1TheScienceReportsoftheKanazawaUniversity，Vol.VI，No.1，pp.1‑7，April，1958
OntheConvergence ofSomeGap Series
By
Noboru MATSUYAMA(ReceivedSeptember15，1957)

1. Introduction
Letf(x) be an D ーi
此 egrableand periodic function withperiod1，ands
atisfythefollowing conditions，

fi
ωfiω

dx=O，

(1.1)

(1.2)

dx=l2bhz

明bルflvrhル ιWCt

綱初‑M偶MAノ︐︑f'¥S

一一and呂"記心hfi¥¥iノFJx(1.3)

悶呂⁝The Fourierseriesoff(x) andthe砂 thp呂r
tialsum ofitar
erespectiv
ely，nd R(n) denot日S(1.4)

Rω =(Jllf(Inthis notewes
hall provethe convergence of a gap ser
iesIzd万/同〉(1.5)

ositivei
undersome restrictions on R(n)，where{ndisasequenceofpntegr
alnumbers
satisfying(1.6)

。く 111く n
2く…・・・く舟 kく・・・…，and Lp(止) isdefinedforar
bitrary numbers α>0，戸 >1 and a nonnegative integral
司numbert，by the following(1.7)

I Lo(X)=x 1 - α (logx)~ ，>，ogx)!ー α(1Ll(X)=X(ObX)F
ll\Ll{.X)=X (logX) ・…・・ (lo ，gP-tX)(!O れり 1 → (lO ，S'P+ IX)~

Inthesequel we supposethat logoxmeansx.
atisfi巴Sntegral numberTミ1，Theorem 1or anyα>0and an iffり sf(. I0・8)

R(n)=O(~~ìogp理〉 αj¥(lthen for almost a).
f() converges，where {JZk}1s a sequence o
1.6ll x，(1.5)。
(t孟2

2

N M.ATSUYAMA
幽Th
記or:em:t Iff
or0.>;， ω 開 制 部
R(却)=then theconverg日nceofand {lZ，，}satis
fies(12:.
i(1.

impliesthe ahnost everywhereconvergence of
国ZM.
10)where s>l andTi
sa.
int母ger

TheoreJl¥ll3. H foranyα>0andan
t=1，UtU
削 げ よ2，orfor anyい く ;andsatisiiesRω= 百 二 戸s)(1.11)

thenfor alJ工lOs
tall x，国(1.

l

Lp‑1(のconverges，where {1Zk} is asequence ofintegral numbers

主主土L 二三 6>1

Thecaseい く 1 叫

t=lof 川(止 =1，2，'0'

一対korem3，was p一色dby M 恥 ， R.
. S討all目1[[lJ，エ and als心 by S
弘.Izum立 i[2，]
エ who邑問e 加f臼m
幻1ε討t
hod 1S呂 t
he 出dif
妊E号rer
ロ1t way frol白}工n
1一ther臼n.もV巴 nm羽w

anotherιofit
仁固S. Izuim 仁2]cases T=2 and 3of Theorem 3than (Lーλw
司明li
Teaker result
sof theTheorem 1is proγeduse of themethods ofJoL.K.
oksfua [3，] which t
reated the law of large 11umb邑rsof somesequencθofIt1
13i
nter邑

8of Th位。1"告~工1 3i

3ndthetothat0
1Tb記orem1.

that we discuss the almost everywhεre conv母rgenceo
f(1.
10)

use of {lZ，，} whichs
昌tis長esastrongerconditionthan .
6). Wehavεtheorembelowi11thi
ssensethat i
8Htt
le g色neral
1zedone ofthetheorem obtainedbyM.Kac [5J.
11![2J。
S. 1zmandTheorel
114. lffor anyα>0，satisf
記号 (1and {n!
c}satisfies宮( 1 . く ∞ ，where A 1
S an 乱 r
bitrarvDositiv
θ 乱 un1b色 r.then fromth巴 C
011v
eI・genceof∞
どZJb29the almost

convergence of⑤10)IoHows.

