Fock space representations of twisted aﬃne Lie algebras
東北大学理学部数学教室

黒木玄(Gen Kuroki)

0. 序論
Aﬃne Lie algebra の Fock space representations は、最初に、N. Wakimoto [W] によっ(1)て g(A1 ) の場合が構成された。この表現の面白い応用の一つは、P. Christe と R. Flümeによる [CF] における g = sl2 に対する Knizhinik-Zamolodchikov equations (以下、KZeqations と略) の解の積分表示式の構成であろう。Fock space representations の立場から見ると、A. V. Marshakov [Mar] が構成した screening operator を用いることによって、[CF] の結果の一般化が全て機械的に得られるのである。さらには、B. Feigin と E. Frenkel
による一連のすばらしい研究 [FeFr1,2] によって、任意の non-twisted aﬃne Lie algebraの Fock space representations および screening operators の構成の仕方が明らかにされた。Kuroki [Kur] においては、任意の non-twisted aﬃne Lie algebra に対する screeningoperators を構成することによって、KZ equations に対する積分表示式の証明が得られている。この論説では、twisted の場合も含めた任意の aﬃne Lie algebra の Fock spacerepresentations の構成について解説する。
1. 諸定義と記号の準備
1.1. g は C 上の simple Lie algebra であるとし、g の三角分解 g = n− ⊕ h ⊕ n+ を固定する。ここで、h は g の Cartan subalgebra であり、n± は g の maximal nilpotentsubalgebras である。σ は ﬁnite order N を持つ g の diagram automorphism⊕Nであると−1する。N は 1, 2, 3 のいずれかになる。σ に関する g の固有空間分解を g = i=0 gi と書く。ここで、√gi := {X ∈ g | σ(X) = exp( 2π N−1 i)X} for i ∈ Zとおいた。g の任意の subspace V に対して、Vi := V ∩gi とおく。例えば、n±,i = n± ∩gi ,hi = h ∩ gi である。このとき、g0 は simple Lie algebra になり、h0 は g0 の Cartan
subalgebra になることが知られている。対 (g, σ) に付随する aﬃne Lie algebra bg を定義しよう。N = 1 のとき non-twisted aﬃne Lie algebra と呼び、N = 2, 3 のとき twistedaﬃne Lie algebra と呼ぶ。Ki := ti/N C[t, t−1 ] とおく。Loop algebra g ⊗ C[t1/N , t−1/N ]の subalgebra Lg を次のように定める:

Lg :=N⊕−1gi ⊗ Ki .

i=0より一般に、σ で保たれる g の subalgebra a に対して、Lg の subalgebra La を La :=⊕N −1dg は Lg に derivation d = t dtを付け加えて中心拡大したもの
i=0 ai ⊗ Ki と定める。bとして定義される。すなわち、vector space として bg は、

bg := Lg ⊕ CK ⊕ Cdと定義され、Lie algebra structure は以下によって定義される:[X ⊗ tm , Y ⊗ tn ] := [X, Y ] ⊗ tm+n + (X|Y )mδm+n,0 K,[d, X ⊗ tm ] = mX ⊗ tm ,K ∈ center of bg.
1

ここで、(.|.) は次によって定められた g の non-degenerate invariant symmetric bilinear
form であるとする:

traceg (ad X ad Y ) = 2g ∗ (X|Y ) for X, Y ∈ g.
ただし、g ∗ は g の dual Coxeter number である。このとき、V. G. Kac の教科書 [Kac](N)などで知られているように、g を Xr 型の simple Lie algebra としたとき、bg は Xr 型の Kac-Moody Lie algebra に同型になる。この論説の目標は、boson による bg の Fockspace representations を構成することである。

