日本ロボット学会誌 Vol. 21 No. 3, pp.321〜326, 2003

321

学術・技術論文

要求外力集合を用いた把持の最適化
渡 辺 哲 陽∗吉 川 恒 夫∗

Optimization of Grasping by Using a Required External Force Set
Tetsuyou Watanabe∗ and Tsuneo Yoshikawa∗In this paper, we consider an optimization of grasping by using a required external force set. By using the set, we
can not only deal with whatever a desired grasp is, such as force-closure or equilibrium grasp, but also evaluate themagnitude of resultant force which we can apply to the object. By using the set, we define an optimization problem
from the viewpoint of decreasing the work of contact forces, and show that we can solve the problem by using abranch-and-bound method. Lastly we present some numerical simulations for verifying our approach.
Key Words: Robot Hnads, Optimization, Grasping, Branch-and-Bound Method

Li ら [11] は，対象物に加えることのできる合力・モーメント1. は じ め にの集合に含むことのできる最大の楕円体（楕円体の形状は行いテーブルの上の物体をロボットハンドにより持ち上げることたい作業に応じて定められる）の体積を，評価指標として提案を考える．この場合，物体とロボットハンドとの間の接触点をしている．しかしながら，最適な接触点の組を求めるための具

適切にとらないと，ロボットハンドからの接触力によってその体的なアルゴリズムは考察されていない．

物体の重力を補償できない．つまり，その物体を持ち上げるこ

Markenscoﬀ ら [12] は，任意方向に加わる大きさ 1 以下の外とができない．また，ロボットハンドによって把持している物

力に抗するのに必要な接触力を最小化する接触点の組を探索し体に外乱力が加わったり，その物体をある方向に動かそうとしている．しかしながら，図式的手法を用いているために，適用たりする場合，接触点の取り方によっては，その外乱力に抵抗できる指の本数に制限があったり，各接触点の摩擦条件が摩擦する力や物体を動かすための力を発生できないこともある．こなしに限定されたりしている．

のことから，ロボットハンドによる物体の把持において，接触

Mirtich ら [13] は，任意方向の大きさ 1 以下の外力に抗する点を対象物上のどこに置いたら望みの把持が得られるかの研究のに必要な接触力を最小化する接触点の組のうち，大きさ 1 以が盛んに行われている [1]〜[17]．

下の外モーメントに抗するのに必要な接触力を最小化する接触（1）対この研究をおおまかに分けると以下の 2 通りになる．
象物の重力を補償する合力を，各接触点における接触力によっ点の組を探索している．しかしながら，図式的手法を用いているために，適用できる指の本数に制限がある．

て発生できるような接触点の組あるいはその領域を求める研究

Mangialardi と Mantriota ら [14] [15] は，大きさ 1 以下の外（以下平衡把持の研究と呼ぶ）[1]〜[3] と，（2）force-closure [4]

力と外モーメントが互いに独立に働く場合，その外力・モーメと呼ばれる把持の安定状態を保つような接触点の組あるいはそントに抗するのに必要な接触力（または接触点の摩擦係数）をの領域を求める研究 [4]〜[17] である．ここで，force-closure と最小化するような接触点の組を求めている．しかしながらこのは，任意の方向の外力・モーメントが対象物に加わっても，そ手法では，外力と外モーメントが同時に働くなどの場合，対象

れとバランスするような合力・モーメントが各接触点での接触物に加えることのできる合力・モーメントの大きさを正当に評力によって発生できる状態のことをいう．

価できない．また，接触点が置かれる対象物の表面を一つの連

後者の研究の中でも特に対象物に加えることのできる合力・モー
メントの大きさを考慮した研究として，Li ら [11]，Markenscoﬀ

続関数で表しているため，多面体などを把持する場合，あらかじめ各接触点を置く面を定めておく必要がある．

Teichmann ら [16] は，対象物に加わる，抗しなければならな

ら [12]，Mirtich ら [13]，Mangialardi と Mantriota ら [14] [15]，Teichmann ら [16]，Wang ら [17] の研究があげられる．

