4留数定理

本章のあらまし• まず，正則関数は局所的にテイラー展開できることを確認する．

• つぎに，円環領域上の正則関数に対し，テイラー展開の一般化であるローラン展開ができることを示す．

• とくに，穴あき円板上の正則関数のローラン展開から，その中心（孤立特異点）に付随する留数とよばれる複素数が定まる．

• 留数を用いると，積分計算を「ローラン展開の係数を求める」という代数的な計算（式変形）に帰着できる．その原理を留数定理としてまとめる．

• 留数定理を用いて，難しい実関数の定積分を計算する．

4 . 1 テイラー展開
実関数のテイラー展開（級数）にあたるものを複素関数でも考えることができる．その準備として，複素数からなる数列と級数の収束・発散を定義する．

数列・級数の収束∞

複素数からなる数列 zn n=1 が複素数 A に収束するとは，n → ∞ のとき |zn − A| → 0 が成り立つことをいい，これをzn → A(n → ∞)
 ∞と表す．また，複素数 A を数列 zn n=1 の極限といい，A = lim znn→∞と表す．

z3znAz2z1

124

注意!

4 留数定理

留数は 0 になることもある（たとえば α が除去可能な特異点の場合）．

ezの，z = 0 における留数を求めてみよう．例z2ze11
題で計算したローラン展開 2 = 2 ++ · · · の z −1 の係数は 1 なので，zzz zeRes, 0 = 1．定理 4.7 より，たとえば単位円 C = C(0, 1) に対し，z2 z
ezedz = 2πi Res, 0 = 2πi · 1 = 2πi.
2z2C z例 7 例題 4.2 (1) の関数

例 8 同様に例題 4.2 (2) の関数
ローラン展開1z 2 (z − 2)の，z = 0 における留数を求めると，

11= ···−+ · · · より Res2z (z − 2)4z

1,02z (z − 2)

=−14となる．

留数定理

これまで，積分計算はコーシーの積分公式（定理 3.14）や積分路の変形を組み合わせて行ってきた．留数を用いれば，それらをすっきりと公式の形でまとめることができる．
定理 4.8（留数定理）
正則関数 f (z) の定義域 D は単純閉曲線 C と，C の内部から互いに異なる点 α1 , α2 , · · · , αn を除いた領域を含むものとする．このとき，

f (z) dz = 2πiCn

Res f (z), αk .

k=1

証明 各 k = 1, 2, · · · , n に対し Dk := D(αk , r) とおき，r > 0 を十分に小さくとれば，D1 , · · · , Dn はすべて C の内部に含まれ，互いに交わらないとしてよい（次ページの図，☆は孤立特異点）．また，各 Dk − {αk } 上では式 (4.9) のようなローラン展開をもつ．
各 Dk 内に円 Ck := C(αk , r/2) をとれば，定理 3.11 より+··· +=
CC1Cn4.3 留数定理

125C
D2
D1C2…DC1nα2

α1CnαnD= 2πi Res f (z), αk であるから，求める等式が得らが成り立つ．定理 4.7 よりCkれた．

留数の計算公式

留数定理（定理 4.8）の応用に入るまえに，使い勝手のよい留数の公式を 2 つ紹介しておこう∗5 ．これらの公式を用いれば，ローラン展開をせずに，留数だけ直接求めることができる（ただし，真性特異点には適用できないので，ローラン展開が不要になるわけではない）．
公式 4.9（留数の計算公式 1）
関数 g(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるとする．k を自然数とす

g(z)
に対し
(z − α)k
g(z)1Res,
α=g (k−1) (α).
k(z − α)(k − 1)!

るとき，関数

とくに k = 1 のとき，

Res

注意!

このとき，α は関数

g(z)z−α,α= g(α).

g(z)の除去可能な特異点か，k 位以下の極と(z − α)k∗5 証明はとりあえず読み飛ばしてもかわまない．

132

4 留数定理
111.
Res f (z), −=g −=338
よって，I =1π2· 2πi ·=．
i82

有理関数の広義積分

つぎに，広義積分の計算に応用してみよう∗9 ．

例題 4.5（有理関数の広義積分）
つぎを示せ．

I= ∞1πdx = √ .
41+x2−∞

解答

正の数 R > 1 を固定し，右図のよ
1うな積分路 C および f (z) =に
1 + z4対し，複素線積分


=
C

C
β1dz
4C 1+z–R

α–101R1は複素平面から z 4 =1 + z4を除いた領域で正則である．定理 1.10 よりその−1 をみたす 4 つの z（−1 の 4 乗根）を考える．ひとまずこの積分を計算しよう．被積分関数

ような z は eπi/4 , e3πi/4 , e5πi/4 , e7πi/4 である．そのうち積分路 C の内部にあるのは α := eπi/4 と β := e3πi/4 の 2 つなので，留数定理（定理 4.8）より


= 2πi · ResC1,α1 + z4

+ Res1,β1 + z4.

留数の計算公式 2（公式 4.10, g(z) = 1，h(z) = z 4 + 1 とおく．このとき h (z) = 4z 3より h (α) = 0 かつ h (β) = 0）
より，


Res

1,α1 + z4=14α3=

e−3πi/44=−1 − i√
4 2（もしくは，α4 = −1 より 1/(4α3 ) = −α/4 とも計算できる）．同様にして∗9 これも有理関数なので，部分分数展開を用いれば原理的には不定積分を計算できるが，かなり複雑な式になる．

133

4.4 実関数の積分への応用

Res

1,β1 + z4であるから，

14β 3=e−9πi/4
4=1−i
√
4 2=



−1 − iπ1−i√
= 2πi
= √ .
+ √4 24 22C

さて，この複素線積分から実関数の広義積分 I の値を引き出そう．まず，積分路 Cを線分 JR と半円 HR に分割する．すなわち，C = JR + HR となるように

JR : z = x(−R ≤ x ≤ R)

HR : z = ReiθC = JR + HRHR

(0 ≤ θ ≤ π)

JRと定める（積分の計算がしやすいようにパラメーターの取り替えを行った）．このとき，

=C0–RHRπ= √2+JRRであるから，


I = limR→∞−= lim
JRR→∞CHR

π= √ − lim
R→∞2.
HR→ 0 であることを示せばよい∗10 ．

よって，R → ∞ のとき
HRz が HR 上にあるとき，|z| = R > 1 と三角不等式 (2.1) より|1 + z 4 |であるから，HR 上

11 + z4

三角不等式≥≤|z|4 − 1 = R4 − 1 > 01．したがって，M 不等式（公式 3.3）より，
R4 − 1M 不等式
11dz≤
· (HR ) =44 −11+zRHR

πR
R4 − 1→ 0(R → ∞).

π
以上で I = √ が示された．
2∗10 積分路 HR の長さは無限大に発散するのに，積分値が 0 に収束するのは違和感があるかもしれない．しかし，証明の M 不等式を使う部分からわかるように，積分路の長が 0 に近づさ πR が増加するスピードよりも被積分関数の絶対値（1/(R4 − 1) 以下）くスピードのほうが勝っているので，積分の値は 0 に収束せざるを得ないのである．