2. P
I'oo
f ofTheor:em1
Forthe proof of Theorem 1we needa lemma.

fLemma 1. I

and い/c}the吉田ofTheorem1，then101"

numbersz(l~z) and l\1(1~ l\1入 it hold8that

01/ the COllZJt'rぷenceピゾ Sm
JlC Gap SeriesJl(2.1)

J

3

叶~V 一一γf(llkX)i2d:X~-T
1 U'd?
N"
rN2R(z川~)j~;_'2+0(.::'一一一".
:
言
十 1‑.
Lp(kJIVlkXxa:
x二込乙 ρ(402
L LP〔z〕2 /，J ，，/

一Proof I
f the greatest common divisor ofn"and 1lj i
sd，thεnthere告玄 is
ttwo
numbers刀，，' and Il/such a色， ，'k 121/)ニ 1，7lk=d1lk' and 11j=d
沼 7F.

町 )=d (地lf wesuppos
邑 thatzく 1Ziく nι三玉λT+Z，thenつdく (n.
/‑ni d出 向 ‑1!j豆.
N'，andz 〆却ノN"‑7=nj<.
.
.
from whichit followsthatby the Parseval'srelation，

jIfchxWAlzJム C'CtI
12
1
2
1んりん;
aR(ni':めが )<R(合(2，2)忌)and (2.2)，it holdsthat

From the monotonity off
1y

叶 N

kl宿
主1 五窃六万1o‑ト!
"

1{'1.，
̲J十 1Lμ ノ月T("1If(llk:rどアh:ム ヤ一一¥‑ If(nkx)f(iliX)d:τfり ん〔めん〔j〉 j=ヤー:"'¥2‑l( ̲ ¥2 [ "+NJ¥2くーーニ‑，̲)22 十 R(<I1一一 iLzNrJ¥記 十 1一L二r{k)}p(三' L L¥ζ，(N2R(z/N):.
)

一一一̲ 2一+0(‑‑‑‑'~~:c...._，¥
Ll'(Z)
2 }一的リノ

Thuswe obtain Lemma 1.
We now prove thetheorem. Inthe inequalityo.

1)，if we put，

z=A" and iV= トーl)2‑，F=2l.+1(三 λ110))，then2 )r叶 ~V1̲ Nω
，( N ( A〕T一一j( 河川2dx~一一寸\2 十 01 一
johZ11f，p(止).
1'.."a" ‑'I" " = O o Lp().ノ¥LpO.
z)zくfogpPλV )‑l)2α/o.

=o(同 gVog ゴ石 (l長司〉下ア，‑)‑:2AA

Thi邑 containsthe almost everywh日reconvergence oftheseries(2.
3)∞f
λ 十 [)2J51kl
‑IT
P
7/〔仰〉

Whence it foHowsthe almostεverywh巴re convergence of(1.5)， provided that foralmost allx

N. MATSUYAMA412l
A+1寸万(2.
4)

伐王立川 〉

1=0

Forthe proof of(2.
4)weus邑 thedevice ofP. Erd
むS [4].
Forev邑ryand

u=O，
1，2・， … 2v，
9υand13L閉 めZ日，

we havef A'+(2，，+1)1¥1(λb‑'~

mtdsilkEL+
仰 向 門1五むず…
〉
…

ミ
一品‑)

1~，4ρ1λ+(2 1G十 l)N( À) Z-'

4争

jiJ+

0ffi1

一一+Lp(k)f(nkx)

A2甲吋 4¥[，J21ogA"'(logpA)
1‑O:(logP+1A)sJ2 J
Vv4‑2A22…

[l2!ogAlogzA (logpA)
1→¥門)

