知られざる

女性数学者の素顔

第 10 回

キャロライン・ハーシェル〜数学を応用して 2500 の星雲の星表を作成した天文学者〜
サイエンスナビゲーター ® 桜井 進／さくらい すすむ

星時と太陽時の関係を学び，すべての計算と誤差補正を行い，記録を保管し，細かい雑事もすべて引き受けた。おかげでウィ
キャロラインは，その激務の中でも小さいニュートン式反射望遠鏡を使って天空の観察を続けた。1783 年，アンドロ
メダ座とくじら座の 3 つの星雲を発見，14 個の星雲の目録
追加を行った。

天文学者として知られているキャロライン・ハーシェルで1787 年に 37 歳のキャロラインもジョージ３世から年俸すが，その偉業は彼女の数学の才能とその応用のうえに成し

50 ポンドの助手に任命された。イギリスで公的にこのよう遂げられた。

な地位に任命された最初の女性となった。

キャロライン・ルクリーシア・ハーシェルはドイツのハノーキャロラインは，彗星を発見した最初の女性でもある。

ヴァーで，1750 年 3 月 16 日に生まれた。父，アイザック・

1789 年（39 歳）から 1797 年（47 歳）の間に 8 個の彗星

ハーシェルは，軍楽隊の一員で，キャロラインの音楽の才能を発見した。ちなみに，同じ期間に彼女以外の人による彗星を伸ばすことを第一に教育を行った。それに対して母親は娘の発見は 9 個である。キャロラインの結果は群を抜いていに愛情を示すことがなかった。学問に力を入れることにも反たことがわかる。

対した。17 歳のキャロラインは父を失い，自立を迫られた

彼女の最大の功績は，星表の作成である。フラムスティー

ときも学校に行きたいという娘の願いを母親は必要ないとし

ドの『英国恒星目録』（3000 の星表）を天球上各 1 度の幅て許さなかった。

の地区に分類し直し，ウィリアムが天球探査をより系統的にキャロラインを救ったのは 11 歳年上の兄ウィリアムだっできるようにした。キャロラインの兄ウィリアムへの思いはた。22 歳でイギリスに渡った彼女の生活はそれまでと比べ彼女の人生のすべてと言っても過言ではなかった。ウィリアてすべてが激変した。ウィリアムは音楽演奏──オーボエとムは偉大で，やさしく，親切な人間だった。ウィリアムが結オルガン奏者を生業としていた。音楽に携わるうちに次第に婚した後も，キャロラインは夫人と仲良く付き合うことがで

数学と天文学にも興味を抱くようになった。キャロラインはきた。彼女の助けがなかったら天文学者としてのウィリアム

家事を手伝うために英語，会計，そして料理を習った。ウィの信じがたい成功はなかった。キャロラインは日記の中で自リアムは，妹に声楽とハープシコードのレッスンを受けさせ，分の仕事について次のように語っている。

自分の音楽会に参加できるようにした。彼女は人気オペラ歌「私はよく訓練された子犬がやるようなことを兄のために手として活躍するまでになった。二人は天文学を論じ合い，やっただけです。私は彼が苦労して磨いた道具にすぎません」

キャロラインは星に興味を抱くようになっていった。

ヴァーに戻った。1828 年，78 歳のキャロラインはウィリ

当時は天体望遠鏡が普及していなかったため手作りするほか

アムが発見した 2500 の星雲の星表作りを完了。王立天文なかった。焦点距離６フィートの立派なニュートン式反射望

学会は最大の賛辞とともにゴールドメダルを贈った。85 歳，

遠鏡を製作し，天体全体を観測するプロジェクトにとりか

メアリー・サマヴィル（本連載第９回）とともに王立天文学かった。キャロラインは鏡を磨き光らせる仕事をした。果た

会初の女性会員に選出。1848 年 1 月 9 日，97 年の生涯をして，1781 年に天王星の発見に成功。これによりウィリア

閉じた。
発見された。後にこれが 1788 年にキャロラインが発見した自身の能力を高めることにした。彼女は兄の仕事を助け続け彗星であることが判明し，おかげで周期彗星であることもわてきたことで数学の重要性を熟知していた。学校に行かせてかった。驚くべきことに当時彼女はこれが周期彗星であるこ

もらえなかったキャロラインにとって 30 歳を過ぎてから数とを考えていた。公転周期約 155 年のハーシェル・リゴレー

学を学び始めることは容易ではなかった。しかし，彼女には彗星の次の近日点通過は 2092 年 3 月 16 日，キャロライン

決意があった。天文学的計算に必要な幾何学と対数そして恒生誕 342 年目の日である。

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数学と産業 Ⅰ塩野直道記念 第 8 回 「算数・数学の自由研究」作品コンクール 受賞作品の発表

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印刷所：岩岡印刷株式会社

デザイン：株式会社 アートグローブ
東京都文京区向丘2丁目3番10号

TEL.03-3814-5204©Rimse 2021

/

特集

No.30

（リムス）

大阪オフィス

2021

1939 年，フランスのリゴレーによっておうし座に彗星がキャロラインは多忙を極めるウィリアムを助けるために，/

FAX.03-3814-2156

本文イラスト：株式会社 アートグローブ
表紙写真 : ⓒ アフロ

2021年2月28日発行

30
February

1822 年， 兄 の 死 を き っ か け に キ ャ ロ ラ イ ン は ハ ノ ー

ウィリアムの天文学への取り組みは本格的になっていく。

ムはジョージ 3 世から国王付天文官に任命された。

日本の理数科教育をサポートする

リアムは望遠鏡を覗くことに集中できた。

（財）
理数教育研究所

巻

Contents
表紙裏

巻頭言
若者の「生きる力」を培う理数教育を
科学技術振興機構 研究開発戦略センター長

特 集

野依

良治

数学と産業 Ⅰ

Kantougen2

Ⅰ 量子コンピュータ作りと数学
Ⅰ

6

Ⅱ 臨床医学と数理科学の協働の営み
Ⅱ

10

Ⅲ 機械学習の考え方と応用，そして数学・数理科学との関わり
Ⅲ

14

塩野直道記念33

東京理科大学副学長・理学部一部数学科教授

若山正人

東北大学材料科学高等研究所 (WPI-AIMR) 副所長

水藤

九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所 教授

寛

頭

言

河原 吉伸

第8回「算数・数学の自由研究」作品コンクール受賞作品の発表
15 受賞者一覧
20 作品の審査を終えて －中央審査委員からのメッセージ－
22 表彰の集い
23 最優秀賞・優秀賞・特別賞 ―受賞作品の紹介と講評一連 載

１枚の図から地球を考える～地球はどんなところか～ 第 4 回

震度分布図から見えること
開成中学校・高等学校 教諭

36

連 載

有山 智雄

統計の見方・読み方・使い方

第7回

バレルの法則から読み解く問題解決と統計グラフ
慶應義塾大学大学院健康マネジメント科 教授

39

連 載

物理法則の科学史

第7回

ケプラーの法則
国立科学博物館理工学研究部 研究員

42

44

渡辺 美智子有賀 暢迪

教育に新しい風をからたちハウス

科学技術振興機構

研究開発戦略センター長

野依 良治 / のより りょうじ
1938年兵庫県生まれ。12歳で「ナイロンは−子どもたちの成長と自立を支援する第三の居場所−

石炭と水と空気からできる」と知り化学の力に

小田原市教育委員会 前教育長

感動する。1963年に京都大学大学院工学研究前田輝男

広 場 地域教育で活躍する人々 第 29 回
世界的に認められた数学者岡潔の出身地橋本市で理数教育を楽しいものに！
橋本市岡潔数学 WAVE 会長 木地

茂典

裏表紙

知られざる女性数学者の素顔
キャロライン・ハーシェル

第 10 回〜数学を応用して 2500 の星雲の星表を作成した天文学者〜
サイエンスナビゲーター ®

桜井 進

科修士課程修了。1968年に名古屋大学助教授，
ハーバード大学博士研究員を経て，1972年に名古屋大学教授（現在特別教授）。2003年
から理化学研究所理事長を務め（現在理研フェロー），2015年から現職。日本学士院，ローマ教皇庁科学アカデミーの会員，さらに米国科学アカデミー，英国王立協会，中国科学院などの外国人会員に選出。日本学士院賞，文化勲章，
米国化学会賞，ウルフ賞など国内外の顕彰多数。
2001年に「不斉触媒反応の研究」によりノーベル化学賞を受賞した。

若者の「生きる力」
を培う理数教育を子供たちは生まれながらに，STEAM（Science, Technology,

為的組織）によってのみ可能である。2019 年のラグビー W 杯

Engineering, Arts, and Mathematics）に興味を持つ。様々なで健闘した桜ジャージーの「ジャパン」から学ぶところは多い。

自然現象やあらゆる道具，ものの数や形に嬉々として向き合い，

指導者たちの意識変革も大事だが，まず若者たちを世界に解歌や楽器，絵やお伽話に夢中になる。まさに万能であり，時にき放ち，武者修行させ鍛えるべきだ。
「異に出会う」ことが創造

は驚くほど創造的である。人びとがこの「センス・オブ・ワンダー」

能力を触発する。ノーベル賞受賞者は，平均して国内外で４．６を持ち続けて人生を歩めばさぞ幸せであり，また健全な社会風

研究機関を経験しているではないか。

土を醸成するであろう。残念ながら硬直化した教育と職業制度，

パスツールは「科学に国境はない。しかし，科学者には祖国

さらに様々な社会のしがらみがあるべき感性を削ぐ結果となっがある」とした。科学は，言語，情緒（感性），論理とともに文ている。

化形成の一要素であり，相互に強い関係性をもつ。世界の科

中学高校生から「なぜ科学（理科）が大切なのか」と聞かれ学者たちは，万国共通の「形式知」だけではなく，それぞれに「ゴーギャンの『われわれはどこから来たのか。われわれは何先人達から受けついできた「暗黙知」を背景に研究を営む。人者か。われわれはどこへ行くのか』という作品がある。この問

工的な高性能機器にのみ依存すれば科学は矮小化する。日本

いに真面目に答えるためだ」としている。真っ当な自然観と人

人は欧米人も敬意を払う自らの文化の特質を生かして創造して生観を培うが，さらに科学知識に基づく多彩な技術の発明は人こそ，高く評価される。美しい自然に恵まれたわが国である。もっ

間の生来の能力を外的に拡張し，自由を与えてきた。話を理，シアンと本来の感性に根ざした「生の科学（science brut（仏）解し，賛同してくれる若者は少なくないが，それでも理科は大ス・ブルット）」を推奨してはどうだろう。そのためには，
たとえ「英学入学試験のための副次的教科に過ぎないと考える人は多い。

語の世紀」であっても，思索の根源である母語の力を培わねば

真実を追究する科学の原点は，ソクラテスの「無知の知」に

き

ならない。

ある。人びとは謙虚に無知であることを認めるべきだ。新しい

もとより科学は自然の統一原理の上に成り立つ。職業的研究

知が生まれれば，未知の世界はさらに広がる。そして，科学は者集団が死守する学境はもとより排除すべきであるが，既存の進歩し続ける宿命にある。その担い手は間違いなく若者たちですべての分野，領域をつなぐものは数理学，情報ではあるまある。不確実性に挑み新たな地平を開くのは，要領のいい優いか。これからのデータ駆動型社会ではあらゆる事象において等生たちの定型的営みではなく，しばしば自学自習を旨とする

重要性を増す。筆者が京都大学に入学し最初に数学を教わっ「異能」たちの思い入れである。

た秋月康夫先生は「数学を学ぶのは人類の栄光のため」とされ，理科に限らずあまりに「選択と集中」を重視し，上意下達でまた古くガリレオ・ガリレイは「宇宙は数学の言葉で書かれてい規定種目の競争を強いれば，必然的に思考法と技量の画一化る」としたと言う。今日，畏友若山正人博士のように「数学は宇を招き，多様性は損なわれる。驚きの大発見の多くが個人の宙誕生の前からあった」とする数学者もいる。ならば物理学，

セレンディピティーによってもたらされたことを銘記すべきで，

化学，生物学などの自然科学よりもはるかに根源的である。

定説的権威と独り戦う前衛，異端を排除してはならない。

この時代に科学の営みは社会と不可分である。わが国の科同時に，今や「独創」とともに「共創」が重視される時代にも学技術界も，2015 年に国連が定めた「持続可能な開発目標

移りつつある。創造は個人的にどれだけ優れているかではなく，(SDGs)」の実現，さらに 30 年にわたり低迷する国内の産業経

いかに多様な背景をもつ人たちと接触する機会があるかにかか

済力の再生にも貢献したい。しかし，現世代が自ら惹き起こしる，ともされる。特に，明確な目標をもつ科学技術開発などのた不都合の責任を回避し，その解決を後継世代に強いること

実現は，日本社会に特有の「グループ」（同一種ないし血縁，は倫理性を欠く。STEAM 教育は若者の精神を開放し，多様な地縁など，均質者たちの自然発生的な群れ）ではなく，機能的選択肢を育むべきであり，未来を拘束するものであってはならな「チーム」（目的達成のため多様な専門的技量者を集めた人ない。彼らを魅了する気宇壮大な大義が求められよう。

No.30

❖

1

特 集

数学と産業 ⅠⅠ 量子コンピュータ作りと数学

東京理科大学副学長・理学部一部数学科教授／科学技術振興機構・研究開発戦略センター上席フェロー／理化学研究所iTHEMS特別顧問

若山 正人 / わかやま まさと
東京理科大学卒業，広島大学大学院理学研究科数学専攻博士課程修了。鳥取大学助教授などを経て九州大学教授。同数理学研究院・数理学府長，マス・フォア・インダストリ研究所初代所長を務めた後九州大学理事・副学長。この間，Princeton 大学研究員，Bologna 大学，韓国 KIAS, Indiana 大学客員教授，
文部科学省・数学イノベーション委員会主査などを歴任。2020 年より現職。現在 , 内閣府ムーンショッ
トプログラム数理科学分科会主査なども務める。

1

量子コンピュータって？

加する。実際，この問題は計算複雑性理論において NP 困難と呼ばれる問題のクラスに属する。すなわち，計算量的に困

量子コンピュータといえば，2011 年にアニーリング方式

難な問題である。それゆえ，データ規模が大きくなったときの量子コンピュータが商用のハードウェアとしてカナダのに組合せ最適化処理を高速に実行できる技術が必要となるの

D-Wave 社で作られた。それ以来，類似のアイデアに基づくである。

多様なものが競って開発され実用に供されている。ただし，

1-2 素因数分解の暗号

ここでお話ししようと思うのは，ゲート型量子コンピュータ

現在の私たちの生活に溶け込んでいる公開鍵暗号というもというものである。以下に述べるように，ゲート型量子コンの に RSA 暗 号 が あ る *1。1977 年 に R.L.Rivest，A.Shamir，

ピュータの実現が与える社会的・産業上のインパクトは果て

L.M.Adelman により発明された。暗号とデジタル署名を実現

しなく大きい。しかしまずは，アニーリング方式が解く数学できる方式として最初に公開されたものである。RSA 暗号は，の問題について述べる。

約 2500 年前に古代ギリシャで発見された素数の無限性と整

1-1 量子アニーリングと組合せ最適化数が一意に素因数分解できるという事実のみに則り，技術的量子アニーリングは，磁性の統計力学におけるイジングモにはフェルマーの小定理「p を素数とし，a を p の倍数でな

デルの基底状態を探索するというアイデアに基づく。つまり，い整数とするときに，a p–1 ≡ 1（mod p）が成り立つ。つまり，量子の揺らぎを利用することで組合せ最適化問題を高速かつ

a の p － 1 乗を p で割った余りは 1 となる。」に根拠をおく

正確に解こうとするものである。自然科学・社会科学，医療

単純なものだ。それだけにこれらの古い定理は深いのだとも

現場，産業界，官公庁など，最適化問題は様々な状況で現れ，言える。

膨大な需要がある。数学的にいえば，一般に，最適化問題と公開鍵暗号である RSA 暗号の安全性の根拠を簡単に述べは条件付きの最大あるいは最小問題を解く問題である。実用

れば，掛け算は実行するだけであるが，桁数が大きな素因数的な述べ方をすると「膨大な選択肢からベストな選択肢を探をもつ合成数の素因数分解は時間がかかるという事実である。

索する」という問題だ。例を少しだけ挙げておくと，乗り換

つまりその時間のかかり方が，現在の京や富岳などのスー

え案内のナビや巡回セールスマン問題などが典型である。後パーコンピュータを用いても数百年となり，現実的でないこ

者は「複数の都市を移動するセールスマンが全都市をちょとから，暗号の安全性が担保されているという具合である。

うど一度ずつ巡り，総移動コストが最小の経路を求める」組

1-3 目指す量子コンピュータ

合せ最適化問題を考えることになる。組合せ最適化処理は
データ規模が多くなるにつれて，選択肢の数が爆発的に増

2

No.30

しかしながら，ゲート型量子コンピュータができあがると，
RSA 暗号なども常識的な時間内で破られてしまい使い物にな数学と産業 Ⅰ

特集らなくなる。量子力学的な重ね合わせを利用することで，従上で動くアルゴリズムを駆使しても解読されない）計算困難

来のコンピュータが宇宙の歴史ほどの時間をかけても解けな性に依拠したものである *1 *2。

かったような因数分解を，量子コンピュータは数分，もしく

次節で述べるように，誤り耐性を持つ真の量子コンピューは数秒で行うことができる。この事実は 1994 年に MIT のタが実現するのはまだ先のことである。しかし，アメリカ国*1

計算機科学の研究者である P.W.Shor により発見された 。

立標準技術研究所（NIST）では，2017 年 11 月を締め切りに，

それ以来，それは Shor のアルゴリズムと呼ばれている。そ技術提案を募集していた。提案はその後絞られて，現在は公の発見は現代のインターネット社会の基盤をひっくり返すよ

開鍵暗号方式の選定の第 3 ラウンドを終えたところである。

うなインパクトを人々に与えた。

理論的なことだけではなく実装も含めたもので，仕組みがわ

1-4 Shorのアルゴリズム

かりやすい実装とスピード感を伴った最適化も施した本格的Shorが利用した因数分解の方法は，数学的には以前からよくな実装との 2 種類を提供すること，という前提のもと選定

知られていたものだった。そのアルゴリズムとは，古典ふるされてきている。2023 年にも仕様を固めるとのことである。

い法と同様に，問題を位数の発見に帰着する。x を1から

現在，主たる候補に残っているのは，格子暗号，多変数多項

N−1までのNと互いに素なランダムな整数とするとき，

式暗号，符号暗号というものである。格子暗号は多次元のベ

x r ≡1（mod N）となる最小な正整数 r を見つけるのである。

クトル空間で最短距離を求める問題を応用したものであり，

しかし，位数発見問題の解決には時間がかかる。スーパー

多変数多項式暗号は多変数の連立 2 次方程式を解く難しさ

コンピュータでさえも r を探すのに時間がかかり過ぎてしまを用いたものである。また，符号暗号は符号理論，つまり，う。そこで Shor は剰余が一定の周期で繰り返すという周期関シンボルの集合 S，X があるとき，S（情報源アルファベット：

数を利用することとした。言いかえれば，Shor は周期検出に例えば私たちが日常使う言葉）に含まれるシンボルのあらゆは離散フーリエ変換が使えることに着目したのである。事実，る系列から，X（符号アルファベット）に含まれるシンボル

離散フーリエ変換により，一瞬にして r が発見できることをの系列への写像として定義される符号（コード）を用いたも示したのである。これが彼の因数分解アルゴリズムの核心部のである。予備候補として，楕円曲線の同種写像暗号なるも分である。

のが選定されている。いずれの方式にも共通するのは，鍵長Shor のアルゴリズムのほかにも，ここでは詳しく触れ得が数キロ～数百キロバイトと，RSA の 256 バイトと比べ遥ないが，量子スピン系や量子多体系といわれる問題などにつかに大きくなる点である。また，それらの安全性の研究は暗いてのアルゴリズムが提案されている。とくに Grover の検号の信頼に関わり必須であるが，その核心はすべて数学の研

索アルゴリズム *1 は有名である。これも量子コンピュータ

究である。

を作ろうという意識を高めた。実際，N 個のファイルの中か

2

量子コンピュータを作ること

ら特定のファイルを探し出す場合，古典的なコンピュータなN
らおよそ程度のステップが必要なのに対し，Grover のア
2
1
ルゴリズムによると N  2 ステップで高速に検索することがで界最速のスパコンで 1 万年かかる計算を量子コンピュータにきる。その差はファイル数 N がきわめて大きい，例えば N

よって 200 秒で実行したと発表した。このニュースは量子＝ 10000 のとき，従来型コンピュータなら 5000 ステップ

コンピュータがスーパーコンピュータを超えた（量子超越）ほど必要なのに対し，量子コンピュータならたったの 100として大きく報じられた。 ポイントは量子コンピュータが，ステップ程度で済む。

たった 53 個に過ぎない素子でスーパーコンピュータをしの

1-5 耐量子暗号

ぐ計算を実行したことだ。ただしその直後，IBM の専門家グ

2019 年 10 月，Google を中心とする研究グループは，世耐量子暗号とは，量子コンピュータが実現されても破られループは，量子超越性を達成したというその主張に重大な欠ない安全な暗号のことである。多様なアイデアにより様々な陥があると発表した。そもそも Google が，現代のスーパー

