鈴木清太郎の元素合成論について III
内田俊郎∗

はじめに

1

九州帝国大学教授をつとめた鈴木清太郎は、1920 年代に化学平衡の熱力学を用いて恒星内部における熱平衡状態下での元素の存在比に関する先駆的な研究を行い、1927 年から 1931 年の間に一連の論文を発表した（Suzuki 1927、1928a、1928b、1931a、1931b)。第二論文については「第 6回天文学史研究会」で発表した。今回は「Further study on Thermo-dissociation of Atom-nucleiwith a Remark on Jeans’ New Theory of Stellar evolution」と題された第三論文（Suzuki 1928b)の内容を中心に講演したが、本集録では講演では省略した鈴木が用いた式の導出を提示することとする。

恒星のエネルギー源に関する当時の考え

2

はじめに当時の恒星のエネルギー源に関する理解を概観する。小暮によると、1920 年代には恒星のエネルギー源が原子核が関係する物理過程（サブアトミックなプロセス）にあるという考えは広くみとめられていたようだが、実際にどのような過程からエネルギーが発生するのかについては、大別して三つの考え方があったとされる（小暮 2015）。
第一の考えは、核融合反応などの元素変換である。アストンの質量分析からヘリウムの質量が水素 4 個の質量より小さいことが明らかになったことをふまえ、エディントンは 1920 年に水素原子核 4 個が核融合してヘリウム原子核を生じる過程を星のエネルギー源として提唱していた。
第二の考えは質量消滅により、質量が直接、光のエネルギーに変換する過程である。ただし、ディラックがディラック方程式を提唱したのが 1928 年、さらに、ディラック方程式に現れる負のエネルギー解の解釈としてディラックが空孔理論を唱えて反粒子の概念が生まれたのが 1930 年のことであり、1920 年代には粒子と反粒子の対消滅という概念はまだ無かったと思われる。陽子と電子、あるいは陽子となんらかの負の電荷を持つ粒子が衝突により消滅する可能性が考えられていたようである。
第三が放射性元素の崩壊である。この考えの一例としてジーンズの理論がある。ジーンズは星のエネルギー源としてウランより重い 超放射性元素 を想定し、超放射性元素の崩壊が星のエネルギー源であると主張した。さらに、通常の放射性崩壊の法則が温度や圧力とは無関係なことから、ジーンズは安定な星の内部でエネルギー発生率は温度や圧力とは無関係であると論じた。鈴木の論文タイトルにある Jeans’ New Theory of Stellar evolution はこのジーンズの理論を指している。
1932 年の中性子の発見以降、原子核物理学は急速に発展することになるが、鈴木の一連の研究は、小暮が「1920 年代は収縮論の破綻から、熱核反応による進化論へ移行する苦悩の時代として、∗

東洋大学、明治大学、千葉商科大学 非常勤講師

1ラッセルを引き継いだエディントン、ジーンズらにも悩みは尽きなかったのである」と書いたよ
うに、不十分な原子核の理解の中で恒星のエネルギー源が模索された時代に行われたのである。

3

基礎方程式の導出

3.1

平衡条件

鈴木の第三論文の前半は、第二論文で扱った水素とヘリウムの平衡He ⇀↽ 4H

(1)を再計算するとともに、ジーンズの理論を受けてラジウムのα崩壊によるラドンの生成の熱平衡Ra ⇀↽ Rn + He(2)を理想気体の気相における反応として論じたものである。ジーンズの理論に反して平衡組成の温度と圧力への依存を考察する点については、平衡組成に温度や圧力が影響するのはそれらの値がジーンズやエディントンが計算した値よりはるかに大きいときだと指摘している。
論文後半では、原子が有限な体積をもつことによる理想気体からのずれを問題にしているが、今回はこれについては議論しない。
化学平衡を熱力学で扱う場合、現在では定温定圧過程を仮定し化学ポテンシャルを用いて議論するのが普通であるが、鈴木論文では、定温定積過程を仮定している（と思われる）。このため、基礎方程式の導出が現在の標準的な手法とは異なるので、本稿で少し丁寧に導出しておくこととする。
統計力学の標準的な手法から、質量 m の N 個の粒子からなる理想気体のエントロピー S は、kをボルツマン定数として、以下のサックール・テトロードの式で与えられる。（この式の導出は、
例えば Kittel 1983。)[VS = N k lnN(mkT2πh̄2)3/2 ]5+ Nk2

