ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΕισαγωγή
1. Στοιχεία συνοµολογίας
1. Ορισµός και ιδιότητες………………………………………….. 32. Υπολογισµός οµάδων συνοµολογίας χαµηλής διάστασης……… 9
3. Πηλίκο του Herbrand ………….…….…………………………. 11
4. Η ακολουθία Restriction-Inflation……………………………… 12
5. Τετριµµένη Συνοµολογία………………………………………. 13
6. Θεώρηµα του Τate……………………………………………… 15
2. Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας αριθµών
1. Εισαγωγικά……………………………………………………..
2. Εκτιµήσεις (valuations) αλγεβρικών σωµάτων αριθµών………
3. Idele…………………………………………………………….

16
23
26

3. Η απόδειξη του θεωρήµατος των Golod-Shafarevich
1. Η απόδειξη του θεωρήµατος των Golod-Shafarevich…………..

1

31

«Die Klassenkorpertheorie ist das Herzstuck der algebraischen Zahlentheorie
und zweifellos eine den bedeutendsten Kulturleistungen des 20 Jahrhunderts.»
Helmut Koch 1987.

«He wrote to me that algebraic number theory was the most beautiful topic he
had ever come across and that the sole consolation in misery was his lecturing
on class field theory…
This was indeed the kind of mathematics he had admired most the main results
are of great scope, of great aesthetic beauty, but the proofs are technicallyextremely hard.»
Α.Βorel about Harish-Chandra, 1995.

2

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΠΥΡΓΟΥ ΤΩΝΚΛΑΣΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝΕΙΣΑΓΩΓΗΣτην εργασία αυτή ασχολούµαστε µε το λεγόµενο πρόβληµα του πύργου τωνκλάσεων σωµάτων. Το πρόβληµα τέθηκε από τον Furtwangler και αναφέρεται στοKlassenkorperbericht του Hasse στα 1926 σε συνδυασµό µε το, αναπόδεικτο τότε,θεώρηµα των κυρίων διαιρετών. Η απάντηση στο πρόβληµα δόθηκε στα 1964 απότους Golod και Safarevich. Η απόδειξη που θα παρουσιάσουµε είναι του P.
Roquette όπως αυτή αναφέρεται στο [CF]. Για κάπως διαφορετικές προσεγγίσειςστο θέµα παραπέµπουµε στα [H], [S] και [SH].
Για την διαπραγµάτευση του θέµατος απαιτούνται γνώσεις αλγεβρικής θεωρίας
αριθµών, θεωρίας οµάδων, συνοµολογίας πεπερασµένων οµάδων καθώς καιστοιχεία θεωρίας κλάσεων σωµάτων. Ήταν πρακτικά αδύνατο να συµπεριλάβουµε
όλο αυτό το υλικό στην µεταπτυχιακή µας εργασία, αναφερόµαστε όµως ενσυντοµία στα δύο πρώτα κεφάλαια.
Το πρόβληµα τέθηκε ως εξής:Μία από τις πιο σηµαντικές διαφορές ανάµεσα στην αριθµητική των αλγεβρικών
σωµάτων αριθµών Κ και στην αριθµητική του Q είναι ότι ο δακτύλιος τωνακεραίων αλγεβρικών αριθµών του Κ δεν είναι για όλα τα σώµατα Κ, δακτύλιος
κυρίων ιδεωδών, όπως είναι το Ζ. Υπάρχουν δηλαδή αλγεβρικά σώµατα αριθµών
Κ µε αριθµό κλάσεων ιδεωδών hK>1. Εντελώς φυσιολογικά τίθεται το ερώτηµα ανµπορεί το Κ να εµφυτευτεί σε κάποιο άλλο αλγεβρικό σώµα αριθµών L µε αριθµόκλάσεων ιδεωδών hL=1. Aν αυτό είναι δυνατόν τότε θα µπορούσαµε ίσως από το Κνα περάσουµε στο L να εργαστούµε πολύ πιο εύκολα σ΄ αυτό, λόγω του ότι hL=1,και να «επιστρέψουµε» στο Κ. Το πρόβληµα αυτό θα λέγεται πρόβληµαεµφύτευσης του Κ και το L θα λέγεται µια λύση του προβλήµατος εµφύτευσης.
Έστω τώρα Κ1 το σώµα κλάσεων του Hilbert του Κ. Το Κ1 ορίζεται ως η maximal,µη διακλαδιζόµενη (ως προς όλους τους πρώτους πεπερασµένους και άπειρους)αβελιανή επέκταση του Κ. Από τη θεωρία κλάσεων σωµάτων είναι γνωστό ότι ηοµάδα Galois της επέκτασης Κ1 του Κ είναι ισόµορφη προς την οµάδα τωνκλάσεων ιδεωδών ClK του Κ. Εποµένως [Κ1:Κ]=hK. To θεώρηµα των κυρίων
διαιρετών ([Ν] ) µας εξασφαλίζει ότι όλα τα ιδεώδη του Κ γίνονται κύρια ιδεώδηστο Κ1. Αυτό βεβαίως δεν σηµαίνει ότι όλα τα ιδεώδη του Κ1 είναι κατ΄ανάγκη
κύρια. Είναι κάλλιστα δυνατό να έχουµε hK1>1. Σε αυτή την περίπτωση θεωρούµετο σώµα Hilbert K2 του σώµατος Κ1. Συνεχίζοντας όµοια κατασκευάζουµε έναπύργο σωµάτωνΚ ⊆ Κ1 ⊆ Κ2 ⊆ …

3όπου το Κi για κάθε i=1,2,3… είναι το σώµα του Hilbert του Ki-1. Ο πύργος αυτός
∞λέγεται πύργος των κλάσεων σωµάτων του Κ. Έστω Κ∞ = 7 Κi. Το Κ∞ είναι
i =1

αλγεβρικό σώµα αριθµών το οποίο όµως είναι δυνατόν να είναι άπειρη επέκτασητου Q. Στο Κεφάλαιο 3 θα αποδείξουµε ότι το πρόβληµα εµφύτευσης του Κ είναι
ισοδύναµο µε το πεπερασµένο του πύργου κλάσεων σωµάτων αυτού. Εποµένως,αρκεί να µελετήσουµε τον πύργο κλάσεων σωµάτων. Το θεώρηµα των Golod –Shafarevich µας δίνει ότι ο πύργος των κλάσεων δεν είναι πάντοτε πεπερασµένος.

4ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΟΜΟΛΟΓΙΑΣΣτο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούµε στα στοιχεία συνοµολογίας πεπερασµένωνοµάδων τα οποία είναι απαραίτητα για την απόδειξη του θεωρήµατος τουShafarevich.
Πλήρη ανάπτυξη της θεωρίας µε στόχο την συνοµολογιακή παρουσίαση τηςθεωρίας κλάσεων σωµάτων (class field theory) µπορεί ο ενδιαφερόµενος
αναγνώστης να βρει στο [W] ή στο [AW] που είναι µέρος του βιβλίου [CF].
Χρήσιµες για µια πιο εκτεταµένη εισαγωγή στη θεωρία συνοµολογίας, από ότιείναι το παρόν κεφάλαιο, είναι και οι σηµειώσεις [A1].

1.Ορισµός και ιδιότητες
Ορισµός1.1Έστω G πεπερασµένη οµάδα. Μια αβελιανή (προσθετικά) οµάδα Α θα λέγεταιG-module όταν η G δρα επί της Α και ισχύουν :(i)1α=α για κάθε α ∈ Α(ii)σ(α+β)=σ(α)+σ(β) για κάθε α,β ∈ Α και σ∈ G(iii)σ(τα)=(στ)(α) για κάθε α ∈ Α και σ,τ∈ G.
Ορισµός 1.2
Σε κάθε πεπερασµένη οµάδα G ορίζεται ο δακτύλιος οµάδαςΖ[G]={ å nσσ / nσ ∈ Ζ}.
σ ∈GΤο Ζ[G] είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα παραγόµενη από τα στοιχεία της G. H
πρόσθεση των στοιχείων της Z[G] ορίζεται ως εξής :å nσσ + å mσσ= å (nσ+mσ) σ.
σ ∈G

σ ∈G

σ ∈G

Αν ορίσουµε και τον πολαπλασιασµό :( å nσσ)( å mσσ)= å ( å nσnρ )σ,
σ ∈G

σ ∈G

σ ∈G

τρ =σ

τότε το Ζ[G] γίνεται δακτύλιος και λέγεται δακτύλιος οµάδας της G.
Παρατήρηση 1.3
Εύκολα διαπιστώνουµε οτι η έννοια του G-module ταυτίζεται µε τηνσυνηθισµένη έννοια του Ζ[G]-module. Το Ζ[G] είναι, ως προσθετική οµάδα,επίσης ένα G-module.

5O δακτύλιος των ακεραίων Ζ είναι πάντοτε G-module ως προς κάθεπεπερασµένη οµάδα G µε τετριµµένη δράση. Οµοίως το Q και η οµάδαπηλίκων Q/Z.
Θεωρούµε την απεικόνιση,ε : Z[G] → Z, όπου ε( å nσσ = å nσ).
σ ∈G

σ ∈G

Εύκολα διαπιστώνουµε οτι η ε είναι οµοµορφισµός δακτυλίων.
Ο πυρήνας του οµοµορφισµού της ε
IG:={ å nσσ / å nσσ =0}
σ ∈G

σ ∈G

είναι ως γνωστό, ένα ιδεώδες του Ζ[G] και λέγεται augmentation ιδεώδες τουΖ[G].
Αν Α, Β είναι G-modules τότε µε Hom(A,B) θα συµβολίζουµε την οµάδα τωνοµοµορφισµών οµάδων f : A → B.
Ορισµός 1.4
Ο οµοµορφισµός f : A → B θα λέγεται G-οµοµορφισµός αν, επί πλέον, ισχύει
f(σα)=σf(α) για κάθε σ∈ G και για κάθε α ∈ Α.
Το σύνολο των G-οµοµορφισµών f : A → B αποτελεί υποοµάδα της οµάδας
Hom(A,B) και συµβολίζεται µε ΗomG(A,B). H οµάδα των οµοµορφισµώνΗοm(A,B) γίνεται G-module µε δράση
σ(f)=σfσ-1.
Σε κάθε G-module Α ορίζουµε το σύνολο
AG:={α∈ Α/σ(α)=α, για κάθε σ ∈ G}.
Εύκολα διαπιστώνουµε ότι το ΑG είναι ένα G-module και µάλιστα το µέγιστουποmodule του Α στο οποίο η G δρα τετριµµένα και θα λέγεται η οµάδα τωνσταθερών στοιχείων της Α.
Με ΝG θα συµβολίζουµε το στοιχείο ΝG= å σ της Ζ[G]. Η απεικόνισησ ∈Gµ : Ζ → Ζ[G], όπου µ(n)=nNG για κάθε n∈ Zείναι επίσης οµοµορφισµός οµάδων.
Παρατήρηση 1.5(i)Σύµφωνα µε τα παραπάνω, έχουµεΗomG(A,B)=(Ηom(A,B))Gκαι ειδικά :ΗomG(Z,A)=(Ηom(Z,A))G=ΑG.
(ii)Επειδή ο τελεστής Ηom είναι αριστερά ακριβής (δες, [A1]) έπεται ότι, αν η
0→Α→Β→C→0

6

είναι ακριβής ακολουθία από G-modules, τότε η
0 → AG → BG → CG → 0είναι µία ακριβής ακολουθία αβελιανών οµάδων.
Έστω τώρα G µία πεπερασµένη οµάδα.
Μία πλήρης ελεύθερη επίλυση (resolution) της οµάδας G ( ή του G-module Z,όπου η δράση της G στον Ζ είναι τετριµµένη, δηλαδή σm=m για κάθε σ∈ G) είναι
το εξής (complex):

d
d
d
d
…
→ X2 →X1 →
X0 →
X-1 →
X-2 
→ …
2

−1

0

1

Z
0

0

όπου ε : Χ0 → Ζ και µ : Ζ → Χ-1µε τις παρακάτω ιδιότητες :(i) Xq είναι ελεύθερο G-module για κάθε q∈ Z(ii) ε,µ,dq είναι G-οµοµορφισµοί, για κάθε q ∈ Z(iii) d0=µ o ε(iv) έχουµε ακρίβεια της ακολουθίας σε κάθε θέση.
Η απάντηση στο ερώτηµα αν κάθε οµάδα G επιδέχεται µία τέτοια επίλυση είναι
θετική. Επιδέχεται τουλάχιστο την standard επίλυση η οποία έχει το πρότυπο τηςστην αλγεβρική τοπολογία.
Για κάθε q ≥ 1 ορίζουµε τα σύµβολα[σ1,σ2,…,σq] / σi∈ G (q-κυψελίδες )και τα χρησιµοποιούµε σαν ελεύθερους γεννήτορες των G-modules µας. ΘέτουµεΧq=X-q-1= å ⊕ Z[σ1,σ2,…σq](τα Χq=X-q-1 παράγονται σαν ελεύθερα Ζ-module από σ[σ1,σ2,…,σq] / σ, σi ∈ G).
Χ0=Χ-1=Ζ[G] είναι το ελεύθερο G-module που παράγεται από τα στοιχεία της G(σαν Ζ-module).
ε : Ζ[G] → Z, όπου ε( å nσσ)= å nσ
σ ∈G

σ ∈G

µ(n)=nNG
d1([σ])=σ[σ]-[σ]

7

q −1

dn([σ1,…,σq])=σ1[σ2,…,σq]+ å (-1)i[σ1,σ2,…,σi-1,σi.σi+1,…,σq]i =1+(-1)n[σ1,σ2,…,σq-1] n ≥ 1.
d-1([.])= å (σ-1[σ]-[σ])σ ∈Gqd-q-1([σ1,…,σq]= å σ1[σ,σ1,…,σq]+ å
σ ∈Gå (-1)

q+1

σ ∈G

i

å (-1) [σ1[σ1,…,σi-1,σi,σi+1,…,σq]+

σ ∈G

i =1

[σ1,σ2,…,σq,σ], q>1.

Θεώρηµα 1.6Τα παραπάνω είναι µία πλήρης ελεύθερη ανάλυση της οµάδας G.
Απόδειξη∆ες, [W], Th.1.3.1 και Th.1.4.1, σελίδες 14,18.
Έστω τώρα Α ένα G-module. Για κάθε q ∈ Z, ορίζουµε την q-αλυσίδα
Aq:=HomG(Xq,A)={f : Xq → A / f, G-οµοµορφισµός}τις q-αλυσίδες του Α.
Η ακριβής ακολουθία
d
d
d
d
…
X1 →
X0 →
X-1 →X-2 
→ X2 →→ …
επάγει την, εν γένει µη ακριβή, ακολουθία
∂
∂
∂
… →
Α-1 →Α0 →
Α1 
→ …
όπου ( ∂ q+1 ο ∂ q)(φ)= ∂ q+1( ∂ q(φ))= ∂ q+1(φ ο dq)=φ ο dq ο dq+1=φ ο 0=0.
Άρα Im( ∂ q) ⊆ Ker ∂ q+1 οπότε ορίζουµε
Ζq=Ker ∂ q+1 τους q-συνκύκλους (q-cocycles)Βq=Im ∂ q τα q-συνσύνορα (q-cocboyndary)qκαι H (G,A)=Zq/Bq=q-οµάδα συνοµολογίας µε συντελεστές στο Α.
Αποδεικνύεται ότι οι οµάδες συνοµολογίας Ηq(G,A) είναι ανεξάρτητες από τηνεπίλυση (complex) (δές, [W], Prop.2.2.1, σελ.55).
To Χq παράγεται ελεύθερα από q-κυψελίδες [σ1,…σq] του καρτεσιανού γινοµένου.
H f ορίζεται από τις τιµές στις q-κυψελίδες. Άρα η f µπορεί να θεωρηθεί σανσυνάρτησηf : G × G × … × G → A.
(q φορές)Λόγω του ορισµού των dq οι ∂ q ορίζονται ως εξής :∂ qα= d0=NGα( ∂ 1α)([σ])=σα-α
2

−1

1

0

0

1

∂ qf([σ1,…,σq])=σ1f([σ2,…,σq])+

8

−1

q −1

+ å (-1)if([σ1,σ2,…,σi-1,σi,σi+1,…,σq])
ε =1+(-1)nf([σ1,σ2,…,σq-1]) ,f∈ Aq-1, q ≥ 1∂ -1f= å(σ-1[σ]-f[σ])σ ∈G( ∂ -q-1f)([σ1,…,σq])= å σ1f([σ,σ1,…,σq])+σ ∈G+å+ å (-1)

σ ∈G

q+1

σ ∈G

q

i

å (1) f([σ1[σ1,…,σi1,σi,σi+1,…,σq])+i =1

f([σ1,σ2,… ,σq,σ]), q ≥ 0, x∈ A-q-2.

