数学的な気づきと試行錯誤を伴う課題の評価方法について
梅野 善雄∗(一関工業高等専門学校)

The Method of Evaluating Assignmentsthat Require Mathematical Awareness and Trial-And-Error
UMENO Yoshio(Ichinoseki National College of Technology)
It is helpful to become aware of something in any activities that need creativity. To help the students gainsuch awareness in mathematics, we gave them several assignments, which needed mathematical trial-and-error,
with graphing calculators. The reports on the open-ended assignment, which were submitted by the students,
were better than expected; thus it was very diﬃcult for the teachers to evaluate them in a general assessment
method.
We shall propose a useful evaluation method by analyzing the mathematical attainment level of the reports
from various angles. The method seems to assess not only the attainment level in mathematics but also thedegree of students’ senses of accomplishment at having experienced the mathematical awareness.
KEYWORDS: evaluating method, creativity, open-ended problem

ような課題に対して提出されたレポートを，どのように評価すべきかについて考察する。

1. はじめに

2. 試行錯誤を伴う数学課題

科学技術立国を目指す我が国にとって，理工系学生の創造力を育成することは最重要課題である。
そのような創造力は，一つの問題を考え続けて，ま高専における通常の数学の授業は，最初に概念ず「何かに気づく」ことが最初の出発点になろう。

や例題等を解説し，その後は定型的な問題を解か漠然とした問題の中から何か一般性のある性質をせるスタイルで行なわれる。総合的な応用問題を見出したときの喜びは，通常の問題を解いた時と考えさせたくとも，そのような時間はなかなか取は比較できない喜びがある。

れないのが現状と思われる。また，成績下位の学

著者は，学生にそのような「気づき」を得させ生にとっては，分からない問題は友人や教員に聞るために，解答の仕方が一通りとは限らず，さらく以外に解決策はない場合が多い。に数学的な試行錯誤を伴う課題を「自由研究」として学生に課してきた?)?)

このような状況の一つの改善策として，著者は。試行錯誤を行うため数式処理のできるグラフ電卓を貸与した授業を行っの補助ツールとしては，数式処理のできるグラフている。単純計算や単なるグラフ表示を電卓側に電卓を利用させた。この課題に対して，学生は自任せてしまえば，計算時間を縮めると同時に，個々由な発想をして実に多様な内容のレポートを提出の学生のもつ数学に関する能力差の問題もある程してきた。中には，教師が思いもしない考え方を度解消することができる。

してきた学生も少なくない。

さらには，その電卓を利用して数学に関する試

しかし，レポートが提出された後は，その多様行錯誤を行わさせることにより，何らかの数学的な内容を含むレポートをどのように評価すべきか法則に気づかせる課題を課すことも可能になる。

について教師は頭を悩ませることになる。以下でその課題の概要については本誌でもすでに報告済は，このような解答の仕方が一通りとは限らないみであるが，学生は与えられたテーマにつき自分∗ 一般教科自然科学系

umesan@ichinoseki.ac.jp589数学的気づきと試行錯誤を伴う課題の評価方法についての考えを発展させ，教師が予想した以上の考察を行っている?)れるべきであろう。

。

そこで，個々の指摘事項の数学的な到達度につ

表 1 は，そのような課題の中で「三平方の定理」いて検討し，それを 3 段階で区分した。ちょっとに関して学生から指摘された事項をまとめたもの

考えるとすぐ分かる内容を「到達度 1」，一般的なである?)。課題の内容は，三平方の定理を成立さ規則性について言及したり証明や式変形を伴う形せる自然数をできるだけたくさん見つけ，そのよで記述された内容は「到達度 3」，それ以外を「到うな自然数はどのような仕組で作り出されている達度 2」とした。表 1 の右端の値は，各指摘事項のか，それを作り出す仕組について考察させるもについてその到達度を判定したものである。のである。この課題は，1 年生の冬季休業の課題そして，個々の学生ごとに指摘事項の到達度ので提示した 3 課題のうちの 1 題である。167 名中合計を求め，その値を学生の「到達値」とした。到92 名が三平方の定理の課題を選択し，表 1 にあるような 35 の事項を指摘してきた。一人で最大 8 つ達値は 1 から 22 までの分布であり，平均は 5.39の事項を指摘した学生もいる。これらの指摘事項区分し，それぞれ到達値が「低い (1〜2，23 名)」をもとに，レポートの評価方法について考察する。

「やや低い (3〜5，28 名)」「やや高い (6〜7，20 名)である。その到達値の高低をもとに全体を 4 つに「高い (8 以上，23 名)」として区分した。

