水工学論文集,第56巻,2012年2月

混合砂礫河床変動モデルの構築と粗粒化・細粒化を伴う河床変動への適用
NUMERICAL MODEL FOR GRAVEL TRANSPORT AND ITS APPLICABILITY
TO BED DEGRADATION AND AGGRADATION WITH ARMOURING ANDDOWNSTREAM FINING
重枝未玲1・秋山壽一郎2・坂本 洋3
Mirei SHIGE-EDA, Juichiro AKIYAMA and Hiroshi SAKAMOTO
1正会員

博士（工）九州工業大学大学院准教授 工学研究院建設社会工学研究系（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）

2 フェロー会員 Ph.D. 九州工業大学大学院教授 工学研究院建設社会工学研究系（同上）3正会員（株）建設技術研究所 九州支社河川部 (〒810-0041 福岡市中央区大名2-4-12 CTI福岡ビル)
九州工業大学大学院 工学研究科建設社会工学専攻博士後期課程

Numerical model for gravel transport was developed. The model employs relation for hiding and bedload transport of mixtures of Ashida and Michiue (1972) and Wilcock and Croew (2003) and links grain
size distributions in the bed load, surface layer and subsurface with the gravel transfer function. The
model is also based on finite volume method using HLLC (Harten, Lax and van Leer(1983)) numericalflux. The model was applied to experimental data of a bed degradation and aggradation with armouring
and downstream fining. It shows that the model has ability to reproduce the process of bed degradation
and aggradation with aromouring and downstream fining, but the more improvement is needed to predict
reasonable accuracy.
Key Words : numerical model, gravel transport, gravel/sand grain size distributions

能を把握するためには，出水や河川改修が河床や河道に及ぼすインパクト，すなわち出水や河川改修によって生じる(1) 混合粒径河床での河床変動，(2) 出水時の流量，
近年，治水と環境とが調和した川づくりが求められて
河床勾配，構成する河床材料などに応じて生じる砂州のいる．河川の環境保全を目的に様々な河川で自然再生事
形成や発達，それに伴う流路の変動，(3)流砂の分級，
業1),2),3)が取り組まれており，このような河川の再自然化(4) 河岸侵食，さらには(5) 出水規模や履歴，河床材料のための考え方や適用例の取りまとめ4)も行われている． に応じた安定河床・河道の形成などの非常に複雑な一連河川の再自然化のためには，各河川が有する自立形成のプロセスを的確に評価できることが求められるが，上機能を把握し，その特性に応じて河道管理や環境保全対記の(1)～(5)の全てを満たすモデルは著者らの知る限り策を行う必要がある．河道形成流量と河床材料の代表粒存在しない．この要因の一つとして，混合河床を取り扱径と安定な河道断面形状の川幅，水深・河床勾配との関う上で最も基本となる粒径別の流砂の連続の式の離散化5),6),7)
2)
は，その評価方法の一つであり実務での検討 に係が挙げられる．例えば，最も単純な1次元モデルであっ用いられつつある．
ても常・射混在流下では粒度比率の総和が1とならない
このような経験式に加え，評価に有用な様々な数値モ
場合やアーマーコートの形成を伴う河床低下では粒度比デルが開発されている8),9),10),11),12)．代表的なモデルには，率が0～1の範囲に収まらないなどの問題が生じ，その抜
移動一般座標系を用いて流路の形状を追跡する平面2次
本的な解決方法がないのが実状である13)．
8)
元解析モデル や，斜面崩落モデルを導入し河床と河岸本研究は，以上のような背景を踏まえ，上記の(1)～の侵食を一連のプロセスとして取り扱う平面2次元解析(5)の全てを満たし，河川の自立形成機能を生かした川づ
モデル9)，石礫河川を対象とした平面2次元河床変動モデくりに有用な情報を提供できる平面2次元混合砂礫河
ル10) ，非平衡流砂量式11)や準3次元モデル12)を用いた河床・流路変動モデルの構築を最終的な目標にしている．
ここでは，その第一歩として，混合砂礫河川を対象に，
床変動モデル，などがある．各河川が有する自立形成機
１． はじめに

有限体積法と近似リーマン解法を用い，上記の(1)と(3)を満たす平面2次元河床変動モデルを新たに構築した．
次に，河床低下によるアーマリングや，常射流混在下での河床材料の細粒化を伴う河床上昇の実験結果に適用し，その予測精度を検証した．