い外力の集合（原点を内点に含む）に属する外力・モーメントに抗するのに必要な接触点の数を，最小化する接触点の組を求原稿受付 2002 年 3 月 22 日
京都大学大学院工学研究科∗
Graduated School of Engineering, Kyoto University∗

日本ロボット学会誌 21 巻 3 号

める手法について考察している．ただし，各接触点において発生可能な接触力の大きさを 1 としている．しかし，各接触点の—97—

2003 年 4 月

渡 辺 哲 陽322

摩擦条件は摩擦なしに限定されている．また，数値例などによ吉 川 恒 夫

元のとき 6）はるこの手法の有効性については示されていない．

Wang ら [17] は，接触力を受動的にのみ発生可能な locator
数個と能動的に発生可能な clamp 一つにより対象物を固定する際，大きさ 1 以下の外力・モーメントに抗するのに必要な接Σm
i=1 N i  N i = と表される．ただし，N i は三次元の場合

N i =

触力を最小化する接触点の組を探索している．しかし，各接触点の摩擦条件は摩擦なしに限定されている．

（2）







[(CN i − o )×]∈ RD×d（3）

要求外力集合の概念を提案した．この集合は，対象物に加わる，と表される行列であり， は単位行列，[×] は [  × ] =
 ×  となる外積演算と等価な行列を表している．また，o はロボットハンドによって抗しなければならない外力の集合であ対象物に固定された座標系の原点位置を表している．

先に筆者ら [18] [19] は，パワーグラスプの最適化の研究にて，る．要求外力集合の大きさは，抵抗したい外力の大きさに相当

一方で，i 番目 (i = 1, 2, · · · , m) の接触点における摩擦条件

するため，対象物に加えることのできる合力・モーメントの大きは，三次元の場合，接触力  N i の接触法線方向成分を nfN i ，さを評価することができる．また，この集合の内点に原点を含接触接線方向成分を tfN i ,1 ，tfN i ,2 と置くと，



む場合には，その目標とする把持が force-closure を実現するこ

Ff N i = { N i |とを意味し，この集合の次元が 1 である場合には，その目標とnfN i ≥ 0}(i = 1, 2, · · · , m)

する把持が平衡把持を実現することを意味する．すなわち，この概念を用いれば，force-closure 把持も平衡把持も含めた一般の望みの把持状態を扱うことができる．
そこで本研究では，対象物を把持する際，接触点における摩擦を考慮しつつ，要求外力集合に属するすべての外力・モーメ
ントに抗する合力・モーメントを発生できるような最適な接触点の組を求める問題について考察することにする．

t2fN i ,1 +t2fN i ,2 ≤ µN i nfN i ,（4）と表される（二次元の場合 tfN i ,2 = 0 とすればよい）．ただし，µN i は i 番目の接触点における最大静止摩擦係数を表している．
2. 3 要求外力集合
要求外力集合 [18] [19] を以下のように定義する．
要求外力集合 実現しようとする把持において，対象物に加えることのできる合力・モーメントの集合を発生可能力集合

本論文の構成は以下の通りである．2 章にて問題設定を行い，3 章にてそれを解くためのアルゴリズムを示す．最後に，4 章
にて数値例により本手法の有効性を示す．

W ⊂ RD とおく．また，その要素を正負反転させた集合を
W − ={−| ∈ W} とおく．要求外力集合とは，集合 W − に最低限含まれなければならない外力の集合 WR ⊂ RD のことをいう．

2. 問 題 設 定

2. 4 最適化問題

本章では，本論文で扱う問題を設定する．まず，本研究にお以上の準備をもとに，本論文にて扱う問題を設定することにける対象とする系について述べ，次いで問題の拘束条件となる，する．一般に，要求外力集合を W − に含めることができる接触

接触力と対象物へ加わる合力・モーメントとの関係，摩擦条件

点の組は無数に存在し得る．一方で，より小さな接触力によっについて述べる．さらに，要求外力集合を定義し，これらをもて構成される W − に，要求外力集合を含めることができれば，とに最適化すべき問題を設定する．

接触力による対象物の変形や破壊防止になり，接触力の偏差に

2. 1 対象とする系
本論文では，m 本指からなるロボットハンドで，任意形状の対象物を把持することを考える．このとき，よる対象物へ加わる合力・モーメントの偏差の影響を軽減でき，より安定な把持ができることが期待される．そこで本論文では，以下で示す問題を考えることにする．

