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2成分流体におけるストークスの抵抗法則
好村滋行,岡本隆一
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高校物理の力学で，

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しばしば以下のよ合への拡張が， 1911年にリプチンス

子の実効的な大きさRを求めることがうな問題を見かける。「雨滴は速さにキー(WRybczynski)によって行われできる。動的光散乱法という実験手法

比例する空気の抵抗力(比例係数は)ﾉ）ている。その場合，液滴内の流体の粘は，ソフトマターや液体のダイナミクを受けるため，地上に降ってくるころ性率を〃'(周囲の流体の粘性率は〃）スを調べるために広く使われており，には一定の速度(終端速度)になってとすると，より一般的な抵抗係数はSERはその基本原理になっている。

しまう。雨滴の質量を"zとして，こ

y=27WR(2"+3〃')/(ﾉ7+〃')で与その場合，実際の粒子は完全な剛体球の終端速度を求めなさい｣。正解は重えられる2)。ただし，液滴の形は表面でなくても，実効的に半径Rの剛体球力加速度をgとして"@g/γである。しかし，高校物理の範囲内で比例係数γ張力の作用によって球形に保たれていと等価と見なすため, Rは流体力学的ると仮定する。この結果は，液滴内で半径ともよばれる。の中身について問われることはない。

流れが生じると，抵抗係数が少しだけ小さくなることを示している。剛体球

1ﾏｲｸﾛﾚｵﾛｼｰの場合は〃'→COに対応し，当然なが近年では，マイクロレオロジー といストークスの抵抗法則
γの具体的ら，上式はストークスの抵抗係数に帰う新しい実験手法において, SERがな計算ができるようになる。そこで最着する。これ以外にも，球形と異なる重要な原理として使われている。マイ初に扱うのは，半径Rの剛体球が，粘さまざまな形状の物体にはたらく抵抗

クロレオロジーとは，性率〃の流体中を一定速度〃で運動す力の計算が数多くなされている。

どの微粒子のブラウン運動や外力に対大学で流体力学を習うと，るときの抵抗力である。流体に圧縮性ストークスの抵抗法則やその拡張コロイド粒子なする応答を検出することによって，きさらにナビエーストークス方は，それ自体，流体力学の問題としてわめて微小量の物質の粘弾性を調べる

程式の線形化が可能な場合，剛体球が大変興味深いが, 1905年のアインシュ手法である4)。粘弾性とは,時間スケー

受ける抵抗力はF=67w7R"で与えらがなく，タイン(A.Einstein)のブラウン運動

ルに応じて，物質が粘性的(液体的）れる。これが1851年にストークス(G.の論文で使われて，その重要性が飛躍や弾性的(固体的）にふるまう性質をG.Stokes)によって導かれた｢ストー的に高まった3)。アインシュタインは，意味する。最近では生きている細胞

クスの抵抗法則」である')。この法則

流体中でブラウン運動する剛体球の拡1個の力学応答や，は速度〃が小さい極限で正しく，抵抗散係数Dが，粒子の抵抗係数γと結び質も測定できるようになってきてい力Fと速度〃の間の比例係数ついていることを発見しる。媒質が粘弾性体の場合，一般にそ一一Ｔ
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レオロジー的な性の粘性率は時間（または周波数)に依存するようになる。マイクロレオロ
ジーの理論では，媒質が粘弾性体でを抵抗係数とよぶ。抵抗係数γは粘性率と粒子半径に比例して大きくなり，で与えられることを示した。ただし，あっても，形式的にストークスの抵抗日常的な感覚とも一致する。

ﾙBはポルツマン定数, Tは絶対温度法則が成り立つと仮定する。すなわ

上のストークスの抵抗法則は非常にである。これは，ストークスーアイン

ち，時間的にラプラス変換された粘性有名であり，大学で物理や化学を学んシュタインの関係式(Stokes‑Einstein

だ方は，必ず一度は目にしているはずrelation,SER)とよばれる。この関係率を〃(s)として(sはラプラス空間の周波数)，周波数に依存する抵抗係数である。しかし， この表式を導く計算

