{N}+1$ を満たす正の整数 $p_{1},p_{2},p_{3}$ と$b_{1},$$b_{2}\in\{1,2\}$に対して，$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})=(-1)^{p_{1}}J_{(b_{1},b_{3};b_{2})}(p_{1},p_{3};p_{2})+(-1)^{p_{2}}J_{(b_{2},b_{3};b_{1})}(p_{2},p_{3};p_{1})$が成り立つ．ただし，$b_{3}\in\{1,2\},$$a_{1},$ $a_{2},$$b_{3}\equiv b_{1}+b_{2}$mod2 であり，正の整数$q_{1},$$q_{2},$ $q_{3}$と$as\in\{1,2\}$ に対して，$\mathfrak{J}_{(a_{1},a_{2};a_{3})}(q_{1}, q_{2};q_{3})=\sum_{k}\{(\begin{array}{l}q_{l}+q_{2}-1-2kq_{1}-1\end{array})(\delta_{a_{2},1}+(-1)^{a_{2}}2^{-2k})$$+(\begin{array}{l}-q_{1}+q_{2}1-2kq_{2}-1\end{array})(\delta_{a_{1},1}+(-1)^{a_{1}}2^{-2k})\}$$\cross(\delta_{a_{3},1}+(-1)^{a_{3}}2^{-q_{1}-q_{2}-q_{3}+2k})\zeta(2k)\zeta(q_{1}+q_{2}+q_{3}-2k)$

とおく．また，和は $k \in[O, \max\{q_{1}, q_{2}\}/2]$ のすべての整数をわたり，$\delta_{a,1}$delta とする．

は Kronecker’s

192
Theorem 1 は Onodera の結果の一般化になっていることに注意します ([5, Theorem$b_{1}=b_{2}=2$ のときが Onodera の結果と一致します．また，
3, Example 3.1] . 実際に，$)$いくつか Theorem 1 の具体例を挙げておきます:$\mathfrak{T}_{1,2}(1,1,1)=\frac{7}{16}\zeta(3)$,$\mathfrak{T}_{1,2}(3,1,1)=\frac{31}{64}\zeta(5)-\frac{2}{32}\zeta(2)\zeta(3)$,$\mathfrak{T}_{1,2}(1,3,1)=\frac{31}{64}\zeta(5)-\frac{7}{32}\zeta(2)\zeta(3)$,$\mathfrak{T}_{1,2}(2,2,1)=-\frac{31}{64}\zeta(5)+\frac{5}{16}\zeta(2)\zeta(3)$.

また，3 重の場合に対しても次のような簡潔な明示公式を与えることができました:
Theorem 2. (3 重の Parity result の明示公式) $P1+P2+P3+P4\in 2\mathbb{N}$ を満たす正の整数 $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$ と$b_{1},$ $b_{2},$$b_{3}\in\{1,2\}$に対して，$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2},b_{3}}(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})=(-1)^{p_{1}}\mathfrak{K}_{(b_{1},b_{4};b_{2},b_{3})}(p_{1},p_{4};p_{2},p_{3})$$+(-1)^{p_{2}}\mathfrak{K}_{(b_{2},b_{4};b_{3},b_{1})}(p_{2},p_{4};p_{3},p_{1})+(-1)^{p_{3}}\mathfrak{K}_{(b_{8},b_{4};b_{1},b_{2})}(p_{3},p_{4};p_{1},p_{2})$$+(-1)_{4p_{1}!p_{2}!p_{3}!p_{4}!}^{\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}-p_{4}}{2}+1(2\pi)^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}}} \int_{0}^{1}B_{p_{1}^{1}}^{b}(x)B_{p_{2}^{2}}^{b}(x)B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)B_{p_{4}^{4}}^{b}(x)dx$が成り立つ．ただし，$b_{4}\in\{1,2\},$$a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$$a_{4}\in\{1,2\}$$b_{4}\equiv b_{1}+b_{2}+b_{3}$mod2 で正の整数$q_{1},$ $q_{2},$ $q_{3},$ $q_{4}$

と

に対して，

$\mathfrak{K}_{(a_{1},a_{2};a_{3},a_{4})}(q_{1}, q_{2};q_{3}, q_{4})$$= \sum_{k}\{(\begin{array}{ll}q_{1}+q_{2} -1-2kq_{1} -1\end{array})( \delta_{a_{2},1}+(-1)^{a_{2}}2^{-2k})$$+(\begin{array}{l}q_{1}+q_{2}-1-2k-q_{2}1\end{array})(\delta_{a_{1},1}+(-1)^{a_{1}}2^{-2k})\}$$\cross\zeta(2k)\mathfrak{T}_{a_{3},a_{4}}(q_{3}, q_{4}, q_{1}+q_{2}-2k)$

