2022 年第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

素粒子・重力・宇宙論分科会

集録集

■ 謝辞
2022 年度天文・天体物理若手夏の学校は、基礎物理学研究所を始め、国立天文台、光学赤外線
天文連絡会、理論天文学宇宙物理学懇談会、天文教育普及研究会、日本天文学会からのご支援により成り立っております。事務局一同厚く御礼申し上げます。
素粒子・重力・宇宙論分科会2

■ index
重宇 a01

湊 恵太

漸近的平坦な時空での量子重力理論に対するホログラフィック双対な場の理論の対称性

重宇 a02

井上 直人

静的および動的時空における Ryu-Takayanagi 公式と量子情報

重宇 a03

米尾 雄一郎時間依存する時空におけるホログラフィックなエンタングルメント・エントロ

重宇 a04

中野 貴臣

重力波による Aﬄeck-Dine 機構の検出可能性

重宇 a05齋藤 仁

最小限に修正された重力理論におけるブラックホールから伝播する重力波

重宇 a06

野瀬 観見

重力波による修正重力理論の検証:エコーとゆがみ

重宇 a07

七條 友哉

光学機械振動子系のビーム模型の定式化と揺らぎの推定

重宇 a08

東野 優里香ピー

massive Brans-Dicke 理論と parameterized post-Einstein 形式を用いた重力波
解析

重宇 a09山越 蒔士

f (Q) 重力理論と BH

重宇 a10飯塚 颯見

D 次元時空に対する摂動と Tidal Love Number の関係

重宇 a11

天羽 将也

photon sphere の一般化「dark horizon」

重宇 a12小林 元

soft hair を帯びたブラックホールの熱力学

重宇 a13

小塚 友裕

ミンコフスキー空洞内の荷電ブラックホール爆弾

重宇 a14

谷田 幸貴

Splashback 半径による重力理論の制限可能性

重宇 a15

髙寺 俊希

Spherical collapse in Generalized massive gravity

重宇 a16

橋本 勇輝

Null Energy Condition を満たすバウンス宇宙モデル

重宇 a17橋本 祥吾

膨張宇宙における重力メモリー効果

重宇 a18中村 真

FRW 宇宙モデルにおける BMS 対称性

重宇 a19

上道 恵也

AdS instability

重宇 a20大橋 陸人

一般相対論における数値シミュレーション手法

重宇 a21

覺 依珠美

背景重力波エネルギースペクトルの上限値の推定について

重宇 a22

齋藤 俊之

PTA による重力波の検出

重宇 a23

水口 由莉乃

再加熱期の予測と重力波によるポテンシャルの区別

重宇 a24

道信 祐吏

α-attractor と超重力理論

重宇 a25

松井 悠真

複数場の α-attractors におけるインフレーション

重宇 a26

鄭玄

Starobinsky model vs. Higgs inﬂation model

重宇 a27

川口 遼大Gauss-Bonnet 項を含むインフレーション模型での PBH 形成

重宇 a28外岡 沙恵

インフレーション宇宙における原子ブラックホールの形成

重宇 a29笠井 健太郎Aﬄeck-Dine 機構による原始ブラックホール形成モデル

重宇 a30勝又 彰仁

背景磁場によるアクシオン-光子変換とアクシオン雲の減衰

重宇 a31松尾 賢汰

ブラックホールまわりの磁場構造

重宇 a32

末藤 健介

曲率特異点を解消した Reissner-Nordstrom ブラックホールの蒸発と情報損失問題

重宇 a33

成瀬 元希

銀河と活動銀河核による再電離への寄与

重宇 a34Wildan Hidayat

The 21 cm hydrogen emission line during the epoch of reionization

重宇 a35

石川 慶太朗

三次元二点相関を用いた測光観測による BAO の測定

重宇 a36

寺澤 凌

曲率を持つ宇宙のパワースペクトルの計算法の開発

重宇 a37

講演キャンセル重宇 a38

中須 崇文

パリティ対称性の破れによる CMB の偏光面回転

重宇 a39

直川 史寛

宇宙マイクロ波背景放射の複屈折の精密な理論予言に向けた研究3

重宇 c01
重宇 c02

講演キャンセル片山 友貴

統合摂動論の基礎と物質優勢期における原始ブラックホールの形成

4

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重宇 a01

漸近的平坦な時空での量子重力理論に対するホログラ
フィック双対な場の理論の対称性
京都大学大学院 理学研究科
湊 恵太

5

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

漸近的平坦な時空での量子重力理論に対するホログラフィック双対な場の理論の対称性
湊 恵太 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
4 次元漸近的平坦な時空において Soft Graviton Theorem の tree-level の S-matrix と Virasoro 変換を生成する Charge の間に Ward Identity が成り立っていることが示され、これにより 4 次元漸近的平坦な時空
のける量子重力理論が Virasoro 対称性を持つことが示された。
さらに、4 次元漸近的平坦な時空に対応する境界の場の理論が 2 次元共形場理論（CFT）であることが予想され、Holography 原理より 4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論の物理量が 2 次元 CFT を用いて計算できることが示唆される。
本稿では、(D. Kapec 2014) に基づき上記の内容をレビューする。

1

空の形から決まる。このことから、4 次元漸近的平坦

Introduction

な時空における量子重力理論に対応する場の理論を
量子重力理論の完成は物理学の長年の課題である推測できる。

ものの、未だ完成されていない。そこで、何らかの

本稿では、まず 4 次元漸近的平坦な時空における方法で量子重力理論の候補となる理論を制限しなけ

量子重力理論の持つ対称性について議論する。次にればならない。ここで重要な役割を果たすのが、対称性である。ある理論と変換の組が与えられたとき、それらの S-matrix と Charge の間に Ward Identity

その結果を用いて 4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論に対応する境界の場の理論の候補を紹介する。

が成り立っているかを調べることで、理論が与えられた変換に対して対象であるかどうかがわかる。AdS
時空の量子重力理論の持つ対称性については既に調2べられている。一方、加速器を用いた衝突実験などのWard Identity

小さなスケールから宇宙論的なスケールまで、さまある理論と変換の組が与えられたとき、もしそのざまなスケールにおける現象が AdS 時空ではなく漸理論が与えられた変換に対して不変であれば、次式

近的平坦な時空における現象として近似される。そが成り立つ。

こで、我々の住む時空における量子重力理論に対す⟨out |[Q, S]| in⟩ = 0

る理解を得るには、漸近的平坦な時空における量子(1)

重力理論の対称性を調べる必要がある。

この式は Ward Identity として知られている。ここで、この問題に答えを与えたのが D. Kapec 達である。 S 、Q はそれぞれ理論の S-matrix、Charge である。

彼らによって、漸近的平坦な時空の対称性として知

本稿では、後述するように 4 次元漸近的平坦な時空られていた BMS 群を拡張した extended BMS 群のにおける Soft Graviton Theorem と Virasoro 変換に部分群である Virasoso 群が 4 次元漸近的平坦な時空

対してこの式が成り立っていることを示し、Virasoroの量子重力理論のもつ対称性であることが示された。 群が 4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論
また、Holography 原理により、量子重力理論を低の持つ対称性であることを示す。

次元の場の理論で記述できる。このとき、これらふたつの理論は同じ対称性を持ち、また次元の差は時6

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

漸近的平坦な時空

3

extended BMS 群

4

続いて、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力

BMS 群とは、supertranslation（角度依存性をも理論の対称性について考える。その候補として、まつ時空並進）および Lorentz 群の半直積であり、生成ずは 4 次元漸近的平坦な時空の Null 無限遠での境界子の数はそれぞれ無限個と 6 個である。また、これら

条件を変えない変換を考える。

の生成子はすべての角度 (z, z において正則である。

まず、Null 無限遠における 4 次元漸近的平坦な時

supertranslation の生成子のうち角度依存性をもたな

空の計量は、Bondi 座標x0=x1 + ix2=x3=

いものと Lorentz 群の半直積からなる部分群を考え

u+r =v−r
2rz
1 + zzr(1 − zz)
1 + zz

ると、これは Poincare 群になっている。BMS 群に(2)ついての詳細は (G. Barnich & C. Troessaert 2010)(3)に記載されている。
量子重力理論の候補をさらに絞るためには、より(4)強い対称性を考える必要がある。BMS 群において、を用いて次式で与えられる (G. Barnich & C. Troes-

Y が任意の (z, z において正則であるという条件を外

saert 2010)。

し極を持つことを許すと、Lorentz 群が無限個の生成

ds2

=

=

子を持つ Virasoro 群に拡張され、対称性が大きく広−du2 − 2dudr + 2r2 γzz dzdz
2mB 2+
du + rCzz dz 2 + 2guz dudz
r
+c.c.
(5)

がる (A. Strominger. 2014)。そこで、Ward Identityを用いて Soft Graviton の散乱行列が Virasoro 対称性を持つことを示すことができれば、正しい量子重力理論は Virasoro 対称性を持たなければならないとい−dv + 2dvdr + 2r γzz dzdz
2mB 2+
dv + rCzz dz 2 + 2gvz dvdz
r
+c.c.
(6)
2

2

う強い制限を与えられる。なお、supertranslation とVirasoro 群の半直積で表される群は extended BMS群と呼ばれ、(A. Strominger. 2014) および (T. He etal. 2014) で調べられている。

ただし、簡単のため未来（過去）方向の Null 無限遠を

なお、Null 無限遠で定義される Virasoro 変換に対表すのに retarded null coordinate u（advanced null

応する電荷は次式で与えられる。(D. Kapec 2014)

coordinate v ）を用いる。
式 (5) および式 (6) の第 1 行目は Minkowski 時空Q±の計量であり、2 行目以降がそこからのずれを表して=Q±Hいる。ここで、mB 、Czz 、guz などは Null 無限遠か
ら見た内部の情報を表す物理量である。各項の r 依

Q±S

存性は Einstein eq. から決まっているが、

ξ

=
ξf

ξY

ξf + ξY
(7)
(
u z
u) z
z
Y ∂z − D Dz Y ∂z
= 1+
2r
2r
1
u
z
− (u + r)Dz Y ∂r + Dz Y z + c.c.(8)
2
2
1 z
z
= f ∂u − (D f ∂z + D f ∂z )r
+Dz Dz f ∂r
(9)

±
Q±
H + QS]∑[
Ek
Dz Y ±z (zk )∂Ek
= ±i
Y ±z (zk )∂zk −
2
k
∫
1
=∓
dud2 z Dz3 Y ±z u∂u C zz
(10)
2 I±

ただし、Ek は k 番目の粒子のエネルギー、Dµ は共変微分である。また、QH 、QS はそれぞれ粒子に作用する微分同相変換を生成する演算子、真空に Soft

Graviton を生成する演算子である。

5で生成される変換はこの r 依存性を変えない (G. Bar-

Soft Graviton Theorem

nich & C. Troessaert 2010)。これにより生成されるSoft (energy-less) particle を含む n + 1 粒子の散乱群が BMS 群である。次節で BMS 群およびこれを拡

振幅 An+1 は、soft particle を含まない n 粒子の散乱

張した extended BMS 群について簡単に説明する。

7

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
一方、左辺第 2 項は、graviton を mode 展開する
振幅 An を用いて次のように書ける（Soft Theorem）。
[]
ことで次のようになる (D. Kapec 2014)。
lim An+1 (ω) = lim ω −1 S (0) + ω 0 S (1) + O(ω) An (11)
ω→∞

ω→∞

ただし、ω は soft particle のエネルギー、S (i) は展=開係数である。
ここで、⟨out |[QS , S]| in⟩i−lim (1 + ω∂ω )
ω→0
4π
∫
+
⟨out |a− (ωq µ )S| in⟩ (16)d2 zDz3 Y z εzz

An+1

=

⟨out |a− (ωq µ )S| in⟩

この式の右辺に式 (11) と式 (13) を用いて計算を進An=⟨out |S| in⟩

めると、次式を得る。

と置いて式 (11) に代入すると、

lim (1 + ω∂ω ) ⟨out |a− (ωq µ )S| in⟩

ω→0
(1)−

=

S

=

k

⟨out |S| in⟩× ⟨out |S| in⟩(12)

ただし、S (1)− は tree-level の Diagram の一部を直接∑ pk µ ε−µν q λ Jk λν
k

pk µ

qµ

(17)

式 (15) と式 (17) を式 (14) 左辺に代入すると、こ

計算することで次のように得られる。

S (1)− = −i⟨out |[QS , S]| in⟩
]
∑[
Ek
−i
Y ±z (zk )∂zk −Dz Y ±z (zk )∂Ek
2

れはゼロになる。したがって、式 14 が成り立つ、これにより、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力(13)

理論は Virasoro 対称性を持つことが示された。

なお、ωq µ 、pk µ 、Jk µν 、ε±µν はそれぞれ soft gravi-

7

ton の四元運動量、k 番目の粒子の四元運動量、k 番目の粒子の角運動量、graviton の偏極ベクトルであHolography 原理
本稿の残りでは、これまでに得た結果から 4 次元漸る。また、a± は ± に偏極した soft graviton の消滅

近的平坦な時空における量子重力理論に対応する境演算子である。

界の場の理論を推測する。そのために、まずは Holog-

raphy 原理について簡単に説明する。

6

Holography 原理とは、d 次元時空の量子重力理論

Ward Identity (続き)が境界で定義された低次元の場の理論と等価である

式 (10) を用いて式 (1) を変形すると、⟨out |[QH , S]| in⟩ + ⟨out |[QS , S]| in⟩ = 0という予想である (G. t’Hooft 1993)。なお、これらの 2 つの理論は同じ対称性を持つ。とくに有名なも(14)ののひとつに、AdS/CFT 対応がある。ここでは、d

したがって、Soft Graviton Theorem の S-matrix と

次元 AdS 時空の量子重力理論と d − 1 次元の境界のVirasoro 変換の Charge の間にこの関係が満たされ場の理論が対応することが知られている。

ていれば、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論は Virasoro 対称性を持つ。左辺第 1 項は式 (10)8から簡単に計算出来て、=

一方、d 次元漸近的平坦な時空の場合、Null 無限⟨out |[QH , S]| in⟩
]
∑[
Ek
±z
±z
i
Y (zk )∂zk −Dz Y (zk )∂Ek
2

遠を考えるため、境界の場の理論においては時間座
標と動径座標の 2 つに対応する次元が落ち、d − 2 次k× ⟨out |S| in⟩

境界の場の理論

元の場の理論が対応する。したがって、4 次元漸近的(15)

平坦な時空における量子重力理論に対応する境界の場の理論は 2 次元である。加えて、本稿前半での議

である。

8

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校論より 4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論が Virasoro 対称性を持つことから、これに対応する境界の場の理論も Virasoro 対称性を持つ。
結局、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論に対応する境界の場の理論は 2 次元で Virasoro
対称性を持つことが結論付けられた。このような場の理論として真っ先に思い浮かぶのが、2 次元 CFTである。このことから、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論に対応する境界の場の理論は 2 次
元 CFT であると示唆される。これにより、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論の物理量が 2
次元 CFT を用いて計算できると予想される。

9Conclusion
Ward Identity が成り立っているかどうか調べることで、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論が Virasoro 対称性を持つことが示された。
また、この結果をもとに、4 次元漸近的平坦な時空における量子重力理論に対応する境界の場の理論は2 次元 CFT であると予想される。

Reference
D. Kapec, V. Lysov, S. Pasterski & A. Strominger 2014,
J. High Energ. Phys.
G. Barnich & C. Troessaert 2010, Phys. Rev. Lett.
A. strominger 2014, arXiv:1312.2229v2 [hep-th]
T. He, V. Lysov, P. Mitra & A. Strominger 2014,arXiv:1401.7026 [hep-th].
G. t Hooft 1993, arXiv:gr-qc/9310026v2.

9

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重宇 a02

静的および動的時空における Ryu-Takayanagi 公式と量子情報
近畿大学大学院 総合理工学研究科
井上 直人

10

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

静的および動的時空における Ryu-Takayanagi 公式と量子情報
井上直人 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
物理学分野における最終目標のひとつとして有名なのは量子重力理論の実現であろう。ホログラフィー原理
から端を発し、現在ではその一例である AdS/CF T 対応が確かなものになりつつある。本稿では静的時空における代表的な AdS/CF T 対応として Ryu-Takayanagi 公式について触れ、さらにはその式に含まれる極
小曲面（Ryu-Takayanagi 面）を光波面と解釈し直すことで動的時空へと拡張する Tsujimura-Nambu の提案について記す。

1

2

Introduction

Ryu-Takayanagi fomula

ブラックホールは、もとは星だったものが重力崩壊

ブラックホールのエントロピーはブラックホール

することによって形成される天体である。見方を変の事象の地平面内部が原理的に観測できないことにえれば、ブラックホールはもとの星の情報を有していよって生じる。これを重力側のエントロピーだとすると考えることが出来よう。この情報量をエントロ

ると、これに対応する量子側のエントロピーは何でピーと定義した際に、J. Bekenstein と S. Hawking があろうか。量子側にも重力側と同じ状況設定をして1970 年代前半にブラックホールのエントロピーが事象 みる。全体の系 Htot において観測者がいる部分系の地平面に比例しているとした Bekenstein-Hawking HA に対して、部分系 HB が観測できないとする。
その時、部分系 A に制限されたエントロピーは同じ

公式

S=

A
4GN

く A に制限された縮約密度行列 ρA を用いて SA =(1)

−T rHA [ρA log ρA ] と表現され、これをエンタングル

を発表した。ここから、1990 年代前半に G. t’Hooftと L.Susskind はホログラフィー原理を提唱し、我々が体積に比例すると考えていたエントロピーとブラ

メント・エントロピーと呼ぶ。AdS/CF T 対応を考えれば、これは重力側の幾何学を用いて導出できそうである。

ックホールのエントロピーの違いは次元による違いだと説明した。そして、この原理の具体例として J.

Maldacena は 1997 年、反ド・ジッター (AdS) 時空とその境界に位置する共形場理論 (CFT) が等価であるとした AdS/CF T 対応を発表した。この対応から派生した概念の一つに Ryu-Takayanagi 公式というものがある。これは時刻一定面において AdS/CF T
対応を用いて共形場理論のエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）を導出できるというものである。さらに、この公式を時間発展させる方法の一つとして光波面を用いる方法がある。
本稿 2 章では Ryu-Takayanagi 公式 [1] について解説を行い、3 章では光波面を用いた Ryu-Takayanagi

図 1: 境界に CFT を有する AdS 時空における極小曲面 γA (credit:Ryu-Takayanagi 2006)

公式の時間発展 [2] について述べる。

図 1 のような状況を考える。先ほどと同様に部分系 A にいる観測者は部分系 B にアクセスできないと

112022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校する。もしバルクを通して B にアクセスしようとす(0, ∞, 0) として r0 → r へ変化したときの θ(r) と t(r)ると、何か γA のような曲面が遮断していそうであはそれぞれ、√る。これはブラックホールに対する事象の地平面によく似ている。さらに Bekenstein-Hawking 公式 (1)r 2 − b2

1
θ(r) = √ log
M

よりその曲面にエントロピーが内在していそうであのエンタングルメント・エントロピーを導出できる

t(r) =

公式

1 − l2b2

lAdS
arctan
M

(

lAdS
tan
b

(√

))
Mθ

(4)
(5)

と求まる (b: インパクトパラメーター)。そして光の(2)を導きだした。これを Ryu-Takayanagi 公式という。
ここでの γA は平均曲率ゼロの極小曲面と呼ばれるも軌道 rN G (θ, b) と光波面の軌道 rW F (θ, t) はそれぞれ(4)(5) より、√のであり、面積最小の曲面となる。この曲面を Ryu-rN G (θ, b) = √Takayanagi 面と呼ぶこともある。

Mb

1 − l2b

2

csch

(√

)
Mθ

(6)

(√ )
)
(√
Mt
M lAdS coth lAdSMθsechrW F (θ, t) = √
(√ )
(√
)
Mt
1 − coth2 lAdS
tanh2
Mθ
√

3

√

)
√
−M +b M
AdS

一定面において AdS 時空のバルクの幾何学から境界

Area(γA )
4GN

r2
2
lAdS

r

る。以上のことから S. Ryu と T. Takayanagi は時刻

SA =

(

Null wave front and Causal
holographic information

AdS

(7)

Ryu-Takayanagi 公式 (2) を動的なものへ拡張する と表すことが出来る。そして (7) は時刻一定面の (3)方法として、流れとして理解しようとする試みもある。AdS 境界から放射されるヌル測地線を考え、それによって自然に導出される因果的ホログラフィック
情報がエンタングルメント・エントロピーと一致す
る条件について考察する。

から別に求めることが出来る Ryu-Takayanagi 面(√)√
M rmin sechMθ(8)rRT (θ) = √
(√
)
2
rmin
2
M − l2 tanhMθAdSの rmin を rmin =3.1

Null wave front
Takayanagi surface

and

√

(√
M lAdS coth

Mt
lAdS

)

とすると光

Ryu- 波面と Ryu-Takayanagi 面と一致することが示せた(図 2)。

本小節では光波面がブラックホールを含む AdS 時
空 (BTZ 時空) の Ryu-Takayanagi 面に一致することを示す。

(2+1) 次元の BTZ 時空におけるヌル測地線は(
ds = −
2

r2
2
lAdS

)
−M

(
2

dt +

r2
2
lAdS

)−1
−M

dr2
+r2 dθ2(3)

で記述できる (−π ≤ θ ≤ π,M:BH 質量,lAdS :AdS半径)。それぞれの座標の初期値を (t0 , r0 , θ0 ) =図 2: BTZ 時空における極小曲面 (左) と光波面 (右(橙: 光波面、黄: 光線))12

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

3.2

Causal holographic information と求まる。膨張率 Θ は Raychaudhuri 方程式
and Entanglement entropy
Θ2
dΘ
dλ

エンタングルメント・エントロピーの類似概念と

d−1− Rµν k µ k ν(14)に従う。今回、光波面は球対象であるとしているこ

して、因果的ホログラフィック情報

χA =

=−

とからひずみや回転は (14) に現れない。また、宇宙Area(ΞA )4GN(9)定数を持つ真空時空ではリッチテンソルの項はなくが存在する [3]。ここでの ΞA は境界領域 A で特徴づなる。よって (14) より、けられる the bulk causal wedge♦A の交差面である

Θ=(図 3)。これがエンタングルメント・エントロピーと

d−1
λ − λ0(15)と求まる (λ0 は光波面の点源におけるアフィンパラ
メーター)。したがって、Θ は λ → ∞ のときゼロとなる。これは (13) より光波面の平均曲率がゼロになる
ことがわかり、極小曲面と一致することが示せた。つまり、光波面にひずみや回転がないことが SA = χAの条件であることがとなる。そしてこの条件を満たすためには時空と光波面の強い対称性が必要となる。
図 3: ポワンカレ AdS 時空の境界領域 A とそれに特徴づけられる影響領域と依存領域 (credit:Hubeny-

Rangamani 2012)xµ = (t, r, θ, . . . ) の宇宙定数を持つ球対称時空をる因果的ホログラフィック情報は光波面にひずみや回転がない場合にエンタングルメント・エントロピー

考える。そして θ までの計量−1Conclusion

Ryu-Takayanagi 公式は光波面によって時間発展させることが可能であり、その光波面によって導かれ一致する条件を本小節で述べる。

ds2 = −f (r)dt2 + f (r)4と一致することが分かった。

dr2 + r2 dθ2(10)iを考える。ヌル測地線の接ベクトルは k i = dx
dλ と表す。この時空において時刻一定面の光波面の平均曲

Reference[1] S. Ryu & T. Takayanagi 2006, JHEP

率Hは

(√
))
f 2 ( (√ r )hk + ∂θhk θ(11)H = √ ∂r
ω h√と求まる (ω : キリングベクトルの保存量, h : S d−1
1[2] J. Tsujimura, & Y. Nambu 2020, entropy[3] E. Hubeny & M. Rangamani 2012, JHEP

上の計量の行列式)。また、光波面の膨張率 Θ は(√))
1 ( (√ r )hk + ∂θhk θ
Θ = √ ∂rhと表せる。したがって、(11) と (12) より
( 1)
f2
H=
Θ
ω

(12)

(13)

13

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重宇 a03

時間依存する時空におけるホログラフィックなエンタ
ングルメント・エントロピー
近畿大学大学院 総合理工学研究科
米尾 雄一郎14

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

時間依存する時空におけるホログラフィックなエンタングルメント・エントロピー
米尾 雄一郎 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract1997 年，量子重力理論の研究の中で，反ド・ジッター空間 (AdS) における重力理論と場の量子論である共形場理論 (CFT) の対応関係 (AdS/CFT 対応と呼ばれる) が J.Maldacena によって発見された．AdS/CFT
対応に基づいた研究の中で特筆すべき発展の一つが「Ryu-Takayanagi 公式」である．近年，量子情報理論，
物性理論，量子コンピューターといった量子通信等の様々な分野で重要とされる概念に量子エンタングルメ
ント (量子もつれ) があり，そのもつれの強さを測る量の一つにエンタングルメント・エントロピー (以下，EE) がある．Ryu-Takayanagi 公式は，量子論側で定義された EE が AdS 時空中で妥当な条件を課した曲面の面積すなわち重力理論側の幾何学量で与えられることを主張しており，このようにして求めた EE はホ
ログラフィックな EE と呼ばれる．Ryu-Takayanagi 公式は，場の量子論では計算が複雑な相互作用する量子系の EE の計算を容易しただけでなく，派生研究として量子エンタングルメントによる時空の創発なども行われている．このように，Ryu-Takayanagi 公式を研究することで今後も豊かな示唆が得られると期待される．そこで本発表では，EE や RT 公式を適用する際の AdS 時空での曲面の条件付けについて簡潔触れた
後，V.E.Hubeny，M.Rangamani，T.Takayanagi の論文 (2007) に基づいて，重力理論側の時空が時間依存する場合のホログラフィックな EE の計算について紹介する．

1

では 3 次元以上は計算結果がほとんど知られていな

Introduction
1997 年に Maldacena によって発見され，多くのブ

レークスルーをもたらしている AdS/CFT 対応 [1] は「d + 2 次元の反ド・ジッター空間 (AdS) における量子重力理論 (超弦理論) はその境界上に住む d + 1 次
元の共形場理論 (CFT) と等価である」ことを意味し，重力理論を含む宇宙全体と場の量子論との間につながりがあることが判明した．
近年，量子情報理論，物性理論，量子コンピューターといった量子通信等の様々な分野で用いられる

い．しかし 2006 年，AdS/CFT 対応と EE を結びつける試みから，ホログラフィックに EE を計算する方法が Ryu と Takayanagi によって提案 [2] され，その計算式は Ryu-Takayanagi 公式 (RT 公式) 3 と呼ばれる．また，RT 公式は静的時空において定義されたが，より一般的な時間依存する時空においてホログラフィックに EE を計算する方法が Hubeny，

Rangamani，Takayanagi によって提案 [3] され，こちらは Hubeny-Rangamani-Takayanagi(HRT 公式)と呼ばれる．

概念に量子エンタングルメント (量子もつれ) がある．このもつれの強さを測る量の一つであるエンタ
ングルメント・エントロピー (EE) 1 が注目されている2 が，場の量子論側での EE の計算は一般に複雑で，相互作用のない自由場であっても 2 次元 CFT以外は数値計算に頼らざるを得ず，相互作用する場

そこで本発表では，EE や RT 公式を適用する際のAdS 時空での曲面の条件付けについて簡潔触れた後，V.E.Hubeny，M.Rangamani，T.Takayanagi の論文(2007) に基づいて，重力理論側の時空が時間依存する場合のホログラフィックな EE の計算について紹介する．

1 以下では，必要に応じてエンタングルメント・エントロピー
を EE と略記する．
3 以下では，必要に応じて Ryu-Takayanagi 公式を RT 公式
2 EE の注目例として，例えば，S.Sachdev「ひも理論で語る
物質の科学」日経サイエンス 2013 年 4 月号などを参照されたい． と略記する．

15

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

エンタングルメント・エントロ

この量 SA は A と B の量子エンタングルメントを測る量である．

ピー
量子エンタングルメント (量子もつれ) とは，量子多体系 (多数の構成要素からなる量子系) において， 3
部分系 A とそれ以外の系 B に分けた際の二つの系の間の量子的相関である．一般の量子多体系での量子

いま，d + 2 次元の漸近 AdSd+2 時空を考え，時空エンタングルメントは以下のように定義される：まは時間依存しない (静的) と仮定する．このとき，時ず，全体系を部分系 A と B の二つに重複なく分け

間一定面を選ぶと，d + 1 次元 CFTd+1 側で定義される．これは，全体系を表す Hilbert 空間 Htot を A とB に対応する Hilbert 空間 HA ，HB の直積に分解できることに対応する：

Htot = HA ⊗ HB

Ryu-Takayanagi 公式と適用時の曲面の条件た部分系 A とその補集合である系 B の間のエンタン
グルメント・エントロピー SA は，Ryu，Takayanagi
によって提案された以下の式 (RT 公式) で求めることができる：(1)

いま，基底状態の波動関数を |Ψ⟩ とすると，全体系SA =の状態が直積の形|Ψ⟩ = |Ψ1 ⟩A |Ψ2 ⟩B(d+2)

ここで，GN(2)

Area(γA )
(d+2)

(5)

4 GN

は d+2 次元の Newton 定数，γA は漸近 AdSd+2 内部 (bulk) に広がる co-dimension 2 の空で書ける際には量子エンタングルメントは存在せず， 間的曲面4 のうち，面積最小の曲面 (minimal surface，
直積の状態に書けない際は A と B の間に量子エンタ
ングルメントが存在するという．このことは二つの電子スピン A，B からなる全体系 (2 量子ビット系という) を例に考えるとよい．いま，上向き，下向きのスピン状態をそれぞれ |↑⟩，|↓⟩ で表すと，|Ψ⟩ = |↑⟩A |↓⟩B

極小曲面) を表し，Area(γA ) は γA の面積を意味する．なお，極小曲面 γA を選ぶ際には，γA の端が Aの端に一致 (∂γA = ∂A) するように取り，さらにはγA と A が同じトポロジー5 を持つように選ぶ必要がある (図 1)．

や |Ψ⟩ = |↓⟩A |↑⟩B のような直積状態では A，B のスピンは独立に決まっており，A と B に相関はない．
√
一方で，|Ψ⟩ = 1/ 2(|↑⟩A |↓⟩B ± |↓⟩A |↑⟩B ) という直積で書けない状態は A のスピンが上向き (下向き)と観測されると，B スピンは下向き (上向き) であるという相関がある．
エンタングルメント・エントロピーは，この相関の強さ (もつれの強さ) を測る量の一つである．いま，再び全体系が (1) 式のように分かれている状況を考える．まず全体系の密度行列 ρtot を HB に対して部分対角和をとる (トレースアウトするという) 操作によって A に対する縮約密度行列 ρA が定義される：

ρA = TrHB [ρtot ](3)

図 1: AdS/CFT 対応と極小曲面

EE は，この ρA に対する Von Neumann エントロ
ピー (情報エントロピー) として定義される：

SA = −TrHA [ρA log ρA ](4)

4 ここでの co-dimension 2 とは，bulk に対して次元が 2 つ低
い，すなわち d 次元であることを意味する．
5 より正確には，数学のホモロジーの立場で γ と A が等価でAあること (ホモロジー条件と呼ぶ) を要求する．

16

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Ryu-Takayanagi 公式を用いた 時間 t = 一定面における θ = 0 の点と θ = 2πl/L の点を結ぶ最小長さの線分 (=測地線) であり，AdSd+2
計算例
での測地線は埋め込み先の時空 R2,d+1 の中で 2 次元

4

この章では，ホログラフィックな計算をどのように平面と AdSd+2 が交わる部分空間で与えられる．よって，R2,2 内のベクトルを行うのかを掴むために AdS3 /CFT2 での RT 公式を用いた計算例を紹介する．

R⃗x = (R cosh ρ0 cos t, R cosh ρ0 sin t, R sinh ρ0 , 0)R⃗y = (R cosh ρ0 cos t, R cosh ρ0 sin t,

4.1

グローバル AdS3 時空

R sinh ρ0 cos (2πl/L) , R sinh ρ0 sin (2πl/L))(10)

1+2 次元の AdS3 は埋め込み先の時空となる時間
が 2 つある 1+3 時空 R2,2とすると，R⃗x と R⃗y が張る 2 次元平面はパラメータλ に依存する係数 β(λ), γ(λ) を用いて，

ds2 = −dY02 − dY12 + dY22 + dY32

(6)
⃗ = β(λ) · (R⃗x) + γ(λ) · (R⃗y )
X

(11)

内の超曲面
で与えられ，いま β(λ), γ(λ) として−(Y0 ) − (Y1 ) + (Y2 ) + (Y3 ) = −R
2

2

2

2

2

(7)

1
sinh(λ/R)
α2 − 1α2sinh(λ/R)γ(λ) = cosh(λ/R) − √α2 − 1β(λ) = √として定義される．ここで，R は時空の大きさ (AdS
半径) である．この拘束条件 (7) を解くために，以下のようなグローバル座標を導入する：(13)⃗ は拘束条件 (7) を満たす AdS3を選ぶと，ベクトル X⃗ = (Y0 , Y1 , Y2 , Y3 )Y

上のベクトルであることはすぐに確かめられる．ただし，α = 1 + 2 sinh2 ρ0 sin2 (πl/L) とした．よって，⃗ の軌跡で与えられる：測地線は R2,2 内のベクトル X= (R cosh ρ cos t, R cosh ρ sin t,
R sinh ρ cos θ, R sinh ρ sin θ)

(12)

(8)

⃗ =√ Rsinh(λ/R) · ⃗xX
α2 − 1[]
α2+ R cosh(λ/R) − √sinh(λ/R) · ⃗yα2 − 1(14)

このとき，AdS3 時空の計量は，()
ds2 = R2 − cosh2 ρ dt2 + dρ2 + sinh2 ρ dθ2 (9)と表される．このような時空をグローバル AdS3 時
空と呼び，ρ → ∞ が CFT の住む境界 (R1 × S1 ) に⃗ ≡ dX/dλ⃗⃗ は規
ここで，ベクトル Vを導入すると Vあたる．

格化されているから，求める測地線の長さは，∫∫∫√Length =ds =gµν V µ V ν = dλ = λ∗

4.2

γA

円周上における EE(15)

いま，2 次元 CFT2 は時間方向と長さ L の円周となり，γA の両端におけるパラメータ λ の差 λ∗ で方向からなる場合を考える．このとき CFT2 は円筒与えられることがわかる．内積の定義から，

R × S 上に定義されていることから，この時空を
1

1

cosh(λ∗ /R) = −

境界にもつグローバル AdS3 時空 (9) を考える．この設定で境界における θ の線分 (0 ≤ θ ≤ 2πl/L) を
部分系 A とした時のエンタングルメント・エントロ
ピー SA をホログラフィックに計算する．いま，RT
公式 (5) における co-dimension 2 の極小曲面 γA は

⃗x · ⃗y=α|⃗x|||⃗y |(16)

であり，これをカットオフがとても大きな極限 (eρ0 ≫1) の時に λ∗ について解くと，)(λ∗ ≃ R log e2ρ0 sin2 (πl/L)

17

(17)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
Hubeny-Rangamani-Takayanagi 公式 (19) で求めが得られる．ここで RT 公式を用いると EE は，

SA ≃

λ∗

=
(3)

4 GN

c
log (eρ0 sin(πl/L))
3

た EE は，共変なホログラフィック・エンタングルメ(18)

ント・エントロピーと呼ばれ，時空を時間依存しない場合に制限すると RT 公式に還元される．

と 求 め ら れ る ．な お ，最 後 の 変 形 で は ，Brown(3)Henneaux の関係式：c = 3R/2GN を用いた．

6
5

まとめ
量子論側で定義された EE が RT 公式を用いてホHubeny-RangamaniTakayanagi 公式での計算法

ログラフィックに求められることがわかった．また

RT 公式は，時空が時間依存しない (静的) 場合に場合に拡張できることも判明した．これらのホログ

おいて定義された．しかし，回転するブラックホー

ラフィックな計算法は，場の量子論側では計算が困難

ルやブラックホールが形成・成長する過程のようなな相互作用する場の EE の計算を容易にするなど場

時間依存する時空の場合にそのまま適用することがの量子論の理解に貢献している．また，派生研究とRT 公式が Light-sheet を用いて時間依存する時空のできない．ここでブラックホールが登場する理由は， して量子エンタングルメントによる時空の創発など
AdS/CFT 対応に基づくと，有限温度の CFT は AdS が行われており，このことは量子情報理論を用いた
量子重力理論への新たなアプローチを提供している．

時空にブラックホールが存在する状況に対応するからである．

Hubeny，Rangamani，Takayanagi らは Bousso がAcknowledgement

共変なエントロピー上限 (Bousso バウンドと呼ばれる) を求める際に導入したライトシート (非正 (≤ 0)コロナ禍の中，このような研究発表の場を設けてな膨張率をもつ null 測地線束で成される null 超曲面)

いただいた夏の学校スタッフの皆様，ご支援いただの概念を用い，RT 公式の共変化を行った．

いた全ての関係者の皆様に心より感謝申し上げます．

その結果，d + 1 次元 CFTd+1 側のある時間 t で定また，本研究にあたってご指導とお力添えいただい義された部分系 At とその補集合である系 Bt の間のた一般相対論・宇宙論研究室の皆様に，この場をおエンタングルメント・エントロピー SAt (t) は，以下

借りして心より感謝申し上げます．

の式 (Hubeny-Rangamani-Takayanagi 公式) で求めることができる：

SAt (t) =(d+2)

ここで，GN( ext )
Area YAt(d+2)

Reference(19)[1] J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2 231(1998)

4 GN

ext
は d + 2 次元の Newton 定数，YAt[2] S. Ryu and T. Takayanagi, Phys. Rev. Lett. 96
181602 (2006); JHEP 0608 045 (2006)

は AdSd+2 内部 (bulk) に広がる co-dimension 2 の[3] V. E. Hubeny, M. Rangamani and T. Takayanagi,
JHEP 0707 062 (2007)

曲面のうち，微小変分しても面積が変わらない曲面( ext )
(extremal surface，極値曲面) を表し，Area YA
は
t
ext
YA
の面積を意味する．なお，RT 公式の場合と同
t
ext
ext
様に極値曲面 YAを選ぶ際には，YAの端を At の
t
t
ext
ext
端に一致 (∂YA= ∂At ) させ，YAと At が同じトtt

ポロジーを持つように選ぶ必要がある．また，極値曲面が複数ある場合には，それらの中で一番面積が小さいのものを選ぶ．

18

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重宇 a04

重力波による Aﬄeck-Dine 機構の検出可能性
名古屋大学大学院 理学研究科
中野 貴臣

19

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波による Aﬄeck-Dine 機構の検出可能性中野貴臣 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在の我々の宇宙は物質からできており、人間や星, 銀河などあらゆるものが物質から構成され、反物質はほとんどないことが分かっている。この物質・反物質の非対称性 (バリオン数生成) は、素粒子標準模型では説明できないため、現代の素粒子的宇宙論の主要な問題点の 1 つである。
この物質と反物質の非対称性を説明するためのアイデアの 1 つとして、Aﬄeck-Dine 機構 [1] がある。Aﬄeck-

Dine 機構は、I. Aﬄeck と M. Dine によって提唱されたモデルであり、超対称性理論 (SUSY) に基づくバリオン数生成機構である。この機構によると、スカラー凝縮体の真空期待値（VEV）の進化を通じて、宇宙のバリオン非対称性が生成される。このスカラー凝縮は、一般にノントポロジカルソリトン（Q-ball）に分裂すると考えられている。その後、生成されたバリオン数は一旦 Q-ball に取り込まれる。その後、Q-ball が崩壊することによってクォークなどにバリオン数を受け渡すことによって、宇宙のバリオン非対称性は生まれた。

1

イントロダクション

1.1

宇宙のバリオン非対称性

素合成以前の極初期にインフレーションと呼ばれる宇宙が指数関数的な急膨張があったと考えられている。なので、たとえインフレーション以前にバリオン数が存在しても、インフレーションによって薄め

現在の宇宙には反粒子で構成される反物質はほとんど見られず、我々の宇宙は物質優勢である。ビッ
グバン元素合成の理論によれば、現在の宇宙に存在を考える必要がある。

ためには、

(1)

であればよい [2]。ここで η は baryon-to-photon ratioと言い、η =

よって、インフレーションからビッグバン元素合成までの間にバリオン数を生成する機構 (Baryogenesis)

する水素やヘリウムなどの物質の存在比を実現する

η BBN = 5.1-6.5 × 10−10

られ、バリオン数はほぼ 0 になると考えられている。

nB −nB̄とし、nB , nB̄ , nγ はそれぞれバnγ

2Aﬄeck-Dine baryogenesis

2.1

超対称性理論

リオン数密度, 反バリオン数密度, フォトン数密度である。一方、宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) の観測
からは

Aﬄeck-Dine 機構は超対称性理論に基づくバリオ
ン数生成機構であり、標準理論を超対称化した超対称標準理論は盛んに研究されている。超対称性 (SUSY)

η

CMB

−10

= (6.19 ± 0.15) × 10とは、ボソンとフェルミオンを結びつける対称性で(2)あり、超対称性理論はボソンとフェルミオンがペアでという結果が得られており [3]、理論と観測とが一致存在することを予言する。超対称性粒子としてクォーしている。

クの対称性パートナーであるスクォーク、レプトンの超対称性パートナーであるスレプトンなどを考える。

1.2

Baryogenesis の必要性

では、この宇宙の物質・反物質の非対称性 (BAU)
はいつから生まれたのか。現在の宇宙論では、軽元

20

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2.2

Aﬄeck-Dine 機構

Aﬄeck-Dine 機構はスクォーク (スカラー場でクォークと同じバリオン数 1/3 を持つ超対称性粒子)
がインフレーション中に大きな値を持つことによって宇宙にバリオン数が生成される。ここで、超対称性理論では、いくつかのスカラー場の線形結合を取るとポテンシャルがほとんど平坦な方向が存在し、ϕ4の term が消え、ポテンシャルが
2n−2

2

2

V (ϕ) = m2ϕ |ψ| − |cH | H 2 (t) |ψ| + λ2
+am3/2 λ|ψ|M 2n−6ϕn+ c.c. (3)nM n−3と書ける方向を探すことができる。具体的に AD 場

図 1: Aﬄeck-Dine 場の振動例 [4]のダイナミクスを考える。まず、インフレーション中から考えると、インフレーション中は非常に大きな真空のエネルギーを持っていて、その効果からスカラー場に対しても Hubble パラメーター程度の質量補正が出てきて、ワインボトル型のポテンシャルを持つよう場合、ある保存量 Q が存在し、今の場合バリオン数に対応する。この保存量 (バリオン数)Z †Q[ψ] = iψ (∂t − iω) ψ − ψ (∂t + iω) ψ † (5)になり、大きな真空期待値を持つことになる。インフx

レーション後は Hubble パラメーターが時間とともにを一定に保ったまま、スカラー場の値を変化させ、ス

22
段々と小さくなっていき、m2ϕ |ψ| ≧ |cH | H 2 (t) |ψ|

カラー場の持つエネルギーZ 
22
E[ψ] = iψ̇ − iωψ + |∇ψ|となってから、原点が安定点となり原点周りに振動を始める。また、元々大きな真空期待値を持っていxnたので、a-term am3/2 λ nMϕn−3 は無視出来ないほど2+ m2ϕ |ψ| +Veﬀ (|ψ|)]

効いてくる。この term により、このポテンシャルは(6)

傾けられ、原点に向かって振動するときに位相方向が最小になるようなスカラー場の配位を考える。こにも振動し始める。また、バリオン数 B は、Z
B = dV Im (ϕ∂0 ϕ∗ )こで、ポテンシャルがスカラー場の大きなところで|ψ|2 よりも平坦になっていれば、エネルギーを最小(4)化するスカラー場の配位は局所的で球対称になる。
スカラー場が局所的に安定な配位を持つとき、そのと書けるので、この位相空間内での回転はバリオン

配位をソリトンと呼ぶ。また、今考えているような数を持っていることを表す。

U(1) 対称性を持つ理論で現れるソリトンを Q-ball と呼ぶ。スカラー場だけ考えるとエネルギーが最小と3

Q-ball3.1

複素スカラー場における Q-ball 解なる配位なので、Q-ball は安定となる。

3.2

Aﬄeck-Dine 機構における Q-ball

Q-ball は、1985 年に Coleman が Aﬄeck-Dine 機
構とは関係なく、複素スカラー場の理論においてそAﬄeck-Dine 機構においてはスクォーク場というのような配位が存在することを提唱したことから始スカラー場が宇宙にバリオン数を生成する役割を果まった [5]。状況としては、U(1) 対称性を持つある複たす。このスカラー場のポテンシャルはスクォーク

素スカラー場を考えると、U(1) 対称性を持っている場の値が大きなところで平坦になっており、前節で21

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
述べたように Q-ball 解を持つ。よって、Aﬄeck-Dine

4

機構ではバリオン数が生成されるだけでなく、Q-ballConclusion
Aﬄeck-Dine 機構は、AD 場がインフレーション中が生成される可能性がある。実際、図 2 のように、ス
カラー場が持つわずかな空間的揺らぎが大きくなり、
球状のスカラー場の固まり (Q-ball) が生成される。
前節で Q-ball は安定であるとしたが、今我々はスカは大きな真空期待値を持っており、インフレーション
後に振動を始めると同時に、ポテンシャルをズラす

a-term から位相方向に回転を始めてバリオン数を生成する。そのとき、Q-ball という局在化した配位を形成する場合がある。そして、この Q-ball はスクォー
クで構成されているので、スクォークがクォークに崩壊することによって、宇宙のバリオン非対称を生み出す。

Acknowledgement
今回の論文のレビュー発表に際して、QG 研のス
タッフや先輩方にお力添えいただけました。知識が少ないところサポートをし、真摯に対応していただ
きありがとうございました。

5
図 2: Aﬄeck-Dine 機構における Q-ball 生成シミュ

参考文献

レーション [6]1. I. Aﬄeck and M. Dine, Nucl. Phys. B 249, 361(1985)

ラー場としてスクォークを考えている。ここで、ス

2. J. Beringer et al. [Particle Data Group Collaboration], Phys. Rev. D 86, 010001 (2012)

クォークは不安定であり、クォークと軽い超対称性粒子に崩壊する。この崩壊過程は Coleman の理論に

3. E. Komatsu et al. [WMAP Collaboration], Astrophys. J. Suppl. 192, 18 (2011) [arXiv:1001.4538[astro-ph.CO]]4. arXiv:hep-ph/9507453v1
5. S.R. Coleman, Nucl. Phys. B 262 , 263 （1985）
6. S. Kasuya and M. Kawasaki Phys.Rev. D62 (2000)
023512 (2000)
7. G. White, L. Pearce, D. Vagie and A. Kusenko,
Phys. Rev. Lett. 127, no.18, 18 (2021)

図 3: AD 場の崩壊過程はなかったので、この過程を通して Q-ball は崩壊できる。このような過程を通して、Aﬄeck-Dine 機構
では宇宙にバリオンを生成する。

22

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重宇 a05

最小限に修正された重力理論におけるブラックホール
から伝播する重力波
立教大学 理学研究科
齋藤 仁

23

未提出

24

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重宇 a06

重力波による修正重力理論の検証:エコーとゆがみ
東京大学大学院 理学系研究科
野瀬 観見

25

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

重力波による修正重力理論の検証：エコーとゆがみ
野瀬 観見 (東京大学大学院 理学系研究科物理学専攻 M1)

Abstract
宇宙の加速膨張やダークエネルギーなど、一般相対性理論 (GR) では解決できない問題のために、GR に代
わるさまざまな理論が提案されている。本稿では、それらの検証に、連星ブラックホール (連星 BH) からの重力波 (GW) が利用できることを示した先行研究 (J.M.Ezquiaga et al. 2021) をレビューする。特定の修正重力理論に立脚せず現象論的に伝播方程式を変更し、その解を WKB 近似を用いて解析的に求めた。また、実際の GW の波形の GR からの変化とそれらの物理的な理由を具体的に示した。

1

2

Introduction

Methods
まず、GR において、h(+,×) が満たす伝播方程式

本稿がレビューする先行研究 (J.M.Ezquiaga et al.