式は，粒子位置のゆらぎを特徴づけるがγ(s)=67z77(s)Rで与えられるとすを自分の手でフォローした人は意外に拡散係数Dと，粒子の運動によるエネる。このときの粒子の運動を一般化さ少ないかもしれない。とても含蓄のあれたランジュバン方程式を用いて記述るエレガントな計算なので，興味のあルギー散逸を担う粘性率〃を関係づけているので， より一般的には揺動散逸

すると，粒子のラプラス変換された平る方には，一度ストークスの足跡をた定理ともよばれる。SERを用いると，均2乗変位は以下の式で与えられる。

どってみることをお薦めしたい2)。とたとえば粒子の拡散係数Dを測定する

ころで，剛体球を液滴におき換えた場ことによって，溶液の粘性率〃や，粒42

パリティVol,30No.072015‑07．『「今月のキーワード｣(p.57)参照。

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SER,GSER)とよばれる。これより，粒子の平均2乗変位の時間依存性を測「h胡求まり， さらにs→期定してラプラス変換をすれば〃(s)が贈という解析接続
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し間醤畢数)，複素粘性率〃*(の）もしくは複素弾性率G*(uﾉ)=i(,)"*(IU)が求ま垂・垂一一によって(⑩はフーリエ空間の周波る。G*((")の実部と虚部は，それぞれ媒質の弾性と粘性を反映する量になっている。これが,粒子の熱ゆらぎ，すなわちブラウン運動を利用したパッ<図1〉流体中でコロイド粒子を速度uで動かした場合の流速場

シブマイクロレオロジーの原理である。

(a)単成分流体の場合｡流体がコロイド粒子にひきずられて流れが生じる。(b)2成分流体の場合｡コロイド粒子周囲に組成勾配が生じる｡それに伴い,単成分の場合よりも広範囲に強い流れが生じて，コロイド一方,光ピンセット法(集光したレー粒子が流体から受ける抵抗力Fは,2成分流体の場合のほうが大きくなる。

ザー光を用いて微小物体を操る手法）
でコロイド粒子に振動する外力を加え，その応答を測定する手法はアク程式に従うとする。また，流体は空間ティブマイクロレオロジーとよばれ的に均一であり，その粘性率〃は時間;2成分流体中のｺﾛｲﾄ粒子る。外力が十分に小さくて，外力と応的にも空間的にも一定とする。さらに

このような背景のもとで，われわれは答の間に比例の関係が成り立つ範囲で剛体球の表面において，粒子と流体の2成分流体中における剛体球の抵抗係は，パッシブとアクティブな測定はど速度が一致するという境界条件を用い数が，溶液中の組成勾配によってどのちらも等価な結果を与える。上で述べる。これをノンスリップ境界条件といような影響を受けるかを理論的に調べたストークスの抵抗法則の拡張はまっう。水のような単純流体における遅い

た5)。2成分流体にコロイド粒子などたく非自明であるにもかかわらず，均流れを扱う場合， これらの条件はほぼの剛体球を入れると，どちらか一方の一かつ等方的な系では，多くの場合で満たされる。しかし，ソフトマターの成分が粒子表面に対して， より高い親GSERが成立することが経験的に知らようにメソスケールの内部構造を有す和性をもつ。その結果，粒子の遠方でれている。そのため，ストークスの抵る粘弾性体の場合，空間的な均一性の流体の組成は一定であっても（2成分抗法則やGSERは，マイクロレオロ仮定やノンスリップ境界条件などは，流体は相分離していないとする），粒ジーのような最先端の実験においても必ずしも成り立つとはかぎらない。し子に近づくと親和性の高い成分の組成重要な役割を果たしている。

たがって，ストークスの抵抗法則を生が大きくなり，粒子周囲に組成勾配がここで再び時代をさかのぼって，ス物やソフトマターの実験に適用するたできる。つまり， 〈図,>に示すように，トークスが最初に抵抗法則を導出した

