Proceedings of the 5th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 33rd Linear Accelerator Meeting in Japan (August 6-8, 2008, Higashihiroshima, Japan)

Estimation of Lorentz Detuning for ILC Superconducting Cavities
Masashi Yamamoto1，A)， Fumio FurutaB)， Takayuki SaekiB)， Yasuo HigashiB)，
Toshiyasu HigoB)， Kenji SaitoB)
A)
Department of Electrical and Computer Engineering， Akita National College of Technology
1-1 Bunkyo-cho， Iijima， Akita， 011-8511
B)
High Energy Accelerator Research Oganizaioin(KEK)
1-1 Oho， Tsukuba， Ibaraki 305-0801 Japan
Abstract
Evaluation of the Lorentz detuning is important to run a superconducting cavity for stability with a pulse mode. We
developed a method to evaluate it in a frequency domain and applied to the Ichiro cavity. In this paper， we report it
about the calculation method and a calculation result.

ILC超伝導空洞のローレンツディチューニングの評価
周波数領域でのローレンツディチューニングを評価するためには，加速電圧と機械振動のモード毎の共振周波
ILCの超伝導空洞はパルス運転を行なうため，空洞の内数の変動を表す微分方程式が必要になる。日本原子力研
面にはマクスウェルの応力が繰り返し加わることになる。 究所の千代らは，空洞を質点とバネにより離散化してかしたがって，それによる変形は時間構造が現れる。これ[1]
ら，その微分方程式を求めている 。ここでは，別のアが原因となって，パルス内で空洞の共振周波数が時間的プローチで微分方程式を求めた。に変化する。これをローレンツディチューニングと呼び，実際にローレンツディチューニングを計算するために，その量は数KHzで，超伝導空洞では問題となる量である。
ANSYSで機械振動のモードを，SUPERFISHで電磁場を求そのため，周波数の補償を行なう機構の開発を進めていめた。その結果を用いて，ローレンツディチューニング
る。
量を表す微分方程式について数値計算を行なった。ここ
ローレンツディチューニングは，大別して2通りの方法
では，これらの課程を報告する。
で計算が行われている。時間領域の計算と周波数領域の計算である。時間領域の計算ではマクスウェルの応力を２.計算方法
外力として，空洞の変形を時間を追って計算する。それに対して，周波数領域の計算では予め空洞の機械振動の2.1 基本理論モードを計算し，マクスウェルの応力による変形はその機械振動モードで展開する。
ここでは、電磁場の応力により空洞が変形し，RFの共時間領域の解析では，実際の空洞の変形をそのまま，振周波数の変動を表す微分方程式を導く。はじめに，空時間を追って計算しているのでモデルさえ正しければ誤洞の変形を空洞の機械振動のモードで展開し，その展開差は小さい。しかし，変形の計算とそれによる周波数変係数を求める。その後，その展開係数を利用して，RFの動の両方をタイムステップ毎に計算することになり，多共振周波数の変動を表す微分方程式を示す。
くの計算時間を要する。また，RFの入力パターンを変空洞の機械的な変形uは，その機械振動のモードukを更すると，それに応じて最初から変形と周波数変動の計使って，次のように展開できる。
算を行わなくてはならない。
u = xkuk(1)
これに対して，周波数領域の解析は計算量が少なく，k時間領域の計算に比べ短時間で結果が得られる。RFの入xkはk番目のモードの展開係数である。この展開係数は，力パターンを変化させても，非常に短時間でローレンツ[2]力を受けた一次元の弦の振動 の類推から，次のようにディチューニングの計算ができる。また，問題となる機表すことができるだろう。
械振動のモードも即座に判明する。しかし，計算精度を向上させるためには，展開する機械振動のモード数を多d 2x kw k22(2)+ wk xk +Pu k × ndS = 0
くする必要がある。現在のコンピューターシステムでは，
2Tk S
2dt
1000個程度の機械振動は簡単に扱うことができるので，ここで，wkはk番目の機械振動の振動数，Tkはk番目の機
この問題も大きな障害にならないと考えている。このよ械振動のエネルギー，Pは電磁場の応力である。もちろん
うなことから，周波数領域でのローレンツディチューニ面積分のSは，空洞の表面である。法線ベクトルnは，そングの計算のプログラムを開発を進めている。

１.はじめにåò

1E-mail yamamoto@accuthera.com 現在 (株)アキュセラ-840-

Proceedings of the 5th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 33rd Linear Accelerator Meeting in Japan (August 6-8, 2008, Higashihiroshima, Japan)の表面の金属の内側に向かっている。電磁場から見た表面としている。
[3]
空洞変形dVが引き起こすRFの共振周波数Fの変化 ，すなわちローレンツディチューニング量dFは，dF òdV P0 dV
=
F
4U 0

り直に計算でき，テキストファイルにメッシュのノードの位置毎に出力される。それに対して，残念なことに振動のエネルギーはANSYSでは計算されない。そこで，
我々はANSYSのメッシュとデータ構造を解析して，それを計算するプログラムを作成した。実際この作業，大変手間のかかるものであった。
次に式(7)の中で電磁場に関するものは，共振周波数Fと電磁場の応力P0，エネルギーU0，電圧V0とVである。共振周波数と応力，エネルギーはSUPERFISHの出力ファイルから簡単に求めることができる。空洞の加速電圧VはRFの入力パターンとして，外部から与えられるものである。
これまでに示したように，計算に必要なデータは直接あるいは間接的にANSYSとSUPERFISHの計算出力ファイルから得ることができる。しかし，式(7)中の積分の計算は厄介である。SUPERFISHとANSYSのノードの座標が異なるからである。そこで，各SUPERFISHのノードに対応するANSYSの振動の値を求めた。
以上により，式(7)を計算するための必要な数値を得ることができる。そうすると，強制振動の普通の微分法手式なので，数値計算が容易に可能となる。ここでは，その微分方程式を4次のルンゲ・クッタ法により数値計算した。