2021) は、計量テンソル揺らぎ h(+,×) の他にもう一 は次の一本の二階線形微分方程式である。
つのテンソル揺らぎ s(+,×) を予言する修正重力理論

d2 (+,×)dh+ 2H h(+,×) + c2 k 2 h(+,×) = 0dη 2dηを仮定して、GW が一様等方宇宙をどう伝播するの(1)かについて議論している。まず (J.B.Jimenez et al.
(+,×)の他に s(+,×) を予言する修正重力理論であれ
2020) と同様にして、GR でのテンソル揺らぎ h(+,×) hの伝播方程式を、係数を 2 × 2 行列とする二階線型微 ば、これは次のように拡張される。
( )分方程式に拡張する (特定の修正重力理論に立脚させ
2
h
d
d
2
ˆ
ないために、行列の成分は全て任意にしておく)。一 [I dη 2 + ν̂(η) dη + Ĉ(η)k ± Π̂(η)k + M̂ (η)] s = 0
般にこれらの行列の成分は時間に依存しても良く、解(2)( )を求めることはできない。しかし、GW の周期がハッ⃗ ≡ h ; Ŵ (η) ≡ Ĉ(η)k 2 ± Π̂(η)k + M̂ (η)
ブル時間より十分に小さい場合、Wentzel-KramersΦ
s
Brillouin(WKB) 近似 (又はアイコナール近似) を用

いて解析的な解を求めることができる。宇宙論的距
離を伝播した連星 BH からの GW はこの条件を満た2.1

している。先行研究 (J.M.Ezquiaga et al. 2021) はま
ず、係数が 2 × 2 行列に拡張された二階線形微分方
程式を、初期条件が Gaussian wavepacket であった

もしこの方程式の係数行列が全て時間依存しなけ
れば場合について数値的に解き、解析的な解がこれと矛盾しないことを確かめた。そして、この解析的に求めた解を用いて、実際の連星 BH からのチャープ波

係数行列が全て時間依存しない場合

( )
h
d
d2
ˆ
[I 2 + ν̂+ Ŵ ]
=0
dη
dη
s

(3)

であるが、この微分方程式であれば、解空間を 4 次( )( )が GR からどのように変化するのかを明らかにした。 元と考えて 4 つ独立解を見つけることで解くことが
h
α
iθ
η
⃗ =
先行研究 (J.M.Ezquiaga et al. 2021) は合計 85 ペー できる。解を Φ=e Aだと仮定するsβジから成り、このレビューでは全てを網羅できないと、式 (3) の左辺 [] 内の行列には Kernel があることため、一部を抜粋して議論する。2 章で WKB 近似になるので、による解の求め方、3 章で実際のチャープ波の波形を見る。4 章でこれらの波形に物理的解釈を与える。

2
ˆA
det[Ŵ − Iθ
+ iν̂θA ] = 0

26

(4)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
少し計算をして解を求めると、実数 ωA と ΓA を使って

θA± = ±ωA + iΓAを考え、さらにこれを代入する微分方程式を次のように変更しなければならない。

(5)

( )
h
d
[ϵ I 2 + ϵν̂(η)+ Ŵ (η)]
=0
dη
dη
s
2ˆ d

の 4 つがあることがわかる (A = 1, 2)。θA± = ±ωA +iΓA のそれぞれに対応する固有ベクトルは
( )
α
2
ˆ
[Ŵ − IθA + iν̂θA ]=0βる。0 次と 1 次のみに着目するとϵ0 : Ŵ Û − Û θ̂2 + iν̂ Û θ̂ = 0
ϵ1 : (2Û θ̂ + iν̂ Û )P̂0 Q̂0 (η, η0 )
′

1±

(12)

えて良いため、θ1 と θ2 はどちらも

12 +iν̂12 θ2±− Ŵ Ŵ−θ
2 +iν̂ θ
11

11 2±

2±



2
det[Ŵ Û − Û θA+ iν̂ Û θA ] = 0



⇔

1

2
ˆA
det[Ŵ − Iθ
+ iν̂θA ] = 0

(13)

22 1±

を満たす。従って式 (4) より、θA は、係数行列に時となる。+ 方向に進む波のみを考えるため、式 (7) の⃗⃗Û
− H0,− のみを取り出す。少し計算すれば、Φ0 =(− P̂)
h0⃗ 0 の第⃗ = Û− P̂− H⃗ 0,− = Û− P̂− Û −1 Φとして Φ0
一成分は (s は検出されずかつ s0 = 0)、h(η, k) =′0 次の等式を注意深く見ると、今は det(Û ) ̸= 0 と考Ê±Û± = √
det(Ê± )22′+(Û θ̂ + 2Û θ̂ + iν̂ Û )P̂0 Q̂0 (η, η0 ) = 0
)
(
θ1 0
θ̂ ≡
0 θ2

⃗ = Û− P̂− H⃗ 0,− + Û+ P̂+ H
⃗ 0,+
Φ
(7)
)
(
−iω1 η−Γ1 η0eP̂ = P̂− = P̂+∗ =−iω2 η−Γ2 η0eÊ± = 21 +iν̂21 θ1±− Ŵ Ŵ−θ
2 +iν̂ θ(11)′

ベクトルとして

1(10)

この方程式が全ての ϵ の次数で成立していると考え(6)⃗ の一般解はこれら 4 つの独立解のから求められ、Φ⃗ 0,± を任意線型結合となる。計算の結果、一般解は H2h0 (k)
1 − Ê12 Ê21

間依存がない場合と全く同様の形で、Ŵ と ν̂ の成分を使って求められることがわかった。また、Ŵ Û −
2
Û θA
+(
iν̂ Û θ)
A の A 列目は 0 ベクトルなので、Û の
αA
A 列目
は
βA
( )
2
ˆ + iν̂θA ] αA[Ŵ − Iθ
(14)A
βA

(e−iω1 η−Γ1 η−Ê12 Ê21 e−iω2 η−Γ2 η )(8)と求められる。
を満たすことがわかる。式 (6) から、Û (η) も係数が時2.2間依存しない場合と全く同じ形となることがわかる。

係数行列に時間依存がある場合

式 (11) の 1 次の等式からは、ÂW KB ≡ P̂0−1 (2Û θ̂+′らの GW の周期がハッブル時間より十分短いことを0′θ (η )dη

−

∫η
η0

′

ÂW KB (η )dη(15)は、θA− = −ωA + iΓA の二つを選択して

′

∫η

′

′

−
Â
(η )dη
−1
⃗ 0−
⃗
Û−
(η0 )Φ
Φ(η)= Û− (η)P̂0− (η, η0 )e η0 W KBe ϵ η0 2⃗0 (η) + ϵV
⃗1 (η) + · · · )
×(V

(16)

≡ Û (η)Pˆ0 (η, η0 )[Q̂0 (η, η0 ) + ϵQ̂1 (η, η0 ) + · · · ]⃗0×Û −1 (η0 )Φ

′⃗と Q̂0 が求まる。+方向に進む Φ(η)
の leading order


∫η
i

′

Q̂0 (η, η0 ) = e

利用して、WKB(アイコナール近似) を行う。1 つ方向に進む波の解として
 ∫η
′
′
i
ϵ η0 θ1 (η )dηe⃗ = Û (η) Φ0′iν̂ Û )−1 (Û θ̂ + 2Û θ̂ + iν̂ Û )P̂0 を使って、一般解を求めることはできないので、連星 BH かとなる。ここで、e

(9)

−

∫η
η0

′

ÂW KB (η )dη

′の非対角成分は0 になるという近似を使うと (断熱近似)、s0 = 0 に27

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
注意して、

式 (18) に従ってチャープ波を表すと、図 1 のように√
h(η, k) =×(e−ih0 (k)

det(Ê(η0 ))1 − Ê12 (η0 )Ê21 (η0 )det(Ê(η))

∫η

η0

′ ∫
′
ω1 dη − ηη Γ1 dη

−Ê12 (η)Ê21 (η0 )e≡ h0 [f1 (η, k)e

0

−i

−i

∫η

∫η
η0

η0

′

component mass)。ここで、WKB 近似で解析的に解いた結果はQ̂0,11 (η, η0 )∫η

ω2 dη − η Γ2 dη

ω1 (η) =

′

0

ω1 dη

なる (ᾱ は定数、m1z は等質量連星 BH の redshiftQ̂0,22 (η, η0 ))′+ f2 (η, k)e

−i

∫η
η0

ω2 dη

√
√

c2 k 2 + (ᾱH)2 − ᾱHc2 k 2 + (ᾱH)2 + ᾱH√vg = c2 k/ c2 k 2 + (ᾱH)2ω2 (η) =

′

]

(20)

(17)
である。
が得られ、求めたい解を得ることができる。
式 (2) を WKB で解く場合、GR からのずれを考えるので、ν̂ には 2H が既に含まれていると考えなけ( )ah
ればならないが、これをに関する微分方程式
asに書き直せば、ν̂ の対角成分から( 2H) を消去できるah′((ck)2 ≫ H2 , H に注意)。このを今までに述as
べた方法で求めていくことに注意すると、式 (17) から、我々が現在において観測する h は次のように求まる。
∫ zs ∆ω1 (k,zs )h(k, zs ) = hf id (k, zs )[f1 (k, zs )e−i 0∫ zs ∆ω2 (k,zs )+f2 (k, zs )e−i 0

H(z)

dz

H(z)

dz

図 1: Friction mixing がある場合の波形](18)
観測者からさほど遠くない連星 BH からの GW は、∆ωA (k, zs ) ≡ ωA − ck

波の外側を結ぶ最大振幅が、距離 z に従って大小を繰
ここでは hf id (k, zs ) は連星 BH がどちらも等質量でり返しているのがわかる。またその振幅は GR の場

face-on の場合において求めることとする。式 (18) の合の振幅に比べて定数倍となっているように見える。

全ての k を二つの分散関係を用いて ω に直し、時間

さらに、観測者から遠ざかると、波形が次第にゆが

t との間のフーリエ変換を実行すると、修正された

み、最終的に左右反転したような形の波が届くよう

チャープ波が得られる。

になることがわかる。上から 3 つのパネルには、重ね合わされている二つの異なる固有振動数 ω1 と ω2

3

Results

3.1

Friction mixing がある場合を持った波の様子も示されている。

3.2

Mass mixing がある場合

Friction の行列 ν̂ に非対角成分がある例として次Mass の行列 M̂ に非対角成分がある例として次ののような微分方程式が成り立つ場合を考える。
(
)
( 2
)
0
−2ᾱH
d
d
2 +
[Iˆ dη
]2 + (ck)
dη
2ᾱH
0
(
)
a(η)h(η, k)
×
=0
(19)
a(η)s(η, k)ような微分方程式が成り立つ場合を考える。
(
)
)
( 2
2
2
m
m
h
hs
2
4
d
2 + a(η) c][Iˆ dη
2 + (ck)
m2hs m2s()a(η)h(η, k)
×
=0
(21)
a(η)s(η, k)28

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
チャープ波は図 2 のようになる (式 (21) の 3 つのパラ

二つ目にはエコーがある。ω1 と ω2 の二つの固有振メータは m4hs = m2h m2s 、mg = m2s + m2h 、tan2 Θg =(mhs /ms )4 という関係式を満たしていて、後ろの 2

動数を k で偏微分すれば、二種類の波束の群速度がつは図 2 の上部で与えられている)。ここで、WKB時に一つの山だった波も、次第に二つの波束に分離近似の結果は、k が大きい極限ですることになる。よって観測者は同じ物理的対象 (超ω12 (η) = c2 k 2

観測者からの距離が遠ければ遠いほど起こりやすく得られる。この二つの速度に違いがあれば、emission

新星爆発など) から 2 回 GW を観測することになる。

ω22 (η) = c2 k 2 + a2 c4 m2g
a c m2g
vg,2
≈1−
c
2k 2

なると考えられる。

2 2

最後にゆがみ (broadening) がある。一つの波束に(22)着目するとき、その群速度が k に依存していれば、波束はさまざまな k(従ってさまざまな速度) をもつ波である。

で構成されるため、ひとりでに形がゆがんでいくことになる。
図 1 の上二つのパネルにおいて、波の外側を結ぶ最大振幅の、距離 z に従って大小を繰り返す挙動はうなりによるものだと考えられる。また、群速度は二つの波束で等しいが、k が大きいほど速いので broadeningが起きる。最後には合体の瞬間の波が、inspiral の時の小さい k の波を追い越して先に観測されるようになる。
うなりをまとめる cos 波にも今までと同様に群速度を ∂∆ω
∂k で定義できるが、Mass mixing がある場合、式 (22) より ∆ω が k に依存しているのでこれは 0 と

図 2: Mass mixing がある場合の波形

ならず、節と腹の位置が時間によって変化することがわかる。これが図 2 の一番上のパネルで、振幅が

図 2 において一番上のパネルでは、振幅が突然小突然小さくなる瞬間 (節) が訪れている理由である。

さくなる瞬間が訪れている。また、下の二つのパネ

さらにこの場合二つの群速度は異なるためエコーが

ルではエコーが起きていて、さらにそのエコーは通起き、そのエコーの波形において合体の瞬間の波が常の波形を左右反転させたような形になっている。

4

inspiral の波を追い越している。

Discussion

5

まず最初に、簡単のために係数行列が時間依存しない場合を考えて、GR では起こらない現象としてどのようなものがあるかを考える。係数が時間依存する場合にも同じような現象が起こると考えられる。

Conclusion

宇宙論的距離を伝播した連星 BH からの GW は、
修正重力理論の検証に用いることができる。また、うなり、エコー、ゆがみによって GR からの波形の変化を説明できる。

一つ目はうなりである。GR では分散関係は ω = ckの一つであったが、今は ω = ω1 と ω = ω2 の二つの固有振動数が得られている。そのため、式 (8) の絶対値の 2 乗をとると cos(∆ω−c) (c は定数、∆ω = ω1 −ω2 )という項が現れるが、これがうなりを引き起こす原因である。

Reference
Jose Maria Ezquiaga, Wayne Hu, Macarena Lagos &Meng-Xiang Lin 2021, arXiv:2108.10872v2
Jose Beltran Jimenez, Jose Maria Ezquiaga, & Lavinia
Heisenberg 2020, arXiv:1912.06104v2

29

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重宇 a07

光学機械振動子系のビーム模型の定式化と揺らぎの推定
九州大学大学院 宇宙物理理論研究室
七條 友哉

30

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

光学機械振動子系のビーム模型の定式化と揺らぎの推定
七條 友哉 (九州大学大学院 宇宙物理理論研究室 M2)

Abstract
自然界には 4 つの力が存在し、電磁気力、強い力および弱い力は量子力学に従うが、重力が量子力学に従っていることが検証されていない。もし重力が量子力学の枠組みに従うならば、重力の量子力学的重ね合わせ状態が観測できるはずである。重力は他の力に比べ非常に弱い力であり、重力の効果を大きくするために物体を巨視化してしまうと環境との相互作用により、物体を量子力学的状態に保つことが難しくなる。光学機
械振動子は、重力波の検出にも応用されている光共振器と振動子とを組み合わせた力学系で、振動子の量子力学的状態の制御が可能になりつつある。例えば、[1] では重力の量子性の検証に向けて、7mg の振動子についてエネルギー散逸を大きく低減することに成功し、従来の限界より 2 桁ほど重い巨視的振動子の量子制御が可能になっている。この研究では、光共振器の片側の鏡を固定し、もう片側の鏡をひもでつるした振動子とする光学機械振動子の理論模型をビーム模型へ拡張し、その量子制御に向けた理論解析を行った。ビー
ム模型は、振動子をつるすひもや鏡が有限の大きさを持つ際に変形まで考慮したモデルであり、実際の実験により近い理論模型である。ビーム模型を導入すると鏡の運動が複雑化するため、周波数が小さい領域だけを考え、近似を行うことで、鏡の重心運動と回転運動に帰着することを示す。

1

導入

2

ビーム模型

現代物理学は、マクロな現象を記述する一般相対性理論とミクロな現象を記述する量子力学の大きな二つの柱によって発展してきた。どちらも実験結果と整合の取れた優れた理論である。しかし、それぞれの実験的なスケールは、重力測定可能な物体の質
量は 10−1 g であり、量子制御可能な物体は 10−8 g となっており、大きく隔たっている。両理論の統合に向けた検証実験は今のところ実現していない。本研
究の大きな目的は重力測定と量子制御ができていな
いスケールである、メゾスコピックな領域に着目し、連続変位測定を行うことで標準量子限界に近づけることができるのかを検証することである。先行研究

図 1: セットアップ[2] では、7mg の懸架鏡の変位を 10−14 m 程度の高い分解能で測定することができ、重力の量子性への検図 1 に示すように 2 つの鏡を距離 L だけ離して用証が期待されている。より高精度の変位測定を行う意する。右側の鏡を動かないように固定し、右側の懸ためには、精密な理論模型が必要となってくる。本

架鏡はひもと有限の大きさを持つ鏡からなるとする。

研究では鏡の回転と鏡がつるされているひもの運動

左右の鏡 (光共振器) 内部に光子を閉じ込めることをまで考慮して、懸架鏡の変位をより正確に測定する考える。光共振器内の光は定在波となっており、右側理論を構築した。

の鏡と相互作用する。また、光子は鏡で完全に反射せず一部は鏡を透過するが、左の鏡の外からレーザーを照射することにより、減少していく光子を補うも31

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
る。

(

Z ℓ

1 2
1
Π (σ, t) + T
H =
dσ
2ρ
2
0
 2
2 )
∂ X(σ, t)
1
+ EI
2
∂σ 2



∂X(σ, t)
∂σ

2

1 2
1 2
hT 2
p (t) +
Π (t) +
Φ (t)
2M
2J Φ
2
†
†
† −iω0 t+ℏωc a a − ℏG0 a ax + iℏε(a e− aeiω0 t )+(2)
こ こ で 、キャビ ティ内 の 光 子 は 昇 降 演 算 子

図 2: セットアップ (懸架鏡の詳細)a, a† ([a, a† ] = 1) を用いて表す。また、ωc はキャのとする。また、左の鏡を透過した光子を測定する。
図 2 は懸架鏡の詳細について図示したものである。ひもについて、複素ヤング率 E 、慣性モーメント I 、単位長さあたりの質量 ρ を持つ。このひもの一端は天井に固定されており、距離 ℓ 離れたもう一方の端にビティ内の光子の周波数であり、G0 (= ωc /L) は光p
子と鏡の結合定数である。|ε| = 2P κ/ℏω0 であり、P はキャビティの外から照射されるレーザーの出力、κ は鏡の減衰率 ω0 はレーザーの周波数である。
ひもと鏡とキャビティ内の光子の運動方程式は次で与えられる。

は、有限の大きさの鏡が取り付けられている。鏡は

∂2X
∂4X
− EI
2
∂σ
∂σ 4
∂3X
+ ℏG0 a′† a′M ẍ = −T Φ + EI
∂σ 3 σ=ℓ
 2

∂ X
∂3X
J Φ̈ = −EI+h∂σ 2 σ=ℓ∂σ 3 σ=ℓ

質量 M で 、重心を中心に慣性モーメント J を持っρẌ = Tている。鏡の重心からひもが取り付けられている位置までの距離は h である。鏡はひもに T = M g の張力を与える。簡単のため、ひもと鏡は 1 次元方向にのみ運動すると仮定する。ひも上に座標 σ を取ると、ひもの位置は、0 ≤ σ ≤ ℓ の範囲で、関数 X(σ, t) でȧ′ = iG0 a′ x − {κ + i(ωc − ω0 )}a′ + ε

記述される。ひもはせん断変形をしないと仮定すると、鏡の重心位置は x(t) = X(ℓ, t) + hΦ(t) と表される。ここで、Φ(t) = x′ (L, t)(′ は縦方向の σ 座標に対する微分を表す) とする。

(3)
(4)
(5)
(6)

ここで、ain は光子の真空揺らぎを表す。ただし、a′ ≡aeiω0 t と定義しなおした。以下では a′ を a と省略して書く。

この時、ひもの位置 X(σ, t), 鏡の位置 x(t), 鏡の傾次に、X = X̄ + δX, x = x̄ + δx, Φ = Φ̄ + δΦ, a =き Φ(t) に対して共役な運動量を以下のように定義すā + δa の摂動を考える。(X̄, x̄, Φ̄, ā は定常状態を表˙ = ā˙ = 0 である。) 定常解は次のよし、X̄˙ = x̄˙ = Φ̄る ( ˙ は時間微分を表す)。

うに与えられる。

ℏG0 |ā|2σT2ℏG0 |ā|x̄ =(ℓ + h)T|ε|2|ā|2 = 2
κ + ∆2∆ = ωc − ω0 − G0 G|a|2

Π(σ, t) = ρẊ(σ, t)p(t) = M ẋ(t)X̄(σ) =(1)ΠΦ (t) = J Φ̇(t)よって全系のハミルトニアンは次のように与えられここで、G = ℏG0 x̄/T と定義した。

32

(7)
(8)
(9)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
1 次の摂動方程式をまとめると、
2

3

結果

4

∂ δX
∂ δX
− EI
(10)
∂σ 2
∂σ 4
∂ 3 δXM δ ẍ = −T δΦ + EI
+ ℏGδA (11)∂σ 3 σ=ℓ 2∂ δX∂ 3 δXJδ Φ̈ = −EI(12)+h∂σ 2 σ=ℓ∂σ 3 σ=ℓパラメータの値については、[2] の実験を参考にし、

ρδ Ẍ = T

次に示す。

M = 7.71 × 10−3 g,
1.72 × 10−8

T = 7.56 g cm/s2 ,ρ =g/cm,l = 1cm,h = 0.15cm, ℏ = 1.05−27

g cm2 /s, J = 4.50 × 10−5 g cm2 ,E0 I = 3.58 × 10−6 g

δ Ȧ = −κδA + ∆δB(13)

cm3 / s2 ,kB = 1.38×10−16 g cm2 / K s2 ,T0 = 10−2 K,δ Ḃ = −κδB − ∆δA + Gδx(14)

κ = 2π × 8.2 × 105 Hz, ∆ = −0.0292 × 2κとなる。ここで、新たな変数として δA, δB, G を定義した。

1
δA = √ (δa + δa† )21
δB = √ (δa − δa† )2i√
G =2G0 ā
フーリエ変換をZ ∞f (ω) =−∞

F(t)eiωt(15)として書き直し、式 (10) に外力 F が加えられたとす
ると、

図 3: T0 = 10−2 K の際、鏡の変位の揺らぎの 2 乗期
待値のスペクトル解析。G=0 の時は、光子が鏡と相互作用せず、鏡は光子からの輻射圧を受けない。

F = −M ω 2 δx(ω) + T δΦ(ω) − EI−ℏGδA(ω)

3∂ δX(σ, ω)
∂σ 3
σ=ℓ
(16)

と書ける。インピーダンス Z(ω) は外力 F を用いて次のように書ける。

F−iωδxK(ω) − M ω 2
=
−iω

(17)

Z(ω) =(18)

ここで、K(ω) は有効ばね定数を表し、3

K(ω) =T δΦ(ω) − EI ∂ δX(σ,ω)
∂σ 3

σ=ℓ

図 4: T0 = 10−2 K の際、光子と鏡の相互作用 G を− ℏGδA(ω)

変化させたときの鏡の変位の揺らぎの 2 乗期待値のδx(ω)

スペクトル解析。

(19)
である。よって、定常状態の熱揺らぎのスペクトル密度 δx (ω) は揺動散逸定理を仮定すると次のように

図 3 に光子と鏡の相互作用がない場合 (G=0) につ√
いて変位 δx2 のスペクトル密度を表した。このス求まる。

ペクトル密度は 2 つのピークが立っており、ω/2π =2δx2 (ω) =1
4kB T0
Re
ω2
Z(ω)


(20)

4.9Hz は振り子モードの固有振動数であり、ω/2π =31Hz は鏡の回転モードの固有振動数である。振り33

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
行研究 [2] では光子と鏡の相互作用 G が大きい場合(G = 4.3 × 1019 Hz/cm) を取り扱っていたため、鏡の回転モードを無視できていたが、光子と鏡の相互作用 G が小さい場合は、鏡の回転モードの影響は無視できない。特に、振り子モードの固有振動数と鏡の回転モードの固有振動数が等しくなる際の振る舞いについては今後、詳しく調べる必要がある。

5
図 5: T0 = 10

−2

K の際、先行研究 [2] を再現する、鏡の変位の揺らぎの 2 乗期待値 < δx > のスペクト

結論
式 (3)〜(6) にてビーム模型の運動方程式を導出し、

式 (16)〜(20) にてビーム模型における定常状態の揺ル解析。

らぎのスペクトルを計算した。光子と鏡の相互作用

G が大きい範囲 (G = 4.3 × 1019 Hz/cm) では鏡の回子モードは、鏡の重心と鏡の回転が同じ方向に運動するモード (鏡を質点として扱う際の運動) であり、 転モードによる影響が無視できることがわかった。
鏡の回転モードは、鏡の重心と鏡の回転が逆方向に 今後の課題としては、振り子モードの固有振動数と運動するモードである。図 4 に光子と鏡の相互作用√を変化させた場合について変位 δx2 のスペクトル

鏡の回転モードの固有振動数が等しくなるような光密度を表した。振り子モードは光子と鏡の相互作用の重心の変位に与える影響について調べる必要があ

G が大きくなるほど、固有振動数が大きくなることる。また、変位の連続測定によるメカニカルスクイーがわかった。一方で鏡の回転モードの周波数は相互ズを行うことで量子状態が生成できるかをビーム模

作用の大きさによらず一定である。図 5 では光子と型において確認することが課題である。

子と鏡の相互作用 G について、鏡の回転モードが鏡鏡の相互作用が大きい場合について表した。光子と鏡の相互作用 G が大きい場合は鏡の回転モードは振り子モードに比べて無視できるほど小さいことが分

6

かった。

参考文献

1. Seth B. Cataño-Lopez , Jordy G. SantiagoCondori, Keiichi Edamatsu and Nobuyuki

4Matsumoto, Phys. Rev. Lett. 124, 221102

議論(2020)

振り子モードの固有振動数は近似的に光子と鏡の2. Nobuyuki Matsumoto and Naoki Yamamoto,

相互作用 G の関数として次のように表せる。
(
!
)
r
T
2 EI
ℏ∆G2
1
1+
− 2
(21)
M ℓ
ℓ
T
κ + ∆2

arXiv:2008.10848 (2021)

確かに、光子と鏡の相互作用 G が大きくなると、固有振動数も大きくなる (∆ < 0)。一方で、鏡の回転モードの固有振動数は近似を用いて、
(
)

r
EI
Th
h
1
2
1+ +
+
J
ℓ
h
ℓ
T

(22)

と表せ、光子と鏡の相互作用 G によらない形となっているため、図 4 の結果と整合性が取れている。先34

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重宇 a08

massive Brans-Dicke 理論と parameterized post-Einstein
形式を用いた重力波解析
早稲田大学大学院 先進理工学研究科
東野 優里香35

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

massive Brans-Dicke 理論とparameterized post-Einstein 形式を用いた重力波解析
東野

優里香 (早稲田大学大学院 先進理工学研究科)

Abstract
massive Brans-Dicke 理論における、連星の合体イベント由来の重力波を計算し、parameterized post-Einstein
形式を用いて観測制限を与える。今回、一般相対論で予言される 2 つのテンソルモードに加えて、2 つのスカ
ラーモードが導出される。エネルギー放射やエネルギー収支を導出した後、Stationary phase 近似を用いて周波数領域の重力波表示を計算する。その結果、スカラー質量が十分軽い場合の ω0 の観測下限を導出した。

1

導入

ppE 形式を考える場合の多くは、スカラー場によって時空構造が影響を受けないようなブラックホール

一般相対論は、太陽系や連星パルサー等の多くの連星を想定しているが、中性子星・ブラックホール連観測により裏付けられている。しかし、その多くは、 星から放出された可能性のある重力波 (GW190814,
静的で弱い線形な重力場を前提としており、動的な

GW200210 092254) も観測されている。ブラックホー

強い非線形な重力場での検証が必要である (Nicolás

ル連星を想定する場合では、スカラー場による補正

Yunes & Xavier Siemens 2013)。強い重力場におけが小さいが、重力波源に中性子星が含まれる場合、自る理論を検証する方法として、重力波が注目されてい発的スカラー化などによりスカラー場の影響が強くる。2015 年に、重力波の直接観測に成功して以来、重反映され、従来とは異なった制限が期待できる。

力波の地上観測基地として LIGO(米)、VIRGO(仏・伊)、KAGRA(日) が利用されているほか、宇宙観測基地として LISA や DECIGO の建設計画も進められ

2

手順

ている。

massive Brans-Dicke 理論で重力波を計算すると、+モードと×モードに加えて、2 つのスカラーモード

重力波の波形を解析し、重力理論を検証する方法の一つに parameterized post-Einstein (ppE) 形式(Nicolás Yunes & Frans Pretorius 2009) がある。
ppE 形式は、観測に基づいたボトムアップ式の検証

breathing モードと longitudinal モードを持つ。まず massive Brans-Dicke 理論の場の方程式を平坦な
時空のまわりで展開して時間領域の重力波を計算し、方法で、一般相対論で予想される周波数表示の重力

Stationary phase 近似 (SPA) で周波数領域の重力波

波からのずれを理論を特徴づけるパラメータ (ppE パ
ラメータ) で展開したものである。この形式を用いると、各 ppE パラメータに対して観測結果から制限をつけることが容易であり、ppE パラメータを構成する各種重力理論特有の定数に観測制限を与えることができる。
スカラーテンソル重力理論の代表例である massiveに変換する。

massive Brans-Dicke 理論の作用 (Jordan frame)
は、スカラー場 ϕ、 カップリング関数 ω(ϕ)、ポテン
シャル V (ϕ) に対して


Z
ω(ϕ)
1
4 √
,α
d x −g ϕR −ϕ,α ϕ − V (ϕ)
S=
16π
ϕ

Brans-Dicke 理論 (Justin Alsing et al. 2012) に対し、

+ Sm [gµν , Ψm ](1)

ppE 形式を用いて観測制限を与えることが目的である。今回は、先行研究 (Tan Liu et al. 2020) を参照と表される (Nicolás Yunes & Xavier Siemens 2013)

し、レビューする。

(Justin Alsing et al. 2012)。計量 gµν とスカラー場
ϕ の背景場を ηµν 、ϕ0 とし、その周りの摂動をそれ

362022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
ぞれ hµν 、φ とする。また、h = η µν hµν として、あが得られる (Nicolás Yunes & Xavier Siemens 2013)

らたな摂動 θµν を定義する。

(Justin Alsing et al. 2012)。ただし T = gµν T µν とする。

gµν = ηµν + hµν ,ϕ = ϕ0 + φ,(2)

次に、弱い重力場の極限における場の方程式を

1
φ
ηµν .
θµν ≡ hµν − hηµν −2ϕ0(3) 導出する。gµν = ηµν と ϕ = ϕ0 を場の方程式(7)(8) の真空解と仮定すると V (ϕ) = 21 V ′′ (ϕ0 )φ2 +重力波源となる天体を点粒子とみなすと、今回エネ O(φ3 ), ω(ϕ) = ω +ω φ+O(φ2 ) を得る。テンソル場0

ルギー運動量テンソルは1の方程式 (7) は、摂動 (2) を用いると、□η = η µν ∂µ ∂νX uµ uν
1
としてA A
T µν = √mA (ϕ)δ (3) (x − xA ), (4)
−g
u0A
A=1,2

uµA は天体 A の四元速度、xA は天体 A の位置座標を表す。天体 A の質量 mA は、mA ≡ mA (ϕ0 )、天体

A のセンシティビティτµν =□η θµν = −16πτµν
Tµν+ tµν ,
ϕ0tµν ≡ O(θ2 , φ2 , θϕ)

(9)
(10)

と書ける。ただし、今回 Lorentz ゲージ条件 θµν ,µ =0 を用いている。
d ln mA (ϕ)
d2 ln mA (ϕ)′
同様に、スカラー場の方程式 (8) は、摂動 (2)(3)sA =, sA =
2d ln ϕ
d(ln
ϕ)
ϕ=ϕ0
ϕ=ϕ0
と Lorentz ゲージ条件を用いると、(5)(□η − m2s )φ = −16πS
(11)
を用いて
"
#
 2
ϕ0
φ
1
φ
m2s ≡
V ′′ (ϕ0 )(12)mA (ϕ) =mA 1 + sA
+ (s2A + s′A − sA )
2ω
+
3
0
ϕ0
2
ϕ0




+ O φ3
(6)
1
ω1
1
µν
θ φ,µν +−φ,α φ,αS =−16π
ϕ02ω0 + 3と表せる。これらを用いて平坦な時空のまわりで展
1 2
1
ω1
2 2
− ms ϕθ −+ms φ
開した、弱い場の極限での方程式を導出し、ソース
2ϕ0
2ω0 + 3
タームに近似を与えて場の方程式を解く。
2ω1 φ
1
φ
1
∂T
1−
− θ−
−
T − 2ϕ4ω0 + 62ω0 + 3 2
ϕ0
∂ϕ

2.1

+ O(θ3 , θ2 φ, θφ2 , φ3 )時間領域での重力波表示(13)g µν と ϕ で作用全体 (1) の変分をそれぞれとると、 と書ける。ここで、ms はスカラー場の質量を表す。
重力波源から十分離れた場所の万有引力定数を G = 1
2 つの独立な場の方程式とする単位系を用いているので、一般相対論との対
1
1 V (ϕ)Rµν − Rgµν +
gµν
応から、
2
2 ϕ


1 2ω0 + 4
8π
1
ω(ϕ)
1=
(14)
= Tµν + 2ϕ,µ ϕ,ν − gµν ϕ,α ϕ,αϕ
0 2ω0 + 3
ϕϕ21(7) が成り立つ。また、Brans-Dicke 理論は ω0 −→ ∞+ (ϕµν − gµν □g ϕ)
ϕとすると一般相対論に一致することから、

1dV (ϕ)□g ϕ−
ϕ− 2V (ϕ)2ω(ϕ) + 3
dϕ


8π
dT
=
T − 2ϕ2ω(ϕ) + 3
dϕ
1
dω(ϕ)
−
ϕ,α ϕ,α2ω(ϕ) + 3 dϕξ=1
ω0 + 2(15)を導入する (Katerina Chatziioannou et al. 2017)。
この 2 式 (14)(15) から、

1
ξ
=1−
ϕ0
2

(8)

37

(16)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
ゆえに、場の方程式の解を ξ の 1 次のオーダーまが成り立つ。

で求めることができた。求まった解 θij (17) と、解Newton 極限での運動方程式を用いて、場の方程式 (9)(11) を ξ の 1 次まで解いていく。特に、等速円φϕ0

運動する連星系から放出される重力波を計算する。

モードを求める。重力波のモードは
hb + h+h×hx
hij =  h×
hb − h+ hy 

ソースタームに Newton 極限を適用し、四重極放射までを仮定して解いていく。重力源と観測点との距離 D が十分離れている (D ≫ |r′ |) とすると
ξ g̃m i j
4µ1−(v̂ v̂ − x̂i x̂j ),
(17)
θij =
D
2
r

= φϕB0 (19) + φϕm0 (20) を使って、重力波の偏極

hx

hy

hL

(24)
xyz

Newton 展開で、ξ の 1 次まで計算する。遅延 Greenで与えられ、∂ 2 hij /∂t2 = −R0i0j と対応させると


ξ g̃m
2µ
1−
(1 + cos2 ι) cos 2Φ, (25)
h+ =
D
2
r


4µ
ξ g̃m
h× =
1−
cos ι sin 2Φ,
(26)
D
2
r
φ
hb = − ,
(27)
ϕ0


Z
ξµ ∞
1
hL = −− 1 ψ,(28)
dzJ1 (z)
D 0
u2
"
#
r
g̃m (v̂ · N̂ ) Γg̃m (v̂ · N̂ )2 − (x̂ · N̂ )2ψ = −2S
+
r
u2
r
u3

関数 G(t, x) を導入し、φ = φB + φm のようにスカと書くことができる。

ただし µ = m1mm2 , m = m1 + m2 、さらに、重力波源の重心系をとり、相対座標と相対速度をそれぞれ

ri ≡ xi1 − xi2 = rx̂i ,v i ≡ v1i − v2i = vv̂ i (18)
h
i
−ms r
g̃ = ϕ10 1 + (1 − 2s1 )(1 − 2s2 )(1 + ms r) e2ω0 +3 と書き下せる。
同様に、スカラー場の方程式 (11) を四重極放射までを仮定して解いていく。ソースタームは、post-

ラー場を分解し、摂動部分を取り出すと
" 
r

1
m
g̃m
ξµ
φB
−
Γg̃ + 2Λ− 2S(v̂ · N̂ )
=
ϕ0
D
2
r
r

Γg̃m
+
{(v̂ · N̂ )2 − (x̂ · N̂ )2 } ,
(19)
r

2.2

必要なので、Keplar 周波数 F
r
g̃m
2πF =
r3

力波を周波数表示に書き直すために、SPA を用いる。
時間領域の重力波 h(t) が、振幅 A(t)、位相 lΦ(t)を使って h(t) = A(t)e−ilΦ(t) + A∗ (t)eilΦ(t) と書けるとすると、

1 + ( mzs D )2 、2(m1 s2 + m2 s1 ),m
Λ = 1 − s1 − s2 ,S = s1 − s2 ,Z ∞f (t − Du)dz
J1 (z).
In [f (t)] ≡
un
0

(29)

を使って、r を F で書き直す。上記の時間表示の重ただし、N̂ は重力波源から観測者に向かう単位ベクqΓ=1−

周波数領域での重力波表示

観測では、時間領域ではなく周波数領域の表記が


 

φm
ξµ
1
m
=−
−I1
Γg̃ + 2Λ
ϕ0
D
2
r
"r
#
g̃m
−2SI2
(v̂ · N̂ )
r


g̃m
2
2
+ΓI3
{(v̂ · N̂ ) − (x̂ · N̂ ) } ,r(20)

トル、J1 は第 1 種 Bessel 関数、u =t−DuA(t0 ) −iΨeh̃(f ) = q(30)lḞ (t0 ) ′Z F (t0 )fπFΨ[F (t0 )] = 2π
dF ′ l
−
+
(31)
4
Ḟ ′
Ḟ ′

f
Φ̇
(21) と変換できる。ただし、F (t0 ) = l 、F (t) = 2π と定(22) 義した。重力波のエネルギー放射Z
ϕ02ω0 + 3dE
2
2
2
⟨ϕ,0 ϕ,D ⟩=−D dΩ ⟨ḣ+ + ḣ× ⟩ −16πϕ20(23) dt(32)

38

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校という制限が計算できる。ゆえに、Einstein Telescopeを計算し、E = −µ g̃m
2r から dE/dF を求めることで、
式 (30)(31) の Ḟ を得ることができ、周波数表示を計 が massive Brans-Dicke 理論の存在を裏付けるには、
この想定下では ω0 > 2.1 × 103 が必要であると計算算する。ただし、⟨⟩ は空間平均を意味する。

できる。

2.3

ppE パラメータのフィッティング

4

ppE 形式のひな型は、以下で表される。
"#
Xakh̃(f ) = h̃GR (f ) 1 +αk (πMc f ) 3

Discussion
今回、等速円運動する連星を重力波源としたので、天体が楕円運動するとどのように結果が変わるか確

k



X
bj
× exp iβj (πMc f ) 3  + γ
j

認したい。また、3 体系など、ほかの重力波源でもあてはまるように ppE 形式を拡張できるか確認したいと考えている。

(33)
一般相対論の周波数領域の重力波はr
75π GR Mc2A(πMc f )− 6 e−iΨGRh̃GR (f ) =
96
D
5
3
π
(πMc f ) 3
ΨGR = −2πf tc + 2Φc + −
4
128

5

で あった か ら 、周 波 数 表 示 の 重 力 波 と 比 較 す るができた。

以上のように、massive Brans-Dicke 理論の周波数領域の重力波をもとめ、ppE 形式にあてはめることで、観測による制限 ω0 > 2.1 × 103 をあたえること
今回、まず massive Brans-Dicke 理論の場の方程と、massive Brans-Dicke 理論の ppE パラメータ式を平坦な時空のまわりで展開し、2 つの摂動 θµν と(αBD , β BD , aBD , bBD ) と補正項 γ BD が求まる。
ms ≪ 1 と仮定すると、(β

BD

,b

BD

Conclusion) の組み合わせφ に関する独立な場の方程式を導出した。場の方程式を解く際、四重極放射までを考えたので、ソース

は以下で与えられる。

タームにそれぞれ Newton 近似と post-Newton 近似
表 1: massive Brans-Dicke 理論の ppE パラメータ
bBD
βiBD
i

ξ
−5
− 128
(1 − 2s1 )(1 − 2s2 ) − 52
3√2(Φ̇)2 −m2s
5ξS 2
η5
−7
− 3584Φ̇

−9−11を考慮し、ξ の 1 次までで解を構成した。その解を使って、重力波の 2 つテンソルモードと 2 つのスカ
ラーモードを導いた。その解は時間領域での重力波なので、stationary phase 近似を用いて周波数領域の重力波に変換し、観測制限と比較した。

ξ2
2 − 253456 (1 − 2s1 )(1 − 2s2 )ms Mc η35ξ
− 7392(1 − 2s1 )(1 − 2s2 )m3s Mc3 η − 5

Reference3

Nicolás Yunes, & Xavier Siemens 2013, Living Reviews
in Relativity

結果
現在建設中の Einstein Telescope が、GW0170817と同様の重力波を観測した場合に観測可能な β BD の範囲が計算されている (Katerina Chatziioannou etal. 2017)。mBH = 5M⊙ , mNS = 1.4M⊙ を想定すると、sBH = 0.5, sNS ∼ 0.2 であるので、ξ に対して

ξ < 2.3 × 10−4

(34)

Nicolás Yunes, & Frans Pretorius 2009, Physical Review
D
Justin Alsing, Emanuele Berti, Cliﬀord M. Will, & Helmut Zaglauer 2015, Physical Review D
Tan Liu, Wen Zhao, & Yan Wang 2015, Physical Review
D
Katerina Chatziioannou, Nicolás Yunes, & Neil Cornish
2017, Physical Review D

39

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重宇 a09f(Q) 重力理論と BH
名古屋大学大学院 理学研究科
山越 蒔士

40

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

f (Q) 重力理論と BH
山越蒔士 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
修正重力理論の中でも一般相対性理論 (GR) とは異なる時空の幾何構造を扱う f (Q) 重力理論というものがある. これは計量と接続を独立な量として扱うことで, 既存の理論には見られないような物理を記述する可能性を秘めており, 注目されている. そこで今回レビューする [1] では f (Q) において静的且つ球対称という条件の下での計量, 接続及び場の方程式の取りうる形を議論し, そのうえで GR における静的ブラックホール解である Schwarzschild 解に対する近似解や厳密解を実際に求める. またその解の有効性についても精査する.

1

Introduction

2

Symmetric Teleparallelism

一般相対性理論 (GR) は古典重力を記述する理論

初めにアフィン幾何における 4 次元多様体 M をであり, 予測される内容が宇宙的なスケールで多くの考える. 独立な幾何学的量は捩れ T , 曲率 R, non-

観測結果と一致していることから、最も優れていると

metricity Q の３つであり, そのうち最初の 2 つの量されている. しかし量子理論との非互換性や Hubble

はアフィン接続 Γ のみによって与えられる.

Tension, ダークエネルギーの起源といった問題も同

T α µν := 2Γα [µν]

時に抱えている。そこで GR 自体を拡張することで問

α

α

(1)
α

λ

題を解決しようとする修正重力が行われてきている.

R βµν := 2∂[µ Γ ν]β + 2Γ [µ|λ| Γ ν]β

このような修正重力理論の一種として, Symmetric Teleparallelism(ST) という GR とは異なる時空

本発表ではこの捩れと曲率がゼロになることを要請の幾何構造を扱う理論が存在する. これは metric-

な量としては non-metricity のみが残り, これは(2)することで ST という幾何構造を扱っていく. 非自明

compatibility(∇g = 0) を課さない代わりに捩れとQαµν := ∇α gµν = ∂α gµν − 2Γλ α(µ gν)λ

曲率がゼロになることを仮定しており, 計量と接続(3)を独立な量として考えている. この際に生じる非自明で定義される. このテンソルから作られる 2 次の独立なスカラーから (境界項を除き) GR での Einstein-

なスカラー量は 5 つ存在し, そのうち 4 つの項の線形

Hilbert 作用と等価な作用 (STEGR) を作ることが可 結合によって GR を記述することが出来る. すなわち能であることが知られている [2]. このスカラー量を Einstein-Hilbert 作用と等価な作用である STEGR を
non-metricity scalar と呼び, Q で表される. しかしこ 作ることが可能である.GR でのリッチスカラー R にの STEGR では接続が単なるゲージ量になっており 代わるスカラー量である non-metricity scalar は
1
1
Q := − Qαβγ Qαβγ + Qαβγ Qβαγ
4211
+ Qα Qα − Qα Q̄α42

非物理的であることから, GR と異なる結果を得るた
めには何らかの拡張が必要とされている.
今回レビューする論文 [1] では接続がゲージでない物理的自由度を持つような非線形拡張である f (Q)(4)と書ける. ただし Qα := Qαν ν ,Q̄α := Qν να である.

重力理論を扱い, 球対称且つ静的な時空における計Q と R の間の関係は

量及び接続の取り得る最も一般的な形を構築した上Q = Dµ (Qµ − Q̄µ ) + R

で, 解に関して議論する. その中で任意の関数 f に対して Schwarzschild 解 (GR 解) が存在し, それと同時(5)となっており Dµ は GR での共変微分を表している∫ 4 √d x −g Q は境界項を除いて Einstein-に GR 解でないような近似/厳密解も存在することを

ことから,

示す.

Hilbert 作用と一致していることがわかる. ただしこ412022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校の STEGR では ST の接続が境界項にだけ現れてお3

り, 場の方程式に寄与するのは GR での接続 (Levi-

Civita 接続) 部分のみである. それと同時に物理的自由度も全て計量に含まれてしまっているため, 接続が非物理的なゲージ量になってしまっている.

Symmetry Reduction
場の方程式 (7),(8) を実際に解くにあたって, 対称性等からパラメータ (g, Γ) や場の方程式 (M, C = 0)のとりうる形を決定することが出来る. そのためこの節では捩れゼロ, 曲率ゼロ, 静的, 球対称の 4 つの条

そこで Q を単体で扱うのではなく, 非線形な拡張件から前述した要素がどのような形に制限されるのである f (Q) 重力理論に焦点を当てる. 作用はかを精査する. しかしそれぞれに関して細かく議論していくと非常に膨大かつ煩雑な計算量になってしまS[g, Γ; λ, ρ] :=)(∫うため, 本集録では大まかな方針を紹介する程度に留
1√−g f (Q) + λα βµν Rα βµν + ρα µν T α µν
d4 x
める.
2
M
まず計量に関して. 静的球対称の下で計量のとりう+ Smatter(6)

界項に吸収されなくなり, 物理的自由度を持つようにる最も一般的な形は

gtt gtrgtr grr
gµν = 
0
0

0
0

なる.

と書ける. しかし多様体に対して微分同相な写像を考と書ける. ここで λα βµν , ρα µν はラグランジュ乗数である. f は任意の関数であるが, 非自明な場の方程式を得るために df (Q)/dQ ̸= 0 という条件を課しておく. このような作用を考えることで接続は一般的に境式 (6) から計量と接続に関しての場の方程式はそ

0

0

0

gθθ

0

0

gθθ sin2 θ







(11)

えることで非対角成分 gtr をゼロにし, S 2 の部分に

れぞれ

√
2
Mµν := √ ∇α [ −gP α µν f ′ (Q)]−g1
+ f ′ (Q)qµν − f (Q)gµν − Tµν = 0
2√
Cα := ∇µ ∇ν ( −gf ′ (Q)P µν α ) = 00

おいて gθθ が r2 となるような簡単な形に書き直すことが出来る. 具体的にはまずリーマン多様体として底空間 B = R × R>0 とファイバー F = S 2 , そして B(7)上の正値関数として f : B → R>0 を導入することで(8)

そこから座標変換と非対角成分を消すような微分同となる. ここで Tµν はエネルギー運動量テンソルであ

相写像 ϕ : B → B を用いることで簡易化を行うこと

多様体を M := B ×f F と書き表し, 計量を構成する.

り, P α µν , qµν はそれぞれ

1 ∂Q
P α µν : =2 ∂Qα µν1
1
1
= − Qα µν + Q(µ α ν) + gµν Qα
4
2
4
1
α
α
(9)
− (gµν Q̄ + δ(µ Qν) )4∂Qqµν : = µν = P(µ|αβ Qν) µν − 2P αβ (ν Qαβ|µ)∂g(10)が出来る. 結果的に計量は

gtt 0

 0 grrgµν = 
0
0

0
0

0

0

0

0

r2

0

0

r2 sin2 θ








(12)

という形を考えれば良いことになる.
次に接続に関して. 元々の成分の数は 64 だが, 条件
からその中での非自明な量や関係式を得ることが出来る. 大まかな方針は一つ一つの条件を素直に課してで与えられる. 静的且つ球対称という条件の下でこいくだけである. 結果的に全ての仮定を満たすようなの方程式の真空解を求めることが本発表での目的で解の集合は二つ存在するが, 片方の解の集合は doubleある.

scaling limit を通してもう片方の解と一致するため,
実質的に解は一つに定まる. このとき独立な成分は 6
つ (c, k, Γt rr (r), Γt θθ (r), Γr rr (r), Γr θθ (r)), 非自明

422022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
な成分は 16 個存在し, 2 つの微分方程式が成り立つという値をとれば良い [3, 4](ただし必ずしもこの形必要がある. 逆に以上の要素さえ満たされればどのよを取る必要性はない). このとき場の方程式から

うな形の接続をとっても良いことになる.
最後に場の方程式に関して. ここでは求めた計量とgtt grr = const.

接続の形から方程式の構造について触れた後に, 先んという形が求まり, GR で見られる関係 gtt ∝ 1/grr

じて非対角成分を解くことでさらなる簡易化を試み
る. 取りうる形はそれぞれ

Mtt Mtr00Mtr Mrr
0
0
=0


 0
0
Mθθ
0


0
0
0
Mθθ sin2 θ
 
Ct
 
Cr 
 =0
0
 
0

(18)

が得られる. 式 (18) は f の形に依らないため, 任意のf に対して接続が式 (17) の形をとれば GR 解 (またはそれに似た形) が常に得られることがわかる. しかし私たちは GR では見られないような解も得たいた(13)

め少し拡張したうえで方程式を解く.
ここでは f (Q) = Q + αQ2 という関数の形を考える. ただし α は微小量である. 仮に α がゼロならば GR と等しいことから, GR 解に対しての近似解が得られることが予想される. そこで計量 gtt , grr と式(14)(17) の唯一の非自明量 Γr θθ が摂動部分を含んで
(0)

(1)

(2)

gtt = gtt + αgtt + α2 gttとなる. ここで Mtr について考えてみると

(0)
(1)
(2)
grr = grr
+ αgrr+ α2 grr)1(
k − 2c (2c − k)Γt θθ ∂r Q f ′′ (Q) = 0
Mtr =
2
(15)

Γr θθ = −r + αγ (1) + α2 γ (2)となっており, ここで ∂r Q = 0 または f ′′ (Q) = 0という形を取るという仮定をおく. gtt , grr はそれを満たすような解を取ってきてしまうと, 最終的にぞれ GR 解である. ここで α の 2 次のオーダーまで

GR 解以外の解が得られなくなってしまう. そこで考慮する理由としては 1 次までの場合, 計量と接続に(k − 2c(2c − k)Γt θθ ) = 0, つまり関する方程式がそれぞれデカップリングになっていΓt θθ =k
2c(2c − k)(for c ̸= 0, k ̸= 2c)

(0)

(16)

または単純に c = k = 0 という解を以降用いていく.

Γt θθ が式 (16) の形である時, Ct = 0 は常に満たされる. 以上より残った場の方程式の成分は Mtt , Mrr ,Mθθ , Cr である.

(19)
(0)

るためである. 式 (19) から解を求めると
(
)
2Mren
µ (r)
gtt = − 1 −+ α2 ln ∗rrr
1
grr = −
gtt

(20)となる. ただし Mren は GR 解における質量 M を用いて次の形で定義している.

4()
2Mren := 2M + α c2 + α2 c3 − 16M 2 (3c6 + c7 )Approximate Solution(21)
ここから実際に真空解を求める. それにあたってま∗

また ci は全て積分定数, r は対数関数内の次元をゼず独立な量として残っている接続の 6 成分の形を決ロにするために導入された定数を表している. ここでめておく. 今重力的な寄与は全て non-metricity に含注目すべき量は µ である. これはまれていることから, 重力がない平坦な時空を考えたµ := 48M 2 c7

時に Q はゼロになると仮定するのが自然である. この時独立な接続は{c, k, Γt rr , Γt θθ , Γr rr , Γr θθ } = {0, 0, 0, 0, 0, −r}
(17)

(22)

で表され, これが GR 解とは異なるような近似解を実現する際に重要になるパラメータとなっている. そこでこの量をブラックホールを区別する新しい物理量,432022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
つまり毛としてみなすことが出来る. 求めた計量は rとなっており, β が正で発散, 負でゼロになる. β = 0が大きくなるにつれて摂動部分が支配的になっていならば漸近平坦になるが, これに関しても実現するたくことから, この近似解は r が小さい領域でのみ背景

めの κ の値が省かれているといった問題を抱えてし解と比較することが出来る.

まっていることから, r が十分大きい領域における計量の振る舞いは漸近平坦性を満たしておらず, 解とし5ては不十分なものになっていることがわかった.

Exact Solution
前節では近似解を導出したがこの節では真空にお6ける厳密解を求める. 関数としては f (Q) = Qκ を考

Summary

える. ここで κ はゼロではない実数である. また独立

今回考えた f の形では近似解や厳密解が得られたな接続量に関して Γ θθ = −λr という形を仮定してが, いずれも有効な領域が絞られており, 何らかの問

おく. ここでパラメータ λ は定数であり, この値を場

題を抱えてしまっていることから非物理的なものでの方程式を通して求めるとある. ただ重要な点としては f (Q) 重力理論から GRr

λ = 1,

5 − 8κ + 4κ2
5 − 14κ + 8κ2では見られないような解が得られるといった部分で(23)あり, 振る舞いに問題がなく, 太陽系テスト等を突破となる. しかし λ = 1 をとってしまうと式 (17) と同するような物理的な関数の形が見つかる可能性があじ形になり, GR 解しか得られなくなってしまうため,る. そういった面で発展性のある理論になっており,もう一方の値を用いることにする. そのうえで計量をそのような厳密解を探すことが今後の展望である.