3. 試行錯誤を伴う課題の評価(2) 希少度・希少値・希少区分
誰もが気づく内容の指摘と，他の誰も気づかな

文献 1) では，提出された学生のレポート内容のかった内容の指摘とは区別されるべきと思われる。

数学としてみた到達度を 3 段階で評価した。「よ「他に誰も気づかなかった指摘」の判断は，指摘事くそこまで気づいた」という内容を到達度が「高項の数の総数で行った。具体的には，表 1 の (1)〜

い」，ちょっと考えればすぐ気づく内容を到達度が事項のうち，1 つの主要な指摘事項に対する評価(2) のように半数以上の者が気づいた内容を「希少度 1」，表 1 の (7) 以降のように 10 名以下の者しか気づかなかった内容を「希少度 3」とし，それ以外の指摘を「希少度 2」として区別した。個々の学であったといえる。学生によっては多数の事項を生の指摘事項ごとに希少度の合計を求め，その値指摘した学生もいる。考察にかなりの時間をかけを学生の「希少値」とした。その値は 1 から 20 まている学生もいるので，もう少し細かく評価するでの分布で平均は 5.95 である。そして，その高低ことが望ましいと思われる。

をもとに全体を 3 つに区分し，それぞれ希少値が「低い」，それ以外の指摘を「中間」としたが，この評価は実際にはレポートの中で指摘されている

また，教師にとっては平易な内容でも，学生に「低い (1〜3，20 名)」「中間 (4〜7，36 名)」「高いとっては一大発見としての内容であるかもしれ(8 以上，28 名)」として区分した。
(3) 一般化の程度ない。たとえば，a2 + b2 = c2 が成立すれば(na)2 + (nb)2 = (nc)2 も成立することを，n の値を次々に変えながらレポート用紙 5 枚にわたっ象的な形で書かれている。そこで，自分の気づいて書いてきた学生もいる。この学生にとっては，た結果をそのような形で表現しようとしているかこのことを確かめながら「n = 2 でも成立する」どうかを 3 段階で区分した。記述にそのような意「n = 3 でも成立する」という高揚感があったの図が見られないものは「傾向無し (25 名)」，部分ではないかと推察される。数学としての到達度ば的にそのような傾向が認められるものを「傾向有かりではなく，このような個々の学生の「気づき」り (42 名)」，そして一般的な形でまとめようと明のようなものも大事にしたい。そこで，数学とし確に判断されるものを「一般化 (27 名)」とした。

数学の定理・公式は，できるだけ一般化して抽ての到達度ばかりではなく，他に評価項目にでき例えば，具体例を多数あげて何らかの性質を述そうなものがないかを模索すべく，以下の内容をべただけのものは「傾向無し」，その性質を文字設定して検討した。

を使って表現しようとしている場合が，その表現(1) 到達度・到達値・到達区分

内容により「傾向有り」や「一般化」とした。文

指摘された事項の数は，どれだけ多くのことに字式を使って証明している場合は「一般化」と判気づいたかを示すものである。しかし，平易な内断した。また，三平方の定理を成立させる a, b, c

容を沢山指摘した場合と，指摘数は少くともそのの求め方について述べている場合も「一般化」と内容が数学的に秀れた内容である場合とは区別さした。
590

論文集「高専教育」 第31号 2008.3

表1

三平方の定理に関する学生の発見

三平方の定理 a2 + b2 = c2 に関する学生の発見

数

到達度(1) a + b = c が成立すれば，(na) + (nb) = (nc) も成立する

48

1(2) a, b, c が連続するのは，a = 3, b = 4, c = 5 のときしかない
到達度は，単なる指摘は 2，証明つきで指摘した場合は 3 とした

44(3) b, c が連続するとき，a は奇数である(4) b, c が連続するとき，それらは 4 の倍数ずつ増えていく(5) b, c が連続するとき，a2 = b + c である

3226
20122(6) b, c が連続するとき，a, b, c のうちの 2 つの数は奇数である(7) b, c が連続するのは，奇数 a に対してb = (a2 − 1)/2, c = (a2 + 1)/2 のときである

142

83(8) b, c が連続するのは，a を 2 で割った商を b とすればよい(9) 連続する 2 数の平方の差は奇数である

5332(10) b, c が連続する場合として，次の場合がある(2n + 1)2 + (2(n2 + n))2 = (2(n2 + n) + 1)2(11) a, b が奇数のとき，a2 + b2 = c2 は成立しない

