同
気象予測とカオス
WeatherForecastingandChaos

田中博
HiroshiL・ＴＡＮＡＫＡるものである．この発見は，同時に，運命論

１．はじめにを信じるすべての預言者が，実は例外なくペテン師の集団であることも証明してくれる．

自然現象に限らず，すべての現象には因果

カオスとは英語では混沌という意味で用い関係があり，その因果を厳密にたどることで，られることが多いが，数学的に定義された学この世のすべての現象が予測できる，と信じ術用語として以下のような意味で用いられる．

られた時代があった．ピッグバンに始まる宇つまり，「本来は予測可能な決定論的な系の宙創世記から現在に至り，そしてやがて来る解を求めるとき，その初期条件に含まれる僅

ピッグクランチまたは永遠に膨張を続ける壮

かの誤差が時間と共に指数関数的に拡大する

大な宇宙論では，すべての現象が物理法則とため，ほんの僅か先の将来しか予測できないいう因果の連鎖でつながっており，その連鎖系の性質のことをカオスと呼ぶ.」

は将来に対しても確定論的につながっている

気象学の分野で，流体力学の運動方程式のと考えるパラダイムが存在する．これを物理非線形性に伴うカオスの性質によって，時間帝国主義と呼ぶ人がいる．この考えは，人の発展系の決定論的予測が原理的に不可能であ運命というものが生まれたときから既に決ることが１９６０年代初頭にエドワード・ローレ．

まっており，その人を取り巻く社会的な環境ンツにより証明された．この発見は，自然科やその人自身の心理的な動揺においてまで，学から工学，医学，生物学へと伝播し，やがすべては因果の連鎖で繋がっており，そこかて経済学や社会学の諸現象にも応用されるにら抜け出すことを許さないという運命論の至っている．本解説では，数値天気予報が実概念へと発展する．古代から人間集団の中に際にどのような原理に基づいて行われているは預言者という者が存在し，あたかも特別なのかを概観し，そこに現れるカオスとは何か才能を持っているかのように振舞うことで，について考察する．そして，このカオスによ人々を誘導し配下に治めてきた．

り，長期予報が原理的に不可能であることをしかし，そんな物理帝国主義と呼ばれた時理解してもらう．

代に終わりを告げたのが，気象学者エドワード・ローレンツによる「カオス」の発見であった.カオスの発見は２０世紀最後の大発見と称2．決定論的力学系とはされており，物理法則に基づく確定論的な将はじめに，決定論的な力学系の最も簡単な来予測が原理的に不可能であることを証明す

例として，摩擦のある振り子の例を考えてみ

RDAJ誌2006Ｖo1.28.Nq7(通巻155号）－４８１－

よう．図ｌは振り子が触れている様子と，そ振動を繰り返すうちに，最終的に原点に向かの振り子が鉛直上向きに立っている時の様子

う解軌道が読み取れる．もし，摩擦がなけれである．

ば解軌道は円となり，円上を永遠に回り続ける．このように，変数(x,y)を座標軸にとった
ハ
ギ１１ｌｉｂ－Ｑ－｡＝－℃凸●(､）Ａｉ「mbisInI1Ec

空間を位相空間という．この変数をＶ=(x,y）のようにベクトル表記し，その運動方程式を書くと

Ｉ

ｉ1Ｗ、

筈薑Fw）巾）図１：(a)減衰振動する振り子と，（b)鉛直上向のように表すことができる．速度はｙ=｡x/ｄｔで与えられる一方で，速度の時間変化(｡y/dt）

きの振り子は加速度となり，運動方程式で規定される．

ここで，下端を原点とし，振り子の位置(角度）を反時計回りにｘとし，振り子の速度（角速その関数形をＦ(V)で表記した．このように，変数の時間微分を含んだシステムを力学系と度）をｙとする．そして，この振り子の挙動呼ぶ．

