Zalcmanの補題と複素力学系

名古屋大学大学院多元数理科学研究科
川平 友規

日本数学会2013年度年会・函数論分科会
2013年3月22日

Zalcman ＝ ザル○マン
ザルクマン？ ザルツマン？

1Zalcman ＝ ザル○マン
ザルクマン？ ザルツマン？

1Zalcman ＝ ザル○マン
ザルクマン？ ザルツマン？
『ギョエテとは1

Zalcman ＝ ザル○マン
ザルクマン？ ザルツマン？
『ギョエテとは俺のことかと

1

Zalcman ＝ ザル○マン
ザルクマン？ ザルツマン？
『ギョエテとは俺のことかとゲーテ云ひ』1

Zalcman ＝ ザル○マン
ザルクマン？ ザルツマン？
『ギョエテとは俺のことかとゲーテ云ひ』

言語学者・矢崎源九郎『日本の外来語』（1964年、岩波書店）より― 表記の上ではゴエテ、ギューテ、ギェーテ、ギューテ、ギョート、ギョーツ、ゲーテ、ギュエテ、ゲォエテ、ゴアタ、グウィーテ、ゲヱ
テー、ゲーテー、ゲェテー、ギョウテ、ギヨーテ、ギョーテ、ギョーテー、ギヨテー、ゴエテ、ギョテ、ギヨヲテ、ギヨオテ、ゲョーテ、ゲヨーテ、ゴエテー、ゲエテ、ギヨエテ、ゲイテ、ギョエテ、と、じつに二十九通りの書き方があるという。「ギョーテとは俺のことかとゲーテ言い」という、斎藤緑雨の川柳すらも生まれているほどである。（170ページ）

1

講演のあらましイナミカル

ラメトリック2

講演のあらましイナミカル

Julia集合（力学系のカオス部分）関数族が非・正規な部分

ラメトリック2

ラメトリック

関数族が非・正規な部分

Mandelbrot集合（力学系族の分岐部分）

講演のあらましイナミカル

Julia集合（力学系のカオス部分）関数族が非・正規な部分

2

ラメトリック

関数族が非・正規な部分

Mandelbrot集合（力学系族の分岐部分）

講演のあらましイナミカル

Julia集合（力学系のカオス部分）関数族が非・正規な部分

Zalcman の補題

有理形関数族の非・正規性の特徴づける
複素平面上の有理形関生成

2

ラメトリック

関数族が非・正規な部分

Mandelbrot集合（力学系族の分岐部分）

講演のあらましイナミカル

Julia集合（力学系のカオス部分）関数族が非・正規な部分

Zalcman の補題

パラ Zalcman 関数

有理形関数族の非・正規性の特徴づける
複素平面上の有理形関生成

Zalcman 関数

2ラメトリック

関数族が非・正規な部分

Mandelbrot集合（力学系族の分岐部分）

講演のあらましイナミカル

Julia集合（力学系のカオス部分）関数族が非・正規な部分

Zalcman の補題

パラ Zalcman 関数

有理形関数族の非・正規性の特徴づける
複素平面上の有理形関生成

Zalcman 関数

Julia集合とMandelbrot集合の類似性2：上で定義された有理形関数族

Zalcman の補題：領域，の形3：

上で定義された有理形関数族Zalcman の補題：領域，：定数でない有理形関数s.t.
s.t.の形（の任意の近傍）において正規族でない

Zalcmanの補題（'75）
がs.t.

上コンパクト一様収束

3

Zの補題イメージ縮小・移動・拡大である有理形関数に収束させることができるの形

4複素力学系
次数2以上の有理関数

5複素力学系
次数2以上の有理関数『複素力学系』

5

複素力学系
次数2以上の有理関数『複素力学系』

軌道5

複素力学系
次数2以上の有理関数

軌道『複素力学系』

Fatou集合：誤差に関して軌道が安定な初期値
近傍 s.t.

は同程度連続正規族5複素力学系
次数2以上の有理関数『複素力学系』

軌道

は非正規族

5は同程度連続正規族

Fatou集合：誤差に関して軌道が安定な初期値
近傍 s.t.

