Proceedings of the 10th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan (August 3-5, 2013, Nagoya, Japan)

AC Skew Q を用いた差共鳴無しの新しい X-Y 結合生成法と高速切替による応用
X-Y COUPLING GENERATION WITH AC/PULSED SKEW QUADRUPOLE AND
ITS APPLICATION
中村剛#Takeshi Nakamura #Japan Synchrotron Radiation Research Institute / SPring-8
Abstract
The new method of x-y coupling generation with AC or pulsed skew quadrupole is proposed. With this method, nodifference resonance is requested; therefore the horizontal and vertical tunes should not be the same value. The AC skew
quadrupole is driven by the difference frequency of horizontal and vertical betatron frequency to convert the horizontal
position frequency to the vertical kick frequency and vice versa, therefore the coupling with this method is on resonanceand can be driven to full coupling strength. In this report, the principle, simulation result, and possible applications aredescried.

1.

はじめにミッタンスを交換する手法としては、特別のビーム輸送系をバイパスさせる方法 [3] がいくつか提案されているが、本手法では、通常のリングに弱い AC-SQを設置するだけでよく、現状のリングにも簡単に適用可能な手法となっている。以下では、原理、ACSQ の強度の見積もり、応用例について述べる。

蓄積リングにおいて、水平と垂直のベータトロン振動の結合(x-y 結合) を引き起こす手法として、水平と垂直のベータトロン周波数の差の周波数で駆動された AC の Skew 四極磁石(AC-SQ) をもちいることを提案している[1]。
AC Skew４極磁石による x-y 結合生成
この手法は、差共鳴を用いずともフルカップリン 2.
グまで結合を励起可能であり、また、AC-SQ は、触2.1 結合定数の AC 化による x-y 結合媒のような役割を果たすので、その強度は、比較的弱く、ナノ秒の時間幅でのパルス運転が可能である。 本手法について、まず、簡単なモデルで説明する。
応用の一つとしては、近年、検討されつつある超 結合係数 K により結合した２つの調和振動子の運動低エミッタンスリングへの適用がある。このような 方程式はリングでは、バンチ内の電子の高密度化に伴う内部散乱の増大が、エミッタンスやエネルギー広がりの(1)悪化、Touschek 寿命の短縮を引き起こすので、密度を緩和する手法の一つとして、フルカップルでの運転が検討されている[2]。
(2)
本手法の利点として、差共鳴を用いないので、水平、垂直のチューンに制限を加えることなく運転が可能であり、また、フルカップルでの入射では、入射ビームの水平振動が x-y 結合により垂直振動に変 となる。K が定数であり、かつ、差共鳴の条件を満では、右辺の換され、狭ギャップの挿入光源に衝突する問題が生 たしていない時、すなわち、駆動力の周波数は、左辺の共鳴周波数と異なるためじるが、これも、AC-SQ が弱くパルス運転が可能であることから、入射時に、しかも入射バケットにつ x-y 結合は小さく、たとえ K を大きくしてもフルカッいてのみ AC-SQ の駆動を止め、x-y 結合を解いてお プリングにまで到達させることはできない。そこで、くことにより、入射バケット(近辺）以外では x-y 結 K に時間依存性を持たせ合をたもったまま、入射ビームの垂直への回り込み
K (t ) = K 0 cos ω x − ω y t(3)を避けることができる。
また、AC-SQ をパルス運転することにより、x-yのエミッタンスの交換が可能となり、通常の水平に とする。ここで、x, y について、振幅、位相の時間広く、垂直に薄いビームを、水平に薄く、垂直に広 依存性がそれほど速くないと仮定すると、がったビームに変換することができる。これについても種々の応用が考えられる。これまで x-y のエ(4)(___________________________________________# nakamura@spring8.or.jp- 507 -)

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dφ xとみなして良いので、式 (1)、(2) の右辺はそれぞれ、()[ ((())

K0x 0 cos ω y t + ϕ x + cos 2ω x − ω y t + ϕ x2(()

