Gestion du niveau de la franchise d’uncontrat avec bonus-malus
Pierre THEROND & Stéphane BONCHE

SOMMAIRE
1. Réduction de franchise en l’absence desystème bonus-malus
A - Bonnes propriétés du modèle collectif
B - Diminution de franchise
2. Systèmes bonus-malus
A - Modélisation en chaîne de Markov
B - Franchise économique
3. Réduction de franchise dans un SBM
A - Point de vue de l’assuré
B - Application à un portefeuille1. Réduction de franchise en l’absence de systèmebonus-malus
Contexte
Contrat ne faisant pas l'objet d'une personalisation a posteriori du tarif
fondée sur la sinistralité individuelle des assurés.
→ la prime que paie l'assuré est identique à celle des assurésappartenant à la même classe de risque ; elle n'est pas révisée en
fonction de sa propre sinistralité.
Dans ce cadre, nous supposerons que tous les sinistres dont lemontant est supérieur à la franchise sont déclarés (il n'est pas
rationnel de ne pas déclarer de tels sinistres car cela n'engendre
pas d'augmentation de la prime future).

1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Bonnes propriétés du modèle collectif (1/3)
En l’absence de franchise, le montant à la charge de l’assureur vaut :Hypothèses classiques du modèle collectif :–les N, X1, X2, … sont mutuellement indépendantes,–
les X1, X2, … sont identiquement distribuées de f.r. F.
La loi de S est donnée par :1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Bonnes propriétés du modèle collectif (2/3)
En présence d’une franchise de montant d, la charge de l’assureur
vaut :

où :––avec1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Bonnes propriétés du modèle collectif (3/3)–

Loi de Nd :–Loi de dX :⇒ la loi de Sd est donnée par :⇒ les hypothèses du modèle collectif sont conservées malgré
l’introduction d’une franchise.

1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Diminution de franchise (1/5)
La diminution de franchise (de d à δ < d) entraîne une augmentationde la prime pure qui peut se décomposer en deux effets :––l’augmentation de d - δ de la charge pour les sinistres qu’il
payait déjà,
le prise en charge des sinistres dont le montant est compris
entre δ et d.

Formellement :1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Diminution de franchise (2/5)
En pratique, on ne dispose pas d’information sur les sinistres dont lemontant est compris entre δ et d, on ne connaît ni leur coûtmoyen, ni (surtout) leur nombre.
⇒ Solution pratique : faire un hypothèse paramétrique sur la
distribution des sinistres qui dépassent d puis estimer lesparamètres de la loi tronquée en deçà de d.
⇒ Quelle loi utiliser ?

1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Diminution de franchise (3/5)

1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Diminution de franchise (4/5)

1. Réduction de franchise en l’absence de système
bonus-malus
A - Diminution de franchise (5/5)

2. Systèmes bonus-malus
Contexte
En présence d’un SBM, tous les sinistres supérieurs à la franchise ne
sont pas déclarés : les assurés ne déclarent pas les sinistres lesplus petits pour ne pas recevoir de malus (soif de bonus).
Dans un contexte de réduction de franchise, ces sinistres doivent êtremodélisés :certains sinistres qui n’étaient pas déclarés ledeviendront.

2. Systèmes bonus-malus
A - Modélisation en chaîne de Markov
Le parcours d’un assuré dans un SBM à classes se décrit aisément àl’aide de la modélisation en chaîne de Markov.
Kelle [2000] propose une modélisation en chaîne de Markov du SBMfrançais.
Notons Pθ la matrice de transition décrivant le parcours dans l’échelle
d’un assuré de facteur de risque.

2. Systèmes bonus-malus
B - Franchise économique (1/5)
Un assuré ne déclarera un sinistre que si le montant de ce sinistre est
supérieur à une franchise économique qui est une combinaisonde :–la franchise contractuelle et,–de l’impact du malus engendré par la déclaration sur lesprimes futures.

2. Systèmes bonus-malus
B - Franchise économique (2/5)
Formellement

où :––

Πd correspond à la prime,
les rj sont les coef. de réduction/majoration des primes,–ξ est la période au bout de laquelle la distribution stationnaire est
atteinte (chaîne régulière),––^θ l’estimation faite par l’assuré de son propre facteur de risque,L1+ et L1- les degrés de l’échelle atteints selon s’il y a déclaration,–

ψk le facteur d’escompte de la prime à payer dans k années.