耐量子暗号が提案されてきたが，基本は（量子コンピュータ

コンピュータの能力を最大限に活用していないというのが理

No.30

3

特 集
由である。筆者はその決着の行方については知らない。

態でも量子コンピュータが作れないことはないが，それは従2-1 誤り訂正付き量子コンピュータ

来型のコンピュータよりも低性能であると，量子超越性を否

量子系では環境系との相互作用（観測など）によってすぐに量子系としての性質（重ね合わせ状態やエンタングルメン定する考えを示したのである。

2-3 対策ト）が失われてしまう。例えば，原子の内部状態は周りに存

量子誤り訂正符号を用いればエラー（ノイズ）を訂正して在する電磁場（光子）と相互作用することによってエネル

情報を保護することができるが，量子誤り訂正を行っている

ギーや情報を失ってしまう（デコヒーレンス）。したがって操作中にエラーを増幅してしまうと，もはや訂正ができない。

実在する物理系を用いて量子ゲート（量子演算素子）を作る

言い換えれば，計算に必要な素子を沢山作りたいが，その分と，このようなデコヒーレンスの効果によって正常には作動だけ誤り訂正に必要な素子が増え，組み合わせ爆発が起きてせず，エラーが生じてしまう。データを転送あるいは保存すしまう可能性がある。したがって，すべての量子操作においる際に誤りが起きにくいようにする方法として符号が使われて，エラーの発生を前提としながらも，依然として量子誤りる。そのような符号を誤り訂正符号とよび，格納または転送訂正ができるように量子回路を設計する必要がある。このよされるデータに注意深く冗長性を導入する。ここで冗長性のうな手法はフォールトトレラント量子計算と呼ばれており，

導入とは，古典情報処理では 0 を 000，1 を 111 などと冗その理論の示すところによれば，次のしきい値定理が要であ長化することを指す。これにより，例えば 000 が誤ってる。つまり，「量子ゲートで発生するエラーの確率がある値

010 と伝わったとしても 3 つのうち 2 つも間違えることは（＝誤りしきい値）よりも小さければ効率よく（つまり，多ないだろうからという理由で，間違いを見つけやすくする。

項式時間で）任意の精度で量子計算を実行できる」という定

しかし，量子力学には複製不可能定理があるため，古典情報理である。そのためには理論で量子誤り訂正符号のより優れ処理で行われている冗長化の技術は使えない。実際，量子情たものを作り，素子・デバイス作りにおける技術達成レベル

報は異なる量子状態の連続的な重ね合わせ状態をとるため，を下げる。そうしないと，現時点での技術開発レベルでは量

エラーの識別が困難だと考えられていた。しかし，1995 年

子コンピュータは実現しない。前者は数学の問題であり，後Shor は複数の量子ビットから構成される空間のうちの小さ者は物理を基盤とした工学的技術の問題である。

な部分空間に情報を符号化することによって，このような問3

題を克服できることを示した。

2-2 問題あるいは課題

光と物質の相互作用

光と物質の相互作用は，多くの物理現象の基礎である。実上述したように，量子コンピュータの量子ビットは相互に際，量子状態は，量子準位間のエネルギー差に等しいエネル

影響を受けやすいため，量子ビットが増えれば増えるほど 1

ギーの光を吸収あるいは放出することによって，別の量子状

つのノイズが他の量子ビットに影響を及ぼす可能性が高くな態に遷移する。これらの相互作用を制御することで情報の伝る。ヘブライ大学の数学者 Gil Kalai による「量子コンピュー達ができるというのが量子情報科学の原点である。このようタは蜃気楼」*3 というのは，以下のように説明する。彼は，フーな中，量子ビットの素リエ解析によって量子コンピュータの計算における複雑な波子を作るための理論の形を単純な要素に分解し，量子ビットのノイズによる量子コ

要として，量子ラビ模

ンピュータへの影響を分析してみた。その結果わかったこと

型 *4 やさらに一般化さは，ノイズによってフーリエ変換後の波形で高周波の部分はれ物理的に意味のある

打ち消され，ノイズが発生すると低周波の部分しか残らない相互作用モデルの研究

模型は，光と物質との最も基本的な，という事実である。その上で，Kalai はノイズを打ち消すたが盛んである。具体的

2 準位原子と量子化された単一光子とめの量子誤り訂正を量子コンピュータに付帯させることも非には，モデルのエネル

常に困難であるとの結論に至った。つまり，ノイズがある状

ギー準位の交差，対称性，熱核や分配関数の研究である。こ

4

No.30

図 1

Courtesy of APS/Alan

Stonebraker)(2011)

量子ラビの相互作用を記述

特集

数学と産業 Ⅰ
こで量子ラビ模型とは，2 準位原子と調和振動子の結合系を性などもわかってきている。なお，究極の素数分布を明らか記述するモデルである。量子化された調和振動子というのは，にするζ(s) に関するリーマン予想は 1859 年以来 160 年の

まさしく光子（電磁場）のエネルギー状態を記述するもので歳月を経て，未だ多くの優れた数学者たちの挑戦にもかかわある。

らず未解決である。

3-1 量子素子の理論と実験

さらにまた，量子ラビ模型の数学を展開すると有限体上量子ラビ模型による理論計算により，相互作用のエネルの代数群，特にハイゼンベルグ群やシンプレクティック群

ギーが原子の遷移エネルギーや光子自体のエネルギーをも超の射影表現，無限対称群の表現論 *7，離散的・組合せ論的なえる深強結合状態においては基底状態を含むエネルギー固有

経路積分と関係しグラフ理論が交差する場面に遭遇する。す状態がエンタングル状態であることが導かれる。一方で，最なわち，量子誤り訂正符号を構築する際にも中心となった

近になりきわめてインパクトのある実験結果が得られた *5。

数学 *8 が現れているのである。

回路量子電磁力学の手法を用いて深強結合状態を実現するこ

3-3 最後にとに成功したのである。この深強結合系の測定結果と上述の筆者の研究の出発点は多少の微分幾何学と群論であったと

理論計算との一致は，このようなエンタングル状態が実現さ思う。しかし数学の良いところは，優れた先人たちが開拓しれていることを強く示唆する。量子コンピュータ作り *6 に欠た数学がどんなに多くあっても，なお，自由にどんな分野のかせない研究である。

数学にもつながっていくような研究を進めていけることであ

3-2 非可換調和振動子

る。おそらく数学は，かなり一体感がある学問であり，何を筆者は 25 年前にボローニャ大学の A. Parmeggiani と共にどのように展開しても良い自由さがある。さらには純粋数学

非可換調和振動子の研究を始めた。その後，様々な偶然が重とか応用数学とかの垣根を作らないでやっていくことが，そなり，量子ラビ模型が非可換調和振動子から得られることがの面白さを存分に味わうためにも必要なのかもしれない。事わかった。実際，両者の Heun 微分方程式による描像を使え

実，未来の産業を左右する量子コンピュータ作りを見るだけば，特異点の合流操作でその関係がわかるという仕組みであでも full of mathematics ではないか。

る。なお，調和振動子は非可換調和振動子が持つパラメータが特別の場合のモデルだと考えられる。筆者の長い関心は，物理で言えば分配関数，数学で言えばゼータ関数の研究である。非可換調和振動子の場合には，その離散的な固有値達のディリクレ級数で定義できるスペクトルゼータ関数の特殊値
は整数論の深い内容と関係する。調和振動子に対するスペク
トルゼータ関数は，本質的にリーマンのゼータ関数ζ(s) に一致する。ところで，ζ(s) に対して，偶数点での特殊値はベルヌーイ数で与えられることは古くから知られているが，奇数点での値についてはその無理数性などさえもよくわかっていない。実際，よく知られているのは R.Apéry が証明し，❖

		

参考・引用文献*1 高木剛：暗号と量子コンピュータ：耐量子計算機暗号入門，オーム社，
2019.
*2 縫田光司：耐量子計算機暗号，森北出版，2020.
*3 K.Moskvitch：Gil Kalai's Argument Against Quantum Computers，
Quanta magazine，2018.
*4 若山正人：量子ラビ模型の固有値問題～光子と格子をつなぐ嚆矢～，
数理科学，670,56-66，2019.
*5 布施智子，吉原文樹，角柳孝輔，仙場浩一：超伝導人工原子と電磁場の相互作用～強結合のその先へ～，日本物理学会誌 73，21-26，2018．
*6 S.Haroche，J-M.Raimond：Exploring the Quantum：Atoms，
Cavities，And Photons（Oxford Graduate Texts）2006.
*7 洞彰人：対称群の表現とヤング図形集団の解析学，数学書房 ,2017.
*8 林正人：量子情報への表現論的アプローチ，共立出版，2014.

その後，代数幾何的研究も含め発達したζ(3) の値が無理数であるという事実のみである。非可換調和振動子のスペクト
ルゼータ関数の特殊値の研究にも，理由は明確ではないのだ
が，具体的な楕円曲線や保型形式などという古典数論の華ともいえる対象が現れ，さらにはζ(3) のときに現れた有理数列の類似の有理数列が現れ，それらの間にある不思議な合同

No.30

5

特 集

Ⅱ 臨床医学と数理科学の協働の営み

東北大学材料科学高等研究所（WPI-AIMR） 副所長

水藤 寛 / すいとう ひろし

長野県上田市生まれ，千葉大学大学院自然科学研究科博士課程修了，千葉大学工学部，岡山大学環境理工学部を経て，2017 年から東北大学材料科学高等研究所 (WPI-AIMR) 教授，大学院理学研究科数学専攻兼任，2019 年より材料科学高等研究所副所長。数理モデルやそれに基づく数値シミュレーション
を用いて，数理科学と臨床医学分野の協働を目指す研究に取り組んでいる。

1

数学と他分野の協働た。これは数学者（主に若手）が高校生に語りかけるもので，1-1 はじめにこれまでに全国で 30 数回開催し，純粋数学の内容紹介から

本稿では，臨床医学と数理科学の協働について，我々のグ他分野との協働に関するものまで多彩な話題を提供してきてループがこれまで取り組んできたことを中心に，その背景もいる。筆者はこのうち 10 数回の企画や講演に関係してきた含めて紹介したい。それを通して，数学・理科の教育に尽力が，この活動における数学者と高校生の相互作用には目を見しておられる皆様にお伝えできることがあれば幸甚である。

張るものがある。事後アンケートに対する高校生からの回答

我々は，国立研究開発法人科学技術振興機構（JST）の戦で印象に残っているものに「今習っている数学は受験のため

略的創造研究推進事業における研究領域のひとつとして設定のものだと思っていましたが，そうじゃなかったんですね！」

された数学関係領域の支援を受けて研究活動を推進している。

や「数学ってちゃんと社会とつながっているんだということ

この事業では科学技術に関する幅広い分野から戦略領域が選を初めて知りました。」というような声に加えて，「僕は数学定されて集中的な支援が行われているが，数学に関する領域が好きなんですが，大人になったら世の中の役に立つことをは他の分野に遅れて 2007 年に設定された（「数学と諸分野しなければならないので，好きな数学は諦めなきゃと思って*1の協働によるブレークスルーの探索」研究領域 ：西浦廉政

いました。でも，数学をやっていてもちゃんと世の中の役に研究総括）。そこでは，数学と他の分野の協働が重要視され，立てるんですね。安心しました！」という声があった。高校

数学に基礎を置きながら，他の分野とどのように協働してい生たちは（特に真面目な子ほど）数学と社会の関係についてくのかを探索するところから活動が始まった。我々はその中誤解しているようである。多くの高校生にとって，数学は受で臨床医学の分野を相手とすることとし，その後新たな数学

験のための技術や頭の訓練と思われているようだが，もちろ

関係領域（「現代の数理科学と連携するモデリング手法の構

んそんなことはない。以下，数学と臨床医学の協働の一部を*2築」研究領域 ：坪井俊研究総括）に引き継がれて現在も活紹介しながら，高校数学との関係にも触れていきたい。

動を継続している。

1-2 数学キャラバン
これらの研究領域では最先端の研究を推進することはもちろんであるが，そのほかに特筆すべき点として，高校生など，

2

臨床医学における数学

2-1 体内を数学で見る

日本の科学技術を背負うことになる次の世代に対してのアウ

現代は CT や MRI などによって体内の様子を外側から観察

トリーチ活動を重視したことが挙げられる。そのひとつとしできる技術が多く開発されている。しかし，レントゲン写真て我々は「JST 数学キャラバン」*3 と題する活動を行ってきが X 線の伝わる途中での吸収量の総和を写真として映し出し

