日本ロボット学会誌 Vol. 22 No. 3, pp.370〜376, 2004

370

学術・技術論文

要求加速度・平衡力集合を用いた物体の把持の最適化
渡辺 哲 陽∗1

吉 川 恒 夫∗2

Optimization of Grasping an Object by Using Required Acceleration andEquilibrium-Force Sets
Tetsuyou Watanabe∗1 and Tsuneo Yoshikawa∗2
In this paper, we deal with an optimization of grasping when we not only resist an external force applied to a
grasped object but also generate a desirable acceleration of the object. Based on the concept of required external
force set, we define required acceleration and equilibrium-force sets. By using the sets, we define an optimization
problem from the viewpoint of decreasing the magnitudes of the joint torques required to generate the accelerationand the equilibrium-force, and show that we can solve the problem by using a branch-and-bound method. We alsopresent numerical examples in order to show the validity of our approach.
Key Words: Manipulation, Optimization, Grasping, Branch-and-bound Method, Required External Force Set

る場合，パワーグラスプと呼ばれる．パワーグラスプに関する

1. は じ め に研究としては，小俣ら [14] の不静定把持力の計算や，張ら [15]テーブルの上の物体をロボットハンドにより持ち上げる．ロの限界外力空間，吉川ら [16] [17] の最適化などの研究がある．

ボットハンドによって望みの方向に物体を動かす．これらの操

これまでの接触点最適化の研究 [2]〜[9] では，物体に加速度

作は，ロボットハンドと物体との間の接触点を適切にとらずにを発生させることと，重力などの外力に抵抗する力を物体に作は行えない操作である．このことから，ロボットハンドによる用させることが区別されずに最適化が行われてきた．包み込み物体の把持において，接触点を物体上のどこに置いたら望みの把握などのように，一つの指に物体との接触点が複数存在する把持が得られるかの研究が盛んに行われている [1]〜[11]．

場合や，物体を把持している指が，指先接触力の次元より小さNguyen は，force-closure と呼ばれる把持の安定状態の構成法を考察している [1]．この force-closure を保ちながら，接触な数の関節しか持たない場合，ロボットハンドと物体との間に力ノルム最小化などの評価関数を最適化するような接触点の組ず，（一部）機構的に発生することもある．このため，ある方向

あるいはその領域を求める研究が行われている [2]〜[9]．また，の外力に抗する力を発生できたとしても，その方向に加速度を

小俣や Trinkle らは，重力影響下において，テーブルの上の物発生させることができるとは限らない．ゆえに，物体に加速度

体を平衡把持するための接触点の領域を求めている [10] [11]．

を発生させることと，外力に抗する力を物体に作用させること働く接触力は，必ずしも関節駆動力によって発生するとは限ら

force-closure は，以下の 2 通りの解釈ができる概念である．

を区別することは重要である．そこで本論文では，把持する物“指関節のトルクを作用させることで，物体に任意方向の加速度または角加速度を発生させることができる”．“任意方向の力・体に加わる外力に抗しながら，望みの方向に加速度を発生させたい場合の把持の最適化問題を扱う．

モーメントが物体に加わっても，それとバランスするような合本論文では，要求外力集合 [16] [17] の概念を拡張して使用す力・モーメントが各接触点での接触力によって発生できる”．前る．要求外力集合とは，物体に加わる，ロボットハンドによっ者の概念を，吉川は能動拘束と呼んでいる [12]．能動拘束の概て抗しなければならない外力の集合である．この概念をもとに，念を複数物体の把持に拡張した研究に，原田ら [13] の研究があ

物体に発生させたい加速度からなる要求加速度集合と，重力のる．また，後者の概念は，外力に抗する力を機構的に発生できように，物体の位置姿勢を保つためには補償しなければならな
い外力に抗する力からなる要求平衡力集合を定義し，これらの原稿受付 2002 年 10 月 30 日
山口大学工学部∗2
京都大学大学院工学研究科∗1
Faculty of Engineering, Yamaguchi University∗2
Graduate School of Engineering, Kyoto University

集合をもとに最適化を行う．

∗1

JRSJ Vol. 22 No. 3

本論文の構成は以下の通りである．2 章で問題設定を，3 章で問題の定式化を行い，4 章でその問題を解くためのアルゴリズ
ムを示す．最後に，5 章で数値例により本手法の有効性を示す．

