まえがき

本書は，土木・環境系で土木工学を学ぼうとしている学部学生を読者として想定した，力学の教科書である。力学といっても内容は多岐にわたるが，ここ社

では，学部 1 年生が半期で学習する物理学における力学の範囲を対象とした。
土木工学を専門とする技術者において習得が必須と思われる構造力学では，力を受ける構造物の応答，とりわけ構造物を構成する部材に生じる力を，力のつロナ

り合いや変形を考えることによって求める。本書では，そのような専門的な力学を学ぶにあたって，準備しておくべき力学の基礎・エッセンスを，著者の能力の限り理解しやすいように整理した。

著者自身は，執筆時，在籍する東北大学で学部 1 年生の力学の講義を担当しているわけではなく，むしろ，土木工学の専門課程の入口にある 2 年生向けのコ

空間創造の力学あるいは構造解析学と称する構造力学に関する講義を担当している。したがって，そのような立場から，構造力学を学ぶにあたって習得しておいてほしい内容を本書に含めた。構造力学ではおもに静力学を取り扱うため，そのための基礎としては，本書の 1 章，2 章の一部，6 章が対応する。1 章では力学の最も基礎となる，力のつり合いと力のベクトルとしての表現について，2章では，変位などの運動の状態を表す方法と運動の法則について述べた。6 章
では，剛体の力のつり合いとモーメントについて述べた。また，地震応答解析を含む構造物の振動解析においては，動力学が必要となる。この基礎には，2 章から 5 章が対応する。3 章では運動を観測する観測者について，4 章では仕事とエネルギーについて，5 章では運動量とその保存則について，それぞれ述べた。一方で，一般教養の力学の内容として剛体の動力学も必要と考え，これを

iv

まえがき

7 章および 8 章で説明した。7 章では角運動量とその保存則について，8 章では剛体の並進運動と回転運動について述べた。
力学の教科書は数多く存在し，かつ名著といわれる書籍（例えば参考文献 1), 2)）もある中で，今回改めて自分が書くということについてつねに自問自答しつつ，時には楽しく時には苦しみながら本書を執筆した。また，現在担当している講義の講義ノートをもとにしたわけでもないので，新しい講義を担当することになったつもりで，受講者の反応をあれこれ想定しながら書いた。力学に登場する法則や公式を効率良く頭に入れることよりむしろ，説明不可能な基本法則以外は読者自身が基本法則から導けるようになること，そして，その誘導の過程か社ら力学の考え方を体得できることを目標とし，それが本書の特徴となるように考えた。したがって，他の力学の教科書よりもかなり回りくどい記述になっている箇所が多々あると思う。また，本文に置くことをあきらめた，いくつかの

ロ
ナ

さらに回りくどい説明は，演習問題や解答の中に含めた（例えば〔1.3〕や〔4.5〕など）。問題の解き方を単に身につけるだけでなく，考えさせる問題や証明問題などを通じて，視点を広げ，センスを身につけてほしいと考えている。したがって，演習問題もすべて目を通してほしい。
最後に，編集委員の早稲田大学教授 依田照彦先生，本書執筆の機会を与えてコくださった中央大学教授 樫山和男先生，そしてコロナ社には，本書執筆に関してたいへんお世話になりました。ここに深く感謝いたします。
2012 年 7 月

