W-algebra について
東北大学理学部数学教室

黒木玄(Gen Kuroki)g は C 上の ﬁnite-dimensional simple Lie algebra とし、bg はそれに対する aﬃneLie algebra とする:
bg = g ⊗ C[t, t−1 ] ⊕ CK.
b とこのとき、bg の universal enveloping algebra のある graded completion を U
b を両側イデアル (K − k) で割ってできる商環を U
bk
表わし、k ∈ C に対して、U(1)(1)(1)と表わす。このとき、bg が An , Bn , Cn 型の場合に ([H])、level が critical す∨ ∨bk が十分多くの central
なわち k = −h (h は dual Coxeter number) のとき、Uelements を持つことが証明されている。更に、その結果を用い、上の型の b
g に対bする Kac-Kazhdan conjecture が証明されている。我々は、U−h∨ の center もし
くはその適切な subalbegra でもって、classical W-algebra を定義する。このとき、classical W-algebra には自然に Poisson algebra structure が入る。したがって、本来の quantum W-algebra は、そのパラメーター k に関する変形 (Sugawara operatorの algebara) として得られる筈のものである。
一方、より一般の aﬃne Lie algebra に対する Kac-Kazhdan conjecture は、現在
では、Wakimoto modules (aﬃne Lie algebra の boson 表示、[W], [FF], [K1,2]) を用いることによって証明できることが知られている。
有限次元の場合には、g の universal enveloping algebra U (g) の center は、HarishChandra 同型によって、Cartan subalgebra から生成される多項式の Weyl 群不変式環と同型になることが知られている。Harish-Chandra 同型の証明には、Vermab−h∨ に対する Harish-Chandra 同型modules の理論が有効に使われる。そこで、Uの類似が、Wakimoto modules を利用して得られないかどうか考えてみよう。
まず、aﬃne Lie algebra の boson 表示について簡単に説明する。(詳しいことは、[K1,2] を見られたい。) g の positive roots 全体を ∆+ と表わし、g の Cartansubalgebra を h と表わす。κ ∈ C に対して、Aκ は{ δα [m], xα [m], pi [m] | α ∈ ∆+ , i = 1, · · · , dim h, m ∈ Z }から生成され、以下の交換関係によって定義される algebra であるとする:[]δα [m], xβ [n] = δα,β δm+n,0 ,[]pi [m], pj [n] = κ(Hi |Hj )mδm+n,0 ,(他の組み合わせの commutator) = 0.
すなわち、Aκ は無限次元空間上の微分作用素環である。ここで、( . | . ) は g のnormalized Killing form であり、{ Hi } は h の basis である。Aκ のある gradedcκ と書く。Ub から Acκ への algebra homomorphism π で、π(K) =completion を A∨cκ の自然な表現とκ − h を満たし、種々の良い性質を持つものが構成できる。A1

して Fock spaces が定義され、π を通して、aﬃne Lie algebra bg が Fock spaces の上に定まるのである。これが、所謂 Wakimoto modules である。なお、この Fockspaces は、直感的には、dimension も codimension も無限次元のある subspace 上に台を持つ超函数の空間として定義される。
cκ の center の大き注意すべきことは、κ = 0 の場合と κ ̸= 0 の場合とでは、Acκ の center は、κ = 0 のときは { pi [m] | i =さが全く違うということである。A
1, · · · , dim h, m ∈ Z } から生成され、κ ̸= 0 のときは { pi [0] | i = 1, · · · , dim h, }から生成される。これに呼応して、π を通して、条件 k = −h∨ と 条件 κ = 0 が対応していることにも注意して欲しい。これらのことから容易に予想される通り、以下を示せる。
bκ−h∨ から Acκ への homomorphism を与えるが、それを πκ と書く
上の π は Uことにする。このとき、次が成り立つ:b−h∨ ) ⊂ (center of Ac0 ).
π0 (center of Ub−h∨ の center の元は A
c0 の中では { pi [m] } の式で表わされる。
すなわち、Ub−h∨ の構造、さらには、この事実を元にして、classical W-algebra = center of U
quantum W-algebra の構造を調べるということが 1 つの目標である。Aﬃne Liealgebra の boson 表示が、Knizhnik-Zamolodchikov 方程式の解の多変数超幾何型積分表示を与えるように、W-algebra の理論にもなにがしかの面白い応用がある筈
である。しかし、これ以上の話はまだ未完成であるので、これからの研究に期待されたい。
References[FF] Feigin, B., Frenkel, E.: Representation of aﬃne Kac-Moody algebras, bosonization and resolutions. In: Brink, L., Friedan, D., Polyakov, A.M. (eds.) Physics
and Mathematics of Strings. Memorial volume for Vadim Knizhnik, pp. 271-316.
Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientiﬁc 1990
[H] Hayashi, T.: Sugawara operators and Kac-Kazhdan conjecture. Invent. math.
94, 13-52 (1988)[K1] Kuroki, G.: Fock space representations of aﬃne Lie algebras and integral
representations in the Wess-Zumino-Witten models. Commun. Math. Phys.
141, 511-542 (1991)[K2] Kuroki, G: Fock space representations of twisted aﬃne Lie algebras. 数理解析研究所講究録 778, 42-49 (1992)(1)[W] Wakimoto, N.: Fock representations of the aﬃne Lie algebra A1 . Commun.
Math. Phys. 104, 605-609 (1986)

2