近傍でJulia集合：力学系のカオス部分＜→ Juliaの絵＞

：複素多様体

力学系族のパラメーター空間：正則，ただしについて次数一定2以上の有理関数

6：複素多様体

力学系族のパラメーター空間：正則，ただしについて次数一定2以上の有理関数上唯一の分岐点：

例（2次多項式族）：
は6

：複素多様体

力学系族のパラメーター空間：正則，ただしについて次数一定2以上の有理関数について，いずれか一方がなりたつ：

上唯一の分岐点：例（2次多項式族）：
は定理（Fatou, Julia）のとき

各パラメーター
(a)
，(b)

6

：複素多様体

力学系族のパラメーター空間：正則，ただしについて次数一定2以上の有理関数(a)がなりたつについて，いずれか一方がなりたつ：

上唯一の分岐点：例（2次多項式族）：
は定理（Fatou, Julia）のとき各パラメーター
(a)
，(b)

Mandelbrot集合：

6

分岐部分
例（2次多項式族）：
Mandelbrot集合：
事実（Mane‑Sad‑Sullivan）

7

分岐部分
例（2次多項式族）：
Mandelbrot集合：
事実（Mane‑Sad‑Sullivan）
近傍上が非正規族

7分岐部分例（2次多項式族）：
Mandelbrot集合：
事実（Mane‑Sad‑Sullivan）
近傍上が非正規族

は力学系が構造安定なパラメーター全体

では力学系が分岐する（分岐部分 ）

7

分岐部分
例（2次多項式族）：
Mandelbrot集合：
事実（Mane‑Sad‑Sullivan）
近傍上が非正規族

ラメトリック

Mandelbrot集合7が非正規では力学系が分岐する（分岐部分 ）は力学系が構造安定なパラメーター全体

イナミカル
が非正規Julia集合イナミカルアナロジーの応用

ラメトリック8イナミカルラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点

8

イナミカルラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点

8

イナミカルラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点

8

イナミカルラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点

8

イナミカルが Misiurewicz点

ラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点は反発的周期点

8

イナミカルが Misiurewicz点

ラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点は反発的周期点

8

イナミカルは反発的周期点が Misiurewicz点

ラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点定理(Fatou, Julia)の中に反発的周期点は稠密に存在．

8

イナミカル

Misiurewicz点は稠密に存在．の中に定理(MSS? DH?)は反発的周期点

が Misiurewicz点

ラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点定理(Fatou, Julia)の中に反発的周期点は稠密に存在．

8

イナミカルMontelの定理＋αMisiurewicz点は稠密に存在．の中に定理(MSS? DH?)は反発的周期点

が Misiurewicz点

ラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点定理(Fatou, Julia)の中に反発的周期点は稠密に存在．
Montelの定理＋α8

