⽇本数学会市⺠講演会! の発⾒と波⾯の幾何学
2023年9⽉23⽇

宮岡礼⼦（東北⼤学）

⾃⼰紹介
東京都出身 １男２女１孫
1969年 東工大入学︓バリケード封鎖中，８月まで自宅待機．
男女比 5/850 (女子学生は各学年１桁→ 現在は３桁)
1975年修士課程終了，同年博士課程進学１年後に助手．
ドイツ ボン大学特別研究員（ 1978-1979 ）
博士号取得（1983年 論博 東工大）
イギリス ウオリック大学研究員（1983年3月-9月）…… 2021年 東北大学退職

波⾯の幾何学2

今⽇のお話のプラン・数の話
１．0 の発⾒２．i の発⾒３．ハミルトンと四元数
４．⼋元数
５．クリフォード環・波⾯の話
６．波⾯の幾何学
７．球⾯の幾何へ
８．等径超曲⾯
９．Lie の球幾何
3

１．まず０の発⾒中国では紀元前14世紀に⼗進法を使⽤開始し、紀元前4世紀にはゼロを空位で表現した位取り記数法を使⽤し、紀元前1世紀には⼩数を⽤いており、16世紀欧州の数学者はそれを学び使⽤した．
• BC 1800年 バビロニア⼈︓
60進法，桁が空く記号 ↖↖
• ギリシャ⼈ " (オミクロン）記号としてのみ使⽤• 数字の 0 はインドで⽣まれた︓
ブラフマグプタ(628年)
数字を抽象的に扱い，加減乗除のルールを負の数に拡張．
• イスラム（アッバース朝）:
アル-フワーリズミ (780-850?)
著作 アルジャブルはアルジェブラ（代数）の語源，アルゴリズムの語源にもなる．
•*Newton 虚数 (2020-1) より転載

4

余談︓最近のインド⼈の活躍も素晴らしい•⼤企業のトップ︓
アルファベット(Google) S.ピチャイCEO

YouTube N.モハン CEO

Microsoft S. ナディラ CEO

IBM A.クリシュナ CEO

シャネル L. ナイールCEO5グローバルサウスの⽴役者へ• インドは1947年イギリスから独⽴• 国⼟は⽇本の９倍，⼈⼝14億，(15-24歳︓２億５千万)• 30%⼤学進学，理⼯系(数物化医学)志向︓トップはインド⼯科⼤学• 多様性（20-100以上の⾔語︓英語が共通⾔語）• VUCA: Volatility, Uncertainty, Complexity, Ambiguity
インド⼈はカオスで鍛えられる．

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２．いよいよ ! の発⾒へ•

⾝近な数から
⾃然数︓1, 2, 3,…
整数︓…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
"
有理数︓ , $, &は整数，& ≠ 0. 有限少数か，循環少数．
#

無理数︓分数で表せない数，* = 3.1415 … , 1 = 2.7182…ネイピア数
以上はまとめて実数とよばれ，正でも負でも２乗すると⾮負である．
実数全体を ℝ で表す．``Real number”
89:

1次⽅程式︓34 + 6 = 7 (3 ≠ 0)はいつでも解ける．4 =;<<2次⽅程式︓34 + 64 + 7 = 0 は 6 −437 ≥ 0のとき実解をもつ−6 ± 6 < − 437
4=23

問題︓4 < +1=0 は実解をもたない.

7実は 虚数は 3 次⽅程式を解くために導⼊された．
•

3次⽅程式の解を2次⽅程式を経て得る⽅法がある．
カルダノ(1501-1576)の⽅法(発⾒者はタルタリア(1499-1557)).

3次⽅程式の実解が，2次⽅程式の虚数解を経て得られることがある．
例 ! " − 15! − 4 = 0 は ! = 4 を解にもつ．
)
左の式では3乗根を表す．
そこに⼊っている⻩⾊いルートの中⾝は* ++, "+"=-. +++-/0 ""=4-125=-121<0なので， ! + = −1 の解 −1 を 1 と書けば))! = 2 + −121+ 2 − −121))= 2 + 111+ 2 − 111 （計算略）= (2 + 1) + 2 − 1 = 4となるのである．
*以下，Hamilton まで図版は Newton 虚数 (2020-1) より転載 (オイラーを除く)

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代数学の基本定理
驚くべき事実︓! を導⼊すると2次，3次⽅程式ばかりでなく，すべての " 次⽅程式︓#$% $ + #$'(% $'( + ⋯ + #(% + #* = 0が解ける．
つまり次が成り⽴つ︓