—90—

Apr., 2004

要求加速度・平衡力集合を用いた物体の把持の最適化

371(a) Example of manipulation
Fig. 1 Target system(b) REFS

Fig. 3 Example of REFS (Required Equilibrium-Force Set)

るロボットアームの操作によって，対象物に加わる重力の方向が，対象物座標系から見て，様々に変わる場合を考える．この場
合，紙面下向きに重力が加わるとすると，要求平衡力集合 WR(a) Example of manipulation(b) RAS

は，対象物座標系から見て，Fig. 3 (b) のように設定できる．

Fig. 2 Example of RAS (Required Acceleration Set)

なお，対象物が発生できる加速度からなる集合を発生可能加速度集合 A⊂ RD ，対象物に加えることのできる合力・モーメ
ントからなる集合を発生可能力集合 W ⊂ RD とおく．

2. 問 題 設 定

要求加速度集合 AR および要求平衡力集合 WR が与えられ本章では，本論文で扱う問題を設定する．まず，本研究における対象とする系について述べ，次いで要求加速度・平衡力集¨ d および d を用いて，組み合わせ
た場合，それぞれの要素 
要求集合 Wc を以下のように定義する．

合を定義し，これらをもとに解くべき問題を設定する．

Wc =2. 1 対象とする系
対象とする系を Fig. 1 に示す．本論文では，N 本指（図中 = ¨ Td Td

T



|¨
d ∈ AR , d ∈ WR （1）2. 3 解くべき問題

は 2 本指）からなるロボットハンドで，任意形状の剛体対象物

一般に，操作範囲内の各対象物位置姿勢において，要求加速を把持する場合を考える．このとき，度・平衡力集合をそれぞれ発生可能加速度・力集合に含めるこ（1）ロボットハンドは対象物と摩擦あり点接触をする．

とができる指姿勢と接触点の組は無数に存在する．一方で，よ（2）接触点における接触法線方向は一意に定まる．

り小さな関節トルクによって構成される発生可能加速度・力集（3）ロボットハンドの各指の各リンクには，最高でも一つの接合に，要求加速度・平衡力集合を含めることができれば，関節触点しか存在しない．

トルクの負担は軽減され，関節トルクの偏差による対象物へ加（4）ベースと対象物は接触しない．

わる合力・モーメントの偏差の影響を軽減でき，より安定な把（5）操作中，対象物上（指上）の接触点の位置および数は変化持ができることが期待される．そこで本論文では，以下に示す

しない（接触点の離脱や接触を伴う操作は考慮しない）．

問題を考えることにする．

という仮定をおくことにする．この仮定のもとで，与えられた

与えられた操作範囲内の各対象物位置姿勢において，要求加操作範囲内において，重力のような外力に抵抗しながら，望み

速度・平衡力集合に含まれる任意の加速度・平衡力を発生させの加速度を対象物に発生させることを考える．

ることができる指姿勢と接触点の組のうち，要求加速度・平衡

2. 2 要求加速度・平衡力集合

力集合に含まれる任意の加速度・平衡力を発生させるのに必要

本節では，要求加速度・平衡力集合を定義する．まず，要求な関節トルクの大きさが最大となる関節の，その関節トルクの大きさが最小となる指姿勢と接触点の組を求めよ．

加速度集合を以下のように定義する．
要求加速度集合

実現しようとする把持において，対象物が発3. 問 題 の 定 式 化

生できなければならない，望みの加速度の集合を，要求加速度
集合 AR ⊂ RD （D は二次元のとき 3，三次元のとき 6）と呼ぶ．

本章では，先に設定した問題を定式化する．まず，ある姿勢にある指が，ある位置姿勢にある対象物を，ある接触点位置にFig. 2 (a) に示すような，対象物を様々な方向に並進移動さおいて把持している場合において（指および対象物がある速度せる場合を考える．この場合，この並進移動のために必要な加を持つ場合），ある要求加速度・平衡力に対応するための条件に速度を考えると，要求加速度集合 AR は，Fig. 2 (b) のようについて述べ，その後，最適化問題を定式化する．

