Sci.Hcp.KanazawaUniv.
l23No.1pp. 1‑6Vo.
J1.
111ε1
978u.
tiononLipschitzFunctionsandConvol
BmmdedVilenkinGrOUpg

YoshikazuUNO
ω1~倒的。}乙仰azawa Univ
ersityDeβartment

1.1978)(Receiv
edMay1Ab
白tract.LetG b
色 aboundedVilenkingroup. Supposethat1
豆ρ豆 2 and1/ρ ←1!q=l. Weshal1provethatLip(a，'1)CLP(G)中 Lq(G)fora>J/q andLipα(，∞)
ハ(q ε)‑GBF(G)ζLペG)場 V(G)for
α>0andξ>0i:Os.
L Introductetrizable，zero‑dimensionalabeliangroup. ThenLet G bεanin
finite，compact，mfG isaninfinite，discrete，countable，torsionabe1iangrou
p. InthisthεdualgroupX o思rtheanalogue on G ofresultsobtainedforthec
irclegTOUp in
paperweshallconsid[4].

2. Notati
UJusandDefinition自由N.J
a.Vilenkin[5]X andasequencethatthereexistasequence 1Xnf offinitesubgroupso
fofcharactersi
nX suchthatthefol
Jowingsho!
d.

科(i)XoCXICX2CandX=20Xyz(ij) Xo= lXot whereXo(x)=lforallxεG.
(Thequotien
tgroupXnト1/Xn isofprimeo
rderρn+1 foreachη ミ O.
似 Eforal
In主 O.

(v)同~+1 EXn forev
eryη とO.
Let mo=l and let mn=ρ1ρ2・旬。 ρn foral
1 η孟1. Everypositiveintegerk hastherepresentationk= さoGJmJwhereO手 aj<ρj+1for孟。r手S. ThenweputXk=バoço~]." ço~s，Itfollowst
hatX = 1
Xo，b ，X
2 ・1. andXn= iXj;0三五 j<m f . T
heannihi
latorof
11isdenotedby G". W esee出th叫
atG=Gopenneighbourhood baseo
fzer
oin G. For everyηミ0，thereexistsanxn
EGil¥ Gn‑I‑
1sucht h a t φ = e x p ρ nト1)andeachX EG i
srepresente
duni
quelybyx

三bjXjwhere0孟 bjく ρJ1fora
11j 主~O. ThenGn= i
X
EG;X=~ bjXjwhere0豆 bj<ρj+l、
トJ=ll

J=U‑ 1

YoshikazuUNO

2n‑lfora
11j~孟幻and ev
erycose
tof Gn isrepres日nte
dbyz‑
1‑Gn w
here z= 2:
for.
1=0some bj w
ith 0三三九 <ρ j+!. We denote these z ordered lexiographicallyZq，n，O豆 q<mn.
Each cosetofinhasthe form Zq，nトforsorne 0手 q<ma/m，where
O孟 Jく n.

LetdxbethenormalizedHaarmeasureonG. TheFourierser
iesofaf
unction/inLi8theseries 月収;=芝た
where/ ( ゐ ) = 瓦I
訂dx.Letn‑thsumofS(，丹thenwehavet
heformulak~On‑l ，"。
三bethe=Jcn‑lwhereD ニ
逗whichiscalledtheDirichletkemelo
Iordern
Let/beafunctiondefinedonG. ForHcG，weμoscij，=su
p1

一河川

11:x，YE

If幻と o
and1
五三l
う三:;
:00，wewriteω(:)明 =su
p 111vlherejうい )=/(x十Gnl/11 T:yEforx，YEG. Forr主 1，wed
εnote

Vγ(f)= sup1[三。 {osc(f， Zq，n+rrJ1Iγ;
η二…

.
1DEFINITIO
N1. F
orα>0and1
五三Jう三三 00，wedeIine(Tiifi，一(α3，~n、ノα)
f.

DEFIN!TIO
N2. A function/ with Vみ守< iscailedo
fr‑generalized bounded
fluctuationandt
hese
toIsuchallfunctionsi
sdenoted r‑GBF日日p 九 isfinite.
Throughtheprεsentpaper，weassumethatρ=3. Lemmas.
LEMMA1. For1~玉 p 手 00 and1/ρ十 ニ 1，1T=幻η。

APROOF， Iti
striv
iaithat 1
1Dn1
1∞ =ο(的。 Let 1豆ρ<∞ S114 1etn=ZOGJmJ
玉aj<戸J+l~ akヰ 0). If xEIGsforsorne 1豆 S豆島， then 1μ)1.手 ms([5;~3.
61]，) Thuswehave

g= fG 1

11Dn1
1ρdx

4
1fGslicslDAX)￨P批+ん1T政LipschitzFunctionsan
dConvolutiononBound色dVilenkinGroupsn品snPktnS̲ 1rnht-' \~1くで一一::::::::S~l3

