虚数の虚数乗i i（愛の愛情）
Imaginary Powers of Imaginary Numbers
作花 一志（京都情報大学院大学）
Kazushi Sakka（The Kyoto College of Graduate Studies for Informatics）
Abstract

Complex powers of complex numbers are discussed. Some interesting results are:・exponential function ax can be defined for any a, and any x,
・i power of (cosθ+isinθ) , including ii , is real number after simple calculations.
・the equation of xx=1 has three solutions■y=ax は a> １なら単調増加，0<a<1 なら単調減少，ii（愛の愛情）とはそして a ＝ 1，a ＝ 0 なら一定である。

Wikipedia には exp( −π /2) という実数でその値は 0.207879…であると記されている [1]。もちろん無理数だが，虚数の虚数乗が実数になることが不思議である。
指数関数の入門に戻って考えよう。2 ３（＝ 8）とは 2 を 3 回かけたものであり 2 ５（＝ 32）とは 5回の積である。また 2 −２とは 1 ／ 2 ２のこと，すなわち指数がマイナスなら逆数をとればよい。では指数が分数，小数の場合はどうなるだろうか？ 2 １／２とは 2 乗して 2 になる数（すなわち 2 の平方根√ 2）と 2 １／５とは 5 乗して 2 になる数（すなわち 2 の 5乗 根 5 √ 2） と 定 義 す る。 そ う す れ ば 2 ３ ／ ５ ＝（2 １／５）３ であるので一般に 2 ｎ／ｍ は 2 のｍ乗根のｎ乗と定義できる。2 ３．１４は 2 ３１４／１００より求められ，結局 2x においてｘが有理数の場合はすべて計算できることになる。その数値自身は無理数でペンと紙に書き記すことはできないが，確かに実在する数である。
ではｘが無理数の場合は？ 2 π，2 √２ などは実在πに収束する次のような無限数列を考えよう。
an={3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592 … ｝

虚部細線は x 軸と重なっている

底が負数の場合
スの場合の指数関数は定義しないことになっているが何とか定義できないものか？
例として f(x)=( − 2)x の場合を考えてみよう。こ

これに対して次のような数列
bn={ ２3, ２3.14, ２3.141, ２3.1415, ２3.14159, ２3.141592…｝

は有理数であるがの関数の値は x が整数の場合は実数だが，半整数の場合は虚数となる。

bn → 2πとなる（厳密− 2 を r(cos θ +isin θ ) の形で複素数表示してには証明が要るが）。よってすべての実数ｘにおいみよう。ｒは絶対値，θは偏角。て 2 は計算できる。このように考えれば指数関数

明らかにｒ＝ 2，θ＝πであるから

ｘ42

y=2x 実部は太線

では a<0 の場合はどうであろうか？底がマイナするのだろうか？

n →∞において an →π

第1図

NAIS Journalｙ＝（− 2）x の実部，虚部はそれぞれ 2 ｘ (cos(x π ))，② abs(z) は絶対値で Arg(z) は偏角である。

2 (sin(x π )) となる。

③は有名なオイラーの公式で，指数関数と三角関ｘｘが整数の時 cos(x π ) ＝± 1sin(x π ) ＝ 0

だからｙは実数となりｘが半整数の時 cos(x π ) ＝0sin(x π ) ＝±１だからｙは純虚数となる。

数を結ぶ。
a =exp（xlog(a)） ①x②より log(a) ＝ log(abs(a)+iArg(a) でありそれ以外では一般に複素数値になる。

abs(a)=r Arg(a)= θと置くと（− 2） ＝ 2 (cos(x θ )) ＋ 2 (sin(x θ )) ｉ①は exp(x*(log(r))exp(i θ x))

xｘｘ=rx exp(i θ x))