代数学の基本定理 ガウス(1799)#* , #( , … , #$ / ℂ とすると，#$ % $ + #$'( % $'( + ⋯ + #( % + #* = 0
は重複度も込めてちょうど " 個の複素数解をもつ．

9数直線と複素（ガウス）平⾯
17世紀︓デカルトは (0 の導⼊にも)−1 の導⼊に懐疑的で，これを``Imaginary number”（虚数）と名付けた（幾何学的意味がない︖）
⼀⽅，実数を数直線で表すと，0 や正負の数の様⼦が⾃然にわかる．
また数直線に垂直な⽅向を虚軸として追加することにより，複素数の様⼦も⾃然にわかる．
これを複素平⾯，または創始者のひとりガウス(1777-1855)にちなみ，ガウス平⾯という．
このように視覚的に表すことにより，0 も ! も受け⼊れらるようになった．

10オイラー (1707-1783)
1779年 オイラーは ! " = −1 の解 −1 を % と記し，重要な結果をいくつも導いた．
余談︓
1738年ごろより視⼒が低下し、1771年ごろ両⽬を完全に失明．
計算はすべて頭の中で⾏い，⼦供が⼝述筆記で論⽂にした．
現在，886編の論⽂が確認されており、5万ページを超える全集にまとめられ1911年から刊⾏されているが未完．

& = ! + )% (!, ) は実数)と表される数を複素数という．複素数全体を ℂ で表す．加減乗除に関して，複素数は実数と同じ性質をみたす．``Complex number”
11オイラーの公式，オイラーの等式• 複素数と指数関数，三⾓関数との関係︓! = 2.7182…をネイピア数*とするとき，指数関数 ! " は!

"""("*",= 1 + &! + )! + +! + -! +…

で与えられる．
このとき，三⾓関数の級数展開を⽤いてオイラーの公式︓! ." = cos 2 + 3 sin 2
オイラーの等式︓! .6 = −1 を得る．
89(

したがって ! = −1= 3＊ネイピア数!=1618年，ネイピアにより⾃然対数の底として記述されたが，元はベルヌーイが複利計算のために使った数のようである．
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数 II の復習（知らなくてもOK)︓複素数の極表⽰と掛け算! = # + %& = '( )* = ' (cos / + % sin /), ' = ! =! を絶対値， /を偏⾓という．

#4 + &4! = '( )* , w = 6( )7 のとき !8 = ('6)( )(*97)
つまり絶対値は積，偏⾓は和になる．
:;<＊特に % = ( だから ! に % をかけることは,=! を 4 =90° だけ回転すること．
13複素数の役割
数学的な役割に加え，複素数は多⽅⾯において⼤きな役割を果たす．
• 光学︓物質による光の屈折率は実数，吸収率は虚数で表される．
• 天体⼒学︓楕円軌道の周期は実数だが，双曲線軌道の周期は虚数で表される．
• 相対性理論︓時間軸は通常の座標に ! をかけたものと思える（アインシュタイン）• 超光速粒⼦タキオンがあれば，その質量は虚数．
• トンネル効果 粒⼦の質量や速度が虚数（ホーキング）• 量⼦⼒学︓シュレディンガー⽅程式:
確率論を導⼊して量⼦コンピューターに発展．
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3. ハミルトン (1805-1865)

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四元数の発⾒•ハミルトン (1805-1865)は虚数単位をもう⼀つ付け加え，三元数の構成を試みて失敗したが，２つ付け加えることにより四元数を発⾒(1843)し，⽣涯の後半をこの研究に捧げた．

•!, #, $ を ! % = # % = $ % = !#$ = −1 をみたすものとするとき，) = *+ + *- ! + *% # + *. $, (*+ , *- , *% , *. は実数）を四元数，またはクオタニオンという．

•

四元数全体を ℍ (Hamiltonの頭⽂字)で表す．

•

実数，複素数と異なり積は可換でない!# = $ = −#! など．

ℍ で考えると， 1 % = -1 の解は無数にある．実際*-% + *%% + *.% =1
なるすべての *- , *% , *. に対して ) = *- ! + *% # + *. $ は ) % = -1 をみたす．
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四元数の性質と役割! = #$ + #& ' + #( ) + #* + の共役 !, とノルム |!|をそれぞれ!, = #$ − #& ' − #( ) − #* +,|!|( = ! !, = #$ ( +#& ( +#( ( +#* (とするとき， ! の逆元は
&0,/&! = 0 = |0|1