を表す２つの変数(x,y)を座標にとって，振りここで重要なことは，力学系が数学的に厳子の位置と速度が時間と共にどのように振舞密に与えられたとすると，初期値を与えるこうかを解軌道で表したものが図２である．とで，振り子の挙動は未来永劫に決定論的に確定する．位相空間で，任意の初期値から出発し，時間と共に渦を巻いて移動する点の動きが解軌道であり，将来どのような軌跡を辿るのかが確定している．ただし，例外がひとエつだけあり，振り子が初期に真上を向いていたときには,解軌道はｘ軸上の元の点にあり，ここでは，振り子は真上に立ったまま動かない，というのが数学的な解の挙動である．しかし，現実世界では予期せぬノイズがこれに

図２：振り子の位極(x)と速度(y)の位相空間に重なるため，振り子は元の右か左にずれるこ

おける解軌道とがある．ノイズとしては例えば部屋の中の微風であったり，実験者の心臓の鼓動や足音
初期にｘの位憧から初速度Ｏで動き出す振りの音波でもいい．もし，このノイズで元より子の位置は，ｘ－ｙ空間ではｙ=Ｏのｘ軸上にある．振り子の振動が始まると，初期値から反も左に振れたとすると，その後，解軌道は原点に向かって時計回りに渦を巻きながら落ち対側に行って戻ってきた振り子は，Ｗ平面てゆく．もし逆に元よりも右に振れたとするの原点付近では，時計回りの円を描いて初期と，その後，解軌道は２元に向かって時計回値付近に戻ってくるが，摩擦により振幅が減りに渦を巻きながら２元に落ちてゆく．位相少するので円にはならず渦となる．こうして空間では，解軌道が０に向かうか２元に向かＲEAJ誌2006Ｖo1.28,NoL7(通巻155号）－４８２－

うかは全く別の挙動であり，それはノイズのこの力学系に初期値(x０，Ｗ,zo)を与えると，３次元位相空間での解軌道が図３のように確定存在により予測不可能な挙動として理解される．これはカオスの始まりであり，この例では位相空間のある1点にそのような特徴が見する．ローレンツシステムの特徴は，この解軌道が有限の範囲内で交わることなく右に左られた．次に示す例では，位相空間のいたるにランダムに回り続けるという点である．解ところにそのような点が存在する例を示す．

軌道が交わるということは，力学系が周期解となることであるから，言い換えればこのカオスシステムは無限の周期を持つと言っても3．カオス力学系

いい．有限の範囲内に無限の長さの解軌道がエドワード・ローレンツがカオス理論を展つまっているので，解軌道は無限小に接近し開し，それを普及させるために紹介したローていることになる．

レンツシステムは，簡単な３変数(x,y,z)の連

ここで，２つのリングの交わる中央付近に立微分方程式からなる．ただし，これは変数注目すると，そこでは，中央から右のリングの稲の項を含むので非線形システムである．に向かう解軌道と左のリングに向かう解軌道が互いに密に接近していることが分かる．そｌｎ５ｌＪ

Ｖシ逗

八Ｕ

Ｘ＋ｖプＺｎｖ兀

一羽秒

止丁の一小進一山

こで，図中のような断面を取り，右に向かう

解軌道には例えば赤，左に向かう解軌道には黒のように色をつけて，その断面を見ると，図４のように赤と黒の領域が複雑に入り組んでいる特徴的な模様が見えてくる．（これは概念図'）として用いた.）

ここで，３変数をＶ=(x,y,z)のようにベクトルで表すと,右辺はＶの関数なので,ｄＷｄｔ=F(V）という力学系の一種であることが確かめられる．

ChaosinLorenzSystem

Ｎ＝j鑿

図４：図３中央の平面における解軌道のフラクタル構造（概念図）

そして興味深いことに，その特徴的な模様の中には，自己相似的な同じ形をした小さな模様が見え，それを拡大してみると，前と全く図３：３次元位相空間(x,y,z)におけるローレン同じ模様が親子関係のように出現してくる．

