日本ロボット学会誌 Vol. 25 No. 4, pp.643〜650, 2007643

学術・技術論文

能動受動混合拘束下での物体操作
渡 辺 哲 陽∗1原

田 研 介∗2

江

鐘 偉∗1

吉 川 恒

夫∗3

Object Manipulation under Hybrid Active/Passive Closure
Tetsuyou Watanabe∗1 , Kensuke Harada∗2 , ZhongWei Jiang∗1 and Tsuneo Yoshikawa∗3
In this paper, we discuss the manipulation of an object under hybrid active/passive closure. The passive part ofthe system corresponds to the uncontrollable part. Therefore, to assure the stability of the controller, how to deal
with the uncontrollable part is a key issue. We show the orthogonality between the active and passive parts in theprevious paper. Based on the orthogonality, we decompose the dynamics of grasping system into the active part andthe passive part. Then, using the decomposition, we derive a controller only including the dynamics of the active
part. The controller assures to converge to the desired trajectories asymptotically. We also discuss how to determine
the desired internal forces in order to satisfy frictional constraints during the manipulation. In order to verify thevalidity of our approach, some simulation results are shown.
Key Words: Active/Passive Force Closure, Manipulation, Orthogonality, Grasping

ような把持形態を能動受動混合拘束と呼んでいる．この形態に1. は じ め における重要課題の一つが能動部分と受動部分との間の直交性でロボットハンドは，工業用製品の組み立て，ホームロボットにある．直交性により，能動受動混合拘束を含む一般の把持シス

よる家事労働，ロボット介護など様々な場面での使用が期待さテムにおいて，能動力拘束方向と受動力拘束方向とを分離してれる汎用手先効果器である．これらの場面では，対象物を把持制御することが可能となるからである．先に筆者らはこの直交

し操ることが求められる．把持はロボットハンドにとって重要性について証明した [4]．しかしながら，能動受動混合拘束を含な基本作業の一つであり，force closure という概念が提案され

む一般の把持システムにおける物体操作方法の確立は未だなさている [1]．しかしながら，force closure は次の 2 通りに解釈すれていない．

ることができる．“把持対象物に対して，ロボットハンドにより

そこで本論文では，能動受動混合拘束を含む一般の把持シス

任意の力・モーメントを作用させることができる”．“どんな外テムにおいて，能動部分と受動部分との間の直交性をもとに，

力・モーメントが加わろうとも，関節トルクを変更せずともそ

物体操りのための制御アルゴリズムを提案する．このアルゴリの外力・モーメントを打ち消し，対象物を静止させることがで

ズムは，一般の把持システムに適用できる上に，把持システム

きる”．前者は，ロボットハンドにより任意の方向に対象物を動全体の動特性を考慮する必要がないという特徴を持つ．これは，かすことができることに相当する．後者は，パワーグラスプ [2]

把持システムにおける能動部分と受動部分との間の直交性によの概念に相当する．この定義の曖昧さを取り除くため，吉川 [3]りもたらされる特徴である．
これまで，数多くのロボットマニピュレータに対し，位置とは前者の概念を能動力拘束，後者の概念を受動力拘束と呼んだ．
一般に，人間の作業においてよく見られるのはこれら能動力

力のハイブリッド制御方法が提案されてきた [5]．提案するアル

拘束と受動力拘束が混ざった形態の把持である．吉川 [3] はこの

ゴリズムは，これら従来のハイブリッド制御法の範疇に入れることができる．しかしながらその拡張は容易ではない．ロボッ

原稿受付 2006 年 10 月 17 日
∗1
山口大学大学院理工学研究科∗2
産業技術研究所∗3
立命館大学情報理工学部∗1
Graduate School of Science and Engineering, Yamaguchi University∗2
National Institute of Advanced Industrial Science and Technology∗3
College of Information Science and Engineering, Ritsumeikan
University

日本ロボット学会誌 25 巻 4 号

トマニピュレータとは違い，ロボットハンドには，受動部分のように制御不可能な部分が存在するからである．提案するアルゴリズムでは，この不可制御部分を取り扱うことができる．また，従来のハイブリッド制御法では考慮されない，摩擦条件についても取り扱うことができる．
本論文の構成は以下のとおりである．まず，対象とする系を示し，能動力拘束方向，受動力拘束方向を定義する．次いで，—159—

2007 年 5 月

渡 辺 哲 陽644

原 田 研 介江鐘 偉

吉 川 恒 夫

それらの方向が互いに直交することを示す．その直交性をもとに，一般の把持システムに対する制御アルゴリズムを提案する．
最後に，数値シミュレーションにより，本手法の有効性を確認
する．

1. 1 関連研究
force closure の解釈に混乱が生じていることを指摘したのはTrinkle [6] である．その後，吉川がその混乱を取り除くため，
能動・受動力拘束という新しい二つの概念を導入した [3]．現在のところ，これら能動・受動力拘束は別々に分けて研究されている．
能動力拘束に関しては，Li ら [7]，Cole ら [8]，横小路ら [9]がそれぞれ点接触，転がり接触，ソフトフィンガー型接触の場
Fig. 1 Target system (N = 2)合に対して，物体操りのための制御アルゴリズムを提案している．さらに，Cole ら [10]，Zheng ら [11] がすべり接触の場合に対して物体操りのための制御アルゴリズムを提案している．原た，すべり接触は生じないものとする．
（2）各接触点において，田らは複数対象物把持において，能動力拘束を解析し [12]，物

