ゆらぐオーダーパラメータダイナミクス
佐々真一

（京大理）

（共同研究者は最後に紹介します）
非平衡系の物理学-- 階層性と普遍性 -@ 京都
2018/12/27

1

ゆらぐオーダーパラメータ
ダイナミクスあるいはゆらぐ”流体力学”(広い意味の）2若手 最先端を追う研究者「何それ？」

3

年配 経験豊かな研究者「あぁ、昔昔・・」
動的くりこみ群による解析の基本模型群
Hohenberg and Halperin, Rev. Mod. Phys. 1977

ランダウ＝リフシッツ「流体力学」

１７章
4

講演のメッセージ
今、なぜ、ゆらぐオーダーパラメータダイナミクス？

研究としての現代的意義を整理
最先端的結果の紹介

5

PART II

背景6

背景 その１
基本的動機
ダイナミクスの階層性を理解したい
原子核

原子

人

地球 銀河 宇宙

多様な自然現象7

スケールに応じて「法則」が変っていく

平衡統計力学
アインシュタインの定式化
力学

ゆらぎ

確率分布
(不変測度）

熱力学
変分原理(エントロピー最大）変分関数がゆらぎをきめる
等重率の原理はそのミニマムな要請

熱力学のゆらぎ化

8ダイナミクスのゆらぎ化の例
原子分子確率分布

微粒子のゆらぐ運動

水の中を沈降する粒子（流体＋力学）(不変測度）

粒子の運動法則＋熱力学の適用

微粒子の運動法則の現象論的決定
アボガドロ数を決める公式
9
アインシュタインの理論

１９０５

論点
「マクロダイナミクスのゆらぎ化」はどこまで理解されているのか？

「マクロダイナミクスのゆらぎ」とミクロダイナミクスをつなぐ体系は？

10局所化・動力学

熱力学

流体力学

ゆらぎ化
一貫性の期待 ゆらぎ化
(Einstein)(?)(Onsager)

ゆらぎ
平衡統計力学

縮約

ゆらぎ
非平衡統計力学

ミクロ力学

背景 その２ゆらぐオーダーパラメータが“本質的”な役割を果たす現象をみたい

動的臨界現象＝熱伝導下相共存：「臨界ゆらぎ」のダイナミクス
臨界減速が本質（非平衡条件下１次転移）

12マクロダイナミクス
秩序相・液体

無秩序
・気体

ネマティック相＝等方相転移
流体力学＋界面熱力学とか気液転移(Beadeaux et al 2003, Onuki 2007）

Ginzburg-Landau＋エネルギー輸送 (Penrose 他1990）
詳細は後述

13

大事なこと：この記述では界面位置が移動する時定数よりずっと長い

は、熱力学量の緩和の時定数
界面の厚み
系の長さを先にとって、長時間極限を後からとると、平衡条件下であっても準安定相が観測される。
（ノイズを無視した平均場になる。）
長時間極限を先にとって、を後からとると、決定論的マクロ力学の「定常解」が観測される。
マクロ極限は、となる時空間極限であり、ノイズによって振る舞いが大きく影響されるだろう14

論点
熱伝導下相共存を記述する「ゆらぐオーダーパラメータダイナミクス」
は何か？

「ゆらぐオーダーパラメータダイナミクス」
において、という極限を議論せよ
15

PART III

運動の記述
16

例：流体記述の階層
孤立系 // 初期条件 非平衡 （e.g. 局所平衡分布からサンプル）ハミルトン方程式

ゆらぐ流体方程式

流体方程式パラメータ：
ハミルトニアン

パラメータ：
メソ局所熱力学「裸」の散逸定数

パラメータ：
局所熱力学
散逸定数

Zwanzig, 1961

FNS, 1977
低次元系異常性

恒等式＋”時間尺度の分離”

ゆらぎのくりこみ

射影演算子・モード結合

Mori, 1958の現代版 Sasa, PRL,2014
恒等式＋時空間スケールの分離

17現象論（Onsager理論）「完全な変数の組」の指定（メソスケール）局所熱力学の仮定

エントロピー生成を担う変数を指定（局所）詳細つりあいを満たすノイズを仮定
非平衡性は、境界条件で与えるか、局所熱力学に組み込むか、・・
18

平衡条件下ならおそらく正しいが、一般には、不明なことも多い。

Onsager 標準形
Ito

線形ゆらぎ （業界用語：誤解をまねく）⇒
非マルティプリカティブゆらぎ （提案）歴史：Green, 1952 ;Zwanzig, 1961 ;Kawasaki, 1973 ・・・・
19

近年、忘れ去られて、混乱Onsager の精神にもとづいた整理：⇒

Itami-Sasa, JSP, 2017ターゲットorderdisorder(e.g. nematic phase – isotropic phase in liquid crystals)

Simple question
What is the temperature of the interface?

