「加速器」Vol. 2, No. 3, 2005 (293304)

解説

FFAG 加速器の復活
森義治

Rebirth of FFAG Accelerator
Yoshiharu MORI

Abstract
After long silence of more than ˆfty years, FFAG (ˆxed ˆeld alternating gradient) accelerator has come to life
again. This short note gives various features of this type of accelerator, which could bring out the most modernized
and interesting phases in the ˆeld of accelerator science.

ます．

. は じ め にFFAG 加速器は，Fixed Field Alternating Gradientの頭文字でネーミングされた加速器のことです．その名のしめすところは，一定磁場（静磁場）でかつ勾配磁場が一定である．したがって，ビーム軌道はエネルギーの増加とともに変化する．この点は，サイクロトロン的であるが，サイクロトロンのよ
うに軌道は大きく変化しない．すなわちモーメン

磁場形状をもち，さらにその勾配方向を交互に変える
磁場形状を有した加速器ということになります．磁場

タム・コンパクションが強い．
 強集束である．横方向は AG 集束であり，ま

勾配の向きを交互に変えるということで強い集束効果が得られる（ AG focus ）ことから， FFAG 加速器はた縦方向は位相集束（シンクロトロン振動）がある．この点では FFAG 加速器は強集束シンクロ“一定磁場・強集束”のリング加速器を意味することになります．

トロンの特徴を有している．
 色収差が零である．したがってベータトロン共FFAG 加速器の原理を世界で最初に提案したのは，
大 河 千 弘 で 1953 年 の こ と で す1) ． 前 年 に Courant

鳴を横切らない．（最近はこの条件を満たすもの
をスケーリング型 FFAG とよぶ．色収差が零でSnyder Livingstone の AG focus の原理が発表されましたが，当然大河はこれに啓発されて FFAG 加速器

ないノンスケーリング型というものもある）
これらの特長からどのような性格の加速器が期待さを考案したのです（ご本人から直接お聞きしました）．
FFAG 加速器は強い集束作用をもっているのです

れるでしょう． FFAG 加速器の応用を考えたときにそれらは重要な指標となります．

が，一方，一定磁場であるということから加速中にその集束力が変化すると，ベータトロン振動の共鳴を横

まず，磁場が一定ということから，ビーム加速は加速装置の条件のみで行えることになります．高周波加切りビーム損失という不都合が生じます．これを避けるには，どのビームエネルギーにおいても集束力が変速の場合，シンクロトロンのように磁場と高周波周波数（位相）の同期をとる必要がありません．したがっわらない，すなわち集束系の色収差が零であることが望まれます．これが FFAG 加速器における“零色収て加速電圧さえ許せばとても短い時間でビーム加速を行うことが可能となります．これは，寿命の極めて短差”（zero chromaticity）というものです．
リング型加速器で色収差をなくすためには後に述べい粒子，例えばミューオンのような粒子も加速できることを意味します．また，加速時間が短いということる様に特定の磁場配位が要求されますが，これが実現されると，他に無いいくつかの特長が現れてきます．

は高繰り返しの加速が可能ということですから，1 回に加速する粒子数はすくなくとも，時間平均でみた

FFAG 加速器の特長をまとめますと次のようになり

ビーム強度は高くなります．すなわち，2 次粒子（中京都大学原子炉実験所 Kyoto University, Research Reactor Institute(E-mail: mori＠kl.rri.kyoto-u.ac.jp)― 293 ―

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15

森

義治

性子，中間子，ミューオン等）の発生器（ドライバー，e.g. proton driver）である．いわゆる大強度加速が作られることは一度もありませんでした．これにはいくつかの要因がありますが，一つには，磁場が必然器として大きな魅力を有していることになります． 1
回に加速する粒子数自体は小さいので，粒子密度に起的に非線形成分を含むため，磁場設計ならびに電磁石の製作が難しかったこと，また，高周波加速を行うに因する空間電荷制限，不安定性等によるビーム損失の問題から解放されることになります．さらに，強集束は広い帯域をカバーする高周波空洞が必要であり，従来のフェライトを用いた同調型高周波空洞では電場強であること，零色収差であることから，横方向，縦方
向ともにとても大きなビームアクセプタンスをもつこ

度が足りないことから， FFAG 加速器のせっかくの特徴である高繰り返し加速が困難であったためです．

とになります．たとえば，水平方向で 10,000 pmm ･mrad，運動量方向で＋－ 10 を超える大きなビーム

さらに当時はより高いエネルギーを目指していたので，通常の強集束シンクロトロンよりは大きな口径のアクセプタンスを持つことも可能です．この点はビー
ムエミッタンスの大きな 2 次粒子ビームの加速器と磁石が必要な FFAG 加速器はコスト的に不利であったこと，また，強集束シンクロトロンでも数 10 Hz

