令和５年度 大学院修士課程 入学試験問題
物理学 [I] (125 点) 令和４年８月２９日（月） 13:00 -14:20

注意事項
1. 問題冊子は指示があるまで開かないこと。
2. 問題冊子はこの表紙を含めて 5 頁（空白の頁を除く）、解答紙は 2 枚である。
3. すべての解答紙に受験番号と氏名を記入すること。
4. 大問ごとに指定された解答紙に解答すること。ただし、指定された解答紙の裏面も使って良い。
5. 問題冊子は持ち帰ること。

物理学 [I][I-A] 図 1 のように, 質量 M , 半径 a の一様な剛体球が, 水平な床の上に静止している.
x 軸と z 軸の正の向きをそれぞれ水平右向きと鉛直上向きにとる. 球の中心は x-z 平面
内にあり, 同じ平面内の床から高さ h の点で, x 軸の正の向きに水平に球を棒で突いて,撃力を加える. 球が受けた力積の大きさを P , 球と床の間の動摩擦係数を µ として, その後の重心運動および, 重心まわりの回転運動について, 以下の問いに答えよ.
ただし, 球が滑らずに転がるときの摩擦力（転がり摩擦）は無視できるものとし, 球の回転角を θ, 重力加速度の大きさを g とする. また, 球の中心は x-z 平面内に常にあり, 球の重心の速度の y 成分はゼロとする.

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v0<latexit sha1_base64="p27BBBq7GWyEFO/nwXet4QXZ44w=">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</latexit>a<latexit sha1_base64="IjxlY4nZadXdoUaSiSPRKJ75jfQ=">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</latexit>

Mg<latexit sha1_base64="p5Lf82Vg2cZBLAGNYWvUdl5RI7w=">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</latexit>!0<latexit sha1_base64="HEBpOnxJmB14DD4FQB3+IHmNBu4=">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</latexit>✓<latexit sha1_base64="i9rRhGHfjFUZIsEuPoy7OTvhbn8=">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</latexit>x<latexit sha1_base64="b8GfiUh/aXDTpi+7sr+jTIezZp8=">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</latexit>0

図1
問 1．球の中心軸周りの慣性モーメントが I = (2/5)M a2 となることを示せ. 必要であれ
ば, 以下の積分公式を用いてよい.

! π
2

0

sinn αdα =ただし, k は自然数.

! π
2

0

cosn αdα ="n−1 n−3· n−2 · · · 23 · 1n
n−1 n−3· n−2 · · · 12 · π2n(n ＝ 2k + 1)
(n ＝ 2k)

力積を受けた直後の, 球の重心の速度の x 成分を v0 , 回転の角速度を ω0 として, 以下の問いに答えよ.

–1–問 2．撃力によって力積を受ける前後の, 球の運動量変化 ∆p と中心まわりの角運動量の変化 ∆L を, P , h, a を用いて表せ.
問 3．v0 と ω0 を M , P , h, a を用いて表せ.
問 4．ある高さ h0 で球に撃力を加えたところ, 球は滑らずに床を転がった. この時の高さ h = h0 を求めよ.
問 5．h0 < h < 2a で撃力を与えた直後の, 球に働く摩擦力の大きさと向きを答えよ.
問 6．h0 < h < 2a で撃力を与えた直後の, 球の重心移動および回転に関する運動方程式を求めよ.
問 7．問 3 で得られた重心の速度の x 成分 v0 と回転の角速度 ω0 を初期条件として, 問 6で求めた球の運動方程式を用いて, 球が滑らなくなるまでの時間 t1 と, 滑らなくなった後の球の重心の速度の x 成分 v1 を求めよ. また, 重心の速度の x 成分 v(t) の時間発展のグラフの概形を描け. 解答では, 図 2 のように t1 と v1 を記入すること.