設定できる．

3. 1 要求加速度・平衡力に対応するための条件
今，N 本からなるロボットハンドの i 番目 (i = 1, 2, · · · , N )の指が，ある姿勢 i ∈ RMi をとり，重心に固定された対象物
座標系（以下対象物重心座標系と呼ぶ）の位置姿勢が  ∈ RD
である対象物と，Li 個の接触点 Cij ∈ Rd (j = 1, 2, · · · , Li )で接触している場合を考える．ただし，Mi は i 番目の指の関節の数を，d は二次元のとき 2，三次元のとき 3 を表している．
また，N 本の指の姿勢と L (= ΣN
i=1 Li ) 個の接触点位置の組み

次に，要求平衡力集合を以下のように定義する．
要求平衡力集合

実現しようとする把持において，重力のように，対象物の位置姿勢を保つためには補償しなければならない
外力に抗する力からなる集合を，要求平衡力集合 WR ⊂ RD と呼ぶ．この集合に含まれる力は，必ず対象物に作用させることができなければならない．

Fig. 3 (a) に示すような，ロボットハンドを手先効果器とす

日本ロボット学会誌 22 巻 3 号—91—

2004 年 4 月

渡 辺 哲 陽372

吉 川 恒 夫

合わせを C で表す．

ただし，3. 1. 1 運動学的拘束
i 番目の指の j 番目の接触点の速度 ˙ Cij と，i 番目の指の関節速度ベクトル ˙ i および対象物の速度ベクトル ˙ との関係は表す項， r は重力項，e は対象物に加わる重力などの外力を˙ Cij =  ij ˙ i ,˙ Cij = Tij ˙と表される．ただし， ij ∈ Rd×Mi はヤコビ行列，ij は三次元の場合以下のように表される行列である．

ij =






[(Cij − o )×]∈ RD×dただし， は単位行列，o は対象物重心位置，[ ×] は [

] =

×

らを，



˙ =

˙ T1

˙ T2

˙ TN

···



 1L1

 2L2

12

···

11

T

···

表している．なお，e を打ち消す力が要求平衡力 d である1 + 2 = T ¨ d + =

を満たすような関節トルク∈ RLd×M

1 = 

 NLN=∈ RD×Ld

なるベクトルと行列を用いて（M = ΣN
i=1 Mi ，diag はブロック（2）T˙ ˙ =  ¨ + ˙ ˙T ¨ + 

（3）

各接触点での接触力をまとめた接触力ベクトル
c∈ R

M

および

∈ RLd と，により対象物（重心座標系）に加わる合力・モーメント ∈ R

Dとの関係は，

式（2）と仮想仕事の原理より以下のように表すことができる．

 =

（4）

3. 1. 3 摩擦条件
i 番目の指の j 番目の接触点における接触力
擦条件について述べる．三次元の場合，ij に対する摩ij の接触法線方向成分を nfij ，接触接線方向成分を tfij ,1 ，tfij ,2 とおくと，摩擦条

Ff ij =



2

ij |

2 = −−1r ( r +



−1
r

T
T

˙ ˙
r ) − ˙ ˙ + 

3. 2 最適化問題の定式化のとり得る位置姿勢の集合を SB とおく．操作範囲内において，対象物位置姿勢が変われば，指姿勢も変化する．そこで，最適

3. 1. 2 静力学

件は

−1
r ,

が存在すればよい．ただし，する．与えられた操作範囲内において，対象物位置姿勢を B，その関係を得る．この両辺を時間微分すると，以下の関係を得る．

T ,

（9）

以上の準備をもとに，本論文において解くべき問題を定式化

T ˙ =  ˙c =d + Bである．

対角行列を表す），L 個の接触点についてまとめるとこれに等価な指の関節トルクB ¨d +（8）ij ∈ Ff ij (j = 1, 2, · · · , Li )(i = 1, 2, · · · , N )（10）

.

NLN

r は対象物およびロボット(e +d = )．
3. 1. 5 要求加速度・平衡力に対応するための条件
以上の議論をもとに，ある指姿勢と接触点の組 C ，ある対象（指および対象物がある速度 ˙ ，˙ を持物位置姿勢  において，¨ d（式（3），¨ に対応），要求平衡
つ場合，）要求加速度 （6）の 
力 d に対応するための条件について考える．式（3），（5）〜（7）の関係より，

∈ RM


 N1

 ..