1.2. b− := n− ⊕ h とおく。b− は g の Borel subalgebra である。G は Lie algebra gを持つ connected and simply connected な algebraic Lie group であるとし、B− , U+はそれぞれ b− , n+ に対応する G の Lie subgroups であるとする。g の ﬂag variety Fを F := B− \G と定め、F の原点 o を o := B− mod B− と定める。このとき、o U+ はF の Zariski open cell になり、right U+ -space として U+ と同型になる。さらに、U+は exponential map を通じて、n+ と algebraic variety として同型になる。λ は h のdual space の要素とし、λ を b− 上に trivial に拡張しておく。すなわち、λ は b− の Lie
algebra character であるとする。B− U+ の structure ring C[B− U+ ] に対する g の作用
L, R を次のように定義する:
df (exp(−sX)g)
ds s=0d(R(X)f )(g) :=f (g exp(sX)) for g ∈ B− U+ and X ∈ g.
ds s=0(L(X)f )(g) :=この準備のもとで、Mλ∗ をMλ∗ := {f ∈ C[B− U+ ] | L(Y )f = −λ(Y )f for Y ∈ b− }と定めると、X ∈ g に対して R(X) は Mλ∗ に作用し、その作用によって Mλ∗ は left
g-module をなす。g の Mλ∗ への作用を Rλ と書くことにする。Mλ∗ に属す函数で U+ 上一定の値 1 をとるものを vλ と書くと、vλ は weight λ の highest weight vector になる。さらに、定義より、Mλ∗ は vλ から生成される free C[o U+ ]-module をなすことがわかる。(実は Mλ∗ は lowest weight Verma module の dual に同型になることが簡単に示せる。) したがって、X ∈ g に対して Rλ (X) は、C[o U+ ] (≃ C[n+ ] これは多項式環に同型）に作用する多項式係数の 1 階の微分作用素とみなすことができる。bg の Fock space
representations は Rλ (X) の微分作用素としての表示を用いて構成される。

1.3. 任意の α ∈ h∗0 に対して、n+,i,α := {X ∈ n+.i,α | [H, X] = α(H)X for H ∈ h0 } とおき、∆+,i := {α ∈ h∗0 | n+,i,α ̸= 0} とおく。このとき、α ∈ ∆+,i に対して dim n+,i,α = 1となることが知られているので、n+,i,α = Cei,α と書いて良い。このとき、{ei,α | i =0, · · · , N − 1 and α ∈ ∆+,i } は n+ の basis をなす。この basis によって n+ に座標系{xi,α } をN∑−1 ∑X=xi,α (X)ei,α for X ∈ n+i=0 α∈∆+,i2によって定める。同型 o U+ ∼= U+ ∼= n+ によって、o U+ に座標系 {xi,α } が入る。この座標系のもとで、X ∈ g に対して、Rλ (X) は次の様に表わされる:Rλ (X) =∑Ri,α (X; x)i,α∑∂+ ρi,a (X; x)λ(Hi,a ).
∂xi,α i,aN∑−1∑ ∑は、それぞれ、
ただし、{Hi,a | a = 1, · · · , dim hi } は hi の basis であり、 ,i,α i,aN∑−1 dim∑hi
i=0∑,i=0 α∈∆+,iの略記号である。そして、R(X, x)i,α , ρ(X; x)i,a は、λ によらない x = {xi,α }

a=1の多項式になる。

2. ボゾンとそのフォック表現
2.1. 以下において、κ ∈ C を固定して話を進める。κ = 0 の場合が level −g ∗ (=−dual Coxeter number) の場合に対応する。C 上の associative algebra A を以下の条
件によって定める:(1) A は次の集合から生成される:A := {xi,α [−m], δi,α [m], pi,a [m] |i = 0, · · · , N, α ∈ ∆+,i , a = 1, · · · , dim hi , m ∈ Z + Ni }.
(2) A は A から生成される tensor algebra を以下の commutation relataions で割ったものに等しい:[]
δi,α [m], xj,β [n] = δi,j δα,β δm+n,0 ,[]pi,a [m], pj,b [n] = κ(Hi,a |Hj,b )mδm+n,0 ,(他の組み合わせの commutator) = 0.
O によって、xi,α [m] の全体から生成される A の subalgebra を表わす。
Remark. κ ̸= 0 のとき A の center は {p0,a [0] | a = 1, · · · , dim h0 } から生成されるが、
κ = 0 のときは A の center は大きくなって pi,a [m] の全体から生成される。
2.2. A の三角分解を定義しよう。A の subsets A± , A0 を次のように定める:
A+ := {xi,α [m], δi,α [n], pi,a [m] ∈ A | m > 0, n ≥ 0},
A− := {xi,α [m], δi,α [n], pi,a [n] ∈ A | m ≤ 0, n < 0},
A0 := {p0,a [0] | a = 1, · · · , dim h0 }.
A± , A0 から生成される A の subalgebras をそれぞれ A± , A0 と書く。これらは、それぞれ A± , A0 から生成される多項式環に同型であるから、A− ⊗ A0 ⊗ A+ は、A から生成される多項式環 C[A] に自然に同型である。そして、以下の写像は vector spaces の間の同型写像である:
A− ⊗ A0 ⊗ A+ −→ A,a− ⊗ a0 ⊗ a+ 7→ a− a0 a+ .

