数学ラーニング・アシスタント

常微分方程式の相談室
小林 幸夫 【著】

コ

ロ

ナ
社

理学博士

コロナ社

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

は

唐突ですが，直線とは何でしょうか ?

し

が

き



このように問いかけられて，即答できない学生の方々を見受けることがあります．
「直」という漢字は「まっすぐ」という意味を表します．直線という熟語を，文字どおりに解釈すると「まっすぐな線」です．では，「まっすぐ」とは，どういう状態を指すのでしょうか ?
「まっすぐ」というのは，あいまいな表現であり，「曲がっていない」と言い換えても，「曲がる」とはどういう意味かという問いに行き当たります．
微分方程式の教材なのに，どうしてこのような問いから始まるのかと思ったかもしれません．この例で伝えたい内容は，主に三つあります．

(i) 数学という学問では，語学と同じように，数学に特有のことばづかい (数学語) が必要です．数学
地方の方言ではなく，数学の世界では数学語を標準語と考えなければいけません．日常生活とちがい，あいまいな表現を使うと，まちがった結論，矛盾した結果に到達する場合があります．数学の表現に慣れないと，難解に感じます．しかし，じっくり読み取ると，あいまいさのない見事な表現であることが実感で

ナ社

きるはずです．
「二つの線分のなす角が 179.9◦ である」といえば，二つの線分が大体重なっていても，完全に重なっているわけではないという意味がはっきりします．

(ii) 数学の出発点は，用語の定義です．数学の演習問題が解けるのに，用語の定義を正確にいえないという取り組み方は，明らかに本末転倒です．解き方を覚えているから正解に達するのでしょうが，問題の意味を正しく理解しているとはいえません．大学の数学では，定義を軽視しないで，定義から出発して地道に理解を深める姿勢が大事です．

(iii) 定義・定理を，単語・文のまま頭に刷り込むのではなく，頭の中で具体的なイメージを思い描く

ロ

トレーニングが重要です．ただし，数学のすべての概念に対して，具体的なイメージを描こうとすると，まちがったこじつけに陥るおそれがあります．しかし，中学・高校・大学初年次の水準の数学では，計算コの仕方は知っているのに，何を計算しているのか，なぜこのように計算するのかがわかっていないということでは困ります．ことばだけに留まってイメージを描けない状態では，ほんとうにわかっているとはいえません．教育心理学では，このような状態を「バーバリズム (唯言語主義)」といいます．カレーとケーキとのどちらも食べた経験のない人が「カレーは辛い」「ケーキは甘い」という文を暗記しているのと同じです．
この 3 番目の内容こそ，微分方程式の導入部です．はじめの「直線とは何か」という問題に戻って，「まっすぐ」「曲がっている」の意味を考えてみましょう．
「直線，放物線，円を描け」という問題が出たら，正しく描くことができるでしょう．それにもかかわらず，「直線，放物線，円とは何か」という問題には即答できないとすると，「わかっていない」のに「できた」ということにならないでしょうか ? 学校教育
では，「わかる」だけでなく「できる」ようにならないといけないという注意があります．ここで取り上げている問題の場合は，まったく逆の実態です．ことばが頭に入って，決まった方法のとおりに「できた」だけで，「わかった」つもりになってはいけません．直線，放物線，円を描く場面を思い出してみます．ふつうは意識しませんが，曲線の場合，鉛筆の芯を進める方向を少しずつ変えながら描いています．
数学のことばでいうと，曲線は「位置ごとに接線の方向の異なる図形」です．芯を進める方向が接線の傾きです．直線を描く場合は，傾きを変えないで芯を進めます．高校数学で関数のグラフをつくったときも，同じ発想だったことに気づきますか ? 接線の傾きを式で表し，傾きの正負で関数値の増減を調べたのは，この発想を正確に活かすためです．円を描くとき，このような計算を省いても，頭の中で接線の傾きの見当をつけながら芯を進めているはずです．

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ii

は

し

が

き

数学の世界は，日常とは別の世界というわけではありません．生活の中で，メモ用紙に /, レ，? のよ
うな線を書くことがあります．このようなとき，数学の理屈を意識しながら芯を進めているわけではありません．傾きの程度を考えて，これらの線を書く人はいないでしょう．しかし，数学では，曲線の意味を定義し，定義のとおり正確に曲線を描く方法を発展させました．微分方程式を解くときのイメージとして，接線の傾きを手がかりにして曲線を描く作業を思い浮かべてみましょう．各点で接線の傾きを表す数学語が微分であり，芯の進んだ軌跡を表す数学語が積分です．簡単にいうと，微分方程式の世界は，線の引き方に正確な理屈を与えるという発想から出発します．驚くことに，この発想は「年代によって人口がどのように推移するか」「投げたボールの位置は時間とともにどのように変化するか」という問題に応用できます．本書を通じて，このような問題をくわしく探究していきます．
たいいき

本書のテーマ局所的振舞から 大域 的振舞を探る
局所









振舞





局所的振舞とは · · · 各点の接線の傾きによって，各点の近く でグラフが 右上がりか右下がりかがわかる⇓ つなぎ合わせ大域的振舞とは · · ·グラフ全体 が どんな形か を知る





