特集 2 トポロジー×科学

物性物理とトポロジー――磁荷の量子化と量子ポンプ

押川正毅 おしかわ まさき

東京大学物性研究所
URL: http://oshikawa.issp.u-tokyo.ac.jp/index-j.html

もし単独で磁荷をもつ磁気単極子（モノポーたとえば 1 つの電子の状態は「波動関数」] ]vrg でル）が存在するとすれば，その磁荷は量子力学の与えられる。波動関数は一般に複素数なので，トポロジーにより量子化される。モノポールは現「位相」の自由度をもつ。これは数学的には複素在まで発見されておらず幻の粒子のままであるが，数としての位相だが，イメージとしては，波動関

量子ホール効果や量子ポンプなど，物性物理で実験

数は時計の針のように時間的に回転しており，そ的に観測できる量が仮想的なモノポールの磁荷に対の針の進み具合（角度）と思ってもよいだろう。電応して量子化されることがある。

子をある点（の近く）で観測する確率は，波動関数1

トポロジカル量子数と波動関数の位相トポロジーは，「連続変形によって変わらない性質」を調べる数学の一分野である。図形の長さや角度などは連続変形によって変わってしまうのの絶対値（時計の針の長さ）の 2 乗によって与えられるので，波動関数の位相を一斉に進めても（時計の針を一斉に同じ角度だけ回転しても）確率密度は変わらない。
数学的には，この操作は波動関数に定数の位相因子 e を掛ける変換iiで，「連続変形によって変わらない性質」は，平
たく言えば「図形のつながり具合」ということに] ]vrg $ ei ] ]vrgなる。トポロジーを特徴づけるものとして，連続となる。この変換は，電子の観測確率だけでなく，変形によって不変な「トポロジカル不変量」を見

あらゆる物理量の観測に影響を与えないことも示

つけられると便利である。たとえば，床と天井をすことができる。すなわち，量子力学は波動関数i（1）つなぐ柱に輪ゴムがかかっているとする。このとの位相に関する対称性をもつ，ということになる。

き，輪ゴムの形や長さは変形によって変わってし（一般に，物理系の対称性とは，何らかの変換に対して系が不変まう。しかし，輪ゴムが柱の周りを何周しているであることを意味する。
） 時計の針が 1 周すると元に戻か，という「巻き付き数」を考えると，これは整るように，位相が 2r（360 度）進むとゼロと等価に数であり，さらに輪ゴム（もしくは柱）を切らない限なる。仮に位相が元に戻るとすれば，何周して元り変化させることはできない。つまり，この「巻に戻るか，という「巻き付き数」に相当するトポ

き付き数」はトポロジカル不変量の一例である。

ロジカル不変量を考えることができる。以下で見

長年の研究により，物理のいろいろな問題に「トていくように実際にはもう少し複雑になるが，量ポロジカル量子数」が顔を出すことがわかってき子力学では波動関数の位相に関するトポロジーがた。物質の性質を探求する物性物理学においても， 非常に重要であり，これが実験的に観測可能な物
トポロジーやトポロジカル量子数は必要不可欠な概念になっている。
ミクロな世界を支配している量子力学は，物性物理学の基礎としても重要である。量子力学では，

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理量の量子化という著しい現象を導く。

2

ゲージ場としての電磁場

電磁気力は基本的な力の 1 つであり，電場と磁場によって表される。同符号の電荷どうしは反よって異なってしまうことになる。これは，地球

発し，異符号の電荷どうしが引き合う「クーロン上の各地で異なる標準時間を採用しており，時計

力」は電場によって媒介される。身の回りの物質の基準が違えば時計の読みを直接比較できないこ

はほぼ電気的に中性であるが，たとえば高温や光とと似た状況である。異なる場所の波動関数の位の照射によって電子を叩き出すことができ，この相を比較するには，位相の基準の変化を差し引いv ]vrgて行う必要がある。そのために「ゲージ場」A

