日食による月と太陽の距離測定
大西 浩次（長野工業高等専門学校）
2009 年 7 月 22 日、日本で 46 年ぶりの皆既日食が起きた。この現象は、月の公転を実感する好機会であると共に、地球の自転現象を体感する機会でもあった。月は地球のまわりを約 30 日で公転している。すなわち、月の公転角速度は 0.5 度/1 時間である．これより、月が太陽(視直径 0.5 度)を横切る時間（日食の継続時間）は約 2 時間になるはずである。
しかし、実際の日食の継続時間は 3 時間弱である。この違いは、観測者が動いているためである。太陽までの距離は十分に遠いので、月の影の動く様子は、実際の月の運動が「地球表面というスクリーン」に平行投影されて見えると考えて良い。すなわち、太陽の方向から地球を見ると、月の影が地表に投影されて動いている速さは、月の公転速度と同じ秒速約 1kmである。しかし、観測者も地表上で共に自転運動している(秒速約 400m)。この結果、観測者は月の影を常に追いかけながら観測していることになる。この自転の効果が日食の継続時間を長くしているわけだ。
いま、各地の観測データから，地上から月の影が移動している様子を描くことで、月の地表に対する移動速度が測定できる。この速度に地球の自転速度の補正をすると、月の実公転速度が求まり、ケプラーの法則を介して月までの距離が決定できる。発表では、上記の方法
による月の距離測定と共に、月の影の移動速度と 1 点の角速度の測定から、月までの距離を決定する新しい方法も紹介する。
ところで、太陽観測衛星 SOHO は、太陽・地球間の L1 のハロー軌道にいる。このため、背景の恒星をバックにすると、地上と SOHO で太陽の位置が異なって見える。2009 年 7 月
22 日、小笠原諸島北硫黄島沖（「ふじ丸」）で撮影した皆既日食の画像に写り込んでいる10 個の星を使って、同時刻の SOHO の LASCO C2,LASCO C3 の画像との比較から太陽視差の測定した。

1．はじめに月は地球のまわりを約 30 日で 1 周している（月の公転）．これを 1 日あたりにすると約 12 度となる（360度÷30 日）．いま，月を 1 日おいて同じ時刻に観察すると，見える位置が前日とは約 12 度東へずれていることに気づくだろう．この動きを 1 時間あたりにしてみると，角度で 0.5 度になる（12 度÷24 時間）．月の見かけの大きさは約 0.5 度なので，月は 1 時間程度でほぼ自分自身の視直径と同じくらいの角度を移動する．この動きはとてもゆっくりしたものなので，ふつうでは気づかないだろう．まさに，日食のとき，この月の公転を「実感」する絶好のチャンスになる．
ところで、月が 1 時間当たり 0.5 度動くとすれば、0.5 度の太陽視直径を月が横切る時間（日食の継続時間）は約 2 時間になるはずだ。しかし、実際には日食の継続時間は 3 時間弱である。この違いはなぜ起きるのだろうか？図 1 のように宇宙から見ると（正確には、太陽から見ると）月の影が地表に投影されて動いている速さは、月の公転速度と同じ秒速約 1km である。しかし、観測者（日本列島）も時間とともに自転している(秒速約 400m)。すなわち、観測者は月の影を常に追いかけながら観測していることになる（ただし、日の出時、南中時、日没時などの時間帯により影との相対速度は常に変化している）。これが、月が太陽を横切る継続時間を長くしている原因である。

図 1 2009 年 7 月 22 日の皆既日食時、月の影の動きと地球の動きの様子(左 9h37m,右 12h20m)相馬充作成の図（Astro-HS 2009 観測ガイド P17,図６より引用）

2．食の同時刻線から月の影を追う
太陽までの距離は十分に遠いので、月の影の動く様子は、実際の月の運動が「地球表面というスクリーン」に平行投影されて見えている。ここで、月の影が動いていく様子を地上から捉えてみよう．各地の観測データから，食の開始時刻を取り出して，同じ時刻に食が開始となる点を地図上にプロットする．たとえば食の開始が 9 時 50 分になる点をとって，結んでみよう．（ちょうどその時刻の地点がない場合は，その前後の時刻の点から推定しよう）．こうして描かれた線は，その時刻における月の影（正確には半影）の外縁の位置を示している．同様に，その後の，たとえば 10 時 00 分に食が開始になる同時刻線を描いてみると，その線が西から東へ移動していることがわかる．このようにして，地上から月の影が移動している様子を描くことができる．さらに、食の終わりの時刻で同じように線を描くと，日本列島を過ぎ去っていく月の影を描くことができる．このような観測より、地球表面に対する月の移動速度 V1 が決定できる。

3．月の公転速度より月までの距離を求める
いま、食の同時刻線の測定から月影の移動速度 V1 が求まったとしよう。一方、各地の自転速度 V2 は、地球の角速度をω、地球半径を R、緯度をθとすれば、V2=Rω cosθとなる。これより、自転方向と月影の方向の成す角をφとすれば、月の実公転速度 V は、V= V1+ V2cosφと求まる。このように月の実公転速度が求まると、ニュートンの万有引力の公式を使うことで、月までの距離 x と地球の半径 R の比はx/R=(gR/V^2)として求められる1．ただし、g は重力加速度 9.8m/s^2 である。いま、V を約 1000m/s とすれば、距離は地球半径の約 60 倍程度になるだろう。

