Proceedings of the 5th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 33rd Linear Accelerator Meeting in Japan (August 6-8, 2008, Higashihiroshima, Japan)

STUDY ON CROSS-SECTION OF NONCIRCULAR BEAM DUCT TO
REDUCE TUNE SHIFT INDUCED BY RESISTIVE-WALL WAKE FIELD
Kyo Shibata1, Yusuke Suetsugu
High Energy Accelerator Research Organization (KEK)
1-1 Oho, Tsukuba, Ibaraki, 305-0801
Abstract
The strength of the resistive-wall wake fields of noncircular beam ducts (parallel plates, racetrack, beam duct withantechambers) were estimated numerically with MAFIA electrostatic solver (2D). To investigate the relationshipbetween the tune shift and the wake field, the tune shifts in the parallel plates with several vertical separations werecalculated analytically. On the basis of the results of the parallel plates, the tune shifts in the racetrack duct and thebeam ducts with antechambers were estimated from the wake fields. The tune shift in the racetrack duct was consistent
with the measured value of KEKB electron ring. In the case of the beam duct with antechambers, it was found that theresistive-wall wake field and tune shift could be reduced by adopting the elliptically-shaped beam channel instead ofcircular beam channel.

Resistive-wallチューンシフトを低減するための非円形ビームダクト断面形状の検討
成分Eqのみからなるとし、E0とEqはそれぞれビーム軸からの距離に反比例、比例すると仮定する。この時、x軸上とy軸上の電場Ex、Eyはそれぞれ、
(1)
1⁄
EE
(2)
1⁄yEEと表すことができる。ここで、AE0x,y、AEqx,yはそれぞれ、x、y軸上における0極成分と4極成分の大きさを表す定数である。各軸上のx、y = 1、5 mmにおけるEx、Eyの値と上式を用いてAE0x,y、AEqx,yを算出し、AEqx,yを4極成分の強さの指標として使用する。

１．はじめに
非円形ビームダクトでは、resistive-wall ウェイクフィールドに4極成分が含まれるため、ビームのベータトロン振動数にずれ（チューンシフト）が生じる。
例えばKEK B-factory（KEKB）の場合、電子蓄積リング（High Energy Ring, HER）ではレーストラック型の非円形ビームダクトを使用しているが1)、蓄積
電流1 Aあたり水平・垂直方向共に0.03程度のチューンシフトが観測されている2)。
次世代の高ルミノシティコライダーである
SuperKEKBでは、その強烈な放射光の対策としてアンテチェンバー付きビームダクトの採用を予定しているが3)、ダクトの断面形状が非円形となるため、チューンシフトが大きくなり、その対策が必要となる可能性がある。そこで我々は、SuperKEKB用のアンテチェンバー付きビームダクトにおけるresistive-wallチューンシフトを評価し、チューンシフトを低減するためのビームダクト断面形状の検討を開始した。

2.2 Resistive-wall チューンシフトの評価法
上記の方法で得られたEq(AEqx,y)に対応するチューンシフトを求めるために、まず平行平板におけるEqとチューンシフトの関係を調べる。平行平板におけるチューンシフトの評価には、次の式を用いる4)。
∆ν(3)
√2√∆ν

２．チューンシフトの評価方法

√2

√2(4)
(5)

2.1 Resistive-wall ウェイクフィールドの４極成分 の評価法

ここで、νx,yはベータトロン振動数、ω0 = βc/Rはビームの回転周波数、C = 2πRは加速器の周長、Lは非円形ダクト部の長さ、Nはビームに含まれる全粒子数、r0は古典電子半径、γはローレンツ因子、cは光速、
2⁄は回転周波数での表皮深さ、bは平行平板間距離である。また、nb、Sb = C/nbをそれぞれバンチ数、バンチ間隔とした場合、gはResistive-wallウェイクフィールドの４極成分は、MAFIA electrostatics solver (2D)を用いて評価する。ダクトの中心（ビーム軸上）の電位を1 V、ダクト壁の電位を0 Vとし、MAFIAによりダクト内の静電場Eを計算する。ビーム軸付近の電場は、0極成分E0と４極
1 E-mail : kyo.shibata@kek.jp-676-

