コヒーレントシンクロトロン放射光とビームダイナミクス

高エネルギー加速器研究機構
島田 美帆

目次
1

はじめに

1

2

コヒーレントシンクロトロン放射光（CSR) とインコヒーレントシンクロトロン放射光

2.1
2.2

シンクロトロン放射光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2

2.3

コヒーレントシンクロトロン放射光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Liénard − Wiechert ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

CSR の電子バンチに及ぼす影響
5
3.1 Frenet-Serret 座標系の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 相互作用ハミルトニアンとローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 CSR の影響によるエネルギー分布と軌道の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 偏向電磁石の端における CSR の影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 チャンバーによる遮蔽効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6 様々なシミュレーションコード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.7 シミュレーションコードによる計算結果の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4

CSR の影響とビームダイナミクス
4.1 ビームダイナミクスの基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 偏向電磁石からなる光学系によるバンチ圧縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 R 行列によるエミッタンスの計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 位相調整法によるエミッタンス劣化の最小化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 エンヴェロープ・マッチングによるエミッタンス劣化の最小化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6

5

19
19
21
23
24
26

コンパクト ERL の周回部の最適化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

謝辞

A 遮蔽効果を含めたインピーダンスの導出

29
30

1

(通常のシンクロトロン放射光) と比較しながら説明する。第 3 章では CSR の電子バンチに及ぼす影響や遮蔽効果の解析解やその導出について説明し、数多く公開されている計算コードを紹介する。第 4 章では、エミッタ
ンスの増加やバンチ長の伸長などのメカニズムについて説明するとともに、これらの影響を最小にするビームダ
イナミクスの最適化の手法について説明する。第 2 章、第 3 章がとっつきにくいと感じられたら、この章から読むことをお勧めしたい。本テキストは 3.6 章を除いてガ
ウス単位系を使用する。

はじめに次世代放射光施設には、高輝度、サブピコ秒短パルス

X 線の実現が期待されている。このような X 線を発生させるには、位置・角度広がりの指標であるエミッタンスと呼ばれる量が小さく、短いバンチ長の電子ビームが必要不可欠である。しかし、従来の蓄積リング型放射光加速器には平衡状態が存在し、電子ビームのエミッタン
スやバンチ長は加速器の仕様で制限されてきた。そこ
で、OHO’08 のテーマであるエネルギー回収型線形加速器 (Energy Recovery Linac, ERL) が注目を集めている。
ERL では平衡状態が存在しないため、電子銃で作られた状態のビームを劣化させることなく輸送できることが 2
最大の特徴である。したがって、ERL によって、これまでに以上の低エミッタンス・短バンチ電子ビームが実

コヒーレントシンクロトロン放射
光（CSR) とインコヒーレントシン
クロトロン放射光

現する可能性があるのである。
短バンチ電子ビームから期待される物理にコヒーレン
トシンクロトロン放射光 (Coherent Synchrotron Radi-

J. Schwinger が加速電子からの放射光を数式で書き
ation, CSR) がある。CSR とは偏向電磁石などによって下したときには、特別なケースで扱ったのは CSR では
電子の軌道が曲げられたときに短バンチから発生するシ
なく、バンチ長よりも短い波長のインコヒーレントな
ンクロトロン放射光 (SR) のうち、位相が揃っている成放射光であったが、現在ではその立場が逆転してしま分のことを指す。この CSR はパワーが強く、コヒーレったようである [1]。本章では、シンクロトロン放射光
ント性の高い放射光源として期待されている。バンチ長や CSR wake(第 3 章）の解析解の導出に必要不可欠な以上の波長でコヒーレント性が高くなるため、バンチ長
Liénard − Wiechert ポテンシャルの説明を行い、通常が短いほど強い放射光となる。
のシンクロトロン放射光とコヒーレントシンクロトロン
しかし、この短バンチ電子ビームによってこれまでに放射光の特徴について比較する。
なかったビームダイナミクスの問題が議論されるようになった。短いバンチが自ら発生した CSR によって摂動が加わってしまうのである。加速器物理ではこの摂動を 2.1 Liénard − Wiechert ポテンシャル
wake（航跡場）と呼ぶ。wake とはチャンバーや加速空
まず、単位電荷量をもつ点電荷が位置 r 0 で静止して洞など、電子ビームを取り巻く環境によって電磁場に歪いる場合を考える。すると、r におけるポテンシャルはみが生じ、ビーム物理に影響を与えることを指す。通常
次のように表すことができる [2] 。
の wake では先に通過した電子によって引き起こされ、1後続の電子に摂動が与えられるが、CSR wake の場合は(2.1)
G(r; r 0 ) =
|r
−
r0 |
バンチ後方の電子が、バンチ先頭に影響を及ぼす。この影響によって、バンチ内のエネルギー分布や軌道が変化

式 (2.1) は r と r 0 のみで決定する関数であり、このようし、エミッタンスの増加やバンチ長の伸長などの悪影響なある点の単位物理量が別の点に及ぼす場を表す関数をを及ぼしてしまう。

グリーン関数 (Green function) と呼ぶ。加速器で扱う電本テキストでは第 2 章で、CSR の光源としての性質

子のように、光速に近い速度で運動している電荷量 −eをインコヒーレントな高周波数のシンクロトロン放射光1

の点電荷 n が作る電磁場は、運動の軌跡を r n (t) と表す

ル A(r, t) は重ねあわせで求めることができ、Z
Φ(r, t) = dr 0 dt0 ρ(r 0 , t0 )G(r, t; r 0 , t0 ),Z= dr 0 ρ(r 0 , t)Φn (r − r 0 , t)Z
A(r, t) = dr 0 dt0 βρ(r 0 , t0 )G(r, t; r 0 , t0 )Z
= dr 0 ρ(r 0 , t)An (r − r 0 , t)と Maxwell 方程式より次の波動方程式を満たす。

1 ∂2∆ − 2 2 Φn (r, t) = 4πeδ(r − r n (t))
c ∂t
(2.2)


1 ∂2
∆ − 2 2 An (r, t) = 4πeβ(t)δ(r − r n (t))
c ∂t
ここで r ≡ (x, y, z) の 3 次元ベクトルであり、

∆≡

∂2
∂2
∂2
+ 2 + 2,
2
∂x
∂y
∂z

cβ(t) ≡ dr n /dtとなる。ここで、電荷分布 ρ(r, t) は次の様に定義した。
X
ρ(r, t) =δ(r − r n (t))(2.6)

である。式 (2.2) を満たすグリーン関数は次のようになnる。

δ(|r − r 0 |/c − (t − t0 ))(2.3) 2.2 シンクロトロン放射光|r − r 0 |R
シンクロトロン放射光の解説は OHO’08 の原田さん
ここで、c は光速であり、デルタ関数は δ(r)dr = 1の解説がすばらしいので、詳しくはそちらを参考にしてを満たすものとする。 因果律より t0 < t の領域を扱
うところから遅延グリーン関数と呼ばれる。この遅延 ほしい。ここでは、放射光強度の導出に関する概要のみ
グリーン関数から導出されるポテンシャルを一般的に をまとめた [4]。
式 (2.4) の Liénard − Wiechert ポテンシャルを簡単
Liénard − Wiechert ポテンシャル呼ぶ。式 (2.2) を満な表示にするために、L ≡ |r − r n (t̄)| とし、法線ベクト
たすスカラーポテンシャル Φn (r, t)、ベクトルポテンシャ
ル An (r, t) の解は次のように書き下すことができる [3]。 ル n = (r − r n (t̄))/L を導入する。すると、eZ
Φn (r, t) =,(1 − β · n)LΦn (r, t) = dr 0 dt0 eδ(r 0 − r n (t0 ))G(r, t; r 0 , t0 ),
(2.7)
eβ
Z
An (r, t) =(1 − β · n)L
An (r, t) = dr 0 dt0 β(t0 )eδ(r 0 − r n (t0 ))G(r, t; r 0 , t0 )G(r, t; r 0 , t0 ) =となる。このポテンシャルを元に数学的に処理を行うと、

p = |r − r 0 |/c − (t − t0 ) とおいて p に変数を変換して計算すると、Liénard − Wiechert ポテンシャルは次のように与えられる。
e,|r − r n (t̄)| − β(t̄) · (r − r n (t̄))
eβ(t̄)An (r, t) =|r − r n (t̄)| − β(t̄) · (r − r n (t̄))

電場 E は r と t の関数で以下のように書ける。

E(r, t) =Φn (r, t) =e(n − β)γ 2 (1 − β · n)3 L2
+

(2.4)

e n × [(n − β) × β̇]c (1 − β · n)3 L(2.8)

ここで γ はローレンツ因子 (Lorentz factor) と呼ばれる変数で、γ 2 ≡ 1/(1 − β 2 ) である。式 (2.8) は加速度t̄ は遅延時間であり、次の方程式を満たす。

β̇ ≡ dβ/dt が含まれないクーロン場 (第 1 項）と、含む(2.5) 加速度依存の場 (第 2 項) に分けている。通常、放射光源となる電子エネルギーでは γ −2  1 であるため第 1
ここで電荷分布 ρ(r, t) が与えられた場合は、全体のス 項を無視する1 。
カラーポテンシャル Φ(r, t) およびベクトルポテンシャ
1 最大エネルギーまで加速する前の低エネルギーのビームダイナミ|r − r n (t̄)|
t − t̄ =c

クスを扱う際には、このクーロン場が無視できなくなる。

2式 (2.8) の第 2 項から、単位時間当たりの放射エネル
ギーを表す Larmor の公式を導くことができる。

2 re dp dp
P =
(2.9)
·
3 mc dt dt
ここで、m および re はそれぞれ電子の質量および古典半径であり、運動量 p は p ≡ γmcβ とする。これはローレンツ変換で不変な量である。β を使って書き直すと、 図 2.1: バンチから発生する位相の揃っていない通常の

PSR =

2
re mcγ 6 [(β̇)2 − (β × β̇)2 ]3

シンクロトロン放射光とコヒーレントシンクロトロン放(2.10)

射光 (CSR)となる。偏向電磁石で加速された場合を想定すると、近似式は次のようになる。

ため、強度が桁違いに大きくなる。これは、バンチ長が2 re mc3 4 4
β γ
PSR =
3 R2

(2.11) 短いほど高い周波数の放射光で位相が揃い、CSR のパワーが強くなることを意味する。模式図を図 2.1 に示す。
ここで、R は軌道の曲率半径である。
バンチ長は有限であるためにすべての放射光の位相が完放射光の角度拡がりについて補足しよう。ここで、放 全に一致することはなく、部分的にコヒーレントとなる。
2
射角度 θrad の拡がりを < θrad>1/2 と定義する。これは この章では、そのコヒーレントな放射光とインコヒーレ
放射光の周波数 ω によって異なり、臨界周波数 ωc に近 ントな放射光の割合を示すフォームファクタ−（Form
い高い周波数ではFactor）について説明する [5] 。
1
ここで、N 個の電子からなるバンチを考える。簡単の
2(2.12)< θrad>1/2 ∼
γ
ために粒子の運動は進行方向の一次元で考え、各電子からの放射光のパワーは PSR (k) と等しく、位相だけが異となるのに対し、ω  ωc となる低い周波数では
1/3

1/3

なっているものとする。ある点から距離 zn ( n=1,・
・
・,N )
1 2ωc
3c
2
1/2
=
(2.13) だけ離れた N 個の電子について位相を重ね合わせると、< θrad > ∼ωRγω
波数 k に対しては ΣN
n=1 exp(ikzn ) となる。この位相かとなる。ここで、臨界周波数 ωc とは高い周波数の限界 らなる電場をそれぞれ位相 exp(ikz ) の電子が感じる。
n付近を指し、次のように定義される。
すると、全体の放射光のパワー Pall (k) は
3 c
ωc = γ 3(2.14)NX
2
2 R
Pall (k) = PSR (k)exp(ikzn )(2.15)
これより高い周波数で放射光の強度は急激に小さくな
n=1る2 。参考に放射光スペクトルの模式図の図 2.2 に臨界となる。展開すると、次のようになる。
周波数 ωc の位置を示す。式 (2.13) は、より低い周波数
N
X
では高い周波数に比べて (2ωc /ω)1/3 倍も広い角度で放Pall (k) = N PSR (k) +exp[ik(zn − zm )]PSR (k)射することを意味する。
n6=m(2.16)