したがって ℍ は割り算ができる︓ℍ は多元体（ラフにいうと，加減乗除ができる）．

フロベニウスの定理 (1877)ℝ 上の有限次元結合的多元体は ℝ, ℂ, ℍ のみ．
（積が # 67 = #6 7 をみたす）

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四元数の役割• 複素数のときのように， !, #, $ をかけることは異なる３⽅向への回転を表すので３次元の回転群 SO(3) が深く関与する．
• 実際，３次元の回転は四元数計算を⽤いると容易に表現できる．
• そこで，四元数は，CG，コンピュータービジョン，ロボット⼯学，制御理論，物理，⽣物情報，分⼦動⼒学法，軌道⼒学… で使われている．

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4. ハミルトンの友⼈グレイブズは⼋元数を発⾒した．
•グレイブスの発⾒（1843年）ケーリーも独⽴に発⾒(1845年).

!, #, $ に代わり %& =1, %' , %( , %) , %* , %+ , %, , %- を与えて，# > 0 のとき，%0( = -1, %' , %( , %) , %* , %+ , %, , %- の間の積が下の図で与えられるとする．
例えば，ひとつの線分（円）上の３つ組は⽮印⽅向に，%, %' =%- , %' %- =%, , %' %* =%+ , %+ %) =%, , %' %( = %),などをみたす（逆向きは符号が変わる）．
このとき

2 = 2& %& +2' %' +2( %( + 2) %) + 2* %* +2+ %+ +2, %, +2- %( 2& , 2' , 2( , 2) , 2* , 2+ , 2, , 2- は実数）で与えられる 2 を⼋元数，またはオクトニオン，ケーリー数といい，その全体を 3 で表す．

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⼋元数の性質• ⼋元数の積は⾮可換で，さらに結合法則をみたさない．
! "# ≠ !" #他⽅，四元数と同様に% = %'('+%)()+%*(*+ %+(++ %,(,+%-(-+%.(.+%/(/の共役とノルムをそれぞれ%̅ = %'('−%)()−%*(*− %+(+− %,(,−%-(-−%.(.−%/(/,|%|*= %%̅ = %'* +%)* +%** +%+* +%,* +%-* +%.* +%/*
で定めるとき， % の逆元は)

3̅% 2)= 3 = |3|4で与えられる．よって割り算ができる．
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では，同様にして16元数とか32元数…ができるか︖
ノルムが !" = ! " をみたす多元体をノルム多元体という．

フルヴィッツ(1859-1919)の定理 (1898)ℝ 上のノルム多元体は ℝ, ℂ, ℍ, ' のみである．
積の可換性や結合性はなくとも，上の性質をみたすノルムをもち， 「加減乗除」ができる数は， ℝ, ℂ, ℍ, ' に限られるのである．
⼋元数の役割は近年宇宙理論に関連していることがわかってきた．この話は最後にしよう．

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5. クリフォード環（おまけ）• 四元数と関連して，その拡張ともいえるクリフォード環を簡単に紹介する．ここでは，例を挙げて紹介するに留める．
• ℝ" の内積に関する正規直交基底 #$, #%, …, #" から形式的に#$ , #% , … , #" , #' #( , #' #( #) , …, #$ #% …#" , * < , < - …の線型結合を考え，次の積関係(*)

ei ej + ej ei = ­2δijをみたすものとしてクリフォード環を定める．
⼀般に割り算はできないので体ではなく環という．
ここで / = 3 として * = #%#2, , = #2#$, - = #$#% とおくと(*)から * % = , % = - % = *,- = −1 がいえて四元数を得る．

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⾃⼰同型の話（あまり気にしなくて良いが重要）•

⾃⼰同型︓積の関係を保存する全単射写像! を多元体とするとき， " ∶ ! → ! が" %& = " % "(&)
をみたすとき， " を! の⾃⼰同型という．

ℂ の⾃⼰同型で ℝ を ℝ に移すものは複素共役のみ．
四元数の⾃⼰同型全体は SO(3)︓３次元回転群.
⼋元数の⾃⼰同型全体は，例外リー群とよばれる５つのうちの⼀つの G2である．これは 7次元回転群 SO(7)の部分群である．
クリフォード環からは Spin(n) というスピノル群が現れる．
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6. さて，ここからは波⾯の幾何学
今まで登場したいろいろな̀̀数”は幾何学と関係するのか？
・池に石を投げ込むと，同心円状の波が広がっていく．
・針金から熱が出ると，円柱状の等温面が広がっていく．
ある波源から出る光の波面を等径超曲面という．1920年代のイタリアの幾何光学者による研究が起源．
これらは平行超曲面族として現れる．
* pdfでは残念ながらアニメーションが表示できません．