大域

「振舞」
：変化するようす





ナ
社





振舞

式は数学の文法で書き表した文だから，局所的振舞を式に翻訳して微分方程式を解き，解を表す
式を読解して大域的振舞を知る．

ロ

感謝のことば

著者自身が LATEX で作成した原稿，手書きの拙い図・イラストは，見にくいと感じる方もいらっしゃコると思いますが，趣旨を理解してくださると幸いです．
本書を出版していただく際に，LATEX の作業に膨大な時間がかかったため，予定よりも大幅に遅れましたが，コロナ社の皆様が励ましてくださり，大変お世話になりました．厚く御礼申し上げます．

2018 年 11 月

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



目

次



ラーニング・アシスタント · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · v
数 学 の 書 式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ix
第0部

積分・微分への案内

第 0 講 プロローグ — 微分方程式とは何か · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

0.1 なぜ接線を考えるのか 2
0.2 接 線 の 表 し 方 3
0.3 曲線から接線の傾きが決まる規則 — 導関数 100.4 接線の傾きから曲線を探る方法 — 積分 15
0.5 微分方程式の名称と階数・次数 24
計 算 練 習 25

ナ社

探 究 演 習 29

第 I 部 1 階常微分方程式の求積法
第 1 講 変数分離型 — 接線の傾きのタイプ I · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 33

1.1 微分方程式の基本型 — 変数分離型 34
計 算 練 習 46
探 究 演 習 51

ロ

1.2 変数分離型の常微分方程式の解法 42

コ

第 2 講 同次型 — 接線の傾きのタイプⅡ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 60

2.1 初期条件による解曲線のちがい 60
2.2 同次型 — 変数分離型に帰着する型 63
計 算 練 習 70
探 究 演 習 72
第 3 講 線型 1 階微分方程式 — 接線の傾きのタイプⅢ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 80

3.1 線型常微分方程式 — 斉次方程式と非斉次方程式 80
3.2 定数変化法の発想 84
計 算 練 習 90
探 究 演 習 95
第 4 講 完全微分型 — 接平面の傾き · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 101

4.1 接平面の表し方 — 接線の表し方の拡張 101
4.2 曲線を求める問題と曲面を求める問題 112
4.3 完全微分方程式 — 接平面の傾きから曲面を探る方法 116
計 算 練 習 122

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iv

目

次

探 究 演 習 131
第Ⅱ部 高階常微分方程式の求積法
第 5 講 連立常微分方程式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 138

5.1 連立常微分方程式と高階微分方程式との関係 138
5.2 高階斉次線型常微分方程式 142
5.3 高階非斉次線型常微分方程式 172
計 算 練 習 194
探 究 演 習 215
第Ⅲ部 常微分方程式論への入り口
第 6 講 エピローグ — 常微分方程式の解の振舞 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 231

6.1 1 階高次常微分方程式 2316.2 解の存在と一意性 237
6.3 ベキ級数による解の展開 245
計 算 練 習 280
探 究 演 習 286

ナ社

6.4 解の安定性 — ベクトル微分方程式 259

付録 初期値問題を微分演算子で解く方法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 293

A.1 微分演算子と逆演算子 293

引 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 297

コ

索

ロ

A.2 不連続な関数を微分する方法 294

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ラーニング・アシスタント



昨今，ラーニング・アシスタント制度を導入している大学が増えています．ラーニング・アシスタントとは，講義担当者の授業運営を補助したり，受講者の学習を支援したりする学生スタッフです．しかし，
学生スタッフの方々が対応できる時間帯には限度があります．本書は，微分方程式のラーニング・アシス
タントとして，いつでも訪問できる相談室です．

本書の特色
1. 小学算数，中学数学，高校数学からなめらかにつながるように交通整理する
学問は，過去にまとめあげた知識の蓄積の上に成り立っています．個人の幼児期から青年期までの成長過程は，人類が数学を発展させてきた歴史の圧縮版とみなせます．試行錯誤も含め，数学が発展した過程を追体験するという取り組みも大事です．太古の昔，人類は，知識の蓄積が乏しく，時代とともに誤概念を修正しながら，正しい体系を築いてきました．個人も，誕生の時点では知識がなく，成長に伴って，計算を正しく実行したり，図形を錯覚しないで判断したりするようになりまナ社

す．本書では，小学算数以来なじんできた「四則演算」「直線・曲線・長さ・面積」を出発点として，積分・微分まで概念を拡張する必然性を実感します．たとえば，関数のテイラー展開の予備知識を仮定しないで，中学・高校数学の「多項式の展開」「因数分解」「2 次方程式の重解」の根本を見直して，微分の概念に進めます．

参考 林周二：『研究者という職業』(東京図書，2004)

ロ

今日一般に科学と総称しているものは，過去から今日までの科学者と称される人びとの積年の思考の積み重ねにより，長い歳月をかけ，累積的に組み上げられてきた各種の客観知の巨大な体系である．

コ

2. 背景，着眼点，解法，モデルを系統的に理解する
どんな問題でも，どうしてその問題を考えるのかという由来があります．問題の背後にある事情がわかると，解決の糸口を見つけやすくなります．問題の解決のためには「どんな微分方程式を立てるのか」「その微分方程式をどのようにして解くのか」を理解しなければなりません．問題のモデル (数学記号・数式で書き表したシステムを数理モデルという) が自然科学 (理学・工学・医学など)・社会科
学 (経済学・経営学・地理学など) の現実の世界に見つかるかどうかを探るという視点も重要です．モ
デルは，問題の背景と密接に結びついています．背景，着眼点，解法，モデルのように展開すると，序論，方法，結果，考察の順に進む論文の書き方とも合います．