2.3

コヒーレントシンクロトロン放射光

ここで第 2 項は n 6= m を満たす N(N-1) 個の組み合わせ

バンチ長よりもシンクロトロン放射光の波長が長い場について和を取るものとする。式（2.16）の第 1 項は通合は、それぞれの電子から放射する放射光の位相が揃う

常のインコヒーレントな放射光、そして第 2 項がコヒー
レント放射光強度に相当する。ここで、フォームファク

2 臨界周波数の定義は参考文献 [4] による。

3

を考えよう。電子線密度 λ(z) は次の様になる。
z2
1
exp − 2(2.20)
λ(z) = √
2σz
2πσz

ωc

フォームファクターは簡単に計算でき、F(k) = exp[−σz2 k 2 ](2.21)

分散が 1/2σz2 のガウス分布になる。ガウス分布に対してRは全体のエネルギー損失 Pall = Pall (k)dk についても解析的に解くことができ [6]、Pall = N PSR + N (N − 1)PSR T

図 2.2: バンチ長による CSR スペクトルの変化。電子数

N の場合、通常の放射光に比べて CSR は N 倍の強度になる。CSR の最短の波長はバンチ長（この図では σs と

3σz γ 32Rβ(2.22)となる。ここで、

9T (a) ≡ √ 3 exp
32 πaなっている）程度である。

ター F(k) を定義する。粒子数 N は非常に大きいと仮定



1
8a2




K5/6

1
8a2


−

9
16a2
(2.23)である。ここで、K5/6 は変形ベッセル関数である。式

し、z と z + dz の間に含まれる電子線密度 λ(z) を導入(2.22) と (2.23) を用いて、飛行距離 L のバンチ全体のエ
ネルギー変化 ∆E は次のように近似することができる。

して積分表示に変える。
NX
1
Γ(5/6)
L
exp[ik(zn − zm )]∆E ≈ −N 2 re mc2 1/3 √(2.24)N (N − 1)
2
6
π (R σz4 )1/3
n6=m
Z
2
=
λ(z) exp(ikz)dz(2.17) となる。ここで、Γ(5/6) はガンマ関数である。
放射光の角度拡がりについて補足をしよう。ここで、サブ GeV 以上の電子エネルギーでバンチ長がサブピコ
ここで、
Z ∞
秒程度の場合を考える。すると、CSR の波長は短くてλ(z)dz = 1(2.18) も波長がバンチ長程度であり、c/ωc よりも十分長く (図−∞2.2)、インコヒーレントの放射光に比べて放射角度が大である。このフォームファクター F(k) を使って、全体 きい。式 (2.13) より、バンチ長 σ 程度の波長の CSR のzの放射光のパワーは次のように表すことができる。
放射角度は次のようになる3 。
F(k) ≡

Pall (k) = N PSR (k) + N (N − 1)F(k)PSR (k) (2.19)

2< θrad>1/2 ∼

F(k) がコヒーレント放射光の割合を示すパラメーター
であることがわかるだろう。N が十分大きいときは、

3σz
R

1/3
(2.25)

通常の放射光によるエネルギー損失とは異なり、コヒーレント放射光によるエネルギー損失は電子のエネル

2Pall (k) ' N F(k)PSR (k) となり、電子数の 2 乗に比例する。通常、バンチ内の電子数は 109 〜1011 であるため、 ギーではなく、主にバンチ長に依存する。蓄積リングのわずかな F(k) でも放射光強度が大きく増幅される。

3 くどいようだが、最大エネルギーまで加速する前の低エネルギーのビームダイナミクスを扱う際には、臨界波長がバンチ長よりも長くなる場合があるので注意が必要である。

ここで、次のようなバンチ長 σz のガウス分布の場合

4

バンチ長は短い場合でも数ピコ秒であるため [7],[8]、サyブ GeV クラスでは CSR の波長は c/ωc に比べて長くエz

ネルギーが低いため無視できる。しかし、低エネルギーx

クラスにおいては、通常の放射光によるエネルギー損失

基準粒子に加えて、CSR によるエネルギー損失が数十倍になるという計算結果が報告されている [9]。
このコヒーレント放射光は東北大学のライナックで世s

界で初めて観測に成功しており [10]、その後、数多くの図 3.1: FrenetSerret 座標系

蓄積リングも数ピコ秒の短いバンチ長の電子ビームの蓄積に成功し、CSR が観測されたことが報告されている[11][12]。

位ベクトルをそれぞれ ex 、ey および es と表す。ここで、基準粒子の位置ベクトルを r ref とすると、各粒子3の位置ベクトルは r = r ref + xex + yey となり、時間

CSR の電子バンチに及ぼす影響の遅れを z = s − cβt で定義する。このような座標系をバンチからの CSR はどのような影響をビームに与えFrenet-Serret 座標系と呼ぶ。

るのだろうか？2.3 章で、CSR が発生することによってバンチ全体のエネルギーが減少することを述べた。そ3.2の他に、自ら放射した CSR によって進行方向のエネル
ギー分布を歪める影響があり、このインピーダンスにつ相互作用ハミルトニアンとローレンツ力

電磁場の中を運動する電子のローレンツ変換で不変な

いて Warnock が解析解を導出した [13]。エネルギー分

ハミルトニアン H は布の変化はエミッタンスの増加やバンチ長の伸長などをH=引き起こす原因となるため、ここでは、特に後者のメカ
ニズムや遮蔽効果について説明したい。エネルギー変化p(cP − eA)2 + m2 c4 + eΦ

ここで、P は共役な正準運動量で P ≡ γm(dr/dt) であを解析的に解く方法はいくつか報告されているが、ここる。電磁場と電子の相互作用を扱うには、式 (3.1) のうでは Derbenev の方法を紹介する [14], [15]。また、このち相互作用の部分のみを抜き出せばよい。ローレンツ不複雑な問題を数値的に解くためにどのようなシミュレー

変な相互作用ハミルトニアン Hint は次のようになる。

ションコードが開発されているか紹介する。

Hint = e(Φ − β · A)

3.1

(3.1)

Frenet-Serret 座標系の定義(3.2)

次に個々の電子に及ぼす力をローレンツ力 F を求めよう。

第 2 章ではデカルト座標を使って説明したが、加速器中の電子のように光速に近い速さで運動している粒子をF = e(E + β × B)

扱う場合は、理想の軌道上を運動する粒子を基準にとる(3.3)

方が物理的な理解を得やすい。その基準粒子の軌道上のとなる。これをスカラー・ベクトルポテンシャルから導位置を s とし、各粒子の位置は基準粒子からの位置の出するには、以下の公式を用いればよい。

ずれで定義する。図 3.1 に模式図を示す。基準粒子が運E = −∇Φ −動する平面内に水平な方向のずれを x とし、基準粒子の軌道より外側を正にとる。その平面に垂直な方向のずれを y と表す。水平方向、垂直方向および進行方向の単

5

1 ∂
A,
c ∂t

B =∇×A(3.4)

Frenet-Serret 座標系において、A および ∇ は次のように定義される。
A=∇ =Ax ex + Ay ey + As es
∂
∂
1
∂
ex
+ ey
+
es
∂x
∂y 1 + Kx ∂s

K は軌道の曲率半径 R の逆数、すなわち K ≡ 1/R であり、es および ex の微分は次のようになる。
des= −Kex ,
ds

dex
= Kes
ds

(3.5) 図 3.2: バンチ後部から発生した CSR がバンチ前方に与える影響の模式図
理想的には電子は (x, s) 平面上の軌道をたどるため、Ay は無視する。すると、∂Φ 1 ∂Ax
−
∂x
c ∂t
∂
Ey = − Φ∂y∂Φ 1 ∂As
Es = −
−
∂s
c ∂t
∂As
Bx =
∂y
1
∂Ax
∂As
K
By =
−
−
As
1 + Kx ∂s∂x
1 + Kx∂Ax
Bs = −∂yEx = −(3.6)

図 3.3: 遅延距離の模式図

ここで式 (3.2) の相互作用ハミルトニアン Hint を用
いてローレンツ力を求めると、∂∂Hint
Fy = −e (Φ − βs As ) = −
∂y
∂y
∂Hint
dAx
KAs
Fx = −−e+e∂x
cdt
1 + Kx
dE
∂Hint
dΦ
=
−e
dt
∂t
dt

3.3
(3.7)

CSR の影響によるエネルギー分布と軌
道の変化

サブピコ秒程度のバンチ長から出る CSR の放射角度
は式 (2.25) で示したように広いため、CSR の一部は図3.2 に示したような光路を辿り、曲線を描くバンチに追いつく。その結果、バンチ内の電子が感じる電磁場は直となる。これらの式は微小な項を無視することによって、線運動の場合と異なり、これがエネルギー分布や軌道の∂Hint∂Hint dE
∂Hint
Fy ≈ −, Fx ≈ −,≈(3.8) 変化を引き起こす。本章では、スカラー・ポテンシャル
∂y
∂x
dt
∂t
Φ およびベクトル・ポテンシャル A から電磁場を求め、バンチに及ぼすローレンツ力やエネルギー分布の変化にとすることができる4 。
ついて解析解を導出する。
_
図 3.3 の中で曲線 AB がバンチの軌道、直線 AB が4 式 (3.7) の F

x の 3 項目、 eKAs /1 + Kx は Talman 効果として知られており、式 (3.17) の F0 を打ち消すと言われている。本論
で後ほど議論するビームダイナミクスにはほとんど影響を与えないので、注釈するにとどめる。

CSR の進路である。軌道の曲率半径 R で偏向角度 Θ が
1 より十分小さい場合、点 B におけるバンチと CSR の
6

光路差 z̃ は次のように近似できる。

_
Θ R
z̃ =AB −|AB| = RΘ − 2R sin(Θ/2) ≈24
3

3.2 章の結果より、ここで x0 = 0、y0 = 0 における相互作用ハミルトニアン Hint を求めよう。ここで、ξ < 0 の(3.9) 積分、γ −2 に比例するクーロン場は無視する。すると、

これは、電子が B にたどり着いたとき、z̃ だけ後方にあHint (x, y, s, t)

る電子の CSR の影響を受けることを意味する。

2.1 章の結果を用いて、この場合の Liénard-Wiechert
ポテンシャルを求めよう。ここでは、バンチの横方向の広がり σ⊥ はバンチ長 σz に比べて十分小さく、チャンバーによる遮蔽効果がない場合を考える5 。この条件を式に書き下すと、
pσz  σ⊥ σ⊥ /R(3.10)
pσz  h h/R(3.11)

ξdξx2 + y 2 1 ∂ξ= N re mc
1−
x+
2R2
2R
2ξ
c ∂t
0



2
2
3
1 ξ
ξ
2 ∂
+
x
λ s − βct −2 4R2 c2 ∂t2
24R2
2

Z ∞

ここで、3 次元の電子分布 ρ(z) を線密度分布 λ(z) で近似Rした。 λ(z)dz = 1 である。式 (3.9) より z̃ = ξ 3 /24R2
であり、Frenet-Serret 座標系の定義より、z = s − cβt、dξ = ds = (1 + K)dz である。 最後の項の 2 階偏微分を部分積分で 1 階偏微分にして計算すると、相互ハミルここで、h はチャンバーの断面のサイズである。式 (3.10)
トニアン Hint (x, y, z, t) が以下のように求まる。
の右辺は x = σ⊥ と −σ⊥ からの CSR の光路長の差、式
1(3.11) は直接届いた CSR と反射した CSR の光路長の差 Hint = U (z)(1 + Kx) − F0 (z)x + g(z)(3x2 + y 2 )2である。ここで、新しい変数 τ を(3.16)(3.12)

τ = |r − r 0 |/c

すると、Z
2N re mc2 ∞ dz̃
U (z) =λ(z − z̃)
(3R2 )1/3 0 z̃ 1/3
2N re mc2
F0 (z) = −
λ(z)
R
Z ∞
dz̃
N re mc2 ∂λ(z − z̃)g(z) =(3R2 )2/3 ∂z 0 z̃ 2/3と導入すると、式 (2.4) は次のように書き換えることができる。

Z

Φ(r, t)A(r, t)ρ(r 0 , t − τ ),cτZβρ(r 0 , t − τ )
=
dr 0
cτ
=

dr 0

軌道の曲率半径 R が一定であるときは、新しい変数 ξ ≡式 (3.8) および式 (3.17) を代入してエネルギー変化、s − s0 を導入して、次のように表すことができる。
cτ = (R + x)2 + (R + x0 )2ξ−2(R + x)(R + x0 ) cos + (y − y0 )2
R

