2023 年第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

素粒子・重力・宇宙論 分科会

集録集

■ 謝辞
2023 年度天文・天体物理若手夏の学校は、基礎物理学研究所を始め、国立天文台、宇宙線研究者会議 (CRC) からのご支援により成り立っております。事務局一同厚く御礼申し上げます。
素粒子・重力・宇宙論 分科会2

■ index
重宇 a01

柏木 海翔

ポアンカレ対称性を持つ有質量場の量子マスター方程式

重宇 a02

富塚 祥伍

Large misalignment mechanism による axion のコンパクト構造の形成

重宇 a03谷 将樹

連続変数に対する擬確率関数の定式化と応用

重宇 a04牧野 耕輔

エネルギー条件から見る正則ブラックホールの妥当性

重宇 a05

田中 亜花音

正則ブラックホールは本当に正則か？

重宇 a06

菅原 啓太

Gravitational duals to the grand canonical ensemble abhor Cauchy horizons

重宇 a07

牧田 悠輔

4 次の共形 Weyl 重力とワームホール

重宇 a09

道脇 元紀

Dynamical Chern-Simons 重力における曲率ゆらぎ の 4 点関数とパリティの破れ重宇 a10

島田 正顕

type II 原始ブラックホール

重宇 a11

谷口 彰

アクシオンドメインウォールを通過する重力波の円偏光

重宇 a12

山崎 優樹

原子重力波が干渉計に与えるノイズとその検出可能性の推定

重宇 a13

向野 杏

原始宇宙磁場によって生成される原始重力波のスペクトル重宇 a14

西野 翔

Horndeski 理論におけるブラックホール準固有振動と観測可能性

重宇 a15

今福 隼斗

重力波観測で探る一般相対論を超えた偏光の自由度

重宇 a16

大城 斗輝

パルサー・タイミング・アレイによる背景重力波検出

重宇 a17

古澤 和也

重力波を用いた高赤方偏移 z=6 での MBH − Mhalo 関係の制限

重宇 a18

三輪 拓真

Lite BIRD、CMB-S4 の観測によるパラメータへの制限可能性

重宇 a19中野 新太朗

銀河赤方偏移サーベイ BOSS のバイスペクトルを用いた複数場インフレーショ
ンモデルの制限重宇 a20伊藤 圭汰

Multidimensional Vlasov-Poisson Simulations with High-order Monotonicityand Positivity-preserving Schemes の紹介

重宇 a21

木原 健司

velocity-dependent Self-Interacting Dark Matter による宇宙論諸問題の解決

重宇 a22

大西 翔太

コンパクト連星からの重力波による宇宙論パラメータの推定

重宇 a23

島末 匠

すばる望遠鏡 HSC データを用いた弱重力レンズ質量マップで確認されたトラフ
領域の視線構造

重宇 a24

手良脇 大誠すばる HSC3 年間データの弱重力レンズ効果の精密測定による平坦なΛ CDM

重宇 a25吉崎 允泰

SQLS からのエリスワームホールと負質量コンパクト天体の存在量に対する観モデルの検証測的な上限
重宇 a26

山下 由莉

初期宇宙における原始磁場の減衰機構

3

重宇 b01宮内 侑

コンパクトなボゾンスターをどうやって作るか

重宇 b02

小野 瑞季

warm dark matter の mass function

重宇 b03八木 大地

原始ブラックホールからの Hawking 放射のモンテカルロシミュレーション

重宇 b04松尾 賢汰

ブラックホールの帯電と BZ 過程

重宇 b05

小塚 友裕

Quasinormal mode spectrum of the AdS black hole with the Robin boundary
condition

重宇 b06

佐野 大志

ループ量子重力理論へのシンプルな道

重宇 b08

中馬 史博

重力波観測における赤方偏移の取り扱いと観測量からの宇宙論パラメータ決定の可能性

重宇 b09

覺 依珠美

背景重力波の円偏極モード検出を目指した重力波ラジオメトリ解析の開発

重宇 b10

湊 恵太

BipoSH を用いた宇宙の大規模構造における等方性の破れの検証

重宇 b11

石川 慶太朗assembly bias の物理量パラメータ化に向けた研究

重宇 b12川口 遼大

段差モデルインフレーションによる曲率ゆらぎの非対称的確率分布の生成

重宇 c01

下鶴 大輔

The core-halo structure of fuzzy dark matter

重宇 c02山本 峻

球面重力波に対するパルサータイミング公式の導出に関するレビュー

重宇 c03

小林 元

ダークエネルギーを説明する低エネルギー有効理論 の強重力領域における検証可能性

重宇 c04

上道 恵也

5 次元回転ワームホールの解析

重宇 c05

水口 由莉乃確率格子シミュレーション

重宇 c06

大橋 陸人

ブラックホール準固有振動における質量降着の影響

重宇 c07

谷田 幸貴

HSC ３年目と BOSS のデータを用いた一般相対性理論の検証

重宇 c08中野 貴臣

Creation of Fluctuations during Inflation and δ N Fomula

重宇 c09

末藤 健介

正則ブラックホールと情報損失問題

重宇 c10野瀬 観見

次世代の銀河サーベイに向けた新しい銀河クラスタリング解析手法の確立

重宇 c11

村上 靖洋

重力波による原始ブラックホールの探索

4

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重宇 a01

ポアンカレ対称性を持つ有質量場の量子マスター方
程式
柏木 海翔

5

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

ポアンカレ対称性を持つ有質量場の量子マスター方程式
柏木 海翔 (九州大学大学院 物理学専攻 M1)

Abstract「重力 (スピン 2 無質量場) を含むポアンカレ対称性を持つ量子マスター方程式の理論」は「重力は古典的である」とする立場、「重力は量子的である」とする立場、その両方の立場の理論を包含する理論的枠組みである。将来実験が可能となる日が来れば、この枠組み内にある理論に対して制限を課していくことで、「重力が従う理論」を手に入れることができると考えられる。我々はその前段階として「スピンレス有質量場のポアンカレ対称性を持つ量子マスター方程式の理論」を考える。本発表では、この理論から得られたスピンレ
ス場の振る舞いと微視的因果律の結果について紹介する。

1

導入

研究手順

2

研究手順としては、相互作用のない量子マスター

現代物理学において、我々は「重力が量子力学に従

方程式の理論を用いて、次の 2 点について調べる:

うのか」という問に対する答えを出せていない。そのため重力の量子性に関しては「古典的である」と

1. スピンレスな有質量場の時間発展及び、その場する立場と「量子的である」とする立場、2 つの立が従う方程式を求める

場に分かれている。例えば前者の立場からは Kafr-

2. この理論において、微視的因果律が満たされる

Taylor-Milburn 模型や Diósi-Penrose 模型が提唱さかどうかについて計算する

れ、後者の立場からは摂動的量子重力理論が提唱されているが、それらの実験検証は未だされていない。 上の 2 点について調べる前に、この理論における重しかし、近年量子実験の発展により検証が可能とな要な事柄と研究に用いた量子マスター方程式についる日も近づきつつある。そこで両者の立場を包含すて説明する。

る理論的枠組みを構築することができれば、その枠組内にある理論に対して実験による制限を課してい

2.1

くことで、
「重力が従う理論」が持つべき性質が明ら

量子マスター方程式とはかになり、最終的に「重力が従う理論」を手に入れる

量子力学的半群の下では、量子系の密度演算子のことができると考えられる。
「重力を含むポアンカレ

時間発展は、初期時刻 t = 0 での状態を ρ(0) とす

対称性を持つ量子マスター方程式の理論」はその枠ると、組みとなる理論の 1 つである。ポアンカレ対称性は

ρ(t) = eLt [ρ(0)]場の量子論や摂動的重力理論が持つ性質であり、量(1)子マスター方程式を用いることで両者の立場を包含と表すことができる。ここで、L は量子力学的半群のした記述をすることができる。

生成子と呼ばれる。(1) 式に対する微分方程式が、量今回の研究ではその前段階の理論として「スピンレ子マスター方程式と呼ばれ、以下のように表される:

ス有質量場のポアンカレ対称性を持つ量子マスターdρ(t) = L [ρ(t)]dt= H [ρ(t)] + D [ρ(t)]方程式の理論」を考える。この理論の下でスピンレスな有質量場の力学的挙動と微視的因果律を満たすかどうかについての研究結果と今後の展望について(2)

ここで、H [ρ(t)] と D [ρ(t)] は、[]
H [ρ(t)] = −i M̂ , ρ(t)
(3)
)
(
{
}
∑
1
L̂†λ L̂λ , ρ(t)(4)
D [ρ(t)] =L̂λ ρ(t)L̂†λ −
2

発表する。

λ

6

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校と表され、M̂ は自己共役演算子、L̂λ は Lindblad 演

一致するという観点から、関係性を定式化でき、そ算子と呼ばれるものである。

れは以下のようになる:[] ∑ (D† t)n []†ÂH (t) = eD t ÂI (t) ≡ÂI (t, x) (6)
n!
n

2.2

ポアンカレ対称性

ここで、ÂH (t) と ÂI (t) はぞれぞれ Heisenberg 描像、式 (1) の exp(Lt) にポアンカレ対称性を要請する

相互作用描像での演算子を表す。また、D† は D の

と、

d [
dt

共役な生成子であり、
})
∑( †
1{ †
†
D [ÂH (t)] =L̂λ ÂH (t)L̂λ −L̂λ L̂λ , ÂH (t)2]Ût (Λ, a)ρ(t)Ût† (Λ, a)[]= L Ût (Λ, a)ρ(t)Ût† (Λ, a)

λ(7)と い う 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る 。こ の 式 が 意 味 すと与えられる。また、式 (6) で与えられる D の共役

る こ と は 、「 あ る 慣 性 系 の ρ(t) と 別 の 慣 性 系 の

な生成子は
∫
[
]
†
D ÂH (t) = γ d3 pâ† (p)ÂH (t)â(p)∫}1{ †â (p)â(p), ÂH (t)− γ d3 p
2(8)Ût (Λ, a)ρ(t)Ût† (Λ, a) が同じ生成子 L で時間発展をする」ということである。この意味で、「ポアンカレ
対称性を持つ」とする。上記の関係性を満たすような生成子 L の表式を探していくと、[]
H[ρ(t)] = −i Ĥ, ρ(t)(5)∫
D[ρ(t)] = γ d3 â(p)ρ(t)â† (p)∫}1{ †â (p)â(p), ρ(t) (6)− γ d3 p2として与えられる。

2.4

スピンレス有質量場とその正準共役運
動量

今回の研究で用いるスピンレス有質量場 Φ̂(0, x) はという結果になる。ここで、p は運動量、â(p) や â† (p)以下で定義される:∫)
1
d3 p ( ip·x√
Φ̂(0, x) =eâ(p) + e−ip·x â† (p)32Ep(2π) 2は生成消滅演算子を表し、[]
Ĥ, â(p) = −Ep â(p)[]Ĥ, â† (p) = Ep â† (p)また、この場の相互作用描像を Φ̂I (t, x) と表記すると、式 (5) での演算子 Ĥ を用いて、√
p2 + m2 であり、ここでΦ̂I (t, x) ≡ eiĤt Φ̂(0, x)e−iĤtの m は場の質量である。
∫)
d3 p (1√=F̂ (t, p) + F̂ † (t, p)32Ep(2π) 2を満たす。ただし、Ep =2.3

相互作用描像と Heisenberg 描像(9)と定義され、F̂ (t, p) ≡ ei(p·x−Ep t) â(p) である。ま

ここでは、計算をする上で必要な相互作用描像とHeisenberg 描像について紹介する。本発表における た、Φ̂I (t, x) の正準共役運動量を Π̂I (t, x) と表記し目標の 1 つは、スピンレスな有質量場の時間発展の て、以下のように定義する。
表式を求めることであり、これには Heisenberg 描像∂
Φ̂I (t, x)
∂t
√
∫
)
Ep (
i
3
†
d
p
F̂
(t,
p)
−
F̂
(t,
p)
=−
3
2
(2π) 2(10)Π̂I (t, x) ≡を用いることが有効である。ただ、本発表では計算の都合上、相互作用描像から間接的に Heisenberg 描像を求める方が便利であるため、両者の間にある関係について紹介する。これら 2 つの描像は、期待値がこれらの定義式は、次で説明する微視的因果律の計
算の時に用いる。

7

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.5

微視的因果律次に、有質量場が従う方程式を式 (9) と先程求めた表式 (11) から求める。式 (9) の 2 階時間偏微分を

微視的因果律とは、相対論的場の量子論などで要行うと、請される性質であり、その意味合いとしては「ある

[ [
]]
∂2
Φ̂I (t, x) = − Ĥ, Ĥ, Φ̂I (t, x)2∂t

地点で起きた現象が、光速を超えた速さで別の地点
において影響を与えることはない」ということである。相対性理論における最高速度が光速であること(13)を 得 る 。左 辺 は 、式 (11) か ら Φ̂I (t, x)=(γ )exp 2 t Φ̂H (t, x) と す れ ば 計 算 が で き 、右 辺 はから由来する物理的な性質の 1 つである。この微視的因果律を定式化すると、[]Â(t, x), B̂(t′ , y) = 0, (t − t′ )2 − (x − y)2 < 0

式 (9) を代入すれば計算ができる。したがって、式(13) から
[ 2
]
∂
∂
γ2
+
γ
+
Φ̂H (t, x) = (∇2 − m2 )Φ̂H (t, x)
∂t2
∂t
4
(14)

という風に表すことができ、2 つ目の数式はこれら 2つの演算子が、互いに空間的に離れていることを表す。今回の場合、Φ̂H (t, x) と Π̂
[ H (t, x) について調べ]という方程式を得ることができ、これがスピンレス
るので、計算する交換関係は、 Φ̂H (t, x), Φ̂H (t′ , y) 、[][
] 有質量場の従う方程式である。
Π̂H (t, x), Π̂H (t′ , y) 、そして Φ̂H (t, x), Π̂H (t′ , y)の 3 つを計算する。添え字の H は Heisenberg 描像

微視的因果律の結果3.2での演算子を表す。

各々の交換関係に、式 (9)、(10)、(11)、(12) 代入し

3

計算結果

3.1

スピンレス有質量場の時間発展て計算を行う。表記の簡略のために、pµ = (Ep , p)、xµ = (−t, x) とする。
[]
1. Φ̂H (t, x), Φ̂H (t′ , y) について

スピンレス有質量場の Heisenberg 描像での表式[Φ̂H (t, x) を求める。これは式 (6)[ から計算ができ、]すなわち Φ̂H (t, x) = exp(D† t) Φ̂I (t, x) を計算すればよい。D† の作用は、式 (8) に式 (9) を代入すれば得ることができ、[]γD† Φ̂H (t, x) = − Φ̂I (t, x)2]Φ̂H (t, x), Φ̂H (t′ , y)
∫ 3 [
]
µ
1
d p ipµ (xµ −yµ )− γ2 (t+t′ )=ee− e−ip (xµ −yµ )
3
(2π)
2Ep
∫ 3
]
γ
′
1
d p [ ip·x=e− 2 (t+t )e− e−ip·x
(2π)3
2Ep
=0

となるから、n 回作用は[] ( γ )n(D† )n Φ̂H (t, x) = −Φ̂I (t, x)2

最後の等号は、2 項目の p を −p に変数変換することで得られる。
[]
2. Π̂H (t, x), Π̂H (t′ , y) についてで与えられる。上記の結果から、式 (6) に立ち戻って[]Π̂H (t, x), Π̂H (t′ , y)∫ 3]1
d p 2 [ ipµ (xµ −yµ )− γ2 (t+t′ )−ipµ (xµ −yµ )
e
e
−
e
=
E
p
(2π)3
2Ep
γ
′
∂ 3 ′
= −2ie− 2 (t+t ) Λ00 Λ0jδ (x − y ′ )
∂xj

みると、

( γ )
Φ̂H (t, x) = exp − t Φ̂I (t, x)2(11)という結果を得る。Heisenberg 描像での正準共役運
動量 Π̂H (t, x) も同様の手順で、( γ )Π̂H (t, x) = exp − t Π̂I (t, x)
2

=0

(12)

と表すことができる。

8

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校[]
3. Φ̂H (t, x), Π̂H (t′ , y) について[]Φ̂H (t, x), Π̂H (t′ , y)と表せることを考慮すると、空間的に離れていれば任意の演算子も微視的因果律を満たすことが言える。

γ′ie− 2 (t+t )35 結論と今後の展望
(2π)
∫ 3
[ µ
]
µ
d p
×
Ep eip (xµ −yµ ) + e−ip (xµ −yµ )今回、スピンレス有質量場のポアンカレ対称性を2Ep{γ}持つ量子マスター方程式の理論を考え、スピンレス= Λ00 exp
(t + t′ ) δ 3 (x′ − y ′ )有質量場の力学的挙動と理論の特徴を調べるために
2
微視的因果律について調べた。その結果、場が従う=0
方程式が Klein-Gordon 方程式に散逸項が加わった方
d3 p
3 つの積分に共通するのは、積分測度 2Eによる積程式となることが分かり、微視的因果律が満たされp=分になることである。この測度はローレンツ不変なることが分かった。特に、空間的に離れている任意ので、x0 − y0 = 0 となる座標系に移すローレンツ変の演算子が微視的因果律を満たすという結果も得た。

換 Λ を選択できることを利用した。

しかし、スピンを持つ場に対しての力学的挙動はまだ調べられていない。というのも、重力子は質量を4持たず、スピン 2 を持つと考えられているため、ス議論

ピンを持つ無質量場について調べることが望まれる。

まずスピンレス有質量場が従う方程式 (14) につい

また将来重力の量子性の実験的検証に向けた理論をて見てみると、γ = 0 にすると Klein-Gordon 方程式

提案することを考えているので、この理論を 2 つのと一致することが分かる。また、Klein-Gordon 方程場の相互作用を扱うことができる量子マスター方程式がスピンレスなスカラー場が従う方程式であるこ式の理論に拡張することが必要である。

とを考慮すると、スピンレス有質量場が従うべき方
程式が (14) 式であるのは、妥当な結果だと言える。

6γ ̸= 0 の場合は、Klein-Gordon 方程式に余分な項が加わった方程式となる。時間発展の表式 (11) を見て

1. J. F. Donoghue, arXiv:1209.3511

みると、この理論において有質量場は散逸していくことが確認できるため、(14) に現れる γ を含む項は

2. D. Carney, P. C. E. Stamp, J. M. Taylor,

力学でいう所の摩擦項のような働きをする項だと考

arXiv:1807.11494

えられる。

3. スティーブン・ワインバーグ (1997)「場の量子

次に、微視的因果律について考えてみると、前節の論 1 巻 粒子と量子場」(青木英明・有末宏明訳)

結果から、空間的に離れている Φ̂H (t, x) や Π̂H (t′ , y)

吉岡書店の任意の積も交換することが言える。また、任意の4. 坂本眞人 (2014) 「場の量子論 不変性と自由場演算子 Ô が
∑
∑
Ô =

∑

を中心にして 」裳華房

N,M i′1 ,··· ,i′N =1,2 i1 ,··· ,iM =1,2∫

d3 x′1 · · · d3 x′N d3 x1 · · · d3 xM
′

参考文献

′

× C i1 ,··· ,iN i1 ,··· ,iM (x′1 , · · · , x′N , x1 , · · · , xM )× ξˆi′1 (x′1 ) · · · ξˆi′N (x′N )ξˆi1 (x1 ) · · · ξˆiN (xN )(15){
ξˆik (xk ) =Φ̂H (xk ) (ik = 1).

Π̂H (xk ) (ik = 2)

9

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重宇 a02Large misalignment mechanism による axion のコンパクト構造の形成富塚 祥伍

10

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Large misalignment mechanism による axion のコンパクト構造の形成
富塚 祥伍 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
今回は (A.Arvanitaki et al. 2020) に関してレビューをする。銀河の回転曲線の観測などから、この宇宙には未知の物質であるダークマター (DM) が必要であることが分かっており、その有力な候補として axion がある。axion の場は最初、宇宙膨張により凍結しており、well-deﬁned な初期値 Θ0 を持つ。π − |Θ0 | ∼ O(1) のときには、misalignment mechanism という生成機構があり、これまで良く調べられてきた。(A.Arvanitaki

et al. 2020) では、π − |Θ0 | ≪ 1 である、large misalignment mechanism という生成機構で作られる axion
について調べている。そして、この場合には場に parametric resonance が起き、それが無いときに比べて高密度な halo が形成されることが分かった。また、こうした halo が観測可能な現象を引き起すことを調べている。このような現象を観測で探すことで、large misalignment mechanism による axion に対して制限をつけることができる。

1

場に parametric resonance が起きること、また、通Introduction

常の misalignment mechanism や CDM と比べて高銀河の回転曲線の観測などから、我々の宇宙には密度な halo が形成されることを見ていく。そして最未知の物質であるダークマター (DM) が存在するこ

後にそうした axion による halo の観測可能性についとが知られている。現在、DM は宇宙のエネルギー密度の ∼ 1/4 を占め、これの性質を理解することはて議論する。

我々の宇宙を理解していくうえで重要である。しかし、DM の性質は未だほとんど分かっておらず、現2

在では様々なモデルが提案されている。そうしたモ

強い CP 問題と axion

QCD において、ラグランジアンには無次元量 θ22 aaxion は元来、QCD における強い CP 問題を解決す を用いて、Lθ = θgs /32π Gµν G̃aµν という項が一般るために導入された未発見の粒子である。しかし同 に許されることが知られている。但し G̃aµν は Levi-

デルの内、DM の有力な候補として axion がある。

ρσ

時に、axion は現在 matter として振る舞うことから、 Civita の記号 ϵµνρσ を用いて G̃aµν = 1/2ϵµνρσ Ga
DM の候補としても有力視されており、その様々な である。しかし中性子の電気双極子モーメントの観測などから、|θ| < 10−9 であることが分かっており、性質が調べられてきた。(A.Arvanitaki et al. 2020)
では、従来調べられてこなかったパラメータ領域で無次元量 |θ| がなぜこのような小さな値なのかというの axion の性質を調べており、このとき axion の場

問題を強い CP 問題と呼ぶ。これを解決する有力な候に parametric resonance が起きることを示した。ま補として Peccei-Quinn(PQ) 機構がある。PQ 機構でたそれにより、CDM に比べて高密度な halo が形成

は、理論に U (1)PQ 対称性を追加で導入する。そしてされることが示された。

この U (1)PQ が自発的に破れたときの NG boson を

本稿ではまず axion と強い CP 問題の関係を説明

axion と呼ぶ。このとき axion の場を ϕ とすると、無し、その後 axion の生成機構である misalignment

次元量 θ は eﬀective に、力学変数 θ − ϕ/f となる。但mechanism を説明する。そして (A.Arvanitaki et al.

し f は U (1)PQ の破れるスケールに対応する、axion2020) に基づいて、従来はあまり考えられていなかの decay constant である。この力学変数に対して有ったパラメータ領域を考慮に入れた large misalign-

効ポテンシャルが最小となるのは θ − ϕ/f = 0 とな

ment mechanism を提示し、このときには axion の る点であり、こうして強い CP 問題が解決される。

112023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
axion は NG boson であるため元々mass を持たな

4

いが、インスタントンなどの非摂動効果によりポテ
ンシャル V (ϕ) = m2 f 2 (1 − cos(ϕ/f )) を持ち、従ってそれに対応した mass m を獲得する。

Large misalignment mechanism
前節では線形化した運動方程式を考えており、こ

次節ではこうした axion の生成機構である misalign-

れは misalignment angle が小さい場合 (π − |Θ0 | ∼ment mechanism について説明する。

O(1)) に相当する。(A.Arvanitaki et al. 2020) では
misalignment angle が大きい場合 (π − |Θ0 | ≪ 1)を考えており、それによる axion の生成機構を large

3

misalignment mechanism

misalignment mechanism と呼ぶ。今節では、このときの axion の運動方程式から axion 場 ϕ に parametricaxion は生成機構として misalignment mechanism

resonance が起きることを見ていく。

という機構を持っている。

まず計量はここで、ポテンシャル V (ϕ) をもつ axion に対する一様等方時空における線形化した運動方程式は

ds2 = −(1 − Φ(t, x))dt2 + (1 + Φ(t, x))dx2

ϕ̈ + 3H ϕ̇ + m2 ϕ = 0と す る 。こ こ で Φ(t, x) は 曲 率 揺 ら ぎ で あ り、
P
−ik·t
とする。
k Φk (t)eΦ(t, x) =である。但し、ϕ̇ は ϕ の時間微分を意味し、m はaxion の mass、H はハッブルパラメータ H ≡ ȧ/aである。この式の第二項は摩擦項となっており、従っまた、axion 場 ϕ を崩壊定数 f を用いてXϕ
= Θ(t) +θk (t)e−ik·tfて H ≫ m の間場は凍結して、H ≪ m となると場kは振動する (図 1)。場が振動し始めるとエネルギーとする。

密度 ρ は ρ ∝ t−3/2 となり、DM として振る舞うよここで tm を tm = m/2H とすると、zero mode Θ のうになる。場が凍結している間の値は初期値として運動方程式はΘ′′ +3 ′Θ + sin Θ = 0
2tm

(1)

となる。但し、Θ′ = dΘ/dtm である。この運動方程式を摂動的に解いてΘ(tm ) = Θ̄(tm ) cos(ω̄tm )+Θ̄3 (tm )[cos(ω̄tm ) − cos(3ω̄tm )]
192

(2)

を得る。ここで、ω̄ = 1 − Θ̄2 /16 である。

図 1: 場の振る舞いとハッブルパラメータの関係

また、ﬁnite wavenumber mode θk に関して、運動方(David J.E. Marsh 2016)

程式は

通常は時空の因果関係を持つパッチごとに値を適当に!
k̃ 2
θk = S(k̃, tm ), (3)cos Θ +tm
tk dΦk ′S(k̃, tm ) ≡ 2
Θ − Φk sin Θtm dtk割り振る。このときこの値がポテンシャルの極小にあとなる。S は曲率揺らぎと axion 場 ϕ の結合に関する3
θk′′ +
θk +2tm

well-deﬁned であり、これに対応する初期角度 ϕ/f を
misalignment angle と呼び、以後 Θ0 と書く。
この misalignment angle を決めるメカニズムは無く、る必然性はなく、従ってこの misalignment angle に項である。ここで、(3) 式において S = 0 として、まよって axion は有限のエネルギー密度を持つ。また、 た、Θ に (2) 式を用いると、(3) 式は以下の Mathieu

適当に値を割り振るため、通常は π − |Θ0 | ∼ O(1)方程式に書き直すことができる。

となる。こうした axion の生成機構を misalignmentdθk
d 2 θk+c+ (δ + ϵ cos τ ) θk = 0.
dτ 2dτmechanism と呼ぶ。

12

(4)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
但し τ ≡ 2ω̄tm で、

c=31, δ− =
2τ
4

−

Θ̄2
k̃ 2
+
32
2τ

する。large misalignment mechanism では、通常の

!
, ϵ=−

misalignment mechanism では起きない自己相互作用

Θ̄2
(5)
16

による parametric resonance が、k̃ ∼ 1 で起きていることが確認できる。

である。この Mathieu 方程式は k̃ 依存の growth rate
v
!2
u
3
Θ̄2 u
8k̃ 2
t
Γ(k̃, tm ) = −
+
1− 1−
4tm
16
tm Θ̄2axion のコンパクト構造の形成

5axion は自己重力により崩壊し halo と呼ばれる構を持ち、k̃ に依存した parametric resonance を引き造を形成する。自己重力による崩壊を考える上で本起こす。実際に式 (1)、式 (3) に従って密度揺らぎ δ

質的な量は δ(r, RS ) である。ここで δ(r, RS ) は密度を計算すると図 2 のようになる。

揺らぎ δ(r)、window function W (r, RS ) を用いてZ
δ(r, RS ) ≡ d3 r′ W (r − r ′ , RS )δ(r ′ )と定義される量である。これは各点における δ(r) をhalo のスケール半径 RS でならしたような量であり、今回はスケール半径 RS 程度の構造を見るために win-

dow function をZW̃ (k, RS ) =d3 rW (r, RS )e−ik·r≡ N exp −(ln(kR/π))
4σ̃ 2

2

(6)
!
(7)

となるようにとることにする。但し σ̃ = 1/2 で、NR
は規格化 d ln(k)|W (k, R)|2 = 1 で決める。

≡<
δ(r, RS )2 > が σ(RS ) = δc = 1.686 となったとき

こ の δ(r, RS ) に 対 し て 、そ の 分 散 σ(RS )2

重力崩壊が起きると仮定する (cf. Press-Schechter 理論)。このときスケール半径 RS の halo に対してス
ケール massMS 、スケール densityρS が以下のように定義できる。

4π
ρ0,m RS3 ,3ρS = Cρ ρ0,m a−3coll .

MS = C M(8)(9)

但し CM ∼ 1,Cρ ∼ 200 で、acoll は σ(RS ) = δc の
ときの scale factor a とする。この定義の下で axion
によって作られる halo の spectra は図 3 のようになる。

(左) と |Θ0 | = 0.1(右) の場合 図 3 において、黒の実線が CDM による halo の spec√に |δk /Φ0 |2 を計算したもの (但し Φ0 = 2.1 × 10−9 tra で、他の実線が axion による halo の spectra である。例えば、青の実線では axion mass が 10−18 eVとした).(A.Arvanitaki et al. 2020)
図 2: π − |Θ0 | = 10−10で π − |Θ0 | が 10−12 の場合で、large misalignment
図 2 では、左が large misalignment mechanism に対

mechanism に対応する。またオレンジの実線は ax-

応し、右が通常の misalignment mechanism に対応

ion mass が 10−15 eV で、|Θ0 | が π/2 の場合で、通13

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 4: halo に対する観測可能性 (A.Arvanitaki et al.

2020)

図 3: 様々な mass、misalignment angle に対してのhalo の spectra(実線)(A.Arvanitaki et al. 2020)7
常の misalignment mechanism に対応する。この図 3

まとめaxion には misalignment mechanism と呼ばれるから、large misalignment mechanism による axion
は、CDM で形成されるものより高密度な halo が形成されることが分かる。

生成機構が存在するが、今まで調べられていなかった misalignment angle の大きい場合には、axion がCDM に比べて高密度な halo を形成することが示された。また、高密度な halo が形成されることから、

6axion による halo の観測可能性 CDM では観測不可能だった観測方法に対しても ax最後に、これまで見てきた axion による halo の観

ion は観測可能性があることが示唆された。

測可能性について簡単に議論する。axion による haloを観測するための手法はいくつか考えられるが、ここでは photometric microlensing による観測可能性に

Acknowledgement

ついて考えていく。photometric microlensing とは、お忙しい中、議論や助言に時間を割いてくださっ

遠方の source の見かけの明るさが、観測者と source

た基礎物理学研究所宇宙グループ、京都大学大学院の間にある halo によって変化する現象であり、それ

天体核研究室の皆様と今回発表の機会を設けていたによって間接的に halo を観測することができる。具だくにあたり尽力してくださったすべての方に御礼

体的には、観測者と halo の間の距離を DL 、観測者

申し上げます．

と source の間の距離を DS 、halo と source の間の距離を DLS とすると、convergence κ と呼ばれる量がReference

halo の面密度 Σ を用いて8πGDL DLS Σκ≡DS

A.Arvanitaki et al. 2020, Phys. Rev. D 101, 083014
David J.E. Marsh 2016, Phys. Rep. 643 1-79と定義される。κ は source の見かけの大きさがどのく
らい変化するかを表す量であり、これの ﬂuctuation∆κ が ∆κ > 10−3 のとき観測可能とすると、photometric microlensing による観測可能性は図 4 のオレ
ンジ色の線が lower boundary となる。
この図から、large misalignment mechanism によるaxion は CDM より高密度な halo を形成することから photometric microlensing などの観測に対して観測可能性があることが分かる。

14

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重宇 a03連続変数に対する擬確率関数の定式化と応用
谷 将樹

15

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

連続変数に対する擬確率関数の定式化と応用
谷 将樹 (九州大学大学院

量子宇宙理論研究室 M1)

Abstract
古典力学は、測定の有無にかかわらず物理量は一意に確定しているという実在性を前提として成立している。
一方で量子力学においては、測定するまで物理量は確定しておらずこの実在性が成り立っていない。レゲッ
トガーグ不等式は、量子力学における実在性の破れを検証する道具として用いられており、例えば超伝導磁束量子ビットといった巨視的量子系で実在性の破れが実証されている (G. C. Knee, K. et al., 2016)。重力の量子性を検証する方法の一つとしてもレゲットガーグ不等式を用いた研究がなされている (A. Matsumura

et al 2022)。また、調和振動子に対するレゲットガーグ不等式による実在性の破れに関する研究も報告されている (S. Bose et al 2018; J. J. Halliwell at el 2021)。私たちは、連続変数に対して擬確率関数の新しい計算手法の定式化とレゲットガーグ不等式の破れへの応用について報告する。

12

Introduction

Formulation
ここでは、レゲットガーグ不等式についてのレビ

近年急速に発展してきた量子力学はニュートンの運動方程式やマクスウェル方程式といった古典物理 ューから始めていく。レゲットガーグ不等式では観学とは異なる性質がある。古典力学は、測定の有無

測量 Q を ±1 を取るように二値変数と設定し、時刻にかかわらず物理量は一意に確定しているという実

ti における Q の期待値を ⟨Qi ⟩ とする。また、Qi と在性を前提として成立している。一方で量子力学に

Qj の相関を Cij として

おいては、測定するまで物理量は確定しておらずこ

Cij = ⟨Qi Qj ⟩ =の実在性が成り立っていない。局所実在論の破れをテストする不等式としてベルの不等式が知られている。ベルの不等式は 2022 年のノーベル賞にも選ばれ量子力学の存在を確かなものとしたが、量子もつれ∑

si sj p(si , sj )(1)と与えられる。ここで、時刻 ti ,tj で si ,sj を取る確率を p(si , sj ) とした。これらを用いて 2 時刻間のレゲットガーグ不等式は状態を維持する必要があり実験的な検証はいまだ容易ではない。同様な不等式として、レゲットガーグ

1 + s1 ⟨Q1 ⟩ + s2 ⟨Q2 ⟩ + s1 s2 ⟨Q1 Q2 ⟩不等式は量子もつれ状態にする必要なく、量子力学= ⟨(1 + s1 Q1 )(1 + s2 Q2 )⟩ ≧ 0(2)における実在論の破れを検証する道具として用いられており、例えば超伝導磁束量子ビットといった巨となる。この値は上で示したように常に０以上の値

視的量子系で実在性の破れが実証されている (G. C.

を取ることが分かる。同様に 3 時刻間、4 時刻間、…

Knee, K. et al., 2016)。重力の量子性を検証する方法 のレゲットガーグ不等式が存在する。これまでは古の一つとしてもレゲットガーグ不等式を用いた研究 典の場合について言及したが量子力学に従う場合にがなされている (A. Matsumura et al 2022)。また、 ついても同様に示す。まず Q(t) → Q̂(t) と量子化す
調和振動子に対するレゲットガーグ不等式による実 ると、Q̂(t) はハイゼンベルグ描像で書くことができ
在性の破れに関する研究も報告されている (S. Bose

系のハミルトニアンを Ĥ として Q̂(t) = eiĤt Q̂e−iĤt

et al 2018; J. J. Halliwell at el 2021)。私たちは、連 となる。これを用いると擬確率関数は、続変数に対して擬確率関数の新しい計算手法の定式化とその方法を用いてスカラー場の量子性の検証へ

qs1 ,s2 (t1 , t2 ) =とレゲットガーグ不等式を応用することに成功した
ことを報告する。

161
Tr[(1 + s1 Q1 )(1 + s2 Q2 )ρ0 ] + (1 ↔ 2)
8(3)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校と書くことができる。ρ0 は初期状態の密度演算子で初期状態としてコヒーレント状態 |ψ0 ⟩ = D̂l (ξ) |0⟩

1+sQ̂(t)ある。さらに射影演算子 P̂ (t) =を用いると、
2と ス ク イ ー ズ ド コ ヒ ー レ ン ト 状 態 |ψ0 ⟩=∏D̂l (ξ) n>0 Ŝn,−n (ζn ) |0⟩ の 二 つ の 場 合 で 計 算

1
Tr[P̂ (t1 )P̂ (t2 )ρ0 ] + (1 ↔ 2)
2
= ReTr[P̂ (t1 )P̂ (t2 )ρ0 ](4)

qs1 ,s2 (t1 , t2 ) =を行った。ここでスクイーズ演算子を{}∗
Ŝn,−n (ζn ) = exp (ζnan a−n − ζn a†n a†−n )(13)

本研究では観測量を Q = sgn(ϕ̄ˆ(t)) として、P =1+sQ= θ(sϕ̄ˆ(t)) である。最終的にとしている。本実験では簡単のためスクイージング2

qs1 ,s2 (t1 , t2 ) = ReTr[θ(s2 ϕ̄ˆ(t2 ))θ(s1 ϕ̄ˆ(t1 ))ρ0 ]パラメータ ζn = rn eiθn を rn = r, θn = 0 とモード

(5)によらず固定した。

となる。次に今回用いた場について、ミンコフスキー
時空でのスカラー場は∫ei(k·x−ωk t)e−i(k·x−ωk t)√
ϕ̂(x, t) = d3 k √âk +(x, t)â†k
2ωk
2ωk
(6)

3

まずはコヒーレント状態にした場合の結果を示す。
図 1 はコヒーレント状態の大きさを変えた場合のグと表される。これをガウシアンで平均化を行い∫|x|2
ϕ̄ˆ(t) = d3 xϕ(x, t)e− L2∫= d3 kuk (t)âk + u∗k (t)â†(7)

lL= 10
3

dc

−∞ 2π

e

(8)

lt2 3

-0.0102-0.0141
0-0.018

0

2

4

6

8

10

ξ

ˆ
ˆ
¯2 ))θ(s1 ϕ(t¯1 ))|ψ0 ⟩,qs1 ,s2 (t1 , t2 ) = Re⟨ψ0 |θ(s2 ϕ(t∫ ∞∫ ∞∫ ∞∫ ∞
dp1 dp2(9)= Re
dc1 dc2200−∞ −∞ (2π)

図 1: lt1 = 0, s1 = −1, s2 = 1, lL = 10
3 として平均化のスケールを固定しており、横軸はコヒーレント

ˆ⟨ψ0 |e−ip2 s2 ϕ̄(t2 ) e−ip1 s1 ϕ̄(t1 ) |ψ0 ⟩×e-0.0064

初期状態を ρ0 = |ψ0 ⟩ ⟨ψ0 | とすると

ˆ-0.0025

k 2 L2−∞

q-1,1(0,t2)

6−iωk t −4e
ここで、uk (t) = e √2ωである。ステップ関数k∫∞1′は θ (z − a) = δ(z − a) = 2π −∞ dpe−ip(z−a) から∫ ∞∫ ∞dp −i(s(z−a)−c)θ(s(z − a)) =Results

状態の大きさのパラメータ、縦軸は 2 回目の測定時(10)]
ここで変位演算子を D̂k (ξk ) = exp ξk âk − ξk∗ â†k と

刻である

定義すると

ラフである。図 1 からコヒーレント状態の大きさがe

ip2 c2 ip1 c1e[ラフで、図 2 は平均化のスケールを変えた場合のグ

ˆ(t ) ip s ϕ̄ˆ
ip2 s2 ϕ̄
2
1 1 (t1 )∏e

小さいと破れが見えないことが分かる。これは真空∏

Dk1 (−ip1 s1 u∗k1 (t1 ))状態では破れが見えないこととつじつまが合っていDk (−ip2 s2 u∗k2 (t2 ))Dk (−ip1 s1 u∗k (t1 )). (11)

いくことから破れがだんだん弱くなることが予想さとなるので擬確率関数は∫ ∞∫ ∞∫ ∞∫ ∞
dp1 dp2
dc1 dc2
qs1 ,s2 (t1 , t2 ) = Re20−∞ −∞ (2π)
0
∏
⟨ψ0 |
Dk (−ip2 s2 uk (t2 ))Dk (−ip1 s1 u∗k (t1 )) |ψ0 ⟩下限と上限があることが分かる。本実験で用いた場=

Dk2 (−ip2 s2 u∗k2 (t2 ))

k1

k2

=

∏
k

れる。図２から破れが見える平均化のスケールにはは式 (7) の様にガウシアンで平均化を行ったためモードの大きさが |l| < L1 程度でなければ影響しない。また L を小さくとりすぎると影響するモードが多くな
りすぎてほぼ真空状態と同じようにふるまうことがk×eる。逆に大きくしていくと古典的な状態に近づいてip2 (c2 +φ(t2 )) ip1 (c1 +φ(t1 ))

e

(12)

予想される。このような理由から L に制限が付くと

17

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
q-1,1(0,t2)

ξ=2

q-1,1(0,t2)

ξ=2.0,r=0.5

6

6-0.0025-0.0025-0.0044-0.0064-0.006lt2 3-0.008lt2 3-0.0102-0.0122-0.014-0.010-0.0141
0

1-0.016

0

1

2

3
lL

4

5

0

6

-0.018

0

1

2

3

4

5

lL

図 2: lt1 = 0, s1 = −1, s2 = 1, ξ = 2 としてコヒーレ

図 4: r = 0.5, lt1 = 0, s1 = −1, s2 = 1, ξ = 2 としてント状態の大きさを固定しており、横軸は平均化の

横軸は平均化のスケール、縦軸は 2 回目の測定時刻

スケール縦軸は 2 回目の測定時刻である。

である考えられる。

4

Conclusion

次にスクイーズドコヒーレント状態についてコヒー
本研究では、スカラー場をコヒーレント状態にとレント状態の時と同様に図 3 はコヒーレント状態のスクイーズドコヒーレント状態にしてレゲットガー

大きさを変えた場合のグラフで、図 4 は平均化のス

グ不等式の破れを検証した。結果として、コヒーレン

ケールを変えた場合のグラフである。破れが起きる

ト状態では破れを見ることができ、スクイーズドコ

コヒーレント状態の大きさの下限や平均化のスケー

ヒーレント状態にすると破れの領域が広がることがルは変わらないが破れが起きる時刻が変わっていることが分かる。コヒーレント状態単体よりもスクイー
ズドコヒーレント状態にした方が破れの領域が広く分かった。コヒーレント状態とスクイーズドコヒーレ
ント状態で破れが見えることは先行研究で行われていた調和振動子で計算された場合と同じ結果である。

なっていることが分かる。

しかしスクイージングの効果を入れると破れの領域
lL= 10,r=0.53

6

q-1,1(0,t2)が増えるのはスカラー場に見られる特有の結果であ-0.002

り、調和振動子と違いモードが無限にあることが関5係しているのではないかと考えられる。また、基底-0.0064lt2 3-0.0102-0.0141
0-0.018

0

2

4

6

8

10

ξ

状態であっても± 1 を決める軸を周期的に動かすことでコヒーレント状態と同じ形になり破れが見える
ことが分かった。このことも調和振動子でも同じことがいえると知られておりこれも同様の結果であった。また、興味深いことにスカラー場を用いると擬確立が周期的になっていないことが分かった。コヒー
レント状態の場合、二回目の測定時刻が早いと破れが見えるが、２回目の測定時刻を大きくとると破れ

図 3: r = 0.5, lt1 = 0, s1 = −1, s2 = 1, lL = 10
3 としが見えなくなる。これは窓関数で測定するモードをて横軸はコヒーレント状態の大きさ、縦軸は 2 回目

区切ったことが原因だと思われる。本研究では窓関の測定時刻でプロットしている。

数としてガウス関数を用いて平均化を行った。これが原因で、見ている領域とその外側の領域とがもつれ状態になってデコヒーレンスが起こっているのではないかと考えられる。

18

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

Disscussion

A. Matsumura, Y. Nambu, K. Yamamoto 2022, Phys.
Rev. A 106 012214

3
lL= 10,r= 10,θ=03

q-1,-1(0,t2)

S. Bose, D. Home, and S. Mal 2018, Phys. Rev. Lett.
120, 210402

6
5

-0.01

4

-0.02

lt2 3

-0.03

2

-0.04

1

-0.05

0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

J. J. Halliwell, A. Bhatnagar, H. Nadeem,
Wimalaweera 2021, Phys. Rev. A 103, 032218

1.0w

図 5: Q = sgn(x − w) + sgn(−x − w) + 1 としたときの擬確率関数のグラフ。−w < x < w では −1 それ以外では 1 を取るように設定した。このときの最大破れは約 −0.05 で Q = sgn(x) と撮るよりも大きくなっている。
本実験では物理量 Q として x 軸対称な sgn(x) を用いたが、これを井戸の様に窪んだ Q = sgn(x − w) +sgn(−x − w) + 1 と取った場合についても同様に計算することができる。この場合初期状態 |ψ0 ⟩ = Ŝ |0⟩ とコヒーレント状態を入れなくても破れが見え、最大破れの大きさがもとの Q = sgn(x) のときでは −0.018程度だったが、このような Q を取った場合最大破れが−0, 05 と約 3 倍近く大きくなっていることが分かる。
これはスクイージングによって位相空間での分布が引き延ばされた効果が見えるようになったためであると考えおり、同様に調和振動子の場合も Q = sgn(x)から Q = sgn(x − w) + sgn(−x − w) + 1 と変えることで最大破れが増加した。これを使ってスクイー
ジングを見極めることができるようになるのではな
いかと考えている。ここで、擬確率関数は⟩
1⟨(1 + s1 Q̂1 + s2 Q̂2 )2 − 1
q(s1 , s2 ) =8(14)と変形できるので最大破れとして − 18 を取ることが知られている。今後の課題としてどのような Q を取れば最大破れである q = − 81 を取るのかについても考えていきたい。

Reference
G. C. Knee, K. et al 2016, Nature Communications,13253

19

V.

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重宇 a04エネルギー条件から見る正則ブラックホールの妥当性
牧野 耕輔

20

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

エネルギー条件から見る正則ブラックホールの妥当性

牧野 耕輔 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
極端に強い重力天体であるブラックホールはアインシュタインが発表した一般相対性理論の自然な帰結である. さらにここ近年ブラックホールの存在が観測によって確認されてきた. それに伴って一般相対性理論の検証や, 時空構造の解明が盛んに行われている. しかし, このブラックホールはその内部に物理量が発散され物理法則の予言性が失う特異点を持つ. そこでこの特異点は回避する方法として, 1968 年にバーデンが内部に特異点がない正則ブラックホールを提唱した. 今回の発表ではさらに磁荷や電荷を持つ物質によってこの
正則ブラックホールが構築できるか確認するとともに, エネルギー条件を用いて物理的に妥当かを検証した.

1

れなければならないことが, 先行研究 [(Borde 1997)]

Introductionで示されている.

アインシュタインは 1915 年に時空の曲率として重本発表では, Bardeen の正則ブラックホールを実際

力相互作用を記述する一般相対性理論を発表した. そに作り出す物質を考察する目的として電荷がある状の自然な帰結として, 極端に重力の強い天体である

況で正則ブラックホールが再構築できるかを考え, そブラックホールの存在が予測された. 現在重力波やの物理的妥当性をエネルギー条件の破れを見ることでブラックホール・シャドウなどの観測成功によって検証した Rodrigues and Marcos de Silva. 2018 [(Ro-様々な宇宙観測がより盛んになっている. そのためブラックホールの存在が確認され時空構造が急速に解明されるとともに, 一般相対性理論を検証する筆頭天体となっている.

この天体を深く理解するには内部構造を理解する必要がある. ブラックホールは通常, 光の脱出限界

drigues & Silva 2018)] の研究を紹介する. また, 論文に則して, 計量の符号は (+, −, −, −), かつ c = ! =G = 1 の自然単位系を用いる.

2

である事象の地平面とさらにその内部に特異点を持

つ. これはホーキングとペンローズの研究から, エネ
ルギー運動量テンソルがいくつかのエネルギー条件を満たす場合, 一般的かつ必然的に特異点が生じる磁化を持つ正則ブラックホール

Bardeen モデルの物理的解釈は Ayon-Beato とGarcia によって示され, この解は磁気単極子をもったブラックホールをアインシュタイン方程式と非線形電磁気学の統合によって表すことができる [(Ayon

ことが示されている [(Penrose 1965)]. 特異点では一

2000)] . その場合の作用は曲率スカラーを R, マクス

般に物理量が発散するため物理法則の予言の観点か

ウェル・ファラデーテンソル Fµν に依存した電磁場ら好ましくない. しかし現実的に存在するブラック

ホール全てに特異点が存在するのか疑問である. 従っ のラグランジアン密度を L(F ) として以下によっててこのような特異点を回避するブラックホールモデ 記述できる.
ルとしてバーデン (Bardeen) が提唱したのが正則ブ
ラックホールモデルである [(Borde 1997)]. Bardeenの正則ブラックホールは内部には特異点がなく, そのため全時空領域が正則であるとともに, 物理的に妥
当な弱いエネルギー条件 (WEC) も満たされている.

一方で, ブラックホール内部領域において時空のトポ
ロジー変化が起きている. この様な Bardeen の正則

ブラックホールの特徴から, 一般に時空のトポロジー

S=

!

√
d4 x −g [R + 2κ2 L(F )],(1)

ここで κ2 = 8π である. 加えてこの作用のもとでゲージ場を考慮した場合のマクスウェル方程式はゲージ

ポテンシャル Aµ に関して作用 (1) を変分を取ること
で以下の様に得られる.

変化を認めない場合には弱いエネルギー条件が破ら

21∇µ [F µν LF ] = 0,(2)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで LF = ∂L/∂F . 上式が電磁気と異なる, 非線である. 実際に時空の振る舞いをみるために計量成

一方計量 gµν に関して作用 (1) を変分して得られる

下の様に表される.

形磁気単極子のもとでのマクスウェル方程式である.

分の漸近形を解析する. r → +∞, r → 0 とすると以のがアインシュタイン方程式であり, リッチテンソル
を Rµν , エネルギー運動量テンソルを Tµν とすることで以下の様に表される.

1Rµν − gµν R = κ2 Tµν ,2∂L(F ) αTµν = gµν L −Fµ Fαν ,∂F(4)

ルギー運動量テンソル Tµν に合う様なラグランジア

ン密度 L(F ) を, 磁荷 q として以下の様に与えること
とする.

LF =

3
sq 2 κ2

2q 2 F#1 + 2q 2 F

$5/2

,

≈

f (r)

≈

2m 3mq 2+, r → +∞,
r
r3
2
2mr
1−
, r → 0,
q3
1−

(10)
(11)

アインシュタイン方程式の厳密解の一つである漸近(3)

また, このモデルを作り出す物質を考えるためにエネ

" #

f (r)

平坦でで、静的球対称な荷電ブラックホールを表す
ライスナー・ノルドストローム解

f (r) = 1 −2M
G(Q2 + p2 )
+
,
r
r2

(12)

とは異なり, r → +∞, ではシュバルツシルト時空のように漸近平坦に振る舞い, r → 0 では斥力を持つドジッター核があることがわかった.

(5)

ここで, s = |q|/2m . アインシュタイン方程式から導電荷を伴う正則ブラックホール

かれる, 漸近平坦で静的球対真空解はシュヴァルツシ

3

ルはシュヴァルツシルト時空と異なり空間を満たす

ルを構築したが, この方法を追って電荷を源とする正モデルの静的球対称な時空計量は一般に以下の様に

マクスウェル・ファラデーテンソルは F 10 が残り, 式

ルト時空として記述される. 一方正則ブラックホー

則ブラックホールを構築していく. 電場を伴う場合の物質が存在するため真空ではない. ここで, Bardeen(2) を ν = 0 で積分することで以下の式が得られる.

表すことができる.

q −1
L (r)
(13)
r2 F
一方, アインシュタイン方程式の非ゼロ成分は以下
F 10 (r) =ds2 = f (r)dt2 − f (r)−1 dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ),ここで,

前章では非線形磁気単極子を伴う正則ブラックホーのように質量関数 M (r) と電磁場のラグランジアン(6)

L(F ) との関係との関係によって表せる.

2M (r).
(7)r
シュヴァルツシルト時空計量で質量を表す定数部分
f (r) = 1 −2M " (r)r2
M "" (r)rを r の関数 M (r) とし, 上記のラグランジアン密度(5) を式 (3), (4) に整合するよう記述し直すことでBardeen 正則ブラックホールが生み出す質量関数を求めることができる. それが以下である.

M (r) =

mr3
(r2 + q 2 )

3/2

(14)

=

κ2 L

(15)

てマクスウェル方程式とアインシュタイン方程式に(8)整合するラグランジアン密度は以下の様に導ける.

量成分を具体的に記述すると,

2mr2(r2 + q 2 )3/2%&
q2
κ2 L + 4 L−1
(r)
,
r F

このことから, 前章で得られた質量関数 (8) を仮定しこの質量関数を用いて, この正則ブラックホールの計

f (r) = 1 −

=

(9)

22

L(r)

=

LF

=

q 2 m(6q 2 − 9r2 ),
9r2
κ2 (r2 + q 2 )7/2
15mr6

(16)
(17)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Electric
Magnetic

1

20000

0.8

15000
m4K

m2L

1.2

Figure 5: Behavior of the electric Lagrangian L(F ) as a function of F with q = 0.6m.
4

0.6

10000

0.4

5000

0.2
0

0
0

0.5

1

1.5

0

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/m

r/m

Figure 6: Kretschmann scalar for the Bardeen metric with qBD = 0.6m.

Figure 2: Behavior of L for the magnetic and electric case with qBD = 0.6.

図 2: q = 0.6 におけるバーデンモデル計量から得ら

図 1: q = 0.6 における磁力的と電気的な場合におけれる
scalar の振る舞い.
spacetime with lim
K(r)Kretschmann= 0.
るラグランジアンの振る舞い. 黒色の曲線が電荷を源
r!+1
III.

BLACK HOLES ELECTRICALLY CHARGED
solution is regular in te center, where the Kretschmann scalar is a constant, and in the infinity, where we have a flat

Using Einstein and Maxwell equations is possible associate the Bardeen black hole with an electric source. As
the black hole is staticand sphericallysymmetric, the only non-zero component of Maxwell-Faraday tensor is F 10 .とする場合
, 赤色の曲線が磁荷を源とする場合の漸近Integrating (4) for ⌫ = 0, we find
IV. ENERGY CONDITIONS
的振る舞いを示し, どちらも同様の振る舞いをする.
qBD
F 10 (r) = 2 LF 1 (r).
(19)
r
In order to verify if the solution has physical sense, in other words if the solution represent a realistic source, we
0123
can electricverify theenergyconditions.
So that, the intensity of the electric field will be found since we have LF . For thecase,
we canwrite thePerforming the identifications T 0 = ⇢, T 1 = pr and T 2 = T 3 = pt , where ⇢ isthe energy density, pr 3
is 章では実際に電荷を伴う正則ブラックホールが構
the radial pressure and pt the tangential pressure, the energy conditions are given by:
non-zero componentsofEinsteinequationsas以下の図は前章で導いた磁場を伴う場合と, 今回の電2
築でき, 曲率不変量からも全時空に対して正則である
SEC(r) = ⇢ + pr + 2pt 0,(31)
2M 0 (r)
qBD
1
2
=

L
+
L
,
(20)
場を伴う場合のラグランジアン密度が漸近的に同様
F
r2
r4
W EC1,2 (r) = N EC1,2 (r) = ⇢ + pr,t 0,(32)ことを示せたが,実際にその解が物理的に妥当である
M 00 (r)W EC3 (r) = DEC1 (r) = ⇢ 0,
(33)の振る舞いをすることを表している.
= 2 L.
(21)r
DEC2,3 (r) = .⇢ そこで物理的な妥当性の基
pr,t 0.
(34)かを調べる必要がある
導いたラグランジアン密度(16) から求まるマクス
We may solve equations(20)-(21) for L and LF to getUsing the components
of
(3),
we
can
write
the
energydensityandthepressuresas
準として, 様々なエネルギー条件の成否を確かめる.
2
q 2 m 6qBD
9r2と, 時空の正則性
ウェル・ファラデー非ゼロ成分(13)2L(r) = BD
,
(22)
6mqBD
7/2
2
2
2
エネルギー密度を
ρ,=半径方向, 接方向の圧力をそれ
⇢(r)
,
(35)
 (r + qBD )2 (r 2 + q 2 )5/2
を真に評価する曲率不変量の漸近形の解析も行なっ
BD
7/2
2
2
2
 r + qBD
2
ぞれ
p
,
p
とすることで,エネルギー運動量テンソルr (23)t
6mqBD.
pr (r) =
,
(36)
15mr6
ていく. F 10 は, LF (r) =2 )5/22 (r2 + qBDの成分は以下の様に与えられる.
In fig. 2 we may compare the Lagrangian for the magnetic and electric interpretation. These functions
are deferents,22
2
mqBD 9r
6qBD
however for points closely the origin the functions have the same value and for the infinite of radial coordinate theypt (r) =.
(37)

tends to zero.
2 )7/22 (r2 + qBD
4
Replacing (23) into (19) we find
15qmr
ρ

4

F 10 (r) =エネルギー条件

(18)




Tµ ν = In Fig. 3 we showのように求まり
the behavior of the electricfield.
We
can
see
that
the
field
is
well
behavedintheinfinityandin, r → +∞, r → 0 において,the origin of radial coordinate and a maximum valor for
2 15q
2 BD mr
2 4 7/2
F 10 (r)κ= (r + q )7/2 .
2 )2 (r2 + qBD

r=

(24)

2 |qBD |
p .

−pr

0

−pt



0 

−pt




(20)

この時, 重力の引力性を要請する強いエネルギー条

F 10 (r) ∝ 1/r33, F 10 ∝ r4

To analyze the asymptotic forms we can expand (24) for r ! 0 and r ! +1, given by✓ ◆15mqBD
1
としてクーロン場とは異なる振る舞いをするが全時
F 10 (r) ⇡+O, for r ! +1.
2 r 3r4
4
空で正則なことがわかった.
また, 曲率不変量はク
15mr
Sign(q)BD
F 10 (r) ⇡+ O r5 , for r ! 0.
6
2 qBDµναβ

件 (SEC),(25) 粒子のエネルギーが正であることを要請する弱いエネルギー条件(WEC), エネルギー流の非(26)

レッチマンスカラー K = R

Rµναβ を見た. 以下 光速超過性を要請する支配的エネルギー条件 (DEC)が全時空のクレッチマンスカラーの値と振る舞いを の定義は ρ と p を用いて以下の様に記述できる.
表した図 2 である.

SEC(r) =ρ + pr + 2pt ≥ 0,

(21)

12m2
K= 2
(8q 2 − 4q 6 r2 + 47q 4 r4 − 12q 2 r6 + 4r8 )(r + q 2 )7(19)

W EC1,2 (r) =N EC1,2 (r) = ρ + pr,t ≥ 0,(22)W EC3 (r) =(23)

結果として, r → 0 でも定数で, r → +∞ でも漸近DEC1 (r) = ρ ≥ 0,

DEC2,3

ρ − pr,t ≥ 0.

(24)

的平坦で正則であることを示した. 従って非線形電磁気学を組み合わせることで電場を伴うような物質があれば Bardeen モデルの正則ブラックホールが構
築できた.

=

前章で求めた, ラグランジアン (16), マクスウェル・
ファラデーテンソルの非ゼロ成分 (18) を用いること
でエネルギー運動量テンソル 4 から ρ と p を具体的な定数によって表記できる. 従って, 上記のエネル
ギー条件は以下によって記述し直すことができる.

23

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
技術の進歩によって正則ブラックホールの検証も可

6mq 2 (3r2 − 2q 2 ),κ2 (r2 + q 2 )7/2
0,15mq 2 r2,κ2 (r2 + q 2 )7/2
6mq 2,
κ2 (r2 + q 2 )5/2
12mq 2,κ2 (r2 + q 2 )5/2
3mq 2 (4q 2 − r2 ).
κ2 (r2 + q 2 )7/2

SEC(r) =W EC1 (r) =W EC2 (r) =W EC3 (r) =DEC2 (r) =DEC3 (r) =能である. いくつもある正則ブラックホールのモデ

ルの分類や妥当性をエネルギー条件などから理論物(25)

理学の観点からも調べることができた. 量子重力理(26)

論から正則ブラックホールモデルを構成できるかど
うかは今後の重要な課題の１つである.

(27)
(28)

参考文献

(29)

6

(30)

Reference
Arvind Borde, PhRvD, 55, 7615B, 1997

これらを r の関数として１つのグラフにまとめエネ
ルギー条件の破れを確認することができるのが以下の図 3 である. 従って, この電場を伴った正則ブラッ
クホールは元の Bardeen 正則ブラックホールが満た

E. Ayon-Beato, A. Garcia, The Bardeen Model as a
Nonlinear Magnetic Monopole, Phys. Lett. B 493(2000) 149-152, gr-qc/0009077.

す WEC の破れはなく, SEC のみ大きく破れていた.

J. M. Bardeen, Non-singular general relativistic gravitational collapse, in Proceedings of the International
Conference GR5, Tbilisi, U.S.S.R. (1968).

働き特異点生成を解消することの確認ができ, さらにManuel E. Rodrigues and Marcos V. de S. Silva, JCAP,
06, 025R, 2018

ことが示された.

S. Hawking, R. Penrose, The Nature of Spacetime,
Princeton8 University Press, Princeton (1996).

これよりエネルギー条件からも中心で斥力的効果が

SEC が破れる領域は事象の地平面の内側に位置する
8

S. Hawking, R. Penrose, The Singularities of gravitational collapse and cosmology, Proc. Roy. Soc. Lond.
A314 (1970) 529-548.

m2WEC1(r)m22WEC2(r)m 2WEC3(r)m2DEC2(r)m DEC3(r)m2SEC(r)6
4
2
0

G. F. R. Ellis, S. Hawking, The Cosmic black body radiation and the existence of singularities in our universe, Astrophys.J. 152 (1968) 25.

−2
−4
−6
−8
0

0.2

0.4

0.6

0.8

R. Penrose, Gravitational collapse and space-time singularities, Phys. Rev. Lett. 14 (1965) 57-59.

1

r/m

Figure 8: Graphical representations of the energy conditions for qBD = 0.4m.

図 3: q = 0.4m における各エネルギー条件の符号の.
in all spacetime and表れ
it’s asymptotically
flat. The energy conditions NEC and WEC are always satisfied, this result
agree with the result obtained in [28].
It is important emphasize that for the electric interpretation F vanish for r ! 0 and the electric field is zero too,in agreement with the Bronnikov’s theorem [32]. As F vanish at the infinity and at the origin, this function has aminimum value at the same point where the electric field has a maximum. At least, the solution present a zero gravity
surface, L = 0, that inner this surface the SEC is violated. These are the basics properties that are obligatorily forany electric Lagrangian according to [34].

まとめ

5

Acknowledgements:
M. E. R. thanks Conselho
Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico e Tecnológico - CNPq,
以上のことから, 古典的な理論のもとでブラック
Brazil, Edital MCTI/CNPQ/Universal 14/2014 for partial financial support.

ホールに存在する特異点を解消できる正則ブラック

ホールの中で, 電荷を伴うモデルを構築することがで[1] R. D’Inverno, Introducing
Relativity, Oxford University Press, New York(1998).
きた Einstein’s
このモデルは全時空領域で正則で漸近平坦性[2] R. M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago (1984).
[3] C. M. Will, Was Einstein Right? A Centenary Assessment, arXiv:1409.7871 [gr-qc] (2014).
を持ち合わせていた このモデルはのみ破り[4] C. M. Will, The 1919 measurement of the deflection of light, Class. Quant. Grav. 32 (2015) no.12, 124001, arXiv:1409.7812[physics.hist-ph].
中心にはドジッターコアを生成することを示した[5] B. P. Abbott et al (LIGO Scientific and Virgo Collaborations), Observation of Gravitational Waves from a Binary Black
Hole Merger, Phys.Rev.Lett. 116 (2016) no.6, 061102, arXiv:1602.03837 [gr-qc].
仮に真空でない場合はホライズンの外部に[6] B. P. Abbott et al (LIGO
Scientific and Virgo Collaborations), GW151226: Observation ofゼロ
Gravitational Waves from a
22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence, Phys.Rev.Lett. 116 (2016) no.24, 241103, arXiv:1606.04855 [gr-qc].
今後観測[7] B. P. Abbott et alでないエネルギー運動量成分が現れるので(LIGO Scientific and Virgo Collaborations), GW170814: A Three-Detector
Observation of Gravitational
Waves from a Binary Black Hole Coalescence, Phys.Rev.Lett. 119 (2017) no.14, 141101, arXiv:1709.09660 [gr-qc].
[8] B. P. Abbott et al (LIGO Scientific and Virgo Collaborations), GW170817: Observation of Gravitational Waves from a
Binary Neutron Star Inspiral, Phys.Rev.Lett. 119 (2017) no.16, 161101, arXiv:1710.05832 [gr-qc].
[9] S. Chandrasekhar, The mathematical theory of black holes, Oxford University Press, Nova York (2006).
[10] J. M. Bardeen, B. Carter, S.W. Hawking, The Four laws of black hole mechanics, Commun. Math. Phys. 31 (1973) 161-170.
[11] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheller, Gravitation, Freeman, San Francisco (1973).
[12] M. P. Hobson, G. P. Efstathiou e A. N. Lasenby, General Relativity - An Introduction for Physicists, Cambridge University
Press, Nova York (2006).
[13] D. L. Wiltshire, M. Visser, S. M. Scott, The Kerr spacetime: Rotating black holes in general relativity, Cambridge University
Press, England (2009).
[14] R. P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys.Rev.Lett. 11 (1963)

.

,

.

SEC

,

.

,

,

24

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重宇 a05

正則ブラックホールは本当に正則か？
田中 亜花音25

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

正則ブラックホールは本当に正則か？
田中 亜花音 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
ブラックホールの内部にある特異点を解消するために、様々な特異点のない正則ブラックホールが提案されている。そこで文献 [1] では正則ブラックホールの測地線に焦点をあて、Hayward 時空と Culetu-Simpson-Visser
時空は最大拡張された時空で測地線が不完備であることが示された。さらに時空の修正を行うことで測地線が完備である時空の提案を行なっている。本稿では文献 [1] に基づいて、正則ブラックホールにおける測地線の不完備性について紹介する。

1

Introduction
Penrose の特異点定理 [2] によると、ブラックホー

2

Hayward 時空

2.1

Hayward 時空の測地線

ル内部には一般に時空特異点が存在し、物理法則が球対称で静的な Hayward 計量は破綻する。特異点の解消は、量子重力など一般相対論を超える重力理論を構築する大きな動機となって

ds2 = −f (r)dt2 + f −1 (r)dr2 + r2 dΩ(2) .

いる。

(1)

1968 年に Bardeen によって特異点が存在しない正 ここで関数 f (r) は則ブラックホールが提唱されて以降、様々な種類の
2M r2
f (r) = 1 − 3,(2)
正則ブラックホールが考案されている。正則ブラッr + L3
クホールは、情報損失問題の解消へ向かう手掛かりを得る模型 [3] としても期待されており、近年盛んに である。また M は質量、L は長さの次元を持つパラメータである。この計量は r → ∞ で Schwarzschild

研究されるようになった。

時空に近づき、r → 0 で de Sitter core を持つ。

正則ブラックホールは人為的に与えた解であるので、時空のダイナミクスは明らかにされていない。まこの時空で質量を持ったテスト粒子がブラックホー

た、時空が完全に正則であるかについても議論の余ルに落ちる状況を考える。この時の動径方向の測地

地がある。

線方程式は

特異点が存在するかを知るためには Kretschmannṙ = e2 − 1 +scalar などの曲率不変量が発散していないかを調べるだけでは不十分である。本当の意味で時空が正則

2M r2,
r 3 + L3e ≡ −gtt ṫ.

