Proceedings of the 12th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 5-7, 2015, Tsuruga, Japan

PASJ2015 WEP025

SPring-8-II の非線形オプティクス設計
DESIGN OF NONLINEAR OPTICS FOR THE SPRING-8-II
下崎義人#Yoshito Shimosaki #JASRI / SPring-8

Abstract
The design work for an upgrade project of the SPring-8, the SPring-8-II, is in progress, where a 5BA lattice with thelongitudinally varying bending magnets has been adopted. The nonlinear optics has been optimized based on theHamiltonian analyses with the interleaved sextupole magnets. The nonlinear resonances caused for on-momentum andoff-momentum particles and the nonlinear dispersion function has simultaneously been corrected for enlarging the offmomentum dynamic-aperture.

1.の安定性は増す。逆に SPring-8-II のような対称性の低い放射光リングでは、ユーザーに硬エックス線を安定供給する為の、高ビーム入射効率と長ビーム寿命を確保するという観点から、電子ビームの安定領域であるダイナミックアパーチャーとモーメンタムアパーチャーの拡張が、重要な課題のひとつとなる。

はじめにSPring-8 の次期計画である、SPring-8-II の設計検討が進められている[1]。SPring-8-II の主要パラメータを表 1 に、ラティス関数を Figure 1 に与える。現在
は ユ ニ ッ ト セ ル 当 た り に 、 4 台 の longitudinallyvarying bending magnet（1 台の偏向電磁石の中で進行
非線形オプティクス設計 指針
軸方向に磁場が変わる偏向電磁石[2]）を 4 台と、通 2.
常の bending magnet を 1 台用いた、quintuple bend
SPring-8-II のユニットセル及び modified unit cell にachromat（5BA）ラティスについて検討が進められ は 2 つのディスパージョンアークが配置されておりている。ナチュラルエミッタンスは 191 pm.rad であ （Figure 1 参照）、この間の位相差は、x 方向が約 3πり（ただし今後の検討により、ナチュラルエミッタ rad、y 方向が約π rad となっている。それぞれのディンスが更に小さいラティスに変更されうる）、そこ スパージョンアークに一対の六極磁石を配置するこから更に挿入光源の放射減衰を利用してエミッタン とにより interleaved sextupole の条件、すなわち -Iスを 低減する予 定となって いる。 2022 年 以降、 transformation [3]の条件が概ね満たされ、ビームの安SPring-8 よりも一桁以上コヒーレントフラックスの 定領域がある程度確保される。
高い硬エックス線をユーザーに供給する予定である。 更 な る 安 定 領 域 の 拡 張 を 目 指 し て 、 interleaved
sextupole の位相•配置関係を満たした上で、ユニットセルに六極を 4 ファミリー（k1 ~ k4）、modified
Table 1: Main Parameters of the SPring-8-II
unit cell に六極を 4 ファミリー（k5 ~ k8）準備する。
更にユニットセルに八極磁石を3 ファミリー（O1 ~SPring-8
SPring-8-II
O3）配置する。計 11 自由度の六極磁石と八極磁石をBeam energy
8 GeV
6 GeV用いて、SPring-8-II の非線形オプティクスを構築することを考えている。
Natural emittance2.41 nm.rad
0.19 nm.rad
まず SPring-8-II の六極磁場係数（k1 ~ k8）について
w/o IDs, w/o IBSはσE / E
0.109 %
0.095 %
1. 線形クロマティシティ
2. on-momentum / off-momentum 粒子に関する非Betatron tune
(41.14, 19.35)(109.134, 42.34)
線形共鳴ポテンシャル振幅 [4]Natural chromaticity(-117, -47)(-151, -158)
3. （電子の運動量偏差をδと定義すると）δ2 に関
Circumference
1435.95 m
1435.45 m
する非線形分散関数（D1）[4]4. x 及び y 方向の振幅依存チューンシフトの内、作用変数（Jx 及び Jy）の 1 次に関する成分 [5]SPring-8-II は、直線部（4.7 m）を含む 42 個のユ5.
δ方向の振幅依存チューンシフトの内、δ2 にニットセル、入射部の x 方向ベータ関数を大きくす関する成分[6]。ただし D1 を含む項は除く
る為の 2 個の modified unit cell、及び 4 本の長直線部を同時に補正するように、（30m）で構成される（Figure 1）。結果、SPring-8II は対称性が極めて低い 1 回対称リングとなる予定である。一般に、リングの対称性が高い程、ビーム___________________________________________# shimosaki@spring8.or.jp- 468 -

