計測自動制御学会東北支部 第 244 回研究集会 (2008.7.2)
資料番号 244-5

FDTD 法を用いた薄板中の弾性波動伝搬解析
Analysis of elastic wave propagation in thin plate using FDTD method○高村周平*，

今野和彦*

Takamura Shuhei*，Kazuhiko Imano**秋田大学 工学資源学部*Faculty of Engineering and Resource Science, Akita University
キーワード：Lamb 波(Lamb wave)，FDTD 法(FDTD method)，超音波探傷(Ultrasonic flaw detection)

連絡先：〒010-8502

秋田市手形学園町 1-1

秋田大学 工学資源学部 電気電子工学科

高村周平，Tel.：(018)889-2494，Fax：(018)837-0406，E-mail：m9008098@wm.akita-u.ac.jp

1.

はじめに伝搬時の拡散減衰が少なく平板に沿って伝

近年，超音波は様々な分野に用いられて搬する Lamb 波が大型施設に対する有望ないる．なかでも工業製品や工業材料内部の検査技術としてその応用が期待されている．

欠陥検出には垂直探傷法が用いられてきたLamb 波は板波の一種であり，平板に対し1)．しかし垂直探傷法は，測定範囲が狭いたて斜角入射された超音波が平板の上面と下めに検査領域が広大となる場合においては面でモード変換を起こしながら結合してい時間・労力が膨大となり，また測定部位のくことで形成される 2-3)．Lamb 波として形厚さによっては送波信号と受波信号が重畳成さ れた 後 の伝搬 挙動 は， Rayleigh-Lambしてしまうなどの問題を持つ．従って，広方程式と呼ばれる周波数方程式で記述する大な検査領域を持つ化学プラントなどの探ことができるため理論的に把握することが傷において高速かつ網羅的に検査できる検可能である．ただし，Lamb 波として形成さ査技術が求められている．そのため近年，れるまでに音源からの伝搬距離をある程度1必要とすることがその発生原理から推測さ式に示す Rayleigh-Lamb 方程式から Lamb 波れ，Lamb 波として形成されていない領域にの位相速度 c の速度分散曲線(理論値)を算出

おいては，伝搬挙動の理論的な把握は困難することができる．本研究では，Lamb 波のと考えられる．

伝搬媒質としてアルミニウム(cL=6400 m/s，実際に平板に対して超音波を入射する場cT=3040 m/s)を用いる．その速度分散曲線を合，その波面はある程度の面積を持った平Fig. 1(a)，(b)に示す．一般に，Lamb 波を効率面波として入射されるために入射点の決定よく発生させるためにはスネルの法則を変形は困難であり，それにより Lamb 波としてした(1)式を用いて算出される臨界角によっ形成されるまでの伝搬距離を厳密に特定すて弾性波を斜角入射する必要があるといわれることはできない．このため，Lamb 波が形ている．すなわち，fd = 1.0 MHz mm における成されてからの伝搬距離を明確に示すこと

S0 モードを励起するためには，弾性波の入射はできず，伝搬距離を用いて伝搬モード判角を 28°に設定する必要があると考えられ別を行う際に速度分散特性との間に誤差がる．

生じる．よって，Lamb 波の形成過程を把握

θ c = sin − 1 (c w c )することが可能となれば，伝搬距離を正確

本研究ではアルミニウム平板の厚さ d をに把握することができ，伝搬距離に基づい1.0mm，周波数 f を 1.0MHz，入射角を 28°に(1)た伝搬モード判別の精度向上が期待できる． 設定し，fd = 1.0 MHz mm における S0 モード
本研究では FDTD 法を用いた数値解析おを励起し数値解析および測定実験を行う．

よびレーザドップラ振動計を用いた測定実験を行い Lamb 波の形成過程についての検3.

FDTD 法による数値解析討を行う．

3.1.

解析モデル

FDTD 法では，１階の微分方程式を差分2.

化することで定式化を行う 4-6)．定式化にあLamb 波の伝搬特性
Lamb 波は平板の材質やその厚さ，超音波のたって，Rayleigh-Lamb 方程式と同様に y 軸周波数に依存して伝搬特性が大きく変化する．

方向への応力およびひずみを零とすれば，解その伝搬特性は，音速が既知であれば(1)，(2)析領域を x-z 平面に限定することができる．
2

解析モデルを Fig. 2 に示す．

入力信号は後述する伝送線路モデルを用

3.2.

