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1

I-1 (力学) (100 点)
質量がそれぞれ M1 と M2 である天体 1 と天体 2 が，共通重心の周りを円運動している．簡単のため，以下では運動は x-y 平面のみとする．天体 1 と天体 2 の距離を a とすると，これら 2 天体は重心を原点とする x∗ -y ∗ 平面上にある慣性系!
（S ∗ 系）において，回転角速度 ω = G(M1 + M2 )/a3 で原点のまわりを回る．一方で，x-y 平面上でこれら 2 天体を x 軸上に常に保ちながら角速度 ω で回転する
回転座標系（S 系）を仮定すると，S ∗ 系における成分 (x∗ , y ∗ ) は S 系での成分(x, y) を用いて以下のように書ける．
"
# "
#" #
x∗
cos ωt − sin ωt
x
=
(A)
∗
y
sin ωt cos ωtyまた，µ1 ≡ M1 /(M1 + M2 ) および µ2 ≡ M2 /(M1 + M2 ) を用いると，S 系における天体 1 と天体 2 の座標はそれぞれ (−µ2 a, 0) , (µ1 a, 0) と書ける．

y*

y

m
(x,y)

x
S
M2
!t

x*
S*

M1

(1) 質量 M1 , M2 に対して質量 m が無視できるほど小さい天体 3 を考える．S
系からみたときの天体 3 に対するラグランジアンを書け．式を見やすくする!
!
ために r1 ≡ (x + µ2 a)2 + y 2 および r2 ≡ (x − µ1 a)2 + y 2 を用いてもよい（以下同様）．
(2) 天体 3 の S 系における運動方程式を x, y 成分それぞれについて書き下せ．
(3) S 系からみて，天体 3 の加速度と速度がともに 0 になる平衡点（ラグランジュ
点）が 5 つ存在することが知られている．そのうち，x 軸上に無い点が 2 つあり, y > 0 のものを L4 点, y < 0 のものを L5 点と呼ぶ．それらの座標を求めよ．
2

(4) これより平衡点における天体 3 の線形安定性を考える．平衡点（xe , ye ）からの微小変位を ξ, η とすると，微小変位についての運動方程式は 2 次の項を無視して
ξ¨ − 2ω η̇ + aξ + bη = 0
η̈ + 2ω ξ˙ + bξ + cη = 0

(B)
(C)

と書ける．ただし a, b, c は適当な定数である．解の形を ξ = Aeλt , η = Beλt
とおいたとき，A = B = 0 以外の解が存在するための条件を示せ．

(5) L4 点において
√
3 2
3 3
9
a=− ω , b=−(1 − 2µ1 )ω 2 , c = − ω 2
4
4
4

(D)

である．天体 3 の L4 点周りの微小運動が不安定とならないための条件を示せ．

(6) 微小変位についての運動方程式 (B), (C) を仮にξ¨ + aξ + bη = 0(E)η̈ + bξ + cη = 0(F)に変更すると（ただし a, b, c の値は式 (D) のままとする），平衡点周り微小運動は常に不安定となることを示せ．

(7) L4 点における重力ポテンシャルは上に凸となっており，重力のみが働く場
合には L4 点周りの微小運動は常に不安定である．問 (5) で L4 点が不安定とならない場合があった理由を簡潔に述べよ．

3

I-2 (量子力学) (100 点)
引力ポテンシャル V (|r1 − r2 |) を及ぼしあった質量 m の 2 粒子からなる量子系の束縛状態を考える．r1 , r2 は 2 粒子の座標である．重心座標 r G = (r1 + r2 )/2と 相対座標 r = r1 − r2 ≡ (x, y) とに分けて考え，以下，重心は止まっているものとし, |r| = r と書く．
先ず，2 次元で, ポテンシャルが円筒対称な場合!
0(r > a),V (r) =
−V0
(r < a),(A)(V0 > 0) を考える．
(1) 2 次元ラプラシアン ∇2 を円筒座標 (r, θ) で表わせ．ただし，結果のみでも良い．また，x = r cosθ, y = r sinθ である．
(2) 定常状態の波動関数 ψ を, 角運動量の z 成分 Lz の固有値 h̄n に対する固有関数 Φn (θ) で"ψ(r) =
Rn Φn (θ)(B)
nのように展開した時の係数 Rn は動径 r の関数である．Rn (r) が満たす微分方程式を書け．ただし，エネルギー固有値は E と表記せよ．

