APhO2002(Singapore)
理論第３問

ウェハー製作

ウェハー製作はシリコンからの半導体チップの生産に関連している。現代技術では 20以上の過程があるが，薄いフィルムの付着に限って考えてみよう。
ウェハー製作の過程において，いろいろな物質の薄いフィルムがシリコン・ウェハーの表面に付着する。付着過程の前，基盤表面は非常にきれいであるとする。酸素や他の元素の存在により汚染層が形成される。汚染層形成の割合は，基盤表面への気体分子衝突の割合で決まる。単位体積あたりの分子数をn とすると，基盤の単位面積あたりに衝突する気体分子の衝突の割合(単位時間あたりの衝突数)は，

1J = nv4…①で与えられる。ここで，v は，気体分子の平均の速さである。
(a) 気体分子がv とv + dv の間の速さをもつ割合(確率)をW (v )dv と書くと，それはマクス
ウェル・ボルツマン分布，⎛ M ⎞W (v ) = 4π ⎜⎟⎝ 2πRT ⎠3/ 2

v e2−Mv 22 RTにしたがうとする。ここで， M は気体１モルの質量， T は気体の絶対温度， R は気体定数である。このとき，気体分子の平均の速さは，v =∫∞vW (v )dv =08RTπMで与えられることを示せ。
(b) 圧力が低いとき，気体は理想気体とみなされるとして，気体分子の衝突の割合が，PJ=
2π mkTと表されることを示せ。ここで，P は気体の圧力，m は分子の質量，k はボルツマン定数である。
(c) 真空における酸素の残余圧力を133 Pa，酸素気体を近似的に半径 3.6 × 10 −10 m の球形として， 300 ℃において表面に酸素の１分子層を形成するのにどれだけの時間がかかるか概算せよ。その際，シリコン・ウェハー表面に衝突する酸素分子はすべて付着するとし，また，酸素分子は層状に並んで張り付くとする。
(d) 実際には酸素分子のすべてがシリコンと反応するわけではない。モデル化するには，反応分子は，反応前の活性化エネルギーより大きなエネルギーをもつ必要があることを考慮に入れねばならない。物理的には，この活性化エネルギーによって，シリコンと酸素分子間の新たな化学結合が作られる前に，シリコン原子間の結合が壊されるということを示している。反応に対する活性化エネルギーを1 eV として，再び，前問(c)の温度で酸素分子の１層が形成されるのにかかる時間を概算せよ。問(a)のように，気体の酸素分子にマクスウェル分布(図１)を仮定し，単位面積あたりで考えよ。
10.0014
0.0012W (v )

Prob0.001
0.00080.00060.00040.0002
00500

1000

1500
velocity, v2000

2500

3000

速度v〔ｍ /ｓ〕
図１(e) 石版(リトグラフ)製作の過程で，シリコン・ウェハーは，屈折率 μ = 1.40 の１層の透明ポリマー(フォト・レジスト)で一様にコーティングされる。このフォト・レジストの厚さを測定するために，ウェハーに波長 λ = 589 nm の平行な単色光を照射する。コーティング層に垂直入射させるとき，フォト・レジストのある最小の厚さ d で反射光の打ち消し合いが起こる。このとき， d ， μ と λ の間に成り立つ関係式を求めよ。また，与えられたデータを用いて d を計算せよ。ここで，シリコンの屈折率は 1.40 より大きいとし，多重反射は無視せよ。
以下のデータが与えられる：酸素１モルの質量は， 32 g/mol
ボルツマン定数は， k = 1.38 × 10 −23 J/K
アボガドロ数は， N A = 6.02 × 10 23 1/mol

積分公式：∫22 ⎛ 11x2 ⎞⎟x 3e −kx dx = − e −kx ⎜⎜ 2 +⎟2kk⎝⎠2APhO2002(Singapore)

理論第３問 【解答】ウェハー製作⎛ M ⎞(a) マクスウェル分布の確率密度関数W (v ) = 4π ⎜⎟⎝ 2πRT ⎠∫∞∫v = vW (v )dv =0⎛ M ⎞= 4π ⎜⎟⎝ 2πRT ⎠3/ 2∞⎛ M ⎞4π ⎜⎟⎝ 2πRT ⎠0∫∞v e3−3/ 2v e
3−3/ 2v e
2Mv 22 RT より，

Mv 22RT dv

M 2v
2 RT dv = 4⎛ M ⎞π⎜⎟⎝ 2πRT ⎠0−3/ 2⋅

4R 2T 2=2M 28RTπM(b) 圧 力 P ， 体 積 V ， 温 度 T の 理 想 気 体 の 全 分 子 数 を N と す る と ， 状 態 方 程 式