6

No.30

2-1 体内を数学で見る

んだ解になるけれど，それはまぁしょうがない」→「あとは現代は CT や MRI などによって体内の様子を外側から観 プログラミングの問題だ」という誤解が生じることがある。
察できる技術が多く開発されている。しかし，レントゲン写 また，「誤差」などというものは不確かなものなので，数学の真が X 線の伝わる途中での吸収量の総和を写真として映し出 対象ではない，というのもまた誤解だ。偏微分方程式をコン
2-1 体内を数学で見る
んだ解になるけれど，それはまぁしょうがない」→「
特集
数学と産業 Ⅰ
しているのは理解できるとしても，なぜそのような和の値かピュータで解こうとするときは必ず誤差が生ずる。その誤差
2-1 体内を数学で見る
んだ解になるけれど，それはまぁしょうがない」→「あとは2-1 体内を数学で見る
んだ解になるけれど，それはまぁしょうがない」→「あとは2-1 体内を数学で見る
んだ解になるけれど，それはまぁしょうがない」→「あとは現代は CT や MRIなどによって体内の様子を外側から観プログラミングの問題だ」という誤解が生じることがら各断層の画像が得られるのだろうか？ここで，複数の方向を厳密に扱うのもまた数学の役目となる。ここでは，誤差の現代はCT や MRI などによって体内の様子を外側から観 プログラミングの問題だ」という誤解が生じることがある。
現代は CT やているのは理解できるとしても，なぜそのような和の値からMRIなどによって体内の様子を外側から観プログラミングの問題だ」という誤解が生じることがある。
現代はCT や MRI などによって体内の様子を外側から観プログラミングの問題だ」という誤解が生じることがある。
察できる技術が多く開発されている。しかし，レントゲン写
また，「誤差」などというものは不確かなものなので，の対象ではない，というのもまた誤解だ。偏微分方程式をコからの透過画像があれば，そのような画像を生成するような大きさもさることながら，その振る舞いがさらに重要である。
察できる技術が多く開発されている。しかし，レントゲン写
また，「誤差」などというものは不確かなものなので，数学の察できる技術が多く開発されている。しかし，レントゲン写
また，「誤差」などというものは不確かなものなので，数学の察できる技術が多く開発されている。しかし，レントゲン写
また，「誤差」などというものは不確かなものなので，数学の各断層の画像が得られるのだろうか？ここで，複数の方向か
ンピュータで解こうとするときは必ず誤差が生ずる。その誤真が X 線の伝わる途中での吸収量の総和を写真として映し出対象ではない，というのもまた誤解だ。偏微分方程式
体内の3 次元構造を，連立方程式を解くことによって得られ誤差の振る舞いを表現する方程式を見つけることで，その誤真が X
線の伝わる途中での吸収量の総和を写真として映し出対象ではない，というのもまた誤解だ。偏微分方程式をコン
真が X 線の伝わる途中での吸収量の総和を写真として映し出対象ではない，というのもまた誤解だ。偏微分方程式をコンらの透過画像があれば，そのような画像を生成するような体差を厳密に扱うのもまた数学の役目となる。ここでは，誤差真が X 線の伝わる途中での吸収量の総和を写真として映し出対象ではない，というのもまた誤解だ。偏微分方程式をコンしているのは理解できるとしても，なぜそのような和の値かピュータで解こうとするときは必ず誤差が生ずる。そるのではないか，ということが思い浮かぶ。CT の仕組みには差が四方八方に拡がっていくのか，ある方向に伝播していく
しているのは理解できるとしても，なぜそのような和の値かピュータで解こうとするときは必ず誤差が生ずる。その誤差
内の3 次元構造を，連立方程式を解くことによって得られるの大きさもさることながら，その振る舞いがさらに重要であしているのは理解できるとしても，なぜそのような和の値かピュータで解こうとするときは必ず誤差が生ずる。その誤差しているのは理解できるとしても，なぜそのような和の値かピュータで解こうとするときは必ず誤差が生ずる。その誤差
ら各断層の画像が得られるのだろうか？ここで，複数の方向を厳密に扱うのもまた数学の役目となる。ここでは，
このほかにも様々な変数変換などが用いられているが，それのか，減衰するのか増大するのか，を知ることができる。
ら各断層の画像が得られるのだろうか？ここで，複数の方向を厳密に扱うのもまた数学の役目となる。ここでは，誤差ののではないか，ということが思い浮かぶ。CTの仕組みにはる。誤差の振る舞いを表現する方程式を見つけることで，そら各断層の画像が得られるのだろうか？ここで，複数の方向を厳密に扱うのもまた数学の役目となる。ここでは，誤差のら各断層の画像が得られるのだろうか？ここで，複数の方向を厳密に扱うのもまた数学の役目となる。ここでは，誤差のからの透過画像があれば，そのような画像を生成するような大きさもさることながら，その振る舞いがさらに重要でが大きく数学に依存していることは高校生にも容易に想像で微分を用いて書き下された
Navier-Stokes 方程式をコンピからの透過画像があれば，そのような画像を生成するような大きさもさることながら，その振る舞いがさらに重要である。
このほかにも様々な変数変換などが用いられているが，それの誤差が四方八方に拡がっていくのか，ある方向に伝播してからの透過画像があれば，そのような画像を生成するような大きさもさることながら，その振る舞いがさらに重要である。
からの透過画像があれば，そのような画像を生成するような大きさもさることながら，その振る舞いがさらに重要である。
体内の 3 次元構造を，連立方程式を解くことによって得られ誤差の振る舞いを表現する方程式を見つけることで，きるだろう。また，3次元空間での対象物はいろいろな方向
ュータを用いて解くためには，何らかの離散化が必要である。
体内の3 次元構造を，連立方程式を解くことによって得られ誤差の振る舞いを表現する方程式を見つけることで，その誤が大きく数学に依存していることは高校生にも容易に想像でいくのか，減衰するのか増大するのか，を知ることができる。
体内の 3 次元構造を，連立方程式を解くことによって得られ誤差の振る舞いを表現する方程式を見つけることで，その誤体内の 3 次元構造を，連立方程式を解くことによって得られ誤差の振る舞いを表現する方程式を見つけることで，その誤るのではないか，ということが思い浮かぶ。
CT の仕組みには 差が四方八方に拡がっていくのか，ある方向に伝播しに回転したり，拡大・縮小したり，平行移動したりしてそのこれには有限差分法，有限要素法，有限体積法など様々な方
るのではないか，ということが思い浮かぶ。
CT の仕組みには 差が四方八方に拡がっていくのか，ある方向に伝播していく
きるだろう。また，3次元空間での対象物はいろいろな方向微分を用いて書き下された
Navier-Stokes 方程式をコンるのではないか，ということが思い浮かぶ。
CTの仕組みにはCT差が四方八方に拡がっていくのか，ある方向に伝播していく
るのではないか，ということが思い浮かぶ。
の仕組みには 差が四方八方に拡がっていくのか，ある方向に伝播していく
このほかにも様々な変数変換などが用いられているが，それのか，減衰するのか増大するのか，を知ることができ
詳細を把握する。そのことが，高校で学習するベクトルの計法が提案されてきており，その詳細は専門書に譲るが，いず
このほかにも様々な変数変換などが用いられているが，それに回転したり，拡大・縮小したり，平行移動したりしてその のか，減衰するのか増大するのか，を知ることができる。
ピュータを用いて解くためには，何らかの離散化が必要であ
このほかにも様々な変数変換などが用いられているが，それのか，減衰するのか増大するのか，を知ることができる。
このほかにも様々な変数変換などが用いられているが，それのか，減衰するのか増大するのか，を知ることができる。
が大きく数学に依存していることは高校生にも容易に想像で微分を用いて書き下された Navier-Stokes 方程式を算と対応していることも，ベクトルを習った高校生には伝わ微分を用いて書き下されたれにおいても元の偏微分方程式系は数百万から数千万元の大詳細を把握する。そのことが，高校で学習するベクトルの計る。これには有限差分法，有限要素法，有限体積法など様々が大きく数学に依存していることは高校生にも容易に想像でNavier-Stokes 方程式をコンピが大きく数学に依存していることは高校生にも容易に想像でNavier-Stokesュータを用いて解くためには，方程式をコンピ
が大きく数学に依存していることは高校生にも容易に想像で微分を用いて書き下された
Navier-Stokes 方程式をコンピきるだろう。また，3 微分を用いて書き下された次元空間での対象物はいろいろな方向
何らかの離散化が必要でりやすい。彼らにとってはスマホの画面をいじることで，ベ規模な連立方程式に帰着される。元の偏微分方程式の性質と算と対応していることも，ベクトルを習った高校生には伝わな方法が提案されてきており，その詳細は専門書に譲るが，きるだろう。また，3 次元空間での対象物はいろいろな方向 ュータを用いて解くためには，何らかの離散化が必要である。
きるだろう。また，3次元空間での対象物はいろいろな方向
ュータを用いて解くためには，何らかの離散化が必要である。
きるだろう。また，3次元空間での対象物はいろいろな方向
ュータを用いて解くためには，何らかの離散化が必要である。
に回転したり，拡大・縮小したり，平行移動したりしてそのこれには有限差分法，有限要素法，有限体積法など様クトルの計算は昔より身近なものと感じられるかもしれない。
離散化された連立方程式の性質の関係，連立方程式の可解性，りやすい。彼らにとってはスマホの画面をいじることで，ベ
いずれにおいても元の偏微分方程式系は数百万から数千万元に回転したり，拡大・縮小したり，平行移動したりしてそのこれには有限差分法，有限要素法，有限体積法など様々な方に回転したり，拡大・縮小したり，平行移動したりしてそのこれには有限差分法，有限要素法，有限体積法など様々な方に回転したり，拡大・縮小したり，平行移動したりしてそのこれには有限差分法，有限要素法，有限体積法など様々な方
詳細を把握する。そのことが，高校で学習するベクトルの計法が提案されてきており，その詳細は専門書に譲るがクトルの計算は昔より身近なものと感じられるかもしれない。 法が提案されてきており，その詳細は専門書に譲るが，いずの大規模な連立方程式に帰着される。元の偏微分方程式の性などについて十分な検討が必要になる。
詳細を把握する。そのことが，高校で学習するベクトルの計
詳細を把握する。そのことが，高校で学習するベクトルの計法が提案されてきており，その詳細は専門書に譲るが，いず
詳細を把握する。そのことが，高校で学習するベクトルの計法が提案されてきており，その詳細は専門書に譲るが，いず算と対応していることも，ベクトルを習った高校生には伝われにおいても元の偏微分方程式系は数百万から数千万
質と離散化された連立方程式の性質の関係，連立方程式の可2-2 血行動態を数学で視る血行動態を数学で視る
図 1 に，胸部大動脈に発生したある大動脈瘤症例における2-2算と対応していることも，ベクトルを習った高校生には伝われにおいても元の偏微分方程式系は数百万から数千万元の大算と対応していることも，ベクトルを習った高校生には伝われにおいても元の偏微分方程式系は数百万から数千万元の大算と対応していることも，ベクトルを習った高校生には伝われにおいても元の偏微分方程式系は数百万から数千万元の大りやすい。彼らにとってはスマホの画面をいじることで，ベ規模な連立方程式に帰着される。元の偏微分方程式の我々のプロジェクトでは，血流の解析を中心テーマの
1 1 つ 解性，などについて十分な検討が必要になる。
我々のプロジェクトでは，血流の解析を中心テーマの血流計算の結果を示す。計算結果は血流の各時空間位置におりやすい。彼らにとってはスマホの画面をいじることで，ベ規模な連立方程式に帰着される。元の偏微分方程式の性質とりやすい。彼らにとってはスマホの画面をいじることで，ベ規模な連立方程式に帰着される。元の偏微分方程式の性質とりやすい。彼らにとってはスマホの画面をいじることで，ベ規模な連立方程式に帰着される。元の偏微分方程式の性質とクトルの計算は昔より身近なものと感じられるかもしれない。
離散化された連立方程式の性質の関係，連立方程式の可つとしている。血流が生命の維持に大きく関わっていること
図 1 に，胸部大動脈に発生したある大動脈瘤症例におけとしている。血流が生命の維持に大きく関わっていることはける速度と圧力からなるが，ここでは速度ベクトルを可視化
クトルの計算は昔より身近なものと感じられるかもしれない。
離散化された連立方程式の性質の関係，
連立方程式の可解性，
クトルの計算は昔より身近なものと感じられるかもしれない。
離散化された連立方程式の性質の関係，
連立方程式の可解性，
クトルの計算は昔より身近なものと感じられるかもしれない。
離散化された連立方程式の性質の関係，
連立方程式の可解性，などについて十分な検討が必要になる。
は疑いがないが，血管形状の個人差は大きく，心臓から拍出る血流計算の結果を示す。計算結果は血流の各時空間位置に疑いがないが，血管形状の個人差は大きく，心臓から拍出さするための手法として各瞬間における流線を用い，速度の大などについて十分な検討が必要になる。
などについて十分な検討が必要になる。
などについて十分な検討が必要になる。
2-2 血行動態を数学で視る
図 1 に，胸部大動脈に発生したある大動脈瘤症例にされて各臓器を巡る様相も様々である。それは時として血流おける速度と圧力からなるが，ここでは速度ベクトルを可視れて各臓器を巡る様相も様々である。それは時として血流の図 きさの情報を流線の太さと色に乗せている。流線は，その接2-2 血行動態を数学で視る
1 に，胸部大動脈に発生したある大動脈瘤症例における2-2 血行動態を数学で視る
図 1 に，胸部大動脈に発生したある大動脈瘤症例における2-2 血行動態を数学で視る 我々のプロジェクトでは，血流の解析を中心テーマの図 1 に，胸部大動脈に発生したある大動脈瘤症例における
1 つ 血流計算の結果を示す。計算結果は血流の各時空間位の滞りや血管壁面への過大な応力をもたらし，長期にわたる化するための手法として各瞬間における流線を用い，速度の滞りや血管壁面への過大な応力をもたらし，長期にわたる血線がその位置での速度ベクトル
我々のプロジェクトでは，血流の解析を中心テーマの 1 つ 血流計算の結果を示す。計算結果は血流の各時空間位置にお我々のプロジェクトでは，血流の解析を中心テーマの
1 つ 血流計算の結果を示す。計算結果は血流の各時空間位置にお我々のプロジェクトでは，血流の解析を中心テーマの
1 つ 血流計算の結果を示す。計算結果は血流の各時空間位置におとしている。血流が生命の維持に大きく関わっていることはける速度と圧力からなるが，ここでは速度ベクトルを血管壁の変成（動脈硬化など）をもたらす。そこで，血流の大きさの情報を流線の太さと色に乗せている。流線は，その管壁の変成（動脈硬化など）をもたらす。そこで，血流の様の方向に一致するような曲線でとしている。血流が生命の維持に大きく関わっていることはける速度と圧力からなるが，ここでは速度ベクトルを可視化としている。血流が生命の維持に大きく関わっていることはける速度と圧力からなるが，ここでは速度ベクトルを可視化としている。血流が生命の維持に大きく関わっていることはける速度と圧力からなるが，ここでは速度ベクトルを可視化
様相を知ろうとするわけだが，そこでは偏微分方程式系を用接線がその位置での速 するための手法として各瞬間における流線を用い，速疑いがないが，血管形状の個人差は大きく，心臓から拍出さ相を知ろうとするわけだが，そこでは偏微分方程式系を用いある。この流線群からは，血管の疑いがないが，血管形状の個人差は大きく，心臓から拍出さするための手法として各瞬間における流線を用い，速度の大疑いがないが，血管形状の個人差は大きく，心臓から拍出さするための手法として各瞬間における流線を用い，速度の大いた数値シミュレーションが活躍する。血液の歪み―応力関度ベクトルの方向に一 きさの情報を流線の太さと色に乗せている。流線は，疑いがないが，血管形状の個人差は大きく，心臓から拍出さするための手法として各瞬間における流線を用い，速度の大れて各臓器を巡る様相も様々である。それは時として血流のた数値シミュレーションが活躍する。血液の歪み―応力関係
形状の特徴に由来する流れの特れて各臓器を巡る様相も様々である。それは時として血流のきさの情報を流線の太さと色に乗せている。流線は，その接係は複雑で，それが比例すると考えてよい場合とそうでない
致するような曲線であ 線がその位置での速度ベクトル
れて各臓器を巡る様相も様々である。それは時として血流のきさの情報を流線の太さと色に乗せている。流線は，その接れて各臓器を巡る様相も様々である。それは時として血流のきさの情報を流線の太さと色に乗せている。流線は，その接滞りや血管壁面への過大な応力をもたらし，長期にわたる血は複雑で，それが比例すると考えてよい場合とそうでない場
徴として，湾曲部（大動脈弓部）
滞りや血管壁面への過大な応力をもたらし，長期にわたる血線がその位置での速度ベクトル場
合 が あ る が， 大 血 管 に おいては運動量保存則を表する。この流線群からは， の方向に一致するような曲線で滞りや血管壁面への過大な応力をもたらし，長期にわたる血線がその位置での速度ベクトル
滞りや血管壁面への過大な応力をもたらし，長期にわたる血線がその位置での速度ベクトル
管壁の変成（動脈硬化など）をもたらす。そこで，血流の様合があるが，大血管においては運動量保存則を表す Navierにおける双子渦，動脈瘤の発生
管壁の変成（動脈硬化など）をもたらす。そこで，血流の様の方向に一致するような曲線でNavier-Stokes
方程式と，質量保存則を表す連続の式
血管の形状の特徴に由管壁の変成（動脈硬化など）をもたらす。そこで，血流の様の方向に一致するような曲線で管壁の変成（動脈硬化など）をもたらす。そこで，血流の様の方向に一致するような曲線で相を知ろうとするわけだが，そこでは偏微分方程式系を用いある。この流線群からは，血管のStokes 方程式と，質量保存則を表す連続の式
による拡大部での渦，捩れの部
相を知ろうとするわけだが，そこでは偏微分方程式系を用いある。
この流線群からは，血管の来する流れの特徴とし相を知ろうとするわけだが，そこでは偏微分方程式系を用いある。この流線群からは，血管の相を知ろうとするわけだが，そこでは偏微分方程式系を用いある。
この流線群からは，血管のた数値シミュレーションが活躍する。血液の歪み―応力関係
形状の特徴に由来する流れの特分における螺旋流などが見て取た数値シミュレーションが活躍する。血液の歪み―応力関係 形状の特徴に由来する流れの特て，湾曲部（大動脈弓た数値シミュレーションが活躍する。血液の歪み―応力関係
形状の特徴に由来する流れの特た数値シミュレーションが活躍する。血液の歪み―応力関係
形状の特徴に由来する流れの特は複雑で，それが比例すると考えてよい場合とそうでない場
徴として，湾曲部（大動脈弓部）れる。このような速度分布が得は複雑で，それが比例すると考えてよい場合とそうでない場 徴として，湾曲部（大動脈弓部）
部）における双子渦は複雑で，それが比例すると考えてよい場合とそうでない場
徴として，湾曲部（大動脈弓部）
は複雑で，それが比例すると考えてよい場合とそうでない場
徴として，湾曲部（大動脈弓部）
合があるが，大血管においては運動量保存則を表す
Navier- における双子渦，動脈瘤の発生られると，その局所的な勾配の（A），動脈瘤の発生によ合があるが，大血管においては運動量保存則を表す Navier- における双子渦，動脈瘤の発生
合があるが，大血管においては運動量保存則を表す
Navier- における双子渦，動脈瘤の発生
合があるが，大血管においては運動量保存則を表す
Navier- における双子渦，動脈瘤の発生
Stokes 方程式と，質量保存則を表す連続の式
による拡大部での渦，捩れの部によって記述できると考えられている。ここで，
u は血流の情報から応力の情報が得られる拡大部での渦（B），捩
Stokes方程式と，質量保存則を表す連続の式
による拡大部での渦，捩れの部
Stokes 方程式と，質量保存則を表す連続の式
Stokes 方程式と，質量保存則を表す連続の式 による拡大部での渦，捩れの部による拡大部での渦，捩れの部
分における螺旋流などが見て取
速度ベクトル，ｐは圧力，ρ は密度，νは動粘性率である。
し れの部分における螺旋る。このようにして，症例間の形によって記述できると考えられている。ここで，は血流の 分における螺旋流などが見て取
分における螺旋流などが見て取
分における螺旋流などが見て取れる。このような速度分布が得
速度ベクトル，
は圧力， は密度， は動粘性率である。し れる。このような速度分布が得流（C）などが見て取れ
かしこれらの方程式はほとんどの場合紙と鉛筆で解くことは状の違いから血流場の特徴の違れる。このような速度分布が得れる。このような速度分布が得られると，その局所的な勾配のかしこれらの方程式はほとんどの場合紙と鉛筆で解くことはる。このような速度分できず，コンピュータの力を借りて数値的に解くことになる。
いを経て，壁面応力の違いを把られると，その局所的な勾配の
図 1：大動脈瘤症例におけられると，その局所的な勾配のられると，その局所的な勾配のによって記述できると考えられている。ここで，
u は血流の 情報から応力の情報が得られできず，コンピュータの力を借りて数値的に解くことになる。
布が得られると，そのここで，「紙と鉛筆では解けない」→「得られるのは誤差を含握することにつながり，そのメによって記述できると考えられている。ここで，u は血流の 情報から応力の情報が得られる血流の流線によって記述できると考えられている。ここで，
u は血流の情報から応力の情報が得られによって記述できると考えられている。ここで，
u は血流の
速度ベクトル，ｐは圧力，
ρ は密度，情報から応力の情報が得られ
ν局所的な勾配の情報か
は動粘性率である。し る。このようにして，症例間の形
ここで，「紙と鉛筆では解けない」→「得られるのは誤差を
速度ベクトル，ｐは圧力，ρ は密度，νは動粘性率である。し る。このようにして，症例間の形
速度ベクトル，ｐ
は圧力，ρ は密度，
νは動粘性率である。
し る。このようにして，症例間の形
速度ベクトル，ｐは圧力，ρかしこれらの方程式はほとんどの場合紙と鉛筆で解くことは
は密度，νは動粘性率である。
し る。
このようにして，症例間の形状の違いから血流場の特徴の違含んだ解になるけれど，それはまぁしょうがない」→「あとら応力の情報が得られかしこれらの方程式はほとんどの場合紙と鉛筆で解くことは 状の違いから血流場の特徴の違2かしこれらの方程式はほとんどの場合紙と鉛筆で解くことは状の違いから血流場の特徴の違かしこれらの方程式はほとんどの場合紙と鉛筆で解くことは状の違いから血流場の特徴の違できず，コンピュータの力を借りて数値的に解くことになる。
はプログラミングの問題だ」という誤解が生じることがある。
る。 こ の よ う に し て， いを経て，壁面応力の違いを把図 1：大動脈瘤症例にできず，コンピュータの力を借りて数値的に解くことになる。 いを経て，壁面応力の違いを把図 1：大動脈瘤症例におけできず，コンピュータの力を借りて数値的に解くことになる。
いを経て，壁面応力の違いを把できず，コンピュータの力を借りて数値的に解くことになる。
いを経て，壁面応力の違いを把
ここで，「紙と鉛筆では解けない」→「得られるのは誤差を含握することにつながり，そのメ
また，「誤差」などというものは不確かなものなので，数学
症例間の形状の違いか
図 1 大動脈瘤症例における血流の流線
図 1：大動脈瘤症例におけ
図 1：大動脈瘤症例における血流の流線
ここで，「紙と鉛筆では解けない」→「得られるのは誤差を含 握することにつながり，そのメる血流の流線
ここで，「紙と鉛筆では解けない」→「得られるのは誤差を含握することにつながり，そのメ
ここで，「紙と鉛筆では解けない」→「得られるのは誤差を含握することにつながり，そのメる血流の流線る血流の流線
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特 集

2-1 体内を数学で見る

んだ解になるけれど，それはまぁしょうがない」→「あとは現代は CT や MRI などによって体内の様子を外側から観プログラミングの問題だ」という誤解が生じることがある。
ら血流場の特徴の違いを経て，壁面応力の違いを把握するこて取れる。このような察できる技術が多く開発されている。しかし，レントゲン写
また，「誤差」などというものは不確かなものなので，数学のとにつながり，そのメカニズムについて臨床医と数学者が議
螺旋流は壁面に強い応
カニズムについて臨床医と数学者が議論を始める段階に至る いながら動脈瘤の内部に達し，さらにその下流に流れ下って論を始める段階に至るのである。
力を及ぼすため，血管真が X 線の伝わる途中での吸収量の総和を写真として映し出対象ではない，というのもまた誤解だ。偏微分方程式をコンカニズムについて臨床医と数学者が議論を始める段階に至る
いながら動脈瘤の内部に達し，さらにその下流に流れ下ってのである。
いることが見て取れる。このような螺旋流は壁面に強い応力
ところで血流の速度場は3 次元のベクトル場であるので，の変性に大きく影響すしているのは理解できるとしても，なぜそのような和の値かピュータで解こうとするときは必ず誤差が生ずる。その誤差のである。
いることが見て取れる。このような螺旋流は壁面に強い応力
ところで血流の速度場は 3 次元のベクトル場であるので， を及ぼすため，血管の変性に大きく影響するものと考えられ
その可視化には注意が必要である。図2 の左右は，同じ時る も の を厳密に扱うのもまた数学の役目となる。ここでは，誤差のと考えられる。
ら各断層の画像が得られるのだろうか？ここで，複数の方向ところで血流の速度場は3 次元のベクトル場であるので，を及ぼすため，血管の変性に大きく影響するものと考えられ
その可視化には注意が必要である。図2 の左右は，同じ時刻 る。なお，このヘリシティの概念を理解するには，微分の発刻における速度ベクトルを別の断面で表示したものである。
なお，このヘリシティ
からの透過画像があれば，そのような画像を生成するような大きさもさることながら，その振る舞いがさらに重要である。
その可視化には注意が必要である。図2 の左右は，同じ時刻 展としての偏微分，内積の発展としての外積，さらには微分る。なお，このヘリシティの概念を理解するには，微分の発における速度ベクトルを別の断面で表示したものである。
の概念を理解するには，体内の 3 次元構造を，連立方程式を解くことによって得られ誤差の振る舞いを表現する方程式を見つけることで，その誤における速度ベクトルを別の断面で表示したものである。
展としての偏微分，内積の発展としての外積，さらには微分演算の組をベクトルと考えることなど，高校の数学の範囲を
微分の発展としての偏 図 3 ヘリシティの等値面
るのではないか，ということが思い浮かぶ。CT の仕組みには差が四方八方に拡がっていくのか，ある方向に伝播していく演算の組をベクトルと考えることなど，高校の数学の範囲を超えた説明が必要になってしまう。しかし，多少の過積載と微分，内積の発展としての外積，さらには微分演算の組をベ
このほかにも様々な変数変換などが用いられているが，それのか，減衰するのか増大するのか，を知ることができる。
超えた説明が必要になってしまう。しかし，多少の過積載と速度超過を大目に見るならば，それを知ることによって拡がクトルと考えることなど，高校の数学の範囲を超えた説明がが大きく数学に依存していることは高校生にも容易に想像で微分を用いて書き下された Navier-Stokes 方程式をコンピ
速度超過を大目に見るならば，それを知ることによって拡がる世界はとても大きい。高校生にも時折はその世界を垣間見必要になってしまう。しかし，多少の過積載と速度超過を大きるだろう。また，3 次元空間での対象物はいろいろな方向
ュータを用いて解くためには，何らかの離散化が必要である。
る世界はとても大きい。高校生にも時折はその世界を垣間見
目に見るならば，それを知ることによって拡がる世界はとてせてあげたいと思う。
（これは，筆者が高校生の時に出会ったに回転したり，拡大・縮小したり，平行移動したりしてそのこれには有限差分法，有限要素法，有限体積法など様々な方せてあげたいと思う。
（これは，筆者が高校生の時に出会った*4も大きい。高校生にも時折はその世界を垣間見せてあげたい
砂川重信先生の参考書「精講物理」に書いてあったことでも詳細を把握する。そのことが，高校で学習するベクトルの計法が提案されてきており，その詳細は専門書に譲るが，いず*4
砂川重信先生の参考書「精講物理」に書いてあったことでもと思う。（これは，筆者が高校生の時に出会った砂川重信先ある。高校生を子供扱いせず，
どこか挑発するような筆致に，算と対応していることも，ベクトルを習った高校生には伝われにおいても元の偏微分方程式系は数百万から数千万元の大*4ある。高校生を子供扱いせず，
図 2：速度ベクトル場の別の断面上での可視化に書いてあったことでもある。高生の参考書「精講物理」
自分は大いに刺激された。
） どこか挑発するような筆致に，りやすい。彼らにとってはスマホの画面をいじることで，ベ規模な連立方程式に帰着される。元の偏微分方程式の性質と図 2：速度ベクトル場の別の断面上での可視化
図 2 速度ベクトル場の別の断面上での可視化
自分は大いに刺激された。
）
校生を子供扱いせず，どこか挑発するような筆致に，自分はそのほかにも，クトルの計算は昔より身近なものと感じられるかもしれない。
離散化された連立方程式の性質の関係，
連立方程式の可解性，
図 2 の左側のように，血管の軸に平行な断面で見たときに そのほかにも，大いに刺激された。）
図 2 の左側のように，血管の軸に平行な断面で見たときに例えば速度の 3図は動脈瘤の中央を突き抜けて反対側の壁面にぶつかってい2 の左側のように，血管の軸に平行な断面で見たときになどについて十分な検討が必要になる。
そのほかにも，例えは動脈瘤の中央を突き抜けて反対側の壁面にぶつかっている
例えば速度の成分を3 つの方 3は動脈瘤の中央を突き抜けて反対側の壁面にぶつかっている
2-2 血行動態を数学で視る
1 に，胸部大動脈に発生したある大動脈瘤症例におけるるように見えるのだが，右側のように血管の軸に垂直な断面
3図成分を3つように見えるのだが，右側のように血管の軸に垂直な断面で成分をば速度の3 つの方向に偏微分したように見えるのだが，右側のように血管の軸に垂直な断面で我々のプロジェクトでは，血流の解析を中心テーマの
1 つ 血流計算の結果を示す。計算結果は血流の各時空間位置におで見ると動脈瘤の内部で渦ができていることが把握できる。
の方向に偏微分したも見ると動脈瘤の内部で渦ができていることが把握できる。こ向に偏微分したものを並べた歪見ると動脈瘤の内部で渦ができていることが把握できる。ことしている。血流が生命の維持に大きく関わっていることはける速度と圧力からなるが，ここでは速度ベクトルを可視化
このように，3次元の現象を対象とする時には，その見方にのを並べた歪み速度行のように，3次元の現象を対象とする時には，その見方によものを並べた歪み速度行列の固よって全く違うものが見えてくることにも注意が必要であろう。
列の固有値を求め，そのように，3次元の現象を対象とする時には，その見方によ疑いがないが，血管形状の個人差は大きく，心臓から拍出さするための手法として各瞬間における流線を用い，速度の大って全く違うものが見えてくることにも注意が必要であろう。
み速度行列の固有値を求め，
その
そのほか，ベクトルと行列について定義されている演算をの 2 番目に大きいものって全く違うものが見えてくることにも注意が必要であろう。
れて各臓器を巡る様相も様々である。それは時として血流のきさの情報を流線の太さと色に乗せている。流線は，その接そのほか，ベクトルと行列について定義されている演算を有値を求め，その2 番目に大きいも用いることで様々な量を可視化し，血流場の特徴に迫ることの等値面を書くことに
そのほか，ベクトルと行列について定義されている演算を滞りや血管壁面への過大な応力をもたらし，長期にわたる血線がその位置での速度ベクトル用いることで様々な量を可視化し，血流場の特徴に迫ること2 番目に大きいも
図 4：歪み速度行列の第 2 固有値の等値面のの等値面を書ができる。たとえばヘリシティ
よっても螺旋流領域を
図 4 歪み速度行列の第 2 固有値の用いることで様々な量を可視化し，血流場の特徴に迫ること
管壁の変成（動脈硬化など）をもたらす。そこで，血流の様の方向に一致するような曲線で
図 4：歪み速度行列の第2 固有値の等値面ができる。たとえばヘリシティのの等値面を書くことによっても螺旋流領域を取り出すことができる。その等値面取り出すことができる。
ができる。たとえばヘリシティ
相を知ろうとするわけだが，そこでは偏微分方程式系を用いある。この流線群からは，血管のくことによっても螺旋流領域を取り出すことができる。その様子を図4 に示す。こちらも高校生が理解するには行列とそ
その様子を図4 に示す。こちらも高校生が理解するには行
た数値シミュレーションが活躍する。血液の歪み―応力関係
形状の特徴に由来する流れの特という量を考える。これは，勾配演算子
様子を図4に示す。こちらも高校生が理解するには行列とその固有値固有ベクトルが必要になってしまうが，統計学などという量を考える。これは，勾配演算子
列とその固有値固有ベクトルが必要になってしまうが，統計という量を考える。これは，勾配演算子
は複雑で，それが比例すると考えてよい場合とそうでない場
徴として，湾曲部（大動脈弓部）の固有値固有ベクトルが必要になってしまうが，統計学などへの応用もさることながら，世の中の見方を広げる手段の一学などへの応用もさることながら，世の中の見方を広げる手合があるが，大血管においては運動量保存則を表す
Navier- における双子渦，動脈瘤の発生への応用もさることながら，世の中の見方を広げる手段の一つとして，高校生にも（細かい計算は抜きにして）一度は触段の一つとして，高校生にも（細かい計算は抜きにして）一方程式と，質量保存則を表す連続の式
による拡大部での渦，捩れの部と速度ベクトルStokes
u との外積と，
u の内積の形をしている。こ れてみてほしい話題ではある。
つとして，高校生にも（細かい計算は抜きにして）一度は触
度は触れてみてほしい話題ではある。
と速度ベクトル u との外積と，u の内積の形をしている。こ分における螺旋流などが見て取の量は速度ベクトルの螺旋状になっている成分を取り出す働
れてみてほしい話題ではある。
と速度ベクトル u との外積と， の内積の形をしている。こ2-3 数理とAIで人体を診るの量は速度ベクトルの螺旋状になっている成分を取り出す働れる。このような速度分布が得きがあり，この量を計算してその等値面を描いたのが図3での量は速度ベクトルの螺旋状になっている成分を取り出す働
2-3 数理と前節に述べたように生体内には数学的にも物理学的にも，
AI で人体を診る
きがあり，この量を計算してその等値面を描いたのが図3でられると，その局所的な勾配のある。
二つの色は，時
2-3
数理とAI で人体を診る
もちろん化学的や生物学的にも興味深い現象がたくさん埋め
きがあり，この量を計算してその等値面を描いたのが図3で前節に述べたように生体内には数学的にも物理学的にも，ある。二つの色は，
時によって記述できると考えられている。ここで，u 前節に述べたように生体内には数学的にも物理学的にも，は血流の 情報から応力の情報が得られ計回りと反時計回り
込まれている。しかし，数学と医学が協働することを考えたある。二つの色は，時計回りと反時計回りの螺旋流を表してもちろん化学的や生物学的にも興味深い現象がたくさん埋め
計回りと反時計回り
速度ベクトル，ｐは圧力，ρ は密度，νは動粘性率である。
し る。このようにして，症例間の形
とき，臨床医たちが最終的に知りたいのはそこではない。当いる。大動脈弓部の曲率に由来する遠心力によって誘起されの螺旋流を表してい
もちろん化学的や生物学的にも興味深い現象がたくさん埋め込まれている。しかし，数学と医学が協働することを考えたの螺旋流を表していかしこれらの方程式はほとんどの場合紙と鉛筆で解くことは状の違いから血流場の特徴の違然ながら，どのような治療が患者さんにとって最適なのかをた逆回りの螺旋流たちが，それら自体が捩れ合いながら動脈る。
大動脈弓部の曲率込まれている。しかし，数学と医学が協働することを考えた
とき，臨床医たちが最終的に知りたいのはそこではない。当る。大動脈弓部の曲率できず，コンピュータの力を借りて数値的に解くことになる。
いを経て，壁面応力の違いを把知り，実践することが彼らの目的である。数学・数理科学が瘤の内部に達し，さらにその下流に流れ下っていることが見
図 1：大動脈瘤症例におけに由来する遠心力にとき，臨床医たちが最終的に知りたいのはそこではない。当然ながら，どのような治療が患者さんにとって最適なのかをに由来する遠心力にここで，「紙と鉛筆では解けない」→「得られるのは誤差を含握することにつながり，そのメる血流の流線よって誘起された逆然ながら，どのような治療が患者さんにとって最適なのかを
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No.30
知り，実践することが彼らの目的である。数学・数理科学がよって誘起された逆回りの螺旋流たちが，知り，実践することが彼らの目的である。数学・数理科学がそれに貢献できるのは，病態の機序（メカニズム）を示すこ
回りの螺旋流たちが，それら自体が捩れ合それに貢献できるのは，病態の機序（メカニズム）を示すこ
2
図 3：ヘリシティの等値面と，正しい診断をするための的確な情報を提供すること，よそれら自体が捩れ合
図 3：ヘリシティの等値面と，正しい診断をするための的確な情報を提供すること，よ数学と産業 Ⅰ