(3) 引力の強さは無次元パラメタ
λ=mV0 a24h̄2(C)で表現できる．引力が弱く，λ が十分に小さい時の基底状態のエネルギー固
有値 E を λ と V0 を用いて表わせ.
ただし，2 つの微分方程式

d2 X± 1 dX±+± X± = 0
dz 2
z dz

(D)

の物理的に許される解の z → 0 における漸近的ふるまいがそれぞれ,X+ (z) ≃ 1 − z 2 /4,

X− (z) ≃ ln(c/z)(c は正の定数）であることを用いてよい．
4(E)

次に， x 座標上の引力ポテンシャル⎧⎪⎨ V1
V (x) =
0⎪⎩V2

(x < 0),(0 < x < b),(x > b),(F)の下にある 1 次元系を考える．ただし，V1 ≥ V2 > 0 であるとする．

(4) V1 = V2 の場合には，円筒対称な 2 次元ポテンシャル (A) の場合と同様，束縛状態は必ず存在することを示せ．
(5) V1 > V2 である場合には，束縛状態が一つも存在しない状況が生まれる．そのための条件を，mV2 b2 /h̄2 と比 V2 /V1 を用いて表わせ．

5

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ऩ͠ͳ͍ɽ

1

II-1 (電磁気) (100 点)
真空中の Maxwell 方程式は，電場 E ，磁束密度 B ，電荷密度 ρ，電流密度 j ，真空の誘電率 ϵ0 および真空の透磁率 µ0 を用いて以下のように表される．

∇ × E + ∂B = 0∂t(A)∇·B =0(B)

1∂Eµ0 ∇ × B − ϵ0 ∂t = j(C)∇ · E = ϵ10 ρ(D)(1) 物質中において，分極電荷密度を ρd とし，分極電荷密度は分極ベクトル P
によって ρd = −∇ · P と表すことができるものとする．ここで分極電流密度
j d は以下のように表される．
jd =

∂P
∂t

(E)

この式から分極電荷密度と分極電流密度において電荷保存則が成り立っていることを示せ．

(2) ここで，分極電荷密度以外の電荷密度を ρe ，これによる電流密度を j e とする．
また，磁化ベクトルを M とし，磁化電流密度を j m とすると j m = ∇ × M と表すことができる．電束密度を D ，磁場を H と表すことにし，D = ϵ0 E +P ，および B = µ0 (H + M ) が成立しているものとしたときに，ρe および j e を用いて，(A)−(D) に相当するこの物質中の Maxwell 方程式を導け．
ここで，電荷 e を持つイオンと電荷 −e の電子が，それぞれ単位体積あたり N 個
存在している有限の領域を考える．この領域に，角振動数 ω ，振幅 E 0 の電磁波が作用した場合を考える．なお，これ以降，電子の速さは光の速さ c に比べて充分小
さいものとし，イオンの運動およびイオンによる電磁波の散乱は無視できるものとする．また，電子間の距離は十分大きく，それらの相互作用は考えなくて良い．

(3) 電子の運動方程式は，質量を m，その変位を x として以下のように与えられるものとする．このとき，電流密度 j を求めよ．ただし，電子の全体としての並進運動は考えず，振動している成分だけを考えればよい．
md2 x= −eE 0 sin(ωt)
dt2

(F)

(4) ここで，このような真空中の有限領域における電子とイオンの集団を，角振
動数 ω に依存した誘電率 ϵ(ω) および透磁率 µ(ω) の媒質として考えることができるものとする．このとき，D = ϵE および B = µH が成り立っているものとして，この媒質の誘電率 ϵ を求めよ．
2

(5) 次に，電子に変位 x に比例する弾性的な束縛力 −mω02 x が加わった場合の電子の運動方程式を書け．
(6) 問 (5) の場合の媒質の屈折率 n を求めよ．また，n2!
の ω 依存性の概形を図示
ϵµせよ．ただし，ω ̸= ω0 であるとする．なお，n は ϵ µ で与えられるもの
0 0
とする．

