《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

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Ice line ۙ๣ʹ͓͚Δණμετͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔ੒௕
‫౎ژ‬େֶେֶӃ ਓؒɾ‫ڀݚֶڥ؀‬Պ ૬ؔ‫ֶڥ؀‬ઐ߈ࡕ্‫ࣨڀݚ‬ɹՃೲ ޹ଠ࿠ 1֓ཁຊߘͰ͸, ice line ۙ๣ʹ͓͚Δණμετͷ੒௕ʹؔͯ͠, Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜΛղ͘ͱ͍͏‫؍‬఺͔Β‫ڀݚ‬Λߦ͏. ice line ͱ͸, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͓͍ͯ H2 O ͕‫ؾ‬ମ (ਫৠ‫ͯ͠ͱ )ؾ‬ଘࡏ͠
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͞ΕΔ. ࣮ࡍ, 1mm ʹຬͨͳ͍μετͲ͏͠͸ϑΝϯσϧϫʔϧεྗͰ෇ண੒௕͠, 1km Λ௒͑Δ΋ͷʹؔͯ͠͸ॏྗతͳूੵʹΑͬͯ੒௕͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͔͠͠, ͦͷؒͷ 1mm ͔Β
1km ·Ͱͷμετʹ͍ͭͯ͸ʮ෼྾ (Fragment)ʯ΍ʮ௓ͶฦΓ (Bounce)ʯͱ͍͏໰୊͕͋ΔͨΊ, ୯ͳΔিಥ߹ମ͚ͩͰઆ໌͢Δͷ͸ࠔ೉Ͱ͋Δ. ͦΕ͚ͩͰͳ͘, έϓϥʔӡಈ͢Δ‫ݻ‬ମཻࢠ͸ԁ൫Ψε͔Βͷ޲͔͍෩Λड͚ͯ‫ي‬ಓ֯ӡಈྔΛࣦ͍, 1m αΠζͷμετͰ͸ 100 ೥ఔ౓Ͱத৺੕ʹམͪͯ͠·͏ͱ͍͏ʮத৺੕མԼ໰୊ʯ΋͋Δ.
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ice line ֎ଆ΁ͱԡ͠ग़͞Εͯঢ՚͠, ͦͷ෼ ‫ॴہ‬తʹ૿͑ͨਫৠ‫ ͠ࢄ֦ͼ࠶͕ؾ‬ice line ಺ଆ΁ͱਁΈࠐΉ͜ͱͰ, ͦΕΛ࣭ྔͷ‫ ͯ͠ͱݯڅڙ‬ΑΓେ͖ͳණμετ͸੒௕͍ͯ͘͠ͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ.
਺஋‫ࢉܭ‬ͷ݁Ռ, িಥ߹ମ͕ͳ͘ͱ΋͜ͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔͷϝΧχζϜʹΑͬͯ, 10000 ೥ͱ͍͏λΠϜεέʔϧͰණμετ͸ 1mm ͔Β 10cm ఔ౓·Ͱ੒௕͢Δ͜ͱ͕Θ͔ͬͨ. ͨͩ
͠, ੒௕͗ͨ͢͠ණμετʹؔͯ͠͸ಈ‫޲ํܘ‬ͷυϦϑτ͕ޮ͖, Թ౓͕ߴ͍த৺੕ํ޲΁ͱམͪͯਫৠ‫ʹؾ‬ঢ՚ͯ͠͠·͏. ͭ·Γ, 10cm Ҏ্ͷණμετʹؔͯ͠͸, ·ͨผͷϝΧχζ
ϜͰ੒௕ͤ͞Δඞཁ͕͋Δ͜ͱ͕Θ͔ͬͨ. ͜Εʹؔͯ͠͸, 1m ఔ౓ͷ‫ݻ‬ମཻࢠͰ࠷΋ޮՌతʹͳΔ Streaming instability ʹΑͬͯղܾͰ͖Δ΋ͷͱߟ͍͑ͯΔ.
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1

E-mail: kanou.koutarou.phys@gmail.com

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1

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6

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7

2.2.1

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7

2.2.2

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8

2.2.3

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15

3.1

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15

3.2

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16

3.3

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21

3.3.1

ίϧϞΰϩϑཚྲྀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3.2

ಈ‫ ࢄ֦޲ํܘ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.3.3

Ԗ௚ํ޲֦ࢄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔ

38

4.1

Radial ice line ͱ Atmospheric ice line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2

ණμετͷ੒௕Ϟσϧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.2.1

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41

4.2.2

μετཻࢠ͕େ͖͍৔߹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43਺஋‫ࢉܭ‬ख๏46

5.1

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46

5.2

ԋࢉࢠ෼ׂ๏ (Operator splitting method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5.3

࣌ؒൃల . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.3.1

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51

5.3.2

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54ςετϓϩάϥϜ

56

6.1

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56

6.2

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7.1

65

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66

Ros & Johansen 2013 ͱͷൺֱ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

7.1.1

2

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7.1.2
7.2

8

1D Advanced model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

ۭؒ 2D ‫( ࢉܭ‬r,z ํ޲) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

7.2.1

Ros & Johansen 2013 ͱͷൺֱ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7.2.2

2D Advanced model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

݁࿦

77

෇࿥ A ɹΤϓελΠϯଇ (Epstein law)79

෇࿥ B ɹετʔΫεଇ (Stokes law)81

෇࿥ C ɹΨεͷಈ೪ੑ܎਺

85

෇࿥ D ɹ Hill ํఔࣜ87෇࿥ E ɹೱ౓֦ࢄ

90

෇࿥ F ɹ 3 ॏର֯ߦྻͷ൓స92

3

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ং࿦ΘΕΘΕͷॅΉ஍‫ٿ‬, ͦͯ͠ଠཅ‫ܥ‬ͷଞͷ࿭੕ͨͪ͸Ӊ஦ͷதͰͲͷΑ͏ʹੜ·ΕਐԽ͖ͯͨ͠

ͷͩΖ͏͔. ‫ࡏݱ‬ͷ࿭੕‫ܗܥ‬੒ཧ࿦Ͱ͸, ‫࢝ݪ‬ଠཅΛऔΓ‫͖ר‬ඬ͏Ψεͱμετ (‫ݻ‬ମඍཻࢠ) ͔Β͜ΕΒͷ࿭੕͸஀ੜͨ͠ͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔ. ಛʹ‫ݹ‬యతͳ࿭੕‫ܗ‬੒ͷγφϦΦͰ͸, μετ͕‫͍ޓ‬ʹিಥΛॏͶΔ͜ͱͰ߹ମ੒௕͠େ͖ͳմΛͭͬͯ͘, ͻ͍ͯ͸͔ͦ͜Β࿭੕͕‫ܗ‬੒͞ΕΔͱઆ໌
͞Ε͍ͯΔ. ͔͠͠, ୯७ͳিಥͰຊ౰ʹμετͷ෇ண੒௕͸‫͜ى‬ΔͷͩΖ͏͔. ΘΕΘΕͷ೔ৗͷ௚‫͔ײ‬Β͢Δͱ, ੴ͜Ζͱੴ͜ΖΛͿ͚ͭͨͱ͜ΖͰ, ͦΕΒ͸‫ʹ͍ޓ‬ʮ௓ͶฦΔʯ͔͋Δ͍͸ʮࡅ͚ࢄΔʯ͚ͩͰ, ʮͬͭ͘͘ʯ͜ͱ͸౸ఈ૝૾͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍. ͩͱ͢Ε͹μετͷ੒௕ΛͲ͏ཧղ͠, ‫ʹ࣮ݱ‬ଘࡏ͢Δ஍‫ٿ‬΍ͦͷଞͷ࿭੕ͷ‫ݯى‬ΛͲ͏આ໌͢Ε͹Α͍ͷ͔. ຊ‫ڀݚ‬͸͜ͷ໰͍ʹରͯ͠͞͞΍͔ͳ͕ΒͷώϯτΛ༩͑Α͏ͱ͍͏ࢼΈͰ͋Δ.
୯७ͳμετͷ߹ମ͕೉͍͠ͱ͢Ε͹, ͦΕҎ֎ͷϝΧχζϜΛ༻͍ͯμετͷ੒௕Λઆ໌͠Α͏ͱߟ͑
  Δͷ͕ࣗવͰ͋Δ. ຊ‫Ͱڀݚ‬͸μετͷதͰ΋ಛʹණμετʹয఺Λ͋ͯ, ͦͷ੒௕ϝΧχζϜͱͯ͠, iceline ۙ๣ʹ͓͚Δ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ͷޮՌʹண໨ͨ͠. ‫ڽ‬ॖʹΑΓ‫ؾ‬૬੒෼ΛऔΓࠐΉ͜ͱͰ‫ݻ‬૬ͷණμετ͕੒௕͢Δͱ͍͏ϝΧχζϜͰ͋Δ. ෺࣭͕ౚΓͭ͘‫ڥ‬ք
Ͱ͋Δ ice line ʹ஫໨ͨ͠ཧ༝͸, ͦͷۙ๣Ͱ͸ණμετͷपΓʹ‫ؾ‬૬෺࣭͕๛෋ʹଘࡏ͢Δঢ়‫͑ߟ͕گ‬Β

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ू߹ମΛ࡞Δ୅ΘΓʹ, ‫ؾ‬૬੒෼ΛʮΤαʯʹͯ͠ණμετΛଠΒͤΑ͏ͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ.
ͨͩ͠ຊߘͰ͸, ෺࣭ͱͯ͠͸ H2 O ʹ‫ݶ‬ఆ͠, H2 Oͷණμετͱ‫ؾ‬૬ਫৠ‫ͯؔ͠ʹؾ‬ͷΈऔΓѻ͏͜ͱʹ
͢Δ. H2 O ʹண໨͢Δཧ༝͸, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫಺ʹ͓

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ਤ 1.1: ࿭੕‫ܗܥ‬੒ͷඪ४γφϦΦͷ໛ࣜਤ͍ͯ࠷΋ଟ͍‫ݩ‬ૉ H ͱ (ෆ‫׆‬ੑͳ He Λআ͍ͯ) ࣍ʹଟ͍ O ͷ૊Έ߹ΘͤͰͰ͖Δ෼ࢠ͔ͩΒͰ͋Δ. ΋ͪΖΜ, ੜ·Εͨ͹͔Γͱ‫Ͳ͑ݴ‬΋‫࢝ݪ‬੕ͷ·ΘΓʹ͸, H2 O Ҏ֎ʹ΋ଟछଟ༷ͳ෼ࢠ͕ଘࡏ͍ͯ͠Δ. ͦͯ͠, ͦΕΒͷ෼ࢠͷछྨʹΑͬͯౚΓ͖ͭ࢝ΊΔԹ౓, ͢ͳΘͪத৺੕͔Βͷ‫཭ڑ‬͸ҟͳΔͨΊ, ice line ͷҐஔ͸෺࣭͝ͱʹҧ͏͜ͱʹͳΔ. ओͳ΋ͷͱͯ͠͸ H2 O ͷଞʹ, CO2 ,CH4 ,CO ͷ ice line ͕ߟ͑ΒΕΔ. ͜ͷΑ͏ͳ෼ࢠ͔Β੒Δණμετ͕ͦΕͧΕͷ ice line ۙ๣Ͱ੒௕͢Δ͜ͱͰ, ͻ͍ͯ͸ͦΕ͕࿭੕Λͭ͘Δࡐྉ
΁ͱͳ͍ͬͯ͘. ຊߘͰ͸ H2 O ͷΈΛߟ͑Δ͕෺࣭తੑ࣭ʹґଘ͠ͳ͍ϞσϧԽΛ͍ͯ͠ΔͨΊ,ଞͷ෺࣭ʹؔͯ͠ͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔ੒௕΋ಉ༷ʹٞ࿦͢Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ͸ͣͰ͋Δ.
۩ମతͳ‫ࢉܭ‬ख๏ͱͯ͠͸, ෼෍ؔ਺Λ༻͍ͯҠྲྀ֦ࢄํఔࣜΛ਺஋తʹղ͘͜ͱʹΑΓණμε4

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τ͓Αͼਫৠ‫ؾ‬ͷۭؒతͳӡಈ΍‫ڽ‬ॖɾঢ՚ͷաఔΛߟ͑Δ. ͜͜Ͱߟ͑Δණμετͷۭؒతͳӡಈ͸, Ψε఍߅ʹ‫ى‬Ҽ͢Δԁ൫ಈ‫ ܘ‬r ํ޲ͷυϦϑτ, ͓Αͼ, த৺੕ॏྗͷԖ௚੒෼ʹΑΔԁ൫
Ԗ௚ z ํ޲ͷ௜఼, ͦͯ͠ԁ൫ཚྲྀ͔Β‫͜ى‬Δ r, z ํ޲ͷ֦ࢄͰ͋Δ. ͦΕʹՃ͑ͯණμετʹؔͯ͠͸‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔ੒௕ (͋Δ͍͸‫ٯ‬੒௕) ͷޮՌ͕෇Ճ͞Ε, ͦ͜Ͱණμετ͕ಘ࣭ͨྔͷ෼͚ͩ‫ʹٯ‬ਫৠ‫ؾ‬͸࣭ྔΛࣦ͏͜ͱʹͳΔ (࣭ྔอଘ). Ұํ, ਫৠ‫ؾ‬ͷۭؒతͳӡಈʹؔͯ͠͸υϦϑτ͸ͳ͘, ԁ൫ཚྲྀʹΑΔ r, z ํ޲ͷ֦ࢄӡಈͷΈΛߦ͏΋ͷͱߟ͑Δ. ਤ 1.2 ʹණμετ͓Αͼਫৠ‫ؾ‬ͷۭؒతͳҠྲྀ֦ࢄӡಈͷ֓೦ਤΛࣔ͢.

ਤ 1.2: ණμετɾਫৠ‫ؾ‬ͷҠྲྀ֦ࢄ


ණμετ


ਫৠ‫ؾ‬ɹ

ԁ൫ಈ‫ ܘ‬r ํ޲ɿ υϦϑτ + ֦ࢄԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ɿ ௜఼ɹɹ + ֦ࢄԁ൫ಈ‫ ܘ‬r ํ޲ɿ֦ࢄ
ԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ɿ֦ࢄ

ҎԼ, ຊߘͷߏ੒ͱͯ͠͸ୈ 2 ষͰ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ͷ֓આΛͨ͠ͷͪ, ୈ 3 ষͰ͸ͦͷԁ൫಺Ͱͷμετͷۭؒతͳӡಈʹؔͯٞ͠࿦͢Δ. ଓ͘ୈ 4 ষͰ͸, ණμετͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ͷϞσϧԽΛߦ͍, ୈ 5 ষͰ͸ղ͘΂͖Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜͱ਺஋‫͍༻ʹࢉܭ‬ΔεΩʔϜͷৄࡉΛઆ໌͢Δ. ୈ 5 ষͰ͸ςετϓϩάϥϜͷ‫݁ࢉܭ‬ՌΛࣔͨ͠͏͑Ͱ؆୯ͳέʔεʹର͢Δߟ࡯ΛՃ͑, ͦΕΛ౿·্͑ͨͰ࣮ࡍͷ਺஋‫݁ࢉܭ‬Ռʹؔͯ͠͸ୈ 7 ষʹ·ͱΊ, ୈ 8 ষͰ݁࿦Λ݁Ϳ͜ͱʹ͢Δ.

2‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ͷ‫ૅج‬ཧ࿦࿭੕‫ܗܥ‬੒ͷग़ൃ఺ͱͳΔ߃੕ͷ஀ੜ͸, ੕ؒӢʹ͓͍ͯີ౓͕ൺֱతߴ͍ʮ෼ࢠӢ (molecular

cloud)ʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔྖҬͷͳ͔ͰߦΘΕΔ. ෼ࢠӢ͸੕ؒʹଘࡏ͢Δ H2 , He Λओ੒෼ͱ͢ΔΨεӢͰ͋Γ, ϑϥΫλϧͳ‫ܗ‬ঢ়Λ͍࣋ͬͯͯີ౓ʹେ͖ͳϜϥ͕͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ. ͦͷϜϥͷͳ͔Ͱ΋ಛʹີ౓͕ߴ͍෦෼Λʮ෼ࢠӢίΞ (molecular cloud core)ʯͱ‫ͼݺ‬, ͔͜͜Β߃੕͕ੜ·ΕΔ͜ͱʹͳΔ. ෼ࢠӢίΞͷಈతͳऩॖʹ൐͍, ߱Γੵ΋ΔΨεʹΑͬͯத৺੕͕Ӆ͞Ε͍ͯΔஈ֊Λʮ‫࢝ݪ‬੕ (protostar)ʯͷஈ֊ͱ‫Ϳݺ‬. ऩॖͷλΠϜεέʔϧ͸, ෼ࢠӢίΞͷࣗ༝མԼ࣌ؒ (free fall time)τﬀ Ͱܾ·Γ, య‫ܕ‬తͳΨε෼ࢠͷ਺ີ౓ ng ∼ 105 ‫ݸ‬/cm3 Λ༻͍Δͱ
τﬀ ∼ 1/ Gρg ∼ 105 ೥ ͱ‫ੵݟ‬΋Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜ͷఔ౓ͷ‫ؒظ‬Λ‫࢝ݪ‬੕ஈ֊ʹඅ΍ͨ͠‫ޙ‬, ए͍߃੕ͷ·ΘΓʹ͸Ψε͓Αͼμετ͔Β੒Δʮ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ (protoplanetary disk)ʯ͕‫ܗ‬੒͞ΕΔ. ͜ͷ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫͸, ෼ࢠӢίΞͷऩॖͷࡍʹେ͖ͳ֯ӡಈྔΛ࣋ͭΨε͕ԕ৺ྗͷͨΊʹམͪ੾Εͣʹ࢒Γ, ͦΕʹΑͬͯ‫ܗ‬੒͞Εͨ΋ͷͱղऍ͞ΕΔ.
͜͏ͯ͠Ͱ͖Δ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͸Ψε੒෼ͷଞʹ, ࣭ྔൺͰ 1% ఔ౓ͷμετ (‫ݻ‬ମඍཻࢠ) ͕‫·ؚ‬Ε͍ͯΔ͜ͱ͕ॏཁͰ͋Δ. ·͞ʹ͜ͷμετ͔Β୺Λൃͯ͠ඍ࿭੕ͷ‫ܗ‬੒, ͦͯ͠ඍ࿭੕͔
Β࿭੕΁ͷूੵͱ࿭੕‫ܗܥ‬੒ͷϓϩηε͸ਐߦ͍ͯ͘͜͠ͱʹͳΔ. ҎԼͰ͸, ࿭੕‫ܗܥ‬੒ͷ࠷΋ॏཁͳ‫ݱ‬৔ͱ΋‫͑ݴ‬Δ ͜ͷ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹؔ͢Δ‫͍ͯͭʹ߲ࣄૅج‬ड़΂Δ͜ͱʹ͢Δ.

5

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2.1

ԁ൫Ϟσϧ

࿭੕‫ܗܥ‬੒ͷա౉తͳఱମͰ͋Δ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫͸, ࠓͰͦ͜‫؍‬ଌ‫ثػ‬ɾٕज़ͷൃలʹΑΓ‫؍‬ଌతʹ΋֬ೝ͞ΕΔΑ͏ʹͳ͕ͬͨ, ཧ࿦తʹ͸‫ʹط‬, 1960 ೥୅͔Β 80 ೥୅·Ͱʹங͔Εͨଠཅ‫ܥ‬‫ܗ‬੒ͷඪ४ϞσϧʹΑͬͯ༧ଌ͞Ε͍ͯͨ΋ͷͰ͋ͬͨ [1][2]. ͜ͷඪ४ϞσϧͰ͸, ‫ࡏݱ‬ͷଠཅ‫ܥ‬ͷ࿭੕ͷ෼෍͔Βʮ‫࢝ݪ‬ଠཅ‫ܥ‬੕Ӣ (solar nebula)ʯͷΨεͱμετͷ໘ີ౓෼෍Λ࠶‫͠ݱ‬, ͦΕΛ‫ܗ‬੒࿦ͷग़ൃ఺ͱ͍ͯ͠Δ. ۩ମతʹ͸, ‫؍‬ଌʹΑΓਪఆ͞ΕΔ‫ࡏݱ‬ͷଠཅ‫ܥ‬࿭੕ͷ‫ݻ‬ମ੒෼(ණ, γϦέΠτ, మ) ͷ࣭ྔΛ͢ΓͭͿͯ͠μετͱͯ͠෼෍ͤ͞, ͦ͜ʹ, େ൒͸ൈ͚ͯ͠·ͬͨͰ͋Ζ͏ H2 , He Ψε (‫ݻ‬ମ࣭ྔͷ 100 ഒఔ౓; ෼ࢠӢͷΨε/μετൺ) Λ෇Ճͯ͠ଠཅ‫ܥ‬Λ࠶‫͢ݱ‬Δԁ൫ͱ͍ͯ͠Δ. ͜ͷΑ͏ʹଠཅ‫ܥ‬ͷ࿭੕Λͭ͘Δඞཁ࠷খ‫ݶ‬ͷࡐྉ෺࣭͔͠Ծఆ͠ͳ͍ͨΊ,ʮ࠷খ࣭ྔϞσϧ (minimum mass model)ʯͱ΋‫ݺ‬͹Ε, ·ͨ, ‫౎ژ‬େֶͷྛ஧࢛࿠Λத৺ͱ͢ΔάϧʔϓʹΑΓఏࣔ͞ΕͨϞσϧͰ΋͋ΔͨΊʮ‫౎ژ‬Ϟσϧʯ͋Δ͍͸ʮྛϞσϧʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ͜ͱ΋͋Δ (ҎԼ, ຊߘͰ͸౷Ұͯ͠ʮྛϞσϧʯͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δ).
ຊདྷͰ͋Ε͹, ࿭੕‫ܥ‬ͷ‫ܗ‬੒աఔΛ໢ཏతʹཧ࿦෇͚ΔͨΊʹ͸, ͦ΋ͦ΋ͷग़ੜͷ৔Ͱ͋Δ෼ࢠӢίΞͷύϥϝʔλ͔Βఆྔతʹॳ‫ظ‬෼෍Λ༩͑ͯٞ࿦͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍͕, ‫Ͱ఺࣌ݱ‬͸‫ج‬ૅϓϩηεͷෆ֬ఆੑ͕ߴͦ͘Ε͸೉͍͠. ͦ͜Ͱ, ·͞ʹҎ্Ͱड़΂ͨΑ͏ͳԁ൫ͷϞσϧ͕ඞཁʹͳͬͯ͘ΔΘ͚Ͱ͋Δ. ຊߘͰ͸, ԁ൫Ϟσϧͱͯ͜͠ͷྛϞσϧΛ࠾༻͠, ԁ൫ͷԹ౓෼෍T (r) ΛT (r) = 280

 r −1/2
ɹ [K]
1AU

(2.1)

ͱ༩͑Δ͜ͱʹ͢Δ. ͜ͷԹ౓෼෍ʹؔͯ͠͸, த৺੕ͷ᫔ࣹ (ޫ౓ L∗ ) ͔Βμετཻࢠ (ཻ‫ ܘ‬R)
͕ड͚औΔΤωϧΪʔͱμετཻࢠද໘͔Βͷࠇମ᫔ࣹͰࣦΘΕΔΤωϧΪʔͱ͕௼Γ߹͍ͬͯΔ΋ͷͱͯ͠

L∗
πR2 = 4πR2 σSB T 4 ɹɹ ∴ T =
4πr2



L∗
16πσSB

1/4

r−1/2

(2.2)

ʹΑΓධՁ͍ͯ͠Δͱߟ͑Ε͹ྑ͍ (σSB ͸εςϑΝϯɾϘϧπϚϯఆ਺Λද͍ͯ͠Δ). Թ౓ T ͸μετཻ‫ ܘ‬R ʹґΒͳ͍‫͍ͯͬͳʹܗ‬Δ͜ͱʹ஫ҙ͕͍Δ. H2 O ͕‫ڽ‬ॖ͢ΔԹ౓Λ T  160K ͱ͢Ε͹, H2 O ͕‫ؾ‬૬ͱͯ͠ଘࡏͰ͖ΔྖҬͱ‫ݻ‬૬ͱͯ͠ଘࡏͰ͖ΔྖҬͷ‫ڥ‬ք, ͢ͳΘͪ, ice line(ʮradial ice lineʯ: ಈ‫ ܘ‬r ํ޲ؔͯ͠ଘࡏ͢Δ‫ڥ‬ք) ͸, ࣜ (2.1) ͔Β‫ͯͬੵݟ‬൒‫͕ܘ‬໿ 3AU ͷͱ͜Ζʹ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ‫ݪ‬࿦จͰ͋Δ Hayashi 1981 [3] Ͱ͸, ͜ͷ ice line ͷҐஔΛ 2.7AU ͱ‫ݟ‬ੵ΋Γ, ͜ΕΑΓҎԕͷ r  2.7AU ʹؔͯ͠͸ණμετͷଘࡏʹΑͬͯ໘ີ౓͕૿Ճ͢Δ΋ͷͱͯ͠, ‫ݻ‬ମ໘ີ౓ Σp Λ⎧
 r −3/2⎪⎨Σ(rock)
(r)
ɹ
=
7.1
ɹ [g/cm2 ] ɹɹ ([E]ɿ0.35 AU  r  2.7 AU)p
1 AU r −3/2⎪ (rock+ice)⎩Σp(r) = 30
ɹ [g/cm2 ] ɹɹ ( [J]ɿ 2.7 AU  r  36 AU )
1 AU

(2.3)

ͱ༩͍͑ͯΔ. ice line Λ‫ؠʹڥ‬ੴͷΈ͕ࡐྉ෺࣭ͷ஍‫ܕٿ‬࿭੕ྖҬ [E] ͔‫ؠ‬ੴɾණͷ໦੕‫ܕ‬࿭੕ྖҬ [J] ͔͕෼͔ΕΔͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ԁ൫Ψεͷ໘ີ౓ Σg (r) ʹؔͯ͠͸, ࣜ (2.3) ʹ෼ࢠӢͷ

6

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

Ψε/μετൺ (໿ 100 ഒ) Λֻ͚Δ͜ͱͰΣg (r) = 1.7 × 103 r −3/2ɹ [g/cm2 ]
1 AU

(2.4)

͕ಘΒΕΔ. Ҏ্ͷΑ͏ͳྛϞσϧΛຊߘͰ࠾༻͢Δཧ༝͸, ԁ൫Ϟσϧͱͯ͠ࠓͷͱ͜Ζ‫؍‬ଌࣄ࣮ͱͷେ͖ͳໃ६͕ͳ͘, ࣜ (2.4) ΑΓ‫ੵݟ‬΋Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δԁ൫࣭ྔʹؔͯ͠΋‫؍‬ଌ஋ͷதؒఔ
౓Ͱ͋ΔͨΊͰ͋Δ. ҎԼ ຊߘͰ͸, Թ౓෼෍ͱͯࣜ͠ (2.1) Λ, Ψεͷ໘ີ౓ͱͯࣜ͠ (2.4) Λ࢖
༻͢Δ.

2.2

߱ண‫ݱ‬৅

2.2.1

ԁ൫ཚྲྀ

෼ࢠӢίΞͷಈతͳऩॖʹΑͬͯத৺੕͕ੜ·ΕΔҰํͰ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫͸, ֯ӡಈྔΛ࣋ͭΨε͕ԕ৺ྗͰͦͷಈతͳམԼΛࢭΊΒΕΔ͜ͱʹΑͬͯ‫ܗ‬੒͞ΕΔ. ͜ͷ͜ͱ͔Β, ‫ܗ‬੒͞Εͯؒ΋ͳ͍ԁ൫ʹؔͯ͠͸, ֤൒‫Ͱܘ‬ԕ৺ྗͱத৺੕ॏྗͱ͕௼Γ߹͏Α͏ͳճస଎౓

GM∗
r

vK =

(2.5)

Λ࣋ͭέϓϥʔԁ൫ͱͯ͠‫͖Ͱ͕ͱ͜͢ͳݟ‬Δ. ͨͩ͠, ͦͷ··Ӭԕͱԁ൫Ψε͸ಉ͡൒‫ܘ‬Λपճӡಈ͢ΔΘ͚Ͱ͸ͳ͘, Ώͬ͘Γͱ Ͱ͸͋Δ͕த৺੕ʹ޲͔ͬͯ߱ண (accretion) ͍ͯ͘͠. ͜ͷ߱ண‫ݱ‬৅͸‫؍‬ଌ͔Β΋֬ೝ͞Ε͓ͯΓ, ཧ࿦తʹ͸೪ੑ֦ࢄΛ‫ݪ‬Ҽͱͯ͠આ໌͢Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ.
Ψεཁૉ͕έϓϥʔ଎౓ vK = GM∗ /r Ͱճస͍ͯ͠Δԁ൫͢ͳΘͪέϓϥʔԁ൫ͷ৔߹, ճస଎౓͸ r−1/2 ͷґଘੑͰಈ‫಺ܘ‬ଆͷํ͕଎͘ಈ‫֎ܘ‬ଆͷํ͕஗͘ͳΔ. ͭ·Γ಺ଆͱ֎ଆͷྲྀΕʹ૬ର଎౓͕ੜ·ΕΔ. ͢Δͱ, ೪ੑ͕͋Δ৔߹, ಺ଆͷ଎͍ྲྀΕ͸֎ଆͷ஗͍ྲྀΕʹϒϨʔΩΛֻ͚ΒΕ, ‫ʹٯ‬, ֎ଆͷྲྀΕ͸ͦͷ൓࡞༻Λड͚ͯՃ଎͞ΕΔ͜ͱʹͳΔ. ͜͏ͯ֯͠ӡಈྔ͸,಺ଆͷྲྀΕ͔Β֎ଆͷྲྀΕ΁ͱॱʑʹ౉͞Εͯߦ͖, ֯ӡಈྔΛࣦͬͨ಺ଆͷΨεʹؔͯ͠͸ԕ৺ྗ͕ͦͷ৔ॴͰͷத৺੕ॏྗΑΓখ͘͞ͳΔ͜ͱͰ, ΑΓ಺ଆ΁ͱམ͍ͪͯ͘͜ͱʹͳΔ (ҰํͰ,͘͝গྔͷ֎ԑ෦ͷΨε͸֯ӡಈྔΛ΋Βͬͯ֎ଆʹҠಈ͢Δ). ͜Ε͕೪ੑʹΑͬͯ‫͜ى‬ΔΨεͷ߱ண‫ݱ‬৅Ͱ͋Δ.
͔͠͠, ໰୊͸͜ͷ೪ੑ͕ҰମԿʹΑͬͯ΋ͨΒ͞Ε͍ͯΔͷ͔ͱ͍͏͜ͱͰ͋Δ. ‫؍‬ଌʹΑͬͯਪఆ͞ΕΔ࣭ྔ߱ண཰ΛੜΈग़͢ͷʹඞཁͳ೪ੑ͸͔ͳΓେ͖ͳ΋ͷͰ, ௨ৗͷ෼ࢠ೪ੑͰ͸౸ఈখ͞ա͗ͯઆ໌͕෇͔ͳ͍. ͦ͜Ͱߟ͑ग़͞Εͨͷ͕, ཚྲྀ೪ੑ (turbulent viscosity) Ͱ͋Δ.
ԿΒ͔ͷ‫ݪ‬ҼͰԁ൫͕ཚྲྀঢ়ଶʹͳ͍ͬͯΔ΋ͷͱ͢Ε͹, ͦͷͱ͖೪ੑͷେ͖͞͸ཚྲྀͷӔͷαΠζ (∼ ԁ൫ͷްΈ Hg ; ‫ޙ‬ड़ͷࣜ (3.29) ࢀর) ͱཚྲྀӡಈͷ଎͞Ͱܾ·ΔͨΊ, ͦͷ଎͞Λ͋Δఔ
౓େ͖͍΋ͷͱ‫ࠐݟ‬Ί͹ཚྲྀ೪ੑ͸‫؍‬ଌΛे෼આ໌Ͱ͖Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ͨͩ͠‫Ͱ఺࣌ݱ‬͸,͜ͷཚྲྀ೪ੑΛਖ਼֬ʹ‫ه‬ड़͢Δ͜ͱ͸ࠔ೉Ͱ΋͋ΔͨΊ, ߱ணԁ൫ (accretion disk) Λٞ࿦͢Δࡍ
ʹ͸ύϥϝʔλ α Λಋೖͯ͠؆୯Խ͠, ཚྲྀಈ೪ੑ܎਺ ν Λ

ν = αcs,g Hg = α
7cs,g 2ΩK(2.6)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱॻ͍ͯ༻͍Δ͜ͱ͕ଟ͍. ͜͜Ͱ, cs,g ͸ΨεͷԻ଎, Hg ͸Ψεԁ൫ͷްΈ (εέʔϧϋΠτ ;‫ޙ‬ड़ͷࣜ (3.29) ࢀর), ΩK ≡ vK /r ͸έϓϥʔ֯଎౓Ͱ͋Δ. ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ཚྲྀͷৄࡉ͸͢΂ͯ೚ҙύϥϝʔλͷ α ʹԡ͠ࠐΊͯཚྲྀ೪ੑΛ‫ه‬ड़͢ΔϞσϧΛʮα Ϟσϧʯͱ‫[ Ϳݺ‬4].
೪ੑ͕ཚྲྀʹΑͬͯ΋ͨΒ͞ΕΔͱͯ͠, ࣍ʹ໰୊ʹͳΔͷ͸ͦͷཚྲྀͷ‫͋Ͱݯى‬Δ. ԁ൫ཚྲྀͷ‫࠷ࡏݱͯ͠ͱݯى‬΋༗ྗࢹ͞Ε͍ͯΔͷ͸ʮ࣓‫ؾ‬ճసྲྀମෆ҆ఆʯ(Magneto Rotational Instability;ҎԼ MRI ͱ‫ )Ϳݺ‬ͷϝΧχζϜͰ͋Δ [5]. ͜Ε͸ి཭ͨ͠ԁ൫Λ؏࣓͘ྗઢͷ༳Β͕͗ԁ൫ͷճసͱͱ΋ʹҾ͖৳͹͞ΕΔ͜ͱʹΑͬͯ‫͜ى‬Δෆ҆ఆੑͰ͋Δ. ͜ͷ MRI ͸֯ӡಈྔ༌ૹ‫ͱߏػ‬ͯ͠‫ͳྗڧ‬ϝΧχζϜͰ͸͋Δ͕, ͦͷ೉఺ͱͯ͠ԁ൫੺ಓ໘ۙ͘ͳͲͷΨεͷి཭౓͕௿͍ྖҬ(ʮσουκʔϯʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ) Ͱ͸, ཚྲྀ͕‫͍ͳ͖ى‬Մೳੑ͕͋Δͱ͍͏͜ͱ͕‫͛ڍ‬ΒΕΔ [6]. ͜ͷΑ͏ʹཚྲྀͷੜ੒‫ߏػ‬΋·ͨ‫ڵ‬ຯਂ͘ॏཁͳ໰୊ͷҰͭͰ͸͋Δ͕, ຊߘͰ͸͜ͷ໰୊ʹ͍ͭͯ͸ѻΘͳ͍͜ͱͱ͠, ‫ʹط‬ԿΒ͔ͷϝΧχζϜʹΑͬͯཚྲྀ͕ൃੜ͍ͯ͠Δ΋ͷͱͨ͠͏͑Ͱԁ൫ཚྲྀԼʹ͓͚ΔΨεͱμετͷμΠφϛΫεΛߟ͍͑ͯ͘͜ͱʹ͢Δ.

2.2.2‫ํૅج‬ఔࣜ

߱ண‫ݱ‬৅͸, ԁ൫Ψεʹ͍ͭͯͷҎԼͷ 3 ͭͷࣜΛ༻͍ͯϞσϧԽ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ.
⎧
∂ρ
∂
⎪
⎪ g +
(ρg vj ) = 0
⎪
⎪
∂t
∂xj
⎪
⎪
⎪
⎨ ∂v
∂vi
1 ∂Pg
1 ∂pij
i
=−
+
+ gi
+ vj
∂t
∂x
ρ
∂x
ρ
⎪
j
g
i
g ∂xj
⎪
⎪


⎪
⎪
∂FE,j
Dρg
DT
∂vi
T ∂Pg
⎪
⎪
= pij
−
+
⎩ ρg c V
Dt∂xjρg ∂T V Dt
∂xj

(2.7)
(2.8)
(2.9)

ࣜ (2.7) ͕࿈ଓͷࣜ (࣭ྔอଘ), ࣜ (2.8) ͕φϏΤɾετʔΫεํఔࣜ (ӡಈํఔࣜ), ࣜ (2.9) ͕ΤωϧΪʔํఔࣜ (ΤωϧΪʔอଘ) Λද͍ͯ͠Δ 2 . ͨͩ͜͜͠Ͱ͸ද‫ه‬ͷศ্ٓ, ςϯιϧ‫Ͱࣜܗ‬
ॻ͍͍ͯΔ. cV ͸୯Ґ࣭ྔ͋ͨΓͷఆੵൺ೤, FE,j ͸ΤωϧΪʔྲྀଋͰ͋Δ. ·ͨ, pij ͸೪ੑετϨεςϯιϧͰ͋Γ۩ମతʹ͸


⎧
1
⎪
⎪
⎨ pij = 2ρg ν eij − 3 ekk δij


⎪
∂vj
1 ∂vi
⎪
⎩ eij =
+
2 ∂xj
∂xi

(2.10)(2.11)

ͱॻ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δ (eij ͸ม‫ܗ‬଎౓ςϯιϧ). ѹྗ Pg ʹ͍ͭͯ͸, ԁ൫ΨεΛཧ૝‫ؾ‬ମͱ‫͠ͳݟ‬ঢ়ଶํఔࣜͱͯ͠

Pg = cs,g 2 ρg

(2.12)

Λ༻͍Δ͜ͱʹ͢Δ (cs,g ͸ΨεͷԻ଎). ॏྗʹؔͯ͠͸ԁ൫ॏྗͷޮՌ͸ແࢹ͠, த৺੕ॏྗͷΈΛߟྀͯ͠ gi Ͱදͨ͠. ͞Βʹ͜͜Ͱ͸؆୯ͷͨΊ, ཚྲྀʹΑΔ֯ӡಈྔ༌ૹʹ‫͢࡯ߟͯͬݶ‬Δ
͜ͱͱ࣓͠৔ͷ௚઀తͳޮՌʹ͍ͭͯ΋ແࢹͨ͠.
2ຊߘͰ͸ྲྀΕʹԊͬͨ࣌ؒඍ෼ (ϥάϥϯδϡඍ෼) Λ

8

D
∂
≡
+ v · ∇ Ͱද͢͜ͱʹ͢Δ.
Dt∂t

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

2.2.3

೪ੑ֦ࢄ

ԁ൫ͷྗֶฏߧঢ়ଶ͓ΑͼΨεͱμετͷμΠφϛΫεʹؔͯ͠͸‫ޙ‬ड़ͷ 3.2 અͰઆ໌͢Δ͜ͱ
ʹͯ͠, ͜͜Ͱ͸ 1 ྲྀମ (ΨεͷΈ) Ͱߟ͑ͨ৔߹ͷ೪ੑʹΑΔ֯ӡಈྔ༌ૹͱ߱ண‫ݱ‬৅ʹ஫໨͢Δ. ͨͩ͠, ؆୯ͷͨΊ‫ܥ‬͸࣠ରশͰ͋Δ΋ͷͱ͠, ԁ൫্ͷ‫ࠐ͖ר‬Έ΍த৺੕ۙ๣ͷδΣοτʹ
ؔͯ͠͸ߟྀ͠ͳ͍͜ͱͱ͢Δ 3 .
Ұൠʹ, ԁ൫ͷްΈ Hg ͸े෼ബ͘ Hg /r  1 ͱ͞ΕΔͨΊ (ࣜ (3.29) ࢀর), ҎԼͰ͸ԁப࠲ඪ‫( ܥ‬r, ϕ, z) Λ༻͍ํఔࣜΛԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ʹੵ෼ͯ͠ߟ͑Δ͜ͱʹ͢Δ. ࿈ଓͷࣜ (2.7) Λԁப࠲ඪ‫͖ॻͰܥ‬௚͠, ࣠ରশੑ ∂/∂ϕ = 0 Λ༻͍Δͱ, ͜ͷͱ͖

∂ρg
1 ∂
∂
+
(rρg vr ) +(ρg vz ) = 0
∂t
r ∂r
∂z

(2.13)

ͱॻ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δ 4 . ͜͜Ͱ, ԁ൫ද໘΁ͷ߱Γੵ΋Γ͸ͳ͍΋ͷͱ͠∞∂(ρg vz ) dz = 0−∞ ∂zͱ͢Ε͹, ࣜ (2.13) ͷ྆ลΛ z ํ޲ʹੵ෼͠, ໘ີ౓ Σg ≡(2.15)∞

ρg dz Λಋೖ͢Δ͜ͱͰ

−∞

∂Σg
1 ∂
+
(rΣg vr ) = 0∂tr ∂r(2.16)

ͱදͤΔ. Ұํ, ԁப࠲ඪ‫͚͓ʹܥ‬Δӡಈํఔࣜʹؔͯ͠͸, ೪ੑԠྗʹΑͬͯ ϕ ํ޲ʹಇ͘୯Ґ࣭ྔ͋ͨΓͷྗΛ fvis,ϕ ͱද͢͜ͱͰ

∂vϕ∂vϕ vr vϕ+ vr+= fvis,ϕ∂t∂rr(2.17)

ͱॻ͚ͯ, ͜ͷ྆ลʹ r Λֻ͚, ֯ӡಈྔ J ≡ rvϕ Λಋೖ͢Δ͜ͱͰ

∂vϕ
∂J
∂J
∂J
+ rvr
+ vr
= rfvis,ϕ+vr vϕ = rfvis,ϕ ɹɹ ∴∂t∂t∂r
 ∂rvr(2.18)∂J− vr v ϕ∂rͱͳͬͯ֯ӡಈྔͷอଘΛද͢ํఔ͕ࣜಘΒΕΔ. ͨͩ͠, ͜ͷ৔߹͸೪ੑʹΑͬͯ֯౓ ϕ ํ޲ʹfvis,ϕ ͷྗ͕ՃΘ͍ͬͯΔͨΊ, ͦΕʹΑΔτϧΫ rfvis,ϕ ͷ෼͚ͩ֯ӡಈྔ͸࣌ؒͱͱ΋ʹ૿Ճ͢
Δ‫͍ͯͬͳʹܗ‬Δ. ೪ੑτϧΫ rfvis,ϕ ͷ۩ମతͳ‫ͯؔ͠ʹܗ‬͸, τϧΫ͕֯ӡಈྔͷ࣌ؒมԽ཰ʹଞͳΒͳ͍͜ͱʹ஫ҙͦ͠ΕΛ (∂J/∂t)vis ͱॻ͍ͯ, ԁ‫( ؀‬Ґஔ r, ෯ δr  r) ͕࣋ͭ֯ӡಈྔͷ࣌
3߱ண‫ݱ‬৅Λਖ਼֬ʹٞ࿦͢ΔͨΊʹ͸, ຊདྷͰ͋Ε͹͜ͷԾఆ͸ଥ౰Ͱ͸ͳ͍. ͨͩ͠ຊઅ͸, ೪ੑ֦ࢄʹΑͬͯ߱ண͕આ໌Ͱ͖Δͱ͍͏͜ͱΛ؆ܿʹࣔ͢͜ͱΛಈ‫͠ͱػ‬, ·ͨ, ͦ͏ͯ͠‫ੵݟ‬΋࣭ͬͨྔ߱ண཰Λ‫؍‬ଌͷͦΕͱൺֱ͢Δ͜ͱʹΑͬͯཚྲྀ೪ੑͷύϥϝʔλ α ͷ஋Λେ·͔ʹධՁ͢Δ͜ͱΛ໨తͱ͍ͯ͠ΔͨΊ, ͦͷ‫ݶ‬ΓͰ͸͜ͷԾఆ͸ଥ౰Ͱ͋Δͱ‫͑ݴ‬Α͏.
4ԁப࠲ඪ‫͍͓ͯʹܥ‬, ͋Δ෺ཧྔ A ͷൃࢄ͸

∇·A

=
=

∂Ar
Ar
1 ∂Aϕ
∂Az
∂
1 ∂
∂
+ eϕ
+ ez ) · (Ar er + Aϕ eϕ + Az ez ) =
+
+
+
∂r
r ∂ϕ
∂z
∂r
r
r ∂ϕ
∂z
1 ∂Aϕ
∂Az
1 ∂
(rAr ) +
+
r ∂r
r ∂ϕ
∂z

(er

ͱॻ͚Δ.

9

(2.14)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ؒมԽ 2πr δr (∂J/∂t)vis ʹ͍ͭͯߟ͑ΔͱΘ͔Γ΍͍͢. ͜ͷԁ‫؀‬ͷ֯ӡಈྔมԽ͸, Ԡྗ prϕ ͔Β΋ͨΒ͞ΕΔτϧΫʹ͍ͭͯͷԁ‫֎؀‬ԑͱ಺ԑͷࠩͰॻ͘͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰ
 
 
∂J
∂J
1
1 1 ∂ 2(r prϕ )2πr δr= δ(2πr · r prϕ ) ɹɹ ∴=∂t vis ρg∂t vis ρg r ∂r

(2.19)

ͱͳͬͯ, ͢ͳΘͪ

fvis,ϕ =1 1 ∂ 2(r prϕ )ρg r2 ∂r

ͱॻ͚Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. Ԡྗςϯιϧ prϕ ͸

  

 1 ∂vvϕ ∂vϕ 
1 ∂v∂v
rprϕ = ρg ν+
− += ρg ν
r ∂ϕ r
∂r ϕ
r ∂ϕ
r
∂r
  
0∂  vϕ ∂Ω= ρg νr= ρg νr∂r r∂r(2.20)(2.21)

Ͱ͋Δ͔Β 5 , ݁‫ہ‬, ೪ੑʹΑͬͯ֯౓ํ޲ʹड͚Δྗ fvis,ϕ ͸fvis,ϕ =1 1 ∂ 3∂Ω(r ρg ν)2
ρg r ∂r∂r(2.22)

ͱ͍͏͜ͱʹͳΔ. ҎԼ, ֯଎౓ʹؔͯ͠͸, Ω  ΩK ͱ‫ͤͳݟ‬ΔͷͰ Ω = ΩK ͱͯ͠‫ࢉܭ‬Λߦ͏√͜ͱʹ͢Δ. ͜ͷͱ͖֯ӡಈྔ͸ J = r2 ΩK = GM∗ r Ͱ͋Γ, த৺੕࣭ྔ M∗ ͷ࣌ؒมԽ͕͖ΘΊͯখ͍͜͞ͱΛߟ͑Δͱ ∂J/∂t = 0 ͱͰ͖Δ. ͜ΕΑΓࣜ (2.18) ͸, ࣜ (2.22) Λ༻͍ z ํ޲ʹੵ෼ͨ͠‫͚ॻͰܗ‬͹

∂J
∂ 3
∂ΩK
=
(r Σg ν)∂r
∂r
∂r

(2.23)2 ∂3
2r Σg ν · (− ΩK )=JΣg ∂r2∂
3(Σg νr1/2 )= −Σg r1/2 ∂r3ν ∂ ln(Σg νr1/2 )= −r∂ ln r

(2.24)

rΣg vrͱͳͬͯ, ߱ண଎౓ vr ʹ͍ͭͯvr

(2.25)͕ಘΒΕΔ. ͜Ε͸, ೪ੑ֦ࢄ࣌ؒ tdiﬀ ∼ r2 /ν Λ༻͍ͨ‫ੵݟ‬΋Γ |vr | ∼ r/tdiﬀ ͱ਺܎਺Λআ͍ͯҰக͢Δ݁Ռʹͳ͍ͬͯΔ. ࣜ (2.24) Λࣜ (2.16) ʹ͢Δ͜ͱʹΑΓ, ԁ൫Ψε໘ີ౓ͷਐԽΛ‫ه‬ड़͢Δ֦ࢄํఔࣜ



∂Σg
1 ∂
1/2 ∂
1/2
=
(Σg νr )6πr∂t2πr ∂r∂r(2.26)͕ಋ͔ΕΔ. ൒‫ ܘ‬r ʹҐஔ͢Δԁ౵໘ͷ࣭ྔ 2πrΣg ͕֦ࢄϑϥοΫε
(vis)≡ 2πrΣg vr = −6πr1/2





FM
5 

ɹɹ

1 ∂v
r ∂ϕ


͸
r

1 ∂v
ͷ r ੒෼Λ,
r ∂ϕ

∂v
∂r

͸
ϕ

∂
(Σg νr1/2 )∂r∂v
ͷ ϕ ੒෼Λද͍ͯ͠Δ.
∂r

10(2.27)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ʹΑͬͯ࣌ؒͱͱ΋૿Ճ͢Δ༷ࢠΛ͜ͷࣜ (2.26) ͸ද͍ͯ͠Δ. ͜ͷํఔࣜ͸͞ΒʹҎԼͷΑ͏ʹม‫͢ܗ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ.
(vis)೪ੑτϧΫʹΑͬͯ, ൒‫ ܘ‬r ʹҐஔ͢Δԁ౵໘Λ௨ͯ͠ӡ͹ΕΔ֯ӡಈྔϑϥοΫεΛ FJͱͨ͠ͱ͖, ͜Ε͸ࣜ (2.23) ͷӈลΛ ϕ ʹؔͯ͠ੵ෼ͨ͠΋ͷ (2π Λֻ͚ͨ΋ͷ) ʹΑͬͯද͢͜ͱ
͕Ͱ͖ͯ

∂ΩK
= 3πΣg νJ(2.28)∂r
ͱॻ͚Δ. ཚྲྀ೪ੑʹؔͯ͠͸, α ϞσϧΛ࠾༻͠ಈ೪ੑ܎਺ ν ͕ࣜ (2.6) ʹै͏΋ͷͱ͢Ε͹ ν
(vis)

FJ

= −2πr3 Σg ν(vis)͸࣌ؒґଘ͠ͳ͍ͨΊ, ࣜ (2.28) ΑΓ໘ີ౓ͷ࣌ؒมԽ ∂Σg /∂t ͸ ∂FJ/∂t Λ༻͍ͯ

(vis)

∂Σg
1 ∂FJ
=
∂t
3πνJ ∂t(2.29)ͱද͞ΕΔ. ·ͨ

∂J
1
=
∂r
2

GM∗
∂
=
ɹɹ ∴ r1/2
r
∂r
(vis)

Ͱ͋ΔͷͰ, ೪ੑ֦ࢄʹΑΔ࣭ྔϑϥοΫε FM

2(vis)
FM = − √

GM∗

r

√

GM∗ ∂
2 ∂J

(2.30)

͸(vis)∂F(3πΣg νJ) = − J
∂r
∂J

1/2 ∂

(2.31)

ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. Ҏ্ͷࣜ (2.29),(2.30),(2.31) ʹ஫ҙͯ͠ॻ͖௚͢͜ͱʹΑͬͯ, ࣜ (2.26) ͸(vis)ϑϥοΫε FJͷ֯ӡಈྔ J ʹؔ͢Δ֦ࢄํఔࣜ
(vis)

∂FJ
∂t

(vis)

=

3νGM∗ ∂ 2 FJ
4r
∂J 2

(2.32)
ɹʹม‫͞ܗ‬ΕΔ. ಛʹྛϞσϧͷԹ౓෼෍ (2.1) Λ༻͍ͨ৔߹͸, Ի଎ cs,g ʹؔͯ͠ cs,g 2 ∝ T ∝ r−1/2Ͱ͋Γ, ͜ͷͱ͖ࣜ (2.6) ΑΓಈ೪ੑ܎਺ͷ r ґଘੑ͸ ν ∝ r ͱͳΔͨΊࣜ (2.32) ӈลͷ܎਺

κ≡

3νGM∗
4r

(2.33)

͸ఆ਺ͱ‫͖Ͱ͕ͱ͜͢ͳݟ‬Δ. ͢ͳΘͪ, ͜ͷ৔߹ ໰୊͸ఆ਺܎਺ͷ 1 ࣍‫ํࢄ֦ݩ‬ఔࣜʹ‫ؼ‬ண͢Δ
͜ͱʹͳΔ. ͜͜Ͱ͸‫ڥ‬ք৚݅Λ
⎧
(vis)
⎪
=0
⎨ J = 0 ͢ͳΘͪ r = 0 Ͱɹ FJ(2.34)(vis)⎪⎩ J → ∞ ͢ͳΘͪ r → ∞ Ͱɹ ∂FJ∂JͱબΜͰࣜ (2.32) Λղ͘͜ͱʹ͢Δ. ·ͣ ψ(J, t) ≡Λ༻͍Δ͜ͱͰ, ํఔࣜ (2.32) Λ

∂
∂t

∞
J

(vis)
FJ
dJ 

∞

∞
J

(vis)

FJ

∂2ψ
= κ
∂J 2
11

(2.35)(J  , t) dJ  Λಋೖ͠, ‫ڥ‬ք৚݅ (2.35)(vis)∂ 2 FJ= κ
dJ ∂J  2
J



(vis)
(vis)
∂FJ 
∂FJ = κ−∂J   ∂J   
J →∞

∂ψ
∴
∂t

=0



J =J

(2.36)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）(vis)

