東北大学オープンキャンパス 2009 数学クイズ
黒木玄(メール：kuroki@math.tohoku.ac.jp)

解答付きのプリントがインターネットの次の場所で公開される予定：
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/OpenCampus2009.pdf

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数学クイズの問題

1/7 を小数で表わすと 1/7 = 0.142857 · · · なのでその小数点以下第 4 桁目の数は 8 です. これは簡単でしょう. それでは次の問題はどうでしょうか?
問題：1/12377 を小数で表わしたとき小数点以下第 6193 桁目の数は何か?
今回の数学クイズの問題はこれだけです. 証明がなくても「答」があっていれば正解とします. もちろん 1/12377 を強引に小数展開すれば答が出ますが, もっと楽にかつ簡単に答を出す方法はあるでしょうか?

2

ヒント (数学の世界における様々な美しい法則)

実は 12377 は素数です. そこでより一般的に以下では 2 と 5 以外の任意の素数 p について考えましょう. そのとき 1/p を小数で表わすとどうなるか. たとえば

1/3 = 0.333333 · · · , 1/7 = 0.142857142857142857 · · · , 1/11 = 0.090909090909 · · · ,1/13 = 0.076923076923076923 · · · , 1/17 = 0.05882352941176470588235294117647 · · ·このように 2 と 5 以外の素数 p に対して 1/p を小数で表わすと同じ数字の並びが無限に繰り返されます. このような小数を循環小数 (じゅんかんしょうすう) と呼び, 無限に繰り返される数字の並び (無駄がないものを取る) を循環節 (じゅんかんせつ) と呼びます. たとえば
1/3 の循環節は 3 で, 1/7 の循環節は 142857 で, 1/11, 1/13, 1/17 の循環節はそれぞれ 09,076923, 0588235294117647 です. したがって 1/3, 1/7, 1/11, 1/13, 1/17 の循環節の長さはそれ
ぞれ 1, 6, 2, 6, 16 です. 上の計算結果を見て確認して下さい.
この数学クイズの真の目標は 2 と 5 以外の多くの素数 p について 1/p の循環節およびその長さを調べて様々な法則を発見してもらうことです. 法則さえ発見できればクイズの問題は容易に解けます.
数学の世界には様々な美しい法則が隠れています. 数学の研究の目的はそのような美しい法則を発見し, その裏に隠された数学的仕組みを明らかにすることです.
数学クイズを通して, 数学の世界における美しい法則の一端を感じて頂ければ幸いです!