(3)

ここで e は保存量である。また、有効ポテンシャルはであることを示すためには、最大拡張された時空で測地線が完備であること、つまり可能な限り延長しV ≡1−

た測地線の固有時間またはアフィンパラメータが無限の値になる必要がある。
そこで本稿では文献 [1] に基づいて解析的な Hay-

2M r2.
r 3 + L3

(4)

この時空ではエネルギーが e > 1 のところでポテン
シャル障壁にぶつかることはない (参照：図 1)。まward 時空と非解析的な Culetu-Simpson-Visser 時空 た、r = 0 に到達する固有時間は有限である。よって
この測地線の拡張方法について次節で議論する。
における測地線の完備性について紹介する。

2.2

測地線の拡張方法

Hayward 時空は解析的な計量を持つため、拡張方
法は 2 つある。(i) 単純に測地線を θ → π − θ のよ26

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
λ = λ0 とすると、左右の極限は( d )5240M
limṫ(λ) =, λ < λ0 のとき.
λ→λ0 dλL6( d )5240M
limṫ(λ) = −, λ > λ0 のとき. (9)λ→λ0 dλL6
よって t(λ) の 6 階微分で測地線の解析性が失われることが分かる。よって Hayward 時空の拡張は r < 0への解析接続を選択するべきであることが示された。
図 1: Hayward 時空の有効ポテンシャル

これまでの議論より、時空を r < 0 へ拡張をする。拡張された時空で計量を見ると r = −L で曲

うに対蹠拡張を行う。(ii) 時空そのものを r < 0 へ

率特異点を持つことがわかる。実際、スカラー曲率

解析接続する。以下では Hayward 時空の拡張方法をR ∼ (r3 + L3 )−3 は r = −L で発散している。また、(i) だと仮定した場合に測地線の解析性が壊れ、最終 粒子が r = −L に到達する場合の固有時間を計算す的に (ii) の拡張方法を選ばなくてはならないことを る。固有時間は
示す。

∫ ri

簡単のため、Hayward 時空における動径方向の nullτ (r) =
r

測地線を考える。

−f (r)ṫ2 + f −1 (r)ṙ2 = 0, f (r) = 1 −1
dr √ ,ṙ2(10)と定義される。ここで ri は粒子の初期位置であり、

2M r2
. (5)
r 3 + L3r < ri とする。(10) に従って timelike な粒子の固有時間を計算すると r = 0 で有限の値になっており、測ドットはアフィンパラメータ λ の導関数を表す。保地線は不完備であることが言える。

存量を e ≡ −gtt ṫ と定義し、(5) に代入すると

ṙ2 = e2 ,(2M r2 )ṫ2 = e2 1 − 3,
r + L3(6)

3となる。ṙ は定数であるので、∆λ ∝ ∆r である。ア

Hayward 時空の一般化
この章では Hayward 時空の一般化を考え、測地線が完備である時空が構築できないかを検討する。

フィンパラメータは r = 0 で有限の値をとる。

そのために関数 (2) を次式のように一般化する。

次 に (6) で パ ラ メ ト リック 方 程 式 t(λ) を 考
え る 。ま た 直 交 座 標 で の パ ラ メ ト リック 曲 線 を

f (r) = 1 −{t(λ), x(λ), y(λ), z(λ)} と表示する。これは λ について解析的な関数であれば、測地線は解析拡張可能である。ここで測地線方程式 (6) の ṫ を r = 0 周りでテイラー展開すると

ṫ(r) = 1 +n ≥ 3. (11)関数 f (r) は r → ∞ で Schwarzschild になり、

r → 0 では f (r) 1 − (2M/Ln )rn−1 になる。また
において r = 0 で正則である。よって r ≥ 0 では曲率特異点は存在しない。では今までと同様に動径方向の timelike な測地線を考えると簡単のため e = 1 とした。テイラー展開 (7) は ṫ の 5
階微分が 0 ではないこと、r = 0 で符号が変化するṙ = e2 − 1 +ことを示している。実際

dλn ∈ N,

Kretschmann scalar Rµνρσ Rµνρσ ∼ r2n−6 は n ≥ 3

2M 2 4M 2 4 2M 5
r + 6 r − 6 r + O(r5 ). (7)L3LL( d )5

2M rn−1,
r n + Lnṫ(λ) = ṙ( d )5drṫ(r).

2M rn−1,
r n + Ln(12)となる。質量を持つ粒子は e2 > 1 の条件で、r = 0 に(8)有限の固有時間で到達する。2.2 節の議論と同様に、と表せるため、r = 0 で関数 ṙ の符号が変わること

一般の n に対して、n が偶数のときは n 階微分、nにより ṫ(λ) の符号も変わる。よって関数 (8) の左右が奇数のときは 2n 階微分の時に測地線の解析性が壊の極限は r = 0 で異なる。ṙ = −1 → +1 となる点をれてしまうため、r < 0 への拡張を考える。まず n が偶数の場合を議論する。ṙ は至るところ正則であり、

27

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
式は

粒子はエネルギーが十分大きい場合はポテンシャル
障壁に跳ね返されることなく進むことができる。まṙ = e2 − 1 +た計量は漸近的に平坦であり、粒子が r = −∞ に到達する固有時間は無限の値にあるため測地線は完備であることが分かる。これは massless の場合も同様に言える。

2M − a
e r,
r

(14)

である。また有効ポテンシャルは V = f (r) である。
この時の r = 0+ に到達する固有時間を見ると、エネルギーが e2 > 0 で e2 − 1 となるので有限時間で次に n が奇数の場合を考える。この時、r˙2 は r =Minkowski core に到達することがわかる。よって時−L に極を持ち、粒子が極に到達する時の固有時間

空の拡張を考えるべきである。

は有限である。よって測地線は不完備である。

Culetu-Simpson-Visser 時空は測地線が非解析的で計量の時空の因果構造は図 2 に示した。n が奇数あるため拡張方法は無数にある。そこで単純なもの′の場合、イベントホライズンは r+ , r− , r+の 3 つ現れる。領域 I は漸近平坦であり、r+ はイベントホラ
イズンである。r < 0 に拡張した領域は IV に現れており、r = −L で時空特異点を持つことがわかる。nとして r < 0 に拡張する方法を選ぶ。しかし、この時空では測地線方程式が r = 0 で ill deﬁned である
ため r < 0 への拡張は不可能である。よって測地線は不完備である。

が偶数の場合、領域 I と III は漸近平坦である。領域

II は 2 つの漸近平坦な時空をつなぐ役割を果たしている。また、この時空では時空特異点は存在せず、測5

地線は完備である。

Culetu-Simpson-Visser 時 空の一般化
計量の修正を行い、測地線が完備である時空の構築を検討する。まず計量は次の関数 f (r) で定義する。

f (r) = 1 −2M − a22
e r .
r

(15)

この計量は r → ∞ で Shwarzschild になり、r → 0+
では Minkowski core になる。また、質量を持つ粒子
が r = 0 に到達する固有時間は有限であるため時空図 2: 一般化した Hayward 時空の Penrose 図。左図の拡張を考えるべきである。今回の計量では一般化は奇数べきの場合、右図は偶数べきの場合を表してする前の計量と比較すると、r = 0 で連続的であるいる。

ため r < 0 への拡張を考える。ṙ は至るところ正則であり、r = −∞ に到達するときの固有時間は無限である。よってこの時空における測地線は完備である。時空の因果構造は図 3 に示した。これは a2 の値

4Culetu-Simpson-Visser 時空

によって場合分けされており、左図は a2 < 2M 2 /eの場合である。これはイベントホライズンを 2 つ持Culetu-Simpson-Visser 時空の計量は次の関数 f (r)ち、それぞれ r+ , r− で表している。r = 0 におけるで定義される。

Minkowski core は領域 III に存在する。一方で右図
2M − af (r) = 1 −e r.
r

は a2 = 2M 2 /e の場合を表しており、イベントホラ(13)

イズンは 1 つになっている。また 2 つの漸近平坦な関数 f (r) は r → 0+ で Minkowski core になり、曲領域で構成されている。

率不変量は発散していない。しかし r = 0 で計量は不連続である。

次により一般化した Culetu-Simpson-Visser 時空を考える。関数 f (r) はこの時空における測地線の完備性を確認する。質f (r) = 1 −量を持った粒子が落ちる時の動径方向の測地線方程

282n2M − a2ne r ,rn ∈ N,n ≥ 1. (16)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference[1] T. Zhou and L. Modesto, Phys. Rev. D107, 044016(2023).
[2] R. Penrose, Phys. Rev. Lett. 14, 57-59 (1965).
[3] S. A. Hayward, Phys. Rev. Lett. 96, 031103 (2006).

図 3: 一般化した Culetu-Simpson-Visser 時空の Pen-rose 図。
ここで関数 f (r) は r > 0 と r < 0 で同じ形式をとると仮定する。ただし f (r) が C ∞ だとすると、f (r) の導関数は r = 0 で全て 0 になるため計量は一意ではない。よって計量の r < 0 への拡張は一意に定まらない、すなわち粒子の未来を予測できないことから測地線の不完備性へつながる。
このように非解析的な時空における拡張は一意に定めることができないため、時空は正則ではない。

6

Conclusion
Hayward 時空の r < 0 の領域への最大拡張を考えると r = −L に曲率特異点が存在し測地線が不完備になることが分かった。しかし、Hayward 時空の一般化として偶数ベキを考えると特異点は存在せず測地線は完備であることが分かった。Culetu-Simpson-

Visser 時空の場合は非解析的な時空であるために、時空の拡張方法が一意に定まらず測地線は不完備であることが分かった。今後は Hayward 時空の拡張した領域における安定性やエネルギー条件について詳し
く調べていきたい。

Acknowledgement
天文・天体物理若手夏の学校を運営して下さった
スタッフの方々、支援して下さった方々に心より感謝申し上げます。またこのレビューを行うにあたり、議論して下さった一般相対論・宇宙論研究室の方々に心より感謝申し上げます。

29

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重宇 a06

Gravitational duals to the grand canonical ensemble
abhor Cauchy horizons
菅原 啓太

30

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Gravitational duals to the grand canonical ensemble abhor
Cauchy horizons
菅原 啓太 (日本大学大学院 総合基礎科学研究科)

Abstract
本講演では、[arXiv:2006.10056] のレビューを行う (Hartnoll et al. (2020))。対称性の高い holography 理論では、共形場理論 (CFT) におけるグランドカノニカル分布は荷電ブラックホールに対応することが知られている。Reissner-Nordström 反ド・ジッター (RN-AdS) 時空では、事象の地平線以外に Cauchy horizon を持つ。Cauchy horizon はブラックホール内部にあり、内部の古典的な重力のダイナミクスを予測不可能にすることがある。RN-AdS 時空の boundary にスカラー場の歪みを与えると、ブラックホール内部の Cauchy

horizon が形成されなくなることを示す。Cauchy horizon の消失は、Kasner 特異点が存在することに対応する。これにより Einsten-Rosen(ER) bridge は崩壊する。一方で、特定の歪みを与えたとき、Cauchy horizon
はある特定の温度で存在することがある。特異点では、低温限界における Kasner 指数が固定指数となる。

1

を考える1 。radial 座標は z ∝ r−1 であるから、原点

Setupが z = ∞、AdS boundary が z = 0 となることに注

ラグランジアン密度として1
L = R + 6 − F 2 − g αβ ∂α ϕ∂β ϕ − m2 ϕ24意する。

AdS boundary へ漸近 (z → 0) したとき

(1)を考える。ここで、後の座標系で電磁場のテンソルはϕ → ϕ(0) z 3−∆ ,′Fzv = Φ (z) となる。右辺第 1,2 項が宇宙項 (Λ = −3)

Φ → µ,

f (z) → 1,を含めた重力場、第 3 項が電磁場、第 4,5 項がスカΦ′ → −ρ,χ(z) → 0(7)(8)となる。スケーリング次元 ∆ は√算し、変分原理を用いると運動方程式が導出できる。
3
9
∆= +
+ m2
(9)
運動方程式は
2
4
)
(
1
1
1
Rµν − Rgµν − 3gµν −2Fµρ Fνρ − gµν F 2となる。例えば、BFbound 内の値として m2 = −2 と242(2) 置くとき、∆ = 2 となる (Breitenlohner and Freedman (1982))。
()
1+ gµν ∂ α ϕ∂α ϕ + m2 ϕ2 − ∂µ ϕ∂ν ϕ = 0
運動を決める方程式は2ラー場のラグランジアン密度を表す。作用の変分を計

Dµ F µν = 0(3)□ϕ = m ϕ(4)2

Φ′ = −ρe−χ/2()′ ( m )2ϕz 2 eχ/2 e−χ/2 z −2 f ϕ′ =
z
(
)
′
2
4z 4 z −3 f = −12 + 2m2 ϕ2 + 2z 2 f (ϕ′ )の 3 つとなる。(2) は Einsten-Maxwell-Klein Gordon
方程式である。(3) は Maxwell 方程式である。(4) は

4 χ

(10)
(11)
(12)

′ 2

+z e (ϕ )Klein Gordon 方程式である。
背景時空として、horizon が ﬂat な漸近 AdS 時空

χ′ = z(ϕ′ )

ds2 =
{
}
1
1
−χ(z) 22
2
2
−f (z)edt +dz + dx + dy
(5)
z2
f (z)
}
1{
= 2 −f e−χ dv 2 − 2e−χ/2 dvdz + dx2 + dy 2 (6)zの 4 つとなる。(10) は電磁場の constraint となる。

2

(13)

(11) はスカラー場の運動を決める方程式である。(12)は重力場の運動を決める方程式である。(13) は重力
1 toortoise coordinate は、dr ∗ = −f −1 e−χ/2 dz とおいた。

312023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
場の constraint となる。未知数は Φ, χ, f, ϕ の 4 つ2.2である。Φ, χ は constraint に関係するので、運動のIrrelevant deformations (m2 > 0) を与えると、様子を知るには (11), (12) を解き、f, ϕ を求めればCauchy horizon が存在する場合があることを見る。

良い。
例えば、ϕ = χ = 0 のとき、(12) は f (z) の微分方

ここでは線形問題に限って話をする。

RN-AdS 計量を背景時空とする。(11) は程式(z −3 f )′ = −3z −4 +

2

ρ
4

( −2
)′
m2
z fRN ϕ′ = 4 ϕz(14)になる。f (zH ) = 0 より
2

fRN (z) = 1 +

ρ 4
z −
4

(

z
zH

)3 (
1+

4
ρ2 zH

(18)

と表せる。これは線形化された固有値問題になってい)て、固有値 m2 を ξ ≡ zI /zH (≥ 1) の関数として求め

(15)

4

ることができる。正則条件は fRN (zH ) = fRN (zI ) =0 よりと求まる。こうして、運動を決める方程式から RN-

AdS 計量を決定することができる。

2

Irrelevent Deformationsϕ′ (zH ) =m2 ϕ(zH )2′ (z ) ,zH fRNHϕ′ (zI ) =m2 ϕ(zI )′ (z )
zI2 fRNI(19)となる。z ∈ (zH , zI ) において、fRN < 0 より、(18)Deformationsを満たすのは m2 > 0 のときのみであることが確認

AdS boundary におけるスカラー場の摂動の振る舞 できる。(18) が z ∈ (z , z ) で正則になるように数HI
いは、スケーリング次元 (9) に依存している。∆ ≤ 3 値的に解いた結果を図 1 に示す。

の時を Relevant deformations (m2 ≤ 0)、∆ > 3 の時を Irrelevant deformations (m2 > 0) と呼ぶ。

2.1

Relevant Deformations

Relevant Deformations (m2 ≤ 0) を与えると、Cauchy horizon が存在しなくなることを示す。
[]zI∫ zI ( −χ/2 ′ )′f e−χ/2 ϕϕ′
fe
ϕϕ
0=
dz
=
2
2
z
z
zH
zH
( −χ/2 ′ ) }∫ zI {( −χ/2 ′ )′
fe
ϕ
fe
ϕ
=
ϕ+
ϕ′ dz
2
2
z
z
zH
∫ zI

図 1: m2 と ξ − 1 の関係。点線部は ξ ∼ 1 のまわりで摂動論的に解いた結果となる。l は自然数で、m2 のmode を分けるラベルとなっている。青：l = 1、黄：l = 2、緑：l = 3、赤：l = 4 という対応関係がある。

(16)
χ/2 {

e
=
z4
zH

2 2

2

′ 2

m ϕ + z f (ϕ )m2 がどの ξ においても正則である場合が存在す}
dz

るので、パラメータを調整することで Irrelevant de-formations では Cauchy horizon が存在する場合が

(17)

ある。

ここで、式 (16) から式 (17) への変形に式 (11) を用いた。今、zH < z < zI の区間を考えているから、

f (z) < 0 となる。よって、式 (17) の等号が成立する

3

ためには ϕ = 0 が必要となる。しかし、ϕ ̸= 0 であるから、Cauchy horizon は取り除かれる。

ER bridge の崩壊
Relevant deformations では Cauchy horizon が存在しないことを確認した。このとき、ER bridge が消失することを見る。δz ≡ z − zI → 0 付近における32

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校とおけば、zI < z < ∞ における解は Kasner 解

運動方程式は()′
e−χ/2 f ϕ′ = 0,

χ′ = zI (ϕ′ )2ds2 = −dτ 2 + ct τ 2pt dt2 + cx τ 2px (dx2 + dy 2 ) (25)

4zI f ′ = 2zI2 f (ϕ′ ) + zI4 ρ2 − 122(20)になる (Wald (1984); Belinski and Khalatnikov(1973); Kasner (1921))。

となる。δz → 0 付近における漸近 AdS 時空 (5) の性質は gtt = −f e−χ zI−2 に依存しているので、解のτ = 0 が Kasner 特異点であることに注意する。

ペアを {ϕ, f, χ} → {gtt , c1 , c2 } に変更する。運動方程式 (20) は gtt の 2 階の微分方程式

5

′′
′
gtt
c21 gtt=′
gtt
gtt (c21 + gtt )(21)

Penrose 図
outer horizon 以内の時空構造を調べる。まず、in-going 座標系において AdS boundary から Kasner 特に集約できる。一般解は

c21 log(gtt ) + gtt = −異点まで到達するような null 測地線を考える。AdS

zI 2
c δz
2 2

(22)

boundary における時刻を t = 0 とすると、Kasner
特異点における時刻 (t = t∗ ) はとなる。簡単のため、追加の積分定数を c3 = 0 と∫ ∞した。gtt と z/zH 、c1 /c2 と ϕ(0) /µ の関係を図 2 にt∗ = P V

示す。

0

eχ/2
dz
f

(26)

で与えられる。ここで、P V は z = zH で outer hori-zon を横切る時の主要な値である。zI < z < ∞ において f < 0 だから、t は outer horizon の内部では空間座標と見て差し支えない。図 3 を見ると、t∗ > 0のときは、Kasner 特異点は”上に曲がる”。一方で、t∗ < 0 のときは、Kasner 特異点は”下に曲がる”。
図 2: (左図) gtt と z/zH の関係。gtt は ER bridgeの長さと関係している。(右図) パラメータ c1 /c2 とAdS boundary におけるスカラー場の deformationとの関係。

gtt は ER bridge の長さに関係しているので、
would-be inner horizon を越えると ER bridge が指数関数的に崩壊していくことが分かる。

図 3: relevant deformations を与えた時の Penrose
図。破線は Cauchy horizon を、点線は spacial t = 04を表す。Cauchy horizon が消失する代わりに、Kas-

Kasner 特異点

ner 特異点が現れる。

背景時空を表す式 (5) は z → ∞ で√√
2
f = −f0 z 3+α , ϕ = α 2 log z = − 2pϕ log τ,Φ′ = −ρe−χ0 /2 z −α

χ = 2α2 log z + χ0 ,

2

6
(23)

のように振る舞うとする。ここで、α > 1 である。

Kasner 指数を
pt + 2px = 1,pt =(0 < pt ≤ 1)

• AdS boundary における物理量を指定すると、
bulk 時空は RN-AdS 時空となる。
• AdS

p2ϕ + p2t + 2p2x = 1,

α2 − 1,3 + α2Conclusion

boundary に ス カ ラ ー 場 の Relevant

deformation(m2 ≤ 0) を与えると、Cauchy(24)

horizon が存在しなくなる。

33

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校• Irrelevant deformation(m2 > 0) を与えると、特定の温度では Cauchy horizon が存在する。

• Cauchy horizon が存在しないときは、Kasner 特異点が存在する。

• Penrose 図（図 3）の特異点は、ϕ(0) /µ ≪ 1 ま
たは T /µ ≪ 1 で上に曲がり、ϕ(0) /µ ̸= 0 また
は T /µ ≫ 1 で下に曲がる。

Reference
V. A. Belinski and I. M. Khalatnikov. Eﬀect of
Scalar and Vector Fields on the Nature of the
Cosmological Singularity. Sov. Phys. JETP, 36:
591, 1973.
Peter Breitenlohner and Daniel Z Freedman. Stability in gauged extended supergravity.

An-

nals of Physics, 144(2):249–281, 1982.

ISSN

0003-4916.

doi: https://doi.org/10.1016/0003-

4916(82)90116-6.
Sean A. Hartnoll, Gary T. Horowitz, Jorrit
Kruthoﬀ, and Jorge E. Santos.

Gravitational

duals to the grand canonical ensemble abhor
Cauchy horizons.

JHEP, 10:102, 2020.

doi:

10.1007/JHEP10(2020)102.
Edward Kasner.

Geometrical theorems on Ein-

stein’s cosmological equations. Am. J. Math., 43:
217–221, 1921. doi: 10.2307/2370192.
Robert M. Wald.
Univ.

Pr.,

General Relativity.

Chicago,USA,

Chicago

1984.

doi:

10.7208/chicago/9780226870373.001.0001.

34

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重宇 a07

4 次の共形 Weyl 重力とワームホール
牧田 悠輔

35

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

4 次の共形 Weyl 重力とワームホール
牧田 悠輔 (名古屋大学大学院 理学研究科 QG 研)

Abstract
本発表では主に論文 [1] のレビューを行う．この論文では，Weyl 作用に基づく 4 次の共形 Weyl 重力 (以下，共形重力とよぶ) について議論されている．
時空の局所的なスケール変換 gµν → ĝµν = e2α(x) gµν を共形変換といい，共形重力は共形変換のもとで作用が変化しない共形場である．これまで，Einstein の一般相対論に代わる様々な重力場の理論が提案されてきた．共形重力はそのうちの一つであり，プランクスケールの物理を理解する鍵になることが期待されている．共形重力の場の方程式は，4 階の微分を含む連立微分方程式である．このために 4 次の共形重力とよばれる．
一般相対論において，2 つの時空領域を結びつける構造をワームホールとよぶ．さまざまな時空構造が提案されてきたが，その多くはエネルギー条件 (エネルギー密度や圧力に関する制約) を破ってしまうために，
通常の物質では実現できないことや不安定であることなどがわかっている．
本発表は，共形重力場の方程式を導出することから始まる．次いで標準的なワームホールがエネルギー条
件を破ることを確認した上で，共形重力の場合について議論を進める．結果として，共形重力に基づけばこの問題を回避することが可能であることを紹介する．

1

共形重力とよばれるのは，Weyl 作用 IW が共形変換：

共形重力理論gµν −→ e2α(x) gµν

共形 Weyl 重力 (Conformal Gravity) とは，Weyl
作用：∫IW = −αgCλµνκ Cλµνκ √のもとで不変であることからきている．Riemann テ−g d x4

ンソルは計量の高々 2 階微分で構成されるため，式(2) で定義される Weyl テンソルは計量の 4 階微分を含む．場の方程式 (1) を Ricci テンソル Rµν や Ricciに基づく重力の理論である．ここで g ≡ det(gµν ) であり[1] ，αg は共形重力の結合定数である．Cλµνκ はスカラー R を用いて書き下すとWeyl テンソルとよばれ，Riemann テンソル Rλµνκ か

Tµν
= Wµν
4αg
2
1
= − R;α;α gµν + R;µ;ν + Rµν ;α;α632α− Rµ ;ν;α − Rν α;µ;α + RRµν
3
1
1
α
αβ
− 2Rµ Rαν + Rαβ R gµν − R2 gµν
26(3)ら構成されるトレースフリーなテンソルである．IWについて g µν で変分をとることで，共形重力の場の
方程式：

Wµν =

1
Tµν
4αg

(1)

が得られる．ここで Wµν は Bach テンソルとよばれ，

Weyl テンソル Cλµνκ から
Wµν = 2C αµν β;β;α + C αµν β Rβα(2)となる．これらの表式をもとに，論文では Mathemat-で構成される (添え字の ;α は共変微分を表す)．また， ica を用いて計算している．

Tµν はエネルギー運動量テンソルである[2] ．これが[1] ここでは計量の符号として (−, +, +, +) を採用している．
[2] ここではエネルギー運動量テンソル Tµν として，cT00 がエネルギー密度 ρ となるように定義した．すなわち Tµν =1[(ρ + p)uµ uν + pgµν ] である．なお，この論文では明示しなc
い限り c = G = 1 の単位系を用いている．

36

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
ネルギー密度 ρ と各座標軸方向の圧力 pi により通過可能なワームホール

2

T µ̂ν̂ = diag(ρ, p1 , p2 , p3 )通過可能なワームホール (traversable wormhole)の計量は，固有半径 l を用いて

ds2 = −e2Φ(l) dt2 + dl2 + r2 (l) dΩ2と書ける．このとき，各成分 ρ, pi には数学的要請であるエネルギー条件 (energy condition; EC)：

(4)Null EC ⇐⇒ ρ + pi ≥ 0と書かれる．ここで dΩ2 ≡ dθ2 +sin2 θ dϕ2 である．lWeak EC ⇐⇒ ρ + pi ≥ 0 & ρ ≥ 0∑Strong EC ⇐⇒ ρ + pi ≥ 0 & ρ +pi ≥ 0は任意の値をとり，l = 0 はワームホールの喉 (throat)に，l = ±∞ は漸近的平坦領域に対応する．Φ(l) は
赤方偏移 (redshift) 関数とよばれ，有限の値をとるこ

Dominant EC ⇐⇒ ρ ≥ |pi |とが求められる．例えば，H.Ellis により 1973 年に(8)

導かれたドレインホール計量は Φ(l) = 0 の解でが課せられる．一般相対論の範囲では，通過可能な()
ds2 = − dt2 + dl2 + b0 2 + l2 dΩ2

ワームホール解は喉を含むある領域で NEC を破っである．通過可能なワームホールの計量は，別の形
式として

dr2
ds2 = −e2Φ(r) dt2 ++ r2 dΩ2
1 − b(r)/rてしまう．ワームホール解を実現するためには，標準的な NEC や WEC を破るような exotic matter を導入しなければならない．一方で，共形重力では場(5)のように書かれることもある．これは r ∈ [b0 , +∞)の方程式が Einstein 方程式ではなく式 (1) で与えられるために，エネルギー条件の問題を回避できる可能性がある．
論文中では，NEC を null 測地線 Γ = Γ(λ) 上で積を満たす 2 つの Schwarzschild 時空を結び付けている ．ここで b(r) は形状 (shape) 関数とよばれる． 分した Averaged NEC(ANEC)：∫
計量 (5) からは変数変換：IΓ =Tµν k µ k ν dλ ≥ 0
(9)
∫ r
Γ
dr
√
l(r) ≡ ±(6)についても検討している箇所がある (後述)．ここでr/b(r) − 1b0[3]

によって計量 (4) へ移行することができる．式 (6) かk µ は測地線 Γ の接ベクトルで k µ ≡ dxµ /dλ である．

らは，b(r) ≤ r の他に l(r) がワームホールの喉 r = b0
で最小値をとるための ﬂare-out 条件：
( )2
[
]
d2 r
b(r)
1 d dr
1
′
=
=
−
b
(r)
>0
dl2
2 dr dl2b(r) r(7)4を喉近傍で満たすことが要請される．なお，しばしルの喉近傍でエネルギー条件を破らないような解をばワームホールのイメージ図として紹介されるもの

探す．b(r = b0 ) = b0 と Φ(r ≥ b0 ) < +∞ に加えて(後に示す図 1,2) は，式 (??) を l 軸周りに回転させﬂare-out 条件 (7) を満たし得る解として，比 b0 /r のたものである．

冪級数解：

ここからがこの論文の主題である．計量 (5) 中の関数 Φ(r) と b(r) を適当に決めることで，ワームホー

適当な座標系をとることで，エネルギー運動量テ
ンソルを対角形にすることができる．すなわち，エ[3] b

0 は b0 = b(r = b0 ) によって定義される．また，一般には結び付ける 2 つの時空で Φ(r) や b(r) が同一である必要はない(Φ = Φ± , b = b± ) が，ここでは結び付ける 2 つの時空は対称的であるものとする．すなわち単一の Φ(r), b(r) を用いる．

[)l( )m ]b0b0b(r) = b0 (1 + γ)
−γ
r
r
[
( )p
( )q ]b0b0
Φ(r) = (1 − δ)−δrr

エネルギー条件3

特殊解とエネルギー条件の関係

(

(10)
(11)

を仮定する．ここで γ, δ, l, m, p, q は独立なパラメー
ターである．原論文では，エネルギー条件 (8) を満たすようなパラメーターを Mathematica のプログラム
により計算し，以下に記述するような解を得ている．

37

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

1.5

1.0

1.0
0.5

0.5
0.0

0.0

0.5
1.0
1.5
3

2

1

0

1

2

3

0
1
2
3

3
2
1

0.5
1.0
3

1

0

1

2

3

図 2: δ = (p =)q = 1 (Φ ̸= 0), γ = 1, l = 3, m = 5 の

図 1: Φ = 0, γ = 1, l = 3, m = 6.5 のワームホール解の概観．この図では b0 = α = 1 としている．

4.1

2

0
1
2
3

3
2
1

ワームホール解の概観．図 1 と同様に b0 = α = 1 としている．ワームホールの概観自体は Φ = 0 の場合とほとん
ど見分けがつかないが，測地線に沿って ANEC を満たす
ことができるというところが最大の違いである．

Φ = 0 の解

Φ = 0 の解は潮汐力のない (zero-tidal-force) 解と計量 (5) の場合ではよばれ，式 (11) で決まるパラメーターは δ = 1/2, p =∫ l=+∞

q = 0 である．−1 ≤ γ ≤ 0 の範囲ではエネルギー条]
ρ(l) + pl (l) e−Φ(l) dll=−∞]∫ r=+∞ [ρ(r) + pr (r) e−Φ(r)√dr=2
1 − b(r)/r
r=b0

IΓ =

件や ﬂare-out 条件に反し不適であり，各条件を満たせるものは γ < −1, 0 < γ に限られる．このうち，

γ = 1, l = 3, m = 6.5 の解の概観を図 1 に示す．

[

この解では，エネルギー条件を喉近傍で満たし，かつ全域で ﬂare-out 条件も満たしている．すなわち，
一般相対論のもとでのワームホール解と異なり，共形重力のもとでは exotic matter の存在を仮定する必であって[4] ，Φ = 0 のもとでは負の値をとるという．
すなわち，Φ = 0 の解は一般的に ANEC を満たすことができない．

要がない．
ただし，真空解や漸近的平坦解へ適切に結び付け

4.2られるかは別の話である．ワームホール解と漸近的Φ ̸= 0 の解

平坦解を結び付ける境界には接続条件 (junction con-Φ ̸= 0 の解は，全部で 6 つあるパラメーターによっdition) が存在し，式 (10) で仮定した関数 b(r) はこて決まる．論文では可能なパラメーターの組み合わせれを満たすことができない．すなわち，境界においを徹底的に検証したという．しかし，期待に反して全て exotic matter の存在を仮定することが必要とな

く新しい解は得られなかったようである．計量 (5) にる．b(r) として他の解を仮定することも可能である

存在する Φ(r) は，Φ = 0 の解にわずかな補正を加える

が，エネルギー条件を満たせない解や式 (10) と類似のみであり，エネルギー条件については大差ないのでの解が得られるばかりであったようである．

ある．一例として，δ = q = 1, γ = 1, l = 3, m = 5

式 (9) に示した ANEC 積分について見てみよう． の単純な解を図 2 に示す．
[4] 原論文との表記の違いに注意．ここでは l 方向の圧力を p (l)lとしているが，これは radial 方向の圧力であるため，原論文では
pr (l) (= −τ ) と表記されている．また pθ , pϕ は角度方向すなわ
ち lateral 方向の圧力であるため，原論文では pl と表記されている．球対称解であるため pl = pθ = pϕ である．

38

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
これは喉近傍でエネルギー条件や ﬂare-out 条件を満たす解である．ただし Φ = 0 の解と同様に，漸近的平坦解との接続条件から，境界には exotic matterの存在を仮定することが必要になる．

Φ ̸= 0 の解の特徴は，式 (9) の ANEC を満たすことができるところにあり，図 2 に示した解はこの条件をも満たす解である．

5Conclusion
この論文では，共形 Weyl 重力におけるワームホー

ル解について解析されている．一般相対論のもとではエネルギー条件を破ってしまうために，ワームホー
ルの喉近傍に exotic matter の存在を仮定する必要があった．しかし共形重力のもとでは，通過可能なワー
ムホールの計量 (5) に含まれる 2 つの関数 Φ(r), b(r)を適当に定めることによって，各エネルギー条件を満たす解を見つけることができた．特に Φ ̸= 0 の解が ANEC を満たすことが可能であったことからもわ
かるように，通過可能なワームホールを構成することは，一般相対論に基づくよりも共形重力に基づいた方が容易である．ただし，ワームホール解と漸近的平坦解を結び付ける境界においては，接続条件から依然として exotic matter が必要となる．
共形重力の場の方程式に基づくと，式 (3) からエ
ネルギー運動量テンソルの各成分を計算することが可能である．これは計量の 4 階微分からなる非常に複雑な方程式である．原論文 [1] の Appendix には，Mathematica を用いて計算された各成分の表式が載せられている．

Reference[1] Gabriele U. Varieschi & Kellie L. Ault. (2016)
Wormhole geometries in fourth-order conformal
Weyl gravity. arXiv:1510.05054 [gr-qc][2] M. Visser. (1995) Lorentzian Wormholes. From
Einstein to Hawking. American Institute ofPhysics, Woodbury, N.Y., USA.
[3] Gabriele U. Varieschi. (2009) A Kinematical Approach to Conformal Cosmology. arXiv:0809.4729[gr-qc]39

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重宇 a09Dynamical Chern-Simons 重力における曲率ゆらぎ の 4点関数とパリティの破れ
道脇 元紀

40

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Parity-Violating 4-point correlation function from Dynamical
Chern-Simons Gravity
Masaki Michiwaki (Rikkyo University)

Abstract
This presentation is a review of [1]. First, we introduce dCS gravity in the context of inﬂation andcompute the primordial power spectrum. We then compute a four-point function of the curvatureﬂuctuations in dCS gravity.

1

3

Introduction

The distribution of galaxy clusters in the universe
has a net-like structure. This is referred to as thelarge-scale structure of the universe (LSS), and it isbelieved that LSS originated from quantum curvature ﬂuctuations that existed during the inﬂationary period and were stretched by the accelerated
expansion of space, creating the seeds for the LSS.
Recently, it was reported that a parity violation
was observed in the four-point function of the distribution of galaxy clusters [2]. In order to explain
this result in terms of inﬂation, an interaction thatcauses parity breaking is needed.
The dynamical Chern-Simons gravity (dCS gravity) is known as a parity-breaking gravity theory.
This theory combines a scalar ﬁeld that causes inﬂation and a Chern-Simons term that includes parity breaking. Since parity breaking appears froma four-point function of curvature ﬂuctuation, we
focus on the four-point function of curvature ﬂuctuation in dCS gravity in this presentation.

2

dCS Inﬂation

The dynamics of standard dCS inﬂation are obtained through its vacuum action S,∫
S=√

We compute both the lowest-order contribution to
the parity-odd 4-point functions and the dCS corrections to the graviton-mediated parity-even functions. In order to perform this calculation, we follow the Schwinger-Keldysh(SK)diagrammatic rules.
Roughly speaking, and adapted to our speciﬁc calculation, the setting is following:a) Label each external leg by one of four
momentak1 , k2 , k3 , k4 and consider the set of all distinct (in the sense that they obey the symmetriesof the diagram) labelings.There are three such diagrams in this set and each diagram we refer to asa channel.Explicitly, let Ks = k1 , k2 , k3 , k4 , Kt =k1 , k3 , k2 , k4 , Ku = k1 , k4 , k3 , k2 be three orderedlists of vectors, each corresponding to one of thesechannels.
b) We use two simplifying assumptions. First,wereassert that we assume a small chemical potential,
for the same reasons as the graviton mode functionsand primordial power spectra(We call this collapsed limit).Second, we assume that the eﬀect ofdCS is only to modify the amplitude of the GE 4point function, while retaining the same shape.
Then, we evaluate the collapsed limit in astraightforward fashion,[

1
M2
d x −g − g µν (∂µ ϕ)(∂ν ϕ) − V (ϕ) + Pl R
2
2
4

−

]
ϕ∗
RR .
4f

We work in a perturbed ﬂat FLRW spacetime using conformal time τ and parameterized and tensor(graviton) perturbations hij ,(−1gµν = a2 (τ ) ·0)0.
δij + hij

4-point Correlation FunctionsIm⟨ζ(k1 )ζ(k2 )ζ(k3 )ζ(k4 )⟩|I−collapsed9Πcirc r sin(2χI )sin2 (θI1 )sin2 (θI3 )Pζ (kI )Pζ (K1I )Pζ (K3I ).
16（※ Refer to the slides for deﬁnitions and aschematic understanding of each character.）=4

Conclusion

The calculations reveal that the imaginary part of
the four-point function of the curvature ﬂuctuation
has the value．

412023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Future prospects include mapping the 4-point
function of curvature ﬂuctuations to the 4-point
function of galaxies, which is a direct observable.

Acknowledgement
The author would like to thank all the graduate students of the Theoretical Physics Group at Rikkyo
University, especially Jin Saito, who has been agreat help to me. The author is also grateful tohis supervisors Tsutomu Kobayashi and Tomohiro
Harada for their helpful advice.
1. C. Creque-Sarbinowski, S. Alexander, M.
Kamionkowski, and O. Philcox, arXiv：
2303.04815[astro-ph.CO]
2. O. Philcox, Phys. Rev. D 106, 063501 (2022)

42

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重宇 a10type II 原始ブラックホール
島田 正顕

43

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

type II 原始ブラックホール
島田 正顕 (名古屋大学大学院 理学研究科 QG 研)

Abstract
本紙は Michael Copp (2011) のレビューである. 平坦 FLRW に囲まれた球対称過密領域の固有半径が大きくなりすぎると, 閉じて離れた宇宙 (SU) になるため, 任意の大きさになることはできないことが示されていた. このことから NO-SU condition が導かれていた. しかし, 本紙で NO-SU condition は幾何的に既に破られることがなく, SU となるのは物理的パラメータが発散するという起き得ない条件であることを示す. 最後に typeII 揺らぎに関してのシミュレーションを行い, 埋め込み図を作成した結果を示す. 埋め込み図では時間発展に伴い親宇宙と子宇宙に分裂する様子を見る.

1

で埋め込み図を描き, 理解することである.

Introduction
一般相対論では全くの情報が脱出できることのできない領域が形成されることが認められている. そ2のような領域をブラックホール領域 (BH) と呼ぶ. 球
対称時空では面積半径 R が質量 2M より小さくなると BH になるがこれはかなり強い条件で圧力によって妨げられる場合がほとんどである.

Basic Equation And NO-SU
Conditionµν
ラプス関数 N , nµ = 1/N eµ=(t) で, 完全流体 T(ρ + p) + pg µν で満たされた球対称時空間の計量は初期宇宙内で原始密度揺らぎから形成される BH

ds2 = −N 2 dt2 +は原始ブラックホール (PBH) と呼ばれる. PBH は
さらに条件が強く, ハッブル半径より小さい揺らぎ

R′
dr2 + R2 dΩ2 .
1+E

(1)

ここで ′ ′′ は r での微分を表し t, r, Ω は全て共動座標(R < H −1 ) のみ崩壊することができる. 図 [1] は
理想揺らぎの模式図である. PBH の形成の研究はである. 式 [1] と Einstein 方程式から半径 r 内の重力様々行われており, その中で最大膨張時間 tm では揺質量である Misner-Sharp 質量は∫ r
M ≡= 4π
ρR2 R′ dr

らぎの内側は正の曲率しか取れないということから−1/2

NO-SU condition Rm ≤ ρmと揺らぎの振幅に制−1/2約を与えた研究もある. これは Rm ≤ ρm

では PBHにはならずに離れた宇宙 (SU) になるというものである.
本発表での目標は大きく 2 つある. 1 つ目は NO-SU

condition は PBH 形成に制約を与えるようなものでで定義され, また Misner-Sharp 方程式はそれぞれ
(
)
2M
2
2
Ṙ = N+ E : Hamiltonian constraintR(4)

はないことを導出することである. 2 つ目は type I I

Ė = −2

揺らぎで PBH が形成される様子をシミュレーション

1 + E p′Ṙ : momentum constraint
ρ + p R′
(5)

Ṁ = −4πpR2 Ṙ : evolution equation
ra

(2)

0

rb

′

(ln N ) = −

(6)

′

p
: Euler equation
ρ+p

(7)

仮定として状態方程式 f (ρ, p) = 0 と初期時刻 ti に
おいて t = 定数 になるようなスライスを取る;
図 1: 理想揺らぎの模式図:r > rb で平坦 FLRW 宇宙,r < ra で閉じた FLRW

R(ti , r) = ai r, ρ(ti , r) and ρ̇(ti , r) = constant (8)442023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
平坦 FLRW 宇宙 (r > rb ) と球対称過密領域 (r <と言える. 一方で幾何的にra ) が遷移領域で経由される宇宙を考える (図 1). r >R < Rmax = arb 領域でN = 1, E = 0, and R = b(t)r

で時間 tm に対して

(9)

√
Rm ≤

また初期揺らぎはハッブル半径よりもかなり大きい,
すなわち Ri ≫ Hi−1 と仮定する.

(19)

この仮定の下で

3
8πρm

(20)

が成り立つ. よって幾何的に NO-SU condition が破

r < ra でられることは無い.

N ≃ 1, E ≃ −r and R ≃ a(t)r2(10)となる. Ṙm = 0 となる時間を tm と定義し, 式 [4]

3

より

E=−

2Mm
.
Rm

(11)

揺らぎの内側で ρ は空間定数であるから M

Curvature And
Fluctuation

Density

この章では SU となると考えられていた ζmax と=δmax は SU を表すものでは無いことを示す.

4πρR3 /3 で式 [11] より,

type II 揺らぎを形成することができる物理的なメ616πρm = 2am

カニズムは single ﬁeld inﬂation のみである. そこで(12)

新しい動径座標 s を導入して曲率揺らぎ ζ を次のよ

ここで新たな共動動径座標 χ を次のように定義す

うに定義する;る;dχ = √

(3)

dr
1+E

(13)

(
)
ds2 = b2 (t)e2ζ(s,t) ds2 + s2 dΩ2 .

(21)

inﬂation の終わりを slow roll condition が破れる
閉じた FLRW 宇宙,E = −r2 に対して瞬間であるとして, その瞬間に
(
)
( 2
)
dr2
2
(3) 2
2
2
2
2
2
ds = a+ r dΩ = a dχ + sin χdΩ• ϕ が空間的に定数である slice を取る (ϕr − slice)
1 − r2(14)• 膨張率が近似的に定数r = 1 は単に座標特異点となっていることが分かる.
過密領域の固有半径 L ≡ aχa について考える;

L < LSU ≡ aπλ(s, tr ) ≡ ln b(tr ) + ζ(s, tr ).

(15)と定義し, これは局所体積要素

式 [12] より t = tm では

√
LSU =

とする. また局所 e-folds を

√
3π
8ρm

γ(s, tr ) = e3λ(s,tr ) s2 sin θ(16)と関係付けされている. ここで体積揺らぎを求める.

で Lm = LSU は SU を意味する. したがって式 [15]過密領域の体積である固有体積 V3 (χ) と揺らぎがな

が NO-SU condition となる. さらに正の曲率の場合

い場合の体積である平均平坦空間体積 VB (χ) の比で与えられ, それぞれ

R<L

(17)
V3 (χ) = 2πb3 (χ − sin χ cos χ)
4π 3 3b sin χVB (χ) =3

でしたがって,√NO-SU condition : Rm <

3π
8ρm

(18)

45

(22)
(23)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
これらを用いて平均曲率揺らぎ ζ̄ と,Hubble 半径よ4.1

りも大きいような中心体積の曲率揺らぎの近似はそInitial Condition

今回のシミュレーションでは完全流体 p = 0 で考れぞれえた. 式 [5],[6] から E, M は時間非依存であること

1V3 (χ)ζ̄ ≡ ln
3 VB (χ)(χ)ζ(0, t) ∼ −2 ln cos
2が分かり, 式 [2] の解は R(ti , r) = 0 とすると,
 M (cos η − 1) E(r) < 0
R(r, t) = (E )1/3
 9M
t2/3
E(r) = 0

(24)
(25)

ζ, ζ̄ の両方とも χ → π で発散するため, 揺らぎが SUと求められここで η は共形時間であり sin η − η =となるのはζ > ∞ = ζSU

−(|E|

(26)

3/2

/M )t と与えられている.

初期条件を E, M に対して与える. 座標系 χ を用

のみで物理的に起こることは無いことが分かる.

いて r(χ) ≡ Φ(χ) と定義して密度揺らぎ δ に関しての議論は省略するが, δ の式

E(χ) = Φ′2 − 1

は近似的に

δ∼

(
)
1
sin2 χ 8 + sin2 χ
16

(27)

とする. 図 [3] から [5] はそれぞれ M, Φ, E の初期値を描いたものである. 制約条件に関してはを Michaelと求められてCopp (2011) を参照した.
δSU = δ(χ = π) = 0(28)

δmax = δ(χ = π/2) ∼ 0.6

(29)

3.5
3.0
2.5

SU を表すものでは無いことが確かめられた.

2.0
Mであることから χ → ∞ となる時 SU になり,δmax は

1.5
1.0

101

0.5
0.0

100

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

図 3: M の初期値

10 1

10 2

10 3

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

1.50

3.0

1.25
1.00

図 2: ζ, ζ̄, δ の比較図.χ = π で ζ → π, δ → 0 となる

0.75

ことが分かり, これが SU を表している.

0.50
0.25
0.00
0.0

4

(30)

2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Simulation
図 4: Φ の初期値
この節では typeII 揺らぎによる PBH 形成のシミュ

レーションについて議論する.

46

3.0

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

t = 8.00

45

0.0

40

0.2

35
30

E

0.4

25

0.6

20
0.8

15
10

1.0
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

5
0

10.0

7.5

5.0

2.5

図 5: E の初期値

4.2

0.0
R

2.5

5.0

7.5

10.0

図 8: t = 8.0 の埋め込み図

Embedding diagram

次の図 [6] から [6] は前小節の初期条件と式 [30] を

45

下にシミュレーションして書いた埋め込み図である.

40

時間が経過するにつれて遷移領域が閉じて行き, 最終

35

的に親宇宙と子宇宙に分裂することが分かる.

30

t = 10.00

25
20

t = 0.10
0.8

15

0.7

10

0.6

5

0.5

0

0.4

10.0

7.5

5.0

2.5

0.0
R

2.5

5.0

7.5

10.0

0.3
0.2

図 9: t = 10.0 の埋め込み図

0.1
0.0

0.6

0.4

0.2

0.0
R

0.2

0.4

0.6

5

Conclusion
3 節までで NO-SU condiion は幾何的に破られる

図 6: t = 0.1 の埋め込み図

ことが無いこと,SU となるのはパラメータが無限に発散するという物理的に起きない状況であることを
t = 4.00

12

示した. 4 章では typeII 揺らぎの時間発展を表す埋め込みについて議論した. 最終的には親宇宙と子宇

10

宙に分かれた. しかし今回の私のシミュレーション

8

では時間が経つにつれて揺らぎの球対称性が破られ6るなど様々な問題点が挙げられる. 今後修正した上4でより精密な議論ができるようにしたいと考える.

2
0

6

4

2

0
R

2

4

6

Reference
Michael Kopp,stefan Hofmann and Jochen Weller

図 7: t = 4.0 埋め込み図

2011,Separate Universe Do Not Constrain Primordial Black Hole Formation47

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重宇 a11

アクシオンドメインウォールを通過する重力波の円
偏光
谷口 彰

48

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

アクシオンドメインウォールを通過する重力波の円偏光

谷口 彰 (九州大学大学院 理学府 物理学専攻)

Abstract
近年，重力波天文学が目覚ましく発展しており，重力波観測によって新しい物理が見出されることが期待されている．そこで私たちの研究 [1] では，重力波観測を用いて，axion-like-particles(以下，アクシオンと呼ぶ) や Chern-Simons(CS) 重力について新しい発見を得る方法を調べた．その結果，特定の周波数を持つ

重力波がアクシオンドメインウォールを通過すると，観測可能な大きさの円偏光が生じることが分かった．
この特定の周波数は，アクシオンと CS 重力の結合定数および，ドメインウォールのエネルギーの大きさによって決まる．さらに，現在の宇宙にドメインウォールが残存している場合，重力波の円偏光の観測によってアクシオンと CS 重力の結合定数に現在よりも強い制限を与える方法を構築することに成功した．本講演では，この研究成果を説明する．

1

Introduction2015 年の LIGO による重力波の初観測によって，重力波天文学が幕開けた．今後，重力波観測によって，様々な新しい物理が発見されることが期待されている．本研究では，axion-like-particles(以下，アメインウォールの形成シナリオは，[3] や [4] で提案されている．

理論的には，アクシオンと CS 重力の結合定数は自由なパラメータである．一方で，観測的には，地球を周回する天体のフレーム・ドラッギング効果や二重パルサー連星の観測によって結合定数の大きさ

クシオンと呼ぶ) や Chern-Simons(CS) 重力についてを制限することができる．現在，アクシオンと CS 重

新しい発見を得る方法を調べた．アクシオンの存在
は，超弦理論によって予言されている．また，アクシオンは暗黒物質の候補の１つでもある。したがって，アクシオンについての理解を深めることは、超弦理論や暗黒物質の検証につながる．

アクシオンは擬スカラーであるため，CS 項を通して重力と結合する．そして，この項は重力波に円偏光を生じさせるため，重力波の円偏光を観測することは， アクシオンや CS 重力についての新しい情報を得るために有意義である．先行研究では，一様なアクシオンダークマター背景を伝搬する重力波に生じる円偏光についての研究が行われてきた．しかし，この場合に生じる円偏光の大きさは観測可能な大きさにならないことが判明している．そこで私たちは力の結合の強さを特徴づける定数 " (式 (6) 参照) に対する上限は，Gravity Probe B と LAGEOS 衛星による地球周りのフレーム・ドラッギング効果の測定から得られており，" ! 108 km である [5]．

本研究では，宇宙の地平線内にアクシオンドメイ

ンウォールが存在すると仮定し，重力波がアクシオ
ンドメインウォールを通過するときの円偏光の大きさを評価する．そして，円偏光が観測可能かどうかを議論し，アクシオンと CS 重力の結合定数に対する制限を与える方法を議論する．

2

アクシオン場の作用は
"
#
!
√
1
S = − d4 x −g ∂µ φ ∂ µ φ + V (φ)
2異なる背景としてアクシオンドメインウォールを考え，アクシオンドメインウォールを通過する重力波に生じる円偏光について調べる.

現在の宇宙に残存できるドメインウォールのエネ(1)

書ける．ここで，V (φ) は，φ = ±η に極小を持つ

ルギー密度 σ は，CMB の観測によって制限されており，標準的な Λ-CDM モデルにおいて，95%の精

アクシオンドメインウォール

度で σ < (0.93MeV)3 でなければならない [2]．この

double-well ポテンシャルであり，ような (MeV)3 スケールのエネルギー密度をもつド

49

V (φ) =λ 2
(φ − η 2 )24

(2)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校と表される．ただし，λ は自己結合定数である．ここで，ドメインウォールが静的かつ平面的であり，そ右巻きと左巻きの偏極テンソル eij , eij を次のよう
(R)

(L)

に導入する．
の面が x − y 平面内にあると仮定する．この場合，ポ




1 i 0
1 −i 0
テンシャル (2) に対応するドメインウォールの解は， (R)  (L) 
eij =  i −1 0 , eij = −i −1 0 (9)
$%
&
λ
0 0 0
0
0 0
φ(z) = η tanhηz(3)2
この偏極テンソルを用いると，重力波を２つのモーである．また，ドメインウォールのエネルギー密度はドの重ね合わせとして!
√ 3!2
σ = dzφ (z) ∼ λη
(4)
(R)
(L)
hij (t, z) = hR (t, z)eij + hL (t, z)eij(10)と計算される．

3と表せる．ここで，hR (t, z)，hL (t, z) はそれぞれ右巻きと左巻きの偏極モードの振幅である．式 (10) をCS 重力における重力波の方程式 式 (8) に代入することで，この章では，z 方向に伝播している CS 重力における重力波の運動方程式を導出する．Minkowski 時空からのテンソル摂動 hij を用いると，計量は"hR/L (t, z) = ±i

"2
[φ! " + φ!! ∂z ] ḣR/L (t, z) (11)Mpが得られる．符号の ± は，それぞれ右巻きと左巻(5)

きのモードに対応している．重力波は z 方向に伝搬

hi j,i = hi i = 0 を課す．次に，CS 重力の作用は，
!
Mp2
√
S =
d4 x −gR2!
√
Mp " 2+d4 x −g φ RR̃ (6)8HR/L (z) eiωt と書ける．よって，運動方程式 (11) は，
3
4
ω"2 !
ω"2 !! !
!!
1±
φ HR/L±φ HR/L
Mp
Mp
3
4
ω"2 !
+ω 2 1±
φ HR/L = 0 (12)Mpである．Mp はプランク質量で Mp2 = 1/(8πG)，" はが従う運動方程式が異なっていることが分かる．つds2 = −dt2 + (δij + hij )dxi dxj

していると仮定しているため，波数ベクトルは k µ =と書ける．ここで， δij は Kronecker デルタである． (ω, 0, 0, ω) とおける．したがって，式 (11) における時
hij にはトランスバース・トレースレスゲージ条件 間並進対称性により，Fourier モードで hR/L (t, z) =と表される．ここで，RR̃ = 1/2 ερσαβ Rµν αβ Rνµρσとなる．運動方程式から，右巻きと左巻きのモード

長さスケールの定数であり，アクシオン場と重力の結まり，ドメインウォールを通過した後の重力波には合の強さ特徴づける．ここで，4 次元 Levi-Civita テ 円偏光が生じていることが予想される．
√
ンソル ερσαβ は，ε0123 = −1/ −g と定義している．
!
'
(2)
Mp2
S =
d4 x ḣij ḣij − hij,k hij,k4 重力波の円偏光の評価
8)*+,"2 izk ! ( m運動方程式 (12) を解析的に解くことは難しい．そ−ε φ ḧ i ḣkm + ḣim,& h& k ,m − hm k ,& (7)Mp
こで，ポテンシャルによる散乱問題として数値的に
ここで，ḣ = ∂t h，φ̇ = ∂z φ であり，εijk は 3 次元の解くことで，円偏光の大きさを計算する．

に関する変分をとると，CS 重力における重力波の運

4.1

Levi-Civita テンソルである．作用 (7) において hij
動方程式が次のように得られる．

"hij

=

運動方程式 (12) を変形するために以下の関数を導"2 zik !
ε [φ " + φ!! ∂z ] ḣj k
2Mp+"2 zjk !
ε [φ " + φ!! ∂z ] ḣi k
2Mp

有効ポテンシャル

入する．

F (z) ≡ 1 ±

(8)

50

fR/L (z)ω"2 !
φ (z), HR/L (z) ≡ 5
Mp
F (z)

(13)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
1.0: Right: Left

3

0.8

2

Veff

0.6
region : IΠregion : II

0.4

1

0.2

0
- 10

-5

0

5

0.0
0.0

10

z

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ω/ωc

図 1: 右巻きと左巻きのそれぞれのモードの有効ポテンシャ 図 2: 円偏光の割合の周波数依存性を示している．ただし，周波数は臨界周波数で規格化されている．パラメータは，
Mp = 1018 GeV，$ = 108 km，η = 1 MeV，λ = 2 であり，このとき ωc = 10−21 eV である．ω/ωc が 1 に近づく
につれて円偏光が大きくなることが分かる．

ル Veff (z) を示している．パラメータは，η = 0.9, λ = 2,
and ω$2 /Mp = 1 である．有効ポテンシャルが消える領域
を region:I，region:II とした．

これらを運動方程式 (12) に代入することで，"#
d2− 2 + Veff (z) fR/L = ω 2 fR/L
(14)
dz

4.3

重力波に生じる円偏光の大きさ

運動方程式 (12) より，Einstein 重力に対する CS

2 !
が得られる．ここで，Veff (z) が有効ポテンシャルで， 項による補正は ω" φ /Mp で表されることが分かる．
CS 項による補正は Einstein 重力より小さくなけれ
3 42
1 F!
1 F !!
Veff = −+(15) ばならないことから，
4 F
2 F
$%
&
%
ω"2 !
"2
λ
λ
2
2
φ =
ωη
sech
ηz
である．右巻きと左巻きのそれぞれのモードの有効
Mp
Mp
2
2
ポテンシャルの概形を図 1 に示した．
%
"2
λ
2
≤
ωη
< 1
(18)
Mp
2

4.2

透過係数と円偏光

有効ポテンシャル Veff (z) の下で，reion:I から入射する重力波の散乱問題を考える．region:I と region:II

ではポテンシャルは消えるので，それぞれの領域での解は，z 方向に伝搬する平面波として次のようにお
ける．

 iωz
e
e−iωz

√
+ RR/L √
2ω
2ω
fR/L (z) =
iωz

e

TR/L √2ωMp
ωc = 2 2
" η

%

2
λ

(19)

円偏光の割合 Π の数値計算の結果を図 2 に示した．
いとき，大きな円偏光が生じ，特に ω = ωc のとき最大になる．つまり，CS 項による補正が Einstein 重力(16)(region:II)

ここで，RR/L ，TR/L はそれぞれ反射係数と透過係数である．円偏光の割合 Π は，透過係数を用いて，と同じ程度になるとき，大きな円偏光が生じる．

5

(17)

と定義できる．したがって，方程式 (14) を数値的に解き，右巻きと左巻きのそれぞれの透過係数 TR/L を求めることで，円偏光の大きさを評価できる．

義する．

図 2 より，重力波の周波数 ω が臨界周波数 ωc に近(region:I)|TR |2 − |TL |2
Π≡|TR |2 + |TL |2が成り立つ．したがって，臨界周波数 ωc を以下で定

アクシオンと Chern-Simons
重力の結合定数に対する制限

CMB の観測からドメインウォールのエネルギー密

度は σ ! (1 MeV)3 である [2]．したがって，現在の宇宙に σ ∼ (1 MeV)3 のドメインウォールがあると51

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校仮定すると，式 (4) より η ∼ 1 MeV となる．このとき，λ ∼ O(1), Mp = 10
の制限は，

18

GeV を用いると，式 (18)

ω"2 < 1015 eV−1

重力波の円偏光が大きな立体角で観測された場合，

ドメインウォール由来の円偏光である可能性がある．
ただし，CMB の観測と矛盾しないためには，ドメイ
ンウォールのエネルギー密度は σ ! (1 MeV)3 でなければならない．σ ∼ (1 MeV)3 のドメインウォール(20)となる．現在，結合定数 " に対する最も強い制限は， が存在するとき，10−6 Hz 以上の重力波に円偏光がGravity Probe B と LAGEOS 衛星による地球周り生じているかを調べ，もし円偏光が観測されなけれられており，" ! 10 km ∼ 10

限 " ! 108 km よりも強く制限されることを示した．

のフレーム・ドラッギング効果の測定によって与え
8

18

eV

−1

ば，アクシオンと CS 重力の結合定数 " が現在の制である [5]．

そこで， " ∼ 10 km とすると，式 (19) より
8ωc ∼ 10−21 eV ∼ 1 µHz

また，この方法では重力波の周波数を高くしていく必要があるため，高周波重力波の観測方法の構築が重要である．

(21)が得られる．したがって，ωc ∼ 1 µHz の重力波に円偏光が生じる．このとき，もし円偏光が観測されなければ，結合定数 " は 108 km よりも小さいことが分

Acknowledgementかる．同様にして，" を小さくしながら円偏光が観測されるかどうかを調べることで，" にさらに厳しい制限を与えることができる．ここで，" を小さくするということは，ωc を大きくすることに対応する．つまり，周波数を大きくしていきながら重力波を観測して円偏光がなければ，" により厳しい制限を与えることができる．そして，円偏光が観測されれば，結合定数の値が判明し，アクシオンの存在も示唆される．

本講演は，指導教員の菅野優美准教授と，神戸大学の早田次郎教授との共同研究に基づくものです．日々の議論を通して多大なご指導を頂いていることに，感謝を申し上げます．

Reference

さらに，ドメインウォールによる重力波の散乱が宇宙初期に起こった可能性がある．この場合，ドメイ
ンウォールを通過した後の重力波には赤方偏移が生じ，過去になるほど重力波の周波数が高くなることを考慮しなければならない．したがって，式 (20) を用いて，" にさらに強い制限を与えることができる．

6[1] S. Kanno, J. Soda, and A. Taniguchi, ”Circularly polarized gravitational waves in ChernSimons gravity originated from an axion domain wall,” arXiv:2304.03944 [hep-th], (2023).
[2] A. Lazanu, C.J.A.P. Martins and E. P. S. Shellard, Contribution of domain wall networks
to the CMB power spectrum, Phys. Lett. B
747, 426-432 (2015).

Conclusion
本研究では，アクシオンドメインウォールを通過する重力波に生じる円偏光について調べた．Chern-

Simons(CS) 重力における重力波の運動方程式を，散乱問題として数値的に解いた結果，円偏光の割合は[3] E. Babichev, D. Gorbunov, S. Ramazanov and
A. Vikman, Gravitational shine of dark domain walls, JCAP 04, no.04, 028 (2022).

重力波の周波数に依存することが分かった．円偏光[4] H. B. Nielsen and C. D. Froggatt, ”Domain Walls of Low Tension in Cosmology,”

最大になる．また，臨界周波数はアクシオンと CS 重

arXiv:2305.18645 [astro-ph.CO], (2023).

の大きさは，臨界周波数の重力波を観測したときに力の結合定数 " および，ドメインウォールのエネル[5] Y. Ali-Haimoud and Y. Chen, ”Slowly-rotating

力と同程度になる周波数を表している．もし，円偏Simons gravity,” Phys. Rev. D 84, 124033

ギーで決まり，CS 項による補正の効果が Einstein 重stars and black holes in dynamical Chern-

光が観測されれば，アクシオンや CS 重力に関する(2011)

新しい探索手段となり得る．

52

——–index へ戻る

重宇 a12原子重力波が干渉計に与えるノイズとその検出可能性
の推定
山崎 優樹

53

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

原始重力波が干渉計に与えるノイズの推定と検出可能性
山崎 優樹 (九州大学大学院 量子宇宙物理理論研究室 M1)

Abstract
本稿では先行研究 [1] に基づき、原始重力波の質点系への影響を推定し、その検出可能性を議論する。Feynman-

Vernon inﬂuence action を用いると、量子開放系ににおいて、環境がシステムに与える影響を、確率的な有効作用として記述することができる。今回は質点系をシステム、重力波を環境にとることで、質点が従う

Langevin equation を有効作用から導出し、さらにそこから質点系の相対位置の分散を導出した。最後に、この分散を様々な量子状態で計算し、原始重力波の検出可能性を議論した。

1

力波の作用はIntroduction

1
Sg ≃ −
4

一般相対性理論は、重力を記述する理論であり、ブラックホールの存在や宇宙の進化においてよく観測∫
d4 x(∂α hµν )(∂ α hµν )と書け、さらに偏極の自由度ごとに分けて、
∫
∑
1
d4 x
∂α h(s) (x)∂ α h(s) (x)Sg ≃ −
2sと一致している。一般相対性理論から予言される重力波は、2015 年に LIGO,Virgo が初めて検出してから、多くのイベントが観測されており、現時点で一般相対論と観測とに明確な矛盾はない。一方で、一

(2)

(3)

と書くことができる。

般相対性理論で記述される重力が量子力学に従うか否かは、現在に至るまで全く検証がなされていない。
重力波を量子的に扱った時、重力波が質点に与える

2.2

matter action

影響の検出可能性を議論することは、量子力学と重質量 m の質点の作用は力理論を統一的に理解するうえで重要だといえる。
本稿では、まず 2 章で計算の方法論を確認する。

Sm = −m

具体的には Feynman-Vernon inﬂuence action を考

∫ √

−ds2

(4)

えることで、重力波が質点系 (干渉計) に与える影響と書ける。座標系として Fermi normal coordinate をを、確率的な有効作用として記述できることを見る。 選び、質点の座標を (t, ⃗z ) とすると、(4) は

3 章では計算結果を与え、4,5 章で物理的解釈や実際∫
Sm ≃の観測との違いについて議論する。

dt

[m
2

δij z˙i z˙j +mκ ¨ i j ]hij z z4(5)と書くことができる。ここで、(5) の第 1 項は運動

2

Methods

2.1

Gravitational wave action

項、第 2 項は重力と質点の相互作用項とみなせる。
また、hµν を偏極の自由度ごとに分けると、∫∫∑mκ ¨ i jdt
hij z z = α d4 x
h(s) (x)X (s) (x) (6)
4
s
∫
2
d
⃗
(s)∗
(7)
X (s) (x) = d3⃗keik·⃗x 2 (ϵi (⃗k)z i (t))2dt

Minkowski 空間まわりでの計量の摂動を考える。
gµν = ηµν + κhµν
ここで、κ =√

(1)

16πG, G は万有引力定数(s)と書くことができる。ここで、ϵi (⃗k) は偏極ベクト√
TT ゲージ h0µ == 0, ∂ hµν の下で、ルを表し、α = 2mκ/(4(2π)3 ) である。
Einstein-Hilbert action を h の二次まで取ると、重0, hµµµ542023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.3

2.4

Stochastic eﬀective action

前節までの議論より、SSEA は
∫
[
]
m
j
j
i
i
SSEA =(t)ż+(t) + ż−(t)ż−(t)dtδij ż+2∫
+ dtdt′ ∆ij (t)Dijkl (t, t′ )Σkl (t′ )∫− dtξij (t)∆ij (t)(17)

一般に、システムと環境から構成される開放系を考えたとき、システムが従う実効的な作用がSSEA = SS + SIF(8)と書けるとする (SS はシステムの action)。つまり、環境からシステムへの影響が全て含まれるような作用である SIF を考える。この SIF を Feynman-Vernonと書ける。z+ = z− = z という条件のもと、SSEA の

inﬂuence action と呼ぶ。

z での変分を取ると、最小作用の原理からシステム

今、システムに質点系を取り、環境に重力波を取る。このとき、SIF は計算できて、
]
1[ i
j
j
i
Σij (t) =z+ (t)z+(t) + z−
(t)z−
(t)
2
j
j
i
i
∆ij (t) = z+(t)z+(t) − z−(t)z−(t)

と変数を定義すると、∫SIF = dtdt′ ∆ij (t)Dijkl (t, t′ )Σkl (t′ )∫i+dtdt′′ ∆ij (t)Nijkl (t, t′ )∆kl (t′ )2Langevin equation(9)が従う Langevin equation を求めることができる:∫iimmz̈ (t) + 2δdt′ Dmnkl (t, t′ )z n (t)z k (t′ )z l (t′ )(10)−2δ ik ξkl (t)z l (t) = 0(18)
ここで、δ im は Kronecker delta である。この方程式
を z i = z0i + δz i として摂動的に解く。ここで z0i (t) を背景時空での測地線の運動であるとして mz̈0i (t) = 0(11)が成り立つとする。このとき、δz i はノイズによる測地線の運動であると解釈でき、摂動的な運動方程式と書ける。計算の都合上、いま、z+ と z− という二つの変数 (質点の位置) が現れている。しかし、これはノイズの項のみ取ればよい。δz i (0) = ż i (0) = 0 とは Langevin equation を求める際に z+ = z− = z と点のダイナミクスが得られる。

いう初期条件の下では、∫
2 t ′dt (t − t′ )δ ik ξkl (t′ )z0l (t′ )δz i (t) =m 0

Dijkl はシステムから環境への散逸、Nijkl は環境かという解が求められ、したがって質点の位置の揺ららシステムへのノイズを表しており、それぞれ
∫
∫
d2 d2
Dijkl (t, t′ ) = α2 2 ′2d3⃗kd3 k⃗′ d3 ⃗xd3 x⃗′
dt dt
∑ (s)
(s)
i⃗
k·⃗
x ik⃗′ ·x⃗′×e eϵ (⃗k)ϵ (k⃗′ )Gret (x, x′ )(12)

ぎの二時刻相関は、いう条件を取るため、最終的には座標 (t, ⃗z ) にある質ij⟨δz i (t)δz j (t′ )⟩4= 2 δ ik δ jl
m

kl

dt

′′

∫ t′

dt′′′ (t − t′′ )(t′ − t′′′ )00m ′′ n ′′′× z0 (t )z0 (t )Nkmln (t′′ , t′′′ )s′Gret (x, x ) = iθ(t − t′ )⟨[h(s) (x), h(s) (x′ )]⟩ (13)∫∫
α 2 d2 d2′
3⃗ 3 ⃗′
Nijkl (t, t ) =d kd kd3 ⃗xd3 x⃗′
2 dt2 dt′2
∑ (s)
⃗
⃗′ ⃗′
(s)
×eik·⃗x eik ·x
ϵij (⃗k)ϵkl (k⃗′ )G(1) (x, x′ )
(14)

(20)

と Nijkl を使って書ける。
様々な量子状態で (15) の期待値を取り、運動量の積分をある値 Λ カットオフをして計算すると、それぞれの状態での質点の位置の二時刻相関が計算できs

G(1) (x, x′ ) = ⟨{h(s) (x), h(s) (x′ )}⟩

∫ t

(19)

(15)

る。干渉計はその長さよりはるかに短い波長には感(s)と書ける。ここで、ϵij (⃗k) は偏極ベクトルを表す。

度を持たないことから、Λ = 1/z0 として、さらにまた、Nijkl (t, t′ ) は確率的なテンソル力 ξij (t) を用いて、

Nijkl (t, t′ ) = ⟨ξij (t)ξkl (t′ )⟩t′ → t の同時極限をとることで、(20) から質点の位
置の揺らぎの大きさを評価できる。

(16)と書くこともできる。つまり、Nijkl は確率的な力の3

二時刻相関だと解釈することもできる。

Results
計算結果を以下に示す。

55

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
対して重力波が与える影響を計算して、その分散の・Minkowski vacuum√

大きさを単純に量子揺らぎと比較して検出可能性を(δz)2 ∼ κ

(21)

議論した。これを干渉計での重力波観測実験と対応付けて考えると、干渉計の鏡の位置の分散を議論し・Thermal state (low twmperature limit)√((δz)2 ∼ κz0β

たことになる。しかし、実際の実験では干渉計の中)3を移動する光の光路差を考える必要があり、実験と(22)正確に対応した理論はまた別に必要となる。

・Thermal state (high twmperature limit)√((δz)2 ∼ κ

z0
β

)5/2

5

(23)

Conclusion
今回、Feynman-Vernon inﬂuence action を用いて・Coherent state

重力波が質点系に与える影響を評価した。計算の結√(δz)2 ∼ α̂κ

果、十分スクイージングされた重力波、すなわち原(24)

始重力波によるノイズが検出できる可能性が示唆さ

α̂ は coherent parameter でコヒーレントの強さを表 れた。
す。
・Squeezed state√(δz)2 ∼ eζ κ

Acknowledgement(25)
研究発表の場を設けていただいた夏の学校スタッζ は squeezu parameter でスクイージングの強さをフの皆様、ご支援いただいた全ての関係者の皆様に表す。

心より感謝申し上げます。また、お忙しい中議論や助言をしてくださった研究室の皆さまにもこの場を借りて心より感謝申し上げます。

4

Discussion

計算結果から、Minkowski vacuum においては、位√置の分散は κ = 16πG 程度であると分かる。これReferenceはプランク長 lP l ∼ 10−35 m 程度の大きさであり、現

1. H. T. Cho, B. L. Hu, Phys.

在の測定の限界を超えている。

086004, 2022

Thermal state の低温極限では z0 /β ≪ 1 である
ので、分散を大きくする効果はない。高温極限では
z0 /β ≫ 1 に比例して分散が大きくなるが、現在の宇宙ではこのような状況は実現していない。

Coherent state では α̂ に比例して分散が大きくなるが、コヒーレントが強い時、古典的な波と見分けがつかなくなってしまう。

Squeezed state では eζ で分散が大きくなる。よって、ζ が十分大きい時、重力波によるノイズが検出できるほど大きくなる可能性がある。インフレーショ
ン時代に生成された原始重力波は、大きな ζ を持つ
スクイーズ状態にある可能性がある。つまり、この
結果は原始重力波によるノイズが検出できる可能性を示唆している。
本稿では、座標 (t, ⃗z ) に存在する質量 m の粒子に

56

Rev.