ͷΑ͏ʹ ψ(J, t) ͷ֦ࢄํఔࣜͷ‫ʹܗ‬ม‫͢׵‬Δ. ͨͩ͜͠ͷͱ͖ FJ= −∂ψ/∂J Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͕͍Δ. ‫ڥ‬ք৚݅ (2.34) ͸͜ͷ৔߹ (∂ψ/∂J)|J=0 = 0 ͱͳͬͯ, ֦ࢄํఔࣜ (2.36) Ͱߟ͑Ε͹J = 0 Ͱৗʹ֦ࢄϑϥοΫε −κ(∂ψ/∂J)|J=0 ͕ 0 ͱͳΔ͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δ.
ॳ‫ظ‬৚݅ʹؔͯ͠͸, t = t0 Ͱ ψ(J, t0 ) = ψ0 δ(J) ͱ͍͏ॳ‫ظ‬෼෍Λ༻͍Δ͜ͱʹ͢Δ (ψ0 ͸ఆ
਺). ࠓߟ͍͑ͯΔ໰୊ͷ৔߹, ͋Δҙຯ ॳ‫ظ‬෼෍ΛͲͷΑ͏ʹ࠾༻͢Δ͔͸ॏཁͳࣄฑͰ͸ͳ͘,ॳ‫ظ‬৚݅ͱͯ͠ҧ͏෼෍͔Β࢝Ίͯ΋͕࣌ؒ‫ͭʹͭܦ‬Εͯ࣍ʹड़΂ΔΑ͏ͳղʹ઴͍ۙͯ͘͠.
ҎԼ, ֦ࢄํఔࣜͷϑʔϦΤղ๏Λ༻͍ͯॳ‫ظ‬෼෍ ψ(J, t0 ) = ψ0 δ(J) ʹର͢Δࣜ (2.36) ͷղΛ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱʹ͢Δ. ϑʔϦΤ‫ٯ‬ม‫׵‬ψ(J, t) =

∞

1
2π

−∞

ψ̂(kJ , t)eikJ J dkJ(2.37)

Λࣜ (2.36) ʹ୅ೖ͢Δ͜ͱʹΑΓ

1
2π

∞

∂ ψ̂(kJ , t) ikJ J
1e
dkJ = κ
∂t
2π
−∞
∴

∞
−∞

(−kJ 2 ) ψ̂(kJ , t)eikJ J dkJ∂ ψ̂(kJ , t)
= −κ kJ 2 ψ̂(kJ , t)∂t(2.38)

ͱͰ͖, ͜ͷඍ෼ํఔࣜʹؔͯ͠͸༰қʹղ͚ͯψ̂(kJ , t) = ψ̂(kJ , t0 )e−κkJ (t−t0 )2(2.39)͕ಘΒΕΔ. ͜ΕΛࣜ (2.37) ʹ୅ೖ͠௚ͯ͠

ψ(J, t) =

1
2π

∞
−∞

ψ̂(kJ , t0 )eikJ J−κkJ (t−t0 ) dkJ
2(2.40)

Ͱ͋Γ, ͜ͷࠨลʹؔͯ͠ॳ‫ظ‬৚݅ ψ(J, t0 ) = ψ0 δ(J) Λ༻͍Δͱψ0 δ(J) =

1
2π

∞
−∞

ψ̂(kJ , t0 )eikJ J dkJ(2.41)ͱද͞ΕΔ͜ͱʹͳΔ. ͜ΕΛϑʔϦΤม‫͢׵‬Δ͜ͱͰ ψ̂(kJ , t0 ) ͸∞ψ̂(kJ , t0 ) = ψ0

δ(J) e−ikJ J dJ = ψ0(2.42)

eikJ J−κkJ (t−t0 ) dkJ(2.43)−∞

ͱܾ·ΔͨΊ, ࣜ (2.40) ͸ψ(J, t) =

ψ0
2π

∞
−∞

2

ͱॻ͚Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ࣜ (2.43) ͷӈลͷੵ෼ͷࢦ਺෦෼ʹ͍ͭͯ͸, ฏํ‫׬‬੒ͯ͠

ikJ J − κ kJ 2 (t − t0 )


J
2
kJ
= −κ(t − t0 ) kJ − i
κ(t − t0 )
2

J
J2
−
= −κ(t − t0 ) kJ − i2κ(t − t0 )4κ(t − t0 )12(2.44)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱ͢Ε͹, ݁‫ ہ‬ψ(J, t) ͸
2



∞
J
J2
ψ0 − 4κ(t−t−κ(t−t0 ) kJ −i 2κ(t−t0)0)
eψ(J, t) =
e
dkJ
2π
−∞
J2
π
ψ0 − 4κ(t−t
0)
e
=
2π
κ(t − t0 )2ψ0
− J
(2.45)e 4κ(t−t0 )= 
4πκ(t − t0 )√ͱಋ͔ΕΔ. ͭ·Γ, ࣌ؒͷ‫ܦ‬աʹͭΕͯ ψ(J, t) ͷ෼෍͸ t Ͱ J ํ޲ʹ޿͕Δ (֦ࢄ͢Δ) ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜ͷ৔߹, ֦ࢄ͸͋͘·Ͱ J = 0 Λத৺ʹ‫͜ى‬Γ, ·ͨԁ൫ԕํ J → ∞ ·Ͱ͸ͦͷӨ‫ڹ‬͸‫ٴ‬͹ͳ͍ͨΊ, ࣜ (2.45) ͸ৗʹ‫ڥ‬ք৚݅ (2.34),(2.35) Λຬͨ͢͜ͱʹͳΔ.
(vis)

FJ

(vis)

= −∂ψ/∂J Ͱ ψ Λఆ͍ٛͯͨ͜͠ͱΛࢥ͍ग़͢ͱ, FJ
(vis)

FJ

ʹؔͯ͠͸ࣜ (2.45) ΑΓ

J2J2− 4κ(t−t0)=√e
π [4κ(t − t0 )]3/2(2.46)

˜ t̃ Λ
ͱͳΔ. ͜͜Ͱ r0 ≡ −4κt0 /GM∗ Λ༻͍ͯແ࣍‫ݩ‬ม਺ r̃, ν̃, J,r̃ ≡ r/r0(2.47)ν̃ ≡ ν/ν0 = r̃

(2.48)J˜ ≡ J/J0 = r̃1/2(2.49)tt̃ ≡ 4κ(t − t0 )/J0 2 =(r0 2 /3ν0 )+1(2.50)

Ͱಋೖ͢Δ. ͨͩ͠, J0 , ν0 ͸ͦΕͧΕ൒‫ ܘ‬r = r0 ʹ͓͚Δ J, ν Λද͍ͯ͠Δ. ͜ΕΒΛ༻͍Δ͜ͱͰࣜ (2.46) ͸
(vis)

FJ

r̃1/2
= C 3/2 e−r̃/t̃
t̃
(vis)

(2.51)(vis)

ͱදͤΔ (C ͸ఆ਺). ࣜ (2.28), ࣜ (2.31) Λ࢖ͬͯ FJ͔Β Σg , FM ʹ௚͢ͱ⎧
1 −r̃/t̃C⎪⎪⎨ Σg = 3πν J 3/2 e
0 0 r̃ t̃
C 1 −r̃/t̃
2r̃
2r̃
⎪
(vis)
⎪
⎩ FM = −e1−= −3πΣg ν 1 −J0 t̃3/2t̃t̃

(2.52)(2.53)

ͱ‫ٻ‬ΊΒΕΔ. ͜ΕΒͷղ͸ g = 3πν0 J0 t̃5/2 Σg ɹɹɹF (vis) = J0 t̃3/2 F (vis)ξ˜ = r̃/t̃ɹɹɹΣ
M
M
C
C
Λ༻͍ͯ

⎧
 g = ξ˜−1 e−ξ̃⎨Σ⎩ F (vis) = −e−ξ̃M
1 − 2ξ˜(2.54)(2.55)(2.56)

 g , F (vis) ʹؔͯ͠͸ແ࣍‫ݩ‬ม਺ ξ˜ ͚ͩͷؔ਺ʹͰ͖Δ. ͭ·Γࣜ (2.52),(2.53) ͸ࣗ‫ݾ‬ͱදͤͯ, ΣM
૬ࣅղ (Self-similar solution) ʹͳ͍ͬͯΔ.

13

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）(vis)

ࣜ (2.53) ͔ΒΘ͔ΔΑ͏ʹ, ࣭ྔϑϥοΫε FM͸ rm = t̃r0 /2 Λ‫ʹڥ‬ਖ਼ͱෛʹ෼͔ΕΔ. ͢ͳΘͪԁ൫Ψεͷ֦ࢄ͸͜ͷ rm Λத৺ʹͯ͠‫͜ى‬Γ, r < rm Ͱ͸Ψε͸಺ଆ΁ͱ r > rm ͰΨε͸֎ଆ΁ͱಈ͘͜ͱʹͳΔ. ͨͩ͠, rm ͷҐஔ͸࣌ؒͱͱ΋ʹҠಈ͢Δ͜ͱʹ஫ҙ͕͍Δ. t = 0
Ͱ r0 /2 ʹ֦͋ͬͨࢄͷத৺ rm ͸, ͦͷҐஔͰͷ֦ࢄ࣌ؒ ∼ r0 2 /3ν0 Λ‫ͨܦ‬ͷͪʹ, ∼ 3ν0 /2r0 ͷ଎͞Ͱԁ൫֎ଆ΁ͱҠಈ͍ͯ͘͠.
·ͨ, ࣜ (2.52) ͷΑ͏ʹ, 2rm = t̃r0 ͸໘ີ౓ Σg ͕಺ଆͷ r−1 ͷ෼෍͔Β ֎ଆͷ exp ͷ෼෍΁ͱ੾ΓସΘΔ r Λද͍ͯ͠Δ. ࣗ‫ݾ‬૬ࣅղ (2.52) ͕಺ଆྖҬͰ r−1 ͷ໘ີ౓෼෍Λࣔ͢ҰํͰ, ྛϞσϧͷ໘ີ౓෼෍͸ࣜ (2.4) ͷΑ͏ʹ Σg ∝ r−3/2 Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͕͍Δ. ͜ͷ r−3/2 ͷ෼෍͸ࣜ (2.31) ΑΓͪΐ͏Ͳ֦ࢄྲྀ͕ 0 ͷ৔߹ʹରԠ͢Δ෼෍Ͱ͋Γ, ྛϞσϧͰ͸߱ண͸‫͜ى‬Βͣ໘ີ౓ͷ࣌ؒมԽ͸ͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜Εʹରͯ͠, ࣜ (2.53) Ͱ‫ٻ‬Ίͨࣗ‫ݾ‬૬ࣅղͷ৔߹, ಺ଆྖҬr < rm ʹ͓͚Δ࣭ྔ߱ண཰͸
(vis)

FM

 −3πΣg ν(2.57)

ͱ‫ੵݟ‬΋Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ࣮ࡍ, Ҏ্Ͱٞ࿦ͨ͠Α͏ͳԁ൫Ψεͷ߱ண͸‫؍‬ଌ͔Β΋֬ೝ͞Ε͍ͯΔ. ߱ணͨ͠Ψε͸த৺੕΁ͱྲྀೖ͢Δࡍʹ, ॏྗΤωϧΪʔͷղ์ʹΑΓ͔ͳΓͷߴԹʹ೤ͤΒΕ, ͦͷߴԹΨε͔Β͸ࢵ֎ઢ΍Մࢹޫ, Hα ًઢͳͲ͕ൃͤΒΕΔ. ͦΕΒͷޫֶతͳಛੑΛ‫؍‬ଌʹΑΓௐ΂Δ͜ͱͰ, ͲΕ͘Β͍ͷ཰Ͱԁ൫Ψεͷ߱ண͕‫͍ͯͬ͜ى‬Δ͔ͷ‫ੵݟ‬΋Γ͕Ͱ͖Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ.
ຊདྷ, ߱ண཰͸த৺੕ͷ೥ྸͱͱ΋ʹ࣍ୈʹ‫ݮ‬গ͍ͯ͘͠΋ͷͰ͋Δ͕, ೥ྸ 105 ೥͔Β 106 ೥ఔ౓ (cf. ෼ࢠӢίΞͷࣗ༝མԼ࣌ؒ τﬀ ∼ 1/ Gρg ∼ 105 ೥) ͷ৔߹ʹؔͯ͠͸, ‫؍‬ଌʹΑΔͱ

|FM | ∼ 10−7 M /year ͷΑ͏ʹ֓ࢉ͞Ε͍ͯΔ. ͜Ε͸த৺੕෇ۙͰ‫ੵݟ‬΋ͬͨ஋Ͱ͋Δ͕, Ҏ
(vis)

(vis)

ԼͰ͸, ͦΕ͕ 1AU ෇ۙͷ |FM| ͱ΄΅౳͍͠ͱͯ͠Ծఆͯ͠ α ύϥϝʔλͷ஋Λ‫ੵݟ‬΋ͬͯΈ

Δ. ཚྲྀಈ೪ੑ܎਺ ν ͸ࣜ (2.6) ΑΓν  5 × 10 α
16

T
300 K



r 3/2[cm2 /sec]
1 AU(2.58)

Ͱ͋Γ, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ͷ 1AU ʹ͓͚Δ໘ີ౓ͷయ‫ܕ‬తͳ஋ Σg ∼ 2000 g/cm2 Λ༻͍Δͱࣜ (2.57)
ΑΓ(vis)|FM |  2 × 10−5 αΣg2000 g/cm2(vis)ͱॻ͚Δ. ͜ͷ֓ࢉࣜ (2.59) ͱ‫؍‬ଌ஋ |FM



T
300 K



r 3/2[M /year]
1 AU(2.59)| ∼ 10−7 M /year Λൺֱ͢Δ͜ͱͰ α ύϥϝʔλͷ஋͸α ∼ 10−2(2.60)

ͱ‫ੵݟ‬΋Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ຊߘͰ͸͜ͷࣜ (2.60) Λ α ύϥϝʔλͷ‫ج‬४஋ͱͯ͠࠾༻͢Δ͜ͱʹ
(vis)

͢Δ. ͨͩ͠, ‫؍‬ଌ͔ΒಘΒΕΔ |FM| ͷ஋͸͹Β͖͕ͭେ͖͘, ࣜ (2.60) ͷ‫ੵݟ‬΋Γʹ͸ 2 ܻ΄Ͳෆఆੑ͕͋Δͱࢥͬͨํ͕ྑ͍͔΋͠Εͳ͍. ಛʹ, σουκʔϯͷଘࡏʹΑͬͯཚྲྀ͕཈͑ΒΕͨ৔߹͸ 10−3 ͋Δ͍͸ 10−4 ʹ·Ͱ α ͷ஋͸Լ͕Δͱ΋ใࠂ͞Ε͍ͯΔ. ຊߘͰ͸ઌߦ‫ڀݚ‬ͷ

Ros & Johansen 2013 ͷ݁Ռͱͷൺֱ΋‫צ‬Ҋͯ͠, σϑΥϧτͱͯ͠͸ α ͷ஋͸ 10−2 Λ༻͍, ৔߹ʹΑͬͯ, ཚྲྀͷ‫ʹ͞ڧ‬ΑΔ૬ҧΛ‫ݟ‬ΔͨΊʹ 10−3 , 10−4 ͱ͍͏஋΋࢖༻͢Δ͜ͱʹ͢Δ.

14

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ԁ൫಺ͷμετͷӡಈ3ຊষͰ͸, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͓͚ΔΨεͱμετͷۭؒతͳӡಈʹ͍ͭͯߟ͑Δ. ຊߘ͕ςʔϚͱ͢Δණμετͷ੒௕ϝΧχζϜ͸‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔʹΑΔ΋ͷͰ͋Δ͕, ͦͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚͸·͞ʹ

ice line Λԣ੾ΔΑ͏ͳਫৠ‫ͱؾ‬ණμετͷۭؒతͳӡಈ͕͋ΔͨΊʹ‫͜ى‬Δ΋ͷͰ͋Δ. ͜ΕΒͷۭؒతͳӡಈ͸େ͖͘υϦϑτͱ֦ࢄʹ෼͚Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͦͯͦ͠ͷͲͪΒʹؔͯ͠΋ॏཁʹͳͬͯ͘Δͷ͕, Ψεͱμετͷؒʹಇ͘఍߅ͷޮՌͰ͋Δ. ఍߅ྗ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱͰΨεͱμετͷΧοϓϦϯά͕ੜ·Ε, ͦΕ͕ԁ൫಺ʹ͓͚ΔΨεͱμετͷμΠφϛΫεΛࢧ഑͍ͯ͠
͘͜ͱʹͳΔ. ҎԼͰ͸·ͣ ͜ͷ఍߅ଇʹ͍ͭͯड़΂্ͨͰ, μετͷυϦϑτӡಈ͓Αͼ֦ࢄӡಈʹ͍ͭͯٞ࿦͍ͯ͘͜͠ͱʹ͢Δ.

3.1

఍߅ଇ

ΨεதͰӡಈ͢Δཻ‫ ܘ‬R ͷμετཻࢠ (‫͕ )ࢠཻܗٿ‬Ҡಈ͢Δࡍʹಇ͘఍߅ྗ͸FD = −

CD
πR2 ρg V 2
2

(3.1)

ͱॻ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͜͜Ͱ, CD ͸ແ࣍‫ݩ‬఍߅܎਺, ρg ͸Ψεͷີ౓, V ͸μετཻࢠͷΨεʹ
ର͢Δ૬ର଎౓Ͱ͋Δ. ఍߅܎਺ CD ʹؔͯ͠͸, ཻࢠपΓͷྲྀΕͷΫψʔηϯ਺ (Kn = lg /R ; lg͸Ψε෼ࢠͷฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ) ͱϨΠϊϧζ਺ (Re = 2V R/ν ; ν ͸Ψεͷಈ೪ੑ܎਺) ʹԠͯ͡
(Ep)

CD

(St)

CD

(N)

CD

8
ɹɹ (Kn  1 , Re  1)
3Ma
24=
(Kn  1 , Re  1)
Re
= 0.44(Kn  1 , Re1)=

ͱۙࣅ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ [7]. ͨͩ͠, Ma = V /vm,g ͸Ϛοϋ਺Ͱ͋Γ, vm,g =

(3.2)
(3.3)
(3.4)


8/π cs,g ͸Ψε෼ࢠͷ଎͞ |vg | ͷฏ‫͋Ͱۉ‬Δ. ͦΕͧΕࣜ (3.2) ͕ΤϓελΠϯ఍߅ଇ (Epstein drag law), ࣜ (3.3)͕ετʔΫε఍߅ଇ (Stokes drag law), ࣜ (3.4) ͕χϡʔτϯ఍߅ଇ (Newton drag law) ͷ఍߅܎਺Λද͍ͯ͠Δ. ͜ΕΒΑΓ఍߅͸ϨΠϊϧζ਺ͷ૿Ճʹ൐͍, ૬ର଎౓ʹൺྫ͢Δ΋ͷ͔Β૬ର଎౓ͷ 2 ৐ʹൺྫ͢Δ΋ͷ΁ͱ੾ΓସΘΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ௿ϨΠϊϧζ਺ͷ৔߹͸ΤϓελΠϯଇ
͋Δ͍͸ετʔΫεଇ͕͋ͯ͸·Δ͕, ͦͷ͏ͪͲͪΒͷ఍߅ଇ͕ద༻͞ΕΔ͔͸μεταΠζ RͱΨε෼ࢠͷฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ lg ͷؔ܎ʹґΔ. μεταΠζ͕খ͍͞ R  lg (Kn  1) ͷ৔߹ Ψε෼ࢠ͸ཻࢠతʹৼΔ෣͏ͨΊΤϓελΠϯଇ͕, μεταΠζ͕େ͖͍ R  lg (Kn  1) ͷ৔߹ Ψε͸ྲྀମతͱͳΔͨΊετʔΫεଇ͕ద༻͞ΕΔ. ຊ‫ڀݚ‬͸ԁ൫͕ཚྲྀঢ়ଶʹ͋Δ (ԁ൫ͷϨΠϊϧζ਺͕େ͖͍) ͜ͱΛલఏͱͯ͠͸͍Δ͕, ཚྲྀঢ়ଶͰ͋ͬͨͱͯ͠΋μετͷཻ‫ ܘ‬R ͕ཚྲྀͷ࠷খεέʔϧ (ίϧϞΰϩϑ௕) ΑΓ΋े෼খ͍͞৔߹͸, μεταΠζεέʔϧͰ‫ࢠཻͨݟ‬पΓͷྲྀΕͷཻࢠϨΠϊϧζ਺͸খ͍͞΋ͷͱ͠, μετཻࢠʹಇ͘఍߅ྗͱͯ͠͸ΤϓελΠϯଇͱετʔΫεଇͷΈΛߟ͑Ε͹Α͍. ͜ͷ͜ͱΛߟྀ͠, ຊߘͰ͸఍߅͸૬ର଎౓ʹൺྫ͢Δ΋ͷͱ

15

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͯ͠, μετ͕ΨεʹΑͬͯϒϨʔΩΛֻ͚ΒΕΔλΠϜεέʔϧ, ͢ͳΘͪʮ੍ಈ࣌ؒ (stopping

time ͋Δ͍͸ friction time)ʯΛμετཻࢠͷ࣭ྔ mp ͓ΑͼμετͱΨεͷ૬ର଎౓ V Λ༻͍ͯ
tstop ≡

mp V
|FD |

(3.5)

Ͱఆٛ͢Δ. ͜ΕʹΑΓ, ࣜ (3.1) ʹࣜ (3.2),(3.3) Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰ, ΤϓελΠϯଇͱετʔΫεଇʹؔͯͦ͠ΕͧΕ੍ಈ࣌ؒΛ(Ep)
tstop =

(St)
tstop =

4π
ρs R 3 V
3=4π 8
2ρg R cs,g V
3π

4π
ρs R 3 V
2R2 ρs43==6πρg νRV
9ρg ν
9

π Rρs
8 cs,g ρg(3.6)

π R2 ρs
8 cs,g ρg lg(3.7)

ͱಘΔ. ͨͩ͠, μετཻࢠ͸෺࣭ີ౓͕ ρs ͷ‫͋Ͱٿͳ࣭ۉ‬ΔͱԾఆ͠ mp = (4π/3)ρs R3 ͱͨ͠.
(Ep)

(St)

·ͨಈ೪ੑ܎਺ͱͯ͠͸ ν = vm,g lg /2 Λ༻͍ͨ (෇࿥ C ࣜ (C.10)). ҎԼͰ͸, tstop = tstop ͱͳΔ

R = 9 lg /4 Ͱ྆఍߅ଇΛ୯७ʹ઀ଓ͠, ແ࣍‫੍ݩ‬ಈ࣌ؒ τs ≡ ΩK tstop Λಋೖͯ͠
⎧
π Rρs
9
⎪
(Ep)
⎪
⎪
=
ɹɹɹɹɹ (Epstein drag : R ≤ lg )⎨ τs
8 H g ρg
4⎪4 π R 2 ρs
9⎪⎪ɹɹɹɹ ( Stokes drag : R > lg )⎩ τs(St) =9 8 Hg ρg lg
4

(3.8)
(3.9)

ͱ͢Δ [8][9].

3.2υϦϑτͱ௜఼

3.1 અͷ఍߅ଇΛ༻͍ͯ, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ͷதͰͷΨεͱμετͷӡಈΛߟ͑Δ. ͜͜Ͱ͸, ఍߅Λ௨ͯ͠૬‫͢༻࡞ޓ‬Δ 2 ੒෼ྲྀମͱͯ͠ΨεͱμετͷӡಈΛऔΓѻ͏͜ͱʹ͢Δ. Ψεͱμετͷ଎౓͓Αͼۭؒີ౓ΛͦΕͧΕ V ͱ v ͓Αͼ ρg ͱ ρp ͱද͢ͱ, Ψεͱμετͷӡಈํఔࣜ͸

DV
Dt
Dv
Dt

ρp v − VGM∗11−r − ∇Pg + ∇ · Πvis3
ρg tstop
ρg
ρg
|r|
v−V
GM∗
= −
r
−
tstop
|r|3

=

(3.10)(3.11)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜͜Ͱ, Πvis ͸೪ੑετϨεɾςϯιϧͰ͋Δ. ԁப࠲ඪ‫( ܥ‬r, ϕ, z) Ͱӡಈํఔࣜͷ֤੒෼Λॻ͖Լ͢ͱ
⎧⎪Vϕ 2
ρp vr − Vr
∂Vr
∂Vr
GM∗
1 ∂Pg
∂Vr
⎪
⎪
−
−
+
V
+
V
−
=
r
z
⎪
2
⎪
∂t
∂r
∂z
r
ρg tstop
r
ρg ∂r
⎪
⎪
⎪
⎨
ρp vϕ − Vϕ∂Vϕ∂Vϕ∂Vϕ Vr Vϕ
+ Vr
+ Vz
+
=
+ fvis,ϕ
⎪
∂t
∂r
∂z
r
ρg tstop⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ∂Vz + V ∂Vz + V ∂Vz = ρp vz − Vz − GM∗ z − 1 ∂Pg
⎪
⎩
r
z
∂t
∂r
∂z
ρg tstop
r3
ρg ∂z

16

(3.12)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）⎧
v 2
v − Vr
GM∗
∂v
∂v
∂v
⎪
⎪ r + vr r + v z r − ϕ = − r
− 2
⎪
⎪
∂t
∂r
∂z
r
tstop
r
⎪
⎪
⎪
⎨ ∂v
v ϕ − Vϕ∂vϕ∂vϕ vr vϕ
ϕ
+ vr
+ vz
+
=−
⎪
∂t
∂r
∂z
r
tstop
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ∂vz
∂vz
∂vz
v z − Vz
GM∗
⎪
⎩
+ vr
+ vz
=−
− 3 zɹ
∂t
∂r
∂z
tstop
r

(3.13)
ɹ

ͱͳΔ. ͨͩ͠Ҏ্Ͱ͸, ԁ൫͕࣠ରশͰ͋Δ͜ͱ (∂/∂ϕ = 0), ߟ͍͑ͯΔྖҬ͕ rz Ͱ͋Δ͜

ͱΛ༻͍, ·ͨ, ೪ੑ߲ʹؔͯ͠͸ͦͷେ͖͕͞ѹྗ߲ͷ͓Αͦ α ഒ (α ͸ཚྲྀ೪ੑͷύϥϝʔλ)͔͠ͳ͍͜ͱ͔Β r, z ํ޲ʹ͍ͭͯ͸೪ੑ߲Λແࢹͯ͋͠Δ. ҰํͰ, ϕ ํ޲ͷ೪ੑ߲ʹؔͯ͠͸લड़ͷࣜ (2.22) ΑΓ

1 1 ∂fvis,ϕ ≡ρg r2 ∂r∂ΩKr ρg ν
∂r3(3.14)

ͱධՁ͢Δ͜ͱʹ͢Δ (ν = αcs,g Hg ͸ཚྲྀಈ೪ੑ܎਺).

tstop  2π/ΩK ͷ৔߹, μετͷӡಈ͸ tstop ͷ࣌ؒͰఆৗঢ়ଶʹୡ͠, ऴ୺଎౓Ͱӡಈ͢Δ͜ͱ
ʹͳΔ. ͜ΕΑΓӡಈํఔࣜ (3.12)(3.13) Ͱ, ఆৗঢ়ଶ ∂/∂t = 0, ͓Αͼ, |Vr |, |Vz |, |vr |, |vz |  vK
( vK ≡ rΩK , ΩK ≡ GM∗ /r3 ) ͱͯͦ͠ͷ 2 ࣍Ҏ্ͷඍখྔΛམͱ͢ͱ⎧⎪ρp vr − Vr
Vϕ 2
1 ∂Pg
vK 2
⎪
⎪
=
−
−
−
⎪
⎪
r
ρg tstop
r
ρg ∂r
⎪
⎪
⎪
⎨
ρp vϕ − Vϕ∂Vϕ∂Vϕ Vr Vϕ(3.15)+ Vz+=
Vr+ fvis,ϕ⎪∂r∂zr
ρg tstop⎪⎪⎪⎪⎪⎪0 = ρp vz − Vz − Ω 2 z − 1 ∂Pg⎪⎩
Kρg tstop
ρg ∂z

⎧
vϕ 2
v r − Vr
vK 2
⎪
⎪
=
−
−
−
⎪
⎪
r
tstop
r
⎪
⎪
⎪
⎨ ∂v
vϕ − V ϕ∂vϕ vr vϕ
ϕ
+ vz
+
=−
vr
⎪
∂r
∂z
r
tstop
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
v − Vz⎪⎩0 = − z− ΩK 2 z ɹ
tstop(3.16)
ɹ

ͱͳΔ. Vϕ = vK + Vϕ , vϕ = vK + vϕ ͱஔ͖, Vϕ , vϕ  vK ͱͯ͠͞Βʹ͜ΕΒͷඍখྔͷ 2 ࣍Ҏ্ͷ߲Λແࢹ͢Δ͜ͱͰ⎧ρg⎪
Vr = vr + 2 (Vϕ + η vK ) ΩK tstop
⎪
⎪
ρp
⎪
⎪


⎪
⎨
ρg
1


Vϕ = vϕ +fvis,ϕ − Vr ΩK tstop
ρp
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ρ
1 ∂Pg
⎪
⎩ Vz = vz − g ΩK 2 tstop z −
tstop
ρp
ρp ∂z
⎧
vr = Vr + 2vϕ ΩK tstop
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
1
vϕ = Vϕ − vr ΩK tstop
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎩
vz = Vz − ΩK 2 tstop z

17(3.17)(3.18)(3.19)(3.20)(3.21)(3.22)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱͰ͖Δ. ͨͩ͠, ࣜ (3.17) ʹ‫ݱ‬ΕΔ η ͸, (μετͱͷ૬‫͍ͳ͕༻࡞ޓ‬৔߹ͷ) Ψεͷճస଎౓ͱ
έϓϥʔ଎౓ͷࠩͷׂ߹Λද͢ύϥϝʔλͰ͋Γ 6

η≡−cs,g 2 ∂ ln Pg
2vK 2 ∂ ln r

(3.25)

ͱఆٛͯ͋͠Δ. ҎԼͰ͸, Ψεͷԁ൫Ԗ௚ํ޲ͷ଎౓͕ Vz = 0 Ͱ͋Δ͜ͱʹ͢Δ. ͜ͷͱ͖, ࣜ(3.22) ΑΓμετͷԖ௚ํ޲ͷ଎౓ (ऴ୺଎౓) ͸
vz = −ΩK 2 tstop z(3.26)

ͱ‫ੵݟ‬΋Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰ, ͜ΕΛࣜ (3.19) ʹ୅ೖ͠, ρgρp ͓Αͼ ཧ૝‫ؾ‬ମঢ়ଶํఔࣜ

Pg = cs,g 2 ρg Λ༻͍Δͱ
∂ρg
ΩK 2
= −ρg
z
∂z
cs,g 2
ͱͳΔ. ྆ลΛ z ʹؔͯ͠ੵ෼͠, ԁ൫໘ີ౓ Σg (r) ≡ρg = √(3.27)∞−∞

ρg (r, z)dz Λ༻͍Δͱ



Σg
z2
exp −
2Hg 2
2πHg

(3.28)

ΛಘΔ. Hg ͸ΨεͷεέʔϧϋΠτ (Ψεԁ൫ͷಛ௃తͳްΈ) Ͱ͋ΓHg ≡ r 5/4
cs,g
 0.03
ɹ [AU]
ΩK
1AU(3.29)

Ͱ༩͑ΒΕΔ (ୈ 2 ౳߸Ͱ͸ྛϞσϧͷԁ൫Թ౓෼෍ (2.2) Λ༻͍ͨ).
࣍ʹ r, ϕ ํ޲ʹ͍ͭͯߟ͑Δ. ͦΕͧΕ [ ρg × ࣜ (3.20)−ρp × ࣜ (3.17) ] , [ ࣜ (3.18)+ ࣜ (3.21) ], [ ρg × ࣜ (3.21)−ρp × ࣜ (3.18) ] , [ ࣜ (3.17)+ ࣜ (3.20) ] ΑΓ
⎧
2τs
⎪
⎪
(vϕ − Vϕ − η vK )v r − Vr =
⎪
⎪
1
+
c
p
⎪
⎪
⎪
⎪
f
⎪
vis,ϕ
⎨c v +V =2
p r
r
ΩK
⎪
⎪
τs
1
τs fvis,ϕ⎪⎪vϕ − Vϕ = −(vr − Vr ) −⎪⎪⎪2 1 + cp
1 + c p ΩK
⎪
⎪
⎩


cp vϕ + Vϕ = −η vK(3.30)(3.31)(3.32)(3.33)

ΛಘΔ. ͨͩ͠ cp ≡ ρp /ρg ͸Ψεʹର͢Δμετͷೱ౓ (࣭ྔີ౓ൺ) Λද͍ͯ͠Δ.
6

ΨεͷΈ͔Β੒Δԁ൫ͷྗֶฏߧঢ়ଶʹ͍ͭͯߟ͑Δͱ, ಈ‫( ޲ํܘ‬r ํ޲) ʹؔͯ͠ ྗͷ௼Γ߹͍ͷࣜ

vϕ 2
1 ∂Pg
GM∗
=
+
r
ρg ∂r
r2

(3.23)

͕੒Γཱͭ. ͜ΕΑΓྗֶฏߧঢ়ଶʹ͓͚ΔΨεͷճస଎౓ vϕ ͸

1/2cs,g 2 ∂ ln Pg
vϕ = vK 1 + vK (1 − η)vK 2 ∂ ln r

(3.24)

ͱॻ͚Δ. ѹྗޯ഑ʹΑΔࢧ͕͑͋Δ෼, ௨ৗͷέϓϥʔճసΑΓ η ͷׂ߹͚ͩΨεͷճస଎౓͸஗͘ͳΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͦΕʹରͯ͠μετ͸, ୯ಠͰ͸έϓϥʔ଎౓Ͱެస͠Α͏ͱ͢ΔͨΊΨεͱμετͷؒʹ଎౓͕ࠩੜ͡, ‫ݴ‬Θ͹μετ͸Ψε͔Βʮ޲͔͍෩ʯΛड͚ͯ‫ݮ‬଎͞Εಈ‫ʹ޲ํܘ‬Ҡಈ͢Δ͜ͱʹͳΔ.

18

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

͜͜Ͱཚྲྀ೪ੑͷޮՌΛද͢ύϥϝʔλͱͯ͠vis ≡ −1 fvis,ϕη v K ΩK

Λಋೖ͢Δͱ, ࣜ (3.30) ͱࣜ (3.32) Λ୅ೖ͠߹͏͜ͱͰ
⎧⎪⎪ vr − Vr = − (1 + cp ) − vis τs 2η vK⎪⎨
τs + (1 + cp )2 τs −1⎪
τs + (1 + cp )vis
⎪


⎪
η vK
⎩ vϕ − V ϕ =τs + (1 + cp )2 τs −1(3.34)(3.35)(3.36)

ͱͳͬͯ, ͞ΒʹͦΕͧΕࣜ (3.31),(3.33) Λ༻͍Δ͜ͱͰ, ݁‫ہ‬, Ψεͱμετͷऴ୺଎౓ͷ֤੒෼͸⎧cp − [τs + (1 + cp )τs −1 ]vis⎪⎪=
2 η vKV⎪r⎪⎪
τs + (1 + cp )2 τs −1⎪⎨[τs + (1 + cp )τs −1 ] + cp vis
Vϕ = −
η vK
⎪
2 −1
⎪
τ
+
(1
+
c
)
τ
⎪
s
p
s
⎪
⎪
⎪
⎩
Vz = 0⎧1 + (1 + cp )vis τs −1⎪⎪=−
2 η vKv⎪
r⎪⎪τs + (1 + cp )2 τs −1⎪⎨(1 + cp )τs −1 − visvϕ = −
η vK⎪⎪
τs + (1 + cp )2 τs −1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
vz = −ΩK τs z ɹɹ(3.37)(3.38)

ͱ‫ٻ‬ΊΒΕΔ.
೪ੑ߲͕ࣜ (3.37),(3.38) ʹ͓͍ͯՌͨ͢ޮՌʹ͍ͭͯධՁ͓ͯ͜͠͏. α Ϟσϧͷཚྲྀ೪ੑ (2.6)Λ༻͍Δͱಈ೪ੑ܎਺͸ ν = αcs,g 2 /ΩK ͱද͞ΕΔͷͰ, ࣜ (3.14) ΑΓfvis,ϕ =

∂
3
r
1 1 ∂
3 νΩK
(− r2 ρg νΩK ) = −(ρg νr1/2 )2
1/2
ρg r ∂r 2
2 r ρg ν r ∂r

= −3 νΩK ∂ ln(ρg ν r1/2 )2 r∂ ln r

(3.39)

ͱͳͬͯ, vis ͸cs,g 2 1 ∂ ln(ρg ν r1/2 )3 ν 1 ∂ ln(ρg ν r1/2 )= 3α
2 r η vK
∂ ln r2vK η vK
∂ ln r


−1 
1/2
∂ ln Pg∂ ln(ρg ν r )
= −3α
∼ α
∂ ln r∂ ln r






vis =−O(1)(3.40)

O(1)ͱॻ͚Δ. ͜ΕΑΓ vis ͸ α ύϥϝʔλ΄Ͳͷ஋͔࣋ͨ͠ͳ͍ͨΊ, ཚྲྀ೪ੑͷޮՌ͸খ͍͜͞ͱ
͕Θ͔Δ (ཻ‫͕ܘ‬খ͍͞ τs < vis ͷ৔߹͸, ͦ΋ͦ΋෼฼ͷ τs −1 ͕ޮ͍ͯυϦϑτ଎౓͸े෼খ
͍͞).

19

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

Ҏ্ΑΓ ρp /ρg  1 ͓Αͼ vis  1 Λ༻͍ͯࣜ (3.37),(3.38) ͸ۙࣅతʹ⎧⎪ρp 2η vK3ν ∂ ln(ρg ν r1/2 )
⎪
⎪

−
V
r
⎪
⎪
ρg τs + τs −1r∂ ln r⎨(3.41)

Vϕ  −η vK
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩V z = 0⎧
2 η vK⎪vr  −⎪⎪⎪
τs + τs −1⎨
η vKvϕ  −⎪1+ τs 2⎪⎪⎪⎩vz = −ΩK τs z ɹ(3.42)
ɹͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. έϓϥʔ଎౓ΑΓ΋ η vK ͚ͩ஗͘ճస͢ΔΨεʹҾ͖ͣΒΕΔ͜ͱͰ, μετͷެస଎౓͸஗͘ͳΓ, ཚྲྀ͕ͳ͍৔߹Ͱ͋ͬͯ΋μετ͸ r ํ޲ʹυϦϑτ͢Δ͜ͱ͕Θ͔
Δ. μετ͕খ͘͞ τs  1 ͷ৔߹, Ψε఍߅ʹΑΓμετ͸Ψεͱಉ͡଎౓Ͱճసͤ͞ΒΕ, ֯ӡಈྔΛࣦͬͯ r ํ޲ʹམԼ͠Α͏ͱ͢Δ͕, ͦͷམԼ΋·ͨΨε఍߅Ͱ๦͛ΒΕΔͨΊ, ݁‫ہ‬, Ώͬ͘Γͱ͔͠μετ͸υϦϑτ͢Δ͜ͱ͕ग़དྷͳ͍. ͜Εʹରͯ͠, μετ͕େ͖͘ͳͬͯ τs > 1 ͕੒ΓཱͭΑ͏ʹͳΔͱ, Ψε఍߅͸ޮ͖ʹ͘͘ͳΓ, ΑΓέϓϥʔճసʹ͍ۙ଎౓Ͱճస͢Δ͜ͱʹͳͬͯυϦϑτ଎౓͸খ͘͞ͳΔ. υϦϑτ͕࠷΋଎͘ͳΔͷ͸, ੍ಈ͕࣌ؒͪΐ͏Ͳ τs = 1 ͷͱ͖Ͱ͋Δ 7 . ۩ମతʹΤϓελΠϯଇ (3.8) Λ༻੍͍ಈ࣌ؒΛԁ൫੺ಓ໘ͰධՁͨ͠৔߹, ཻ‫ ܘ‬R͕

R1 ≡ r −3/2
π Hg ρg,c 2.1 × 102
[cm]
8 ρs
3AU

(3.44)

ͷͱ͖ʹμετͷυϦϑτ଎౓͸ϐʔΫ (vr = −η vK ) Λܴ͑Δ͜ͱʹͳΔ.

0.0100im
it

0.00700.0050vz = −ΩK τs z Ͱ੺ಓ໘΁ͱ௜఼͍ͯ͘͠.
͔͜͠͠ͷ௜఼଎౓͸, ཚྲྀͷయ‫ܕ‬తͳ଎elτͷৼಈӡಈ͸ա‫ݮ‬ਰͱͳͬͯऴ୺଎౓

tRz ํ޲ʹؔͯ͠͸, τs  1 ͷ৔߹, με

0.0030
20

Ep

s

n
tei

dra

gl

aw

~Mean free path (9 lg /4)

Τs  130

7υϦϑτ଎౓ vr ͕࠷େʹͳΔͷ͸

50

70

100

Τs  1
150

200

300

R[cm]

౓ αcs,g ʹରͯ͠

vz
τs z
=
αcs,g
α Hg

Τs = 1gh੕ʹམͪͯ͠·͏‫ੵݟ‬΋ΓͰ͋Δ.

es
dr
ag

0.0150St
okτϧαΠζͷμετ͸ 100 ೥΄ͲͰத৺vr [AU/year]

0.0200Hi

η vK ∼ 0.01 [AU/year] Ͱ͋Δ͔Βϝʔlaw

0.0300ਤ 3.1: r ํ޲ͷυϦϑτ଎౓ (r = 3AU)(3.45)∂vr
1 − τs 2= 2η vK=0∂τs(1 + τs 2 )2ΑΓ τs = 1 Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ.

20(3.43)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

Ͱ͋ΔͨΊ, μεταΠζࣗମ͕େ͖͘ͳΔ͔ཚྲྀ͕ਰ͑ͯ τs > α ͱͳΒͳ͍‫ݶ‬Γ, ΨεͷεέʔϧϋΠτ Hg ΑΓԼʹ͸΄ͱΜͲ௜఼Ͱ͖ͳ͍. α = 0.01 ͱ͢ΔͳΒ͹, cm αΠζʹຬͨͳ͍μετͷ z ํ޲ͷ௜఼͸‫͜ى‬Γʹ͍͘ͱ͍͏͜ͱʹͳΔ.
ཚྲྀ͕ͳ͘ͱ΋μετ͸ r ํ޲ʹམԼͰ͖Δͷʹରͯ͠, Ψε͸ ν = 0 ͷ৔߹μετͷυϦϑτ
ͷ൓࡞༻Λड͚ͯ֎ଆʹ޲͔ͬͯҠಈ͢Δ. ཚྲྀ͕͋Δ৔߹͸, ͦͷ֎޲͖ͷ଎౓ͱ಺޲͖ͷ߱ண଎౓ͷ࿨ͰΨεͷӡಈ͸ܾ·Δ͜ͱʹͳΔ (ࣜ (3.41) ͷୈ 1 ࣜ).

3.3

֦ࢄ

‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͓͚Δμετཻࢠͷ֦ࢄ‫ݱ‬৅ʹ͍ͭͯߟ͑Δ. ͜͜Ͱ‫͏ݴ‬μετཻࢠͷ֦ࢄӡಈͱ͸Ψεͷཚྲྀʹ‫ى‬Ҽ͢Δ΋ͷͰ͋Δ. લষͰ‫ͨݟ‬Α͏ʹ, Ψεͱμετ͸఍߅ʹΑͬͯ૬‫ޓ‬࡞༻͠߹͍ͬͯΔͨΊ, ཚྲྀԼʹ͋ΔΨε෼ࢠ͔Β఍߅ଇΛ௨ͯ͡༳ಈྗ (random force) ͕μετཻࢠʹ఻Θ֦ͬͯࢄ͕‫͜ى‬Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ͔͠͠, μεταΠζ͕େ͖͘ͳΔʹͭΕͯΨε఍߅͸ޮ͖ʹ͘͘ͳΔ. ͢ͳΘͪ, μετͷ੒௕ʹ൐ͬͯΨεͱμετͷΧοϓϦϯά͕খ͘͞ͳͬͯμετཻࢠͷ֦ࢄ͸࣍ୈʹམͪண͍͍ͯ͘. ҎԼͰ͸͜ͷ͜ͱΛ, प‫ظ‬తͳ‫ي‬ಓৼಈ (ΤϐαΠΫϦοΫৼಈ͓ΑͼԖ௚ৼಈ) Λ͍ͯ͠Δμετཻࢠʹ֬཰తͳྗ͕ՃΘΔ΋ͷͱͯ͠, ϥϯδϡόϯํఔࣜ (Langevin equation) ΛϑʔϦΤղੳ͢Δํ๏Ͱ࿦͍ͯ͘͡ [10]. ͨͩ͠, ԁ൫ͷಈ‫ ܘ‬r ͓Αͼ֯౓ ϕ ํ޲ͷӡಈͱԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ͷӡಈ͸ಠཱͯ͠‫͜ى‬Δ΋ͷͱͯ͠໘಺ (r, ϕ ํ޲) ͱ໘֎ (z ํ޲) ͰͦΕͧΕผʑʹμετཻࢠͷ֦ࢄΛٞ࿦͢Δ͜ͱʹ͢Δ (࣠ରশͱ͢ΔͷͰ,݁‫ہ‬, ֦ࢄࣗମ͸ͧΕͧΕಈ‫ ܘ‬r ํ޲ͱԖ௚ z ํ޲ͷ 1 ࣍‫ݩ‬తͳӡಈͱ‫͠ͳݟ‬ѻ͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ).

3.3.1

ίϧϞΰϩϑཚྲྀ͜͜Ͱ͸ԁ൫಺ʹଘࡏ͢ΔཚྲྀΛίϧϞΰϩϑཚྲྀ (Kolmogorov turbulent) ʹରԠ͢Δ΋ͷͱ
ղऍ͢Δ. ίϧϞΰϩϑཧ࿦ʹ͓͚ΔӔͷಛੑ࣌ؒ (ཚྲྀมಈͷ૬ؔ࣌ؒ) Λ teddy ͱ͢Δͱ (‫ࣜܗ‬తʹ͸ࣜ (3.55) Ͱఆٛ͞ΕΔ)8 , ཚྲྀதͷΨεͷ଎౓ ug ͷ࣌ؒ૬ؔؔ਺ Eg (t) ≡ ug (t)ug (0) ͸

Eg (t) = Eg (0)e−|t|/teddy = ug 2 e−|t|/teddy(3.46)

ͷΑ͏ʹ࣌ఆ਺ teddy Ͱ૬͕ؔࢦ਺‫ݮ‬ਰ͢Δ‫͕ͱ͘͜ॻͯ͠ͱܗ‬ग़དྷΔ. ͨͩ͠, ༳Β͗͸ఆৗͰ
͋Δͱͯ͠ ug (t + t0 )ug (t0 ) ͸ t0 ʹґΒͳ͍΋ͷͱ͠, Eg (0) = ug 2  ͸ཚྲྀΨεͷ଎౓ͷ 2 ৐ฏ‫ۉ‬Λද͍ͯ͠Δ 9 . ύϫʔεϖΫτϧ Êg (ω) ͸, ΢ΟʔφʔɾώϯνϯͷఆཧΑΓ࣌ؒ૬ؔؔ਺ͷϑʔϦΤม‫ ׵‬10 ͱͯ͠ॻ͚ΔͷͰ
8Ϧνϟʔυιϯͷඳ૾Ͱ͸, Χεέʔυ (cascade) աఔ͸େ͖ͳӔ͔Βখ͍͞Ӕ΁ͷ࿈ଓ͢Δ่յͱͯ͠આ໌͞Ε,่֤յͷಛ௃త࣌ؒ͸ʮeddy turnover timeʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ. ҰํͰίϧϞΰϩϑඳ૾Ͱ͸, ͋Δେ͖͞ͷӔͷΤωϧΪʔ
͕ͳ͘ͳΔ࣌ؒ (Ӕͷण໋) ͋Δ͍͸Ӕͷม‫ͯ͠ͱؒ࣌ܗ‬ಛੑ࣌ؒΛߟ͑Δ. ίϧϞΰϩϑཧ࿦ʹ‫ͮ͘ج‬ಛੑ࣌ؒ teddy͸Ϧνϟʔυιϯඳ૾ʹ͓͚Δ eddy turnover time ͱཧղ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ.
9ຊߘͰ͸ X ͸ X ͷΞϯαϯϒϧฏ‫ۉ‬, X ͸ X ͷ࣌ؒฏ‫ۉ‬Λද͢΋ͷͱ͍ͯ͠Δ.
10ຊߘͰ͸ϑʔϦΤม‫͓׵‬ΑͼϑʔϦΤ‫ٯ‬ม‫׵‬Λ, ͦΕͧΕ࣍ͷΑ͏ʹఆٛͯ͠༻͍͍ͯΔ.
 ∞
 ∞
1
fˆ(ω) =fˆ(ω)eiωt dω
(3.47)
f (t)e−iωt dt
f (t) =
2π −∞
−∞

21

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）∞

Êg (ω)=−∞ɹ=Eg (t)e−iωt dt∞

ug 2 

2e−t/teddy cos ωt dt

0

ug 2 

=2teddy=1 + ω 2 teddy 2

ug 2 P̂ (ω)(3.48)

ͱͳͬͯ, ϩʔϨϯπ‫ܕ‬ͷύϫʔεϖΫτϧͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜͜Ͱ P̂ (ω) ≡ 2teddy /(1 +t

ω 2 teddy 2 ) Ͱ͋Δ. ΨεཁૉͷҐஔ͸ xg (t) = x(0) +ug (τ )dτ ͱॻ͚ΔͷͰ, Ψεʹؔ͢Δ֦ࢄ
0

܎਺͸



|xg (t)|2 
1= lim
Dg ≡ limt→∞t→∞ 2t2tt|xg (0)|  + 2
2

t

x(0)ug (τ )dτ + |0
ug (τ )dτ | 
2(3.49)

0ͱͳΔ. ୈ 2 ߲ͷ xg (0)ug (τ ) ʹ͍ͭͯ͸, ॳ‫ظ‬ҐஔͱͦΕҎ߱ͷ࣌ࠁ τ > 0 ʹ͓͚Δ଎౓༳Β͗tʹ૬͕ؔͳ͍΋ͷͱͯ͠ 0 ͱͰ͖Δ. Ұํ, ୈ 3 ߲ͷ |ug (τ )dτ |2  ʹؔͯ͠͸

0
t

|

t

ug (τ )dτ |2  =

t

dτ1

0

0

=

dτ2 ug (τ1 )ug (τ2 )
0

t

τ1

dτ1
0

0
t

τ1

dτ1

= 2

t

dτ2 Eg (τ1 − τ2 ) +

t

dτ1


0

τ1

dτ2 Eg (−(τ1 − τ2 ))(‫٭‬஫ 11)dτ2 Eg (τ1 − τ2 )(3.50)00ͷΑ͏ʹ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͜͜Ͱ τ  ≡ τ1 − τ2 ͱม਺ม‫͢׵‬Δ͜ͱͰt|tug (τ )dτ |2  = 2

τ1

dτ1
0

0

t

dτ  Eg (τ  ) = 2
0



t

dτ 

τ

0

t

dτ1 Eg (τ  ) = 2dτ  (t − τ  )Eg (τ  )0

ɹ
(3.52)(‫٭‬஫ 12)ΛಘΔ. ͜ΕΛࣜ (3.49) ʹ୅ೖ͢Δͱ
1|xg (0)|2  + 2
Dg = limt→∞ 2tͱͳͬͯ, ͞ΒʹϑʔϦΤ‫ٯ‬ม‫ ׵‬Eg (τ  ) =Dg11ੵ෼ͷॱংΛަ‫͢׵‬Δͱ
 t

t









∞

dτ (t − τ )Eg (τ ) =0Eg (τ  )dτ 

∞

1
2π

−∞



dω Êg (ω)eiωτ Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰ

∞
∞
1

dτ 
dω Êg (ω)eiωτ
2π 0
−∞
1
Êg (0) = ug 2 teddy
=
2
ɹ ɹ

=

 t
 τ2
dτ2 Eg (−(τ1 − τ2 )) =dτ2dτ1 Eg (−(τ1 − τ2 ))
0
0
τ1
 t
 τ1 0dτ1ͱͰ͖ͯ (ਤ 3.2), จࣈ τ1 ͱ τ2 ΛೖΕସ͑Δͱ
dτ2 Eg (τ1 − τ2 ) ΛಘΔ.
ಉ͘͡ੵ෼ॱংͷަ‫׵‬ΑΓ

0

 t

 τ1
dτ1

ͱͳΔ (ਤ 3.3).