入力信号の生成いて生成し，Input surface 上の応力節点に印

入力信号の生成は伝送線路モデルを用い加する．解析領域の寸法はモデル化されたて行う 7)．Fig. 3 に駆動電源内部抵抗，圧電探触子の後端を x = 0 mm として，前端を x =振動子，バッキング，音場媒質を考慮した25.5 mm，解析領域の端部を 100 mm とした．

伝送線路モデルを示す．伝送線路モデルのまた時間分解能は 0.01 μs，距離方向の分解作成にあたり，バッキング，音場媒質は無能は 0.1 μm とした．

限長を持つ等方性媒質とした．

Phase velocity c [km/s]

10Zt

S18S26A2A14LZbS0ZefoA0200Rs246810Frequency × Thickness fd[MHz mm]

ei-C0C0(a) 位相速度
Fig. 3 伝送線路モデル
Group velocity c [km/s]

6S0Fig. 3 において，Zt，Zb，Ze はそれぞれ圧電

5S1S24振動子，バッキング，音場媒質の音響特性

32 A0インピーダンス，L は圧電振動子の長さ，100A1A2C0 は圧電振動子の制動容量，Rs は駆動電源

246810Frequency × Thickness fd[MHz mm]の内部インピーダンスであり，ei は入力信(b) 群速度号電圧，fo は出力信号応力である．

Fig. 1 アルミニウムにおける分散曲線
Input surface
x = 0 mmEpoxy

Fig. 3 の伝送線路モデルの伝達関数 H (ω)

Absorbing boundaryを求め，入力信号電圧の周波数スペクトルx = 25.5 mm

Elastic wave

AirAirx = 100 mm

12.0 mm

Aluminum Plate

1.0 mm
1.0 mmF (ω) との積を逆 FFT することによって圧電振動子の音響放射面より放射される波形

Fig. 2 解析モデルを求める．今回，圧電振動子として 1.0 MHz3

に共振を持つ富士セラミックス製振動子を11用いる．バッキングには空気（Zb = 0.0004

2 μs

0×103kg / m3s），音場媒質にはエポキシ樹脂-11（Zb = 2.9×103kg / m3s）を想定し，入力波0-1Normalized amplitude

1形の計算を行った．Fig. 4 に入力信号電圧として 1.0 MHz バースト正弦波 10 波を印加した場合の出力信号応力波形を示す．Fig. 4において，振幅は最大値で正規化している．

4 μs-1-1116 μs0-11-118 μs

0-1-11

Normalized amplitude1110 μs0-1-10020406080

1000 20 40 60 80
Propagation distance [mm]-1010Time [μs]Fig. 5 数値解析による表面振動速度分布

2011Fig. 4 出力信号応力波形

2 μs0.50110

解析結果

4 μs0.5

Normalized amplitude

3.3.

Fig. 4 の波形を Fig. 2 の解析モデルの Inputsurface 上の応力節点に印加し解析を行う．
解析により得られたアルミニウム平板の表面振動速度分布を Fig. 5 に示す．またフーリエ変換により波数スペクトルに変換した

00116 μs0.500118 μs

0.50011ものを Fig. 6 に示す．同図より，4 μs から10 μs0.5現れ始めた約 190 m-1 の成分は 10 μs で最も0大きくなっている．また 10 μs において 390m-1 の成分が発生していることがわかる．

000200400600800

200 400 600 800
Wave number [m-1]1000

Fig. 6 解析結果のフーリエ変換結果
44.

レーザドップラ振動計による測定実験

4.1.