3. 計算練習，概念に関する問題のほかに，線型代数との結びつきに着目して理解を深める
小学校で九九を暗誦した頃を思い出してみましょう．理屈を知るまえに，九九を覚えていると，算数の応用問題に進みやすくなります．高学年に進んで学力が高くなるにつれて，九九の意味もわかったはずです．大学数学でも，計算の練習は基本です．計算力が向上すると，概念の意味がわかってくる場合があります．
「はしがき」で注意したとおり，大学の数学では，計算だけでなく，概念の意味も重要です．各章末で，「計算練習」から「探究演習」に進みます．問題によっては，代数のように見えても，幾何の姿が潜んでいます．幾何のように見えても，代数と関連の深い場合もあります．1
問を深く掘り下げると，多くの問題を解いたときよりも，数学の見方が広がります．Descartes (デ

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




数 学 の 書 式

1. ワープロでレポート · 論文などを書くときの文字の使い方
イタリック体 (斜体) とローマン体 (立体) との区別

• イタリック体 (斜体)① 数を表すアルファベット
例

3x + 4y = −1

y=e

A：area (面積)π：円周率は数だから

x

斜体で表す．

② 量を表すアルファベット
例

r：radius (半径)A = πr2

微分記号 d• 数学では斜体で表す．
• 物理では立体で表す場合もある．

• ローマン体 (立体)例

log x, sin θ, cos θ, tan θナ社① 特別な記号logx, sinθ, cosθ, tanθ と書かない．

tanθ と書くと，t × a × n × θ の意味になる．
例

単位量を表す記号

l = 4 km, m = 2 g, t = 9 min

量を表す記号
l ：length (長さ)m：mass (質量)t ：time (時間)単位量を表す記号
min：minute (分)ロ

長さ l, 質量 m, 時間 t は斜体で書くが，km, g, min は立体で書く．
② ローマ数字

コi, ii, iii, iv, v, . . ., I, II, III, IV, V, . . .

 (x, y) の括弧は立体で書く．(x, y) と書かない．

ボールド体 (太文字) とイタリック体 (斜体) との区別

• ボールド体 (太文字)

数の組 (数ベクトルという) を表すとき



例

a=

5



−2

a = (5, −2)

通常，整数は i, j, k,l, m, n (番号を表す
添字は整数) で表す．

• イタリック体 (斜体)
ふつうの数 (スカラーという) を表すとき
例

c = 7 の左辺 c(x, y) の成分 x, y

アルファベットの選び方① 未知数，変数：アルファベットの終わりのほうの文字

s, t, u, v, w, x, y, z例

方程式：4x = 5 (x は未知数)ベクトルとスカラーとを区別するために，字体を使い分ける．

関数値：y = 6x + 5 (x, y は変数)

プログラミング言語
では，暗黙の型宣言によって，変数の型の規則が決まっている．
• 変数名の頭文字
が i, j, k, l, m, nのどれか：整数型
変数• 上記の文字以外(頭文字が a − h,o − z)：実数型

main

第0部
第0講

積分・微分への案内

プロローグ — 微分方程式とは何か

第 0 講の問題点①

高校数学と大学数学との間のギャップを埋めること．

計算して解を求めるだけでなく，概念の意味を探究する姿勢が肝要である．
② 「微分」「微分係数」「微分する」という用語のちがいを理解すること．
高校数学の範囲でも，これらの表現を使うが，dx, dy を座標として扱わない．
③ 「積分」を足し算の拡張として理解すること．
④ 「微分方程式を解く」とは「局所的振舞から大域的振舞を見つける」という意味を理解すること．
【キーワード】 積分，微分，微分係数，関数，導関数，接線1 個 100 円の缶コーヒーを扱っている自動販売機がある．100 円を入れると 1個出る．200 円を入れると 2 個出る．金額を入力, 商品を出力という．機械の内

ナ社

部のしくみを知らなくても，ボタンを押すと金額に応じた個数の商品が出る．
「機械は金額に商品を対応させるはたらきをする」という．入力と出力との対応の規則を「関数」とよぶ．この自動販売機の規則は「入れた金額を単価で割ると個数が求まる」といい表せる．機械は，規則どおりの操作を実行し，正しい個数の缶コーヒーを出す．

個数のようにトビトビ (離散) の例だけでなく，時間のようにトビトビでない (連ロ続) 例もある．時計の長針は，15 min で 90◦ 回転し，30 min では 180◦ 回転する．時間が入力で，回転角が出力である．入力と出力との対応の規則は「時間に1 min 当りの角度を掛けると回転角が求まる」といい表せる．時計のしくみを知コ

らなくても，「入力を 2 倍，3 倍，. . . にすると，出力も 2 倍，3 倍，. . . になる」という規則をいえる．

時計の例で，対応の規則は「正比例関数」で表せる．よこ軸に時間，たて軸に回転角を選ぶと，時間と回転角との対応は，原点を通る直線のグラフで表せる．確
認しなくても，ある時刻から何分経つと何度だけ回るかがわかる．入力と出力との対応の規則がわかると「入力の値がいくらのとき出力の値がいくらか」を予測

用語を理解せよ
関数は「整数」「実数」などとちがい，数の分類を指す用語ではない (0.3 節).

