Aspetti elementari del metododella Dispersione e del Crivello Largo

Giovanni CoppolaUniversità di Salerno

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Il matematico russo Yuri Vladimirovic Linnik(1915-1972) si occupò di Teoria dei Numeri,
Teoria della Probabilità, Statistica Matematica(e non solo. . .).
Daremo i seguenti argomenti, utilizzati nello
studio della distribuzione di funzioni aritmetichein quasi tutti gli intervalli corti, che nascono dallavoro di Yu. V. Linnik:? Metodo della Dispersione? Crivello Largo? Altro (identità di Linnik, . . .)2

Diamo, per es., un problema generale, che hatrattamento non banale con la Dispersione.
Sia r(n) il n.di rappresentazioni di n comen = a + D0 b
con a, b ∈ Z in una successione fissata e D0intero dell’ intervallo [D1, D2]; r(n) ha valoreatteso A(n, D0) ed U (m) è il n.degli a = m(ripetizioni). Linnik considerò la Dispersione:
XD0≤




Xb

X

2

U (n − D0b) − A(n, D0 ) ≤D1 ≤D≤D2Xb2

U (n − Db) − A(n, D)

(Prima applicazione non banale, Linnik 1960,
per n = p + x2 + y 2 , p primo, x, y interi)3

INTEGRALE DI SELBERG (“discreto”) di f :Xdef

Jf (N, h) =X

N <x≤2N x<n≤x+h

2f (n) − Mf (x, h)dove Mf (x, h) è il VALORE MEDIO (ATTESO)
Pdella somma DI f nell’ intervallo corto, n f (n).
Per esempio, Selberg introdusse (nel 1943 !)defJ(N, h) =Z 2NNXx<n≤x+h2

Λ(n) − hdx

chiamato (in letteratura) l’ INTEGRALE DI
SELBERG; qui Λ = funzione di von Mangoldt.
Da J(N, h) = o(N h2) segue T.N.P. (teoremadei numeri primi) in QUASI TUTTI I.C.:
Xx<n≤x+hΛ(n) ∼ hQ.T. x ∈]N, 2N ] ∩ Z

qui “quasi tutti” (Q.T.) gli x ∈ [N, 2N ] ∩ Z staper ∀x ∈ [N, 2N ] ∩ Z tranne o(N ) “eccezioni”.
Ed [x, x + h] é un I.C., “intervallo corto ”, seh = h(N ) → ∞, con h = o(N ) per N → ∞.
4Anzichè l’ integrale, per RAGIONI TECNICHE,il nostro è DISCRETO. Come prima, per le f“essenzialmente limitate”,
Jf (N, h)  N

1−δ 2h ⇒Xx<n≤x+hf (n) ∼ Mf (x, h)Q.T. x ∈ [N, 2N ] ∩ Z; qui δ > 0 piccolo ed f :∀ε > 0 |f (n)| ε nε
F.A. (funzione aritmetica) ESSENZIALMENTELIMITATA (Ad es., f = d la funzione divisori,def P

d(n) =d|n 1.) Abbrevieremo f <<< 1.

La  di Vinogradov equivale a O di Landau.
La “Vinogradov modificata”, <<< , maggiora
trascurando potenze arbitrariamente piccole.
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In Kaczorowski-Perelli, C-Laporta (anni ’90) l’
INTEGRALE DI SIMMETRIA della f :2X

def

If (N, h) =X

N <x≤2N |n−x|≤hf (n)sgn(n − x)(Un’altra MEDIA QUADRATICA DISCRETA)
def

def

Il segno (sgn(0) = 0, sgn(r) = |r|/r) “annulla
il valore medio”, che infatti é zero. Pure If ,oltre a Jf , si tratta facilmente con, diciamo, laDISPERSIONE ELEMENTARE:(∗) Jf (N, h) =(∗∗)

XaS(a)Cf (a)−Mf2 (h)N +trasc.

