特集電子と不確定性の世界

不確定性原理の新しい姿

小澤正直

おざわ

まさなお

名古屋大学大学院情報科学研究科

量子力学の基本原理として有名な不確定性原理は，微視的対象に関するわれわれの認識には大きな制約

プランクの量子仮説があることを明らかにし，ニュートン力学の描く決定論的な世界観を覆すという大きな社会的影響を与いつの時代も，産業からの要請は科学を推進すえた。しかし，その定量的表現をめぐり，不確定性

る大きな原動力である。情報化社会の現在，「産原理の正当性には教科書の記述においてさえも曖昧

業の米」とたとえられるのが半導体だとすれば，な部分が残されていた。最近の研究で明らかにされ産業革命を経た当時の産業を支えたのは，「鉄はたその新しい姿を紹介する。

国家なり」と呼ばれ，「産業の米」と呼ばれた鉄であった。古来，製鉄技術は，千数百度といわれラプラスの悪魔る熔鉱炉の温度の維持管理に依存したが，当時，
この課題は，分光学という新しい物理学を生みだ

人類は古くから天体の運行に関心を抱き，星のした。熔鉱炉から発せられる輻射のスペクトル分

配置から季節を知り，農業に必要な暦を作成した。

布と温度の関係は，無限に多くの振動子に対するニュートン力学は，天体の運行を予測することに運動方程式を確率的に扱う統計力学の方法で扱わかけた人類の知恵の集大成であるとともに，われれた。ヴィーンの公式，レイリー・ジーンズの公われの経験世界が本来的に予測可能であるという式が生まれ，これらの公式を実験的に検証するこ

決定論的世界観を生み出した。ニュートンの運動とが大きな問題とされた。ドイツの国立研究所で方程式は，質点の位置の時間に関する 2 階微分行われた実験研究は，産業への応用上，十分な精方程式であり，2 つの初期条件が定まれば，解が度でそれらの公式が実証された後も，世界一の精一意に決定する。つまり，過去の位置と速度（また度を目指して続けられた。高温かつ長波長の実験

は，運動量）
を知れば，過去・未来すべての時刻にが可能になるにつれ，従来の公式の不備が明らかおける運動を知ることができる。もちろん，解がになり，実験データを説明する正しい公式は何か存在することと，解くことができることには大きという問題が提起された1。

な隔たりがあるが，ラプラスの悪魔のたとえ話は，

1900 年にこの問題を解決したドイツの物理学

理想的な知性にとってそれが可能であるとした。

者プランクの成果は，よく知られている。プラン

19 世紀末は，物理学者がラプラスの悪魔に最もクは，まず，実験データをよく再現する実験式を近づいたと感じた時期であった。

導いたが，その物理的意義を見出すための努力の結果，その公式は，振動子のエネルギーがとびと

New formulation of the uncertainty principle

Masanao OZAWA

0778

KAGAKU

Jul. 2012 Vol.82 No.7

びの値をとるという仮説（量子仮説）から理論的に導かれることを突き止めた。プランクの量子仮説は

素過程に関する間接的な仮説に過ぎなかったが，を発見した。波動力学では，質点の状態を表わす

1905 年にアインシュタインが光電効果の理論を波動関数が波動方程式と呼ばれる偏微分方程式に作り上げると，光と物質が交換するエネルギーは， 従って変化する。行列の計算に慣れていない当時
プランクが仮定したのと同じとびとびの値しかとの物理学者には，波動力学が好まれ，広まっていらないことが明らかになった。

った。シュレーディンガーは，波動関数が空間に実在する波を表わし，量子力学において連続性がハイゼンベルクの行列力学回復されたと主張したが，ボルンは，波の正体が確率振幅という抽象的な数学概念であることを明

量子力学はこのような古典力学と相容れない仮らかにし，その主張を退けた。

説をより根本的な原理から系統的に導くための新
しい力学の体系として生まれた。1925 年にハイハイゼンベルクの不確定性原理

ゼンベルクによって発見された行列力学は，物理量の非可換性というまったく新しい数学的仕組み

ハイゼンベルクが取り組んだ次の問題は，物理によって量子仮説を説明した。質点の位置（の座標量の非可換性，特に，交換関係（1）の操作的意味成分）を表わす物理量を Q，運動量（の対応する成分）は何かということであった。これには，アインシを表わす物理量を P とする。古典力学では，物ュタインの「何が測定可能かはその理論自身が決理量は実変数で表わされ，かけ算は交換法則を満めるべきだ」という助言を指針にしたと伝えられたす。したがって，PQ-QP=0 が成り立つ。一る。1927 年に有名なガンマ線顕微鏡の思考実験

