九州大学理学部物理学科（物理学コース）
平成 20 年度 第３年次編入学試験
物理学
平成 19 年 7 月 7 日 (土) 9:00—12:00

注意事項(1) 試験開始の合図があるまでこの冊子を開かないこと．
(2) 問題冊子は表紙を含め 7 枚で、問題は［I］から［III］まである。
(3) 解答用紙には、それぞれ受験番号と氏名を記入すること．
(4) 解答は解答用紙の指定された箇所に記入すること．下書きには問題用紙の余白や裏面などを利用し，解答用紙の余白には下書きをしないこと．
(5) 問題冊子は持ち帰ること．

1

［I］ (80 点)［I − 1］ ２次元の力の場 F = (Fx , Fy ) のもとで、平面内を運動する質量 m の質点を考える。力の場 F が、Fx = −ax(x2 + y 2)
Fy = −ay(x2 + y 2 )で与えられる時、以下の問いに答えよ。ただし、a は定数とする。また、デカルト座標系を下図のようにとり、質点の位置ベクトルを r = (x, y) とする。

1. 一般の２次元の力の場 F が、保存力であるための条件式を書け。
2. 上で与えた力の場 F は保存力か、保存力でないか？前問の条件式に基づき判定せよ。
さらに、保存力の場合には、力のポテンシャル U(x, y) を求めよ。ただし、x = y = 0 の時、U(x, y) = 0 とする。

3. z 軸を、紙面に垂直 手前向きにとる。質点の原点 O に関する角運動量 (ベクトル) の z 成分 Lz を、その位置ベクトル r = (x, y) および運動量ベクトルp = (px , py ) の成分を用いて表せ。
4. Lz は保存しているか？運動方程式を用いて判定せよ。

yrxO2

［I − 2］ 質量の無視できる長さ l の棒の一端に質量 m の質点を付け、他端を Oに固定した振り子の、鉛直面内の運動を考える。ただし、振り子は O のまわりに滑らかに回転するとする。また、振り子の向きは鉛直下向きから反時計回りに測った角度 θ で表し、重力加速度の大きさを g とする。

1. 図のように、質点に糸を付け、水平方向から力を加え質点を静止させたとき、質点に加わっている力をすべて挙げよ。解答欄の図に、力のベクトルを矢印で、その大きさを式で、それぞれ書き込め。
2. 次に、水平方向の糸を切って、質点を鉛直面内で運動させる。以下の問いに答えよ。ただし、時刻を t とし、θ の t についての 1 階および 2 階微分を、それぞれ θ̇ および θ̈ と表す。また、x 軸および y 軸を図のようにとる。
(a) 質点の速度ベクトル v の x 成分 vx と y 成分 vy を、θ およびその時間微分などを用いて表せ。
(b) 棒が質点に及ぼす力は棒に平行な成分しか持たない。それを T として、質点に関する x 方向と y 方向の運動方程式を、θ およびその時間微分などを用いて表せ。ただし、T は O に向かう向きを正にとる。
(c) x 方向と y 方向の運動方程式から T を消去して、次の微分方程式
θ̈ = −A sin θ(1)が導ける。A を求めよ。

(d) 振り子が微小振動をしている時、(1) 式はどう近似できるか示せ。
(e) t = 0 での初期条件が θ = θ0 および θ̇ = ω0 で与えられる時、(d) で近似した微分方程式を解いて、θ を時刻 t の関数として求めよ。ただし、 答えに A をそのまま用いること。また、微分方程式
d2 y= −ydx2の 2 つの独立な解が sin x と cos x であることを使って良い。
y軸
Ox軸棒lθ

糸質点 m3

［II］ (80 点)
単位は MKSA 単位 (SI) 系とし、真空の誘電率を ε0 [F/m] とする。
［II − 1］ 内部抵抗がゼロの直流 (左図) または交流 (右図) 電源、抵抗 (抵抗値R[Ω])、コンデンサー (容量 C[F])、スイッチ (Sw) からなる回路について、以下の問いに答えよ。ただし、コンデンサーにかかる電圧を V [V]、コンデンサーに蓄えられた電荷量を Q[C]、回路を流れる電流を I[A]、時刻を t[s] とする。

(1) 左図のように、スイッチを S1 に接続して VDC [V] 出力する直流電源につないだ場合を考える。十分時間がたった後、コンデンサーにかかる電圧 V はいくらになるか？理由とともに述べよ。
(2) 次に、スイッチ Sw を S1 から S2 に切り替えたところ、コンデンサーにかかる電圧 V が減少した。V の時間変化を記述する微分方程式を、電圧 V 、電流I 、電荷量 Q の関係から導け。
(3) (2) で得た方程式を解くことにより、V が、スイッチ切り替え前の値の 1/e2になる時刻 t を求めよ。ただし、スイッチを切替えた時刻を t = 0 とする。また、e は自然対数の底である。
(4) 右図のように、出力電圧が VAC (t) = V0 cos ωt [V] で与えられる交流電源をつないで、十分時間がたった後の状況を考える。
コンデンサーにかかる電圧 V の時間変化を、以下の手順で求めよ。