(3.55)

 t

τ1

12

(3.54)

00

(3.51)0 tdτ Eg (τ ) =

dτ
0

0

22



 t
τ

dτ1 Eg (τ  )(3.53)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）∞
1

eiωτ dτ  Λ༻͍ͨ (΋ͪΖ
2π −∞Μࣜ (3.54) ʹ௚઀ ࣜ (3.46) Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰ΋ಉ݁͡Ռ͕ಘΒΕΔ). ؔ܎ࣜ (3.55) ͸, ཚྲྀͷΧ͕ಋ͔ΕΔ. ͨͩ͠, ͜͜Ͱσϧλؔ਺ͷϑʔϦΤද‫ ݱ‬δ(ω) =εέʔυաఔʹ͓͍ͯ஫ೖ͞ΕΔΤωϧΪʔͱࢄҳࣦͯ͠ΘΕΔΤωϧΪʔͷόϥϯεΛද͢‫ܗ‬ʹͳ͍ͬͯΔ (෇࿥ E ͷࣜ (E.11) Ͱ ug 2  → kB T /mp , γp → 1/teddy ͱͨ͠΋ͷͱରԠ͍ͯ͠Δ).
 













ਤ 3.2: ੵ෼ॱংͷަ‫( ࣜ[ ׵‬3.51)]

3.3.2


  



ਤ 3.3: ੵ෼ॱংͷަ‫( ࣜ[ ׵‬3.53)]ಈ‫ࢄ֦޲ํܘ‬ΤϐαΠΫϦοΫৼಈ͢ΔμετཻࢠʹཚྲྀͷΑΔ༳ಈྗ͕ՃΘΔ͜ͱΛߟ͑Δ. ͜͜Ͱ͸, ‫ݪ‬఺ O ͕ճస֯଎౓ ΩK Ͱέϓϥʔԁӡಈ͢ΔΑ͏ͳσΧϧτ࠲ඪ‫ͳ͢ܥ‬Θͪ Hill ࠲ඪ‫෇( ܥ‬࿥ D)Λ༻͍ͯμετཻࢠͷӡಈΛ‫ه‬ड़͢Δ. ͨͩ͠, z ํ޲ͷӡಈ͸෼཭ͯ͠ߟ͑ΔͨΊ, ͜͜Ͱ͸‫ݪ‬఺ O ʹର͢ΔμετͷҐஔΛ (xp , yp ) ͱද͢Α͏ͳ 2 ࣍‫ ݩ‬Hill ࠲ඪΛுΔ͜ͱʹ͢Δ. xp , yp ͸ͦΕͧΕ, ‫ ఺ݪ‬O ͔ΒଌͬͨμετཻࢠͷҐஔͷಈ‫޲ํܘ‬੒෼ͱ֯౓ํ޲੒෼Ͱ͋Δ. ͜ͷ࠲ඪ‫Ͱܥ‬͸έϓϥʔճస͢Δμετཻࢠͷӡಈ͸, x, y ํ޲ʹৼಈ਺ ΩK Ͱৼಈ͠, y ํ޲ʹؔͯ͠͸ͦͷৼಈʹՃ͑ͯ଎౓ vshear = −(3/2)ΩK xp Ͱ֯౓ํ޲ʹগͣͭͣ͠Ε͍ͯ͘γΞӡಈΛ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ৼಈ੒෼ʹண໨͢ΔͨΊ, μετཻࢠͷ଎౓͸⎧⎨up = ẋp⎩v = ẏ + 3 Ω x
p
p
K p
2

(3.56)

ͷΑ͏ʹ֯౓ํ޲ʹؔͯ͠͸γΞ଎౓ vshear ʹରͯ͠ଌͬͨ΋ͷͱͯ͠ఆٛ͢Δ. ͜ͷͱ͖, Ψεཁૉ͔Β΋ͨΒ͞ΕΔ༳ಈྗΛՃ͑ͨӡಈํఔࣜ͸⎧up − u g⎪⎪⎨u̇p = 2ΩK vp − t
stop
u
Ω
v
⎪
p − vgK p⎪−⎩v̇p = −2
tstop(3.57)

ͷΑ͏ʹॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ (ࣜ (D.3),(D.4) ࢀর). ͦΕͧΕϑʔϦΤ‫ٯ‬ม‫׵‬ͷࣜΛ୅ೖ͠, ·ͱΊΔͱ⎧(1 + i νs )ûg + 2τs v̂g⎪⎪⎪⎨ûp = τ 2 + (1 + i ν )2ss⎪−(τs /2)ûg + (1 + i νs )v̂g⎪⎪⎩v̂p =
τs 2 + (1 + i νs )223(3.58)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱͳΔ. ͜͜Ͱ τs ≡ ΩK tstop , νs ≡ ωtstop Λಋೖͨ͠. ͜ΕΑΓ |ûp |2 , |v̂p |2 , (ûp v̂p∗ + û∗p v̂p )/2 Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱ⎧ûg v̂g∗ + û∗g v̂gi νs (ûg v̂g∗ − û∗g v̂g )
1
⎪
2
2
2
2
2
⎪
ɹɹɹ
(3.59)(1 + νs )|ûg | + 4τs |v̂g | + 4τs+ 4τs|ûp | =⎪⎪k(νs )
2
2
⎪
⎪
⎪
 2

⎨
ûg v̂g∗ + û∗g v̂gi νs (ûg v̂g∗ − û∗g v̂g )
τs
1
2
2
2
2
|v̂ | =|ûg | + (1 + νs )|v̂g | − τs+ τsɹɹɹ (3.60)⎪ pk(νs ) 4
2
2
⎪
⎪


⎪
⎪
ûg v̂g∗ + û∗g v̂g⎪ ûp v̂p∗ + û∗p v̂p
1
τs
2
2
2
2
⎪
⎩
=
− |ûg | + 2τs |v̂g | + (1 − τs + νs )(3.61)
2k(νs )
22
ΛಘΔ. ͨͩ͠
2k(νs ) ≡ (1 + τs 2 + νs 2 ) − 4τs 2 νs 2

(3.62)

ͱఆٛͨ͠. ҎԼ, Ψεͷ଎౓૬ؔؔ਺ΛEg(x) (t) ≡ ug (t)ug (0) ɹ, ɹ Eg(y) (t) ≡ vg (t)vg (0) ɹ, ɹ Eg(xy) (t) ≡ ug (t)vg (0)(3.63)

ͱ͠, μετཻࢠͷ଎౓૬ؔؔ਺ʹ͍ͭͯ΋ಉ༷ʹఆٛ͢Δ.
࣍ʹ, μετཻࢠʹؔͯ͠ûp v̂p∗ + û∗p v̂p |ûp |2 |v̂p |2 ɹ, ɹÊp(y) = lim
ɹ, ɹÊp(xy) = lim
T →∞
T →∞
T →∞
T
T
2T

Êp(x) = lim(3.64)

Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱΛߟ͑Δ. ࣜ (3.59),(3.60),(3.61) ͷͦΕͧΕͷୈ 3 ߲ (ûg v̂g∗ + û∗g v̂g )/2 ͸ûg v̂g∗ + û∗g v̂g
2

1
2

=

∞

∞

−∞
∞

=
−∞

dt1

dt1

−∞
∞

−∞



dt2 ug (t1 )vg (t2 ) eiω(t1 −t2 ) + e−iω(t1 −t2 )dt2 ug (t1 )vg (t2 ) · cos[ω(t1 − t2 )](3.65)

Ͱ͋Γ, ͜ͷ྆ลͷฏ‫ۉ‬ΛऔΔͱ

ûg v̂g∗ + û∗g v̂g 
=
2

∞
−∞

∞

dt1

−∞

dt2 Eg(xy) (t1 − t2 ) · cos[ω(t1 − t2 )](3.66)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔҰํͰ, ࣜ (3.59),(3.60) ʹ‫ݱ‬ΕΔ i νs (ûg v̂g∗ − û∗g v̂g )/2 ʹ͍ͭͯ͸i νs (ûg v̂g∗ − û∗g v̂g )
2

=

i νs
2
∞

=
−∞

=

∞
−∞

∞

dt1

−∞
T /2

lim



dt2 ug (t1 ) vg (t2 ) e−iω(t1 −t2 ) − eiω(t1 −t2 )∞dt1

T →∞ −T /2−∞

dt2 ug (t1 ) vg (t2 ) · νs sin[ω(t1 − t2 )]
T /2

dt1

−T /2

dt2 ug (t1 ) vg (t2 ) · νs sin[ω(t1 − t2 )](3.67)ΑΓ ͦͷฏ‫ۉ‬͸i νs ûg v̂g∗ − û∗g v̂g 
2

T /2

=
=

lim

T →∞ −T /2
T /2

lim

T →∞ −T /2

T /2

dt1
dt1

−T /2
T /2
−T /2

dt2 ug (t1 ) vg (t2 ) · νs sin[ω(t1 − t2 )]dt2 Eg(xy) (t1 − t2 ) · νs sin[ω(t1 − t2 )] ɹɹɹ(3.68)

24

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱͳΔ. ͜Ε͸ τ ≡ t1 − t2 ͱม਺ม‫͢׵‬Ε͹i νs ûg v̂g∗ − û∗g v̂g 
= lim
T →∞
2
ͱͰ͖Δ͕, F (t1 ) ≡t1 +T /2
t1 −T /2

F (t1 ) + F (−t1 ) =

T /2
−T /2



t1 −T /2dτ Eg(xy) (τ ) · νs sin ωτ

(3.69)≡F (t1 )dτ Eg(xy) (τ ) · νs sin ωτ ͷඃੵ෼ؔ਺͸‫ͳ਺ؔح‬ͷͰ
t1 +T /2

0

dτ +


t1 +T /2

dt1

t1 −T /2dτ +−t1 −T /2−(t1 −T /2)=

t1 +T /2dτ +t1 −T /2

dτ +

0



−t1 +T /20dτ0Eg(xy) (τ ) · νs sin ωτEg(xy) (τ ) · νs sin ωτ = 0dτ−(t1 +T /2)(3.70)͢ͳΘͪ, F (t1 ) = −F (−t1 ) ͷΑ͏ʹ F (t1 ) ࣗ਎΋‫͋Ͱ਺ؔح‬Γ, ݁‫ہ‬i νs ûg v̂g∗ − û∗g v̂g 
= lim
T →∞
2
(x)

(y)

T /2
−T /2

dt1 F (t1 ) = 0(3.71)(xy)

ͱͳΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. Ҏ্ͷ͜ͱ͔Β, Êp , Êp , Êp ͸ͦΕͧΕࣜ (3.59),(3.60),(3.61) ΑΓ
⎧

1 
(x)
(x)
(xy)
2
2 (y)
⎪
⎪
(1
+
ν
Ê
Ê
=
)
Ê
+
4τ
+
4τ
Ê
s
s
s
p
g
g
g
⎪
⎪
k(νs )⎪⎪⎪⎨τs 2 (x)
1
(y)
(y)
(xy)
2
(3.72)
Ê + (1 + νs )Êg − τs Êg=Êp⎪k(νs ) 4 g
⎪
⎪
⎪

⎪
1  τs (x)⎪⎪⎩Êp(xy) =− Êg + 2τs Êg(y) + (1 − τs 2 + νs 2 )Êg(xy)k(νs )
2
ͱද͞ΕΔ. ͞ΒʹίϧϞΰϩϑཚྲྀΛԾఆ͠, ࣜ (3.48) Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰ
⎧

1 
⎪
(1 + νs 2 ) ug 2  + 4τs 2 vg 2  + 4τs ug vg  P̂ (νs )Êp(x) =⎪⎪⎪k(νs )
⎪
⎪
⎪
⎪

 2
⎨
τs
1
(y)
2
2
2
ug  + (1 + νs ) vg  − τs ug vg  P̂ (νs )Ê=⎪ pk(νs ) 4
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪ (xy)
1  τs⎪⎩ Êp =− ug 2  + 2τs vg 2  + (1 − τs 2 + νs 2 ) ug vg  P̂ (νs )k(νs )
2(3.73)(3.74)(3.75)͕ಘΒΕΔ. ͨͩ͠ St ≡ tstop /teddy (Stokes number) Ͱ͋ΓP̂ (νs ) ≡2teddy St 2
St 2 + νs 2

(3.76)

ͱͨ͠. Ҏ্ͷࣜ (3.73),(3.74),(3.75) Λৼಈ਺ ω = νs /tstop Ͱੵ෼͢Δ͜ͱͰ, ͦΕͧΕ up 2 ,

vp 2 , up vp  ͕‫ٻ‬ΊΒΕΔ. ࠓճͷ৔߹͸, ‫ج‬ຊతʹ͸શͯཹ਺ఆཧΛ༻͍ͯੵ෼͸‫͖Ͱࢉܭ‬Δ.
ҎԼ, ͦͷ‫ࢉܭ‬Λߦ͏. k(νs ) = (νs 2 − 2τs νs + 1 + τs 2 )(νs 2 + 2τs νs + 1 + τs 2 ) ΑΓ 1/k(νs ) ͷʮ‫( ۃ‬Pole)ʯ͸⎧⎨ν = τ + i , ν = τ − i1s2s⎩ν3 = −τs + i , ν4 = −τs − i

Ͱ͋Γ,

25

(3.77)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）⎧⎨ν = i St
5⎩ν6 = −i StҰํ P̂ (νs ) ͷ‫ۃ‬͸

(3.78)
ν

ͱͳΔ. ͜ΕΑΓ, Ҏ্ͷ‫ ܭ‬6 ͭͷ‫ۃ‬ͷதͰ Im[νs ] > 0 ͷ΋ͷʹؔͯ͠͸ ν1 , ν3 , ν5 ͷ 3 ͭͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ੵ෼࿏Λෳૉฏ໘ͷ্൒໘ʹऔΕ͹, ͜ͷ 3 ͭͷ‫ʹۃ‬ର͢Δཹ਺‫ࢉܭ‬͸࣍ͷΑ͏ʹߦ͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ.

I1∞
P̂ (νs )P̂ (νs )
1 1
dω =
dνs
2π tstop −∞ k(νs )−∞ k(νs )P̂ (νs )1 1· 2πi Res + Res + Res
ν
=ν
ν
=ν
ν
=ν
2π tstopk(νs )
s
s
s
1
3
5

1
i
P̂ (ν1 )tstop (ν1 − ν2 )(ν1 − ν3 )(ν1 − ν4 )
1
1 2 teddy St 2P̂ (ν3 ) ++(ν3 − ν1 )(ν3 − ν2 )(ν1 − ν4 )k(ν5 ) ν5 − ν6
1 2 + St·
(3.79)
K
2

1
2π

≡
=
=
ɹ

=

I2

≡
=
=
ɹ

=
ɹ

I3

≡
=
=
ɹ

=

τ
ν


ν 


ν 

ν
τ



ν

∞

ਤ 3.4: ੵ෼࿏∞P̂ (νs )P̂ (νs )1 1(1 + νs 2 ) dω =(1 + νs 2 ) dνs
k(ν
)
2π
t
k(ν
)
s
stop
s
−∞
−∞


P̂ (νs )1 1(1 + νs 2 )· 2πi Res + Res + Resνs =ν1νs =ν3νs =ν5 k(νs )2π tstop
1 + ν1 2
iP̂ (ν1 )tstop (ν1 − ν2 )(ν1 − ν3 )(ν1 − ν4 )

1 + ν3 2
1 + ν5 2 2 teddy St 2P̂ (ν3 ) ++(ν3 − ν1 )(ν3 − ν2 )(ν1 − ν4 )k(ν5 ) ν5 − ν6



2
τs
1
1 + St 1 +
K
2

1
2π

∞

(3.80)∞P̂ (νs )P̂ (νs )1 1(1 − τs 2 + νs 2 ) dω =(1 − τs 2 + νs 2 ) dνs
2π tstop −∞ k(νs )−∞ k(νs )P̂ (νs )1 1(1 − τs 2 + νs 2 )· 2πi Res + Res + Res
ν
=ν
ν
=ν
ν
=ν
2π tstopk(νs )
s
s
s
1
3
5

1 − τs 2 + ν 1 2iP̂ (ν1 )tstop (ν1 − ν2 )(ν1 − ν3 )(ν1 − ν4 )

1 − τs 2 + ν3 2
1 − τs 2 + ν5 2 2 teddy St 2P̂ (ν3 ) ++(ν3 − ν1 )(ν3 − ν2 )(ν1 − ν4 )k(ν5 )
ν5 − ν6
1(1 + St − τs 2 )(3.81)
K

12π∞ͨͩ͜͜͠Ͱ,K ≡ (1 + τs 2 )[(1 + St)2 + τs 2 ]
Ͱ͋Δ.

26

(3.82)



《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

Ҏ্ΑΓ up 2 , vp 2 , up vp  Λ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷͯ
⎧
∞
1
⎪
2
⎪
Êp(x) dω = I2 ug 2  + 4τs 2 I1 vg 2  + 4τs I1 ug vg 

=
u
⎪
p
⎪
2π
⎪
−∞
⎪




⎪
⎪
2
⎪
1
τ
s
⎪
2
2
2
⎪
=
(3.83)
1 + St 1 +ug  + 2τs (2 + St) vg  + 2τs (2 + St) ug vg  ɹɹɹ
⎪
⎪
K
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∞
⎪
⎪
1
τs 2
⎪
2
⎪
I1 ug 2  + I2 vg 2  − τs I1 ug vg Êp(y) dω =⎨ vp  =
2π −∞
4





⎪
1 τs 2 (2 + St)
τs 2
τs (2 + St)
⎪
2
2
⎪
=
ug  + 1 + St 1 +vg  −
ug vg  ɹɹ (3.84)
⎪
⎪
K
8
2
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∞
⎪
1
τs
⎪
⎪
⎪
Êp(xy) dω = − I1 ug 2  + 2τs I1 vg 2  + I3 ug vg 
v

=
u
p p
⎪
⎪
2π
2
⎪
⎪

−∞
⎪
⎪
1
τs (2 + St)
⎪
2
2
2
⎪
ug  + τs (2 + St) vg  + (1 + St − τs ) ug vg  ɹɹ
(3.85)=−⎩
K
4
ͱͳΔ. ͜ΕͰ up , vp ͷ 2 ৐ฏ‫͓ۉ‬Αͼ૬͕ؔ‫ٻ‬ΊΒΕͨ. ֦ࢄ܎਺ʹ͍ͭͯ͸ࣜ (3.55) ͱಉ༷ʹ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷͯ, ಛʹಈ‫޲ํܘ‬ͷ֦ࢄ܎਺͸ࣜ (3.73) ΑΓug 2  + 4τs 2 vg 2  + 4τs ug vg 1
Dp(x) = Êp (0) = teddy
2(1 + τs 2 )2ͱ‫ٻ‬ΊΒΕΔ. ͜ͷࣜ (3.83),(3.84),(3.85),(3.86) ͷੑ࣭ʹ͍ͭͯ, τs  1 ͓Αͼ τs(3.86)
1 ͱ͍͏ 2ͭͷ‫ݶۃ‬ΛͱΔ͜ͱʹΑͬͯௐ΂ͯΈΔ͜ͱʹ͢Δ. ·ͣ τs  1, ͢ͳΘͪ, ΨεͱμετͷΧο
ϓϦϯά͕‫ݶۃ͍ڧ‬ΛͱΔͱ, ͜ͷͱ͖

vp 2 
up vp up 2 
1
=
=
=
2
ug 
vg 2 
ug v g 
1 + St(3.87)

Dp(x) = up 2 teddy(3.88)

ͱͳͬͯ, orbital eﬀect ͷແ͍‫ͱݶۃ‬Ұக͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δ 13 . ͜Ε͸ΨεͱͷΧοϓϦϯά͕‫ڧ‬
͗ͯ͢μετཻࢠͷΤϐαΠΫϦοΫӡಈ͕ޮ͔ͳ͍͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δ.
13

ΤϐαΠΫϦοΫৼಈ, ͋Δ͍͸, ༳ಈྗҎ֎ͷ֎ྗ͕ͳ͍৔߹ʹ͍ͭͯߟ͑Δ. ͜ͷ৔߹΋ಉ༷ͷखଓ͖Ͱμετཻࢠͷ଎౓ͷ 2 ৐ฏ‫ۉ‬Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ཚྲྀԼʹ͋Δμετཻࢠʹ੒Γཱͭӡಈํఔࣜu̇p = −

up
ug
+
tstop
tstop

(3.89)|ûg |2
1 + νs 2(3.90)

ʹϑʔϦΤ‫ٯ‬ม‫׵‬ͷࣜΛ୅ೖ͢Δͱ|ûp |2 =͕ಘΒΕΔ (νs ≡ ωtstop ). ͜ΕΑΓύϫʔεϖΫτϧ͸ Êp (ω) = Êg (ω)/(1 + ω 2 tstop 2 ) Ͱ͋Γup 2  =

1
2π

 ∞
−∞

Êp (ω) dω =1 ug 2 
2π tstop ∞P̂ (νs )dνs1+ νs 2−∞(3.91)

ΑΓ͜ΕΛ‫͢ࢉܭ‬Δͱ

up 2 1=
ug 2 1 + St(3.92)͕ಋ͔ΕΔ. ·֦ͨࢄ܎਺ʹ͍ͭͯ͸

1Êp (0) = ug 2 teddy2ͱ‫ٻ‬ΊΒΕ, Ψεͷ֦ࢄ܎਺ͱҰக͢Δ݁Ռʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ.
Dp =

27

(3.93)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ҰํͰ Stτs1
ΩK teddy ͷ‫ͯؔ͠ʹݶۃ‬͸
⎧[1 + (τs 2 /2)] ug 2  + 2τs 2 vg 2  + 2τs ug vg 
⎪
2
⎪

=
u
⎪
p
⎪
⎪
St(1 + τs 2 )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
(τs 2 /8) ug 2  + [1 + (τs 2 /2)] vg 2  − (τs /2) ug vg 
vp 2  =⎪St(1 + τs 2 )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(−τs /4) ug 2  + τs vg 2  + ug vg ⎪⎪
⎩ up vp  =St(1 + τs 2 )(3.94)(3.95)(3.96)

͓Αͼ

Dp(x) =

4teddy 2vg τs 2(3.97)

ͱͳΔ. ಛʹ֦ࢄ܎਺ʹ͍ͭͯ͸, τs  1 ͷ‫( ͕ࣜݶۃ‬3.88) ͷΑ͏ʹ֯౓ํ޲ͷ଎౓༳Β͕͗ޮ͍͍ͯͳ͔ͬͨͷʹରͯ͠, ‫ ݶۃ‬τs

1 ͷࣜ (3.97) Ͱ͸ vg 2  ͷ߲͕ಈ‫ࢧ͍ͯͭʹࢄ֦ܘ‬഑తͰ

͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ಈ‫ࢄ֦ܘ‬͸, ҰͭҰͭͷཻࢠͷ‫ي‬ಓӡಈΛ‫ͨݟ‬৔߹ ͦͷ‫ي‬ಓ௕൒‫ܘ‬ͷมԽʹଞͳΒͳ͍ͷͰ, ͜Ε͸ͭ·Γμετཻࢠͷಈ‫ʹࢄ֦ܘ‬͸֯ӡಈྔͷ༳Β͕͗ඞཁͱͳΔ͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δ. τs  1 ͷ৔߹͸Ψεͱ‫͘ڧ‬ΧοϓϦϯά͍ͯ͠ΔͨΊʹ, ճస֯ํ޲ʹ৙ཚΛड͚ͯ΋μετཻࢠ͸͙͢ʹ‫ॴہ‬తͳ‫ي‬ಓ଎౓ʹ໭͞Εͯ͠·ͬͯ݁‫ࢄ֦ ہ‬͸ޮ͔ͳͬͨͱ͍͏Θ͚Ͱ
͋Δ. ͜͜Ͱ, ͋ΒͨΊͯཚྲྀ͕Ұ༷౳ํͰ͋ΔͱԾఆͯ͠, ug 2  = vg 2  ͓Αͼ ug vg  = 0 Λࣜ

(3.94),(3.95),(3.96) ʹ୅ೖ͢Δͱ⎧ug 2  1 + (5/2)τs 2
2
⎪
⎪

=
u
p
⎪
⎪
St
1 + τs 2⎪⎪⎪⎪⎨
ug 2  1 + (5/8)τs 2
vp 2  =⎪St
1 + τs 2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
⎪
⎪
⎩ up vp  = ug  (3/4)τs
St 1 + τs 2
ͱͳΔ. τs1 ͷ৔߹ʹ͍ͭͯߟ͑Δͱ, ࣜ (3.98),(3.99) ͸⎧
5 ug 2 ⎪⎪⎨ up 2  =
2 St
2
⎪
5
⎪
⎩ vp 2  = ug 
8 St


∴
up 2  = 2 vp 2 ɹɹ(3.98)(3.99)(3.100)(3.101)(3.102)ͱͳͬͯΤϐαΠΫϦοΫӡಈΛ࠶‫͍ͯ͠ݱ‬Δ͜ͱ͕Θ͔Δ (෇࿥ D [ࣜ (D.13)] ). ͜Ε͸‫·͏ݴ‬Ͱ΋ͳ͘, ετʔΫε਺ St

1 ͷΑ͏ʹΨεͱμετͷΧοϓϦϯά͕খ͍ͨ͞Ί, ༳ಈྗͷӨ‫ͱ΄͕ڹ‬ΜͲ‫ٴ‬ΜͰ͍ͳ͍͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δ.
ͯ͞, ಘΒΕͨࣜ (3.83),(3.84),(3.85) ͷ݁ՌΛ਺஋తʹධՁ͢ΔͨΊʹ, ug 2 , vg 2  ͱ ug vg  ͷؔ܎Λେ·͔ʹධՁͯ͠ΈΔ͜ͱʹ͢Δ. ͜͜Ͱ͸ ug 2  = vg 2  ΛԾఆ্ͨ͠Ͱ, τe ≡ ΩK teddy͕े෼খ͍͞‫ेͱݶۃ‬෼େ͖͍‫ݶۃ‬Λߟ͑, ͦͷ 2 ͭͷ৔߹ͷؔ܎ࣜΛ୯७ʹ݁߹͢Δ͜ͱΛࢼΈΔ.

28

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

·ͣ τe  1 ͷ৔߹Ͱ͋Δ͕, ͜ͷͱ͖ x ํ޲ͷ଎౓ ug ͱ y ํ޲ͷ଎౓ vg ͷ૬ؔ͸ऑ͘, ୯Ґ࣭ྔ͋ͨΓͷӡಈྔϑϥοΫε (֯ӡಈྔϑϥοΫε) ͸୯७ʹ ug vg  ∼ −Dg · (∂vshear,g /∂xg ) ͱॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͭ·Γཚྲྀ֦ࢄͰγΞ଎౓ vshear,g = −(3/2)ΩK xp ͷޯ഑෼͚ͩಈ‫ʹ޲ํܘ‬ӡಈྔ (֯ӡಈྔ) ͕ྲྀΕΔͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. Ψεͷ֦ࢄ܎਺͸ࣜ (3.55) ΑΓ‫ ʹط‬Dg = ug 2 teddyͱΘ͔͍ͬͯΔͷͰ3
ug vg  ∼ τe ug 2 2∴

ug 2  = v g 2  ∼2
ug vg  ɹ (τe  1)3τe(3.103)ͱ‫ੵݟ‬΋Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͨͩ͠ τe ≡ ΩK teddy ͱͨ͠.
Ұํ, τs1 ͷ৔߹Λߟ͑Δ [11][12]. ͜ͷͱ͖֯౓ ϕ ํ޲ʹฏ‫ۉ‬Խͨ͠ΨεͷྲྀΕʹ͍ͭͯ,ಈ‫ ܘ‬r ํ޲ʹ⎧⎪⎪ ∂ ρg + ∂ (ρg Ug ) = 0
⎪
⎪
∂t
∂r
⎪
⎪
⎪
⎨
(vis)
∂F
∂
∂
(ρg J) +(ρg J Ug ) = − J
⎪
∂t
∂r
∂r
⎪
⎪
⎪
(vis)
⎪
⎪ ∂
∂FE
∂
⎪
⎩ (ρg E) +(ρg E Ug ) = −+ ρg ˙eddy
∂t
∂r
∂r

(3.104)(3.105)(3.106)͕੒Γཱͭ΋ͷͱ͢Δ. ࣜ (3.104) ͕࣭ྔอଘ, ࣜ (3.105) ͕֯ӡಈྔอଘ, ࣜ (3.106) ͕ΤωϧΪʔอଘΛͦΕͧΕද͍ͯ͠Δ. ͨͩ͠, ͜͜Ͱ J(r), E(r) ͸ͦΕͧΕ, ಈ‫ ܘ‬r ͷҐஔͷΨε͕࣋ͭ୯Ґ࣭ྔ͋ͨΓͷ֯ӡಈྔͱྗֶతΤωϧΪʔͰ͋Γ, έϓϥʔԁ‫ي‬ಓͷ৔߹J(r) = r2 ΩK = GM∗ r
GM∗
GM∗
J2
=−
−
E(r) =
22r
r
2r(3.107)(3.108)(vis)ͱද͞ΕΔ. ·ͨ, Ug ͸Ψεͷฏ‫ྲྀۉ‬ͷಈ‫޲ํܘ‬଎౓Ͱ͋Γ, FJ(vis)

͓Αͼ FE͸೪ੑτϧΫ

ʹΑͬͯ΋ͨΒ͞ΕΔ֯ӡಈྔ͓ΑͼΤωϧΪʔͷϑϥοΫεͰ͋Δ. ࠷‫ޙ‬ͷ߲ͷ ˙eddy ͸, ཚྲྀӔͷͳ͔Ͱࢄҳࣦͯ͠ΘΕΔΨεͷ୯Ґ࣌ؒɾ୯Ґ࣭ྔ͋ͨΓͷΤωϧΪʔͰ͋Γ, ͜͜Ͱ͸˙eddy ∼ ug 2 + vg 2 /teddy ͱ͢Δ. ࣜ (3.107),(3.108) ΑΓͦΕͧΕͷಈ‫޲ํܘ‬ͷޯ഑͕
∂J(r)
∂r
∂E(r)
∂r

=
=

1 GM∗
rΩK
=
2
r
2
2
GM∗
rΩK
=
2r2
2

(3.109)(3.110)ͱॻ͚Δ͜ͱ͔Β, ֯ӡಈྔͷมԽ δJ ʹ͸ඞͣΤωϧΪʔͷมԽ δE = ΩK δJ ͕൐͏͜ͱ͕Θ͔(vis)

Δ. ͜ΕΑΓ֯ӡಈྔϑϥοΫε FJ

(vis)

FE

(vis)
FJ

(vis)

ͱΤωϧΪʔϑϥοΫε FE

=

δE
= ΩK
δJ

(vis)

∂FE
∂r

ͷؒʹ͸

(3.111)
(vis)

=−

∂F
3 ΩK (vis)FJ+ ΩK J
2 r∂r
29(3.112)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͷؔ܎͕͋Δ͜ͱʹͳΔ. [ࣜ (3.105)− J× ࣜ (3.104)] ͓Αͼ [ࣜ (3.106) − E× ࣜ (3.104)] ΑΓ
⎧
(vis)
⎪
∂FJ
rΩK
⎪
⎪
=
−
U
ρ
⎨ g g
2
∂r
(3.113)
(vis)
2
⎪
∂FE
ug 2 + vg 2 
rΩK
⎪
⎪
=−
+ ρg
⎩ρg Ug2∂rteddy
Ͱ͋Γ, ͜ΕΛࣜ (3.112) ʹ஫ҙͯ͠·ͱΊΔͱ
⎧
(vis)
⎪
2 ∂FJ
⎪
⎪
⎨ ρg U g = −rΩK ∂r⎪ug 2 + v g 2 
2r
⎪
(vis)
⎪
=
ρg
⎩ FJ
3ΩK
teddy

(3.114)(3.115)͕ಋ͔ΕΔ. ࣜ (3.114) ͕Ψεͷ߱ண଎౓Λ༩͑ΔࣜͰ͋ΔҰํ, ࣜ (3.115) ͸೪ੑʹΑΔ֯ӡಈྔ༌ૹͱΤωϧΪʔͷࢄҳͷؔ܎Λද͢‫͍ͯͬͳʹܗ‬Δ. ཚྲྀ೪ੑʹΑΔ֯ӡಈྔϑϥοΫε͸
(vis)ϨΠϊϧζԠྗ −ρg ug vg  Λ༻͍ͯ FJ

1 ৔߹͸

τe

= r ρg ug vg  ͷΑ͏ʹॻ͚ΔͷͰ 14 , ݁‫͍ͨͯ͑ߟ ہ‬

2 u g 2 + vg 2 3τe3τ
eug vg  ɹ (τeug 2  = v g 2  ∼4
ug v g  ∼∴1)(3.116)

ͱͳΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. Ҏ্, ࣜ (3.103),(3.116) Ͱ‫ੵݟ‬΋ΒΕͨ݁ՌΛ୯७ʹ߹ΘͤΔͱ

ug 2  = vg 2  ∼
14

2 + (9τe 2 /4)
ug vg 3τe(3.124)ඇѹॖੑྲྀମʹର͢Δ࿈ଓͷ͓ࣜΑͼφϏΤɾετʔΫεํఔࣜ͸, ੒෼Ͱॻ͘ͱ

∂vi
=0
∂xi

(3.117)1 ∂Pg∂ 2 vi
∂vi
∂vi
=−
+ν
+ vj
∂t
∂xj
ρg ∂xi∂xj 2(3.118)ͱॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ (ν ͸ಈ೪ੑ܎਺). ͜ΕΒͷํఔࣜʹ͓͍ͯ, ྲྀ଎͓ΑͼѹྗΛͦͷ౷‫ܭ‬ฏ‫ ۉ‬vi , Pg  ͱมಈvi , Pg  ͷ࿨ͱͯ͠vi = vi  + vi ɹ, ɹ P = Pg  + Pg 
(3.119)ͷΑ͏ʹද͢͜ͱʹ͢Δ. ࣜ (3.119) Λࣜ (3.117) ʹ୅ೖͯ྆͠ลͷฏ‫ۉ‬ΛऔΔͱ

∂vi 
∂vi
=
=0
∂xi
∂xi

(3.120)ΛಘΔ. ಉ༷ʹࣜ (3.119) Λࣜ (3.118) ʹ୅ೖͯ྆͠ลͷฏ‫ۉ‬ΛऔΔͱ

∂vi 
∂vi 
∂ 2 vi 
1 ∂Pg ∂v + vj i  = −+ν+ vj ∂t∂xj∂xj
ρg ∂xi∂xj 2(3.121)

ͱͳΔ͕, ࠨลୈ 3 ߲ʹ͍ͭͯ͸ࣜ (3.120) Λ༻͍ͯ

vj

∂vj
∂
∂
∂vi
=
(vi vj ) − vi=
vi vj 
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj


(3.122)0ͱͰ͖ΔͷͰ

∂vi 
∂vi 
∂vi 
1 ∂Pg 
1 ∂=−+− ρg vi vj + vj μ∂t∂xj
ρg ∂xiρg ∂xj∂xj(3.123)͕ಘΒΕΔ (μ = ρg ν). ͜ΕΑΓཚྲྀʹΑΔฏ‫ྲྀۉ‬͸෼ࢠ೪ੑʹΑΔԠྗ μ ∂vi /∂xj ʹՃ͑ͯ, ༳Β͗ʹΑΔԠྗ−ρg vi vj  Λड͚Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜ͷԠྗ͕ʮϨΠϊϧζԠྗ (Reynolds stress)ʯͰ͋Δ.

30

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

͕ಘΒΕΔ. ਤ 3.5 ͓Αͼਤ 3.6 ʹ, ࣜ (3.83),(3.84),(3.85) ͰͦΕͧΕಘΒΕͨ up 2 , vp 2 , up vp ͷ τs , τe ґଘੑΛ͓ࣔͯ͘͠ (τs ≡ ΩK tstop , τe ≡ ΩK teddy ). ਤ 3.5 ͕ࣜ (3.124) Ͱ‫ٻ‬ΊΒΕͨug vg  ͷධՁΛ༻͍ͨάϥϑͰ͋Γ, ͦΕʹରͯ͠ਤ 3.6 ͸ ug vg  = 0 Ͱඳ͍ͨ΋ͷʹͳ͍ͬͯΔ. ͦΕͧΕ, τs ≈ 1 ෇ۙͰಛ௃తͳৼΔ෣͍Λ‫͍ͯͤݟ‬Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ಛʹਤ 3.5 Ͱ͸ τe = 1͓Αͼ τe = 10 ͷ৔߹ͷಈ‫޲ํܘ‬ͷ଎౓෼ࢄʹ͸ τs ≈ 1 ෇ۙʹʮ͜Ϳʯঢ়ͷ Vparticle /Vturb > 1 ͱͳ͍ͬͯΔখ͞ͳࢁ͕ଘࡏ͢Δ. τe = 1 ͷํͷ ͜Ϳ ʹؔͯ͠͸, ug vg  = 0 ͱͨ͠ਤ 3.6 Ͱ͸ಉ͡΋ͷ͕ೝΊΒΕͳ͍͜ͱ͔Β΋Θ͔ΔΑ͏ʹ, ͜Ε͸ϨΠϊϧζԠྗ −ρg ug vg  ʹԡ্͛͠ΒΕͯग़དྷ͍ͯΔ΋ͷͰ͋Δ. ͦ͏͸‫͕ͳ͍ݴ‬Β΋, ug vg  ͕͜ͷͱ͖ 1 ʹ͍ۙେ͖ͳ஋Λ࣋ͭͷʹ൓ͯ͜͠ͷ ͜Ϳ ͷӨ‫ڹ‬͸͋·Γେ͖͘ͳ͍. Ճ͑ͯ τe = 10 ͷํͷ ͜Ϳ ʹࢸͬͯ͸ ug vg  = 0 ͷ৔߹ʹ΋ଘࡏ͍ͯ͠ΔΑ͏ʹ, ͜Ε͸ϨΠϊϧζԠྗ͕‫ݪ‬Ҽͷ΋ͷͰ͸ͳ͍. ૯ͯ݁͡‫ہ‬, ϨΠϊϧζԠྗ͕΋ͨΒ͢ޮՌ͸େ͖͘͸ͳ͍ͱ‫͑ݴ‬Δ [10].
ಉ༷ʹ, ಈ‫ؔ͢ʹ޲ํܘ‬Δμετͷ֦ࢄ܎਺ʹ͍ͭͯ΋ࣜ (3.124) Λ༻͍ͯධՁ͢Δͱ, ࣜ (3.55),(3.86)
(x)

(x)

ΑΓΨεͱμετͷ֦ࢄ܎਺ൺ Sc ≡ Dp /Dg(Schmidt number) ʹ͍ͭͯਤ 3.7 Λඳ͘͜ͱ͕

Ͱ͖Δ.



 K t   K t   K t  V  V 










u p  v p  u p v p u g v g u p  v p  u p v p u g v g 



















 K t

u p  v p  u p v p u g v g 














3τe
ug 2 
2 + (9τe 2 /4)

 K t   K t  





 K t

ਤ 3.5: μετ଎౓ͷ෼ࢄͱ૬ؔɹ ug vg  =







 K t

 K t  V  V 










u p  v p  u p v p u p  v p  u p v p 









 K t











u p  v p  u p v p 










 K t

ਤ 3.6: μετ଎౓ͷ෼ࢄͱ૬ؔɹ ug vg  = 0

31





 K t







《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ਤ 3.7 ΑΓγϡϛοτ਺ Sc ͸, τe ʹରͯ͋͠·Γ10හ‫Ͱײ‬͸ͳ͍͜ͱ͕ಡΈऔΕΔ. γϡϛοτ਺ Sc ʹ
1ͱͬͯ͸ τe ͷґଘੑ͸ ug vg  ʹ‫·ؚ‬Ε͍ͯΔ͚ͩͳ

0.1

(x)
D(x)
p /Dg

ͷͰ, ͭ·Γ͸ ug vg  ͷӨ‫͕ڹ‬গͳ͍͜ͱʹͳΔ. ࣮ࡍ, τe = 0.1, 10 ͷ΋ͷʹ͍ͭͯ͸ࣜ (3.124) Ͱ‫ੵݟ‬΋Δͱ ug vg  ͕খ͍ͨ͞Ί, τs ≈ 1 ෇ۙͰ͋ͬͯ΋΄ͱ

0.01

0.001

ΜͲҧ͍͕ग़͍ͯͳ͍. τs < 1 ͷྖҬͰ͸ ug 2  ͷ߲10-4

K teddy=0.1
K teddy=1
K teddy=10<ug vg >=0 model
Estimate model͕ࢧ഑తͰ͋ΔҰํ, τs ͕େ͖͘ͳͬͯ τs > 1 ͷྖҬ
-5

10
0.001

ʹͳΔͱࠓ౓͸ vg 2  ͷ߲͕ޮ͍ͯ͘Δ. ug vg  ͷޮ

0.01

0.1

1

10

100

1000

K tstopՌ͕ೖΓࠐΉ༨஍͕͋Δ τs ≈ 1 ෇ۙͰ͸ τe = 1 ͷ֦

ਤ 3.7: μετͷಈ‫਺܎ࢄ֦ܘ‬ࢄ܎਺͕ଞΑΓΘ͔ͣʹେ͖ͳ஋Λ͍࣋ͬͯΔ. ͜Ε͸ࣜ (3.124) ΑΓ τe ∼ 1 Ͱ ug vg  ͕࠷େ஋ΛऔΔͨΊͰ͋Δ. Ծʹ ug vg  = 0 ͱ͢Δͱμετͷ֦ࢄ܎਺͸ࣜ (3.86) ΑΓ

Dp(x) =

1 + 4τs 2(1 + τs 2 )2Dg(x)(3.125)

ͱͰ͖Δ. ͜ͷ ug vg  = 0 ͷϞσϧͱࣜ (3.124) ͷϞσϧͱͷൺֱͰ͑͋͞·Γ͕ࠩग़͍ͯͳ͍༷
ࢠ͕ਤ͔Β͸͏͔͕͑Δ. ͜ͷ͜ͱ͔Β͞Βʹ֓ࢉతʹࣜ (3.125) Λ؆ུԽ͠෼฼ͷ਺܎਺ 4 Λམͱͤ͹(x)

Dp(x) =

Dg
1 + τs 2(3.126)(x)͕ಘΒΕΔ. ࣮຿తͳଆ໘͔Β‫ݟ‬Δͱ, μετͷ֦ࢄΛѻ͏ͱ͖ʹ͸݁‫ہ‬, Ψεͷ֦ࢄ܎਺ Dg ʹରͯ͠ཚྲྀ೪ੑͷ α ύϥϝʔλΛ༩͑ͯ‫ࢉܭ‬Λߦ͏͜ͱʹͳΔ (ࣜ (2.6),(2.60) ࢀর). ͦͷύϥϝʔλͷෆఆੑ΍‫ࢉܭ‬ͷॾաఔͷۙࣅ͔ΒདྷΔ‫ࠩޡ‬ΛؑΈΔͱ, ࣜ (3.125) ͔Βࣜ (3.126) ͷॲཧ͸ଥ౰Ͱ͋Δͱߟ͑ͯΑ͍. Ҏ্ͷ͜ͱ͔Β, ຊߘͰ΋μετͷ֦ࢄ܎਺Λ‫ੵݟ‬΋Δࡍʹ͸ओʹ֓ࢉࣜ (3.126) Λ࢖༻ͯ͠ߟ͑Δ͜ͱʹ͢Δ.

3.3.3

Ԗ௚ํ޲֦ࢄ

ಈ‫޲ํܘ‬ͷ֦ࢄͱಉ༷ʹ, ԁ൫Ԗ௚ํ޲ͷ֦ࢄʹ͍ͭͯ΋ղੳΛߦ͏. ͜͜Ͱ͸μετཻࢠͷԖ௚ৼಈʹ஫໨͢Δ. Ψεͱͷ૬‫͍ͳ͕༻࡞ޓ‬৔߹, μετཻࢠ͸Ԗ௚ํ޲ʹத৺੕ॏྗ −GM∗ z/r3 =−ΩK 2 z Λड͚ͯ z̈ = −ΩK 2 z ͷΑ͏ʹৼಈ਺ ΩK ͰʮԖ௚ৼಈʯ͢Δ (μετʹ͸ѹྗ͸ಇ͔ͳ
͍). Ψεͱͷ૬‫͕͋༻࡞ޓ‬Δ৔߹͸, ͦͷԖ௚ৼಈΛ๦͛ΔΨε఍߅ͷ߲͕ՃΘͬͯμετ͸‫ݮ‬ਰৼಈ͠, τs = ΩK tstop  1 ͷͱ͖ʹࢸͬͯ͸ৼಈप‫ظ‬ΑΓे෼୹੍͍ಈ࣌ؒͰऴ୺଎౓ʹୡ͠ա‫ݮ‬ਰӡಈ͢Δ͜ͱʹͳΔ (3.2 અ). ͞ΒʹཚྲྀʹΑΔ༳Β͕͗͋Δ৔߹͸୯७ͳ௜఼ӡಈʹՃ͑ͯ, Ψε఍߅Λ௨ͯ͡μετ͸ԁ൫্૚΁ͱཚྲྀͰʮ‫্͖͛ר‬ΒΕΔʯ͜ͱʹͳΔ. ྲྀମతʹ‫ݟ‬Ε͹, த৺੕͕ԁ൫੺ಓ໘΁ͱམͱ͠ࠐ΋͏ͱ͢ΔॏྗͷޮՌͱΨε఍߅͔Β΋ͨΒ͞ΕΔԁ൫্૚΁ͷཚྲྀ֦ࢄͷ 2 ͕ͭฏߧ͢Δͱ͜ΖͰμετͷԖ௚ํ޲ͷӡಈ͸ఆৗঢ়ଶͱͳΔ.

32

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ҎԼͰ͸, ͜ͷཚྲྀ֦ࢄʹ͍ͭͯμετཻࢠͷԖ௚ৼಈʹΨε఍߅Λ௨ͯ͡༳ಈྗ͕ՃΘΔ΋ͷͱͯ͠ఆྔతʹٞ࿦͢Δ. μετཻࢠͷԖ௚࠲ඪΛ zp ͱ͠, ·ͨ଎౓Λ wp = dzp /dt ͱ͢Δ. Ψεཁૉͷ଎౓ʹ͍ͭͯ͸ wg ͱද͠, ࣜ (3.48) ͷύϫʔεϖΫτϧʹै͏΋ͷͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖ӡಈ
ํఔࣜ͸

dwp
wp − wg= −ΩK 2 zp −
dt
tstop

(3.127)

ͱॻ͚Δ. ͜ͷ྆ลΛ࣌ؒඍ෼͠, ϑʔϦΤ‫ٯ‬ม‫׵‬ͷࣜΛ୅ೖ͢Δ͜ͱͰ− ω 2 ŵp = −ΩK 2 ŵp −∴ ŵp =iωŵg
tstop (ΩK − ω 2 ) + iω

(3.128)2͕ಘΒΕΔ. ͜ΕΑΓ|ŵp |2 =iω(ŵp − ŵg )
tstop

ω2
2

tstop 2 (Ωk 2 − ω 2 ) + ω 2|ŵg |2(3.129)Ͱ͋Γ, ͜ͷͱ͖μετཻࢠͷύϫʔεϖΫτϧ͸

Êp(z) =ω2
2

tstop 2 (Ωk 2 − ω 2 ) + ω 2

Êg(z) =νs 2 P̂ (νs )(τs 2 − νs 2 )2 + νs2

wg 2  =νs 2 P̂ (νs )wg 2 
(νs )(3.130)2ͱॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͨͩ͜͜͠Ͱ, νs ≡ ωtstop ͓Αͼ (νs ) ≡ (νs 2 − τs 2 ) + νs 2 , P̂ (νs ) ≡(z)

2teddy St 2 /(St 2 + νs 2 ) Ͱ͋Δ. ಈ‫ࢄ֦ܘ‬ͷͱ͖ͱಉ༷ʹ, wg 2  Λ‫ٻ‬ΊΔͨΊʹ͸͜ͷ ÊpΛω = νs /tstop ʹ͍ͭͯੵ෼͢Ε͹ྑ͘, ͦͷੵ෼͸ཹ਺ఆཧΛ༻͍ͯ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. P̂ (νs )ͷ‫ͯؔ͠ʹۃ‬͸ࣜ (3.78) ͱಉ͘͡⎧⎨ν = i St
5⎩ν6 = −i StͰ͋Γ, Ұํ (νs ) = (νs 2 − i νs − τs 2 )(νs 2 + i νs − τs 2 ) ͷ‫ۃ‬͸
⎧
√
√
2−1
4τ
4τs 2 − 1
i
i
⎪
s
⎪ν7 =
⎨
+
, ν8 =
−
2
2
2
2
√
√
2
2
⎪
⎪
⎩ν9 = − 4τs − 1 + i , ν10 = − 4τs − 1 − i2
2
2
2(3.131)(3.132)Ͱ͋Γ, ͜ͷதͰ Im[νs ] > 0 ͷ‫ۃ‬͸ νs = ν5 , ν7 , ν9 ͷ 3 ͭͱ͍͏͜ͱʹͳΔ 15 . ੵ෼࿏Λෳૉฏ໘ͷ্൒໘ʹͱͬͯ, ͜ͷੵ෼࿏ʹғ·ΕΔ‫ ۃ‬ν5 , ν7 , ν9 ʹ͍ͭͯཹ਺ఆཧΛ༻͍Δͱ࣍ͷΑ͏ʹ‫ܭ‬ࢉ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ.
√√͜ͷΑ͏ʹॻ͘ͱ ( 4τs 2 − 1)/2 ͓Αͼ −( 4τs 2 − 1)/2 ͕࣮਺෦ͷΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ͕͜ͷ෦෼͕࣮਺Ͱ͋Δͷ͸τs > 1/2 ͷ৔߹͚ͩͰ͋Δ. τs < 1/2 ͷ৔߹͸
⎧


i
i
⎪
⎨ν7 = (1 + 1 − 4τs 2 ) , ν8 = − (1 − 1 − 4τs 2 )22(3.133)⎪⎩ν9 = i (1 − 1 − 4τs 2 ) , ν10 = − i (1 + 1 − 4τs 2 )2215ͷΑ͏ʹͦΕͧΕ७‫਺ڏ‬ͷ‫͚ͳ͔ॻͰܗ‬Ε͹ͳΒͳ͍. ͨͩ͠, ͜ͷ৔߹Ͱ΋ Im[νs ] > 0 ͷ‫ۃ‬͸ νs = ν5 , ν7 , ν9 Ͱ͋Γ,݁‫ ہ‬τs > 1/2 ͷͱ͖ͱಉ͡ʹͳΔͨΊཹ਺‫ࢉܭ‬͸มΘΒͳ͍.

33

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

1
2π

∞
−∞

=

wp 2  =∴∞1 wg 2 
2π tstopνs 2 P̂ (νs )dνs(νs )−∞
 2ɹ
νs P̂ (νs )1 wg 2 =· 2πi Res + Res + Resνs =ν5νs =ν7νs =ν92π tstop(νs )
2
wg 2  2teddy St ν5 2
ν7 2
= i
+ P̂ (ν7 )tstop
ν5 − ν6 (ν5 )(ν7 − ν8 )(ν7 − ν9 )(ν7 − ν10 )
ν9 2
ɹ
+P̂ (ν9 )(ν9 − ν7 )(ν9 − ν8 )(ν9 − ν10 )wg 2 
=(3.134)
1 + (τs /τe ) + τs τeÊp(z) dω

wg 2 
wg 2 
=ɹɹɹɹɹ
1 + (τs /τe ) + τs τe
1 + St(1 + τe 2 )(3.135)͜ͷࣜ͸ τe = ΩK teddy  1 ͷ‫( ࣜͰݶۃ‬3.92) ʹҰக͢Δ (‫٭‬஫ 13). ࣍ʹμετཻࢠͷεέʔϧϋΠτ Hp ʹ͍ͭͯ͸

Hp 2 = |zp (t)|2 (3.136)Λ༻͍ͯ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ࣜ (3.136) ӈล͸, μετཻࢠͷ࣌ࠁ t ʹ͓͚ΔԖ௚࠲ඪ zp (t) ͷ

2 ৐ͷΞϯαϯϒϧฏ‫ۉ‬Λ௕࣌ؒฏ‫ͨ͠ۉ‬΋ͷΛҙຯ͍ͯ͠Δ. |zp (t)|2  ͕ t → ∞ Ͱऩଋ͍ͯ͠
Δ΋ͷͱ͢Ε͹, ͜ͷ৔߹, ௕࣌ؒฏ‫| ۉ‬zp (t)|2  ͸ͦͷऩଋ஋ʹ౳͘͠ͳΔͱߟ͑ͯྑ͍. zp (t)∞1ΛϑʔϦΤ‫ٯ‬ม‫ Ͱ׵‬zp =ẑp eiωt dω ͱදͤ͹, dzp /dt = wp ΑΓ
2π −∞ẑp = −

iŵp
|ŵp |2ɹɹ ∴ |ẑp |2 =ωω2

(3.137)ͳͷͰ

Hp 2 =====1
T →∞ T

T /2

lim

−T /2

1 1
T →∞ (2π)2 T

dt |zp (t)|2 
T /2

∞

∞

dω1
dω2 ẑp∗ (ω1 )ẑp (ω2 )ei(−ω1 +ω2 )t
−T /2
−∞
−∞


∞
|ẑp (ω1 )|2 1dω1 lim
T →∞
2π −∞
T


∞
|ŵp (ω1 )|2 11dω1 2 lim
2π −∞
ω1 T →∞
T
lim

1
2π

∞
−∞

dω1

dt

Êpz (ω1 )=ω1 2

wg 2 tstop
2π

∞
−∞

dνs

P̂ (νs )(νs )(3.138)ͱͳͬͯ ( Êp(z) = lim |ŵp |2 /T ), εέʔϧϋΠτ Hp ʹؔͯ͠΋ཹ਺ఆཧͰੵ෼Λ‫ٻ‬ΊΕ͹ྑ͍͜ͱʹͳΔ.