電子が負の電荷をもっていることはさまざまな実
験で確立されている。磁場によって媒介される磁
似した静磁力がはたらくものとして記述できる。

を導入し，vr とその近くの vr+dvr の間では，位相2re v ]vg v
A r $dr だけ異なるとしよう。ただの基準がhし，e は電気素量（電子の電荷），h はプランク定数

しかし，電場と磁場の間には大きな違いがあり，であり，これらの定数は後の便宜のために導入し力も，数学的には「磁荷」の間にクーロン力と類

電荷は（電子のもつ負電荷のように）単独で存在し得るが， た。すると，基準の変化を考慮した微分（共変微分）v -i 2re A
v ]vrg となる。ゲージ変換（2）は位置に磁荷を単独で取り出すことはできない。たとえば， は dh
身近にある「磁石」は N 極と S 極をもち，仮想依存する位相の基準の変更なので，ゲージ場の変的には正の磁荷をもつ N 極と負の磁荷をもつ S

換極からなるとみなすことができる。しかし，磁石を半分に切ってもやはり両極をもつ磁石が 2 つvi ]vrgv ]vrg $ A
v ]vrg- h d
A
2re

できるだけであり，磁荷を単独で取り出すことはを伴う。このようにゲージ場も同時に変換するこできない。

とにすれば，共変微分はゲージ変換
（2）
によって

（3）

さて，物理法則は局所的であり，遠くの事象が不変であることが確かめられる。電流などの物理直接影響を及ぼすことはないと考えられている。

的に観測可能な量は，波動関数の単なる微分では

そこで，量子力学の位相に関する対称性についてなく共変微分に依存するとすれば，量子力学系はも，対称性を局所的なものに拡張することは自然

ゲージ変換のもとでの不変性をもつことになる。

である。すなわち，前述のように波動関数の位相

このように対称性を局所的なゲージ対称性に拡を一斉に進める（時計の針を同じ角度で回転する）かわり張することができたが，それに伴って必然的にゲv が導入された。実は，このゲージ場はージ場 A

計の針を場所によって違う角度で回転すること）

電磁気学でベクトルポテンシャルと呼ばれるものに，位置に依存した位相因子 i ]vrg による変換（時（2）であり，電場や磁場はこのゲージ場の微分によっvv =dて 表 す こ と が で き る。た と え ば，磁 場 は Bを考える。これをゲージ変換と呼ぶ。しかし，波v で与えられる。ベクトルポテンシャルの値は#A] ]vrg $ e ii ]vrg] ]vrg

動関数の相対的な位相には物理的な意味があった。 ゲージ変換によって変わってしまうため一意に決
特に，運動量や電流といった物理量は波動関数のまらないが，磁場はゲージ変換のもとで不変であ微分に依存するので，ゲージ変換によってこれらる。

の物理量が変化してしまう。つまり系はゲージ変

ゲージ場は，異なる位置の間で位相を比較する

換に対しての不変性をもち得ない，ように思える。 ときの「平行移動」の規則を定めるが，微小なル
しかし，以下のように考えることによって，局所ープに沿って 1 周して元の点に戻ってきたとき的な変換に対する「ゲージ対称性」を考えることに，位相が変化する可能性がある。この変化を与ができる。

える「曲率」が磁場に他ならない。ゲージ場（ベク

波動関数の微分とは，位置の変化による波動関

トルポテンシャル）と磁場の関係と相違は，図 1 のよ

数の変化率である。ゲージ変換によって位相を局

うなリング状の系において鮮明になる。このとき，所的に変えてしまうと，位相の「基準」が場所に

電子はリング状の金属中のみを移動できるとし，物性物理とトポロジー

科学

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電場や磁場よりも基本的な量であると言える。
磁束 U（ゲージ理論の発展の経緯については文献 6 を参照。）

