Proceedings of the 11th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 9-11, 2014, Aomori, Japan

PASJ2014-SAP075

J-PARC Main Ring のビーム位置モニタのゲイン較正
RESULTS OF BEAM BASED GAIN CALIBRATION FOR BEAM POSITION MONITORAT J-PARC MAIN RING
久保木浩功 ∗A) 、外山毅 A) 、畠山衆一郎 B) 、高野淳平 A) 、手島昌己 A)
Hironori Kuboki∗ A) , Takeshi ToyamaA) , Shuichiro HatakeyamaB) , Junpei TakanoA) , Masaki TejimaA) ,A)
KEK J-PARC
B)
JAEA J-PARC

Abstract
Beam Position Monitor (BPM) is one of the essential elements in a synchrotron facility, obtaining the circulating beam
information for stabilization of the closed orbit. The accuracy of beam positions greatly affects the orbit stabilization,
however, actual signal strength from a BPM depends on individuality such as 1) signal transmission for a long distance,2) processing circuit, and 3) contact resistance at the connected parts, etc. These things cause deviations in the gainof the signal response. The gains are different from each other even in one BPM. In order to correct this relative gain
deviations between electrodes, a Beam Based Gain Calibration (BBGC) method has been proposed [1] . Development of
a new method for adequate gain calibration has been an urgent issue for J-PARC Main Ring. It has been found that an
analysis using Total Least Square ﬁtting (TLS) adequately reproduces the BPM gain with sufﬁcient accuracy. The gains
obtained from the data are varied in the range of less than ±5%, and the accuracy is within ±0.6%.

1.

はじめに

円形加速器における周回ビーム軌道の安定性は、供給ビームの大強度化のみならず、ビームロスを低減し、加速器装置自体の放射化を抑えるという意味でも非常に重要である。周回ビームの情報は、ビームライン上に設置されている様々な診断系機器によって得られ、その情報を元に軌道を再構築し、大強度化・高度化へ向けた議論の判断材料となる。よってビーム軌道の情報は高精度であることが求められる。
大強度陽子加速器 J-PARC 50 GeV シンクロトロ
ン (Main Ring, MR) では約 7–8 m 間隔で全周 186 台のビーム位置モニタ (Beam Position Monitor, BPM) が設置されており、各点でのビーム位置情報を与える。BPM
はビームプロファイルモニタと並び、ビーム軌道の再構築に不可欠な診断機器であり、当然ながら BPM の位置精度の要求は厳しく、据え付け誤差にして 0.2 mm 以下にする必要がある [2] 。しかしながら実際の位置精度は据付誤差以外にも、• 据付の基準座標原点と加速器の基準座標原点の差異、• 位置情報の算出に用いている BPM
電極からの出力電圧のゲイン、によっても左右される。
前者は Beam Based Alignment (BBA) という手法で補正される [3] 。後者の具体的な要因としては 1) 長距離の信号伝送、2) 信号処理回路、3) コネクタなどの接続部の接触抵抗、等の個体差が挙げられ、1 台の BPM においてさえも各電極毎の信号応答ゲインは等しくはない。
そこで、1 つの BPM における電極間の出力電圧のばらつき、すなわち相対的な応答ゲインの違いを補正するため、実際のビームを使って BPM 電極から処理回路まで含めた出力電圧の応答ゲインの較正手法 Beam
Based Gain Calibration (BBGC) が考案された [1] 。BBGC
は KEKB で使用されている 4 電極型 BPM に初めて適用
され [4] 、Closed Orbit Distortion (COD) 補正をはじめ、
BPM を使用する各種オプティクス補正の再現性を画期的に改善し、世界最高ルミノシティ達成に貢献した。

