計算数理工学論文集 Vol.22 (2022 年 12 月), 論文 No. 13-221216

JASCOME

リッジパターン変態のプレストレッチ依存性と分岐座屈特性
PRESTRETCH DEPENDENCE AND BIFURCATION PROPERTY OF RIDGE PATTERN TRANSFORMATION田中 大地 1)，若林 駿人 2)，松原 成志朗 3)，永島 壮 4)，奥村 大 5)
Daichi TANAKA, Hayato WAKABAYASHI, Seishiro MATSUBARA, So NAGASHIMA and Dai OKUMURA
1) 名古屋大学大学院工学研究科（〒464-8603 名古屋市千種区，E-mail: tanaka.daichi.n8@s.mail.nagoya-u.ac.jp）
2) 名古屋大学工学部（令和 3 年度卒業）（〒464-8603 名古屋市千種区）
3) 名古屋大学大学院工学研究科（〒464-8603 名古屋市千種区，E-mail: seishiro.matsubara@mae.nagoya-u.ac.jp）
4) 名古屋大学大学院工学研究科（〒464-8603 名古屋市千種区，E-mail: so.nagashima@mae.nagoya-u.ac.jp）
5) 名古屋大学大学院工学研究科（〒464-8603 名古屋市千種区，E-mail: dai.okumura@mae.nagoya-u.ac.jp）
In this study, we investigate the prestretch dependence and bifurcation property of wrinkle-to-ridge
pattern transformation, which occurs on a film bonded to a prestretched soft substrate. Step-by-step
eigenvalue buckling analysis is used to detect the first bifurcation and the second bifurcation on thebifurcated path. Post buckling analysis is conducted by an initial imperfection method. The first andsecond bifurcations cause wrinkle and ridge pattern transformation, respectively. The critical strain
for the second bifurcation is found to depend on the wavenumber prescribed by the wavelength of
the wrinkle as well as the magnitude of the prestretch. The second bifurcation also has a wave
property (i.e., double bifurcations). The combination of the two bifurcation modes provides thefreedom of the location that forms one ridge in the viewpoint of translational symmetry.
Key Words: Pattern transformation, Surface instability, Buckling, Bifurcation, FEA1. 緒言

このプレストレッチを解放することによって硬質膜に大き軟質基盤上の硬質膜に面内圧縮応力が作用すると分岐座な圧縮ひずみ（すなわち圧縮応力）を加えることによって発屈が生じ，硬質膜表面には多様なパターンが形成される(1)~(3)．

生する（Fig. 1）．ここで，ℎf は膜厚，𝜀は圧縮ひずみ，𝜆0 はプ

近年では工学応用に関する研究も多く報告されている(4)~(9)．

レストレッチをそれぞれ示している．実験は比較的容易であパターン変態の初期段階ではリンクルと呼ばれるパターン

り，有限要素解析による再現シミュレーションも行われていが現れ，二次元的には正弦波形のストライプパターン，三次るが，ランダムな初期不整が用いられており，分岐座屈の観

元的にはチェッカーボードパターンや六方ディンプルパタ点からの調査はほとんど行われておらず，その形成機構は十ーンと呼ばれる周期パターンが現れる(10)．さらに圧縮応力が分に明らかではない．

加えられると，この分岐経路上において第二分岐座屈が生じ，しかしながら，Liu と Bertoldi の研究(15)では，著者らの知高次のリンクルモードが発生することによって，ヘリンボンる限り唯一，分岐座屈の観点からリッジ形成を解析している．

パターンやラビリンスパターンに代表される実験においてこの論文では，Bloch 波を用いた解析を行っており，膜と基観察される複雑なパターンへの変態が起こる (10),(11)．したが盤のヤング率比が非常に大きく，プレストレッチが大きい場って，多様なパターンの発生条件や機構を解明するとともに合には，第一分岐として正弦波形のリンクルが発生した後，制御の方法を考えることが重要となる（多様なパターンの形