方，行列力学では，物理量は無限次のエルミートから導かれた結論は，非可換な物理量である位置

行列 で表わされ，とりうる値はその固有値であQ と運動量 P を同時に正確に測定することはでるという仮説が導入された。すると，質点の位置

きず，その測定誤差 f(Q), f(P) には＊1を表わす行列 Q と運動量を表わす行列 P の間にf ]Q g f ]P g $交換関係

PQ-QP =

h
I
2ri

（1）

h
4r

（2）

という関係があるということであった＊2, 3。この
不確定性原理は，微視的スケールでは，粒子の位が成立すれば，Q と P が連続的な値をもつにも置と運動量を共に正確に知ることができないことか か わ ら ず，振 動 子 の エ ネ ル ギ ー を 表 す 行 列
1
1 2 m~2 2P+
Q が離散的な値 ho d n+ n (n=0, 1, 2,
22m
2…) しかとらないことが示された。ただし，I は単を定量的に明らかにし，ニュートン力学の決定論

位行列，h はプランク定数，m は質量，o は振動

ここで，「同時に」という言葉に注目すると，

数，~ は角振動数を表わす。

的世界観を覆したことで大きな社会的反響を呼んだ。
これは，Q と P に対して必ずしも「同時に」測

このようにしてハイゼンベルクは量子力学の最定装置を作動させることを意味するのではなく，初の発見者となったのであるが，翌 1926 年には，同時刻の Q と P をともに正確に決定できないとシュレーディンガーが波動力学という別の定式化

解釈すべきである。実際，ガンマ線顕微鏡の思考実験では，位置 Q を誤差 f(Q) で測定すると，そ＊1―量子力学の基本的な枠組みに関して，後に，フォン・ノの測定の反作用によって，運動量 P が h(P) だけ

イマン によって数学的に異論のない公理系が与えられた。そ2

れによれば，物理量はヒルベルト空間の稠密な部分空間で定義された超極大エルミート作用素（現代的用語では，自己共役作用素）で表わされる。これは，実数パラメータの単位の分解をもつ作用素として特徴付けられる。

＊2―ただし，ハイゼンベルクの原論文では，f(Q)f(P)〜h と
h
書かれ，正確な下限の値は後にケナード4によって導かれ4r
た。

不確定性原理の新しい姿

科学

0779

ぎは，A を誤差なしで測定する装置を用い，同一

変化し，それらの間にf ]Q g h ]P g $

h
4r

（3）

の状態で多数回測定したときに現れる測定値のばらつきの大きさで，測定値の 2 乗の平均から測という関係があることを示している。この h(P)定値の平均の 2 乗を引いた値の平方根と定義さを運動量 P の擾乱と呼ぶ。この場合，Q の測定れる。

直後の P を正確に測定しても，Q の測定直前の P

ハイゼンベルクによる不等式（3）の導出では，

に関する測定誤差は，f(P)=h(P) で与えられ，式ケナードの不等式（4）を測定直後の波動関数に適（2）が得られる。

用している。古典力学では，系を乱すことなく，

ハイゼンベルクは，「誤差」と「擾乱」の一般

位置 Q を正確に測定してから，運動量 P を正確的な定義を与えていないが，後述するように，誤に測定することができ，その結果，少なくともそ差は，真値と測定値の差の平均的な値，擾乱は，れらの測定の直後には，位置 Q と運動量 P がそ

測定の前後での平均的変化量と解釈される。また，

れぞれの測定値で定まる確定した値をもっている

この「平均的」とは，ゆらぎとの関係に関する議ことが知られる＊5。量子力学では，測定により状論から「2 乗平均平方根」の意味で解釈すべきで態が変化する。位置 Q を正確に測定してから，ある。

運動量 P を正確に測定したとしても，測定直後の状態はケナードの不等式を満たすので，位置とケナードの不等式

運動量が確定した状態が得られることはない。したがって，測定直後の波動関数に着目することで，ハイゼンベルクは，式（3）をガンマ線顕微鏡の不確定性原理の導出が期待される。しかし，ハイ思考実験で導いた直後に，「この関係は，交換関ゼンベルクの議論を現代的に吟味すると，次の二係（1）の数学的帰結である」と述べて，数学的正,（H2）を暗黙のうちに仮定していつの条件（H1）