If (N, h) =XaW (a)Cf (a) + trasc.

cioé scambiamo le somme dopo aver espanso
il quadrato (filosofia di Montgomery. . .); con
S, W  h lineari, supp.⊂ [−2h, 2h], S di Cesaro,
W ha media nulla; e CORRELAZIONE di f
def

Cf (a) =X

N <n≤2Nf (n)f (n − a).
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Pure detta SHIFTED CONVOLUTION SUM.
Per f (n) = d3(n) (n.di rappr. n = abc) la stimaé il Problema di Linnik (uno dei tanti. . .).
In generale, non esistono, ∀a 6= 0, asintotichedelle correlazioni, tranne alcune f (soprattutto
f = d, f =Hecke e.v., square-free e k−free).
Tipicamente, formule per le Cf (a) aprendo
f (n) =Xg(q),q|n,qN λ(1)Cf (a) =XqNg(q) X
f (n)λ q
N<n≤2Nn≡a(q)

tramite LIVELLO λ nelle P.A.(progr.aritm.)
XqNX

1 X
max
f (n) −
f (n)  N 1−δϕ(a) nλ (a,q)=1 n≡a(q)Qui livelloλ = 1/2 P.A. (Bombieri-Vinogradov,√q  N /LB dà  N/LA) viene dalla seguente
disuguaglianza, detta di CRIVELLO LARGO.
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Se αr sono ∆−WELL-SPACED (ben spaziati),kαr − αt k ≥ ∆, ∀r 6= t, r, t ≤ R :XX

2ane(nαr )r≤R n≤N

1 X N+|an |2∆ n≤N

dove αr ∈ [0, 1], kαk è la distanza di α dagli
definteri, e(β) = e2πiβ . In particolare, αr = j/qfrazioni di FAREY (cioè j, q coprimi) con q ≤ Q,XX∗q≤Q j≤qXn≤N2an eq (jn) N + Q2

 Xn≤N|an|2(Per le P.A., Q = N λ ⇒ λ < 1/2 da Q2  N .)Quest’ ultima si può applicare direttamente
per le Cf (v.sopra). Seguiamo un APPROCCIO ELEMENTARE AL CRIVELLO LARGO(otteniamo lo stesso livello per le correlazioni
fornito dal CL, senza usarlo), introducendo le
DFT nelle correlazioni (1) per le (∗) e (∗∗).
Qui DFT, trasformate di Fourier discrete, dib W
c somme esponenz.di coeff.S, W :S, W sono S,8

def X
def XbcS(β) =S(a)e(aβ), W (β) =W (a)e(aβ).
aaDalla ORTOGONALITA’ DEI CARATTERIADDITIVI eq (m) = e2πim/q e dalla (1),X

Cf (a) =qNX
g(q) Xeq (ja)f (n)eq (−jn)
nλ q j(mod q)

quindi la (∗) e la (∗∗) diventano :Jf ∼If ∼X

qNX

qNP0

X
g(q) X0bS(j/q)f (n)eq (−jn)
nλ q j(mod q)

Xg(q) X0 c
W (j/q)f (n)eq (−jn)
qn
λj(mod q)

consui j 6≡ 0( mod q), dove ∼ trascura resti“buoni”. Elementarmente (solo calcoli), dab Wc ≥ 0 abbiamo livello λ < (1 + θ)/2,DFT S,defper Jf , If , con θ = (log h)/(log N ) AMPIEZZA
di [x, x + h]. Notare λ < 1/2 P.A.!
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Per le f (n) = d(n) [C-Salerno, A.A.2004] ed
Pf (n) = d|n d−s [C, Integers 2004] Criv.Largo.
Livello λ < (1 + θ)/2 in [C, J.Comb.N.T.2010]
e per le “divisori localizzati”, (A, B fissati)
Xf (n) =1,d|n,A<d≤B

in [C, Int.J.Pure Appl.Math.2010].
Le funzioni “multidivisor” di Piltz (vista d3)
Xdefdk (n) =1,

def
d0k (n) =d1 ···dk =n

X1

d1 ···dk =n
d1 ,...,dk >1

IDENTITÀ DI LINNIK
Λ0(n) = −X (−1)kkk

d0k (n)def(dove Λ0(n) = Λ(n)log n ≈ 1P(n), la f caratter.deiprimi) si dim.dal prodotto di Eulero, usando 2
volte solo lo sviluppo di Taylor del logaritmo !
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