 単価とは 1 個当りの価格．ここでは，釣銭を考えない．

書式に注意せよ字体
min：minute 分
単位はローマン体(立体) で表す．p.1.
入力は独立変数の値, 出力は従属変数の値である．
時間が勝手に (独立に) 経過すると，時計のしくみにした
がって (従属して) 角
度が変わる．

することができる．
「グラフは原点を通る直線で表せる」という正比例関数の特徴
が予測の鍵を握っている．第 0 講では，曲線のグラフに発展させて「曲線上の各点で接線は正比例関数のグラフとみなせる」という発想を理解する．
相談室

P 数学の書式を振り返ったところで，微分方程式の本題に進みましょう．これからの話に必要な基礎事項は，いうまでもなく積分・微分です．

S 高校数学の教科書を復習しようと思います．
「微分係数」と「導関数」とは，意
味がどうちがうのかはっきりわかりませんでした．でも，x2 を x で微分すると 2xになるというような規則を覚えましたから，このような規則を使う計算はできる自信があります．
「原始関数」「不定積分」「定積分」という用語もあったような気がしますが，区別を聞かれても説明できません．高校のときは，用語の意味を深く考えずに，計算練習ばかりした記憶があります．

P 「はしがき」で注意したとおり，用語の定義を理解し，イメージも描けるように

Stop!
「指数の 2 が係数になり，指数が 1 だけ小さくなる」という暗記は，九九の暗誦に似ている．
肩 (指数) の荷 (2) が下り (係数になる) ても安心してはいけない．
計算に慣れるためには，
この暗記も必要である．
しかし，この章で，2 次多項式の展開を思い描
いて，2x になる理由をなっとくすることが大事である (例題 0.2).

main

2

第 0 講 プロローグ — 微分方程式とは何かしましょう．高校数学から進んで，新しい気持ちで取り組む姿勢が大事です．

S たしかに，意味を知らずに，計算だけができても仕方ありませんね．

0.1 なぜ接線を考えるのか
はじめに，厳密さに拘らないで，積分・微分の概念から始める．セロテープを取り付けたリール (丸い部分) を思い浮かべてみよう．
テープがたわまないように，テープを強く引っ張りながら，じわじわとリール
からテープを剥がす (図 0.1). テープとリールとの接点からテープの先端までが接線 (正確には線分) である．テープが剥がれるにつれて，テープとリールとの接点は少しずつ変わる．接点が変わると，テープ (接線) の方向も変わる．
巻き戻す場合接線をつなぎ合わせて曲線を求める→ 「積分する」

図 0.1

ナ
社

剥がす場合
曲線の各点で接線の傾きを求める→ 「積分する」

点ごとの接線のつなぎ合わせロ

テープがたわまないように，テープを強く引っ張りながら，じわじわとリールにテープを巻き戻す (図 0.1). 「じわじわ」という進め方が本質であり，そうでな
いとなめらかに貼れない．

コ

頭の中で，テープに右側から光を当てたり，真上から光を当てたりした場面を想像してみる．左右方向の物差で，接点の影が右向きに進む長さが測れる．上下方向の物差で，接点の影が上向きに進む長さが測れる．
① 剥がす場合：リールの周上の各点で接線の方向が異なる．
② 巻き戻す場合：テープを微小な角だけ傾けながら，微小な長さの線分をつなぎ合わせると，曲線が描ける (図 0.2)．

イメージを描け「はしがき」の解説のように，紙テープ以外の例もある．鉛筆で曲線を描いている人の近くで，芯の進むようすを観察しよう．芯の進む方向
が少しずつ変わりな
がら，曲線が仕上がってくる．芯の跡は同じ方向には進まず，つぎの瞬間わずかに方向が変わる．
小林幸夫：『現場で出会う微積分・線型代数』(現代数学社，
2011) 2.1 節．

 接線上でヨコ座標(独立変数) がわずかに変わるとタテ座標 (従属変数) も変わる．変化したあとの点を曲線上の点とみなして，この点で接線を傾ける．

 一つの方向に二つの向きがある．
左右方向
左向き
右向き
「限りなくゼロに近い」「微小」という表現もあいまいなので，解析学では ε − δ 論法を
考える．
日常語
数学語
じわじわ 限りなくゼロに近い

図 0.2 ②の意味 線分の長さがゼロではまったく進まないから，傾けてから伸ばして貼る．
「完全にゼロ」と「限りなくゼロに近い」とのちがいに注意する．

数学は記号の科学だから，「微小な長さをつなぎ合わせる操作」を表す記号を
決める．

① 剥がす操作「曲線を微小に分割して傾きを求める」→ 微分する② 巻き戻す操作「分割した長さを積み重ねる」(重箱とちがい「合計する」という意味)→ 積分するmain

3

0.2 接 線 の 表 し 方
 どこまで合計

dx は 任意の (どこでもいい) 点から測った長さ を表す (図 0.2).

