地域経済の景気変動パターンと相互作用に関する計量分析
国士舘大学

１

石山健一

はじめに

１.1 本研究の目的
1976 年度から 2009 年度までの 47 都道府県の名目ＧＤＰ成長率（支出側）を用いて，各都道府県の景気循環パターンと２地域間の相互作用について計量分析を行い，それぞれの地域の景気が全国の景気と連動しているのか，あるいは地方レベルで相互作用しているのかを明らかにする。

1.2

本研究の特徴（１）好況・不況の持続確率が異なる簡単なモデル

プロビット・モデル



１次のマルコフ過程（２）現象を単純化して眺める

地域経済別景気の好況、不況が観測できているとする→

好況、不況の織り成すパターンについて，各地域のパターン形成を分析（３）数値計算

マルコフ連鎖モンテカルロ法を使い，最尤推定の偏りを是正

モンテカルロ数値シミュレーションによって P 値を求める

1.3 キーワード
地域別の景気循環，成長循環，プロビット・モデル，マルコフ連鎖モンテカルロ法，ベイズ推定1.4

関連する研究奥村，谷崎（2004），和合，各務（2005），福井（2007），渡部（2009），大塚（2011）22.1モデル
記号

𝑆𝑡 : 第𝑡期における経済状態（ 1: 好況，0: 不況）を表す離散型確率変数

𝒙′𝑡 ：第𝑡期が好況である確率を従属変数として，その説明変数となる𝑘次元行ベクトル
𝛃：𝒙′𝑡 を引数として𝑆𝑡 = 1となる確率を返す関数のパラメータ（𝑘次元列ベクトル）

2.2

プロビット・モデル
Pr(𝑆𝑡 = 1) = 𝐹(𝒙′𝑡 𝜷),Pr(𝑆𝑡 = 0) = 1 − 𝐹(𝒙′𝑡 𝜷),
𝑥𝐹(𝑥) = ∫1−∞ √2𝜋exp [−𝜏2] 𝑑𝜏.
2

2.3

プロビット・モデルの推計・最尤法
大きさ𝑇の標本データに対して，対数尤度
𝑇log 𝐿(𝜷) = ∑{𝑆𝑡 log𝐹(𝒙′𝑡 𝜷) + (1 − 𝑆𝑡 )log(1 − 𝐹(𝒙′𝑡 𝜷))}𝑡=1を最大にする列ベクトル𝜷をニュートン法で求める。
すなわち，初期予測𝜷(0)で評価した
𝜕log𝐿
𝜕𝜷のヤコビ行列𝐽 に対し，代数方程式

𝐽∆𝛃 = −

𝜕log𝐿
𝜕𝜷の解∆𝛃(0)をガウス・ジョルダン法で求め，これに基づいて予測を𝜷(1) = 𝜷(0) + ∆𝛃(0)と修正し，𝜷(1)を新たな𝜷(0)として，収束条件を満たすまでこの過程を繰り返す。

・マルコフ連鎖モンテカルロ法
一般に，最尤推定量は不偏推定量ではなく，最尤推定値を初期予測として，マルコフ連鎖モンテカルロ法（ＭＣＭＣ）によって，パラメータを推計する。ここでは，𝜷は多変量正規分布に従うと仮定する。
𝜷~𝑁(𝒃, 𝐵)
大きさ𝑇の時系列データ
𝑋 = (𝒙1 , 𝒙2 , ⋯ , 𝒙𝑇 )′ ,𝑆1 , 𝑆2 , ⋯ , 𝑆𝑇
に対して，ギブス・サンプラー（大森，和合 2005）を用いて，ハイパーパラメータを以下のように推定する。
最尤推定値𝜷(0)を初期値とする。事前分布のハイパーパラメータの初期予測については，𝒃(0) = 𝟎,𝐵(0) = 1000𝐼とした。ただし，𝐼は単位行列を表す。

・イタレーション∗(0)（１）𝑡 = 1,2, ⋯ , 𝑇に対して次を繰り返し，潜在変数の時系列𝑆 ∗(0) = {𝑆1∗(0)
𝑆𝑡 = 1の場合は，切断正規分布𝑇𝑁(0,∞) (𝒙′𝑡 𝜷(0) , 1)から𝑆𝑡 を無作為抽出∗(0)

