離散古典可積分系 Part 1
factorization dynamics とその補間黒木 玄2001 年 12 月 3 日∗

目次
1factorization dynamics の定義

22

factorization dynamics と Lax 方程式の類似

23factorization dynamics の解の構成

44factorization dynamics の補間

5Date: Mon, 3 Dec 2001 05:20:56 +0900 (JST)
From: Kuroki Gen <kuroki@math.tohoku.ac.jp>
Message-Id: <200112022020.FAA04119@sakaki.math.tohoku.ac.jp>
Subject: 離散古典可積分系 Part 1
実は風邪でダウンしつつあります.
このノートは次の論文の第 7 節に書いてある簡単な話のノートです.

Tim Hoffmann, Johannes Kellendonk, Nadja Kutz, and Nicolai Reshetikhin:Factorization dynamics and Coxeter-Toda lattices, solv-int/9906013
It is shown that the factorization relation on simple Lie groups with standard Poisson
Lie structure restricted to Coxeter symplectic leaves gives an integrable dynamicalsystem. This system can be regarded as a discretization of the Toda flow. In caseof SLn the integrals of the factorization dynamics are integrals of the relativistic
Toda system. A substantial part of the paper is devoted to the study of symplectic
leaves in simple complex Lie groups, its Borel subgroups and their doubles.
∗これはプレインテキスト版 http://www.math.tohoku.ac.jp/∼kuroki/Hyogen/Discretization-1.tex の日付け. TEX 版は 2002 年 1 月 22 日に作成された. 筆者の疑問や意見は 2001 年 12 月 3 日時点のものであり, 現在では解決や変化している場合がある.

11factorization dynamics の定義

G は Lie 群であり, G の単位元のある近傍に含まれる元の “上三角” と “下三角” への一意的な分解が定められていると仮定する. すなわち, G の単位元のある近傍に含まれる元 x に対して, その “上三角成分” x+ と “下三角成分” x− が一意に定まり,x = x−1− x+が成立していると仮定する.
注意 1.1 有限次元複素簡約 Lie 群 (GLn (C), SLn (C), etc.) の Gauss 分解のような具体例においては, x に x+ , x− を対応させる写像は rational map になる.
対応する Lie 環レベルでの分解を

X = −X− + X+と書くことにする.
例 1.2 g が有限次元複素単純 Lie 環であり, その標準的な三角分解

g = n− ⊕ h ⊕ n+が与えられており, この分解に関する n− , h, n+ への射影をそれぞれ p− , p0 , p+ と書くとき, X ∈ g の分解の例として以下のようなものを考える:

(1)
(2)

X+ = p0 (X) + p+ (X), X− = −p− (X).
X+ = 12 p0 (X) + p+ (X), X− = −p− (X) − 21 p0 (X).

量子群の極限として得られる標準的な古典 r 行列に対応する分解は (2) の方である. どちらも, 対応する分解を群のレベルで考えることができる. ただし, 後者の標準的な古典 r行列に対応する群レベルの分解を考えるときには G の Cartan 部分群の元の平方根の多価性に注意しなければいけない.

G 上の discrete flow x(t) 7→ x(t + 1) を次のように定める:¡¢
x(t + 1) = x(t)+ x(t)−1x(t) = x(t)−1−− x(t)+ .
すなわち, x(t) の “上三角” と “下三角” への分解の積の順序を逆転させたものを x(t + 1)と定める. この discrete flow を solv-int/9906013 では factorization dynamics と呼んでいる.

2

factorization dynamics と Lax 方程式の類似
Lax 方程式とは Lie 環における次の形の微分方程式のことである:
¡
¢
dL(t)
= [M (t), L(t)] = ad M (t) L(t).
dt2多くの場合において, M (t) は L(t)n の “上三角” もしくは “下三角” 成分として与えられる:£¤M (t) = L(t)n ± .
実は factorization dynamics は M (t) = L(t)± の場合の Lax 方程式の離散類似になっている. 以下そのことを説明しよう.
factorization dynamics の定義式の右辺に右から x(t)+ x(t)−1+ をかけると,−1−1x(t + 1) = x(t)+ x(t)−1− x(t)+ x(t)+ = x(t)+ x(t)x(t)+ .

同様に, 左から x(t)− x(t)−1− をかけると,−1−1x(t + 1) = x(t)− x(t)−1− x(t)+ x(t)− = x(t)− x(t)x(t)− .

よって, factorization dynamics を次のように表わすことができる:¡¢
x(t + 1) = Ad x(t)± x(t).

(∗)

M (t) = L(t)± のとき Lax 方程式は次のように書かれる:¡¢dL(t)= ad L(t)± L(t)dt(∗∗)

よって, factorization dynamics (∗) は (∗∗) の形の Lax 方程式の離散類似であることがわかる.
戸田格子は (∗∗) の形の Lax 方程式で書ける典型的な古典可積分系である. そして,factorization dynamics は戸田格子の離散類似を含んでいる.
時間発展で保存される x もしくは L の函数を保存量と呼ぶ. (∗) と (∗∗) から,

F (gxg −1 ) = F (x) もしくは F (gLg −1 ) = F (L)を満たす函数 F は factorization dynamics もしくは Lax 方程式の保存量であることがわかる. すなわち, factorization dynamics も Lax 方程式もスペクトル保存変形になっている. (次の節も参照せよ.)
戸田格子のような標準的な例においては, Lie 環 g に適切な Poisson 構造を入れて, Lax
方程式を Hamilton 方程式で表わすことができ, Hamiltonian はH(L) =1trace(L2 )2の形で与えられる. factorization dynamics のような離散系の Hamiltonian は離散的な時間発展を連続的に補間する古典力学系の Hamiltonian として定義すれば良いだろう. 補間については第 4 節を参照せよ.

