Maupertuisの報告書
千葉商科大学商経学部

渡辺憲昭

272-8512 千葉県市川市国府台 1-3-1

１．はじめに
1687年，ニュートン(Newton)は ''Principia" において地球は赤道部分が膨らんでおり，扁平率は1/230であることを主張した．1693年にはホイヘンス(Huygens)は遠心力のため地球は赤道部分が膨らんでおり，扁平率は1/578であるこことを主張した．
1700 ‒ 18，カッシーニ１世，２世(Cassini I, II), Maraldi, La Hire 等はパリ‒コリウー
ルParis‒Collioure間(パリの南)およびパリ‒ダンケルクParis‒Dunkerque間(パリの北)の測量から，
Paris‒Collioure間の子午線1 の長さ = 57097 toises

Paris‒Dunkerque 間の子午線1 の長さ = 56960 toisesを得た．
子午線1 の長さが北に行くほど長くなれば地球は南北につぶれた形(赤道部分が膨らんだ形)であり，逆に南へ行くほど長くなれば南北に細長い形である．そのため，上記測量結果からカッシーニ２世は "De la grandeur et la figure de la Terre, 1720" において地球は南北に長いことを主張した．
1673年，フランス科学アカデミーによってカイエンヌ(Cayenne, 4 56' N) へ派遣されたリシェ(Richer)は，振り子の周期がカイエンヌにおいてはパリにおけるよりも遅くなることを発見した．これは，遠心力の影響で赤道部分が膨らみ，その結果赤道に近づくほど地球の中心から遠くなるので重力加速度が減少するというホイヘンスの主張を証明するものであると考えられた．
1735年，ルイ15世の命によりフランス科学アカデミーは「地球は南北に細長い」のかそれとも｢地球は赤道部分が膨らんでいる」のかを確かめるため北極圏と赤道地帯に観測隊を送ることにした．
1735年，Godin, Bouger, de la Condamine はペルー(今日のエクアドル)へ向かって出発した．この観測結果に関して，ブーゲが報告書を書いている([2])．
1736年，Maupertuis, Clairaut, Camus, le Monnier, l'Abbé Outhier はラップランドへ向かって出発した．現地においてCelsius が合同した．この観測結果に関して，モーペ
1ルチューイが報告書を書いている([1])．
本論文では，モーペルチューイの報告書に基づいて，北極圏での三角測量，緯度差の観測，子午線1 の長さの計算に関して簡単に説明する．さらに，モーペルチューイ等による秒振子の長さの測定に関して，ブーゲによる測定結果，Laland "Astronomie" におけまとめも含めて簡単まとめる．
２．北極圏における三角測量
モーペルチューイ一行は夏至の頃にトルニオ(Torneå=Tornio) に到着した．
ﬁg.1 は三角測量網である．三角測量の南端はトルニオの教会の尖塔(ﬁg.1 のT)．一行は1736年7月6日にトルニオを出発し，トルニオ川に沿って北上し，途中三角測量に都合のいい地点を探しそこに標識を建てながら測量をしていった．測量の北端はペロ(Pello)の北4kmにあるキティス(Kittis ; ﬁg.1 のQ)．三角測量は２ヶ月余で終了した．
角度の測定にはマイクロメーターを装備した半径 2 pieds (= 65 cm) の四分儀が用いられた：マイクロメーターによる読みの精度は10分の1秒．
測定した角度 Z は次式によって水辺面に射影した角度 Z' に整約された．測定器具中心が標識の中央と一致しなかった場合は一致した場合の補正がなされた．
AαCZ'βB

Z
PD

次表はトルニオの教会の尖塔から測定した角度とその整約例である．四分儀の中心は尖塔の中心から 5 pieds(=162 cm) だけずれていたので，下記整約値にさらに中心が一致しないことによる補正がなされる(結果はそれぞれ 24˚ 22' 54.''5, 19˚ 38' 17.''8)．
角

観測値

整約値

仰角CTK

24˚ 23' 00.''224˚ 22' 58.''8

C…0' 0''KTn

19˚ 38' 20.''919˚ 38' 20.''1
2n…+3' 0''K…+8' 40''