Proceedings of the 5th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 33rd Linear Accelerator Meeting in Japan (August 6-8, 2008, Higashihiroshima, Japan)∑

表 1. チューンシフトの計算パラメーター
LER/HER
Beam Energy
3.5/8.0 GeV
Beam Current
1A
x:45.506/44.515,
y:43.545/41.580
νx,yC3016 m
L
2200 mnb
1584(KEKB), 5018(SuperKEKB)
σc
5.4×1017 /s (copper)∑(6)の実部であり、resistive-wallウェイクフィールドの2極成分によるチューンシフトの大きさを表す量である。一方、hは∑(7)∑5250で与えられ、4極成分によるチューンシフトの大きさを表す量である。なお、今回検討したダクト断面形状では、gはhと比較して無視できるほど小さくなる。
平行平板間距離bを変化させながら、MAFIAによりAEqx,yを、式(3)-(5)により単位電流あたりのチューンシフト ∆νx,y/∆Iをそれぞれ計算することで、AEqx,yと∆νx,y/∆Iの関係が得られる。任意の断面形状のダクトにおけるチューンシフトは、MAFIAにより評価したAEqx,yを、この平行平板で得られたAEqx,yと ∆νx,y/∆Iの関係にあてはめることで求める。

-0.206

３．結果と考察
平行平板で求めたAEqx,yと∆νx,y/∆Iの関係を図1に、チューンシフトの計算に用いたパラメーターを表1にそれぞれ示す。計算に用いた平行平板間距離dは、40-90 mmである。平行平板間距離が小さくなるほど、resistive-wallウェイクフィールドの4極成分は大きくなり、チューンシフトも大きくなる。また、同じ平行平板間距離で比較するとHERよりもLER（LowEnergy Ring、陽電子蓄積リング）の方がチューンシフトが大きくなるが、これはLERの方がエネルギーが小さく、Γが小さくなるためである。
以後、図1のグラフを用いて各断面形状のビームダクトにおけるチューンシフトの評価を行った。
0.15∆νx,y /∆I

0.05
0LER xd=40-0.157-0.133-0.108

3.2 KEKB HER 用レーストラック型ダクト
図2に、MAFIAで計算したKEKB HER用レースト
ラック型ダクト内のEq、及び4極成分による電位 φqを示す。x、y軸上の4極成分の大きさはそれぞれ、AEqx = -104.5, AEqy = 109.4であった。これらの値を、図1のHERのグラフにあてはめて得られたチューンシフトは、∆νx/∆I = 0.028、∆νy/∆I = -0.030となる。
KEKB HERのチューンシフトの実測値は0.03程度なので、この方法で評価したチューンシフトが妥当であることが分かる。
3.3 SuperKEKB 用アンテチェンバー付きビームダク
ト今回計算に用いたアンテチェンバー付きビームダクト3)の断面形状の一例を図3に示す。ビームチャンネル部はφ40-90 mmの円形、又はそれらをx方向につd=50d=60HER x-0.182