B，

ハンドの慣性テンソル，B ，r は遠心力やコリオリ力などをとなる外積演算と等価な行列を表している．これ



 11
 21



.
 ...
 = diag  ..

=×は関節トルク，

化の対象となる C を明確にするため，操作範囲内の代表となる
B を Br ，Br における C を Cr とおく．Br においてとり得る
C の集合，すなわちとり得る Cr の集合を SC とおく．今，Brにおける C ，すなわち Cr が与えられた場合，各 B∈ SB における各 C が得られるものとする．つまり，すべての B∈SB に SCを共有させることで，各 B∈SB における各 C が，Cr (∈SC )により定まるようにする．すると，Cr は各 B∈ SB における各C を代表することになる．つまり，Cr を最適化することは，各B∈ SB における各 C を最適化することになる．B∈ SB で与えられる組み合わせ要求集合（1）を WcB とおく．i 番目の指のj 番目の関節トルクを τij とおく．各関節トルクのうち，その絶対値が最大となる関節トルクの絶対値を φ (= maxi,j |τij |)とおく．φ と τij との関係は以下のように表される．

tfij ,1 + t2fij ,2 ≤ µij nfij , nfij ≥ 0

φ ≥ |τij |(j = 1, 2, · · · , Mi ) (i = 1, 2, · · · , N ) （11）（5）
と表される（二次元の場合 tfij ,2 = 0 とすればよい）．ただし，µij は i 番目の指の j 番目の接触点における最大静止摩擦係数

このとき，解くべき問題は以下のように定式化できる．
最適化問題

ρ = minを表している．

Cr ∈SC3. 1. 4 運動方程式

max
min
φ
∈WcB ,B∈SB  , satisfy（8）〜（11）（12）

対象物とロボットハンドの運動方程式は，式（4）の関係を用なる ρ および ρ を与える Cr∗ を求めよ．

いて，それぞれ以下のように表すことができる．
B¨ +B − e = r +  r +  Tr¨ +JRSJ Vol. 22 No. 3

（6）

=

（7）

各 B∈ SB における各 C は，Cr により定まる．よって，Cr∗が得られた場合，各 B∈ SB における各 C の最適解 C ∗ も得られることに注意されたい．

—92—

Apr., 2004

要求加速度・平衡力集合を用いた物体の把持の最適化373ができる．よって，r は，式（13）で表される WRI に含まれ4. ア ル ゴ リ ズ ム

る要求平衡力に 1 対 1 に対応させることができる．

本章では，最適化問題（12）を解くためのアルゴリズムにつ

本論文では，最適化問題（12）において，Crk を一つ選びそいて述べる．本論文では，対象物のとり得る位置姿勢，指のとりれを固定した場合の問題を部分問題 1 として設定する（k ：固得る姿勢，接触点のとり得る位置を離散化することで，分枝限定）．部分問題 1 では，各 BI における各 C ，すなわち CkI

定法 [18] [19] を用いて最適化問題（12）を解く．分枝限定法は，(I = 1, 2, · · · , nb ) が，一意に定まることに注意されたい．この部分問題と呼ばれる，もとの問題を分解した問題を解いて，そ部分問題 1 を各 Crk (k = 1, 2, · · · , nc ) に対して解けば，最適化の解を列挙していくことで，間接的に元の問題を解く方法であ問題（12）の最適解が得られる．ARI の j 番目の頂点と WRIる．その際，部分問題のさらなる部分問題を解くことで，列挙¨ TdIj TdIξ
の ξ 番目の頂点の組み合わせを Ijξ = 