D 105,

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重宇 a13

原始宇宙磁場によって生成される原始重力波のスペク
トル
向野 杏

57

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

原始宇宙磁場存在下に生成される原始重力波のスペクトル向野

杏 (神戸大学大学院 理学研究科)

Abstract
将来の原始重力波探査を考える上で、環境による原始重力波の変化を知ることは非常に重要である。 近年のガンマ線観測により、現在の宇宙には 10−17 ガウスから 10−9 ガウス程度の大きさで、コヒーレンス長がメガパーセクを超える磁場の存在が示唆されている。磁場の構造のスケールはおおよそ磁場を発する物体の大きさに比例するため、このような大スケールの磁場を生成する機構としては、インフレーションに関わるものが有力であると思われる。
もしインフレーション期に背景磁場が存在した場合、重力波と電磁場の間には背景磁場を介した相互作用(graviton-photon conversion) が生じると考えられる。そこで本研究では、背景磁場存在下における原始重力波のスペクトルを計算した。その結果、背景磁場により誘導されるタキオニック不安定性により、特有のピークが現れることを確認した。

1

Graviton-photon interactionin the early universe
インフレーション中に背景磁場が存在するモデル

として、インフラトンと U(1) ゲージ場がカップルしている以下の作用を考える。

び xk (η) = f Ak (η) を定義すると
(
)
a′′
xk
yk′′ + k 2 −,yk = −λ k f
a
a
(
)
f ′′
yk
x′′k + k 2 −xk = −λ k f
.
f
a

(4)
(5)

である。c = −1/2 を反映すると)(a′′yk = −λ k xk ,yk′′ + k 2 −
a
)
(
a′′
x′′k + k 2 −xk = −λ k yk .
a

S = Sg + Sϕ + SA
[
∫
(6)
2
Mpl
1
4 √
= d x −gR − (∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − V (ϕ)
2
2
(7)
]
1 2
µν
− f (ϕ)F Fµν ,(1)
4グラビトン hk とフォトン xk をそれぞれ√∫
ここで、Mpl = 1/ 8πG である。ゲージ場 Aµ はフォ
2 ∑
1
P
i
ik·x
d3 k h P,
k (η) eij (k) e
3/2
トンであり、Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ である。また、イ hij (η, x ) = Mpl(2π)
P
ンフラトント U(1) ゲージ場の相互作用関数 f [ϕ(η)]
(8)
について、
∑ ±i ∫P
ik·x
Ai (η, xi ) =d3 k A P,
k (η) ei (k) e
3/2
(2π)
−2c
P
f (η) = a(η) ,(2)(9)
であると仮定する。ただし c は定数パラメータであPる。背景磁場を Bm = εmjℓ ∂j Aℓ = constant である と定義した。 ei (k) は k モードに対する偏極ベクトル

Q
PQ
iP
で規格化する。P, Q =と仮定する。ただし、物理的な磁場は B ではなく、 であり、e (k)ei (k) = δP
f B であることに注意する。本研究では、c = −1/2 +, × である。また、 eij (k) は k モードに対する偏を仮定する。また、背景時空は一様等方であると仮PQで規格化
極テンソルであり、eijP (k)eQij (k) = δ

定する。

する。今、ゲージ場はクーロンゲージ A0 = 0 及び[

ds = a (η) −dη + δij dx dx
2

2

2

i

j

]

Ai ,i = 0 をとる。偏極ベクトル ei+ 、ei× とベクトル,(3)k i /k は直交基底を成すとする。この時、偏極テンソ

運動方程式は、正準変数である yk (η) = a hk (η) 及58

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校作用は無視できると仮定する。各 Phase における運

ルは

}
1 { +
+
×
×
√
e+
(k)
=
e
(k)e
(k)
−
e
(k)e
(k)
, (10)
ij
i
j
i
j
2
}
1 { +
×
+
e×
ei (k)e×j (k) + ei (k)ej (k) . (11)ij (k) = √2

動方程式はインフレーション期 (背景磁場なし)
(
)
2
′′
2
Yk + k −Yk = 0 ,(18)(η − 2η1 )2()
2
Xk′′ + k 2 −Xk = 0 .
(19)(η − 2η1 )2(Phase I)と展開できる。また、グラビトンと光子の相互作用を表す変数として

√
λ≡

2

Mpl

εiℓm e+
i

kℓ
Bm .
k

(12)

(Phase II) インフレーション期 (背景磁場あり))(
2
Yk′′ + k 2 + λ k −Yk = 0 ,(20)(η − 2η1 )2()
2
Xk′′ + k 2 − λ k −Xk = 0 .
(21)(η − 2η1 )2を定義した。
ここで新しく1
Yk = √ (yk + xk ) ,2
1
Xk = √ (yk − xk ) .
2を定義すると式 (6),(7) は対角化できる。
()
a′′Yk′′ + k 2 + λ k −Yk = 0 ,a)(a′′
Xk = 0 .
Xk′′ + k 2 − λ k −
a

(13)
(14)

(Phase III)

(15)

放射優勢期

Yk′′ + k 2 Yk = 0 ,(22)

Xk′′ + k 2 Xk = 0 .

(23)

Bogoliubov 変換を用い放射優勢期での粒子数 N を計算し、原始重力波スペクトルのエネルギー密度パ(16)

ラメータ Ωg を求めた。

2

Generation and evolution ofprimordial GWsΩg (f ) =k4
N ,2π 2 ρc(24)

その結果を以下に示す。

インフレーション期から瞬間的な再加熱を経て放射優勢期に移行した宇宙を考える [図 1]。
1 −H(η−2ηfor η < η1 ,1)a(η) =(17) η
for 0 < η1 < η .
Hη 2

10-13
 g ( (ff ))⌦GW

Our model<latexit sha1_base64="vW573LY0F+cckvl5FgU04h+djXY=">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</latexit>

1

GUT scale inflation

10-14
10-9

10-6

10-3

100

103

Hz ] ]
ff [[ Hz<latexit sha1_base64="bqfQmpmXbYEP1gJPRZBUV+75p6s=">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</latexit>

図 2: 原始重力波のスペクトル√H = 1014 GeV, B0 = 2 3 × 10−16 G, η∗ =√−1 GeV−1 , η1 = 10−14 GeV−1 , λ = 2 3 GeV
また、GUT スケールのインフレーションが予測するスペクトル ΩGW = 10−14 がベースラインである。

図 1: Cosmological setup
インフレーション期のある時点 η∗ に相互作用が開始され λ がノンゼロの値をとり、放射優勢期は相互

59

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

したがって、現在の振動数に換算すると
(
)(
)
λ a1
B0
H
−5
f0 =
= 10 sin θ
Hz . (32)4π a010−17 G
10−4 Mpl

Tachyonic instability and
the PGW power spectrum
ピークの生成の原因を探るため、Xk と Yk の運

a0 は現在のスケール因子、a1 はインフレーション終動方程式を書き直す。
了時のスケール因子で a1 = 1 とおいた。磁場の値を
((
)
)2
λ
λ2
2
−17
−9
′′
−
−
Xk +
k−
Xk = 0 , (25) 現在の観測に合わせると、10 G < B0 < 10 G224
(η − 2η1 )
なので
((
)
)2
2
(
)
(
)
λ
λ
2
H
H
Yk′′ +
k+
−
−
Y
=
0
(26)
−5
3
k
10
Hz < f0 < 10
Hz (33)2
4(η − 2η1 )2
10−4 Mpl
10−4 Mpl
Xk の運動方程式では、k ≃ 2/λ あたりで λ によるタ ピークの高さはキオニック不安定性が最も現れると考えられる。相互作用の強さはΩGW (fpeak ) = 10−14

√
λ=

2B
sin θ ,
Mpl

(27)

(

H
−4
10 Mpl)2

1
exp [−λ η∗ ] (34)2√
√ B/ 2 η∗√ √ ρB∗
2B−λmax η∗ = −η∗ = −2 3 √=2 3, (35)
Mpl
ρinf
3Mpl H η1√で与えられており、相互作用は背景磁場の大きさに比例している。sin θ = 1 と最大値で概算すると、エピ ー ク の 高 さ は 、ρB∗

ネルギー密度に対する相互作用の寄与は
(
)2
H
−14
Ωk
≃ 10
eλη0
10−4 Mpl
]
[√
)2
(
2B
H
−14
η0 (28)exp= 10
10−4 Mpl
Mpl≃

ρinf の 時 が 最 大 で

exp[−λ η∗ ]/2 により 16 倍程度となる。

4

Conclusion
現在観測されている宇宙磁場がインフレーション

オーダー評価中に存在していたと仮定すると、原始重力波のスペ観測により、現在の宇宙磁場は 10−17 G < B0 <10−9 G であることが知られている。インフレーション後の放射の減衰速度は T ∝ 1/a に比例しているので、

a0 /areh = Treh /T0 である。磁場の減衰速度は B ∝クトルにピークが見られる可能性があることがわかった。また、ピークの起源はグラビトン-フォトン変換によるタキオニック不安定性によるものであることがわかった。ピークの振動数は GUT インフレーショ

2

1/a2 に比例しているので、Bref /B0 ∝ (a0 /areh ) ∝2(Treh /T0 ) ∼ 1054 である。最後の等式について、再加熱温度は簡単にハッブルスケールと見積り、Treh =ンの場合、10−5 から 103 Hz であり、将来観測できる可能性があることがわかった。

H = 10−4 Mpl とした。また現在の宇宙の温度は T0 ∼3K ∼ 10−4 eV であることを用いた。以上より、インフレーション後の磁場の大きさは簡単に見積もる

Reference

ことができて
(
)2
(
)2
H
H
45
1037
G
<
B
<
10
G (29)
10−4 Mpl
10−4 Mpl”A peak in the power spectrum of primordial gravitational waves induced by primordial magnetic ﬁelds”
Sugumi Kanno, Ann Mukuno, Jiro Soda & Kazushige
Ueda JCAP05(2023)052

であり、エネルギー密度に直すと
10−30

(

H
10−4 Mpl)2<

ρB< 10−14
2
Mpl
H2

(

H
10−4 Mpl)2(30)

相互作用の強さは λ が最大をとる sin θ = 1 のとき
10−1

(

H
10−4 Mpl)2(
GeV < λmax < 107H
10−4 Mpl)2
GeV (31)60

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重宇 a14

Horndeski 理論におけるブラックホール準固有振動と
観測可能性
西野 翔

61

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Horndeski 理論におけるブラックホール準固有振動と観測可能性西野翔 (京都大学大学院 理学研究科 M1)

Abstract
宇宙の加速膨張やダークエネルギーの起源など一般相対性理論 (GR) の問題を解決する方法として GR の修正理論が研究されている．修正重力理論には GR の比較理論としての役割もあり，ブラックホール (BH)
連星合体の最後に放射される重力波のリングダウンなどに対応する BH 準固有振動 (QNM) を用いることが考えられている．本稿では GR にスカラーの自由度を含めたスカラーテンソル理論の一種である Horndeski
理論における QNM について [2] のレビューを行う．

1

Matrix 解析に基づいて議論し，必要な信号雑音比

Introduction
一般相対性理論 (GR) は様々な検証実験をパスして(SNR) を推定する．

おり，現在重力の標準的な理論となっている．一方でくりこみが不可能であることや，宇宙の加速膨張を2説明するダークエネルギーの起源といった問題があHorndeski 理論

り，重力を修正することでこれらを解決しようとす

Horndeski 理論とは 4 次元のスカラーテンソル重る試みが行われている．基本的な修正重力理論であ

力理論であり，運動方程式が 2 階の微分方程式になるスカラー・テンソル理論は GR の計量の自由度にスるような一般的な理論である．ラグランジアンはZ

カラーの自由度を加えるものであり，その中で運動S=方程式が 2 回微分になる一般的な理論は Horndeski√ X
d4 x −g
Ln ,
5

(1)

n=2

理論と呼ばれる．
修正重力理論には GR を検証する際の比較相手にL2 = G2 (ϕ, X),

なるという動機もあり，検証を提供する現象として

L3 = −G3 (ϕ, X)□ϕ,

ブラックホール準固有振動 (QNM) がある．QNM とL4 = G4 (ϕ, X)R + G4X (ϕ, X)((□ϕ)2 − ϕµν ϕµν ),1
L5 = G5 (ϕ, X)Gµν ϕµν − G5X (ϕ, X)((□ϕ)36− 3ϕµν ϕµν □ϕ + 2ϕµν ϕµσ ϕνσ ),はブラックホールに摂動が与えられたときに起きる減衰振動のことであり，コンパクト連星合体などから生じる重力波では合体後の波形（リングダウン）に対応する．そのような振動数はブラックホールのパ(2)

ラメータに依存して離散的な値を取るが，GR では

で 与 え ら れ る ．こ こ で ϕ は ス カ ラ ー 場 ，X

無毛定理から（電荷を持たないブラックホールを仮=定すると）スピンと質量によって決定される．一方−ϕµ ϕµ /2 = −∇µ ϕ∇µ ϕ は運動項，Gµν はアインシュ

で修正重力理論では他のパラメータにも依存するた

タインテンソル，Gi (ϕ, X) は ϕ と X の任意関数でめ GR の QNM からズレが生じることが期待される． あり下付き添字 X は X での偏微分を表している．
2
このような性質から複数の QNM の観測を GR の検 G4 = MP l /2 で他の Gi = 0 のとき GR に一致する．
証や修正重力理論への制限に用いることが提案されており，BH spectroscopy と呼ばれる．
本稿では [2] に基づいて，まず Schwarzshild ブラッ

3

クホール上の摂動を Horndeski 理論の枠組みで解析
し，GR とは異なる QNM がスカラー場の “有効質量”
新たなパラメータとして現れることを確認する．その後観測からの有効質量への制限について，Fisher

Schwarzschild 計 量 ，定 ス カ
ラーへの摂動Horndeski 理論としてリッチ平坦 Rµν = R = 0 な

計量 ḡµν ，自明なスカラープロファイル ϕ = ϕ0 =62

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
const が背景解となるようなものを考える．この背景 で与えられる．ここで λ = (l + 2)(l − 1)/2 である．
解に対し摂動を加えた

式 (9) の右辺に現れるソース Sφ は

gµν = ḡµν + hµν ,(3)

ϕ = ϕ0 + δϕ

(4)Sφ (φ, φ′ ) = −×を考える．摂動量 hµν , δϕ の 1 次まで考えると作用の□δϕ = µ δϕ
4M (3M + (2l(l + 1) − 1)r) + 2r3 (3M + λr)µ2 φ+12M r(r − 2M )φ′ ]変分から摂動場の満たす方程式は

G4ϕ
G(1)
(∇µ ∇ν δϕ − ḡµν □δϕ),
µν =
G4
2



1 − 2M/r
2r2 (λr + 3M )2

(14)
(5)

である．重力波の奇パリティ自由度 Q について，式 (8)(6)

は完全に φ と分離しており，GR の Regge Wheeleer
方程式と一致する．偶パリティΨ について式 (9) の左となる．ここで G(1) µν はアインシュタインテンソル

辺は GR の Zerilli 方程式に一致するが，右辺に φ にの hµν の 1 次の部分であり，定数よるソース項が現れている．これらの方程式 (8)-(10)

−G2ϕϕ
µ2 =
G2X − 2G3ϕ + 3G24ϕ /G4に対して BH のホライゾンで内向き，無限遠で外向(7)きに伝搬するという境界条件を課すことにより QNM

は式 (6) で有効質量として振る舞う．ただし関数 Gi

周波数 ω が得られる．ω は複素数になり，境界条件

は背景での値 ϕ = ϕ0 で評価している．背景計量としの下で減衰振動を表す．偶パリティの計量の摂動にて Schwarzshild 計量をとり，計量とスカラーの摂動は Ψ と φ の両方が現れるため [1]，QNM の周波数とを (球面) 調和関数分解する．e−iωt の時間依存を仮しては式 (9) による GR と同じモードと式 (10) によ

定すると次の方程式が成り立つ．

るスカラーの新しいモードが現れる．
ここで背景解が GR での BH と同じ (Schwarzshildd Q  2+ ω − VRW (r) Q = 0,
(8)
2
dr∗

d2 Ψ  2
G4ϕ+ ω − VZ (r) Ψ =Sφ (φ, φ′ ), (9)
2
dr∗
G4

d2 φ  2+ ω − VS (r, µ2 ) φ = 0.
(10)
2
dr∗
2

計量，自明なスカラープロファイル) にも関わらず，スカラー場の摂動により GR と異なる QNM が現れることに注意する．すなわち，重力波が修正されるために，GR での無毛定理を破り GR で現れない BH
1を用意する必要はない．

ここで φ は δϕ の動径成分X φlm (r)δϕ =e−iωlm t Y lmr4

パラメータ推定lm

であり lm の添字は省略している．Q(r), Ψ(r) はそれ放射される重力波が式 (9)-(10) に従う重力とスカ

ぞれ奇パリティ，偶パリティの重力の摂動に対応しラーのモードのそれぞれの最も主要なモードの重ね合わせで表されると仮定する．
た関数である．r∗ = r + 2M ln( r−2M
2M ) は亀座標で，r → 2M + 0 が r∗ → −∞ に対応する．式中のポテ
ンシャルは





2M
l(l + 1) 6M
VRW (r) = 1 −
− 3 ,
(11)
r
r2
r


2M
VZ (r) = 2 1 −r
2 2
λ r [(λ + 1)r + 3M ] + 9M 2 (λr + M )×,r3 (λr + 3M )2
(12)



2M
l(l + 1) 2M+ 3 + µ2
VS (r) = 1 −
r
r2
r
(13)

h = hg + hs

(15)

ノイズパワースペクトル密度 Sh (f ) が与えられたとき，周波数領域において波形の内積をZ ∞ ˜∗ ˜
h1 h2 + h˜∗2 h˜1df(h1 |h2 ) = 2
Sh (f )
0(16)と定義する．このとき h の信号雑音比 ρ は

ρ2 = (h|h)
Z ∞ ˜∗h h̃
df=4
Sh (f )
0

(17)

1 [6] ではスカラーヘアを持つ Horndeski 理論についての QNMが調べられている．

63

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校で与えられる．また波形がパラメータ θa に依存するとしてフィッシャー情報行列と呼ばれる行列を


∂h ∂h
Γab =
(18)
∂θa ∂θbで定義する．フィッシャー情報行列の逆行列 Σab =Γ−1
ab はパラメータの分散共分散行列を与え，特に対角√成分はパラメータ決定における誤差評価 σa = Σaaを与える．[2] では重力とスカラーの振幅 Ag , As ,BH
質量 M , スカラー有効質量 µ について誤差推定を行っており，特に As /Ag ≪ 1, l = 2, µ = 0 のとき

ρσµ2 ∼ 2 × 10

−7



As
Ag

−1 

M⊙
M

2

m−2

(19)

と推定している．この σµ2 をスカラー粒子の有効質
量 ms への検出可能限界と考えると観測による ms への制限として√−10ρms ∼ 5 × 10



As
Ag

−1/2 

M⊙
M



eVc−2
(20)

図 1: ms をスカラーの相対振幅 As /Ag と BH 質量

M で表したときのカラープロット．上下はそれぞれ
LIGO/VIRGO と LISA の感度に対応する質量レンが得られる．
√
図 1 は ρms をスカラーの相対振幅 As /Ag とBH 質量 M で表したときのカラープロットであり，ジを取っている．

LIGO/VIRGO,LISA の感度に対応する質量レンジが104

上下の図に対応している．
複数のモードの重力波形を GR のテストに用いる

1000

ためにはノイズを含む信号の中からそれぞれを区別できなければならず，それに必要な SNR を考える．

100

QNM の周波数を f ，減衰時間を τ とすると
10

|fg − fs | > max(σfg , σfs ),|τg − τs | > max(στg , στs )

(21)
1
0.0

が基準となる．ここから周波数と固有時間の 2 つの

0.2

0.4

0.6

0.8

モードを分解するために必要な SNR ρfcrit , ρτcrit はmax(ρσfg , ρσfs ),|fg − fs |max(ρστg , ρστs )ρτcrit =|τg − τs |図 2: QNM の周波数，減衰時間を分解するのに必ρfcrit =要な SNR．横軸はスカラーの相対振幅 Ag /As ．l =2, µ = 0 を仮定．

(22)

5

となりこれより大きい SNR が必要とされる．[2] ではこれをフィッシャー行列解析を用いて計算しておりスカラーの相対振幅 Ag /As を横軸として図 2 のようになる．

Conclusion
本稿では [2] のレビューを行った．Schwarzshild 計

量，定スカラーの背景解に対する摂動を考え境界条

64

1.0

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
件の下 GR とは異なる QNM が現れることを確認した．そしてリングダウン波形が重力とスカラーの主
要なモードの 2 つの重ね合わせで記述されると仮定
し，スカラー粒子の有効質量の推定について考えた．
その際 2 つのモードが区別できる必要があるが，それに必要な SNR が式 (22) のような形で与えられ，ス
カラーの相対振幅 Ag /As の関数として図 2 のようになることを見た．具体的には ρ ∼ 102 程度の検出器の場合 As /Ag ≳ 0.2 程度のスカラーモードの振幅が必要となる．

Acknowledgement
今回の論文のレビュー発表についてゼミで議論・助言してくださいました基礎物理学研究所の先輩方に感謝申し上げます．

Reference
1. Tattersall, O. J., and Ferreira, P. G. (2018).
“Quasinormal modes of black holes in Horndeski
gravity.” Physical Review D, 97(10), 104047.
2. Tattersall, O. J., and Ferreira, P. G. (2019). “Forecasts for low spin black hole spectroscopy in Horndeski gravity.” Physical Review D, 99(10), 104082.
3. Tattersall, O. “Testing Gravity with Black Holes.”University of Oxford, 2019.
4. Berti, E., Cardoso, V., and Will, C. M. (2006).
“Gravitational-wave spectroscopy of massive black
holes with the space interferometer LISA.” Physical Review D, 73(6), 064030.
5. 中野, 寛., 佐合, 紀. (2022). “重力波・摂動論.” 朝倉書店.
6. Tattersall, O. J. (2020). “Quasi-normal modes of
hairy scalar tensor black holes: odd parity.” Classical and Quantum Gravity, 37(11), 115007.

65

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重宇 a15

重力波観測で探る一般相対論を超えた偏光の自由度
今福 隼斗

66

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波観測で探る一般相対論を超える偏極モード
今福

隼斗 (東京大学大学院 理学系研究科物理学専攻 M1)

Abstract
一般相対論 (GR) を拡張した理論では、複数の偏極モードが考えられている。本稿では GR において重力波はどのように表されるのか、そして連星コンパクト合体 (CBC) のインスパイラルを源とした重力波において、GR を拡張した理論ではどのような補正が加わるのかを [1]、[2] に基づいて述べる。また、テンソルモー
ドとスカラーモードに対して検証を行った先行研究 [3] で得られた結果のレビューし、将来の展望について
議論する。

1

導入

式が複雑であり、波形の作成が困難であることからインスパイラル時の重力波を対象とする。また、重一般相対論 (GR) では重力波は 2 つのテンソル自力波は主に 3 つの過程から成る。重力波源が重力波

由度のみを持つ。しかし、GR 以外の重力理論におを放射する生成過程、重力波が観測器まで伝わる伝

いて、重力波は GR の 2 つのモードに加えて新たな播過程、重力波を観測データとして変換する観測過

複数のモードが加わる。例えば、スカラーテンソル

程である。本稿では、生成過程に焦点を当て、重力理論や f(R) 重力理論では、スカラー場を介して重力波源がどのように重力波を放出するのか GR を超え

波にスカラー自由度が導入される。これらは暗黒物た枠組みで波形モデルを作成する。

質やダークエネルギーを導入せずに宇宙の構造形成

したがって、以下では研究 [1] で説明されているや加速膨張を説明する可能性があり、注目されている。より一般に、計量重力理論における重力波は最CBC のインスパイラル時における重力波の生成過程について [2] を参考により一般的に考える。第 2 章で大で 6 つの偏極モードを持つ。具体的には、GR のテ

は一般相対論における重力波、3 章では GR を拡張

ンソルの 2 つのモードに加え、スカラーモード、ベ

した理論波形、第 4 章では先行研究 [3] のレビュー、

クトルモードがそれぞれ 2 つのモードを持つと考え5 章では議論と今後の展望を述べる。

られている。これらの重力理論を絞り込み新たな重力理論への足掛かりを得るために、解析的な波形を作成し観測データとの相関を取ることで、波形のパ2一般相対論における重力波

2.1

四重極公式

ラメータに制限を与える研究が現在行われている。
一方で、コンパクト連星合体 (CBC) を源とする重力波は強重力領域の情報を豊富に含んでおり、強重時空の計量がミンコフスキー時空の計量と微小の力領域における GR や他の重力理論の検証の良い機

重力による歪みで記述できるとする弱重力場、つまり会となっている。CBC は一般に、インスパイラル、合体、リングダウンの 3 つの段階から成る。インス
パイラルは 2 つのコンパクト天体が準定常な円軌道を描いて運動する段階である。やがてコンパクト天
体の距離が縮まり運動が速くなると、準定常な起動gµν = ηµν + hµν ,|h| ≪ 1

(1)

では、ゲージ条件を課すことによりアインシュタイ
ン方程式はが保てなくなり合体の段階へと移る。最後に合体に□hµν = −よって励起された振動が徐々に減衰し、終定常状態

16πG
Tµν ,
c4

□ ≡ ∇ µ ∇µ(2)へと向かうリングダウンの段階となる。ここで、合となる。このとき、真空の平面波解を考えると z 軸

体、リングダウンの段階における重力波は場の方程方向に進んでいる重力波に対して、重力波の振幅は67

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
以下のように表せる。

h+ h×

hTT
=
h
−h+

×
ij

0

0


0

0 cos [ωgw (t − z/c)]0[h× (t, ; θ, ϕ]quad =(3)

1 4Gµωs2 R2
sin(2ωs (t − r/c))
r
c4
(7)

したがって、一般相対論では重力波の角振動数 ωgwと連星系の角振動数 ωs には ωgw = 2ωs という関係

ここで、ωgw は重力波の角振動数、TT は Transverse-がある。(6)、(7) 式を使うことにより、インスパイ
Traceless ゲージ（TT ゲージ) を表している。課され ラル時の重力波放射によるエネルギー放射率は()10/3
たゲージ条件によりもともと 10 成分であった hµν の32 c5 GMc ωgw
P
=
(8)
quad
独立な成分は 2 成分となり、GR では重力波はプラ
5 G
2c3
スモードとクロスモードの 2 つの自由度を持つ (図となる。ここで、Mc は Mc ≡ µ3/5 m2/5 で定義され1)。また、(2) 式の一般解はグリーン関数を用いて表るチャープ質量と呼ばれるものであり、重力波デーされるが、重力波源が非相対論的な運動をしておりタからの観測量である。
ニュートン力学で記述できる場合を考えると
1 2G TT[hTT
Q̈ (t − r/c)
(4)
ij (t, x)]quad =r c4 ij
2.3 重力波に対する停留位相法という四重極近似解が得られる。Qij は重力波源の
重力波の実データは時間の関数であるが、解析時四重極モーメントをトレースレスにしたものを表しており、” ˙ ”は時間微分、r は重力波源の中心かにはフーリエ変換することによって有限の周波数空らの距離である。これを用いると、重力波放射によ間に落とし込むことで扱いやすくなる。よって、一般

るエネルギー損失率がに周波数の関数として波形のモデルを考える必要がG ... ...ij⟨ Q ij Q ⟩(5)5c5となる。⟨ ⟩ は考えている系の典型的な力学的時間あり、そこで用いられるのが停留位相法である。重

Pquad =

力波が振幅 A(t) と軌道位相 ϕ(t)、重力波を多重極子

スケールについて時間平均を取ることを示している。
これが重力波輻射の四重極公式であり、重力波が単位時間あたりに運ぶエネルギーは四重極モーメント

展開したときの次数 l(> 0) を用いて()
h(t) = A(t) eilϕ(t) + e−ilϕ(t)(9)と表せるとき、フーリエ変換は∫ ∞()
h̃(f ) =A(t) eilϕ(t) + e−ilϕ(t) e2πif t dtの 3 階時間微分の 2 乗に比例する。ここで、GR において重力波に単極子、双極子が存在しないのはそ−∞れぞれ質量保存則、運動量保存則からの帰結である。

(10)となる。ここで、f < 0 のときは複素共役を考えれ

2.2

インスパイラル時における重力波放射

ばよく、重力波は実関数で得られることから f > 0
を考えれば良い。インスパイラル時の波形を考える

2.1 で得られた結果を基に、CBC のインスパイラと、振幅 A(t) の変化が位相 lϕ(t) の変化に比べて十ル時における重力波放射による連星系のエネルギー

分遅く、波形の時間変化は位相の時間変化によって放射率を求める。簡単のため、連星系はニュートン

決まる。このとき停留点を考えると、ϕ̇(t) > 0 よ

力学で記述できる角振動数 ωs 、軌道半径 R の円運り (10) 式第 1 項は停留点を持たず、常に速く振動動をしており、重力波の進行方向が z 軸方向の場合しているため積分する際には無視できる。第 2 項はを考える。2 つのコンパクト天体の質量をそれぞれ

lϕ̇(t0 ) = 2πf を満たす t = t0 で停留点を持つ。軌道

m1 , m2 とし、全質量、換算質量、をそれぞれ m =周波数を F (t) = ϕ̇(t)/2π とすると F (t0 ) = f /l が成m1 + m2 , µ = m1mm2 とする。(4) 式は次のように書り立ち、t = t0 の周りで展開することにより重力波ける。

は以下のように表せる。

1 4Gµωs2 R2[h+ (t; θ, ϕ)]quad =cos(2ωs (t − r/c))rc4h̃(f )

(6)

68

=

A(t )
√ 0 e−iΦlḞ (t0 )(11)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、q は理論モデルによって決まるものであり、Φ が重力波の位相であり、)∫ F (t0 ) ( ′FfπΦ[F (t0 )] = 2πl−dF ′ +
(12)
′
′
4
F˙
F˙

v
c で展開したときにどの次数から始まるのか (どの次数が主要項なのか) を表している。Bq はその定数係数である。停留位相法を用いると、重力波はフーリである。

エ空間において重力波の周波数 f の関数として

3

GR の拡張h̃(l) (f ) = A(l) (f )e−iΦ (f )
(
)
(
)
(l)
−i ΦGR (f )+δΦ(l) (f )(l)
= AGR (f ) 1 + δA(l) (f ) e

3.1

偏極モード

(14)

(l)

2.1 章で見た通り GR では重力波は 2 つのテンソ

(l)

(l)

と表せる。ここで、AGR , ΦGR はそれぞれ GR におル自由度を持つ。しかし、GR を拡張した理論ではける振幅と位相である。補正項は具体的に、重力波は GR の 2 つに加え、ベクトルモードで 2 つ、

1δA(l) (f ) = − Bq η −2q/52

スカラーモードで 2 つの最大で 6 つの偏極モードを持っている。

δΦ(l)(ul (f )
c

15
l
=
Bq
η −2q/5
64 (4 − q)(5 − 2q)となる。ここで、ul (f ) =(2πMc f
l

)2q
(15)

(

)1/3

ul (f )
c

)2q−5
(16)

とした。3 章では [2] に基づいてインスパイラル時における、GRからの修正を加えた振幅と位相の補正項を導出した。

4

先行研究の結果

図 1: GR を拡張した理論における偏極モード [4]。

先行研究 [3] では 2 つの CBC イベント、GW170814

左からテンソルモード (GR)、ベクトルモード、スカと GW170817 の観測データを用いてスカラーモー

ラーモード。重力波の進行方向は z 軸方向。破線のドの検証を行っている。GW170814 は連星ブラック

円が重力波が来る前の位置であり、重力波によってホール合体 (BBH)、GW170817 は連星中性子星合体

黒線と赤線の位置を振動する。

(BNS) である。重力波の偏極自由度は GR を拡張した理論では最大で 6 つあると考えられているが、重力波の同時観測が可能な検出器が 3 台であり最大で3.2

3 つの偏極自由度しか検証できない。そのため、GRGR を拡張した理論波形の 2 つのテンソルモードに加えてスカラーモードを

GR に新たな偏極モードを加えた波形を考える。連 考慮している。ここで、理論により考えられているス星系の運動において、エネルギー放射率は補正項を カラーモードの自由度は 2 つであるが、地上の観測器では検出する際に縮退してしまうため、スカラー加えて以下のように修正される。
[( v )2q ]32 G3 2 ( m )4v
Ė = −
1 + Bq
5 c5
r
c

=−

32 G3
(2πMc F )10/3
5 c5[()2q/3 ]
2πMc F
−2q/5
× 1 + Bq ηc

モードの自由度を 1 つとしている。
テンソルモードは四重極子が主要項となるため l =(13)2、スカラーモードは四重極子と双極子が主要項となるためそれぞれ l = 2, l = 1 を考えれば良い。また、スカラーテンソル理論に基づいており、四重極子に対して q = 0、双極子に対して q = 1 とする。

692023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
スカラーモードの振幅パラメーターを双極子、四Reference

重極子に対してそれぞれ AS1 , AS2 とすると、エネル
ギー放射率は()
25−2/3Ė = ĖGR 1 + A2S2 + A2S1 η 2/5 u1
396

1. H. Takeda et al., arXiv.2304.14430
2. K.

(17)

et

al.,

Phys.Rev.D86,

022004,[Erratum: Phys.Rev.D.95, 129901(2017)] (2012)となる。よって、振幅と位相の補正項は (18) 式、(19)式を用いることで

3. H. Takeda et al., Phys.Rev.D105, 084019( u )−2(2022)

1
5 2l
δA(l) = − A2S2 −A η2/5(18)
3
192 S1c( u )−7l 2 ( ul )−55llδΦ(l) =AS2+
A2S1 η 2/5
128
c
14336
c
(19)

4. S. Goyal et al., Phys.Rev.D103, 024038 (2021)となる。解析によって得られた結果は、GW170814+0.37に対して AS2 = −0.13+0.89−0.63 , AS1 = 0.03−0.37 、

GW170817 に対して AS2 = 0.04+0.60−0.66 であった。ここで、GW170817 に対しては、別の研究で双極子に強い制限がかけられているため無視している。

5

Chatziioannou

議論と展望
先行研究 [3] では、信号雑音比 (SNR) 高い 2 つのイベントに対して検証を行った。しかし、3 台の検出器により同時観測されたイベントは多数あるため、それらの観測データに対して解析を行うことが可能である。また、得られた制限は一般相対論に矛盾しないものだが、強い制限ではない。そこで、それぞれのイベントに対して得られた結果に適切な重み付けを施して 1 つの結果を得ることで、より一般的な強い制限を得ることができる。よって、まだ研究の余地があると考える。
現在、LIGO-Virgo-KAGRA による第 4 次観測が行われている。ここで使われる検出器は 4 つである
ことから同時観測が行われれば、4 つの自由度に対して GR の検証を行うことができる可能性がある。さ
らに、将来的に同時観測可能な検出器の数が増えれば、より多くの自由度について研究するができるようになる。それらを踏まえ、多数の自由度を含んだ
重力波の波形モデルの作成、パラメーターが増える
ことから適切な解析手法の確立などが必要になる。

70

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重宇 a16

パルサー・タイミング・アレイによる背景重力波検出
大城 斗輝

71

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Pulsar Timing Array による背景重力波検出
大城 斗輝 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
1918 年、アインシュタインは相対性理論で重力波の存在を予言した。重力波は時空間の歪みとして光速で伝搬する波であり、巨大質量の天体の運動により生じる。重力波の中でも nHz〜µHz の低周波重力波は Pulsar

Timing Array(PTA) という手法を用いて検出が可能である。
PTA では周期の安定したパルスを放射するパルサーという天体を用いている。特にパルス周期が短く安定しているミリ秒パルサーからは信号が地球に到着する時刻を予測できる。しかし、地球とパルサーの間に重力波が存在すると、時空の歪みによりパルス到着時刻が変化する。その予測された到着時刻と、変化した実際の到着時刻とのずれを観測して重力波の検出を行う。この時の時刻のずれをタイミング残差と言う。
タイミング残差はパルサーの周期変化など重力波以外の要因によっても生じる可能性がある。複数のパルサー
でタイミング残差の相関をとると、重力波による効果を確かめることができる。PTA が最初に検出すると言われている背景重力波は銀河中心に位置する超大質量ブラックホール連星から発する重力波を重ね合わせたものである。背景重力波の検出により、波源となるブラックホール形成について核心に迫ることが期待されている。本発表では、PTA による背景重力波の検出法を紹介し、背景重力波の証拠を得た最新の観測結果について報告する。

1

PTA で用いるパルサーとは中性子星の一種である。

Introduction

パルサーは高速で自転しながら、磁極から双方向に
アインシュタインによって一般相対性理論で提唱

電磁波のビームを放出している。磁極は自転軸からされた重力波は、2015 年アメリカのレーザー干渉計

傾いているため、ビームが地球の方向を向いた時の

重力波望遠鏡 LIGO により直接検出され、その存在

み、信号を観測することができる。自転周期と同調が確かめられた。重力波は時空間の歪みとして光速して、その信号はパルス周期で観測される。またパルで伝搬する波であり、巨大質量の天体の運動によりサーの中にはミリ秒周期で回転するミリ秒パルサー

生じる。波源と考えられるブラックホール連星の質と呼ばれるものがある。ミリ秒パルサーの回転周期量によって、さまざまな周波数の重力波が存在する。

は非常に安定しており、パルスの到着時刻が予測さ

LIGO ようなレーザー干渉計型の重力波望遠鏡ではれる。しかし、地球とパルサー間に重力波が存在す

レーザーを 2 方向に分裂したのち、反射鏡を用いてると、その間の時空が歪み、パルスの到着時刻が変化

それぞれの方向から戻ってくる光の干渉強度を測定する。この到着時刻の変化をタイミング残差と呼ぶ。

する。重力波の性質より、光の伝搬経路上の空間がPTA では複数のパルサーのタイミング残差を十数年歪み、それによって干渉光が強度変動することから規模で観測し、重力波の検出を行う。パルサーの観

重力波検出が可能となる。LIGO で検出された重力波の観測周波数帯は数 Hz ∼ 数 kHz となり、波源は
恒星質量ブラックホール連星である。しかし、さらに質量の大きい超大質量ブラックホール連星からの重力波はブラックホールの解析のために重要な課題であるが、LIGO では検出できない周波数の重力波を放出する。そのため宇宙空間を介す天体の観測を用いた方法によって、さらに低周波な重力波の検出を目指すのが Pulsar Timing Array(PTA) という手測期間が長いほど、その時間に応じて数 nHz 程度の低周波重力波を観測できる。低周波重力波の発生源
は超大質量ブラックホール連星である。それらは銀河中心に位置し、特に連星の軌道運動によって放射される重力波を PTA では検出する。これらの連星が遠方に位置し、多数存在するならば、地球に到達する時はそれらが重なって背景重力波を形成する。銀河の合体という宇宙の大規模構造の形成過程を起源とするので、背景重力波の検出は宇宙の進化過程に

法である。

72

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
とって重量な情報源となる。複数個のパルサーから

ここで、F A (Ω̂) は偏光 A モードの重力波アンテナ

得られたタイミング残差の相関係数は、Hellings andのビームパターンと呼ばれるファクターで、

Downs curve に従う。本研究ではこの曲線について
F A (Ω̂) =レビューを行う。

pa pb
1eA (Ω̂)2 (1 + Ω̂ · p̂) ab(6)

また (1) 式から、地球とパルサーにおける重力波

2Methods

強度の差 ∆hab は以下の式となる。

重力波の平面波解はアインシュタイン方程式を解∫ ∞くと得られる。

hab (t, ⃗x) =∆hab =
∑ ∫ ∞

A=+,×

∫
d2 ΩhA (f, Ω̂)

df

−∞

S2

df [e2πif t (e−2πif L(1+Ω̂·p̂) − 1)−∞∑×hA (f, Ω̂)eA
ab (Ω̂)]

(7)

A

(1)

同様に ∆hab に対してもフーリエ変換を行うと、以× e2πif (t−Ω̂·⃗x) eA
ab (Ω̂)下の式が得られる。

上式は TT ゲージを踏まえた重力波解であり、f は
周波数、Ω̂ は重力波の進行方向、eA
ab は偏光テンソルh̃ab (f, Ω̂) =(e−2πif L(1+Ω̂·p̂) − 1)∑×hA (f, Ω̂)eA
ab (Ω̂)である。また重力波には二つの偏光モードがあり、それぞれプラス (+) モード、クロス (×) モードと呼ばれている。偏光基底ベクトル m̂,ˆl を用いると以下の
式となる。

(8)

A

PTA で期待される重力波の信号は微弱であるが、複数の波源からの波が重なり、一つの背景重力波として観測される。本発表では背景重力波は一様な等ˆˆe+ab (Ω̂) = la lb − m̂a m̂b

(2)

ˆ
ˆ
e×
ab (Ω̂) = la m̂b + m̂a lb(3)の背景重力波がパルサー間のタイミングのずれをど

重力波が存在するとパルス周期が変化して観測さの程度引き起こしているかの相関を調べる。これられるため、その変化をパルス周期の逆数であるパルの統計的な相関を考えるにあたり、任意に選んだパス周波数の赤方偏移として記述できる。重力波に起ルサーの組の角度関係を考える。複数の組み合わせ

因する赤方偏移 z の値は、それぞれの時刻と位置にを調べることにより、背景重力波に対してパルサー

おける重力波を考えると、到着時刻の差、すなわち間角度に応じたタイミング残差の相関関係を得る。

周期のずれから求めることができる。

赤方偏移が重力波によって引き起こされることから、方性を持つと仮定し、無偏光なものを考える。さらに
ノイズについても定常性とガウス性を仮定する。こ位置 p̂i , p̂j にあるパルサーを通過する重力波を用いpa pb
1[hab (t, ⃗xe ) − hab (t′ , ⃗xp) ]z(t, Ω̂) =2 (1 + Ω̂ · p̂)
=

pa pb
1
∆hab
2 (1 + Ω̂ · p̂)てパルサー間相関の期待値をとる。全天で立体角積
分 dΩ することを考慮すれば、以下の計算となる。

(4)⟨z̃i (f )z̃j∗ (f ′ )⟩ =(4) 式をフーリエ変換すると次式のようになる。
z̃(f, Ω̂) = (e−2πif L(1+Ω̂·p̂) − 1)

∑

′

∫

∫
S2

S ′2

d2 Ω̂d2 Ω̂′ [e−2πif Li (1+Ω̂·p̂i ) − 1]′× [e2πif Lj (1+Ω̂ ·p̂j ) − 1]
⟨
⟩
∑
∑
′
A
∗
′
A
′
hA′ (f , Ω̂′ )F (Ω̂ )×hA (f, Ω̂)F (Ω̂)

hA (f, Ω̂)F A (Ω̂)

A

A

A′

(9)

(5)

背景重力波の等方性、ノイズの定常性とガウス性と73

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
重力波が起因となるタイミング残差には、パルスいう仮定を考慮すると、以下のように変形できる。

が予測より早く到着する場合もあれば、遅く到着す⟨z̃i (f )z̃j∗ (f ′ )⟩

∫
1
d2 Ω̂
= δ(f − f ′ )Sh (f )
κij (f, Ω̂)2
S 2 8π∑×FiA (Ω̂)FjA (Ω̂)

ることも考えられる。それぞれのパルサーの組に対してのタイミング残差の相関がこの曲線に従えば、背(10)景重力波が検出できたと言える。

A=+,×

3

ここで κij は以下の式である。

Report
PTA は世界各国で共同研究が行われている分野で

κij (f, Ω̂) =[e−2πif Li (1+Ω̂·p̂i )

− 1]

′

× [e2πif Lj (1+Ω̂·p̂j ) − 1]ある。各国で進行しているプロジェクトは北アメリ(11)カの North American Nanohertz Observatory for

Gravitational waves (NANOGrav)、ヨーロッパのまた、Sh (f ) は重力波のパワースペクトルである。 European Pulsar Timing Array (EPTA)、オースト
赤方偏移の期待値 ((10) 式) の中には以下の関数が含ラリアの Parkes Pulsar Timing Array (PPTA)、イ

まれていることがわかる。

ンドと日本の Indian Pulsar Timing Array (InPTA)、∫にこれらの観測データを共有して解析を行う Inter-

中国の Chinese Pulsar Timing Array (CPTA)、さらd Ω ∑FiA (Ω̂)FjA (Ω̂)Γ̃ij =
4π
2
S
2

A=+,×

=

national Pulsar Timing Array (IPTA) がある。2023(12)

年 6 月 29 日には背景重力波らしき証拠が得られたと

1 1
3− xij + xij ln(xij )2 42いう報告が各国の PTA グループから発表された。そのグループの一つ、NANOGrav からは、パルサー 67

ただし、ここでの xij は以下の式で与えられる。

1 − cos(ξij )xij =2

個を 15 年間観測して得られたデータによる検証が行われた。[1]NANOGrav が公表した図 2 からも見て取(13)

れるように、導出した Hellings and Downs curve にこの関数 (12) を Overlap Reduction Function と呼ほとんど従っている。明確な重力波検出と言うため

び、タイミング残差の相関関係を示す。ξij はパルサーには、ノイズに対してさらに明瞭な重力波の信号を間の角度であり、これを軸にプロットすると、図 1 の得る必要がある。今回、NANOGrav の解析では背景

ような Hellings and Downs curve と呼ばれる曲線を

重力波の可能性がある信号が 3.5σ の統計的優位性で描く。

確認された。しかし、IPTA による背景重力波検出の基準は統計的優位性が 5σ 以上と設定されている。[2]従って、検出とするためには PTA の感度向上のために長時間観測を行うことに加え、各国が収集したパ
ルサーのデータ数を集めることによって、高度な解析を行う必要がある。そこで IPTA によってデータの統合が進められており、統合データの公開と並列して、直近で重力波の直接検出の発表が期待されている。

4

Summary
本発表では、パルサーを用いた背景重力波検出方

図 1: Hellings and Downs curve法についてのレビューを行った。PTA はミリ秒パル
サーのパルス到着時刻を計測する実験であり、重力742023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: NANOGrav による Hellings and Downs curve
検証
波が関与するとパルスのタイミング残差が得られる。
任意に選んだパルサー間の角度と、タイミング残差との相関を示した Hellings and Downs curve についてレビューを行った。背景重力波の統計的な性質を踏まえたこの検出方法は最新の研究でも用いられており、さらに精度の高い観測や解析を続けた結果、重力波が検出されると期待されている。

Reference
Stephen R.Taylor 2021, CRC press[1]Agazie, G et al. 2023, the American Astronomical
Society[2]Allen, B et al. 2023, arXiv:2304.04767

75

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重宇 a17

重力波を用いた高赤方偏移 z=6 での MBH − Mhalo 関係
の制限
古澤 和也

76

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波を用いた高赤方偏移 z = 6 での MBH -Mhalo 関係の制限
古澤 和也（名古屋大学大学院 理学研究科）

Abstract
現在観測されているほとんどの銀河は, その中心に 106 M⊙ -1010 M⊙ 程度の質量を持つ超大質量ブラックホール (SMBH) を持っており, これらは共進化してきたことが示唆されている. しかし, SMBH の形成・進化を説明するシナリオは提案されているものの解明には至っていない.
本研究では, ハローと SMBH の共進化モデルを構築し, 重力波観測による検証可能性を議論する. 具体的には, Shimasaku & Izumi (2019) の解析結果に基づき, 初期条件として z = 6 での MBH -Mhalo 関係に観測から示唆されるべき乗則関係を課し, 0 ≤ z ≤ 6 での SMBH の質量成長を計算する. このモデルでの結果は,クェーサーの観測結果とは異なる暗い領域 Mhalo ≲ 1012 M⊙ に対し示唆を与えることができる.
また, 実際の SMBH は合体とガス降着により質量成長していると考えられているが, このモデルは合体による成長のみを考慮するため, 質量成長の下限とみなすことができる. そして, このモデルで記述される SMBHの合体から発生する重力波を計算し, パルサータイミングアレイ (PTA) と LISA による検出可能性を議論する. 結果として, PTA から得られる確率的重力波背景放射の上限から, z = 6 における MBH -Mhalo 関係の
べき乗 n に対する制限 n ≥ 1.0 を導出した. 一方で、LISA による重力波検出数が, z = 6 において SMBHを持つことができるハローの質量の最小値に対し下限を課すことがわかった. 本講演では, これらのパラメー
タに対する制限から, 重力波観測が将来的に SMBH の形成・進化の解明に与える影響を議論する.

1

まず, z = 0 において Press-Schechter 理論に従い,Introduction

質量範囲 1011 M⊙ h−1 ∼ 1014 M⊙ h−1 の範囲で 100

SMBH とそのホスト銀河の種々の特徴量（e.g. 速

個ハローを用意する. 次に, バイナリーマージャー法

度分散, バルジ質量, 光度）の間には強い相関関係

では以下のルールによって, ハローを過去に向かう方(McConnell & Ma 2013) が確認されており, これら

向に分裂させていく.

は共進化してきたことが示唆されている. しかし,

SMBH の形成・成長過程については未だ解明に至っていない.
この謎に対して, 高赤方偏移での SMBH の観測および推定が大きな意味を持つ. z = 6 の多くの SMBH

ある赤方偏移 z = z0 で質量 M0 の親ハロー 1 つを準備する. また, 質量の閾値 Mlim を定義する. 次のタイムステップの赤方偏移を z = z1 (> z0 ) として,
以下のように子ハローを選び取る.

が存在する暗い領域 Mhalo ≲ 1012 M⊙ での質量関係

1. M0 ≥ Mlim の場合：2 つの子ハローへの分裂をを推定するために, 本研究では重力波観測の適用を議考える. 1 つ目の子ハローの質量 Mp1 を質量範論する. 詳細は Furusawa et al. (2023) を参照.

囲 0 < Mp1 < M0 から, 以下の確率

2

理論

2.1

ハローと SMBH の共進化モデル

f (S(Mp1 ), z1 |S(M0 ), z0 ) d(∆S)( ∆δ 2 )
∆δc
c
=√
d(∆S)
exp
−
3
2S
2π∆S 2(1)

に従って選び取り, 質量保存が成立するように

まず, ΛCDM 宇宙論での階層的構造形成におけるもう一方の子ハローの質量を Mp2 = M0 − Mp1

ハローの成長を記述するハローマージャ―ツリーをとして選び取る. ここで式 (1) では, S ≡ σ 2 (M )構築する. 本研究では拡張 Press-Schechter 理論に基を密度揺らぎの分散, δc = 1.69 を球対称崩壊のづき, バイナリーマージャー法によってマージャ―ツ

閾値, D(z) を D(z = 0) = 1 で規格化された密リーを作成する.

度揺らぎの線形成長率として δc (z) = δc /D(z)772023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校とし, ∆S ≡ S(Mp1 ) − S(M0 ) および ∆δc ≡δc (z1 ) − δc (z0 ) として表している.
2. M0 < Mlim の場合：このハローを降着質量として取り扱い, 分裂を考えず, 以降このハローの分裂の歴史を追わない.
以上の操作を各々のハローに対して z = 0 から z = 6
まで繰り返す. 結果として, z = 6 から z = 0 までのハローの合体履歴を得ることができる. 各々のタイムス
テップ ∆z は, 計算の簡単化のため, 式 (1) が各々の赤方偏移で同じ確率になるように, 常に ∆δc (z) = 0.02

図 1: z = 6 での MBH -Mhalo 関係のプロット（三角が成り立つように取る.

点）. 丸点は Shimasaku & Izumi (2019), Ferrarese

このハローマージャ―ツリーに付随する SMBH の(2002) による z = 6（赤）および z = 0（黒）での観合体を考慮することで, ハローと SMBH の共進化を測から得られた結果, 黒点線は z = 0 の観測結果に記述することができる. 初期条件として, z = 6 で対する ﬁtting を表す.

Mhalo ≥ Mlim を満たしている各々のハローに対し,量の重いハローにホストされている中心 SMBH と合

以下のべき乗関係

(M
)n
MBH
halo
=
,
M1
M0

体する描像となる.

(2)に従って, 中心 SMBH を 1 つずつ割り当てる. こ
こで (M0 , M1 ) = (3.5 × 1012 M⊙ , 1.5 × 109 M⊙ ) であり, この質量関係は Shimasaku & Izumi (2019)

この tdf は, P の値が小さいとハローの合体時刻

t = tmg での Hubble time を超える値を取るため, 効
率良く合体しない. そこで SMBH の合体について以下の取り扱いを行う.

• P ≥ 0.3 の場合：2 つのハローの中心 SMBH 間の観測結果に整合するように与えている. Mlim =3.5 × 10 M⊙ h
9−1の SMBH 合体を考慮する. それらの合体時刻はに取った時, このモデルにおけるt = tmg + tdf に取る. 1

z = 6 での初期条件と観測結果のプロットを図 1 に示す. 図 1 は, QSO による観測データが質量の重い• P < 0.3 の場合：SMBH 合体を考慮せず, 質量ものにバイアスしていること, 及び本モデルが暗い領の重い方のハローにホストされている SMBH を

域 Mhalo ≲ 1012 M⊙ に対して示唆を与えうることを示している.

SMBH の合体は, それらをホストするハローの合体時間から, 衛星ハロー（質量 ML ）が重い方のハ

新しいハローに引き継がせる.
以上の準備・仮定の下で, 0 ≤ z ≤ 6 での SMBH の合体による質量成長を計算する.

ロー（質量 MH ≥ ML ）の中心に沈みこむまでの力
学的摩擦のタイムスケール

1+P
tdf = 0.731Gyr
P ln (1 + P )[ Ω ∆ ]− 12
3
m
vir
×
(1 + z)− 2z2Ωm 18π2.2

SMBH 合体からの重力波放射

第 2.1 節で構築したモデルで生じる SMBH 連星合(3)だけずれた時刻に生じると仮定する. ここで, P =ML /MH は合体する 2 つのハローの質量比であり,∆vir = 18π 2 + 82(Ωzm − 1) − 39(Ωzm − 1)2 及び Ωzm =Ωm (1 + z)3 /[Ωm (1 + z)3 + ΩΛ ] である. このときSMBH 合体としては, 軽い質量を持つハローにホストされている中心 SMBH が衛星 SMBH として, 質体から放射される重力波を考える. 本研究では Enoki

et al. (2004) に従い, 確率的重力波背景放射 (SGWB)と重力波バースト (GW Burst) の 2 種類の重力波を考えて計算を行い, それぞれ PTA と LISA による重力波観測可能性を議論する.

SMBH 連星がインスパイラルフェーズにおいて放射する重力波の全方向からの重ね合わせは, SGWB
1 もしこの合体の前に質量の軽いハローにホストされている
SMBH 間で合体が起こるなら, その合体を先に考慮する.

78

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校として PTA で観測される. そのシグナルの大きさはと計算される. ここで, d(z) は赤方偏移 z までの共動

characteristic strain hc で見積もられる. 簡単のため 距離である.
に円軌道を仮定すると, SMBH 連星からの SGWB の
大きさは以下の式によって計算される.
∫
5
4G 3 − 4 ∞dz
3h2c (f ) =f1
1
3c2 π 3
(1
+
z) 3
0
(4)
∫
5
d 3 nc3× dM1 dM2 Mc
θ(fISCO − f )dzdM1 dM2

3

Results
このモデルでの計算結果は z = 6 での MBH -Mhalo

関係を決めるパラメータ n, Mlim によって特徴付けられる. 質量関係のべき乗 n は SMBH の成長, SMBH

ここで, d3 nc /dzdM1 dM2 は赤方偏移 z ∼ z + dz にを持つハローの最低質量 Mlim は SMBH の形成に関おける質量 M1 ∼ M1 + dM1 , M2 ∼ M2 + dM2 の連するパラメータである. これらのパラメータに関SMBH 連星の共動体積あたりの合体数で, 2.1 節のモ して重力波検出可能性が与える制限を議論する.
デルから計算される. θ(fISCO −f ) はステップ関数で,インスパイラルフェーズが最内安定円軌道 (ISCO) の

3.1

周波数に達するまで継続することを反映している. 式

確率的重力波背景放射 (SGWB)(4) より, SMBH 由来の SGWB は以下のようにべき乗スペクトルで表現される.
(
)−2/3
f
hc (f ) = A
1 yr−1(5)

PTA の観測では, この f = 1yr−1 = 31.7nHz でのhc の大きさ A に対して上限もしくは推定がなされている. 過去の最も厳しい A の上限は PPTA (2015)の A < 1.0 × 10−15 であり, 最新の A の推定値は−15
NANOGrav (2023) から A = 2.4+0.7と与−0.6 × 10

えられている.
一方, SMBH 連星がマージャー・リングダウンフェー
ズにおいて放射する重力波バーストは, 個々のイベン
図 2: f = 1yr−1 での SGWB の大きさ A の n-Mlim

トとして LISA で観測される. この段階では四重極公式による重力波の計算が適用できないので, 本研究

平面での等高線プロット. 各破線（緑・赤）はそれぞ

では IMR PhenomD という現象論的なモデルを用いれ PPTA (2015), NANOGrav (2023) の観測から得てバーストのフーリエ成分を計算する. このバースられた上限を表す.

トが LISA での検出可能性を表す指標として, Signal-

to-Noise Ratio (SNR) ρ を用いる.
4 2)( ∫ fmax =1Hz
5 A (f )df
ρ2 = Re 4
fmin =10−5 Hz SSciRD (f )n と Mlim を変化させた時の f = 1yr−1 での SGWBの大きさの理論的予測と PTA の観測からの制限の比(6)

ここで, A(f ) はバーストの大きさで, SSciRD (f ) は

較を図 2 に示した. PTA 帯では 0 ≤ z ≤ 1 および107 M⊙ ≤ Mtot 程度の総質量 Mtot = M1 + M2 を持った SMBH 連星が SGWB の大きさに主要な寄与

LISA の感度曲線である. 本研究では, 重力波検出のを与える. z = 6 での質量関係 (2) のべき乗 n を大SNR の閾値 ρth を ρth = 5 に取り, これより大きい

きくすると SMBH の質量が小さくなる. そのため

SNR を持つシグナルを検出可能と仮定する. この仮

0 ≤ z ≤ 1 で 107 M⊙ ≤ Mtot となる SMBH 連星の定のもとで, 赤方偏移 z ∼ z + dz からの LISA によるバーストの年間検出数は,dNmgr
dz = 4πd2 (z)cdz
dz∫
d 3 nc× dM1 dM2
θ(ρ − ρth )dzdM1 dM2

数が減り, PTA の周波数帯における SGWB の大きさは小さくなる. 一方で, Mlim を変化させて増える

SMBH 連星は Mtot ≤ 107 M⊙ であり, PTA 帯で主(7)要な寄与を与えないため, SGWB の Mlim に関する依存性は強くないことが確認できる.

79

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
これに加えて, このモデルはガス降着を含んでない

メータ領域を制限することができる（図 3 の場合, 黒ため, 保守的な結果を与えることに注意する. そのたの斜線部分）. すなわち, n と Mlim に対して制限をめ, PTA からの制限を上回るような SGWB を与え与えることができる.

る n を除外することができる. PPTA (2015) による上限を採用すると, n ≥ 1.2 に制限することができる.

4

一方で, 最新の NANOGrav (2023) による結果からは n ≥ 1.0 が得られる.

Conclusion
本研究ではハローと SMBH の共進化モデルを構築

し, SMBH の合体に付随する重力波の検出可能性か

3.2

ら, 高赤方偏移 z = 6 での MBH -Mhalo 関係に対して

重力波バースト検出数

制限を与える可能性を議論した. 本研究ではこの質量関係として単純なべき乗関係 (2) を仮定し, それはn と SMBH を持つハローの最低質量 Mlim によって特徴付けられる.
本モデルでは SMBH の合体のみによる質量成長を考えているため, 保守的な結果を与える. 結果として, PTA の観測から z = 6 での質量関係のべき乗 nを制限することができることがわかった. また, 合体間のガス降着による質量成長を新たに考慮すれば,
将来 PTA 観測からこの n を特定することができると考えられる. 一方で, LISA による将来観測からは,各々の n に対する Mlim の下限が与えられることが
図 3: LISA による z ≤ 3 からのバースト重力波の年

わかった.

間検出数 Nmgr (z ≤ 3) の n-Mlim 平面における等高結論として, 重力波観測は, 高赤方偏移のクェー

線プロット. 赤太線は LISA による将来検出で年間サーによる観測では推定できない暗い領域の SMBH

36 回検出した場合, 禁制される領域の境界線を表す.

に対して制約を課すことができる. この制約を通じて, z ≥ 6 での SMBH の形成過程, および z ≤ 6 でのn と Mlim を変化させた時の LISA による重力波

SMBH の成長過程に対して新たな示唆を与えうる.

バーストの年間検出数の変化を図 3 に示した. このモデルは 0 ≤ z ≤ 6 の範囲で計算を行っているため,

Acknowledgementz ≥ 6 からのシグナルを取り除くため, z ≤ 3 からのシグナルのみを考慮している. LISA の周波数帯では,ご指導していただいた崇城大学・田代寛之准教授,

104 M⊙ ≤ Mtot ≤ 108 M⊙ の SMBH 連星合体が主要

名古屋大学・横山修一郎助教, 同・市來淨與准教授にな寄与を与える. また, ΛCDM モデルでは, 質量の小さいハローの数がより多数を占めている. したがって, Mlim を小さくすると SMBH 合体の数が増えるた
め, 総検出数が増加する. 一方で n を小さくすると,

心より感謝申し上げます. また, 夏の学校参加に際して, 面倒を見ていただいた先輩方・同期の皆様にも感謝申し上げます.

SMBH の質量が増加し, 質量の小さいハローに入っていた SMBH からの重力波が LISA で検出されるよ
うになるため, 総検出数は増加する.

Reference
N.J. McConnell & C.P. Ma, ApJ, 764, 184, 2013.

もしガス降着を考慮すると, n を変化させた時と同様に SMBH の質量が増加することで, バーストのK. Shimasaku, & T. Izumi, ApJL, 872, L29, 2019.