V¥
/ 引勾 ̲V ¥ ~f v42‑2~Ol ニ Ã3--)+ 0( ~p)mz22h

山∞記hWhencei
tfollowsthat，，+1)11'(λ)2‑'}.，十 (2~htず
斗2"N(A)2‑'十∞V(λ〉 ∞

三玉.
2J‑‑
‑
1
包‑2JV4+ヨ.
J=:l 11.
=1λ‑1，}

J \...J'b /fJ VV./l~¥V2)

v42‑V く∞，'1)

andbythe BorelCantellilemma，we hav告 foralmost a
11X噌{ddδI3 五 百f(川 !41747+y+}423

十l

Since d>Ois an arbitrar
y number，we obtain(2.
4).
3Proof ofTheorem2ati
sfyth母 む onditionsof Theorem2，and if
Whenf(x) 昌 nd 似た} s
M 斗 1三月 I
cく nj<M十N，

theni
ti
sseen thatIf
1f
同 川 川半R(:Y0(JFL)4，ニ

andthen
(3.
1)

j
1l
Z
J山手I
fwe put intheabovein日quality

li十 1
1'，.
1+11'‑)

lfJlf
J.
1.

]
1+11'!M ¥<k‑:E十la"I"+2k‑:
Ea" :E aiR{二五T)+l(Z1 2)(1+内j-l，~ト 1\ワ;;l~ ).L V/

5On tlle C01ZZ!ergelluofSomeGatSerie、fll
f=s
Z 呂ndN 三 N(sう=2
叶 1，

thenwe havefl::
丈i2drzo(;:fff)

1 M M〉

andthe almost everyw11ere convergence of(8+1)'

同(3.
2)

Lj 2Js 1k四.
，z+1a"f(1ZkX)

開く∞d︑16asノsn/︐︑︑∞ヤ]山(3.
3)

hn
2ドholds，whenever

Howevert
1
1isi
sreducedfrom (1，9)，i.
日"，t ~.L"ij;a，h/k的 止¥
112 ∞ fC +1)'
4=f($十 1)'~('$~)l，"
哩i‑t+l a.
1

佃

8 渇 i¥kWfe

咽 l\lc~~ず +1 "~(i;)
1.~

向山
一一
一 一 上 ー プ ← ) む2，.
¥"""'
6
1-Vk--/o~g 丘…・・ (lO j; pkY Jv V- ò'~)1"'.//ζ
1(ti干1)'
一一一一一一一一一一一一一… 一 一 一 一
dt1V/J扇子..二百んiJdv
h三
千 +1α ，，z'Vk1ー〔∞Lj一一一log.
':::'1 SJy1
白 川3一一.~.-:;jlLj，2:;2 ak2 y1 ‑止 !oglogpk)~
I~くlogps)P f=lk.
""，~+l Uic V n. v.
s止ー…く~¥Jv
6pn'..F J，f，.

J/<0(1)[岳~'/l/k μg k.....{μilpk)
s 2く ∞In orderto prove Theorem2 itis onlysufficientto provethat

孟f1822%fIJAJrc/(川(34)
匂2ぬ く 閃But the left handmember of(3.
4)18less thanby(3.
1)
logN(8)N(')"∞?51hg N(ふうf]lρ1 s'+(，，+Il2"，f)o J 瓦町， p/(nkx〉12d;r/c‑logN(s)∞I(s+1)'∞ / 臼 十 1)、=J51μ g N(s) 見 N(s)2- V し 5+1GK 下.:::gI\ /c -~+1 a/c")N(s)μg N(s)/∞(8+1)'¥ ∞1O¥;f)αf下/止 lOgk1<∞

1klogk)=
三三 OC;~l k-~+l a，，2y，Thusi
f we make useo
fthe Menchov's device [erify(3.
6J，we v4)
ヲ and from (3.
2)
and (3.4)we completethe proof o.
f Th♀orem 2
4 Proof ofTheorem3fTheorem 3we need alemma corresponding to Lemma 1.
For the proof oati
sfythe hypotheseso
thenitholdsthat
fTheorem3，ff(1Z，，}sLemma2. I
心 and {(4.1)

lAエ

fIZH1
O，N

Proof. Iti
seasytol1owing formulao prove the fN2

6N. MATSUYAMAω )fω )dXI=O(Cfob‑jA‑1伊‑)(4.
2)

