加速膨張宇宙と非平衡系の場の理論
野海 俊文（神戸大、Wisconsin-Madison）

26th Dec 2018 @ 非平衡研究会

自己紹介：野海俊文
経歴2008 - 2013 大学院＠東大・駒場素粒子論研究室
2013 - 2015 理研・橋本研 → 初田研（日高さん＆本郷くんとオーバーラップ）2015 - 2016 香港科技大学
2016 -

神戸大・宇宙論研究室

主な興味
素粒子論、宇宙論、弦理論の周辺- 超高エネルギー実験場としての初期宇宙論- 量子重力で記述可能な素粒子論・宇宙論模型は何か？
…

自己紹介：野海俊文
経歴2008 - 2013 大学院＠東大・駒場素粒子論研究室
2013 - 2015 理研・橋本研 → 初田研（日高さん＆本郷くんとオーバーラップ）2015 - 2016 香港科技大学
2016 -

神戸大・宇宙論研究室

主な興味
素粒子論、宇宙論、弦理論の周辺- 超高エネルギー実験場としての初期宇宙論 ← 今日の話！
- 量子重力で記述可能な素粒子論・宇宙論模型は何か？
…

非平衡屋さん向けのインフレーション宇宙論（？）- 本郷くんがインフレーション周辺で気にしてそうなこと（有限温度系、非平衡系の場の理論とのアナロジー）- 自分自身がなぜインフレーションを面白いと思うか
14（10 GeV 加速器としてのインフレーション）今日のメッセージ- 加速膨張宇宙と有限温度系、非平衡系とのアナロジー
H
4π2· : Hubble 定数
T=, S = (2πMPl) × 2 (H = a/a)
2πH
- 原始揺らぎの非ガウス性を用いた新粒子探索（ex. ３点関数の運動量依存性から新粒子の質量やスピン）

目次
1. 加速膨張宇宙と熱力学のアナロジー
2. インフレーションのエネルギースケール
3. 非ガウス性 ＝ 超高エネルギー加速器
4. まとめと展望1. 加速膨張宇宙と熱力学のアナロジー

加速膨張宇宙と宇宙論

指数関数的膨張： ds22= − dt + e2Htdx2H ≲ 1014 GeV (inﬂation) , H ≃ 10−42GeV (DE)インフレーション宇宙：標準宇宙論の初期条件※ 銀河などの構造の種となる原始揺らぎを作る

加速膨張宇宙と de Sitter 時空

X0de Sitter 時空
X1 ∼ X4# (1+4)-dim 平坦時空中の双曲面

1− (X ) + (X ) + ⋯ + (X ) = 2
H0 2

1 24 2

X0de Sitter 時空
X1 ∼ X4# (1+4)-dim 平坦時空中の双曲面

1− (X ) + (X ) + ⋯ + (X ) = 2
H0 2

1 24 2# ４次元球面の解析接続

1(X ) + (X ) + ⋯ + (X ) = 2
H5 2

1 24 2※ 虚時間 X 5 = − iX 0 は周期的

X0de Sitter 時空
X1 ∼ X4# (1+4)-dim 平坦時空中の双曲面

1− (X ) + (X ) + ⋯ + (X ) = 2
H0 2

1 24 2# ４次元球面の解析接続

1(X ) + (X ) + ⋯ + (X ) = 2
H5 2

1 24 2※ 虚時間 X 5 = − iX 0 は周期的※ 宇宙論で大事になるのは global de Sitter の半分

加速膨張宇宙と de Sitter 時空
t=∞

t =−∞

加速膨張宇宙を表す計量： dst =−∞22= − dt + e※ x = const. は測地線を表す※ 時間並進対称性なし → 過去の真空

2Htdx

今の真空2

インフレーションにおける観測量t=∞xxxt =−∞xt =−∞インフレーション終了時の同時刻相関関数：⟨ ∏ ϕki(t = ∞)⟩ = ⟨0 | ∏ ϕki(t = ∞) | 0⟩ii| 0⟩ : Bunch-Davies 真空（ t = − ∞ での真空）インフレーションにおける観測量t=∞xxx