接触法線ベクトルは一意に定まるものとする．（3）接触点の数

体操りのための制御アルゴリズムを提案している [13]．一般のは変化しない．また，接触点の離脱は生じない．

把持システムにおける能動力拘束を研究したものとしては，以なお，本論文で使用する記号を付録に示す．

下のものが挙げられる．Trinkle ら [14] は二次元において，す2. 2 定義

べり接触する対象物を包み込み把握する場合の操り計画を行っ

能動受動混合拘束下にある対象物を操る場合，対象物を操るている．Bicchi ら [15] は可操作性について解析している．原田

ことのできる方向は，能動拘束方向に限定される．受動部分にら [16] は Envelope Family の概念を導入し，それに属したシス

対応する方向に外力が加わる場合，関節トルクの変更なしに自テムにおいて物体を操るための十分条件を提示している．Park

動的にその外力を相殺する力がはたらく．つまり，受動部分はら [17] は与えられた関節トルク，（物体に加わる）外力・モーメ

不可制御である．対象物操作を行うための制御アルゴリズムをントに対して，動力学・摩擦条件を満たす接触力と加速度を導確立するためには，システムの動特性を “能動部分” と “受動部

出している．

分” に分離する必要がある．このため，対象物の一般化速度空なお，能動力拘束には二つの解釈があることに注意されたい．

間，一般化力空間内に属する以下の二つの空間を定義する．

一つはロボットハンドが任意方向に対象物を動かすことができ

能 動 力 拘 束 空 間（Space of Active Force Closure

る，もう一つは．force closure の一般的な定義であり，受動力（SAFC））：対象物に対してロボットハンドが正の仕事を行う

拘束の必要条件であるが十分条件ではない [18]，である．本論ことのできる方向を能動力拘束方向（direction of active force

文では，先に吉川 [3] により示された定義に基づいて以下に定closure（DAFC））と呼ぶ．すべての DAFC によって張られる空間を能動力拘束空間（Space of Active Force Closure（SAFC））

義し，混乱を避ける．
：ロボットハンドによっ
能動力拘束（Active force closure）と呼ぶ．

て対象物に任意の合力・モーメントを加えることができ，対象

受動力 拘束空 間（Space of Passive Force Closure

物の平衡を維持するためにはロボットハンドによる合力・モー（SPFC））：関節トルクを変更せずとも打ち消すことのできる外

メントの印加が必要な場合，その把持を能動力拘束と呼ぶ．

に持っている．近年，筆者らのみがこれら両方の性質を同時に力・モーメントの方向を受動力拘束方向（direction of passive
force closure（DPFC））と呼ぶ．すべての DPFC によって張られる空間を受動力拘束空間（space of active force closure（SPFC））と呼ぶ．
なお，SAFC（DAFC）は変位（速度）の方向から，SPFC（DPFC）は力・モーメント（レンチ）の方向から，構成されて着目して研究している [4] [27]．しかしながら，得られた結果はいることに注意されたい．

一方で，受動力拘束（パワーグラスプ）はロバストネス，不静定力解析，接触力定式化，関節トルクの最適化などの観点から研究されている [18]〜 [26]．
一般の多くの把持システムは能動と受動の両方の性質を同時まだ限られている．本論文では，能動・受動部分の直交性をも

3. 基とに，能動受動混合拘束を含む一般の把持システムにおける対礎式

3. 1 運動学

象物操作方法の確立を目指す．

 Fij と ˙ i の関係， Cij ， Fij ，O の間の関係はそれぞれ

2. 対象とする系と定義

以下のように表される．

2. 1 対象とする系
対象とする系を Fig. 1 に示す．N 本指のロボットハンドで，

Fij =  Fij ˙ i ,Tij  O =  Cij =  TFij Fij （1）任意形状の剛体対象物を把持する場合を考える．以下の仮定を置く．
（1）ロボットハンドは対象物と摩擦あり点接触をする．まJRSJ Vol. 25 No. 4

ここで， Fij ∈ RD×Mi はヤコビ行列であり，—160—

May, 2007

能動受動混合拘束下での物体操作



ij =


Fij =( − ( T )+  T ) の正規直交基底から構成される直交行列を， ∈ Rp は Ξ の各列の大きさを表す任意ベクトルである．なお，∈ RD×d ,[(Cij − O )×]

式（7）の第二項は関節トルクを変更せずとも発生可能な合力・

∈R

D×d

[(Cij − Fij )×]645

モーメントを表している．

.

である．ただし， は単位行列，[ × ] は [ × ] =3. 3 摩擦条件× なる

外積演算と等価な歪み対称行列を表している．今，接触点 Cij （i = 1, 2, · · · , N, j = 1, 2, · · · , Li ）における摩擦条件は以下のように表される．



Ff ij = { ij |˙ = col(˙ i ) ∈ R ,M

t2fij ,1 + t2fij ,2 ≤ µij nfij , nfij ≥ 0}.

