Proceedings of the 20th Linear Accelerator Meeting in Japan ( September 6—8,1995, Osaka, Japan)®-2
A SIMULATION STUDY ON BEAM TRANSPORTINCLUDING EFFECTS OF W AKEFIELDS
Takuya Kamitani，Atsushi Enomoto, Satoshi Ohsawa，Yujiro Ogawa,
Hitoshi Kobayashi，Jae-Young Choi，Isamu Sato
National Laboratory for High Energy Physics (KEK)
1-1 Oho, Tsukuba，Ibaraki 305, Japan
ABSTRACT .
A beam tracking simulation code which includes the effects of the trans verse and longitudinal wake fields has
been developed.

Using this code, the transverse deflective motions of the bunch tail are studied in the case of the K E K

B-factory injector linac. The preliminary simulation result is compared with the approximate analytic solution. They arein good agreement under the conditions where the solution is applicable. Further simulation result beyond theconditions is also shown.

ウェーク場の影響を考慮したヒー厶卜ランスポー卜のシミュレーション
1 • 始めに一ムロスが大きいのが現状である。改造後の加速電場は

KEK B -Factory 計画の蓄積リングへ入射するビーム

20 M V /m となりモニター系も強化されるので、状況はに要求される仕様を達成するために、現 2.5 G e V 電子改善されると考えられるが、いずれにしてもケェーク場/ 陽電子ライナックの改造を行っている [1]。改造の眼目の一つは、陽電子ビームの強度の飛躍的向上 (2 0 倍）で要となることには変わりがない。の影響を定量的に把握して対策を検討しておぐことが重ある。 これを実現するためには陽電子生成用金属標的にこれらの影響（特にビーム不安定性) を定暈的に評価

これ までよ り高 いェ ネ ル ギー （3.7 G e V 以上） の大強度するにはいくつかの方法がある。その一つは適当な仮定、電子ビーム（シングルバンチ、 1 0 n C 以上） を当てる設近似の下にビームの横方向の運動に関する運動方程式を計となっている。電子をこのェネルギーまで加速するに積分した解を解析的に求めるやり方である [2】。この解析は 約 270 m の加速長が必要になる。

解を用いたビーム不安定性についての検討は K E K の小このように大強度のビームを長い距離にわたって加速川氏がすでに精力的に行っており、当ライナック改造のする際には、 ビームが加速構造内に誘起するウェーク場設計 に目 安を 与えて いる [3]。しかし、この解析解を求めによりビーム自身が受ける影響が問題になる。 この影響るにあたってば、いくつかの仮定、近似が設けられておに は 2 種類ある。一つはビ一ムの中の先行する粒子の作る縦ウェーク場の た め 後続の粒子が減速されることによりその適用には限界がある。 たとえばェネルギーの低いり、ビームェネルギーの拡がりが大きくなる効果である。

ところでは近似が正しくないし、バンチ内の各部でェネルギ一が' 異なることも考慮されていない。 そのため、 さもう一つは先行する粒子が加速構造の対称軸からはずれらに詳細な検討を進めるには十分ではない。

たところを通過する場合に発生する横ウェーク場によりそこで、別の方法としてビームの運動方程式を数値的後 続 の 粒 子 が 横 向 き （ビーム進行方向と垂直方向) に力に積分して運動の時間変化をステップごとに追いかけるを受けるものである。 この結果、 ビームの後ろの方が大粒子追跡シミュレーションを行う計算機コードを製作す

きく外側へ変形ざれてバナナのような形状になり、 ビーることにした。 ウェークの影響を計算するためのコード

ムサイズひいてはェミッタンスの増大を起こし、変形がはい くつか 存在す るが [4]、それらの汎用のコードでは考

ひどい場合にはビームの一部がビームダクトと衝突して慮されていない項目、現実の加速器に即した事柄を柔軟失われるようなことになる。 （ビ ー ム 不 安 定性 ：Beamに取りこめるように自主開発を行うことにした。例えば、

Breakup Instability [B B U ] と称される）
現在、既 存 の 2.5 G e V ライナックを用いて、大強度(1 0 n C 以上） の電子ビームを加速するマシンスタディ一を進めている。 しかし、加 速 電 場 が 弱 い （8 MV/m)

ステアリングコイルにより所々でビームにキックを与えことと、 ビーム位置を知るためのモニターの精度、台数比較できるような形のシミュレーシヨンコードとなるよが不十分であるためにビーム不安定性の影響が強く、 ビう開発を進めて行く。てビーム発散を押さえたり、 ビームモ ニ ダーのところでのビームの状態について情報を取り出したりと、現実のライナックのレイアウトに即し、実際の運転での測定とこの論文では、 このコードの概要とこれを用いてバンチ末尾の運動の様子を計算した結果について報告する。

2 . 計算機コード（SAZANAMIcode) の概要
2 . 1 ビーム粒子の取り扱い
B -Factory 蓄積リングへの入射に用いられるビームは
基本的には、加 速 周 波 数 2856 M H z についてシングルバンチ（長 さ ~ 1 0 p s e c = 3 m m ) であるので、 コード内

