特集│交通流を改善するTOPICS
20104137

渋滞学とは渋滞学とは＊What is“Jamology”?
友枝明保 1）

Akiyasu Tomoeda西成活裕 2）

Katsuhiro Nishinari

Various kinds of jamming phenomena are observed in our daily life. There is universality of jam formation among various
sorts of ﬂows. This is one of the central topics of physics of complex systems for the last few decades. We recently call thisinterdisciplinary research on jamming of self-driven particles as“jamology”. In this paper, starting from the backgroundof this research, a simple mathematical model, called ASEP, is introduced as basis of all kinds of traﬃc ﬂow. Then, we also
introduce engineering applications of the results we have obtained through the interdisciplinary research based on themathematical studies.

Key Words : Traffic Flow, Modeling, Mathematics, Physics / Self Driven Particles, Cellular Automaton, Stochastic Process,
Exact Solution 17

1 渋滞現象と自己駆動粒子

滞は悪い現象ばかりでもない．感染病の伝播や森林火災の延焼がそれにあたり，渋滞すればわれわれにとっては2009 年の連休，高速道路では例年とは比べ物になら幸せな渋滞となる．このような多岐にわたる流れの滞りないほど長く伸びた渋滞映像がニュースをにぎわした．

現象を抽象的な数理モデルに落とし込み，最新の数理物

ETC（自動料金収受システム）を設置した車を対象に土理学の手法を用いて理論的に取り扱ってゆく学問が「渋日祝日の高速道路利用料金が上限 1000 円になるという（2）．
滞学（Jamology）」である（1）いわゆる「1000 円高速」がこの春から施行された影響

さまざまな渋滞現象を抽象化するために，われわれはである．この「1000 円高速」の影響で，連休の高速道流れているモノをすべて粒子と呼ぶ．渋滞を引き起こす路では早朝から夜遅くまで渋滞が発生し，サービスエリ

粒子に共通する特徴は，粒子自身が意思や心理をもってアは人で大混雑，休むべき場所にもかかわらず休めない振る舞うこと，あるいは決められたルールに従って振るという状態であった．

舞いが決定されることである．こういった粒子間には作

では，“なぜ”渋滞するのであろうか？ そもそも渋滞

用＝反作用の法則や慣性の法則が成り立たず，従来の物とはどういった状態を指しているのであろうか？“渋理学での扱いが困難となる．従来の物理学で扱われてい滞”と聞くと，大部分の人は高速道路や交差点での車のる粒子を「ニュートン粒子」と呼ぶのに対し，渋滞学

渋滞を思い浮かべるであろうが，人や動物も渋滞するし，で扱う粒子をその特徴から「自己駆動粒子（Self-Driven

携帯やネットワークがつながりにくくなることもパケッ（4）．車も人も渋滞Particles：SDP）」と呼ぶことにする（3）トの渋滞として考えることができる．人の体内ではたん

学では自己駆動粒子であり，渋滞現象の研究は自己駆動

ぱく質が渋滞し神経疾患を引き起こすし，倉庫に商品のする粒子集団の動力学を取り扱う新しい研究なのである．

渋滞が発生すれば在庫となるのである．その一方で，渋＊ 2009 年 10 月 31 日受付
１）明治大学先端数理科学インスティテュート／東京大学先端科学技術研究センター（214―8571 川崎市多摩区東三田 1―1―1）
E-mail: atom@isc.meiji.ac.jp
２）東京大学先端科学技術研究センター／（独）科学技術振興機構 さきがけ（153―8904 目黒区駒場 4―6―1）
E-mail: tknishi@mail.ecc.u-tokyo.ac.jp

42 自己駆動粒子のモデル化と確率セルオートマトン
自己駆動粒子系では物理学の法則が成り立たない状
況も取り扱うため，微分方程式で記述される数理モデ
ルよりもルールベースで記述されるセルオートマトン（Cellular Automaton：CA）によるモデル化が有効となる．
自動車技術

渋滞学とはCA モデルの利点として，次の 3 点が挙げられる．①
ルールによる記述のため，微分方程式では記述できない複雑な挙動を容易に組み込むことができる，② 時間・空間に関してすべての物理量が離散化されており，コンピュータシミュレーションと相性が良い，③ ASEP
（5）
や ZRP
（Zero
（Asymmetric Simple Exclusion Process）（6）と呼ばれる確率 CA モデルが存在し，Range Process）