年間検出数は増加すると考えられる. したがって,

L. Ferrarese, ApJ, 578, 1, 90, 2002.

将来的に LISA の検出数が得られた時（図 3 の場合,

M. Enoki et al., ApJ, 615, 1, 9, 2004.

Nmgr = 36）, それを上回る検出数を予言するパラ

K. Furusawa et al., arxiv:2306.16281, 2023.

80

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重宇 a18Lite BIRD、CMB-S4 の観測によるパラメータへの制
限可能性
三輪 拓真

81

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Lite BIRD,CMB-S4 の観測によるパラメータへの制限可能性
三輪 拓真 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表は [1] についてのレビューである。
インフレーション理論は標準ビッグバン理論が抱える初期条件の問題点を解決できる。また、インフレー
ションの存在は CMB の観測結果からも支持されている。宇宙はインフレーション後、再加熱期を経る。再加熱期は、インフレーションを引き起こすスカラー場のエネルギーから標準模型粒子を生成する過程である。
しかし、再加熱の機構については終了時の温度などに不定性がある。
本研究の目的は、Lite BIRD、CMB-S4 などの次世代 CMB 観測から、注目するモデルでの、再加熱終了
時の温度などの制限可能性を考えることである。本研究ではインフレーションが単一のスカラー場によって描けるスローロールインフレーションモデルの一つである、mutated hilltop inﬂation というモデルに着目する。まず、モデルパラメータと CMB 観測量の関係を調べた。そして、前述の次世代観測を想定した擬似データを作成し、マルコフ連鎖モンテカルロ法によってモデルパラメータを推定した。それによって、Lite

BIRD と CMB-S4 が再加熱温度などを制限できることが分かった。これによって、素粒子標準模型について新たな知見を得ることが期待できる。

1

ここで ν(φ) は有効ポテンシャル、Γ は φ に対する有Introduction

効減衰率、H ≡ ȧ/a はハッブルパラメータである。

インフレーション理論は現在の宇宙の等方性、均状態方程式 w> − 1/3 よりも大きくなるとインフレー

質性を説明する最も有力な説であり、さまざまなモ

ションは終わり宇宙は加速膨張を止める。ここではイデルが考えられている。しかし、現在の観測ではそンフレーションの終了 (再加熱の開始) をスローローの中から明確に一つを選び出すことはできない。

ルパラメータ本研究では Mutated hilltop inﬂation というスロー
ロールインフレーションモデルのうちの一つに着目

ϵ=

し、Lite BIRD、CMB-S4 などの次世代 CMB 観測か

2
Mpl
2



∂φ ν
ν

2
2
η = Mpl

,

∂φ2 ν
ν

(2)

ら、インフレーションや再加熱のパラメータについてを用いて、ϵ|φend = 1 で定義する。また、再加熱は状の情報が得られる可能性を探ることを目的としてい態方程式 w = 1/3 となり、宇宙が放射優勢となった

る。Lite BIRD とは 2020 年代後半の打ち上げを目指

時に終了する。この瞬間は近似的に Γ = H の瞬間とす人工衛星である。CMB-S4 は 2020 年代後半 2023

一致し、本研究では Γ = H を用いて再加熱の終了を年代初頭に観測開始を目指している地上観測実験で定義する。

ある。どちらも原始重力波によって CMB に残され再加熱期の平均状態方程式はた B モード偏光を測定することを目標としたものであり、スカラーテンソル比に対して σr ∼ 1.0 × 10−3w̄re =の感度が期待されている。

1
Nre

Z Nre
w(N )dN(3)0

Nre は再加熱期の長さを表す e-folds であり





4
k
1
40
Nre =
Nk + ln+ ln
2 general formalism3ω̄re − 1
a 0 T04
π 2 g∗!#

2π 2 Mpl
rAs
1
11gs∗
1
再加熱中のインフラトン φ は以下の運動方程式に
+ ln
− ln
√
3
43
2
2 νend従う。
(4)φ̈ + (3H + Γ)φ̇ + ∂φ ν(φ) = 0

(1)

82

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。[2]Mpl = 2.453 × 1018 GeV はプランク質量、 となる。また、ρend はインフレーションのモデルのAs はパワースペクトルの振幅、g∗ と gs∗ はそれぞれ パラメータによってプラズマのエネルギー密度とエントロピー密度に寄ρend ∼

与する有効自由度であり、本研究では g∗ = gs∗ = 102

4
νend
3

(12)

とする。

と決められる。νend はインフレーション終了時のポ

また、波数 k の摂動がホライゾンを越えてから、イ

テンシャルである。また、ρre は再加熱終了時の温度

ンフレーションの終わりまでの e-folds は Z φend
Hdφaend
Nk = ln
=
ak
φ̇
φk
Z φk
1
ν
≈ 2
dφ
Mpl φend∂φ νでも定義されており

π 2 g∗ 4
T ≡ ρre30 re(5)(11),(12),(13) より Tre の表式が得られ
3(1 + w̄re )Tre = exp −Nre4となる。a0 は現在のスケールファクター、T0 =2.725K は現在の CMB の温度である。ここで、波数 k の摂動がホライゾンを越える瞬間の H, φ, ϵ, η のれらを用いると、スペクトル指数とスカラーテンソ

Tre =

p

ル比はそれぞれ

r = 16ϵk(6)と表せる。また、スローロール近似より、フリード40νendg∗ π 2

1/4(14)

また、(11),(13) より Tre の表式がもう一つ得られそれぞれの値を示す、Hk , φk , ϵk , ηk を導入する。こns = 1 − 6ϵk + 2ηk

(13)


ΓMpl

90
π 2 g∗

1/4
(15)
Γ=H

ここで、Tre に対してはビッグバン核合成 (BBN) と銀河系媒質中の軽元素の存在量から下限が設けられており、マン方程式はν(φk )
2 rAs
Hk2 == π 2 Mpl
3Mpl
2

Tre >TBBN = 10MeV

(16)

(7)

と書き直せる。本研究で扱う観測量は {ns , As , r} で4結合定数の制限ある。(6) より

ϵk =

r
,
16

ηk =

ns − 1 + 3/8r
2

この章では Nre と g を式的に繋げることで Nre の(8)となり (2) と組み合わせることでs∂φ ν(φ)r=
2
ν(φ) φk
8Mpl∂φ2 ν(φ)
ν(φ)

3

φk

ns − 1 + 3/8r
=
2
2Mpl

情報から g の制約を得ることを目指す。

H2 =ρend −3Nre (1+w̄re )
2 e
3Mpl

(17)

また Γ = H で再加熱の終了を定義したので、(9)
Γ|Γ=H =

1  ρend  21 − 3 (1+w̄re )Nre
e 2
Mpl
3

(18)

と書ける。また素粒子崩壊による再加熱の場合 Γ は

再加熱温度の制限

Γ = g 2 mϕ /#Nre と w̄re を用いると再加熱終了時のエネルギー密度 ρre は(19)

g はインフラトンと他の場との結合定数、mϕ はインフラトン質量、# は定数である。しかし、一般的に

ρre = ρend exp (−3Nre (1 + w̄re ))(10)と書けるので、フリードマン方程式に代入してH2 =ρend −3Nre (1+w̄re )
2 e
3Mpl

はフィードバック効果によって Γ に対して、g 、mϕ以外に、非摂動論的粒子生成によってできる粒子への依存性がある。そのため Γ をこのような簡単な形(11)で書くことはできず、CMB データから g を決定することができない。このフィードバック効果はイン832023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
フラトンの自己相互作用が十分に小さい時に無視で

M はポテンシャルのエネルギースケール、α は無次きるため、まず、ν(φ) を φ = 0 周りでテイラー展開

元パラメータであるり、この α は再加熱が起きるイする。

ンフラトンの谷の幅を決定する。MHI のポテンシャ

ν(φ) = 
1 2 2 g ϕ 3 λϕ 4
mϕ φ + φ +φ + O φ52
3!
4!

ルは |φ| が大きくなるにつれ平坦になり、φ = 0 で最(20)小値を持つ (図) のような概形をしている。

ここで、gϕ に対して g̃ϕ = gϕ /mϕ の無次元定数を導入する。フィードバック効果を無視できる条件は


λϕ ≪ 8

mϕ
φend

g̃ϕ ≪

3 
1
mϕ 2 mϕ 2
λϕ ≪ 5.5
φendMpl
 1 (21)mϕ mϕ 2g̃ϕ ≪ 0.34
φend Mpl

2



,

1 mϕ
2 φend,インフレーションのポテンシャルが |φ| が十分に大きい領域でほとんど変化しない plateau-type inﬂation
ではこの条件をパラメーターを用いて|vj | ≪ 3π 2 rAs

(j−2)/2, |g| ≪ 3π 2 rAs

j/2

図 1: ポテンシャルの概形 [1](22)と推定できる。vj はインフラトンの自己相互作用を

ϵ|φend = 1 より

3 × 22/3 + 21/3 b2/3 + 2b1/3 α + 25/3 α2(26)
6αb1/3を表す。この条件は (19) を成り立たせるための条件√√
であり、この条件が満たされない範囲でも (13) から b = 3 6a + 36α + 4α3 、a = 4α4 + 22α2 − 1 であTre の制約を得られることには注意する必要がある。 る。また、(25) のポテンシャルを φ = 0 周りでテイ表し、指数の j は与えられた相互作用項の Φ の指数

また、(21) の条件から φend でインフラトンのポテン

φend = αMpl arccoshラー展開したものと (20) の係数比較から、

シャルは対称となり、場の振動は調和的になるので、再加熱の平均状態方程式は

mϕ =w̄re = 0(23)s
M = Mpl 4とする。よって、

Γ=y 2 mϕ8π(24)(24) を (18) に代入し y について解くことで、Nre の情報から、y についての制約を得ることができる。

Mutatedmodel

hilltopinﬂation

Mutated hilltop inﬂation model(MHI) のポテン
シャルは
ν(φ) = M

4

gϕ = 0,1
1−cosh (αφ/Mpl )λϕ = −

5M 4(αMpl )4(27)

また (7) よりとなる。今回は湯川結合を仮定し、g = y 、# = 8π

5

M2
,
αMpl


(25)

84

3π 2 rAs
2 [1 − 1/ cosh (φk /µ](28)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

6

Results(φk , α) を {r, ns } で表す二つの方程式 (9) の解析的な解は見つからない。ここでは、{r, ns } の観測的に許される範囲内かつ、(21) の条件を満たす α に対して一意的であることを数値的に探した。これによって、α を {r, ns } で数値的に表し、(28) より M を決定できる。また、(4),(5),(23) から Nre ,Nk を決定できる。決定された Nre から、(14) によって再加熱温
度 Tre を決定できる。最後に (17),(18) から湯川結合の結合定数 y を決定することができる。したがって原理的には、{ns , r, As } の測定から、ポテンシャル

図のエネルギースケール M 、再加熱が起きるインフラ
トンの谷の幅を決定する α、湯川結合の結合定数 y 、
再加熱期終了時の宇宙の温度 Tre を求めることがで3:ns − r 平 面 図 [1]

青色の円盤はPlanck+BICEP/Keck の 2018 年 の デ ー タ か ら
得 ら れ た も の で 、濃 い 青 色 が 1σ(68%) の 信 頼
領 域 、薄 い 青 色 が 2σ(95%) の 信 頼 領 域 を 示 す。

きる。(図 2) は様々な α でのそれぞれの ns 依存性を

LiteBIRD,CMB-S4 の信頼領域はモンテカルロ・マ
ルコフ連鎖（MCMC）エンジン MONTEPYTHON

示すグラフである。

を用いて得られたものである。
ラトンの谷の幅を決定する α、湯川結合の結合定数

y 、再加熱期終了時の宇宙の温度 Tre などの量の間の依存関係について調査した。{r, ns } の範囲によって様々なパラメータに制限を設けることができるということが分かった。

Acknowledgement
今回の発表の準備において、多くのアドバイスをしていただいた名古屋大学 C 研究室の皆様、並びに発表の場を用意していただいた夏の学校運営の皆様
図 2: ns 依存性 [1]α = 1, 5, 10, 50 での Nre ,Nk ,r,Treに感謝申し上げます。

の ns 依存性を示すグラフ

Reference

LiteBIRD、CMB-S4 で制限されるであろう {r, ns }の範囲は、(図 3) のように、現在の観測でわかっている範囲よりも小さくなる。これによって、さまざまなパラメータに対して、より良い制限が期待できる。

7

Conclusion
今回は CMB 観測データ {ns , As , r} とポテンシャ

ルのエネルギースケール M 、再加熱が起きるインフ

85[1] Marco Drewes, Lei Ming, & Isabel Oldengott 2023,
arXiv:2303.13503[2] Marco Drewes, Jin U Kang, & Ui Ri Mun 2017,
JHEP 11 (2017) 072

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重宇 a19銀河赤方偏移サーベイ BOSS のバイスペクトルを用いた複数場インフレーションモデルの制限
中野 新太朗86

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

銀河赤方偏移サーベイ BOSS のバイスペクトルを用いた複数場インフレーションモデルの制限
中野 新太朗 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
インフレーションが生む原始揺らぎの非 Gauss 性は、数多く存在するモデルを峻別する指針となる。これは、局所的原始
非 Gauss 性（LPNG）の検出は整合性関係より単一場モデルは直ちに棄却されるからである。Cabass らは BOSS の赤方
local
偏移空間における銀河クラスタリングのデータを用いて fNL
に対し制限をかけた (Cabass 2022)。解析において LPNG

由来の項も含む全ての 1-loop パワースペクトルを用い、fNL = −33 ± 28 (68%C.L.) という制限が得られた。さらにバイス
local
ペクトルも含めると −88 < fNL< 23 (95%C.L.) となった。含めないときと比べ約 20% 制限を強めることができたが、原始非 Gauss 性を検出したと言える証拠とはならなかった。

1

局所的原始非 Gauss 性2.1

原始揺らぎ ϕ から密度揺らぎ δ

星や銀河、大規模構造から私達の存在まで、現在の宇宙

原始揺らぎ ϕ(k) は遷移関数 T (k) を介して重力ポテンに見られる多様な構造は、インフレーション理論が予言す

シャルを生み出す：Φ(k) = −T (k)ϕ(k). ここで、質量密度

る原始揺らぎ ϕ に起因すると考えられている。インフレー

ρ(x, τ ) の平均 ρ̄(τ ) からの揺らぎをション理論は非常に多くのモデルが考案されており、何かδ(x, τ ) ≡モデルを峻別するための指針が必要である。宇宙マイクロ波背景放射などの観測結果から、この原始揺らぎは非常に(2)= δ (1) (x, τ ) + δ (2) (x, τ ) · · ·Gaussian に近いことが分かっている。しかし、それは厳密に成り立つわけではなく、僅かな非 Gauss 性があるとされている。Gaussian からのズレを表す局所的非 Gauss 性(3)と摂動展開すると、Poisson 方程式と Friedmann 方程式を用いれば次式を得る：（local primodial non-Gaussianity; LPNG）は次式の

δ (1) (k, τ ) = M(k, τ )ϕ(k)ように導入される：
local 2ϕ = ϕG + fNL(ϕG − ⟨ϕ2G ⟩) + O(ϕ3G )ρ(x, τ ) − ρ̄(τ )ρ̄(τ )M(k, τ ) ≡
(1)

(4)

2

2
k T (k)Dmd (τ )3Ωm0 H02(5)

ただし、Dmd (τ ) は物質優勢期の線形成長因子である。

ただし、ϕG は Gauss 分布に従う場である。インフレーショ
ンを一つの場が起こす単一場モデルは整合性関係から O(1)2.2

以上の揺らぎを作り出せない。一方で、インフレーション

密度揺らぎ δ から銀河数密度揺らぎ δgに関わる場が 2 つ以上ある複数場モデルには O(1) の揺ら

密度揺らぎと銀河数密度揺らぎの関係はどんなものであぎから O(103 ) 程度の揺らぎまで作れるものもある。すな

ろうか。密度が大きいところには銀河が沢山できそうであlocal
わち、観測によって O(1) 以上の fNLが見つかれば、直ちるが、その関係は自明ではない。銀河数密度 ng (x, τ ) の平に単一場モデルを棄却することができるのである。さらに、 均 n̄g (x, τ ) からの揺らぎをその得られた値によって数ある複数場モデルの中からより

δg (x, τ ) ≡相応しいものを選ぶことができる。

ng (x, τ ) − n̄g (τ )n̄g (τ )(6)と定義する. 一般に δg は δ や ϕ などの汎関数として表さ2

理論

れ、ここでは次のように展開する：11
δg = b1 δ + b2 δ 2 + bG2 G2 + bΓ3 Γ3 + R∗2 ∂ 2 δ
2
local
+ fNL
(bϕ ϕ + bϕδ ϕδ).

原始揺らぎの性質は長い宇宙の歴史を経て現在の銀河分
布に引き継がれているが、観測データからその情報を引き出すことは容易ではない。ここでは、原始揺らぎから観測から得られる統計量まで順を追って説明していく。

(7)

1 3 次までの項として他に δ 3 , δG , G が考えられるが、繰り込み後に
2
3
これらは 1-loop に寄与しないため今回は触れない。

872023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
ただし、Φg を重力ポテンシャル、Φv を速度ポテンシャルとして G2 = (∂i ∂j Φg )2 − (∂ 2 Φg )2 , Γ3 = G2 [Φg ] − G2 [Φv ] であ2る。
最後の 2 項が非 Gauss 性からの寄与である。展開係数b1 , b2 , bG2 , bΓ3 , bϕ , bϕ,δ は銀河バイアスと呼ばれる。ただし、
δ は Euler 座標 x で評価されているのに対し ϕ は Lagrange
座標 q = x − ψ で評価されているため、次式を用いて書き直す必要がある：

1
ϕ(q) = ϕ − ψ i ∂i ϕ + ψ k (∂k ψ i )∂i ϕ + ψ i ψ j ∂i ∂j ϕ.
2(8)

ダークマターハローの質量関数が普遍的であると仮定すると bϕ , bϕδ は共に b1 で表すことができると知られており、universality relation と呼ばれている。最新の銀河形成のシミュレーションの結果は

bϕ = 2δc (b1 − 0.55),(9)bϕδ = 3.85 − 9.49b1 + 3.44b21(10)

図 1: 特異速度が赤方偏移空間変形を引き起こす図。ドッである (Barreira 2022)。ここで、bc = 1.686 は球対称崩壊

トは高密度領域に落ち込む銀河を表し、矢印はそれらの特する臨界密度揺らぎである。今回解析においてこの関係式

異速度を表す。大スケールでは視線方向に潰れ、小スケー
ルでは逆に伸び「神の指」と呼ばれる (Hamilton 1997)

3

を用いた。

2.3

統計量

2.4

実空間 x から赤方偏移空間 s銀河の散らばり具合を表す統計量である赤方偏移空間パ

3 次元的な銀河分布を調べるためには、角度方向と距離を

ワースペクトルを定義する：

調べる必要がある。距離は、宇宙が膨張していることを利用し、観測した銀河からの光の赤方偏移 z から逆算して求3⟨δg(s) (k1 )δg(s) (k1 )⟩ ≡ (2π)3 δD(k1 + k2 )Pg(s) (k)(12)

め、このようにして求めた座標空間 s を、実空間 x と区別
原始非 Gauss 性が存在する場合、次のように分解できる：

して赤方偏移空間と呼ぶ。ところが、これらは基本的に一致しない。なぜなら、z には、それのぞれ銀河が持つ特異速

P = Ptree + P1-loop + Pctr + Pstoch度に起因する Doppler 効果も含まれているからである。言(13)

い換えれば、z から位置を逆算すると、視線方向 ẑ に対し実Ptree は線形項、P1-loop は 1-loop 補正項、Pctr はカウンター

際の位置より近く、あるいは遠くに見積もってしまうので

ターム、Pstoch は確率項を表す。Ptree と P1-loop の具体形はある。これは見かけの銀河分布を歪ませることになり、こ

本稿の最後に示した。カウンタータームは次式で与えられの効果は赤方偏移空間変形 (redshift-space distortion;

る：45

RSD) と呼ばれている。この効果を考慮に入れるため、次(s)Pctr (z, k, µ) = − 2c̃0 (z)k 2 Plin (z, k) − 2c̃2 (z)f (z)µ2 k 2 Plin (z, k)

式のように δg を実空間から赤方偏移空間に変換する：

δg(s) = δg − ∂z (uz (1 + δg ))1
1+ ∂z2 (u2z (1 + δg )) − ∂z3 (u3z ).
2
6− 2c̃4 (z)f 2 (z)µ4 k 2 Plin (z, k)+ c̃∇4z δ (z)f 4 (z)µ4 k 4 (b1 (z) + f (z)µ2 )2 Plin (z, k)
(11)

(14)

ここで、uz = ẑ · v/(aH) である。小スケールにおける RSDは非常に複雑で「神の指 (Finger of God; FoG)」として知られ、理論的に解析できる波数に上限が生じる。

4 c̃ , 2c̃ , 2c̃ , c̃02
4 ∇4 δ は実空間における有効音速とも呼ばれるパラメーz

2 Φ と Φ は線形摂動の範囲では同じだが、それより高次の摂動論で
g
v
は異なる。
3 この関係式を仮定せず、b , b をパラメータに含めたフィッティング
ϕ ϕδ
も行えるが、それによる影響は小さい。

タ c2s (z) に起因し、この振幅や時間依存性は前もって知らないため、解析
では局外パラメータとして扱う (Chudaykin 2020)。
5 FoG は非線形な RSD マッピングにおいて高階微分の項から生じる
ため、最後の項はそれを上手く説明するためのものである (Chudaykin2020)。

882023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
local
今回は無限に広い平坦な事前分布の fNLと局外パラメー

ただし、f は対数成長因子、µ = k̂ · ẑ である。確率項はス

タ（b1 , b2 , bG2 , bΓ3 , c2s , R∗2 = c0 , c2 , c4 , c̃∇4z δ , Pshot ）に関して、ケールに依存しないショットノイズとして扱う：6

CLASS PT(Chudaykin 2020) と MONTEPYTHON を用い(s)

Pstoch (z, k, µ) = Pshot (z).

(15)

て Markov 連鎖 Monte Carlo 法（MCMC）によりフィッティングを行った。7

ここで、後の解析のために多重極展開する：

Pg(s) (z, k, µ) =∑L(µ)Pl (z, k).

(16)

3.2

l=0,2,4

結果

ただし、L(µ) は Legendre 多項式である。さらに、パワースペクトルの視線方向垂直成分を定義する：

Q0 (z, k) ≡ Pg(s) (z, k, µ)|µ=0 .

(17)

これは、視線方向の情報を捨てているため RSD の影響を受
けず、つまり FoG の効果も受けない。従って、Q0 を用いることで解析可能な波数の領域を小スケールの方に少し伸ばすことができる。ただし、これらの解析は全て摂動論に基づいているため、依然として適用限界があることに注意されたい。
同様に、次の赤方偏移空間バイスペクトルを定義する：⟨δg(s) (k1 )δg(s) (k1 )δg(s) (k1 )⟩3≡ (2π)3 δD(k1 + k2 + k3 )Bg(s) (k1 , k2 , k3 )(18)
図 2: 局所的非 Gauss 性に対する、BOSS のパワースペク

ここで、確率項からの寄与は sqeezed limit で十分小さくなるため、今回は無視する。

トルからの制限（青）とバイスペクトルを加えた場合の制
local= 9+33限（赤）。それぞれ fNL
−35 , −33 ± 28 (68%C.L.) であり、バイスペクトルにより制限が 20% 強まった。この研究

3

観測データの解析

3.1

方法の主となる結果である。(Cabass 2022)

本研究では Baryon Oscillation Spectroscopic Survey(BOSS) の DR12 から、南・北半球それぞれに対し赤方偏移の有効中心が z = 0.38, 0.61 の、計 4 つの独立した銀河クラスタリングデータ（NGC high-z, SGC high-z,

NGC low-z, SGC low-z）を用いた。各データから統計量
Pl (l = 0, 2, 4), Q0 , B0 に加え、BAO パラメータ α∥ , α⊥ を抽出した。波数 k の範囲は、統計的に大きく独立になるよ
うに Pl に対しては ki ∈ [0, 01h Mpc−1 , 0.25h Mpc−1 ], Q0に対しては ki ∈ [0, 25h Mpc−1 , 0.27h Mpc−1 ] とした。また
local
今は fNLの制限にのみ興味があるため、宇宙論パラメー

タは全て Planck 2018 に固定した。これは、CMB のパワースペクトルと BOSS のパワースペクトルとバイスペクトルlocal
図 3: 銀河パワースペクトルモノポール P0 の fNLの変化を組み合わせることに対応する。

に対する残差。灰色の領域は NGC z3 データのエラーバー

6 実際には a (z)k 2 + a (z)µ2 k 2 という、モノポールとクアドロポー
02
ルに寄与するスケール依存のショットノイズも考えられる。しかし、前者は k ≲ 0.3hMpc−1 でその寄与は無視でき、後者はカウンタータームの最後の項と縮退するため、今回は無視した (Chudaykin 2020)。

を示す。

89

7c

f2
6f
f
0 ≡ c̃0 + 3 c̃2 + 5 c̃4 , c2 ≡ c̃2 + 7 c̃4 , c4 ≡ c̃4

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
local
まず本研究の主となる結果である fNL
に対する制限につ

これらは共に NGC z3 データのエラーバーを超えており、

いて述べる (図 2)。パワースペクトル+BAO による結果はデータ解析においては 1-loop LPNG 補正は考慮すべきであると言える。

Pl + Q0 + BAO :
local
fNL
= 9+33−35 ,local− 57 < fNL< 78,(68%C.L.),

(19)

4

(95%C.L.).

であり、ここにバイスペクトルを加えるとエラーバーは約

本研究では、BOSS の銀河クラスタリングのデータを用

20% 小さくなり次のようになった：

local
いて fNL= 0 に対する制限を行った。解析においては、

関連する全ての理論的・観測的効果を考慮し、LPNG 由来

Pl + Q0 + BAO + B0 :
local
fNL
= −33 ± 28,
local− 88 < fNL
< 23,

まとめ

(68%C.L.),の項も全て含めた完全な 1-loop パワースペクトル、そしてバイスペクトルを用いた。バイスペクトルを加えた場合の(20)(95%C.L.).

local
fNL
に対する制限は、パワースペクトルによる解析に比べ20% 改善された。

local
95% の制限は fNL= 0 と整合的であり、これは本研究の結果が LPNG の存在を示す証拠とはならなったことを意味

今後の改善点としては、パラメータの事前分布依存性やlocalする。また、バイスペクトルを追加すると fNLの事後分布

B2 , B4 の考慮、そして解析に用いる波数の範囲の拡大などが挙げられる。

の平均値がおよそ 1σ 程度移動した。この振る舞いは、複数次元の尤度を計算する際に見られる挙動で特別な意味はな
いと考えられる (Cabass (2022) の APPENDIX C 参照 )。

Reference

次に NGC z3 のデータを用いて、ベストフィットモデル
localにおける P0 の fNL
依存性を調べた表 3。具体的には、初G. Cabass et al. 2022, Physical Review D, Volume 106, Issue 4

local
local
めに fNL= 0 としたときの値を計算したのち、fNL
を−100 から +100 まで変化させ残差を計算した。図 3 より、特に大スケール（small k ）と小スケール（large k ）で大きA. Barreira, 2022, Journal of Cosmology and Astroparticle
Physics

く変化していることが分かる。前者は線形スケール依存バ

A. J. S. Hamilton, 1997,

イアスの影響で、後者は 1-loop LPNG 補正の効果である。 A. Chudaykin, 2020, Physical Review D, Volume 102, Issue 6
V. Desjacques, 2018, Physics Reports

Appendix：Ptree , P1-loop の具体形
Ptree , P1-loop の具体的な表式は以下のようになる：
[
]2
(
)
3
Ptree = Z1 (k) + Z1NG (k) Plin (z, k),⟨δ (1) (k1 )δ (1) (k1 )⟩ = (2π)3 δD(k1 + k2 )Plin (k) ,∫ []P1-loop = 2
Z22 (p, k − p) + 2Z2 (p, k − p)Z2NG (p, k − p) Plin (z, k)Plin (z, k − p)
p
∫ [
[
]
]
+ 3 Z1 (k) + Z1NG (k) Plin (z, k)
Z3 (k, −p, p) + Z3NG (k, −p, p) Plin (z, p)
p
]
[
]∫ [
NG
Z2 (p, k − p) + Z2NG (p, k − p) B111 (k, p, |k − p|)+ 2 Z1 (k) + Z1 (k)

(21)

(22)

p

∫
∫ d3 p 3
ここで、 p = (2π)
3 δD (k − p) である。積分核は
Z1 (k) = b1 + f µ2 ,local
Z1NG (k) = bϕ fNL,

σ 2 (k1 , k2 ) ≡(k1 · k2 )2− 1,
k12 k22

(23)
[

]

1
f µk12 µ1µ2
b2 + bG2 σ 2 (k1 , k2 ) + b1 F2 (k1 , k2 ) + f µ2 G2 (k1 , k2 ) +(b1 + f µ22 ) +(b1 + f µ21 ) ,
(24)
2
2
k1
k2
[
(
)
(
)
(
)]
p1 · p2 p2
1
p1
1
1
µ2
1
1
1
f µk µ11
local
Z2NG (p1 , p2 ) = fNL
bϕ
+
+
+
+ bϕ
+ bϕδ
2p1 p2 p1 M(p2 )p2 M(p1 )2
p1 M(p2 )p2 M(p1 )2
M(p1 )
M(p2 )(25)
Z2 (k1 , k2 ) =ただし、積分核 F2 , G2 に関しては Desjacques (2018) 参照。また Z3 , Z3NG については上式の 3 倍ほど長いためここでは省略する。

90

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重宇 a20Multidimensional Vlasov-Poisson Simulations with
High-order Monotonicity- and Positivity-preserving
Schemes の紹介
伊藤 圭汰

91

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Multidimensional Vlasov–Poisson Simulations with High-order
Monotonicity- and Positivity-preserving Schemes の紹介伊藤圭汰 (筑波大学大学院 数理物質科学研究科)

Abstract
本発表は、自己重力系や宇宙プラズマの運動論的数値シミュレーションにおける Vlasov 方程式の新しい
数値シミュレーション手法を提案したものである。この手法は有限体積法における数値解の空間的な単調性(Monotonicity) と正値性 (Positivity) を同時に保証する空間 5 次及び 7 次精度の手法である。また時間積分において、従来の多段 TVD Runge-Kutta 法に替えて、semi-Lagrangian 時間積分を採用しており、より精度が高く、同時に計算コストも低い手法となっている。具体的には、数値シミュレーション手法のテストとして、無衝突自己重力系の重力コラプス問題や静電プラズマにおける空間 1 次元の線形ランダウ減衰、非線形
ランダウ減衰を空間 5 次および 7 次精度のスキームを用いて計算した。その結果、どのテストにおいても、従来の同種の数値シミュレーションで用いられてきた空間 3 次精度の PFC(Positive Flux Conservation) ス
キームに比べて著しく精度が向上している。また semi-Lagrangian 時間積分を採用したことのメリットとして、従来の TVD Runge-Kutta 法による空間高次精度のスキームと比較しても大幅に計算コストを削減でき
ている。

1

3

Introduction

Results

無衝突自己重力系の数値シミュレーションは銀河

１次元重力不安定性のテスト計算では SL-MPP5や宇宙大規模構造の研究において不可欠なものであや SL-MPP7 が空間３次精度の PFC スキームに比る。無重力自己重力系の数値シミュレーションではべ、数値拡散が抑えられ、同じメッシュ数において

N 体シミュレーションが広く採用されている。しか高精度な結果が得られた。また正値性の保存も確認

し N 体シミュレーションでは質量の分布を有限な数できた。６次元位相空間での密度球の球状崩壊ではの質点で離散化するため、ショットノイズが混入してSL-MPP5 や SL-MPP7 の計算コストが RK-MPP5

しまう。また N 体シミュレーションは粒子の速度空よりも小さく、空間３次精度の PFC スキームと同程間でのサンプリングが不十分であるため、流体の無度となっている。

衝突減衰をうまく扱うことができない。これらの欠点を克服する手法として Vlasov 方程式を直接解く方

4法がある。しかしこの手法を 6 次元位相空間で用いると膨大なメモリが必要となり、高精度な結果を得るためにメッシュ数を増やすことは現実的ではない。
この論文ではメッシュ数を増加させることなく高精度な結果を得るための移流方程式を解く手法について紹介を行っている。

Conclusion
従来の同種の数値シミュレーションで用いられてきた空間 3 次精度の PFC(Positive Flux Conservation)
スキームに比べて著しく精度が向上している。また

semi-Lagrangian 時間積分を採用したことのメリットとして、従来の TVD Runge-Kutta 法による空間高次精度のスキームと比較しても大幅に計算コスト2

Methodsを削減できている。

テスト計算では１次元重力不安定性と６次元位相空間での密度球の球状崩壊をシミュレートしている。 Reference922023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
Satoshi Tanaka, ApJ, 849:76, 201793

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重宇 a21velocity-dependent Self-Interacting Dark Matter による宇宙論諸問題の解決
木原 健司

94

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

velocity-dependent Self-Interacting Dark Matterによる宇宙論諸問題の解決
木原 健司 (大阪大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在主流である Cold Dark Matter(CDM) によるシミュレーションは、1 Mpc 以上のスケールにおいて観測結果をよく説明しているが、これより小さなスケールでは観測との不一致も見つかっている。その一つである「core-cusp 問題」を解決するために提案されたのが、Self-Interacting Dark Matter(SIDM) である。
σ
SIDM 粒子は m≈ 1 cm2 /g という断面積で散乱することで、中心密度を一定にすることができる。ところが近年、中心密度が非常に大きい矮小銀河も観測されている。今回、SIDM のハローの性質である、gravothermal

catastrophe (GC) (Balberg, et al 2002) と呼ばれる重力崩壊現象に着目し、SIDM の範疇で中心密度の高さを説明した論文 (Turner, Hannah C, et al 2021) を Review1 にてレビューする。この論文の結果による
σと、低速度で m≈ 100 cm2 /g となるモデルは、重力崩壊をすることが分かった。また、この現象を利用す

れば、超大質量ブラックホール (SMBH) の種を作ることが可能である。Review2 では、既に見つかっている、high-z における SMBH の種の発生についての論文 (Feng, Wei-Xiang, et al 2021) をレビューする。この論文の結果によると、バリオンの分布を考慮すると、GC は初期宇宙で開始し、観測された SMBH の生成が間に合うことが分かった。

1できるバリオン量も少なく、暗くなった銀河に見らIntroduction

れる特徴で、観測技術の向上とともに見つかってき
現在、ダークマター（以下 DM）は宇宙全体のエネ
ルギーの約 3 割を占めていると考えられている。宇
宙論的シミュレーションにおいて仮定される DM はている。ここで私は、SIDM が gravothermal catas-

trophe(Balberg, et al 2002) と呼ばれる重力崩壊を起こすことに着目した。中心密度の高さは、この重CDM であり、これは重力相互作用以外に力は働か

力崩壊現象が原因であると考えた。この重力崩壊現ない。この CDM によるシミュレーションは、1 Mpc

象のタイムスケールは、tcoll ≈ 130m (ρvσ)

以上のスケールにおいて観測結果をよく説明してい−1である。ここで、ρ は密度、 v は中心の速度分散である。

る。ところが、これより小さなスケールでは観測と矮小銀河のパラメータを用いた計算の結果、DM ハの不一致も見つかっている。

ロー形成にこの時間を足し上げた値は、DM ハロー

不一致の一つに、「core-cusp 問題」というものがの年齢よりも長く、重力崩壊は実現し得ないことがある。これは、シミュレーションにおける CDM のハ分かった。

ローの中心密度のスロープが、観測で求められるよ以上の内容では、SIDM の断面積は定数で考えらりも急峻になってしまう問題である。これを解決すれてきた。湯川ポテンシャルで記述される力が働くるために提案されたのが、SIDM である。SIDM 粒σ
子は m≈ 1 cm2 /g という断面積で散乱する。これにより、エネルギーの輸送が可能になり、銀河中心に束縛されている運動エネルギーの小さな粒子も次第にとき、散乱断面積は速度の減少関数になるはずである。近年、速度依存性をもつモデル (vdSIDM) がシ
ミュレーションに導入されたり、論じられたりしている (Turner, Hannah C, et al 2021)。vdSIDM モデ

エネルギーを獲得し、中心付近の DM 密度は、CDM

ルは、DM ハローの密度分布の多様性 (Review1) をのカウンターパートよりも小さくなる。

説明できる可能性がある。また、近年 z ≈ 7 におい

ところが近年、中心密度が非常に大きい銀河も観測されている。これは、DM の量が少ないため、束縛て、109 M⊙ の SMBH の存在が示唆されており、これは通常の降着では達成不可能な降着率を要求する。

95

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
SIDM の GC の観点から、超大質量ブラックホールの形成 (Review2) を説明できる可能性がある (Feng,

Wei-Xiang, et al 2021) ため、本発表ではそのレビューを行う。

2

Gravothermal Catastrophe
以下では、(Colin et al 2002) による SIDM ハローの時間発展について説明する。SIDM 粒子は、散乱を起こすこと以外は CDM と同一である。つまり、散乱が効いてくるハローの密度分布の初期条件としてはCDM と同一であることが望ましい。彼らはハローの初期条件として、密度分布を NFW プロファイル(式 1) とし、自己相互作用を入れた。
ρNFW (r) =
r
rs

(

ρs
1 + rrs)2(1)

ここで、rs と ρs はそれぞれスケール半径、スケール密度とよばれる。図 1 は、そのときのハローの進化の様子である。(a) は初期条件である。速度分散（温度）はある半径 Rt で極大を持っており、これより内側では比熱が正、外側では比熱が負になっている。内側の領域は Rt の領域から熱をもらい、温度が上昇していく。これにより、中心領域は等温となり、密度分布は平ら (コア) になる。このとき、Rt が広がっているため、core expansion phase と呼ばれる。(b)
態を示している。このとき、内側から熱が流れるが、外側の比熱が正であるため、平衡状態とはならない。
内側は熱を吐き出すために収縮し、特異点へと向かう。この現象を、gravothermal catastrophe (GC) とよぶ。

からの DM ハローの進化。縦軸はそれぞれ速度分散、
横軸は中心からの距離の対数を示す。各段階の右下にある図は密度プロファイルの概形。
に対して行った。DM 粒子の質量は 4.9 × 104 M⊙ 、

Plummer equivalent gravitational softening lengths
は 120.5 pc であった。ハローは、friends-of-friends

は、コアが形成されたあと、温度分布が逆転した状

外側の領域は熱をもらいながら温度を下げ、一方で

図 1: (Colin et al 2002) 自己相互作用を入れたとき

algorithm を用いて同定し、SUBFIND(Springel V.,
et al 2001) によって重力的に自己束縛されたサブハローに分解した。観測との照合のため、ホストハローの 300 kpc 以内にある、20 以上の束縛された粒子を持つサブハローを解析した。ホストハローの質量は、M200 = 1.88 × 1012 M⊙ である。

3.1.2

3

Review1

3.1

Methods

3.1.1

シミュレーション設定

SIDM のパラメータ設定

こ こ で は 、CDM、散 乱 断 面 積 が 1 cm2 g−1(SIDM1) と 10 cm2 g−1 (SIDM10) の速度依存性のない SIDM、3 種類の vdSIDM(図 2 参照) について
上記のシミュレーションを行った。自己相互作用が(Turner, Hannah C, et al 2021) では、DM のみの 湯川ポテンシャルによる引力であり、散乱が弾性でシミュレーションを、Aquarius Project(Springel V., あると仮定すると、散乱断面積は相対速度の減少関et al 2008) における、天の川銀河と質量が近い Aq-A

数になる。今回は、そのうち vd100 モデルの結果に962023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
注目する。

図 3: CDM(黒) と vd100(赤) の回転曲線の比較。縦の点線は、重力ソフトニング長の 2.8 倍を示している。
いた。進化を記述する方程式は、以下の 4 式である:
図 2: 各 SIDM モデルの散乱断面積の速度依存性。

3.2

∂Mχ
= 4πr2 ρχ∂r)(∂ ρχ νχ2
G(Mχ + Mb )ρχ
=−
∂r
r2
νχ3
∂Lχ
= −4πρχ r2 νχ2 Dt ln
∂r
ρχ
( 2)
∂ mνχ
Lχ
= −κ
2
4πr
kB ∂r

Results and discussion

彼らの研究結果の特筆すべきところは、図 3 の回転
曲線のモデルによる傾向の違いである。vd100 では、

CDM よりも、最大の回転速度が 10 km s−1 以上のサ
ブハローの個数が顕著に多くなった。また、最大速度になる半径 rmax は、CDM やその他の SIDM のモデルと比べると、vd100 モデルでは小さかった。こうし

(2)
(3)
(4)
(5)

ここで、Mχ 、ρχ 、νχ 、Lχ はそれぞれ DM の質量、密度、1 次元の速度分散、光度であり、全て時間発展する。一方、Mb はホスト銀河のバリオンの質量プロたハローは、z = 1 のときは CDM と似た Vmax −rmax

ファイルであり、ここでは時間発展しない値としての関係を持っていたが、z = 0 のときには、Vmax をいる。kB はボルツマン定数、G は万有引力定数、κ

保持したまま rmax が重力ソフトニング程度までに小は DM 流体の熱伝導率をそれぞれ表す。

さくなっており、これは GC が起こった結果である

ρχ の初期条件は NFW プロファイル (式 1) とし、と考えられる。

境界条件は、r = 0 において M χ = 0、r200 において Mχ = M200 、Lχ とした。バリオンの質量分布は、

4

Review2

4.1

Methods

宇宙論的流体シミュレーションに基づき、z ≈ 17 における値、Mb (r) ≈ 0.1(4πρs rs3 )(r/rs )0.6 を用いた。

(Feng, Wei-Xiang, et al 2021) では、(Balberg, et

4.2

al 2002) の SIDM ハローの流体モデルを使用している。彼らは、バリオンの効果を見るために、時間変化
しない一定の質量分布をバリオンとして、重力の方程式に加えて SIDM ハローの時間進化を数値的に解Results and discussion

図 4 は、中心から蓄積された質量と、その地点での密度をプロットしている。なお、質量は M0 = 4πρs rs3
で規格化されている。異なる曲線は異なる時間での値を表し、t0 = (4πGρs )−1/2

で規格化されている。

崩壊のタイムスケール tc は、バリオンがある場合

97

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
tc ≈ 8.4 t0 となり、SIDM のみの場合 tc ≈ 103 t0 であった。よって、彼らの用いた分布を持つバリオンの存在が、崩壊を 100 倍のオーダーで速くすることが分かった。また、t > 8.4 t0 において、中心密度が上がっていくとき、中心の質量は Min ≈ 1.8 × 10−3 M0
で一定であった。

図 5: 黒い線は、SMBH の Eddington 降着ヒスト
リー。赤い線の high-z の端は最初のハロー質量、low-z の端は種質量を表す。

図 4: バリオンがある場合の SIDM ハローの時間進化。横軸はハローの中心から蓄積された質量、縦軸に基づいて説明した論文を紹介した。しかし、SIDMの断面積は素粒子論的パラメータによって決まるた
め、DM の対消滅によるγ線など、そのほかの方法での制限も可能である。今後様々な視点から SIDMのパラメータを制限するのが課題である。

はそれに対応する地点の密度を表している、異なる曲線は異なる時間を示している。挿入されている図は、中心部の平均密度の時間発展を、バリオンの有無で比較したもの。
また、彼らは SMBH の種質量を Mseed = Min と考え、二種類の Eddington ratiofEdd を仮定した、 Reference

SMBH の起源を説明する SIDM の基準を計算した。 Balberg, et al., 2002, ApJ, 568, 475
図 5 の上と下のパネルの黒い線は、それぞれ fEdd =Turner, Hannah C, et al., 2021, MNRAS, 505, 5327

0.16, 1.06 を仮定した、別々の SMBH の Eddington
降着ヒストリーを示している。また、赤い線は、ハFeng, Wei-Xiang, et al., 2021, ApJL, 914, id.L26, 9 pp.

ローと種の質量を繋いでいる。この結果から、最初

Colin et al., 2002, ApJ, 581, 777のハロー質量は、密度揺らぎ大きい領域でのみ再現

Springel V., et al., 2008, MNRAS, 391, 1685

されることが分かった。著者は、このことは high-z
での SMBH が珍しい理由を説明していると主張してWise, J. H., et al., 2008, ApJ, 682, 745

いる。

5

Springel V., et al., 2001, MNRAS, 328, 726

まとめ

以上のように、矮小銀河の密度プロファイルの多様性と、high-z における SMBH の存在を SIDM モデル

98

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重宇 a22コンパクト連星からの重力波による宇宙論パラメータ
の推定
大西 翔太

99

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

コンパクト連星からの重力波による宇宙論パラメータの推定大西翔太 (大阪公立大学大学院 理学研究科 M1)

Abstract
アインシュタインの一般相対性理論から予言された重力波は、2015 年に初めてその存在が観測によって確認され、現在では数多く検出されることで理論の正しさを示しており、また重力波源の同定に至ることも少なくない状況にある。
今回レビューを行う論文 [arXiv:1710.05835v1][2] では、GW170817 の検出によってその波形や振幅から波源までの距
離を直接測定でき、同時に電磁気的な対応物が観測されたことによって、波源の赤方偏移パラメータ z を予測し、最終的に宇宙膨張パラメータであるハッブル定数 H0 を推定することが可能であることを述べる。この測定は従来のハッブル定数推定の 2 種類の方法とは独立なものかつ直接的であり、現在測定方法によって値が大きく異なっているという、宇宙論におけるハッブル定数問題の新たな解決策になり得ると期待される。

1

待されている。

Introduction
アインシュタイン方程式から予言された重力波は、

長年検出の試みがなされてきたものの成功していなかったが、ついに 2015 年に LIGO によって初めて

2

一般相対性理論のアインシュタイン方程式から出検出されたことによって、一般相対性理論の正しさが改めて例証された形となった。それ以降世界的に重力波の予備知識発する。

Gµν = 8πTµν

重力波観測のモチベーションが高まり、イタリアの(1)

Virgo や日本の KAGRA といった重力波検出器が共 ここで、Gµν はアインシュタインテンソル、Tµν は同で稼働していく中で、重力波検出の頻度や精度が 運動量エネルギーテンソル
向上し、重力波源の特定にも成功している場合も出

時空の曲率が小さい (=重力が弱い) と仮定し、てきている。そのような状況下で重力波を宇宙論研

gµν = ηµν + hµν (ただし、|hµν | ≪ 1) のとき

究に活用できる方策が考え出されるようになった。

ローレンツゲージ条件からアインシュタイン方程式は

今回レビューを行う論文 [2] は、2017 年に中性子星□h̄µν = −16πTµν連星からの重力波検出に成功し、その観測データを元にハッブル定数の推定を従来のものとは独立した方法で行ったというものである。重力波宇宙論が研究される動機として、そもそも宇宙物理にとって重力波を発生させる天体現象は数多くありいずれも重要なものであるということだ。例を挙げると、中性(2)

ここで、h̄µν ≡ hµν − 21 ηµν h
真空 (Tµν =0) かつ Z 軸方向に伝播を考えると (2) は波動方程式の形なので平面波を仮定して代入する。
また、□ξ = 0 を満たすようなゲージ変換の下では、

hµν の振幅 Aµν は、

性子星・ブラックホール連星（NSBH)、超新星爆発
0
0
0
0


といった天体現象の他、初期宇宙でのインフレーショ
0 Axx Axy 0(3)Aµν = 
0 A
ン由来の原始重力波なども存在する。
−Axx 0xy
観測的宇宙論で主流となっている電磁波を用いる
00
00
方法との差別化という意味では、電磁波では物体とと表される。重力波の振幅の独立な成分は二成分で相互作用してしまい発生源の情報を直接得られにくある。よって、重力波には偏極モードが二つ考えらい点がある。また、そもそもブラックホールは電磁れそれぞれ波で観測することはできないため、そういった部分
プラスモード h+ ≡ hxx = −hyy
で今後重力波が新たな観測のキーとなってくると期
クロスモード h× ≡ hxy = hyx子星連星（BNS)、ブラックホール連星（BBH)、中100

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校というモードがあり、h+ /h× が実数と純虚数の場合

3

ハッブル定数の決定方法

で偏光が起こり、それぞれ「直線偏光」「円偏光」と最も重要な宇宙論パラメータのうちの一つであるいう。

ハッブル定数は現在の宇宙膨張の膨張率を表すパラメータである。ハッブルの法則は宇宙膨張の速度 vHと光度距離 dL との間の関係式であり、

v H = H0 d L(6)と表される。
今回の論文では、ハッブル定数を求めるために重力波観測から dL を、そして同時に観測された EM

counterpart (電磁気的対応天体）から赤方偏移パラ
メータ z を推測し、その後 vH へと変換することで式 (1) からハッブル定数を求めるという手法を用いている。
まず検出された重力波の波形から振幅や周波数（ひいてはチャープ質量）を読み取り、距離を決定する。
このとき距離を決定するのに距離はしごを用いるような距離推定とは完全に独立した手法であることが革新的である。
こうして得られた光度距離は、dL = 43.8+2.9−6.9 Mpc
であった。なお、この値は既に距離はしごと Tully-

Fisher 関係を用いて得られた波源のホスト銀河までの距離 dL = 41.1 ± 5.8 Mpc と誤差の範囲で一致し

図 1: 重力波の偏極モードているため、重力波を用いる独立した方法が有用で
次 に 連 星 系 か ら の 重 力 波 を 考 え る 。TT ゲ ー ジ

あることを確認できる。その一方で距離推定の誤差(transverse-traceless gauge) を考え、一般の方向にの原因として傾斜角 θ の決定の難しさがある。これ伝播する重力波を仮定する。軌道面と垂直な方向にについては後程述べる。

ある角運動量ベクトルと波源から観測者への方向ベ

次に EM counterpart の存在から赤方偏移を求め

クトルとのなす角を θ、軌道面で連星が x 軸となする。GW170817 の観測では重力波源の合体から二秒

角を ϕ とすると (ϕ = Ωorb t)、重力波は、後にホスト銀河からのガンマ線バーストを観測した。

4µa2 Ω2orb 1 + cos2 θ
h+ = −() cos 2(θ − ϕ)r2

なお、現在に至るまで上記のように重力波とそれに(4)あり、運が良かったといえる。
（実際観測したガンマ

4µa2 Ω2orbcos θ cos 2(θ − ϕ)(5)h+ = −rm2のように表される。ここで、µ = (mm11+m,r は波源2)
から観測者までの距離
この式より、軌道面に対して垂直な方向 (θ = 0) には平行な方向 (θ = π/2) より二倍の大きさの重力波が観測されることになる。この性質が後述の距離推定の誤差に関わってくる。

対する EM が同時に観測された例はこの一例のみで線バーストで最も暗いもの）
このガンマ線バーストから赤方偏移、その後後退速
度 vH が求まる。ただし、後退速度には宇宙にある巨大な質量構造（グレートアトラクター）に向かう
ホスト銀河の固有速度が含まれているため、これを差し引く必要がある。割合にしておよそ 10 パーセン
トほど変わり、補正した後の後退速度は、

vH = (3017 ± 166)km/s という値が得られた。

101

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

本論文での結果

4斜角 θ の決定が難しいことにある。重力波検出器二台の角度が平行に近いと重力波の偏光が捉えにくく

今回の論文ではハッブル定数の推測値を確率密度

到来方向が決定しにくくなるためである。重力波の分布で表しており、その結果が下の図 1 の実線であ

振幅は傾斜角が 0 と π/2（すなわち軌道面に垂直かる。

平行か）とで二倍の差があるため、傾斜角の正確な−1
H0 = 70.0+12.0
M pc−1−8.0 kms

推定はハッブル定数決定の重要な要素といえる。下という値が得られた。

の図 2 は H0 と cos θ の分布であるが黒実線の範囲が1σ であり、かなり大きくなっている。

図 2: ハッブル定数 H0 の確率密度分布
図 3: H0 と cos θ の確率密度分布5

他の方法との比較

最後にレビュー論文の主張と展望をまとめる。最も重要かつ革新的なことは重力波の検出から独立し今回の論文の結果を他の方法で得られたハッブル
定数とも比較する。遠方宇宙から推定した、CMB を用いた方法での結果は、た手法かつ直接的に距離推定が可能になったということ。それに加えて幸運にも EM を観測できたことにより、重要な宇宙論パラメータの一つであるハッH0 = 67.74 ± 0.46 km/s/Mpc

ブル定数の推定に成功したということ。また現状重という値が得られた。

力波のイベント数や精度については不十分であるが、一方で近傍宇宙で Ia 型超新星を用いた方法での結果は、今後の次世代検出器の登場によってこれらの問題が解決されるということに期待している。

H0 = 73.24 ± 1.74 km/s/Mpcという値が得られた。
これらの結果から言えることとして、重力波から推Reference

定したハッブル定数は従来の二つの方法のいずれとも誤差の範囲で一致しているため、独立した手法で観測的宇宙論の重要なパラメータを正しく推定できる画期的なものである。その一方で現時点では誤差が大きいため、従来の方法のどちらがより真の値に近いのかを今回の独立した手法でも決定することはできなかった。

6

問題点・まとめ
上で述べたように重力波を用いて推定したハッブ

ル定数は誤差が大きいが、その大きな要因として傾102[1] 宇宙論の物理（上）[松原隆彦 (2014)][2] A
GRAVITATIONAL-WAVE
STANDARD
SIREN
MEASUREMENTOF
THE HUBBLE CONSTANT [THE LIGOSCIENTIFICCOLLABORATION(2017)]
https://arxiv.org/abs/1710.05835

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重宇 a23

すばる望遠鏡 HSC データを用いた弱重力レンズ質量
マップで確認されたトラフ領域の視線構造
島末 匠

103

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

すばる望遠鏡 HSCY3 データを用いた
弱重力レンズ質量マップで確認されたトラフ領域の視線構造
島末 匠 (東京大学大学院 理学研究科)

Abstract
私たちはすばる望遠鏡 HSCY3 S19A の internal data を用いて球面質量マップを再構築し、ボイド由来の可能性があるトラフ領域 (マップにおける極小領域) の視線構造を調べた。質量マップは視線方向に密度ゆらぎを積分した値を示したものであり、マップ上のトラフ領域は単一の巨大なボイドもしくは複数の小さなボイドに由来する可能性がある。視線方向の情報を知るために HSC photometric luminous red galaxy (LRG)
カタログと SDSS Data Release 12 の LOWZ & CMASS の分光銀河カタログを用いて、トラフ領域が単一の巨大な低密度領域か否かを識別した。トラフ領域のほとんどは視線方向に並んだ複数のボイドによって説明されるが、私たちは単一の巨大なボイドと思われる領域を 2 個、z ∼ 0.2 − 0.3 において発見した。発見したボイドの半径は いずれも 10 h−1 Mpc 程度である。以上の結果は三次元質量マップ解析とも一致する。これらのボイドは、視線方向に長く伸びた形状とみなせば説明がつくと考えられる。

1と SDSS Data Release 12 の LOWZ & CMASS の

Introduction

分光銀河カタログ を用いて、トラフ領域が単一の巨ボイドとは宇宙の大規模構造を構成する要素であ

大な低密度領域か否かを識別した。

り、銀河やダークマターが分布しない低密度領域を指す。ボイドの形成と進化は重力によってのみ駆動されると考えられ、バリオン物理の影響を受けにく
く、重力理論や標準宇宙論の検証に有用と考えられる。従来、ボイドは分光サーベイによって得られた銀論文の構成は次の通りである。２章では弱重力レンズの基礎と質量マップの構築手法を述べる。３章
では解析に用いた複数のデータを述べる。４章では私たちが質量マップ解析で得られたトラフ領域を述べる。５章では結果の解釈を述べ、６章でまとめる。

河数密度分布に基づき探索された (例えば、Douglass

et al.

(2023))。しかし、銀河とダークマターの分

本論文は拙稿 (Shimasue et al. 2023) を基にしており、詳細はそちらを参照してほしい。

布の相違に起因する不確実性や系統誤差が伴う。一方、弱重力レンズはソース銀河から発せられた光が途中の質量分布を反映して、わずかに歪曲する効果

2

Methodsを示す。これを用いる場合、バイアスなしに直接的に質量密度ゆらぎを知ることができる。ただし、従本章では、先行研究の手法を参照しつつ、HSC Y3

来の予想では弱い重力レンズを用いたボイド探索で

weak lensing shape カタログから球面調和展開を用は単一の巨大なボイドが発見しづらいとされていた

いて質量マップに相当するコンバージェンスマップを(Amendola et al. 1999)。そこで、私たちは最新の再構築する手法を述べる。重力レンズ効果とは質量

すばる望遠鏡 HSC weak lensing shape カタログをの重い天体がレンズの役割を果たし、ソース銀河か

用いて質量マップを再構築し、マップにおける極小ら発せられた光がゆがんだり増光したりする現象を領域に相当するトラフ領域を探索した。ただし、質指す。特に、ゆがみや増光の程度が比較的小さく、像量マップは視線方向に沿った密度ゆらぎの積分値をが１つのものを弱重力レンズ効果と呼ぶ。複数の銀示したものであり、トラフ領域の 3 次元密度構造を河を観測することで、途中の質量分布を反映した組織

把握することはできない。視線方向の情報を知るた的な歪み (Cosmic shear) が生じる。私たちが知りた

めに CAMIRA algorithm によって抽出された HSC

いのは元々の形からの楕円率の変化分、シア (shear)

photometric luminous red galaxy (LRG) カタログである。観測量として得られるのは銀河の固有楕円率 (Intrinsic ellipticity) がわずかに歪んだ observed1042023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
shear であり、シアと固有楕円率に分ける必要があ

°5±

0±

46±

±
±2

0±
10h 00m

9h 40m15h 15mを採用している。wi はレンズ重み付け関数、 cα,i は

4±
2±
0±
°2±

00m

°8±
0h 15m

44±
00m

42±
h m

8h 40m

°2

30m

14 45
WIDE12H40±
13h 00m

12h 00m

RA

h

15 15

m

2

00m h

23h 45m

15 00m

00

m

0

0m
20

14h 40m

RA

RA

30m

15m

00m

±

°2

°2
HECTOMAP
°4

42±
40

11h 00m2

GAMA15H

2±
1±
0±
°1±

44±

RA [hms]

340±

RA

4

°4
Dec

Dec

HEALPix における単位領域であり、Npixel = 512

2
0

°7±

20m

RA

00m

Dec

GAMA09H4±40±

ピクセルで平均化されたシア場を成す。ピクセルは°5m±
48± 10
RA
°6±

44±

42

γ̂α (θi ) は位置 i の銀河のシアであり、表式は各

20m

Dec

Dec [deg]

2h 30mDec [deg]

(1)

350±

RA, Dec = 223.53deg, 44.10deg
VVDS

°6±

46±

4

2±
0±

4

±

4±

S/N (E-mode)

48

VVDS

6±

RA, Dec = 223.53deg, 44.10deg

S/N (E-mode)

°4±

Dec

°3±

S/N (E-mode)

Dec

°2±

Dec

al. 2018b; Shimasue et al. 2023)。
∑
wi (γα (θi ) − cα,i )W (θ; θi )γ̂α (θ) = i∑,i wi (1 + mi )W (θ; θi )

XMM

°1±

る。経験的に、シアは次の式で求められる (Oguri et

16h 30m
h

14 45

m

°4

00m

15h 30m

30

m

00m

14h 30mRA

RA [hms]

aditive bias、mi は multiplicative bias、W (θ; θi ) は
ガウシアンスムージングである。得られたシアを用いて、質量密度ゆらぎに相当するコンバージェンス

κ を求める。シアとコンバージェンスの関係は曲がった時空におけるシア、コンバージェンスとレンズポ
テンシャル ψ の関係式

11
κ = (ðð̄ + ð̄ð)ψ, γ = ðð̄ψ
4
2とそれぞれの球面調和展開∑
ψ=ψ̃ℓm 0 Yℓm (θ, ϕ),κ=κ̃ℓm 0 Yℓm (θ, ϕ),

(2)

γ=

HECTOMAP で構成される。

演算子、θ = (θ, ϕ)、f (k) は曲率 K における co-

moving angular diameter distance、a は計量因子、
ρ̄
δ(χ, θ) = ρ−ρ̄ は密度ゆらぎ (density contrast) であ

(3)
(4)

る。観測している領域とそうでない領域 (Mask) の境
界、Edge では系統誤差が大きくなることが知られている。系統誤差を減らし、トラフ領域を定量的に評価するために、私たちはコンバージェンスマップを用ℓm∑

XMM, VVDS, GAMA09H, GAMA15H, WIDE12H,

ここで ð は spin-weighted spherical function の昇降ℓm∑

図 1: E モードの S/N マップ。HSC の６つの観測領域、

γ̃ℓm 2 Yℓm (θ, ϕ)(5)

いて S/N マップを作成する (詳細は Shimasue et al.

(2023) を参照)。作成したものが図 1 になる。また、ℓmにコンバージェンス、レンジングポテンシャルと重本章では触れないが、さらなるクロスチェックとして力ポテンシャル Φ の具体的な表式

３次元質量マップを作成 (Shimasue et al.

(2023))

し、弱重力レンズシグナルにおけるトラフ領域を確

κ(θ, χs )3H02 Ωm
=
2c2

∫ χs
0

認した。
dχ fK (χs − χ)fK (χ)δ(fK (χ)θ, χ)a(χ)
fK (χs )(6)3Galaxy catalogue∫
2 χsfK (χs − χ)ψ(χs , θ) = 2dχΦ(χ, θ) (7)c 0
fK (χs )fK (χ)
3Ωm H02∇2x Φ(χ, θ) =δ(χ, θ)(8)
2a2

本章では視線方向の情報を知るために用いた２つの銀河カタログについて簡単に紹介する。
は じ め に 、CAMIRA algorithm(Oguri et al.

2018a) で選択され、∆z/1 + z ∼ 0.03 の正確性がを代入することで次のようにシアとコンバージェン

担保された photometric redshift galaxy カタログスの関係式が得られる：を用いた。赤方偏移の範囲は 0.1 < z < 1.2 であ1κ̃ℓm = − ℓ(ℓ + 1)ψ̃ℓm ,2
1√(ℓ − 1)ℓ(ℓ + 1)(ℓ + 2)ψ̃ℓm
γ̃ℓm =
2√(ℓ − 1)(ℓ + 2)=−
κ̃ℓm .
ℓ(ℓ + 1)

り、5,479,879 個 の LRG を含む HSC-SSP の inter-(9)

nal data に基づく。
次に、SDSS-III Baryon Oscillation Spectroscopic

Survey(BOSS) Deta Release 12 data に 基 づ く(10)spectroscopic galaxy カタログを用いた。これはCMASS,LOWZ の、それぞれ 0.4 < z < 0.8、z < 0.41052023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
T7 and T23 - Single voids(candidates) -

5◦

2.5
0.0

3◦

0.000

S/N

4◦

−2.5

2◦
h

22 48

m

36

m

24

m

12

−5.0

m

RA

κ(θ)

Dec

T7 - Single void (candidate) -5.0

図 2: 質量マップにおける単一の巨大なボイドと考え−0.002−0.004−0.006られる２つのトラフ領域 T7(circle) と T23(cross)−0.008の、２つ異なる赤方偏移の範囲をもつサンプルで構

0

20

40

60

80

100

θ [arcmin]成される。それぞれ 777,202、361,762 個の銀河を含

T23 - Single void (candidate) -む。CMASS&LOWZ カタログは HSC photometric

LRG カタログのクロスチェックとして用いることで、−0.002

弱重力レンズ解析に得られたトラフ領域が単一の巨

4

κ(θ)

大なボイドに由来するか否かを識別した。

−0.004−0.006

Results−0.008

本章では弱重力レンズ解析で得られたトラフ領域

020

る。トラフ領域を 23 個リストアップし、銀河カタロ
グを参照することで 15 個がボイド由来のトラフ領域
であることを確認した。そのうち、単一で巨大なボイドの候補を 2 つ (T7、T23) 発見した。質量マップは図 2 に示す。また、T7 と T23 の質量マップにおけるコンバージェンス分布を図 3 に示す。同様に、銀

60

80

100

θ [arcmin]を示し、視線方向の情報を確認することで単一で巨大なボイド由来の可能性があるトラフ領域を提示す40

図 3: T7(上)、T23(下) のトラフ中心からの質量マップにおけるコンバージェンス分布。
ここで ρ̄(z) = (1 + z)3 Ωm ρcrit はレンズ天体の赤方偏移 z における平均密度、ρcrit = 3H 2 /8πG は臨界密度である。臨界面密度 Σ−1crit,i (z) は4πG
fK (χ(zs ) − χ(z)).
fK (χ(zs ))2cfK (χ(z))(12)

河数分布に基づく赤方偏移分布は図 4 となる。

Σ−1crit,i (z) ≈5

T7、T23 におけるコンバージェンスの計算値はDiscussion

κv ∼ −1 × 10−3 となり、観測値 κv ∼ −8 × 10−3

従来の予想 (Amendola et al. 1999) では単一の巨よりも大きかった。可能性として、視線方向に長い大なボイドは見つけづらいとされていた。しかし、私

ボイドを想定することで、説明される。実際、シミュたちは単一で巨大なボイド候補を２つ発見した。こレーションにおいて球対称ボイドはほとんど形成されらのボイドがどのような形状かを知るため、簡単れないと予測される (Park et al. 2007)。ただし、計なモデルとして球対称で密度ゆらぎが一様なボイド数誤差（Eddington bias）の影響も少なからず含まを考える。簡単のため、ソース銀河の赤方偏移を１れると考えられる。

とし、ボイドの半径を rv ∼ 10h−1

Mpc、密度ゆらぎ

を最小値 δ = 1 とする。コンバージェンスは以下の6

ようにかける:κv =2δv ρ̄(zv )rv.
Σcrit

Conclusion
私たちは弱い重力レンズで単一の巨大なボイドを(11)探索することが難しい予想を確かめるために、HSC

Y3 internal data を用いて質量マップを再構築し、視106

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

T7 - Single void (candidate) -1.2

T23 - Single void (candidate) -

1.1

1.2

1.0

ntrough
nmean

ntrough
nmean

1.0
0.9
0.8
0.7

0.8

0.6

0.6
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.4

1.2

0.0

0.2

0.4

photometric redshift

1.2

1.2

1.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.8

0.6

0.0

0.8

T23 - Single void (candidate) 1.4

ntrough
nmean

ntroughnmean

T7 - Single void (candidate) 1.4

0.0

0.6

photometric redshift

1.0

0.0

1.2

0.0

0.2

spectroscopic redshift

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

spectroscopic redshift

図 4: HSC photometric LRGs (上段) と CMASS/LOWZ 分光銀河 (下段) における T7 と T23 の視線構造。
横軸に赤方偏移、縦軸にトラフ中心から 10 arcmin(HSC)、40 arcmin(SDSS) の半径の円に含まれる銀河数
密度を、観測領域全体の銀河数密度でわった値 ntrough /nmean を示す。緑線は ntrough /nmean = 1 を表す。
線方向の情報を補うために HSC photometric カタロ

澤淳氏に心より感謝申し上げます。また、発表練習

グと SDSS の分光カタログを用いて有意なトラフ領

にて様々なアドバイスをしてくださった RESCEU の域を識別した。従来の予想に反して、単一で巨大なボ面々にも同様に感謝申し上げます。

イドを２つ発見した。球対称一様モデルを仮定してボイドのつくるコンバージェンスを計算すると、観測値の方がより深い値であり、視線方向に長いボイ

Reference

ドを想定することで説明できると考えられる。今後、 Amendola Luca., Frieman J. A., and Waga, I., 1999,
MNRAS.

分光サーベイによる追加観測により、本研究で発見

Douglass K A., Veyrat, D., and BenZvi, Segev, 2014,
ApJ.

されたボイドがリアルか否か確かになるだろう。

7

Shimasue T., Osato K., Oguri M., Shimakawa R., andNishizawa J. A., 2023, arXiv:2307.11407.

Aknowlegdement

Park D., Lee, J., 2007, Physical Review Letters.

本研究において、ご指導、有意義な議論をしてくださった、大栗真宗氏、大里健氏、嶋川里澄氏、西Oguri M., et al. 2018a, PASJ.
Oguri M., et al. 2018b, PASJ.

107

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重宇 a24

すばる HSC3 年間データの弱重力レンズ効果の精密測定による平坦なΛ CDM モデルの検証
手良脇 大誠108

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

すばる HSC3 年間データの弱重力レンズ効果の精密測定による
平坦な ΛCDM モデルの検証
手良脇 大誠 (東京大学大学院 理学系研究科)

AbstractΛCDM モデルは, 現在の宇宙論における標準モデルであるが, 近年 S8 という宇宙論パラメタに観測間のテンションが見られるようになった. コズミックシアはこのパラメタに強く依存する現象である. そこで

Xiangchong Li et al. 2023 は, すばる HSC の 3 年分の新しいコズミックシアの測定データを解析し, S8 の値を求めた. 解析はブラインド解析を行うことで確証バイアスを無くし, ベイズ統計を用いて行った. 最終的に S8 = 0.769+0.031−0.034 (68%信頼区間) という値が得られ, この値は Planck-2018 の CMB 観測との間に約 95%の確率でテンションを起こしていることが判明した.

