I. Introduction

II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

V. Summary

離散データに対する部分波展開とHAL QCD 法への応用
宮本貴也(京大基研)

for HAL QCD Collaboration
S. Aoki, Y. Akahoshi, K. Sasaki(YITP Kyoto Univ.)

T. Inoue(Nihon Univ.)

T. Doi, T. Doi, T. Hatsuda, T. Iritani, S. Gongyo (RIKEN Nishina)
N. Ishii, Y. Ikeda, K. Murano,
H. Nemura, T. Sugiura
T. Aoyama
F. Etminan(RCNP Osaka Univ.)(KEK)(Univ. of Birjand)

素粒子・原子核・宇宙「京からポスト京に向けて」シンポジウム @ 筑波大学 東京キャンパス (2019/1/10)

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I. Introduction

II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

V. Summary

Hadron force from lattice QCD (HAL QCD method)
N. Ishii, S. Aoki, T. Hatsuda, Phys.Rev.Lett. 99, 022001 (2007)

Lattice QCD

ψNBS( x )⃗S-wave projection

L=0ψNBS(r)

NBS wave function
Potential

Schrodinger eq.
L=0
L=0ψNBS(r) Derivative expansion VC (r)素粒子・原子核・宇宙「京からポスト京に向けて」シンポジウム @ 筑波大学 東京キャンパス (2019/1/10)

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I. Introduction

II. Misnerʼs methodψNBS( x )⃗III. Mockup data

S-wave projection

IV. Lattice QCD data

V. Summary

L=0
ψNBS( x )⃗✓ 連続空間では: Spherical surface integration
ψ L=0(R) =

∫S

dΩ Y*
(θ, ϕ)ψ( x ;⃗ r = R)00

✓ 離散データに対しては: Cubic rotation averageRO+ Parity average で定義ψ1( x ⃗) ≡ψ(g −1 x ⃗ )∑48 g∈O(L=0)

h

The discrete points
with the distance R

̶> これは、cubic rotation transformation group の A1+ 表現に対応しており、
L=0 成分だけでなく、L >= 4 成分も入ってきてしまうことが知られている
もし、L >= 4 成分が無視できるほど小さければ、NBS 波動関数は（同じくポテンシャルも）等方的になるはずである
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I. Introduction

II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

V. Summary

しかし、これまでの HAL QCD potential には ”ひげ” のような構造が見られることがよくあった✓ これらの構造は、ポテンシャルの非等方性を表している（多価関数になっている）

つまり、NBS 波動関数には L >= 4 の成分がやはり存在し、ポテンシャルに “ひげ” 構造を引き起こしていると考えられる
この現象の詳細を理解するために、
L >= 4 の成分をうまく取り除きたい
近年、格子上のデータに対する部分波の分解に関するアイディアが C. W. Misner
により提唱されたCharles. W. Misner, Class. Quantum Grav. 21 (2004) S243-S247

この方法の戦略は、任意のスカラー場を
r = R 周りに幅 2Δを持つ球核 SR,Δ 上で定義された
規格直行系を用いて展開する、というものである

SR,Δ

SR,Δ ≡ { x ⃗ | R − Δ ≤ r ≤ R + Δ}

R
Δ

この発表では、ミスナー法を HAL QCD 法に応用した結果を紹介する
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II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

V. Summary

Charles. W. Misner, Class. Quantum Grav. 21 (2004) S243-S247
３次元空間上のスカラー場 ψ が次のように球面調和関数で展開されているとする：
X(r, ✓, ) =glm (r)Ylm (✓,この時、r = R で球面調和関数の係数 glm(R) を取り出すことを考える)

lm

まず、連続空間での議論を行う

 |~x|  R + } 上の規格直行系を Ynlm (r, ✓, ) ⌘ GR,(r)Ylm (✓, )幅 2Δを持つ球核 SR, = {~x | Rnと定義する。この時、GnRΔ(r) (n = 0,…, ) は次のような動径方向の完全系である
Z R+
R,
dr r2 GR,(r)Gnm (r) = nm
R
SR,Δ
✓
◆ r
R,