• ロボットハンドは対象物と摩擦あり点接触をする．

最適化問題• 接触点における接触法線方向が定まる．

min

min max φ =N ∈S −Û∈WR （2）,（4） iという仮定を置くことにする．

2. 2 拘束条件
まず，接触力と対象物へ加わる合力・モーメントとの関係について述べる．候補接触点の集合を C で表し，この中から m
個の接触点を選んだ場合の接触点の組を

N ={CN i (i = 1, 2, · · · , m)|CN i ∈ C}max

 TN i  N i（5）なる接触点の組 N ∗ を求めよ．ただし，S は候補となる接触点の組の集合を表している．
この問題は，平衡条件（2）および摩擦条件（4）を満たしつ
つ，W − に要求外力集合を含めることができる接触点の組のうち，W − を構成する接触力のユークリッドノルムが最大とな（1）

る接触点のそのノルムが最小となる接触点の組を求める問題でと表すことにする．ただし，CN i ∈ Rd（d は二次元のとき 2，ある．

三次元のとき 3）は，選ばれた m 個の接触点のうち，i 番目の3. ア ル ゴ リ ズ ム

接触点の位置を表している．このとき，i 番目の接触点におけるロボットハンドから対象物へと加えられる接触力を  N i ∈ Rd

本章では，前章で設定した問題を解くためのアルゴリズムにと表すと，各接触力によって対象物（に固定された座標系）について述べる．この問題を解くため，二つの仮定を置くことに加わる合力・モーメント ∈ RD （D は二次元のとき 3，三次する．一つめの仮定は，対象物表面上，ロボットハンドと接触

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Apr., 2003

要求外力集合を用いた把持の最適化

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する可能性を持つ候補接触点の数を，有限の n 個とすることでべての外力・モーメントに抗することが可能となる．ゆえに，ある．すなわち，C(n, m)（n 個の中から m 個を選ぶ組み合わ
つめの仮定は，要求外力集合 WR が，l 個の頂点からなる凸多φNk ,vj (j = 1, 2, · · · , l) の中で，最大の値をとる φNk ,vj が緩和
問題 1 の最適解となる．つまり，緩和問題 1 の最適解は，緩和問題 2 を要求外力集合 WR の各頂点 vj に関して解くことで面体 [20] で表されるとすることである．もし要求外力集合 WR

求められる．

せの数）個の組み合わせが，候補となる接触点の組となる．二が凸多面体でない場合は，それを含む凸多面体で新たに WR を定義すれば問題はない．この場合要求外力集合 WR は，緩和問題 2 の制約条件のうち，不等式条件は，Buss ら [23]の定式化をもとにWR = { = Σlj=1 λj vj ,Σlj=1 λj = 1, λj ≥ 0(j = 1, 2, · · · , l)} （6）と表すことができる．ただし，vj は要求外力集合 WR の頂

Nk i =

点を表すベクトルである．
これらの仮定をおくことで，有限個の要素から最適な要素を見つける問題に対してよく適用される分枝限定法 [21] [22] を用いることができる．分枝限定法は，有効解を列挙することで，最 Nk i =φ TNk i Nk iφ

µNk i nfNk i
0
tfNk i ,10µNk i nfNk i tfNk i ,2
tfNk i ,1
tfNk i ,2 µNk i nfNk i

 （10）のように，変数の線形関数として表される対称行列  Nk i および

Nk i の準正定性の条件（

 Nk i で  Nk i が準正定であ適解を求める手法である．その際，緩和問題と呼ばれる，もとることを表す）と等価に表すことができる．このことから，緩の問題において拘束条件を緩和した問題を解くことで，列挙す