水平・垂直方向のローレンツ力について最終的な式が得
られる。

dE(z)
∂
dE
=
= − U (z)ds
cdt∂z
Fx (z) = F0 (z) − 3g(z)x1/2(3.14)(3.18)Fy (z) = −g(z)y

変数 ξ で書き直すと、次の式が得られる。

cτ ≈ ξ −(3.17)

ξ3ξ
+(x + x0 )2
24R
2R(x − x0 )2 + (y − y0 )2+2ξ

∂U (z)/∂z はエネルギー変化、F0 (z) は水平方向の収束
力、g(z) は水平・垂直方向の多次元の収束力が新たに加えられることを意味する。この進行方向の wake 関数

W00 (z) を(3.15)dE= N re mc2
ds

5 遮蔽効果とは、チャンバーの反射によって CSR の影響が打ち消される現象である。詳しくは 3.5 章で説明する。

7

Z z
−∞

W00 (z − z 0 )λ(z 0 )dz 0(3.19)

と定義すると、CSR の wake 関数については

W00 (z) = −

2
1 ∂
2
1/3
1/3
∂z
(3R ) z(3.20)となる。
ここで、全体のエネルギー変化量およびエネルギー変化量の拡がりを求めることは有用である。式 (3.19) のdE/ds を z について積分すると、全体のエネルギー変化
PCSR を得ることができる。
Z ∞
dE(z)
λ(z)dzPCSR =−∞ cdtZ
2N re mc2 ∞ dζ= − 4/3 2/3[Λ(0) − Λ(ζ)]
3 R
ζ 4/3
0
(3.21) 図 3.4: ガウシアン分布の電荷線密度を持つバンチに対Z ∞するエネルギー変化（実線）の関数 I0 (z) と水平・垂直
Λ(ζ) =dzλ(z)λ(z − ζ)
方向のローレンツ力 (点線) の関数 I1 (z)。横軸はバンチ−∞
長で規格化 z/σz しており、右側が前方に当たる。
フーリエ変換することによって積分表示は簡単にすることができ、
Z8πCo N 2 re mc2 ∞式 (3.17) と (3.18) より、エネルギー変化および水平・垂PCSR = −|λ(k)|2 k 1/3 dk (3.22)
4/3
2/3
3 R
直方向の摂動は次のようになる。
0
ここで、λ(k) は λ(z) のフーリエ関数であり、Z ∞1
λ(k) =
λ(z)e−ikz dz
2π −∞

dE
2N re mc2
= −√I0 (z/σz )ds
2π(3R2 σz4 )1/3

(3.23)

2N re mc2
λ(z)R
3N re mc2
I1 (z/σz )− x√
2π(9R4 σz5 )1/3
N re mc2
Fy (z) = −y √I1 (z/σz )2π(9R4 σz5 )1/3

Fx (z) = −である。式 (3.22) の導出には次の公式を用いた。
√
Z ∞
3 3
−4/3
Co =
(1 − cos ζ)ζdζ =Γ(2/3) (3.24)
20
エネルギー変化量の広がり σPCSR は次の式で得ること

式 (3.27) に現れる I0 (x) および I1 (x) についてプロット

ができる。
2
σP
CSR

(3.27)

Z ∞
≡
−∞

dE(z)
cdt

Z ∞

−

2

したものが図 3.4 である。I0 (x) のプロファイルから、バ

λ(z)dzdE(z)λ(z)dz−∞ cdt

ンチ前方の電子でエネルギーが増加する一方で、バンチ

2中央付近で大きなエネルギー損失があることが分かる。
水平・垂直方向の摂動の向きは I1 (x) で示されているが、(3.25) エネルギー変化と同様に、バンチ前方と中心から後方にかけて逆方向の影響を与えることが分かる。I0 (x) およ
電荷線密度分布が分散 σz2 のガウシアン分布であるバ び I (x) の詳しい積分表示は以下のようになる。
1
ンチについて具体的な関数を求めよう。λ(z) は次の様に
Z x∂ −x02 /2
dx0
与えられたとする。
e
I0 (x) =0 )1/3 ∂x0
(x
−
x
−∞
(3.28)
Z x1∂ −x02 /2dx0exp(−z 2 /2σz2 )(3.26)
λ(z) = √
I
(x)
=
e
2πσz
1
0 2/3 ∂x0−∞ (x − x )8バンチ全体のエネルギーの変化量は式 (3.22) より次のよ
うになり、減少していることが分かる。

PCSR = −N 2 re mc2 24/3 31/6 [Γ(2/3)]2
4/3
πR2/3 σz(3.29)(A)

これは、別に導出した式 (2.24) とほぼ一致する。ここ㪘

で、偏向電磁石の長さを L としたとき、エネルギー変化

㪧0

量の広がり σPCSR は式 (3.25) を用いると、

σPCSR

=
≈

2N r mc2√ e
31/3 2π(Rσz2 )2/3
N re mc2 L
0.22
Rσz2

㪙

㪧

q
< I02 > − < I0 >2

㪦
(B)

㪧0

2/3

㪧

㪘

(3.30)

㪙

となる。

㪦

3.4

偏向電磁石の端における CSR の影響

L

(C)
㪘
㪧0

これまでは、バンチが常に同じ偏向電磁石の磁場を受㪙㪧

ける場合、CSR の影響が常に一定である定常状態につ㪦

いて考えてきた。しかし、偏向電磁石の長さは有限であることから、CSR の影響によるエネルギー変化は時間(D)とともに変化する。もし、偏向電磁石の外側が直線部で

㪧0

㪙

㪘

あれば、式 (3.9) に相当する飛行距離の差は小さくなるからである。この過渡状態 (transient effect) と呼ばれる

㪧

解析解 [16]、[17] が、多くの計算コードでも取り入れら

㪦

れている。
簡単のために、最初は 2 粒子モデルを考える。図 3.5

図 3.5: 偏向電磁石と 2 つの電子の位置。電子の進行方

で電子の進行方向は右向きであり、点 P (= s) とその後向は右向きであり、P および P0 はそれぞれ前方と後方方の点 P0 (= s0 ) に電子がある場合を考える。偏向電磁石の電子の位置を示す。(A) : P0 が直線部に残り、P が偏の入口および出口はそれぞれ A(= sA ) および B(= sB )向電磁石内にある場合。(B) : P0 および P が同じ偏向とすると、点 P と点 P0 の位置関係によって次のように

電磁石内にある場合。(C) : P0 が偏向電磁石より手前

場合分けができる。

の直線部にあり、P が偏向電磁石の後の直線部にある場(A) : s0 < sA , sA < s < sB

合。 (D) : P0 が偏向電磁石内に残り、P が直線部にあ(B) : sA < s0 < sB , sA < s < sB(C) : s0 < sA , sB < s

る場合。

(D) : sA < s0 < sB , sB < s
領域 (A) の影響は厳密には CSR ではない。直進する電子から CSR が発生せず、通常 γ 2  1 の高エネルギーではクーロン場も無視できる。しかし、前方の電子が偏向

9軌道に入った場合は、短い距離で追いつくため式 (2.8)となる。偏向電磁石が無限に続いている場合、つまりで示したクーロン場の影響が無視できなくなるほど大きξA = ∞ のときは、式 (3.33) は式 (3.19) および (3.20)と一致する。
出口付近の影響は複雑であるため、結果のみを示そう。
 
λ(z − 4ξ2 (L))
dE
2 λ(z − ξ1 (L))−= 4N re mc
ds exitL + 2ξB
L + 2ξB
#
Z z
dz 0
∂
0
+
λ(z )
0
0
z−ξ1 (L) ζ + 2ξB ∂z

くなる。領域 (B) は両方とも偏向電磁石内にある場合
で、これまでと同じ条件である。領域 (C) は 2 つの電
子が偏向電磁石を挟んだ直線部にある状態である。領域(D) は偏向電磁石内からの CSR が直線部に進んだ電子に与える場合である。
ここで、3.3 章と同じように変数 ξ = s − s0 、z̃ =3

ξ /24R2 を導入する。電磁石入口からの距離に対しても
3
ξA = s − sA 、z̃A = ξA
/24R2 と定義し、出口からの距
離は ξB = s − sB と定義する。
まず、偏向電磁石の入り口付近の影響について考えよう。領域 A および B の wake 関数 W00 (z) は、それぞれ次のように近似することができる。
2
1 ∂(3R2 )1/3 z̃ 1/3 ∂z(A): W00 (z) = −

(B)

2
1 ∂
: W00 (z) = −(3R2 )1/3 z 1/3 ∂z(3.34)と計算することができ、ここで ξ1 および ξ2 は

ξ1 (ζ) ≡ζ 3 ζ + 4ξB,
24R2 ζ + ξB

ξ2 (ζ) ≡ζ2(ζ + 3ξB )(3.35)
24R2と定義される関数である。ζ 0 は次の 4 次方程式の解で(3.31) ある。

Aξ1 (ζ 0 ) = z − z 0(3.32)(3.36)(A) では (B) の z を z̃A と置き換えて近似する。
ここで、任意の線密度分布 λ(z) に対して dE/ds を求めよう。すべての電子について積分して求めるにはいく
つか注意しなければならない点がある。ひとつは (A) の式 (3.34) の積分で、z 0 = z − ξ1 (ζ 0 ) と変数を変換して積点 P が感じる CSR は遅延距離 z̃A だけ前に点 P0 からすると、式 (3.35) の ξ1 について４次方程式を解く必要放射された CSR である。その時に、点 P0 が直線部にがなくなり、数値計算が容易になる。

分すると次の式が得られる。
 dEλ(z − ξ1 (L)) λ(z − 4ξ2 (L))= 4N re mc2−
ds exitL + 2ξB
L + 2ξB#
Z L
近似が成り立つ点 P0 の位置が限られていることである。
00dζdξ1 (ζ ) ∂0+λ(z − ξ1 (ζ ))A 点からの距離が長すぎると、式 (3.31) の近似式が成立
0dζ 0 ∂z0 ζ + 2ξBしない。もうひとつは遅延時間が存在することである。
(3.37)
例えば、ある時間において (B) の状態であったとする。

あった場合は (A) の wake 関数を適用する。このように

式 (3.33) と式 (3.37) のプロファイルを図 3.6 と 3.7 にして、各領域の dE/ds は、
"Z
 
z−z̃A
dE
2N re mc2
dz 0 ∂=λ(z 0 )
1/3 ∂z 0
ds ent(3R2 )1/3
z−4z̃A z̃A

Z z
dz 0
∂
0
λ(z
)
+
0 1/3 ∂z 0z−z̃ (z − z )" A
2N re mc2 λ(z − z̃A ) λ(z − 4z̃A )
=
−
1/3
1/3
(3R2 )1/3
z̃A
z̃A

Z z
∂
dz 0
0
+
λ(z )
0 1/3 ∂z 0
z−z̃A (z − z )示す。入口付近の過渡状態では、距離が長くなるにつれ、エネルギーが増加する部分がバンチ前方に進み、やがて定常状態になる。出口付近では距離とともに徐々に wake
ポテンシャルが小さくなる。しかし、出口から 50 cm 先でも CSR の影響が残っていることがわかる。
図 (3.8) にエネルギー変化量の推移をプロットした。
エネルギー変化量のバンチ全体にわたる平均値 < ∆E >およびその標準偏差 < (∆E− < ∆E >)2 >1/2 を載せる。偏向電磁石を通過した後でもエネルギーは減少し続
け、エネルギー広がりが大きくなっていくことがわかる。

(3.33)
10

図 3.8: Z=1 で上になっているグラフがエネルギー損失< ∆E >、下のグラフがエネルギー広がり < (∆E− <シャル。図中の s-s は定常状態を表し、入口からの距離 ∆E >2 )2 >1/2 の推移。50 cm の偏向磁石とその後に続ごとにプロットしている。図 3.4 と横軸の向きが異なり、 く直線部に沿ってプロットした。◇および○は図 3.6 お
左側がバンチ先頭になる。負の符号がエネルギー損失に よび図 3.7 に対応する。
図 3.6: 偏向電磁石の入口付近における CSR のポテン当たる。バンチあたりの電荷量は 1 nC、軌道の曲率半
径 R は 1.5 m、バンチ長 σz は 50µm である。