当化を試みている。その中で，交換関係（1）からて，無条件で不確定性原理が導かれるわけではな

ディラック・ヨルダンの理論を通して，任意のガ

いことがわかる。
（H1）
波束の収縮により位置 Q

ウス型波動関数において，位置のゆらぎ v(Q) とのゆらぎが減少するため，測定直後の波動関数で運動量のゆらぎ v(P) の間に

Q の誤差 f(Q)は f(Q)$v(Q) が成り立つ。
（H2）v ]Q g v ]P g $

h
4r

（4）

と P の擾乱 h(P) は測定直前の状態に依存しない。
仮定（H2）から，測定直前には，測定される質という関係が成り立つことを示した＊3。位置と運点が静止していたとしても一般性を失わない。す動量のゆらぎに関するこの不等式は，ハイゼンベ

ると，測定直後の波動関数がもつ運動量のゆらぎ

ルクの論文発表直後に，ケナード によって任意はすべて測定のプロセスに由来すると考えられるの波動関数に対して成立することが証明され，ケか ら，h(P)$v(P) が 成 り 立 つ。し た が っ て，

ナードの不等式と呼ばれるようになった 。

（H1）,（H2）の下でケナードの不等式（4）からハイ「ゆらぎ」というのは，与えられた状態で測定

ゼンベルクの不等式（3）が得られる＊6。

4＊4

装置に関わりなく存在する量子物理量の値の不確定性であり，測定誤差とは異なる概念である。一般に，与えられた状態における物理量 A のゆら＊5―実際は，測定が系を乱さないので，それらの測定の直前にも位置と運動量の値がそれぞれの測定値をもっていたと結論される。
＊6―ハイゼンベルク3は，さらに，測定直後の状態がガウス型＊3―本稿では，「ゆらぎ」とは「標準偏差」のことと定義する。

波動関数であると仮定して，自身が導いたガウス型波動関数に＊4―ただし，ケナードの原論文では，「ゆらぎ」を「標準偏対する式（4）を適用しているが，ケナード4によって式（4）が任差」の 2 倍と定義しているので，「ゆらぎ」の積が満たす下
h
限は
とされた。
2r

意の波動関数に対して証明されたので，この仮定は落とすこと

0780

KAGAKU

Jul. 2012 Vol.82 No.7ができる。

上の議論から明らかなように，ハイゼンベルク

うな主張は，通常，コッヘン・シュペッカーの定は，ゆらぎの関係（4）と誤差と擾乱の関係（3）を理と呼ばれているが，この定理の証明は，ケナー

混同していたのではなく，測定直後の状態がゆらドの不等式から容易に導かれるようなものではなぎの関係（4）を満たすという数学的事実から，誤い。たとえば，ブラウン運動をする粒子も位置と差と擾乱の関係（3）が帰結すると主張したのであ

運動量のゆらぎをもっているが，位置と運動量はる。しかし，後に，ケナードの不等式（4）は，ハ同時に確定した値をもつと考えられ，ニュートン

イゼンベルクの不等式（3）の形式的表現であると力学の決定論的世界観に従うと考えられる。ゆらしばしば説明されるようになった 。上の検討かぎがあるというだけから，ゆらぎの原因がわれわ

ら明らかなように，式
（4）
は式
（3）
を一般的にはれの無知によるものか，それともそもそも同時に＊7導かない。というのは，ハイゼンベルクの議論は， 確定した値をもたないことによるものなのかを判
他に付加的な条件を仮定しているからである。ケ

定することは難しい問題である＊9。

ナードの不等式（4）がハイゼンベルクの不等式（3）の形式的表現であるという説明は，その仮定

ロバートソンの不等式を無視していることになる。
一方，「不確定性原理」は，測定誤差や擾乱に

1929 年にロバートソン6は，ケナードの不等式

関する不等式ではなく，位置と運動量のゆらぎに（4）を任意の物理量 A, B に対して，次の形に一般関するケナードの不等式を意味するという説明が化した。

なされることもある＊8。確かに，ケナードの不等式が交換関係の帰結として極めて根本的な公式でv ] Ag v ]Bg $1
6 A, B@2（5）あることには違いない。また，量子状態の性質を

ここで，[A, B] は交換子 [A, B]=AB-BA を表わ

よく表し，原子の安定性を導く議論で利用された

し，v と g は，それぞれ与えられた状態におけりする。しかし，その場合は，「不確定性原理」

るゆらぎと平均値を表わす。これに伴い，ハイゼ

は，粒子の位置と運動量を共に正確に知ることがンベルクの不等式（3）も任意の物理量 A, B に対しできないことを表わしているとは言えないであろて，A の測定における誤差 f(A) とそれに伴う B