求めると

(

)β (
( r )−γ )rsgtt = −
1−
rT
r
C
grr =
( rs )−γ1− rReference(24)[1] F. D’Ambrosio et al., Phys. Rev. D 105 (2022) 2,
024042となる. ここで rs は Schwarzschild 半径, rT は重力[2] J. Beltrán Jiménez, L. Heisenberg, and T. Koivisto,
Phys. Rev. D 98 (2018) 4, 044048

的な時間の遅れを表すスケール量, β, γ, C は κ から

[3] Z. Dehao, Eur. Phys. J. C 82 (2022) 4, 303決まる定数である. これは GR 解からの摂動として求[4] L. Rui-Hui and Z. Xiang-Hua, Phys. Rev. D 103(2021) 12, 124001

めたわけではないため, 厳密解になっている. 以上より f (Q) 重力理論に関して GR 解でないような近似/
厳密解が存在することがわかった.
最後に式 (24) の振る舞いについて少し議論する.

r → ∞ という極限において計量は GR 解と同様の漸近平坦な振る舞いをする必要があるため, 実際にそうなっているかを確認する. まず grr は

lim grr = C

r→∞

(25)

となっている. C = 1 ならば漸近平坦だが, C がこの値となるような κ はそもそもゼロであったり式 (24)を求めるにあたって省かれる値をとってしまっているため, 仮定が満たされていない. 次に gtt は( )βrlim gtt = − limr→∞
r→∞ rT(26)

44

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重宇 a10

D 次元時空に対する摂動と Tidal Love Number の関係
立教大学大学院 理学研究科
飯塚 颯見

45

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

D 次元時空に対する摂動と Tidel Love Number の関係
飯塚

颯見 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表では [1] をレビューする。D 次元 Schwarzschild(-anti-)de Sitter 時空におけるブラックホール摂動論
を考え、その解析解から Tidal Love Number を計算する。その結果、D 次元 Schwarzschild ブラックホー
ル由来の Tidal Love Number は全てのタイプにおいてある値をもつことがわかった。一方、4 次元を考えた
場合、Tidal Love Number は恒等的に 0 となることがわかった。

1

Introduction2ニュートン力学における潮汐力
トイモデル

連星系を成す星は各々に潮汐力が働いて歪む。星が歪む度合いは Tidel Love Number（TLN）と呼ばれるパラメータで記述でき、重力波を用いて評価す

二つの星 A、B が十分遠方に存在している状況を考える。星 B の重力ポテンシャル UB は、自分の重ることができる。この量は 4 次元時空において、ブラックホール以外の星では TLN̸= 0 であるが、ブラックホールでは TLN= 0 となることが知られている。

力ポテンシャルと、星 A から摂動的に加わる重力ポ
テンシャル δUB の和で表すことができる。

GM
+ δUB
r
を区別することができる。また、高次元時空において
星 A と星 B が十分遠方まで離れていることから、こTLN を調べた先行研究では、D(D ≥ 4) 次元のシュの摂動量の従う方程式はラプラス方程式である。
バルツシルトブラックホール周りにスピン S = 2 の∆δUB = 0
静的な場を摂動として加えた状況で TLN を解析す
UB = −

従って、重力波観測から TLN を読み取ることで天体

ると、D > 4 のスカラーモードとテンソルモードで

ここで、摂動量を球面調和関数で展開するとは、TLN̸= 0 であることが示された。一方、D = 4の場合、全てのモードで TLN= 0 になることが示さ

δUB = δUB′ (r)YLM (θ, ϕ)

れた。このことから、TLN= 0 となるのは D = 4 のとなる。これをラプラス方程式に代入し、変数分離

時のみ起こる現象であると予想され、時空の次元とすると、動径座標の成分の従う方程式は
[ (
)
]
d
2 d
r
− ℓ(ℓ + 1) δUB′ = 0
drdr

TLN の関係は理論的な側面からも興味深い対象となる。
本発表では、時空の次元と TLN の関係について紹となる。この方程式の一般解は介する。まず、D 次元 Schwarzschild(-anti-)de Sitter

δUB′ = CrL + Dr−L−1

時空 (S(-a-)dS 時空) にテンソル場の摂動を加えることを考える。そして、摂動の従う方程式から解析解を求め、まだ未検証だったベクトルモードを含む全である。ここで、この一般解の各項をてのモードについて TLN を調べる。最後に、その結

rL ：外場

果を用いて D = 4 でのみ TLN= 0 となるのか検証

r−L−1 ：星 B の摂動に対する応答する。

と解釈する。 その時、rL の係数と r−L−1 の係数比D/C を Tidal Love Number(TLN) と呼ぶ。一般相対論においても、このように係数比を取って TLN とする。

46

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

ブラックホール摂動論

程式がd2 Ψ T+ (ω 2 − VT (r)) = 0
dr∗2

D 次元の静的かつ球対称な線素を仮定し、真空で宇宙項入りのアインシュタイン方程式

d2 ΨRW+ (ω 2 − VRW (r)) = 0
dr∗2
d2 Ψ Z+ (ω 2 − VZ (r)) = 0
dr∗2Gµν + Λδ µν = 0
を解く。すると、D 次元 S(-a-)dS 時空における線素が

(1)
(2)
(3)

となる。上から、テンソルタイプ、ベクトルタイプ、

ds2 = −f (r)dt2 + f −1 (r)dr2 + r2 dΩ2S D−2( r )D−3
2r2 Λsf (r) = 1 −−(D − 1)(D − 2)r

スカラータイプの方程式である。r∗ は亀座標と呼ばれる座標で dr∗ = f (r)dr で与えられ、r∗ → −∞ がr → rS に対応している。また、それぞれの方程式に

2dΩ2S D−2 = dθD−2+ sin2 θD−2 dΩ2S D−3

表れている有効ポテンシャルはとなる。この時空における線形化されたテンソル場

L(L + D − 3) + 2(D − 3) 2の作用はVT (r) = f
f ∗
r2
[
∫
√
1
D−6
4Λf
D(D − 14) + 32
S = dD x −g − ∇λ hµν ∇λ hµν + ∇λ hµν ∇ν hµλ
+ ff′
−
2
2
4r
2r
D−2
1
(L + 1)(D − 4 + L)
(D−4)(D − 6)µµν− ∇µ h∇ν h + ∇µ h∇ h
VRW (r) = f
+ f2
2
2
r
4r2
)]
(
2Λ
1
4Λf
D
+
2
+
hµν hµν − h2
−
− ff′
D−2
2
2r
D−2
f V̂Z (r)VZ (r) =である。上式に現れる hµν を次のように分解すると4(D − 2)r2 H(r)2∑
htt =f (r)H0 (t, r)YLMという形をしている。式 (1) で与えられるテンソ
ルタイプは、D(≥ 5) 次元時空を考えた時のみ現れる

L,M

htr =

∑

H1 (t, r)YLM

量である。

L,M

hrr =

∑

f (r)−1 H2 (t, r)YLM

L,M

hti =

∑[

(T )M
H0 (t, r)∇i YLM + h0 (t, r)Yi L

L,M

hri =

∑[

L,M

hij =

∑

(T )M

H1 (t, r)∇i YLM + h1 (t, r)Yi L

4]

Tidal Love Number
式 (1) に注目する。

]

Schwarzschild 極限 Λ → 0 をとり、無質量で静的な場合を考える。次に、無次元の動径関数を次のよ[
2

うに導入する。

r K(t, r)γij YLM

L,M

x≡

(T )M
+ G(t, r)∇(i ∇j)T h2 (t, r)∇(i Yj)L( r )D−3sr

また、この動径座標を用いて場を再定義する。

(T T )M ]+ hT (t, r)Yij L

D+2L−4u(x) ≡ x 2(D−3) 2(D − 3)ΨT (r(x))となる。これらをスカラータイプ、ベクトルタイプ、
テンソルタイプに整理する。そして、[1] に従って場を再定義するとそれぞれのタイプについての運動方

すると、場の従う方程式 (1) は()2x(1 − x)u ′′ (x) + xu ′ (x) − L̂ + 1 u(x) = 0 (4)

L̂ =

47

L
D−3

(5)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
は、となる。ここで、あえてこの方程式を(ii) の時

x(1 − x)u ′′ (x) + [c − (a + b + 1)x]u ′ (x) − abu(x) = 0
(6)

kT =

とかく。パラメータ a, b, c はa ≡ L̂ + 1,

b ≡ L̂ + 1,(−1)2L̂ (D − 3)Γ(L̂ + 1)2(2L̂)!(2L̂ + 1)!Γ(−L̂)2

log

(r )
0

r

ただし、r0 は実験によって決まる長さスケールであc ≡ 2L̂ + 2

る。

である。式 (6) は超幾何微分方程式と呼ばれる方程式(iii) の時
kT = 0であり、解析的に解く方法はよく知られている。そこで、その方法に従って次のような場合分けを行う。 となる。

他のタイプについても、同様の方針で TLN を求め(i) L̂ は整数でも半整数でもないることができる。スカラータイプ、ベクトルタイプ、(ii) L̂ が半整数

テンソルタイプの TLN をまとめて示すと以下のようになる。

(iii) L̂ が整数

テンソルタイプ (D ≥ 5)
4

 2L̂ + 1 Γ(L̂ + 1) tan(π L̂)
2π Γ(2L̂ + 2)2

(r )
2L̂
(−1)
(D − 3)Γ(L̂ + 1)2
kT =
0

log

 (2L̂)!(2L̂ + 1)!Γ(−L̂)2
r



0

(i) の時ブラックホールを考える上で、適切な解の境界条件
はホライズンで正則である。今の場合、その条件を
満たす解は

[
]
u(x) = A2 F1 L̂ + 1, L̂ + 1; 1; 1 − x

すと

r
rS

)L+D−3 (Γ(2L̂ + 1)

(

r
rS

)L

Γ(L̂ + 1)2
Γ(−2L̂ − 1) ( rS )L+D−3+ ··· +rΓ(−L̂)2
)
+ ...
(7)

(L+D−3)(L+D−2)
1
kZ = − 2L̂+1
L(1−L)2
4

2

Γ(L̂)Γ(L̂+2)tan(π L̂)3
Γ(L̂+ 1
Γ L̂+ 2
)
2) (

(10)

は系の応答を表している。よって、TLN はその二つ

5Results
最終的な結果は、式 (8)、式 (9)、式 (10) である。

の項の係数比をとって

Γ(−2L̂ − 1) Γ(L̂ + 1)2
Γ(−L̂)2(iii)

スカラータイプ (D ≥ 4)

式 (7) の第一項は振幅 A を持つ外部潮汐場、第二項

kT =

(8)

(
)2 (
)2
)]
[ (
)]
[ (

Γ L̂+2+ 1
Γ L̂− 1sin π L̂− 1
sin π L̂+ 1

D−3
D−3
D−3
D−3

(2
L̂
+
1)
(i)


Γ(2
π

)sin(2πL̂)( L̂+2)2 ) (
11Γ L̂ + 2 + D−3(−1)2L̂ (D − 3)Γ L̂ − D−3
(r )
kRW =
) (
) log r0
(
(ii)


1
1


Γ −L̂ + 1 − D−3(2L̂ + 1)!Γ −L̂ − 1 − D−3



L−1
1
0
(L̂ − D−3
= D−3
が整数)
(9)

則である。これを x = 0 周りで展開し、x を r に戻

(

(ii)

ベクトルタイプ (D ≥ 4)

この解は u(1) = A なので、確かにホライズンで正u(r → ∞) ≃ A(i)

Γ(2L̂ + 1)

2L̂ + 1 Γ(L̂ + 1)4tan(π L̂)=
2π Γ(2L̂ + 2)2

式 (8) より、D ≥ 5 の高次元において、テンソルモー
ドの TLN は値を持つことがわかった。また、ベクトルタイプについては、D = 4 の時、3 個目の場合にそ応答するので、4 次元時空における TLN は 0 になる
ことがわかる。一方、高次元時空を考えると、TLNと、求めることができる。同様の手順で (ii)、(iii) のは他の場合の値も取るので 0 にはならない。最後に、場合についても求めることができる。その結果、TLN

L
スカラータイプについて考える。L̂ = D−3
なので、

D = 4 の時、L̂ = L である。すなわち、式 (10) 中48

一般の L̂,D

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校の tan(π L̂) は常に 0 を与える。従って、D = 4 の時
スカラータイプの TLN は 0 になる。一方、高次元の時、L̂ は整数以外の値も取りうるので、常に 0 とは
ならない。

6

Conclusion
本発表は [1] のレビューを行った。その結果、D 次

元 Schwarzschild ブラックホール由来の TLN は何か
しらの値を持ち、常に 0 とはならないことがわかった。一方で、4 次元 Schwarzschild ブラックホール由来の TLN を調べると、恒等的に 0 になることがわかった。
今後の展望としては、4 次元時空中の Schwarzschildブラックホール由来の TLN が 0 になる理由は考える余地がある。また、本発表では、Schwarzschild ブ
ラックホールに注目して一般の次元で TLN を調べた。他のブラックホールについても TLN を一般の次元で調べることは価値のあることだと考えられる。

Acknowledgement
天文・天体物理若手夏の学校を企画・運営してくださったスタッフの皆様、ご支援いただいた皆様に心より感謝申し上げます。また、日頃から議論をしていただいている理論物理学研究室の方々に、この場を借りて感謝を申し上げます。

Reference[1] L. Hui, A. Joyce, R. Penco, L. Santoni and
A. R. Solomon, JCAP 04, 052 (2021)

49

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重宇 a11

photon sphere の一般化「dark horizon」
京都大学 基礎物理学研究所
天羽 将也

50

1

photon sphere の一般化「dark horizon」
天羽 将也 (京都大学 基礎物理学研究所)

Abstract
本発表では，ブラックホール（BH）にまつわる概念について再考する．数理的に厳密には，BH は「未来光的無限遠と因果的曲線で結べない領域」として定義され，BH の外から BH の中を観測することはできない．
一方，現実的には，わずかに BH の外の領域についても，そこからの光などを遠方で観測することはほとんど不可能である．静的球対称な時空においては，シャドウとして暗く見える領域の境界は photon sphere で与えられることが分かっており，また photon sphere に関する数理的に豊富な性質も明らかにされている [1]．
しかし，対称性がない時空においては，photon sphere の定義は機能しない．対応する概念をどう定式化す
べきか，まだ研究者の間で合意に達していない．そこで本発表では，未来光的無限遠への光の到達条件 [2, 3]をもとに，photon sphere を対称性を課さない時空に一般化した dark horizon を導入する．そして，現実のBH を良い近似で記述する Kerr BH において，dark horizon の形状を明らかにし，シャドウとの関係について議論する．

1

Introduction

2

宇宙には，光すら脱出できないほどの強重力を生定義の直感的な説明
本章では，定義の直感的な説明を行う．

み出す天体が存在し，これをブラックホール（BH）

十分な微分可能性をもつ時空において，時空の各点と呼ぶ．近年、電波望遠鏡を用いたイベント・ホラ

で，光的ベクトルの方向が分かれば，その方向に放たイズン・テレスコープ・プロジェクトにより，BH がれた光が未来光的無限遠に到達するかどうかが決ま

影として暗く写る「シャドウ」が撮影され [4]，電磁る．未来光的無限遠に到達する光的ベクトルを集めて波観測を用いた BH 探査の幕開けとなった．静的球

時間一定面に射影した，脱出円錐（escape cone）を対称な時空では，BH の周りを回り続ける光の軌道考えよう．静的球対称時空の場合，脱出円錐の境界はの集まりが，photon sphere と呼ばれる球面をなし真円を描く．
（典型的な）photon sphere 上では，この（Schwarzschild では半径 3M ），photon sphere は真円が大円（接空間上で球面と球の中心を通る平面とシャドウ観測において観測できる実質的な限界を与の交線）となる（図 1）．この特徴をもとに，photon

える．加えて，photon sphere は，その面積が質量

sphere を一般化したのが dark horizon である．

によって制限される [5] などの性質も分かっており，
数理的観点からも豊富な性質も持つ．一方，現実のBH は回転しているため，静的球対称という条件は成り立たず，既存の photon sphere の定義が適用できない．そこで，より一般的な時空において，photon

sphere と同様の役割を果たす概念の定式化を目指した研究がなされてきた [6–11]．
本発表では，BH の少し外側の特徴的な構造を定式化した inner dark horizon および outer dark horizon

図 1: Schwarzschild 時空の photon spherer = 3Mという 2 つの新しい定義を，一般の漸近的平坦時空における脱出円錐（赤色）の図．photon sphere ではにおいて導入し，これらの定義の妥当性を議論する． 大円により脱出球面の内外が分けられる．

51

2
dark domain の元であるとする（図 2 ）．最後に，脱出円錐の内部に完全に含まれる大円が存在する場合について，inner dark domain の元でも outer dark

domain の元でもないとする（図 4 ）．このようにして定めた inner dark domain と outer dark domainについて，それらの境界を，それぞれ inner dark
図 2: 脱出円錐（灰色）のイメージ図．脱出円錐のhorizon と outer dark horizon と呼び，2 つの総外部に完全に含まれる大円が存在する．この場合は称を dark horizon とする．大まかに言えば，dark
inner dark domain の元かつ outer dark domain の horizon は脱出円錐が大きい領域と小さい領域の境目
元である．
になっている．

3

性質
本章では，2 章で導入した 2 種類の dark horizon

について，代表的な性質をまとめる．
図 3: 脱出円錐（灰色）のイメージ図．脱出円錐の外部

性質 3.1. Minkowski 時空において，inner dark hori-に完全に含まれる大円も，脱出円錐の内部に完全に含zon，outer dark horizon はいずれも存在しない．

まれる大円も，ともに存在しない．この場合は inner

性質 3.1 は，dark horizon の存在には重力の効果がdark domain の元でないが，outer dark domain の必要であることを意味している．

元である．

次に，4 次元漸近的平坦時空で未来光的無限遠近傍を考える．u を遅延時間，r を動径座標，xI を角度座標とする．このとき，計量は次のように r−1 で展開される [12, 13]．

()
guu = −1 + mr−1 + O r−2 ,()
gur = −1 + O r−2 ,( )(1)
gIJ = ωIJ r2 + hIJ r + O r0 ,( )guI = O r0 .

図 4: 脱出円錐（赤色）のイメージ図．脱出円錐の内部に完全に含まれる大円が存在する．この場合はinner dark domain の元でも outer dark domain の元でもない．

但し，ωIJ は平坦な空間における単位 2 次元球面の計量である．以下，˙ を u 微分とする．光的測地線の具体的には，次のようにして inner dark horizon と光的無限遠到達条件 [2,3] を用いて，次の性質が成り

outer dark horizon を定める．一般の時空では，脱出 立つことが分かる．
円錐の境界は真円とは限らないことに注意して，脱出円錐の構造を 3 パターンに分類する．まず，脱出円錐 性質 3.2. 脱出円錐で射影する時間一定面を，t :=(1)の外部に完全に含まれる大円が存在する場合についu+r =const. で与える．ΩIJ := ωIJ − 21 ḣIJ + 12 ṁωIJて，対応する時空上の点は，inner dark domain の元が正定値であること，および ṁ ≤ 0 を仮定する．こかつ outer dark domain の元であるとする（図 2 ）． のとき，BH 時空において，inner dark horizon と次に，脱出円錐の外部に完全に含まれる大円も，脱出 outer dark horizon は共に存在する．
円錐の内部に完全に含まれる大円も存在しない場合
について，inner dark domain の元でないが，outer

ここで，ΩIJ の正定値性は，遠方でのエネルギー流
が，プランク光度以下であることとおよそ対応して

52

3おり，ṁ ≤ 0 は，光的エネルギー条件と対応している．このことは，典型的な時空では，仮定が満たされていることを意味する．性質 3.2 は，性質 3.1 と合わせて，dark horizon の存在が，強い重力場の存在と密接な関係にあることを示唆している．
性質 3.3.

典型的な時空（2 章での脱出円錐の 3 つの分類により得られる時空の 3 つの領域のそれぞれが連結な時空）において inner dark horizon は outerdark horizon より内側，もしくは一致する．
このことは，inner dark horizon dark horizon の in-

ner 及び outer という名称の由来である．
性質 3.4. 観測や面積不等式に重要なクラスの photon

sphere はすべて，inner dark horizon かつ outer darkhorizon である．
性質 3.4 は，dark horizon が観測や面積不等式に重要なクラスの photon sphere の一般化であることを意味している．

4

具体的な時空における解析
本章では，dark horizon の静的球対称性からのずれに対する挙動を理解するために，定常回転 BH 解である Kerr 解，および球対称動的な時空の解である

Vaidya 時空における形状をまとめる．
まず，Kerr 時空

ds2 = −

Σ∆ 2 Σ 2
dt + dr + Σdθ2
A
∆
(
)2
A
2ar
+ sin2 θ dφ −
dt ,
Σ
A

(1)

を考える．ここで，Σ := r2 + a2 cos2 θ，∆ := r2 −()2
2M r + a2 ，A := r2 + a2 − a2 ∆ sin2 θ である．解析の結果を図 5 にまとめる．outer dark horizon は，
回転軸上の無限遠の観測者が見たシャドウと一致している．inner dark horizon の各点は，回転軸から外れた無限遠方向にいる観測者が見たシャドウと対応しているが，具体的な関数形など，詳細は今後の課題である．図 5 より，回転の効果が inner dark horizon

図 5: a = 0.5, 0.9, 0.999 のときの inner dark horizon（青色）と outer dark horizon（朱色）．質量を M = 1としてプロット．

と outer dark horizon の違いを生んでいることが示
唆される．

53

4
次に，outgoing Vaidya 時空
(
)
2m(u)
2
ds =
− 1−
du2 − 2dudrr)(+r2 dθ2 + sin2 θdϕ2 .

吉野裕高准教授との共同研究に基づくものです．日頃の議論，ご指導に感謝申し上げます．

(2)

Referenceを考える．このとき，球対称性から，inner dark hori-[1] C. M. Claudel, K. S. Virbhadra and G. F. R. Ellis,“The Geometry of photon surfaces,” J. Math. Phys.
42, 818-838 (2001).

zon と outer dark horizon は一致する．これら darkhorizon の半径の時間発展は，図 6 のようにもとまる．dark horizon の半径は 3m(u) より小さくなるか， [2] M. Amo, K. Izumi, Y. Tomikawa, H. Yoshino
and T. Shiromizu, “Asymptotic behavior of nullgeodesics near future null inﬁnity: Signiﬁcanceof gravitational waves,” Phys. Rev. D 104, no.6,
064025 (2021).

あるいは一致しているが，このことは，dark horizon
は未来の光の軌道に依存した概念であり，m(u) が広
義単調減少していることに起因している．

[3] M. Amo, K. Izumi, Y. Tomikawa, H. Yoshino
and T. Shiromizu, “Asymptotic behavior of nullgeodesics near future null inﬁnity III: Photons towards inward directions,” [arXiv:2208.00822 [gr-qc]](2022).
[4] K. Akiyama et al. [Event Horizon Telescope], “FirstM87 Event Horizon Telescope Results. I. The
Shadow of the Supermassive Black Hole,” Astrophys. J. Lett. 875, L1 (2019).
[5] R. Q. Yang and H. Lu, “Universal bounds on thesize of a black hole,” Eur. Phys. J. C 80 no.10, 949(2020).

図 6: outgoing Vaidya 時空における，3m（灰色）に[7] H. Yoshino, K. Izumi, T. Shiromizu and
Y. Tomikawa, “Extension of photon surfaces
and their area: Static and stationary spacetimes,”
PTEP 2017, no.6, 063E01 (2017).

対する，dark horizon（灰色）の図．

5[6] T. Shiromizu, Y. Tomikawa, K. Izumi and
H. Yoshino, “Area bound for a surface in a strong
gravity region,” PTEP 2017, no.3, 033E01 (2017).

考察[8] L. M. Cao and Y. Song, “Quasi-local photon surfaces in general spherically symmetric spacetimes,”
Eur. Phys. J. C 81, 714 (2021).

静的球対称時空で便利な概念である photon sphereについて，現実的な時空への一般化として，inner[9] H. Yoshino, K. Izumi, T. Shiromizu and
Y. Tomikawa, “Transversely trapping surfaces:
Dynamical version,” PTEP 2020, no.2, 023E02(2020).

dark horizon と outer dark horizon を提唱し，その性質を調べた．
今後は，photon sphere の場合と同様，dark hori-[10] M. Siino, “Causal concept for black hole shadows,”
Class. Quant. Grav. 38, no.2, 025005 (2021).

zon についても面積不等式が成り立つかどうか調べ[11] M. Siino, “Black hole shadow and wandering nullgeodesics,” Phys. Rev. D 106, no.4, 044020 (2022).

たい．また，ブラックホールのシャドウの形が実際に調べられた他の複数の時空について dark horizon[12] H. Bondi, M. G. J. van der Burg and A. W. K. Metzner, “Gravitational waves in general relativity. VII.
Waves from axisymmetric isolated systems,” Proc.
Roy. Soc. Lond. A 269, 21-52 (1962).

の形状を明らかにし，観測との対応を精査したい．

Acknowledgement
本発表では，名古屋大・泉圭介講師，同・白水徹也教授，東京電機大・富川祥宗准教授，大阪公立大・[13] R. K. Sachs, “Gravitational waves in general relativity. VIII. Waves in asymptotically ﬂat spacetimes,” Proc. Roy. Soc. Lond. A 270, 103-126(1962).

54

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重宇 a12soft hair を帯びたブラックホールの熱力学
京都大学大学院 理学研究科 基礎物理学研究所
小林 元

55

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

soft hair を帯びたブラックホールの熱力学小林元 (京都大学大学院 理学研究科 基礎物理学研究所)

Abstract
ブラックホール (BH) 熱力学の研究は，重力の定式化と熱力学が密接な関係にあることを示してきた．定常

BH は，その解を特徴づける少数のパラメータが熱力学と類似の関係式を満たすことや Hawking 輻射として知られる熱的輻射を伴うことなどにより，熱力学系として理解されてきた．[2] では，時空の等長変換に対す
る Noether charge として BH のエントロピーを定式化して熱力学第一法則を導出し，対称性を通じた重力理論の熱力学的性質の理解が進んだ．[3],[4] では，共形無限遠において非自明に作用する漸近対称性に付随して，BH の事象の地平面に soft hair という微視的自由度が生じることが提案され，BH の情報喪失問題の解決が試みられた．今回は [1] に基づき，BH 熱力学の第一法則を，漸近対称性の局所的な生成電荷である

BMS momentum ﬂux の保存則として導出し，soft hair の持つ熱力学的意味について議論する．

1

Introduction[2] による等長変換群の生成電荷としての BH のエ

2

準備と定式化2.1

Einstein-Maxwell 理論と位相空間

ントロピーの定式化により，対称性を通じて重力理論

4 次元時空 (M, gµν ) 上の重力場と電磁場の孤立系
R
1で理解されるようになった．一方，場の理論や重力理 を考える ．Einstein-Maxwell 作用 S = M L におい
1
1
2
論などゲージ不変性や一般座標変換不変性を持つ系 て ，ラグランジアン密度は L = 16πG ϵR+ 2e2 F ∧∗Fと熱力学との対応が系の詳細に依らない普遍的な形において，境界において非自明に作用するゲージ変である3 ．場の微小変分は場の配位空間上の 1-形式と換を large gauge transformation (LGT) と呼び，一して定式化される．Lagrangian 密度 L の変分 δL は4

般に edge mode と呼ばれる物理的自由度をもたらす．

µνδL = ϵEEinsteinδgµν + EMaxwell ∧ δA + dθ

近年，この自由度は holography 原理の起源の理解と(1)いう観点から注目を集めている．BH が存在する時µνである5 ．運動方程式 EEinsitein= 0，EMaxwell = 0 の空における例として地平面上の soft hair が提案され下で δL = dθ である．on-shell に制限した配位空間([3],[4])，情報喪失問題に対する答えの一端を担うと を解空間と呼ぶ．ω = δθ の Cauchy 面 Σ 上での積分
Z
ZZ
期待されている．以上 2 つの観点から，soft hair(境Ω=ω=δθ = δ
θ = δΘ
(2)
界の微視的自由度) は定常 BH の縮退した状態数を説Σ明するのに役立つのか，LGT の生成電荷は [2] のよ
本稿では [1] をもとに，Einstein-Maxwell 理論を例に位相空間の定式化を通じて，LGT の生成電荷の限遠と孤立 BH の地平面における生成電荷を局所的に対応付け，各天球方向において成立する熱力学第一法則を導出する．そこで地平面上の微視的自由度の間の熱のやり取りが記述され，時空内部の摂動を通じた境界の自由度への熱の流入があることを確かめる．

Σにおいて Ω は解空間の閉 2-形式であり，presymplecRtic form と呼ぶ6 ．Θ = Σ θ を presymplectic poten-

うな熱力学的な意味を持つのかという疑問がある．

意味づけを与える．時空内部の ﬂux を通じて共形無Σtial という．Ω の縮退方向，すなわち任意の接方向 δ̂
1 A を M 上の U (1) ゲージ理論の接続，R を計量 gµν に対するスカラー曲率，F = dA とする．
2 境界項は省略する．
3 ϵ = √−gd4 x は M の体積 4-形式，∗ は hodge star を表す．
また，G, e は，重力場と電磁場の結合定数である．
4 θ は時空における 3-形式かつ場の配位空間における 1-形式
5 Einstein-Maxwell 理論に対する θ のあらわな形は1
θ[δ] = 16πG
ϵµ (g µα ∇ν δgαν − ∇µ δg) + e12 δA ∧ ∗F である．
6 δ 2 L = dω = 0 より Ω は ∂Σ が固定されているならば Cauchy
面の取り方によらない．

56

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校に対し7 ，α(δ̂) = Ω(δ̂ ′ , δ̂) = 0 ならば δ̂ ′ は非物理的• 計量の漸近条件は gAB = r2 γAB + rCAB + · · · ,な変換であり，この冗長な自由度を取り除くことで2mb+ ··· ,
r
1
gur = −1 +CAB C AB + · · · ,
32r2


1 2
1 B
guA = D CAB +NA + · · · + · · · .
2
r 3
guu = −1 +物理的位相空間を定式化できる．特に α(δ̂ ′ ) = −δHと完全 1-形式となる時，H は δ̂ ′ の生成電荷であり，

presymplectic form の縮退方向に沿って不変である．
物理的自由度は生成電荷の値によって特徴づけられる．

と な り，非 物 理 的 な ゲ ー ジ 変 換 は

2.2

ゲージ不変性と BMS 変換{mb , NA , CAB } を変えない．

Einstein-Maxwell 理論は一般座標変換とゲージ変• ゲージ場の漸近条件は retarded radial gauge換に対する不変性を持つ．これらの変換による計量(Ar = 0, Au |I + = 0) の下で以下のようになる．
1AE(u, Θ ) + · · · du + (AA (u, ΘA ) + · · · )dΘAA=rとゲージ接続の変化 δ̂χ,λ は，gµν → gµν + Lχ gµν ,A → A + Lχ A + dλ である．この変換のうち，large
gauge transformation (LGT) は，Ω の非縮退方向になるという意味で物理的な変換を記述し，境界のな• BMS 変換は，Lie 微分 Lξ (· · · ) が漸近条件を保い理論が持っていた対称性の一部が破れ，境界に物計算していく．閉 3-形式 Jχ,λ = θ(δ̂χ,λ ) − χ · L からつようなベクトル場 ξ によって生成される．
hiu
ξ|I + = f + DA Y A ∂u + Y A ∂A (5)2Jχ,λ = dQχ,λ を満たす 2-form として，

f は S 2 上の任意関数で supertlanslation の生成

理的自由度を生じる．以下ゲージ変換の生成電荷をQχ,λ =

1
1∗ dχ + 2 (χ · A + λ) ∗ F
16πGe子，Y A は S 2 上の共形 Killing 方程式を満たし，(3)

Lorentz 変換またはその Virasoro 生成子への拡張としての superrotation の生成子である．

8とする ．on-shell で presymplectic form は，ZΩ(δ̂χ,λ , δ̂) = −{δ(Qχ,λ ) − Qδχ,δλ − χ · θ(δ̂)}• Ar = 0 を保つため A → A+dτ を伴う．τ |I + =ε(ΘA ) で，I + で残る U(1) ゲージ変換を表す．

∂Σ(4)である．∂Σ における δχ, δλ の選択に依らないので，δχ|∂Σ = δλ|∂Σ = 0 とする．可積分性を妨げる残りBMS 変換 χ = ξ, λ = τ の生成電荷は10 ，Z
mf + jA Y A + qε
H[f, Y, ε] =の式 (4) の第三項は，χ を ∂Σ の接方向にとれば消えRる． H = ∂Σ Qχ,λ がゲージ変換の生成電荷となる.

mbE, q(Θ) = 2 ϵ 2,
4πG u→−∞
e u→−∞
NA
EAA
2jA (Θ) = ϵ
+ 2
8πG
e
u→−∞

漸近平坦時空は，Bondi 座標における計量の r → ∞m(Θ) =2 ϵでの漸近条件により定式化される．この漸近条件を保つような LGT として BMS 変換を導入する．

• I + − : future null inﬁnity の u → −∞ 極限である11 ．m, jA , q は，I−+ の各点に作用する微小• I + への漸近条件を考えるとき，retarded Bondi
A

(6)

I +−

9

座標 (u, r, Θ ) を取り，grr = grA = 0 ,∂r det grAB
= 0 とゲージ固定する．
2変換の生成電荷であり，境界の微視的な物理的自由度を記述する．定常軸対称時空においてこれらの局

10 (4) の計算において第 3 項が消えるような境界条件として，
NAB = ∂u CAB と ∂u AA は I + − へ漸近する極限で 1/|u| よ7 on-shell を保つ変換 δ̂ は解空間上の接ベクトルとみなす．
りも早く減衰するとする．これらは I + を通過する輻射のエネル
8 · は内部積である．
ギーの有限性を意味する．また境界における変分は δf = δY A =9 u =(一定) なる null 超曲面族の法ベクトルが nµ = g µν ∂ u
δε = 0 を選ぶ．
ν112 ϵ は √γd2 Θ の I +であるため，g uu = 0 および nµ ∂µ ΘA = 0 ⇒ g uA = 0 である．
− への引き戻しで定義される面積要素
逆行列をとり，grr = grA = 0 となる．
である．

57

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
所的な ﬂux は，時空内部の対称性および自明なゲージ変換から定まる Noether 電荷 Qχ,λ を I−+ の座標

BH 熱力学の微視的な保存則

3

漸近平坦時空における定常軸対称孤立荷電 BH 解で計算したものになる12 ．BMS の生成電荷は，I−+を考える．∂Σ = I + − ∪ S で S は分岐面である．

で bulk の対称性から定まる ﬂux 2-form に非自明な変換関数をかけて積分したものになる．

1. 定常 Killing vector: k = ∂t

時空内部の対称性となる Killing vector χ とゲー

回転 Killing vector: ψ = ∂ψ = ψ A ∂A |I +−ジ関数 λ を用いて13 ，

θ(δχ,λ ) = Jχ,λ + χ · L

on-shell=

2. BH の静電ポテンシャル Φ, 角速度 Ω
dN [χ, λ] = 0
3. event horizon の法ベクトルは ξ = k + Ωψなる閉 2-形式 N [χ, λ] においても14 ，LGT 生成電荷との対応について Qχ,λ と同様であり15 ，非自明な変最初の例として，N := N [ξ, Φ] の保存則から微視的換関数を用いて大域的な生成電荷の保存則から微分な Smarr の公式を導く．

形式として微視的な保存則を導ける．

N [ξ, Φ] :=2.3

κ
1. N |I + = 12 m + Ωψ A jA + 12 Φq ，N |S = 8πGa

LGT 生成電荷の時空内部への拡張−

Cauchy 面 Σ が I − 以外の境界 S = ∂Σ \ I −を持つ場合，時空の内部に自由度がなければ，閉 2-形+

11∗ dξ + 2 {ξ · (A ∧ ∗F ) + Φ ∗ F}
16πG
2e

18
2. κ: horizon の表面重力，a: horizon の面積要素+

3. 微視的な対応は自明で Smarr の公式

式 N の ﬂux が生成する流れに沿って I + − の LGT

1
1
κ
19
A
∗
2 m + Ωψ jA + 2 Φq = 8πG UN a を得る ．

生成電荷を S における生成電荷に対応させる．

1. 閉 2-形式 N と Σ 上の関数 F から，F |I + = f ，
−
R
R
3.1
HΣ [F ] = ∂Σ F N = Σ dF ∧ N ．

微視的な熱力学第一法則

ω(δ̂ξ,Φ , δ̂) = −dT [ξ, Φ] = 0 とすると20 ，

2. dF ∧ N |Σ = 0 ⇒ nµ (∗N )µν ∂ν F |Σ = 0 ⇒HΣ [F ] = 0 である16 ．F は Σ 上で nµ (∗N )µν

T [ξ, Φ] = δ(Qξ,Φ ) − Qδξ,δΦ − ξ · θ[δ̂]に沿って一定として，真空解における I + − と(7)S の間で LGT 生成電荷の保存則が成り立つ．Fκで，T |I + − = δm + Ωψ A δjA + Φδq, T |S = 8πGδaの解を通じて LGT の変換パラメータを時空内となる．ω の Cauchy 面 Σ 上の積分により，部に拡張できる．

δM + ΩδJ + ΦδQ =具体的には nµ (∗N )µνの生成する流れの端点を結ぶ

全単射を UN : ∂Σ → ∂Σ として17 ，HΣ [F ] = 0 より
Z
Z
Z
fN =
(f ◦ UN )N =
FN
+
I−

+
UN (I−)

on-shell 変分 δ̂ により微視的な対応は自明ではな
い．変分された後の場及び汎関数に ′ をつける．T を

N とそれ以外に分けて T = M − N として∗により大域的な保存則が成り立つ．N |I + − = UN
N |S

で，これが N の微視的な対応である．

M = N′ +12 m は定常 Killing vactor ∂ ，j は回転 Killing vector ψ =tAψ A ∂A ，q は自明な U(1) ゲージ変換から計算した Qχ,λ である．
13 変換 δ̂χ,λ により，計量とゲージ場は不変となるとする．
14 N は presymplectic potential の ∂Σ での被積分関数である．
15 N [∂ , 0]|= 21 m，N [ψ, 0]|I + = jA ψ A ，N [0, λ]|I + =
t
I+
−

−

1
δ (ξ · (A ∧ ∗F ) + Φ ∗ F) − ξ · θ[δ̂]
2e218 ξ ν ∇µµν ξ = κξ
19 今回．horizon を外から内へ通り抜ける ﬂux 量で熱力学法則−

17 時空内部の自由度がないので湧き出しがないので ∂Σ 以外で端を持たない．

(8)と大域的な保存則としての熱力学第一法則を導ける．

S

1q と対応し，Qχ,λ と定数係数だけ異なる．
2
16 Σ の法ベクトルを n とした．

κ
δA
8πG

を記述していることに注意．
20 T は presymplectic form 式 (4) の ∂Σ での被積分関数である．

58

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校となる．dM = dT + dN = 0 で，N と M につい第一法則を導いた．N については場の変分は含まなて各々2.3 節で議論した対応を適用すると，Iいので微視的な保存則は単に時空の 2-form に置き換

v = w = z となる関数から
Z
Z
Z
zT =
(v ◦ UM )M −
I +−

SM

+

− で

えればよいだけであった．T については，on-shell 変分を含んだため時空内部の ﬂux の変化を考慮する必要があり，非局所的な地平面上の接ベクトル ˆ
l で記述(w ◦ UN )N
SN

−1 ∗
∗
T |I + − = UN((UM ◦ UN) M |S − N |S )される微視的熱流項が現れた．閉曲面で積分すれば−1となる．UM ◦ UN
は S → S への微分同相写像で恒積分すると大域的保存則にもこの影響が残り，LGT

等写像に十分近いため，ベクトル場 ˆ
l で生成される生成電荷の保存則や表面重力が一定にならない動的

この熱流の寄与は消えるが，非自明な関数をかけてな BH が従う熱力学法則が輻射を通じた開放系とし

21

微小変換として ，て記述される．特に時空内部に自由度がある場合や

∗
∗
∗
UM
M |S − UN
N |S = UN(M + Ll̂ M − N )|S

Killing が取れない動的 BH への拡張は今後の課題で∗= UN(T + d(ˆl · N ))|S

ある．また，今回は微視的自由度としての熱力学第一法則を導いたため，熱力学量との対応が分かりやすとなる．以上より T についての保存則として

い位相空間の取り方を提案したことになる．地平面

κδm + Ωψ A δjA + Φδq =U ∗ [δa + d(ˆl · a)] (9)8πG Nや共形無限遠における生成電荷の ﬂux がなす Poissonκaを得る． 2π= T は BH の温度，s = 4G
は分岐面に論はあまりされていない．さらなる研究を進めて BH

おけるエントロピー密度で，各点における微視的状
態の数を表す．J = ˆl · s として (9) の右辺第二項 T dJ

熱力学における縮退した自由度について理解を深めの寄与は，分岐面 S 内で生じる微視的な熱流に対応

質の起源の解明につながると期待される．

代数はそれぞれ研究されているが，両者の関係の議ることで，情報喪失問題の解決や重力の熱力学的性

し，微視自由度間のエネルギーのやり取りを記述す
る．この微視熱流項は N と M の時空内部での ﬂux
としての差に由来し，dJ ̸= 0 は bulk の場の摂動を

Acknowledgement

介して境界の各点で熱が出入りすることを示唆する．

お忙しい中議論や助言に時間を割いてくださった
基礎物理学研究所宇宙グループ，京都大学天体核研
究室の皆様と今回発表の機会を設けていただくにあたり尽力してくださったすべての方に御礼申し上げます．

4

まとめと展望Section 2 では Einstein-Maxwell 理論を例に，物理的変換の生成電荷を位相空間を通じて定式化した．
共形無限遠での各方向で定義される生成電荷を，バReference

ルクに自由度がない場合に Noether 電荷の ﬂux を介して時空の内部領域の微視的な生成電荷と対応させた．境界から時空の内部に積分曲線を伸ばしていく
考え方は，holographic entanglement entropy における極小曲面と類似しており，N の holographic な解釈ができるかは興味深い問題である．

[1] J. Kirklin, “Localisation of Soft Charges, andThermodynamics of Softly Hairy Black Holes,”Class. Quant. Grav. 35, no.17, 175010 (2018).
[arXiv:1802.08145 [hep-th]][2] R. M. Wald, “Black hole entropy is the Noether
charge,” Phys. Rev. D 48, no.8, R3427-R3431(1993). [arXiv:gr-qc/9307038 [gr-qc]][3] S. W. Hawking, M. J. Perry and A. Strominger,“Soft Hair on Black Holes,” Phys. Rev. Lett. 116,
no.23, 231301 (2016). [arXiv:1601.00921 [hep-th]]Section 3 では，定常 BH 解において，presymplectic potential Θ と presymplectic form Ω の ∂Σ での[4] S. W. Hawking, M. J. Perry and A. Strominger, “Superrotation Charge and Supertranslation Hair on Black Holes,” JHEP 05, 161 (2017)[arXiv:1611.09175 [hep-th]].

被積分関数 N および T から Smarr の公式と熱力学
21 l̂ は変分 δgµν , δA の 1 次のオーダーだが，局所的な場として記述できない．

59

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重宇 a13

ミンコフスキー空洞内の荷電ブラックホール爆弾
日本大学大学院 理工学研究科
小塚 友裕

60

未提出

61

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重宇 a14splashback 半径による重力理論の制限可能性
名古屋大学大学院 理学研究科
谷田 幸貴

62

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

splashback 半径による重力理論の制限可能性
谷田

幸貴 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在、重力を記述する理論として一般相対性理論が用いられている。しかし、この理論は太陽系スケールな
どの観測事実を矛盾なく説明する一方で、宇宙論的スケールにおいても成り立つかについては未だ良い精度で検証されていない。これを受けて、一般相対性理論を宇宙論的スケールで拡張した修正重力理論のモデルが多く考えられている。
修正重力理論の制限のための観測量として考えられているものの１つとして splashback 半径がある。

splashback 半径とは銀河や銀河団の物理的境界を特徴づける量であり、観測的には密度勾配の値が急激に落
ち込み、それが最小となる位置として見ることができる。
本発表では、(Adhikari et al. 2018) をもとに銀河団スケール（数 Mpc 程度) を特徴付ける splashback 半径について議論する。この論文では、修正重力理論の一つである f (R) 重力理論と一般相対性理論それぞれにおける splashback 半径をシミュレーションで計算した。具体的には、銀河団に降着する物質の質量の関数として、それぞれの重力理論で splashback 半径の位置変化の挙動にどのような違いが出るのかを調べた。その結果、銀河団に落下する物質の質量の違いまで考慮すれば、実際に LSST などの将来観測を用いて splashback
半径を観測することにより、その挙動の違いから重力理論を制限できる見込みが十分にあることがわかった。

1

Introduction

1.1

The current status of gravity

1.2

splashback

2014 年に、(Diemer et al. 2015) によって、ダーク

マターハロー (宇宙の平均エネルギー密度の約 14 を1915 年、Einstein が一般相対性理論 (GR) を提唱 占めるダークマターが自らの重力で集まった領域) のした。それ以来、太陽系スケールなどのさまざまな 外縁の非常に狭い範囲で、密度分布が d(logρ) ∼ −4d(logr)

実験の観測により、その正しさが検証され、現在ではに及ぶ非常に急な勾配を持つことがわかった。ここ

これが重力理論として広く受け入れられている。そで、ρ は密度、r はハロー中心からの距離を表す。こして、この GR を基に、現在観測によって確認されの急な勾配は、ハローに落下してきたさまざまなダーている宇宙の加速膨張は宇宙定数Λを導入すること

クマター粒子の軌道がほぼ同じ位置で重なることにで説明されている（標準 ΛCDM 宇宙モデル）。しかよって生じ、この位置は落下した粒子の軌道の遠点し、その宇宙定数の物理的解釈が未だに定まっていにほぼ対応する。このうち、ハローから見て最も外ないことが課題としてある。また、観測面において側にある急勾配は、宇宙膨張から切り離される位置

も、太陽系スケールより大きいスケールなどでは未である turnaround 半径から落下し始めて、初めてのだに精度良く確かめることができていないという現遠点の位置に一致する。この時、この粒子が落下後状がある。そこで最近、この重力理論の制限のため初めて遠点に到達することを splashback といい、その観測量として注目を集めているのが以下で導入すの splashback の位置を splashback 半径という。これる splashback 半径なのである。

らの位置関係の概略図は下図のようになる。

63

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
次に、今回扱う f (R) の具体的な形を決める必要がある。今回は以下の Hu-Sawicki モデルの形を用いる

f (R) = −m2

c1 ( mR2 )n.
c2 ( mR2 )n + 1(6)

ここで、c1 ,c2 ,n はモデルパラメータであり、 cc21 =Λ6 ΩΩm,m2 = Ωm H0 2 である。

図 1: splashback 半径と turnaround 半径の位置関係

2.2

Dynamical Friction

2

Theory1.2 ではハローを構成する質点の質量は、ダーク
マター粒子として全て同じであるとして splashback

2.1

f (R) gravityを導入した。実際には、ハローに重い物質 (銀河など）が落下する場合、その物質は軽い質点を繰り返

本研究で扱う修正重力理論のモデルである f (R) 重

し重力散乱し、その際に、その重い物質から軽い質力理論は、GR における Einstein-Hilbert action
∫
√
1
SEH =
d4 x −gR.
(1)2κ

点に運動量が移るため、重い物質は減速する。これ
を dynamical friction といい、以下の式で表される

において、Ricci scalar である R をその R による関dv
G2 M ρ
v=−
vf ( √ ).
dtv3
2σ数を含む R + f (R) に置き換えることで得られる以ここで、M は周囲の物質に対して速度 v を持つ物質

下の actionの質量、ρ(r) は周囲の密度分布、σ は周囲の物質の速

S=

1
2κ

∫

√
d4 x −g(R + f (R)).