 = diag(col(TF1j  F1j ) · · · col(TFN j  FN j )) ∈ RLd×M ,（8） = ( 11 12 · · · NLN ) ∈ RD×Ld ,=( 式（8）をすべての接触点に関してまとめると，次式を得る．

Ld×(M +D),
−T ) ∈ R

Ff = { | ij ∈ Ff ij , ∀ ij }.

なるベクトル，行列を用いると，式（1）より以下の関係が得ら

3. 4 対象物・指の動特性

れる．



˙
O

（9）



対象物と指の運動方程式はそれぞれ以下のように表される．

= .

（2）

 r ˙ O + r =  =  ,
 q ¨ + q +  c =  .

ただし， は零ベクトルを表している．

（10）
（11）

式（2）から，以下の関係が得られる．



˙
O




= Λ˙ =Λq
Λr

ここで，Λ ∈ Ra×(M +D) は，その列が

4. DAFC，DPFC ならびにその間の直交性
˙.

（3）

本章では DAFC，DPFC の集合ならびにその間の直交性について示す．詳細は文献 [4] を参照されたい．
今， cst により対象物が安定に把持され，システムが定常状の零空間の正規直交基底により構成される直交行列， ˙ ∈ Ra はその各列方向の大き態にある場合を考える．このとき，式（7），（9）から次式が成さを表す任意ベクトルを表している．なお， ˙ はロボットハン

立する．

ドによる拘束下において発生可能な指・対象物運動に対応する．

st = T  st = J  cst + Ξst ,  st ∈ Ff . （12）

ここで，付録 A に示す変換を用いると以下の式が得られる．



Λq
Λr




˙ =

Λqq



Λqr
Λrr



˙
q
˙


.

（4）

r

ただし， は零行列を表している．なお，Im(Λq ) ∩ ker( ) =Im(Λqq ) より Im(Λqr ) ∈ Im( T ) である．
3. 2 静力学式（2）と仮想仕事の原理より， ，， c の関係は以下のよ

ただし st ， st ，st は，それぞれ，システムが定常状態にあるときの ， ， である．なお，外力がはたらかない場合は

st = である．この状態における DAFC ならびに DPFC を考える．

式（4）から対象物の許容変位の集合は以下のように表される．

A = {∆ |∆ = Λrr ∆ r }.

（13）

うに与えられる．



c
−




=

T

=

T
−



この集合を用いて DAFC は以下のように表すことができる．

.

（5）

DAFC = {∆ |Work = ∆T J  cad > 0, ∆ ∈ A,˜= ,( − Λrr ΛTrr )J  cad + ( − ( T )+  T )式（5）より以下の関係を得る．

 = ( T )+  c + ( − ( T )+  T )˜.

˜ +  ∈ Ff }. （14）( T )+  cad + ( − ( T )+  T )st（6）˜ ∈ RLd は任意ベクト
ここで ( T )+ は  T の擬似逆行列を，
ルを表している．なお，式（6）の第二項は，関節トルクに影響を与えない内力を表している．

ただし， cad は  cst に追加して加えられる関節トルクを表している．
任意方向の  cad を加えても各接触点での摩擦条件が満たされる場合は以下のようになる．

式（6）を式（5）に代入することにより次式を得る．

DAFC = {∆ |∆ = Λrr ΛTrr J  cad }.

 = ( T )+  c + ( − ( T )+  T )˜ = J  c + Ξ.
（7）ただし，J =( T )+ であり，Ξ ∈ RD×p はその列が日本ロボット学会誌 25 巻 4 号

—161—

（15）

一方で DPFC は以下のように表される．

˜ ,DPFC = { ex | ex = Ξex ,  ex = ( − ( T )+  T )ex2007 年 5 月

渡 辺 哲 陽646

原 田 研 介 st +  ex ∈ Ff }.

（16）

˜ はそれぞれ ex に対応する  と 
˜ を表し
ただし，ex と 
exている．
（または式（15））より，DAFC は Λrr の列ベクトル式（14）によって張られる空間の部分集合として表される．式（16）よ江鐘 偉

ここで Φ ∈ RM ×(M −ã) はその列が ΛT
rr J の零空間の正規直交基底により構成されるフル列ランク行列を，1 ∈ R(M −ã) は

Φ の各列の大きさを表す任意ベクトルを表している．
一方で，式（18）の両辺に左から ΞT を乗じると，SPFC に対応した対象物の動特性成分が以下のように得られる．

˜ r −ΞT J  c .
 = ΞT  r Λrr ¨r + ΞT り，DPFC は Ξ の列ベクトルによって張られる空間の部分集合として表される．このため，Λrr と Ξ とが直交すれば，DAFCと DPFC とが直交することとなる．実際， Λ =  の関係をもとに

吉 川 恒 夫

なお，式（20）より得られる  c と式（21）より得られる を式（18）の右辺に代入し，(Ξ Λrr )(Ξ Λrr )T =  の関係を用いると， =

ΛTrr Ξ = .

御の関係を得ることができる．

5. 2 内力式（7）より，以下の関係が得られる．

（17）であることを示すことができる [4]．このことから DAFC とDPFC が直交することが分かる．

5. 制

（21）

˜
 c = +J (  − Ξ 1 ) +   .