特集

それに貢献できるのは，病態の機序（メカニズム）を示すこ

練習問題を解くことに特化しすぎたためにそれ以外の問題をと，正しい診断をするための的確な情報を提供すること，よ解けなくなる（応用力をなくす）という現象だが，これも人り適切な治療の選択肢を示すことであろう。そこでは古典的間の学習で時折見るような気がしないでもない。

な数学や統計学の手法に加えて，近年では機械学習を用いた

何はともあれ，このようにして学習を重ねた AI は，熟練AI が広く用いられ始めている。その中でも有力とされていした専門医に劣らない判断力を示すようになる。典型的なのるのが深層学習である。

は，専門医が判断するよりも数週間早く，投薬量の増減を提深層学習のプログラムは個々には数学的に単純な構造をし案するようになる点である。これは AI の優れた点であるがたモジュールが多数集まったものであるが，その集合体が発それ以上に，このように学習して能力を向上させていく AI

揮する学習能力の仕組みはまだ解明されているとは言えない。

を横から見ていると，お手本になっている専門医の判断アル

それに対する数学的な取り組みも多数行われているが，ここゴリズムがだんだんと見えてくるようになるところが不思議

では我々のプロジェクトで進めてきた，熟練医の技術を AI

で，かつ面白い。

に学ばせる取り組みをご紹介したい。

3

我々は，人工透析患者への造血剤と鉄剤の至適投薬量を提まとめに代えて案するシステムの構築に取り組んでいる。適切な投薬は透析

臨床医学と数学は，学問としてとても距離があるように見患者の QOL 向上に大きく影響するとともに，非常に高価でえるかもしれない。使っている用語も問題意識も，使命感さある造血剤の使用を適正量にすることは医療機関の経営や国えも大きく異なっている。しかし一緒に研究をしていると，の医療財政にも大きく貢献する。しかし，患者ごとに異なる

不思議と近く感じるときがある。数学者は常に抽象化を追い状況を反映して適切な投薬量を決定していくことは経験を積求めているわけだが，抽象化とは本質だけを残して余計な部

んだ専門医にしかできず，そのような専門医の養成は透析患分をできるだけそぎ落とすことであり，それによってある現者の増加に追いついているとは言えない。高度な経験を有す象の解析が全く違う現象に適用できるようになったりもする。

る専門医の判断を再現することができれば，透析医療に大き一方，医療者が相手にしているのは規格の揃った工業製品

く貢献することになる。

ではなく，非常に複雑な「人間」という代物である。その複

そこで我々は，血液検査などのデータと専門医の判断を記

雑さの中から，的確な診断と治療をするために必要な本質は録し，それを教師データとして AI に学習させることを試み

どこかということを彼らは常に考えている。その営みを見てた。基本的に深層学習はビッグデータを必要とするわけだが，いると，「数学者と意外に近いかも」と思えてくるのである。

ここで対象とする投薬履歴データは電子カルテの仕組みや個
人情報の問題もあってビッグデータと言える量には達しておらず，スモールデータでの学習ということになる。我々は，多くの症例の中から AI が間違えやすい症例を抜き出し，なぜその症例については判断を間違えたのかを調べていった。
その作業を重ねていくと，判断に必要な要素が自ずと明らかになり，AI の能力も上がっていった。また，教師データとして典型的な症例を厳選することで，学習の効率が上がることもわかってきた。この過程は，良問を厳選して学生に与え，さらに間違えやすいところを吟味していくことで成績が向上❖
参考・引用文献*1 JST「数学と諸分野の協働によるブレークスルーの探索」研究領域
https://www.jst.go.jp/crest/math/*2 JST「現代の数理科学と連携するモデリング手法の構築」研究領域  
https://www.jst.go.jp/kisoken/crest/research_area/ongoing/bunyah26-1.html*3 JST 数学キャラバンアーカイブ https://www.jst.go.jp/kisoken/
presto/research/activity/1112067/caravan.html*4 精講物理 , 砂川重信，学生社，1979*5 水藤寛研究室ホームページ https://www.wpi-aimr.tohoku.ac.jp/
suito_labo/

していく数学教育の営みに妙に似ているところがあるように思うのだが，気のせいだろうか。さらに，深層学習でよく問題になるのは「過学習」という現象である。これは典型的な

No.30

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特 集

Ⅲ 機械学習の考え方と応用，

そして数学・数理科学との関わり
九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所 教授 ／ 理化学研究所 革新知能統合研究センター

チームリーダー河原 吉伸 / かわはら よしのぶ
2008 年 3 月 東京大学大学院工学系研究科 博士課程修了。博士 ( 工学 )。2019 年 4 月より，九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所 教授。また，2016 年 9 月より理化学研究所革新知能統合研究センターにおいてチームリーダーを兼任。令和 2 年度科学技術分野の文部科学大臣表彰若手科学者賞などを受賞。統計的機械学習の基礎・応用に関する研究や，大学・大学院における教育活動に従事。

ここ数年の間で急速に社会へと浸透し，我々の身の回りで能となっている。生物学的には，生物のこのような能力は「汎も不可欠な技術となりつつある AI（人工知能）は，機械学化」と呼ばれる。しかし，同様のことを計算機上で実現する

習という研究分野で開発された数理モデルや方法論がその基のが容易ではないことは想像に難くない。なぜなら，我々が礎となっている。機械学習分野における研究は近年ますます遭遇するようなあらゆるケースを事前に想定し，計算機上に加速しており，今でも新たなパラダイムが次から次へと現れプログラミングしておくことは原理的に不可能だからである。

ている状況である。その背景には，最近の AI への注目など「機械学習」は言わば，このような機能を計算機上においてをきっかけに，機械学習の外の分野からの研究者・技術者が実現するための一連の理論や方法，その実装としての情報技

多くこの分野へ参入してきているという背景がある。特に，術を指す ( 図 1)。ただしここでいう機能は，生物個体全体で数学・数理科学の素養を持つ研究者が，純粋数学や応用数理実現しているような汎用的なものを指す訳ではなく，先の画の諸分野から参入してきておりその発展を支えている。この像の例のように，視覚や聴覚といった特定の認知機能の実現

ような背景からも，特に米国などでは，機械学習や AI の学を指す※ 1。

術会議などにおいて，GAFA をはじめとした企業の間で，これら素養を持つ人材の取り合いが活発に行われている。
本稿では，機械学習の基本的な考え方や，その産業科学への応用や教育場面での広がりについて，数学・数理科学との関連に着目しつつ概観する。
図 1. 機械学習の役割

1

機械学習の考え方

機械学習の創始者の一人であり，著名な計算機科学者であ

我々生物は，様々な経験からの学習を繰り返し，その過去

る Arthur L. Samuel 氏は，彼の著書の中で，機械学習分野をの経験からの類推で未知の新しい状況への対応を行うことがField of study that gives computers the ability to learn

できる。例えば我々は，ある猫が写っている画像を見たときwithout being explicitly programmed と表現している。つまに，それが猫の画像だということが容易に分かる。仮に，そり，我々生物にとっては過去の経験にあたる「データ」を用の猫が今までに見たことのない種類の猫であったとしてもでいて，その中の本質的な，ある種の規則性を計算機で自動的ある。これは我々が，学習の過程で，過去の経験の中から猫に抽出することで，今後得られるであろう新しいデータに対の本質的な情報を自動的に抽出して抽象化しているために可して特定の機能を実現する。そのように狭義には，機械学習

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数学と産業 Ⅰ

特集とは，データ中の規則性を計算機で自動的に見つけて利用す

ルゴリズムによって，データが与えられれば関数 f は得られるための一連の理論や方法である，と捉えられる。

る訳であるが，それがどれくらい本当に良いモデルになって1-1 機械学習の構成要素いるのか？たまたま今のデータセットだからうまくいってい

先述のように，機械学習の発展には，数学・数理科学が極るのか？それとも，同じような別のデータに対してもうまくめて重要な役割を果たしている。機械学習は大きく「モデリいきそうなのか？

ング」，「アルゴリズム」，そして「学習理論」の 3 つの要素したら良いか？

または，もっと精度を良くするにはどう
それはデータが増えると実現されるのか？

から構成される。つまり，実現したい機能（例えば画像を入といったことを，数学的に解析するための理論が「学習理力してそこに何が写っているかを認識する機能）に向き合っ論」となる。例えば，複数のモデルがあった場合に，できるた際，まずこの問題を定式化する，つまり数学的な記述を与だけ多くのケースでうまくいくような機械学習のモデルを選える必要がある（モデリング）。そして，その定式化した問択したりする場合などにも必要となる。

題を具体的に解くために，解法（手法）を導出する必要があ

先にも述べたように，これらいずれの場面においても，数る（アルゴリズム）。一方で，その解法の正当性を（数学的に）学的な記述や解析が不可欠であり，様々な数学的道具を駆使保証するための解析も重要となる（学習理論）。これらはいしてアプローチする必要がある。

ずれも，線形代数や確率・統計はもとより，関数解析や幾何・

1-2 様々な機械学習

代数的解析など，数学・数理科学のあらゆる道具を駆使してアプローチする必要がある。

前節で述べた画像の認識は，「分類」と呼ばれる機械学習のタスクの一種である。先の例では，画像という入力にあた

例えば，先の画像を認識する例について，もう少し具体的るデータに加えて，その答えにあたるラベル（教師信号と呼に考えてみたい。まず前提として，画像と，そこに写っていばれる）も与えられるとして，機械学習のモデルを推定した。

る対象の答え（猫，犬，兎など。ラベルという）のペアが大このように，データとして，入力にあたるものに加えて，そ量に与えられているとする。このようなデータは，近年ではの答え（教師信号）も用いてモデル構築を行う設定を「教師インターネットでも大量に入手することができる。このとき，あり学習」と呼ぶ（図 2 も参照のこと）。分類は，教師あり

画像（x とする）を入力として，そこに写っている対象（ラ学習の代表的なタスクであり，それ以外にも，いわゆる回帰

ベル。y とする）を出力する，ある種の関数 f : x → y を推分析などが教師あり学習に含まれる。また，教師信号に相当定するのが目的となる。通常この関数 f は，調整可能なパラする情報が与えられずにデータを解析する場合は「教師なし

メータを複数持っていて，先に準備したデータを元に，“ で学習」と呼ばれ，データのクラスタ解析や次元削減などがそきるだけ正しく” ラベルを出力するパラメータ値を探すことれにあたる。また，教師あり／教師なし学習では基本的にデーが問題となる。“ できるだけ正しく” というのは，より正確タが与えられた元でモデルを推定する設定となっているが，には，パラメータ推定に用いたデータのみでなく，用いていデータの探索自体を含むような場合は「強化学習」という枠ない未知のデータに対しても，できるだけ正しくラベルを予測できるように，という基準が用いられる（汎化性能）。このように，直面する課題・データに対して，どのような関数
f を用いるか，またどのような基準を用いてパラメータを最適化するか，といったことを設計する部分が「モデリング」にあたる。そして，その関数 f のパラメータの中で，最も基準を良くするものを選択する問題として数学的に（最適化問題として）記述し，具体的に計算する部分が「アルゴリズム」にあたる。平たく言えば，多くの場合アルゴリズムは，パラ
メータの最適化手順を考える部分にあたる。モデリングとア

図 2. 機械学習の基本的な問題設定

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特 集
組みとして議論される。ニュースなどでも話題となった囲碁

広く一般にも知られている通りである。AlphaGo においては，

AI である AlphaGo は，この強化学習の方法が用いられてい深層ニューラルネットと強化学習を同時に用いた深層強化学る。囲碁のようなゲームにおいては，AI 側が手を打つことで，習が用いられており，この技術はロボットなどの自動化にも相手の手も変わってくる。より強い囲碁 AI を獲得するため適用できるものである。

には，どのような盤面の状況を探索していけば良いか，相手

また，社会への広がりの理由としては，プログラミングのの出方も含めて，そのようなことも考慮しながらデータを集ための関数ライブラリや，クラウド上の機械学習プラットめる必要がある。そのため，強化学習という枠組みが適用さフォームの充実も大きいと言える。機械学習の研究者やエンれる訳である。

ジニアの間では Python というプログラミング言語が主に用

これらの様々な問題に対して，それを解決するための機械いられているが，様々なモデルやアルゴリズムを実装したそ学習のモデルは，これまで様々なものが提案されている。近のライブラリとして scikit-learn*2，また主に深層学習の実装

年では，深層ニューラルネットが最もよく知られるモデルととして優れている PyTorch*3 や TensorFlow*4 などが標準的なっているが，産業分野や科学研究で用いられているものはツールとして広く用いられている。

それに限らない。例えば，我々がネット通販などで目にする

また，Amazon Web Services (AWS)*5 や Google Cloud

広告の配信ではバンディットと呼ばれる学習手法が用いられ，

Platform*6，Microsoft Azure*7 など，画像認識や時系列予測

産業プロセスなどにおけるモニタリングでは異常検知技術がなどの標準的なタスクに対しては，ユーザーがあまり中身が用いられる。それ以外にも，現場では様々な線形モデルや，分からなくても利用できるような機械学習のクラウドサービ

カーネル法，アンサンブル法など，課題の状況や要請に応じスも充実してきている。ただし，こういったサービスを利用て，種々の方法やモデルが選択され適用されている。

するには処理の程度に応じた費用がかかるため，頻繁に利用するようなケースでは，自社で開発したり買い切りのシステ

2

ムを導入することが必須となる。

機械学習の広がり

そのため近年では，多くの大企業やベンチャーにおいて，2-1 産業における広がり

様々な場面に応じた機械学習のシステムを開発可能な人材の最近では，AI（人工知能）という言葉を，毎日のように争奪戦が起こっている。少し以前のことにはなるが，ある国

ニュースなどで目にする。その産業的な応用は，自動運転や内大手企業が，Kaggle ( カグル )*8 と呼ばれるコンペティショ

検索エンジン，広告配信，需要予測，工場における自動化，ンにおける成績を高額給与の求人の採用基準とする方針を出教育システムなど様々な場面へと広がっている。この背景にし話題となった。これに限らず国内においても，AI や機械

は，深層ニューラルネットと呼ばれる機械学習モデルの発展

学習に関連した研究所の設立や，部門の立ち上げが多くの企が大きいのは上述の通りであるが，ニューラルネット自体の業において行われ，これに必要な人材の獲得に動いて久しい研究の発端は 1960 年頃まで遡ることができる。しかし（ア状況となっている。

カデミックにおいて）注目される一つと契機となったのは，

2-2 科学分野における応用*1

世界的な画像認識コンペティションである ILSVRC の 2012

このような潮流は科学研究においても同様である。つまり年開催時における深層学習ベースのモデルの躍進が大きいと昨今では，計測・観測技術やデータベース技術の発展を背景言われている。その後も，画像認識の領域では更に精度向上に，大量に取得されるデータを基に様々な科学的知見を探究が進み，この認識機能の実現については，人間のそれを超えしよう，という流れが多くの科学分野で広がっている。有名