めには，空間的に不均一な媒質におい粒子の周囲には一方の成分のとり巻きときの条件を，改めて確認しておこて，ストークスの抵抗法則がどのようのような吸着層が形成される。組成勾う。まず，剛体球の周囲の流体には圧に拡張されるかを知っておく必要があ

配が生じる空間スケールは，およそ相縮性がなく， またレイノルズ数は小さる。

関長とよばれる長さで特徴づけられ，これは温度と遠方における組成に依存いとして．線形化されたストークス方43

パリティV01.30No.072015‑07

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ノダ10−2ノダノソノ︵×︶↑ノ10 4〃'ノする。とりわけ， 2成分流体の組成や温度が相分離の臨界点に近い場合，相関長は巨視的なスケールに成長するので，組成勾配の及ぶ範囲も増大する。
組成勾配の結果として， 2成分流体中〃〃ノ

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10 1のコロイド粒子は，吸着層で着膨れし101Xた状態と見なすことができる。すると，粒子の半径は実効的に相関長どだ
け増えるので，抵抗係数はおよそγ＝<図2>ストークスの抵抗法則の補正スケーリング関数f(x)のふるまい(実線)○ここで, x=5/Rであり 5は2成分流体の相関長,Rは粒子半径である。点線はXく1の場合の漸近形f(X) 27x6である。

6兀"(R+5)のようにふるまうと予想される。もしもこの考えが正しければ，抵抗係数の補正は相関長に比例することになる。

ところで， ここで議論しているコロ■

イド粒子とは数十nIn〜数〃m程度の微小粒子のことであり，それを溶媒に分散させたコロイド溶液は典型的なソフトマターの一種である。コロイド粒
子系は粒子間相互作用に応じて，結晶相や分散相，ガラスなどの多様な状態■■
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中のコロイド粒子間に引力がはたらいて凝集することなどがわかっている。

Ｏ川Ｔ−−202系として基礎的な研究が行われてきた。その一方で， コロイドは塗料やインク，化粧品食料品などの日常的な製品で使われていることも強調しておきたい。コロイド溶液において，多成分溶媒の組成勾配がもたらす効果に関して，従来は静的な熱平衡状態を対象にする研究が多かった。たとえば， 2成分溶媒の相分離点の近傍では，溶媒4z/R

Iｽﾄｰｸｽの抵抗法則の補正
われわれは． 2成分流体の一方の成分とコロイド表面間の親和性を考慮した流体力学を定式化し，ストークスの抵<図3〉コロイド粒子周辺の濃度場(矢印)と組成場(濃淡）(a)x=0.1, (b)x=1(ただしx=5/R)。なお 速度ベクトルは単成分流体の場合の速度分布との差を示している。

44

抗法則がどのように変更されるかを調

べた5)。その結果，親和性が弱い極限で，抵抗係数が以下の表式で与えられパリティVol､30No.072015‑07｜‑.‑‑‑‑ H‑̲一一‑一一聖一割．

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非線形ダイナミクス

これらの課題がさらに明らかになれ

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への影響は大きいことが予想される。

ることを示した。とカオス

ば，将来的にコロイド粒子の拡散の制間の界面張力係数などを含む。また，に，高分子溶液や液晶中のコロイド粒f(")は無次元量尤=5/Rを変数とす

子,生体膜中のタンパク質の拡散など，るスケーリング関数である。このス濃度場や配向場などの環境に置かれたケーリング関数のふるまいを〈図2>に粒子の動力学の問題はバイオソフトマ示す。とくに相関長が短い極限("＜1）

ター系に数多く存在する。このようなにおいてf(")は〃に比例せず，漸近重要な問題においてさらなる研究の発的にf(")=27jr6のようにふるまうこ展が期待される。とがわかった。つまり，抵抗係数の補正は相関長どの6乗に比例して増大し，単純に予想される線形的な依存性

周辺の流体の組成分布や速度分布を解287(1851)．
2) L.D.ランダウ, E.M.リフシツツ著竹内均訳：『流体力学1』(東京図瞥． 1970)．
3)A､Einstein:AIm･Phys.17,549(1905).