J-PARC MR の BPM に対しても、KEKB と同様の方法でゲイン較正を試みたが、電極形状の違いにより適切な解析結果が得られなかった。図 1 に J-PARC の BPM
電極形状を示す。J-PARC の BPM 電極は円筒を対角線上で切断した形状をしており、左右の組と上下の組で構成されている。左右 (上下) の電極 L、R (U、D) より出力される電圧 vL 、vR (vU 、vD ) はケーブルと信号処理
回路 BPM processing circuit (BPMC) を通った後に VL 、
VR (VU 、VD ) として測定される。
ゲイン較正手法として、当初は通常の線形最小二乗
法 (Least Square ﬁtting, LS 法) を用いたが、VL 、VR 、VU 、
VD の 4 つの変数のうち VL にのみ測定誤差が含まれると仮定した解析手法であったため、全ての変数を同等に扱っておらず、フィッティングで得られたパラメータが最適解であるとは言えなかった。そこで、残差をより小さくするために、全最小二乗法 (Total Least Square
ﬁtting, TLS 法) [5] を採用した。本稿では、まずシミュ
レーションにより LS 法と TLS 法の双方を用いてそれぞれゲインを計算し、TLS 法の有用性を示した後に、実際にビームを用いて得られたデータへ適用する手順を示す。最後に、得られたゲインとその評価について述べる。
Electrode shape:“diagonal cut”

VerticalU

Horizontal

Electrode L
vU

D
Beam

R

cable

vD
vR
vL

cable

BPM processing circuit (BPMC)

VL, VR, VU, VD

Figure 1: Diagonal-cut-type BPM at J-PARC MR. A BPM
has four electrode of L, R, U, and D. The signal from eachelectrode is transmitted to BPMC.

∗ kuboki@post.j-parc.jp- 695 -

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J-PARC MR BPM 出力電圧関係式

50

VL = −

VR
VU
VD
+
+
.
gR
gU
gD

(4)

データ点の組 (VL ,VR ,VU ,VD ) が m 個ある場合、各デー
タに対して式 (4) が成立し、連立方程式の形に書ける。
⎛⎞⎞⎛−VR1 VU 1 VD1
VL1
⎜
..
..
.. ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎜ .. ⎟
⎜
⎜ . ⎟
.
.
. ⎟
gR
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜ −VRj VU j VDj ⎟ ⎝ 1 ⎠ = ⎜ VLj ⎟ , (5)
gU
⎜
⎟
⎟
⎜
1
⎜
⎜ .. ⎟
..
..
.. ⎟
⎝
⎝ . ⎠
gD
.
.
. ⎠

−VRm

VU m

VDm

VLm

添字 j は 1 ≤ j ≤ m である。これは行列 A、解ベクト
ル x、右辺ベクトル b を使って A · x = b の形に書ける。各電極のゲイン (gR , gU , gD ) を求めることは、gR 、
gU 、gD を未知数として正規方程式 (5) を解き、x を得ることに帰着する。

3.

シミュレーション

3.1

計算条件

20

40

(c) x dist.
Δx=0.1 mm

30
20

10

2Δx

10
0

6.05×105

6.00×1050

6.10×105

−0.5

VL

0

0.5

4
0.5

(b)

3

(d) y dist.
Δy=0.1 mm

2
y (mm)VL 、VR 、VU 、VD は図 1 における L、R、U、D 電極からの出力電圧、gR 、gU 、gD は各電極からの信号応答のゲインを L 電極のゲインで割ったもの (gL = 1.0)、x、yは水平、垂直方向のビーム位置、λ、a はそれぞれ BPM
内を通過する線電荷と BPM 電極内面の BPM 中心からの実効的な半径である。式 (1)、(2) より、x/a、y/a を消去すると、




1 1
1
1
1
VL +
λ=
VR , λ =
VU +
VD ,
2
gR
2 gU
gD
(3)
さらに式 (3) から λ を消去すると次式が得られる。

5030Counts

BPM からの出力電圧は次式のように書ける。


x
x
VL = λ 1 +, VR = λgR 1 −,(1)
 a y
 a y
, VD = λgD 1 −, (2)VU = λgU 1 +aa60(a) VL dist.
ΔV/V=0.2%

40Counts

2.

