Nd:YAG Single Crystal と Nd:YAG Ceramics の熱伝導率測定とその比較
植田研究室

高市和則

実験背景・目的1

近年になって、高透光性の YAG(Yttrium Alu-minum Garnet,Y3 Al5 O12 ) セラミックスの作成が可能となり、セラミックスでもレーザー発振が出来るようになった。励起時のレーザー媒質内の温度分布により、媒質内にサーマルストレスが生じ、その結果、熱レンズや熱複屈折が起こる。熱伝導率はレーザー媒質固有の熱的性質を示す重要なパラメータである。本研究では、新しい製法によっ
図 1: 一次元の平行熱流て作成された Nd:YAG セラミックスの熱伝導率を測定し、Nd:YAG 単結晶のものと比較した。

2

熱伝導率について

2.1

Fourier の法則に接しているとする (図 2)。発熱体が単位時間当熱伝導率は Fourier の法則によって定義されている [1]。Fourier の法則は、単位時間当たりの試料中を流れる熱流束を qC 、試料の断面積を S 、熱伝導率を k とすると、

qC = −kS ∇T = −kS gradT(1)
図 2: 測定の基本配置図となる。また、図 1 のように一次元の平行熱流でたり qH の熱を発生するとき、発熱体の温度 T は、考えると、

dT
qH − qC=dt
CHdT(2)dxとなる。式 (2) は、定常状態で、T2 > T1 とすると、
qC = −kS∆T
T2 − T1
L==qC
qCkS(4)とかける。また、試料を伝って流れる時間当たりの熱流束 qC は、式 (3) より、(3)T (t) − T0
L=qCkSと書ける。

(5)となる。

2.2

境界条件として、時刻 t = 0 ときの発熱体の温発熱体の温度変化について度を Ti 、時刻 t = ∞ のとき Ts とすると
kS 1
T (t) − Ts = (Ti − Ts ) exp −tL CH

断面積 S 、長さ L、熱伝導率 k の試料が、上端で熱容量 CH の発熱体に、下端では温度 T0 の熱浴

1(6)Ts = T0 +L
qHkS

3(7)という解が得られる。

2.3

実験装置
測定に用いた試料は、1.0@%Nd:YAG Ceramics(φ3.99 ×8.73 [mm]) 、0.9@%Nd:YAG Single Crystal (φ3.99 × 8.73 [mm]) である。

熱抵抗

また、熱浴、発熱体には、熱伝導率が大きい金L
式 (3) は、∆T を電圧、qC を電流、 kSを抵抗と属である銅を用いた。発熱体、熱浴の温度測定は、すると電気回路と同じように考えることができる

アルメルークロメル熱電対を用い、デジタルボル(図 3)。そこで、試料上端と試料下端での接着によトメーターで行った。熱電対素線は φ 0.1[mm] のものを用いた。発熱体と試料、試料と熱浴との接I着には Ag ペーストを用いた。
実験の装置は、図 5 にある通りである。発熱体のr(a) 熱伝導

加熱は、発熱体を半導体レーザー（波長：808[nm] 、V1[W] ）で照射して行った。また、装置付近の風に(b) 電気回路
図 3: 熱抵抗

る熱抵抗を考える [2]。上端での熱抵抗を Rtop、下端での熱抵抗を Rbottom として、系を電気回路の等価回路に置き換えて考える (図 4)。この等価回
IRtop

図 5: 実験装置図Vrよる影響を除くために、装置を囲った。

Rbottom(a) 熱伝導4(b) 電気回路

接触面の熱抵抗測定
熱抵抗の値を調べるために、熱伝導率が既知の

図 4: 接着面での熱抵抗を考慮した場合

アルミニウム (φ4.0 × 10.1 [mm]) を用いて、発熱路は Ohme の法則により、
V(8)= r + Rtop + Rbottom = r + RI
ここで、Rtop + Rbottom = R である。よって、式体の温度変化を測定した。

LD のパワーが P のとき、発熱体の単位時間当たり発熱量 qH を(8) を熱伝導の場合に書き直すと

qH = αP∆T
L=+RqHkS(9)∆T (t) = T (t) − Ti 

1
L
1=t+ R αP exp − LkS
CHkS + R(10)Ts = T0 +(13)L+ R qHkS(12)と仮定すると、Ti = T0 のとき、式 (10) と式 (11) はとなり、式 (9) を用いて式 (4) を解きなおすと 
1
1T (t) − Ts = (Ti − Ts ) exp − Lt+ R CHkS

(α = const.)

