令和 2 年度 大学院修士課程 入学試験問題

物理学 [I] (125 点)

令和元年 8 月 28 日 (水) 13:00 – 14:20

注意事項(1) 試験開始の合図があるまでこの問題用紙を開かないこと。
(2) 問題冊子はこの表紙を含め 5 枚、解答用紙は 2 枚である。
(3) すべての解答用紙に受験番号と氏名を記入すること。
(4) 大問ごとに指定された解答用紙に解答すること。ただし、指定された解答用紙の裏面も使って良い。

(5) 問題冊子は持ち帰ること。

物理学 [I][A-I] 1 次元の 1 質点系を考える。この系のラグランジアンを L(q, q̇) とし、L(q, q̇)は時刻 t に陽に依存しないとする。ここで、q は一般化座標であり、時刻 t の関数である。時刻 t = t1 , t2 (t1 < t2 ) に対して、作用 S[q] を次式で定義する。

∫ t2
S[q] =

dt L(q, q̇)t1

変分原理 (または、最小作用の原理) により、q(t1 ) と q(t2 ) を固定すれば、この系の時刻 t (t1 < t < t2 ) の運動は、S[q] が停留値をとるように決まる。q の任意の微小な仮想変位を δq と表す。また、対応する q̇ の微小な仮想変位は、δ q̇ = d(δq)/dt
である。

(1) q を S[q] に対して変分原理を満たす関数とする。δq(t1 ) と δq(t2 ) が満たす条
件を書きなさい。

(2) L(q + δq, q̇ + δ q̇) を δq, δ q̇ でべき展開し、δq, δ q̇ の 2 次以上の項を無視した表式を求めなさい。

(3) S[q] の変分 δS[q] を δS[q] = S[q + δq] − S[q] で定義する。問 (1) と問 (2) の結果を用い、δS[q] の表式を求めなさい。ただし、この表式は δ q̇ を含まない形とする。また、この結果を用いて、オイラー・ラグランジュ方程式を導きなさい。

[A-II] 図 1 に示すように、バネの一端に質点がつながれており、他端は壁に固定されている。質点は 1 次元運動をし、その運動方向にはバネから受ける力のみが働くとする。質点の質量を m、バネのバネ定数を k とする。質点の時刻 t の位置をバネの自然長からの伸び q で表し、この 1 質点系の一般化座標とする。

(1) この系のラグランジアン L(q, q̇) を書きなさい。
(2) 問 (1) の L(q, q̇) に対するオイラー・ラグランジュ方程式を求めなさい。
(3) E(t) を次式で定義する。
E(t) =∂L(q, q̇)q̇ − L(q, q̇)∂ q̇

問 (1) の L(q, q̇) を用いて、E(t) の表式を求めなさい。また、E(t) が保存量であることを示しなさい。

(4) q の一般解を求めなさい。

[B] 軸対称なコマを考える。コマの質量を M 、 軸の長さを ℓ、軸のまわりの慣性モーメントを I とする。コマの軸の下端を原点 O とし、静止直交 xyz 座標系を考える。

図 2 に示すように、コマの軸が z 軸上にあり、コマの軸の上端から見て反時計回りに角速度 ω1 で高速回転している場合を考える。ただし、コマの軸の下端は、原
点 O から動かないとする。

(1) コマの角運動量ベクトルを求めなさい。
(2) コマの軸の上端に x 軸の正の方向の撃力を加える。撃力の原点 O のまわりのモーメントの方向を答えなさい。

(3) 撃力は、短い時間 ∆t の間のみ働き、その大きさは時間平均で F であったとする。撃力を受けた直後のコマの角運動量ベクトルを求めなさい。

(4) 撃力を受けた直後、コマの軸が z 軸となす角を θ とする。問 (3) の結果を用いて、角 θ と角速度 ω1 が満たす関係式を求めなさい。

図 3 に示すように、コマの軸が z 軸と一定の角度 α を保って、コマの軸の上端から見て反時計回りに角速度 ω2 で高速回転しており、コマの軸の上端が水平面内で円運動をしている場合を考える。この運動は歳差運動と呼ばれる。ただし、コマの軸の下端は、原点 O から動かないとする。コマの重心の座標を (X, Y, Z) とし、
重心はコマの軸上で下端から距離 R の位置にあるとする。また、重力加速度の大きさを g とする。