この式を N と k をモル数 n と気体定数 R で書きかえ、理想気体の状態方程式 P V = nRT を用いて、体積の代わりに圧力を変数とすると、1 モルあたりのエントロピー s の表式として以下を得る。
[55R5/2 (2πM )3/2s = R ln T − R ln P + R + R ln
22NA4 h3](3)

ここで h はプランク定数、NA はアボガドロ数。F をヘルムホルツの自由エネルギー、E を内部エネルギーとする。また、P 、V 、T は慣用に従う。定温定積過程の熱平衡状態ではヘルムホルツの自由エネルギーは極小となるから、∆F = 0 を要請する。一方、ヘルムホルツの自由エネルギーと内部エネルギーの関係 F = E − T S と定温定積の仮定から∆F = ∆E − T ∆S = 0あるいは、∆S =∆ET(4)である。鈴木の化学平衡下での議論はこの式に基づいている。

23.2

水素とヘリウムの平衡

まず、(1) の反応を考える。∆S と ∆E を以下のように計算する。
(1) の反応で 1 モルのヘリウムが反応したとする。MH を水素の質量、PH を水素の分圧として、生成する水素のエントロピー ∆SH は (3) から(∆SH = 4 ×[55R5/2 (2πMH )3/2
R ln T − R ln PH + R + R ln
22NA4 h3])反応で減少したヘリウムのエントロピー ∆SHe は MHe をヘリウムの質量、PHe をヘリウムの分圧として[

55R5/2 (2πMHe )3/2
∆SHe = R ln T − R ln PHe + R + R ln
22NA4 h3]

よって、エントロピーの変化 ∆S = ∆SH − ∆SHe は、
15P415(2π)9/2 R15/2∆S = R ln T − R ln H + R + R ln 2PHe2NA12 h9(4MHMHe)3/2 はじめヘリウムが n0 個あり、そのうち水素に変わった割合を x とすると、ヘリウムの個数 nHe 、水素の個数 nH 、粒子数の合計 n は、nHe = n0 (1 − x) ,n H = 4 n0 x ,n = n0 (1 + 3x)

これらを使って、水素の分圧 PH 、ヘリウムの分圧 PHe は全圧力 P で

PH =4xP,
1 + 3x

PHe =1−xP
1 + 3xとあらわせるので、

1544 P 3 x415(2π)9/2 R15/2
∆S = R ln T − R ln+R+R
ln2(1 + 3x)3 (1 − x)
2NA12 h9(4MHMHe)3/2 (5)を得る。水素とヘリウム、どちらも単原子分子理想気体とすると生成する水素のエネルギーは、Cvを定積モル比熱として

312∆EH = 4Cv T = 4 × RT = RT
22
ヘリウムのエネルギーの減少は、結合エネルギーを考慮して, ヘリウム 1 モルあたりの１モルあたりの結合エネルギーを U として、

3
∆EHe = CV T − U = RT − U2であるから、∆E は9∆E = ∆EH − ∆EHe = U + RT2(6)となる。（第二項は第二論文では無視されていた。）(5) と (6) を (4) に代入し、整理すると
P 3 x4U15(2π)9/2 R15/2 e3ln=−+lnT+ln(1 + 3x)3 (1 − x)
RT
244 NA12 h93(4MHMHe)3/2 常用対数で書けば、

P 3 x4U log e 15(2π)9/2 R15/2 e3log=−+logT+log(1 + 3x)3 (1 − x)
RT
244 NA12 h9(4MHMHe)3/2 

論文では圧力を atm 単位で表しているので、p を atm 単位で書いた圧力、p0 = 1atm として

p3 x 4U log e 15(2π)9/2 R15/2 e3log=−+logT+log(1 + 3x)3 (1 − x)
RT
244 NA12 h9(4MHMHe)3/2  − 3 log p0としていることになる。鈴木論文では U の値として、2.604 × 1012 J/mol を使って最終的にlog