これらの CA モデルは定常状態において厳密に解くことができるという数学的に非常に優れた性質をもっている．
これらの特徴から CA による複雑現象のモデル化は，捉えている現象の本質的な要素を抽出し数学的に解析するために，極めて有効な手法なのである．それでは具体的に ASEP という確率 CA モデルを取り上げて渋滞現象の数理科学的アプローチについてみていこう．
図 1 は ASEP と呼ばれる一次元 CA モデルの粒子の動きを表した図である．一次元道路を各セルに分け，一次元のセルの並びの上で粒子を動かす単純なモデルとなっている．各セルには一つの粒子しか入れないとし，動かすルールは，「前のセルが空いていれば確率 p で一つ前に進める」というシンプルなものである．この操作を繰り返すと粒子が右側へゾロゾロ動いてゆくことがわ

少ないとき，初めにランダムに並んでいた粒子は，あるかる．粒子を車と思えば高速道路上を走行している車集程度の時間が経つとお互いの間隔が空いて邪魔されずに団の動きに見えるし，粒子を人と思えば通路を通る人々動けるようになり，渋滞のない流れとなる（図 2）．一方，と考えることもできる．図 1 の一番左の粒子に注目して粒子の数を増やしたとき，お互いが邪魔をして動けないみよう．一番左の粒子は前方に粒子がいるため動くこと粒子の集団が発生し，進行方向とは逆方向へ動いているができない粒子であった．これはいわゆる「排除体積効ように見える（図 3）．これは粒子の集団が渋滞を形成し，果」と呼ばれるもので，この効果によって渋滞現象が生伝播していく状況を表している．

じるのである．車や人は「大きさ」をもっているため，では，渋滞が形成され始める粒子数はいくつなのであ混雑してくるとお互いが邪魔になって動けなくなるといろうか？ ここで基本図と呼ばれる重要な図を紹介する．

う性質がある．この重要な性質が体積排除効果によって，縦軸に流れた粒子のこの基本図は横軸に粒子密度（r ）再現されているのである．このように ASEP は極めて（P=0.6）の量を表す交通流量（Q）をとったもので，ASEP単純なモデルであるにもかかわらず，排除体積効果を再基本図は図 4 のようになる．低密度では，密度が増える現しており，渋滞現象を記述する数理モデルとして中心につれ流量も増加しているが，密度が 0.5 をすぎると密的な存在になっている．

度の増加とともに流量が減少していく．この流量が増加

ASEP での粒子の動きを詳細に見ていこう．簡単のたから減少へ転じる密度を臨界密度と呼び，臨界密度を超めに両端はつながっているものとし，右端から出て行っえると粒子は渋滞してしまう．実際の車の渋滞現象ではた粒子は左端から入ってくるものとする．粒子の個数がこの臨界密度付近のメカニズムが極めて重要となる（7）．

Vol. 64, No. 3, 2010.

5渋滞学とは以上のことから，ASEP が渋滞現象のモデル化に適していることがわかるが，ASEP そのものでは自己駆動粒子のモデルとしては簡単すぎるので，現実にあわせるための拡張が必要となる．
以下，ASEP を拡張して得られたわれわれの渋滞数理モデルとその社会応用例を紹介していく．一つ目は車の数理モデルで ASEP に車間距離依存性を入れたモデルである．このモデルは現実データを再現する良いモデルであると同時に汎用性に優れ，踏切部や高速道路の織込部を表現した数理モデルへと応用でき，それらの研究とあわせて紹介する．二つ目は，ASEP に“場”のダイナミクスを組み込んだアリの行列行進を表すモデルである．
このモデルはモデル化の対象を読み換えることで，バスの運行システムと等価なモデルとなっていることもわかる．

3 車の数理モデル
初めに車の数理モデルについて紹介する．車の流れの数理モデルは他の自己駆動粒子に比べて研究の歴史が長く，CA とは異なったアプローチによるモデルも（4）
（8）─
（11）
が， こ こ で は 確 率 最 適 速 度
数 多 く 存 在 す る（3）（12）
モデルと呼ばれ（Stochastic Optimal Velocity：SOV）

