猪と烏天狗を合わせた図形（着色された図形）の面積と同じ面積の四角形を作図してください。

１

考え方（解答は次のページ）
ノーベ ル物理学 賞受賞 者の湯川 秀樹博士 は，中学 生時代の 回想で「 何より 私を喜ばせたのは， 幾何学に よって ，私は考 えること の喜びを 教えられ たのであ る」と 言っています。（自伝『旅人』）
また， 17世 紀の思想 家デカ ルトは， 数学の本 を途中ま で読んで 問題にさ しかかると，本を閉じ て考え， 自分で 答えをみ つけよう として， 発見の喜 びを奪わ れない ようにしていたようです。
そこで ，ポリア が言う ように「 シルクハ ットから 突然ウサ ギ（解答 ）を取 り出して見せて驚か せるのを 避ける 」ために ，この問 題をどの ように考 えていく か，そ の一例を示したいと思います。
ただし ，どの問 題でも ，解決の 手がかり 発見の順 序や解決 方法は決 して一 通りではありません。そして，この問題の解答は無限に存在します。
(1)①

問題の構造（問題を成立させている条件）を把握する
この問題には図が与えられています。
図をじっくり見て，その特徴を明らかにします。
すると，図の回転や平行移動に気付くでしょうか。気付いたら詳細に調べます。
どこを中心に回転している？
どの方向にどれだけの距離平行移動している？

②

また，「同じ面積の四角形を作図せよ」という指示が与えられています。
曲線で囲まれた図と同じ面積の四角形を作図することは可能なのでしょうか。
難しいと 感じる問 題に直面 したら， 問題を単 純化した り特殊 な場合を 考えて， 解法のきっかけを見つけたいものです。
例えば， 三角形と 同じ面積 の四角形 を作図し ようとし て，そ こで得ら れる方法 や考え方で，生かせるものはないか？

(2)

自分の導き出した解答を検証する
自分の作 図した 四角形の 面積が， 着色され た部分と 同じであ ると確 信できる 論理的根拠をはっきりさせることができれば正解であると確信できます。

- 1 -

２

解答例
ここではまず，効率的に求めた解答例を示します。
与えられた図には，同じ形（図形）が随所に見える。
それらの関係を考えると，着色された図の周りでは，６ヶ所で図が180°回転していることが分かる。
また，上下に同じ図形がある（平行移動している）ことにも気付く。

180°回転の中心をそれぞれＡ～Ｆとすると，Ａ－Ｂ－Ｃ，Ｄ－Ｅ－Ｆは，それぞれ一直線上に並び，四角形ＡＣＤＦの面積は，着色された部分の面積に等しい。
ＡＦ（ 四 角 形 ACDFか ら は み 出 し た 着 色 部 分 と 同 じ 形 が ， 必 ず 四角形ACDF内部に存在する。）

ＢＥＣＤ

この繰り返し模様は，下の図のように，平行四辺形を１つ の 単 位 図 形 ， ○ 位 置 を 180° 回 転 の 中 心 と し て ， 平 面 を 隙間無く敷き詰めている。（平面充填分類 p2）

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３

解決方法例
前ペー ジに示し た平行 四辺形も 含めて， この問題 の解答， つまり着 色され た図形と同じ面積を持つ四角形は無限に存在します。
そこで，別の解答に至る道のりの例をたどってみます。
(1) 着 色 さ れ た 図 形 の 左 右 に 180° 回 転 を ， 上 下 に 平 行 移動を確認した。

中心中心ℓmαβＸβα(2) (1)で 回 転 移 動 に 気 付 い た の で ， そ の 要 素 で あ る 回 転の中心を明らかにした。
回転の中心の求め方
その１…対応する２点の真ん中の点（中点）が回転中心
その２…対応する２点を結ぶ線分を２本以上かいたとき，その交点が回転中心(3) 四 角 形， つ まり直 線で囲ま れた図 形を求め られてい るので，この中心点を通る直線 ℓ ，m をかき，何が起きるのかをはっきりさせた。
すると，直線の外側にはみ出した着色部分と同じ図形が，２直線の内側に存在することが確認できた。
例えば，左図で，回転の中心Ｘに対して，αやβ部分が180°反対側に存在する。
つまり，直線の外側にはみ出た面積と同じ面積が，直線の内側に存在する。
(4)(1)で 平 行 移 動 に 気 付 い た の で ， そ の 要 素 で あ る 移 動の方向と距離を明らかにした。
すなわち，対応する２点を見つけて矢印で結ぶ。
例えば，着色された猪の鼻先とその上方にある着色されていない猪の鼻先。