とおく．また，和は $k \in[0, \max\{q_{1}, q_{2}\}/2]$ のすべての整数をわたるとする．さらに，ベルヌーイ多項式を用いて$\{\begin{array}{l}B_{r}^{1}(x) =B_{r}(x)-2^{-r}B_{r}(2x-[2x]) ,B_{r}^{2}(x) =2^{-r}B_{r}(2x-[2x])\end{array}$とおく．
この Theorem 2 もOnodera の結果の一般化になっています ([5, Theorem 3, Example

1933.1] . また，いくっかの具体例も挙げておきます:$)$$\mathfrak{T}_{1,1,1}(1,1,1,1)=\frac{45}{32}\zeta(4)$,,$\mathfrak{T}_{1,1,2}(1,1,1,1)=\mathfrak{T}_{1,2}(1,1,2)+\mathfrak{T}_{1,1}(1,1,2)+\frac{15}{64}\zeta(4)$$\mathfrak{T}_{1,2,2}(1,1,1,1)=\mathfrak{T}_{1,2}(1,1,2)+\frac{15}{64}\zeta(4)$.

これらの定理の証明は上でも述べたように Onodera [5] の方法に基づいています．[5]では，多重ゼータ値のベルヌーイ多項式とクラウゼン関数の積の積分表示を用いています．
Theorem 1, 2 の証明には Theorem 2 の中で与えた部分ベルヌーイ多項式$B_{r}^{1}(x),$ $B_{r}^{2}(x)$と部分補正クラウゼン関数$\{\begin{array}{l}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}^{1}(x) =\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}(x)-2^{-r}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}(2x-[2x]) ,\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}^{2}(x) =2^{-r}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}(2x-[2x])\end{array}$の積の積分表示を用います．ただし，クラウゼン関数$x\in(0,1),$$r\geq 2$$Cl_{r}(x)$$r=1$ のときはを用いて，のときは $x\in[0,1]$ に対して，$\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}(x)=\{\begin{array}{ll}(-1)^{\frac{r+1}{2}}\frac{(r-1)!}{(2\pi)^{r-1}}Cl_{r}(2\pi x) if r\in 2\mathbb{N}-1,(-1)^{\frac{r}{2}}\frac{(r-1)!}{(2\pi)^{r-1}}Cl_{r}(2\pi x) if r\in 2\mathbb{N}\end{array}$

とおくことにします．

2 重，3 重の (3) の積分表示．

実際に，部分ベルヌーイ多項式と部分補正クラウゼン関数を用いることで，2 重，3 重の (3)の正の整数点での値は次のように表すことができます:

Theorem 3.

$p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$を正の整数とする．

$p_{1}+p_{2}+p_{3}\in 2\mathbb{N}+1$のとき，$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})=(-1)^{\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}+1}{2}+}p_{3}(2\pi)^{p_{1}+p_{2}+p_{3}-1}$$2p_{1}!p_{2}!p_{3}!$$\cross\int_{0}^{1}B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)\{p_{1}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{1}}^{b_{1}}(x)B_{p_{2}^{2}}^{b}(x)+p_{2}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{2}^{2}}^{b}(x)B_{p_{1}^{1}}^{b}(x)\}dx$が成り立つ．ただし，$b_{1},$$b_{2},$$b_{3}\in\{1,2\},$$b_{1}+b_{2}\equiv b_{3}$mod2 とする．

$P1+p_{2}+p_{3}+p_{4}\in 2\mathbb{N}$ のとき，
さらに，$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2},b_{3}}(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})=(-1)^{\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}}{2}+p_{4}}+1(2\pi)^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}-2}$$2p_{1}!p_{2}!p_{3}!p_{4}!$$\cross\int_{0}^{1}B_{p_{4}^{4}}^{b}(x)\{B_{p_{1}^{1}}^{b}(x)p_{2}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{2}^{2}}^{b}(x)p_{3}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{3}^{3}}^{b}(x)+B_{p_{2}^{2}}^{b}(x)p_{3}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{3}^{3}}^{b}(x)p_{1}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{1}^{1}}^{b}(x)$$+B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)p_{1}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{1}^{1}}^{b}(x)p_{2}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{2}^{2}}^{b}(x)-\pi^{2}B_{p_{1}^{1}}^{b}(x)B_{p_{2}^{2}}^{b}(x)B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)\}dx$が成り立つ．ただし，$b_{1},$$b_{2},$$b_{3},$$b_{4}\in\{1,2\},$ $b_{1}+b_{2}+b_{3}\equiv b_{4}$mod2 とする．