粒度比率
pBj(x,y,t)Fj(x,y,t)fIj(x,t)Fbj (x,y,t)

v
qBj

u

h
La

zb

貯留層

２．基礎方程式

yx

交換層

zb subDatum

図-1 流れと河床変動の定義図(1) 流れの基礎方程式
流れの基礎方程式は2次元浅水流方程式である．Uを保存量ベクトル，EとFをそれぞれx，y方向の流束ベク
トルおよびSを発生項・消滅項ベクトルとすると，連続の式とx，y方向の運動量保存の式は式(1)で表される．
U E F(1)

 S1  S2  0
t x y1TU  h uh vh  ; E   uh u 2 h  gh 2
2

T

1


F   vh uvh v 2 h  gh 2  ; S1  0  ghS 0 x2TS 2  0 ghS fx ghS fy 

T



F j



t

1  b  La

 F j  f Ij 

La 

t 

(8)

  q Bxj   q Byj   q BTx   q BTy  
 f Ij yy 
 x
 x

x，y方向の流砂量は，主流方向の全流砂量qBTと粒径別
流砂量qBiとを用いると式(9)のように表される．また，
全流砂量qBTと粒径別流砂量qBiには式(10)の関係がある．
(9)q Bxj  q Bj cos  ， q Byj  q Bj sin uvh  ;
q BTx  q BT cos ， q BTy  q BT sin 
cos   u

 ghS 0 y  ;u 2  v 2 ， sin   v

Tu2  v2

q BT   j 1 q Bj
N

(10)

ここに，N=粒径の分割数である．粒径別流砂量qBiの算
ここに，h=水深，u，v=x，y方向の流速，g=重力加速度， 定には，①遮蔽効果に修正エギアザロフ式を適用した芦田・道上16)の流砂量式と，②礫間に存在する砂の影響を
Sox ，Soy=x，y方向の地盤勾配，zb=河床高，Sfx ，Sfy=x，y考慮したWilcok and Crowe17) の流砂量式を用いた．芦方向の摩擦勾配である．河床および摩擦勾配はそれぞれ田・道上の粒径別流砂量式を式(11)に，Wilcok and Crowe
式(2)および(3)で計算される．
の流砂量式を式(12)に示す．
(2)
S 0 x   z b x ; S 0 y   z b y
①芦田・道上式(3)
S fx  1  2  u u 2  v 2 ; S fy  1  2  v u 2  v 2(11)
q Bj  F j  17  sgD 3j  *3 /j 2 1   *cj  * j 1  u *cj u * 1
ここに，=流速係数であり式(4)のKeulegan式14)を用いる．
 *cj
0.843D j Dsg 
D j Dsg  0.4


2
(4)
  2.5 ln 11 h k s  *scg log10 19 log10 19 D j Dsg  D j Dsg  0.4
ここに，ks=粗度高さであり，平坦床の場合は式(5)の関②Wilcok and Crowe式
係から求める．

0.002 7j.5
 j  1.35
u *3
(5)
k s  n k Ds 90
 G  i ; G  j   
q Bj  F j 
4
.
5
0.5
sg
 j  1.35
 141  0.894  j 
ここに，Ds90=河床表層の累加分率90%粒径である．また *sg
nk=係数(2~3.5)である．
D D b , b  0.67 1  exp1.5  D D  j(2) 混合砂礫河床変動の基礎方程式
混合砂礫河床の河床変動の基礎方程式は，全粒径と交換層の概念に基づく粒径別の流砂の連続の式15)であり，それぞれ式(6)と式(7)で表される．図-１に定義図を示す．
 q 
(6)
1  b  zb  q BTx   BTy  0txy q   q 
1  b  f Ij zb  La    La F j   Bjx  Bjy  0 (7)
t
t
x
y



 *ssgjsgj

 *ssg  0.021  0.015 exp 20 Fs  ， *sg  u*2 sgDsg

sg

(12)

ここに，Dj=交換層でのj番目の土砂の粒径，Dsg=交換層での平均粒径，*j=Djに対応する無次元掃流力，u*=摩擦速度(=(ghSf)0.5)，Sf=(Sfx2+Sfy2)0.5，*scg=Dsgに対応する限界
無次元掃流力，*ssg=礫間に存在する砂の影響を考慮した
refferenceシールズ数，Fs=交換層の砂の粒度比率である．
交換層厚Laは式(13)より算定する．
(13)
La  na D90