して重要な利点です．
それでは，これらの特徴をもつ FFAG 加速器が具程度までの加速繰り返しならば可能であること等も
FFAG 加速器が廃れた理由です．FNAL の Mills が見

体的にはどのようなものか，述べてみます．

せたくれた漫画（彼が描いたのかどうか聞きそびれま
し たが ） が 印 象 的 で す ． 米 国中 西 部 の 草 原 に 中 に. FFAG 加速器開発の歴史
FFAG 加速器の始まりは 1953 年に大河がその年の日本物理学会の年会でアイデアを発表したことによります．この時の大河の提案は，AG 集束を得るために

FFAG と書かれた墓標があり，その上空を双発の飛行機（デ・ハビラントか）がブーンと飛んでいるというのがありました．その後，何度か耳目を集めることはあっても，およそ 50 年の間，まさに FFAG 加速

磁場の向きを交互に反転させた勾配付きの 2 極電磁石を リ ン グ 状 に 配 置 す れ ば， ビ ー ム 軌 道 が 閉 じ る

器は加速器開発の歴史の闇に葬られていたのです．
その状況が一変するのは， 2000 年に高エネルギー（closed orbit）と同時に AG 集束も満たされるというものでした．この方式の FFAG 加速器は，今日ではラディアル型（radial type）とよばれるものです．彼の提案はまさしく世界最初であり，のちに Wisconsin

加速器研究機構（ KEK ）で世界初の陽子加速 FFAG
加速器（ PoP FFAG ）がビーム加速に成功してからです．当時の JHF（現在 JPARC）シンクロトロン用に開発を進めていた金属磁性体高周波空洞（MA cav-の Kerst（ベータートロンの発明者，ベータートロン振動の式でも有名）が大河のアイデアを知って彼を米

ity ）が FFAG 加速器に最適であり，これを利用して最高エネルギー 1 MeV の陽子加速 FFAG 加速器を開国に招くことになるのです．実は Kerst のグループは
当時 MURA グループと呼ばれ加速器開発を精力的に発したのです4) ．図は，その PoP FFAG 加速器の写真です．

行っていました．そこでは大河とは独立に FFAG 加速器の原理を見つけ，Cole, Symon らが中心となって研究を始めていました2) ．（ Symon は 2004 年の米国
粒子加速器学会で FFAG 加速器その他の功績で Wil-MA cavity がどうして FFAG 加速器に最適であった かは 以 下 の と お り で す ． 図 は ， フ ェ ラ イ ト とson 賞 を もら い まし た ） 一方 当 時の ソ 連で は Kolo-

波磁場強度が増すと急激に mQf 値が低下し，高い高周波電圧が得られないことがわかります5) ．一方，

mensky が中心となってやはり FFAG 加速器の開発を進めていました3)．彼の有名な加速器の教科書にはFFAG 加速器のことがかなり詳しく述べられていま

MA の mQf 値を高周波磁場強度に対してプロットしたものです．これからわかるようにフェライトは高周MA では，その Q 値は 1 程度と低く広帯域であるうえに，高周波磁場が数 kG と高くなってもまったく特す ．（ 中 国 の 高 能 研 究 所 の Fan 教 授 は ， 当 時 Kolo-

性すなわち mQf 値は低下しません．まさに MA cavi-mensky のところで加速器の勉強をしており FFAG
加速 器 の 磁 石 の 開 発 を や って い た そ う で す ） こ の
MURA の時代では FFAG 加速器の電子モデルがつく

ty は FFAG 加速器にうってつけの高周波加速装置といえるのです．図にあるように実際の MA コアは
薄いテープ（厚さ 20 ミクロン）を巻きつけたものでられましたが，誘導加速によるもので，本格的な高周波加速ならびに陽子加速は実現せずに終わりました．

す．また，これを組み込んだ PoP FFAG 用の加速空洞の写真が図です．

FFAG 加速器は 1960 年の初めの頃までは精力的に研究されていましたが，それ以降 50 年の間，実用機

MURA 当時はとても大変だった磁場設計も現代では容易に手に入る 3 次元磁場計算コードを駆使して16 J. Particle Accelerator Society of Japan, Vol. 2, No. 3, 2005

