数学

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII数 学

入試直前対策問題【問 1 】 各問いに答えなさい。
⑴

3－（－ 2 ） を計算しなさい。

⑵

24の倍数であるものを，次のア～エから 2 つ選び，記号を書きなさい。
2 2×3 3× 5〔アイ2 2×3 4×5 2ウエ

2 3×3 2× 5

2 4×3 2× 5 〕⑶

2 x−3 y×（－12） を計算しなさい。
6⑷     75－      12 を計算しなさい。

⑸

連立方程式

⑹

縦が x cm，横が y cm の長方形がある。このとき， 2（ x + y ）はどのような数量を表しているか，言葉で書

2 x＋ 3 y＝ 1
3 x ＋ 2 y ＝− 6を解きなさい。

きなさい。
図１⑺

資料は，卵10個の重さを調べ，その値を左からア小さい順に並べたものである。資料をもとにして作成した箱ひげ図として最も適切なものを図 1 のイ

ア～エから 1 つ選び，記号を書きなさい。

ウ〔資料〕

エ

46，48，49，50，52，54，54，55，56，56（単位：g）⑻

45505560（g）

1 ， 2 ， 3 ， 4 の数が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードが入った袋がある。この袋から，カードを 1 枚取り出し，それを袋に戻さないで，続けてカードを 1 枚取り出す。はじめに取り出したカードに書かれている数を x ，続けて取り出したカードに書かれている数を y とするとき， x ＞ y となる確率を求めなさい。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
⑼

表は， y が x に反比例する関係を表したものである。表の･･･

－4･･･

y･･･

3･･･

0･･････― 10 ―243に当てはまる適切な数を書きなさい。

表x12･･････

数学

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図２

図 2 のように，∠ＡＯＢ＝60°のおうぎ形ＯＡＢがある。

⑽

A

ＡＢ上に，∠ＰＯＢ＝15°となる点Ｐを，定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし，点Ｐを表す文字Ｐも書き，作図に用いた線は消さないこと。
BO

図 3 において，∠ x の大きさを求めなさい。

⑾

図330°

図 4 は，△ＡＢＣの辺ＡＢ上に，∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＤとなる⑿

35°

ように点Ｄをとり，点Ｃと点Ｄを結んだものである。

x40°

ＡＢ＝ 6 cm，ＡＣ＝ 5 cm のとき，線分ＡＤの長さを求めな
さい。

図4ADB

C

【問 ２ 】 各問いに答えなさい。
表は，春さんの通う中学校の 3 年生20人， 2 年生30人についⅠて，ハンドボール投げの記録を調査し， 3 年生と 2 年生のハンドボール投げの記録を比較するために整理した度数分布表である。

表からわかることについて，正しいものを次のア～エから⑴アイ⑵2 年生の記録の中央値を含む階級は，15ｍ以上20ｍ未満の階級である。
3 年生の記録の範囲は， 2 年生の記録の範囲より大きい。

ウ

2 年生の記録の最頻値は12人である。

エ

階級の幅は 5 ｍである。





すべて選び，記号を書きなさい。

表
3 年生

2 年生

度数（人）

度数（人）

5 以上～ 10未満

1010～ 150

315～ 203620～ 2531225～ 30

12930～ 35

10

計

2030

記録（ｍ）

3 年生20人から無作為に 1 人を選んだときと， 3 年生と 2 年生を合わせた50人から無作為に 1 人を選んだ
ときで，ハンドボール投げの記録が20ｍ未満の生徒が選ばれやすいのはどちらのときか。正しいものを次のア，イから 1 つ選び，記号を書きなさい。また，それが正しいことの理由を，累積相対度数の値を示して説ア

3 年生20人から無作為に 1 人を選んだときである。

イ

3 年生と 2 年生を合わせた50人から無作為に 1 人を選んだときである。

― 11 ―

  明しなさい。

数学

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

図 1 は，底面の半径が 3 cm，高さが 4 cm の円錐である。

Ⅱ

図1⑴ この円錐の投影図として最も適切なものを，次のア～エから1 つ選び，記号を書きなさい。
エ︵立面図︶ ︵平面図︶

ウ︵立面図︶ ︵平面図︶

Ⅲ︵立面図︶ ︵平面図︶⑵イ︵立面図︶ ︵平面図︶ア

この円錐の体積を求めなさい。

夏さんは，連続する 2 つの偶数について，次のように予想した。
〔夏さんの予想〕
連続する 2 つの偶数について，それぞれを 2 乗した数の和は偶数になる。
例えば，連続する 2 つの偶数を 2 ， 4 とすると，2 2＋4 2＝20＝ 2 ×10となる。