（22）

ただし  ∈ RM ×b はその列が空間 (Im( T ) ∩ ker(J )) の正則

本章では能動受動混合拘束を含む一般の把持システムにおい˜ ∈ Rb は 
規直交基底より構成されるフル列ランク行列を，

の各列の大きさを表す任意ベクトルを表している．

て対象物を SAFC に属する方向へと動かすための制御則を導出する．簡単のため，Λrr の全列ベクトルから張られる空間がSAFC，Ξ の全列ベクトルから張られる空間が SPFC となっていると仮定する．これは，把持システムが force closure 状態で

˜ は関節トルク  c により制御可能な内力でなお，( T )+  ˜ = ）．また，式（5）より， c は Im( T )ある（( T )+  に含まれることから， は Im( T ) に含まれることに注意されたい．

あると仮定することに対応する．

5. 3 系全体の動特性

5. 1 対象物動特性の SAFC ならびに SPFC 対応成分への分割（4），（11）から，指の動特性は以下のように書き換
式（3），
えられる．

対象物動特性を SAFC に対応する成分と SPFC に対応する成分に分割する．この分割により，SAFC に対応する成分のみ制

˜ q +  c,
 =  q (Λqr ¨r + Λqq ¨q ) + 

御すればよいこととなる．摩擦条件が満たされるならば，SPFC

˜ q =  q (Λ̇qr ˙ + Λ̇qq ˙ ) + q .

r
q

（23）

に含まれる方向にはたらく任意の力・モーメントは追加の関節したがって，式（18），（22），（23）から，以下の関係を得る．

トルク入力なしに相殺されてしまう．このため，制御は必要ない．逆に言えば望みの力・モーメントを発生させるなどの制御

˜ q +  ˜
 =  q (Λqr ¨r + Λqq ¨q ) + はできない．

˜¨++J ( r Λrr r + r − Ξ ).

式（3），（4），（7），（10）から，対象物の動特性は以下のよ（24）

5. 4 制御則

うに記述できる．

 r Λrr ¨r + ˜ r =  = J  c + Ξ ,（18）

˜ r = r +  r Λ̇rr ˙ .


以上の議論をもとに制御則を導出する．動作可能な対象物位置姿勢˜ に対する目標軌道（値） rd ならびに ˜ dが，それぞれ与えられているものとする．このとき，式（20），r

式（18）の両辺に ΛT
rr を左から乗じ，式（17）を用いると以（22），（23）から，以下の制御則を考える．

 =  W p + I +  +  q Λqq ζd , （25）

下の関係が得られる．

˜ r = ΛTrr J  c .
ΛTrr  r Λrr ¨ r + ΛTrr r と内力成分 W =  q Λqr + (ΛTrr J )+ (ΛTrr  r Λrr ),（19）

この式は，SAFC に対応する対象物の動特性を表している．

˜ q + (ΛTrr J )+ (ΛTrr ˜ r ).
=

この章の初めにおいて行った仮定と式（14）（式（15））より，

˜ に対応する新しい制御入
ここで，p と I はそれぞれ ¨ r と ΛTrr J はフル行ランクを持つ．また， r は正則であり，ΛTrr
はフル行ランクを持つことから，ΛTrr  r Λrr は正則である．以上より，SAFC に含まれる任意方向の加速度は関節トルクによっ

任意ベクトルであり，指の可操作度などの評価指数をもとに設力である．ζd は対象物運動に影響を与えない指運動を与える

定することができる．
この制御則を式（24）で与えられる系へ適用することにより，て発生可能であることが分かる．

以下の関係を得る（導出は付録 B 参照）．

式（19）より，以下の関係を得る．

p = ¨r ,˜ r )+Φ1 .
 c = (ΛTrr J )+ (ΛTrr  r Λrr ¨r +ΛTrr （20）

JRSJ Vol. 25 No. 4

ζd = ¨q ,I = ˜ .

（26）

すなわち，制御則（25）によってシステムが線形化される．

—162—

May, 2007

能動受動混合拘束下での物体操作

そこで，p ならびに I に対して以下のサーボ制御則を適用

7. 数

する．

p = ¨rd +  V ( ˙ rd − ˙ r ) +  P ( rd − r ), （27）I = ˜ d +  I

 t
0


(˜ d − ˜ )dt .

（28）

ここで， P ， V ， I はゲイン行列である．すると，対象物
位置姿勢誤差 p =rd −r ならびに力誤差

f = ˜ d − ˜ は以下の関係を満足する．

647

値

例

本手法の有効性を示すため，シミュレーションを行う．Fig. 2に対象とする系を示す．ΣO は 1 番目の指の根本に設置した．

Fig. 2 の目盛は ΣR における位置を表している．初期状態において，ΣO と ΣR とが一致することに注意されたい（Fig. 2 参照）．
ロボットハンドは，同じ構造を持つ 2 本指から構成される．
各リンクの長さは 0.1 [m]，質量は 0.025 [kg] に設定した．対象√

物は 0.075 2 × 0.1 [m] の四角形で，その質量は 0.408 [kg] と設定した．また，対象物の密度は均一であるとした．初期状態

¨p +  V ˙ p +  P p = ,（29）

˙ f +  I f = .