1以下はパソコンで計算した 120 未満で 2 と 5 以外の素数 p に対する 1/p の計算結果です.
小数点以下第 (p − 1)/2 + 1 桁目の数字を太字にしてあり, 小数点以下第 p − 1 桁目の後に空白を挿入してあります. たとえば p = 43 のとき, 小数点以下第 (43 − 1)/2 + 1 = 21 + 1 = 22 桁
目の数字 0 が太字になっており, 小数点以下第 43 − 1 = 42 桁目の数字 3 の次に空白が挿入されています.
1/3 = 0.3 3 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 · · ·
1/7 = 0.142 857 14285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 · · ·1/11 = 0.09090 90909 0909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090 · · ·1/13 = 0.076923 076923 07692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692 · · ·1/17 = 0.05882352 94117647 0588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117 · · ·1/19 = 0.052631578 947368421 05263157894736842105263157894736842105263157894736842105263 · · ·1/23 = 0.04347826086 95652173913 0434782608695652173913043478260869565217391304347826086 · · ·1/29 = 0.03448275862068 96551724137931 0344827586206896551724137931034482758620689655172 · · ·1/31 = 0.032258064516129 032258064516129 03225806451612903225806451612903225806451612903 · · ·1/37 = 0.027027027027027027 027027027027027027 02702702702702702702702702702702702702702 · · ·1/41 = 0.02439024390243902439 02439024390243902439 0243902439024390243902439024390243902 · · ·1/43 = 0.023255813953488372093 023255813953488372093 02325581395348837209302325581395348 · · ·1/47 = 0.02127659574468085106382 97872340425531914893617 0212765957446808510638297872340 · · ·1/53 = 0.01886792452830188679245283 01886792452830188679245283 0188679245283018867924528 · · ·1/59 = 0.01694915254237288135593220338 98305084745762711864406779661 0169491525423728813 · · ·1/61 = 0.016393442622950819672131147540 983606557377049180327868852459 01639344262295081 · · ·1/67 = 0.014925373134328358208955223880597 014925373134328358208955223880597 01492537313 · · ·1/71 = 0.01408450704225352112676056338028169 01408450704225352112676056338028169 0140845 · · ·1/73 = 0.013698630136986301369863013698630136 986301369863013698630136986301369863 01369 · · ·1/79 = 0.012658227848101265822784810126582278481 012658227848101265822784810126582278481 · · ·1/83 = 0.01204819277108433734939759036144578313253 01204819277108433734939759036144578313253 · · ·1/89 = 0.01123595505617977528089887640449438202247191 01123595505617977528089887640449438202 · · ·1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432 9896907216494845360824742268041237
11340206185567 0103092783505154639175257731958762886597938144329896907216494 · · ·1/101 = 0.00990099009900990099009900990099009900990099009900 99009900990099009900990099009900
990099009900990099 009900990099009900990099009900990099009900990099009900990 · · ·1/103 = 0.009708737864077669902912621359223300970873786407766 9902912621359223300970873786407
76699029126213592233 0097087378640776699029126213592233009708737864077669902 · · ·1/107 = 0.00934579439252336448598130841121495327102803738317757 00934579439252336448598130841
121495327102803738317757 009345794392523364485981308411214953271028037383177 · · ·1/109 = 0.009174311926605504587155963302752293577981651376146788 9908256880733944954128440366
97247706422018348623853211 0091743119266055045871559633027522935779816513761 · · ·1/113 = 0.00884955752212389380530973451327433628318584070796460176 99115044247787610619469026
548672566371681415929203539823 008849557522123893805309734513274336283185840 · · ·以上の計算結果から様々なことがわかります.
(1) 1/p の循環節の長さと p − 1 の関係はどうなっているか?
(2) 循環節の長さが偶数のとき, 循環節の前半と後半の関係はどうなっているか?
答は次のページにあります.

2

p は 2 と 5 以外の素数であるとします.
(1) 1/p を循環小数で表示したとき, 循環節の長さは必ず p − 1 の約数になります. 440 未満の p について循環節の長さを調べた表を次ページの表 1 に示しておきます. A の欄は p を 40で割った余りであり, p 自身ではなく p − 1 と循環節の長さ ` の組を表にしてあります. 表 1 においてすべての ` が p − 1 の約数になっていることがわかります. (p を 40 で割った余りで素数を分類してある理由は後で説明する.)(2) 1/p の循環節の長さが偶数のとき, 循環節を前半と後半に分けてそれぞれを a と b と書くと a + b = 99 · · · 9 が成立しています. たとえば前ページの 1/103 を見てみましょう.
その循環節は 0097087378640776699029126213592233 で長さは 34 です. これを前半の a =00970873786407766 と後半の b = 99029126213592233 にわけると a + b = 99999999999999999になることを容易に確認できます. 他の場合にもそうなっていることを確認してみて下さい.
前ページの 1/p の計算結果を眺めると次が成立していることもわかります.

(2’) 1/p を小数で表わし, 小数点以下第 p − 1 桁目までを前半 a と後半 b に分けたとする. 後半の最初の桁が 9 ならば上の (2) と同様に a + b = 99 · · · 9 が成立している. (より正確に言えば, 1/p の小数点以下第 (p − 1)/2 + 1 桁目が 9 であるとき, n = 1, 2, . . . , (p − 1)/2 に対して,1/p の小数点以下第 n 桁目と第 (p − 1)/2 + n 桁目の和は 9 になる.) たとえば前ページの 1/29を見てみましょう. その小数点以下第 p − 1 = 28 桁目までの前半は a = 03448275862068 で後半は b = 96551724137931 であり, a + b = 99999999999999 であることを容易に確認できます.
他の場合 (特に 1/103 の場合) にもそうなっていることを確認してみて下さい.
この (2’) の法則は最初のクイズ問題を楽に解くために役に立ちそうです. 問題は 1/p の小数点以下第 (p − 1)/2 + 1 桁目がいつ 9 になるかです. その答は次のページの表 2 を見ればわかります.