る ASEP に車間距離依存性を入れた CA モデルについて紹介する．
ASEP と同様にまず一次元道路を L 個のセルに区切り，時刻 t において各車 i＝1, 2 , … , N の位置を xi とし，質である流れの不安定性を表しており，この特徴を再i 番目の車の前方を i＋1 番目の車が走っているものとす現したモデルが良い交通流モデルの必須条件なのである．SOV モデルのルールは，「前のセルが空いていればる（1）─（4）．この意味で，SOV モデルは良い交通流モデルで確率 n i で一つ前に進める」というものであり，ASEPあり，現実の道路交通に応用した研究例を二つ紹介する．

ttと異なる点は，前方へ進む確率が一定値 p から車間距離3. 1. 踏切モデルと現在の速度に応じて変化する変数値確率 n へと拡張

道路交通法第 33 条によると，「車両等が踏切を通過しtiされている点である．この n it の時間発展は以下のようようとするときは踏切の直前で一時停止し，安全を確に与えられる．

認した上で進行しなければならない」という法律があn it＋1＝（1－a）n it＋aV（D xit）

（1）

る．しかし，今日，1 日のべ 5 000 万台以上が踏切を通

ただし，a ∈［0, 1］はパラメータであり，ドライバの車過しており，この一時停止の交通流に与える影響は大変間に対する反応の度合いを表している．また，V ∈［0, 1］

大きい．そこで一時停止による交通流量の変化を理論的は OV モデルの最適速度関数に対応するもので，車間に調べるために，SOV モデルを踏切のある道路状況に距離 D xi の単調増加関数として与えられる（12）．式（1）は応用したシミュレーションを行った（13）．一時停止をす

第 1 項が現在の前進確率，第 2 項が現在の車間状況にる場合とノンストップの場合（図 6）でその流量の差を調応じた最適速度であり，その比率で次の速度を決定する

べる．現状の一時停止の場合，車は踏切の停止線で必ず更新方法である．車の場所 xi は期待値の意味で〈xi〉＝完全に停止し，その後に動き出すとする．もちろん踏切tt〈xi〉+n it＋1となる．SOV モデルによるシミュレーション

内に車がいる場合は進まないとし，踏切の先に 1 台分の結果と実測データを比較すると，低密度領域で高い流量空きセルができたときに動き出す．これによって遮断機をもち，それが突然低流量へと遷移していることが見による囲い込みがないような走行ルールを与えた．ノンてとれる（図 5）．実はこの部分こそが自然渋滞形成の本ストップの場合も同様に，踏切の前方が空いていればノt

6t＋1

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渋滞学とはになる．たとえば，一時停止によって失った走行損失時間は約 7 秒であるが，これに対して時価価値計算をすると，日本全体で約 1 800 億円にもなる．さらに，ノンストップにすることで二酸化炭素排出量が減り，その省エ
ネ効果は年間 100 万 t 以上にもなる．これは，30 万世帯以上からの排出量に匹敵する．経済面・環境面から考えると，一時停止のルールは社会にとって本当に必要なのか疑問が残るところである．しかし，ノンストップにすることで生じる安全性の問題も忘れてはならない．それは遮断機との接触事故の増加の可能性，そして踏切内に立ち往生する車が増加する可能性である．このような懸念される諸問題に対しても私たちはさまざまな角度から検討し，現在関係各所と真剣に議論している．
3. 2. 織込交通モデル
高速道路では図 9 のような織込部と呼ばれる渋滞ポイントがある．この織込部ではお互い相手車線側へ車線変更を行うことによって合流部を起点とした渋滞が生じている．この渋滞を解消するアイデアとして図 9 の下に見せるようにオレンジラインを引くことで各車の交互配置化を実現し，スムーズな合流を達成させようというもンストップだが，混んでいる場合は，踏切の手前で停止のである．モデル化のために，SOV モデルの速度更新するというルールである．図 7 がシミュレーション結果