この過渡状態が定常状態に比べて非常に短い場合、つまり偏向電磁石の両端の飛行距離の差がバンチ長よりも非常に長い場合 L3 /24R2  σz であるときはほとんど定常状態と同じとみなして構わない。

3.5

チャンバーによる遮蔽効果

CSR の影響を抑えるメカニズムにはチャンバーによる遮蔽効果がある。CSR の影響によるエミッタンスの増加やバンチ長の伸長を抑える対策として、いくつかのラ
ティスデザインの最適化が提案されているが（第 4 章）、一番効果があるとされているのこのチャンバーによる遮蔽効果である。ここでは、最も基本的な無限平行平板による遮蔽についてまとめた。
バンチから発生した CSR は、直進するだけなくチャンバーの表面で反射する。もし、チャンバー表面がビー

図 3.7: 偏向電磁石の出口付近における CSR のポテン
シャル。出口からの距離ごとにプロットしている。図 3.4

ムに近いところにある場合、反射した CSR によって、と横軸の向きが異なり、左側がバンチ先頭になる。負のバンチに与える影響はさらに複雑なものとなる。チャン

符号がエネルギー損失に当たる。バンチあたりの電荷量

バー表面では固定端反射によって CSR の位相が反転すは 1 nC、軌道の曲率半径 R は 1.5 m、バンチ長 σz はるため、反射した CSR と直進した CSR の光路長が十分50µm である。

小さい場合は、CSR の影響を打ち消すことになる。この現象を遮蔽効果と呼ぶ。しかし、わずかな反射 CSR

11

y

y

h

h

図 3.9: 反射する CSR。Frenet-Serret 座標系の z-y 平面を図示したものであり、電子は紙面と垂直方向の加速を

図 3.10: 鏡像電荷による遮蔽効果の計算モデル。青い丸受ける。

は赤い丸と符号が反対の鏡像電荷を意味する。
の遅れによって CSR の影響を完全に打ち消すことは困と短い場合では、それぞれ 6 mm および 2 mm となり、難である。

条件が厳しくなる。

さて、バンチの軌道に対して高さ ±h/2 に無限に続く

次は遮蔽による電磁場について述べる。導体平面の電完全導体の平面があると (図 3.9)、CSR はその表面で固場 E の接線成分がゼロになるような境界条件にするた

定端反射する。高さ h が十分小さい時は、反射した CSR

めに、図 3.10 のように鏡像電荷を無限に配置する方法がが弧を描く電子に追いつく。ここで、遮蔽効果が表れる

多く使われている。この状態のグリーン関数を式 (2.3)

h の最大値を大雑把に求めよう。直進した最後尾からのCSR がバンチの先頭に追いつくときに、反射した CSR
がバンチの後尾で追いつくことが必要条件である。反射した CSR とバンチの飛行距離の差 z̃1 は図 3.3 から
z̃1

=
≈

に倣って書き下すと、次のようになる。

G(r, t; r 0 , t0 ) =∞X(−1)k δ(|r − r 0 − khey |/c − (t − t0 ))|r − r 0 − khey |_ pAB − |AB|2 + (h)2


_
1 h2
AB − |AB| +2 |AB|_1 h2
AB −|AB| − _2AB(3.40)k=−∞

式 (3.40) を 3.3 章と同じように展開してエネルギー変化を求めることもできるが、非常に困難であるため、イン(3.38) ピーダンスを使った解析解を紹介する [13],[19],[20],[21]。
これまでと同じように進行方向の 1 次元のみを扱う。単_位長さ当たりのインピーダンス Z(k) は wake 関数のフーここで、必要条件 AB −|AB| = σz および z̃1 = 0 を満リエ変換で定義される。
たす高さ h は、式 (3.9) の定義を用いて次のように得るZことができる。
cZ(k) =
dzW 0 (z) exp(−ikz)(3.41)≈

h = 2(3σz4 R2 )1/6

(3.39)

Maxwell 方程式を用いたインピーダンスの導出についバンチ長や軌道の曲率半径が長いほど、遮蔽効果が期待ては補遺に詳細を載せたので参考にしてほしい。ここでできることがわかる。ここで、5 GeV のと 200 MeV ERL

は、その結果の一部を挙げる。興味があるのは h → 0 にについて、h の最大値を求めよう。軌道の曲率半径が 20 m

おけるインピーダンス Z(k) の漸近解である。これは次および 1 m であるので、バンチ長 0.3 mm のバンチでは、それぞれ 3 cm および 1 cm となる。バンチ長が 0.03 mm

12

3.6

様々なシミュレーションコード

CSR の数値計算のための様々な計算コードが開発・公開されているので、ここで紹介したい [22]。できる限り
元の論文に忠実に説明するが、本テキストで変数を統一するために、若干変更している箇所があるので、ご了承いただきたい。

• 2 次元プログラム (名称未定） - R. Li
ビームラインに沿って進行する電子による Lienard-

図 3.11: CSR による (z, ∆E) 分布の麗。バンチ長 σz は

0.3 m、エネルギーは 5 GeV、バンチ当たりの電荷量は 1 nC である。チャンバーの高さ h がそれぞれ h = ∞（自由空間、左上）、4 cm（右上）、2 cm（左下）、1 cm（右下）である。横軸と縦軸の単位はそれぞれ µ m および MeV である。

のようになる。

Z(k)

=

C5

=

"
 2 3 2 #πZ0 −2π3 R/3k2 h3 3i
k h
e
− C5
2
kh
2
π3 R
∞
X

1
= 1.004524
(2p
+
1)5
p=0

(3.42)

Wiechert ポテンシャルから得られる電磁場の履歴を残して、CSR の影響を計算する方法である。こ
れまでのコードでは、理想軌道上の電子による電磁場を残しており、CSR の影響によって摂動を受けた電子の履歴を残していなかった。このような矛盾をなくす (self-consistent) ために、電子の作る電磁場をそのつど再計算する方法を最初に導入したコードである。Maxwell の微分方程式をリープ・フロッグ法 (leap-frog) を用いて解くことにより、各時間に対応する電磁場の履歴を計算している。
垂直方向の力学を無視しており、進行方向と水平方向の 2 次元のみを考えている。バンチ形状は進行方向と水平方向にガウシアン分布を持つディス
ク状の組み合わせで近似する。
• TraFiC4- A. Kabel ら

式 (3.42) の実部は、h が小さくなると exp(−h−3 ) の項

大きな特徴はビームラインに沿って進行する電子

によって急速にゼロに近くなる。一方で、Z(k) の虚数の放射による電磁場の履歴を 3 次元上で完全に保4部は h に比例する。h が小さくなるとゼロに近くなる存することにある。最新バージョンでは、R.Li のが、実部に比べて遮蔽が効きにくい。

コードと同じように摂動を受けた電子の履歴を残

また、シールドがない自由空間、つまり h → ∞ では

Z0 2Γ(2/3) (ik + 0)1/3
Z(k) =
4π 31/3
R2/3

して、因果律を満たしている。疑似電荷を並列する手法で、平行平板の遮蔽効果を取り込むことも(3.43)

可能である。1D コードよりも詳細で正確な情報が得られる一方、計算に必要な時間、CPU、履歴のこの式は、式 (3.20) をフーリエ変換して −N re mc2 λ(k)保存領域が大きくなるという欠点がある。計算時で割ったものになる。

間短縮のためにガウシアン分布のマクロ粒子の使

ここで、図 3.11 に計算結果を示す。R=20 mm、バン

用、履歴の時間間隔とメッシュの切り方の最適化、

チ長 0.3 mm で h の最大値が 3 cm と見積もったが、遮並列計算など様々な工夫をしている。

蔽効果が顕著になるのは h が 1 cm 以下であることが分• CSRtrack - M.Dohlus and T. Limberg

かる。

13

図 3.12: 疑似グリーン関数の模式図

TraFiC4 の最大の欠点は計算時間のパフォーマンスにある。それを改善するために、TraFiC4 を元に CSR の場の計算アルゴリズムを改良したもの
が CSRtrack である。1 次元近似や疑似グリーン

図 3.13: メッシュの作成と近似する。磁場 B (ν) も同様に扱う。この模式図

関数などを使用したアルゴリズムを選ぶことがでを図 3.12 に載せる。この疑似グリーン関数はメッ

きる。

シュで区切られた 2 次元平面上で計算し、これら

1 次元近似では電場 E(z, t) の進行方向の成分が放射場の関数 K(z, u) と縦方向の電荷分布 λ(z, t) と以下に示す畳みこみ積分で近似できるものとする。、
Z∂λ(u + z − vt)
E(z, t) =K(z, u)du (3.44)∂u
これより、既知の関数 K(s, u) から高速フーリエ変換 (FFT) で求める方法である。非常に計算時間が短い一方、放射場の影響を低く見積もってしまう場合もある様である。
疑似グリーン関数の方法では垂直方向が無視されており、事実上 2 次元である。マクロ電子 (sub-bunch) の軌跡 rν (t) は基準粒子の軌跡 r0 (t) を用いて次のように近似されている。
rν ≈ r(t0 ) + R · (r0 (t) − r0 (t0 ))(3.45)

を補間することによって放射場を計算する。（図3.13）メッシュの取り方によって計算時間を大幅に短縮でき、通常の 3 次元の計算に比べて 100 倍以上も計算効率が高くなる場合もある。
• TREDI - L. Giannessi and M. Quattromini
Lienard-Wiechert ポテンシャルでモンテカルロ法(Monte-Carlo method) をベースとして粒子追跡するコードである。一般的にモンテカルロ法とは、解析解を求めることが困難な場合に、多数発生させた一様乱数を使用して近似解を求める手法のことをを指す。TREDI では粒子（電子）を指定した分布で発生させるために一様乱数を用い、個々の電子を追跡してビーム力学をシミューレーション
する。この方法は応用範囲が広く、3.3 章で切り離して考えたクーロンポテンシャルの項、つまり空間電荷効果、も同時に取り入れて計算することがここで R は偏移・回転の推移を表すパラメーター可能である。それは、TREDI では元来、電子銃周である。各電子の電場 E (ν) (r, t0 ) は基準粒子の電りの低エネルギーの電子の 3 次元追跡を目的とし場 E (0) (r, t0 ) を用いてたものであったため、低エネルギー領域で顕著にE (ν) (r, t0 )qν
≈ R · E (0) (r0 (t0 ) + R−1 (r − rν (t0 )), t0 )q0
(3.46)
14なる空間電荷効果を外すことができなかったためである。

• elegant- M. Borland

elegant はラティスデザインのために開発された粒子追跡 (トラッキング) コードであり、オプションとして CSR の効果を取り入れた計算ができる
ように開発され [23]、進行方向のエネルギー分布の変化によって引き起こされるビームダイナミクスを計算する。比較的シンプルなアルゴリズムであり、すでに計算コードが確立している。計算時

図 3.14: ガウシアン分布の重ね合わせによるバンチ形状

間が速く、新しい計算コードを開発するためのベの近似

ンチマークの基準としても用いられる。

CSR に対する計算ステップは次のようになる。
スムージングをすることによって、ノイズではな

1. 偏向電磁石を 100 個程度の区分 (パーツ) に細分化する。

い鋭い波形が潰される可能性があるのが欠点のひ2. CSR がない状態でパーツ出口のバンチの分布を計算する。

の CSR を少なく見積もってしまう恐れがある。

とつである。このことによって、続く偏向電磁石• 近軸光線近似による CSR コード - 吾郷智紀&横谷馨

3. 出口において、CSR によるエネルギー分布の変化を反映させる。

これまでの計算コードとの大きな違いは Maxwell

4. 次のパーツに進み、2 から繰り返す。偏向電
磁石の出口まで続ける。

方程式をフーリエ変換を施し、周波数成分で扱うことにある [20],[21]。従来の遮蔽効果の計算では、平ステップ 1 の 100 個という数はあくまでも目安で

行平板の場合しか扱うことができなかったが、メッあり、個別に変更することができる。ステップ 2

シュで区切ることができるあらゆるチャンバーのでは乱数を使って発生させた各マクロ粒子の運動形において遮蔽効果を計算できるのが最大の特徴

方程式を積分し、パーツ出口のバンチの分布を推である。このコードは次に示す 2 つの仮定の下で定する。追跡した電子はビンと呼ばれるパラメー

有効である。

ターで区切られた区画に格納される。電子数が少ない場合、ビンの数が多すぎる場合はノイズが入–軌道の曲率半径 R に比べてチャンバーの断p
面の寸法 h が非常に小さいこと, ε = h/R–