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v(t)

v1
<latexit sha1_base64="I9N0K/yla2niD7IsTJjOdWKgWdw=">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</latexit>t<latexit sha1_base64="iyOUMBAm3uzpya9oaZwF4R/wcnU=">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</latexit>

0<latexit sha1_base64="PFam5Coas2gloPo2ZU+mTatOe7I=">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</latexit><latexit sha1_base64="uGv4xdB9dRaPdqvp5xHqXxK/QSU=">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</latexit>

t1

図2

–2–

[I-B] 図 3 に示すように一様な重力場で, 質量 m の質点 P が回転放物面 z = r2 /(2a) に沿って滑らかに運動する (a > 0). z 軸の正の向きを鉛直上向きにとり, z 軸からの距離を r, z 軸周りに x 軸から測った回転角を θ とし, これらを変数とする円筒座標系を用いるものとする. また, 重力加速度の大きさを g とする.

図3
問 1．3 次元デカルト座標系における質点 P の x 座標と y 座標を r, θ を用いて表せ.
問 2．この質点 P が回転放物面上を運動しているとき, 質点の運動エネルギー T と, 重力による位置エネルギー U を, r, θ およびそれらの時間微分の関数として表せ. ただし, z = 0 を位置エネルギーの基準とせよ.
問 3．この質点 P が回転放物面上を運動しているとき, 質点 P のラグランジアンを, r, θ
およびそれらの時間微分の関数として表せ.
問 4．前問のラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式から次の関係を導出せよ.

d # 2 $
mr θ̇ = 0dt

また, mr2 θ̇ の物理的な意味と, それが保存する理由も述べよ.

–3–問 5．前問と同様に, オイラー・ラグランジュ方程式から, r が満たす運動方程式が次のようになることを示せ.

%

r2
1+ 2
a

ただし, S = r2 θ̇ を定数とする.

&

S 2 rṙ2 g
r̈ = 3 − 2 − rraa

問 6．時刻 t = 0 において, (r, θ, z) = (r0 , 0, r02 /(2a)) の位置から面に沿って水平方向へ質点を打ち出すとき, 質点 P が常に同一水平面内にあるための初速度の大きさ v0 を求めよ. また, 質点 P が水平面内を一周して元の位置に戻るまでの時間を求めよ.
問 7．前問の r0 からわずかにずれた位置から, 面に沿って水平方向へ質点 P を打ち出すと, r0 から r 方向に微小振動をしながら運動した. 問 5 で与えられた r に関する運動方程式を, r = r0 + δr として δr の一次の項まで展開し, δr に関する運動方程式を求めよ. ただし, S = r2 θ̇ = r0 v0 とする. また, 得られた運動方程式から r 方向の微小振動の周期を求めよ. ただし, |δr|/r0 " 1 とする. 解答には, a, g, r0 を用いる
こと.

–4–

令和５年度 大学院修士課程 入学試験問題
物理学 [II] (125 点) 令和４年８月２９日（月） 14:40 -16:00

注意事項
1. 問題冊子は指示があるまで開かないこと。
2. 問題冊子はこの表紙を含めて 5 頁（空白の頁を除く）、解答紙は 2 枚である。
3. すべての解答紙に受験番号と氏名を記入すること。
4. 大問ごとに指定された解答紙に解答すること。ただし、指定された解答紙の裏面も使って良い。
5. 問題冊子は持ち帰ること。

物理学 [II]

電場，電束密度を E および D ，磁場，磁束密度を H および B ，電荷密度を ρ，電流密度を J とする. このときマクスウェル方程式は以下の通りである.

∇·D =ρ

∇·B =0
∂D
∇×H −
=J
∂t
∂B
∇×E+
=0
∂t

(1a)
(1b)
(1c)
(1d)

ここで D = #E, B = µH とし，定数 #, µ は真空での誘電率と透磁率とする. 以下の問
いに答えなさい.

[II-A]
問 1. 磁束密度とベクトルポテンシャル A の関係は B = ∇ × A である. 時間変化しない電磁場で，クーロンゲージ ∇ · A = 0 をとる時，∇2 A = −µJ(2)となることを示しなさい. なお，ベクトル解析の公式 ∇×(∇×V ) = ∇(∇·V )−∇2 Vを使ってよい.