度分散を表す。また、関数 f (x) は f (X) = erf (X 2 )−(2)

2X −X 2√eと表される。
π

この時、重い物質は、ハローへの落下中に大きくを持つ。ここで、κ = 8πG であり、g は計量テンソ
ル gµν の行列式を表す。GR の場合は、変数を計量のみとして (1) の変分を考えれば、以下の Einstein 方

減速し、エネルギーを失うことになるので、これに伴い、splashback 半径の位置もダークマター粒子のそれと比べ、小さくなることが想定される。

程式が得られる。

1Rµν − Rgµν = κTµν .
2

(3)

2.3

Tµν はエネルギー運動量テンソルである。一方で、
f (R) 重力理論では、(2) について GR と同様に計量のみを変数としてその変分を考えると、修正された

Einstein 方程式

Toy model for splashback

上で述べたように、密度の急激な変化は splashback
半径の位置付近で起きる。つまり、その変化の位置を知るには、重力崩壊後、splashback がどこで起きるのかを見る必要がある。この splashback の位置は、簡fGµν + fR Rµν − ( − □fR )gµν − ∇µ ∇ν fR = κTµν .
2(4)が得られる。

□ ≡ ∇ µ ∇µ ,(5)はダランベルシアンという演算子である。また fR ≡df
dR とする。

(7)

単な球対称の重力崩壊モデルで決まることがわかっているおり、ここでは、簡単のため ΛCDM の場合を説明する。このモデルでは、まず始めの球対称なshell の運動では、その shell の内側の質量 M は一定、
つまり shell 同士が重なる shell-crossing は起きないと仮定する。この時、shell の運動方程式はr̈ = −

64

GM
Λc2
+
r.
2
r
3

(8)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。しかし、ヴィリアル領域に shell が入ると上の shell-crossing が無視できないので、式 (8) を Mが一定として使えるのはヴィリアル化する r = r2ta までとする。rta は turnaround 半径であり、物質が落下し始める半径に対応する。この r = r2ta 以降は、ハローの全体質量 Mtot が Mtot ∝ as で大きくなるとして、この質量が以下のように常に NFW プロファ
イルの形で分布するとする。

M (r) = Mtot

fNFW ( rrs )fNFW ( rRs )(9)
図 2: f (R) と GR の splashback 半径の位置の比較

ここで、rs は NFW プロファイルのスケール半径でxあり、関数 fNFW (x) は fNFW (x) = log(1 + x) − 1+x4に従う。これらを用いると、splashback は ṙ = 0 にDiscussion
GR に比べ f (R) の方で、質量が大きくなることに対応するので、それから splashback の位置がわかる。

よる splashback 半径の変化が小さくなるのは、GRより f (R) の重力が強いために、サブハローの落下速

3

Results

度が速くなり、結果、サブハローに対する摩擦の影
響が GR より小さくなったからであると考えられる。

実際に、シミュレーションで得られる、f (R) と GRにおける密度勾配の変化の様子を、重いサブハロー、
軽いサブハロー、ダークマター粒子それぞれの場合

これは、観測において、銀河の分布を見れば、その質量の違いにより splashback がどう変化するのかによって、f (R) と GR を区別できるであろうことを示で表したのが図 2 である (Adhikari et al. 2018)。横唆している。

軸はハローの中心からの距離、縦軸は密度勾配を表している。また、図 2 内の vp はサブハローの peakvelocity で、この値が大きいほど、サブハローの質量が大きいことに対応する。つまり、このグラフでは

5

Conclusion
本研究では、シミュレーションにより、f (R) と GR

黒線の vp < 300 が軽いサブハロー、青線の vp > 400の場合で splashback を比較し重力理論を制限できるが重いサブハローを表している。
まず、図 2 の赤実線と赤点線を見てみると、それ可能性があることを確かめた。nDGP など他の重力

ぞれ GR と f (R) におけるダークマター粒子が落下モデルについても銀河の分布を見れば、同じように区することによって生じる splashback の位置、つまり別できることがわかっている (Adhikari et al. 2018)。

密度の急勾配が見てとれるが、この位置が両者でほ一方、観測面においては、LSST の将来観測では調

とんど変化しないことが読み取れる。次に、サブハ

べる範囲が 3-4 倍になることで統計誤差が数パーセローの場合をみると、まず軽いサブハローでは、GRントに抑えられるとされているので、今後は、現在でも f (R) でもほとんどダークマター粒子の場合の10%にも及ぶといわれる系統誤差を同じレベルまで

splashback の位置と変わっていないことがわかる。そ に抑えられるようにすることが課題となる。
の一方で、重いサブハローを見ると、青点線の f (R)の方が青実線の GR の場合よりも大きい splashback
半径が現れ、結果、ダークマター粒子の splashback

Reference

半径の位置と比べると、f (R) の方がその位置の変化

Adhikari et al.(2018), JCAP11

が小さいことがわかる。

Adhikari et al.(2014), JCAP11

65

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
Diemer & Kravtsov(2014),Astrophys. J. 789, 1
Hu & Sawicki (2007),Phys. Rev. D 76

66

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重宇 a15

Spherical collapse in Generalized massive gravity
立教大学大学院 理学研究科
高寺 俊希

67

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Spherical collapse in Generalized massive gravity
高寺 俊希 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
近年観測されている宇宙の後期加速膨張は、現代宇宙論における重要な未解決問題の一つである。加速膨張
はダークエネルギーの存在を仮定することで説明できるが、ダークエネルギーの代替案として重力理論の修正についての研究も盛んに行われている。ダークエネルギーの代替として修正重力理論を考える場合、重力理論の修正は観測結果と整合する形で行わなければならない。具体的には、少なくとも太陽系スケールでの重力は一般相対論と一致しなければならない。これを実現する機構として、重力の非線形効果に由来する
遮蔽機構 と呼ばれる機構がある。本講演では主に、遮蔽機構の一種である Vainshtein 機構 と、重力の非線型性を取り扱う方法の一種である球対称崩壊モデルについてのレビューをおこなう。

1た。しかし、近年の修正重力理論の進展によって、整Introduction

合的な理論がいくつか提案されており、その一つが現在標準的な重力理論は一般相対論であり、太陽系スケールでの観測結果を高い精度で説明している。
しかし、宇宙論的長距離では、重力が一般相対論のGMG 理論だ。GMG 理論は宇宙の後期加速膨張を説明し [2]、かつ遮蔽機構の存在が確認されている [3]。
本研究では今後、構造形成のように物質の配位が予言からずれる可能性もある。実際、Ia 型超新星の観測から明らかになった宇宙の加速膨張は、重力理

時間変化する場合に、GMG 理論が持つ Vainshtein
機構がどのようにはたらくのかを調べる。初めに、論を修正することで説明することができる可能性がGMG 理論の非線形効果の取り扱い方を定式化する。

あり、近年修正重力理論の研究が盛んに行われてい一般に重力の非線形効果の解析は困難を伴うが、物る。

質の分布として球対称崩壊モデルを考えることで、非重力理論の修正は、観測と整合するように行う必線形効果を保ちつつ解析的に取り扱うことが可能に要がある。太陽系スケールの観測結果は一般相対論

なる。

を支持するため、少なくとも、短距離での重力は一般相対論に一致しなければならない。一般に、重力を修正すると新たな自由度が生まれる。太陽系スケー

2

ルで、修正重力理論が一般相対論の結果を再現する

Vainshtein 機構

ためには、この新たな自由度を遮蔽する必要がある。

遮蔽機構の一種である Vainshtein 機構は、空間の一部の修正重力理論には、非線形効果によってこれ2 階微分項が重要になってくる。ここでは具体的にスを自動的に遮蔽する仕組みがある（遮蔽機構）。本

カラー・テンソル理論の一種を例に取り、Vainshtein

研究では、遮蔽機構の一種である Vainshitein 機構に機構の働き方を見ていく。
次のような作用を持つスカラー・テンソル理論をついて調べていく。Vainshtein 機構は、作用の中の、考える。

空間の２階微分項によって引き起こされる。
近年、遮蔽機構を持つ重力理論の一つとして、 Gen-1αβ
L = − h̃µν Eµνh̃αβ41h̃µν TµνπT
12 2− (∂π)2 −
(∂π)
∂
π
−
−
2
2Λ3
2MPl
MPl
(1)

eralized massive gravity（GMG 理論）が提案された [1]。「重力子は質量を持つことが原理的に可能なのか？」という疑問の解決に向けて、重力を伝える
重力子が質量を持つ重力理論の研究が長年行われていたが、整合的な理論を構築することは困難であっ68

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
αβ
ここで、h̃µν Eµνh̃αβ は線形化アインシュタインテン

ソル、h̃µν := hµν + 2πηµν は計量の摂動、π はスカ
ラー場の摂動で、T = T µ µ はエネルギー運動量テン√
ソルのトレース、MPl := 1/ 8πG は換算プランク
質量である。また、Λ3 はエネルギーの次元を持ったパラメーターであり、スカラー場 π がダークエネル
ギーの代替となる場合は、Λ3 ∼ MPl H02 である。

図 1: Vainshtein 機構

簡単のために物質分布として静的球対称で非相対論的なものを仮定すると、

Tµν = ρ(r)δµ0 δν0(2)

Spherical collapse in generalrelativity

h̃00 = −2Φ̃(r)(3)

Vainshtein 機構が働く Vainshtein 半径の内側では、

h̃ij = −2Ψ̃(r)δij

3(4) 物質の密度揺らぎが１より大きくなり、非線形な取り扱いが必要となる。非線形性を解析的に取り扱う方となり、スカラー場の揺らぎ π の運動方程式と計量法として球対称崩壊モデルがあり、まずは一般相対論の運動方程式は次のようになる。

の場合の球対称崩壊モデルのレビューを行う [6, 7]。

2M
r2 π ′ + 3 r(π ′ )2 = −Λ4πMPl(5) 背景時空として FLRW 時空を考えると、非相対論的な流体の運動方程式と連続の式は次のようになる。
Ψ̃ − Φ̃ = 0(6)
1
1v̇ + Hv + (v · ∇)v = − ∇Φ(11)
1 ( 2 ′ )′
ρ
a
a
r
(7)
Ψ̃
=
1
r2
2MPl
(12)
δ̇ + ∇ · [(1 + δ)v] = 0a∫r2
ここで M := 4π
ρ(s)s ds は半径 r 内に含まれる質
ここで δ 、v 、a、H 、Φ は、それぞれ流体の密度揺ら量。(5)、(6)、(7) を連立して解き、重力ポテンシャル
ぎ、流体の速度場、スケールファクター、ハッブルパΦ = Φ̃ − π 、Ψ = Ψ̃ + π を求めると、次の Vainshtein
ラメーター、重力ポテンシャルである。物質の分布
半径 rVとして球対称 top-hat 型を考えると、(11)、(12) は)(M
1
4 δ̇ 2
(8)
rV :=
δ̈ −
+ 2H δ̇ = (1 + δ)∇2 Φ
(13)
8πMPl
31+δ
a
の内側と外側で振る舞いが変わることがわかる。チとなる。(13) は密度揺らぎ δ の非線型項を含んでおルダ付きの重力ポテンシャルはり、線形近似はおこなわずに得られた式である。そ

Φ̃
Ψ̃
M
≃
≃−
MPl
MPl
8πMPl rのため、(13) と、重力ポテンシャルを決定するポア(9) ソン方程式 (14)∇2 Φ = 4πGρ̄δと求められるが、r ≪ rV （小スケール）では (5) の非(14)線型項が効き、π ≪ 1 であることがわかる。つまり、 を連立して解くことで密度揺らぎの時間発展を非線Φ ≃ Φ̃, Ψ ≃ Ψ̃型領域まで解析することができる。ここで ρ̄ は背景(10)

時空での物質のエネルギー密度である。

となり、一般相対論の結果に一致する。一方 r ≫ rV
（大スケール）では (5) の線型項が効き、π ∼ 1 とな
り、結果として重力ポテンシャル Φ, Ψ は一般相対論の結果からずれる。

4

Generalized massive gravity

GMG 理論は、dRGT 理論 [4, 5] と呼ばれる、整合的な有質量重力理論を拡張したもので、次の作用69

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校論における背景時空の重力場の方程式は、(
κ)
ρ
3 H 2 − 2 = m2 L + 2 ,
a
MP
(
κ)
ρ
2 Ḣ + 2 = m2 J(r − 1)ξ − 2 ,aMP

3HJ(r − 1)ξ = L̇

(20)
(21)
(22)

となる。ここで L、J は Stückelberg 場の関数であり、重力が修正されたために現れた。また、(22) は

Stückelberg 場の方程式である。(20)、(21) は、GMG理論における δ の時間発展を決める式を導出する際に利用される。また、重力ポテンシャルを決定する

図 2: top-hat 型の物質分布(14) の形も修正される。したがって、GMG 理論における密度揺らぎ δ の時間発展の様子は一般相対論を持った理論である。
[] の場合からずれてくることが期待される。しかし一
4
2 ∫
∑
√
M
方で、もし Vainshtein 機構がはたらくならば、重力
S= P
αn (ϕa ϕa )Un [K]d4 x −g R + 2m2
2の修正の効果は見えなくなり、結果は一般相対論と
n=0(15) 一致するはずである。本研究では、修正された密度
揺らぎの発展方程式を解くことで、Vainshtein 機構
ここで m は重力子の質量、Un はポテンシャルで、次の有無とそのはたらき方を調べる。
のように定義された K の関数となっている。
√
Kνµ := δνµ − ( g −1 f )µν(16)[K] := Kµµ(17)

Acknowledgement
たくさんの議論と助言をして下さった理論物理学(18)

研究室の皆様と間仁田侑典さんに心より感謝申し上
また、fµν は ﬁducial metric と呼ばれ、Stückelberg

げます。

場 ϕa (a = 0, 1, 2, 3) というスカラー場を用いて

fµν := ηab ∂µ ϕa ∂ν ϕb(19)

Referenceと定義される。また αn は質量パラメーターといい、 [1] C. de Rham, et al., Phys. Rev, D 90, 024050, (2014).

ϕ2 の関数である。

[2] M. Kenna-Allison, et al., Phys. Rev, D 101, 084014,(2020).
[3] A. E. Gümrükçüoğlu, et al., JCAP 09, 023, (2021).

5

今後の展望：Spherical collapse[4] C. de Rham & G. Gabadadze, Phys. Rev, D 82,
0044020, (2010).

in Generalized massive grav- [5] C. de Rham, G. Gabadadze, & A. J. Tolley, Phys.
Rev. Lett. 106, 231101, (2011).
ity[6] 松原隆彦,『現代宇宙論 時空と物質の共進化』, 東京
大学出版会, 2010.

本研究では今後、上で紹介した GMG 理論を用いて、球対称崩壊モデルの解析を行う。一般相対論の場合との差異として、重力を修正したことによりい[7] S. Dodelson, F. Schmidt, ”Modern cosmology”,
Academic press, 2021.

くつかの基礎方程式の形が変わる。例えば、GMG 理

70

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重宇 a16

Null Energy Condition を満たすバウンス宇宙モデル
福島大学大学院 共生システム理工学研究科
橋本 勇輝

71

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Null Energy Condition を満たすバウンス宇宙モデル
橋本 勇輝 (福島大学大学院 共生システム理工学研究科)

Abstract
近年提唱されている宇宙論の１つに，バウンス宇宙論がある．バウンス宇宙論とは，宇宙が収縮から膨張（もしくは膨張から収縮）へと転じるとする理論である．従来のバウンスモデルでは，ヌル・エネルギー条件（Null Energy Condition，NEC）の破れを必要としていたが，NEC の破れには解の不安定性を引き起こすなどの問題があり，いかにして解の不安定性を取り除くかが重要な研究テーマだった [?, ?]．しかし最近，空間曲率が正であるという条件下であれば，NEC を破ることなくバウンスが実現可能である事が示された [?]．
これによリ，安定したバウンスモデルの構築が可能になるのではないかと期待されている．本発表では，先行研究 [?] に基づき Null Energy Condition を満たすバウンスモデルの数値解析を行い，その結果について
考察する．

1

導入

2

バウンスに必要な条件

インフレーションモデルは，ビッグバン宇宙論が抱バウンスが起こるためには，バウンスポイント，す

えていた地平線問題や平坦性問題などを解決し，かなわち H = 0 のとき，ハッブルパラメーター H の

つ Planck 衛星による宇宙背景輻射（CMB）などの時間微分が Ḣ > 0 となる必要がある．これについ観測結果と整合性がとれているものもいくつか存在て，フリードマン方程式，状態方程式 w = ρp を変形することから，現在最も有力な宇宙モデルである．し

して得られる式

かし，初期特異点問題や，初期条件の微調整問題なḢ = −どもあり，更なる研究が進められている．
バウンス宇宙論は，インフレーション理論の代替K
1ρ(1 + w) + 2
2
2MP
a

(1)

に基づき考える．

理論の１つで，地平線問題や平坦性問題，初期特異平坦な宇宙，すなわち K = 0 のとき，Ḣ は点問題などを解決することができる．これまでの研究では，平坦な宇宙においてバウンスを実現するたḢ = −

めには，重力理論に物理的に矛盾が生じないよう通1ρ(1 + w)2MP2(2)常の物質やスカラー場に対して課すヌル・エネルギー

であり，物質エネルギー密度 ρ が常に正であること

条件の破れが必要だった．だが，ヌル・エネルギーから，Ḣ > 0 となるのは状態方程式 w が条件の破れは解の不安定性を引き起こすことなどの

1 + w < 0 i.e., w < −1

問題点もあり，その不安定性を回避するために様々な工夫をしなければならなかった．最新の研究では，
空間曲率が正のもとであれば，ヌル・エネルギー条
件を満たすバウンスモデルが可能であることが示された．これにより，より単純な形で，安定したバウ(3)となるときであることが分かる．これは，全物質エネルギー密度がバウンスの瞬間に消滅することを意味している．

NEC は次の式で表される．

ンスモデルの構築が期待されている．
本発表では，先行研究に基づき，Null Energy Con-

N EC

dition を満たすバウンスモデルについてスカラー場⇔ Tµν k µ k ν ≥ 0⇔ ρ+p≥0の方程式とフリードマン方程式を数値的に解き，そ⇔ ρ(1 + w) ≥ 0の振る舞いについて考察する．

72

(4)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
k µ ，k ν はヌル・ベクトルである．NEC が満たされて

3

Null Energy Condition を満
たすバウンス宇宙モデル

3.1

理論

いるときは，H > 0 のとき，エネルギー保存則をハッブルパラメーターで書き換えた次の式ρ̇ + 3Hρ(1 + w) = 0(5)本モデルでは，FRW 計量で記述される一様等方背から，ρ̇ < 0 なので，膨張すれば物質エネルギー密景のもと，以下の一般相対論に実スカラー場を結合度は減少し，H < 0 となる収縮時には ρ̇ > 0 となさせた，ジョルダン・フレーム作用を考える．
)
(
∫
√
1 µν
α
1 2
2
4
S=
M R − g ∇µ φ∇ν φ − Rφ − V̄ (φ) (6)
−gd x
2 P
2
2

り物質密度エネルギーは増加する．また，バウンス
時の状態方程式に関する条件式 (??) と NEC(??) を比較すると，バウンスが起こる際には NEC の破れρ(1 + w) < 0 が生じていることが分かる．したがっ ここで，MP はプランク質量，φ はスカラー場の振て，平坦な宇宙のもとでは，バウンスを引き起こす 幅，α は定数である．
スカラー場 φ のポテンシャル V̄ (φ) は次の式で表ために NEC の破れが必要であると考えられる．この，NEC の破れを生じる特殊な流体をファントムあされる．

るいはゴースト凝縮体 (ghost-condensate) と呼ぶ．

V̄ (φ) = V0 +2.1

m2 2 β 3 λ 4
φ + φ + φ
2
3
4

(7)

ここで，V0 ，β ，λ は定数，m = 10− 8MP である．

BKL 不安定性

また，スカラーポテンシャル V (φ) は次の式で表NEC の破れによって生じる不安定性のほかに， される．
α
BKL 不安定性がある．BKL 不安定性とは，あらゆる(8)
V (φ) = V̄ (φ) + Rφ22
初期の非等方性が，宇宙がビッグクランチに向かい収
スカラー曲率 R はスカラー場 φ の質量項として働く．
縮するにつれ不安定となることである．この不安定エネルギー・運動量テンソル Tµν は性により，それが収縮段階において増幅され，P < ρ
1となった時にバウンスが途絶えてしまうという事がTµν =(1 − 2α)∇µ φ∇ν φ − (1 − 4α)gµν g
2起こる [?]．
1− αβ∇α φ∇β φ − gµν ( αRφ2 + V̄ (φ)) (9)BKL 不安定性を避けられ得る方法として，Ekpy2
rotic 収縮がある．これは，ポテンシャルが負の指数関+ αRµν φ2 − 2αφ∇µ ∇ν φ + 2gµν αφ□φ数の形である Ekpyrotic モデルの，状態方程式 w > 1を仮定した，ゆっくりとした収縮相で，ビッグクラ となり，これより物質エネルギー密度 ρ と圧力 p はそれぞれ以下の式で表される．
(α
)
1
ä
ρ = φ̇2 ++ V̄ (φ) − 3α φ222aンチが近づきポテンシャルの影響がほとんどなくなるまで続く．この Ekpyrotic 収縮により，初期の非等方性を含む収縮宇宙が，一様で等方的な宇宙へと(10)

収束し BKL 不安定性が回避できる．近年では，従来(α)
1p = (1 − 4α)φ̇2 −+ V̄ (φ)
2 (
2
)
ä
k
2
+α
+ 2H + 2 2 φ2 − 2αφφ̈aaの Ekpyrotic モデルにゴースト凝縮を結合させた新
しいバウンスモデル（New Ekpyrotic モデル）など
もある．

(11)

同時に，スカラー曲率 R は，
(
)
(
)
( )
k
ä
ȧ
k
6 Ḣ + 2H 2 + 2 = 6
(12)
+
+2 2
a
a
a
a
で与えられる．

73

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: スカラー場の振幅 φ の振る舞い [?]．

図 1: スカラーポテンシャル V (φ) のスカラー曲率 R
による変化．R ははじめ非常に小さく，バウンスに近づくにつれて値が大きくなり，その影響を受けてポテンシャルも変化する．

3.2

数値解析

スカラー場 φ の運動方程式は次の式で表される．

φ̈ + 3H φ̇ +

∂V
=0
∂φ

(13)

フリードマン方程式は次の通り．

H2

=

Ḣ

=

1
k
ρ− 2
3MP2
a
1
k
−
(ρ + p) + 2
22MPa

図 3: ハッブルパラメーター H と Ḣ の振る舞い [?]．

(14)
(15)

見されたため，今回は先行研究より図を抜粋し掲載
する．

また，加速度方程式は，Ḣ + H 2 = aä より，1ä(ρ + 3p)=−a6MP2

スカラー場の振幅 φ は，R の増大と共に強制振動のように振る舞い，Ḣ が最大値の時，φ も最大値と(16)なる．その後減衰振動的に振る舞い，値は 0 に収束で与えられる．さらに，スカラー曲率 R，ハッブルパ

する．さらに，バウンス時には Ḣ > 0 となっている

ラメーターの時間微分 Ḣ は，次のように変形できる． ことが確認できる．

R
Ḣ
ä
a

=
=
=

4V̄ (φ) − (1 − 6α)φ̇2 + 6αϕφ̈M 2 − αφ2
( 1
) P2
− 2 + α φ̇ + αφφ̈MP2 − αφ2
−

(17)

4

結論

(18)

今回は，Null Energy Condition を満たすバウン

1 (1 − 3α)φ̇ − V̄ (φ) − 3αφφ̈(19)
3MP2 − αφ2ス宇宙モデルを先行研究に基づき実際に数値解析を

2

これらの式を基に，適当な初期条件を与え数値解行った．その結果は芳しくないものだったが，修正し，今後の研究へと活かしたい．

析を行った．しかし，解析プログラムにエラーが発74

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference[1] Jean-Luc Lehners, Phys. Rept., 465:223–263, 2008.
[2] Yi-Fu Cai, Damien A. Easson, and Robert Brandenberger, JCAP, 08:020, 2012.
[3] Ozen¸c Gungor and Glenn D. Starkman, JCAP,
2021(04):003, 2021.
[4] D. Battefeld and Patrick Peter, Phys. Rept.,571:1–66, 2015.

75

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重宇 a17

膨張宇宙における重力メモリー効果
近畿大学 総合理工学研究科
橋本 祥吾

76

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

膨張宇宙における重力メモリー効果
橋本祥吾 (近畿大学 総合理工学研究科 M1)

Abstract
一般相対論の物理的帰結として代表的な現象の一つに、重力波がある。重力波はコンパクトな天体の連星衝突や超新星爆発などによって発生する。重力波が干渉計を通過すると、時空が伸縮することによって干渉計の相対位置が振動するということはよく知られている。重力波の通過後、しばらく時間が経過すると、その振動が落ち着き元の位置に戻るはずである。しかし、それらの干渉計は元の位置に戻らず、重力波が通過した後でも形が変化したままの状態となる。これを重力メモリーという。重力以外の外力が働いていない物体
は測地線という軌跡に沿って運動する。近接する測地線の空間的な間隔の変化は測地線偏差の式によって記述される。重力波が通過することで測地線も振動することから、摂動を考慮した測地線偏差の式が得られ、この式を積分することで重力メモリー効果に関する式が得られる。このメモリー効果は、漸近平坦な時空のみの現象ではなく、膨張宇宙における重力波に対しても起こりうる。宇宙膨張の効果が通常の重力メモリー
効果にどのような影響を与え得るのかは宇宙論の観点からも重力波天文学の観点からも興味深い問題である。
本発表では、 A.Kehagias と A.Riotto の論文 [1] を元に膨張宇宙における重力メモリー効果を解説する。

1

Introduction

線形化されたアインシュタイン2方程式

一般相対論の物理的帰結として代表的な現象の一つに、重力波がある。重力波はコンパクトな天体の

ここではまず計量がほとんどミンコフスキー的で連星衝突や超新星爆発などによって発生する。重力波が干渉計を通過すると、時空が伸縮することによって干渉計の相対位置が振動する。重力波の通過後、しあるとしてそれからの小さな揺らぎを考える。この
とき計量を、gµν = ηµν + hµν

ばらく時間が経過すると、その振動が落ち着き元の位置に戻るはずであるが、それらの干渉計は元の位(h ≪ 1)(1)とおき、h の 1 次までのアインシュタイン方程式を置に戻らず、重力波が通過した後でも形が変化した
ままの状態となる。これを重力メモリーという。近接する測地線の空間的な間隔の変化は測地線偏差の考える。このとき hµν はミンコフスキー時空上で定義されたテンソルと考える。この計量を用いて計算すると、式によって記述される。ここで摂動を考慮した場合

モリー効果は、漸近平坦な時空のみの現象ではなく、

16πG
Tµν = −□hµν + hµα,α,ν + hνα ,α,µc4(2)−h,µν − ηµν (hαβ,αβ − □h)

膨張宇宙における重力波に対しても起こりうる。本が得られ、ここで h = hαα 、□ = η αβ ∂α ∂β とした。

発表では、まず摂動を考慮した測地線偏差の式から

これが線形化されたアインシュタイン方程式の一般

重力メモリー効果に関する式が得られることを説明形となる。

の測地線偏差の式を得ると、この式を積分すること
で重力メモリー効果に関する式が得られる。このメ

し、平坦時空の場合と膨張時空の場合の重力メモリー効果の式を比較し、A.Kehagias と A.Riotto の論文[1] にて用いられているグリーン関数から、重力メモ

2.1

リー効果の具体的な形を導出し議論する。

TT(Transverse-Traceless) ゲージ

ある計量を無限小の座標変換によって不変にする
変換をゲージ変換という。このゲージをうまく固定す772022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校ることで、物理的内容を変化させることなく方程式

重力メモリー効果

4

を簡単にすることができる。ここで次のようなゲー
測地線偏差の式から得られた変化量 ∆hijTT が重力ジ条件を課す。

メモリー効果を表している。この hijTT について具体的Aµν,ν = 0,

A

0µ

= 0,

A = ηµν A

µν

=0

(3)

な形を見ていく。今、質量 m の 4 元運動量 pα = muαとする源を考える。その源の運動の作用は、
Zq
うな条件、3 番目はトレース成分を 0 にする条件で、
S = −m dλ −gµν uµ (λ)uν (λ)
これらのゲージ条件を特に TT ゲージ条件という。
ここで、2 番目のゲージ条件は縦波成分を 0 にするよ(9)

TT ゲージ条件を平坦時空の場合の線形化されたアとなる。ここで上式から、グリーン関数を用いて (5)インシュタイン方程式に課すと、次のような式が得式を解くと hijTT についての式が得られる。

られる。
TT
hTT′′
− ∇2 hTT
ij
ij = 16πGTij√
hijTT = − 4πG

(4)

′
ρσ ′
d 4 x ′ a 4 GR(x )ijρσ (x, x )T

TT
(10)

膨張する時空の場合では、次の式が得られる。
2 TT
2
TT
hTT′′
+ 2HhTT′ij
ij − ∇ hij = 16πa GTijZ

これは膨張宇宙の場合の式であるが、スケール因子(5)を 1 とすることで、平坦時空の場合の式が得られる。

ここで、H はハッブルパラメータ、a はスケール因子

例として、速度 uµ で軌道 s(λ) 上を自由に運動するを表す。

n 個の粒子が τ = 0 で衝突し、その後速度 u′µ で離れる場合を考える。そのときのエネルギー運動量テ
ンソルは、

3

測地線偏差の式
T

今、近接する 2 つの自由落下している物体を考える。すなわち重力以外の外力が働いていない物体で、

µν

1
=√
−g

Z
dλδ (4) (x − s(λ))

A=1
′ν
u′µ
A (λ)uA (λ)+mA q

それは測地線に沿って運動する。これを記述するのが測地線方程式である。また、2 つの物体の空間的nX′ν−gµν u′µA uAuµ (λ)uνA (λ)θ(−τ )mA pA−gµν uµA uνAθ(τ )

な間隔は時空の曲率のために時間とともに変化する。

(11)

この空間的な間隔をベクトル X i とする。このベクとなる。ここで、用いていたグリーン関数を次のよ

トルが時間変化によってどのように変化するかを記述するものが測地線偏差の式である。ここで、ベク

うに 2 つの成分に分ける。
R
′
′
′
bR
GR
ijρσ (x, x ) = Gijρσ (x, x ) + Gijρσ (x, x )トル X i についての測地線偏差の式は以下のように(12)記述できる。

d2 X i= −C i0j0 X j
dτ 2



dX 0
dτ

上式の第 1 項目は光円錐上、つまりミンコフスキー

2(6)

時空上を進む遅延グリーン関数になっており、第 2
項目は光円錐の内部を進むグリーン関数になっていここで、摂動を考慮した計量でワイルテンソルを計算し、先に説明した TT ゲージ条件を同じように課る。従って、グリーン関数を含んでいる hijTT も 2 つのパートに分けることができる。

すと、以下のように書き換えられる。

hijTT = hij + b
hijTT
TT

1
d2 X i= ∂τ2τ hi jTT X j
(7)
dτ 2
2
得られたこの式を積分することで重力メモリー効果
に関する式が次のように得られる。

∆X i =

1 j
X ∆hi jTT
2

(8)

78

(13)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
このとき、hij , b
hijTT はそれぞれ、

果がどのように記述できるかについて考えていきた

TT

√
TT
hij = − 4πG√bhijTT = − 4πG

Z

Z

R
d x a Gijρσ (x, x′ )T ρσ (x′ )
4 ′ 4

′
ρσ ′
bR
d4 x′ a4 G
(x )ijρσ (x, x )T

TT

いと思う。

(14)
TT

Reference[1] A.Kehagias and A.Riotto, BMS in cosmology,
JCAP 05,(2016)059(15)と書ける。(14),(15) 式にそれぞれグリーン関数と (11)
式を代入すると以下の式が得られる。
TT
hij = −

b
hijTT =

G
4π


1/2

G
4π

1 X
a(τ )
A

1/2

A
pA
i pj λn!TT0(xα − sα (λ0 ))pA
α
!TT

(16)

X
1
mA viA vjAa(τ )τAZ τ0γ(τ ′ )dτ ′ ′ 5 ′ + · · ··τ a (τ )
τm
(17)
n

dτ
ここで、γ は dλで、τm は過去の時間を表している。

それぞれ、(16) 式を light-cone propagation、(17) 式
を tail という。(16) 式を見てみると、右辺に 4 元運
動量 P が存在する。この運動量 P は重力波からのもので、それが左辺の hijTT というメモリー効果を記述していることから、重力波によって重力メモリー効
果が生じることが分かる。また、(17) 式を見てみると、スケール因子のマイナス 6 乗のスケールになっており、light-cone propagation よりも tail の効果は非常に小さいことが分かる。

light-cone propagation は光円錐上を通ることから、真っ先に重力波検出器に検出される。一方、tail は光円錐の内部を進み、light-cone propagation よりも後に検出される。これは、平坦時空では現れない効果
で、時空曲率 (宇宙膨張) が存在するためにこのような効果が現れると考えられる。

5

今後の展望
本発表では平坦時空の場合と膨張宇宙の場合について、重力波による重力メモリー効果を確認した。今後はブラックホール時空において、重力メモリー効79

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重宇 a18FRW 宇宙モデルにおける BMS 対称性
近畿大学大学院 総合理工学研究科
中村 真

80

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

FRW 宇宙モデルにおける BMS 対称性
中村 真 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
時空の理想的な観測点である無限遠を表す光的無限遠における観測者の集団に重力波が到達すると、通常の振動的な振る舞いの他に、観測者同士の相対的な位置が重力波の通過前後で永続的に変化するという非振動的なメモリー効果が得られる。最近、このメモリー効果は、無限次元の漸近的な対称性である BMS(Bondi-

Metzner-Sachs) 対称性と深く関係していることが明らかになった。時空の対称性は時空計量を不変に保つ一方で、漸近的な対称性は十分遠方のみにおける対称性であり、時空内部においては必ずしも計量の不変性を要請しない。そのため BMS 対称性は時空内部の対称性とは大きく異なる様相を示す。また漸近平坦な時空のみでなく、開いた膨張宇宙においてもメモリー効果の可能性が議論されている。本発表では論文 [1] ラベ
ルに基づいて、減速膨張する平坦な Friedmann-Robertson-Walker(FRW) 宇宙モデルにおける計量摂動のゲージ変換の振る舞いを詳しく調べることで FRW 宇宙モデルにおける重力メモリー効果と BMS 対称性について解説する。

1

考える。この集団の測地線の間隔を測地線偏差の式

Introduction

からはじめて、測地線の間隔と測地線の接ベクトル

BMS 対称性は十分遠方で成り立つ漸近的な対称性を求めたのち、微分方程式を解くことで、通過前後である。また BMS 対称性は、BMS 変換の生成子がの隣接する測地線の間隔の変化を求めることが出来

角度成分の任意関数で与えられる無限次元の対称性を持つ。
本発表では、論文 [1] に基づいて、FRW 宇宙モデル

る。その後角度方向の BMS 変換から測地線の間隔の変化であるメモリー効果との関係を結びつけることが出来る。

における BMS 対称性とメモリー効果の関係について解説する。
はじめに FRW 時空における時空の大域的構造を2示すペンローズ図と、無限遠方で時空計量を扱うた
め計量をうまく書き換える。

FRW 時空を背景時空とした摂動を含む計量について、摂動計量をベクトル ξ の方向に移動させることで変換する。それにより摂動計量の各成分が ξ を用いた形で表され、計量の各成分に現れる関数の摂動が得られる。このようにして ξ により生成された摂FRW 宇宙モデル
FRW(Friedmann-Robertson-Walker) 宇宙モデルとは一様等方な空間が膨張するような宇宙モデルである。
空間的に平坦な場合の FRW 宇宙モデルにおいて状態方程式 w として、線素は

ds2 = −dt2 +a2 (t)(dr2 +r2 dΩ22 ), a(t) = (t/t0 )2/(3(w+1))

動計量が、漸近平坦性の条件を満たす場合に、ベク(1)

トル場 ξ は漸近対称性 (BMS 対称性) を生成するととして表すことが出来る。共形時間 dτ = dt/a(t) 用

いう。

いて、

メモリー効果とは光的無限遠における観測者の集

ds2 = (τ /τ0 )2q (−dτ 2 + dr2 + r2 dΩ22 )団に重力波が到達し通過すると、振動的な振る舞い(2)だけでなく、通過前と通過後で相対的な位置が永続

ここで減速パラメータ q = 2/(3w + 1) として表した。

的に変化する。BMS 対称性とメモリー効果を関連付

また Bondi 座標 (u = τ − r, r, θ, ϕ) を用いてけるために、無限遠において BMS 検出器の集団を

ds2 = ((u + r)/L)2q (−du2 + 2dudr + r2 dΩ22 ) (3)812022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.1

ペンローズ図3

空間的に平坦な場合のペンローズ図はBMS 対称性
漸近対称性である BMS 対称性を記述するために、背景時空を FWR 宇宙とする摂動計量を考える。背景の計量と摂動計量について適切なベクトル場を用いることで、十分遠方において元の計量と一致することが FRW 時空で確認することが出来る。
まず、Bondi 座標 (u, r, z, z̄) で背景時空である

FRW 時空において、
ds2 = (

図 1: 減速膨張する平坦な FRW 宇宙のペンローズ図

u + r 2q) (−du2 + 2dudr + 2r2 γzz̄ dzdz̄) (10)Lγzz̄ = (1+z2 z̄)2 を表す。
摂動計量 δgµν として、摂動を含めた計量は

2.2

光的無限遠

ds2 = (

ペンローズ図は、時空計量の共形変換g̃µν = Ω2 gµν

u + r 2q) (−du2 + 2dudr + 2r2 γzz̄ dzdz̄ (11)L+δgµν dxµB dxνB ) (12)δgµν = δgµν (u, r, z, z̄) とする。δgµν は ξ µ =(4)(ξ u , ξ r , ξ z , ξ z̄ ) によって以下のように変換される。
を用いて描くことが出来る。ここで Ω は滑らかな関数で共形因子は Ω → 0, dΩ ̸= 0 と選ぶ

従って線

(13)

素は

˜2 = Ω2 ds2dsδgµν → δg̃µν = δgµν + ∂ρ ḡµν ξ ρ + ḡµρ ∂ν ξ ρ + ḡρν ∂µ ξ ρḡµν は背景の FRW 宇宙の計量を表す。

(5)

Boudi ゲージに似たゲージ [1] からと書き表すことが出来る。

δḡrr = δḡrz = δḡrz̄ = 0

Bondi 座標における FRW 宇宙の線素は、(14)とする。この条件のもとで線素は [1]ds2 = ((u + r)/L)2q (−du2 + 2dudr + r2 dΩ2 ) (6)ds2 = (

より Ω2 = ((u + r)/L)−2q r−2 として r 一定の 3 次元の線素 ds23 はds23 = −du2 /r2 + dΩ2(7)

この 3 次元の線素において光的無限遠 r = ∞ では

ds̃2 = −du2 ∗ 0 + dθ2 + sin2 θdϕ2

−2Uz dudz − 2Uz̄ dudz̄ + · · · ) (15)(8)

無限遠方以外の角度成分 (θ, ϕ) と区別するために

N, m, C, Czz , Cz¯z̄ , Czz̄ , E, F は (u, z, z̄) の関数。
ここで BMS 変換 [[2],[3]]無限遠方での角度成分を z = exp(iϕ) cot( θ2 ), z̄ = exp(−iϕ) cot θ2 としてdΩ22 = 4/(1+z z̄)2

u + r 2q) (−du2 + 2dudr + 2r2 γzz̄ dzdz̄
L
2m 2
du + 2r2 γzz̄ Cdzdz̄
+N du2 +r
2F+2Edudr +dudr
r+rCzz dz 2 + rCz̄z̄ dz̄ 2 + 2rγzz̄ Czz̄ dzdz̄

ds̃2 = −0∗du2 +4/(1+z z̄)2 (9)u→ u − f,(16)r

→ r − D Dz f,
1→ z + Dz f,r
1 z̄
→ z̄ + D f
r

(17)

z
z̄

82

z

(18)
(19)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで f = f (z, z̄) とする。この変換はベクトル ξ を

Ξ =

1
1
ξ = −f ∂u − Dz Dz ∂r + Dz f ∂z + Dz̄ f ∂z̄ (20)rr=により生成される。

()2
DX ν DX ν
dX
−
(25)
dλ dλ
dλ
DX ν DX ν
1
DX ν DX νgµν− 2 Xµ Xν
(26)
dλ dλ
X
dλ dλ
(27)
gµν

このベクトル場によって、各関数の摂動、δCzz など
以下では Ξ = 0 として計算する。

を求めることが出来る。

µ
検 出 器 の 位 置 を XBM
S (u)

4

(u, r0 , z0 , z̄0 )
µ
dXBM
µ
S
=
r0 , z0 , z̄0 定数とする。接ベクトル VBM S = dλduµµ
( dλ , 0, 0, 0) X̂ = X /X として、メモリー効果d2 Xdλωメモリー効果とは検出器の集団の位置が重力波の通過前後で永続的に相対的な位置関係が変化する効果である。このメモリー効果は、自由落下する検出

=

=

−ωX

(28)

=

Rµρνσ X̂ µ X̂ ν uρ uσ

(29)

√
µ
z
uµ = VBM
S , X̂ = 1/ gz z̄ と器の集団の測地線の相対的な位置関係を調べること
で求めることができる。

Ruzuz = −1 ( r0 )2q 2∂u Czz2 Lを用いて微分方程式を解くと][(1 + z z̄)2(Czz + Cz̄z̄ )X(λ) = X(0) 1 +8r0
図 2: メモリー効果

(30)

(31)

重力波の通過前 X(λ1 ) 通過後を X(λ2 ) としてその差 ∆X = X(λ2 ) − X(λ1 ) は

5

メモリー効果と BMS 対称性∆X = (1 + z z̄)22 つの測地線を結ぶベクトル X µ と測地線の接ベ(32)

また、BMS 変換

クトル uµ を用いて測地線偏差の式はD2 X µµ= −RνρσX µ uν uσ
dλ2

δz̄
X(0)
δz
+ Cz̄z̄ )
(∆Czz
8r0
δz̄
δz

(z, z̄) → (z +δz, z̄ +δz̄) = (z +

(21)

Dz f
Dz̄f
, z̄ +) (33)rr

から ∆X が BMS 変換と関係することが分かる。

Dと表される。ここで、 dλ= uµ ∇µ を表す。
2

この式と X の共変微分から常微分方程式を立て、解くことで初期位置 X(0) との比較が出来る。

6

X 2 = X µ X µ として
D2 X 2dλ2==

D2 X ν
DX µ DX ν
+
2g
(22)
µν
dλ2
dλ dλ
(
)
2
dX
d2 X
2X 2 + 2(23)dλdλ2gµν X µ

Conclusion
漸近平坦時空の光的無限遠で知られている BMS 対

称性が、平坦な FRW 宇宙モデルにおける光的無限
遠にも存在することが分かった。また、FRW 宇宙においても重力メモリー効果が存在し、それは FRW
宇宙の BMS 対称性と関係していることが明らかに

従って

なった。

D2 X
X
= −Rµρνσ X µ X ν uρ uσ + Ξ
dλ2

(24)

83

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Acknowledgement
指導教員の石橋明浩教授と研究室のメンバーには感謝申し上げます。

Reference[1] A. Kehagias and A.Ritto , BMS in cosmology,JCAP 05, (2016)059[2] H. Bondi, M.G.J. van der Burg and A.W.K. Metzner, Gravitational waves in general relativity.7.
Waves from axisymmetric isolated systems, Proc.
Roy. Soc. Lond. A 269 (1962) 21[3] R.K. Sachs, Gravitational waves in general relativity. 8. Waves in asymptotically ﬂat space-times,
Proc. Roy. Soc. Lond. A 270 (1962) 103

84

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重宇 a19AdS instability
名古屋大学大学院 理学研究科
上道 恵也

85

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

AdS instability
上道恵也 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般相対論の基礎方程式である Einstein 方程式の解の内、最も対称性の高いものを極大対称時空と呼ぶ。極大対称時空は定数の宇宙項で特徴づけられ、負の宇宙項を持つものを AdS 時空と呼ぶ。空間の遠方で AdS
時空に漸近する時空 (漸近 AdS 時空) の性質は、AdS/CFT 対応の文脈からも興味の対象となっている。また、AdS 時空の境界には実効的な障壁が存在し、それに起因する不安定性（AdS instability）からブラック
ホールが形成されるという指摘もある。この点も漸近 AdS 時空に対する関心を与えている。
本講演ではスカラー場を用いた漸近 AdS 時空の安定性解析について議論する。スカラー場の初期条件をガウス分布で与え、その振幅を変えるとどうなるかを数値的に解析した結果を紹介する。またその後にこの不安定性の原因を探るため非線形摂動解析も行い、スカラー場のエネルギーの低いモードから高いモードに移る
ことを見る [1]。

1Introduction
AdS(anti-de Sitter) 時空は宇宙定数 Λ が負のアイ

ンシュタイン方程式の maximally 対称性な真空解で、

ds2 = −(1 + r2 /l2 )dt2 +1
dr2 + sin2 xdΩ2
(1 + r2 /l2 )(1)となる。ここで l2 は l2 = −3/Λ となる AdS 半径と呼ばれるものである。dΩ2 は２次元球面の metric である。ここから r = l tan x と置き換えると、

ds2 =

l2
(−dt2 + dx2 + sin2 xdΩ2 )cos2 x

図 1: AdS 時空 ([[2]] を下に作成)

(2)

2

Model

となる。x の範囲は 0 < x < π/2 となり、無限遠の

今回は AdS 時空での Einstein-massless-scalar ﬁeld

境界というのは x → π/2 のことである。timelike なを用いる。つまり、作用としては
[
]
∫
√
1
1
S = d4 x |g|(R − 2Λ) − g αβ ∇α ϕ∇β ϕ
16πG
2
(3)

測地線を AdS 時空上に書くと、図 1 の曲線のようになる。つまり、測地線は無限遠で反射し、また同じ位置に戻るのである。AdS 時空は閉じ込められた箱のようになり、この無限遠の境界を AdS 境界という。
他の maximally 対称性なアインシュタイン方程式の真空解である Minkowski 時空や de Sitter 時空でのように表され、運動方程式は()
12
Gαβ +Λgαβ = 8πG ∇α ϕ∇β ϕ − gαβ (∇ϕ)
(4)
2はエネルギーを無限遠に放射できるため非線形で安g αβ ∇α ∇β ϕ = 0

定する任意の小さな摂動が無限に成長することはな(5)

い、AdS 時空での安定性は調べられていなかった。 となる。そして、metric として

ds2 =

86

l2
(−Ae−2δ dt2 + A−1 dx2 + sin2 xdΩ2 )cos2 x(6)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校と仮定する。これは x → π/2 で ϕ = 0, A = 1, δ = 0となるようにして、AdS 境界になるようにしている。
このように無限遠で AdS 境界になる時空は漸近 AdS
時空と呼ばれ、AdS 時空の反射するという性質を用いることができる。f˙ は ∂t f 、f ′ は ∂x f を表すとする。場を Φ = ϕ′ , Π = A−1 eδ ϕ̇ のように再定義して、(4) 式から (6) 式を連立させて解くと、Φ, Π, A, δ に関する微分方程式が出てくる。

Φ̇ = (Ae−δ Π)′ , Π̇ =A′ =1(tan2 xAe−δ Φ)′
tan2 x(7)

1 + 2 sin2 x(1 − A) − sin x cos xA(Φ2 + Π2 ),sin x cos x(8)δ ′ = − sin x cos x(Φ2 + Π2 )(9)

図 2: horizon 半径と振幅の関係 ([1])
図 2 の中にある〇が apparent horizon ができた時の振幅と位置を表している。図 2 を右から見て、ϵ が小さくなると xH = 0 になるまで小さくなる。この時の振幅を ϵ0 とし、さらに振幅を小さくすると xH
は極値を持ち 0 になる。再びを xH = 0 になる振幅

ここで、AdS 半径 l は消え、x = 0 周りでテイラーを ϵ1 とし、同様にして ϵn (n = 0, 1, 2, ...) とつけて展開すると、いく。図 2 では n が増加することで、相似の曲線が現れる。この曲線は始めの ϵ0 までは波束が AdS 境

ϕ(t, x) = f0 (t) + O(x2 ), δ(t, x) = O(x2 )(10)A(t, x) = 1 + O(x2 )(11)幅だと波束が AdS 境界での反射して中心に行くこと

また、ρ = π/2 − x とし、ρ = 0(x = π/2) 周りでテで重力崩壊をすることを表している。よって、n は

イラー展開すると、

ϕ(t, x) = f∞ (t)ρ3 + O(ρ5 ), δ(t, x) = δ∞ (t) + O(ρ6 )A(t, x) = 1 − 2M ρ + O(ρ )36AdS 境界で反射した回数を表している。Λ = 0 でもϵ > ϵ0 では図 2 と同様の振る舞いをするが、ϵ < ϵ0 では apparent horizon が現れない。よって、ブラック(12)

ホールを形成するための振幅の閾値が存在する。こ(13)

れに対して、AdS 時空ではどんなに小さな振幅でもとなる。数値計算をする上で、場の初期条件としてGaussian-type を使う。
()
2ϵ4 tan2 xΦ(0, x) = 0, Π(0, x) =exp − 2 2π
π σ界まで行かず重力崩壊を起こすが、さらに小さい振ブラックホールを形成することができるように読み取れる。これが AdS 時空の不安定性-AdS instabilityとなっている。しかし、n が大きくなると計算のコ(14)ストがかかるので、中心部に限っての波束の重力崩壊を見る。
中心でのリッチスカラーはこの初期条件は σ = 1/16 とするが、振幅 ϵ を変化させていく。そして、波束が崩壊する条件は A(t, x) = 0

R(t, 0) = −2Π2 (t, 0)/l2 − 12/l2

で、このとき apparent horizon ができ、Black holeができるとしている。

(15)となる。これは振動しており、その包絡線と時間の関係を取ったのが図 3 である。図 3 の上図から始め

3Resultsの段階では時間一定で、次の段階で指数的に増加し、最後に重力崩壊することがわかる。この時間一定のA(t, x) = 0 となる時に x = xH として (xH は 間が ϵ−2 に比例しているとし、横軸を ϵ2 t に取ったのhorizon 半径)、ϵ を変化させると xH の分布がどこに が、図 3 の下図である。ここから任意の振幅でも図なるのかを見る。

3 と同様の段階を経て、重力崩壊することがわかる。

872022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校とする。dj = (16(j + 1)(j + 2)/π)2 で、ej (x) は(ei , ej ) = δij となり直交している。また、固有値が正なので時間に関して 17 は単振動の方程式になっており、解は安定する。固有モードの重ね合わせで解は

ϕ1 (t, x) =∞∑aj cos(ωj t + βj )ej (x)

(19)

j=0

のように表せる。また、ϵ の 2 次では∫)cos3 x x (A2 (t, x) =ϕ̇1 (t, x)2 + ϕ′1 (t, x)2 tan2 ydy,sinx 0∫ x()
δ2 (t, x) = −ϕ̇1 (t, x)2 + ϕ′1 (t, x)2 sin y cos ydy
0(20)となる。これらを使って、ϵ の 3 次では非同次方程式になる。

ϕ̈3 + Lϕ3 = S(ϕ1 , A2 , δ2 ),S = −2(A2 + δ2 )ϕ̈1 − (Ȧ2 + δ̇2 )ϕ̇1 − (A′2 + δ2′ )ϕ1(21)

図 3: 初期値 ϵ に対する Π2 (t, 0) の変化 ([1])

これを cj (t) = (ϕ3 , ej ), Sj = (S, ej ) とフーリエ級数

4

で書くと、

Discussionc̈j + ωj2 cj = Sj

ϕ, A, δ を (4), (5) 式から ϵ で展開すると
ϕ=∞∑

ϕ2j+1 ϵ2j+1 , A = 1−∞∑A2j ϵ2j , δ =

n=1

n=1

n=1

∞
∑

(22)

となる。この形は強制振動であり、Sj が cos ωj t や

δ2j ϵ2j sin ωj t に比例する項を持つと、共鳴する。これら共鳴項を持つ条件として、ωj = ωj1 + ωj2 − ωj3 とな(16) るような整数の組 (j , j , j ) を持つことが導かれる。
123となる。これらを微分方程式 (7-9) 式に代入する。ϵしかし、一般的な初期条件では共鳴項を消すことがの 1 次ではできず、永年方程式となる。初期条件としてまずはϕ¨1 + Lϕ1 = 0,
( 2
)
1
L=−
2 ∂x tan x∂x
tan x(ϕ, ϕ̇)t=0 = ϵ(e0 (x), 0) のような one-mode で考えてみる。この時、S0 のみ共鳴項を含むが、(19) 式の位(17)のような形になる。この L の固有値 ωj2 , 固有関数

ej (x) は超幾何関数 2 F1 を使って相を調整することで、共鳴項を消し安定にすることができる。しかし、次に初期条件として (ϕ, ϕ̇)t=0 =ϵ(e0 (x) + e1 (x), 0) のような two-mode では不安定になる。なぜならば、S0 , S1 の共鳴項を消せるが、S2 の共鳴項を消すことはできず c2 (t) ∼ t sin 7t のような

ωj2 = (3 + 2j)2 ,3ej (x) = dj cos3 x2 F1 (−j, 3 + j, ; sin2 x)
2合い、高次の共鳴モードへ移るので、エネルギースペ

∫ π/2
2

f (x)g(x) tan xdx
0

件では n に比例して、取り除くことができない共鳴項の数が増加すると予想される。低次のモードが混ざりとなる。関数の内積として(f, g) =永年項が残るからである。ここから n-mode の初期条

(18)

クトルをより高い周波数になると考えられる。定量的に見るために (e′j , e′k ) = ωj2 δjk となるような e′j を使っ

88

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校√√て、Φj = ( AΦ, e′j ), Πj = ( AΠ, ej ) と定義する。j-Referencemode のエネルギーに対応する Ej (= Π2j + ωj−2 Φ2j ) を表したものが図 4 である。これは Parseval sum を使っ∫ π/2て、全エネルギー M = 21 0 (AΦ2 +Π2 ) tan2 xdx =∑∞j=0 Ej (t) となる。

[1] P. Bizon & A. Rostworowski, Phys. Rev. Lett. 107
031102 (2011)[2] S. M. Carroll, Spacetime and Geometry An
Introduction to General Relativity, Cambridge
University Press, (2019)[3] G.Martinon, arXiv:1708.05600 (2017)

図 4: エネルギー割合の変化 ([1])
図 4 で は 初 期 条 件 は two-mode で あ る

ϕ(0, x) = ϵ(e0 (x)/d0 + e0 (x)/d1 ) と し て お り、∑k1
Σk = M
j=0 Ej と定義している。ここから低次のエネルギー割合は時間が経つと小さくなっていき、
高次のエネルギー割合が大きくなる。

5Conclusion
漸近 AdS 空間のもとで Einstein-massless-scalar 場

を考えると、波束が境界で反射するので数値計算か
らどんなに小さな摂動でも不安定性を示すことがわ
かった。この現象は共鳴モードが混ざり合うことで、より高エネルギーの周波数へと移るということが原因であると結論づけられた。この結論から Λ が負であることの役割や AdS/CFT とどのように対応するかを解明することが今後の課題となる。

Acknowledgement
今回の論文の review 発表に対して、特に QG 研の皆様にはとても助けてもらいました。私の知識がな
い中、質問をしても真摯に対応していただき本当にありがとうございました。

89

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重宇 a20

原始ブラックホール形成における数値シミュレーショ
ン手法
名古屋大学大学院 理学研究科
大橋 陸人

90

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

原始ブラックホール形成における数値シミュレーション手法
大橋 陸人 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表では、Friedman-Robertson-Walker(FRW) 宇宙における球対称ブラックホール形成の数値シミュレー
ションに、初めて擬スペクトル法を用いることに成功した論文 (A. Escrivà 2020) のレビューを行う。タイ
トルにもある通り、本発表ではその数値計算手法に特に焦点を当てて説明する。

1とする。また、

Introduction

1 ∂R(r, t)≡ Dt R ≡ U (r, t),A(r, t) ∂t

原始ブラックホール (PBH) とは、放射優勢期に宇宙摂動が重力崩壊したことにより、初期宇宙に形成された可能性のあるブラックホールである。PBH は初

1 ∂R(r, t)≡ Dr R ≡ Γ(r, t),B(r, t) ∂r∫ R∂R
M (r, t) ≡)dr
4πR2 ρ(∂r
0期宇宙の密度揺らぎの分布における高い非線形ピー
クの結果として生成される可能性がある。ただし、これまでに得られたしきい値の解析的な見積もりはかなり貧弱であり、数値的な手法が有用であるとされ

(3)

とすると、

ている。

√
1 + U2 −Γ=

これらのシミュレーションは、曲がった時空におけ

(4)
(5)

2M
r

(6)

る相対論的流体の運動を記述する Misner-Sharp 方程が成り立つ。M (r, t) は Misner-Sharp 質量と呼ばれ式を解くことによって行われる。今回レビューするる。このとき、Misner-Sharp 方程式

論文 (A. Escrivà 2020) では、一般相対論においてす

Dt U = −(でに多くの成功を収めている擬スペクトル法を、初めて PBH の形成シミュレーションに用い、しきい値をこれまでよりさらに高精度で計算することに成功している。
本発表では、まず 2 節で Misner-Sharp 方程式を導入し、その解析手法を簡単に説明する。その後、第 3節で擬スペクトル法とその長所について解説し、第4 節で数値計算の結果と考察をまとめる。

(8)

ρ+p
Dt ρ = −Dr (U R2 ),
ΓR2

(9)

Dt M = −4πR2 U p,

(10)

Dr M = 4πΓρR2 ,

(11)

−A
Dr p
ρ+p

(12)

が成り立つ。境界条件は R(r = 0, t) = 0, U (r =0, t) = 0, M (r = 0, t) = 0, Dr p(r = 0, t) = 0 となる。

Misner-Sharp 方程式 (C. W. Misner & D. H.
Sharp 1964) は球対称の相対論的流体の運動を記述する。線素を流体の状態方程式を p = ωρ とする。シミュレー
ション領域の外側で FRW 時空と一致させるという条件から、式 (12) は解析的に解くことができ、
ωρb (t) ω+1
t0 2
3H02
A(r, t) = (, ρb (t) ≡ ρ0 ( ) , ρ0 ≡)ρ(r, t)t8π(13)ds = −A(r, t) dt + B(r, t) dr + R(r, t) dΩ , (1)
2

2

2

2

2

dΩ2 = dθ2 + sin2 (θ)dϕ2(7)

Dt R = U,

Dr A =

Misner-Sharp 方程式

2M
ΓDr p + 2 + 4πRp),
ρ+p
R

2

2

(2)

91

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。このとき、Misner-Sharp 方程式を次のよう

3

擬スペクトル法に書き直すことができる。

U̇ = −A(ω Γ2 ρ′M+ 2 + 4πRωρ),′
1+ω ρ R
R
Ṙ = AU,UU′ρ̇ = −Aρ(1 + ω)(2 + ′ ),R R
Ṁ = −4πAωρU R2 .