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FFAG 加速器の復活

図

図

世界で始めて陽子加速に成功した FFAG 陽子モ
デル．PoPFFAG とよばれている．

金属磁性体の高周波特性．横軸は高周波磁場強度，縦軸は mQf 値をそれぞれ示す．

図MA コアを使った高周波空洞． PoP FFAG 加速器用のもの．

図

KEK で 開 発 さ れ た 150 MeV FFAG 加 速 器 ．
ビーム加速・取り出しにすでに成功している．

行われました．特筆すべきはこの開発の主力は 2030
代の大学院生とポスドクの若い人達でした．
この後， KEK では最高エネルギーが 150 MeV の
陽子 FFAG 加速器の開発を行っておりビーム加速・取り出しに成功しました．図はこの FFAG 加速器の写真です．また，京都大学原子炉実験所においては加速器駆動未臨界原子炉の基礎研究用として陽子加速
FFAG の建設が進められています．そこでは，3 段階の FFAG 加速器のチェーンとなっており，つい最近
最初のリングであるスパイラル型 FFAG 加速器で低エネルギーのビーム加速・取り出しに成功しました．
図は全体の構成図と初段のスパイラル型 FFAG 加
図

金属磁性体（MA）コア．KEK の 150 MeV FFAG
加速器に使用されている．

速器の写真です．また大阪大学においてはミューオン
ビームのエネルギーをそろえるための位相回転用リングとして FFAG 加速器の開発（PRISM: Phase Rotation ring for Intense Slow Muons） が進められていま― 295 ―

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森

義治

図

FFAG 加速器の発明者の大川千弘先生と筆者．
（FFAG02 国際ワークショップで）れた後，この 5 年間に 10 回もの workshop が各地で開催されてきました．実に 1 年に 2 回のペースですからこの FFAG 加速器への興味がとても強いことが伺われます．ちなみに図の写真は， 2002 年 2 月に
図

KEK で開かれた FFAG02 に来られた大河先生と筆者です．

京都大学原子炉実験所の加速器駆動未臨界炉の基
礎研究のための FFAG 加速器の構成と，初段のスパイラル型 FFAG 加速器（イオンベータという名称がついている）．

.

FFAG 加速器の磁場配位

FFAG 加速器では，一定磁場であるにもかかわらず横方向のベータトロン振動数はビームの運動量によらず一定となります．また，軌道変化量もできるだけ小さくおさえています．この点では， FFAG 加速器
は強集束シンクロトロンを磁場一定で実現した加速器ともいえるでしょう，さて，このベータートロン振動
数がビームの運動量によらず一定という“零色収差”
は，どのような磁場形状で実現できるのでしょう．
Kerst のベータートロン振動の式は次のとおりで
す．

図

d 2z
K
＋n
2
dU
K0

大阪大学理学部で開発中の PRISM プロジェクトのためのミューオン位相回転用 FFAG 加速器．

2

z＝ 0

x＝ 0

: horizontals: vertical, U＝ ･2p＝sK0.
C( 1)

す ． 図  は PRISM FFAG の 構 成 を 示 し た も の です．また国外では，ノンスケーリング型 FFAG 加速器の原理実証を目指した電子モデルの開発が計画されています．
1999 年 に KEK で 最 初 の FFAG workshop が 開 か
18 J. Particle Accelerator Society of Japan, Vol. 2, No. 3, 2005

2

( )
( )

d 2x
K
＋(1－n)dU 2
K0

ここで，n はビームからみた磁場係数（ˆeld index），
K は軌道曲率を表します．
これからわかるようにベータトロン振動数がビームの運動量によらず一定であるためには，それぞれ次のような条件が必要となります．

― 296 ―

FFAG 加速器の復活

最初の条件は幾何学的スケーリング条件とよばれる

FFAG 加速器の場合は k は大きな値がとれ，入射から取り出しまでの軌道増分はほぼ 1/k＋ 1 乗に比例するのでかなり小さくなります．
この磁場形状から FFAG 加速器の磁場配位には，

もので，どの運動量の閉軌道であってもそれらは互いに相似（スケール）であるということです．二番目

半径方向のみの磁場分布からなるラディアルセクター型と，方位角方向への磁場分布ももつスパイラルセク

は，ビーム光学的スケーリング条件でどの運動量のビームにとってもビームがみる磁場係数は不変というター型というものがあります．ラディアルセクター型
では AG 集束にするために磁場の向きを交互に反転ことで，集束系の焦点距離が軌道半径に比例することを意味します．これらを満たす磁場形状は円筒座標系

させます．大河が提案したのはこの方式です．一方，スパイラルセクター型では磁場端部の集束を利用しま

では次のようになります．

すから逆向き磁場の必要はありません．図にはそれぞれの磁場配位を示しています．

( )|

& K
&p K0

2

＝0, and
U＝const.