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平⾏• 波面 ! と !" が平行! と !" の距離が一定

平行平⾏
でない25

ホイヘンスの原理

波⾯は波源の各点から⼀定速度で出る⼩波の包絡⾯
等径超曲⾯の数学的な定義には深⼊りしないことにして，ホイヘンスの原理に従って進⾏する波⾯であると考えよう．
ただしどの波⾯も折れ曲がったり重なったりはしないものとする．

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８．ℝ" , $ " , (&" ) の等径超曲⾯
実空間 ℝ" (= ( " ), 球⾯ $ " , (双曲空間 &" )を考える( &" にはふれない)．
ℝ" の等径超曲⾯は,同⼼超球⾯ $ ")*(+) と円柱⾯ $,× ℝ").)*のみであることが知られている．

ところが, 球⾯
$ " = {1 = (11, … , 1" , 1"4* ), |1| = 1}には，無限個の等径超曲⾯が存在する．
そこで以後 $ " の等径超曲⾯を考えよう．

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７．球⾯の幾何へ• 複素平⾯ ℂ に無限遠点 ∞ を加えたものを ℂ# で表す．
ℂ# は右図のように，２次元球⾯ $ %と対応付けられる．
この $ % をリーマン球⾯とよぶ．
• 実際，⽴体射影を知っていれば図のように $ %と複素平⾯がきれいに対応している．
ちなみにこの写真の⼈物はリーマン(1826-1866)である．
この対応で複素平⾯上の円（半径 ∞ として直線を含む）はリーマン球⾯上の円に対応する．これを円円対応とよぼう．
)*= ℝ( ∪ ∞と同様に，& 次元 実空間 ℝ(に無限遠点を加えてℝ)*と & 次元球⾯ $ * を同⼀視することができる．
すると， ℝ28

等径超曲⾯の波源 を 焦部分多様体 という• ! " の等径超曲⾯ # は 必ず⼆つの 焦部分多様体 #$ と#% をもち，そこから発する波⾯として与えられる．
• 例#$ ︓北極#% ︓南極# = ! "%' ())︓超球⾯#$ ( #% )を芯として、球⾯が膨らんで（縮んで）いく．
（ ℝ" の同⼼超球⾯に対応）* 以下，pdfでは残念ながらアニメーションが表示できません．

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クリフォード 超曲⾯︓ℝ" の円柱⾯ #$×ℝ"&'&( に対応．
• ) = # ' + × # "&'&( 1 − + . は # " (/ ≥ 3)の等径超曲⾯)2 ︓ #$ (1), )& ︓ # "&'&( (1)．
)2 の各点を中⼼とする球⾯が膨らんで⾏き， )& の点につぶれる．
グラフィックの様に，平⾏超曲⾯族（⿊で表⽰）は# " を覆い尽くす．

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鍵となる数 ! = 相異なる主曲率の個数• 主曲率は定義しないが，! は異なる曲がり⽅の種類を表す．
ℝ# では ! = 1,2 の場合しかない．

(#内•

超球⾯ ( #)* (,) ∶ ! = 1（曲がり⽅はどこも同じ）•

クリフォード超曲⾯ ( / (,)× ( #)/)*類）

1 − , 2 : ! = 2（曲がり⽅は２種• ( # には, さらに g=3,4,6 をもつ等径超曲⾯が存在する．
• グラフィックは藤森祥⼀広島⼤学教授による．
以後，超曲⾯の法線（ここでは⼤円=法測地線という）の乗っている平⾯に射影した図で表す．

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! = 3• 図の円は $ の法測地線を表す．
$% , $& ︓Veronese 曲⾯とよばれる射影平⾯'(2 (' = ℝ, ℂ, ℍ, /)の14, 17, 113, 125 への標準埋め込み．
ここにも ℝ, ℂ, ℍ, / が現れる．
特に, $ は等質で,Cartan 超曲⾯とよばれる.
等質とは正確には群作⽤の軌道のことであるが，ここではどこから⾒ても同じに⾒える図形であると思っておこう．

球⾯︓等質

ラグビーボール︓⾮等質32

! = 4• 最も⾯⽩い例が現れるケース︓• 無限個の等質，⾮等質な等径超曲⾯が現れ，これらは四元数やクリフォード環に関係している.
$%, $'の次元には無数の組み合わせがある．

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! = 6• ⼆つの等質超曲⾯が$ % , $&' 内に現れる．