うし，ニュートン力学の決定論的世界観を覆したの擾乱 h(B) に関する次の関係に一般化される。

ことで大きな社会的反響を呼んだ「あの関係」ではないことになる。つまり，「不確定性原理」を

f ] Ag h ]Bg $1
6 A, B@2（6）

特徴付ける認識論的な結論をケナードの不等式か

ここで， g は測定直前の期待値を表わす。そのら直接導くことはできないと考えられる。という後の研究で，A と B の同時測定の誤差 f(A), f(B)のも，この不等式は，量子力学における唯一の認に関する一般化されたハイゼンベルクの不等式

識過程である測定という概念と無関係に導かれたからだと言えよう。

f ] Ag f ]Bg $1
6 A, B@2（7）

また，量子力学の実在論的解釈をめぐって，が，A, B 双方について不偏的，つまり，任意の「ケナードの不等式から，位置と運動量は同時に状態において A, B それぞれの測定値の平均値が確定した値をもたないことが結論される」と説明されることもあるが，これも疑問である。このよ＊9―たとえば，EPR のパラドックスは，そのような判定が難しい例を与える。事態を単純化したスピンのケースでは，スピ＊7―たとえば，フォン・ノイマン『量子力学の数学的基礎』
2（邦訳）の 233 ページを参照。

ンの異なる 2 成分が局所的な隠れた変数によって確定されてはいないと結論されるが，それはケナードの不等式を一般化した＊8―たとえば，ニールセンとチャンの量子情報と量子計算のロバートソンの不等式が表わしているのではなく，ベルの不等

教科書5の 89 ページ参照。

式から結論される。

不確定性原理の新しい姿

科学

0781

真の平均値に等しい測定について成立することがが物理的に可能であるか否かに絞られた。そのよ

導かれた。この関係から，A の平均誤差（真値とうな測定は，前述のハイゼンベルクの仮定（H1）

測定値の差の単純な平均値）と B の平均擾乱（測定前後の変を満たさないので，不確定性原理（3）と矛盾する化量の単純な平均値）
が任意の状態において共にゼロと考えられた。1988 年に筆者の研究により誤差

なら，式（6）が成立することが導かれる 。

のない収縮状態測定が可能であることが示されて，

7〜9

10

この論争は解決した12, 13。また，この誤差のない

重力波の検出と不確定性原理の破綻

収縮状態測定は，不確定性原理（3）を打破することも直接示された。

ハイゼンベルクの不等式（3）の正当性に関する

今 日 で は，式
（2）
，（3）
，（6）
，（7）
で示される

吟味は，長いこと不問に付されてきた。というのハイゼンベルク限界は，理論的には打破可能な限も，右辺のプランク定数は極めて小さな量であり，界であると考えられている14。しかし，そうだとこの関係を検証・反証できるほど精密な測定技術

すれば，次の課題が残される。式
（2）
が打破可能

がなかったためである。不確定性原理の正当性が，であるとしても，ハイゼンベルクが本来目指した，思考実験を越えて，実験による反証可能性を前提

どのような測定によっても破ることのできない測に議論されるようになったのは，レーザーによる定の普遍的限界は，存在するはずであり，それは，精密測定技術が進歩した 1970 年代以降である。

どのように定式化されるであろうか？ また，ハ1970 年代末に量子光学の技術を利用して重力イゼンベルク限界が打破されることは，実際に実波の検出を試みるというプロジェクトが計画され験で直接的に検証することができるのであろう

たときに，ハイゼンベルクの不確定性原理から重か？

力波検出装置の検出限界が導かれるという考えが広まった。1980 年に，ブラジンスキー，ヴォロ

不確定性原理の新しい定式化

ンツォフ，ソーン は，干渉計型検出器のように
11

自由質点の位置を監視することにより重力波の検

この課題に対して，2003 年に，任意の状態に出を行なう検出装置には，不確定性原理（3）に由お い て，2 つ の 物 理 量 A, B の 同 時 測 定 の 誤 差

来する感度の限界が存在すると主張した。この感

f(A), f(B) の間に度限界は，「標準量子限界」と呼ばれ，広く受け入れられた。しかし，1983 年にユエンは，測定

f ] Ag f ]Bg+f ] Ag v ]Bg+v ] Ag f ]Bg $後の状態を「収縮状態＊10」と呼ばれる状態に変という関係が普遍的に成り立つことが，一般的な化させる「収縮状態測定」によって，標準量