3

磁束量子とモノポール

電磁場をゲージ場として理解することにより，電荷と違って磁荷を単独で取り出すことが不可能
電子である理由を解明することができる（ように見える）。

図 1―アハラノフ・ボーム効果（AB 効果）の模式図
電子は金属でできたリング中を運動し，リングの中空部分のみに磁束 U が通っている。古典的には電子は直接磁場と接することがないので何の影響も受けないはずだが，量子力学的には
電子がリングを 1 周すると位相 2rUe/h を獲得するため電子状態に影響を与える。

閉じた曲面（たとえば球面）を貫く磁束は，磁場をベv #Av :dnv
クトルポテンシャルによって表すと， # dとなり，この曲面には境界がないため，ストークスの定理を使うとゼロになる1。一方で，もし単独で磁荷をもつ「磁気単極子（モノポール）」が存在すれば，そこから出る磁束の総計はゼロではない

磁場はリングの中空部分のみに存在するとしよう。

はずである。したがって，上記のストークスの定

古典的には，電子と磁場が直接接触することはな

理からモノポールの非存在が証明された！（ようにいので，磁場は電子の運動に全く影響を与えない。

思える）。

しかし，量子力学では，以下のように中空部分のしかし，ディラックは，さらに考察を進めると，磁場によって電子状態が影響を受けてしまう。磁

実はモノポールが存在し得ることを示した7。さ場とベクトルポテンシャルの関係を積分すると，らに驚くべきことに，モノポールの取り得る磁荷# Av ]vrg:d vr = # Bv ]vrg:dnv = U

は量子化されるのである。ディラックの議論を理

C

（4）

S

を得る（ストークスの定理）。ここで， # はリングを
1

C

1 周する経路に沿っての積分， #S は経路 C が囲解するために，まず AB 効果に立ち戻って考えよう。AB 効果は，電子が中空部のあるリングを 1周して戻ってきたときに獲得する量子力学的な位む曲面 S 上での積分，U は S を貫く磁束である。

相によって生じる。位相が 2r ずれると元に戻る

この関係から，電子がリングを 1 周して元の位ので，電子の位相差 2r に相当する磁束 h/e が中置に戻ってくると，位相 2rUe/h を獲得すること

空部を貫いているときは AB 効果は観測できながわかる。これは電子状態に影響を与える。このい。このときの磁束 h/e を磁束量子と呼ぶ。AB

ように，電子と直接接触していない磁場がベクト

効果が消失する磁束量子の値は基本的な物理定数

ルポテンシャルを通じて電子状態に影響を与えるだけで決まっており，リングの形状などの詳細に現象をアハラノフ・ボーム効果（AB 効果） と呼ぶ。

よらない。

2, 3

（解説として，たとえば文献 4 を参照）
。AB 効果は量子力

ディラックは，図 2 のように，磁束量子を無学から自然に導かれるが，驚くべき現象であるた

限に小さい断面に集束させた「ひも」を考えた。

め懐疑論も根強かった。しかし，超伝導体を利用「ひも」の外側では AB 効果は生じないので，こした外村らの巧妙な実験により，疑問の余地なくの磁束量子の存在は検知できない。ひもの端点か立証された 。

らは，磁束の保存により，（ひもを除いて）h/e だけの5

歴史的には，ゲージ対称性の発見以前に，計算磁束が出ていることになる。ディラックの「ひの簡略化のためにベクトルポテンシャルが導入さも」が検知できないとすれば，形式的には磁束のれていた。しかし，現代的には，ベクトルポテン

総計がゼロでストークスの定理と矛盾しないが，シャルは単なる計算上の方便ではなく，ゲージ対

実質的にはひもの端点がモノポールとしてふるま

称性の要請から必然的に存在するゲージ場であり， うことになる！ このように，ディラックの議論

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が現代的な視点からは自然である。ホール伝導度のトポロジカルな量子化は，まず，ラフリンの思
磁束量子考実験10により示された。さらに，サウレス・甲he