問 2. ベクトルポテンシャルとして，z 方向の成分のみを持ち，x, y のみの関数 A =(0, 0, f (x, y)) とする. また電流密度も同様に J = (0, 0, J(x, y)) と表されるとする.

(a) f に対する偏微分方程式を書き下しなさい.

(b) 磁束密度が次のように表されることを示しなさい.
!
"
∂f
∂f
B=
,− ,0
∂y
∂x

(3)

問 3. 電流のない領域で，f は 2 次元のラプラス方程式を満たすので，複素関数を使うと便利である. ζ ≡ x + iy を変数とする複素関数 f (ζ) の実部を u, 虚部を v とする.
これらがコーシー・リーマンの方程式

∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
–1–

∂u
∂v
=−
∂y
∂x

(4)

を満たす時，u が 2 次元のラプラス方程式∂ 2u ∂ 2u+=0∂x2 ∂y 2(5)を満たすことを示しなさい.

問 4. 複素関数 f (ζ) = ln ζ が，ζ %= 0 でコーシー・リーマンの方程式を満たすことを示しなさい.
問 5. a を正の実数とし，また w = exp(πi/4) とする. これを使って，とする.

f (ζ) = ln(ζ − aw) − ln(ζ − aw3 ) + ln(ζ − aw5 ) − ln(ζ − aw7 )!
"(ζ − aw)(ζ − aw5 )= ln(ζ − aw3 )(ζ − aw7 )(6)(a) w4 = −1 に注意して，原点付近でのテイラー展開
f (ζ) = c0 + c1 ζ + c2 ζ 2 + · · ·(7)を行い，係数 c0 , c1 , c2 を求めなさい.

(b) (6) 式の f (ζ) の実部 u(x, y) を使い，ベクトルポテンシャルを A = (0, 0, u(x, y))とする. 問 5-(a) の結果を用いて，原点付近の磁束密度を求めなさい.
また求めた磁束密度のベクトル場に対応するものを，図 1 の [a]-[d] の中から記号で答えなさい.

–2–図 1: ベクトル場–3–[II-B]z 軸方向に進む電磁波を次のように表す.
E = E0 (x, y) exp(−iωt + ikz z)(8)

H = H0 (x, y) exp(−iωt + ikz z)(9)

ここで ω は角振動数，kz は z 方向の波数である. また境界を除いて電荷も電流もない真空を考える.

問 1. マクスウェル方程式に (8), (9) 式を代入し，E0 = (E0x , E0y , E0z ) と H0 = (H0x , H0y , H0z )に関する真空での方程式 8 つを書き下しなさい.
問 2. 前問の結果から，以下の形の式が導かれる.

∂ 2 E0z ∂ 2 E0z+= (kz2 − #µω 2 )E0z
∂x2
∂y 2
∂ 2 H0z ∂ 2 H0z+= (kz2 − #µω 2 )H0z
∂x2
∂y 2

(10)
(11)

このうち，(10) 式の導出過程を示しなさい.

2 辺 a, b の長方形断面 (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b) の導波管について，TM 波 (E0z %=0, H0z = 0) を考える. 以下の問いに答えなさい.

問 3. 偏微分方程式 (10) に，E0z (0, y) = E0z (a, y) = 0 および E0z (x, 0) = E0z (x, b) = 0という境界条件を課す. このとき三角関数の性質に注意して，固有値# mπ $2 # nπ $2#µω 2 − kz2 =
+
(12)
a
b

(m = 1, 2, 3, · · · ; n = 1, 2, 3, · · · ) に対応する固有関数を求めなさい.

問 4. (a) 問 3 で与えられた固有値を用い，群速度

vg =

dω
dkz

(13)

ω
kz

(14)

を求めなさい. ただし解答には ω, kz , #, µ を用いること.