式（1）に他車線の効果を導入することで拡張を行った（14）．

であり，赤色で示した部分が踏切停止線で，そこから 3

ここでは，隣の車線に車が並走しているときに車はお互セルが踏切内という設定である．図における車の台数い前後にずれようとする確率をルールとして追加した．

は，渋滞になる臨界密度のわずかに手前に設定したもの

このシミュレーション結果が図 10 である．図 10 の縦軸である．一時停止の場合は，停止位置で必ず一時停止しは交互配置度を表しており，横軸が空間距離である．つている様子がわかり，そこを先頭に渋滞が形成されていまり，縦軸上方向に行くほど車の配置がジグザグになっる．ノンストップの場合は，臨界密度以下のためまったていることを表し，それを達成するまでにどの程度の空く渋滞は形成されていない．さらに，踏切交通の基本図間距離が必要かの関係を表している．この関係はクラスが図 8 である．これより，密度が 0.2 付近の流量はノンタ近似と呼ばれる近似計算でも理論的に得ることができ，ストップにすれば一時停止の約 2 倍になっていることがシミュレーションとの対応がみられた（14）．このオレンわかる．流量が 2 倍になるとその経済効果は膨大なもの

ジラインを引く方法は区間の長さがある程度長い場合

Vol. 64, No. 3, 2010.

7渋滞学とはに有効であり，たとえばパラメータ a が a=0.01 の場合，250 m 程度のオレンジラインを引くと，8 割程度の交互配置度が達成される結果が得られた．首都高速道路の小菅 JCT ではこの区間長が 800 m ほどあるため，オレンジラインを引くことは十分に可能であり，このペイントによって渋滞が緩和できると予想される．

4 アリの行進モデルとバスのダンゴ運転
次にアリの行列をモデル化してみよう．アリ同士はていることがわかる（18）．遅れ始めたバスは次のバス停

フェロモンを用いてお互いのコミュニケーションを実現

でより多くの乗客を乗せるため，さらに遅れて前のバスしている．つまりアリ（粒子）とフェロモン（場）の効果との間隔がどんどん開いてしまい，最終的にダンゴ運を ASEP に導入した 2 変数確率 CA モデルでアリのダ転となってしまうのである．これはアリ同士の間隔が広（16）．アリはフェロモンを場
イナミクスは再現される（15）

がるとフェロモンが蒸発してしまい，ますます進みにくに残すが，そのフェロモンは時間が経過すれば自然に蒸くなることに対応している（図 12）．さらに，このアリ発する．アリはこのフェロモンに惹きつけられて動くのの行列やバスのダンゴ運転の数理モデルは，数理的にはで，フェロモンがある場合とない場合で進みやすさが変

ZRP（6）が Bose-Einstein 凝縮のような凝縮現象を起こしわると考えられる．これを考慮して，アリの進む確率はていることに対応しており，分野横断的に現象が関連しフェロモンのある場合に高い確率 Q とし，ない場合にているという大変興味深い結果も得られた．

低い確率 q と設定する．さらに，アリがいるセルにはすべてフェロモンが生成され，アリのいないセルでは確率

5 お

わりにf でフェロモンが蒸発するものとする．このモデルのシ

本稿では，自己駆動粒子系における渋滞現象を研究す

ミュレーションと理論解析から得られた基本図が図 11

る渋滞学の概要を車の渋滞現象を中心に紹介したが，わである（17）．この基本図で興味深いことは，車の基本図

れわれの研究グループでは，他のさまざまな渋滞現象にとは異なり，密度がある程度増えると急激に流量が増加

ついても確率 CA モデルを中心に数理的研究を進めていしていることである．これは周期系のモデルの特徴である．車の渋滞のほかには，体内のたんぱく質の渋滞（19）や，り，粒子がクラスタを形成し動いているときに粒子密度

二次元確率 CA モデルを用いた人のダイナミクスにおけが増えると，クラスタの最後尾の粒子が残したフェロモる渋滞（20）などが挙げられる．今日，われわれが抱えてンをクラスタの先頭の粒子が利用できることになり，流いる問題は複雑な現象が絡み合っているため，本気で問量が増加するのである．

