移相器 （オールパス・フィルタ）について

2012.09.01

JA1VCW

１． はじめに以前ある回路を見ていましたら、その中に移相器という回路がありました。
周波数が一定の時、Rを変化させると出力 (Eout) と入力 (Ein) の間の位相差が変化します。
そして振幅は変化しないというのです。 （トランスが有効に働く周波数範囲において）また周波数を変化させた場合は、位相差は変化しますが、振幅は変化しません。
フェーズシフタ、位相シフタ、或いはオールパス･フィルタなどとも言うようです。
どうしてこんなことが実現できるのか、調べてみました。 また、後に他の回路例 なども見てみました。
移相器
Ein1 CEc

Ein2 R

ErEin

トランス： Ein = Ein1 = Ein2
Eout

２． 調査
文献を当たってみましたら、とても良い解析がありました。（Ham Journal No93 p111）
この解析を私自身が理解しやすいと思われるように書き直してみました。
実質的には文献とこのレポートはほぼ同じ内容を述べています。
２．１ Step1
先ず第一ステップとして回路を下図のようにして考えます。 ノード記号を図のように付けました。
そうしますとこの回路の出力（Vbp)は抵抗の電圧（Er） そのものになります。
多く教科書に載っているC-R直列回路のRの電圧です。
☆条件I

Ein1 = Ein2 = Ein
Vab = Ein1 + Ein2 = 2*Ein
Ec = Vpa Er = Vbp

a+Ein1Ec
pn

Er+Ein2Vbp ( = Er )１）ErとEcの（ベクトル）和 がVabになります。
２）ErとEcの位相差は常に 90°です。

p∠bpa = 90°（円周角の定理 付 ２． ）
θ = arctan（Ec/Er) = arctan ｛ （I/ωC) / （RI)}= arctan ｛ （1/（ωCR)}
ω = 2*π*ｆbO

以上によってRを変化させた時の出力 (Vbp) の先端はVba を直径とする半円O上にあります。
C，R，周波数が決まると、θが決まります。
また、各電圧との関係は次のようになります。
Er = Vba*cos θ --> θ = arccos（Er / Vba)
Ec = Vba*sin θ --> θ = arcsin（Er / Vba)

ErEcbθ
Vba

a1

２．２ Step2
最初の回路（１．項）での出力 Eout は、トランスの中点の電圧とp点間 の電圧で、下の回路図 のn-p の間の電圧 (Vnp) です。 n点の電圧はEin2 の電圧であり、Vbaと同位相で電圧は1/2なので、ベクトル図
では Vbn でこれはVba の1/2です。 従ってVnp はn点とp点を結んだ、図の太線となります。
aEc (=Vpa)+
Ein1pn2*Ein

Er (=Vbp)+
Ein2

Eout （=Vnp）

bpOθErbVnp

電圧振幅 Ein = Ein1 = Ein2 = EoutEc2*θθEin2a

Vban

この図を良く見ますと、次のようなことが分ります。
１）p点はR（またはC ）を変化させることによって半円O上を移動する。
半円OはVba を直径とし、Vba/2 を中心とする半円。
２）p点の位置は ∠abpがθ（= arctan （1/（ωCR）） となるようなVbpと、半円Oとの交点である。
３）出力電圧 Eout （＝Vnp) は半円O の半径なのでどのようなθに対しても一定であり、値はVba の1/2である。 これはRを変化させた時にはθは変化するがEout の振幅は変化しないことを意味する。
４）Eout は入力電圧 Ein と等しい振幅で、位相についてはEoutはEinに対して2*θ進んでいる。
θはRの値によって0～90°の値をとるので、位相差は0～180°までとなる。
入出力の位相差は 位相差 ＝ ∠anp ＝ 2*arctan（1/（ωCR) である。
５）p点の動きは下図の通りで、究極の場合の位相差は周波数=0 または R=0 のときは、p=bとなって入力と180°周波数=∞ または R=∞ のときは、p=a となって入力と0°周波数が低くなる,またはR が小さくなる
pO
ErbVnpθEin2