第二分岐としてリッジの発生に至る高次のリンクルモード態については文献(10)を参照）．

が生じることを示している．また，第二分岐の波長はリンク

このような状況下において，リッジパターンが注目されてルより長波長であり，リッジの発生には優先的な周期間隔がいる(8),(9),(12)~(14)．表面に形成される凹凸の深さが，通常のリンあることを示している．すなわち，リッジパターンはリンククルと比べて大きいのが特徴であり，パターンの波長に対しルの凸部が特定の波数間隔でリッジ化することによって周て高アスペクト比を有すると説明され，この特長は工学応用期的に生じる（Fig.1(c),(d)）．しかし，特定のプレストレッチを考えるときに魅力的となる(8),(9)．リッジパターンは，大きでの解析であり，リッジパターン発生における第二分岐のプ

くプレストレッチされた軟質基盤上に硬質膜を成膜した後，レストレッチ依存性や高次のリンクルモードの特徴は議論

2022 年 10 月 25 日受付，2022 年 11 月 16 日受理されていない．

− 117 −

ため，座屈固有値解析では BUCKLE オプション(19)を用いる．
以下に解析手法の概略を述べる．座屈固有値解析では，分岐点と分岐モードを評価するため，次の有限要素方程式が解析される．
{𝐊 0 (𝐏) + 𝜅𝑖 𝐊𝚫 (𝐏, 𝐐)}𝛟𝑖 = 𝟎(1)ここで，𝐊 0 (𝐏)は基準状態での剛性マトリックスであり，𝐏は無負荷状態から基準状態までの間に与えられた予負荷によって生じる節点力ベクトルである．一方，𝐊𝚫 (𝐏, 𝐐)は𝐐と関係づけられる摂動負荷を用いた線形摂動解析によって求められる剛性マトリックスであり，すなわち，𝐐は基準状態において加えられる摂動負荷によって生じる節点力ベクトルである．したがって，𝐊 0 (𝐏)は予負荷によって生じる幾何学的及び材料非線形性の効果を含んでいる．また，𝜅𝑖 と𝛟𝑖 (𝑖 =1, 2, 3, …)は固有値と固有ベクトル（分岐モード）である．したがって，分岐点での節点力ベクトルは𝐏 + 𝜅𝑖 𝐐と求められる．なお，予負荷と摂動負荷は同じである必要はない．
非線形性が強い問題を解析するときには線形摂動解析による外挿区間が長くなると（すなわち，固有値が大きくなる
Fig. 1 Schematic illustrations of wrinkle-to-ridge patterntransformation on a film bonded to a prestretched softsubstrate. (a) Stress-free state of the film and soft substrate(𝐿f > 𝐿s ), (b) Stress-free film bonded to the soft substrate prestretched by 𝜆0 = 𝐿f ⁄𝐿s ( 𝜀 is defined as the nominal
compressive strain obtained by releasing 𝜆0 ), (c) Wrinkle
evolution from critical strain, 𝜀1 (> 0) , for the firstbifurcation, and (d) Ridge evolution from 𝜀2 (> 𝜀1 ) for thesecond bifurcation on the bifurcated path.と），多くの場合において正しい分岐モードを評価することができず，分岐点の定量的な評価にも悪い影響を及ぼす．したがって，逐次的に𝐏を増加させながら座屈固有値解析を実行し，最小固有値𝜅1 が0に到達するとき（線形摂動解析の外挿区間がないものとみなせるとき）の𝐏c を求めることによって幾何学的及び材料非線形性を考慮した分岐点の同定が可能となる．このとき式(1)は単純に𝐊 0 (𝐏c )𝛟𝑖 = 𝟎 ⟺ det 𝐊 0 (𝐏c ) = 0