T →∞34

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）‫ࢉܭ‬͸ҎԼͷΑ͏ʹͰ͖ͯ

1
2π

∞

P̂ (νs )dνs−∞ (νs )P̂ (νs )1· 2πi Res + Res + Res=νs =ν5νs =ν7νs =ν9 (νs )2π22teddy St
11= i+ P̂ (ν7 )ν5 − ν6 (ν5 )(ν7 − ν8 )(ν7 − ν9 )(ν7 − ν10 )
1ɹ
+P̂ (ν9 )(ν9 − ν7 )(ν9 − ν8 )(ν9 − ν10 )
teddy
1
=
(3.139)τs 2Stτe 2
1+
1 + St݁‫ہ‬, μετͷεέʔϧϋΠτ͸
(z)

Hp =
(z)

ͱͳΔ. ͨͩ͠ Dg

Dg1ΩK τs ξ(τs , τe )(3.140)= wg 2 teddy Ͱ͋Γ, ·ͨξ(τs , τe ) ≡Stτe 2
1 + St(1 + τe 2 )=1+
1 + St
1 + St(3.141)(z)ͱͨ͠. ͞Βʹ, Ψεͷ֦ࢄ܎਺ Dg Λཚྲྀ೪ੑͷύϥϝʔλ α Λ༻͍ͯ (ࣜ (2.6))

Dg(z) = αcs,g Hg = αHg 2 ΩK

(3.142)ͱ༩͑Ε͹, μετͷεέʔϧϋΠτ Hp ͸ΨεͷεέʔϧϋΠτ Hg ʹରͯ͠

Hp
=
Hg

α −1/2ξτs(3.143)

ͱදͤΔ͜ͱʹͳΔ. ͜ΕΛ༻͍Ε͹, wp 2 1/2 ͱ௜఼଎౓ |wsett |2 
1/2

|wsett |2 
wp 2 1/2≈

1/2≈ ΩK τs Hp ͷൺ͸
α√
1 + St = (τe + τs )τs
τs

ΩK Hg
τs
wg 2 1/2
  
√(3.144)τe /αͱॻ͚Δ. τe > 1/τs ͷͱ͖Λআ͚͹, τs ͕খ͍͞৔߹͸ཚྲྀʹΑͬͯ‫ۦ‬ಈ͞ΕΔϥϯμϜӡಈͷํ͕௜߱ӡಈΑΓࢧ഑తͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. τe = ΩK teddyͳ͘ͳΔͷ͸, ௕͍ eddy time ͷؒʹ୹͍ৼಈप‫ ظ‬ΩK

−1

1 ͷͱ͖ϥϯμϜӡಈ͕༗ޮͰ͸Ͱ‫౓ز‬΋Ԗ௚ৼಈ͍ͯ͠Δ͏ͪʹཚྲྀӔ͔ΒͷʮΩοΫʯ͕Ωϟϯηϧ͞Εͯ͠·͏ͨΊͰ͋Δ [10].
(z)Ҏ্Ͱ͸μετཻࢠͷ੍ಈ࣌ؒ τs ͓ΑͼཚྲྀͷεϖΫτϧ Êg ͸ͱ΋ʹ࠲ඪ zp ࣗମʹ͸ґଘ͠ͳ͍΋ͷͱͯ͠ѻ͖ͬͯͨ. ‫ʹط‬μετ͕੺ಓ໘ۙ͘·Ͱ௜఼͍ͯ͠Δঢ়‫گ‬Λߟ͑ΔͷͰ͋Ε͹͜ͷऔѻ͍͸ଥ౰ͱ΋‫͑ݴ‬Δ͕, ຊདྷ͸ԁ൫Ψεͷ੒૚ߏ଄Λߟྀͯ͠‫͚ͳ͠ࢉܭ‬Ε͹ͳΒͳ͍.
ࣜ (3.143) ʹ஧࣮ͳ··Ͱ, τs  1 ͱ͢Δͱ Hp > Hg ͱͳͬͯ͠·͏໰୊͕ൃੜ͢Δͷ͸͜ͷͨΊͰ͋Δ. ͜ͷ͜ͱΛؑΈ, ΨεͷԖ௚ํ޲ͷີ౓෼෍Λߟྀ͢ΔͨΊͷิਖ਼ͱͯࣜ͠ (3.143) Λ

Hp
=
Hg

α
ξ −1/2α + τs35(3.145)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱվΊΔ͜ͱʹ͢Δ. ͜͜Ͱӈลͷ෼฼ʹՃΘͬͨ α ʹ͸, μετͷ֦ࢄ͕ʮFick ͷ๏ଇʯ(෇࿥E ࢀর) ʹै͏ͱ͍͏͜ͱ͕‫ؚ‬ҙ͞Ε͍ͯΔ. ͭ·Γ, μετͷ֦ࢄϑϥοΫε͸Ψεີ౓ʹର͢
Δೱ౓ޯ഑ʹൺྫ͢Δͱ͍͏͜ͱ͕͜͜ʹߟྀ͞Ε͍ͯΔ.
͜ͷ Fick ͷ๏ଇ͕ԁ൫Ψεதͷཚྲྀ֦ࢄΛྑ͘‫ه‬ड़͢Δ͜ͱ͸, ཚྲྀ਺஋γϛϡϨʔγϣϯʹΑ͔ͬͯ֬ΊΒΕ͍ͯΔ [13][14]. ͦ͜Ͱ, ࣜ (3.145) ͱͷൺֱͷ໨త΋‫ؚ‬Ίͯ, ԁ൫Ԗ௚ํ޲ʹ੒ΓཱͭҠྲྀ֦ࢄํఔࣜ


 
∂ρp
ρp
∂
∂
(z) ∂
= − (ρp wsett ) +ρg D p
∂t
∂z
∂z
∂z ρg

(3.146)Λߟ͑Δ͜ͱʹ͢Δ. ӈลୈ 1 ߲͕௜఼Λද͢Ҡྲྀ߲Ͱ͋Γ, ୈ 2 ߲͕ Fick ͷ๏ଇʹै͏‫ܗ‬ͷ֦ࢄ߲Ͱ͋Δ. ҎԼ, ͜ͷࣜͷఆৗղ͔ΒμετͷεέʔϧϋΠτΛ‫ٻ‬ΊΔ. ࣜ (3.146) ͸ఆৗঢ়ଶʹ
(z)

(z)

͓͍ͯ, Ҡྲྀ֦ࢄϑϥοΫε Fad.diﬀ (z) ≡ ρp wsett − ρg Dp ∂(ρp /ρg )/∂z ͕(z)∂Fad.diﬀ (z)∂z=0(3.147)ʹͳΔ͕, ಛʹࠓͷ৔߹͸ԁ൫ԕํ |z| → ∞ ͰϑϥοΫε͕ 0 Ͱ͋Δ͜ͱ͸໌Β͔ͳͷͰࣜ (3.147)(z)ͷ྆ลΛੵ෼͢Δ͜ͱͰ, ͜ͷͱ͖೚ҙͷ z ʹؔͯ͠ Fad .diﬀ (z) = 0 ΛಘΔ. ͜ΕΑΓμετཻࢠͷೱ౓ cp ≡ ρp /ρg ʹ͍ͭͯDp(z)∂ ln cp= wsett∂z(3.148)͕੒Γཱͭ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜͜Ͱ஫ҙ͢΂͖͸௜఼଎౓Ͱ͋Δ. ຊདྷͰ͋Ε͹ ΩK tstop  1 ͷ৔߹ʹ͔͠μετཻࢠͷա‫ݮ‬ਰӡಈ͸੒Γཱͨͳ͍͕, ղੳతͳ౎߹্, ҎԼͰ͸ۙࣅతʹ௜఼଎౓Λա‫ݮ‬ਰͷ଎౓ wsett = −ΩK τs z Ͱ༩͑Δ͜ͱʹ͢Δ.
·ͣ͸, Ros 2012 [15] ʹै͍ τs ͕ z ʹґΒͳ͍΋ͷͱ͠, μετͷ֦ࢄ܎਺ΛΨεͷ֦ࢄ܎਺(z)
Dg = αHg 2 ΩK ʹ౳͍͠΋ͷͱஔ͍ͯεέʔϧϋΠτ Hp ͷ‫ࢉܭ‬Λߦ͏. ͜ͷͱ͖ࣜ (3.148) ΑΓ∂ ln cp
τs z
=−
∂z
αHg 2
Ͱ͋Γ྆ลΛੵ෼ͯ͠(3.149)τs z 2
cp = cp,c exp −α 2Hg 2
α + τs z 2∴ ρp = ρp,c exp −α 2Hg 2

(3.150)ͷΑ͏ʹμετཻࢠͷີ౓෼෍ΛಘΔ (cp,c ͓Αͼ ρp,c ͸੺ಓ໘ʹ͓͚Δμετཻࢠͷೱ౓ ͓Αͼີ౓). ͜ΕΑΓεέʔϧϋΠτ Hp ͸

Hp

!
" ∞
"
z 2 ρp (z) dz
"
" −∞
= "
∞
#
ρp (z) dz(3.151)

−∞

=

α
Hg
α + τs36(3.152)

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物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱͳͬͯ, ͜Ε͸ࣜ (3.145) Ͱ ξ(τs , τe ) → 1 ͱͨ͠΋ͷʹ౳͘͠ͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ.
Ҏ্ͷ‫Ͱࢉܭ‬͸, τs ΛҰఆͱ͠ԁ൫্૚ͷΨεີ౓͕ബ͍৔ॴͰ΋੍ಈ࣌ؒ͸มΘΒͳ͍΋ͷͱ
ͨ͠. ͔࣮͠͠ࡍ͸, ΤϓελΠϯଇ͕ద༻͞ΕΔ৔߹, ࣜ (3.8) ͷΑ͏ʹ τs ∝ ρg −1 ∝ ez /2Hg ͱ22

͍͏ z ґଘੑ͕͋Δ 16 . ͜ͷ͜ͱʹ஫ҙ͠, μετͷ֦ࢄ܎਺ʹؔͯ͠΋ࣜ (3.126) Λ༻͍ͯಉ༷
ͷධՁΛ͢Ε͹ 17z21
ρp = ρp,c exp −
2 − α
2Hg


τs,c (ez 2 /2Hg 2τs,c 3 3z 2 /2Hg 2(e− 1) +− 1)3

(3.154)ͱͳͬͯ, ͜ΕΛࣜ (3.151) Λ༻͍ͯ਺஋ੵ෼͢Ε͹, ͜ͷ৔߹ͷεέʔϧϋΠτ Hp ͕‫·ٻ‬Δ͜ͱ
ʹͳΔ. ͨͩ͜͜͠Ͱ, τs,c ͸੺ಓ໘ z = 0 Ͱͷ஋Λද͓ͯ͠Γ, τs = τs,c ez /2Hg Ͱ͋Δ.
22Ҏ্ͰಘΒΕͨ݁Ռʹ͍ͭͯਤ 3.8 ʹ·ͱΊ͓ͯ͘. Model 1 ͱϥϕϧ෇͞Εͨ΋ͷ͕ࣜ1(3.145) Λ༻͍ͯεέʔϧϋΠτ Hp Λ‫ͨ͠ࢉܭ‬(z)΋ͷͰ͋Γ, τs = const , Dp(z)

= Dg ͷઃఆͰҠྲྀ֦ࢄํఔࣜΛղ͍ͨ݁Ռ (3.152) Λඳ͍

0.1͕ τs ∝ ez /2Hg , Dp
2

2

(z)

H p/Hgͨ΋ͷ͕ Model 2 Ͱ͋Δ. ͦͯ͠, Model 3(x)= Dp ͷઃఆͰղ͍ͨ

0.01

Hp ʹͳ͍ͬͯΔ. ͨͩ͠, Model 3 ʹ͍ͭͯ͸੺ಓ໘ʹ͓͚Δ੍ಈ࣌ؒ τs,c ʹର͢Δ Hp /Hg

0.001

Λඳ͍͍ͯΔ. ͳ͓, α ύϥϝʔλʹ͍ͭͯ͸

α = 10−2 ͱ༩͑ͨ (ࣜ (2.60)).

10-4
0.01

ɹ Model 1 ʹ͍ͭͯ, τe ͕େ͖͍ͱ͖ Hp ͕খModel 1(Τe=0.1)
Model 1(Τe=1.0)
Model 1(Τe=10 )Model 2Model 3
0.1

1

10

100

K tstop͘͞ͳΔৼΔ෣͍ʹ, ࣜ (3.144) ͷԼͰड़΂ͨৼ

ਤ 3.8: μετͷεέʔϧϋΠτ (α = 10−2 )ಈӡಈʹΑΔʮΩοΫʯͷΩϟϯηϧͷޮՌ͕ɹ Model 1: ࣜ (3.145) (Youdin & Lithwick 2007)
ɹ Model 2: τs = const. , Dp(z) = Dg(z) (Ros 2012)22
ɹ Model 3: τs ∝ ez /2Hg , Dp(z) = Dp(x)‫ݱ‬Ε͍ͯΔ. ͦͷҰํͰ, τe ͕େ͖͘ͳ͍ͱ͖͸΄ͱΜͲ Model 1 ͱ Model 2 ͸ॏͳͬͯ
͍Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. Model 3 ͕ τs,c ͷେ͖͍ͱ
(z)

(x)

͜ΖͰ Hp ͷ஋͕མ͍ͪͯΔͷ͸, Dp = Dg /[1 + τs 2 ] ͱ͍͏‫Ͱܗ‬μετཻࢠͷ֦ࢄ܎਺Λ༩͑ͨͨΊ, τs,c > 1 ͷྖҬͰ֦ࢄ͕ޮ͔ͳ͘ͳͬͯ௜఼͕༏੎ʹಇ͍ͨͨΊͰ͋Δ. ֦ࢄ܎਺͚ͩΛ(z)

Dg ʹ໭͢ͱ Model 3 ͸΄ͱΜͲ Model 2 ʹॏͳΔ. ͭ·Γ, ͜͜Ͱ͸੒૚ߏ଄͸͋·Γޮ͍͍ͯͳ͍͜ͱʹͳΔ. ͍ͣΕʹͯ͠΋, τs < 0.1 ͷྖҬͰ͸μετཻࢠ͕Ψεʹ‫͘ڧ‬ΧοϓϦϯά
ετʔΫεଇ (3.9) ͷ৔߹͸, ฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ͕ lg ∝ ρg −1 Ͱ͋ΔͨΊ૬ࡴͯ͠ z ґଘੑ͸ͳ͘ͳΔ. ͜Ε͸೪ੑ܎਺ μ = ρg ν ͕Ψεͷີ౓͋Δ͍͸ѹྗʹґଘ͠ͳ͍͜ͱʹ༝དྷ͍ͯ͠Δ (෇࿥ C ࢀর ; [16]).
17͜ͷͱ͖ dτs = (τs z/Hg 2 )dz ͷͳͷͰ, ࣜ (3.148) ΑΓ
16

 z


(z)
1 τs D g
τs z
dz
=
−
dτs
2
(z)
α τs,c Dp(z)0 Dp αHg



(z)
z2
1 τs Dg∴ ρp = ρp,c exp −−dτs
α τs,c Dp(z)2Hg 2ln cp = −(z)DgͷΑ͏ʹͯ͠‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ.

37(3.153)

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͍ͯ͠ΔͨΊ, Ͳͷ৔߹΋ಉఔ౓ͷ஋Λऔ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͞Βʹ, τe = 10 ͱ͍͏ τe ͕ಛผେ͖͍৔߹͑͞আ͚͹, Φʔόʔϥοϓ͍ͯ͠ΔྖҬ͸ ͳ͓ ޿͘‫ͯݟ‬औΕΔ. ໨҆ͱͯ͠ τe = 1ͱ͍͏஋ΛऔΕ͹ࣜ (3.145) ͸αα + τsHp =ͱͳͬͯ, ݁‫ہ‬, ࣜ (3.152) ͱ࠷େͰ΋√

1 + τsHg
1 + 2τs2 ഒఔ౓ͷҧ͍͔͠ͳ͍͜ͱʹͳΔ (τs(3.155)1).

ҎԼ, ຊߘͰ͸ٞ࿦ͷ؆୯ԽͷͨΊ, x ํ޲ͱ z ํ޲ͷμετͷ֦ࢄ܎਺͕౳͍͠΋ͷͱͯࣜ͠(3.126) Λ༻͍ͯDg
(3.156)
1 + τs 2ͱஔ͍ͯ‫ࢉܭ‬Λߦ͏͜ͱʹ͢Δ. ͨͩ͠, Ψεͷ֦ࢄ܎਺ʹ͍ͭͯ΋͜͜Ͱ͸ x ํ޲ͱ z ํ޲ͱͰDp(x) = Dp(z) =(x)౳͍͠΋ͷͱԾఆͯ͠ Dg ≡ Dg

(z)

= Dg ͱදͯ͋͠Δ. ͜ͷઃఆ͸ Model 3 ʹରԠ͍ͯ͠ΔͷͰ, ֦ࢄ܎਺Λ͜ͷΑ͏ʹධՁ͢ΔͱҎ্ͷٞ࿦ΑΓ τs > 1 ͷྖҬʹ΍΍ෆఆੑ͕࢒ͬͯ͠·͏Α͏ʹࢥ͑Δ͕, ຊߘͰओ୊ͱ͢Δ‫Ͱࢉܭ‬͸μετཻࢠ͸͔͔ͨͩ τs ∼ 0.1 (10cm αΠζ) ͱͳΔཻ‫͔͠Ͱ·ܘ‬੒௕͠ͳ͍. ͭ·Γ, ѻ͏ྖҬ͸΄ͱΜͲͷ৔߹ τs  0.1 ʹ‫ݶ‬ΒΕΔͨΊ͜ͷ໰୊͸͋·ΓਂࠁʹͳΒͳ͍ͱߟ͑ͯΑ͍.

4‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔ

4.1

Radial ice line ͱ Atmospheric ice line‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͓͚Δ H2 O ʹ͍ͭͯ, ‫ؾ‬ମ (͋Δ͍͸ӷମ) ͱͯ͠ଘࡏͰ͖ΔྖҬͱ‫ݻ‬ମͱͯ͠ଘࡏͰ͖ΔྖҬͷ‫ڥ‬ք໘ͷ͜ͱΛʮice lineʯͱ‫͏ݴ‬. ʮ໘ʯͱ‫͍ͯͬݴ‬Δͷ͸, ҎԼͰ‫ݟ‬ΔΑ͏ʹ‫ڥ‬ք͕ԁ൫ಈ‫ ܘ‬r ํ޲͚ͩͰͳ͘Ԗ௚ z ํ޲ʹ΋ଘࡏ͢ΔͨΊͰ͋Δ. ಈ‫ʹ޲ํܘ‬ଘࡏ͢Δ iceline Λʮradial ice lineʯ, Ԗ௚ํ޲ʹଘࡏ͢Δ ice line Λʮatmospheric ice lineʯͱ‫Ϳݺ‬. ࿭੕‫ܗ‬੒ͷ෼໺Ͱ௨ৗ ୯ʹ ice line ͱ‫ʹ͖ͱͿݺ‬͸, ͜͜Ͱ‫ ͏ݴ‬radial ice line ͷ͜ͱΛࢦ͢͜ͱ͕ଟ͍.
ຊߘͰ͸, ice line ͷҐஔΛ๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹ Psat ͱਫৠ‫ؾ‬ͷ෼ѹ Pv ͕౳͘͠ͳΔͱ͜Ζͱߟ͑Δ
͜ͱʹ͢Δ. ͜ͷΑ͏ʹఆٛͨ͠ ice line ͷ͜ͱΛʮpressure ice lineʯͱ‫͏ݴ‬. ҎԼ, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͓͚Δ ice line ʹ͍ͭͯߟ͑ΔͨΊʹ·ͣ๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹ Psat Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱʹ͢Δ.
๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹͱ͸จࣈ௨Γ, ਫৠ‫͕ؾ‬๞࿨ͯ͠‫ؾ‬૬ͱ‫ݻ‬૬͕૬ฏߧʹࢸ͍ͬͯΔঢ়ଶͷৠ‫ؾ‬ѹͷ͜ͱͰ͋Δ. ͜ͷ૬ฏߧͷঢ়ଶͰ͸, ਫৠ‫ؾ( ؾ‬ମ) ͱණ (‫ݻ‬ମ) ͷԽֶϙςϯγϟϧ͸

μv = μice(4.1)ͷΑ͏ʹ౳͘͠ͳͬͯ, ͜ͷͱ͖‫ؾ‬ମ͔Β‫ݻ‬ମ΁ͱ‫ڽ‬ॖ͢Δ෼ࢠ਺ͱ‫ݻ‬ମ͔Β‫ؾ‬ମ΁ͱঢ՚͢Δ෼
ࢠ਺͕ͪΐ͏Ͳ౳͘͠ͳΔ. Ұํ, ΪϒεɾσϡΤϜͷࣜ SdT − V dP + N dμ = 0 Λ༻͍ΔͱԽֶ
ϙςϯγϟϧͷඍখมԽ dμ ͸

dμ =

S
V
dP − dT = v dP − s dT
N
N
38

(4.2)

《修士論文》

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ͱॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜͜Ͱ v, s ͸ͦΕͧΕ 1 ཻࢠ͋ͨΓ͕઎ΊΔମੵͱΤϯτϩϐʔͰ͋Δ. ࣜ(4.1),(4.2) ΑΓ
vv dP − sv dT = vice dP − sice dT∴

sv − sice
ΔQsub
dP
=
=
dT
vv − vice
T (vv − vice )(4.3)

͕ಋ͔ΕΔ. ΔQsub ͸ H2 O ෼ࢠ 1 ‫ݸ‬Λӷମ͔Β‫ؾ‬ମ΁ͱঢ়ଶมԽͤ͞Δͷʹඞཁͳ೤ྔΛදͯ͠
͍Δ. ͜ͷࣜ (4.3) ͷ͜ͱΛʮΫϥ΢δ΢εɾΫϥϖΠϩϯͷࣜʯͱ‫͏ݴ‬. vv

vice Ͱ͋Δ͜ͱʹ

஫ҙ͢Ε͹

dP
ΔQsub

dT
T vv

(4.4)

ͱͰ͖ͯ, ཧ૝‫ؾ‬ମঢ়ଶํఔࣜ P v = kB T ΑΓ vv = kB T /P Λ͜ͷࣜʹ୅ೖͯ͠d ln PΔQsub=
dT
kB T 2
ͱͳΔ. ͞Βʹ͜ͷ྆ลΛੵ෼͢Δ͜ͱͰ, ๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹ Psat ΛԹ౓ T Ͱදࣜ͢


ΔQsub
Psat = P0 exp −kB TΛಘΔ. ఆ਺ ΔQsub ͓Αͼ P0 ʹ͍ͭͯ͸࣮‫ݧ‬తʹ‫ٻ‬ΊΒΕ͍ͯͯ [17],5938 K12
ɹ [dyn/cm2 ]Psat = 6.034 × 10 exp −
T

(4.5)

(4.6)

(4.7)

ͷΑ͏ʹͳΔ [9][18]. ຊߘͰ͸͜ͷࣜ (4.7) Λ๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹΛදࣜ͢ͱͯ͠࠾༻͠࢖༻͢Δ. ·ͨ,͜͜ͰಘΒΕͨ Psat Λ༻͍ͯඳ͚Δঢ՚‫ۂ‬ઢ (ණ - ৠ‫ʹ )ؾ‬Ճ͑, ৠ‫ؾ‬ѹ‫ۂ‬ઢ (ৠ‫ ؾ‬- ਫ) ͓Αͼ༥ղ‫ۂ‬ઢ (ਫ - ණ) Λॻ͖Ճ͑ͨ΋ͷ, ͢ͳΘͪʮH2 O ͷ૬ਤʯΛਤ 4.1 ʹද͓ͯ͘͠ [19].
͜Εʹର͠ਫৠ‫ؾ‬ѹʹؔͯ͠͸, ͜͜Ͱ΋ཧ૝‫ؾ‬ମঢ়ଶํఔࣜΛ༻͍ͯPv =ρv kB TμH 2 O mH(4.8)

Λ༻͍ͯ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͨͩ͠, ρv ͸ਫৠ‫ؾ‬ͷۭ࣭ؒྔີ౓Ͱ͋Γ, μH2 O (= 18) ͸ H2 O
ͷ෼ࢠྔ, mH ͸‫ྔ࣭ࢠݪ‬୯ҐΛද͍ͯ͠Δ. ρv
ͷ۩ମతͳ஋ʹ͍ͭͯ͸, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫಺Ͱ

H2 O ͷ‫ؾ‬ମ੒෼͸, ಛʹ radial ice line ෇ۙʹ͓͍࣭ͯྔີ౓ͰΨεશମͷ໿ 1% ఔ౓ ଘࡏ͢Δͱ͞Ε͍ͯΔ͜ͱ͔Β ρv ∼ 0.01ρg ͱͰ͖Δ[20]. ·ͨ, ࣜ (4.8) ʹ‫ݱ‬ΕΔԹ౓ T ʹ͍ͭͯ͸ྛϞσϧͷԹ౓෼෍ (2.1)

ਤ 4.1: H2 O ͷ૬ਤ r −1/2
T = 2.8 × 102
ɹ [K]
1 AU

39

(4.9)

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Λ༻͍ͯԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ʹ͸౳ԹͰ͋Δ΋ͷͱ͢Δ. Ψεͷ໘ີ౓෼෍ʹؔͯ͠΋ྛϞσϧΛ༻͍ͯ, ࣜ (2.4) ͔ΒΣg = 1.7 × 103 r −3/2
ɹ [cm]1 AU

ͱ͢Ε͹, Ҏ্ΑΓ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͓͚Δਫৠ‫ؾ‬ѹͷ෼෍͸ r −13/4
z2−2
Pv = 1.8 × 10
exp −
ɹ [dyn/cm2 ]
1 AU
2Hg 2

(4.10)(4.11)

ͱදͤΔ͜ͱʹͳΔ. ͜͜·Ͱ H2 O ͸‫ݻ‬ମͱ‫ؾ‬ମͷঢ়ଶ͔͠ଘࡏ͠ͳ͍΋ͷͱ҉ʹԾఆͯ͠ӷ૬Λແࢹ͖͕ͯͨ͠, ࣜ (4.11) ΑΓԁ൫੺ಓ໘ r = 3AU Ͱ‫ੵݟ‬΋ͬͯ Pv ∼ 10−4 dyn/cm2 , ͋Δ͍͸, r = 1AU Ͱ͋ͬͯ΋ͳ͓ Pv ∼ 10−2 dyn/cm2 Ͱ͋Γ, ਤ 4.1 ΑΓ‫ݻ‬ମ - ‫ؾ‬ମͷ 2 ૬ঢ়ଶ͕੒Γཱͭͷʹे෼ͳ΄Ͳʹ Pv ͕௿ѹͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ.
ਤ 4.2 ʹࣜ (4.7),(4.11) ͔ΒಘΒΕΔ ice line Λࣔ͢. ice line ͱ੺ಓ໘ z = 0 ͕ަΘΔҐஔΛ

r = rice ͱද͢ͳΒ͹, ྛϞσϧͰ‫ੵݟ‬΋ͬͨ৔߹ rice ≈ 3 AU Ͱ͋Γ, ͜ͷਤ͔Β atmospheric iceline ͕εέʔϧϋΠτΛԼճͬͯଘࡏ͍ͯ͠Δ r ͷൣғ͸, rice  r  3.2AU ͷΑ͏ʹ rice ͙͢֎ଆ (த৺੕͔Βԕ͍ํ޲) ͷඇৗʹ‫ྖ͍ڱ‬Ҭ͔͠ͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δ.

ਤ 4.2: Ice line (Pressure ice line) ɹԣ࣠Λಈ‫ ܘ‬r ࠲ඪ, ॎ࣠ΛԖ௚ z ࠲ඪͱͯ͠, ੨ͷ࣮ઢ͕ ice line (Pv = PsatͷҐஔ) Λ, ੺ͷഁઢ͕ΨεͷεέʔϧϋΠτ Hg Λද͍ͯ͠Δ. Թ౓͓Αͼ໘ີ౓ͷ෼෍ʹؔͯ͠͸ྛϞσϧࣜ (2.1),(2.4)(3AU)Λ༻͍͍ͯΔ. ͨͩ͠, r ࠲ඪʹؔͯ͠͸ AU ୯ҐͰ, z ࠲ඪʹؔͯ͠͸ Hg(r = 3AU ʹ͓͚ΔΨεͷεέʔϧϋΠτ) Λ୯Ґͱ͍ͯ͠Δ.

40

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

4.2

ණμετͷ੒௕Ϟσϧණ͔Β੒Δμετཻࢠ͸, ͦͷۙ๣ͷਫৠ‫ؾ‬ͷ‫ڽ‬ॖ (condensation) ʹΑͬͯαΠζΛେ͖͘͠,Ұํ ਫৠ‫΁ؾ‬ͷঢ՚ (sublimation) Ͱখ͘͞ͳ͍ͬͯ͘. ͜͜Ͱ͸ओʹ Morﬁll 1985 [21] ʹैͬͯ,ͦͷ‫ڽ‬ॖͱঢ՚ʹΑΔණμετͷ੒௕ʹ͍ͭͯϞσϧԽͯ͠ߟ͑Δ͜ͱʹ͢Δ.
μετཻࢠ͕ड͚ΔΨε఍߅ʹΤϓελΠϯଇͱετʔΫεଇ͕͋ͬͨΑ͏ʹ, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹؔͯ͠΋, ฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ lg ʹରͯ͠μετཻ‫ ܘ‬R ͕ R  lg ͷͱ͖ͱ R  lg ͷͱ͖ͱͰ৔߹෼͚͕
ग़དྷΔ. ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ʹ͓͚Δฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔͷ۩ମతͳ஋ʹؔͯ͠͸, ྛϞσϧͷΨε໘ີ౓(2.4), ͓Αͼ, H2 O ෼ࢠͷ H2 , He ෼ࢠʹର͢Δিಥஅ໘ੵ σ = 2 × 10−15 cm2 Λ༻͍Δͱ, ԁ൫੺ಓ໘Ͱ‫ੵݟ‬΋ͬͯlg,c 

1ng,c σ 29.4r 11/4
ɹ [cm]
3 AU(4.12)

ͱͰ͖Δ. ͜ΕΑΓ, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ͷޮՌ͕ॏཁͱͳΔ rice  3AU ۙ๣ʹ͓͍ͯ͸, R ∼ 30cm Λ‫ڥ‬ʹཻ‫͕ܘ‬খ͍͞৔߹͸ͦͷपΓͷΨε੒෼͸ࣗ༝෼ࢠྲྀͱ‫ͤͳݟ‬ΔҰํ, ཻ‫͕ܘ‬େ͖͍৔߹͸ྲྀମ(࿈ଓମ) ͱͯ͠‫͚ͳ͞ͳݟ‬Ε͹ͳΒͳ͘ͳΔ. ࠓճͷղੳͰ͸݁Ռతʹදࣜͷ্Ͱ྆ऀ͸ൺֱͰ͖Δ‫ͳʹܗ‬Δ͕, औΓѻ͍ํʹେ͖ͳ૬ҧ͕͋ΔͨΊ, ҎԼͰ͸ණμετཻࢠ͕ฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔΑΓখ͍͞৔߹ͱେ͖͍৔߹ͱʹ෼͚ͯٞ࿦͢Δ. ͳ͓, ͜͜Ͱ͸, ‫ؾ‬૬ਫৠ‫ͱؾ‬μετཻࢠͷ૬ର଎౓͸ਫৠ‫ؾ‬ͷԻ଎ʹൺ΂े෼ʹখ͍͞΋ͷͱͯ͠, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔණμετཻࢠͷ࣭ྔ૿Ճ཰͸,ͦͷණμετཻࢠͷۭؒతͳ଎౓ʹґΒܾͣ·Δ΋ͷͱ͢Δ.

4.2.1

μετཻࢠ͕খ͍͞৔߹

ණμετཻࢠͷ·ΘΓʹଘࡏ͢Δ‫ؾ‬૬ͷ H2 O ෼ࢠͷ෼෍ؔ਺Λ fv (v) ͱ͠, ͜ͷͱ͖, ͦͷ෼ࢠͷ‫ ౓ີ਺ݸ‬nv ͕

d3 v fv (v)nv =(4.13)

ͱॻ͚Δ΋ͷͱ͢Δ 18 . ͨͩ͠, ͋Δණμετʹ஫໨ͨ͠ͱ͖, ͦͷཻࢠͷ‫ܗ‬ঢ়ɾ෺࣭ີ౓ ͓Αͼͦͷ·ΘΓͷΨεͷۭؒ෼෍͸‫ٿ‬ରশҰ༷Ͱ͋Δ͜ͱΛԾఆ͢Δ. ΤϓελΠϯଇΛಋ͘ࡍͷਤ

A.1 ͱಉ͡Α͏ʹཻࢠද໘ʹඍখ໘ dS Λߟ͑, ͦͷ໘ʹରͯ͠ vz < 0 (z ํ޲͸ཻࢠද໘ͷ๏ઢํ޲) Ͱ୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓʹিಥͯ͘͠Δ‫ؾ‬૬෼ࢠ਺Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱ
∞

dS
−∞

∞

dvx

−∞

0

dvy

−∞

dvz |vz |fv (v) = dS nv vth,v(4.14)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ (cf. ࣜ (A.5)). ͜͜Ͱ೤଎౓ (thermal velocity)

vth,v ≡vz ≤0

d3 v |vz |fv (v)(4.15)
d v fv (v)3ຊઅͰ༻͍Δ r ΍ v ౳͸஫໨͢Δμετཻࢠۙ๣ͷ‫ॴہ‬తͳۭؒҐஔϕΫτϧ ͓Αͼ ଎౓ϕΫτϧͰ͋Δ. ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫಺ͷେҬతͳ࠲ඪΛද͢ҐஔϕΫτϧ΍଎౓ϕΫτϧͱ͸ผ෺Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͞Ε͍ͨ.
18

41

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

Λಋೖ͠ 19 , ࣜ (4.13) Λ༻͍ͨ. ͜ͷ vth,v ͸଎౓෼෍ fv (v) ͕ϚΫε΢ΣϧɾϘϧπϚϯ෼෍Ͱ͋Δͱ͖

vth,v =kB T=
2πμH2 O mHμgcs,g2πμH2 O

(4.17)

Ͱ͋Δ. ඍখ໘ dS Λණμετཻࢠͷ‫ٿ‬໘্ʹऔͬͯ, ࣜ (4.14) Λͦͷ‫ٿ‬ද໘ʹΘͨͬͯੵ෼͢Δ
͜ͱͰ, ‫ٿ‬໘ʹিಥ͢Δ୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓͷ‫ؾ‬૬෼ࢠ਺ͷ߹‫ܭ‬Λ‫͖ͯͰࢉܭ‬, ͜ͷͱ͖ରশੑΑΓ

4πR2 nv vth,v(4.18)ͱͳΔ (R ͸μετͷཻ‫)ܘ‬. িಥ͖ͯͨ͠‫ؾ‬૬ཻࢠͷ͢΂͕ͯμετ‫ٿ‬ද໘΁ͱऔΓࠐ·ΕΔͱ͠, ෼ࢠ 1 ‫ͨ͋ݸ‬Γ mv = μH2 O mH ͷ࣭ྔΛ࣋ͭ΋ͷͱ͢Ε͹, ‫ڽ‬ॖʹΑΔ͜ͷණμετ‫ٿ‬ͷ࣭ྔ૿Ճ཰ (dmp /dt)cond ͸ࣜ (4.18) ΑΓdmp= 4πR2 mv nv vth,v = 4πR2 ρv vth,v
dt cond(4.19)

ͱදͤΔ. ࣜ (4.19) ͸গ͠‫ํݟ‬Λ؆୯ʹͯ͠, ໘ੵ 4πR2 ͷඪతʹରͯ͠ ଎౓ vth,v Ͱӡಈ͢Δ‫ؾ‬ମ෼ࢠ 1 ‫͕ݸ‬িಥ͢Δయ‫ܕ‬తͳ࣌ؒ τv ͕ 4πR2 vth τv nv = 1 ͱॻ͚Δ͜ͱΛߟ͑Ε͹


dmp
mv
=
dt condτv(4.20)

ͱॻ͘͜ͱ΋Ͱ͖Δ. ͜ͷࣜ (4.19) ͋Δ͍͸ࣜ (4.20) ͸‫ڽ‬ॖʹΑΔμετ࣭ྔͷ૿ՃΛද͢΋ͷ
Ͱ͋Δ͕, ঢ՚ʹΑΔμετ࣭ྔͷ‫ݮ‬গʹ͍ͭͯ΋ಉ༷ͳ‫Ͱܗ‬ද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͨͩ͠, ‫ڽ‬ॖաఔʹ͓͍ͯ͸μετද໘ʹ֎ଆ͔Βিಥͯ͘͠Δ෼ࢠʹؔͯͦ͠ͷີ౓ΛҰ༷ͳ஋ ρv Ͱද͕ͤͨ,ঢ՚աఔͷ৔߹ͷμετද໘͔Β֎ଆʹඈͼग़͍ͯ͘ H2 O ෼ࢠʹؔͯ͠͸, μετ‫ٿ‬ද໘্Ͱ๞
࿨ਫৠ‫ ྔؾ‬ρsat Ͱ͋Δͱͯͦ͠ͷີ౓ͰධՁ͢Δ. ͜ΕΑΓ, ঢ՚ʹΑΔණμετཻࢠͷ࣭ྔ‫ݮ‬গ཰ (dmp /dt)sub ͸



dmp
dt


= −4πR2 ρsat vth,v(4.21)

subͱͳΔ. ͨͩ͠, ๞࿨ਫৠ‫ ྔؾ‬ρsat ͸๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹ Psat ͱཧ૝‫ؾ‬ମঢ়ଶํఔࣜ

Psat =

ρsat kB T
μH2 O mH

(4.22)

ͷؔ܎͕੒Γཱͭ΋ͷͱ͢Δ. Ҏ্ͷ‫ڽ‬ॖͱঢ՚͸ຊདྷ, ಉ࣌ਐߦతʹͳ͞ΕΔաఔͰ͋Δ͔Β,ࣜ (4.19) ͱࣜ (4.21) Λ߹ΘͤΔ͜ͱͰ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔණμετཻࢠͷ࣭ྔมԽ཰ dmp /dt ʹ͍ͭͯdmp= 4πR2 vth,v (ρv − ρsat )dt
19(4.23)

ຊߘͰ͸೤଎౓ vth Λࣜ (4.15) Λ༻͍ͯද͢͜ͱʹ͢Δ͕, จ‫ʹݙ‬Αͬͯ͜ͷ೤଎౓ͷఆٛͷ࢓ํ͸·ͪ·ͪͰ͋Δ. ೤଎౓ͱͯ͠଎͞ |v| ͷฏ‫Ͱۉ‬ఆٛ͢Δ͜ͱ΋͋Ε͹, Ի଎ͱಛஈ۠ผ͠ͳ͍͜ͱ΋͋Δ. ͳ͓, ຊߘͰ͸ |v| ͷฏ‫ۉ‬Λ vm , Ի଎Λ cs ͱ͍͏ද‫Ͱه‬දͯ۠͠ผ͢Δ͜ͱʹ͢Δ. ͦΕͧΕϚΫε΢ΣϧɾϘϧπϚϯ෼෍Λ༻͍Δͱ



kB T
8kB T
kB T
vth =
ɹɹ vm =
ɹɹ cs =
(4.16)2πmπmmͱධՁͰ͖Δ (m ͸‫ؾ‬ମ෼ࢠ 1 ཻࢠͷ࣭ྔ).

42

《修士論文》

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͕ಋ͔ΕΔ. ࣜ (4.8) ͱࣜ (4.22) ͷลʑͷ঎ΛͱΕ͹ Psat /Pv = ρsat /ρv Ͱ͋ΔͷͰ, ͜ΕΛ༻͍
Ε͹



dmp
Psat
2
= 4πR vth,v ρv 1 −dt
Pv(4.24)

ͱද͢͜ͱ΋Ͱ͖Δ [18]. ͭ·Γ, ਫৠ‫ؾ‬ѹ͕๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹʹ౳͘͠ͳͬͨͱ͖‫ڽ‬ॖͱঢ՚͕௼Γ߹ͬͯ, ණμετཻࢠͷ࣭ྔมԽ ͢ͳΘͪ ੒௕͸ࢭ·Δ͜ͱʹͳΔ. Pv = Psat ͱͳΔͱ͜ΖΛ

ice line ͱఆٛͨ͜͠ͱΛࢥ͍ग़͢ͱ, ice line ͕·͘͞͠, ‫ڽ‬ॖ༏੎ͷྖҬͱঢ՚༏੎ͷྖҬͷ‫ڥ‬քͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ਤ 4.2 Ͱ‫͑ݴ‬͹, ੨ͷ࣮ઢͰඳ͍͍ͯΔ ice line ͷ಺ଆ (ࢴ໘ӈଆ) ʹ޿͕ΔྖҬ͕ dmp /dt > 0 ͷʮ‫ڽ‬ॖྖҬ (condensation zone)ʯͰ͋Γ, Ұํ, ice line ֎ଆ (ࢴ໘ࠨଆ)͕ dmp /dt < 0 ͷʮঢ՚ྖҬ (sublimation zone)ʯͱͳ͍ͬͯΔ.
Ҏ্Ͱड़΂ͨ ice line ֎ଆͰ͸ණμετ͸੒௕͠ (dmp /dt > 0), ֎ଆͰ͸‫ٯ‬੒௕ (dmp /dt < 0)
͢Δͱ͍͏͜ͱ͸ৗʹਖ਼͍͕͠, ice line ࣗମ͕‫ݻ‬ఆ͞Ε͍ͯͯಈ͔ͳ͍ͱ͍͏Θ͚Ͱ͸ͳ͍͜ͱʹ஫ҙ͢΂͖Ͱ͋Δ. ණμετʹ‫ڽ‬ॖͨ͠෼͚ͩͦͷपғͷਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρv ͸‫ݮ‬গ͠, ·ͨණμετ͔Βঢ՚ͨ͠෼͚ͩ૿Ճ͢Δ. ρsat ͕࣌ؒʹґଘ͠ͳ͍ҰํͰ 20 , ρv ͕࣌ؒʹґଘ͢ΔͷͰ࣌ؒͱͱ΋ʹ ice line ͷҐஔ͸ಈ͘͜ͱʹͳͬͯ‫ڽ‬ॖྖҬɾঢ՚ྖҬ΋গͣͭ͠มΘΔ͜ͱʹͳΔ.

4.2.2

μετཻࢠ͕େ͖͍৔߹

લઅͷΑ͏ʹμετཻࢠ͕Ψεͷฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ (H2 O ෼ࢠͷΨεʹର͢Δฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ) ΑΓ΋খ͍͞৔߹ʹ͸, ͦͷ·ΘΓʹଘࡏ͍ͯ͠Δ‫ؾ‬૬ H2 O ෼ࢠ͕ʮ஄ಓతʯʹμετද໘ʹඈͼࠐΜͰ͘Δ΋ͷ, ͋Δ͍͸μετද໘͔Βඈͼ‫ͨͬڈ‬΋ͷͱͯ͠‫ڽ‬ॖɾঢ՚ΛऔΓѻͬͨ. ͔͠͠, ཻ‫͕ܘ‬ฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔΑΓେ͖͍৔߹͸ͦͷΑ͏ʹऔΓѻ͏͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍. ͜ͷ৔߹ʹ͸, μετཻࢠपғͷਫৠ‫ؾ‬͸ 1 ͭ 1 ͭͷ෼ࢠͱ͍͏ΑΓ΋, ·ͱ·Γͱͯ͠ͷ࿈ଓମ͋Δ͍͸ྲྀମͰ͋Δͱ‫ݟ‬ͳͯ͠ѻ͏ͷ͕༗ޮͰ͋Δ. ͦͯ͜͠ͷͱ͖, ණμετͷ੒௕ͷٞ࿦͸࣌ؒґଘ͠ͳ͍‫ٿ‬ରশ֦ࢄํఔࣜͷ໰୊΁ͱ‫ؼ‬ண͢Δ [22]. ͭ·Γ‫ڽ‬ॖաఔͱ͸͜ͷ৔߹, ਫৠ‫͕ؾ‬ա๞࿨ͳΨεͷதͰණμετཻࢠʹ޲͔͏‫ؾ‬૬ H2 O ෼ࢠͷ֦ࢄྲྀ͕ൃੜ͠, ͦΕ͕ණද໘্ͰऔΓࠐ·ΕΔ͜ͱͰμετ͕੒௕͢ΔߦఔʹଞͳΒͳ͍ͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ (ঢ՚ͷաఔʹ͍ͭͯ΋·ͨಉ༷Ͱ͋Δ).
͋Δණμετཻࢠʹ஫໨͠, ͦͷμετ‫ٿ‬த৺͔Βͷ (‫ॴہ‬తͳ) ಈ‫࠲ܘ‬ඪΛ r ͱ͠, ಈ‫ ܘ‬r ʹґଘ͢Δණμετཻࢠۙ๣पғͷਫৠ‫౓ີؾ‬Λ v (r) ͱදͯ͠, എ‫ܠ‬ਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρv ͱ۠ผ͢Δ͜ͱ
ʹ͢Δ. ͜ͷͱ͖ r ํ޲ʹྲྀΕΔ‫ؾ‬૬ৠ‫ؾ‬෼ࢠͷ֦ࢄϑϥοΫε Fv ͸֦ࢄ܎਺Λ νv ͱͯ͠ ∂ v
Fv = −ρg νv(4.25)∂r ρgͷΑ͏ʹೱ౓֦ࢄͷ‫͕ͱ͘͜ॻͰܗ‬ग़དྷΔ. ͨͩ͠, ණμετཻࢠΛ‫ॴہ‬తʹ‫ͦͯݟ‬ͷ·ΘΓͷΨεΛ‫ͨݟ‬৔߹, Ψεີ౓ͷޯ഑ ∂ρg /∂r ͓Αͼ ਫৠ‫ؾ‬ͷೱ౓ v /ρg ͸ͱ΋ʹे෼খ͍͞΋ͷͱߟ͑ΒΕΔ͜ͱ͔Β, ͜͜Ͱ͸Fv  −νv
20

∂v
∂r

(4.26)

๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹ Psat ͓Αͼ๞࿨ਫৠ‫ ྔؾ‬ρsat ͸, ͦΕͧΕࣜ (4.7) ͓Αͼࣜ (4.22) ΑΓ, ͱ΋ʹԹ౓ T ͷΈʹ͔͠ґΒͳ͍. Թ౓ T ࣗମ͸த৺੕͔Βͷ᫔ࣹʹΑܾͬͯ·ΔͷͰ (ࣜ (2.2) ࢀর), ͦΕ͕࣌ؒʹର͠ҰఆͰ͋Ε͹ Psat , ρsat͸࣌ؒʹґଘ͠ͳ͍ͱͰ͖Δ.

43

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱۙࣅ͢Δ. ͜ΕΑΓණμετཻࢠपғͷਫৠ‫ ౓ີؾ‬v ʹؔ͢Δ֦ࢄํఔࣜ͸


∂v
νv ∂
∂v
2 ∂v
= −∇ · Fv ɹɹɹ ∴
= 2
r
∂t
∂t
r ∂r
∂r

(4.27)

ͱදͤΔ͜ͱʹͳΔ 21 . ࠓ, ஫໨͍ͯ͠Δණཻࢠͷ·ΘΓͷਫৠ‫ؾ‬෼ࢠͷ֦ࢄ৔͕ͦͷණཻࢠͷ੒௕աఔʹΑͬͯͦΕ΄ͲӨ‫ڹ‬Λड͚ͳ͍΋ͷͱߟ͑Ε͹, ֦ࢄํఔࣜ (4.27) ͷࠨล͸ۙࣅతʹθϩͱ‫ͤͳݟ‬ΔͷͰ

∂
∂r


r

2 ∂v

∂r


=0

(4.29)

ͱͰ͖Δ. ͜ΕΑΓ r2 (∂v /∂r) = const. ≡ A ͱͰ΋ஔ͚͹∂v
AA= 2 ɹɹ ∴ v = − + B∂rrr(4.30)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ (B ͸ੵ෼ఆ਺). ණμετཻࢠ͔Βे෼ԕํͰഎ‫ܠ‬ਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρv ʹͳΔ΋ͷͱͯ͠ r → ∞ Ͱ v → ρv , Ճ͑ͯ, ණμετཻࢠද໘Ͱ͸๞࿨ਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρsat ʹͳΔ΋ͷͱͯ͠r → R Ͱ v → ρsat ͱ͍͏‫ڥ‬ք৚݅Λ՝͢͜ͱͰੵ෼ఆ਺ A, B ͸ܾఆग़དྷͯ, ණཻࢠ·ΘΓͷ‫ؾ‬
૬ H2 O ෼ࢠͷີ౓෼෍ v (r) ͸Rv (r) = − (ρv − ρsat ) + ρsatr

(4.31)ͱಘΒΕΔ. ͜ΕΑΓ֦ࢄྲྀ (4.26) ͸

Fv (r) = −νv

R(ρv − ρsat )r2
ɹ(4.32)

ͱͳΔ. ͜ͷ֦ࢄϑϥοΫε͕ණμετ‫ٿ‬ද໘Ͱμετ࣭ྔ mp ΁ͱऔΓࠐ·ΕΔͱ͢Ε͹, mp ͷ
࣭ྔ૿Ճ͸

dmp
dt

= −4πR2 Fv (R)= 4πR νv (ρv − ρsat )(4.33)

ͱධՁ͢Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜ΕͰ, ࣜ (4.23) ʹରԠ͢Δ R  lg ͷ৔߹ͷμετ࣭ྔͷ੒௕཰͕ಋ
͔Εͨ͜ͱʹͳΔ. ൺֱ͠΍͍͢Α͏͞Βʹ, ࣜ (4.33) ʹ͓͍֦ͯࢄ܎਺ͱͯ͠෼ࢠ೪ੑͷ֦ࢄ܎਺ νv = vm,v lg /2 (෇࿥ C ࢀর) Λ༻͍Δͱ

dmp
2 lg
= 4πR2 vth,v (ρv − ρsat ) ·dt
R(4.34)ͱද͞ΕΔ. ͜ΕΑΓ, ࣜ (4.23) ͱࣜ (4.34) ͷӈล͸ R = 2 lg ͷͱ͖౳͘͠ͳͬͯ, R < 2 lg ͷͱ͖͸ࣜ (4.23) ͕, R > 2 lg ͷͱ͖͸ࣜ (4.34) ͕ණμετͷ࣭ྔมԽ཰ͱͯ͠ద༻Ͱ͖Δ͜ͱ͕Θ
͔Δ.
21

3 ࣍‫࠲ۃݩ‬ඪ‫( ܥ‬r, θ, ϕ) ʹ͓͚Δൃࢄ (div ) ͷ‫͕ܗ‬
∇·A=

1 ∂ 2
1
1 ∂Aϕ
∂
(r Ar ) +(sin θAθ ) +r2 ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕͰ͋Δ͜ͱΛ༻͍, ࠓͷ৔߹, ‫ٿ‬ରশͰ͋Δ͜ͱ͔Β֯౓ θ, ϕ ʹؔ͢Δඍ෼ͷ߲͸ফ‫͞ڈ‬ΕΔ͜ͱΛߟྀͨ͠.