(5) コマの重心に働く重力の原点 O のまわりのモーメントを求めなさい。
(6) コマの角運動量の大きさは、問 (1) の結果で ω1 を ω2 に置き換えたものと同じであるとする。また、コマの角運動量の向きは、原点 O から重心の方向であるとする。コマの重心が従う回転の運動方程式を求めなさい。

(7) 問 (6) の結果から、重心の座標 (X, Y, Z) を時刻 t の関数として求めなさい。
ただし、重心は t = 0 で xz 平面内の x > 0 の位置にあったとする。

(8) 重心の回転運動の角速度 Ω を求めなさい。

令和 2 年度 大学院修士課程 入学試験問題

物理学 [II] (125 点)

令和元年 8 月 28 日 (水) 14:40 – 16:00

注意事項(1) 試験開始の合図があるまでこの問題用紙を開かないこと。
(2) 問題冊子はこの表紙を含め 5 枚、解答用紙は 2 枚である。
(3) すべての解答用紙に受験番号と氏名を記入すること。
(4) 大問ごとに指定された解答用紙に解答すること。ただし、指定された解答用紙の裏面も使って良い。

(5) 問題冊子は持ち帰ること。

物理学 [II]以下、真空中の誘電率を ε0 、透磁率を µ0 とする。また、直交座標系 (x, y, z) の単位ベクトルをそれぞれ ex , ey , ez 、極座標系 (r, θ, ϕ) の単位ベクトルをそれぞれ er ,eθ , eϕ とする。

[A-I] 真空中で原点から距離 r、z 軸に対する極角 θ にある点 P を考える (図 1)。
(1) 原点においた点電荷 q が点 P に作る静電ポテンシャル Φ0 を r の関数として書け。

(2) 点電荷 q を原点から z 軸正方向に d だけ離れた位置においたとき、この電荷が作る点 P における静電ポテンシャル Φ1 を r と θ の関数として書け。

dd≪ 1 として、差 Φ1 − Φ0 を の一次まで展開したもの (Φd ) を求めよ。
rr(4) 前問 (3) の結果の Φd は、原点におかれた z 軸正方向を向いた大きさ p = qd
(3)の電気双極子が作る静電ポテンシャルとみなすことができる。この電気双極子による電場の r 成分 Er を p, r, θ の関数として求めよ。なお∇Φ = er

∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
+ eθ
+ eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕを用いてもよい。

z
P

q

θ

r

d

x-y
q
図1

[A-II] 真空中に z 軸正方向の一様電場 E0 = E0 ez が存在する (図 2)。
(1) この一様電場による、原点から距離 r、z 軸に対する極角 θ にある点 P の静電
ポテンシャル Φu を r と θ の関数として表せ。ただし、原点において Φu = 0とする。
その後、半径 a の導体球を原点に置いた (図 3)。導体球の総電荷は 0 であるが、外部電場の発生源である無限遠方の正および負の電荷によって導体球の表面に電荷が誘起され、導体球外部の電場もそれに応じて変化した。このときの導体球表面の電荷密度を求めたい。

(2) 導体球外部の静電ポテンシャル Φ は、鏡像の考え方を適用し、導体の代わりに z 軸正方向の電気双極子 p を原点に置いたときの静電ポテンシャル Φd を用いて Φ = Φu + Φd と表すことができる。r = a における Φ の境界条件を考え、p の値を E0 を用いて表せ。

(3) 導体表面上の電荷密度 σ を表面上の点の θ 座標の関数として求めよ。

z

z
P

P

E0
p

x-y

x-y

a

図2

図3

[B-I] 図 4 のように媒質 I および II を含む狭い領域を考える。境界面は平面とみなせるものとし境界面上に x および y 軸を定義し、領域 I から領域 II への向きを z
軸の正方向とする。また、境界面上に y 軸正方向に流れる面電流があるものとし、その面電流密度を jy とする。このとき媒質 I および媒質 II の磁場の x 成分 HxI お
よび HxII に関する境界条件

HxII (z = 0) − HxI (z = 0) = jy
を電磁気学の法則により証明せよ。なお、図 4 と同じ解答用紙上の図に書き込みをして、証明に利用してもよい。

jy
II
z
x
y

I

図4

[B-II] 図 5 のように半径 a の球面上にコイルを巻いたものを真空中に置く。球の中心を原点とし、この球面状コイルは z 軸に対して軸対称であるとする。球内の磁場が z 軸正方向の一様磁場 H0 = H0 cos θ er − H0 sin θ eθ になるようにしたい。
そのためには、場所 (θ) によって巻き数の密度を調節することにより、適切な表面電流密度 j = j(θ) eϕ を作ればよいが、この j(θ) がどのような関数になるか検討しよう。球内部を領域 I、外部を領域 II とし、領域 I および II の透磁率は共に µ0 とする。
電流のない領域 II において磁気スカラー・ポテンシャル Φm が定義できる。このとき、磁束密度は B = −∇Φm である。