何を
どこから

足し合わせる
高さ，奥行を考える場合，dy, dz も使う．

用語 合計を「積分」，任意の点から測った長さを「微分」という．

 x2
例 左右方向：x1

dx = x2 − x1 . (どこまで) − (どこから)     
終点の座標

感覚をつかめ「つなぎ合わせ」を合計と考えると，和の
記号(sum の頭文字 S のギリシア文字) が思い出せる．
はギザギザの形だから，トビトビの数の合計に使う．
10


始点の座標

意味「微小な長さの線分をつなぎ合わせると，長さ x2 − x1 の線分になる」

k = 1 + 2+

k=1

· · · + 10.
p.ix「数学の書式」

ノート：dx の意味
ある点から左右方向の長さを測る物差 (図 0.2) を dx 軸と名付ける．

• dx 軸上では dx = 0.0000006 のように小さい値の目盛，dx = 8230000024581 のように大きい値の目盛，dx = −0.0005 のような負の値の目盛がある．

(S を上下に伸ば• dx 軸上で「微小な長さ」(図 0.2) を考えたのは，接線の影の先端を測るとき，接点付近の限りなく小さい範囲でしか接線が曲線の代わりにならないからである．

• 原点から右向きを正の長さとすると，左向きの長さは負の長さである．
向きの正負も含めて表す長さを「有向距離」という．
3dx = 5 − 3 > 0 (正の長さ)．

 −5
左向きに測る場合：
−3

−→

ナ
社

5

右向きに測る場合：

3

正の向き

5

dx = (−5) − (−3) < 0 (負の長さ)． ←−した形) はなめらかな形だから，途切れなく足すときの合計に使う．
積分記号をインテグ
ラル (integrate
集積する) という．

負の向き

−5 −3

ロ

0.2 接線の表し方

整数を表すのでアルファベット k を選んだ．
「接線が曲線の代わりにならない」を「曲線を接線で代用できな
い」ともいい表せる．

曲線の形は，曲線上の点のタテ座標の増減で決まる．タテ座標の値が大きく (小さく) なると，曲線は右上がり (右下がり) になる．ある点の近くを虫めがねで拡コ

大すると (図 0.3)，その点で接線は曲線の代わりとみなせることがわかる．接線が右上がりか右下がりかによって，曲線上の点のタテ座標の増減が決まる．描きたい曲線上の各点で接線の傾きがどんな規則で決まるかがわかっていると，接線の図 0.3 拡大
たとえば，ヨコ座標
が x のとき接線の傾きが 2x で表せる曲線は放物線である．

傾きを手がかりにして曲線を描ける．中学・高校数学を振り返って，接線の表し
Stop!

方から始めよう．
休憩室 林真理子：『下流の宴』(毎日新聞社，2010)
簡単と思う部分もあるかもしれませんが，基礎を甘く見てはいけません．

「はしがき」参照．直線とは? 傾きとは? 正し
くいえるか ?

基礎がきちんと身についているからこそ，難しい問題を解くことで思考力や応用力が養われるのです．
用語を理解せよ
直線はどういう図形か ?
直線とは「傾きが一定の図形」である．
「傾き」とは何か ?

x：よこ座標y ：たて座標(x, y) は直線上の任意の点

(終点のタテ座標)−(始点のタテ座標)
よこ方向にどれだけ進むと
傾き =．
(終点のヨコ座標)−(始点のヨコ座標) （例題 0.1） たて方向にどれだけ進むか．

座標「座席」の「座」は「場所」という意味．
「道標」(みちしるべ)の「標」は「しるし」という意味．
栗田稔：『幾何学の思想と教育』(海鳴社，1987) p.24.

例題 0.1 直線の表し方
xy 平面内で原点と (x0 , y0 ) とを通る直線の傾きを求めて，直線の方程式を答えよ．
発想 「直線とは，傾きが一定の図形」ということばで表現した定義を式に翻訳する．

main

4

第 0 講 プロローグ — 微分方程式とは何か
y−0x−0  

【解説】

y0 − 0x0 − 0  

=任意の点と原点との間の傾き

特定の点と原点と
の間の傾き
(一定)

分母を払うと，

y=

5−0
y−0
=
x−0
3−0

例 原点と点 (3, 5) とを通る直線
傾き =

高さ



幅

y0
x
x0

3 cm
=3
cm

(高さ = 傾き × 幅)のように正比例関数の式 y = ax (a は比例定数) になる (図 0.4)．
図 0.4原点を通る直線

相談室

S 図 0.4 で，x 軸上の x, y 軸上の y は，座標軸の名前とどうちがうのでしょうか?
P 座標軸の名前 x, y は変数名を表し，座標軸上の x, y は座標 (数値) の代表です．
y0
混同しないために，座標を s, t と書くこともできます．t =s が x = s, y = t
x0
y0(s, t はどんな値でもいい) で成り立つので，y =x と表せます．任意の値を s, t とx0
おくことは煩わしいので，図 0.4 のように，はじめから x, y と表すことがあります．

問 0.1

ナ
社

xy 平面内で 2 点 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) を通る直線の傾きを求めて，直線の方程式を答えよ．

発想 「直線とは，傾きが一定の図形」ということばで表現した定義を式に翻訳する．
y − y1y2 − y1
9−7
y−7
=
【解説】
=
例 2 点 (2, 7), (3, 9) を通る直線
x
−
2
3
−2
x − x1x 2 − x1    

任意の点と特定の点との間の傾き

y − y1 =y2 − y1(x − x1 )x 2 − x1

(高さ = 傾き × 幅)

高さ

コ

測った座標」とみなせる．

図 0.5

特定の 2 点を通る直線

補足 2 点 (2, 7), (3, 9) のどちらを (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) としてもいいから

y−9
7−9
=
x−3
2−3

◎ 何がわかったか 点 (x1 , y1 ) を新しい原点とする座標軸 (X 軸，Y 軸) を使うと，1 次関数のグラフも正比例関数のグラフと同様に，原点を通る直線である．直線の方程式

y−♥= 傾き × (x − ♣)

