経済数学（法政用）：第１７章
細矢祐誉
テーマ：ラムゼイモデル（連続時間型）とＨＪＢ方程式・連続時間型のラムゼイモデル
離散時間型と異なり、連続時間型のラムゼイモデルは次のように記述される。

∫ ∞
max

e−ρt u(c(t))dt0

subject to. k(t) ≥ 0, c(t) ≥ 0,k̇(t) = f (k(t)) − c(t),k0 = k̄ > 0.

(1)

ただし、この記述は正確ではない。厳密に言うと、これに加えて、k(t) と c(t) がどのような関数ならばよいのか、というものが必要である。c(t) としてなんでもよいということになると、上の積分が定義できなくなってしまう可能性がある。ここでは、k(t) と c(t) が共に連続であることを要求し、さらに、積分∫ ∞e−ρt u(c(t))dt0が確定することを要求することにする。
ところで、k̇(t) とはなんであろうか。これは、k の t における微分という意味である。
では、なぜこれについてk̇(t) = f (k(t)) − c(t)という方程式を要請するのだろうか？

これも離散時間と同様に、t 時点における資本蓄積 k(t) を用いた生産の値を g(k(t)) で表すことにし、投資を i(t) で表すことにすると、次の式c(t) + i(t) = g(k(t))
が成り立っていなければならない。一方で、資本は i(t) の分だけ増加するが、同時に一定割合 d > 0 で壊れるので、k̇(t) = i(t) − dk(t)が成り立っていなければならない。両者を合わせると、k̇(t) = g(k(t)) − dk(t) − c(t)を得るので、我々は公式

f (k(t)) = g(k(t)) − dk(t)(2)を得ることになる。
離散時間のときの公式、

f (kt ) = g(kt ) + (1 − d)k(t)と比較してみると、f の形が変わっていることに気づく。g が狭義凹関数であれば f も狭義凹関数であることまでは前回と同じだが、g に稲田条件

lim g ′ (k) = +∞, lim g ′ (k) = 0k→0k→∞を課すと、

lim f ′ (k) = +∞, lim f ′ (k) = −d < 0k→0k→∞となって、f はもはや増加関数ではなくなる。この点は離散時間と連続時間で f に仮定できる条件が異なるということなので、強く注意しなければならない。

・オイラー方程式とデュボワ＝レーモンの補題
さて、簡単化のために上の問題に解 (k ∗ (t), c∗ (t)) が存在し、しかも k ∗ (t) > 0 とc∗ (t) > 0 が常に成り立っているとしよう。このとき、この解は以下のオイラー方程式d ′ ∗(u ◦ c )(t) = (ρ − f ′ (k ∗ (t)))(u′ ◦ c∗ )(t)dt(3)を満たす。これを証明してみよう。
最初に、次の補題を証明しておこう。これは、変分法でデュボワ＝レーモンの補題と呼ばれている定理の、亜種である。
補題１ (du Bois-Reymond)：b(t) は [t0 , t1 ] 内の連続関数であり、x(t1 ) = 0 かつ

∫ t1x(t)dt = 0t0を満たすすべての連続関数 x(t) に対して、∫ t1b(t)x(t)dt = 0t0が成り立つとする。このとき、b(t) は定数関数である。

証明：仮に定数関数でないとすれば、t2 , t3 という二点があって、b(t2 ) ̸= b(t3 ) が成り立つ。一般性を失うことなく t0 ≤ t2 < t3 ≤ t1 であると仮定してよい。また、必要ならば bと −b を交換することで、b(t2 ) > b(t3 ) であると仮定してよい。さらに、b が連続である
ことから、必要ならば t2 や t3 を少しだけずらして、t0 < t2 < t3 < t1 であると仮定してよい。さらに、b(t) は連続であるから、δ > 0 を十分小さく取れば、

0 < 2δ < min{t2 − t0 , t3 − t2 , t1 − t2 },min{b(t)||t − t2 | ≤ δ} > b∗ > max{b(t)||t − t3 | ≤ δ}となる。そこで、


if |t − t2 | ≤ δ,δ − |t − t2 |x(t) = −δ + |t − t3 | if |t − t3 | ≤ δ,
0otherwise,と定義すれば、x(t1 ) = 0 かつ

∫ t1x(t)dt = 0t0であるが、一方で∫ t1b(t)x(t)dt > 0t0となってしまい、矛盾が生ずる。以上で証明が完成した。 ■さて、T > 0 を固定し、x(T ) = 0 かつ

