九州大学理学部物理学科(物理学コース)
平成２２年度 第３年次編入学試験

物理学

平成２１年７月４日(土)9:00－12:00

注意事項（１）試験開始の合図があるまでこの冊子を開かないこと。
（２）問題冊子は表紙を含め６枚で、問題は[I]から[III]まである。
（３）解答用紙には、それぞれ受験番号と氏名を記入すること。
（４）解答は解答用紙の指定された箇所に記入すること。下書きには問題用紙の余白や裏面などを利用し、解答用紙の余白には下書きをしないこと。
（５）問題冊子は持ち帰ること。

[ I ] (80 点)
図のように摩擦の無いなめらかで水平な面の上で、横にして静止させて置いた棒

A に質点 B を衝突させたときの運動を考える。
運動はすべて水平面内で起きるものとする。棒 A は直線の剛体で、長さ L、質量M であり、一様な線密度 M/L をもち、太さは無視できるものとする。この棒の右側から、質量 m の質点 B を棒に垂直に衝突させる。衝突前の B の速さは v0 とする。
棒 A の中心 (重心) を O、衝突点を P とし、OP の距離を x で表わす。

P×66v0≺ •Bmx
O× ? LMA?

水平な面

棒と質点の衝突は、はねかえり係数 e = 1 の完全弾性衝突とする。衝突は瞬時に起きるので、B が A に与える力積は図の破線左向きの方向となり、衝突後の B の運動は破線上の等速直線運動となる。ただし、その速度は左向きを正として v とする。
また、棒 A の重心 O も破線と平行に左向きに運動する。以下の問いに答えよ。

[I-1] 運動量の保存に基づき、M 、m、v0 、v 、および衝突後の O の速さ V の間に成り立つ関係式を書き下せ。

[I-2] B の衝突により棒 A は、重心 O の等速直線運動とともに、O を中心とした反時計回りの角速度 ω の回転運動をする。衝突直後に点 P が破線にそって左向きに運動する
速さ VP は、それぞれの運動の重ね合わせで与えられる。VP を V 、x、ω で表わせ。

[I-3] 棒 A の重心 O の回りの慣性モーメント I を求め、M と L で与えよ。
[I-4] 衝突の前後での点 O の回りの角運動量の保存を考察することにより、m、I 、x、v0 、v 、ω の間に成り立つ関係式を書き下せ。
[I-5] 衝突のはねかえり係数が e = 1 であることを考慮し、VP 、v0 、v の間に成り立つ関係式を与えよ。

[I-6] 衝突後の棒 A の重心 O の速さ V を v0 、v 、x、ω で表わせ。
[I-7] 衝突後の B の速度 v を M 、m、I 、x、v0 で表わせ。
[I-8] 衝突後も B が運動の方向を変えずに v > 0 であったとする。これを実現する衝突点P が棒上に存在するために、M と m が満たすべき条件を求めよ。

[II] (80 点)
以下の問題は全て真空中で考えることとし、真空の誘電率を ²0 とする。

[II–1] 図 2-1 のような、半径 a の円筒導体 A と半径 b の円筒導体 B を同軸に配置したものを考える (a < b)。A と B は共に無限に長いものとし、円筒導体の厚さは無視出来る程薄いものとする。この 2 つの円筒導体に対して、単位長さあたり A に電荷 ρ、B に電荷−ρ を与えた。軸からの距離を r として、以下の問いに答えよ。
(1) AB 間での電場の大きさを求めよ。
(2) AB 間の電位差を求めよ。
(3) この 2 つの円筒導体間の単位長さあたりの電気容量を求めよ。
(4)b−a¿ 1 ならば、(3) で求めた電気容量は、同じ表面積を持つ極板間隔 b − a のa平行板コンデンサーの電気容量に等しいことを示せ。

(5) B の半径 b を一定に保ったまま、AB 間の電位差が一定になるように A の半径 a と ρを変化させたとき、A 上での電場の大きさが最小となる a は b の何倍か答えよ。

bBAa

図 2-1

~ = (−kx, −ky, −2kz) 及び静磁場 B~ =[II–2] 位置 ~r = (x, y, z) において、静電場 E(0, 0, B) がある中での、質量 m、電荷 q > 0 をもつ粒子の運動を考える。ただし、k は 0~または正の定数であり、B は正の定数である。粒子が静電場及び静磁場から受ける力 Fは、t を時間として~ + q d~r × B~
F~ = q Edtで与えられ、重力の影響は無視できるものとする。z 方向に対しては、時刻 t = 0 で z = z0
かつ dz/dt = 0 であったとする。以下の問いに答えよ。