ツシステムの解軌道

この構造をフラクタルといい，拡大操作を無ＲEAJ陰2006Ｖo1.28,lIU7(通巻155号）－４８３－

と結果が異なったりすることに，学生達は驚限回繰り返しても親子関係の模様は永遠に続くのである.赤と黒で色分けされた解軌道が，無限小の距離で接近しているとはこのことをき感勘するのである．この漸化式をプログラミングして東大のコンピュータで走らせた結言う．したがって，赤の解軌道の上に，ほん果は，筑波大のコンピュータで走らせた結果の僅かのノイズが重なると，解軌道はたちまち黒の解軌道となってしまうことが難なく理にカオスとはこのことである．と僅か数十ステップで違うものとなる．まさその理由の説明として，次のステップで値解できる．図３の解軌道が，中央から右または左に向かうという確定輪的な予測は，ノイが正になるときのＶの値には赤，負となるとズの存在により不可能となってしまう．これきには黒と色づけすると，－１から＋１の間にがカオス的振る舞いの本質的な構造であり，は赤と黒が複雑に入り乱れた特徴的な模様がカオスの解軌道は必ずフラクタル構造を伴う見られる．その一部を拡大すると自己相似的ことが知られている．前の振り子の例で示しな同じ形をした小さな模様が見え，それを拡た予測不能な点兀付近の挙動が，この例では大してみると，前と全く同じ模様が親子関係いたるところに現れている．のように出現してくる．つまりフラクタル構造になっているのである．したがって，高々数桁の有効数字しかない電卓では，学生達が4．カオス体験計算する将来予測はすぐにばらばらに別れて大学では，さらに簡単なカオス力学系の実くるのである．

験として，以下の漸化式の計算を電卓を用いてクラスの学生全員に実行させる．
Ｆ１,＋Ｉ

5．気象予測とカオス÷'〆÷'：

天気予報としてなじみの深い気象予測は，初期値としてＶ･を与え'右辺を計算して左辺を求める．ｎはステップ数であり，これを何運動方程式や質量保存則，熱力学の式，状態度も繰り返すのである２)．例えば初期値とし圧，空気密度，風ベクトル，湿度などの気象て０．５を選び，計算を繰り返すと，ｖの値は要素を，高速計算機を用いて予測する一連の－，から＋，の間を上に下にとランダムに変システムにより榊成される．

方程式などの物理法則に基づいて，気温，気化する．数学的には初期値が決まると，そのＧ００ｍｂＷｂ則0些｡⑤ごｈ●小ＤＢ●“函嘩1Ｊ■

後のｖの値はすべて確定するので,これは明らかに決定論的な系である.右辺が原因であるとすれば，左辺は結果であり，因果の関係は過去から未来へと決定瞼的に連鎖する．ところが,初期値に僅かの誤差を上乗せすると，将来予測は僅か,０ステップ程度で全く異なったものになることを体験する．さらに興味深いことに，同じ初期値から出発した学生達の将来予測が，電卓が違うというだけで,あっ

図５：気象予測モデルの水平格子（風ベクトという間に異なった値を示すようになる．時ル付き）と鉛直層の例には同じタイプの電卓でも，製品番号が違う
REAJ跡2006Ｖo1.28.lIu7(通迪155号）－４８４－

図sのように地球大気を水平方向には緯度一先の予測は大きくばらついてしまう．予測が経度のグリッドに，鉛直方向には厨に分け，大きくばらついてしまう時は，カオス性が高その各々の格子点上で気象要素の将来予測をいことを意味し，天気予報の信頼性は低いこ行う．時間発展する変数ベクトルＶの要素のとになる．逆に，あまりばらつかないときに数は，全格子点数×気象要素数であり，形式は，そのときの大気の状態は比較的カオス性的には以下の力学系として表すことができる．

が低いことを意味し，予報の信頼性は高い．
大気のカオス性を考慮して，あえて初期値に誤差を上乗せし，多数の予報を繰り返してそ等-(','）の平均を持って将来の予報値とする手法はアンサンブル予報と言われ，今日の気象予測の主流となっている．

緯度一経度に1度間隔，鉛直に100層とすると，ベクトルＶの次元は５０００万のオーダー”麺緬麺麺ｍｂｍ・麺一．（＆｝ｘＣつ仁一一⑪ＥＯＮになる．５０００万本の非線形の連立微分方程式からなるそれぞれの変数の時間変化は，確定論的な物理法則に従い計算される．しかし，ベクトルのサイズが大きくなるだけで，この●●気象予測システムは，形式的には２次元の振り子や３次元のローレンツカオスのシステム

