コンクリート工学年次論文集，Vol.31，No.1，2009

報告

乾燥収縮における網目状ひび割れパターン形成に関する数値解析手法の開発
中村成春*1

要旨：本報告は，乾燥収縮における網目状ひび割れパターン形成に関する数値解析条件を検討した。その結果，1)3 次元拘束が可能な変形解析が必要であること，2)ひび割れパターン軌跡はバネ要素の仮想切断に伴う作用軸力の再配分による破壊除荷手続き繰り返しの変形解析が必要であること，3) 網目状ひび割れパターンは材料不均一性を考慮することと拘束境界を破壊させないこととバネ要素細分割が必要なこと，等を示した。
キーワード：網目状ひび割れ，乾燥収縮，立体トラス，弾性バネ，拘束，水熱同時移動
1. はじめに
例えば，陶芸分野では，上薬の釉に無数の細かなひび割れを導入して，美的デザイン性に転化させる貫入技法があり，陶磁器表面に人為的に意匠デザインした微細ひび割れや傷を，模様や景色として楽しむ状況にある。セメント系複合材料等による左官塗り仕上技術は，美的観点を考慮した左官工芸あるいはコンクリート工芸 1)として発展していることもあり，その収縮ひび割れ発生を意
匠デザインの一つとして，美的観点から捉えた模様や景色として制御しても良いと考える。
これは，人が身近に接する建築物の室内環境等では，美的観点や使い勝手に対する意匠デザインが最重要視されており，雨水がかかる室外環境と異なり，鉄筋腐食発生に必要な水分の過剰供給があまりないことと，仕上材料自体が剥離・剥落しない程度の収縮ひび割れ発生は，劣化因子の浸透・侵入に対するバリア機能を重視せず，

図－1

フリーペーパー「World & Words」の表紙に掲載

構造安全性や耐久性にほとんど影響しないためと考えされた Andy Goldsworthy の収縮ひび割れ壁面の作品 2)ることによる。
芸術家 Andy Goldsworthy2)は，図－1 に示すように，壁2. 乾燥モデルの取り扱い概要

面に無数の収縮ひび割れを意図的に発生させた内装施

建築環境工学分野では，松本による水化学ポテンシャ工して，建築に美的デザイン性を付与している。しかし，ルを変数とした水熱同時移動特性に関する一連の研究 3)

芸術家の勘とひらめきと偶然性に頼った施工で，誰にでが有名である。ダルシー法則は基本的に含水率勾配の水も自在に対処できる工学手法で制御されているわけで移動のみを考えるが，それに熱流による温度勾配関係をはない。この収縮ひび割れ壁面を，性能設計手法に基づ考慮し，水分流と熱流の相互効果をモデル化している。

いて，工学的に自在に制御できれば，美的デザイン性を

この研究を契機に文献 4)が刊行されている。
本報告の乾燥解析は，この文献 4)に掲載されている液高めた建築を，合理的に開発できることになる。
本報告は，網目状ひび割れ状態を建築テクスチャ表現

水移動領域の FORTRAN プログラム例を活用し，網目状の一つと捉えて，既往の数値解析手法を応用し，水化学ひび割れのパターン形成に関する連成解析手法の必要

ポテンシャルを変数とした水熱同時移動による乾燥解に応じ，例示プログラム内容を適宜修正した。

析と，弾性バネの連成で要素構成した立体トラス格子の本報告で適用した乾燥解析モデルとなる z 軸方向 1 次

変形解析と，バネ要素の仮想切断に伴うバネ要素内の作元の水および熱の収支基礎式 4)は，各々式(1), (2)となる。

用軸力の再配分繰り返しによるひび割れパターン形成解析を連成させて，乾燥収縮における網目状ひび割れパターン形成に関する数値解析条件を検討した。
*1 宇都宮大学大学院⎛ ∂Ψ ⎞ ∂µ ∂ ⎡ ⎛ ∂µ∂T ⎤⎞⎟⎟= ⎢λ ' µ ⎜− g ⎟ + λ 'T(1)∂z ⎥⎦⎠⎝ ∂µ ⎠ ∂t ∂z ⎣ ⎝ ∂z