これらの写像を合成してできる C[A] から A への vector spaces としての同型写像を. .
normal product と呼び、a ∈ C[A] に対応する A の要素を . a. と表わす。

3

2.3. λ ∈ h∗0 に対して、Iλ は A+ と {p0,a − λ(H0,a )1 | a = 1, · · · , dim h0 } から生成される A の left ideal であるとする。A の highest weight λ の Fock representation はFλ := A/Iλ によって定義される。1 mod Iλ を |λ⟩ と書くと、定義より、
Fλ = A|λ⟩,A+ |λ⟩ = 0,p0,a [0]|λ⟩ = λ(H0,a )|λ⟩が成立する。

2.4. A に作用する derivation Θ を a = xi,α , δi,α , pi,a に対して、Θa[m] := ma[m] と定める。
⊕ Θ は xi,α [m] 達から生成される A の subalgebra O を保つ。A の gradation
A=
1 A[m] をm∈ N Z

A[m] := {a ∈ A | Θa = ma}

によって定める。一般に、A の任意の subspace V に対して、V [m] := V ∩ A[m] と書くことにする。A[m] の ﬁltration を⊕An [m] :=A− [m − l]A0 A+ [l] for n ∈ N1 Zl≥nc[m] と書く:
によって定め、この ﬁltration による completion を Ac[m] := proj lim A[m]/An [m].
An−→∞⊕c :=cc
このとき、Am A [m] は A を dense に含み、A の algebra structure は A 上に連c[θ] によって、Ac と θ から生成される tensor algebra を以続的に一意に拡張される。A
下の commutation relation で割ったものを表わす:[θ, a] = mac[m].
for a ∈ Ac 上連続的に一意に拡張される。ただし、Fλ には離散位相を入A の Fλ への作用は、Ac の作用のAc[θ] の上への拡張れておくことにする。任意の c ∈ C に対して、Fλ への Ac[θ]-moduleでθ|λ⟩ = c|λ⟩ を満たすものが唯一存在する。このとき、ξ = (λ, c) とおき、Ac の中でのとしての Fλ を Fξ と書き、highest weight vector |λ⟩ を |ξ⟩ と書く。O の Ab と表わす。あとで、Ob に係数を持つ Lg ⊕ Cd の Lie algebra cohomology の解閉包を O
析が必要になる。
2.5. xi,α (z), δi,α (z), pi,a (z) を形式的に以下によって定める:∑xi,α (z) :=z −m xi,α [m],im∈Z− Nδi,α (z) :=∑z −m−1 δi,α [m],im∈Z+ Npi,a (z) :=∑z −m−1 pi,a [m].

im∈Z+ N

ここで、z は formal variable である。a1 , · · · , an が xi,α , δi,α , pi,a のいずれかを表わす.
.
とき、a(z) を形式的に a(z) := . a1 (z) · · · an (z). と定めると、a(z) を z について形式的c の要素として意味を持つ。に展開して得られる係数は A