斉木功

目

次

1 章 力のつり合いとベクトル
1.1 質点の力のつり合い
1.1.1 力 の つ り 合 い
1.1.2 力 と ベ ク ト ル
1.2 ベクトルの合成と分解

社

227ロ
ナ

9

1.2.1 ベクトルの合成

91.2.2 ベクトルの分解

101.3 ベクトルと座標系

111.3.1 ベクトルの成分と大きさ
1.3.2 座 標 変 換
問

題

コ演 習

1114

16

2 章 質点の運動と，運動の法則
2.1 運動の表現とベクトル

192.1.1 運 動 の 表 現

192.1.2 位置ベクトル・変位ベクトル・速度ベクトル・加速度ベクトル

2.2 運 動 の 法 則

2225

2.2.1 慣 性 の 法 則

25

2.2.2 運 動 方 程 式

252.2.3 作用・反作用の法則

27

vi

次目2.3 質 点 の 運 動

282.3.1 質 点 の 運 動

282.3.2 質 点 系 の 運 動

36

演 習

問

題

42

3 章 観測者と慣性力
3.1 慣性系

44

3.1.1 静止した質点の運動方程式

443.1.2 等速直線運動する質点の運動方程式

46

3.1.3 二つの慣性系から見た質点の運動方程式
50

3.3 回転する観測者から見た運動

52

演 習

問

題

社

3.2 加速する観測者から見た運動

60

ロ
ナ

4 章 仕事とエネルギー
事

4.1 仕

62

4.1.1 1 次元問題における仕事

62

4.1.2 2 次元もしくは 3 次元問題における仕事コ

4.2 エ ネ ル ギ ー

64

4.2.2 ポ テ ン シ ャ ル

68

75

4.3.1 エネルギー保存則

75

4.3.2 エネルギー保存則と運動方程式

774.3.3 エネルギー保存則による振り子の解析演 習問

題80

5 章 運動量と運動量保存則
5.1 運 動 量 と 力 積

83

5.1.1 運量

動

63

64

4.2.1 運動エネルギー

4.3 エネルギー保存則

4783

78

5.1.2 力積

84

5.1.3 力と力積と仕事

86

5.2 運動量保存則と運動方程式
5.2.1 運 動 量 保 存 則

93
93

5.2.2 運動量保存則と運動方程式の関係
演 習

問

題

97

6 章 剛体の力のつり合い
6.1 2 次元の剛体のつり合い
6.1.1 剛100

体社

100

6.1.2 力の作用点と作用線
6.1.3 力 の つ り 合 い

100101102ロ
ナ

6.1.4 力のモーメント1056.2.2 モーメントとベクトル

116

6.2.3 モーメントのつり合い

118

6.1.5 力のモーメントと外積
6.1.6 モーメントのつり合い

107

6.1.7 剛体に作用する力の合力
力114

6.2 3 次元の剛体のつり合い

116

6.2.1 力 の つ り 合 い116コ

6.1.8 偶6.3 安 定 と 不 安 定
演 習

問

題vii

次目

110

119

120

7 章 角運動量と角運動量保存則
7.1 角運動量と力積のモーメント7.1.1 角 運 動 量
7.1.2 力積のモーメント7.1.3 角 運 動 量 の 例

123

123
124
125

96

viii

次目

7.2 角運動量保存則と回転の運動方程式
7.2.1 角運動量保存則

128

128

7.2.2 角運動量保存則と回転の運動方程式の関係
7.2.3 角運動量保存則の例
演 習

問

題

130

131

135

8章 剛体の運動
138

8.2 剛体の平面内の回転運動
8.2.1 剛体の角運動量

142
142

社

8.1 剛体の並進運動8.2.2 力が作用していない剛体の回転運動
8.2.3 偶力のみ働く剛体の回転運動

145

146

ロ
ナ

8.2.4 剛体の回転運動

147

8.3.3 剛体の運動エネルギー

161

8.2.5 剛体の運動エネルギー

8.2.6 力のモーメントのなす仕事
8.2.7 慣性モーメント8.3 剛体の回転運動

143

150

151

152

8.3.1 剛体の角運動量と慣性モーメントテンソル

コ

8.3.2 剛体の回転の運動方程式

8.3.4 慣性モーメントテンソル
8.3.5 歳 差 運 動

演 習問

題

引用・参考文献

172

演習問題解答

173

索

196

引

171

167

158

163

152

N

1

力のつり合いとベクトル

章

N◆本章のテーマ

本章では，1 点に作用する力のつり合いについて，および，力がベクトルであることについて学ぶ。力がつり合っているということは，質点に作用する力の総和がゼロに社なっていることであり，それは簡単な数式で表すことができる。力はベクトルとして表現できるため，それらの合成や分解，あるいは和や差は代数和として表すことが可能である。このために，多次元空間における力学問題を簡潔に記述することができる。