月の円運動の速さ V とすれば、向心力の大きさは mV^2/x。ここで、m は月の質量。一方、この向心力の原因が万有引力 GMm/x^2=mgR^2 /x^2 (g=GM/R^2)であることから導出できる。

1

4．月の視差から月までの距離を求める

図2

同時刻、2 観測点から見た月の視差

図 3 同時刻、2 観測点から見た月の視差測定
遠く離れた２つの地点から観測すると，背景（日食の場合は太陽）に対して月がずれて見える．これが月の視差 p です。月の視差を測定し，月までの距離を求めてみよう。いま、2 つの観測点間の距離を d[km]，月までの距離を x[km]とする． 2 地点間の距離 d が月までの距離 x を半径とする円の円周の一部とみなすと，p[rad]=d/x より、x=d/p[rad]= x=(180/(πp[degree]))d となる．2 地点間の距離は地図などを利用して求めると．月までの距離 x[km]が計算できる。
（ただし、こうして求めた距離は，地球の中心からの距離ではないことに注意しよう．）

5.

1 地点観測データから月の距離を測る I

もし、月の影の移動速度 V１がわかっていると（3 章のように地球の自転の補正をしなくても）、あとは、各地の 1 点の観測データから、月までの距離を求めることが出来ます。
先に示したように、月が実速度で公転している間に、観測者は自転しています。そのため、太陽－観測者を軸とすると、月は見かけの影の移動速度で動いているように見えます。すなわち、影の見かけの移動速度が判ると、t 秒後の月と観測者の相対移動量 V１t がわかります。そこで、観測者の見かけの視差 p を測定すれば、x=(180/(πp[degree])) V１t となり、観測者から月までの距離がわかります。これは、地上の 2 点間の距離でなく、測定対象（月）の 2 点間の距離を既知とする視差による距離測定法で’Parallax’の反対の綴りをした ’ Xallarap’と呼ばれる手法の 1 つである[2]。

図４

6.

Xallarap による月の距離測定の原理

1 地点観測データから月の距離を測る II

図5

地心と観測者の角速度と距離測定の原理

いま、地球の中心から見た角速度と観測者の位置・速度を与えたとしよう。図５のように、地球中心からみた太陽に対する月の角速度ω0 は、1 望月（29.53 日）で 360 度より、ω0=2π/(29.53*24*60*60)[rad/s]である。いま、観測者の速度 V2、および、太陽－観測者－地球中心の観測者と地球中心の距離r は、計算できるので、観測者からある 1 点の観測者Ｃが、太陽に対する月の移動角速度ω1 を測定したとしよう。
ここで、 Vt=X*ω0 t 、V1t=Vt-V2t=(X-r)* ω1 t より、
X=V2/(ω0 -ω1 )- ω0 r/ (ω0 -ω1 )と解ける。このように、1 カ所の測定だけでも距離は測定できる。長野高専天文部の測定では、数％の精度で月までの距離を測定できている。

7．SOHO と地球（GOUND）による太陽視差
日食による太陽の距離測定の可能性について書いておこう。太陽観測衛星 SOHO は、太陽・地球間の L1 ポイント付近のハロー軌道にいる（図 5）。このため、背景の恒星をバックにすると地上と SOHO での太陽の位置が異なって見える。この測定から太陽の距離が測定可能である。
こ の 視 差 は p=(d*10^6km/1.5*10^8km)=(4d/10.8)[degree] で あ り 、 SOHO の 横 ず れ の 最 大 値 、d_max=1.6*10^6km を使うと、最大 0.6 度と、太陽の視直径程度ずれる。これより、皆既日食中の星の写真を使うと、SOHO 画像との比較より太陽までの位置が測定できる。図７は、2009 年 7 月 22 日の皆既日食のとき撮影した写真から、太陽の周りの星が確認できたもの（星を丸で囲っている）である。10 個の星、約 8 等星までの星が確認できる。

図6

図７

SOHO と地球よる太陽視差

地上による皆既日食中の星の位置, 2009 年 7 月 22 日 Photo by Kouji Ohnishi

図８

SOHO LASCO C2(中央)、LASCO C3 による皆既日食中の星の位置, 2009 年 7 月 22 日

図 8 は、ＳＯＨＯによる同日（ほぼ同時刻）の画像である。両者の画像を比較して太陽までの距離を求めて見るとオーダーは十分に求まったが、画像のゆがみの影響で大きな誤差があり、現在、検討中である。

7．おわりに日食による月と太陽の距離測定について報告した。ここで、多観測地点のデータから、月までの距離を求める方法を示した。また、月の影の移動速度と 1 点からの角速度から、月までの距離を決定する新しい方法を提案した。今後、これらを実際の教材化して報告する予定である。

参考文献[1] Astro-HS2009 観測ガイド「日食観測」、（編）高校生天体観測ネットワーク Astro-HS 観測ガイドブ
ック編集員 2-1-4 観測結果からわかること pp.15-18[2]
Poindexter, Shawn;Afonso, Cristina;
Bennett, David P.;
Glicenstein, Jean-Francois;
Gould, Andrew; Szymański, Michał K.; Udalski, Andrzej.(2005)” Systematic Analysis of 22
Microlensing Parallax Candidates”. ApJ 633,914