43. フォック空間表現
3.1. ⊕
以下、N1 Z-gradation のことを、単に、gradation と呼ぶことにする。U =V = m V [m] は graded vector spaces であるとし、⊕m U [m],] C (U, V )[m] := {f ∈ HomC (U, V ) | f (U [n]) ⊆ V [m + n] for n ∈ 1 Z},
HomN⊕] C (U, V ) :=] C (U, V )[m]HomHomm⊕
とおく。a =は graded Lie algebra であるとし、V は graded a-module であm a[m]∧pe . , d) をるとする。外積空間
a には自然に gradation が入る。このとき、complex (C以下の様にして定めることができる:∧e p := Hom] C ( p a, V ),C(df )(l1 , · · · , lp+1 ) :=∑()(−1)i−1 li f (l1 , · · · , bli , · · · , lp+1 )1≤i≤p+1+∑(−1)i+j f ([li , lj ], l1 , · · · , bli , · · · , blj , · · · , lp+1 )1≤i<j≤p+1

e li ∈ a である。この complex の p-th coboundary, cocycle, cohomology
ここで、f ∈ C,e p (a, V ), Zep (a, V ), He p (a, V ) と書くことにする。
groups をそれぞれBe p を C p := HomC (∧p a, V ) で置き換えると、これは、通常の Lie algebra
Remark.
Ccohomology の定義と一致する。
e3.2. X ∈ gi に対する X(z)を、Rλ (X) の中の xi,α , ∂x∂i,α , λ(Hi,a ) にそれぞれ xi,α (z),δi,α (z), λ(Hi,a )(z) を代入し、normal product をとることによって定義する:
∑.
.
. ∑.
eX(z)
:= . Ri,α (X; x(z))δi,α (z). + . ρi,a (X; x(z))pi,a (z). .
i,ai,αec[θ] への linear map πX(z)の z に関する展開を利用して、Lg から Ae を次の条件によってに定める:∑eX(z)=z −m−1 πe(X ⊗ tm ) for X ∈ gi .
im∈Z+ Nさらに、πe を Cd 上に πe(d) := θ と拡張しておく。ω を次のように定める:

ω(a, b) := [eπ (a), πe(b)] − πe([a, b]) for a, b ∈ Lg ⊕ Cd.
(注意: ここで、bracket 積 [a,b] は loop algebra の bracket 積である。) このとき、b が成立することが Wick の定理から導かれる。しa, b ∈ Lg ⊕ Cd に対してω(a, b) ∈ Ob への作用を、b 7→ [a, b] (a ∈ Lg ⊕ Cd, b ∈ Ob)
たがって、Lie algebra Lg ⊕ Cd のO
b を (Lg ⊕ Cd)-module とみなすと、によって定めることができる。この作用によってOb ) が成立することがわかる。
ω ∈ Ze2 (Lg ⊕ Cd, O5

3.3. ここで、Fock space representations の構成に必要な lemmas を証明抜きにまとめ
e2 (Lg ⊕ Cd, Ob ) を次の様に定義する:ておこう。標準的な 2-cocycle c2 ∈ Zc2 (X ⊗ tm , Y ⊗ tn ) := (κ − g ∗ )(X|Y )mδm+n,0 ,c2 (d, X ⊗ tm ) := 0.
このとき、X ∈ b+ に対する Rλ (X) の形を調べることによって、次を示すことができる。

Lemma 1.

ω と c2 は∧2(Lb+ ⊕ Cd) の上で一致する。

さらに、Lie algebra cohomology に関して次が成立する。

Lemma 2.

b → C は次の同型を induce する:
自然な写像 Lh → Lb+ → Lg とO
e p (Lg ⊕ Cd, Ob)≃He p (Lb+ ⊕ Cd, Ob)≃He p (Lh ⊕ Cd, C).
Hc[θ] の algebra automorphism τξ を次によって定めることがξ ∈ (h0 ⊕ Cd)∗ に対して、Aできる:
p0,a [0] 7→ p0,a [0] + ξ(H0,a ), θ 7→ θ + ξ(d).
b ) および次が成立する:
このとき、fξ := τξ ◦ πe−πe とおくと、fξ ∈ Ze1 (Lg ⊕ Cd, Ofξ (l)= ξ(l)for l ∈ h0 ⊕ Cd = h0 ⊗ 1 ⊕ Cd,fξ (l)

for l ∈ (Lb+ ⊕ Cd)′ .