R，WolframAlpha[2]，gnuplot などを使ってそ=rx (cos( θ x)+isin( θ x))の値を求めることができる。
表１x

これより①の実部，虚部が求まった。

( － 2)x の値

実部

虚部0

偏角240

1.520.1800776 − 2.862251 1.50796

1.50,− 2.828427 −π /20.11.0190.331− 1.500.35355334 π /2

備考実数

図 3 は a=2 ＋ 3i すなわち r= √ (22+32)= √ 13，
θ＝ tan − 1(3/2) の場合のグラフである。

虚数0.314
虚数

y=( − 2)x のグラフは下図のように描ける。

第3図

y=(2 ＋ 3i)x

指数が虚数の場合
z ｘ の x が虚数の場合にも①②③を利用する。まずｚが実数の場合，2 と− 2 の場合はz ｘ =2i ＝ exp(ilog2)
第2図

y=( － 2)x 太線は実部細線は虚部（第 5 図まで共通）

これで底が負数の場合の指数関数の値が定義でき＝ cos(log2)+isin(log2)z =( − 2)i ＝ exp(ilog( − 2)) ＝ exp(i(log2+ π i))ｘ=exp(ilog(2))exp( −π )=2i/exp( π )次にｚが虚数 (2i) の場合はた。

abs(2i)=2Arg(2i)= π /2 だからlog(2i)=log2+i π /2

底が複素数の場合
これ以降は次の 3 つの公式を利用する。

よって zi =exp(i(log2))+i π /2)zx=exp(x*log(z)）①= exp(i(log2) )/exp( π /2)log(z) ＝ log(abs(z)）+iArg(z ）②=2i/exp( π /2)

exp(i θ )=cos θ +isin θ③①は自明な式である。

z が単位円周上にある場合には
zi =(cos θ +isin θ )i ＝ (exp(i θ ))i ＝ exp( −θ )NAIS Journal

43これは実数である。θ＝π /2 の場合が i の i 乗である。
また一般の複素数 z=3+4i の場合log(z)=log(abs(z))+iArg(z)abs(z)= √ (32+42)=5, でありArg(z)=(tan − 1(4/3)=0,9272….= θとする。
zi =exp(i(log(5)) )+i θ )= exp(i(log(5)) )/exp( θ )=5i/exp( θ )=(cos(log(5))+isin(log( 5))))/exp( θ )すなわちまとめて ri/exp( θ )=(cos(log(r))+isin(log(r)))/exp( θ )と書ける。
z=(2+i) の (1+2i) 乗は

第4図(2+i)(1+2i)= (2+i) (2+i)2i=(2+i)(4+4i − 1)i
表2xx=1 の解
非線形方程式 x ｘ =1(2+i)(1+2i) の値

ツール

入力

R(2+1i)^(1+2i)

WolframAlpha(2+i)^(1+2i)

gnuplot

print{2,1}**{1,2}

秀な高校生なら両辺の対数を取って xlog(x)=0− 0.4259+7.753i{ − 0.4259,7.753}

r = 0.885 ( 半径 ), θ = 118.8°( 偏角 )から x ＝ 0 または log(x)=0 すなわち解はｘ＝ 0,1と答えるだろう。正確にいうと f(x)=x ｘ においてx=0 は f(x) の定義域ではないが，ｘ→ 0 の極限で解に含めてもいい。と表されの値は a やｘがどんな複素数でも求まることがわかった。

では他に解はないものか？ y=f(x) の実部と y=1のグラフはｘ軸と 3 点で交わっている。その交点は x=1，0

そして 3 つ目の解は x= − 0.25 近傍に求められる。

なお x^i の値は x>0 ならcos(log(abs(x))+isin(log(abs(x)) だ が x<0 で は 上 記
値を exp( π ) 〜 23.14 で割ったものになり y=x^iのグラフは図のように実数でも虚数でもｘ＝ 0 で不連続になる。

第5図

44

NAIS Journal

だ

x ｘ → 1 となることは解析的に証明されているのでさらに複素平面上に図示される。
ｙ＝ aを解いてみよう。勘の鋭い

中学生なら x ＝ 1 という解を見つけるだろう。優出力

WolframAlpha ではｘｙ =xiｙ =xx

y=1

y= － 1 も併せて描いてあるx の絶対値を r=abs(x)