(1) z 方向の運動方程式を表せ。
(2) (1) の運動方程式を、t = 0 での条件を考慮して解け。
(3) z 方向の運動の周期を答えよ。
(4) x および y 方向の運動方程式を表せ。
(5) (4) で求めた 2 つの運動方程式から、Z = x + iy とおいたときに、Z が満たす微分方程式を求めよ。ただし、i は虚数単位である。
(6) (5) で求めた微分方程式の一般解は、
Z1 eiω1 t + Z2 eiω2 tで与えられる。ただし、Z1 および Z2 は任意の複素数である。ω1 および ω2 を、m、q 、k 、B を用いて表せ。

(7) k = 0 の場合を考える。|Z1 | > 0 かつ |Z2 | > 0 の場合、この荷電粒子は xy 平面内で円運動することを示し、その周期を答えよ。

[Ⅲ] (80 点)[Ⅲ-1] 次の文章を読み、問いに答えよ。
理想気体のエントロピー S を温度 T と体積 V の関数であるとすると、その変化 dS は ∂S dS =  dT +
 ∂T  V( )①と書ける。仕事は体積変化 dV によるものだけとして圧力を P とすると、内部エネル
ギー U の変化 dU は
dU = TdS −( )②となる。式①と②から

 ∂S dU = T  dT +
 ∂T  V( )③が得られる。
(1) 空欄(ア)～(ウ)に適当な数式を入れよ。
(2) 式③を用いて (∂S / ∂V )T = (∂P / ∂T )V となることを示せ。
(3) (∂U / ∂V )T = T (∂P / ∂T )V − P となることを示せ。
(4) n モルの理想気体の圧力 P 、体積V 、温度T の間には状態方程式
PV = nRTが成立する。ここで、R は気体定数である。この理想気体に対して (∂U / ∂V )T を求めよ。また、得られた結果に基づいて、理想気体の内部エネルギーの特徴を述べよ。

[Ⅲ-2] 次の文章を読み、問いに答えよ。
図 3-1 のように、線密度が異なり十分に長い弦 1、2 がつなぎ合わされて、一様な張力で張られている。弦に沿って x 軸をとる。弦の継ぎ目を x = 0 とし、弦の変位の波(横波)が継ぎ目をどのように伝わるかを考える。ただし、弦 1、2 を伝わる波の速さをそれぞれ c1 、 c 2 とする。
図 3-2 のように、弦 1 を x の正の方向(右向き)に向かって f (t − x / c1 ) という波が進んでいる。この波の一部は継ぎ目で反射され、残りは継ぎ目を通過する。継ぎ目で反射される波を g 1 (t + x / c1 ) 、継ぎ目を通過する波を g 2 (t − x / c 2 ) とすると、弦 1（ x < 0 ）を進む波は

y1 ( x, t ) = f (t − x / c1 ) + g 1 (t + x / c1 )で表され、弦 2( x > 0 )を進む波は

y 2 ( x, t ) = g 2 (t − x / c 2 )で表される。
2103-1

2

10(1) 弦の継ぎ目で∂y1∂y| x = 0 = 2 | x = 0 であるとする。この境界条件から∂x∂xc 2 f (t ) − c 2 g 1 (t ) = c1 g 2 (t )が得られることを示せ。ここで f (t ) = 0 のときは g 1 (t ) = 0 、 g 2 (t ) = 0 であることを用いてよい。
(2) (1)の条件の他に、弦の継ぎ目で成り立つ y1 と y 2 の関係を書け。
(3) g 1 (t + x / c1 ) 、 g 2 (t − x / c 2 ) を f を用いて表せ。
(4) 弦にかかる張力を T 、弦 1 の線密度を ρ1 、弦 2 の線密度を ρ 2 とすると、弦を進む波の速さは c1 = T / ρ 1 、 c 2 = T / ρ 2 で与えられる。 ρ 1 / ρ 2 = 1 / 2 のとき、継ぎ目を通過して弦 2 に進む波の大きさ(振幅)は入射波の大きさの何倍になるか。