後方に進行する放射場が無視できること

りやすいため、Savizky-Golay フィルターと呼ばれるフィルターを用いて高速フーリエ変換を施し、ノイズに対応する高周波数成分を落としてスムージングを行う。ステップ 3 では式 (3.19) および (3.20)

Maxwelll 方程式より、以下の式が出てくる。
∂ 2 E(z)∇(∇ · E(z)) − ∇ × (∇ × E(z)) −∂t2∂J (z)= µ0 ∇J0 +∂t(3.47)

からエネルギー分布の変化を導出し記録する。この際、水平・垂直方向への蹴りは無視している。また、過渡状態も式 (3.33) と (3.37) を用いて取り入れている。ステップ 4 の計算では、前のパーツでの CSR によるエネルギー分布の変化がバンチの分布に反映される。各電子のエネルギー変化によここで、J0 、J (z) は電荷および電流であり、µ0 はる軌道の変化、その結果起こるエミッタンス増加

真空の透磁率である。ここで光速は 1 としている。

などの影響を推定することができる。

この放射場 E をフーリエ変換し、上記の仮定を元15に近軸光線近似をすると水平・垂直方向に対する
放射場 E ⊥ については

2k 2 x∂E ⊥i∇2⊥ +E ⊥ − µ0 ∇⊥ J0
=
∂s
2k
ρ
(3.48)
ここで ∇⊥ = (∂x , ∂y )、∇2⊥ = ∂x2 + ∂y2 である。進行方向の放射場 Es については


∂Ey
i ∂Ex
+
− µ0 J0
Es =
k
∂x
∂y

(3.49)となる。以上の展開は超相対論の高エネルギーで成り立つものだが、低エネルギーに対応する式も同様に導くことができる。
図 3.15: 94mm 四方のチャンバーによる遮蔽効果を含ん計算時間を速くするためにはメッシュの区切りがだ、放射場によるバンチのエネルギー変化。バンチ長は大きいほうが望ましい。式 (3.48) に見られる ∇J0

1 ps、偏向電磁石の曲率半径は 16.3 m である。

の項はバンチの横の広がり程度のスケールである
ため、細かくメッシュを切る必要がある。それを回避するために、電場 E を放射場 E 0 とバンチの作る電場 E b の和として表す方法を発案している。
すると、∇2⊥ E b⊥ = µ0 ∇⊥ J0(3.50)と置き換えることができる。すると、式 (3.48) は次のように書きなおすことができる。

2k 2 x2k 2 x b
∂E 0⊥
i
2
0
=
∇⊥ +
E⊥ +
E⊥
∂s
2k
ρ
ρ
(3.51)
式 (3.51) を解く際にはリープ・フロッグ法 (leap-frog) を用いて E 0⊥ を導き、E b を足し合わせている。
バンチの分布はガウシアン分布の集まりとして近似しており、模式図を図 3.14 に示す。

図 3.16: 94mm 四方のチャンバーによる遮蔽効果を含ん

ここで、94mm 四方のチャンバーの遮蔽効果を取だ、放射場によるバンチのエネルギー変化。バンチ長はり入れた計算結果の例を挙げよう。図 3.15 はバン

10 ps、偏向電磁石の曲率半径は 16.3 m である。

チ長 1 ps、図 3.16 はバンチ長が 10 ps の場合である。短いバンチ長では遮蔽効果が弱く、バンチ長によって大きな差があることがわかる。

16

図 3.17: P および P’ にある 2 つの電子の軌道の模式図。

O と P の間には複数の電磁石からなるラティスが存在する。

図 3.18: KCSR の計算例。ζ は遅延時間。

であり、Ls は P 0 から P への軌道に沿った飛行距離である。CSR による電場は ECSR ≡ E − ESC で• Bmad - D. C. Sagan

求めることができる。

電子が低エネルギーである ERL の入射部付近でト

ここでは、水平・垂直方向の CSR の影響は無視

ラッキングをするために開発されたコードである[6],[24]。このコードでの CSR の影響の計算では、
式 (2.8) の第 1 項目のクーロン力による項を組み込んで計算していることが大きな特徴である。ここでは、CSR に関する部分のみを紹介するが、その他の低エネルギーの電子の物理や ERL 入射部の計算例は宮島氏によって OHO’08 で詳しく説明されているのでそちらを参照にしていただきたい。
Saldin etal と同じように 2 つの電子について考え、前方の電子の位置を P 、後方を P 0 であらわす。模式図を図 3.17 に示す。
O は P 0 の偏向電磁石の出口であり、O から P まで
は複数の電磁石で構成される。式 (2.8) の LiénardWiechert ポテンシャルから求められる電場 E は
CSR による電場のほかに、空間電荷効果 (Space
Charge Effect) と呼ばれる項が合わさったものでし、進行方向の 1 次元のみを扱う。すると、すべての種類の電磁石は偏向電磁石と直線部の組み合わせで表すことができる。それぞれの長さを d と表し、偏向電磁石の場合は曲率半径および偏向角をそれぞれ R および φ と表すことにする6 。ここで、図 3.17 中の v と w を計算しよう。偏向電磁石

O から P まで N 個の電磁石で構成されているとすると、i 番目の電磁石による v と w の変化量は次のようになる。
R (sin(φ + ψ ) − sin ψ ) 偏向電磁石
i
i
i
i
∆vi =
d cos ψ
直線部iiR (cos ψ − cos(φ + ψ ))
偏向電磁石
i
i
i
i
∆wi =
d sin ψ
直線部ii
ここで、ψi は i 番目までの φ の和であり、ある。空間電荷効果とはバンチの中にある電子間

ψi =の斥力であり、エネルギーが低い場合に顕著に現れる現象である。空間電荷効果による電場 ESC は

=

ESC

=

E − ESCen,
4πε0 γ 2 ζ 2

φk

k=1

すでにわかっているため、次のようになる。

ECSR

i−1
X

である。

(3.52)

ここで、単位飛行距離当たりの CSR によるエネル
ギー損失 KCSR ≡ dE/ds は Liénard-Wiechert

ζ = Ls − βL

ここで、L は式 (2.8) と同じ定義で L = (t − t̄)/c

176 直線部の場合は R = ∞、φ = 0 である。

になる。
 
dE
ds CSRZ ∞=dz 0 λ(z 0 )KCSR (z − z 0 )

−∞

Z ∞
≡

−∞

dz 0

dλ(z 0 )ICSR
dz 0(3.55)

式 (3.55) で定義される ICSR を z 0 は式 (3.20) の微分を取り除いた z −1/3 に比例する項と同じになる。
ここで、それぞれの計算結果を比べた結果が図 3.19である。γ 3 ζ/R  1 の範囲では非常によく一致す

図 3.19: ICSR の計算例。ζ は遅延時間。

る一方、γ 3 ζ/R < 1 では z −1/3 の近似式は不の無限大に発散するが、ICSR はゼロに近づき、物理的

ポテンシャルから次のように求めることができる。

に意味のある値になっていることがわかる。

KCSR

Bmad では、入口および出口の過渡状態の式 (3.33)
および式 (3.37) も計算に取り込むことが可能であ= en · ECSR

g(τ 2 − α2 )(α − τ κ)+
(τ 2 + α2 )3re mc2τ 2 − α2 + 2τ ακ
− 2 2
2
2
3
(τ + α )γ ζ(3.53)= 4re mc2 γ 4 τ 2る。遮蔽効果を入れた過渡状態についても計算可
能である。

3.7

ここで、

α = γ2シミュレーションコードによる計算結果
の比較

!


N
X
新しく開発したシミュレーションコードの計算結果の精1
1 2
di ψi + gi di + gd
di + gd2
2
度を判断するために、同じ条件の計算結果を比較すること
i=1
i=1

N
X

κ = γ(θ + gd),

τ = γ(d +N
X

は有効である。上に取り上げたコードのうち、TraFiC4 、

di ) TREDI、Li によるコード、elegant、CSR CALC(本テi=1

キストでは紹介していない), Dohlus による計算結果である。ここで、下付き i がないパラメーターは0

P を含む偏向電磁石を指し、φi は微小であると仮定している。上の具体的な式を追うことも大切だが、φi 、Ri や di の影響を足し合わせることで最終的な式がでることが伝われば十分である。γ で規格化された距離 γ 3 ζ/R を横軸に、KCSR をプロッ
3

(CSRtrack) が報告されているので紹介する [25]。図 3.20に示すようなシケインを設定し、シケイン通過後のバン
チの平均エネルギー E 、エネルギー広がり σE 、規格化
エミッタンス ε を評価しているが、それぞれの結果に大きな差は見られない。
また、Sagan は Bmad を吾郷氏の近軸近似法およびトした図を図 3.18 に示す。ここで、ζ  R/γ お

elegant の計算結果と比較している [26]。図 3.22 ののよび ζ  R/γ 3 の漸近は次のようになる。

結果より、遮蔽効果がある場合で Bmad と吾郷氏の近軸−4re mc2 γ 4
3R2
2re mc2
KCSR ≈ 4/3 2/3 4/3
3 R ζ

KCSR ≈ −

R
γ3
R
ζ 3
γ
ζ

近似法の結果とよく一致することがわかる。h が十分大
きい値では、elegant の自由空間の計算結果と一致して(3.54) いる。

全体のエネルギー損失を KCSR で表すと次のよう

18

図 3.20: ベンチマークに使われたラティスの模式図

図 4.1: Twiss パラメーターとエミッタンスと位相空間

4

CSR の影響とビームダイナミクス

CSR の影響によって引き起こされるエネルギー分布の変化は、低エミッタンスビームの輸送や数十〜百フェム
ト秒の短バンチの実現に大きな障害となる。本章では、CSR の影響がエミッタンスやバンチ長に及ぼすメカニ
ズムを説明し、バンチの質の劣化を防ぐ光学系の設計について紹介する。まずは、その理解のために必要なビー
ムダイナミクスの基礎とバンチ圧縮の原理から始める。

図 3.21: それぞれのコードによる CSR の計算結果の比較。δE 、δσE はそれぞれ平均エネルギーとエネルギー広
がりの変化量を表す。初期値の電子エネルギー、バンチ
あたりの電荷量、規格化エミッタンスはそれぞれ 5 GeV,

1.0 nC, 1.0 mm mrad である。

4.1

ビームダイナミクスの基礎

ビームダイナミクスの基礎については多くの教科書があり [4]、すでに OHO でも取り上げられているため [27]、[28]、ここで改めて取り上げるのはいささか恐縮してしまうが、本テキストに関わるほんの一部分を紹介する。
水平方向の運動を座標 x とその s の全微分、x0 =dx/ds で表す。
図 3.22: Bmad を吾郷氏の近軸近似法および elegant とx =の比較。R=10 m, 偏向電磁石の長さ L = 3.0 m,x0

チャ

ンバーの水平方向および垂直方向のサイズがそれぞれ=p√

εx βx cos(φ(s) + φ0 )(4.1)

εx γx sin(φ(s) + φ1 )(4.2)

式 (4.1) および (4.2) に出てくる βx および γx と、−2αx ≡0.5 m および 0.02 m、バンチ長 σz =0.3mm である。縦βx0 で定義される αx の 3 つが Twiss パラメーターと呼ば

軸は E0 =2.48 keV で規格化している。

れる電子の運動に関するパラメーターである。ここで、

γx βx = 1 + αx2
19

(4.3)

という関係式がある。これらは s に依存する関数で、加

δ >0

x

速器の光学系によって決まり、個々の電子には依らない。

φ(s) は s に依存した位相であり、これも重要なパラメー
ターである。4.4 章で扱うので、後ほど詳しく説明する。
φ0 および φ1 は各電子によって異なる値をもつ位相の初期条件である。εx はエミッタンスと呼ばれる量で、x と基準粒子

x0 のばらつきを示す指標であり、Twiss パラメーターを用いて次の様に定義される。
εx

=
=

1
γx x2 + 2αx xx0 + βx x02
2

1 x2
(αx x + βx x0 )2
+
2 βx
βx

δ <0

図 4.2: エネルギー偏差による遅れ(4.4)

ここで、偏向電磁石における電子の転送行列について考えよう。図 4.2 にエネルギ偏差 δ があるときの軌道を

ここで <> は全ての電子に対する平均を表す。εx π は、
図 4.1 に示した楕円の面積に相当し、電子は各 Twiss パ
ラメーターに対応した楕円上を動くことになる。垂直方示す。エネルギーが基準粒子より高い状態、つまり δ > 0の場合は曲がりにくくなるため、外側に逸れてしまう。

δ < 0 の場合は、逆の傾向が現れる。ここで具体的な Rの成分を求めよう。偏向電磁石の偏向角を θ とし、軌道ある点におけるバンチの状態は 6 次元のベクトルでの曲率半径を ρ とする。垂直成分の運動は無視して他の書き下すと便利である。3.1 章で説明した (x, y, z) に加要素のみを抜き出すと、次のようになる。
えて、x, y の s に対する微分とエネルギー偏差 δ を合わ
R11 R12 R15 R16
せて、 R21 R22 R25 R26 00r ≡ (x, x , y, y , z, δ)(4.5) R =  R51 R52 R55 R56 
R61 R62 R65 R66と表すことにする。r0 の状態の電子がある光学系を通過

した後に r1 に移ったとする。r1 は行列演算で求めるこcos θρ sin θ0 ρ(1 − cos θ)とができ、6 × 6 の転送行列 R を用いて
 − sin θ/ρ

cos θ
0
sin θ


= 

−
sin
θ
ρ(cos
θ
−
1)
1
ρ
sin
θ
−
s


r1 = Rr0
(4.6)
0
0
0
1
で与えられる。ここで、6 × 6 の転送行列の中身は以下(4.8)のようになる。

ここで、エネルギーは十分大きいと仮定し、γ −2 の項はR11 R12 · · · R16
無視した。このエネルギー偏差によって、電子は位相空 R21 R22 · · · R26 
間上を図 4.3 のようにシフトする。
 .
..
.. 
..
R =  ..
(4.7)

.
.
.


