2015年度 理論談話会 #1 @409

A random utility maximization (RUM) based
dynamic activity scheduling model:
Application in weekend activity scheduling
Khandker M. Nurul Habib (2011)

Yuki Oyama**Ph.D. Candidate / JSPS Research Fellow
oyama@bin.t.u-tokyo.ac.jp

Behavior in Networks Studies Unit	Introduction

1

Activity-based approach•

あらゆるスケールの都市政策を評価する上で，発生する移動・活動需要（from where to where, when）を把握することは重要．

•

時空間解像度の高い非集計モデルを用いることで，四段階推定法(1960s) に取って代わるモデルとして期待されている．
Time・行動：トリップ → 時空間パス
・空間：ゾーン → 任意(施設・セル)
・モデル：集計 → 非集計(個人)t2

t1
AABSpace

BCSpaceIntroduction

2

Constrains-based model in time geography
Hagerstrand (1970)• 個人は空間座標のみならず，時間軸上の位置を持っている．
• 1日（あるいは1週間，1年，1生涯）の行動を，連続した時空間パスとして表現．
• パスは1）能力の制約，2）結合の制約，3）権威の制約のもとで描かれる．

Introduction

3

Constrains-based model in time geography
Hagerstrand (1970)
1．能力の制約：

2．結合の制約：

3．権威の制約：プリズム (prism)

バンドル (bundle)

ドメイン (domain)

TimeTimeTimewalk◯

×carSpace•SpaceSpace

Activity agenda を与え，諸制約を満たすパスとして活動パタンが決定Introduction

4

Pattern choice or Scheduling process ?
Activity agenda

Constraints

Which is the best ?

義務活動・仕事@◯◯・銀行に行く@△△prism・電車+徒歩
・20:00までに帰宅
bundle・9:00-17:00は会社
domain・銀行は9:00-15:00

Pattern 1

非義務活動・買い物

9:00 会社→ 12:00 銀行→17:00 会社→ 17:30 買い物→ 19:00 帰宅

Pattern 2

会社→・・・

Pattern 3

会社→・・・• Pre-trip 型の意思決定モデル• 余暇や回遊などのより自由な活動パタンには…？

Introduction

5

Pattern choice or Scheduling process ?
Utility-maximizing model(Pre-trip decision)

Scheduling process model(Sequential en-route decision)

Bowman and Ben-Akiva (2001),
Recker (1995)*Habib (2011)
TimeTimet2

t1
AB

DCASpaceB

CSpaceUnplanned activity & Re-schedulingScheduling process model
Dynamic discrete-continuous approach•

時間制約下で逐次的に活動種類-活動時間を選択する離散-連続モデル•

ランダム効用最大化理論（RUM）に基づく

活動パタンはプロセスの結果として出力（ ≠ 選択肢）6

Scheduling process model

7

Discrete choice model
個人が活動種類 j を選択したときに得られる効用 U j

U j = Vj + ε j = β j x j + ε j ; j = 1, 2,..., A(1)

Vj ：効用の確定項

x j ：説明変数ベクトル

ε j ：効用の誤差項

β j ：重みパラメータベクトル(i.i.d. gumbel distribution)（ランダム）効用の最も大きい活動種類を選択
活動 j の選択確率() exp(V ) + ∑exp(V )Pj = Pr U j > max U n =n≠ jexp(Vj )jnn≠ j(2)Scheduling process model

8

Continuous (time expenditure) model
今から行う活動 j と，それ以降行う可能性のある活動集合 c を考える．
活動 j に t j の時間を使い， tc 残しておくときの効用 U(tk )21U(tk ) = ∑ exp (ψ k zk + ε 'k ) (tkαk −1)
k=1 α k(3)※k=1が活動j，k=2が活動cを表す

α k ：飽和パラメータ( < 1)*

zk ：説明変数ベクトル

ε 'k ：効用の誤差項

ψ k ：重みパラメータベクトル(i.i.d. gumbel distribution)