元・ナイチンゲール・デナイス（TKNN）は，一定の条件下で，ホール伝導度は，トポロジカル不変量であるチャーン数（整数）の e2/h 倍で与えられる

図 2―ディラックによるモノポールの概念図ことを示した11, 12。サウレスは，さらにこの議論

無限に細い「ひも」の中に磁束量子 h/e が閉じ込められており，を一般化して，系をゆっくり変化させて元に戻す

このひもの端から磁束が広がっている。
「ひも」中の磁束を含めると純粋な磁荷は存在しない（各点で磁束が保存する）
が，「ひも」に閉じ込められた磁束は外部からは検知できないため，
広がっている磁束しか検知できず，「ひも」の端点が実質的にモノポール（磁気単極子）と見なすことができる。

とき，系が輸送する電荷は一定の条件下で電荷の整数倍に量子化されること，この整数もチャーン数で与えられることを示した13。系を変化させて元に戻すとき，物質を輸送することは古典的にもによって，量子力学の枠組みの中でモノポールがしばしば見られる。自転車の空気入れなどの「ポ存在できるが，その磁荷は磁束量子（の整数倍）に量

ンプ」はその典型的な例である。そこで，サウレ子化されることが示された。これは，「トポロジスが示したような，量子化された輸送現象を「サカル量子化」の典型的な例にもなっている。モノ

ウレス・ポンプ」と呼ぶ。ラフリンやサウレスの

ポールの磁荷の量子化に伴い，閉曲面を貫く磁束議論に従えば，量子ホール効果も一種のサウレ

は h/e の整数倍となるが，この整数は数学的には

ス・ポンプとみなすことができる。

閉曲面上のゲージ場の「チャーン数」と呼ばれサウレス・ポンプにおける輸送のトポロジカル
量子化を，一般的な議論14, 15に沿って紹介しよう。

る。
8

先述のように，トポロジカル量子化された輸送電

サウレス・ポンプと4
量子ホール効果

荷はチャーン数であり，一種のモノポールの磁荷として解釈できる。ただし，このときの「モノポディラックの議論によりモノポールの存在が可ール」は仮想的なものであり，現実に磁荷をもっ能とされ，実験で検出する努力が続けられている。

たモノポールを取り出せたわけではない。簡単の残念ながら，現在のところ我々の住む宇宙においため 1 次元系を考える。系を実際に「ポンプ」てモノポールの存在は確認されていない。しかし，として利用するには，左右を粒子浴につなげて，

ディラックの見出したモノポール磁荷の「トポロたとえば左側から右側へ電荷を輸送させることにジカル量子化」と同様の構造が物性物理学におけなる。しかし，そのように外部につなげた系を取る多くの現象で見いだされ，現代の物理学の 1

り扱うのは理論的には難しくなるので，仮想的につの中心になっている。

この系の左右をつなげてリング状にしたものを考

物性物理におけるトポロジカル量子化が最初にえる。すると，図 1 のように，このリングの中認識された著しい現象は量子ホール効果である 。

に磁束（AB 磁束）U を導入することができる。この

通常，電圧を掛けるとそれと同じ方向に電流が流

磁束 U が磁束量子 h/e に達すると，先述のようれるが，磁場下では電圧と垂直な方向に電流が流にリング上の電子には磁束が検知できず AB 効果

れる場合がある。この比例係数がホール伝導度でが消失するため，系は元に戻るとみなせる。（正確ある。一定の条件下で，ホール伝導度は e /h のには，「大きなゲージ変換」が必要である10, 15。） 一方，サウ整数倍に極めて高い精度で量子化されることが実

レス・ポンプでは，AB 磁束の挿入とは別に，系

験的に見いだされている。このような現象の背後をゆっくり変化させる。この変化を，パラメータには「トポロジカル量子化」があると理解するのx（0#x#1）で表そう。したがって，系は 2 つのパラ

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メータ（x, U）
をもち，2 次元の仮想的な空間上でによって量子力学的な状態に「ねじれ」が生じ，考えることができる。U=h/e または x=1 で系は