3333(12) a, b が連続するとき，c2 = 2ab + 1 である(13) b, c が連続するとき，次のことが成立する

23(2n + 1)2 + (4(n + (n − 1) + · · · + 1))2 = (4(n + (n − 1) + · · · + 1) + 1)2(14) b, c が連続するとき，(a − 3)/2 + 1 = n とおくと，b = (前の式の b) + 4n である

11331313131313\ 0) は成立しない(20) どんなときでも，a + 1 = b (a =(21) a, b, c の中には，一定量ずつ増えているものがある。62 + 82 = 102 は 2 ずつ増えている。12 ずつ増えるのは，a2 + (a + 12)2 = (a + 24)2 を解いて a = 361123(22) b, c が連続するとき，a + b + c の第 2 階差は 8 である(23) b, c が連続するとき，a > 3 であれば b > 2a である

1132(24) b の 1 の位が 1,3,6,8 のとき，b, c が連続するようにはできない(25) b, c が連続するのは，b の 1 の位の数が 0,2,4 のときだけである(26) 3a = b + c のとき，a : b : c = 3 : 4 : 5 である

111333(27) 3a = b + c, 4a = b + c, 5a = b + c となるものが存在するので，na = b + c となるものが存在するはずである

13(28) a + b − c は 2 の倍数である(29) b, c が連続するとき，abc は 60 の倍数である(以下，省略する。指摘事項の総数は 35 である。)

1
133No
2222222(15) b, c が連続するとき，32 + 42 = 52 から数えて k 段目の式の b は，
b = ak + k である。たとえば a = 9 は 4 段目なので
b = 9 × 4 + 4 = 40 である(16) b, c が連続するとき，b は a を 2 で何回割れたかを a + 1 に掛けた値である。たとえば，17/2 = 8.5 なので，b = (17 + 1) × 8 = 144 より，172 + 1442 = 1452である(17) a2 + b2 = (b + 1)2 に対して，その次の式を (a + 2)2 + B 2 = (B + 1)2 とすると，

B = b + ((a + 2) − a )/2 である(18) a2 + b2 = c2 で a, b が連続するとき，a が小さい順に式を書くとき n 番目の式を a2n + b2n = c2n (an < bn ) とすると，an+1 = 6an − (an−1 − 2) である
22(19) 32 + 42 = 52 が成立するので，3332 + 4442 = 5552 や33332 + 44442 = 55552 なども成立する
222591

数学的気づきと試行錯誤を伴う課題の評価方法について(4) 思考の流れどうかについて，学年末にアンケート調査を行った。三平方の定理を選択した学生 (94 名) のこの問

課題を考えるにあたり，自分で思考を発展させて，与えられた内容ばかりではなくいろいろなケーへの回答を 3 段階で区分し，「そうである (57 名)」スについて考えようとしているかどうかを 3 段階を「肯定」，「どちらともいえない (25 名)」を「中で区分した。単に個々の結果を指摘しただけのも間」，そして「そうではない (12 名)」を「否定」のは「指摘だけ (14 名)」，別な場合はどうなるかとする。他の課題を考えることでこのような思いを自分で問題設定して考えているものは「単発的が得られた場合も考えられるが，アンケート調査(38 名)」，いろいろなケースを次々に調べようとしているものは「連鎖的 (42 名)」とした。の直近に取り組んだ課題は三平方の定理であるので，この回答は三平方の定理を考えることで得られた場合が多いと推測される。

連鎖的と判断した例として，例えばある学生は，1 から 50 までの自然数の平方を計算して三平方の定理が成立する自然数の組を多数発見する (この指4. 分析項目別にみた到達値摘だけで終わっていれば「指摘だけ」の判断になる)。それを 3 数が連続する場合，2 数が連続する

ここでは，前節の分析項目ごとに，三平方の定場合，どの 2 数も連続しない場合に分類して，b と理に関して提出されたレポートの数学上の到達値(各指摘事項の到達度の和) について分析する。
表 2 により学年末の成績を到達区分別にみると，

2c が連続する場合は a = b + c であることに気づく。次に，b + c = 3a, 4a, 5a となる例があることにも気づき，一般に na = b + c となる場合があるのではないかと予想する。そして，6a = b+c となる例を新たに発見するが，2a = b + c となるものは見つけられなかった。そのことより，na = b + cとなる場合があるのは n > 2 のときであろうと予ある程度成績との関連性が認められるがそれほど強いものではない。到達値と成績との相関係数を求めると 0.142 である。到達値には試験で測定される数学の成績とは異なる性質が含まれているのではないかと思われる。SD は標準偏差である。