2. Systèmes bonus-malus
B - Franchise économique (3/5)
Cette expression est assez souple, en particulier :– deco admet un maximum pourqui correspond à la situation d’un assuré qui estime qu’il n’aura
pas de sinistre dans le futur et qui n’actualise pas les primesfutures.
– deco admet un minimum pourqui correspond à la situation d’un assuré qui ne raisonne que
sur la prime de l’année suivante.

2. Systèmes bonus-malus
B - Franchise économique (4/5)

2. Systèmes bonus-malus
B - Franchise économique (5/5)
L’assureur ne sait pas quelles estimations sont faites individuellement
par les assurés.
S’il dispose d’un nombre important de déclarations de sinistres dont
les montants sont compris entre d et decomax, il peut estimer ladistribution de Deco sur son portefeuille et en déduire celle de Θ.
Pour cela, il faut se donner une loi de la distribution des sinistressupérieurs à la franchise (déclarés ou pas) et regarder laprobabilité qu’un sinistre de montant d < x < decomax soit déclaré.
Le lien monotone entre θ et deco permet d’obtenir une estimation de ladistribution de Θ.

3. Réduction de franchise dans un SBM
A - Point de vue de l’assuréRéduire la franchise entraîne une réduction de la franchiseéconomique :Sous l’hypothèse que la prime reste constante, posons δ < d, on a :δeco - δ < deco - dcar θδ ≥ θd

3. Réduction de franchise dans un SBM
B - Application au portefeuille (1/3)
Récapitulatif de la procédure (1/2)

3. Réduction de franchise dans un SBM
B - Application au portefeuille (2/3)
Récapitulatif de la procédure (2/2)

3. Réduction de franchise dans un SBM
B - Application au portefeuille (3/3)
1.25

Augmentation de la prime pure

1.2

1.15

1.1

1.05

10

10

20

30
4050
Niveau de la nouvelle franchis e6070

Conclusion
A - Problèmes d’ordre technique posés par la réduction de franchise :•en l’absence de SBM : modélisation des données tronquées parla franchise actuelle.
•en présence de SBM :– modélisation des données partiellement tronquées par la soifde bonus (modélisation du comportement des assurés) ;– modélisation de la déformation de cette loi résultant de ladiminution de franchise.
B - Problème d’ordre social posé par la réduction de franchise :→ mesure qui ne profite qu’aux assurés qui ont des sinistres.

Biliographie (1/2)
Antal, P. (2003) Quantitative methods in reinsurance. Notes de cours,
ETH Zürich.
Bonche, S., Brau, L., Olympio, N. (2005) Decreasing the deductible inan automobile insurance policy. Mémoire de groupe de travail,ISFA.
Dempster, A., Laird, N., Rubin, D. (1977) « Maximum likelihood fromincomplete data via em algorithm (with discussion) ». Journal of theRoyal Statistical Society B 39, 1-38.
Denuit, M., Charpentier, A. (2005) Mathématiques de l'assurance nonvie. Vol. 2. Economica, Paris.
Holtan, J. (2000) Optimal loss financing under bonus-malus contracts.
ASTIN Bulletin 31 (1), 161-73.
Kelle, M. (2000) Modélisation du système bonus-malus français.
Bulletin français d'actuariat 7 (7), 61-82.

Biliographie (2/2)
Lemaire, J. (1977) La soif du bonus. ASTIN Bulletin 9, 181-90.
Lemaire, J. (1995) Bonus-malus systems in automobile insurance.
Kluwer Academic Publishers.
Partrat, C., Besson, J.-L. (2005) Assurance non-vie. Modélisation,simulation. Economica, Paris.
Planchet, F., Thérond, P.-E., Jacquemin, J. (2005) Modèles financiersen assurance - Analyses de risque dynamiques. Economica, Paris.
Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., Teugels, J. (1999) Stochastic
Processes for Insurance and Finance. Wiley, New York.
Ter Berg, P. (1994) Deductibles and the inverse gaussian distribution.
ASTIN Bulletin 24 (2), 319-23.
Wahlin, J.-F., Paris, J. (2000) The true claim amount and frequency
distributions within a bonus-malus system. ASTIN Bulletin 30 (2),391-403.

Contacts

Pierre THEROND

Stéphane BONCHE

ptherond@winter-associes.fr

stbonche@yahoo.fr

Article disponible sur :http://therond.pierre.free.fr/