2.Υπολογισµός οµάδων συνοµολογίας χαµηλής διάστασης
Συµβολισµοί : AG:={α∈ Α / σ(α)=α, για κάθε σ∈ G}
ΝG: = å σ ∈ Ζ[G]σ ∈G

NGA:={NG α= å α/ α ∈ Α}σ ∈G

NA:={α∈ Α/ΝGα=0}.
Πρόταση 2.1
Ισχύει :Η0(G,A)=AG/NGA.
AπόδειξηΓνωρίζουµε ότι Η0(G,A)=Z0/R0 όπου Ζ0=Ker( ∂ 1)=={f∈ A / σf-f=0 για κάθε σ ∈ G}=={f∈ A / σf=f για κάθε σ∈ G}=AG
R0=Im ∂ 0 ={α ∈ Α / υπάρχει α∈ Α, ΝGα΄=α}=ΝGA.
Πόρισµα 2.2Αν η G έχει τάξη n και δρα τετριµµένα επί της Α τότε: Η0(G,A)=A/nA.
Iδιαίτερα Η0(G,Z)=Z/nZ.
Aν L/K επέκταση του Galois, µε G=G(L/K) τότε Η0(G,L*)=K*/NL/KL*.
Aπόδειξη9Το Κ είναι το σώµα σταθερών στοιχείων της G, (L*)G=K* και επειδή το module L*είναι πολλαπλασιαστικό έχουµε
ΝGL*={ ∏ σ(α)/α ∈ L*}=NL/KL*.
σ ∈GΠρόταση 2.3
Ισχύει :Η1(G,A)={σταυρωτοί oµοµορφισµοί}/{κύριους σταυρωτούς οµοµορφισµούς}ΑπόδειξηΓνωρίζουµε οτι Η1(G,A)=Z1/R1, όπουΖ1=Ker ∂ 2 ={f : G → A / ∂ 2 f=0}={ f : G → A / σf(τ)-f(στ)+f(σ)=0 για κάθε σ,τ∈ G}={ f : G → A / f(στ)=σf(τ)+f(σ) για κάθε σ,τ∈ G}={ f : G → A / f σταυρωτός οµοµορφισµός}Β1=Ιm ∂ 1 ={ f : G → A / υπάρχει α∈ Α ∂ 1 α=f(σ) για κάθε σ∈ G}={ f : G → A / f(σ)=σα-α ,µε σταθερό α∈ G για κάθε σ∈ G }={ f : G → A / f κύριος σταυρωτός οµοµορφισµός}.
Έστω G΄ η οµάδα χαρακτήρων της G, G΄=Ηοm(G,Q/Z).
Aν η G δρα τετριµµένα επί του Α τότε,Η1(G,A)=Hom(G,A)διότι ο σταυρωτός οµοµορφισµός είναι οµοµορφισµός οµάδων, δηλαδή
f(στ)=f(σ)+f(τ), για κάθε σ,τ∈ G ενώ ο µοναδικός κύριος σταυρωτός οµοµορφισµόςείναι ο τετριµµένος f(σ)=0 για κάθε σ ∈ G. Ιδιαίτερα για Α=Q/Z έχουµε :Η1(G,Q/Z)=Ηom(G,Q/Z)=G΄ ≅ G/[G,G], όπου [G,G] η οµάδα τωνµεταθετών της G.
Θεώρηµα 2.4
Αν L/K είναι πεπερασµένη επέκταση του Galois και G=G(L/K), τότεΗ1(G,L*)=1.
AπόδειξηΗ L* είναι πολλαπλασιαστική οµάδα. Ισχύει
f∈ Z1 ⇔ f(στ)=(σf(τ))f(σ) για κάθε σ,τ∈ G.
Για κάθε β∈ L*, σχηµατίζουµε το άθροισµα γ(β):= å f(τ)τ(β).
τ ∈GΑν όλα αυτά τα αθροίσµατα γ(β) ήταν ίσα µε 0, για κάθε β∈ L*, τότε (επειδή οιαυτοµορφισµοί τ είναι γραµµικά ανεξάρτητοι) έχουµε ότι f(τ)=0 για κάθε τ∈ G.
Εποµένως υπάρχει β ∈ L* τέτοιο ώστε :γ= å f(τ)τ(β) ≠ 0.
τ ∈G

Εποµένως, για κάθε σ ∈ G, ισχύει :10

σγ= å (σf(τ)(στ(β))= å (f(στ)/f(σ))(στ)(β)
τ ∈G

τ ∈G

και εποµένως (σγ)f(σ)= å f(στ)(στ(β))=γ,τ ∈Gοπότε f(σ)=γ/γσ=σγ-1/γ-1, δηλαδή f∈ Β1. Αποδείξαµε εποµένως ότι Ζ1=Β1, δηλαδήότι Η1(G,L*)=Ζ1/Β1= 1.
Πόρισµα 2.5 (Θεώρηµα 90 του Hilbert )Έστω L/K κυκλική επέκταση βαθµού n και G=G(L/K)=<σ>. Αν α ∈ L:
NL/K(α)=1 τότε υπάρχει β∈ L* τέτοιο ώστε α=σ(β)/β.
ΑπόδειξηΟρίζουµε την απεικόνιση f : G → L* όπου f(1)=1, f(σ)=α, f(σ2)=α(σ(α)), … ,f(σn-1)=α(σα)…(σn-2α)Ισχύει f(σκσλ)=σκf(σλ)f(σκ), δηλαδή η απεικόνιση είναι 1-κύκλος.
Αλλά Η1(G,L*)=1, άρα η f είναι 1-σύνορο, f∈ B1 oπότε υπάρχει β∈ L* µεf(σ)=σ(β)/β και εποµένως α=f(σ)=σ(β)/β.
Θεώρηµα 2.6
i
j
Β
C
Αν 0 
→ Α 
→→
→ 0 είναι ακριβής ακολουθία από G-modules καιG-οµοµορφισµούς, τότε η αντίστοιχη ακολουθία των οµάδων συνοµολογίας
n
i
j
δ
…
Ηn(G,B) →Ηn(G,C) →Ηn+1(G,A) 
→ Η (G,A) →
→ …
(όπου δ* ο λεγόµενος συνδετικός οµοµορφισµός ) είναι επίσης ακριβής.
Απόδειξη∆ες, [W], Prop.2.2.4, σελίδα 57.
***

3.Πηλίκο του ΗerbrandΣτην παράγραφο αυτή υποθέτουµε ότι η G είναι µία κυκλική οµάδα τάξης n και Αένα G-module. Με hq(A) θα συµβολίζουµε την τάξη της οµάδας συνοµολογίας
Ηq(G,A) q=0,1,… υπό την προϋπόθεση ότι αυτή η οµάδα συνοµολογίας είναι
πεπερασµένη.
Αν λοιπόν οι οµάδες Η0(G,A) και Η1(G,A) είναι πεπερασµένες τότε το πηλίκο τουΗerbrand ορίζεται ως εξήςh(Α):=h0(A)/h1(A).
Πρόταση 3.1
Αν G είναι µια κυκλική πεπερασµένη οµάδα και Α ένα G-module τότεΗq(G,A)= Ηq+2(G,A).

11

Απόδειξη∆ες, [W], Prop.3.2.1, σελίδα 93.
Πρόταση 3.2
Έστω 0 → Α → Β → C → 0 µία ακριβής ακολουθία από G-modules ( η G είναι
κυκλική οµάδα). Τότε αν τα δύο από τα πηλίκα του Herbrand h(A), h(B), h(C)ορίζονται τότε ορίζεται και το τρίτο και µάλιστα ισχύει
h(B)=h(A)h(C).
ΑπόδειξηΛόγω της περιοδικότητας των οµάδων συνοµολογίας Ηq(G,A) (πρόταση 2.1) ηµακρά ακριβής συνοµολογιακή ακολουθία γίνεται ένα ακριβές εξάγωνο, όπουΗq(A) σηµαίνει Ηq(G,A) για κάθε G-module A. Xωρίς περιορισµό της γενικότητας
υποθέτουµε ότι τα πηλίκα h(A), h(B) ορίζονται. Θα αποδείξουµε ότι ορίζεται καιτο h(C) και µάλιστα h(C)=h(A)h(B).
Επειδή 0 → Α → Β → C → 0 έχουµε οτι η παρακάτω ακολουθία είναι ακριβής
Η0(Α) → Η0(Β)
Η1(C)

H0(C)

H1(B) ← H1(A)Υποθέτουµε οτι οι H0(A), Η1(Α), Η0(Β), Η1(Β) είναι πεπερασµένες. Έστω Μ1 ηεικόνα της Η0(Α) µέσα στην Η0(Β), Μ2 η εικόνα της Η0(Β) µέσα στο Η0(C) κ.ο.κ
σαρώνοντας το εξάγωνο κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε ηακολουθία
0 → Μ2 → Η0(C) → M3 → 0είναι ακριβής και τα Μ2 και τα Μ3 είναι πεπερασµένες οµάδες (η Μ2 διότι είναι
οµοµορφική εικόνα της Η0(Β) η Μ3 επειδή είναι υποοµάδα της Η1(Α)). Οπότε
Η0(C) είναι πεπερασµένη και όµοια και η Η1(C) είναι πεπερασµένη. ∆ηλαδή
ορίζεται το πηλίκο του Ηerbrand h(C). Η τάξη των οµάδων Η0(Α), H0(B), H0(C),Η1(Α), Η1(B), Η1(C) είναι αντίστιχα m6m1, m1m2, …, m5m6 όπου mi η τάξη της Μioπότε h(B)=h(A)h(C).

4.Η ακολουθία Restriction–Inflation

12Έστω G και G΄ δύο πεπερασµένες οµάδες και Α ένα G-module. Αν f : G΄ → G είναι
οµοµορφισµός οµάδων, τότε το G-module A γίνεται και G΄-module όπου η δράση
της G΄ στο Α ορίζεται µέσω της f,g΄(α):=f(g΄)α.
Εποµένως η f επάγει έναν οµοµορφισµό µεταξύ των οµάδων συνοµολογίας
f* : Hq(G,A) → Hq(G΄,Α).
Αν τώρα θεωρήσουµε την ειδική περίπτωση όπου η G΄=Η είναι υποοµάδα της G
και η f είναι η εµφύτευση της Η στην G τότε η επαγώµενη απεικόνιση µεταξύ τωνοµάδων συνοµολογίας λέγεται περιορισµός (restriction)και συµβολίζεται, Res :Hq(G,A) → Hq(H,Α).
Aν, επιπλέον, η οµάδα Η είναι κανονική υποοµάδα της G και σαν οµοµορφισµό fθεωρήσουµε την προβολή της G στην οµάδα πηλίκων της G/H τότε παρατηρούµεότι η υποοµάδα ΑΗ της Α, που είναι η υποοµάδα των σταθερών στοιχείων του Αµέσω της δράσης της Η, γίνεται G/H-module µε δράση (gH)α=gα για κάθε α∈ ΑΗκαι συνεπώς επάγει έναν οµοµορφισµό µεταξύ των οµάδων συνοµολογίαςκαι
Hq(G/Η,ΑΗ) και Hq(G,Α) ο οποίος λέγεται πληθωρισµός (inflation)συµβολίζεται µε
Ιnf : Hq(G/Η,ΑΗ) → Hq(G,Α).
Θεώρηµα 4.1Έστω Η µια κανονική υποοµάδα της G και Α ένα G-module. Τότε ηπαρακάτω ακολουθία είναι ακριβής
0 → Η1(G/H,AH) → Η1(G,A) → Η1(H,A).
Απόδειξη∆ες, [CF], Prop.4, σελίδα 100 .
Σηµείωση 4.2
Αν ισχύει επιπλέον ότι Ηi(H,A)=0 για κάθε i, 1 ≤ i ≤ q-1 όπου q ∈ N τότε η1infακολουθία
0 → Η1(G/H,AH) →Η1(G,A) Re→s Η (H,A) → 0 είναι ακριβής.
Aπόδειξη∆ες, [CF], Prop.5, σελίδα 101.

13

5. Τετριµµένη Συνοµολογία
Ορισµός 5.1
Ένα G-module Α λέγεται συνοµολογιακά τετριµµένο αν για κάθε υποοµάδα Η
της G η Ηq(H,A)=0 για όλους τους ακεραίους q.
Λήµµα 5.2
Έστω p ένας πρώτος αριθµός, G µια p-οµάδα και Α ένα G-module τέτοιο
ώστε pA=0. Οι παρακάτω προτάσεις είναι µεταξύ τους ισοδύναµες :(i) A=0(ii) H0(G,A)=0(iii) H0(G,A)=0.
Απόδειξη∆ες, [CF], Lemma 1, σελίδα 111.
Λήµµα 5.3
Έστω p ένας πρώτος αριθµός, G µια p οµάδα Α ένα G-module τέτοιο ώστεpA=0 και Η1(G,A)=0. Τότε το Α είναι ένα ελεύθερο module πάνω από το
F[G]=Λ/pΛ.
Απόδειξη∆ες, [CF], Lemma 2, σελίδα 111.
Θεώρηµα 5.4Έστω G µία p-οµάδα και έστω Α ένα G –module τέτοιο ώστε pΑ=0. Τότε οιπαρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες :(i) το Α είναι ένα ελεύθερο Fp[G]-module(ii) το Α είναι συνοµολογιακά τετριµµένο(iii) Ηq(G,A)=0 για κάθε ακέραιο q.
Απόδειξη∆ες, [CF], Th.6, σελίδα 112.
Θεώρηµα 5.5Έστω G µια p-οµάδα και Α ένα G-module χωρίς p-torsion. Τότε οι παρακάτω
προτάσεις είναι ισοδύναµες :(i) το Α είναι συνοµολογιακά τετριµµένο(ii) Ηq(G,A)=Ηq+1(G,A)=0 για κάποιο ακέραιο q(iii) το Α/pA είναι ένα ελεύθερο Fp[G]-module.
AπόδειξηΗ συνεπαγωγή από το (i) στο (ii) είναι προφανής.

14Από την (ii) στην (iii) έχουµε :Επειδή η ακολουθία
0 
→ Α 
→ Α 
→ Α/pΑ 
→ 0είναι ακριβής, προκύπτει ότι και η παρακάτω ακολουθία είναι ακριβής
q+1
q+1
→ Η (G,A/pΑ) → Η (G,A).
Ηq(G,A) Οπότε από το Θεώρηµα 4.4 έπεται οτι τo Α/pΑ είναι ελεύθερο Fp[G]-module,δηλαδή η (iii).
Από το (iii) στο (i) έχουµε :Από την ίδια ακριβή ακολουθία προκύπτει ότι η απεικόνιση
qp : Ηq(G,A) 
→ Η (G,A)είναι ισοµορφισµός για όλους τους ακεραίους q και όλες τις υποοµάδες Η της G.
Αλλά Ηq(G,A) είναι µια p-οµάδα οπότε Ηq(G,A)=0.
Πόρισµα 5.6Έστω Α ένα G-module το οποίο είναι Z-free και ικανοποιεί τις προϋποθέσεις
του προηγούµενου θεωρήµατος. Τότε για κάθε torsion free G-module B το Gmodule N=Ηom(A,B) είναι συνοµολογιακά τετριµµένο.
Aπόδειξη∆ες, [CF], Cor. σελίδα 112.