こ こ で p (z ) は縦方向の電荷分布、Wo'(z)は_ ウェーク関数である。電荷分布はガウス分布とし、縦ウェーク関数 に は W ilson の 式 を 用 い る と .

p(u)=；£：exp〔-^ 7)， 額=—{姻

ここで、Q はバンチの全電荷量、Gz はバ ンチ の 長さ （1(7値 ） であり、 ウ ェ ー ク 関数中の パ ラ メ ー タ の 値はでもシングルバンチとして取り扱う。 また、 ウエーグ場

A = 2.26*1014 [V/C/m]，B = 8 . 1 3 *10 -1 2 [sec]c = 3.00*108 [m/sec], n = 0.605 である。の形も粒子間距離が短い領域については、計算により詳計算機コード内ではマクロパーテイクルとして取り扱う

しく求められているので計算精度も高くなる。

ので実際の バ ン チ内に存在する多数の粒子を少数の マ ク ロパーティクルで代表させ、 その マ ク ロ パ ー ティクルの運…'

動を追跡する。 バ ン チ内の横方向の粒子分布の拡がり、となる。

進行方向の拡がりは考えない 0 (= > ェ ミ ッ 夕 ン ス につい一方、力D速電場の寄与はては考慮しないのと词等。 次のパニジョ ン の コードで iまン .

.

E(a)j= E 0cos^-— Zj+(p0 I考慮する予定） バ ン チを縦方向については等間隔に ス ライスして、各スライスについてその中心位置に電荷が集となり、j -番目のマクロパーテイクルが受ける縦方向電場中しているよう な マ ク ロ パ十ティクルを想定する o それはこれら 2 夕の和である。

ぞれの マ ク ロ パ ー ティクルの電荷については、バ ン チの( 2 ) 横ウェーク場

電荷分布はガウス分布であると仮定してそれに基づいて割り当てる。 マ ク ロ パ ー ティクルの個数については適宜粒子が連続的に分布しているとき、先行粒子による横ウェーク場は次のような表式で後続粒子に横方向電場を設定できる。

もたらす。

追跡する各マクロパーティクルの状態を表す力学変数

Exr(z) = ^ d z 'p (z 1)W1( z - z I)x(zI)は、 中 心 軸 か ら の ず れ 量 Xi(s)、そ の 微 分 の dxi/ds (s)、こ こ で p (z) は縦方向の電荷分布 、’ Wi(z) は横ウェーク

それ ぞれ のエ ネルギ ー E i(s ) である。 なお、バンチ内で関数である。横 ウ ェ ー ク 関 数 に は W ilso n の式を用いるの それ ぞ れ の 位 置 z i と 電 荷 量 q i は変化しないものとし:と .

t いる。 （次のバージョンでは変数とする）
2 . 2 トランスポートコンポーネントの取り扱い
現在の第1 バージョンのコードではトランスポート系の コ ン ポ ー ネ ン ト のうち 、 Q マ グ ネ ッ ト 、 ドリフトスぺース、 加速構造についての み 取り扱えるようになってい.

..

W1(u) = -^-uzo

Wo = 3*1015 [V/C/m 2] , zo = 3.0 [mm]である。
計算機コード内では マ ク ロ パーテイクルとして取り扱うる。 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に お いて、 ス テ ッ プ ごとに各 力学ので、 それらについての運動方程式を立てると変数の値を計算するが、 そ の ス テ ッ プ の 区切りは、基本石 7丨

的には こ の コ ン ポ ー ネ ン ト が単位となる。 ドリフトスべ.'+^(8)^(8)ー ス ゃ Q マ グ ネ ッ ト に 関しては、 そ こ で の 運動方程式を積分した式が簡単な形で求められ る ので 、 それを用いて入ロ での 力学変数から 出 口 で の 値がすぐに得られる。 これに対して、.加速構造については次節で述べるようにウェーク煬による力の影響について細かく数値積分しなければならない の で 、 コ ン ポ ー ネ ン ト の 長 さ を 数 十 分 の 1に分割して計算する。

2. 3 加速構造の取り扱い( 1 ) 縦ウェーク場と加速電場粒子が連続的に分布しているとき、先行粒子による縦ウ

i=iYjL丨qi, xi5 Y i は各マクロパーテイクルの電荷量、横方向位置、
ェ ネ ル ギ ー であり、r0 は古典電子半径、L は加速構造の周期長（= 3 5 m m ) である。 なお、 はベータトロン振動を起こさせる収束力の強さであり、 この項は連続的な収束力を仮定する場合のみ取り入れる。