3

II-2 (౷‫ܭ‬೤ྗֶ) (100 ఺)෼ࢠͷ઎༗ମੵ b ʹΑΔੱྗͱɼ෼ࢠ਺ N ʹൺྫ͠ମੵ V ʹ൓ൺྫ͢Δฏ‫ۉ‬৔తͳҾྗ͕࡞༻͢Δ෼ࢠΛϑΝϯσϧϫʔϧε෼ࢠͱ‫͠ʹͱ͜Ϳݺ‬Α͏ɽԹ౓ T ͷ೤ཋʹ઀ͨ͠ମੵ V ͷശͷதʹ N ‫ݸ‬ͷϑΝϯσϧϫʔϧε෼ࢠ͕͋Δ‫͍ͯͭʹܥ‬ɼҎԼͷ໰ʹ౴͑Αɽͨͩ͠, ϘϧπϚϯఆ਺Λ k ͱͤΑɽN2(1) (a) ͜ͷ‫ܥ‬ͷϙςϯγϟϧΤωϧΪʔΛ −aͰۙࣅ͠ɼϋϛϧτχΞϯ͕
V
HN =

N
!
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i

2m
i=1

−a

N2
V

(A)

Ͱ༩͑ΒΕΔͱ͢Δɽ͜͜Ͱ pi ͸ i ൪໨ͷ෼ࢠͷӡಈྔɼm ͸‫ݸ‬ʑͷ෼ࢠͷ࣭ྔͰ͋Γɼa ͸ਖ਼ͷఆ਺ͱ͢Δɽ͞Βʹɼ෼ࢠ͸ͦΕͧΕͷ઎༗ମੵΛআ͍ͨ༗ޮମੵ Vf = V − N b தͰ೤ӡಈΛ͍ͯ͠Δͱߟ͑Δɽ͜ͷ‫ܥ‬ͷ෼഑ؔ਺Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(b) ໰ (1)(a) ͷ݁Ռ͔ΒϑΝϯσϧϫʔϧεͷঢ়ଶํఔࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽͨͩ͠ɼѹྗΛ P ͱ͢Δɽ(2) ϑΝϯσϧϫʔϧεͷঢ়ଶํఔࣜ͸͋ΔԹ౓ TcʢྟքԹ౓ʣҎԼͰ͸ɼ෼ࢠ‫ൃ͕ࣗܥ‬తʹॖখ͢Δ͜ͱΛ‫͏·ͯ͠͠ڐ‬ɽ͕ͨͬͯ͠ɼT < Tc Ͱ͸͋Δൣғͷ V ʹରͯ͜͠ͷঢ়ଶํఔ͕ࣜ೤ฏߧঢ়ଶΛ‫ه‬ड़ͯ͠ͳ͍ɽ͜ͷ఺Λमਖ਼ͯ͠ɼT < Tc ʹ͓͚Δ೤ฏߧঢ়ଶͷ౳Թঢ়ଶ‫ۂ‬ઢΛඳ͚ɽͨͩ͠ɼԣ࣠
Λମੵɼॎ࣠ΛѹྗʹͱΔ͜ͱɽ
(3) T = Tc ͷͱ͖ʹѹॖ཰͕ແ‫ݶ‬େͱͳΔ఺Λྟք఺ͱ‫Ϳݺ‬ɽྟք఺ʹ͓͚Δ
ѹྗ Pc ɼԹ౓ Tc ɼମੵ Vc Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(4) ྟքԹ౓Ҏ্Ͱ͸‫ܥ‬͸Ұ༷ͳྲྀମঢ়ଶͰ͋ΓɼྟքԹ౓ҎԼͰ͸‫ؾ‬ମͱӷମ͸ѹྗɼԹ౓͕౳͘͠ɼମੵ͕ҟͳΔঢ়ଶͱͯ۠͠ผ͕ՄೳͰ͋ΔɽྟքԹ౓ΑΓ΍΍௿͍Թ౓Ͱɽ‫ؾ‬ମͱӷମ͕‫ڞ‬ଘ͠ಘΔ࠷େͷମੵ Vg ͱ࠷খͷମੵ Vℓ ͕
"#βVg − V ℓ
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(B)
Vc
Tc
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4ʢ͜ͷϖʔδ͸നࢴͰ͋Δʣ