t =−∞xt =−∞Hamiltonian（真空）が時間に依存→ Schwinger-Keldysh (in-in) 形式

インフレーション終了時の同時刻相関関数：⟨ ∏ ϕki(t = ∞)⟩ = ⟨0 | ∏ ϕki(t = ∞) | 0⟩ii| 0⟩ : Bunch-Davies 真空（ t = − ∞ での真空）局所的（直感的）に何が起きてるか？
→ 測地線に沿った観測者の目線

測地線に沿った観測者の見る物理
t=∞

t =−∞

t =−∞

x = 0 で静止しているこの人に注目！

測地線に沿った観測者の見る物理
t=∞

t =−∞

事象の地平面が存在！

t =−∞測地線に沿った観測者の見る物理t=∞t =−∞t =−∞地平面 r = 1/H の内側を記述する計量：

2dr22ds 2 = − (1 − H 2r 2) dτ 2 ++rdΩ
S2221−H r※ τ について並進対称 (static coord.)

測地線に沿った観測者の見る物理
t=∞t =−∞t =−∞地平面 r = 1/H の内側を記述する計量：

2dr
22ds 2 = − (1 − H 2r 2) dτE2 ++rdΩ
S2221−H r※ 解析接続：虚時間 τE = − iτ

測地線に沿った観測者の見る物理
地平面上 r = 1/H では一般に conical singularity が現れる
→ τE ≃ τE + 2π/H の周期性を課すと特異性が除去できる→ 観測者は T = H / (2π) の温度を感じる※ 同じ結論は t = − ∞ の真空と観測者の真空の間のBogoliubov 変換を計算することでも得られる

地平面 r = 1/H の内側を記述する計量：

2dr
22ds 2 = − (1 − H 2r 2) dτE2 ++rdΩ
S2221−H r※ 解析接続：虚時間 τE = − iτ

ここまでのまとめ＃ 宇宙論で必要な de Sitter 時空中の物理量は相関関数＠無限の未来：⟨ ∏ ϕki(t = ∞)⟩ = ⟨0 | ∏ ϕki(t = ∞) | 0⟩ii

- 時間依存する系における「過去の真空で挟んだ期待値」- 技術的には Schwinger-Keldysh (in-in) 形式を用いた計算＃ 物理的（局所的）には温度 T = H / (2π) を持つ熱浴
cf. ブラックホールのホーキング輻射ππ πσπσt今日は深入りしませんが、ブラックホールと同様に4π2
エントロピーも面積則で導入可能 S = (2πMPl) × 2H
※ BH の場合と異なり、エントロピーのミクロな起源は未だ謎目次
1. 加速膨張宇宙と熱力学のアナロジー ✔
2. インフレーションのエネルギースケール
3. 非ガウス性 ＝ 超高エネルギー加速器
4. まとめと展望2. インフレーションのエネルギースケール

インフレーションと対称性の自発的破れ

rise.

ld Dynamics

slow-roll inﬂation
ドジッター時空- FRW 時空ds =2dt + a(t) dx
222ȧ- Hubble パラメータ: H(t) =a
reheatingof an inflaton potential. Acceleration occurs when the potential energy of
1µ1 ˙2L=
典型的にはインフラトン場を導入ends at ⇤end µwhen theV (⇤), dominatesover its kinetic energy, 2 ⇤ . Inflation
1 ˙ 22ergy has grown to become comparable to the potential energy, 2 ⇤ ⇥ V . CMB
V ( ) で近似的ドジッター時空を実現
ポテンシャル
ns are created ※by quantumfluctuations⇤ about 60 e-folds before the end of
At reheating, the energy density of the inflaton
˙ radiation.
Ḣ is converted into=1
1
slow-roll 条件： =H
H2
els of inflation involve a single scalar field ⇤, the inflaton. Here, we don’tV( )rise.