<latexit sha1_base64="qHeQw9rEvRxaC1uZ3xNqku84d1k=">AAAEYHiclVHPaxNBFH5Jo8b4I4leRC+LIZJCLBMRFEFoolCPbWr6g067zO5Ok7WzP9ydDdZxz4InPXnwpCAi/hle/Ac89OpNPFYQxINvN5GmTaN2lp158+b7vve+GcMXdigJ2clkp3LHjp/InyycOn3mbLFUPrcUelFg8o7pCS9YMVjIhe3yjrSl4Ct+wJljCL5sbN1Jzpf7PAhtz70vt32+7rCua2/aJpOY0suZn1Uq+SOZKilDRDxWpq5c4cSxRkPb0ahgbldwjTpM9kwm1Gq8odp1epcLyWJdWRET9WasPdGoH9oaDVK4bhVGhQNuxeoISocjWnvq2m2NWklWV81WHGOxCaLMepBoUv4wsvvoKHISmQOdzW2oq414IDWp9pH9NP/PCHX5fitjZSY4S96oFtSp7HHJ6tTv2dN/bM7p7gi0Fkxrq7pK4KPgWC9VyAxJhzYeNIZBBYZj3iu9AwoWeGBCBA5wcEFiLIBBiN8aNICAj7l1UJgLMLLTcw4xFJAbIYojgmF2C+cu7taGWRf3iWaYsk2sIvAPkKlBlXwm78ku+UQ+kK/k10QtlWokvWzjagy43NeLzy4s/vgny8FVQm+P9deeJWzCzbRXG3v300ziwhzw+49f7i7ealfVFfKGfMP+X5Md8hEduP3v5tsF3n4FBXyAxsHrHg+Wrs00MF64XpltDZ8iD5fgMtTwvm/ALNyDeeiAmWXZp9nn2RdTX3L5XDFXHkCzmSHnPOwbuYu/ATEsSg0=</latexit>

この関係を持つ１例： GR,(r) ⌘ Pn
n

r

R

1
r

2n + 1
2

R

Legendre polynomialΔ

この球核の上では、スカラー場は次のように展開できる(r, ✓, ) =

X

nlm

R,
cnlm Ynlm(r, ✓, )このとき、係数 cnlm は SR,Δ上の体積積分で求めることができる
Z
Z
R,
cnlm =
d3 r Ynlm(r, ✓, ) (r, ✓, )SR,<latexit sha1_base64="Be0rhAcq08NFdX8T1cWuH+68zl4=">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</latexit>SR,R,
d3 r Ynlm(~r)YnR,0 l0 m0 (~r) =nn0 ll0 mm0

よって、r = R で球面調和関数の係数 glm(R) は次のように求められる

glm (R) =X

cnlm GR,(R)nn

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IV. Lattice QCD data

V. Summary

Charles. W. Misner, Class. Quantum Grav. 21 (2004) S243-S247

離散空間では、体積積分は球核上の全てのデータ点の重み付きの和に置き換えることができる

hf |gic ⌘hf |gid ⌘Z3

d x f (~x)g(~x)

~
x2SR,

X

R,
R,
hYA
|YB
ic =

R
AB

(A,B = nlm)Δω( x ⃗)!(~x)f (~x)g(~x)

~
x2SR,

点 (x,y,z) を中心とした単位立方体と球核 SR,Δ との重なりの大きさに対応した重みx⃗

この時、有限個のデータ点しかないことによりYnlmの直行性は破れる
R,
R,
hYA
|YB
id 6=
<latexit sha1_base64="nI/8qB7Lc4YeeLS56c1N1HfS4qE=">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</latexit>

AB

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II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

V. Summary

離散空間上でも直行性を保たせるために、次のように dual basis を定義する
R,
hYA

R,
|YB

R,
Yadj,A⌘<latexit sha1_base64="yp2Bv3tp5NQDsHHjBrOY3XfQJso=">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</latexit>

R,R,
hYdual,A |YB

id = GAB = G⇤BA

X
B

<latexit sha1_base64="LxVWu3c3u++e5RLmlPPaQUKFMsI=">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</latexit>

1 R,
GAB
YB

id =

R,
よって、 cnlm ⇠ hYdual,A |<latexit sha1_base64="uggQB+3wCUqUL7CQbHzyW+PXzxQ=">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</latexit>

dual basis を構成する際には、有限個のベースしか使えないことに注意✓ nmax, lmax は対象となるデータによって適切なものを選ぶ
Δ と nmax の決め方AB<latexit sha1_base64="fTOR19w3wKaKzSez4vFs2cWnSRo=">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</latexit>

X
B

=

nX
max lXmax

id を得るlX

n=0 l=0 m= l!

David R. Fiske, Class. Quant. Grav. 23 (2006) 5951

✓ 動径方向の直交基底 GnRΔ(r) は O(
<latexit sha1_base64="t4HSPIHMifwp37xdlqi2Td3VTwc=">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</latexit>

nmax +2) だけの離散誤差を持つ

Lattice QCD data の離散誤差と同じようにスケーリングさせるために、Δ は Δ〜a (lattice spacing) とした方が良いR
Δ

nmax は、LQCD data の離散誤差より小さくなるように選ぶ（例：LQCD の離散誤差が O(a ) の場合、少なくとも nmax >= 2 とする）
2

<latexit sha1_base64="2ZRGF+CoPRHNB1QhYiaKzhymbKI=">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</latexit>