5

II-3A (物理数学) (25 点)(1) 区間 −1 ≤ x ≤ 1 で f (x) = x2 と表される周期 2 の周期関数をフーリエ級
数展開せよ.
(2) 問 (1) の結果を用いて，以下の値を求めよ．
∞
!
1

(A)

n2
n=1

II-3B (力学) (25 点)
複数の質点がばねでつながった系の振動について考える. その最も簡単な例は，質量 m の質点 1 と質点 2 が弾性定数 K のばねによって図 1 のように壁につながれ, 質点間は弾性定数が G (G ̸= K) のばねでつながっている系である. ただし，二つの壁の間の距離は三つのばねの自然長の和に等しいものとする. この系に縦振動 (質点の x 方向の振動) モードは二つあり，その各々における質点の振動の様子は図 2 のように描写される. 図 2 の矢印は質点 j の変位ベクトル xj (j = 1, 2)を表わす．
これを参考に，図 3 のように, 図 1 の弾性定数 G のばねが質量 2m の質点 3 を伴った二本の弾性定数 G のばねに置き換えられた系を考える. ただし，この場合においても壁の間の距離は四つのばねの自然長の和に等しいものとする. 図 3の系の各縦振動モードの固有振動数を求めよ．また，各モードにおける各質点の変位ベクトル xj (j = 1, 2, 3) の様子を図 2 の例にならって図示せよ. ただし，結果は G ≫ K の近似の下で導出すればよいものとする.

K m G










m K


x

࿑

࿑
K m

G

2m




࿑

6

G

m K


II-3C (量子力学) (25 点)
大きさ 1/2 の 2 個のスピン ŝ1 , ŝ2 からなる系のハミルトニアンが，式 (B) で与えられている．相互作用の強さとして J > 0 とし，0 ≤ x ≤ 1 とする．

H = (1 − x)J ŝz1 ŝz2 + xJ ŝ1 · ŝ2(B)

ここで，ŝz1 , ŝz2 はスピンの z 成分を表す．

(1) x = 0 の場合について，エネルギー（固有値）と縮退度を求めよ．ただし，ŝz1 と ŝz2 はそれぞれ固有値 ±1/2 を取りうることに注意せよ．
(2) x = 1 の場合について，エネルギー（固有値）と縮退度を求めよ．ただし，
大きさ S のスピンに対して Ŝ 2 の固有値が S(S + 1) であることに注意せよ．
また関係式 (ŝ1 + ŝ2 )2 = ŝ21 + ŝ22 + 2ŝ1 · ŝ2 を使ってよい．
(3) x が 0 から 1 まで変化したとき，エネルギー準位がどのように変わるかを，
横軸を x，縦軸をエネルギーとして縮退度も含めて概略を図示せよ．

II-3D (電磁気学) (25 点)
図のような座標系 (x, y, z) において，接地した 2 枚の半無限導体を直交させたもの(zx 面 (x > 0) と yz 面 (y > 0)) を考える．ここで，点電荷 Q を位置 (a, b, 0) に置いた場合の電位を求めたい．なお，図において矢印の方向をそれぞれ x と y の正方向とする．

(1) 導体によって区切られ，点電荷 Q がある領域，すなわち x > 0 かつ y > 0,における電位を求めよ．
(2) 問 (1) で求めた電位が導体のある位置 (zx 面 (x > 0) および yz 面 (y > 0))で 0 になっていることを示せ．

7

ฏ੒ 29 ೥౓େֶӃೖֶࢼ‫ݧ‬໰୊ɹ IIIʢ3 ࣌ؒʣ஫ҙ(1) ͜ͷ໰୊࡭ࢠ͸ɼ໰୊ III–1ɼIII–2ɼIII–3 ͷ 3 ໰͔ΒͳΓɼදࢴΛ‫ؚ‬Ίͯ 9ϖʔδ·Ͱ͋Δɽ(2) ֤໰ͷղ౴͸ͦΕͧΕɼॴఆͷղ౴༻ࢴʹ‫ه‬ೖͤΑɽ֤ղ౴༻ࢴͷ্෦ͷཝʹड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λ‫ه‬ೖͤΑɽղ౴༻ࢴͷදɼཪͱ΋্෦ͷԣઢΑΓ্ʹղ౴Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍.
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ऩ͠ͳ͍ɽ

1

III-1 (量子力学) (100 点)
一次元量子系の粒子 (質量 m) が調和振動子のポテンシャル V0 (x)V0 (x) =

m 2 2
ω x
2

(A)

に束縛されているとする. このとき次の問いに答えよ．

(1) 生成消滅演算子 a† , a を
a=

!

mω
x+i
2h̄

!