IJ1f1nfact，ifk>j，thenbytheParseval'srelation，wehave!
j1仇 りJ=1 2守 JEs￨f(njx)dxl

c.C8n.
lnJ倫， ，1
ご
玉 8 く ∞ nJ 18ーIベコ)
ロ4211cstzjfslz)1/¥0((fob‑11忌ーかα)snon‑decreasing ainceLp‑1(の iThisis(4.
2)，andss止→∞， wehave

f1
1 1 2 H N
JIk-~L 五三副-f(n ω Idx= ぷ +1 之王子。
。l山f(nkx)2dx

Lp7t1/(nd〉/(n同〉ぬ+足 L μ 〉1LP‑1(j〉jp‑j11'YI.~-l¥

一 一γ +O( 2，;2cα
J 一一一一~2J L
4一L一p‑
Tf'" 止L ， íT_~t/(z()(IOgp‑l(止‑(D k.
j))2ノ し =‑'+
1 Lp‑1
1+l p‑1
:
T/'1.
.

、
O
l忍1'( 何 人r〉hjZ1LP(42え巧z‑+斗ィ i+川n、= 一 二̲
二 一τ+O{，，，
̲22'Z")(z)
2 '~\ Lp‑1j(z)Lp 1Ogp‑1NT戸(lJ¥Tz+N‑r

IN寸1¥72九ア̲̲
TTI¥

Thuswecompletethelemma.
e'proceedalongthesamelroofI
fwineastheproofo
fTheorem1，weobtainthep
4.
1)ofTheorem3
nt
hi
scas
ewemust put in(，buti1.
.
.
z=β1=25. ProofofTheorem4
fweput躍kati
sfythehypotheseso
fTheorem4，andi
Wesupposet
hatf(x) and {}sν
k=乏(5.1)

τ=[会〕)
L.
ps， 〔Jτ7‑必 (今主計τk=oreachs(s= 1thenf，2，3，…
…
， τ)，

…

flf(n孟α￨ I叩8)‑sぃ (n.+'tkx)ldx

孟(孟。
ぃt孟f￨/( 叩 )‑s ，(n.叩 〉 刈¥
μ.
.

匁8/
24(2163)
1/2(Sfl￨/ω ー ら ω dxy2JMOn the Convergenceザ SomeGatSeries7(214)
吋完走γy/2手/=仰)(孟訓告計)山)匂1)(かy<∞2I
tshowsthe almost everywhere convergence ofeachseries(5.2)

EOGHtk{/(n山X)}ρ )‑Sぃ (n.+匂 k(s=1，2，・…
・・， τ〉On the other handwe can easily verify the convergence in the L2・sense of twoJa，，/(nkX) and(5.2)，and then eachseries
series22
J a.+ 't kSμ • ， .(n.+ 't k X )。
目(s=1，2，・…
・・， τ〉

hi
sso also.
Nowby (5.1)，we haveー竺E土並土工=一色土亘書士L ー竺主主投士L ……一主主士主主土ヱー

n.+'tk

n.+
τk

¥、，.‑

n.+τk+ln.+'tk
十勺← 1

n.
+
伺.._.~'k+i+
1¥'"¥、.~ j"/ Q!
1.
， k，i<τ n.+τk+番~<..mtn

O!
玉and then weobtain by the Kolmogoroff's theorem [7]，the almost everywhereconvergence of eachs
eries(5.3);
500 s m S h・.(n.+'tkX)
'2，.
.
.
.
.
.
， τ〉
(s=1，whence Theorem 4 follows from (5.
2) and(5.
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