Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 FRP060

位相空間回転による STF での高ルミノシティビーム生成のための実験的研究
EXPERIMENTAL STUDY OF HIGH LUMINOSITY BEAM GENERATION IN STF BY
PHASE SPACE ROTATION
伊達圭祐#, A), 栗木雅夫 A), 荒本真也 A), リプタックザカリーA), 早野仁司 B), 山本康央 B), 山本尚人 B),
鷲尾方一 C), 坂上和之 D), 柏木茂 E)#, A), Masao KurikiA), Shinya AramotoA), Zachary LiptakA),
Keisuke Date
Hitoshi Hayano B), Yasuo Yamamoto B), Naoto Yamamoto B),
Masakazu Washio C), Kazuyuki Sakaue D), Shigeru Kashiwagi E)
A)
Hiroshima UniversityB)
KEKC)
Waseda UniversityD)
University of TokyoE)
Tohoku UniversityAbstract
Linear colliders, including the ILC, are the only way to achieve electron-positron collisions at high gravimetric energies
well above 200 GeV. The method to increase luminosity with limited power and to suppress the increase of energy width
due to Beamstrahlung is asymmetric beam collisions. In this study, simulations and matrix calculations were performed
as a preliminary step to generate asymmetric beams at STF using two phase-space rotation techniques, RFBT and TLEX.

1.

はじめに

コライダーは高エネルギー領域での物理現象を観測することを目的として、加速された同程度の運動量をもつ粒子同士を正面衝突させることで重心系エネルギーを最大化させる加速器の利用方法である。静止している粒子に加速粒子を打ち込む固定標的型に比べ、重心系エネルギーは大きいが反応確率や操作性で劣るという特徴がある。従って全てのコライダーの課題はルミノシティ（反応レートを断面積で規格化した値）を高めることにある。
コライダーには円形加速器を用いたリングコライダーと、線形加速器を用いたリニアコライダーがある。リングコライ
ダーは粒子が軌道を周回することで、衝突点で複数回イベントを観測できるというメリットがあるが、シンクロトロン放射によるエネルギーロスを生じる。加速量が放射パワーを上回っている場合は加速可能だが、シンクロトロン放射による粒子あたりの放射パワーは(1)で表され、放射パワーはエネルギー(γ)の四乗に比例し軌道半径の二乗に反比例することから、より高エネルギーで加速しようとする場合、一周当たりの加速量をエネルギーの四乗で増やしていくか軌道半径を大きくする必要があるため高エネルギー領域では効率が悪くなる。
一方でリニアコライダーの場合にはシンクロトロン放射によるエネルギー損失が無くエネルギーは加速勾配と敷地面積で決まるため、リングコライダーに比べてエネルギー効率が良い。また、リニアコライダーの建設コストは加速___________________________________________# m225408@hiroshima-u.ac.jp

空洞の数に比例するため、設計を簡略化することでコストを抑えることができる。
現在計画が進められている国際リニアコライダー(International Linear Collider：ILC)は、電子陽電子衝突型加速器で、重心系エネルギー250GeV を想定しており、日本の岩手県に建設が予定されている。リニアコライ
ダーのルミノシティは(2)と表される。 は衝突周波数、 はバンチ内粒子数、 ,はそれぞれ衝突点における x 方向、y 方向のビームサイズである。また、必要な電力は以下の式で記述される。
(3)2
ルミノシティを大きくするためにビーム電流を大きくするとその分必要な電力も大きくなるため避けたい。従ってビームサイズを極小化すれば良いが、単純にビームサイズを小さくすると Beamstrahlung によってエネルギー広がりを生じてしまう。Beamstrahlung とは衝突相手のビームによって作られた磁場がシンクロトロン放射を誘起しビームエネルギーを減少させる作用であり、そのエネルギー広がりは∝(4)で表される。従って Beamstrahlung によるエネルギー広がりを抑制しつつルミノシティを高めるには ≫ となるような扁平ビームを生成する必要がある。現在の ILC の設計では周長 3km のダンピングリングにビームを蓄積し、放射減衰によって扁平ビームを生成する設計である。

- 1070 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 FRP060

このダンピングリングを用いる代わりに、位相空間上でビームを操作することでエミッタンスを振り分け、扁平ビームを生成する技術（RFBT, TLEX）が考えられている。
この技術によりダンピングリングを用いないコンパクトな加速器の設計が可能となる。以下にそれぞれの技術について説明する。

2.