イナミカルの中に定理(MSS? DH?)は反発的周期点

が Misiurewicz点

ラメトリックアナロジーの応用が反発的周期点定理(Fatou, Julia)の中にMontelの定理＋αMisiurewicz点は稠密に存在．

Montelの定理＋αZalcmanの補題

反発的周期点は稠密に存在．
Zalcmanの補題(Schwick)8

Zalcman 関数
次数2以上の有理関数にZalcmanの補題を適用する

9

Zalcman 関数
次数2以上の有理関数にZalcmanの補題を適用する

上の有理形関数9

Zalcman 関数
次数2以上の有理関数にZalcmanの補題を適用する

上の有理形関数上の形の有理形関数9Zalcman 関数
次数2以上の有理関数

上の形の有理形関数

上の有理形関数にZalcmanの補題を適用するのとき

9Zalcman 関数
次数2以上の有理関数の Zalcman関数

上の形の有理形関数

上の有理形関数にZalcmanの補題を適用するのとき：

9Zalcman 関数の「不変性」： の力学系が生成する
Zalcman関数（有理形関数）

10Zalcman 関数の「不変性」： の力学系が生成する
Zalcman関数（有理形関数）

非定数有理形関数

複素アファイン10複素アファイン

非定数有理形関数： の力学系が生成する
Zalcman関数（有理形関数）

Zalcman 関数の「不変性」の「不変性」：

10

は次の「不変性」をもつ：

複素アファイン

非定数有理形関数： の力学系が生成する
Zalcman関数（有理形関数）

Zalcman 関数の「不変性」の「不変性」：

について命題(Steinmetz，Z関数の「不変性」)
すべての

10

パラメトリックZalcman 関数
2次多項式族：が非正規族

11

が非正規族

パラメトリックZalcman 関数
2次多項式族：

とおく．にZalcmanの補題を適用：

11

が非正規族

パラメトリックZalcman 関数
2次多項式族：

とおく．にZalcmanの補題を適用：

上の有理形関数11

上の有理形関数が非正規族

パラメトリックZalcman 関数2次多項式族：

とおく．にZalcmanの補題を適用：

上の形

11

上の有理形関数が非正規族

パラメトリックZalcman 関数
2次多項式族：

とおく．にZalcmanの補題を適用：

上の形:パラメトリックZalcman関数族

11

パラZalcman関数の「不変性」:パラメトリックZalcman関数族

12は次の「不変性」をもつ：:パラメトリックZalcman関数族

パラZalcman関数の「不変性」

について命題(パラZ関数の「不変性」)：
すべての12

とおく．

は次の「不変性」をもつ：:パラメトリックZalcman関数族

パラZalcman関数の「不変性」

に対しについて命題(パラZ関数の「不変性」)：
すべてのこのとき12とおく．

は次の「不変性」をもつ：:パラメトリックZalcman関数族

パラZalcman関数の「不変性」

に対しについて命題(パラZ関数の「不変性」)：
すべてのこのときが存在して，定理(Z関数族とパラZ関数族の交差)：の稠密部分集合

かつ12Zalcman関数とパラZalcman関数の交差が半双曲的(semi‑hyperbolic)13

Zalcman関数とパラZalcman関数の交差が半双曲的(semi‑hyperbolic)
分岐点のによる軌道が自身に集積しない．

13

Zalcman関数とパラZalcman関数の交差で表す．のによる軌道が自身に集積しない．

が半双曲的(semi‑hyperbolic)
分岐点半双曲的パラメーター全体を

13

Zalcman関数とパラZalcman関数の交差が半双曲的(semi‑hyperbolic)
分岐点で表す．のによる軌道が自身に集積しない．

半双曲的パラメーター全体をは半双曲的も稠密.じつは H.dim = 2(宍倉）がMisiurewicz

例：

内で稠密

13

Zalcman関数とパラZalcman関数の交差が半双曲的(semi‑hyperbolic)
分岐点で表す．のによる軌道が自身に集積しない．

半双曲的パラメーター全体をは半双曲的が存在しても稠密.じつは H.dim = 2(宍倉）がMisiurewicz

例：内で稠密のとき，定理(Z関数族とパラZ関数族の交差：再)

(i)

13

Zalcman関数とパラZalcman関数の交差が半双曲的(semi‑hyperbolic)
分岐点で表す．のによる軌道が自身に集積しない．

半双曲的パラメーター全体をは半双曲的が存在して13も稠密.じつは H.dim = 2(宍倉）がMisiurewicz

例：内で稠密のとき，定理(Z関数族とパラZ関数族の交差：再)

(i)
(ii)
上と同じ．よって

「交差点」の応用：J と M の類似性

14

「交差点」の応用：J と M の類似性

15

「交差点」の応用：J と M の類似性に対しを用いて定理(J と M の類似性，Tan, Rivera‑Letelier, K)：のとき，さきほどのとおく．このとき任意の正数

ただし収束はハウスドルフ位相の意味

15J と M の類似性：証明のアイディア
材料： (i)(ii)

16

のアイディア：J と M の類似性：証明のアイディア
材料： (i)
(ii)

より

16

を示せばOK．

J と M の類似性：証明のアイディア
材料： (i)
(ii)

かつ

16

J と M の類似性：証明のアイディア
材料： (i)(ii)「Mの点はJの近くにある」

Jの点でなければ近くにMの点もない！！

16

J と M の類似性：証明のアイディア
材料： (i)(ii)「Jの点はMの近くにある」「Jの点は反発的周期点で近似できる」

は J の反発周期点をみたす

Jの点の近くにMの点を発見できる！

16

「交差」と一般化ポアンカレ関数

定理で述べたZalcman関数とパラメトリックZalcman関数の「交差点」はポアンカレ関数を一般化したもの．

17

「交差」と一般化ポアンカレ関数

定理で述べたZalcman関数とパラメトリックZalcman関数の「交差点」はポアンカレ関数を一般化したもの．

であり，ポアンカレ関数とに収束し，定理（ケーニヒス，ポアンカレ関数の存在）の反発周期点 （周期 ）上の有理形関数

関数列はあるをみたす．とくによばれる．

17

一般化ポアンカレ関数

は反発周期点．のとき，「分岐点の軌道」は「双曲的集合」とよばれる力学系的に安定した集合に捕まる．

例：Misiurewicz点のとき

18一般化ポアンカレ関数

は反発周期点．のとき，「分岐点の軌道」は「双曲的集合」とよばれる力学系的に安定した集合に捕まる．

例：Misiurewicz点のとき上の力学系からポアンカレ関数を一般化したものがえられる．

座標変換

18

でパラメーター空間へのとき「双曲的集合」の力学系的は安定しているのという形で残る．一般化ポアンカレ関数も残る．

19

で定数パラメーター空間へ横断性のとき「双曲的集合」の力学系的は安定しているのという形で残る．一般化ポアンカレ関数も残る．

をうまくとる19

20