(b) 位相速度

vp =と光速度 c の大小を調べなさい. ただし c2 = 1/(#µ) である.

(c) 群速度 vg と光速度 c の大小を調べなさい.
–4–令和５年度 大学院修士課程 入学試験問題
物理学 [III] (125 点) 令和４年８月２９日（月） 16:20 -17:40

注意事項
1. 問題冊子は指示があるまで開かないこと。
2. 問題冊子はこの表紙を含めて 5 頁（空白の頁を除く）、解答紙は 2 枚である。
3. すべての解答紙に受験番号と氏名を記入すること。
4. 大問ごとに指定された解答紙に解答すること。ただし、指定された解答紙の裏面も使って良い。
5. 問題冊子は持ち帰ること。

物理学 [III]

量子力学において, 物理量と状態はそれぞれエルミート (自己共役) 演算子と複素ベクトルに対応づけられる. 以下では, ディラックのブラケット記法に基づいてケット (ベクトル) を |α!, 対応するブラ (ベクトル) を "α| = (|α!)† と表す. また X̂ が演算子のとき,
そのエルミート共役を X̂ † と表す. エルミート演算子とは, X̂ † = X̂ を満たす演算子である.
解答には以下を用いて良い.

• ケット |α! とブラ "β| の内積 ("β|) · (|α!) = "β|α! は一般に複素数であり,("β|α!)∗ = "α|β! を満たす.
• エルミート演算子の固有値は実数である.

• 演算子 X̂ と Ŷ について (X̂ Ŷ )† = Ŷ † X̂ † である.
以下では, ! はプランク定数を 2π で割ったものとする. また, |α! #= 0 を満たす任意のケット |α! は "α|α! > 0 を満たすものとし, 任意の演算子 X̂ をケット |α! に作用させた
ˆ = |α! を満たす. まX̂|α! もまたケットをなすとする. 記号 Iˆ は恒等演算子を表し, I|α!
た, [X̂, Ŷ ] = X̂ Ŷ − Ŷ X̂ という記法を用いる.

[III-A] 量子力学の基本的な性質に関する以下の問 1.–問 4. に答えよ.

問 1. Û をユニタリー演算子とする. 状態ベクトル |ψ! を用いて |ψ " ! = Û |ψ! と定義する. このとき, ユニタリー演算子の性質を用いて, "ψ " |ψ " ! = "ψ|ψ! が成り立つことを示せ.
問 2. Â をエルミート演算子とし, その固有値は離散的で縮退を持たないとする. Â の固有ケットを固有値でラベルし, Â|a! = a|a! のように表す. エルミート演算子の固!
有ケットの全体は完全系をなす. すなわち, a |a!"a| = Iˆ が成り立つ. このことを用いて, 状態ベクトル |ψ! による Â の期待値 "ψ|Â|ψ! が実数であることを示せ.
問 3. 状態ベクトル |ψ! による演算子 X̂ の期待値を "X̂! = "ψ|X̂|ψ! と表し, これを用いて ∆X̂ = X̂ − "X̂! と定義する. 期待値 "(∆X̂)2 ! を X̂ の分散と呼ぶ. 任意のエルミート演算子 Â と B̂ に対して, 不確定性関係"(∆Â)2 !"(∆B̂)2 ! ≥

"2
1 ""
"
""[Â, B̂]!"4が成り立つことを, 以下の (1)–(4) に従って導け.

–1–(III-1)

(1) ∆Â∆B̂ および (∆Â∆B̂)† を求めよ. 解答には Â, B̂, "Â!, "B̂! を用いること.

(2) ∆Â∆B̂ は, エルミート演算子 Ĉ と D̂ によって ∆Â∆B̂ = Ĉ + iD̂ の形に表すことができる. ここで i は虚数単位である. Ĉ と D̂ を求めよ. 解答には Â, B̂, "Â!, "B̂!
を用いること.
(3) 任意のエルミート演算子 Ê と F̂ に対して, |"Ê + iF̂ !|2 ≥ |"F̂ !|2 が成り立つことを示せ.