（30）における接触点位置は (−0.0177 0.0177)，(−0.0177 0.1237)，(0.0823 0.1) とした．サーボゲインは， P = diag(2500. 2500.
2500.) [1/sec2 ]， V = diag(100. 100. 100.) [1/sec]， I =したがって，適切に  P ， V ， I を設定することにより，対象物位置姿勢r ならびに内力成分

˜ をその目標軌道へ漸近的に収束させることができる．

6. 目 標 内 力
˜ の決定法について考え
本章では，内力の大きさの目標値 dる．内力は物体操作中において摩擦条件を満たすために用いら˜ を，摩擦条件を満たすように設定する．
れる力ゆえ，
d

まず，内力を接触力  に関して定式化する．式（5）より以下の関係を得る．

Fig. 2 Target system in simulation (at the initial state) =   + Ω2 .
+（31）

ここで，Ω ∈ RLD×(LD−D) はその各列が  の零空間の正規直交基底から構成されるフル列ランク行列を，2 ∈ R(LD−D) はΩ の各列の大きさを表す任意ベクトルを表している．
ここで，Ω2 は内力を表しているが，関節トルクによって必ずしも制御できるとは限らない．制御が可能なのは，式（31）˜ 成分である．ここでは，Ω2 の代わりから得られる ( T )+  T +˜に ( )   を用い，関節トルクで制御できる内力成分のみを(a) Motion of the object

用いて摩擦条件を満たすことを考える．

 = +  + ( T )+  ˜ .

（32）

今，対象物がその目標軌道に沿って動いているものとする．式（8），（18），（32）の関係をもとに，以下の問題を考える．

ρ(˜ )min˜

subject to = + (d + ext )+( T )+  ˜ （33） ∈ Ff˜r
d =  r Λrr ¨rd + (b) Trajectory of φ(c) Trajectory of f˜1(d) Trajectory of f˜2(e) Trajectory of f˜3

ここで，ρ は評価関数であり，ext は外乱を表している．なお，
実用的には，外乱の影響を考慮し，Ff の µij は実際のものより小さくすることは有効である．評価関数 ρ としては，接触力
ノルムや関節トルクの大きさなどを用いればよい．なお，ρ を˜
最適化せずとも拘束条件が満たされれば操りは実現できる（dは有効である）ことを付記しておく．

日本ロボット学会誌 25 巻 4 号—163—

Fig. 3 Results

2007 年 5 月

渡 辺 哲 陽648

原 田 研 介diag(1. 1. 1.) [1/sec] とおいた．入力トルク計算のためのサン
プリングタイムは 1.0 [ms]，準動力学計算のためのサンプリン
グタイムは 0.1 [ms] とした．
ΣR まわりに 0 [deg] から 10[deg] まで対象物を回転させる操作を考える．ただし，制御則の有効性を確認するために初期誤差を与えることを考え，ΣR まわりに −1 [deg] から 10 [deg] ま
で対象物を回転させる目標軌道を与えた．摩擦係数は 0.3 とし，内力成分の目標値を (1 1 0.3) [N] とした．この目標値は，式（33）で与えられる問題の拘束条件を満足する．

Fig. 3 に結果を示す．Fig. 3 (a) は対象物動作の概略を示している．Fig. 3 (b) は対象物姿勢に対応する φ の目標軌道と実際の軌道を示している．Fig. 3 (c)〜(e) は，各内力成分 f˜i（i = 1, 2, 3）の目標軌道と実際の軌道を示している．Fig. 3 から，初期誤差があるにもかかわらず，φ および f˜i（i = 1, 2, 3）がそれぞれ目
標軌道に収束しているのが分かる．

8. 終 わ り に
本論文では，能動受動混合拘束を含む一般の把持システムにおいて，物体を操るための制御則を提案した．能動受動混合拘束下においては不可制御な部分である受動部分が存在する．このため，安定性を保証した制御則を導出するためには，この受動部分の取り扱いが重要となる．先に示した能動部分と受動部
分の直交性を用い，対象物動特性を能動力拘束に対応する成分と受動力拘束に対応する成分とに分離した．この分離を用い，能動部分の動特性のみを利用した制御則を導出した．これにより，安定性を保証した制御則を得ることができた．本手法の有効性を，シミュレーションにより確認した．
本論文では，接触点の離脱やすべり接触は生じないものとして議論を展開したが，実際の物体操作でみられる能動受動混合
拘束には，接触点の離脱や滑り接触を伴うものも多い．本稿の結果をこの問題へ拡張することは今後の課題である．