P 3 x41.36 × 1011=−+ 7.5 log T + 7.2458(1 + 3x)3 (1 − x)
Tを導いたが、右辺第 3 項の定数については再現できなかった。

3.3

ラジウムのα崩壊の平衡

反応 (2) についても同様である。ラジウムに関する量に A、ラドンに B、α粒子に C の添え字を付けて表すとすると、1 モルのラジウムが反応したとき、生成したラドンとα粒子のエントロピーはそれぞれ[][]

55R5/2 (2πMB )3/2
∆SB = R ln T − R ln PB + R + R ln
22NA4 h3
55R5/2 (2πMC )3/2
∆SC = R ln T − R ln PC + R + R ln
22NA4 h3反応が生じラジウムの減少したことによるエントロピーの減少は[55R5/2 (2πMA )3/2
∆SA = R ln T − R ln PA + R + R ln
22NA4 h3]

したがって、1 モルのラジウムがα崩壊したときのエントロピーの変化 ∆S は、∆S = ∆SB +∆Sc − ∆SA から、[5PB PC
5R5/2 (2π)3/2∆S = R ln T − R ln+ R + R ln
2PA2NA4 h3(MB MCMA)]

n0 個のラジウムのうち、割合で x が崩壊するとラジウムの個数 nA 、ラドンの個数 nB 、α粒子の個数 nc 、および全粒子数 n は、それぞれnA = n0 (1 − x) ,nB = nC = n0 x ,n = n0 (1 + x)となるから、それぞれの成分の分圧は圧力を P として

PA =

1−xP,1+x

よって、∆S はPB = P C =xP1+x[5P x25R5/2 (2π)3/2∆S = R ln T − R ln+R+Rln
21 − x2 2
NA4 h34(MB MCMA)](7)

ラドンとα粒子の生成によるエネルギーの増加、∆EB 、∆EC は、単原子分子理想気体と見なして、

3∆EB = ∆Ec = RT2反応の結果、減少するラジウムのエネルギー ∆EA は3∆EA = RT − U2
ただし、ここで (2) の反応は左辺から右辺に自発的に崩壊する反応だから、ラジウムの静止質量はラドンとα粒子の静止質量の和より大きく、U は負の値を持つ。これらの結果から、

3∆E = ∆EB + ∆EC − ∆EA = U + RT
2(8)(7)、(8) を (4) に代入して以下を得る。
[U5R5/2 (2π)3/2 eP x2=−+lnT+ln
ln
1 − x2RT2NA4 h3
常用対数で書けば、(MB MCMA[R5/2 (2π)3/2 eP x2
U log e 5+log
T+log
log
=−
1 − x2RT
2NA4 h3()]

MB MCMA)]

鈴木論文では U の値として、−4.841 × 1011 J/mol を使いlog

P x2
2.528 × 1010+ 2.5 log T + 1.7372=
1 − x2Tを得たが、右辺第 3 項の定数についてはこちらも再現できなかった。

4まとめ定数項が再現できない等、筆者にはまだ得心がゆかない部分が残っている。そのため、本稿では鈴木清太郎の論文の式の導出を紹介した。どなたかチェックして遺漏を指摘して頂ければ深甚です。

参考文献
Suzuki S. (1927) 「On the Thermo-dissociation of Atom-nuclei」Proc. Im. Acad., 10 p650
Suzuki S. (1928) 「On the Thermal Equilibrium of Dissociation of Atom-nuclei」
Proc.Phys.Math.Soc.Japan, 10, p166
Suzuki S. (1928) 「Further study on Thermo-dissociation of Atom-nuclei with a Remark on
Jeans’ New Theory of Stellar evolution」Proc.Phys.Math.Soc.Japan, 11, p119
Suzuki S. (1931) 「The Thermo-Equilibrium of Atom-nuclei at High Temperature」
Proc.Phys.Math.Soc.Japan, 13, p277
Suzuki S. (1931) 「The Relative Abundance of Chemical Elements in White Dwarf andits Electriﬁcation」Proc. Im. Acad., 7 p307
小暮智一 (2015) 「現代天文学史」京都大学出版会
Kittel C. (1983) 「熱物理学」丸善5