そこで本研究では，リンクルからリッジへのパターン変態のプレストレッチ依存性と分岐座屈特性を解析する．2 章では，逐次的座屈固有値解析とその結果として得られる分岐モードを初期不整として用いた座屈後解析の方法について説明する．3 章では，有限要素モデルについて述べる．4 章では解析結果を示す．リッジの発生と関連付けられる第二分岐点は，その臨界ひずみ及び周期間隔（リンクルの波数）にプレストレッチ依存性があるだけでなく，第二分岐点は二重分岐となり波動性(16),(17)の特徴を有することを示す．したがって，リンクルパターンの発達過程にて生じるリッジは並進対称性の観点から合理的に解釈できることを述べる．最後に 5章では結言を述べる．

(2)と書くことができ，外挿区間を含まず分岐点で成立する条件となる(16),(20),(21)．結果として，𝐐は必ずしも𝐏と同じである必
要はなく，𝐏が追加された状態変数によって規定される負荷パラメータの場合には，𝐏を疑似的に再現する負荷パラメー
タを用いてもよい．本研究では，プレストレッチ状態からの解放による圧縮ひずみ𝜀 (Fig. 1)が負荷パラメータとなるが，摂動負荷には線膨張係数𝛼と温度増分Δ𝑇によって規定される熱ひずみ𝛼Δ𝑇を用いる．したがって，分岐点での節点力ベクトルは𝐏(𝜀) + Δ𝑇𝑖 𝐐(𝜀, 𝛼)と書ける．ここで，Δ𝑇𝑖 は固有値に対応する温度増分である．逐次的に圧縮ひずみ𝜀を増加させて（つまり，予負荷を大きくして），Δ𝑇𝑖 = 0の状態を解析するため，最終的には𝐏c を評価することができ，すなわち，分岐点での臨界ひずみ𝜀1 （第一分岐）と𝜀2 （分岐経路上の第二2. 解析方法
この章では，逐次的な座屈固有値解析と結果として得られる分岐モードを初期不整として用いた座屈後解析の方法について述べる．この方法(10),(11),(18)は著者らのグループにおいて提案されており，一般的な有限要素解析ソフトを利用する分岐）を求められる．
座屈後解析は得られた最小固有値に対応する優先的な分岐モードを初期不整として導入することによって行われる．
分岐点の多重性を考慮すると，初期不整は場合の座屈固有値解析において，独自に設定された状態変数𝑘Δ𝛟 = 𝑑 ∑ 𝑟𝑖 𝛟𝑖を負荷パラメータにできない問題や非線形性が強く未変形状態において正確な分岐点の同定ができない問題を回避することができる．さらに分岐経路上の分岐点を探索するためにも有用である．本研究では ABAQUS を用いて解析を行う(3)

𝑖=1と表される（𝑘個の分岐モードが固有値0を想定）．ここで，𝛟𝑖 は最大成分を1として正規化されており，𝑑は導入する不整− 118 −量の大きさを表し，𝑟𝑖 は多重分岐点での𝛟𝑖 （𝑖 = 1,2, … , 𝑘）の構成を決める係数となる．本研究では，第一分岐点からの分岐経路上にて第二分岐点とそこからの分岐経路に着目する．
(1)

(2)

第一・第二分岐での分岐モードを𝛟𝑖 と𝛟𝑖 として区別すると，第二分岐経路を解析するための初期不整は，
𝑘 (1)

𝑘 (2)
(1) (1)(2) (2)Δ𝛟 = 𝑑 (∑ 𝑟𝑖 𝛟𝑖 + ∑ 𝑟𝑖 𝛟𝑖 )𝑖=1𝑖=1(4)となる．本研究では，分岐経路に誘導可能な小さい値として，試験解析によって𝑑/ℎf = 0.02の値を用いることとした．
3. 有限要素モデル
Fig. 2 に有限要素モデルを示す．図示されている寸法は，圧縮ひずみ𝜀 = 0での変形状態（Fig. 1(b)），すなわち，基盤にFig. 2 Finite element model consisting of 𝑀 cells of theunitcell including the dominant wavelength 𝑙w for wrinkling(𝜀 = 0).