194のときのみしかこの Theorem 3 は $p_{1}+p_{2}+p_{3}\in 2\mathbb{N}+1$ と $p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}\in 2\mathbb{N}$

与えていないが，実際には$p_{1}+p_{2}+p_{3}\in 2\mathbb{N}$と $p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}\in 2\mathbb{N}+1$ のときも，同様の積分表示は持っています．Theorem 3 は証明の概略のみ与えたいと思います．

Theorem 3 の証明の概略．

まず，を小さい正の数とします．このとき，$\epsilon$$l^{1/2-\epsilon} \sum_{m_{1}=0}^{\infty}\frac{e^{2\pi i(2m_{1}+b_{1})x}}{(2m_{1}+b_{1})^{p_{1}}}\sum_{m_{2}=0}^{\infty}\frac{e^{2\pi i(2m_{2}+b_{2})x}}{(2m_{2}+b_{2})^{p_{2}}}\sum_{m_{3}=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(2m_{3}+b_{3})x}}{(2m_{3}+b_{3})^{p_{3}}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$arrow\frac{1}{2}\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})$$+ \frac{1}{2\pi i}\sum_{\dotplus^{m_{2m_{2}+b_{1}+b_{2}}}2m_{3}+b_{3}\neq 2m_{1}}^{\infty}\frac{(-1)^{(b_{1}+b_{2}-b_{3})}-1}{(2m_{1}+b_{1})^{p_{1}}(2m_{2}+b_{2})^{p_{2}}(2m_{3}+b_{3})^{p_{3}}}m_{1},m_{2}s=0$$\cross(2m_{1}+2m_{2}-2m_{3}+b_{1}+b_{2}-b_{3})^{-1}$$(\epsilonarrow 0)$(4)

が成り立ちます．ここでは，収束に関して，細かな議論を必要としますが，それについては省略します．また，同様にすると$\int_{1/2+\epsilon}^{1-\epsilon}\sum_{m_{1}=0}^{\infty}\frac{e^{2\pi i(2m_{1}+b_{1})x}}{(2m_{1}+b_{1})^{p_{1}}}\sum_{m_{2}=0}^{\infty}\frac{e^{2\pi i(2m_{2}+b_{2})x}}{(2m_{2}+b_{2})^{p_{2}}}\sum_{m_{3}=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(2m_{3}+b_{3})x}}{(2m_{3}+b_{3})^{p_{3}}}dx$$arrow\frac{1}{2}\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})$$+ \frac{1}{2\pi i}\sum_{\dotplus 2m_{3}+b_{3}\neq^{1}2m_{1}2m_{2}+b_{1}+b_{2}}^{\infty}\frac{1-(-1)^{(b_{1}+b_{2}-b_{3})}}{(2m_{1}+b_{1})^{p_{1}}(2m_{2}+b_{2})^{p_{2}}(2m_{3}+b_{3})^{ps}}m,m_{2}m_{3}=0$$\cross(2m_{1}+2m_{2}-2m_{3}+b_{1}+b_{2}-b_{3})^{-1}$$(\epsilonarrow 0)$

も成り立ちます．

ここで，(4) と $(5)$ により，$\int_{0}^{1}\sum_{m_{1}=0}^{\infty}\frac{e^{2\pi i(2m_{1}+b_{1})x}}{(2m_{1}+b_{1})^{p_{1}}}\sum_{m_{2}=0}^{\infty}\frac{e^{2\pi i(2m_{2}+b_{2})x}}{(2m_{2}+b_{2})^{p_{2}}}\sum_{m_{3}=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(2ma+b_{3})x}}{(2m_{3}+b_{3})^{p_{3}}}dx$$=\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})$を得ることができます．

,

(5)

