金融システム演習「クレジット・モデリング」
平成 26 年度冬学期 期末試験
高田 勝己

2015 年 2 月 6 日
注意事項• 最終的な答えだけでなく、途中経過も詳しく書いてください。中間点を与えます。
1. (リスク中立測度と実測度の生存確率）(35 点）

ある企業が時点 T まで生存している（倒産していない）事象 {τ > T } の確率を、リスク中立測度 Q であらわしたものを Q (τ > T )、と実測度 P では P (τ > T ) とする。倒産強度と生存確率の関係は[ ∫T]Q
Q (τ > T ) = E Q e− 0 λu du及び[ ∫T]
PP (τ > T ) = E P e− 0 λu duである。
倒産リスクのある企業が発行した、満期が T で回収額のない割引債 B(·; T ) は時点 0 で[ ∫T]Q
B(0; T ) = E Q e− 0 (ru +λu )duとかける。

(ア) 金利と倒産強度が独立なら、B(0; T ) = D(0; T )Q (τ > T )とかける。このもとで、マーケットで、満期が T であるリスクフリーな割引債 D(0; T ) とリスキーな割引債

B(0; T ) が現在 (t = 0 で) トレードされていると、リスク中立での生存確率は
Q (τ > T ) = B(0; T )/D(0; T )(1)と計算される。金利と倒産強度に負の相関があるとする（解釈としては、経済が悪くなると金利が下がり倒産がふえる）。このとき、Q (τ > T ) は、相関がない場合の生存確率 B(0; T )/D(0; T ) とどちらが大きいか？ヒ
ント：( ∫T)∫TQ
Cov Q e− 0 ru du , e− 0 λu du1

を考えよ。

(イ）

同じ企業が参照される満期が T の CDS (Credit Default Swap) レートが s としてトレードされている。プレミアム（クーポン）s が連続で払われると仮定して、リスクフリーな short rate を rt , リスク中立
Qの倒産強度を λt 、元本に対する一定な回収額を R としたとき、s をリスク中立の期待値 E Q を使って表現せよ。
ヒント：premium leg と protection leg の価値を等しくする年率 premium が s である。
（エ）倒産時刻 τ のリスク中立の確率密度関数 (PDF)ϕτ (t) は[ ∫t]Qϕτ (t) = E Q e− 0 λu du λQtとかける。これを証明せよ。

(オ）

時点 0 における時点 t のリスク中立での倒産ハザードレート (フォワード倒産強度）を hQ (0; t) とすると、
−Q (τ > T ) = e(Qである。E Q λt（カ）)∫T0hQ (0;u)duと hQ (0; t) の大小関係は？

金利をゼロとする。社債の発行体が、満期 T までに倒産するとその時に元本 1 に対する既知である一定の回収率 R が、満期 T まで生存すれば時点 T で元本 1 が満額返ってくる証券の現在価値 V0 をリスク中立の生存確率 Q (τ > T ) と回収率 R で表せ。
（キ） V0 を実測度での生存確率 P (τ > T ) と R で表現するとどうなるか？ヒント：実測度ではプライスは平均ではかけない。平均からの乖離（リスクプレミアム）を適当に α(> 0) とおけ。
（ク）（カ）と (キ）から、Q (τ > T ) と P (τ > T ) の大小関係をしめせ。

（ケ）

どのようなときに、リスク中立の生存確率（または倒産確率）がつかわれ、どうようなときに実測度の生存確率（または倒産確率）がつかわれるのか説明せよ。また、これらの推定方法を示せ。

2. （ファクターモデル）(25 点）

ある同じ属性をもっている複数の企業を考える。その中の企業 i の状態変数 Zi を 1 ファクターモデルでかくと、

Zi =

√

ρS +

√1 − ρεi(2)ここで、ρ > 0, S ∼ N (0, 1) は systematic factor である。εi ∼ N (0, 1) は S とは独立な企業 i の idiosyncraticfactor であり、i ̸= j に対して、Corr(εi , εj ) = 0 である。
(ア）Zi ∼ N (0, 1) であることを示せ。

(イ）

Corr(Zi , Zj ) = ρ, i ̸= j を示せ。

(ウ） 企業 i の時点 T までの倒産を Zi の閾値 Hi (T ) で{τi ≤ T } = {Zi ≤ Hi (T )}とし、時点 T までの企業 i の実測度での倒産確率を P D(T ) とすれば、Hi (T ) はどのようにかけるか？標準正規分布関数を Φ(·) とする。
（エ）Systematic factor が S = s のもとでの条件付き倒産確率 P D(T |S = s) を計算せよ。

（オ）

Stressed PD（PD にストレスをかけたもの）を P D(T |S = Φ−1 (0.001)) と定義する。この意味するところはなにか？

2（カ）Basel 2 では、あるカウンターパーティーの倒産リスクからくる必要資本額 K を次の式*1 であらわしている。

( ( −1))√
Φ (P D(1yr)) + ρΦ−1 (0.999))√
K = (1 − R) ∗ Φ− P D(1yr) ∗ EAD
1−ρ(3)

ここで、EAD (Exposure at default): そのカウンターパーティが倒産したときのエキスポージャー、R は回収率で、1 − R は倒産時の EAD に対する損失率を表している。(3) の必要資本額の計算式の意味を説明せよ。

3. （倒産時刻のシュミレーション） （20 点）
Credit derivatives のプライシングでは、リスク中立での倒産時刻をモンテカルロ法でシュミレーションして計算する場合がある。
（ア）時点 0 での時点 T までの生存確率をQ(0; T ) = Q (τ > T )とかくとき、リスク中立の倒産時刻 τ はQ(0; τ ) = Uを満たす τ である。なぜか説明せよ。ここで、U は [0,1] の一様分布に従う確率変数。

(イ） 倒産強度が一定な λ である場合、τ を U を使ってかくとどうなるか？
(ウ)

2 企業の生存確率が CDS マーケットから Q1 (0; T ) と Q2 (0; T ) とわかっているとする。2 企業の時

点 T までのリスク中立での同時倒産確率 Q({τ1 ≤ T } ∩ {τ2 ≤ T }) を Gaussian Copula でかけ。ヒント：2
変量標準正規分布は Φ2 (x, y; ρ) であり、x 及び y を Q1 (0; T ) と Q2 (0; T ) をつかってかけ。
（エ）

今度は、リスク中立で (2) の 1 ファクターモデル (i=1,2) を仮定する。このモデルが GaussianCopula となることを示せ。
(オ) （ウ）から 2 企業の同時倒産確率は Gaussian Copula を使うと解析的に求まるが、ここでは（エ）の結果をつかい、(2) から同時倒産確率をモンテカルロ法で 2 企業の倒産時刻 τ1 と τ2 をシュミレーションして求めることを考える。この手順を示せ。

4. （シンセティック CDO） (20 点）（ア）

Senior tranche のプロテクションの売り方は”Short correlation”、Equity tranche のプロテクションの売り方は”Long correlation”であると言われる。その理由を説明せよ。

(イ） 各とトランシェをプライシングする場合、1 ファクター正規コピュラを用いることがある。そこで用いられる相関係数として、講義では Compound correlation と Base correlation を説明した。再度それぞれを説明して、Compound correlation の欠点を述べ、それがいかに Base correlation で克服されたかを述べよ。
以上*1 実際には、満期アジャストメントの項も入る。

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