和問題 2 は半正定値計画問題 [24] [25] を用いて解くことができる必要のない組み合わせを除去していく．これにより，計算時

る [26]．

間を短縮する方法である．そこでまず，本論文で扱う問題の緩次に，緩和問題 2 の制約条件を線形条件に緩和した，緩和問

和問題をいくつか設定し，その後で具体的な手順について述べ

題 3 を設定する．緩和問題 3 は，緩和問題 1 を解く必要のなることにする．

い接触点の組を効率よく知るための問題である．緩和問題 1 を

3. 1 緩和問題の設定
まず，C(n, m) 個の組み合わせから，接触点の組 Nk を一つもよいが，一般にシンプレックス法の方が半正定値計画問題よ選びそれを固定した場合について考える．この場合，以下の緩りも少ない計算時間で解くことができるため，本論文では，緩和問題が得られる．

和問題 3 を設定することにする．なお，緩和問題 3 の制約条件

緩和問題 1−

min maxÛmax∈WR （2）,（4） iφ=は，緩和問題 2 の制約条件を含むことから，緩和問題 3 の最適

 TN i  N i

解は，対応する緩和問題 2 の下限解，すなわち緩和問題 1 の下（7）限解を与えることになる．このことを利用して，緩和問題 1 を

この問題を，各接触点の組 Nk (k = 1, 2, · · · , C(n, m)) について解けば，最適化問題（5）の解が得られる．
この緩和問題 1 を解くため，接触点の組 Nk を一つ選びそれを固定するだけでなく，さらに要求外力集合 WR に含まれる一つの頂点  vj を選びそれを固定した場合を考える．この場合，
以下のような緩和問題 1 の緩和問題が得られる．

subject to T

解く必要のない接触点の組を知ることができる（次節参照）．
（摩擦円錐）は，緩和問題 2 の制約条件のうち，摩擦条件（4）内接 [27] ではなく外接する L 面の凸多面錘（Fig. 1 (a)）で近似
する．外接凸多面錘を使うのは，摩擦条件を緩和するためである．
T Nk i  Nk i ≤ φ は，その集合に外接する凸多面体（Fig. 1 (b)）

で近似する．すると，緩和問題 3 を以下のように設定できる．
緩和問題 3緩和問題 2min

解く必要のない接触点の組を知るために，緩和問題 2 を用いて

minsubject toφ Nk i  Nk i ≤ φ (i = 1, 2, · · · , m)（8）Σmi=1 Nk i  Nk i = − vj Nk i ∈ Ff N i (i = 1, 2, · · · , m)

今，各頂点 vj (j = 1, 2, · · · , l) に関して，緩和問題 2 の最適解

φNk ,vj が得られた場合を考える．各頂点 vj に関して緩和問題
2 の最適値 φNk ,vj を与える接触力  ∗Nk i,j (i = 1, 2, · · · , m) を頂点とする，接触力に関する凸多面体は以下のように表される．

T

Σlj=1 λj = 1, λj ≥ 0(j = 1, 2, · · · , l)}（9）≤φ(i = 1, 2, · · · , m)(κ = 1, 2, · · · , d)（11）
− Tκ Nk i Nk i ≤ φ(i = 1, 2, · · · , m)(κ = 1, 2, · · · , d)Σm
Nk i N i = − vj
i=1 Nk i
k
Nk i

Nk i

d×L
は摩擦凸多面錘の稜線の方向を表すベ
Nk i ∈ R

クトル Nk ij を横に並べた行列（

Nk i =(

Nk i1 · · ·  Nk im )），(≥ )∈ R はその各大きさを表すベクトル， κ ∈ Rd は
κ 番目の要素が 1 で他は 0 のベクトル（例． 1 =(1 0 0)T （三次元の場合））を表すものとする．緩和問題 3 は線形計画法（シNk i

FNk = { = Σlj=1 λj  ∗Nk ,j ,  ∗Nk ,j = ( ∗Nk 1,j )T· · ·( ∗Nk m,j )T

ただし，

φ
T
κ

L

ンプレックス法）を用いて解くことができる．

緩和問題 2 の制約条件は凸集合であるから，この集合 FNk

3. 2 最適化手順に含まれる接触力を用いて，要求外力集合 WR に含まれるす以上の準備をもとに，以下のようなアルゴリズムで最適な接日本ロボット学会誌 21 巻 3 号—99—

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渡 辺 哲 陽

324(a) Friction Corn(b)