6. Θεώρηµα του ΤateΘεώρηµα 6.1Έστω Α ένα G-module και α ∈ Η2(G,A). Για κάθε p πρώτο έστω Gp µια Sylowp-υποοµάδα της G και υποθέτουµε ότι(i)H1(Gp,A)=0(ii)H2(Gp,A) γεννάται από ResG/Gp(α) και έχει τάξη ίση µε την τάξη της Gp.
Τότε για όλες τις υποοµάδες Η της G και για κάθε ακέραιο n ισχύει
Ηn(Η,Ζ) ≅ Hn+2(H,A).
Απόδειξη∆ες, [CF], Th.12, σελίδα 115.

15ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. Εισαγωγικά
Oρισµός 1.1
Κάθε πεπερασµένη επέκταση του Q η οποία περιέχεται στο σώµα τωνµιγαδικών αριθµών C θα λέγεται αλγεβρικό σώµα αριθµών .
παραδείγµαταQ(i), Q( 2 ),…
Oρισµός 1.2
Ένας µιγαδικός αριθµός θ λέγεται ακέραιος αλγεβρικός αν υπάρχει ένα µονικό
πολυώνυµο p(t) µε ακέραιους συντελεστές τo oποίο να έχει ρίζα το θ, δηλαδή
τέτοιο ώστε p(θ)=0.
Εαν τώρα θεωρήσουµε ένα αλγεβρικό σώµα αριθµών, το σύνολο των ακεραίων
αλγεβρικών του Κ,
RK={α∈ Κ / α είναι ακέραιος αλγεβρικός}αποτελεί δακτύλιο, υποδακτύλιο του Κ. Σαν υποδακτύλιος σώµατος είναι ακέραια
περιοχή της οποίας µάλιστα το Κ είναι το σώµα πηλίκων αυτής.
Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφουµε βασικές έννοιες και θεωρήµατα αλγεβρικής
θεωρίας αριθµών τα οποία µας είναι απαραίτητα στην απόδειξη του θεωρήµατοςτου Shafarevich. Για τις αποδείξεις των αυτών των αποτελεσµάτων παραπέµπουµε
στα [Α2], [ST], [CF], [N1].
Βασικό «µειονέκτηµα» του δακτυλίου RK είναι ότι δεν είναι πάντοτε δακτύλιος
µονοσήµαντης ανάλυσης όπως των ακεραίων Ζ, π.χ. για Κ=Q( − 5 ), o δακτύλιος
των ακεραίων αλγεβρικών είναι Ζ[(1+ − 5 )/2] ο οποίος δεν είναι δακτύλιος
µονοσήµαντης ανάλυσης.
Στην θεωρία αριθµών επεκτείνουµε την έννοια του ιδεώδους, ως εξής :16Ορισµός 1.3
Έστω R ακέραια περιοχή και Κ το σώµα πηλίκων της R. Το R-module Μ ⊆ K
θα λέγεται κλασµατικό ιδεώδες του R αν και µόνο αν υπάρχει x∈ R ,x ≠ 0 µε
xM ⊆ R.
Αν x ∈ K το xR θα λέγεται κύριο κλασµατικό ιδεώδες του R.
Τα συνηθισµένα ιδεώδη του R, που είναι κλασµατικά για x=1 θα λέγονται ακέραια.
Ο δακτύλιος των ακεραίων αλγεβρικών αριθµών RK ενός αλγεβρικού σώµατος
αριθµών Κ είναι δακτύλιος του Dedekind (δες, [A2], Θεώρ. 2.8, σελ. 51). Mία απότις ποίο σηµαντικές ιδιότητες που έχουν οι δακτύλιοι αυτοί είναι το µονοσήµαντοτης ανάλυσης των ιδεωδών τους σε γινόµενο πρώτων ιδεωδών.
Στα επόµενα θα κρατήσουµε σταθερό τον παρακάτω συµβολισµό K, L, M θα είναι
αλγεβρικά σώµατα αριθµών µε Κ ⊂ L ⊂ M. Mε R ⊂ S ⊂ T θα συµβολίζουµε τουςαντίστοιχους δακτυλίους του Dedekind των ακεραίων αλγεβρικών αριθµών των K,
L, M. Mε P τα πρώτα ιδεώδη του R, Q τα πρώτα ιδεώδη του S, U τα πρώτα ιδεώδη
του T. Αν λοιπόν P είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R το PS είναι ιδεώδες του S όχικατ΄ ανάγκην πρώτο και επειδή ο S είναι δακτύλιος του Dedekind, έχουµε
PS=Q1 e1 …Qr er όπου Qi είναι πρώτα ιδεώδη του S.
To ερώτηµα που τίθεται είναι ποια ιδεώδη υπεισέρχονται στην ανάλυση του PS καιµε ποιους εκθέτες.
Πρόταση 1.4Οι παρακάτω προτάσεις είναι µεταξύ τους ισοδύναµες :(1)Qi/PS δηλαδή υπάρχει ακέραιο ιδεώδες Qi΄ του S µε PS=QiQi΄(2)Qi ⊇ PS(3)Qi ⊇ P(4)Qi ∩ R=P(5)Qi ∩ K=P.
Aπόδειξη∆ές, [A2], Πρότ. 1.1, σελίδα 116.
Oρισµός 1.5Αν ισχύει µια από τις παραπάνω σχέσεις (και συνεπώς και οι πέντε) τότε θα
λέµε(1) το Qi βρίσκεται πάνω από το P(2) το P βρίσκεται κάτω από το Qi.

17Θεώρηµα 1.6Έστω P ένα πρώτο ιδεώδες του R και PS=Q1 e1 …Qr er η ανάλυση του PS σεγινόµενο πρώτων ιδεωδών του S. Tα πρώτα ιδεώδη Q1,…, Qr και µόνο αυτάβρίσκονται πάνω από το P (στην επέκταση L/K).
AπόδειξηΈστω Q ένα πρώτο ιδεώδες του S πάνω από το P, τότε Q ⊇ PS= PS=Q1 e1 …Qr erάρα υπάρχει i∈ {1,2,…,r} όπου το Q διαιρεί τo Qi οπότε Qi ⊆ Q και αφού Qirµέγιστο, έχουµε ότι Q= Qi και Q ⊇ ∏ Qι ei =PS ⊇ P.
i =1Ορισµός 1.7
Ο εκθέτης e:= e(Q/P) µε τον οποίο εµφανίζεται το Q στην ανάλυση του PS σεγινόµενο πρώτων παραγόντων λέγεται δείκτης διακλάδωσης του Q υπέρ το P.
Θα λέµε ότι το Q διακλαδίζεται υπέρ του P αν και µόνο αν e(Q/P)>1.
Θα λέµε ότι το P διακλαδίζεται υπέρ του L αν και µόνο αν υπάρχει Q πρώτο
ιδεώδες του S µε e(Q/P)>1.
Έστω τώρα ότι το Q βρίσκεται πάνω από το P, θεωρούµε την συνάρτηση :i : R/P → S/Q, µε r+P → r+Qη i είναι προφανώς µονοµορφισµός σωµάτων. Ταυτίζουµε λοιπόν τα σώµατα R/Pκαι i(R/P)=(R+Q/Q), δηλαδή θεωρούµε το R/P σαν υπόσωµα του S/Q.
Ορισµός 1.8
Έστω ότι το Q βρίσκεται πάνω από το P. Τότε το f=f(Q/P)=[S/Q:R/P] θαλέγεται βαθµός αδράνειας του Q υπέρ P.
Θεώρηµα 1.9Έστω ότι [L:K]=n . Τότε ισχύει ότι n=e1f1+…+erfr= å e(Q/P)f(Q/P), όπουQ ⊇P

ei=e(Qi/P), fi=f(Qi/P).
Απόδειξη∆ές, [A2], Θεώρηµα 1.7, σελίδα.119.
Πόρισµα 1.10
Αν η επέκταση L/K είναι Galois τότε για κάθε πρώτο ιδεώδες P του R έχουµετην ανάλυση
PS=(Q1Q2…Qr)e, όπου e=e1=e2=…=er, f=f1=…=fr και n=efr.
Απόδειξη∆ες, [A2], Πόρισµα 1.9, σελίδα. 122.

18

Θεώρηµα 1.11
Έστω L=Κ(θ), θ ∈ S. Αν το πρώτο ιδεώδες P του R δεν διαιρεί την διακρίνουσα
∆L/K(θ) (δες, σελ.19) τότε το P δεν διακλαδίζεται στο σώµα L. Συνεπώς
υπάρχουν το πολύ πεπερασµένου πλήθους πρώτα ιδεώδη του R τα οποία
διακλαδίζονται στο σώµα L.
Απόδειξη∆ες, [A2], Θεώρηµα 1.18, σελίδα 136.

∆ιακρίνουσα σώµατος και βάση ακεραιότητας
Έστω Κ αλγεβρικό σώµα αριθµών, Κ=Q(θ) µε [Κ:Q]=n και ω1,ω2,…,ωn µια βάσητης επέκτασης Κ/Q.
nΈστω αi= å αijωj, j=1,2,…,n, n-στοιχεία του σώµατος Κ, όπου αij ∈ Q για κάθεj =1

i=1,2,…,n, j=1,2,...,n.
Πρόταση 1.12
Ισχύει ∆Κ(α1,…,αn)=(det([αij])2∆(ω1,…,ωn).
Απόδειξη∆ες, [A2], Πρόταση 4.1, σελίδα 87.
Ορισµός 1.13
Κάθε Ζ-βάση του R λέγεται βάση ακεραιότητας του Κ υπέρ του Q.
Αν {ω1,…,ωn} µια βάση ακεραιότητας και ∆Κ({ω1΄,…,ωn΄}) µια άλλη βάση τότεαπό την πρόταση 1.12 συµπεραίνουµε ότι η ∆Κ({ω1,…,ωn}) διαιρεί την∆({ω1΄,…,ωn΄}) και ∆Κ({ω1΄,…,ωn΄}) διαιρεί την ∆Κ({ω1,…,ωn})Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η διακρίνουσα µιας βάσης ακεραιότητας δενεξαρτάται από την εκλογή της βάσης και ως εκ τούτου :Ορισµός 1.14
Έστω Κ ένα αλγεβρικό σώµα αριθµών και ω1,…,ωn µια βάση ακεραιότηταςτης Κ/Q. Η διακρίνουσα ∆Κ=∆Κ/Q=∆K/Q(ω1,…,ωn) θα λέγεται διακρίνουσα τουσώµατος Κ.

19∆ιακρίνουσα µιας n-άδας στοιχείων
Έστω τώρα L/K µια πεπερασµένη και διαχωρίσιµη επέκταση. Γνωρίζουµε ότιυπάρχουν ακριβώς n=[L:K] K-εµφυτεύσεις του L σε κάποια κανονική θήκη του Κ,έστω Ν, τέτοια ώστε L ⊂ N. Έστω σ1,…,σn αυτές και έστω (α1,…,αn)∈ Ln µια nάδα του L.
Ορισµός 1.15
Ο αριθµός ∆L/K(α1,…,αn)=(det(σi(αj))ij)2 θα λέγεται η διακρίνουσα της n-άδας(α1,…,αn).
Θεώρηµα 1.16
Αν η L/K είναι επέκταση αλγεβρικών σωµάτων αριθµών µε S και R όπωςπάντα και P πρώτο ιδεώδες του R, τότε ισχύει η ισοδυναµία :το P διακλαδίζεται στο L αν και µόνο αν το P διαιρεί τη διακρίνουσα.
Απόδειξη∆ες, [Α2], Θεώρηµα 5.2, σελίδα 193.
To σύνολο όλων των κλασµατικών ιδεωδών ενός αλγεβρικού σώµατος αριθµών,
αποτελεί άπειρη αβελιανή οµάδα την οποία θα συµβολίσουµε µε ΙΚ. Το σύνολο
των κυρίων κλασµατικών ιδεωδών του Κ αποτελεί υποοµάδα της ΙΚ την οποία θασυµβολίζουµε µε ΗΚ.
Ορισµός 1.17Η οµάδα πηλίκων ΙΚ/ΗΚ θα λέγεται οµάδα κλάσεων ιδεωδών (class group) τουσώµατος Κ και θα συµβολίζεται µε ClK.
Θεώρηµα 1.18
Η τάξη της οµάδας κλάσεων ιδεωδών του Κ είναι πεπερασµένηΑπόδειξη∆ες, [Α2], Θεώρηµα 4.2.6, σελίδα 108.
Ορισµός 1.19
Η τάξη της οµάδας κλάσεων ιδεωδών αλγεβρικού σώµατος αριθµών Κλέγεται αριθµός κλάσεων ιδεωδών του σώµατος Κ και θα συµβολίζεται µε hK.
Ισχύει το εξής :Θεώρηµα 1.20
Ο RK είναι δακτύλιος ανάλυσης ακριβώς τότε όταν hK=1.

20Απόδειξη∆ες, [Α2], Πρόταση 2.1, σελίδα 105.
Θεώρηµα 1.21 (Minkowski)Aν το Κ είναι αλγεβρικό σώµα αριθµών, Κ ≠ Q τότε η ∆(Κ/Q) ≠ 1.
Απόδειξη∆ες, [CF], σελίδα 357.
Αυτό σηµαίνει ότι τουλάχιστον ένας πρώτος του Q διακλαδίζεται στο Κ.
Τέλος αναφέρουµε το ακόλουθο :Θεώρηµα 1.22 (Μονάδων του Dirichlet)Aν Κ αλγεβρικό σώµα αριθµών και Ε(Κ) η οµάδα των µονάδων (εννοείται ηοµάδα των µονάδων του δακτυλίου των ακεραίων αλγεβρικών αριθµών) είναι
ευθύ γινόµενο µιας πεπερασµένης κυκλικής οµάδας και µίας ελεύθερης
αβελιανής µε r=r1+r2-1 γεννήτορες :Ε(Κ)=WK × Zr.
Απόδειξη∆ές, [CF], Th. Unit theorem, σελίδα 72.

Norm ενός στοιχείου και Norm ιδεωδών
Κάθε αλγεβρικό σώµα αριθµών Κ, είναι, ως γνωστό είναι µία απλή επέκταση τουQ, δηλαδή υπάρχει ένα στοιχείο θ ∈ Κ τέτοιο ώστε Κ=Q(θ). Αν f(x) είναι τοανάγωγο πολυώνυµο του θ περάνω του Q, τότε n=[K:Q]=degf(x).
Έστω θ1,θ2,…,θn oι διακεκριµένες µεταξύ τους , ρίζες του f(x) στο C. Aν κάποια
από αυτές τις ρίζες είναι µιγαδική τότε και οι συζυγή της είναι επίσης ρίζα του f(x).
Αν λοιπόν το f(x) έχει r1 πραγµατικές ρίζες και 2r2 µιγαδικές ρίζες τότεr1+2r2=n.
To σώµα Κ επιδέχεται n εµφυτεύσεις στο σώµα C. Πρόκειται για n, Qµονοµορφισµούς
σi : K=Q(θ) → Q(θi) ⊆ C, όπου θ → θi.
Έστω Κ, L αλγεβρικά σώµατα αριθµών Κ ⊂ L, θ ένα πρωταρχικό στοιχείο τηςεπέκτασης L/K δηλαδή L=K(θ), Β={1,θ,θ2,…,θn-1} βάση της επέκτασης.