2Δy

0

1
0
−1
−2
−3

−0.5

60

40
20
Counts0−4−4 −3 −2 −1

0

1

3

4

Figure 2: Position data generated in simulation. (a) Typical distribution of the signal VL . The noise with Gaussian
shape is generated assuming ΔV /V = 0.2%. (b) Generated position data. (c) Projection of the position to x-axis in
the range of −0.5 ≤ x ≤ 0.5 and −0.5 ≤ y ≤ 0.5. (d) Projection to y-axis. One standard deviation of the distribution
Δx ( Δy ) corresponds to 0.1 mm.
3.2

ゲイン解析

前節で生成したデータを用いて、ゲインが未知であるとしてデータをフィットする。式 (5) において m =5 × 5 × 500 = 12500 行の行列を生成し、正規方程式
A · x = b を解く。

3.2.1 最小二乗法 (LS 法) 通常の最小二乗法では
式 (5) において、残差を ΔR として
m

ΔR

=
j=1

VRj
VU j
VDj
−
+
+
− VLj
gR
gU
gD

2
,

を最小にするようにゲイン (gR , gU , gD ) が決められる。
LS 法では解ベクトル xLS は、

−1 T
xLS = AT · A
A b,

LS 法と TLS 法によるゲインの結果の違いと TLS 法の有用性を示すため、ゲインを予め設定し、式 (1)、(2)に従って生成したモデルデータを用いて解析を行い、正しいゲインが得られるかを確認した。生成したデータ条
件は以下の通り。

2x (mm)(6)と表すことができる。ここで AT は A の転置行列、
 T
−1
A ·A
は AT · A の逆行列を表す。

3.2.2 全最小二乗法 (TLS 法) 全最小二乗法で連立方程式を解く場合は、式 (4) を変形した式、• (gL , gR , gU , gD ) = (1.00, 1.01, 1.005, 0.975)

−VL −

VR
VU
VD
+
+
= 0,
gR
gU
gD

(7)

• 水平方向ビーム位置 x = −2, −1, 0, 1, 2 mm に対し、それぞれ y = −2, −1, 0, 1, 2 mm の位置、計 25 点で表される平面と、各データ点との距離の総和 ΔD を最小にするようにパラメータが決定される。具体的には• Vi (i = L, R, U, D) に対し ΔVi /Vi = 0.2%のガウ
2m
ス分布に従うノイズを生成。各 Vi あたり 500 点。
VRj
1
VU j
VDj
−
ΔD =
+
+
− VLj ,||G⊥ ||2 j=1
gR
gU
gD
図 2 に生成したデータを示す。図 2 (a) は x = 0 のときの VL 分布、(b) 生成したデータ点、(c)、(d) は −0.5 ≤x ≤ 0.5、−0.5 ≤ y ≤ 0.5 の範囲で x、y 軸に射影した を最小にするようにゲイン (gR , gU , gD ) が決められる。
結果である。ΔV /V = 0.2%は Δx (= Δy) = 0.1 mm に ここで、||G⊥ || は平面の式 (7) に対する法線ベクトル相当する。
G⊥ = (−1, −1/gR , 1/gU , 1/gD ) の絶対値 (ユークリッ- 696 -

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ドノルム) である。この解ベクトル xT LS は、式 (5) において A、b を合わせた行列 Ab⎛⎞−VR1 VU 1 VD1 VL1
⎜
..
..
..
.. ⎟
⎜
.
.
.
. ⎟
⎜
⎟
⎜
Ab = ⎜ −VRj VU j VDj VLj ⎟
⎟,
⎜
..
..
..
.. ⎟
⎝
.
.
.
. ⎠

VU m

−VRm

VDm

VLm

を特異値分解した際に得られる最小の特異値 σ を用いて、式 (6) を書き換えた式

しない場合と同等な結果が得られた。
また、この方法では信号強度 Vi の平均値 Vi を用いて、不偏分散nΔVi2 =

VL = −GR VR + GU VU + GD VD ,によって求められる [5] 。ここで I は単位行列である。

3.2.3 LS と TLS の比較 LS 法と TLS 法の双方を用いてゲインを求めた結果を表 1 に、得られたゲインを用いて位置情報に直した結果を図 3 に示す。1) 補正をと書け、例として GR に関してとなる。GR の誤差 ΔGR は ΔVi を用いて