(4) 任意の |α! および |β! について, シュワルツの不等式 "α|α!"β|β! ≥ |"α|β!|2 が成り立つ. この "α|α!"β|β! と "(∆Â)2 !"(∆B̂)2 ! を対応させ, さらに上の (2), (3) の結果を用いて, 不等式 (III-1) を導け.
以下では, 1 次元の位置座標演算子を x̂, その固有値 x" を与える固有ケットを |x" ! のように表す. この固有ケットは "x" |x! = δ(x" − x) を満たすものとする. ここで δ(x" − x)はディラックのデルタ関数である. また, 一次元の運動量演算子を p̂ とする. このとき,[x̂, p̂] = i!Iˆ が成り立つ.
問 4. 一粒子状態を表す |ψ! が以下を満たすものとする:"x|ψ! =

1
π 1/4 d1/2

22

eixpψ /! e−x /(2d ).

(III-2)

ここで, pψ と d は正の実定数である. "x|ψ! = ψ(x) を位置座標表示の波動関数と呼ぶ. 以下の (1)–(4) に答えよ.
#∞√2(1) ガウス積分の公式 −∞ e−x dx = π を用いて, 式 (III-2) の波動関数が規格化条件を満たすことを示せ.

(2) dx を x の微小量とするとき, |"x" |ψ!|2 dx という量はある確率を表している. どのような確率を表すか説明せよ.
#∞#∞
2(3) 完全性の関係式 −∞ dx|x!"x| = Iˆ が成り立つこと, および公式 −∞ x2 e−x dx =√π/2 を用いて, "(∆x̂)2 ! を求めよ.

(4) 式 (III-2) を満たす状態 |ψ! については, "(∆x̂)2 !"(∆p̂)2 ! = 14 |"[x̂, p̂]!|2 が成り立っている. このことを用いて, "(∆p̂)2 ! を求めよ.

–2–

[III-B] ハミルトニアン Ĥ(t) が, 時間に依存しない無摂動ハミルトニアン Ĥ (0) とあら
わな時間依存性を持つ摂動項 λĤ " (t) によってĤ(t) = Ĥ (0) + λĤ " (t)と与えられる系を考える. 以下では, 実定数 λ のべき展開による議論が成立するものと仮定する. また, 無摂動ハミルトニアン Ĥ (0) の固有状態を |En ! (n = 1, 2, . . . ), その固有値を En とする. すなわち, Ĥ (0) |En ! = En |En ! が成り立つ. 固有値 En には縮退がなく,状態は "Em |En ! = δmn と規格化されているものとする. ここで δmn はクロネッカーのデルタで, n = m のとき 1 をとり, n #= m のとき 0 である. 以下の問 1.–問 6. に答えよ.

問 1. Ĥ(t) によって時間発展する系の状態ベクトルを |Ψ(t)! とする. このとき, |Ψ(t)! に対するシュレディンガー方程式はi!

∂|Ψ(t)! = Ĥ(t)|Ψ(t)!,∂tで与えられる. λ = 0 のとき, 状態ベクトル |ψn (t)! = e−iEn t/! |En ! がシュレディン
ガー方程式の解となっていることを確かめよ.
以下では, λ #= 0 の場合のシュレディンガー方程式の解について考える. 状態ベクトル |Ψ(t)! を |ψn (t)! で以下のように展開する:$|Ψ(t)! =Cn (t)|ψn (t)!.
nd
ここで Cn (t) は時刻 t の関数である. 以下では Ċn (t) = dt
Cn (t) とする.

問 2. 以下の関係が成り立つことを導け.
$$
i!
Ċn (t)e−iEn t/! |En ! = λCn (t)e−iEn t/! Ĥ " (t)|En !.
nn

問 3. Cm (t) は以下の形の微分方程式を満たす:

i $あĊm (t) = − λCn (t)e"Em |Ĥ " (t)|En !.
! n

上の式の あ にあてはまる量を書け.