B(r, u)＝B0

w＝tan d.

() (
r
r0

|

&n
＝0
&p U＝const.

k

F u－w lnd: spiral angle.

( 2)

)

r
,
r0

.
( 3)

ここで， k は加速器中心からみた ˆeld index であり，また d はスパイラル角とよばれるものです．

ビーム光学設計と横方向運動

ラディアルセクター型 FFAG 加速器では強集束を実現する実際の磁場の配位には，集束，発散を交互に置く singlet ラティス（FODO），あるいは発散―集束― 発 散 を 組 み 合 わ せ る triplet ラ テ ィ ス 等 が あ り ます．実際のリングでは，直線部を長く取ってそこに高周波加速装置，ビーム入出射装置，ビームモニター等
をおきたいので，triplet が便利です．ここでは triplet
集束系を例にとって設計手法を紹介しましょう．
FFAG 加速器の磁場分布は大きな k 値（ˆeld index）をもつために強い非線形磁場成分をもちます．まさにその非線形性のゆえに“零色収差”を実現していることになるわけです．しかしビーム光学設計のためには，まず，あるエネルギーの軌道の近傍のみに着目した線形近似を使ってビームの安定性等を調べます．
triplet の基本磁石配置とビーム軌道を図に示します．

図FFAG 加速器の磁場配位による二つの方式．左がラディアルセクター型，右はスパイラルセク
ター型である．

図 鏡 像 対 称 な triplet 集 束 系 の 片 側 半 分 ． 太 線 はビーム軌道．
― 297 ―

J. Particle Accelerator Society of Japan, Vol. 2, No. 3, 2005

19森

ここでは，図であらわされるセクターが N 個からなる FFAG ラティスを考えます．図中で集束磁石と発散磁石の占める角度 bF, bD，ならびに集束磁石での曲げ角 uF をパラメーターとすると，集束磁石の中央

義治

での軌道半径 r0 にスケールした量として，集束磁石と発散磁石のつなぎ部分での軌道半径 r1 と，それぞれの磁石での曲率半径 rF, rD が次のように決まります．

rF
tan bF＝r0 sin uF＋(1－cos uF) tan bF
rD sin uF
sin (p/N－bF)－cos (p/N－bF) tan (p/N－bF－bD)＝
rF sin bF sin (uF－p/N)－[1－cos (uF－p/N)] tan (p/N－bF－bD)
r1 sin uF＝
rF sin bF( 4)軌道と，磁石の面の法線がなす角度を，それぞれの磁1＋j cos c,
1＋2j cos c＋j 2石での曲げ角 rF, rD との比であらわすと，集束磁石の出入り口で，
uF － b F
eF＝
2 uF

n＝k･

where j＝z－1 and z＝( 5)

r F, D
r0

nk･

( 6)

( 9)

となります．
これらにより，集束，発散磁石の線形近似モデルが直線部側の発散磁石では，
p/N－bF－bD
eD, 2＝－uD( 8)

r0/rF, D≫1 であるならば，n は近似的に，また，集束磁石側の発散磁石では，
u F－ b F
eD, 1＝uD

r0.
r F, D( 7)

決まり，ビーム光学パラメターが計算されます．N＝
8 で k ＝ 2.5 の場合の一例をとり，その水平，垂直方とあらわされます．

向のベータ関数，及びディスパージョン関数を計算したものが図です．この場合の 1 セクター当たりのビームがみる ˆeld index n は k 値そのものではありません．n は次式であたえられます．

ベータートロン振動の水平，垂直方向の位相進みはそれぞれ 95，57 度となります．

図 triplet 集束系の FFAG 磁石配置（左）とラティス関数（右）．磁石配置で，半径方向の磁石の厚みは現実を反映していない．ラティス関数の図で，上半分の実線が水平方向のベータ関数，波線が垂直方向のベータ関数である．また，下半分の実線は水平方向のディスパージョン関数をあらわす．
20 J. Particle Accelerator Society of Japan, Vol. 2, No. 3, 2005

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FFAG 加速器の復活

す．
ただし，実際の電磁石の磁場は端部からの漏れ磁場，飽和，磁石間の干渉効果等によって hard edge
model とは異なるので，3 次元磁場計算あるいは磁場測定に基づいたビームシミュレーションが必須となります．図には実際の電磁石の磁場計算値（ TOSCA ）および測定値それぞれを用いてビームトラッキ
ングでもとめた水平，垂直方向のチューンもそれぞれ示してあります．これからわかるように，実際の電磁石では場合によってはチューンが 0.1 以上線型近似からずれる可能性があり，3 次元磁場計算あるいはモデ
ル磁石での磁場測定に基づいたビームトラッキング
が， FFAG 加速器（特に小型 FFAG 加速器の場合）の設計では必須であることがわかります．これは，一図 スムーズ近似，線型近似，hard edge model シミュレーション，および 3 次元磁場計算（TOSCA）
ならびに磁場測定によるシミュレーションから得られる水平，垂直方向チューン． PoP FFAG 加速器の場合である．垂直チューンは， F / D 磁場
強度比を変えた場合に対応している．