∫ Tx(t)dt = 00となる連続関数 x(t) を取ってきて、∫ tk(t) =x(s)ds0と定義しよう。すぐわかることは、k(0) = k(T ) = 0 かつ k̇(T ) = 0 であることである。
これを用いて、{k ∗ (t) + sk(t) if 0 ≤ t ≤ T,
ks (t) =k ∗ (t)otherwise,cs (t) = f (ks (t)) − k̇s (t)と定義すると、これらは |s| が十分小さいときにはいつでも 0 以上な連続関数であり、さらに

∫ ∞
e−ρt

∫ Tu(cs (t))dt =e0−ρt∫ ∞u(cs (t))dt +0e−ρt u(c∗ (t))dtTは定義可能で、よって、問題 (1) の制約条件をすべて満たす。そこで、∫ ∞g(s) =e−ρt u(cs (t))dt0と定義すると、(k ∗ (t), c∗ (t)) = (k0 (t), c0 (t)) が解であることから、g は s = 0 で極大となる。よって、もし g が s = 0 で微分可能ならば g ′ (0) = 0 でなければならないが、積分記号下の微分公式から、∫ T′g (0) =e−ρt [u′ (c∗ (t))f ′ (k ∗ (t))k(t) − u′ (c∗ (t))k̇(t)]dt0となることが簡単に示せる。ここの前半部に部分積分公式∫ T∫ T′h (t)ℓ(t)dt = h(T )ℓ(T ) − h(0)ℓ(0) −0h(t)ℓ′ (t)dt0を適用すると、

0 = g ′ (0)∫ T∫ T−ρt ′ ∗′ ∗=e u (c (t))f (k (t))k(t)dt −e−ρt u′ (c∗ (t))k̇(t)dt00]
∫ [∫T

T=
0e−ρτ u′ (c∗ (τ ))f ′ (k ∗ (τ ))dτ − e−ρt u′ (c∗ (t)) k̇(t)dttを得る。k̇(t) = x(t) なので、補題１から、ある定数 b∗ が存在して、∫ Te−ρτ u′ (c∗ (τ ))f ′ (k ∗ (τ ))dτ − e−ρt u′ (c∗ (t)) = b∗tがすべての t に対して成り立つということがわかる。これを変形すると、

e−ρt ′∗∫ Tu (c (t)) =e−ρτ u′ (c∗ (τ ))f ′ (k ∗ (τ ))dτ − b∗tであるから、両辺を t で微分すれば、−ρe−ρt u′ (c∗ (t)) + e−ρtd ′ ∗(u ◦ c )(t) = −e−ρt u′ (c∗ (t))f ′ (k ∗ (t))dt(4)となり、これを整理することによって、オイラー方程式 (3)、つまりd ′ ∗(u ◦ c )(t) = (ρ − f ′ (k ∗ (t)))(u′ ◦ c∗ )(t)dtが得られたことになる。
なお、u の二階微分可能性を仮定すれば、c∗ は微分可能であることが (4) 式からただちにわかる。したがって、その場合にはオイラー方程式をさらに変形して、u′ (c∗ (t))
ċ∗ (t) = (ρ − f ′ (k ∗ (t))) ′′ ∗u (c (t))とすることが可能である。教科書の中には、こちらを採用しているものも多い。

・横断性条件
連続時間モデルでの横断性条件は

lim e−ρT u′ (c∗ (T ))k ∗ (T ) = 0

T →∞(5)で表される。(3) 式と (5) 式が解の十分条件であることを示そう。まず、離散時間のときと同様に、

L(k, k̇) = u(f (k) − k̇)と定義すれば、この関数は二変数の凹関数であり、よって任意の (k, k̇) に対して、

L(k, k̇) − L(k ∗ (t), k̇ ∗ (t))∂L ∗∂L ∗(k (t), k̇ ∗ (t))(k − k ∗ (t)) +(k (t), k̇ ∗ (t))(k̇ − k̇ ∗ (t))∂k∂ k̇
= u′ (c∗ (t))f ′ (k ∗ (t))(k − k ∗ (t)) − u′ (c∗ (t))(k̇ − dotk ∗ (t))≤を得る。したがって (3) 式と (5) 式と部分積分公式から、問題 (1) の条件を満たすどんな(k(t), c(t)) に対しても、∫ Te−ρt∫ Tu(c(t))dt −0∫ T=e−ρt u(c∗ (t))dt