十 一 三ι一三玉 ρ(Zn131斗手ρ
(吋一 lk十 孟 み が 1 K 4 J L M liog?
Z2==n.

sinc
合計三五ll‑;'五二SG{nZj+LEMMA2.Lef 1手t手∞，=1andle
fβ>1/q，thent
hereexistsa
ニ 0，12，.
.
.
.
)

U'(G)suchthatg(n)=(η+1)
一βgzηI'~I 仰十 1)一今
convergesi
nl/(G)PROOF. Theserieseasytoseethatthesumo
fthi
sseriesi
sarequiredfunction.

Lemm<lL ItisLEMMA3. Let 0 く a~ 1，1~玉 ρ 三五 ∞ α
ηd letIELip(0'， ρ)，then1
1/11ρη 一αlog，PROOF. N回Vilenkin([5;~ 3.
5])showedt
hat(x)~/(エ) 1たー lη'k l ηll~l砂!

nl三五三alf
2: I !'Z(/'bト { 耐 川 一 的 ん 巾 )fl=Oq=o…

円十h
WEFtjGh13(XPY)￨

whereη= :.
Jrx，?
:a[m[ (O~玉 al<。山~ a ，l~ 二戸 0) and，thatfor Lipα(，ゐ l一~ y). Wetherefor
eobtainづ附:?
:almlm~am}/ :':i'+ak1n
11Sn(f)~ /11ρ 手 j((1=0J'?叫ん三~Kuhm‑.
Uk))~ Kρ(:?
:αl1=01十 α

ニK ー」一一一‑n‑Ulognlog2smceal~sup 1う n~ ρand n主主計 whereK issomeconstant4. Maililresults.
(G).Assumet
ηd lhatthere. Let 1et1
THEOREM 1
五三ρ三三∞¥1
ELT/p十 l/q=l，1~玉 f 豆∞ α仰tsa β >凶 such 伽 tZld‑1￨￨S川，よρ(G)*LT(G).

. Thenim ns1
11戸 O/11ァ<∞ and l
1S，約一 I(η)= +1)β (n=(G)sPROOF ThereenLρuchthatgxistsafunctiong iutμη =g(nt1 (η=0，2，efine1，Lemma2. Wep'・.
)andwed圃Th(x)=三μnf(n)Xk(X)'.
.
)byYoshilミazuUNO4

Abeltransfor
mationwehave=2:(μ n 州 十 1) 一 向 仰 い )Tμ n μ (乃は)‑f(x))十 μニ十μ(f)kTk convergest
osomefunctionhi
nLγ I tSinceμnμn+l= = η β ! )，follow
sthatf(η)=g(n)h foralln主 oandconsequentlyf=g'*hε
本L
COROLLARY LLet1~玉 ρ 三~2 and1/戸ート l/Q=l. ThenLip>l/q.

q)ζLρ(G) ホ LαI
ffELipα(，q)，then1
1品 開 fllq ‑Lemma3. Wec
hoose/q. ThenL:nβ 111Snむつ fllq<∞ and lim ns1
1 的‑
fllq=O. Thusaβ wi
th a>β>1n=lfELρ(G) 本 Lq(G)Theorem1.
PROOF.

‑Q←COROLLARY 2.

IfLip

三五 2andl/P+

ニ1，then∞)ハ (q‑c)‑
GBF(G)cLρ

ホ LαI
Iα>0andε>0.
PROOF.

Ifr‑itholdsthatforYE‑y)

I
rdx=G
3
121f(z y)/(x)￨ア dxmn‑1:osc(j， Zq，n十 豆2五L
q=oVγ(丹T ]IJ九人Thus ÚJ(~)( 守ニ ο
If fELipα(，00)(¥何一 ε f o rsomεα>0and ε>O.
thenforyεGn wehave
q=lf1‑y)‑f(刈l/q

三玉川ご)(丹ε￨￨fy/￨11二;}l/qニThεrefore((1‑+οαεm計)!Iq ニ 元 ( 1 + 町)
Iq)

andthenfξホ Lρby1。

5. Remtruk.
S V. Bochkarev[1，Theorem 1.4Jthatfor αE1) and a
仇 f on[0，1] ，thereexistsaf
unctionF belongingtoLipαon[0，orthonor
malsystem 1
固1Jsuchthat。
三Ifu'F(tl両1川 叶 1)