基線Bbは冬至頃に，氷結したトルニオ河上で２グループにより別々に測定された；第１グループの測定：7406 toises 5 pieds 0 pouces
第２グループの測定：7406 toises 5 pieds 4 pouces
従って，基線Bb＝7406 toises 5 pieds 2 pouces = 14436.0 m
基線と三角網とを結びつけるため，△ABbと△ABCの角度が測定された．
△ABb
測定した角度計算のために調整した角度

ABb92158, 0・・・・

9220AbB

77

3148,1・・・・

77

3150

BAb

93

67,2・・・・

93

610

内角の和1795953,3

内角の和18000△ABb
測定した角度計算のために調整した角度ABb92158, 0・・・・

9220AbB

77

3148,1・・・・

773150BAb

9367,2・・・・

93

610

内角の和

179

5953,3内角の和

18000

したがって
AB = 7242,76 toises = 7242 toise 4 pieds 6.42 pouces ≈ 14123,38m
AC = 8659,94 toises = 8629 toise 5 pieds 7.68 pouces ≈ 16886,88m
AC が求まれば，三角網の角度は測定してあるので，すべての辺が計算できる．

3三角網．破線QMはQ, Tの緯度差の子午線長．Bb : 基線．
三角測量点；T : Torneå(Tornio), C : Cuitaperi, K : Kakama,n : Niwa,N : Niemi, A : Avasaxa, H : Horrilakero,P : Pullingi, Q : Kittis．
緯度観測地点 : q, t .

(出典[1])
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Kittis-Torneå間の子午線長の計算は ﬁg.2 に於いて辺の長さ辺が平行圏となす角子午線へ射影した長さ

QP = 10676.90

PQD = 61 08 08

DP = 9350.45

PA = 14277.43

APE = 84 33 54

EA = 14213.24

AC = 8659.94

ACF = 81 33 26

AF =8566.09

CT =24302.64

CTG = 69 49 08

FG=22810.62

Kittis-Torneå 間の子午線長

QM = 54940.40

辺の長さ辺が平行圏となす角子午線へ射影した長さ

QN = 13564.64

NQd = 78 37 06

Nd = 13297.88

NK = 25053.25

KNL = 86 07 12

KL = 24995.83

TK = 16695.84

KTg = 85 48 07

Kg = 16651.04

Kittis-Torneå 間の子午線長

QM = 54944.75

この QM = 54944.75 とまえの QM = 54940.40 の平均をとってQM = 54942.57 toises (≈ 107138 m)
測定した南北両端の緯度差の決定のために天頂儀(Secteur)を用いて星を観測した；この天頂儀の中心に対応する観測地点は，Torneå では T 点(教会の尖塔)よりも南 73 toises 4pieds 5.5 pouces の地点であった；この距離は河の氷の上で測定された；Kittis では Q点(標識の中心)よりも北 3 toises 4 pieds 8 pouces の地点であった．
この距離を QM に加えて
qm = 55020.09 toises (≈ 107234 m)
緯度差を観測した点 t を通る平行圏と子午線との交点をμとすれば mμ=3.38 toises．これをqm に加えれば緯度差の子午線弧の長さ = qμ= 55023.47 toises (≈ 107241 m)

