T. Magn. Soc. Jpn. (Special Issues)., 3, 43-47 (2019)<Paper>

ローラー型永久磁石式磁場源の設計
Design of mangle-type magnetic field source with permanent magnets
佐久間洋志
宇都宮大学大学院工学研究科，栃木県宇都宮市陽東 7-1-2 (〒321-8585)

H. Sakuma

Graduate School of Engineering, Utsunomiya Univ., 7-1-2 Yoto, Utsunomiya, Tochigi 321-8585, JapanThe effects of magnet size, separation, and rotation pattern on the strength and uniformity of a magnetic field andthe torque acting on magnets are discussed regarding the design of a mangle-type magnetic field source. A finiteelement simulation revealed that the maximum magnetic field increased as the diameter of the magnets increased ormagnet separation decreased. A uniform magnetic field is possible when the rotation pattern of the magnets adopts a
circular arrangement of magnetization for zero-field while a high torque acts on the magnets. The simulation results
were verified with a prototype, although the maximum field was smaller than the simulation.
Keywords: magnetic field source, permanent magnet, finite-element method, magnetic field distribution, magnetictorque1. はじめにの開発指針を示すことを目的とする．

 磁場源として最も一般的に使われている電磁石は，静磁場の発2. 磁場源の構造と計算方法

生には電力を消費しないが，ジュール熱としてエネルギーを捨て 径方向に着磁した 6 本の円柱型永久磁石を正六角形の頂点に配ている．また，超伝導電磁石はジュール熱を発生しないが，超伝導状態を保持するために多大なエネルギーを消費する．一方，永久磁石は常に周辺に磁場を発生させており，これをうまく利用すれば無電源，冷却不要の磁場源を開発できると考えられる．実際，このような磁場源は古くから提案され，一部製品化されてきた．
くさび型の永久磁石を組み合わせた Halbach シリンダー1)はその内部に強力で均一な磁場を発生させることが可能である．
Iwashita ら 2)は，軟磁性体を利用した改良型 Halbach シリンダーにおいて，4.45 T の強力な磁場を発生させることに成功している．

置したローラー型磁場源を考える．各磁石の角度を Fig. 1(a)のように設定すると，六角形の中心に右方向の最大磁場が生じる．この角度は厳密には正確ではなく，磁石の大きさや磁石間距離に依存するが，ここでは Bjørk ら 3)に従い，この角度における磁束密度を最大磁束密度 Bmax とする．様々な磁石の大きさと距離，角度において磁石周辺の磁場と磁石に働くトルクを 2 次元有限要素法(a)㻌

2 つの Halbach シリンダーを組み合わてシリンダー間の相対角度を変化させると，磁場強度を変化させることも可能である．しかしながら Halbach シリンダーは特殊なくさび型の永久磁石を必要とし，また強力な磁力に逆らって組み立てる必要があり，これらのことが製作コストを増大させる要因となっている．
本研究では，入手しやすい円柱型の永久磁石を用いたローラー型（mangle type）の磁場発生装置に着目する．ローラー型磁場発生装置は代表的には 4 または 6 本の円柱型磁石を用いる．
Fig. 1 に示すように，磁石は径方向に着磁されており，磁石を回転させることにより任意の方向・強さの磁場を発生させるとが可能である．磁(b)㻌

石を Fig. 1(a)の方向に設定すると，Halbach シリンダーの磁化配置に等しくなり，上下二つの磁束ループが装置内部に右向きの磁場を発生させる．一方，Fig. 1(b)の場合には内部の空間から磁束が排除され，磁場の強さはゼロに近くなる．
ローラー型磁場発生装置の基礎的な研究は，既にいくつかのグループによりなされている．Bjørk ら 3)は，4 本および 6 本の磁石を使用したローラー型磁場発生装置における磁石の体積と最大磁場の関係を計算している．また，Cugat ら 4)は 4 本の磁石を使用したローラー型磁場発生装置を試作している．しかしながら，磁石の大きさや配置と発生する磁場の強さ・均一性，磁石を回転させるのに必要なトルクについて系統的に調べた研究は見当たらない．
本論文では，このような情報を整理してローラー型磁場発生装置

Fig. 1 Mangle-type magnetic field source with six magnets
arranged on corners of regular hexagon. Magnetizationdirections shown in (a) and (b) are those generating highmagnetic field and zero field, respectively.㻌

Transaction of the Magnetics Society of Japan (Special Issues) Vol.3, No.1, 201943

（Field Precision, TriComp）により計算した．なお，磁石の大き(a) Pattern 1

さは比較的入手しやすいと考えられる直径 30 mm 以下とした．メッシュサイズは 1 mm とし，相対誤差の目標値は 10‒6 とした．磁石の磁束密度はネオジム磁石を想定して 1.1 T とし，減磁特性は理想的な傾き‒1 の直線と仮定した．各磁石に働くトルクは，マクスウェルの応力テンソルを用いた面積分 5),6)により求めた．

(b) Pattern 23. 計算結果
 まず，磁石の磁化方向を Fig. 1(a)の最大磁場を発生する角度に固定して，磁石の直径 D と磁石間距離 S を変化させたときの六角(c) Pattern 3形の中心における磁束密度の変化を Fig. 2 に示す．なお，S は Fig.