1

イントロダクション

1.1

ΛCDM モデルと S8 テンション

ΛCDM モデルは, 現在の宇宙論における標準モデ
ルであり, ビッグバン元素合成や CMB の異方性など,
多様な宇宙の現象がこのモデルによって説明できる.
この標準モデルには, 理論では決められない宇宙論パ
ラメタが未知変数として含まれており, その正確な測図 1: 銀河の歪みの模式図

定は宇宙論における重要な課題の一つである. そん
な中, 近年の精密観測技術の発展に伴い, 宇宙の構造

銀河形状に対するコズミックシアの影響は大きく形成の進行度合いを表す S8 というパラメタに観測間二つに分けられる. すなわち, x 軸や y 軸方向に歪めの不整合（テンション）が見られるようになった. すられる寄与 γ1 と, 軸に対して 45 度方向に歪められなわち, 本モデルの下で一致すべき S8 の値に, 観測る寄与 γ2 である (図 1). 数式的には, (1) 式のように,によって異なる値が示されているのだ.

コズミックシアの影響の有無による座標値の違いを本発表でレビューする Xiangchong Li et al. 2023
は, すばる望遠鏡の新しい観測データを元に, 重力レ
ンズ効果を用いて S8 の値を測定し, 既存の測定結果との比較を行った.

元に γ1 , γ2 が与えられる.
(
) (
)(
)
xlensed1 − γ1−γ2
xunlensed=
ylensed−γ2
1 + γ1yunlensed(1)

尚, 実際に観測される銀河の形は「銀河固有の歪み」

1.2「コズミックシア」「大気揺らぎなどの観測上の効果

重力レンズ効果（コズミックシア）

による歪み」が組み合わさったものになっている. そ重力レンズ効果（コズミックシア）により, 遠方銀のため, 銀河ごとにコズミックシアの情報を引き出河の放つ光は, 光路付近の物質 (銀河団や暗黒物質)

すことはできず, 統計的なアプローチをとることにが作る重力場によってその経路を曲げられる. そのなる.

ため, 観測される遠方銀河の像は, 歪められたものとなる. この歪みの影響は, 物質の量を表す宇宙論パラ
メタ Ωm 及び S8 に主に依存するため, 宇宙論パラメ

1.3

すばる HSC の観測データ

すばる望遠鏡は, 標高 4200m のハワイ・マウナケ

タの値決定の重要なツールとなる.

ア山頂という高地に位置しており, そこに取り付け

109

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校られた Hyper Suprime-Cam (HSC) は, 幅広い天域

2PCF (ξˆ± ) の情報が含まれた量となっている. 具体に渡って遠方の宇宙の銀河を観測することのできる

的には次式で与えられる.

広視野のカメラである. 今回は, 0.3 < z < 1.5, 合計 416 平方度, 2500 万個に及ぶ銀河に対する, 3 年間に渡るすばる HSC の観測データを使用する. 宇宙論
パラメタの測定改善のために, 赤方偏移 bin は z =(0.3, 0.6], (0.6, 0.9], (0.9, 1.2], (1.2, 1.5] の四つに分割
する. それぞれ bin1,bin2,bin3,bin4 と呼ぶことにする. この際, 各銀河の赤方偏移は二つの測光的手法を組み合わせて求められるが, bin3, bin4 については一

1ln L(ξˆ± |Θ) = − (ξˆ± − ξ± (Θ))T C −1 (ξˆ± − ξ± (Θ)) (3)2ξ± (Θ) はパラメタのセット Θ から理論的に求まる
2PCF である. また, C は共分散行列と呼ばれ, シ
ミュレーションから求まる. 従って, 観測的及び理論的な 2PCF と, Θ の事前分布を与えれば, 求める Θの事後分布が得られることになる.

方の手法にカバーされていない領域が存在するため,この領域の赤方偏移の値は精度が低い可能性がある.

2.3

観測的な二点相関関数

すばる HSC のデータから大気揺らぎなどの観測上

2

データ解析

2.1

ブラインド解析の効果を差し引くことで, 銀河固有の歪みとコズミッ
クシアからなる観測量 γ1 , γ2 が得られる. 各銀河のγ1 , γ2 の値を用いると, 以下の式によって赤方偏移のbin の組ごとの 2PCF が観測量として得られる.
∑た段階で解析を終了する」などといった確証バイア
i,j w(ri )γ+ (ri )w(rj )γ+ (rj )nmˆ∑
ξ± (θ) =スを避けるため, ブラインド解析を行う. すなわち,
i,j w(ri )w(rj )∑同じ観測データを三つ用意し, ランダムに選ばれた二i,j w(ri )γ× (ri )w(rj )γ× (rj )∑±(4)
つに適当なバイアスを乗せる. 三つ全ての解析終了
i,j w(ri )w(rj )後に, どれがバイアスのないデータであったかを明らθ は二つの銀河がなす角, ri は各銀河の位置ベクトルかにする. そして, 明らかにされた後は, 解析のやりであり, w はシミュレーションから求められる銀河ご直しはしないと約束する. これにより, 解析中はバイとの重みである. また, γ+ とγ× は γ1 とγ2 の基底のアスのないデータがどれかを知り得ないため, 得られ取り方を変えたものである. そして, 左辺の n, m はた結果のテンションの有無は分からないまま解析を共に bin を表す添字であり, 右辺の Σ は n, m に対応
終了することになる.
する銀河の組を動く. すなわち, 観測された全銀河の以降の解析においては, 「都合の良い結果が得られうち, なす角度が θ である銀河の組であって, 一方の2.2銀河が bin n に, もう一方が bin m にいるようなペア

ベイズ統計

先述のように, 個々の銀河だけを見てコズミックシアの影響を測ることはできない. そこで, 統計量である二点相関関数 (2PCF) に着目し, ベイズ統計的な解について総和を取っている. こうした bin の組の作り方は, 10 通り存在する. こうして実際に測定された 2PCF を図 2 に示す. 下三角の 10 個が ξ+ に, 上

析を行うことになる. すなわち, まず Ωm などの宇宙論パラメタを含むパラメタのセット Θ を用意し, 事前（確率）分布を与える. そして, 2PCF の観測デー
タを元にこの確率分布を更新し, 事後（確率）分布を求める. この過程は, 次の数式で与えられる.

P (Θ|ξˆ± ) ∝ L(ξˆ± |Θ)Π(Θ)(2)

Π(Θ), P (Θ|ξˆ± ) はそれぞれ Θ の事前分布, 事後分布である. L(ξˆ± |Θ) は尤度関数と呼ばれ, 観測される

110

図 2: 観測された 2PCF (Li et al. 2023 より.)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
三角の 10 個が ξ− に対応している. 尚, 角度 θ につれらのパラメタに適切な事前分布を与える必要があ

いては 7 つの bin に分けられており, 灰色で示された

る. 宇宙論パラメタを含む物理的パラメタに関して

領域は解析に使用しない. また, 青の実線は ΛCDM

は, 事前情報がない（この値の可能性が高い, というモデルの理論予言であり, 観測との間に矛盾はなかっ ような情報を持っていない）と考え, 一様な確率分布を用いる. 一方で, 系統的パラメタについては, 観測た (p 値=0.28).

値の不正確さが理想的には 0 であることから, 0 周り

2.4のガウシアンを事前分布とする. 尚, 1.3 節でも述べ

理論的な二点相関関数

たように, bin3,4 の赤方偏移の値には不定性があるた

理論的な 2PCF は次のように角度パワースペクト

分布の一覧は図 3 のようになる. 尚, この表に S8 は

ル C を用いて展開できる.
∫
1
nm
ξ±
(θ) =
dllJ0/4 (θl)
2π

×(C
C

E;nm

C

B;nm

=

=

E;nm

(l) ± C

B;nm

E;nm
E;nm
CGG
+ CII
E;nm
E;mn
+CGI
+ CGI
E;nm
CII

め, 例外的に一様な事前分布を用いる. 最終的な事前含まれていないが, S8 は宇宙論パラメタから計算可能であるため, やはり事後分布を得ることができる.

(l))

(5)

(6)
(7)

GG は二つの銀河のコズミックシアの相関に由来す
る寄与, II は二つの銀河の固有歪みに由来する寄与,

GI は一方のコズミックシアともう一方の固有歪みに由来する寄与である. また, C E は E モードを, C B
は B モードを表しており, コズミックシアの B モー
ドが無視できることから (7) 式には II 成分しか登場
しない.
ここに現れた角度パワースペクトルは, 理論モデ
E
ルを用いることにより計算可能である. 例えば CGG

は物質のパワースペクトルのモデルを元に計算可能であり, この際, 宇宙論パラメタ (Ωm , As , ns , h, ωb )図 3: 使用する事前分布 (Li et al. 2023 より.)を未知変数として導入することになる. このために2PCF の観測から宇宙論に制限をかけられるのである. その他の角度パワースペクトルもモデルを用いて計算可能であり, 最終的に 11 個の未知変数が導入さ

3れる.

2.3 節で見たように, 観測的な 2PCF は観測上の効果を引いた上で求められている. しかし, この効果の処理が不完全である恐れがある. また, 使用している銀河の赤方偏移の値も正確でない恐れがある. そこで, こうした不完全さからくるパラメタも理論式に未知変数として導入する. このパラメタは 12 個となる.

2.5

解析結果と考察
最終的に得られた 23 次元の事後分布を, 重力レン

ズ効果において重要なパラメタである (Ωm , S8 ) の二次元に積分して得られる確率分布を図 4 の青い領域で示す. 図 4 の左が DES-Y3, KiDS-1000,Planck-2018との比較を, 右が BAO 観測（eBOSS）との比較を表している. この図から, DES-Y3, KiDS-1000, BAO
観測とは無矛盾であるが Planck-2018 との間には不整合が示唆されている. 続いて, S8 の一次元確率分布

事前分布に注目すると（図 5）, 最頻値（図 5 のピークに相当）

前節の議論から, Θ は物理的パラメタ 11 個と系統的パラメタ 12 個の合計 23 個のパラメタからなる. この値が S8 = 0.769+0.031−0.034 (68%信頼区間) であり, この
値と Planck-2018 の観測結果との間には, 約 95%の111

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

まとめ
Xiangchong Li et al. 2023 は, すばる HSC の 0.3 <z < 1.5, 合計 416 平方度, 2500 万個に及ぶ 3 年間の銀河観測データを使用し, 重力レンズ効果の二点相関関数に着目して S8 の測定を行った. 確証バイ
アスをなくすためにブラインド解析を行い, ベイズ
統計に従った解析を行うことにより最終的に S8 =0.769+0.031−0.034 (68%信頼区間) という結果に至った. この結果は DES-Y3, KiDS-1000, BAO 観測とは無矛
図 4: (Ωm , S8 ) の二次元事後分布 (Li et al. 2023 よ盾であるが, Planck-2018 の CMB 観測との間には約り.)95%の確率でテンションが存在しており, ΛCDM モ
デルの綻びを示唆している. 高赤方偏移銀河の赤方偏移の値については測光観測の結果が正確でない可能性が示唆されており, より強い制限のためにも, 高
赤方偏移銀河の z の較正が必要である.

Reference
Xiangchong Li et al. 2023. Hyper Suprime-Cam Year
3 Results: Cosmology from Cosmic Shear Two-point
Correlation Functions . (arXiv:2304.00702).

図 5: S8 の一次元事後分布 (色分けは図 4 と同じ)(Liet al. 2023 より.)確率でテンションが存在すると分かった. また, 事前
分布・理論モデルの様々な変更や, 使用するデータ数の制限に対してこの結果がロバストであることも確認され, 今回得た結果がモデル依存な結果でないこと
も確かめられた.

bin3,4 の赤方偏移測定値の不確かさパラメタには一様な事前分布を与えていた. 今回得た事後分布をこれらのパラメタ以外について積分すると, それぞれの+0.088
最頻値は ∆z3 = −0.115+0.052−0.058 , ∆z4 = −0.192−0.088となった. この値は 0 から有意にずれており, 高赤方偏移銀河の z の観測値が正確でないことを意味する.
一様分布よりもガウシアンを用いた方が S8 への制限も強まると考えられるため, 高赤方偏移銀河の赤方偏移のさらなる較正が次なる課題の一つとなる.

112

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重宇 a25SQLS からのエリスワームホールと負質量コンパクト天体の存在量に対する観測的な上限
吉崎 允泰

113

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

SQLS からの負質量コンパクト天体の存在量に対する観測的な上限
名古屋大学大学院 宇宙論研究室 M1
吉崎 允泰

Abstract
負質量物体は通常の物質とは異なり、質量が負の値をとるような仮想的な物質であり、斥力重力を生む。(H.

Bondi 1957) 負の質量は 19 世紀から議論されてきたがそれを示す証拠は全く掴めていない。本研究では負質量コンパクト天体が存在すると仮定し、スローン・デジタル・スカイ・サーベイ (SDSS) のクエーサー・
レンズ・サーベイ (SQLS) の重力レンズ探査により存在量を推定する。
負質量コンパクト天体のレンズ効果によってクエーサーの複数の像が作られる。そこで複数の像から負質量
コンパクト天体の質量とレンズ効果を受ける確率から存在量の上限を推定した結果、負質量コンパクト天体の存在量の上限は銀河や銀河団より少ないことが分かった。更なる観測精度の向上によって、多くのレンズ効果を受けたクエーサーの発見に至れば、負質量コンパクト天体に対する強い制限が期待される。本講演は(R. Takahashi & H. Asada 2013) に基づいたレビューである。

1

導入
理論物理学において負質量物体が通常の物質とは異符号となる物質であると仮想的に考えられること
により、負質量物体は斥力を及ぼす。負質量物体については 19 世紀から考えられてきたが、実際に存在するという証拠は未だに得られていない。
重力質量が負であると考えたとき、慣性質量は正負のどちらも取りうるため２つに場合分けして考える。
もし負質量物体の慣性質量が正である場合、重力は
通常の物質に対しては斥力が働き負質量物体に対しては引力が働く。ここで通常の物質も負質量物体も

図 1: 通常の重力レンズ効果を表した図である。DL は観測者とレンズ天体との距離、DLS はレンズ天体と光源との距離、DS 観測者から光源との距離、β は光源の角度位置、θ は像の位置を表す。

慣性質量が正のため、それぞれの加速度の方向は力の働く方向と同じである。一方で負質量物体の慣性質量が負である場合、通常の物質と負質量物体に対しては力は先ほどと同様に働くが、負質量物体の加速度の方向のみ力と反対方向となる。
通常の天体による重力レンズ効果は図 1 のように作用する。一方で負質量コンパクト天体による重力レンズ効果は、図 2 のように光が曲げられると考えられている。
図 2: 負質量天体による重力レンズ効果を表した図である。

負質量コンパクト天体は斥力を及ぼし物質の降着が起こらないため、負質量コンパクト天体を直接観測することはできない。そこで近年では重力レンズ114

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
による間接的観測が試みられてきた。負質量コンパクト天体による遠方のクェーサーに対する重力レン
ズ効果を考えるが、クェーサーの位置によって生成される像の数が変化する。負質量コンパクト天体による重力レンズ効果を受ける確率からレンズ天体の存在量に制限を与える。今回 SQLS のデータを用いる。SQLS は SDSS II Data Release 7 からのクェー
サーレンズ調査に関するデータである。(York et al.

2000) このデータには赤方偏移 z = 0.6 − 2.2 かつ
見かけの光度 i < 19.1 の範囲に 50,836 個のクェーサーが含まれる。今回はその中でも複数の像の角度

図 3: β > 2θE の時の負質量コンパクト天体のレンズ効果を表す。θ+ は image+ の角度位置、θ− は image− の角度
位置を表す

差が 1”から 20”までの 19 個のクエーサーについて考える。G = c = 1、ハッブル定数 h = 0.7、物質密度Ωm = 0.28、宇宙定数 ΩΛ = 0.72 を用いる。

2

負質量天体の重力レンズ効果
負質量コンパクト天体に対するレンズ方程式は式(1) となる。このとき観測者からレンズ天体までの距
離 DL 、観測者から光源までの距離 DS 、光源からレンズ天体までの距離 DLS 、光源の角度位置 β 、像の図 4: β = 2θE の時の負質量コンパクト天体のレンズ効果

角度位置 θ を用いる。この状況は図 3 に示した。

β =θ+

θE 2
θ

(1)

ただしアインシュタイン角度は式 (2) のようになる。

(
θE =

DLS
4|M |
DL DS

) 12
(2)

式 (1) を β について解くと式 (3) のようになる。
√
β ± β 2 − 4θE 2
θ=
= θ±
(3)
2
式 (3) より β < 2θE の時は像はできず、β = 2θE の時は１つの像ができ、β > 2θE の時は２つの像がで

図 5: β < 2θE の時の負質量コンパクト天体のレンズ効果となる。
式 (2) を |M | について解くときることが分かる。β と θE の大小関係による像の個|M | ≈ 1 × 1011 h−1 M⊙

数については図 3、4、5 にまとめた。
また倍率と像の位置角度差を求めることもできる。
倍率 µ± はµ± = |1 − θE 4 /θ± 4 |(4)となる。像の角度位置差 ∆θ は

∆θ± = |θ+ − θ+ |

(

θE
1′′

)2

DL DS
DLS × 1h−1 Gpc(6)となることが分かり、複数の像の位置角度差が 1” −20” の範囲にあるものを考えているため、対応す
る質量の典型的な負質量コンパクト天体は |M | =1011−14 M⊙ となる。
(5)

115

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

強重力レンズ効果を受ける確率
強重力レンズ効果について考えるため、レンズ天

体が宇宙で一様に分布していると仮定する。強重力レンズ効果を受ける確率は基本的に SQLS での計算に従って行う。(M. Oguri et. al. 2012)
まず断面積 σ を求める。SQLS では角度位置が1” < ∆θ < 20” の範囲にありフラックス比 µ+ /µ−
が 10−0.5 より小さいクェーサーの複数の像が調べられた。これらは複数の像が同一のクェーサーの像であることを定義している。以上のことを加味して断面積を求めると()∫ βminµ+s)−0.5
σ = 2πDL 2 βmax
dββ Φ(L/µ,zΘ
10−µΦ(L,zs )µ−Θ(∆θ − 1′′ )Θ(20′′ − ∆θ)(7)となる。ここで Θ(x) はステップ関数で、βmax とβmin は光源の位置に関する最大値と最小値を表す。
複数の像が形成される状況を考えているため、今回は (βmin , βmax ) = (2θE , ∞) である。Φ(L, zs ) は zs での光度関数である。
次に断面積を表す式 (7) を用いて強重力レンズ効果を受ける確率を求める。ここでレンズ天体の数密度は共動体積では一定であると仮定する。このとき赤方偏移が zs で見かけの明るさが mi であるクェー
サーに対するレンズ効果を受ける確率 P は∫ zs
cdt
P (zs , mi ) =dzln(1 + zl )3 σ
dzl0

図 6: 負質量コンパクト天体の数密度 (R. Takahashi & H.
Asada 2013) より引用

10−2 Mpc−3 で、密度パラメーターは Ωgal ≈ 0.2 である。典型的な質量 1014 M⊙ を持つ銀河団の数密
度は nclust ≈ 10−4 Mpc−3 で、密度パラメーターはΩclust ≈ 0.3 である。よって負質量コンパクト天体
は銀河や銀河団より少ないことが分かった。以上のように負質量コンパクト天体の存在量に対して重力レンズ効果を用いて上限を設けた。今回は 50,836 個
中の 19 個のクェーサーに対して考えたため、今後の調査の発展により強い制限を得られると期待される。

(8)

また負質量天体同士は引きつけ合いボイドに存在する。密度に関する空間平均量をもとに、ボイドの密となる。ただし zl はレンズ天体の赤方偏移を表し、 度コントラストは式 (9) のように定義する。

cdt/dzl = 1/(H(zl )(1 + zl )) となる。また P はレン
δ(t, ⃗x) =ズ天体の数密度 n に比例する。

¯
ρvoid (t, ⃗x) − ρ(t)
ρ̄(t)

(9)

最後に Kochanec が導入した尤度関数を用いる。 式 (9) が −1 より小さいことが分かれば ρ(t, ⃗x) < 0(C.S. Kochanek 1993) この時の尤度関数は SQLSとなる。そのことから負質量天体が存在すると示さのデータを用いて負質量コンパクト天体の存在量にれる。

対する上限を求める。その際 1σ に相当する信頼区間、つまり 68% 信頼区間と 2σ に相当する信頼区間、
つまり 95% 信頼区間を求めた。さらに密度パラメー

Reference

ター Ω = M n/ρcr を求め、図 6 にプロットした。

H. Bondi 1957, Rev.Mod.phys. 29 1957 423

4

R. Takahashi, & H. Asada 2013, Astrophys.J.Lett. 768
2013 L16

結果と展望
図 6 より銀河や銀河団のスケールである |M | =1012−15 M⊙ において |Ω| < 10−4 となる。典型的∗なルミノシティー L を持つ銀河の数密度は ngal ≈M. Oguri, N. Inada, M.A. Strauss, &et al., 2012, AJ,
143, 120
C.S. Kochanek, 1993, ApJ, 419, 12York &et al. 2000, AJ, 120, 1579

116

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重宇 a26

初期宇宙における原始磁場の減衰機構
山下 由莉

117

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

初期宇宙での原始磁場の減衰機構
山下 由莉 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙には至る所に磁場が存在しており、地球や太陽などの天体は自身で磁場を発生させている。しかし、天体のほとんど存在していないボイドのような領域にも 10−20 10−15 G 程度の磁場が存在する。
このボイド領域の磁場の起源と発展には様々なシナリオが考えられている。その一つに再結合以前 (赤方偏移 z > 1300) の初期宇宙で磁場が生成され（この磁場を原始磁場と呼ぶ)、その後プラズマ流体と凍結することで減衰をし、現在のボイド領域の磁場になったというものがある。
本発表ではこのシナリオを採用し [1]、減衰過程での磁場の減衰機構に注目する。磁場の減衰の解析には一次の摂動で近似した相対論的 MHD 方程式を用いる。解析結果、物理的描像、そして観測的展望を議論する。

1

流体に熱エネルギーとして散逸する。そして 2 段階

Introduction
初期宇宙で原始磁場が生成された後、磁力線は宇宙

プラズマ流体に凍結した。そして従来では,Maxwell 方
程式から、磁場はスケールファクターの 2 乗 B ∝ a−2で減衰するとされていた。しかしこの減衰を説明するシナリオでは、磁場中のプラズマ流体で発生する種々の波による減衰効果が無視されてしまっている。本来磁場中のプラズマ流体では Magneto-Hydro-

目は放射自由流れ機構と呼ばれる。脱結合粒子 (ここではニュートリノと光子) の平均自由行程は宇宙膨張によって成長する。自由流れ機構は MHD モードの波長よりも長くなった段階を指している。ここでは、脱結合粒子がバリオン流体を引きづることで密度揺らぎがならされ、結果バリオン流体 (プラズマ流体）に凍結している MHD モードが減衰する。

Dynamics モード (MHD モード）と呼ばれる縦波・横波の様々な波が発生する。そのため、それら波の減衰を考慮することでより高い精度で原始磁場の減衰を説明できる。
磁場の入っていない流体では、流れなし・温度一様である状態において、音波は等方的に広がる 1 つのモードのみである。一方、MHD モードでは 3 つの図 1: 減衰段階

異なるモードが存在する。それぞれ、アルヴェン波、
速い磁気音波、遅い磁気音波と呼ばれる。アルヴェ

また、表内の Oscillatory regime は振動しながら減ン波は横波、速い・遅い磁気音波は縦波である。

衰する段階で、Overdamped regime は脱結合粒子の今回注目する時期はニュートリノ脱結合付近から光平均自由行程の成長によって振動せずに減衰する過子の再結合まで (z > 1300) の初期宇宙である。こ減衰の段階を表す。

の間に MHD モードは表 1 のような減衰時期を経験

本論文では、MHD モードの振幅が e−1 倍されたとしたとされる。つまり、ニュートリノ脱結合までにき’ 減衰を受けた’ と定義している。この時、減衰をニュートリノによる MHD モードの 2 段階の減衰が受けたある MHD モードの最大の波長を減衰スケー

起こる。そして、同時期から光子の再結合までに光ルと定義する。減衰スケールは脱結合粒子の平均自子による 2 段階の減衰が起こるという具合である。

由行程の成長に伴って成長することから、温度 T のそこで、これら 2 段階の減衰の物理的描像を説明す関数となっている。

る。1 段階目は放射拡散機構と呼ばれる。これはいわゆる熱伝導、粘性による MHD モードの減衰を表しており、減衰によって失われた磁場のエネルギーは118

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

解析手法

ので、それぞれで異なる減衰スケールが導出された。
速い磁気音波では、再結合時の減衰スケールは銀河

計量は曲率 0 の Robertson-Walker metricgμν = diag(1, −a2 , −a2 , −a2 )スケールにまで及んだ。これは現在観測される銀河(1)

磁場がダイナモ増幅を経験した可能性が大いにあることを示唆している。一方、遅い磁気音波とアルヴェ
ン波では再結合時の減衰スケールは銀河スケールほを用いた。エネルギー運動量保存則

ど大きくはない。これは比較的小さなスケールで磁

T;μν
=0
ν

(2)

が成りたち、これを用いて相対論的 MHD 方程式を場が生き残ることを示唆しており、初期の段階での恒星の形成などに重要である可能性がある。

導出した。ここで用いるエネルギー運動量テンソルは放射拡散機構と放射自由流れ機構で異なり、拡散機構ではμν
T μν = TIμν + τμν + TEM

4

展望
今回の解析結果では、減衰スケールは時間と共に成(3)長することになる。つまり小スケール側の磁場の減衰が著しくなる。これは小スケールでエネルギーが卓越

自由流れ機構ではする原始磁場の生成理論への制限をかけることにつなμν
T μν = TIμν + TEM(4)を用いた。ここで、TIμν は理想流体のエネルギー運
動量テンソル、τμν は粘性、熱伝導を表すテンソμνル、TEMは電磁エネルギー運動量テンソルである。

自由流れ機構では流体はバリオンのみで構成されていると仮定し、脱結合粒子はバリオン流体と時折衝がる。ここに関しては別途調査中である。また現在、
超大型電波望遠鏡 Squqre Kilometre Array(SKA) による宇宙磁場の解明が期待されている。[2] その中で天体による磁場の影響を受けづらいボイド領域や銀河間の探査も期待されている。今後は原始磁場の生成理論・減衰機構の観測制限、数値計算による制限
可能性について調べたいと考えている。

突する背景として扱う。ここへ物理量を背景成分と摂動成分に分けて (3)(4) へ代入することで、相対論的 MHD 方程式を導出した。

Reference

MHD 方程式を導出した後、周波数と波数の関係式である分散関係式を導出するために、方程式をフー[1] Karsten Jedamzik, Višnja Katalinić, and Angela
V. Olinto ,Phys. Rev. D 57, 3264,1998

リエ変換した。フーリエ変換は∫
φ (x, t) =d3 k φ (k, t)exp(ik・x)[2] 日本版 Square Kilometre Array サイエンスブック
2020

(5)

∫
φ (k, t) = φk (t)exp(i ω (t)dt)(6)を用いた。フーリエ変換を施すことで、2 段階の減衰での MHD モードの分散関係式を導出した。

3

結果・考察
分散関係式を解くことで周波数ωを波数の関数で記述できる。ωは複素数であり、実部が波の伝播率、虚部が減衰率を示す。さらにωの虚部から、先述した減衰スケールを温度の関数として導出している。[1]MHD モードごとでそれぞれ分散関係式を導出する

119

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重宇 b01コンパクトなボゾンスターをどうやって作るか
宮内 侑

120

未提出

121

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重宇 b02

warm dark matter の mass function
小野 瑞季

122

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Warm Dark Matter モデルの高分解能シミュレーションによる
subhalo mass function
小野 瑞季 (北海道大学大学院 宇宙理学専攻)

AbstractΛCDM モデルは、現在、構造形成の標準的なモデルとなっている。しかし、cold dark matter (CDM) モデ
ルには、銀河より小さなスケールで様々な問題が指摘されている (missing satellite, core-cusp, too-big-to-failなど)。また、このような小スケールではダークマター （DM） の分布はバリオンの影響を強く受けるため、その性質はあまり制限されていない。そのため、大スケールでは CDM と同様に振る舞い、小スケールでCDM と異なる振る舞いをする DM を考える余地があり、候補として warm dark matter (WDM) がある。
WDM はその質量により、例えば天の川銀河のダークハローに含まれるサブハローの数などに対して異なる予言をするため、観測的にサブハローの質量関数が得られれば WDM の質量に制限を付けることが可能である。そのためには観測と対比する理論モデルが必要となる。そこで、1 keV と 10 keV の WDM の宇宙論的 N 体シミュレーションを行い、z = 0 に ∼ 1012 M⊙ となる DM ハローのサブハロー質量関数を調べた。

WDM では数値ノイズを種に形成される偽ハローが問題となるため、Lovell et al. (2014) の方法を用いて偽
サブハローを取り除いたのち、extended Press-Schechter を用いた理論モデル (Hiroshima et al. 2018) と比較した。その結果、理論モデルは z = 0 から 1 までは我々のシミュレーション結果を良く再現することがわかったが、z = 2 ではサブハローの数を過小評価することがわかった。本講演ではこれらの結果について報告し、理論モデルとシミュレーションの不一致の原因について議論する。

1

なるダークマターハローのサブハロー質量関数を調Introduction

べた。
平坦低密度な Lambda-Cold Dark Matter（ΛCDM）モデルは、現在、構造形成の標準的なモデルとなっている。しかし、CDM モデルには、銀河より小さなスケールで様々な問題が指摘されている

2

Simulation（missing satellite, core-cusp, too-big-to-fail など）。

本研究では、CDM モデルと 1keV、10keV の WDM

また、この様な小スケールではダークマターの分布モデルの宇宙論的 N 体シミュレーションを行った。宇はバリオンの影響を強く受けるため、その性質はあ宙論パラメータは PLANCK の最新結果に基づいてまり制限されていない。そのため、大スケールでは決定した (Aghanim et al. 2021)。用いた宇宙論パラ

CDM と同様に振る舞い、小スケールでは CDM と異 メータは、物質密度 Ωm = 0.3158、ダークエネルギー
なる振る舞いをするダークマターを考える余地があ 密度 ΩΛ = 0.6842、ハップルパラメータ h = 0.6732、る。そのような候補の１つとして Warm dark matter

スペクトル指数 ns = 0.96606、パワースペクトル規（WDM）がある。WDM はその質量により、例えば

格化定数 σ8 = 0.81 である。WDM モデルのシミュ

天の川銀河のダークマターハローに含まれるサブハ

レーションで用いた初期密度揺らぎのパワースペク

ローの数などに対して異なる予言をするため、観測

トルは伝達関数 T (k) を用いて以下の式で表されて的にサブハローの質量関数が得られれば、WDM のいる。

PWDM (k) = T 2 (k)PCDM (k)質量に制限をつけることが可能である。そのためには観測と対比する理論モデルが必要となる。そこで、 ここで、P (k) は共動波長 k の関数としたパワースペ
その質量が 1 keV と 10 keV の WDM の宇宙論的 N

クトルである。T (k) は Bode et al. (2001) で以下の体シミュレーションを行い、z = 0 に ∼ 10 M⊙ と12

123

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校形成される偽ハローが問題となる。そこで Lovell etように与えられている。

T (k) = (1 + (αk)2ν )−5/ν

al. (2014) は３つの観点から偽ハローの同定・除去を

ここで、ν は定数で、本研究では ν = 1.12 とした。

一つ目はハローの形である。Lovell et al. (2014)

また、α はパワースペクトルのカットオフの位置をによると、真ハローと偽ハローで形が異なり、真ハ決めるパラメータであり、例えば、α が大きいほどローは比較的球状である一方で、偽ハローは比較的

カットオフスケールがより大きくなる。α は Bode et

扁平である。彼らは、三軸楕円体の長軸と短軸の軸

al. (2001) で WDM 粒子の質量 mWDM に対応づけ

比を s として、ハローの進化過程で最大となった質られており、以下の式で得ることができる。
()0.15
0.05 ( mWDM )−1.15 ΩWDM
α =0.4
h Mpc−1 1keV(
)1.3 (
)
−0.29
h
gWDM
×
0.65
1.5

量の半分以上の質量に初めてなった時のサブハロー

ここで、ΩWDM は WDM が寄与する密度パラメー(2007) によると、そのハロー質量以下では偽ハロー

タ、gWDM は自由度数で gWDM = 1.5 である。α をが支配的になる質量の閾値 Mlim は、パワースペクト

計算すると、1keV において α = 0.04793h

10keV において α = 0.00372h

−1

行なった。

−1

の粒子の初期位置を使って s を計算し、CDM による
サブハローの下限 99%を偽ハローと真のハローを分ける閾値 scut としている。
二つ目は、ハローの質量である。Wang & White

Mpc、 ルのカットオフスケールとシミュレーションの分解

Mpc となった。計能に依存しており、以下の式で表されている。

Mlim = 10.1ρ̄dkpeak
ここで、ρ̄ は宇宙の平均密度、d はシミュレーション
における平均粒子間距離、kpeak は無次元パワースペ
クトル ∆2 (k) の最大値を取る波数 k である。
しかし、Lovell et al. (2014) は Mlim を閾値として使用してしまうと真のハローまで除去しすぎてしまうことを指摘し、同じ位相の初期密度揺らぎをもつ
異なる分解能のシミュレーションを比較することでこの閾値を Mmin = κMlim として、κ の値を求めた。
本研究では、Lovell et al. (2014) で得られた値、
図 1: シミュレーションで用いた無次元パワースペク

scut = 0.16 と κ = 0.5 を採用し、Mmin は 1keV で

トル 黒色が CDM モデルに、マゼンタが 1 keV、シMmin = 1.1 × 108 M⊙ 、10keV で Mmin 1.0 × 106 M⊙

アンが 10 keV の WDM モデルに対応している。

と求まった。以上の結果を用いて、偽ハローの同定・算したパワースペクトルを図 1 に示す。横軸は波数 k除去を行った。

を常用対数で表した log10 k 、縦軸は無次元パワース
ペクトルを常用対数で表した log10 ∆2 である。黒色が CDM モデル、マゼンタが 1keV の WDM モデル、

4

RESULT and DISCUSSION

シアンが 10keV の WDM モデルに対応しており、破除去したサブハローカタログを用いて、Semi-

線が無次元パワースペクトルが最大となるときの波

Analytical SubHalo Inference ModelIng (SASHIMI)(Hiroshima et al. 2018) とサブハローの質量関数を比数 kpeak の位置を表している。

較した。SASHIMI とは、extended Press-Schechter理論に加え、潮汐摩擦を考慮したサブハローの進化

3

Removal of Spurious Halos

モデルを用いた準解析的理論モデルである。

WDM ではその平均自由行程以下のスケールに物
理的な揺らぎが存在しないため、数値ノイズを種に

図 2 は、赤方偏移 z = 0, 1, 2 のメインハローの

r200b（密度が宇宙の背景密度の２００倍となる半径）1242023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: サブハローの累積質量関数 赤方偏移は、左上が z = 0、右上が z = 1、下が z = 2 に対応している。黒色が CDM、赤色が 1 keV の WDM、青色が 10 keV の WDM のシミュレーションに、灰色がCDM、マゼンタが 1 keV、シアンが 10 keV の WDMの SASHIMI に対応している。

図 3: CDM に対する WDM のサブハローの微分質量関数の比 赤方偏移は、左上が z = 0、右上が z = 1、下が z = 2 に対応している。黄色が 1 keV の WDM、
緑色が 10 keV の WDM の先行研究 (Lovell 2020) に、
赤色が 1 keV の WDM、青色が 10 keV の WDM のシミュレーションに、マゼンタが 1 keV、シアンが以内にあるサブハローの累積質量関数である。Msub

10 keV の WDM の SASHIMI に対応している。

はサブハローの質量で、サブハローの質量はビリアル
表 1: ﬁtting パラメータ
Param/Data
si-1
sa-1 si-10質量としている。Nsub はその Msub よりも大きい質量をもつサブハローの個数である。黒色が CDM、赤

sa-10

色が 1 keV の WDM、青色が 10 keV の WDM のシ

α0

4.2

4.2

4.2

4.2

ミュレーションに、灰色が CDM、マゼンタが 1 keV、

α1

0.74

0.97

5.8

5.9

シアンが 10 keV の WDM の SASHIMI に対応して

α2
β0

0.57
2.6

1.0
2.6

5.8
2.6

7.0
2.6

我々のシミュレーション結果をよく再現することが

β1

3.2

1.4

1.3

1.3

わかった。しかし、赤方偏移 z = 2 ではサブハロー

β2

1.5

1.3

1.3

1.5

の数を過小評価することがわかった。

γ0

-0.18

-0.16

-0.26

-0.32

いる。その結果、SASHIMI は赤方偏移 z = 0, 1 で次に、CDM に対する WDM のサブハローの微分

γ1

-1.5

-1.1

-0.51

-0.54

質量関数の比に対する ﬁtting 関数 Rﬁt の ﬁtting パ

γ2

-0.18

-1.1

0.46

-0.8

ラメータの推定を行った。Lovell (2020) により、Rﬁt
結果の図を図 3 に示す。赤方偏移は、左上が z = 0、は以下の式で与えられている。

Rﬁt

=
=

右上が z = 1、下が z = 2 に対応している。黄色が 1(dNWDM /d log M )
nWDM
=
nCDM
(dNCDM /d log M )(()β ) γαMhm
1+MkeV の WDM、緑色が 10 keV の WDM の先行研究(Lovell 2020) に、赤色が 1 keV の WDM、青色が 10
keV の WDM のシミュレーションに、マゼンタが 1
keV、シアンが 10 keV の WDM の SASHIMI に対応

ここで、n は微分質量関数、N はある質量範囲(d log M ) に対するハローの数、Mhm は CDM に対す
る WDM のパワースペクトルの比の平方根が 0.5 になる時の波数 khm に対応する質量スケール、α, β, γは ﬁtting パラメータである。

している。各点は計算した R = dnWDM /dnCDM であり、各線は ﬁtting した Rﬁt の結果である。各破線
は各モデルの Mhm で、赤色が 1 keV、青色が 10 keVに対応している。また、ﬁtting パラメータを表 1 に示す。si はシミュレーション、sa は SASHIMI（理論モ1252023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校デル）、-1 は 1keV の WDM、-10 は 10keV の WDMているとすれば、 z = 2 で SASHIMI がシミュレーに対応している。例えば、sa-1 であれば、SASHIMI

ション結果を再現できていないと考えられる。一方による 1keV の WDM に対応している。αz , βz , γz

で、偽ハロー除去が十分に行われていないとすれば、の z は赤方偏移を表す。例えば、β1 であれば z = 1

z = 0 や z = 1 ではシミュレーションが過大評価しの β である。赤方偏移 z = 0 では、1 keV のシミュ ていないことから、z = 2 で偽ハローの除去の改良
レーションと理論モデルが先行研究とよく一致した。 を行う必要があると考えられる。

10keV のシミュレーションと理論モデルはよく一致したが両者とも先行研究と一致しなかった。赤方偏移

z = 1 では、1 keV の理論モデルと先行研究が Mhm

5以上でよく一致したが、両者ともシミュレーションと一致せず、また Mhm 以下でどれも一致したものはなかった。10 keV のシミュレーションと理論モデ
ルがよく一致したが、両者とも先行研究と一致しなかった。赤方偏移 z = 2 では、1 keV の理論モデルと先行研究が Mhm 以上で一致したが、両者ともシ
ミュレーションと一致せず、また Mhm 以下で一致したものはなかった。10 keV のどれも一致したものはなかった。
また、z = 0 では 1 keV のシミュレーション、理論モデル、先行研究で非常によく一致しているのに対し、10 keV のシミュレーションと理論モデルが先行研究とよく一致していなかったことから、先行研
究の ﬁtting パラメータは 1 keV では適切だと考えられるが、10 keV では適切ではない可能性が考えられる。そのため、ﬁtting パラメータは WDM の質量に依存している可能性があるため、WDM の質量依存性についても調査する必要がある。高赤方偏移になるにつれ、特に 10 keV の ﬁtting 関数 Rﬁt が計算しCONCLUSION
本研究では、1 keV と 10 keV の WDM モデルの高解像度で宇宙論的 N 体シミュレーションを z = 127から z = 0 まで行った。WDM モデルのシミュレー
ションでは、数値ノイズを種に生成される偽ハローが問題となるため、Lovell et al. (2014) の手法を用いて偽ハローの除去を行ったのち、CDM に対する

WDM のサブハローの微分質量関数に対する比 R を計算し、ﬁtting 関数 Rﬁt の ﬁtting パラメータを推定した。先行研究の ﬁtting パラメータは z = 0 で 1 keVの WDM モデルにのみ適用でき、10 keV の WDM
モデルでは β, γ の値を適用することが出来なかった。また、赤方偏移 z = 2 のとき、10 keV の WDM
モデルのシミュレーションと理論モデルに対してうまく ﬁtting することが出来なかった。以上のことから、今後の研究として、ﬁtting 関数 Rﬁt の WDM の質量依存性と赤方偏移依存性を調査し、ﬁtting 関数

Rﬁt の表式の改良を試みる。そして、WDM の質量範囲に対する制限を調査する。

た R をトレースすることが出来ていないように思われる。つまり、ﬁtting 関数 Rﬁt の表式を改良する必要があると考えられ、ﬁtting パラメータの赤方偏移依存性について調査する必要がある。

1 keV のシミュレーションが z = 0 以外でほかの２つと良い一致を示すことはなかったのは、そもそも 1 keV のシミュレーションで作られるサブハローの個数が少なく、ﬁtting が困難なことが原因である

Reference
N. Aghanim et al. (Planck) 2020, Astron. Astrophys.
641, A6
Bode P., Ostriker J. P., Turok N., 2001, ApJ, 556, 93
Lovell M. R., Frenk C. S., Eke V. R., Jenkins A., Gao
L., Theuns T., 2014, MNRAS, 439, 300

可能性がある。また、 Mhm 以下で z = 0 以外でよWang J., White S. D. M., 2007, MNRAS, 380, 93

い一致を示さなかったのも、half-mode 波長スケール
以下ではサブハローの形成が抑制され、サブハロー

N. Hiroshima, S. Ando, T. Ishiyama, 2018, Phys. Rev.
D97 123002の個数がさらに少なくなってしまい、ﬁtting が困難

M. R. Lovell, 2020, ApJ, 897(2), 147

なことが原因である可能性がある。
赤方偏移 z = 2 では、10 keV の理論モデルが R の値をシミュレーションより過小評価していることが分かった。これは、偽ハローの除去が十分に行われ126

——–index へ戻る

重宇 b03

原始ブラックホールからの Hawking 放射のモンテカル
ロシミュレーション
八木 大地

127

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホールのホーキング放射のモンテカルロシミュレーション
八木

大地 (弘前大学大学院 理工学研究科)

Abstract
原始ブラックホールとは、インフレーション期に初期揺らぎが重力崩壊してできると考えられているブラックホールのことである。原始ブラックホールは重力以外の相互作用をほとんどしない点で暗黒物質の有力な候補とされている。
ブラックホールは量子力学的な効果によって質量に反比例する温度を持ち、その温度に対応する Planck 分
布のエネルギーを持つ素粒子を放射する Hawking 放射が起こるとされ、徐々に放射するエネルギーを増加させながら最終的には消滅する。現在観測されているような恒星質量以上のブラックホールは質量が十分に重いので温度が低くなり、観測可能なエネルギーを持つ Hawking 放射はほとんど起こらない。しかし、原始ブラックホールは様々な質量を持ち得ると考えらており、インフレーション期に 4 − 5 ∗ 1014 g 程度の原始ブ
ラックホールはインフレーションから現在まで Hawking 放射によって質量を減少させ、消滅する瞬間及び直前の原始ブラックホールとなっており、十分高温のため観測可能であると考えられている。
本研究では、MacGibbon-Webber のモデルに基づき、LHC 等の高エネルギー素粒子実験の結果に基づくデータを反映した Pythia8.3 を用いて計算し、初期質量が 4 − 5 ∗ 1014 g 程度の原始ブラックホールからのHawking 放射によって出てくる粒子のガンマ線等のスペクトルを計算した。

1

密度の上限値が与えられている。

Introduction
Planck 衛星による宇宙マイクロ波背景放射の観測によって、現在の宇宙の平均エネルギー密度のほぼ 4分の 1（27%）をダークマターと呼ばれる正体不明の物質で占められている事がわかってる。ダークマターは電磁気的な相互作用をほとんど或いは全しないが、重力相互作用はするという性質を有しており、宇宙の構造形成に重要な役割を担っている。現在ダーク
マターはアクシオンなどの未発見の素粒子やニュー

図 1: 原始ブラックホールの存在量に対する制限

トリノなどの他に原始ブラックホールが有力な候補として挙げられている。

ブラックホールは事象の地平線で対生成された粒

原始ブラックホールとは Zel dovich や Hawking に子は、一方はブラックホールに落ちていくが、もうよって予言された、ビックバン直後に揺らぎが重力崩

一方はブラックホールの外に放射される現象が起こ

壊してできたとされるブラックホールであり、恒星ることが Hawking によって予言されている。ブラッからできるブラックホールと異なり、10−8 g 程度まクホールは事象の地平線の表面積と等しい面積を持で小さな質量を持つ原始ブラックホールが理論的につ黒体とみなせて、その温度は許容されているので、観測可能な恒星質量ブラック
ホールのみではプランクの観測結果を説明するダーTH =クマターの質量には届かないが、原始ブラックホー
ルも含めれば、ダークマターの質量のうち全て、なℏc3
8πkB GM(1)で与えられる。

いしより多くの質量をブラックホールで説明できる

Hawking の研究によれば、Hawking 放射はこの黒体可能性がある。

のスペクトルで放射される。Stefan–Boltzmann の法

原始ブラックホールは様々な質量の様々な観測で数

128

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
i 粒子の多くは崩壊し、f 粒子則により、ブラックホールのエネルギー放射率は

E

=
=
=

f : e± , νe , ν¯e , νµ , ν¯µ , ντ , ν¯τ , γ

σT 4 × 4πrs2
4
π 2 kBℏc3
2GM()4 × 4π( 2 )2
60c2 ℏ3 8πkB GM
c5ℏc15360πM 2 G2になる。最終的な f 粒子のスペクトルは全ての i 粒子のスペクトルと多重度の積の総和で求められるので、次のような式で表せられる。

∑
dṄf
=
gi
def
i

よって、エネルギー保存の法則により、ブラックホー
ルの質量の変化率は

dM
dt

∫ ∞
dEi
0

dṄi dNi→f(Ei , Ef )dEi dEf

(2)

dN

=

1
− E
c

=

−

Ṅi
ここで、ddE(Ei , Ef )が一次粒子のスペクトル、 dEi→fi
fはエネルギー Ei の i 粒子 1 個から電磁シャワーやQCD ジェットを経て最終的に出るエネルギー Ef のℏc4
<015360πM 2 G2

f 粒子の微分多重度この微分多重度を解析的に計算すとなる。よって、Hawking 放射によって、ブラック
ホールの質量は減少する。MacGibbon による研究により、M∗ = 5 × 1015 g 以下の質量の PBH は現在のることは不可能なので、PYTHIA 8.3 を用いてモンテ
カルロシミュレーションを行なって平均値を数値的に求める。

宇宙年齢の時間で質量が０になり、「蒸発した」と言える。本研究では、M∗ 程度の近傍の PBH を想定し、 2.2
十分にホーキング放射し、回転していないブラック
ホールを考える。

PYTHIA 8.3 を用いたモンテカルロシ
ミュレーション

f 粒子を適当なビンの数に分けて、そのビンのエネ
ルギー幅 ∆Ef を用いて、エネルギー Ei の i 粒子 1

2

Methods

2.1

MacGibbon-Webber モデル個が生成するエネルギービン [Ef , Ef + ∆Ef ] に入る粒子の個数を ∆Ni→f と定義する。

クなど、真空から対生成で生じ得る全ての素粒子がPYTHIA 8.3 の Resonance Decays を用いて、静止質量 m0 = 2Ei 、電荷 0、色荷 0、スピン 1 重項の放射される。この粒子を i 粒子と呼び、次の粒子を共鳴状態を設定し、iī 対に崩壊するように設定する。

考える。

これを繰り返し計算し、∆Ni→f の平均値を求める。

¯ u, ū, s, s̄, c, c̄, b, b̄, t, t̄, e± , µ± , τ ± , g, Z, w ± , H0i : d, d,3

Hawking 放射は、光子だけでなく、電子やクオー

Results

νe , ν¯e , νµ , ν¯µ , ντ , ν¯τ , γ

図 2 から図 4 のように、二次粒子は高エネルギー

ここで、光子は質量が０だが、多くの粒子は０以側ではスペクトルはプランク分布に近い形になるが、外の質量を有する。粒子の静止エネルギー m0 c2 に対低エネルギー側になると、他の粒子が崩壊してできして、ブラックホールの温度のエネルギー KB T よた二次粒子の影響が大きい。10 − 1GeV 付近のピー

り小さい時は、実質的にその粒子は放射されないとクに対しては、図 2 の光子は中性π中間子の 2 光子

見做す。

崩壊、 図 3、図 4 のニュートリノと電子は荷電π中間

また、クオークやグルーオンは QCD 閉じ込めスケー

子の崩壊の寄与が支配的だった。一方で 10 − 4GeV

ルのエネルギーと呼ばれる、Λ = 250 300 Mev を超付近の電子や電子ニュートリノのピークに対しては、える運動エネルギーを持っていなければ、ブラック

中性子のベータ崩壊の寄与が支配的とみられる。

ホールの外で安定なハドロンに転化することができ

図 5 のように、一次粒子としては放射されないが、二ず、ブラックホールに引き戻されてしまうので、実次粒子同士が反応し、陽子が放射される。

質的に放射されない。

1292023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

1032

1028
1026
1024
1022
1020
1018
1016
10−6

p
TBH = 100 TeV
10 TeV
1 TeV
100 GeV
10 GeV
1 GeV
100 MeV
10 MeV1030.
dN/dEK [s-1 GeV-1].
dN/dEK [s-1 GeV-1]

1032

γ
TBH = 100 TeV
10 TeV
1 TeV
100 GeV
10 GeV
1 GeV
100 MeV
10 MeV

1030

1028
1026
1024
1022
1020
1018

10−4

10−2
100
102
Kinetic energy EK [GeV]

1016

104

10−4

10−2
100
102
Kinetic energy EK [GeV]104

図 2: 光子の Hawking 放射のスペクトル。実線が一

図 5: 陽子の Hawking 放射のスペクトル。実線が一次粒子、破線が二次粒子

次粒子、破線が二次粒子

1032.
dN/dEK [s-1 GeV-1]

指導を頂いていることに，感謝を申し上げます．

e−
TBH = 100 TeV
10 TeV
1 TeV
100 GeV
10 GeV
1 GeV
100 MeV
10 MeV

1030
1028
1026
1024
1022

Reference

1020

S. W. Hawking 1971, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 152,
75-78.

1018
1016
10−6

10−4

10−2
100
102
Kinetic energy EK [GeV]104

S. W. Hawking 1974, Nature 248, 30-31.

図 3: 電子の Hawking 放射のスペクトル。実線が一次粒子、破線が二次粒子

Christian Bierlich et al. 2022, SciPost Phys. Codebases
8.

1032
νe
TBH = 100 TeV
10 TeV
1 TeV
100 GeV
10 GeV
1 GeV
100 MeV
10 MeV.
dN/dEK [s-1 GeV-1]

1030
1028
1026
1024
1022

Don N. Page 1976, Phys. Rev. D 13, 198–206.
Planck Collaboration 2020, Astron. Astrophys. 641, A1.
Ya. B. Zel dovich and I. D. Novikov, 1967, Sov. Astron.
10, 602–603.

1020
1018
1016
10−6

J. H. MacGibbon & B. R. Webber 1990, Phys. Rev. D
41, 3052–3079.

10−4

10−2
100
102
Kinetic energy EK [GeV]104

図 4: 電子ニュートリノの Hawking 放射のスペクト
ル。実線が一次粒子、破線が二次粒子

4

まとめと展望PYTHIA 8.3 をもちいて単一の PBH のスペクトルを計算することができた。今後はこの PBH を、具体的な空間分布や質量分布を仮定し、実際の宇宙線の観測結果と比較したい。

Acknowledgement
本講演は，指導教員の仙洞田雄一教授との共同研究に基づくものです．日々の議論を通して多大なご130

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重宇 b04

ブラックホールの帯電と BZ 過程
松尾 賢汰

131

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホールの帯電と BZ 過程
松尾 賢汰 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
ブラックホール (BH) から出ている jet のエネルギー供給機構の有力な候補として Blandford-Znajek 過
程 (BZ 過程）が支持されている。BZ 過程は回転している BH の回転エネルギーを磁場を使って引き抜くというプロセスであり、jet が起こるために必要なエネルギーを効率良く抜き出せると考えられている。King

and Pringle (2021) はブラックホールまわりの電磁場が Wald 解で与えられているとき、BH は荷電粒子の降着により選択的に同じ符号の電荷を取り込んで帯電し、その結果電場が消失するので、BZ 過程は起こらないという結論を出した。一方、Komissarov (2022) は BH は帯電はするが、BZ 過程は起こるという反対の意見を出した。BZ 過程の機能に関して主張は異なっているが、両者共にブラックホールは片方の電荷のみを取り込んで帯電するという主張をしている。
本講演では、意見の分かれている帯電による BZ 過程の議論はせず、Komissarov (2022) の BH に帯電する帯電量の内容についてレビューする。

1の基底ベクトルは時間一定の超曲面の単位法線ベク

Introduction
ブラックホール (BH) から出ている jet のエネ

トル na を使って

ta = αna + β a

ルギーの供給機構の問題の一つは、jet を引き起こすために、莫大なエネルギーを必要とすることにあ(1)と書ける。このとき計量はる。Blandford と Znajek は BH の回転エネルギー

ds2 = −α2 dt2 + γij (dxi + β j dt)(dxj + β i dt) (2)が磁場を使い抜き出せることを示した。この機構はBlandford-Znajek 過程 (BZ 過程) と呼ばれ、現在は と書くことができる。ここで、α はラプス関数、β i
BZ 過程が jet のエネルギー供給機構である可能性が はシフトベクトル、γij は三次元計量と呼ばれる。
高いと考えられている。

この 3+1 分解を Kerr 時空の Boyer-Lindquist 座

Wald (1974) はキリングベクトルからテスト場と標に対して行う。これは、Zero Angular Momentum

しての電磁場の解である Wald 解を導いた。Wald はObserver(ZAMO) と呼ばれる。そうすると ZAMO は

KerrBH の Wald 解の回転軸上で、片方の電荷を持
ds2 = −α2 dt2 + ϖ2 (dϕ − Ωdt)2 +つ粒子が降着して BH が帯電すると主張した。帯電による BZ 過程の影響に関しては King and Pringle(2021) や Komissarov (2022) が議論しており、主張

ρ2 = r2 + a2 cos2 θが異なるが BH の帯電に関しては見解が一致してい論する為、まず曲がった時空での電磁場を定義する。

2.1

3+1 分解と ZAMO2 2

2

β i = (0, 0, −Ω)

電場と磁場を曲がった時空で定義するために計量を時間と空間に分解する”3+1 分解”を行う。時間(5)

Σ = (r + a ) − ∆a sin θ
√
ρ2 ∆
α=
Σ
2M ar
Ω=
Σ
√
Σ
sin θ
ϖ=
ρ2
2

帯電量に関しては否定的である。帯電量に関して議Methods(4)∆ = r2 − 2M r + a2

る。しかし、Komissarov (2022) は Wald が主張した

2

ρ2 2
dr + ρ2 dθ2
∆
(3)

2

(6)
(7)
(8)
(9)
(10)

と書ける。ここで、Ω は KerrBH の角速度である。

132

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

マクスウェル方程式

2.2

2.4

BH の回転軸上では選択的に荷電粒子を BH に曲がった時空でのマクスウェル方程式は∇a F ab = −j b

ブラックホールの帯電落とすことができ、Aµ は

(11)

B0
q
(mµ + 2akµ ) − kµ(22)22∇a ( F ) = 0(12)と書ける。q が帯電量を表す。Wald は、帯電は静電と定義される。ここで、∗ F ab は完全反対称テンソル
ポテンシャルの差が 0 になる q = q0 = 2aB0 まで続
ϵabcd を使ってくと主張した。 図 1、図 2 は帯電前後の BH まわり
1∗(13)
Fab = ϵabcd F cd
2
∗

Aµ =

ab

である。また、Fab は 4 元ポテンシャルを使ってFab = ∇a Ab − ∇b Aa(14)

電場と磁場はこれらを使ってEa = Fab nb
1
1
Ba = − ϵabcd F cd nb = ϵabc F bc
22a
ここで、ϵabcd n = ϵbcd である。

(15)
(16)

Wald 解2.3

Wald 解は Wald (1974) が見つけ出したキリン
グベクトルを使ったマクスウェル方程式の解である。

図 1: 帯電前の BH

KerrBH に対する Wald 解は物理的な条件から
Aµ =B0(mµ + 2akµ )2(17)と書くことができる。ここで、mµ = δϕµ ,k µ = δtµ である。ZAMO から見た電場と磁場は)(Ma(r2 − a2 cos2 θ)R2 C 2
Er = B 0 √2r2 sin2 θ −
Σ
ρ2 Σ

√

(18)
3

2

∆ 2M a C r sin θ cos θ
(19)
Σ
ρ4
cos θ Σ − 2M a2 rR2 C 2
Br = B0 √
(20)
ρ2
ρ2 Σ
√
∆
M a2 C 2 (r2 − a2 cos2 θ)Bθ = −B0)sin θ(r +Σρ4(21)Eθ = B 0となる。ここで、C 2 = 1 + cos2 θ,R2 = r2 + a2 で

図 2: 帯電後の BHある。
の磁力線と静電ポテンシャルをプロットしたもので133

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校ある。静電ポテンシャルの正と負はそれぞれピンク
色と水色で表され、白色は 0 を表す。

2.5

座標不変な量
電場や磁場は観測者は観測者に依存する物理量であるが、観測者の依存しないスカラー量として以下の二つが存在する。

⃗ ·B⃗∗F µν Fµν = 4E

(23)F µν Fµν = 2(B⃗2 − E⃗2 )

(24)

⃗ ·B
⃗ ̸= 0 であれば磁力線に沿って荷電粒子は
仮に、E
⃗ ·B
⃗ = 0, B⃗2 − E⃗2 < 0 であれば電場加速される。E

図 4: ∗F µν Fµν (a = 1, q = q0 )優勢であり、荷電粒子は磁力線に垂直に加速される。

3

Results∗F µν Fµν と F µν Fµν のそれぞれの帯電前後を描いたものが図 3 から図 6 である。
黒線は図 1 や図 2 に描いてある磁力線で、灰色の線がそれぞれの ∗F µν Fµν と F µν Fµν をプロットしたものである。図 5 は図 1 や図 2 と同じくピンクが濃いほど正の値が大きく、白色は 0 である。図 5 以外では紫色が０を表し、水色は負、ピンク色は正である。

図 5: F µν Fµν (a = 1, q = 0)

図 3: ∗F µν Fµν (a = 1, q = 0)

図 6: F µν Fµν (a = 1, q = q0 )1342023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Conclusion

⃗ ·B
⃗ =
図 4 と図 6 の赤道面上に注目すると、E⃗⃗220, B − E < 0 の領域が存在する。よって電場優勢であり、荷電粒子は磁力線に垂直に加速される。このとき加速される荷電粒子は BH に帯電している電荷と反対符号のものである。なので、BH の帯電量はq = q0 = 2aB0 に比べて確実に減少する。Wald の主張した帯電量 q0 = 2aB0 はただの上限値の可能性が高い。より正確な帯電量を求めたいならば、荷電粒子の運動方程式を数値的に解いていく必要がある。

Acknowledgement
本発表にあたり、ご指導いただいた宇宙物理・重力研究室の皆様、講演の機会を与えてくださった夏の学校の運営の皆様に深く感謝申し上げる。

Reference
A. R. King and J. E. Pringle.

Can the Bland-ford–Znajek Mechanism Power Steady Jets?
Astrophys. J. Lett., 918(1):L22, 2021.

doi:

10.3847/2041-8213/ac19a1.
Serguei S. Komissarov. Electrically charged black
holes and the Blandford–Znajek mechanism.
Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 512(2):2798–2805,
2022. doi: 10.1093/mnras/stab2686.
Robert M. Wald. Black hole in a uniform magnetic
ﬁeld. Phys. Rev. D, 10:1680–1685, 1974. doi:
10.1103/PhysRevD.10.1680.

135

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重宇 b05

Quasinormal mode spectrum of the AdS black hole with
the Robin boundary condition
小塚 友裕

136

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Quasinormal mode spectrum of the AdS black hole with theRobin boundary condition
小塚 友裕 (日本大学大学院 総合基礎科学研究科)

Abstract
我々は Robin 境界条件下における AdS ブラックホールの準固有振動モード (QNM) スペクトルについての研究を行った。平坦な事象の地平面を持つ Sch-AdS4 を考える。Klein-Gordon 方程式を満たす 4 次元のスカ
ラー場を考えるとき、無限における波動関数 ϕ(z) の漸近形は ϕ(z) ∼ ϕ1 z + ϕ2 z 2 となる。これに Robin 境界
条件を課し ϕ2 = cot(θ/2)ϕ1 として、数値計算を行うことで QNM スペクトルを求めた。その結果、Robin
境界条件の θ を 0 → 2π まで 1 サイクルさせると QNM スペクトルの軌跡は変化しないが n 番目の overtone
が n − 1 番目の overtone に移動していること、また、不安定性が θ ≃ 222.4◦ で現れることが確認できた。

1である。ここでIntroduction
本発表は、我々の研究である『Quasinormal mode

F (z) = 1 − z 3spectrum of the AdS black hole with the Robinboundary condition』に基づくものである。[(Keiju

であり、z = 0 のとき無限遠で z = 1 のとき地平面

Murata et al. 2023)](3)である。ここで Klein-Gordon 方程式

漸近的な AdS 時空は無限遠に時間的な境界を持ち、□Φ − µ2 Φ = 0

glpbally hyperbolic ではない。漸近的な AdS 時空に(4)

おける場のダイナミクスを決定するためには初期条考える。また、スカラー場 Φ はフーリエモードで次件と同様に境界における境界条件を指定する必要がのように展開できる。

ある。本研究では ϕ1 と ϕ2 に対して

ϕ2 = κϕ1

Φ(v, z, x, y) = φ(z)e−iωv+ik·x = ϕ(z)e−iωt+ik·x(1)という境界条件を課す。これを Robin 境界条件とい(5)
さらに、z ∼ 0 では

ϕ(z) ∼ ϕ1 z + ϕ2 z 2

い、今回は κ = cot(θ/2) とする。

Robin 境界条件下における漸近的 AdS 空間におけ(6)るスカラー場のダイナミクスについてはいくつかのとなり、これを (4) に代入した後、Robin 境界条件

先行研究が行われているが、本研究では Robin 境界(1) を課し、”Yaﬀe’s mathematica note in Mathe-条件下での Sch-AdS4 時空におけるスカラー場の準

matica Summer School on Theoretical Physics”[(L.