$&' に現れるのは⼋元数の⾃⼰同型群である例外群 G2 の軌道
（等質）

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等径超曲⾯の分類• 等径超曲⾯は1930年代後半に，E. Cartanが統⼀的に研究を始め，代数，トポロジー，微分幾何，解析を総動員して，球⾯内での分類は2020年にようやく完成した(Cartan, Cecil-Chi-Jensen, Dorfmeister-Neher, Chi,
宮岡)．
すなわち球⾯内では上に述べたもので尽くされる．
• !＝1, 2, 3, 4, 6 のみであることにあわせて，四元数，クリフォード環，⼋元数の⾃⼰同型群などが現れることは決して偶然とは思われない．
• 波⾯の幾何学は本来は物理の問題であり，研究対象として興味深い．四元数や⼋元数に関わるものが現れるという意味でも深淵である．
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９. リー接触変換• 超球⾯を超球⾯に移す（円円対応）変換には，⾓を保つ共形変換のほかに，半径を縮めたり伸ばしたりする膨張変換がる．これらを合わせてリーの接触変換という．

共形変換

膨張変換

ただし数学的に正確に述べるには，球⾯ ! " の単位接空間#! " が必要となり，今⽇の話の範囲をこえるので，ここでは直感的に考えておく．

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少し⼀般の波⾯• 等径超曲⾯にリー接触変換を施すとどうなるだろうか︖• 例えばドーナツの表⾯にリー接触変換を施すと，右図のように歪む．
*ドーナツは等径超曲⾯ではないが．

• このような超曲⾯をDupin 超曲⾯という．
• これは⼀定でない速度で進⾏する波⾯の幾何学と⾔って良い．
Lie の球幾何はあまり知られていないが，円円対応を引き起こす変換として興味深い．
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少し専⾨的な話（波⾯の幾何の役割）• 完備⾮コンパクト多様体上のRicci平坦計量は数理物理において重要で，Stenzel 計量， Bryant-Salamon 計量などが知られ，⼀部の等径超曲⾯の位相と関係する．
• 例えば !7 ∖ !3 や， Cartan超曲⾯の焦部分多様体の⼀つを取り去った空間 !7∖ ℂ$2 にはそのような計量が存在する(Bryant-Salamon計量）．
• これらは特殊ホロノミー G2 を持ち， G2 多様体とよばれる７次元多様体である．
• さらに焦部分多様体の余法束や，そのGauss写像の像は，対応する空間の特殊Lagrange部分多様体となる．

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余談︓宇宙理論••

ハミルトン︓我々は４次元の時空に住んでいる．四元数はこのことに関連している．
超弦理論︓点粒⼦ →実は 弦（ひも）が最⼩単位︖
我々の住む時空は10次元．ここで10 = 4 + 6の 6 次元に当たるものはカラビ-ヤウ多様体とよばれる．

・M 理論︓弦→ 実は⾯が最⼩単位︖
我々の住む時空は11次元である．ここで11 = 4 + 7の 7次元分は ︖︖︖
理論には例外リー群 E8， G2 などが登場するが，まだまだ謎は多くどの理論も未完成である．
2012年のヒッグス粒⼦の発⾒，さらなる未知の素粒⼦の存在も議論されている(2023年8⽉13⽇付⽇経新聞）39まとめ０の発⾒，! の発⾒，四元数の発⾒，⼋元数の発⾒と数の歴史は発展してきた．
「虚数」と名付けられて，始め無意味な数とも思われていた複素数は，代数学の基本定理で述べられたような，数学における⼟台を築く数となった上に，物理学の進展にも⼤きな寄与をして，量⼦⼒学に本質的に結びついた．
さらに四元数，⼋元数及びその⾃⼰同型群は，波⾯の幾何学どころではなく，近年，弦理論，超弦理論，超対称性理論，ミラー対称性，M理論などの最先端の宇宙物理学を論じる上で，⼤きな役割を担い始めている．これらはまだ研究途上であるが，今後の発展が⼤いに楽しみである．

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本講演で参考にした⽂献等• 吉⽥洋⼀ 零の発⾒ (岩波新書 1979)• Newton 虚数 (2020-1)• 植⽥⼀⽯「複素数を超えて-四元数と⼋元数-」 (2018)• 横⽥⼀郎 群と表現 (裳華房 1973)• ⽇経サイエンス ⼋元数と超ひも理論 (2011-8)• 宇宙物理に関しては次のYouTubeが興味深い．
NHKスペシャル 神の数式 完全版 (2013年放送)
第１回 この世は何からできているのか
第２回 宇宙はどこから来たのか
第３回 宇宙はなぜ始まったのか
第４回 異次元宇宙は存在するか 超弦理論⾰命
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ご清聴ありがとうございました．

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