参 考

文

献

[ 1 ] A. Bicchi and V. Kumar: “Robotic grasping and contact: A
review,” Proc. of IEEE International Conference on Robotics
and Automation, pp.348–353, 2000.
[ 2 ] M.R. Cutkosky: “On grasp choice, grasp models, and the design of hands for manufacturing tasks,” IEEE Transactions on
Robotics and Automation, vol.5, no.3, pp.269–279, 1989.
[ 3 ] T. Yoshikawa: “Passive and active closures by constraining mechanisms,” Transaction of the ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, vol.121, pp.418–
424, 1999.
[ 4 ] 渡辺，原田，江，吉川：“能動受動混合拘束の力学”，日本ロボット学
会誌，vol.24, no.1, pp.131–139, 2006.
[ 5 ] T. Yoshikawa: Foundations of Robotics. MIT Press, 1990.
[ 6 ] J.C. Trinkle: “On the stability and instantaneous velocity ofgrasped frictionless objects,” IEEE Transactions on Robotics
and Automation, vol.8, no.5, pp.560–572, 1992.
[ 7 ] Z. Li, P. Hsu and S. Sastry: “Grasping and coordinated manipulation by a multiﬁngered robot hand,” The International
Journal of Robotics Research, vol.8, no.4, pp.33–50, 1989.
[ 8 ] A.B.A. Cole, J.E. Hauser and S.S. Sastry: “Kinematics andcontrol of multiﬁngered hands with rolling contact,” IEEE
Transactions on Automatic Control, vol.34, no.4, pp.398–403,
1989.

JRSJ Vol. 25 No. 4

江鐘 偉

吉 川 恒 夫

[ 9 ] Y. Yokokohji, M. Sakamoto and T. Yoshikawa: “Vision-aided
object manipulation by a multiﬁngered hand with soft ﬁngertips,” Proc. of IEEE International Conference on Robotics andAutomation, pp.1027–1031, 1999.
[10] A.A. Cole, P. Hsu and S.S. Sastry: “Dynamic control of sliding
by robot hands for regrasping,” IEEE Transactions on Robotics
and Automation, vol.8, no.1, pp.42–52, 1992.
[11] X. Zheng, R. Nakashima and T. Yoshikawa: “On dynamic control of ﬁnger sliding and object motion in manipulation withmultiﬁngered hands,” IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol.16, no.5, pp.469–481, 2000.
[12] K. Harada, M. Kaneko and T. Tsuji: “Active force closure formultiple objects,” Journal of Robotic Systems, vol.19, no.3,
pp.133–141, 2002.
[13] K. Harada, M. Kaneko and T. Tsuji: “Rolling-based manipulation for multiple objects,” IEEE Transactions on Robotics andAutomation, vol.16, no.5, pp.457–468, 2000.
[14] J.C. Trinkle and R.P. Paul: “Planning for dexterous manipulation with sliding contacts,” The International Journal of
Robotics Research, vol.9, no.3, pp.24–48, 1990.
[15] A. Bicchi, C. Melchiorri and D. Balluchi: “On the mobility andmanipulability of general multiple limb robots,” IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol.11, no.2, pp.215–228,
1995.
[16] K. Harada and M. Kaneko: “A suﬃcient condition for manipulation of envelope family,” IEEE Transactions on Robotics andAutomation, vol.18, no.4, pp.597–607, 2002.
[17] J. Park, W. Chung and M. Kaneko: “Active-external enveloping grasps: Dynamical-balance based motion analysis,”
Proc. of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent
Robots and Systems, pp.1566–1571, 2001.
[18] A. Shapiro, E. Rimon and J.W. Burdick: “Passive force closure and its computation in compliant-rigid grasps,” Proc. of
the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots
and Systems, pp.1769–1775, 2001.
[19] T. Omata and K. Nagata: “Rigid body analysis of the indeterminate grasp force in power grasp,” Proc. of IEEE International
Conference on Robotics and Automation, pp.1787–1793, 1996.
[20] X.-Y. Zhang, Y. Nakamura, K. Goda and K. Yoshimoto: “Robustness of power grasp,” Proc. of IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp.2828–2835, 1994.
[21] K. Mirza and D.E. Orin: “General formulation for force distribution in power grasp,” Proc. of IEEE International Conferenceon Robotics and Automation, pp.880–887, 1994.
[22] Y. Zhang and W.A. Gruver: “Deﬁnition and force distributionof power grasps,” Proc. of IEEE International Conference on
Robotics and Automation, pp.1373–1378, 1995.
[23] Y. Yu, K. Takeuchi and T. Yoshikawa: “Optimization of robot
hand power grasps,” Proc. of IEEE International Conferenceon Robotics and Automation, pp.3341–3347, 1998.
[24] T. Omata: “Rigid body analysis of power grasps: Bounds ofthe indeterminate grasp force,” Proc. of IEEE International
Conference on Robotics and Automation, pp.2203–2209, 2001.
[25] T. Yoshikawa, T. Watanabe and M. Daito: “Optimization of
power grasps for multiple objects,” Proc. of IEEE International
Conference on Robotics and Automation, pp.1786–1791, 2001.
[26] M.Y. Wang and D.M. Pelinescu: “Contact force prediction andforce closure analysis of a ﬁxtured rigid workpiece with friction,” Transactions on ASME, Journal of Manufacturing Science and Engineering, vol.125, pp.325–332, 2003.
[27] 渡辺，吉川：“要求加速度・平衡力集合を用いた物体の把持の最適化”，
日本ロボット学会誌，vol.22, no.3, pp.370–376, 2004.

—164—

付録 A.