ΔG2R

=

+

1.010

1.005

0.975

gLS

1.03411.01540.9879gT LS

1.01211.0052

0.9767

4

∂GR
∂VU

2
2

1
∂GR
=− ,
∂VL
VR
∂GR
GU
=
,
∂VU
VR

ΔVL2 +ΔVU2 +




∂GR
∂VR
∂GR
∂VD

2
2

ΔVR2
ΔVD2 ,

∂GR
GR
=
,
∂VR
VR
∂GR
GD
=
,
∂VD
VR

の関係より、ΔGR は

ΔG2R =No Corr.
LS
TLS

3

∂GR
∂VL

と書けるので、しない (gR , gU , gD ) = (1.0, 1.0, 1.0) の場合を黒、2) LS法で解析した gLS の補正の場合を青、3) TLS 法で解析した gT LS の場合を赤でプロットした。ゲインの補正をしないと位置にして 1 mm 以上誤差が生じてしまうことがわかる。また、TLS 法で得られたゲインは真の位置情報を正しく再現している。

1(ΔVL2 +G2R ΔVR2 +G2U ΔVU2 +G2D ΔVD2 ), (9)VR2となる。Λ = ΔVL2 + G2R ΔVR2 + G2U ΔVU2 + G2D ΔVD2 とおけば、GU 、GD も同様に

2
1

y (mm)



gD

True

0

ΔG2U =−1−2

1
1
Λ, ΔG2D = 2 Λ,VU2VDとなる。ゲインの誤差に直すには gi = 1/Gi であるから、

−3
−4
−4

1
(−VL + GU VU + GD VD ) ,
VR

GR =

Table 1: LS 法と TLS 法を用いて得られたゲイン
gU(8)を得ることができる。これを用いて、式 (4) 中の各信号
強度 Vi の誤差伝播を考慮すると各ゲインの誤差 gi (i =R, U, D) は以下のように表せる。
まず簡単のため、1/gi = Gi とおくと、式 (4) は
−1 T
xT LS = AT · A − σ 2 I
A b,

gR

1
(Vij − Vi )2 , (n = 500),n − 1 j=1

−3

−2

−1

0

1

2

3

Δgi =

4

x (mm)

Figure 3: Reproduced position using 1) not corrected
gains (black), 2) gains obtained by LS method (blue), and3) gains obtained by TLS method (red).

(10)となる。シミュレーションデータから得られたゲインの誤差は、gR , gU , gD 全てにおいて 0.0040 であった。

4.
3.2.4 平均化 前節までは 1 点毎に独立なデータとして正規方程式に組み込んできたが、各位置のデータを平均化してからゲインを求めることもできる。シミュ
レーションでは 1 つの位置で 500 点のデータを生成しているため、Vi は 500 点の平均を取り、m = 5 × 5 = 25
行の行列を生成してゲインを求めた。得られたゲインは(gR , gU , gD ) = (1.0071, 1.0047, 0.9726) となり、平均化

ΔGi
,
G2i

ビーム・マッピングデータでのゲイン解析

実際のビームを用いて得られたマッピングデータより、各 BPM におけるゲインの導出を行った。図 4 のよ
うに、ステアリング磁石を用いて水平、垂直方向それぞれ、±0.4、±0.2、0 mrad に相当するキックを加え、各
BPM で計 14 点の位置情報が得られるようにした。キッ
クを加える場所が 1 箇所では、BPM の場所によっては軌道の節に相当し、位置の変化が見られないため、軌道- 697 -

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y’ (mrad)1.04(a) gR+0.4

1.00(-0.2,+0.2)
-0.4

+0.2

-0.2

(+0.2,+0.2)

+0.2

0.96

+0.4
X’ (mrad)

Gain

-0.2

(-0.2,-0.2)

1.04(+0.2,-0.2)(b) gU

1.00
0.96

BPM No. 155

-0.4

1.04

Figure 4: Beam mapping condition. Please see the text for
details.

(c) gD

1.00
0.96の振幅の位相が 90◦ ずれた場所のステアリング磁石でキックを加えたデータも取得した。1 つのデータ点あた
り 10 回の測定を行い、計 14 × 10 × 2 = 280 点のデー
タを用いた。式 (5) において m = 280 となることに相当する。
VL 等の信号強度は BPM の波形をフーリエ変換して得られる。図 5 (a) に BPM の典型的な波形、(b) にそのフーリエ変換を行ったスペクトルを示す。波形をフーリエ変換すると RF 周波数 1.7 MHz の整数倍、3.4、5.1 MHz のところに大きな信号強度が得られる。ノイズ
レベルは 1000 以下であり、S/N の点から 3.3–3.4 MHzの範囲のピーク値を信号強度 V とした。フーリエ変換を行うことでビーム起因以外のノイズの影響を受けにくいという利点もある。
TLS 法を用いて得られたゲインの結果を図 6 に示(a)Signal strength

2000

BPM No. 155

20

0

40

80

100

120

140

160

180

200 216

BPM No.