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用）と D1（六極を 1 自由度）を補正、x 及びδ方向の振幅依存チューンシフトを補正（六極を 4 自由度と、八極を 3 自由度使用）、残る 1自由度の六極磁石で y 方向の振幅依存チューンシフト及び非線形共鳴振幅が大きくなりすぎないように微調をかける方法(1)

なる、k の 1 次及び 2 次に関する連立方程式を立てて、解析的に六極磁場係数を決定している（遺伝的アルゴリズム等のメタヒューリスティックな探索法は用いていない）。
八極磁場係数（O1 ~ O3）に関しては、六極では補正しきれない振幅依存チューンシフトの残り分を補正するように、解析的に磁場係数を決定している。
  O1  coef. of amp. dep. tune shift ( x, y )   O  = goal 2   O 
 3 

(2)

11 自由度（k1 ~ k8, O1 ~ O3）という限られた条件のなかで非線形オプティクスを設計する場合に、振幅依存チューンシフトを重点的に抑制すべきか、非線形共鳴の driving term を重点的に抑制すべきか、見極める必要があるように思われる。このために、（set-2）線形クロマティシティ（六極を 2 自由度）と D1 （ 六 極 を 1 自 由 度 ） を 補 正 、 offmomentum 粒 子 に 関 す る 非 線 形 共 鳴 を 補 正（六極を 2 自由度）、残る六極の 3 自由度でon-momentum 非線形共鳴振幅を極力抑制しつつ、八極の 3 自由度で振幅依存チューンシフ
トに微調をかける方法のそれぞれについて非線形オプティクスを構築した。
上記非線形オプティクスパラメータと（set-3）2015 年 7 月時点で、SPring-8-II の非線形オプティクパラメータの公称値（これを元に磁石•真空の設計等が進行中。線形クロマティシ
ティを補正（2 自由度）、k1 = k5, k2 = k6, k3 = k7,k4 = k8（4 自由度）とし、残る六極の 2 自由度と八極の 3 自由度でダイナミックアパー
チャーを広げ x 方向の振幅依存チューンシフ
トを抑えるようにパラメータを決定したもの）
について、ダイナミックアパーチャー等のビーム物理現象を調査した。

（set-1）線形クロマティシティ（六極を 2 自由度使Figure 1: Lattice function of the SPring-8-II.

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PASJ2015 WEP0253.

非線形オプティクス設計の六極磁場係数 k5 ~ k8 の大きさに依存して、入射部で D1 に関するローカルバンプが見えている。

結果

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

dispersion (m)dispersion (m)dispersion (m)Qy set2
Qx set3
Qy set3

0.6
0.4
0.2
0-0.2
-0.4
-0.6

0.60.40.20-0.2-0.4
-0.6

0.6
0.4
0.2
0-0.2
-0.4
-0.6

-40x (mm)48-2s (m)

1000

1500

1000

1500

1000

1500(b)0500s (m)(c)

0500s (m)w/o error-10y (mm)122-10δ (%)

w/ error(a)1-10-50x (mm)51015-50x (mm)51015-50x (mm)

51015

3

3(c)
-3

500

130-15-2

Dx012(b)-3

D(a)

Figure 3: Linear dispersion (Dx) and nonlinear
dispersion (D1). (a) Set-1, (b) set-2 and (c) set-3.

y (mm)

0.50.4(a)0.30.20.1
0-12-8Qx set1
Qy set1
Qx set2y (mm)tunetunetune

まず、非線形オプティクス set-1~3 について、ラティスにエラーを入れていない状態で、入射点（βx= 30 m, βy = 3 m, Dx = Dy = 0）での振幅依存チューンを計算した。結果を Figure 2 に与える。Set-1 は x 及
び y 方向だけでなく運動量方向にも振幅依存チューンシフトを抑えるように六極を調整したため、アクロマットである入射点においてδ = ±2.8 %の粒子が周回できる（set-2 や set-3 に比べて、周回できるδが大きい）という結果となった。Set-2 は set-1 に比べ、振幅依存チューンシフト補正よりもむしろ非線形共鳴補正に重みを置いているために、Qy vs x のチューンシフトが大きい。Set-3 に関しては Qx vs y と Qy vsy の |y| > 1 mm に構造が見えている。Set-3 の非線形パラメータについては非線形共鳴補正等が考慮されておらず、よって非線形共鳴が誘起されチューンに構造が見えているものと思われる。