固有振動モード (QNM) スペクトルに注目した。

2

G. Yaﬀe 2014)] に従って QNM スペクトルを数値計算した。

Methods3

平坦な地平面を背景時空とする 4 次元

Results

その QNM スペクトルの結果を以下に示す。
Schwarzschild-AdS 時 空 (Sch-AdS4 ) を 考 え る 。
図 1 (a)-(c) は θ = 0(Dirichlet)、π(Neumann)、
このときの計量は7π/4(Robin)の場合である。これらの図から QNM
(
)
1
1
2
2
2
2
2
スペクトルは Robin パラメータ θ に依存し、特にds = 2 −F (z)dt +dz + dx + dyzF (z)(2) θ = 7π/4 では不安定モードが現れていることがわか

1372023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
が、各スペクトルの追跡に注目すると元の位置に戻らないことから、ホロノミーが存在することが示唆される。

4Conclusion
我々は Sch-AdS4 のスカラー場の QNM スペクトルを Robin 境界条件を与えて調べた。その結果、Robin
パラメータのパラメトリックサイクル θ = 0 → 2π のあと、スペクトルそのものは変化しないが、funda-

mental tone は複素平面上で無限大に発散し、n 番目
図 1: QNM スペクトルの overtone は n − 1 番目の overtone に移動することがわかった。これにより、θ = 0 → 2π のサイクルで新奇なホロノミーが存在することが示唆される。また、222.4◦ ≤ θ < 360◦ の Robin 境界条件下で、ス
カラー場の摂動に対する不安定モードを発見した。

Reference
Shunichiro Kinoshita, Tomohiro Kozuka, Keiju Murata,& Keita Sugawara 2023, arXiv:2305.17942
L. G. Yaﬀe, Mathematica Summer School on Theoretical Physics Yaﬀe - Solutions (for day s 1-2).nb ,http://msstp.org/?q=node/289

図 2: QNM スペクトルの軌跡
る。また図 1 (d) は QNM スペクトルの虚部を Robin
パラメータ θ の関数として示している。これにより不安定性が θ ≃ 222.4◦ で現れることが確認できた。
図 2 は Robin パラメータ θ = 0 → 2π を 1 周期とした場合の複素平面上の QNM スペクトルの軌跡を示している。青い点は θ = 0(Dirichlet) のときのQNM スペクトルである。n を tone number、そのQNM スペクトルを ωn (Re ωn ≥ 0) とする。まず、
θ = 0 → 2π における fundamental tone ω0 と ω0′ の変化を追跡する。θ の値が 0 から徐々に大きくなるに
つれて ω0 と ω0′ はともに虚軸に近づき、θ ≃ 1.18π
で両者は点 A で合流し、その後 θ → 2π の極限ではそれぞれのモードは漸近的に ±∞i に近づく。一方で、overtone ωn と ωn′ を追跡すると、θ = 0 → 2π
まで 1 周させると n 番目の overtone が n − 1 番目のovertone に移動することがわかった。すなわち、1 サ
イクルさせると QNM スペクトルの軌跡は元に戻る

138

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重宇 b06ループ量子重力理論へのシンプルな道
佐野 大志

139

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

ループ量子重力理論へのシンプルな道
佐野 大志 (早稲田大学大学院 先進理工学研究科)

Abstract
本発表では、量子重力理論の最有力候補の一つであるループ量子重力理論の基礎的部分が、何に重きをおいてどのように導かれるかを一般相対性理論から出発して簡潔に紹介する。ループ量子重力理論は、一般相対性理論の持つ理論が特定の座標に依らない背景独立性に重きを置いて、重力の正準量子化を目指す理論である。Yang-Mills 理論に最も近い SU(2) 接続の Ashtekar 変数のホロノミーを量子化される基本的な演算子として見なし、その結果、ヒルベルト空間の基底としてスピンネットワークが導かれる。面積や体積に対応する演算子のスピンネットワークへの作用を考えることにより、これらが離散化されていることがわかる。

1

導入

い示唆を与える。一方で、そのような帰結の部分のみが過度に強調され、その基本的な部分の構築や手現代の理論物理学における最も大きな課題の一つ

法があまり知られていないことがしばしばある。本は量子重力理論を導くことである。重力の量子性は

発表は、ループ量子重力がどこに重きを置いて、ど実験的に確認されていないものの、重力が量子化しのようにその基礎が得られるかを、一般相対論からないとして今日までに十分良い説明をつけた理論は始めて説明することを目標とする。

なく、重力の量子化は理論的に果たされるべき可能性の高い課題と見なされている。重力を除く 3 つの力 (電磁気力、強い力、弱い力) は、Yang-Mills 理論

2に基づく場の量子論によって良く説明される。一方、一般相対論 (GR) と Yang-Mills 理論の違い

重力は古典論である一般相対性理論 (GR) によって、現在までの多くの実験・観測結果と整合性を持った重力を説明する一般相対性理論と他の 3 つの力 (電説明がなされている。一般相対性理論 (GR) に基づい

磁気力、強い力、弱い力) を説明する Yang-Mills のた、重力の量子化は難題であり [1]、今日まで様々なゲージ理論との間には本質的には非常に共通点が多取り組みがなされて来た。

い。実際、いずれの理論も局所不変性が理論の柱で量子重力理論の最も有力な候補の一つにループ量子あり、それを満たすように接続が導入され、場を介重力理論 (LQG) がある。ループ量子重力理論 (LQG)

して相互作用する。Yang-Mills 理論では接続 Aµ そのは背景独立性を持った正準量子重力理論を目指す理

ものが基本変数として見なされる。一方で、一般相論であり、ループ表現によってそのヒルベルト空間対性理論では計量 gµν を基本変数として見なすが、こが構築される [2,3]。背景独立性は、理論の基礎が特の基本変数の選び方では本質的に重力と他の力でど定の座標や計量に依らず、理論の中で時空間の構造

こが同じであり、どこが違うのかがはっきりとしなが決定される性質であり、一般相対性理論 (GR) の持

い [1]。また、3 つの力 (電磁気力、強い力、弱い力)

つ特徴の一つである。ループ量子重力理論 (LQG) は、 は Yang-Mills 理論に基づいて良く量子化されている。
この一般相対性理論 (GR) の持つ背景独立性を尊重しこのため、一般相対性理論における基本変数の取りた理論であり、この理論では面積や体積は離散化さ

換えは量子重力を考える上での一歩として尤もらしれた最小の値を持つものとして表される [2,4]。また、 いアプローチである。
一様平坦な対称性を課し、LQG の自由度を落とした

実際、一般相対性理論において、(少なくとも古典

ループ量子宇宙論 (LQC) では、種々の宇宙論的考察

的には) 同一な物理を示す作用を異なる基本変数に基がなされ、例えば、宇宙初期の特異点がなくなりバ

づいて構築することは可能であり、その一つが四脚

ウンス宇宙となることが示唆される [4,5]。

場 eµ i (x) とスピン接続 ωµ (x) を基本変数とする作用ij

このように、ループ量子重力理論は非常に興味深

である。

140

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
四脚場 eµ i (x) はいかなる時空点においても局所ミ代数の構造定数は同一であることから、Ashtekar 接

ンコフスキー座標系に移れるという一般相対性理論

続 AaI は SU(2) 接続と見なせると同時に内部空間添の特徴から、時空の各点において以下のように定義

え字 (I, J, K = 1, 2, 3) は SU(2) 代数の基底の添え字とされる。

見なせる [2,4]。荷重度付き三脚場 E Ia = dete ea I は、

gµν (x) = eµ i (x)eν j (x)ηi j(1)

Ashtekar 接続 AaI の正準共役運動量となっており、これらは以下の関係を持つ。

ここで、ηi j はミンコフスキー計量であり、i, j ={AaI (x), E bJ (y)}PB = 8πGγδba δIJ δ(3) (x − y)

1, 2, 3, 4 は内部空間 (局所ミンコフスキー空間) の添(4)

え字である。ηi j は自明であるから、四脚場 eµ i (x) がただし、{}PB はポアッソン括弧である。また、拘束定まれば計量 gµν (x) が定まる。

条件として SU(2) ゲージ拘束に加えて、空間の微分

スピン接続 ωµ (x) は内部空間 (局所ミンコフスキー

ij

同相拘束、ハミルトニアン拘束も存在し、全拘束系

空間) に対する接続に当たり、トーションレス条件下となる点において Yang-Mills 理論と異なり、ダイナ

では以下のように与えられる。

ミクスはハミルトニアン拘束から生まれる。背景独

ωµ i j (x) = eν i (x)Γν σµ (x)eσ j (x) + eν i (x)∂µ eν j (x)
σj

σν

j

(2)

ν

ここで、e (x) = g (x)eν (x) であり、また、Γ σµ (x)ij

立な理論を構築するに当たって、基本変数の関係 (4)式や、これら拘束条件は特定の背景構造に依存するべきでない。(4) 式のデルタ関数 δ(3) (x − y) はこの観

はアフィン接続である。この時、スピン接続 ωµ は点から良いものではなく、量子化への基礎変数とし

内部添え字 i, j に関して反対称となる。

て Ashtekar 接続と荷重度付き三脚場 {AaI , E Ia } の代わ

Einstein–Hilbert 作用において、基本変数を計量 gµνのみから、計量 gµν と接続 Γν σµ (x) と捉え直しても同りに以下で定義されるホロノミー hγ [A] とフラックス

F

様の物理を得ることが出来る。(この際、スカラー曲
率 R は接続 Γν σµ (x) の関数と見なす。)

hγ = Pexp

ij

これをさらに、四脚場 eµ i とスピン接続 ωµ を基

∫
F=
S

(3)

ピン接続の反対称性は前提の要請として課す。) ただ
し、上式において F i j (ω) = dωi j + ωi k ωk j である。

3∂xa (u)AaI (x(u))τIdu

ϵabc E Ia τI

}

∂u

u=0

本変数とした作用が Tetrad-Palatini 作用∫∫e ∧ e ∧ F ∗ (ω)
S T−P =
d4 x det(e)eµ i eν j F i j µν (ω) =であり、一般相対性理論と同様の物理が得られる。(ス{∫ 1∂xb ∂xc 2
d σ∂σ(1) ∂σ(2)

(5)

(6)

を基本変数とする。ここで、γ,S はそれぞれ三次元多様体上で定義されるパス (経路) と面であり、τI はSU(2) 代数の基底 (例えば、パウリ行列) である。また、ホロノミー hγ は SU(2) 群の元となる。

Ashtekar 変数

4

ADM 形式に基づき、前章の Tetrad-Palatini 作用
S T−P を空間と時間の 3+1 分解をすることにより、基本変数を荷重度付き三脚場 E Ia = dete ea I と実接続の Ashtekar 接続 AaI = 21 ω JKa ϵ I JK + γω0I a にすることが出来る。ただし、a, b = 1, 2, 3 は空間の添え字、I, J, K = 1, 2, 3 は内部空間の空間部分の添え字であり、γ は実数のパラメータ (Immirzi パラメータ) である。Ashtekar 接続 AaI は内部空間の空間回転 (S O(3))
変換を考えると、内部空間添え字に関して SO(3) 接続となっていることがわかる。SO(3) 代数と SU(2)スピンネットワーク
ループ量子重力理論における状態空間 (ヒルベルト空間) は、各グラフ Γ に対応する Cylindrical 関数

Ψ(Γ) からなる [2]。グラフ Γ は三次元多様体内に定義され、有限個のパス (経路)ei からなり、Cylindrical
関数 Ψ(Γ) はグラフ Γ の各パス ei に対応するホロノ
ミー hei ∈ SU を引数とする関数 Ψ : S U(2)k → C である。(ここで、k はグラフ Γ に含まれるパス ei の数である。) Cylindrical 関数 Ψ(Γ) は各グラフ Γ に対応する L2 (SU, dµHaar )k の元であり (dµHaar は Haar 測度)、141

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
面積 S (∆) は古典論では、面 ∆ 上の二次元計量 h(2)Peter-Weyl の定理から、これは以下のように分解可能である。

Ψ(Γ) =

∑

を用いて、
∫ √
∫ √
2
(2)
S (∆) =
deth d δ =E Ia E Ib na nb d2 δjk
Ψmj11,···,···, ,m
Dmj11 ,n1 (he1 ) · · · Dmjkk ,nk (hek )k ,n1 ,··· ,nk∆

ji ,mi ,ni

(7)

∆

(10)

と表される。ただし、ここで na は ∆ の法線ベクトルである。これは、式中の基礎変数を量子化するこj
ここで、各 Dmi i ,ni (hei ) は Wigner 行列の成分であり、 とにより量子化可能であり、スピンネットワーク Ψ

スピン ji に対応する hei の既約表現である。各スピへ作用させると以下のような固有値を得ることが出ン ji は 0 以上の整数または半整数であり、各 mi =来る。

− ji , − ji + 1, · · · , ji − 1, ji である。

Ŝ (∆)Ψ = 8πγG

ホロノミー hei ∈ SU(2) は一般に局所 SU(2) ゲージ
変換 g x ∈ SU(2) に対して、以下のように変換する。

hei −→ h′ei = gei st hei g−1
ei ﬁn

(8)

∑√

ji ( ji + 1)Ψ

(11)

i

ただし、和は面 ∆ を貫くパスに対してとり、面に載るようなパスが存在しないとした。このように、面積は離散化され、パスが面上に載る場合を考慮する

こ こ で 、ei st,ei ﬁn は そ れ ぞ れ パ ス ei の 始 点 と終 点 で の 変 換 に 対 応 す る SU(2) 群 の 元 で あ る 。
j

表 現 は 準 同 型 で あ る た め 、Dmi i ,ni (gei st hei gei ﬁn )Dmji i ,m′ (gei st )Dmji ′ i,n′ (hei )Dnji′ ,ni (gei ﬁn )
i
i
i

=

が 成 り 立 つ 。ゆ えに、(7) 式が局所 SU(2) ゲージ変換不変であるためには、各ノード il の点に対応する表現の成分の積
jr

jr

js

js

Dm1r ,m′r (gil ) · · · Dmqr ,m′r (gil )Dm1s ,m′s (gil ) · · · Dmsp ,m′s (gil )
1

1

q

q

1

1

p

p

の gil に依らない部分のみを取り出せばよい。ただし、{r1 , · · · , rq },{s1 , · · · , s p } はそれぞれノード il を始点、終点とするパスの番号の集まりである。そのよと最小の面積は以下になる [4]。
√∆min = 2 3πγG

(12)体積に関しても同様の手続きで固有値が得られ、その領域に含まれるノードに対して体積の固有値が定まり、離散化される。ループ量子重力理論における最小面積や体積は Immirzi パラメータ γ に依存して決まり、γ ≈ 1 とすると、最小面積、体積は Plank ス
ケール程度となる。

うな SU(2) 変換不変性を保つ部分は直和分解された際のシングレット部分に当たる。シングレット部分

5が存在するようなスピン ji を持ったパスの組み合わ

まとめと発展以上のように、ループ量子重力理論ではホロノ

せが各ノードに集まっていればゲージ不変部分が存

ミー、フラックスを基本的な変数として量子化し、在することになる。
各ノードでシングレット部分が存在するような色

ヒルベルト空間の基底はスピンネットワークによっji の振られ方をしたグラフを考え、各ノードに対して表される。面積演算子や体積演算子の固有値は離てシングレット部分を取り出したもの

⊗

D ji

i

⊗

散化され、最小の面積体積は Immirzi パラメータに依存して決まる。

il

ループ理量子重力理論の自由度を一様等方性の仮(9)l

定により落としたループ量子宇宙論 (LQC) ではバウが局所 SU(2) ゲージ不変なヒルベルト空間の基底とンスによる宇宙初期の特異点の回避など興味深い帰結

なり、またこのようなグラフをスピンネットワーク

が導かれる [4,5]。また、スピンフォームのアプローと呼ぶ。(ここで、il は各ノードにおけるシングレッ チによる断面積の決定や現象論的側面の検証など、様々な方面でループ量子重力理論は発展を続けておト部分への map である。)

本発表では詳細は述べないが、ここからさらに三り、大変興味深い理論の一つであると言える。

次元微分同相写像不変性、及び、ハミルトニアン拘束を満たすようにヒルベルト空間を制限する必要がある。

Reference[1] 深谷英則 2017, 素粒子論研究・電子版 Vol.25 No.2.

1422023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校[2] P. Doná and S. Speziale, arXiv preprint arXiv:1007.0402
15 (2010).
[3] Carlo Rovelli, Lee Smolin 1995, PhysRevD.52.5743.
[4] 玉置孝至 2015, サイエンス社, 臨時別冊・数理科学 SGC
ライブラリ ; 115.
[5] Taveras, Victor 2008, PhysRevD.78.064072.

143

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重宇 b08

重力波観測における赤方偏移の取り扱いと観測量からの宇宙論パラメータ決定 の可能性
中馬 史博

144

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波観測における赤方偏移の取扱いと観測量からの宇宙論パラメータ決定の可能性
中馬 史博 (千葉大学大学院

融合理工学府

物理学コース宇宙物理学研究室)

Abstract
GW150914 の観測以降、重力波観測は発展を続け、それが可能となる十分な統計量が確保されるようになった。去る 2023 年 5 月 24 日には LIGO-Virgo-KAGRA コラボレーションによる第 4 期共同観測運転（Observing Run 4; O4）が開始され、次世代型観測器アインシュタイン天文台 (ET) や DECIGO の計画も進むなか、新たな観測運転や次期観測器がもたらす観測結果に期待が集まっている。一方で、それに歩調を合わせて、解析手法を向上させることが重力波天文学の発展に重要である。重力波はその波源までの絶対距離が波形の解析によって直接得られるという特筆すべき点がある一方で、必ずしも電磁波カウンターパートを伴うとは限らず、そのため赤方偏移を得ることができるという保証がない。この困難を克服し重力波天文学の可能性を広げるための様々な手法がこれまで研究されてきたが、その中でも赤方偏移は使用せずに弱い
重力レンズ効果が重力波源までの光度距離に与える異方性によって宇宙の大規模構造 (LSS) を推定する手法(T.Namikawa et al. 2016) と重力波源の分布と赤方偏移が既知である銀河分布の相互相関をとることによって、重力波源の光度距離と赤方偏移の関係を明らかにする手法 (M.Oguri 2016) を紹介する。

1

問題がある。特に BH-BH 連星の合体においては電Introduction

磁波カウンターパートを伴う方が稀であると考えら
重力波は、空間歪みのさざなみが光速度で周囲に伝播する現象である。そのため、宇宙空間への透過力が高く、電磁波やニュートリノを利用した観測ではとらえきれないブラックホールや中性子星といった強重力天体や初期宇宙に関連する現象を観測できると期待されている。重力波観測に関連する様々な研究が盛んに行われているが、その中でも重力波を放出するコンパクト連星の合体を標準サイレンとして利用するための手法を開発することが本研究のテーマである。

れている。重力波を標準サイレンとして利用し、ハッブル定数やダークマター・エネルギーといった宇宙論パラメータを決定するには、重力波波源の赤方偏移が同時に必要である。したがって重力波観測、ひいては重力波天文学の可能性を広げるためにも赤方偏移をどのように取り扱うかが重要である。さらに、重力波の波形を変化させる要素として弱い重力レンズがある。この効果をどこまで含ませるかということが手法の正確さ、引き出した情報の正確さに重要である。

重力波の波形は数値相対論により、様々な状況でシミュレーションがおこなわれており、観測された波形と比較することで波源の様々な情報を得ること

以下では今回紹介する Namikawa+2016 と Oguri

2016 の手法とその結果について説明する。

ができる。波形の振動数・振動数の時間変化から天体の質量を求めることができ、この質量と波形から求められる歪み振幅を用いれば光度距離を導くことができる。このように天体までの光度距離を直接波

2Methods

2.1

Namikawa+2016

形から導出できる点が重力波の観測手法としての長点となる。
しかしながら、重力波を放出する天体現象は赤方偏移を観測できるような電磁波を放出する現象（電磁波カウンターパート）を伴うとは限らないという

LSS によって引き起こされる異方性の角度パ
ワースペクトルを導く。まず、重力波を放射し光度距離が得られたコンパクト連星の分布関数を p(x) ≡R
N (x)/ dDN (x) と定義する。ここで、N (x) =N (D, Ω) とはコンパクト連星の光度距離ごとの分布1452023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校を表す光度距離 D と方向 Ω の関数である。観測された重力波波源は範囲が Dimax ≤ D ≤ Dimin である光度距離のビンにサブサンプルとして分けられる。LSSのもたらす異方性には主要なものに光度距離に弱い
重力レンズが与える効果と重力波源の分布関数 N (x)に与えるクラスタリングの効果の 2 種類がある。前者は重力レンズがなく一様等方宇宙を仮定した場合の光度距離を D̄ とすれば、D(x) = D̄[1 + κ(x)] と表せられる。後者は N (x) = N (x̄)[1 + δ(x)] として表される。ただし x = (D̄, Ω) である。ここで κ(x)はレンズ収束場である。

図 1: 光度距離ビンごとの LSS が誘引する異方性 sbi
自己相関角度パワースペクトルと累積信号対雑音比(SNR)。ET による 3 年間の観測を仮定し、光度距離

次に光度距離の平均をビンごとにとり、これと全天での光度距離の平均との差を LSS が誘引する異方によって分けられたビンを３つ選んで lmax に対し図示されている。

性として定量化する。ビンごとの光度距離の平均はdbi (Ω) =2.1.1

Z DimaxdDDp(x)

(1)

Dimin

る異方性 sbi の累積信号対雑音比を次のように定義しdbi (Ω) − dbi
dbi

(2)

ここで、n(x) ≡ Dp(x) と定義しておき、レンジング

lmax に対して図示する。
2
 2
X 2ℓ + 1 Cℓsi siS≡
N <ℓ2(σi2 /Ni ) + Cℓsi si(6)ℓ

ただし、σ(D) はフィッシャー行列を用いて導出されとクラスタリングの効果を加味すれば

1
sbi (Ω) = ¯diLSS による自己相関角度パワースペクトルが観測可能かを調べるためにビン i における LSS が誘引すしたがって、LSS が誘引する異方性はsbi (Ω) ≡結果た計測器による誤差 ϵ（今回は簡単のためランダム・

Z DimaxdDn̄(D)[δ(x) + γ(D)κ(x)].

(3)

Dimin

ガウス分布を仮定している）の rms である。図 1 はLSS の誘引する異方性の角度自己相関パワースペクとなる。ここで、

トルと累積信号対雑音比（SNR）である。図 1 よりγ(D) ≡1 + D δD D − Dimin − δD (D − Dimax )SNR は lmax > 1000 まで単調に増加し、ビンによる差はほとんどない。つまり、GW 検出器の十分な角(4)度分解能があれば、LSS による異方性をかなり遠く

こ の 異 方 性 を 球 面 調 和 関 数 を 用 い て 展 開 し 、 の天体まで検出できると期待される。
b s i sj
自己相
関角度パワース≡ ペ ク ト ル CℓPℓ∗bi,ℓm sbj,ℓm + c.c. /[2(2l + 1)] を 求 め 2.2 Oguri 2016m=−ℓ sると
s s
Cℓ i j ≡Db si sjCℓ

Z Dimax

E
=

Dimin

n

dD1
d¯i

Z DjmaxDjmin

弱い重力レンズ効果による影響を含んだ光度距離 D

dD2
d¯j

は Namikawa ＋ 2016 と同様次のように定義される。

×n̄ (D1 ) n̄ (D2 ) Cℓδ1 δ2 + γ (D1 ) γ (D2 ) Cℓκ1 κ2o+γ (D1 ) Cℓδ2 κ1 + (1 ↔ 2) .
(5)Cℓδδ と Cℓκκ はクラスタリングとレンジングの自己相関角度パワースペクトルであり、Cℓδκ はクラスタリ
ングとレンジングの相互相関角度パワースペクトルである。

D ≈D̄[1 − κ(θ, z)],(7)

さらに、Oguri 2016 では重力波観測から推定される
光度距離 Dobs と光度距離 D との関係が以下のような対数正規分布であると仮定している。
 1
1
exp −x2 (Dobs )p (Dobs | D) = √Dobs
2πσln D
(8)146

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
重力波波源と相関をとる分光銀河の i 番目のサン

ここで x(Dobs ) とは

ln Dobs − ln D
x (Dobs ) ≡ √2σln D

プルは zmin,i < z < zmax,i で定義され、分光銀河の(9)

角度投影密度場 δi2D,g (θ) は 3 次元密度場 δg (θ, z) を用いてである。またここでは σln D = 0.05(S.Camera,&δi2D,g (θ) =A.Nishizawa 2013) と仮定している。

Z ∞dzWig (z)δg (θ, z),

次に i 番目の角度数密度場 nw
i (θ) を、区間を

Dmin,i < Dobs < Dmax,i に構成する。重力波源のと表せられる。ここで3 次元数密度場 nGW (θ, z) を用いて
Z ∞
χ2
nw
(θ)
=
dz
Si (z)nGW (θ, z)
i
H(z)
0

Wig (z) ≡

Rz

(14)

0

(10)

1 χ2
n̄g (z)Θ (z − zmin,i ) Θ (zmax,i − z)n̄gi H(z)(15)

dz ′ [1/H (z ′ )] であ以上から、l が大きい時に成り立つ Limber 近似を用り、Si (z) は視線方向の選択関数で以下のように表せ

いて、重力波波源の自己相関角度パワースペクトルは

ここで、共動角径距離は χ =

0

られる。

Si (z) ≡Z ∞C wi wj (ℓ) =C si sj (ℓ) + C si tj (ℓ) + C sj ti (ℓ) + C ti tj (ℓ),Θ (Dobs − Dmin,i ) Θ (Dmax,i − Dobs )0×p (Dobs | D) dDobs
1= [erfc {x (Di,min )} − erfc {x (Di,max )}]
2
(11)

H(z)
dzWis (z)Wjs (z) 2 b2GWχ0ℓ + 1/2
;z .
(17)
×Pm
χ
Z ∞
Z z
C si tj (ℓ) =dzWjt (z)dz ′ Wis (z ′ ) W κ (z ′ ; z)00H (z ′ )ℓ + 1/2 ′;z ,(18)× ′2 bGW Pm
χ
χ′
Z ∞
Z ∞
C ti tj (ℓ) =dzWit (z)dz ′ Wjt (z ′ )C si sj (ℓ) =こ こ で 、(3) は Si (z) に 修 正 を 加 え る 。ま たnGW (θ, z) = n̄GW (z)[1 + σGW (θ, z)] によって角度投影密度場 δi2D,w (θ) を定義できる。レンズ収束

κ(θ, z) が十分小さいとすると

Z min(z,z ′ )nw (θ) − n̄wiδi2D,w (θ) ≡ i
n̄w
i
Z ∞
1
χ2
≈ w
dz
n̄GW (z)Si (z)δGW (θ, z)
n̄i 0
H(z)
Z ∞
1
χ2
+ w
dz
n̄GW (z)Ti (z)κ(θ, z)
n̄i 0
H(z)
Z ∞


≡
dz Wis (z)δGW (θ, z) + Wit (z)κ(θ, z)

0

0

(12)

(16)

Z ∞

0

0

H (z ′′ )dz ′′ × W κ (z ′′ ; z) W κ (z ′′ ; z ′ )χ′′2ℓ + 1/2 ′′
;z
(19)
×Pm
χ′′

分光銀河の自己相関角度パワースペクトルはZ ∞2 H(z) 2
gi g jbC(ℓ) =δij
dz [Wig (z)]
χ2 g
0

ℓ + 1/2
×Pm
;z
χ

(20)

ここで
重力波波源と分光銀河の相互相関角度パワースペク
1
トルは2πσln D

 2

 2

× − exp −x (Di,min ) + exp −x (Di,max )C wi gj (ℓ) =C si gj (ℓ) + C ti gj (ℓ),
(21)
Z ∞
(13)
H(z)
dzWis (z)Wjg (z) 2
C si gj (ℓ) =χ0(12) の第一項はクラスタリングによる重力は波源の
ℓ + 1/2
×bGW bg Pm
;z ,
(22)
分布の修正、第二項はレンジングによって重力波波
χ源の分布が修正されることからくる項である。

Ti (z) ≡ √147

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
から lmax = 300 まで制約が大きく改善されていることから、相互相関解析では GW 天体の正確な位置特定が重要であることがわかる。

図 2: 重力波源と銀河間の相互相関パワースペクト
ル。l = 100 における相互相関パワースペクトルを、分光銀河サンプルの中心赤方偏移 zg の関数として示したものである。GW 天体の光度距離ビンを、0.9 ≤zg ≤ 1.1 に対応するように固定している。点線と破線は、それぞれ C sg [(22)] と C tg [式 (23) ] の C wg への寄与を示すZ z
dzWit (z)dz ′ Wjg (z ′ ) W κ (z ′ ; z)00H (z ′ )ℓ + 1/2 ′;z(23)× ′2 bg Pmχχ′C tj gj (ℓ) =

Z ∞

となる。

図 3: Ωm − h と Ωm − wde 平面における 68 ％信頼限界。lmax = 100 と lmax = 300 における宇宙論的

2.2.1

結果

パラメータのマージナル誤差を示している。

光度距離のビンと赤方偏移のビンが最もよく一致するときに最大となり、そこから光度距離と赤方偏移の関係を推定することができる。GW 天体の光度
距離ビンは 0.9 ≤ z ≤ 1.1 に対応するように固定している。図 2 は、相互相関が分光銀河サンプルの赤方偏移より下まで伸びていることを示している。式(23) で定義される C tg が原因である。距離-赤方偏移
関係や宇宙論的パラメータをどの程度拘束できるかを推定するためにフィッシャー行列

Fαβ =X X ∂C ij −1 ∂C mn
Cov C ij , C mn∂pα∂pβi,j,m,n3Conclusion

Namikawa+2016,Oguri 2016 はともに重力波から得られる光度距離を用いて有意な情報を得られる手法であることがわかった。しかしながら、O4 や次世
代観測器によって High z の観測データが得られた時、有意な解析が可能かどうか。レンジングによる光度距離への効果はより高次では何を意味するのか。観
測された光度距離と標準光度距離の関係など改善の余地がある。

Referenceℓ(24)を計算する。ただし、ここで pα は宇宙論パラメータpを示す。マージナル誤差は σ(pα ) = (F −1 )αα で求まる。図 3 は、宇宙論的パラメータのマージナル誤差を示したもので、相互相関解析により、ハッブル定数やダークエネルギーパラメータに厳しい制約を与T.Namikawa,A.Nishizawa, & A.Taruya 2016,PhysicalReview Letters, Volume 116, Issue 12, id.121302
M.Oguri 2016, hysical Review D, Volume 93, Issue 8,
id.083511
S.Camera, & A.Nishizawa 2013, Physical Review Letters, vol. 110, Issue 15, id. 151103

えることができることがわかる。また、lmax = 100148

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重宇 b09背景重力波の円偏極モード検出を目指した重力波ラジオメトリ解析の開発
覺 依珠美

149

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

背景重力波の円偏極モード検出を目指した重力波ラジオメトリ解析の開発
覺依珠美 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙論的背景重力波の円偏極モードは Chern-Simons 項の存在によって生成されると考えられており、全天
で右回りまたは左回りに偏っている非対称性を観測することができれば、その生成機構でパリティ対称性が破れていることの証拠になると考えられている。一方これまで、天体起源背景重力波円偏極モードは波源の一様分布によって無偏極になると考えられてきたが、波源分布の異方性と今後の検出器感度の向上を考慮す
ると無視できない振幅で円偏極モードが存在する可能性があることが指摘された。つまり、これらの存在は宇宙論的背景重力波の円偏極モードを観測する上で前景放射として影響を及ぼす恐れがある。本発表では、
天体起源背景重力波の全天探索を目的とした解析手法の開発について述べる。

1

研究背景

定して無偏極であると考えられてきた。しかし、波源分布に異方性がある場合、今後の検出器感度の向重力波とは時空の歪みが横波となって光速で伝播

上によって無視できない振幅で存在する可能性が指する波動現象であり、様々な起源を持つ微弱な重力摘された [3]。これらは特に第 3 世代検出器の観測周波の重ね合わせが「背景重力波」となる。その中で波数帯において円偏極モード観測を行う際に大きなも、宇宙初期のインフレーションなどを起源とする

影響を及ぼす可能性があり、これらを除去するため「宇宙論的背景重力波」は、重力波が物質との相互作の解析手法が必要となる。

用が極めて小さいために脱結合以前の宇宙から到来

そこで本研究では、天体起源背景重力波の円偏極することから、宇宙誕生後の様子を知るための重要モードを解析するための手法として、電磁波の偏光な手掛かりの一つである。しかし、過去 3 度行われを特徴づけるストークスパラメータを「重力波ラジた地上設置型のレーザー干渉計検出器を用いた国際

オメトリ解析 [4]」に導入する新たな解析手法の開発

共同観測では、背景重力波存在の直接の証拠は発見を目的とする。

されていない。よって、2023 年 5 月から行われてい重力波ラジオメトリとは、複数台の検出器に重力る第 4 次国際共同観測以降では、検出器の高感度化波が到来する際の到来時間差を用いて、空の各点にや観測データの増加によってその観測可能性の向上

おけるパワーを全天マッピングできる手法である。重が期待されている。

力波ラジオメトリは全天を一度に探索することによっ重力波は横波であることから、その偏極が存在すて波源を特定することができ、観測時間の増加に対る。特に、最近では宇宙論的背景重力波の円偏極モーして単純に相関値を加算するだけで良い。背景重力ドにおいて、全天で右回りまたは左回りのどちらか

波探索では観測時間の 1/2 乗に比例して信号対雑音に偏る非対称性の存在に注目が集まっている [1][2]。 比が大きくなるため、これらの点は天体起源背景重この円偏極モードは弦理論に従う Chern-Simons 項

力波探索を行う上で優れた点である。

の存在によって生成されると考えられているため、円偏極モードを空の各点で観測することができれば、その生成機構でパリティ対称性が破れていることの証

2

研究方法

拠になると考えられている。よって、このような円
以下では、本研究に用いる重力波ラジオメトリ解

偏極モードの探索は宇宙初期に関する研究に直接的な影響を与える可能性があり、背景重力波直接観測

析とストークスパラメータについて述べる。

後の観測目的として重要なターゲットの一つである。
一方で、ブラックホール連星合体などによる「天体起源背景重力波」は、波源分布が等方的であると仮150

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.1

重力波ラジオメトリ解析

2.1.1

原理

と定義する。ここで Q(t) はラジオメトリフィルター関数である。検出器雑音が非定常であることから ∆tごとに計算を行うと、時刻 t における k 番目の統計
量 ∆S(t) は、∫ t+∆t/2<latexit sha1_base64="thYJqOc2a2xag/S1RS9WzMLH3lM=">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</latexit>

ˆ·
⌦
c

dt′

∆S(t, Ω̂) =到来時間差∫ t+∆t/2t−∆t/2~xdt′′ s1 (t′ )s2 (t′′ )Q(t, Ω̂; t′ , t′′ )t−∆t/2(3)s1 (t), s2 (t) の短時間フーリエ変換を∫ t+∆t/2s̃1 (f ) =dt s1 (t)e−2πif t(4a)dt s2 (t)e−2πif t(4b)t−∆t/2∫ t+∆t/2s̃2 (f ) =<latexit sha1_base64="/rcv/Hf753cCbpQU6KtnSJVIrzM=">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</latexit>~x
地球<latexit sha1_base64="MPm0nH4BAL6PcsGlOWTPdHE9Ejs=">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</latexit>t−∆t/2

ˆ
⌦とする。また、

∫ ∞

検出器

′

′′

df Q̃(f, Ω̂; t)e2πif (t −t )(5)であることから (3) は、∫ ∞∆S(t, Ω̂) =df s̃1 (f ; t)s̃2 (f ; t)Q̃(f, Ω̂; t)(6)Q(t, Ω̂) =−∞

図 1: 重力波ラジオメトリ解析の原理−∞

ラジオメトリ解析は宇宙マイクロ波背景放射の観測で使われる手法の一つである。原理としては、2 のように、空のある方向 Ω̂ から 2 台の検出器に重力波となる。さらに、信号対雑音比が最大となるようなラジオメトリフィルターを選ぶと、が到来すると、到来時間差 −Ω̂ · ∆⃗x/c が発生する。2

Q̃(f, Ω̂; t) = λ

台の検出器を結ぶベクトル ∆⃗x の向きが地球の自転

γ ∗ (f, Ω̂)H(f )P1 (f ; t)P2 (f ; t)(7)によって変化すると、この時間差も変化する。よっ とすることができる。ここで λ は規格化定数、H(f )て、2 台の検出器からのデータに適切な時間差を導入 は観測したい重力波のパワースペクトル、P1 , P2 はして相互相関をとることで、求めたい空の方向からそれぞれの検出器雑音のパワースペクトルである。まの重力波を検出することができる。また、空のそれた γ は overlap reduction function と呼ばれ、検出器

ぞれの位置に対してこの計算を行うことで全天マッ 間の相関の度合いを示す指標となっている。具体的
プを作成することができる。
な形は検出器のアンテナ応答を F A (A = +, ×) と
して

2.1.2

相互相関統計量

γ(f, Ω̂) =∑F1A F2A e2πif Ω̂·∆⃗x/c

(8)

A=+,×

それぞれの検出器における観測信号を sI (t) (I =1, 2) とする。この時、重力波信号を hI (t)、それぞれ となっており、アンテナ応答と到来時間差の補正をγ で行うことができる。これにより到来方向に対しの検出器における雑音を nI (t) とすると、

sI (t) = hI (t) + nI (t)(1)て s̃1 (f ), s2 (f ) の間の位相が補正されるので統計量が最大値をとる。

となる。ここで、重力波信号と検出器雑音は無相関であり (⟨hI (t)nI (t)⟩ = 0)、また検出器間の雑音も無最後に、平均を µ = ⟨∆S⟩、分散を σ 2 = ⟨∆S 2 ⟩ −⟨∆S⟩2 とすると、信号対雑音比 ρ は相関であるとする (⟨n1 (t)n2 (t)⟩ = 0)。
次に、統計量 S を∫ TS≡
dt s1 (t)s2 (t)Q(t)0ρ(Ω̂) =
(2)

と表す。

151

µ(Ω̂)
σ(Ω̂)

(9)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

ストークスパラメータ2.2<latexit sha1_base64="YkDDhWxqdQ7wJy8V6AQYbxozR5c=">AAACiHichVE9TwJBEH2e3/iF2pjYEAnGigxERSwMwcYSRIQEibk7Vzw57i53B4kS/4CJrRRWmlgY/4C9jX/Agp9gLDWxsXA4MMYYcDa7M/t23uzbHcXSNcclavZJ/QODQ8Mjo76x8YnJKf/0zK5jVm1VZFVTN+28IjtC1wyRdTVXF3nLFnJF0UVOKW+2znM1YTuaaey4J5YoVuSSoR1qquwylElv0L4/SOFojOLR5cDfIBImz4LoWMr0P2APBzChoooKBAy4HOuQ4fAoIAKCxVgRdRwzanOseRkCZ/Axu8p5gnNkRsu8lnhX6KAG71tVHY+v8j06T5uZAYTome7ojZ7onl7os2utulejpeaEvdLmCmt/6nwu8/Evq8LexdEPq6dmF4dY87RqrN3ykNYr1Da/dtp4y6xvh+qLdEOvrP+amvTILzBq7+ptWmxf9dCjsBb+MW7Rdx8C3YPdaDiyGl5JLwcTyU6zRjCPBSxxR2JIYAspZLl+CRe4REPySSTFpHg7VerrcGbxy6TkF3NnkRE=</latexit><latexit sha1_base64="J5m1wi7DLvgQrlsBXZrCpMtNyUE=">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</latexit>

Q>0

Q<0

U >0

U <0

V >0

V <0

ストークスパラメータは電磁波の偏光の特性を表す物理量である。z 軸方向に伝播する単色波のような<latexit sha1_base64="4zCoInJ+jrPGaUACPRL8QYOb/kE=">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</latexit><latexit sha1_base64="itnS7FMUkAd3pttE3ehPnU+GlhA=">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</latexit>

電磁波について、空間のある点での電場の成分をEx (t) = Ax (t)ei[ωt−θx (t)](10a)

Ey (t) = Ay (t)ei[ωt−θy (t)](10b)

とすると、電磁波を特徴づける {Ax , Ay , θx , θy } は

図 2: ストークスパラメータ

エルミート行列 ⟨Ea Eb∗ ⟩ (a, b = x, y) の 4 つの独立した実成分に組み込むことができる。ここで ⟨ ⟩ は数周
期分の時間平均である。このエルミート行列は単位円偏極モード探索のための解析

3

方法

行列とパウリ行列を用いて展開することができ、

1
1Iδab + (U σ1 + V σ2 + Qσ3 )ab2(
2)
1 I + Q U − iV=
(11)
2 U + iVI −Q

⟨Ea Eb∗ ⟩ =ab

円偏極モードを探索するにあたり、背景重力波の偏極に着目してストークスパラメータを導入し、重力波ラジオメトリ解析で偏極成分と方向依存成分を取り出すことにより解析を行う。

と し て 、実 定 数 で あ る ス ト ー ク ス パ ラ メ ー タ

I, Q, U, V でまとめることができる。このエルミート行列は単位行列とパウリ行列を用いて展開するこストークスパラメータの導入

3.1

とができ、

ここで、重力波信号が異なる周波数、異なる到来方向であったときに無相関であると仮定する。このI = ⟨A2x ⟩ + ⟨A2y ⟩(12a)

Q = ⟨A2x ⟩ − ⟨A2y ⟩(12b)

U = 2⟨Ax Ay cos(θx − θy )⟩(12c)

V = 2⟨Ax Ay sin(θx − θy )⟩(12d)

時の重力波信号同士の相関は()⟨h̃+ (f, Ω̂)h̃+ (f, Ω̂)⟩ ⟨h̃+ (f, Ω̂)h̃× (f, Ω̂)⟩⟨h̃× (f, Ω̂)h̃+ (f, Ω̂)⟩ ⟨h̃× (f, Ω̂)h̃× (f, Ω̂)⟩1
≡ DAA′ (f, Ω̂)δ(Ω̂ − Ω̂′ )δ(f − f ′ )
(13)
2
(
)
である。
I(f, Ω̂) + Q(f, Ω̂) U (f, Ω̂) − iV (f, Ω̂)(12a) より、I は電磁波の強度を表す。また、Q と DAA′ ≡U (f, Ω̂) + iV (f, Ω̂) I(f, Ω̂) − Q(f, Ω̂)U は直線偏光を表す。(12b), (12c) について、Ex = Ey
(14)のとき Q ̸= 0, U = V = 0 となり、x 軸に対して偏光面を 45◦ 傾けることによって Ax = Ay , θx = θy とな となる。これより、検出器ごとに得られた重力波信ることから、U ̸= 0, Q = V = 0 となる。以上より、 号の相関は任意の方向に対する直線偏光はこの 2 つのパラメー
タの重ね合わせであるので、Q, U ̸= 0, V = 0 で直線偏光を表すことができる。

⟨h̃1 (f ′ ; t)h̃2 (f ; t)⟩∑∑∫′=dΩ̂′ F1A (Ω̂)F2A (Ω̂)
A′

そして、V は円偏光を表す。(12d) において円偏光になるように θy = θx + π/2, Ax = Ay とおくと、 ×
Ex = ±iEy となる。よって Q = U = 0, V ̸= 0 となる。
このように、4 つのストークスパラメータを用いて電磁波の偏光を特徴づけることができる。

∫ ∞
−∞

A

S2

df ′′

1
DAA′ (f ′′ , Ω̂)e2πif Ω̂·∆⃗x δ∆t (f ′ − f ′′ )δ∆t (f − f ′′ )2(15)のようになる。δ∆t は∫ t+∆t/2′
dt′ e2πif tδ∆t (f ) ≡t−∆t/2152(16)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校であり、S 2 は全立体角を表している。

3.2

ここで、overlap reduction funtion を定義する。簡単のため周波数成分と方向成分の変数分離を仮定し、全天に重力波源が 1 つしかない (Pα (Ω′ ) = δ(Ω′ −Ω))とする。この時、
∑∑∫
A′

A

dΩ̂

′

S2

S2

∫
γQ ≡

S2

∫
γ

U

≡

S2

∫
γV ≡ iS2

よって実際の重力波スペクトルと異なる可能性があ
また、全天に波源が 1 つしかないと仮定したこと

2γ α (t, f )Hα (f )から、実際に複数の波源が存在するときには最適と(17)はならない。よってこのフィルターを用いた統計量による全天マップは Dirty map となる。全観測時間で足し上げた最終的な統計量は∫µ(Ω̂, t)σ −2 dts(Ω̂) = ∫σ −2 (Ω̂, t)dt

であり、∫た重力波スペクトル H(f ) に対してのみ最適となる。

′
1
F1A (Ω̂)F2A (Ω̂) DAA′

α=I,Q,U,V

γI ≡最後に、ラジオメトリフィルター (21) は仮定されることを考慮する必要がある。

∑=

Clean map の構築[]dΩ̂ F1+ (Ω̂, t)F2+ (Ω̂, t) + F1× (Ω̂, t)F2× (Ω̂, t)(24)

×PI (Ω̂)e2πif Ω̂·∆⃗x/c
(18a)
[
]
+
+
×
×
dΩ̂ F1 (Ω̂, t)F2 (Ω̂, t) − F1 (Ω̂, t)F2 (Ω̂, t)と求められるが、これは∑∫s(Ω̂) =dΩ̂′ Pα B α (Ω̂, Ω̂′ )×PQ (Ω̂)e2πif Ω̂·∆⃗x/c
(18b)
[
]
+
×
×
+
dΩ̂ F1 (Ω̂, t)F2 (Ω̂, t) + F1 (Ω̂, t)F2 (Ω̂, t)のように、点の拡がりを表す beam function B との×PU (Ω̂)e2πif Ω̂·∆⃗x/c
(18c)
[
]
dΩ̂ F1+ (Ω̂, t)F2× (Ω̂, t) − F1× (Ω̂, t)F2+ (Ω̂, t)α

畳み込みで表すことができる。よってこの畳み込みを解くことにとって純粋な Pα を得ることができ、得られた Pα によるマップが4×PV (Ω̂)e2πif Ω̂·∆⃗x/c(18d)′

Clean map である。

まとめ・今後の展望
今回は、天体起源背景重力波の円偏極モードについて全天探索を行う解析手法の理論的な構築を行った。

となる。以上より、f → f のとき、その際、重力波の偏極に着目してストークスパラメー⟨h̃∗1 (f ; t)h̃2 (f ; t)⟩ = ∆tΓ(t, f ) · H(f )e2πif Ω̂·∆⃗x/c
γ α (Ω̂, t, f ) = Γα (Ω̂, t)e2πif Ω̂·∆⃗x/c

(25)

S2

タを導入し、定常的に値をもつ連続波を探索する重力(19)

波ラジオメトリ解析を用いることにした。これによ(20)ると、(17), (18a)-(18d) のように overlap reduction

function が、そして (21) のようにラジオメトリフィとなり、信号対雑音比を最大化するラジオメトリフィ ルターが修正されることがわかった。
ルターは
今後は重力波源分布の異方性を仮定してシミュレー
Q̃(Ω̂, t, f ) = λ(Ω̂, t)Γ∗ (Ω̂, t) · H(f ) 2πif Ω̂·∆⃗x/ce
P1 (f ; t)P2 (f ; t)(21)と求められる。よって、µ, σ は∫ ∞df ∆tΓ(Ω̂, t) · H(f )Q̃(Ω̂, f ; t)µ(Ω̂, t) =ション解析を行い、実データ解析を見据えて今回の解析手法の完成を目指す。

Reference−∞×e2πif Ω̂·∆⃗x/c (22)σ 2 (Ω̂, t) =λ(Ω̂, t)
4

(23)

となる。

153

[1] N. Seto, Phys. Rev. Lett. 97, 151101[2] N. Seto and A. Taruya, Phys. Rev. D 77, 103001[3] E. Thrane et al. Phys. Rev. D 80, 122002[4] S. Mitra et al. Phys. Rev. D 77, 042002[5] 岡田雄太, 修士論文, 大阪市立大学大学院 (2011)[6] M. Maggiore, gravitational Waves Volume2: Astrophysics and Cosmology , Oxford University
Press, 2008.

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重宇 b10

BipoSH を用いた宇宙の大規模構造における等方性の
破れの検証
湊 恵太

154

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

BipoSH を用いた宇宙の大規模構造における等方性の破れの検証
湊 恵太 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
BipoSH を用いてパワースペクトルを展開し、その係数を調べることで、宇宙における等方性の破れを検証、およびその破れ方を特定することが可能になる。また、Fisher 行列を用いた解析により、将来観測でパラメータ推定の精度が 1 桁近く改善することが示された。
本稿では、[1] に基づき BipoSH を用いた非等方性の解析方法、および Fisher 解析によるパラメータ推定のエラーの評価についてレビューする。

1

ここで、ClLM
は Crebsch-Gordan 係数である。
1 m 1 l2 m 2Introduction
2 点相関関数は、観測者から見た 2 つの銀河の方

向 x̂1 , x̂2 、およびそれらの相対的な向き x̂12 の計 3 つ

これは以下の直行性を持つ。
∫∫′′∗
d2 x̂ d2 n̂ XlLM
(x̂, n̂) XlL′ lM(x̂, n̂)
′
1 l2
1 2

の向きにより特徴づけられる。そのため、球面調和= δl1 l1′ δl2 l2′ δLL′ δM M ′関数 3 つの直積であるTripolar Spherical Harmonics(TripoSH) を用いた展開が可能である。ところが、(2)

次に、パワースペクトルを定義する。宇宙に大域的TripoSH を用いた解析ではパラメータ（展開計数） な一様性があるとき、密度揺らぎ δ の 2 点相関関数の数が多く、統計平均を取る際に十分な統計精度が確保できない。そこで、本発表では Plane-Parallel 近は次のような形を取る。

似と呼ばれる近似を行い、パラメータの数を減らし⟨δ(k1 , n̂)δ(k2 , n̂)⟩ = (2π)3 P (k1 , n̂)δ (3) (k1 + k2 ) (3)た解析を行う。ここで、Plane-Parallel 近似とは、相この式で定義される P (k, n̂) をパワースペクトルと関をとる 2 つの銀河を見込み角が小さいものに限定呼ぶ。

し、x̂1 ∼ x̂2 ≡ n̂ とする近似である。この近似を行うことで、TripoSH はBipolar Spherical Harmonics

式 (1) を用いてパワースペクトルは以下のように展開される。

(BipoSH) へと簡略化される。次節以降では、まず初めに BipoSH を基底としてパワースペクトルを展開

P (k, n̂) =∑πlLM(k) XlLM(k̂, n̂)
1 l2
1 l2

(4)

l1 l2 LM

し、等方性の破れの有無によりその展開係数がどのような形を取るかを調べる。その後、観測データか

これに式 (2) を用いると、パワースペクトルの展開

らパラメータ推定を行った際の統計精度について議

係数は∫論し、将来観測でどの程度検証精度が改善するかに

πlLM
(k) =
1 l2

ついても紹介する。

∫
d2 x̂

′

′∗

d2 n̂ P (k, n̂)XlL1′ l2M(k̂, n̂) (5)
′

となる。

2

BipoSH 解析

2.1

パワースペクトルの BipoSH 展開

BipoSH は以下で定義される。
XlLM(x̂, n̂) = {Yl1 (x̂) ⊗ Yl1 (n̂)}LM
1 l2
∑
=
ClLM
Y
(x̂) Yl2 m2 (n̂)
1 m 1 l 2 m 2 l1 m 1
m1 m2

2.2

展開係数の具体形

2.2.1

銀河バイアス、赤方偏移空間変形

銀河サーベイなどの観測から手に入るデータは銀河の数密度の分布であり、これは一般に物質の密度(1)分布に一致しない。そのため、何らかの方法でこれ
ら 2 つの分布を関連づける必要がある。最も簡単な

1552023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
モデルとして、線形バイアスモデルが存在する。こ

2.2.3のモデルにおいては、銀河の数密度の揺らぎ δg と物
質の密度の揺らぎ δ の間に δg = bδ という関係が存在する。ここで、b はバイアスパラメータと呼ばれる量である。
加えて、銀河は観測者に対して静止しておらず、固有速度をもつ。これにより引き起こされるドップ
ラー効果によって、観測される赤方偏移が本来の値からズレる。これを赤方偏移空間変形という。
これらの効果を組み合わせると、観測される銀河
数密度の揺らぎ δs (k, n̂) と本来の物質の密度揺らぎ

次に、等方性の破れた場合、展開係数が式 (8) からどのように変化するかを調べる。本節では特に、[]∑P (k, n̂) = Pm (k) 1 +g2M f (k)Y2M (k̂)(9)
Mのような等方性の破れ方を考えるが、他の破れ方の場合でも議論は特に変わらない。
このとき、前節と同様に式 (5) より展開係数を計
算すると、

[

δ(k) の間に[]δs (k, n̂) = δ(k b + f (k̂ · n̂)2Quadrupolar Modulation

4π
H −1 δl l δL0 δM 0
2l1 + 1 l1 l1 0 1 2
√4π(2l1 + 1)
Hl1 l2 2 g2M f (k)δL2  (10)+2l2 + 1πlLM(k) = Pl2 (k)
1 l2
(6)

という関係が成立する。したがって、δs (k, n̂) から定義される銀河数密度のパワースペクトル Ps (k, n̂) とδ(k) から定義される密度揺らぎのパワースペクトルP (k) の間には、式 (3) より、[

Ps (k, n̂) = P (k) b + f (k̂ · n̂)2となる。この式から、等方性の破れている場合においては、等方性のある場合でも有限となる L = 0 の成分のほか、等方性の破れ方に対応した（今の場合は]2(7)

L = 2 の）成分も有限の値を取りうることがわかる。

という関係が存在することがわかる。

3
2.2.2

等方性のある場合

本節では、Fisher 解析を行うことでパラメータ推P (k) = Pm (k) として式 (5) より展開係数を計算
すると、

πlLM
(k) = Pl1 (k)1 l2Fisher 解析

定の精度の限界について議論する。
本節で重要な役割を果たす Fisher 行列は次式で与
えられる。

4π
H −1 δl l δL0 δM 0
2l1 + 1 l1 l1 0 1 2(8)
FLM,L′ M ′となる。ただし、Pl は)(
1
2
P0 (k) = b2 + bf + f 2 Pm (k)
3
5
(
)
4
4 2
P2 (k) =bf + f Pm (k)37
8 2
P4 (k) =f Pm (k)35
P1 (k) = P3 (k) = Pl≥5 = 01∑ ∂πlL11LM
(k1 )
′
1

∂hLM

⟨
⟩−1
1
2
× πlL11LM(k1 ), πlL22LM
(k2 )
′
′
1
2
( L 2 M2)∗
∂πl2 L′ (k2 )2×(11)∂hL′ M ′ここで、和は L, M, L′ , M ′ 以外の全ての添字、および波数 k1 , k2 についてとる。また、hLM は g2M を含む任意の展開係数である。

を満たす。式 (8) から、宇宙に大域的一様性のある場
合は、展開計数のうち L = 0, M = 0 の成分のみが有限の値を取ることがわかる。

=

ここで定義された Fisher 行列を用いて、展開係
数 hLM の 1σ のエラーの下限 ∆hLM は次式で与えられる。

∆hLM = √156

1
FLM,LM

(12)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
Quadrupolar Modulation の場合、主要項のみを残す [2] によると、g2M の全てのパラメータは 2σ の範囲
近似のもと、Fisher 行列は∫ kmaxF2M,2M = V
kmin

で 0 と整合するものの、いくつかのパラメータは 1σ

k 2 dk f 2 (k)2π 2 8πのエラーの範囲から外れている。そのため、将来観(13)

測によりパラメータ推定の精度が改善されることで、宇宙の大規模構造における非等方性の存在が明らかとなる。ここで、V はサーベイ空間の全体積、kminにされるのではないかと期待される。

および kmax は解析に利用する波数の最小値および最大値である。次節で、過去に行われた観測、および将
来観測におけるパラメータ g2M の誤差の下限 ∆g2M

5

について議論する。

Conclusion
BipoSH を用いた解析により、大規模構造の 2 点相関関数における等方性の破れを原理的には解析可能

4であることが示された。現時点では統計精度が不十Fisher 解析の結果

分で等方性の破れは見つかっていないものの、将来

図 1 および図 2 に過去の観測および将来観測にお観測により検証精度が 1 桁近く改善されることによけるパラメータ g2M の推定値の誤差の下限 ∆g2M をり非等方性の存在が明らかにされることが期待され

kmax の関数として示す。

る。
今後の課題としては、さらなる精度の向上のため、銀河の固有速度や向きの情報も考慮し、利用できるデータの数を増やした解析を行う。また、今回の内
容は全て線型解析に基づいており、利用できる波数の最大値はさほど大きくない。そこで、非線形領域まで議論を拡張することで、解析に利用できる波数
領域を拡大し、より良い精度での解析を試みる。

Reference
1. M. Shiraishi et al., Phys.Rev.D 95 6, 063508

図 1: 過去の観測におけるパラメータ推定の誤差(2017)
2. Sugiyama et al.,Mon.Not.Roy.Astron.Soc.

473 2, 2737-2752 (2018)

図 2: 将来観測におけるパラメータ推定の誤差
図 1 と図 2 を見比べることで、将来観測により誤差が 1 桁近く改善されることがわかる。参考までに、

157

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重宇 b11

assembly bias の物理量パラメータ化に向けた研究
石川 慶太朗158

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

assembly bias とハロー特徴量の関係性の探求
石川 慶太朗 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
銀河は暗黒物質の密集領域である暗黒物質ハロー (以下, ハロー) の中で形成されると考えられている. 従来,
ハローの空間分布およびハロー内の銀河の空間分布や数はハローの質量のみに依存すると考えられてきたが,シミュレーションの性能向上に伴い, ハローや銀河の空間分布はハローの形成史にも依存することが示唆された (Wechsler et al. 2006). このような銀河分布のハロー形成史依存性を assembly bias と呼ぶ. 近年の観測データの急速な増加および観測領域の拡大により統計精度が飛躍的に向上したことで, 実観測に対する解析では assembly bias の考慮の有無で標準宇宙論パラメータの制限に大きな影響を与えることが判明している (Miyatake et al. 2022). それゆえにこの系統誤差の影響を最小化して標準宇宙論を徹底検証する必要がある. 本研究では, 物理量と結び付けた先行研究のないこの assembly bias を調査するため, Dark Quest(Nishimichi et al. 2019) などのシミュレーションデータを用いて, ハローの中心集中度などのパラメータに着目した解析を行う. 本発表ではそれぞれのパラメータと assembly bias との関係を特徴付ける本研究の進行状況を述べるとともに, 将来的に assembly bias 効果を実装する宇宙論エミュレータの有用性およびこれを用いた宇宙論解析の展望について議論する.

1

差によるものでなければ, 標準宇宙論モデルの破綻をIntroduction
1990 年代後半の Ia 型超新星の観測により宇宙は加速膨張していることが発見された. この加速膨張を引き起こす未知のエネルギーを暗黒エネルギーと呼ぶ. また, 電磁波観測はできないが, 銀河の形成史
や力学的性質を説明する上で欠かせない重力源を暗黒物質といい, これら暗黒成分の物理機構は既存の理論では説明できない現代物理学の重要な問題の一つである. 世界中で推進されている大規模銀河サーベ
イは暗黒成分の性質解明に迫るため, 暗黒成分を主要な構成要素とする標準宇宙論モデルの徹底検証を目標としている.
これら大規模銀河サーベイによる観測データの急速な増加および観測領域の拡大で統計精度が飛躍的に向上した. それはまた, 異なる観測が予言する宇宙論モ
デルの様々な矛盾を明らかにした. その一つが, 宇宙の構造形成の度合いを表す量 S8 は初期宇宙 (宇宙マイクロ波背景放射:CMB) の予言する値よりも後期宇宙 (宇宙の大規模構造) で観測した時の値の方が小さいというものである (S8 テンション問題)(Abdalla et示唆する. そのためこれが新しい物理の兆候なのか
決定的に答えるために系統誤差の影響を最小化する必要がある.
銀河は暗黒物質の密集領域である暗黒物質ハロー(以下, ハロー) の中で形成されると考えられている.
従来, ハローの空間分布およびハロー内の銀河の空間分布や数はハローの質量のみに依存すると考えられてきたが, シミュレーションの性能向上に伴い, ハ
ローや銀河の空間分布はハローの形成史にも依存することが示唆された (Wechsler et al. 2006). このような銀河分布のハロー形成史依存性を assembly biasと呼ぶ. assembly bias が入った銀河の模擬カタログ(宇宙構造形成数値シミュレーションで得た銀河位置などの観測量) を, assembly bias が考慮されていない理論モデルで解析すると, 標準宇宙論のパラメータ
制限に大きな影響を与えることがわかる (図 1).
本研究では, N 体シミュレーションから生成されたハローの三次元分布のシミュレーションデータを用
いて, assembly bias とハロー特徴量の関係を探る.

al. 2022). 例えばすばる望遠鏡 Hyper Suprime-Cam(HSC) による銀河サーベイ (Miyatake et al. 2023) では可能な限り全ての系統誤差を考慮してもなお 2.5σの違いが確認されている. この違いが未知の系統誤1592023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

1.0

実際の観測では実空間ではなく, 赤方偏移空間で測
assembly biasなしと比較してあり(①･②)は有意にズレている

定されるため, 初めにそれぞれの赤方偏移に対して,同定されたハローのカタログの速度を用いて赤方偏移歪み (Redshift Distortion) 効果

assembly bias なし

0.9

S8

s(z) = r(z) +

0.8

0.25

(1)

を挿入する. ここで vz は視線方向のハローの速度で,①

0.7
assembly bias あり

vz (1 + z)
H(z)r(z) は実空間の共動距離, s(z) は赤方偏移空間の共動距離を表す.

②

0.30

0.35

0.40

3

≠m

Methods
ここでは, 銀河分布のハロー形成史依存性である

図 1: assembly bias の影響 (Miyatake et al. 2023)

assembly bias と結び付けられる物理量として, 本発

assembly bias が入った銀河の模擬カタログを, as-

表で紹介するハローの中心集中度 (Concentration) のsembly bias が考慮されていない理論モデルで解析し 定義と, 統計量として比較する際の手法を紹介する.
た結果. ①･②:を見ると分かる通り, assembly biasが入っていない銀河模擬カタログを解析した結果と比較して有意にズレている. ①･②の違いは考慮する

3.1

assembly bias の大きさ.

ハ ロ ー の 中 心 集 中 度 (Concentration)

今回使用するハローの中心集中度の定義は以下の

2

Simulation data

通り (Kobayashi et al. 2020).

使用するシミュレーションデータは Dark Questc≡2019) および Dark Quest 2(Nishimichi et al.

(Nishimichi et al. in prep.) である. 特に Dark Quest

r200
.
rhalf

(2)

こ こ で, r200 は 宇 宙 の 現 在 の 平 均 物 質 密 度 ρ̄m0

2 の N 体シミュレーションでは, ニュートリノ質量を の 200 倍の物質密度をハローが持つ半径である.
考慮した Planck2015 の ΛCDM 宇宙論を仮定して構 また, その時のハローの質量を M ≡ M200 =造形成シミュレーションを行なっており, ハローファ
インダー (Rockstar など) を用いてハローを同定す(4π/3)(r200 )3 (200)ρ̄m0 と 定 義 す る と き, rhalf はMhalf = (1/2)M200 を満たす半径である. つまり,ることで, ハローの位置や速度のカタログを得る.

この量はある半径 (今回の定義では rhalf ) で規格化さ

3

粒子数 N は 3000 で, 周期境界条件を課したシ

れた, 典型的なハローの半径を表している. この量をミュレーションボックスのサイズは 1 [Gpc/h]3 であ一つ一つのハローに対して計算し, z = 0.5 で質量-中る. また, 赤方偏移は z = 0 ∼ 3 までを 11 個のビ

心集中度の関係 (mass-concentration relation) を調ンに切ってある. Rockstar で同定されたハローカタ

べると, 図 2 のようになる. 質量が大きくなるほど中ログに含まれるサブハローは, その近辺にセントラ

心集中度のバラツキは小さくなっており, その関係はルハローがいると後述の r200 などを計算するときに単純な線形ではないことがわかる.

誤った値を出してしまうことがある. そのため本解

本発表では, それぞれのハローで計算された中心集

析においてサブハローはその対象から外している. ま

中度の大きさ上位 25%と下位 25%のハローカタログ

た, 全赤方偏移の質量関数を確認すると, ハロー質量を抽出して 3.2 章で見るように統計量を計算し, 抽出
7 × 1010 M⊙ /h2 でピークを迎えていることがわかっ を行わず全てのハローカタログを用いて統計量を計た. 十分な解像度を保った解析を行うため, ハロー質 算した場合と比較した.
量 Mhalo ≥ 2 × 1011 M⊙ /h2 のハローを用いている.

160

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
相関関数を計算した結果が図 3.

ハロー間距離約

S007

5concentration30
4

r2ξ(r)

20
3

10
0

2
1011

1012

1013

fiducialconc. TOP 25%
conc. BOTTOM 25%

−10

1014

−20

halo mass [M /h]

100

101

102

r [Mpc/h]
図 2: z = 0.5 におけるハロー質量-中心集中度の関係(mass-concentration relation)
スムーズな plot のため, ハローの数は約 100 分の 1に間引いて点を打っている.

3.2

図 3: 中心集中度で抽出を行なった, z = 0.5 における相関関数. 横軸が半径 r [Mpc/h], 縦軸がハローの二点相関関数 ξ(r) に r2 をかけたもの. 青色が中心集
中度で抽出をおこなっていない ﬁducial な相関関数

三次元二点相関関数

で, 橙色が中心集中度上位 25%で抽出したハローカ

理論と観測は統計量で比較する. 二点相関関数はタログから計算した相関関数, 緑色が中心集中度下位

ある二点 x1 , x2 における密度ゆらぎ δ の積を考え,25%で抽出したハローカタログから計算した相関関数を表す.

それを 2 点間の距離 x12 = |x1 − x2 | で固定してアンサンブル平均したものξ(x12 ) = ⟨δ(x1 )δ(x2 )⟩(3)のことを指す.

100 [Mpc/h] にはバリオン音響振動 (BAO) の痕跡
が振幅の増大 (BAO ピーク) として表れている. この図を見るとわかるように, 抽出を行なっていない

今回, 観測量を統計量に変換する際は Peebles &Hauser (1974) の estimator
ξ(r) =

DD(r)
−1
RR(r)

ﬁducial な相関関数と比べて, 中心集中度下位 25%のハローカタログ群からの相関関数は振幅が大きくなり, 上位 25%のハローカタログ群からの相関関数は(4)

振幅が小さくなっている. ただしそれは大スケールを用いている. ここで DD(r) は対象 (ここではハまで続いているわけではなく, r = 70 [Mpc/h] 以降ロー) のペアカウント数を規格化した数で, RR(r) ははほぼその違いが見えなくなっている. ﬁducial な相

同じ観測領域で一様ランダムに撒かれた対象のペア

関関数の振幅がそれぞれ中心集中度で抽出した相関

カウント数を規格化した数を表す. なお, 今回のよ関数の平均を取らないのは, 図 2 のような分布の中

うに周期境界条件が課されているシミュレーション

心集中度に対して値の大きさのみを基準に抽出する

データの場合, RR(r) は解析的に計算できる.

からだと考えられる. これらの相関関数の比を, 分母に ﬁducial な相関関数で取ると, 図 4 のようになる.
中心集中度下位 25%を抽出した場合は振幅のバイア

44.1

Results
ハローの中心集中度

スが中スケールまでおよそ 10%以上あることが確認できる. また, 上位 25%の場合は小スケールで 10%ほどのバイアスがあるものの, 大スケールに向かう

3.1 章で見たように中心集中度が上位 25%のハロー につれて ﬁducial と同じ振幅に近づいている. 大ス
カタログと下位 25%のハローカタログでそれぞれ ケールで値がバラついている理由はいくつか考えら

1612023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

6
ξselect(r)/ξfid(r)1.4Prospect
今後の展望としては, 赤方偏移依存性や Halo Mass

Limit 依存性を確認すること, 使用するハローの質量1.2帯を厳しくしてビンに分け, 振幅のバイアスを調べること, 他の特徴量に依る影響を調べることなどが1.0

ある. その後は Dark Emulator と呼ばれる, 宇宙論
エミュレータにこの効果を実装する予定である. ハ

0.8

ロー形成史依存性などは摂動理論を用いて解析的にconc. TOP/fiducial

0.6

予言することが困難なため, これまで宇宙論解析する

conc. BOTTOM/fiducial

10

0

10

1

際に考慮されることはなかった. そこでこのような

102

摂動理論では扱うことが困難な事象をモデル化する

r [Mpc/h]

ために生まれた最新の手法がこの宇宙論エミュレー
タである. これにより理論解析でも assembly bias を

図 4: 中心集中度で抽出を行なった, z = 0.5 における考慮することができるようになり, 図 1 のような宇宙相関関数の比. 横軸が半径 r [Mpc/h], 縦軸がハロー

論パラメータ推定において発生していた系統誤差をの二点相関関数 ξ(r) の比で, 中心集中度で抽出した抑えた解析ができるようになる.

相関関数を抽出せず全てのハローカタログで相関を計算した ﬁducial な相関関数で割ったもの. これが振幅のバイアスを表している. 紫色が中心集中度上位

Acknowledgement25%と ﬁducial な相関関数の比で, 赤色が中心集中度
下位 25%と ﬁducial な相関関数の比を表す.

京都産業大学の西道啓博准教授には, 高性能なシ
ミュレーションデータを使用してハローのプロファれるが, ボックスサイズが 1 [Gpc/h]3 なので, cosmic

variance が効いていること, 相関関数の振幅は一般に大スケールで 0 に近づくので, 数値的に値がバラつきやすいことなどが挙げられる.

イルの基礎から丁寧に教えていただきました. 名古屋大の宮武広直准教授やアリゾナ大の砂山朋美研究員には, photo-z BAO の研究の頃から多方面でお世話になっております. 京都産業大学への出張の際には特徴量の選定で議論してくださり, 今後の研究方針を明確にすることができました. 本研究をここまで5進めることができたのは, 以上の共同研究者の皆様のDiscussion & Conclusion

おかげです. 心から感謝申し上げます.

今回, 銀河分布のハロー形成史依存性である assem-

bly bias を統計量として確認するため, ハローの特徴量の一つである中心集中度 (concentration) を用いてReference

その大きさでハローカタログの抽出を行い, 相関関数

Abdalla et al. JHEAp 34 49A (2022)の振幅にバイアスができるのかを調べた. z = 0.5 では特に中心集中度下位 25%のハローカタログを使用

Kobayashi et al. PhRvD.101h23510M (2020)

すると, ﬁducial な場合と比べて 10%ほどバイアスがMiyatake et al., PhRvD.106h3520M (2022)

大きくなることがわかった. しかし, どちらの抽出条

Miyatake et al. arXiv:2304.00704 (2023)

件も大スケールで振幅のバイアスが小さくなる理由

Navarro, Frenk, and White, ApJ. 462, 563 (1996)

は判明していない. 今後, パワースペクトルで測定する必要がある可能性もある.