20完全な熱力学変数の組
order parameter density field

momentum density fieldenergy density fieldinternal energy density field

オーダーパラメータの運動エネルギー

界面熱力学
gradient term

Entropy functional
21
局所熱力学
entropy density

界面熱力学
gradient term

１次転移のLandau 理論

forfor22

エントロピー密度定数23Onsager 標準形
可逆項

24

Onsager 標準形（具体形）

25

超絶微妙な話

ミクロ長さ

界面厚み

系の大きさ

熱伝導率はオーダーパラメータに依存するが、非マルティプリカティブと同じように扱かってよい26
このカットオフが本質的な役割を果たす他の例：
表面近くのスリップ現象 Nakano-Sasa, preprint, 2018

関連する先行研究のモデル
Penrose and Fife, Physica D, 1990;
over-damped version, without noise, andHalperin, Hohenberg, and Ma, Phys. Rev. B, 1974;
over-damped version, near the critical, andBedeaux, Johannessen, and R{¥o}sjorde, Physica A, 2003:
hydrodynamics with gradient terms, without noise
Onuki, Phys. Rev. E, 2007;
hydrodynamics with gradient terms, without noise
Fujitani, J. Phys. Soc. Jpn., 2010;
Analysis of hydrodynamics with gradient terms, without noise27熱伝導境界条件 （特別）orderdisorder

断熱非平衡条件
フラックス制御条件

is controlled externally as a parameter

The total energy
Equilibrium

is conserved: the first-order transition atsymmetry breaking for“The phase diagram is determined by
the micro-canonical ensemble, not by the canonical ensemble.”28

Onsager 形: 熱伝導境界条件
29

PART IV

解析30

平衡系 （断熱環境）

Most probable profile:maximizewithphase coexistenceorderdisorder31非平衡定常状態・線形応答

時刻０でミクロカノニカル分布を用意する。
時刻でフラックスがとなるように「ゆっくり」印加する。

定常状態：
32

TO DO
補正項の計算：（色々な極限が混じるので要注意）

熱伝導下における界面位置に対するポテンシャルの計算（コントラクション）

界面位置の変分原理による決定

33

ズバーレフ＝マクレナン表現

境界フラックス制御系での表現(NEW)

時間積分が残っているので一般には使いにくいが・・・
34補正項の評価アイデア
垂直面で均一断面積

熱伝導率が定数なら、ズバーレフ＝マクレナン表現は時間積分を含まず、ミクロカノニカルの拡張として明示的に書くことができる。相共存の場合でも、補正項を評価できる

35

が、この公式は、で有効であり、という極限をとれない36とりあえず、気にせず・・
補正項の計算をする。
正しいなら界面位置の変分原理による決定変分関数＝界面位置指定での定常状態に対する全エントロピー＋「温度差ｘ潜熱x 界面位置の関数」「修正されたエントロピー」最大37熱力学量の計算結果I
界面温度は平衡の転移温度である。

orderdisorderマクロダイナミクスの計算と本質的に同じゆらぎの効果は本質的ではない・・・
38

理論的課題フラックスを（線形応答領域という意味で）小さく固定したまま、長時間極限と熱力学極限をとれ・・・ 未完 ・・・

演説39

熱力学量の計算結果II
orderdisordersuper-heated ordered state

秩序相の熱伝導率
無秩序相の熱伝導率

準安定状態の熱伝導による安定化という現象が生じる！
ダイナミクスのゆらぎ化がもたらす本質的現象
40

大域熱力学「大域温度」によって、非一様系を「一様系」にマップし、熱伝導系に対して、大域熱力学を構築(Nakagawa-Sasa, 準備中)

大域熱力学に付随する変分原理を提案し、熱伝導状態において、過冷却気体が安定化する現象を予言(Nakagawa-Sasa, PRL, 2017)41驚くべきことに・・
計算結果IIと大域熱力学の変分原理は等価であり、大域熱力学の公式をつかっても同じ計算結果を得る！
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PART V

展望
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これからの問題
ミクロ力学

大域熱力学

ゆらぐダイナミクス

変分原理

現象
・数値実験
・実験

量子ダイナミクス、凝縮系、ハドロン・・

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今日の講演の共同研究者
大域熱力学、熱伝導下相共存全般、ゆらぎの解析:中川尚子（茨城大）

オンサーガ―の標準形、ノイズの特異性、ゆらぎの解析:伊丹将人（京大）

メソ記述のモデル、ゆらぎの解析:
中山洋平（中央大）

力学記述とゆらぐ流体の関係:
本郷優（理研）、齋藤（慶応大）
熱伝導下相共存の大規模数値実験：
小林未知数（京大）
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ゆらぐ流体によるすべり現象：中野（京大）