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Non-commutative Kähler projective space:from commutative viewpoint.

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やったことNoncommutativeKähler
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Pn (C) は実多様体としては symplectic(Kähler) 多様体.
↓
非可換版をを作りました。
コホモロジーとスペクトル系列を計算しました。
可換理論の援用で計算が整理できました。

実から見た複素構造と変数
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(ResC/R Pn ) ⊗R C ∼=Pn ×P̄nXi X̄i

変数 (斉次座標)

Ei

微分形式

ĒiEi = dXi , Ēi = d X̄i . (d = d + d̄.)↓「非可換化」(斉次座標レベルでは正準量子化。)[X̄i , Xj ] = hC δij(Kronecker’s delta),[X̄i , X̄i ] = 0,

[Xi , Xj ] = 0.

[Ēi , Ej ]+ = Chkδij[Ēi , Ēj ]+ = 0,
→ Weyl-Cliﬀord 環 WC

[Ei , Ej ]+ = 0,

C : central.

非可換構造と WC
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Pn × P̄n を WC の加工物として構成する。
根拠: Marsden Weinstein quotient.
An+1 × Ān+1WC = k[X , X̄ , E , Ē ]Pn × P̄nGm × Ḡm での quotient
Marsden-Weinstein quotient

WC の subquotient
WC/(µ)

結論: WC/(µ) を考えれば良い。

ステレオ加群
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WC = k[X , X̄ , E , Ē ] を「Stereo 加群」として捉える。
左変数は左から、右変数は右から
k[X , E ] ↷ WC ↶ k[X̄ , Ē ]→ WC は可換環 k[X , E ] ⊗ k[X̄ , Ē ] 上の加群とみなせる。
→ 加群の層としては可換理論ですむ。
(ResC/R (X ) ⊗R C の形をしたものの特徴。)

˜Ω̃ と Ω̄
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WC は Dolbeault 複体と似ている。
ただし、 form として、ΩPn ⊠ Ω̄Pn のみではすこし足らない。

π : An+1 \ {0} → Pn のファイバー方向の微分形式が残る。
An+1 × Ān+1Ω ⊠ Ω̄

π×π˜Ω̃ ⊠ Ω̄Pn × P̄nWC ∼=∞⊕l=0

˜ (−l, −l)Ω̃ ⊠ Ω̄= (π × π)∗ (ΩAn+1 ⊠ Ω̄An+1 )Gm ×(← C の分)局所的に書くと
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{X0 ̸= 0} に於いては、ΩPn ↔ k[x1 , . . . , xn , dx1 , . . . , dxn ]−1gΩ
dX0 , x1 , . . . , xn , dx1 , . . . , dxn ]Pn ↔ k[X0sparse diﬀerential forms
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ΩPn ↔ k[x1 , . . . , xn , dx1 , . . . , dxn ]ΩPn ,sparse ↔ k[x1p , . . . , xnp , x1p−1 dx1 , . . . , xnp−1 dxn ]−1gΩ
dX0 , x1 , . . . , xn , dx1 , . . . , dxn ]Pn ↔ k[X0p−1p p−1
dx1 , . . . , xnp−1 dxn ]Ω^Pn ,sparse ↔ k[X0 dX0 , x1 , . . . , xn , x1

Deligne-Illusie-Cartier 理論の簡単な場合としてΩPn ,sparse ∼= H(ΩPn )e Pn ,sparse ∼e Pn )Ω= H(Ωd と d̄
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WC の 代数としての微分は ∂, ∂¯ とは少し異なる。
d = −k ⊗ I¯0 + ∂ ⊗ 1
d̄ = −I0 ⊗ k + 1 ⊗ ∂¯I0 , I¯0 : Euler vector field との interior product.

環AとA
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ここから基礎体の標数 p > 0 と仮定する。
A ↔ WC /(µ0 − kC )∑A ↔ WC /(µ0 − kC , Xip X̄ip − (1 − hp−1 )C p )
ただし、
∑∑
∑
µ0 = dd̄( i Xi X̄i ) = k i Xi X̄i + i Ei Ēi .
∑Xip X̄ip − (1 − hp−1 )C p ) は A の k-torsion.

A, A は double complex.
→ コホモロジーは?
コホモロジー的には A は WC /(kC ) (に対応する層) と大差ない。(moment map で切る部分は実はそれほど効いてこない。

あるスペクトル系列
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C1 , C2 : アーベル圏, F : C1 → C2 : left-exact additive functor.
このときE2 = Rdi 1 F (Hdj 2 (M)) =⇒ E∞ = R i+j F (Tot(M •• )).
本来は “derived category の derived category” を考えたい。

コホモロジーとスペクトル系列の計算。
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一般論的に得られるスペクトル系列:

E2 = Rd Γ(Pn × Pn ; Hd̄ (A))•nn=⇒ E∞ = Rd+d̄ Γ(P × P , (A)).

今の場合には次のように計算される:

E2 = H • (Pn , Ω•sparse ) ⊗ H • (Pn , Ω•sparse [d log X̄V ])∼= k[L2 ]/(Ln ) ⊗ k[L̄n ]/(L̄2 )2n=⇒ E∞ = R i Γ(Pn × Pn , Ω•sparse ⊠ Ω•sparse [d log(XU X̄V )])(deg(L2 ) = 2, deg(Ln ) = n.)spectral sequence は E2 で退化。

NoncommutativeKähler
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スペクトル列の図解:
E2 項: 黒い点線。
別の E2 項を取ると赤い点線にもなる。

Thank you.
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ありがとうございました。

おまけ
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一般の variety V では:
WC, A, A を (IVp , I¯Vp ) で割ったものを取り扱う。
form の部分は可換の場合のように V だけで処理はできない。