44(4.28)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ණμετཻࢠͷ෺࣭ີ౓ ρs ͕Ұఆ, ͢ͳΘͪ, ‫͋Ͱ࣭ۉ‬Δͱ͢Ε͹μετ࣭ྔ͸4
mp = πρs R3
3(4.35)

ͱॻ͚Δ͜ͱ͔Β, ࣭ྔ૿Ճͷࣜ (4.23),(4.34) ͸

⎧
vth,v
dR
⎪
⎪
ɹɹɹ (R ≤ 2 lg )⎨ dt = ρ (ρv − ρsat )s⎪v⎪⎩ dR = th,v (ρv − ρsat ) · 2 lg ɹɹɹ (R > 2 lg )dt
ρsR

(4.36)(4.37)

ͱཻ‫ܘ‬ͷ੒௕Λදࣜ͢ʹม‫͖Ͱܗ‬Δ. ͜ͷΑ͏ʹཻ‫ ܘ‬R ͷ࣌ؒมԽͰ‫ݟ‬Δͱ, R < 2 lg ͷ৔߹͸ཻ‫ʹܘ‬ґΒͣҰఆͷ੒௕཰Ͱ͋Δͷʹର͠, R > 2 lg ͷ৔߹͸େཻ͖͍ࢠ΄Ͳ੒௕཰͕མͪΔ͜ͱʹ
ͳΔ.
ຊઅͰ͸, ණμετཻࢠΛ෺࣭ີ౓Ұఆͷ‫͋Ͱٿ࣭ۉ‬Δͱ‫͠ͳݟ‬؆୯Խ্ͨ͠Ͱ, ͦͷ੒௕཰Λ‫͖ͨͯ͠ࢉܭ‬. ͔͠͠, ࣮ࡍͷණ͋Δ͍͸ઇͷ݁থͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔ͸͜ΕΑΓ͸Δ͔ʹෳࡶͰ͋Δ. ͞ΒʹࠓճͷϞσϧʹ͸, ණμετͷ֩‫ܗ‬੒աఔ΍μετಉ࢜ͷিಥ߹ମʹΑΔ੒௕ޮՌ ౳ΛೖΕ͍ͯͳ͍. ͜Εʹ͸؆୯Խͱ͍͏໨త΋΋ͪΖΜ‫·ؚ‬Ε͍ͯΔ͕, ͦΕҎ֎ʹ΋෺ཧతͳཧ༝
͕͋Δ. 1 ͭʹ, ࣮ࡍͷණμετ͸‫ؠ‬ੴ࣭ͷίΞΛ͍࣋ͬͯΔ͜ͱ΋ଟ͘, ࣗൃతͳණͷ֩‫ܗ‬੒ΑΓ΋‫͋ʹط‬Δ֩ʹରͯ͠ͷ‫ڽ‬ॖͷํ͕༗ޮʹಇ͘ͱߟ͑ΒΕΔͨΊͰ͋Δ [9][15]. 2 ͭ໨ʹ, ຊߘͷओ୊ͱͳΔ 1mm αΠζ͔Β 10cm αΠζ΁ͷμετͷ੒௕աఔͰ͸, μετཻࢠಉ͕࢜িಥ͠
ͨͱͯ͠΋‫ʹ͍ޓ‬൓௓ͯ͠߹ମ͠ͳ͍ͱ͍͏ʮ௓ͶฦΓ (Bounce)ʯͷ໰୊͕͋ΔͨΊͰ͋Δ [23].
ࠓճ͸μετཻࢠͷ૊੒ͱͯ͠ H2 O ͷΈΛߟ͕͑ͨ, ࣮ࡍ͸ଟ༷ͳ૊੒ͷόϦΤʔγϣϯ͕ߟ͑ΒΕ, ͦΕΛղੳతɾ਺஋తʹ۠ผ͠औΓѻ͏͜ͱ͕ඇৗʹ೉͍͠ͱ͍͏͜ͱ΋͋Δ. ͨͩ͠, ණμετʹؔͯ͠͸, ۙ೥‫͞ڀݚʹൃ׆‬Ε͍ͯΔۭܺ཰Λߟྀͨ͠μετΞάϦήΠτͷ߹ମিಥʹ
ΑΔ੒௕ཧ࿦΋ඇৗʹ༗ޮͳγφϦΦͰ͋Δ [24][25][26]. ͔͠͠, ຊ‫͕ڀݚ‬஫໨͢Δ ice line ۙ๣ʹ͓͚Δ੒௕ʹ͸, ͜ͷߴۭܺμετͷ੒௕γφϦΦ͸༗ޮʹಇ͔ͳ͍΋ͷͱߟ͍͑ͯΔ. ͳͥͳΒ, ice line ۙ๣ͷ૬มԽ͕‫ྖͳൃ׆‬ҬͰ͸, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑͬͯණཻࢠ͸ίϯύΫτ‫ͯͬ͠ͳʹٿ‬·͍ΞάϦήΠτͷۭܺ཰͕௿͘ͳΔ͔ΒͰ͋Δ. ‫ڽ‬ॖɾঢ՚͕‫ ͳൃ׆‬ice line ۙ๣ͷණμετʹؔͯ͠͸, Ϋογϣϯͷ໾ׂΛՌͨ͢͸ͣͷۭ͕ܺগͳ͘ͳΔ͜ͱʹΑͬͯ, ΞάϦήΠτ͸িಥͯ͠΋߹ମ͢Δ͜ͱͳ͘ʮ௓Ͷฦͬͯ͠·͏ʯͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ.
Ҏ্ͷ͜ͱ͔Β, ຊઅͷղੳ݁Ռ ࣜ (4.36),(4.37) ͸͋͘·Ͱ΋Ϟσϧͱͯ͠ͷ‫ੵݟ‬΋ΓͰ͋Γෆఆੑ͕ଟ͘‫·ؚ‬Ε͍ͯΔͱ͍͏͜ͱʹ஫ҙΛ͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍. ಛʹຊߘͷ৔߹͸͔͔ͨͩ

10cm ఔ౓·Ͱͷμετ੒௕͔͠ߟ͑ͳ͍ͨΊ, ΄ͱΜͲ͕ R  lg ʹ౰ͯ͸·Δ͜ͱΛߟྀͯ͠,ҎԼͰ͸ࣜ (4.23) ͓Αͼࣜ (4.36) Λණμετͷ࣭ྔ mp ͓Αͼཻ‫ ܘ‬R ͷ੒௕཰ͱͯ͠࠾༻͠༻͍
Δ͜ͱʹ͢Δ.

45

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

਺஋‫ࢉܭ‬ख๏5͜ͷষͰ͸, ຊ‫਺͍ͨ༻Ͱڀݚ‬஋‫ࢉܭ‬ख๏ʹ͍ͭͯ‫ه‬ड़͢Δ. ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫಺ʹ͓͚ΔΨεͱμετͷμΠφϛΫε, ͓Αͼ ͦΕʹ൐͏ ice line ۙ๣ʹ͓͚Δ‫ؾ‬૬ (ਫৠ‫)ؾ‬-‫ݻ‬૬ (ණ) ؒͷ࣭ྔަ‫׵‬ΑΔණμετͷ੒௕͸, Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜ (Advective-Diﬀusion equation)

 

 
⎧
∂fp
∂ fp
∂ fp
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
⎪
(vz fp ) +ɹɹ(5.1)−
ρg D p⎨ ∂t = − ∂R (vR fp ) − ∂r (vr fp ) + ∂r ρg Dp ∂r ρ
∂z
∂z
∂z ρg
g

 

 
∞
⎪
∂
∂ ρv
∂ ρv
∂ρ
∂
∂
⎪
⎩ v =
mp
+
(5.2)
(vR fp ) dR +
ρg D g
ρg D g
∂t
∂R
∂r
∂r ρg
∂z
∂z ρg
0
Λղ͘͜ͱʹΑͬͯٞ࿦͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͜͜Ͱ, fp ͓Αͼ ρv ͸ණμετͷαΠζ෼෍ؔ਺͓
Αͼਫৠ‫ؾ‬ͷ࣭ྔີ౓Ͱ͋Γ, ·ͨ mp = (4π/3)ρs R3 ͸ཻ‫ ܘ‬R ͷණμετͷ࣭ྔͰ͋Δ. ཻ‫͕ܘ‬R ͔Β R + dR ͷؒʹ͋Δණμετཻࢠͷ਺ີ౓͸, αΠζ෼෍ؔ਺Λ༻͍ͯ fp (R, r, z, t) dR ͱද͞Ε, ͜ΕΑΓණμετͷۭ࣭ؒྔີ౓͸∞ρp ≡mp fp dR

(5.3)

0ͱఆٛ͞ΕΔ. ࣜ (5.1) ӈลͷୈ 1 ཻ߲͕‫ ܘ‬R ํ޲ͷҠྲྀ (ཻ‫ܘ‬ͷ੒௕), ୈ 2 ߲͕ԁ൫ಈ‫ ܘ‬r ํ޲ͷҠྲྀ (த৺੕མԼ), ୈ 4 ߲͕ԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ͷҠྲྀ (੺ಓ໘௜఼), ͦͯ͠ୈ 3 ߲͓Αͼୈ 5 ߲͕ණμετͷ r ํ޲͓Αͼ z ํ޲ͷ֦ࢄΛද͍ͯ͠Δ. ·ͨ, ࣜ (5.2) ӈลͷୈ 1 ߲͸ණμετ͕੒௕ͨ͠෼ ͦͷपғΛऔΓ‫͘ר‬ਫৠ‫ݮ͕ྔؾ‬গ͢ΔޮՌͰ͋Γ 22 , ಉ͘͡ୈ 2 ߲͓Αͼୈ 3 ߲͸ਫৠ‫ؾ‬ͷ r ํ޲͓Αͼ z ํ޲ͷ֦ࢄΛද͍ͯ͠Δ (ਫৠ‫ͯؔ͠ʹؾ‬͸Ҡྲྀ߲͸ͳ͍). 3
͜ͷҠྲྀ֦ࢄํఔࣜ (5.1),(5.2) ͸Ұ‫ݟ‬ෳࡶʹ‫͑ݟ‬Δ͕, ҎԼʹड़΂ΔΑ͏ͳʮԋࢉࢠ෼ׂ๏

(operator splitting method)ʯΛ༻͍Δͱ, ͦΕͧΕͷӈลʹ͋ΔҠྲྀ߲͓Αͼ֦ࢄ߲Λ֤ʑ͔͋ͨ΋෦෼తʹѻ͏͔ͷΑ͏ʹͯ͠ fp , ρv ͷ࣌ؒൃలΛܾΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖ΔͨΊ, ਺஋‫ࢉܭ‬ͷΞϧΰϦζϜ͸ൺֱత ୯७ͳ΋ͷͱͳΔ. ਺஋ղ๏ͷେ·͔ͳํ਑ͱͯ͠͸͜ͷԋࢉࢠ෼ׂ๏Λ࠾༻͠,Ҡྲྀ߲ʹ͸ʮ෩্ࠩ෼๏ʯΛ, ֦ࢄ߲ʹ͸ʮΫϥϯΫɾχίϧιϯ๏ʯΛͦΕͧΕ༻͍Δ͜ͱͰණμετͷαΠζ෼෍ؔ਺ fp ͓Αͼਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρv ͷ࣌ؒൃలΛղ͍͍ͯ͘͜ͱʹ͢Δ.

5.1

ํఔࣜͷແ࣍‫ݩ‬ԽණμετͷαΠζ෼෍ؔ਺ fp (R, r, z, t) ͓Αͼਫৠ‫ؾ‬ͷ࣭ྔີ౓ ρv (r, z, t) ʹؔ͢ΔҠྲྀ֦ࢄํఔࣜ (5.1),(5.2) Λ਺஋తʹղ͘͜ͱΛߟ͑, ͜͜Ͱ͸·ͣ ຊষҎલͰٞ࿦ͨ͠಺༰Λ؆୯ʹ·ͱΊ, ํఔࣜͷແ࣍‫ݩ‬ԽΛߦ͏. ࣜ (5.1),(5.2) ʹ͓͍ͯ, Ψεͷ෼෍ʹ͍ͭͯ͸, ৗʹத৺੕ॏྗͱΨεͷѹྗ͕ฏߧ (੩ਫѹฏߧ) ͍ͯ͠Δ΋ͷͱͯ͠, ࣜ (3.28) ΑΓ



Σg
z2
ρg = √
exp −
2Hg 2
2πHg
22

(5.4)

ࣜ (5.1) ͷ྆ลʹණμετ࣭ྔ mp Λֻཻ͚ͯ‫ ܘ‬R ʹؔͯ͠ੵ෼͢Δͱ, ୯७ͳ࣭ྔີ౓ ρp ʹؔ͢ΔۭؒతͳҠྲྀ֦ࢄํఔࣜͱͳͬͯ, ͦͷӈลୈ 1 ߲ͱࣜ (5.2) ӈลͷୈ 1 ߲ͱ͕ҟූ߸Ͱ౳͘͠ͳΔ.

46

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱ͢Δ. R, r, z ํ޲ͷ֤Ҡྲྀ଎౓͸ࣜ (4.36) ͓Αͼࣜ (3.42) ͷୈ 1 ࣜ, ୈ 3 ࣜΑΓvth,v(ρv − ρsat )
ρs
2ηvK
= −
τs + τs −1= −ΩK τs z

vR =

(5.5)

vr

(5.6)

vz

(5.7)

Ͱ͋Γ (vth,v ͸ H2 O ෼ࢠͷ೤଎౓, ρs ͸ණμετͷ෺࣭ີ౓), ֦ࢄ܎਺ʹ͍ͭͯ͸ࣜ (2.6),(3.156)
ΑΓਫৠ‫( ؾ‬Ψε) ͓ΑͼණμετͦΕͧΕʹ͍ͭͯDg = αcs,g Hg
Dg
Dp =1 + τs 2

(5.8)
(5.9)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜͜Ͱ α ͸ཚྲྀ೪ੑͷ α ύϥϝʔλͰ͋Γ, ࠓճ͸σϑΥϧτͰ α = 10−2
ͱධՁ͢Δ (ࣜ (2.60) ࢀর). Ψε෼ࢠɾ‫ؾ‬૬ਫৠ‫ؾ‬ͷԻ଎͓Αͼ೤଎౓͸ͦΕͧΕϚΫε΢ΣϧɾϘϧπϚϯ෼෍Λద༻ͯ͠cs,g =kB T
μ g mHcs,v =kB T
ɹ=μH2 O mHvth,g =kB T
1
= √ cs,g2πμg mH2π

vth,v =kB T=
2πμH2 O mH

(5.10)
μg
cs,g
μH2 O

μg
cs,g
2πμH2 O

(5.11)(5.12)(5.13)

ͱॻ͚Δ (ࣜ (4.16) ࢀর). ͨͩ͠ μg , μH2 O ͸ͦΕͧΕΨεͷฏ‫ۉ‬෼ࢠྔ͓Αͼ H2 O ͷ෼ࢠྔͰ͋
Γ, μg = 2.34 , μH2 O = 18 Ͱ͋Δ. ๞࿨ਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρsat ʹ͍ͭͯ͸, Ϋϥ΢δ΢εɾΫϥϖΠϩϯ
ͷࣜ (4.3) ΑΓ๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹ͕
5938 K
Psat = 6.034 × 10 exp −ɹɹ [dyn/cm2 ]T

12(5.14)

ͱॻ͚Δ (ࣜ (4.7)) ͜ͱΛ༻͍ͯρsat =Psat
μH O Psat
= 2
2
cs,v
μg cs,g 2(5.15)

ͱදͤΔ. ԁ൫Ψεͷ໘ີ౓෼෍͓ΑͼԹ౓෼෍ʹؔͯ͠͸, ྛϞσϧࣜ (2.1),(2.4) Λ࠾༻, ԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ʹ͸Թ౓Ұఆͱ͢Δ.
⎧ r −3/2⎪⎨ Σg = 3.3 × 102
ɹ [g/cm2 ]3AU r −1/2⎪⎩
T = 1.6 × 102
ɹ [K]
3AU

47

(5.16)(5.17)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

·ͨ τs = ΩK tstop ͸ແ࣍‫੍ݩ‬ಈ࣌ؒ (Stokes number) Λද͓ͯ͠Γ
⎧
π Rρs
9
⎪
(Ep)
⎪
⎪
⎨ τstop = 8 H ρ ɹɹɹɹɹ (Epstein drag : R ≤ 4 lg )g g
⎪ (St) 4 π R2 ρs
9⎪⎪ɹɹɹɹ ( Stokes drag : R > lg )⎩ τstop =9 8 Hg ρg lg
4(5.18)(5.19)

Ͱ͋Δ. ͜͜Ͱ lg ͸Ψεͷฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔͰ͋Γ, ෼ࢠͷিಥஅ໘ੵ σ = 2 × 10−15 [cm2 ] Λ༻͍ͯ,

μg mH
1
=
ng σ
ρg σ
 2 zr 11/4
ɹɹ [cm] 29.4 exp
3AU
2Hg 2

lg =

(5.20)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ (ࣜ (4.12) ࢀর). lg  30 cm Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βগͳ͘ͱ΋σγϝʔτϧαΠζ
·Ͱͷණμετͷ੒௕Ͱ͋Ε͹, ͦͷपғͷ‫ؾ‬૬ৠ‫ؾ‬͸ࣗ༝෼ࢠྲྀͱ‫ͤͳݟ‬ΔͨΊ, ࠓճͷ‫Ͱࢉܭ‬͸΄ͱΜͲΤϓελΠϯଇ͕ద༻Ͱ͖Δ΋ͷͱࢥͬͯΑ͍. r ํ޲ͷυϦϑτ଎౓ʹ‫ݱ‬ΕΔ η ͸,Ψεͱμετͷ૬ର଎౓Λද͢ແ࣍‫ݩ‬ͷύϥϝʔλͰ͋Γ, ࣜ (3.25) ΑΓcs,g 2 ∂ ln Pg
13 Hg 2=2vK 2 ∂ ln r
8 r2
 r 1/2
 3.2 × 10−3
3AU

η = −

(5.21)(5.22)

ͱॻ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δ.
ҎԼ, ਺஋తʹࣜ (5.1),(5.2) Λղͨ͘Ίʹॾྔͷແ࣍‫ݩ‬ԽΛߦ͏. ·ͣණμετͷཻ‫ͯؔ͠ʹܘ‬(Ep) 
(3AU)
Λಋೖ͠, ͜ͷ R1 ͓Αͼཻ‫ ܘ‬R1 ͷණμετͷ࣭ྔ mp,1
͸ τstop  r=3AU = 1 ͱͳΔ R = R1
z=0

(3AU)

R1

(3AU) (3AU)
ρg,c

8 Hg
π

≡

ρs
(3AU)

Λ༻͍ͯ, R ͓Αͼ mp Λແ࣍‫ݩ‬Խ͢Δ (R1

=
R

R
(3AU)
R1

(3AU)

, ɹ mp,1

4(3AU) 3≡ πρs R13

 2.1 × 102 cm).

,ɹ m
p =

mp
(3AU)

3
=R
(3AU)

∞

ρp =
0

(3AU)

(3AU)

, 1/ΩKrz(3AU), ɹ z̃ = (3AU) , ɹ t̃ = ΩK
t
3AU
Hg

mp fp dR ΑΓμετ෼෍ؔ਺ fp ͸ີ౓ʹؔͯ͠͸ ρg,c

(5.24)

mp,1

࣍ʹ, ಈ‫࠲ܘ‬ඪ r, Ԗ௚࠲ඪ z, ࣌ؒ t ʹؔͯ͠͸ͦΕͧΕ 3AU, Hgr̃ =(5.23)

Ͱແ࣍‫ݩ‬Խ͢Δ.

(5.25)[ρ]ͷ࣍‫ݩ‬Λ͍࣋ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔ΔͷͰ, ࣭ྔ[m][R]

Ͱແ࣍‫ݩ‬Խ͢Ε͹

fp =

(3AU)

mp,1

(3AU)

R1

(3AU)
ρg,c

fp , ɹ ρv =

48

ρv
(3AU)
ρg,c

(5.26)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

(3AU)

Hg
 4.4 × 10−2 Λಋೖ͠,
ͱͳΔ. ͞Βʹ࠲ඪ r ͱ z ͷεέʔϧͷൺΛද͢ύϥϝʔλ h ≡3AU֤ํ޲ͷҠྲྀ଎౓ͱ֦ࢄ܎਺΋ಉ༷ʹແ࣍‫ݩ‬Խ͢Δͱ
vR =
vr =
vz =
g =
D
p =
D

vR
=
(3AU) (3AU)
R1
ΩK
vr

=−
(3AU)

π
1
ρv − ρsat ) =vth,v (84μg −1/4r̃(ρv − ρsat )μH2 O

12η vK13h2=−−1
τs + τs
4 τs + τs −1

3AU ΩKvz
 K τs z̃ = −r̃−3/2 z̃ τs
= −Ω
(3AU)
cs,g
Dg
 g = α r̃
= αcs,g H(3AU) (3AU)
cs,g Hg
Dp
α
α
g =
=

cs,g Hr̃
2(3AU) (3AU)
1 + τs1 + τs 2
cs,g Hg(5.27)(5.28)(5.29)(5.30)(5.31)

ͱͳΔ. ͨͩ͠, ͜͜Ͱ

⎧
Hg
⎪
g =
⎪
= r̃5/4
H
⎪
(3AU)
⎪
⎪
Hg
⎪
⎪
⎪
⎪
ΩK
⎪
⎪
K =
⎪
Ω
= r̃−3/2
⎪
(3AU)
⎪
⎪
ΩK
⎪
⎪
⎪
⎨
vK
vK =
= r̃−1/2
(3AU)
3AU
Ω
⎪
K
⎪
⎪
⎪
c
s,g
⎪
⎪

cs,g == r̃−1/4
⎪
⎪
(3AU)
⎪
cs,g
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
vth,v
μg
⎪
⎪
v
=
=
r̃−1/4⎪⎪(3AU)⎩ th,v2πμH2 Ocs,g(5.32)(Ep)͓Αͼ η vK = 13h2 /8 Λ༻͍ͨ. ͜ͷͱ͖ ρg , ρsat , τsρ̃g =ρ̃sat =
τs(Ep) =Λແ࣍‫Ͱྔݩ‬දͤ͹


ρg
−z̃ 2
−11/4
= r̃
exp
(3AU)
2 r̃5/2
ρg,c
ρsat
μH O
= 2 r̃1/2 Psat
(3AU)
μg
ρg,c
 2 

z̃
R
3/2

= R r̃ exp
 g ρg
2 r̃5/2
H(5.33)(5.34)(5.35)(3AU)ͱॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͨͩ͠ Psat = Psat /Pg,cͱͯ͋͠Δ.

Ҏ্Λ༻͍ͯ, Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜ (5.1),(5.2) Λແ࣍‫ݩ‬Խ͢Δͱ

$ %

$ %
⎧
p
p
f
fp
∂
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
⎪
p
p
⎪
−
=−
(
vr fp ) + h2
(
vz fp ) +
ρg D
ρg D
ɹɹ
(5.36)(vR fp ) −
⎨

∂ r̃
∂ r̃
∂ r̃ ρg∂ z̃
∂ z̃
∂ z̃ ρg
∂ t̃
∂R

 

 
∞
⎪
⎪
∂
∂
∂ ρv
∂ ρv
∂ ρv
∂
⎪
2




⎩
m̃p
+
(5.37)(v f ) dR + h=ρg Dgρg Dg R p∂ r̃
∂ r̃ ρg∂ z̃
∂ z̃ ρg
∂ t̃
∂R
0
ͱͳΔ.

49

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

5.2

ԋࢉࢠ෼ׂ๏ (Operator splitting method)ॳ‫ظ‬஋໰୊ͷํఔࣜ∂f= L 1 f + L2 f + · · · + L N f(5.38)∂t͕͋Δͱ͢Δ. ͜͜Ͱӈล͸ N ‫ݸ‬ͷԿΒ͔ͷԋࢉࢠ L1 , L2 , · · · , LN ͕Ճ๏తʹ f ʹ࡞༻͍ͯ͠Δ
͜ͱΛද͍ͯ͠Δ. Ծʹ, ͜ͷΑ͏ʹ෼ׂ͞Εͨԋࢉࢠͷ͏ͪͦΕͧΕҰ͚͕ͭͩӈลʹ͋Δ৔߹
ʹ͍ͭͯ͸‫ʹط‬, ࣌ؒεςοϓ n ͔Β n + 1 ʹ f Λߋ৽͢Δࠩ෼εΩʔϜ͸Θ͔͍ͬͯΔ΋ͷͱͯ͠, ͜ΕΒͷߋ৽Λ‫߸ه‬తʹ

⎧⎪
f n+1 = F1 (f n , Δt)⎪⎪⎪⎪⎨ f n+1 = F2 (f n , Δt)
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎩ n+1
= FN (f n , Δt)f(5.39)

ͱද͢. ͜ͷͱ͖, ࣜ (5.38) ͷΑ͏ʹ N ‫ݸ‬ͷԋࢉࢠͷ࿨Ͱ࣌ؒൃల͕ද͞Ε͍ͯΔ৔߹ͷ࣌ؒεςοϓߋ৽ͷҰͭͷํ๏ͱͯ͠
⎧⎪f n+1/N = F1 (f n , Δt)⎪⎪⎪⎪⎨ f n+2/N = F2 (f n+1/N , Δt)

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

..
.

(5.40)

f n+1 = FN (f n+(N −1)/N , Δt)

ͱ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. Ҏ্ͷΑ͏ʹ, ෼ׂ͞ΕͨԋࢉࢠͦΕͧΕʹ͍ͭͯద౰ͳࠩ෼εΩʔϜΛ౰ͯ, ࣜ (5.40) ͷΑ͏ͳҰ࿈ͷߋ৽ʹΑͬͯ࣌ؒൃలΛ‫ه‬ड़͢Δํ๏Λʮԋࢉࢠ෼ׂ๏ʯ͋Δ͍͸ʮ෦෼ஈ֊๏ʯͱ͍͏ [27][28].
ࠓճߟ͑ΔҠྲྀ֦ࢄํఔࣜ (5.1),(5.2) ΋࣌ؒൃల͕ԋࢉࢠͷ࿨ͷ‫Ͱܗ‬ද͞Ε͍ͯΔͷͰ, ͜ͷԋࢉࢠ෼ׂ๏Λ࢖͏͜ͱ͕ग़དྷΔ. ද‫্ه‬ͷ؆ศͷͨΊ, ҎԼͰ͸ແ࣍‫ͨ͠ݩ‬Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜ

(5.36),(5.37) Λ

 

 
⎧
∂
∂
∂
∂ f
∂
∂
∂ f
∂f
2
⎪
⎪
=−
(uf ) −(vf ) + h
ρD−(wf ) +
ρD
ɹɹ (5.41)
⎨
∂t
∂R
∂r
∂r
∂r ρ
∂z
∂z
∂z ρ

 

 
∞
⎪
∂y
∂
∂
∂ y
∂
∂ y
⎪
⎩
=
(uf ) dR + h2
R3
ρC
+
ρC
(5.42)
∂t
∂R
∂r
∂r ρ
∂z
∂z ρ
0
ͱද͢͜ͱʹ͢Δ. ਺஋ղ๏ͱͯ͠͸, ͦΕͧΕҠྲྀ߲ʹ͸ʮ෩্ࠩ෼๏ʯΛ࢖͍, ֦ࢄ߲ʹ͸ʮΫϥϯΫɾχίϧιϯ๏ʯΛ࢖ͬͯ࣌ؒൃలΛղ͍͍ͯ͘͜ͱʹ͢Δ.
཭ࢄԽͱͯ͠͸ R, r, z, t ͦΕͧΕʹؔͯ͠ҎԼͷΑ͏ʹεςοϓ఺ΛऔΔ͜ͱʹ͢Δ.
⎧
TR (Ri )ɹ (i = 0, 1, · · · , NR )
Ri =
⎪
⎪
⎪
⎨ r = r + (j − 1)Δr ɹ (j = 0, 1, · · · , N + 2)
j
ini
r

⎪
zk =
Tz (zk )ɹ (k = 0, 1, · · · , Nz + 2)
⎪
⎪
⎩
tn =
tini + nΔt
ɹ (n = 0, 1, · · · , Nt )(5.43)

ͳ͓, r0 , rNr +2 ͓Αͼ z0 , zNz +2 ͸ΰʔετϝογϡͰ͋Γ, ͦΕͧΕ r, z ํ޲ͷ֦ࢄΛղͨ͘ΊʹԾ૝తʹૠೖ͍ͯ͠ΔϝογϡͰ͋Δ. ·ͨ, r, t ʹؔͯ͠͸ͦΕͧΕ Δr, Δt Ͱ౳ִؒʹ཭ࢄԽ

50

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͯ͋͠ΔҰํͰ R, z ʹؔͯ͠͸, R, z Ͱ౳ִؒʹ཭ࢄԽ͢ΔͷͰ͸ͳ͘, ͦΕͧΕҎԼͷΑ͏ʹR , z  ʹ͍ͭͯ౳ִؒʹ཭ࢄԽ͠, ͦΕΛ ద౰ͳؔ਺ TR (R ), Tz (z  ) Λ༻͍ͯม‫͢׵‬Δ͜ͱͰෆ౳
ִؒϝογϡͱ͍ͯ͠Δ.

5.3
5.3.1


Ri = Rini
+ iΔR ɹɹɹɹɹɹɹ (i = 0, 1, · · · , NR )(5.44)

zk = zini
+ (k − 1)Δz  ɹɹɹ (k = 0, 1, · · · , Nz + 2)

(5.45)

࣌ؒൃలμετ෼෍ؔ਺

‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲ (R ํ޲)ණμετͷཻ‫ ܘ‬R ํ޲ͷҠྲྀ߲ (‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲) ͷΈ͕ӈลʹ͋Δํఔࣜ∂f∂=−(u f )∂t∂R(5.46)

ʹ͍ͭͯߟ͑Δ. ͜ͷ྆ลΛ R Ͱੵ෼͢Δͱ∂∂t

Ri+1/2Ri−1/2 Ri+1/2
f dR = − uf(5.47)

Ri−1/2

ͱͳΔ. ͨͩ͠ Ri−1/2 , Ri+1/2 ͸൒ϝογϡ఺Ͱͷ R ͷ஋Λද͍ͯͯ͠, ༗‫ݶ‬ͷମੵΛ࣋ͭηϧΛߟ͑ͨ৔߹ͷηϧ‫ڥ‬քΛҙຯ͍ͯ͠Δ (ਤ 5.1 ࢀর). Ұͭͷηϧ಺Ͱ f ͷ஋͸ҰఆͰ͋Δͱ͢Ε͹, f ͸ੵ෼ͷ֎ʹग़ͯ

 

 
∂
(Ri+1/2 − Ri−1/2 ) fi = −
uf
− uf
∂t
Ri+1/2Ri−1/2(5.48)

ͱͰ͖Δ. ͞Βʹ࣌ؒʹؔͯ͠΋ࠩ෼Խ͢Δ͜ͱͰ
n+1/5

fi

= fin −&'
Δt
(φR )ni+1/2 − (φR )ni−1/2
Ri+1/2 − Ri−1/2(5.49)nΛಘΔ. ͜͜Ͱ fi,j,k≡ f (Ri , rj , zk , tn ) Ͱ͋Γ, লུ‫ ߸ه‬fin ͸྆ลͷ͢΂ͯͷ߲ʹؔͯ͠ r = rj , z =






zk Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βද‫্ه‬ͷ؆ུԽͷͨΊʹ༻͍ͯ
͍Δ.

ҎԼಉ༷ʹ, Լ෇͖ͷఴ͑ࣈʹ͍ͭͯ͸,ಛʹࠞཚΛট͘‫ڪ‬Ε͕ͳ͍‫ݶ‬Γߋ৽ʹؔ܎͢Δ࠲
ඪͷΠϯσοΫεͷΈॻ͘͜ͱʹ͢Δ.

·ͨ, ࣜ(5.49) ͷ (φR )ni−1/2 , (φR )ni+1/2 ͸ͦΕͧΕ൒ϝογϡ఺ Ri−1/2 , Ri+1/2 ʹ͓͚Δ R ํ޲ͷ਺஋ྲྀଋΛද͓ͯ͠Γ, ෩্ࠩ෼ͷߟ͑ํ͔Β
⎧
⎨f n
i
n
n
(φR )i+1/2 = u
⎩f n

i+1

(un > 0)(un < 0)
(5.50)

51







ਤ 5.1: ηϧ‫ڥ‬քΛ௨Δྲྀଋ

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱ͢Δ [28].

Cond ni,j,k ≡ −Δt {(φR )ni+1/2,j,k − (φR )ni−1/2,j,k }Ri+1/2 − Ri−1/2(5.51)

ͱ͢Ε͹, ࣌ؒ Δt ͷ͍͋ͩʹ‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲ʹΑͬͯ૿Ճ͢Δණμετશମͱͯ͠ͷ࣭ྔີ౓͸r = rj , z = zk ʹ͓͍ͯ
Cond sum nj,k = −Δt
=

(

∞
0

Condni,j,k

i

=

R3

∂
(u f ) dR∂R
Ri+1/2R3 dR

Ri−1/2)*
1(
Cond ni,j,k Ri+1/2 4 − Ri−1/2 4
4(5.52)i

ͱදͤΔ͜ͱʹͳΔ.

υϦϑτ߲ (r ํ޲)ԁ൫ r ํ޲ͷҠྲྀ߲ (υϦϑτ߲) ͷΈ͕ӈลʹ͋Δํఔࣜ∂f∂= − (v f )∂t∂rʹؔͯ͠΋, ࣜ (5.49) ͱಉ͡Α͏ʹอଘ‫ܗ‬ͷ෩্ࠩ෼Λ༻͍ͯࠩ෼Խ͢Ε͹
'
Δt &
n+2/5
n+1/5
n+1/5
n+1/5
(φr )j+1/2 − (φr )j−1/2
fj
= fj
−
Δr
⎧
n+1/5
n+1/5
⎨vj fjn+1/5
ɹ (vj fj
+ vj+1 fj+1 > 0)
n+1/5
(φr )j+1/2 =
⎩
n+1/5
n+1/5
n+1/5
vj+1 fj+1
ɹ (vj fj
+ vj+1 fj+1 < 0)(5.53)(5.54)(5.55)

ͱͰ͖Δ.

֦ࢄ߲ (r ํ޲)ԁ൫ r ํ޲ͷ֦ࢄ߲ͷΈ͕ӈลʹ͋Δํఔࣜ


 
∂f
∂ f
2 ∂
=h
ρD
∂t
∂r
∂r ρ

(5.56)

ʹ͍ͭͯ͸ΫϥϯΫɾχίϧιϯ๏Λ༻͍ͯߋ৽Λߟ͑Δ [27][28]. ֦ࢄʹؔ͢Δԋࢉࢠͷ࡞༻Λ  n+2/5

∂
∂ f

ρD
ɹ

∂r
∂r ρ
j


 
 
∂ f n+2/5∂ f n+2/5
1
ρj+1/2 Dj+1/2=− ρj−1/2 Dj−1/2
Δr∂r ρ j+1/2∂r ρ j−1/2
$ n+2/5$ n+2/5
n+2/5 %
n+2/5 %
fj+1
fj
fj
fj−1
1
1
1
=
− ρj−1/2 Dj−1/2
ρj+1/2 Dj+1/2
−
−
Δr
Δr
ρj+1
ρj
Δr
ρj
ρj−1


ρj−1/2 Dj−1/2 n+2/5 ρj−1/2 Dj−1/2 + ρj+1/2 Dj+1/2 n+2/5 ρj+1/2 Dj+1/2 n+2/5
1
=
f
−
f
+
f
j−1
j
j+1
ρj−1
ρj
ρj+1
(Δr)2
'
2
2 &
2
n+2/5
n+2/5
n+2/5
1 − (br )j fj= − 2 (ar )j fj−1 + 2− 2 (cr )j fj+1
(5.57)
h Δt
h Δt
h Δt

52

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱࠩ෼Խͯ͠ද͢͜ͱʹ͢Δ. ͨͩ͠, ͜͜Ͱ⎧2⎪⎪ (ar ) ≡ − h Δt ρj−1/2 Dj−1/2
⎪
⎪
j
⎪
ρj−1
2(Δr)2
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎨ (b ) ≡ 1 + h Δt ρj−1/2 Dj−1/2 + ρj+1/2 Dj+1/2
r jρj2(Δr)2⎪⎪⎪2⎪
h Δt ρj+1/2 Dj+1/2⎪⎪(cr )j ≡ −
⎪
⎪
ρj+1
⎪
2(Δr)2⎪⎪⎩(j = 1, 2, · · · , Nr + 1)

(5.58)

Ͱ͋Δ. ࣜ (5.56) Λ൒ཅతɾ൒ӄతʹ
n+3/5

fj

n+2/5

− fj
Δt

h2
=
2




  n+2/5  n+3/5 


f
∂
∂ f
∂
∂


ρD
ρD
+


∂r
∂r ρ
∂r
∂r ρ
j
j

(5.59)

ͱࠩ෼Խ͢Ε͹, ࣜ (5.57) Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰn+3/5(ar )j fj−1
n+2/5

(qr )j

n+3/5

n+3/5

+ (br )j fj+ (cr )j fj+1

n+2/5

+ {2 − (br )j }fj≡ −(ar )j fj−1

n+2/5

= (qr )jn+2/5

(5.60)

n+2/5− (cr )j fj+1

(5.61)(j = 1, 2, · · · , Nr + 1)
ΛಘΔ. j = 0, j = Nr + 2 ʹ͓͚Δ‫ڥ‬ք৚݅Λࣜ (5.60) ʹ௥Ճ͢Δͱ, ࿈ཱํఔࣜ͸݁‫ہ‬⎡⎤ ⎡ n+3/5 ⎤ ⎡n+2/5 ⎤(qr )0f00(br )0 (cr )0⎢⎥ ⎢ n+3/5 ⎥ ⎢n+2/5 ⎥⎢ (ar )1 (br )1 (cr )1⎥ ⎢ f1⎥ ⎢ (qr )1⎥⎢⎥ ⎢ n+3/5 ⎥ ⎢⎥n+2/5 ⎥⎢⎥⎥⎢⎢(ar )2 (br )2 (cr )2⎢⎥ ⎢ f2⎥ ⎢ (qr )2
⎥
⎢
⎥⎢
⎥=⎢
⎥
..
..
..
..
..
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
.
.
.
.
.
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢ n+3/5 ⎥ ⎢⎥(ar )Nr +1 (br )Nr +1 (cr )Nr +1 ⎦ ⎣ fN +1 ⎦ ⎣ (qr )n+2/5⎣
Nr +1 ⎦
r
n+3/5
n+2/5
0
(ar )Nr +2 (br )Nr +2
(qr )
f
Nr +2

(5.62)

Nr +2

n+3/5

ͱ͍͏ 3 ॏର֯ͷ‫ͳʹܗ‬ΔͷͰ, F અͷํ๏Λ༻͍Δ͜ͱͰ༰қʹ fj͕‫ٻ‬ΊΒΕΔ. ͳ͓, ͜ͷࠨลͷߦྻ͕ࠓ͸࣌ؒʹґଘ͠ͳ͍֨޷ʹͳ͍ͬͯΔͷͰ LU ෼ղࣗମ͸࠷ॳͷ 1 ճ͚ͩߦ͑͹Α͘, ‫ޙ‬͸୅ೖૢ࡞ͷΈͰ‫͕ࢉܭ‬਱ߦͰ͖Δ.

௜఼߲ (z ํ޲)ԁ൫ z ํ޲ͷҠྲྀ߲ (௜఼߲) ͷΈ͕ӈลʹ͋Δํఔࣜ∂f∂= − (w f )∂t∂z(5.63)

ʹؔͯ͠΋, ࣜ (5.49) ͓Αͼࣜ (5.54) ͱಉ͡Α͏ʹอଘ‫ܗ‬ͷ෩্ࠩ෼Λ༻͍ͯࠩ෼Խ͢Δ͕, z ํ޲ͷϝογϡʹ͍ͭͯ͸ෆ౳ִؒͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙͯ͠
n+4/5

fk

n+3/5

= fk

−

&
'
Δt
n+3/5
n+3/5
(φz )k+1/2 − (φz )k−1/2
zk+1/2 − zk−1/2
53(5.64)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）⎧⎨wk fkn+3/5

n+3/5(φz )k+1/2 =
⎩

n+3/5

(wk fkn+3/5

wk+1 fk+1

n+3/5(wk fkn+3/5+ wk+1 fk+1

n+3/5

+ wk+1 fk+1

> 0)
(5.65)< 0)

ͱͰ͖Δ.

֦ࢄ߲ (z ํ޲)ԁ൫ z ํ޲ͷ֦ࢄ߲ͷΈ͕ӈลʹ͋Δํఔࣜ

 
∂f
∂
∂ f
=
ρD
∂t
∂z
∂z ρ

(5.66)

ʹ͍ͭͯ͸, r ํ޲ͷ֦ࢄͱಉ༷ʹΫϥϯΫɾχίϧιϯ๏Λ༻͍ͯ
n+4/5

n+1
n+1
(az )k fk−1
+ (bz )k fkn+1 + (cz )k fk+1
= (qz )k

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨

(az )k(bz )kɹɹ (k = 1, 2, · · · , Nz + 1)

(5.67)

ρk−1/2 Dk−1/2
2(zk+1/2 − zk−1/2 )(zk − zk−1 )ρk−1ρk−1/2 Dk−1/2
ρk+1/2 Dk+1/2
1
Δt
1
≡ 1+
+
2(zk+1/2 − zk−1/2 ) zk − zk−1
ρkzk+1 − zk
ρk
≡−

Δt

ρk+1/2 Dk+1/2
Δt⎪(cz )k ≡ −⎪⎪⎪2(zk+1/2 − zk−1/2 )(zk+1 − zk )
ρk+1
⎪
⎪
⎪
⎪
n+4/5
n+4/5
n+4/5
n+4/5
⎪
⎪
(qz )k≡ −(az )k fk−1 + {2 − (bz )k }fk− (cz )k fk+1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
(k = 1, 2, · · · , Nz + 1)
(5.68)
ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ.
Ҏ্ͷҰ࿈ͷߦఔͰ࣌ؒεςοϓ͕ҰͭਐΊΒΕ, ֤࣌ؒεςοϓͰॱ࣍ಉ͡‫ߦࢉܭ‬ఔΛ਱ߦ͢Δ͜ͱͰμετ෼෍ؔ਺ f ͷ࣌ؒൃలΛղ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ.

5.3.2

ਫৠ‫౓ີؾ‬‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲ (࣭ྔอଘ)࣌ؒ Δ ͷ͍͋ͩͷ r = rj , z = zk ʹ͓͚Δණμετͷ࣭ྔີ౓ͷ૿Ճྔ͸ࣜ (5.52) ΑΓCond sumjn,k ͱॻ͚͓ͯΓ, ණμετͱਫৠ‫ؾ‬ͷ࣭ྔͷ࿨͸อଘ͢Δ͜ͱΛ༻͍Δͱ, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲ʹΑΔਫৠ‫౓ີؾ‬ͷมԽ͸

∂y
=
∂t

∞
0

R3

∂
(u f ) dR∂R(5.69)

͔Β
n+1/3

yj,k

n
= yj,k− Cond sum nj,kͱࠩ෼Խ͢Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ.

54(5.70)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

֦ࢄ߲ (r ํ޲)ԁ൫ r ํ޲ͷ֦ࢄ߲ͷΈ͕ӈลʹ͋Δํఔࣜ


 
∂y
∂ y
2 ∂
=h
ρC
∂t
∂r
∂r ρ

(5.71)

ʹ͍ͭͯ͸, ණμετʹؔ͢Δ֦ࢄ߲ͷऔΓѻ͍ͱಉ༷ʹͯ͠
n+2/3(ār )j yj−1

n+2/3

+ (b̄r )j yj

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨

n+2/3

+ (c̄r )j yj+1

n+1/3

= (q̄r )jɹɹ (j = 1, 2, · · · , Nr + 1)

(5.72)

h2 Δt ρj−1/2 Cj−1/2
ρj−12(Δr)2(ār )j≡−(b̄r )j≡ 1+

h2 Δt ρj−1/2 Cj−1/2 + ρj+1/2 Cj+1/2
ρj2(Δr)2h2 Δt ρj+1/2 Cj+1/2⎪⎪(c̄r )j ≡ −⎪⎪ρj+12(Δr)2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
n+2/3
n+1/3
n+1/3
n+1/3
⎪
(q̄r )j≡ −(ār )j yj−1 + {2 − (b̄r )j }yj− (c̄r )j yj+1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
(j = 1, 2, · · · , Nr + 1)

(5.73)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ.

֦ࢄ߲ (z ํ޲)ԁ൫ z ํ޲ͷ֦ࢄ߲ͷΈ͕ӈลʹ͋Δํఔࣜ

 
∂y
∂
∂ y
=
ρC
∂t
∂z
∂z ρ

(5.74)

ʹ͍ͭͯ΋
n+2/3

n+1
n+1
(āz )k yk−1
+ (b̄z )k ykn+1 + (c̄z )k yk+1
= (q̄z )k

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨

(āz )k(b̄z )kɹɹ (k = 1, 2, · · · , Nz + 1)

(5.75)

ρk−1/2 C
2(zk+1/2 − zk−1/2 )(zk − zk−1 ) ρk−1
ρk−1/2 Cρk+1/2 C
1
Δt
1
≡ 1+
+
2(zk+1/2 − zk−1/2 ) zk − zk−1
ρkzk+1 − zk
ρk
≡−

Δt

ρk+1/2 CΔt⎪(c̄z )k ≡ −⎪⎪⎪2(zk+1/2 − zk−1/2 )(zk+1 − zk ) ρk+1
⎪
⎪
⎪
⎪
n+2/3
n+2/3
n+2/3
n+2/3
⎪
⎪
(q̄z )k≡ −(āz )k yk−1 + {2 − (b̄z )k }yk− (c̄z )k yk+1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
(k = 1, 2, · · · , Nz + 1)ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ.

55(5.76)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ςετϓϩάϥϜ

6ຊষͰ͸਺஋‫ࢉܭ‬ίʔυ͓ΑͼϞσϧͷਖ਼֬ੑͷ֬ೝͷͨΊʹߦͬͨςετϓϩάϥϜʹ͍ͭͯ‫ه‬ड़͢Δ. ͜͜Ͱࣔ͢಺༰͸୯ͳΔςετʹͱͲ·Βͣ, ؆ܿͳઃఆͱ୯७ͳঢ়‫گ‬ͷԼͰͷ‫ࢉܭ‬݁Ռ͔Βૉաఔͷ෺ཧ‫ݱ‬৅Λఆੑతʹ֞ؒ‫ݟ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ఺ͰॏཁͰ͋Δ. ҎԼͰ͸େ͖͘, Ԗ௚ z ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄ߲ʹ͍ͭͯͷςετϓϩάϥϜ, ཻ‫ ܘ‬R ํ޲ͷҠྲྀΛ΋ͨΒ͢‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲ʹ͍ͭͯͷςετϓϩάϥϜͷ 2 ͭʹ෼͚ͯ֬ೝ͍ͯ͘͠. ͜ͷ 2 ͭʹண໨͢Δཧ༝͸, ҎԼʹࣔ͢Α͏ʹ྆ऀͱ΋ʹີ౓෼෍ʹؔͯ͠ཧ࿦ղ͕ଘࡏ͢ΔͨΊ਺஋‫݁ࢉܭ‬Ռͱൺֱর߹͠΍͍ͨ͢Ί
Ͱ͋Δ.

6.1

ԁ൫Ԗ௚ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄμετཻࢠʹ͍ͭͯ, ԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄ߲ͷΈΛߟ͑ͯ, Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜ

 
∂ρp
∂ ρp
∂
∂
= − (vz ρp ) +ρg D p
∂t
∂z
∂z
∂z ρg

(6.1)

Λղ͘͜ͱΛߟ͑Δ. ͨͩ͠ ρp (z, t) ͸μετཻࢠͷۭ࣭ؒྔີ౓, Dp (z) ͸ಉ͘͡μετཻࢠͷ֦ࢄ܎਺Ͱ͋Δ. ࣜ (6.1) ͷఆৗղ͸, ϑϥοΫεʹ͍ͭͯ ∂ ρpv z ρp − ρ g D p
=0
∂z ρg

(6.2)

ͷͱ͖ʹ༩͑ΒΕ, z ํ޲ͷҠྲྀ଎౓ vz Λ௜߱ӡಈͷऴ୺଎౓ −ΩK τs z ͱ͠, ֦ࢄ܎਺Λ Dp =Dg /(1 + τs 2 ) ͱධՁͨ͠৔߹, μετͷఆৗີ౓෼෍͸ࣜ (3.148) ҎԼͷ‫͔ࢉܭ‬Βτs,c 3 3z 2 /2Hg 2
z2
1
(ana)
z 2 /2Hg 2ρp= ρp,c exp −−− 1) +− 1)
τs,c (e(e32Hg 2 α(6.3)ͷΑ͏ʹ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ ( ࣜ (3.154) ). ͜͜Ͱ ρp,c , τs,c ͸ͦΕͧΕԁ൫੺ಓ໘Ͱͷ ρp , τs ͷ஋Λද͍ͯ͠Δ.
෺ཧతʹ͸ఆৗঢ়ଶ͸ҎԼͷΑ͏ʹઆ໌Ͱ͖Δ. Ҡྲྀ߲ vz ρp ≤ 0 ͕ࣔ͢Α͏ʹμετཻࢠ͸த৺੕ॏྗͷԖ௚੒෼Λड͚ͯ੺ಓ໘ʹ௜఼͠Α͏ͱ͢Δ͕, ֦ࢄ߲ −ρg Dp ∂z (ρp /ρg ) ≥ 0 ͕͋ΔͨΊʹཚྲྀ֦ࢄʹΑͬͯೱ౓ͷूத͸๦͛ΒΕΔ. ๦͛ΒΕΔͱ͸‫ͯͬݴ‬΋, ࣌ؒͱͱ΋ʹμετͷ
௜఼͸͡Γ͡ΓͱਐΈ, ͍ͣΕೱ౓Λ‫͢ͱ͏ͦۉ‬Δ֦ࢄͷޮՌͱόϥϯε͢Δͱ͜ΖͰ௜఼͸ఀࢭ͠ఆৗঢ়ଶͱͳΔ. ࣜ (6.3) ͸ͦͷͱ͖ͷμετཻࢠͷີ౓Λද͍ͯ͠Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ.
͜ͷఆৗঢ়ଶʹ͍ͭͯͷཧ࿦ղ (6.3) ʹରͯ͠, ਺஋తʹղ͍ͨ ρp (z, t) ͷ݁ՌΛਤ 6.1, ਤ 6.2,
ਤ 6.3 ʹࣔ͢. ਤ 6.1 ཻ͕‫ ܘ‬R = 0.001R1 ͷμετཻࢠʹ͍ͭͯҠྲྀ֦ࢄΛղ͍ͨ΋ͷͰ͋Γ, ಉ
͘͡ਤ 6.2, ਤ 6.3 ͕ͦΕͧΕ R = 0.01R1 ,R = 0.1R1 ͷμετʹ͍ͭͯີ౓෼෍ͷ࣌ؒൃలΛղ͍ͨ΋ͷʹͳ͍ͬͯΔ. ͍ͣΕͷ৔߹΋ཚྲྀ೪ੑͷ α ύϥϝʔλͷ஋͸ α = 10−2 Ͱ͋Γ, ࢴ໘্Ͱ੺৭ʹછΊΒΕ͍ͯΔ෦෼͕਺஋ղΛ, ࣼઢ෦ͷྖҬ͕ཧ࿦ղΛද͍ͯ͠Δ.
͜ΕΒͷਤ͔Βཧ࿦ղͱ਺஋ղͱ͕Ұக͍ͯ͠Δ༷ࢠ͕‫ͯݟ‬औΕ, ਺஋‫ࢉܭ‬ίʔυ͕ਖ਼͘͠Ҡྲྀ֦ࢄΛղ͚͍ͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ෺ཧతʹ͸, ཻ‫ ܘ‬R ͕େ͖͍μετͷํ͕Α͘੺ಓ໘ʹ௜఼ͯ͠56

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͍Δ͜ͱ͕༰қʹཧղͰ͖Δ. ͜Ε͸μεταΠζ͕େ͖͍ํ͕ΨεͱͷΧοϓϦϯά͕ऑ͘, ੍ಈ࣌ؒ τs ͕ΑΓ௕͘ͳΔ͜ͱ͕ཁҼͰ͋Δ. τs ͷ஋͕େ͖͘ͳΔͱ, ௜఼ vz = −ΩK τs z ͕‫ͳ͘ڧ‬Γ, ҰํͰ͸֦ࢄ܎਺ Dp = Dg /(1 + τs 2 ) ͕མͪΔͨΊ, ݁Ռͱͯ͠ఆৗঢ়ଶͰ͸௜఼߲ (Ҡྲྀ߲)͕ޮ͍ͯີ౓෼෍ ρp ͸੺ಓ໘ z = 0 ʹରͯ͠Ӷ͘ͳΔ.
·ͨ, ਤͷ࣌ؒൃలͷ༷ࢠ͔Β, ԁ൫্૚͢ͳΘͪ z ͕େ͖͍ͱ͜ΖͰ௜߱ӡಈ͕ܹ͍͜͠ͱ͕
ಡΈऔΕΔ. ͜Εʹ͍ͭͯ͸, Ψεͷີ౓ ρg ͕ exp(−z 2 /2Hg 2 ) ʹൺྫ͢ΔґଘੑͰ z ʹؔͯ͠খ
͘͞ͳΔ ͱ͍͏ԁ൫ͷ੒૚ߏ଄͕ؔ܎͍ͯ͠Δ. ࠓճͷධՁͰ͸, ௜఼଎౓Λ z ํ޲ͷӡಈͷऴ୺଎౓ −ΩK τs z Ͱ‫ੵݟ‬΋͓ͬͯΓ, ੍ಈ࣌ؒ τs ͸ΤϓελΠϯଇͰ ρg ʹ൓ൺྫ͢ΔͨΊ, ‫্ࢉܭ‬,ԁ൫্૚ͷΨεີ౓͕খ͍͞෦෼Ͱ‫ͳܹٸ‬μετͷ௜͕߱‫͍ͯͬ͜ى‬Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ͨͩ͠, ͜Ε͸͋͘·Ͱࠓճ࠾༻ͨ͠ϞσϧͰͷ݁ՌͰ͋ͬͯ, ຊདྷͷ΋ͷΑΓ௜఼଎౓Λେ͖͘‫ੵݟ‬΋Γ͍͗ͯ͢Δ͔΋͠Εͳ͍. ͱ͍͏ͷ΋௜఼଎౓Λऴ୺଎౓Ͱۙࣅͯ͠ଥ౰ͳͷ͸ τs  1 ͷ৔߹ͷμετ͕ա‫ݮ‬ਰӡಈ͢Δ৔߹ʹ‫ݶ‬ΒΕΔ͔ΒͰ͋Δ. τs

1 ͷ৔߹ μετ͸, ΨεͱͷΧοϓϧ͕ऑ͗ͯ͢ z ํ޲ʹ͸ͨͩ୯ʹௐ࿨ৼಈ͢Δ͚͔ͩ, ͋Δ͍͸, খ͞ͳΨε఍߅Λड͚ͳ͕Β‫ݮ‬ਰৼಈΛߦ͏. ͜ͷ৔߹, ऴ୺଎౓Ͱ௜఼଎౓ΛධՁ͢Δۙࣅ͸ഁ୼ͯ͠͠·͏. ͱ͸‫͑ݴ‬, ࠓճͷ਺஋‫݁ࢉܭ‬Ռ΄Ͳͷܹ͍͠μετͷ௜߱͸ͳ͍͔΋஌Εͳ͍͕࣮ࡍͷμετ΋, ԁ൫্૚ͷαΠζ͕େ͖͍΋ͷ͸ૉૣ͘੺ಓ໘΁ͱ௜߱͢Δ͸ͣͰ΋͋ΔͨΊ, ͜Ε͸େ͖ͳ໰୊Ͱ͸ͳ͍ͱߟ
͑ΒΕΔ.