偏角を t=Arg(x) とする。

x ＝ r exp(txi)xx= r x (cos(tx)+isin(tx))
実部は r x (cos(tx)) だから
Wo l f r a m A l p h a で x x = 1 を解くにはabs(x)^x*(cos(x*Arg(x)))=1 と入力すればよい。
解として− 0.25，0，1 が出力される。

図 6b

図 6ax =1 WolframAlpha による解

xx=1

R による解x

なお abs(x)^x*(cos(x*Arg(x))) の極小値はR ではグラフを描きグラフとｘ軸との交点を挟む− 1.04635(x= − 0.910596) で あ る か ら 方 程 式

2 点をクリックすれば，クリックした点の x が p1，x =a において a がこの値より大きければ同様に解p2 に収められその 2 点の間の解が− 0.25 と求まる。

くことができる。極値は WolframAlfa で求まる。

plot(0,0, xlim = c(-3, 3),ylim = c(-3,3),type ="n",xlab = "x", ylab = "y")abline(h=0,col=8);abline(v=0,col=8);###### x<0 ###########
x=seq(-3,0,by=0.02)
r=abs(x);t=pi
Rx=r^x*(cos(t*x))-1 # y=Re(x^x)
points(x,Rx,lwd=1,type="l")###### x>0 ###########
x=seq(0,3,by=0.02)
r=abs(x);t=0
Rx=r^x*(cos(t*x))-1 # y=Re(x^x)
points(x,Rx,lwd=1,type="l")####２点をクリックして解を求める####z=locator(2); points(z,col=4)
p1=z$x[1] ; p2=z$x[2](ans=uniroot(f,c(p1,p2)))
text(-2,-0.5,ans$root)x

また xx= − i では
xx の虚部は (abs(x))x* (sin(x*Arg(x))) だからabs(x)^x* (sin(x*Arg(x)))= − 1 と入力すれば
x= − 0.25，− 0.712 と解ける。

図7

xx= － i の解

x= − 0.25 は xx=1，xx= − i 両 方 程 式 の 解 で あ る。
実 ( − 0.25)^( − 0.25) の値を計算すると 1 − i である。
表3xxx の値Re(xx)Im(xx)−1−10− 0.712− 0.787−1− 0.25

1−1010110NAIS Journal45付記複素数 z の t 乗を複素平面上にプロットしてみると下図のような螺旋が描かれた。t は− 3 から 3 まで変動する実数パラメーターである。〇印は t=0.5，t=1.1 の時の位置である。

図 10

図8

 3<t<3 x=Real( － 2)t,y=Imag( － 2)t の複素平面上－のプロット

 3<t<3 x=Real(1+2i)t,y=Imag(1+2i)t の複素－平面上のプロット

plot(0,0,xlim=c(-4,4),ylim=c(-4,4),type="n")abline(h=0,col=8)；abline(v=0,col=8)；
grid(8,8)t=seq(-3,3,by=0.05)
z0=(2i);z=z0^tpoints(z,type="l",col=3)Re(z0^0.5);Im(z0^0.5)
points(Re(z0^0.5),Im(z0^0.5),col=6)
points(Re(z0^1.1),Im(z0^1.1),col=4)
title("(2i)^t")
mtext("t=0.5",3,col=6,at=1)
mtext("t=1.1",3,col=4,at=-1)

参考文献[1] https://ja.wikipedia.org/wiki/I%E3%81%AEi%E4%B9%97[2] https://ja.wolframalpha.com/

◆著者紹介

作花
図946

NAIS Journal 3<t<3 x=Real( － 2i) ,y=Imag( － 2) の複素平面上－のプロットt

一志

Kazushi Sakkat

京都大学大学院理学研究科博士課程修了（京都大学理学博士）
京都情報大学院大学教授
日本応用情報学会理事（編集担当）