るレベルまで達している。このような画像認識分野におけるなエッセイ集である「The Fourth Paradigm: Data-Intensive

機械学習の発展は産業界においても大きな影響を与えており，

Scientific Discovery」(2009 年 )*9 の中では，チューリング

実用化されている例も多く報告されている。また，囲碁にお賞受賞者である計算機科学者 James Nicholas Gray 氏の考え

いて世界チャンピオンに AI が勝利した AlphaGo については，として，このパラダイムをデータ集約型科学（Data-Intensive

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No.30

数学と産業 Ⅰ

特集

Science）として紹介しており，経験科学，理論科学，計算みではなく，基礎となる数学・数理科学の教育が重視されて科学に次ぐ，第 4 の科学として位置付けている。

いる。実社会における機械学習・データサイエンスの適用に実際，米国では，2011 年からオバマ政権下で Materials

おいては，現場の問題を適切に数理的に定式化し，種々の機

Genome Initiative というデータ科学（材料科学関連）の巨大

械学習的な方法論を組み立てつつ問題解決のために取り組む

プロジェクトが開始され，また国内においても，やや遅れて必要があるためである。今後，機械学習・データサイエンス

同分野に関連する MI2I（情報統合型物質・材料開発イニシ

は社会にますます必要とされ浸透していくことは明らかであアティブ）が発足するなどしている。一方で，筆者もチームり，これら組織で育成された人材は，産業界の発展にとってリーダーとして所属する革新知能統合研究センター *10 は，も貴重な人材となることが予想される。

国内における，機械学習を中心とした人工知能基盤技術やその応用研究を加速して社会課題の解決へ貢献することを目的
として，2016 年に文部科学省により理化学研究所内に設置

3

最後にされた。その後も，データサイエンスに関連する研究機関やここまで見てきたように，機械学習は社会におけるあら研究プロジェクトが多く発足し，多岐にわたる科学・工学分

ゆる場面で今後ますます必要となる技術であり，これを社会野において多くの成果をあげている。

における課題解決のために適用できる人材へのニーズは大き2-3 教育における広がり

くなる一方である。先述のように，このような課題解決のた

これらの流れを受けて，近年では大学等の教育現場においめには，数学的な素養が重要となる。幸いにも，社会のニーても，数理・データサイエンスをより重要視した対応がとらズを反映しこのような人材を教育するための環境も整いつつれている。例えば，筆者が所属する九州大学では，全学的なある。ただし，日本の人材供給や技術レベルは，米中のそれ組織として，2017 年 10 月に，数理・データサイエンス教らから大きく出遅れているというのが現状ではある。少しで育研究センター *11 が設置され，関連する講義の提供や教材も追いつき今後の日本の発展のために，筆者自身も微力なが開発が進められている。これはその前年における，文部科学ら寄与できればと思う次第である。

省による「数理及びデータサイエンスに係る教育強化」の拠点校としての選定を受けての措置であり，九州大学に加えて，
北海道大学，東京大学，滋賀大学，京都大学，大阪大学が拠

注釈※1

シアム *12 を形成して，全国的なモデルとなる標準カリキュ
ラム・教材の作成や，その普及のための活動を続けている。
またこれに限らず，全国の国公立・私立大学においても，機械学習や AI，データサイエンスを冠した組織の発足が多く散見される。例えば，滋賀大学では，データサイエンスに特化した日本初の学部として，2017 年にデータサイエンス
学部を新設し話題となった *13。また立教大学では，2019 年に，全国初の人工知能を冠した大学院として人工知能科学研究科が設置された*14。このようなトレンドは，今後も継続されることが予想される。
なお，これらの組織における数理・データサイエンス教育
においては，その出口にあたるプログラミングなどの教育の生物個体全体で実現している汎用的な機能を実現しようという試

みは，汎用人工知能（AGI）と呼ばれる。AGI の実現には，まだ多くの年月が必要であろうというのが，筆者を含め多くの機械学習研究者

点校として選定され，同様の組織が形成されている。なおこ
れらの大学は，数理・データサイエンス教育強化拠点コンソー❖の見解である。
参考・引用文献*1

http://www.image-net.org/challenges/LSVRC/*2

https://scikit-learn.org/stable/*3

https://pytorch.org*4

https://www.tensorflow.org*5

https://aws.amazon.com/jp/*6

https://console.cloud.google.com/*7

https://azure.microsoft.com/ja-jp/*8

https://www.kaggle.com*9

T. Hey, S. Tansley and K. Tolle, “The Fourth Paradigm: DataIntensive Scientific Discovery,” Microsoft Research, 2009.

*10 https://aip.riken.jp/*11 http://mdsc.kyushu-u.ac.jp*12 http://www.mi.u-tokyo.ac.jp/consortium/*13 https://www.ds.shiga-u.ac.jp*14 https://ai.rikkyo.ac.jp

No.30

13

塩野直道記念 第8回 「算数・数学の自由研究」 作品コンクール受賞作品の発表
一般財団法人 理数教育研究所では，児童・生徒が日常生

塩野直道記念 第 8 回「算数・数学の自由研究」作品コンクー

活や学校での学習などから興味をもった事象を，算数・数学

ルには，全国の小学生，中学生，高校生の皆さんから合わせ的な見方・考え方を活用して主体的に探究していく姿勢を培て 11,397 件の作品が届きました。海外からも 29 件の応募うために，2013 年度から塩野直道記念「算数・数学の自由をいただきました。ありがとうございました。

研究」作品コンクールを開催しました。今年は第 8 回となり作品は各地域で選考後，中央審査委員会で最終審査を行い，ます。

p.15~17 のように受賞者が決定しました。

◦塩野直道賞 顕彰委員会

中央審査委員
委員長

根上 生也

横浜国立大学 理事・副学長

岡本 和夫 東京大学名誉教授 /Rimse 理事長

伊藤 由佳理東京大学 教授

清水 静海 帝京大学教職大学院研究科長・教授 /Rimse 理事

銀島 文

国立教育政策研究所 総合研究官

平上 一孝 公益社団法人 全国珠算教育連盟理事長

桜井 進

サイエンスナビゲーター®

中島 さち子ジャズピアニスト/STEAM教育者

藤田 岳彦

中央大学 教授/一橋大学 名誉教授

蒔苗 直道

筑波大学 准教授

吉川 成夫

國學院大學 教授

渡辺 美智子慶應義塾大学大学院 教授

吉川 弘之 東京大学名誉教授 /Rimse 名誉理事

[ 特別顧問 ]塩野 宏

東京大学名誉教授

委員（五十音順）

主催 : 一般財団法人 理数教育研究所
協賛 : 株式会社 内田洋行
株式会社 学研ホールディングス
公益財団法人 日本数学検定協会
後援 : 文部科学省
国立教育政策研究所
読売新聞社
公益財団法人 文字・活字文化推進機構
公益社団法人 全国珠算教育連盟

中央審査委員会（2020年11月29日，東京・アルカディア市ヶ谷）

14

No.30

塩野直道記念＜受賞者一覧＞ 第 8 回「算数・数学の自由研究」作品コンクール
塩野直道賞

小がたひ行きでスイスから日本へ行きたい !!!

塩野直道賞

1みたいな分数

塩野直道賞

夢に近づく確率を上げろ！ ～ブライアン・Jに学ぶ～

塩野直道賞

月の我が家は大丈夫？

小学校低学年の部

小学校高学年の部

最優秀賞

中学校の部

高等学校の部

文部科学大臣賞
Rimse 理事長賞

読売新聞社賞

優秀賞

内田洋行賞
学研賞
日本数学検定協会賞

スイス ジュネーブ日本語補習学校３年

ゴア 裕隆

ナンバー1

兵庫県 太子町立龍田小学校５年

山本 彩奈

宮崎県 宮崎県立宮崎西高等学校附属中学校３年

大城 冴和—ペルセウス座流星群による月面衝突閃光についての考察—
神奈川県 慶應義塾湘南藤沢高等部３年 宮内 唯衣

COVID-19の感染拡大に数理シミュレーションで挑む！
岡山県 岡山大学教育学部附属中学校３年

佐野 文音

三角形における包絡線により定まる楕円の性質
外接楕円との関係–

東京都 中央大学附属高等学校３年–シュタイナーの内接楕円および石本 貴昭

確率と面積の不思議な関係
神奈川県 カリタス女子中学校３年

瀬谷 香乃

ルービックキューブのひみつを知ろう！
兵庫県 神戸市立白川小学校５年

青山 風雅

漢字の止め、はね、はらいのふえ方大発見！！
富山県 富山大学人間発達科学部附属小学校３年

山﨑 雅将“ コロナウイルス ” もし何も対策しなかったら…？
愛知県 椙山女学園高等学校１年

西川 結葉

特別賞

中央審査委員
特別賞

アリスの気持ち

中央審査委員
特別賞√の不思議

中央審査委員特別賞

目もりの少ない定規に法則があるか調べてみよう

中央審査委員
特別賞

Simson の定理の拡張 ～４本の Simson 線と大量の垂線が織りなす様々な性質～

京都府 京都聖母学院小学校２年 佐伯 すみれ

山形県 山形大学附属小学校５年

兵庫県 仁川学院小学校５年

千葉県 市川中学校２年

星川 琳音

大西 穂貴

齋藤 輝
No.30

15

奨励賞
中央審査委員奨励賞 小学校低学年の部
作品タイトル

学校名

学年

受賞者氏名

アリのたまごはいつかえる？

北海道

札幌市立美園小学校

１年

野口 健

ぼくのスペシャル筆算 ～足し算・引き算～

山形県

山形大学附属小学校

２年

三浦 知

つり合ったら楽しいな

茨城県

茨城大学教育学部附属小学校

３年

宮﨑 陽奈望120°が好きなシャボン玉

千葉県

浦安市立明海南小学校

３年

小田原 雅俊

よこ顔美人になれるマスクのつくり方

京都府

京都聖母学院小学校

２年

山田 莉央

電車の鉄橋はなぜジクザグ？

京都府

京都聖母学院小学校

３年

小曽根 佑

わたしにぴったりのマスクは？

京都府

洛南高等学校附属小学校

１年

鱒渕 未怜

日本語ってすごい（日本の本は英語のものより40％も小さい！！）

京都府

洛南高等学校附属小学校

３年

幾野 叡

軽い紙で重い教科書を作ってみたら…。

大阪府

大阪教育大学附属池田小学校

３年

大坂 菜友多「たいおう」のしゅるい

島根県 松江市立母衣小学校

１年

下村 岳

学年

受賞者氏名

中央審査委員奨励賞 小学校高学年の部
作品タイトル

16

学校名

大相撲で本当に強いのは？

東京都

白百合学園小学校

５年

清水 かな実スニーカーの箱を調べる

岐阜県

岐阜大学教育学部附属小中学校

５年

香田 佳耶

弟に絶対勝つ ～立体色並べ必勝法～

岐阜県

美濃加茂市立山手小学校

６年

岸 直史

私のサーブは入るのか

愛知県

愛知教育大学附属岡崎小学校

６年

浜崎 遥

三角の良いと悪いを決める謎京都府

京都聖母学院小学校

５年

破田野 智皇トウモロコシのひげと粒の数が同じって本当なのか
なぁ？

大阪府

関西大学初等部

５年

原田 凌大朗

田辺市立上山路小学校

６年

木村 葉奈，天野 藍良，﨑山 晴紀，寒川 斗環，
寒川 悠一朗，寒川 和香那，
竹内 朱莉，中村 羽響，
深瀬 伸，古久保 百華，
松田 真里奈

これで解決 !? 分数÷分数を解くときの新たな考え方と作図法の検証

和歌山県

目的地まで何時間何分かかる？

佐賀県

鳥栖市立弥生が丘小学校

５年

八尋 瑛登

グラスハープが奏でる音 ～水の量と音の高さの関係～

長崎県

長崎大学教育学部附属小学校

５年

伊藤 璃子

小さい鏡で全身チェックしたい！

熊本県

天草市立本渡北小学校

６年

岡部 文香，
松本 望愛

No.30

中央審査委員奨励賞 中学校の部
作品タイトル

学校名

学年

受賞者氏名

一番効率の良い自転車のシフト数調べ

宮城県

宮城県古川黎明中学校

１年

渡邊 翔太

ババ抜き
～最初にジョーカーを持った人は不利なのか？～

東京都

跡見学園中学校

３年

御竿 穏花

中線定理をビジュアル化したい～ GeoGebra で遊んだ結果～

神奈川県 横浜市立横浜サイエンスフロン
ティア高等学校附属中学校

３年

松野 裕智

成長による作文力の向上を数学で見える化する！

愛知県

愛知教育大学附属岡崎中学校

３年

柴田 悠翔

昆虫が、より速く飛ぶためには？

兵庫県

神戸市立長峰中学校

３年

野上 健二朗万華鏡の規則性奈良県

奈良女子大学附属中等教育学校

３年

片山 碧衣

ルービックキューブを構成する辺の数は？

鳥取県

鳥取大学附属中学校

２年

村口 誠仁

今の私の頭脳で球の体積は求められる？ ～球を回転体ととらえて～香川県

香川大学教育学部附属高松中学校

１年

池田 結衣

美しさの秘密を探れ !! ～スピログラフ編～

佐賀県

佐賀大学教育学部附属中学校

２年

古賀 倫子

蜂への挑戦状！

熊本県

熊本大学教育学部附属中学校

２年

髙藤 侑和

学年

受賞者氏名
東風谷 順正，池田 隼，
宇井 貴斗

中央審査委員奨励賞 高等学校の部
作品タイトル

学校名

カルダノ変換による発見 ～３次方程式の根の公式
発見 500 年目の考察～

東京都

海城中学高等学校

２年

リルの解法による解の個数の判別

東京都

東京都立小石川中等教育学校

５年

トランプゲーム「ダウト」 いつダウトといえばよいか

石川県

金沢大学附属高等学校

２年

虹をえがく数学 ～ Rainbow Mathematics ～愛知県

愛知県立旭丘高等学校

２年

柳瀬 真愛

数学から貧困を考える

愛知県椙山女学園高等学校

３年

尾関 あずさ極座標における接線の方程式

大阪府

大阪府立岸和田高等学校

３年

内本 諒

雨よ、どこからでもかかってこい！

大阪府

清風高等学校１年

谷口 裕亮

4 次元折り紙

広島県

広島大学附属高等学校

３年

柄本 嵩明，上岡 壮真，
日比野 嵩平，山本 勝
大，李 開新，渡辺 直希

倍数判定法 ～すべての整数にあてはまる条件とそ
の規則性～

宮崎県

延岡学園高等学校

２年

髙橋 京汰

ヘロンの公式の三次元拡張 ～ブラーマグプタの公式との比較から探る～

宮崎県

宮崎県立五ヶ瀬中等教育学校

５年

川原 歩夢

岩田 航正
中井 一心，新 太陽，
時長 隆乃介，能登 匠，
間口 桜之介 , 村山 太陽

No.30

17

全応募作品の中から，最優秀賞，優秀賞，特別賞，奨励賞の受賞者のほか，下記の方々の作品が地区審査から中央審査委員会の最終審査に推薦されました。
小学校低学年の部
学校名

京都聖母学院小学校

京都府
同志社小学校

兵庫県
福岡県

学年

氏名

1

武田

莉乃

1

立花

愛梨

2

詫摩

未彩

3

木戸

詠士

3

須田

匠

3

中島

麻結

長崎県

天草市立本渡北小学校
熊本県

田中

統司

5

濵地 南帆

5

原 立夏

6

宮﨑 空翔，
赤松 希星

熊本市立壺川小学校

5

竹村 慶一朗熊本大学教育学部附属小学校

6

坂井

步衣

宮崎県

宮崎市立大淀小学校

6

岩切

理花

鹿児島県

鹿児島市立大明丘小学校

6

宮野

姫葉

優那

山田

理仁

2

大久保

伶

関西大学初等部

3植山雄翔

神戸大学附属小学校

1

光岡

利珠那

仁川学院小学校

3

倉増

万結香

北九州市立足原小学校

3

松村

太郎

2

川本

結子

3

上下

悠花

スイス

ジュネーブ日本語補習学校

１

安井

さき

中学校の部
学校名

小学校高学年の部
氏名

5

小林

美祈

6

塩野

七海

筑波大学附属小学校

4

中川

結太郎

新潟県

新潟市立新潟小学校

5

斎藤

暖

愛知県

愛知教育大学附属岡崎小学校

6

長坂

桧奈

京都教育大学附属京都小中学校

5

溝渕

心

京都聖母学院小学校

4

新

琴音

4

大澤

由佳

4

北川

真耶

4

河野 百花，
頂 莉子，
山本 真碧

4

西田

舞咲

5

沖田

航輝

5

長昌

優輝

5

藤原

和令

5

水野

真緒

6

森下 かの，
野添 結心，
他1名

氏名

函館市立日新中学校

3

南坪

鼓太郎

宮城県

宮城県古川黎明中学校

3

村山

正樹

秋田県立秋田南高等学校中等部

3

加藤 那花，
佐々木 心愛，佐々木 彩愛，渡辺 日瑠，
浅野 友那，村越 祐佳

山形県立東桜学館中学校

2

工藤

伊織

山形大学附属中学校

3

中西

美文

宇都宮大学共同教育学部附属中学校

3

峯田

一樹

埼玉県立伊奈学園中学校

3

大山

遥香

埼玉大学教育学部附属中学校

1

太田

遥子

秋田県

栃木県

学年

学年

北海道

山形県

関西大学初等部

6美緒

鹿児島大学教育学部附属小学校

大阪府

結暉

大西

福岡教育大学附属福岡小学校

京都府

里望

1

島村

白百合学園小学校

宮﨑

結香

鹿児島県

東京都

長崎大学教育学部附属小学校

覀

4

清水

1

学校名

佐賀大学教育学部附属小学校

6

1
1

洛南高等学校附属小学校

大阪府

唐津市立加唐小学校
佐賀県

埼玉県
千葉県

神奈川県

長野県

千葉大学教育学部附属中学校

カリタス女子中学校

信州大学教育学部附属長野中学校

愛知教育大学附属岡崎中学校
愛知県
愛知教育大学附属名古屋中学校
皇學館中学校三重県

京都府

三重大学教育学部附属中学校
京都市立西京高等学校附属中学校

2

横内

敬文

1

草苅

優利亜

1

渡邊

風凛

2

村松

実咲

3

吉村

優唯

1

塚田

耕大

2

赤塚

弓美

2

関

2

堀川

青音

2

角谷

碧海

2

北川

大悟

2

山本

詩織

3

中野

真綾

1

鈴木

陽南子

3

浮田

元琥

3

寺田

英史

1

渡邉

丈太郎

3

越部

智菜

2

大島

永久

2

大塚

千尋

1

荒屋

豪太

1

宮阪

梢

櫻子

5

岡田

美玖

5

松井

怜香

奈良学園小学校

4

江川

千紗

岡山県

岡山市立福島小学校

6

大江 晋平，
森藤 悠斗，
大和 宗真

1

摸利

優菜

山口県

山口市立白石小学校

4

久保

奏一郎

1

米澤

結希

福岡県

福岡教育大学附属小倉小学校

5

児島

麟

3

朝日

優

兵庫県

仁川学院小学校

奈良県

18

No.30

大阪教育大学附属池田中学校

大阪府
関西大学中等部

大阪府

兵庫県

奈良県

3

北村

すみれ

3

立田

優和

3

西川

奈々

3

長谷川

四天王寺中学校3磯部万智

須磨学園中学校

2

山口

なるみ

神戸市立櫨谷中学校

3

安西

風捺

姫路市立白鷺小中学校

7

酒井

佑典

3

下岡
石田

大晃，
倖生

3

野尻

俊弘

沖縄県

1

坂井

俊介

アメリカ

1

中川

舜亮

1

原

悠途

1

南

悠大

3

岸田

健吾

8

藤井

大河

関西大学中等部

奈良女子大学附属中等教育学校

開智中学校
和歌山県
和歌山県立向陽中学校
島根県
岡山県

広島県

山口県
香川県
愛媛県
福岡県

島根大学教育学部附属義務教育学校 後期課程
岡山大学教育学部附属中学校

大分県

宮崎県

広瀬

航

2

立和田

2

西

優美子

沖縄県立球陽中学校

3

上地

明徳

ニュージャージー日本人学校

8

宮嵜

梨世

美佳

高等学校の部晴生

東京都立小石川中等教育学校

4

松本
堀内
村松

凛太朗，
佑，
和音

広尾学園高等学校

2

三好

輝昂

神奈川県

桐蔭学園高等学校

3

金森 裕花，
脇 理紗

福井県

福井県立武生高等学校

1

牧平

1

吉田

皓貴

1

今泉

里奈

1

田中

日那

日和

1

上北

一心

悠希

1

中村

玲菜

譲

広島大学附属東雲中学校

1

吉田

真結

1

河村

亮輔

1

吉行

凛華

1

松浦

瑠

3

西尾

佳也

2

小田

ひより

熊本市立北部中学校

1

鹿児島大学教育学部附属中学校

匠朗

武田

長崎大学教育学部附属中学校

愛彩

阿部

2

長崎県

翠琴

永田

2

瑛士

広島大学附属中学校

2

立石

蒼藍

1

鍋島

充輝

1

迫田

1

海城中学高等学校

石井

裕太

1

1

鹿児島県

栗本

陽音

佐賀大学教育学部附属中学校

下橋 心，
馬場 大誠，溜 泰知

1中田

久留米市立北野中学校

3

学年

黒瀬

愛媛大学教育学部附属中学校

匡輝

学校名

3

香川大学教育学部附属高松中学校

結衣

寺田

芝浦工業大学柏高等学校

2

山口大学教育学部附属山口中学校

河野3

鹿児島市立鴨池中学校

雅寅

広島県立広島叡智学園 中学校

佐賀県

熊本県

1

3

鹿児島市立鹿児島玉龍中学校

橋口
山口

千葉県

東京都

愛知県

椙山女学園高等学校

氏名

健人

2

藤光

令美愛

1

福濵

侑歩

3

宮路

仁魁

1

吉田

燦太

2

井上

瑞穂

三重県立名張高等学校

2

鹿子木

1

石塚

大賀

2

公文

茜

1

山中

碧葉

2

田巻

花帆

2

吉田

有花

2

中本

佳乃子

3

江藤

愛奈香

1

阿部

未聖

3

福川

由珠

1

稲田

佳宏

3

遊亀

右京

1

大江

菜月

大分市立上野ヶ丘中学校

2

時松

知里

1

新川

範佳

大分市立滝尾中学校

2

池見
岩本

晴佳，
小春

3

藤田

朱里

1

下西

悠香

1

仲野

日菜

1

米田

光希

5

穴井

拓海

熊本大学教育学部附属中学校

希

三重県

延岡市立岡富中学校

2

長友

玲々

延岡市立島野浦中学校

1

佐藤

凡乃佳

宮崎県立宮崎西高等学校附属中学校

3

甲斐

健心

1

郡山

智成

2

荒木

結葉

1

鶴田

泰斗

1

牧内

結生

2

大脇

美桜

2

木田

穂花

2

髙橋

陽菜

鹿児島市立伊敷中学校

鹿児島県
鹿児島市立鹿児島玉龍中学校

大阪府

関西大学高等部

兵庫県

神戸国際高等学校

奈良県
宮崎県

育英西高等学校
宮崎県立五ヶ瀬中等教育学校

No.30

19

審査を終えて −中央審査委員からのメッセージ−
今年はコロナ禍のため夏休みが短縮されたこともあり，当初は例年よりも応募作品が少ないだろうと心配していました。その心配をよそに応募総数は 11,397 件。昨年を下回ってはいるものの予想を大きく超えた数になっています。とはいえ，今年は大人の影を匂わせる作品も多かったように思います。
コロナ感染防止のためにリモートワークが推進されていたこともあり，ご両親が自宅にいて，お子さんの自由研究に協力をしてくれたからかもしれませんね。しかし，大切なことは大人が知っている既存の知識の中に子供を誘導してしまわないことです。工作の手伝いをしたり，実験に付き合ったりと，自由
研究は親子の絆を強くする機会を与えていると思いますが，大切なことは子供たちの自由な発想を出発点にして，大人がどのように助言をしていくかです。そのさじ加減を間違えてしまうと，この作品コン
根上委員長