(A. Escrivà 2020) では、時間発展には 4 次の陽的RungeKutta 法を用い、r 微分の計算には擬スペクト(14)

ル Chebyshev コロケーション法を用いている (詳細(15)

な説明は (J. P. Boyd 2000) にも記載されている)。

(16)

まず、[−1, 1] で定義された関数 f (x) について考える。Ncheb + 1 個の点 xk = cos (kπ/Ncheb ), k =(17)0, 1, ..., Ncheb において f (x) と一致する関数 fNcheb (x)∂∂ ′, ≡ ∂rである。
ここで、 ˙ ≡ ∂t

で f (x) を近似する。従って、Lk (xi ) = δki を満たす

ここで、compaction 関数 C(r) を定義する。具体

関数 Lk (x) を用いて、的には、

2[M (r, t) − Mb (r, t)]C(r, t) ≡.
R(r, t)fNcheb (x) =(18)

Tk (cos θ) ≡ cos kθ

Faraoni et al. 2017) 超地平線スケールでは (1) はRH (t)<< 1, RH (t) ≡ 1/H(t)a(t)RmLk (x) =A(r, t) = 1 + ϵ (t)Ã(r),22c̄k Ncheb(x − xk )(33)

外なら c̄k = 1 である。これを用いると p 階導関数は次のように求められる。

(21)

R(r, t) = a(t)r(1 + ϵ (t)R̃(r)),(22)

U (r, t) = H(t)R(r, t)(1 + ϵ2 (t)Ũ (r)),(23)

ρ(r, t) = ρb (t)(1 + ϵ2 (t)ρ̃(r)),
4πM (r, t) =ρb (t)R(r, t)3 (1 + ϵ2 (t)M̃ (r)),
3
3(1 + ω)r2
ρ̃(r) =
(K(r) + K ′ (r))rm,
5 + 3ω
3
1
2
K(r)rm,Ũ (r) =5 + 3ω
ω
Ã(r) = −ρ̃(r),
1+ω

(24)

(p)

fNcheb (xi ) =

N∑
cheb

(p)

Lk (xi )f (xk ).

(34)

k=0
(p)

(p)

Chebyshev 微分行列 Di,j ≡ Lj (xi ) を定義すると、
c̄i (−1)i+j, (i ̸ =j), i, j = 1, ..., Ncheb − 1,c̄j xi − xj
(35)
xi
(1)
Di,i = −, i = 1, ..., Ncheb − 1,
(36)
2(1 − x2i )(1)

Di,j =

(25)
(26)
(27)

(1)

(1)

D0,0 = −DNcheb ,Ncheb =2
2Ncheb+16(37)と求まる。ただし、D(1) の対角項を計算する際には、

(28)

恒等式

M̃ (r) = −3(1 + ω)Ũ (r),(29)
1ωρ̃(r) +Ũ (r), (30)R̃(r) = −(1 + 3ω)(1 + ω)
1 + 3ω

(1)

Di,i = −

N∑
cheb

(1)

Di,j

(38)

j=0,j̸=iとなる。したがって、K(r) が与えられ、その r 微分を用いる。

が計算できれば、Misner-Sharp 方程式は ϵ の t についての常微分方程式となる。

(−1)k+1 (1 − x2 )TN′ cheb (x)と書ける。ここで、k = 0, N ならば c̄k = 2、それ以(20)として、ϵ の leading term まで求めると、
2(32)で定義すると、(19)と近似できる。(M. Shibata & M. Sasaki 1999)

ϵ(t) ≡(31)と書ける。次に、Chebyshev 多項式 Tk (x) をすると、Cmax ≳ 1 のときに PBH が形成される。(V.

dr2+ r2 dΩ2 )1 − K(r)r2

Lk (x)f (xk )k=0

各時刻における C(r) の最大値を Cmax = C(rm ) と

ds2 = −dt2 + a2 (t)(

N∑
cheb

擬スペクトル法は有限差分と比較して以下の 2 つの点において特に優れている。

922022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
・誤差は、有限差分では 1/N v , v > 0 のように減少するのに対し、擬スペクトル法では Ncheb について
指数関数的に減少する。
・有限差分では近接点のみを考慮して導関数を計算するのに対し、擬スペクトル法ではすべての点の値を考慮してグローバルに計算される。
なお、f (x) は [−1, 1] でフィットされていたが、実際には [rmin , rmax ] において数値計算を行う。(A. Es-

crivà 2020) では以下の線形写像を用いている。
x̃k ≡rmax + rmin
rmax − rmin
+
2
2

(39)
図 1: δc の q 依存性

数値計算の結果と考察

4

まず、PBH に興味があるので、宇宙は放射優勢であるとして、ω = 1/3 とする。また、時間発展における初期条件を t0 = 1, a0 = 1, H0 = 1/2 とし、曲率をK(r) = Ae− q (r/rm )
1

2q

(40)

とする。ここで、定数 A は曲率振幅と呼ばれる。計
算時間を短縮するため、時間発展の刻み幅には共形
時間ステップ

dt = dt0 (t α
2) , α ≡ (1 + ω)
t0
3

(41)

図 2: 超臨界における時間発展を用いる。

Cmax ≥ δc のときに PBH が形成されるようなし
きい値 δc を定義すると、δc の q 依存性は図 1 のようになる。ただし dt0 = 10−3 , Ncheb = 400 としている。
また、q = 1(δc = 0.49774 ± 2 · 10−5 ) における超臨界、未臨界、臨界の場合の時間発展はそれ
ぞれ図 2、図 3、図 4 のようになる。ただし、dt0 =10−3 , Ncheb = 800 としている。 図 2 では、時間とともに Cmax は増加し PBH を形成していることが分かる。逆に、図 3 では Cmax は減少し PBH は形成されないことが分かる。図 4 では流体は内側に向かう

図 3: 未臨界における時間発展

部分と外側に向かう部分の 2 つに分かれていることが分かる。これによって間に密度の低い領域が生まれ、この領域が流体を再吸引することで、流体はさ

Reference

らに加速し、PBH 形成を最後まで追うことは不可能

A. Escrivà 2020, 1Phys.Dark Univ. 27になる。

C. W. Misner & D. H. Sharp 1964, Phys. Rev. 136

93

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 4: 臨界付近における時間発展
V. Faraoni, G. F. R. Ellis, J. T. Firouzjaee, A. Helou,& I. Musco 2017, Phys. Rev. D 95
M. Shibata & M. Sasaki 1999, Phys. Rev. D 60
J. P. Boyd 2000, DOVER

94

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重宇 a21

背景重力波エネルギースペクトルの上限値の推定について
大阪公立大学大学院 理学研究科
覺 依珠美

95

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

背景重力波エネルギースペクトルの上限値の推定について
覺 依珠美 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
背景重力波の特徴はその振幅が重力波検出器雑音に比べて極めて小さいことと，予測のできない確率論的な波形を持っていることである．そのため，現在重力波観測の主流である地上のレーザー干渉計を 2 台以上用
いて，得られた信号の相関を取ることにより解析を行うという手法が取られている．
これまで第 1 次観測 (“O1”, 2015 年 11 月-2016 年 1 月), “O2”(2016 年 11 月-2017 年 8 月), “O3”(2019 年

4 月-2020 年 3 月) と 3 度に渡る国際共同観測が行われてきており，O1,O2 ではアメリカにあるレーザー干渉計 LIGO で，O3 では LIGO とイタリアにあるレーザー干渉計 Virgo で観測されたデータを用いて背景重力波の探索がそれぞれ行われてきた．しかし，これまでの解析では，各観測において背景重力波存在の証拠の発見には至らず，背景重力波の上限値が推定された．これによると，臨界密度で規格化した重力波のエネ
ルギー ΩGW (f ) について上限値 5.8 × 10−9 (信頼度 95%, 周波数に依存しない場合)[1] と求められている．
本集録では，地上での背景重力波の観測方法と上限値の推定方法について述べる．

1

光が直進できず，電磁波での観測は不可能である．一

Introduction

方，重力波は同様に光速で伝搬し，かつ物質と相互背景重力波 (stochastic gravitational wave back-

作用しないという特徴を持っている．よって，このground, SGWB) とは，数多くの弱い重力波のインコような宇宙論的重力波を観測することによって，イヒーレントな重ね合わせである．その起源は大きく

ンフレーション理論を裏付ける証拠になると期待さ

分けて 2 種類ある．1 つは天体起源によるものであれている．また，インフレーションの進行には未だる．2015 年に世界で初めて観測された重力波は連星

様々な議論がされており，これらのインフレーショ

ブラックホールを波源とするものであった．このよンモデルを決定できる可能性もある．

うな連星合体や超新星爆発が遠方で発生した場合に生成される重力波は，地球に到達するまでに非常に弱い重力波となり，重ね合わせによって個々の重力2波に分離できなくなってしまう．このような天文学

SGWB の特徴
SBGW を特徴づけるにあたり，定常で Gaussian，的重力波を観測することができれば，それぞれの天体現象の詳細な理解に貢献できると期待されている． また等方的で無偏極な重力波であると仮定する．このような仮定から，ある波の相関を取るともう 1 つは宇宙初期に起源を持つものである．こ⟨れには宇宙紐の振動や結合によるもの，インフレー
ションによるものなどが考えられる．特に，宇宙初期の量子揺らぎから生成される重力波は，インフレー⟩δ 2 (n̂, n̂′ )1h̃∗A (f, n̂)h̃A (f ′ , n̂′ ) = δ(f −f ′ )δAA′ Sh (f )
4π
2
(1)

と表せる．ここで h̃(f ) は h(t) をフーリエ変換した

ションによってその波長が引き伸ばされ，一般相対ものであり，n̂ は偏角を含めた重力波の伝搬方向，A性理論に従う重力波として伝播する，現在我々が観は重力波のプラス偏極とクロス偏極を表し， Sh (f )測できる最古の宇宙の姿としては，宇宙マイクロ波

は SGWB のパワースペクトル密度である．

背景放射 (CMB) がある．CMB は宇宙誕生から約 38

また，一般的に SGWB のエネルギー密度は，万年後の宇宙の晴れ上がりによって放射された光を観測することによって得られたものである．しかし，これより過去の宇宙については，プラズマ状態から

96

ΩGW ≡

ρGW
ρc

(2)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校のように臨界密度 ρc = 3c2 H02 /8πG で規格化された

3.1

無次元量で表される．ここで，H0 は現在のハッブル
定数，ρGW は SGWB によって運ばれるエネルギー密度である．一方，SGWB のスペクトル密度は

1 dρcΩGW (f ) ≡ρc d log f

ここで，簡単のために 2 台の検出器の相関を取る
ことを考える．検出器のラベルを k = 1, 2 として，観測された信号を sk (t) = hk (t) + nk (t) (hk (t) は
重力波信号，n(t) はノイズ) と表すとする．この時，(3)hk (t) ≪ nk (t) であるとした時，で表され，Sh (f ) とは

4π 2 3ΩGW (f ) =f Sh (f )3H02

Overlap reduction function∫ T /2Y :=(4)∫ T /2
dt

−T /2

−T /2

dt′ s1 (t)s2 (t)Q(t − t′ )(7)のように関係している．また，ΩGW (f ) は冪乗の形という量を考える．ここで T は観測時間であり，でも表すことがあり，

Q(t − t′ ) は |t − t′ | → ∞ で急速に Q(t − t′ ) → 0 とΩGW (f ) = Ωα

(

f
fref

)α

なるようなフィルター関数である．この時，信号対(5)雑音比 (SNR, S/N で表す) が最大になるような Qとなる．ここで Ωα は SGWB の強度を表し，インを考える．Y をフーリエ変換すると，∫ ∞Y ≃df s̃∗1 (f )s̃2 (f )Q̃(f )フレーション起源の重力波の場合は α = 0, つまりΩGW (f ) = Ωα となる．今回は上記のような α = 0

(8)

−∞

の場合を考える．

となる．SNR について，S は重力波信号があるときの3集合平均であり，N は重力波信号がなくノイズのみで2 台の検出器を用いた相関

ある時の Y の標準偏差である．よって，2 つの検出器間でノイズの相関がない，つまり ⟨ñ∗1 (f )ñ2 (f )⟩ = 0

現在行われている天体起源の地上での重力波観測における信号解析方法としては，matched ﬁlter 法という手法が取られている．これは，ある統計量 (s, h)が∫ ∞s̃∗ (f )h̃(f )df(6)(s, h) = 4
Sn (f )
0のように表される方法である．ここで s̃(f ) は観測された生データ，h̃(f ) は理論波形 Sn (f ) は検出器のパワースペクトル密度である．実際に重力波信号が含まれていた時にこの統計量は大きな値になり，あるとすると，(1) より S は∫ ∞S=
df ⟨s̃∗1 (f )s̃2 (f )⟩ Q̃(f )
−∞

T
=
2

∫ ∞
−∞

df Sh (f )Γ(f )Q̃(f )(9)と求められる．ここで
[
]
[
]
∫ 2 ∫
d n̂
dψ ∑ A∆x
A
Γ(f ) ≡F1 (n̂)F2 (n̂) exp i2πf n̂ ·
4π
2π
c
A

閾値を設定したときに (s, h) が閾値よりも大きい値(10)をとると重力波信号が含まれている可能性があると√判定する．一般に検出器の感度は Sn (f ) で表されと置き，∆x = x2 − x1 である．

るため，感度の良い周波数帯では SNR が大きく，感2 台の検出器間の相関に対する指標となっている．ま

度の悪い周波数帯では小さくなるようにフィルタリ

ず，検出器間の位置差については exp [i2πf n̂ · ∆x/c]

ングすることができる．

の部分に表れている．2πf n̂·∆x/c ≫ 1 つまり ∆x ≫この Γ(f ) は overlap reduction function と呼ばれ，

しかし SGWB の場合，1 台の検出器では，波形がλ̄ (λ̄ は重力波の波長) の時，この部分は急速に振動す

ノイズのようにランダムに変動するので予測するこるため，検出器間で同じ時刻に観測した波の位相差とができず，matched ﬁlter 法を使うことができない． が大きくなってしまうので，異なる重力波を観測しそのため，2 台以上の検出器を用いて，観測された信たと見なされる．次に，検出器にはその設置された号の相関を取ることで解析を行うという手法がとら

アームの向きによって，感度の良い方向と悪い方向れている．

が存在する．そのため，2 台の検出器間での角度感度972022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校∑の違いを考慮する必要があり， A F1A (n̂)F2A (n̂) のとなる．よって，SNR は (9), (12) より，∫∞
df Sh (f )Γ(f )Q̃(f )1
S2= T [ −∞] 12∫N∞
2 S 2 (f )
df
|
Q̃(f
)|
n
−∞

部分に表れる．この値は各検出器によって固有の値を示すため定数となるが，2 台の検出器が同じ位置にあり，アームの向きが重なるような時に最大値 F12 をとる．例えば，2 台のレーザー干渉計では F12 = 2/5

(13)

1

であることが知られている．これを用いると，overlapとなり，SNR は T 2 に比例することがわかる．

reduction function は

Sn2 (f ) = Sn,1 (f )Sn,2 (f ) とした．

Γ(f )γ(f ) =
F12

ここで，2 つの複素関数 A(f ), B(f ) についてのス
カラー積を

(11)

∫ ∞

のように角度感度の部分によって規格化された形で(A, B) =−∞表されることもある．よって，∆x = 0 で検出器が重なっている時に |γ(f )| = 1 となって最大値をとり， と定義すると，(最も相関があるといえる．図 1 は，アメリカのレー
1
S
=T2
N

ザー干渉計 LIGO について，ハンフォードとリビン
グストンにある検出器についての overlap reduction

df A∗ (f )B(f )Sn2 (f )h (f )Q̃(f ), Γ(fS)S2n (f )() 12
Q̃(f ), Q̃(f )

(14)

)
(15)

function である．となるので，SNR を最大化するにはQ̃(f ) = const.

Γ(f )Sh (f )Sn2 (f )(16)とすればよいことがわかる．
以上より，

Ωα =

[ ∫ ∞
]− 12
S 4π 2Γ2 (f )·2T
df
N 3H02f 6 Sn2 (f )0(17)のようにして Ωα が求められる．また，2 台のレーザー干渉計を観測に用いた場合は

[ ∫ ∞
]− 21
S 10π 2γ 2 (f )Ωα =·2T
df 6 2
N 3H02f Sn (f )0

図 1: LIGO Hanford と LIGO Livingston の組み合
わせにおける overlap reduction function γ(f )．縦軸は左図が linear，右図が log10 でプロットされてい

(18)

となる．

る．(引用：[2])43.2

実際に観測を行う場合，それぞれの検出器のノイ

SNR と Ωα の関係

ズは定常ではなく，Sn,k (f ) は時間変化する．そのため，一方，N について，[

実際の観測について]
2

N 2 = ⟨Y 2 ⟩ − ⟨Y ⟩ h=0∫
T ∞=df |Q̃(f )|2 Sn,1 (f )Sn,2 (f )
4 −∞

T =

m
∑

TI

(19)

I=1

(12)

のように，観測時間 T を 2 台の検出器でノイズが定常であると近似できる長さ TI で n 個に区切る．こ98

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校の時，データの区切りに対応するよう，観測データ度を求める方法を紹介した．2 台の検出器を用いてからの相関統計量 Y を観測を行う場合，overlap reduction function によっ∑I λI Y I
Ytot = ∑I λIてその相関関係が表され，検出器間の距離が重力波(20)の波長に比べて十分小さく，同じ位置，同じ向きに検出器が配置されている場合に最も相関のある重力のように λI を用いて加重平均をとるようにする．こ波を検出できることが示されている．
の時，異なる区間のノイズは無相関であるとすると， この関数を用いて，特に宇宙初期のインフレーショ∫ ∞ンを起源とする重力波に注目した場合，ΩGW (f ) =SI ≡ T I
df Sh (f )Γ(f )Q̃(f ) ≡ µTI ,Ωα であることを用いることを考えた．この方法で
∫0
TI ∞
NI ≡
df |Q̃(f )|2 Sn2 (f ; I) ≡ TI σI2(21) は Ωα は (17) のように表され，現在主に観測に使用4 −∞されているレーザー干渉計では (18) のように求められる．

となる．ここで Sn (f, I) は I 番目の区間でのノイ一方で実際に観測を行う際は，検出器のノイズがズのスペクトル密度， σI2 は YI の分散である．ここで，実数要素 aI , bI をもつ 2 つのベクトルのスカ

定常でないことから，観測時間を短く区切って解析

ラー積をを行う．この時，2 台の検出器の相関統計量から実際(a, b) ≡∑aI bI σI2 TIの観測に即して修正され，(25) のように求められる．

(22)

I

とすると，SNR は()
λI , σI−2S=µ1N(λI , λI ) 2

6(23)

本集録では SGWB のエネルギー密度について点推となる．よって，λI = σI−2 の時 SNR は最大になる
ので，

∑ −2
I σI Y I
Yopt = ∑
−2
I σI

今後の展望

定的な導出にとどまったが，実際行われている解析では区間推定を用いて上限値が推定されている．今後はこのような区間推定の方法を学び，実データを用いて実際に推定を行いたいと考えている．

(24)という値が導かれる．実際の観測ではこの Yopt を用いて Ωα を求めている．この時，[ ∫S 4π 2Ωα =·2
N 3H02∞0Γ2 (f ) ∑TI
df
2 (f ; I)f6Snm

Reference]− 12[1] R. Abbott et al. (LIGO Scientiﬁc Collaboration,
Virgo Collaboration, and KAGRA Collaboration).
“Upper limits on the isotropic gravitational-wave
background from Advanced LIGO and Advanced
Virgo s third observing run”. Phys. Rev. D 104,022004.(2021)

I=1

(25)
となり，(Y) 式と比べると，

∑
1
TI
→
2
2
Sn (f )Sn (f ; I)m[2] Bruce Allen, & Joseph D. Romano. “Detecting
a stochastic background of gravitational radiation: Signal processing strategies and sensitivities”. Phys. Rev. D 59, 102001.(1999)

(26)

I=1

のような変更をすることによって，実際の観測にお[3] Michele Maggiore. “gravitational Waves Volume1:
Theory and Experiments”. Oxford University
Press, 2008.

ける解析に対応している．

5[4] Jolien D. E. Creighton, & Warren G. Anderson. “gravitational-Wave Physics and Astronomy”.
WILEY-VCH, 2011.

Conclusion
今回は SGWB の観測にあたり，2 台の検出器から[5] 川村静児. “重力波物理の最前線”. 2018, 共立出版.
[6] 安東正樹. “重力波とはなにか”. 2016, 講談社.

得られたそれぞれのデータの相関からエネルギー密

99

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重宇 a22Pulsar Timing Array による重力波検出の原理
熊本大学大学院 自然科学教育学部
齋藤 俊之

100

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Pulsar Timing Array による重力波検出の原理
齋藤 俊之 (熊本大学大学院 自然科学教育学部)

Abstract
距離が正確に測定できたパルサーが数個あれば重力波の波源の位置が正確にわかると予想されている。波源の位置を計算する際 earth term と pulsar term を考慮して幾何学的遅延の計算を行うが、その計算で遅延を正確に求めるには地球とパルサーの距離が正確に測定される必要がある。本研究ではパルサーの距離不定性が重力波源の位置の推定にどれほど影響するのか調べるため、重力波による光の到着時間の差の波形を含
むパルサーの仮想的なデータを作成し、ベイズ的パラメータ推定を用いて重力波源の位置のパラメータ (θ,φ) の事後分布を求める。

1

Introduction2

重力波を検出する方法として Pular Timing Ar-

2 Methods
パルサーからの電波パルスを電波望遠鏡で数週間

ray(以下、P T A) がある。パルサーとは、磁極から 程度観測し、得られたシグナルをパルスごとに bin
ビーム状の電磁波を放射しながら非常に安定した周に切り各 bin を足し合わせ folding する。folding し期で自転する中性子星である。このビームは地球の得られたデータを比較することでタイミング残差を方向へ向いたときにのみ検出されるため、地球から測定する。

はパルサーの自転周期と同じ周期のパルスが観測される。パルス周期の安定性を利用して、パルスの到着時刻を精密に予測でるが、地球とパルサーの間に2.1

重力波が存在すると、時空が歪むことでパルスの伝
播経路が変化し、パルスの到着時刻も変化する。こ2.1Timing residual

地球・パルサー間の重力波による赤方偏移は次のように書ける。

の変化を Timing residual (タイミング残差) という。

PTA では、数年 十数年に渡りタイミング残差を観測することで nHz μ Hz の低周波重力波を検出する。
この観測期間の逆数が重力波の観測可能周波数に対

hij = hij (t − px) = hij [ω0 λ (1 + pn)]

(1)

1
ni nj [hij (λs ) − hij (0)]2(1 + γ)

(2)

z= −

応している。今のところ低周波重力波の検出に至ってはいないが、今後数年以内に検出できると期待されて赤方偏移の時間微分は、重力波よる光の到着時間のいる。 現在進行しているプロジェクトとして北米の変化 s(t) と見なされる。重力波源が円軌道のブラッNorth American Nanohertz Observatory for Grav-

クホール連星だった場合、

itational waves (NANOGrav)、欧 州 の European
Pulsar Timing Array (EPTA)、豪州の Parkes Pulsar Timing Array (PPTA)、これら 3 つのプロジェ
クトや他国のプロジェクトのデータを共有して解析を行う International Pulsar Timing Array (IPTA)s(t) = F + Δ s+ (t) – F × Δ s× (t)(3)Δ s+, × (t) ≡ s+, × (t) – s+, × (tp )(4)s+ (t) =がある。

(G М)5/3[cos2Φ(1 + cos2 i)sin2ϕ(t)
1/3
ω
(t)
L

c4 D

- 2sin2 ψ cos(i)cos2Φ(t)](5)s× (t) =101(G М)5/3[cos2Φ(1 + cos2 i)sin2ϕ(t)c4 DL ω (t)1/3

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校+ 2sin2 ψ cos(i)cos2Φ(t)](6)F+ =1 (N̂・p̂)2 − (Ê・P̂ )22(1 + p・k)(7)(N̂・p̂)(Ê・P̂ )(1 + p・k)

(8)

F× =

s+, × (t) を earth term、s+, × (tp ) を pulsar term といい、パラメータは、偏光角 ψ、チャープ質量 M 、
距離 DL 、傾斜角 i、初期振動数 ω、初期位相 φ、連星の方向である。

2.2

2.2 ﬁtting

パルサーのスピン減速率や周期を真の値に近づけ、時間の 1 乗・2 乗に比例する成分を取り除く。ﬁt をした後に残るタイミング残差が重力波シグナルの候補となる。

Referenceearching for and Identifying Pulsars

102

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重宇 a23

再加熱期の予測と重力波によるポテンシャルの区別
名古屋大学大学院 理学研究科 宇宙論研究室
水口 由莉乃103

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

再加熱期の予測と重力波によるポテンシャルの区別
水口 由莉乃 (名古屋大学大学院 理学研究科 宇宙論研究室)

Abstract
主にインフレーション期の描像はスカラー場のポテンシャルで表現される。よって、ポテンシャルの形状を制限することはインフレーション期の解明につながる。しかし、インフレーションモデルの一部は観測量に対して、しばしば縮退を示すことが知られている。本発表では、最も単純なモデルである単一場スローロー
ルインフレーションのうち、観測の予測と一致するモデルとして T-model と E-model に着目し、縮退を解くことを目的とする。まず 2 つのモデルがそれぞれ縮退することを式から確認し、インフレーション後の宇宙を作りだす再加熱期に焦点を当てる。特に、再加熱期の期間や温度を理論的に、状態パラメータと観測量であるスペクトル指数を用いて表される。さらに、原始重力波は状態パラメータに直接感度があるとされている。これらの再加熱期における特徴を用いた結果、縮退を解くことができた。なお、本発表は [1] の一部
をレビューしたものである。

1

これ以降、各パラメータの添字は以下の期間・時

Introduction
インフレーション理論はビッグバン理論で問題視されている、ホライズン問題や平坦性問題等を解決するために構築された。インフレーションは後の宇宙の構造の種となる密度ゆらぎを作り出す機構であ期を示す。(infk : インフレーション期における任意時
刻の物理量、e : インフレーション終了時、re : 再加熱
期終了時、RD : 放射優勢期終了時、eq : 等密度時、0 :現在)

るが、他にインフレーションが予言する重要な物理
現象に再加熱期と原始重力波がある。
再加熱期はスカラー場から他の物質へとエネルギー2

スローロールインフレーション
スローロールインフレーションを特徴づけるスローが転換される時期であり、その期間 Nre や温度 Tre 、状態パラメータ wre で特徴づけられる。特に、wre は、 ロールパラメータ ϵV , ηV は与えられたポテンシャル
小スケールにおける重力波のスペクトル Ωとス V に対して
GW

ペクトル指数 nGW に対しても感度が高いとされていϵV =る。[3] そのため、ΩGW の観測は再加熱期の物理を明らかにする可能性を持っている。
さらに、原始重力波や再加熱期以外の重要となりうるインフレーションの予言にスカラーゆらぎがある。その観測量はスペクトル指数 nS とテンソル・ス

m2p
2

(

V′
V

)2

(

, ηV = m2p

V ′′
V

)

(1)

で表される。プランク定数の 2 乗 m2p は (8πG)−1 と定義した。また、{nS , r} はスローロールパラメータを用いて表される。

カラー比 r である。これらは、インフレーションモ

nS = 1 + 2ηV − 6ϵV , r = 16ϵV

デルの選別に用いられるが、一部のモデルでは異な(2)るモデルパラメータに対して、それぞれ縮退を示す

なお観測により、nS = 0.9649 ± 0.0042, r ≤ 0.06 でことが知られている。そこで、本発表ではモデルのあることが得られている。[2]ポテンシャルを制限するため、Nre , Tre と CMB の観

本発表では、スローロールインフレーションのう

測量 {nS , r} の関係と原始重力波と wre の関係を使っ ち、観測の予測と一致する T-model と E-model を取た 2 つのアプローチにより、縮退を解くことを目標 り扱う。
とする。

104

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.1

また、インフレーション後に再加熱期が起こり、そT-modelT-model のポテンシャルは[(V = V0 tanhの後ビッグバン元素合成が起こることを考慮すると、

λϕmp

再加熱期終了時の温度 Tre が取りうる範囲は以下の)]2pようになる。

(3)
1MeV ≤ Tre ≤ 1016 GeV(9)で与えられ、{nS , r} はそれぞれ以下のようになる。

nS − 1 ≃ −

2
2
,r ≃
2 2
inf
Nkinf
N
λ

(4)

4

k

CMB の観測量と再加熱期
本章では、{nS , r} と Nre , Tre , wre (p) に注目し、縮(p = 1, 2, 3, .., λ = 定数 , N : 膨張指数)退を解く。

このように、{nS , r} はモデルパラメータ p によらず、縮退を示す。

まず、Nre の nS , p の依存性について考える。ゆらぎの波長とハッブル半径が等しい状態において、以下の式を得る。

2.2

ak Hkinfk=a 0 H0a 0 H0E-modelE-model のポテンシャルは
)]2p
[
(
λϕ
V = V0 1 − exp −
mp

(5)

(10)

さらに、各期間の膨張指数の定義式より( )( )(
)(
)(
)
k
ak
ae
are
aeq
Hkinf
log
= log
a 0 H0
ae
are
aeq
a0
H0
inf

で与えられ、{nS , r} はそれぞれ以下のようになる。 = −Nkinf − Nre − NRD −log(1 + zeq ) + log Hk
H0
2
2
(11)
nS − 1 ≃ − inf , r ≃(6)
2 2−3(1+w)inf
Nkと計算できる。また、Nre は ρ = a
より、
Nk λ
( )
are
T-model と同様に、p 依存が見られず縮退している
Nre ≡ log
(12)ae
ことがわかる。
()
3Ve
1log π2 2=(13)
4
3(1 + wre )30 gre Tre

3

再加熱期

となる。ただし、簡単のため wre = we としている。

再加熱期は、スカラー場が ϕ = 0 付近で振動し、素粒子を作り出す過程である。両モデルとも原点周りでは(V (ϕ) ≃ V0

λϕ
mp

)2p
(|λϕ| ≪ mp )(7)(13) 式の g は有効自由度である。なお、有効自由度
や温度を考慮した Nre (wre ̸= 31 ) は[( 14 )]
4
Ve
inf
(14)
Nre =
61.55 − Nk − log
1 − 3wre
Hkinfと得られる。ここで、Hkinf はと計算できる。ここで、今考えている環境は断熱状態(Hkinf )2 =下であり、その状態方程式は p = wρ と表される。な1(1 − nS )2
V
(ϕ
)
=
A
×
k
3m2p
λ2

(15)

お、ここでの p は圧力、ρ はエネルギー密度を指す。 で与えられる。ただし A は定数。以上より、Nre のρ の係数である状態パラメータ w は再加熱期において、p と以下のような関係を持つ。[4]wre =< wϕ >=

p−1
p+1

(8)

nS , p, λ 依存性は以下のようになる。
)][(
12(p + 1)2Ve4 (p)Nre =61.55 +
− log
2−pns − 1
Hkinf (nS , λ)
(16)

105

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
次に Tre については、(13) 式より nS , p 依存性は以下のようになる。Tre について解くと、

(
Tre =
(
=

45
π 2 gre45
π 2 gre

) 41
) 41

1

Ve4 e− 4 (1+wre )Nre
13pVe4 (p)e− 2 ( p+1 )Nre (ns ,p,λ)
3

(17)
(18)

と導ける。したがって Nre , Tre は λ を固定した場合、
図 1,2 を得る。

図 2: E-model における Nre (上図)Tre (下図) と nS の関係。赤線:p = 1, 青点:p = 2, 緑線:p = 3,: 灰色領
域:CMB の観測による制限 [2], 黄緑色領域:BBN による制限を示す。[1]

5

原始重力波
ここでは、縮退を解くもう一つの方法として、

wre (p) に直接的な感度を持つ原始重力波に焦点を当てる。原始重力波と関係を持つテンソル型の計量の
図 1: T-model における Nre (上図)Tre (下図) と nS の

ゆらぎは、

(

関係。赤線:p = 1, 青点:p = 2, 緑線:p = 3,: 灰色領(T)
δgµν= a2 (τ )域:CMB の観測による制限 [2], 黄緑色領域:BBN による制限を示す。[1]

0

0

0

hij

)
(19)

で表され、6 自由度を持つ。ここで、∂i hij = 0, hi i = 0

5 章で取り上げる観測により、Tre への制限が得ら より、hij は +, ×mode の 2 自由度に制限される。
れれば、取り得る p の値や Nre を求めることにつなテンソル型ゆらぎの運動方程式は、アインシュタがる。また、CMB の観測の精度が向上し nS の範囲

イン方程式からが狭まれば、特定の λ に対する p の値を制限することも可能になる。

106

h′′ij

(T)

+ 2H h′ij(T)− ∆hij (T) = 0(20)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校である。なお、H = aH とした。これを解くため、
以下のようにフーリエ変換を行う。
∑ ∫ d3 k(T)hij=eλ ij (k)hλ k (τ )eik·x
(2π)3

(21)

λ=+,×

′

ただし、eλ ij は偏光テンソルで、eλ ij eλ ij = δλλ′ を満たす。テンソル型パワースペクトルは、スカラーと同様にゆらぎの 2 点関数で定義され、重力波のパワースペクトルとの関係はPT (k) =k3 λ|h k (k)|2 = 2PGW (k)
2π 2

(22)

となる。ここで、観測量である重力波のスペクトルΩGW は定義から
1 dρGW (f )ρc dlogf
1 ( k )2
PT (k, t)=
48 HΩGW (f ) ≡

(23)
(24)

と計算され、テンソル型のゆらぎと関係を持ってい

図 3: T-model と E-model における ΩGW と f の関

ることがわかる。(ρc : 臨界密度,ρGW : 重力波のエネ係。紫線・点線:p = 1, 黒点線:p = 2, 緑線・点線:p = 3

ルギー密度,f : 周波数)を示す。[1](re)

特に再加熱期におけるスペクトル ΩGW は

(
(re)

(RD)

ΩGW (f ) = ΩGWff∗

ることが示され、図 1,2 を得た。一方、2 つ目の手法)2( wwre −1/3
+1/3 )
re(25)である原始重力波は図 3 のように、wre (p) に直接感度があった。それにより、原始重力波の観測にから pで与えられる。よって、(8) 式から、ΩGW が直接 pの値を制限できることがわかった。以上のアプローの値に感度があることがわかる。

チにより、縮退が解けることが確かめられた。今後(re)各モデルの p ごとの ΩGW の結果は (9) 式を踏まえて、図 3 のようになる。各線の折れ曲がりの位置がの展望として、CMB の観測精度の向上や原始重力波観測の実現が求められている。

観測されれば Tre がわかり、4 章で触れたように Nreや p の取り得る範囲が制限される。

6

Acknowledgement
ご教授いただいた研究室の皆様、夏の学校事務局

Conclusionの皆様に、心より感謝申し上げます。

一部のインフレーションモデルは度々縮退を示す
ことが知られており、ポテンシャルの制限を困難にReference

させている。今回取り上げた T-model と E-model も[1] Swagat S. et al., JCAP05 (2021) 075

共に CMB の観測量 {nS , r} に対して縮退していた。
その縮退を解くための方法として 2 つ取り上げた。1[2] P. A. R. Ade et al., A&A 641, (2020)

つ目は、{nS , r} と再加熱期を特徴づけるパラメータ[3] V. Sahni, Phys. Rev. D 42, 453 (1990)との関係により制限をかける方法である。その結果、[4] M. S. Turner, Phys. Rev. D 28, 1243 (1983)

特定の λ に対する Nre や Tre が nS , p の関数でかけ107

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重宇 a24α-attractor と超重力理論
京都大学大学院 理学研究科
道信 祐吏

108

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

α-attractor と超重力理論
道信 祐吏 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーションはインフラトンと呼ばれるスカラー場を用いて宇宙開闢の加速膨張を記述する理論である。弦理論などの基礎理論がインフレーションを通して観測的に検証可能であることから、そのモデルの確立は初期宇宙論の重要な課題である。これまで数多のモデルが提唱されてきたが、最新の BICEP/Keck の観測によりテンソル/スカラー比が Planck2018 の観測よりも強く制限され、多くのモデルはその観測値から外れた。最も基本的な場の冪型のポテンシャルも観測から大きくずれたモデルの一つである。
しかし、パラメータ α を用いてインフラトンの運動項を適当に変更することでテンソル・スカラー比を観測に合致させることができる。そして、その結果はほとんどポテンシャルの詳細に依らずに決まり、このことからこのモデルは α-attractor と呼ばれる。本稿では、そのうち最も単純な T-model と E-model について、
なぜそれらが現象論的に優れているのかを [1] に基づいてレビューする。
インフレーションの物理的な起源を知るためには、現象論的に観測に合致するモデルを構成するだけでは不十分である。従って、インフレーションが基礎理論からどのようにして自然に現れるのかが問題となる。

α-attractor の大きな特徴は、KKLT を通して超重力理論や弦理論においてそれが実現できるという点にあり、η 問題を自然に解決できる利点がある。KKLT は、6 次元に丸まった Calabi-Yau 多様体に D3-brane を加え、それらの相互作用を通してインフレーションを引き起こす機構をもつ。本稿では、D3-brane の幾何とインフラトンのポテンシャルが密接に対応することと、T-model および E-model がどのように実現されるかを [2] に基づき簡単に述べる。

1

Introduction
インフレーションはインフラトンと呼ばれるスカ

ラー場 φ を用いて宇宙開闢の加速膨張を記述する理論であり、作用はL
1
1√= R − ∂φ∂φ − V (φ)
−g
2
2

(1.1)

である。非常に単純であるが、horizon Problem や

ﬂatness Problem など、様々な問題を解決する優れたモデルである。しかし、その物理的な起源や potential

V (φ) の形は分かっていない。そのため、観測に合致するモデルを多く作ることと、弦理論などの根源的な理論からインフレーションを導く試みの両輪で進めていくことが、インフレーションそのものの理解に繋がる。10 次元の弦理論から 4 次元のインフレー

Fig. 1: BICEP/Keck [3] による (ns , r) への制限。青ションを導く際に、一般には次の二つの困難が生じの領域が最新の制限であり、基本的な power law 型

る。一つは、10 次元の場から 4 次元の場を得るときの potential は外れている。

に、多くのスカラー場が出てくることである。これら
は moduli と呼ばれ、いろいろと悪さをするので、イ109

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
ンフレーション期に hidden sector に持って行く必要がある。これを moduli stabilization という。また、
少なくとも摂動論的には無数の真空が考えられるので、より多くの真空を統一的に扱えるモデルの構築が必要となる。さらに、超対称性があると真空は AdS
か Minkowshi に限られ、宇宙項が僅かに正の現在の宇宙と合致しない。そこで、弦理論と consistent な

dS の真空を持つモデルを考えなければならない。
最新の BICEP/Keck の観測 Fig. 1 に合致し、上の二つの困難を解決するのが、α-attractor である。そこ
で本稿では、インフレーションモデルの universality

class を成す α-attractor の現象論的側面と弦理論的側面を説明する。

2

Fig. 2: α-attractor の (ns , r)。黄色のラインが T-

α-attractor (bottom up)model (V (ϕ) ∝ ϕ2 ), 赤のラインが E-model (V (ρ) ∝2α-attractor で最も基本的な T-model は、式 (1.1) (1 − ρ) ) である。α を小さくとると、青の領域に合致させることができる。[1]
の運動項を

L
R
(∂ϕ)2
√
=
−
− V (ϕ)−g
22(1 − ϕ2 /6α)2(2.1)と変更することで得られる。つまり、moduli space で√boundary ϕ = 6α を考えている。運動項を canon-

3α-attractor (top down)

3.1

KKLT uplifting

N = 1 ﬂux background で D3 により、真空を dS

ical に書き換えると√Lφ
R (∂φ)2√=−− V ( 6α tanh √ )
−g
2
2
6α

に uplift することを考える。これは KKLT [4] にお(2.2)となる。また、E-model も運動項に 2 次の pole を導入することで得られる。

L
R 3α (∂ρ)2√=−− V (ρ)−g2
4 ρ2√
R (∂φ)2=−− V (e− 2/3αφ ).
22

いて用いられているが、KKLT potential 以外に対しても有効な dS の実現方法である [5]。KKLT において、Kähler potential と superpotential は、Kähler

modulus を 1 つとするとき(2.3)

K = −3 log(T + T̄ ) + S S̄,(3.1)

W = W0 + Ae−aT + bS

(3.2)

両方のモデルはともに α →√0 では、potential の詳細となる。S 以外の項は超対称な AdS を実現する。S) となる。従って、 は S 2 = 0 を充たす nilpotent superﬁeld であり、Fig.
量子補正に対しても安定で、η-Problem は生じない。 3 に示している通り AdS を dS に uplifting する効果
spectral index ns と tensor-to-scalar ratio r はを持つ。nilpotency より、S はによらずに V ≃ V0 (1 − e−

2/3αφ

2
,
Ne

r=

ns = 1 −

12α
Ne2

(2.4)

である (Fig. 2)。Ne は e-folding number である。

(ns , r) は α だけから決まっており、普遍的である。
また、α → 0 で r → 0 故、将来 r の上限がさらに下
がっても生き残ることができる。

√

2θG + θ2 F S
GG √→S=+ 2θG + θ2 F S
2F S

S =s+

(3.3)
(3.4)

となる。S のスカラーは bilinear fermion になっているため、moduli stabilization は必要ない。また、

110

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校を得る。特に、W = W0 とすると m3/2 = W0 であV (Re T )2

るから、FS を S 方向の SUSY breaking parameter

1

0

100

120

140

160

180

200

VF = Vinﬂ + Λ,

Re T

2

2

Λ = |FS | − 3 |W0 |(3.10)と書ける。Vinﬂ は inﬂaton の potential である。これ

adding D 3  S-1-2∝ DS W とすると、

broken SUSY dS

より、

SUSY AdS2

GS S̄ (T, T̄ ) =

|W0 |

2

Vinﬂ + |FS |(3.11)

Fig. 3: moduli stabilization によって実現された超となる。従って、inﬂaton の potential Vinﬂ から、S-

対称な AdS vacuum を D3 = S によって、超対称性

geometry が決まっている。

が破れた dS に uplift している。
超対称性は自発的に破れて、非線形に実現されてい

3.3

る。S のみの超重力理論 K = S S̄, W = f S を考え

E-model revisited

E-model を与える Kähler potential は

ると、Volkov-Akulov (VA) action になることから、

K = −3α log(T + T̄ )S は VA goldstino と呼ばれている。また、この VA(3.12)

action は、local κ-symmetry をもつ D3-superbraneである。このとき T が座標のモジュライ空間の曲率 Rの action から、O3 orientifolding と compatible なよは、R = −2/3α である。axion a = ImT が stabilize

うに κ-symmetry をゲージ固定することでも得られされていると仮定すると、T = T̄ = ρ として、運動

る [6]。ゲージ固定で半分だけ残る fermion の自由度

項はが VA goldstino である。つまり、S は D3 を通して、− KT T̄ ∂T ∂ T̄ = −弦理論の解釈を持つのである。

3α (∂ρ)23α∂T ∂ T̄ = −2
4 ρ2(T + T̄ )となり、確かに、E-model (2.3) が実現されている。

3.2

axion の stabilization は前節 3.2 で議論した S の導

S geometry

入によって説明できる。

geometric Kähler function
G = K + log W + log W ,G

VF = e (Gαβ̄

Gα Gβ̄ − 3)

(3.5)

3.4

(3.6)

を用いる。S の nilpotency より、一般に

dS uplifted E-modeldS vacuum をもつ E-model は、
K = −3α log(T + T̄ ) +G(T, T̄ ; S, S̄) = G0 (T, T̄ ) + S + S̄ + GS S̄ (T, T̄ )S S̄

(3.13)(3.7)と書ける。inﬂation 期において、gravitino の質量が3α/2

W = (2T )2= Const.,G0T = 0(3.8)

であることから、式 (3.6) より、

GS S̄ (T, T̄ ) =

m3/2

2

VF |S=0 + 3 m3/2

2

(3.9)

W0 (1 + S),

Vinﬂ = m (1 − (T + T̄ )/2)2

(3.14)

定数であり、T 方向の SUSY が破れていないとするとeG0 = m3/2

W02
S S̄,
2
FS + Vinﬂ (T, T̄ )である。このとき
potential は、T = ρ + ia, ρ =√− 2/3αφeとして、
3α/2 
2 2
a2
VF =
a +1
Λ + 3αW02
3α
3α/2 + a2
2 √+ m2 1 − e− 2/3αφ(3.15)

111

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校となる (Fig. 4)。axion は運動項が canonical になる

nilpotency により、S-geometry は inﬂaton の poten-

ように再定義している。axion の質量はtial と直接結びつき、安定なインフレーションモデル
を系統的に作ることのできる手法が得られた。

nilpotent superﬁeld を 用 い た 方 法 は 、複 数 のKähler modulus や nilpotent superﬁelds に対しても拡張でき、hybrid inﬂation に弦理論による解釈を与え得る。また、無数の真空を同時に扱うことのできる α-attractor は、string landscape を大きく拡張する可能性を有しており、弦理論のより根源的な問題への Probe となることが期待される。

Acknowledgement
Fig. 4: inﬂaton は ﬂat direction の領域で inﬂation を

基礎物理学研究所と天体核研究室の先輩方には、多起こし、その後 dS (VF で見ると) に落ちる。axion

くの時間を割き、多岐にわたる指導をしていただきは常に安定である。

ました。心より感謝申し上げます。

m2a = 4W02 + 2m2 (1 + e−√

2/3αφ 2) >0

(3.16)

References

であり、常に安定である。なお、T-model について

[1] R. Kallosh and A. Linde, JCAP, 12, 008, 2021.

は、Z = (T − 1)/(T + 1) として同様に考えればよい。

[2] R. Kallosh et al., JHEP, 07, 057, 2017.
[3] BICEP/Keck collaboration, Phys. Rev. Lett. 127,
151301, 2021.

4

Conclusion[4] S. Kachru et al., Phys. Rev. D 68, 046005, 2003.

本稿では、inﬂation の universality class である α-attractor を取り上げ、その現象論的な振る舞いと UVsensitivity を見た。まず、現象論的には、運動項に singularity を導入することで、α-attractor の最も単純なモデルである T-model と E-model を作った。mod-uli space の境界だけから (ns , r) が決まり、指数関数の suppression により、普遍的で安定であるというのが、大きな強みである。また、(ns , r) は最新の BI-

CEP/Keck の観測に合致し、今後さらに r の上限が小さくなったとしても、破綻することのないモデルである。
他方、axion の stabilization に必要な S は、nilpo-

tent S 2 = 0 にとることにより、超対称性が自発的に破れた de Sitter の真空を実現した。そのとき、Sは D3-superbrane の worldvolume 上の VA fermion
として、弦理論の解釈を持つことが分かった。また、

112[5] S. Ferrara et al., JHEP, 10, 143, 2014.
[6] R. Kallosh and T. Wrase, JHEP, 12,117, 2014.