PV =NRT = NkT より，単位体積あたりの気体分子数 n は，NAn=N
P=V kT

衝突の割合 J は，①式を用いて，

P
8RT8RT==P2 2πM
16π k T M
2π mkT

11 P
J = nv =44 kT

ここで， R = N A k ， M = N A m を用いた。
(c) 酸素分子が密に詰まるとして，面積 (2r ) 2 m2 あたり１個の分子が付着するから，単位面積に付着する分子数 n 1 は，

n1 =

1= 1.9 × 1018 1/m2
4 × (3.6 × 10 −10 ) 2T = 273 + 300 ＝ 573 K， P = 133 Pa において，単位面積あたり酸素分子が単位時間に衝突する回数すなわち付着する分子数 J は，
PJ=2π mkT
133=−332 × 10× 1.38 × 10 − 23 × 573
6.02 × 10 23
よって，付着に要する時間 T1 は，2π ×T1 == 2.6 × 10 24 1/(m2・s)n1= 0.7 × 10 −6 s = 0.7 μ s
J

この付着時間は，実際の過程に比べて短すぎる。
(d) 活性化エネルギー1 eV をもつ酸素分子の速さv 1 は，

3

2 × 1.6 × 10 −191mv 12 = 1.6 × 10 −19 J ∴ v 1 == 2454 m/s
232 × 10 −36.02 × 10 23
温度が T = 573 K のとき，速さv = 2454 ， 2454 + 500 ， 2454 + 1000 m/s をもつ酸素分子の割り合い(確率密度)は，密度関数W (v ) を用いて，v = 2454 m/s のとき，⎞⎛
32 × 10 −3⎟W (2454) = 4π ⎜⎜23− 23⎟⎝ 2π × 6.02 × 10 × 1.38 × 10 × 573 ⎠3/ 2× 2454 2⎡⎤32 × 10 −3 × 2454 2−10× exp ⎢−⎥ = 1.356 × 1023− 2326.
02101.
3810573×××××⎦⎣

v = 2954 m/s のとき，W (2954) = 2.219 × 10 −14v = 3454 m/s のとき，W (3454) = 6.383 × 10 −19
これらの値より台形公式を用いて近似すると，v = 2454 m/s 以上の速さをもつ酸素分子の割合 f は，

f ={}

500
1.356 × 10 −10 + 2 × 2.219 × 10 −14 + 6.383 × 10 −19 = 3.39 × 10 −82

よって，求める付着時間 T 2 は，

T2 =

T1
0.7 × 10 −6== 20.6 s ≒ 2 × 10 s
f3.39 × 10 −8(e) コーティング層表面およびシリコン表面での光の反射(屈折率の小さい物質から大きい物質へ入射するときの反射)では，共に位相は変化しない。反射光が打ち消しあう最小のコーティング層の厚さ d は(図ａ)，層内の光の波長 λ ′ =2d =λ′
2∴d=λ4μ=

ｺｰﾃｨﾝｸﾞ層
シリコン

図ａ4λを用いて，
μ589= 105 nm
4 × 1.40

【参考】 ①式の導出
基盤表面にはいろいろな方向から分子が飛び込む。いま，法線と角 θ と θ + Δθ の間の方向から基盤の単位面積あたりに飛び込む分子数 ΔJ は，角 θ と θ + Δθ の間の方向の速度をもつ単位体積あたりの分子数を Δn として，底面積cosθ，長さv の直方体(体積v cos θ )内の，法線と角θ と θ + Δθ の 間 の 方 向 の 速 度 を も つ 分 子 数Δn ⋅ v cos θ に等しい(図ｂ)。分子数 Δn の，あらゆる方向の速度をもつ単位体積中の全分子 n に対する割合

Δnnは，単位長さを半径とする球面上で，球θ単位面積θ

面の全表面積 4π に対する角 θ と θ + Δθ で挟まれたv

帯状表面の面積(図ｃの影を付けた部分)の割合に等しい。帯状領域の周の長さは 2π sin θ であるから，その割合は，

Δnn=2π sin θΔθ4πと書ける。したがって，基盤の単位面積あたり単位図ｂ

時間に，右側から衝突する分子数 J は，θに関して0～π2の範囲で和をとって(積分して)，J=∑ ΔJ = ∑ Δn ⋅ v cosθ = ∑nv cosθ ⋅ Δnn= nv

14ππ /2∫ 2π cosθ sin θ dθ = 4 nv10と表される。

図ｃ5…①