吉 川 恒 夫(a) Case I TNk i  Nk i ≤ φ(b) Case II

Fig. 2 Target objects and candidate contact points

Fig. 1 Convex polyhedral corn and convex polyhedron circumscribing constraints

触点の組を探索する．このとき，暫定最適解を φ̂，各接触点の組

Nk を固定した場合の最適解を φNk ，その暫定最適解を φ̂Nk とおくことにする．また，有効な候補接触点の組のリストを LIST(a) Case I

で表すものとする．

(b) Case II

Fig. 3 Required external force sets

ステップ 1 LIST に候補接触点の組 Nk をすべて入れる．暫
定最適解 φ̂ を適当な下限値に，各接触点の組を固定した場合の最適解 φNk （暫定最適解 φ̂Nk ）を適当な上（下）限値に設定しておく．
ステップ 2 LIST から接触点の組 Nk を一つ選び，緩和問題
1 を解く．
ステップ 3 ステップ 2 において解が求まれば，その解を暫定
解 φ̂ およびこの接触点の組を固定した場合の最適解（暫定最適ˆ vj と解）φNk (= φ̂Nk ) とする．この解を与える頂点 vj を する．解が存在しなければ，LIST からこの接触点の組 Nk を取り除き，ステップ 2 に戻る．
ˆ vj に対する緩和問題 3 を，LIST に含まれステップ 4 頂点 
る各接触点の組 Nk について解く．解が存在しなければ，LISTから対応する組を取り除く．解 φ̂Nk ,v̂j が存在する場合，φ̂Nk= max{φ̂Nk , φ̂Nk ,v̂j } を求め，φ̂ <φ̂Nk ならこの組を LIST か(a) 2 Fingers(b) 3 Fingers

Fig. 4 Optimal contact points in Case I

置いた．本数値例にて用いた要求外力集合は，並進外力を fx ，

fy ，外モーメントを m として

WR = {(fx , fy , m)T |fx2 + fy2 ≤ sg,−0.8γsg ≤ m ≤ 0.8γsg}

ら取り除く．

（12）

ステップ 5 LIST に含まれる接触点の組の中で，φ̂Nk ,v̂j が最で与えた．ただし，s は各対象物の面積を，g=0.01 は各対象

ステップ 6 N̂k に対する緩和問題 1 を解く．解が求まれば，頂点までの距離を表している．この集合は，並進力に関しては，その解をこの接触点を固定した場合の最適解（暫定最適解）

各対象物の重力が任意方向から加わることを想定し，モーメン

小となる組を Nˆk とおく．

ˆ vj とすφN̂ (= φ̂N̂ ) とする．この解を与える頂点 vj を kkる．さらに，φ̂ >φN̂か φ̂ <φN̂kなら φ̂ =φN̂物の比重を，γ は各対象物の幾何学的中心から最短距離にあるトに関しては，並進力（重力）が加わる際，重心位置が，幾何とする．解が存在しない学的中心を中心に，そこから最短距離にある頂点までの距離のならば，LIST からこの接触点の組 Nk を取り除

80% の距離を半径とした円内に偏心し，その結果この偏心に応じたモーメントが発生することを想定したものである．式（12）kkき，ステップ 5 に戻る．
ステップ 7 LIST に含まれるすべての接触点の組において，|φ̂ − φNk | <  （ は任意の小さな正数）が成立すれば終了，
そうでなければステップ 4 に戻る．

4. 数

値

例

の要求外力集合は，凸集合であるが凸多面体ではない．そこで実際には，Fig. 3 に示すようなこの集合に外接する 10 面体で与えた．また，把持する指の数は 2 および 3，摩擦係数は 0.1，
0.3，0.5 の場合について計算した．なお，最適な接触点の組の配置が対称なものを除き複数存在する場合は，このうち，要求外

本手法の有効性を示すため，本章では数値例を示す．

力に抗するために必要な接触力ノルムが最小のものを，すなわ

4. 1 ニ次元空間の例

ち対象とする物体および候補接触点を Fig. 2 に示す．図中におして，これが最小となる接触点の組を最適なものとして選んだ．

max

min φ =
−Û∈WR（2）,（4）

TΣmi=1  N i  N i を第 2 の評価指標といて，対象物表面上の点は候補接触点を示している．候補接触得られた最適な接触点の組を Fig. 4 および Fig. 5 に示す．そ