(i) この場合に、コンデンサーの電圧 V の満たす微分方程式を導け。
(ii) この方程式の解を V = A cos ωt + B sin ωt とおいて、定数 A および Bを求めよ。

4

［II − 2］ 真空中におかれた、図のような断面を持つ、電極面積 S[m2 ] の２枚の電極からなる平行平板型コンデンサーを考える。上側電極に +Q[C]、下側電極に −Q の電荷が分布しており、電極は系外から絶縁されているとして、以下の問いに答えよ。

(1) 平板の中心部分と端では電気力線の分布が異なること（端の効果）を考えて、電気力線の概形を解答用紙に記入せよ。
次に、極板間の距離に対して電極が十分大きく、端の効果が無視できる場合を考える。

(2) コンデンサー内の電場を、ガウスの法則を使って求めよ。
(3) この平板間（図の平板と点線で囲まれた領域）に比誘電率 ε (> 1) の誘電体を挿入した。この時、誘電体に誘起される巨視的電荷（分極電荷）を解答用紙の図に示せ。正電荷を +、負電荷を − で表すこと。
また、誘電体の挿入で、電極間の電位差は、（変化なし、減る、増える）のいずれか？理由と共に答えよ。

［II − 3］ 時間変化のない場合には、電場 E は、電位（スカラーポテンシャル）φ を用いて E = −∇φ と表せる。しかし、時間変化のある場合には、この式は一般には成り立たない。このことを Maxwell の方程式に基づいて説明せよ。ただし、Maxwell の方程式は、標準的記号を用いて∇×H =j+∂D,∂t∇×E =−∇·B =0∇ · D = ρt ,である。

5∂B,∂t［III］ (80 点)
以下の問いに答えよ。ただし、答えを導いた過程も記すこと。
［III − 1］ 図のように、両端が固定された一様な細い弦の横振動を考え、x 軸に垂直な方向の変位 u に注目する。弦は大きさ T の張力で引っ張られており、弦の単位長さあたりの質量を σ とする。

このとき、位置 x での時刻 t における変位 u は、微分方程式σ∂2u∂2u=T∂t2∂x2に従うものとする。
以下では、この微分方程式の解として、基準振動u = A sin(kx + θ) cos(ωt + φ)を考える。ここに、A, k, ω, θ, φ は全て定数であり、k > 0, ω > 0 とする。

(1) u が解となるとき、k と ω の関係を求めよ。
(2) k と θ のとりうる値を求めよ。ただし、x = 0 と x = L を弦の両端の位置とし、−π/2 < θ < π/2 とする。
(3) θ = 0, φ = 0 のとき、u は２つの単純な進行波の重ね合わせになっていることを示せ。また、重ね合わされているそれぞれの波はどのような波か、簡単に説明せよ。

6

［III − 2］ １モルの理想気体の体積 V と温度 T を準静的に変化させることを考える。気体の圧力 p、内部エネルギー U 、エントロピー S は、V と T の関数として決まる。理想気体は、ボイル-シャルルの法則 pV = RT とベルヌーイの法則
pV = 23 U に従うものとする。ここに、R は気体定数である。

(1) 準静的な微小変化では、T dS = dU + pdV が成り立つ。この式の２つの項、
T dS と pdV は、何を表すか？それぞれ 15 字以内で説明せよ。ここに、dXは X の微小変化を表すものとする。
(2) T の関数 f (T ) と V の関数 g(V ) を用いて、エントロピーの準静的な微小変化は dS = f (T )dT + g(V )dV と表される。この f (T ) と g(V ) を求めよ。
(3) 準静的な断熱過程で体積を V1 から V2 に変化させた。このとき、温度が T1 から T2 に変化した。温度比 T1 /T2 を体積比 V1 /V2 を用いて表せ。
(4) ヘルムホルツの自由エネルギー F を F = U − T S のように導入する。準静的な等温過程で体積を V1 から V2 に変化させたときの F の変化 ΔF を求めよ。
(5) 最後に、理想気体に限らず、一般の系のヘルムホルツの自由エネルギー
F = U − T S を考える。
(i) F の準静的な微小変化 dF の表式を求めよ。ただし、一般の系の準静的な微小変化においても、T dS = dU + pdV が成り立つ。
(ii) 圧力 p とエントロピー S をそれぞれ F の偏微分で表せ。ただし、F は体積 V と温度 T の関数として表されているとする。

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