ロナ◆本章の構成（キーワード）

1.1 質点の力のつり合い

質点，力，つり合い，力ベクトル

1.2 ベクトルの合成と分解ベクトルの合成，ベクトルの分解，力の平行四辺形

1.3 ベクトルと座標系

コベクトルの成分，座標系，基底ベクトル，座標変換◆本章を学ぶと以下の内容をマスターできます+ 力のベクトルとしての表現+ 質点に作用する力のつり合い+ 力のつり合いをベクトルを用いた数式で記述する+ 複数のベクトルを一つに合成する+ 一つのベクトルを任意の数のベクトルに分解する+ ベクトルそのものとベクトルの成分の違い+ ベクトルの成分と，座標系と基底ベクトルの関係

2

1. 力のつり合いとベクトル1.1

質点の力のつり合い

質点（mass point もしくは particle）とは，質量はあるが大きさのない物体のことである。もちろん，現実の世界には大きさのない物体など存在しないが，力学においては，物体の運動を考える上で，「大きさがない」という特徴にはたいへん都合が良いことがある。

1.1.1 力 の つ り 合 い
ある静止した物体を動かすにはどうしたらよいだろうか。当然のことである社が，なんらかの力を加える必要がある。逆にいえば，力が作用していない物体は，静止し続ける†1 。例えば道端に落ちている石ころは，蹴飛ばしたりして力を加えない限り，動かずに静止している。では，石ころに力は作用していないのでロ
ナあろうか。答えは No である。地球上の物体には万有引力の法則から，地球との間の引力，すなわち重力が働いている。ではなぜ静止しているのかといえば，石ころは地面からも垂直抗力（normal force もしくは normal reaction）†2 という力を受けていて，それが重力と「つり合って」おり，結果的に力が作用していない状況と同じだからである。つまり，「力が作用していない物体は静止し続

コける」は「作用している力がつり合っている物体は静止し続ける」と理解してもよいことになる。

いま，簡単のために，力が鉛直方向にのみ作用する状況を考えてみよう。重力を fg ，垂直抗力を fr と表すことにすると，力がつり合っているということはfg + fr = 0(1.1)

が成立するということであり，この式はつり合い式（equilibrium equation）といわれる。上式は，石ころに作用している力の合計がゼロという意味である。
†1†2

あとで説明する運動の法則から，力が作用していない物体の加速度はゼロということになり，必ずしも静止しているとは限らない。ここでは，話を簡単にするために，もともと静止している物体に話を限定している。
この力は，石ころに作用する重力が地面を押す力に対して，地面が石ころを押し返す力である。reaction は反力と呼ばれ，したがって，垂直抗力は垂直反力とも呼ばれる。

31.1 質点の力のつり合い

石ころの質量 m と重力加速度 g がわかっており，すなわち，石ころに作用する重力が fg = mg であるとわかっているとすると，つり合い式 (1.1) から，fr = −fg = −mg がわかる。このように，力学において，つり合い式は物体に作用する力を明らかにする最も重要な関係の一つである。
さて，石ころを質点に読み替え，また，作用する力も二つとは限らないので，n 個の力 f1 , f2 , · · · , fn が作用している場合を考えよう。この場合，つり合い式は

f1 + f2 + · · · + fn = 0あるいはnX

fi = 0(1.2)

i=1社と表される。
なお，力を f のような数学記号で表してしまうと，無機質な印象を受けるが，力はあくまでも力という物理的な次元を持っていることを忘れないようにしよロナう。また，力の次元を物理における基本的な次元である［質量］，［長さ］，［時間］で表現すると［質量］·［長さ］（力）=2［時間］である。また，基本的な次元である質量，長さ，時間は，国際単位系（internationalsystem of units，SI）ではそれぞれ〔kg〕（キログラム），〔m〕（メートル），〔s〕（秒）