想している。

表 3 は到達値と希少値との関係をみたものであ(5) 証明の有無る。これらの間には強い関連性が認められるが，到一般的な規則性を発見しても，その後の証明が達値が高い者ほど誰もがあまり気づかないことを数学では重要である。そこで，自分が指摘した事多く指摘してきているので当然の結果と思われる。

項の証明を与えているかどうかで 2 つに区分した。

両者の相関係数は 0.896 である。

「証明有り (22 名)」と「証明無し (72 名)」である。

表 4 は，到達値と証明や確認の有無との関係を多数の指摘事項があるときは，そのうちの 1 つでみたものである。到達値は，証明の有無との関連も証明している場合は「証明有り」とした。

性は認められるが，確認の有無との関連性はみら(6) 推測と確認れない。

幾つかの具体例に共通する性質を見い出したと
表2

しても，その性質は他の例では成立しない場合が到達区分と成績到達度区分ある。そのようなとき，その性質は一般性のある性質とはいえない。そこで，自分が指摘した事項が正しいかどうかを，別な形で確認しているかど数うかで 2 つに区分した。
「確認有り (44 名)」「確認成績無し (50 名)」である。

SD全体低いやや底やや高高い

94
50.8
9.27

2348.78.38

2850.68.41

2050.29.81

2353.610.5(7) 成績区分
成績との関連性を見るため，定期試験 (4 回) の

表3

到達区分と希少値

成績の平均値により全体を 4 つに区分し，「成績上到達度区分位 (27 名)」「成績中上 (24 名)」「成績中下 (22 名)」「成績下位 (21 名)」と区分した。

(8) 「発見」認知の有無

希少値

試行錯誤を伴う課題を考えることで「数学的なSD事で新しい発見があった」という思いがあったか

592

全体

低い

やや低やや高高い数2310.8
3.43

28
4.14
1.27

20
7.05
1.85

23
2.26
1.82

5.95
3.91

論文集「高専教育」 第31号 2008.3

表4

とき，(1,1) をグループ 1，(1,2)+(2,1) をグループ証明と確認の有無別にみた到達値
証明の有無

確認の有無

全体有り

無し

有り

無し

数

228.05
4.76

72
4.58
2.84

44
5.41
3.93

50
5.38
3.46

5.39
3.66

到達値

SD2，(1,3)+(2,2)+(3,1) をグループ 3，(2,3)+(3,2)
をグループ 4，そして (3,3) をグループ 5 として新たに区分する。
表 8 は，この新区分ごとに到達値と成績を調べたものである。この新区分では，到達値がさらにはっきり分離される反面，成績との関連性は逆に弱まっていることが分かる。

表5

一般化の有無別にみた到達値

このような試行錯誤を通して，学生は普段の数

一般化の有無全体一般化有り無しる。そのような気づきを得ることでどのような感

数

27
7.78
4.40

42
5.24
2.91

25
3.08
2.14

想を持ったかを調べるため，年度末にアンケート

SD

5.39
3.66

表6

思考の流れ別にみた到達値

到達値

学の学習とは違っていろいろなことに気づいてい調査 (記名式) を行った。
表 9 は，自由研究で新しい発見があったかどうかを問う質問項目への回答をみたものである。グ
ループ番号が上がるほど肯定的な回答が増え，「新しい発見があった」と感じる者が増えている。思

思考の流れ
全体

連鎖

単発

指摘

数

42
7.29
4.08

384.292.52

142.71
1.59

5.39
3.66

到達値

SD

表8192.111.05
50.07.77

グループ

数
到達値

表 5 と表 6 は，一般化をしようとしているかど

SDうか，また思考の流れが連鎖的かどうかで到達値成績をみたものである。これらの表をみると，いずれSD

新区分による到達値の平均

2143.86
2.2549.6
10.7

329
3.97
2.69
49.5
8.53

422
6.59
2.28
51.4
11.1

520
8.70
4.71
53.2
7.87

も強い関連性が認められる。一般化の傾向が強い
表9ほど到達値は高く，思考の流れが連鎖的である場

数学的なことで新しい発見があった

項目

合も同様である。一般性のあるいろいろな性質に気づくにはこのような思考過程が必要になるので，全体これも当然の結果と思われる。到達値がこれらと強く関連しているということは，この値が数学的低いな考え方の程度をある程度表しているのではない
到かと思われる。
さらに，この 2 つの項目をクロスさせて到達値達をみたのが，表 7 である。一般化の有無と思考の区流れをクロスさせて各セルごとに到達値を計算す