Nishimichi et al., ApJ 884 29N (2019)
Peebles & Hauser, ApJS, 28, 19 (1974)
Wechsler et al., ApJ 652 71W (2006)

162

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重宇 b12段差モデルインフレーションによる曲率ゆらぎの非対称的確率分布の生成
川口 遼大

163

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

段差モデルインフレーションによる曲率ゆらぎの非対称的確率分布の生成
川口 遼大 (早稲田大学大学院 先進理工学研究科)

Abstract
本ポスター発表では論文 (R.Kawaguchi, T.Fujita & M.Sasaki 2023) に基づく発表を行う。本研究では、
単一スカラー場インフレーションにおいて、2 つのスローロールステージの間にインフラトンポテンシャル
が有限幅の上向き段差を持つモデルを議論した。段差が存在することで通常のスローロールインフレーショ
ンとは異なる振る舞いが生じる。我々は δN -formalism を用いて、曲率ゆらぎの確率分布関数 (PDF) を計算した。PDF には段差幅に依存する exponential-tail が現れ、原始ブラックホール (PBH) の存在量の見積
もりに大きな影響を及ぼすことを示した。また、パワースペクトルの dip に対応する特別なスケールにおいて、PDF は非常に高い非対称性を有することを明らかにし、これが宇宙の大規模構造のボイド領域の分布に対して興味深いシグナルを残す可能性を指摘した。

1

レーションモデルがこれまでに研究されてきた。本Introduction & Conclusion
標準ビッグバン宇宙モデルでの問題点を解決するために導入されたインフレーションは今日では標準的な宇宙モデルとして広く認められており、インフ

発表では研究 (R.Kawaguchi, T.Fujita & M.Sasaki2023) に基づき、段差モデルに焦点を当てた議論を紹介する。特に段差の幅を有限に取り、段差幅が与える影響を明らかにする。

レーション期の量子ゆらぎが我々の宇宙の多彩な構造の起源であると考えられている。特にスローロール(SR) インフレーションはほとんどスケール不変かつガウシアンなゆらぎの生成を予言し、宇宙マイクロ波
背景放射 (Cosmic Microwave Background, CMB) の
温度ゆらぎ観測と整合的である。しかし一方で CMB
スケールよりも小さなスケールでは観測からの制限
がほとんどないため、小スケールでは SR 条件が破られている可能性もあり、多くのインフレーション

典型的には、曲率ゆらぎの増幅具合は曲率ゆらぎのパワースペクトルで計算されるが、PBH 存在量は非ガウス性にも大きく影響されるため、パワースペ
クトルの計算のみでは不十分である。また、PBH 形成を引き起こすような大きくてレアなゆらぎは摂動的計算手法では捉えきれない。そこで本研究では、非摂動的な手法である δN フォーマリズムを用いて曲率ゆらぎを計算し、その確率分布関数 (PDF) の導出を行った。

シナリオが許容されている。
近年、原始ブラックホール (Primordial Black

本研究では曲率ゆらぎの PDF について以下の 2 つの新たな結果を得た。

Hole, PBH)(Y. B. Zel dovich & I. D. Novikov
1967)(S. Hawking 1971) と関連するインフレーショ

1. PDF に段差幅に依存する exponential-tail がンモデルが盛んに研究されている。PBH とは初期宇現れることを示し、PBH の存在量の見積もりに宙の高密度領域が重力崩壊し形成されるブラックホー

段差幅が大きく影響することを明らかにした。

ルのことであり、その質量に応じて、宇宙の歴史上

2. 段差よりも手前でハッブルホライズンを出た特で異なる役割 (例えばダークマターなど) を果たし得定のスケール (これはパワースペクトルの dip ス

る仮想的な天体である。密度ゆらぎの起源はインフケールに対応する) において、PDF が高い非対レーション中に生成される曲率ゆらぎにあるため、十称性を有することを示し、これが大規模構造の分な量の PBH 形成を引き起こすためには曲率ゆらぎ

ボイド領域の分布に対して特徴的なシグナルをの小スケールでの増幅が必要となる。その増幅メカ残す可能性を指摘した。

ニズムとして、インフラトンポテンシャル中に平坦な領域 (J. Garcia-Bellido & E. Ruiz Morales 2017)

本発表では上記の 2 つの結果とその物理的な解釈にや段差 (Y.-F. Cai et al. 2022) がある特別なインフついての詳細を説明をする。

164

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Step stage

|π |

v (φ)

1st SR stage
2nd SR stage

Relaxation phase

Δφ
φ2

φc

0
φf

φ1

φc

φ

φ

図 1: (左) ポテンシャルとインフラトンの概略図。(右) 位相空間内の背景軌道の概略図。インフラトンは時間的に右から左に進み、3 つのステージ (i) 第 1SR ステージ (ii) 段差ステージ (iii) 第 2SR ステージを経験する。

2

図 3 に本モデルのポテンシャルの概形 (左) と位相

Upward-step model
単一正準スカラー場 ϕ によるインフレーションモ

デルを考えよう。空間平坦な FLRW 計量に対して導かれる運動方程式は空間内の背景軌道の概略図 (右) を示す。段差の存在
により、インフラトンのダイナミクスは 3 つのステー
ジに分かれている。(i) 第一 SR ステージ (φ ≥ φ1 ) では、インフラトンは SR インフレーションでの場合∂φ vdπ+ 3π + 3
= 0.
dn
v

(1)

と同じように SR アトラクター上にある。(ii) 次に段差ステージ (φ2 < φ < φ1 ) である。ここでは、インで与えられる。ここで全ての物理量は無次元化されフラトンは段差によってその運動エネルギーを奪わており、φ ≡ ϕ/Mpl , π ≡ dφ/dn, v ≡ V (ϕ)/V0 で定れるため、スカラー場の速度 |π| は急激に減少する。

(iii) 最後に第 2SR ステージ (φ ≤ φ2 ) である。段差であり、n は dn = Hdt で定義される e-folding 数で を登り切った直後では |π| が小さくなっているので、ダイナミクスは SR アトラクターから外れているが、ある (H = ȧ/a はハッブル膨張率)。
義される。V0 はポテンシャルの任意の参照点での値モデルとして v(φ) が 2 つのスローロール (SR) 領
域及びその間に上向き段差を持つ場合



v (φ)
(φ ≥ φ1 ) sr1v(φ) = fstep (φ) (φ2 < φ < φ1 )v (φ)(φ ≤ φ )sr2

以降 SR アトラクターに落ち着いた時点でのインフラトンの値を φf と呼ぶことにする。

(2)ある。上向き段差を表す関数 fstep として、

fstep (φ)
A + B (φ − φ )2
1
1
min
=
A + B (φ − φ)2max

Calculation of δN
共動曲率ゆらぎ R はインフレーションの中で最も重ある。段差幅 ∆φ ≡ φ1 − φ2 は重要なパラメータで

2

3

2

を考える。ここで vsr1 と vsr2 は SR ポテンシャルで2

時間発展と共に SR アトラクターへと漸近していく。

要なスカラー型ゆらぎである。非断熱的なゆらぎが無視できる場合、曲率ゆらぎは super-horizon(k ≪ aH)
において保存量となり、インフレーションで生成されるスカラー型ゆらぎの情報は全て曲率ゆらぎに刻印される。現在の宇宙のゆらぎの起源はこの曲率ゆ(φc ≤ φ < φ1 )らぎに由来すると考えられるため、曲率ゆらぎの解(3)(φ2 < φ < φc )析を行うことは重要である。
本研究では 2 章で導入したモデルについて δN for-を用いる。ここで φc ≡ (φ1 + φ2 )/2 は段差領域の中

malism(A. A. Starobinsky 1985)(M. Sasaki and E.

間地点である。φmin 及び φmax はポテンシャルの極

D. Stewart 1996) を用いて解析を行なった。δN for-

小と極大に対応している。ポテンシャルとその 1 階

malism の利点は、super-horizon でのゆらぎの進化

微分が連続であることを要請し、6 つのパラメータを非摂動的に追うことができる点である。これは摂A1 , A2 , B1 , B2 , φmin , φmax が決定される。

動的には捉えられない大きくてレアなゆらぎの議論

165

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校200

ω s2 =300ωs2 =30

Log10 (F / F G ) [ℛc ]ω s2 =50

Log10 P[ℛ]

ω s2 =100
ω s2 =250-5

ω s2 =400
ω s2 =1000

-10

-15

ωs2 =50150

ωs2 =100ωs2 =250ωs2 =400100

ωs2 =1000

50

0

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ℛc -〈ℛ〉ℛ-〈ℛ〉

図 2: 異なる段差幅 (ωs2 ) に対する曲率ゆらぎ R の PDF(左) と CCDF(右)。 ここで各パラメータは γ = 1.5, κ = 60,
β = 20, g = 0.02, σδφ = 2 × 10−5 とした。⟨R⟩ は期待値であるが十分小さい。

に最適だ。δN formalism によれば、曲率ゆらぎ R

π2
,
g≡
π1

は摂動軌道と背景軌道の e-folding 数の差として計算でき、

R = N (φ + δφ, π; φf , πf ) − N (φ, π; φf , πf )

√
κ≡

ϵV 1
,
ϵV 2

√
ωs2 ≡

2|π1 |∆φ(9)で定義される。下付き添字 1,2 は φ1 , φ2 での値を意(4)として与えられる。ここで N (φ, π; φ′ , π ′ ) は位相空間において (φ, π) から (φ′ , π ′ ) まで時間発展するのに要する e-folding 数 (時間) である。つまり式 (4) が意味するのは、スタート地点が δφ だけ異なる 2 つの軌道を比較すれば曲率ゆらぎが計算できるということだ。スタート地点 (φ, π) としては、興味のあるス

味する。ϵV , ηV はポテンシャル SR パラメータである。特に ωs2 は段差幅 ∆φ を表す量である。
上記の式 (5),(6),(7) を足し上げることで曲率ゆら
ぎ R を計算できる。δN (s) は段差幅 ∆φ で抑えられているので、一見寄与がないように見える。しかし

δφ ∼ −g 2 /2γ では、log の中身がゼロとなるため、
δN (s) の項からの寄与が顕著になる。これはある摂
動軌道においては、段差ステージに入る際の運動エケール k が Hubble ホライズンを横断する時刻でのネルギーが小さく、段差を通過するのに莫大な時間値を用いる。本研究ではスタート地点として段差の(δN 大) を要することが原因である。

直前で Hubble ホライズンを出るスケールに着目し解析を行なった。よって R を計算するためには、各ステージでの δN を計算する必要がある。

4

PDF and CCDF

δN の計算手法は以下の通りだ。まずスカラー場の3 章で得た結果により、曲率ゆらぎ R をスカラー

背景運動方程式 (1) を解き、n = · · · の形に変形す

場ゆらぎ δφ の関数として書くことに成功した。δφる。そして得られた解に対して φ → φ + δφ の摂動を加えることで δN は計算される。各ステージの δNは以下のように得られる。

δN (1) ≃ βδφ
(5)
)
(
2
γ
2γ
1
log 1 + 2 δφ + 2 δφ2 (6)δN (s) ≃ −
2ωs2
g
g
√
)
(
γ2 2
2γ
κg
(2)
1 − 1 + 2 δφ + 2 δφ
(7)
δN ≃
3
g
g
ここで添字 (1), (s), (2) はそれぞれ第 1SR ステー

は量子ゆらぎ起源であることから、ガウス分布に従っているとみなして良い。そこで確率の保存則

P [R]dR = P [δφ]dδφ を用いることで、R の確率分
布関数 (PDF)P [R] を計算することができる。
図 2 の左に得られた PDF を示す。本モデルでの曲率ゆらぎの PDF はガウス分布とは大きく異なっているのが見てとれる。各色の線は異なる段差幅 (異なるωs2 ) に対応しており、ある値 (今の場合 Rcutoﬀ = 0.4)よりも大きな R では、PDF の振る舞いが段差幅に大きく依存していることが見てとれる。実際、式 (6)(s)

ジ、段差ステージ、第 2SR ステージを表している。 にある δN を用いて PDF を計算すると、段差幅に依存する exponential-tail(P [R] ∝ exp(−2ωs2 R)) がβ, γ, g, κ, ωs2 はモデルパラメータであり、( )3現れることを解析的に導くことができ、これは数値
1
k
β≡− ,
γ ≡ (2ϵV 1 − ηV 1 )β(8) 的な計算結果とも一致している。
π
k1

166

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
ではこのような高い非対称性を有する PDF は宇宙

PBH 存在量を見積もる上で重要となってくるのは、ある閾値 Rc に対して R > Rc となる確率、∫ ∞P [R]dR .
F̄ [Rc ] =にどのような痕跡を残すのだろうか？直感的にそれを理解するために図 4 を示す。図 4 では、格子状に(10) 分割した 2 次元平面に対して、確率変数 R の値を高Rc

い非対称性を有する PDF(γ = 0.3) で重み付けしてである。これを確率論の言葉で相補累積分布関数

ランダムに割り振った (右図)。また比較のために同(CCDF) という。本モデルでの CCDF を図 2 の右じ分散を持つガウス分布の場合でも同じことを実行に示す。比較のためにガウス分布での CCDF で規した (左図)。2 つの図では同じカラースキームを用格化している。図より明らかに非ガウス性の効果がいており、赤色が正、青色が負の値に対応する。ガ
PBH 存在量の見積もりに重要であることがわかる。 ウス分布の場合では赤と青の領域が同じように現れ
また、R < Rcutoﬀ の領域では ωs2 にほとんど依存していない一方で、R > Rcutoﬀ の領域では CCDF はているのに対して、高い非対称性を有する PDF の場

合では大きな負の値 (濃い青) を持つ領域が現れず、
ωs2 に対して大きな依存性があることが見てとれる。 分布に偏りがあるのが見てとれる。この図を密度ゆ
つまり、PBH 存在量の評価をする際には、段差幅

らぎの空間的な分布として解釈すると、高い非対称の正確な取り扱いが必要不可欠である (結果 1)。

性を有する PDF(dip スケール) ではガウス分布の5場合と比べて、低密度領域 (ボイド領域) が少なくな

Highly asymmetric PDFる可能性を示唆している (結果 2)。

最後に本モデルでは面白い形の PDF が現れるこ(ℛ -〈ℛ 〉)×10 5とを紹介する。γ > 0 かつ β > κγ/3 の場合、式GaussianHighly asymmetric PDF

10(5),(6),(7) により導かれる R は最小値を持つことが5示される。すなわち、ある値 Rmin よりも小さな曲

0-5

率ゆらぎは実現しない。このような場合での PDF を-10

図 3 に示す。確かに R の分布が正に偏っているのが見てとれる。図中ではいくつかの異なる γ に対して図示したが、γ は式 (8) にあるようにスケール k に対応しているので、各色は異なるスケールでの PDFを表している。特に Rmin = 0 となるような極端な状況に対応するスケールは今のモデルパラメータでは

図 4: ガウス分布 (左) と高い非対称性を有する PDF(右)に基づき、格子状にランダムな値を割り振った R の分布図。二つの図は同じカラースキームを用いている。

γ = 0.3 であり、このスケールはパワースペクトルにReference

dip(沈み込み) が 現れるスケールに対応している。

R.Kawaguchi, T.Fujita & M.Sasaki 2023,
2305.18140 (JCAP 査読中)

4
γ =0.3γ =0.5

Log10 P[ℛ]2

arXiv:

Y. B. Zel dovich & I. D. Novikov 1967, Soviet Astronomy 10, 602

0S. Hawking 1971, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 152, 75-2J. Garcia-Bellido & E. Ruiz Morales 2017, Phys. Dark
Univ. 18, 47-4-0.002-0.001

0.000

0.001

Y.-F. Cai, X.-H. Ma, M. Sasaki, D.-G. Wang, & Z. Zhou
2022, JCAP 12, 034

0.002

ℛ-〈ℛ〉

図 3: 高い非対称性を有する PDF。パラメータは κ = 1,

A. A. Starobinsky 1985, JETP Lett. 42, 152−5

β = 20, g = 0.02, σδφ = 5 × 10 , ωs2 = 50 を用いた。 M. Sasaki & E. D. Stewart 1996, Prog. Theor. Phys. 95,
各色は γ の値に対応しており、γ = 0.5 が薄黄色、γ = 0.371が濃紫色で表されている。

167

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重宇 c01

The core-halo structure of fuzzy dark matter
下鶴 大輔

168

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

Analytical approach to core-halo structure of fuzzy dark matter(review)
下鶴 大輔 (総合研究大学院大学 高エネルギー加速器科学研究科)

Abstract
本発表は (Taruya,A, & Saga,S. 2022) のレビューである。
標準的な ΛCDM モデルの要素である Cold Dark Matter(CDM) は、その正体は未解明であるものの、大きなスケール (≥1Mpc) の観測結果の説明に成功している。一方で小さいスケール (≤1Mpc) において問題を多く抱えている。その問題を解決する候補の 1 つとして Fuzzy Dark Matter(FDM) がある。FDM は、質量がm ∼ 10−22 − 10−20 eV と超低質量で重力相互作用しかしないスカラー粒子である。FDM の de Broglie 波長が λ ∼ 1kpc であることから、FDM の量子効果が小さいスケールの構造形成に影響を及ぼすと考えられている。数値シミュレーションによる研究によって、halo の中心には密度が一定である soliton core が形成されることが指摘されている。さらに、halo 質量と core 質量及び core 半径の間に関係があるとも指摘されている。 このような FDM による構造形成の数値的研究をするには、十分なシミュレーションのサイズと十分に小さいスケールを考えられる解像度が必要となる。このことが FDM におけるシミュレーションの研究を困難にしている。そこで、本論文では soliton core の構造と core-halo 関係を解析的に調べている。FDM を支配する Schrödinger-Poisson 方程式に幾つかの近似を施すことで soliton core の波動関数を導出する。そうして得られた波動関数を用いて soliton core の性質を調べる。

1た。そして、halo の外縁領域には量子効果に由来す

Introduction
現在の標準的な宇宙論モデルにおいて、ダークマ

ターは速度分散の無視できる非バリオン物質、Cold

Dark Matter (CDM) と考えられており。宇宙の大規
模構造の観測と一致している。しかし、1Mpc よりも小さいスケールでは、CDM の予言と観測結果に不一致が見られる。例えば、Core/Cusp 問題や Missing

る粒状構造ができることが分かった。さらに、soliton

core の半径 rc 及び質量 Mc と halo の質量 Mh との−1/3間に相関 rc ∝ Mh

1/3

, M c ∝ Mh

があると示された (Schive,H.-Y et al. 2014b)。しかし、その相関は大きく散乱することが指摘されている (May,S, &Springel,V. 2021)。
現在までに FDM に関する様々なシミュレーショ

satellite 問題、Too-big-to-fail 問題などがある (Bul-ンが行われてきた。構造形成のシミュレーションに

lock,J.S, & Boylan-Kolchin,M. 2017)。これらの問は、大きいシミュレーションのサイズが必要となる。

題を解決する候補の 1 つとして Fuzzy Dark Matter(FDM) が近年注目を集めている。
FDM は、質量が mFDM ∼ 10−22 -10−20 eV 程度で、重力場にのみ結合したスカラー粒子である。FDMの de Broglie 波長が O(1)kpc 程度となるので、そのスケール以下で支配的となる FDM の波動性が小スケール問題の解決に重要な効果をもたらす。一方で、de Broglie 波長よりも大きいスケールでは FDM

一方で soliton core を見るために十分な解像度も同時に必要となる。この 2 つの要請を満たすための莫大な計算コストがシミュレーションを困難にしている。
そこで、彼ら (Taruya,A, & Saga,S. 2022) は、FDM
が従う Schrödinger-Poisson(S-P) 方程式を解析的に解き、FDM の波動関数から soliton core の構造を調べた。そして、core と halo の関係を導出した。

が CDM のように振る舞う。FDM による構造形成のシミュレーション (Schive,H.-Y et al. 2014a) により、halo の中心には密度が一定で、大きさが de

2

Setup
この節では、FDM が従う S-P 方程式を解析的にBroglie 波長程度の soliton core が形成されると分かっ解くために彼らが用いた近似を示し、方程式を線形

169

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
係数を無次元な量に変換して、x ≡ r/rs , E ≡ 2mrs2 ϵ,固有問題に落とし込む。
はじめに、計量は

ds2 = − [1 + 2Φ(x, t)] dt2+ a2 (t) [1 − 2Φ(x, t)] δij dxi dxj(1)

α ≡ 8πGm2 ρs rs4 a と表す。そうすれば、式 (2) は
(
) [
]
1 d
log(1 + x) l(l + 1)
2 d
− 2
x
unl (x) + −α+unl (x)
x dx
dx
x
x2
= Eunl (x).

としてある。a(t) はスケール因子で、Φ は重力ポテ(5)ンシャルであり、conformal Newtonian gauge を選という線形固有問題になる。上式から α はポテンシャ

択している。FDM は非相対論的なスカラー粒子だか

ルの深さに対応しているとわかる。そこで、α を典ら以下の S-P 方程式に従う。
[
]
∂
1
2
i ψ= −∇ + mΦ ψ,∂t
2ma2 x型的な量で表すと、)2 ( M )4/3
h
α =7.21 × 10
10−22 eV109 M⊙)−1/3 ()−1/3(
ψ と m は FDM の波動関数と質量である。ここで、Ωm,0 h2f (cvir )∆vir (z).
×
注目する soliton core がホライズンより十分に小さ
200
0.147
1+z
1
rvir
いことから、Hubble parameterH による膨張の効果, cvir ≡f (cvir ) ≡
c
[ln(1
+
c
)
−
c
/(1
+
c
)]
rs
vir
vir
vir
vir
を表す項を落としている (H/m ≪ 1)。重力場は十分(2)に弱い場 |Φ| ≪ 1 とし、Poisson 方程式

2

(

m

になる。ここで、cvir は concentration parameter、

1 2m∇ Φ = 4πG 3 {|ψ|2 − ⟨|ψ|2 ⟩},
a2 x
a

(3)

virial 半径 rvir である。α が大きい値をとることから、式 (5) を解くために WKB 近似を用いることがに従う。右辺は FDM の密度ゆらぎであり、⟨|ψ|2 ⟩ はできる。しかし、次節で述べるように彼らは WKB 近宇宙全体における平均密度である。FDM の振る舞い

似よりも回帰点周りで精度良く解を求めることがでを調べるには、これらの非線形方程式を解く必要があ

きる Langer 変換を用いて波動関数を導出している。

る。S-P 方程式を解析的に解くために、彼らは次の近似を用いた。soliton core のサイズが halo のサイズに比べて十分に小さいことから (i)core の自己重力は無3

視し、(ii)core の周囲にある halo は背景として coreと分離して扱う。そして、その halo は (iii) 球対称に分布し、Navarro-Frenk-White (NFW) に従うとする。さらに、(iv) 注目している core を構成する FDMの密度は平均密度より十分に大きい (|ψ|2 ≫ ⟨|ψ|2 ⟩)Analytical solution
さて、式 (5) を解けば FDM の波動関数が求められるのであるが、彼らは l = 0 の場合に注目して解を求めている。波動関数を ũn ≡ xun (x) と変換すると、式 (5) は

d2 u˜n (x)+ αg0 (x)u˜n (x) = 0,dx2
log(1 + x) E
g0 (x) ≡+ .
xαとする。以上から halo のプロファイルをρsm|ψ| ≃ ρN F W (r) ≡(r/rs )(1 + r/rs )22(4)とできて、これが NFW プロファイルである。式 (3)から halo による重力ポテンシャルが

(6)
(7)

となる。束縛状態の解を導出するために境界条件を

ũn (0) = 0, ũn (∞) = 0 とし、エネルギー E を負にρs r2 log(1 + r/rs )Φ = −4πG sar/rsとる。すると、g0 (x) には g0 (xc ) = 0 となる回帰点が存在する。この点付近では WKB 近似が破綻すると動径方向のみに依存する形となる。それから、FDM

ので、彼らは以下に示す Langer 変換 (Nayfeh,A.H.

の波動関数を1993) を用いている。まず、Liouville-Green 変換に

ψ=

∑
nlm

unl (r)Ylm (θ, φ)e−iϵτ , τ ≡

∫ t

よって

1
dt′ 2 ′a (t )

zx = p(x), vn (z) =とする。ただし、ϵ は FDM のエネルギーである。さらに、ここに半径 r, エネルギー ϵ, ポテンシャルにある

170√

p′ (x)ũn (x)2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校と変換する。′ は半径 x による微分である。これによ4り、式 (6) は[]d2 vn (z)g0 (x)+ α
2 + δ vn (x) = 0,dz 2
p′ (x))′′(√p′ (x)1√δ=2
p′ (x)p′ (x)

この節では、前節で解析的に導出した波動関数と(8)

数値的に求めたものとを比較する。数値計算による(9)波動関数は式 (6) を解いたものである。以下の図は(Taruya,A, & Saga,S. 2022) から抜粋したものである。図 1 から解析的結果が精度良く得られていることなる。そして、p(x) を Langer 変換によって

αComparsion with numericalresultsとが分かる。さらに、図 2 からは FDM のプロファ

g0 (x)

イルが平坦になっており、soliton core に対応するこp′ (x)とが確認できる。

2 = −zと決める。ただし、この変換式は g0 (x) が持つ回帰点の数やその点周辺での振る舞いによって決められるものである。こうして、z = p(x) が

[ ∫ √
]2/3

1/3 3 x′ )dx′

α
−g
(x

0
2 xc




 (x > x , z > 0)cz = p(x) =
]2/3
[ ∫ √
x


−α1/3 32 x c −g0 (x′ )dx′





 (x ≤ xc , z ≤ 0)

図 1: 上図は解析的に導出した波動関数 (実線) と数値計算によるもの (破線) を基底状態 n = 1 から(10)とわかる。z ∼ O(α1/3 ) より、δ ∼ O(α−2/3 ) となっ

n = 5 までプロットしたものである。下図は２つの差(ũn,analytical − ũn,numerical ) /ũn,numerical を表す。

て δ の項を無視することができる。結局、方程式はd2 vn (z)− z vn (z) ≃ 0.
dz 2

(11)

という形になる。これは Airy 方程式であるので、一般解はvn (z) = c1 Ai(z) + c2 Bi(z)(12)と Airy 関数で記述される。境界条件 ũn (∞) = 0 お
よび z → ∞ における Airy 関数の漸近形がe−(2/3)z√,
2 πz 1/4
3/2

Ai(z) ∼

図 2: 図 1 と同じように波動関数を絶対値の 2 乗にして原点で規格化したもの |un (x)|2 /|un (0)|2 をプロットしている。ただし、波動関数は un (x) = ũn (x)/xである。これは、FDM の密度プロファイルに対応

3/2

e(2/3)z
Bi(z) ∼ √ 1/4πzする。

ということから c2 = 0 と決められる。もう一方の境界条件 ũn (0) = 0 から Ai[z(0)] = 0 が導かれる。この条件によってエネルギー固有値が決まるのだが、こ5の式は超越方程式だから数値的に固有値を評価する必要がある。以上により波動関数が
 {z(x)}1/4 Ai(z(x)), (x > xc )1/4ũn (x) = {−g0 (x)}1/4
 {−z(x)} Ai(z(x)), (0 ≤ x ≤ x )c{g (x)}1/4

こ の 節 で は 、解 析 的 に 得 た 結 果 を 用 い て soli-

ton core の半径と質量の見積りを行う。彼らは、(Schive,H.-Y et al. 2014b) によるシミュレーションで0(13)と解析的に求められた。

Prediction for core-halo relations

得られた soliton core のプロファイルを用いて、coreの半径と質量のパラメータ依存性を示した。シミュ

171

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
レーションによって示された core のプロファイルがρcρsoliton (r) =.
(14){1 + γ(r/rc )2 }8)−2 ( r )−4 []0.019 (mc
ρc =M⊙ pc−3a10−22 eV
1kpcである。core 半径は ρc の半分の値 ρsoliton (rc ) = ρc /2となるように定義されており、γ ≃ 0.091 である。こ|u (x)|2のプロファイルと解析的に得た波動関数を |u11 (0)|2 =ρsoliton (x)と結ぶことで core 半径が近似的に
ρc

rc
=p
rs

6
α(1 + E/α)

Bullock,J.S,&
Boylan-Kolchin,M.
Annu.Rev.Astron.Astrophys, 55, 343.

(15)と求まる。ここで、p は解析的結果をシミュレーションによる結果に合わせるための因子で、彼らは p = 0.65と選んででいる。rs = rvir /cvir から core 半径が( p )()−1m
rc =1.83[kpc]a−1/2
0.65
10−22 eV()−1/6)−1/3 (
Mh
∆vir
×
(16)
109 M⊙
200()−1/6 {
}1/2
Ωm,0 h2g(cvir )×,
0.147(1 + E/α)

Bullock,J.S, Kolatt,T.S. Sigad,Y. Somerville,R.S.
Kravtsov,A.V. Klypin,A.A. Primack,J.R. & Dekel,A.
2001 Mon.Not.R.Astron.Soc. 321, 559.
May,S, & Springel,V. 2021, Mon.Not.R.Astron.Soc. 506,
2603.

Schive,H.-Y, Chiueh,T,
Nat.Phys, 10, 496.

&

Broadhurst,T.

2014,

Schive,H.-Y, Liao,M.-H, Woo,T.-P, Wong,S.-K, Chiueh,T, Broadhurst,T, & Hwang,W.Y.P. 2014,
Phys.Rev.Lett, 113, 261302.
Taruya,A, & Saga,S. 2022, Phys.Rev.D, 106, 103532.

と見積もられる。ここで、g(cvir ) = c2 f1(cvir ) であ
る。

2017,

Nayfeh,A.H, Introduction to P erturbation T echniques,
1993, Wiley-VCH,

√

xc =

Referencevir

続いて、core 質量である。soliton core のプロファ
イル ρsoliton (r) を core 半径 rc までで積分したもの∫r
Mc = 4π 0 c r2 ρsoliton (r)dr を用いる。これと xc により Mc は( p )−1 ()−1m
Mc =2.91 × 107 [M⊙ ]a−1/2
0.65
10−22 eV(
)1/6
)1/3 (
Mh
∆vir
×
(17)
9
10 M⊙
200
)1/6 {}−1/2(
g(cvir )Ωm,0 h2×
0.147(1 + E/α)と見積られた。(Schive,H.-Y et al. 2014b) によって求められた core 半径と core 質量と比べると、解析的に得られた結果の後ろの 2 項がシミュレーションによる
結果にはない依存性である。つまり、考える宇宙モデ
ル Ωm,0 h2 と concentration parametercvir に依存することが示された。シミュレーションにより各 halo のcvir と質量 Mvir との間にはバラつきがあることが指摘されている (Bullock et al. 2001)。式 (16)(17) から

core の半径と質量が cvir に依存するので、core-halo
関係のバラつきが concentration と halo 質量の関係にあるバラつきに由来するものと考えられる。

172

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重宇 c02球面重力波に対するパルサータイミング公式の導出に関するレビュー
山本 峻

173

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

球面重力波のパルサータイミング公式導出のレビュー
山本 峻 (弘前大学大学院 理工学研究科)

Abstract
1915 年に発表されたアインシュタインの一般相対性理論にて重力波 の存在が予言された。重力波は時空を歪めながら伝搬する波である。 1950 年代以降に観測に向けて世界中で研究が行われ、2015 年にアメ リカのレーザー干渉計重力波検出器 LIGO によって重力波の直接観測 が成し遂げられた。重力波は強い透過力を持つなどの電磁波にはない 特徴が多くあり、宇宙観測の可能性がより広がると考えられている。 今回はこの重力波の検出方法の一つとなるパルサーを用いた重力波検出にとって新たな理論を構築する論文のレビューを行う。
高速で電磁波を放出する中性子星はパルサーとよばれ、地球上でも観測できるそのパルスは極めて規則正し
い周期を持っている。観測できるパルスを発しているパルサーと地球の間に重力波がある時、時空 の歪みが生じることによってパルスの伝搬する時間に変動が発生して、 観測されるパルスの周期が乱れる。今回議論する重力波の検出方法はこの周期変動を利用したものである。先行研究により、パルスの振動 数変化と重力波の関係を表すための定式化がなされてきた。一般的に知られているその式は平面重力波を仮定した場合のものであった。そ のため、非常に遠方の天体から到来する重力はに対しては有効である。今回は近傍に存在するコンパクト天体から放射される重力波を仮定 して、球面重力波に対する振動数変化の数式を導出した。
球面波特有の効果として、地球から重力波源までの距離と地球からパルサーまで の距離に比例した項が表れた。この項によって地球から重力波源までの距離が小さいまたは、地球からパルサーまでの距離が大きいほど周波数の変化が大きくなることがわかった。

1から放射される重力波について、球面の重力波を仮

イントロダクション

定したときにどの程度効果があるのかを考える。そ2015 年に干渉計を利用して重力波の観測がされて、 のために、重力波を球面波と仮定した時のパルスの
今年 2023 年にパルサーを用いた方法であるパルサー

振動数変化と重力波の関係式を導出する。２章ではタイミングアレイ（PTA）によって重力波が観測され先行研究におけるパルスの周期変化と重力波の関係た。宇宙空間に存在するパルサーから放出された電式と平面波を仮定した場合の効果を紹介する。３章

磁波パルスは、地球でも観測することができる。パでは球面波を仮定した場合での検出公式の書き換え

ルスが伝播する経路は重力波の存在によって変化すと、球面波を仮定したことによって生じた効果を見ることになる。これを利用して、重力波を検出するる。４章ではまとめを行う。また、この集録では光方法がパルサータイミングアレイである。この観測

速度 c = 1、万有引力定数 G = 1 とする自然単位 形

では数ナノヘルツ〜数百ナノヘルツ程度の周波数のを用いるが、形式上 c や G を記述することがある。

重力波の検出が予想されている。すでに先行研究によって電磁パルスの振動数変化と重力波の関係を表すための定式化がなされている。一般的に知られてパルスの周期変化による重力波

2いるその式は平面重力波を仮定した場合においての検出ものである。 平面重力波の仮定は非常に遠方の天体から到来する重力波や、宇宙空間に広く存在してい2.1

パルサーを用いた重力波の検出理論

ると考えられている背景重力波などに対しては十分
パルサーを用いた重力波の検出はパルス周期と地に有効な理論である。
この論文では近傍に存在するコンパクト天体連星球の周期の差から求められる。

174

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

tp

te

tobs

L

xR

tem = temTPtem

重力波の向きパルスの位置パルサー

nP

地球→パルサー方向の単位ベクトル：n p

tobs

L

xR

N

TE

λGW

地球

：N 重力波の波長：λGW：x R

図 2: パルスが受ける平面波を仮定した重力波。パル重力場に変動がない時のパルスの経路
重力場に変動がある時のパルスの経路
地球の時間：te パルサーの時間 ：tp
地球での観測時刻：tobs パルスの発射時刻：tem
パルスの固有周期：T P 観測パルスの周期：T E

スに対する重力波の向きが常に一定になる。
分すると、

図 1: 地球とパルサーの間に重力波がある時のパルス
周期の変化。重力波の有無によってパルスの経路が[ TT]
nip njp∆Th (tobs , xE ) − hTijT (tem , xp )=TP
2(1 + np · N) ij(3)

伸び縮みするため、パルスの周期が変動する。

となり、パルス周期の変化から重力波を求められる。

パルスの進む空間長 L は、パルス経路中の重力波
を hTijT として

1
L = tem − tp − nip njp
2∫ t′p +L

dt′

t′em

[

]
∂ TT ′h(t,x)∂t′ ij(1)

3

球面重力波の検出公式

3.1

球面波を仮定した重力波

球面波を仮定した時、パルスが受ける重力波の向この空間長さが時間変化しないことを利用すると、 きはパルスの位置に依存して変化する。
次に発射されるパルスについても同様に L を考えられる。この L から、パルス固有の周期 TP と地球で観測されるパルスの周期 TE の差となるパルス周期

NP

λGW

の変化 ∆T を求める。この結果求められる ∆T と重力波の関係式は∆T
1= TP nip njp
TP
2

2.2

D

∫ t′em +L
t′em

dt′

[

∂ TT ′h (t , x)∂t′ ij

]

重力波源

L
xR

nP
θ

S (x s )

(2)

xR

NE

：S (x s )パルスまでの距離 ：D

平面波における重力波(2) 式について、平面波を仮定、つまり、重力波源が十分に遠方であるとき、パルスが受ける重力波の図 3: パルスが受ける球面重力波。パルスの受ける重向きは一定となる。このことを利用して、右辺を積

力波の向き (xR ) が変化する。

175

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

θが大きいほど差が大きい

図 4: 連星系を edge on で観測した時の重力波を仮定したパルス周期の変化と重力波の関係式のグラフθは地球からみたパルサーと重力波源の角度、横軸は重力波の周期で規格化されている。点線→フレネル補正
項のみを取り入れたグラフ

実線→重力波の向きによる補正項も取り入れたグラフ

重力波源からの距離と重力波の波長の関係などを利用して (2) 式を書き換えて、積分をすると、[
hTijT (tE , xE )∆T
1 i j
= np npTP2(1 + np · NR (tE )](4)hTijT (tp , xp )
hλGW
−
+ O(
)
(1 + nP · NR (tp )
D

4

まとめ
今回はパルサーの周期変化と球面波を仮定した重力波の検出公式を導出した。この公式を実際に連星系から放出される重力波を仮定して、実際に計算すると、パルサーと地球の間の距離と重力波源までの距離によって影響を受ける項が現れた。この項による周波数 変化の式に対する影響は、地球から重力波

L ≪ D のとき NE =NP となるので (4) 式は平面波源までの距離が小さいまたは地球からパ ルサーまで解である (3) 式を再現する。

の距離が大きいほど強く現れることがわかった。実際のパルサータイミング観測では、パルサー固有の3.2

変動やノイズ、または測定誤差などの検出を防ぐた

数値計算による検証

め、一つのパルサーだけではなく複数のパルサーを実際に連星系から放射された重力波 hij T T の波形用いてその周波数がそれぞれ観測されている。今回を仮定して (3) 式を計算する。その際に出てくる波導出できた振動数変化の式は単一のパルサーに対し源までの距離、重力波の波長、パルサーと地球の間て有効であるため、より実践的な理論として複数のの距離などによって影響を受ける項を補正項と呼ぶ。 パルサーを考慮したうえでの球面重力波に対する振今回導出した (3) (式には平面波解の時にもあったフ)

動数変化の式を検討する必要がある。

と重力波の向きによる補正項の両方を取り入れた (3)5L2に加えて、重力波向きに
DλGW(L)依存する補正項:O D がある。このフレネル補正項

レネル補正項：O

式とフレネル補正項のみを取り入れた (3) 式を数値計算した結果が図４である。

参考文献

1. R. Kubo, K. Yamahira, and H. Asada, The Astrophysical Journal, 946:76 (6pp),2023
2. Maggiore, M.,

Gravitational Waves: Astro-

physics and Cos- mology Ox- ford Univ. Press,
UK, 2018.

176

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重宇 c03

ダークエネルギーを説明する低エネルギー有効理論の強重力領域における検証可能性
小林 元

177

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

ダークエネルギーを説明する低エネルギー有効理論の
強重力領域における検証可能性
小林 元 (京都大学 基礎物理学研究所)

Abstract
現在の宇宙の加速膨張を説明するダークエネルギーのモデルは，スカラー場に時間的な勾配を持たせ時間方向の対称性を自発的に破った低エネルギー有効理論 (Eﬀective Field Theory, EFT) を用いて普遍的に記述される．近年 [2] にて一般の背景時空の下へこの EFT が拡張されたことを踏まえ，EFT におけるブラック
ホール (BH) 背景の下での重力摂動を一般相対論と比較することで，BH 起源の重力波からダークエネルギーの情報を引き出すことが期待される．本稿では，このような動機の下で [2]，[3] に基づき任意の背景時空における EFT の構築法と，EFT における静的・球対称 BH 解周りのパリティ奇成分の BH 摂動論の定式化についてレビューする．

1

おいてもパリティ奇の計量摂動が 1 つの力学的自由

Introduction

度で記述されることを確かめ，一般相対論における現在の宇宙は加速膨張していることが知られているが，その起源は未だ理解されていないため，多くのモデルを統一的に扱う方法を構築し，観測結果を用いてモデルを峻別することが重要である．[1] で提BH 摂動論でよく知られた Regge-Wheeler 方程式の一般化; 式 (3.11) を導出する．さらに，4 節でまとめとこの式 (3.11) の解析を通じた今後の展望を述べる．

案された「ダークエネルギーの低エネルギー有効理論 (EFT of DE)」により，単一のスカラー場により加速膨張を駆動するモデルを普遍的に扱うことができる．低エネルギー有効理論 (EFT) のアプローチでは，対称性とその自発的破れのパターンさえ分かれば，指定した背景の周りの摂動の低エネルギーで有効な作用の形を系統的に決定できる．DE を説明す

2

EFT の一般の背景時空への拡張[2] に基づき，スカラー場により時間方向の座標変
換不変性を自発的に破る EFT の，任意の背景時空における定式化について解説する．今回考える EFT では，背景スカラー場の勾配 ∂µ Φ が timelike であるため，スカラー場の背景量 Φ が空間的に一様になるよ
うな時間座標 τ をとれる．

るモデルの多くは，時間的な勾配を持つスカラー場

Φ = Φ(τ ) : τ にのみ依存する背景スカラー場に基づいているため，「EFT of DE」では，一様等方
宇宙背景の下で時間方向の一般座標変換不変性を自発的に破る状況を考える．

2.1

ユニタリーゲージにおける有効作用

近年 [2] において，時間方向の対称性を破る EFT

ユニタリーゲージ，すなわちスカラー場 Φ の摂の，任意の背景時空での定式化が提案された．特に， 動 δΦ := Φ − Φ = 0 の下での計量の摂動を議論す
この EFT はブラックホール (BH) 時空においても適 る．このとき，Φ の等高面は時間一定面を指定し，X := g µν ∂µ Φ∂ν Φ として，その単位法線ベクトル場
用可能である．BH 時空背景の EFT における重力摂
τ ˙
δµ
Φ
∂µ Φ
である1 ．計量の動を，一般相対論の場合と比較することで，ダーク は，nµ := − √−X → − q
2エネルギーの正体となりうるスカラー場についての

ADM 分解情報を，BH 連星合体起源の重力波から得ることが˙−g τ τ Φ

ds2 = −N 2 dτ 2 + hij (dxi + N i dτ )(dxj + N j dτ ) (2.1)

期待される．本稿では，2 節で一般の背景時空における EFT の構築方法を紹介した後，3 節で EFT に基づく静的・球対称 BH の周りのパリティ奇成分の計量の摂動の解析方法について紹介する．特に EFT に

1 ここで「→」はユニタリーゲージの下での表式を意味し，˙ はτ 微分を表す．nµ nµ = −1 で確かに timelike となっている．

178

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校を考え2 ，超曲面の外的曲率を Kµν := hρµ ∇ρ nν と定したがって，ユニタリーゲージでの摂動を記述す

R も誘導計量 hij を用いて定 る一般的な Lagrangian density L は8 ，以下のように書き下すことができる．
義される．
これらの準備の下で，ユニタリーゲージの下でのM 2 f (y)EFT の作用を一般的に構成する．ユニタリーゲージ
R̂ − Λ(y) − (g τ τ , K, σµν , rµν の 1 次)
L= ⋆2の下での作用は，4 次元の Ricci スカラーのような
4 次元の共変量に加えて，(Kµν , N, (3)R などで書け+ (摂動量の二次) + · · ·(2.5)
る)3 次元共変な幾何学量に依存しうる．さらに，τ 方向の対称性の自発的な破れから作用は τ に対する · · · は摂動量の高次の展開を表す．y = (τ, xi ) であ
あらわな依存性を持ちうる．F を，4 次元と 3 次元 り，R̂ は全微分項を差し引いた 4 次元の Ricci スカの共変量，および時間座標 τ に対するスカラー関数
ττ
9として，ユニタリーゲージにおける一般的な作用は， ラーである ．f (y), Λ(y) および g , K, σµν , rµν の一
3義する ．3 次元曲率

∫

S=

(3)

√
d4 x −gF (Rµναβ , Kµν , g τ τ , ∇µ , τ )(2.2)の形にまとまる4 ．
固定した任意背景の下での摂動量の解析を行いた
い．背景量を (· · · ) として，摂動量を
δg

ττ

:= g

ττ

−g

ττ

次の係数10 の間には，背景場の運動方程式 (tadpole
相殺条件) からくる制限がつく11 ．

Stückelberg 作用2.2µ(τ, ⃗x), δKνµ := Kνµ − K ν (τ, ⃗x), · · ·作用の 4 次元の一般座標変換に対する不変性は，時のように定義する．摂動量の有効作用は，上記の Fの指定した背景の周りでの Taylor 展開を用いて書き下すことができる．

間方向の微小な座標変換 τ → τ − π(τ, ⃗x) に対し作用]√ [d4 x −g F + F gτ τ δg τ τ + F K δK + · · · (2.3)

Lagrangian に加えることによって回復される12 ．作

∫

S=

∂F
∂Z 背景量 と，F の微分係数を背景量
5

全体が不変となるよう，π(τ, ⃗x) で書き表される項を用に現れる π(τ, ⃗x) は，時間方向の対称性の破れに関ここで，F Z =で評価したものである ．Taylor 展開の各係数は座標(τ, xi ) に依存する6 ．しかし，Taylor 展開の各項の係数は，その xi 依存性と連鎖律を通じて以下の関係に束縛されている．

する Nambu-Goldstone ボソンとなっている．インフF F ττ
 g
∂xi 
 FK

..
.

F gτ τ
 F gτ τ gτ τ=
 F Kgτ τ..
.

析において，π をあらわに含む作用を考えることは重










レーション中に生成する揺らぎの非ガウス性の解析など NG ボソン π の自己相互作用が重要な寄与を持ち，時空計量の摂動との混合を無視できる場合の解要である13 ．逆に今回の BH 摂動論のような時空の(摂動) ダイナミクスに興味があるときには，NG ボソ
FK

F (3) RF gτ τ K
F KK..
.

F gτ τ (3) R
F K (3) R..
.

 ττ 
···
g

··· 
 K 
 (3) R 
· · ·  ∂xi 



..
..
.
.
(2.4)

ン π の寄与は時空に吸収されるのでユニタリーゲー
ジ下での作用 (式 (2.5)) による議論で十分である．

静的・球対称背景の下での EFT

3

関係式 (2.4) により，作用の摂動展開において逐次的に空間 3 次元方向の座標変換不変性が保証される7 ． 3.1

背景時空として，静的・球対称な計量

2hµν := gµν + nµ nν は，τ -一定面に誘導される計量とする．
3 外的曲率の空間成分とトレースは，K = 1 (ḣ − D N −
ij
ij
i j
2N
Dj Ni ), K = hij Kij と ADM 変数を用い書き表せる．ここで∇ρ は 4 次元の共変微分であり，Di は 3 次元の共変微分である．
4 3 次元曲率テンソル (3)Rµν は，Gauss-Codazzi の関係式より 4 次元の Riemann 曲率と外的曲率を用いて書き表せるので独立変数から取り除いた．また，ラプス関数 N の代わりに g τ τ を関数の独立変数として採用した．
(3)
K
R
(3)R
µν := Kµν − 3 hµν ，rµν :=µν − 3 hµν を用い(3)て，独立変数のうち {Rµναβ , Kµν } を {K, R, σµν , rµν } に5σ取り換えて計算している．
6 xi に対する依存性は，背景量を代入した際に生じる．
7 τ 方向については，関数 F 自身に顕な依存性が含まれるので，連鎖律により F ···τ のような項が生じるが，このような項は作用の Taylor 展開には含まれない．そのため，作用の展開係数に対する束縛関係を与えない．

EFT の作用と背景場の運動方程式

ds2 = g µν dxµ dxν = −A(r)dt2 +
8S =

∫

dr2
+ r2 dΩ22 (3.1)B(r)√
d4 x −gL とする．

9 R̂ = (3) R + Kµν − K 2 を満たす．
µν K
10 (g τ τ , K, σν,rの1 次) = c(y)g τ τ +β(y)K +αµµν µνν (y)σµ +µνµττγν (y)rµ + ζ(y)n ∂µ g で，各係数は時空の座標依存性を持つ．
11 式 (3.4) にて再度解説する．具体例として注16 を挙げた．
12 具体的には，ユニタリーゲージ作用に現れるすべての局所場において，f (τ, ⃗x) → f (τ + π, ⃗x) = f (τ, ⃗x) + f˙(τ, ⃗
x)π +
1 ¨
f (τ, ⃗x)π 2 + O(π 3 ) の置き換えを，求めたい摂動のオーダーま2で行う．
13 このような極限は decoupling 極限と呼ばれ，摂動の波長のスケールが背景計量の長さスケールと比べて十分短い場合に成り
立つ．

179

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校を考える14 ．自由落下する観測者の座標系
ds = −dτ + [1 − A(r)]dρ + r
2

2

2

2

dΩ22

ととると，h0 → h0 − Ξ̇, h1 → h1 − ∂ρ Ξ, h2 →(3.2)

h2 − 2Ξ のように変換する．このゲージ自由度を用

h2をとり15 ，スカラー場 Φ が τ 方向の対称性の自発的に いて Ξ = 2 とすれば，h2 は消える．
破る場合を考える．背景計量が時間によらないため， 以下，ℓ ≥ 2 とする．ここで，EFT の作用 (式 (3.3))
背景場 Φ(τ ) ∝ τ で X = const. の配位が実現される． の中から，奇パリティの摂動の時間発展に効く項に
時間 (τ ) 方向の並進対称性と時間反転対称性に対応 ついて考察する．背景計量 (式 (3.2)) は，パリティ偶し，スカラー場の Φ → Φ + const. と Φ → −Φ なる変 であるから，背景計量を代入して評価される量はすττ
換に対する不変性を持つとする．この下で，Einstein べてパリティ偶となる．δg と δK もパリティ偶な
frame f (y) = 1 がとれると仮定する．ユニタリーゲー のでこれらだけからなる項は無視できる．
ジにおける Lagrangian は，r のみに依存する関数を
M2µ
展開係数としてLodd = ⋆ R − Λ(r) − c(r)g τ τ − β̃(r)K − α(r)K ν Kµν

2M2µ
L = ⋆ R − Λ(r) − c(r)g τ τ − β̃(r)K − α(r)K ν Kµν
2− ζ(r)nµ ∂µ g τ τ + (摂動量の二次) + · · ·
(3.3)

+

1 2
M3 (r)δKνµ δKµν + · · ·
2

(3.6)

· · · は摂動の高次の項を意味する．式 (3.6) の摂動量と書ける．背景計量 g µν から計算される Einstein テ の二次までの展開に基づき，h0 , h2 に関する二次のンソルを Gµν ，Lagrangian の −Λ(r) から ζ(r) の項 Lagrangian を導出すると，までと背景計量を用いて計算したエネルギー・運動 2ℓ + 1
L2 = p1 h20 + p2 h21 + p3 [(ḣ1 − ∂ρ h0 )2 + 2p4 h1 ∂ρ h0 ]量テンソルを T µν として，背景場の運動方程式は，
22πj

T µν = M⋆2 Gµν ; tadpole 相殺条件

(3.4)

(3.7)

となる．式 (3.4) について，右辺は A(r), B(r) のみにと求まる．各係数は，多重極の指数 j 2 := ℓ(ℓ + 1) お

依存する幾何学量であり，左辺はそのほかに EFT のよび計量に含まれる関数 A(r), B(r) および EFT の展開係数に依存し，A(r), B(r) が与えられれば EFT

展開係数 M⋆2 , α(r), M32 (r) に依存する19 ．ここで，の展開係数の間の関係を与える16 ．

係数 p4 は α + M32 = 0 を満たすなら消える．例えば，[3] で明示されたように，シフト不変な Higher Order

3.2

EFT における奇パリティ摂動の解析

計量 (3.2) の持つ SO(2) 不変性から，球面調和関数を基底とする展開により計量の摂動を偶奇のパリティ成分に分解することができる．パリティを破るよ
うな相互作用項を含めていないので，パリティ偶奇の成分が混ざり合うことはない．今回は奇パリティ成分の解析に着目する17 ．計量に対する摂動を δgµν :=evenoddとし，パリティ奇成分+ δgµν
gµν − g µν = δgµν
odd
δgµν は，
odd
δgµν =

X
ℓm


r

2

0
0
h0 Eab ∇b00h1 Eab ∇b
h0 Eab ∇bb
 Yℓmh 1 E a ∇bh2 E(a|c ∇c ∇|b)(3.5)

Scalar-Tensor 理論でこの条件を満たす．p4 ̸= 0 の時には，遅く回転している BH が作れない，あるいは ρ
方向の音速が無限遠で発散してしまうという問題がある [3]．以下では p4 = 0 が成り立つよう, α + M32 = 0を仮定する．
作用 (3.7) は，拘束条件を取り除くと 1 つの力学的自由度によって記述される．補助場 χ を導入し，2ℓ + 1L2 =p1 h20 + p2 h21 + p3 [−χ2 + 2χ(ḣ1 − ∂ρ h0 )]2πj 2と書き直せる20 ．h0 と h1 に関する Euler-Lagrange 方
程式21 から h0 , h1 を消去すると χ だけの Lagrangian(j 2 − 2)(2ℓ + 1)
L2 = s1 χ̇2 − s2 (∂ρ χ)2 − s3 χ2
2πj 2と書ける18 ．i = 0, 1, 2 に対して hi := hℓmi (τ, ρ) と略記している．無限小座標変換 xµ → xµ + ϵµ を
ϵτ = ϵρ = 0, ϵa =

∑

(3.8)

19 具体的には (· · · )· は τ -微分，(· · · )′ は r-微分として，¯ b Yℓm (θ, ϕ)Ξℓm (τ, ρ)E ab ∇

1

ℓ,m

p1 :=

14 dΩ2 = dθ 2 + sin2 θdϕ2 は，単位 2 次元球面上の計量である．
2√1−A15 dτ = dt +dr, dρ = dt + √ drである．
ABAB(1−A))(d
16 例えば A(r) = B(r) の時，r 4 1−A(α−M⋆2 ) = const.
dr
r2
3λ
2
となり，λ を定数として α = M⋆ + r(2−2A+rA′ ) の関係にある．
17 今回の対称性を仮定した EFT における，even sector 及びparity mixing がある場合の解析については今後の課題である．
18 Yℓm (θ, ϕ)：球面調和関数，Eab ：2 次元球面上の完全反対称テンソル，∇a :：単位球面上の計量 (dΩ22 ) に関する共変微分である．a, b, . . . は単位球面上の角度座標を表す．

p2 := −(j

2p

2

− 2)r

2

2
r 2 M⋆·− 2) √+ (p3 p4 ) ,
2 1−A

(j
2

2
2
1 − A (M⋆ + M3 ) ,2 + M 2 )r 4
(M⋆
3
,
√
2 1−A
v
!
u
2
B
A′
1−A
α + M3u+p4 := t2 + M2A(1 − A)
2
r
M⋆
3
p3 :=

となる．
20 χ を運動方程式を用いて消去すると，式 (3.7) の Lagrangianと一致する．

180

21 h

0 =−

∂ρ (p3 χ)
,
p1

h1 =

(p3˙ χ)+p3 p4 χ
p̃2

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校を得る22 ．式 (3.8) から，ρ, θ 方向の摂動の伝播速
2gM⋆
度はそれぞれ，c2ρ := |gτρρτ | ss21 = M 2 +M
c2θ :=
2,
⋆

M2

2

4

Summary & Discussion
本稿では，1 節で加速膨張宇宙のモデルに依らな

3

23⋆
limℓ→∞ |grτ τ | j 2s3s1 = M 2 +M
，これは odd2 と一致し

3
い普遍的な記述方法として「EFT of DE」を導入し，mode の重力波の伝播速度 cT に対応する．重力波の2 節で，空間的に一様とは限らない背景時空にも適伝播速度と光速のずれは，
2用可能な，スカラー場の配位により時間方向の対称M3 (r)2⋆

αT (r) := cT − 1 = −M⋆2 + M32 (r)(3.9)

た．特にユニタリーゲージ下での作用の摂動展開にによりパラメトライズされる．
(τ, ρ) 座標から (t, r) 座標に戻ると，

おいて，その展開係数は一般に時空の座標 y µ に依存

L2 ∝ a1 (∂t χ) − a2 (∂r χ) + 2a3 (∂t χ)(∂r χ) − a4 χ
2性を自発的に破る EFT の一般的な構成方法を紹介し22するが，空間 3 次元共変性を保証するために，各係で，各係数 a1 , a2 , a3 , a4 は，s1 , s2 , s3 と A(r),R B(r)
を用いて書き表せる．時間座標を t → t̃ := t + aa23 drと書き直すことで24 ，L2 ∝ ã1 (∂t̃ χ)2 − a2 (∂r χ)2 − a4 χ2

数は式 (2.4) の関係を通じて結びつき，互いに独立ではない．3 節では，ユニタリーゲージ作用 (式 (2.5))を用いた，静的・球対称 BH 解の周りの奇パリティの(3.10)

計量摂動の解析方法について議論し，EFT の場合にを得る．ここで ã1 := a1 + a23 である．伝搬する各拡張された Regge-Wheeler 方程式 (3.11) を導いた．

a2

EFT の情報は，式 (3.12) の有効ポテンシャルに現れフーリエモードの解析には，亀座標を導入するのがR q ã1ており，この一般相対論からのずれが，式 (3.11) を便利である．今回の設定では，r∗ =a2 dr であqq
適切な境界条件の下で解析した結果として，複素離
A+αT
ã1
dr
B√
=
=
り，F (r) := drと定めると，aA
1+αT∗
2
散の固有スペクトルである準固有振動数や static 極
F (rg ) = 0 を満たす rg > 0 は自由度 χ の horizon に限 (ω → 0) の解に現れる潮汐応答 (いわゆる tidal1
対応する．Ψ := (ã1 a2 ) 4 χ とおくと，Love
number 等) に反映される．これらの値は，BH
 2

∂
∂2
− 2 − Veﬀ (r) Ψ = 0(3.11) 連星合体由来の重力波の波形に寄与するため，実際
∂r∗2
∂ t̃
の重力波の観測データから準固有振動数や tidal Loveを得る．ここで，有効ポテンシャルは
number を読み取ることで EFT のパラメータを制限√√

A ℓ(ℓ + 1) − 2
B
r2
[
)′ ]′
(
(1 + αT )1/4
rF
+
F×
r
(1 + αT )1/4

Veﬀ (r) =できる．発表では [4],[5] および自身の研究をもとに，

1 + αT F

背景計量は GR と同じ Schwarzschild だが αT が非零の定数となる stealth Schwarzschild 解と適切なパラ(3.12)

である．ここで，(· · · )′ は r に関する微分であり，α+メータ領域で曲率特異点を解消できる Hayward 解を例にとり具体的な解析と展望について紹介する．今回の EFT と「EFT of DE」がどちらも妥当なエネ

M32 = 0 を仮定している．αT (r) は，tadpole 条件:

ルギースケールでうまく接続されていれば，BH 周り

式 (3.4) を満たすように A, B から決まる25 ．一般相の摂動を通じて DE の情報を引き出せたことになる．

対論における Schwarzschild 解では，A(r) = B(r) =r

1 − rg および αT ≡ 0 であり，このとき式 (3.11) は，BH 摂動論でよく知られた Regge-Wheeler 方程式にReference

帰着する．したがって，式 (3.11) は Regge-Wheeler
方程式の一般化になっており EFT における一般相対論からのずれの情報は，式 (3.12) の有効ポテンシャ
ルに含まれている．
(j 2 −2)p2(j 2 −2)p2
3 ,
3 ,
s2 :=
p2
p1
· i
p1 +p22s3 := (j − 2)p3 1 − p p ṗ3
である．
1 2
2 2
23
2 に r p4 の項が加わり， 2
2 となり，の場合，4ρρθj 2 −222 ここで各係数は sh1 := −

p ̸= 0c
また動径方向の伝播速度がj に依存する．
√
1−A αT
24 a3 =a2
AB A+αT25 A(r) = B(r) の時，αc ̸= c[1] G. Gubitosi, F. Piazza and F. Vernizzi, JCAP 02,
032 (2013) .
[2] S. Mukohyama and V. Yingcharoenrat, JCAP 09,
010 (2022) .
[3] S. Mukohyama, K. Takahashi and V. Yingcharoenrat, JCAP 10, 050 (2022) .
[4] S. Mukohyama, K. Takahashi, K. Tomikawa andV. Yingcharoenrat, JCAP 07, 050 (2023) .
[5] R. A. Konoplya, JCAP 07, 001 (2023) .

2M⋆′T (r) = −1 − r(2 − 2A + rA ) 3λ181

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重宇 c04

5 次元回転ワームホールの解析
上道 恵也

182

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

５次元回転ワームホールの解析
上道 恵也 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
ワームホールとは時空の 2 つの領域を直接つなぐトンネルのような時空構造であり、アインシュタイン方
程式の解である。また、ワームホールのいちばんくびれている部分を「喉」と呼ぶ。この喉を広げるためにありふれた古典的な物質に備わっている条件 (エネルギー条件) を破る物質が必要になるので、喉が広がった
通過可能なワームホール解を構成するのは難しい [1]。本研究では喉を広げるために回転の効果を用いて、エネルギー条件の破れ方を軽減するようなワームホール解の構成を試みる。しかし、任意の角速度の効果を入れると非球対称となり、この低い対称性からアインシュタイン方程式は偏微分方程式を解かなければいけな
いことになる。そこで、[2] では角運動量が等しい 5 次元空間における定常回転ワームホール解を構成し、4次元時空ワームホール解の構成のときと同じ自由度を保ちながらアインシュタイン方程式を常微分方程式にすることができた。本研究では漸近平坦な境界条件を課し、[2] では考えられてなかったワームホールの喉付
近における「非対称性」の自由度を考慮し、より一般的な解を構成する。そして、任意の角速度の効果について議論する。

1を構成するために本研究では回転する WH を扱う。

Introduction

なぜならば、角運動量による遠心力によってエキゾ
チック物質に頼らなくても WH のトンネルを広げることが期待されるからである。実際、遅い回転に限定した WH ではエネルギー条件の破れ方が軽減されることが解析的に示されている [2]。さらに速い回転を求める場合、一般に回転時空は 4 次元のまま数値的に解くと計算コストがかかる。そのため [3] では５次元等角運動量時空で計算を簡略化し、WH 解を構

図 1: ワームホールの模式図 ([1] 参照)

成しその安定性を解析している。[3] で得られた解はワームホール (WH) とは時空の 2 つの領域を直接つなぐトンネルのような時空構造である（図 1 参照）。

WH は一般相対性理論における時空の曲がりと物質分布を関連付けたアインシュタイン方程式の解（=時空構造）として与えられる。WH はワープ航法や制限されたものであり、解をより一般的に拡張できることに気付いた。そして WH の５次元回転 WH のより一般的な解を構築することを目指す。[2, 3] での限定的なモデルで見たエネルギー条件の破れの軽減の証拠をより確実なものにする。

タイムトラベルなどの空想上の技術と関連する興味深い時空構造として研究されているが、一般に通過可能な WH 解を得ることは古典的な物質では難しいとされている。

2

Ansatz と方程式

2.1

Ansatz

なぜならば、そのような WH 解を構成するのにはありふれた古典的な物質に備わっている条件（エネルギー条件）を破る物質（エキゾチック物質）を用いてトンネルを広げる必要があるからだ。よって、通今回考える作用としてはエネルギー条件が破れているファントムスカラー場を用いた 5 次元 Einstein
重力を考える。

過可能 WH の実現可能性は困難とされてきた。
なるべくエネルギー条件を破らない通過可能な WH

183

∫ [
S=

]
√
1
R + Lph−gd5 x16πG(1)2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
ラグランジアン Lph はファントムスカラー場 ϕ を用いて1∂µ ϕ∂ µ ϕ(2)2と表される。本研究で扱う５次元等角運動量定常回
Lph =る。ファントム場の方程式は (1) から( √)′∇ µ ∇ µ ϕ = 0 ⇔ p h3 ϕ ′ = 0
よって、定数 Q を使ってQ
ϕ′ = √
p h3

転ワームホールは以下の計量である。

ds2 = −e2a dt2

(5)

(6)

と置くことができ Q のことをスカラーチャージと呼び、微分方程式の解を決定するパラメータである。

+ pe−a {ea−q [dl2 + hdθ2 ]+ eq−a h[sin2 θ(dφ − ωdt)2 + cos2 θ(dψ − ωdt)2 ]+ (ea−q − eq−a )h sin2 θ cos2 θ(dψ − dφ)2 }(3)

残りの計量関数は p, q, a, ω の 4 つなので、必要な4 つの方程式を Einstein 方程式から導くと以下のようになる。Einstein 方程式

なお、計量関数 h(l) は以下の通りであり、r0 は喉の半径を表している。

Rµν = 0(µ, ν ̸= l)(7)を用いて、４つの方程式が求められる。

h(l) = l2 + r02ll2 + r2 /2p(l) = −c1 √+ c2 2 0 2
2
l + r0l 2 + r0cωω ′ = 5/2 2 q−4a
h p e
′ ′
3a h
a′ p′ + pa′′
c2 e4a−q+− ω 3 4 =0
2h
p
2p h
′ ′
′ ′
′′
3q h
q p + pq4(e2(q−a) − 1)
+
−
=0
2h
p
h

(4)

ここで、t は時間座標で、座標 l はワームホールの動径固有座標で、範囲は −∞ < l < ∞ である。よって、l → ±∞ が漸近領域となる (図 2)。θ, φ, ψ は角度座標で、θ = π/2 の時赤道面を表し、φ, ψ に関する角運動量が一致する（＝等角運動量）ようにしている。このような５次元等角運動量座標をとってい

(8)
(9)
(10)
(11)

るので、すべての計量関数は動径固有座標 l のみに

よって、これらの微分方程式を使えば、解 p, a, q, ω

依存するようにしても、４次元非球対称時空の自由を求めることできるが、Einstein 方程式として Rll に度と変わらない解析ができる。よって、ここで出て関する方程式が残っている。

速度 ω(l)、共形空間因子 p(l) はすべて l のみに依存

Q2
Rll = −8πG 3 2
h p

する形となる。また、ファントムスカラー場 ϕ(l) も

これはファントムスカラー場の情報であるスカラーa

きたラプス関数 e (l)、非球対称性の歪み度 q(l)、角

′

(12)

l のみに依存する。なお、これ以降 は d/dl としてチャージ Q と計量を繋げることができる。これをいる。

constraint として求める。左辺を計量関数を用いて計算すると、
Q2
3p′′
q ′′
3h′′
3h′2
3p′2
−8πG 3 2 = −
+
−
+
+ 2
2
h p
2p
2
2h
4h
2p
( ′
)
′2
′
q
p q
− 2a′2 −+ a′ q ′ −
− a′
2
p 2
(
)
′
′
h
3p
1
−
q′ +
− 4a′ + eq−4a hpω ′24hp2(11) で q ′′ を消去して、(8) で p′′ を消去すると、

図 2: l の説明図

4πGQ2 = −2.2

ファントム場の方程式と Einstein 方
程式

ここからは上で仮定したファントムスカラー場と計量関数を求めるために必要な微分方程式を説明す

184

)
h3 (
e4a−q c2w
+ [ 4a′2 − 2a′ q ′ + q ′2 p24ph4− 2 (a′ − q ′ ) pp′ − 3p′2 ]()+ h2 p2 4 − e2(q−a)+ h2 p [p (q ′ − a′ ) − 3p′ ] l − 3hp2 l2 (13)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校となり、右辺は正の定数になることが constraint と関数 p(l) は (3) から空間計量のオーバーオール因子なる。

なので、p(l) に定数倍がかかっても、時間のスケール
を変えることと同じである。よって、(8) から c1 , c2

2.3の２つ自由度あったものが c1 /c2 の１つの自由度の境界条件

みでよくなる。よって c2 = 1 と固定して、c1 のみをパラメータとして扱う。また、ω の漸近展開形から¯ 1 , cω ) とすることができるので、J¯ も独立しJ¯ = J(c

漸近平坦の境界条件を課しており、

a(±∞) = q(±∞)

たパラメータではない。
次に解くべき微分方程式を見ると、(10) と (11) のとなる。また、a, (q), ω, ϕ の境界条件はそれぞれ l →+∞ となるときに 0 にしており、以下のようになる。 a, q についての２階微分方程式を最初に解くことで、(9) も解くことができる。しかし、１階微分方程式のa(+∞) = q(+∞) = 0, a(−∞) = q(−∞) = a−∞constraint があるので方程式の自由度は 2 × 2 − 1 = 3
p(+∞) = −c1 + c2 , p(−∞) = c1 + c2である。
ω(+∞) = 0,

ω(−∞) = ω−∞

そして、これにより質量 M と角運動量 J を求める
ことができる。適当にスケールを変えた座標 t̄, φ̄ を使って、５次元時空の場合計量は以下のように展開される (質量、角運動量はスケールを変えた後を強調するため ¯ を付けた)。
(
)
8GM̄±
2
gtt dt → − 1 −
dt̄2
3π¯l2
4GJ¯ sin2 θ
dt̄dφ̄
gtφ dtdφ → −π¯l2

よってパラメータは c1 , cω , a−∞ , Q, M̄+ , M̄− の６

(14)

(15)

個であるが、手で与えられるのは 6 − 3 = 3 個で残りの３つのパラメータは解くときに決まるものである。本研究では (c1 , cω , a−∞ ) を手で与えるパラメー
タとし、(Q, M̄+ , M̄− ) は解いたときに求められるパラメータとする。

2.5

先行研究 [3] では、上記で説明した簡単のため c1 =(16)(15) や (16) のように展開されるために、(14) をもとに a, ω は以下のように展開される。

0 として、非対称ワームホール解を構成するために
a−∞ の値を変化させていた。しかし、c1 を 0 にしないことで、計量関数 p(l) は非対称になり、それに伴って非対称ワームホール解を構成することが可能

l →+∞であると考えた。本研究では c1 の自由度を見るため、( )8GM̄− p−1−∞a=−
+ O l−423πla−∞ を固定し、非対称ワームホールを構成する。

¯ −2
( )
4GJp
−∞
ω=
+ O l−6
4
πl

3

l →−∞
a−∞
( )
8GM̄− p−1−∞ e
+ O l−42
3πl¯ −2 e2a−∞
( )
4GJp
−∞
ω = ω−∞ ++ O l−64πl結果
上記をもとに数値的に微分方程式を解いた結果がa = a−∞ −以下の図である。l → ±∞ の範囲をコンパクト化するため以下では

なお、ω の漸近展開形を (9) から解析的に求めると、

l = tan−4l → ±∞ で l の係数は同じになるため、角運動量J¯ は J¯+ = J¯− = J¯ とする。

2.4

先行研究と本研究の相違点

(π )
x
2

(−1 < x < 1)(17)と座標変換したものを扱う。

パラメータと自由度

上記から Q, c1 , c2 , cω , a−∞ , M̄+ , M̄− , J¯ が微分方程式を解く上で必要なパラメータである。しかし、計量

図 3 と図 4 から計量関数の非対称な解、つまり非対称ワームホールを構成することができた。また、c1

185

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 6: ファントムスカラー場 ϕ(x) と c1 の依存性
図 3: 計量関数 a(x), q(x) と c1 の依存性

4

結論
本研究では先行研究から c1 というパラメータを加えたより一般的な解を構成し、c1 がワームホールの非対称性に起因することがわかった。そして、c1 の値を上げることで、エネルギー条件の破れが軽減された。しかし、c1 の本質的な物理的な意味はわからず、それを突き止める必要がある。また、この自由度を用いて別のワームホールを構成することができるかもしれない。
図 4: 計量関数 q(x) と c1 の依存性

Acknowledgement
私のこの研究をサポートしていただいた、共同研
究者の皆様並びに研究室の皆様には感謝を申し上げます。

Reference
図 5: ファントムスカラー場 ϕ(x) と c1 の依存性

[1] M. S. Morris, & K. S. Thorne 1988, Am. J. Phys.
56, 395.