夏さんの予想がいつでも成り立つことを，次のように説明した。
n を整数とすると，連続する 2 つの偶数は，小さい順に， 2 n ，

あ〔夏さんの説明〕と表すことができる。

2＋（（ 2 n）

あ

このとき，この 2 つの偶数をそれぞれ 2 乗した数の和は，）2＝ 8 n 2+ 8 n + 4 = 2（ 4 n 2+ 4 n + 2 ）となる。

4 n 2+ 4 n + 2 は整数なので， 2（ 4 n 2+ 4 n + 2 ）は偶数である。
したがって，連続する 2 つの偶数について，それぞれを 2 乗した数の和は偶数になる。
あ⑴

夏さんは，夏さんの予想の「連続する 2 つの偶数」を「連続する 2 つの奇数」に変えても，それぞれを 2乗した数の和は偶数になることに気がつき，次のようにまとめた。

い⑵に当てはまる適切な式を n を用いて書きなさい。に当てはまることとして最も適切なものを，下のア～ウから 1 つ選び，記号を書きなさい。
〔夏さんがまとめたこと〕
連続する 2 つの奇数について，それぞれを 2 乗した数の和は偶数になることがわかった。「連続する 2それぞれを 2 乗した数の和は偶数になる」ことから，「いつの偶数について，それぞれを 2 乗した数の和は偶数になる」ことと「連続する 2 つの奇数について，2 つの整数について，それぞれを 2 乗した数の和は偶数になる」といえる。
〔ア⑶差が 2 である

イ

連続するウ異なる〕

連続する 4 つの正の整数について，それぞれを 2 乗した数の和が86となるとき，連続する 4 つの正の整数のうち， 1 番小さい正の整数はいくつか。方程式をつくり，求めなさい。ただし，用いる文字が何を表すかを最初に示し，方程式と答えを求めるまでの過程を書くこと。

― 12 ―

数学

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII【問 ３ 】 各問いに答えなさい。
桜さんの通う学校には，図 1 のような，バス停から学校までの道のりが 6 km の道路がある。スクールバス

Ⅰは，バス停から学校までの間を往復する。桜さんの家は，バス停と学校の間のスクールバスが進む道路上にあり，16時にバス停から学校に向かって出発したスクールバスは，16時 5 分に桜さんの家の前を通過する。図 2は，16時から x 分後におけるバス停からの距離を y km として， x と y の関係をスクールバスについて，グラフに表したものである。ただし，スクールバスは一定の速さで往復するものとする。
図１

図２バス停

桜さんの家

学校

y6

36 km
0102030405060 x⑴ 16時にバス停を出発したスクールバスが，バス停から学校まで走り，折り返して再びバス停にもどるとき，スクールバスは学校で何分間停車していたか，求めなさい。

バス停からの距離が 2 km の地点に桜さんの家があるということは，図 2 をもとにして，次のように説明⑵することができる。に当てはまる説明を書き，説明を完成させなさい。

〔説明〕
図 2 のグラフでを読み取ると，バス停からの距離が 2 km の地点に桜さんの家があることがわかる。

⑶

ある日，桜さんは，16時に学校を出発し，スクールバスが進む道路と同じ道路を時速 4 km で桜さんの家に向かって一定の速さで歩いた。
①

桜さんが16時に学校を出発してから，桜さんの家に着くまでの様子について， x と y の関係を表すグラフを図 2 にかきなさい。
②

桜さんは，学校を出発してから桜さんの家に到着するまでの間に，バス停から学校に向かうスクールバスと何回すれ違うか，求めなさい。
③

桜さんの弟は，16時35分に桜さんの家を自転車で出発し，スクールバスが進む道路と同じ道路を時速12 km で学校に向かって一定の速さで進んだところ，学校から桜さんの家に向かって歩いている桜さんと出会った。このとき，桜さんの弟が桜さんに出会った時刻は16時何分何秒か，求めなさい。