 座標軸の名前 x, yと座標 (数値) x, y と 小 林 幸 夫：『 力 学ス テ ー ション 』(森 北出版，2002) pp.7−8,
pp.27−28, p.43.


y−7
=2
x−2

y − 7 = 2(x − 2)である．

y2 − y1(x − x1 )x 2 − x1y2 − y1y2 − y1
X
比例定数を a =とおく．
x 2 − x1
x 2 − x1のように正比例関数の式 Y = aX になる．この見方は，例題 0.2 で放物線上の点ごとの接線の方程式を表すとき，接点を原点とする新しい座標軸 (dx 軸，dy 軸) を選ぶという発想に結びつく．問 0.1 で，微分の世界の入口に立ったことになる (図 0.8).
Y =感覚をつかめ点 (♣, ♥) を通る
直線の分母を払った式

 注意 (x, y) は任意 (どこでもいい) の点だから，例では (2, 7) も取り得る．このとき(7 − 7)/(2 − 2) = 0/0 になる．0/0 = ♥ とおくと，♥ がどんな値であっても 0 × ♥ = 0(左辺の 0 は分母，右辺の 0 は分子) をみたす．しかし，この例では，♥ = (9 − 7)/(3 − 2) = 2

は

傾きは(終点のタテ座標)−(始点のタテ座標)> 0 のとき 正，= 0 のとき ゼロ，< 0 のとき 負．

の区別について，例題x1 ) の直線」を表すことがわかりやすい (図 0.5)．
x − x1 , y − y1 は，点 (x, y) の「点 (x1 , y1 ) からy − y1 =(終点のヨコ座標)−(始点のヨコ座標)> 0 とする．

0.1 の相談室を参照．

となり「点 (x1 , y1 ) を通り，傾きが (y2 −y1 )/(x2 −とも表せる．

だから，座標は 3 である．
3 cm = 3 × cm に
注意．

幅

ロ

分母を払うと，

傾き =特定の 2 点の間の傾き
(一定)

用語を理解せよ
座標とは, 原点からの距離 (例：3 cm) が単位の距離 (例：cm)の何倍かを表す数値
である．

を見よ．x = 2, y = 7のとき 0 = 2 × 0.

傾き =

高さ
幅

→ 「微分する」操作の基本
高さ = 傾き × 幅→ 「積分する」操作の基本 (0.3 節)

「点 (x1 , x2 ) を新しい原点とする」とは?
(3, 9) は (2, 7) を原点[(0, 0) とみなす] とす
ると (1, 2) である．

main

5

0.2 接 線 の 表 し 方
簡単な曲線の各点で接線の方程式を求める問題に進む．
例題 0.2 接線の方程式
放物線 y = x2 上の各点で接線の方程式を求めよ．
発想 接点を (c, c2 ) とすると，接線は放物線と 1 点だけを共有する．
接線の傾きを a と表すと，接線の方程式は y − c2 = a(x − c) である (問 0.1).
接点以外では，独立変数 x の値が同じでも，従属変数 y の値は放物線と接線とで異なる．
誤解を避けるために，yp (p は parabora), yt (t は tangent line) で区別してもいい．

 例題 0.2 では，微積分の知識ではなく，中学数学の知識だけで考える．接線の傾きが 2c (問 0.4) であるという結果を先取りしない．

x = c のときだけ yp = yt であることに注意する．
y = x2 と y = a(x − c) + c2 とを比べやすくするために，x2 を x − c で表す (図 0.6)．
イメージを描け

Stop!

2

図 0.6 は中学数学の素朴な発想であるが，この図を使うという発想に気づきにくい．公式の暗記，式の変形に集中して，幾何の感覚を失っていないだろうか?
式だけを書くことによって x2 を x − c で表すのは厄介である．

ナ
社

x を x − c で表す方法

図 0.6

1 辺の長さ x の正方形 図 0.7 と比べよ．

【解説】放物線：y = x222

= c + 2c(x − c) + (x − c)の点 (c, c2 ) の接線

y = c2 + a(x − c)2ロは，接点 (c, c ) を新しい原点とする座標軸 (図 0.7 の dx 軸，dy 軸) で，

y − c2 = a (x − c)    
dy2と表せる．放物線の方程式 y − c = 2c(x − c) +(x − c) の右辺第 2 項 Y = 2c(x − c)

コ




Y



2

は，接点を通る傾き 2c の直線の方程式 y − c = 2c(x − c) の右辺と同じである．放物線の方程式から(y − c2 )  
放物線上のタテ座標− 2c(x − c) = (x − c)2  
直線上のタテ座標2である (図 0.7). (x − c) = k (k は負でない実定数) とおくと，x の値によって k の値は異なる．

(x − c)2 = k をみたす
x は，
「放物線上のタテ座標」と「直線上のタテ座標」とが一致しないとき [k = 0 (x = c)] 2 個，一致するとき [k = 0 (x = c)]
1個ある．k = 0 のとき，y − c2 = 2c(x − c) は接線を表すことがわかるから a = 2c である．
 接点 (c, c2 ) で接線の方程式 y − c2 = 2c(x − c) を dy = 2cdx と表す．
Stop! X 軸，Y 軸 (問 0.1) −→ dx 軸，dy 軸 (例題 0.2)
◎何がわかったか① 接点の位置だけで放物線と接線とは一致する (接点では，放物線と接線との間で，ヨコ座標，
タテ座標は同じ). 接点では放物線の代わりに直線 (接線) の方程式で表せる (図 0.8)．