1(a)に示したように，磁石中心間の距離である．S を一定にするとD が大きいほど，また D を一定にすると S が小さいほど磁束密度は大きい．磁石を回転させることを考慮すると，磁石間に最低 2mm（+磁石の直径）程の間隔を空けなければならないが，その場合発生可能な磁束密度は最大で 0.65 T 程度である．

Fig. 3 Three rotation patterns of magnets.㻌
30 mm，パターン 1 において，磁石の角度に対する中心の磁束密次に，任意強度の磁場の発生方法について議論する．プラスの度，中心付近の 1 cm 角の領域における磁束密度の（大きさの）標最大からマイナスの最大まで任意強度の磁場を発生させる磁石の準偏差，各磁石に働くトルクの変化を示している．ここで横軸は左

回転パターンはゼロ磁場時の磁石角度によって特徴付けられる．

上の磁石 M1（Fig. 1(b)参照）の角度である．中心の磁束密度は単このような回転パターンは多数存在するが，ここでは代表的な3つ調かつ連続に変化していることがわかる．磁束密度の標準偏差にのパターンについて検討する．Fig. 3 のパターン 1 は Fig. 1 に示

ついては，最大磁場においては Halbach シリンダーの磁化配置にしたものと同じであり，磁場をゼロにするために左右から入ってきた磁束を上下に逃がすように磁化方向を設定する．パターン 2,0.4する．プラスの最大磁場からゼロを経てマイナスの最大磁場まで0.2連続的に変化させるには，磁石角度をこれらの間の値に設定すればよいが，パターン 3 に関しては注意が必要である．パターン 3B (T)3 では磁化方向を放射状あるいは渦状にして内部の磁場をゼロに(a)0.0-0.2は上下で非対称な磁化配置であり，縦方向の磁場成分を生じないように角度を設定する必要がある．Fig. 3(c) はこれを考慮して，横-0.40.015方向の磁場が目標の値に，縦方向の磁場がゼロに，後に述べる磁場

(b)

0.

50.3

50.3

405.620(c)M610M30M2-102025-4530

Magnet diameter D (mm)Fig. 2 Magnetic flux density at center as functions ofmagnet diameter D and magnet separation S.㻌

440.005

M5M1

M4-20Maximum flux density Bmax (T)15150.010

0.000
200.6

50.5

0.

0.5

50.4

Torque (N·m/m)

0.

3025252350.
3

Magnet separation S (mm)402

各パターンに従って中心の磁場を変化させるとき，磁場の均一性や各磁石に働くトルクも変化する．Fig. 4 は D = 20 mm，S =|B|std@1cm (T)の均一性が最高になるように磁石角度を最適化した結果である．

-15154575105135

M1 angle (°)

Fig. 4 (a) Magnetic flux density at center. (b) Standard
deviation of flux density in 1 cm2 region around center. (c)Torque acting on magnets as function of M1 angle for D = 20mm, S = 30 mm, and pattern 1.㻌

Transaction of the Magnetics Society of Japan (Special Issues) Vol.3, No.1, 2019

Magnet separation S (mm)403505
0.0

30015

0.

150.010.010.0

20.00.02

0.01

30.0

50.01

0.04

0.02350.00.02

255050.0

20.00.030.02

50.0(a) Pattern 1(b) Pattern 2(c) Pattern 3

20
22

Maximum |B|std@1cm (T)Maximum |B|std@1cm (T)

02
0.002
0.0

2

Maximum |B|std@1cm (T)Magnet separation S (mm)

1535

30.00

30

30.00

40.00

50.00

50.00

2500.00.009

40.00

6(d) Pattern 1

060.00.009

0.001

0.002(e) Pattern 2(f) Pattern 3202215
1520

1525

2

Minimum |B|std@1cm (T)Minimum |B|std@1cm (T)2025

Minimum |B|std@1cm (T)1520

Magnet diameter D (mm)Magnet diameter D (mm)2530

Magnet diameter D (mm)Fig. 5 (a)–(c) Maximum and (d)–(f) minimum standard deviation of magnetic flux density in 1 cm2 region around center for
patterns 1–3.㻌
近く均一性が高いが，磁場が弱い時には均一性は悪化する．トルク高い．最大値に注目すると，パターン 1，3 はパターン 2 に比べてについては，M1 と M6，M2 と M5，M3 と M4 はそれぞれ対称均一性が高い．一方，最小値に注目すると，パターン 3 はゼロ磁場に回転するため，トルクは逆符号で同じ大きさとなる．M1，M3，において最も均一性が高い．パターン 1 および 2 は Halbach シリ