量子測定理論から証明された10, 15。ただし，v は子限界が打破可能であると主張して，その正否を測定直前のゆらぎを， g は測定直前の期待値をめぐり論争が起こった。1985 年にケーヴスによ表わす。この不等式の形は，これまで想定された

り標準量子限界の定式化が精密化されたことによことがなかったもので，「小澤の不等式」と呼ばり，論争の焦点は，測定精度の高い収縮状態測定

れるようになった。交換関係（1）
から，位置 Q と

＊11

1
6 A, B@ （8）2

運動量 P の同時測定に関しては，＊10―自由質点の位置のゆらぎは時間とともに上に開いた放物線を描いて変化する。位置のゆらぎが減少して，与えられた
x20 に対して x 秒後にほとんどゼロになる自由質点の状態をf ]Q g f ]P g+f ]Q g v ]P g+v ]Q g f ]P g $

h
4r

（9）

収縮状態と呼ぶ。

が成り立つ。また，物理量 A の任意の測定の誤＊11―測定後の状態が収縮状態になる位置測定。時間間隔 x 秒

差 f(A) とそれに伴う物理量 B の擾乱 h(B) についごとに自由質点を収縮状態測定すると，その間，外力の影響がないならば，前回の測定値から次回の測定値がほとんど確実に予言できる。

0782

KAGAKU

Jul. 2012 Vol.82 No.7ては，次の不等式が成り立つ。

f ] Ag h ]Bg+f ] Ag v ]Bg+v ] Ag h ]Bg$

1
6 A, B@2で表わされるので，その変化量は行列 B(Dt)（10）

B(0) で表わされる。したがって，測定の初期状態で定まる平均値を g で表わすと，B の擾乱はh ]Bg2 = 6B ]Dt g-B ]0g@ 2

不等式（8）は，一般化されたハイゼンベルクの不等式（7）と比べて，二つのクロスターム f(A)v(B)（11）と定義される。

および v(A)f(B) が存在し，この項のおかげで，一方，測定誤差とは，測定前の真値と測定によ

誤差と擾乱の積 f(A)f(B) を一般化されたハイゼって得られた測定値の差の 2 乗を平均したもの

ンベルクの不等式（7）
より遥かに小さい値にするの平方根（2 乗平均平方根誤差）を意味する。「測定前ことが可能である。

の真値」は t=0 における物理量 A の値を意味し，

不等式（9）では，v(Q) または v(P) が無限大な行列 A(0) で表わされ，「測定によって得られる測らば，f(Q), f(P) を共に無限小にできるので，位定値」は t=Dt における測定装置の指針の位置

置と運動量が同時測定可能な例外的な場合が許容

M を意味し，行列 M(Dt) で表わされる。量子力

されている。実はそのような可能性は，以前から学では，交換可能な行列に対応する二つの物理量

知られていた。それは，アインシュタイン，ポドの値は，古典力学と同様に考えることができる。

ルスキー，ローゼンによって発見された 2 粒子

そこで，初めに A(0) と M(Dt) が交換可能な場合

系のいわゆる EPR 状態において，粒子 1 の位置を考えよう。この場合は，A(0) の値が a であり，と粒子 2 の運動量を測ることによって，粒子 1

M(Dt) の値が m である結合確率 P(a, m) が量子力の位置と運動量の同時測定が可能であるというシ学から定まる。したがって，この場合の測定誤差ュレーディンガーの指摘として知られている 。

は，

16「位置と運動量は正確な同時測定が不可能であf ] Ag2 = ! ]a-mg2 P ]a, mg

る」という主張の前に「位置と運動量のゆらぎがと定義される。また，この式は，

したがって，不確定性原理の定性的表現としては，ともに有限な状態においては」という但し書きが必要であることがわかった。

（12）

a, m

f ] Ag2 = 6 A ]0g-M ]Dt g@ 2（13）と同等である。ただし， g は，測定の初期状態から定まる平均値を表わす。したがって，誤差誤差と擾乱の定義

f(A) は，式（12）で定義されたといってもいいし，
式（13）で定義されたといってもいい。

量子測定理論では，測定の過程を被測定系と測問題は，A(0) と M(Dt) が交換可能でない場合

定装置の間の物理的相互作用としてモデル化するである。この場合は，一般に，A(0) の値が a でことができる。簡単のため，物理量は有限次のエあり，M(Dt) の値が m である結合確率 P(a, m) がルミート行列で表わされるとする。今，ある系（被存在しないので，式（12）によって f(A) を定義す測定系）の時刻 t=0 における物理量 A を測定するることはできない。しかし，式
（13）
の右辺の値