プレストレッチを加え，基盤上に無応力状態の膜が接着されているときの寸法に対応しており，実験では基盤厚さℎs が膜厚ℎf に比べて十分大きいことから，本研究ではℎs ⁄ℎf = 150の値を用いる．さらに，膜と基盤のヤング率𝐸f と𝐸s の比は文献(22)を参考にして𝐸f ⁄𝐸s = 836とする．したがって，寸法長さはℎf ，ヤング率は𝐸f で無次元化する．軟質基盤には neoHookean 超弾性体を仮定して非圧縮とする．一方，膜には線形弾性体を仮定して，近似的に非圧縮（ポアソン比は0.4999999（~0.5））とする．このとき，リンクルの発生に対する理論解(22)が報告されており，プレストレッチ解放によって負荷される圧縮ひずみ𝜀の第一分岐点での臨界ひずみ𝜀1 と発生するリンクルの優先的な波長𝑙w は，盤にはプレストレッチ𝜆0 が作用し，膜には無応力という状態は達成される(22)．圧縮ひずみ𝜀を増加させ，リンクル（第一分岐）及びリッジ（第二分岐）の発生する臨界ひずみ，𝜀1 と𝜀2 をそれぞれ解析する．
本研究では，プレストレッチ𝜆0 と波数𝑀をパラメータとして，リンクルからリッジへのパターン変態のプレストレッチ依存性と分岐座屈特性を調べる．
4. 解析結果

2⁄31 3𝐸s (1 + 𝜆20 )}𝜀1 = {42𝐸fン(19)を用いて与え，Fig. 2 に示される寸法状態において，基Fig. 3 は，第一分岐点の臨界ひずみ𝜀1 のプレストレッチ依(5)存性を示している．マーカーは有限要素解析による計算点，破線は式(5)に基づく理論値である．理論と有限要素解析の

1⁄3𝑙w2𝐸f}= 2𝜋 {ℎf3𝐸s (1 + 𝜆20 )結果はよく一致しており，2 章にて述べた解析手法は正しく(6)機能していることがわかる．なお，第一分岐点に波数𝑀は影響せず，リンクル以外の長波長座屈の存在は確認されなかっと表され，プレストレッチ𝜆0 の影響を含む．第二分岐によった．て生じるリッジは，リンクルの波長より長波長であることがFig.4 は，𝜆0 = 1.75における第一分岐モード𝛟(1) と第一分知られている．したがって，有限要素モデルの長さ𝐿f には式岐経路上でのリンクルパターンの発達を示している．周期境(6)に解析条件を代入して得られる優先的なリンクル波長の界条件が与えられているため，リンクルの分岐モードは二重自然数倍を考える（Fig. 2）．本研究ではこの係数を波数𝑀と定義しており，優先的な波数を探索するためのパラメータとして考える．境界条件として，基盤の底面には𝑥2 方向の拘束，基盤と膜の界面には完全接着の条件を与える．一方，側面に分岐（𝑘 (1) = 2）として解析され，二つの位相の異なるリンクルモードの重ね合わせによって任意の位相でリンクルモードは発生することができる(10),(11)．位相が異なるだけで等価であるため，本研究では解析された二つの分岐モードの一方は周期境界条件を与え，𝑥1 方向の平均的な変位を圧縮ひずみを用いた．このような並進対称性に起因する二重分岐が発生𝜀と対応させる．