問 4. λ のべき展開を用いて, Cm (t) を評価できる. そのために,

Cm (t) =∞$λk c(k)m (t)k=0という展開を定義する. Cm (t) が満たす微分方程式を用いて, cm (t) および cm (t)が満たす微分方程式を導け.

–3–

(0)

(1)

問 5. 外部電場の下で原子が光を吸収または放出し, エネルギー E" から E"! ((" #= () の状態へ遷移する状況について考えよう. 時刻 t ≤ 0 で |Ψ(t)! = e−iE" t/! |E" ! およびĤ " (t) = 0 が成り立つとし, t > 0 では摂動ハミルトニアンは"Em |Ĥ " (t)|En ! = 2Qmn cos(ωt)(t > 0)を満たすものとする. ここで ω は正の定数, Qmn は m, n に依存する定数である.
(0)
このとき, cm (t) = δm" と取ることができる. 以上より, t > 0 における状態ベクトルは λ の一次までで$−iEn t/!
|Ψ(t)! = e−iE" t/! |E" ! + λc(1)|En !,n (t)enと書ける. 初期条件 cm (0) = 0 のもとで cm (t) を求めよ.
(1)

(1)

問 6. 前問の結果を用いて, 時刻 t > 0 にエネルギーが E"! ((" #= () の状態に遷移する確率振幅 A"! " = "E"! |Ψ(t)! を求めよ.

–4–令和５年度 大学院修士課程 入学試験問題
物理学 [IV] (125 点) 令和４年８月３０日（火） 9:00 -10:20

注意事項
1. 問題冊子は指示があるまで開かないこと。
2. 問題冊子はこの表紙を含めて 5 頁（空白の頁を除く）、解答紙は 2 枚である。
3. すべての解答紙に受験番号と氏名を記入すること。
4. 大問ごとに指定された解答紙に解答すること。ただし、指定された解答紙の裏面も使って良い。
5. 問題冊子は持ち帰ること。

物理学 [IV][IV-A] ある熱力学系の内部エネルギーを U ，温度を T ，体積を V ，圧力を p，エント
ロピーを S として以下の問いに答えよ．

問 1. 熱力学系に微小な熱量 d! Q が与えられ，一部は外に対して準静的に仕事をし，残りは内部エネルギーとして蓄えられたとする．このとき熱力学第 1 法則はd! Q =
で与えられる．

(A)(A)

dV + dU(1)に入る量を p, T, V, S のいずれかを用いて表せ．

∂U
問 2. U が T と V で表されるとして，dU = ( ∂U) dT + ( ∂V
)T dV と表すとき，d! Q は∂T V

d! Q =(B)のように書ける． (B) との必要なものを用いて表せ．

dT +

(C)

dV

(2)

∂U
に入る量を ( ∂U
) , ( ∂V
)T , および p, T, V, S
∂T V

(C)

問 3. 可逆過程の下では，熱量の変化 d! Q は温度 T とエントロピー S を用いて d! Q = T dSとなり，(1) 式は

dU = −(A)

dV + T dS(3)と書ける．ヘルムホルツの自由エネルギーを T と V の関数として F = U − T S で定義すると，その全微分はdF = −の形に書くことができる．
用いて表せ．

(D)(D)

問 4. 前問の結果 (3) 式と (4) 式から! ∂U "
=−
∂V T

と

dV −
(E)

(E)

dT

(4)

に入る量を p, T, V, S のいずれかを+ T (F)(5)! " ! " ! " ! " ! "∂p∂p∂Sに入る量を ∂T
, ∂S
, ∂T
, ∂V
, ∂V
の
∂p
∂T

の関係式が得られる． (F)いずれかを用いて表せ．

(A)V

問 5. ファンデルワールスの状態方程式!
a "p + 2 (V − b) = RT
V

T

V

T

p

(6)