このように偏向電磁石ではエネルギー偏差によって軌 R51 R52 · · · R56 
道が異なる。これを s の関数として表したものが分散関
R61 R62 · · · R66
数 η と呼ばれるものである。これは、エネルギー偏差向でも同様に運動を記述できる。

xによって生じる水平方向のずれの指標であり、次のよう

CSR によるエミッタンスやバンチ圧縮に及ぼす影響を議論するには、r0 のエネルギー変化が r1 に及ぼす影に定義される。

響が重要である。このことから、R16 , R26 そして特に

x = xβ + ηx δ

R56 が重要なパラメーターとして出てくる7 。
7R
55 はおおむね 1 である。

(4.9)

ここで、xβ は δ = 0 のときの軌道である。分散関数がゼロでない場合を’ 分散がある’ という表現をすることも

20

δ <0

x’

δ >0

δ >0

δ >0
δ <0

x

(a)

(b)

図 4.5: アーク (a) とシケイン (b) の模式図

δ <0
図 4.3: エネルギー変化による位相空間上のシフトの例。

放射光を取り出す位置の εpx を小さくするためには、

これは ηx = 0 のオプティクスから偏向電磁石に入った

その部分の分散関数をできる限りゼロに近くすることが場合。

望ましい。よって、偏向電磁石の間に 4 極磁石などを組
み合わせて、最終的に分散関数がゼロになるような光学系を組み立てる方法が主流である。このような光学系を

x’

アクロマティックであると呼ぶ。ηx と転送行列の R56 は

δ >0

密接な関係にあり、

Z
R56 =

x

ηx (s)dsρ(s)(4.11)

となる。

δ <0

4.2
図 4.4: 射影エミッタンスの模式図

偏向電磁石からなる光学系によるバンチ
圧縮エネルギー偏差がある電子は偏向電磁石を通過するとあり、エネルギー広がりによってバンチが水平方向に広きに軌道がずれ、それによって進行方向の位置にもずれがってしまう。このときの位相空間の様子の例を図 4.4が生じる。この性質を利用してバンチ長を調整するように示す。図 4.4 の全体の面積が射影エミッタンス εpx とな光学系を作ることができる。偏向電磁石からなる光学呼ばれるものである [29]。ERL で求められている低エ系には主に 2 種類がある (図 4.5)。

ミッタンスビームとは概ね射影エミッタンス εpx が小さ

ひとつはアークと呼ばれるものであり、電子の向きをいビームのことを指す。これは次の式で定義される。

変えるための光学系である。周回部とも呼ぶ。もうひとつはシケインと呼ばれるもので、進行方向を変えない(4.10) まま、エネルギー圧縮やバンチ圧縮を行うための光学系である。まず、周回部で考えてみよう。周回部では、エ式 (4.4) のエミッタンス εx とは違うことに注意してほしネルギーが大きい電子は、偏向電磁石を遠回りすることい。εx は、初期の電子分布と光学系で決まるエミッタンによって遅れが生じ、逆に、エネルギーが小さい電子はスであり、εpx は分散関数や CSR の影響などによるエネ
内側を通るため前方に進む。もし、バンチ前方の電子がルギー変化の影響を含めたエミッタンスである。図 4.4エネルギーが大きく、後方で小さい場合は、バンチの中では、εpx は全ての楕円の面積の和になるのに対し、εx
央に電子が集まることになり、バンチ長が短くなる。模はひとつの楕円の面積に相当する。
式図を図 4.6 に示す。シケインの場合はエネルギーが小

εpx =

p

< x2 >< x02 > − < xx0 >2

21

δ

δ

δ
σ δi

σ δi

σ zi

z

z

z

㻾㻲 䛻䜘䜛ຍ㏿

φ RF

σ zf

図 4.7: RF による傾斜の模式図

図 4.6: 周回部におけるバンチ圧縮の模式図

R56 を用いて次のようになる [30]。
qがって、シケインでバンチ長を短くするには、バンチ前
2 + R2 σ 2σzf =(1 + kR56 )2 σzi(4.14)
56 δi
方のエネルギーが小さく、後方で小さくする必要がある。
q2 + σ2
ERL では周回部でバンチ圧縮をする計画になっているσδf =k 2 σzi(4.15)
δi
ため、これからは周回部の場合について説明する。
ここで、k ≡ dδf /dσi とし、δf は式 (4.13) の加速後のエ
縦軸をエネルギー偏差 δ 、横軸を z とした位相空間（縦ネルギーを表す。図 4.6 の模式図からもわかるように、方向の位相空間）がバンチ圧縮のときに変化する様子をバンチ長が短くなる代償として、エネルギー広がり σδ
図 4.6 に示す。位相空間上に垂直にした場合にバンチ長が大きくなってしまう。バンチ長を最短にするには、式が最短になる。図 4.6 の回転角度は転送行列の R56 で決(4.14) で 1 + kR56 がゼロになる場合でまる。また、δ に対する高次項も考慮にいれると、バンチ
さいほど大きく曲げられるために、遠回りをする。した圧縮による縦方向の位置のずれ ∆z は次のようになる。

∆z = R56 δ + R566 δ 2 + R5666 δ 3 + · · ·(4.12)

fRF = −cσz
2π tan φRF R56(4.16)とすればよく、図 4.6 で縦の位相空間が直立する。このときのバンチ長は σzf ≈ R56 σδi となり、初期のエネル

R56 がゼロの場合ではバンチ長は変わらず、このような周回部をアイソクロナスという。
エネルギー分布の傾斜は加速正弦波の位相 φRF をずらすことによって調整可能である。模式図を図 4.7 に示す。加速周波数を fRF とすると、δ は z に依存する関数
となり、

1
2πfRF
δ(z) ≈−z sin φRFcos φRFc#
2
1 2πfRF+z cos φRF
(4.13)
2c

ギー広がりによって決まる。また σzf  R56 σδi の場
合は

σzf ≈ |1 + kR56 |σzi

(4.17)となり、kR56 でバンチ長を変えることができる。

CSR の影響がバンチ圧縮に影響を及ぼす場合がある。
位相をずらした RF によるエネルギー分布に CSR の影
響が重なると、図 4.8 に示すようにバンチの中央の傾斜がきつくなる。これは、バンチが局所的に強く圧縮されることを示す。その結果、バンチ形状はガウス分布でなとなる。ここで最初の係数 1/ cos φRF は z = 0 の加速をくなり、局所的に電子が集まったところからさらに強い一定にするために導入した。
ここで式 (4.12) および (4.13) について１次項のみを取CSR が発生するなどの影響が生じる。
k を大きくすることはエネルギー広がりを大きくする

り上げて考えよう。圧縮前のバンチ長およびエネルギーことに相当するため、R56 も可変であることが望ましい。

広がりをそれぞれ σzi および σδi とする。すると、バンしたがって、周回部のラティスは 3 つ以上の偏向電磁石

チ圧縮後のバンチ長 σzf およびエネルギー広がり σδf はが組み込まれていることが理想である。3 つの偏向電磁

22

CSR
RF

Arb. Units

CSR+RF

(a)

-1.2

-0.6
0
0.6
longitudinal position z/σz

(b)

1.2

図 4.9: TBA のラティス構造とその βx 、βy および ηx 関

図 4.8: CSR の影響と加速 RF が電子バンチに与えるエ数の例。ラティスの BM*および Q*はそれぞれ偏向電磁

ネルギー変化の計算例

石と 4 極電磁石を表す。(a):アイソクロナス (R56 = 0) で
中央で ηx = −0.14、(b):R56 = −0.3 で中央で ηx = 0.08石からなるアクロマティックなラティスを TBA(Triple

Bend Achromat) と呼ぶ。ラティス構造とそのオプティ
クスを図 4.9 に載せる。4 極電磁石の強さを調整すると、中央の偏向電磁石（図 4.9 では、2 番目と 3 番目の偏向
電磁石の間) の ηx の値を負の値にすることもでき、式(4.11) の R56 を正の値から負の値にわたって調整することが可能である。

図 4.10: テスト用の光学系を基準エネルギー E0 で規格化した項で κ ≡ dδ/ds と
なる。

4.3

R 行列によるエミッタンスの計算

式 (4.18) の運動を表すには、位相空間上の位置ベクト
ルを次のように定義すると便利である。

トラッキングによる CSR によるエミッタンスのシミュ
レーションは時間がかかり、光学系の最適化の能率に影r ≡ (x, x0 , δ, δCSR , κ)T(4.19)

響を及ぼす。ここで、エネルギー変化による影響を一次の項まで考慮に入れた R 行列による計算方法が提案さ

そして、r0 から r1 までの 5×5 の転送行列、r0 = R0−1 r1

れた [31]。ここで、CSR によるエネルギー変化を組み入と定義しよう。偏向角度が θ の偏向電磁石については次れた運動を考えよう。偏向電磁石内では水平方向 x の運動方程式は次のようになる。

d2 x
x
1
= − 2 + [δ + δCSR + κ(s − sA )]ds2
ρρ(4.18)

ここで、右辺の最初の 2 項は偏向電磁石を通過するときの基本となる方程式であり、残りの 2 項が CSR によって新たに付け加えられた項である。sA は偏向電磁石の入り口を示し、sA に到達する前に CSR によって変化したエネルギーを δCSR と表す。κ は wake ポテンシャル

23

のように書き下すことができる。
cos θρ sin θ ρ(1 − cos θ)
 1
sin θ
 − ρ sin θ cos θRbend = 
0
0
1

0
0
0


0

0

0


ρ(1 − cos θ) ρ2 (θ − sin θ)sin θ
ρ(1 − cos θ) 
 (4.20)
0
0


1
ρθ

0
1
図 4.11: 図 4.10 のベータ関数、分散関数および CSR 分

ここで、分散関数 ηx に加えて ζx を新しく定義しよう。

散関数

ζx は CSR に対する分散関数であり、
x = xβ + ηx δ + ζx δCSR

(4.21)がある。分散関数 ηx を CSR の分散関数 ζ は次の式で求めることができる。

ここで、xβ は δ = δCSR = 0 の場合の位置である。CSRの影響によるエネルギー変化は x には依らないと仮定し(ηx (s1 ), ηx0 (s1 ), 1, 0, 0)T = R0−1 (ηx (s1 ), ηx0 (s1 ), 1, 0, 0)Tているので、x の分散は xβ と ∆x = ζx δCSR の分散の和になる。すると、エミッタンス εx は式 (4.10) を用いて、ε2x

この式を使って図 4.10 の光学系を計算した例を図 4.11

= (ε0 βx + D2 )(ε0 γx + D02 )−(ε0 αx − DD0 )2(4.22)

