量子速度限界、断熱過程のショートカットと量子熱力学|𝐸e

布能 謙 (理研)|𝜓𝜏𝑑𝑠
K. Funo, et al., PRL 118, 100602 (2017)
K. Funo, N. Shiraishi, K. Saito, arXiv:1810.03011(to appear in NJP)

|𝜓0

非平衡系の物理学ー階層性と普遍性ー 2018/12/28

|𝐸g

目次
 断熱過程のショートカット – Counter-Diabatic Driving – 量子速度限界 (Quantum speed limit) 最近の進展・ Counter-Diabatic Drivingのspeed limit
・ 量子開放系のspeed limit

操作時間と効率の間のトレードオフ関係• 量子断熱計算(量子アニーリング)• 量子熱機関・冷却機関
低温熱浴
高温熱浴システム（LC共振器） （超伝導量 （LC共振器）
子ビット）

𝑄
http://dwavejapan.com/

B. Karimi, J. Pekola, PRB (2016)

効率を高くするためには断熱的(ゆっくりとした)操作が必要

2準位系を使ったトレードオフの例

𝐻0 (−∞)

driving

Landau-Zener Hamiltonian

Landau-Zener formula
𝜋Δ20
𝑃excite = 1 − exp −2ℏ𝑣

𝑃excite ≃ 1

エネルギーレベル𝑣𝑡
Δ0𝐻0 𝑡 = 𝜎𝑧 + 𝜎𝑥2
2

𝐻0 (+∞)|↓fast driving𝑣≫1|↑

trade-off|↑adiabatic driving𝑣≪1𝑡=0|↓𝑃excite ≃ 0𝑡断熱過程を有限時間でショートカットする手法- Counter-Diabatic driving 𝐻0 (𝑡) のエネルギー固有状態 |𝑛(𝑡) に沿って状態を移動させるジェネレーター 𝜉(𝑡) を探す：𝑛 𝑡

𝛿𝑡→ 1+ 𝜉 𝑡𝑖ℏ

𝑛 𝑡= 𝑒 𝑖𝜃𝑛 𝑛 𝑡 + 𝛿𝑡+ 𝑂(𝛿𝑡 2 )𝜃𝑛 = 𝑖 𝑛 𝜕𝑡 𝑛 : Berry phase Counter-Diabatic Hamiltonian [Demirplak&Rice(03), Berry(09)]𝜉 𝑡 = 𝑖ℏ

1 − 𝑛 𝑡 〈𝑛(𝑡)|) 𝜕𝑡 𝑛 𝑡 〈𝑛(𝑡)|𝑛Counter-Diabatic driving – Landau Zener example
original Hamiltonian

Counter-Diabatic (CD) HamiltonianℏΔ0 𝑣/2
𝜉 𝑡 = 2𝜎𝑦22
Δ0 + 𝑣 𝑡

𝐻0 (𝑡)のエネルギーレベル

𝑣𝑡
Δ0𝐻0 𝑡 = 𝜎𝑧 + 𝜎𝑥22𝜋Δ20𝑃excite = 1 − exp −2ℏ𝑣|↓𝐻0|↑CD𝑃excite = 0|↑

𝐻0 + 𝜉|↓(arbitrary 𝑣)
𝑡=0𝑡

Counter-Diabatic drivingによるスピードアップの限界？
 原理的にはCounter-Diabatic drivingで量子断熱発展をいくらでもスピードアップできる• しかし、(CDに限らず)スピードの物理的限界があるはず→ Quantum speed limit (量子速度限界)

目次
 断熱過程のショートカット – Counter-Diabatic Driving – 量子速度限界 (Quantum speed limit) 最近の進展・ Counter-Diabatic Drivingのspeed limit
・ 量子開放系のspeed limit

quantum speed limits• Mandelstam-Tamm bound (1945)
𝜋 ℏ𝜏≥
2 Δ𝐻
エネルギーの標準偏差• Margolus-Levitin bound (1998)𝜋ℏ𝜏≥
2 𝐻 − 𝐸g
基底状態を基準としたエネルギーの期待値

エネルギーの不確かさ• ハイゼンベルクの
時間・エネルギー不確定性関係

quantum speed limitsの等号成立条件|e• ２準位系を仮定 (𝐸e = ℏ𝜔, 𝐸g = 0)
|𝜓0 =|𝜓𝜏 =12
12|g + |e|𝜓𝜏|g − |e最小時間を達成 (MT bound) (ML bound)𝜋ℏ𝜋 ℏ𝜋 ℏ
𝜏===ℏ𝜔
2 Δ𝐻
2 𝐻|𝜓0|g

