九州大学理学部物理学科（物理学コース）
令和２年度 第３年次編入試験
物理学

令和元年７月６日（土）９：００–１２：００

注意事項(1) 試験開始の合図があるまでこの冊子を開かないこと。
(2) 問題冊子は表紙を含めて１０ページで、問題は [I] から [III] まである。
(3) 全ての解答用紙に、受験番号と氏名を記入すること。
(4) 解答は指定された解答用紙に記入すること。特に指定のない場合には、裏面を使って解答してもよい。下書きには、問題冊子の余白や裏面などを利用し、解答用紙の余白には下書きをしないこと。

(5) 解答用紙に書ききれない場合や、用紙を取り替えたい場合は、試験監督に申し出ること。

(6) 問題冊子は持ち帰ってよい。

1[I] （80 点）[I-1] 質量 m、長さ ℓ、太さの無視できる一様な伸縮しないひもを考える。
[I-1a] 図 1 に示すように、ひもの長さ a(< ℓ) の部分がテーブルの端から下がった状態で静止している。ここでテーブルの端から下がった部分に作用する重力が、テーブル上の部分に働く水平方向の張力に変換されるものとする。ひもとテーブルの静止摩擦係数を µ0 、重力加速度の大きさを g として以下の問いに答えよ。

(1) ひもがテーブルから受ける垂直抗力の大きさを求めよ。
(2) 手を離してもひもがテーブルから落ちない最大の a の値を求めよ。
[I-1b] テーブルから垂れ下がったひもの長さを前問 (2) よりも大きな値 b にしたところ、
時刻 t = 0 でひもが静かに動き出した。ひもとテーブルの動摩擦係数を µ1 、運動の途中でひもはたるまないものとして、以下の問いに答えよ。

(3) 図 2 のようにテーブルの角を原点 O、垂直方向の下向きを y の正、テーブル面の左向きを x の正とする。このとき、ある時刻 t におけるテーブル上のひもの端の位置

P が x(t)、テーブルから垂れ下がったひもの端の位置 Q が y(t) で与えられるとする。ひもに働く張力の大きさを T として、x(t) と y(t) に対する運動方程式をそれぞれ求めよ。

(4) ひもの長さ ℓ と x(t)、y(t) の関係から、

d2 x(t)d2 y(t)との関係を求めよ。
dt2
dt2(5) 前問 (3) と (4) から y(t) に関する微分方程式を求めよ。

(6) 初期条件を考慮して、前問 (5) の微分方程式を解き y(t) を求めよ。

2

図1

図23

[I-2] 2 次元の力の場 F = (Fx , Fy ) のもとで、x-y 平面内を運動する質量 m の質点を考える。力の場 F が

αxr2 r
αyFy = 2r r√で与えられる。ただし、α は定数、r = x2 + y 2 である。
Fx =[I-2a] デカルト座標表示 (x, y) を用いて、以下の問いに答えよ。
(1) 上で与えられた力の場 F は保存力である。保存力の定義を説明せよ。
(2) 図 3 のように z 軸を紙面に垂直に手前向きに取る。質点の原点 O に対する角運動量の z 成分 Lz を、その位置ベクトル r = (x, y) の成分を用いて表せ。

(3) 前問 (2) で求めた角運動量が保存することを証明せよ。
[I-2b] デカルト座標系 (x, y) から極座標系 (r, θ) への変換を考える。2 つの座標系の間の関係は

x = r cos θ,y = r sin θで与えられる。極座標表示 (r, θ) を用いて、以下の問いに答えよ。

(4) 力の場 F の r 方向の成分 Fr を求めよ。
(5) 力の場 F の θ 方向の成分 Fθ が 0 になることを示せ。
(6) 前問 (4) の結果から、力の場 F によるポテンシャル U (r) を求めよ。ただし、r = ∞ をポテンシャルの基準とする。
(7) 初期条件としてデカルト座標系における (x, y) = (−∞, b) から質点を x 軸に平行に初速 v0 で x 軸の正方向へ入射する。位置ベクトル r におけるエネルギー保存の式を示せ。

(8) 角運動量保存の式を用いて前問 (7) の式を θ を含まない形に変形せよ。

4図35

[II] （80 点）[II-1] 真空中の静電場 E 中に置かれた電気双極子 p に関する以下の問いに答えよ。
(1) 電場の定義を答えよ。
(2) 静電位 ϕ(r) は力学的仕事を用いて定義される。この定義の内容を説明せよ。
(3) 前問 (1)、(2) の電場と静電位の定義を基に、E を ϕ(r) を用いて表わせ。
(4) 静電場 E 中で、位置 r + d に点電荷 q 、位置 r に点電荷 −q がある場合の静電エネルギーを静電位 ϕ(r) を用いて表わせ。

(5) 前問 (4) において、|d| が |r| に比べて微小とするとき、静電位を |d| の１次までテイラー展開し、静電エネルギーを電気双極子モーメント p = qd を用いて表わせ。

(6) この電気双極子に働く力を E と p を用いて表わせ。
以下では、電場 E が均一なとき、電気双極子 p が受ける力を考察する。なお、E と pのなす角度を θ とする。