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３．Kittis-Torneå間の緯度差の観測
緯度差の観測に用いた天頂儀はグラハム(Graham)製で¹，その望遠鏡は長さ約 9pieds，度盛は 5˚ 30'' ，焦点には銅製の糸で十字が入っている．マイクロメーターは，動かない目盛環に対して取り付けてある．マイクロメータの１Révolution = 44 parties．回
転数と角度との関係は 15 ＝20 Révol. 23.5 parties．
Kittis-Torneå 間の緯度差を求めるため，りゅう座δの天頂距離を観測した．
Kittis での観測は 10月4日‒10日．天頂距離は
2˚ 37' 39'' ‒ 1 Révol. 25.8 parties
Torneå での観測は 11月1日‒5日．天頂距離は
1˚ 37' 39'' + 1 Révol. 40.6 parties
Kittis-Torneå 間の天頂距離の差は
1˚ 00' 00'' ‒ 3 Révol. 22.4 parties = 1˚ 00' 00'' ‒ 2' 33''.8 = 0˚ 57' 26''.2
天頂儀の半径が10.627 inchesのとき，中心角 5˚.5 に対する弦の長さは10.627 inchesでなければならないが実際の長さは10.625 inches であったので角度にして 3''.7 だけ小さい；従って 57'.5 では 0''.65 だけ小さい．従ってδ星の観測によって得られた
Kittis-Torneå 間の天頂距離の差 = 57' 26''.2 ‒ 0''.65 = 57' 25''.55
1737年3月17日‒19日，Torneåにおいて，りゅう座δ星を観測した場所と同じ場所でりゅう座α星を観測した．
1737年4月4日‒6日，Kittisにおいて，りゅう座δ星を観測した場所と同じ場所でりゅう座α星を観測した．この結果α星の観測から得られた緯度差 = 57' 25''.85
δ星およびα星の観測によって得られた緯度差にたいして，Bradleyが示唆した光行差および歳差による補正値を採用した．それによれば補正を加えたδ星の緯度差 = 57' 25''.55 + 1'.38 = 57' 26''.93
補正を加えたα星の緯度差 = 57' 25''.85 + 4'.57 = 57' 30''.42
1. 図は[3]を参照．この天頂儀はブラッドリー(Bradley)が光行差を発見したのに用いたものと同型である(らしい)．なお，pied(32.5cm) は単に foot(30.5cm) の訳かもしれない．
6δ星もα星も天頂距離が小さいので大気差の補正はしない．上記値の平均をとってKittis-Torneå 間の緯度差 = 57' 28''.67
緯度差の子午線弧の長さ = qμ= 55023.47 toises を上記緯度差で割って北極圏における 1 の子午線弧の長さ = 57437.9 toises (= 111946.5m)
ここで得られた子午線 1 の長さは，一般にフランスにおける 1 の平均の長さとされている ピカール(Picard)が測定して得た 57060 toises よりも 377.9 toises だけ長い([4])．

Picardはカシオペア座δ星によって緯度差を決定した；観測日の中央値として9月15日および10月15日として，δ星の光行差として必要な補正をおこなえば，MalvoisineAmiens 間の緯度差に 8 .5 を加えなければならない；さらに，Picardが補正しなかった歳差として 1 .5，大気差として 1 .5 を加えれば，
Malvoisine-Amiens 間の緯度差 ••••• 1 23 06.5となる；これをMalvoisine-Amiens 間の弧長••••••• 78850 toisesと比較すればParis 近郊における子午線 1 の長さ = 56925.7 tosesとなり，Kittis-Torneå 間における値よりも 512.2 toises(=998m) 短い．
結局，極圏をまたぐ子午線 1 の長さはフランスにおける子午線 1 の長さよりも長いので，地球は極がつぶれた回転楕円体であると結論された．
３．秒振子の長さ3.1 北極圏における秒振子の長さ
モーペルチューイはペロ(Pello, 66 47 N)およびパリに於いて振子時計の進みを測定し，両地点での進みの差を調べた．
モーペルチューイが用いた振子時計はグラハムが作製したもので，振子は銅製の平らな棒と錘とからなる．錘の直径は 6 pouces 10.75 lignes(=18.667cm)，中心部の厚さは 2pouces 2.75 lignes(=6.034cm) である．また，時計を動かすための錘は 11 livres 14.5
onces(=5.83kg) である． 時計を置いた部屋の温度は昼夜一定に保たれた．
次の２表はペロとパリでの観測結果である．

7ペロにおける振子時計の進みの観測
1737年4月

望遠鏡の十字線をレグルスが通過した時刻

6日

8時 38' 01''

7日

38' 54''.25

8日

39' 48''.5

9日

40' 42''10日

41' 35''

これより，ペロでの1日当たりの振子時計の進みは 53''.5．
パリにおける振子時計の進みの観測
1738年

望遠鏡の十字線をシリウスが通過した時刻

2月28日

8時 45' 40''

3月03日

45' 24''04日

45' 19''09日

44' 49''10日

44' 43''11日

44' 38''12日

44' 32''.513日

44' 27''.5

これより，パリでの1日当たりの振子時計の進みは ‒ 5''.6．
従って，Paris‒Pello間での１恒星日当たりの振子時計の進みは53''.5 ‒ (‒ 5''.6) = 59''.1
パリでの振動数を 24 60 60 = 86400 とすれば，ペロでの振動数は86400 ＋ 59.1 = 86459.1
従って，パリとペロでの重力加速度の比 = パリとペロでの振動数の2乗の比= (86459.1/86400)²= 1.0013
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ドウ・メラン(de Mairan)によれば，パリでの秒振子の長さは 440.57 lignes(=993.9 mm)であるので，ペロでの秒振子の長さは440.57