21

n −1

Έστω a∈ L τότε υπάρχουν αij ∈ K τέτοια ώστε aθi= å αijθj.
j =0Συµβολίζουµε τον πίνακα Α(a)=(αij)∈ Mn × n(K) και θα τον ονοµάζουµε πίνακα
αναπαράστασης του a.
Oρισµός 1.23
Νorm του a ως προς την επέκταση L/K ονοµάζουµε τον αριθµό
ΝL/K(a)=detA(a).
Έστω Κ=Q(θ) ένα αλγεβρικό σώµα αριθµών, RK ο δακτύλιος του Dedekind τωνακεραίων αλγεβρικών αριθµών αυτού. Για κάθε ακέραιο ιδεώδες Α του R oδακτύλιος R/A έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων και αυτών τον αριθµό τονλέµε norm του ιδεώδους Α,ΝΚ(Α)=#(R/A).

2.Εκτιµήσεις (valuations) αλγεβρικών σωµάτων αριθµώνΕίναι γνωστή η µέθοδος πλήρωσης του σώµατος των ρητών αριθµών Q ως προςτην συνήθη µετρική µέσω ακολουθιών Cauchy και της κατασκευής του σώµατοςτων πραγµατικών αριθµών R.
Η συνήθης µετρική ορίζεται µέσω της έννοιας της απόλυτης τιµής στο Q.
Oι βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιµής είναι
(i) |x| ≥ 0 , |x|=0 ⇔ x=0(ii) |x||y|=|xy|(iii) |x+y| ≤ |x|+|y| για όλα τα x, y∈ Q.
Tο ερώτηµα είναι αν υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις µε αυτές τις ιδιότητες πουθα µπορούσαν να οριστούν στο Q, µέσω των οποίων θα µπορούσαµε νακατασκευάσουµε την πλήρωση του Q. Η απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα είναι
θετική. Υπάρχουν µάλιστα συναρτήσεις οι οποίες, µε κάποια έννοια, είναι πολύκαλύτερες από την απόλυτη τιµή.
Ορισµός 2.122Μια εκτίµηση (valuation) ενός σώµατος Κ είναι εξ ορισµού µια συνάρτηση
υ : K→Rτέτοια ώστε για όλα τα x,y∈ K να ισχύουν :(i) υ(x) ≥ 0 , υ(x)=0 ⇔ x=0(ii) υ(xy)=υ(x)υ(y)(iii) υ(x+y) ≤ υ(x)+υ(y).
Αν αντί της (iii) ισχύει η ισχυρότερη ανισότητα,υ(x+y) ≤ max{υ(x),υ(y)} για όλα τα x,y ∈ Kτότε η εκτίµηση θα λέγεται µη αρχιµήδεια αλλιώς θα λέγεται αρχιµήδεια.
Εποµένως, η απόλυτη τιµή είναι µια αρχιµήδεια εκτίµηση του Q.
Σε κάθε σώµα Κ µπορούµε να ορίσουµε µια εκτίµησηυ0 : Κ → R, όπου υ0(x)=0 αν x=0 και 1 αν x∈ K*.
H εκτίµηση αυτή θα λέγεται τετριµµένη εκτίµηση.
Έστω τώρα κάποιος p πρώτος αριθµός, τον οποίο κρατούµε σταθερό. Σύµφωνα µε
το θεµελιώδες θεώρηµα της αριθµητικής κάθε ρητός α∈ Q α ≠ 0 γράφεταιµονοσήµαντα στη µορφή α=pa(b/c), όπου a, b, c∈ Z και ο p δεν διαιρεί το bc.
Ορίζουµε υp(α)=p-a και υp(0)=0.
Εύκολα αποδεικνύεται ότι η υp είναι µια µη αρχιµήδεια εκτίµηση του Q την οποία
ονοµάζουµε p-αδική εκτίµηση.
Η πλήρωση του Q ως προς την p-αδική εκτίµηση υp µας δίνει το σώµα των pαδικών αριθµών Qp µε ενδιαφέρουσες αριθµητικές ιδιότητες. Εποµένως, για κάθεπρώτο αριθµό p έχουµε και µια µη αρχιµήδεια εκτίµηση του Q, υp. Το ερώτηµα ανυπάρχουν και άλλες έχει, κατ΄ ουσία, αρνητική απάντηση.
Ορίζεται µια σχέση ισοδυναµίας ανάµεσα στις εκτιµήσεις του Q και αποδεικνύεται
το (δές, [Α3], σελ31).
Θεώρηµα 2.2Κάθε εκτίµηση του Q είναι ισοδύναµη προς την τετριµµένη εκτίµηση ή προςµια p-αδική εκτίµηση ,για κάποιο πρώτο p, ή προς την απόλυτη τιµή. Οιεκτιµήσεις αυτές, τετριµµένη, απόλυτη τιµή καθώς και οι p-αδικές εκτιµήσεις
είναι µεταξύ τους ανά δύο µη ισοδύναµες.
Έστω τώρα Κ ένα αλγεβρικό σώµα αριθµών και x∈ K-{0}. Aν R είναι ο δακτύλιος
των ακεραίων αλγεβρικών του Κ τότε το xR είναι το κύριο κλασµατικό ιδεώδες
του Κ. Επειδή ο R είναι δακτύλιος του Dedekind τo xR αναλύεται µονοσήµαντα σεγινόµενο πρώτων ιδεωδών
xR=P1 a1 …Pr arΓια κάθε πρώτο ιδεώδες P του Κ µε wP(x) θα συµβολίζουµε τον εκθέτη του P στηνανάλυση του ιδεώδους xR σε γινόµενο πρώτων ιδεωδών. Η απεικόνιση

23

υP :Κ → R, όπου x → NK/Q(P)-w(x)είναι µια µη αρχιµήδεια εκτίµηση του Κ η οποία θα λέγεται P-αδική εκτίµηση τουΚ.
Εντελώς ανάλογα αποδεικνύεται ότι κάθε διάφορη της τετριµµένης µη αρχιµήδεια
εκτίµηση του Κ είναι ισοδύναµη προς µια p-αδική εκτίµηση υp για κάποιο πρώτο
ιδεώδες P του Κ. Επίσης για διαφορετικά πρώτα ιδεώδη του Κ προκύπτουν µηισοδύναµες µεταξύ τους εκτιµήσεις.
Η πλήρωση του σώµατος Κ ως προς την εκτίµηση υP µας δίνει τα λεγόµενα Pαδικά σώµατα ΚP.
Mια P-αδική εκτίµηση όταν περιοριστεί στο Q µας δίνει µη-αρχιµήδεια εκτίµησητου Q άρα, κατ΄ ανάγκη, ισοδύναµη προς µια p-αδική εκτίµηση όπου pZ=P ∩ Z.
Εποµένως οι υP αποτελούν επεκτάσεις των εκτιµήσεων υp του Q. To ερώτηµα πουτίθεται εδώ είναι σε πόσες µη ισοδύναµες µεταξύ τους εκτιµήσεις του Κεπεκτείνεται η υp; Η απάντηση είναι όσο ακριβώς το πλήθος των πρώτων ιδεωδών
του Κ που βρίσκονται πάνω από το pR (δες, [A3], Θεώρ. 2.3, σελ154). Αλλιώς θαµπορούσαµε να πούµε ότι είναι ίσο µε το πλήθος των αναγώγων παραγόντων του
f(x)=Irr(θ,Q) στο (Ζ/pZ)[x], όπου Κ=Q(θ).
Ας περάσουµε τώρα στις αρχιµήδειες εκτιµήσεις του αλγεβρικού σώµατος αριθµών
Κ. Κάθε τέτοια εκτίµηση περιορισµένη στο Q θα µας δώσει αρχιµήδεια εκτίµησητου Q η οποία κατ΄ ανάγκη, θα είναι ισοδύναµη µε την απόλυτη τιµή. ∆ηλαδή οιαρχιµήδειες εκτιµήσεις του Κ είναι επεκτάσεις της απόλυτης τιµής του Q.
Aν σi : K → R i=1,2,…r1 oι πραγµατικές εµφυτεύσεις του Κ στο C και σi,σi΄ ταζευγάρια των συζυγών µιγαδικών εµφυτεύσεων αυτού οι συναρτήσεις
υi : K → R, όπου x → |σi(x)|, i=1,2,…,r1+r2.
είναι µη ισοδύναµες ανά δυο αρχιµήδειες εκτιµήσεις του σώµατος Κ, όπου |σi(x)|είναι η συνηθισµένη απόλυτη τιµή στο R, C αντίστοιχα. (Παρατηρούµε ότισυζυγείς µιγαδικές εµφυτεύσεις δίνουν ισοδύναµες εκτιµήσεις, διότι |σi(x)|= |σi΄(x)|για κάθε x ∈ K.)Θεώρηµα 2.3Κάθε αρχιµήδεια εκτίµηση του Κ είναι ισοδύναµη προς µια από τις εκτιµήσεις
υi, i=1,2,…,r1+r2.
Απόδειξη∆ες, [J], Λήµµα 4.3 θεώρηµα 5.1, σελ 87.
Αν τώρα θεωρήσουµε την πλήρωση του Κ ως προς κάποια αρχιµήδεια εκτίµηση υiτότε το σώµα που θα προκύψει θα είναι το R ή το C σύµφωνα µε το :24Θεώρηµα 2.4 (Θεώρηµα Ostrowski)
Tα µόνα πλήρη σώµατα ως προς µια αρχιµήδεια εκτίµηση είναι το σώµα τωνπραγµατικών και το σώµα µιγαδικών αριθµών.
Απόδειξη∆ες, [Α3], Θεώρηµα 1.11, σελ147.

3. Ιdele
H αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία που µελετήσαµε στην προηγούµενη παράγραφοµεταξύ των πρώτων ιδεωδών του Κ και των κλάσεων µη ισοδύναµων αρχιµήδειωνεκτιµήσεων αυτού µας υποβάλλει την ιδέα να τροποποιήσουµε την ορολογία µας.
Κάθε κλάση ισοδύναµων εκτιµήσεων του Κ θα λέγεται ένας πρώτος του Κ. Αν ηκλάση περιέχει µια αρχιµήδεια εκτίµηση θα λέγεται άπειρος πρώτος αλλιώς θαλέγεται πεπερασµένος πρώτος.
Ένας άπειρος πρώτος θα λέγεται πραγµατικός αν η πλήρωση του Κ ως προς αυτόν
τον πρώτο είναι το σώµα των πραγµατικών R ενώ αν είναι το σώµα των µιγαδικώνC θα λέγεται µιγαδικός πρώτος.
Αν τώρα o p είναι ένας άπειρος πρώτος του Q και P1,P2,…,Pr οι διακεκριµένοιµεταξύ τους άπειροι πρώτοι του Κ που βρίσκονται πάνω από το p ,θα λέµε ότι ο Piδεν διακλαδίζεται αν οι πληρώσεις του Κ ως προς Pi και του Q ως προς τον pσυµπίπτουν. ∆ηλαδή αν είναι και οι δυο πληρώσεις συγχρόνως ίσες µε το σώµατων πραγµατικών ή το σώµα των µιγαδικών αριθµών.
Η αριθµητική ενός αλγεβρικού σώµατος αριθµών αντανακλάται σε ιδιότητες τωνπληρώσεων ΚP όπου P πρώτος του Κ. Αντί όµως να µελετούµε κάθε σώµα ΚPχωριστά θα προσπαθήσουµε να ενοποιήσουµε την µελέτη τους µέσω µιαςκαινούργιας έννοιας, αυτής των idele. Πρόκειται για µια έννοια που έχει εισαγάγει
ο Claude Chevalley. Η ονοµασία προκύπτει από την συνένωση των πρώτων
συλλαβών των λέξεων ideale Εlemente. Η σηµασία του είναι πολύ σηµαντική διότι
επιτρέπει κατά θαυµάσιο τρόπο το πέρασµα από την θεωρία των τοπικών P-αδικών
σωµάτων ΚP στα αλγεβρικά σώµατα αριθµών Κ. Για µια αναλυτική ανάπτυξη του25θέµατος παραπέµπουµε τον ενδιαφερόµενο αναγνώστη στο (δες, [Ν1], Teil ΙΙ,
σελ.195-232).
Έστω λοιπόν Κ ένα αλγεβρικό σώµα αριθµών. Ένα idele A του Κ είναι µιαοικογένεια Α=(ΑP) αριθµών όπου ΑP∈ ΚP*= ΚP-{0}, και το P διατρέχει όλους τουςπρώτους P του Κ και όπου τα ΑP είναι µονάδες του σώµατος ΚP για σχεδόν όλους,εκτός από πεπερασµένο πλήθος, πρώτους P. Θα µπορέσουµε να πάρουµε τηνέννοια του idele µέσω του ακόλουθουΟρισµός 3.2
Έστω S πεπερασµένο σύνολο πρώτων του σώµατος Κ. Η οµάδα
JKS= ∏ KP* × ∏ UP ⊆ ∏ KP
P∈S

P∉S

P

λέγεται οµάδα των S-idele.
Mε UP συµβολίζουµε την οµάδα των µονάδων του σώµατος ΚP όταν ο πρώτος Pείναι πεπερασµένος και την οµάδα ΚP* όταν ο P είναι άπειρος.
Η ένωσηJK= 7 JKS ⊆ ∏ KP
SPόπου το S διατρέχει όλα τα δυνατά πεπερασµένα σύνολα πρώτων του Κ λέγεταιοµάδα των idele του K.
Αν Α= (ΑP)∈ JK , ΑP ∈ KP* τότε οι αριθµοί ΑP λέγονται συνιστώσες τoυ idele.
Μια συνιστώσα ΑP λέγεται βασική όταν το ΑP δεν είναι µονάδα του ΚP.
Ένα idele έχει εποµένως το πολύ πεπερασµένου πλήθους βασικές συνιστώσες, έναS-idele έχει βασικές συνιστώσες το πολύ για τους πρώτους P που ανήκουν στοσύνολο S. O λόγος για τον οποίο απαιτούµε σχεδόν όλες οι συνιστώσες ενός ideleνα µην είναι βασικές, είναι ότι κατ΄ αυτό τον τρόπο επιτυγχάνουµε ναεµφυτεύσουµε την πολλαπλασιαστική οµάδα Κ* του σώµατος Κ κατά κανονικό
τρόπο µέσα στην οµάδα των idele.
Πράγµατι, αν x ∈ K* µε (x) θα συµβολίζουµε εκείνο το idele της οµάδας JK για τοοποίο όλες οι συνιστώσες είναι ίσες µε x δηλαδή (x)P=x ∈ KP* .
Αρκεί λοιπόν να παρατηρήσει κανείς ότι το x είναι για σχεδόν όλους τους πρώτους
P του Κ, µια µονάδα του ΚP. Κατ΄ αυτό τον τρόπο εµφυτεύουµε την οµάδα Κ*στην οµάδα των idele JK. Tα idele της Κ* λέγονται κύρια idele. Αν τώρα S είναιένα πεπερασµένο σύνολο πρώτων του Κ µε ΚS θα συµβολίζουµε την οµάδαΚS=Κ* ∩ JKS ⊆ JKS των S-κυρίων idele. Τα στοιχεία του ΚS λέγονται και S-µονάδες
του Κ διότι είναι µονάδες για κάθε πρώτο P του Κ, P ∉ S. Aν τώρα πάρουµε ειδικά
S=S ∞ το σύνολο όλων των άπειρων πρώτων του Κ τότε η οµάδα Κ S ∞ είναι ηοµάδα των µονάδων του Κ.