エネルギーゆらぎや期待値が大きいほど状態が速く回転する等号成立条件と幾何学|e• qubitの状態 → ブロッホ球面上の点|𝜓𝜏|𝜓0 と |𝜓𝜏 の間の最短経路

最小時間を達成 (MT bound) (ML bound)𝜋ℏ𝜋 ℏ𝜋 ℏ
𝜏===
ℏ𝜔
2 Δ𝐻
2 𝐻

|𝜓0|g

quantum speed limit と量子状態の幾何学の関係性を示唆

状態間の距離|e• |𝜓0 と |𝜓𝜏 の間の距離 ℒ |𝜓0 , |𝜓𝜏
例：Bures distance, Trace distance, etc.

|𝜓𝜏• 微小距離（曲率）
𝑑𝑠 = ℒ |𝜓𝑡 , |𝜓𝑡+𝑑𝑡

2= 𝑔𝑑𝑡 + 𝑂(𝑑𝑡 )𝑑𝑠|𝜓0ℒ

例： Fubini-Study metric, Quantum Fisher information, etc.

|gquantum speed limit の幾何学的な意味ℒ |𝜓0 , |𝜓𝜏
最短経路≤

1𝑑𝑡 𝑔 = 𝜏 ⋅𝜏

𝑑𝑡 𝑔|e|𝜓𝜏

状態が実際に移動した長さ=
幾何学的なスピード(の時間積分)
geometric quantum speed limitℒ |𝜓0 , |𝜓𝜏
𝜏≥
𝑔𝜏

|𝜓0|g

quantum speed limit：一般の場合
𝜏≥

Bures distance

𝑔𝜏

距離 ℒ

曲率 𝑔

cos −1 | 𝜙 𝜓 |Fubini-Study metriccos
Trace distanceℒ 𝜌0 , 𝜌𝜏−1Tr

quantum Fisher
information metric𝜌𝜎 𝜌𝜌 − 𝜎 tr𝑔 = 𝜌 tr12(trace norm 𝑋 tr = Tr X )quantum speed limit：一般の場合
𝜏≥ℒ 𝜌0 , 𝜌𝜏𝑔𝜏

時間発展のジェネレーター𝐺の情報 (ex. 𝑔 = 𝜌 tr = 𝐺 𝜌 tr )L. Mandelstam and I. Tamm, J. Phys. (1945)
・Schrodinger equation
G. N. Fleming, Nuovo Cimento A (1973)
MT-type quantum speed limit
J. Anandan and Y. Aharanov, PRL (1990)
・Lindblad quantum master equation A. del Campo, et. al., PRL (2013)
M. M. Taddei, et. al., PRL (2013)
speed limit in open systems
S. Deffner and E. Lutz, PRL (2013)
・Liouville equation, etc.
classical speed limit

S. Deffner, NJP (2017)
M. Okuyama and M. Ohzeki, PRL (2018)
B. Shanahan, et. al., PRL (2018)

目次
 断熱過程のショートカット – Counter-Diabatic Driving – 量子速度限界 (Quantum speed limit) 最近の進展・ Counter-Diabatic Drivingのspeed limit
・ 量子開放系のspeed limit

Counter-Diabatic drivingの熱力学的コスト
systemsystemadiabaticdriving

Counter-Diabatic
work driving

work

vs𝐻0 (𝑡)𝑊CD 𝐻0 𝑡 + 𝜉(𝑡)𝑊ad

• ドライブに必要な仕事に注目

𝑊 = Δ𝐸 − 𝑄

J. Kurchan, arXiv:cond-mat/0007360
H. Tasaki, arXiv:cond-mat/0009244

孤立量子系• 仕事の測定＝エネルギーを2回測る “２点測定手法”

Counter-Diabatic drivingの熱力学的コスト• 仕事の期待値は変化しない• 仕事ゆらぎはエンハンスされる𝛿Δ𝑊 2≔ Var 𝑊(𝑡) CD − Var 𝑊(𝑡) ad

𝑊(𝑡) CD = 𝑊(𝑡) ad

＝幾何学量

𝛿Δ𝑊 2
Counter-Diabatic
driving
Adiabatic𝑡/𝜏
プロトコル開始

プロトコル終了

Counter-Diabatic drivingの熱力学的コスト• 仕事の期待値は変化しない• 仕事ゆらぎはエンハンスされる𝑊(𝑡) CD = 𝑊(𝑡) ad

𝛿Δ𝑊 2≔ Var 𝑊(𝑡) CD − Var 𝑊(𝑡) ad＝

Fubini-Study metric𝑛𝑔FS= 𝜕𝑡 𝑛 (1 − |𝑛 𝑛|) 𝜕𝑡 𝑛𝜇Counter-Diabatic
𝜈driving
Adiabatic

