トポロジー入門演習担当 丹下 基生：研究室 (B715) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）—————————————————————————————————————————

注意事項
注 1：1 人何問といても良いが，§1,2,，§3,4，§5,6，§7,8，§9,10，§11,12，§13,14，§15,16 でそれぞれ 1問以上解くこと．
注 2：各 § では，問題は前半 (1pt) と後半 (2pt) で 2 つに分かれている．評価はこの総合ポイント数によって決める．
注 3：授業中に学生同士で相談して構わない．

記号• N, Z, Q, R, C はそれぞれ，自然数，整数，有理数，実数，複素数全体の集合を表す．また，その他の記号は，「例題形式で探求する集合・位相」に従っている．
• C(X) は X 上の連続関数を表す．また，R>0 のように，右下に条件を書いてその条件を満たす集合とする．
• 位相は，大抵 O の記号，近傍系は N の記号を用いる．
参考文献

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• 例題形式で探求する集合・位相 (丹下基生)(雑誌「数理科学」) 全ての定義はこの文献に基づく．また，下記の問題の例題や例の番号はこの文献の例題と例を参照している．
• 集合と位相空間（森田茂之）朝倉書店• 集合と位相（内田伏一）裳華房．
• 位相空間の基礎概念（酒井克郎）Web で検索のこと．
• 位相空間論（森田紀一）岩波全書• Counterexamples in topology(Lynn Arthur Steen and J.Arthur Seebach Jr.)Dover．
• トポロジーへの招待（寺澤順）日本評論社
• 集合・位相入門 (松坂和夫) 岩波書店

—————————————————————————————————————————§0集合・不等式・連続関数問題 0-1 [不等式]
任意の実数 x, y に対して，|xn − y n | ≤ |x − y| · (|x| + |y|)n−1 が成り立つことを示せ．

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問題 0-2 [コーシーシュワルツの不等式]
x, y ∈ Rn に対して，(x, y)2 ≤ ||x||2 · ||y||2√を示せ．ここで (x, y) は Rn 上の通常の内積を表し，||x|| = (x, x) とする．
問題 0-3 [べき集合]
べき集合 P({0, 1, 2}) の元を全て書き出せ．
問題 0-4 [可算集合]
N とその直積集合 N × N の間に全単射を構成せよ．
問題 0-5 [可算集合]
N と Q の間に全単射を構成せよ．
問題 0-6 [inf, sup]Z, W を全順序集合 X の部分集合とし，任意の z ∈ Z ，w ∈ W に対して，z < w であるとする．このとき，sup(Z) ≤ inf(W ) であることを示せ．また，sup(Z) < inf(W ) とならない例を挙げよ．
問題 0-7 [非可算集合]{0, 1}N のことをカントール集合という．{0, 1}N は非可算集合であることを示せ．
問題 0-8 [べき集合の濃度]
N のべき集合 P(N) は 2ℵ0 であることを示せ．
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問題 0-9 [半円と R の間の全単射]
半円を1S+= {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1, x > 0}1として定義する．写像 φ : (−1, 1) → R を以下のように定義する．y ∈ (−1, 1) に対して，S+上の点 (x, y)に対して，原点と (x, y) を通る直線の傾きを φ(y) とする．φ を y の式で具体的に書き表せ．またその逆写像についても考察せよ．

問題 0-10 [積分 0 の連続関数]∫ 1f (x) を I = [0, 1] 上連続で，任意の x ∈ I において f (x) ≥ 0 となる関数とする．
f (x)dx = 0 ならば，0f (x) は I 上恒等的に 0 であることを示せ．ここで積分はリーマン積分として考えよ．
問題 0-11 [カントール集合]
r を 2 以上の整数とする．{an } ∈ {0, 1}N としたとき，写像 φr : {0, 1}N → [0, 1] を

φr ({an }) =∞
∑r−1
n=1

rnanとおく．このとき，φ2 は単射ではないが全射であり，φr (r ≥ 3) なら全射ではないが単射であることを示せ．

2問題 0-12 [全単射][0, 1] と (0, 1] の間に全単射を具体的に構成せよ．

—————————————————————————————————————————§1

距離空間と開集合・閉集合問題 1-1 [離散距離空間]
離散距離空間は距離空間であることを確かめよ．

問題 1-2 [距離空間]
Rn の 2 元 x = (x1 , .., xn ) と y = (y1 , .., yn ) に対して，dM (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | とすると，dM は Rn 上の距離関数となることを示せ．
問題 1-3 [距離空間]
Rn の 2 元 x = (x1 , .., xn ) と y = (y1 , .., yn ) に対して，d∗n (x, y) = max{|xi − yi ||i = 1, .., n} とすると，(Rn , d∗n ) は距離空間になることを示せ．
問題 1-4 [距離空間]