RUMに基づく最適行動

maximize U(tk )時間制約

2s.t.,∑t = Tkk=1(4)Scheduling process model

9

Continuous (time expenditure) model2

1
exp (ψ k zk + ε 'k ) (tkαk −1)
k=1 α kmax U(tk ) = ∑最適化問題 :(3)2s.t.,∑t = T(4)

kk=1

Lagrangian function:
2#&1αkl = ∑ exp (ψ k zk + ε 'k ) (tk −1) − λ % ∑ tk − T ($ k=1'k=1 α k
2

KKT条件:U(tk )(5)等式制約

exp (ψ k zk + ε 'k ) tkαk −1 − λ = 0

if tk > 0, k = 1, 2

(6)

exp (ψ k zk + ε 'k ) tkαk −1 − λ < 0

if tk = 0, k = 1, 2(7)Scheduling process model

10

Continuous (time expenditure) modelexp (ψ k zk + ε 'k ) tkαk −1 − λ = 0

if tk > 0, k = j, c(6)exp (ψ k zk + ε 'k ) tkαk −1 − λ < 0if tk = 0, k = j, c(7)tc は非負と仮定すれば，(6)式 ( k=c ) より，

λ = exp (ψc zc + ε 'c ) tcαc −1(8)t j > 0 のとき，(8)式を(6)式 ( k=j ) に代入して，
α −1

exp (ψ j z j + ε ' j ) t j j = exp (ψc zc + ε 'c ) tcαc −1(9)(9)式の両辺の対数をとる．

{ψ z + (α −1)ln (t )} + ε ' = {ψ z + (α −1)ln (t )} + ε 'j jjjjc cccc

(10)

Scheduling process model

11

Continuous (time expenditure) modelexp (ψ k zk + ε 'k ) tkαk −1 − λ = 0

if tk > 0, k = j, c

(6)

exp (ψ k zk + ε 'k ) tkαk −1 − λ < 0

if tk = 0, k = j, c(7)

{ψ z + (α −1)ln (t )} + ε ' = {ψ z + (α −1)ln (t )} + ε 'j jjjjc cccc(10)

ここで，

V 'k = ψ k zk + (α k −1)ln (tk )(11)とすれば（ t j = 0 のときも同様にして）次式を得る．

V ' j + ε ' j = V 'c + ε 'c

if t j > 0(12)V ' j + ε ' j < V 'c + ε 'c

if t j = 0(13)Scheduling process model

12

Continuous (time expenditure) model
ε ' j − ε 'c = V 'c −V ' j

if t j > 0(12)ε ' j − ε 'c < V 'c −V ' j

if t j = 0(13)t = t j となる確率−2" 1− α 1− α % 1),"%"%−(V 'c −V ' j )−(V 'c −V ' j )jc'' ⋅ exp $Pr(t = t j ) = $$+' ⋅ +1+ exp $'.
ttσσσ#& *#&# j&c

δ ((V 'c −V ' j ))Pr(ε ' j − ε 'c < V 'c −V ' j )δt j※ガンベル分布に従う2つの確率変数の差はロジスティック分布に従う．

(14)

Scheduling process model

13

Discrete-continuous model• RUMに基づく離散・連続選択それぞれの選択確率を導出• 別々に推定していいのか？→ Self-selection, 内生性Discrete choice

Continuous choice

子供の送迎

活動時間

Activity = j

Time = f( X, j ) + εt

食事
Activity = f( Y, t ) + εj

依存関係

活動時間が長いTime = t• 部分的な共通要因によって関連づけられている状況を記述

離散-連続モデル

Scheduling process model

14

Joint probability of discrete-continuous choice
活動種類と活動時間の同時確率分布を求めたい．

Pr(Time = t j ∩ Activity = j)

~ BVN[J1 (ε j ), J 2 (ε ' j ), ρ jt ]準備：誤差分布を標準正規分布に変換 (Lee, 1983)