slow-roll inﬂation

インフラトンの量子揺らぎ＝ld Dynamics

宇宙膨張の歴史の揺らぎ> 0 ：まわりより先に進化< 0 ：まわりより遅れて進化
reheatingof an inflaton potential. Acceleration occurs when the potential energy of
1µ1 ˙2L=
典型的にはインフラトン場を導入ends at ⇤end µwhen theV (⇤), dominates
over its kinetic energy, 2 ⇤ . Inflation
1 ˙ 22ergy has grown to become comparable to the potential energy, 2 ⇤ ⇥ V . CMB
V ( ) で近似的ドジッター時空を実現
ポテンシャル
ns are created ※by quantumfluctuations⇤ about 60 e-folds before the end of
At reheating, the energy density of the inflaton
˙ radiation.
Ḣ is converted into=11slow-roll 条件： =H
H2
els of inflation involve a single scalar field ⇤, the inflaton. Here, we don’tV( )インフラトンの揺らぎ ＝ 時間の揺らぎ※ Nambu-Goldstone ボソンっぽい実際、¯h(t,~x)i=(t) が- インフラトン期待値
時間並進対称性を自発的に破る¯(t,~x)=(t + ⇡(t, ~x))
- NGボソンπをのように導入すると、

˙¯' (t)⇡(t, ~x) と書ける

インフレーション中の量子揺らぎ
時間並進対称性で特徴付けられる重力系なので…

⇡ij

NG ボソン

重力子の２種類の場は必ず軽い自由度として存在する※ CMB温度揺らぎなどの宇宙の構造の種となる＋模型に依存した（典型的に）重い自由度
ex. 超対称模型、大統一理論、超弦理論

対称性の帰結として- 揺らぎの大きさと秩序変数の間に関係- chiral Lagrangian と同様の非線形表現論

原始揺らぎの２点関数

原始揺らぎの２点関数
NG ボソンの２点関数
2Hh⇣⇣i ' H 2 h⇡⇡i ⇠ 2MPl ✏重力子の２点関数

hH2i⇠ 2MPl

※ slow-roll 変数 ✏ が秩序変数※ インフレーションスケールを（ドジッターからのずれを測る）直接決めることができる！

原始揺らぎの２点関数
NG ボソンの２点関数
2Hh⇣⇣i ' H 2 h⇡⇡i ⇠ 2MPl ✏重力子の２点関数

hH2i⇠ 2MPl

※ slow-roll 変数 ✏ が秩序変数※ インフレーションスケールを（ドジッターからのずれを測る）直接決めることができる！

# 重力子（原始重力波）は未検出

h i- tensor-to-scalar ratio r ⇠に対する制限
h⇣⇣ir ' 16✏ < 0.07 (95% CL) by Planck + BICEP2/KECK⇣ r ⌘1/213H=3⇥10⇥[GeV]- インフレーションスケール：
0.01

0.20

Collaboration: Constraints on Inflation
典型的なPlancktensor-to-scalarratiosConcave

0.10

0.15vex

V

2VV

4/3

2/3
V
Low scale SB SUSY
N =50
N =60

0.05
0.00

Tensor-to-scalar ratio (r0.002 )Con

TT,TE,EE+lowE+lensing
TT,TE,EE+lowE+lensing+BK14
TT,TE,EE+lowE+lensing+BK14+BAO
Natural inflation
Hilltop quartic modelattractors
Power-law inflation
R2 inflation

0.940.96
Primordial tilt (ns )

0.98

1.00

r = O(0.1) if ✏ ⇠ ⌘Fig. 8. Marginalized joint 68 % and 95 % CL regions for ns and r at k = 0.002 Mpc 1 from Planck alone and in combination with
BK14 or BK14 plus BAO data, compared to the theoretical predictions of selected inflationary models. Note that the marginalized0.20