RFBT

RFBT とは Round to Flat Beam Transformation の略称であり、x-y 方向の位相空間での回転操作を施すことにより x-y 間に非対称エミッタンスを生成する。Fig. 1 にその概念図を示す。

ンス)と解釈できる。次にシンプレティック転送行列 M によってビームマトリックスの非対角成分を 0 にするためにSkew Quadrupole×3 の構成について考える。ビーム輸送において転送前のΣ行列を 、転送後のΣ行列をとすると、転送行列 を用いて(11)の関係性がある。通常の Quadrupole×3 の転送行列は0120と表せ、Skew Quadrupole×3 の場合は回転行列 を用いて(13)であり、45°回転の時14と書ける。ここで(15)の関係式が成り立つとする。ここで はFigure 1: Conceptual diagram of RFBT.
ビームをソレノイド磁場中のカソードで生成し x-y’、y-x’間に角運動量による相関を持たせる。この際に生じた見かけ上のエミッタンス増大をビームライン下流に設けたSkew Quadrupole(通常の Quadrupole を 45°回転させたもの)３つを通すことで解消し、その一連の過程で x-y 間のエミッタンスが振り分けられ非対称なエミッタンスを生成する。この過程を以下に見る。
ソレノイド磁場中のカソードで、横方向位相空間の粒子座標は(5)と書ける。ここで は密度としてをカソード上での縦⽅向磁束16で あ り 、 xy 相 関 を 示 す 行 列 で あ る 。 以 上 の 条 件 でEq. (11)を用いると、カソードで生成された は Skew
Quadrupole×３を通過した後 xy 混合成分は 0 になり0170である。従って振り分けられと表せる。ここでたエミッタンスは18と表せて、入力ビームマトリックス から非対称エミッタンスを作ることができると示された。
また、 ≫ のとき

(6)19である。カソード表面での相関モーメントがない（〈 ′〉 =〈 〉 = ⋯ = 0）と仮定すると、ビームマトリックスは
0000′
(7)
0000′
〈 〉 〈 〉, ′〈 ′ 〉 〈 ′ 〉でと表せる。ここである。また、RMS エミッタンスはΣ行列の行列式に相当するため Twiss Parameter とシンプレティック単位行列 Jを用いてであり、エミッタンス比は熱エミッタンスとソレノイド磁場が与える角運動量によって決まり、エミッタンス積は保存されている。また、Eq. (15)から Skew Quadrupole の構成は
3 つの Skew Quadrupole を SQ(1),SQ(2),SQ(3)とした時、SQ(1)と SQ(2)間の距離を 、SQ(2)と SQ(3)間の距離を、と設定して1(8)J(9)

Jと書ける。Eq. (7)と Eq. (9)からk20と導かれる。

3.
′010である。ここで は非相関横方向エミッタンス(熱エミッタTLEX

TLEX と は Transverse to Longitudinal EmittanceExchange の略称であり、RFBT による非対称エミッタンス
で が要求値であった場合過大となる を、x-z の位相空間分布を入れ替えることによって z 方向に逃がす技術である。TLEX は EEX(Emittance EXchanger)と呼ばれる２つの Dogleg の間にモードの Cavity を配置した- 1071 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 FRP060

ビームラインを使用する。Fig. 2 にその概念図を示す。

であることから TLEX 通過後の x,z 位相空間はそれぞれ通過前の z,x 位相空間が転送されたものであることが分かる。エミッタンスの大きさは不変であることから EEX 通
過前の x と z 空間でのビームエミッタンスをそれぞれ, とすると、通過後のビームエミッタンス , は(33)(34)のようになる。TLEX 入り口での粒子状態 、TLEX 出口での粒子状態 の関係性はであるため

Figure 2: Conceptual diagram of TLEX.
Dogleg の転送行列

は1 00 1 0 0, ,(21)0 10 0 0 1
で 与 え ら れ 、 は dispersion 関 数 、 は momentum
compaction 関数であり、それぞれ
1(22)(23)(24)と書け、Dogleg 通過前のエネルギー広がりがとき、Dogleg 通過後の ,のに対して(25)
モード Cavity ののような位置変化をもたらす。また転送行列 は thin lens 近似の時
1 0 0 00 1 0(26)0 0 1 00 0 1で与えられる。ここで は Cavity の振幅を表すパラメータ
で、アイリス径 、Cavity 中心から /2の位置での加速電圧 、ビームエネルギー(電圧表示)E を用いて(27)≡はで定義される。EEX 全体での転送行列(28)から Eq. (21), Eq. (26)を代入して12 11101

102 11と求まる。ここで対角成分を 0 にする整合条件
10から は2.16と求まり、Eq. (30)を適用するとは0000(29)(30)(31)′(35)と書ける。エミッタンスの積は保存され、各変数の値はEEX の設計によって決定される。

4.