ためにその系と測定装置を時刻 t=0 から t=Dtは存在するので，式（13）によって f(A) を定義すまで相互作用させたとする。

ることができる。この式では，誤差は真値を表わ

この場合，被測定系の任意の物理量 B の擾乱は，す物理量 A(0) と測定値を表わす物理量 M(Dt) の測定の前後での B の変化量の 2 乗平均平方根で差の 2 乗平均平方根として定義される。つまり，ある。量子力学のハイゼンベルク描像によれば，

古典力学では，A(0) の値 a と M(Dt) の値 m の差

各時刻 t における物理量 B を表わす行列 B(t) がを 2 乗して平均したものと，A(0) と M(Dt) の差存在する。したがって，測定直前の B は物理量

A(0)-M(Dt) の値を 2 乗して平均したものは同じ

B(0) で表わされ，測定直後の B は物理量 B(Dt)

ものであるが，量子力学では，後者だけが意味を
不確定性原理の新しい姿

科学

0783

もつ。

とは，たとえば，わからない問題に対しては，ま古典力学では一義的に決まる概念でも，量子力

ぐれ当たりを期待した解答を書くこともあるが，学では一義的に決まらないことはよく知られてい

まぐれ当たりを目指して受験準備をする受験生はる。た と え ば，古 典 力 学 で は，Q P , QP Q,

いないことからも明らかであろう。

2

2

2

(Q P +P Q )/2 は同一の物理量を表わすが，量また，誤差の定義は測定される状態に依存する

子力学的では，Q P はエルミート行列でないのべきではないという意見もあるが，状態に依存しで物理 量 を 表 わ さ ず，QP Q と (Q2P 2+P 2Q2)/2

た誤差の定義から状態に依存しない定義を得るこは異なる物理量を表わす。同様に誤差の定義とは容易であるので，状態に依存した誤差の概念

式も式（13）の他にいくつかの理論的可能性があは，状態に依存しない誤差概念の上位概念である

るが，どの定義を選ぶべきかは，理論展開の容易と位置づけることができる。たとえば，顕微鏡にさ，理論的帰結の豊かさ，実効的計測可能性等のよる位置測定の誤差が，顕微鏡の分解能と見なさ基準に依存する。

れるのは，測定対象が顕微鏡の視野の中に局在す

2

2

2

2

2 2

2

＊12

誤差論の創始者ガウス は，誤差に対してはある非常に限られた状態においてのみであり，分解る損失が対応するが，個々の観測の誤差をどのよ能という概念もまた対象の状態と無関係に定義さうな損失に相当させるべきかは決して自明なことれるものではない。

17ではないと述べている。2 乗平均を採用するにあたって，常に正の値をとる関数で最も単純なもの

誤差の計測法として，2 乗関数が用いられるべきであると述べている。また，ラプラスが同じ問題に対して，絶式（13）にもとづいた誤差の定義の優位性とし対値関数を採用したことについて，それが微分不て，その実効的計測可能性がある。定義式（13）可能であり，高度な解析的扱いに逆行するので，からわかるように，f(A) を計測する方法の一つは，2 乗関数のほうが優れていると述べている。このA(0)-M(Dt) に対応する物理量を多数回測定して，判断は歴史的に正しかった。誤差とは，測定値の測定値を 2 乗して平均し，平方根をとればよい。

信頼性に関する一つの尺度であり，どの尺度が最しかし，A(0)-M(Dt) に対応する物理量が何なのも有効かに対してア・プリオリに正しい判断が存かは，測定装置の仕組みを熟知していなければわ

在するという考えは，ガウスにもなかったが，標からないので，このような方法は実際的ではない。

準的な尺度を定めることの有効性は，十分に明ら一方，まず，時刻 t=0 に A(0) を測って測定値 aかであった。

を 得，次 に，時 刻 t=Dt に M(Dt) を 測 っ て，測なお，測定装置としてどうかと思われるもので定値 m を得るということを多数回行い，それらも，ある状態で誤差ゼロの測定ができる場合があの差を 2 乗し，平均して，平方根をとれば，f(A)る。たとえば，針が 60 kg のところに固定されたが得られそうに思われる。しかし，実はこの方法

壊れた体重計で x kg の体重の人の体重を量ると，では，A(0) と M(Dt) が交換可能でない場合に，誤差は x-60 kg となり x=60 なら誤差はゼロでA(0) を測定する過程で M(Dt) の値が変化してしある。誤差が真値と測定値の差に由来する損失をまい，正しい f(A) が得られない。