26

Ορισµός 3.3
Η οµάδα πηλίκων CK=JK/K* λέγεται οµάδα κλάσεων των idele (idele classgroup) του σώµατος Κ.
Εντελώς φυσιολογικά τώρα τίθεται το ερώτηµα: Ποια σχέση έχουν τα idele µε ταιδεώδη ;H σχέση αυτή δίνεται από το επόµενο θεώρηµα :Θεώρηµα 3.4Αν µε S ∞ συµβολίζουµε το σύνολο όλων των άπειρων πρώτων του αλγεβρικού
σώµατος αριθµών Κ, (JK) S ∞ την οµάδα των idele τα οποία έχουν συνιστώσα
µονάδα σε κάθε πεπερασµένο πρώτο P του Κ, τότε ισχύουν :JK/(JK) S ∞ =IK και JK/((JK) S ∞ Κ*)=ΙΚ/ΗΚ=ClKΑπόδειξη∆ές, [Ν1], Θεώρηµα 23, σελίδα 197.
Η οµάδα κλάσεων των idele CK δεν είναι πεπερασµένη σε αντίθεση µε την οµάδατων κλάσεων ιδεωδών ClK.
Αν L/K είναι µια επέκταση αλγεβρικών σωµάτων µπορούµε, κατά φυσιολογικό
τρόπο να εµφυτεύσουµε τα idele του Κ στα idele του L και να θεωρήσουµε τηνοµάδα των idele του Κ, JK σαν υποοµάδα των idele του L JL, JK → JL.
Aν τώρα η επέκταση L/Κ είναι επέκταση Galoisµε οµάδα του Galois,
G:=Gal(L/K),τότε ισχύει :JLG=JK(δές,)Ένα σηµαντικό αποτέλεσµα το οποίο θα χρησιµοποιήσουµε στα επόµενα είναι τοΘεώρηµα 3.5Ισχύει :Η1(G,UK)=1
Aπόδειξη∆ές,Παρατήρηση 3.5
Είναι γνωστό ότι είναι δυνατό ένα ιδεώδες αλγεβρικού σώµατος αριθµών Κνα µην είναι κύριο στο Κ ενώ να γίνεται κύριο σε κάποια επέκταση του Κ, π.χ
στο σώµα του Hilbert αυτού. Για τα idele έχουµε εντελώς διαφορετική
συµπεριφορά. Συγκεκριµένα ισχύει
L* ∩ JK=K*

27

Απόδειξη∆ες, [N1], Satz 2.6, σελ 202.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Στο κεφάλαιο αυτό θα διατυπώσουµε και θα αποδείξουµε το θεώρηµα των
Golod - Shafarevich.
Υπενθυµίζουµε ότι το πρόβληµα της εµφύτευσης ενός αλγεβρικού σώµατος
αριθµών k είναι το πρόβληµα της ύπαρξης αλγεβρικού σώµατος αριθµών
K, k ⊆ K µε αριθµό κλάσεων ιδεωδών hK=1.
Aν τώρα µε Κi συµβολίσουµε το σώµα του Hilbert του Κi-1 (i=1,2,…), K0:=kτότε η ένωση
∞k ∞ = 7 Ki
i =1µας δίνει µια αλγεβρική επέκταση του k, k ∞ /k η οποία όµως µπορεί να είναι
άπειρη επέκταση του k.
Θα αποδείξουµε την ακόλουθη πρόταση:Πρόταση 3.1
Αν µπορούµε να εµφυτεύσουµε το σώµα k σε κάποιο σώµα K, k ⊂ K µε
hK=1 τότε k∞⊂K. Οπότε η επέκταση k∞/k είναι πεπερασµένου βαθµού.
Αντιστρόφως, αν ο βαθµός του k ∞ /k είναι πεπερασµένος τότε έχουµε
hk ∞ =1 και συνεπώς το k∞ είναι η µικρότερη λύση στο ερώτηµα τηςεµφύτευσης.

ΑπόδειξηΘα αποδείξουµε ότι Κi⊂K για κάθε iεΝΝ όπου Κi τα σώµατα του πύργου τωνκλάσεων του Hilbert. Η απόδειξη θα γίνει µε µαθηµατική επαγωγή. Αρκεί νατο αποδείξουµε για το Κ1.
Η Κ1 /k είναι αβελιανή επέκταση Galois. Εποµένως, σύµφωνα µε τοθεώρηµα της µεταφοράς (δες, [Λ], σελ.264), η επέκταση Κ1K/K είναι
αβελιανή. Η επέκταση Κ1/Κ είναι επίσης µη-διακλαδιζόµενη. Εποµένως,και η επέκταση Κ1K/K είναι µη-διακλαδιζόµενη (δες, [Η], πρόταση 41, σελ.

2861). Συνεπώς η Κ1Κ/Κ είναι αβελιανή και µη–διακλαδιζόµενη. Αν Κ1 τοσώµα το Ηilbert του L τότε η Κ1/Κ είναι maximal ως προς τις επεκτάσεις
του Κ που είναι µη διακλαδιζόµενες και αβελιανές άρα Κ1 Κ⊂ Κ1. Αλλά hΚ=1οπότε [Κ1:Κ]=1 άρα Κ= Κ1, δηλαδή Κ1 Κ⊂Κ άρα Κ1 ⊂Κ.
Αντίστροφο:Επειδή επέκταση k∞/k είναι πεπερασµένη έχουµε οτι υπάρχει iεΝΝ µεk∞⊂ Κi. Αλλά Κi ⊂ k∞ οπότε Κi = k∞. Άρα h k =hKi=[K1+i : Κi ].
∞Αλλά K1+i ⊂ k∞⊂ Κi και Κi ⊂ K1+i. Άρα Κi =K1+I, oπότε hK ∞ =hK= [K1+i : Κi ]=1.
Άρα
hk ∞ =1.
Eποµένως, αρκεί να µελετήσουµε το πρόβληµα του πύργου των κλάσεων
σωµάτων.
Στα επόµενα θα προσπαθήσουµε να περιοριστούµε σε αλγεβρικές
επεκτάσεις που έχουν σαν οµάδα Galois µια p-οµάδα. Ο λόγος είναι ότιµπορούµε να δουλέψουµε πολύ καλύτερα µε αυτές από ότι µε τυχαίες
επιλύσιµες οµάδες.

Ορισµός 3.2
Έστω p εP πρώτος. Η επέκταση L/k λέγεται p-επέκταση αν(i) η Κ/k είναι επέκταση Galoisκαι (ii) η οµάδα Gal(Κ/k) είναι p-οµάδα.
ΣηµείωσηΑν η K/k δεν είναι Galois δεν λέγεται p-επέκταση ακόµη και αν ο βαθµός τηςεπέκτασης είναι δύναµη του p.
Έστω τώρα Κ1(p) η µέγιστη p-επέκταση του k που περιέχεται στο Κ1. Τοσώµα Κ1(p) ονοµάζεται p-σώµα κλάσεων του Hilbert του k.
Έστω Κ2(p) το p-σώµα κλάσεων του Ηilbert του Κ1(p).
Οπότε κατασκευάζουµε πύργοk ⊂ Κ1(p) ⊂Κ2(p) ⊂…
ο οποίος ονοµάζεται πύργος των p-κλάσεων σωµάτων του Hilbert του Κ..

29Θέτουµε∞k ∞ (p) = 7 K i( p ) .
Κi(p)

i =1

Ισχύει
⊂ Κi oπότε η Κi(p) είναι η µέγιστη p-επέκταση του k πουπεριέχεται στο Κi. Συνεπώς k∞(p) ⊂ k∞ και εποµένως, αν η επέκταση
k∞(p) /k είναι άπειρη τότε θα είναι άπειρη και η επέκταση k∞ /k.
Εποµένως αν πάρουµε κάποιο πρώτο αριθµό p προκύπτει το ερώτηµα , κάτω από
ποιες προϋποθέσεις η επέκταση k (p) είναι πεπερασµένου βαθµού;Σηµείωση3.3
Θα ασχοληθούµε µε την k∞(p) αντί της k∞ διότι οι p-οµάδες είναι πιο εύχρηστο
«εργαλείο» από τις τυχαίες οµάδες. Εντελώς ανάλογα προς την πρόταση 3.1
αποδεικνύεται η πρόταση :Πρόταση 3.4
Έστω p πρώτος αριθµός. Αν το πρόβληµα της εµφύτευσης k⊂K όπου ο p
δεν διαιρεί τον αριθµό κλάσεων hK έχει λύση Κ τότε k∞(p) ⊂Κ και k∞(p) /Κείναι πεπερασµένη.
Αντιστρόφως αν k∞(p) /Κ είναι πεπερασµένη, τότε ο p δεν διαιρεί τον hk ,( p)∞οπότε η επέκταση k∞(p) είναι η µικρότερη λύση στο πρόβληµα τηςεµφύτευσης ως προς τον πρώτο p.
Ορισµός 3.5
Έστω G οποιαδήποτε οµάδα, µε G/p θα συµβολίζουµε τη µέγιστη αβελιανή
οµάδα πηλίκων της G µε εκθέτη p, θεωρούµενη ως διανυσµατικός χώρος
πάνω από το σώµα Fp µε p στοιχεία.
H διάσταση αυτού του διανυσµατικού χώρου είναι d(p) G = dim G/p καιονοµάζεται p-rang της G.

Παρατήρηση 3.6

Αν η G είναι πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τότε ο d(p) G είναι ο αριθµός τωνπαραγόντων τάξεως δύναµης του p που εµφανίζονται στην ανάλυση της Gσε κυκλικές συνιστώσες.
ΘΕΩΡΗΜΑ 3.7 (Golod – Shafarevich)Υπάρχει συνάρτηση γ(n) η οποία εξαρτάται από το n τέτοια ώστε d(p) Clk <γ(n) για κάθε αλγεβρικό σώµα αριθµών k µε βαθµό n υπέρ το Q του οποίουο πύργος p κλάσεων είναι πεπερασµένος.

30

Σηµείωση 3.8
Στην απόδειξη του θεώρηµατος θα δούµε οτιd(p) Clk<2+2 rk + δ k( p )όπου rk : ο αριθµός των άπειρων πρώτων του k
δk(p) =1 ή 0 ανάλογα µε το αν οι p-ρίζες της µονάδας ανήκουν στο k ήόχι.
Επειδή rk ≤ n και δk(p) ≤ 1 µπορούµε να πάρουµε
γ(n)=2+2 n + 1 .
Προκειµένου να αποδείξουµε το επόµενο θεώρηµα, εισάγουµε τονακόλουθο συµβολισµό.
Oρισµός 3.9
Έστω qεΖεΖ πρώτος και έστω D οποιοσδήποτε πρώτος του k πουείναι επέκταση του q στο k µε δείκτη διακλάδωσης e(D).
Θέτουµε ek(q)=Μ.Κ.∆.{e(D)}=M.K.∆(e1,…,es) όπου το D διατρέχει όλεςτις επεκτάσεις του q στο k.
Θα λέµε ότι ο q διακλαδίζεται πλήρως στο k αν ek(q)>1.
Θέτουµε tk(p) το πλήθος των πλήρων διακλαδιζόµενων q τέτοια ώστετο p διαιρεί το ek(q).
ΘΕΩΡΗΜΑ 3.10 (Βrumer)Υπάρχει συνάρτηση c(n), εξαρτούµενη µόνο από το n, τέτοια ώστεd(p)Clk≥tk(p)-c(n)για κάθε αλγεβρικό σώµα αριθµών k βαθµού n, υπέρ το Q.
Σηµείωση 3.11Θα δούµε οτι µπορούµε να αποδείξουµε ότιd(p) Clk ≥ tk(p)-rkn
και, επειδή rk ≤ n, µπορούµε να πάρουµεc(n)=n2.
Σηµείωση 3.12
Θα αποδείξουµε το παραπάνω θεώρηµα µόνο στην περίπτωση πουη k/Q είναι επέκταση Galois. Θα δούµε οτι υπάρχει συνάρτηση c΄(n)τέτοια ώστε για κάθε επέκταση Galois βαθµού n ισχύει
d(p) Clk ≥ tk(p)- c΄(n).
Συγκεκριµένα, για επεκτάσεις Galois, θα αποδείξουµε οτι31

d(p) Clk ≥ tk(p)-((rk-1)/(p-1)+wp(n)δk(p))όπου wp(n) είναι ο εκθέτης του p που εµφανίζεται στην ανάλυση του nσε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Επειδή wp(n) ≤ n-1, µπορούµε ναπάρουµεc΄(n)=(n-1)+(n-1)=2(n-1).
Συνδυάζοντας τώρα τα θεωρήµατα των Golod-Shafarevich
έχουµε τοκαι Brumer

Πόρισµα 3.13
Αν το k είναι αλγεβρικό σώµα αριθµών µε βαθµό n=[k:Q] και αν
tk(p) ≥γ(n)+c(n)τότε ο p-πύργος κλάσεων σωµάτων του k είναι άπειρος.
Ειδικά για κάθε n>1 και για κάθε p πρώτο ο οποίος δεν διαιρεί τον nυπάρχουν άπειρα στο πλήθος αλγεβρικά σώµατα k βαθµού n µε άπειροp–πύργο κλάσεων σωµάτων.
Για παράδειγµα k=Q( n q1 ...q N ) µε Ν≥γ(n)+c(n) όπου qi>0 πρώτος του Q, γιακάθε i=1,2,…,N.
Αριθµητικό παράδειγµα
Θεωρούµε την περίπτωση όπου n=p=2 τότε έχουµε δκ(2) =1 ,w2(2)=1. Επειδή tk(2)είναι ο αριθµός των πεπερασµένων πρώτων του Q οι οποίοι διακλαδίζονται στο kπροκύπτει ότι: Ένα τετραγωνικό σώµα Κ έχει έναν άπειρο 2-πύργο κλάσεων
σωµάτων αν ο αριθµός των πρώτων του Q οι οποίοι διακλαδίζονται στο Κ είναι
µεγαλύτερος ίσος του 2+2 rk + 1 + rk .
Αν το k είναι φανταστικό έχουµε rk=1 οπότε 2+2 2 + 1 <6, άρα έναφανταστικό σώµα µε τουλάχιστον 6 διακλαδιζόµενους πρώτους έχει ένανάπειρο 2-πύργο κλάσεων σωµάτων. Ένα µικρό αριθµητικό παράδειγµαείναι το εξής:k = Q( (−2.3.5.7.11.13.19 )=Q ( − 30030 ).
Aν το k είναι πραγµατικό έχουµε rk=2, οπότε 2+2 3 + 2 <8, άρα βλέπουµεότι στην περίπτωση που το k είναι πραγµατικό πρέπει να έχουµετουλάχιστον 8 πεπερασµένους διακλαδιζόµενους πρώτους για να προκύψει
ένας άπειρος 2-πύργος κλάσεων σωµάτων. Για παράδειγµαk = Q ( 2.3.5.7.11.13.17.19 )=Q ( 9699690 ).