題解決するためには，数学や物理学はもちろん，医学，このアリのモデルのクラスタ形成はちょっとした発想

生物学，工学，経済学と総合的な視野をもつことが大切の転換でバスの運行モデルにおけるダンゴ運転と対応しになる．渋滞学の研究がこのような横断的研究のきっか

8

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渋滞学とはけの一つとなることを願っている．
最後に，データ提供及び実験協力していただいた各企業，団体に感謝したい．
参 考 文 献（ 1 ） 西成活裕：渋滞学，新潮選書（2006）（ 2 ） 西成活裕：よくわかる渋滞学，ナツメ社（図解雑学シリーズ）（2009）（ 3 ） D. Helbing：Traffic and related self-driven many-particlesystems, Rev. Mod. Phys., Vol. 73，p. 1067（2001）（ 4 ） D. Chowdhury, et al.：Statistical physics of vehiclar traﬃc andsome related systems, Phys. Rep., Vol. 329，p. 199（2000）（ 5 ） B. Derrida, et al.：Exact solution of a 1D asymmetric exclusion
model using a matrix formation, J. Phys. A., Vol. 26，p. 1493
（1993）（ 6 ） F. Spitzer：Interaction of Markov processes, Adv. Math., Vol. 5，p. 246（1970）（ 7 ） 杉山雄規：交通流の物理，日本流体力学会 ながれ，Vol. 22，p. 95（2003）（ 8 ） M. J. Lighthill, et al.：On kinematic waves. II A theory of traﬃc
ﬂow on long crowded roads, Proc. R. Soc. A, Vol. 299，
p. 317（1955）（ 9 ） B. S. Kerner, et al.：Cluster eﬀect in initially homogeneous traﬃcﬂow, Phys. Rev. E, Vol. 48，R2355（1993）（10） G. F. Newell：Nonlinear eﬀects in the dynamics of car-following,Oper. Res., Vol. 9，p. 209（1961）（11） M. Bando, et al.：Dynamical model of traffic congestion andnumerical simulation, Phys. Rev. E, Vol. 51，p. 1035（1995）（12） M. Kanai, et al.：Stochastic optimal velocity model and its longlived metastability, Phys. Rev. E, Vol. 72，035102（2005）（13） A. Tomoeda, et al.：Fuel Loss and Jams due to Stopping atRailroad Crossings, in the proceedings of JST Presto Symposium on
Mathematical Sciences towards Environmental Problems, Hokkaido
University Technical Report Series in Mathematics, Vol. 136，p. 77（2008）（14） R. Nishi, et al.：Achievement of alternative configurations ofvehicles on multiple lanes, Phys. Rev. E, Vol. 79，066119（2009）（15） D. Chowdhury, et al.：A cellular-automata model of ﬂow in ant
trails: non-monotinic variation of speed with density, J. Phys. A:
Math. Gen., Vol. 35，L573（2002）

Vol. 64, No. 3, 2010.

（16） K. Nishinari, et al.：Cluster formation and anomalous fundamental diagram in an ant-trail model, Phys. Rev. E, Vol. 67，036120（2003）（17） A. Kunwar, et al.：Collective traﬃc-like movement of ants on a
trail: dynamical phases and phase transitions, J. Phys. Soc. Jpn.,
Vol. 73，p. 2979（2004）（18） A. Tomoeda, et al.：An information-based traffic control in a
public conveyance system: Reduced clustering and enhanced
eﬃciency, Physica A, Vol. 384，p. 600（2007）（19） K. Nishinari, et al.：Intracellular transport of single-headed
molecular motors KIF1 A, Phys. Rev. Lett., Vol. 90，086601（2005）（20） D. Yanagisawa, et al.：Introduction of frictional and turning
function for pedestrian outﬂow with an obstacle, Phys. Rev. E,Vol. 80，036110（2009）

フェース
渋滞はなぜ起こるのか？─ツーリングに行ったときに疑問を抱き，気がついたら渋滞の研究を始めていました．てっきり渋滞は車だけの現象だと思っていたのですが，数理モデルを通じてさまざまな渋滞現象に出会うことができ，そのたびに渋滞現象の奥深さを感じさせられます．渋
滞研究を通じて，将来，渋滞ストレスのない日が来ることを本気で目指します．（友枝）
社会の大問題にこそ数理科学が貢献していかなければならない．そのためには，基礎研究の応用への道を切り開く必要があるが「理学」と「工学」の間の距離はまだまだ大きい．渋滞学の研究を通じて，理学と工学をつなぎ，社会へ還元していきたい．（西成）友枝明保

西成活裕9