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重宇 a25

複数場の α-attractors におけるインフレーション
名古屋大学大学院 理学研究科
松井 悠真

113

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

複数場のα-attractors におけるインフレーション
松井 悠真 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
標準ビッグバン理論が抱える初期条件問題の解決策として、初期宇宙の加速膨張を論ずるインフレーション理論が議論されてきた。インフレーション理論は様々なモデルが考案されてきたが、中でもα-attractors と呼ばれるモデルでは、ひも理論などを考えるのであれば複数の相互作用するスカラー場を持つことが示唆されている。この場合、あるパラメータの条件下ではインフラトン場とは異なるもう一つの場により waterfallが起こることでインフレーションが終了する。本発表では waterfall が起こるような、複数のスカラー場を持つα-attractors のインフレーションの振る舞いを調べ、スペクトル指数に与える影響について調査した。その結果、スペクトル指数がとり得る値の上限が ns → 1 であることが判明した。
本発表は [1] のレビューである。

1

一場のインフレーションとは異なるインフレーショ

Introduction

ンの終わり方をする場合がある。本発表では、この標準ビッグバン理論は、初期条件についてホライズン問題や平坦性問題といった不自然な点を抱えている。これらを解決するために提唱された仮説としwaterfall と呼ばれるインフレーションの終わり方に着目し、ns の値に及ぼす影響を調べることを目標とした。

て、宇宙初期に宇宙が加速膨張したと仮定するイン
フレーション理論が考えられている。インフレーショ
ンを実現する機構には様々なモデルが考案されているが、ここでは典型的なモデルのスローロールイン

単一場のα-attractors

2

フレーションを取り上げる。スローロールインフレー

複数場のα-attractors の振る舞いを調べる前に、ションでは、スカラー場 ϕ の値がゆっくりと変化す

まず単一のスカラー場のα-attractors の性質についることでインフレーションが実現される。このようて触れていく。最も簡単な単一のスカラー場のα-

な場をインフラトン場と呼ぶ。このモデルを特徴づ

attractors のラグランジアンは式 (1) で与えられる。

けるパラメータに、インフレーションの密度揺らぎ

L
R
√
=
−
−g
2

の振幅 As やスペクトル指数 ns 、テンソル・スカラー
比 r が存在する。宇宙マイクロ背景放射 (CMB) よ2(∂µ ϕ)()2 − V (ϕ)ϕ22 1 − 6α(1)

り、As ≈ 2.01 × 10−9 であることが知られている。 ここで R はリッチスカラー、α はパラメータ、ϕ は
残りの二つは As の値と矛盾のない範囲に制限されインフレーションを起こすスカラー場、V はポテンており、ポテンシャルの形を与えることで計算する

シャルである。α → ∞ の極限では運動項はカノニカ

ことが可能である。
また、超重力理論の枠組みでインフレーションを記述出来るモデルとして、α-attractors が存在する。
このモデルでは、As や ns 、r といったパラメータはポテンシャルの形に関わらず、普遍的な性質を示す。近年の研究では、ひも理論などよりα-attractors

ルな項 −(∂µ ϕ)2を取るが、それ以外の場合では運動√2

項は |ϕ| =6α で特異点を持ってしまう。そのため、

∂ϕ
2
1− ϕ
6α

= ∂φ を満たすカノニカル変数 φ を導入する。
√
この関係より、ϕ = 6α tanh √φ6α である。式 (1) をφ を用いて書き直すと、式 (2) の表式が得られる。

は複数の相互作用するスカラー場を持つことが示唆されている [1]。複数場のインフレーションでは、単

114

2

L
R (∂µ φ)
√
=
−
−V
−g
2
2

(

√

φ
6α tanh √
6α

)
(2)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校√
ポテンシャルは ϕ = 6α tanh √φ6α に依存すること√から、φ が 6α に比べて十分に大きい場合、一定の√値を取ることが分かる。ϕ = 6α でポテンシャルを

ンは、ハイブリッドインフレーションと呼ばれている。ハイブリッドインフレーションの最も簡単なポ
テンシャルとして、式 (6) が与えられる。

テイラー展開すると、√2√
V (φ) = V0 − 2 6αV0′ e− 3α φレーションが終了する。このようなインフレーショ(3)V (σ, ϕ) =) 2 m2 2 g 2 2 2
1 ( 2M − λσ 2 +ϕ + ϕ σ (6)4λ22

ここで、V0 = V (ϕ)|ϕ=√6α = V (φ)|φ≫√6α 、

ここで、σ 、ϕ はスカラー場、λ、M 、m、g はパラ
V0′ = ∂ϕ V |ϕ=√6α = cosh2 √φ6α ∂φ V |φ≫√6α である。 メータである。

V0 は、ポテンシャルがカノニカル変数 φ の極限で取る一定値を表している。

イブリッドインフレーションが起こる場合のラグラ

式 (3) を用いて、As 、ns 、r がどのような値を取るかを計算することができる。スローロールパラメー()22
タ ϵ = 21 V1 dV、η = V1 ddϕV2 を用いると、
dϕ

4π
As = 2mP l ϵ(H
2π

二つのスカラー場を持つα-attractors においてハ)2

ンジアンは、式 (7) で与えられる。
2

2

L
R
(∂µ ϕ)(∂µ σ)√= − ()2 − ()2 − V (σ, ϕ)
2
−g
2
ϕ
σ2
2 1 − 6α2 1 − 6β(7)

, ns = 1 − 6ϵ + 2η, r = 16ϵ (4)単一のスカラー場の場合と同様に、特異点を回避
∂ϕ
2
1− ϕ
6α

と表される。mpl はプランク質量、H はハッブルパ√2√
ラメータである。φ ≫ 6α の場合、e− 3α φ ≪ 1 をするために満たすことを用いて As や ns 、r を計算することがφ と χ を用いて式 (6) のポテンシャルを書き直す。

出来る。

2
12α
V0 N
, ns = 1 − , r = 2
As =18π 2 αNN

(5)As 、ns 、r に現れるポテンシャルのパラメータは V0と α の二つだけである。このように、α-attractors

∂σ
2
1− σ
6β

= ∂φ を満たすカノニカル変数 φ、= ∂χ を満たすカノニカル変数 χ を導入する。

)2
(
1
χ
M 2 − 6βλ tanh2 √
4λ
6β
φ
φ
χ
2
2
+3m2 α tanh √ +18g 2 αβ tanh √ tanh2 √
6β
6α
6α
(8)
V (χ, φ) =ではインフレーションの性質を示すパラメータがポ式 (8) で示されるポテンシャルの概形を図 1 に示す。

テンシャルの細かい形によらない。

3

複数場のα-attractors
この節では、α-attractors が相互作用する二つのスカラー場を持つ場合について調べていく。ここで注意するべきなのが、単一のスカラー場のインフレー
ションと相互作用する複数場のインフレーションにはその終わり方という点で大きな違いが起こり得ることである。単一のスカラー場の場合では、ポテン
シャルの傾きが大きくなることでスローロールが崩

図 1: 式 (8) の概形

れ、インフレーションが終了する。例えば、ϵ や η が1 程度の値になっていれば、インフレーションは終了
していると見做せる。対して、waterfall を起こすよ
うな複数場のインフレーションでは、インフラトン
場とは違うもう一つの場のはたらきによってインフφ によるインフレーションの進行に伴い、φ の値
は無限遠から 0 に近づいていく。図 1 から分かるよ
うに、インフレーションの最初の段階では χ = 0 の115

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校状態が続く。ここで、χ = 0 の状態における式 (8) のである。

ポテンシャルの χ 方向の曲率を考える。

φVχ,χ (χ = 0) = −M 2 + 6αg 2 tanh2 √6α(9)Vχ,χ (χ = 0) = 0 を満たす φ の値を φc と決める。
√
1 M
φc = 6α tanh−1 √
(10)
6α g
φ > φc の領域では、V (χ, φ) は χ = 0 の場合に最小値を満たす。対して、φ < φc の領域では、V (χ, φ)
は図 1 のように χ の正負どちらの方向にも最小値を持つようになる。よって、φ > φc でポテンシャルのスペクトル指数への影響

4

この節では、前節で扱ったα-attractors のハイブ
リッドインフレーションにおけるスペクトル指数の値を計算する。簡単のために、最初に式 (3) を
√
(
)
√ V0′
3α
s=φ−
ln 2 6α(16)2V0で書き表す。
例えば V = 3m2 α tanh2 √φ6α の場合には、式 (16)

χ = 0 を満たす安定な部分を転がってきたスカラー
場 φ は、φ < φc になるとより安定な場所に向かっ はて、χ の正負どちらかの方向へと転がり落ちることになる。χ 方向のポテンシャルの傾きが十分に大きければ、スローロール条件は崩れインフレーションは終了する。このプロセスが waterfall である。
ここで、waterfall によってスローロール条件が崩

√

√
3α
(17)
ln 4 ≈ φ − 1.7 α2と計算できるので、α が小さければ φ = s + O(1) とs=φ−見做せる。このときには、s と φ の違いは無視する
ことができる。

χ = 0 の領域のハイブリッドインフレーションをれる状況について調べる。φ > φc で、式 (8) は考えると、ポテンシャルは
M4
2 φ
2
(
)
(11)
V (χ = 0, φ) =+ 3m α tanh √V (s) = Vup + V0 1 − e−γs
(18)
4λ
6α
√
√
√
2
と書ける。式 (3) と同様に ϕ = 6α[φ ≫ 6α] でテ となる。式 (18) では
3α = γ としている。
イラー展開して式 (11) を書き直すと、
φ > φc で膨張指数 N のインフレーションが起き(√2 )(12) る時の s の値を sN 、φ = φc で waterfall が起こるとV ≃ Vup + V0 1 − 4e− 3α φ
きの s の値を sc とおく。スローロール中の s の成長
42パラメータについて、Vup = M
4λ 、V0 = 3m α で について、ある。

ds
dV /dsV0 γe−γs
=
=
dN
V (s)
Vup + V0 (1 − e−γs )ここで、Vup ≫ V0 の状況を考える。この時、Vupに比べて V0 は無視出来るほど小さいことから、ハッブルパラメータについて

M4
H =
12λ
2

と記述される。φ > φc では e−γs ≪ 1 なので、式(19) の 3 項目の分母の e−γs は無視することができ(13)る。式 (19) の両辺を積分して、が成立する。

eγsN =

スローロールパラメータ η について、式 (6) と式(13) より、)
3 −M 2 + g 2 ϕ2
1 d2 V
=
η=
V dϕ2
H2

γV0 N
+ eγscVup + V0

(20)

次に、スペクトル指数 ns の値の計算に移る。e−γsN(の一次の項までを用いると、(14)

式 (14) において、M ≫ H であるならば明らかに
2

(19)

2

ns = 1 − 6ϵ + 2η ≈ 1 −2V0 γ 2 e−γsN
Vup + V0

スローロールは崩れている。よって、waterfall によっ 式 (20) を式 (21) に代入して s で書き直す。
cてインフレーションが終了する条件は
2V0 γ 2
ns = 1 −2
M ≪ 12λ(15)
V0 γ 2 N + (Vup + V0 ) eγsc

116

(21)

(22)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
N の 極 限 を 考 え る と 、式 (22) の 分 母 に お い てが変化することでスペクトル指数の値が ns = 1 を取V0 γ N ≫ (Vup + V0 ) e

りうる。現在、lambda cold dark matter(Λ CDM)2γscであるので、

ns = 1 −2N

モデルを前提とする観測結果からは ns = 1 となる(23)となる。式 (23) の値は式 (5) の単一のスカラー場のα-attractors における ns の値と一致している。
次に、前節の Vup ≫ V0 の仮定が成立する場合を考える。この場合、式 (20) において

e

γsN

≈e

γsc

結果は棄却されている。しかし、Λ CDM モデルには CMB の観測データより得られるハッブル定数の値と、超新星の局所観測により得られるハッブル定数の値にずれが生じる物理的問題 (ハッブルテンション) が存在する。そこで early dark energy(EDE) モ
デルを考慮すると、CMB を用いて得られるハッブ(24)

ル定数の値がΛ CDM モデルのものよりも高くなり、局所観測から得られるハッブル定数の値と合致を示であると見做せる。式 (21)〜(24) を合わせて考える

す。EDE モデルでは ns = 1 を満たす可能性が指摘と、Vup の値によって以下のような制限がつけられる。 されている [2] ため、ハイブリッドインフレーション

1 − ns =2V0 γ 2 e−γsc22V0 γ 2 e−γsN=≪
Vup + V0
Vup + V0Nが起こるα-attractors がハッブルテンションの解決(25)

つまり、式 (25) より、Vup ≫ V0 を満たすならば、に繋がる可能性が指摘されており、さらなる研究が期待されている。

ns → 1 に漸近していくと考えられる。同様に、γsc ≫1 を満たす場合も ns は 1 に近づいていく。
よって、複数場のα-attractors では、Vup /V0 の値
や sc の値の変化により、スペクトル指数 ns は以下の範囲の値を取りうる。

1−

2≤ ns ≤ 1
N(26)

Acknowledgement
本発表にあたり、宇宙論研究室の皆様にたくさんの助言、ご指導を賜りました。多大なるご支援ご尽
力、誠にありがとうございました。また、このような価値ある機会を設けて下さいました夏の学校運営
スタッフの皆様に、この場をお借りして御礼申し上げます。

単一のスカラー場のインフレーションでは、ns = 1の場合にはスローロールパラーメータが 0 となり、インフレーションが永遠に続くモデルが考えられる。しReference

かし、今回のようなハイブリッドインフレーション[1] Renata Kallosh and Andrei Linde 2022, PhysRevD.106.023522

を起こすα-attractors を考慮すると、ns = 1 を満たす場合でもインフレーションが waterfall によって終了する可能性がある。

5[2] Gen Ye, Bin Hu, and Yun-Song Piao 2022, PhysRevD.104.063510

Conclusion
本発表では、ハイブリッドインフレーションが起

こるα-attractors でどのようにインフレーションが進行するか、またスペクトル指数の値にどのような影響を与えるかについて調査した。ハイブリッドイ
ンフレーションでは、インフレーションを起こすスカ
ラー場の値が小さくなることで、二つ目のスカラー場により waterfall が起こり、インフレーションが終了する。特にα-attractors の場合には、パラメータ117

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重宇 a26

Starobinsky model vs. Higgs inﬂation model
東京大学大学院理学系研究科
鄭玄118

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Starobinsky model vs. Higgs inflation model鄭玄 (東京大学大学院理学系研究科)

Abstract
Starobinsky model と Higgs inflation model は、WMAP や Planck の観測結果との相性が良いとされているインフレー
ション模型である。前者はアインシュタインヒルベルト作用に曲率二乗項 R2 を付け加えた模型であるのに対し、後者は、曲率項と標準模型のヒッグス場 h との非最小結合項 ξ |h|2 R を付け加えることで、ヒッグス場にインフラトンの役割を担わせた模型である。これらを Einstein frame で見ると、両者とも同じ形のインフラトンのポテンシャルを与えるにも関わらず、再加熱期の様子は大きく異なっており、とても興味深い。Starobinksy model の場合は、インフラトンの摂動論的な崩壊が主要に起こるのに対し、Higgs inflation model の場合は、その非最小結合項の結合定数 ξ が大きいことが原因で、より効率的な崩壊 (preheating) が主要に起こることとなる。特にインフラトンのエネルギーが、ゲージボゾンの縦波成分へと激しく流入し、爆発的な粒子生成が引き起こされる。この時、生成されたゲージボゾンの運動量がカットオフスケールを超える可能性があるため、UV 問題も抱えている。本発表では、以上のことについて詳細に議論し、再加熱機構になぜこのような相違が生じたかについて明らかにしたのち、今後の展望について議論する。

1

Introduction

2

Starobinsky modelgµν → g̃µν = Ω2 gµν(2)
ビックバン標準理論は、宇宙マイクロ波背景放射やビッ(√)
クバン元素合成 (BBN) など、様々な観測結果を整合的に説2
ϕ
明することに成功した素晴らしい理論である。しかし、そΩ2 = exp(3)
3 MGの範疇では地平線問題や平坦性問題など、解決しきれない問題を抱えている。これらを解決するのに十分な加速膨張を施すと、式 (1) は、期を実現しつつ、いつかは放射優勢期に移って BBN 等をおこなってくれるというのが我々の欲しいシナリオである。
)
(
∫ √
2
これをインフレーション理論という。
1 µν
MG
EF
EF
4
R̃
+
g̃
∂
ϕ∂
ϕ
−
V
(ϕ)
+Smatter
S
=
−g̃d
x
−
加速膨張をある段階で終わらせ、放射優勢期に移る機構
µ
ν
R2
2
2
を、再加熱機構という。特にこの、放射優勢期に移り変わる(4)
時の温度、再加熱温度は宇宙論的に重要である。なぜなら、
[
( √
)]2
再加熱温度が分かると、加速膨張がどれだけ長く続いたか2
2 ϕ
3M 2 MGがわかり1 、スペクトル指数 ns 、nT 、r が計算できるから
V (ϕ) =
1 − exp −
(5)
4
3 MG
である2 。あとはこれを観測結果と照らし合わせれば良い。
中でも Planck(Planck collaboration 2020) との観測事実とかける。但し、R̃ は、g̃µν から定まる曲率である。このとの相性が良いとされているのが、Starobinky model とHiggs inflation model と呼ばれるものである。本発表では ように Einstein frame では、EH 作用 + 新しいスカラー場
これらの再加熱機構について比較し、今後の展望について + 物質場という形になる。この新しいスカラー場こそがイ
ンフラトン場であり、スカラロン (scalaron) と呼ばれる。
も議論する。

Starobinsky model(Starobinsky 1980) とは、アインシュ
タインヒルベルト作用に曲率二乗項を加えた作用として定義される。32 ∫MGJF
SR2 = −

2

√

(

R2
−gd x R −
6M 2
4

)
JF
+ Smatter(1)作用がこのように定義されるフレームのことを Jordan
frame と呼ぶ。CMB のゆらぎの大きさから M = 1.3 ×
10−5 × MG と求まる。

2.1

Einstein frame

式 (1) を場の再定義によって、EH 作用 + スカラー場という形に持っていきたい (Maeda 1989)。これを Einsteinframe という。次の共形変換
1 e-fold 数 N
2 N はインフラトン ϕ の積分でかけるため、逆に解けば、horizon cross-ing での場の値 ϕ∗ がわかる。ゆらぎは superhorizon では保存することが解
析的に数値的にもわかっているため、この値を用いて slow-roll parameterを計算し、スペクトル指数の式に代入するという流れである。
3 M = 2.4 × 1018 GeV (reduced Planck mass)G

図 1: EF におけるポテンシャル
このように、ϕ の値が大きいところでは、V (ϕ) がほぼ一定値を取るようになるため、スローロールインフレーショ
ンを実現することができる4 。

2.2

ReheatingStarobinsky model (1) は再加熱機構を持っており、その描像は Einstein frame にてより明確となる。要は Smatter の4 p/ϵ = 1 ϕ̇2 − V (ϕ)/ 1 ϕ̇2 + V (ϕ) ≃ −1 (∵ ϕ̇ ≃ 0) より、ダークエ
2
2
ネルギーを実現している。

1192022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
中にある物質場が共形不変でないことが原因で、共形変換(2) によって Einstein frame に移る際に、スカラロン ϕ との結合項を得ることで、崩壊チャンネルを獲得するのである。以下、物質場中の Higgs 場 h について詳しくみていく
ことにする。Jordan frame において、∫
ShJF =√(−gd4 x1 µν
1g ∂µ h∂ν h − m2h h2
2
2

)

3

Higgs inflation model(Cervantes-Cota & Dehnen 1995;
Bezrukov& Shaposhnikov 2008) とは、次のように曲率項
R とヒッグス場 h との非最小結合 (non minimal coulpling)
ξ|h|2 R を考え、Higgs 場にインフラトンとしての役割を担わせたものである。11

(6)

∫
JF
SHiggs=と定義されるとき、Einstein frame への共形変換 (2) によって Higgs 場は h → h̃ = Ω−1 h と変換を受けることに注意すると5 、ϕ ≃ 0 で、

SϕEF + ShEF =

∫ √

[
−g̃

1 µν
1
g̃ ∂µ ϕ∂ν ϕ − M 2 ϕ222

1
1
+ g̃ µν ∂µ h̃∂ν h̃ − m2h h̃2
2
2
1
1
2 2
+ √
mh h̃ ϕ + √g̃ µν h̃∂µ ϕ∂ν h̃
6M
6M
G
G
::::::::::::::::::::::::::::::::

1
µν ˜2

+
2 g̃ h ∂µ ϕ∂ν ϕ
12MG

Higgs inflation model

√

[(
−gd x
4

2
MG
ξh2
+
2
2

)
R

1
− g µν (Dµ h)† (Dν h) − VJF (h)2]1µν− Fµν F
4

(9)

λ 4
h
(10)
4
但し、簡単のため U(1) ゲージ場を考えることにする。ま√た、CMB の観測から ξ ≃ 47000 λ と求まる。以下、ξ は十分大きいと仮定する。
VJF (h) =

(7)

3.1

:::::::::::::::::

Einstein frame

まず、作用 (9) のインフラトン場 (Higgs 場) のみに着目のように式変形することができる6 。この式 (7) を見ると、 して、それを EH 作用 + スカラー場の形に持っていきたい。
3、4 行目の 3 つの項 (波線部) がスカラロン ϕ と Higgs 場 次の共形変換 (2) を行う。
h̃ との結合項になっていることがわかる7 。これらの結合項
ξh2の起源は共形対称性の破れによって理解することができる。
Ω2 = 1 + 2(11)
最初の項は Higgs 場が質量を持つことによる共形対称性のMG
8破れ 、2、3 つ目の項は、スカラー場の運動項が共形不変ですると、その代償として、Higgs 場の運動項が canonical
ないことからきている。
このように各項の係数がプランク質量 MG で抑制されて な形になってくれない。そのために次の場の再定義をする。
√
いるので、摂動論が適用でき、3 行目の 2 つの項を用いて
dϕ1ξ(1 + 6ξ)h2
ϕ → hh の崩壊率を tree level まで計算すると9= 2 1+
(12)
2
dh
Ω
MG
√
4m2 [
( 2 )]
M 3 1 − M 2hmh
M3
これとポテンシャルの再定義 V (ϕ) := VJF (h) によって、
Γϕ→hh =
1
+
2
≃
2
2 (8)
192πMG
M2
192πMG
[ 2
]
∫
√
MG
1
となり、2 つ目の項からの寄与、すなわち運動項の共形対EF
SHiggs= d4 x −g
R − g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)
称性の破れからの寄与が最も大きいことがわかる。
2
2
あとは、
(13)
つまり、スカラロンの物質場への崩壊はその物質場の共と書くことができる。この時、ポテンシャル V (ϕ) は、形対称性の破れの度合いで決まっており、今回の模型ではHiggs 場が最も大きいため10 、崩壊は (8) のみを考えれば良 λ4 ϕ4(ϕ ≪ MξG )い。あとは、この崩壊を加味した連立 Boltzman 方程式を
√
)]
[
(
2
(14)
V (ϕ) ≃ λM 4
解けば、放射のエネルギー密度が優勢になるところがわか 2G 1 − exp − 2 ϕ(ϕ ≫ MξG )4ξ
3 MG
り、再加熱温度が計算できる。

5 スカラー場は距離次元 [L−1 ] を持っているためである。
6 ここでの scalaron の質量項はポテンシャル (5) 由来である。ϕ ≃ 0

で、V (ϕ) ≃ 12 M 2 ϕ2

7 この結合項は、式 (6) に h̃ = Ω−1 h = exp()√−ϕ/ 6MG を代入する際に出てくるものである。この導出において、ϕ ≃ 0 でなくとも結合項が生じてしまうことは見てとれるが、ϕ が大きい値を取る間はインフレー
ションが起こっており、H ≫ Γ なので、その間に崩壊してできた Higgs
粒子は既に十分に薄められていると考えられる。
8 質量を持つことはあるエネルギースケール (距離スケール) を持つことを意味するため、共形不変性を破る。
9 第 3 項は二体散乱を表しているので無視する。
10 以上の議論を、S
matter 中の他の物質場、すなわちフェルミオン場やゲージ場についても適用することになるが、スカラロンのこれらへの崩壊の度合いは、Higgs 場へのものより十分小さいため、無視することができる。なぜなら、フェルミオンの運動項は共形不変であり、上で主要となっていた項が欠けているためである。ゲージ場についても共形対称性の破れを持っているが、それは十分小さい。

これと式 (5) とを比べると、Starobinsky の場合とほぼ同じ関数形であることがわかる。ただ、微々たる違いに見えるかもしれないが、ϕ ≪ MξG で関数形が変わっているとこ
ろが肝であり、これが後に爆発的なインフラトンの崩壊につながっていく。

3.2

Gravitational Particle creation

さて今回の模型に対して、インフラトン場 (Higgs 場) の崩壊を議論していくことになるが、Higgs 場はクォークやゲージボゾンとの結合定数が大きいことが原因で、摂動的な崩壊にならない。以下、非摂動的な崩壊も扱える手法について大まかにまとめておく (Birrell & Davies 1984)。
11 式 (9) では、ユニタリゲージをとっている。つまり、h は、Higgs 場の動径方向の大きさを表している。

120

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
粒子は、真空及び生成消滅演算子によって定義される。そしてそれは、場を平面波展開した時の係数を演算子に格上げしたものであったから、平面波の形が変われば、真空の定義が変わり、粒子数が変化するのである。次の二つの平面波展開を考える。

しかし、|ϕ| が原点付近を通る度、WKB 近似条件 ω̇/ω 2 ≪
1 が破れ、平面波解は (23) からずれる。この平面波の変化
により、粒子生成が起こるのである。
j 回目に原点を通る時√
刻を tj とすると、|t − tj | ≪ M6 で、)
d2 χk ( 2+ κ + |τ | χ = 0
(24)
2
dτ
χ(t, k) = uk (t)ak + u∗k (t)a†−k = ūk (t)āk + ū∗k (t)ā†−k (15)と近似できる。但し、
κ = k/Ka、τ = K(t − tj )、K =√222
λ/2Φ(t)/6ξ
である。式(24) の解と WKB 解 (23)gMj
それぞれの平面波展開に対して別々の真空が定義される。
Gとの接続条件から、j 回振動後の Bogoliubov 係数 αj 、βj と、¯ =0
ak |0⟩ = 0, āk |0⟩(16) (j + 1) 回振動後の Bogoliubov 係数 αj+1 、βj+1 との間の関(j)¯ である。なぜなら平面 係性がわかり、それにより粒子数 nk を計算すると指数関一般の時空においては、|0⟩ ̸= |0⟩
数的に増加することが明らかとなる。これが、Stochastic
波が変化することによって、変化前の正振動数解 uk (t) を、
broad resonance production と呼ばれるものである。
変化後の正振動数解 ūk (t) 線型結合だけでは表すことがで
つまりインフラトンが原点を横切る度に、断熱条件の破きず、負振動数解 ū∗k (t) も含めなければならないからであれによって平面波が WKB 解から変化するため粒子生成がる。よって、次のようにかける。
起こり、効率的な粒子生成が起こったというわけである。14uk (t) = αk ūk (t) + βk ū∗k (t)(17)

これに対応して、それぞれの消滅演算子との間にも関係がつき、

ak = αk āk + βk∗ ā†k(18)となる。これらを Bogoliubov 変換という。よって粒子
数は、
∫
d3 k
†
¯
¯
|βk |2(19)⟨0|ak ak |0⟩ =(2π)3と計算できる。つまり生成された粒子数は、平面波が変化する際にどれほど負振動数の平面波が混ざってくるかの度合いだと解釈することができる。

3.3

3.4

しかし、Higgs inflation model には、3.3 で述べたよりも、より効率的な粒子生成が起こることが明らかとなった(Ema et al. 2016; DeCross et al. 2018)。それは、式 (14) で確認したように、ϕ < MG /ξ でポテンシャルの関数形が変化することが原因である。これは Jordan frame で見ると、急激な運動項の切り替わりとして現れる。これによって、インフラトンの有効質量が爆発的に変化する。Jordan frame
でのインフラトン場 h の運動方程式は以下のようになる。

ḧ + 3H ḣ + m2eﬀ h = 0

2 2hξ(1 + 6ξ)ḣ2 + λMG
=
meﬀ =
2
MG + ξ(1 + 6ξ)h2Preheating by breaking adiabadicity

3.2 で述べたように、粒子生成は、平面波の変化という観点から理解することができる。この手法を用いると、Higgs
inflation model には、2.2 で述べた摂動的な再加熱とは違って、より効率的な再加熱機構 (Preheating) が備わっていることが指摘されてきた (Bezrukov,Gorbunov& Shaposhnikov
2009; Garcia-Bellido,Figueroa& Rubio 2009)。その大まかな描像を述べることにする。
W ボゾンは、ヒッグス場と結合することで次の有効質量を得る。
g 2 MG |ϕ|m2W (ϕ) = √
2 6 ξ

(20)

ω 2 (t) =k2+ m2W (t)
a2

2
λMG
ξ

(|ϕ| ≪ MξG )

[
]
1
m2
dτ d3 x − η µρ η νσ Fµν Fρσ − A η µν Aµ Aν
42(27)とかける。ここで、ゲージ場を縦波成分 AL と横波成分(21)
AT とに分解する16 。
∫

SA =

(22)

1
2

有効質量はそれぞれ、(23)

12 場の再定義 χ(t) → a3/2 (t)χ(t) をすることによって、一回微分の項を消している。
13 (22) において、−9H 2 /4 − 3Ḣ 2 /2 という項は、物質優勢期であることを用いて消している。

∫

dτ d3 k [ ′ 2|AT | − (k 2 + m2AT )|AT |2
(2π)3
]
2
)|AL |2+ |A′L | − (k 2 + mA
L
(28)

SAT + SAL =となる13 。|χ| が大きい間は、運動方程式 (21) の平面波解
は WKB 近似解で与えられる。

αk −i ∫ t ωk (t′ )dt′
βk i ∫ t ωk (t′ )dt′
χk (t) = √
+√
e
e
2ωk
2ωk

{
λΦ2

(25)

(|ϕ| ≫ MξG )(26)
これより、インフレーション直後では、ϕ が |ϕ| ≪ MξG
2∼ξ
の領域に入ると、外側と比べて有効質量は ξ 2 Φ2 /MG
倍も爆発的に (spike like) 増えていることがわかる15 。これに伴って、インフラトンに結合している物質場の運動方
程式及びその平面波も大きく変化し、結果爆発的な粒子生成が起こるのである。作用 (9) のゲージ場の部分に着目して、共形変換 (2)(11) によって Einstein frame に移行する
2 2 2
g h
と、m2A = a Ωとして、
2

但し、ϕ(t) = Φ(t) cos(M t) である。これによる W ボゾ
ンの運動方程式は12 、

χ̈ + ωk2 (t)χ(t) = 0

Violent preheating by spike-like feature

14 実際には、様々な非摂動的な崩壊と摂動的な崩壊が混ざり合った複雑な再加熱機構となる。
√
15 インフラトンは振動を始めた直後の振幅は Φ ≃ M / ξ であることGに注意。
16 この時 A は、運動項を canonical な形にするために場の再定義をLおこなっている。

121

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
ることが明らかとなった。元来は、3.3 で見たように、ポテ(29) ンシャルの原点付近で断熱条件が破れ、平面波が大きく変化することにより粒子生成が起こることが指摘されていた。
Ω
ξ
そして最近、3.4 で見たように、ポテンシャルの関数形が原()
点付近で急激に変化することによる、インフラトンの有効
m′′A
3m′2
k2
meﬀ 質量の大きな変化、そしてそれと結合しているゲージボゾk2
Am2AL = m2A − 2−∼
k + m2A mA
k 2 + m2A
k 2 + m2A Ω2 ンの縦波成分が、爆発的に生成されることが明らかになっ(30) たのである。
となる。横波成分の有効質量 (29) は式 (20) と同じ構造をしかし、Higgs inflation model には、一つ大きな問題点しているため、扱いは 3.3 と同じであることがわかる。それ が潜んでいる。UV 問題である。
に対して、縦波成分の有効質量 (30) はインフラトンの有効
元々、Higgs inflation model のカットオフスケールは
質量 (26) に比例しているため、インフラトンが |ϕ| ≪ MG /ξ MG /ξ と、低めであることが知られていた。このスケール
を横切る時に爆発的に変化し、それに伴い、爆発的な粒子 を超えてしまうと、例えば、グラビトンを介した散乱断面生成が起こる。
積がこのスケール以上で 1 を超えてしまう。しかしその後、このカットオフスケールは、インフラトンの場の値 ϕ に依存していて、加速膨張中はなんとか問題を回避できることが示された (Bezrukov et al. 2011)。しかし再加熱期では、3.4 で見たように、violent preheating によって生成された粒子の運動量はあまりにも大きいため、カットオフスケー
ルを超えてしまうのである。
この解決案の一つとして、混合 Higgs-R2 模型がある。今までは古典的な議論しかしてこなかったが、Higgs inflation
model において、量子効果を考え、繰り込みをしようとす
ると、次の相殺項が必要となる (’t Hooft& Veltman 1974)。
[
(
)]
∫
√
1
S相殺項 = d4 x −g α1 R2 + α2 Rµν Rµν − R23(31)αのベータ関数を調べると、我々の考えたいスケールで
1
図 2: Einstein frame における粒子生成を表した概念図。
α1 ∼ O(ξ 2 ) ≫ 1 となり、曲率 2 乗項が出現することになる。これによって現れたスカラロンによって、カットオフ
この縦波成分の粒子生成は、インフラトンが原点付近をスケールは MG まで跳ね上がり、UV 問題は解決されるの横切る際に起こるという点では、3.3 と同じように見えるである (Ema 2017; Gorbunov& Tokareva 2019)。
が、今回の場合は必ずしも断熱条件が破れているわけではないことに注意する。というのも、生成された縦波成分の√運動量は λMG とかなり大きいためである。この粒子生成機構はあまりにも爆発的に起こるため、一回のインフラト Reference
ン振動が終わる前には既に全てのエネルギーが放射に転換 Planck collaboration, Y. Akrami et al. (2020) Astronomy& Asされてしまう。
trophysics, 641:A10.

a2 g 2 h2
g 2 MG |ϕ|m2AT = m2A =≃2

A. A. Starobinsky. (1980) Phys. Lett. 91B, 99-102.

4

比較

K. Maeda. (1989) Phys. Rev. D39, 3159-3162.

両模型のスペクトル指数等を計算をしたところ以下のようになった。17

R2
Higgs

Tr (GeV)
1.6 × 109
2.6 × 1015

N
54.2
59.0

ns
0.964
0.967

nT
−0.00045−0.00038

J. L. Cervantes-Cota & h. Dehnen. (1995) Nuclear Physics B,
442, 1-2: 391–409.
F. Bezrukov& M. Shaposhnikov (2008) Physics Letters B, 659,
3:703–706.

r0.00360.0031N. D. Birrell & P. C. W. Davies (1984) Cambridge university
press.

近い将来、CMB の精密な観測が進めば、両模型を区別できるようになるかもしれない。

F. Bezrukov, D. Gorbunov and M. Shaposhnikov. (2009)
JCAP, 06:029.
Juan Garcia-Bellido, Daniel G Figueroa & Javier Rubio. (2009)
Phys. Rev. D 79, 79.6:063531.

5

Conclusion & Discussion

Y. Ema, R. Jinno, K. Mukaida and K. Nakayama. (2017) JCAP
02:045.

2.1 と 3.1 で見たように、両者の模型は、Einstein frame Matthew P. DeCross, David I. Kaiser, Anirudh Prabhu,
で見ると、インフラトンのポテンシャルがほぼ同じ形であっ
Chanda Prescod-Weinstein, Evangelos I. Sfakianakis. (2018)
Phys. Rev. D, 97.2:023526.
た。しかし、それぞれの再加熱機構は大きく異なることがわかった。Starobinsky model の場合は、2.2 で見たように F. Bezrukov, A. Magnin, M. Shaposhnikov& S. Sibiryakov.
インフラトンの摂動的な崩壊によってなされるのに対して、(2011) JHEP 1:1-26.
Higgs inflation model の場合は、より効率的な崩壊が起こ
G. ’t Hooft & M. J. G. Veltman. (1974) Phys. Theor. A 20, 69.
17 Starobinsky model については、Boltzman 方程式を解いて、インフラトンのエネルギー密度を放射のエネルギー密度が上回るところに対応する温度を再加熱温度として計算した。Higgs inflation model については、(3.4) で論じた violent preheating によって、インフレーションが終わった直後のインフラトンのエネルギー密度がそのまますぐに放射のエネ
ルギーになると仮定して計算した。

Y. Ema. (2017) Physical Letters B, 770:403-411.
D. Gorbunov, A. Tokoreva. (2019) Physical Letters B, 788:3741

122

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重宇 a27

Gauss-Bonnet 項を含むインフレーション模型でのPBH 形成早稲田大学大学院 先進理工学研究科
川口 遼大

123

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Gauss-Bonnet 項を含むインフレーション模型での PBH 形成
川口 遼大 (早稲田大学大学院 先進理工学研究科)

Abstract
本発表では高次の曲率項である Gauss-Bonnet 項を含むインフレーション模型による原始ブラックホール形
成 (Shinsuke Kawai& Jinsu Kim 2021) をレビューする。Gauss-Bonnet 項からの寄与とインフラトンポテ
ンシャル V (ϕ) からの寄与が釣り合い、打ち消し合うことで、インフレーション中に ultra-slow-roll phaseが実現する。これによって曲率揺らぎのパワースペクトルがエンハンスし、原子ブラックホール形成に至る。

1

Introduction
現在の宇宙にはダークマター (以下 DM) と呼ばれる未知の成分が宇宙全体の約 27% を占めていることが分かっている。DM の候補としては素粒子論起源のアクシオンや超対称性粒子などが理論的に考えられているが、未だに発見されてはいない。別の DM候補として、原始ブラックホール (以下 PBH) は近
年盛んに研究の対象となっている。
宇宙初期にある一定以上の密度を持つ領域が存在した場合、その領域が圧力に打ち勝って重力崩壊しブラックホールとなることが考えられている。このよ
うに形成されたブラックホールを PBH と呼ぶ。PBH
は恒星の進化の最終段階として形成されるブラック
ホールとは異なり、様々な質量を持つことが可能で

図 1: PBH への観測への制限 (Bernard Carr& Flo-rian kühne 2020)2ある。特に 10−15 M⊙ ∼ 10−12 M⊙ 程度の非常に軽い

次のような作用を考える。

質量を持つ PBH には観測的な制限は無く、全てのS = SEH + Sϕ + SGB
2 ∫
Mpl
√
d4 x −gR
SEH =
2
[
]
∫
√
1
Sϕ = d4 x −g − ∂µ ϕ∂ µ ϕ − V (ϕ)
2∫√2
SGB = d4 x −gµ(ϕ)RGB

DM を PBH のみで説明し得る可能性が残されている (図 1)。

PBH が形成されるのに十分なほど高密度な領域が存在するためには、宇宙初期に大きなゆらぎが必要となる。このゆらぎがインフレーション期に仕込まれたものと考えることにすると、これは大きな曲率
ゆらぎを生じさせるインフレーション模型を考える
ことに相当する。最も標準的なスローロールインフ
レーションでは曲率揺らぎのエンハンスは望めないた

Methods(3)(4)

考えることにすると()ϕ
V (ϕ) = Λ4 1 + cosf

本発表では Gauss-Bonnet 項の存在が決定的な役割

Kawai& Jinsu Kim 2021) をレビューする。

(2)

ここで V (ϕ) はポテンシャルで Natural Inﬂation をめ、別のインフレーション模型が必要となる。そこでを果たす PBH 形成インフレーション模型 (Shinsuke

(1)

(5)

2
とする (Λ, f はパラメータ)。また RGB
は Gauss-

Bonnet 項2
RGB= R2 − 4Rµν Rµν + Rµνρσ Rµνρσ

124

(6)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
曲率ゆらぎ ζ のパワースペクトルを求めるためにであり、高次の曲率項である。また µ(ϕ) は coupling

function でここではµ(ϕ) = µ0 tanh(µ1 (ϕ − ϕc ))(7)とする (µ0 , µ1 , ϕc は定数パラメータ)。

FLRW 計量を想定すると作用 (1) から次の運動方
程式が導かれる。

正準場 u = Zs ζ のモード関数 uk の運動方程式
(
)
ZS′′
′′
2
uk + k −uk = 0(21)
ZS√を解く。ここで ZS = a 2cS QS であり、プライムは∫時間変数 τS = caS dt に関する微分である。初期条
件はホライズンの十分内側ででバンチ・デービス真

1
2
3Mpl
H 2 = ϕ̇2 + V − 24H 3 µϕ ϕ̇
2ϕ̈ + 3H ϕ̇ + Vϕ − 24µϕ H (Ḣ + H ) = 022(8) 空解(9)1uk = √ e−ikτS
2kを課す。曲率ゆらぎのパワースペクトルは

この運動方程式には Gauss-Bonnet 項の存在のおかPζ (k) =げで ϕ = 一定,H = 一定となる解が存在する。この時

Vϕ =

8
V2
µϕ 4
3 Mpl

(22)

1 k3
|uk |2ZS2 2π 2(23)(10) として求めることができる。

が満たされる。逆に、式 (10) を ϕ = ϕc で満たすよ
うなパラメータを設定すると ϕ = ϕc 付近で USR が

3

実現する。

2 次摂動についての作用は次のようになる。
]
[
∫
c2
(2)
(11)
SS = d4 xa3 QS ζ̇ 2 − S2 (∇ζ)2
a
]
[
∫
2
1
c2T
(2)
4
3
2
˙
d xa QT hij − 2 (∇hij )
(12)
ST =
2
a

Results
まずは背景の運動方程式 (8)(9) を解く。その際にパラメータは式 (10) を参考に、DM としての PBH形成を想定して調整する。今の場合、ポテンシャルについては表 1、coupling function については表 2 とした。
表 1: 用いたパラメータ

ここで

)
1( 2
Mpl + 8Hµϕ ϕ̇
QT =
4
(
)
1
2
c2T =
Mpl
+ 8ϕ̇2 µϕϕ + 8µϕ ϕ̈
4QT

(13)
(14)

Λ(Mpl )f (Mpl )0.006786.5

12
Σ = −3H 2 Mpl− 48H 3 µϕ ϕ̇ + ϕ̇2
2

(15)

2
Θ = HMpl+ 12H 2 µϕ ϕ̇

(16)

表 2: 用いたパラメータ

(17)

µ0

Σ
QS = 16 2 Q2T + 12QTΘ)(1
16 d ( a 2 )22
cS =Q − 4cT QTQs a dt Θ T−7.7422 × 10

6

µ1 (/Mpl )ϕc (Mpl )

7

12.2

(18)
スカラー場の時間発展を図 2 に示す。ここで n は不安定性の回避のためには

QT > 0 , c2T > 0

e-folding 数であり、n − ncmb = 30 ∼ 40 程度でスカ(19) ラー場が停留しているのがわかる (USR)。これによ

QS > 0 , c2S > 0(20)

り曲率ゆらぎのパワースペクトルのエンハンスが生じる。

が必要である。

1252022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
20

0

18
-2

Log10 QS /Mpl2

ϕ

Mpl

16
14
12

-4

-6

10
8

-8
0

10

20

30

40

50

60

0

10

20

n-ncmb

30

40

50

60

50

60

n-ncmb

図 2: スカラー場の時間発展

図 5: QS の時間発展

次に QT , c2T , QS , c2S の時間発展を図に示す。4 つ全

1.10ての物理量について、条件 (19)(20) が満たされていることが見てとれる。よって不安定性は回避される。
c2S

1.05

1.00
0.250
0.249

0.95

QT /Mpl2

0

10

20

30

40

n-ncmb

0.248
0.247

図 6: c2S の時間発展0.246

次に式 (21) を初期条件 (22) で解き、式 (23) によっ

0.245
0

10

20

30

40

50

60

n-ncmb

て得たパワースペクトルの数値解を以下の図 7 に示す。図より、CMB スケールと比べて PBH スケールでは 107 ∼ 108 倍程度のエンハンスが確認できる。

図 3: QT の時間発展

ζ

1.04

c2T

Log10

1.02

 ζ CMB

6

1.00

4
2
0
-2

0.98

0

0

10

20

30

40

50

5

10

15

20

k
Log10
kCMB

60

n-ncmb

図 7: 曲率揺らぎのパワースペクトル
図 4: c2T の時間発展

126

25

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Reference

Discussion & Conclusion

Gauss-Bonnet 項を含むモデル (1) によって、曲率 Shinsuke Kawai , & Jinsu Kim ,2021, Phys. Rev. D 104,
083545

ゆらぎのパワースペクトルをエンハンスできることが再現できた。これは式 (10) を満たすようにパラメータを設定することで、Gauss-Bonnet 項からの寄与とBernard Carr , & Florian kühnel ,2020, Annual Review
of Nuclear and Particle Science Vol. 70:355-394

ポテンシャルからの寄与が打ち消し合うことで、インフレーション中に USR phase が存在することに起因した。また Gauss-Bonnet 項を加えたことによって生じる可能性のあった不安定性に関しても議論をし、条件 (19)(20) を満たしていることを確認した。
現在の PBH の存在量 f とパワースペクトル Pζ の関係は Gaussian 分布を想定すると、
(
)(
β(M )
γ )3/2f (M ) ≃1.04 × 10−14
0.2
(
)−1/2
)1/4 ()(
106.750.12
Mg∗,f ormΩCDM,0 h2
10−13 M ⊙
(24)
(
)
∫ ∞
δ2
1
√
exp − 2β(M ) =dδ (25)2σ (k)
2πσ 2 (k)δc
( ( ) )∫
p 2 16 ( p )4
2
Pζ (p)
σ (k) = d ln p exp −
k
81 k
(26)
となる。式 (24) によって求めた f と観測からの比較を図 8 に示す。
0.0

Log10 f (M)

-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
-3.0
-18

-16

-14

-12

-10

-8

PBH質量(M⊙ )図 8:

PBH 存在量 (赤:モデル, 青:Microlensing,

黄:Evaporation)
図より、観測に引っかかることなく、全ての DM を

PBH で説明できるだけの量が生成されていることが見て取れる。

127

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重宇 a28

インフレーション宇宙における原始ブラックホールの形成
福島大学大学院 共生システム理工学研究科
外岡 沙恵

128

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

インフレーション宇宙における原始ブラックホールの形成
外岡沙恵 (福島大学大学院 共生システム理工学研究科)

Abstract
本研究のテーマは暗黒物質である．暗黒物質は銀河の回転に大きく関係していて近年, その正体について多くの研究がされてきた．そして最も有力な候補として原始ブラックホール（PBH）が挙げられている．この発表では原始ブラックホールがどのように形成されるのかについて述べていく．

1

はじめに

3

ビックバン

暗黒物質は天文学的現象を説明する為に考え出さ宇宙は 138 億年, ごく小さなある一点から始まっれた言葉で「質量を持つが, 光学的に直接観測出来な

た．とても大きなエネルギーが一気に放出された瞬い」とされている．言い換えると「そこに存在してい間をビックバンと呼ぶ．ビックバン直後は 102 7k とることは確かなのに, 姿が見えない物質」という事だ． いう超高温の状態だった．そして光子や素粒子が大量
この暗黒物質は宇宙の約 27 ％を占めていて,2001 年に生成され 101 2K もの温度で激しく飛び回り, たがに打ち上げられたアメリカの人工衛星,WMAP 衛星

いに衝突, 散乱を繰り返して熱平衡状態になっていっが記録したデータが一番有力である．暗黒物質は電た．その後急激な膨張によって宇宙の密度が徐々に

磁相互作用をしていないため, 望遠鏡の光を使った観小さくなり温度が下がっていくと, 力の動きが素粒子

測では直接見つけられないので「暗黒」という言葉に作用し始めるようになった．ビックバンから 1 秒が使われているが重力相互作用はするため銀河の回

後宇宙の温度が 101 2K まで下がるとハドロンが生成転に影響を及ぼしている．宇宙は誕生してから現在

され,100 秒後になると温度は 109 K までさがり宇宙に至るまで膨張を続けていて, その暗黒物質の候補とで最初の原子核が誕生した．生み出されたのは水素,して最も有力なのは宇宙誕生直後の「初期宇宙」に重水素, ヘリウム, リチウムという比較的軽い元素の生成されたブラックホール, 原始ブラックホールであみで, その大部分（92 ％）を水素が占めていた．そると言われている．関連の論文に書かれている微分

して今に至るまで常に宇宙は膨張を続けている．そ

方程式を参考に宇宙の様子をグラフ化するという方もそもなぜ宇宙が膨張しているのが分かるのか, それ

法で研究を進めている．さらに研究を円滑に進めるには赤方偏移という言葉が重要になってくる．遠方ため相対性理論などのへの理解も深めている．

の銀河が遠ざかっている事は銀河からの光が赤い側（波長が長い）に偏移している事から見出されたので
ある．

2

定義
ハッブルパラメータ H は宇宙の膨張率, インフラ

トンはインフレーションを起こしたとする粒子, プラ

4

原始ブラックホールの存在

ンクマスはプランク単位系における質量の単位とす

ダークマターは宇宙全体で通常の物質の約 5 倍もる．その他出てくる文字については都度定義付けすの質量を持っていると言われている．1930 年の「かることにする．

みのけ座銀河団」内部の運動を測定したのをきっかけに暗黒物質は肯定されるようになり, 多くの研究がされて来た．始めは, 銀河団の動きから見積もった全体の質量と見かけの質量のつじつまが合わないこと

1292022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校に気付いた．秒速 1000km で回転している銀河がばギーを要するものである．私は後者の「エネルギー

らばらに飛び散らないように重力でまとめるためにを利用した研究」を進めた．エネルギーを利用したは, 銀河団全体で光って見えている恒星の 400 倍のものは銀河団を構成している一つ一つの銀河の速度質量を持っていなければならない．図 1 は様々な銀を測って全体の運動エネルギーを求める事から始ま河の回転速度を表す図である．観測時, 銀河円盤の回る．ドップラー効果を利用すれば銀河が私たちから転速度はある距離を超えたあたりから外側までほと遠ざかっているのか, 近付いているのかは分かるが,んど一定だった．銀河は普通外側に行くほど天体の横方向にどれだけ動いているかは分からないので本密度は小さくなるが早すぎる速度で恒星が円盤から研究ではどの方向へも同じくらいの速さで運動して飛び出さないためには, 銀河は見えている恒星よりもいると仮定する．そして全体の運動エネルギーが分多くの質量の中に埋もれてい無ければ辻褄が合わな

かれば重力のエネルギーも分かってくる．それは互い．その後の研究から様々な銀河の回転曲線が作成

いの重力でひと塊となっている天体では運動エネル

され見えない質量が銀河の運動を支配していること

ギーの大きさと重力エネルギーの大きさの比が１：２が明らかになった．未知の重力源が大量に存在してとなっていることが一般的に明らかになっているか

運動に影響を及ぼしていなければ銀河団が形を保っ らである．
ている説明が付かなかった．そしてそこから, 何千億の星が集まって銀河という形を保っているのはダー
クマターの重力が働いているからこそだという仮説

5.1

が立った．

インフレーション

まず私は宇宙のスケールファクターについて調べた．着目した式は以下の 4 つの式である．

1λϕ
1v = − m2 ϕ + ϕ4 (ln | | − ) + v024v
4v′ = −

(1)

1
λ
ϕ
1
λ
1
(−m2 ϕ + ϕ3 (ln | | − ) + ϕ4・ (2)
3H
4
v
4
4v
ϕ
ȧ = a・H
√
8π
H=
3Mpl

(3)
(4)

上の 4 つの式は初期宇宙のポテンシャルの値につい
図 1: 宇宙の回転曲線て述べたものである．この微分方程式を python を用いて runge-kutta 法を用いて解き, グラフに表したものが次の図になる．

5

原始ブラックホールの形成
ビックバン直後（〜0.1m 秒）に形成されたブラックホールを指す．直後の高温で高密度の中, 密度の揺らぎによって形成された．現在は主に 1015 ∼1017 g,1020 ∼ 1024 g の範囲の PBH が研究されている．比較的軽い（≦ 1015 g ）は蒸発して無くなり, それより重い PBH(≧ 1015 g) は蒸発せずに暗黒物質として振る舞う．現在ダークマターの質量を調べる方
法は大きく分けて二つあるとされている．1 つは X
線観測をる利用するもの, もう 1 つは銀河のエネル

130

図 2: スケールファクターの振る舞い

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
λ = 3 × 10− 12,m = 6 × 10− 8Mpl ,v=

なく緩やかな膨張を続けていることが分かる．微分方

0.2138436Mpl , の値を用いて計算した．はじめは急程式を解く際は Mpl = 10000,L = 3 × 10− 12,ϕ0 =激に増加し, 図の真ん中あたりで一度増加率が減少し3.5Mpl の数値を利用した．この数値を利用したら図

その後また急激に増加していることが分かる．スケー

2.4 のような比較的綺麗なグラフになるのかは現在研ルファクターとは宇宙の大きさを表している言葉で究中である．ほかの値を代入するとこのようなグラあるので, この図から我々の宇宙は急激な膨張が起きフにならないことも確認済みだ．

た後一度緩やかな膨張になり, その後再度急激な膨張をしていたという事が分かる．次に現在に至るまで
宇宙はどのように膨張しているのかについて着目した．その際, 私は以下の 6 つの式を用いた．

vϕ =

λ 4
ϕ
4

dV
= λϕ3
dϕ
√
8π
H=
V (ϕ)
3Mpl
ȧ = a・H√

a(t) = a0 exp[

この説ではインフレーション中の, 原始ブラック
ホールが形成され始めた頃について述べる．初期の(5)頃の原始ブラックホールはどれほどの大きさなのか,
質量はどれくらいなのかを調べた．論文中の微分方(6)

程式を参考に次の式を用いた．

1
λ̃
ϕ
1
v = − m2 ϕ + ϕ4 (ln | | − ) + v0
2
4
v
4

(7)
(8)

λ
Mpl・t)
6π

(9)

π
2
2
2 (ϕ0 − ϕ (t))]
Mpl

(10)

ϕ(t) = ϕ0 exp(−

原始ブラックホールの量と質量

5.2v′ = −

1
ϕ 1
λ̃
1(−m2 ϕ+λ̃ϕ3 (ln | |− )+ ϕ4・ ) (12)3Hv 4 4v
ϕ0.888|

ϕ̇
0.131072H 2| exp −
H
|ϕ̇2 |

exp(2 ln |この６つの式を用いて python で runge-kutta 法を用√いて解き, 作成したグラフは以下のようになる.

H=

(11)

0.1v 1| ) − 35
ϕ 6

(13)
(14)

8π
1
λ̃
ϕ
1
V (ϕ)(− m2 ϕ + ϕ4 (ln | | − ) + v0 )
3Mpl
2
4
v
4
(15)

以 上 ５ つ の 式 と 式（2.9）を 合 わ せ て ６ つ の 式 を

python を用いて runge-kutta 法で解いた．微分方程式を解いた結果をグラフで表したものを以下の図に示す．

図 3: 宇宙の膨張率
このグラフでは, 実際に論文に示されている数値解と解析解が一致するのかについても調べた．図の青い実線が数値解で黄色い破線が解析解である．図からも分かる通り二つは一致していることが分かる．そしてこの図は宇宙の膨張率を表した物で, 膨張する速度は一定ではないということや, 現在は急激な膨張では

131

図 4: PBH の量と質量の関係

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
こ の グ ラ フ は 原 始 ブ ラック ホ ー ル の 質 量（ 横

8

参考文献

軸 ）と 個 数（ 縦 軸 ）の 関 係 を 表 し た 物 で あ る ．

=

1. Jun ichi Yokoyama,Formation of Primor-

6.0 × 10 8 × Mpl ,λ̃ = 3.0 × 10 12 太陽質量 M⊙ をdial Black Holes in Inﬂationary Cosmol-

1.98843 0kg として解きプロット数は 60000 とした．こogy,Prog.Theor.Phys.Suppl.136 (1999) 338-352のグラフからある質量の PBH の量が他の質量の物と2. Jun ichi,Chaotic New Inﬂation and Forma-

比べて圧倒的に多いことが分かる．python で個数の最tion of Primordial Black Holes.Phys.Rev.D 58

Mpl

1.0 × 105 ,v

=

=

−

0.2138436Mpl ,m−

大値とその時の質量を調べたところ 2.48 × 10− 16M⊙

(1998) 083510の PBH が 36216 個で一番多いという結果になった．

3. Anirudh Gundhi,Primordial black hole dark
matter in dilaton-extended two-ﬁeld Starobin-

6結論

sky inﬂation, Phys.Rev.D 103 (2021) 8, 083518
4. 池内了（1993）「宇宙をあやつるダークマター」

本研究で次の事が結論付けられる．

1. 宇宙はビックバンから始まり現在においても膨

5. 二間瀬敏史（2019）「宇宙の謎 暗黒物質と巨大張を続けている2. 銀河の回転を観測したのをきっかけに原始ブラッブラックホール」さくら舎

6. 渡部潤一（2018）「全部わかる宇宙図鑑」成美堂

クホールの存在が肯定された

3. 暗黒物質は宇宙の形成において重要な役割を担っ出版

7. 大内正己（2014）「宇宙の果てはどうなっているている

4. 宇宙は急激に膨張しそのあとは穏やかな膨張を続けている
5. インフレーションは二回起こっている
6. 2.48 × 10−16 M⊙ の質量を持つ PBH の割合が
一番大きい

7

岩波書店

今後の研究課題
結論として具体的な数値が出たが, この結果が本当に正しいのか, 実際に観測した値とはどのような関係があるのかについて詳しく研究していく．さらに重力レンズの観点からの PBH の研究も現在進めている．本研究で私はインフレーションや PBH の質量と個数の関係について python を用いてグラフ化したが最終的な目標は PBH が暗黒物質の候補として有力という事についての根拠を説明することであるのでその目標向かって研究を進めていく.