ここに，b=河床材料の空隙率，qBTx，qBTy= x，y方向の流ここにnaは係数である．交換層と貯留層との境界での粒砂量，j=j番目の土砂の粒径を表す添字，fIj=交換層と貯度比率fIjはHoey and Ferguson18)が提案する式(14)を用いた．
留層との境界での粒度比率，La=交換層の厚さ，Fj=交換zb t  0 Fbj  z z  z  L(14)
f Ij  層での粒度比率，qBTx，qBTy=x，y方向の全流砂量である．
zb t  0
 aF j  1  a  p Bj
式(6)と式(7)より，式(8)のような交換層での粒度比率Fj
ここにFb(z)=貯留層，pBj(=qBj/qBT)=流砂量の粒度比率であの時間変化に関する方程式が得られる．
b

a



1
る．式(14)では，掃流砂の粒度が河床上昇時に堆積層へ S L / R  u nL / R  S M n x  utL / R n y 
U *L / R  hL / R 
取り残される砂礫に及ぼす影響が考慮されており，その
S
S


M 
 L/R
影響は交換層と流砂量の粒度の重み係数a(=0~1)で表さ S M n y  utL / R n x れる．Toro-Escobar et. al.の研究19)によればa≒0.3である
ここに，un=unx+vny，ut=-uny+vnx である．式(18)中の SLことが分っている．なお，a=1の場合，堆積層へ取り残と SR は，セル境界線の L 側と R 側，SM はそれらの中間される砂礫は交換層の粒度となり平野15)の式と一致する． の特性速度あり，それぞれ式(19)で定義される．

u nR  2c R
if hL  0g h*  hL h*
S L   u nL 
if 0  hL  h*2 hL
if h*  hL
min u nL  c L ,U *  c* 

３． 数値モデルの概要

流れと混合砂礫河床変動の基礎方程式の離散化は，いずれも有限体積法(FVM) に基づき行った．計算領域を分割した微小領域セルiの検査体積iとし，式(1)，式(6)および式(8)を有限体積法に基づき離散化すると，それぞれ式(15)，式(16)および式(17)が得られる．なお，時間積
分にはEulerの陽解法を用いた．
t N
F *  n dL  t S  S dV (15)U t 1  U t iiAi k 1

n

k

Ai V

k

1

2

1 t N * q BT  n k dLk
1  b Ai k 11
t
F jit 1  F jit 1  b Lai Aiz bit 1  z bit 



N
 N *

*
 n k dLk    q BFj  n k dLk  f Iji  q BFTk 1
 k 1Lai
1F ji  f Iji  t
Lai
t









(16)

(17)

ここに，Ui=セル i での U の平均値，Ai=セル i の面積，t=時間に対する添字，k=セル i を構成するセル境界線に対する添字，Ne=セルを構成するセル境界線の総数，t=
時間の刻み幅，Lk=k 番目のセル境界線の長さ，(Fn・n)*k=k 番目のセル境界線を流入出する流れの数値流束，
S2i=セル i での S2 の平均値，zbi=セル i での河床高，(qBT・n)*k = k 番目のセル境界線を流入出する河床変動の数値流束，Fji=セル i での交換層での粒度比率，Lai=セル
i での交換層厚，fIj=セル i での交換層と貯留層との境界での粒度比率，(qBFT・n)*k = k 番目のセル境界線を流入
出する粒度比率の数値流束，(qBFj・n)*k = k 番目のセル
境界線を流入出する粒径 j の土砂の粒度比率の数値流束である．なお，式(17)中の∂Lai/∂t・t は，時間変化量は
大きくは変化しないと考え，一つ前の時間の交換層厚の変化量 Lait-Lait-1 を用いた．
流れの数値流束(Fn・n)*k には，近似リーマン解法の一
つで HLL(Harten, Lax and van Leer)の数値流束より数値拡散が小さい HLLC(Harten, Lax,van Leer Contact)20)を用いた．HLLC の数値流束は式(18)で表される．
 Fn  n LF  n  n*L
Fn*  n  



F
n
*R
 n
 Fn  n R

if S L  0
if S L  0  S M
if S M  0  S R
if S R  0Fn  n*L  Fn  nL  S L U *L  U L 
Fn  n*R  Fn  nR  S R U *R  U R 

(18)

