九州大学理学部物理学科（物理学コース）
平成２９年度 第３年次編入試験
物理学

平成２８年７月２日（土）９：００−１２：００

注意事項(1) 試験開始の合図があるまでこの冊子を開かないこと。
(2) 問題冊子は表紙を含めて 10 枚で、問題は [I] から [III] まである。
(3) 解答用紙には、受験番号と氏名を記入すること。
(4) 解答は指定された解答用紙に記入すること。指定された解答用紙であれば、裏面を使って解答しても良い。下書きには問題用紙の余白や裏面などを利用し、解答用紙の余白には下書きをしないこと。

(5) 解答用紙に書ききれない場合や、用紙を取り替えたい場合は、試験監督に申し出ること。

(6) 問題冊子は持ち帰ってよい。

[I] (80 点)
以下の問いに答えよ。ただし導出に必要な物理量があれば各自で定義し、解答に明示しなさい。
惑星の運動に関するケプラーの法則は、以下の 3 点である。
第 1 法則： 惑星の軌道は太陽を片方の焦点とする楕円である。
第 2 法則： 太陽から惑星まで引いた線分の描く面積速度は一定である。
第 3 法則： 惑星の公転周期の 2 乗は楕円軌道の長軸の長さの 3 乗に比例する。
図 1 のように太陽を原点とする 2 次元平面内を運動する惑星を考え、その楕円軌道の長軸方向に x 軸を取る。惑星は質量 m の質点と考え、その位置ベクトルは極座標r, θ を用いて r = rer と表す。ただし、図の er = (cosθ, sinθ), eθ = (−sinθ, cosθ) はそれぞれ r 方向、θ 方向の単位ベクトルである。太陽の質量は惑星の質量よりも十分に大きいとする。

図1(1) 第 2 法則は、惑星の角運動量 l ≡ r × p が保存することを意味する。ここで、p は運動量である。このことを用いて、惑星が受ける力が r に平行であることを示せ。

(2) 太陽と惑星の間のポテンシャル V は θ に依存しない。これを V (r) = −Crn（C, n：定数）と仮定する。惑星が円運動を行う場合を考え、第 3 法則を用いて n = −1 であることを示せ。

1以下では、ポテンシャルを V (r) = −C/r とする。

(3) 惑星の r, θ 方向の速度成分 vr ≡ v · er , vθ ≡ v · eθ 、および角運動量の大きさを、極座標 r, θ、およびそれらの時間微分 ṙ, θ̇ を用いて表せ。

(4) 惑星の力学的エネルギー E を極座標を用いて表せ。
(5) 角運動量保存則から D ≡ |l|(定数) として、E を θ や θ̇ に依存しない形式で表せ。

(6) 惑星の r 方向の運動は、有効ポテンシャル W (r) ≡ V (r) + D2 /(2mr2 ) の下での質量 m の物体の 1 次元運動とみなすことができる。W (r) の概形を図示せよ。
ただし、極値を取る座標を定数 C, D, m を用いて明示せよ。

(7) 惑星と太陽の距離 r が有限にとどまる条件を E の範囲で表せ。ただし、解答は定数 C, D, m を用いて表せ。

(8) 惑星が円運動するときの E の値を定数 C, D, m を用いて答えよ。

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[II] (80 点)
以下において空間は真空であるとし、その誘電率と透磁率をそれぞれ ε0 , µ0 とする。

[II − 1] 最初に任意の電荷分布を持つ空間を考える。
(1) 位置 r (r = |r|) における電界ベクトルを E(r) とする。図 2-1 のように、原点を中心とする半径 r の球面を S 、S 上の微小面要素を dS 、S より内側に含まれる電荷の総和を Q(r) とする。S 上の電界ベクトルが満たす、ガウスの法則の式を書け。

E(r)SrdSQ(r)図 2-1

次に電荷分布が原点に対して球対称である場合を考える。対称性から E は r 方向の成分のみを持ち、その成分は r の関数となるので、これを E(r) と表す。

(2) E(r) を E(r) と r を用いて表せ。

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具体例として図 2-2 のように、原点を中心とする半径 a、電荷密度 ρ の一様に帯電した球を考える。球の外側には電荷は存在しないものとする。

(3) E(r) を求めよ。ただし、r > a と 0 ≦ r ≦ a に場合わけして答えること。
(4) 電位の基準を無限遠 (r = ∞) としたとき、位置 r における電位 V (r) を求めよ。ただし、r > a と 0 ≦ r ≦ a に場合わけして答えること。
1(5) 電界が蓄えている単位体積あたりのエネルギーは ε0 |E|2 で与えられる。こ2の球による電界が、全空間に蓄えているエネルギー U を求めよ。
十分遠方 (r ≫ a) にある電荷を、この一様に帯電した球の表面まで運び、同じ電荷密度 ρ で図 2-3 のように表面上に積み上げたところ、球の半径は a から微小量 da だ
け増加し、a + da になった。