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IV. Lattice QCD data

V. Summary

Mockup data によるテスト計算の結果<latexit sha1_base64="3QbkWFvQrQwkRYOZTEfm0u2DYCg=">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</latexit><latexit sha1_base64="dvy90VgMy3Jhdut+6ylm8DbjOVE=">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</latexit><latexit sha1_base64="sX2G0Jjcn1THONBKMpWLRm0y0xM=">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</latexit>
sha1_base64="1tqRKu4qqxHI8AQAeehg2wQidig=">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</latexit>
sha1_base64="DStrH2/xhD5QBdZxsdnmfE2S1sw=">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</latexit>
sha1_base64="XPMZT6wgHk8u7K5Yxn1pSwoq3Ug=">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</latexit><latexit sha1_base64="oxQpovbJ020NPaKq6p+KgyR81II=">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</latexit>(~r) ⌘

0 (r) ⌘ 2

e

r2
60

g00(r)sin (r/3)
4 (r) ⌘rsin (r/2)
6 (r) ⌘r

g20(r)r) + ↵ 4 (r)Y4,0 (~r) +0 (r)Y0,0 (~r)
6 (r)Y6,0 (~(α = 0.2, β = 0.1)

g40(r)

このデータに対して、Δ = 1, nmax = 2, lmax = 6 でミスナー法を適用し、glm(r) を各 r で計算した全ての波動関数を正しく再現できている

g60(r)

素粒子・原子核・宇宙「京からポスト京に向けて」シンポジウム @ 筑波大学 東京キャンパス (2019/1/10)

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I. Introduction

II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

実際の Lattice QCD データへの適用：ΛcN（1S0）系

V. Summary

T. M, et al. [HAL QCD Collaboration],
Nucl. Phys. A971 (2018) 113✓A1+ 射影を行なった NBS 波動関数には、ひげ構造が見られる✓ミスナー法を用いた L=0 成分の波動関数にはひげが見られない“ひげ” 構造

ひげ構造は、L >= 4 成分から来ている
ポテンシャルの計算には NBS 波動関数のラプラシアンが必要のため、次にラプラシアンに関してミスナー法を適用する
素粒子・原子核・宇宙「京からポスト京に向けて」シンポジウム @ 筑波大学 東京キャンパス (2019/1/10)

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I. Introduction

II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

実際の Lattice QCD データへの適用：ΛcN（1S0）系

V. Summary

T. M, et al. [HAL QCD Collaboration],
Nucl. Phys. A971 (2018) 113

NBS 波動関数のラプラシアン✓従来の計算では、ラプラシアンは２回差分として定義していた✓ミスナー法では、ラプラシアンは解析的に計算できる~2

r glm (r) =<latexit sha1_base64="Ky6+sF/nQH7Dnlg+2i0qMLHJ1nU=">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</latexit>

nX
max
n=0

R, 1 @ ⇥
R,
cnlm
rG
n
2
2

r @r

(r)

⇤

“ひげ” 構造✓ミスナー法の結果と比べると、ひげ構造が大きくなっていることがわかる
L >= 4 成分は波動関数のラプラシアンに大きなひげ構造を作る
素粒子・原子核・宇宙「京からポスト京に向けて」シンポジウム @ 筑波大学 東京キャンパス (2019/1/10)

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I. Introduction

II. Misnerʼs method

III. Mockup data

実際の Lattice QCD データへの適用：ΛcN（1S0）系

IV. Lattice QCD data

V. Summary

T. M, et al. [HAL QCD Collaboration],
Nucl. Phys. A971 (2018) 113

ポテンシャル“ひげ” 構造✓ ラプラシアンの大きなひげ構造に起因して、ポテンシャルにも大きなひげ構造が現れている
L >= 4 成分の影響により、ポテンシャルの見かけの誤差が大きくなっている
ミスナー法を用いることにより、この見かけの誤差を消すことができる

素粒子・原子核・宇宙「京からポスト京に向けて」シンポジウム @ 筑波大学 東京キャンパス (2019/1/10)

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I. Introduction

II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

V. Summary

L >= 4 が含まれることが物理量にどのように影響するのか？
従来のポテンシャルとミスナー法を用いて計算した
ポテンシャルをそれぞれフィットする✓それぞれのフィットパラメタは、誤差を含めてほぼ同じものとなった✓結果として、フィットパラメタから計算される物理量（位相差など）も同じものとなった

これは、ポテンシャルのフィッティングが L = 0 成分をよく再現できていたことを意味している
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II. Misnerʼs method

III. Mockup data

IV. Lattice QCD data

V. Summary

Lattice 上での従来の S-wave 射影で残ってしまう L >= 4 成分の影響をみるために、
ミスナー法を HAL QCD 法に適用した✓A1+ 射影を行なった NBS 波動関数にある ”ひげ” 構造はミスナー法により取り除くことができた✓NBS 波動関数のラプラシアンでは、”ひげ” が大きくなることがわかった✓これに起因して、ポテンシャルにも大きな ”ひげ” が現れているそれぞれのポテンシャルをフィットし、L >= 4 成分が物理量に与える寄与を調査した✓ポテンシャルのフィットは L = 0 成分をよく再現できていたことがわかった

展望：L > 0 のポテンシャルの計算（P-wave, D-wave など）

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