付 録D188

D.5

講義のための補足ノート—東京大学大学院集中講義

講義のための補足ノート—東京大学大学院集中講義: 2007-06-01
Leck1/5.tex
feedback form ３枚以上提出で単位をだします. あとなにか, プログラムを書いたり, 論文を読んだ
り, マニュアルの翻訳を書いたりしたら, それについての報告を提出していただけると歓迎です. (1月後に成績報告を送りますので, feedback form を出してない人もレポート提出で単位を出す場合があります.) レポートは下の wiki に添付またはページを作成してください. wiki に添付の場合は, プ
ログラムなら GPL, 文書なら Gnu FDL, または, 配布自由だが変更は著者以外不可と適当なライセンスを明記してください. 匿名の書き込みでも問題ないです. ただし単位が必要な方は, レポートを貼付けた or ページを作成とメールで連絡をください (takayama@math.kobe-u.ac.jp).

http://cc1.math.kobe-u.ac.jp/pukiwiki.php?KnxK2007 (cc1 の名前は時々かわります. cc1 へはリンクしないで下さい.)gfan がはいっていないシステムでは, 前回の資料をもとにインストールしてください. あと knoppix/math のバージョンによっては PATH の設定も必要です.
¶³export PATH=/usr/local/icms2006/projects/gfan/bin:$PATHµD.5.1

今回の概要と数学の題材

Tropical Geometry. 全体のまとめ.

D.5.2

フィードバック : Q and A

ようやく feedback もさかんになってきましたが, 今日でお別れですね. 集中講義の宿命です.

Q. どうして lex order で直接 グレブナ基底を計算しないのですか?
A. 効率の問題があります. 本日はアミメーションをお見せします.
R. dynagraph で 20 から 30 とおりの図形をかいてみました.
A. 是非上の wiki で, プログラム（式）を公開してください. 20 から 30 とおりも書ける人はすごいと思います (わたしなんか Mobius と torus くらいしか思いつかなかった). みんなで楽しみましょう.
プログラムは添付するか, 空白を一文字行頭につけて書き込みます.

Q. どうして shape basis からの逐次代入で解を作らないか?
A. これについてはいろいろと研究があります (rational univariate representation など). shape basisの係数が小さければ代入による誤差が悪影響をおよぼすことはないので shape base での代入でやるのが一番正確で効率がいいでしょう. しかし, shape basis の係数が大きい場合は, 代入による誤差によりまったく違う近似解がでてきてしまいます. たとえば次の asir プログラムを実行してみるとshape base がでます. S[1] は u2 の 1 次式, u1 の 28 次式です. u1 の値から u2 をきめることが可能ですが, 係数が巨大ですね.

´D.5. 講義のための補足ノート—東京大学大学院集中講義: 2007-06-01

189¶³load("gr");load("katsura");
N=5$
V=vars(katsura(N));
G=nd_gr(katsura(N),V,0,0)$
S=tolex(G,V,0,V)$
print(S[1]);µQ.

´∫ ∞0cos ax − cos bxbdx = log ,xaa, b > 0が maxima でも axiom でもできなかった.

A. 不定積分が Risch algorithm でできない場合は, 定積分の計算はこれらのシステムでは多分無理だと思います. (まだくわしくみていません). 公式データベースを持ってるシステムだと答えをだしたりします.
パラメータ付きの定積分を求めるアルゴリズムは, いろいろありますが, つぎのような方法もあります. (下はわたしの専門)

1. 被積分関数が holonomic ならその微分方程式をだす. (この場合そうです).
2. それから D-加群の積分アルゴリズムでパラメータ a, b についての微分方程式を導出する. この微分方程式が特殊関数で解けて, かつ, a, b が特殊な値を持つときの積分値がわかれば答えがでる.
この問題だと上の方法でできそうに見えますが, 講義までに時間がなくて....
別の例でたとえば,∫exp(t3 − xt)dt

f (x) =Cの微分方程式を kan/sm1 計算するには kan/sm1 で次のように入力します.
¶Ecohom/s-a.sm1³[(parse) (cohom.sm1) pushfile] extension[(parse) (ox.sm1) pushfile] extension[ [(Dt-(3 t^2 -x)) (Dx + t)] [(t)][ [(t) (x)] [ ]] 0] integration messageµ出力は以下のとおり. Ecohom/s-a-out.txt¶´³[[-3*Dt^2+t+x , -Dt+Dx ] , [t ] , 0 , 0 ] restall1_s
Computing a free resolution ...
Resolution procedure stoped because counter == 0.
A free resolution obtained.
0-th cohomology: [1 , [3*Dx^2-x ] ]µ´
なお上の方法を systematic に実装したことがありません. おもしろい問題をありがとうございます. (なお video 関連資料 d-integral-example-ja.mpg 4 分 あり). (Logarithmic cohomology 計算のプログラムは 2007/knx/a-log.rr )

付 録D

190

D.5.3

講義のための補足ノート—東京大学大学院集中講義

まとめ

使い方で困ったときは, 数学会の knoppix/math booth へ laptop (Windows か intel mac) 持参でおこしください.
まだまだ開発すべき数学ソフトはあると思います (求む新しいアイディア). 本日の gfan は sageとともに昨年登場, 注目されたソフトです.

knoppix/math ソフトの起動/利用方法
1. unix シェル (ターミナル) から動かす. テキストエディタで入力をファイルを作成. [伝統的 unixのアプローチで, ほとんどのソフトで一番安全でおすすめ. PATH の独自設定が必要な場合もあり.]

2. Conference 関連フォルダ ( icms2006 など) からスタートする. [ そのソフトに関する documentや リンクもあつめてあるので便利. ]3.

√

x メニューから使う. [ GUI 付きソフトはこれが一番でしょう. ]4. TeXmacs や sage notebook などの 共通 GUI から使う. [ 便利/安定にするにはまだまだ努力が...]knoppix-math.org プロジェクトの課題.
以下は思いつき.

1. 大規模化. プロジェクトの再設計が必要. Hosting.
2. free math document, free math video document, free screen movie などの集積とヘルプシス
テムへの融合.

3. 多言語での document の集積.
4. 他の project との連携. mathsoftware.org, openxm.org, ...
5. ユーザが自由に使い方, 短いプログラムを公開する仕組み. 講義をやるだけでいろいろ面白い使い方の提案があるので楽しい. kseg についてはかなり wiki に蓄積されているのは明るい話題.
6. “このプログラムからこの研究がスタートしたんだ” みたいなプログラムの集積もおもしろい
かも. たとえば私の場合
Eh/rank5.sm1¶³[(parse) (cohom.sm1) pushfile] extension[ [[1 1 1 1]
[0 1 3 4]][1 2]] gkz /g set
g rrank messageµで “結果の数字 5 が出たとき” がその時でした.

´