Collaboration: Constraints on Inflation
典型的なPlancktensor-to-scalarratios

Conca
ve

0.10

0.15

vex

V

2VV

4/3

2/3
VLow scale SB SUSYN =50N =60

0.05
0.00

Tensor-to-scalar ratio (r0.002 )Con

TT,TE,EE+lowE+lensing
TT,TE,EE+lowE+lensing+BK14
TT,TE,EE+lowE+lensing+BK14+BAO
Natural inflation
Hilltop quartic modelattractors
Power-law inflation
R2 inflation

0.94

0.96
Primordial tilt (ns )0.98

r ' 0.003

1.00

Fig. 8. Marginalized joint 68 % and 95 % CL regions for ns and r at k = 0.002 Mpc 1 from Planck alone and in combination with
BK14 or BK14 plus BAO data, compared to the theoretical predictions of selected inflationary models. Note that the marginalized原始重力波観測の展望LiteBIRD 衛星# 日本主導の CMB 偏光観測実験- 原始重力波は CMB Ｂモードの主なソース- 感度目標：Δr = 0.001- 2020年台に打ち上げ予定
LiteBIRD衛星(概念図)- 重点大型研究計画に選ばれるなど順調(C) JAXA宇宙科学研究所

インフレーションのスケール H

r = 0.001

r = 0.1

大統一理論

超弦理論

1013 GeV

1014 GeV

1015 GeV

1016 GeV目次
1. 加速膨張宇宙と熱力学のアナロジー ✔
2. インフレーションのエネルギースケール ✔
3. 非ガウス性 ＝ 超高エネルギー加速器
4. まとめと展望3. 非ガウス性 ＝ 超高エネルギー加速器

観測的に、CMB 温度揺らぎはほぼガウス分布→ NG ボソンもほぼガウス分布（weakly coupled）

T⇠ 10 5T

原始揺らぎの非ガウス性⇡
非ガウス性 ＝ ガウス分布からのずれ⇡※ ３点関数など高次相関に由来する⇡
14# インフレーション ＝ 10 GeV 加速器 (Cosmological Collider)
非ガウス性はインフレーション中の相互作用を表す！
→ 新粒子など新しい物理＠高エネルギーの探索に使える！
[Chen-Wang ʼ10, Baumann-Green ʼ12, 野海-山口-横山 ʼ13, ArkaniHamed-Maldacena ʼ15, …]

原始揺らぎの非ガウス性# NG ボソン３点関数への観測的制限
10 510 7
重力相互作用

10 3ターゲット！

h⇡⇡⇡i
FNL =
h⇡⇡i3/2

1

プランクにより棄却

宇宙大規模構造21cm 線？

- 既に結構 weakly coupled なことがわかっている- 少なくとも重力相互作用はある- 将来的には２〜３桁程度の感度向上が期待されている

非ガウス性と粒子スペクトル（以下、重力相互作用は小さいので無視）非ガウス性と粒子スペクトル# NG ボソンのラグランジアン

22L⇡ = MPl Ḣ(@µ ⇡)order parametercf. chiral LagrangianL=⇤f⇡2 ⇥µ †tr @µ U @ U
2U =ei⇡a T a※ 微分展開の最低次では自己相互作用がない！
※ 観測可能な非ガウス性は他のセクターとの相互作用や高階微分補正項を通じてのみ→ 非ガウス性は新粒子探索の clean channel!