0e−ρt [L(k(t), k̇(t)) − L(k ∗ (t), k̇ ∗ (t))]dt0∫ T≤e−ρt ′∗′∗∫ T∗u (c (t))f (k (t))(k(t) − k (t))dt −0∫ T=e−ρt u′ (c∗ (t))(k̇(t) − k̇ ∗ (t))dt0e−ρt [(f ′ (k ∗ (t)) − ρ)u′ (c∗ (t)) +0d ′ ∗(u ◦ c )(t)](k̇(t) − k̇ ∗ (t))dt
dt+ e−ρT u′ (c∗ (T ))(k ∗ (T ) − k(T ))= e−ρT u′ (c∗ (T ))(k ∗ (T ) − k(T ))≤ e−ρT u′ (c∗ (T ))k ∗ (T ) → 0 as T → ∞という評価式を得る。よって∫ ∞e−ρtu(c(t))dt ≤0∫ ∞e−ρt u(c∗ (t))dt0となり、したがって (k ∗ (t), c∗ (t)) は問題の解である。

・ＨＪＢ方程式
連続時間のときのベルマン方程式に対応するものはハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式（以下、ＨＪＢ方程式）と呼ばれ、これはmax{(f (k) − c)V ′ (k) + u(c)} − ρV (k) = 0c≥0という形で表される。以下、(1) に解が存在することを既知として、このＨＪＢ方程式を導出してみよう。
まず、価値関数 V (k) の定義を明確にしておこう。(k ∗ (t), c∗ (t)) が k̄ = k であるときの問題 (1) の解であるとき、V (k) =∫ ∞ −ρt ∗e u(c (t))dt である。解が存在する場合、価0値関数は連続微分可能であることが Benveniste and Scheinkman (1979) で証明されているので、以下の議論ではそれを用いることにする。また、(k(t), c(t)) が (1) の制約条件をk̄ = k に対して満たしていれば、任意の T に対して∫ T
V (k) ≥0e−ρt u(c(t))dt + e−ρT V (k(T ))であることは、離散時間のときと同様に簡単に示せるので、以下ではそれを前提として扱う。さらに (k ∗ (t), c∗ (t)) に対しては当然ながら、∫ T
V (k) =e−ρt u(c∗ (t))dt + e−ρT V (k ∗ (T ))0である。
さて、まず、k > 0 と c ≥ 0 に対して、[0, ε] 上で c(t) = c が常に満たされるような、(1) の制約条件を満たす (k(t), c(t)) を考える。そのようなものは、ε > 0 さえ十分小さければ、常に存在することが示せる。そこで、∫ εe−ρt u(c)dt + e−ρε V (k(ε)) ≤ V (k)0である。両辺から V (k(ε)) を引いて ε > 0 で割り算すると、

V (k(ε)) − V (k(0))
1−≥εεを得る。ε ↓ 0 として、

∫ εe−ρt u(c)dt +0e−ρε − e−ρ0V (k(ε))ε−k̇(0)V ′ (k) ≥ u(c) − ρV (k)を得るので、これを整理すれば、(f (k) − c)V ′ (k) + u(c) − ρV (k) ≤ 0を得る。c ≥ 0 はなんでもよかったので、max{(f (k) − c)V ′ (k) + u(c)} − ρV (k) ≤ 0c≥0がわかった。
また、離散時間のときと同様、V は凹関数であることが示せる。したがってそれを使うと、∫ t0−(f (k ∗ (s)) − c∗ (s))V ′ (k)ds = V ′ (k)(k − k ∗ (t))≤ V (k) − V (k ∗ (t))∫ t=e−ρs u(c∗ (s))ds + (e−ρt − 1)V (k ∗ (t))
0を得る。よってこれをまとめて

∫ t

∗

′∗

∫ t

[(f (k) − c (s))V (k) + u(c (s))]ds +(e−ρs − 1)u(c∗ (s))ds00∫ t(f (k ∗ (s)) − f (k))V ′ (k)ds + (e−ρt − 1)V (k ∗ (t)) ≥ 0+0を得る。さらに、∫ t[(f (k) − c∗ (s))V ′ (k) + u(c∗ (s))]ds ≤ max{(f (k) − c)V ′ (k) + u(c)}tc≥00

なので、これを使うと、∫1 t −ρsmax{(f (k) − c)V (k) + u(c)} +(e− 1)u(c∗ (s))dsc≥0t 0∫
1 te−ρt − 1+(f (k ∗ (s)) − f (k))V ′ (k)ds +V (k ∗ (t)) ≥ 0
t 0t′を得る。t ↓ 0 とすれば、max{(f (k) − c)V ′ (k) + u(c)} − ρV (k) ≥ 0c≥0がわかるが、前の不等式と併せて、max{(f (k) − c)V ′ (k) + u(c)} − ρV (k) = 0c≥0がわかった。以上で証明が完成した。