57

《修士論文》

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ɹਤ 6.1: Ҡྲྀ֦ࢄ (z ํ޲) ςετ [ R = 0.001R1 ∼ 0.1cm ]ਤ 6.2: Ҡྲྀ֦ࢄ (z ํ޲) ςετ [ R = 0.01R1 ∼ 1cm ]ਤ 6.3: Ҡྲྀ֦ࢄ (z ํ޲) ςετ [ R = 0.1R1 ∼ 10cm ]58

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

6.2‫ڽ‬ॖɾঢ՚ (ཻ‫޲ํܘ‬ͷҠྲྀ)ණμετཻࢠʹ͍ͭͯ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ͷΈΛߟྀͨ͠Ҡྲྀํఔࣜ
⎧
∂fp
∂
⎪
⎪
=−
(vR fp )
⎪
⎪
∂t
∂R
⎪
⎪
⎪
⎨
∞
∂
∂ρv
=
(vR fp ) dR
mp
⎪
∂t
∂R
⎪
0
⎪
⎪
⎪
v
⎪
⎪
⎩ vR = th,v (ρv − ρsat )
ρs

(6.4)

Λղ͘͜ͱΛߟ͑Δ. ͨͩ͠, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲ͷΈΛߟྀ͢Δͱ͸‫͕ͳ͍ݴ‬Β, ͜͜Ͱ͸‫ࣜܗ‬తʹ z࠲ඪʹ͍ͭͯͷμετཻࢠ͓Αͼਫৠ‫ؾ‬ͷ෼෍Λߟ͑ͯ, fp = fp (R, z, t) , ρv = ρv (z, t) ͱͯ͠ҠྲྀํఔࣜΛղ͘͜ͱʹ͢Δ. ͭ·Γ, z ํ޲ʹۭؔͯؒ͠తͳӡಈ͕ͳ͍৔߹ʹ‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲Λ௨
ͯ͠ණμετͱਫৠ‫Ͳ͕ؾ‬ͷΑ͏ʹ࣭ྔΛ΍ΓऔΓ͢Δͷ͔ͱ͍͏໰୊Λߟ͑Δ. ࣜ (6.4) ͸, λΠϜεέʔϧ͕௕͍ۭؒతͳҠྲྀ֦ࢄ߲Λແࢹ͠, λΠϜεέʔϧͷ୹͍‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲ʹয఺Λ౰ͯͨํఔࣜͰ͋Δͱ΋‫͑ݴ‬ΔͨΊ, ͜ͷ໰୊͸୯ͳΔςετϓϩάϥϜͱͯ͠ͷ໰୊Ҏ্ʹॏཁͳҙຯΛ‫ؚ‬ΜͰ͍Δ.
·ͣ͸, ཧ࿦తʹණμετͱਫৠ‫ؾ‬ͷఆৗۭؒ෼෍Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱΛߟ͑Δ. ࣜ (6.4) ͷୈ 3 ࣜΑΓ, ཻ‫ܘ‬ͷ੒௕଎౓ vR (z, t) ͸ཻ‫ ܘ‬R ࣗମʹ͸ґΒͳ͍‫ܗ‬Λ͍ͯ͠Δ. ͜ͷ͜ͱ͔Β෼෍ؔ਺fp (R, z, t) ͸, R ํ޲ʹରͯ͠෼෍ͷ‫ܗ‬ঢ়͸ม͑ͣʹ, ͦͷ࣌ͦͷ৔ॴʹ͓͚Δ vR (z, t) Ͱ୯ʹฒਐ
͢Δ͚ͩͰ͋Δ. ͢΂ͯͷཻࢠʹ͍ͭͯॳ‫ܘཻظ‬Λ R = R0 > 0 ͱ༩͑, ॳ‫ظ‬෼෍Λσϧλؔ਺ δ͓Αͼ R, t ʹؔͯ͠ͷఆ਺ f0 (z) Λ༻͍ͯfp (R, z, 0) = f0 (z) δ(R − R0 )(6.5)

ͱ͢Ε͹, ͜ͷͱ͖ࣜ (6.4) ͷ‫ࣜܗ‬ղ͸ϔϰΟαΠυͷ֊ஈؔ਺ θ Λ‫ؚ‬Ήt

fp (R, z, t) = f0 (z) θ(R) δ(R − R0 −vR (z, t ) dt )0= f0 (z) θ(R) δ(R − a(z, t))(6.6)ͷΑ͏ͳࣜͰද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͨͩ͜͜͠Ͱ, ֊ஈؔ਺ θ(R) ͸, ཻ‫ ܘ‬R ͕ෛͷྖҬͰμετ෼෍ؔ਺Λߟ͑ͳ͍ͨΊʹಋೖͨ͠΋ͷͰ͋Δ. ·ͨࣜ (6.6) ʹ͓͍ͯొ৔͢Δ a(z, t) ʹؔͯ͠͸ta(z, t) ≡ R0 +vR (z, t ) dt

(6.7)

0

ͱఆٛͨ͠. ͜ͷαΠζ෼෍ؔ਺ (6.4) ͔Βμετͷۭ࣭ؒྔີ౓ ρp (z, t) ͸∞ρp (z, t) =mp fp (R, z, t) dR
0

=
=

∞
4π
ρs f0 (z)R3 θ(R) δ(R − a(z, t)) dR
30
4π
ρs f0 (z) a(z, t)3 θ(a(z, t))
3

59

(6.8)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱॻ͚Δ. ॳ‫ ظ‬t = 0 ʹ͓͍ͯμετཻࢠͷۭؒີ౓͕ ρp,0 (z) Ͱ͋Δͱ͢Δͱ, ࣜ (6.8) ΑΓ f0 (z)͸f0 (z) =ρp,0 (z)(4π/3)ρs R0 3

(6.9)

Ͱ͋Γ, ݁‫ہ‬, μετۭؒີ౓͸a(z, t) 3
ρp (z, t) = ρp,0 (z)R0(6.10)

ͷΑ͏ʹॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ. ࠓͷઃఆͰ͸, ۭؒతͳҠྲྀ֦ࢄ͸ͳ͍ͱ͍ͯ͠ΔͷͰ, ࣜ (6.10) ͸,ͨͩ୯ʹͦͷ৔ॴͦͷ৔ॴͰಈ͔ͳ͍ණμετʹཻؔͯ͠‫͕ܘ‬੒௕ͨ͠෼͚ͩ ρp (z, t) ͕૿Ճ͢Δ͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δ.
Ұํ, ࣜ (6.4) ͷୈ 2 ࣜʹୈ 3 ࣜΛ୅ೖ͢Δͱ∂ρv (z, t)
∂t

=
=

∞
∂fp (R, z, t)
4πvth,v (ρv (z, t) − ρsat )
dR
R3
3
∂R
0

∞
 3
∞
4π
2
vth,v (ρv (z, t) − ρsat ) R fp (R, z, t) 0 − 3
R fp (R, z, t) dR30∞= −4π vth,v (ρv (z, t) − ρsat )R2 fp (R, z, t) dR(6.11)

0ΛಘΔ. ͨͩ͠, ࠷‫ޙ‬ͷ౳߸Ͱ͸ R → ∞ Ͱ fp (R, z, t) → 0 ͱ͍͏৚݅Λ༻͍ͨ. ͜ͷࣜ (6.11) ͸,ਫৠ‫ ͕ؾ‬vth,v ͱ͍͏య‫ܕ‬తͳ଎౓Ͱμετͷද໘ੵ 4πR2 Λ໨ֻ͚ͯিಥ͢Δ͜ͱͰ, ๞࿨ਫৠ‫ ྔؾ‬ρsat ͔ΒଌͬͨࣗΒͷີ౓ʹൺྫ͢Δޮ཰ͰμετʹऔΓࠐ·Εͯ, ͦͷ݁Ռ ີ౓Λ‫ݮ‬গͤ͞Δͱ͍͏‫ڽ‬ॖ (͓Αͼঢ՚) ͷҰ࿈ͷϝΧχζϜΛ؆ܿʹද͍ͯ͠Δ. ‫ࣜܗ‬ղ (6.6) Λࣜ (6.11) ʹ୅ೖ͠, q(z, t) ≡ ρv (z, t) − ρsat Λ༻͍Δͱ

∂q(z, t)∂t∞

= −4π vth,v q(z, t) f0 (z)R2 θ(R) δ(R − a(z, t)) dR0= −4π vth,v q(z, t) f0 (z) θ(a(z, t)) a(z, t)2(6.12)

ͱͳΔ. ͜͜Ͱ a(z, t) Λࣜ (6.7) Ͱఆ͍ٛͯͨ͜͠ͱΛࢥ͍ग़ͯ͠

vth,v∂a(z, t)= vR (z, t) =q(z, t)∂tρs(6.13)∂ 2 a(z, t)∂a(z, t)= −4πvth,v f0 (z) θ(a(z, t)) a(z, t)22∂t∂t(6.14)

ʹ஫ҙ͢Δͱࣜ (6.12) ͸ͱͰ͖Δ. ͞Βʹ, ͜ͷࣜͷ྆ลΛੵ෼͢Δͱ
a(z,t)∂a(z, t) vth,v2−
q0 (z) = −4πvth,v f0 (z)θ(a ) a da
∂t
ρs
R0
⎧
⎨a(z, t)3 − R 3 ɹ ( a(z, t) ≥ 0 )vth,v∂a(z, t)4π0∴q0 (z) −=vth,v f0 (z)⎩−R0 3∂tρs3
ɹ ( a(z, t) < 0 )60(6.15)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱͳͬͯ, ࣜ (6.9) Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰ݁‫ہ‬∂a(z, t)∂t=b(z) ≡⎧

a(z, t) 3⎪⎪
ɹ ( a(z, t) ≥ 0 )b(z) −
vth,v ρp,0 (z) ⎨
R0
⎪
ρs
⎪
⎩b(z)
ɹ ( a(z, t) < 0 )ρv,0 (z) − ρsat + ρp,0 (z)ρp,0 (z)(6.16)(6.17)͕ಘΒΕΔ. ॳ‫ظ‬৚݅Λ a(z, 0) = R0 ͷΑ͏ʹ༩͔͑ͯΒ‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔ͕ͲͷΑ͏ʹਐΉ͔ʹ͍ͭͯ, ඍ෼ํఔࣜ (6.16) ͷ‫ܗ‬ΑΓ࠲
ඪ z Λେ͖͘ 3 ͭͷྖҬʹ෼͚ͯߟ͑ΒΕΔ
͜ͱ͕Θ͔Δ.
·ͣ b(z) ≥ 1 ͷྖҬʹؔͯ͠͸, ॳ‫ظ‬৚͔݅Β࢝·ͬͯ ∂a/∂t ≥ 0 Ͱ͋ΔͨΊμετ෼෍ؔ਺͸ R ਖ਼ํ޲΁ͱҠྲྀ͠, ͍ͣΕਤ 6.4: ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ͷ֓೦ਤ

3a(z, t) ͕େ͖͘ͳͬͨ b(z) − [a(z, t)/R0 ] =0 ͷͱ͜ΖͰ෼෍ͷฒਐ͸ऴΘΔ. ͜Ε͸·͘͞͠ණμετͷ੒௕աఔʹଞͳΒͳ͍. ੒௕͕b(z) − [a(z, t)/R0 ]3 = 0 ͷͱ͜ΖͰࢭ·ͬͯ͠·͏ͷ͸๛෋ʹ͋ͬͨਫৠ‫ؾ‬Λμετ͕ʮ৯͍ਚ͘
͢ʯ͜ͱͰ‫ׇ͠ރ‬, ͦͷ͏ͪ ρv = ρsat ͱͳΔͨΊͰ͋Δ. Ͱ͸, ‫ ʹٯ‬b(z) < 1 ͷྖҬͰ͸Ͳ͏ͩΖ
͏͔. ΋ͪΖΜ͜ͷ৔߹͸, ॳ‫∂ ͍͓ͯʹࠁ࣌ظ‬a/∂t < 0 Ͱ͋Δ͔Βμετ෼෍ؔ਺͸ R ํ޲ ෛͷ޲͖΁ͱಈ͘. ͱ͸‫ͯͬݴ‬΋, ͜ͷ৔߹΋ෛͷํ޲΁ͱͲ͜·Ͱ΋෼෍͕εϥΠυ͍͚ͯ͠ΔΘ͚Ͱ͸ͳ͍. 0 ≤ b(z) < 1 ͷྖҬͰ͸, a ͕খ͘͞ͳ͍ͬͯͬͨ຤ʹ, b(z) − [a(z, t)/R0 ]3 = 0 ͷͱ͜ΖͰҠྲྀ͸ࢭ·Δ. ͜ͷ৔߹͸, ණμετ͕ঢ՚ͨ͠෼͚ͩਫৠ‫ؾ‬ͷີ౓ ρv ͕૿͑ͯ๞࿨ਫৠ‫ ྔؾ‬ρsat ʹୡ͠, ૬ฏߧঢ়ଶͱͳͬͯ ͦΕҎ্ μετ͕ঢ՚Ͱ͖ͳ͘ͳͬͯఆৗঢ়ଶʹͳΔͱ͍
͏Θ͚Ͱ͋Δ. ҰํͰ b(z) < 0 ͷྖҬͰ͸, ͜͜Ͱಋೖͨ͠ a(z, t) ࣗମͷ‫ݮ‬গ͸ࣜͷ্ͰͲ͜·Ͱߦͬͯ΋ࢭ·Βͳ͍. a(z, t) ≥ 0 ͷͱ͖͸ࣜ (6.16) ͷୈ 1 ࣜͰ‫ݮ‬গ͠, a(z, t) < 0 ͱͳ͔ͬͯΒ͸ୈ 2 ࣜͰ‫ݮ‬গ͢Δ. ͔͠͠, 0 ΛԼճͬͯ a(z, t) ͕͍͘Β‫ݮ‬গ͠ଓ͚Α͏ͱ΋ෛͷཻ‫ܘ‬Λ࣋ͭμετ͸ଘࡏͰ͖ͳ͍ͨΊμετ෼෍ؔ਺ fp (R, z, t) ͱͯ͠ͷʮҠྲྀʯ͸‫͜ى‬Βͳ͍ (ॿ௕ʹա͗ͳ͍͕, ֊ஈؔ਺ θ(R) Λֻ͚͓͍ͯͨͷ͸͜ͷͨΊͰ΋͋Δ). ࠓճͷϞσϧͰ͸ණཻࢠͷ֩‫ܗ‬੒Λߟ͑ͳ͍ͷͰ, ͜ͷ b(z) < 0 ͷྖҬʹؔͯ͠͸ ͭ·Γ, a(z, t) = 0 ͱͳͬͨ࣌఺Ͱ෼෍͸ఆৗʹୡ͍ͯ͠Δʹ౳͍͜͠ͱʹͳΔ.
(st)Ҏ্Λ·ͱΊͯ, ͦΕͧΕͷྖҬͰͷఆৗμετ෼෍ؔ਺ fp (R, z) Λॻ͚͹⎧
⎨δ(R − R0 b(z)1/3 ) ɹ ( b(z) ≥ 0 )(st)
fp (R, z) = f0 (z)⎩0 ɹɹɹɹɹɹɹɹ ( b(z) < 0 )61(6.18)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）(st)ͱͳΔ. ͜ΕΑΓμετཻࢠͷۭؒఆৗ෼෍ ρp (z) ͸⎧⎨ρv,0 (z) + ρp,0 (z) − ρsat (z) ɹ ( b(z) ≥ 0 )
∞
(st)
ρ(st)
(z)
=
m
f
(R,
z,
t)
dR
=
p
p
p
⎩0 ɹɹɹɹɹɹɹɹɹɹɹɹ ( b(z) < 0 )0(st)(6.19)(st)ͱͳΔ. ਫৠ‫ؾ‬ͷఆৗ෼෍ʹؔͯ͠͸ࣜ (6.19) ͱ࣭ྔอଘଇ ρv (z) + ρp (z) = ρv,0 (z) + ρp,0 (z)
ΑΓ

ρ(st)
v (z) =⎧
⎨ρsat (z) ɹɹɹɹɹ ( b(z) ≥ 0 )⎩ρ (z) + ρ (z) ɹ ( b(z) < 0 )v,0p,0(6.20)ͱಘΒΕΔ. ͋Δ͍͸ ࣜ (6.20) ͸, ࣜ (6.16) ͷࠨลʹࣜ (6.13) Λ୅ೖͨ͠͏͑Ͱ, ୈ 1 ࣜʹ͍ͭͯ͸ӈลΛ 0 ͱஔ͖ q (st) = 0 ͔Β, ୈ 2 ࣜʹ͍ͭͯ͸ӈลΛͦͷ·· b ͱͯ͠ q (st) = ρv,0 − ρsat + ρp,0
͔Β, ͦΕͧΕ‫ͯ͠ࢉܭ‬΋ಉ༷ͷ݁Ռ͕‫ٻ‬ΊΒΕΔ.
Ҏ্Ͱ‫ٻ‬ΊΒΕͨμετཻࢠ͓Αͼਫৠ‫ؾ‬ͷఆৗ෼෍ʹରͯ͠, ࣜ (6.4) Λ਺஋తʹղ͍ͨ݁Ռ
͸ਤ 6.5 ͷΑ͏ʹͳΔ. ਤ 6.5 ͷ͏ͪ, ্ஈʹฒΜͰ͋Δάϥϑ͕μετͱਫৠ‫ؾ‬ͷۭؒີ౓Λඳ͍͍ͯΔ΋ͷͰ͋Γ, ԼஈʹฒΜͰ͍Δͷ͕ණμετཻࢠͷαΠζ෼෍ͷάϥϑͰ͋Δ. ্ஈͷۭؒີ౓ʹؔͯ͠͸, ੺ɾ྘ͷࣼઢྖҬ͕ཧ࿦ղ (6.20),(6.19) ͔Β‫ٻ‬ΊΒΕΔਫৠ‫౓ີؾ‬ɾμετີ౓Λ, ੺ɾ྘ͰృΓͭͿ͞ΕͨྖҬ͕਺஋తʹղ͍ͨਫৠ‫౓ີؾ‬ɾμετີ౓ΛͦΕͧΕද͍ͯ͠Δ. ਫৠ‫౓ີؾ‬ɾμετີ౓ͷॳ‫ظ‬෼෍ʹؔͯ͠͸ྛϞσϧͰܾ·ΔΨεͷີ౓ ρg ʹൺྫ͢Δ‫ܗ‬,͢ͳΘͪ, Ψ΢ε෼෍ΛબΜͩ. ۩ମతʹ͸, ൺྫ܎਺Λਫৠ‫ͯؔ͠ʹؾ‬͸ cv,0 = 0.01, μετʹؔͯ͠͸ cp,0 = 0.1cv,0 ͱͯͦ͠ΕͧΕ ρv,0 = cv,0 ρg , ρp,0 = cp,0 ρg ͱͯ͠༩͑ͨ. ਤͷԼஈͷαΠζ෼෍ʹؔͯ͠͸, ۭؒ z ํ޲ʹ෼෍ؔ਺ fp (R, z, t) Λੵ෼ͨ͠΋ͷʹμετ࣭ྔ mp = (4π/3)ρs R3ͷॏΈΛ෇͚ͨ΋ͷ Np (R, t) ΛαΠζ෼෍ͱͯ͠ඳ͍͍ͯΔ. ཻ‫ ͕ܘ‬R ͔Β R + ΔR ͷؒʹ͋Δμετͷ࣭ྔ࿨ΛΔMp (R, t) =4π
ρs R3 ΔR3

dz fp (R, z, t)(6.21)

ͱද͢. ͜ͷͱ͖ͷ

Np (R, t) ≡ΔMp (R, t)4= πρs R4
Δ ln R3

dz fp (R, z, t)(6.22)

͕ຊߘͰ࠾༻͍ͯ͠ΔαΠζ෼෍ Np (R, t) Ͱ͋Δ. άϥϑʹ͸, ॳ‫ܘཻظ‬Λ R = Rini ͱͨ͠ͱ͖
ͷ N (R, t)/N (Rini , 0) Λඳ͍͍ͯΔ. ΔR Ͱ͸ͳ͘ Δ ln R Ͱׂ͍ͬͯΔͷ͸, R Λ౳ִؒʹ੾ͬͨϏϯͰ͸ͳ͘, ln R ʹ͍ͭͯ౳ִؒʹ੾ͬͨϏϯͰ‫͖ͱͨݟ‬ͷ࣭ྔ΁ͷ‫د‬༩ΛධՁ͢ΔͨΊͰ͋Δ.
ۭؒີ౓ʹؔͯ͠͸, ਤ 6.5 ͔Β਺஋ղͱཧ࿦ղ͕ఆৗঢ়ଶͰΑ͘Ұக͍ͯ͠Δ͜ͱ͕Θ͔Δ.
ಛʹ, ্ஈҰ൪ӈଆͷάϥϑΛ‫ݟ‬Δͱਫৠ‫্͕౓ີؾ‬෦Ͱϑϥοτʹͳ͍ͬͯΔ. ͜ͷฏୱʹͳͬ
͍ͯΔͱ͜Ζͷ஋͕·͞ʹ๞࿨ਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρsat Ͱ͋Δ. ρsat ʹΑͬͯఆৗঢ়ଶ͕ܾ·Δ ρv ͕ϑϥοτͳ͜ͷྖҬҎ֎͸, ͢΂ͯͷණμετ͕ঢ՚ͯ͠ਫৠ‫ྖ͏·ͯͬ͠ͳʹ͚ͩؾ‬ҬͰ͋Δ. ·͘͞͠ ͜ͷ 2 ͭͷྖҬͷ‫ڥ‬ք෇͕ۙ ice line(atmospheric ice line) ʹ૬౰͢Δ৔ॴͰ͋Γ, ۭؒํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄ͕͋Δ৔߹͸, ͜ͷ৔ॴͰ, μετͱਫৠ‫ͱؾ‬ͷ‫ྔ࣭ͳൃ׆‬ͷަ‫ߦ͕׵‬ΘΕΔͱ͍͏Θ͚
Ͱ͋Δ. ςετϓϩάϥϜͷϨϕϧΛ௒͑ͯ͠·͏͕, Ծʹ, z ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄͷޮՌΛೖΕͯ‫ܭ‬62

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ਤ 6.5: ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ςετ (z ํ޲ʀҠྲྀ֦ࢄͳ͠)ࢉΛߦ͏ͱ, ਤ 6.6 ͷΑ͏ͳ݁ՌʹͳΔ. t = 20ΩK −1 ΄Ͳͷ୹͍࣌ؒͰ͸ z ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄ͕ޮ
͍͍ͯΔ༷ࢠ͸͋·Γͳ͍͕, ׂͱ௕͍࣌ؒΛֻ͚ͯ t = 100ΩK −1 ·ͰʹͳΔͱ, ρv ͷฏΒͳྖҬͷ֯ு͍ͬͯΔ෦෼ ͢ͳΘͪ ice line ۙ๣ͷ෼෍͕Θ͔ͣʹ‫·ؙ‬Γ, ҰํͰ ρp ͸ԁ൫্૚ଆʹਁΈग़͍ͯΔ༷ࢠ͕ಡΈऔΕΔ. ͜Ε͸, ਫৠ‫͕ؾ‬தԝͷฏΒͳ෦෼ΛຒΊΑ͏ͱ੺ಓ໘ํ޲΁ͱ֦ࢄ͠, ରরతʹණμετ͸, ૄʹͳͬͨԁ൫্૚ํ޲΁ͱ֦ࢄͨ݁͠ՌͰ͋Δ. ͭ·Γ, ਫৠ‫ؾ‬͸੺ಓ໘ํ޲΁ͱ, ණμετ͸ԁ൫্૚ํ޲΁ͱ ice line Λԣ੾Δ͜ͱʹͳΔ. ཚྲྀ֦ࢄͰ‫্͖͛ר‬ΒΕͯ ice line ͷ֎ଆʹग़ͯ͠·ͬͨණμετ͸, ୹͍λΠϜεέʔϧͰ ‫ݴ‬Θ͹ॠؒతʹঢ՚ͯ͠ਫৠ‫ͱ΁ؾ‬มΘΔ. ͦͷ෼΋‫ؚ‬Ίͯਫৠ‫ؾ‬͸ ice line ಺ଆ΁ͱ͡Θ͡Θ֦ࢄ͖ͯͯ͠, ੺ಓ໘෇ۙ
Ͱʮ‫͍ͯͬ࠲ډ‬Δʯණμετཻࢠʹ‫ڽ‬ॖ͢Δ. খ͞ͳμετ΄Ͳ֦ࢄ͕ޮ͍ͯঢ՚͞ΕΔϦεΫ͕େ͖͍ҰํͰ, αΠζͷେ͖ͳණμετ΄Ͳ੺ಓ໘΁ͱΑ͘௜఼Ͱ͖ͯঢ՚͞ΕΔϦεΫ͕খ͘͞ͳΔ. ͦΕͲ͜Ζ͔େ͖ͳμετ͸, খ͞ͳμετ͕ঢ՚ͨ͠෼ͷਫৠ‫ؾ‬ͷ͏ͪϑΟʔυόοΫ͞Ε֦ͯࢄ͞Εͯ͘Δ΋ͷͷԸ‫ܙ‬΋ड͚ΒΕΔͷͰ, ΑΓ੒௕͕ଅਐ͞ΕΔ. z ํ޲Ҡྲྀ֦ࢄͰͷμετͷ੒௕ϝΧχζϜ͸, ͜ͷΑ͏ʹ͔͋ͨ΋ʮ͓ۚ࣋ͪʹ͓͕ۚू·ΔΑ͏ʹʯେ͖ͳμετ͕ਖ਼ͷ࿈࠯ͷ͏ͪʹ੒௕͍ͯ͘͠ͱ͍͏΋ͷͰ͋Δ. ͦͷยྡྷ͕ਤ 6.6 ͷԼஈαΠζ෼෍ͷ࣌ؒൃలʹ΋Θ͔ͣʹ‫ݱ‬Ε͍ͯΔ. t = 100ΩK −1 ͱ͍͏ͦΕ΄Ͳ௕͘ͳ͍࣌ؒͰ͸͋Δ΋ͷͷ, ਤ 6.5 ͷαΠζ෼෍ͱൺ΂Δͱμετ੒௕͕Ҡྲྀ֦ࢄʹΑͬͯଅ͞Ε͍ͯΔ༷ࢠΛಡΈऔΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ.
͞Βʹൃలͤ͞, Ԗ௚ z ࠲ඪʹՃ͑ಈ‫ ܘ‬r ࠲ඪ΋‫ࣜܗ‬తʹ‫ؚ‬Ίͯ‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲Λ‫݁ͨ͠ࢉܭ‬Ռ͕,
ਤ 6.7 Ͱ͋Δ. ͨͩ͠, ͜ͷ৔߹΋ۭؒ r, z ํ޲ʹ͸Ҡྲྀ֦ࢄ͸ͳ͍΋ͷͱͯ͠‫ࢉܭ‬Λߦ͍, ਤ 6.7
ʹ͸੺ಓ໘ z = 0 ʹ͓͚Δμετີ౓ɾਫৠ‫౓ີؾ‬ͷ r ґଘੑͷΈΛ͍ࣔͯ͠Δ. ‫ڽ‬ॖɾঢ՚߲
ͷఆৗղʹ͍ͭͯ͸, ۭ͕ؒ r, z ͷ 2 ࣍‫ݩ‬ͷࠓͷ৔߹Ͱ΋ࣜ (6.19),(6.20) Λಉ༷ʹ༻͍Δ͜ͱ͕Ͱ

63

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ਤ 6.6: ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ςετ (z ํ޲ʀҠྲྀ֦ࢄ͋Γ)͖, ਺஋ղͱͦͷཧ࿦ղͱ͕Ұக͍ͯ͠Δ༷ࢠΛਤ 6.7 ͔ΒಡΈऔΕΔ.
μετີ౓͓Αͼਫৠ‫౓ີؾ‬ͷఆৗղʹ͍ͭͯ, 3AU ෇ۙΛ‫ ʹڥ‬r  3AU ͱ r  3AU ͱͰৼ
Δ෣͍͕େ͖͘ҧ͏ͷ͸, ͪΐ͏ͲͦͷҐஔ͕ radial ice line ʹ͋ͨΔ৔ॴ͔ͩΒͰ͋Δ. r ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄ͕ͳ͍৔߹, μετີ౓͸ਤͷ྘৭ͷΑ͏ͳ෼෍ʹͳͬͯ ice line ΑΓ΋ಈ‫಺ܘ‬ଆʹ͸(΄ͱΜͲ) ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍. radial ice line ͸࣌ʹ condensation front ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ͜ͱ΋
͋Δ͕, ·͞ʹ͜ͷ‫ڽ‬ॖྖҬͷϑϩϯτ໘͕ණμετͷ੒௕ʹॏཁͳͱ͜ΖͱͳΔ.
ۭؒ r, z ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄΛ‫ؚ‬Ίͨ਺஋‫݁ࢉܭ‬Ռ͕ਤ 6.8 Ͱ͋Δ. ਤ 6.7 ͱൺ΂Δͱϑϩϯτ໘ʹ͓͍ͯ, ಈ‫಺ܘ‬ଆ͢ͳΘͪԹ౓͕ߴ͍ํ޲΁ͱμετີ౓͕Ҡྲྀ֦ࢄʹΑͬͯછΈग़͍ͯ͠Δ༷ࢠ͕Θ͔Δ. ͜ͷ৔߹΋, ֦ࢄ͸ΑΓখ͍͞μετʹ‫͍ͯޮ͘ڧ‬ಈ‫಺ܘ‬ଆํ޲΁ͷ֦ࢄྲྀΛͭ͘Δ.
ͦͷ֦ࢄྲྀʹΑͬͯϑϩϯτ໘͔ΒਁΈग़ͨμετ࣭ྔ͸, ঢ՚աఔͰਫৠ‫ͱ΁ྔ࣭ؾ‬มΘΔ͕,ͦͷਫৠ‫ؾ‬ͷҰ෦͸ࠓ౓͸ಈ‫֎ܘ‬ଆํ޲΁ͷ֦ࢄྲྀΛͭͬͯ݁͘‫ہ‬, ‫ڽ‬ॖྖҬ΁ͱϑΟʔυόοΫ͞ΕΔ. ͦΕΛ֦ࢄྲྀʹ৐Βͳ͔ͬͨ େ͖ͳαΠζͷμετ͕ʮ৯΂Δʯ͜ͱͰ, αΠζ෼෍ͱͯ͠ ΑΓཻ‫͕ܘ‬େ͖͍ํ޲΁ͱ෼෍ͷத৺͕ಈ͍͍ͯ͘. ͔͠͠, Ԗ௚ํ޲ͷμετ੒௕ϝΧχζϜͱܾఆతʹҧ͏ͷ͸, ࠓߟ͍͑ͯΔμεταΠζͷ੒௕ͷ৔߹ r ํ޲ͷυϦϑτ͸ཻ‫͕ܘ‬େ͖͍΄Ͳ଎͘ͳΔͱ͍͏͜ͱͰ͋Δ. ཻ‫͕ܘ‬େ͖͍΄Ͳ֦ࢄ͕ޮ͖ʹ͍͘͜ͱ͸ಉ༷Ͱ͋Δ͕, ҰํͰυϦϑτ͸଎͘ͳΔͷͰ z ํ޲ͷΈͷ৔߹ͱ͸ҟͳͬͯʮਖ਼ͷ࿈࠯ʯ͸͍ͭ·Ͱ΋ଓ͘Θ͚Ͱ͸ͳ͘, ͍ͣΕഁ୼͢Δ͜ͱʹͳΔ. ͜Εʹ͍ͭͯ͸࣍ষͰৄ͘͠ड़΂Δ͜ͱʹ͢Δ.

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ਤ 6.7: ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ςετ (r ํ޲ʀҠྲྀ֦ࢄͳ͠)ਤ 6.8: ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ςετ (r ํ޲ʀҠྲྀ֦ࢄ͋Γ)7਺஋‫݁ࢉܭ‬ՌຊষͰ͸, Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜ


 

 
⎧
∂fp
∂ fp
∂ fp
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
⎪
(vz fp ) +ρg D pɹɹ(7.1)−⎨ ∂t = − ∂R (vR fp ) − ∂r (vr fp ) + ∂r ρg Dp ∂r ρ
∂z
∂z
∂z ρg
g

 

 
∞
⎪
∂
∂ ρv
∂ ρv
∂ρ
∂
∂
⎪
⎩ v =
(vR fp ) dR +
ρg D g
ρg D g
mp
+
(7.2)
∂t
∂R
∂r
∂r ρg
∂z
∂z ρg
0
Λ਺஋తʹղ͘͜ͱͰ, ණμετͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚, υϦϑτ, ௜఼, ֦ࢄ ͓Αͼ ਫৠ‫ؾ‬ͷ֦ࢄʹΑͬͯ‫͜ى‬Δ෺ཧ‫ݱ‬৅ͷཧղΛࢼΈΔ. ಛʹ, ණμετͷ 1mm ͔Β 10cm αΠζ·Ͱͷ੒௕ʹয఺Λ౰ͯͯ, ice line ۙ๣ʹ͓͚Δණཻࢠͱਫৠ‫ؾ‬ͷऔΓѻ͍ํʹ͍ͭͯߟ࡯͢Δ. ͜ͷαΠζൣғͷ੒௕ʹ஫໨͢Δͷ͸, ʮ௓ͶฦΓ (Bounce)ʯͱ͍͏໰୊͕͋ͬͯ ͜ͷαΠζఔ౓ͷμετͲ͏͠ͷিಥ߹ମ͸೉͘͠, μετ੒௕Λߟ͑Δ্Ͱ߹ମ੒௕Ҏ֎ͷϝΧχζϜ͕ඞཁʹͳΔ͔ΒͰ͋Δ[23]. 10cm αΠζ·Ͱ੒௕͢Ε͹, ͋ͱ͸ Streaming instability ͓ΑͼͦΕʹΑͬͯ༠ൃ͞ΕΔॏ
ྗෆ҆ఆੑʹΑΓඍ࿭੕‫ܗ‬੒·ͰՄೳͰ͋Δͱ͍͏ใࠂ΋͋Δ [29],[30]. ҎԼͰ͸, ຊߘͱಉ༷ͷ໰୊Λණμετͱਫৠ‫ؾ‬Λͱ΋ʹʮparticleʯͱͯ͠ѻ͍‫ࢉܭ‬Λߦͬͨ Ros & Johansen 2013 [9]ͷ݁Ռͱൺֱ͠ͳ͕Βٞ࿦ΛਐΊΔ.

65

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ۭؒ 1D ‫( ࢉܭ‬z ํ޲)

7.1͜͜Ͱ͸ۭؒʹؔͯ͠͸ԁ൫Ԗ௚ z ํ޲ͷΈͷҠྲྀ֦ࢄΛߟ͑ͯ, ණμετ͕ͲͷΑ͏ʹ੒௕͢Δͷ͔Λߟ࡯͢Δ. ͜ͷͱ͖ղ͘΂͖ํఔࣜ͸ࣜ (7.1),(7.2) ͷ r ґଘੑΛམͱͯ͠

 
⎧
∂fp
∂ fp
∂
∂
∂
⎪
⎪
=−
(vR fp ) −(vz fp ) +ɹɹɹɹρg D p
⎨
∂t
∂R
∂z
∂z
∂z ρg



∞
⎪
∂
∂ ρv
∂ρ
∂
⎪
⎩ v =
(vR fp ) dR +
ρg D g
mp
∂t
∂R
∂z
∂z ρg
0

(7.3)
(7.4)

Ͱ͋Δ. ࣜ (7.3) ͕ණμετཻࢠͷαΠζ෼෍ؔ਺ fp (R, z, t) ͷ࣌ؒൃలΛ༩͑ΔҠྲྀ֦ࢄํఔࣜͰ͋Γ, ͜ͷࣜͷӈล͕‫ڽ‬ॖɾঢ՚ ͓Αͼ z ํ޲ͷ௜఼, ֦ࢄͷޮՌΛͦΕͧΕද͍ͯ͠Δ. ͨͩ͠μετཻࢠͷۭ࣭ؒྔີ౓ ρp (z, t) ͸αΠζ෼෍ؔ਺ fp (R, z, t) ʹΑͬͯ∞ρp (z, t) =mp fp (R, z, t) dR

(7.5)

0

Ͱ༩͑ΒΕΔ΋ͷͱ͢Δ (mp = (4π/3)ρs R3 ͸ණμετΛ‫͖ͱͨ͠ͱٿ࣭ۉ‬ͷ࣭ྔ). ҰํͰ, ࣜ(7.4) ͸ਫৠ‫౓ີؾ‬ͷ࣌ؒൃలΛܾΊΔࣜͰ͋Γ, ͦͷӈล͸ͦΕͧΕ‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔʹ͓͚Δ࣭ྔอଘ ͓Αͼۭؒతͳ֦ࢄͷޮՌΛද͍ͯ͠Δ.

7.1.1

Ros & Johansen 2013 ͱͷൺֱຊߘͰ࠾༻͢Δμετ෼෍ؔ਺Λ༻͍ͯҠྲྀ֦ࢄํఔࣜΛղ͘ͱ͍͏Ϟσϧ͸, ණμετ͓Αͼਫৠ‫ؾ‬͸, ཻ‫͋ܘ‬Δ͍͸ۭؒʹؔͯ͠‫ݴ‬Θ͹࿈ଓతʹ෼෍͍ͯ͠Δ΋ͷͱߟ͑ΔϞσϧͰ͋Δ. ͜Εͱ͸ରরతʹ Ros & Johansen 2013 ͸, ණμετͱਫৠ‫ؾ‬Λͱ΋ʹʮparticleʯͱͯ͠ѻͬͯ iceline ۙ๣Ͱͷණμετཻࢠͷ੒௕Λߟ͑ͨ. ൴Βͷख๏͸ particle Λѻ͏ͨΊ‫ࢉܭ‬ͷΞϧΰϦζϜ
ͱͦΕʹΑΔ݁Ռ͸୯७໌շͰ͋Δͱ͍͏ར఺͸͋Δ͕, particle Ͱ͋Δ͕ͨΊʹඇৗʹଟ͘ͷγϛϡϨʔγϣϯཻࢠ਺ΛѻΘͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍෼ ‫͕཰ޮࢉܭ‬ѱ͍ͱ͍͏ܽ఺΋͋Δ.

Ros & Johansen 2013 ͕ߦۭͬͨؒ z ํ޲ 1 ࣍‫Ͱݩ‬ͷ‫[ ࢉܭ‬9, Fig.5] Λࢀߟʹ͞Ε͍ͨ 23 . ֘౰ͷਤ [9, Fig.5] ্ஈ͕ණμετཻࢠ (੨৭) ͱਫৠ‫੺( ࢠཻؾ‬৭) ͷۭؒ෼෍Λ, Լஈ͕ණμετͷα
Πζ෼෍ΛͦΕͧΕද͍ͯ͠Δ. ॳ‫ظ‬ͷۭؒ෼෍͸͜ͷͱ͖, ‫ڽ‬ॖྖҬʹ͸ණཻࢠ͔͠ଘࡏ͠ͳ͍΋ͷͱ͠, ҰํͰঢ՚ྖҬʹ͸ਫৠ‫͔͠ؾ‬ଘࡏ͠ͳ͍΋ͷͱͯ͠, ͦΕͧΕͷྖҬͰΨ΢ε෼෍Λ༻͍ͯ༩͑ΒΕ͍ͯΔ. ·ͨαΠζ෼෍ʹؔͯ͠͸, σϧλؔ਺ͷ୅ΘΓʹ R = 0.001R1 ͷҐஔʹे෼ʹ෯͕ࡉ͍ۣ‫ܗ‬ঢ়ͷ෼෍Λ༩͍͑ͯΔ. ൴Β͕ઃఆͨ͠‫ڽ‬ॖɾঢ՚ͷϝΧχζϜ͸ඇৗʹ؆ུԽ͞Ε͍ͯͯ, ਤ [9, Fig.5] ্ஈͷάϨʔʹછΊΒΕ͍ͯΔ෦෼Λ‫ڽ‬ॖྖҬͱ͠, ͦͷྖҬͰ͸‫ڽ‬ॖաఔ (ණμετ੒௕աఔ) ͔͠‫͜ى‬Βͳ͍΋ͷͱߟ͑

vR =

vth,v
ρv
ρs

(7.6)

ͱ͍͏ཻ‫ܘ‬੒௕཰Ͱණμετ͸੒௕͢Δͱ͍ͯ͠Δ. ͜Εʹରͯ͠, άϨʔͰ͸ͳ͍ԁ൫্Լ૚ͷ෦෼͕ঢ՚ྖҬΛද͓ͯ͠Γ, ͜ͷྖҬͰ͸ঢ՚աఔͷΈ͕ಇ͘ͱߟ͑, ·ͨ, ঢ՚ͷλΠϜεέʔ
23

Astronomy & Astrophysics 552, A137 (2013)66

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ϧΛ (‫ۃ‬Ίͯ୹͍΋ͷͱͯ͠) 0 ͱ͢Δ‫ݶۃ‬Λऔ͍ͬͯΔ. ͭ·Γ֦ࢄʹΑͬͯ‫ڽ‬ॖྖҬʹೖΓࠐΜͩਫৠ‫ࢠཻؾ‬͸ࣜ (7.6) Ͱಛ௃͚ͮΒΕΔ֬཰Ͱණཻࢠʹ‫ڽ‬ॖ͠, ൓ରʹ, ֦ࢄͰঢ՚ྖҬ΁ͱग़ͯ͠·ͬͨණཻࢠʹؔͯ͠͸ॠؒతʹਫৠ‫ͱ΁ؾ‬ঢ՚͢Δ΋ͷͱ͠‫͍ͯ͠ࢉܭ‬Δ.
ਤ [9, Fig.5] ͸ԁ൫্૚Ͱ༩͑ΒΕͨਫৠ‫੺͕ؾ‬ಓ໘ํ޲΁ͱ֦ࢄ͠, ҰํͰණμετ͕ͦͷ֦ࢄྲྀʹΑཻͬͯ‫ܘ‬Λ੒௕͍ͤͯ͞Δ༷ࢠΛࢹ֮తʹ؆ܿʹ͍ࣔͯ͠Δ. ·ͨ, αΠζ෼෍ͷ࣌ؒൃలΛΈΔͱ 1mm αΠζͰ༩͑ΒΕͨණμετ͸ t = 2000ΩK −1 ఔ౓ͷ࣌ؒͰ 10cm αΠζ·Ͱ੒௕͍ͯ͠Δ͜ͱ͕Θ͔Δ.
͜ͷ Ros & Johansen 2013 ͷ݁Ռʹର͠, Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜ (7.3),(7.4) Λ൴Βͱಉ͡ઃఆͰղ͍
ͨ݁ՌΛਤ 7.1 ʹࣔ͢. ্ஈ͕ີ౓෼෍Λ, Լஈ͕αΠζ෼෍Λද͍ͯ͠Δ. ਤ [9, Fig.5] ͱਤ 7.1
ͱͷൺֱ͔Β particle Λ༻͍ͨϞσϧͱ෼෍ؔ਺Λ༻͍ͨϞσϧ͕ಉ݁͡ՌΛ͍ࣔͯ͠Δ͜ͱ͕
Θ͔Δ. αΠζ෼෍ʹؔͯ͠, ਤ [9, Fig.5] ʹൺ΂ͯਤ 7.1 ͕, ཻ‫ ͕ܘ‬ΑΓখ͍͞ଆʹ෼෍ͷඌΛͻ͍͍ͯΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δͷ͸, Ros & Johansen 2013 ͷϞσϧ͕ particle Λ༻͍͍ͯΔͨΊʹཻࢠ਺͕গͳ͍ଆͰ෼෍Λਖ਼֬ʹղ૾Ͱ͖͍ͯͳ͍͜ͱ͕‫ݪ‬ҼͰ͋Δͱߟ͑ΒΕΔ.
ۭؒີ౓Λ෼෍ྔͱͯ͠άϥϑʹͨ͜͠ͱͰਤ 7.1 Ͱ͸, μετͷ࣭ྔີ౓͕‫ڽ‬ॖྖҬͰޮ཰తʹ૿Ճ͍ͯ͠Δ༷ࢠ͕઱໌ʹಡΈऔΕΔ. ͜Ε͸, ॳ‫ظ‬෼෍Λ‫ڽ‬ॖྖҬͰਫৠ‫ͨͬ͘·͕ؾ‬ଘࡏ͠ͳ͍΋ͷͱઃఆͨͨ͠Ί, ͦͷ‫ڽ‬ॖྖҬΛ໨ֻ͚֦ͯࢄͯ͘͠Δਫৠ‫ؾ‬ͷϑϥοΫε͕େ͖͍ͨΊ
Ͱ͋Δ. ԁ൫্૚͔Β߱ͬͯ͘Δਫৠ‫ؾ‬ͷ֦ࢄྲྀΛ࣭ྔͷ‫ͯ͠ͱݯڅڙ‬ණμετ͸੒௕͍ͯ͠Δ
Θ͚Ͱ͋Δ.

ਤ 7.1: Ros & Johansen 2013 ͱͷൺֱ (ۭؒ 1D : z ํ޲ ; α = 10−2 )7.1.2

1D Advanced modelલઅͰ͸, Ros & Johansen 2013 ͷઃఆͷ΋ͱͰ൴Βͷ݁Ռ͕࠶‫͖Ͱݱ‬Δ͜ͱΛ͕ࣔͨ͠, ͦͷઃఆ͸͔ͳΓ؆୯Խͨ͠΋ͷͰ͋ͬͨ. ͜ͷ͜ͱ͔ΒҎԼͰ͸, ઃఆΛ ΑΓࣗવͱࢥΘΕΔ΋ͷʹ

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վΊ্ͨͰ‫ࢉܭ‬Λߦ͏͜ͱʹ͢Δ.

Ros & Johansen 2013 ͸‫ڽ‬ॖྖҬͱঢ՚ྖҬΛ໌֬ʹ෼͚ͯ, ༩͑Δॳ‫ظ‬෼෍Ͱ͸ණμετͱਫৠ‫ؾ‬ΛͦΕͧΕͷྖҬʹ͓͍ͯ ‫ݴ‬Θ͹ʮִ཭ʯ͍ͯͨ͠. ͦΕΛ͜͜Ͱ͸ʮ‫ڞ‬ଘʯͰ͖Δ‫Ͱܗ‬ਤ

7.2 ͷΑ͏ʹ༩͑Δ͜ͱʹ͢Δ. ͜͜Ͱ༻͍͍ͯΔॳ‫ظ‬ͷີ౓෼෍͸ 6.2 અʹ͓͚Δߟ࡯͔ΒಘΒΕͨ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍ (6.19),(6.20) Λ༻͍͍ͯΔ. ·ͨ, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚աఔʹ͍ͭͯ͸, ණμετͷཻ‫ܘ‬੒௕଎౓Λࣜ (4.36) ΑΓvth,v(ρv − ρsat )(7.7)ρsͱ༩͑ͯղ͘Α͏ʹ͢Δ. Ros & Johansen 2013 ͷઃఆͰ͸, ਫৠ‫ؾ‬ͷ‫ڽ‬ॖաఔ͸ࣜ (7.6) ͷΑ͏vR =ʹ๞࿨ਫৠ‫ؾ‬ѹ ρsat ʹؔ܎ͳܾ͘·͓ͬͯΓ, ‫͑ݴʹ୺ۃ‬͹ ρv ͕ 0 ʹͳΔ·Ͱμετʹ‫ڽ‬ॖͰ͖ͨΘ͚Ͱ͋Δ͕, ࣜ (7.7) ͷ৔߹͸૬ฏߧঢ়ଶ͕ଘࡏ͢ΔͨΊʹ ρsat ΛԼճͬͯਫৠ‫ؾ‬͸‫ڽ‬ॖͰ͖ͳ͍͜ͱʹͳΔ. ͦͯ͠, ࣜ (7.7) Λ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔཻ‫ܘ‬੒௕଎౓ͱͯ͠ಋೖ͢Δ͜ͱʹΑͬͯੜ·ΕΔ࠷΋ॏཁͳ૬ҧ఺ͱͯ͠, ice line ͕ՄมʹͳΔͱ͍͏͜ͱ͕͋Δ. ͦ΋ͦ΋ͷఆٛΛࢥ͍ग़͢ͱ, ice line ͱ͸ ρv = ρsat ͱͳΔ৔ॴͰ͋ͬͨ. Ros & Johansen 2013 ͷ৔߹͸, ਤ [9, Fig.5]ͷάϨʔͷྖҬͱͦ͏Ͱͳ͍ྖҬͷ‫ڥ‬ք͕ ice line Λ͍ࣔͯͯ͠, γϛϡϨʔγϣϯΛ௨ͯͦ͠Ε͸‫ݻ‬ఆ͞Ε͍ͯΔ. ice line ͸ਫৠ‫ͱؾ‬ණμετ͕‫ྔ࣭ʹ͍ޓ‬Λ‫͢׵ަʹൃ׆‬Δ৔ॴͰ͋ΔͨΊ, ͦͷҐஔ͕มΘΓಘΔͱ͍͏͜ͱʹͳΕ͹ͦͷޮՌ͸ॏཁͰ͋ΔͱࢥΘΕΔ.