M4，M6 に大きなトルクが働くことがわかる．

ンダーに対応する最大磁場において最も標準偏差が小さく，同じ各パターンにおける磁束密度の標準偏差の最大および最小値，値となっている．以上のことから，磁場の均一性についてはパター

Fig.
トルクの最大値を D および S の関数としてプロットしてみる．

ン 3 が最も優れていると言える．

5(a)–(c) は磁束密度の標準偏差の最大値，(d)–(f) は最小値である．

最大値・最小値とも S を一定にすると D が小さいほど，また D を一定にすると S が大きいほど標準偏差は小さく，磁場の均一性はFig. 6 はトルクの最大値である．S を一定にすると D が小さいほど，また D を一定にすると S が大きいほどトルクは小さく，回転させやすいことがわかる．トルクはパターン 1，2，3 の順に小400161 2080(c) Pattern 36040(b) Pattern 24010208020(a) Pattern 1300001060503020602514708090207050104030103520

Magnet separation S (mm)10204020
Maximum torque (N·m/m)
15152025

Magnet diameter D (mm)15

Maximum torque (N·m/m)

2025

Magnet diameter D (mm)15

Maximum torque (N·m/m)

202530Magnet diameter D (mm)Fig. 6 Maximum torque acting on magnets for patterns 1–3.㻌

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さく，装置設計の観点からは好ましいことがわかる．
4. フィージビリティ・スタディと試作
 ローラー型磁場発生装置をホール効果や磁気抵抗効果，

㻴㼍㼘㼘㻌㻳㼍㼡㼟㼟㻌㼙㼑㼠㼑㼞㻌

磁気光学効果等の測定に用いることを想定する．室温測定で試料のみ挿入する場合には直径 10 mm 程度，室温以外㻺㼑㼛㼐㼥㼙㼕㼡㼙㻌㼙㼍㼓㼚㼑㼠㻌㼁㻿㻮㻌㼏㼍㼎㼘㼑㻌の測定でクライオスタット等の装置を挿入する場合は直径30 mm 程度の空間が必要である．試料空間の直径（ボア）を d とすると，d = 2S − D の関係があり，これを図示した㻝㻜㻜㻙㼂㻌㼜㼛㼣㼑㼞㻌な領域である．図の D，S の範囲では d ≥ 10 は自動的に満㻯㼛㼚㼠㼞㼛㼘㻌㼏㼕㼞㼏㼡㼕㼠㻌㻔㼚㼛㼠㻌㼢㼕㼟㼕㼎㼘㼑㻕㻌

たされる．一般的なホール効果測定や磁気光学効果測定等㻿㼠㼑㼜㼜㼑㼞㻌㼙㼛㼠㼛㼞㻌

ものが Fig. 7 である．ハッチングの領域は S < D で不可能

において，最大磁束密度は 0.5 T 程度が一つの目安となるだろう．クライオスタットの使用を想定して，Fig. 2 の Bmax
= 0.5 T のラインと Fig. 7 の d = 30 mm のラインの交点は，およそ D = 20 mm，S = 25 mm である．このとき，磁石のFig. 8 Prototype of magnetic field source with bore d = 30mm, magnet diameter D = 25 mm, and magnet separation
S = 31 mm.

回転パターンを「1」とすると，磁束密度の標準偏差の最大ピングモータの非通電時の保持力は 0.007 N∙m 程度である

値は約 0.02 T であり，最大磁束密度 0.5 T と比較すると約ので，ギアの効率を 50%とすると，非通電でも磁石の角度4%である．一般的な電磁石と比較すると大きいが，アプリを保持できることになる．このようにして磁場を変化させケーションによっては許容されるであろう．また，最大トる時以外は通電不要とし，長時間の磁場安定性と省エネルルクは約 30 N∙m/m である．2 次元シミュレーションのたギーを実現している．

め，奥行き方向の単位長さあたりのトルクとなっているが，Fig. 9 は試作機の中心付近，2020 mm2 の領域における磁石の長さを 10 cm と仮定すると，3 N∙m となる．これは磁束密度の横方向（Fig. 1(a)の磁束密度の方向）成分の分小型のギアードモータで回転可能な値である．

布である．1 軸ホールガウスメータ（LakeShore 425）を 2

 実際の設計では，機構部品が入るスペースを確保するた軸自動ステージに取り付けて 2 次元的に走査することによめ寸法に若干の余裕を持たせる必要がある．Fig. 8 は Bmaxり測定した．磁石角度は Fig. 1 の最大磁場およびゼロ磁場= 0.5 T，d = 30 mm を目標として，D = 25 mm，S = 31を発生する角度である．最大磁場，ゼロ磁場どちらにおいmm として試作した装置の外観である．4 台のステッピンても磁束密度の標準偏差はシミュレーションよりも大きくグモータを用いて磁石を回転させる（M1 と M6，M3 と M4は対称に回転するため，ギアを用いてそれぞれ 1 つのモー(a) Sim.㻌