x, y ∈ R>0 に対して，d(x, y) =1 1−とするとき，(R>0 , d) は距離空間となることを示せ．
x y

問題 1-5 [閉集合]実数上の空ではない閉区間は開集合ではないことを示せ．

問題 1-6 [開球体]距離空間上の開球体 Bd (x, r) は開集合であることを示せ．
問題 1-7 [空集合]空集合は閉集合かつ開集合であることを証明せよ．

問題 1-8 [開集合](X, d) を距離空間とする．U, V を X の開集合とするとき，U ∪ V と U ∩ V も X の開集合であることを示せ．

問題 1-9 [開集合](X, d) を距離空間とする．任意個の開集合の和集合は開集合であることを示せ．

問題 1-10 [閉集合の無限個の和集合]
閉集合の無限個の和集合が閉集合ではない開集合となる例をあげよ．

問題 1-11 [開集合の無限個の共通部分]3

開集合の無限個の共通部分が開集合ではない閉集合となる例をあげよ．

問題 1-12 [距離空間上の 1 点]
距離空間 (X, d) において 1 点からなる集合は閉集合であることを示せ．
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問題 1-13 [距離空間]
I を単位閉区間 [0, 1] とする．C(I) を I 上の連続な関数全体からなる集合とする．f, g ∈ C(I) に対して，
dsup (f, g) = sup{|f (x) − g(x)||x ∈ I} と定義する．このとき，(C(I), dsup ) は距離空間になることを示せ．ここで I 上の連続関数とは微積分の授業で習った通りの定義とする．

問題 1-14 [開集合]２次元ユークリッド空間 R2 において，２つの距離をd2 (x, y) =√(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2dM (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |とする．このとき，距離空間 (R2 , d2 ) と (R2 , dM ) の開集合全体は一致することを示せ．
問題 1-15 [距離空間]√′

f, g ∈ C(I) に対して，d (f, g) =∫ 1(f (x) − g(x))2 dx として定義する．このとき，(C(I), d′ ) は距離0空間となることを示せ．

問題 1-16 [距離関数となるための条件]
集合 X の任意の２元 x, y に対して，実数 ρ(x, y) ≥ 0 が定められ，以下の性質を満たすとき，ρ は X 上の距離関数となることを示せ．

• ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y• 任意の 3 元 x, y, z に対して ρ(x, y) ≤ ρ(z, x) + ρ(z, y) が成り立つ．
問題 1-17 [距離空間の開集合]
距離空間 (X, d) において，X の任意の 2 点 x, y に対し，

˜ y) =d(x,d(x, y)
1 + d(x, y)とおけば，d˜ は集合 X 上の距離関数となり，A ⊂ X とするとき，以下は同値であることを示せ．

˜ の開集合A は (X, d) の開集合 ⇔ A は (X, d)
問題 1-18 [距離空間の開集合]
距離空間 (X, ρ) において，X の任意の 2 点 x, y に対し，

ρ̃(x, y) = min(ρ(x, y), 1)とおけば，ρ̃ は集合 X 上の距離関数であって，A ⊂ X とするとき，以下は同値であることを示せ．

A は (X, ρ) の開集合 ⇔ A は (X, ρ̃) の開集合．
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問題 1-19 [距離空間上の閉集合]
距離空間 (X, d) において，A をその閉集合とする．

x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0を示せ．

問題 1-20 [p-進距離]p を固定された整数とする．∀n, m ∈ Z に対して，k をある整数を s として n − m = spk となる最大の非負整数とする．このとき dp (n, m) = 2−k とすると，dp は Z 上の距離関数となることを示せ．
問題 1-21 [距離空間の中の閉集合系]
X を距離空間とする．X の閉集合全体の集合を F と書くとき，F は以下を満たすことを示せ．

(1) X, ∅ ∈ F(2) F1 , F2 ∈ F ならば，F1 ∪ F2 ∈ F(3) {Fλ } ⊂ F であるなら，∩λ∈Λ Fλ である．
問題 1-22 [左作用の等長性]
もし代数入門で群の定義を習っている場合，例題 6.4 のように群からケイリーグラフを構成したとき，任意の左作用は等長的であることを示せ．