2 次元パラメータ空間 (x, U) 上で量子状態の位相元に戻るので，この 2 次元空間は閉じている（境界を一意に決められなくなるものと解釈できる。こをもたない）。

の「ねじれ」の度合いを示すのがトポロジカル量

さて，絶対零度にある系をゆっくり変化させる子数であるチャーン数であり，それこそが 1 周と，系は常に基底状態にあると考えられる（断熱変期でサウレス・ポンプが輸送する，量子化された化）。したがって，系の状態は基底状態の状態ベ電荷を与えるわけである。

クトル（多体波動関数）W ]x, Ug

によって与えられる。

2 次元パラメータ空間上で，パラメータの変化に伴う基底状態の位相変化率は，仮想的なゲージ場
h
2
Aa=-i
W ]x, Ug
W ]x, Ug（a=x, U）で表せる。
2re2a各パラメータについて基底状態の位相の選び方は任意な の で，W ]x, Ug "eii(x, U)W ]x, Ug と変更し

5

最近の発展

物性物理にトポロジーが本格的に導入されたのは，トポロジカル欠陥により誘起されるべレジン
スキー・コステルリッツ・サウレス転移（1970 年
代）と量子ホール効果（1980 年代）の発見が契機だっても良いが，これはまさに 2 次元パラメータ空たと考えられる。これらの発見はいずれも 40 年

間上でのゲージ変換に相当する。このゲージ変換

以上前のことであったが，それらを源流とした研に対して Ax, U は（3）と類似の変換を受け，2 次元究が発展し，現在ではトポロジーは物性物理の中パラメータ空間上の仮想的な「ゲージ場」とみな心的な概念になっている。トポロジーにまつわるすことができる。

物性物理の最近の話題は多岐にわたり，限られた磁束を増加させると，誘導電場が生じる。電場

紙面ではとても紹介しきれないが，重要な課題のは電流と結合するため，この誘導電場によって電1 つは「トポロジカル量子相」の分類と研究であ流を検出することができる。特に，系が基底状態る。全体として巨視的な磁化をもつ強磁性体と常にあるときは，パラメータ x の微小変化 dx によ

磁性体のように，物質の状態を分類したものがって誘起される輸送電荷は x および AB 磁束 U「相」である。当初認識されていた相に関しては，に対する基底状態の位相変化によって磁化などの局所的に観測可能な物理量によって分

dx

2re v v
d#A
h
2

（5）

類が行われていたが，局所的な物理量では区別できない量子相が存在することが明らかになってきv は，2 次元パラメータ空間上のv #Aと書ける。dた。そのような量子相を「トポロジカル量子相」

仮想的な磁場と解釈できる！

そこで，パラメーと呼ぶ16, 17。その典型例は，これまでにも議論しタを 0 から 1 に変化させて系を元に戻したときた量子ホール状態であり，トポロジカル量子数であるチャーン数によって分類できる。量子ホールの全輸送電荷の，AB 磁束 U に関する平均値を取
2re 2 1v
v
# dxd Ud#A となる。これは， 状態自体は 1980 年代から知られていたものであ
ると，Q=
h 2r
るが，近年では，さまざまな対称性の下でのトポ
2 次元パラメータ空間を貫く全磁束（の e2/h 倍）であり，モノポールの磁荷の量子化に対応して e の整

ロジカル絶縁体を含め，多彩なトポロジカル量子

数倍に量子化される。このように，サウレス・ポ相が見いだされている。

ンプにおける輸送電荷はトポロジカル量子化を示

また，新規物質の合成も含めた実験研究の進歩すが，その機構はディラックが見出したモノポーも大きい。たとえば，本記事で議論したサウレルの磁荷の量子化に対応しており，仮想的な全磁

ス・ポンプは，主に一種の思考実験として扱われ束がトポロジカル量子数であるチャーン数（整数）てきた。しかし，近年の冷却原子系の実験技術のによって量子化されることによる。電荷を輸送す