(5) (3)(4)の 結果をど のように 同時に 成立させ て四角形 を作図するか。

ＹＸ

一般的テクニックとしては，新たな点や直線を追加することは問題を複雑にさせるので，すでにある点や直線を利用すべきである。
そ こ で ， 回 転 の 中 心 Ｘ ， Ｙ か ら ， (4)で 得 ら れ た 方 向 と長さの線分（ベクトル）を作図すれば，この平行四辺形が解答，すなわち着色された図形と同じ面積を持つ四角形となる。
（この図は，前ページの解答の平行移動の距離の半分だけ上方にずれた平行四辺形になっている。）- 3 -ここ で，既存 の点や線 分を直 接利用し なかった 場合，し かも，図 形の他の 回転中心も利用しな かった場 合，解答 に至る 道のりは 長くなる が，別の アプロー チは，一 つ一つの事柄についての理解が深まったり，新たな発見があったりするので，考察してみる。
前ページの(3)(4)まで解明したとき，次のことが予想された。
① 四角形の左右の辺は，回転の中心を通る任意の直線で構成されるだろう。
② 四角形の上下の辺は，平行移動の距離と方向（ベクトル）によって決定されるだろう。
ＸＹ

これらのうちの②については，具体的にどんな直線をかけばよいのかが分からないので，とりあえず，猪の鼻先，猪の右前足先端の，平行移動で対応する点を結び，それによって決定できる平行線をかいてみる。
ＸＹすると，左の図のように，たしかに上の直線からはみ出した部分は，２つの平行線の内部に同じ図形が存在している。
つまり，この２直線を利用した四角形を作れば，着色された図形が内部に収まる四角形になるだろう。
これで求める四角形が決定できたかどうかを確かめるた
めに，回転中心を通る２直線を加え，四角形をかいてみると…
四角形の中に，猪のお尻の部分が重複して存在する。
烏天狗の顔の部分が四角形内部にない。

ＸＹ重複部分と欠損部分があるので，結果として着色された図形の面積と等しいのかも知れない…が，そうだと言い切れる根拠が見つからない。

Ｄ'Ａ'

Ｘ

ＤＡＣ'Ｂ'Ｂ

ＹＣ

そこで，平行移動の対応する点は無数にあるので，この平行線を上の方に移動してみる。
すると，４つの直線で囲まれた四角形の面積が小さくなっ て し ま う こ と に 気 付 く 。（ 平 行 線 が 移 動 す る こ と で 減 った B'BCC'の面積 よりも， 増える面 積A'ADD'の方 が少ない ）着色された図形の面積は変化しないので，このような平行線は解答になり得ない。
平行移動の対応する点は無数にあるので，全く別の平行線をかいて考えてみることにする。

- 4 -今度は，猪の右前足の先端と後ろ足先端の対応する点を結んで，平行な２直線を決定する。
すると，重複部分も欠損部分もほとんど無いような四角形がかけた。しかし，この平行線が正しい答えであるという理由は見当たらない。

ＸＹ

つまり，問題は，平行移動を表す矢印（方向と距離が決まっているベクトル）をどこにかいて平行な２直線を決定すればいいのか。
もし，結果が確定できないときは，うまく確定できたら何が言えるかを考えるべきである。
つまり，今は，具体的に四角形がかけないので，もし，条件に合うような四角形がかけたとしたら何が言えるかを考えてみる。（正しい結果に潜む成立条件を探る）

m

左の図で，条件は，① k ∥ℓで，その巾は，図の中の平行移動の対応する点を結んだ長さ② 直線 m，n は回転中心Ｘ，Ｙを通る③ ４つの直線で囲まれた四角形の面積は，着色された図形の面積と同じ分からないことは，
固 定 点 Ｘ ， Ｙ に 対 し て ， k， ℓ の 位 置 は ど こ か 。 も っ と上なのか下なのか。傾斜はどのくらいなのか。

nk
ＹＸℓm

nn'