—————————————————————————————————————————§2

距離空間の内部と閉包

問題 2-1 [実数上の開区間と閉区間]実数上の開区間は開集合であり，閉区間は閉集合であることを定義に基づいて示せ．

問題 2-2 [閉包]R 上の開区間 (a, b) の閉包は [a, b] であることを示せ．
問題 2-3 [閉包]R 上の閉区間 [a, b] の内部は (a, b) であることを示せ．
問題 2-4 [閉包]R2 上の区画，(a, b) × (c, d) の閉包は [a, b] × [c, d] であることを示せ．
問題 2-5 [集積点]{1/n|n ∈ N} の集積点は 0 のみであることを示せ．
問題 2-6 [境界点](X, d) を距離空間とし，A ⊂ X とする．任意の境界点 x ∈ ∂A は，任意の ϵ > 0 に対して，B(x, ϵ)∩A ̸= ∅5かつ B(x, ϵ) ∩ Ac ̸= ∅ を満たすことを示せ．
問題 2-7 [最大の開集合としての内部]
A ⊂ X を部分集合とする．Int(A) は A に包まれる最大の開集合である．つまり，A を包む閉集合のすべての和集合であることを示せ．

問題 2-8 [最小の閉集合としての閉包]A ⊂ X を部分集合とする．Cl(A) は A を包む最小の閉集合である．つまり，A を包む閉集合のすべての共通部分であることを示せ．

問題 2-9 [境界]任意の部分集合 A の境界 ∂A は閉集合であることを示せ．

問題 2-10 [部分集合との距離]
距離空間 (X, d) とその部分集合 A において，|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) が成り立つことを示せ．
問題 2-11 [内部・外部・境界点]
距離空間 X に対して，A ⊂ X をとる．このとき，X は A の内部，外部，境界のそれぞれ共通部分をもたない和集合になることを示せ．つまり X = A◦ ⊔ ∂A ⊔ Ae を満たす．ここで Ae は A の外部を表す．
問題 2-12 [1 元集合]
距離空間 (X, d) が次の場合に，1 元部分集合 {x} ⊂ X の内部，閉包，境界を求めよ．

(1) (X, d) = (R, d1 ) の場合．
(2) (X, d) が離散距離空間の場合．
問題 2-13 [開集合]距離空間 (X, d) に対して，A ⊂ X が開集合であるための必要十分条件は，A◦ = A を満たすことである
ことを示せ．

問題 2-14 [閉集合]距離空間 (X, d) に対して，A ⊂ X が閉集合であることの必要十分条件は，Ā = A を満たす集合である
ことを示せ．
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問題 2-15 [内部]A, B を X の部分集合とするとき，次が成り立つことが成り立つことを示せ．

(1) A◦ ⊂ A, (A◦ )◦ = A◦ , (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ ．
(2) X ◦ = X である．さらに A ⊂ B ならば，A◦ ⊂ B ◦ ．
問題 2-16 [内点であるための必要十分条件]
距離空間において x ∈ A が A の内点であるための必要十分条件は，d(x, Ac ) > 0 であることを示せ．
問題 2-17 [閉包・内点・境界点]

6次の等式を示せ．Ā = A◦ ∪ ∂A，Ā = X − (X − A)◦ ，∂A = Ā ∩ X − A．
問題 2-18 [集積点・閉包・触点]
A = {(1/m, 1/n)|n, m ∈ Z, n, m > 0} ⊂ R2 を考える．R2 には通常の距離が入っているとして，A の集積点は，(0, 1/n), (1/m, 0)，および (0, 0) と一致することを示せ．
ヒント：触点であれば，A から距離零になる．つまり，いくらでも近い点が存在することを示せ．

問題 2-19 [集積点・閉包・触点]Q̄ = R であることを示せ．
問題 2-20 [ϵ-近傍の閉包]
距離空間 (X, ρ) において，B(x, ϵ) ⊂ {y ∈ X|ρ(x, y) ≤ ϵ}を示し，⊂ が = とならない場合があるか？
問題 2-21 [触点であるための必要十分条件]
距離空間において x ∈ A が A の触点であるための必要十分条件は，d(x, A) = 0 であることを示せ．
問題 2-22 [R 上の部分集合]
R の中の集積点を持たない部分集合は高々可算集合であることを示せ．
問題 2-23 [集積点]ユークリッド空間 Rn 上の有界な点集合には，集積点が含まれることを示せ．S が有界な点集合であるとは，ある R > 0 となる実数 R が存在して，∀x ∈ S に対して，||x|| < R となることをいう．

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