T

で表す．

する必要のない組み合わせを除去していく．この結果，計算時

部分問題 1 において，BI を一つ選び，Ijξ を一つ選び，それ間を短縮する方法である．このため，以下のような仮定をおく．

らを固定した問題を部分問題 2 として設定する（（k），I ，j ，ξ：（1）とり得る Cr の数を有限の nc 個とする．SC に含まれる Cr（3）各 BI ∈ SB において，系が静止状態にある場合のみを考慮固定）．ある Crk に対する部分問題 1 の部分問題である，ある
BI およびある Ijξ に対する部分問題 2 を解く場合，C がその
Crk ，BI に対応する CkI であるとして，その部分問題 2 を解かなければならないことに注意されたい．なお，その部分問題 2の解を ρCrk ,Ijξ とおく．今，Cr がある Crk ，B がある BI ，すなわち C が CkI の場合において，ARI ，WRI に含まれる任意の要求加速度・平衡力に対応するのに必要な関節トルク φ（式（11）参照）を考える（k，I ：固定）．部分問題 2 の制約条件

対象とする（拘束条件（8），（9）において速度項は考慮しは，凸制約である摩擦条件と線形等式・不等式条件から構成さない）．

れる．よって，その必要な関節トルク φ は，ρCrk ,Ijξ （k，I：固を Crk (k = 1, 2, · · · , nc ) で表す．
（2）とり得る B の数を有限の nb 個とする．SB に含まれる B
を BI (I = 1, 2, · · · , nb ) で表す．B1 は Br を表すものとする．また，Cr が Crk である場合，BI における C を CkI（k：Crk の k，I ：BI の I ）で表す．CkI は，Crk および

BI により一意に定まるものとする．

（4）各 BI ∈ SB において与えられる，要求加速度・平衡力集合

ARI ，WRI (I = 1, 2, · · · , nb ) は，それぞれ la ，le 面からなる凸多面体で表すことができるものとする（la は ARIの面の数，le は WRI の面の数を表す）．
（5）ある BI ，ある CkI において（k，I ：固定），ロボットハン
ドの重力項（式（7）の r ）は，要求平衡力集合 WRI に
1 対 1 に対応させることができる le 面からなる凸多面体として表すことができるものとする．
ある BI ，ある CkI における（k，I ：固定），重力項 r （お定，j = 1, 2, · · · , la ，ξ = 1, 2, · · · , le ）の凸結合により表現できる．ゆえに，ある Crk に対する部分問題 1 において，対応するすべての部分問題 2 の解 ρCrk ,Ijξ （k：固定，I = 1, 2, · · · , nb ，

j = 1, 2, · · · , la ，ξ = 1, 2, · · · , le ）が存在する場合，それらすべての解（総数 nb la le =nb la leg leo 個）の中で，最大となる解がその部分問題 1 の解となる．つまり，部分問題 1 は，対応する部分問題 2 を各 BI ，各 Ijξ に対して解くことで，解くことができる．部分問題 2 は，摩擦条件を線形近似 [21] すること
で，シンプレックス法を用いて解くことができる．以上の議論

よび WRI ）について補足する．今，WRI に含まれる力のうち，をもとに，分枝限定法を適用することにより，最適化問題（12）

重力に抗する力だけからなる集合を WRIg ，重力以外の外力にを解くことができる．
4. 1 最適化手順
以上の準備をもとに，以下のようなアルゴリズムで最適な指抗する力からなる集合を WRIo とおく．集合 WRIν （ν = g oro）に含まれる要求平衡力が leν (≤ le ) 面からなる凸多面体で
leν
leν
WRIν = {= Σi=1
λeν i Iνi ，Σi=1λeν i = 1，λeν i ≥ 0} のように（近似）表現できるとすると，WRI は
le

le

l

l

ステップ 1 ある Crk において，各 BI ∈ SB における各 C（CkI ）が，物体と指との干渉，指同士の干渉，指の関節角度（13）

˜ は，対応すると表すことができる．さて，重力加速度ベクトル ˜ = の関係にある．ただし，mb は対WRIg の要素  と −mb 
˜ は，WRIg の各頂点に対応する ˜i
象物の質量である．ゆえに，
le

le

g
g
˜ =Σi=1
˜ i , Σi=1(=−Igi /mb ) を用いて，凸結合 λeg i λeg i =
1, λeg i ≥ 0 で（ 近 似 ）表 現 でき る ．指 姿 勢（ と 接触 点位置）が変化しない場合（CkI ：固定），ロボットハンドの重˜ を用いて，力項  r は，ある一定の値をとる行列  と 
r =˜ と表すことができる [20]．ゆえに，重力項 r は，
˜ i に対応する重力項  ri (=WRIg の各頂点に対応する 