コを使うことになっているので，力の単位はそれらを用いた組立単位で〔kg ·m/s2 〕となる。また，常用される組立単位については，固有の名称と記号も定められており，力の単位には〔N〕（ニュートン）を用いることもできる。
〔 1 〕 ばねで固定された質点

図 1.1 (a) に示すばねに固定された質点の力のつり合いを考えてみよう。質点の質量を m とし，下向きの重力加速度 g が作用しているとする。ばね定数を k とし，ばねが自然長（ばねに力が生じていないときの長さ）のときの質点の位置を原点とし，ばねが伸びる方向を正として質点の位置を y とする。ばねに生じる力 fs は，フックの法則（Hooke’s law）
により，ばね定数 k とばねの伸び δ を用いてfs = kδ(1.3)

4社

1. 力のつり合いとベクトル

図 1.1 ばねに固定された質点と表される。ここで，fs をばねに「作用する力」ではなく，ばねに「生じる力」

ロナと書いたのは，fs が外から作用する力ではなく，ばねの内部に生じる力† を意味するからである。例えば，δ > 0，すなわちばねが伸びた状態では，ばねの両端は fs （> 0）の力でたがいに引き寄せられる。fs が正となるこの状態を，ばねに引張の力が生じているという。逆に，δ < 0，すなわちばねが縮んだ状態では，ばねの両端はたがいに離される。このとき fs は負であり，この状態をばねコに圧縮の力が生じているという。

いま，ばねの上端は図 1.1 (a) のように固定されているので，ばねの伸び δ は質点の位置 y そのものになる。したがって，ばねに生じる力 fs は

fs = ky(1.4)

である。ばねに生じる力が引張のとき質点はばねにより上向きに引っ張られること，および，質点は下向きの重力 mg を受けることを考慮すると，質点に作用する力がつり合う条件は，質点に作用する力を下向きを正とすると，その総和がゼロであることから−fs + mg = 0†⇒−ky + mg = 0

fs は次章で説明する内力である。

(1.5)

5

1.1 質点の力のつり合いとなる。つり合い式に含まれる k, y, m, g の四つの物理量のうち三つがわかっていれば，つり合い式により他の一つを求めることができる。例えば，用いる材料のことがわかっているとき，すなわち k, m, g が既知のときに，質点の位置 y を予測する必要があれば，つり合い式 (1.5) より

y=mgk(1.6)

として y を求めることができる。あるいは，質点の質量 m および重力加速度 gがわかっており，実験によって質点の位置 y を計測することができれば，ばね定数 k を

mgy社

k=(1.7)として求めることができる。設計という観点からすると，「質点の位置 y はあるロナ

値 y0 以下」という条件からばね定数を決めなくてはならない場合があるが，このようなときは，式 (1.6) より

y=mg< y0k =k>=⇒mgy0(1.8)となり，これより条件を満たすばね定数 k を決定することができる。
〔 2 〕 二つのばねで固定された質点

図 1.1 (b) に示す，自然長が等しい二コ

つのばねに固定された質点の力のつり合いを考えてみよう。二つのばねが固定されていることを示すため，図では質点を横長に描いているが，実際は質点に大きさはなく，傾くこともない。したがって，二つのばねの伸び δ1 および δ2 は等しく，かつ先の例と同じで，質点の位置 y そのものになる。ばね 1, 2 のばね定数をそれぞれ k1 , k2 とし，ばね 1, 2 に生じる力をそれぞれ fs1 , fs2 とすると

fs1 = k1 δ1 = k1 y,fs2 = k2 δ2 = k2 y(1.9)

であり，下向きの力を正† とした質点のつり合い式は−fs1 − fs2 + mg = 0†⇒−k1 y − k2 y + mg = 0(1.10)