(6) このときの電荷を運ぶのに要した仕事量 dW を求めよ。
次に、同様な方法で十分遠方から電荷を運び、一様に帯電した球を半径ゼロから aにまで成長させることを考える。

(7) このときの電荷を運ぶのに要した総仕事量 W を求めよ。

aaρ

ρ

図 2-2
図 2-34da

[II − 2] 位置 r ′ にある微小電流要素 I ds が位置 r に作る磁束密度 dB はビオ・サ
バールの法則により

dB =µ0 I ds × (r − r ′ )4π |r − r ′ |3と表される。
図 2-4 のように x-y 面上に原点を中心とする半径 a の円電流がある。電流の大きさを I とし、向きは z 軸正方向に進む右ネジが回る向きとする。また、微小線要素 dsの位置を r ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) = (a cos ϕ, a sin ϕ, 0) とし、ds の長さを a dϕ とする。ここで、ϕ は r ′ と x 軸のなす角度であり、dϕ はその微小変化量である。

(1) ds の x, y, z 成分をそれぞれ求めよ。
(2) 微小電流要素 Ids が原点 r = (0, 0, 0) に作る磁束密度 dB の x, y, z 成分をそれぞれ求めよ。

(3) 円電流全体が原点に作る磁束密度 B の x, y, z 成分をそれぞれ求めよ。
次に、この円電流を図 2-5 のように磁束密度 B0 = (B0 sin θ, 0, B0 cos θ) の一様な外部磁場中に置く。

(4) 微小電流要素 Ids が外部磁場から受ける力の z 成分を求めよ。
(5) この微小電流要素が受ける y 軸周りのトルクを求めよ。
(6) 円電流全体が受ける y 軸周りのトルクを求めよ。
(7) この円電流が持つ磁気モーメントは z 軸と平行である。一般に磁気モーメントM を持つ磁気双極子が磁束密度 B0 の外部磁場から受けるトルクは M × B0である。このことから円電流が持つ磁気モーメントの大きさを導き出せ。

5zyddsraxI
図 2-4B0zydrI
図 2-56dsax

[III] （80 点）
以下の問いに答えよ。

[III-1] 理想気体の準静的等温変化と準静的断熱変化について、以下の問いに答えよ。
表記はV : 体積p : 圧力T : 温度S : エントロピー

CV : 定積比熱

Cp : 定圧比熱 R : 気体定数を用いる。また、n モルの理想気体に対して状態方程式 : pV = nRTマイヤーの関係式 : Cp − CV = nRが成り立つこと、および CV と Cp が定数であることを用いてよい。

(1) 準静的等温変化において、
p V = 一定が成り立つことを示せ。

(2) 準静的断熱変化はCV dT + pdV = 0と表すことができる。熱力学第一法則からこの式を導け。

(3) 準静的断熱変化において、ポアッソンの関係式
p V γ = 一定が成り立つことを示せ。ただし、γ =1(4) 等温圧縮率 κT = −V(∂V∂p)

Cpとおく。
CV1と断熱圧縮率 κS = −V
T(∂V∂p)の間にS

κT = γ κ Sという関係があることを示せ。

(5) κT と κS の大小関係を求めよ。
(6) 等温過程および断熱過程を示す p-V 図を作成せよ。また、前問で求めた κT と
κS の大小関係について、p-V 図を使った説明を述べよ。
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[III-2] 空気中を伝わる音波について問う。簡略化のため、図 3 のような円筒領域内を軸方向に伝搬する場合に限定する。円筒領域の断面積を A、中心軸を x 軸にとる。
空気の平均体積密度は ρ とする。

図3(1) 音波による空気の変位を ξ(x) で表す。位置 x にある空気は、そこから ξ(x) だ
け x 方向に移動する。
円筒内の区間 [x, x + ∆x] の空気が変位すると、この空気が占める体積は v =A∆x からv ′ = A {∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)}に変化する。このことを図を描いて説明せよ。

(2) 体積が変化すると、それに伴って圧力も変化する。両者の変化は空気の断熱圧( )1 ∂v
縮率 κS = −で関係付けられる。
v ∂p S
位置 x にあった空気の変位後の圧力がp(x) = p0 −1 ∂ξκS ∂x(a)と書けることを示せ。ここで、p0 は変位が無いときの圧力を表し、位置 x に依らず一定値をとる。
ヒント：
前問の結果から、微小領域での体積変化率は∂ξdvv′ − v= lim=∆x→0vv∂xと書ける。

(3) 微小領域の空気に働く力は、左右両側の境界断面にかかる圧力である。空気の運動方程式∂p∂2ξρ 2 =−∂t∂xを導け。

8(b)(4) 式 (b) に式 (a) を代入して得られる波動方程式
∂ 2ξ
1 ∂2ξ
=∂t2
ρκS ∂x2(c)を満たす解は、２階微分可能な任意の関数 f を用いて

ξ(x, t) = f (x ± ct)(d)√1の形になることが知られている。ここで c =は音速である。式 (d) が式
ρκS(c) を満たすことを確かめよ。

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