包４２６２０３０Oと同じ構造であることが分かる．したがって，ＪＡＯＵ●●｛Ｅ〉・〆①□二・一同■。Ｎ

造はいたるところに見られる．
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図６：東日本８５０ｈＰａ面における気温偏差の〈Ｅ｝ｘ⑪□三一⑤■○Ｎ

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ローレンツカオスで示されたようなカオス柵

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UUUユーー客アンサンブル予報の例
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図６は東日本の８５０hPa面(約１５００ｍ上空）でのある1点における気温の将来予測である．

初期値には観測誤差程度のノイズを上乗せして，予測を何度も繰り返すと，カオス理論に

図７：偏西風ジェット気流の強さの週間アンサンブル予報の例

従い初期の誤差はやがて増幅し，３週間ほどREAJ麓2006VoL281lIU7(通巻155号）－４８５－

一般に，温帯低気圧の通過に伴う天候の変

図８は，この状況を多次元位相空間の解軌化などは，誤差の増幅率からして約２週間先道の振る舞いとして概念的に表現したものでが理論的な予報限界といわれている．それよある.位相空間の次元は５０００万のオーダーでり先の将来予測は，いくら観測網を充実させあるが，概念的に３次元で表示するとこのよ予報モデルを改善しても，大気のカオス性にうな図になる．初期値の周りに微小ノイズがより決定論的な将来予測は不可能とされる．

重なった左の円の状態から将来予測を行った

また，夕立をもたらすような雄大積乱雲の発場合，一群の解軌道は実況と同様に右下の円達などは，誤差の成長速度が速く，決定論的に向かう一方で，別の一群は右上の円に向かな予報限界は数時間先とされる．このように，う．上の円に向かう一群の初期値に赤，下の予報限界は予報対象とする大気現象のスケー

円に向かう一群の初期値に黒と色づけを行う

ルに依存する．と，初期値周辺の模様は図４で示したような

図７は北半球中緯度の偏西風ジェットの強フラクタル構造になる，という理解である．

さに対する週間予報の結果を，日本の気象庁

フラクタルになっているので赤と黒が無限小（ＪＭＡ)，ヨーロッパの気象局(ECMWF)，アに接近して存在し,そこにノイズが重なれば，メリカの気象局(NMC)，で比較した例である

もはや右上に行くのか右下に行くのかは原理

3).この週間予報の結果によると,偏西風ジェッ的に予測不可能である．カオス性の高い状況

トが強いまま継続するという予報と，数日後では，どんなに小さいノイズであっても将来に弱まるという予報が明瞭に分かれている．

予測は大きく変化する．北京で一匹の蝶が羽

図中の黒丸が実況であり，現実大気のジェッばたけば，一月後のニューヨークのお天気がトは結果的に弱まったのであるが，初期値の大きく変化する．バタフライ効果として知ら僅かな違いにより，予報が当たったり外れたれるこのカオス理論は，解軌道のフラクタルりしている．ここで興味深いことは，予報値構造にその本質を見出すことができる．そしの分離がすべての気象局で共通して見られるて，無限に存在する可能性の中から，たったことから,この現象が大気自身の特徴であり，１本の解軌道が現実として刻々と選択されて大気のカオス性がこの時非常に強い状況にゆくのである．各々の瞬間においては常に無あったことが伺える．

限の可能性を秘めた現在があり，将来的には何も決まっていないしかし，過去を振り返れば，無限の可能性の中のたった一本の現実が残る．これがカオスの世界である．

6．カオスの壁を越えて
図９は異常気象をもたらす北極振動指数のアンサンブル予報の例で，２ヶ月先までの予報が試みられている．北極振動とは北極圏の地上気圧とそれを取り巻く中緯度の地上気圧