33factorization dynamics の解の構成定理 3.1 定理 3.1: 次の x(t) は初期値 x(0) の factorization dynamics の解である:¡¢
x(n) = Ad [x(0)n ]± x(0).
−1
証明. x(0) = x(0)−1− x+ (0), x(1) = x+ (0)x(0)− より,
nx(0)n = (x(0)−1− x(0)+ )−1 n−1x(0)+= x(0)−1− (x(0)+ x(0)− )n−1x(0)+ .
= x(0)−1− x(1)n−1一般に, x(t)n = x(t)−1x+ (t) であるから,− x(t + 1)
n−1x(0)n = x(0)−1x(0)+− x(1)= (x(1)− x(0)− )−1 x(1)n−2 (x(1)+ x(0)+ )= ···= (x(n − 1)− · · · x(1)− x(0)− )−1 (x(n − 1)+ · · · x(1)+ x(0)+ ).
よって,[x(0)n ]± = x(n − 1)± · · · x(1)± x(0)± .
一方, 前節の (∗) より,

x(n) = Ad(x(n − 1)± )x(n − 1)
= Ad(x(n − 1)± ) Ad(x(n − 2)± )x(n − 2)= ···= Ad(x(n − 1)± ) Ad(x(n − 2)± ) · · · Ad(x(0)± )x(0).
よって,

¡¢
¡
¢
x(n) = Ad x(n − 1)± · · · x(1)± x(0)± x(0) = Ad [x(0)n ]± x(0).
上の定理は実は次の Lax 方程式に関する定理の離散類似である.
定理 3.2 M (t) = [L(t)n ]± に関する Lax 方程式dL(t)= [M (t), L(t)]dtを考える. 次の L(t) は初期値 L(0) の Lax 方程式の解である:¢¡
L(t) = Ad [exp(tL(0)n )]± L(0).

4証明. x = x(t) = exp(tL(0)n ) と書き, x = x−1− x+ の両辺を t で微分すると,

dx= L(0)n x = L(0)n x−1− x+ ,dtdx
dx− −1dx+= −x−1x− x+ + x−1.
−−dtdtdt
よって,

x− L(0)n x−1− = −dx− −1 dx+ −1x +x .
dt −dt +したがって,dx± −1
n−1 nx = [x− L(0)n x−1− ]± = [(x− L(0)x− ) ]± = [L(t) ]± = M (t).
dt ±¡¢
よって, L(t) = Ad x(t)± L(0) の両辺を t で微分すると,·¸dLdx± −1=x , L(t) = [M (t), L(t)].
dtdt ±¡¢
注意 3.3 一般に L(t) = Ad g(t) L(0) = g(t)L(0)g(t)−1 の両辺を t で微分すると,dL(t)dgdgdgdg= L(0)g −1 − gL(0)g −1 g −1 = g −1 gL(0)g −1 − gL(0)g −1 g −1dtdt
dt ·dtdt¸dg −1dgdg= g −1 L(t) − L(t) g −1 =g , L(t) .
dtdtdt
注意 3.4 定理 3.1 を定理 3.2 と同様の方法で証明ですることもできる. そのような証明を実際に書き下せば類似がさらに見易くなる.

4factorization dynamics の補間

単位元のある近傍に含まれる x ∈ G に関する G の Lie 環に値を持つ函数 F (x) で次を満たすものが存在すると仮定する:[F (x), x] = 0.
gF (x)g−1(1)−1= F (gxg ).

(2)

M (x) = F (x)± と置き, 次の Lax 方程式を考える:
dx(t)= [M (x(t)), x(t)].
dt

(∗∗∗)

前節の定理 3.2 の証明と同様にして, 次の x(t) はこの Lax 方程式の初期値 x(0) の解であることを示せる:¢¡x(t) = Ad [exp(tF (x(0)))]± x(0).
5ところが, 定理 3.1 より,¡¢
x(n) = Ad [x(0)n ]± x(0)は factorization dynamics の解である. よって, もしも x の函数 F (x) がexp(F (x)) = x(i.e. F (x) = log x)を満たしているならば, 上の x(t) は factorization dynamics の解 x(n) の補間になっている.
注意 4.1 典型的な例においては, 群 G に Poisson Lie 群の構造が入り, (∗∗∗) の形の Lax
方程式が G 上の Ad-invariant function を Hamiltonian とする Hamilton 方程式として得られる.
注意 4.2 factorization dynamics を補間する M (x) = [log x]± に関する Lax 方程式はH(x) =¡¢1trace (log x)22の形の Hamiltonian から得られる. 注意しなければいけないことは H(x) は x の多価函数であるということである. この Hamiltonian を x = eL と置いて, Lie 環上に線形化す
ると, 次の Hamiltonian が得られる:

H(L) =

1trace(L2 ).
2戸田格子の Hamiltonian はこの形になっているのであった1 .

1

追記 2002 年 1 月 22 日: この注意 4.2 の内容はいいかげんっぽい.

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