132のか？謎の古代天体ヒミコに挑む」宝島

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重宇 a29Aﬄeck-Dine 機構による原始ブラックホール形成モ
デル
東京大学 宇宙線研究所
笠井 健太郎

133

未提出

134

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重宇 a30

背景磁場によるアクシオン-光子変換とアクシオン雲の減衰
立教大学大学院 理学研究科
勝又 彰仁

135

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

背景磁場によるアクシオン-光子変換とアクシオン雲の減衰
勝又 彰仁 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
本発表は [1] のレビューである．背景磁場を考えて，アクシオン-光子変換によるブラックホールまわりのア
クシオン雲の減衰率を求めた．ただし，簡単のため背景磁場として単極磁場と一様磁場を仮定した．単極磁場の場合，アクシオン雲の減衰率は ∼ q 2 κ2 (GM )5 µ8 で与えられることが分かった．ここで，µ はアクシオ
ン場の質量，M はブラックホールの質量，G は重力定数，κ はアクシオンと電磁場のカップリング定数，qは単極磁場の磁荷である．一様磁場の場合は，アクシオン雲の減衰率は ∼ B02 κ2 (GM )7 µ6 と求められた．ただし，B0 は一様磁場の強さである．

1

イントロダクション

雲が成長し続けることを仮定しており，より現実的には，この成長を妨げるような減衰過程があるかも

近年，ALPs（axion-like particles）と呼ばれる粒しれない．例えば，アクシオンは磁場と相互作用し子が宇宙論や宇宙物理学において注目されている． て光子に変換するという性質をもつ．これをアクシ

ALPs は弦理論においてその存在が予言されている オン-光子変換という．ゼロ質量である光子に変わる
擬スカラー粒子であり，ダークマターの候補にもなっ ならば超放射不安定性は起こらないので，より現実ている．ALPs は未だ未発見であるが，発見のため 的な状況として背景磁場を考えると，アクシオン-光の様々な観測・実験が行われている．

子変換によってアクシオン雲の成長が妨げられる可ALP に関する興味深い現象の 1 つとして，回転ブ 能性がある．そこで，アクシオン-光子変換がアクシ
ラックホールまわりにおけるアクシオン雲の形成が オン雲の成長率および減衰率に与える影響についてある．回転ブラックホール近傍でアクシオン場を考考える．まず，背景磁場としてモノポール磁場と一える．さらに場の波がブラックホールに入射する状様磁場をそれぞれ仮定し，アクシオン-光子変換によ況を考えると，ブラックホールの回転エネルギーがるアクシオン雲の減衰率を求める．さらに，得られ引き抜かれ，反射波の振幅が増大する場合がある．こた減衰率を成長率と比較し，どちらが優勢であるかのような増強過程を超放射（superradiance）という． を議論する．
この現象はアクシオン場が質量を持っていることにより，さらに興味深い現象を引き起こす．増幅された反射波が質量によって重力的に束縛され，再び入射波

2

運動方程式と摂動の式となって超放射を繰り返すのである．これによりアク
次のような作用で記述されるアクシオン場と電磁シオン場のもつエネルギーは指数関数的に増大する．
これを超放射不安定性（superradiant instability）[2]場の系を考える：∫という．この超放射不安定性によって，ブラックホーS=

ルまわりにアクシオンの雲が形成される．
もし ALP のコンプトン波長が回転ブラックホールの重力半径と同程度である場合には，ブラックホー
ルの回転エネルギーは効率的に引き抜かれることが知られている．このことから，回転ブラックホールの存在は，対応する質量範囲の ALP に制限を与える．

( 1
1−g d4 x − Fµν F µν − κϕFµν F̃ µν
4
4
)
1
1
− ∇µ ϕ∇µ ϕ − µ2 ϕ2
(1)
2
2

√

ここで，ϕ はアクシオン場，µ はアクシオン場の質
量，κ はアクシオンと電磁場のカップリング定数で

しかし，これは超放射不安定によってアクシオンの1362022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校ある．また，

単極磁場の解析3
1 µνλρ
εFλρ
2F̃ µν ≡

(2)

まず，最も簡単な場合として単極磁場を考える．
ゲージ場の摂動はであり，εµνλρ は完全反対称テンソルである．アクシAtotµ = q(1 − cos θ)(dφ)µ + δAµ

オン場とゲージ場の運動方程式は，この作用の変分をとることにより，それぞれ()∇µ ∇ − µ ϕ =
µ

2

(13)

で与えられる．単極磁場は球対称性を保つので，odd

14モードと even モードは互いにデカップルする．ここκFµν F̃µν(3) では１つのモードに注目し，ラベル lm を省略する．
摂動に対する方程式は∇µ F µν = −κF̃ µν ∇µ ϕ

(4)

[
]
− f l(l + 1)Ab + r2 ∂r f ∂r (f Ab ) + r2 ω 2 Ab = iqκωΦと求められる．また，背景時空として，シュバルツ(14)

シルト時空を仮定する．ブラックホールの質量を Mとすると，計量はfds2 = −f (r)dt2 +

dr2
f (r)

r2

∂r (r2 f ∂r Φ) + ω 2 Φ − f µ2 Φ − f+ r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ) (5)=で与えられる．ここで，f (r) = 1 − 2GM/r である．
さらに，以下ではアクシオン場とゲージ場に対して

ϕ = δϕ

(6)

bg
Atot
µ = Aµ + δAµ

(7)

1
4

l(l + 1)r2

κf Fµν F̃ µν

Φ(15)と求められる．
さらに，解析的な評価のため次のような条件を課す：

1/(GM ) ≫ ω ∼ µ ≫ 1/r(16)qκ ≪ r(17)なる摂動を考える．Abgµ は背景ゲージ場であり，δϕ

ここで，r は系の典型的な長さスケールを表す．このおよび δAµ が摂動項である．また，摂動項に対して条件のもとで，(14) 式と (15) 式は球面調和展開とフーリエ展開を施しておく：

)
(
) (
1 d
2GM µ2 l(l + 1)
2 dΦ
2
2
r
+ ω −µ +
−
Φ
r2 dr
dr
r
r2

δϕ =

∑

Φlm Ylm eiωt

(8)

lm

∑

δAt = −i=Aalm Ylm eiωt

(9)

δAr =

Ablm Ylm eiωt

(10)

δAθ =

√

lm

δAφ = −∑lm

Φ−iqκl(l + 1)
ωr4

Ab

(18)

によって解く．
まず，最低次の方程式は次のような形で与えられる：

lm

∑

r4

とまとめられる．以下で，この方程式を逐次近似法

lm∑q 2 κ21l(l + 1)

√

Adlm

1
l(l + 1)

1
sin θ

d2 Φ0
∂φ Ylm eiωtAdlm sin θ∂θ Ylm eiωt

(11)

(12)

dr

+
2

2GM µ2)(+ ω02 − µ2 Φ0 +
Φ0
r dr
r
l(l + 1)
Φ0 = 0
(19)
−
r2

2 dΦ0

これは水素原子の固有値方程式と同等である．ボーア半径に対応する量は

a0 = 1/(GM µ2 )

137

(20)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校であり，超放射不安定性による成長率が最も大きく一様磁場の解析4なる l = m = 1 および n = 2 の場合，方程式の解は(
Φ0 = ω0

)3/2

1

√

2a0 ω0

r
3a0

(
exp −

次に，一様磁場を考える．アクシオン場とゲージ

)

r

場の摂動は

(21)

2a0

ϕ = δϕとなる．ところで，A ≡ A /(ω0 r)，x ≡ ωr と定義bすると，(14) 式から
(
)
d
2 dA
x
+ x2 A − l(l + 1)A = iqκω0 x−1 Φ0
dx
dx
(22)

Atot
µ =

lm

r2
−f

と求められる．ここで，G は(24)

W ≡ x2 [∂x jl (x)hl (x) − jl (x)∂x hl (x)]

(25)

(30)

クシオン場の方程式は0+ Θ(x − ξ)jl (ξ)hl (x)/W

B0 r2 sin2 θ(dφ)µ + δAµ数のモードが互いにカップルする．したがって，ア(23)

G(x, ξ) = Θ(ξ − x)jl (x)hl (ξ)/W

2で与えられる．一様磁場は球対称性を破るので，多∑{[ fが得られる．これの解は∫ ∞A(x) = −iqκω0dξ G(x, ξ)ξ −1 Φ0 (ξ)

1

(29)

∂r (r2 f ∂r Φlm ) + ω 2 Φlm − f µ2 Φlml(l + 1)r2]}
1
Φlm Ylm = κf Fµν F̃ µν
4(31)となる．また，ゲージ場の方程式は}∑{[]
ωr2 ∂r Aalm + ω 2 r2 Ablm − l(l + 1)f Ablm Ylmlm= iB0 κωr2 cos θ∑Φlm Ylm(32)

lmで与えられるグリーン関数である．ただし，Θ はス

}
∑{
[
]
l(l + 1) ωAalm − f ∂r (Ablm ) Ylm

テップ関数，jl は球ベッセル関数，hl は球ハンケルlm関数である．

= iB0 κωrとなる．ここで，(16) 式の条件に加え，

2 dΦ1 ( 2
2
)
d2 Φ1
+
Φ1
ω0 − µ2 Φ1 + 2ω0 ω1 Φ0 +
2
dr
r dr
a0 r
l(l + 1)
r2

2 2

Φ1 =

q κ
r4

Φ0 − iqκl(l + 1)
r3

κB0 ≪ 1/a0

2ω0 ω1

2

dr r Φ20 = q 2 κ2∫ ∞drδϕ0 = Φ0 (r)eiωt Y1 ±1 (θ, φ)− iqκl(l + 1)で与えられると考えることができる．Φ1 と ω1 がみ

r2たす方程式は，

∫ ∞
dr

Φ0 A

0

r

(27)

が得られる．これより，減衰率がIm ω1 ∼

1
24

(35)

Φ20

0

0

(34)

A (26) という条件を課すと，アクシオン場の摂動の 1 次はとなる．これに r2 Φ0 をかけて部分積分を実行すると，∫ ∞Φlm (2 cos θYlm + sin θ∂θ Ylm ) (33)lm

1 次の方程式は−∑µ2 q 2 κ2 (GM µ)5 µ(28)と求められる．

138

2 dΦ1
d2 Φ1
+
+ (ω02 − µ2 )Φ1
2
dr
r dr
2
2
Φ1 − 2 Φ1+ 2ω0 ω1 Φ0 +
a0 r
r
[
(
)
1
3 a
a
b
= iκB0 − √ ∂r A2 ±1 + ω0 A2 ±1 + A2 ±1
r
5
]
i
(36)
± √ ω0 Ad1 ±12r

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校と求められる．単極磁場の場合と同様に，これに r2 Φ0

めにいくつかの条件を課しており，最終的な減衰率をかけて部分積分を行い，両辺で虚部をとれば，アの表式はアクシオンの質量やブラックホールの質量，

クシオン場の減衰率は磁場の強さに大きく依存する．したがって，ここでIm ω1 ∼

4 κ2 B0215 µ2

得られた式をある特定の系に素朴に適用しても，関7(GM µ) µ(37) 連するパラメータ領域では超放射による成長が可能であると考えられる．

と計算できる．

謝辞
減衰率と超放射不安定性による

5成長率との比較た立教大学理論物理学研究室の皆様，そして名古屋

以上で得られた単極磁場および一様磁場の場合の

1
48(GM µ)8 µ

大学理学研究科 素粒子宇宙物理学専攻の柳哲文 様に心より感謝を申し上げます．

減衰率を，超放射不安定性による成長率 [2]ωsr ∼本発表にあたり，多くの議論やアドバイスを頂い(38)と比較する．減衰率と成長率の比は，単極磁場と一Reference[1]

様磁場のそれぞれについて，

(

Im ω1
(

)

ωsr
Im ω1

∼2

( 2 2)
κ q

mono

)

ωsr

∼
uni

64
5

a20

× (GM µ)−5(a20 κ2 B02 ) × (GM µ)

(39)
(40)

[2] S. L. Detweiler, Phys. Rev. D 22, 2323-2326 (1980)
doi:10.1103/PhysRevD.22.2323と求められる．いま κq/a0 ≪ 1，a0 κB0 ≪ 1，

GM µ ≪ 1 という条件を課していることに注意す
ると，単極磁場の場合は 1 より十分大きくなり得る
ことから，減衰の方が優勢になる可能性があることが分かる．一方，一様磁場の場合は 1 より大きくな
り得ないため，成長の方が優勢であることが分かる．

6

C. M. Yoo, A. Naruko, Y. Sakurai, K. Takahashi, Y. Takamori and D. Yamauchi, Publ.
Astron. Soc. Jap. 74, no.1, 64-72-72 (2022)
doi:10.1093/pasj/psab110[arXiv:2103.13227[hepph]].

まとめ
アクシオンと電磁場の相互作用によるアクシオン-

光子変換を考えて，ブラックホールまわりのアクシ
オン雲の減衰率を求めた．アクシオン場の配位が水素原子のものと等価な方程式の解によって支配される近似のもとで，単極磁場および一様磁場に対する減衰率の解析的な表式が得られた．単極磁場の場合，減衰率は ∼ µ2 q 2 κ2 (GM µ)5 µ/24 と求められた．一方，一様磁場の場合，減衰率は ∼ κ2 B02 µ6 (GM )7 と求められた．以上の解析では解析的な評価を行うた139

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重宇 a31

ブラックホールまわりの磁場構造
大阪公立大学大学院 理学研究科
松尾 賢汰

140

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホールまわりの磁場構造松尾賢汰 (大阪公立大学大学院 理学研究科)

Abstract
ブラックホール (BH) は光さえ抜け出すことのできない強重力天体だが、その周りにある降着しているガスが高速で回転してプラズマとなって、このプラズマが磁場構造を作っている。そのようなブラックホール
周りの磁場を解析するための方法として背景時空を Kerr 時空、電磁場は定常軸対称、そして、プラズマが電磁場と相互作用しない Force-Free 条件を課したグラド-シャフラノフ方程式 (GSE) を解くことが知られている。しかし、GSE を一般的に解くためのアルゴリズムはまだ分かっておらず、他にも磁力線が不連続になる Light surface(LS) と呼ばれる場所があるなど様々な問題がある。
そこで、今回は数値計算の話題には入らず LS などの問題を解決したとして GSE の解を求め BZ 過程のエネルギーを推定する。
なお本講演では [J.F.Mahlmann, P.Cerda-Duran, & M.A.Aloy 2018] のレビューをする。

1

Introduction
BH まわりの磁場の構造を知ることで様々な物理

2

Methods

2.1

3+1 分解現象が解明されると言われている。例えば、BH を中心にして上下にジェットと言われる光速度に近い放射現象が存在するが、そのような速度を生み出すことができる加速過程はよく分かっていない。その有力な候補としてブランドフォード-ナエク過程 (BZ 過

一般相対論では時間と空間を等しく扱い、時空として考える。しかし、それでは時間発展が追いにくいので時間一定の超曲面を導入し計量を (1) のように分解する。

程) と呼ばれる BH の回転エネルギーを磁力線を使って引き抜けるという考えがあり、その現象を再現す
るには磁場構造を知ることが必要不可欠である。ま

ds2 = −α2 dt2 + γij (dxi + β j dt)(dxj + β i dt) (1)
ここで、α はラプス関数、β はシフトベクトルと呼た、我々の銀河系や他の銀河の中心には巨大 BH があるといわれており、その巨大 BH の形成プロセスも同様に様々な説があり謎に包まれているが、その一つにガスを吸い込むことで形成されたという考えがある。このとき、磁場構造が無いとガスはただ BHのまわりを回転するだけなので成立しない。よって、ここでも磁場が重要になってくる。
このように磁場構造は多くの現象に関わっている。
参考文献 [1] では、その構造は複雑であると予想されるので数値的に解くための準備と電磁気学を支配するマクスウェル方程式を書き換えて、最終的に磁場構造を知るための方程式を導出してその式を解き、求めた GSE の解を使って BZ 過程のエネルギーを推定して結果を考察していく。

141

図 1: 超曲面 (時間一定)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
ばれる。なお、ta は時間方向の基底ベクトル、na は2.4超曲面に対する単位法線ベクトルである。

2.2

GSE

回転対称な二次元面 A を考えて、この面を貫く

total charge ﬂux I と magnetic ﬂux Ψ を∫I=−
αJ a dΣa

Kerr 計量

定常で軸対称なブラックホール解は Kerr ブラック∫ホールと呼ばれ、その計量は Boyer-Lindquist 座標

Ψ=

を使うと

A

ds2 = −α2 dt2 + ϖ2 (dϕ − Ωdt)2 +Σ 2
dr + Σdθ2∆(2)

Σ = r2 + a2 cos2 θ(3)∆ = r2 − 2M r + a2

(4)

2 2

2

B a dΣa(16)と定義する。また Force-free 条件はFab j b = 0(17)と書くことができて、さらに上式より I は Ψ のみの関数と分かってA = (r + a ) − ∆a sin θ
√
Σ∆
α=
A
2M ar
Ω=
A
√
A
ϖ=
sin θ
Σ
2

(15)

A

2

(5)
(6)

I = I(Ψ)と表すことができる。

事象の地平面での電流 I と Ψ の関係は計算して求めることができて(7)(8)と書ける。ここで、Ω は KerrBH の角速度である。

(18)

I=

ϖ
(ΩH − ΩF )∂θ Ψ
4πΣ

(19)

となる。これは、Znajek 境界条件と呼ばれている。
ここで、ΩH は事象の地平面での角速度である。
背景時空を Kerr 時空とした定常で軸対称なマクス
ウェル方程式 (11)〜(14) 式と Force-free 条件 (17) 式

2.3

一般相対論的電磁気学

マクスウェル方程式は電磁テンソル fab で書くと∇a f ab = −4πj b∇[a fbc] = 0(9)から Ψ の方程式を作ると
[
]
D |a
ϖ
dΩF |a16π 2 dIΨ+ (ΩF −Ω)Ψ Ψ|a +
I
=0
αϖ
α
dΩ
αϖ dΨ
|a
(20)

D = α2 − ϖ2 (ΩF − Ω)2(10)となるが、3+1 分解をすると 4 つの式になって(21)

これをグラド-シャフラノフ方程式 (GSE) と呼ぶ。

GSE には特異な面があり

Dc E c = 4πρ

(11)

D=0

Dc B c = 0(12)を満たす面を Light Surface(LS) と呼ぶ。物理的には

ϵabc Db (αEc ) = ϖB c (∂c Ω)ϕ̂(13)

LS は磁場の角速度 ΩF が光速度を超えてしまう面でϵabc Db (αBc ) = ϖB c (∂c Ω)ϕ̂ + 4παJ a

(22)

ある。

(14)

と書ける。なお、電磁場は定常で軸対称としている。

2.5

BZ 過程

GSE を解くと Ψ が得られるが、そこから BH の回転エネルギーを磁場を使って引き抜く BZ 過程の142

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
エネルギーが推定できる。単位時間当たりのエネル
ギーは( )2 ∫ π
1 1
P =ΩF (ΩH − ΩF )
2 2π
0
( 2
)(
)2
(r+ + a2 ) sin θ∂Ψdθ
2 + a2 cos2 θ
(r+
∂θ

(23)

と書くことができる。ここで、r+ は事象の地平面を表す。これは、KerrBH のまわりにはエルゴ領域と呼ばれるものが存在し、あらゆるものが静止できずに引きずられてしまう。磁場も同様にエルゴ領域に進入すると磁力線が大きく引きずられて曲ってしまう。そして、磁力線が外に出ると引きずられた分だ
図 3: BZ 過程の単位時間当たりのエネルギー

けエネルギーが抜き出せたと考えられる。

数値積分したものは上のグラフで”+”で表現されてお3り、縦軸は Luninisity で横軸はスピンパラメーター

Resultsである。

GSE を解き、得られた Ψ が下の図２である。

4

Discussion と展望
図 3 では例としてスピンパラメーターが 0.9999 だとすると Luminosity は約 2.1 × 1050 [erg/s] となっている。これは、太陽光度 4 × 1033 [erg/s] の約 5 × 1016
倍であり莫大なエネルギーが引き抜かれたことを表している。
今回は電流の配置をスプリットモノポールとして考えているが現実的にはこのような状況はほとんどない。実際には BH まわりには降着円盤が存在し、この降着円盤が電流の役割をしている。よって、無限遠方には電流は存在せず事象の地平面付近にも降着円盤の物質が BH に落ち続けているような場合を除いて存在し得ない。
図 2: magnetic ﬂux Ψ の分布

今後の展望として電流がスプリットモノポール以

青線は LS, 黒線はエルゴ領域を表し、スピンパラ
メーターは a = 0.9999, 質量は太陽質量として計算している。なお、電流の配置はスプリットモノポー

外のものを考えたり、定常な解ではなく GRMHD を使った磁場構造を求めていくなどのことを調べていきたい。

ルとして扱っており、これは事象の地平面から無限遠方まで赤道面に紙面を貫くように置くということである。
同じスプリットモノポールで BZ 過程のエネルギー(23) 式を数値積分したものが図 3 である。

Acknowledgement
本発表にあたり、ご指導いただいた宇宙物理・重力研究室の皆様、講演の機会を与えてくださった夏の学校の運営の皆様に深く感謝申し上げる。

1432022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference
J.F.Mahlmann, P.Cerda-Duran, & M.A.Aloy 2018,[arXiv:1903.06830[astro-ph.HE]].

144

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重宇 a32

曲率特異点を解消した Reissner-Nordstrom ブラック
ホールの情報損失問題について
大阪市立大学大学院 理学研究科
末藤 健介

145

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

曲率特異点を解消した Reissner-Nordstrom ブラックホールの情報損失問題について末藤

健介 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
この論文において我々は，電荷を持ったブラックホール解である Reissner-Nordstrom 時空の曲率特異点を解消した，最もシンプルな時空について紹介する．その後このブラックホールの蒸発を解析的に記述するモデルを用いて，蒸発するブラックホールの時空構造を解析する．結果として，曲率特異点を解消した

Reissner-Nordstrom 時空には event horizon,Cauchy horizon が存在せず，情報損失問題が生じないことが
わかった．

1

2.1

Introduction
一般相対性理論のブラックホールはその中心に曲率特異点を持つことが知られている．そのほかに量子場を考慮するとブラックホールが蒸発し，それに伴いブラックホールに関する情報が失われる情報損

ingoing Eddington-Finkelstein 座標で記述される
Reissner-Nordstrom 時空は失問題が生じることが知られている．量子重力理論

ds2 = −F (r)dv 2 + 2dvdr + r2 dΩ2ではこの 2 つの問題が解決されると考えられているが，未だ量子重力理論は完成していない．
多くの量子重力の研究でも計量や Riemann 幾何学の描像を捨てることができていない．そこでこの研A method of constructing nonsingular
Reissner-Nordstrom
spacetime

Q2
2M
+ 2
(1)
r
r
である．しかし，この時空は r = 0 において曲率特F (r) = 1 −

究では曲率特異点が存在しないブラックホール時空異点を持つ．そこでを構築し，このブラックホールを蒸発させても情報点の存在しない時空を構築していく．Frolov の論文

損失問題が生じないことを示すことを目的とする．

2

Non-singular
ReissnerNordstrom metric
こ の セ ク ション で は 曲 率 特 異 点 を 解 消 し た

F (r) の形を改良し，曲率特異[2] によると，曲率特異点が存在しないためには
r2
F (r) ∼ 1 + ε 2(2)lが要請される．ここで ε は ±1 であり， l はカット
オフパラメーターを表す．F (r) の形として r につい
ての多項式
n−1
∑

Reissner-Nordstrom ブラックホールを記述する計量を求める．

F (r) = 1 − k=0n∑bk r k.

(3)

ak r kk=0を仮定する．
この形から中心付近で (2) となり遠方で (1) となるような F (r) の最もシンプルなモデルは

F =1−

146

(2M r − Q2 )r2
r4 + (2M r + Q2 )l2(4)

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
となる．

2.2

この関数 F (r) は r ∼ 0 の領域で

F ≈1+

r2
,
l2

Global structure of non-singular
Reissner-Nordstrom spacetime

Non-singular Reissner-Nordstrom ブラックホール(5)の各種ホライズンについて調べる．event horizon ととして振る舞う．つまり，non-singular な Reissner-

Cauchy horizon は F (r) = 0 を満たす位置に存在す

Nordstrom ブラックホールは Anti de Sitter のコア

る，つまりを持つことがわかる．

r4 − 2M r3 + Q2 r2 + 2M l2 r + Q2 l2 = 0.
を満たす．各量を M で規格化した変数 R =

Q
l
,λ =
を導入すると (6) はM
M
L2 = −

R2 (R2 − 2R + λ2 ).
L2 + 2R

(6)

r
,L =
M

(7)

と書き換えられる．この右辺は簡単に因数分解する
ことができ，

R2 (R − RN + )(R − RN − ),(8)
L2 + 2R√となる．ここで，RN ± = 1 ± 1 − λ2 であり，これL2 = −

は元の Reissner-Nordstrom ブラックホールの event

horizon と Cauchy horizon の位置を表す．この右辺のグラフは簡単に書くことができ，non-singular

Reissner-Nordstrom ブラックホールの event horizon
R+ と Cauchy ホライズン R− は右辺を y(R) と置いた時の y(R) と L2 の交点に位置するので，グラフ
より RN − < R− < R+ < RN + の位置関係にあることが読み取れる．これより，Non-singular Reissner-

Nordstrom ブラックホールの時空図は，horizon の位
置が l のオーダーで変化しているだけで元の Reissner-

Nordstrom ブラックホールの時空図と同じ形である
ことがわかる．

147

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

Evaporationと記述され，du =

dṽ
2dR
+
は積分可能なのでṽ
f α + 2R

Non-singular な Reissner-Nordstrom 時空を構築で null 座標としてきたので，このブラックホールを蒸発させていく．

∫

2dR
.
f α + 2Ru = ln ṽ +3.1

Set up of evaporating model(13)を導入する．これらより計量は ds2 = −αṽ(f α +負のエネルギーを持った null dust をブラックホー
ルに投げることでブラックホールの質量と電荷を減少

2R)dudṽ と書ける．これで double null 座標が構築できた．

させるプロセスを考える．しかし，上で求めた F (r)では double null 座標を構築することが困難であるの

3.3

Conformal Killing horizon

で，解析的に話を進めるため，無次元パラメーター
ブラックホールの質量が線形で変化することに起b を用いて l = M b と表現できる場合を考える．つま因し，この時空にはり F (r) の形として

F =1−(2M r − λ2 M 2 )r2
r4 + (2M r + λ2 M 2 )M 2 b2

ξ a = −2χ(ṽ∂ṽ + ∂u )

(9)

(14)

を仮定する．我々は M を時間に依存した関数として蒸で表される conformal Killng ベクトルが存在する．

発を記述するので，l = M b は時間と共に regularize

このベクトルのノルムはのスケールが変化する

3.2ということを意味する．

gµν ξ µ ξ ν = −4χ2 αṽ 2 (f α + 2R)(15)

Introducing double null coordi- となり，これより，conformal Killing horizon は f α+
2R = 0 に位置することがわかる．
nates

R = const. で記述される超曲面 Σ を考える，Σ

Vaidya 時空と同様にブラックホールの質量 M をM (v) のように時間変化させることでブラックホー
ルの蒸発を考えていく．尚，ここでは技術的な理由に対する法線ベクトルをn とすると n = dR =
(
)
(
)
∂R
∂R
du +
dṽ であり，そのノルムは∂u∂ṽ

から質量は次のように線形で変化していく場合を考

gµν nµ nν =える

M (v) = M0 −

M0
v
vf

(v > 0) ．

(10)

f α + 2R
.
αṽ 2

(16)

と計算できる．これより Σ を

1. f α + 2R > 0,Σ is timelike.

r
を導入す
ṽ
る．また F (r, ṽ) = f (R) と書ける場合を考える．こ

ここで新たな座標として ṽ = M, R =2. f α + 2R = 0,Σ is null.

れは

2M r3 − λ2 M 2 r2
4
r + 2M rl2 + λ2 M 2 l2
2R3 − λ2 R2=1− 4= f (R). (11)
R + 2Rb2 + λ2 b2の様に上記の仮定と合致する．dr = Rdṽ + ṽdR よF (r, ṽ) = 1 −3. f α + 2R < 0,Σ is spacelike.
として分類することができる．ここから Σ は Con-

formal Killing horizon を境にして何 like か変化する
ことも読み取れる．

り, 計量は

ds2 = −f dv 2 + 2dvdr= −αṽ(f α + 2R)dṽ

3.4
(

dṽ
2dR
+
ṽ
f α + 2R)
(12)

Global structure

Reissner-Nordstrom ブラックホールも non-sinular
Reissner-Nordstrom ブラックホールも f (R) = 0 を

148

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
満たす R が二つ存在する．つまり Apparent hori-zon が 2 つ存在する．Conformal Killng horizon は
f α + 2R = 0 に位置し，それは 2 つ存在することも簡単にわかる．2 つの Apparent horizon の位
置を RA+ , RA− ,conformal Killing horizon の位置を

RC+ , RC− とすると，f α+2R の概形より RA+ , RA−
as RA− < RC− < RC+ < RA+ が成り立つことがわ
かる．これらをまとめた global structure や情報損失問題については発表にて考察する．

4

参考文献

1. Frolov,Information loss problem and a
hole

black

model with a closed apparent horizon,

arXiv:1402.5446 [hep-th]
2. Frolov,Notes on non-singular models of black
holes, arXiv:1609.01758 [gr-qc]

149

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重宇 a33

銀河と活動銀河核による再電離への寄与
名古屋大学大学院 理学研究科宇宙論研究室
成瀬 元希

150

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

銀河と活動銀河核による再電離への寄与
成瀬

元希 (名古屋大学大学院 理学研究科宇宙論研究室)

Abstract
宇宙誕生後の赤方偏移 z ∼ 6 − 20 程度における, 中性化されていた宇宙空間中のガスが, 現在のようなほぼ電離された状態へと遷移されていく時期を宇宙再電離期と呼ぶが, その電離過程の詳細の多くは未だ分かっていない. 星形成銀河が主要な電離源として考えられているが, ヘリウムの 2 階電離には活動銀河核 (AGN) から放射される X 線のような, 約 54.4 eV より高いエネルギーの電離光子が必要であることや, 暗い AGN の存在が示唆されていることによって, AGN も電離源の候補として挙げられている. この星形成銀河と AGNそれぞれがどれだけ再電離に寄与するかは依然議論されている.
本発表では星形成銀河と AGN 両方の宇宙再電離と熱史への寄与を評価した, Yoshiura et al. (2017) をレビューする. この研究では, 銀河からの電離光子の割合 (fesc ) と暗い AGN の存在量 (faint-end slope: αhz )をパラメータとして用い, 観測データと比較してその値を制限することで寄与を評価している. その結果,

fesc < 0.5, αhz > −1.5 であると明らかにしている. 本発表では AGN の存在量に着目しながら, 各パラメー
タが電離進化に与える影響について議論する.

1

供給源として期待されている. しかし, AGN の存在

Introduction
宇宙誕生後, 宇宙の膨張と同時に中性化していった

宇宙空間は赤方偏移 z ≈ 6 − 20 の時に再び電離していったと一般に考えられており, この時期は宇宙再電離期と呼ばれている. この電離過程の進化はこれまでに広く研究されており, 例えば高赤方偏移のクエー
サースペクトル線中の HI 吸収線の観測から水素はz ∼ 6 までに (Fan et al. 2006), ヘリウムは z ≈ 2.7
までに (Becker et al. 2011) ほぼ電離したと考えられている. しかし, 宇宙再電離の進化を決定づけるような電離源の観測はまだされておらず, この電離源を明らかにすることは宇宙再電離の研究において大きな意味を持つ.
電離源の一番の有力候補として, 高赤方偏移の星形
成銀河が挙げられている. 実際に多数の銀河が z > 6で観測されている (Ouchi et al. 2009). さらに再電離期における紫外線光度関数 (UVLF) の slope が急勾配で, 絶対等級が MUV ∼ −16 にまで及ぶことが示唆されている (Ishigaki et al. 2015).
活動銀河核 (AGN) も電離源の候補の 1 つとして挙げられている. ヘリウムの 2 階電離には 54.4 eV より高いエネルギーを持つ光子が必要であり, その光子の量は z > 3 で急激に減少していることから (Masters

et al. 2012), 再電離への寄与は小さく重要ではないと考えられてきた. 一方で z ∼ 4 − 6 で暗い AGN が発見される (Giallongo et al. 2015) など, 高赤方偏移において確認されていない暗い AGN が再電離に寄与している可能性も示唆されている. このため、AGNが電離源として働くかは依然議論されている.

AGN のスペクトルエネルギー分布 (SED) の形が銀河間物質 (IGM) の電離と加熱の効率に影響を及ぼすこともよく知られている. z ∼ 1 では X 線領域とUV 領域のそれぞれでピークをとることが知られている (e.g. Laor et al. 1997). しかし, 宇宙再電離期(z > 6) における AGN の SED も、特に X 線領域において未だ不明瞭であり, これを調べることも再電離史を知る上で意味を持つ.
本発表では銀河からの電離光子の割合 (fesc ) と

AGN 存在量を異なるパラメータとして数値計算を行い, 観測データに基づいて銀河と AGN の IGM の
再電離および熱史への寄与を制限づけた Yoshira etal. 2017 をレビューする. また, 本集録では紙面の都合上、再電離についてのレビューのみ説明する.

1512022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
なお, この論文では ΛCDM 宇宙論パラメータを (Ωm , Ωλ , Ωb , H0 ) =(0.308, 0.692, 0.02237,

67.80km s

−1

Mpc

−1

ρ̇⋆ (z) = 0.015) としている (Planck Collab-(1 + z)2.7
1 + [(1 + z)/2.9]5 .6(3)

oration XXIII 2015).
∫ ν2

電離進化の計算式

2
5.43 × 1060 /M⊙ , (ν1 , ν2 ) = (νHI , νHeI )dνγν =

ν1

この論文では HI, HeI, HeII の各電離割合の進化,
並びに IGM の温度進化を解いている. 電離割合の進2.61 × 1060 /M⊙ , (ν1 , ν2 ) = (νHeI , νHeII )0.01 × 1060 /M⊙ , (ν1 , ν2 ) = (νHeII , νmax,⋆ )(4)

また, 式 (4) において νi は, 各 i 元素における Ly-

化は例えば HI については以下のような式を解く.

man α 限界の振動数 (hp νHI = 13.6 eV, hp νHeI =d fHII
1
dNγ,HI=3dtnH (1 + z)
dt

24.5 eV , hp νHeII = 54.4 eV) を指している. νmax,⋆(1)− αB,HII Cne (1 + z)3 fHII

は hp νmax,⋆ = 100 eV となるようにとっている. こ
こで, hp はプランク定数である.
さらに, 各元素がどのくらい電離光子の消費するか

ここで, αB,HII は case B 再結合係数, nH , nHe , neを考慮し, 重複を避ける必要がある. つまり, 各 i 元

は順に水素, ヘリウム, 電子の共動座標系の数密度, C

素が消費する電離光子はその不透明さに比例し, 体積はガス分布の不均一性を示す Clumping factor でああたりの光電離率はり Pawlik, Schaye & van Scherpenzeel (2009) より
今回は C = 3 を採用している.
式 (1) において, 体積あたりの光電離率 dNγ,i /dt は

dN⋆,i
=
dt

それぞれ銀河によるもの (添字 ⋆) と AGN によるもの∫ νmax,⋆dννi

ni σi ṅ⋆νnHI σHI + nHeI σHeI + nHeII σHeII(5)と表せる. σi は各 i 元素の電離断面積を示す.

の和で表している. つまり, dNγ,HI /dt = dN⋆,HI /dt+

dNAGN,HI /dt である.

2.2
2.1

銀河による光子AGN による光子

AGN からの電離光子は, X 線のような高エネル銀河による再電離への寄与は, その銀河から出る全ギーを持つ光子が存在し, 平均自由行程が長いため宇ての光電子が周りの IGM の電離に影響を及ぼすとい

宙論的な距離で電離を考える. ある赤方偏移 z におう仮定のもとで求める. 銀河から IGM への電離光子

いて, それよりも大きい赤方偏移からの X 線電離光の脱出割合 fesc を利用すれば単位時間あたりに銀河子も考慮し, 体積あたりの光電離率は以下の方程式から IGM へ出て行く光電子の数は式 (2) で表すこと(6) で表すことができる.

ができる.

ṅ⋆ν = (1 + z)3 fesc ρ̇⋆ γν

dNAGN,i
(z) =
dt

(2)

ここで ρ̇⋆ は共動座標系における星形成率密度(SFRD) であり, Madau & Dickinson (2014) によるものを採用する (式 (3)). 単位は M⊙ yr−1 Mpc−3 である. また, γν は星によって生成される光子の振動数あたりの固有数であり, Choudhury & Ferrara (2005)∫ νmax,AGN
νidνσi ni (1 + z)3 F (z, ν)
hp ν
(6)

ここで, F (z, ν) は z よりも高い赤方偏移におけるAGN からのエネルギーフラックスを示し, 共動座標
系での emissivity εc , 光学的厚み τν を使って式 (7)で表される.

を参考に式 (4) で表す.

152

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

F (z, ν)∫c(1 + z)2
= dz ′ εc (z ′ , ν ′ )exp (−τν (z, z ′ , ν ′ ))Hz(7)
この時, emissivity は,
max
∫ MUV

εc (z, ν) =Lν (MUV )Φ(z, MUV )dMUV (8)min
MUV

今回の論文で使用している AGN の UVLF のモデルは、Croom et al. (2009) をもとに式 (9) のように

double power-law の形で表して用いる.

Φ(z, MUV )=Φ⋆ exp(−z/zAGN )100.4(α+1)(MUV −M⋆ ) + 100.4(β+1)(MUV −M⋆ )(9)

ここで, Φ⋆ , zAGN , M⋆ , α, β はパラメータであり,それぞれ振幅, AGN の数が減少する赤方偏移, faint-

end slope と bright-end slope が変化する絶対等級,
faint-end slope と bright-end slope の各べきを表す.
論文ではこれらのパラメータのうち, α をフリーパラ
メータ αhz として用いる. 値が小さくなるほど暗い

AGN が多くなる.
今 回 の 論 文 で 使 用 し て い る SED の モ デ ル は,

Kawaguchi et al. (2001) を参考に, 図 1 中の赤の実線で示されるような X 線と UV の両方のエネルギー領域でピークを持つようなモデルを使用している. また, 同図中の下のパネルで示されているように等級によって SED の形が変化するようになっている. さらにこの SED モデルの比較として, より単純な power-

law のモデル (PL モデル: 図 1 の黒の実線) でも数値計算を行なっている.

図 1: SED モデルのグラフ. 上パネルは z = 1 であり, 赤は今回使用したモデル, 緑が Kawaguchi etal. (2001) のグラフ, 黒が PL モデル, 青が観測データ
Laor et al. (1997) による composite SED を指している. また, 下のパネルは z = 6 であり, 赤は今回使用したモデル, 青は MUV < −23, 緑は −23 < MUV <−18, オレンジは −18 < MUV < −15 , 黒は PL モデルを指している.

IGM に放出される電離光子の数が増加するにつれて電離が早く終わることが確かめられる.
図 3 は観測データによってパラメータ fesc 、αhzに制限をつけた結果である. 使用している観測デー
タは z > 5.7 で HI が完全電離 (Fan et al. 2006),

z = 6.6 で fHI < 0.4(Ouchi et al. 2010), z = 7.3 で
0.3 < fHI < 0.8(Konno et al. 2014), 宇宙マイクロ波
背景放射に対するトムソン散乱の光学的厚み: τe =0.058 ± 0.012(Planck Collaboration XLVII 2016) で

3ある. ここから, ２つのパラメータの値は fesc > 0.15,

電離史とパラメータの制限

αhz > −1.50 と制限づけられることがわかる.

この章では数値計算の結果から銀河と AGN それ
ぞれの再電離と熱史への寄与を考察していく. HI の電離割合の進化は図 2 のようになった. fesc の値が大きく, また αhz の値が小さくなるに従って, つまり

1532022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 3: パラメータ fesc と αhz の観測による制限. 左上が z > 5.7 で HI が完全電離 (Fan et al. 2006), 右上が z = 6.6 で fHI < 0.4(Ouchi et al. 2010), 中左がz = 7.3 で 0.3 < fHI < 0.8(Konno et al. 2014), 中右
図 2: HI 再電離の進化. 縦軸は HI 電離割合 fHII , 横が宇宙マイクロ波背景放射に対するトムソン散乱の光軸は赤方偏移 z, 太線は AC モデル, 細線は PL モデル

学的厚み: τe = 0.058 ± 0.012(Planck Collaborationを示す. 上パネルでは αhz = −1.00 で固定され, 赤,
青, 緑が順に fesc = 0.05, 0.10, 0.15 に該当している.

XLVII 2016), 右下が上記 4 つの組み合わせによる制限である.

下パネルは fesc = 0.1 で固定され, 赤, 青, 緑が順に

αhz = −1.50, −1.00, −0.50 に該当する.

Fan X. et al., 2006, AJ, 132, 117
Giallongo E. et al., 2015, A&A, 578, A83

4Conclusion

Ishigaki M. et al., 2015, ApJ, 725, 12

今回レビューした Yoshiura et al. (2017) では, 銀河から IGM への電離光子の脱出割合 fesc と AGN 光度

Konno A. et al., 2014, ApJ, 797, 16関数の faint-end slope のべき αhz をパラメータとしKawaguchi T., Shimura T., Mineshige S., 2001, ApJ,
546, 966て用いて銀河と AGN 両方の宇宙再電離への寄与を数

Laor A. et al., 1997, ApJ, 477, 93

値計算し, 観測データと比較することで fesc < 0.15、

αhz > −1.50 という結果を得た.
本発表ではさらに SED モデルの違いや温度進化のMadau P., Dickinson M., 2014, ARA&A, 52, 415
Masters D., et al., 2012, ApJ, 755, 169
Ouchi M. et al. 2009, ApJ, 706, 1136

結果についても議論する.

Ouchi M. et al. 2010, ApJ, 723, 869

Reference

Pawlik A. H., Schaye J., van Scherpenzeel E., 2009, MNRAS, 394, 1812

Becker G. D., Bolton J. S., Haehnelt M. G., Sargent W.
L. W., 2011, MNRAS, 410, 1096

Planck Collaboration XXIII, 2015, A&A, 594, A13
Planck Collaboration XLVII, 2016, A&A, 596, A108

Choudhury T. R., Ferrara A., 2005, MNRAS, 361,577
Croom S. M. et al., 2009, MNRAS, 399, 1755

Yoshiura, S., Hasegawa;, K., Ichiki, K., et al. 2017, MNRAS, 471, 3713

154

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重宇 a34

The 21 cm emission line during the epoch of reionization
Kumamoto University
Wildan Hidayat155

2022 年度第 52 回天文·天体物理若手夏の学校

The 21 cm emission line during the epoch of reionization
Wildan Hidayat (Kumamoto University)

Abstract
After the epoch of recombination, neutral hydrogen and helium dominated the components of our universe. It was the starting point of the dark age when neutral matter took time to evolve to form thefirst stars, galaxies, and black holes under the influence of gravity. Furthermore, after the birth of thefirst luminous objects, we reached the period of cosmic dawn. The UV radiation generated from theearly luminous objects gradually heated the intergalactic medium (IGM) and led us to the epoch ofreionization (EoR) (Shimabukuro et al. (2022)).
The 21 cm line produced due to the hyperfine structure of neutral hydrogen atoms becomes the source
to understand the dark age to EoR. Throughout time, these emissions are affected by the WouthuysenField (WF) effect, X-ray heating, and reionization. This signal contains information on ionization
fraction, baryon density distribution, spin temperature, and peculiar velocity as the characteristics ofthe structural evolution during EoR (Mesinger, Steven, & Cen (2011)). Therefore, it will link ourunderstanding of the evolution from smooth matter distribution in the early universe to the complex
distribution of stars and galaxies at redshift < 6.
The global signal and the power spectrum of 21 cm line are the desired quantities for this research.
However, the signal hard to observe because it is weak. Foreground contaminants from smooth continuum spectra of the cosmological distant galaxy’s faint emission, diffuse synchrotron emission, radio
recombination line, radio frequency interference (RFI), etc, masked the global signal (Shimabukuro
et al. (2022)). Fortunately, current efforts lead toward a good direction such as the development of
low-frequency arrays (ex. MWA), the improvement of foreground removal methods (ex. GPR), and thedevelopment of power spectrum and global signal models as comparisons (ex. 21cmFAST).

1

Introduction

state of neutral hydrogen produced an emission line.
Several studies show the possibility of observing theemission line through the radio frequency 1420.41
Before the formation of the highly-ionized universe,
MHz (21 cm line). However, the 21 cm line fromthe universe experienced a moment without lumithe EoR is relatively weak, which makes the obsernous objects, called the dark age, when neutral
vational study and techniques challenging (Morales
atoms (hydrogen and helium), produced during the& Hewitt (2004)).
recombination, dominated the universe. In the laterIn the following section, I will explain the emissiontime, those neutral atoms and IGM interacted unof the 21 cm line and desired quantities. Then,der the influence of gravity and developed a cosI will introduce the observational diﬀiculties. Fimic web structure within the dark matter haloes
nally, I will end this review by showing the current(Georgiev et al. (2022)). Furthermore, when the
result of the EoR study through the 21 cm line.
first stars, galaxies, or black holes were born within
the dark matter haloes (< 1 billion years after the
Big Bang), we started to enter the cosmic dawn.
The UV radiation from the first object interacted 2 The 21 cm line and meawith the IGM and initiated the universe to enter
sured quantities
the EoR when neutral maters evolved into ionized
ones (Shimabukuro et al. (2022)).
2.1 Hyperfine structure of neutral
In recent years, understanding the evolution of ourhydrogenuniverse between the dark ages and EoR has been
discussed. The lack of luminous objects during the The energy degeneracy changes between singlet andepoch is one of the diﬀiculties in understanding the triplet hyperfine levels of hydrogen atoms, emitting
processes. Fortunately, the change in the energy the photon throughout the process. The propa-

156

2022 年度第 52 回天文·天体物理若手夏の学校
gated energy of hyperfine structure represented in
the brightness temperature fluctuation define as follows (Morales & Hewitt (2004)).

tenna measurement of the background RAdio Spectrum 3 (SARAS3) (Singh et al. (2022)) and theExperiment to Detect the Global Epoch of Reionization Signature (EDGES) (Bowman et al. (2018))
are the example of global signal detection projects.

(1 + z)2 TS − TCM B ρHI
E(z)
TS
⟨ρH ⟩
(1)
The cosmic microwave background (CMB) temperature (TCM B ) origin was the energy of photons
that decoupled during the epoch of recombination.
Meanwhile, the spin temperature (TS ) of 21 cm
line depends on the absorption of CMB photons by Figure 2: The figure shows the 21 cm global signal
neutral hydrogen atoms, collisions coupling between through the cosmic time (Pritchard & Loeb (2012)).
hydrogen atoms and other particles, resonant scattering of Lyman-α photons (WF effect), X-ray heating, and reionization (Shimabukuro et al. (2022)). 2.3 21 cm line power spectrum∆Tb = (2.9mK)h−1

−1
−1
−1
TCM
B + xC Tgas + xα Tα
1 + xC + xα

The power spectrum (Figure3) shows an observed
quantity that relates the statistical properties of
the intensity and the neutral hydrogen fluctuation
Equation (2) shows the dependence of TS on the(Furlanetto, Oh, & Briggs (2006); Morales & HeTCM B and gas temperature (Tg as). The xC andwitt (2004)). The Giant Metrewave Radio Telexα express the collision coupling coeﬀicient andscope (GMRT) Epoch of Reionization (Paciga et al.
Lyman-� scattering that depend on the TCM B and(2013)) and the Murchison Widefield Array (MWA)
star temperature (T∗ ).
(Wayth et al. (2018)) missions are trying to observe
the power spectrum of 21 cm line. Here is the defi2.2 Thermal history and global sig- nition of 21 cm power spectrum (Furlanetto, Oh, &Briggs (2006); Shimabukuro et al. (2022)).
nal
TS−1 =(2)⟨δTb (k)δTb (k ′ )⟩ = (2π)3 δ(k + k ′ )P21 (k)(3)

We can take a normalized value (k 3 P21 (k)/2π 2 )as the representation of temperature dimension(Shimabukuro et al. (2022)). Meanwhile, autocorrelation and correlation functions of the neutral
matter and spin temperature construct the power
spectrum of brightness temperature as P21 .
Figure 1: The evolution of mean temperature as a 3 Observation’s challenges
function of redshift of the 21cmFAST simulation.
Consist of CMB temperature (Tγ ), kinetic temper- 3.1 Foreground contaminants
ature of gas (TK ), and the spin temperature (TS ) The 21 cm line is weak and buried by several forefrom Mesinger, Steven, & Cen (2011).
ground contaminants to the order of four times
higher than the 21 cm line (Furlanetto, Oh, &Figure1 shows the temperature and environmen- Briggs (2006)). Even the residual subtraction ertal changes through the different redshift accord- rors and faint foreground sources could still mask
ing to the 21cmFAST model (Mesinger, Steven, & the desired signal (Matteo et al. (2002)). FortuCen (2011)). Meanwhile, Figure2 shows the sky- nately, the difference of signal in Fourier represenaveraged brightness temperature, called global sig- tation, spherical symmetry for the 21 cm line andnal (Shimabukuro et al. (2022)). The Shaped An- separable-axial symmetry for the most foreground,1572022 年度第 52 回天文·天体物理若手夏の学校
phological Component Analysis (GMCA) (Chapman et al. (2013)) methods.
The parametric method utilizes frequency coherence by taking the large cross-correlation of theforeground in several frequency slices. This process
will produce the frequency coherence of the foreground that could be approximated by the fitting
technique. Meanwhile, the non-parametric methods rely mainly on spectral information (Chapman& Jelić (2019)). In addition, we can choose theobservation area far from the Milky way’s galactic center and free from bright objects to minimize
Figure 3: The figure shows a simulated power the foreground contaminant (Shimabukuro et al.
spectrum based on its component with a differ- (2022)).
ent wave number (k) value as function of redshift(Shimabukuro et al. (2015)).

4can help us during the foreground removal processes
to some extent (Morales & Hewitt (2004), Furlanetto, Oh, & Briggs (2006)).
Some foreground, which is mapped in the uv coordinate with a single frequency, has smooth characteristics. The source of this foreground is thefaint emission at a cosmological distance and becomes the most problematic to remove (Morales &Hewitt (2004)). Meanwhile, the strongest and easiest foreground to remove is generated from the synchrotron radiation and extragalactic sources (Chapman & Jelić (2019)).
Other than that, the non-spectrally smooth foreground was also detected. First, the local foreground comes from the Milky way radio recombination lines. It is expected to see the significant errors
during the prediction and removing the recombination lines (Morales & Hewitt (2004)). Other thanthat, the effect of Earth’s ionosphere and RFI also
detected.