Απόδειξη του θεωρήµατος των Golod-Shafarevich

32Εισάγουµε κατ’ αρχήν τους παρακάτω συµβολισµούς
Ck: θα συµβολίζουµε την κλάση των idele του k
Uk: θα συµβολίζουµε την οµάδα των µονάδων των idele του k
Ek=Uk∩k : θα συµβολίζουµε την οµάδα των µονάδων του k
Wk: θα συµβολίζουµε την οµάδα των ριζών της µονάδας στο k
Κ= k∞(p)G=Gal(K/k).
Υπό την προϋπόθεση ότι η επέκταση Κ/k είναι πεπερασµένου βαθµού θααποδείξουµε την ανισότητα
d(p)Clk<2+2 rk + δ k( p )Η απόδειξη θα γίνει σε δυο βήµατα.
Στο πρώτο θα ανάγουµε το θεώρηµα σε ένα αποτέλεσµα της Θεωρίας
Οµάδων. Στο δεύτερο θα αποδείξουµε το αποτέλεσµα αυτό.
Βήµα 1:Υπενθυµίζουµε το θεώρηµα των µονάδων του Dirichlet, η οµάδα τωνµονάδων Εk, αλγεβρικού σώµατος αριθµών k, είναι το ευθύ άθροισµα τηςπεπερασµένης κυκλικής οµάδας Wk και µιας ελεύθερης αβελιανής οµάδαςµε rk-1 γεννήτορες δηλαδή Εκ=WkхΖ rκ .
όπου r=rangEk=rk-1 µε rk=r1+r2. Εποµένως d(p)Ek=(rk-1)+d(p)Wk=(rk-1)+δk(p).
Άρα rk+ δk(p)= d(p)Ek+1 οπότε d(p)Ek= d(p)Wk+ d(p) (Ζ ( rκ -1)).
Eποµένως αρκεί να αποδείξουµε οτιd(p)Clk<2+2 d ( p ) E k + 1 ,δηλαδή ότι½( d(p)Clk-2)< d ( p ) E k + 1 .
Η τελευταία όµως, ανισότητα είναι ισοδύναµη µε την¼ (d(p)Clk)2- d(p)Clk< d(p)Ek.
Ισχυρισµός:d(p)Clk= d(p) GΕξ΄ ορισµού του p-rank µιας οµάδας G, έχουµεd(p)G= d(p) Gababόπου G είναι η µέγιστη αβελιανή οµάδα πηλίκων της G.
H οµάδα Gab αντιστοιχεί, λόγω θεωρίας Galois, στο υπόσωµα του Κ τοοποίο είναι maximal αβελιανή επέκταση ως προς το k. Επειδή Κ=k ∞ (p),έπεται ότι το σώµα που αντιστοιχεί στην οµάδα Gab είναι το p-σώµακλάσεων του Ηilbert του k.
Εποµένως σύµφωνα µε το νόµο αντιστροφής του Αrtin (δες, [Ν], σελίδα )Gab=Clk(p)33όπου Clk(p) η p-Sylow υποοµάδα της Clk.
Από τον ορισµό του p-rank, προκύπτει ότιd(p) Clk(p)= d(p)ClkΣυνεπώς, d(p) G= d(p) Gab =d(p)Clk(p)= d(p)Clk.
Εποµένως η σχέση¼ (d(p)Clk)2- d(p)Clk< d(p)Ekείναι ισοδύναµη µε την¼ (d(p)G)2- d(p)G < d(p)Ek
Kάθε οµάδα πηλίκων της Ek έχει p-rank ≤ d(p)Ek , οπότε θα ισχύει και για τηνοµάδα Ek /ΝK/k(EK). Η ΝK/k είναι ως γνωστό, µία συνάρτηση του Κστο k.
Iδιαίτερα, οι µονάδες του Κ, απεικονίζονται σε µονάδες του k, δηλαδή
ΝK/k(EK) ⊂ Ek.
Αλλά Ek/ΝΚ/k(EΚ)=Η0(G,EK).
Σηµείωση: Επειδή η οµάδα G είναι σταθερή σε όλη την εργασία για λόγους
ευκολίας θα συµβολίζουµε την συνοµολογία χωρίς αναφορά στην οµάδα G.
Εποµένως, αρκεί να αποδείξουµε ότι¼ (d(p)Clk)2- d(p)G < d(p) Η0(EK).
Η ακολουθία των G-modules
1→ EK → UK→ UK/ EK→1είναι ακριβής. Επειδή η επέκταση Κ/k είναι µη διακλαδιζόµενη η UΚ είναι
συνοµολογιακά τετριµµένη ως G-module. Αυτό το βλέπουµε ως εξής:Αναλύουµε την οµάδα των µονάδων idele στις τοπικές συνιστώσες καιεφαρµόζουµε γνωστό θεώρηµα για τοπικά σώµατα αριθµών (δες, [Ν1],Prop.43, σελίδα 137).
Εποµένως η ακολουθία συνοµολογίας
…→Η-1(UΚ) → Η-1(UΚ/ EΚ)→ Η0(EΚ) → Η0(UΚ) → ….
είναι ακριβής.
Αλλά
Η-1(UΚ)= Η0(UΚ)=1
Άρα, η παραπάνω ακριβής ακολουθία γράφεται
1 → Η-1(UΚ/ EΚ)→ Η0(EΚ) → 1 → ….
Οπότε
Η-1(UΚ/ EΚ)=Η0(EΚ)Εποµένως η προς απόδειξη ανισότητα¼ (d(p)G)2- d(p)G < d(p) Η0(EΚ)γίνεται¼ (d(p)G)2- d(p)G < d(p) Η-1(UΚ/ EΚ)Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε την ακριβή ακολουθία
1→ UΚ/ EΚ→ CΚ→ ClΚ →134

Επειδή Κ= k∞(p) είναι το maximal σώµα του πύργου των p-κλάσεων
σωµάτων του Hilbert, έχουµε ότι ο p δεν διαιρεί την τάξη της ClΚ.
Η G είναι p-oµάδα και η ClΚ είναι G-module τέτοιο ώστε ο p δεν διαιρεί τον
hk. Εποµένως έχουµε ότιΗq(ClΚ)=1,δηλαδή η ClΚ είναι συνοµολογιακά τετριµµένο G-module.
Από την προηγούµενη ακριβή ακολουθία έπεται η ακρίβεια της… →Η-2(ClΚ) → Η-1(UΚ/ EΚ)→ Η-1( CΚ) → Η-1(ClΚ) → ….
ΑλλάΗ-2(ClΚ) =Η-1(ClΚ)=1.
Άρα η ακολουθία
1→ Η-1(UΚ/ EΚ)→ Η-1(CΚ) → 1
είναι ακριβής, οπότε
Η-1(UΚ/ EΚ)= Η-1(CΚ), (δες, [CF], Application 11.3, σελ.197)
Αλλά από το Θεώρηµα του Τate έχουµε
Η-1(CΚ)= Η-3(Ζ)ΑλλάΗ-3(Ζ)= Η2(Ζ)και εποµένως Η-1(UΚ/ EΚ)= Η-3(Ζ).
Οπότε η προς απόδειξη ανισότητα γίνεται¼ (d(p)G)2- d(p)G < d(p) Η2(Ζ)Βήµα 2:Θα αποδείξουµε ότι η παραπάνω ανισότητα είναι αληθής για κάθεπεπερασµένη p-οµάδα G.
H Ζ/p είναι κυκλική οµάδα µε p στοιχεία. Επειδή οι οµάδες οµολογίας
Ηi(Ζ/p) µηδενίζονται όταν πολλαπλασιαστούν µε p, τις θεωρούµε ωςδιανυσµατικό χώρο πάνω από το σώµα Fp και συµβολίζουµε
di(p)G:=dimFp Ηi(Ζ/p).
Λήµµα 3.13Για κάθε οµάδα G υπάρχει ένας φυσικός ισοµορφισµόςΗ1(Ζ/p)=G/p.
Ιδιαίτεραd1(p)G= d(p)G.
ΑπόδειξηΘεωρούµε την ακριβή ακολουθία
0 → Ζ → Ζ → Ζ/p → 0

35όπου η απεικόνιση p:Ζ→ Ζ είναι ο πολαπλασιασµός µε p και η ψ:Ζ→Ζ/p µε
ψ(m)=m modp. Η ακολουθία αυτή επάγει ακριβή ακολουθία των οµάδωνοµολογίας
pp…→ Ηi(Ζ) →Ηi(Ζ)→ Ηi(Ζ/p) → Ηi-1(Ζ) →Ηi-1(Ζ) → ….
Γενικά γνωρίζουµε ότι«Αν Α αβελιανή οµάδα και Αp=Ker{p:A→A} τότε το cokernel είναι Α/p».
Εποµένως η παραπάνω ακολουθία µας δίνει την ακόλουθη ακριβή
ακολουθία
0 → Ηi(Ζ) /p → Ηi(Ζ/p ) → Ηi-1(Ζ)p → 0διότι φ:Α→Α, µε φ(α)=pα οπότε Imφ=pA, Ker{αεΑ:pα=0}.
Η ακολουθία
Ηi(Ζ) → Ηi(Ζ)→ Ηi(Ζ/p) → Ηi-1(Ζ) → Ηi-1(Ζ/p) → Ηi(Ζ)είναι ακριβής, άρα Imφ=kerπ, Ιmπ=kerδ, Imδ=kerφ.
Οπότε, από το 1ο Θεώρηµα Ισοµορφίας, έχουµε
Ηi(Ζ/p)/Kerδ=Imδκαι συνεπώς
0 → Kerδ(=kerπ ) → Ηi(Ζ/p) → Ιmδ(=kerφ) → 0.
Στο Ηi(Ζ), από το 1ο Θεώρηµα Ισοµορφίας, έχουµε
0 → kerπ → Ηi(Ζ) → Ιmπ(=Kerδ) → 0.
Εποµένως
Kerδ= Ιmπ= Ηi(Ζ)/ kerπ= Ηi(Ζ)/ Imφ= Ηi(Ζ)/pΟπότε έχουµε το ζητούµενο.
Για i=1 έχουµε Η0(Ζ)=Η-1(Ζ)= Ζ, αλλά το Ζ δεν έχει p-torsion άρα Η0(Ζ)p=kerφ=0Οπότε η ακολουθία
0 → Ηi(Ζ)/p → Ηi(Ζ/p) → 0
είναι ακριβής, το οποίο σηµαίνει οτι
Ηi(Ζ)/p=Ηi(Ζ/p)Γνωρίζουµε όµως ότι (δες, [ΑW], Def., σελίδα 102)
Η1(Ζ)= Η-2(Ζ)και ότι Η-2(Ζ)= Η1(G,Q/Z)=G/[G,G]=Gab (δες, Κεφ.1, σελίδα 8).
Εξ ορισµού της G/p έχουµε
G/p=Gab/pΕποµένως
Η1(Ζ/p) =Η1(Ζ)/p= Gab/p=G/pΣυνεπώς d 1(p)(G)= d (p)(G) δηλαδή την αποδεικτέα σχέση του λήµµατος.

36Λήµµα 3.15Για κάθε οµάδα G ισχύει
d(p)Η2(Ζ)= d2(p)G- d1(p)G.
ΑπόδειξηΈχουµε αποδείξει οτι η ακολουθία
0→ Ηi(Ζ)/p →Ηi(Ζ/p)→ Ηi-1(Ζ)p→0
είναι ακριβής. Στην ειδική περίπτωση i=2 προκύπτει η ακρίβεια τηςακολουθίας
0→ Η2(Ζ)/p →Η2(Ζ/p)→ Η1(Ζ)p→0.
Επειδή η G είναι πεπερασµένη έχουµε ότι οι Η1(Ζ)/p, Η2(Ζ)/p είναι
πεπερασµένες ([W] σελ.89]).
Οπότεd2(p)G= d(p)Η2(Ζ/p)= d(p) Η2(Ζ)+dimFpH1(Ζ)pΑυτό το βλέπει κανείς εύκολα από την ανάλυση της Α σε ευθύ γινόµενο κυκλικών
παραγόντων. Εποµένως dimFpH1(Ζ)p=Fp[G] = d1(p)G και συνεπώς d(p)Η2(Ζ)= d2(p)Gd1(p)G δηλαδή το λήµµα.
Χρησιµοποιώντας τα προηγούµενα λήµµατα, η ανισότητα¼ (d(p)G)2- d(p)G < d(p) Η2(Ζ)γίνεται¼ (d1(p)G)2- d1(p)G < d2(p)G- d1(p)G⇔ ¼ (d1(p)G)2< d2(p)GΕποµένως αρκεί να αποδείξουµε το θεώρηµα:Θεώρηµα 3.16
Έστω G πεπερασµένη p-οµάδα όπου p πρώτος τότε
¼ (d1(p)G)2< d2(p)G.
Για να αποδείξουµε το θεώρηµα υπενθυµίζουµε µερικούς συµβολισµούς:
Λ:=Ζ[G] o δακτύλιος οµάδος της GΙ : το augmentation ιδεώδες του Λ, δηλαδή ο πυρήνας της απεικόνισης
φ :Λ→Λ, µε φ( å nσ σ )= å nσ , Ι=Κerφ={ å nσ σ : å nσ σ =0}
σ ∈G

Λ/p=Fp[G]={ å nσ σ : nσ∈ Fp}

σ ∈G

σ ∈G

σ ∈G

σ ∈G

Για την απόδειξη του θεωρήµατος θα χρησιµοποιήσουµε τα παρακάτω
λήµµατα:37

Λήµµα 3.17
Έστω G πεπερασµένη p-oµάδα και Α ένα G-module µε pA=0. Τότε οελάχιστος αριθµός γεννητόρων του Α ως G-module είναι ίσος µε
dimFpH0(A)=dimFpA/IA.
Eιδικά: Έστω αι ∈ A (i∈ I) τότε τα αι παράγουν το Α ως G-module τότεκαι µόνο τότε οι εικόνες των αι στο A/IA παράγουν το Α/ΙΑ ως Fpδιανυσµατικό χώρο.
ΑπόδειξηΈστω οτι ai =αi+ΙΑ παράγουν τον Α/ΙΑ ως Fp-διανυσµατικό χώρο.
Θέτουµε Β:=< α1,α2,…,αs> ένα G-υποmodule του Α .
Η φυσική απεικόνιση αι+ΙΒ→αι+IA µας δίνει έναν επιµορφισµό
Β/ΙΒ→Α/ΙΑ.
s∆ιότι αν a = a +ΙΑ∈ Α/ΙΑ τότε a = å λi ai , λi∈ Fp
i =1ςΘέτουµε b= å λi ai ∈ B, λi∈ Z.
i =1Τότε b → a . Η απεικόνιση αυτή επάγει απεικόνιση, έστω φ,φ
Η0(Α)Η0(Β) →η οποία είναι επίσης επί.
Η ακολουθία
0 → Β → Α → Α/Β → 0είναι ακριβής και µας δίνει την ακριβή ακολουθία
φψ
Η0(Β) Η0(Α) →Η0(Α/Β) → 0.
→Άρα η ψ:Η0(Α) → Η0(Α/Β) είναι επί.
Οπότε Η0(Α)=φ(H0(B))=Kerψ. Από αυτά τα δύο συµπεραίνουµε ότιΗ0(Α/Β)=0.
Επειδή η οµάδα Α/Β µηδενίζεται από το p και η G είναι p-oµάδα έχουµε
Α/Β=0 (δες, Κεφ.1 Λήµµα 5.2, σελίδα 13).
Συνεπώς Α=Β, δηλαδή το λήµµα.
Λήµµα 3.18
Έστω G µια πεπερασµένη p-οµάδα και Α ένα G-module µε pA=0. Τότευπάρχει µια επίλυση
…→Υ2→Υ1→ Υ0→Α→0τέτοια ώστε:(i)Κάθε Υn είναι ένα ελεύθερο Λ/p- module.
(ii)Το πλήθος των γεννητόρων του Υn ως ελεύθερο Λ/p-module είναι
ισο µε την dimFpHn(A).

38

(iii)Im(Yn+1)⊆⊆IYn.
AπόδειξηΈστω d:=dimFpH0(A). Aπό το προηγούµενο λήµµα έπεται ότι υπάρχει έναελεύθερο Λ-module X µε d γεννήτορες και ένας επιµορφισµός Χ → Α.
Επειδή pA=0 ο επιµορφισµός Χ → Α επάγει έναν επιµορφισµό Χ/p → Α.
Θέτουµε Y:= Χ/p.
To διάγραµµαΧΑYείναι αντιµεταθετικό. Το Υ=Χ/p είναι ένα ελεύθερο Λ/p-module µε dγεννήτορες ([ΑW] Th.6 σελ.112). Εποµένως, (δες Κεφ.1 Θεώρ. 5.5, σελ.
14), Ηi(Υ)=0 για κάθε i ≥ 1. Aν Β είναι ο πυρήνας του επιµορφισµού Υ → Α, ηακολουθία
0→Β→Υ→Α→0είναι ακριβής.
Συνεπώς έχουµε την ακριβή ακολουθία
…→ Ηi+1(Y) → Hi+1(A) → Hi(B) → Hi(Y) →…
Επειδή
Ηi+1(Y)=Hi(Y)=0έπεται ότι
Hi+1(A)=Hi(B) για κάθε i≥1.
Για i=0 έχουµε λοιπόν την ακριβή ακολουθία
…→ H1(Α) → H0(Β) → Η0(Υ) → Η0(Α) → 0 …
Επειδή
H1(Υ)=0έπεται ότι η ακολουθία
0 → H1(Α) → H0(Β) → Η0(Υ) → H0(Α) → 0
είναι ακριβής.
Εκ κατασκευής, τα Υ και Α έχουν το ίδιο πλήθος ελάχιστων γεννητόρων,οπότε από το προηγούµενο λήµµα, έχουµε dimΗ0(Υ)=dimΗ0(Α), δηλαδή ότιο επιµορφισµός Η0(Υ) → Η0(Α) είναι ισοµορφισµός. Aυτό σηµαίνει ότι
Η0(Β)= Η0(Α), δηλαδή ότι η σχέση Ηi(B)= Ηi+1(A) ισχύει και για i=0. Λόγωτου ισοµορφισµού Η0(Υ) → H0(Α) έπεται ότι η απεικόνιση
Β/ΙΒ=Η0(Β) → Η0(Υ)=Υ/ΙΥείναι η µηδενική, οπότε Β ⊆ ΙΥ.
Αν θέσουµε Υ=Υ0, έχουµε ότι η ακολουθία
Υ0 → Α→ 0, είναι ακριβής.
Είναι το πρώτο βήµα της επίλυσης την οποία θέλουµε να κατασκευάσουµε.