に従う 1 モルの気体を考える．ただし
R は気体定数，a, b は正の定数である．この! "∂U
気体に対して，CV = ∂Tで定義される定積モル比熱 CV は体積 V によらないことを示せ．

V–1–

問 6. 状態方程式 (6) に従う 1 モルの気体を図 1(a) に示すようなピストン付きのシリン
ダーに入れる．ただし，ここでは気体の定積モル比熱 CV は体積にも温度にもよらない定数であるとする．また，ピストンおよびシリンダーは断熱材でできている．
ピストンを準静的に動かして，気体の体積が V0 から 2V0 に変化した．

(1) この過程で値の変わらない状態量を U, T, V, p, S, F の中から選び，その理由を述べよ．

(2) ピストンを動かす前の気体の温度を T0 ，ピストンを動かした後の気体の温度を T1 とする．T1 /T0 を b, CV , R, V0 を用いて表せ．
(a)

(b)

気体
1モル

気体
1モル

V0 T0

2V0 T1

図 1:–2–

[IV-B] ある物質中において，単位体積あたりの電子の状態密度 D(ε) が，ε をエネル
ギー，D0 , E0 を正の定数として
 &D 1 − ' ε (2 (−E ≤ ε ≤ E )000
E0D(ε) =
0(ε < −E0 , ε > E0 )で与えられている（図 2 参照）．ただし，状態密度とはエネルギーが ε から ε + dε の間の状態の数が D(ε)dε となるように定義された量である．また，フェルミ分布関数は

f (ε) =

1e(ε−µ)/kB T + 1

で与えられる．ここで T は絶対温度，µ は化学ポテンシャル，kB はボルツマン定数である．以下の問いに答えよ．


E

0
D0

D

E
図 2: 状態密度 D(ε)
問 1. 単位体積あたりの状態数 N0 を D0 および E0 を用いて表せ．
以下，問 2 では単位体積あたりの電子の数が N0 /2 の場合を考える．状態密度が ε = 0
に関して対称（D(ε) = D(−ε)）なので化学ポテンシャルは温度によらず µ = 0 となる．
十分に低温（kB T # E0 ）のとき以下の問いに答えよ．
問 2. (1) 電子系の単位体積あたりの内部エネルギー U を求めよ．ただし，考えている
状況では，なめらかな関数 X(ε) に対して) ∞) µπ 2 (kB T )2 dX(µ)X(ε)f (ε)dε ≈X(ε)dε +
(7)
6
dµ
−∞
−∞
が成り立つことを用いてよい．

–3–

(2) 前問の結果を用いて電子系の単位体積あたりの比熱 C を求めよ．
次に，問 3 では，電子の１粒子エネルギーはスピンを表す変数 σ = ±1 に関して 2 重に縮退しており，各スピン状態ごとにそれぞれ D(ε)/2 の状態密度を持っているとする．
さらに，この系に一様な微小磁場 H を新たに印加した状況を考える．電子と磁場との間の相互作用のハミルトニアン Hint はHint = −µB Hσで与えられるとする．ただし µB は電子のスピン磁気モーメント，|µB H| # E0 であるとする．化学ポテンシャル µ は引き続き µ = 0 として，以下の問いに答えよ．
問 3. 単位体積あたりの磁化 M を!
"
M = µB N+ − N−で定義する．ここで N+ および N− はそれぞれ σ = +1 および −1 をもつ単位体積あたりの電子数の期待値である．

(1) N+ および N− を状態密度 D(ε + µB H), D(ε − µB H), およびフェルミ分布関
数 f (ε) を使って積分の形で表せ．ただし µB H > 0 のとき N+ > N− であることに注意せよ．

(2) 上で求めた N+ と N− を微小磁場 H で展開することで，T = 0 における磁化率
M
H→0 H

χ = limを求めよ．

(3) 問 2. で与えた (7) 式を用いて，低温における磁化率を T について２次までの近似で求めよ．

–4–