シミュレーションと行列計算

シミュレーションには空間電荷追跡アルゴリズム
ASTRA を用いた。ASTRA は、初期粒子を生成するgenerator、外部の磁場や電場の影響を読み取って粒子を追跡する ASTRA、電磁界を表示する fieldplot、粒子の位相空間プロットを表示する postpro、ビームサイズ・エミッタンス等を表示する lineplot から構成される。
当初 RFBT では STF のビームラインを想定した荒本案の構成ファイルを使用していた。Skew Quadrupole 通
過後のエミッタンスは62.57,0.12であり、エミッタンス比にして 519.3 であった。しかし、 との間に大きな差がなかったため TLEX を行う際に x-zでのエミッタンス交換の様子が見えにくいという理由から
RFBT は ASTRA の sample ファイルを使用することにした。しかしながら RFBT に対する理解が不十分であった
ため RFBT のシミュレーションに用いたビームは第 2 項で述べたような計算を適切に行えておらず、単に x-y でエミッタンスが偏りながら増大しているだけとなっている。
EEX 入射直前の各エミッタンスは32.99,2.19である。
次に TLEX の行列計算について説明する。行列計算
は Cavity 長を無視する thin lens 近似による計算と、Cavity 長を有限とする thick lens の計算を行った。EEXによるビームの輸送は Eq. (11)より(36)である。入射直前のビームに x-z 相関がないとき0=(37)0であり、Twiss Parameter を用いて(38)(32)
0000と書ける。上式は Dogleg のパラメータのみで記述されており、対角成分の行列式が０、非対角成分の行列式が１と書ける。これに EEX 入射直前のビームパラメータとEq. (26)を入れて計算すると35.33 20.570020.57 12.1100(39)0012.08
227.3100227.31 4365.97- 1072 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 FRP060となり、各エミッタンスは
35.33
12.08

12.11

20.57

2.194365.97

227.3132.99 (41)(40)と求まる。従って thin lens 近似の時エミッタンスは x-z で完全に交換する。
Thick lens の場合、 は/2 1
10 10(42)
10 00で与えられる。Thin lens の場合と同様の計算過程を施す
2.34,と EEX 通 過 後 の 各 エ ミ ッ タ ン ス は33.08となった。Thin lens,Thick lens 各過程でのエミッタンスの推移を Fig. 3、Fig. 4 に示す。ここで 4 つの BendingMagnet(B1~B4) と Cavity(c) の 位 置 は B1=6.1m 、B2=7.3m 、 c=8.05m 、 B3=8.8m 、 B4=10m で あ る 。 Thinlens、Thick lens ともに見かけのエミッタンス増大が見られるが Thin lens ではエミッタンスが完全に交換しており、Thick lens ではエミッタンスの積が保存されていない。また、Thick lens での輸送後のエミッタンスは1と も 記 述 さ れる 。 こ こ でEEX の各パラメータを用いて1/である。また

Figure 4: emittance exchange (thick lens).

5.

モード Cavity の電磁場計算

ピルボックス型に示す。

モード Cavity の概念図を Fig. 5(43)はFigure 5: Conceptual diagram of Pillbox Cavity.
電磁場成分は以下の式で与えられる。
cos0(44)で表され、エミッタンス増大因子である。つまり thick0)のときエミッタンス増大が生じ、thin lens 近似lens((0)のときエミッタンス増大なく完全に交換する。(43)を計算すると9.89,34.37となり、増大率 を(45)と定義すると =4.70 程度でエミッタンス交換することが確認できた。増大因子を下げる手法については今後検討する。

(46)
(47)
(48)
(49)

は振幅であり、これが求まれば必然的にすべての成分が求まる。ここで を Cavity 半径として境界条件, ,0(50)より、ベッセル関数について0(51)が成り立つ。この解を(52)とする。 はベッセル関数の根で、3.83。また、Cavity 半径 は(53)の関係式から0.14、Eq. (52)から27.25となる。従って Eq. (43)は27.25(54)と書ける。ここで Eq. (27)の の定義から(55)が成り立つのでは の x 微分を Cavity 長の範囲でz 積分することで求まる。Eq. (55)の左辺を計算すると.
(56)

Figure 3: emittance exchange (thin lens).

- 1073 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 FRP060となり、Eq. (55)と Eq. (56)からは=38.41 (MV/m).

6.
(57)と求まる。従って Eq. (46) ~ Eq. (49)と Eq. (57)によってモード Cavity の電磁場成分が求まった。
Fig. 6 ~ Fig. 9 に ASTRA に 導 入 す る
モード
Cavity の電磁場成分の強度分布を示す。

まとめ

本研究は ILC 計画においてダンピングリングを用いる代わりに RFBT と TLEX と呼ばれる２つの位相空間回転技術を用いて非対称ビームを生成することを提案した。
今回は RFBT と TLEX を高エネルギー加速器研究機構超伝導リニアック試験施設(KEK STF)にて行う前段階としてシミュレーション、行列計算、Cavity の電磁場計算を行った。しかしながら、理論やシミュレーターへの理解が不十分であり RFBT、TLEX ともにシミュレーションで再現するに至らなかった。今後の見通しとして STF での実験に向けて、RFBT および TLEX への理解を深めるとともにシミュレーションで再現し、エミッタンス交換可能なEEX の設計を行う予定である。

謝辞

Figure 6: Ez (x-z plane).

本研究を進めるにあたり、研究に対する思考や加速器物理について根気強く丁寧に指導してくださった栗木先生に感謝申し上げます。また共著者の方々には今回の発表でシミュレーション結果まで示せなかったことをお詫び申し上げます。今後の RFBT および TLEX の再現実験に向けて研究活動に励んで参ります。

Figure 7: Ez (x-y plane).

Figure 8: Bx (View from z-direction).

Figure 9: By (View from z-direction).
電場強度 Ez ~10のオーダーであり、,磁束密度 Bx,By ~10に従った分布を描いている。

- 1074 -