する場合に波動性を有すると説明することがある (16),(17)．こ

有限要素解析は ABAQUS で行う．2 章で述べたように座屈固有値解析と座屈後解析を行う．平面ひずみ条件下での二次元解析を考え，要素分割には四節点ハイブリッド低減積分
要素 CPE4RH を用いる．リンクルの波形を再現するため，𝑥1方向にはリンクル1波長あたり20要素で等間隔に要素分割する．𝑥2 方向には膜は等間隔に20分割，基盤は69分割されており，バイアスをつけて界面から底面に向かうにつれて要素は大きくなる．プレストレッチは MODEL CHANGE オプショの図が示すように，第一分岐点で生じるリンクルの分岐モードは，分岐経路上において圧縮ひずみが増大するにつれて，リンクル変形パターンとしてよりはっきりと確認できるようになる．この解析では，𝑀 = 5 の結果を示しているが，異なる値を用いてもリンクルの波数が異なるだけで等価な応答が得られる．なお，分岐モードのコンターには𝑥2 成分の値，変形パターンのコンターには𝑥1 方向の公称ひずみ𝜀11（基盤に− 119 −Fig. 3 Comparison of 𝜀1 (the first bifurcation) with theory
using Eq. (5).

Fig. 5 Dependence of 𝜀2 (the second bifurcation) on 𝜆0
and the dominant wavenumber indicated as 𝑀c .

Fig. 4Bifurcation mode at the first bifurcation anddeformation pattern on the first bifurcated path for 𝜆0 = 1.75.
(a) Wrinkle bifurcation mode 𝛟(1) and (b) Evolution ofwrinkle deformation pattern.

Fig. 6 Bifurcation modes at the second bifurcation anddeformation pattern on the second bifurcated path for 𝜆0 =(2)(2)
1.75. (a) the second bifurcation modes 𝛟1 and 𝛟2 andevolution of ridge deformation patterns analyzed using the(2)(2)
imperfections by (b) 𝛟(1) + 𝛟1 and (c) 𝛟(1) + 𝛟2 .

はプレストレッチによって引張りひずみが作用）をそれぞれ用いた．
第一分岐経路上でリンクル変形パターンが発達する過程において第二分岐点を同定したところ，Fig. 5 に示すように第二分岐点の臨界ひずみ𝜀2 は，プレストレッチ𝜆0 に強く依存することがわかった．図中の𝑀c は，𝜀2 が最小値をとる𝑀であり，すなわちリッジが発生するときの優先的なリンクル波数である．𝜆0 が大きくなるにつれ，𝜀2 は小さくなり，𝑀c は大きくなることがわかった． 𝜆0 = 2.00 のとき𝑀c = 7となっており，この結果は文献(15)の結果と一致している．したがって，第二分岐の解析においても解析手法の妥当性は確認される．
第二分岐点は第一分岐点と同様にして二重分岐（𝑘 (2) = 2）(2)であった．Fig. 6 は，𝜆0 = 1.75 における第二分岐モード𝛟1 ，(2)(2)(2)
𝛟2 と初期不整として𝛟(1) + 𝛟1 及び𝛟(1) + 𝛟2 をそれぞれ導入したときのリッジ変形パターンの発達を示している．この図が示すように，第二分岐モードは高次のリンクルモードとみなされ，必ずしも明確に変形パターンと対応関係にないことがわかる（cf. Fig. 4）．しかしながら，どちらの分岐モードも第二分岐経路上では𝑥2 方向に大きくモードが現れる場
所においてリンクルがリッジ化しており，リッジ変形パターンの発達を示すことがわかった．𝜆0 = 2.00, 2.25 の場合の分岐モードも同様の傾向を示した（付録参照）．したがって，(2)

𝜆0 = 1.75 の場合に着目して，以後，二重分岐を構成する𝛟1(2)と𝛟2 の間の関係について考察する．

詳細な分岐座屈特性を検討するため，はじめに，第一分岐(2)モード𝛟(1) と第二分岐モードの一つである𝛟1 の膜表面成分を面内（𝑥1 ）成分及び面外（𝑥2 ）成分に分解して考える．Fig.
7 は，𝜆0 = 1.75の場合の二つのモードの関係を示している．
(2)

グレーの実線が𝛟(1) の成分であり，赤色の実線が𝛟1 を表し− 120 −

Fig. 7 Comparison of the first and second bifurcation modes,(2)
𝛟(1) and 𝛟1 , at film surface for 𝜆0 = 1.75. (a) In-plane (𝑥1 )component, (b) Out-of-plane ( 𝑥2 ) component, and (c) thecorresponding ridge deformation pattern.