ＡkＤ'ＤＹＸℓＣ
ＢＣ'mＡnＤＹkＸＣℓＢ

そこ で，直線 m， n は 回転中心Ｘ，Ｙを通りさえすればいいので，Ｙを通る別の直線 n'をかいてみると…
（一般的に，条件を変えない図形の変形は連続性をもって行い，n がＹを中心に回転すると考えた方がいい）
元の 四 角 形ABCDの面積 が，新し い四角形 ABC'D'では小 さくなっている。
元の 四 角 形か ら 減っ た△YCC'の面積 が，新た に追加さ れた△YDD'より大きいことからそれが分かる。
求める四角形の面積は着色された図形の面積と等しいので変化してはいけない。
つまり，固定されたＸ，Ｙに対して，k，ℓ の位置は，m，nがどんなときでも面積を変化させない位置でなければならない。
△YCC'＝△YDD'（面積が 等しい ）になる には，Ｙ がCDの真ん中，つまり中点であればいい。
同様にＸもABの中点でなければならない。
そのような図がかけたとすると，左の図のようになり，k ∥ XY ∥ ℓとなる。

- 5 -これで，平行な２直線の位置と傾斜が決定された。
しかし，まだ作図することができない。
なぜなら，回転中心から等距離離れていることは分かったが，どれだけの距離を離して平行線をかけばいいのかが分からない。

n？

このとき，利用していない条件は，平行移動の方向と距離の矢印（ベクトル）である。
？

ＱkＴ

ＸＹℓＰ
Ｓ

平行移動の距離は，k とℓの間の巾であるので，平行移動を表す矢印（ベクトル）は，k とℓの中にぴったりと収まるはずである。
このとき，この矢印の中点は直線ＸＹ上にくるはずである。
つまり，中点がＸＹ上にあるような平行移動の矢印が作図できれば，平行な２直線 k， ℓ が確定する。
あとは作図技能なので形式的に記述する。

Ｑ
Ｔ

平行移動を示す任意の矢印（ベクトル）をＰＱとする。
（左図では猪の鼻先同士を結んだ）

Ｍ

Ｘ

ＰＱの中点をＭとしてＸＹ上の任意の点Ｎと結ぶ。
このＭＮと平行で同じ長さの線分ＰＳ，ＱＴを作図する。

ＹＮ

Ｐ
Ｓ

こ の Ｔ ， Ｓ が ， Ｘ Ｙ と 平 行 な ２ 直 線 k， ℓ の 通 る 点 で ある。

kＴＸＮＹℓＳ- 6 -mnkＸ
Ｙ

四角形の上下の辺を形作る平行な２直線が確定したので，左右の辺として，回転の中心Ｘ，Ｙを通る任意の直線 m，n をかく。
この４つの直線で囲まれた四角形（台形）が，着色された図形と同じ面積の，求める四角形である。
（四角形からはみ出している図形と同じ図形が過不足なく四角形内部に存在している。）ℓ

直線 k と ℓ ， 点Ｘ と Ｙ は固 定 さ れる が ，２ 直 線 m， n はＸ，Ｙを通れば，どんな直線でもよい。
また，２ページで示した平行四辺形は，この四角形（台形）の特別な場合である。つまり，m と n が 共にＸ，Ｙとは別の回転中心も通っている場合である。
この四角形が，平面全体の中ではどのように振る舞うか，下図で示した。
こ の 四 角 形 は ， 左 右 で 180° 回 転 し ， 上 下 で 平 行 移 動 し て 隙 間 無 く 平 面 を 敷 き 詰 め て い
ると見 ることが できる。 しかし ，実は， 作図の際 には利用 しなかっ た回転中 心（黄緑○）でも180°回転して，斜め横の四角形と重なることがわかる。
つまり，単位図形の形は異なるが，平面充填の仕方（分類 p2）に変わりは無い。

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