195
そして，$r=1$ のとき，$x\in(0,1/2)$ または $x\in(1/2,1),$$r\geq 2$のときは $x\in[0,1]$ で$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\exp(2\pi i(2m+1)_{X})}{(2m+1)^{r}}$$=Li_{r}(e^{2\pi ix})-2^{-r}Li_{r}(e^{4\pi ix})=- \frac{(2\pi i)^{r-1}}{r!}(r\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}^{1}(x)+\pi iB_{r}^{1}(x))$,(6)$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\exp(2\pi i(2m+2)x)}{(2m+2)^{r}}$(7)$=2^{-r}Li_{r}(e^{4\pi ix})=- \frac{(2\pi i)^{r-1}}{r!}(r\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{r}^{2}(x)+\pi iB_{r}^{2}(x))$

が成り立つことに注意し，この (6) と (7) を上の式の左辺に代入すると，$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})=(-1)^{p_{3}}\frac{(2\pi i)^{p_{1}+p_{2}+p_{3}-3}}{p_{1}!p_{2}!p_{3}!}$$\cross\int_{0}^{1}\prod_{j=1}^{2}(p_{j}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{j}^{j}}^{b}(x)+\pi iB_{p_{j}^{j}}^{b}(x))(p_{3}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{3}^{3}}^{b}(x)-\pi iB_{p_{3}^{3}}^{b}(x))dx$(8)を得ることができます．そして，さらに，$\int_{0}^{1}\prod_{j=1}^{3}(p_{j}\mathfrak{C}t_{p_{j}^{j}}^{b}(x)+\pi iB_{p_{j}^{j}}^{b}(x))dx=0$であることを (この定理の証明の前半と同様に示すことができます),(8) に用いると$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})=(-1)^{p_{3}+1(2\pi i)^{p_{1}+p_{2}+p_{3}-2}}$$p_{1}!p_{2}!p_{3}!$(9)$\cross\int_{0}^{1}B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)\prod_{j=1}^{2}(p_{j}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{j}^{j}}^{b}(x)+\pi iB_{p_{j}^{j}}^{b}(x))dx$を得ることができます．ここで，(9) の両辺の実部を比べると定理の前半を示すことがで
き，同様に，後半も示すことができます．口Theorem 1, 2 の証明の概略．
Theorem 3 と部分ベルヌーイ多項式の関係式

Lemma 1.

$a,$

$b$

を正の整数とする．このとき，$\alpha,$$\beta\in\{1,2\},$$x\in[O, 1)$に対して，$B_{a}^{\alpha}(x)B_{b}^{\beta}(x)= \sum_{l}C_{l}(a, b;\alpha, \beta)B_{a+b-2l}^{\gamma}(x)+\int_{0}^{1}B_{a}^{\alpha}(x)B_{b}^{\beta}(x)dx$が成り立つ．ただし，和は $[0, (a+b)/2)$ の全ての整数をゎたり，$\gamma\in\{1,2\}$

かつ

(10)
$\gamma\equiv\alpha+\beta$

196$mod 2$で，$B_{m}^{1}=B_{m}^{1}(0),$$B_{m}^{2}=B_{m}^{2}(0)$とし，$C_{l}(a, b; \alpha, \beta)=\frac{a!b!}{(2l)!(a+b-2l)!}((\begin{array}{ll}a+b -1-2la -1\end{array})B_{2l}^{\beta}+ (\begin{array}{ll}a+b -1-2lb -1\end{array})B_{2l}^{\alpha})$とおく．

を用いると，Theorem 1, 2 の示すことができます．実際に，Theorem 1 の証明の概略を与えたいと思います．
$p_{1}+p_{2}+p_{3}\in 2\mathbb{N}+1$ を満たす正の整数
Theorem 3 により，