測るということから，当然，まぐれ当たりで損失

このような欠陥を取り除いた新しい計測法が最を免れる場合が生まれる。そのことがその測定装近研究されていて，それを「弱測定法」と呼ぶ。

置がいいということをまったく意味していないこ

この方法は，A(0) を測るときにその影響を与えないように弱く測定し，引き続いて M(Dt) を通＊12―QPQ と (Q2P+PQ2)/2 は，交換関係のおかげでたまた
ま同一の物理量を表わす2。

0784

KAGAKU

Jul. 2012 Vol.82 No.7

常の方法で測定する。弱く測定することにより，個々の測定値の信頼度は下がるが，多数回のデー

タ の 統 計 に よ り，A(0) の 値 が a で あ り，M(Dt)

ラメータ値で制御されるスピン測定の実験状況をの値が m である弱結合確率 PW(a, m) が得られる。

設定し，それぞれのパラメータ値に対する誤差と弱結合確率とは，複素数や負の値をとることもあ擾乱を 3 状態法で求めることを目標とした。私る結合確率の拡張概念であるが，A(0) と M(Dt)の理論計算では，すべてのパラメータ値において，が交換可能でないときにも，理論的に存在し，弱従来の不等式（6）は不成立であり，新しい不等式

測定の方法で計測可能なものである。この弱結合（10）は成立するということが期待された。

確率を用いると，測定誤差は，

f ] Ag2 = ! ]a-mg2 RPW ]a, mg
a, b

詳しく述べると，対象となる測定装置は x 軸（14）から y 軸に角度 z (0#z#r/2) だけ振った方向のス
ピン成分 vz=cos zvx+sin zvy を射影測定する装と式（12）と同様の式で計算される。ただし，0置で，スピンの状態が ]= vz=1 の場合に A=vx

は実数部分を表わす。

に対する誤差と B=vy に対する擾乱を 3 状態法

他に，この弱測定法を簡略化した方法として，で計測するものである。理論計算によると，「3 状態法」と呼ばれる方法が開発されている 。
18f ] Ag = 2 sin

これは，初期状態 ] で A(0) の弱測定を行う代わh ]Bg =

りに，初期状態として ], A], (A+I)] という 3 種の状態を準備する方法であり，これらの状態でM(Dt) を測定すると，「弱測定法」で得られるデータと同等のデータを得ることができる。

z
,
2

（15）

2 cos z（16）が得られる。状態 ]= vz=1 に対しては，下限の1
6 A, B@ =1 および
値とゆらぎは，それぞれ，
2v(A)=v(B)=1 を満たすので，不等式（6），（10）
を書き直すと，

実験的検証f ] Ag h ]Bg $ 1,

（17）]f ] Ag+1g]h ]Bg+1g $ 2

小澤の不等式（10）の検証実験は，A, B がスピ（18）

ン成分の場合にウィーン工科大学原子研究所の長となる。これから，旧不確定性原理（6）と新不確

谷川祐司准教授と共同研究で進められた。長谷川

定性原理（10）で許容される誤差 f(A) と擾乱 h(B)

氏とは，私がアドヴァイザーを務めていた科学技の組をプロットすると，図 1 のようになる。旧

術振興機構「量子と情報」領域さきがけ研究が縁

不確定性原理（6）
では，領域 (H) の下の部分は，となって 2004 年に知り合った。長谷川氏は，ウ

許容されなかったのが，新不確定性原理
（10）
では，

ィーンの原子研究所で世界で初めて中性子干渉実

2 つの曲線に囲まれた領域 (O) の部分が許容領域

験を成功させたラオホ教授の後継者であり，中性に 含 ま れ る。ま た，本 実 験 の 設 定 で 得 ら れ る子を用いた量子力学の基本原理の検証実験の研究を当研究所で 10 年以上続けてきた実績をもつ。

f(A), h(B) の 様 々 な z ]0#z#r/2g に 対 す る 軌 跡 を求めると，中性子を用いた実験は，光を用いた同様の実験と

h ]Bg =

比べて極めて高い測定精度が得られることに特色

1]2-f ] Ag2g2（19）がある。年 2 回泊まり込みで行われた領域報告が得られ，図 1 の曲線 (E) のようにプロットされ会で親交を深めるにつれて，「小澤の不等式」のる。したがって，この実験で得られる f(A), h(B)