le

le

g
g
eo
˜ i ) を用いて， r = Σi=1
λeg i  ri = Σi=1
Σj=1
λei,j ri ，

le

le

l

l

g
g
eo
Σi=1
λeg i =Σi=1
Σj=1
λei,j = 1，λeg i , λei,j ≥ 0 と表すこと

日本ロボット学会誌 22 巻 3 号

部分問題 1 の最適解を ρCrk ，その暫定最適解を ρ̂Crk とおく．
また，候補となる有効な Crk のリストを LIST で表す．

geo
WRI = { = Σi=1
Σj=1
λei,j (Igi + Ioj ),
g
eo
Σj=1
λei,j = 1, λei,j ≥ 0}
Σi=1

姿勢と接触点の組を探索する．暫定最適解を ρ̂，Crk に対する

制限，といった条件を満たす場合，その Crk を候補 Crk と呼ぶ．候補 Crk となるすべての Crk を LIST に入れる．ρ̂ を適
当な下限値に，各 ρCrk (ρ̂Crk ) を適当な上（下）限値に設定する．
ステップ 2 LIST から Crk を一つ選び，その Crk に対する部
分問題 1 を解く．具体的にはまず，その部分問題 1 に対応する
すべての部分問題 2 の解 ρCrk ,Ijξ （k：固定，I = 1, 2, · · · , nb ，
j = 1, 2, · · · , la ，ξ = 1, 2, · · · , le ）を求める．解が一つでも存在しなければ，その部分問題 1 は解なしとなる．すべての解が存在する場合，それらすべての解の中で，最大値をとる解 ρC ,Irkjξ

がその部分問題 1 の解となる．
ステップ 3 ステップ 2 において解が求まれば，その解を ρ̂ お—93—

2004 年 4 月

渡 辺 哲 陽374

吉 川 恒 夫）を与える BI を幅を与えることにより，総数 441 個とした．対象物は 0.1 [m]×

ˆ Ijξ とする．ステップ 2 において解が存在しなけB̂I ，Ijξ を 
れば，LIST からこの Crk を取り除き，ステップ 2 に戻る．
ˆ Ijξ に対する部分問題 2 を，LIST に含ま
ステップ 4 B̂I ，
れる各 Crk について解く（I ，j ，ξ ：固定，k は LIST に含まれる各 Crk の各番号）．この場合，C は B̂I および各 Crk に対応する CkIˆ であるとして，この問題を解かなければならないことに注意されたい．ある Crk (CkIˆ) において解が存在しなけれ
ば，LIST からその Crk を取り除く．ある Crk (CkIˆ) において
解 ρC ,I が存在する場合，ρ̂Crk = max{ρ̂Crk , ρC ,I } を

0.05 [m] の四角形で，重量は 4 [N] とした．候補接触点位置は，Fig. 4 (b) に対象物表面上の点として示している．候補接触点の総数は 40 個である．指と対象物との間の摩擦係数は 0.5 とした．なお，各指の第 1 リンクと対象物（の頂点）との間の接触

よび ρCrk (= ρ̂Crk ) とする．この解（ρC

rk ,Ijξ

rk



jξ

rk



jξ

求め，ρ̂ <ρ̂Crk なら，この Crk を LIST から取り除く．

ステップ 5 LIST に含まれる Crk の中で，ρC が最小と

rk ,Ijξ

なる組を Crk とおく．

ステップ 6 Crk に対する部分問題 1 を解く．解が存在するならば，その解を ρĈrk(= ρ̂Ĉ ) とし，この解を与える BI を B̂I ，
rk
なら，ρ̂ =ρĈ とする．

ˆ Ijξ とする．さらに，ρ̂ >ρĈ
Ijξ を rk

解が存在しないか ρ̂ <ρĈrkrk

ならば，LIST からこの Crk を取り除き，ステップ 5 に戻る．
ステップ 7 LIST に含まれるすべての Crk において，|ρ̂−ρCrk |<  （ は任意の小さな正数）が成立すれば終了，そうでなけ
ればステップ 4 に戻る．