$p_{1},p_{2},p_{3}$に対して，$\mathfrak{T}_{b_{1},b_{2}}(p_{1},p_{2},p_{3})=(-1)^{\frac{p1+p_{2}+p_{3}+1}{2}+p_{3_{\frac{(2\pi)^{p_{1}+p_{2}+p_{3}-1}}{2p_{1}!p_{2}!p_{3}!}}}}$$\cross\int_{0}^{1}B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)\{p_{1}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{1}^{1}}^{b}(x)B_{p_{2}^{2}}^{b}(x)+p_{2}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{2}}^{b_{2}}(x)B_{p_{1}^{1}}^{b}(x)\}dx$が成り立ちます．ここで，$b_{1},$ $b_{2},$$(1,2)$$b_{3}\in\{1,2\},$$b_{1}+b_{2}\equiv b_{3}$(11)$(s, t)=$mod2. このとき，, $(2,1)$ に対して，$\int_{0}^{1}B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)p_{s}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{s}^{\epsilon}}^{b}(x)B_{p_{l}^{t}}^{b}(x)dx$(12)を計算する必要があります．ここで，Lemma 1 を (12) に用いると，$\int_{0}^{1}B_{p_{3}^{3}}^{b}(x)p_{s}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{s}}^{b_{*}}(x)B_{p_{l}^{t}}^{b}(x)dx$$= \sum_{l}c_{\iota}(p_{t},p_{3};b_{t}, b_{3})\int_{0}^{1}B_{p\iota+p_{3}-2l(x)p_{S}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{\epsilon}^{\epsilon}}^{b}(x)dx}^{b_{\epsilon}}$$+ \int_{0}^{1}p_{S}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{s}^{\epsilon}}^{b}(x)dx\int_{0}^{1}B_{p_{t}^{t}}^{b}(y)B_{p_{3}^{3}}^{b}(y)dy$となります．ただし，和は $[0, (p_{t}+p_{3})/2)$ のすべての整数をわたります．
を満たす正の整数
今，Theorem 3 の証明と同様にすることで，$p_{1}+p_{2}\in 2\mathbb{N}+1$(13)$p_{1},p_{2}$に対して，$\mathfrak{T}_{b}(p_{1},p_{2})=(-1)^{\frac{p_{1}+p_{2}-1}{2}+P2_{\frac{(2\pi)^{p_{1}+p_{2}-1}}{p_{1}!p_{2}!}}}\int_{0}^{1}B_{p_{2}}^{b}(x)p_{1}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{1}}^{b}(x)dx$が成り立つことに注意すると $(b\in\{1,2\})$ , (13) の右辺の第一項の積分は$\int_{0}^{1}B_{p_{t}+p_{3}-2\downarrow(x)p_{s}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{\epsilon}^{\epsilon}}^{b}(x)dx}^{b_{\epsilon}}$$=(-1)^{\frac{p_{1+2}p+p_{3}-1}{2}+p_{t}+p_{3}+l}(p_{t}+p_{s}-2l)!p_{S}!$$(2\pi)^{p1+p_{2}+p_{3}-2\iota_{-1}^{\mathfrak{T}_{b_{\epsilon}}(p_{s},p_{t}+p_{3}-2l)}}$となります．さらに，$\int_{0}^{1}p_{s}\mathfrak{C}\mathfrak{l}_{p_{\epsilon}^{\epsilon}}^{b}(x)dx=0$であることに注意すると，Theorem 1 を示すことができます．□

(14)

197
この証明と同様にすることで Theorem2 も示すことができます．

参考文献[1] J. G. Huard, K. S. Williams and$N$.-Y. Zhang, On Tornheim’s double series,

Acta Arith. 75 (1996), 105-117.
[2] K. Matsumoto, On the analytic continuation of various multiple zetafunctions, in: M. A. Bennett et al.(Eds), Number Theory for the Mellennium
II, Proc. Millennial Conference on Number Theory, A K Peters, Wellesley, 2002,

pp. 417-440.
[3] L. J. Mordell, On the evaluation of some multiple series, J. London Math. Soc.,

33 (1958), 368-371.
[4] T. Nakamura, Double Lerch value relations and functional relations for Witten
zeta functions. Tokyo J. Math. 31 (2008), no. 2, 551-574.
[5] K. Onodera, Generalized $log$ sine integrals and the Mordell-Tornheim zeta
values, Rans. Amer. Math. Soc. 363 (2011), 1463-1485.
[6] M. V. Subbarao and R. Sitaramachandrarao, On some infinite series of L.
Mordell and their analogues, Pacific J. Math., 119 (1985), 245-255.
[7] L. Tornheim, Harmonic double series, Amer. J. Math., 72 (1950), 303-314.
[8] H. Tsumura, On alternating analogues of Tornheim’s double series, Proc.
Amer. Math. Soc. 131 (2003), 3633-3641.
[9] H. Tsumura, On Mordell Tornheim zeta values, Proc. Amer. Math. Soc. 133(2005), 2387-2393.
[10] X. Zhou, T. Cai and D. M. Bradley, Signed -analogs of Tornheim’s double
series.(English summary) Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), no. 8, 2689-2698.
$J.$

$q$

Present Address:
Takuya Okamoto
College of Science and Engineering
Ritsumeikan University
1-1-1 Nojihigashi, Kusatsu, Shiga 525-8577
Japan
$E$

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