Λrr 導出のための変換

式（3）において与えられる Λ は以下のように記述できる（文May, 2007

能動受動混合拘束下での物体操作

T
T
+
，ΛT
= ，
じ，ΛT
qq  =  （Im( ) ∈ Im( )）qq (Λrr J )献 [15] 参照）．



Λq
Λr




=

Λ11

Λ12
Λ22







Λ23

649

ΛTqq +J =  の関係を用いると以下の関係を得る．

.

（A.1）

 wqr (p − ¨r ) +  wq (ζd − ¨q ) = , （B.7）
 wqr = ΛTqq  q Λqr ,ここで．Im(Λ11 )（= ker( )）は対象物速度に影響を与えない

関節速度の冗長性を表す部分空間を，Im(Λ23 )（= ker(T )）は関節速度によって定めることのできない対象物速度の部分空間を表している．したがって，(Λ22 Λ23 ) の各列がロボットハ

 wq = ΛTqq  q Λqq .
ここで，式（2），（3）より，以下の関係を考える．

 Λq ˙ = T Λr ˙ .

ンドによる拘束下において対象物が動くことのできる方向を表すこととなる．

式（4）と  Λqq =  の関係を用いると，上の関係式は以下のそこで以下の変換を考える．



Λq
Λr




Ψ=



   
Λ11 Λ12   Ψ2   Λ22 Λ23=

Λqq Λqr
 Λrr

˙ =Ψ

˙T ˙T



q



ように表すことができる．

 Λqr ˙ r = T Λrr ˙ r .

  Ψ3,˙ は任意ゆえ，r（A.2）

 Λqr = T Λrr .

（A.3）と い う 関 係 を 得 る ．こ の 式 の 両 辺 に 左 か ら  + を 乗 じ ，

T

r

.

ただし，Ψ ∈ Ra×a は Λ22 Ψ2 ならびに Λ23 Ψ3 が直交行列とな +  Λqr = Λqr （Im(Λqr ) ∈ Im( T )）の関係を使うと，以下の関係を得る．

るような変換のための正則な行列を表している．なお， ˙ は任意

Λqr = TJ Λrr .

ゆえ， ˙ q ∈ Ra−ã ならびに ˙ r ∈ Rã も任意である．また，それぞれ Λ11（= Λqq ）の各列の大きさ，ならびに Λ22 Ψ2 (Λ12 Ψ2 )と Λ23 Ψ3 の各列の大きさを表している．さらに Λqr ∈ RM ×ã ，

したがって， wr と  wqr は以下のように表すことができる．

 wr = ΛTrr  r Λrr + ΛTrr J  q TJ Λrr ,Λrr ∈ RD×ã である．

 wqr = ΛTqq  q TJ Λrr =  Twrq .

付録 B. 式（26）の導出
制御則（25）を式（24）で与えられるシステムに適用すると，この関係と式（B.5），（B.7）から以下の関係式を得る．



以下の式を得る．

 q Λqr (p − ¨r ) +  (I − ˜ ) +  q Λqq (ζd − ¨q )（B.4）

ΛTrr J がフル行ランクを持つことから，Im(Λrr ) ∈/ ker(TJ )す な わ ち ，Im(Λrr ) ∈ Im(J ) で あ る ．こ の こ と か ら ，TT(+J ) J Λrr = Λrr の関係が得られる．
そこで，式（B.4）の両辺に左から ΛT
rr J を乗じ，J  =  ，TTΛrr J (ΛTrr J )+ =  ，ΛTrr J +
J = Λrr ，式（17）の関係

 wr (p − ¨r ) +  wrq (ζd − ¨q ) = , （B.5）

J は以下のように表すことができる．

(ΛTrr J )+ = TJ Λrr (ΛTrr J TJ Λrr )−1 . （B.6）
T+=  であこの関係と Im(Λqq ) ∈ ker( ) から ΛT
qq (Λrr J )ることが分かる．そこで，式（B.4）の両辺に左から ΛT
qq を乗

日本ロボット学会誌 25 巻 4 号(p − ¨ r )(ζd − ¨ q ) = ba  wq= .

 Tb ,T a =  wr −  wrq  −1
wq  wrq ,



b =

  wrq  −1
wq





.

ゆえに  の行列式は以下のように与えられる．

det  = det( wq ) det( a ).

 wrq = ΛTrr J  q Λqq .




できる．

 wr = ΛTrr  r Λrr + ΛTrr J  q Λqr ,T
J がフル行ランクを持つことから，Λrr(p − ¨ r ) =(ζd − ¨ q ) wq が正定対称行列であることから， は以下のように変形を用いると，以下の関係式が得られる．

ΛTrr



（B.8）

˜r)
+(ΛTrr J )+ (ΛTrr  r Λrr p + ΛTrr ˜¨−+J ( r Λrr r + r − Ξ ) = .

 wr  wrq
 Twrq  wq

（B.9）

 q が正定対称行列であることから， q =  Tm  m を満たす正T
T
則行列  m ∈ RM ×M が存在する．そこで， T
r = Λrr J  m ， Tq = ΛTqq  Tm とおくことにより， a は以下のように表すことができる．

 a = ΛTrr  r Λrr +  Tr ( −  q ( Tq  q )−1  Tq ) r .
 r と  q は共にフルランクであることから，( Tq  q )−1  Tq =—165—

2007 年 5 月

渡 辺 哲 陽650

原 田 研 介江+q が成り立つ．したがってこの式の第二項は非負定であることTが分かる．ΛT
rr はフル行ランクを持つこことから，Λrr  r Λrrは正定である．以上の議論から， a が正定であることが分かる．ゆえに，式（B.9）から，det  = 0 である．このことかζd = ¨q .