クールでは優勝することはありません。いずれせよ，中央審査委員会に上がってきた今年の作品もおも
しろいものが目白押しでした。私たちの予想通りに新型コロナ感染に関係したテーマを研究したものもあれば，文理融合的な研究もありました。算数・数学の自由研究はコロナに負けず，まだまだ健在です。

今年は夏休みの短かった学校も多いようですが，自粛期間中ずっと在宅だったからできた研究や，
新型コロナウイルス感染症，ペルセウス座流星群など今年ならではの研究もありました。研究対象を数学で説明するためには，上手な数学的モデル化をしなくてはなりません。さらに形，色，匂いなどたくさんの要素から必要な要素を取り出し数値化することも必要になります。一方，数学の研究では，次元を上げるなどの一般化を考えることもできます。今回の作品はどれも，数学が教科書の中だけではなく，いろんなところにいろんな顔で隠れていることを示しています。次回もぜひ，あなたの目で見つけた面白い数学の報告をしてください。楽しみにしています。

伊藤委員

今年もたくさんの素晴らしい作品を見せていただきました。新型コロナウイルス感染症が世界的大流行にある中で新しい学年が始まりました。授業や行事，日常生活に制限が加わり，今も続いています。
そのような状況の中，疑問に思う気持ちを大切にし，算数・数学の自由研究に取り組んで作品を応募
銀島委員

された皆さんに，心からの敬意を表します。簡単には見ることができないウイルスや感染症拡大という脅威にどう対応すれば良いのか，世界中で研究が進められています。今回，自由研究に取り組んだ皆さんの熱意は，そうした研究にも共通します。これからも，皆さんの「不思議だな」を大切にして研究を続けていってください。きっと，さまざまな問題の解決方法の発見につながります。

第 8 回の今回はコロナ禍の影響でコンクールの開催自体が危ぶまれましたが，実現できて本当によ
かったと思います。自由研究はその言葉どおり自由がポイントです。自分で自由にテーマを探し，自由な方法・手段で実験・検証・分析・考察を行います。教科書で算数・数学を学ぶスタイルとはまったく別な姿勢で算数・数学に向かい合うことになります。コンクール参加者がそこで得られる経験には特別の価値があります。過去の応募作品を見ることは初めての参加者にとっては，自由研究をするにあたりとても参考になります。しかし，影響を受けすぎることはデメリットになりかねません。あくまでも自分で自由に算数・数学をすることにこだわることを期待しています。
桜井委員

20

No.30

アメリカ留学から帰国後 2 年ぶり

高校生の審査を担当の算数・数学の自由研究中央審査委しました。数理そのも員は，やっぱりとっても楽しい最高のを調べた面白い作品の時間の連続でした！

も多くありました。今皆さんの自由で，躍 動する発想，動 機，発見，年は 大 学以 降 の 程 度

試行錯誤，発明……に改めて心を揺の高い数学を用いて議り動かされ 感動していました。とは論する作品は少なかっ

いえ，なかなかオリジナルな発想・中島委員たのですが，高校の範
藤田委員

発見・発明なんてできないかと思います。発想が浮かばず苦しんだり，逃げたり，せっかくがんばったのに賞

囲で面白くまた新しい数学を発見しようとする作品が多かったと思います。

がとれず悔しい想いをしている人もいるかもしれません。でも，本自由研

日常の数理から得られる数学を発展させるような作品が小・究が大事にする点は，遊びや日常生活の中に隠れた算数・数学にふと気づ

中学校に比べて少なかったのは少し残念でした。今後に期待しき，ときにたくさん失敗しながら試行錯誤する過程そのもの。評価に関わています。

らず，そうした発見・発明は（たとえ数学的に間違っていても！）非常に大事なあなただけの体験であり，財産です。ぜひ，プレイフルに！

本コンクー

ルを通じて，あなただけの算数・数学に出会って頂けたら嬉しいです。

今 年 の自由 研 究 作 品コン

小学生から中学生，高校生まクールは新型コロナウイルスのでの「算数・数学の自由研究」作

感染拡大を受けて今までにな品を読み，とても楽しく思いました。

い状況での実 施となりました。

小学校の部では，素朴な関心や応募総数は減ってしまいました

問題意識をもとに，自分の算数・が，それでも私たちが予想し数学の知識や技能を生かして問

たよりも多くの作品が寄せられ

題解決していく様子が見られました。例えば，ジュネーブ日本語補

ました。こうした状況だからこ
蒔苗委員

吉川委員

そ，子供達が学校の外で，自習 学 校 3 年のゴ ア 裕 隆くんは，分たちで，また，身の回りの人と協力して，何かに取り組むことの大今年の夏はコロナウイルスの影響でスイスから日本に帰国できず，とても切さが認識できました。研究テーマ自体がコロナに関連するものもあ残念だったようです。そこで，父親の乗る小型飛行機を使って日本へ帰る

りましたが，別のテーマにも共通するポイントは，やはり，算数・数ことを想像し，飛行計画を作りました。地球に見立てた球面のボールや学を使って，疑問に思ったこと，不思議に思ったこと，解決したいと思っ

世界地図など用いて，飛行機が飛ぶルートや経由地，距離，飛行時間たことに取り組む姿勢でした。算数・数学の自由研究が，これからもなど調べ，いちばん良いと思う計画を立てています。自分の算数の力で皆さんの成長と共に発展していくことを期待します。

行い，「考えるのは楽しかったです」と感想を記しているのが印象的でした。

本年度は例年と異なり新型コロナウイルス対応でみなさんの学習環境も大きく変化し，自由研究が十分にできないのではないかと心配しておりました。そのような中でも，身の回りの日常を数理の視点で切り取って探究していく多くの優れた作品が寄せられ，皆さん方の学びの力強さと創造力に感銘を受けています。中学生の部門の審査を担当しましたが，数学を使うことを目的に課題が構築されるのではなく，自身の身の回りの課
題から出発して数学のまな板の上で課題解決的に論理を展開し，結果を導くことは大人でも容易なことではありません。今回，表彰された作品もされなかった作品も，皆さんが着実にものごとを客観的に科学の視点で捉えることができるようになったことを証明しており，デジタル時代を担うこれからの若い皆さんの活躍が目に渡辺委員

浮かぶようです。来年の作品も楽しみにしています。

No.30

21

表彰の集い新型コロナウイルス感染予防の観点から，今年度は，2020 年 12 月 20 日にオンラインにて表彰の集い（表彰式・作品発表）を開催しました。

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No.30

最優秀賞・優秀賞・特別賞 - 受賞作品の紹介と講評
塩野直道賞

小がたひ行きでスイスから日本へ行きたい !!!

小学校低学年の部

スイス ジュネーブ日本語補習学校

3年

ゴア 裕隆
全 5 ページ▲ 1 ページ目▲2ページ目

講評
ジュネーブ日本語補習学校 3 年のゴア裕隆さん
は，今年の夏はコロナウィルスの影響でスイスから日本に帰国できず，とても残念だったようです。
そこで，父親の乗る小型飛行機を使って日本へ帰ることを想像し，飛行計画を作りました。地球に見立てた球面のボールや世界地図など用いて，飛行機が飛ぶルートや経由地，距離，飛行時間など
調べ，いちばん良いと思う計画を立てています。
自分の算数の力で行い，「考えるのは楽しかったです」と感想を記しているのが印象的でした。
3 ページ目▶

中央審査委員会※紙面の都合で，受賞作品は一部のみを紹介しています。理数教育研究所のホームページで，作品のすべてをご覧いただけます（https://www.rimse.or.jp/）。

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塩野直道賞

1 みたいな分数 ナンバー1

小学校高学年の部

兵庫県 太子町立龍田小学校

5年

山本 彩奈
全 5 ページ▲1ページ目▲3ページ目

講評
１／○（単位分数）を用いて遊ぶゲームから興味を持ち，自然とはじまった素敵な研究。少しだ
け１とは違う，でも１にできるだけ近い分数をどう作るか・・・彼女の探究はどんどん膨らんでいきます。実はこの研究は深い数の不思議につながっています。エジプト時代は単位分数の和で全ての分数を表していたり，背後には実は素数の神秘があったり・・・現代の数学者をも魅了する世界へようこそ ! 非常に深い考察も発見も驚きもあり，とても興味深く読みました。ぜひ，これからもこの探究をもっともっと深めてください！
中央審査委員会▲4ページ目24

No.30

塩野直道賞
中学校の部

夢に近づく確率を上げろ！ ～ブライアン・J に学ぶ～
宮崎県 宮崎県立宮崎西高等学校附属中学校 3 年

大城 冴和

全 8 ページ▲ 2 ページ目▲4ページ目

講評
人生の中における決断に確率が関わることに気づいたことで確率を自分のことに関わるものとして捉えている点がユニークです。有名な数学実験｢パスカルの三角形を使った実験」を一から製作し，異なる条件（ピンの取り除き方）のもとで実験を行っています。装置は精度良く作られており，検証結果も簡潔にまとめられています。教科書で学んだ確率を実験することで実感を獲得できた様子がよくまとめられています。
中央審査委員会▲6ページ目No.30

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塩野直道賞高等学校の部

月の我が家は大丈夫？—ペルセウス座流星群による月面衝突閃光についての考察—

神奈川県

慶應義塾湘南藤沢高等部

3年

宮内 唯衣
全 9 ページ▲1ページ目▲3ページ目講評
2020 年 8 月 12 日にペルセウス座流星群による月面衝突閃光が捉えられたというニュース
を知り，自身が所有する月の土地への影響を調べた作品です。閃光の写真を撮影した博物館学芸員の話や，月面衝突閃光に関する論文を参考にして，衝突した月面の位置やその衝突物の質
量や大きさ，衝突によってできたクレーターの
大きさ，粉塵が及ぶ範囲を計算しています。このような事実を高校数学で学ぶ関数や数列などを駆使して導いたところも面白いと思います。
▲6ページ目26

No.30

中央審査委員会

文部科学大臣賞

COVID-19 の感染拡大に数理シミュレーションで挑む!
岡山県

岡山大学教育学部附属中学校

3年

佐野 文音
全 10 ページ▲ 1 ページ目▲4ページ目講評
世界中で猛威を振るっている COVID-19 の感染拡大をテーマに，その現象を説明する数学モデ
ルを自ら考え，コンピュータによるシミュレー
ションで感染拡大とその収束のメカニズムを検証した優れた作品です。数式や関数で直ぐに書き下せない複雑な実現象をアルゴリズムで表現し，シ
ミュレーション実験で計画的にデータを生成して感染の収束に必要な法則を導いていく方法はコン
ピューティングサイエンスという新しい科学研究の技法です。COVID-19 の未知の脅威に数理の力で挑み合理的な検証結果を導いた作者の力量はとても高く，文部科学大臣賞にふさわしい自由研▲6ページ目究になっています。
中央審査委員会

No.30

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Rimse 理事長賞

三角形における包絡線により定まる楕円の性質
東京都

中央大学附属高等学校

3年

石本 貴昭
全 10 ページ▲ 1 ページ目▲4ページ目

講評
三角形の傍接放物線の方程式を 3 つ加えた方程式はある楕円の方程式となりますが，この楕円を傍接楕円と名付けました。この傍接楕円と内接
シュタイナー楕円，外接シュタイナー楕円との美しい関係を発見し，さらに傍接楕円に関する色々な性質を見つけました。内接外接シュタイナー楕
円には面白い性質が色々ありますが，それらとこの傍接楕円との関係を調べるとさらに面白くなると思われます。
▲9ページ目28

No.30

中央審査委員会

読売新聞社賞

確率と面積の不思議な関係
神奈川県

カリタス女子中学校

3年

瀬谷 香乃
全 9 ページ

講評
21 世紀の数学研究は「不確実性」に向かう，とフィールズ賞を受賞した世界的な数学者が 1900 年台後半に語っています。離れたところにあるごみ箱に紙くずを投げ入れる行為はありふりた日常です。上手く入ったり入らなかったり，1 回 1 回の現象は不確実で予測できなくても，その多数回試行の結果から統計的確率を求めると，そこには条件に応じた数学的な規則性が見出せることを瀬谷さんは発見しました。研究では，実験データから法則を探る帰納的な推論に加えて，ごみ箱までの距離や円形のごみ箱の大きさから面積を条件に組み入れる演繹的な推論で予測モデ
ルの精度改善を行うなど優れた内容になっています。
中央審査委員会▲ 1 ページ目

内田洋行賞

ルービックキューブのひみつを知ろう！
兵庫県 神戸市立白川小学校

5年

青山 風雅
全 5 ページ

講評
大好きなルービックキューブで遊んでいるうちに発見した性質をきっかけとして，どんどん深まる研究に，とても刺激されました !

特定の動きに名前を付けたり，変化の様子をいろんな整数で割った余りで分類したり，「ある色の形」の和集合を考えることで元に戻るまでの旅路をショートカットしたり・・・非常に数学的に深く筋のいい
ユニークな考察がぽんぽん飛び出します。この背後には，「群」と呼ばれる大事な数学の概念が隠れています。「群」
を，体験的に，遊びの中から発見し深めている過程に脱帽です！
中央審査委員会▲ 1 ページ目

No.30

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学研賞

漢字の止め、はね、はらいのふえ方大発見!!
富山県 富山大学人間発達科学部附属小学校

3年

山﨑 雅将
全 5 ページ

講評
普段から勉強している漢字について，学年が上がるごとに練習時間が長くなっていることに気がつきました。この研究では，その理由を算数を使って調べています。着目したのは漢字の字形の「止め」「はね」「はらい」で，それらは学年が上がるごとに増え，漢字が難しくなっていると考えています。また，「止め」「はね」「はらい」が漢字のどの部分に多いかという別の視点からの分析もしています。漢字と算数という一見違うものをつなげて考えることができました。

中央審査委員会▲ 2 ページ目

日本数学検定協会賞“コロナウイルス” もし何も対策しなかったら…?
愛知県 椙山女学園高等学校

1年

西川 結葉
全 10 ページ

講評
マスクなどの対策をしなかった場合，コロナウイルスはどのように感染するかをテーマにした作品で，ウイルスの感染力をいくつか設定し，その感染拡大のスピード，40
人の教室で机の距離や会話時間による感染確率の違い，さらに分散登校による効果を調べています。指数関数的にウイルス感染者が増える実態を伝え，感染確率や様々な条件の数学的なモデル化も明確で，図やグラフを用いた計算結果のまとめ方も見やすく，説得力のある作品です。

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中央審査委員会

No.30▲ 5 ページ目中央審査委員
特別賞

アリスの気持ち京都府

京都聖母学院小学校

2年

佐伯 すみれ全 5 ページ

講評
小学２年生の佐伯すみれさんは，「ふしぎの国のアリス」の主人公の気持ちが変わっていく様子に興味をもちました。
本を読み，気持ちが書かれている場面や言葉を取り出し，種類別に分けています。それを表やグラフにし，アリスの気持ちの変化を分かりやすく見えるようにしています。そこから，明るい気持ちと暗い気持ちのどちらが多いかなど
発見しました。物語の言葉やストーリーを数学的に表し調べているのが印象的な作品です。
中央審査委員会▲ 1 ページ目

中央審査委員
特別賞

√の不思議
山形県

山形大学附属小学校

5年

星川 琳音
全 3 ページ

講評
電卓に√キーを見つけ，その計算挙動がきっかけとなった研究です。中学の数学で√を知った後では本研究はできないでしょう。知らない時だったからこそできた研究です。
√がどんな計算かを分析できたことにとどまらず，計算結果の挙動から√が整数値となる 2 つの場合の間の項数に着目した点にオリジナリティが認められます。自分で予想を立て小学生の数学の範囲（四則）で分析を行っている姿
勢が評価できます。
中央審査委員会▲ 1 ページ目

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中央審査委員
特別賞

目もりの少ない定規に法則があるか調べてみよう
兵庫県

仁川学院小学校5年

大西 穂貴
全 4 ページ

講評
目盛りをできるだけ少なくして，どんな長さでも測ることができる定規を作る研究です。まずは，数の組み合わせ
で別の数を作るという面白さがあります。数をいろいろな見方で柔軟に考えることが大切です。次に，定規なので隣り合わせの数でないと足せないという制約を乗り越える面
白さがあります。そして，順番に数を大きくして，それまでの数に加えて新しい数も作れるようにするという面白さもあります。法則までは見つけることができませんでしたが，興味深い探究です。
中央審査委員会▲ 2 ページ目

中央審査委員
特別賞

Simson の定理の拡張
千葉県

市川中学校

2年

齋藤 輝
全 8 ページ

講評
シムソン線とシュタイナー線とその発展に関する幾何学的性質を色々調べました。シムソン線，シュタイナー線は中学，高校の幾何では習いませんが大変美しく，発展性のある話題です。齋藤さんは，GeoGebra を用いてそれらの発展的な性質を予想し，うまく証明しています。更なる発展も色々あると思われるので，今後の研究にも期待した
いと思います。
▲ 1 ページ目

32

No.30

中央審査委員会

連載

１枚の図から地球を考える ～地球はどんなところか～

第4回 震度分布図から見えること

開成中学校・高等学校

有山 智雄

/

教諭

ありやま ともお1960年生まれ。開成高等学校時代に地学の授業でプレートテクトニクスや地震予知に興味を持つ。東京大学理学部地質学科卒業，同修士課程修了。修士での研究テーマは活断層の活動性の評価。1985年より東京学芸大学附属高等学校で，1989年より開成中学校・高等学校で地学を教える。高校地学の教科書の執筆にも携わる。趣味はトレッキングとロードバ
イク。常々伝えたいと思っていることは「地球に住むなら地球のことを知っていたほうがいい」

震度分布図

Ｑ この地震の震央はどこだろうか？

地震が発生すると，図１のような震度分布図がすぐに発表

震央とは，図２に示されます。誰もが目にするこの図から，地球についていろい

すように，震源の真上

ろなことが見えてきます。いっしょに探っていってみましょう。

の 地 表 の 点 の こ と で，地震が発生した震源に

図２

震源と震央

一番近い地点ということになります。
「一番揺れが激しかった宮城県が震央だろう」そう考えた方が多いのではないでしょうか。そう考えるのは極めて自然です。地震波は震源から遠くに伝わるにつれ減衰して弱くなっていきます。

図１ 震度分布図（地震Ａ 2019.7.28） 気象庁 Web サイトより

図１は，2019 年 7 月 28 日に発生した地震（地震Ａとしましょう）の際の震度分布図です。震度というのは揺れの程度を表す尺度で，日本では０～７の 10 段階（震度５と６に強・弱あり）に分けられています。一番揺れが激しかったのは宮城県の震度４で，棚の食器がカタカタ音を立て，ほとん
どの人が驚きを感じる程度の揺れでした。

図３ 震度分布図（熊本地震 2016.4.14） 気象庁 Web サイトより

No.30

33

連載

１枚の図から地球を考える ～地球はどんなところか～

図３は 2016 年 4 月14 日に発生した地震（熊本地震）の震ん。つまり震度０ないし，まったく揺れていないということです。

まし き

度分布図です。最大震度は７で熊本県益城町で記録されました。
この地震の震央は熊本県につけられた×印の位置で，震度は震
央で最大で震央から離れるにつれ，ほぼ同心円状に小さくなっています。これは先ほどの考え方でうまく説明ができます。