② 接点以外では，放物線と接線との間の差は (x − c)2 だから，x の値が c に近いほど (接点に近づくにつれて) 0 に近づく．

③ 接点を原点とする座標軸 (dx 軸，dy 軸) で表して接線を正比例関数のグラフとみなす．
線型近似

に選んだ．

 (x − c)2 = k
x − k = ±kx=c±k(i) k = 0 のとき
c + k, c − k の 2 個の異なる解．

dx

2

 もとのヨコ座標 x がc の位置を原点(x − c = c − c = 0)

点 (c, c2 ) で接する直線の方程式：dy = 2cdx(ii) k = 0 のとき
x = c (2 重解).
 接線を y = 2c(x −c) + c2 , y = 2cx − c2と書いてもいいが，y −c2 = 2c(x−c) の形は一目で「点 (c, c2 ) を通り，傾き 2c の直線」とわかる (例題 0.1). この形を見ると「y − c2
を dy, x − c を dx とおく」という発想に結びつく．dx 軸，dy 軸について，0.1 節参照．

dy = 2cdx は y −c2 を dy, x − c を
dx とおいた形．
dy = 2cdx は，中学数学で学んだ正比例
関数の式 y = ax のy が dy, a が 2c, xが dx になった形．

main






索

引



 索引を数学用語の和英辞典として活用することができる.
【あ行】
アステロイド安定性
1 階高次常微分方程式
位相軌道
1 次関数
一様絶対収束する
陰関数
運動学
n 次多項式
Hermite 多項式
円関数
Euler 型線型微分方程式
Euler の関係式
黄金数

asteroidstabilityﬁrst-order higher degree ordinary diﬀerential equation
phase trajectorylinear function
uniformly absolutely convergent
implicit function
kinematics
nth polynomial
Hermite polynomials
circular function
Euler diﬀerential equation
Euler’s formula
golden number

290
259
231
142, 15652
244
74, 102, 110, 122141
158
254, 258
148, 178, 183
185, 291
146
242

ロ

resolvent matrix
integral curve
solution spaceorder
reduction of orderanalysis solution
step function
uniquness of solutions
system of fundamental solutions
existence of solutions
regular singular pointsuperposition principle
functionvalue of a function
exact diﬀerential equation
basis
fundamental solution
inverse operator
inverse function
expansion of a function in a series
boundary condition
boundary value problem
determinant
limit
local coordinate
Cramer’s rule
coeﬃcient matrix
indicial equation
primitive function
damped oscillation
high-order homogeneous linear ordinary diﬀerential equation
high-order ordinary diﬀerential equation
high-order inhomogeneous linear ordinary diﬀerential equation
composite function
descending order of power
Cauchy problem
eigen function
eigen value

コ

解核マトリックス
解曲線
解空間
階 数
階数低下法
解析解
階段関数
解の一意性
解の基本系
解の存在
確定特異点
重ね合わせの原理
関 数
関数値
完全微分方程式
基 底
基本解
逆演算子
逆関数
級数展開
境界条件
境界値問題
行列式
極 限
局所座標
Cramer の方法
係数マトリックス
決定方程式
原始関数
減衰振動
高階斉次線型常微分方程式

ナ
社

【か行】

高階常微分方程式
高階非斉次線型常微分方程式
合成関数
降ベキ

Cauchy 問題
固有関数
固有値

261
20
158, 261, 262
25174, 206, 208, 211, 221
251
293
162, 234, 237, 243
171237, 243
258, 282
151
1, 8, 11, 102, 104
8, 11, 104
116
150, 157
155, 262
293
40, 52282
189
189, 214
269
8
113
163
172, 278
283, 291
23
182
142, 149
138
172
26, 104
249
84
192, 194
192, 194

main

298

索

固有値問題
固有ベクトル引

eigen value problem
eigen vector

193, 277
265, 277

exponent
degreeexponential function
natural logarithm
mapdependent variable
outputordinary diﬀerential equation
ascending order of powercommon logarithm
initial condition
solution of the initial value problem
initial value problem
normal form
entire series
power series expansion
homogeneous solution
homogeneous equation
simultanous homogeneous linear ordinary diﬀerential equations
regular point
directly proportional function
integral
integrating factor
integrating factor
constant of integration
integral equation
path of integration
tangent line
tangent plane
linear approximation
linear space
linear combination
linearly dependent
linear ordinary diﬀerential equation
linearity
linearly independent
linear diﬀerential operator
line integral
total diﬀerential
hyperbolic function
similarity transformation
phase plane

255, 283, 291
25148, 259
39
11
110
1, 11024
246, 249
39
20, 43, 44, 60, 189
232
84, 162, 189, 293
231
251
280
83, 17381
143, 150

【さ行】

ロ
コ

正則点
正比例関数
積 分
積分因子
積分因数
積分定数
積分方程式
積分路
接 線
接平面
線型近似
線型空間
線型結合
線型従属
線型常微分方程式
線型性
線型独立
線型微分演算子
線積分
全微分
双曲線関数
相似変換
相平面