D は wake ポテンシャルによるエネルギー偏差の広がり∆Erms を用いて次のように定義する。
∆δrms∆Erms 1
ζx =
ζx
L
E0 L
∆δrms 0∆Erms 1 0
D0 =
ζx =
ζ
L
E0 L x(ζx (s1 ), ζx0 (s1 ), 1, 0, 0)T = R0−1 (ζx (s1 ), ζx0 (s1 ), 1, 0, 0)TD=(4.23)

ここで、L は偏向電磁石の長さであり、0 は進行方向 sに示す。出口で ηx がゼロになっているにもかかわらず、

ζx がゼロになっていないことが分かるだろう。これは、アクロマティックな光学系でも、CSR によるエネルギーが変化した電子は基準粒子の軌道と合流しないという意味である。低エミッタンスに最適な光学系にするには ζx
も出口でゼロになるのが望ましい。次の章で、そのような光学系について考えよう。

4.4に対する 1 階微分である。∆Erms は式 (3.30) から推定

位相調整法によるエミッタンス劣化の最小化することができる。
前章で述べた ζ をゼロにするにはどうすればいいだろこの方法でエミッタンスを求めるには、うか？ひとつの解として式 (4.1) の位相の進み φ(s) を調• バンチ長が変化しないこと整する方法があるので紹介しよう。周回部はｎ個の同じ光学系の繰り返し（ひとつの光学系の塊をセルという）• 軌道の曲率半径 ρ が常に一定であることで構成されている場合、位相の進みを 2πm/n とすればという条件が必要である。また、過渡状態が無視できなよい。ここで m は整数である。簡単のために、n = 2、い場合は、式 (3.20) に補正項を与えて κ を求める必要m = 1 の場合について考えよう。
24

x’

x’

x

఩┦䛾㐍䜏䃟

x’

x

x

δ <0

δ <0

᭱ึ䛾䝉䝹䛾䜻䝑䜽(a)㻞␒┠䛾䝉䝹䛾䜻䝑䜽

(b)

(c)

図 4.12: 位相 φ(s) の進みが π のときの CSR の抑制

図 4.12 に模式図を示す。(a) は最初のセルで CSR のキックを受けた様子である。位相が進みが φ であるため、位相空間の楕円上を半周する (b)。その後、2 つ目の偏向電磁石で CSR のキックを受ける (c)。すると、最終的には元の位置に戻り、CSR によるキックは相殺される。

TBA に対して、セルあたりの位相の進みが φ = 8π/3の 3 セル構造を組み立てた例がある。その光学系を図4.13 に示す。この光学系でエミッタンスの増加を計算した結果が図 4.14 である。R 行列と elegant の結果はよく一致している。このことから、一次の近似では最後でCSR のキックが相殺され、エミッタンスの増加が抑えられていることがわかる。すでに気づいているかもしれないが、この抑制効果によってエミッタンスの増加をゼロにするには、バンチ長が一定である必要がある。出な
いと、図 4.12 の (a) と (c) のキックの強さが違ってしまうためである。
ここで、理解を深めるために転送行列を用いて射影エ

図 4.13: 図 4.10 で位相調整をしたときのベータ関数、分ミッタンスの変化について説明する [32]。 式 (4.4) で定

散関数および CSR 分散関数

義されたエミッタンスからコヒーレントな摂動を受けた
時の射影エミッタンスを推定することができる。
εx h< ∆x2 > +(αx < ∆x2 >1/2
εpx ≈ εx +βxi+β < ∆x02 >1/2 )2(4.24)

25

Px

Px

θphaseθCSRθCSR=θphase
x

x

(a)

(b)

Direction of kick induced by CSR

図 4.15: エネルギー変化による位相空間上のシフト
図 4.14: 図 4.10 で位相調整をしたときのエミッタンスの計算値。 elegant の結果 (ドット）とよく一致している。

させる手法であり、エンヴェロープ・マッチングと呼ばれる。
エネルギーが変化した電子の動きを位相空間上で見て

ここで、

Z
2

< ∆x >

=
Z

02

< ∆x

>

=

dσδ
R16 (s)dsdsdσδ
R26 (s)dsds

みよう。図 4.3 に示したようにエネルギーにずれが起こ2
2(4.25) ると、位相空間上をシフトするがその方向は偏向電磁石のパラメーターで決まる。その方向 θCSR は次のように(4.26) 転送行列の成分から求めることができ、
θCSR =

である。もし、バンチ長が一定であれば、CSR の影響によって引き起こされる dσδ /ds は一定である。このよRR
うな場合は、 R16 ds = 0 そして R26 ds = 0 の場合に(4.27)となる。通常、位相空間は楕円であり、その傾き φ はTwiss パラメーターでεps の増加が防ぐことができる。このようなラティスはあるセルで受けたキックが別のセルのキックで打ち消されることを意味し、これまでの議論と同じである。しかし、バンチ長に変化がある場合でも、式 (4.26) および式
(4.26) をゼロに近づけることでエミッタンス増加を抑えることができるだろう。

4.5

sin θ
R26
=
R16
ρ(1 − cos θ)tan 2θPhase = 2α/(γ − β)(4.28)となる。
図 4.15 に位相空間の楕円の φ が θCSR と垂直である
場合 (a) と直線上にある場合 (b) を図示した。図から、(b) で全体の楕円の占める面積、エミッタンスが小さい
ことがわかるだろう。

エンヴェロープ・マッチングによるエミッ
バンチ当たりの電荷量がサブナノクーロン以上に大きタンス劣化の最小化
くなると、多次項成分が無視できなくなり、エミッタン
スが最小となる点が θCSR = θPhase という条件から外れ十分にスペースを確保できない場合、4.4 章に示したてしまうこともある [33] 。

ように位相の進みを調整する余裕がない場合がある。そのような場合でも、エミッタンス増加を完全に抑制する

4.6

ことはできないが、最小にとどめる方法がある。エミッタンスの楕円の長径方向と CSR のキックの方向を一致

コンパクト ERL の周回部の最適化

ここで、ERL の試験器として計画中のコンパクト ERL
で、周回部の最適化を行ったので紹介する。まずは、パ

26

Injection∆E/E0

Accelerate at phase φz

Non isochronousarc section(Insertion Device )図 4.16: コンパクト ERL のラティス案

ラメーターの設定について説明する。最終的な ERL で

表 4.1: コンパクト ERL のパラメーターの設定

目指すエネルギー 5GeV とエミッタンス 10−12 m · radは、波長 λSR = 10−10 m で強い放射光を取り出すこと

モードを目安にして決めている。5GeV とは、ERL にはアン
ジュレーターと呼ばれる放射光を取り出す挿入光源の 0

E0
σz
εxn

次光の放射光の波長が 10−10 m となるエネルギーである。エミッタンス 10−12 m·rad は回折限界 εx < λSR /4π
から決まり、この回折限界以下にエミッタンスを小さく

低 εnx

165MeV
1 ps−7
10 m · rad

バンチ圧縮

THz CSR

fs X-ray

165MeV0.1 ps−4
10 m · rad

65MeV< 0.1 ps10−4 m · rad

しても輝度が高くなることはない。
しかし、エネルギーの低いコンパクト ERL でエミッ

り、バンチ当たりの電荷量は 1 nC を目標値としている。

タンス 10−12 m · rad はほぼ不可能である。なぜなら、テラヘルツギャップと呼ばれる 1THz から 10THz までの

数 MeV 以上では CSR の影響は電子のエネルギーに因

CSR を光源として利用するためにはバンチ長が 0.1 ps

らずにバンチ長と電荷量に依存するため、エネルギーが以下であることが望ましい。この場合、CSR の影響に低いほどエミッタンスに対する影響は大きくなるためで

よってエミッタンスの増加を抑えることは困難であるたある。そこで、エネルギーの異なるコンパクト ERL でめ、目標値を 10−4 m·rad とする。これは、横方向のビー

エミッタンスの評価を行うときは、電子のエネルギーをムのサイズを波長以下に抑える必要があるためである。

考慮に入れたエミッタンスが必要とされる。これは、規フェムト秒 X 線では電子のエネルギーに条件が加わり、格化エミッタンス εnx と呼ばれ、εnx = γεx と定義されユーザーが必要とする 50keV 付近をチタン・サファイア

る。このコンパクト ERL での規格化エミッタンスの目

レーザーで発生させるには電子エネルギーが 65MeV 程

標値は 10−7 m · rad とする。

度でなければならない。これは、テラヘルツ光源のケー

電子のエネルギーは最大 165MeV、バンチ長は通常スに比べて CSR の影響が大きく、バンチ圧縮はより困

モードで数 ps、バンチ圧縮モードで 0.1 ps を目標とし難となる。これらのパラメーターを表 4.1 にまとめた。

ている。通常モードのバンチ長は 1.3GHz の RF 周波数で加速した際、エネルギー偏差 δ の拡がりが 5 × 10−5
以下にするためである。バンチ当たりの電化量は 77pC
が目標値である。バンチ圧縮モードでは、テラヘルツコ
ヒーレント光やフェムト秒 X 線の光源利用が目的であ

図 4.16 にコンパクト ERL のレイアウトを示す。低エ
ミッタンスモードでは RF の位相をずらすことなく加速し、アイソクロナス (R56 = 0）の周回部を通す。バンチ
圧縮のモードでも、入射時のバンチ長は低エミッタンス

27normalized emittance (mm mrad)

not-optimized
optimized
initial emit (0.1 mm mrad)

2

1.5

1

0.5

0

60

80

100

120

140

160

180

9

0.15

emittance(mm mrad)
8
0.1
7
6
0.05
5

Bunch Length (ps)Normalized emittance (mm mrad)

2.5

SigZ (ps)
4

40

60

80

100

120

140

160

0

Electron Energy (MeV)

200

Electron Energy (MeV)

図 4.18: 電子のエネルギーを変えたときの最短バンチ長
図 4.17: コンパクト ERL の周回部において生じる CSRと規格化エミッタンスを計算した結果。バンチ当たりのによるエミッタンス増大の計算。エンヴェロープ・マッチ

電荷量は 77 pC

ングを満たすように周回部の光学系を最適化すると、エミッタンスの増加を抑えることができることが示されて165 MeV

125 MeV

65 MeVいる。バンチ当たりの電荷量は 77 pC、バンチ長は 1 ps
である。
1 ps

モードと同じである。これは、CSR の影響はエネルギー
図 4.19: バンチ圧縮後の縦方向の位相分布。電子のエが低いほど大きいためであり、バンチ圧縮は加速後に行う。左上から入射したバンチは加速空洞でバンチ中心に

ネルギーは 165MeV, 125MeV および 65MeV の場合である基準粒子が最大エネルギーになるまで加速し、RF計算。

の位相は前方でエネルギーが高く、後方で低くなるように調整する。このように進行方向にエネルギー分布に傾つ紹介したが、コンパクト ERL では直線部までの磁石斜がついたバンチが、R56 > 0 の周回部を通ってバンチの数に限りがあるために位相調整法を使うことができな

長が短くなる8 。周回部直後の周期長補正のためのシケ

いため、エンヴェロープ・マッチング法で最適化した。

インがあり、その後に挿入光源が入る直線部が続く。規電子のエネルギー 65MeV から 205MeV に対してシミュ

格化エミッタンスおよびバンチ長の評価は挿入光源が入レーションした結果を図 4.17 に示す。エンヴェロープ・

る直線部で行う。

マッチング法によって、効果的にエミッタンス増加を抑シミュレーションコード elegant を用いて、周回部制できていることがわかる。65MeV 付近に残るに規格の最適化を行った結果について紹介する。バンチ当たり

化エミッタンスの増加も輝度が著しく減少するレベルでの電荷量 77 pC、バンチ長 1 ps とし、低エミッタンス
モードで規格化エミッタンスの増大を評価した。エミッタンス増加を抑えるには遮蔽効果が一番期待できると述はなく、低エミッタンスモードは周回部の最適化によってシミュレーション上では実現可能であることがわかる。
次はバンチ圧縮モードについて評価を行った。図 4.18

べた。しかし、偏向電磁石の曲率半径は 1 m であるこはバンチ長が最短になるように最適化したときの挿入光とから、式 (3.39) より遮蔽効果が期待できるのはチャン