図 2. KEKB HER ダクトの resistive-wall ウェイクフィールドの 4 極成分を表す電場（左）と電位（右）3.1 平行平板

0.1

φqEq

d=90d=90-0.05(a) Circular Beam Channel

HER yd=40(b) Elliptical Beam Channel

LER y-0.15-200 -150 -100 -500AEqx,y50100110R10d=5015014rx

d=60-0.1ry = rx = 25ryrx = 0.7ryryrx200

図 3. アンテチェンバー付きビームダクトの断面形状（φ50 の場合）

図 1. 平行平板における AEqx,y と∆νx,y/∆I の関係-677-

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φ40 AEqy

60
40

AEqx,ySuperKEKBでは、安定に運転するためにチューンシフトを0.1以下に抑えることを目標としている。図1から、それぞれのリングに目標最大電流(LER : 9.4A、HER : 4.1 A)を蓄積したときにチューンシフトが0.1 と な る |AEq| を 求 め る と 、 そ れ ぞ れ 30(LER) 、95(HER)程度となる。φ40の場合、全てのモデルで|AEqy| > 30となっているため、LERではこの条件を満たすことはできない。一方φ50の場合、α = 1.0のときにAEq ≈ 30となり、円形ビームチャンネルではチューンシフトが0.1程度となると予想される。この場合は、ビームチャンネルを楕円形としチューンシフトを小さくすることが必要である。また、φ60-90の場合は、α = 1.0の円形ビームチャンネルでもチューンシフトは0.1以下であった。しかし、これらの場合もビームチャンネルを楕円形にすることで、チューンシフトを更に小さくすることが可能である。

φ50 A Eqy

200

φ50 A Eqx

-20-40φ40 A Eqx

-60-80
0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Ellipticity

11.1

図 4. アンテチェンバー付きビームダクト（φ40,50）の Resistive-wall ウェイクフィールドの 4 極成分を表す電場の強さぶした縦長の楕円形である。最大の直径を90 mmとしたのは、電磁石のアパーチャーによる制限のためである。また、コヒーレントシンクロトロン放射による単バンチ不安定性を防ぐためビームチャンネル
径を小さくする可能性があるので5)、φ40 mmまでの検討を行った。楕円形ビームチャンネルでは、y方向を長径ry 、x方向を短径rx とし、扁平率 α ≡ rx/ry =0.7-1.0の場合の4極成分を評価した。なお、アンテチ
ェンバーの高さは14 mmであり、x方向の深さは110mmである。
図4にφ40とφ50の計算結果を示す。φ50の場合、α ≈0.85でx方向、y方向の4極成分がほぼ同時に0となった。φ60-90の時も同様に、x方向、y方向の4極成分がほぼ同時に0となるαが存在した。一方、φ40の場合、AEqyは0になるが、AEqxはα を小さくしても0にはならなかった。
φ50の場合のEqの絶対値(|Eq |)の等高線図を図5に示す。(a)が円形ビームチャンネル(α = 1.0)の場合であり、(b)がAEqx,yがほぼ0となる楕円形ビームチャンネルの場合（α = 0.86）である。α = 0.86では、ビームチャンネル中心部の|Eq |がほぼ0である領域が広がっており、4極成分が打ち消されているのが分かる。
(a) Circular Beam Channel
ry = rx = 25, α = 1.0

Antechamber

0.0４．まとめMAFIA electrostatics solver (2D)を用いて非円形ビームダクト（平行平板、レーストラック型、アンテチェンバー付きビームダクト）のresistive-wallウェイクフィールドの4極成分を評価した。また、平行平板でのresistive-wallチューンシフトの解析解を用いてAEqx,yと∆νx,y/∆Iの関係を調べ、これを基準としてレーストラック型、及びアンテチェンバー付きビームダクトのチューンシフトの評価を行った。レーストラック型では、チューンシフトは約0.03であり、KEKBHERでの実測値とほぼ一致した。SuperKEKB用のアンテチェンバー付きビームダクトでは、ビームチャンネル径がφ50以上であれば、ビームチャンネルを楕円形にすることで、チューンシフトの低減が可能であることがわかった。

謝辞
本研究にあたり、生出勝宣氏、金澤健一氏、家入孝夫氏、飛山真理氏には有益な助言を多数いただきました。ここに深く感謝いたします。

参考文献
1) K. Kanazawa, et al., Nucl. Instrum. Methods Phys.
Res., Sect. A 499, 66 (2003)
2) K. Akai, et al., Proceedings of APAC’01, 412 (2001)
3) Y. Suetsugu, et al., Nucl. Instrum. Methods Phys.
Res., Sect. A 538, 206 (2005)
4) A. Chao, et al., Phys. Rev. ST Accel. Beams 5,111001 (2002)
5) T. Agoh, et al., Proceedings of APAC’04, 88 (2004)(b) Elliptical Beam Channelry = 25, α = 0.86

Antechamber>1.0

図 5. アンテチェンバー付きビームダクト（φ50）の Resistive-wall ウェイクフィールドの 4 極成分を表す電場（絶対値）-678-