39

Εφαρµόζουµε την ίδια διαδικασία για το Β.
Θα βρούµε ένα module Υ1 τέτοιο ώστε η ακολουθία Υ1 → Β→ 0 να είναι
ακριβής µε πυρήνα ένα module C για το οποίο ισχύει
Ηi(C)=Hi+1(B)=Hi+2(A) για κάθε i≥0 και C ⊆IY.
Το Υ1 είναι ελεύθερο Λ/p-module µε dimH0(B)=dimH1(A) γεννήτορες.
Αν ορίσουµε την απεικόνιση Υ → Υ0 να είναι η σύνθεση των Υ1 → Β→Υ0
τότε, επειδή Β⊆ΙΥ, θα έχουµε Im(Y1) ⊆IY0.
Συνεχίζουµε,
επαγωγικάκαιαποδεικνύουµετολήµµα.
Ας εφαρµόσουµε το προηγούµενο λήµµα για Α= Ζ/p. Τότε η Η0(Ζ/p)=Ζ/pέχει διάσταση 1, οπότε Υ0 είναι ελεύθερο module µε ένα γεννήτορα. Απότην ιδιότητα (iii) του λήµµατος 3.18 έπεται ότι ο πυρήνας της Υ0 → Ζ/pπεριέχεται στο ΙΥ0. Επειδή Υ0/ΙΥ0 έχει διάσταση 1, άρα ο πυρήνας τηςαπεικόνισης Υ0 → Ζ/p είναι το ΙΥ0.. Οπότε η ακολουθία
Υ1 → ΙΥ0 → 0είναι ακριβής.
Αλλάζοντας τώρα τους συµβολισµούς έχουµε το παρακάτω πόρισµαΠόρισµα 3.19
Αν G πεπερασµένη p-οµάδα και θέσουµε
d=d1(p)G, r=d2(p)G,τότε υπάρχει µια ακριβής ακολουθία
R → D → IE → 0µε Ιm(R) ⊆ID, όπου E, D, R είναι ελεύθερα Λ/p-module µε 1, d, rγεννήτορες αντίστοιχα.

Απόδειξη του θεωρήµατος 3.16(Χρησιµοποιούµε τους συµβολισµούς του πορίσµατος)Για κάθε πεπερασµένο G-module A µε pA=0, ορίζουµε το πολυώνυµο
Poincare
PA(t)= å c n (A) tn όπου c n (Α)=dim(InA/In+1A)0≤ nΈχουµε c0 (E)=dim(E/IE)=dimH0(E)=1 (διότι το πλήθος των γεννητόρων
είναι 1), οπότε
PE(t)=1+ å c n (E)tnn ≥1=1+t c1 (E)+t2 c 2 (E)+…
Αλλά c1 (E)=dim(IE/I2E), c 2 (E)=dim(I2E/I3E),…

40

Άρα

oπότε

PE(t)=1+t c0 (IE)+t2 c1 (IE)+….
=1+t( c0 (IE)+t c1 (IE)+….)=1+tPIE(t)PIE(t)=( PE(t)-1)/t.
Το D είναι ελεύθερο Λ/p-module µε d γεννήτορες, δηλαδή D=(Λ/p)α1 ⊕ …
⊕ (Λ/p)αd.
Aλλά Ε= Λ/pαi, άρα D=Ed.
Οπότε c n (D)=dim((InD)/(In+1D))=dim((InE)/(In+1E))d=d c n (E). Άρα έχουµε
PD(t)=dPE(t)=dP(t).
Όµοια PR(t)=r.P(t).
Γενικά, αν 0<t<1 είναι πραγµατική µεταβλητή, έχουµε
PA(t)(1/(1-t))= å s n −1 (A)tn , όπου s-1(A)=0.
n ≥0∞Πράγµατι είναι 0<t<1 άρα 1/1-t= å tn, άραn=0∞

PA(t)(1/(1-t))=( å c n (A)tn)( å tn)
n=0

n ≥0

= c0 (Α)+( c0 (Α)+ c1 (Α))+…
= å sn(A)tn, όπου sn(A)= å ci (A)=dim(A/(In+1A)).
n ≥00≤i ≤ nΑπό το πόρισµα 3.19 υπάρχει επιµορφισµός από G-modules Ιn+1D →In+2E(διότι D→IE επιµορφισµός οπότε In+1D → In+1(IE)=In+2(E) επιµορφισµός),οπότε η ακριβής ακολουθία
R → D → IE → 0µας δίνει µέσω περιορισµού και προβολής την ακριβή ακολουθία
0 → R/Rn+1 → D/In+1D → (IE)/(In+2E) → 0.
Οπότεsn(D)=sn(IE)+dim(R/Rn+1).
Aλλά, από το προηγούµενο πόρισµα, έχουµε οτι Im(R) ⊆ ID οπότε
Ιm(InR) ⊆ In+1D και Ιm(InR) ⊆ Rn+1.
Eποµένως dim(R/Rn+1) ≤ dim(R/InR)=sn-1(R), oπότεPD(t)(1/(1-t)) ≤ PIE(t) (1/(1-t))+ PR(t) (t/(1-t))ισοδύναµα
dP(t) ≤ (P(t)-1)/t +rtP(t) για 0<t<1δηλαδή
1 ≤ P(t)(rt2-dt+1), για 0<t<1.

41Θέτoυµε t=d/2r (επιτρέπεται, διότι από το λήµµα 3.15, d ≤ r<2r οπότε
0<d/2r<1).
Άρα
r > (1/4)d2,δηλαδή αποδείξαµε πλήρως το θεώρηµα των Golod-Shafarevich.
Σηµείωση:Οι Golod, Shafarevich απέδειξαν µόνο οτιd2(p)G >1/4(d1(p)G-1)2Η ανισότητα όπως δόθηκε εδώ αποδείχθηκε ανεξάρτητα από τουςGaschutz και Vinberg.
Απόδειξη του θεωρήµατος 3.10 (Brumer) για επεκτάσεις Galois:Έστω οτι η k/Q είναι πεπερασµένη επέκταση Galois µε [k:Q]=n και p πρώτος
αριθµός.
Θα αποδείξουµε την ανισότητα
d(p)Clk ≥ tk(p)-((rk-1)/(p-1)+wp(n)δk(p)) (*)Η απόδειξη θα γίνει σε δυο βήµατα, στο πρώτο θα ανάγουµε την ανισότητα
σε ένα αποτέλεσµα της Θεωρίας Οµάδων και στο δεύτερο βήµα θααποδείξουµε το αποτέλεσµα αυτό.
Έστω K=k1 το σώµα του Hilbert του k
G=Gal(K/k),η οµάδα Galois, της επέκτασης Κ/kG*=Gal(K/Q), η οµάδα Galois, της επέκτασης Κ/Q
g:=Gal(k/Q), η οµάδα Galois, της επέκτασης k/QΠροφανώς η g είναι η οµάδα πηλίκων G*/G.
H παρακάτω ακολουθία είναι ακριβής (inflation-restriction), (δες, Kεφ.1,
Θεώρ. 3.1, σελίδα 10)1→ H1(g,Ek) → H1(G*,EK) → H1(G,EK).
Οπότεd(p)H1(G*,EK) ≤ d(p)H1(G,EK)+ d(p)H1(g,Ek).
Αρκεί να αποδείξουµε οτι:(i) H1(G,EK)=Clk(ii) d(p) H1(G*,EK)=tk(p)(iii) d(p) H1(g,Ek) ≤ (rk-1)/(p-1)+wp(n)δk(p).

42Για κάθε αλγεβρικό σώµα αριθµών Κ θεωρούµε τοδιάγραµµα
1
1
1
↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

ακριβές αντιµεταθετικό

1 →EΚ→UK→UK/EK→1*

1→ K → UK→ CK →1
1→ PK→ DK→ ClK →1111

H ακρίβεια των γραµµών και των δυο πρώτων στηλών είναι προφανής. Η ακρίβειατης τρίτης στήλης είναι άµεση συνέπεια του «λήµµατος 9» της θεωρίας οµολογίας.
Όπου ΙΚ: η οµάδα των idele τουDK: η οµάδα των διαιρετών του K
PK: η οµάδα των κύριων διαιρετών του Κ
Κ: η πολλαπλασιαστική οµάδα του Κ.
Αν Κ/k είναι Galois µε οµάδα Galois G τότε το προηγούµενο διάγραµµα µας δίνει
το παρακάτω ακριβές αντιµεταθετικό διάγραµµα.
1

1

1

↓

↓

↓

43

δ
φ
1 →Εk→ Uk→(UK/EK)G →
H1(EK) 
H1(UK)
→

↓

↓

↓

↓

1 →k*→ Ik → Ck

→ Η1(Κ*)=1

↓

↓

1

↓

→PKG→DKG→ClKG

↓

↓

44

φ
H1(EK) 
H1(UK)
→↓↓1= Η1(Κ*) Η1(ΙΚ)=1Χρησιµοποιήσαµε δυο φορές το 90ο Θεώρηµα του Ηilbert: H1(K*)=1, στο τέλοςτης πρώτης γραµµής και στο τέλος της δεύτερης γραµµής και µια φορά τηνΗ1(IK)=1 στο τέλος της δεύτερης στήλης (δές, [ΑW], Cor.7.6, σελ177) ή (δές, [N1],Cor.3.5, σελ.212).

45

Λήµµα 3.20
Έστω Κ ένα αλγεβρικό σώµα αριθµών το οποίο είναι επέκταση Galois ως
προς κάποιο υπόσωµα k πεπερασµένου βαθµού, µε G=Gal(K/k). Υποθέτουµεοτι DGK ⊆ PK δηλαδή ότι κάθε G-αναλλοίωτο ιδεώδες του DK είναι κύριο. Τότευπάρχει µια ακριβής ακολουθία
φ
1 →Clk →H1(EK) →
H1(UK) →1.
ΑπόδειξηΗ φ : Η1(ΕΚ) → Η1(UK) εµφανίζεται δύο φορές στο προηγούµενο διάγραµµα. Θααποδείξουµε ότι η φ είναι επί και kerφ=Clk. Από την υπόθεση του λήµµατος 3.20
έχουµε ότι PKG=DKG. ∆ιότι πάντοτε ισχύει PK ⊆ DK οπότε και PKG ⊆ DKG.
Από την άλλη µεριά (DK)G ⊆ PK. Συνεπώς ((DK)G)G ⊆ (PK)G δηλαδή (DK)G ⊆ (PK)G.
Από τις δυο σχέσεις του περιέχεσθαι έπεται η ισότητα (PK)G=(DK)G.
Από το κάτω αριστερό ορθογώνιο του διαγράµµατος τώρα συµπεραίνουµε ότι η φείναι επιµορφισµός. Από την προτελευταία γραµµή του διαγράµµατος
συµπεραίνουµε επίσης ότι α=1. ∆ηλαδή,1−1(DK)G=(PK)G(PK)G →

επί

επί

φ
Η1(ΕΚ) →Η1(UK)Η αντιµεταθετικότητα του διαγράµµατος :
n
→
Ck
Ik 

↓

G

↓

G
(Dk) 
→ (Clk)µας δίνει ότι α o ξ=β o η=1. Επειδή ο η είναι επιµορφισµός έπεται ότι β=1.
Αυτό σηµαίνει ότι ο γ είναι κατ΄ ανάγκη ισοµορφισµός.
aΟπότε, από την δεξιά πάνω γωνία του διαγράµµατος, έχουµε
Κerφ=Im(δ)=(UK/EK)G/Im(ε)=Ck/Im(γ o ε)διότι ο γ είναι ισοµορφισµός.

46Από την άλλη µεριά όµως (Ck/(Im(γοε)))= (CK/(Im(ηοζ)))=Ιk/kUk=Clk δηλαδή τοζητούµενο kerφ=Clk.

Απόδειξη του (i)Υπενθυµίζουµε ότι k είναι το σώµα Hilbert του σώµατος k. To Θεώρηµα τωνκύριων ιδεωδών (Principal ideal Theorem) είναι το:«Κάθε ιδεώδες του k όταν επεκταθεί στο σώµα του Hilbert γίνεται κύριο, δηλαδηDk ⊆ PK».
Την εποχή που τέθηκε το πρόβληµα του πύργου κλάσεων σωµάτων ήταν και αυτόεικασία. Αποδείχθηκε όµως πολύ νωρίτερα, στα 1930 από τον Furtwangler (δες,[Ν2], Prop. , σελίδα )Eπειδή Κ/k µη διακλαδιζόµενη έχoυµε Η1(UK)=1. Θα δείξουµε οτι το Κ ικανοποιείτις προυποθέσεις του Λήµµατος 3.20, δηλαδή οτι (DK)G ⊆ PK.
Επειδή Η1(UK)=1, από το προηγούµενο διάγραµµα, έχουµε οτι η απεικόνιση
ξ:ΙΚ→(DK)G είναι επί. Η εικόνα όµως της ξ είναι Ιk/Uk=Dk. Εποµένως Dk=(DΚ)Goπότε (DK)G ⊆ PK.
Eφαρµόζουµε τώρα το προηγούµενο λήµµα 3.20. Η ακολουθίαφ
H1(UΚ) → 1
1 → Clk → H1(EΚ) →είναι ακριβής. Επειδή H1(UΚ)=1 έπεται ότι Clk= H1(EK), δηλαδή η (i).
Aπόδειξη της (ii)Θα αποδείξoυµε οτι η επέκταση Κ/Qικανοποιεί τις προϋποθέσεις τουπροηγούµενου λήµµατος (το K είναι και πάλι το σώµα του Hilbert του k).
Yπενθυµίζουµε ότι η G* είναι η οµάδα Galois της επέκτασης
Κ/Q και G η οµάδα∗G
G
Galois της επέκτασης Κ/ k, άρα G ⊆ G*, οπότε (DK) ⊆ (DK) .
∗Αλλά από την απόδειξη της (i) έχουµε (DK)G ⊆ PK, oπότε και (DK)G ⊆ PK.
Άρα από το προηγούµενο λήµµα 3.20 έχουµε:
φ
1 → ClQ
H1(G*,UK) → 1.
→ H1(G*,EK) →Λόγω του ότι ClQ=1, η παραπάνω ακριβής ακολουθία µας δίνει ότι η φ
φ
H1(G*,EK) 
H1(G*,UK)→είναι ισοµορφισµός.
Για κάθε πεπερασµένο πρώτο q∈ Q θέτουµε eK(q)=ο δείκτης διακλάδωσης
κάποιας επέκτασης του q στο Κ (επειδή η Κ/Q είναι Galois το e(q) δεν47εξαρτάται από την επιλογή της επέκτασης). Έστω Ζ/eK(q) η κυκλική οµάδατάξεως eK(q), τότε H1(G*,UK)= ∏ Ζ/eK(q).
qEπειδή Κ/k είναι µη διακλαδιζόµενη επέκταση έχουµε ότι eK(q)=ek(q) γιακάθε πεπερασµένο πρώτο q του Q.
Oπότε H1(G*,ΕK)= ∏ Ζ/ek(q).
qO p-rang του γινοµένου στο δεξί µέλος είναι ίσος µε το πλήθος των qτέτοιων ώστε p/ek(q), δηλαδή ίσος µε tk(p). Συνεπώς έχουµε αποδείξει ότιd(p)H1(G*,EK)=tk(p).
Απόδειξη της (iii)Η torsion οµάδα της Εk είναι η Wk η οποία είναι κυκλική µε p-rank δk(p)(Θεώρηµα Μονάδων του Dirichlet). Aλλά από το Θεώρηµα των Μονάδων η
Εk/Wk είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε (rk-1) γεννήτορες. Οπότε η (iii)είναι άµεση συνέπεια του παρακάτω αποτελέσµατος της Θεωρίας Οµάδων.
Λήµµα 3.21
Έστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης n και p ένας πρώτος
αριθµός. Έστω Α ένα πεπερασµένα παραγόµενο G-module µε torsion
οµάδα tA και έστω ρ(Α) ο αριθµός των ελεύθερων γεννητόρων τουΑ/tA ως αβελιανή οµάδα, τότεd(p)H1(G,A) ≤ (ρ(Α)/p-1)+wp(n)d(p)tA.
ΑπόδειξηΈστω Η1(G,Α) → Η1(G(p),A) ο περιορισµός (restriction), όπου G(p) είναι µιαp-Sylow υποοµάδα της G.H προηγούµενη απεικόνιση είναι µονοµορφισµόςτων p-primary συνιστώσων (δές, [AW], Prop.8, Cor.3, σελ.105).
Ειδικά d(p)Η1(G,Α) ≤ d(p)Η1(G(p),Α).
Oπότε αρκεί να αποδείξoυµε το λήµµα για την οµάδα G(p) η οποία είναι pοµάδα (Ισχύει wp(n)=wp(n(p)) όπου n(p) η τάξη της G(p)). Η ακολουθία
0 → tA→ A → A/tA → 0είναι ακριβής, οπότε και η ακολουθία
Η1(G,tA) → H1(G,A) → H1(G,A/tA)θα είναι επίσης ακριβής. Οπότε
d(p)H1(G,A) ≤ d(p)H1(G,tA)+ d(p)H1(G,A/tA).
Θα αποδείξουµε ότιd(p)H1(G,tA) ≤ wp(n)d(p)tAκαιd(p)H1(G,A/tΑ) ≤ ρ(Α)/(p-1)∆ιακρίνουµε δυο περιπτώσεις:48