2æV öUP0 = çç ÷÷ P0
P=U0
è V0 ø(3)である。ここで，P0とU0，V0は電磁場の応力と蓄積エネルギー，加速電圧である。添字にゼロが無い場合も同様である。空洞の変形は式(1)のように展開できるので，

dF =FP0 å z k u k × ndS
4U 0 òSk(4)となる。k番目のモードのみを考えると，

dFk = z kF
P0u k × ndS
4U 0 òS(5)である。最終的な式を導く前に，式(2)を式(3)を使って，次のように変形しておく。
2d 2x kw k2 æ V ö2
ç ÷ P0u k × ndS = 0 (6)+ wk xk +dt 22Tk çè V0 ÷ø òS
式(5)と式(6)より，ローレンツディチューニングを表す微分方程式は，次のように書き表すことができる。

d 2 (dFk )+ w k2 (dFk )2dt2[

３.計算結果3.1 空洞の機械振動モード]

2Fw k2 æ V öçç ÷÷ ò P0u k × ndS = 0+8TkU 0 è V0 ø S

ローレンツディチューニング量を計算するために，まずANSYSを用いて，Ichiro空洞の1000個の機械的な共振モードを求めた。代表的な共振モードの様子を図1と図2に示す。

(7)

これは，k番目のの機械振動によるローレンツディチューニング量で，トータルは，全てのモードを足し合わせて，

dF = å dFk(8)kとなる。
ローレンツディチューニング量の具体的な計算は，式(7)の微分方程式が大部分を占める。空洞の電圧Vを時間とともに変化させて，微分方程式を計算することになる。

2.2 具体的な計算手順
ローレンツディチューニングの量は，式(7)と式(8)により計算できる。我々は，機械振動のモードの計算にはANSYSを，電磁場の計算にはSUPERFISHを用いた。加速空洞はほぼ軸対称なので，ANSYSを使った機械振動の計算でも二次元軸対称構造とした。電磁場も機械振動も二次元軸対称とすることにより，計算が大幅に簡略化できる。
これらの標準的なプログラムとともに，それぞれのデータを解析の処理や微分方程式を計算するで専用のプログラムをC++言語で書いた。また，PerlやANSYSのスクリプトを書くことにより，処理の自動化を図っている。
次に，具体的な計算方法について示す。
式(7)の中で，機械振動に関するものは，機械振動の角振動数wkと振動による変形uk，そしてその振動のエネル
ギーTkである。このうち，角振動数と変形はANSYSによ-841-

図1 モード#1(159.45 [Hz])による空洞の変形の様子

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図2 モード#4(591.89 [Hz])による空洞の変形の様子
各モードのローレンツディチューニング量への寄与は，
式(7)中の
2[]

2F æ1öçç ÷÷ ò P0u k × ndS
LDC =8TkU 0 è V0 ø S(9)2

LDC [Hz/V ]から見積もることができる。もちろん，電圧の与え方にも強く依存するが，オーダーは理解できる。1000個の機械振動のLDCと周波数の関係を図3に示す。
この図から，50～100[kHz]でLDCが1/1000に成っていることが理解できる。大体，この程度のモードまで取り入れれば、十分な精度が得られると考えることができる。

10-1310-1510-1710-1910-2110-2310-25

図5 ローレンツディチューニングのパターン。縦軸はRFの共振周波数の変動[Hz]，横軸は時刻[msec]となっている。

４.まとめ
理論的に不備はあるもののローレンツディチューニン
グを表す微分方程式を導くことができた。今後は，三次元の弾性体の力学をきちんと取り入れて，理論的な不備を無くす必要がある。
1000個の機械振動のモードを使い周波数領域の解析でローレンツディチューニングを評価した。その結果，45[MV]で3[KHz]程度のRFの共振周波数の変動が生じることが分かった。この結果については，実験あるいは時間領域の解析と比較を行なう必要がある。
050100150200Freq/KHz

参考文献

図3 空洞の機械振動1000個のモードの周波数とローレンツディチューニングの寄与
3.2 ローレンツディチューニングの計算
先ほど示したANSYSによる1000個の機械振動のモードとSUPERFISHの加速モードの電磁場の様子を合わせてローレンツディチューニング量を計算した。空洞へのRFの投入電力パターンが図4の場合，ローレンツディチューンは，図5のようになる。約45[MV]のとき，3[KHz]の共振周波数の変動がある。

[1] E. Chishiro, et al., “Modeling of Resonant Frequency
Vibration of Superconducting Cavity”, Proceedings of the
2nd Superconducting Linear Accelerator Meeting in Japan，
1999.
[2] R.クーラン, D. ヒルベルト，“数理物理学の方法 1”,
東京図書株式会社, 1990.
[3] 高田耕治，“高周波加速空洞”, OHO'97 高エネルギー加速器セミナー, 1997.

図4 RF電力の投入パターン。縦軸はトータルの加速電圧[MV]で，横軸は時刻[msec]となっている。
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