FFAG 加速器を設計するための第一歩はこの線形モデルです．実際のビームの運動は，ベータートロン
チューンを広い運動量範囲で変化させない“零色収差”

般に小型加速器の場合には共通した事柄ではありますが．
このようなスケーリング条件を満たす FFAG 加速
器 に対 し て ， 最 近 ， ノ ン ス ケー リ ン グ と よ ば れ る
FFAG 加速器の研究が，おもにミューオン加速を目的として進められています．

ミューオンのように極めて短い寿命の粒子を加速するためには素早く加速しなければなりません．通常のリング加速器のように数千ターン～数万ターン以上もビームを回して加速するわけにはいきません．いいかを実現するためにいかに非線形性をうまく使うかで，
まさにそれが FFAG 加速器の醍醐味です．当然，線

えればミューオンを加速するには 10 ターン前後の周回数で加速しなければならず，その場合に通常のリン形近似に続いて実際の磁場分布をいれたビームトラッ
キングが最終的な加速器のビーム光学設計には必要とグ加速器で問題となる共鳴は，すばやく横切ることができれば問題ないと思われます．（実は，このようななります．通常のシンクロトロンでは非線形性は邪魔者的存在ですが， FFAG 加速器では必須でビームは素早い共鳴通過で共鳴がどのようにビームに影響与えるかはとても興味ある問題です．）したがって，スケー

安定な運動をするのです．
線形近似と hard edge model でのトラッキング・

リング FFAG 加速器のように，もはや“零色収差”は必要なくなり，むしろ，ビーム運動量が変わってもシミュレーションの差がどのくらいかをみたのが図です．図は PoP FFAG の例で， F ， D 磁場強軌道長変化が少ないように最適化するような（そうす
れば磁石の口径が小さくてすむ） FFAG 加速器の設度を変えた時（ F / D 比）のベータートロンチューンの動きをみたものです．図の横軸は水平方向のチュー計が可能となります．この FFAG 加速器ではもはやスケーリング条件は満たしている必要がないのでノン

ン ， 縦 軸 は 垂 直 方 向 で す ． 空 色 の 線 が hard edge
model のトラッキングの結果で，それに対して緑色のスケーリング FFAG 加速器とよばれています．この場合，スケーリングと異なり非線形磁場成分を多く持線は，線形近似のものです（ 2 本線の片方は，( 6 )式の n の近似ありなしです）これからわかるように，線型近似はそれほど悪くない近似であることがわかります．ですから， FFAG 加速器設計においても通常ち込む必要がないので，線形磁石（二極磁石と四極磁石）のみで加速器を構成することもできます．

のシンクロトロンと同様に，基本的なビームパラメー
ターを決定できます．ここでは詳しく述べませんが，ような設計をします．また，集束の安定性を保つために単位セルあたりの位相の進みを，0 度から 180 度のスパイラルセクター型の FFAG 加速器も同様な線形近似をつかって基本パラメターを得ることができま間になるようにします．
ノンスケーリング FFAG の一例にはトリプレット

大きな運動量変化に対して軌道長変化を小さくするには，ディスパージョン関数ができるだけ小さくなる― 299 ―

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21

森

義治

レキシビリティがあります．したがって，今後も様々なラティスのアイデアが出てくるでしょう．もちろん，チューンが大きく変わるという代価は払わねばな
りませんが．

.

FFAG 加速器の縦方向ビーム運動

最初のところで述べたように， FFAG 加速器は磁場が一定ですから，通常のシンクロトロンのように高周波加速の周波数（位相）と磁場の同期をとる必要がありません．いいかえれば高周波加速に大きな自由度があることになります．これが，加速の繰り返しを通常のシンクロトロンに比べて格段に大きくできる理由