ਤ 7.2: 1D Advanced model (ॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍ʀα = 10−2 )ਤ 7.2 ͸Ҏ্ͷΑ͏ͳઃఆͷ΋ͱͰ‫݁ͨ͠ࢉܭ‬ՌΛද͍ͯ͠Δ. ͜ͷਤ 7.2 ʹ͸, ice line ͷҐஔͷมԽΛ‫ݟ‬ΔͨΊ, ਤ্ஈͷີ౓෼෍ͷάϥϑʹഁઢͰ๞࿨ਫৠ‫ ౓ີؾ‬ρsat ͷ஋Λඳ͖଍͍ͯ͠
Δ. ͜ͷഁઢͱਫৠ‫౓ີؾ‬ͷ෼෍ (੺) ͕Ϳ͔ͭΔͱ͜Ζ͕ ice line Ͱ͋Δ. ͜ΕΑΓ, ॳ‫ʹࠁ࣌ظ‬ରͯ͠Θ͔ͣͰ͸͋Δ͕, ice line ͸ԁ൫ͷΑΓ಺ଆ (੺ಓ໘ํ޲) ʹಈ͍͍ͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜
Ε͸·͞ʹਫৠ‫ؾ‬ͷԁ൫੺ಓ໘ํ޲΁ͷ֦ࢄ͕‫ݪ‬Ҽͱͳ͍ͬͯΔ. ͭ·Γਫৠ‫ؾ‬͸, ණμετʹ‫ڽ‬68

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ॖ͞Εͯগͳ͘ͳͬͨ੺ಓ໘෇ۙͷີ౓ϑϥοτͳ৔ॴʹରͯ͠Ψ΢ε෼෍ʹ໭Ζ͏ͱ͢ΔͨΊ
ʹ, ice line ͸಺ଆ΁ͱಈ͘. ice line ͕ΑΓ੺ಓ໘ʹۙ͘ͳΔͱ͍͏͜ͱ͸, ਫৠ‫ͱؾ‬μετͷ࣭ྔަ‫׵‬ͷ৔͕ΑΓμετͷۭؒີ౓͕ೱ͍෦෼ͰߦΘΕΔͱ͍͏͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δ. ͢Δͱණμετ͸ΑΓঢ՚͠΍͘͢ͳΔ͕, ͦͷ෼͚ͩਫৠ‫͔ؾ‬ΒͷϑΟʔυόοΫ΋ଟ͘ड͚Δ͜ͱʹͳ
Δ. ͜ͷΑ͏ʹߟ͑Δͱ, ice line ͕ԁ൫಺ଆʹಈ͘΄Ͳʹμετͷ੒௕཰͸ߴ͘ͳΔͱߟ͑Δ͜
ͱ͕ग़དྷΔ. ͔࣮͠͠ࡍͷͱ͜Ζ͸, ਤ 7.2 ͷαΠζ෼෍ͷ࣌ؒൃలΛൺֱ͢Δͱ ice line ෆมͷਤ 7.1 ͷ৔߹ͱ੒௕཰͸͋·ΓมΘΒͳ͍Α͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ͜Ε͸ਤ 7.1 ͷ৔߹ʹ͓͍ͯԁ൫্૚͔Βͷਫৠ‫͍ͯޮ͘ڧ͕ࢄ֦ؾ‬੒௕཰͕ߴ͘ͳ͍ͬͯΔޮՌͱ, ਤ 7.2 ͷ৔߹ͷ ice line ՄมͰ͋Δ
͜ͱʹΑΔޮՌ͕਺஋ͷ্Ͱͨ·ͨ·ಉఔ౓ʹͳ͍ͬͯΔ͔ΒͩͱࢥΘΕΔ. ਤ 7.1 ʹ͓͍ͯ, ΋͠ਫৠ‫ͱؾ‬ණμετΛִ཭͢ΔΑ͏ͳ෼෍Ͱͳ͔ͬͨͳΒ͹, μετͷ੒௕཰͸΋ͬͱখ͔ͬͨ͞͸ͣͰ͋Δ.
ଓ͍ͯ, ͜ͷઃఆͷ΋ͱͰ‫ͨ͠ࢉܭ‬ණμετͷཻ‫ܘ‬ฏ‫ ۉ‬R ͷ࣌ؒൃలΛਤ 7.3 ʹ͓ࣔͯ͘͠.
͜ΕΑΓ͔֬ʹ α = 10−2 ͷ৔߹, 1mm αΠζ͔Β 10cm αΠζ·Ͱͷ੒௕͸ 2000ΩK −1 ΄Ͳͷ࣌ؒͰߦΘΕ͍ͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ·ͨ, ཚྲྀ೪ੑͷ α ύϥϝʔλʹ͍ͭͯ α = 10−3 , 10−4 ͷ৔߹Λࢼ͢ͱμετ੒௕཰͕খ͘͞ͳΔ͜ͱ͕͜ͷਤʹ͸ࣔ͞Ε͍ͯΔ. ͜Ε͸ཚྲྀ֦ࢄΑͬͯණμετ͕‫্͖͛ר‬ΒΕͯ, ঢ՚͞ΕΔ‫ػ‬ձ͕গͳ͘ͳΔͨΊ, ͦͷ෼͚ͩਫৠ‫͔ؾ‬ΒͷϑΟʔυόοΫ΋গͳ͘ͳͬͯμετ͸͋·Γ੒௕Ͱ͖ͳ͘͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δ. ණμετཻࢠͷεέʔϧϋΠτͷ࣌ؒൃలΛࣔͨ͠ਤ 7.4 ͔Β΋, ௜఼ͯ͠μετͷεέʔϧϋΠτ͕খ͘͞ͳΔ΄Ͳණཻࢠ͕ঢ՚͞ΕΔ‫ػ‬ձ͕গͳ͘ͳͬͯ, ੒௕཰͕௿Լ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕ಡΈऔΕΔ. ͜ͷΑ͏ʹ, ණμετͷঢ՚ʹ͸୯ͳΔණ͔Βਫৠ‫΁ؾ‬ͷ૬มԽͱ͍͏ҙຯҎ্ͷ໾ׂ͕͋Δ. ΑΓখ͞ͳαΠζͷμετΛଟ͘ঢ՚ͤͨ͞෼͚ͩ, ΑΓαΠζͷେ͖͍ණμετ͸੒௕Ͱ͖Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ͦΕ͸ͳͥͳΒਤ 7.5 ͷΑ͏ʹԁ൫্૚ͷখ͞ͳαΠζͷμετ͕ঢ՚͢Δ͜ͱʹΑͬͯ, ਫৠ‫ؾ‬Λ௨ͯ͠ ΑΓαΠζ͕େ͖͍μετ΁ͱ࣭ྔͷʮ༌ૹʯ͕ߦΘΕΔ͔ΒʹଞͳΒͳ͍.

ਤ 7.3: ཻ‫ܘ‬ฏ‫ ۉ‬R ͷ࣌ؒൃల(ۭؒ 1Dɿz ํ޲ʀॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍)ͦΕͧΕ੺ઢ͕ α = 10−2 , ྘ઢ͕ α = 10−3 , ੨ઢ͕
α = 10−4 ͷ৔߹ͷཻ‫ܘ‬੒௕Λද͍ͯ͠Δ (ਤ 7.4 ʹ͍ͭͯ΋ಉ༷). ཻ‫͕ܘ‬੒௕͢ΔʹͭΕͯ੺ಓ໘΁ͷ௜఼͕ਐΈ, ͦͷ෼ ice line Λԣ੾ͬͯঢ՚͢Δණཻࢠ
͕‫ݮ‬ΔͨΊ, ཻ‫ܘ‬੒௕཰͸࣌ؒͱͱ΋ʹখ͘͞ͳͬͯ
͍Δ. ·ͨ, ཚྲྀ೪ੑͷ α ύϥϝʔλ͕খ͍͞΄Ͳཻ‫ܘ‬੒௕཰΋খ͍͞.

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0.5

-2

α=10
α=10-3
-4
α=10

0.45

ਤ 7.4: μετཻࢠͷεέʔϧϋΠτ Hp ͷ࣌ؒൃల(ۭؒ 1Dɿz ํ޲ʀॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍)ࣜ (3.151) Λ༻͍֤ͯ࣌ࠁʹ͓͚Δ Hp Λ‫͍ͯ͠ࢉܭ‬Δ. α = 10−3 , 10−4 ͷ৔߹, ཻ‫ܘ‬੒௕ͱͱ΋ʹ௜఼͕ਐΈ Hp ͕΄ͱΜͲ୯ௐʹ‫ݮ‬গ͢Δͷʹର͠, α = 10−2ͷ৔߹͸ཚྲྀ֦ࢄ͕‫͍ͨڧ‬ΊҰ୴ ֦ࢄʹΑΓμετͷ
ີ౓෼෍্͕૚΁ͱ޿͕ͬͨͷͪʹ, ‫ܘཻͳܹٸ‬੒௕ʹΑΓ Hp ͸‫ݮ‬গ܏޲ʹస͍ͯ͡Δ (ͨͩ͜͠ͷ‫ݱ‬৅͸, ॳ‫ظ‬෼෍Λ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍Ͱ༩͑ͨͨΊʹ‫ى‬͜ΓಘΔ΋ͷͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍).

0.35
0.3
0.25
0.2
0.15

0

2000

1

Local mean dust size <R>/R1

Hp/Hg

0.4

4000
6000
t [ΩK-1]

8000

10000

ਤ 7.5: ‫ॴہ‬తͳཻ‫ܘ‬ฏ‫ ۉ‬R ͷ࣌ؒൃల(ۭؒ 1Dɿz ํ޲ʀॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍)t= 100 Ω-1
K
t= 2000 Ω-1
K-1
t=10000 ΩKԁ൫Ԗ௚࠲ඪ z ʹର͢Δ, ͦͷ৔ॴʹ͓͚Δ‫ॴہ‬తͳཻ‫ܘ‬ฏ‫ۉ‬Λද͍ͯ͠Δ. ͨͩ͠, ཚྲྀ೪ੑͷ α ύϥϝʔλ͸ α = 10−2 ͱͯ͋͠Δ. ੺ઢ͕ t = 100ΩK −1 ,྘ઢ͕ t = 2000ΩK −1 , ੨ઢ͕ t = 10000ΩK −1 ͷ࣌ࠁͷཻ‫ܘ‬ฏ‫ۉ‬෼෍Ͱ͋Δ. ্૚ͷখ͞ͳණμετ͕ iceline Λԣ੾্ͬͯ૚΁ͱ֦ࢄ͢Δ͜ͱͰ, ΑΓαΠζ
͕େ͖͍ණμετཻࢠͷ͞ΒͳΔ੒௕͕‫͜ى‬Γ, ੺ಓ໘ۙ͘ʹ௜఼͍ͯ͠Δ༷ࢠ͕Θ͔Δ. ͜ͷΑ͏ʹ্૚ͷখ͞ͳཻࢠΛ֦ࢄͤͯ͞ঢ՚ͤͯ͞͸, ͦͷʮ٘ਜ਼ʯʹΑͬͯ ΑΓେ͖͍μετཻࢠ͕੒௕͠ʮ҆શʯͳ੺ಓ໘΁ͱ௜఼͍ͯ͘͠.

0.1

0.01

0.001

7.2

-3

-2

-1

0
z [Hg]

1

2

3

ۭؒ 2D ‫( ࢉܭ‬r,z ํ޲)લઅͰ͸, ۭؒʹ͍ͭͯ͸Ԗ௚ z ํ޲ͷΈΛߟྀͯ͠Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜΛղ͖, ණμετͷ੒௕Λ
ߟ͑ͨ. ͜͜Ͱ͸͞Βʹಈ‫ ܘ‬r ํ޲ʹ͍ͭͯ΋ߟ͑ͯ, ۭؒ 2 ࣍‫Ͱݩ‬Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜΛղ͘͜ͱʹ͢Δ. ճస֯ํ޲ͷ࣍‫ͯؔ͠ʹݩ‬͸, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫͕࣠ରশͰ͋Δ΋ͷͱͯ͜͜͠Ͱ͸ߟ͑ͳ͍.
ۭؒ 2 ࣍‫ݩ‬ͷ‫Ͱࢉܭ‬ॏཁʹͳͬͯ͘Δͷ͸ණμετͷ r ํ޲ͷυϦϑτͰ͋Δ. ಉ͡Ҡྲྀ߲Ͱ΋ zํ޲ͷ௜఼Ͱ͸vz = −ΩK τs z

(7.8)ͷΑ͏ʹཻ‫͕ܘ‬େ͖͘ͳΔ΄Ͳ੺ಓ໘ʹ௜఼͠, ঢ՚ͷ‫ݥة‬Λ໔ΕΔํ޲ʹಇ͘ͷʹରͯ͠, r ํ޲ͷ৔߹͸ͦ͏͸͍͔ͳ͍. υϦϑτ଎౓ vr ͸

vr = −

2ηvK
τs + τs −1(7.9)

ͷΑ͏ʹ, ੍ಈ࣌ؒ τs ͕ 1 ʹ͍ۙ΄Ͳʹେ͖͘ͳͬͯ, ࠓߟ͑ΔμετͷαΠζൣғͰ͸, ΑΓେ͖͍αΠζͷμετ΄Ͳಈ‫಺ܘ‬ଆʹ଎͘υϦϑτͯ͠͠·͏͜ͱʹͳΔ. େ͖ͳμετ΄ͲυϦ

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《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ϑτͯ͠ radial ice line ֎ଆͷঢ՚ྖҬ (ΑΓத৺੕ʹ͍ۙԹ౓͕ߴ͍ྖҬ) ʹग़ͯ͠·͏ͱ͍͏͜ͱʹͳΕ͹, z ํ޲ʹ͓͍ͯ‫͍ͨͯͬ͜ى‬Α͏ͳখ͞ͳμετΛ༥͔ͯ͠େ͖ͳμετΛҭͯΔͱ͍͏Α͏ͳʮਖ਼ͷ࿈࠯ʯ͸‫͜ى‬Βͳ͍. ͜ͷ͜ͱ͕ಈ‫ ܘ‬r ํ޲Λಋೖͨ͠ࡍͷ, z ํ޲ͷΈͷ৔߹ͱͷܾఆతͳҧ͍Ͱ͋Δ.

7.2.1

Ros & Johansen 2013 ͱͷൺֱಈ‫ ܘ‬r ࠲ඪΛೖΕͨ৔߹΋ Ros & Johansen 2013 ͷ‫ࢉܭ‬͸ख๏ࣗମ͸΄ͱΜͲಉ͡Ͱ͋Δ. ͨ
ͩ͠, ஫ҙ͢΂͖͸ r ํ޲ͷ‫ڥ‬ք৚݅Ͱ͋Δ. z ํ޲ʹ͸प‫ڥظ‬ք৚݅Λ՝͍ͯͨ͠ҰํͰ, r ํ޲ʹ͸൓ࣹ‫ڥ‬ք৚݅Λ՝ͯ͠‫ࢉܭ‬Λߦ͍ͬͯΔ [9, Fig.9] 23 .

z ํ޲ͷ atmospheric ice line ͷޮՌͷ΄͔ʹ͜ͷ৔߹͸, r ํ޲ͷ radial ice line Λ௨ͯ͠ਫৠ
‫ͱؾ‬ණμετ͕࣭ྔΛ΍ΓऔΓ͢ΔޮՌ΋ଘࡏ͢Δ. ਤ [9, Fig.9] Ͱ͸‫ڽ‬ॖྖҬ͸άϨʔͰછ·͍ͬͯΔ෦෼Ͱ͋Γ, ͦͷྖҬͰ΋ࢴ໘ࠨଆͷ‫ڥ‬ք͕ radial ice line ͋Δ͍͸ condensation front Λද͍ͯ͠Δ. ͜ͷ෦෼पลͰණμετͷۭؒີ౓ͱཻ‫͕ܘ‬େ͖͘ͳ͍ͬͯΔ༷ࢠ͕ಡΈऔΕΔ. υϦϑτ͕աܹʹޮ͔ͳ͍αΠζͰ͸, radial ice line पลͰେ͖͘ͳͬͨණμετͷҰ෦͸ಈ‫֎ܘ‬ଆํ޲΁ͱ֦ࢄ͍ͯ͠Δ. ͭ·Γ, condensation front पล͕େ͖ͳμετΛ࡞Δʮ޻৔ʯʹͳͬͯಈ‫֎ܘ‬ଆ·ͰͦͷҰ෦Λ༌ૹ͍ͯ͠Δͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ͦͷ༷ࢠΛਤ [9, Fig.9] ͷ࣌ؒൃల͸
ද͍ͯ͠Δ.
͜ͷ Ros & Johansen 2013 ͷ݁Ռʹରͯ͠, ಉ͡ઃఆͰҠྲྀ֦ࢄํఔࣜ (7.1),(7.2) Λղ͍ͯ෼෍ؔ਺ͷൃలΛ‫ٻ‬Ίͨ৔߹ͷ݁Ռ͕ਤ 7.6 Ͱ͋Δ. ࠨଆʹ্͔Β 3 ͭฒΜͰ͍Δ΋ͷ͕ණμετͱਫৠ‫ؾ‬ͷ࣭ྔີ౓Λද͍ͯ͠ΔάϥϑͰ͋Δ. ͦΕͧΕͷάϥϑͰ, ࢴ໘ӈํ޲ʹԆͼ͍ͯΔͷ͕r ࠲ඪ, ࢴ໘ࠨ্ํ޲΁ͱԆͼ͍ͯΔͷ͕ z ࠲ඪ, ͦͯ͠ϘοΫεͷߴ͞ํ޲͕ີ౓Λද͍ͯ͠Δ.
͜ΕΒͷμετɾਫৠ‫౓ີؾ‬ͷάϥϑʹରԠ͢Δ࣌ࠁͷαΠζ෼෍Λඳ͍ͨ΋ͷ͕, ӈଆʹॎʹฒ
Ϳ 3 ͭͷάϥϑͰ͋Δ. ۭͨͩؒ͠ 2 ࣍‫ݩ‬ͷ৔߹ͷαΠζ෼෍ʹؔͯ͠͸ࣜ (6.22) ͱಉ༷ʹͯ͠

Np (R, t) ≡ΔMp (R, t)4= πρs R4
Δ ln R3

drdz fp (R, r, z, t)(7.10)

ͱఆٛͯ͠༻͍Δ͜ͱʹ͢Δ. ·ͨ, ‫ڥ‬ք৚݅ʹؔͯ͠͸ Ros & Johansen 2013 ͕՝͍ͯ͠Δ৚݅
ʹରԠ͢Δ, r, z ํ޲ͦΕͧΕͷ‫ڥ‬քͰϑϥοΫεΛ 0 ͱ͢Δ৚݅Λ༻͍͍ͯΔ.
͜ͷਤʹ͍ͭͯ΋·ͨ Ros & Johansen 2013 ͷ݁Ռͷਤ [9, Fig.9] ͱ͓͓ΑͦͰҰக͍ͯ͠Δ
͜ͱ͕Θ͔Δ. ಛʹ radial ice line ෇ۙͰμετີ౓͕େ͖͘ͳ͍ͬͯΔ༷ࢠ, ͓Αͼ, ͦΕ͚ͩͰͳ͘ radial ice line ۙ๣ͷঢ՚ྖҬͰਫৠ‫͕౓ີؾ‬େ͖͘ͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜Ε͸‫ڽ‬ॖྖҬଆ͔Βණμετ͕֦ࢄͯ͠དྷͯঢ՚͢Δ͜ͱʹΑΓ࣭ྔͷ‫͕͋څڙ‬ΔͨΊͰ͋Δ. ͦ͏΍ͬͯ૿͑ͨ෼ͷҰ෦͸ਫৠ‫ڽͼ࠶Ͱࢄ֦ؾ‬ॖྖҬ΁ͱ໭͞ΕΔ͕, ͦΕͰ΋ਫৠ‫͍ͯͬ·ཷ͕౓ີؾ‬Δ
ͱ͍͏͜ͱ͸, ͦΕҎ্ʹ‫ڽ‬ॖྖҬ͔ΒམԼͯ͘͠ΔණμετͷϑϥοΫε͕‫ͱ͜͏͍ͱ͍ڧ‬Λࣔ
͍ͯ͠Δ.

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《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

   ਤ 7.6: Ros & Johansen 2013 ͱͷൺֱ (ۭؒ 2Dɿr, z ํ޲ʀα = 10−2 )

 






 



Ros & Johansen 2013 ͷ݁Ռʹର͢Δࠓճͷ࠶‫ܭݱ‬ࢉͷฏ‫ܘཻۉ‬ͷ࣌ؒൃలͷάϥϑΛਤ 7.7 ʹࣔ͢. ͜ͷਤ 7.7 ͱ Ros & Johansen 2013 ͷਤ [9, Fig.10] ͱͷൺֱ͔Βฏ‫ܘཻۉ‬ͷ੒௕ͱ͍͏‫͔఺؍‬Β‫ͯݟ‬΋, ൴Βͷ‫݁ࢉܭ‬Ռͱ΄΅Ұக͍ͯ͠Δ༷ࢠ͕Θ͔Δ. ͲͪΒͷάϥϑ͔Β΋ॳΊͷ R  0.01R1 ͷஈ֊ͱऴΘΓͷ R  0.1R1 ͷஈ֊Ͱ͸ཻ‫ܘ‬ͷ੒௕཰͸ߴ͘, Ұ 

ํͰͦͷؒͷ 0.001R1  R  0.1R1 Ͱ͸੒௕཰͕ൺֱత௿͘੩ଉஈ֊ʹ͋Δ͜ͱ͕͏͔͕͑Δ. ͜ͷ͜











 

ਤ 7.7: ཻ‫ܘ‬ฏ‫ ۉ‬R ͷ࣌ؒൃలͷൺֱ(ۭؒ 2Dɿr, z ํ޲ʀα = 10−2 )ͱ͸, ҎԼͷΑ͏ʹυϦϑτͱ֦ࢄͷλΠϜεέʔϧ(଎౓) ͷൺֱʹΑΓཧղ͢Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ཚྲྀ (֦ࢄ) ͷయ‫ܕ‬తͳ଎౓Λ |vdiﬀ | ∼ αcs,g ͱධՁ͢Ε͹, ௜఼଎౓ |vz | = ΩK τs |z| ͱͷൺ͸72

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）|vz |ΩK τs |z|
τs |z|∼=|vdiﬀ |
αcs,g
α Hg

(7.11)

ͱ‫ੵݟ‬΋Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. Ros & Johansen 2013 ͷઃఆͰ͸, Ԗ௚ํ޲ͷ ice line ͢ͳΘͪ atmo-

spheric ice line ͷҐஔΛ zice = 3Hg ͱఆ͓ٛͯ͠Γ, ͦͷ atmospheric ice line |z| = zice ্ʹ͓͍
ͯ |vz |  |vdiﬀ | ͱͳΔͨΊʹ͸τs  αHg
 0.003zice(7.12)

ͱͳΔ·Ͱ੒௕͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍. R  0.003R1 ͷஈ֊Ͱ͸, ௜఼ΑΓ΋֦ࢄͷޮՌ͕‫ޮ͘ڧ‬ͨ͘Ίʹ࠷ॳͷஈ֊Ͱ͸੒௕཰͕ߴ͘ͳ͍ͬͯͨͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ‫͑ݴʹٯ‬͹ R  0.003R1 ·Ͱ੒௕ͯ͠͠·͑͹‫ڽ‬ॖྖҬ΁ͷ௜఼͸ ΄΅‫ ͯྃ͠׬‬atmospheric ice line Λ௨࣭ͨ͠ྔަ‫ʹ׵‬ΑΔཻ‫ܘ‬੒௕͸Ժ΍͔ͳ΋ͷͱͳΔ. Ұํ, |vdiﬀ | ͱ r ํ޲ͷυϦϑτ଎౓ vr  2η vK τs ͱͷൺ͸|vr |2η vK τs2η τs r2η 1/2 τs∼=∼|vdiﬀ |
αcs,g
α Hg
α

(7.13)

ͱͳͬͯ, ͜ΕΑΓ

τs 

α
∼ 0.1
2η 1/2(7.14)

ͱͳΔͱ r ํ޲ͷυϦϑτ଎౓͕֦ࢄ଎౓Λ্ճͬͯ͠·͏͜ͱ͕Θ͔Δ. ͢ͳΘͪ, R  0.1R1·Ͱ੒௕͢ΔͱҠྲྀ༏੎ͰҰํతʹঢ՚ྖҬʹམԼͯ͠͠·͏͜ͱʹͳΔ. radial ice line Λ·͍ͨͰঢ՚ྖҬʹམͪͯ͠·ͬͨණμετ͸ঢ՚͠, ͦͷ෼ ‫ॴہ‬తʹ૿͑ͨਫৠ‫ؾ‬ͷҰ෦͸‫ڽ‬ॖྖҬ΁ͱ֦ࢄ͠ණμετΛ੒௕ͤ͞Δ. ͭ·Γ, ੒௕ͯ͠͸ಈ‫ʹ޲ํܘ‬མԼͯ͠ঢ՚͠‫ڽ‬ॖྖҬͷණμετΛ੒௕ͤͯ͞, ͦΕ͕·ͨམԼ͢Δͱ͍͏‫܁‬Γฦ͠Ͱฏ‫ܘཻۉ‬͸࠷‫ޙ‬ͷ R  0.1R1 Ͱ‫ܹٸ‬ʹ੒௕͢Δ. ൓ରʹ, R  0.1R1 ͷஈ֊ʹ͓͍ͯ͸֦ࢄʹΑͬͯණμετͷத৺੕མԼ͕ԡ͠ͱ
ͲΊΒΕ͍ͯͨΘ͚Ͱ͋Δ. Ҏ্ͷ͜ͱ͔Β, த৺੕མԼΛߟྀͨ͠৔߹, ੒௕Ͱ͖Δණμετͷ√√੒௕্‫ݶ‬͸ τs,crit ∼ α/ η ∼ 0.1, ཻ‫ ͱ͏ݴͰܘ‬Rcrit ∼ αR1 / η ∼ 10cm Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ.

7.2.2

2D Advanced modelۭؒ 2 ࣍‫ݩ‬ͷ͜ͷ৔߹ʹؔͯ͠΋ Ros & Johansen 2013 ͷઃఆΛൃలͤͨ͞΋ͷʹ͍ͭͯߟ͑
Δ͜ͱʹ͢Δ. ۩ମతʹ͸, ॳ‫ظ‬෼෍ͱͯ͠‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍Λ༻͍, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔණμετͷཻ‫ܘ‬੒௕Λࣜ (7.7) Ͱ༩͑, ͞Βʹ ice line ʹؔͯ͠͸ՄมͰ͋Δ΋ͷͱͯ͠Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜΛղ͘. ͜ͷͱ͖ͷ݁Ռ͕ਤ 7.8 ͓Αͼਤ 7.9 Ͱ͋Δ. ਤ 7.8 Ͱ͸ Ros & Johansen 2013 ͱͷൺֱͷͨΊ, γϛϡϨʔγϣϯϘοΫεͷಈ‫಺ܘ‬ଆ͸ rmin = 2.9AU ͱ͠ಈ‫֎ܘ‬ଆ͸ rmax = 3.8AU ͱ͠
͍ͯΔ. ҰํͰ, ਤ 7.9 ͷ‫Ͱࢉܭ‬͸ rmin = 2.5AU , rmax = 4.0AU ͱͯ͋͠Δ (ಈ‫಺ܘ‬ଆͷ‫ڥ‬քΛ͋Δఔ౓༨༟Λ࣋ͬͯ ΑΓத৺੕ํ޲ʹઃఆ͍ͯ͠Δͷ͸, ঢ՚ྖҬʹਫৠ‫͕ؾ‬ա౓ʹཷ·ͬͯ͠·͏ͷΛ๷͙ͨΊͰ͋Δ). α ύϥϝʔλʹؔͯ͠͸ਤ 7.8 , ਤ 7.9 ͱ΋ʹ α = 10−2 Ͱ͋Δ.
ಛʹਤ 7.9 ΑΓ, 10000 ΩK −1 ͱ͍͏௕࣌ؒΛֻ͚ͯͷμετ੒௕Λߟ͑Δͱ࠷ऴతʹ r ํ޲ͷҠྲྀ֦ࢄʹ͍ͭͯυϦϑτ͕֦ࢄʹউͬͯμετ࣭ྔͷେ൒͕ಈ‫಺ܘ‬ଆ΁ͱམ͍༷ͪͯ͘ࢠ͕Θ͔Δ. མͪͯߦͬͯঢ՚ྖҬʹೖͬͯ͠·ͬͨμετʹؔͯ͠͸୹͍λΠϜεέʔϧͰঢ՚ͯ͠ਫ

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   ਤ 7.8: 2D Advanced model (ॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍ʀrmin = 2.9AU , rmax = 3.8AU)ৠ‫ͳͱؾ‬Δ. ͦ͏ͯ͠ঢ՚ྖҬͰ૿͑ͨ෼ͷਫৠ‫ͯؔ͠ʹ౓ີؾ‬͸, ͦͷେ൒͕࠶ͼਫৠ‫Ͱࢄ֦ؾ‬‫ڽ‬ॖྖҬ΁ͱҾ͖໭͞Εͯ, མͪ੾Εͣʹ࢒͍ͬͯΔμετʹ࣭ྔ͕‫͞څڙ‬ΕΔ. ͢Δͱ࣭ྔͷ‫ڙ‬‫څ‬Λड͚ͨμετ͸੒௕ͦ͠ͷ෼υϦϑτ͕଎͘ͳͬͯঢ՚ྖҬ΁ͱམ͍ͪͯ͘. ͜͏ͯ͠, ͔࣍Β࣍΁ͱಈ‫΁޲ํܘ‬ͷҠྲྀ͸ଅਐ͞Εͯ, ࠷ऴతʹ͸͢΂ͯͷμετ͕ radial ice line Λ·͍ͨͰঢ՚͠ਫৠ‫͏͍ͱ͏·ͯͬ͠ͳʹؾ‬Θ͚Ͱ͋Δ.
ਤ 7.10 ͸ਤ 7.9 ͷ t = 2000, 5000, 10000 ΩK −1 ʹ͓͚Δ੺ಓ໘ z = 0 Ͱͷණμετͱਫৠ‫ؾ‬ͷີ౓Λඳ͍͍ͯΔ. ණμετ͕ಈ‫಺ܘ‬ଆํ޲΁ͱམ͍༷ͪͯ͘ࢠ, ͓Αͼ, ͦΕʹΑͬͯঢ՚ྖҬͷਫৠ‫͕౓ີؾ‬େ͖͘ͳ͍ͬͯΔ༷ࢠ͕, ͜ͷਤ͔Β΋ྑ͘Θ͔Δ. ࣌ؒͱͱ΋ʹ ice line ͕ͲͷΑ͏ʹಈ͍͍ͯΔ͔ʹ͍ͭͯ͸ਤ 7.11 ʹࣔͯ͋͠Δ. ͜ͷਤΑΓ radial ice line ͸࣌ؒͱͱ΋ʹத৺੕ํ޲΁ͱಈ͍͍ͯΔ͜ͱ͕ಡΈऔΕΔ͕, 10000 ΩK −1 ΄Ͳͷ࣌ؒΛֻ͚ͯ΋͔͔ͨͩ 0.1AU
ఔ౓͔͠Ҡಈ͍ͯ͠ͳ͍͜ͱ͔Β, ࢥ͍ͷ΄͔ ice line ͷಈ͖͸খ͘͞, ݁‫͜ہ‬ͷӨ‫ڹ‬͸খ͍͞΋ͷͱߟ͑ΒΕΔ.

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     ਤ 7.9: 2D Advanced model (ॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍ʀrmin = 2.5AU , rmax = 4.0AU)
t = 10000 ΩK −1 ·Ͱͷີ౓෼෍͓ΑͼαΠζ෼෍ͷ࣌ؒൃలͷ༷ࢠΛද͍ͯ͠Δ. ‫ڥ‬ք৚݅͸, r, z ํ޲ͱ΋ʹ‫ڥ‬քͰϑϥοΫεΛθϩͱ͍ͯ͠Δ (γϛϡϨʔγϣϯϘοΫε಺Ͱਫৠ‫ͱؾ‬ණμετͷ࣭ྔͷ૯࿨͸อଘ͢Δ). ੒௕͕ਐΈණμετͷཻ‫͕ܘ‬େ͖͘ͳΔʹͭΕͯ r ํ޲ͷυϦϑτ଎౓͕େ͖͘ͳͬͯ, ঢ՚ྖҬʹམԼ͍ͯ͠Δ. མԼͨ͠ණμετͷ෼͚ͩঢ՚ྖҬͰਫৠ‫ͳ͘ߴ͕౓ີؾ‬Δ͕, ͦͷҰ෦͸࠶ͼ‫ڽ‬ॖྖҬଆ΁ͱ֦ࢄ͢Δ. ͨͩ͠, τs  0.1 ͱͳΔͱͦͷ֦ࢄ଎౓ΑΓ΋ණμετͷམԼ଎౓ͷ΄͏͕େ͖͘ͳͬ
ͯණμετ͸ঢ՚͢ΔҰํʹͳΔ.

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ਤ 7.10: ੺ಓ໘Ͱͷ࣭ྔີ౓ (ॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍ʀα = 10−2 )3࠷‫ʹޙ‬, α ύϥϝʔλΛม͑ͨͱ͖ͷཻ‫ܘ‬ฏ‫ۉ‬2ͩ͠, ͦΕͧΕͷ৔߹ʹ͍ͭͯμετͷ૯ྔ͕ 0 ʹ

1ͳͬͨͱ͜Ζ, ͭ·Γ͢΂ͯͷμετ͕ਫৠ‫ʹؾ‬ͳͬͯ͠·ͬͨ࣌ࠁͰ‫ࢉܭ‬Λऴ͍ྃͯ͠Δ. Ճ͑z [Hg]R ͷ࣌ؒൃలͷ༷ࢠΛਤ 7.12 ʹඳ͍͓ͯ͘. ͨ-1
t = 2000 [ΩK ]-1
t = 5000 [ΩK ]t = 10000 [Ω-1
K]

0
-1

ͯ, ͜ͷਤ 7.12 ʹ͸γϛϡϨʔγϣϯϘοΫεͷಈ‫֎ܘ‬ଆͷ‫ڥ‬ք rmax ʹؔͯ͠, α ύϥϝʔλͷ֤஋Ͱ rmax = 3.5, 4.0, 4.5AU ͱͯ͠‫ࢉܭ‬Λߦ͍ͬͯΔ.

α ͷ஋Λখ͘͢͞Δͱ ණμετ͕͢΂ͯঢ՚ͯ͠
͠·͏·Ͱͷण໋͸ԆͼΔ͕μετ͸݁Ռతʹ͋

-2
-3

2.9

3

3.1

3.2
r [AU]

3.3

3.4

ਤ 7.11: Ice line ͷ࣌ؒൃల·Γ੒௕Ͱ͖ͳ͍͜ͱ͕, ·ͨ, ֎ଆͷ‫ڥ‬ք rmax Λେ͖͘͢Δͱ, ͜Ε΋ण໋͸Ԇ͹ͤΔ͕μετ͸ಉఔ౓ͷ੒௕͔͠Ͱ͖ͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δ. ݁‫ہ‬ͷͱ͜Ζ, ࠓճͷ‫Ͱࢉܭ‬͸‫ڥ‬ք৚݅͸͋·ΓॏཁͰ͸ͳ͘, ණμετͷ੒௕্‫ݶ‬Λࢧ഑͍ͯ͠Δͷ͸√͋͘·Ͱ΋ࣜ (7.14) ͷΑ͏ʹ τs,crit ∼ α/ η ∼ 0.1 Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜ͷΑ͏ʹཚྲྀ֦ࢄ͸ණμετͷ੒௕Λ଎ΊΔ͚ͩͰͳ͘, ණμετͷத৺੕མԼΛԡ͠ͱͲΊͯ ͦͷ੒௕্‫ݶ‬Λܾఆ͢
Δͱ͍͏໾ׂΛ΋୲͍ͬͯΔ.

ਤ 7.12: ཻ‫ܘ‬ฏ‫ ۉ‬R ͷ࣌ؒൃల (ۭؒ 2Dɿr,z ํ޲ʀॳ‫ظ‬৚݅ɿ‫ڽ‬ॖ - ঢ՚ఆৗ෼෍)

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3.5

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݁࿦࿭੕‫ܗܥ‬੒ཧ࿦ʹ͓͍ͯμετͷ੒௕Λߟ͑Δ͜ͱ͸ॏཁͰ͋Δ. ಛʹ 1mm αΠζ͔Β 10cmαΠζ΁ͷ੒௕ʹؔͯ͠͸, ௓ͶฦΓ౳ͷ໰୊ʹΑΓ୯७ͳ߹ମ੒௕͸೉͍ͨ͠Ί, ଞͷϝΧχζ
ϜͰ੒௕ͤ͞Δඞཁ͕͋Δ. ຊߘͰ͸, ice line ۙ๣ʹ͓͚Δණμετͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹண໨͠, Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜΛ਺஋తʹղ͘͜ͱͰ͜ͷαΠζൣғͰͷ੒௕Λٞ࿦ͨ͠. ‫݁ࢉܭ‬ՌΑΓԖ௚ z ํ޲ͷۭؒ 1 ࣍‫Ͱࢉܭݩ‬͸͓Αͦ 1000 ೥Ͱ 1mm ͔Β 10cm ʹ੒௕͢Δ͜ͱ͕Θ͔ͬͨ. ҰํͰಈ‫ ܘ‬rํ޲ͷ࣍‫ݩ‬΋‫ؚ‬Ίۭͨؒ 2 ࣍‫Ͱࢉܭݩ‬͸ 10000 ೥ఔͷ࣌ؒΛֻ͚ͯ΋͍͍ͤͥ 10cm ʹຬͨͳ͍αΠζ·Ͱ͔͠੒௕ͤ͞ΒΕͳ͍ͱ͍͏݁Ռʹͳͬͨ. ͜Ε͸ r ํ޲ͷυϦϑτʹΑͬͯಈ‫಺ܘ‬ଆ΁ͱ޲͔͏ණμετͷϑϥοΫε͕ ∼10cm Ͱ֦ࢄϑϥοΫεΛ্ճͬͯ͠·͏ͨΊͰ͋Δ. ͢ͳΘͪ 2 ࣍‫Ͱࢉܭݩ‬͸, ණμετ͸੒௕͗͢͠ΔͱҠྲྀ༏੎Ͱ ice line Λ·͍ͨͰҰํతʹঢ՚ͯ͠ফ໓ͯ͠͠·͏. ಉ͡Ҡྲྀ༏੎ͷঢ়‫Ͱگ‬΋ z ํ޲ͷΈͷۭؒ 1 ࣍‫ࢉܭݩ‬ͷ৔߹ʹ͓͍ͯμετ͕ൺֱత੒௕͠ଓ͚ΒΕΔͷ͸, z ํ޲ͷ௜߱ӡಈ͕ ice line ͔Βԕ͔͟Δ޲͖ (੺ಓ໘΁ͱ޲͔͏ํ޲) ͷӡಈ͔ͩΒͰ͋Δ. ͜Εʹରͯ͠, r ํ޲Λ‫ؚ‬ΊΔͱμετ͕੒௕͢ΔʹͭΕͯυϦϑτ͸
଎͘ͳͬͯ ice line ͕ͦΕΑΓ΋଎͍଎౓Ͱಈ‫಺ܘ‬ଆ΁ͱҠಈ͠ͳ͍‫ݶ‬Γμετ͸੒௕Ͱ͖ͳ͍Ͳ
͜Ζ͔ঢ՚ͯ͠͠·͏͜ͱʹͳΔ. ‫݁ࢉܭ‬Ռ͔Β͸ ice line ͷҠಈ଎౓͸υϦϑτ଎౓ʹରͯ͠े෼஗͍ͨΊ, ණμετ͕େ͖͘੒௕ͨ͠৔߹, ΄ͱΜͲҰํతʹঢ՚ͯ͠͠·͏͜ͱʹͳΔͱ͍͏
Θ͚Ͱ͋Δ.
ຊ‫ڀݚ‬ͷ੒ՌຊߘͷϞσϧʹΑΔ‫ࢉܭ‬͸݁Ռతʹ͸ Ros & Johansen 2013 [9] ͱ͓͓ΑͦͰҰகͨ͠. ͔͠͠,ණμετͳΒͼʹਫৠ‫ؾ‬Λྲྀମͱ‫ͯ͠ͳݟ‬Ҡྲྀ֦ࢄํఔࣜΛղ͍ͨ఺Ͱਐల͕͋ͬͨͱ‫͍ͯͬݴ‬͍ͩΖ͏. ྲྀମతʹղ͘͜ͱͰ‫ࢉܭ‬ͷޮ཰͸େ্͖͕͘Γ, ͦΕʹΑۭͬͯؒ 2 ࣍‫ࢉܭݩ‬΋༨༟Λ࣋ͬͯߦ͏͜ͱ͕ग़དྷͨ. ͦΕʹՃ͑, ຊߘͰ͸ਫৠ‫ྔؾ‬ͷมԽʹ൐͏ ice line ͷҠಈΛ‫ؚ‬Ίͯ‫ܭ‬ࢉΛߦͬͨ. ͜ͷΑ͏ʹ࿭੕‫ܗܥ‬੒ཧ࿦Ͱେ͖ͳ໾ׂΛՌͨ͢ҰํͰಾʹแ·ΕͨଘࡏͰ΋͋ͬͨ

ice line ʹ͍ͭͯఆྔతʹߟ࡯͕ߦ͑ͨ͜ͱ΋ 1 ͭͷ੒Ռͱ‫͑ݴ‬Δ. ‫؍‬ଌͷ෼໺ʹ͓͍ͯ΋, ͍ͭ࠷ۙʹͳͬͯ΍ͬͱॳΊͯ ice line(CO ෼ࢠ) ͷ௚઀ࡱ૾͕੒ޭͨ͠ [31]. ࠓ‫ޙ‬͸‫؍‬ଌͱཧ࿦ͷ྆໘͔Β ice line ͷཧղΛࢼΈΔ͜ͱ͕Մೳʹͳͬͯ͘Δ͸ͣͰ͋Δ.
αΠζ 10cm ͔Βͷμετ੒௕ϓϩηεࠓճͷ‫ࢉܭ‬ͷ݁຤ͱͯ͠͸, 10cm ఔ౓·Ͱ੒௕ͨ͠ͷͪ ණμετ͸શ໓ͯ͠͠·͏ͱ͍͏݁Ռ
ʹͳͬͨ. ͢ͳΘͪණμετͷ੒௕͸, ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΓʮ௓ͶฦΓͷนʯ͸͗Γ͗Γӽ͑ΒΕΔ
΋ͷͷʮத৺੕མԼͷนʯʹ્·ΕΔͱ͍͏͜ͱʹͳͬͨ. ͔͠͠, ͜Ε͸‫ํݟ‬Λม͑Ε͹ʮத৺੕མԼͱ Streaming instability[29] ͷޮՌͱͷ‫ڝ‬૪ʯͱ͍͏‫ڵ‬ຯਂ͍໰୊΁ͱ‫͕ܨ‬Δ. 10cm αΠζͷμετͰ΋ඍ࿭੕‫ܗ‬੒·ͰՄೳੑ͕͋Δͱ͢Δใࠂ [30] ΋͋ΔͨΊ, কདྷతʹ͸, ຊߘͰߦͬ
ͨණμετ੒௕ͷ‫͜ʹࢉܭ‬ͷ Streaming instability ͷޮՌ΋Ճ͑ͨ਺஋‫ࢉܭ‬ɾ‫͞ͳ͕ڀݚ‬ΕΔ͜ͱΛ‫ظ‬଴͢Δ.

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ଞͷμετ੒௕ཧ࿦ͱͷؔ܎ຊߘͰ͸ණμετͷ੒௕Λ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔϝΧχζϜʹ஫໨ٞ͠࿦͕ͨ͠, ͜ͷ੒௕ϓϩη
ε͸ ice line ۙ๣Ͱ༗ޮʹಇ͘΋ͷͰ͋Γ, ‫࢝ݪ‬࿭੕‫ܥ‬ԁ൫ͷͲ͜Ͱ΋௨༻͢Δμετ੒௕γφϦΦͰ͸ͳ͍͜ͱʹ஫ҙ͢΂͖Ͱ͋Δ. ΋ͪΖΜ, ͜ͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚੒௕ϓϩηεҎ֎ʹ΋μετͷ੒௕ཧ࿦͸͍͔ͭ͘ఏএ͞Ε͍ͯΔ. ಛʹ࠷ۙ໌Β͔ʹͳͬͨཧ࿦ͱͯ͠͸μετΞάϦήΠτͷ
ۭܺ཰Λߟྀͨ͠‫͕͋ڀݚ‬Δ [24][25][26]. ͜ͷ‫Ͱڀݚ‬͸, ຊߘͰີ౓Ұ༷ɾ‫ٿ‬ରশͱͯ͠ѻͬͨණμετΛ, ΑΓ‫࣮ݱ‬తʹ, ۭ͕ܺ͋ΔΑ͏ͳμετ (porous aggregates) ͱͯ͠ѻ͍, ࿭੕‫ܗ‬੒ͷ‫ݹ‬యతͳඪ४ཧ࿦Ͱ͸ߟྀ͞Ε͍ͯͳ͔ͬͨμετͷ಺෦ߏ଄ਐԽΛཧ࿦తʹ௥͍ͬͯΔ. ݁Ռ͔Β͸, ʮ࿭੕ͷछʯ͸Ұ୴͖ؒͩ͢Β͚ʹͳͬͨ‫ޙ‬, ԁ൫Ψεͷ޲͔͍෩΍ࣗ਎ͷॏྗʹΑͬͯѹॖ͞Ε, 10km αΠζͷඍ࿭੕͕‫ܗ‬੒͞ΕΔ͜ͱ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔ. ͜ͷΑ͏ͳۭܺ཰Λߟྀͨ͠μετ੒௕ཧ࿦ͷ‫ڧ‬Έ͸, ΞάϦήΠτ͕ණཻࢠͰߏ੒͞Ε͍ͯΔ৔߹, ʮத৺੕མԼʯʮিಥഁյʯ
ʮ௓ͶฦΓʯͱ͍͏࿭੕‫ܗ‬੒ॳ‫ظ‬ͷ 3 ͭͷ໰୊Λશͯࠀ෰͍ͯ͠Δ఺ʹ͋Δ. ͢ͳΘͪ, ௿ີ౓Խʹ൐͏ߴ଎੒௕ʹΑͬͯத৺੕མԼ͕ճආ͞Ε, ·ͨ, ණ͔Β੒ΔΞάϦήΠτͷ‫෇͍ڧ‬ணྗʹΑΓিಥഁյ໰୊Λࠀ෰. ͞Βʹ, ௓ͶฦΓͷ໰୊ʹ͍ͭͯ΋ΞάϦήΠτͷۭ͕ܺিಥͷিܸΛ‫ٵ‬ऩ͢ΔʮΫογϣϯʯͱͳΔ͜ͱͰղܾ͞ΕΔͱ͍͏Θ͚Ͱ͋Δ. ൓ͯ͠, ͜ͷཧ࿦ͷऑ఺ͱͯ͠
͸, ණμετ͕ߴۭܺ཰ͷΞάϦήΠτʹͳΔ͜ͱΛେલఏͱ͍ͯ͠Δ఺Ͱ͋Δ. ͜Ε͸ਫৠ‫ؾ‬ͷ‫ڽ‬ॖΛແࢹ͍ͯ͠Δ͜ͱʹଞͳΒͳ͍. ͳͥͳΒ‫ڽ‬ॖ͕‫͜ى‬ΔͱΞάϦήΠτ͕ίϯύΫτ‫ʹٿ‬ͳͬͯ͠·͍ۭܺ཰͕௿͘ͳΔ͔ΒͰ͋Δ. ͭ·Γ, ߴۭܺμετͷ੒௕ཧ࿦͸ ice line ۙ๣ʹ͸ద༻Ͱ͖ͳ͍ͱ͍͏͜ͱʹͳͬͯ, ຊߘͷ୊໨ͱͨ͠ ice line ۙ๣ʹ͓͚Δ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔණμετͷ੒௕ཧ࿦ͱ͸·͞ʹ૬ิతͳؔ܎ʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜ͷΑ͏ʹ, ิ‫׬‬తͳ໾ׂΛ୲͏μετ੒௕ཧ࿦ͱͯ͠΋ຊߘͷ‫ڀݚ‬͸ҙٛਂ͍΋ͷͰ͋ͬͨͱ‫͑ݴ‬Α͏.
‫ڧ‬ཚྲྀԼʹ͓͚Δඍ࿭੕‫ܗ‬੒γφϦΦͱͯ͠ͷ༗๬ੑ
ਤ 7.12 ͷ༷ࢠ͔ΒΘ͔ΔΑ͏ʹ, ຊߘͷ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔණμετ੒௕ϓϩηε͸ཚྲྀ͕‫͍ڧ‬(ཚྲྀ೪ੑͷύϥϝʔλ α ͕େ͖͍) ΄Ͳ੒௕͕଎͘ਐΉ͜ͱ͕ಛ௃Ͱ͋Δ. ͜Ε͸֦ࢄ͕ޮ͘͜
ͱͰ ice line Λ·͙ͨ‫ؾ‬૬-‫ݻ‬૬ؒͷ࣭ྔަ‫͕׵‬ଅਐ͞ΕΔͨΊͰ͋Δ. Ճ͑ͯ, ཚྲྀͷ‫͞ڧ‬͸੒௕ΛՃ଎ͤ͞Δ͚ͩʹͱͲ·Βͣ, ࣜ (7.14) ͷΑ͏ʹ ͜ͷϓϩηεʹ͓͍ͯණμετ͕੒௕Ͱ͖Δ√
αΠζͷ্‫ ݶ‬Rcrit ∼ αR1 / η Λ΋༩͑Δ (ਤ 7.12 ࢀর). ֦ࢄʹΑͬͯத৺੕མԼΛ཈੍͍ͯͨ͠ঢ়ଶ͕αΠζ Rcrit Λӽ͑Δͱഁ୼͠, ණμετ͸Ҡྲྀ༏੎ͰҰํతʹঢ՚ྖҬ΁ͱམԼ͠ফ໓
ͯ͠͠·͏Θ͚Ͱ͋Δ. ͜ͷ͜ͱ͔Βຊߘͷණμετ੒௕ཧ࿦͸‫ڧ‬ཚྲྀԼʹ͓͚Δඍ࿭੕‫ܗ‬੒ϓϩηεͱͯ͠ॏཁͰ͋Δͱ‫͑ݴ‬Δ. ‫ڽ‬ॖɾঢ՚ʹΑΔ੒௕Ͱʮ௓ͶฦΓʯͷ໰୊ΛղܾͰ͖ͨͱ͢
ΔͳΒ͹, લड़ͷΑ͏ʹ, ຊߘͷཧ࿦͸ Streaming instability ͷޮՌΛ‫ؚ‬Ίͨॏྗෆ҆ఆγφϦΦ[32] ʹରͯ͠ॳ‫ظ‬৚݅Λఏ‫͍ͯ͠ڙ‬Δͱߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ಛʹ, ԁ൫‫ܗ‬੒ॳ‫ظ‬͸Ψεԁ൫͸ॏྗతʹෆ҆ఆͰ, ͜ΕʹΑͬͯ‫͍ڧ‬ཚྲྀ͕‫ۦ‬ಈ͞Ε͍ͯΔՄೳੑ͕͋Γ (ԁ൫͕ෆ҆ఆͰ͔ͭԁ൫ͷྫྷ٫͕࣌ؒ௕͍৔߹, ॏྗ෼྾͕‫͖͖ى‬Βͣʹཚྲྀঢ়ଶͱͳΔ [33]), ͜ͷΑ͏ͳঢ়‫گ‬ԼͰͷඍ࿭੕‫ܗ‬੒γφϦΦͱͯ͠ຊߘͷණμετ੒௕ཧ࿦͸༗๬Ͱ͋Ζ͏. ͜ͷγφϦΦ͸͜Ε͔Β۩ମతʹ‫ݕ‬౼͢ΔՁ஋͕͋Γͦ͏Ͱ͋Δ.

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《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

෇࿥ A ɹΤϓελΠϯଇ (Epstein law)Ψε෼ࢠͷฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ lg ʹରͯ͠े෼ʹখཻ͍͞‫ ܘ‬R ͷμετ‫͕ٿ‬ड͚ΔΨε఍߅ʹ͍ͭͯߟ͑Δ [45]. ੩ࢭ‫Ͱܥ‬Ψε෼ࢠ͸ϚΫε΢ΣϧɾϘϧπϚϯ෼෍͍ͯ͠Δ΋ͷͱ͢Δͱ, Ґ૬ۭؒதͷ (r, v) ͔Β (r + d3 r, v + d3 v) ͷൣғ಺ʹ͋Δ෼ࢠ਺͸f0 (v)d r d v = ng33mg
2πkB T3/2me− 2k gT v 2 3Bd r d3 v(A.1)

ͱॻ͚Δ. ੩ࢭ‫Ͱܥ‬଎౓ v ͷΨε෼ࢠ͸, ଎౓ V Ͱӡಈ͢Δμετ͔Β‫ݟ‬Δͱ଎౓ v − V Ͱӡಈ͠
͍ͯΔΑ͏ʹ‫͑ݟ‬Δ. ͜ͷ͜ͱ͔Βμετͱͱ΋ʹಈ͘‫׳‬ੑ‫͍͓ͯʹܥ‬, Ґ૬ۭؒதͷ (r, v − V )͔Β (r + d3 r, v − V + d3 v) ͷൣғ಺ʹ͋Δ෼ࢠ਺͸fV (v − V )d r d v = ng
3

3

3/2

mg
2πkB Tme− 2k gT v 2 3Bd r d3 v(A.2)ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. V = αV ex + βV ey + γV ez (α, β, γ ͸ͦΕͧΕ V ͷ x, y, z ࠲ඪʹؔ͢Δํ
޲༨‫͠ͱ )ݭ‬, ·ͨ, μετ͸Ի଎ʹൺ΂ͯे෼Ώͬ͘Γͱಈ͍͍ͯΔ΋ͷͱ͢Ε͹, Ψε෼ࢠͷ଎౓෼෍ؔ਺fV (v) = ngmg
2πkB T3/2me− 2k gT (v+V )2
B

(A.3)

͸ V ͷ 1 ࣍·ͰͷۙࣅͰfV (v) = ngmg
2πkB T3/2 

mmg− g v2V (α vx + β vy + γ vz ) e 2kB T
1−
kB T

(A.4)

ͱల։Ͱ͖Δ. ͜͜Ͱ, z ࣠ʹਨ௚ͳඍখ໘ੵ dS ʹରͯ͠ vz < 0 Ͱিಥ͢Δ෼ࢠʹ͍ͭͯߟ͑Δ.
ਤ A.1 ͷΑ͏ʹ dS Λఈͱ͠ v ͷํ޲ʹ৳ͼͨԁபΛ૝ఆͨ͠ͱ͖, ͜ͷԁப಺ʹ͋Δ෼ࢠ͸୯Ґ࣌ؒதʹඞͣ dS ʹিಥ͢Δ. ͜ͷԁப಺ʹ͋ͬͯ, v ͔Β v + d3 v ͷൣғ಺ʹ͋Δ෼ࢠ਺ (୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓʹඍখ໘ dS ʹিಥ͢Δ෼ࢠ਺) ͸N (v) dS d3 v = −vz fV (v) dS d3 v

(A.5)

ͱॻ͚Δ͜ͱ͔Β, ͜ͷඍখ໘ dS ͕୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓʹΨε෼ࢠ͔Βड͚औΔӡಈྔ (z ࠲ඪ ෛͷ޲͖) ͸, ஄ੑিಥΛԾఆͯ͠∞M dS = dS
−∞



∞

dvx

0

dvy

−∞
3/2

dvz 2mg vz N (v)

−∞
∞



m
mg V
− g v2γ vz 3 e 2kB T
dvz vz 2 −
kB T
−∞
−∞
−∞
1/2



0
m
mg V
mg
− g v 2γ vz 3 e 2kB T z= −2ρgdS
dvz vz 2 −2πkB T
kB T
−∞
$
%
kB T
8
cs,g V dS
= −ρg
+γ
(A.6)
mg
π

= −2ρgmg
2πkB T

dS

∞

dvx

0

dvy

ͱΘ͔Δ. ͨͩ͠, ρg ≡ mg ng ͸Ψεͷۭؒີ౓, cs,g ≡79

kB T /mg ͸ΨεͷԻ଎Ͱ͋Δ.