c.f. テンソルの添字がanti-symmetricの場合
𝑡/𝜏→ Berry curvature

プロトコル開始

プロトコル終了

𝑛𝑛 𝑝𝑛 𝑔FS

𝛿Δ𝑊 2

quantum speed limit：一般の場合
𝜏≥ℒ 𝜌0 , 𝜌𝜏𝑔𝜏
𝛿Δ𝑊 2

距離 ℒ
Bures distancecos −1 | 𝜙 𝜓 |cos

Trace distance

曲率 𝑔−1

Tr

Fubini-Study metricquantum Fisher
information metric𝜌𝜎 𝜌

結びつけることが𝑔 = 𝜌 trできる

𝜌 − 𝜎 tr(trace norm 𝑋

21
tr = 2 Tr X )𝛿Δ𝑊=𝑛𝑛 𝑝𝑛 𝑔FS≥ 𝑔QF

仕事ゆらぎと操作時間の間のトレードオフ関係ℒ 𝜌0 , 𝜌𝜏𝜏≥𝛿Δ𝑊 𝜏adiabatic
𝑃(𝑊)CounterDiabatic

操作時間 𝜏 ⟷ 仕事ゆらぎ
曲率𝑔Fubini-Study metric• Bures distance ℒ = cos −1 Tr𝜌𝜎 𝜌𝑊

 超電導量子ビット系で検証 Zhang, et. al., NJP 20, 085001 (2018)

目次
 断熱過程のショートカット – Counter-Diabatic Driving – 量子速度限界 (Quantum speed limit) 最近の進展・ Counter-Diabatic Drivingのspeed limit
・ 量子開放系のspeed limit量子開放系のspeed limit𝜏≥ℒ 𝜌0 , 𝜌𝜏𝑔𝜏

距離 ℒ• Lindblad master equation
曲率 𝑔
物理的な意味がはっきり
Fubini-Study metriccos −1 | 𝜙 𝜓 している量と結びつける|
Bures distance
エネルギー揺らぎ、
quantum Fisher−1etc.
cos Tr𝜌𝜎 エントロピー生成,𝜌information metric
Trace distance𝜌 − 𝜎 tr𝑔 = 𝜌 tr12(trace norm 𝑋 tr = Tr X )幾何学的なスピードと物理的な量の関係
11𝜎𝐴
𝑔 = 𝜌 tr ≤ Δ𝐸 + Δ𝐸𝐷 +ℏℏ
2New!
幾何学的なスピードエネルギーの標準偏差量子エントロピー生成率と（孤立量子系のスピード） アクティビティ（確率過程のスピード）
Mandelstam and Tamm (1945)

Shiraishi, KF, Saito (2018)[白石さんの発表]

Δ𝐸𝐷 の物理的意味 - 非断熱状態のジェネレーター
𝐻0 (𝑡) の固有状態 |𝑛(𝑡) に沿って状態を移動させる：𝑛 𝑡

𝛿𝑡→ 1+ 𝜉 𝑡𝑖ℏ

𝑛 𝑡= 𝑒 𝑖𝜃𝑛 𝑛 𝑡 + 𝛿𝑡+ 𝑂(𝛿𝑡 2 )𝜃𝑛 = 𝑖 𝑛 𝜕𝑡 𝑛 : Berry phase

断熱の場合のジェネレーター: Counter-Diabatic Hamiltonian𝜉 𝑡 = 𝑖ℏ

1 − 𝑛 𝑡 〈𝑛(𝑡)|) 𝜕𝑡 𝑛 𝑡 〈𝑛(𝑡)|𝑛= 𝑖ℏ𝑛≠𝑚𝑛 𝜕𝑡 𝐻 𝑚𝑛 〈𝑚|𝐸𝑚 − 𝐸𝑛

Δ𝐸𝐷 の物理的意味 - 非断熱状態のジェネレーター
𝜌(𝑡) の固有状態 |𝜓𝑛 (𝑡) に沿って状態を移動させる：
𝜓𝑛 𝑡

𝛿𝑡→ 1+ 𝜉 𝑡𝑖ℏ𝜓𝑛 𝑡= 𝑒 𝑖𝜃𝑛 𝜓𝑛 𝑡 + 𝛿𝑡

非断熱の場合のジェネレーター
𝜉 𝑡 = 𝑖ℏ𝑛≠𝑚+ 𝑂(𝛿𝑡 2 )𝜃𝑛 = 𝑖 𝜓𝑛 𝜕𝑡 𝜓𝑛 : Berry phase𝜓𝑛 𝜕𝑡 𝜌 𝜓𝑚
𝜓𝑛 〈𝜓𝑚 | = 𝐻 + 𝐻𝐷
𝑝𝑚 − 𝑝𝑛システムのハミルトニアン