を変化させると喉の位置が変化することがわかった。

[2] P. E. Kashargin, & S. V. Sushkov 2008, Grav. Cosmol. 14, 80.

図 5 から c1 を大きくするとスカラー場の絶対値が小[3] V. Dzhunushaliev et al. 2013, Phys. Rev. D 88,
124028.
さくなり、その必要性が軽減されることがわかった。

また、c1 の絶対値にもよらないことがわかった。
また、図 6 はエネルギー条件の破れを見たものである。
q

ヌルベクトル k µ として Ξ = Tµν k µ k ν = −Q2 p2eh3 と表されたエネルギー密度を縦軸にしている。これを見ると c1 を大きくするとエネルギー条件の破れが軽減されることがわかる。

186

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重宇 c05確率格子シミュレーション
水口 由莉乃187

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

確率格子シミュレーション
水口 由莉乃 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーションは、宇宙初期に指数関数的に空間膨張し、われわれの宇宙の種である初期ゆらぎを生成する機構である。この存在は Planck の観測からも支持されている一方、インフレーション機構の詳細な模型は未解明である。機構の解明には、ゆらぎの発展を追うことで解明が進むとされているが、非線形な成長をすると考えられているゆらぎには数値的手法が必要とされている。インフレーション中は、小さなゆらぎがほとんどとされているが、中には大きなゆらぎが生成する場合も考えられ、大きなゆらぎは、ダークマターの候補の 1 つとして注目されている原始ブラックホール (PBH) を生成するとされている。将来観測の点からも、LIGO-Virgo での観測や LISA や SKA といった誘導重力波の観測の期待が高まっている。しかしながら、その形成過程は特定の状況に対する解析的研究のみが進んでいることが問題視されている。[1]
そこで本発表では、非摂動論的手法である確率形式と格子シミュレーション組み合わせたコード (STOLAS:

STOchastic LAttice Simulation) を用いて、PBH 形成に関する議論を行う。テストケースとして、chaotic
inﬂation [2] と inﬂection [3] の 2 つの模型を取り上げ、今後の方向性について述べる。

1

Introduction
インフレーションは、「インフラトン (ϕ)」と呼ば2確率形式と格子シミュレーション

2.1

確率形式

れるスカラー場の量子ゆらぎ (初期ゆらぎ) を生成する機構で、その確率密度関数 (PDF:Pζ ) はガウス関

ゆらぎはホライズンを出ると古典化され、インフ数に近い形を取るとされている。そのため、一様なレーション中の情報が凍結して保存されると考えれ

背景場 ḡµν と小さなゆらぎ δgµν で記述されるようなているため、インフラトンの運動方程式を解くこと

場合が大部分を占めていると考えられているが、中で、機構の物理がわかるとされている。ここでは、運には大きなゆらぎ (ḡµν ≃ δgµν ) も考えられる。

動方程式を導出するため、作用から出発する。
∫
]
√ [ 1
S = d4 x −g − g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)(1)
2

このような大きなゆらぎは、曲率ゆらぎに変換された後、放射優勢期に過密度領域が重力崩壊して生成される「原始ブラックホール (PBH)」の種になる

ここで、g µν は FLRW 計量で (g = det g µν )
−1 0 0 0
年注目を集めており、観測面からも関心が高い一方、
 0 a2 0 0 µν
その形成に関する研究は、一部の場合に対して解析


g =

2
0
0
a
0


的研究が進められてきた。PBH の代表的先行研究と
2
0
0 0 a
しては、Press-Schechter 理論、Peak 理論が知られてとされている。PBH はダークマターの候補として近おり、これらはさまざまな仮定のもと成立する理論(2)である。上記から、インフラトンの運動方程式はである。例えば、ガウシアンな曲率ゆらぎ、単純なϕ̈ + 3H ϕ̇ − a−2 ∇2 ϕ + V ′ (ϕ) = 0

形成条件や質量の設定、ガウシアンな場合に知られているパワースペクトルなどである。[1] そこで本研
究では、これらの仮定の妥当性や形成されるインフ(3)と記述される。通常ゆらぎの発展を追う際には、レーション模型について調査するため、インフレーḡµν ≫ δgµν を仮定する摂動論を用いるが、PBH 形

ション中に生成されるゆらぎの発展を、模型のみを成を考える本研究では近似が悪い。そこで、ゆらぎ

初期条件とした数値シミュレーションを実装する。

を古典化したモード (IR,super-horizon) と量子化されているモード (UV,sub-horizon) に分けて考えるこ

1882023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校とで、大きなゆらぎに対しても良い近似が成り立つ

大きさで、sinc 関数に則ったノイズが追加されるこ形式 (確率形式 [4]) を導入する。確率形式における計とが言える。したがって、kσ = σa(t)H(t) ごとに ξϕ

量とインフラトンは以下のように記述される。

が独立したガウシアンノイズとして扱える。なお、IR
UVgµν = gµν
+ gµν

(4)

ϕ = ϕIR + ϕ̂U V (ϕ̂U V ≪ ϕIR )(5)⟨ξπ (t, x)ξπ (t′, x′)⟩ ≃ 0 である。

2.3

格子シミュレーション

この形式は、ホライズンの外に出たスケールのみ (IRさらに、ここではシミュレーションで扱いやすくモード) に注目する、super-horizon における非線形するため、インフラトンの運動方程式を無次元化し、なゆらぎに対する有効的場の理論となっている。し確率形式と格子シミュレーションとの相性や実装さたがって、局所的には FRLW が成立しており、確率れている中身について簡単に概要を説明する。

形式を導入した場合のインフラトンの運動方程式を無次元化するために dN = Hdt を用いると、ハミルトン形式でかくと、H(ϕx , πx )
πx
dN +
dWx
H(ϕx , πx )2πV ′(ϕx )dNdπx = −3πx dN −H(ϕx , πx )dϕx =ϕ̇IR = πIR + ξϕ(6)π̇IR = −3HπIR − V ′ (ϕIR ) + ξπ(7)となる。ここで、ξ は揺動項である。

2.2

(12)
(13)

と表される。揺動項に注目すると、⟨dWx dWx′ ⟩ =揺動項の性質sin(kσ |x − x′ |)kσ |x − x′ |(14)

本セクションでは、運動方程式に登場した揺動項 の関係がある。シミュレーションにおいて、このようについて、詳しく見ていく。IR 場のインフラトンは、 な相関をもったガウシアンノイズとして与えるため、][
Fourie 空間で∑ √∆Ωi∫√ [cos(kσ · x) − sin(kσ · x)]dWi
dWx =d3 k ik·x2 πeϕ(t)(1−θ(k−σa(t)H(t)))ϕIR (t, x) =
k
i
(2π)3
(15)
(8)
と定義される。ここで、θ(k − σa(t)H(t)) は Heviside
階段関数で、σ ≪ 1 を満たす。したがって、この式を (7),(8) に適用すると、揺動項は∫d3 k ik·x
ξϕ = σaH 2eϕk δ(k − σaH)(2π)3∫d3 k ik·xξπ = σaH 2eπk δ(k − σaH)(2π)3として記述され、dWi はガウス乱数としてノイズを与える。[5]

(9)
(10)

である。
ここで、Bunch-Davies 真空を仮定すると、ϕk がガウシアンであることから、⟨ϕk ⟩ = ⟨πk ⟩ = 0 より、
揺動項の期待値は ⟨ξϕ ⟩ = ⟨ξπ ⟩ = 0 を満たさなけれ
図 1: 立方格子のイメージ図ばならない。したがって、揺動項はガウシアンであることが言える。ξϕ の 2 点相関 (分散) を考えると、(r = |x − x′ |)本研究で開発したコードでは、図 1 のような各格子間隔が 1 の立方格子を考え、各格子点において式

H 3 sin(kσ r)⟨ξϕ (t, x)ξϕ (t′ , x′ )⟩ ≃δ(t − t′ ) (11)(2π)2 kσ r(13)(14) で記述される Langevin 方程式を解くことをとなるので、ある等時刻スライスで見ると、kσ =現している。また、本シミュレーションでは共動座

3

想定しており、この立法格子が宇宙空間の一部を再2

σa(t)H(t) となったモードが、IR 場に H /(2π) の 標を取り、膨張指数 N を forward 型 e-foldings で考189

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校えるため、シミュレーション開始時 N = 0.0 で立方が良くない。そこで、本研究では、tail 部の確率を格子全体が sub-horizon となっている。そして終了時上げるためバイアスを手で入れて、後から重み付けは、各格子点が全て super-horizon となるところで格することで、効率よくサンプリングを行う。これを子シミュレーションを止めることにする。

Importance sampling[7] という。実装した際には、滑らかなバイアスとなるよう N = 3 を中心としたガウ

3

シアンなバイアスを加えた。

δN 形式
PBH 形成を考えるためには、各格子点でのインフレーション終了時の曲率ゆらぎの値が必要である。そ5Resultのため、前セクションで格子シミュレーションを終本研究では、chaotic inﬂation[2] と inﬂection[3] を了した際の N や dϕ, dπ の各格子点の値を保持し、イ

テストケースとして用いた。各模型のポテンシャル

ンフレーション終了条件である ϵ = 1(ϵ は slow-roll

は以下の通りである。ただし、どちらも初期条件はパラメータ) を満たすまで、ノイズがない場合のイン

ϕ = 15.0, π = −0.1m2 とし、N = 5.5 を格子シミュ

フラトンの運動方程式を解く。これは、各格子点がレーション終了時刻とした。

super-horizon となったことで、各格子点で独立な発• Chaotic inﬂation

展し、さらなるノイズの寄与が少ないと考えるためである。[6] したがって、各格子点で格子シミュレー

V (ϕ) =

ションの終了時の値を初期条件として、以下の運動

πxdN
H(ϕx , πx )V ′ (ϕx )dπx = −3πx dN −dN
H(ϕx , πx )(19)

ただし、m = 10−5 (バイアス有の場合:10−2 )。

方程式を解き各格子点での膨張指数を見積もる。

dϕx =

1 2 2
m ϕ
2

• Inﬂection(16)[
W02 cupcwaw
V (ϕ) = 3 √
− √ϕ
+ √ϕ
3
ν
ν
e 3 − bw
e 3
]
2ϕ
√ (
)
e 3
gw
√
+
dw −
ν
rw e 3ϕ /ν + 1(17)

次に、インフレーション終了時の膨張指数を用いて、曲率ゆらぎを求める。以下のように、各格子点での平均膨張指数と各格子点の値との差がその点での曲(20)

率ゆらぎに値するという考え方があり、

ζi = Ni − ⟨N ⟩ = δNi

(18)

aw

bw

cw

0.02

1

0.04

表 1: 初期値
dw
ν

0

1000

W0

cup

12.35

0.0382

これを「δN 形式」という。この形式を用いることで、

gw

rw

インフレーション終了時の各格子点の曲率ゆらぎの3.076278 · 10−2

7.0711067 · 10−1

値を得ることができた。

5.1

4

バイアスがない場合

Importance sampling
PBH 形成は、大きな曲率ゆらぎから生成されることは先に述べた。本研究のモチベーションとしては、これまでに示したシミュレーションを繰り返し(Direct sampling)、大規模サンプリングすることで、各モデルにおける曲率ゆらぎの PDF を得て、PBH
形成する模型やゆらぎの分布を見ようというものである。しかしながら、ゆらぎはこれまでの観測から、
ほぼガウシアンに近い分布をしているため、大きな

図 2: 左から N = 0.1, 2, 3.5, 5.5 のゆらぎの大きさをゆらぎは tail 部にあたり、Direct sampling では効率示す。上段が chaotic inﬂation, 下段が inﬂection。

1902023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
chaotic inﬂation は典型的な模型で、大きなゆらぎを生成しないが、inﬂection は理論的に大きなゆらぎを生成するとされている。それぞれのモデルの最大値は、10−4 と 0.15 であった。時間発展でゆらぎが生成されていることがわかる。(図 2)5.2

図 4: 左が chaotic inﬂation, 右が inﬂection の結果。

バイアスがある場合

青線が STOLAS の結果、オレンジ点線が理論値。

ここでは、以下のようなバイアスを入れた方程式を解いた場合について、ゆらぎの 3D マップ (図 3)と曲率ゆらぎと原点からの距離依存性について示す。

6

Discussion&Conclusion

理論的には、chaotic inﬂation は sinc 関数に近い形

本研究で開発したコード STOLAS は、曲率ゆらを示すが、inﬂection の場合はずれることが知られてぎのプロファイルを得られた。これまでの実装から、いる。

5.2 で示したようにパラメータの値によっては、同じ模型でも曲率ゆらぎの値が変化することがわかった。

πx
H(ϕx , πx )
dϕx =
dN +
(dWx + B)
H(ϕx , πx )2π(21)V ′(ϕx )dπx = −3πx dN −dN
H(ϕx , πx )21
1 − (N −Nb ) sin(kσ |x|)
√ e 2(∆N )2
B = b̃
dN∆N 2π
kσ |x|(22)

今回は示していないが、PBH 形成条件の compaction

function の計算を行ったところ、各模型で同じほぼ同じ大きさの曲率ゆらぎが得られたのに対して、ピー
クをとる閾値の値が異なることがわかった。これら
は、模型に強く依存しており、曲率ゆらぎのプロファ(23)

ただし、バイアスを入れる時刻を Nb = 3.0、その刻み幅を ∆N = 0.001、その大きさ b̃ は chaotic inﬂation
で 1.5、inﬂection で 3.0 とした。

イルが重要であることを示している。
今後は、Importance sampling で大切な重み付け
や compaction function の計算、さまざまなバイア
スの取り方の検討を行い、大規模サンプリングを実装する。

Acknowledgement
共同研究者である多田祐一郎氏 (IAR)、村田知瞭
氏 (立教大学) に感謝申し上げます。

Reference[1] Naoya Kitajima et al, JCAP,2021[2] A.D.Linde, 1983, Physics Letters B[3] M. Biagetti et al, JCAP, 2018

図 3: 左から N = 0.1, 2, 3.1, 5.5 のゆらぎの大きさを[4] A. A. Starobinsky,Lect.Notes Phys., 1986示す。上段が chaotic inﬂation, 下段が inﬂection の[5] D. S. Salopek and J. R. Bond,Phys. Rev. D, 1991

結果。N = 3 でバイアスを追加し、球殻状にゆらぎ[6] Vennin, V., Starobinsky, A.A., Eur.Phys.J.C, 2015のゆらぎの過密度領域ができている。

[7] Jackson, Joseph H. P. et al, JCAP, 2022

さらに、各模型の曲率ゆらぎと原点からの距離依存性は、chaotic inﬂation の場合は、ほぼ sinc 関数に乗っているのに対し、inﬂection は少しずれることが理論的に考えられ、図 4 のような結果となる。

191

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重宇 c06

ブラックホール準固有振動における質量降着の影響
大橋 陸人

192

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホール準固有振動における質量降着の影響
大橋 陸人 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表では、現在私が研究している Schwarzschild ブラックホールに球対称かつ一定の質量降着がある場
合の準固有振動について解説を行う。ただし、本研究は現在進行中であるため、背景となる物理の基礎知識や研究手法についてを重点的に解説する。

1

Introduction

Schwarzschild ブラックホール
摂動

2

一般相対性理論 (GR) は、様々な実験や観測によってその正確性が確かめられている重力理論であるが、初期宇宙のような量子論が本質的となる状況では破綻してしまうことが知られており、これを超える物(b)

Schwarzschild 背景時空 gµν 上の計量の摂動 hµν を考える。計量を(b)gµν = gµν
+ hµν

理が必要とされている。そのため、今後さらなる精度の向上が見込まれる重力波の直接観測によって、GRを用いて予言される理論波形からのずれが見つかる(1)とし、h の 1 次までで Einstein 方程式を求める。

ことが期待されている。
上記をふまえ、理論波形からのずれが確認された

2.1

際に、それが GR では説明できないものであるかをテンソル球面調和関数
球面調和関数 Yl m(θ, , ϕ) は確認するために、その他に考えられるずれの要因を
あらかじめ考慮しておくことは有益である。本研究(∂θ2 + cotθ∂θ + 1/sin2 θ∂ϕ2 )Ylm (θ, ϕ)では特に、ブラックホール (BH) 連星合体の最終段階= −l(l + 1)Ylm (θ, ϕ)であるリングダウン段階において、質量降着があっを満たす (θ, , ϕ) 上の関数であり、正規直交条件∫dΩYlm (θ, ϕ)Yl∗′ m′ (θ, ϕ) = δll′ δmm′
(3)

た場合にどのように波形が変化するかを検証する。

BH 連星が合体によって最終的に定常 BH を形成す
る場合、その直前の段階では、BH 背景時空における摂動を考えるブラックホール摂動論が有効となる。摂(2)のみによって特徴付けられ、準固有振動 (quasinormal

および完全性条件∑∗
Ylm (θ, ϕ)Ylm(θ′ , ϕ′ ) = δ(θ − θ′ )δ(ϕ − ϕ′ )/ sin θ,

mode, QNM) と呼ばれる。QNM は合体過程におけ(4)動の減衰振動の (複素) 振動数は合体後の BH の質量l,mる軌道などの影響を受けないため、GR の検証に適していると考えられる。

を 満 た す。同 様 に 、テ ン ソ ル 球 面 調 和 関 数(i)tlm (θ, ϕ)

本発表では、第 2,3 章で Schwarzschild 背景におけるQNM の解説を行い、第 4 章で球対称降着が存在するときの背景の導出を行う。そして、第 5 章では数

(i = 1, 2, . . . , 10) を内積∫(i)µα νβ (i)δ(S) (tlm )µν (tlm )αβ ,dΩδ(S)(5)µν:= diag{1, 1, 1/r2 , 1/(r2 sin θ)}
δ(S)値計算で QNM 波形を出す際に必要な Double Nullの意味で完全正規直交系となるように定義するこFormalism の解説を行う。

とができ (具体形は (中野寛之 & 佐合紀親 2022) を参照)、すなわち任意の対称テンソル Tµν (t, r, θ, ϕ) を∑(i)
T (t, r, θ, ϕ) =Tilm (t, r)tlm (θ, ϕ)
(6)
i,l,m

193

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校と展開できる。 実は、Einstein テンソルにおいて∗あるため、方程式の形から ψl (t, r) ∼ e−iω(t±r ) のよ異なる l, m は混ざり合わないことが確認できる。従っ うな解が考えられる。そこで、境界条件て、各 l, m 成分ごとに分けて考えることができる。
−iω(t−r ∗ )Aref(r∗ → +∞)l e
ψl (t, r) → { trans∗Ale−iω(t+r ) (r∗ → −∞)

2.2

パリティ

(11)

を課すと、2M ω が以下のように求まる (一部を示す)(E. W. Leaver 1985)。

パリティ変換P : (θ, ϕ) → (π − θ, ϕ + π)(7)を考える。例えば、

P Ylm (θ, ϕ) = (−1)l Ylm (θ, ϕ)(8)
図 1: 2M ω の計算結果の一部である。P の作用で (−1)l がでる場合を偶パリティ、

(−1)

(l+1)

(i)
がでる場合を奇パリティと呼ぶ。tlm (θ, ϕ)の 10 成分のうち、7 成分が偶パリティ、3 成分が奇パリティである。実は、Einstein テンソルにおいて

4

異なるパリティは混ざり合わないことが確認できる。

2.3

球対称降着が存在するときの背景
論 文 (E. Babichev et al. 2012) に 基 づ き 、

マスター方程式

Schwarzschild 時空に球対称かつ定常な降着がある場

計量の摂動 h をテンソル球面調和関数で展開し、 合の背景を摂動的に与える。Eddington-Finkelstein
Einstein 方程式を書き下し、まとめると、奇パリティ (EF) 座標 (V, r, θ, ϕ) は dV = dθ = dϕ = 0 が Null
測地線となるような座標系である。一般の球対称線についてのマスター方程式

素は次のように書ける。

odd[−∂ 2 /(∂t2 ) + ∂ 2 /(∂r∗ 2 ) − Vlodd (r)]ψlm(t, r)

ds2 = −(1 − 2M (V, r)/r)e2λ(V,r) dV 2

odd
= Slm
(t, r), (9)+2eλ (V, r)dV dr + r2 dΩ2r∗ := r + 2M ln(r/2M − 1)

Schwarzschild のときは、M (V, r) = M0 , λ(V, r) =および偶パリティについてのマスター方程式0 となる。Tµν = Tµν (r) として Einstein 方程式を解
き、V を適当にとれば、even[−∂ 2 /(∂t2 ) + ∂ 2 /(∂r∗ 2 ) − Vleven (r)]ψlm(t, r)∫ r
M (V, r) = M0 + AV + 4π
T0 0 (r)r2 drr0∫ r0λ(r) = −4π
T1 (r)dr

even
= Slm
(t, r)(10)(t, r) はマスター変数と呼ばれ、h の各成分はこれらが求まれば自動的に
odd/evenとなる。ここで、A := −4πT0 1 r2 は定数である。
次に、完全流体のときの Tµν を求める。降着は十(t, r) は摂動源であり、エネル
odd/even

ギーテンソル T の成分を用いて書ける。Vl(r)はポテンシャル項と呼ばれる。

分小さいとし、真空背景上を運動しているとみなす。

u := −dr/ds > 0 を 4 元速度の r 成分の大きさとす
ると、

3

√
f0 + u2 − pu)/( f0 + u2 + u),√
T1 0 = −(ρ + p)/( f0 + u2 + u)2
T0 0 = (ρブラックホール準固有振動
odd/even

摂動源がない場合 Slm

(13)

r0

odd/evenが得られる。ここで、ψlm求まる。また、Slm(12)(t, r) = 0 を考える。

∗√と求まる。ただし f0 := 1 − 2M0 /r。ρ, p, u は状態(0)

r → ±∞(r → ∞, r → 2M ) において Vl (r) → 0 で 方程式と ∇ν Tµ ν = 0 を解いて求める。

194

(14)

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

5と書く。これらを (5) に代入することで、x|4 の代

Double Null Formalism

数方程式が得られる。ただし、非線形代数方程式を背景が時間に依存するので、ψ を振動数で展開せず数値的に解くことを考える。本研究では double null

避けるために、以下の 2 つの段階を踏む。

1. (7) の代わりに、1 次精度のformalism (Ehud Eilon & Amos Ori 2016) を用いることを考えている。

x,U |0 = (x|3 − x|1 )/∆U + O(∆),

Double null 座標 (U, V, θ, ϕ)

では、球対称線素は一般に次のように書ける。

ds2 = −eσ(U,V ) dU dV + r(U, V )2 dΩ2x,V |0 = (x|2 − x|1 )/∆V + O(∆)

を (5) に代入し、線形方程式を解く。このときの解(15)未知関数 r, σ をまとめて x と表すと、Einstein 方
程式はを x̃|4 (3 次精度) とする。

2. (7) の x|4 を x̃|4 に置き換えて (5) に代入し、線形方程式を解く。

x,U V = F (x, x,U , x,V )

(20)

(16)

x|4 が 4 次精度で求まる。

のような形になることが知られている。double null

formalism はこのような方程式を数値的に解く方法である。

初期条件として、ある U = U0 , V ≥ V0

および U ≥ U0 , V = V0 における x の値を指定する。
従って、下図の x|1 , x|2 , x|3 が既知のときに x|4 を求める方法を考える。

まず、点 0 における種々の値

Reference
中野寛之, & 佐合紀親 2022, 朝倉書店

E. W. Leaver 1985, Proc.Roy.Soc.Lond.A 402
E. Babichev, V. Dokuchaev, & Yu. Eroshenko 2012,
Class. Quantum Grav. 29 115002
Ehud Eilon, & Amos Ori 2016, Phys. Rev. D 93, 024016

図 2: 格子点の配置
を 2 次精度で

x,U V |0 = (x|4 − x|3 − x|2 + x|1 )/∆U ∆V + O(∆2 )(17)

x,U |0 = (x|3 − x|1 + x|4 − x|2 )/2∆U + O(∆2 ),x,V |0 = (x|2 − x|1 + x|4 − x|3 )/2∆V + O(∆2 )
(18)
x|0 ∼
= (x|2 + x|3 )/2 + O(∆2 )

(19)

195

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重宇 c07

HSC ３年目と BOSS のデータを用いた一般相対性理論
の検証
谷田 幸貴

196

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

HSC ３年目と BOSS のデータを用いた一般相対性理論の検証
谷田 幸貴 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在、重力を記述する理論としては、一般相対性理論が広く支持されている。実際に、一般相対性理論からの予言は太陽系スケール程度の観測においてはよく一致することがわかっている。その一方で、宇宙論的な大スケールにおいては、一般相対性理論で正しく重力を説明できるかは定かではない。特に、宇宙の加速膨張の発見により宇宙論スケールでの重力理論の修正に関する研究が盛んに行われており、一般相対性理論の代替となる修正重力モデルが多く提唱されている。
本研究では、Hyper Suprime-Cam ３年目 (HSC-Y3) のデータと Sloan Digital Sky Survey(SDSS) の銀河カタログに基づく、宇宙論的弱重力レンズ、銀河弱重力レンズ、銀河クラスタリングという３つの２点相関関数 (3 × 2pt) と Redshift-space distortion(RSD) を組み合わせて、重力理論を検証することを目指す。
また、解析の際、我々は特定の重力理論を用いるのではなく、一般相対性理論を現象論的に変更する、より具体的には、非相対論的物質が感じる重力と相対論的物質が感じる重力を変更する理論モデル (µ-Σ パラメー
タ) を用いる。
本発表では、上記の 4 つの観測量に基づく擬似データの解析により、理論モデルの妥当性を確認する。

1

研究背景

1.1

ΛCDM モデルと S8 テンション

ΛCDM モデルを超える新たな物理を示唆している可能性がある。

2000 年代に入り、宇宙マイクロ波背景放射 (Cosmic

1.2

修正重力理論とその探査

Microwave Backgroud; CMB) やバリオン音響振動
一方で、宇宙論では、重力物理が近年注目を集めを含む、様々な宇宙論的観測量の精密測定によって、標準宇宙モデルとして「ΛCDM モデル」が確立し、 ている。特に、宇宙論スケールにおいて一般相対性理
これは宇宙膨張と構造形成の相互作用をよく説明す

論 (General Relativuty; GR) を修正することによっる。特に、ΛCDM モデルは、Ia 型超新星の観測にて、ΛCDM モデルと異なり、未知の宇宙定数 Λ なし

よって確認された宇宙の加速膨張を、未知のエネルに、宇宙の加速膨張を説明できる可能性がある (修正ギー (宇宙定数 Λ) が引き起こすとして説明する。

重力理論)。現状、太陽系スケールのような小スケー

しかし、最近の精密観測によって、ΛCDM モデルのルにおいては、非常に高い精度で、重力が GR で正綻びが見え始めてきた。特に、ここ数年では、ΛCDM√
モデルのパラメータ S8 (≡ σ8 Ωm /0.3; σ8 は宇宙構

しく記述されることが確かめられている。しかし、宇造の凹凸具合、Ωm は物質のエネルギー密度) に基づ

度良く確かめられていない。

宙論スケールにおいては、重力が GR に従うかを精く検証が盛んに行われている。S8 は、初期宇宙の観

この検証を目指し、近年では LSS の観測量である、

測量 CMB、後期宇宙の観測量、大規模構造 (Large-

銀河クラスタリングと弱重力レンズに感度のある、

Scale Structure; LSS) によって測定される。すばる
望遠鏡 Hyper Suprime-Cam(HSC) による、宇宙的µ(非相対論的物質の感じる重力)、Σ(光子の感じる重力) という２つのパラメータに対する制限が注目さ情報を最大限取り出すとされる”3x2pt 解析”の最新れている (Abbott et al. 2023)。膨張宇宙では µ, Σ

結果 (Sugiyama et al. 2023) も含め、ΛCDM モデル

は一般には時間進化し、一般の重力理論では µ ̸= Σが正しいと仮定すると、CMB の推定する S8 の値にとなる。一方で、GR ではスケール・時間に依らず比べ、LSS の推定する S8 の値が小さい傾向があるこµ = Σ = 1 が成立する (等価原理)。したがって、µ,とが指摘されている (S8 テンション)。この事実は、 Σ を導入することによって、銀河観測を介して、正197

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
しい重力法則を見出せる可能性がある。

2.2

3 つの 2 点相関関数 (3x2pt)

本研究では、µ0 , Σ0 を制限する上での、基準とな理論モデルと観測データ

2

る宇宙論的観測量として 3x2pt を用いる。3x2pt は、

まず、2.1 では、重力を検証するために必要な現象論的パラメータ µ, Σ を導入する。そして、2.2 と 2.3
では、それらのパラメータを制限・推定するために本研究で用いる宇宙論的観測量、3x2pt と赤方偏移
空間歪み (Redshift Space Distortion) を導入する。

弱重力レンズと銀河クラスタリングによる、3 つの 2点相関関数、すなわち宇宙論的弱重力レンズ (銀河像の歪みの自己相関)、銀河弱重力レンズ効果 (銀河と弱重力レンズの歪みの相互相関関数)、銀河銀河クラス
タリング (銀河の自己相関関数) で構成され、ΛCDM
解析において構造成長を最大限探査できることが知られている。µ, Σ を導入した場合の、これらの式は、2.1

線形銀河バイアスが成り立つスケールにて以下のよ

2 つの現象論的パラメータ µ, Σ

まず、背景時空として平坦なフリードマン・ルメー

うに表される。

∫

ldl
J0,4 (lθ)Pκαβ (l, µ) × Σ2 , (6)2π∫kdk∆Σ(R; zl ) = ρ̄0J2 (kR)bPmm (k, z, µ), (7)
2π
∫ ∞
kdk
J0 (kR)b2 Pmm (k, z, µ) × Σ,
wp (R, zl ) =
2π
0
(8)

トル・ロバートソン・ウォーカー (FLRW) 計量を仮

αβ
(θ) =
ξ±

定し、ニュートンゲージを採用すると、

ds2 = −(1 + 2Φ)dt2 + a(t)2 (1 − 2Ψ)dxi dxj δij , (1)となり、a(t) はスケール因子、Φ はニュートン・ポ
テンシャル、Ψ は空間曲率である。Φ と Ψ が微小な揺らぎとすれば、線形の揺らぎ方程式の解として Φと Ψ が得られる。特に、準静的近似を仮定すると、Poisson 方程式と lensing 方程式が以下のように与えられる。

ここで、b は線形バイアス、J0 (x)、J2 (x)、J4 (x) は

0 次、2 次、4 次のベッセル関数である。ΛCDM 解析
における 3x2pt は、µ = Σ = 1 の場合に相当する。
本研究で扱うデータとしては、すばる望遠鏡 Hy-

k 2 Φ = −4πGa2 ρ̄m δm × µ(k, z),(2)

per Suprime-Cam 3 年目 (HSC-Y3) の 3x2pt 解析

k (Φ + Ψ) = −8πGa ρ̄m δm × Σ(k, z).

(3)(Sugiyama et al. 2023) と同様のもの、つまり HSC-22

ここで、µ, Σ はそれぞれ物質クラスタリング、弱重力レンズに対する重力定数 G からの変更を表す。

Y3 の銀河像カタログと、Sloan Digital Sky Survey(SDSS) DR11 の銀河カタログを用いる。

また本研究では、µ, Σ の具体的な関数形として、

Dark Energy Survey 3 年目 (DES-Y3) の先行研究

2.3

赤方偏移空間歪み(Abbott et al. 2023) と同じ、以下を採用する。
上の表式より、3x2pt は、µ0 , Σ0 にも一定感度がΩΛ (z)µ(z) = 1 + µ0
,
ΩΛ0

(4)

あることがわかるが、その一方で、DES-Y3 において、3x2pt のみによる解析では、µ0 を、強く制限でΩΛ (z),(5) きないことが確認されている。この点を鑑み、本研ΩΛ0
ここで、ΩΛ (z) は、宇宙定数 Λ の密度パラメータで 究では、非相対論的物質に対する重力のみに依存すあり、Ω はその現在値である。この仮定は、GR か る f σ8 を組み合わせることによって、非相対論的物

Σ(z) = 1 + Σ0Λ0

らのずれが宇宙膨張に関連しているはずであるとい質に対する重力と光子に対する重力を独立に検証すう自然な考えに動機づけされている。また、この仮定ることを目指す。f σ8 は、「銀河の 3 次元分布が、重では、宇宙初期において GR が復元され、重力理論が力の影響によって銀河それぞれが持つ特異速度によ

GR である場合は µ0 = Σ0 = 0 に対応する。つま り、実際の分布とは異なって観測される現象」、赤方偏移空間歪み (Redshift Space Distortion; RSD) のり、重力に感度がある宇宙論観測量を介して、µ , Σ00の値を推定・制限できれば、その仮定の中において、GR との整合性を検証することができる。

198

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校で与えられると仮定しており、P (Θ|D) が最大とな観測により決まるパラメータであり、理論的にはる領域周辺のパラメータほど、多くサンプリングさdln(D+ (z(a); µ))
1 + z dD+=−,
dlna
D+ (z; µ) dz
れる。ここで、L(D|Θ) は、パラメータ Θ が与えら
(9) れた時に観測データ D が実現する確率、尤度関数で∫ ∞ 2
k dk 2σ82 (z; µ) ≡W (k×8[M pc/h])Pmm (k, z; µ), あり、Pprior (Θ) は与えられた Θ が実現する確率を
2π 20(10) 表す事前確率分布である。本研究では、尤度関数を

f (z; µ) ≡によって求められる。ここで、線形成長因子 D+ (z; µ)以下の形で与える。

はマターパワースペクトル Pmm (k, z; µ) を用いて√
Pmm (k, z; µ)
D+ (z; µ) =,(11)
Pmm (k, z = 6.0; µ)lnL(D|Θ) ≡ lnL3×2pt (D|Θ) ＋ lnLRSD (D|Θ),(13)

により求められる。

1
L3×2pt (D|Θ) ≡ − (d model (Θ) − d data )C −1
2(14)(d model (Θ) − d data ),データとしては、本研究では、SDSS Baryon Os-

cillation Spectroscopic Survey(BOSS) にて測定された赤方偏移空間歪みから得られた f σ8 (z) のデータ

[Main Galaxy Sample(Howlett et al. 2014); BOSS
Galaxy(Alam et al. 2017); eBOSS LRG(Bautista

LRSD (f σ8;data (zn ), (σ[f σ8;data ]|Θ)ELG(Tamone et al. 2020)(Mattia et al. 2021)] を

1∑(f σ8;data (zn ; Θ) − f σ8;data (zn ))2(dmodel,2 n=1
σ[f σ8;data ]用いる。それぞれのサンプル銀河の赤方偏移と、測(15)定された f σ8 (z) の平均値および標準偏差は表 1 の通

ここで、d は 3x2pt のデータベクトルの組み合わせ、

et al. 2021),(GilMar’in et al. 2020);

5

eBOSS

りである。

≡−

C は共分散行列を表す。

3.2
表 1: 各サンプル銀河の赤方偏移と、測定された

f σ8 (z) の平均値及び標準偏差

擬似データを用いたパラメータ推定

制限の強さを確認し、理論モデルの妥当性を検証するために、本研究で用いる全ての観測量に対応す
る擬似データを作成し、これを解析する。擬似デー
タは、コード CosmoLike(Elisabeth Krause and Tim

マルコフ連鎖モンテカルロ法に3よるパラメータフィッティング
3.1

Eiﬂer et al. 2012) によって数値的に得られる、物質
パワースペクトル Pmm (k, z; µ) を用いて、2.2 と 2.3の理論モデル (6)-(11) より与える。ここで、3x2pt の共分散行列は、HSC-Y3 の擬似データ解析と同様のMCMCものを用いる。

本研究では、マルコフ連鎖モンテカルロ法 (Markov

Chain Monte Carlo; MCMC) により、観測データに
ベストフィットするパラメータを推定し、その値の4誤差を制限する。この計算には、Python パッケー
ジ emcee(Foreman-Mackey et al. 2012) を用いる。

MCMC では、ベイズの定理に基づき、観測データ Dが得られた場合のパラメータの値の組が Θ となる確

以下、GR(µ0 = Σ0 = 0) を仮定して作成した擬似データの解析結果について、3x2pt のみの解析と、

3x2pt と RSD の同時解析の結果を扱う。

率を表す事後確率分布 P (Θ|D) がP (Θ|D) = ∫L(D|Θ)Pprior (Θ),
L(D|Θ)Pprior (Θ)dΘ

結果

(12)

199

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

4.1

3x2pt のみによる擬似データ解析

変化するのは、3x2pt 解析の特徴による。3x2pt は、

図 2 は、3x2pt 解析の結果である。左図は b を固定した場合、右図は b を固定しない場合である。どちらも µ0 = Σ0 = 0 とは 1σ 内で一致している。その一方で、右図は、左図と異なり、µ0 については全く制限できていない。

ΛCDM 解析において、b とその他の宇宙論パラメー
タとの縮退を解く、銀河弱重力レンズ効果と銀河-銀河クラスタリングの同時解析 (2x2pt) を包含するという強みがある。一方で、µ, Σ を含む本解析では、b を含む宇宙論パラメータと、新たなパラメータ µ0 , Σ0が縮退するため、b を固定しないとき、µ0 , Σ0 が制限
できない結果になった。この傾向は、DES-Y3 解析においても確認されている。
次に、4.2 における、3x2pt と RSD の同時解析が、
特に µ0 の負の値について、3x2pt のみの解析より強い制限に繋がるという結果も、DES-Y3 解析における、3x2pt と他の低赤方偏移観測量の同時解析による結果の傾向と一致し、結果の妥当性を示唆している。

図 2: 3x2pt 解析による µ0 , Σ0 への制限の様子 (左図:b を固定している/右図:b を固定していない)

6

結論

本解析を通じて、本手法の妥当性が確認できた。さらに、DES-Y3 の実データの解析結果と比較することによって、推定の傾向においても、推定結果の妥当性が確認できた。今後は、理論面と観測面両方による、系統誤差を考慮した解析を行う。

Reference
Sugiyama et al.(2023), arXiv:2304.00705

図 3: 3x2pt+RSD の同時解析による µ0 , Σ0 への制限の様子 (b は固定していない)

Abbott et al.(2023), Phys. Rev. D 107, 083504
Howlett et al.(2000),The Astronomical Journal, Vol.120
Alam et al.(2017), Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 470,p. 2617, 9 2017.

4.2

3x2pt と RSD の擬似データ同時解析

Bautista et al.(2021), MNRAS, Vol. 500, No. 1

一方で、RSD を組み合わせた同時解析の結果は、 GilMar’in et al.(2020), MNRAS, Vol. 498, No. 2
図 3 のようになった。µ0 の値が負の部分は強く制限
ができ、これも 1σ 内で µ0 = Σ0 = 0 と一致している。推定値の範囲は以下のようになった。

5

Tamone et al.(2020), MNRAS, Vol. 499, No. 4
Mattia et al.(2021), MNRAS, Vol. 501, No. 4+0.18
Σ0 = 0.13−0.26,(16)Foreman-Mackey et al.(2012),Publications of the Astronomical Society of the Paciﬁc, Vol. 125+0.74µ0 = 0.72−1.2,(17)

Krause and Eiﬂer(2012), Monthly Notices of the Royal
Astronomical Society, Vol. 470

考察
まず、4.1 の結果について議論する。3x2pt の解析において、b の固定の是非によって、制限の可否が200

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重宇 c08Creation of Fluctuations during Inflation and δ N
Fomula
中野 貴臣

201

未提出

202

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重宇 c09

正則ブラックホールと情報損失問題
末藤 健介

203

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

正則ブラックホールと情報損失問題
末藤

健介 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在理論物理学が抱えている深刻な問題のひとつに情報損失問題がある．これは量子論とブラックホールの融合ができていないことに起因する問題であり，情報損失問題解決に向けて日夜多くの研究が行われている．
今回ここではその解決策の一つとして考えれている特異点のないブラックホールについて紹介する．

1の統合理論が量子重力理論であるので，正則 BH でIntroduction

は情報損失問題が生じないと考えられ，多くの研究

Hwking はブラックホール (BH) 時空上で量子場が行われている．

を考えることで，BH 近傍から Planck 分布に従う
粒子生成が行われること，つまり BH は温度を持つことを示した．これにより BH はエネルギーを失っていき，最終的に蒸発しきると考えられた．しかし，2球対称時空における正則 BH となる条件

Schwarzschild BH や Kerr BH といった既知の BH が蒸発しきると，これらの持つ特異点の影響により時

ここでは球対称時空において，曲率特異点が生じ

空から BH に関する情報が失われユニタリティーがないための条件について述べる (Frolov 2016)．一般

破れ量子論を展開できなくなる (幾何学的に解釈するの球対称時空とこれは時空が Globally hyperbolic でないというこ

ds2 = −F (r)A2 (r)dv 2 + 2A(r)dvdr + r2 dΩ2 (1)とである)(図 1)．これが情報損失問題である．

を考える．この時空において曲率を計算すると Ricci𝑖#Σ′

スカラーと Weyl テンソルの 2 乗は

(
)
4 ′
4
F −1
1
′′
′′
′ ′
′


R = F + r F − 2 r2 + A 2F A + 3F A + r F A
C = Cαβγδ C αβγδ


(
))
(


= √1 F ′′ − 2 F ′ + 2 F −1 + 1 2F A′′ + 3F ′ A′ − 2 F A′

ℐ#

𝑟=0
Σ$%&

singularity

𝑖!

𝑃
riz
o

n

Σ'(

r2

r

A

Ev
e

nt

ho

3

r

(2)

𝑟=0
Σ

ℐ"

と計算できる．これより r = 0 において発散の可能𝑖"

図 1: 蒸発する Schwarzschild BH の Penrose dia-gram

性があることがわかり，
F = 1 ± r 2l2
A = A + A r 2
0

(3)

2

で 展 開 さ れ る と き ，特 異 点 が 解 消 さ れ る ．特 に情報損失問題を解決するアプローチとして，曲率

Schwarzschild BH や Reissner-Nordström BH では特異点を持たない BH(正則 BH) を用いる手法があA(r) = 1 であるので，この場合時空中心が de Sitter,

る．Einstein 方程式の解として予言される BH の多Anti de Sitter 時空の様に振る舞えれば特異点が解消

くは曲率特異点を持つ．しかし量子重力理論ではこされるということがわかる．

のような発散は生じず正則 BH が解になると考えられる．また，情報損失問題を克服した重力と量子論

204

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

球対称正則 BH のモデルとその 4
蒸発

Discussion
以上のように正則 BH が蒸発しきるモデルでは時球対称時空において正則 BH が満足する条件が明らかになったので，ここでは具体的なモデルについて考えよう．Schwarzschild BH を例に考えると
1 ± r2 (r ∼ 0)
l2
(4)
F (r) ∼
1 − 2M (遠方)rを満足する F (r) を考えればよい．ここで，F (r) がr についての多項式関数 P (r), Q(r) を用いて F (r) =P (r)Q(r) と表現できる場合のみを考える．(4) を満たし

この多項式の冪が最も小さくなる関数 F (r) は

F =1−

2ml2
r3 + 2ml2

空構造が Globally hyperbolic になり情報損失問題が生じなくなる．ポスターセッションでは Reissner-

Nordström BH の特異点を解消し，蒸発させたモデ
ルや蒸発可能性についても紹介する予定である．

Reference
V. P. Frolov, Notes on Non-Singular Models of Black
Holes, Phys. Rev. D 94, 104056 (2016).
S. A. Hayward, Formation and Evaporation of Nonsingular Black Holes, Phys. Rev. Lett. 96, 031103 (2006).
著者 D, 著者 E, & 著者 F 2015, 発行元 3(5)である．これを Hayward BH という．parameter l の意味を考えよう．Hayward BH の Kretschmann スカ
ラーは r = 0 で

K=

24
l4

(6)

と評価できる．parameter l が導入されたことでこの値が有限になることができたが，Schwarzschild BH
ではこの値は発散していたのでこの値はとても大きい，つまり l は非常に小さいことが物理的に要求される．このような長さの次元を持つ parameter としては Planck 長が候補に挙げられる．つまり Hayward

BH は量子効果を取り込んだことにより曲率が発散
せず Planck scale で表現できたことになる．
この時空の質量 m が Hawking radiation により変化する状況を考える (Frolov 2016),(Hayward 2006)．
つまり (5) の質量 m を advanced time v に依存した

m(v) の形にした時空を取り扱う．時空の設定としてingoing null が降り積もり BH の質量が増加し，その後蒸発により BH の質量が減っていくプロセスを考える．この様子を Penrose diagram で評価すると時空構造は Minkowski 時空と同相になる．つまり蒸発において Globally hyperbolicity が保たれ情報損失問
題が生じない時空構造になっていることがわかる．

205

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重宇 c10

次世代の銀河サーベイに向けた新しい銀河クラスタリ
ング解析手法の確立
野瀬 観見

206

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

次世代の銀河サーベイに向けた新しい銀河クラスタリング解析手法の確立
野瀬

観見 (東京大学大学院理学系研究科)

Abstract
ダークエネルギー (Λ) と冷たいダークマター (CDM) を主な構成要素とする標準宇宙 (ΛCDM) モデル
は、わずか 6 つのパラメタを指定するだけで現在までの宇宙の各構成要素の密度の揺らぎの時間進化を記述できる理論モデルである。 ΛCDM は宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) などの観測結果を非常によく再現している。しかし、CMB から推定されるパラメタと宇宙後期の物質密度揺らぎから推定されるパラメタが違う可能性が指摘されており、新しい物理の兆候として期待されている。より良い精度をもつ後期宇宙の物質
密度揺らぎの解析手法の開発が求められている。
宇宙後期の物質密度揺らぎからパラメタ推定する手法の一つとして、銀河分布の統計量を理論予測し、それを観測結果と比較する銀河クラスタリング解析がある。これは、二点相関関数やそれをフーリエ変換した統計量であるパワースペクトルが赤方偏移空間で持つ、視線方向に対する角度依存性が ΛCDM パラメタに依存することを利用する手法である。近年の広天域化した銀河サーベイでは銀河への視線方向は全データで平行とはみなせないが、(Scoccimarro 2015) はそのような状況下での非等方パワースペクトルの推定式を導出し、広天域銀河データからの統計量の FFT(高速フーリエ変換) を用いた低コストな測定を可能にした。
本稿では観測データの解析手法に焦点を当てた (Scoccimarro 2015) のレビューを、ポスター発表の際よりも詳細に行う。最後に、銀河の選択効果を取り入れ理論モデルを改良することに焦点を当てた自身の研究について紹介する。

1

実際に銀河クラスタリングでよく使用される統計

Introduction
現代宇宙論の標準的な理論模型は CDM モデルと呼ばれ、最低 6 つのパラメタを指定するだけで、宇量は 2 点相関関数 ξ(|x1 − x2 |) = ⟨δg (x1 )δg (x2 )⟩ を
フーリエ変換したパワースペクトル Pg (k)(⟨δg (k1 )δg (k2 )⟩ = (2π)3 δD (k1 + k2 )Pg (k1 ))宙の構成要素の時間発展を記述できる。この模型は宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) の温度非等方性を精度良く説明する。しかし、現在の宇宙の構造の成長度を表すパラメタの推定値が、CMB の温度非等方性の観測と後期宇宙の物質密度揺らぎの観測との間で異なる可能性が指摘されている。これはダークマである。赤方偏移空間では、k と視線方向の角度によって Pg (k) が変化する。
また、銀河クラスタリングの理論モデルは、銀河までの視線方向が全て平行だと仮定した時に、Pg (k)の非等方性を与えるものである (図 2)。

ター、ダークエネルギーの性質によるものかもしれず、宇宙論パラメタのさらに精度良い測定が宇宙論の課題の一つである。
宇宙論パラメタの推定法の一つに、銀河クラス
タリングというものがある。これは、銀河分布の赤方偏移空間での統計量について、理論と観測を比較する方法である。銀河までの距離は赤方偏移 z で与えられるが、銀河は物質の密度が高い方へ特異速度を持つため、ドップラー効果でこの距離が視線方向

図 1: 実空間と赤方偏移空間でのダークマター密度のにずれてしまう (図 1)。このため統計量も視線方向

ピークの分布の比較。ダークマターの分布は N 体シに歪むことになり、この歪み方が宇宙論パラメタにミュレーションで求められた。(Taruya et al. 2001)

依存している。

より抜粋。

207

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校与えられることを示した (Natural Estimator)。

∫P̂l (k) = (2l + 1)

dΩk
4π

∫

d3 x1 d3 x2 −ik·yeLl (k̂ · x̂)(2π)3 (2π)3× δs (x1 )δs (x2 )(y = x1 − x2 , x =1(x1 + x2 ))2(1)

この (1) 式の導出を行う。まず次のようなパワース
ペクトル密度 (素片) の推定量を定義する。

∫

図 2: RSD による銀河密度の歪み。

P̂local (k, x) ≡d3 yδs (x + w1 )δs (x + w2 )e−ik·y(2π)3(w1 = y/2, w2 = −y/2)2(2)Methods

これはフーリエ変換を行うことで別の表式に変形でまずは研究 (Scoccimarro 2015) をレビューする。 きる。
サーベイ領域の広天域化にともなって、観測データ
中の各銀河までの視線方向は全て平行だとは見なせなくなった (図 3)。そこで (Scoccimarro 2015) は、P̂local (k, x) ≡∫d3 qδs (k + q/2)δs (k − q/2)eiq·x(3)

これが正しくパワースペクトル密度の推定量となっていることは次のようにして確かめられる。
∫
d3 xP̂local (k, x) = |δs (k)|2(2π)3理論が予測するのは、各銀河への視線方向がす
べて平行だとみ(4)

右辺の期待値は確かにパワースペクトルである (ここなせる時の統計

で、これまで式の中に現れた δs (x) は無次元ではなく、√無次元の揺らぎが観測領域の体積の平方根 V で割ら

量Pg(k)。

れたものであることに注意せよ。(2π)3 δD (0) = V )。
これにルジャンドル多項式をかけたものを観測領広天域化した銀河サーベイでは、す域の空間全体で積分し、次の式を得る。
∫
∫
dΩk
d3 x
P̂l (k) = (2l + 1)P̂local (k, x)Ll (k̂ · x̂)
4π
(2π)3
(5)

べての観測データ中の銀河が同じ視k の立体角積分は半径 k の球面を中心とする幅 δk の線方向にあるとは言えない。

球殻中での平均を意味する。つまり、
∫
∫ 3
dΩk
d q
F (k) ≡
F (q)
4π
k Nk
∫
Nk ≡ d3 q = 4πk 2 δk.

図 3: 銀河サーベイの広天域化に伴って発生した問
題点。

(6)

k

広天域化した観測データから、理論モデルと比較できるパワースペクトル Pg (k) とその非等方性をどのように推定するかについて議論した。
最初に、(Scoccimarro 2015) はそれが次のように(5) 式の積分変数を適切に変数変換すれば、(1) 式が得られる。
しかし、(1) 式のままでは二つの空間積分が分離せず、この 2 重空間積分の合計 grid 数を N とすると、計算量が N 2 となってコストが高い。そこで (Scoc-

cimarro 2015) は Ll (k̂ · x̂) → Ll (k̂ · xˆ1 ) という近似

208

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校を行い、次のような形に分離した。
∫
dΩkP̂l (k) = (2l + 1)
δl (k)δ0 (−k),
4π∫d3 x −ik·xδl (k) ≡eδs (x)Ll (k̂ · x̂)(2π)3δs (x) を作るのかを簡単に紹介する。
δs (x) →(7)
I22 ≡ αこれは (5) 式の被積分関数である P̂local (k, x)Ll (k̂ · x̂)は P̂local (k, x)Ll (k̂ · x̂1 ) にほぼ等しいと考える近似である (local plane parallel approximation, 図 4)。パ

w(x)[ng (x) − αnr (x)]

Nr
∑

1

(I22 ) 2(9)n̄(xj )w2 (xj )

j=1

∑Ng

i=1 δD (x − xi ) は観測∑
Nr
された銀河の数密度、nr (x) = j=1
δD (x−xj ) は観を代入すれば良い。ng (x) =測的な効果 (遠くの銀河ほど見えにくい、など) を考慮した一様分布である。観測的宇宙論の業界用語でこれのことを random と呼ぶ。w(xj ) は FKP weightと呼ばれ、S/N 比を最大にする重みである。ディラッ
クのデルタ関数により、(8) 式の δl (k) は離散フーリ
エ変換の形になる。

3

Results
Natural Estimator((1) 式) を使い観測データから

Pg (k) とその非等方性を測定する試みはすでになされていたが、(Scoccimarro 2015) や (Bianchi et al.
図 4: Local plane parallel approximation の概念図。 2015) は (7) 式を用いて測定し、どの程度計算が早く
パワースペクトル素片中では視線方向が一定だと考 なるかを議論した。以下に示すのは BOSS の DR11、

CMASS NGC という銀河カタログをシミュレーショ

え、視線方向を中点から端点へ移す近似。

ンで再現した 50 個の模擬銀河カタログから Pg (k) とワースペクトル素片を考える小さな領域では、視線その非等方性の平均値を測定した結果である。

方向が全て並行であると考えるのである。これによ
り、次のような単純な FFT のみで非等方性を計算できるようになった。

31
δ2 (k) = kˆi kˆj Qij (k) − δ0 (k),22∫d3 x −ik·xeδs (x)x̂i xˆj ,
Qij ≡
(2π)3
35 ˆ ˆ ˆ
57
δ4 (k) =ki kj k̂l kk Qijlk (k) − δ2 (k) − δ0 (k),828∫d3 x −ik·xeδs (x)x̂i xˆj x̂l xˆk .
Qijlk ≡(2π)3(8)
δ0 (k) で 1 回の FFT が、δ2 (k) で 6 回の FFT、δ4 (k)では新たに 15 回の FFT が必要となる。つまり合計22 回の FFT で P̂4 まで計算することができる。(1)
式の 2 重空間積分の合計 grid 数を N とすると、計

図 5: (Bianchi et al. 2015) より抜粋。グラフでは、
表中の黒枠の 3 つを比較している。

2

算量は N から N log N に落ちたことになる。
最後に、実際の銀河のデータからどのようにして

209

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

6

Discussion

My work and future

図 5 のグラフで注目するべきは下の Pl /PlF F T の以上のようにして、観測データから赤方偏移パワー

グラフである。比較している 3 つは、空間積分を分スペクトル Pg (k) とその非等方性が得られるが、宇離する近似を使った (7) 式を異なる方法で計算した

宙論パラメタを精度よく推定するためには、Intro-

結果である。Sum-は FFT を使わずに計算した結果。 duction で述べた理論モデルも改良する必要があり、

Sum-gal は空間を grid 化しなかった場合の計算結果 これが私の現在の研究テーマである。
((7) 式の正しい積分値)、Sum-grid は空間を grid 化

遠い銀河ほど地球に届く光の流束が小さく、観測できないものが多くなる

した場合の結果。FFT-based を含め、空間を grid 化
すると、波の波長が grid の間隔より小さくなる (つま銀河

り波数 k が大きい) と分布を trace することができな

赤方偏移z(zが大きいほど遠い)

くなり、必ず誤差が発生する (これを aliasing 効果と呼ぶ)。比較している FFT-based((7) の計算) の結果
は grid の数が 10243 なので aliasing の効果は見られ

既存の理論予測は赤方偏移で銀河の密度変化がない

ない。grid の数が 5123 となれば、同様に FFT-based
ハローにも aliasing 効果が現れると考えられる。

z=0

表に示すのは、1 個の BOSS の DR11、CMASSNGC を再現した模擬銀河カタログに基づいて計算し

図 6: 自身の研究の紹介。

た際に要した時間。Sum-gal にも grid の数が示され∫ kているが、これは dΩ
4π を計算するために k 空間だけ

私が改良しようとする理論モデルは N 体シミュレー

は grid 化しているためである。Sum-gal と Sum-grid

ションに基づくモデルである。既存の理論モデルででは本来なら Sum-gal の方が精度が高いのでより時は、シミュレーション領域内で銀河密度が一様な場間を要するはずであるが、カタログから δs (x) を計

合の Pg (k) を予測するが、私はここに改善の余地が算する際には (9) 式で示したように、random というあると考える。実際の観測データには遠くの銀河ほ

観測的な効果を考慮した一様分布を作らなければな

ど見えにくいという銀河の選択効果が含まれている

らず、これが原因でこのようなことになっている。

(図 6) が、この効果を考慮した理論モデルを作るべきである。

2024 年から科学運用開始が予定されている PFS

5は、z = 0.8 ∼ 2.4 という遠方銀河まで観測でき、まConclusion

さに次世代の銀河サーベイと呼べる。そのデータがまず計算の速さとしては、同じ grid 数では、FFT-

得られる前に、観測・理論の両方の観点から、よりbased の計算の方が Sum-より 1000 倍以上計算が早

精度の良い銀河クラスタリング解析手法を確立するい。Natural Estimator は Sum-よりもはるかに遅いことが、今後の重要な課題である。

ので、Natural Estimator と比べるとさらに改善されていることになる。grid 数を増やして aliasing 効果を軽くしても (5123 から 10243 へ) なお Sum-と比べて数百倍軽い。
次に計算の精度に関して、Natural Estimator に比Reference
Roman Scoccimarro 2015, arXiv: 1506.02729v2いる。当然 Natural Estimator に比べて精度は落ち

Atsushi Taruya, Hiromitsu Magira, Yi Peng Jing, &Yasushi Suto 2001, Publ. Astron. Soc. Japan 53, 155167

2てしまうが、(7) 式の精度は O(θmax) で、BAO scale

Scott Dodelson 2003, Modern Cosmology

べた精度は (Philcox & Slepian 2014) で議論されて(θ ∼ 0.1) では十分有効である。これにより、銀河ク
ラスタリング解析の手法に Break through がもたらされた。

Oliver Philcox,
2102.08384v2& Zachary Slepian 2014,arXiv:Davide Bianchi, Hector Gil-Marin, Rossana Ruggeri, &Will J. Percival 2015, arXiv:1505.05341v2

210

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重宇 c11

重力波による原始ブラックホールの探索
村上 靖洋

211

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波による原始ブラックホールの探索村上靖洋 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
本発表では、重力波を用いて太陽質量未満のブラックホール（BH）を探索する手法について紹介する。現在までに電磁波や重力波による観測であらゆる天体が発見されてきたが、未だ太陽質量未満の天体の発見には至っていない。また、太陽質量未満の天体は既存の星形成理論では説明することができないため、太陽質
量未満の天体の発見は宇宙初期に形成された原始ブラックホール（PBH）の発見の可能性が出てくる。そこで本研究は、これまでの重力波観測による太陽質量未満の探索の簡略化を踏まえた上で、より高精度な探索を行うことを目標とする。この探索を行う際に、重力波信号は質量が軽くなるほど長い信号になってしまう
ため、計算コストの問題が生じてくる。そこで Focused Reduced Order Quadrature(FROQ) という手法(Soichiro Morisaki & Vivien Raymond 2020) を応用することで計算コスト削減の実装を試みて、太陽質量未満の天体の探索を目指す。

理論が禁止する質量を持つ重力波天体の存在も確認

研究背景

1
1.1

された。例えば、GW190521（150M⊙ ）や GW190814

重力波（2.6M⊙ ）などである。このような結果は、重力波の重力波とは、時空の歪みが光速で伝播する現象のことで、電磁波に比べて物質透過性が非常に高いという特異な性質を有すことから、これまでの観測手法とは全く異なるアプローチを提供する。2015 年 9 月にアメリカの重力波観測施設 LIGO によって初観測された重力波天体は、約 30 太陽質量のブラックホール（BH）の連星合体という初観測以前に見つかっていた BH に比べると重く、電磁波でしか宇宙を見ていなかった我々にとって予想外のイベントであった。
その後 3 回の長期観測を経て、約 90 個の重力波イ
ベント (その大半が連星 BH) が発見され、宇宙には
我々の想像以上に BH があることが明らかとなった。
重力波を数式で表す最も簡単な形は、計量を背景と線型的な揺らぎの成分に分解できるとして、アイ
ンシュタイン方程式を線型近似することで導出できる。よりアインシュタイン方程式を解析的に解こうとする試みで Post-Newton 近似（PN 近似）と呼ばれる近似があり、これを用いて解くことで、より正確な重力波振幅を得ることができる。

台頭によりこれまで我々が知り得ていなかった宇宙の一面を垣間見るとともに、これまでの常識に囚われない探索をすることの重要性を浮き彫りにした。そこで近年、未だに存在が確認されていない太陽質量未満の探索に注目が集まってきた。
太陽質量未満の探索の意義は、理論上存在は予言されている原始ブラックホール (PBH) を発見できる可能性にある。PBH とは、宇宙誕生直後の宇宙が超高密度であった時期に，周りよりも高密度の領域が圧縮されてできた BH のことで、大質量星が自身の重力によって崩壊して出来たとされる天体起源の通常の BH とは全く異なる起源を有する。PBH は宇宙初期を知る手掛かりの一つであり、未だ正体不明な暗黒物質の候補にもなっている。これまでに様々な観測で PBH の存在量に制限がつけられてきたが、実は太陽質量未満の質量帯において、重力波が一番強い制限を与えている (図 1)。最近では図 1 の質量帯よりもさらに軽い BH の探索も始まっている (Andrew

L. Miller et al. 2021)。現在 4 回目の長期重力波観測
O4 が実施されており、さらに観測データは蓄積されていく。本研究は将来的に観測データから太陽質量1.2

太陽質量未満の天体を求めて未満の天体の発見を目的とする。

これまでに多くの BH が見つかっていることは記
したが、この重力波イベントの中には、既存の星形成

212

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校
か考慮に入れていなかったりする (Andrew L. Miller

et al. 2021)。当然より高次の微少量まで考慮した近似ほど計算コストが高くなる。テンプレート波形が実際の波形と数サイクルでもずれていると感度が悪くなってしまうので、できるだけ近似は高次まで取れるようにしたい。
これらの先行研究による太陽質量未満の探索をより高精度にやり、PBH の発見を目指すのが本研究の目標である。そこでこれらの近似により SNR が何が原因でどれほど落ちるかを検討し、計算コストのバ
ランスを考えてどこまでの近似を取るかを明らかに
する。

2.2

テンプレートバンクの作成

図 1: O3 までの結果から求めたダークマターの内連星合体からの重力波を探索するには、重力波観
PBH の割合を表したグラフ。太陽質量未満の天体の 測器から来る雑音の海の中から真の信号を抽出する
中で重力波による観測が一番強い制限を与えている ためにマッチドフィルター法が用いられ、本研究でことがわかる。(R. Abbott et al. 2022A)

もこの手法で信号解析を行う。この手法は、理論的に計算されたテンプレート波形を事前にあらゆるパラメータで計算し (テンプレートバンク)、それを観

2

研究手法

2.1

先行研究での近似

測データと比較して真の重力波信号を見つけ出すという手法 (マッチドフィルター) である (図 2)。
このテンプレートバンクを先ほど記した近似をどこまで取るかなどを考慮して制作していく。テンプ

これまでの太陽質量未満の探索には以下に記すよレートバンクを作成するコードは複数存在し、本研究

うな近似を施しており、いささか簡略化し過ぎている

では Tree bank(Manifold bank)(Chad Hanna et al.
節がある。１つは、Ligo-Vergo が行っている（0.1-1） 2022) と呼ばれるコードを使用しようと考えている。
太陽質量の探索では観測データのうち低振動数側のデータを切り捨てた解析を行なっている (R. Abbott

et al. 2022B)。一般に質量が軽い連星合体ほど信号が長くなることが知られており、計算コストを減らすためにこの研究では 45Hz 未満のデータを捨てた解析となっている。一方で実際の重力波検出器は約10Hz から感度があるので、データの削除が信号対雑音比である SNR（つまり感度）を失うことにつながっている。
もう一つに重力波波形を相対論から近似で導く際に、どこまでの近似を取るかを考える必要がある。観
測データから重力波波形を見つけるためには、事前にアインシュタイン方程式から理論的に導いたテン
プレート波形というものを用意しておく必要がある。
さらに軽い質量帯での探索では、天体のスピンを考慮に入れていなかったり、PN 近似の最低次までし

図 2: マッチドフィルター法の概略図。観測データの中からあらかじめ用意したテンプレート波形を比較して雑音の中から信号を掘り出す。

213

2023 年度 第 53 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.3

マッチドフィルター法の実装

Soichiro Morisaki, & Vivien Raymond 2020, Phys. Rev.
D, 102, 104020

本研究で扱うこととなる太陽質量未満のような低質量の重力波信号は非常に長い信号になってしまい、Soichiro Morisaki 2021, Phys. Rev. D, 104, 044062

観測データとテンプレート波形の相関を取る計算コストがとても多くなる。例えば 1M⊙ の連星だと合体までに約 2 分なのに対し、0.1M⊙ の連星だと約 19 時
間もかかる信号となり、計算コストが膨大となる。
そこで連星合体のパラメータ推定解析を高速化するという動機で作成された Focused Reduced Order

Quadrature(FROQ) という手法 (Soichiro Morisaki& Vivien Raymond 2020) を本研究のマッチドフィ
ルター法の高速化に応用することを考えている。
また、この FROQ という手法には ROQ 基底というデータが必要になり、このデータは太陽質量未満の連星信号の解析において少なくとも数ベタバイト以上の膨大なデータとなる。このデータの問題も連星合体
信号の周波数が単調増加することを利用して、データを削減する手法が提案されている (Soichiro Morisaki

2021)。
これら手法を応用し、先行研究よりも長いデータを用いたマッチドフィルター解析を可能とすること
を目指す。

3

展望
先行研究に対して制限を広げるとどのくらい SNRが変化するかを調べた結果、観測データの削除をなくすと、約 40 ％良くなることがわかった。現在の本研
究はテンプレートバンクの作成のためにテンプレー
トバンクの作成方法を勉強中である。終わり次第作成に努め、現在観測中の O4 の結果を踏まえて太陽質
量未満の探索に臨む予定である。また本研究は、将来の O5 観測やその他建設予定中の重力波観測器による将来観測にもつながってくる。

Reference
R. Abbott et al. 2022A, Phys. Rev. Lett. , 129, 061104
Andrew L. Miller et al. 2021, Physics of the Dark Universe, 32, 100836
R. Abbott et al. 2022B, arXiv:2212.01477
Chad Hanna et al. 2022, arXiv:2209.11298

214