3.2

Foreground removal

The practice of foreground removal consists of threesteps, foreground subtraction, suppression, andavoidance (Furlanetto, Oh, & Briggs (2006); Chapman & Jelić (2019)). The foreground subtraction
aims to extract the cosmological signal, foregroundfitting error, and instrumental noise by constructing
a foreground model and removing the model fromthe observed signal. The process consists of parametric (ex. polynomial fitting) and non-parametric(ex. Gaussian process regression (GPR) (Mertens,
Ghosh, & Koopmans (2018)) and Generalized Mor-

Current results

Figure 4: This figure shows fitted observation datafrom the EDGES result (Bowman et al. (2018)).
In 2018, the EDGES research group reported thedetection of a 21 cm global signal (Figure4) at z =17.8 (Bowman et al. (2018)). However, the depth of
the absorption line is deeper than expected. Therefore, the ground plane resonance (Bradley et al.
(2019)), the excess radio background (Reis, Fialkov,& Barkana (2020)), and the possibility of sinusoidal
systematic (Bevins et al. (2021)) try to explain
this feature. Interestingly, the latest result fromSARAS3 shows that the EDGES result is not evidence for new astrophysics or a non-standard cosmology approach (Singh et al. (2022)).
The first implication of the upper limit in Figure5 is the disapproval of the no-heating model by
HERA’s upper limit (Shimabukuro et al. (2022)).
We can see the declining trend on the model while
the data show the opposite. It means that the Xray luminosity needs to be higher than the local
source to increase the IGM temperature. Furthermore, the second implication is the cosmic dawn
constrains (12 < z < 23) given by MWA observation (Ewall-Wice, et al. (2016); Yoshiura, et al.

158

2022 年度第 52 回天文·天体物理若手夏の学校

Bradley, Richard F., Keith Tauscher,
Rapetti,
and
Jack
O.
Burns.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1810.09015

David
2019.

Chapman, Emma, Filipe B. Abdalla, J. Bobin, et al.
2013. https://doi.org/10.48550/arXiv.1209.4769
Chapman,Emma,
and Vibor Jelić.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1909.12369

2019.

Furlanetto, Steven R., S. P. Oh, and Frank H.
Briggs. 2006. https://doi.org/10.48550/arXiv.astroph/0608032

Figure 5: The updated upper limit of 21 cm
power spectrum detection with comparison between
Ivelin,Garrelt
Mellema,the data and models. This figure is made by Georgiev,
bit K. Giri,and Rajesh Mondal.
Shimabukuro et al. (2022) with reference to Liu
https://doi.org/10.1093/mnras/stac1230& Shaw (2020) and Barry et al. (2021).
(2021)). However, this data suffered from the RFI
and ionospheric refraction. Therefore, the final result still shows five orders of magnitude larger thanthe desired signal.

5

Liu,
Adrian,
and
J.
R.
Shaw.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1907.08211

Sam2022.
2020.

Matteo,TizianaD.,
Rosalba
Perna,Tom Abel,and Martin J. Rees. 2002.
https://doi.org/10.48550/arXiv.astro-ph/0109241
Mertens, F. G., A. Ghosh, and L. V. E. Koopmans.
2018. https://doi.org/10.48550/arXiv.1711.10834

Conclusion

The global signal and power spectrum of the 21
cm line generated from the hyperfine structure becomes a tool to understand astrophysical and cosmological evolution mechanisms from the dark age
until the EoR. However, the current observation effort still could not detect the signal directly. The
reasons are the weak 21 cm signal and strong foreground contaminant, four times higher than the desired signal. Fortunately, current efforts lead toward a good direction, such as the development of
low-frequency arrays (ex. LOFAR and MWA), theimprovement of foreground removal methods (ex.
GPR and GMCA), and the development of power
spectrum and global signal models as comparisons(ex. 21cmFAST).

Mesinger, Andrei, Furlanetto Steven, and Renyue
Cen.
2011.
https://doi.org/10.1111/j.13652966.2010.17731.x
Morales, Miguel F., and Jacqueline Hewitt. 2004.
https://doi.org/10.48550/arXiv.astro-ph/0312437
Paciga, Gregory, Joshua G. Albert, Kevin Bandura, etal. 2013. https://doi.org/10.48550/arXiv.1301.5906
Pritchard, Jonathatn R., and Abraham Loeb. 2012.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1109.6012
Reis, Itamar, Anastasia Fialkov, and Rennan Barkana.
2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2008.04315
Shimabukuro, Hayato, Kenji Hasegawa, Akira Kuchinomachi, Hidenobu Yajima, and Shintaro Yoshiura.
2022. https://doi.org/10.1093/pasj/psac042
Shimabukuro, Hayato, Shintaro Yoshiura, Keitaro
Takahashi, Shuichiro Yokoyama, and Kiyomoto
Ichiki. 2015. https://doi.org/10.1093/mnras/stv965

Reference
Barry, Nichole, Gianni Bernardi, Bradley Greig,
Nicholas Kern, and Florent Martens. 2021.
https://doi.org/10.48550/arXiv.2110.06173
Bevins, H. T. J., W. J. Handley, A. Fialkov,
E. d. Acedo, and L. J. Greenhill. 2021.
https://doi.org/10.48550/arXiv.2007.14970
Bowman, Judd D., Alan E. Rogers, Raul A. Monsalve,
Thomas J. Mozdzen, and Nivedita Mahesh. 2018.
https://doi.org/10.1038/nature25792

Singh, Saurabh, Jishnu N. T., Ravi Subrahmanyan, etal. 2022. https://doi.org/10.48550/arXiv.2112.06778
Wayth, Randall B., Steven J. Tingay, Cathryn M. Trott,et al. 2018. https://doi.org/10.1017/pasa.2018.37
Ewall-Wice, A., Joshua S. Dillon, J. N. Hewitt, et al.
2016. https://doi.org/10.1093/mnras/stw1022
Yoshiura,
Shintaro,
HayatoShimabukuro,
Kenji Hasegawa,
Keitaro Takahashi. 2021.
https://doi.org/10.1093/mnras/stab1718

159

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重宇 a35

三次元二点相関を用いた測光観測による BAO の測定
名古屋大学大学院 理学研究科
石川 慶太朗160

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

三次元二点相関を用いた測光観測による BAO の測定
石川 慶太朗 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
銀河観測の手法は大きく分けて, 分光観測と測光観測がある. 分光観測は銀河までの正確な赤方偏移は分かるが明るい銀河しか観測できない. 一方, 測光観測は暗い銀河もまとめて撮像できるというメリットがあり,
サンプル数を十分確保出来るので統計的精度も期待できる. しかし測光観測は銀河までの赤方偏移推定の不定性が大きい. そのため, これまでの測光観測による銀河のクラスタリング解析では視線方向の情報に依らない統計量を用いて解析が行われてきた.
銀河分布の二点統計量には, 銀河間距離約 100 Mpc/h で特徴的な相関の増大が確認できる. これは宇宙年齢
約 38 万年頃にバリオンと光子が脱結合するまでの音響振動 (BAO) の痕跡である. BAO ピークの位置は共同座標系において時間進化しないため, この BAO スケールは線形理論で精密に予測可能な量であり, 宇宙の標準ものさしとして宇宙論検証に用いることができる.
本研究では, 三次元の情報を保持したまま測光観測による BAO の測定を目指す. そのために, 銀河の三次元分布に対する二点相関のモデルに測光的赤方偏移の不定性の効果を取り入れた. このモデルの正当性を確かめるために, 1 Gpc 立方の銀河の模擬観測データを作成して測光観測を再現し, BAO スケールを見積もった.
そして仮定した宇宙論からのズレを測定することで, 実観測データで許容できる測光赤方偏移不定性の大きさを示す.
本研究の結果, HSC などの現行の測光観測で到達可能な赤方偏移 z ∼ 1 では測光的赤方偏移不定性が 1 %までなら許容できる可能性を示した. また, 本講演では将来の測光観測で期待される赤方偏移不定性の大きさとも照らし合わせて議論する.

1

導入・概要

1.1

分光観測と測光観測

1.2

バリオン音響振動 (BAO)

高温・高密度状態にあった宇宙初期では, 陽子などのバリオン成分と光子が自由電子を介して相互作用

銀河観測の手法には, 分光観測と測光観測がある.

し, 混合流体として運動していた. 先に成長していた

分光観測は銀河までの正確な赤方偏移は分かるが明ダークマターの重力ポテンシャル内で混合流体が波るい銀河しか観測できない. 一方, 測光観測は暗い銀として振動し, 音速で伝播するこの事象をバリオン音

河もまとめて撮像できるというメリットがあり, 数

響振動 (Baryon Acoustic Oscillation) という.

密度を十分確保出来るので統計的精度も期待できる.

宇宙年齢約 38 万年ごろ, 光子の脱結合, または宇しかし測光観測は銀河までの赤方偏移推定の不定性

宙の晴れ上がりという出来事が起きる. これは宇宙が大きい. これを表にすると表 1 になる. そのため,膨張により温度が低下し, 陽子が自由電子と結合して中性化したことで, バリオンと光子の相互作用が終了

表 1: 分光観測 (spectroscopic survey) としたためである.

測光観測 (photometric survey) の違い

これにより光子と衝突するものはほぼいなくなり,
現在光子は宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) として

視野

数密度

赤方偏移精度

分光

△

×

○

混合流体の波の位相は固定されるため, 脱結合時まで

測光

○

○

△

に音波が進んだ場所でも構造形成が進む. そのため,観測されている. また, この時まで音響振動していたバリオンの情報は現在の銀河分布の二点統計量に表れる.
図 1 は横軸が銀河中心からの距離, 縦軸がある銀河

これまでの測光観測による銀河のクラスタリング解
析では視線方向の情報に依らない統計量を用いて解との相関を表す. この図が表すように, 銀河間距離約析が行われてきた.

100 Mpc/h で特徴的な相関の増大 (BAO ピーク) が161

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
確認できる. BAO ピークの位置は共動座標系におい

2

理論

2.1

テンプレートモデルて時間進化しないため, この BAO スケールは線形理論で精密に予測可能な量であり, 宇宙の標準ものさしとして宇宙論検証に用いることができる.

今回, 三次元二点相関関数 ξ(r) は式 (2) を用いた.
パワースペクトル P (k) は1.3

三次元二点相関関数

Pm (k) = [Plin (k) − Pnw (k)] exp(−k 2 Σ2nl /2) + Pnw (k)ある空間 x での密度場を ρ(x), 平均密度場を ρ̄ とすると, 密度ゆらぎ δ(x) = ρ(x)/ρ̄ − 1 は空間の各点ごとに値を持つ場の量であるから, その場の値が各点でどのように関係し合っているかを特徴付けられる.
空間のある 2 点 x1 , x2 における密度ゆらぎの積を考え, それを 2 点間の距離 x12 = |x1 − x2 | で固定してアンサンブル平均したものξ(x12 ) = ⟨δ(x1 )δ(x2 )⟩(3)で表す (Eisenstein et al. 2007b). ここで, Plin (k) は線
形マターパワースペクトルで, CLASS1 (Lesgourgues& Tram 2011) を用いて計算している. Pnw (k) はバ
リオンなしのマターパワースペクトルのフィッティ
ング関数 (Eisenstein & Hu 1998) である. D(z) を線形成長因子とすると, Σnl (z) = Σa D(z)/D(0) は減衰(1)パラメータ (damping parameter) といい, 式 (3) の第一項で wiggle の減衰項, つまり BAO ピークが非を二点相関関数と呼ぶ.

線形効果でなまる様子を表している.

実空間の密度ゆらぎから直接定義される統計量である相関関数 ξ(x) に対して, 密度ゆらぎを一旦フーリエ空間に変換してから定義されるものがパワース

2.2

ペクトル P (k) である. これら 2 つは互いに 3 次元(逆) フーリエ変換の関係にあり,∫
d3 k ik·x
ξm (x) =e
P (|k|)(2π)3∫ 2
k dk sin(kx)
=
P (k)
2π 2
kx
と表せる. この理論曲線が図 1 である.

測光赤方偏移不定性効果を組み込んだテンプレートモデル

後述するように, 今回用いるシミュレーションデー
タで測光観測を再現する際には, 測光赤方偏移不定性 (以下, photo-z error) の分布を Gaussian で仮定す

(2)

る. そのため, 2.1 章のモデルにも測光赤方偏移不定性の効果を入れられると考えた. 銀河中心から半径r 離れた位置にある銀河が視線方向に標準偏差 σ のGaussian でゆらいでいるとした時, 視線方向に 4σ ×2の範囲で積分すれば十分畳み込める. これを角度方向で積分すれば,

∫ 1
conv
ξm
(r) =

dµξ int (r, µ),∫ rµ+4(√2σ)ξ

int(r, µ) =

(4)

−1

√
rµ−4( 2σ)drπ G(rπ ,√√2σ)ξm (

2)
rπ2 + r⊥

(5)
と表せる.

µ = cos θ は視線方向からの角度を θとした時の余弦で, rπ = rµ は視線方向の距離,√r⊥ = r 1 − µ2 は視線に垂直方向の距離を表す.
√√
G(rπ , 2σ) は中心 rπ , 標準偏差 2σ の規格化された Gaussian 分布であり, 模式図として表したものが
図 2 である.
図 1: ξ(r) の理論曲線

1 https://lesgourg.github.io/class_public/class.
html

162

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
Distribution2 を設定して (Ishikawa S. et al. 2021) 作成した. 使用する mock の赤方偏移は z=0.251, 0.617,

1.03 である. (1 Gpc/h)3 の mock に対し, 例えば
z=0.251 での銀河個数は 1.1 × 106 個である. 独立な宇宙 (realization) が 112 個あるとして, 実空間で計算し統計処理 (Abbott, T. M. C. et al. 2022) を行う.
前述したように, 測光赤方偏移不定性の分布はGaussian を仮定してこの mock に入れる. x(z) を
図 2: photo-z 効果を入れたテンプレートモデルの模式図

共動距離として, 今回は全銀河に対し視線方向に0.01 × x(z) × (1 + z) の定数倍の標準偏差を入れた.
つまり, 例えば z=0.251 における photo-z error 3%を入れた mock とは, 視線方向に 0.03 × x(0.251) ×

2.3(1 + 0.251) = 27.4 Mpc/h の標準偏差の Gaussian が入った mock を指す.

フィッティングモデル

2.2 章のモデルを用いてデータに適した曲線を得使用する 3 つの赤方偏移に対して, それぞれ photo-

るため, 最小二乗法でフィッティングを行う. そのz error を 1%, 2%, 3%, 5%と入れた mock のクラス

フィッティング関数はタリングが spec-z mock(photo-z error を入れていなξ ﬁt (r) = B 2 ξm (αr) + A(r)い元の mock) に対してどのように変化し, BAO ス(6)

ケールの測定に影響するのかを見る.

とおいた (Padmanabhan et al. 2012). フィッティン
グパラメータはそれぞれ,

a1
a2
A(r) = 2 ++ a3 ,rrlobs[DA (z)/rs ]obs
α==lﬁd[DA (z)/rs ]ﬁd

4
(7)
(8)

結果
z=0.251 の mock に対する photo-z error 依存性とフィッティング結果が図 3 である. ただし見やすさのため, y 軸方向に対して適当に調整している. データと減衰パラメータのうちの Σa で, 振幅の B と式 (7)点は各 realization で計算した ξ(r) の平均で, エラーの A(r) は相関関数の概形を捉えるための nuisance

バーはこの ξ(r) の平均のずれ (標準誤差) であること

パラメータである. DA (z) と rs はそれぞれ, 角径距に注意.
同様に z=0.617, 1.03 でもフィッティングを行い,離と脱結合時の音響ホライズンスケールを表し, これ

フィッティングパラメータ α の結果を photo-z error

らを構成する l は角波数である.
式 (8) の α は BAO ピークを捉えるためのパラメー別にまとめたものが図 4 である. エラーは標準偏差タである (Seo et al. 2012). この式が表すように, 仮を 2σ の範囲でつけている. ここから分かるように,定した宇宙論に対する BAO の角度方向の位置を決

z=1.03 では photo-z error 1%までであれば他の赤方める. つまり, 仮定した宇宙論と一致する結果が得ら

偏移の α の不定性とほぼ同等であるが, photo-z error

れれば α = 1.0 になる.

5%ではエラーが ∼10%とかなり大きい.

3

シミュレーションデータ

5議論

z=0.251, 0.617 では測光赤方偏移不定性を変えてめ, 今回は銀河の 3 次元分布のシミュレーションデー も α のエラーにあまり影響がなかったが, z=1.03 でタ (mock) を用いて解析を行なった. これは, 実デー は特に photo-z error 5%で大きなエラーが出た. こ
2.2 章で再構成したモデルの正当性を確かめるた

タに付随する正体不明の系統誤差を取り除いた, ある

れは測光赤方偏移不定性の標準偏差が BAO スケール

種理想的な状況を再現できるという側面も持つ.

を超えていること (photo-z error 5%で ∼250 Mpc/h

今回使用する mock は (Nishimichi T. et al. 2019)のゆらぎ), 銀河のサンプル数が他の赤方偏移と比較をもとに銀河のダークマターハローの情報から, 銀河の質量の下限を 1011 M⊙ になるよう halo Occupation

2 ダークマターハローの中に銀河がどのように分布しているかを表す (Sunayama T. et al. 2020).

163

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校改善する可能性はある.

6

結論解析するモデルに photo-z 効果を入れてフィッティ

ングすると, BAO ピークの位置を捉える α パラメー
タのフィッティング結果は mock 作成時に使用した宇宙論を仮定したときの値から大きくずれないことを示した. これは, 分光観測で得られる宇宙論から大きく間違えないことを示す.
さらに, 各赤方偏移の photo-z error 依存性による

BAO スケールの測定を行なった結果, 測光赤方偏移
不定性が BAO スケールの約 50%までのゆらぎであれ
図 3: z=0.251 における photo-z error 依存性とフィッ

ば, BAO を捉えるパラメータである α が 2σ で ∼4%の error の範囲に収められることがわかった.

ティング結果謝辞
本発表を行うにあたり, 研究室の皆様には様々な面で助けていただきました. 特に, 岐阜聖徳学院大学の西澤淳准教授, 名古屋大学の砂山朋美研究員には研究の方針も含め, 毎週議論や相談に乗っていただきました. また, 博士課程の村上広椰さん, 修士課程の中沢准昭さん, 中島光一朗さん, 尹聖煥さんをはじめとした研究室の皆さんには, 論文の精読や研究発表などを通して自分の研究の理解を深めるきっかけを多くいただきました. 不完全な理解に留まりがちな私に対して根気よく指導していただいたこと, 誠に感謝申し上げます.
図 4: 各赤方偏移における photo-z error 別の α のフィッティング結果

Reference
して少ないため, 統計精度が十分でないことが原因だと考えられる.
次世代測光観測サーベイである Legacy Survey of

Seo et al., ApJ, 761, Issue 1, id. 13, 16 pp., 2012
Abbott, T. M. C. et al. (DES Y3), Phys. Rev. D, 105,
2022

Space and Time (LSST)3 の 1 年目の目標は photo-z

Sunayama T. et al., MNRAS, 496, 4, 4468-4487, 2020

error 0.1(1+z) を超えないこととしており, サーベ
イ計画最後の 10 年目では photo-z error 0.03(1+z)

D. J. Eisenstein and W. Hu, ApJ. 496, 605, 1998

を超えないことを要求している. 4 章の結果から,

z=0.617 までなら三次元二点相関関数でもこの要求をクリアしていることがわかる. z=1.03 で測光観測
データのみに対して三次元二点相関関数を用いた解析をするのは厳しいかもしれないが, 分光観測とのcross correlation を取ることでシグナル・ノイズ比がPadmanabhan et al., MNRAS, 427, 3, 2132-2145., 2012
Eisenstein D. J., Seo H.-J., White M., ApJ, 664, 660,
2007b
Julien Lesgourgues and Thomas Tram, JCAP, 09, 032,
2011
Nishimichi T. et al. 2019, ApJ, 884, 29
Ishikawa S. et al., ApJ., 922, 1, 23, 13, 2021

3 https://www.lsst.org

164

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重宇 a36曲率を持つ宇宙のパワースペクトルの計算法の開発
東京大学大学院 理学系研究科
寺澤 凌

165

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

曲率を持つ宇宙のパワースペクトルの計算法の開発
寺澤 凌 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
サーベイ領域を超える長い波長の密度揺らぎは、重力の非線形性に起因するモードカップリングによって短い波長の揺らぎに影響を与える。この影響はパワースペクトルの超長波長揺らぎへの応答で特徴づけられ、応答を用いることで超長波長揺らぎの効果も含めたサーベイ領域のパワースペクトルを計算することができる。
超長波長揺らぎが構造形成に与える影響は曲率と等価であるため、曲率を持つ宇宙のパワースペクトルも同様に応答を用いて記述できる。物質パワースペクトルの超長波長揺らぎへの応答は現在の宇宙膨張の速度を表すハッブルパラメータへの応答と等価である [Li et al. 2014b; Terasawa et al. 2022]。本研究ではこのことを用いて、超長波長揺らぎへの応答をハッブルパラメータへの応答で置き換えることで、曲率を持つ宇宙の物
質パワースペクトルを平坦な宇宙の物質パワースペクトルのみを用いて計算する手法を開発した [Terasawa

et al. 2022]。現在はハロー・物質パワースペクトル、ハローパワースペクトルについても超長波長揺らぎへの応答とハッブルパラメータへの応答が一致するかどうかを調べており、同様の手法で曲率を持つ宇宙のハ
ロー・物質、ハローパワースペクトルの計算法の開発に取り組んでいる。本発表では、パワースペクトルの応答を用いた曲率を持つ宇宙のパワースペクトルの計算手法を提案し、我々が行った N 体シミュレーションの結果を用いてその精度について議論する。また、パワースペクトルの超長波長揺らぎへの応答とハッブル
パラメータへの応答が一致する理由についても理論的に考察する。

1な宇宙を仮定している。

Introduction
一様等方宇宙の幾何学的性質は空間曲率で特徴づけられる。正の曲率は有限体積の閉じた宇宙に対応
し、曲率 0 と負の曲率はそれぞれ平坦な宇宙、開いた宇宙に対応する。宇宙の始まりのインフレーショ
ンはほぼ平坦な宇宙を予言するが、わずかな曲率は

本発表では、Separate universe の考え方を用いて、平坦な宇宙の物質パワースペクトルの精密な理論予言を曲率がある場合に拡張する方法を紹介する。以下では ΛCDM モデルを仮定し、この手法を提案した論文 [Terasawa et al. 2022] に沿う形で説明する。

存在し得る。非零の曲率を検出できればインフレー
ションについて大きな知見を得ることができる。例
えば、弦理論は負の曲率を導くインフレーションを予言するため、正の曲率が測定されれば、理論に大2

Methods

2.1

Preliminary

きな問題を投げかける。しかし、多くの観測で曲率の値は厳しく制限されており (|ΩK | ≲ 0.1)、平坦な宇宙と consistent であることから、曲率を持つ宇宙の非線形パワースペクトルのモデルはあまり調べられていないのが現状である。パワースペクトルの理論予言として、多数の N 体シミュレーションデータ

平坦な宇宙のパワースペクトルの精密なモデルがあること、許される曲率の大きさが小さいこと (|ΩK | ≲0.1) を考えると、曲率を持つ宇宙のパワースペクト
ルは以下のように平坦な宇宙の周りの ΩK の Taylor
展開で書けると予測される：を機械学習の手法を用いて宇宙論パラメタ空間上で補間したエミュレータと呼ばれるモデルが近年開発されており、∼ 1% の精度でシミュレーションを再現するようなものも出てきているが、いずれも平坦

166

P (k, z; ΩK ) ≈ P (k, z)|ΩK =0 +∂PΩK (1)∂ΩK ΩK =0

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
しかし、ΛCDM モデルの多次元パラメタ空間におい

ここで、曲率 (または超長波長揺らぎ) は初期宇宙て、どのパラメタを固定して ΩK に対する微分をとで影響が無視できるため、以下の初期パワースペク

るかは自明ではなく、様々な取り方が可能である。以

トル P0 (k) を定めるパラメタは変化しない。

下では、Separate universe の考え方を用いて曲率を持つ宇宙と平坦な宇宙の間の対応を与える。

2.2{ωc , ωb , As , ns }Separate universe (SU) approach(8)

このように、超長波長揺らぎの効果は背景宇宙のパ
ラメタの変化として吸収できる。この Separate uni-

サーベイ領域またはシミュレーションボックスよverse のパラメタマッピングを用いると、δb を介してり十分長波長の揺らぎを、領域内で一様等方と近似曲率を持つ宇宙と平坦な宇宙を対応させることがですると、背景宇宙の密度が定数分変化したとみなせきる。つまり、曲率 ΩK を持つ宇宙を平坦な Global

る。つまり、宇宙全体 (Global 宇宙) の平均密度をK
宇宙の中で δb (t) = −Df (t) 3Ω
5Ωm の大きさの超長波長ρ̄mf とすると、等方的な超長波長揺らぎ δb が乗って 揺らぎを持つ Local 宇宙とみなすことで、曲率を持いる Local な領域の平均密度 ρ̄m は、つ宇宙のパワースペクトルを平坦な宇宙の周りでのδb の Taylor 展開で近似することができる：
ρ̄m (t) = ρ̄mf (t)[1 + δb (t)](2)

と書ける。以下、Global 宇宙は平坦と仮定し、そP̃ (k, z; ΩK ) ≃ Pf (k, zf ; δb )のパラメタを下添字 f 付の量で表す。物理的な質量≃ Pf (k, zf )|δb =0 +は ρ̄m a3 = ρ̄mf a3f と表せるため、この平均密度の変"化は膨張速度の違いとして現れる：

a(t) = af (t) (1 + δb (t))= Pf (k, zf )|δb =0−1/3

1 + z = (1 + zf ) [1 + δb (zf )]∂Pf (k, zf ; δb )
δb
∂δb
δb =0

#
∂ ln Pf (k, zf ; δb )
1+
δb .
∂δb
δb =0
(9)

,

1/3

パワースペクトルの(3)∂ ln Pf (k,zf ;δb )
∂δb

δb =0

δb

への

response

は 、δb に 対 応 す る eﬀective

つまり、平均密度が高い (低い) 宇宙ほど、膨張がcosmology でシミュレーションを行うことで精密に遅く (速く) なる。同様に、ハッブルパラメータや密計算できる (Separate universe (SU) simulation)。

度パラメータも変更を受ける。hf ≡ h(1 + δh ) とす

PfL (k) ∝ (Df )2 P0 (k, zi ) より、δb の効果は線形領

ると、Global 宇宙と Local 宇宙のパラメタには以下

域では Growth factor Df の変化を通してのみパワーのような対応がある。

スペクトルに現れる。k → 0 limit で Tδb → 1 とな
るような normalized response Tδb :Ωmf = Ωm (1 + δh )−2 ,(4)ΩΛf = ΩΛ (1 + δh )−2 ,(5)δh = (1 − ΩK )1/2 − 1.

∂ ln Df (zf )Tδb (k, zf ) ≡ 2
∂δb

−1

∂ ln Pf (k, zf ; δb )
∂δb
δb =0
(10)

(6)
を用いて、式 (9) は、

特に、宇宙全体が平坦でも長波長揺らぎ δb のある

Local な宇宙は δb の大きさに対応する曲率を持つ。
δb (t)
3ΩK=−
Df (t)
5Ωm

(7)

167




26
P̃ (k, z; ΩK ) ≃ Pf (k, zf ) 1 + Tδb (k, zf )δb (zf ) ,21(11)と書き直せる。

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.3

さらに、k → 0 limit で P (k, z; ΩK ) を exact に再現

h response

式 (8) を固定した時、パワースペクトルの値を決めするように書き直すと、を通してのみパワースペクトルに現れるため、これ


2
D(z)
P̃ (k, z; ΩK ) ≃ Pf (k, zf )Df (zf )26{Th (k, zf ) − 1} δb(zf ) .
× 1+
21
(17)

らを変化させることで (少なくとも線形領域では)δb

この式が我々が提案する曲率を持つ宇宙のパワースの効果を mimic できる。本研究では {ΩK , h, a} のペクトルの estimator である。

るパラメタとして {ΩK , h, a} を変える自由度が残っている。SU approach では、δb の値によってこの3 つのパラメタが一意に定まっていた。線形領域ではこれらのパラメタの変化は Growth factor の変化

うち、h のみを変化させた宇宙論 (h-ΛCDM) を考える。h-ΛCDM のパラメタを ′ 付で表すと、

h′ = hf + δh,
 2
hf
′
Ωm = Ωmf
,
h′

(12)

3

Results

3.1

Power spectrum responses

まず、パワースペクトルの応答を測るために、(13)Ω′Λ = 1 − Ω′m = 1 − Ωmf



hf
h′

Planck 宇宙論 (ﬂat) の周りで δb = ±0.01 の SU

2
(14)

simulation と δh = ±0.02 の h-ΛCDM simualtion を行った。

となる。δb response と同様に、k → 0 limit で 1 となるような normalized response Th を定義できる：

Th (k, zf ) ≡ 2∂ ln Df (zf )
∂hf

−1

∂ ln Pf (k, zf ). (15)∂hf

結果の章で示すように、Th (k, zf ) と Tδb (k, zf ) は
線形領域のみならず広い範囲の k でよく一致することがわかった。つまり、Tδb (k, zf ) ≈ Th (k, zf ) である。

normalized growth response



1.6
1.4
1.2

Tδb (k)Th(k)z f = 1.476

1.0
0.8
0.6

2.4

Summary: Estimator of P (k) for
non-ﬂat ΛCDM model

10−2

10−1
k [h f Mpc−1]

100

h response の計算には平坦な宇宙のパワースペクト 図 1: k → 0 limit で規格化したパワースペクトルのルがあれば良いため、式 (9) の Tδb (k, zf ) を Th (k, zf )δb , h に対する応答 [Terasawa et al. 2022]。

で代替することで、平坦な宇宙のパワースペクトル
図 1 はシミュレーションから測った normalized re-のみを用いて曲率を持つ宇宙のパワースペクトルを

sponse である。線形領域だけでなく high k まで re-

記述することができる：

P̃ (k, z; ΩK ) ≃ Pf (k, zf ) 1 +

sponse が一致することが確かめられた。

26
Th (k, zf )δb (zf ) .
21
(16)

168

sim/model

k1.4P(k; ΩK )[h−1.6Mpc1.6]

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

460

δb response と h response の一致 (Tδb (k, zf ) ≈40

Th (k, zf )) については、非線形パワースペクトルが20

線形パワースペクトルの汎関数であれば成り立つこΩK = 0.100
z = 1.405, z f = 1.476

0
1.05

non-flat (N-body)flat (N-body)とが示せる。例えば摂動論はこのようなモデルになっているため、摂動論が破綻しない弱非線形領域まで
は response の一致は説明できる。しかし、強非線形

1.00

領域では線形パワースペクトルの汎関数であるとい

0.95
10−2

10−1

う ansatz は一般には成り立たない。future work と

100−1

k [hMpc ]sim/model k1.1P(k; ΩK )[h−1.9Mpc1.9]

Discussion

して、強非線形領域まで response が一致する理由を600

明らかにしたいと考えている。

400
200ΩK = 0.100
z = −0.059, z f = 0.000

0
1.05

5

P̃(k)
Halofit
HMcodeRESPRESSO

Conclusion
平坦な宇宙のパワースペクトルの精密なモデルがあれば、Separate universe のパラメタマッピングを用いてそれを曲率を持つ宇宙に良い精度を保ったま

1.00

ま拡張できることを示した。この手法を弱重力レン

0.95
10−2

10−1
k [hMpc−1]

ズの解析などに用いることで、CMB や BAO、超新100星などの距離指標を用いた制限とは独立に、大規模構造の成長の情報からも曲率に制限を加えることが

図 2: ΩK = +0.1 の宇宙のパワースペクトル [Tera-

できると期待される。

sawa et al. 2022]。

3.2

Accuracy of the approximation Acknowledgementof P (k) for non-ﬂat ΛCDM
本研究で用いた N 体シミュレーション等の計算の続いて、ΩK = +0.1 のシミュレーションを行い、 多くで国立天文台の計算機 XC-50 を使わせていただ
パワースペクトルの estimator(式 17) の精度を検証 きました。
した。
図 2 は ΩK = +0.1 の宇宙のパワースペクトルについて、シミュレーションから測ったもの (non-ﬂat

Reference(N-body)) と estimator P̃ (k) (式 17) を比較したもY. Li, W. Hu, & M. Takada, 2014, Phys. Rev. D,のである。estimator P̃ (k) (式 17) は ∼ 1% の精度で90, 103530,

シミュレーションの結果を再現している。また、その他のモデル (Haloﬁt, HMcode, RESPRESSO) よ

R. Terasawa, R. Takahashi, T. Nishimichi & M.
Takada, 2022, arXiv:2205.10339

りも良い精度が出ている。

169

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重宇 a37

講演キャンセル170

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重宇 a38

パリティ対称性の破れによる CMB の偏光面回転早稲田大学大学院 先進理工学研究科
中須 崇文

171

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

パリティ対称性の破れによる CMB の偏光面回転
中須崇文 (早稲田大学大学院 先進理工学研究科)

Abstract
2020 年，南雄人，小松英一郎両氏による Planck2018 の観測データの解析により，宇宙マイクロ背景放射(CMB) の E モードと B モードの相関が発見された [1]。これは，宇宙全体でパリティ対称性が破れており，
CMB が最終散乱面において放出されてから我々観測者に到達するまでの間に何らかの物質と相互作用し偏光面が回転していることを示唆している。本発表では，このパリティ対称性の破れの原因を明らかにすると共に観測手法や CMB 偏光の原理を説明する。

1

光面の回転角 β と場の動きの間の関係を導くことがIntroduction
宇宙マイクロ背景放射 (CMB) とは天球上の全方向から観測され，宇宙の温度が下がり光子が直進ででき，Axion Like Particle の場の形を仮定すること
で Axion Like Particle の質量 m と結合定数 g の制限をつけることができる。

きるようになった「宇宙の晴れ上がり」と呼ばれる時期に最終散乱面から放出された電磁波である。最終散乱面においてトムソン散乱した光は直線偏光を持つ。トムソン散乱する際の電子から見た光子の四

2

CMB の偏光を議論する為にまずストークスパラ

重極異方性により CMB の偏光は直線偏光となる。
宇宙マイクロ波背景放射はその偏光方向によって二Methods/Instruments

メータを導入する。一般に電磁波は種類，パリティ不変の E モードとパリティ変換に対しE = E0 exp(−i(ωt − δ))て符号が逆転する B モードに分解することができる。

(1)

E モードと B モードの角度パワースペクトル C EB はと表すことができる。電磁波の x 軸方向の振幅を E0x ，

パリティ変換によって符号を変えるため，宇宙全体

y 軸方向の振幅を E0y とし，ストークスパラメータを次のように定義する。

でパリティ対称性が成立していれば C EB = −C EB
つまり C EB = 0 となる筈である。しかし，2020 年

Iの南雄人，小松英一郎両氏の論文 [2] によって 0 でな

=

⟨
⟨

2
2
E0x
+ E0y
2
2
E0x
− E0y

⟩
⟩

(2)

い C EB が発見され，宇宙全体で何らかの原因により

Q =宇宙全体でパリティ対称性が破れているという事実U= 2 ⟨E0x E0y cos (δx − δy )⟩(4)V= 2 ⟨E0x E0y sin (δx − δy )⟩(5)が示唆された。
このパリティ対称性の破れの原因と考えられているのが Axion Like Particle(ALP) で，この物質は光(3)

I は電磁波の強度，Q は x 軸に対して垂直もしくは子と相互作用しその偏光面を回転させる性質がある。 平行方向の偏光の成分，U は x 軸に対して斜め 45 度
この性質を宇宙複屈折という。この物質が宇宙に充の偏光成分，V は楕円偏光を表すパラメータである。

満していることにより CMB が最終散乱面から我々 今回は楕円偏光は考えない。このストークスパラメー
観測者まで伝播する間に偏光面が回転し 0 ではないCEBが観測された。

タは観測者が任意の座標系で定義するパラメータである為，観測者によらず回転変換に対して不変であ光子と ALP は相互作用ラグランジアン Lint =1− 4 gϕFµν F̃ µν で相互作用する。g は結合定数，ϕ はるように Q と U を組み合わせて構築したものが E

モード偏光と B モード偏光である。ストークスパラ
ALP の場，F は電磁場テンソルである。ここから偏 メータ Q + iU をスピン 2 の球面調和関数 s Ylm で172

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校
展開した時の E モードと B モードの展開係数をそれのようになる。この関係式に Planck 衛星プロジェ

ぞれ Elm , Blm と書き，これを用いて角度パワース

クトが 2018 年に公開したデータを適用すると β =ペクトルを

0.35 ± 0.14deg(68% C.L.) という結果が得られた。

⟨Xlm Yl∗′ m′ ⟩ = δll′ δmm′ ClXY

(6)のように定義する。X, Y にはそれぞれ E, B のいず

4

れかが入り，角括弧はアンサンブル平均を表す。この角度パワースペクトルが観測量となる。

Discussion
光子と Axion Like Particle(ALP) はラグランジアンにおいて Chern-Simons 項で相互作用する。具体的な光子-ALP のラグランジアンは次のようである。

3

Observations

L=

宇宙マイクロ波背景放射と Axion Like Particle の相互作用による偏光面の回転を評価する為に EB 相
関の角度パワースペクトル C EB を用いる。C EB は
パリティ変換によって符号が逆転する為，宇宙全体る。相互作用項

1
Lint = − gϕγ ϕFµν F̃ µν
4ずである。つまり，0 でない C EB を観測することに最終散乱面から放出された CMB の直線偏光は宇宙複屈折により我々観測者に届くまでに角度 β 回転さ

o
Blm

(
=

)(
)
cos(2β) − sin(2β)
Elmsin(2β)cos(2β)Blm

電磁場の運動方程式( 2)⃗ = gϕγ (∂τ ϕ) ∇ × A⃗∂τ − ∇2 A

うになる。

(
)
g dϕ
2
ωL/R
= k2 1 ∓k dτら観測した EB 相関の角度パワースペクトルを求めると次のようになる。

)
sin(4β) ( EE,t
Cl
− ClBB,t2
肩に付いている”t” は理論値を表す。

(12)を得る。ベクトルポテンシャルを右巻き成分と左巻(7) き成分に分解した時のそれぞれの分散関係は次のよ

肩に付いている”o” は観測量を表している。ここかClEB,o =(11)

を Ai で変分を取ると，A0 = 0 のゲージ条件の下でれる。この時 E モードと B モードは次のように混ざ
り合う。
(
)
o
Elm

(10)

ここで Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ は電磁場テンソルであでパリティ対称性が成立していれば値は 0 になるはより宇宙複屈折の証拠を見出そうということである。

11− ∂µ ϕ∂ µ ϕ − Fµν F µν
241
− gϕγ ϕFµν F̃ µν − V (ϕ)
4

(8)

(13)

これにより，右巻き偏光と左巻き偏光の分散関係が異なっていることが分かる。つまり直線偏光している CMB は ALP の場と相互作用することで最終散

実際には観測器そのものの傾き α の影響を考える

乱面から我々の元へ届くまでにその偏光面が回転す必要がある。この影響を取り除く為に天の川銀河かる。具体的な回転角度は式 (13) を最終散乱面 (Last

らの光を利用する方法が考案された [3]。天の川銀河

Scatter Surface:LSS) から現在まで積分することによから来る光は CMB と比べて極めて伝播距離が短く， り求めることができる。
∫ τ0
宇宙複屈折の影響を無視できる。つまり天の川銀河δω(τ )dτβ =からの光によって検出器の角度 α を決定することができ，CMB で測定した α + β の縮退を解くことができる。その関係を式で表すと)
tan(4α) ( EE,oClEB,o =Cl− ClBB,o(9)2)
sin(4β) ( EE,t+
Cl
− ClBB,t
2 cos(4α)

(14)

τLSS

=

g
− (ϕ(τ0 ) − ϕ(τLSS ))2

ϕ の動きは場の運動方程式

173

ϕ̈(t) + 3H ϕ̇(t) +dV (ϕ) = 0dϕ(15)2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校によって決定されるので，ALP のポテンシャル V (ϕ)

であるハッブルテンションを緩和するという研究もを仮定することで具体的な計算をすることができる。 存在する。今までの研究では ALP が宇宙全体に一様

ALP にはさまざまなポテンシャルが考えられている に存在していることを仮定しており CMB の偏光面の回転角 β が等方的であると仮定しているが，近いが，今回は二乗型ポテンシャル

V =

1 2 2
m ϕ
2

(16)

未来観測技術の向上により ALP の非等方性が観測される可能性がある。今後の自分の研究としては，そを考える [4]。このポテンシャルを式 (15) の運動方程のような ALP の非等方性まで考慮した計算を進めて式に代入して計算，それを用いて積分 (14) を実行す

いきたいと考えている。

ると ALP の質量 m と ALP と光子の結合定数 g の間の関係を求めることができる。ALP のスカラー場

Reference
1. Y. Minami and E. Komatsu, Phys. Rev. Lett. 125(2020) no.22, 221301.
2. Yuto Minami and Eiichiro Komatsu, Phys. Rev.
Lett. 125, 221301, (2020)
3. Y. Minami, H. Ochi, K. Ichiki, N. Katayama, E.
Komatsu and T. Matsumura, PTEP 2019 (2019)
no.8, 083E02
4. Tomohiro Fujita, Kai Murai, Hiromasa Nakatsuka,
and Shinji Tsujikawa, Phys. Rev. D 103, 043509,(2021)

図 1: 質量 m と結合定数 g の関係 ([4] より)はダークエネルギーとして宇宙の加速膨張に寄与していると考えられており，緑のラインがダークエネ
ルギーの起源の全てが ALP だった場合の m − g の関係，青いラインが密度パラメータが Ωϕ = 10−6 の時の m と g の関係である。

5

Conclusion
観測された CMB 偏光の回転角から，その原因と考えられている ALP のポテンシャルを仮定して質量と結合定数の制限をつけた。今回は二乗型ポテンシャ
ルを考えたが，他にもさまざまな物理的背景を元にしたポテンシャルが考えられている。ポテンシャル
によっては，CMB の観測から得られたハッブル定数と近傍銀河の超新星の観測から得られたハッブル定数が異なるという，現在宇宙論における未解決問題

174

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重宇 a39

宇宙マイクロ波背景放射の複屈折の精密計算に向けて
東京大学大学院 理学系研究科
直川 史寛

175

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙マイクロ波背景放射の複屈折の精密計算に向けて
直川 史寛 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
近年、宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) に関する新たな現象の存在が、観測衛星プランクのデータから示唆されている (Minami & Komatsu (2020))。直線偏光した CMB 光子の偏向面が、我々に届くまでに回転しているというのである。
「宇宙複屈折」と呼ばれるこの現象はパリティ対称性を破り、新物理の存在をも示唆する。特に未知の素粒子であるアクシオンへのプローブとして期待が高まっている。
将来計画で予定される CMB 偏光観測の精度向上を鑑みると、宇宙複屈折の精密な理論予言が必要となる。
本研究では、重力レンズ効果を取り入れた、理論計算の精密化に挑戦している。重力レンズは特に小角度領域のデータに対して影響が強く、将来の地上観測の結果と理論予言を突き合わせる際に必要不可欠となる。

研究の背景と目的

1

向きが変化していることが示唆されたのである。これは「宇宙複屈折 (cosmic birefringence)」と呼ばれ

1.1

宇宙複屈折とはている（以下、単に複屈折と呼ぶ）。

宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) は宇宙初期の再結合期における最終散乱面から放射された宇宙最古の光である。よって宇宙初期の重要な情報を保持しており、1964 年のペンジアスとウィルソンによる発見以来、宇宙論の進展に非常に大きく寄与してきた。
例えば、全球での CMB 強度分布（いわゆる「温度揺らぎ」）は観測衛星 COBE による測定以降、続く

WMAP、プランクといった衛星が精度を向上させ、宇宙論パラメータの決定や精密宇宙論の開拓につながった。
宇宙論的な情報が刻印されるのは、温度揺らぎだ
けではない。CMB の光子は最終散乱面で直線偏光が生じるが、近年ではこの偏光の分布も重要な観測量となっている。CMB の偏光は WMAP やプランクによって既に観測されているが、より高精度な観測に向け、地上実験・衛星計画ともに次世代の観測プロ
ジェクトが世界中で進められている。
そんな中、Planck の偏光観測データの解析から非常に興味深い結果が報告された (Minami & Komatsu(2020))。これまでの解析では、CMB はその直線偏光の向きを保ったまま伝播しているとして、不確かさの範囲内で矛盾はなかった。しかし新たな解析では、CMB が最終散乱面から我々のところに届くまで

CMB の偏光面のわずかな回転を測定することは非常に難しい。観測装置由来の系統誤差の影響があるからである。Minami & Komatsu (2020) では、本来 CMB 観測で邪魔者となる天の川銀河からの前景
放射を参照光源とする巧妙な手法でこの問題を克服した。しかし、複屈折の存在を決定づけるためには、やはり装置の系統誤差を排除した上での直接的な検出が望まれ、現在進行中の将来計画に期待がかかる。
複屈折による偏光面の回転は、各 CMB 光子でバラバラに起こっているのではなく、全球で一様に同
じ向きに同じだけ回転が生じているという点で特に興味深い。複屈折はパリティ対称性を破っており、既存の物理で説明することは難しい。すなわち宇宙複屈折の存在は、標準模型を超えるような新物理の存在をも示唆している。
複屈折の起源となる新物理として、アクシオン場が注目されている。標準模型には存在しない未知の素粒子であるが、アクシオン場は光子との相互作用が可能である。また、その相互作用項はパリティ対称性を破っており、かつ複屈折のような一様な回転を説明可能だ。逆にこの関係性を利用すれば、複屈折の測定からアクシオンの素性を探ることができる(Fujita et al. (2021))の間に、わずかながら偏光面が回転し、直線偏光の176複屈折からアクシオン場の情報を詳細に引き出す

2022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校

1.2

重力レンズの効果

もし、我々の宇宙に何も存在しなければ（少なくとも重力源が存在しなければ）CMB の光子は真っ直ぐ進むことができる。しかし、現実の宇宙には暗黒物
質や銀河などの物質分布が存在し、その影響で CMB
光子は進路をわずかに曲げられる。これが CMB に対する重力レンズ効果である。
その結果我々の観測にかかる CMB 光子の到来方
向は、本来の到来方向からわずかにズレることになる。当然これは特定の CMB 光子だけではなく、全球的に生じる効果である。つまり、重力レンズの影
図 1: 宇宙複屈折のイメージ 各線分は直線偏光の向きを表す。複屈折による偏光面の回転により、最終散乱面での本来の偏光分布と我々が観測する偏光分

響により、我々の観測する CMB の全球マップは本来の姿がぐちゃぐちゃにかき混ぜられたものになっている。
そうは言っても、重力レンズによって生じる光の布は異なる。
（注：図はあくまで模擬的なイメージで到来方向のずれは非常に小さい。よって比較的大きある）

な角度領域（パワースペクトルでは小さな l に対応には、複屈折が CMB のパワースペクトルに与えるする部分）に対しては、それほど大きな問題にはな

影響の精密な理論予言が必要不可欠となる。それをらない。しかしながら、比較的小さな角度領域（パ

観測データと突き合わせることでアクシオンのパラ

ワースペクトルでは大きな l に対応する部分）に対メータなどに制限をかけることが可能となる。複屈折する観測では、無視できないずれを生じさせる。特が生じると、パリティ対称性の破れにより、ClT B (温に地上実験による将来の観測プロジェクトでは、こ度揺らぎと B モードのパワースペクトル) や ClEB (Eの小角度領域が重要なターゲットとなり、また観測モードと B モードのパワースペクトル) が有限の値

精度も非常に高い。よって、重力レンズの効果は無を持つ (パリティが保たれている場合にはこれらはゼ視できず、それを考慮に入れたデータ解析が必要不ロとなる)。

可欠となる。

Nakatsuka et al. (2022) では、CMB 計算のための公開コードを改良し、複屈折の効果を取り入れた

CMB パワースペクトルの計算が行われた。しかし、この計算においてはいくつか考慮されていない因子が存在し、さらなる改良が不可欠である。

2

研究手法

2.1

数値計算

中でも重要なものが、パワースペクトルに対する重力レンズの影響である。詳しくは次節で述べるが、CMB の精密な理論予言を計算するためには光子に

特に将来の地上観測で期待されるデータの精度を鑑対するボルツマン方程式を計算する必要がある。こみると、その影響は無視すべきでない。そこで本研の時、ボルツマン方程式右辺の衝突項は光子と自由

究では、アクシオンによる複屈折の効果に、さらに電子のトムソン散乱によるものであり、主に最終散

重力レンズの効果を取り込んで計算するコードの開乱時と宇宙の再電離期の散乱が寄与する。

発に取り組んでいる。これは、将来観測で得られる

このボルツマン方程式は解析的には解けないのでデータを用いた、複屈折によるアクシオン探査を行

数値計算を行う必要がある。この計算に関しては公開

うための基盤構築のために重要である。

コードが複数存在し、本研究では CLASS(Lesgourgues(2011)) と呼ばれるコードを使用している。

1772022 年度 第 52 回 天文・天体物理若手夏の学校の大まかな振る舞いや、その物理的な意味を定性的に探ることも重要である。
例えば天球面のごく一部を取り出すと、球面の曲率を無視して実質的に平面と見なせる（このような近似を「小角度近似」と呼ぶ）。CMB に対する重力レンズの効果は、前述の通り小角度領域に対してよく効くため、小角度近似を用いた解析が有効である。
ここではこれ以上詳しく述べないが、その他にも様々な近似を適用し、解析的な振る舞いを調べている。特に複屈折によって現れる ClT B や ClEB のパワースペクトルに関して特有の振る舞いが現れないかに興味を持ち、数値計算のコード開発と並行して取り
図 2: CMB に対して重力レンズが及ぼす影響のイ組んでいる。

メージ 本来真っ直ぐ進むはずの光子 (薄い黒線) は
重力レンズによって曲げられ (濃い黒線)、少し離れたところから到来したように見える (赤線)。青の矢3

印はそのずれを表す。
（注：図はあくまで模擬的なイ
メージである）

展望
本研究は、コード開発、解析的な計算共に途上段階である。近々コードの開発を終了し、それを用いて Nakatsuka et al. (2022) と同様、CMB 観測の将
Nakatsuka et al. (2022) では CLASS に対し、アク 来計画について感度予測を行う予定である。具体的
シオン場の変化に由来する複屈折の効果を組み込ん には、CMB の複屈折を用いたアクシオンの素性の探で計算できるように改良を施し、研究が行われた。し索が、アクシオンのどのようなパラメータ帯域に対かし、重力レンズ効果を計算するコードは組み込ましてどのように感度を持つのかを調べることになる。

れていない。CLASS には CMB の重力レンズを計算

また、本研究で開発されたコードは今後の CMB 観

するモードも元から備わっているが、Nakatsuka et

測で得られる実際のデータを解析する際の基盤となal. ではそのモードを無効にして計算が行われている。 るものである。
CLASS に元からある重力レンズ計算モードは、複屈折の結果現れる ClT B や ClEB も含めて計算する仕様にはなっておらず、単純にそのまま使用することはできない。
そこで、本研究では Nakatsuka et al. (2022) で改良された CLASS のコードに、ClT B や ClEB も含めてReference
小松英一郎 2019『宇宙マイクロ波背景放射』(新天文学ラ
イブラリー 第 6 巻), 日本評論社

重力レンズ計算を行えるようにさらなる改良を施し、Y. Minami, & E. Komatsu 2020, Phys. Rev. Lett, 125,
221301

より精密なパワースペクトルの理論計算の実現を目

T. Fujita et al. 2021, Phys. Rev. D, 103, 043509

指している。
J. Lesgourgues 2011, arXiv:1104.2932
H. Nakatsuka et al. 2022, Phys. Rev. D, 105, 123509

2.2

解析的なふるまい

CMB に対する重力レンズ効果を計算する際にも、最終的には数値計算が必要である。しかし、適当な近似を置いて方程式の漸近形を調べることで、効果

178

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重宇 c01

講演キャンセル179

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重宇 c02

統合摂動論の基礎と物質優勢期における原始ブラック
ホールの形成総合研究大学院大学 高エネルギー加速器科学研究科
片山 友貴

180

都合により掲載なし

181