ρ w ⎜⎜

工学研究科循環生産研究部門建築環境デザイン学専攻准教授

-697-

博(工)

(正会員)

∂T∂ ⎡∂T∂µ ⎤cρ= ⎢(λ + rλ 'Tg )+ rλ ' µg(2)∂t ∂z ⎣∂z∂z ⎥⎦ラムを活用し，網目状ひび割れのパターン形成に関する塗り仕上材料表層の空気側の境界条件は，水および熱純な弾性バネの連成で要素構成した静的線形解析では，について，各々式(3), (4)となる。

連成解析手法の必要に応じて，プログラム内容を適宜修正した。トラスによるピン接合で軸力のみが作用する単収縮系や膨張系のひび割れ破壊を区別することなく，網目状ひび割れのパターン形成を追跡できる。

∂T⎛ ∂µ⎞− λ 'µ ⎜− g ⎟ − λ 'T∂z⎝ ∂z⎠
= α ' µ (µ a − µ ) + α 'T (Ta − T )(3)立体トラスは，組み方を格子型とし，格子稜線のバネ要素を構造バネと，格子面内の筋交いのバネ要素をせん
断バネと設定し，基本格子は，節点 8 個で，構造バネ 12∂T∂µ− rλ ' µg(4)∂z∂z= (α + rα 'T )(Ta − T ) + rα ' µ (µ a − µ )本，せん断バネ 12 本のバネ要素数が計 24 本構成の不静塗り面下地側の境界条件は，水および熱について，断とする。また，構造あるいはせん断の各バネ要素のバネ− (λ + rλ 'Tg )湿で温度指定とすると，各々式(5), (6)となる。

T = Tb(6)面は，物理的意味を持たせず，便宜上，単位断面積にして，バネ要素作用軸力を応力表示扱いとした。

Ψ ：体積含水率[m /m ], µ ：水化学ポテン
シャル[J/kg], T：温度[K], t：時間[s], z：空間座標[m], λ ：熱伝導率[W/m/K], λ 'T ：温度勾配に関する水分伝達率[kg/m/s/K], λ ' µ ：水化学ポテンシャル勾配に関する水分変位法による静的変形解析手法は，自由度 n と，求める力学量の数 m にて，次の 5 ステップからなる。

3

伝導率[kg/m/s/(J/kg)], λ 'Tg ：温度勾配に関する気相水分伝導率[kg/m/s/K],

バネ要素軸方向を局所座標軸(x*)にした右手直交座標系

個々で取り扱えるようにし，一方，バネ要素すべての断(5)ここで,y, z)に，バネ要素始端の節点 i から終端の節点 j へ向かう

定数は，すべて異なる値でも設定できるようバネ要素∂T⎛ ∂µ⎞− λ 'µ ⎜− g ⎟ − λ 'T=0∂z⎠⎝ ∂z3

定構造体とした。この立体トラス格子は，全体座標軸(x,λ ' µg ：水化学ポテンシャル勾配に関する気相水分伝導率[kg/m/s/(J/kg)], r：相変化熱[J/kg],
g ：重力加速度[m/s2]で 1 次元解析のため壁面では 0,

α 'T ：温度勾配に関する水分伝達率[kg/m2/s/K], α ' µ ：水化学ポテンシャル勾配に関する水分伝達率[kg/m2/s/(J/kg)], α c ：対流熱伝達率[W/m2/K], α r ：放射熱伝達率[W/m2/K], α = α c + α r , c：比熱[J/kg/K],[kg/m ], 添え字： a が表層側, b が下地側,
3