Fig. 8 The second bifurcation mode consisting of −𝛟1(2) − 𝛟(2)2at film surface for 𝜆0 = 1.75. (a) In-plane (𝑥1 ) component, (b)Out-of-plane (𝑥2 ) component, and (c) the corresponding ridge
deformation pattern.ている．横軸は圧縮ひずみ𝜀と関係づけられる全体長さ𝐿（Fig.

二つの分岐モードの構成比（式(4)）を変更することは，位相(2)1）で正規化されている．この図から，𝛟1 は，一つのリンクを変化させ，リッジ化するリンクルの位置の自由度と対応すルをリッジに変態させるために作用していることがわかる．

る．

(2)
面外成分に着目すると，リンクルの頂点と𝛟1 の最高点が一(2)致しており整合する．さらに，面内成分についても，𝛟1 が5. 結正から負へと変化する点に対応してリッジが発生している．
(2)

言本研究では，リンクルからリッジへのパターン変態のプレ

これは，𝛟1 がリッジ発生点にその周辺の変形を寄せ集める

ストレッチ依存性と分岐座屈特性を解析することを目的とように作用していると理解でき，面外及び面内の変形の組みして，逐次的座屈固有値解析および座屈後解析を行った．プ

合わせによってリッジ変態は生じることがわかった．Fig. 7

レストレッチが大きくなるにつれて，第二分岐の発生する臨(2)は𝜆0 = 1.75 かつ𝛟1 に着目しているが，ほかの場合におい界ひずみは小さくなり，リッジパターンの発生間隔は大きくても同様の特徴を有することが確認できた．

なることがわかった．また，第二分岐モードも第一分岐モー

第一分岐のリンクル分岐モードが波動性を有するように，ドと同様にして波動性の特徴を有し，結果としてリッジ化す

第二分岐でリッジ変形パターンを引き起こす高次のリンクるリンクルは並進対称性の観点から合理的に解釈できる．分

ル分岐モードも二重分岐であり，並進対称性に起因する波動

岐座屈特性の理解は複雑なパターンの機構を解明し，制御を性を有していることが期待される．しかしながら，リンクル可能にするとともに，工学応用に繋がることが期待される．

分岐モードのように分岐モードが単純ではなく，これまでに議論されてこなかった．Fig. 8 は，𝜆0 = 1.75において，二つ(2)謝辞(2)の第二分岐モード𝛟1 と𝛟2 を−1: −1で構成するときの特徴と初期不整としてこの合成された第二分岐モードを導入し本研究の一部は JSPS 科研費 JP19H00739 と JP22K18284 の助成を受けて行われた．ここに記して謝意を表する．

(2)て解析されるパターン発達を示す．赤色の破線が𝛟1 ，青色(2)の 破 線 が 𝛟2 を 示 し て お り ， 黒 色 の 実 線 が 合 成 さ れ た
(2)

付(2)

録

−𝛟1 − 𝛟2 の挙動を示している．面内成分には，位相ずれFig. 9 に，𝜆0 = 2.00, 2.25 の場合の第一分岐モード𝛟(1) 及びが明らかに表れており，面外成分についても同様に合成によ

第二分岐モード𝛟1 ，𝛟2 を示す．優先的な波数𝑀c は異なるって位相は変化することが確認できた．すなわち，高次のリが，どの場合においても第二分岐モードは二重分岐であり，ンクル分岐モードについても波動性が現れる．したがって，

𝜆0 = 1.75 の場合と同様の特徴を有している.

(2)− 121 −(2)Fig. 9 The first and second bifurcation modes for (a) 𝜆0 =2.00 (𝑀c = 7) and (b) 𝜆0 = 2.25 (𝑀c = 10).

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