122
10-153-103y (mm)Figure 2: Amplitude dependent tunes in (a) x, (b) y and(c) δ.
次にラティスにエラーを入れていない状態で、線形分散関数 Dx と非線形分散関数 D1 の計算を行った（Figure 3）。Set-3 では D1 の補正は考慮されておらず、結果 D1 にチューン成分のモジュレーションが見えているが、set-1 と 2 に関しては D1 を補正するよう六極磁場係数を決定しているため、チューン成分のモジュレーションは見えていない。Modified unit cell(b)2(c)

10-15-10

Figure 4: On-momentum dynamic aperture @ injection
point. (a) Set-1, (b) set-2 and (c) set-3.

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入射点で観測した on-momentum 粒子に関するダイProceedings of the 12th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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set-34Dx0.4

δ

+-2-0.2> (%)-0.4
150-3060

90120minδx00s (m)Figure 5: Examples of local momentum acceptance withSx-alignment error (σ = 25mm, 2σ cut). 3.9 MV.

3.8> (%)
min< MA

δ + ( s) ≤ δ − ( s)
δ + ( s) > δ − ( s)4V (MV)

4.2

4.4(3)(4)を求めた。結果を Figure 6 に与える。
RF 電圧が低いときはシンクロトロン振動の RF バ
ケツの高さでモーメンタムアクセプタンスが決定されるのでエラーによらないが、RF 電圧が高くなるとoff-momentum 粒子のダイナミックアパーチャーに

2.6
2.4
2.22
1.8
1.6
1.4
1.2

4V (MV)

4.2

4.4

4V (MV)

4.2

4.4(b)

3.6

3.8

rf

モーメンタムアクセプタンスについて、ラティス
エラーの感度を調べる為に、六極にアライメントエ
ラーをσ = 25mm (2σ cut)で入れたリングを 5 種類準備し、RF 電圧を段階的に変えながら、モーメンタムアクセプタンスの平均値を計算した。ここでは簡単のため、 (δ-, δ+)の狭い側を選択し平均値
 δ + ( s )MAmin ( s ) =  δ − ( s)


3.6

rf

0-4

1.6
1.4
1.20.2

< MA2

D (m)

momentum acceptance (%)

set-1
set-2

< MAmin> (%)

ナミックアパーチャーを Figure 4 に与える。四極、 よってモーメンタムアクセプタンスが決まるので、六極及び八極に磁場誤差をσ = 5e-4 (2σ cut)、四極に モーメンタムアクセプタンスにエラーの寄与が見えtilt 誤差をσ = 0.2 mrad (2σ cut)、六極及び八極に tilt 誤 てくる。Set-1 は Figure 2(c)からも予測される通り、差をσ = 0.5 mrad (2σ cut)入れて計算を行った。ここ エラーを入れた場合でもモーメンタムアクセプタン
では、上記エラーを入れたリングを 100 種類準備し、 スが set-2 及び 3 に比べ広くなるとの結果を得た。
Set-3 に関しては、ダイナミックアパーチャー同様、それぞれのリングのダイナミックアパーチャーを重エラーの有無に依存してモーメンタムアクセプタン
ねて Figure 4 にプロットした。入射点は x = -3.3 mm
スに広い乖離を生じると言う結果となった。本来、であり、set-1~3 はエラー有りでも、これを充分にカ 線形分散関数（D ）の小さい所ではローカルモーメ
xバーしている。Set-2 は非線形共鳴補正に重みを置い ンタムアクセプタンスが大きくなるところ、Figure 5ている分、ダイナミックアパーチャーが他に比べ広 において（例えば s = 110 m や 130m 辺り）set-3 はくなった。Set-3 に関しては|y| > 1 mm に構造が見え Dx の小さい所でも-δmax と+ δmax の差が小さい。これる。Figure 2(b)の set-3 の Qx vs y と Qy vs y における|y| が、set-3 においてエラーの有無によりモーメンタム> 1 mm の構造に対応しており、非線形共鳴が誘起さ アクセプタンスに乖離を生じた原因ではないかと思われる。今後、更に調査する予定である。
れて構造を生じたものと思われる。
次にローカルモーメンタムアクセプタンスの結果
w/o error
w/ error
例を Figure 5 に与える。ここでは六極にアライメン
2.6
トエラーをσ = 25mm (2σ cut)で入れており、RF 電圧
2.4(a)3.9 MV、偏向電磁石による放射光を期待値で与えて2.2いる。以下ではローカルモーメンタムアクセプタン
2スの負側と正側を、それぞれ(δ-, + δ+)と定義する。
1.82.62.4
2.221.8
1.6
1.4
1.2(c)