(19)

u nL  2c L
if hR  0g h*  hR h*
S R   u nR 
if 0  hR  h
2hRmaxu nR  c R ,U *  c*  if h*  hR
SM  U*

また，c=(gh)0.5であり，U*およびh*は，式(20)で求める．
(20)
U *  u nL  u nR  2  c L  c R

h*  2c L  c R   u nL  u nR  16 g
空間微分を含む発生項ベクトル S1 については，数値流束と同様に特性速度に基づき風上化 20)を行い，式(21)のように離散化を行った．
t
t N
(21)
  S1dV    S1*n  nk dLk
Ai V
Ai k 1
2

ここに，S1n*・n は発生項ベクトル対応する数値流束であり，式(22)〜式(24)で表される．
・SL≧0 の場合：
(22)
S1*n  n L  0
S1*n  nR  g  hL 2 hR  S1  nR  S1  nL 
・SL<0<SR の場合：
S1*n  nL   S SL S  g  hL 2 hR  S1  nR  S1  nL 

R
L  
S1*n  nR  S SR S  g  hL 2 hR  S1  nR  S1  nL  (23)

R
L  
・SR≦0 の場合：
S1*n  nL  g  hL 2 hR  S1  nR  S1  nL  (24)
S1*n  nR  0
ここに，S1n*・n = (0，zbnx，zbny)T である．消滅項ベクト
ル S2 については，計算セルの重心で定義される保存量
U に基づき計算を行う．
河床変動の数値流束(qBT・n)*k と粒度比率の数値流束(qBFT・n)*k，(qBFj・n)*k にはそれぞれ式(25)と式(26)，式(27)を用いた．式(25)と(26)は式(6)の左辺第 2，3 項と式(8)中の右辺第 3，4 項を離散化するための数値流束であるので一致したものを用いることが妥当であるが，その場合，新しい時間ステップの粒度比率 Fj がΣFj=1 や 0≦Fj≦1 が満たされないなどの問題が生じ，各粒度比率の再配分，時間ステップの修正などを行うなど，最終的には何らかの処理が必要になる．本研究では，これらを避けるために，各微分方程式が双曲型の偏微分方程式であることを踏まえ式(25)~式(27)の数値流束を用いた．より一般的な粒度比率と河床高の影響を考慮した数値流束のあり方については今後の課題としたい．
N

*
*
q BT
 n   q Bj
n

(25)

j 1



q BjnR  q BjnL*zbR  zbL 
q Bj
 n  0.5q BjnL  q BjnR   0.5
z
z

bR
bL


N

*
*
q BFT
 n   q BFj
n

河床上昇

t秒の河床
zb

交換層

fIj

zb-La
Δt秒後

貯留層

zb

河床低下

zb-La
線形補間
Δt秒後
線形補間

zb
zb-La
Fbj(z-La)Fbj(z)

線形補間
基岩層

(26)

i

i
i
等間隔に格子の再配列

図-2 貯留層での粒度比率Fbj(z)の取り扱い

j 1



q BjnR  q BjnL*F jR  F jL  (27)q BFj
 n  0.5q BjnL  q BjnR   0.5
F jR  F jL

ここに，qBjn=qBjx・nx+qBjy・ny である．
貯留層での粒度比率 Fbj(z)については，図-2 に示すように貯留槽と基岩層との間を M 個のソロバン格子 21)で分割し，各格子点での粒度比率 Fb を次のように求めた．
ただし，ソロバン格子の格子点の再配置については，各格子幅が等間隔となるように行った．
① 貯留槽の最上面の座標を zt+1=zb t+1-La t+1 に更新する．
② zt+1=zb t+1-La t+1 での粒度比率を更新する．
③ 河床が上昇する場合：Fbj(z) =fIj
④ 河床が低下する場合：Fbj(z) = Fbj(zb t+1-La t+1)
⑤ zt+1 と基岩層(zbase)との距離から等間隔になるよう格子間距離 dz を求める．
⑥ dz を用いて格子を再配置する．zt+1 と基岩層(zbase)との間の格子点については，z 軸方向に時間 t の Fbj(z)を用いて線形補間することで Fbjt+1(z)に更新する．
計算セルには三角形(Ne=3)の非構造格子を用いた．また，時間の刻み幅は，クーラン型の安定条件と消滅項を考慮した安定条件を用いた 22)．