ρ ：密度w が水。

ステップ 1 で，立体トラス格子となる節点座標と節点番号付け，バネ要素両端の接続節点抽出とバネ要素番号付けとバネ定数，節点変位を拘束する支点条件，温湿度変化量とその節点とバネ要素の抽出，等を定義する。
ステップ 2 で，作用力に対する節点の変形の拘束力[F]と，変形を拘束したときに作用力によって生じる力学量[Ar]m×1 を計算する。[F]は，節点に直接作用する外力による拘束力[Fa]と，節点間（バネ要素）に作用する温湿度変化等を解析するときの節点での拘束力[Fb]の和になる。本報告では，温湿度変化に伴う変形が対象のため外力作用はなく，[Fa]=0 になる。一方，バネ要素 m に，温度変化∆Tm や水分逸散変化∆Wm が生じたとき，バネ定数, 熱km, バネ断面積 am（本報告では am=1 の仮想単位断面）膨張係数αm, 水分逸散時の水収縮係数βm（膨張を正）とすると，フック法則より軸方向力 km･am･(αm･∆Tm＋βm･3. ひび割れ形成モデルの取り扱い概要∆Wm)が，変位拘束に伴うバネ要素端力[Ar]m×1 になり，3.1 弾性バネの連成で要素構成した立体トラス格子の仮

この[Ar]m×1 に基づき[Fb]が作成される（Appendix 参照）。

想仕事原理による変形モデル

ステップ 3 で，各座標において，仮想仕事の原理を適

コンクリート工学分野では，古くからひび割れ破壊状用し，単位変位を順次与えて，全体座標系の全体剛性マ況が検討されているが，壁面や床版で観察される網目状トリックス[S]n×n と，単位変位を与えたときに生じる力ひび割れのパターン形成について，数値解析的にケース学量[Au]m×n を求める。立体トラスの全体座標系の全体スタディされた事例はあまり多くない。本報告は，壁面剛性マトリックス[S] n×n は，局所座標軸 x*に関する方向や床版の表層面を，塗り仕上材料で装飾することを想定余弦(λx*x, λx*y, λx*z)と，個々のバネ要素の局所座標系の要し，ひび割れ破壊表現の数値解析的取り扱いが最も容易

素剛性マトリックス[S*] 2×2 と，座標変換マトリックスなフック法則に基づく弾性バネのみでモデル化した。

[t]1 × 3=[λx*xλx*yλx*z]から得た個々のバネ要素の全体

本報告の変形解析モデルは，文献 5)に掲載されている座標系の要素剛性マトリックス[Sm] 6×6 を，全体座標系FORTRAN の変位法に基づく立体トラス線形解析プログの全体剛性マトリックス[S]n×n に対応するよう所定位置-698-

ステップ 2 で，バネ要素 m とその始終端節点の温湿度に配置した全体座標系の要素ごとの全体剛性マトリッ―クス[Sm] n×n の累加から作成される（Appendix 参照）。
ステップ 4 で，未知変位[D]n×1 として，釣り合い方程変化に対して，熱膨張係数αm と水収縮係数βm（膨張を正）とバネ定数 km から，バネ要素端力[Ar]m を求める。
ステップ 3 で，節点拘束の支点条件を設定し，仮想仕式[S]n×n[D]n×1=－[F]n×1 を解き，変位[D]を得る。
ステップ 5 で，求める力学量[A]m×1 が，重ね合わせ[A]m

事原理による立体トラス線形解析を行い，平板モデルの=[Ar]m×1＋[Au]m×n[D]n×1 により得る。

バネ要素個々の作用軸力および節点変形を計算する。

×1

3.2 弾性バネの仮想切断に伴うバネ要素内作用応力の再ステップ 4 で，バネ要素個々の作用軸力を参照するこ

配分繰り返しによるひび割れパターン形成モデルとで，破壊基準の引張強度 ft を越えるバネ要素を抽出し，コンクリートのひび割れパターン形成を解析するにこの抽出バネ要素の中で，最大作用軸力のバネ要素のみは，ひび割れ破壊の有無を判断する破壊基準の設定と，を仮想切断して，バネ定数を 0 に設定する。抽出バネ要

ひび割れ破壊の軌跡を表現できるモデル化が必要であ素は，複数の場合もあれば 1 本だけの場合もある。

る。本報告は，パターン形成を最重要視しており，Van

ステップ 5 で，仮想切断したバネ要素以外のバネ要素Mier のラチス（格子）モデルの考え方 6)を基本にした。

は，ステップ 3 で得た作用軸力を[Ar]m としてバネ要素に不静定構造トラスによるバネ要素のネットワークを構作用させたまま，改めて仮想仕事原理による立体トラス成し，バネ要素自体が，あらかじめ設定した破壊基準に線形解析を行い，仮想切断したバネ要素に応じて，その達すると，そのバネ定数を不可逆的に 0 にして，仮想的他のバネ要素に作用の軸力を再配分（＝除荷挙動）し，に切断（＝ひび割れ破壊）を表現する。破壊基準に簡易