熱浴(ディシペーター𝐷[𝜌])に依存する部分
𝐻𝐷 𝑡 =𝑛≠𝑚𝑖ℏ 𝜓𝑛 𝐷 𝜌 𝜓𝑚|𝜓𝑛 𝜓𝑚 |𝑝𝑚 − 𝑝𝑛Δ𝐸𝐷 の物理的意味 - 非断熱状態のジェネレーター
𝜌(𝑡) の固有状態 |𝜓𝑛 (𝑡) に沿って状態を移動させる：
𝜓𝑛 𝑡

𝛿𝑡→ 1+ 𝜉 𝑡𝑖ℏ

𝜓𝑛 𝑡= 𝑒 𝑖𝜃𝑛 𝜓𝑛 𝑡 + 𝛿𝑡𝜃𝑛 = 𝑖 𝜓𝑛 𝜕𝑡 𝜓𝑛 : Berry phase

非断熱の場合のジェネレーター
𝜉 𝑡 = 𝑖ℏ𝑛≠𝑚+ 𝑂(𝛿𝑡 2 )𝜓𝑛 𝜕𝑡 𝜌 𝜓𝑚
𝜓𝑛 〈𝜓𝑚 | = 𝐻 + 𝐻𝐷𝑝𝑚 − 𝑝𝑛
標準偏差

Δ𝐸Δ𝐸𝐷

非断熱発展のスピード

量子開放系のspeed limit𝜏≥ℒ 𝜌 0 , 𝜌(𝜏)ℏ−1 Δ𝐸 𝜏 + ℏ−1 Δ𝐸𝐷 𝜏 +エネルギーの標準偏差(熱浴による)非断熱 量子エントロピー生成
発展のスピードとアクティビティ
断熱発展

孤立系

ℒ 𝜌 0 , 𝜌(𝜏)𝜏≥ℏ−1 Δ𝐸 𝜏𝜎 𝜏 𝐴 𝜏 /2

𝜏≥ℒ 𝜌 0 , 𝜌(𝜏)ℏ−1 Δ𝐸CD 𝜏 +𝜎 𝜏 𝐴 𝜏 /2
Counter-Diabatic HamiltonianMandelstam and Tamm (1945) のエネルギーの標準偏差古典系

𝜏≥ℒ 𝜌 0 , 𝜌(𝜏)𝜎 𝜏 𝐴 𝜏 /2Shiraishi, KF, Saito (2018)[白石さんの発表]

• 断熱過程のショートカット• quantum speed limitℒ𝜏≥𝑔𝜏

𝐻0 (𝑡)のエネルギーレベル

Conclusion|↓

CD𝑃excite=0|↑• 量子開放系のspeed limit

Counterdiabatic driving|𝜓𝜏• Counter-Diabatic Drivingのspeed limit
K. Funo, et al., PRL 118, 100602 (2017)|↑|𝜓0K. Funo, N. Shiraishi, K. Saito, arXiv:1810.03011|↓𝑡エントロピー生成とアクティビティの定義
エントロピー生成
𝜎 = 𝑆 − 𝛽 𝑄 = −Tr 𝜕𝑡 𝜌 ln 𝜌 − 𝛽Tr[ 𝜕𝑡 𝜌 𝐻]

Pauli master equation
𝜔 𝑝 − 𝑊 −𝜔 𝑝 )
(𝑊𝑛𝑚𝑚
𝑚𝑛 𝑛

𝑝𝑛 = 𝜓𝑛 𝐷 𝜌 𝜓𝑛 =𝑚,𝜔transition rate matrix
𝜔 =𝛾 𝜔𝑊𝑛𝑚

𝜓𝑛 𝐿𝜔 𝜓𝑚density matrix

アクティビティ1
𝐴=2

𝜌(𝑡) =
𝜔 𝑝 + 𝑊 −𝜔 𝑝𝑊𝑛𝑚𝑚𝑚𝑛 𝑛𝑛≠𝑚,𝜔

𝑛 𝑝𝑛 |𝜓𝑛𝜓𝑛 |2Counter-Diabatic driving を行った時の仕事• Two-point energy measurements
transition probability

initial energy

𝑡𝑝𝑛→𝑘= 𝐸𝑘 𝑡 𝑈𝑡 𝐸𝑛 0

𝑊𝑛→𝑘 = 𝐸𝑘 𝑡 − 𝐸𝑛 (0)initial distribution 𝑝𝑛

eigenenergy of 𝐻CD = 𝐻 + 𝜉 at time t𝑃(𝑊)work probability distribution𝑡𝑝𝑛 𝑝𝑛→𝑘 𝛿(𝑊 𝑡𝑃 𝑊(𝑡) CD =𝑊𝑛,𝑘− 𝑊𝑛→𝑘 )2