図 トリプレット集束系を用いたノンスケーリング
FFAG ．＋33 ，およびその途中の運動量に対応した軌道を示す．（D. Trbojevic による）であり，また同時に高加速勾配でしかも広帯域の安定した加速システムの実現が， FFAG 実現のカギとして切望されていた理由でもあります．
FFAG における縦方向の運動は，2 つの互いに独立なパラメーターの時間関数で決定されます．ハードウ
ェアの点から考えれば，代表的な 2 つのパラメー
ターは，加速周波数と加速電圧ですし，加速周波数の代わりに運動量の時間関数を指定してもよいでしょう．また，まったく別の組み合わせとして，ターンあたりのエネルギーゲイン，バケツの大きさ，加速位相の中から 2 つを指定することでも運動が一意に決定されます． FFAG 加速器では，様々な rf gymnasitcが可能となりいろいろな目的に応じてユーザーからの要求に答えられるのです．ここではそのいくつかをご

図 運動量の関数としてのチューン

集束 を 基 本 と し た ラ テ ィ スが あ り ま す ． こ れ を 図
に示します．各運動量に対応する軌道のシフト量紹介してみましょう．
. 高加速繰り返しは図に示すように，中心運動量付近の軌道は四極電磁石のほぼ中心を通過しますが，低い運動量の粒子は内

ここでは運動量の時間変化（より正確には平衡軌道半径の時間変化）とバケツの大きさを指定した場合に側，高い運動量の粒子は外側を通ります．軌道は中央付近の運動量で最短ですが運動量が離れるにつれ軌道決まる縦方向の運動の例について述べます．平衡軌道半径の時間変化が一定で，またバケツの大きさも加速長が延びていきます．もはや運動量の異なる粒子の描く軌道は相似形ではなくスケーリング条件をみたして

途中で変化しないという条件で，陽子を 50 MeV から 250 MeV まで加速する FFAG 加速器の縦方向運動はいません．図は運動量の違いによるチューンの変化を示したものです．この例では加速につれ，チをもとめてみましょう．このような FFAG 加速器の具体的な応用例としては，陽子線癌治療用を想定してューンが整数共鳴を何度も横切っています．
ノンスケーリング FFAG 加速器には，すべて線形います．陽子線癌治療ではスポットスキャンニング照射が将来技術として期待されており，数 100 Hz ～ 1

磁石で構成するものと，少し非線形磁場成分をいれて構造共鳴は横切らない程度にチューンの変化を抑えた

kHz の高速繰り返しパルスビームが求められています．

もの，（セミスケーリング)9) あるいは isochronous 条
件（スリッページ係数が零）を満たすようにしたもの

図は，100 Hz の繰り返しで行い，バケツの大きさとしては 1 eVs を想定した場合です．時間の関数とがあります10) ．ノンスケーリング FFAG 加速器は，スケーリングのように軌道条件に“零色収差”というして，1)加速電圧，2)バケツの大きさ，3)同期位相，4)ターンあたりのエネルギーゲイン，5)加速周波数，

とても厳しい条件が課せられていませんから，例えば直線 insertion を入れたりすることが可能であり，フ6)バケツの高さ（単位は dp/p），7)シンクロトロンチ
ューン， 8 )平均軌道半径，が計算されます．最高電22 J. Particle Accelerator Society of Japan, Vol. 2, No. 3, 2005

― 300 ―

FFAG 加速器の復活

図 750 Hz 加速繰り返しの場合の位相空間のシミュ
レーション結果．
図 250 MeV FFAG 加速器での 100 Hz 加速繰り返
しの場合のパラメーター．

図 750 Hz 加速繰り返しの場合で，高周波バケツの大きさを 1/10 に縮小した場合．
図 250 MeV FFAG 加速器での 750 Hz 加速繰り返
しの場合のパラメーター．

ツの大きさを 1 / 10 に縮小した場合です．このときは，同期位相が 60 度近くにもなり，また，加速電圧
圧 80 kV で全サイクルにわたってバケツの大きさは 1
 以上を確保できます．

は高エネルギー側で最大となりますが，最大でも 60kV 程度の電圧で良いことになります．

図は，繰り返しを 750 Hz に上げたときの結果
で，繰り返しを大幅に上げた割には電圧は 130 140
kV で十分なことを示しています．バケツの大きさを
1 eVs 確保するという条件から，必要以上に電圧が高このように，通常のシンクロトロンに比べ一桁以上も速い繰り返しをめざす割には，必要な電圧はそれほくなってしまい，加速に使われるのはほんの一部分であることが図の同期位相から読みとれます．

できるので，もっとも効率の良い（できれだけ最大高周波電圧が低く，かつ縦方向アクセプタンスの大き図はこの場合の位相空間のシミュレーション結
果です．また，図は，同じ繰り返しながら，バケ