バネ要素個々の作用軸力および節点変形量を計算する。

な引張強度基準を適用し，変形解析にて算定したバネ要

ステップ 6 で，ステップ 4＆5 を，すべてのバネ要素素内の作用軸力が，引張強度 ft を越えていると，後述のの作用軸力が引張強度 ft 未満になるまで繰り返し，仮想仮想切断したバネ要素による破壊除荷手続きを行う。

切断できるバネ要素がなくなったとき，作用軸力を[Ar]m

温湿度変化による変形を拘束すると，その反作用からとしてバネ要素に作用させたまま，次の温湿度変化を与内部拘束応力が発生して，破壊現象への駆動力になる。

えるステップ 1 に戻り，ステップ 2 の温湿度変化に対す

本報告では，温湿度解析をセメント系塗り仕上材料の塗る新たな作用軸力を[Ar]m を加えて計算を継続する。

り厚さに対応させて，厚みを表す z 軸方向の 1 次元でモデル化した。一方，変形解析およびひび割れパターン形

4. 乾燥収縮における網目状ひび割れパターン形成に関成解析では，内部拘束応力の発生に影響する拘束条件のするケーススタディ及び考察設定が重要であり，3 次元拘束が可能な立体トラスでモ4.1 無拘束 1 面乾燥による収縮解析

デル化した。本手法は，1 次元温湿度変化解析の結果を，乾燥解析は，乾燥モデルの解析パラメータを，セメン

3 次元変形解析にて，塗り厚さに応じた同一 z 座標の xy

ト系材料となる文献 4)のコンクリート例に設定して，塗面全体に受け渡す。拘束条件は，立体トラス基本格子をり仕上材料の塗り厚さ z=10mm で 1mm 分割の 11 節点と集積した平板モデルの表層面において，xy 面 1 面乾燥・し，外気・内部温度 20℃で内部相対湿度 Rh=0.98 の飽和無拘束でその他 5 面断温湿・拘束とし，平板モデルのひ状態から，放湿曲線を使って，表層部の空気側の相対湿び割れ部や側面から蒸発が起こらないものとした。

度 Rh=0.6 へ乾燥していく温湿度変化を計算した。そのひび割れパターン形成に関して，バネ要素仮想切断に乾燥解析結果にて，乾燥時間が 1, 12, 24 時間の温湿度解伴う破壊除荷の具体的な解析手法は，一般の構造・材料析値を，変形解析へ受け渡した。図－2 に変形解析へ受既成書でほとんど取り扱われておらず，技術的工夫が必け渡した乾燥時間 1, 12, 24 時間の温湿度解析結果を示す。

要である。ひび割れパターン形成プロセスは，物理学分乾燥 1 時間で，乾燥に伴う蒸発潜熱の影響が表れている。

野にて，本報告と同系統の弾性バネモデルを取り扱った参照する方法とし，バネ要素の仮想切断と破壊除荷手続
きの繰り返しによる次の 6 ステップからなる。
ステップ 1 で，時間を dt 発展させ，式(1)から水化学ポテンシャルµ(z,t)を計算し，そのµ(z,t)と式(2)から温度T(z,t)を求め，一般ガス常数 R=8316.96(Pa⋅m3⋅kmol−1⋅K−1)

相対湿度Rh変形解析から，個々のバネ要素内部の作用軸力の結果を

1.00

20.00

0.90

19.98

0.80
0.70
0.60
0.500h1h
12h
24h

温度T(K)

研究 7)を参考にし，時間経過に伴う温湿度変化に応じたと水蒸気分子量 Mv=18.016(kg⋅kmol−1)とµ (z,t)= (R/Mv)･

02468 10表層から下地の塗り厚さz(mm)T(z,t)･loge(Rh(z,t))の関係から，相対湿度 Rh(z,t)を求める。

図－2-699-

19.96
19.94
19.92
19.90
19.880h1h12h24h

0 2 4 6 8 10
表層から下地の塗り厚さz(mm)