(1) Φm がラプラス方程式を満たすことをマクスウェル方程式を利用して示せ。

z

z
II
I

H0

j
x-y

a

図5

B の r 成分が領域 I と領域 II の境界で連続であることに注意すると、r = a における内部磁場の r 成分の θ 依存性から Φm = µ0 A R(r) cos θ (A は定数、R(r) は関
数) とおける。

(2) この Φm をラプラス方程式に代入し、また R(r) が r のべき関数 R(r) = rn
であると仮定し、n を決定せよ。ただし、無限遠での境界条件は R(∞) = 0
であるとする。なお1 ∂∇ Φ= 2
r ∂r
2

(
)
(
)
∂ 2Φ
1
∂
∂Φ
1
2 ∂Φ
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
∂r
r sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2を用いてもよい。

(3) r = a での境界条件 Hr = H0 cos θ から、定数 A を決定せよ。
(4) r = a における磁場の θ 成分の境界条件 HθII − HθI = j(θ) を利用して、表面電流密度 j(θ) を求めよ。

令和 2 年度 大学院修士課程 入学試験問題

物理学 [III] (125 点)

令和元年 8 月 28 日 (水) 16:20 – 17:40

注意事項(1) 試験開始の合図があるまでこの問題用紙を開かないこと。
(2) 問題冊子はこの表紙を含め 5 枚、解答用紙は 2 枚である。
(3) すべての解答用紙に受験番号と氏名を記入すること。
(4) 大問ごとに指定された解答用紙に解答すること。ただし、指定された解答用紙の裏面も使って良い。

(5) 問題冊子は持ち帰ること。

物理学 [III][A] ハミルトニアン H1 が、次の式で与えられる 1 次元の調和振動子を考える。
H1 =1 2 mω 2 2
p̂ +
x̂
2m
2

ここで、m, ω は振動子の質量と角振動数である。x̂, p̂ は、それぞれ、座標、運動∂量を表す演算子であり、p̂ = −iℏで表され、演算子間に成り立つ正準交換関係∂xは次のように与えられる。

[x̂, p̂] = iℏ,[x̂, x̂] = 0,[p̂, p̂] = 0

ここで、ℏ は換算プランク定数であり、ℏ = h/2π ( h はプランク定数) とする。また、演算子 â† , â, N̂ を下記の通り定義する。

√
†

â =

mω
2ℏ

)
(
i
p̂ ,
x̂ −
mω

√
â =

mω
2ℏ

)
(
i
p̂ ,
x̂ +
mω

N̂ = â† â

演算子 N̂ の固有値を n、その固有値によって区別される固有状態を |n⟩ とする。

N̂ |n⟩ = n |n⟩
この時、以下の問いに答えよ。

(1) 交換関係 [â, â† ] = 1, [N̂ , â] = −â, [N̂ , â† ] = â† を示せ。また、ハミルトニアン
H1 を â, â† を用いて表わせ。
(2) N̂ â† |n⟩ = (n + 1)â† |n⟩、および N̂ â |n⟩ = (n − 1)â |n⟩ を示せ。
(3) 演算子 N̂ の固有値 n が非負であること、および整数であることを示せ。
(4) ⟨n| x̂2 |n⟩、および ⟨n| p̂2 |n⟩ を計算し、それらの積 ⟨n| x̂2 |n⟩ ⟨n| p̂2 |n⟩ を求めよ。ここで、⟨m|n⟩ は下記の通り与えられる。

{⟨m|n⟩ =

1 (m = n)0 (m ̸= n)以下の設問では、質量が m で等しい 2 つの独立した調和振動子を考える。2 つの振動子をプラス型、マイナス型とし、それぞれの角振動数を ω± としたとき、ハミルトニアン H2 は下記の通り与えられる。

H2 =

2
2
mω+
mω−
1 2
1 2
p̂+ +
p̂− +
x̂2+ +
x̂2−
2m
2m
2
2

(1)