な）加速パターンを選べるからです．

ど 大き な も の で な い こ と が わか り ま す ． こ れ は ，FFAG 加速器では加速を高周波のみで決めることが― 301 ―

J. Particle Accelerator Society of Japan, Vol. 2, No. 3, 2005

23

森

義治

. 定常バケツ加速“零色収差”条件を満たしているスケーリング
FFAG 加速器では，式(1)に示すような磁場分布から
ビーム運動量とビーム軌道とには次のような関係がな

りたっています．

()

p
r
＝
p0
r0

k＋ 1

(10)

したがってモーメンタム・コンパクションは，
a＝

1
k＋1

(11)

図 固定周波数加速の例．

となりビーム運動量によらず一定となります．一定磁場でありながらビーム運動量が大きく変わってもモーメンタム・コンパクションが一定ということは，ビー
ムの縦方向運動においてビーム運動量による非線形性が無いということになります．したがってビームからみた rf バケツの運動量変化による歪みが小さく，周波数一定の定常バケツ内でのビーム加速が可能となります．スケーリング FFAG 加速器ではその軌道長は
図 rf スタッキングのビームシミュレーションの一例．

変化しますから，ビームの周回周波数も加速とともに変わっていきます．したがって通常は，加速用の高周波の周波数もそれに同調して変える必要があります．
しかし，もし大きな高周波電圧が用意できれば（あるいは必要ならば），一定周波数の高周波電圧でつくる
定常バケツ内でビーム加速することが可能となりま

図はそのシミュレーション結果です．左上の縦方向位相空間で，左右ほぼ一様に続いているのが，すす．ミューオン加速がまさにそのような場合です．素早い加速に必要な大きな高周波加速電圧（＞1 MV/m）

でに加速が終わり最外軌道上を回っている粒子を表しています．これよりも少しエネルギーの低い粒子のかが必然的に大きなバケツをつくりますから，定常バケ
ツであってもビーム加速が可能となります．

たまりが，新たに加速され最外軌道に近づきつつある
ビームを表します．時間がたつにしたがって（図では図は FFAG 加速器（NuFactJ scheme）でミューオンを定常バケツにより 10 GeV から 20 GeV まで加速する様子をみたものです．この時の加速電圧は 1
MV/m を仮定しています．スケーリング FFAG 加速

左から右へ，さらに上から下へ），新たに加速された粒子がもとからある粒子とほぼ同じエネルギーを持つようになります．もちろん，位相空間で 2 つの粒子のかたまりが重なり合うことはないので，結果として器であってもこのように固定周波数での加速が可能なのです．

できるビームは大きなエミッタンスを持ちます． rf
スタッキングを繰り返し，最外軌道に蓄積された粒子

. rf スタッキング
FFAG の特徴として，通常のシンクロトロンに比は，キッカーにより一度に取り出されるか，または横方向の共鳴条件を利用して連続的に取り出されること

べて繰り返しを速くできる点に関しては繰り返し強調していますが，一方で，ビームを使う上で，繰り返しになります．
. マルチバンチ加速を下げパルスあたりの粒子数を上げたいという要求もあります．このためには，加速の各サイクル毎にビー

FFAG シンクロトロンでさらに繰り返しを上げる
方法として，次のような運転も考えられます．FFAG

ムを取り出すのではなく加速が終わった時点で，そのまま最外軌道上を周回させ，次に加速されたビームをでは加速途中の粒子のエネルギーは，周回周波数に同期する高周波加速電場によって決められます．入射エ

順に蓄積する方法として“ rf スタッキング”という方法があります．

ネルギーに対応する周波数を持った高周波加速電場に捕獲された粒子は，その周波数の上昇とともに運動量

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FFAG 加速器の復活

図 PoPFFAG 加速器でのマルチバンチ加速実験のスキーム．

図 PoP FFAG 加速器でのマルチバンチ加速の実験
結果．

図 運動量の関数としての軌道長（D. Trbojevic による）が与えられますが，一つの加速の繰り返しが終わるのを待たずに，次のバンチを入射し，それに対応する別の高周波加速電場をかけることで，一度に，いくつかでそれぞれのバケツに入って加速されていることがわ
かります．

の運動量の異なるバンチが回っているという状態を作ることができます．これにより， FFAG 内にあるバ. ガター加速
スケーリング FFAG 加速器では，モーメンタム・

ンチの数を N 個とすれば，取り出し側から見た，実際上の繰り返しは，加速の繰り返しの N 倍となりまコンパクションは式( 11 )にあるように一定です．したがって，軌道長変化は運動量変化に対して線形となす．ただし，あまり N を大きくしようとすると，互いのバンチの同期周波数が近づきすぎて，干渉し合う