乾燥 1, 12, 24 時間の温湿度解析結果

変形解析は，塗り厚さが乾燥解析と同じ z=10mm で1mm 分割の 11 節点で，塗り面となる xy 平面を 100×100mm で 10mm 分割の 11 節点からなる立体トラス格子集積の平板モデル（節点数 1331, 構造バネ要素数 3630,せん断バネ要素数 6600）とし，構造バネ定数 20000MPa,せん断バネ定数 10000MPa, 熱膨張係数 10×10-6 1/K, 水収縮係数（膨張が正）2×10-6 1/0.01Rh とした。バネ定数はモルタルを想定し，せん断バネは構造バネの 1/2 にし，若材齢の内部組織不確定さを表現した。また，無拘束で温度一定時の相対湿度変化∆W =∆Rh=－0.4 で，収縮歪 80×10-6 となる。一般のコンクリートの長さ変化試験の乾燥収縮歪は試験期間 6 ヶ月で 800×10-6 程度になるが，乾図－4

燥解析の温湿度変化期間を 24 時間までの若材齢にしたでのひび割れパターン形成結果

図－3 と同一条件の 5 面拘束 1 面乾燥 24 時間まことと，収縮歪設定が大きい場合，破壊除荷手続きのステップ 4&5 計算が膨大になることと，網目状ひび割れパターン形成を主目的としたことから，今回は，通常の 1/10程度の収縮歪になるよう水収縮係数を設定した。
図－3 に乾燥 24 時間後の無外部拘束 1 面乾燥収縮の解析結果を示す。温湿度変化に伴う内部拘束力[Fb]のみ作用する無外部拘束では，トラス解析のため作用軸力が 0になり，ひび割れ発生せず，乾燥しにくい下地側よりも表層側の乾燥進行による収縮が大きい反り変形になる。

(a)疑似乱数に基づくバネ要素の初期仮想切断の設定

図－3 無外部拘束 1 面乾燥 24 時間結果(変形倍率 1000 倍)
4.2 5 面拘束 1 面乾燥によるひび割れパターン形成解析
無外部拘束 1 面乾燥で反り変形した平板モデルにて，(b)材料不均一初期設定を除いたひび割れパターン結果

周囲境界 5 面を拘束し，引張強度 1.2MPa を破壊基準に，

図－5

網目状ひび割れパターンを検討した。図－4～図－6 に乾しと材料不均一性考慮のひび割れパターン形成結果

図－4 の解析条件に拘束バネ要素の仮想切断無燥 24 時間までのひび割れパターン形成解析結果を示す。
図－4 に，図－3 と同一解析条件での結果を示す。周内部空隙や組織不均一性を反映させるように構造ある

囲 5 面を拘束したバネ要素が仮想切断されていることと，いはせん断バネ要素の数%を，あらかじめバネ定数 0 と乾燥 1, 12, 24 時間の温湿度変化から，均等対称に表層かして仮想切断しておく対応が必要であると考える。

ら下地側へひび割れが進展している。このため，網目状

図－5 に，図－4 の解析条件に，拘束バネ要素を仮想ひび割れパターンの形成においては，拘束したバネ要素切断させない条件と，材料不均一性を考慮して，疑似乱を強い拘束と想定して仮想切断させないことと，材料の数発生に基づくバネ要素番号の抽出計算を追加し，バネ-700-

要素数 10230 のうち要素数 566（5.5%）を，あらかじめ

ネ要素数 1984（5.1%）による結果を，図－7 に破壊除荷

バネ定数 0 に仮想切断した初期条件設定による結果を示

手続き計算の仮想切断バネ要素の作用軸力結果を示す。

す。非対称なひび割れパターンの破壊進行領域の形成が拘束バネ要素を仮想切断せず，材料不均一性を考慮し，表現できている。しかし，網目状ひび割れパターンの解要素分割を細分すると，xy 平面のひび割れ軌跡となる破像度が悪いため，要素分割を細かくする必要がある。