5. 数

値

は，めり込み量が小さい場合，点接触として扱った．
まず，Case I として，Fig. 5 に示すようなタスクを考えた．
紙面下向きに加わる重力に抗しながら，対象物を図中の×印まわりに回転させるタスクである．×印は対象物座標系からみて(−0.005, −0.065, 0) にある点を表している（Fig. 5 では，×印が見にくいので，Fig. 4 (a) にも×印を示している）．図中四角で囲んだ対象物位置姿勢が Br である（以下の Case II および III でも同じである）．Br (0, 0, 0)T を基準に，×印 (−0.005, −0.065, 0)
まわりに，−0.2〜0.2 [rad] の範囲で，0.1 [rad] 刻みに対象物を回転させた対象物位置姿勢を候補位置姿勢とした (nb = 5)．要求加速度集合（RAS）は，×印 (−0.005, −0.065, 0) まわりに0.5 [rad/s2 ] の大きさの加速度を発生させることを想定して与えた．要求平衡力集合（REFS）は下向きの 4 [N] の重力に抗する
力として与えた．Br における RAS・REFS を以下に示す．
AR1 ={¨ d = λ1 ¨ d1 +λ2 ¨ d2 , λ1 + λ2 = 1, λi ≥ 0,

¨ d1 = (−0.0325, 0.0025, 0.5)T , ¨ d2 = −¨d1 }
WR1 ={d = (0, 4, 0)T }例

本手法の有効性を示すため，本章では数値例を示す．対象と得られた最適な指姿勢と接触点の組を Fig. 5 に示す．最適化問題する系を Fig. 4 (a) に示す．対象物の幾何学的中心に対象物重（12）の最適解 ρ は 0.080 [Nm] となった．参考までに，Fig. 4 (a)心座標系をおいた．なお，Fig. 4 (a) 中の目盛数字は基準座標系に示す指姿勢と接触点位置の場合，必要な関節トルク φ（この（ハンド座標系）のものである．対象物が Fig. 4 (a) に示すよう

指姿勢と接触点の組に対する部分問題 1 の解）は 0.252 [Nm]な位置姿勢にある場合，基準座標系と対象物座標系は同じ位置姿であった．各指につき対象物との接触点を 1 個とする姿勢と比勢をとることに注意されたい．ロボットハンドは同じ構成である

べ，Fig. 5 に示す姿勢が良いという結果を得たのは，片方の指2 本指からなる．リンク長さは根本から順に 0.05 [m]，0.05 [m]とした．各リンクの質量は 0.025 [kg]，関節角度制限は π/2 ≤q11 ≤ π ，−π≤ q12 ≤0，0≤ q21 ≤π/2，0≤ q22 ≤π とした．
ただし，qij [rad] は i 番目 (i = 1, 2) の指の，根元から j 番目
(j = 1, 2) の関節角度を表している．本数値例では，指姿勢をに対象物との接触点が複数存在するような持ち方をすることで，重力に対する抗力を発生させるために，機構的に発生する接触力を利用できたのと同時に，望みの加速度を発生させることができたためと考えられる．

ベース位置と指先接触点位置により表現することにした．ベー

次に，Case II として，Fig. 6 に示すようなタスクを考えた．
Case I において，対象物に加わる重力の方向が多方向となった

スの幾何学的中心の x 成分を bx [m]，y 成分を by [m] とおき，

場合のタスクである．このタスクでは，ロボットハンドを手先候補となるベース位置の範囲を −0.05 ≤ bx ≤0.05，−0.155 ≤by ≤−0.055 とした（Fig. 4 (b) 参照）．候補となるベース位置の数は，bx ，by それぞれについて 0.005 [m]，0.005 [m] の刻み

Fig. 5 Target operation with optimal configuration in Case 1(a) Target system(b) Candidate contact andbase positions

Fig. 4 Target system in numerical examples

JRSJ Vol. 22 No. 3

Fig. 6 Target operation with optimal configuration in Case 2(The dash line is the configuration of Finger 2 in Fig. 5)—94—