源でのバンチ長および規格化エミッタンスである。全体

バーの断面のサイズがバンチ長程度となり、現実的でな的な傾向としては、電子エネルギーが大きいほどバンチい。これまで、エミッタンスの増加を抑制する方法を２
8R56 の符号の定義は計算コードによって異なる。本テキストでは

elegant の定義に合わせる。

28

長が長くなるが、揺らぎが大きい。これは、光学系の高次項や CSR の影響によって生じたテールの影響が原因

150
SigZ (ps)

0.2

100
0.1
50

emittance(mm mrad)
0

0

200

400

600

800

0
1000

140

0.6
emittance(mm mrad)

120
100

0.4

80
60
SigZ (ps)400.2

Bunch Length (ps)normalized emittance (mm mrad)

0.3

Bunch Length (ps)normalized emittance (mm mrad)

200

20
0

0

200

400

600

800

0
1000

Bunch Charge (pC)

Bunch Charge (pC)

図 4.20: バンチ当たりの電荷量を変えたときの最短のバ

図 4.21: バンチ当たりの電荷量を変えたときの最短のバンチ長と規格化エミッタンスを計算した結果。電子のエンチ長と規格化エミッタンスを計算した結果。電子のエネルギーは 165MeV である。

ネルギーは 65MeV である。

である。図 4.19 に 165MeV, 125MeV および 65MeV の5

場合の縦方向の位相空間のプロットを示す。ここでは、謝辞
このテキストを完成させるにあたり、多くの人の協力

縦軸は δ 、横軸は t = cz である。縦方向のバンチの形をいただきました。特に、CSR の原理から計算コード状が複雑に変化するが、密度の高い部分のみを切り取るまで、詳細に原稿を見ていただいた吾郷智紀氏には、心と、バンチ長が電子のエネルギーにしたがって短くなるより感謝しています。また、日本原子力機構の羽島良一

ことが見て取れる。

氏から CSR からビームダイナミクスまで幅広い面でごバンチ当たりの電荷量が 1 nC の場合について、電子指摘を頂きました。また、横谷馨氏からは貴重なご意見のエネルギーが 165MeV と 65MeV の場合で検証を行っをいただきました。宮島司氏には低エネルギーの CSR

た結果をそれぞれ図 4.20 と 4.21 に示す。165MeV ではについて有意義な議論をしていただきました。最後に、電荷量が大きくなるにつれ、達成可能なバンチ長が限ら放射光施設の小林幸則氏、坂中章悟氏、原田健太郎氏にれてしまうが、400 pC 以下であれば、バンチ長 0.1 ps 以

は、本テキスト執筆のために日常の業務に配慮をしてい下および規格化エミッタンス 10−4 m · rad を実現できる

ただきました。ここで、改めて感謝の意を示したいと思見込みがある。1 nC の場合でも 0.25 ps 以下まで圧縮すいます。

ることができ、エミッタンス増加もコヒーレント性を著

コヒーレント放射光の影響とバンチ圧縮という難しい

しく損なうほど大きくはない。図 4.21 に示した 65MeV

テーマについて、筆者の力量以上のトピックを詰め込んの場合では、電子のエネルギーが低いために CSR の影でしまったため、説明不十分な箇所が多数あるかとおも響の影響を受けやすく、165MeV に比べてバンチ圧縮がいますが、おおよその全体像が伝わればうれしいと思い困難であることがわかる。バンチ長 0.1 ps を実現するにます。

はバンチ当たりの電荷量を 100 pC 以下に抑えなければならないことがわかる。

29

Appendix

γ → ∞、δh → 0 の極限で単位長さ当たりのインピー
ダンス Z を求める。変数を k = ω/βc = n/R とすると、

A遮蔽効果を含めたインピーダンス

次のようになる。

∞
πkR X h 0
J (r)Hn0 (1) (r)h p=0 n
ここで遮蔽効果のインピーダンスを求める手順につい
n2
(1)
J
(r)H
(r)
(A.6)
−
1
−
n
て概略を紹介する [20]。本章では極座標 (r, θ, z) を使う。
nr2rFrenet-Serret 座標系との関係式は r = x, rθ = s および α 2pr ≡ n 1−(A.7)
z = y となる。
k
Warnock によると [19],[13]、インピーダンス Z̄ はベッ ここで表現を簡単にするために、ベッセル関数の代わりセル関数 (Bessel function) を用いて表すことができる。
にエアリー関数 (Airy function) を導入する [20], [21]。
ベッセル関数とはエアリー関数とは、

 

2
1 d
df (x)
n
d2 f (z)x+ 1 − 2 f (x) = 0(A.1)− zf (z) = 0
(A.8)
x dx
dx
x
dz 2
の微分方程式を満たす関数である。すると、式 (A.6) のを満たす関数のことであり、2 つの独立な関数 Jn (x) お実部は次のようになる。
(1)
よび Yn がある。その他に Hn は第 1 種ハンケル関数
∞ 
πkR X 02
1 − z2 2(Hankel function) が次のように定義されている。
ReZ(k) = Z0
J(r)
J n (r) +
n
h p=0
z2

1/3
Hn (x) = Jn (x) + iYn (x)
(A.2)
2π
2
= Z0
h Rk
このハンケル関数も式 (A.1) の解となる。周回当たりの
∞ h
i
X
2
2
インピーダンスは次のように与えられる。
×(A.9)
Ai0 (βp2 ) + βp2 Ai(βp2 )

の導出

Z(k)

= Z0

p=0

2π 2 Z0 R
ここで、βp は次のように定義する。
β h


1/3
∞
X
βωR 0
π c2 R×
Jn (γp R)Hn0 (1) (γp R)
Λp(A.10)
βp = (2p + 1)
nc
h 2ω 2p=0#
同様に虚部は次のようにエアリー関数で表すことがで
αp2(1)+ 2 Jn (γp R)Hn (γp R)(A.3) きる。
γp

1/3
2π
2
ImZ(k)=−Z0
ここで、δh はバンチの垂直方向のサイズであり、Z0 は
h Rk∞
真空のインピーダンスである。下付き p は垂直方向の
X
 0 2

×
Ai (βp )Bi0 (βp2 ) + βp2 Ai(βp2 )Bi0 (βp2 )モード番号を表し、αp および γp は、z 方向の波数およZ̄(n, ω)n=

び r 方向の波数で次のように決められる。
rπ
ω2− αp2 ,
αp = (2p + 1) γp =
h
c2

p=0

(A.11)(A.4)

参考文献

さらに、次のパラメーターを導入している。


Λp =

sin x
x

2
,

x=

πδh
(2p + 1)2h[1] J. Schwinger ; On the Classical Radiation of Ac(A.5)

30celerated Electrons ; Phys. Rev. Vol.75, 1912-1925,1949

[2] 今村勤 ; 物理とグリーン関数 ; 岩波書店
[3] J.B.Murphy, S. Krinsky and R. L. Gluckstern ; Longitudinal wakefield for an electron moving on a circler orbit ; Particle Accel. Vol. 57, 9-64, 1997

Hartrott, J. S. Lee, J. Rahn, U. Schade and G.
Wustefeld ; Coherent synchrotron radiation at themetrology light source ; Proceedings of EPAC 2008,
2058-2060, 2008[13] R. L. Warnock; Shield coherent synchrotron radiation and its effect on very short bunchs ; SLAC-[4] J.D. ジャクソン ; 電磁気学 原書第３版; 吉岡書店
1998 年

Pub-5375, 1990

[5] J. S. Nodvick and D. S. Saxon ; Suppression of[14] Y. S. Derbenev, J. Rossbach, E. L. Saldin, and V.
Coherent Radiation by Electrons in a Synchrotron
D. Shiltsev ; Microbunch radiative tail-head inter; Phys. Rev. Vol. 96, 180-184, 1954
action ; TESLA-FEL 95-05, 1995
[6] D. C. Sagan, H. Hoffstaetter, C. E. Mayes and U.
[15] Y. S. Derbenev and V. D. Shiltsev ; Transverse
Sae-Ueng ; Extended 1D method for coherent radieffects of microbunch radiative interaction ; SLACation including shielding ; submitted to Phys. Rev.
Pub-7181, 1996
ST[16] E. L. Saldin ; On the coherent synchrotron radi[7] X. Huang, J. Safranek, J. Corbett, Y. Nosochkov,
ation of an electron bunch moving in an arc of aJ.Sebek and A. Terebilo ; Low alpha mode forcircle ; Nucl. Inst. Meth. A Vol. 398, 373-394, 1997
SPEAR3 ; SLAC-PUB-12601, 2007[17] G. Stupakov and R. Emma ; CR wake for a short[8] J. Feikes, P. Kuske, R. Muller and G. Wustefeld ;magnet in ultrarelativistic limit ; SLAC-Pub-9242,
Proceedings of EPAC 2006, 3308-3310, 2006
2002
[9] L. I. Schiff ; Production of Particle Energies beyond [18] 横谷馨 ; ERL 入門 ; OHO’03, 2003 年
200 MeV ;The Review of Scientific Instruments Vol.
[19] R. L. Warnock and P. Morton ; Fields excited by a17, 6-14, 1946
beam in a smooth toroidal chamber part I : longitu[10] T. Nakazato, M. Oyamada, N. Niimura, S.
dinal coupling impedance ; SLAC-Pub-4562, 1988
Urasawa, O. Konno, A. Kagaya, R. Kato, T.
[20] T. Agoh and K. Yokoya ; Calculation of coherent
Kamiyama, Y. Torizuka, T. Nanba, Y. Kondo, Y.
synchrotron radiation using mesh ; Phys. Rev. ST
Shibata, K. Ishi, T. Ohsaka and M. Ikezawa ; ObAccel. Beams Vol. 7, 054403, 2004
servation of coherent synchrotron radiation ; Phys.
Rev. Vol. 63, 1245-1248, 1989[21] 吾郷智紀 ; 近軸光線近似による干渉性シンクロト
ロン輻射の解析 ; 学位論文, 東京大学, 2005 年[11] A.-S. Muller, I. Birkel, B. Gasharova, E. Huttel, R.
Kubat, Y. -L. Mathis, D. A. Moss, W. Mexner, R. [22] G. Bassi, T. Agoh, M. Dohlus, L. Giannessi, R.
Rossmanith, . Wuensch, P. Wesolowski, F. Perez,
Hajima, A. Kabel, T. Limberg and M. Quattromini
M. Pont and C. J. Hirschmugl ; Far infrared co; Overview of CSR codes, Nucl. Inst. Meth. A Vol.

herent synchrotron edge radiation at ANKA ; Proceedings of EPAC2005, 2518-2520, 2005

557, 189-204 (2006)[23] M.Borland ; Simple method for particle tracking[12] R. Muller, A. Hoehl, R. Klein, G. Ulm, M. AboBakr, K. Burkmann-Gehrlein, J. Feikes, M. V.
31

with coherent synchrotron radiation ; Phys. Rev.
ST Accel. Beams Vol. 4, 070701, 2001

[24] D. C. Sagan ; An effecient formalism for simulating the longitudinal kick from coherent synchrotron
radiation ; Poceedings of EPAC2006, 2829-2831,
2006[25] L. Giannessi ; Simulation codes for high brightness
electron beam free-electron laser experiments ; Phy.
Rev. ST Accel. Beams Vol. 6, 114802, 2003[26] D. C. Sagan ; CSR including shielding in the beam
dynamics code Bmad ; Poceedings of EPAC2008,
1634-1636, 2008[27] 神谷幸秀 ; 加速器の原理 ; OHO’84[28] 鎌田進 ; ビーム物理学入門 ; 総研大加速器科学専
攻 2000 年度コアカリキュラム「ビーム物理学」副読本, 2000 年[29] 横谷馨 ; ERL track manual[30] Linac coherent light source conceptual design report ; SLAC-R-593, Chap.7, 2002[31] R. Hajima ; A first-order matrix approach to theanalysis of electron beam emittance growth causedby coherent synchrotron radiation ; Jpn. J. Appl.
Phys. Vol. 42, 974-976, 2003[32] J. H. Wu, J. B. Murphy, V. Yakimenko, I. BenZvi, W. Graves, E, Johnson, S. Krinsky, T. Shaftan ans L. H. Yu ; Coherent synchrotron radiation
analysis for the photoinjected energy recovery linac
and UVFEL projects at the NSLS ; Proceedings of
PAC2001, 1866-2868, 2001[33] R. Hajima ; Emittance compensation in a returnarc of an energy-recovery linac ; Nucl. Instr. Meth.
A Vol. 528 335-339, 2004[34] 羽島良一、中村典雄、坂中章悟、小林幸則 ; コンパ
クト ERL の設計研究 ; KEK report 2007-7, 2008 年
出版

32