1
p,
2h̄mω

a† =

!

!
mω
1
x−i
p
2h̄
2h̄mω

(B)

∂
の線形結合として定義すると基底状態∂xは a|0⟩ = 0 で定義される．これを利用して，束縛状態のエネルギー固有値が"#1
n を 0 以上の整数として E = h̄ω n +で与えられることを導け．また，
2対応する (規格化された) エネルギー固有状態 |n⟩ を基底状態 |0⟩ に生成演算子 a† を作用させて構成せよ．
のように座標 x と運動量 p = −ih̄

さて，一次元量子系のポテンシャルがV (x, t) =m 2
ω (x − η(t))22(C)のように時間に依存して変化する場合における量子系の時間発展を調べたい．t < 0
においては，パラメーター η(t) は時間に依存しない定数 η0 であり，量子系はポテ
ンシャルがm
V1 (x) = ω 2 (x − η0 )2(D)2で与えられるハミルトニアンの基底状態にあるものと仮定する．時刻 t = 0 以降
η(t) は時間に依存して変化する．このとき以下の問いに答えよ．

(2) 上記のように量子系が時間発展する場合に，座標 x と運動量 p の時刻 t における期待値 x̄(t) と p̄(t) の時間発展を定める微分方程式を求めよ．
(3) 関数 η(t) が，次のような時刻 t の一次関数 (T を正の定数として)"#tη(t) = η0 1 −(0 < t < T )
T
2

(E)

で与えられる場合を考える．また t = T 以降は η(t) = 0 のままで変化しないmとする．従って t > T ではポテンシャルが V0 (x) = ω 2 x2 で与えられる調和2振動子となる．このとき，任意の時刻 t(> 0) における期待値 x̄(t) と p̄(t) を決定せよ．

(4) 特に問 (3) において，T が非常に大きい場合 (時間変化が非常に遅い場合) を考える．この場合に時刻 t > T において，問題 (1) で定義したエネルギー固
有状態 |n⟩ が観測される確率 Pn を求めよ．
(5) 特に問 (3) において，T が非常に小さい場合 (時間変化が瞬時の場合) を考える．この場合に時刻 t > T において，問題 (1) で定義したエネルギー固有状
態 |n⟩ が観測される確率 Pn を求めよ．
(6) η(t) が η(0) = η0 を満たす一般の関数であるときに，x と p の期待値からのずれを表す (x − x̄(t))2 と (p − p̄(t))2 の期待値を計算し，不確定性原理との関係を述べよ．

3

III-2A (計測と統計) (40 点)
実数データ {x1 , x2 , · · · , xN } の各々が，同一の分布から独立に取り出されたとして以下の問いに答えよ．
√ √(1) データ xi が区間 [− 3, 3] の一様分布に従う場合，(a) N = 2 のサンプル平均 x̄ ≡ (x1 + x2 )/2 の従う分布を求め，図示せよ．
（ヒント）次式を計算すればよい．
√

√

"

#

! 3
1 ! 3
x1 + x2p(x̄) =dx1√
√ dx2 δ x̄ −12 − 32− 3
x1 + x2 + · · · + xN(b) N が大きい極限で，サンプル平均 x̄ ≡の従う分布
N関数は，平均A ，分散BのC分布である．これら
A，B，C を記せ．また，解答の背景にある定理は何かを述べよ．

(2) データ xi が平均 0，分散 1 の正規分布に従う場合，(a) N = 2 のサンプル平均 x̄ ≡ (x1 + x2 )/2 の従う分布を求め，図示せよ．

(b) N = 2 のサンプル平均を不偏分散 s2 = (x1 − x2 )2 /2 の平方根を使って
x̄x1 + x 2
定義される量 t ≡ √ =の従う分布を求め，図示せよ．
|x1 − x2 |s/ 2