𝑆𝑡 = 0の場合は，切断正規分布𝑇𝑁(−∞,0] (𝒙′𝑡 𝜷(0) , 1)から𝑆𝑡を無作為抽出（２）ハイパーパラメータを更新−1

𝐵(1) = ((𝐵(0) )−1+ 𝑋 ′ 𝑋) ,−1𝒃(1) = 𝐵 (1) ((𝐵(0) )（３）半正定値の対称行列𝐵(1)をコレスキー分解

𝐵(1) = 𝐴𝐴′+ 𝑋 ′ 𝑆∗(0) )∗(0), 𝑆2∗(0), ⋯ , 𝑆𝑇}を作成

（４）𝑘変量標準正規分布から無作為抽出した𝑘次元列ベクトル𝐳を用いて𝜷(1)を決定
𝜷(1) = 𝐴𝐳 + 𝒃(1)（５）𝜷(1)，𝒃(1)，𝐵(1)を，それぞれ，新たな𝜷(0)，𝒃(0)，𝐵(0)とする（６）イタレーションカウンタを１増やして（１）に戻る
イタレーションカウンタが十分大きくなった段階から𝜷(0)を標本として記録する。

・マルコフ過程
第𝑗地域の景気𝑆𝑡 (𝑗)の時間発展を表すモデルとして，１次のマルコフ過程を考える。すなわち，Pr(𝑆𝑡 (𝑗) = 1) = 𝐹 (𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 𝑆𝑡−1 (𝑗))Pr(𝑆𝑡 (𝑗) = 0) = 1 − 𝐹 (𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 𝑆𝑡−1 (𝑗))と仮定する。第𝑗地域における好況の持続確率，不況の持続確率は，それぞれ
𝑝𝑗 = Pr(𝑆𝑡 (𝑗) = 1|𝑆𝑡−1 (𝑗) = 1) = 𝐹(𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 ),𝑞𝑗 = Pr(𝑆𝑡 (𝑗) = 0|𝑆𝑡−1 (𝑗) = 0) = 1 − 𝐹(𝛼𝑗 )と表される。したがって，好況期および不況期の持続期間の期待値は，それぞれ，
1,1 − 𝑝𝑗

1
1 − 𝑞𝑗となる。

3

データ
都道府県間の地域景気循環の連動性の有無を分析するために，県民経済計算から，1976 年度から 2009 年度までの各都道府県の名目ＧＤＰ成長率（支出側）を用いる。
本研究では，名目ＧＤＰ成長率が増加している期間を好況，減少している期間を不況とみなす。
都道府県の整理番号と地方区分は図表１の通り。

図表１

地方分類と都道府県番号

北海道地方

01 北海道東北地方

02 青森, 03 岩手, 04 宮城, 05 秋田, 06 山形, 07 福島

関東地方

08 茨城, 09 栃木, 10 群馬, 11 埼玉, 12 千葉, 13 東京, 14 神奈川

中部地方

15 新潟, 16 富山, 17 石川, 18 福井, 19 山梨, 20 長野, 21 岐阜, 22 静岡, 23 愛知

近畿地方

24 三重, 25 滋賀, 26 京都, 27 大阪, 28 兵庫, 29 奈良, 30 和歌山

中国地方

31 鳥取, 32 島根, 33 岡山, 34 広島, 35 山口

四国地方

36 徳島, 37 香川, 38 愛媛, 39 高知

九州・沖縄地方

40 福岡, 41 佐賀, 42 長崎, 43 熊本, 44 大分, 45 宮崎, 46 鹿児島, 47 沖縄

4

推定結果

4.1

独立なマルコフ過程に対する推定

1977 年度の景気を𝑆1 として，第𝑗地域のデータ𝑆𝑡 (𝑡 = 2,3, ⋯ ,33)にモデル
𝑆𝑡∗ (𝑗) = 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 𝑆𝑡−1 (𝑗) + 𝑢𝑡 (𝑗), 𝑢𝑡 (𝑗)~𝑁(0,1),
1 𝑓𝑜𝑟 𝑆𝑡∗ (𝑗) > 0
𝑆𝑡 (𝑗) = {0 𝑓𝑜𝑟 𝑆𝑡∗ (𝑗) ≤ 0
をあてはめ，好況・不況の平均持続期間（単位：月）を最尤推定した。

図表２

4.2

都道府県および全国の好況期持続期間（横軸）・不況期持続期間（縦軸）

景気変動パターンの一致

２地域の景気変動パターンの一致についてデータを整理し，同じパターンがどれほど長く続くか調べたところ，次のような結果が得られた。
14 期以上同じ景気変動パターンを描いた地域の組み合わせが複数あった