周波数が高くなる,またはR が大きくなる

θn2*θ
VbaEc
a2

３． 結論移相器を次のように定義して出力電圧振幅 = 入力電圧振幅
入出力電圧位相差 = 2*arctan（1/（ωCR)
これを実現するためには、前述と重複しますが次のようにすればよいでしょう。
いずれもベクトル図の実際の回路への実現です。
１）信号源と、その逆相の信号源（振幅は等しく位相のみ反転したもの）を用意して、 CRの直列接続を各信号源に図のように接続して、 C,Rの接続点から信号を取り出す。
+
Ein1Ein1nEin

Ein+Ein2

Ein2

Eout

Eout２）入力信号に対して同位相かつ振幅が2倍の信号源を用意し、 CRの直列接続をその信号源に接続しC,Rの接続点の電圧から入力信号を減算する。
Ein*2－

Ein

差をとる(減算）
Eout

４． 移相器の回路例
４．１ FETを使用した回路
次のような回路があります。
FETではドレイン電流（Id） = ソース電流（Is） です。 ドレイン（D）とソース（S）に同じ値の抵抗を接続すると、ドレインとソースにはゲインが1で振幅が等しく、位相が180°ずれた信号が得られます。
ちょうどDCオフセットを持ったトランスと機能的に等価です。
これにC,Rを接続しますと、３．１）項のような理由で移相器になります。

電源

電源

機能的に等価

Rd
D

入力

C

出力

S
RsR

D

入力

S

入力

DS
DCoffset

Rd=Rs3

４．２ オペアンプを使用した回路
オペアンプを使用して、移相器 が実現できます。
入出力の特性が計算値との誤差が小さくなるような、高精度の目的で使用されます。
オールパスフィルタと呼ばれることのほうが多いようです。
インターネットなどで検索するといっぱい出てきますが、動作原理 で分り易いものは多くないようです。
ちゃんと式を立てて計算 をすれば、回路の動作は記述できると思います。
ここでは前記３．項の内容を踏まえて動作を考えると、うまく動作の説明 ができそうです。
R2

オペアンプを使用した移相器（オールパスフィルタ）

R1+EinEoutC
REinA
R1 = R2

この回路の動作はそのまま回路図を見ていてもよくわかりません。
オペアンプの増幅回路の基本的 なところから考えて見ます。（下図 ）この回路の出力と入力の関係式と、各項目の意味は次のようです。
Eout = EinA*（（R1+R2)/R1） + （-1）*EinB*（R2/R1)
EinAの（（R1+R2）/R1)倍の電圧EinBの（R2/R1)倍の反転した電圧
R2

出力電圧はこの2項の加算(EinB の内部インピーダンスは0とします）

R1+EinB++EinA

Eout

オペアンプの増幅回路で、反転増幅器や非反転増幅器などがありますが、それは各々EinBが入力でEinA=0 （反転増幅器） 、 EinAが入力でEinB=0 （非反転増幅器）の場合です。
また、EinA側のゲインが高くなりますので、減衰器を入れてEinBとのゲインの絶対値を等しくした場合は差動増幅器となります。
ここでR1=R2とするとEoutは次のようになります。
Eout = EinA*2 + （-1）*EinB4すなわち、ことばで表現するとこの回路の動作は
出力 Eoutは EinA*2 と EinBの反転の 加算=> EinA*2 と EinB の 減算
Ein ＝ EinB 、 EinA = C,Rの位相シフト後のEinBとなるので、３．２）項によって移相器として動作することが分ります。
ただし、 ３．２）項では “先に2倍の信号源を用意しCRを接続 “ となっていますが、この回路では ”先にCRを接続しそれを(回路内で）2倍 “ となります。 結果は同じです。
５． 感想
１）ことの始まりは、Ham Journal No.96 に出ていた受信機のノイズキャンセラでした。
キャンセラ自体ができた訳ではありませんが、回路を見ていてどうやって動作しているかな？と思ったのが始まりです。 まあ、パズルみたいなものです。
CRの直列のハイパスフィルタ回路では振幅も位相も変化するのですが、入力の電圧を減ずると振幅が全く変わらなくなるなんて、世の中には巧妙な回路を思い付く人がいるものだと感心しました。
もっとも巧妙な回路はいっぱいありますので、いちいち感心していてもきりがないのですが・・・・・。
２）3つのパーツ（トランス、C、R）で移相器が構成されているわけで、これだけのパーツの回路の動作がわからなくて隔靴掻痒でした。 ここまでわかるのに随分と時間がかかりました。
３）移相用のC,Rの位置を交換しても、またCをLに変更しても移相器として動作します。
４）フェージングタイプのSSB発生器を作ったことがあります。
音声周波数帯の移相器が必要になるのですが、４．２ のタイプを移相器として使用し、ポールの周波数をずらして複数個を多段接続し、広帯域の90°位相差を作ります。
この単体の移相器の動作原理がわからなかったのですが、なんとか説明が付いたようです。
４．１項のFETの移相器、および ４．２項のオペアンプの移相器 ともに HJ No.91 に記載されています。
５）ベクトル図について少しかじってみましたが、やはりむずかしくていろいろな回路を解析できるというというまでには遠く及びません。 まだ勉強不足です。
ここでもっと勉強して、どんな回路でも解析OKとなれば優秀なんですが、残念ながら・・・・・