壊進行領域が局所化し，ひび割れパターンの解像度が良図－6 に，図－5 の解析条件に，xy 平面のバネ要素をくなり，網目状ひび割れパターンが形成されていること

21×21 分割に細分し，節点数 4851, 構造バネ要素数がわかる。また，破壊除荷手続き計算にて，1 本づつバ13650, せん断バネ要素数 25600 で，初期仮想切断したバネ要素が仮想切断されたが，本結果から，破壊基準となる引張強度を高めに設定すると，仮想切断していくバネ要素の総数が減少し，結果的に，ひび割れパターンが粗くなることがわかる。このことは，高強度の材料ほど，網目状ひび割れが粗く現れる 8)ことと対応している。
5. まとめ
本報告は，乾燥収縮における網目状ひび割れパターン形成に関する数値解析条件を検討した。
(1) 平板に網目状の収縮ひび割れを数値解析的に発生させるには，3 次元拘束が可能な変形解析が必要である。
(2) ひび割れパターン形成の軌跡は，バネ要素の仮想切断に伴う作用軸力の再配分による破壊除荷手続き繰り(a)疑似乱数に基づくバネ要素の初期仮想切断設定返しの変形解析が必要である。また，そのとき，破壊基準となる引張強度が小さいと，破壊除荷手続き繰り返し計算が多くなり，仮想切断するバネ要素が増加し，結果的にひび割れ密度が高い破壊状況になる。
(3) 網目状ひび割れパターンは，解析モデルのバネ定数設定に，あらかじめ材料不均一性を考慮することと，拘束境界のバネ要素を破壊をさせない設定が必要である。
(4) 立体トラス格子モデルによる数値解析では，要素分割を細かくしないと，破壊進行領域の局所化に伴う解像度の良い網目状ひび割れパターンにならない。
Appendix(b)材料不均一初期設定を除いたひび割れパターン結果
図－6

図－5 の解析条件で xy 平面のバネ要素を細分割したひび割れパターン形成結果

本報告の立体トラス格子の剛性マトリックス[S]および温湿度変化に対応する荷重マトリックス[Fb]は，網目状ひび割れパターン形成解析で行う各バネ要素の作用軸力の再配分繰り返しに直接関係するため，文献 5)を参仮想切断したバネ要素の作用軸力(MPa, 引張が負)温湿度解析→1時間条件-1.2

照し，具体的な各マトリックス作成方法を概説する。

24時間条件バネ要素 m の全体座標系の始端・終端の節点座標を i(xi,-1.4yi, zi)と j(xj, yj, zj)とすると，方向余弦は式(a1)になる。

-1.6

λ x* x =

-1.8
-2.0

温湿度解析24時間では，PC不具合のため，引張強度1.3MPaで計算を強制終了した。

-2.20

図－7

12時間条件200400600
8001000
破壊除荷手続きの計算回数

1200

x j − xilm, λ x* y =y j − yilm, λ x* z =z j − zil m = ( x j − xi ) 2 + ( y j − y i ) 2 + ( z j − z i ) 2

1400lm,(a1)フック法則からバネ要素 m の局所座標系の要素剛性

図－6 の解析で得た破壊除荷手続き計算ごとにマトリックス[S*]2×2 は式(a2)になる。

得た仮想切断バネ要素の作用軸力結果-701-

[ S *]2×2 =k m a m ⎡ 1 − 1⎤l m ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦⎡ L ⎤i ⎢⎢[ F ]i ⎥⎥Fm= ⎢ L ⎥j ⎢[ F ] j ⎥⎢ L ⎥⎣
⎦m

(a2)

[]

全体座標系の要素剛性マトリックス[Sm]6×6 は，座標変換マトリックス[t]1×3=[λx*xλx*yλx*z]から式(a3)になる。

T⎡ [t ] [0]⎤⎡ [t ] [0]⎤[ Sm]6×6 = ⎢[ S *]2×2 ⎢⎥⎥⎣[0] [t ] ⎦ 6×2⎣[0] [t ] ⎦ 2×6⎡[ S ii ]3×3 [ S ij ]3×3 ⎤=⎢⎥⎣[ S ji ]3×3 [ S jj ]3×3 ⎦ 6×6(a7)―