進歩により，サウレス・ポンプを理論的概念に忠るサウレス・ポンプでは，系の変化と磁束の挿入

実な形で実験的に実現し，輸送電荷の量子化を観

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測することも可能になった18。これに限らず，思考実験としてのみ可能だった多くの現象を実験的に実現し観測することが可能になってきている。
これらの実験的な進歩は，理論にも影響を与えている。
長年の間，トポロジカル現象は，量子ホール効
果に代表される低温の量子系に特有のものとして研究されてきた。しかし，理論的な進展を背景に，（1931）
7―P. A. M. Dirac: Proc. R. Soc. Lond. A, 133, 60
8―小林昭七: 接続の微分幾何とゲージ理論，裳華房（1989）
9―吉岡大二郎: 量子ホール効果（新物理学叢書），岩波書店（初版：1998，岩波オンデマンドブックス：2016）
10―R. B. Laughlin: Phys. Rev. B, 23, 5632
（1981）
11―D. J. Thouless et al.: Phys. Rev. Lett., 49, 405（1982）
12―M. Kohmoto: Annals of Physics, 160, 343（1985）
13―D. J. Thouless: Phys. Rev. B, 27, 6083
（1983）
14―Q. Niu & D. J. Thouless: Journal of Physics A: Math. Gen.,17, 2453（1984）
15―H . Watanabe & M . Oshikawa : Phys . Rev . X , 8, 021065

外部との相互作用のある量子開放系や非平衡系，（2018）

さらには電気回路や機械系19のように完全に（量子16―R. Moessner & J. E. Moore: Topological Phases of Matter,

力学の効果がないという意味で）古典的な系にもトポロ

17―押川正毅: 数理科学，528, 56（2007）

ジカルな現象が見いだされるようになってきた。
特に，地球規模の現象として，赤道付近の海流も，（2021）
Cambridge University Press
18―S. Nakajima et al.: Nature Physics, 12, 296（2016）
19―S. D. Huber: Nature Physics, 12, 621（2016）
20―P. Delplace et al.: Science, 358, 1075
（2017）

量子ホール状態の端電流と極めて類似したトポロ

21―Advanced information . NobelPrize . org . Nobel Prize Out-

ジカルな機構により安定性が保証されているといreach AB 2022. Thu. 7 Jul 2022. https://www.nobelprize.org/priz

う理論も提案されている20。

22―押川正毅: 物性研だより，56（3）,1（2016）
https://www.issp.u

このように，現代では極めて多彩な物理現象が

es/physics/2016/advanced-information/-tokyo.ac.jp/maincontents/docs/tayori56-3_Part3.pdf

トポロジーにもとづいて理解されているが，その重要な起源は，量子ホール効果とそれをトポロジ
カル量子数（チャーン数）に結びつけた TKNN 論文である。近年のトポロジカル現象の研究の隆盛を考えると，2016 年のノーベル物理学賞が「トポロジカル相転移と，物質のトポロジカル相の理論的発見」の先駆的な成果に対して授与された21, 22のは自然な流れであろう。TKNN 論文も，さらに遡れば 1931 年のディラックによるモノポールの理論や，AB 効果などにも源流を求めることもできる。物理学における概念が時間をかけて浸透し，発展していくことの良い例としてあげることもできるだろう。
文献
1―戸田盛和: ベクトル解析（理工系の数学入門コース 新装版），
岩波書店
（2019）
2―W. Ehrenberg & R. E. Siday: Proc. Phys. Soc. B, 62（1）, 8（1949）
3―Y. Aharonov & D. Bohm: Phys. Rev., 115, 485（1959）
4―ファインマン，レイトン，サンズ著，宮島龍興訳: ファイン
マン物理学 III 電磁気学，岩波書店（1986）
5―外村彰 : 量子力学を見る ―― 電子線ホログラフィーの挑戦（岩波科学ライブラリー），岩波書店（1995）
6―L. O’Raifeartaigh: The Dawning of Gauge Theory, Princeton（1997）
University Press

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