二変量正規分布J1 (ε j ) = Φ−1[(ε n − ε j ) < (Vj −Vn )]−1

J 2 (ε ' j ) = Φ [(ε ' j − ε 'c ) < (V 'c −V ' j )](15)

※CDFの逆関数の意味

ε ~ N(0,1)ΦP(ε < ε * )P(ε < ε * )Φ−1

ε * ~ N(0,1)

*

input

outputScheduling process model

15

Joint probability of discrete-continuous choice
Pr(Time = t j ∩ Activity = j) = Pr(t = t j ∩ ε ≤ J1 (ε j ))−2
" 1− α 1− α % 1),
" −(V 'c −V ' j ) %" −(V 'c −V ' j ) %jc'' ⋅ exp $= $$+' ⋅ +1+ exp $'.
tc & σσσ#& *#&# tj

Pr(t = t j )

尤度関数

活動回数
活動種類
個人$'J(ε)−ρJ(ε')
jt 2j )
×Φ & 1 j2&)
1−ρ
jt%
((16)

Pr(ε ≤ J1 (ε j ) | ε ' = J 2 (ε ' j ))" S " A%%
DijL = ∏ $∏ $∏ ( Pri (Time = t j ∩ Activity = j)) ' ''&z '&i=1 $# z=1 $# j=1
N（Dij ：個人 i が活動 j を選択していれば 1，それ以外 0）(17)

Scheduling process model

16

Joint probability of NL-continuous model
例えば，活動種類-活動場所選択のNested Logit model

Pr(Activity = j & Location = l)
MNLと同様に，誤差分布を標準正規分布に変換

J1 (ε jl ) = Φ−1[(ε nm − ε jl ) < (Vjl −Vnm )]−1J 2 (ε ' j ) = Φ [(ε ' j − ε 'c ) < (V 'c −V ' j )](15)'

離散(NL)-連続の同時確率分布は，Pr(t j ∩ j & l) =−2"%
" 1− α 1− α % 1),"%"%−(V'−V')−(V'−V')J(ε)−ρJ(ε')
jcjcj
1jljlt2jc'$$'' ⋅ exp $+' ⋅ +1+ exp $'. × Φ $$'tc & σσσ#& *#&1− ρ 2jlt
# tj#&(16)'

Application | Weekend activity scheduling
Data for estimation• 2002-2003 in Toronto，426 individuals in 264 households• (平均) 世帯構成員数: 3, 子供の数: 0.6, 居住年数: 18, 収入:47,000 CAD• 活動種類(MNL)-活動時間選択モデルを推定

17

Application | Weekend activity scheduling
Estimation results
その１(離散選択部分)•

経過時間が活動選択に影響•

送迎/買い物/サービスなどは早い時間帯に行われる→優先度が高い※活動は全９分類

18

Application | Weekend activity scheduling

19αk

•

活動cでαが正→出来る限り残しておきたい（多様な活動をしたい傾向）

Appendix

20

Structural / Reduced-form*福田・力石(2012)• 構造型：ミクロ経済理論との整合性を第一義．ロワの恒等式/KKT条
件より演繹的に導出．→ 今回のモデル，MDCEV(Bhat, 2005) など• 誘導型：現象の直接的記述に主眼を置く統計モデル．不完全観測下のモデルに有効．→ Tobit model type I~V など