Ｑ 同じ規模の地震なのに，同じ900 km離れた地点
で震度４と震度０の違いがあるのはなぜだろうか？
実は地震Ａの震度分布図（図１）の中にもこのような違いが見られます。震源からの距離が宮城県とほぼ同じ熊本県あたりは震度が記されていません。つまりほとんど揺れていません。

異常震域

これらの観測事実から言えることは，図１の地震Ａで震源

それでは，図１の地震Ａはどうだったのでしょうか。このから宮城県のあたりへは地震波が特別に伝わりやすかった，

地震の震央は，実は紀伊半島の南東の青い×印の位置で，震言い方を変えれば地震波の減衰のしかたが特別に小さかった

度が最大だった宮城県ではありませんでした。このように震ということです。

央から離れた所の震度が大きくなっていることは他にも事例があり，異常震域と呼ばれています。

Ｑ 図１の地震Ａは異常震域となり，図３の熊本地震
ではそうはならなかったのはなぜだろうか？
２つの地震を比較してみましょう。
マグニチュード

最大震度

震源の深さ

地震Ａ
（図１）

6.5

４

420 km

熊本地震
（図２）

6.5

７

11 km

マグニチュードとは，地震の規模を表す尺度で，上述の震度とは違い，場所により値が異なるということはありません。

図４

異常震域 『地学基礎改訂版』（啓林館）より引用

2 つの地震はマグニチュードが同じなので，地震のエネル

このことは，図４のように説明することができます。日本

ギーは同じです。しかし，最大震度は４と７で大きく違いま海の深さ 374 km に震源のある地震の震度分布が太平洋側す。震度４ではほとんど被害は出ませんが，震度７では建物のほうが大きくなっている異常震域の例です。海溝から沈みの倒壊も発生し，大きな被害が出ます。

込んだプレート（スラブと言います）内で地震が発生した場

その違いの原因は震源の深さです。図１の地震Ａは震源の合，日本海側に向かう地震波は減衰しやすいアセノスフェア

深さが 420 km あり，地表でもっと震源に近い震央でもの中を通過しなければならないのに対し，太平洋側に向かう

420 km 離れています。それに対し，図３の熊本地震では地震波は減衰しにくいスラブの中を伝わっていくわけです。

11 km しか離れていません。震源から 11 km の地点では激

この地震の場合は，震源からの距離は日本海側と太平洋側でしく揺れ，420 km 離れた地点ではあまり揺れないのは当た

それほど大きくは違いません。揺れ方の違いは通過してきたり前と言えば当たり前です。図１の地震Ａで最大震度４を記

岩石による減衰のしやすさの違いを反映しているわけです。

録している宮城県は震源からどれくらい離れているでしょうか。 深 さ が 420 km で 水 平 距 離 が 800 km ほ ど で す か ら，
直線距離では 900 km ほど離れています。
それでは，図３の熊本地震で震源から 900 km 離れた所はどの程度揺れたでしょうか。震源の深さが 11 km しかないので，

震度分布図から見える地下のプレート
Ｑ それでは，図１の地震Ａは図５のどのプレートの沈み込みによって発生したのだろうか？

水平距離で 900 km 離れた地点を考えればいいでしょう。だ

震央の位置はフィリピン海プレートとユーラシアプレート

いたい東京あたりになりますが，図３に震度は記されていませの境界である南海トラフとほぼ一致していますが，震源の深

34

No.30

さは 420 km です。実は日本海溝から沈み込んだ太平洋プ
レートが，震央のあたりで地下 420 km まで沈み込んでいるのです。従って東北地方の太平洋岸には太平洋プレートのスラブをあまり減衰することなく伝わった地震波が到達し，宮城県付近で震度が大きくなったわけです。
北アメリカプレート

日本列島付近の
プレート

稚内

K
×

ユーラシアプレート

日本海溝

東京

南海トラフ

図６

震度分布図（釧路沖地震

1993.1.15） 気象庁 Web サ

イトより

A
×

太平洋プレート

から沈み込んだ太平洋プレートのスラブ内で発生しています。
東京方面には日本海溝とほぼ平行に，太平洋プレートのスラ
ブ内だけを伝わってくるため，あまり減衰しなかったわけです。

フィリピン海プレート

図５

日本列島付近のプレートとプレート境界

A: 地震 A の震央，

K: 釧路沖地震（1993）の震央

Ｑ それでは，地震Ａは南海トラフ地震の引き金になる可能性はあるのだろうか？

稚内へは深さ約 100 km の震源からアセノスフェア（図４参照）
を通過して伝わっていくため，大きく減衰してしまったわけです。
2011 年に発生した東北地方太平洋沖地震 (M9.0) の際に，首都圏で震度 5 強などの激しい揺れを感じたことを覚えている方もいるかと思います。地震そのものの規模が大きかったこ

南海トラフ地震はフィリピン海プレートの沈み込みで発生ともありますが，上で述べたような理由で，日本海溝に沿ってする地震です。図１の地震Ａは太平洋プレートの沈み込みで地震波が伝わりやすかったということも大きく影響していたわ

発 生した も の で， 平 面 図 上 で 近くて も， 鉛 直 方 向 に はけです。

400 km も離れています。関連性は低いと考えてよいでしょう。

今回は，異常震域の震度分布図にスポットをあて，日本列では，次の地震の震度分布について考えてみましょう。

島の地下に沈み込むプレートのようす，そして地震波の伝わり

1993 年 に 図 5 のＫ 点の 地 下 約 100  km を 震 源と する，方を考えてみました。

M 7.5 の地震（釧路沖地震）が発生しました。

Ｑ この地震で震度が大きかったのは，東京と稚内のどちらだろうか？
この地震の震度分布図は図６のようになっていました。東京
は震度３，稚内は震度１以下です。距離は東京のほうが遠いにもかかわらず，激しく揺れたわけです。
どうしてこのような震度分布になったのか，ここまでの話か
ら推察できるのではないかと思います。この地震は日本海溝

関東地方の地下にはフィリピン海プレートによる深発地震面と太平洋プレートによる深発地震面が二重になっており，地球全体を見回しても地震の発生リスクがひときわ高い地域であると言っていいでしょう。それに加えて，今回見てきたように，
日本海溝や南海トラフ沿いで発生した地震の揺れがあまり減衰することなく伝わってきてしまうわけです。
日本の首都機能が集中している東京は，このような場所であるということを十分に理解し，対策を立てていく必要があるのではないでしょうか。

❖

No.30

35

連載

統計の見方・読み方・使い方

第7回 バレルの法則から読み解く

問題解決と統計グラフ

慶應義塾大学大学院 健康マネジメント研究科
教授

渡辺 美智子/

わたなべ みちこ

九州大学大学院総合理工学研究科修士課程修了。理学博士。九州大学理学部附属基礎情報学研究施設文部教官助手，関西大学経済学部専任講師，助教授，東洋大学経済学部教授を経て，2012年より現職。専門は統計学，特に多変量解析（潜在構造分析法）と統計教育。日本学術会議連携会員，2012年度日本統計学会賞受賞，2017年度科学技術分野の文部科学大臣表彰「科学技術賞（理解増進部門）」受賞。おもな著書として，『21世紀の統計科学Ⅲ 数理・計算の統計科学』（東大出版会 分担執筆），『身近な統計（改訂新版）』（放送大学教育振興会 共著）など。放送大学「身近な統計」主任講師，
統計グラフ全国コンクール審査委員長，「算数・数学の自由研究」作品コンクールの中央審査委員を務める。

は考えられません。実は，ボールにどのようにバットを当て

データに基づく問題解決

るとホームランになるのか，バレルの法則と呼ばれる法則が統計データの活用を語るうえでよく言われるのが，問題解データから明らかになってしまったのです。

決という用語です。問題解決という用語自身は何か日常語のようですが，実社会特にビジネスの世界で言うところの問題
解決とは現状の状態の改善であり，そのため何をどうしたら良いのか，その考え方や手順などが知られています。具体的には，問題となる現象に起因する原因を問題に至るプロセス

バレルの法則打球速度 158 km/h 以上
打球角度 30 度前後
図145°
160 km/h

130 m

バレルの法則の中から特定し，原因に介入して問題の改善を図る方法です。
今回は，身近なスポーツの野球の世界でその事例を見るこ

この法則は，運動力学など理論を積み上げ高度な数学の理とで，問題解決型の統計グラフとはどのようなものなのかを論を展開して，いわゆる演繹的な推論を行うことで導かれた

解説します。

法則ではありません。一打一打の打球に関してホームランになるのか凡打になるのかの「打席結果」とそこに関連してく

フライボール革命とバレルの法則

る要因「打球速度」や「打球角度」の記録データを分析し，ホームランになる共通した条件を見いだすことで導かれた法

アメリカのメジャーリーグでは，2016 年に年間本塁打則です。事実（データ）を大量に集めて共通するパターンを（ホームラン）数が約 5,600 本と 7 年ぶりに記録更新され学習していく，人工知能が行っている帰納的な推論で法則がました。その翌年，2017 年には，メジャーリーグ史上最多

導かれています。

となる 6,105 本を記録し，2019 年はさらにその記録を一メジャーリーグでは打撃スタイルの多くがバレルの法則に

気に 671 本も塗り替える 6,776 本となっています。急に従って，打ち上げる様式に変わり，ホームランの大量記録が選手の体力や能力が向上したのでしょうか？

生み出されました。まさに，フライボール革命です。

36

No.30

そういうこと層別ヒストグラムによる可視化

量的データの分布

バレルの法則は，「打席結果（本塁打，単打，アウトなど）」を向上させたいという打者の問題に対して，打席結果を左右する要因を「打球速度」，「打球角度」で捉えて問題解決を図る法則です。
具体的なデータは，図２のように打球が分析単位（行）となり，表の形で構造化データとして整理されます。
打席結果別打球速度のヒストグラム

打球速度
打席結果
打球角度

図２

打席結果への要因図と打球の構造化データ

ここで，データの種類に関して復習しておきましょう。デー

図３ 打球速度のヒストグラムと打席結果による層別ヒストグラム

タには，複数の取り得るカテゴリー（種類）の中のどれか一

表計算ソフトのエクセルを使うと，グラフメニューに「ヒつが観測される質的データと数値として観測される量的デー

ストグラム」があるので，データ量が多くても簡単にヒスト

タの 2 種類に分けられます。どういう種類のデータかによっ

グラムを作成することができます。また，層別ヒストグラムて，どういう統計グラフで全体の変動を可視化するのかが変は，同じエクセルの機能である「ピボットグラフ」を使うと，わってきます。「打球速度（km/h）」と「打球角度（°）」は驚くほど簡単に作成できるので，ぜひ試してみてください。

量的データ，「打席結果」は質的データとなります。
量的データの変動（分布）は，ヒストグラムというグラフを作ることで，どういう値の範囲で起こっているのか，どう並列箱ひげ図による可視化

いう値のところがよく起こるのか，起こらないのかを見るこ

量的データに対しては，四分位数（データを大きさの順に並とができます。図３（上）のヒストグラムは，2019 年のメ

べて個数を 4 つに分ける 3 つの値）を表す箱ひげ図も，分ジャーリーグで全打者から打たれた 12 万本以上の打球の打布を要約する統計グラフとしてよく使用されます。特に箱ひげ

球速度の分布を表しています。横軸が速度，縦軸はそのよう図を並べて複数のグループの分布を比較する並列箱ひげ図は，な速度の打球が何本打たれたのかの頻度を表しています。

層別ヒストグラムと同様に問題解決によく使用されるデータ

さて，打球速度のヒストグラムだけでは，打席結果との関可視化のツールです。箱ひげ図では，箱の両端に相当するデー

係はわかりません。問題解決のシナリオを可視化するために

タの 値（ 第１四 分 位 数 Q1 と 第 3 四 分 位 数 Q3） との 間に，は，このヒストグラムに「打席結果」の情報を併せる必要が

量的データの分布の中心 50％のデータが集中する区間がわあります。図３（下）は，打席結果別に打球速度のヒストグ

かるので，並べると中心傾向が条件によってずれたか，すな

ラムを重ねて表示した，いわゆる層別ヒストグラムというグ

わち，分布の山が動いたかどうかが，ずれの方向も含めてわラフです。層別ヒストグラムにすることで，ホームランにすかる有用なグラフになります。

るためにはどのような速度の打球にしなければならないのか

打席結果別に打球速度の分布を比較した並列箱ひげ図は，の傾向を山の高い所（モード，最頻値）に相当するデータの図４となります。本塁打は，箱の部分（中心 50％のデータ

値周辺（中心傾向）を見ることで読み取ることができます。

が集中している）の値の区間（四分位範囲）が狭く，かつ，

No.30

37

連載

図４

統計の見方・読み方・使い方

箱ひげ図と並列箱ひげ図（打席結果別打球速度）

アウトなど他の打席結果と比べると上のほう（速度が速いほ
赤色：本塁打う）に位置していることがわかります。
この並列箱ひげ図も，表計算ソフトエクセルのグラフメ
ニュー「箱ひげ図」で，量的データと質的データの該当列を選択することで簡単に作成できます。

図５

散布図と層別散布図（打球角度×打球速度と打席結果）

層別散布図もエクセルのグラフ機能「散布図」を使って，12 万本以上の打球データをプロットし，ホームランの場合の打球を色を変えて表示すれば作成できます。

散布図による可視化
中学 1 年次までで学習する「ヒストグラム」，「箱ひげ図」

弾道追尾システムによるデータ取得と合わせて，高校 1 年生で学習する「散布図」は，統計三メジャーリーグはどうやって各打者の打球の速度や角度な大グラフと言われる量的データの分布の可視化のための基本

どの詳細なデータを得ているのでしょうか。2015 年に全球的な統計グラフです。ヒストグラムと箱ひげ図が単一の量的団がトラックマンと呼ばれる，迎撃ミサイルの開発技術を転

データを対象としているのに対して，散布図は２つの量的用したレーダー式の弾道測定機器がバックネット裏に配されデータの同時分布を横軸，縦軸で表現します。一般に，２つました。これによって，これまでデータとして取れなかったの量的データが一方が問題を評価する結果系，他方がその要

打球の角度や速度，回転数などの非常に高精度で詳細なデー

因系のデータである場合には，横軸に要因系，縦軸に結果系をタが取得可能になり，各球団がそのデータをチームの強化や対応させ，要因系のデータの変化が結果系のデータに影響を戦略に活用する時代がきたのです。設置には一球場あたり 1

与えるかどうかを可視化して分析します。図５（上）は，例えば，億円ほどの高額な費用がかかりますが，翌年には本塁打記録

2010 年のワールドカップのサッカーの試合データ（一試合あ更新，その翌年にはメジャーリーグ史上記録の塗り替えとそたりに変換）から作成したものです。一試合あたりで見た「中の効果は計り知れないものがあります。どのような速度と角距離パス成功数」( 要因系 ) が「得点率」( 結果系 ) に影響を度で打てば結果がどうなるのか，わたしたちはビッグデータ与えている法則（パターン）を読み取ることができます。

として，壮大な実世界での社会実験の結果を入手できるよう

一方，バレルの法則を検証するためには，「打球速度」とになったのです。

「打球角度」の２つの量的データを要因系として，データを今回は，統計グラフに問題解決のシナリオを語らせること

散布図に附置し，そこにホームランの場合とそれ以外を層別を学習しました。ぜひ，いろいろなデータを使って試してみして示した層別散布図が有効です（図５（下））。

てください。

38

No.30

❖

連載

物理法則の科学史

第7回 ケプラーの法則

国立科学博物館理工学研究部
研究主幹

有賀 暢迪

/

ありが のぶみち

1982年生まれ。京都大学総合人間学部卒業（2005年），京都大学大学院文学研究科博士後期課程研究指導認定退学（2010年）。大学の非常勤講師などを経て，2013年より現職。高校では「理系」を選択し，大学では物理学を主専攻としていたが，大学院から「文系」に転じて科学史を修めた。現在は，物理学・数理科学の歴史と，近現代日本の科学技術史という二つの領域で，幅広い調査・研究活動を行っている。著書に，『力学の誕生』（単著，名古屋大学出版会），『20世紀物理学史』（共訳，
名古屋大学出版会），『ビジュアル版 科学の歴史』（共同監修，
ポプラ社）などがある。京都大学博士（文学）。

教科書に登場する物理法則の原典を訪ねる連載です。今回取り上げるのは，惑星の運行に関する法則です。

◉中学校理科惑星は，円に近い楕円軌道で，地球と同じ向きに公転している。また，各惑星が公転する面（公転面）は，ほぼ

惑星とその運行同じである。

自然科学の中でも，宇宙は特に人気の高いテーマではない

名前こそ出てきませんが，この中にはケプラーの法則，正でしょうか。今回は，宇宙に関する物理法則の中でも特に古確には 3 つある法則のうちの 1 つ目が書かれています。実際，

いものとして，ケプラーの法則と呼ばれるものを取り上げま高校物理の教科書では次のとおりです。

す。これは惑星の運行に関するものです。
いつものように，理科の教科書ではどのように書かれてい◉高校物理

るかをまず見ていきましょう。宇宙に関係する内容として，

ケプラーの第1法則（楕円軌道の法則）

惑星は，太陽小学校では，4 年生で月や星を観察し，空の中をどのようにを1つの焦点とする楕円軌道上を運動する。

動いていくか学びます。次いで 6 年生で，月の満ち欠けがどのように起こるかなどを学習します。惑星は発展的テーマという位置づけです。
中学校の 3 年になると「宇宙の中の地球」という単元が円には中心となる点がありますが，楕円でそれに対応するものが焦点で，2 つあります。その 2 つのうち片方の位置に太陽があるわけです（図 1）。

あり，太陽系について詳しく学びます。ここでは，太陽を回

このように惑星は楕円を描いて運動するのですが，特徴的る天体のうち，水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王

なことに，その動く速さは一定ではありません。大まかには，星，海王星の 8 つを惑星と呼ぶことが説明されます。その太陽の近くで速くなり，遠くでは遅くなります。そして速さ

上で，次のように書かれています（中学校では「だ円」と書と距離の間には，厳密な数学的関係が成り立ちます。これがきますが，ここでは漢字で「楕円」としました）。

ケプラーの第 2 法則です。

No.30

39

連載

物理法則の科学史
その結果を述べたのが，1609 年

惑星
Astronomia
Nova

出 版の『 新 天 文 学』という本 です。
当時，天体の運動は円が基本であると考えられていました。惑星は，実半長軸 aKepler1609

際には単なる円でない複雑な動き方をするのですが，それを円運動の組

太陽

み合わせで説明するのが天文学者の仕事でした。しかしケプ

半長軸 b

ラーは，ティコのデータから，円運動ではどうやっても説明がつかないと考えます。そこで，円でない軌道の形をいろいろ検討した結果，楕円であるという発見に至ったのです。ケ

図1

惑星の運動

実際の惑星の軌道は，この図よりもはるかに円プラーは次のように語っています（日本語訳から引用）。

に近い。

私の労苦がようやく終わったのは，非常に多くの苦心を要する証明と厖大な観測結果の処理から，天における惑星の◉高校物理
ケプラーの第2法則（面積速度一定の法則）

太陽と惑星とを結ぶ線分（動径）が，単位時間に描く面積（面積速度）は，それぞれの惑星について一定である。

行路が円ではなくて卵形，というより完全な楕円軌道であることを発見して，物理学的仮説への4歩目の歩みを踏み出してからだった。

図 1 において黄色で示したのは，惑星がさまざまな位置『新天文学』は，ある意味，このケプラーの苦心を表現しからスタートして同じ時間が経つ間に描いた弧がつくる扇形た本です。というのも，ケプラーは自身の試行錯誤が伝わるです。この扇形の面積が常に等しい，というのが第 2 法則

ように，うまくいかなかった仮説や計算なども含め，わざとの内容になっています。なおケプラーの法則にはもう 1 つ，紆余曲折した書き方をしているからです。

第 3 法則がありますが，これは後で説明します。

実際に楕円軌道（第 1 法則）が出てくるのは，この本の実は，これらのケプラーの法則は，力学の基本原理と万有

第 59 章です。ケプラーは本の最初のほうで，各章の内容を

引力の法則から数学的に導くことができます。それを最初にまとめて説明しているのですが，そこに「惑星軌道は楕円で示したのがニュートンの『プリンキピア』（1687 年出版）

あることを論証する」という一文があります。しかし第 59です（本連載の第 5 回で少しだけ触れました）。しかし，法章の本文では，ここまで簡潔な言い方は出てこないようです。

則自体はそれよりも前に，観測データから発見されていまし同様に，第 2 法則が出てくる第 40 章でも，本文からこた。ここからは，発見者ケプラーの仕事を紹介します。

の法則を読み取るのは簡単ではありません。この章の内容を要約した部分では次のように書かれていて，こちらのほうが楕円軌道の発見
ヨハネス・ケプラー（1571-1630）はドイツの天文学者で，惑星の楕円軌道を発見したことで有名です。この発見のもとに

わかりやすいと思います（下線は筆者による）。

①均差の物理的部分ないしは離心円弧における惑星の所要時間を，如何にして弧の上にある点と太陽との距離から見なったのは，デンマーク出身の天 文学 者ティコ・ブラーエ

出すか，そのための方法。②ここには，弧の上にある無限（1546-1601）が行った精密かつ継続的な観測でした。ケプに多くの点と太陽との距離が，如何にして，太陽と弧の両

ラーはもともと，ティコに計算助手として雇われたのですが，端とを結ぶ線分と弧との間にできる面積の中にほぼ完全にティコが亡くなった後に観測データを引き継ぎ，詳しい分析を含まれるか，ということの幾何学的論証がある［……］行いました。