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）


























ਤ A.2: μετ‫ٿ‬ද໘্ͷඍখ໘ dS

ਤ A.1: ඍখ໘ dS ʹিಥ͢ΔΨε෼ࢠ͞Βʹ͜͜Ͱ, ਤ A.2 ͷΑ͏ʹ V /V = eζ ͱͳΔΑ͏ͳ௚ަ࠲ඪ (ξ, η, ζ) ΛுΔ (eζ ͸ ζ ࠲ඪͷ୯ҐϕΫτϧ). ͜ͷ (ξ, η, ζ) ࠲ඪ‫ܥ‬ͷதͰඍখ໘ dS ͸μετ‫ٿ‬ද໘্ʹ͋Δ΋ͷͱ͠, ͦͷҐஔΛ֯౓ θ, ϕ Ͱ‫ه‬ड़͢Δ. ͜ͷͱ͖, V ͷ z ࠲ඪʹؔ͢Δํ޲༨‫ݭ‬͸ γ = cos θ Ͱ͋Δ͜ͱ͔Β, ࣜ(A.6) ΑΓ֯౓ θ ʹҐஔ͢Δඍখ໘ dS ͕୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓʹड͚औΔӡಈྔ͸
%
$
kB T
8
cs,g V cos θM dS = −ρg
+
mg
π

(A.7)

ͱͳΔ. ͜ͷ M dS ͷ V ํ޲ͷ੒෼ M cos θdS Λμετ‫ٿ‬໘্Ͱੵ෼͢Δ͜ͱͰ, ୯Ґ࣌ؒ͋ͨΓͷμετͷӡಈྔมԽ͕‫͖Ͱࢉܭ‬, ͜Ε͸μετ͕Ψε͔Βड͚Δ఍߅ྗʹଞͳΒͳ͍ͷͰ, Ҏ্ΑΓΤϓελΠϯଇ
(Ep)

FD

π

= R2

2π

dθ
0

= −

4π
3

dϕ M cos θ sin θ08
ρg R2 cs,g Vπ͕‫ٻ‬ΊΒΕΔ.

80

(A.8)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

෇࿥ B ɹετʔΫεଇ (Stokes law)ετʔΫεଇ͸, ඇѹॖ 24 ɾ௿ϨΠϊϧζ਺ 25 ͷྲྀΕʹ੒Γཱͭ఍߅ଇͰ͋Δ [46].
ҎԼ, z ࣠ʹରͯ࣠͠ରশͰҰ༷ͳྲྀΕͷதʹཻ‫ ܘ‬R ͷμετ‫͕ٿ‬ஔ͔Εͯ͋Δঢ়‫گ‬Λߟ͑Δ (ਤ B.1). ͜ͷͱ͖ඇѹॖੑ ∇ · v = 0 ͸ 3 ࣍‫࠲ۃݩ‬ඪ (r, θ, ϕ) Λ༻͍ͯ


1 ∂
1 ∂
1 ∂vϕ
(sin θ vθ ) +∇ · v = 2 (r2 vr ) +=0r ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕ
  
0(B.3)

ͱॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜ͷࣜ (B.3) ͸೚ҙͷεΧϥʔؔ਺Ψ(r, θ) Λ༻͍ͯ



⎧
⎪
⎨vr =

1 ∂Ψ
r2 sin θ ∂θ⎪⎩v = − 1 ∂Ψθr sin θ ∂r







(B.4)
ਤ B.1: ετʔΫεྲྀͱஔ͘ͱ͖ࣗಈతʹຬͨ͞ΕΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜ͷؔ਺ ΨΛʮετʔΫεͷྲྀΕͷؔ਺ʯ͋Δ͍͸୯ʹʮྲྀΕͷؔ਺ʯͱ‫͏ݴ‬.
φϏΤɾετʔΫεํఔࣜ∂v
1
ν
+ (v · ∇)v = − ∇P + νΔv + ∇(∇ · v)
∂t
ρg
3

(B.5)

ʹඇѹॖੑ͓Αͼ௿ϨΠϊϧζ਺ͷྲྀΕͰ͋Δ͜ͱΛ༻͍Δͱ∂v
1= − ∇P + νΔv
∂t
ρg

(B.6)

ͱͰ͖Δ. ͜ͷΑ͏ʹ, ௿ϨΠϊϧζ਺ͷྲྀΕʹରͯ͠ඇઢ‫( ߲ܗ‬Ҡྲྀ߲) Λམͱ͠φϏΤɾετʔΫεํఔࣜΛઢ‫͢ࣅۙܗ‬Δ͜ͱΛʮετʔΫεۙࣅʯͱ‫͏ݴ‬. ͜͜Ͱ, Ӕ౓Λ ω ≡ ∇ × v ͱఆٛ͠, ࣜ (B.6) ͷ྆ลͷ rot ΛͱΔͱ

∂ω
= νΔω
∂t

24

ྲྀΕʹԊͬͯີ౓ ρg ͕มԽ͠ͳ͍͜ͱΛ‫͏ݴ‬. ͢ͳΘͪ

͢Ε͹

(B.7)

Dρg
∂ρg
= 0 Ͱ͋Γ, ࿈ଓͷࣜ+ ∇ · (ρg v) = 0 ʹ୅ೖDt∂t∇·v =0D∂ͱද͞ΕΔ. ͳ͓,≡+ v · ∇ ͸ྲྀΕʹԊͬͨ࣌ؒඍ෼ (ϥάϥϯδϡඍ෼) Ͱ͋Δ.
Dt∂t
25
ϨΠϊϧζ਺ Re ͸(‫׳‬ੑ߲)U 2 /L
UL
Re =
=
=
(೪ੑ߲)
νU/L2
ν

(B.1)

(B.2)

Ͱఆٛ͞ΕΔ (L ͸‫ܥ‬ͷಛ௃తͳ௕͞, U ͸‫ܥ‬ͷಛ௃తͳ଎͞). ௿ϨΠϊϧζ਺ͷྲྀΕͱ͸, ͭ·Γ, ೪ੑ߲ʹൺ΂ͯ‫׳‬ੑ߲͕ແࢹͰ͖ΔΑ͏ͳྲྀΕͷ͜ͱͰ͋Δ.

81

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

͕ಘΒΕΔ 26 . ͜ΕΑΓఆৗྲྀͷ৔߹Δω = 0(B.8)

ͱͳͬͯ, ͢ͳΘͪఆৗͳετʔΫεྲྀͷӔ౓͸ௐ࿨ؔ਺Ͱͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δ.
ਤ B.1 ͷΑ͏ͳఆৗετʔΫεྲྀʹ͍ͭͯ 3 ࣍‫࠲ۃݩ‬ඪ (r, θ, ϕ) Λ༻͍ͯӔ౓ ω = ∇ × v Λද͢ͱ, ∂/∂ϕ = 0 , vϕ = 0 ʹ஫ҙͯ͠






∂(vϕ sin θ) ∂vθ
1
1
1 ∂(r vθ ) ∂vr ɹ
1 ∂vr ∂(r vϕ )−
ω = er−−+eθ+eϕr sin θ  ∂θ∂ϕr sin θ ∂ϕ  ∂r
r
∂r
∂θ ɹ
     
0

0

0

0

 2


∂ Ψ sin θ ∂
1 ∂Ψ
1
= −eϕ
+ 2
r sin θ ∂r2
r ∂θ sin θ ∂θ
 2


∂
1 ∂
sin θ ∂
ͱͳΔ. X =+ 2Ψ ͱஔ͚͹
r ∂θ sin θ ∂θ∂r2
ω = eϕ(B.9)−Xr sin θ(B.10)

ͱͰ͖, ·ͨ ω ͷ r, θ ੒෼ ωr , ωθ ͕ 0 Ͱ͋Δ͜ͱ͔Β Δω ͸


ɹ
2ωr
2 ∂ωϕ ɹ2 ∂(ωθ sin θ)Δω = er Δωr − 2 − 2−rr sin θ  ∂θ  r2 sin θ ∂ϕ ɹɹ  




0
0
0
0


ɹ
2 ∂ωr
ωθ
2 cos θ ∂ωϕ ɹ
ɹ +eθ Δωθ + 2−
2 − 2
ɹ  r ∂θ r2 sinθ r sin2 θ ∂ϕ ɹ




0
0
0
0


ωϕ
ɹ
ɹ
2 ∂ωr
2 cos θ ∂ωθ
+ 2 2
− 2 2
ɹ +eϕ Δωϕ + 2
r sin θ ∂ϕɹr sin θ ∂ϕ r sin θ ɹ


 



=

=

=
=

26

0

0


∂ 2 ωϕ
ωϕ
ɹ
1
r
+ 2 2
2 − 2
2
∂r
r sin θ ∂ϕr sin θ ɹ



0



 



1
∂
∂
X
∂
X
1
∂
X
2
−eϕ 2
r
+ 3
sin θ
− 3 3
r sin θ ∂r
∂r r
r sin θ ∂θ∂θ sin θr sin θ

ɹ 1 ∂eϕ
ɹ r2 ∂r



2 ∂ωϕ



∂
1
+ 2
r sin θ ∂θ



∂ωϕ
sin θ
∂θ



 2


1
∂
1 ∂
sin θ ∂−eϕ+ 2
Xr sin θ ∂r2
r ∂θ sin θ ∂θ
 2

2
∂
1 ∂
1
sin θ ∂+ 2Ψ−eϕr sin θ ∂r2
r ∂θ sin θ ∂θϕΫτϧղੳͷ߃౳ࣜ rot grad = 0 , div rot = 0 , rot rot = grad div − div grad ͓Αͼ

rot Δv=rot div grad v = rot (grad div − rot rot )v=−(grad div − div grad )rot v = div grad rot v

=

Δω

Λ༻͍ͨ.

82

(B.11)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ͱද͞ΕΔ͜ͱʹͳΔ. ఆৗετʔΫεྲྀʹରͯ͠͸ࣜ (B.8) ͕੒Γཱͭ͸ͣͳͷͰ݁‫ہ‬,

∂2
sin θ ∂
2 + r 2 ∂θ
∂r



1 ∂
sin θ ∂θ2
Ψ=0(B.12)

Λղ͚͹ྲྀΕͷؔ਺ Ψ ͕‫ٻ‬ΊΒΕΔ͜ͱʹͳΔ.
ʮμετ‫ٿ‬ද໘ʹ͓͍ͯྲྀ଎͕ 0ʯʮແ‫ݶ‬ԕํʹ͓͍ͯྲྀΕ͕Ұ༷ʯͱ͍͏‫ڥ‬ք৚݅⎧⎪r → R (μετ‫ٿ‬ද໘)
⎪
⎪
⎪
⎪
∂Ψ
∂Ψ
⎪
⎨ɹɹ vr = 0 , vθ = 0 ,
=0,
=0
∂r
∂θ
⎪
⎪
r → ∞ (ແ‫ݶ‬ԕํ)⎪⎪⎪⎪⎩ɹɹ vr = −V cos θ , vθ = V sin θ , ∂Ψ = −V r sin2 θ , ∂Ψ = −V r2 sin θ cos θ∂r∂θ(B.13)

Ͱࣜ (B.12) Λղ͘͜ͱΛߟ͑Δ. ྲྀΕͷؔ਺ Ψ ʹؔ͢Δ‫ڥ‬ք৚݅Λੵ෼͢Δͱ

1
Ψ = − V r2 sin2 θ
2(B.14)

ͱͳΔ. ͜ͷ θ ґଘੑΛ༻͍ͯղΛม਺෼཭‫ Ͱܗ‬Ψ = f (r) sin2 θ ͱԾఆ͠, ࣜ (B.12) ʹ୅ೖ͢Δ
͜ͱʹΑΓ f (r) ʹ͍ͭͯͷํఔࣜ͕ಘΒΕΔ.

d22
2 − r2dr2
f (r) = 0

d2
2−
f (r) = F (r) ͱஔ͘ͱ, ࣜ (B.15) ͸
dr2 r2
 2
d2−
F (r) = 0
dr2 r2(B.15)(B.16)

ͱͳͬͯ, ͜ͷඍ෼ํఔࣜʹؔͯ͠͸༰қʹղ͘͜ͱ͕Ͱ͖ͯ 27

F (r) =A
+ Cr2
r

(B.18)ΛಘΔ (ͨͩ͠ A, C ͸ੵ෼ఆ਺). ͜ΕΑΓ f (r) ʹؔͯ͠ඇ੪࣍ඍ෼ํఔࣜ




d2
2
1
2
2 − r 2 f (r) = A r + Cr
dr

(B.19)

͕੒Γཱͭ͜ͱʹͳΔ͕, ‫͔ܗ‬Β͜ͷํఔࣜͷղͷҰͭͱͯ͠f0 (r) = Br + Dr4(B.20)

d dF
dF
dF
d2 F
d2 F
ΑΓࣜ (B.16) ͸, ξ ≡ ln r Λ༻͍ͯ−r
= r2 2 + r− 2F = 0 ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͜
dr dr
dr
dξ
dr
dξ 2
ΕΛղ͘͜ͱʹΑΓA
F = A e−ξ + C e2ξ ɹɹɹ ∴ F =(B.17)+ Cr 2r
͕ಘΒΕΔ.
27ɹr83

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

͕͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δ (B, D ͸೚ҙఆ਺). Ұํ, ࣜ (B.19) ʹରԠ͢Δ੪࣍ඍ෼ํఔࣜͷղ͸ F (r) ͦͷ΋ͷͰ͋Γ, ඇ੪࣍ඍ෼ํఔࣜͷҰൠղ͸ಛघղͱ੪࣍ղͷ࿨Ͱॻ͚Δ͜ͱ͔Β, ҰൠղA+ Br + Cr2 + Dr4rf (r) = f0 (r) + F (r) =͕ಘΒΕΔ. ͜ΕΑΓ‫ٻ‬ΊΒΕΔྲྀΕͷؔ਺


A
2
4
+ Br + Cr + Dr sin2 θΨ=rΛࣜ (B.4) ʹ୅ೖ͠, ‫ڥ‬ք৚݅ (B.13) ΑΓ܎਺ A, B, C, D Λܾఆ͢Δͱ, ྲྀ଎ v ͸
⎧




A
R3
B
3R
⎪
2
⎪
+ 3
= −V cos θ 1 −⎪⎨vr = 2 cos θ r3 + r + C + Dr
2r
2r




⎪
A
R3
B
3R
⎪
2
⎪
+ 3
− − 2C − 4Dr = −V sin θ −1 +⎩vθ = sin θ
r3
r
4r
4r

(B.21)(B.22)(B.23)

ͱͳΔ. ͜ͷࣜ (B.23) Ͱද͞ΕΔ଎౓৔ͷதͰ, μετ‫ٿ‬ද໘ʹಇ͘ྗʹ͍ͭͯ‫ࢉܭ‬Λߦ͏. ఆৗྲྀΛߟ͍͑ͯͨͷͰ, ࣜ (B.6) ΑΓѹྗޯ഑͸∇P = ρg νΔv(B.24)

Ͱ͋Γ, μετ‫ٿ‬ද໘ʹରͯ͠ਨ௚ʹಇ͘੒෼͢ͳΘͪ r ੒෼Λߟ͑Δͱ, Δv ͷ r ੒෼͕

2 ∂ 2 vϕ2vr
2 ∂(vθ sin θ)−−
r2
r2 sin θ∂θ
r2 sin θ ∂ϕ



0




∂
∂ 2 vr 2vr
1 ∂2 ∂(vθ sin θ)
1
∂vr
1
2 ∂vr
=
− 2 − 2
r
+
sin
θ
+
2
2
2
2
2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ∂θrr sin θ∂θ
r sin θ ∂ϕ



0
R
= −3V cos θ 3(B.25)
r(Δv)r = Δvr −Ͱ͋Δ͜ͱ͔Β∂PR= −3 ρg ν V cos θ 3∂rr
ͱͳΔ. ͜ͷ྆ลΛແ‫ݶ‬ԕ͔Βμετ‫ٿ‬ද໘ r = R ·Ͱੵ෼͢Δ͜ͱͰPR (θ) = P∞ +3ρg νVcos θ
2R͕ಘΒΕΔ. Ұํ, ઀ઢԠྗ σrθ ʹؔͯ͠΋ࣜ (B.23) Λ༻͍ͯ  


1 ∂v
∂v
1 ∂vr
∂  vθ  +rσrθ (θ) = ρg ν+
= ρg ν
r ∂θ r∂r θ r=Rr ∂θ
∂r r r=R
3 ρg νVsin θ=
2R(B.26)(B.27)(B.28)

ͱͳΔ. Ҏ্ͷѹྗͱ઀ઢԠྗͷ z ੒෼Λμετ‫ٿ‬ද໘্Ͱੵ෼͢Δ͜ͱͰετʔΫεଇ
(St)

FD

π

= −

2π

sin θ dθ0

= −6πρg νR V

dϕ(PR (θ) cos θ − σrθ (θ) sin θ)

0(B.29)͕ಋ͔ΕΔ. ΤϓελΠϯଇ (A.8) ͷ৔߹, μετ‫ʹٿ‬ಇ͘఍߅ྗཻ͕‫ ܘ‬R ͷ 2 ৐ʹൺྫ͍ͯͨ͠
ͷʹରͯ͠, ετʔΫεଇ (B.29) Ͱ͸఍߅ྗ͸ R ʹൺྫ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕Θ͔Δ.

84

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）





σθ



σθ  



ਤ B.3: μετ‫ٿ‬ͷ·ΘΓͷετʔΫεྲྀ

ਤ B.2: μετ‫ٿ‬ද໘ʹ࡞༻͢Δѹྗͱ઀ઢԠྗ

෇࿥ C ɹΨεͷಈ೪ੑ܎਺
ฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔͷ֓೦Λ༻͍ͯ‫ؾ‬ମͷ෼ࢠ೪ੑΛߟ࡯͢Δ.

͍·, ਤ C.1 ͷΑ͏ʹ, ྲྀମ͕ x ࣠ํ޲ʹྲྀΕ͓ͯΓͦͷྲྀ



଎ vx (z) ͸ z ͚ͩʹґଘ͍ͯ͠Δͱ͢Δ. z = 0 Λ z ਖ਼ํ޲΁ͱ௨ա͢Δ෼ࢠ਺ͱ z ෛํ޲΁ͱ௨ա͢Δ෼ࢠ਺ͷͦΕͧΕϑϥοΫε F+ , F− ͸⎧∞∞⎪⎪ F+ =
dv
dvy
⎪
x
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩ F− =

−∞
∞
−∞

−∞
∞

dvx

−∞




∞


 

dvz vz fg (v, z = 0) ɹɹɹ
(C.1)


 

0
0

dvy

−∞

dvz vz fg (v, z = 0) ɹɹɹ(C.2)

ਤ C.1: ෼ࢠ೪ੑʹΑΔ༌ૹ‫ݱ‬৅Ͱ͋Γ, Ψε෼ࢠͷ଎౓͕ϚΫε΢ΣϧɾϘϧπϚϯ෼෍ʹै͏΋ͷͱ͢Ε͹⎧
mg 3/2⎪⎪⎪ F+ = ng
⎨
kB T


⎪
⎪
mg 3/2⎪⎩ F− = ng
kB T

∞
−∞
∞
−∞

∞

dvx
dvx

−∞
∞
−∞

∞

dvy

m

dvz vz e− 2k gT v 2
B

ɹɹɹɹ

(C.3)

0
0

dvy

−∞

m

dvz vz e− 2k gT v 2
B

ɹɹɹɹ

(C.4)

ΑΓ

1
F+ = F− = ng vm
4

(C.5)

ͱද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͨͩ͠, ͜͜Ͱ଎౓ͷઈର஋ |v| ͷฏ‫ۉ‬


vm ≡

mg
kB T

3/2
d3 v |v|em− 2k gT v 2
B

=

8kB T
=
πmg

8
cs,g
π

(C.6)

Λ༻͍ͨ. z = 0 ͷ໘Λ௨աͯ͠ z ਖ਼ํ޲͋Δ͍͸ෛํ޲ʹӡ͹ΕΔ x ํ޲ͷӡಈྔ͸, z = 0 ͷҐஔ͔Βฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ lg ఔ౓཭Εͨͱ͜Ζ͔Βӡ͹Εͯ͘Δͱߟ͑ͯྑ͍. ͜ͷ͜ͱ͔Β, z = 085

《修士論文》

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ʹ͓͚Δ z ਖ਼ͷ޲͖͓Αͼෛͷ޲͖ͷӡಈྔϑϥοΫε M+ , M− ͸⎧ ∂vx 
1
1⎪⎪⎪ M+ = mg ng vm vx (−lg ) = ρg vm vx (z = 0) − lg⎨44∂z z=0 ⎪∂vx 
1
1⎪⎪⎩ M− = mg ng vm vx (lg ) = ρg vm vx (z = 0) + lg
44∂z z=0ͱධՁ͞ΕΔ. ैͬͯ, z = 0 ʹ͓͚Δਖ਼ຯͷӡಈྔϑϥοΫε M ͸∂vx 
1
M = M+ − M− = − ρg vm lg
2∂z z=0

(C.7)
(C.8)

(C.9)

ͱͳͬͯ, ͜Ε͕೪ੑԠྗ −μ(∂vx /∂z) ͱ౳͋͘͠Δ΂͖ͳͷͰ, ݁‫ہ‬, ಈ೪ੑ܎਺ ν = μ/ρg Λ

11
ν = vm lg =22

8cs,g lgπ(C.10)

ͱಘΔ. ฏ‫ࣗۉ‬༝ߦఔ lg ͸, Ұൠʹ, ͦͷΨε෼ࢠͷিಥஅ໘ੵ (cross section) σ Λ༻͍ͯlg =μ g mH
1
=
ng σ
ρg σ

(C.11)

ͱॻ͚Δ͜ͱ͔Β, ಈ೪ੑ܎਺ ν ͸ࣜ (C.10) ΑΓΨεͷ࣭ྔີ౓ ρg ʹ൓ൺྫ͢Δ͜ͱʹͳΔ. ͜(St)Ε͸‫ʹͱ͖͜΂͘ڻ‬ετʔΫεଇ (B.29) ʹ͓͚ΔΨε͔Βड͚Δ఍߅ྗ Fdrag ͕Ψεີ౓ ρg ʹґΒͳ͍͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δ [16].

86《修士論文》

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෇࿥ D ɹ Hill ํఔࣜ‫ي‬ಓ൒‫ ܘ‬a0 , ֯଎౓ Ω0 ≡ ΩK (a0 ) Ͱέϓϥʔԁӡಈ͢Δ఺Λ࠲ඪ‫͢ͱ఺ݪ‬Δճస࠲ඪ‫ܥ‬Λߟ͑Δ. ͜ͷΑ͏ͳ࠲ඪ‫ܥ‬͸, ଠཅΛத৺ʹճస͢Δ࿭੕ͷपғͷཻࢠͷӡಈ ౳Λ‫ه‬ड़͢ΔͨΊʹΑ͘༻͍ΒΕʮHill ࠲ඪ‫ܥ‬ʯͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔ. ͜ͷ Hill ࠲ඪ‫ܥ‬Λ༻͍, ‫( ࣅۙॴہ‬Hill ۙࣅ)⎧⎪⎪⎨‫ي‬ಓ௕൒‫ܘ‬ɹɹ ap ∼ a0⎪⎪⎩཭৺཰ɹɹɹɹ ep  1(D.1)‫ي‬ಓ܏ࣼ֯ɹɹ ip  1͓Αͼཻࢠ࣭ྔ͕ mp  M∗ ͱ͍͏৚݅ͷ΋ͱͰۙࣅతʹ੒Γཱͭӡಈํఔࣜͷ͜ͱΛʮHill ํఔࣜʯͱ‫( ͏ݴ‬ਤ D.2).





























ਤ D.1: έϓϥʔ‫ي‬ಓཁૉ

ਤ D.2: Hill ࠲ඪ‫ܥ‬͜͜Ͱ͸த৺੕ͷ·ΘΓΛέϓϥʔճస͍ͯ͠Δ 2 ͭͷཻࢠ (p = 1, 2) ͷ૬‫༻࡞ޓ‬Λߟ͑Δ.

m1 , m2  M∗ Ͱ͋ΔͨΊ, ॏྗ৔͸ѹ౗తʹத৺੕ॏྗʹΑͬͯ઎ΊΒΕ͍ͯΔ΋ͷͷ, 2 ͭͷཻࢠ͕͖ΘΊ͍ͯۙͮͨͱ͖ʹ‫ؒࢠཻͯͬݶ‬ॏྗ͸ޮՌతʹͳΔ. ཻࢠؒͷ૬ର‫཭ڑ‬Λ r12 ͱ͢ΔͱHill ۙࣅͷ΋ͱͰ, ӡಈํఔࣜ͸ Hill ํఔࣜ
⎧
GMp
⎪
⎪
(xp − xp )ẍp = 2Ω0 ẏp + 3Ω0 2 xp −
⎪
⎪
⎪
r12 3
⎪
⎪
⎨
GMp
ÿp = −2Ω0 ẋp −(yp − yp )
⎪
r12 3
⎪
⎪
⎪
⎪
GMp
⎪
⎪
⎩z̈p = −Ω0 2 zp −(zp − zp )
r12 3

(D.2)

ͱͯ͠ද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ (p = p ). 2Ω0 ẏp , −2Ω0 ẋp ͸ίϦΦϦྗ, −Ω0 2 zp ͸த৺੕ॏྗͷ z ੒෼,3Ω0 2 xp ͸த৺੕ॏྗͷ x ੒෼ͱԕ৺ྗͷ߹ྗ (ைࣚྗ)28 Ͱ͋Δ.
ࣜ (D.2) Ͱཻࢠؒ૬‫༻࡞ޓ‬Λແࢹͨ͠৔߹, ͢ͳΘͪ 2 ͭͷཻࢠ͕ಠཱʹத৺੕ͷ·ΘΓΛέϓ
ϥʔճస͢Δ৔߹ʹ͍ͭͯߟ͑Δ͜ͱʹ͢Δ. ͜ͷͱཻ͖ࢠ p ͷ x, y ํ޲ͷӡಈ (໘಺ӡಈ) ͸(D.3)
ẍp = 2Ω0 ẏp + 3Ω0 2 xpÿp = −2Ω0 ẋp(D.4)

ͷΑ͏ʹ z ํ޲ͷӡಈ (໘֎ӡಈ) ͱ͸෼཭͞Εͨ‫Ͱܗ‬ද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. ࣜ (D.4) ͷ྆ลΛੵ෼
͢Δͱ, ੵ෼ఆ਺ B Λ༻͍ͯẏp = −2Ω0 xp +
87

BΩ0
2

(D.5)




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ͱॻ͚Δ. ͜ΕΛࣜ (D.3) ʹ୅ೖ͢Δͱẍp = −Ω0 2 xp + BΩ0 2(D.6)

ͱͳΔ͕, ͜ͷඍ෼ํఔࣜ͸༰қʹղ͘͜ͱ͕ग़དྷͯ

xp = A cos[Ω0 (t − τp )] + B(D.7)

ΛಘΔ (A, τp ͸ੵ෼ఆ਺). t = τp ʹ͓͍ͯ xp = (1 − ep )ap − a0 ͓Αͼ t = τp + (π/Ω0 ) ʹ͓͍ͯxp = (1 + ep )ap − a0 ͱ͍͏৚݅Λ՝͢͜ͱͰੵ෼ఆ਺͸ A = −ep ap , B = ap − a0 ͱܾఆͰ͖ͯ,݁‫ہ‬, ໘಺ӡಈͷཻࢠͷ‫੻ي‬͸⎧⎨ xp = (ap − a0 ) − ep ap cos[Ω0 (t − τp )]3⎩ yp = p − Ω0 (ap − a0 )t + 2ep ap sin[Ω0 (t − τp )]
2

(D.8)
(D.9)

ͱ‫ٻ‬ΊΒΕΔ (ϕp ͸ੵ෼ఆ਺). ͜ΕΑΓཻࢠͷ໘಺ӡಈ͸, x, y ํ޲ͷৼಈ਺ Ω0 ͷʮΤϐαΠΫ
ϦοΫৼಈ (Epicyclic oscillation)ʯͱ, έϓϥʔ֯଎౓ ΩK ͕ a ʹґଘ͍ͯ͠Δ͜ͱ (ࠩಈճస) ʹ‫ى‬Ҽͯ͠ y ํ޲ʹ −3(ap − a0 )Ω0 /2 ͷ଎౓Ͱগͣͭͣ͠Ε͍ͯ͘ʮγΞӡಈ (Shear motion)ʯͷॏͶ߹Θͤʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ. ҰํͰ, z ํ޲ʹؔͯ͠͸z̈p = −Ω0 2 zp

(D.10)

zp = ip ap Ω0 cos[Ω(t − τp ) + ωp ](D.11)

Λղ͘͜ͱͰ

ΛಘΒΕ (ip , ωp ͸ੵ෼ఆ਺), ԁ൫Ԗ௚ํ޲ʹ΋ৼಈ਺ Ω0 Ͱৼಈ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. ͜ͷৼಈͷ͜ͱΛ໘಺ͷৼಈӡಈͱ۠ผͯ͠ʮਨ௚ৼಈ (vertical ocsillation)ʯͱ‫͏ݴ‬. ࣜ (D.8),(D.9),(D.11)
ͷৼಈӡಈ෦෼ʹؔͯ͠͸, ҰͭͷཻࢠΛ‫ݟ‬Ε͹‫ن‬ଇతͳৼಈͰ͋Δ͜ͱ͸͔͕֬ͩ, ͨ͘͞ΜͷཻࢠΛߟ͑Δͱ·ΔͰແடংʹ͍Ζ͍Ζͳํ޲ʹඈͼճ͍ͬͯΔΑ͏ʹ΋‫͑ݟ‬ΔͷͰ, ͜ͷ෦෼Λ͜͜Ͱ͸ʮϥϯμϜӡಈʯͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δ. ֤৔ॴͰͷ‫ॴہ‬తͳέϓϥʔԁӡಈ͔Β‫ݟ‬Δͱ, ཻࢠͷ଎౓ (up , vp , wp ) = (ẋp , ẏp + (3/2)xp Ω0 , żp ) ͸⎧⎪⎪⎪up = ep ap Ω0 sin[Ω0 (t − τp )]⎨1
vp = ep ap Ω0 cos[Ω0 (t − τp )]
⎪
2
⎪
⎪
⎩
wp = ip ap Ω0 cos[Ω0 (t − τp )]ͷΑ͏ʹϥϯμϜ੒෼ͷΈ͕࢒Δ‫ͯͬͳͱܗ‬, ͦΕͧΕ 2 ৐ͷ௕࣌ؒฏ‫ ۉ‬29 ΛऔΔͱ⎧1⎪⎪
up 2 = e p 2 a p 2 Ω 0 2
⎪
⎪
2
⎪


⎨
1
2 2
2
2
2
vp = ep ap Ω0 ɹɹɹɹɹ ∴up = 2 vp 2
⎪
8
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ w p 2 = 1 ip 2 a p 2 Ω0 2
2

88

(D.12)(D.13)

《修士論文》

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͕ಘΒΕΔ. ͜Εʹରͯ͠, ‫ ఺ݪ‬O (ﬁxed guiding center) ͔Β‫ͨݟ‬଎౓ (ẋp , ẏp , żp ) ͷϥϯμϜ੒෼ʹ͍ͭͯ΋ 2 ৐ฏ‫ۉ‬Λ‫ٻ‬ΊΔͱ⎧1⎪⎪ẋ2p = ep 2 ap 2 Ω0 2
⎪
⎪
2


⎨
1
ẏp2 = 2ep 2 ap 2 Ω0 2 ɹɹɹɹɹ ∴ẋ2p =
ẏp2
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎩ż 2 = 1 ip 2 ap 2 Ω0 2
p2

(D.14)

ͱͳΔ [47].

28

த৺੕͕࣭఺Ͱ͋Δͱߟ͑Ε͹, ξp ≡

(a0 + xp )2 + yp 2 ͱஔ͍ͯ, த৺੕ͷॏྗϙςϯγϟϧ͸φ∗ (ξp , zp ) = − GM∗(D.15)

ξp 2 + zp 2

ͱॻ͚Δ. ԁ൫͕੺ಓ໘ʹؔͯ͠ରশͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙͯ͠, ͜ͷ φ∗ Λ ξp = a0 , zp = 0 ͷ·ΘΓͰςʔϥʔల։͢Δͱ∂φ∗ 
∂φ∗ φ∗ (ξp , zp )  φ∗ (a0 , 0) + (ξp − a0 )+zp∂ξp ξp =a0∂zp ξp =a0
zp =0
zp =0



2

1
1 2 ∂ 2 φ∗ ∂ 2 φ∗ 
2 ∂ φ∗ 
ɹɹɹ + (ξp − a0 )
+
(ξ
−
a
)z
+
z
p
0
p
p
2
∂ξp ∂zp ξp =a02∂ξp 2 ξp =a0∂zp 2 ξp =a0
zp =0
zp =0
zp =0


2
GM∗
yp
GM∗ 2 GM∗ 2GM∗ −+ xp +−
xp +zp(D.16)
a0
2a0
a0 2
a0 3
2a0 3

ͱͳΔ. ͨͩ͠, ͜͜Ͱ ξp (xp , yp ) = (a0 + xp )2 + yp 2 ͷ xp = 0 , yp = 0 ͷ·ΘΓͰͷςʔϥʔల։ξp (xp , yp )



a 0 + xp

1 2 ∂ 2 ξp 
1 2 ∂ 2 ξp ∂ξp 
∂ξp 
∂ 2 ξp 
+
y
+
+
x
y
+
x
y
p
p
p
p
p
∂xp xp =0∂yp xp =0 2
∂xp ∂yp xp =0 2
∂xp 2 xp =0∂yp 2 xp =0
yp =0



yp =0

yp =0

yp =0

yp =0

2

a 0 + xp +yp
2a0

(D.17)

Λ༻͍ͨ. Ұํ, ԕ৺ྗϙςϯγϟϧ U ͸

1
GM∗
U = − Ω0 2 [(a0 + xp )2 + yp 2 ] = −(a0 2 + 2a0 xp + xp 2 + yp 2 )2
2a0 3(D.18)

Ͱ͋Δ͔Β, த৺੕ॏྗͱԕ৺ྗͷ࿨Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱ, x, z ํ޲ͦΕͧΕʹؔͯ͠

∂φ∗
∂U
GM∗
−
=3
xp = 3Ω0 2 xp
∂xp
∂xp
a0 3

(D.19)

∂φ∗
∂U
GM∗
−
=−
zp = −Ω0 2 zp
∂zp
∂zp
a0 3

(D.20)

Fx = −
Fz = −
ͱ‫ٻ‬ΊΒΕΔ.
29
ຊߘͰ͸, X(t) ͷ௕࣌ؒฏ‫ۉ‬Λ

1
T →∞ T T /2X(t) = limͰ‫͢ࢉܭ‬Δ.

89

−T /2

X(t) dt(D.21)

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෇࿥ E ɹೱ౓֦ࢄ
༹ഔͱ༹࣭ͷ 2 ੒෼͔ΒͳΔࠞ߹෺ʹ͍ͭͯ, ͦͷதͰ‫͜ى‬Δ֦ࢄΛߟ͑Δ͜ͱʹ͢Δ [48][49].
ԁ൫ΨεதͰͷμετཻࢠͷ֦ࢄ‫ݱ‬৅͸, ΨεΛ༹ഔʹμετཻࢠ༹͕࣭ͱͯ͠ଘࡏ͍ͯ͠Δ΋ͷͱͯ͠औΓѻ͑͹ྑ͍. ༹ഔʹର༹࣭͕ͯ͠‫ر‬ബͰ͋Δ৔߹, ༹࣭ͷ֦ࢄϑϥοΫε͸ೱ౓ޯ഑ʹ
ൺྫ͢Δ‫Ͱܗ‬ද͢͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜ΕΛʮFick ͷ๏ଇʯͱ‫͏ݴ‬. ҎԼͰ͸͜ͷ͜ͱΛ, ؆୯Խͨ͠
ϞσϧΛ༻͍ͯ‫ݱ‬৅࿦తʹಋ͘͜ͱʹ͢Δ.
ਤ E.1 ͷΑ͏ʹ 1 ࣍‫ࢠ֨ݩ‬Λߟ༹͑ͯഔཻࢠ (࣭ྔີ౓ ρg , ཻࢠ࣭ྔ mg ) ͱཻ༹࣭ࢠ (࣭ྔີ౓ ρp , ཻࢠ࣭ྔ mp ) Λ഑ஔ͢Δ. ͨͩ͠, 1 ͭͷηϧʹର༹ͯ͠ഔཻࢠ͋Δ͍͸ཻ༹࣭ࢠ 1 ͔ͭ͠ೖΕͳ͍΋ͷͱ͢Δ.



ਤ E.1: ֨ࢠΨεϞσϧ

ࠓ, ηϧ‫ ਺ݸ‬N ‫ݸ‬ͷ֨ࢠʹ, ༹ഔཻࢠ͓Αͼཻ༹࣭ࢠ͕ͦΕͧΕ Ng , Np ‫͋ͭͣݸ‬Δ΋ͷͱ͢Ε͹, ༹ഔཻࢠͱཻ༹࣭ࢠΛ഑ஔ͢Δ৔߹ͷ਺ (ঢ়ଶ਺)W
͸

W =

N!
Ng !Np !

(E.1)

ͱॻ͘͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͜Ε͸ελʔϦϯάͷެࣜΛ༻͍Δͱ (ηϧ਺͕ଟ͍ঢ়‫)Ͱگ‬ln W  N (ln N − 1) − Np (ln Np − 1) − Ng (ln Ng − 1)

(E.2)ͱۙࣅͰ͖ΔͷͰ, ͜ͷͱ͖, ϘϧπϚϯͷ‫ݪ‬ཧΑΓΤϯτϩϐʔ S ͸

S = kB ln W  kB (N ln N − Np ln Np − Ng ln Ng )(E.3)

ͱͳΔ. ͨͩ͜͜͠Ͱ, ۭͷηϧ͸ແ͍΋ͷͱͯ͠ N = Ng + Np Λ༻͍ͨ. ͜ͷ S Λ༻͍Ε͹, ༹ഔཻࢠͱཻ༹࣭ࢠͷԽֶϙςϯγϟϧͷࠩ͸, Թ౓ T Λ༻͍ͯ∂S
μp − μg = −T
∂Np U,V,N 
Np= kB T ln
Ng

(E.4)

ͱ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ 30 . Ұఆମੵ V ಺ʹ͋Δ༹ഔͱ༹࣭ͷཻࢠ਺ൺ͸Np
ρp /mp=Ng
ρg /mgɹ(E.7)

30֨ࢠશମͱͯ͠ମੵ V ͕Ұఆͷ৔߹ N = Ng + Np = const Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δͱ, ಺෦ΤωϧΪʔ U ͷඍখ
มԽ͸

dU

=

T dS − P dV + μg dNg + μp dNp=

T dS + (μp − μg )dNp

(E.5)

ͱॻ͚Δ͜ͱ͔Β, Խֶϙςϯγϟϧͷࠩ͸μp − μg = −T
ͱදͤΔ.

90

∂S
∂Np


(E.6)
U,V,N

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

Ͱ͋Δ͔Β, ݁‫ہ‬μp − μg = kB T ln

ρp
ρg




− ln

mp
mg


(E.8)

ͱͳΔ. ͜Ε͕‫ॴہ‬తͳ༹࣭ͷԽֶϙςϯγϟϧͰ͋Δ.
ҰํͰ, ֦ࢄϑϥοΫε͸Խֶϙςϯγϟϧͷޯ഑ (ͷෛ) ʹൺྫ͢Δͱߟ͑ΒΕμp − μg
Fdiﬀ ∝ −ρp ∇mpͱͰ͖Δ. ࣜ (E.9) ʹ͓͍ͯ఍߅܎਺Λ γp ͱஔ͖, ࣜ (E.8) Λ୅ೖ͢Δ͜ͱͰ
μ p − μg
γp Fdiﬀ = −ρp ∇
mp
 
ρp
kB T
∇
= −ρg
mp
ρg
 
ρp
∴ Fdiﬀ = −ρg Dp ∇
ρg

(E.9)

(E.10)͕ಘΒΕΔ. ͨͩ͠Թ౓ޯ഑ͷ߲͸ ρp /ρg  1 ͷͱ͖े෼খ͍͞΋ͷͱͯ͜͜͠Ͱ͸ແࢹͨ͠. ·֦ͨࢄ܎਺ Dp ʹؔͯ͠͸, ΞΠϯγϡλΠϯؔ܎ࣜʹରԠ͢Δ‫ͯ͠ͱܗ‬

Dp ≡

kB T
mp γ pͱఆٛͨ͠.

91(E.11)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

෇࿥ F ɹ 3 ॏର֯ߦྻͷ൓సຊ‫ڀݚ‬ͷ਺஋‫ࢉܭ‬ख๏ͱͯ͠͸, ࣜ (5.36) ͓Αͼࣜ (5.37) ͷ֦ࢄ߲ʹΫϥϯΫɾχίϧιϯ๏Λ༻͍ͨ. ͜ͷΫϥϯΫɾχίϧιϯ๏ʹ͸ͦͷ్தͰʮ3 ॏର֯ߦྻͷ൓సʯͱ͍͏࡞‫͕ۀ‬ඞཁͱͳΔͷͰ, ͜͜Ͱ͸ͦͷ‫ํࢉܭ‬๏ʹ͍ͭͯ‫ه‬ड़͢Δ. ʮ3 ॏର֯ߦྻ (triagonal matrix)ʯͱ͸,ҎԼͷߦྻ P ͷΑ͏ʹର֯੒෼ͱͦͷ্Լͷ੒෼Λআ͍ͯ͢΂ͯ 0 Ͱ͋Δߦྻͷ͜ͱͰ͋Δ [27].
⎡
⎡
⎤
⎤
0
q0
b0 c0
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ q1 ⎥⎢ a 1 b1 c 1
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ q2 ⎥⎢⎥
a2 b2 c2
⎢
⎢
⎥
⎥
P=⎢
(F.1)
⎥ ɹɹɹɹ q = ⎢ . ⎥
..
..
..
.
⎢
⎢
⎥
⎥
.
.
.
⎢ . ⎥
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
aM −1 bM −1 cM −1 ⎦⎣ qM −1 ⎦
⎣
0
aM bM
qM
ࠓߟ͑Δ΂͖ 3 ॏର֯ߦྻͷ൓సͱ͸, ͜ͷΑ͏ͳߦྻ P ͱϕΫτϧ q ʹରͯ͠੒Γཱͭઢ‫ܗ‬ͷํఔࣜPx = q(F.2)

͔Βະ஌ͷϕΫτϧ x Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱʹ౳͍͠.
ɾLU ෼ղ
௨ৗ, LU ෼ղͱ͸, ͋ΔߦྻΛԼࡾ֯ߦྻ (ର֯੒෼ͱͦͷԼଆ͚ͩ 0 Ͱͳ͍) ͱ্ࡾ֯ߦྻ (ର֯੒෼ͱͦͷ্ଆ͚ͩ 0 Ͱͳ͍) ͷੵʹ෼ղ͢Δ͜ͱΛҙຯ͢Δ͕, ࠓճߟ͑ΔΑ͏ͳ 3 ॏର֯ߦྻͷ৔߹͸ҎԼͷΑ͏ʹඇৗʹ؆ܿʹ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ.
ߦྻ P ͕࣍ͷΑ͏ͳ 2 ‫ݸ‬ͷߦྻͷੵͷ‫ Ͱܗ‬P = L U ͷΑ͏ʹॻ͚Δ΋ͷͱ͢Δ.
⎡
⎡
⎤
⎤
0
1 0
0
β0 γ 0⎢⎢⎥⎥⎢ α1 1⎢ 0 β 1 γ1
⎥
⎥
0
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
α2 1
0
0 β2 γ2⎢⎢⎥⎥ɹɹL = ⎢⎥⎥ ɹɹ U = ⎢.. .. ..
..
..
..
⎢
⎢
⎥
⎥
.
.
.
.
.
.
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
0 βM −1 γM −1 ⎦αM −1 1 0 ⎦
⎣
⎣
0
αM 1
0
0
βM
͢Δͱ͜ͷͱ͖
⎡β0⎢⎢ α 1 β0⎢⎢⎢
LU = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0

γ0
α1 γ0 + β 1
γ1
α 2 β1
α2 γ1 + β 2
..
..
.
.

0
γ2
..

.

αM −1 βM −2 αM −1 γM −2 + βM −1
γM −1
αM βM −1
αM γM −1 + βM

92

(F.3)

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

(F.4)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ΑΓ

⎧⎪
β 0 = b0 ɹ
γ0 = c 0α0 = 0 ɹ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ α = am ɹ β = b − α γ
γm = c mmmmm m−1 ɹβm−1
(m = 1, 2, · · · , M − 1)
⎪
⎪
⎪
⎪
a
⎪
M
⎪
ɹ βM = bM − αM γM −1 ɹ γM = 0⎩ αM =
βM −1

(F.5)

ͱग़དྷΔ. m = 0 ͔Β m = M ΁ͱॱ‫܁‬Γʹ αm , βm , γm Λ‫͚͍ͯ͠ࢉܭ‬͹݁‫ہ‬, ߦྻ P ͷ LU ෼ղ͕ͳ͞Εͨ͜ͱʹͳΔ. ͜͜Ͱ‫ٻ‬ΊΒΕͨߦྻ L ͓Αͼ U ͸৽ͨͳ q ʹ͍ͭͯࣜ (F.2) Λղ͘ͱ͖ʹ΋ಉ͡΋ͷΛ༻͍Δ͜ͱ͕ग़དྷΔ. ͭ·Γ, ͻͱͨͼ LU ෼ղͯ͠͠·͑͹ q ͕มΘͬͯ΋࣍ʹड़΂Δ୅ೖૢ࡞͔͠͠ͳͯ͘ࡁΉͷͰ͋Δ.
ɾ୅ೖૢ࡞ࣜ (F.2) Λղ͘ʹ͸ LU ෼ղͰ‫ٻ‬ΊΒΕͨ L ͱ U Λ༻͍ͯ, L U x = q ΑΓLξ = qUx = ξ

(F.6)
(F.7)

ͱͯ͠, ·ͣલਐ୅ೖͰ ξ Λ‫ͨ͠ࢉܭ‬ͷͪʹ‫ޙ‬ୀ୅ೖͰ x Λ‫ٻ‬ΊΕ͹ྑ͍.

(લਐ୅ೖ)⎡

1 0⎢⎢ α1 1
⎢
⎢
α2
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0

0

0
1
..
.

0
..
.
αM −1

⎤⎡

ξ0
ξ1
ξ2
..
.

⎡

⎤

q0
q1
q2
..
.

⎤

⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
=
⎢
⎥
⎥
⎥
⎢
..
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
.
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
1 0 ⎦ ⎣ ξM −1 ⎦ ⎣ qM −1 ⎦
αM 1
ξM
qM

(F.8)

ΑΓϕΫτϧ ξ ͷ֤੒෼͸⎧ξ = q0⎪⎨ 0
ξm = qm − αm ξm−1⎪⎩
(m = 1, 2, · · · , M )(F.9)(F.10)

ʹै͍, m = 0 ͔Β m = M ΁ͱલਐతʹ୅ೖΛ‫܁‬Γฦͯ͠‫ٻ‬ΊΒΕΔ.

(‫ޙ‬ୀ୅ೖ)

⎡

β0 γ0
⎢
⎢ 0 β1
⎢
⎢
0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0

0

⎤⎡

x0
x1
x2
..
.

⎤

⎡

y0
y1
y2
..
.

⎤

⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
=
⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
..
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
.
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
0 βM −1 γM −1 ⎦ ⎣ xM −1 ⎦ ⎣ yM −1 ⎦
xM
yM
0
βM

γ1
β2 γ2
.. ..
.
.

93

(F.11)

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ΑΓ, ϕΫτϧ x ͷ֤੒෼͸
⎧
ξM
⎪
⎪
xM =
⎪
⎨
βM
1
⎪
(ξm − γm xm+1 )
xm =
⎪
⎪
⎩
βm
(m = M − 1, M − 2, · · · , 0)

(F.12)(F.13)

ͷΑ͏ʹ m = M ͔Β m = 0 ΁޲͔ͬͯ, ͍Θ͹‫ޙ‬ୀతʹ୅ೖΛ‫܁‬Γฦ͢͜ͱͰ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕ग़
དྷΔ. Ҏ্ͷΑ͏ͳ‫ߦࢉܭ‬ఔʹΑΓ, 3 ॏର֯ߦྻͷ൓సΛߦ͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ۩ମతʹ͜ͷ࡞‫ۀ‬͕ඞཁͱͳΔͷ͸ࣜ (5.60),(5.67),(5.72),(5.75) ʹؔͯ͠Ͱ͋Δ.

94

《修士論文》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 2 032605 （2014年5月号）

ँࣙେֶӃम࢜՝ఔʹ͓͚Δ‫׆ڀݚ‬ಈ͓Αͼຊ࿦จͷࣥචʹ͋ͨΓ, ͓ੈ࿩ʹͳͬͨօ༷ʹ‫ँײ‬Λਃ্͛͠·͢. ಛʹࡕ্խত ‫ڭ‬तʹ͸, ຖिͷθϛ͔Β೔ʑͷੜ‫ࢸʹ׆‬Δ·Ͱஸೡ͔ͭ೤৺ͳ͝ࢦಋ
Λ௖͖·ͨ͠. 2 ೥ؒຊ౰ʹ͋Γ͕ͱ͏͍͟͝·ͨ͠. ·ͨ, ຊ‫ڀݚ‬ςʔϚͷఏҊͳΒͼʹ༗ҙٛͳॿ‫ݴ‬ΛࣀΓ·ͨ͠౦‫ۀ޻ژ‬େֶେֶӃ ཧ޻ֶ‫ڀݚ‬ՊͷԞॅ૱ ॿ‫͢·͍ͨ͠ँײ͘ਂʹڭ‬. ਺஋‫ ͍ͨ༻ʹࢉܭ‬C++‫ͯؔ͠ʹޠݴ‬͸θϛΛ௨ͯ͠৿੒ོ෉ ।‫ڭ‬तʹ͝ࢦಋ௖͖·ͨ͠. ͜ͷ৔ΛआΓͯँҙΛਃ্͛͠·͢.
࠷‫ͳʹޙ‬Γ·͕͢, ‫ࣨڀݚ‬ͷϝϯόʔͱͯ͠Ұॹʹ‫ؤ‬ுͬͯདྷͨ ࠤʑ໦࿨ࢠ͞Μ, ୸୩ཽେ͘Μ,ͳΒͼʹখ੢ӳ࢙͞Μ, ాॴ େี͞Μʹ͸େֶӃੜ‫׆‬΍θϛΛ௨ͯ͡͞·͟·ͳ৔໘Ͱ͓ੈ࿩ʹͳΓ·ͨ͠. ൴ΒʹΑΔଟେͳ‫ͱྗڠ‬ਫ਼ਆతͳࢧ͕͑ͳ͚Ε͹ຊ࿦จΛ‫׬‬੒ͤ͞Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͔ͬͨͰ͠ΐ͏. ͜͜ʹ৺͔Β‫ँײ‬Λਃ্͛͠·͢.

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