図８：気象予測の位相空間におけるアンサンが互いに逆相関を示すという現象で，近年，ブル予報の概念図

南のエルニーニョ現象と並んで長期予報において重要な北の大気現象として注目されていＲEAJ銭2006VoL281NoL7(通巻155号）－４８６－－－－－－－－

る．大気の予報限界が予報しようとする対象のスケールに依存することから，北極振動の７．まとめ
自然現象に限らず，すべての現象には因果ような地球規模の現象は積乱雲などよりも予報限界が伸びる．この特徴を考慮して，この関係があり，その因果を厳密にたどることで，モデルでは，３次元空間の各々の点での気象この世のすべての現象が予測できる，と信じ要素の決定論的な予測をするのではなく，大られた時代があった．そんな物理帝国主義と気の鉛直平均場を予測するように方程式系を呼ばれた時代に終わりを告げたのが，気象学鉛直平均してから予報が試みられているい、者エドワード・ローレンツによる「カオス」の発見であった．「本来は予測可能な決定論的な系の解を求めるとき，その初期条件に含Amct膳Ｏ…､完+;のｎｈ画Ｄｘ
Ｂさ､t､摩ＣＯn屯c､■wdtmAnTBo寧画､■
0４

まれる僅かの誤差が時間と共に指数関数的にEn5muOPodcqc閲rmml20080920001

拡大するため，ほんの僅か先の将来しか予測できない系の性質のことをカオスと呼ぶ.」

0２

カオス力学系においては，解軌道がフラク;｡。

タル構造になり，したがって，どんなに小さ-02なノイズでも，それを許す限り将来予測が原理的に不可能になる．各々の瞬間においては･0４
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常に無限の可能性を秘めた現在があり，将来的には何も決まっていないことをカオス理論

図９８鉛直平均モデル北極振動指数の２ケ月は証明してくれた．しかし，過去を振り返れアンサンブル予測の例

ば，無限の可能性の中のたった一本の解軌道としての現実が残る．これがカオスの世界でこのモデルでは，カオス性が大幅に低下するあり，過去を指してこれを運命と呼ぶことはことから，アンサンブル予報のバラつきは抑正しい運命の解釈である．これを未来に外挿えられ，この例では２ヶ月先まで一貫して負し，運命があたかも決まっているかのようにの値を予報している．ただし，方程式系を鉛言う預言者は，総じてペテン師であることも直平均するため，それに付随する乱流統計量同時に証明された．

が方程式に加わることから，カオス性が抑えカオス体験の節で示したように，数学的にられた分，方程式系の精度が低下している．

厳密で，因果関係の連鎖が明瞭であり，明らしたがって，実際に予報が当たるかどうかはかに確定論的な系についても，学生達に同じ今後の分析を待たねばならない．北極振動指初期値から電卓で計算させると，その答えが数は日本の気温と比例関係にあるので，この全員異なることを知る．学生達はその事実に予報が当たれば，この冬日本は寒冬となる．

驚くと同時に，フラクタル構造を持ったカオ

米国気象局はこの秋，エルニーニョの開始宣

スの本質を理解し，そして，自分の将来が決言をした．したがって，大方の予報は暖冬でまっていないことを理解する．学生達は総じある．予測は，検証されて始めてサイエンスて安堵の表情を浮かぺ，一瞬一瞬を真剣に生といえるようになる．来年の春を楽しみにしき，やる気を起こして勉強に励むことを決意て待とう．

してくれるようである．

ＲEAJ誌2006Ｖ01.28,11m7(通巻155号）－４８７－参考文献
1）LCleick:Chaos:MakingaNewScience､APenguinBook,ｓ２４ｐｐ(1987)．

2）小倉義光：一般気象学，東大出版会，３１４
ｐｐＯ９８４)．

3）木本昌秀：異常気象の謎を追って，天気，52,439-448(2005)．

4）田中博：順圧大気大循環モデルによる北極振動の数値実験およびその力学的考察，

北極振動特集，気象研究ノート，206,71-107(2004)．
田中博(たなかひろし/筑波大学計算科学研究センター）

筑波大学計算科学研究センター教授．
1981-1988:米国ミズリー大学コロンビア校主任研究員，ＰｈＤ・取得，1998-1911:アラスカ大学地球物理学研究所助教授．1191-現在：筑波大学生命環境科学研究科．大気大循環論，ブロッキング，北極振動，大気エネルギー論などの研究を行ってきた．（社)日本気象学会常任理事．英文レター誌「SOLA」編集長．
1915-2004:ＮＨＫ教育番組「地学」放送講師．

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