非ガウス性と粒子スペクトルex. massive scalar 場との相互作用 [野海-山口-横山 ʼ13]
NG ボソンπ22L⇡ = MPl Ḣ(@µ ⇡)Lmix = gmix⇥⇡2⇡˙ + (@µ ⇡)2⇤nonlinear realization(@µ ⇡)2⇡˙⇡⇡
NGボソンの3点関数

massive scalar σ

L =1(@µ )22m2
2

2V( )

トークの残りでは…
- 非ガウス性を使って新粒子どう探すか- どの程度高いスケールまで探索できるか

新粒子探索＠加速器

新粒子探索＠加速器s⌧m2

1m2s比較的軽い粒子は共鳴で！

重い粒子は有効相互作用で！

2s⇠m- 非解析的振る舞い＠ex. フェルミ相互作用から- 散乱振幅が因子化する

Wボソンの存在が予言

共鳴のアナロジーは何か？

A. 運動量の soft limit

ππσπtσ2π＃と π を十分に離すと on-shell 中間状態のみ寄与＃ 空間方向は運動量空間 ⟨πk1(t)πk2(t)πk3(t)⟩t→∞k3k3k1k2 ∼ − k3k2
近似的スケール不変性→ 三角形の形の関数

長距離の極限k1

squeezed 極限| k1 | ≪ | k3 |

NGボソン３点関数が squeezed 極限で因子化し、⇡新粒子k1⇡⇡⇠⇡⇡

運動量配位の squeezed 極限

k3k2 ⇠k3|k1 | ⌧ |k3 |k1⇥

k1⇡NGボソン３点関数が squeezed 極限で因子化し、⇡⇡新粒子k1⇡⇠⇡⇡

典型的に以下のような形になる [野海-山口-横山 ʼ13]

k1

⇥k1⇡

NGボソン３点関数が squeezed 極限で因子化し、新粒子⇡k1⇠⇡⇡

⇡

k1

⇡

k1⇥

典型的に以下のような形になる [野海-山口-横山 ʼ13]⟨ζk1ζk2ζk3⟩′⟨ζk1ζ−k1⟩′⟨ζk3ζ−k3⟩′∝e−πm2− 942
H

運動量配位の squeezed 極限

k3k2 ⇠k3|k1 | ⌧ |k3 |Im (k1 / k3)[32 +im2− 942He i phase]⇡NGボソン３点関数が squeezed 極限で因子化し、新粒子⇡k1⇠⇡⇡

⇡

k1

⇡

k1⇥

典型的に以下のような形になる [野海-山口-横山 ʼ13]⟨ζk1ζk2ζk3⟩′⟨ζk1ζ−k1⟩′⟨ζk3ζ−k3⟩′∝e−πm2− 942H

運動量配位の squeezed 極限

k3k2 ⇠k3|k1 | ⌧ |k3 |Im (k1 / k3)[32 +im2− 942H

e i phase]

新粒子の質量がわかる！

⇡NGボソン３点関数が squeezed 極限で因子化し、新粒子

⇡

k1

⇠

⇡

⇡

⇡

k1

⇡

⇥

k1

⇡

典型的に以下のような形になる [野海-山口-横山 ʼ13]⟨ζk1ζk2ζk3⟩′⟨ζk1ζ−k1⟩′⟨ζk3ζ−k3⟩′∝e−πm2− 942H

運動量配位の squeezed 極限

k3k2 ⇠k3|k1 | ⌧ |k3 |(k1 / k3)

3/2[sinm2 9− log(k1 / k3) + phase
2H4]

新粒子の質量がわかる！

NGボソン３点関数が squeezed 極限で因子化し、新粒子

⇡k1⇡⇠

⇡

⇡

k1

⇡

k1⇥

⇡

典型的に以下のような形になる [野海-山口-横山 ʼ13]⟨ζk1ζk2ζk3⟩′⟨ζk1ζ−k1⟩′⟨ζk3ζ−k3⟩′∝e−πm2− 942
H(k1 / k3)

3/2

0.8

運動量配位の squeezed 極限[sinm2 9− log(k1 / k3) + phase2H4]

m = 4H (blue), 10H (red)