K (t )y (t ) = K 0 y 0 cos ω x − ω y t cos ω y t + ϕ y=[ ((()))](6))]

(7)

dφ y

(14)

k=−∞

+ ν y2ηy = ν y2∞

β y θ y (φ y ) ∑δ (φ y − 2πk)(15)k=−∞となる。右辺では、ϕx および ϕy はターン毎の値 ϕx =ϕy = 2πk, k=...,-1,0,1,2,.. をとなる。左辺において、ϕxと ϕy の違いは、リングの一点でのみの問題となっているので、この問題では現れない。そこで、ϕx = ϕy =ϕ とおいてよい。これにより、式(14), (15)の解として)

K0y 0 cos ω x t + ϕ y + cos ω x − 2ω y t − ϕ y2+ ν x2ηx = ν x β x θ x (φ x ) ∑δ (φ x − 2πk )2d 2ηyK (t )x (t ) = K 0 x 0 cos ω x − ω y t cos(ω x t + ϕ x )=∞d 2ηx(5)となる。すなわち、K(t）により、周波数変換が生じその結果、右辺の第１項のように、式(1)、(2）の左(16)辺の共鳴周波数が生成されていることがわかる。第２項については、その周波数が共鳴周波数である場(17)i ν +∆ν )φηy = η˜ y e ( yとなるが、このとき、ωx = ωy
合には
ま た は 、 ω x= 0 と な る 必 要 が あ る が 、 こ れ はdifference resonance および、integer resonance の条件 とおける。また、AC-SQ の強さを、であり、ここではこれが満たされていないとすれば、第２項は共鳴周波数から外れている。そのため、第K (φ ) = K 0 cos ∆ν x − ∆ν y φ
2 項の共鳴への影響は小さい。そこで、第１項だけ(18)i(−∆ν x +∆ν y )φ K  i(∆ν x −∆ν y )φ残して式(1), (2) へ代入すると、+e= 0 e

2 
d 2x
1(8)+ ω x2 x = K 0 y 0 cos ω x t + ϕ yとおく。ここで ϕ = 0 の点を、K(t) の位相が 0 とな2dt 2るようにとっている。AC-SQ によるキックは、(d 2ydt2+ ω y2 y =()()

1
K 0 x 0 cos ω y t + ϕ x2)

θ x (φ ) = K (φ )y(φ )(9)となる。これから、AC-SQ による x-y 結合は、onresonance で発生していることがわかる。すなわち、フルカップルまで励起可能である。

=

K02

β y η˜ y e ( i ∆ν x −∆ν y +ν y +∆ν )φ


+e ()

i −∆ν x +∆ν y +ν y +∆ν φ 




(19)

θ y (φ ) = K (φ )x(φ )2.2 リングへの適用
リングへの適用を考える。以下では、normalized
coordinate=K02

β x η˜ x e ( i −∆ν x +∆ν y +ν x +∆ν )φ+e ()i ∆ν x −∆ν y +ν x +∆ν φ 




(20)

ηx (φ x ) = x / β x ,(10)ηy (φ y )= y / β y ,(11)となる。ここで、先ほどと同様にチューンの小数点部を打ち消し合っている第 1 項のみを残し、恒等式∞

φ x (s) =s ds′

∫ β
ν
1x

φ y (s) =(12)

k=−∞

x

1s ds′yy∫ βν,∑δ (φ − 2πk) ≡12π∞∑ e ipφ(21)

p=−∞をもちいて右辺の共鳴周波数の項のみを取り出すと、
式(14), (15) は(13)で記述する。水平、垂直キック θx、 θy がリングの一箇所で発生する場合、すなわち AC-SQ が１台の場合には、

(22)

(23)

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Proceedings of the 10th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan (August 3-5, 2013, Nagoya, Japan)となり、これから、(24)が得られる。実時間に変換すると、エネルギー交換の周期は、
Tc =

14π
T 0 / ∆ν =T02K0 β x β y(25)となる。ここ T0 はリングの周回周波数である。
なお、AC-SQ をリングの複数の点に設置する場合、それらの位置同士での互いの水平、垂直のベータトロン振動の位相差を駆動の位相差として用いれば、これらの効果を加え合わせることも可能である。

3.