ここで、x̂± , p̂± は、それぞれ、プラス型、マイナス型の振動子に対する座標、運動量を表す演算子である。

(5) ω+ = ω, ω− = 2ω のときのエネルギー固有値を、プラス型、マイナス型のエ
ネルギー固有値に対応する非負の整数 n+ , n− を用いて表現せよ。また、基底状態
から第 3 励起状態までのエネルギー固有値とその縮退度を求めよ。
プラス型振動子に対して â†+ , â+ 、マイナス型振動子に対して â†− , â− の演算子を考える。同じ型の振動子の間には 1 次元の調和振動子で示した交換関係が成り立つとし、異なる型の振動子から取った一対の演算子は常に交換すると仮定する。

[â+ , â†− ] = [â− , â†+ ] = 0
下記の通り 3 つの演算子を定義する。

Jˆ+ = ℏ â†+ â− ,Jˆ− = ℏ â†− â+ ,ℏJˆz = (â†+ â+ − â†− â− )2(6) 交換関係 [Jˆ+ , Jˆ− ] = 2ℏJˆz を示せ。
(7) 演算子 N̂+ = â†+ â+ , N̂− = â†− â− を用いて、N̂ = N̂+ + N̂− としたとき、
1Jˆ2 ≡ Jˆz2 + (Jˆ+ Jˆ− + Jˆ− Jˆ+ )2を、ℏ と N̂ を用いて表せ。

[B] 二準位系の量子力学について考える。ハミルトニアン H0 の行列表示が以下で表されるとし、(
H0 (λ) =

kλ

0

0

−kλ

)

この系の２つの独立した量子状態を表す波動関数 ψ1 , ψ2 を以下のベクトルに対応
させる。

( )
0

ψ1 =

1

,

ψ2 =

( )
1
0

ここで k は正の実数、λ は実数のパラメータとする。

(1) H0 の固有状態 ψ1 , ψ2 に対応するエネルギー固有値 E1 , E2 を求めよ。また、
固有値 E1 , E2 を −1 < λ < 1 の範囲内で λ の関数としてグラフに描け。
次に、上記のハミルトニアンに、以下の行列表示で与えられる項 Hp を加えることを考える。

(
Hp =

0

c

)

c∗ 0

ここで、c は任意の複素数である。

(2) H0 に Hp を加えたときのエネルギー固有値 E1′ , E2′ を求めよ。ただし、E1′ < E2′の関係が成り立つように定義せよ。また、固有値 E1′ , E2′ を −1 < λ < 1 の範囲内
で λ の関数としてグラフに描け。ここで、グラフは、(1) で描いたものに、区別がつくようにして描き加えること。

Hp を加える前と加えた後のエネルギー間隔を、それぞれ、δEu ≡ E2 − E1 と
δEp ≡ E2′ − E1′ とする。また、導入する c と δEu の比を r、すなわち、r ≡ δEu /cと定義する。ただし、以下では λ > 0 とする。

(3) Hp を加える前後のエネルギー間隔の比 δEp /δEu を、r のみを用いて表せ。

(4) Hp を加えた後の波動関数 ψ1′ , ψ2′ は、以下のように、Hp を加える前の波動関
数 ψ1 , ψ2 の線形結合で表すことができる。

ψ1′ = αψ1 + βψ2ψ2′ = −β ∗ ψ1 + α∗ ψ2
規格化条件 |α|2 + |β|2 = 1 を使って、|α|, |β| を、 r のみを用いて表せ。

ྩ࿨ 2 ೥౓ େֶӃम࢜՝ఔ ೖֶࢼ‫ݧ‬໰୊෺ཧֶ [IV] (125 ఺)ྩ࿨‫ݩ‬೥ 8 ݄ 29 ೔ (໦) 09:00 – 10:20

஫ҙࣄ߲(1) ࢼ‫ݧ‬։࢝ͷ߹ਤ͕͋Δ·Ͱ͜ͷ໰୊༻ࢴΛ։͔ͳ͍͜ͱɻ
(2) ໰୊࡭ࢠ͸͜ͷදࢴΛ‫ؚ‬Ί 6 ຕɺղ౴༻ࢴ͸ 3 ຕͰ͋Δɻ(3) ͢΂ͯͷղ౴༻ࢴʹड‫ݧ‬൪߸ͱࢯ໊Λ‫ه‬ೖ͢Δ͜ͱɻ(4) େ໰͝ͱʹࢦఆ͞Εͨղ౴༻ࢴʹղ౴͢Δ͜ͱɻͨͩ͠ɺࢦఆ͞Εͨղ౴༻ࢴ
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