1.00137 = 441.17 lignes(=995.2 mm)となる．
3.2 赤道における秒振子の長さ
ブーゲは竜舌蘭の茎から採った繊維を振子に用いた．振子は実験の間常に同じ長さになるように保持され，振り子の振動は恒星の動きによって毎日大時計と比較された．振子の長さは 36 pouce 7.019 lignes (=990.352 mm)，錘の重さは 1 once 5 gros 2 grains(=49.82 g)，糸の重さは10 toises (約 20m)当たり 4 grains (=0.2 g)．
次表はブーゲによる秒振子の長さの実測値である．
実測地点
赤道秒振子の長さ

海抜 2434 toises (4744 m) 36 pou. 6.70 lig. (989.632 mm)
海抜 1466 toises (2587 m) 36 pou. 6.83 lig. (989.925 mm)
海抜 0 m36 pou. 7.07 lig. (990.467 mm)

Portobello (9 34' N)

36 pou. 7.16 lig. (990.670 mm)

Petit-Goave (18 27' N)

36 pou. 7.33 lig. (991.053 mm)

Paris (48 27' N)

36 pou. 8.58 lig. (993.873 mm)（パリの数値の出所は不明．ブーゲ自身による？）
海抜が高くなるほど，また緯度が低くなる(=地球の中心からの距離が遠くなる)ほど秒振子の長さが短くなる(=重力加速度が小さくなる)ことが見られる．
3.2 Laland "Astronomie", Strabbe "Astronomia of Sterrekunde" における秒振子のまとめ
LalandeのAstronomie およびそれをStrabbeが蘭訳したAstronomia ofSterrekundeには18世紀半ば頃までの秒振子の長さの測定結果がまとめてある：次の２表はLalande([5],Vol.3, p.127)およびStrabbe ([6], Vol.3, p.394}の本に掲げられてある表である．

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Lalandeの表には13の測定結果が掲載されているのに対して，Lalandeを翻訳したStrabbeの表には16の測定結果が掲載されている：比較すれば下の３つの結果はStrabbeが補ったものであることがわかる．
秒振子の項の最後には次のような文章がある．
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[5], vol.3, p.128[6],Vol.3, p.395
フランス語の意味は：「最初の３つの測定値の比較から，山を高く登れば重力加速度が減少することがわかる；ところが1768年にアルプスで逆の現象が観測された；しかしブーゲ氏は山の密度が地球全体の密度よりもはるかに大きいならばそういうこともありうることをすでに証明している．Ibid.pag.362．振子のこれらの実験に関する説明は art. 3372,3373,3421 においてみられる」
Strabbe の下の４行は Lalande にはない文章である．意味は：「後に，アルプスでの観測は偽って(又は，誤って)主張されたもので，観測はなされなかったことがわかった．
Journal … を見よ」

文献11

[1] Maupertuis, Pierre Moreau de : La Figure de la Terre, Paris, 1738 ; https://books.google.co.jp/
books?id=RmUSAAAAIAAJ&redir_esc=y[2] Bouguer, Pierre : La Figure de la Terre, Paris, 1749 ; https://books.google.co.jp/books?
id=kAxcLAFNIn4C&printsec=frontcover&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false[3] https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9ridienne_(g%C3%A9od%C3%A9sie)#Triangulation_3[4a] Mesure de la Terre (1671). In Mémoires de l'Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusq'à
1699. 7, Part 1:133-90, Paris, 1729．
ネットでは［4b］http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b7300361bまたは［4c］http://books.google.fr/books/about/Mesure_de_la_terre.html?id=1COZ-ZexeWYC[5] Lalande, Jérome : Astronomie Vol.1 – 3, Paris, 1771
[6] Strabbe, Arnordus Bastiaan : Astronomia of Sterrekunde Vol.1 – 5, Amsterdam, 1773 – 1780

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