回遊モデルで比較してみる…

N回目の活動終了後離散

1．Type II tobit model(Heckman, 1979)
2．Habib (2011) 型

回遊終了

回遊継続
連続
次の活動時間Appendix
α1
α2
α3
α4
α5
βtime1βtime2βtime3
βwalk
βwalk2
γ1
γ2
γ4γ5
γ6
βtime1βtime2βtime3βtime4βtime5Log(σ)ραjαcVariable
Discrete choiceConstant
Female dummy
Elderly dummy
Log(EP-Main dist.(km) + 1)
Car inflow dummy
Basic parameter of time (min./10)
A Number of trips
Shopping dummy
Cumulative walking dist. (m/100)(Cumulative walking dist.)^2
Cumulative trips
Cumulative shopping trips
Previous activity : eating
Previous activity : Main
Shopping street
Continuous choiceConstant
Previous activity time (min./10)
Previous activity: shopping
Previous activity: Main
Log(EP-dist. (km))
Std. deviation of error term
Correlation
Satiation Parameter of activity j
Satiation Parameter of activity cObservations
Initial Likelihood
Final Likelihood
Rho square (adj.)

21
Type Ⅱ Tobit modelParametert-value

Habib(2011) modelParametert-value-0.087
0.339-0.5770.218-0.213-0.4570.104-0.4561.626-0.939-0.4970.395
0.642-0.8270.479-0.25
1.98 *-2.03 *
5.48 **-1.31-3.73 **
1.58
-2.52 **
3.49 **-3.58 **
-4.20 **
3.20 **
3.05 **-4.57 **
2.48 *-0.3820.560-0.9310.369-0.356-0.011
0.002-0.0142.985-1.673-0.7730.689
0.922-1.2850.625-0.63
1.88 *-1.95 *
5.12 **-1.30-3.23 **
1.14
-2.70 **
3.77 **-3.66 **
-3.86 **
3.32 **
2.58 **-4.25 **
1.87

0.958
0.389
-0.227-0.521-0.034-0.456-0.590-8.25 **
5.87 **-2.26 *
-4.30 **
-2.09 *
-7.06 **
-2.72 **
482
-549.843-334.971
0.351

6.004
0.017
-0.705-1.304-0.1511.000
0.665-0.7730.880

2.87 **
4.67 **-2.49 *
-3.35 **
-3.38 **
2.27 *-7.85 **
0.83
482
-1173.584-935.792
0.183

プリズム(資源制約)があるので時間のパラメータが小さい?

Correlation：正負が逆転（解釈が難しい…）
Satiation：残しておく方が効用の時間減
衰率が低い

Summary22• 1日の活動スケジュール決定プロセスを，逐次離散-連続モ
デルによって構築• ミクロ経済理論(RUM)をベースに，KKT条件から選択確率を導出(構造型モデル)
自分の研究について• 活動場所−活動種類選択をNLにしてやれば状態変数の推移確率を内生的に求められる！
• アクティビティパス選択モデルを pre-trip / en-route 型で比較したい (スライド5) ．

Reference**※補足の内容は以下の論文を参考にしています．
1. Bhat, C.R.: A multiple discrete-continuous extreme value model: formulation and application todiscretionary time-use decisions. Transp. Res. Part B 39(8), 679–707, 2005.
2. Bhat, C.R.: The Multiple Discrete-Continuous Extreme Value (MDCEV) model: role of utility
function parameters, identification considerations, and model extensions. Transp. Res. Part B 42,274–303. 2008.
3. Bowman, J. L., Ben-Akiva, M. E.: Activity-based dis-aggregate travel demand model system withactivity schedules, Transportation Research A, Vol. 35, No, 1, pp. 1-28, 2001.
4. Hagerstrand, T.: What about people in regional science? Papers of the Regional Science
Association, Vol. 24, No. 1, pp. 6-21, 1970.
5. Heckman, J.J.: Sample selection bias as a specification error, Econometrica 47, 153-161, 1979.
6. Lee, L.-F.: Generalized econometric models of selectivity. Econometrica 51, 507–512, 1983.
7. Recker, W.W.: The household activity pattern problem: general formulation and solution.
Transportation Research Part B 29 (1), 61–77, 1995.
8. 福田大輔，力石真：離散-連続モデルの研究動向に関するレビュー，土木学会論文集D3，
Vol.69, No.5, pp.497-510, 2013.