5

付 １． シミュレーション
シミュレーションしてみました。

ダCV01000p

Rを変化させると、 イ(入力）とアオ(Rの電圧）の位相差は変化し、出力振幅(ア ）は変化しません。

IVm

1Vp-p 1MHzR

1Vp-p 1MHz

V001meg

ダイ

IVm0R

IVm1

アオ

アカ（出力電圧）Time (s)niose1.ckt-Transient-0(V)

0.0+1.000u+2.000uカ
グラフではダイがアカの振幅の2倍ですが、もともとダイは入力*2になっています。

+3.000u+4.000u+5.000u+2.000+1.000

R=159

Ω

位相差 90°0.0-1.000-2.000TIME+4.249uV(IVM1)

D(TIME)

0.0

D(V(IVM1)) 0.0+5.662m

V(IVM0)+1.006

V(IVM)+2.000Time (s)niose1.ckt-Transient-1(V)0.0+1.000u+2.000u+3.000u+4.000u+5.000u+2.000+1.000

R=1Ω

位相差 180°

0.0-1.000-2.000TIME+4.251u

V(IVM1)

D(TIME)

0.0

D(V(IVM1)) 0.0-999.970m

V(IVM0)+17.793u

V(IVM)+2.000Time (s)niose1.ckt-Transient-2(V)0.0+1.000u+2.000u+3.000u+4.000u+5.000u+2.000+1.000

R=1M

Ω

位相差 0°

0.0-1.000-2.000TIME+4.253uV(IVM1)

D(TIME)

0.0

D(V(IVM1)) 0.0+999.522m

V(IVM0)+1.999V(IVM)

6+2.000

付 ２． 円周角の定理

円O上の弧ABに対する角を
中心角 ∠AOB
円周角 ∠APBとすると、∠APB = ∠AOB ／2PθO

この関係は点Pが円周上のどこにあっても成立します。
（証明はネット検索すればいくらでも出てきますので省略。）

2*θ
A

B

ABが円の直径の位置の時は、∠AOB = 180°なので∠APB = 90°7

付 ３． オペアンプ使用のオールパス・フィルタ の構成
付 ３．１ 回路
10kR2１）
一般的 なオールパスフィルタ

IVm2
R010k

160

V10IVm

R11uC0XX0２）こんな構成でも実現可能①CRの移相器②移相後の電圧2倍③入力との差をとる

XXC

10k

160

R61u

R5V0

IVm1

IVm010k

R310k

R810k

R410k

X10k

R7RXX110k

IVm410k

10k

10k

R12(V)

R1110k

R15C1
R14R13R1010k

付 ３．２ 結果0.0R9XX3

1u160

V00

IVm3XX2３）こんな構成でも実現可能①入力を2倍②CRの移相器③バッファアンプ④入力との差をとる

Time (s)ƒRƒs [ ` apf1.ckt-Transient-3+1.000m+2.000m+3.000m+4.000m+5.000m+1.000

出力
0.0

入力-1.000TIME-1.000V(IVM1)-1.000V(IVM2)-1.000V(IVM0)-1.000V(IVM)-1.000V(IVM3)-1.000V(IVM4)-1.000

D(TIME)-9.665e+232

D(V(IVM4)) -1.000

こんなふうに移相器が作れます。
グラフは3つの回路の結果を重ねてあります。
結果に有意な差が認められません。
同じ動作ならば部品は少ないほうが良いので通常 １） の回路を使います。
以上
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