分

やや低
やや高高い

ると，左斜めの方向に一定の傾向がみられる。そこで，各セルを (一般化，思考の流れ) の形で表す

1
表7

一般化の有無と思考の流れ別にみた到達値

2

思考の流れ無し
有り
一般化

全体

指摘

単発

連鎖

全体

新

2.11( 9)4.00( 3)3.50( 2)2.71(14)

3.82(11)
4.18(22)5.80( 5)4.29(38)

3.20( 5)6.82(17)8.70(20)
7.29(42)3.085.24
7.78
5.39区
分345593

否定

中間肯定

12.8(12)26.6(25)60.6(57)%(数)
100.0(94)8.7(2)
21.4(6)5.0(1)
13.0(3)30.4(7)25.0(7)30.0(6)21.7(5)60.9(14)
53.6
(15)
65.0
(13)
65.2
(15)

100.0
(23)
100.0(28)100.0(20)
100.0
(23)

22.2
(2)
21.4(3)10.3(3)
13.6(3)5.0(1)44.4(4)35.7(5)31.0(9)18.2(4)15.0(3)33.3(3)42.8(6)58.6(17)68.2(15)80.0(16)100.0(9)100.0(14)100.0(29)100.0(22)100.0(20)

全体94
5.39
3.66
50.8
9.28数学的気づきと試行錯誤を伴う課題の評価方法について考を次々に発展させて一般性のある規則性を探そ

しかし，この評価方法は，三平方の定理に関すうとした者ほど，発見の喜びを感じることができるレポートだけをもとにした方法である。また，「新たのではないかと思われる。その意味では，このしい発見があった」とする学生の回答も年間を通し到達度に関する新区分は，到達値による到達区分ての感想であり，必ずしも三平方の定理に関してよりも，新たな気づきがあったかどうかの認識を得られたものとは限らない。この評価方法を他の反映したものになっているように思われる。

課題に対して行っても同様の傾向が見られるかど
うかついては，今後さらに検討を加えていきたい。

5. まとめ【付記】本研究の一部は平成 16〜17 年度科学研究費補助金・基盤研究 (C) 課題番号 16500566 (研究代表者：梅野善雄) による支援を受けている。

数学的な試行錯誤を伴いながら数学に関する「気づき」を得させて，それをレポートにまとめさせる自由研究を学生に課した。レポートの内容は多参考文献

様な記述の仕方になり一通りの解答があるわけでるかどうかについて，それぞれ 3 段階で判定する。

1) 梅野善雄：数学教育における創造力を育む試
み，論文集「高専教育」，Vol.29，pp.135–140(2006)
2) 梅野善雄：試行錯誤で「三平方の定理」を考える，数学教育研究，Vol.8，pp.113–125(2006)
3) 梅野善雄：3 次・4 次関数に関する高専 1 年生の発見，T3 Japan 第 8 回年会講演集，pp.160–
165 (2004)
4) 公庄庸三：数式処理電卓は数学教育を蘇生させそして，2 つの項目の合計点で評価するものであることができる，日本数学教育学会高専大学部る。指摘された事項の数を数える必要もなければ，

会論文誌，Vol.7，No.1，pp.146–150 (2000)

指摘事項の数学としてみた場合の到達度を判定す

5) 阿蘇和寿：高専の授業における学生の探究活動–テクノロジーの効果的な活用に向けて–，
日本数学教育学会高専大学部会論文誌，Vol.9，No.1，pp.31–50 (2002)
6) 島田茂編：新訂「算数・数学科のオープンエンドアプローチ」，東洋館出版，1996 年
7) 澤田利夫・橋本吉彦：数学科での評価，p.97，
共立出版 (1990)はない。それをどのように評価すべきかについて分析した。
その結果，数学の成績との関連性が弱く，レポー
トをまとめることで数学に関する気づきを得たかどうかの認知とも関連すると思われる一つの評価方法を提案することができた。それは，一般性のある記述の仕方をしようとしているかどうか，そして，次々に思考を連鎖させて考えようとしている必要もない。レポートの考察の進め方について，一般性のある記述をしようとしているかどうか，また，思考の展開が次々に発展しているかどうかをみるだけである。判定者の主観がかなり混じる部分ではあるが，数学に関する部分の判定であるので，見る人による誤差にそれほど大きなものは現れにくいように思われる。

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