No.15

線形代数１演習問題

2024 年 7 月 18 日

15-1. (固有値の重複度と対角化可能性)
3 次正方行列
11 −22A =  2 16 −4 
248について次の問いに答えよ。

(1) A の固有値とその重複度を求めよ。
(2) A の重複度 2 の固有値に対して、その固有値に属する固有ベクトルを求めよ。
(3) (i) A は対角化可能か否かを簡単な理由をつけて答えよ。
(ii) さらに、A が対角化可能なときには、P −1 AP が対角行列となるような 3 次正則行列 P の作り方を述べ、(iii) そのとき P −1 AP がどのような対角行列になるのかを答えよ。

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線形代数１通信

[No.15]2024 年 7 月 18 日発行■ 第 14 回学習内容チェックシートについて◦ Q1 の固有ベクトルの定義を記述する欄に、「Ap = λp を満たす 0 でないベクトル p が存在するときの p を.......」という解答が多かったです。固有ベクトルの定義においては、::::::::::::::

それが「存在する・存在しない」ということは問わないので、Ap = λp を満たす 0 でな
いベクトル p のこと、のように書いてください。

◦ Q2 の 1 番目の問いは「n 次正方行列 A の固有値を求めるには？」というものでした。単に「∆A (x) = 0 を解く」とだけではなく、「固有多項式 ∆A (x) を計算し、∆A (x) = 0 をx について解く。その解が A の固有値である。」のように書いてください。
■ 演習 14-1 について
(1) 与えられられた行列 A はどの成分も大きな数なので、∆A (x) をサラスの方法で展開してしまうと計算時間もかかり、また、計算ミスをしがちです。いつも言っているように、工夫して計算しましょう。いろいろな方法がありますが、第 1 行に足しあげてみましょう。すると、第 1 行にx−4 が揃うのでそれをくくり出すことができます。次に、□
1 ×(−1)+ □2, □1 ×(−1)+ □3 を行い、第 1 行に関して余因子展開します。このようにして計算することで、∆A (x) = (x − 4)2 (x − 8)のように因数分解されることがわかり、A の固有値は 4, 8 であることがわかります。

(2) Ap が p の定数倍になっているかどうか、つまり、ある固有値を使って Ap= λpと λ
228
816書けるかどうかを調べます。Ap = −428 ですが、これは 4p = 12 にも 8p = 24 に240
2040も一致しないので、p は A の固有ベクトルになっていないと結論づけることができます。

■ 演習 14-2 についてx−76を計算します。
−3 x + 2∆A (x) = (x − 1)(x − 4) のように因数分解されるため、A の固有値は 1, 4 です。
まず、A の固有値を求めるために、∆A (x) =次に、固有ベクトルを求めます。まず、1 に属する固有ベクトルを求めましょう。1 · E2 − Aは、行基本変形により() ()()
1−76−6 6−1 1
1 · E2 − A ==→−3 1 + 2−3 30 0( )1(t ∈ R) でのようになるため、方程式 −x + y = 0 を解きます。この方程式の実数解は t1すが、零ベクトルは固有ベクトルとは呼ばないため、この実数解から零ベクトルを除いて、固( )1
有値 1 に属する A の固有ベクトルは t(t ∈ R, t ̸= 0) により与えられることがわかりま
1( )2す。同様にして、固有値 4 に属する A の固有ベクトルは t(t ∈ R, t ̸= 0) により与えら1れることがわかります。
ほとんどの人は行列 ( ) と行列式 | | の使い分けができていますが、10 名弱の人が混同した解答を書いていました。再度注意しておきますが、行列と行列式は別物 (計算ルールも考え方も違う) ので、両者を適切に使い分けて読み書きしなければなりません！固有多項式 ∆A (x)は行列式なので、計算では | | を使って等号 = で結んでいきますが、固有値 λ に属する固有ベクトルの計算では、係数行列 λE2 − A の行基本変形を行うので、( ) を使って矢印 → で結んでいきます。

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■ 線形代数１の試験について• 実施日時：2024 年 7 月 26 日（金）第２時限（11 時 30 分〜12 時 50 分、80 分）• 実施教室：2101• 試験当日は学生証を持参し、着席と同時に写真が見えるように机に置いてください (学生証を忘れると、受験することができません！)。

• 黒のボールペンまたは黒のインキ（容易に消すことができないもの）と鉛筆またはシャープペン（色は黒）を用意してください。
学籍番号、氏名欄には黒のボールペンまたは黒のインキを使用して書きます。
解答欄には鉛筆またはシャープペン（色は黒に限る）を使用して書きます。

• 試験中のスマートフォン、携帯電話、ipod、ウェアラブル端末などの電子機器の使用は認められていません (時計代わりの使用も不可)。試験開始前に音や振動が出ないように設定して、かばんの中にしまってください。

• ノート、教科書、参考書、辞書、電卓類の持ち込みは不可。
• 机の両端に離れて着席してください。
• 試験範囲：§1 から §15 まで。
行列式の計算、行列の階数の計算、逆行列の計算、行列の正則性の判定やベクトルの一次独立性の判定、行列式の性質、行列の固有値の問題を中心に出題。
充分に問題練習と（線形代数１通信のコメントや学習内容チェックシートも含めて）復習をして、試験に臨みましょう。

• 試験答案において、記号の使い方には気をつけてください。特に、行列 ( ) で書くべきところを行列式 | | で書いている、あるいは、その逆になっている場合には、たとえ計算ができていても、その小問の得点は 0 点になります。“× − 2” などの記号の不適切な使い方もまた 0 点になります。
ベクトルを太字で表していない、行列の基本変形で = を使う、行列式の計算で → を使う、などの記号の不適切な使い方は減点の対象になり得ます。

• 今日の提出物は 7 月 20 日 (土) の 12 時〜15 時の間に和久井の研究室まで取りに来てください。第 14 回以降の学習内容チェックシートで「要再提出」の印が押されているものについては、7 月 25 日 (木)17 時までに提出すれば受け付けて、正しく修正されていれば加点します。

• 成績算出方法：試験は 100 点満点とし、試験の得点に、平常点 ((演習点) + (チェックシート点) − (注意・不正点)) を加算した数値を最終成績とします。但し、合計が 100 を超えた場合は 100 を最終成績とし、また、小数点以下の数字は切り上げます (0.5 → 1)。
その結果、60 以上あれば合格、59 以下の場合には不合格になります。
※チェックシートによる得点とは、提出したチェックシート用紙に「確認」印が印されたものを１点と数えたときの合計のことで、7 月 25 日 17 時までに提出された分が対象です。
不正解であっても部分点を出せる可能性があります。考えたことをできるだけ答案に書くようにしてください。

線形代数１・第 15 回 (2024 年 7 月 18 日) 演習問題解答シート
学 籍 番 号

氏 名

※自分の解答を以下に書いてください。書ききれない場合には、裏面に続けてください。解答には、答えだけでなく、適宜、途中の式や考察を含めてください（答えのみは評価しません）。