0.6
0.4

k3
k2 ⇠

0.2

k3|k1 | ⌧ |k3 |

0.02
-0.2
-0.40.040.06

0.08

0.10

k1 /k3

NGボソン３点関数が squeezed 極限で因子化し、新粒子⇡k1⇡⇡⇠

k1k1⇥⇡Boltzmann
因子（のルート）：⇡⇡
重い粒子の生成は指数関数的に抑えられる

典型的に以下のような形になる [野海-山口-横山 ʼ13]⟨ζk1ζk2ζk3⟩′⟨ζk1ζ−k1⟩′⟨ζk3ζ−k3⟩′∝e−πm2− 942
H(k1 / k3)

3/2

0.8

運動量配位の squeezed 極限[sinm2 9− log(k1 / k3) + phase2
H4]

m = 4H (blue), 10H (red)

0.6
0.4

k3
k2 ⇠

0.2

k3

|k1 | ⌧ |k3 |

0.02
-0.2
-0.4

0.04

0.060.080.10

k1 /k3

より一般に、角度依存性まで見ればスピンもわかる [Arkani Hamed-Maldacena ʼ15]
運動量配位の squeezed 極限

k3✓
k2 ⇠k3|k1 | ⌧ |k3 |/ Ps (cos ✓) （s: 中間粒子のスピン）インフレーション

大統一理論

超弦理論

H . 1014 GeV⇠ 1015 GeV⇠ 1016 GeV

soft limit で探索可能！

ここからは展望も含めて

原始揺らぎの有効相互作用

重い粒子が作る非ガウス性⇡(@µ ⇡)2⇡⇡˙⇡⇡(@
˙ µ ⇡)2⇡⇡
中間状態の粒子σが重いと mH

その効果はNG ボソンの有効相互作用に帰着する

H2※ 典型的にその大きさは ⇠m2⇡

chiral Lagrangian と同様に非線形表現論を用いて有効理論が構成可能

EFT of inﬂation [Cheung et al ʼ08]
# NG ボソンの有効ラグランジアン（時間並進対称性）
22L⇡ = MPl Ḣ(@µ ⇡) +order parameter

1X
M4 ⇥nn!
n=22⇡˙ + (@µ ⇡)⇤2 n+ ...

nonlinear realization

cf. インフラトンのラグランジアン
41(@)µ2
L =(@µ ) ++ ...
42⇤x) = ¯(t + ⇡(t, ~x))
- NG ボソン vs インフラトン： (t, ~⇥2µ2˙˙
1ex. (@µ ) = ¯ @µ (t + ⇡)@ (t + ⇡) = ¯
22⇡˙ + (@µ ⇡)2⇤

EFT of inﬂation [Cheung et al ʼ08]
# NG ボソンの有効ラグランジアン（時間並進対称性）
22L⇡ = MPl Ḣ(@µ ⇡) +order parameter

1XM4 ⇥nn!
n=22⇡˙ + (@µ ⇡)⇤2 n+ ...

nonlinear realization- 対称性の構造や現象論についてはよく調べられている- Wボソンの予言につながったような散乱振幅のユニタリー性などに関してはまだそんなに[in progress w/Kim, Takeuchi, Zhou]

有効理論を使うとどのスケールまで見れるか？

2H /rh⇡⇡⇡i
H2
有効相互作用が作る３点関数 FNL =⇠m2
h⇡⇡i3/2
13

例えば H = 3 ⇥ 10

GeV (r = 0.01) を仮定すると

超弦理論

大統一理論

10 5

10 310 7
重力相互作用ターゲット！

宇宙大規模構造21cm 線？

1

プランクにより棄却

FNL

インフレーション

大統一理論

超弦理論

H . 1014 GeV⇠ 1015 GeV⇠ 1016 GeV

soft limit で探索可能！
インフレーションのスケールによっては有効相互作用を用いて探索可能！

まとめ今日のメッセージ- 加速膨張宇宙と有限温度系、非平衡系とのアナロジー
HT=,2π4π2
S = (2πMPl) × 2
H· : Hubble 定数
H=a/a()- 原始揺らぎの非ガウス性を用いた新粒子探索（ex. ３点関数の運動量依存性から新粒子の質量やスピン）インフレーション