フルカップルの励起

3.1 必要な AC-SQ の強度フルカップルまで駆動するために必要な AC-SQ の強度を導出しておく。エミッタンスの結合比は、
AC-SQ による結合生成と、放射減衰や、チューン広がりによる個々の電子の共鳴からのずれ等との競合となる。すなわち、x-y 結合による水平と垂直のエネルギー交換の周期が放射減衰時間およびチューン広がりによる Landau 減衰時間(すなわち、個々の粒子がチューンの違いに気がつくまでの時間）より十分 に 短 い 必 要 が あ る 。 Landau 減 衰 の 時 間 は 、Gaussian 分布の場合、チューン広がりと、1τ=2π

ω 0σ ν(26)の関係がある。ここで、ω0 および σν はそれぞれ、リングの角周波数およびチューン広がりの r.m.s. 値である。これらの合成した減衰時間を τ とすると、フルカップル生成に必要な条件は、Tc < τ(27)となる。
例として、SPring-8 サイズのリングで、エネルギーを 6GeV とした計算を示す。ここでは、非線形性などの影響により生じることが予想されるチューンの広がりとしとして 5×10-4 と仮定する。これによる Landau 減衰時間は 2ms である。放射減衰時間は、現状の 8 GeV での値を用いているが、これは、マルチベンド化や、強磁場挿入光源の利用により、放射減衰が強いことを想定している。
この手法の有効性を探るため、簡単な多粒子シミュレーションを実施した。シミュレーションは、以下の簡単なものである。
* AC-SQ をリングの一箇所に設置。
*リングは線型とし、１ターンマトリックスでモデル化。
* チューンの広がりは、Gaussian 分布* クロマティシティ* RF によるシンクロトロン振動* チューン広がり、およびシンクロトロン振動とク
ロマティシティによるチューンシフトは、個々の粒子には、そのチューンでの１ターンマトリックスを用いて取り込んでいる* 放射損失と、それに伴う RF 加速による放射減衰。
* モンテカルロによる放射励起。
Table 1 : Sample Ring and Magnet Parameters
Parameter
SymbolValue
EnergyE06 GeV
Revolution period
T04.79 µs
Revolution frequency
f0208.8kHz
Betatron damping time
τβ8.3 ms
Betatron tunes
νx / νy0.15 / 0.35Betatron frequency
fx / fy
31kHz / 73kHz
Beta functions
βx / βy5m / 5m
Betatron tune spreadσνx / σνy
5×10-4 / 5×10-4
Landau damping time
2ms / 2ms
Chromaticity
ξx / ξy2/2
AC-SQ Magnet Parameters ( coil winding : half-turn )Drive frequency
fy - fx
42 kHz0.01
Strength
K0
1.2 msEnergy exchange period
Tc
LengthL1m
Bore radiusb
30 mm
Field gradient (peak)B'
0.2 T/mDrive current (peak)I
143 A
InductanceL~3.5µH
Drive voltage (peak)
V132 V
計算例を、Fig.1 および Fig.2 に示す。これらの例では現象の様子を明示するために、チューン広がりや、クロマティシティを 0 としている。
Fig.1 は、単一粒子の振動を示しており、t = 0 で水平キックを与えている。水平、垂直のエネルギーのやり取りがみられ、周期は、式(25) でしめしたものとなっている。
Fig. 2 は、他粒子シミュレーションの結果であり xy がエミッタンスを交換している様子を示す。
Fig. 3 は、チューン広がりや、クロマティシティがある場合のシミュレーション結果である。チューン広がりを 5×10-4 とし、AC-SQ は、t = 0 において駆動が開始されている。クロマティシティは、水平、垂直ともに 2 と設定しており、エネルギー広がり、シンクロトロンチューンは、1.1×10-3 および 0.01 である。このような条件であっても、Tc = 1ms 程度となる K0 = 0.01 程度で、ほぼフルカップルを達成していることがわかる。
また、Fig. 4 は、AC-SQ の立ち上げを 20ms の時定数を持って線型でゆっくり行った場合であり、立ち上がり時のエミッタンスの振動が低減されている。