同じく 14 期以上にわたって全国と同じ景気変動パターンだった地域が複数あった
尚，複数の地域と異なる長さで一致するパターンについては長い方のみを集計している

図表３

２地域以上で同じパターンが観測された時期と度数（パターンの長さ別）

4.3

地域間の相互作用に関する分析

第𝑖地域と第𝑗地域のモデルにおける誤差項𝑢𝑡 (𝑖)，𝑢𝑡 (𝑗)に正の相関があるかどうかを検定した。
検定統計量は33

𝑍 = ∑ 𝑍𝑡
𝑡=2とした。ただし，𝑍𝑡 = {1 𝑓𝑜𝑟 𝑆𝑡∗ (𝑖)𝑆𝑡∗ (𝑗) > 0
0 𝑓𝑜𝑟 𝑆𝑡∗ (𝑖)𝑆𝑡∗ (𝑗) ≤ 0である。𝑍の分布は不明であるが，誤差項が無相関ならば，𝑧 = 16を中心とする左右対称な分布であることが予想される。マルコフ連鎖モンテカルロ法で求めた𝛃の分布を用いて，誤差項が無相関な場合の𝑍の分布を数値シミュレーションによって求め，２地域の組み合わせに対する有意確率をそれぞれ計算した。その結果，図表４に示した地域で正の相関があるという結果が得られた。図中の地域間を結ぶ線分は，少なくとも一方の地域の景気循環が全国の循環と無相関で，かつ両地域の景気変動パターンが有意に相関していることを意味する。

5

まとめ
1976 年度から 2009 年度までの 47 都道府県の名目ＧＤＰ成長率（支出側）について，GDP 成長率が増加する期間を好況期，減少する期間を不況期と定義し，その景気変動を簡単なマルコフ過程で表し，好況期と不況期の平均持続期間を最尤推定法によって推定したところ，多くの地域でデュレーションに地域差がみられた。
また，各地域の景気循環パターンが互いに独立なマルコフ過程によって生成されるという仮説について検定したところ，多数の地域で全国の変動との有意な相関関係がみられた。その一方で，全国の景気変動との連動の可能性を排除しても，景気変動に相互作用があると考えられる地域の組み合わせが地方の枠を超えて多数あることも明らかになった。実際の景気変動が，在庫循環から技術革新まで様々なスケールの波の合成によって生み出されていることを考慮すれば，各スケールでの地域間の相互作用についての分析が今後の課題の一つとなる。

参考文献
大塚芳宏（2011）「マルコフ・スイッチング時空間自己回帰モデルによる日本の地域別の景気循環の計量分析」，『日本統計学会誌』、第 40 巻，第 2 号，89‐109 頁.
大森裕浩，和合肇（2005）「マルコフ連鎖モンテカルロ法とその応用」，和合肇（編）『ベイズ計量経済分析
マルコフ連鎖モンテカルロ法とその応用』，東洋経済新報社，第 2 章，39‐99 頁.
奥村拓史，谷崎久志（2004）「マルコフ・スイッチング・モデルによる我が国の地域経済別景気の転換点の推定」，『国民経済雑誌』，第 190 巻，45‐59 頁.
福井紳也（2007）「地域別確率的景気指数と地域間景気連動性 －状態空間モデルと LA-VAR による接近－」，『産開研論集』，第 19 号，1‐15 頁.
和合肇，各務和彦（2011）「ベイズ型パネル空間プロビット・モデルを用いた地域景気循環モデル」，浅子和美・渡部敏明（編）『ファイナンス・景気循環の計量分析』，ミネルヴァ書房，第 6 章，135‐168 頁.
渡部敏明（2009）「マルコフ・スイッチング・モデルを用いた日本の景気循環の計量分析」，『経済研究』，第60 巻 3 号，253‐265 頁.
Hamilton, J. D. (1989) “A NEW APPROACH TO THE ECONOMIC ANALYSIS OF NONSATTIONARYTIME SERIES AND THE BUSINESS CYCLE”, Econometrica, Vol.57, No.2, pp.357‐384.
Tong, H. (1983) “Threshold Models in Non-Linear Time Series Analysis”, Springer-Verlag (New York).

図表４

連動性のみられる地域の組み合わせ （*は有意確率 5%，**および地図上の線分は有意確率 1%）

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 1701** *02** **** ***03*04* ** *** *****05*06*****07
*08
***09
*
1011**
12*13*
14** * *
15
* **
16
**
17
18
192021222324
25
26
27282930
3132
33
3435
3637
38
39404142
43
4445
46
47

18 19 20 21 22 23 24 25
*
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** ** * ******* ******** **************
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** * ** ***** ** *** ***** **** ****26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 全**** ** ************************ ****** *** **** ********* ******* *********************************** *********** **** *********** ***** *** ******* **** * ******** ********** ****************************
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