点の数は，Case I において 56 個，Case II において 86 個での際得られた評価関数 φ の最適値を Table 1 に示す．Fig. 4 おある．各対象物の幾何学的中心に，対象物に固定した座標系をよび Fig. 5 において，(a) は 2 本指把持を，(b) は 3 本指把持

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要求外力集合を用いた把持の最適化

Fig. 6 Target Object and candidate contact points (in 3 dimension)(a) 2 Fingers(b) 3 Fingers

Fig. 7 Optimal contact points(in 3 dimension)

Fig. 5 Optimal contact points in Case II

わる際，重心位置が，幾何学的中心を中心にそこから最短距離

Table 1 Optimal value of the criterion function(a) Case I

325にある面までの距離 γ の 80% の距離を半径とした球内に偏心(b)Case II

し，その結果この偏心に応じたモーメントが発生することを想定して，以下のように設定した．

WR = {( T , T )T | − sg ≤ fi ≤ sg,− 0.8γsg ≤ mi ≤ 0.8γsg(i = 1, 2, 3)}を，矢印は最適な接触点の位置を表している．得られた最適な接触点の組が対称な配置をする 2 組の場合，そのうちのいずれか

ただし， ， は並進外力および外モーメントを表し，fi およのみを記載している．また，Case II の 3 本指把持（Fig. 5 (b)）

び mi はそれぞれ  および  の i 番目の要素を，s は対象の場合を除き，摩擦係数の変化による最適な接触点の組の配置物の体積を表している．他の記号は二次元の場合と同じ設定での変化はなかったため，おのおの 1 組のみを記載している．

ある．

Fig. 5 (b) より，Case II にて 3 本指把持を行う場合，摩擦係

把持する指の数は 3 本，摩擦係数は 0.3 の場合について計数が大きいほど，接触点の配置が幾何学的中心を中心とした対算した．得られた最適な接触点の組を Fig. 7 に示す．Fig. 7 に称な配置（幾何学的中心と各接触点を結ぶ 三つの直線のうち，おいて，先が黒球の矢印は，最適な接触点の位置を表している．

どの 2 本の直線のなす角も 120◦ となっていること）に近くなっ

また，原点位置に X 印を表示し，最適な接触点の位置を結んていくことが分かる．また，Table 1 より，摩擦係数が大きいだ三角形の下面への投影図を，灰色に塗り潰した三角形で表示

程，また指の本数が多い程，小さな接触力で要求外力に抗するしている．最適な接触点位置は (2/9,−4/3,0)T ，(2/3,2/3,0)T ，ことができることが分かる．
対象とする物体は，底面が直角二等辺三角形（4×4×4 2）の(−4/3, 2/9, 0)T であった．得られた評価関数 φ の最適値は0.669 であった．
Fig. 7 より，原点から各側面へ下ろした垂線の足付近に最適角柱である（Fig. 6）．候補接触点を Fig. 6 に示す．図中においな接触点位置が存在することが分かる．確認のため，各垂線のて，対象物表面上の点は候補接触点を示している．ただし，見足を候補接触点として計算したら，評価関数 φ は 0.669 より

4. 2 三次元空間の例√

やすさのため，上面と一つの側面上の接触点のみを示している．

大きい 0.718 であった．この結果，上下面の斜辺に相当する側下面に対する候補接触点は，上面と同様の方法で与えている．接面上の最適な接触点は垂線の足に位置し，それ以外の側面上の触点を表示していない側面に対する候補接触点は，接触点を表

最適な接触点は，垂線の足より斜辺側に多少ずれて位置するこ示している側面と同様の方法で与えている．候補接触点の数は，とが分かる．

上面下面それぞれ 36 個，側面 45 個，45 個，55 個，計 217

最後に，計算量に関して述べる．数値例は，GATEWAY 社

個とした．対象物の幾何学的中心（原点）に，対象物に固定し製 SELECT PRO JP 3YEAR /OX KER（CPU：AMD 社

た座標系を置いた．緩和問題 3 で用いる摩擦凸多面錘は 16 面

ATHLON 1.2GHZ 搭載）を用いて計算した．二次元空間の例の場合（摩擦係数 0.3），Case I では，2 本指把持の場合約 5 秒，
3 本指把持の場合約 8 分，Case II では，2 本指把持の場合約 7秒，3 本指把持の場合約 3 分の計算時間がかかった．三次元空とした．本数値例にて用いた要求外力集合は，二次元の場合と同様に，並進力に関しては，対象物の重力が任意方向から加わることを想定し，モーメントに関しては，並進力（重力）が加日本ロボット学会誌 21 巻 3 号—101—2003 年 4 月