III-2B (統計力学) (30 点)図のように，N 個の要素からなる鎖が一次元上に置かれている．要素の長さは a
で，折れ曲がりの角度は 0◦ または 180◦ であるとする．また、要素の質量は m とする．

ax(1) 鎖の両端が置かれた位置の間の距離 x が与えられたときの，系のエントロ
ピーを求めよ．
(2) この鎖が温度 T の熱浴に接して平衡状態にあるとき，両端に加わる力 f をxの関数として求めよ．ただし，N が大きいとき，logN ! ≃ N logN − N
Naを使ってよい．
$$$ x $$$ が十分小さいときの力 f を求めよ．この力は温度，要素の質量にどう
(3) $
Na$
依存するかを述べよ．
4

III-2C (線形回路) (30 点)図のように，インダクタンス L のコイル，抵抗 R，容量 C のコンデンサ，スイッチからなる回路がある．コンデンサに電荷 Q0 が帯電した状態で，t = 0 にスイッ4L
チを入れる．以下では、R2 −< 0 の場合を考える．
C(1) コイル，抵抗，コンデンサの電位差の和が 0 になることを用いて，コンデン
サに蓄えられる電荷 Q(t) に対する微分方程式を立てよ．
(2) 問 (1) で立てた方程式に，Q(t) = Aeλt を代入し，λ を求めよ．ただし，A は定数とする．
(3) コンデンサに蓄えられる電荷 Q(t)，および回路に流れる電流 I(t) を求めよ．
ただし，Q(t = 0) = Q0 ，I(t = 0) = 0，I(t) は図の矢印の向きを正とする．

5

III-3A (Expanding Universe) (60 points)
The excerpt below is taken from Saul Perlmutter’s 2011 Nobel Prize in Physics
lecture. Read the passage carefully and answer questions [Q-a]–[Q-k] below inEnglish. Write your answers in clear, easy-to-read text.
Apparently we have a Universe that is dominated by some new ingredient, somepreviously unknown “Dark Energy” that makes the Universe expand faster andfaster. It is so rare that you come across something that is not part of our current physics model! This is one of the best [Q-a] outcomes that you could ever getin a project like this. I feel very lucky to be able to work on this at all, because
here was a project where any result you could discover would be exciting: We might
have found that the Universe was infinite, or that it was finite and going to come toan end. [Q-b] Been have results of either great these would. Instead we found an
answer that was even better than “great”, in that it was a surprise. [Q-c]This is not
something that you can even wish for in science.
This outcome is a perfect example of how science can so often be [Q-k] two-headed.
On the one hand, it was only possible to discover what came as a surprise to all ofus because our field, physics, had already made such great progress in understanding
the Universe. [Q-d] Less than a century ago we had no idea that there was moreto the Universe than our own Milky Way. [Q-e] (e1) immense size of (e2) Universe,(e3) fact that it is expanding, (e4) fact that it is populated with such (e5) things
as (e6) exploding stars — all this and more had to be discovered before we coulddo (e7) work that led us to [Q-f ] contemplate (e8) unknown form of energy that
accounts for more than two-thirds of everything there is.
It’s amazing how much we figured out, but on the other hand it’s amazing how big
a mystery has opened up as a result, and how much we still have left to discover. Oneof the real pleasures of doing science — which will continue to be true, I believe,[Q-g] on any given day for the next few centuries — is that we have so muchknowledge to build upon, yet there is still be so much for us to discover.
These two aspects of science remind us that science is a method, not a finishedproduct. [Q-h] Or know it where will we lead don’t what new, seemingly [Q-i] willmagical us give the future in powers it. We never know whether what we find willturn out to be useful, but we do know that in the past, [Q-j] we made a major step
forward in our understanding of how the world works, we’ve ultimately been able tosolve more problems, including very practical problems. I think that’s the only way
we can proceed as basic scientists: We try to see what we can understand, and wehope it opens more possibilities for what we can do in the world.