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Figure 1 : Motion of a particle, kicked horizontally at t = 0.
AC-SQ is continuously excited with K0 = 0.01. The energy
is transferred between horizontal and vertical with theperiod Tc. Tune spread and chromaticity are set to zero andradiation excitation is turned-off, to see the motion clearly

Figure 2 : Emittance evolution after AC-SQ is turned onwith K0 = 0.01 at t = 0. Horizontal and vertical emittances
are oscillating with the period Tc. Tune spread andchromaticity are set to zero.

Figure 3 : Full coupling by AC-SQ, which is turned on at t
= 0 with K0 = 0.01. Tune spread is σν =5 × 10-4 andchromaticity is 2 for horizontal and vertical.

cFigure 4 : Full coupling by AC-SQ with is gradually turned
on with time constant 20ms at t = 0. Oscillation issuppressed with gradual turning on.
Fig. 5 には、AC-SQ の駆動を停止し、x-y 結合が解かれた後のエミッタンスの様子を示す。

Figure 5: Emittance after AC−SQ is turned off at t=0 withthe same parameters as in Fig. 3.

3.2 応用例
x-y 結合を用いた円形ビームの生成は、これまでいろいろな応用が考えられているが、本手法はそれらの多くに適用可能と考えられ、かつ、差共鳴を用いる必要がないので、水平、垂直のチューンに自由度をもたせることが可能である。
近年、検討されつつある超低エミッタンスリング
では、バンチ内の電子の高密度化に伴う内部散乱の増大が、エミッタンスやエネルギー広がりの悪化、Touschek 寿命の短縮を引き起こす。そこで、電子密度を緩和する手法の一つとして、フルカップルでの運転が検討されている [2]。しかし、フルカップルでは、入射ビームの水平振動が垂直振動に変換され、狭ギャップとなっている挿入光源に衝突してしまう恐れがあるが、この手法では、必要な AC-SQ の強度が弱く、ストリップラインキッカー等によるパルス運転が可能であること利用して、入射バケットのみ、またはその近辺のみ AC-SQ を停止し、入射バケットについては、x-y 結合を解くことにより、このような問題は解決可能と考える。
ストリップラインキッカーの例を Fig. 6 に示す。
また、Pulsed AC-SQ を用いて CW の AC-SQ を打ち消すには、Pulsed AC-SQ を CW AC-SQ で挟むシケイン状のセクションを用いれば良い。Fig. 6 において、キッカーのストリップライン長を 1m とした場合に、K0 = 0.01 を発生するために必要な電圧はピー
ク値で 2.5 kV であるが、入射時のみ駆動するパルス運転であるので、実現の可能性は高い。1m の長さのストリップラインキッカーは、5−６バケットにAC-SQ の影響を与えてしまうが、全体のバケット数~ 2000 に比べて少ないので、たとえば放射光利用に与える影響等は、十分に小さいと考えられる。
なお、このストリップラインキッカーの電極配置
は、多くのリングにおいて、チューン測定用のストリップラインキッカーとして用いられている配置であるので、本原理の検証試験は、多くの既存のリングで可能と考えられる。

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4.3 応用例

Figure 6 : Example of stripline kicker for pulsed operationof AC-SQ for cancelation of CW AC-SQ just at theneighborhood of injected bucket. Beam passes through thecenter of the figure.

4.