（B.10）+
式（B.6）から， T (ΛT
rr J ) =  であることが分かる．式+（B.4）の両辺に左から  T を乗じ，この関係  T (ΛT
rr J ) = 

た座標系．

i ∈ RMi ：i 番目の指の関節変数．
I ∈ Rd ：座標系 ΣI （I = O, Cij , Fij ）の原点位置．

と式（B.10）を用いると，以下の関係が得られる．

 T  (I − ˜ ) = .
ここで， T  は正則であることから，

I = ˜ .

（B.11）

が得られる．

付録 C.

記

号

col：後に続く行列またはベクトルを縦に並べたベクト
ルまたは行列．

diag：後に続く行列またはベクトルにより構成されるブ
ロック対角行列．

N ：指の数．
Mi ：i 番目の指の関節数（i = 1, 2, · · · , N ）．
Li ：i 番目の指の接触点数（i = 1, 2, · · · , N ）．
M ：総関節数（= ΣN．
i=1 Mi ） I ∈ RD−d ：座標系 ΣI の回転速度．
 Cij ∈ Rd ：転がりによる接触点移動成分を取り除いた接触点
速度（転がりがないときは， Cij = ˙ C ）．
ijDI ∈ R ：(˙ TI  TI )T （I = O, Cij , Fij ）．
∆ ∈ RD ：O に対応する対象物の変位．
 ∈ RD ：ΣO において対象物に加わる合力・モーメント．
 ij ∈ Rd ：Cij において対象物に加えられる接触力．
 ∈ RLd ：( T11  T12 · · ·  TNLN )T ．
 c ∈ RM ： に等価な関節トルク．
 ∈ RM ：関節トルクベクトル．
nfij ： ij の法線方向成分．
tfij ,k ： ij の接線方向成分（k = 1, 2）．
µij ：Cij における摩擦係数．
 J ：指（J = q ），対象物（J = r）の慣性テンソル．
J ：指（J = q ），対象物（J = r）の遠心力，コリオ
リ力，重力などを表す非線形項．

渡辺哲陽（Tetsuyou Watanabe）

原田研介（Kensuke Harada）

1974 年 4 月 3 日生．2003 年京都大学大学院工学研
究科博士後期課程修了．同年山口大学工学部助手，
2006 年講師となり，現在に至る．博士（工学）．ロ
ボットハンドやマイクロマニピュレーションなどの研究に従事．IEEE，日本機械学会などの会員．
（日本ロボット学会正会員）

江鐘偉（ZhongWei Jiang）

1958 年 9 月 21 日生．東北大学大学院博士後期課程修了．同年同大学工学部助手．1993 年同大学工学部助教授．1997 年米国州立ケンタッキー大学客員教授．1999 年山口大学工学部教授となり現在に至る．機械力学，メカトロニクスの研究に従事．工学
博士．日本機械学会，計測自動制御学会などの会員．

JRSJ Vol. 25 No. 4

吉 川 恒 夫

L：総接触点数（= ΣN．
i=1 Li ）D ：2/3 次元空間において 3/6．
d：2/3 次元空間において 2/3．
ΣR ：基準座標系．
ΣO ：対象物に固定された対象物座標系．
Cij ：i 番目の指の j 番目の接触点（j = 1, 2, · · · , Li ）．
ΣCij ：Cij に固定された座標系．
ΣFij ：Cij が存在する i 番目の指のリンク上に固定されら，式（B.8）より以下の関係を得る．

p = ¨r ,鐘 偉1968 年 9 月 28 日生．1997 年 3 月京都大学大学
院工学研究科機械工学専攻博士後期課程修了．博士（工学）．同年 4 月広島大学工学部助手，2002 年 4月独立行政法人産業技術総合研究所研究員．2005
年スタンフォード大学客員研究員．ヒューマノイド
ロボット，ロボットハンド，ロボットマニピュレー
タ等，ロボット機構の力学と制御に関する研究に興味を持つ．IEEE，
計測自動制御学会，日本機械学会などの会員．
（日本ロボット学会正会員）

吉川恒夫（Tsuneo Yoshikawa）
1941 年 12 月 19 日生．1969 年京都大学大学院工学研究科博士課程修了．同年同大学工学部助手．1970
年同大学工学部助教授．1986 年同大学工学部教授，
1994 年組織変更により同大学工学研究科教授，2005
年立命館大学情報理工学部教授（知能情報学科）となり現在に至る．ロボット工学，制御工学の研究に従事．工学博士．京都大学名誉教授．米国 IEEE 学会，日本ロボット学会，および日本機械学会のフェロー．計測自動制御学会，システム
制御情報学会，日本バーチャルリアリティ学会などの会員．
（日本ロボット学会正会員）—166—

May, 2007