線形代数続論演習
担当 丹下 基生：研究室 (B715) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）

第 7 回（’16 年 6 月 10 日：Keywords · · · 正規行列、符号）———————————————————————————————————————————————

今日の課題.
1．正規行列の対角化できるようにする．
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まとめ.
7-1. 正規行列の性質・・・複素正方行列が正規行列であることと、あるユニタリー行列 P によって、−1P AP が対角行列となることは同値である．
特に、正規行列であるなら、その α を A の固有値とすると、ᾱ は A の固有値であり、それぞれのα の固有空間と ᾱ の固有空間は Cn の部分空間として一致する．
7-2. ユニタリー共役・・・行列 A, B がユニタリー共役であるとは、あるユニタリー行列 P が存在し∗て、P AP = B となることである．ユニタリー共役は、n 次正方行列において同値関係となる．
7-3. エルミート行列・・・正方行列 A が A∗ = A となること．
7-4. 射影子・・・Cn の任意の部分空間 W に対して、Cn = W ⊕ W ⊥ なる直交補空間 W ⊥ が存在する．
線形変換 f : Cn → Cn を任意の x1 ∈ W 、 x2 ∈ W ⊥ に対して、 f : x1 + x2 7→ x1 として定義する．このとき、この f の表現行列 A は A2 = A かつ A∗ = A を満たす．このような線形変換 f のことを射影子という．
7-5. スペクトル分解・・・任意の正規行列 A を

A=r∑λi Pii=1のように、射影子 Pi の線形和に分けることを言う．ここで、Pi は A の固有値 λi への射影子である．
7-6. 符号・・・A をエルミート行列とする．エルミート行列の固有値は、実数である．正の固有空間の次元の和を、 p とし、負の固有空間の次元の和を q とするとき、(p, q) を行列 A の符号という．
また p − q のことを符号数という．
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B-7-1. [ユニタリー共役]
ユニタリー共役は、同値関係であることを示せ．

B-7-2. [正規行列の同値命題]
A を n 次の正方行列とし、λ1 , · · · , λr をその相異なる固有値とするとき、A が正規行列である
ことは、固有空間の和が Cn 全体と一致し、Vλi が互いに直交することと同値であることを示
せ．

B-7-3. [正規行列の同値命題]

正方行列が正規であるためには、||Ax|| = ||A∗ x|| であることを示せ．

B-7-4. [直交する部分空間の射影子]

W, W ′ を部分空間とし、その射影子を A, A′ とする．このとき、W ⊥ W ′ であるための必要十分条件は、AA′ = 0 であることを示せ．

B-7-5. [正規行列]
A = B + iC とし、 B, C がエルミート行列であるとする．このとき、A が正規行列であるためには、 BC = CB であることと同値であることを示せ．

B-7-6. [射影子のエルミート性]

任意の W への任意の射影子を f とすると、 f はエルミート性 f ∗ = f を満たすことを示せ．

B-7-7. [正規行列の対角化]
次の行列が正規行列であることを確かめ、あるユニタリー行列によって対角化せよ．

1 2
(1) 2 10 −1(2) 1 0
0 0 1(3) 0 1 0


1 0 1



1 1 0(4) 1 4 3


0 3 1

√ 

 210
0


(5)  0−12  √10 2−1 1 −1 0(6) −1 −1 1


0 1 1



 2 −1 −1(7) −1 2 −1−1 −1 2 1 ω2 ω (8)  ω 1 ω2 （ω は 1 の三乗根） 2ω ω 1 0 1 −1(9)  1 0 1 
−1 1 0−1 2 2 (10)  2 −1 2 
−2 2 −10 1 0(11) 1 0 0
0 0 1

0 0 1(12) 1 0 0


0 1 0

B-7-8. [2 次実正規行列の分類]
任意の 2 次の実正規行列は対称行列もしくは交代行列であることを示せ．

B-7-9. [行列の符号]
次の行列の符号を求めよ．

0 1(1) 1 01 1 1(2) 1 1 1
1 1 1
0 2(3) 2 11 0 1(4) 0 1 1

1 1 2
1 1 (5) 1 −11 1 1(6) 1 0 1
1 1 1

 2 −1(7) −1 1  0 −1 1 (8) −1 1 −1
1 −1 1———————————————————————————————————————————————

C-7-1. [正規行列の射影子によるスペクトル分解]
P2 = P かつ P∗ = P を満たす行列を射影子という．このとき、以下の問題に答えよ．
(1) W, W ′ を部分空間とし、その射影子を P, P′ とする．このとき、W ⊥ W ′ であるための必要十分条件は、PP′ = 0 であることを示せ．
(2) P を正則行列とする．その第 i 列を pi とする．また、Ei を、(i, i) 成分のみ 1 で、他は 0 となる行列とする．このとき、線形変換 PEi P−1 は、 p j 7→ δi j p j となる線形変換であることを示せ．ここで、δi j はクロネッカーのデルタである．
(3) A を n 次正規行列であるとする．{λ1 , · · · , λr } を A の相異なる固有値とする．A の固有空間 Vλi への射影子を Pi とすると、
A = λ1 P1 + · · · + λr Prが成り立つことを示せ．ただし、正規行列があるユニタリー行列 U によって対角化できることは用いても良い．ここで、U はユニタリー行列で、U −1 AU = D となり、D は対角行列であり、U の縦ベクトルは、A の固有ベクトルと一致する．また、考えにくければ、r = n として考えて良い．

(4) さらに、
E = P1 + · · · + Prが成り立つことを示せ．

C-7-2. [正規行列の対角化]2 1 1
行列 A = 1 2 1 に対して、以下の問題に答えよ．

1 1 2
(1) A は正規行列であることを示せ．
(2) A の固有値と固有空間の基底を求めよ．
(3) A をユニタリー行列によって対角化せよ．
(4) A のスペクトル分解を与えよ．
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