範囲で強い流れが生じるため，全体と4) 'IEM.Squiresand'I:G.MaSon:Annu.Revb
FluidMech.42,413(2010)

して抵抗係数が大きくなることが理解できる。このような効果は相関長が大､,R箸

StevenH.Strogatz
田中久陽
中尾裕也訳
千葉逸人
A5｡544頁

定価（本体6,300円十税）
ISBN978‑4‑621‑08580‑6

米国のマサチューセッツエ科大学とコーネ

Phys・Soc・Jpn.82,084003(2013).
6)Y.Fujitani:J.PhysSoc.Jpn.82, 124601

ル大学における講義録に基づいた「非線形ダイナミクスとカオス｣を学ぶための入門書。

(2013); ibid､83,024401(2014).

論が正しいのはおよそ〃＝1程度まで

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きいほど顕著であるが，われわれの理

5) R.Okamoto,Y.FUjitaniandS.Komura:J.

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析したところ，組成勾配によって広いU耳■

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よりもはるかに強い補正効果が生じ

参考文献
1)GGStokes:TranS.Cambl:Phil.Soc.8,q一1次元の微分方程式とその分岐から始まり、相空間の解析、リミットサイクルやその分岐

1

一毎■名乙■色■ヨＥ■汀■

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である。

1に続き、ローレンツ方程式、カオス、反復４川■■■︒ｂ△■■■■■■︒Ｇ■■■

われわれの定式や計算のなかでは，ストレンジアトラクターの話までを解説。

●各種の応用に重点を置き､機械振動､生物のリズム、超伝導回路、昆虫の大発生、して，局所的な組成に依存しない, (ii)で■Ｉ・■●■■■■■■■■

コロイド粒子は電荷をもたず，溶媒は塩を含まない, (iii)2成分流体の熱力

化学振動子、遺伝制御系などの様々な応用例について、科学的な背景をわかりやすく丁寧に説明。

くりこみ効果が無視でき

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学的条件は，

Ｉｌｌｌｌ酬刎引引Ⅲ訓創引訓則Ⅷ珊凹ⅥＪｍ馴川︑ｎＮ馴副制州叩剛画刎柵馴印ロ小祁邨ｒＭ剛田向山同馴馴酬皿■骨■四一１ｌｂ卜ＫＩＩ１酉ＰＩ１１ｍ駅Ⅲ︐０ｍ叩Ⅲ砠幽Ｍ﹁Ｉ

おもなものは, (i)粘性率〃は一定と写像、周期倍分岐、 くりこみ、フラクタル、

１

いくつかの単純化や仮定をしている。

る程度に臨界点から離れている，などである。 (i)と(ii)は現実の多くの系では無視できないため， これらを考慮●物理学や化学はもちろんのこと、生物学、医学､工学から経済学､社会学に及ぶまで広大な学問分野に応用できる−冊。

丸善出版株式会社■■■マロ︑１した計算は今後の課題である。また〒101‑0051東京都千代田区神田神保町2−17
TEL(03)3512‑3256FAX(03)3512‑3270(iii)については．臨界点に近づくにつ・︲

http:"pub.maruzen.cojp/

れて相関長は発散するので，抵抗係数■■５■■ｂ

谷洋平によって行われている6)。さらトーｌ■■■凸■■■且■■■巳口■■■■■●

粒子半径R,流体の輸送係数, 2成分

化学。工学への応用まで』■■■■■ 巴 ■凸呂︒■■■●凹凸■■2次元系に拡張した計算は，すでに藤

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親和性の強さを表すパラメーター，数学的基礎から物理｡生物・凶１１

なお，われわれと同様の手法を液滴や量守■・風劃■唖凸御などの応用も可能になるであろう。
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