ナ
社

指 数
次 数
指数関数
自然対数
写 像
従属変数
出 力
常微分方程式
昇ベキ
常用対数
初期条件
初期値解
初期値問題
正規型
整級数
整級数展開
斉次解
斉次方程式
斉次連立線型常微分方程式

258
1
3, 15
122
122
16
243
114
2, 3, 5, 8, 32, 108
101, 108
5, 7, 107
158
107, 151, 157
157, 166
80
158
157, 162, 166
172
114
107
153, 157
70
150, 161, 222, 260

【た行】
対角化
対角和
対数関数
多項式関数
多変数関数
値 域
逐次近似
通常点
底
定義域
定数関数
定数係数高階斉次線型常微分
方程式
定数変化法
定積分
Taylor の展開式

diagonalization
trace
logarithmic function
polynomial function
multivariable function
range
successive approximation
ordinary point
basedomainconstant function
constant-coeﬃcient high-order homogeneous ordinary differential equation
variation of constants
deﬁnite integral
Taylor series

263
269
39, 58
174
104
11
242
255, 258
39
11
11
150
84, 174, 284
16, 19, 24
247

main

索
デルタ関数
展 開
導関数
等高線
同次型
同次式
同次方程式
等ポテンシャル曲線
特異解
特 解
特性方程式
独立変数

299

引

delta function
expansion
derivative function
contour line
homogeneous
homogeneous polynomial
homogeneous equationequipotential line
singular solution
particular solution
characteristic equation
independent variable

293
246
10, 12
114
63
64, 83
83131
237
83, 217
151
110

input
Napier’s constant1, 11037

inhomogeneous solution
inhomogeneous linear ordinary diﬀerential equation
inhomogeneous equation
simultanous inhomogeneous linear ordinary diﬀerential
equationsdiﬀerential
diﬀerential operator
diﬀerential coeﬃcient
diﬀerential quotient
irregular singular pointcomplex numbers
complex plane
indeﬁnite function
mean-value theorem
power function
power series
Bernoulli diﬀerential equation
separablechange of variable
partial derivative
partial diﬀerential
partial diﬀerential coeﬃcientpartial diﬀerential equationenvelope

173
174
81
143
3, 12, 29
158, 293
12
12
259
145
145
24
239
57
245
95
34, 38, 42, 60, 61
232
106
107
106
24
237

Maclaurin series
unknown function
unknown
method of undetermined coeﬃcients
inﬁite series
irrational number

246
18
18
173
256
241

explicit function

74, 102

Riccati diﬀerential equation
Lipschitz condition
resolvent matrix
continued fraction
simultaneous ﬁrst-order linear ordinary diﬀerential equations
simultaneous ordinary diﬀerential equations
WronskianWronski determinant98
239, 243
261, 270, 274
241
149

【な行】
入 力
ネイピア数

コ

微 分
微分演算子
微分係数
微分商
不確定特異点
複素数
複素数平面
不定積分
平均値の定理ベキ関数
ベキ級数
Bernoulli の微分方程式
変数分離型
変数変換
偏導関数
偏微分
偏微分係数
偏微分方程式
包絡線

ロ

非斉次解
非斉次線型常微分方程式
非斉次方程式
非斉次連立線型常微分方程式

ナ
社

【は行】

【ま行】

Maclaurin の展開式
未知関数
未知数
未定係数法
無限級数
無理数
【や行】
陽関数
【ら行】

Riccati の微分方程式
Lipschitz 条件
レゾルベントマトリックス
連分数
連立 1 階線型常微分方程式
連立常微分方程式
ロンスキアン
ロンスキー行列式

138
165
165

—— 著 者 略 歴 ——東京大学大学院理学系研究科博士課程修了
理学博士
理化学研究所フロンティア研究員等を経て創価大学教授
現在に至る

ナ社

著書に『力学ステーション 時間と空間を舞台とした物体の振る舞い』（森北出版，2002），『数学ターミナル 線型代数の発想 楽屋裏から「なぜこう考えるのか」を探ってみよう』（現代数学社，2008），『数学オフィスアワー 現場で出会う 微積分・線型代数 化学・生物系の数学基礎を実践する』（現代数学社，2011）などがある。

ロ

数学ラーニング・アシスタント 常微分方程式の相談室

コ

Learning-assistant for Mathmatics,
The Consultation Room of Ordinary Diﬀerential Equations
c Yukio Kobayashi 2019

2019 年 1 月 10 日 初版第 1 刷発行

検印省略

著
者
発 行 者
印 刷 所
製 本 所

こ

ばやし

ゆき

お

小
林
幸
夫
株式会社
コ ロ ナ 社
代 表 者
牛 来 真 也
三 美 印 刷 株 式 会 社
有限会社
愛千製本所

112–0011 東京都文京区千石 4–46–10
発 行 所 株式会社 コ ロ ナ 社
CORONA PUBLISHING CO., LTD.
Tokyo Japan
振替 00140–8–14844・電話（03）3941–3131（代）
ホームページ http://www.coronasha.co.jp

ISBN 978–4–339–06116–1 C3041 Printed in Japan（柏原）＜出版者著作権管理機構 委託出版物＞
本書の無断複製は著作権法上での例外を除き禁じられています。複製される場合は，そのつど事前に，出版者著作権管理機構（電話 03-5244-5088，FAX 03-5244-5089，e-mail: info@jcopy.or.jp）の許諾を得てください。
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