(3) p = 3, 7 を除けば次の法則が成立している. 1/p の小数点以下第 (p − 1)/2 + 1 桁目の数
は, p を 40 で割った余りが 1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 のとき 0 になり, p を 40 で割った余りが7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33 のとき 9 になる.
p = 3, 7 を例外とすることが気持ち悪いならば次の法則を表 1 で確認すれば良いでしょう.
(3’) p = 3, 7 も含めて次の法則が成立している. 1/p の循環節の長さは, p を 40 で割った余りが 1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 のとき (p − 1)/2 の約数になり, p を 40 で割った余りが7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33 のとき (p − 1)/2 の約数にならない.
以上の法則 (2’) と (3) を使えば最初のクイズ問題の答をちょっとした計算だけで出すことができます. (12377 − 1)/2 = 6188 であり, 6193 = 6188 + 5 です. 12377 を 40 で割った余りは幾つでしょうか? 1/12377 の小数点以下第 5 桁目の数は?

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参考文献など法則の証明はすべて省略してしまいました. 上記の法則はすべて初等整数論を学べば証明できるようになります. 初等整数論を学べる文献として, 高木貞治著『初等整数論講義』第 2 版(共立出版, 1971 年) のみを紹介しておきます. この本の 57–61 ページに循環小数に関する説明があります. そのあたりまでこの本を読めれば法則 (1)〜(2’) の証明は易しいでしょう. (3), (3’)
は (1)〜(2’) よりも数学的に圧倒的に深い法則です. その証明には『初等整数論講義』の第 1 章の終わりの方で説明されている平方剰余の相互法則を使うことになり, 数学科卒業以上の実力が必要になります. 数学に自信がある人は理解に挑戦してみるのが良いでしょう.

3

p は 2, 5 以外の素数. A は p を 40 で割った余り. ` は 1/p を循環小数で表わしたときの循環節の長さ. B は p 6= 3, 7 のときの 1/p の小数点以下第 (p − 1)/2 + 1 桁目の数.
表 1. p − 1 と 1/p の循環節の長さ ` の表A p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 ` p−1 `140 5240 40 280 28400 200
3 2 1 42 21 82 41162 81282 141
7 6 6 46 46
126 42 166 166
366 366
988 44408 204
11 10 2130 130
210 30 250 50330 110
13 12 6 52 13172 43292 146
372 186
17 16 1696 96 136 8256 256336 336
19 18 18 58 58138 46 178 178
378 378 418 418
2160 60 100 4
180 180
420 140
23 22 22102 34
222 222 262 262382 382
2766 33 106 53
226 113306 153 346 173
29 28 28
108 108 148 148
228 228 268 268
348 116 388 388
31 30 15 70 35
150 75 190 95
270 5 310 155
430 21533
72 8 112 112
192 192 232 232
312 312 352 32
432 432
37 36 3156 78 196 98
276 138 316 79396 99
3978 13
198 99 238 7358 179
438 219

たとえば p = 227 のとき, p を 40 で割った余り A は 27 なので, 27 の行を横に見て行くと
p − 1 = 226 と ` = 113 が見付かります. これは 1/227 の循環節の長さが 113 であることを意味しています.
表 2. p と 1/p の小数点以下第 (p − 1)/2 + 1 桁目の数 B の表A
1379111317192123272931333739p B
37p B
41 043 047 9p

Bp

830163 0
127 9 167 989
1113171923293137

90 53 099 59 961 9967 0
90 71 073 9079 0Bp

B101103107109113Bp B p B
241 0 281 0283 0p

Bp

Bp B
401 0367 90409 0131 997p9 137
1399909 149
1519157

211 9 251 9173 099 179 9181 990 191
193
0 197
1990900331 9293 0257 9223 9 263
227 0229 9 269271
233 9277
239 0373 0337 9379 9 419 9421 9383 99
307 0 347
9349
0 311 0313 9 353
0 317 0359

09 389 9431 0433 99397 00439 0

この表から, たとえば 1/17 の小数点以下第 (17 − 1)/2 + 1 = 8 + 1 = 9 桁目の数は 9 であり,1/307 の小数点以下第 (307 − 1)/2 + 1 桁目の数は 0 であることがわかります.

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