(b) Exp.㻌

タで回転可能である）．1 つのモータには最大約 3.4 N∙m のBcenter = 0.52 T
BSTD@1cm2 = 0.0033 T

Bcenter = 0.48 T
BSTD@1cm2 = 0.0065 T(c) Sim.㻌

(d) Exp.㻌

Bcenter = 0.00 T
BSTD@1cm2 = 0.014 T

Bcenter = –0.081 T
BSTD@1cm2 = 0.0072 T㻌

トルクが働くことになるが，減速比 1/264 の遊星ギアを介することにより回転可能である．また，42 mm 角のステッ
40Magnet separation S (mm)d (mm) =60353025201515504030205 mm
202530Magnet diameter D (mm)Fig. 7 Bore d as functions of magnet diameter D and magnet
separation S. Hatching is invalid region of S < D.㻌

46

Fig. 9 Distribution of lateral component of magnetic flux
density. (a) and (b) are comparison between simulation andexperiment for the identical angles of magnets those generate
maximum flux density (pattern 1). (c) and (d) are those forzero field.

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の位置が正確でないことなど様々な原因が考えられる．特0.6
Simulation
Experiment

0.4

散につながるため，磁束密度の標準偏差が大きいことと一致する．これらの要因については今後詳細に検討する予定

0.2

B (T)に磁石の長さが有限であることは，奥行き方向の磁場の発である．
0.0

5. まとめ-0.2

 6 本の円柱型ネオジム磁石を用いたローラー型磁場源について，-0.4-0.6磁石の大きさ・距離と最大磁束密度の関係，3 つの磁石回転パターンにおける磁場の均一性と磁石に働くトルクを有限要素法により-45-15154575105

M1 angle (°)

Fig. 10 Simulation and experimental results of magnetic
flux density at center as function of M1 angle for modified
pattern 1.

調べた．その結果，発生可能な最大磁束密度は約 0.65 T であること，磁石回転パターン 3 は磁場の均一性に優れるが，回転させるためのトルクは大きいことが明らかになった．この知見に基づき，試作機を製作し，+0.5～‒0.5 T の任意の磁束密度を発生可能であることを確認した．
 本論文では均一磁場の発生を目的としたが，ローラー型磁なった．この原因については次に示す磁束密度の大きさと場源は不均一磁場の発生にも適している．今後，加速器等にともに議論する．

用いられる多重極磁場の発生や，磁場勾配中の磁性体に働Fig. 10 は中心位置における磁束密度をシミュレーションと比較したものである．このときの磁石回転パターンは修正したパターン 1 を用いている．
第 2 節で述べたように，最大磁場を発生する磁石角度は厳密には Fig. 1(a)の角度とは異なる．D = 25 mm，S = 31 mm の場合には磁石 M1 の角度は‒65°，M2 の角度は 180°，ほかの磁石はそれらに対称な角度である．
マイナスの最大磁場を発生する角度は M1が 65°，M2 は 0°であり，中間の磁場は各磁石の角度を均一に変化させることにより実現する．したがって，ゼロ磁場時の角度は M1 が 25°，M2 が 90°となる．磁場がゼロとなるときの M1 の角度はシミュレーションでは 25°であるが，実験では約 28°であった．この差は，実験において磁石の角度にずれがあることを示している．また，磁束密度の最大値はシミュレーションでは 0.54 T であるのに対して，実験では 0.50 T であった．これも角度ずれが一因ではあるが，そのほかにも磁石自体の磁束密度が小さいこと，磁石の長さが有限であること，各磁石の位置あるいはホールセンサ

く並進力を用いた磁性体の位置制御への利用も期待される．
謝辞 試作機の設計指針について助言いただきました（有）
ハヤマ・菊地敏明氏に感謝します．
References
1) K. Halbach: IEEE Trans. Nucl. Sci., NS-26, 3882 (1979).
2) Y. Iwashita and M. Kumada: J. Magn. Soc. Jpn., 26, 118 (2002)(in Japanese).
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Magn. Mater., 322, 3664 (2010).
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30, 4602 (1994).
5) S. Humphries: Theory and applications of the Maxwell stresstensor,
https://www.fieldp.com/documents/stresstensor.pdf(2012).
6) S. Humphries: Surface integral expressions for electricmagnetic
force
andtorque,
https://www.fieldp.com/documents/forceandtorque.pdf (2012).
2018年9月28日受理，2018年12月30日採録

Transaction of the Magnetics Society of Japan (Special Issues) Vol.3, No.1, 201947