複素力学系におけるラミネーション理論
変形と剛性

1 December 2009名古屋大学大学院多元数理科学研究科
川平 友規

CONTENTS
１.複素力学系とは
２.複素力学系の変形と剛性
３.力学系とラミネーション理論
４.２次多項式族のLyubich‑Minskyラミネーション
５.Zalcmanの補題：新しいラミネーション理論にむけて

複素力学系
有理写像，力学系
軌道
Julia集合 ＝力学系のカオス部分の任意の近傍では同程度連続でない

不安定！

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例：２次多項式族による力学系：パラメーター

Case:

安定

Case:

安定

Case

:
不安定（Julia）

複素力学系の変形と剛性
複素力学系
軌道

世界のモデル：空間
時間 0，1，2，3，...（秒）
運動法則
(1秒後)
どんな「世界」がありうるか？「世界」は安定か？
例「世界」のカタログ
Mandelbrot集合5力学系の位相的変形と剛性：複素力学系＝上の正則写像族：の自己同相 （レンズ）力学系の位相的変形＝力学系をレンズ越しに眺めたもの複素力学系の剛性＝が再び複素力学系 ⇒＝力学系の変形阻害性と本質的に同じ力学系

ＮＩＬＦ予想 （重要問題！）＝ Julia集合上の力学系
は擬等角写像をレンズとする変形を許さない ＝カオス部分の剛性

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剛性と安定性の関係
構造安定性 ＝ 有理写像を係数空間で微小変化させても，力学系の変化は位相的変形により実現される

ＮＩＬＦ予想の解決（重要問題！）⇒ 双曲稠密性予想の解決（最重要問題！！）＝ 任意の有理写像は双曲的有理写像によりいくらでも近似できる⇒ ・双曲的有理写像による力学系は構造安定性をもつ
・双曲的有理写像全体は係数空間で稠密開集合⇒ 「世界」はほとんどの場合安定である！

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力学系におけるラミネーション理論
ある種の力学系は幾何学的対象との対応がつく

Dynamical Systems

interpretation- 1-dim, 2-dim, ...
- Holomorphic,Smooth,- Homeo., Covering
map, Branched Cov...

Geometric Objects- Manifolds- Orbifolds- Laminations- Fractal sets

Deformation of Obj.

Deformation of Dyn.

ラミネーション＝"laminar charts"で張られる位相空間(n-Disk) x (Top.Sp)

leaf
leafwise homeo, conf,
smooth, ...

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例１：SullivanのRiemann面ラミネーション
D.Sullivan：circle covering mapにおける「くりこみ固定点」の存在証明⇒ Riemann面ラミネーションのTeichmuller理論を活用
Sp. ofcircle coverrenormalization operator
fixed point

Teich. sp. of solenoidal
Riemann surface lamins.

contracting operator
w.r.t. Teich. metric
fixed point9例２：双曲的Riemann面
上半平面:
w/ hyperbolic metricgeodesics

Fuchs群 :discreteisometric gr. action
properly discontinuous

Quotient by the Action
Dynamic >>> Static

Hyperbolic Riemannsurface / orbifold

10例３：３次元双曲多様体
上半空間:
w/ hyp. metric

Klein群:

discreteholo. group action
Poincare Extension
2-dim >>> 3-dim

isometric gr. action
properly discontinuous

hyperbolic 3-manifold/orbifold
Quotient by the Action
Dynamic >>> Static11

例４：Lyubich‑Minskyのラミネーション理論
有理写像
Kleinian Groupholo. group action
Poincare Extension
2-dim >>> 3-dimholo. dynam.