∞Lips土hitzFunctionsandConvolutiononBound日dVilenkinGroupsaF1: definedbyofG onto[0，1Letλbetheb;∞、一ーミア
一一‑ L二J

fo
rx=J

j=ueG

1wher号 the目 presentationofx isasin S2. Themappi時 λisi
njectiv
eexceptforaanconsiderthεinversemappingr1o]ontoG¥E.
countablesetECG. Thuswec
f[0，1N.
Viienkin[5， S3.
21]pI・ov
己dthatthese m乳 ppingsareofmeasur
ε町refor問プ
氾ei
託f仇 (υωの)
fニ Xn
The01
孔1[0，1] .For 1豆1
う孟 2，1/ρ+ =1，by theabov
ε S.V.Bochkarev'sresult，thereexistsafunctionF beiongi
昭:toLip1/q on[0，1JsuchthatntIJlF(川n(似o2P/(3t‑2)=∞

We define f(x)=F(λ f o r τξG. Itiseasytoseethat fELip1φ川0∞) andんz}=Jcf(x)示己批土 J

7i: f(η) 2ρl1

1!(3t‑2)∞.

*IffeLρ(G) V(G)forl~五 lう三五 2 ， thenHausdor
ff‑YoungandHolderSimplythatn?
2f(η)
明 (3t‑2Jく ∞ThereforetheabovefunctionfdoesnotbelongtooLT(G)ホandsoCorollar
y 1doesnotholdas α=l/q. Sinc
(う Lip 仏∞ iscontaine
dinq‑GBF(G)，CorolIar
y2doesnotholdasα=l/q andε=0I
fG isprimary，thesefactsar
eals
oprovedbymakingu
seafunctiondu
etoC.YV.
Onneweeτ[2，Theorem6。
]
Thisobsεrvationi
rnpliesthatou
rresultscontainsomeoneso
fC.W.Onnew問1フ1舟

6. A generaI
izat
Io
ll()
fTh思01:'世 m l.
Let1
三三J
う1
豆… 五三jうm=
玉∞， 1/九 十 … +1/β m ‑ ‑1 主 2)αnd l/tjトー'=1(1孟j三三Ifβ>1/ムn，then we can w
rite β=β1十 … +β m‑lw
ith，8/ρ'(1 ;;:rn‑1)
j >1since1/ρ/+… 十 1/ρm二)=1/戸m・
We can findfunctionsgj eLT引;) suchthat gAn)= 十 1)均 for nニ 0，1，2，… and1;;
玉n玉Jn‑lLemma 2.Ifg isthefunctionintheproofof Theorem 1，theng=g)ホ・・ ，*gm‑l・Thusweob
匂inafollowinggeneralizatiol1 oITheoremLTHEOREM 2. Let1
ρjf';'~lβ>1/ρ悶be郎 防 abov
eandfEL(1;;五T三三∞).

thereexistsasuchthat21dl￨￨Sn(乃 Illr< ∞ 仰d limn s l l S γ =0，thenfeLPl(G)キ… * Lρm‑l(G)キ Lr{G).
COROLLARY 3
固Letltji~~l be倒 的 Theorem2. Wehave6Yoshi
kazuUNOLゃい， ρmJζ L
COROLLARY 4.

Let1Pi率一本α>beasinTheorem2. ThenLip(αp∞)
n他市ε)‑GBF(G)ζLρキ…唱さLPm(G)allα>0ande>0。
HerewenotethatLρ

ホ…ホζ i nTheorem2[6，p.38].
)

Ref唖re]1ccesbsoluteconv
ergenceo
fFour
ie
rser
iesw
ithrespectt
ocompl抗日 orthonormal[1JS.V. Bochkarev，Auss
ianMath.Surv
eys，27(1972)，58‑
8
1systems，R[2J c.γ;1.0nne羽leer，AbsoluteconvergenceofFourierseri巴soncertaingroups，
工 ukεMath.Journ，目 3
999‑
609.
(1972)，5C3JC.W.Onnew邑er，Absoluteconv
ergenceo
fFour
ierse:
rie
soncertaing
roups，II，Duk巴 fv
iath.]oum.，41(1974)，679‑
688.

[4JY.Uno，Lipschitzfunction
sandconvolution，Proc.JapanAcad.，50(1974)，785‑
788.
C5JN.J
a.Vilenkin，Onaclassofcomplet
日 orthonor
malsy試合m，Ame仁l¥IIath.Soc.TransL，28(1963)，

1‑
35[6JA.Zygmund，アァigoηomefricseries，vol1，CambridgeUniv.Press，1959