水平・垂直エミッタンスの交換

4.1 必要な AC-SQ の強度
AC-SQ を、エネルギー交換の半周期だけ駆動した
場合、水平の振動エネルギーが垂直の振動のエネルギーへと変換されたところでエネルギー交換が停止する。すなわち、水平と垂直のエミッタンスが交換され、電子蓄積リングの場合、通常の横長から、縦長へと変化させることができる。ここでも競合するのは、放射減衰などの緩和時間であり、水平エミッタンスを低減するためには、この緩和時間より、エネルギー交換時間を十分に短くとる必要がある。すなわち、大きな K0 を用いる必要がある。
Fig. 6 は、AC-SQ の K0 の値を変えて、t = 0 から各K0 に対応した時間間隔 Tc / 2 のみ駆動した場合のエミッタンスの変化を示している。K0 が大きいほど、放射減衰などの緩和の影響が小さく、より水平方向エミッタンスが低減されることがわかる。
もちろん、必要なエミッタンス比が得られたとこ
ろで AC-SQ を停止すれば、そのエミッタンス比のビームが生成される。ここで、 Tc は、ms のオーダーの時間であるので、通常の AC 磁石やパルス磁石で実施可能である。

入射器をリング加速器に用いている場合、位相空間のマッチングを図ることが可能となる。たとえば、入射器において、本手法によりエミッタンス交換を行うことにより、水平方向のビームサイズを低減す
れば、蓄積リングへの入射の際に、ビーム中心間の距離が低減可能となり、入射振幅の低減が可能となる。これにより入射ビームに対する非線形要素の影響が低減され、入射効率の向上につながる。
また、蓄積リング FEL[4] では、ビームのエネルギー広がりが問題となるが、これを解決する方法として、ディスパージョンのあるところに、その強度に水平勾配をもたせたアンジュレータを設置し、各エネルギーに適したアンジュレータ強度を適用する手法が考えられている。ここで問題となるのは、電子ビームのもつ水平方向エミッタンスによるビームの水平広がりとの競合であるが、本手法を用いて、一時的ではあるが、水平方向のビームサイズを低減することができ、この問題が解決される。これは、垂直方向にディスパージョンを作る手法[4] にくらべて容易に実現可能と考えられる。

5.

まとめ

AC 駆動された Skew４極を用いることにより、これまで必須とされていた差共鳴をもちいることなしに、フルカップルまで、x-y 結合を生成する手法を提案し、そのための AC 磁石やキッカが製作可能な範囲であることを示した。これにより、リングの運転パラメータに自由度がまし、また、必要な Skew 4極の強度が弱く、パルス駆動が可能であることを利用し、ビームの部分的な結合の制御や、水平・垂直エミッタンスの交換による、水平方向のビームサイズの低減の可能性を示した。
x-y 結合やこの応用について、御議論、コメントをいただきました、JASRI 加速器部門の高雄勝、早乙女光一、下崎義人、正木満博の各位、ならびに、兵庫県立大学の庄司善彦氏ら、関係各位に感謝いたします。

参考文献

Figure 6 : Horizontal emittance (εx) and vertical emittance(εy) exchange by pulsed operation of AC-SQ. AC-SQ isturned on with K0 values (K0 = 0.02, 0.01, 0.005) at t = 0and turned-off at t = Tc / 2 corresponding to each K0 values.
Tune spread is σν =5 × 10-4 and chromaticity is 2 forhorizontal and vertical.

[2] 中村剛、"差共鳴によらない X-Y 結合生成と USR への応用"、日本物理学会第６８回年次大会予稿集 (2013)。
[2] M. Borland, "Exploration of a Tevatron-Sized Ultimate
LightSource",
FLS2012(2012).
https://www.jlab.org/conferences/FLS2012/talks/Wed/
Borland.pdf[3] The emittance exchange schemes are summarized in A. Chao,"Gymnastics in Phase Space", SLAC-PUB-14832[4] Y. Cai, Y. Ding, R. Hettel, Z. Huang, L. Wang, L. Xiao, "An
X-ray Free Electron Laser Driven by an Ultimate StorageRing", Synchrotron Radiation News, Vol. 26. No.3 (2013),
also http://slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/15250/
slac-pub-15380.pdf.

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