温湿度変化に対応する荷重マトリックス[Fb]は，[F]m(a3)をバネ要素数 nm まで重ね合わせた式(a8)となる。
nm[][ Fb ] = ∑ F mm =1(a8)

謝辞⎡ λ2x*x
SYM .⎤k m am ⎢⎥2[ S ii ]3×3 =λ x* y λ x* xλ x* y⎥,⎢lm2⎢ λ x* z λ x* x λ x* z λ x* y λ x* z ⎥⎦⎣T
[ S jj ] = [ S ii ] , [ S ji ] = −[ S ii ] , [ S ij ] = [ S ji ]本研究は，平成 20 年度宇都宮大学若手教員研究助成，
ならびに日本建築学会 JASS5N 基礎研究 WGH20 度下期～H21 度委員個別基礎研究の一環として実施しました。
また，芸術家 Andy Goldsworthy 氏の収縮ひび割れ壁面の作品を，ひび割れ破壊工学として捉えるきっかけは，全体座標系の全体剛性マトリックス[S]n×n は，全体座

2003 年夏に，スイス連邦工科大学チューリッヒ校の Dr.

標系の要素剛性マトリックス[Sm]6×6 の部分マトリック

Prof. Van Mier, J.G.M. 先生に示唆を受けてのものです。

ス[Sii]3×3, [Sij]3×3, …を，[S]n×n のバネ要素ごとの始端節
点 i と終端節点 j に対応させサイズ拡大した式(a4)の全体―

座標系の要素ごとの全体剛性マトリックス[Sm]n×n の所

参考文献
1)

定位置に配置しバネ要素数 nm まで累加した式(a5)となる。

ijL⎡⎤⎢⎥i L [ S ii ]3×3 L [ S ij ]3×3 L⎥(a4)
Sm n×n = ⎢L⎢⎥j⎢[ S ji ]3×3 L [ S jj ]3×3 L⎥⎢⎥LL⎣⎢⎦⎥ n×n

[ ]nm

[ ]

[ S ] n×n = ∑ Sm n×nm =1

中村成春：コンクリート工芸の手業(テワザ)を楽し
む, コンクリート工学, Vol.47,No.1,pp.109-110,2009.1

2)

Goldsworthy,A. : Dry-Stone Wall, World&Words, Sofitel
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4)

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一方，バネ要素 m の端節点での全体座標軸方向に作用6)

Van Mier, J.G.M. : Fracture Processes of Concrete,

する釣り合い節点力[F]m は，温湿度変化に対する入力デ

Assessment of Material Parameters for Fracture Models,

ータや作用軸力の再配分繰り返しの破壊除荷手続き結CRC Press, pp.253-311, 1996

果データからバネ要素ごとに既知の拘束力[Ar]m を，座標7)

Numerical Study of Drying Process and Columnar

変換マトリックス[t]m を用いて，式(a6)となる。

Fracture Process in Granule-Water Mixtures, TheT

⎡ [t ] [0]⎤[ F ]m = ⎢⎥ [ Ar ] m⎣[0] [t ] ⎦ m

Nishimoto, A., Mizuguchi, T., Kitsunezaki, S. :(a6)

American Physical Society, Physical Review E, Vol.76,
No.1, pp. 016102-1-11, 2007

バネ要素 m の両端の節点を i, j としたとき，[F]m は，8)

横山 裕, 金 兜鎬, 横井 健, 崔 寿炅：高強度コンク

部分マトリックス[ [F]i [F]j ]m の 2 つの部分マトリックス

リートを対象とした床下地の表面強度と SL 材のひで表現でき，サイズ拡大して i 番目と j 番目以外の部分

び割れの関係に関する基礎的検討 SL 材のひび割れマトリックスが存在しない部分マトリックスで構成さからみたコンクリート床下地の表層部品質の評価れる立体トラス全体の全体座標系の荷重マトリックス

方法(その 2), 日本建築学会構造系論文集, No.610,―pp.13-20, 2006.12[F]m に再整理した式(a7)となる。

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