Simmetria di Funzioni Aritmetichein quasi tutti gli Intervalli Corti

Giovanni Coppola

Universita’ di Salerno

Diamo una breve panoramica di funzioni aritmetiche, perle quali abbiamo studiato (insieme al Prof. Iwaniec e al Prof.

Salerno) il problema della ”simmetria”, attorno ad x, nell’ in-tervallo ”corto” [x − h, x + h], per ”quasi tutti” gli intervalli[x − h, x + h], al variare di x in [N, 2N ].
(Qui ”quasi tutti” = ”ogni x ∈ [N, 2N ], tranne o(N ) possibilieccezioni”; ”corto” = ”h = h(N ), crescente, h → ∞ e h = o(N )quando N → ∞”)Per ogni funzione aritmetica f : N → C definiamo (quisgn(t) := t/|t|, sgn(0) = 0) la ”somma di simmetria” di f ,nell’ intervallo corto [x − h, x + h] :Sf± (x) :=X|n−x|≤hf (n)sgn(n − x)e la relativa media quadratica (x ∼ N abbrevia N < x ≤ 2N ),il suo ”integrale di simmetria”
2I(N, h) :=XXx∼N |n−x|≤hf (n)sgn(n − x) .

Motivazioni

Kaczorowski e Perelli [8] : studio dell’ integrale di Selberg

tramite il termine principale di resto nella Formula Esplicita diRiemann-von Mangoldt. Tale termine e’ (quasi) la ”somma disimmetria” dei primi (meglio, di Λ(n)) negli intervalli corti.

Dimostrano l’ equivalenza di stime non banali per l’ inte-grale di simmetria dei primi (ovvero IΛ (N, h), Λ funz.di vonMangoldt) e stime non banali per l’ int.di Selberg.

L’ integrale di Selberg e’J (N, h) :=Z 2N
N2Xx<n≤x+hΛ(n) − h .

Come e’ noto, la stima non banale J (N, h) = o(N h2 ) da’il Teor.dei Numeri Primi in quasi tutti gli intervalli corti.

Inoltre, ogni maggiorazione non banale (con un guadagno
netto risp.la stima banale J (N, h)  N h2 ) ha conseguenze
notevoli sugli zeri della funzione zeta di Riemann.

L’ integrale di simmetria dei primi non e’ nell’ ambito degli

attuali metodi della Teoria Analitica dei Numeri.

Abbiamo studiato, quindi, funzioni aritmetiche ”semplici”:

1 funzione divisori, d(n) (joint work con Saverio Salerno);
2 n liberi da quadrati (square-free): µ2 (n);3 una media della funzione di von Mangoldt Λ(n);4 autovalori di Hecke λ(n) (lavoro congiunto con HenrykIwaniec);

5 somme di divisori primi, poco oltre

P

11

√

N , ovvero ωB (n) :=+ 190 −ε2(ε > 0).
p|n,B<p≤2B 1, con B  N

D’ ora in poi abbreviamo L := log N .

(Coppola-Salerno, Corollary 1 in [1])√Teorema 1. Siano N, h ∈ N, h = h(N ) < N /2, con
h → ∞ per N → ∞. Allora:√pN
1635/2+ O N hLlog L .
Id(n) (N, h) = 2 N h log
πhVersione ”asintotica” del Crivello Largo (isolando la dia-gonale). Problema dei ”moduli grandi” (√N ) evitato pas-sando ai divisori complementari (”flipping”).

•) work in progress: miglioramento del termine di resto(Coppola, Corollary 2 in [2])Teorema 2. Siano ε > 0 ed N, h ∈ N, h = h(N ) ≤ N 1/6−ε,
con h → ∞ per N → ∞. Allora:√Iµ2 (N, h)  N h.

Versione classica del Crivello Largo (maggiorazione).

Problema dei moduli ”grandi” risolto usando la bassa den-sita’ dei quadrati (termini ”sporadici”).

•) work in progress: miglior range di uniformita’ di h(Coppola, Theorem 1 in [3])Teorema 3. Sia A > 2 ed N, h ∈ N, h = h(N ) ≤ N L−A ,con h → ∞ per N → ∞. Allora:
2X X

Xx
Λ(d)sgn m −jx
hx∼N j≤2h |d− |≤jj N h2 L−A ,a patto che h ≥ N 1/3 LB , dove B = B(A) > 0 e’ esplicitabile(ad es., B = A + 6).

Usato il Crivello Largo ”frammentato” (doppia dipendenza dax). Moduli grandi: nella convoluzione di Λ con la costante 1,

Λ ∗ 1 = log, si ottiene f (n) = log n, che ha simmetria ottima !

(Coppola-Iwaniec, Corollary 4 in [4])Teorema 4. Siano N, h ∈ N, h = h(N ) ≤ N 1/4 , con h → ∞per N → ∞. Sia λ(n) un autovalore di Hecke di una forma
automorfa di peso k, livello q e carattere χq , considerata nei

Teor.2 e 3 di [4]. Allora:

Iλ (N, h) k,q N hL3 .

Usata la formula asintotica, data da Conrey-Iwaniec [6], perS(a) :=X

λ(n)λ(n + a),n∼N(+ ”Dispersione”). Qui Iλ (N, h) ∼Pa W (a)S(a), con:

W (a) := 2||a| − h| − |a|, ∀a ∈ [−2h, 2h].

(Coppola, Theorem 2 in [5])Teorema 5. Siano:

ε > 0; N , h ∈ N; qui h = h(N ),ed N ε ≤ h ≤ N 1−ε . Per ωB (n) :=√N <B≤N1/2+1/190−εPp|n,p∼B 1 assumiamo

N h2. Allora: IωB (N, h) .
NεUsata la ”Dispersione”: qui la funzione peso e’ 0, tranne in: −2a − 3h for −3h/2 ≤ a < −h/2,±W (a) := 4afor −h/2 ≤ a ≤ h/2,−2a + 3h for h/2 < a ≤ 3h/2.
Quindi, stima di Duke-Friedlander-Iwaniec [6] per IωB (N, h):

Xa±W (a)Xx∼N(ωB (x)ωB (x + a + h/2) − ωB (x)ωB (x + a))[1] Coppola G., Salerno S. - ”On the symmetry of the divisor

function in almost all short intervals” - prossima pubbli-cazione su Acta Arithmetica[2] Coppola G. - ”On the symmetry of the square-free num-bers in almost all short intervals” - prossima pubblicazione[3] Coppola G. - ”On the symmetry of primes in almost all

short intervals” - prossima pubblicazione su Ricerche diMatematica[4] Coppola G., Iwaniec H. - ”On the symmetry of Hecke

eigenvalues in almost all short intervals” - prossima pub-blicazione

[5] Coppola G. - ”On the symmetry of prime-divisor functions

in almost all short intervals” - prossima pubblicazione[6] Duke W., Friedlander J., Iwaniec H. - ”Bilinear forms withKloosterman fractions” - Invent. Math. 128 (1997), no.

1, 23–43[7] Coppola G., Salerno S. - ”On the symmetry of the divisor

function in almost all short intervals” - prossima pubbli-cazione[8] Kaczorowski J., Perelli A. - ”On the distribution of primes

in short intervals” - J. Math. Soc. Japan 45 (1993), no.

3, 447–458