6

Answer the following questions concerning the passage above.
[Q-a] Which of the following words could replace the underlined text and not alter
the meaning of the sentence?
a1) explanationsa2) resultsa3) falloutsa4) reactions[Q-b] The original sentence in this position has been scrambled. Reconstruct it using
only the underlined words. Change the capitalization and include appropriate
punctuation as necessary.
[Q-c] Which of the following best describes what the author thinks is something one
cannot even wish for in science?
c1) to discover that the Universe is infinitec2) to work on something excitingc3) to achieve a great resultc4) to obtain a surprising result[Q-d] Write a complete sentence with about 20 words that describes the role of theunderlined sentence in this paragraph using only one of the following words:
motivation, example, conclusion, unification.
[Q-e] Fill in each of the blanks (e1)–(e8) with the correct article (“the”, “an”, or“a”). Capitalize your answers as necessary and if no article is needed write “ ”
in the answer space.
[Q-f ] Which of the following best describes the meaning of the underlined word?
f1) think seriously aboutf3) observef2) disregard entirelyf4) make a guess about[Q-g] Based on the underlined text, how frequently does the author expect to enjoy
science?
g1) every single dayg2) as much as possibleg3) with great frequencyg4) often, but not always[Q-h] The underlined words have been scrambled. Put them in the correct order.
Change the capitalization and include appropriate punctuation as necessary.
[Q-i] The underlined words have been scrambled. Put them in the correct order.
Change the capitalization and include appropriate punctuation as necessary.
[Q-j] From the following list of words choose the best one to replace [Q-j] in thissentence.
j1) ifj2) whereverj3) alwaysj4) whenever[Q-k] Using about 50 or 60 words and your own expressions explain what is meant
when the author describes science as being “two-headed”.
7III-3B (Thermodynamic Square) (40 points)
Read the following passage and answer questions [Q-1]–[Q-6] as well as questions[Q-A]–[Q-C] below in English. Write your answers in clear, easy-to-read text.
In 1929, Professor Max Born delivered a lecture on Maxwell’s relations in which
he used a diagram like the one in Figure 1. This “thermodynamic square” contains
a great deal of information:(1) The four fundamental thermodynamic potentials U, F, G, and H are exhibited at
the edges of the square and are flanked⇤ at the corners by [Q-1] the thermodynamic
parameters upon which they depend:
U = U (S, V ),F = [Q-2],
G = G(T, P ),H = H(S, P ).

(1a)
(1b)
(1c)
(1d)

(2) The two arrows provide plus and minus signs for the di↵erential form of the firstlaw of thermodynamics. If an arrow points away from a thermodynamic parameter,
the di↵erential of that parameter has a positive sign. On the other hand, [Q-3].
This convention gives
dU = T dS P dV,
dF = SdT P dV,
dG = [Q-4],
dH = T dS + V dP.

(2a)
(2b)
(2c)
(2d)

(3) The Maxwell relations can be obtained. They depend only upon the parametersat the corners of the square, and the orientation of the arrows. Figure 2 depicts two
situations which lead to [Q-5] the Maxwell relations,
✓
◆
✓
◆
@V
@T
=
,
(3a)
@S P
@P S
✓
◆
✓
◆
@S
@V
=
.
(3b)
@P T
@T P
(4) It can be extended to magnetic systems. In order to express the thermodynamic
relations for magnetic materials, P and V are replaced by the applied magnetic field
Ha and the magnetization M . However, in the thermodynamic square a minus signis needed for M for the following reason: Application of P results in the reductionof V , while [Q-6].
⇤

flank (v.t.): to place something on each side of
Adopted from: Ronald Forrest Fox, J. Chem. Edu. 53 (1976) 441-442.

8

V

F

U

T
S

G
(b)

S

H

P S

P

TV

T

P

P

P
S

Figure 1. Thermodynamic square.

1

T

(a) V

Figure 2. Maxwell relation diagrams.

Answer the following questions concerning the passage above.

[Q-1] Among the thermodynamic parameters, T and P represent temperature andpressure, respectively. What do V and S represent, respectively?
[Q-2] Fill in the brackets with a suitable expression.
[Q-3] Fill in the brackets to complete the sentence.
[Q-4] Fill in the brackets with a suitable expression.
[Q-5] Write down the other two Maxwell relations (in any order).
[Q-6] Complete the sentence by providing an appropriate phrase in the brackets.

2

Answer the following questions concerning a magnetic system.

[Q-A] Draw a thermodynamic square for a magnetic system.
[Q-B] For a magnetic system, write down the relation corresponding to Equation (2b).
[Q-C] Write down the Maxwell relation for the partial derivative of magnetization
with respect to temperature at constant magnetic field.

9