大統一理論

超弦理論

H . 1014 GeV⇠ 1015 GeV⇠ 1016 GeV

soft limit で探索可能！

インフレーションのスケールによっては有効相互作用を用いて探索可能！

理論的研究はまだまだ必要！

ありがとうございました！

eﬀective action−2 ·23·ℒ3 = − (1 − cs ) π (∂μπ) + απ+β1(∂μπ)2∂2i π· + β2 π· 2 ∂2i π· + β3 π· (∂2i π)2 + …
after integrating out σ, we ﬁnd
246−2gggcs2 = (1 +,α=−+λ 6)
242m2mm2462ggg
β3 = 0β1 = − (1 − cs2) 4 , β2 = (1 − cs2)[ −+3λ,m2m 6m8 ]if we consider a single UV scalar- β3 can never show up → β3 is a sign of nonzero spin
- β1,2 are further suppressed by a factor (1 − cs2)
similar conclusion for multiple scalars

how to identify spin from eﬀective interactions?
in progress w/S. Kim, K. Takeuchi, S. Zhou

cubic eﬀective interactions# general eﬀective Lagrangian up to cubic order [Bordin et al ʼ17]
2 ·MPl | H | · 222ℒ=π−c(∂π)
si[cs2− (1 − cs−2) π· (∂μπ)2 + απ· 3+β1(∂μπ)2∂2i π· + β2 π· 2 ∂2i π· + β3 π· (∂2i π)2 + …]

- used ﬁeld redeﬁnition to resolve operator degeneracy- 2 indep. operators cs and α at the leading order in derivatives- 3 indep. operators βi at the next leading orderWilson coeﬃcients contain information of heavy particles!
→ can we read oﬀ spin etc from these coeﬃcients?

as a ﬁrst step,
we determined the parameter set for a UV scalarby assuming that Lorentz invariance is restored @UVUV π-σ theory# general π-σ UV Lagrangian up to second order1
11 2 222ℒ2 = − (∂μπc) − (∂μσ) − m σ + βπ· cσ222- π is canonically normalized here for simplicity- dispersion relation: detω✓!2 k2i !

!

2i !
k 2 m2◆=0ω 2 = k 2, ω 2 = m 2 + k 2 → Lorentz invariance restored!

mβω 2 = cs2k 24k
ω2 = 2β

2 −1βw/sound speed cs2 = (1 + 2 )m→ non-relativistic dispersions

UV π-σ theory# general π-σ UV Lagrangian up to second order

111 2 2
22ℒ2 = − (∂μπc) − (∂μσ) − m σ + βπ· cσ222- π is canonically normalized here for simplicity- dispersion relation: detω✓!2 k2i !

!

2i !
k 2 m2◆=0ω 2 = k 2, ω 2 = m 2 + k 2 → Lorentz invariance restored!

mβω 2 = cs2k 24k
ω2 = 2β2 −1βw/sound speed cs2 = (1 + 2 )m→ non-relativistic dispersions∂iπ∂iσ is not UV complete

UV π-σ theory# general π-σ UV Lagrangian up to cubic order- 3 UV parameters (m, g, λ) characterizing heavy scalar σ2 ·2ℒπ = − MPl | H | (∂μπ)

1
1 22ℒσ = − (∂μσ) − m + λσ 3222gμ2μ··ℒmix = g σ (−2π + ∂μπ∂ π) − σ (−2π + ∂μπ∂ π)
2UV Lorentz invariance of 3pt amplitudes
cf. nonlinear sigma model
2111gℒ = − (∂μϕ)2 − (∂μσ)2 − m 2σ 2 + gσ(∂μϕ)2 − σ 2(∂μϕ)22222