3 . 計算結果
こ の SAZANAM I コードを用いて、 ビームの初期オェーク場は次のような表式で後続粒子に減速電場をもたフセットがあるとき、バンチの後端がどのような運動をらすo [5]するかについて求める。 まず計算結果の妥当性をチェッE(b)(z) = -J ；dzlp(z,)W0' ( z - z ' )クするため、解析的な解と比較する。解析解の表式については、文 献 [2]，[ 3 ] を参照していただきたい。 なお、れた結果が図 2 の黒丸点である。前の図と同様に実線がウェーク関数は解析解におけるものとコードとで同じ式解析解（前と同じ条件）である。 なお、 Q の強さについを用いる。ては、 入p=38.4m となるように別途計算して決定した。

初期ビーム条件等については 、KEK B-factory 入射器

Bunch Tail Motionの陽電子生成用電子ビームのスぺツクに従う。すなわち、初 期 ェ ネ ル ギ ー 530MeV 、バ ン チ 全 長 lOps 、総電荷量10 nC 、実 効 加 速 電 場 16.7MeV/m (加速に寄与しない領域の長さを考慮）、加 速 長 2 3 0 m とする。なお初期ェ
ネルギ一が低くとると解析解の与える結果の精度が悪い
ので、ある程度ビームが加速され、ベータトロン波長が一定（V = 38.4m ) と な る 点 （530 M e V 地点） を始点どした。 ここでビームが中心軸から 1m m 離れたオフセツ
トを持って軸と平行に入射するとした。 このときのバンチ末尾の運動の様子を解析解を用いて求めたものが図 2の実線である。 もしウェーク場の影響がなければ、加速されていくことによりべ一タトロン振動の振幅は小さく

図 2 . バンチの末尾の運動： 解 析 解 （実線） とSAZANAMIコード(離散的収束 + 縦ウェーク効果 ) に よ る 結 果 （黒丸点）

な っ て ゆ く （adidbatic damping ) はずだが実際には振幅が大きくなってゆくのがわかる。

このより現実的なシミュレーションも解析解とだいた
い一' 致 L ている。 しかし先の方へいくにつれてベータト

Bunch Tail Motion

ロン振動の位相がずれてゆく。 これは縦ウェーク場の影
響によりバン チの 末尾は 先頭に 比べて 低いェ ネル ギ一( こ の 場 合 4 .3 % ) を持つので、ベータトロン位相進み量が異なってぐるためである。
4 ■結論
ウ ェ ー ク 場の影響を考慮した ビ ー ム ト ラ ン ス ポ ー ト シミュレーションコード（SAZANAM I) の開発を行い、それを用いて、バンチ末尾の横方向の運動について計算した。 まず解析解と比較するた め 、 解の適用条件と同じ条件で計算した シ ミ ュ レ 一 シ ョ ン 結果を 求 め た が これ ら
図 1 . バンチの末尾の運動： 解 析 解 （実線） と SAZANAMIコード(連続的収束） に よ る 結 果 （白丸点）

は よ く一致しており、 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 計算が妥当であることを示している。 さらに現実的な条件においても一方、SAZANAMI コードを用いて同様の計算を行っ計算したが、 ほぼ同様の妥当な結果を与えている。 このたが、解析解を求める際の近似条件と一致させるために

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン コ ー ドは解析解を用いる計算よりも適

あえて、各 マ ク ロ パー テ イ ク ル （全 2 0 個 ）の電荷量は用 範 囲 が広 く、 必要に応じて改良を加えられる柔軟性が均等とし、縦ウェーク場の効果はゼロとし、バンチ内のあるので、今 後 コ ー ド を 発 展 さ せ て B N S ダ ン ピ ン グ の位 置 に よ る 加速位相の違いの 効 果 も な し （全てのマクロ効果、ステアリングコイルによるダンピングの可能性のパー テ イ ク ルが同じ加速量を受ける） とした。 また収束検討、実際の ビ ー ム ス タ デ ィ ー の 測定との比較等を進め力は全領域にわたって連続的に働くとした。 シミュレ一てゆきたい。

ションの結果が図 1 の白丸点であるが、解析解とほぼ一致する値を与えている。
さらに現実的な計算として、 シミュレーションにおいて収束は連続的ではなく Q マ グネ ッ トのみによるものとして、各 コ ン ポ ー ネ ン ト （QM 、加速構造、 ドリフトスペース） を現実のレイアウトに従ってならべたものを入力 と し、 また各 マ ク ロ パ ー テ イ ク ル の 電荷量は ガ ウ ス 分

布から求めたものを用い、 それぞれの加速位相の差、 縦ウ ェ ー ク 場の影響で エ ネ ル ギ ー が 異なることを計算に入5 . 参考文献[1]A. Enomoto, KEK Preprint 93-23[2]K. Yokoya, DESY Report 86-084[3] Y. Ogawa, KEK Preprint 94-94[4]H. Henke, CLIC note 40, April 1987 (LINBUNCH)
K. Bane, IEEE Transaction on Nuclear Science,Vol. Ns 32, No.5, p 2389 (LTRACK)[5] P. B. Wilson, SLAC-PUB-2884