Figure 6: Gains calculated by TLS method as a function of
BPM No. (a) gR , (b) gU , and (c) gD are plotted with theirerror bars.
4.1

ゲイン解析結果の検定

実際のデータではシミュレーションのように真のゲインの値が前もってわかっていない。そこでゲインが正しく導出されていることを確かめるため、以下に示す 3 つの異なる方法で位置情報を算出し、一貫性を確認した。
式 (1) より λ を消去することで位置 x を、また、式 (2)より y を算出することができる。また、式 (3) より λ が計算できるので、式 (3) の 2 つ目の式を式 (1) に代入することで x が、同様に式 (3) の 1 つ目の式を式 (2) に代入することで y が算出できる。まとめると以下のよう
になる。

1000
0

x1 =

−1000
−2000

60

VU
VD
g − gDa,VD
gU + gDa, y1 = VUUVR

VL + gR

(11)




2 VgUU
2VL
6×10− 1 a, y2 =− 1 a,
x2 = V U
VD
3.3 MHz < f < 3.4MHz
VL + VgRR
5×10 (b)gU + gD
4×10
 (12)

3×10
D
2 VgRR
2 VgD
2×10
x3 = 1 − VU
a, y3 = 1 −
a,
VD
1×10
VL + VgRR
gU + gD
0
(13)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12Frequency f (MHz)それぞれ 3 種類の出し方で算出した位置情報を図 7 に
Figure 5: (a) Typical wave form and (b) the spectrum of its 示す。正しく補正されたゲインでは 3 つの導出法でほぼFFT. Signal strength V is deﬁned as the peak value in the 同等な位置を算出していることがわかる。一方、補正を行わない場合 (全て gi = 1.0) の結果を図 8 に示す。3 つrange of 3.3 ≤ f ≤ 3.4 MHz.の電極で算出した位置情報 (x2 , y2 )、(x3 , y3 ) は (x1 , y1 )から大きくずれている。図 7 で、(x2 , y2 )、(x3 , y3 ) は x
す。図 6 (a)–(c) はそれぞれ gR 、gU 、gD の値を各 BPM と y に相関が見えているが、原因の詳細は調査中であに対してプロットした結果である。詳細は 4.1 節で述 る。
また、得られたゲインの誤差を見積もるためにべるが、ゲインの誤差は最大 0.6%であった。図 6 (b)、(c) で BPM #155 はゲインの値が大きく外れているが、 (x1 , y1 )、(x2 , y2 )、(x3 , y3 ) の位置分解能 (Δx1 , Δy1 )、理由として 1) この BPM の内径は他の BPM より大き (Δx2 , Δy2 )、(Δx3 , Δy3 ) を用いた。マッピングデータ
い、2) ビームダクトとの接続部に大きな段差があるた 1 点に対し、10 ショットの測定データを取得している
め、ビーム通過時に BPM 内面に誘起される電荷分布が が、BPM の信号強度は測定条件が同一であったとしてビーム軸方向に不連続性を持ってしまう [6] 、の 2 点が も、ショット毎に異なるビーム位置・強度の微小な変動
影響していると考えられる。
によって変化してしまうため、3.2.4 節で用いた式 (8) は
0

5

10

15
Time (μsec)

20

25



VL − VgRR

30

Signal strength

6
6
6
6
6
6

- 698 -

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PASJ2014-SAP075とし、VL ≈ VR ≈ VU ≈ VD ≈ V 、ΔVL ≈ ΔVR ≈2
ΔVU ≈ ΔVD ≈ ΔV とすると、ΔV1−= 2ΔV12 、2222
ΔV2,3− = ΔV2,3 。また、ΔV1,2,3+ = 2ΔV1,2,3 として、