渡 辺 哲 陽

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間の例の場合（摩擦係数 0.3），約 25 分の計算時間がかかった．
本手法では，候補となる接触点の組は C(n, m) 個ゆえ，一般に指の数や候補接触点の数が増えるほど計算量が増加する．もし，計算時間が実用的でないほど長ければ，まず，候補接触点の数を減らして探索し，その後，最適な接触点付近の接触点を候補接触点として探索すれば，厳密ではないが，計算時間を減らして近似的な最適解を得ることができる．

5. お わ り に
本論文では，force-closure 把持も平衡把持も含めた一般の望みの把持状態を扱うことができ，また，対象物に加えることのできる合力・モーメントの大きさを評価できる要求外力集合という概念を用いて，物体の把持を行う場合の最適な接触点の位置を求めた．この際，要求外力に抗するために必要な接触力のユークリッドノルムが最大となる接触点のそのノルムが最小となる接触点の組を最適ととらえ，分枝限定法をもとにしたアルゴリズムを用いて最適な接触点の組を求めた．また，数値例により，本手法の有効性を示した．本論文では，各接触点の摩擦
条件を摩擦あり点接触としたが，ソフトフィンガー型接触の場
合でも，Buss ら [23] によって式（10）に相当するような等価な
準正定性の条件の表現方法が提案されているため，本論文の手法をそのまま用いることができる．これは今後の課題としたい．

参 考

文

献

[ 1 ] J. C. Trinkle and R. P. Paul : “Planning for dexterous manipulation with sliding contacts,” The International Journal of
Robotics Research, vol.9, no.3, pp.24–48, 1990.
[ 2 ] 小俣 : “多指ハンドの指先計算アルゴリズム”, 計測自動制御学会論文集, vol.26, no.5, pp.550–556, 1990.
[ 3 ] 小俣 : “多指ハンドによる三次元つりあい把持のための指先計算アルゴリズム”, 計測自動制御学会論文集, vol.27, no.10, pp.1152–1158,
1991.
[ 4 ] V. Nguyen : “Constructing force-closure grasps,” The International Journal of Robotics Research, vol.7, no.3, pp.3–16, 1988.
[ 5 ] J. Ponce, S. Sullivan, A. Sudsang, J. Boissonnat and J. Merlet :“On computing four-ﬁnger equilibrium and force-closure grasps
of polyhedral objects,” The International Journal of Robotics
Research, vol.16, no.1, pp.11–35, 1997.
[ 6 ] M. Y. Wang : “An optimum design for 3-D ﬁxture synthesis
in a point set domain,” IEEE Transactions on Robotics andAutomation, vol.16, no.6, pp.839–846, 2000.
[ 7 ] D. Ding, Y. Liu and M. Y. Wang : “Automatic selection of ﬁxturing surfaces and ﬁxturing points for polyhedral workpieces,”
IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol.17, no.6,
pp.833–841, 2001.
[ 8 ] D. Ding, Y. Liu, J. Zhang and A. Knoll : “Computation of ﬁngertip positions for a form-closure grasp,” Proc. IEEE Interna-