図-3 実験で用いた粒度分布と解析結果

は上流端に流砂量0(m3/s)を，下流端には河床高を与えた．
計算にはパラメータna，b，nk，aの値が必要となる．
それぞれのパラメータを変化させ感度解析を行った結果，
AM-model ， WC-model で は na=1.0 ， b=0.4 ， nk=3.5 ，
a=0.28，AMH-modelではna=3.5，b=0.4，nk=3.5，a=1.0の場合に実測結果との整合性が高いことが確認された．一方，WC-modelではパラメータを変化させても河床低下の経過時間変化を再現することがはできず，いずれも定
性的には後述する結果と同様な結果となった．
図-4は，上流端から7(m)，10(m)，13(m)地点での河床低下量の経時変化について，解析結果と実験値を示したものである．実験値では(1) 0~100分では河床が低下し，(2) その割は徐々に低下し，100分以降はぼ0となり，河床がarmouringされるプロセスが確認できる．AMと４． モデルの適用
AMH-modelでは実験で観測されたプロセスを的確にとらえており，河床低下を十分な精度で再現していることがわかる．一方，WC-modelではAM-modelに比べ河床低本モデルを①粗粒化を伴う河床低下23)および②細粒化
24)
下に長い時間が必要であり，このようなプロセスは再現を伴う河床上昇の実験 に適用し，その基本性能の検証
16)
できはいないが，時間の経過とともに河床高は実験値にを行った．解析は，流砂量式に芦田・道上式 を用いた
17)
近づくことがわかる．
AM-modelとWilcok and Crowe式 を用いたWC-modelに
図-3は，通水600分後の粒度分布の解析結果と実験値
加え，従来のモデルとの比較を目的に，流砂量式に芦16)との比較を示したものである．これより，(1) AM，田・道上式 ，交換層と貯留層との境界での粒度比率fIj
15)に平野 の式(式(14)でa=1)を用いたAMH-modelで行った． AMH，WC-modelのいずれも粗粒子成分の粒度比率は再現していること，(2) WC-modelでは，上述のように河床23)低下プロセスを再現できないために，実験値よりも河床(1) 粗粒化を伴う河床低下の実験 への適用
材料の粒径が細かく予測されること， (3) 一方，AMと実験は，幅0.8(m)，長さ20(m)，初期の河床勾配1/100
AMH-modelについては分布は概ね再現しており，特に，の直線水路で行われており，河床には図-3に示す粒度分
AM-modelは，AMH-modelに比べ細粒子成分までも適切布を持つ混合砂礫が敷き詰められている．上流端からは3に評価していること，などが確認できる．このように，
流量Q=0.0314(m /s)の水を流入させ，armouringを伴う河AM-modelであれば適切なパラメータ値を用いることで，床低下を生じさせている．測定項目は水位，河床高およ
河床低下によるarmouringを適切に再現できることが確認
び粒度分布である．
された．なお，いずれのモデルも粒度比率が0～1の範囲
解析領域を160個の三角セルで分割し，流れの上下流に収まらないなどの問題は発生しなかった．
端の境界条件には流量と水位を，河床変動の境界条件に