2
2

ΔV1
2Δx21
ΔV2
2Δx22
=
,
=
,
V1
a2 − x21
V2a2 − 12 (x2 + a)2
2

ΔV3
2Δx23
=
,
V3
a2 − 12 (x3 − a)24(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3)

BPM No. 1
32

y (mm)

10−1−2

同様に y1 , y2 , y3 についても計算し、式 (9) は
2

ΔVi
2
ΔGR =
(1 + G2R + G2U + G2D ),Vi(i = 1, 2, 3),

−3
−4
−5
−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x (mm)

Figure 7: Positions calculated by Eqs. (11)–(13) using
gains obtained by TLS method. Positions (x2 , y2 ) and(x3 , y3 ) are consistent with (x1 , y1 ).

Table 2: 信号強度誤差 ΔV /V およびゲイン誤差の見積

6(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3)

BPM No. 1

5No correctiony (mm)

4と書ける。GU 、GD についても同様にし、式 (10) によってゲインの誤差を計算した。(Δxi , Δyi ) から得られた
ΔV /V とゲインの誤差 Δg の平均値を表 2 に示す。得
られたゲインの誤差は最大 0.6%であった。

(Δx1 , Δy1 )(Δx2 , Δy2 )(Δx3 , Δy3 )

3

ΔV /V

0.00150.00280.00282Δg0.00350.00570.0057

1
0

5.

−1
−2
−3
−4
−5
−6

−4

−2

0

2

4

6

x (mm)

Figure 8: Positions calculated by Eqs. (11)–(13) using
gains with no correction. Large discrepancies between(x1 , y1 ) and both of (x2 , y2 ) and (x3 , y3 ) are observed.
使用できない。そこで以下に述べる方法により誤差を見積もった。
式 (11)–(13) の x について以下のように変形する。




V1−
2V2−
2V3−
a,
x1 =
a, x2 =
− 1 a, x3 = 1 −
V1+
V2+
V3+

結論

J-PARC MR で使用されている、対角線カット電極型
BPM のゲイン較正のため、TLS 法で解析する新しい方法が開発された。シミュレーションによって通常の LS法よりも TLS 法を用いた解析のほうが誤差を小さくできることが示された。実際のビームによりマッピング
データを測定し、TLS 法を用いてゲイン解析を行い、その有効性が確認された。今後、本解析で得られるゲインの正当性を確認する手法を検討・確立し、実際の加速器運転に反映させると共に、異なるビーム強度で得られたマッピングデータも解析し、各ビーム強度に対応する回
路上の設定の差異の影響も調査する。また、BBGC とBBA によるビーム位置精度の向上によって周回ビーム
軌道の安定性が向上し、ビームロス量も低減できると考えられるが、得られる位置精度とビームロス量の相関も調査し、大強度化に向けて検討を進める。
本研究は MEXT 科研費 25105002 新学術領域研究「ニュートリノフロンティアの融合と進化」の助成を受けたものである。

V1− = VL − VR /gR 、V2− = VL 、V3− = VR /gR 、V1+ =VL + VR /gR 、V2+ = V3+ = VU /gU + VD /gD である。
Vi− を xi と Vi+ (i = 1, 2, 3) の関数に直すと
参考文献
V1−

=

V2−

=

V1+
x1 ,
a
V2+
V3+
(x2 + a) , V3− = −(x3 − a) ,2a2aと書ける。Vi− の誤差 ΔVi− を
2
ΔVi−
=



∂Vi−
∂xi

2

Δx2i +



∂Vi−
∂Vi+

2

2
ΔVi+
,

[1] M. Tejima et al., DIPAC2011, MOPD22, 2011.
[2] S. Machida, ATAC 2005.
[3] T. Toyama et al., In these proceedings, Aomori, Japan, Aug.
9-11, 2014.
[4] K. Satoh and M. Tejima, Proc. of the 1997 Particle Accelerator Conference (PAC’97), Vancouver, Canada, 2087, 1997.
[5] Ivan Markovsky and Sabine Va Huffel, Signal Processing 87,
2283-2302, 2007.
[6] T. Toyama et al., Proc. of Particle Accelerator Society Meeting 2009, Tokai, Ibaraki, Japan, 250–252, 2009.

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