検証実験を長谷川氏の装置による中性子のスピンの組はいずれも旧不確定性原理（6）では，許容さ測定で実現することに話がまとまっていった。
一般化されたハイゼンベルクの不等式（6）がス
ピン成分の射影測定で破られることは既に発見していた ので，スピンの射影測定を含む様々なパ19れなかった値の組であり，確かに新不確定性原理（10）によって拡大された許容領域に含まれている。
実験は順調に進み，データが揃った頃に，光の不確定性原理の新しい姿

科学

0785

h（B）
3.0

きたのは，実験技術の進歩により，光通信や重力2.5に量子測定の概念が完全正写像値測度という数学

波検出などの新しい試みが現れて後，1980 年代
概念で完全に特徴付けられるということが示され2.0てからである22。この成果によって，「どんな測定も越えることのできない」という言葉を数学に

1.5 （E）

翻訳することが可能になった。しかし，まだ，1.0「誤差」という概念の定義ができていなかった。
（H）

0.5
（O）
0.0
0.0

0.5

1.0

本稿で解説した誤差概念は，1988 年，標準量子限界の正否をめぐる議論で定式化が与えられた12。

1.5

2.0

2.5

3.0 f（A）

図 1―旧不確定性原理の許容領域（H），新不確定原理の許容領
域（O），および，スピン成分の射影測定による誤差・擾乱関係（E）

弱値や弱測定という概念は，同じ頃，アハラノフ
らによって導入されたが，上の誤差の定義には，それとは独立に，弱結合確率に対応する概念が用いられた。この 1988 年の論文で，ハイゼンベル

偏光測定に関する「弱測定法」を利用した検証実

クの不等式を満たさない位置測定のモデルが初め

験が，ルンドとワイズマン によって提案された。 て構成された。
20

この論文発表は，実験方法だけで実際の実験は行

科学的主張には，反証可能性がなければならな

わ れ て い な か っ た。「弱 測 定 法」よ り「3 状 態

いとよく言われる。また，科学的主張の検証は，法」のほうが，仮に同じデータをとるのであって何らかの理論とまったく独立には行われないといもはるかに容易だったため，われわれの実験が一う意味で理論負荷性があると言われる。ハイゼン

番乗りする成算は十分にあった。論文作成には思ベルクによる不確定性原理の定式化には，曖昧ないのほか時間を費やし，レフェリーとのやり取り点が多くそのままでは反証可能性がなかったと言など紆余曲折もあったが，2012 年 1 月に無事，えるであろうし，量子測定理論や誤差の理論が完論文発表にこぎ着けた 。ルンドとワイズマンの備された最近まで，その検証を行うための理論的方法は，カナダでスタインバーグのグループが実整備がなかったと言えるであろう。本稿で議論し験を行い，今年 3 月の米国物理学会の春季ミーてきたように，量子測定理論の現在までの成果は，ティングなどで学会発表を行っている。論文発表

誤差と擾乱の定義を与え，その計測方法を明らかは楽しみだが，まだのようだ。国内では，春の物にし，ハイゼンベルクの定式化の破れを予測する理学会で東北大の枝松グループによって光の偏光とともに，普遍的な関係式を明らかにし，それら測定における「3 状態法」による検証実験に関すの予測を実験のデータとして実証することに成功

る発表があった。

した。

21

＊

＊

量子測定の誤差と擾乱に関する基本関係式とそ

不確定性原理は，量子力学の根本原理として，の計測可能性は，新しい計測可能量に関する新し高校の教科書にも紹介されている。しかし，「どい科学・技術の発展を予想させる。既に，「小澤

んな測定も越えることができない誤差の限界」をの不等式」から，従来，ウィグナー・荒木・柳瀬

正しく定式化するという問題の解決には，ハイゼの定理と呼ばれてきた，保存法則の下での量子測

ンベルクの提唱以来 80 年近くを費やしたことに定の制約を定量的に一般化する公式が導かれ，量なる。量子力学は古典力学と異なり，測定の理論

子計算の精度限界の導出に利用されている。また，が不可欠であるとは，草創期から言われてきたこ

量子暗号は，不確定性原理にもとづいて暗号の安とであるが，量子測定理論の確固とした基礎がで全性が担保されるとされてきたが，本研究で示さ

0786

KAGAKU

Jul. 2012 Vol.82 No.7

れた新しい不確定性原理と誤差と擾乱の計測技術
は，より強力で汎用的な新しい量子暗号技術に応用されることが期待される。

9―M. Ozawa: in ‘Quantum Aspects of Optical Communications’,（1991）
pp. 3〜17
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不確定性原理の新しい姿

科学0787