=0

ここで、Lie algebra a に対して、その derived subalgebra [a, a] を a′ と書いた。(Lb+ ⊕Cd)/(Lb+ ⊕ Cd)′ ≃ h0 ⊕ Cd となることに注意せよ。fξ の Lb+ ⊕ Cd 上への制限を gξ
e 1 (Lg ⊕ Cd, Ob ), He 1 (Lb+ ⊕ Cd, Ob ) に属す fξ , gξ が定める cohomology classesと書き、Hをそれぞれ [fξ ], [gξ ] と書くことにする。

Lemma 3.

e 1 (Lg ⊕ Cd, Ob ) への同型写像を定める。
ξ 7→ [fξ ] は (h0 ⊕ Cd)∗ から H

Lemma 4.

e 1 (Lb+ ⊕ Cd, Ob ) への同型写像を定める。
ξ 7→ [gξ ] は (h0 ⊕ Cd)∗ から H

Lemma 5.

e 0 (Ln+ , Ob)=Ob Ln+ = C.
H6

3.4. 次の定理が基本的である。
Theorem.
(*)(**)

b ) が唯一存在する:] C (Lg ⊕ Cd, O
以下の 2 つの条件をみたすようなΓ ∈ Homc2 = ω + dΓ,Γ = 0 on Lb+ ⊕ Cd.

e 2 (Lg ⊕ Cd, Ob ) の中で同じ cohoProof. Existence. Lemmas 1, 2 より、ω と c2 は He ∈ Homb ) が存在し] C (Lg ⊕ Cd, Omology class を定めることがわかる。すなわち、ある Γ∧e が成立する。ところが、Lemma 1 と c2 の定義より、 2 (Lb+ ⊕ Cd) 上て、c2 = ω + dΓe = 0 であるから、Γe の ∧2 (Lb+ ⊕ Cd) の上への制限はZe1 (Lb+ ⊕ Cd, Ob ) に属す。
で dΓ∧
2b が存在して、 (Lb+ ⊕ Cd) 上
よって、Lemma 4 より、ある ξ ∈ (h0 ⊕ Cd)∗ と a ∈ Oe = gξ + da が成立する。このとき、Γ := Γe − fξ − da とおくと、Γ は (*) と (**) をでΓみたす。
b ) も (*), (**) と同様の条件をみたすと仮定する。
] C (Lg ⊕ Cd, OUniqueness. Γ′ ∈ Hom′u := Γ − Γ とおくと次が成立する: (i) du = 0, (ii) Lb+ ⊕ Cd 上で u = 0. この条件のもb が存在とで u = 0 を示せばよい。(i) と Lemma 3 より、ある ξ ∈ (h0 ⊕ Cd)∗ と a ∈ O
して、u = fξ + da が成立する。(ii) および Ln+ 上で fξ = 0 となることより、Ln+ 上でda = 0. よって、Lemma 5 より a ∈ C が出るから、da = 0. ゆえに、(ii) より、Lb+ ⊕ Cd
上で fξ = 0. このとき、ξ = 0 すなわち fξ = 0. これで、u = 0 が示せたことになる。
c[θ] を次のように定める:上の Theorem の Γ を用いて linear map π : bg→Aπ(l) := πe(l) + Γ(l)for l ∈ Lg ⊕ Cd,∗π(K) := κ − g .
このとき、(*) より、π は Lie algebra homomorphism をなすことがただちにわかる。この π を通して Fξ は left bg-module とみなせ、さらに、(**) より、Fξ は highest weight∗(κ − g , ξ) を持つことがわかる。この表現を bg の Fock space representation と呼ぶ。

Remark. Fξ の formal character は、bg の Verma module の formal character に等しい。κ = 0 のとき、bg の Fock space representations を pi,a [m] 抜きで構成することができ、pi,a [m] 抜きで構成された Fock space representations は Kac-Kazhdan conjecture の証明に役に立つ。

以下には、aﬃne Lie algebra の Fock space representation に関する文献と、それと関係の深い Wess-Zumino-Witten model における conformal block の積分表示に関係する文献を集めてある。

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