吉 川 恒 夫
tional Conference on Robotics and Automation, pp.2217–2222,
2001.
[ 9 ] Y. Chen, I. D. Walker and J. B. Cheatham : “Grasp synthesis for planar and solid objects,” Journal of Robotic Systems,
vol.10, no.2, pp.153–186, 1993.
[10] D. Ding, Y. Liu and S. Wang : “The synthesis of 3-D
form-closure grasps,” Proc. IEEE International Conference on
Robotics and Automation, pp.3579–3584, 2000.
[11] Z. Li and S. S. Sastry : “Task-oriented optimal grasping by
multiﬁngered robot hands,” IEEE Transactions on Robotics
and Automation, vol.4, no.1, pp.32–44, Feb. 1988.
[12] X. Markenscoﬀ and C. H. Papadimitriou : “Optimum grip ofa polygon,” The International Journal of Robotics Research,
vol.8, no.2, pp.17–29, 1989.
[13] B. Mirtich and J. Canny : “Easily computable optimum grasps
in 2-D and 3-D,” Proc. IEEE International Conference on
Robotics and Automation, pp.739–747, 1994.
[14] L. Mangialardi, G. Mantriota and A. Trentadue : “A
three-dimensional criterion for the determination of optimal
grip points,” Robotics & Computer-integrated Manufacturing,vol.12, no.2, pp.157–167, 1996.
[15] G. Mantriota : “Communication on optimal grip points for contact stability,” The International Journal of Robotics Research,
vol.18, no.5, pp.502–513, 1999.
[16] M. Teichmann and B. Mishra : “Probabilistic algorithms foreﬃcient grasping and ﬁxturing,” Algorithmica, vol.26, pp.345–
363, 2000.
[17] M. Y. Wang and D. M. Pelinescu : “Optimizing ﬁxture layout
in a point-set domain,” IEEE Transactions on Robotics andAutomation, vol.17, no.3, pp.312–323, 2001.
[18] 余，竹内，吉川：“ロボットハンドによるパワーグラスプの最適化”，
日本ロボット学会誌，vol.17, no.4, pp.557–566, 1999.
[19] T. Yoshikawa, T. Watanabe and M. Daito : “Optimization of
power grasps for multiple objects,” Pro. of IEEE int. Conf. on
Robotics and Automation, pp.1786–1791, 2001.
[20] 今野 : 線形計画法．日科技連出版社，1987.
[21] 福島 : 数理計画入門．朝倉書店，1996.
[22] L. Stocco, S. E. Salcudean and F. Sassani : “Fast constrained
global minimax optimization of robot parameters,” Robotica,
vol.16, pp.595–605, 1999.
[23] M. Buss, H. Hashimoto and J. B. Moore : “Dexterous handgrasping force optimization,” IEEE Transaction on Robotics
and Automation, vol.12, no.3, pp.406–418, 1996.
[24] 土谷：“最適化アルゴリズムの新展開 —内点法とその周辺–iii —半正定値計画問題 i—”，システム／制御／情報, vol.42, no.8, pp.460–469,
1998.
[25] 土谷：“最適化アルゴリズムの新展開 —内点法とその周辺–iv —半正定値計画問題 ii—”, システム／制御／情報, vol.42, no.10, pp.550–559,
1998.
[26] L. Han, J. C. Trinkle and Z. X. Li : “Grasp analysis as linear
matrix inequality problems,” IEEE Transaction on Robotics
and Automation, vol.16, no.6, pp.663–674, 2000.
[27] J. Kerr and B. Roth : “Analysis of multiﬁngered hands,” International Journal of Robotics Research, vol.4, no.4, pp.3–17,
1986.

渡辺哲陽（Tetsuyou Watanabe）

吉川恒夫（Tsuneo Yoshikawa）

1974 年 4 月 3 日生．1999 年，京都大学大学院工学研究科修士課程修了，同年同大学院工学研究科博士課程に進学，現在に至る．非ホロノミックな拘束をもつロボットシステムやロボットハンドなどに興味を持つ．
（日本ロボット学会学生会員）

JRSJ Vol. 21 No. 3

1941 年 12 月 19 日生．1969 年京都大学大学院工学研究科博士課程修了．同年同大学工学部助手．1970
年同大学工学部助教授．1986 年同大学工学部教授（オートメーション研究施設），1994 年組織変更により同大学工学研究科教授（機械工学専攻）となり，現在に至る．ロボット工学，制御工学の研究に従事．
工学博士．計測自動制御学会，日本機械学会，システム制御情報学会，
IEEE などの会員．米国 IEEE 学会の Fellow．
（日本ロボット学会正会員）—102—

Apr., 2003