(11)Ts = T0 +となる。

2

L+ R αPkS

(14)

となる。
装 置 内 の 温 度 は 290[K] 、熱 浴 の 温 度 T0 =290[K] 、発熱体の温度 Ti = T0 = 290[K] という条件下で測定を行った。このときミラーなどでのロスのため P = 0.69[W] であった。測定結果は、
図 6 に描く。式 (13) によるフィッティングから、α,

図 7: 発熱体の温度変化：0.9@%Nd:YAG single

crystal at 装置内の温度 290[K],P = 0.69[W]6の温度 290[K],P = 0.69[W]
熱抵抗 R は、

(15)

R = 9.3 ± 0.9[K T−1 ](16)

Ceramics

1.0@%Nd:YAG Creamics(φ3.99 × 8.53[mm])で、発熱体の温度測定を行った。装置内の温度は290[K] 、熱浴の温度 T0 = 290[K] 、発熱体の温度
T (t = 0) = T0 = 290[K] という条件下で測定を

図 6: 発熱体の温度変化：アルミニウム at 装置内

α = 0.27 ± 0.02

1.0@%Nd:YAGの熱伝導率測定行った。このとき P = 0.69[W] であった。測定結果は、図 8 に描く。式 (13) によるフィッティングと 分 かった 。以 後 、こ のR を用いて、
0.9@%Nd:YAG 単 結 晶 と 1.0@%Nd:YAG セラミックスの熱伝導率を求めた。

50.9@%Nd:YAGSingle
Crystal の熱伝導率測定
0.9@%Nd:YAGSingle

Crystal(φ3.99×8.53[mm]) で 、発 熱 体 の 温 度 測 定 を 行った 。
装置内の温度は 290[K] 、熱浴の温度 T0 = 290[K]、発熱体の温度 T (t = 0) = T0 = 290[K] という条

図 8: 発熱体の温度変化：1.0@%Nd:YAG ceramics

at 装置内の温度 290[K],P = 0.69[W]件下で測定を行った。このとき P = 0.69[W] でから、α, 熱伝導率 k は、あった。測定結果は、図 7 に描く。式 (13) によるフィッティングから、α, 熱伝導率 k は、

α = 0.241 ± 0.003(17)

k = 10.5 ± 0.5[WK−1 m−1 ](18)と分かった。

α = 0.249 ± 0.003(19)

k = 10.7 ± 0.6[WK−1 m−1 ](20)と分かった。

3

[2] B. J. Filla, Rev. Sci. Instrum. 68, 2822
(1997).

気孔率による補正

7

セラミックスは作成するときに、気孔が入る。そ[3] W. D. Kingery, H. K. Howen, and D. R.
Uhlmann, Introduction to Ceramics, 2nd ed.
(John Wiley & Sons,New York,1976).

れ故、セラミックスは単結晶と気孔との混合物である。YAG ceramics の場合、YAG single crystalが連続相、気孔が分散相、気孔率 p が分散相の体積分率として考えることが出来る。よって、実験結果[4] ( [3] の邦訳本) 小松 和藏, 佐多 敏之, 守吉 佑介, 北澤 宏一, 植松 敬三 共訳, セラミックス
材料科学入門 (内田老鶴圃,1981).

等から、ksingle  kair = 2 × 10−2 [WK−1 m−1 ](atroom temperature) なので
1−pkceramics ∼= ksingle
1 + 0.5p[5] A. A. Kaminskii, Springer Series in Optical Science Vol. 14 Laser Crystals:TheirPhysics and Properties, 2nd ed. (Springer-(21)という、Maxwell-Eucken の補正式が得られる [3,Verlag,Berlin,1990).

4]。
本実験で用いた 1.0@%Nd:YAG ceramics は気孔率が 1[ppm] なので、式 (21) より、

kceramics ∼= 0.999k single ≈ ksingle(22)となり、この程度の気孔率では、気孔によるセラミックスの熱伝導率の低下は十分無視でき、単結晶の熱伝導率と同じと考えてもよい。このことは、実験結果とよく一致している。

8まとめ実 験 結 果 か ら 、1.0@%Nd:YAG ceramics と0.9@%Nd:YAG single crystal の 熱 伝 導 率 は 、ksingle = 10.5 ± 0.5[WK−1 m−1 ] 、kceramics =10.7 ± 0.6[WK−1 m−1 ] で、互いに一致した値を示した。
また、1.0@%Nd:YAG single crystal の熱伝導率
は、11-14 [WK−1 m−1 ] と報告されている [5] ので、それとほぼ一致した値が得られた。
実験結果と今までの議論から、Nd:YAG ceramicsと Nd:YAG single crystal とには、熱伝導率に関しては、違いが認められなかった。
このことにより、Nd:YAG ceramics が Nd:YAG

single crystal の代用物としての十分なポテンシャ
ルを有しているといえる。

参考文献[1] 日本化学会編, 実験化学講座 4

熱・圧力, 第4 版 (丸善,1992).
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