通常，力と位置の座標は，同じ向きを正にとる。これは，4 章で説明する「仕事」が正となるために必要な約束事である。

6

1. 力のつり合いとベクトルとなる。先ほどの例と同様に，m, g, k1 , k2 が既知であれば，上式より未知数y を求めることができる。上式はさらに−(k1 + k2 )y + mg = 0(1.11)と表すこともでき，一つのばねにより固定された質点のつり合い式 (1.5) と比較すると，ばね定数が k1 + k2 の一つのばねに固定された質点のつり合い式と形式的に一致する。つまり，図 1.1 (b) の質点は，ばね定数が k1 + k2 の一つのばねに固定されていると解釈することもできる。ここでの ke = k1 + k2 のように，複数のばねを一つのばねに置き換えたときのばね定数のことを，合成ばね社

定数という。図 1.1 (b) は，ばねが並列に質点につながっていることから並列ばねと呼ばれ，並列ばねの合成ばね定数は，ばね定数の総和となる。
〔 3 〕 接続された二つのばねで固定された質点

先の〔 2 〕では二つのばロ
ナ

ねに直接接続された質点のつり合いを考えたが，ここでは，図 1.1 (c) に示すように二つのばねが直列に接続され，その先端に固定された質点の力のつり合いを考えてみよう。ばね 1 とばね 2 のばね定数を k1 , k2 とする。それぞれのばねの伸びを観察するために，ばね 1 とばね 2 の接続点と質点の位置を，それぞればねが自然長にあるときを基準として y1 , y2 とする。ばね 1 の上端は固定さコれているので，ばね 1 の伸び δ1 は y1 そのものとなり，ばね 1 に生じる力 fs1は fs1 = kδ1 = k1 y1 となる。一方，ばね 2 は上端と下端の位置がそれぞれ変化することに注意すると，ばね 2 の伸び δ2 は y2 − y1 となることがわかる。したがって，ばね 2 に生じる力 fs2 は fs2 = k2 δ2 = k2 (y2 − y1 ) である。
ところで，質点に対する力のつり合いを考えると，質点に力を及ぼしている
ばねは先の例と異なり，ばね 2 だけである。したがって，質点のつり合い式は−fs2 + mg = 0⇒−k2 (y2 − y1 ) + mg = 0(1.12)となる。これまでの例と同様に，ばね定数 k1 , k2 と質量 m および重力加速度g から，未知数であるばねの位置 y2 を求めようとすると，二つのばねの接続点の位置 y1 も未知数なので，質点のつり合い式 (1.12) だけでは y1 を決定できな