― 13 ―数学IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1 2x のグラフ上に， x 座標が－ 4 である4点Ａをとったものである。また，点Ａと y 軸について対称な
図 3 は，関数 y =Ⅱ

図３1x2y＝ ―4y点Ｂをとり，関数 y = a x 2（ a ＜ 0 ）のグラフ上に点Ｂと x 座標が等しい点Ｃをとったものである。
BA1のとき，点Ｃの y 座標を求めなさい。
2x⑴

a =－⑵

△ＡＢＣの面積が24となるとき， a の値を求めなさい。

C⑶図 4 は，図 3 において， 3 点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円を円Ｏ′

y＝ax 2Oとしたものである。

図４y①

円Ｏ′の半径が 5 となるとき，円Ｏ′の中心の座標を求めなさい。

AB1のとき，円Ｏ′の中心を通り，△ＡＢＣの面積16を二等分する直線の式を求めなさい。

②1x2y＝ ―4a =－OOCy＝ax 2【問 ４ 】 各問いに答えなさい。
図 1 は，∠ＡＢＣが鋭角である平行四辺形ＡＢＣＤにおいて，

Ⅰ

図１F辺ＡＤ上に点Ｅをとり，辺ＢＡを延長した直線と，線分ＣＥを延A長した直線の交点をＦとしたものである。

あ図 1 において，△ＦＢＣ∽△ＣＤＥは，次のように証明する⑴に当てはまる適切な言葉を書きなさい。また，「平行四辺形の性質」になるように，いことができる。証明 1 の当てはまる適切な言葉を書きなさい。
〔証明 1 〕
△ＦＢＣと△ＣＤＥで，平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は，それぞれ平行なので，①より，平行線のあＡＤ // ＢＣ…①は等しいので，
い∠ＦＣＢ＝∠ＣＥＤ…②ので，∠ＦＢＣ＝∠ＣＤＥ…③②，③より， 2 組の角が，それぞれ等しいので，△ＦＢＣ∽△ＣＤＥ― 14 ―にBEDC

数学

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図 2 は，図 1 において，点Ｅを，辺ＡＤを 4 等分した点のう⑵図２ち，点Ａに最も近い点に変えたものである。
①FAED

ＦＢはＦＡの何倍になるか，求めなさい。
B②C

四角形ＡＢＣＥと△ＣＤＥの面積の比を求め，最も簡単な整数の比で表しなさい。

図 3 は，図 1 において，点Ｅが辺ＡＤの中点，ＣＤ＝ＣＥとなるよⅡ

図3F

うに，平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＢＣの長さ，∠ＡＢＣの大きさ，点Ｅの位置を変え，線分ＡＣと線分ＢＥの交点をＧとしたもので

EAある。

DG

△ＡＢＣ≡△ＥＣＢは，次のように証明することができる。
う⑴，いあに証明の続きを書き，証明 2 を完成させなさい。ただしBCには証明 1 と共通の言葉が入る。

〔証明 2 〕
△ＡＢＣと△ＥＣＢで，①より，平行線のあ平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は，それぞれ平行なので，ＡＤ // ＢＣ…①は等しいので，
い∠ＥＣＢ＝∠ＣＥＤ…②ので，∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ…③
仮定より，ＣＤ＝ＣＥ…④④より，△ＣＤＥはＣＤ＝ＣＥの二等辺三角形より， 2 つの底角が等しく，∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ…⑤②，③，⑤より，う⑵∠ＣＤＥ＝50°のとき，∠ＡＦＥの大きさを求めなさい。

図4

図 4 は，図 3 において，∠ＡＢＣ＝60°，平行四辺形ＡＢＣＤの面Ⅲ2積を 2 3 cm としたものである。このとき，辺ＡＤ上にＣＨ＋ＨＢ

Fの長さが最も短くなるように点Ｈをとり，点Ｇと点Ｈを結ぶ。
⑴

A

ＨＥの長さを求めなさい。

HEDG

⑵

△ＡＨＧの面積を求めなさい。
B― 15 ―C