(7) 電気双極子の重心が受ける力を求めよ。
(8) 電気双極子に働く重心の周りの力のモーメントを E と p を用いて表せ。
(9) このモーメントで、電気双極子はどの方向に向くか。その理由も述べよ。

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[II-2] 真空中の電磁場に関する以下の問いに答えよ。
指定がない限り、偏微分方程式、積分の式のいずれで答えてもよい。

[II-2a] 電磁場が時間変動しない場合には、以下の方程式 (a)–(c) が成立する。
∫∫(a) ε0 ∇ · E = ρ または ε0 E · dS = ρdV∫(b) ∇ · B = 0 またはB · dS = 0I∫(c) ∇ × B = µ0 j またはB · dl = µ0 j · dS
ここで、E は電場、B は磁束密度、ρ は電荷密度、j は電流密度、ε0 は真空の誘電率、µ0∫∫

Hは真空の透磁率、 dS は表面積分、 dV は体積積分、 dl は周回積分である。また、微分演算子の定義は以下のようになる。

∇ · E = divE = ∂Ex /∂x + ∂Ey /∂y + ∂Ez /∂z∇ × E = rotE = (∂Ez /∂y − ∂Ey /∂z, ∂Ex /∂z − ∂Ez /∂x, ∂Ey /∂x − ∂Ex /∂y)H

解答には、ベクトル関数 G に関する関係式 ∇ · ∇ × G = 0、 G · dl =∫∇ × G · dS を用いてもよい。

(1) 上記の方程式 (a)–(c) のそれぞれの物理的意味を述べよ。
(2) 方程式 (c) を用いて、電流の保存則を表わす偏微分方程式を導け。
[II-2b] 以下では、電磁場が時間変動する場合を考える。
(3) 方程式 (a)–(c) に加え、時間変動する磁場に関する法則は、発電機等の原理としても重要である。この法則の名前を答え、法則の内容を簡単に説明せよ。

(4) 電磁場が時間変動する場合、電荷密度も時間変化する (∂ρ/∂t ̸= 0)。この時、前問(2) の電流の保存則の拡張である「電荷の保存則」が成立する。領域内の電荷の保存を基に、電荷の保存則を表わす式を求めよ。なお、導出過程も説明せよ。

(5) 電磁場が時間変動する場合に、以下の順番で方程式 (c) がどうなるか考えてみよう。
[A] 前問 (4) で得られた式を、電場 E を用いて書きなおせ。
[B] 方程式 (c) を電磁場が時間変動する場合 (∂ρ/∂t ̸= 0) に拡張した式を導け。
ヒント：前問 (2) での導出過程を逆にたどってみよ。

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[III] （80 点）[III-1] 一様な線密度 σ の長さ ℓ の弦が、一様な張力 T で引っ張られて振動する場合を考える。図 4 のように x の位置の点 P での弦の変位を y(x, t) とする。また、x から ∆x だ
けずれた点を Q とする。また、x 方向の運動は考えないものとする。

(1) 弦の微小部分 PQ に対する弦と垂直方向の運動方程式を求めよ。
(2) θ と θ′ が微小である時、(sin θ ≃ tan θ =′(′sin θ ≃ tan θ =∂y∂x∂y∂x)x)x+∆xを使って、
2∂2y2∂ y=c∂t2∂x2となることを示せ。また、c を求めよ。
ここで、(∂y∂x)xは位置 x での微分係数である。

(3) 前問 (2) で得られた方程式の解を次のように仮定する。
( πmx )ym (x, t) = am (t) sin(m = 1, 2, 3, · · · )ℓ
ここで、初期条件は次の式で表される。

ym (x, 0) = sin( πmx )ℓ,

このとき、初期条件を満たす am (t) を求めよ。

8∂ym (x, 0)=0
∂xy
弦0xly
Qy(x+Dx,t)q'

Py(x,t)qx

図49x+Dxx

[III-2] 内部エネルギーを E 、体積を V 、温度を T 、熱量を Q とする。E が T と V の関数で表されるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 状態の微小変化に対する熱力学第一法則を書け。
(2) E の独立変数として T と V を選ぶとすると E = E(T, V ) と書ける。この時、Eの微小変化 dE を dT と dV で表せ。また、この式と前問 (1) から Q の微小変化dQ′ を求めよ。
(3) 次式を示せ。
(CV =

∂E∂T)

{(,Cp = CV +V∂E∂V)}(+pT

∂V∂T)
p

ここで、CV は定積比熱、Cp は定圧比熱である。

(4) 一般に、定圧比熱は定積比熱より大きい。その物理的な理由を述べよ。
(5) N モルの理想気体を考える。関係式 Cp − CV = N R を導け。ここで、R は気体定数である。

(6) 前問 (3) において、一般の変化に対する比熱 C は
Cp − CVC = CV +βV(∂V∂T)
過程1(β ≡V(∂V∂T): 体積膨張率)pで表されることを示せ。ただし、(∂V /∂T )過程 は、いま考えている変化における∂V /∂T の値を表すものとする。

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問題訂正

[III-I](3)∂ym (x, 0)∂ym (x, 0)=0→=0∂x∂t11