3.6

3.8

rf

Figure 6: Momentum acceptance evaluated by Eq. (4).
(a) Set-1, (b) set-2 and (c) set-3.
現在の SPring-8 蓄積リングでは、機器トラブル等の発生時、RF 電圧をオフにして放射光によるエネルギーロスで電子ビームを減速させ、電子ビームを真空チェンバーに当てる廃棄法（ビームアボート）が採用されている。SPring-8-II において仮に RF 電圧を- 471 -Proceedings of the 12th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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loss countloss count

オフにした場合に、どのようにビームが失われるか、 ロスが集中するという結果となった。今後スクレー
非線形オプティクスを変えながら調査を行った。 パーを入れた場合等について調査を行う予定である。
5000 個のテスト粒子について、RF 電圧が無い状態
600500で、偏向電磁石の放射光によるエネルギーロスを乱(a)400数で入れて、6 次元のシンプレクティック積分によ300るトラッキングを行った。物理口径は入射セプタム
200100磁石の位置で(±10.0 mm, ±7.5 mm)、他の場所では0(±15.0 mm, ±7.5 mm)とした。ここでは挿入光源の0500
10001500s(m)ギャップに関する口径制限は入れていない。
まずエラーが無い状態で、何ターンでビームが失600われるかを計算した。結果を Figure 7 に与える。蓄500(b)400
積電流が削れ始めるターン数、及び蓄積ビームが無300くなるまでのターン数が set-1~3 で異なる結果となっ200た。Figure 2 のδに関する振幅依存チューンシフトと、1000オフモーメンタム粒子に関する非線形共鳴の感度に0500
10001500よるものと思われる。
s(m)<δ> (%)<δ> (%)

0-1-2-3-4-5-680120
100806040200100(a)0204060
turn from RF off(b)0204060
turn from RF off(c)0204060
turn from RF offloss count

80

120
100
80
60
40
200100stable(%)

0-1-2-3-4-580

120
100
80
60
40
20
0100stable(%)

0-1-2-3-4-5-6stable(%)
stable(%)<δ> (%)

<δ>

600
500
400
300
200
1000(c)0500s(m)

1000

1500

Figure 8: Beam loss distribution in the ring when RF isturned off. (a) Set-1, (b) set-2 and (c) set-3.

Figure 7: Temporal evolutions of beam energy andstored current when RF is turned off. (a) Set-1, (b) set-2and (c) set-3.
最後に、RF オフ時の蓄積リングにおけるビームロス分布を計算した（Figure 8）。ここでは四極、六極及び八極に磁場誤差をσ = 5e-4 (2σ cut)、四極に tilt 誤差をσ = 0.2 mrad (2σ cut)、六極及び八極に tilt 誤差をσ = 0.5 mrad (2σ cut)入れたリングを 5 種類準備し、RF オフ時ビームロス分布について統計を取った。テスト粒子数や口径条件等は Figure 7 と同じである。
Set-1 と 3 に関してはリング全周に渡って一様にビームロスを生じるが、set-2 に関しては入射部にビーム4.

サマリー

SPring-8 の次期計画である、SPring-8-II の非線形オプティクスについて、設計指針と進捗状況を報告した。今後はビーム物理現象を精査した上で、線形オプティクス設計、非線形オプティクス設計、及び補正アルゴリズムにフィードバックをかける予定である。更に限られた自由度のなかで、非線形共鳴を重点的に補正すべきか、振幅依存チューンシフトを重点的に補正すべきかの評価も行う予定である。

参考文献[1] http://rsc.riken.jp/pdf/SPring-8-II.pdf[2] R. Nagaoka, A. F. Wrulich, Nucl. Instrum. Meth. A 575, 292(2007).
[3] H. Wiedemann, “Particle Accelertor Physics, 3rd edition”,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York (2007).
[4] Y. Shimosaki, K. Soutome, J. Schimizu, K. Kaneki, “Dynamicaperture correction for very low-emittance storage ring ofSPring-8-II”, Proc of the 8th Annual Meeting of Particle
Accelerator Society of Japan (August 1-3, 2011, Tsukuba),
pp. 195.
[5] S.Y. Lee, “Accelerator Physics Second edition”, World
Scientific 2004.
[6] M. Takao, Phys. Rev. E 72, 046502 (2005).

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