Apr., 2004

要求加速度・平衡力集合を用いた物体の把持の最適化

375

みの方向に加速度を発生させたい場合の把持の最適化問題を扱った．この際，要求外力集合の概念をもとに，前者の外力に抗する力からなる集合を要求平衡力集合，後者の望みの加速度からなる集合を要求加速度集合と定義し，これらをもとに，関節トルクの負担をなるべく減らしたいという観点から，最適化問題を設定した．また，この問題が分枝限定法を用いて解けることを示した．さらに，数値例で本手法の有効性を示した．

参 考Fig. 7 Target operation with optimal configuration in Case 3

効果器とするロボットアームの操作により，対象物に加わる重力の方向が変化することを想定している．REFS は，半径 4 [N]の上向き半円を，33 面の凸多面体により近似して与えた．Br
における REFS を以下に示す（RAS は Case I と同じである）．
32
WR1 ={ d | d = Σ32
i=0 λi  di , Σi=0 λi = 1, λi ≥ 0,

di = (4 cos(iπ/32), 4 sin(iπ/32), 0)T }
得られた最適な指姿勢と接触点の組を Fig. 6 に示す．比較のため，Case I における指 2 の最適姿勢を点線で示す．ρ は 0.270 [Nm]であった．参考までに，Fig. 4 (a) に示す指姿勢と接触点位置の場合，必要な関節トルク φ は 0.439 [Nm] であった．Case I と比べて，指 2 の最適な接触点位置が，より重心に近い位置に位置しているのは，x 方向（紙面横方向）にも，対象物に重力が加わる場合があったためと考えられる．
最後に，Case III として，Fig. 7 に示すようなタスクを考えた．Case II と同様の想定により，Case II と同方向に重力が加わる場合において，対象物を並進移動させるタスクである．

Br (0, 0, 0)T を基準に，x 方向 −0.01〜0.01 [m]，y 方向 −0.01〜0.01 [m] の範囲で，0.005 [m] 刻みに並進移動させた対象物位
置姿勢を候補位置姿勢とした (nb = 25)．RAS は，x，y の各
方向に 0.5 [m/s2 ] の大きさの加速度を発生させることを想定して，4 面の凸多面体で与えた．Br における RAS を以下に示す（REFS は Case II と同じである）．
AR1 = {¨d |¨d = Σ4i=1 λi ¨ di , Σ4i=1 λi = 1, λi ≥ 0,

¨ d1 = (0.5, −0.5, 0)T , ¨d2 = (−0.5, −0.5, 0)T ,¨ d3 = (0.5, 0.5, 0)T , ¨ d4 = (−0.5, 0.5, 0)T }
得られた最適な指姿勢と接触点の組を Fig. 7 に示す．ρ は0.393 [Nm] であった．望みの加速度を発生させるためには，各指につき対象物との接触点を 1 個としなければならないため，Fig. 7 のような結果が得られたと考えられる．
計算時間は，GATEWAY 社製 SELECT PRO JP 3YEAR/OX KER（CPU：AMD 社 ATHLON 1.2GHZ 搭載）を用いて，Case I に関しては約 10 秒，Case II に関しては約 15 秒，
Case III に関しては約 3 分かかった．

6. お わ り に
本論文では，把持する対象物に加わる外力に抗しながら，望日本ロボット学会誌 22 巻 3 号

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文 献

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2004 年 4 月

渡 辺 哲 陽376

吉 川 恒 夫

渡辺哲陽（Tetsuyou Watanabe）

吉川恒夫（Tsuneo Yoshikawa）

1974 年 4 月 3 日生．2003 年京都大学大学院工学研究科博士後期課程修了．同年山口大学工学部助手となり，現在に至る．博士（工学）．ロボットハンドなどの研究に従事．日本機械学会などの会員．
（日本ロボット学会正会員）

JRSJ Vol. 22 No. 3

1941 年 12 月 19 日生．1969 年京都大学大学院工学研究科博士課程修了．同年同大学工学部助手，1986
年同教授．1994 年同大学工学研究科教授（機械工学専攻）となり，現在に至る．ロボット工学，人工現実感技術，制御工学などの研究に従事．工学博士．
日本機械学会および米国 IEEE 学会のフェロー．計
測自動制御学会，システム制御情報学会，日本バーチャルリアリティ学会などの会員．
（日本ロボット学会正会員）—96—

Apr., 2004