-Lamination
cyclic group action
Poincare Extension
2-dim >>> 3-dim-Laminationisometric gr. action
properly discontinuous
Quotient by the Action

leafwise isometric gr. action
properly discontinuous
Quotient by the Action

Quotient Lamination
hyperbolic 3-manifold/orbifold

hyp. 3-orbifold lamination

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Lyubich‑Minskyの剛性定理
剛性定理 (Lyubich&Minsky, '98)
: 分岐点軌道がrecurrentでなく，放物的周期点をもたない

結果１.このクラスについてNILF予想は正しい
結果２．

: 位相共役（位相的変形）:同相:擬等長同相（双曲幾何の手法を用いる）: 擬等角共役

変形空間のトポロジーについての情報を与える．
This part is empty!
top. conj.
qc conj.

conf. conj.

13

２次多項式族のL‑Mラミネーション
Fuchsian group

Deformation

Quasi-Fuchsian group(on a Bers slice)

Symmetric quadratic map

Deformation

Quadratic map(on the Mandelbrot set)商多様体と商ラミネーションの変形を比較する．
14

理想境界つきラミネーション
Fuchs群に付随する境界つき3次元双曲多様体：

quotient

hyperbolic surface

Limit set
mirror image
Hyp. 3-mfd. with product str.

3

H insideに付随する境界つき3次元双曲ラミネーション：

Julia setquotient

Sullivan's Solenoid

mirror image
3

H -lamination inside

Hyp. 3- lamin. with product str.

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Bersスライス vs. Mandelbrot集合の作用を特殊な擬等角レンズで観測してみよう:
conformal on the upper half

qc-LENSの変形も状況が良く似ている:
conformal on the upper halfSullivan's Solenoid

Deformation!
mirror image????

15退化と分岐：The Rabbits
f3
superattracting

f2
attracting

f0

superattracting

f1g

attracting

parabolic17

双曲的力学系の安定性とは双曲的 ⇒ 力学系は安定 ⇒ ラミネーションも安定
f0

superattracting

f1

attracting

f3

superattracting

f2

attracting

Stable dynamics implies stable topology:
Theorem(K): 双曲的有理写像の十分小さな近傍にある有理写像は，すべて位相的におなじラミネーション構造をもつ．とくに，理想境界も含めて擬等角同相もしく擬等長同相となる．
18

放物的分岐と理想境界の変化
双曲的な力学系が別の双曲的な力学系へ分岐する
f1
attractinggparabolicf2
attracting

Topology of the C-lamination changes!

19ラミネーションの位相的剛性
ラミネーションの位相的構造が，力学系を定める：

Theorem(Cabrera): ふたつの双曲的２次多項式が同相なRiemann面ラミネーションをもてば，それらは同じ双曲成分にある．すなわち，力学系はお互いの擬等角変形．
Cf. Mostow剛性: ２つの有限体積・完備双曲多様体が同相であれば，それらは等長同相である．すなわち，基本群となる
Klein群は等角同値．

Theorem(Cabrera+K, To appear in Fund.Math.): ふたつの無限回くりこみ可能な２次多項式が同相なRiemann面ラミネーションをもてば，それらは同じ組み合わせ構造をもつ．
とくに，そこでMandelborot集合が局所連結ならば，これらの2次多項式は一致する．
20

新しいラミネーション理論に向けて‑‑ Zalcmanの補題 ‑‑21

Zalcmanの補題
Zalcmanの補題は，Julia集合の判定条件を与える：

Lemma(Zalcman, '75, modified):が において同程度連続でない非定数有理形関数22

Zalcmanの補題の応用
Theorem (Fatou, Julia 1910's)
反発的周期点はJulia集合内で稠密
→ Schwick('97): Zalcmanの補題を用いた簡単な証明
Theorem (Tan '85, Rivera-Letelier '01)
Julia集合とMandelbrot集合の類似性→ K('09): Zalcmanの補題を用いた簡単な証明
K('09): Zalcmanの補題から得られる有理形関数の空間からLyubich‑Minskyラミネーションを含むラミネーションを構成．
→ LMラミネーションの比較的簡単な構成→ Haissinsky‑Martin‑MayerのNILF定理のラミネーション解釈（Lyubich‑MinskyのNILF定理より良い）23