40

No.30

専門用語の説明は省きますが，下線部から，第 2 法 則に当たる内容であることがわかってもらえるでしょうか。
ところで，気付いた読者の方がいるかもしれませんが，この本では第 2 法 則（第 40 章）が第 1 法 則（第 59 章）よい和音に聞こえるからです。例えば，1 対 2 はちょうど 1
オクターブの関係になりますし，2 対 3 の場合は 5 度の和音と呼ばれます。
ケプラーはそこで，惑星の運行，もっといえば宇宙の中に，りも先に出てきます。実は，ケプラーが着想（発見）したの隠された「調和」＝和音が存在すると考えました。この仮説

も，この順番でした。「第 1 法則」「第 2 法則」といった言を検証しようと計算を繰り返した結果，第 3 法則が発見さい方はケプラーによるものではなく，後世の整理なのです。

れたのです。ケプラーは次のように書いています。

そしてこのことは，次に見る「第3法則」にも当てはまります。
正確な日付を求めるなら，この本当の比は，今年1618年

宇宙の調和

3月8日に思い付いた［……］ブラーエの観測結果に取り組んだ私の17年間にわたる労力と現在のこの思索との一ケプラーの法則の最後の 1 つは，次のような内容です。

致をみごとに確認したので，初めは，夢を見ていて，求めた結果をあらかじめ前提の中に入れているように思ったほ◉高校物理どである。しかし，事柄は非常に確実で正確である

ケプラーの第3法則（調和の法則）

惑星の公転周期Tの2乗と，楕円軌道の半長軸 a の3乗の比の値はすべての［……］2惑星の公転周期の比は，正確に平均距離つまり軌道そのものの比の2分の3乗になる。

惑星について同じ値である。
T2= k （kは一定）
a3
この法則は高校で初めて学習するのですが，中学校の教科書（この連載で用いた啓林館のもの）には各惑星のデータを下線部にあるように，原典ではもともと平均距離を使って述べていました。平均距離でなく半長軸でなければならないということは，現在の古典力学の知識からは厳密に証明できますが，それがわかるのはもっと後です。

示す表があり，その中に太陽からの平均距離と公転周期が書全体として，惑星の運行に関するケプラーの法則は，原典

かれています。平均距離は，楕円の半長軸とは違いますが，が後世に編集されて現在の形になっているという好例です。

軌道が楕円といってもほとんど円に近いために，半長軸を平ケプラー自身が発見（着想）したのは第 2 法則，第 1 法則，

均距離に置き換えても，近似的に上の関係式が成り立ちます第 3 法則の順番ですし，発表されたのも同時ではありません。

（ためしに計算してみてください）。

『新天文学』出版の時点では，第 3 法則はまだ発見されていでは，この法則の原典を見てみましょう。先ほどの『新天ませんでした。

文学』のページをさらにめくってみます……が，どこにも見何より，ケプラー自身が重要視した点は，現在の法則からつかりません。それもそのはずで，この第 3 法則は，10 年

省かれています。本稿では割愛したのですが，『新天文学』

後に出版された別の本に書かれているのです。

の本当の主眼は，惑星の運動の原因に関する「物理学的仮説」

Harmonice
Mundi

Kepler1619

この本は，『宇宙の調和』と題さを展開することにありました。『宇宙の調和』では，文字どれています。
第 3 法則の別名にもなっおり「調和」＝和音の探究が主眼でした。原典を訪ねることている「調和」とは，英語のハーモの面白さは，ひとつには，こうした意外な面を発見できるこニー，つまり，美しく響く和音といっとにあると思います。

た意味合いを持ちます。
意外に思われるかもしれませんが，西洋では古代ギリシャ以来，音楽が数学の一分科として位置づけられていました。なぜなら，弦楽器で音を鳴らすとき，複数の弦の長さの比がある種の整数比になっていると，美し❖原典についての情報○ Johannes Kepler, Astronomia Nova, 1609. /【日本語訳】岸本良彦
訳『新天文学』（工作舎，2013 年）．
○ Johannes Kepler, Harmonice Mundi, 1619. /【日本語訳】岸本良彦
訳『宇宙の調和』（工作舎，2009 年）
．

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感動の表彰の集い

教育に
新しい風を

毎年 12 月に開催される塩野直道記念「算数・数学の自由―子どもたちの成長と自立を支援する
第三の居場所―

からたちハウス研究」作品コンクールの表彰の集いには６回参加しているが，毎回そのレベルの高さや内容の深さに感動している。
塩野先生の理念は，数理的な側面による人間性の探求であり，その主体的な姿勢により日常生活を豊かにしていくことにあると思うが，発表する子どもたちを見ていると，その理念が浸透しているように感じてうれしくなる。また，作品の内容はもとより，発表の仕方や質問への対応などにも感心する。
表彰の集い当日の朝，食堂へ行くと，前泊していたと思われる受賞者の子どもと保護者の方とテーブルが隣り合わせだった。食事中も家族の会話が弾んでおり，とても微笑まし
い豊かな雰囲気だった。
恵まれた幸せな環境の中で，子どもはすくすくと伸び伸びと育ち，能力を最大限に発揮する。
幼稚園の教育要領に「環境構成」という文言があるが，この環境構成を工夫し豊かにすることが，子どもの成長にとても大切なことだと幼児教育の関係者は言う。

人は環境の産物
人は物的・人的・空間的な環境の中で育ち，それらの影響を受けながら成長し，人格を形成していく。遺伝子や血液型などが人格・性格を決めるという説もあるが，私は育った環境が大きく左右すると思っている。
前述した表彰の集いで表彰される子どもたちの多くは，豊からたちの花が咲いたよ。
白い白い花が咲いたよ。
からたちのそばで泣いたよ。
みんなみんな優しかったよ。
からたちも秋は実るよ。
まろいまろい金の玉だよ。

かな人間関係の中，経済的にも恵まれた環境の中で育ってきている。
このような好ましい環境構成の中で育つ子どもたちを見ていると，つい，そうでない状況にある子どもたちのことを考えてしまう。
現在，日本の貧困率は 15.8 %（2018 年 厚生労働省）であり，七人に一人が貧困状態にある。私は教師として学校現場でさまざまな子どもたちに接してきた経験から，その深刻さを身近に感じ，若干大げさだが，どうにかしなければ国家42

元 小田原市教育委員会 教育長の存続に繋がる問題であり，ともすれば，子どもの貧困そし

前田 輝男てその連鎖が日本を滅ぼすかもしれないと思っている。

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/

まえだ てるおでは子どもの貧困問題とは何か。社会保障制度などにより

教 育に新しい 風 を衣食住などの生活状態はさほど悪くなく，一見してどの子がて働いている。以前，仕事と子育てそして家事と多忙な生活

貧困状態にあるのか分からないことも多い。また，差別やい経験から，働く女性への支援の必要性を考えていた。また，じめの対象とならないよう貧しさを見せないようにしている教諭時代に問題を抱える子どもと接する中で，その多くは家側面もあり，貧困が見えにくくなっている。

庭・保護者の問題に起因していると思うようになった。同時

そのような中，貧困家庭の日常生活や状況を見てみると，に，懸命に子育てをしている保護者の姿も目にしてきた。そ

医療や教育の面であるいは環境構成の面で子どもの育ちを阻して，前述したように「何とかしなければ」と行動を起こす

害する要因が多々見られる。

ことを考えた。

具体的には，比較的一人親が多く生活のために仕事に追わスタッフは小中学校で教鞭をとっていた元教諭らをはじめ，れる日々の中で，子どもとの時間が共有できなく，一緒に読自治会住民の方や民間企業の方々などがボランティアで参加

書したり勉強したりなど会話や文化的交流も少ない。子どもしている。同様の取り組みは，ここ数年全国的に広がっていは学校から帰り一人で過ごし，食事も孤食になることが多い。

るが，元教師グループによる自主運営はほとんど例がない。

また経済的理由から，有料の放課後児童クラブや私塾などに開設は毎週金曜日午後４時から８時までの４時間で小中学は行くことができない子どもも多い。
このような環境構成の中で育つ子どもと，前述した豊かな環境構成にある子どもとでは，学力や文化力などに大きな開きが生じることは明白である。
前段が長くなってしまったが，このような状況にある子どもたちを何とかしなければ，何かできることはないか，行動を起こさなければ，という思いが「からたちハウス」を立ち上げる原動力となった。

生を受け入れており，保護者が迎えに来るまで活動をしている。参加費は無料である。
その内容は，学童保育と私塾，子ども食堂などの要素を盛り込み，遊んだり読書したり宿題や復習をしたりと多様で，ときには食事を作ったり配膳を手伝ったりし，最後にみんなで楽しく会食をする。
運営の資金は県や市など自治体からいただいており，地域からの支援として活動に共感する企業の賛助金や団体・個人からもいただいている。また，お金でなく野菜や果物，米や調理した料理などの物資を届けてくださる方々もある。ＪＡの直売所からは，出荷者の協力のもと，食材を無償で提供してくれている。当日の夕食のメニューは，その日届いた農産物により決めるので，子どもたちと食材を見ながら何を作るか相談することもある。
活動の場は，初年度は民家を借り上げていたが，家賃の資からたちハウス

金繰りに困っていたところ，某自治会の会長さんの配慮に

ここ小田原で創作を行った北原白秋にちなみ「からたちハて，地域の方の関心を呼び，活動への協力者が増加している。

ウス」と名付け，2018 年 9 月に開設し活動を開始した。
コンセプトは，貧困状態にある子どもたちの自立（自律）と成長を支援する第三の居場所，子どもも保護者も地域の中よって公民館を週一回借りることになった。そのことによっ

課題は，コロナ禍への対策や，そのことにより子どもの数を増やすことができない状態にあること，行政が今以上積極的に支援体制を整備することなどである。

で孤立しない安心で安全なコミュニティとし，「ここから立ち（からたち）上がれ」を願いとした。
私は顧問として企画段階から関わっているが，代表は発起人である窪田清美さんである。彼女は公立中学校の英語の教

以上，からたちハウスからも「算数・数学の自由研究」作
品コンクールで表彰されるような能力を持つ人材を輩出することを願い，今後も活動を拡充していきたい。

❖

諭であり，現在は県のソーシャル・スクール・ワーカーとし

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43

地域教育で活躍する人々

第29回

世界的に認められた数学者
岡潔の出身地橋本市で理数教育を楽しいものに！

橋本市岡潔数学WAVE
会長

木地 茂典 / きじ しげのり
地域の理数教育活性化のために（設立趣旨）

・箴言（金言）教室

世界的数学者岡潔博士を生んだこの橋本市で，「算数・数博士は思想家でもありましたので，数々の箴言を残してい学が楽しい」，「算数・数学がおもしろい」と感じる子供たちます。そこで，令和の初企画として，博士の著作物 15 冊かが一人でも多く育ってほしいという願いから，数学教育推進

ら心に残る文書を選んで 100 首の短歌にし（うち 2 首は博を目的とした数学ワンダーランドづくりに寄与できるように士の作），『岡潔箴言かるた』を制作いたしました。その後，『橋本市岡潔数学 WAVE』を設立しました。

広報誌『岡潔から未来へ

ココロにしみるあれこれ』の制作

橋本市が教育のまち，数学教育の充実したまちとなるようへと至り，それを毎年作り上げていく中で，市民参加の教室に，そして博士の数学以外にも思想家としての一面を後世にを毎月開催するようになりました。それが箴言教室です。

引き継ぐものとして『岡潔記念館（仮称）』の建設など，文・顕彰囲碁・将棋大会

化を育むまち「橋本市数学ワンダーランド」を作り上げたいと考えています。

毎年 1 回，3 年続けて，囲碁・将棋大会を開催しています。
博士も相当な棋力であったといわれています。
・『岡潔記念館』構想

組織図① 博士の資料展示

橋本市岡潔数学WAVE② 算数・数学に関する資料・体験館ゾーン
一般市民にもわかりやすく，数学の世界に馴染んだり好奇心がわくような資料の展示や体験ができるものにしたいと考おもしろ算数教室

金言（箴言）教室

顕彰事業講演会

えています。この構想もやっと先が見えてきて，来年中の公開を目指しています。

活動内容の紹介・講演会

実践教室としての例あれこれ① 算数教室の進化

岡潔名誉市民 50 周年の記念講演会を開催して以降，博士

算数教室は，小学生を低学年（保護者同伴）と高学年に分の顕彰として市民に向けた講演会を実施しています。

けて 6 年になりますが，百数十回も積み重ねる中で大きく

・算数教室

進 化 し た と 思 い ま す。

設立当時より，毎年 6 月から翌年 3 月まで，小学生を対

子供は大人とともに学象とした『おもしろ算数教室』を開催しています。算数の不ぶことでより良い効果

思議さを体験し五感で感じさせることで理数離れを軽減し，が 与 え ら れ る と 考 え，

考える力も高められるようにしています。

高校レベルの内容でもまた，毎年大学の教授を招いて，夏季講座か冬季講座のいずれかを実施しています。

44

No.30

わかりやすく精査して取り組んでいます。

図1

ゾムツールで作った正 120 胞体

今の子供たちに欠けていると言われる図形感覚を育む機材

的な運びとなるでしょう。そのために講座を展開しアピールの一例として，ゾムツールがあります。これはおもちゃのよ

していきます。数学的なことを視覚的に理解できるようにわうに夢中になれる要素を持っています。

かりやすく，納得してもらえるような構成を考えています。

また，5 年前から大人向

どこで測っても幅がけの算数教室も始めました。

等しいルーローの三角

参加者は 30 ～ 60 代の女形や決して中に落ちる性で構成されています。月

ことのないマンホール

1 回のペースで行っていまのふたの形の話題など，すが，今では子供たちに指最初は“えっ”と思うけ

導できるまでになっていま

ど， 説 明 を 聞 く と 納す。大人たちが目を輝かせ得する体験ができるのが体験館です。当会名誉顧問の東京理図4

ルーローの三角形て子供たちを指導している 図 2 ヒンメリと折り紙を組み科大学 特任副学長 秋山仁先生による実演を参考に，当会で姿を見ると，教育現場になもオリジナルなものを考えていきたいと思っています。

合わせた展示物

い新鮮な空気を感じることができます。
② 各小学校への支援教室
放課後を利用した授業への支援が増してきています。ねら
いは子供たちへの興味付けでもあります。その一例として「折ることの楽しさ！」があげられます。1 枚の紙に描かれた図を山・谷折りに折っていくことで，いろいろな形に変化する楽しさがあります。楽しさの中で集中力を発揮する子供

図5の姿に驚かされます。これは今後も続けていくべき支援授業④「算数・数学の自由研究」を見据えてと位置付けています。

マンホールのふたここ何年間は，子供たちへのよい刺激になると思い，作品
コンクールへの応募ないしそれに向けた学習会を行っています。これらが子供たちへの算数・数学に触れる良いきっかけとなることを期待しています。

「橋本市岡潔数学 WAVE」の今後地域とともに，数学に限らず思想家岡潔の顕彰も行いながら親しまれる会でありたいと願っています。スタイルは変えず世界的に認められた数学者を誇りとして，この地橋本市に数学ワンダーランドを構築していきます。そのために，体験
図3

折ることの楽しさ！

③ 体験館ゾーンに向けて『岡潔記念館』の体験館ゾーン公開が来年度に向けて具体館が学校現場との橋渡しになれるようにと考えています。
教育委員会，学校現場の理解を得ながら数学教育の一つの考え方を提案していきたいと考えています。

❖

編集後記
第 8 回「算数・数学の自由研究」作品コンクールで受賞された皆さん，おめでとうございます。今回も素晴らしい作品に出会うことができました。
新型コロナウイルスのワクチンも開発され，きっと終息に向かってくれると思います。
次号も，引き続き「数学と産業」を特集します。

( 財 ) 理数教育研究所 事務局

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知られざる

女性数学者の素顔

第 10 回

キャロライン・ハーシェル〜数学を応用して 2500 の星雲の星表を作成した天文学者〜
サイエンスナビゲーター ® 桜井 進／さくらい すすむ

星時と太陽時の関係を学び，すべての計算と誤差補正を行い，記録を保管し，細かい雑事もすべて引き受けた。おかげでウィ
キャロラインは，その激務の中でも小さいニュートン式反射望遠鏡を使って天空の観察を続けた。1783 年，アンドロ
メダ座とくじら座の 3 つの星雲を発見，14 個の星雲の目録
追加を行った。

天文学者として知られているキャロライン・ハーシェルで1787 年に 37 歳のキャロラインもジョージ３世から年俸すが，その偉業は彼女の数学の才能とその応用のうえに成し

50 ポンドの助手に任命された。イギリスで公的にこのよう遂げられた。

な地位に任命された最初の女性となった。

キャロライン・ルクリーシア・ハーシェルはドイツのハノーキャロラインは，彗星を発見した最初の女性でもある。

ヴァーで，1750 年 3 月 16 日に生まれた。父，アイザック・

1789 年（39 歳）から 1797 年（47 歳）の間に 8 個の彗星

ハーシェルは，軍楽隊の一員で，キャロラインの音楽の才能を発見した。ちなみに，同じ期間に彼女以外の人による彗星を伸ばすことを第一に教育を行った。それに対して母親は娘の発見は 9 個である。キャロラインの結果は群を抜いていに愛情を示すことがなかった。学問に力を入れることにも反たことがわかる。

対した。17 歳のキャロラインは父を失い，自立を迫られた

彼女の最大の功績は，星表の作成である。フラムスティー

ときも学校に行きたいという娘の願いを母親は必要ないとし

ドの『英国恒星目録』（3000 の星表）を天球上各 1 度の幅て許さなかった。

の地区に分類し直し，ウィリアムが天球探査をより系統的にキャロラインを救ったのは 11 歳年上の兄ウィリアムだっできるようにした。キャロラインの兄ウィリアムへの思いはた。22 歳でイギリスに渡った彼女の生活はそれまでと比べ彼女の人生のすべてと言っても過言ではなかった。ウィリアてすべてが激変した。ウィリアムは音楽演奏──オーボエとムは偉大で，やさしく，親切な人間だった。ウィリアムが結オルガン奏者を生業としていた。音楽に携わるうちに次第に婚した後も，キャロラインは夫人と仲良く付き合うことがで

数学と天文学にも興味を抱くようになった。キャロラインはきた。彼女の助けがなかったら天文学者としてのウィリアム

家事を手伝うために英語，会計，そして料理を習った。ウィの信じがたい成功はなかった。キャロラインは日記の中で自リアムは，妹に声楽とハープシコードのレッスンを受けさせ，分の仕事について次のように語っている。

自分の音楽会に参加できるようにした。彼女は人気オペラ歌「私はよく訓練された子犬がやるようなことを兄のために手として活躍するまでになった。二人は天文学を論じ合い，やっただけです。私は彼が苦労して磨いた道具にすぎません」

キャロラインは星に興味を抱くようになっていった。

ヴァーに戻った。1828 年，78 歳のキャロラインはウィリ

当時は天体望遠鏡が普及していなかったため手作りするほか

アムが発見した 2500 の星雲の星表作りを完了。王立天文なかった。焦点距離６フィートの立派なニュートン式反射望

学会は最大の賛辞とともにゴールドメダルを贈った。85 歳，

遠鏡を製作し，天体全体を観測するプロジェクトにとりか

メアリー・サマヴィル（本連載第９回）とともに王立天文学かった。キャロラインは鏡を磨き光らせる仕事をした。果た

会初の女性会員に選出。1848 年 1 月 9 日，97 年の生涯をして，1781 年に天王星の発見に成功。これによりウィリア

閉じた。
発見された。後にこれが 1788 年にキャロラインが発見した自身の能力を高めることにした。彼女は兄の仕事を助け続け彗星であることが判明し，おかげで周期彗星であることもわてきたことで数学の重要性を熟知していた。学校に行かせてかった。驚くべきことに当時彼女はこれが周期彗星であるこ

もらえなかったキャロラインにとって 30 歳を過ぎてから数とを考えていた。公転周期約 155 年のハーシェル・リゴレー

学を学び始めることは容易ではなかった。しかし，彼女には彗星の次の近日点通過は 2092 年 3 月 16 日，キャロライン

決意があった。天文学的計算に必要な幾何学と対数そして恒生誕 342 年目の日である。

編集・発行 （財）
理数教育研究所〒543-0052

大阪市天王寺区大道4丁目3番23号

TEL.06-6775-6538
東京オフィス〒113-0023

FAX.06-6775-6515

数学と産業 Ⅰ塩野直道記念 第 8 回 「算数・数学の自由研究」作品コンクール 受賞作品の発表

E-mail : info@rimse.or.jp
http : //www.rimse.or.jp※本冊子は，上記ホームページでもご覧いただけます。

印刷所：岩岡印刷株式会社

デザイン：株式会社 アートグローブ
東京都文京区向丘2丁目3番10号

TEL.03-3814-5204©Rimse 2021

/

特集

No.30

（リムス）

大阪オフィス

2021

1939 年，フランスのリゴレーによっておうし座に彗星がキャロラインは多忙を極めるウィリアムを助けるために，/

FAX.03-3814-2156

本文イラスト：株式会社 アートグローブ
表紙写真 : ⓒ アフロ

2021年2月28日発行

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February

1822 年， 兄 の 死 を き っ か け に キ ャ ロ ラ イ ン は ハ ノ ー

ウィリアムの天文学への取り組みは本格的になっていく。

ムはジョージ 3 世から国王付天文官に任命された。

日本の理数科教育をサポートする

リアムは望遠鏡を覗くことに集中できた。

（財）
理数教育研究所