測定システム112 μs0-1-1
11測システムを Fig. 7 に示す．発振器より01.0MHz のバースト正弦波 10 波を発生させ，増幅器を介して斜角探触子に印加する．レーザの走査範囲は斜角探触子の後端を x =0 mm として x = 100 mm まで 0.1 mm 間隔でNormalized amplitude

レーザドップラ振動計による Lamb 波計

4 μs-1-1
116 μs0-11-1

18 μs

0-1-1

走査し，各々の測定点におけるアルミニウ

1
ム平板の表面振動速度の時間変化をレーザ

110 μs0-1-1

光により受波する．そして，受波信号波形

020406080

1000 20 40 60 80
Propagation distance [mm]をオシロスコープに表示させ，同時に PC

Fig. 8 測定実験による表面振動速度分布に取り込む．
Trigger
Function Generator

Oscilloscope

GP-IB

11Amplifier
Transmitter2 μs0.5PC
Aluminum Plate
100 mmLaser Doppler Vibrometer010GP-IBReflect mirror

Foundation14 μs

Stage Controller

X Stage

Normalized amplitude

0.5Fig. 7 測定システム
4.2.

実験結果

Fig. 7 の測定システムより得られたアルミニウム平板の表面振動速度分布を Fig. 8に示す．また，フーリエ変換により波数ス01106 μs0.500118 μs

0.500
11ペクトルに変換したものを Fig. 9 に示す．

10 μs0.5

同図より，4 μs から 190 m-1 の成分が大き000くなり始め，10μs で最大値となっているこ

0200

400

600

800

200 400 600 800
Wave number [m-1]1000

Fig. 9 実験結果のフーリエ変換結果とがわかる．
55.

形成過程についての考察

波が薄板に入射してから 1 MHz mm におけ

解析結果と実験結果の比較を行う．まずる S0 モード Lamb 波が形成されるまでには表面振動速度分布を比較すると，解析結果7 μs 程度の時間が必要だといえる．言い換と実験結果において明らかに音速が異なっえれば，7 波長程度の伝搬距離が必要となていることがわかる． また，それぞれのる．これは，これまで一般に言われてきたフーリエ変換結果より 190 m-1 の成分が主10 波長程度という Lamb 波発生の目安より成分となっていることがわかる．これは波も短い．

長で表すと 5.25 mm となり，1 MHz mm における S0 モード Lamb 波の波長と一致する． 6.

おわりにこのことから，この成分は S0 モード Lamb

本研究では，1 MHz mm における S0 モー波であると類推できる．また，同様に解析

ド Lamb 波の形成過程の把握を目的として，結果のフーリエ変換結果において生じてい薄板中に弾性波を入射した場合の表面振動る 390 m-1 の成分を波長で表すと， 2.55 mm

速度分布を，FDTD 法を用いた数値解析ととなる．これは 1 MHz mm における A0 モーレーザドップラ振動計を用いた測定実験にド Lamb 波の音速に近い値となっているが，より求め考察を行った．その結果， 1 MHz厳密には一致しない．

mm における S0 モード Lamb 波の形成点に以上のことから 1 MHz mm における S0 モついて，7 波長程度と特定した．

ード Lamb 波の形成点について考察する．

今後，その他の伝搬モードについても同解析結果および実験結果より，4 μs におい様の解析・実験を行い，形成点についてのて S0 モード Lamb 波と思われる成分が発生検討を行う．また，解析結果と実験結果とし，その後 10 μs にかけて振幅が増加しての不一致についての検討を行う．

いくことがわかった．よって，1 MHz mm における S0 モード Lamb 波は，斜角探触子に<<参考文献>>

信号を印加した直後から約 10 μs 程度で形1) 日本学術振興会，製鋼第 19 委員会：
“超成されるといえる．ここで，弾性波が薄板音 波 探 傷 法 ”， 日 刊 工 業 新 聞 社 ，に入射するまでの時間を考慮すれば，弾性pp.173/190(1974)
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丸善，pp.62/69(1999)
3) 日本学術振興会弾性波素子技術代 150
委員会：“弾性波素子技術ハンドブック”，
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28,

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Velocity-stressfinite-difference method”，GEOPHYSICS，49，2，pp.193/1957(1984)
6) Jean Virieux：“P-SV wave propagation inheterogeneous

media:

Velocity-stressfinite-difference method”，GEOPHYSICS，
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7) 川西千広，奥山大太郎，菊池喜充：“任意の波形で励振される超音波トランスデューサの等価回路”，信学論(A)，56-A，pp.141/147(1973)

7