引

角速度
angular velocity 31, 125【あ行】
安定つり合いstable equilibrium
相
phase

119

位

32, 35位置エネルギー
potential energy

69

運動エネルギー
kinetic energy
運動方程式
equation of motion
運動量momentum

角変位
angular displacement30, 125, 142

32

剛 体
rigid body

100

合 力
resultant force

加速度
acceleration

20

25

換算質量
reduced mass

41

158

83

慣性系
inertial system

固有値
eigenvalue

44

固有ベクトルeigenvector

158

156

コリオリの力Coriolis force

57

慣性乗積
product of inertia

ロナ56

オイラーの運動方程式
Euler’s equation ofmotion161

重み付き平均weighted average38

慣性テンソルinertia tensor

154

慣性の法則
law of inertia

25

慣性モーメント
moment of inertia

コ144, 156

【か】

慣性モーメントテンソル
moment of inertia tensor

154, 155
慣性力
inertia force

【さ】
歳差運動
precession

36, 95角運動量angular momentum 124
角運動量保存則
law of conservation ofangular momentum

128, 130

基底ベクトルbasis vector

作用線line of action

作用点
point of application 100
作用・反作用の法則
action-reaction law

12

仕 事
work

62

質 点
mass point,particle2

質点系
system of particles

36

極座標
polar coordinate

31

角振動数
angular frequency

クロネッカーのデルタ
Kronecker’s delta

34

力couple

27

【し】

15

偶

10051

逆行列
inverse matrix

角加速度angular acceleration 146

168, 169

座標変換行列transformation matrix 15

【き〜く】

力
external force966

エネルギー保存則
law of conservation ofenergy
75

外

126

向心力
centripetal force

国際単位系
international system ofunits，SI
3

運動量保存則law of conservation ofmomentum
93, 95

遠心力
centrifugal force

角速度ベクトル
angular velocity vector

【こ】

社

索

115, 11814

質量中心
center of mass38, 139, 141質量のモーメント
moment of mass

【た行】
140, 146

周期
period34

自由度
degree of freedom

【は行】

単位行列
identity matrix

15

単振動
simple harmonic motion

32, 34, 41

21, 100, 118
主慣性モーメント
principal moment ofinertia
157

158

初期条件
initial condition

30, 3471

力の平行四辺形
parallelogram of forces

10

初期値問題
initial value problem 30
振動数
frequency

34

振

【す〜そ】
垂直抗力
normal force,normal reaction
垂直反力
normal reaction

力の 3 要素
three elements of force

100

中心力
central force

129

直交行列
orthogonal matrix

15

つり合い式
equilibrium equation 2, 822

コ12

線形常微分方程式
linear ordinary differential equation
33
速19

反 力
reaction2

不安定つり合いunstable equilibrium 119
フックの法則Hooke’s law

3ベクトルの合成
composition of vectors 9
変位displacement19

保存力
conservative force69

ポテンシャルpotential

69

ポテンシャルエネルギー
potential energy
69
ホドグラフ
hodograph

24

【ま行】

転置行列
transposed matrix

正規直交基底ベクトル
orthonormal basis vector

度velocity

102

ロ
ナ

32

力のモーメント
moment of force

万有引力
universal gravitation 132

社

軸principal axis

弾性エネルギー
elastic energy

主幅amplitude

197

引索

15

【な行】

無次元化
nondimensionalization

182

内積
inner product13

内 力internal force

36, 95無次元量
dimensionless quantity

31

ニュートンの第 1 法則
Newton’s first law

25

ニュートンの第 2 法則
Newton’s second law 25
ニュートンの第 3 法則
Newton’s third law

28

ノルムnorm12

面積速度areal velocity

131

【り】
力 積
impulse84, 85−−−のモーメント
moment of impulse

125

著者略歴

ナ社

1995 年 東北大学工学部土木工学科卒業
1997 年 東北大学大学院工学研究科博士前期課程修了（土木工学専攻）
1997 年 東北大学大学院工学研究科博士後期課程中退（土木工学専攻）
1997 年 東北大学助手
1998 年 宇都宮大学助手
2001 年 博士（工学）（東北大学）
2005 年 東北大学助手
2007 年 東北大学助教
2007 年 東北大学准教授
現在に至る

土木・環境系の力学

Introduction to Mechanics of Civil and Environmental Engineeringc Isao Saiki 2012
�ロ

2012 年 8 月 31 日 初版第 1 刷発行
著

発 行 者

コ

検印省略

者

印 刷 所

さいき斉いさお

木功
コロナ社
代 表 者牛来真也
三美印刷株式会社
株式会社

112–0011 東京都文京区千石 4–46–10

発行所

株式会社

コ ロ

ナ社

CORONA PUBLISHING CO., LTD.
Tokyo Japan
振替 00140–8–14844・電話（03）3941–3131（代）
ホームページ ｈｔｔｐ://ｗｗｗ．
ｃｏｒｏｎａｓｈａ．
ｃｏ．
ｊｐISBN 978–4–339–05601–3 （新宅） （製本：愛千製本所）G
Printed in Japan

本書のコピー，スキャン，デジタル化等の無断複製・転載は著作権法上での例外を除き禁じられております。購入者以外の第三者による本書の電子データ化及び電子書籍化は，いかなる場合も認めておりません。
落丁・乱丁本はお取替えいたします