1η περίπτωση: Το Α είναι torsion module2η περίπτωση: Το Α είναι torsion free1η περίπτωση: Έχουµε d(p)G=dimG/p ≤ wp(n).
Οπότε αρκεί να δείξουµε οτι d(p)H1(A) ≤ d(p)Gd(p)A.
Έστω Ζ1(Α) το module των σταυρωτών οµοµορφισµών f : G → A.
Έστω g1,g2,…,gd ένα ελάχιστο σύστηµα γεννητόρων της G. To ΘεώρηµαΒασης του Burnside για τις p-οµάδες µας λέει οτιd=d(p)G.
Κάθε σταυρωτός οµοµορφισµός f ορίζεται µονοσήµαντα από τις τιµές των
f(gi) 1 ≤ i ≤ d, δηλαδή η απεικόνιση
Ζ1(Α)→Αdµε f→(f(g1),…f(gd)) είναι 1-1.
Οπότεd(p)Z1(A) ≤ d(p)(Ad)=dd(p)(A)= d(p)(G)d(p)(A)Eπειδή το Η1(Α) είναι πηλίκο της Ζ1(Α) έχουµεd(p)Z1(A) ≤d(p)(G)d(p)(A).
d(p)Η1(A) ≤ΣηµείωσηΣτην παραπάνω απόδειξη δεν χρησιµοποιούµε το γεγονός οτι η Α είναι
torsion module. Εποµένως η ανισότητα ισχύει για κάθε πεπερασµέναπαραγόµενο G-module A.
Αυτό σηµαίνει οτι αποδείξαµε το εξηςd(p)Η1(g,Ek) ≤ wp(n)(rk-1+δk(p))και αντί της (*) τηνd(p)Clk ≥ tk(p)-wp(n)(rk-1+δk(p))Αυτό είναι αρκετό για να πάρουµε µια συνάρτηση c΄(n) µεd(p)Clk ≥ tk(p)-c΄(n)και επειδή wp(n) ≤ n-1 µπορούµε να πάρουµε c΄(n)=(n-1)n.
Η απόδειξη που ακολουθεί µας επιτρέπει να δώσουµε µια καλύτερη
εκτίµηση στην περίπτωση που το module είναι torsion free. Θααποδείξουµε ότι µπορούµε να πάρουµε c΄(n)=2(n-1).
2η περίπτωση: Το Α είναι torsion freeΛήµµα 3.22 (Chevalley)49Έστω G µια οµάδα τάξης p και Α ένα πεπερασµένα παραγόµενο GmoduleTότεd(p)H1(G,A)- d(p)H2(G,A)=(ρ(Α)-pρ(Α))/(p-1).
Απόδειξη(i) Έστω d1-2(A)=d(p)H1(G,A)-d(p)H2(G,A)
Eπειδή η G έχει τάξη p έχουµε p.Hi(A)=0 [AW]Εποµένως d(p)Hi(A)=dimHi(A) ως FP διανυσµατικό χώρο. Aν τώρα µε hi(A)συµβολίσουµετηντάξη της Ηi(A), τότε( p) ihi(A)=p d H (A)Το πηλίκο του Herbranth1/2= h1(A)/ h2(A)Άρα
h1/2=pd 1−2 (A)Aπό τις ιδιότητες του πηλίκου του Herbrant (Κεφ.1 Προτ.2.2) έχουµε ότιh1/2(B)= h1/2(A) h1/2(C)oπότε
d1-2(Β)= d1-2(A).d1-2(C)δηλαδή η d1-2 είναι µια προσθετική συνάρτηση από G-modules.
Oρισµός 3.23
∆υο πεπερασµένα γεννόµενα G-modules A και Β λέγονται ρητάισοδύναµα αν τα τανυστικά γινόµενα Α ⊗ Q και Β ⊗ Q είναι ισόµορφαως Q[G]-modules, όπου Q[G]=Z[G] ⊗ G ο δακτύλιος οµάδας της G
υπέρ το Ζ.
Γνωρίζουµε οτι:«Αν Α και Β είναι ρητά ισοδύναµα τότε d1-2A=d1-2B »οπότε λέµε οτι η d1-2 είναι µια συνάρτηση ρήτων ισοδύναµων κλάσεων.
Ορίζουµε την συνάρτηση
τ(Α)=(ρ(Α)-pρ(ΑG))/(p-1).
H τ είναι µια προσθετική συνάρτηση ρητών ισοδυνάµων κλάσεων.
Για να το αποδείξουµε αυτό αρκεί να αποδείξουµε οτι οι συναρτήσεις ρ(Α),ρ(ΑG) είναι προσθετικές. Πράγµατι από τον ορισµό της ρ έχουµε
ρ(Α)=dimQA ⊗ Q.
Αν η ακολουθία
0 → Α → Β→ C→ 0είναι ακριβής τότε και η ακολουθία

50

0 → A⊗ Q → B⊗ Q → C⊗ Q → 0είναι ακριβής, οπότε
dimB ⊗ Q=dimA ⊗ Q+dimA ⊗ Q,δηλαδή ρ(Β)=ρ(Α)+ρ(C), άρα η ρ είναι προσθετική.
Είναι ρ(ΑG)=dimQ(AG ⊗ Q)=dimQ(A ⊗ Q)G διότι το Q µπορούµε να τοθεωρήσουµε ως G-module µε τετριµµένη δράση δηλαδή Q G =Q oπότεAG ⊗ Q= AG ⊗ QG= (A ⊗ Q)G.
Oπότε αν η ακολουθία
0→Α→Β→C→0είναι ακριβής τότε και η ακολουθία
0 → (A ⊗ Q)G→ (B ⊗ Q)G → (C ⊗ Q)G → 0είναι ακριβής, διότι Η1(G, A ⊗ Q)=0 αφού A ⊗ Q είναι uniquely divisible.
Άραdim(B ⊗ Q)G=dim(A ⊗ Q)G+dim(A ⊗ Q)Gεποµένως
ρ(ΒG)= ρ(ΑG)+ ρ(CG)δηλαδή ρ(ΑG) προσθετική.
Ισχύουνd1-2(Z)=τ(Ζ)=-1και
d1-2(Λ)=τ(Λ)=0όπου θεωρούµε τα Ζ, Λ=Ζ(G) ως G-module.
∆ιότι h1/2(Z)=h1(Z)/h2(Z)=#H1(Z)/#H2(Z)= #H1(Z)/#H0(Z)=1/p=p-1 αφούΗ0(Ζ)=Ζ/pZ και Η1(Ζ)=(0), άρα d1-2(Z)=1.
Για να αποδείξουµε το Λήµµα 3.22 αρκεί να αποδείξουµε την ακόλουθη πρόταση
«Κάθε προσθετική συνάρτηση f ρητών κλάσεων ισοδυναµίας ενόςπεπερασµένα παραγόµενου G-module A είναι µονοσήµαντα ορισµένη απότις τιµές της στα Ζ , Λ.»ΑπόδειξηΗ ακριβής ακολουθία
0→Ι→Λ→Ζ→0δείχνει οτι f(I)=f(Λ)-f(Z), οπότε το f(I) ορίζεται από τα f(Λ) και f(Z). Αυτό που
µένει να δείξουµε είναι οτι κάθε πεπερασµένα παραγόµενο G-module Aείναι ρητά ισοδύναµο µε το ευθύ άθροισµα G-modules τα οποία είναι
ισοµορφικά είτε µε το Ζ είτε µε το Ι. ∆ηλαδή
Α ⊗ Q= å Ai ⊗ Q
iόπου Αi=Ζ ή Αi=I.
Επειδή το Α ⊗ Q είναι ένας χώρος αναπαράστασης της G πάνω από το Q,
το Α ⊗ Q είναι ένα ευθή άθροισµα irreducible χώρων αναπαράστασης Vi51

δηλαδή θα δειξουµε οτι κάθε irreducible χώρος αναπαράστασης V(διάφορος του µηδενικού) της G πάνω από το Q είναι είτε ισοµορφικός µετο Ζ ⊗ Q=Q ή µε το Ι ⊗ Q.
Κάθε τέτοιο V είναι ισοµορφικό µε ένα ευθύ άθροισµα των Q(G)=Λ ⊗ Q.
Οπότε πρέπει να ορίσουµε την ανάλυση σε ευθύ άθροισµα των Q(Z).
H ακριβής ακολουθία
0 → Ι ⊗ Q → Q(Z) → Q → 0είναι διασπώµενη. Η αντίστοιχη απεικόνιση Q → Q(G) ορίζεται x→xe (x∈ Q)όπου e :=(1/p) å g .
g∈GΟπότε έχουµε την ευθεία ανάλυση Q(G)=(Ι ⊗ Q) ⊕ Qe. Μένει να αποδείξουµεοτι Ι ⊗ Q είναι ανάγωγο για παράδειγµα ότι ο Ι ⊗ Q ως Q-άλγεβρα είναι
σώµα.
Έστω Κ το σώµα των p ριζών της µονάδας. Έστω χ ένας ισοµορφισµός τηςG στην οµάδα των p ριζών της µονάδας (µέσα στο Κ) .Επειδή ο χ είναι
γραµµικός επεκτείνεται µοναδικά σε µια άλγεβρα οµοµορφική του Q(G)πάνω στο K. O πυρήνας της χ περιέχει το e διότι το άθροισµα όλων των pριζών της µονάδας στο Κ είναι µηδέν. Άρα η χ ορίζει µια άλγεβρα
οµοµορφική του Q(G)/e= Ι ⊗ Q πάνω στο Κ.
Επειδή dimQK=p-1=dimQΙ ⊗ Q έχουµε οτι είναι ισοµορφισµός από το Ι ⊗ Q
πάνω
στο
Κ.

Λήµµα 3.24
Έστω Gµια πεπερασµένη p-οµάδα και Α ένα πεπερασµέναπαραγόµενο G-module το οποίο ως αβελιανή οµάδα είναι torsion free.
Τότεd(p)H1(A) ≤ (ρ(Α)-ρ(ΑG))/(p-1).
Ειδικά έχουµε ότιd(p)H1(A) ≤ ρ(Α)/(p-1).

ΑπόδειξηΈστω οτι η G έχει τάξη p. Tότε από το Λήµµα του Chevalley έχουµεd(p)H1(G,A) ≤ (ρ(Α)-pρ(Α))/(p-1)+ d(p)H2(G,A)
Eπειδή η G είναι κυκλική, Η2(Α)=Η0(Α) είναι κάποια οµάδα πηλίκο της ΑGoπότεd(p)H2(A) ≤ d(p)AG=ρ(AG)η τελευταία ισότητα ισχύει διότι η ΑG είναι torsion free.
Eποµένως,d(p)H1(G,A) ≤ (ρ(Α)-pρ(Α))/(p-1)+ρ(ΑG)

52το οποίο αποδεικνύει το λήµµα στην περίπτωση που η τάξη της G είναι p.
Έστω τώρα ότι η G έχει τάξη µεγαλύτερη ή ίση του p2.
Έστω U µια γνήσια κανονική υποοµάδα της G. Έχουµε την ακριβή
ακολουθία (δες, Κεφ.1, Θεώρηµα 3.1)
1 → Η1(G/U,AU) → Η1(G,A) → Η1(U,A)Oπότε
d(p)H1(G,A) ≤ d(p)H1(G/U,AU)+ d(p)H1(U,A)
Xρησιµοποιώντας επαγωγή, υποθέτουµε ότι η σχέση που θέλουµε νααποδείξουµε ισχύει για οµάδες τάξης µικρότερης της G. Eποµένωςd(p)H1(G/U,AU) ≤ (ρ(ΑU)-ρ(ΑG))/(p-1)καιd(p)H1(U,A) ≤ (ρ(Α)-ρ(ΑU))/(p-1)Οπότε, προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε το ζητούµενο.

53

Βιβλιογραφία
[Α1] Γ.Α. Αντωνιάδη, Συνοµολογία Οµάδων, Σηµειώσεις, Ηράκλειο 1993.
[A2] Γ.Α. Αντωνιάδη, Αλγεβρική Θεωρία Αριθµών, Σηµειώσεις, Ηράκλειο 1987.
[Α3] Γ.Α. Αντωνιάδη, Εκτιµήσεων-Τοπικά Σώµατα, Σηµειώσεις, Ηράκλειο 1992.

[AW] M.F. Atiyah and C.T.C.Wall, Cohomology of Groups. Άρθρο από το βιβλίο
του [CF].

[CF] J.W.S. Cassels and A.Frohlich, Algebraic Number Theory, Academic Press,
London 1967.
[HA] I.N.Herstein, Topics in Ring Theory, The University of Chicago Press,
Chicago 1972.
[Η] Η.Ηasse, Vorlesungen uber Klassenkorpertheorie, Physica-Verlag,
Wurtzburg 1967.

[Λ] Κ. Λάκκη, Άλγεβρα, Θεσσαλονίκη 1993.
[N1] Jurgen Neukirch, Klassenkorpertheorie , Bibliographishes Institut,
Mannheim 1969.
[N2] Jurgen Neukirch, Class Field Theory, Springer-Verlag, Berlin 1986.

54

[SΤ] Ι.Ν.Stewart and D.O.Tall, Algebraic Number Theory, Chapman andHall, London 1989.
[S] J.P. Serre, Galois Cohomology, Springer Verlag, Berlin 1997.
[SΤ] Ι.Ν.Stewart and D.O.Tall, Algebraic number Theory, Chapman and Hall,
London 1989.
[SH] S.S. Shatz, Profinite Groups, Arithmetic Geometry, Annals of Mathematical
Studies, Princeston University Press, Princeston 1972.
[W] E.Weiss, Cohomology of Groups, Academic Press,
1969.

55