図-4 河床低下量の経過時変化(左：AM-model，中：AMH-Model，右:WC-model)(2) 細粒化を伴う河床上昇の実験24)への適用
本モデルをRun1の実験に適用した．実験は幅0.305(m)，長さ50(m)，初期の河床勾配1/500のコンクリート製の直線水路で行われている．上流端から流量Q=0.049(m3/s)の
水と図-5に示す粒度分布を持つ混合砂礫が11.3(kg/min)
で給砂されており，下流端は水位が0.4(m)の一定値となっている．測定項目は水位，河床高，粒度分布である．
解析領域を224個の三角セルで分割し，流れの上下流
図-5 実験と解析の粒度分布
端の境界条件には流量と水位を，河床変動の境界条件にともに河床高を再現できたと考えられる．一方で，aをは上流端に流砂量を，下流端には河床高を与えた．パラ
変化させることで粒度分布の予測精度が変化することをメータ値はna=1.0，b=0.3，nk=2.0，a=0.3を用いた． な踏まえると， aは流れ，掃流砂の粒度や河床の状態など
お，AMH-modelでは計算終了時間まで計算を継続がでによって変化すると考えられる．そのため，aを一定値きなかった．AMとWC-modelで安定した計算が行えたことした本モデルでは粒度分布に誤差が生じたと考えられとを踏まえると，これはAMH-modelが貯留層に堆積する．この詳細については今後の課題としたい．
る砂礫を適切に評価できなかったためと考えられる．以下ではAMとWC-modelの結果のみを示す．
５． おわりに
図-6は，各時間での河床高縦断図と通水開始から5~10
時間の間で観測された表層(交換層)での10%，30%，
50%，70%，90%粒径D10，D30，D50，D70，D90の縦断変本研究では，有限体積法と近似リーマン解法を用いて，化の実験値と解析結果との比較を行ったものである．な
混合砂礫河川を対象とした平面2次元河床変動モデルを
お，粒径の解析結果については通水から10時間後の結果
新たに構築し，河床低下によるarmouringや，常射流混在を示している．これより，(1) いずれのモデルも堆砂フ
下での河床材料の細粒化を伴う河床上昇の実験結果に適ロントが進行するプロセスや流下とともに細粒化するプ用し，その予測精度を検証した．その結果，本モデルは，ロセスを再現していること，(2) 水面形から明らかなよ従来のモデルに比べ高い精度で，同現象を再現すること
うに跳水が発生しているにもかかわらず，安定した計算ができるが，交換層と貯留層での粒度比率の求め方に課が行えていること，(3) いずれのモデルも流入部付近と題が残ることがわかった．今後はこの点について改善しフロント部分で差異はあるが，河床高の実験結果を概ねたいと考えている．
再現していること，(4) 一方で，粒径の縦断変化については，D90の縦断変化は再現しているものの，D30～D70に
謝辞：本研究は科学研究費補助金若手研究B(課題番号：
ついては過大評価していること，などがわかる．このよ
21760388，研究代表者：重枝未玲)の助成を受け実施しうな誤差が生じた理由を以下で考察する．
たものである．本研究を遂行するに当り，本学学部4年
図-7はWC-modelで数a=0.5とした場合の河床高縦断図
生上田達郎君にはデータ整理等で多大な協力を得た．こと表層でのD10，D30，D50，D70，D90の縦断変化である．
こに記して感謝の意を表します．
これより，a=0.3の結果に比べ，(1)上流側で河床高は小さく，堆砂フロントの進行も早く評価され予測精度が低
参考文献
下していること，(2)一方で粒径の縦断変化はD90の再現
1) 長谷川和義，藤田将輝，渡邊康玄，桑村貴志：標津川旧蛇精度は劣るものの，他の粒度の縦断変化については再現
行通水時の堰をともなう分岐流量配分比に関する研究，水性が改善されること，などが確認できる．係数aは掃流
工学論文集，第47巻，pp.529-534，2003．
砂の粒度が河床上昇時に堆積層へ取り残される砂礫に及
2) 大賀洋一，森脇孝弘，桝井芳樹，福岡捷二：江の川上流部
ぼす影響の度合いを表わすパラメータであり，その総合における治水と環境とが調和した河道断面形に関する評価，的な影響は河床高に表れると考えられる．従って，
河川技術論文集，第17巻，pp.137-142，2011．
19)
Toro-Escobar et. al. のa≒0.3を用いることで，両モデル
3) 松田浩一，須藤達美，内堀寿美男，大島秀則，清水義彦，

(a) 河床高(左：AM-model，右:WC-model)(b) 粒径(左：AM-model，右:WC-model)
図-6 河床と粒径の縦断変化(a=0.3)
藤堂正樹：固定化砂州での掘削路開削による洪水撹乱の誘(b) 粒径(WC-model)
図-7 河床と粒径の縦断変化(a=0.5)
National Bureau of Standards Research papaer, RP 1151,

発と樹林化抑制対策に関する研究（その2），河川技術論

Washington, D.C., 1938.

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5)

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Physical basis for quasi-universal relations describing bankfull
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6)(a) 河床高(WC-model)

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16) 芦田和男，道上正規：移動床流れの抵抗と掃流砂量に関する基礎的研究，土木学会論文報告集，第206号，pp.59-69，1972．

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8)9)

downstream fining by selective transport in gravel bed rivers:

例えば，清水康行：河道平面形状の形成における河床・河19) Toro-Escobar, C. M., Parker, G., and Paola, C.: Transfer function
for the deposition of poorly sorted gravel in response to streambed

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水路の河床変動及ひ分級現象に及ほす二次流の影響，水工

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14) Kulegan, G. H.: Laws of turbulent flow in open channels,（2011.9.30受付）