ります．一方，ノンスケーリングの場合には，運動量による軌道長の変化をできるだけ小さくすることかので N にはおのずと上限が存在します．おおよそシンクロトロン振動数の 2 倍程度以上に周回周波数が離れていれば，バケツ間の干渉を避けることができます．このような周波数の異なる高周波を同一空胴で励ら，図に示すように，中心付近で最小となる放物曲線となるように軌道を選ぶことができます

振することも， MA を用いた広帯域空胴では実現可能なのです．

り多くかかるので位相が遅れます．運動量が増すにつれて軌道長が短くなり中心付近で位相遅れがなくな

実際にこれを PoP FFAG 加速器でテストしてみました．図は二つのバンチを時間を空けて入射・加り，さらに加速されると，再び位相の遅れが生じることになります．固定周波数を運動量の中心付近に合わ

速させ二つのバケツが共存している様子を示しています．また，図にはバンチモニターの出力をフーリせるとともに，粒子の位相も運動量の中心付近で最大電圧に乗るように選ぶと高周波加速空洞を最も効率よ

エ成分を測定したものです．2 つの異なる周回周波数成分が観測され，たしかに 2 つのバンチが別の軌道く使うことができるようになります．
縦方向の位相空間を見ると図のようになってい軌道長が最小となる周回周波数に加速空洞の周波数を固定させますと，入射運動量付近では周回時間がよ― 303 ―

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25

森

義治

図 縦方向の位相空間．ビームは中央付近を通過するS 字形に沿って加速される．（E. Keil による）図 FFAG 加速器を用いたニュートリノファクトリ
ィ案．

ます．粒子は図の中央を通過する帯の上を加速され，この形から，ガター加速という名称がついています．

. ま

と

め

FFAG 加速器は 1953 年にそのアイデアが出されていながら， 50 年あまりの間実質的な開発が進まずにいました．ところが 2000 年に KEK での PoPFFAGていました．しかし， 21 世紀の到来とともにまさに「復活」を果たしたといって過言でないでしょう．今後はさらに新しいアイデアを注入することでより発展していくと期待しています．

が陽子加速に成功してからこの間，各地で様々な研究が急速に進んできています．特に，ミューオン加速の

FFAG 加速器について，筆者の眼を最初に開いて戴いたのは故佐々木寛先生です8)．また，開発の当初ためのもっとも有力な加速器として注目を集めています．ミューオンを数 10 GeV まで加速器・貯蔵し，ミから暖かくご支援戴いた菊池健，山崎敏光，大沼昭六の各先生，グループの若い研究者諸君ならびに関係のューオンの崩壊で得られる高エネルギーのニュートリ
ノビームをつくり出す「ニュートリノ工場」計画には，皆様に深く感謝して筆をおきます．

いまや FFAG 加速器が必然のものとして議論されています．
ニュートリノ工場計画には，これまで，日・米・欧の 3 極からそれぞれのシナリオが提案されています．図は日本グループの提案です．これは 4 台のスケーリング FFAG 加速器をカスケードにつないで20 GeV までミューオンを加速しようというものです．
FFAG 加速器の大きな横方向ならびに縦方向アクセ

プタンスを利用し，加えて低い周波数（ 5‚30 MHz）の高周波空洞を用いることで，ミューオン冷却が不必要になります．
また，ニュートリノ工場以外にも，粒子線癌治療，加速器駆動未臨界炉，加速器中性子源等様々な方面での FFAG 加速器の応用が考えられています． FFAG
加速器の他にない特徴を利用した応用が，今後もさらに広がっていくのではないかと期待しています．
FFAG 加速器は大河千弘によって産声をあげながら，半世紀の間，加速器の歴史から消滅したと思われ

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参考文献
1)

T. Ohkawa, Symposium on Nuclear Physics of the
Physical Society of Japan, 1953.
2) K. R. Symon, et al., Physical Review, Vol. 103, No. 6,
1956, p. 1837.
3) A. A. Kolomensky and A. N. Lebedev: ``Theory of Cyclic Accelerators'', p‚ 340.
4) Y. Mori: Proc. of Particle Accelerator Conference,
1997, Vancouver.
5) Y. Mori et al.: Proc. of European Particel Accelerator
Conference, 1998, Vancouver.
6) NuFactJ Design Study Report7 ) USBNL 72369 2004, FNAL TM 2259, LBNL 55478
8) H. Sasaki: GEMINI Design Report, KEKReport,
1990.
9) S. Machida, Y. Mori and T. Yokoi: Pro. of the International Workshop on FFAG Acceleraors (FFAG05),
KEK, Tsukuba (2004), p. 47.
10) ibid., p. 28.

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